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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Die Hydraulik und

die hydraulischen Motoren.

Ein Handbuch

für Ingenieure, Fabrikanten und Konstrnktenre.

Zum Gebrauche für technische Lehranstalten

sowie ganz besonders fitttt Selbstunterricht.

Bon

G. Meißner,

Ingenieur.

Zweite vollständig neu bearbeitete Auflage

von

Dr. H. Hederich,

und

Ingenieur und Lehrer.

Ingenieur Nowak,

Direktor des Technikums Altenburg.

I. 'Sßaub,

Die Hydraulik.

Zweite vollständig neu bearbeitete Auflage von

Dr. H. Hederich,

Ingenieur und Lehrer.

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Jena,

Die Hydraulik.

Von

G. Meißner,

Ingenieur.

Zweite vollständig neu bearbeitete Auflage

von

Dr. H. Hederich,

Ingenieur und Lehrer.

Mit 35 Tafeln.

der

CffenÜichen Arbeiten

Jena/

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Alle Rechte nach dem Gesetz vom 11. Juni 1870, insbesondere das Recht der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten.

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Inhaltsverzeichnis.

i.

Hydrostatik.

Erstes Kapitel. Physik des Wassers.

Seite

§ 1. Das zu behandelnde Gebiet § 2. Vorkommen des Wassers .

§ 3. Zusammensetzung und physikalische Eigenschaften des Wassers. ... 11 § ‘4. Die Flüssigkeitshaut und der sphäroidale Zustand

10

16

Zweites Kapitel..

Fortpflanzung des Druckes im Wasser und Druck des Wassers.

§ 5. Fortpflanzung des Druckes im Wasser.........

§ 5a. Definition der Pferdestärke..............

§ 6. Gleichgewichtszustand einer Flüssigkeit .........

§ 7. Bodendruck.................

§ 8. Das Gesetz der kommunizierenden Röhren.......

§ 9. Flüssigkeitsdruck auf eine Seitenfläche .........

§ 9a. Druck des Wassers auf Schützen und Schleusen ....

§ 10. Der Druckmittelpunkt ebener Flächen...... . . ‘ ,

§ 10a. Graphische Bestimmung der Lage des Druckmittelpunktes eines Rechtecks 41 § 10b. Druckmittelpunkt der horizontalen Wasserpressungen auf eine gekrümmte Fläche

18

21

23

27

29

30

. . 32

35

42

Drittes Kapitel. Gleichgewichtserscheinungen.

§ 11. Spezifisches Gewicht.........

§ 12. Der Satz vom Auftrieb ........

§ 13. Kraftanwendung zum Aufziehen der Schützen

§ 13a. Drehschützen............

ß 13b. Holzstärke der Schützenzüge......

43

45

46

48

§ 14. Größe der Eintauchung eines auf einer Flüssigkeit schwimmenden Körpers 51 § 15. Aufgaben über das spezifische Gewicht und die Schwimmtiefe der Körper 53

§ 16. Vom Gleichgewicht schwimmender Körper..........

Berechnung der metazentrischen Höhe........... .

§ 17. Stabilität schwimmender Körper.............

§ 18. Graphische Bestimmung der Stabilität...........

§ 18a. Berechnung von Gefäßwänden, die unter hydraulischem Druck stehen .    77

60

61

62

72

II.

Hydrodynamik.

A. Ausffuß aus allseitig öegreuzten Hffuuugen.

Viertes Kapitel.

Wirkung bewegter Wassermassen.

§ 19.    Wirkung    einer    Wassermasse    durch    ihr Gewicht.......

§ 20.    Wirkung    einer    Wassermasse    durch    ihre Geschwindigkeit . . . .

§ 21.    Wirkung    einer    Wassermasse    durch    Reaktion........

§ 22.    Der hydraulische Widder..............

§ 23. Der Saugheber.................

85

91

92

94

96

Fünftes Kapitel.

Besondere Bewegungsarten der Wasserstrahlen.

§ 24. Freier Fall der Wasserstrahlen..............

§ 24a. Wirkliche Geschwindigkeit fallender Wasserstrahlen unter Berücksichtigung

des Luftwiderstandes................

§ 24b. Graphische Darstellung der Fallgesetze...........

§ 25. Bewegung des Wassers auf einer schiefen Ebene........

§ 26. Ablenkung der Wasserstrahlen..............

§ 27. Wurf der Wasserstrahlen................

Beispiele . . ...................

CO

oc

rH r—i CO lO CO i—l O O O O O rH

Sechstes Kapitel.

Theoretische Ausflußgeschwindigkeit und Ausflußmenge.

§ 28. Ausfluß aus dem Boden eines Gefäßes _

§ 28a. Bestätigung der Ausflußgeschwindigkeit )/2gH durch Versuche ... 121 § 28b. Ausfluß unter Berücksichtigung der Zuflußgeschwindigkeit und eines treibenden oder hemmenden Druckes

113

122

§ 28c. Beispiele

§ 29. Ausfluß aus einer Öffnung in der Seitenwand des Gefäßes ... 126

§ 30. Der hydraulische Druck......

§ 31. Ausfluß unter veränderlicher Druckhöhe

124

131

Siebentes Kapitel.

Wirkliche Ausflußgeschwindigkeit und Ausflußmenge.

Seite

§ 32. Korrektionskoeffizienten ....

§ 32a. Tabellen über Ausflußkoeffizienten

§ 32b. Beispiele........

§ 33. Einfluß der Breite und Höhe der Schützenöffnung auf die ausfließende

Wassermenge ...................

§ 34. Einfluß der Wanddicke auf die Ausflußkoeffizienten.......

§ 35. Einfluß der Stellung der Wände auf die Ausflußmenge aus Schützenöffnungen ....................

148

. 155

159

160

162

164

Achtes Kapitel.

Wirkliche Ausflußmenge bei unvollständiger oder bei unvollkommener Kontraktion.

§ 36. Unvollständige und unvollkommene Kontraktion........

§ 37. Ausfluß aus Öffnungen ohne seitliche Kontraktion, aber mit Zusammenziehung von oben und unten..............

co

CO

H

05

00

Neuntes Kapitel.

Hilfsmittel zur Berechnung nebst Beispielen.

§ 38. Wirkliche Durchflußmenge durch einen vertikalen Schützenzug von 1 m Breite bei vollständiger Kontraktion...........

§ 38a. Beispiele.....................

§ 39. Graphische Darstellung der aus Schützenöffnungen fließenden Wasser

menge . . . :.................

§ 39a. Die neueren Formeln über den Ausfluß aus Schleusenwehren und Grundschleusen ..................

o 00    05

-H rH

00

Zehntes Kapitel.

Veränderung der Ausflußmenge durch besondere Zu- oder Fortleitung.

§ 40. Einfluß abgerundeter Kanten..............

§ 41. Einfluß schiefstehender Schützen..............

§ 42. Einfluß des hinter der Schütze befindlichen Motors auf den Ausflußkoeffizienten ....................

§ 43. Einfluß eines Gerinnes auf die Durchflußmenge einer Schützenöffnung 189 § 44. Ausflußkoesfizient für Einläufe in rückschlächtige Zellenräder .... 193

185

187

188

Elftes Kapitel. Ansahröhren.

§ 45. Cylindrische und prismatische Ansatzröhren .... § 46. Konisch konvergierende und divergierende Ansatzröhren

194

§ 47. Flüssigkeitsbewegung zwischen zwei kommunizierenden Gefäßen . . . 203 § 48. Mittel zur Beseitigung oder Verminderung der Kontraktion .... 209 § 49. Aufgaben über den Ausfluß aus Gefäßen und das Anfüllen derselben 210

Zwölftes Kapitel.

Reaktion, Stoß und Widerstand des Wassers.

§ 50. Reaktion einer ausströmenden Flüssigkeit..........

§ 50a. Reaktionsarbeit beim Segnerschen Wasserrade.........

§    51.    Senkrechter Stoß eines Wasserstrahles gegen eine    ebene Fläche    .    .    .

§    52.    Stoß zweier Wasserstrahlen gegen einander..... .    .    .

§ 53. Stoß des Wassers gegen eine gekrümmte Fläche........

§ 54. Schiefer Stoß des Wassers gegen eine ebene Fläche......

§ 55. Bestimmung des Winkels zwischen getroffener Fläche und Strahlrichtung

für den maximalen Seitenstoß.............

§ 56. Bestimmung der Geschwindigkeit c der zurückweichenden Fläche für die maximale Stoßarbeit................

57.    Widerstand gegen die Fortbewegung von Körpern    im Wasser    .    .    .

58.    Ausbreitung des austresfenden Strahles...........

59.    Unterschied zwischen dem Stoße bei festen und demjenigen bei flüssigen

Körpern.....................

§ 60. Beispiele zu den Formeln über den Stoß des Wassers.....

215

219

220

223

225

226

230

235

236

240

241

242

iH Cd CO CO tO CO

<UK> CÖO C0O

Dreizehntes Kapitel.

Der Wasserstrahl.

Formveränderung der Wasserstrahlen.....

Theoretische Steighöhe der Wasserstrahlen . . . Wirkliche Steighöhe der springenden Wasserstrahlen

247

248

249

B. Ausfluß Bei AverMen.

Vierzehntes Kapitel. Vollkommene Überfälle.

§ 64. Einteilung der Überfälle................

§ 65. Vorgang bei einem gewöhnlichen Überfalle ..........

§ 66. Versuche über die Wassermenge bei Überfällen........

§ 67. Ausflußmenge bei vollkommenen Überfällen.........

§ 68. Einfluß des Abstandes der Seitenwände von der Öffnung . . . . § 69. Koeffizienten für einen Überfall von 0,60 m Breite über eine 5 cm dicke Wand, deren obere Kante genau horizontal und scharf war .

§ 70. Resultate der Versuche Castels..............

§ 70a. Wassermenge bei Überfällen von gleicher Breite mit dem Kanal für jeden Meter der Überfallbreite......... . . . .

258

259

261

262

263

io IO CO CO Cd Cd

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Seite

§ 71. § 72.

§ 73.

§ 74.

§ 75.

§ 76. § 77. § 78. 8 79. § 80. § 81.

§ 82.

§ 83.'

§ 84. § 85. § 86. § 87.

Vollkommene Überfälle mit abgerundeter Krone........

Weisbachs Versuche..................

Boileaus Versuche..................

Einfluß der Form und Stellung der Krone oder Schwelle bei vollkommenen Überfällen................

Bestimmung der Druckhöhe h eines Überfalles....... .

Einfluß der Gerinne bei Überfällen............

Überfälle mit schiefen Wehren..............

Ermittelung von Wassermengen bei Wehren mit geneigtem Fachbaume 278

Versuche von Fteley, Stearns und Francis.........

Cipollettis Versuche..................

Ergebnisse der von Professor Frese an der Herrenhäuser Schiffsschleuse (vollkommener Überfall mit seitlicher Kontraktion, B — 6,3 m,

T — 4,0 m) ausgeführten Versuche...........

Berechnung des Ausflußkoeffizienten « der Dubuatschen Formel . . 287 Neuere Formeln zur Berechnung der Ausflußmengen bei vollkommenen

Überfällen . ..........

Überfälle in den Seitemvänden eines Kanales Angenäherte Berechnung der Wassermenge bei vollkommenen Überfällen 295 Beispiele zur Berechnung der Wassermenge bei vollkommenen Überfällen 298 Graphische Darstellung statischer und dynamischer Momente .... 306

268

00 00

276

277

279

282

283

289

294

Fünfzehntes Kapitel.

Unvollkommene Überfälle.

§ 88. Versuche bei unvollkommenen Überfällen § 89. Berechnung der Durchflußmengen bei unvollkommenen Überfällen . . 311 § 90. Neuere Formeln zur Berechnung der Wassermengen bei unvollkommenen

Überfällen....................

§ 91. Bestimmung der Ausflußkoeffizienten «v und «₂ der v. Wexschen Formeln

nach den von Francis im Jahre 1883 durchgeführten Versuchen. . 314

307

312

§ 92. Beispiele

§ 93. Einfluß der Wasserräder auf die vor denselben befindlichen Überfälle . 317

§ 94. Wehr des Schaffhausener Wasserwerkes...........

§ 95. Richtung und Lage der Wehre..............

§ 96. Bestimmung der Wehrkronenhöhe k bei einem vollkommenen und unvollkommenen Überfall...............

315

319

320

321

§ 97. Stauhöhe § 98. Staukurve Beispiele

6. Ungleichförmige Wafferöewegungen.

Sechzehntes Kapitel.

Stau und Senkung des Wasserspiegels.

328

331

§ 99. Senkungskurve...................

Beispiel.....................

§ 100. Gestalt des Wasserspiegels an Stelle der Erhöhungen, Vertiefungen, Erweiterungen und Verengungen des Flußbettes......

340

343

344

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C0C 202

Siebzehntes Kapitel. Wellenbewegungen. Entstehung und Form der Wellen . . . Wellensysteme..........

349

351

D. Bewegung des Wassers in Wohrleilunqen.

§ 103. § 104. § 105. § 106. § 107. § 108.

§ 109.

Achtzehntes Kapitel.

Grade cylindrische und prismatische Röhren.

Das Fließen in den Röhren.........

Bewegungswiderstand ...........

Bestimmung der Konstanten in den Formeln von de Prony und Foss 363 Darcys Versuche über die Bewegung des Wassers in Rohrleitungen 366

Anwendung der Formeln von Darcy...........

Zusammenhang zwischen der Ausflußmenge Q, dem Röhrendurchmesser d und der mittleren Geschwindigkeit v........

Levys Ableitung der mittleren Geschwindigkeit des Wassers in Rohrleitungen ....................

Beispiele.....................

Abänderung der Fossschen Formel............

354

355

370

372

374

377

384

Neunzehntes Kapitel.

Druckhöhenverluste durch Richtungs- und Querschnittsänderungen der Rohrleitungen.

Die Richtungsänderungen Die Querschnittsünderungen

387

389

Zwanzigstes Kapitel. Beispiele.

2 o

cflo COS CO)

Berechnung eines Katzensprunges.............

Berechnung einer Wasserleitung zu einer Turbine.......

Anschauliche Darstellung der Druckverhältnisse in einer Rohrleitung mit freiem Ausfluß................

CO ^

02 o

CO CO

00 CS ö

KÄ CO) 300 300 300

Einundzwanzigstes Kapitel.

Wirkungen in Röhren sich bewegender Wassermassen.

Die saugende Wirkung............

Theorie des Saughebers ...........

Doppelt wirkender Saugwidder.........

Stoßwirkung bei plötzlicher Bewegungshemmung . . . Theorie des hydraulischen Widders........

Seite

397

401

403

§ 122. § 123. § 124. § 125.

§ 126. § 127. § 128. § 129.

§ 130.

E. Bewegung des Wassers in Ilüssen und Kanälen.

Zweiundzwanzigstes Kapitel.

Bestimmung der mittleren Geschwindigkeit durch Rechnung aus dem Gefälle und den Dimensionen des Bettes.

Das Fließen in Kanülen und Flüssen...........

Zusammenstellung der symbolischen Bezeichnungen.......

Die älteren Formeln.................

Die Formeln von Humphreys und Abbot und ihre Vereinfachung

durch Grebenau..................

Bazins Formel...................

Gaucklers Formel..................

Formeln von Ganguillet und Kutter ...........

Vergleichung der verschiedenen neuen Geschwindigkeitsformeln in ihren

Ergebnissen...................

Beispiele.....................

408

409

411

415

417

419

421

rf*. ^ DO DO ZD 00

Dreiundzwanzigstes Kapitel.

Graphische Hilfsmittel zur Bestimmung der mittleren Geschwindigkeit aus dem Gefälle und den Dimensionen des Bettes.

131.    Graphische Tafel zur Formel von Ganguillet-Kutter......

132.    Graphische Ermittelung der Leistungsfähigkeit eines bestimmten Kanal

querprofiles ...................

§ 133. Die logarithmographischen Tafeln von Frank.........

431

432

435

§ 134.

c§ c§

300 300

£ 06

Vierundzwanzigstes Kapitel.

Über den Zusammenhang der Geschwindigkeiten in den verschiedenen Punkten desselben Querschnittes.

Berechnung der mittleren Geschwindigkeit aus bestimmten gemessenen

Geschwindigkeiten.................

Die Ergebnisse der Mississippi-Versuche............

Bestimmung der mittleren Geschwindigkeit, wenn die größte Geschwindigkeit an der Oberfläche ist...............

Gefällverlust durch Flußkrümmungen...........

Gesetze der Wasserläufe................

442

448

450

452

§ 139. Überblick über die verschiedenen Geschwindigkeitskurven eines ganzen

Querschnittes . . . ................

§ 140. Horizontale Geschwindigkeitskurve fließender Gewässer......

Seite

454

456

Fünfundzwanzigstes Kapitel.

Die Wahl der Profildimenstonen und der Wassergeschwindigkeit.

§ 141. Zulässiges Maximum der Geschwindigkeit des Wassers in Flüssen und

oc

Kanälen....................

§ 142. Der trapezförmige Kanalquerschnitt............

III.

Wassermessungen.

Sechsundzwanzigstes Kapitel.

Direkte Messung der Wassermeugen in Reservoirs, Bächen, Flüssen und Kanälen.

§ 143. Der Wasserzoll...................

§ 144. Schützen und Wehre.................

§ 145. Wasservermessung durch Beobachtung des sinkenden Wasserspiegels in einem Gefäße............... . . .

§ 146. § 147. § 148. § 149. § 150. § 151. § 152. § 153. § 154.

Siebenundzwanzigstes Kapitel.

Indirekte Bestimmung der Wassermengen bei Flüssen und Kanälen durch Messung des Querprofiles und der Wassergeschwindigkeit.

Der Woltmannsche Flügel..............

Der Harlacher Flügel................

Der Meßcylinder von Lapointe............

Schwimmer...................

Pitots Geschwindigkeitsmesser.............

Darcys Geschwindigkeitsmesser.............

Andere Geschwindigkeitsmesser.............

Vermessung des Gefälles..............

Die praktische Durchführung der Wasservermessung des Mississippi . 482

470

472

473

474

475

476

479

480

Achtundzwanzigstes Kapitel.

Vermessung der durch Röhren fließenden Wassermeugen.

§ 155. § 156. §157.

491

Anforderungen an einen Wassermesser für Wasserleitungen .... 490 Wassermesser von Siemens und Adamson Der Venturi-Wassermesser.....

IV.

Grrmdkairter» der Wasserwerke.

Einleitung.

Hydraulischer Mörtel, Zement, Beton .

Dreißigstes Kapitel.

Künstliche Befestigung des Baugrundes.

§ 160. Allgemeine Regeln..........

§ 161. Die Sandschüttungen.........

§ 162. Der liegende Rost oder Schwellenroft . . .

§ 163. Der Pfahlrost...........

§ 164. Die Spundwände..........

§ 165. Das Betonfundament........

§ 166. Die pneumatische Gründung von Fr. Neukirch

. 499

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OT Ot CD 00

Neunundzwanzigstes Kapitel. Verteilung konstanter Wassermengen.

Verteilung durch den Wasserzoll......

Verteilung durch einen Kaliberhahn .....

Seite

493

494

Einunddreißigstes Kapitel.

Die Dimensionen der Futtermauern, Dämme und Reservoirs.

§ 167. Futtermauern gegen Erddruck..............

§ 168. Mauern gegen Wasserdruck................

§ 169. Mauern aus verschiedenem Materiale gegen Erd- und Wasserdruck .

§ 170. Lange Mauern für sehr hohen Wasserdruck.........

§171. Regeln für die Ausführung derMauern großer Reservoirs, Dämme u. s. w.

§ 171a. Die Thalsperre bei Einsiedel..............

§ 172. Dämme aus Erde gegen Wasserdruck...........

510

511

511

514

515

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Zweiunddreißigstes Kapitel. Wasserbauten aus Beton.

§ 173. Die Reservoirs von Passy...............

§ 174. Turbinenanlage der Papierfabrik Perlen bei Luzern......

§ 175. Turbinenanlage in Bellegarde..............

§ 176. Turbinenanlage für „The Kellner Partington Paper Pulp CieLimited¹¹

in Hallein....................

§ 177. Turbinenanlage der Domäne Alt-Benatek..........

Ot    Cn    Ot    Ot    Ot

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Dreiunddreißigstes Kapitel.

Die praktische Ausführung der Kanäle.

§ 178. Bedingungen für die Anlage der Kanäle und Wehre . . . . § 179. Einteilung eines Kanales in Obergraben und Untergraben . .

§ 180. Gefällverhältnisse der Kanäle............

§ 181. Die Regulierschützen der Kanäle ...........

§ 182. Schutzbekleidungen der Kanalwände..........

§ 183. Konstruktion der Gerinne.......... . . .

§ 184. Fassung und Leitung des Wassers zu den Wasserbauten. . .

Serie

529

.    . 530

532

.    .    533

534

O zn.

Vierunddreißigstes Kapitel.

Praktische Ausführung der festen und beweglichen Wehre.

§ 185. . Einfache Wehre oder Überfallwehre.........

§ 186. Schleusenwehre................

§ 187. Klappenwehre................

§ 188. Nadelwehre.................

§ 189. Selbstthätige Klappenwehre............

541

543

544

546

549

Fünfunddreißigstes Kapitel. Anlage der Teiche.

§ 190. Teiche und Wassersawmler .

§ 191. Teichgerinne......

Tabelle 1. Nützliche Zahlenwerte . Tabelle 2. Werte von hl und lg hi Sach-Register.........

553

554

556

556

Druckfehlerverzeichnis.

Es ist zu lesen:

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„    13 v. o: 520.

„ 24 v. o: „ Mauern gegen Wasserd. 511.

In Fig. 236 auf Tafel 15 muß der oberste Visierpunkt der Meßplatte in der zweiten Vertikalen mit bx bezeichnet werden. Ferner ist Bf = 3'.

In der Fig. 326 auf Tafel 27 sind auf der Vertikalen die Werte von k abgetragen. Das in der Anmerkung aus Seite 48 angegebene Werk ist im Verlage von Hermann Costenoble erschienen. Es führt den Gesamttitel: Anleitung zur Ausführung graphischer Konstruktionen im Maschinenbau.

„ 559 „

Aus dem Vorwort zur ersten Auflage.

Die Anlage hydraulischer Motoren hat in den letzten 10 Jahren eine so außerordentliche Entwickelung genommen und eine so bedeutende Reihe von Fortschritten aufzuweisen, daß die Herausgabe eines umfassenden Werkes über dieselben nicht weiter begründet zu werden braucht.

Von verschiedenen Seiten dazu aufgemuntert, habe ich mir bei der Bearbeitung des vorliegenden Werkes die Aufgabe gestellt, die Anlage der hydraulischen Motoren dem neuesten Standpunkte der Theorie und Praxis gemäß auf eine erschöpfende Weise zu behandeln, so daß dasselbe nicht nur den Studierenden einen Überblick über die verschiedenen Theorien gewähren und diese mit einander vergleichen, sondern auch ganz besonders dem Praktiker durch eine Reihe von den hervorragendsten Etablissementen ausgeführter und bewährter Konstruktionen die erforderlichen Anhaltepunkte für die Anlage neuer Motoren bieten soll.

Zu einer richtigen, nach allen Seiten hin befriedigenden Anordnung eines Wasserwerkes, z. B. einer Turbine, sind in erster Linie neben den theoretischen Kenntnissen praktische Erfahrungen erforderlich, die man nicht in der Schule sich aneignen kann. Eine Reihe solcher Erfahrungen sind in dem vorliegenden Werke niedergelegt.

Aus den technischen Schulen treten erfahrungsmäßig eine große Anzahl junger Leute aus, die sich die theoretischen Kenntnisse noch keineswegs in genügender Weise angeeignet haben, die ferner das Angeeignete nicht mit der gehörigen Sicherheit zu verwenden wissen, weil dieses einzig und allein an der Hand der Erfahrung möglich ist.

Es giebt ferner eine bedeutende Anzahl strebsamer Leute, welchen nicht die nötigen Mittel zur Verfügung stehen, um höhere Unterrichtsanstalten besuchen zu können, und die dennoch, durch den mühsamen Weg

Meißner, Hydraulik. I. 2. Auflage.

des Selbstunterrichtes, wenigstens soweit zum Verständnis dieses anziehenden aber schwierigen Faches vordringen wollen, um ihre Bemühungen mit Erfolg nutzbringend machen zu können.

Diese letztere Richtung soll das vorliegende Werk ganz besonders berücksichtigen, doch wird auch die theoretische Seite des Faches in eingehendster Weise behandelt werden.

Es ist heutzutage Mode geworden, bei der Übernahme der Ausführung hydraulischer Motoren außerordentlich hohe Nutzleistungen zu garantieren, obwohl die betreffenden Etablissemente sehr wohl wissen, daß die Erzielung so bedeutender Ergebnisse in seltenen Fällen und nur bei ganz besonders günstigen lokalen Verhältnissen, bei mittleren Gefällen und nicht zu großen oder kleinen Wassermengen möglich ist.

Man stützt sich dabei darauf, daß im Falle entstehender Reklamationen eine ganz genaue Bestimmung des Güteverhältnisses eines solchen Motors nur mit einem solchen Aufwande von Zeit und Mitteln möglich ist, daß an dieselbe in den meisten Fällen nicht gedacht werden kann.

Es liegt diesem Umstande die Schwierigkeit der genauen Wasservermessung zu Grunde, von welcher ich hier ausführlicher sprechen muß, dä die Anhaltspunkte, welche eine möglichst verläßliche Bestimmung der Wassernrenge eines Wasserlaufes ermöglichen, einen wesentlichen Teil dieses Werkes bilden werden.

Es ist bis in die neueste Zeit üblich gewesen, bei der Vermessung eines Wasserlaufes sich der bekannten Formeln von Prony und Eytel-wein zu bedienen, welche aus nur einer engeren Reihe von Versuchen abgeleitet sind, und für die diesen Versuchen zu Grunde liegenden Verhältnisse wohl ziemlich befriedigende Resultate ergeben, dagegen zu ganz unrichtigen Werten führen, sobald man dieselben außerhalb dieser Grenzen anwenden will.

Eine solche Anwendung dieser Formeln hat nun aber lange Zeit innerhalb der weitesten Grenzen stattgefunden, da den meisten Technikern die Art und Weise der Ableitung dieser Formeln, sowie die denselben zu Grunde liegenden Fundamental-Versuche gar nicht bekannt sind. Man hat sich vielmehr dieser Formeln, gestützt auf die Autorität deren Verfasser, ganz allgemein bedient und gebraucht dieselben teilweise jetzt noch, obwohl dieselben bei manchen Verhältnissen fehlerhafte Resultate ergeben, und zwar fehlerhaft bis zu 40 und 60 Prozent, wobei man sich dann

nicht mehr über die vielen Prozesse verwundern kann, zu welchen die Anlagen hydraulischer Motoren Veranlassung gegeben haben.

Die in neuerer Zeit mit einem bedeutenden Aufwande von Zeit und Mitteln über diesen Gegenstand angestellten Versuche und deren Ergebnisse sind noch wenig in die praktischen Kreise eingedrungen, finden sich kaum in wissenschaftlichen Werken erwähnt und haben daher noch außerordentlich wenig praktische Verwertung gefunden.

Der erste Teil des vorliegenden Werkes wird die Frage der Wasservermessung auf möglichst einläßliche Weise unter Benutzung aller vorhandenen Quellen behandeln, dabei aber nicht bloß die Ableitungen aus den Versuchsresultaten, sondern diese letzteren selbst nebst dem Gange der Ableitungen anführen, um dem Leser ein selbständiges Urteil über deren Verläßlichkeit zu gewähren, da in dieser letzteren allein der Wert einer Ableitung besteht.

Die Theorie der Bewegung des Wassers in Flüssen und Kanälen, sowie des Ausflusses desselben aus Gefäßen oder Behältern unter verschiedenen Verhältnissen ist eine so verwickelte und bis jetzt noch unvollständige, daß allein die Versuchsresultate vom Praktiker berücksichtigt werden können. Es läßt sich zwar mit Hilfe der graphischen Darstellung aus einer Versuchsreihe eine allgemeine Regel oder Formel ableiten, die innerhalb der Grenzen der den Versuchen zu Grunde liegenden Verhältnisse ganz gute Dienste leistet. Aber immerhin bilden die Versuche selbst die Grundlage, ans welcher der Praktiker am liebsten und sichersten vorgeht, da er dann die positive Überzeugung besitzt, keine fehlerhaften Annahmen zu machen.

Aus diesem Grunde sind dem ersten Teile des vorliegenden Werkes die Resultate der in neuester Zeit angestellten Versuche selbst einverleibt oder wo dieses raumhalber nicht thunlich war, die Ergebnisse durch einen kurzen Auszug aus den Versuchsresultaten nachgewiesen.

Es wurde bisher von den meisten Hydraulikern ein bestimmtes Verhältnis zwischen der mittleren Geschwindigkeit eines Fluß- oder Kanal-Querschnittes zur größten Geschwindigkeit desselben angenommen und es ist nach den für dieses Verhältnis aufgestellten Regeln in unzähligen Fällen die mittlere Geschwindigkeit eines Wasserlaufes und somit die Wassermenge selbst bestimmt und der Festsetzung der Nutzleistung hydraulischer Motoren zu Grunde gelegt worden. Durch neuere und vollstän-tigere Versuche ist aber nachgewiesen worden, daß das erwähnte bestimmte Verhältnis gar nicht vorhanden ist! —

Den Ergebnissen der Mississippiversuche sind diejenigen der in derselben Zeit im Aufträge der französischen Regierung von Darey und Bazin angestellten Untersuchungen über das Verhältnis von mittlerer Geschwindigkeit, Querschnitt und Gefällverlust bei künstlichen Fabrikkanälen beigefügt, da dieselben für den Praktiker von ganz besonderem Werte sind.

Kriens bei Luzern (Schweiz), im Juni 1876.

G. Meißner

Ingenieur.

Vorlvort zur zweiten Ausluge des ersten Bundes.

Bei der Bearbeitung der 2. Auflage der Hydraulik habe ich versucht den von Meißner aufgestellten und oben wiedergegebenen Grundsätzen treu zu bleiben. Es mußten jedoch viele weitläufig angeführte Versuche in gekürzter Form gegeben werden. Um Wiederholungen zu vermeiden, ist der Inhalt des letzten Abschnittes der ersten Auflage, welcher Beispiele und Erweiterungen enthält, über die anderen verteilt, nachdem er durch neue Beispiele reichlich vermehrt wurde. Durch diese Vorkehrungen und eine wesentlich andere Anordnung des Stoffes gelang es, so viel Raum zu schaffen, um die neuesten Versuche und Formeln aufnehmen zu können.

Durch das freundliche Entgegenkommen des Herrn Verlegers bin ich in den Stand gesetzt worden, selbst die in England, Frankreich, Italien und Amerika erschienenen Monographien aus dem Gebiete der Hydraulik studieren zu können. So weit es in meinen Kräften lag, habe ich das mir dadurch reichlich gebotene Material gesichtet und mit Angabe der Quellen verwendet. Auch habe ich manche gute Idee der betreffenden Verfasser auszubauen und in anderer Weise zu verwerten versucht und bin dadurch auf graphische Konstruktionen gekommen, die viele umständliche Rechnungen ersparen.

Aus dem Inhalt des Buches seien hier einige Abschnitt- und Kapitelüberschriften angeführt:

I.    Hydrostatik. 1. Physik des Wassers. 2. Die Fortpflanzung des Druckes im Wasser und der Druck des Wassers. 3. Gleichgewichtserscheinungen.

II.    Hydrodynamik. A. Ausfluß aus allseitig begrenzten Öffnungen.

4. Wirkung bewegter Wassermassen. 5. Theoretische Ausflußmenge und Geschwindigkeit. 6. Wirkliche Ausflußmenge bei vollständiger Kontraktion.

7. Wirkliche Ausflußmenge bei unvollständiger und unvollkommener Kontraktion. 8. Hilfsmittel zur Berechnung und Beispiele. 9. Beeinflussung der Ausflußmenge durch besondere Zu- oder Fortleitung. 10. Ansatzröhren. 11. Mittel zur Vergrößerung der Ausflußmengen. 12. Der Wasserstrahl. B. Überfälle. 13. Vollkommene Überfälle. 14. Unvollkommene Überfälle. 15. Stauhöhen. C. Wellenbewegungen. 16. Wellensysteme. D. Bewegung des Wassers in Rohrleitungen. E. Bewegung des Wassers in Flüssen und Kanälen.

III.    Wassermessungen.

IV.    Wasserbauten.

Von den einzelnen Paragraphen seien hervorgehoben: Graphische Konstruktionen von Druckmittelpnnkten, graphische Bestimmung der Tauchtiefe und der Stabilität, Formeln und Versuche über den Ausfluß des Wassers bei Schützen und Wehren unter den verschiedensten Anordnungen, graphische Auftragung der Resultate, graphische Ermittelung der Durchflußmengen bei solchen Anlagen und auch bei Rohrleitungen und Flüssen. Für die beiden letzten sind besonders die Berechnungsverfahren und Formeln von Saint-Venant, Bornemann, Frank, Flamant, Reynold und Foß berücksichtigt worden).

Für die akademisch gebildeten Leser sind in kleinem Drucke Ableitungen von Formeln mit Hilfe der höheren Mathematik gegeben, welche jedoch vom Praktiker, unbeschadet des Zusammenhanges, überschlagen werden können, weil die Ergebnisse im Haupttexte enthalten sind.

Denjenigen Verlegern und Verfassern, die mir die Benutzung ihrer Werke gütigst erlaubten, beehre ich mich hier meinen Dank abzustatten.

Der dritte Band wird enthalten die hydraulischen Arbeitsmaschinen, und zwar int besonderen Pressen, Nietmaschinen, Hebmaschinen, sodann hydraulische Kraftübertragungen, Zerreißmaschinen und zum Schluß Wind-nnd Dampfturbinen.

M i t t w e i d a i. S., int Dezember 1894.

Dr. Hederich.

Hydrostatik

Erstes Kapitel.

Physik des Wassers.

§ i.

Das zu behandelnde Gebiet.

Die Hauptaufgabe einer jeden Wissenschaft besteht darin, die in ihr Gebiet fallenden Vorgänge im großen Reiche der Natur zu beschreiben l) und Anleitung zur Verwertung derselben für das Wohl der Menschheit zu geben. Die Beschreibung geschieht, so weit es geht, in der üblichen mathematischen Formelsprache. Die von vielen Experimentatoren gegebenen Erklärungen oder gar Ergründungen sind oft höchst zweifelhafter Natur, wie die älteren Hypothesen in der Lehre von der Elektrizität und dem Lichte zeigen. Bei dem uns vorliegenden Gebiete der Gleichgewichts- und Bewegungserscheinungen der Flüssigkeiten müssen wir besonders vorsichtig zu Werke gehen, da sich selbst das uns vorschwebende Ziel der Beschreibung — ein scheinbar bescheidenes — mit den uns zu Gebote stehenden mathematischen Mitteln nur in einzelnen Fällen zur vollen Zufriedenheit erreichen läßt. Wir müssen uns vielfach begnügen für ein und denselben Vorgang die verschiedenen Formeln der einzelnen Experimentatoren anzuführen und die Ergebnisse graphisch zu vergleichen. Der Einfachheit halber gehen wir von bestimmten Annahmen aus, die nachher fallen gelassen werden. Dieses Verfahren ist besonders für die Hydraulik angezeigt, damit die manchmal verwickelten Formeln Glied für Glied vor den Augen der Leser entstehen.

Ohne Rücksicht auf die Entdeckungen des großen englischen Physikers Crookes sind drei Aggregatzustände zu unterscheiden: der feste, flüssige, luftförmige. Die Teile der Mechanik, welche die Gleichgewichts- und

*) Vorlesungen über Mathematische Physik von Dr. ®. Kirchhofs. Mechanik. 3. Auf

lage. 1883.

Bewegungserscheinungen dieser Zustände behandeln, heißen Geostatik, Geodynamik; Hydrostatik, Hydrodynamik; Ärostatik, Ärodynamik. Die Mechanik der festen Körper ist fast vollkommen durchgebildet, man kann selbst verwickeltere Bewegungen in mathematischer Formelsprache beschreiben, es ergeben sich dabei zwar teilweise noch unlösbare Differentialgleichungen. Bei der Hydraulik sind wir noch nicht so glücklich. Es werden vielfach Experimente herangezogen und ihre Ergebnisse in Formeln gekleidet, die naturgemäß dann nicht allgemeine Gültigkeit haben können. In vorliegendem Werke mußte leider auch ein gemischtes Gebäude aufgeführt werden, bei welchem rein theoretische Ableitungen nur so weit Platz fanden, als die daraus entstehenden Formeln einfach zu handhaben sind.

Es ist vielleicht der Zukunft vorbehalten, durch eine neue Rechnungsart, deren Grundbegriffe sich den wichtigsten Eigenschaften der Flüssigkeiten anpassen, einfache Lösungen so mancher hydraulischer Probleme zu geben, wie es auf anderen Gebieten durch die Quaternionenrechnnng gelungen ist.

Obwohl die Hydraulik, trotz ihres Namens, das ganze Gebiet der Flüssigkeitsgesetze umfassen soll, wird im vorliegenden Werke fast nur von der einen tropfbaren Flüssigkeit, dem Wasser, die Rede sein, welches ja schon Pindar als das beste anerkannte.

Wie bereits aus dem Obigen hervorgeht, zerfällt die Hydraulik in Hydrostatik, die Lehre vom Gleichgewicht der Flüssigkeiten, und in Hydrodynamik oder Hydraulik im engeren Sinne, die Lehre von der Bewegung der Flüssigkeiten.

ZÜJ

Vorkommen des Wassers.

§ io.

ZIOOV

Berechnung von Gefäßwänden, die unter hydraulischem Druck stehen.

Der Saugheber.

§ 28 a.

f i/2 gj yh —x — ybo

Beispiele.

Es ist zu dieser Tabelle noch zu bemerken, daß bei

9 VT=ff‘

Zwölftes Kapitel.

Bestimmung der Geschwindigkeit c der zurückweichenden Fläche für die maximale Stoßarbeit.

Vorgang bei einem gewöhnlichen Überfalle.

Einfluß der Gerinne bei Überfällen.

Berechnung des Ausflußkoeffizienten « der Dubuatschen Formel.

Fünfzehntes Kapitel.

Stanknrve.

Gestalt des Wasserspiegels an Stelle der Erhöhungen, Vertiefungen, Erweiterungen und Verengungen des Flußbettes.

Darcys Versuche über die Bewegung des Wassers in Rohrleitungen.

k/R 36,4 Yy /f + 7? 36,4 ,4),l | 4 4- | '0,1

• ' (^ + l\>+(k+V)

§ 129.

Bestimmung der mittlern Geschwindigkeit, wenn die größte Geschwindigkeit an der Oberfläche ist.

Schwimmer.

Der Pfahlrost.

Turbinenanlage für „The Kellner Partington Paper Pulp Cio Limited“ in Hallein.

A.

.Ho

Vorkommen des Wassers.

Eins der anschaulichsten Beispiele vom ewigen Kreislauf der Natur giebt das Wasser. Aus den Flüssen, Seen und Meeren wird es durch die Gewalt der Sonnenstrahlen angezogen. Jeder Tropfen verwandelt sich in unzählba're Bläschen, die in Form von Nebel oder unsichtbarem Dunst emporsteigen, sich in kühleren Luftschichten verdichten, um endlich wieder nach einiger Zeit als Regen, Schnee oder Hagel zur Mutter Erde herabzufallen. Die so in steigender und sinkender Bewegung erhaltenen Wassermassen sind so bedeutend, daß von manchem Flusse nur ¹ji seines Wassers das Meer erreicht, während die übrigen s/₄ vorher verdunsten.

Ein wie großer Wohlthäter das Wasser ist, wissen besonders Bewohner heißer Länder zu beurteilen. Wurde ihm darum nicht durch die

Nielanbetung göttliche Verehrung zu teil? Wurde es nicht noch mehr als die anderen Elemente der Alten mit olympischen Wesen bevölkert? Hatten nicht unsere Vorfahren ihre Wassergötter und erkennen wir nicht selbst die Wichtigkeit der Flüsse durch Personifizierungen an? Tagtäglich sehen wir, daß die Meere nicht Länder trennen, sondern verbinden.

Außer im freien Zustande kommt das Wasser noch chemisch gebunden in vielfältiger Gestalt vor. Es kann als Konstitutionswasser so fest mit einem Stoffe vereint sein, daß eine Zerstörung desselben eintritt, wenn das Wasser durch Erhitzen vertrieben wird. Dagegen kann man Hydratwasser aus Salzen entfernen, ohne chemische Eigenschaften derselben zu ändern. In verhältnismäßig größeren Mengen verwendet die Natur das Wasser gleichsam als Mörtel zum Aufbau prächtiger Krystalle.

cd

Zusammensetzung und physikalische Eigenschaften des Wassers.

a) Die Ansicht, daß das Wasser ein Element sei, hielt sich bis gegen Ende des 18. Jahrhunderts. In jener Zeit beobachteten einige Chemiker, daß sich die Wandungen der Gefäße, in welchen sie die Verbrennung von Wasserstoff vornahmen, mit Wassertröpfchen bedeckten.

Jedoch erst Cavendish wagte zu behaupten, daß Wasser aus Wasserstoff und Sauerstoff zusammengesetzt sei, nachdem es ihm gelungen war durch Verbrennen beider Gase einige Grane Wasser künstlich zu erzeugen.

A. v. Humboldt und Gay-Lussac zeigten später, daß zwei Ranmteile Wasserstoff und ein Raumteil Sanerstoff durch ihre chemische Vereinigung zwei Raumteile Wasser geben und daß demnach eine Verdichtung auf zwei Drittel stattfindet. Sauerstoff und Wasserstoff in dem angeführten Verhältnis 1:2 gemischt führen den Namen Knallgas, da ihre Entzündung mit heftigem Knall verbunden ist. Der bei der Verbindung beider Gase entstehende weißglühende Wasserdampf hat eine ungeheuere Spannkraft von • Hunderten von Atmosphären.

t>) Chemisch reines Wasser ist geruch-, geschmack- und in dünnen Schichten farblos. In dickeren Schichten dagegen ist es blau gefärbt. Die Farbe der Gewässer rührt von den feinen in denselben umherschwimmenden organischen und mineralischen Teilchen her, welche einen Schluß auf die Bodenbeschaffenheit der höher gelegenen Teile des Bettes gestatten. Was schon Plinius erkannte, indem er sagte: Tales sunt aquae, qualis terra per quam fluunt, die Gewässer sind so beschaffen wie das Land, durch welches sie fließen. Das reine Wasser kann nie

schlechten Geruch verbreiten, ein solcher stammt stets von den darin enthaltenen organischen Körperchen.

c) Das Wasser läßt sich in den festen Aggregatzustand überführen. Denn sinkt die Temperatur unter 0°, so friert dasselbe unter Bildung von Krystallen, deren Grundform eine doppelte sechsseitige Pyramide ist. Gewöhnlich jedoch bestehen die Eismassen aus dünnen sechsseitigen Tafelit.

In schönen nach leider noch unbekannten Gesetzen gebildeten Krystallen ist das Eis im Schnee gestaltet. Dieselben wurden schon im 16. Jahrhundert studiert, doch hat man erst in neuerer Zeit hübsche Photogramme davon herzustellen vermocht. Die Figur 1 zeigt solche Krystalle nach Dr. R. Neuhauß, Berlin, in 20facher linearer Vergrößerung. Die einfachsten Krystalle treten im Schnee bei großer Kälte als sechskantige Nadeln auf. Als Grundform der meisten Schneekrystalle findet man den sechs-strahligen Stern, bei dem alle oder je drei Arme einander ähnlich sind. Zwei solche gleichgestaltete Sterne sind auch wohl (Fig. 11) zu einem Doppelkrystall durch ein ¹/₂ —1¹/2 mm langes Stäbchen verbunden. Fig. lk zeigt zwischen zwei mikroskopischen Objektträgern befindliche Eiskrystalle, die im polarisierten Lichte prächtige Farben ausstrahlen.

Über die „Schneekrystalle" ist im Verlage von Mückenberger, Berlin, ein ausführliches Buch von Prof. Dr. G. Hellmann im Jahre 1893 erschienen, welches manchem Leser angenehm sein wird, da es einen Einblick in das geheimnisvolle Wirken der Natur gestattet.

Bei völliger Ruhe kann das Wasser noch bis ungefähr — 9° 6. flüssig erhalten werden. Wirft man dann einen kleinen festen Körper hinein, so schießen von allen Seiten Eiskrystalle nach der Mitte zu, so daß die ganze Masse mit einem Male erstarrt.

Diese Erscheinung der Überschmelzung kann man sehr leicht bei geschmolzenem Schwefel unter Wasser von 95° beobachten. Der Schwefel bleibt flüssig, selbst wenn er umgerührt wird, erstarrt aber sofort, wenn man ein kleines Stück festen Schwefels hereinfallen läßt. Jni luftleeren Raume erfolgt die Eisbildung erst bei —5° 6., aber im Augenblicke der Erstarrung erhebt sich die Temperatur auf 0° G.

Das spezifische Gewicht des Eises ist bei —1° 0,9181, bei —20° 0,9203. Die Entstehung des Eises ist daher mit einer Ausdehnung verbunden und es schwimmt auf dem Wasser. Diese Ausdehnung geschieht mit solcher Gewalt, daß starke Metallgefäße, die mit Wasser ganz gefüllt und wohl verschlossen werden, beim Gefrieren zerspringen. Eine Bombe

y Schnee- und Eiskrystalle timt Dr. A. Miethe. Prometheus 1893, S. 357.

von 471 mm Durchmesser mit 72 mm dicken Wandungen zerspringt bei einer Kälte von — 21° C.

Durch das gefrierende Wasser werden die härtesten Felsen an ihrer Oberfläche, wo sich Risse befinden, zerklüftet und gespalten und im Laufe der Zeit in den lockeren Zustand des Feldbodens übergeführt.

Das Eis verdunstet wie fast alle festen Körper an der Oberfläche, jedoch noch in viel höherem Maße wie irgend ein anderer, da die Luft das Bestreben hat, sich mit Wasserdampf zu sättigen.

Ein mäßiger Feuchtigkeitsgehalt macht die Luft klarer und durchsichtiger, daher die Berge dann näher erscheinen und leicht Regen eintritt, wenn ein kalter Luftstrom in eine solche Luftschicht trifft.

Reines krystallisiertes Wasser ist völlig trocken, farblos, durchsichtig und besitzt den kleinsten Brechungsindex n^lIlO. Es ist ein Nichtleiter der Elektrizität, wird aber durch Reiben selbst stark elektrisch und ist ein schlechter Wärmeleiter. Klares Eis läßt aber die Sonnenstrahlen frei durchgehen, ohne sich dabei zu erwärmen. Man kann daher Linsen aus Eis anfertigen, mittelst derselben die Sonnenstrahlen wie durch ein Brennglas sammeln und damit brennbare Körper entzünden.

Wird das Eis erwärmt, so nimint es mit Leichtigkeit Wärme auf und schmilzt bei einer Temperatur, welche als Nullpunkt unserer Thermometer gewählt ist, weil sie für vorkommende Schwankungen int Druck unserer Atmosphäre konstant ist.

Durch starken Druck tarnt man jedoch den Schmelzpunkt des Eises herabziehen. So ist es Mousson gelungen Eis bei —18° zu schmelzen.

Die Wärme, welche das Eis beim Schmelzen aufnimmt, ist sehr beträchtlich und zwar genau so groß wie diejenige,, welche verbraucht wird, um die gleiche Menge Wasser von 0° aus 79,25° C. zu erhitzen. Wenn man daher 1 kg Eis von 0° mit 1 kg Wasser von 79,25° zusammenbringt , so schmilzt das Eis vollständig und man erhält 2 kg Wasser von 0°.

Wird Wasser von 0° bis + 4° C. erwärmt, so zieht es sich zusammen. Bei weiterer Erwärmung dehnt es sich wieder aus und zwar so, daß es bei 8° C. denselben Raum einnimmt wie bei 0° und bei 140° den des Eises von 0°.

Das Gewicht eines Kubikcentimeters Wasser im Zustand seiner größten Dichtigkeit, also bei -f- 4° 6., ist unter Benennung 1 g unserem Gewichtssystem zu Grunde gelegt. 1 cMm oder 1 1 Wasser wiegt demnach 1 kg.

Von der Temperatur + 4° C. bis 1000 C. beträgt die Ausdehnung 1000 1 des dichtesten Wassers von 4° 6. geben 1043 1 siedendes

43/

1000-

Wasser.

Hätte das Wasser nicht die merkwürdige Eigenschaft, einige Grade oberhalb seines Gefrierpunktes ant dichtesten und schwersten zu sein und wäre das spezifische Gewicht des Eises nicht geringer als das des Wassers von 0°, so würden im Winter bald alle Gewässer bis auf den Grund gefrieren.

Sowie der Wasserspiegel eines Gewässers die Temperatur von -f 4° C. erreicht hat, senkt sich diese obere Wasserschicht zu Boden und so geht es fort, bis die ganze Wassermasse bei ununterbrochener Abkühlung die Temperatur von + 4° C. erreicht hat. Tritt nun Frostwetter ein, so gefriert die oberste Schicht, fängt aber nicht an zu sinken, da sie nun spezifisch leichter ist, als das darunter befindliche Wasser von 4° C. Da nun das Wasser außerdem, wie wir oben sahen, ein schlechter Wärmeleiter ist, so bleibt die Eisschicht eine verhältnismäßig sehr dünne.

Bei der größten Kälte sind daher die Oberflächen der Gewässer selten auf mehr als 25—30 cm Tiefe gefroren und das Wasser fließt gewöhnlich mit 3—4° C. unter der Eisdecke dahin.

Die bis jetzt besprochenen Dichtigkeitsänderungen des Wassers mit der Temperatur lassen sich mit dem Hoffmannschen Schwimmer (Fig. 2) bequem zeigen. Die im inneren Gefäße angedeutete Flüssigkeit ist Wasser, in diesem befindet sich ein Körper, der ungefähr so schwer ist wie ein gleiches Volumen Wasser von 5° C. Er wird daher bei gewöhnlicher Zintmertemperatur am Boden liegen. Läßt man nun durch den äußeren Cylinder eine Kühlflüssigkeit von a nach t> fließen, so wird sich der Schwimmer heben, so bald die Temperatur unter 5° sinkt und wird sich bei 4° an der Oberfläche befinden. Treibt man nun die Abkühlung noch weiter, so sinkt der Schwimmer wieder herab.

Ganz verschieden von der Eisbildung an der Oberfläche ist die Bildung von Grundeis. Diese findet immer nur bei solchen Gewässern statt, welche rasch fließen und auf kürzeren Strecken mehrmals über Wehre fallen oder über steinigen Grund strömen, so daß das Wasser über und über stürzt, der Luft seine ganze Masse zur Abkühlung darbietet und von darüber liegenden Schichten nicht mehr vor weiterer Abkühlung geschützt werden kann. Hier wird die ganze Wassermasse bei weiterer Abkühlung nach und nach immer weniger flüssig und zuletzt ganz breiartig, so daß es nicht mehr durch Turbinenkanäle fließt und daher keine Wirkung ausüben kann. Es kommt dieses in gebirgigen Gegenden vor.

Das Wasser ist durch große Gewalt etwas zusammendrückbar. Durch den Druck einer Atmosphäre wird es um 50 Millionstel bei 0°, um 44 bei 53° (Seewasser um 41 bei 0°) seines Volumens zusammengedrückt und bis zu einem Drucke von 100 Atmosphären ist die Verminderung seines Volumens ziemlich der Pressung proportional.

Trotz der sehr geringen Zusammenpressung, welche das Wasser erleidet, beträgt die nur durch das Eigengewicht verursachte an Stellen, wo das Meer seine größte Tiefe, 7 500 m, erreicht, doch etwas über 140 m. Die Pressungen sind in größeren Meerestiefen so beträchtlich, daß dort gefüllte Flaschen zerplatzen, wenn sie emporgezogen werden.

Für die gewöhnlichen Zwecke der Praxis ist das Wasser als gänzlich unzusammendrückbar zu betrachten und es beruht auf dieser Eigenschaft zum größten Teil seine Anwendung zum Betriebe hydraulischer Motoren und zur Fortpflanzung von Pressungen.

d) Wird das Wasser durch fortgesetztes Erwärinen unter beständiger Vermehrung seines Volumens in der Temperatur erhöht, so tritt ein Zeitpunkt ein, von welchem an eine weitere Temperaturerhöhung nicht mehr möglich ist und wo jede noch hinzugefügte Wärmemenge zur Dampf-eutchickelung verbraucht wird. Die Temperatur, welche nicht überschritten werden kann, wenn sich unser Kochgefüß auf einem mittleren Breitengrade in der Höhe des Meeresspiegels befindet, ist der Siedepunkt unserer Thermometer (100° C. oder 80° R).

Der Dampf nimmt als solcher iiu Augenblick seiner Entstehung einen 1 700 mal größeren Raum ein, wobei gleichzeitig so viel Wärme gebunden wird, wie erforderlich ist, um die zehnfache Gewichtsmenge Wasser von 0° auf 53,7° C. zu bringen. Wird der Dampf wieder zu Wasser verdichtet, so wird auch die gebundene Wärme wieder frei. Hierauf beruhen die Zentraldampfheizung und die Dampfkochapparate.

1 kg Dampf von 100° würde ausreichen, um 5,37 kg Wasser von 0° C. bis auf 100° oder 53,7 kg Wasser von 0° C. bis auf 10° C. oder endlich 537 kg Wasser von 0° C. bis auf 1° C. zu erwärmen.

Der genaue Siedepunkt ist von dem Luftdrucke abhängig. Es läßt sich daher ein Thermometer an Stelle des Barometers zum Höhenmessen gebrauchen. Zu diesem Zwecke stellt man sogenannte Thermobarometer oder Hypsothermometer her, deren Skalen nur das Intervall von 85— 101⁰ C. umfassen, aber noch Temperaturschwankungen von ¹/i₀o⁰ C. erkennen lassen. Die Höhe (h) eines Berges in Metern erhält man nun nach Kupfer durch Multiplikation der Differenz der Siedepunkte am Fuße (t,) und an der Spitze (t₂), die zu gleicher Zeit gemessen sind, mit 300 oder k — 300 (ti —1₂).

Daß Wasser bei geringerer Temperatur als 100° C. sieben kann, läßt sich durch folgendes Experiment zeigen:

Man erwärme Wasser in einem Kochfläschchen bis zum Sieden, nehme es dann vom Feuer und verkorke es. Kehrt man es nun um, daß der Korken nach unten kommt, so wird ein Aufkochen noch mehrmals erzielt werden können, wenn kaltes Wasser auf die Flasche gegossen wird. Die Erklärung dieses Vorganges ist in der Kondensierung der entstandenen Wasserdämpfe und der damit verbundenen Erniedrigung des auf dem Wasserspiegel lastenden Druckes zu suchen.

ooo

Die Fmsslgkeitshaut und der sphäroidale Zustand.

Der Zusammenhang der einzelnen Flüssigkeitsteilchen beruht auf der gegenseitigen Anziehung oder Kohäsion. Jedes Teilchen im Innern einer Flüssigkeit erleidet von allen Seiten gleiche Anziehung, dagegen werden die an der Oberfläche vorhandenen Teile nur von den darunter befindlichen beeinflußt und nicht nach oben gezogen. Es wird dadurch eine eigenartige Spannung in der obersten Molekülschicht entstehen, welche die letztere in eine elastische zähe Haut, die sogenannte Flüssigkeitshaut, verwandelt.

Legt man eine etwas angefettete Nähnadel auf die Oberfläche eines ruhigen Wasserspiegels, so hat man die beste Gelegenheit, die elastische Flüssigkeitshaut zu betrachten. Die Nadel liegt auf dieser Haut, wie auf einer festen Decke, läßt sich durch einen Magneten nach jeder Richtung bewegen, ohne unterzusinken. Das Gewicht der Nadel bewirkt auf die Wasserfläche eine Depression, bis das Gewicht der Nadel gleich dem Gewichte der verdrängten Flüssigkeit ist.

Vielen Insekten wird durch die zähe Flüssigkeitshaut das Laufen auf dem Wasser ermöglicht. Von diesen zeigt uns Figur 3 die Wasserlaufwanze (Hydrometra stagnorum) und den Taumelkäfer (Gyrinus). Noch merkwürdiger als diese beiden ist die dort noch abgebildete Teichschnecke (Limnaeus stagnalis), denn dieselbe gehört zu den Lungen-atmern, muß demnach an die Oberfläche des Wassers steigen, um Luft zu schöpfen. Sie hängt sich nun nach Art der Deckenläufer an die Flüssigkeitshaut, bohrt dann ein Loch durch dieselbe und verweilt in dieser Stellung Luft ein- und ausatmend, bis sie durch eine unwillkommene Wellenbewegung abgerissen wird und zu Boden sinkt. Sogleich kriecht sie auf einen Schilfhalm, um wieder ihre schwebende Stellung einzunehmen.

Eine noch viel eigentümlichere Erscheinung als die Flüssigkeitshaut ist der sphäroidale Zustand oder das Leidenfrostsche Phänomen. Bringt man eine geringe Menge von Wasser oder einer anderen Flüssigkeit auf eine glühende Metallfläche, so tritt kein Sieden ein, sondern es bildet sich ein Tropfen, der lustig umherwirbelt und allmählich durch Verdunsten verschwindet. Dies läßt sich nun dadurch erklären, daß sich zwischen dem Wassertropfen und der Metallfläche eine Dampfschicht bildet, deren Spannung so groß ist, daß sie dem Atmosphärendrucke und dem Gewichte des Tropfens das Gleichgewicht hält. Vermindert man unter der Luftpumpe den Atmosphärendruck, so genügt eine geringere Dampfspannung und somit auch eine geringere Temperatur der Metallplatte (bis herab zu 100°), um den sphäroidalen Zustand zu erzeugen.

Läßt man die glühende Metallfläche langsam abkühlen, so wird die Spannung des Dampfes abnehmen, bis sie nicht mehr den Tropfen tragen kann — bei Wasser gehört hierzu eine Plattentemperatur von 171° —; es findet nun Berührung des Metalls und der Flüssigkeit und im selben Augenblicke eine heftige Dampfentwickelung, verbunden mit dem Umherschleudern der Flüssigkeitsteile, statt.

Daß der tanzende Tropfen nur eine geringe Temperatur haben kann, läßt sich durch Wiederholung des folgenden Faradayschen Experimentes zeigen. Man bringe ein Gemisch von fester Kohlensäure und Äther in einen glühenden Platintiegel, tröpfle dann etwas Quecksilber hinein, so wird es in dem glühenden Tiegel gefrieren. Dieses Experiment erklärt zugleich die zuerst von Liebig wissenschaftlich behandelte Thatsache, daß man die reine feuchte Hand in geschmolzenes Blei oder dünnflüssiges Eisen eintauchen kann ohne dieselbe zu beschädigen.

Zweites Kapitel.

Fortpflanzung des Druckes im Wasser und Druck

des Wassers.

cjOo

i6

Fortpflanzung des Druckes im Wasser.

Durch die bereits hervorgehobene leichte Verschiebbarkeit der Flüssigkeitsteilchen. in Verbindung mit der vorausgesetzten Unzusammendrückbarkeit, pflanzt sich jeder auf eine Flüssigkeit ausgeübte Druck im Gegensatz zu den festen Körpern, welche denselben nur nach einer Richtung fortleiten, nach allen Richtungen fort und zwar mit außerordentlicher Geschwindigkeit.

Wenn z. B. in einem mit Wasser gefüllten Gefäße (Fig. 4) ein dichtschließender Kolben A einen Druck auf die Flüssigkeit ausübt, so wirkt derselbe sowohl auf die Wandungen des Gefäßes, wie auch auf den Kolben B genau mit derselben Kraft auf eine Fläche von derselben Größe. Ist die Fläche des Kolbens B doppelt so groß, wie diejenige des Kolbens A, so ist auch der Druck auf denselben 2 mal so groß als der durch A ausgeübte.

Die Fortpflanzung des Druckes ist ganz unabhängig von der Form des Gefäßes. In Fig. 5 und 6 wird der auf den einen Kolben A ausgeübte Druck ohne Verlust auf denjenigen B übertragen und ebenso in Fig. 7. Läßt man den Kolben A durch ein Gewicht niederdrücken, so hat jeder der Kolben B CD E genau denselben Druck nach auswärts auszuhalten. wenn der Durchmesser derselben gleich groß ist. Es läßt sich daher mit Hilfe eines mit Wasser gefüllten verschlossenen Gefäßes eine Pressung ganz beliebig vervielfältigen, indem man, wie in Fig. 4, einen kleinen und einen großen Kolben anbringt. Sovielmal die Fläche des größeren Kolbens größer ist, als diejenige des kleinen, ebenso vielmal größer als der auf den kleinen Kolben ausgeübte Druck ist die Kraft, mit welcher der große Kolben herausgepreßt wird. Auf dieses Prinzip gründet sich die Hydraulische Preste (Flg. 8). Dieselbe besteht aus 2 mit Wasser gefüllten Preßcyliiidern A und B (Fig. 8), mit 2 Preßkolben JE und J (Fig. 9). Der Kolben H, auf welchem der Preßtisch C aufliegt, hat einen 10 bis 20 mal größeren Durchmesser, also eine 100 bis 400 mal größere Fläche als der Kolben J des Pumpencylinders.

Mit Hilfe des letzteren wird nun durch Auf- und Niederdrücken des Hebels Gr (Fig. 8) Wasser aus einem Gefäße K in den Cylinder A der Presse gepreßt und da der Kolben H 100 bis 400 mal größere Flüche hat, als derjenige J, so wird der Druck auf denselben 100 bis 400 mal größer als die Pressung auf den Kolben J mittelst des Hebels Gr. Auf diese Weise läßt sich die auf dem Preßtisch C liegende Ware sehr stark zusammenpressen.

Bezeichnet man den Druck des kleinen Kolbens mit p, den des großen mit P und die entsprechenden Flächen mit f und F, so wird die Gleichung bestehen:

i-bihd

1)

d. h. die Drucke auf die Flächeneinheit sind bei beiden Kolben gleich groß. Aus dem kleinen Cylinder wird die Wassermenge fs verdrängt, wenn s der Hub ist, und in den großen Cylinder hineingepreßt. Wird nun der Hub des großen Kolbens mit 8 bezeichnet, so läßt sich diese Wasserbeförderung durch die Gleichung

fs = FS

darstellen. Aus derselben folgt: 2) oder in Worten, die Kolbenwege verhalten sich umgekehrt tote die Kolbenflächen.

Führen wir dieses Verhältnis in 1. ein, so ergiebt sich:

oder

3)

P S = p s.

Da man nun unter Arbeit in der Mechanik das Produkt aus Kraft und Weg in der Richtung der Kraft versteht, so läßt sich die letzte Gleichung aussprechen:

Die verrichtete Arbeit ist ebensogroß wie die eingeleitete.

Dieser Satz ist das Prinzip von der Erhaltung der Arbeit.

Wie große Kräfte durch eine Hydraulische Presse ausgeübt werden können, zeigt eine zum Heben eines Gewichtes von 1144000 kg beim Bau der Brücke über den Menaykanal verwendete. Es ist ferner bekannt, daß dieses ungeheuere Gewicht in einer Sekunde 2 mm gehoben wurde und daß sich die Durchmesser der Kolben wie 1 zu 20 verhielten.

Um die Kraft zu bestimmen, welche durch den kleinen Kolben einzuleiten ist, muß Gleichung 1. benutzt werden. Dieselbe ergießt:

p-4

und durch Einsetzung der bekannten Werte

l²

x = 1144000-Gleichung 2. giebt uns nun den zugehörigen Weg:

20²

2860.

GQ

Ul

h-bj hrj

20²

8 = 0,002- v

0,8 m.

Die eingeleitete Arbeit ist demnach

ps = 2860-0,8 = 2288 "kgm

und die verrichtete

PS = 1144000 - 0,002 = 2288 "kgm.

Die Bezeichnungsweise "kgm (Sekundenkilogrammeter) bedeutet, daß die davor stehende Zahl angiebt, wieviel kg in der Sekunde einen m hochgehoben oder wieviel kgm in der Sekunde geleistet werden. Da nun 75 "kgm eine Pferdestärke sind, so erhalten wir die von der Dampfmaschine, welche den kleinen Kolben unserer Presse bewegen muß, zu leistenden Pferdestärken, deren Zahl durchgängig mit N bezeichnet werden soll, wenn wir 2288 durch 75 dividieren, oder es ist

— 30,51 PS. 75    '

2288

Die Pferdestärke ist, wie aus dem Gesagten hervorgeht, eine Arbeit und keine Kraft. Aus diesem Grunde soll der Ausdruck Pferdekraft vermieden und dafür immer Pferdestärke oder in Abkürzung PS gebraucht werden.

Zu bequemen Umrechnungen diene die folgende Tabelle, welche die Werte einer PS in den verschiedenen Landesmaßen enthält:

1 PS = 75 "kgm = 4500 'kgm in Metermaß.

1 PS = 500 Sekundenfußpfunde — 30000 Minutenfußpfunde in schweizer Maß,

1    „ — 542 Sekundenfußpfunde — 32550 Minutenfußpfunde in

englisch Maß,

1 „ — 472 Sekundenfußpfunde — 28300 Minutenfußpfunde in französisch Maß,

1    „ — 424 Sekundenfußpfunde — 25420 Minutenfußpfunde in

wiener Maß,

1    „ — 510 Sekundenfußpfunde — 30600 Minutenfußpfunde in

rheinländisch Maß,

1    „ — 560 Sekundenfußpfunde — 33 600 Minutenfußpfunde in

württembergisch Maß.

Vergleich der Pferdestärken verschiedener Länder.

England    Österreich    Preußen    Sachsen    Baden    Württemberg

w . ...    1 PS = 550    IPS = 430    1 PS — 480    1 PS — 530    1 PS = 500    1 PS = 525

Fußpfd.    Fußpfd.    Fußpfd.    Fußpfd.    Fußpsd.    Fußpsd.

/ö i. b. Sek. i. d. Sek. i. d. Sek. i. d. Sek. i. d. Sek. i. d. Sek. Kgm    =76,041    =76,119    =75,325    =75,045    =75,000    =75,204

"kgm    "kgm    "kgm    "kgm    "kgm    "kgm

1    -0,9863

1,0139    1

1,0149    1,0010

1,0043    0,9905

1,0006    0,9869

1,0027    0,9890

CO CO

CO GO

CO O

0,9895

0,9859

0,9880

0,9957

1,0095

1,0105

0,9994

1,0133

1,0143

1,0037

co co

co co

1,0021

A t—L I—L I—l. k-L I—L

'©'©©'©"©'© © O © ^ h-L O K) © rfx 03 © ^3 02 03 CO CO

0,9973

1,0112

1,0122

1,0016

0,9979

§ 5a.

Definition der Pferdestärke.

Die Bezeichnung einer Pferdestärke als Arbeitsgröße von 75 "kgm stammt aus der Zeit der Erfindung der Dampfmaschine und stellt die wirkliche Arbeitsleistung eines englischen Pferdes jener Rasse dar, wie sie nur in den englischen Steinkohlenbergwerken in dieser Kraft und Ausdauer vorkommen.

Im Vergleiche mit der wirklichen mittleren Leistung unserer Pferde ist eine mechanische Pferdestärke ⁶/₃ der Leistung eines Pferdes bei längerer Arbeitszeit, indem ein Pferd nicht über 45 "kgm Arbeit verrichten kann, wenn es auch, wie z. B- an einem Göpel, alle 2 Stunden abgewechselt wird.

Unter einer Pferdestärke versteht man aber immer die mechanische Pferdestärke von 75 "kgm und sagt dabei abgekürzt oft blos Pferd statt Pferdestärke.

Eine Kraft von 60 Pferden ist daher immer gleich 60 Pferdestärken, ä 75 "kgm.

Die Kraft eines Menschen rechnet man allgemein nur 7 "kgm bei einer lOstündigen Arbeitszeit und bei einer Art der Arbeit (z. B. Kurbeldrehung), welche dem Bewegungsmechanismus des Menschen ordentlich angepaßt ist.

Es gehen also ³/₆ einer mechanischen Pferdestärke auf 1 lebendiges Pferd und auf ß¹^ Menschen hinsichtlich der Arbeitsleistung; oder 1,66 Pferde und 11 Menschen auf eine mechanische Pferdestärke.

Die nachfolgende Tabelle enthält für eine verschiedene Anzahl Menschen und Pferde den zugehörigen Wert der mechanischen Pferdestärke.

Vergleichstabelle über die Arbeitsleistung des Menschen, des lebendigen und des mechanischen Pferdes.

Anzahl

der Menschen oder Pferde

Arbeitsleistung

der Menschen "kgm

der

lebendigen Pferde "kgm

der

mechanischen Pferde "k<rm

HN«^LO0I>aO5OH (MCO ^lOÖ^OCOOiO

tH r—I r—I r—I r—I rH y—4 r—I r—! 7—i CO (70

I—k f—L I—l 1 )—L )_1 )—l

OiOWOiCOMÜ^OOM^^lOCCOJCDDOÜiOOMrfi.^]

T—I

Ü'OÜ'OÜIO^OO’OÜ'OÜ'OO'OÜIOÜ'OÜ’

Q0CJ^Wt0MKOC0C0Q0<10505^^WWMH

O K/ CJt -O o t\3 CJ1 o ro U' -<] C O¹ «vl C tv D¹ -v]

o<oo»Oüioaioü'ooioaioo'ocj'Oü'oa<

Anzahl

der Menschen oder Pferde

Arbeitsleistung

der Menschen "kgm

der

lebendigen Pferde "kgm

der

mechanischen Pferde J'kgm

OiOOtOOOOOOOO

COCO^^iOCDI>COQOC

tH cm

OiOOtOOOOOOOO

^^oOHiO(MO:cDCOOO

OiOOtOOOOOOOO iot>oc<itoOtOOiooo CO uO OO O W D- H CD O IO O

2 250

2    625 3000

3    375 3 750 4300

5    250 6000

6    750

7    500 15 000

§ 6.

Gleichgewichtszustand einer Flüssigkeit.

Um den Gleichgewichtszustand einer sich selbst überlassenen Wassermasse zu finden, kann man sich vorstellen, sie sei keiner anderen Kraft als der gegenseitigen Anziehung' ihrer Teile unterworfen.

Ist c in Fig. 9 der Mittelpunkt des gebildeten Wasserkörpers, so werden die in gleichen Entfernungen a und b liegenden Teilchen gleich stark angezogen und üben mithin auch auf die unter ihnen liegenden Teilchen gleichen Druck aus, werden umgekehrt von den über ihnen befindlichen Teilchen m und n gleich stark gedrückt.

Aus diesem Grunde wird die Gleichgewichtsgestalt eine Kugel werden und müssen gleichmäßig beanspruchte Teilchen auf Kugelflächen liegen. Die Kugel hat bekanntlich auch die Eigenschaft, daß sie bei der kleinsten Oberfläche den größten Rauminhalt hat.

Wenn die Dimensionen der betreffenden Kugel groß sind (wie bei der Erde, welche einen Durchmesser von 1720 geographischen Meilen hat), so kann man ein verhältnismäßig kleines Stück ihrer Oberfläche als eben betrachten. In gleicher Tiefe an verschiedenen Stellen, also ebenfalls in einer Ebene, herrscht gleicher Druck.

Ist auch die Tiefe der betrachteten Wasserschicht auf der Erdoberfläche nur gering, so daß man auf die Änderung der Anziehungskraft (die gegen den Mittelpunkt zu wächst) keine Rücksicht zu nehmen braucht, so ist der Druck auf ein beliebiges Wasserteilchen nur dem Gewichte der auf ihm

ruhenden Wassersäule gleich, d. h, dieser Druck richtet sich nur nach der Tiefe unter der Oberfläche und nach der Dichte der Flüssigkeit.

Betrachten wir eine Flüssigkeitsmasse, welche der Anziehung der Erde nicht unterworfen ist und sich frei im Raume in Rotation befindet, so wird dieselbe keine Kugel, sondern ein Rotationsellipsoid, oder auch ein dreiachsiges Ellipsoid bilden. Die wirkenden Kräfte sind die Centrifugal-kraft und die Anziehung nach dem Mittelpunkt der Masse.

Die hierher gehörigen Gleichungen und mathematischen Entwickelungen finden sich bei Kirchhofs a. et. O. S. 125 und in dem Handbuche der Physik von Dr. A. Winkelmann, S. 366.

Bei den Himmelskörpern sind die Verhältnisse noch etwas anders, da nicht eine Anziehung aller Teile durch den Mittelpunkt stattfindet, sondern die Teile sich gegenseitig anziehen. Es ergeben sich ebenfalls Ellipsoide, jedoch mit größerer Abplattung. Eine merkwürdige Erscheinung sind die bekannten Ringe des Saturn, da unter gewöhnlichen Umständen nach Maxwells Untersuchungen Ringe keine Gleichgewichtsfiguren sind. Es können demnach die Ringe des Saturn nur aus ungeheuer vielen kleinen Körperchen bestehen, die sich durch gegenseitige Anziehung in ihrer relativen Lage halten.

Bringt man einen großen Öltropfen an eine vertikale Achse, die sich in einer Mischung von Wasser und Alkohol vom spezifischen Gewichte des Öles befindet und versetzt die Achse in Rotation, so treten je nach der Winkelgeschwindigkeit mehr oder weniger abgeplattete Ellipsoide auf. Wird die Rotationsgeschwindigkeit immer mehr gesteigert, so kann man im Kleinen die Entstehung des Weltalls nachahmen.

Befindet sich eine Flüssigkeit in einem vertikalen engen Rohre, wie z. B. das Quecksilber im Barometer, so wird die Oberfläche nicht mehr horizontal bleiben, es treten drei verschiedene Kräfte, die Schwerkraft, die Kohäsion der Flüssigkeitsteilchen untereinander, und die Adhäsion zwischen Flüssigkeit und Gefäßwand, zur Wirkung. Ein beliebiges Element der Flüssigkeitsoberfläche wird sich senkrecht stellen zu der sich dort ergebenden Resultierenden der drei Kräfte. Ist diese Resultante nach außen gerichtet, was durch Überwiegung der Adhäsion eintritt, so erhalten wir eine konkave Oberfläche oder einen konkaven Meniskus — wie beim Wasser — ist die Resultante nach innen gerichtet, so wird die Oberfläche konvex — wie beim Quecksilber.

Wird ein aufrechtstehendes cylinderförmiges Gefäß (Fig. 10), in welchem sich eine Flüssigkeit befindet, in Rotation versetzt, so vertieft sich die Oberfläche kegelartig. Durch die unten gegebene Ableitung findet man,

daß die Flüssigkeitsoberfläche ein Rotationsparaboloid ist, dessen erzeugende Parabel die Gleichung

CO ^

y — ^ (2 x² — r²) oder y

hat, wenn der Koordinatenanfangspunkt derjenige Punkt ist, in welchem die Rotationsachse den horizontalen Flüssigkeitsspiegel trifft, wenn w die Winkelgeschwindigkeit, n die Umdrehungen in der Minute, r den Radius des Cylinders und g die Erdbeschleunigung (9,8088 m) bezeichnet.

Aus der letzten Gleichung folgt für die Scheiteltiefe

2,7952

10000

n² (2 x² — r²)

2,7952

oder n

Vz

= 59,812 — r

10000

Hierin sind z und r in Metern zu messen.

Wählt man einen Glascylinder von bestimmtem Radius, z. B. r — 5 mm, und füllt denselben bis h — 80 mm mit einer Flüssigkeit an, und berechnet zu verschiedenen Werten von n die zugehörigen von z, so kann man umgekehrt den Apparat zum Messen von Umdrehungen gebrauchen.

Die größte Umdrehungsgeschwindigkeit, welche man mit einem bestimmten Cylinder messen kann, wird eintreten, wenn z = h ist, oder der Scheitel der Parabel den Boden berührt. Bei der praktischen Konstruktion eines solchen Geschwindigkeitsmessers muß man in Betracht ziehen, daß die untere Messingfassung noch Raum in Anspruch nimmt und man demnach zum bequemen Ablesen unten noch eine Flüssigkeitshöhe h — z = 10 mm haben muß.

Wollten wir mit dem näher bezeichneten Cylinder n — 1000 Umdrehungen messen, so erhielten wir eine Scheiteltiefe 2,7952 10000

Der Cylinder müßte folglich eine Länge

2 z + 10 = 2 • 70 + 10 = 150 haben und bis zur Höhe h = 80 mit Flüssigkeit gefüllt sein. Geben wir dem Cylinder eine geringere Höhe als 140 mm, so kann der Scheitel nicht so tief sinken.

Der Erfinder und Bauer der nach dem erörterten Prinzipe konstruierten Gyrometers oder Tachometers (Fig. 11), Herr Dr. O. Braun (Gyrometerfabrik, Berlin W., 62), verwendet als Füllflüssigkeit Glycerin und hat den Geschwindigkeitsmesser durch entsprechende Wasserbeimischungen auf den Ungleichförmigkeitsgrad geaicht').

- 0,005² -1000000 = 0,06988 m - 69,88 mm.

mm

‘) Abhandlung von C. Fehlert in bet Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure 1894 S. 475.

Fig. 11b zeigt eine Anordnung des Apparates für horizontale Wellen. Wurden wir den Cylinder in sehr schnelle Rotation versetzen, so verwandelt sich das Rotationsparaboloid annähernd in einen Cylinder.

Von dieser Eigenschaft rotierender Flüssigkeiten findet sich in der Technik eine wichtige Anwendung, nämlich die Herstellung des sogenannten Zentrifugalgusses.

Auf ein Flüssigkeitselement im Abstande x von der Rotationsachse (Fig. 10) wirkt in horizontaler Richtung die Zentrifugalbeschleunigung x co² und in vertikaler Richtung die Erdbeschleunigung g. Zerlegen wir jede dieser Beschleunigungen in zwei Komponenten, wovon die ersten mit der Normalen auf das Flächenelement und die zweiten mit diesem selbst zusammenfallen, so müssen sich die letzteren im Falle des Gleichgewichts aufheben, d. h.:

x oj² sin « = g cos « ober tg a

_g

X ft)²

Für diese trigonometrische Tangente in einem Kurvenpunkte können wir aber setzen

wodurch wir die Differentialgleichung der Kurve

g    .    ,    ft)² i

oder dy = —xdx

dx

erhalten.

dy y cu²

Hieraus ergiebt sich, wenn der Scheitel als Koordinatenanfangspunkt gewählt ist:

ft)²

2g

Um die Lage des Scheitels zu bestimmen, vergegenwärtige man sich, daß die herausgeschleuderte Flüssigkeitsmenge oder der durch die Fläche A gebildete Rotationskörper gleich der hinzugekommenen oder gleich dem durch die Fläche B gebildeten Rotationskörper ist.

Ci + Ba = Ai + Ci.

Bezeichnen Av Bu Ci die zu den Flächen A, B, C gehörigen Rotationskörper, so besteht die Gleichung

Ci + Bl ist ein Cylinder vom Radius r und der noch unbekannten Höhe zx, sein Inhalt beträgt darnach

Oi 4- BA = r² n Zj.

Für den Inhalt kx -f- Cj des Rotationsparaboloides findet man:

Ai + Ci =J x² 7i d y y = o

oder unter Benutzung von Gleichung 1.

y = z + zi

a'+c-/,₂

— 2y d y = — (z + Zl)².

ti>2

y — o

Dem Punkte der Parabel, welcher z + Zi als Ordinate hat, gehört die Abscisse r zu, es besteht demnach die Gleichung

2. z + zt =

ft)²

welche unsere letzte Gleichung in

2g

r²,

Al-j-Cl

ft)² 71

—— r⁴

4g

verwandelt.

60

1 1/3 600 -9,808 n — r y    n*

59,812,,

--V z.

r

r² n² oder

in die letzte Gleichung eingesetzt werden. Daraus folgt _ 4 7i² n² r² __ 2,7952 Z~ 3600-4g ~ 10 000

Eine andere Gestalt als im vorigen Beispiel nehmen die Niveauflächen an, wenn die Drehachse horizontal ist. Für die Praxis ist z. B. die Bestimmung der Niveanflächen in den Zellen eines rückenschlächtigen Wasserrades von Wichtigkeit. Für jene Flächen erhalten wir nach Fig. 127 Tafel 7 die Gleichung

c.

Führen wir diesen Wert von Ax + Ct und den früher gefundenen von Cx + Bx in die Gleichung + Cx =    + Cx ein, so ergiebt sich

tu² 71

r² 71 Zi :

Nach Gleichung 2. ist dann auch

4g

O)²

r⁴ oder zl — ~— r².

4g

O)²

z — -— r².

4g

Will mau an Stelle der Winkelgeschwindigkeit co die Umdrehungen in der Minute n einführen, so muß

2 7i n

x² + y²-2^-y =

Wir haben es demnach mit Kreiscylindermantelflächen zu thun, deren Achse über der Drehachse M des Wasserrades im Abstande

MO = A

a>²

(-«)

vrn/

liegt und dieser parallel ist. Die Konstante c ist der Abstand des Schnittpunktes des Cylindermantels mit der Vertikalen durch M von diesem Punkte.

Nach Fig. 127 muß im Falle des Gleichgewichts die Bedingung erfüllt sein tu² x cos « = (g — u)² y) sin ce.

Hieraus folgt:

(i)² x

dy

tgR = dx

und nach entsprechender Umformung durch Integration:

g — o)² y

C.

x2 + y²-2^y =

§ 7.

Bodendruck.

Der Boden eines Gefäßes wird einen bestimmten Druck von der darüber befindlichen Flüssigkeit erleiden. Um die Größe desselben zu be-

Nach unten zu einer unendlich nahen Ebene fortschreitend, wird sich der Druck durch die zwischen liegende dünne Wasserschicht vermehren und für die gesamte horizontale Bodenstäche zuletzt sein Maximum in dem Werte Fhy erreichen.

stimmen, vergegenwärtige man sich den Satz aus § 5, welcher aussagte, daß sich der Druck in einer Flüssigkeit nach allen Richtungen hin gleichmäßig fortpflanzt.

In der horizontalen Ebene AB Fig. 12 wird also der Druck für alle Flächenelemente konstant sein und zwar gleich dem Gewicht der darüber befindlichen Wassersäule also — f dhy, wenn y das Gewicht der Volumeneinheit ist.

Es ist demnach der Bodendruck von dem Gesamtgewicht der Flüssigkeit unabhängig.

Dieser Satz wurde von Pascal das hydrostatische Paradoxonx) genannt.

Es läßt sich experimental sehr gut durch die Pascalsche Wage

beweisen.

Eine der verschiedenen Konstruktionen derselben ist in Fig. 13 abgebildet. Gewichte pressen mittelst einer Hebelübersetzung eine Metallplatte von unten gegen einen kurzen Metallcylinder, wo die verschiedenen Pascalschen Gefäße ausgeschraubt werden können. Ein Zeiger ist an einer seitlich befindlichen Stange angebracht, mit dem der Flüssigkeitsstand in den Gefäßen gekennzeichnet werden kann. Statt der Gewichte zum Ausgleich des Flüssigkeitsdruckes kann man auch eine Feder oder eine Quecksilbersäule benutzen.

Welche Form (Fig. 13 ab cd) der Pascalschen Gefäße man auch wählt, man wird immer'denselben Bodendruck erhalten, wenn sie bis zu derselben Höhe h gefüllt werden.

Ein sehr lehrreiches Experiment, das man mit dem beschriebenen Apparate ausführen kann, ist das folgende.

Man setze das Gefäß 13 d auf, lege so viel Gewichte auf die Schale, daß man das Wasser bis zu einer bestimmten Marke einfüllen kann. Alsdann lasse man das Wasser gefrieren. Hierauf kann man die Gewichte soweit vermindern, daß sie dem Gewichte des entstandenen Eises gleich werden.

Durch eine geringe Flüssigkeitsmenge kann hiernach bei entsprechender Wahl des Gefäßes ein verhältnismäßig großer Druck ausgeübt werden.

y nagn gegen, do£« die Meinung, paradox bezeichnet hiernach etwas anscheinend widersinniges.

Pascal sprengte z. B. eine starke Tonne dadurch, daß er ein langes Rohr aufsetzte und dasselbe noch mit Wasser anfüllte.

Reals Extraktpresse beruht auf demselben Gesetze, ebenso die Wassersäulenmaschinen.

O0O

GO

Das Gesetz der kommunizierenden Röhren.

Die Lage der beiden Wasserspiegel in verschiedenen Teilen desselben Gefäßes, Fig. 14 Tafel 2, muß nach dem Vorhergehenden ebenfalls eine horizontale Fläche bilden, d. h. der Zustand des Gleichgewichts kann erst dann eintreten, wenn an jedem Punkte ein Wasserteilchen von allen Seiten gleich stark gedrückt wird. Da der Druck nur einzig und allein von der Druckhöhe abhängt, diese also nach allen Richtungen derselben Horizontalen gleich sein muß, so müssen in allen Teilen eines Gefäßes die Wasserspiegel in ein und derselben horizontalen Ebene liegen. Dieses wird auch noch dann der Fall sein, wenn die verschiedenen Theile eines Gefäßes weit auseinander liegen oder wenn, wie in Fig 15, die einzelnen Gefäße durch eine Röhre mit einander verbunden sind. Die Höhe der Wasserspiegel muß in diesem Falle auch dann noch genau dieselbe bleiben, wenn in Fig. 15 das Rohr oder Gefäß A durch ein solches von der Form B oder C ersetzt wird.

Von dieser Eigenschaft der sogenannten kommunizierenden Röhren haben bereits die alten Römer bei ihren zahlreichen und oft sehr großartigen Wasserleitungen Gebrauch gemacht. So zeigt Fig. 16 den eigentümlichen Aquädukt der von den alten Römern erbauten Wasserleitung bei Pila. Statt das Thal durch einen ungeheuren und kostspieligen Aquädukt zu überbrücken, wurde das Wasser in Reservoirs zu beiden Seiten des Berges durch kommunizierende Röhren geleitet, indem das eine Bassin nur wenig tiefer gelegt wurde, um das Durchfließen des Wassers zu erleichtern. Fig. 17 zeigt eine derartige auch von den alten Römern gebaute Überbrückung dreier Thäler, ebenfalls mit Hilfe von Reservoirs, a b c d, welche durch kommunizierende Röhren mit einander in Verbindung gesetzt waren. Dieser Thalübergang befindet sich in der Nähe von Lion.

Die zu überschreitenden Thäler waren bis 800 m lang und 70 bis 100 m tief und hätten zur Überbrückung in gerader Linie unübersteigliche Hindernisse dargeboten. In hohem Grade interessant ist dieser dreifache Thalübergang, bei welchem die Reservoirs in Ermangelung größerer Röhren, welche die Römer nicht herstellen konnten, durch eine ganze Menge enger

Röhren mit einander verbunden waren. Dieser Thalübergang kann jetzt noch als ein vorzügliches Muster gelten.

Das Gesetz der kommunizierenden Röhren findet noch Anwendung bei der Konstruktion der Wasserstandsgläser, der Springbrunnen, der artesischen Brunnen und der Kanalwage.

z/on

CO

Flüssigkeitsdruck auf eine Seitenfläche.

Um den Druck auf ein Stück einer Gefäßwand zu bestimmen, denken wir uns dasselbe in sehr viele kleine Quadrate zerteilt. Der Druck auf ein solches (Fig. 19) wäre dann, wenn die Fläche desselben mit f und ihre Entfernung vom Wasserspiegel mit x bezeichnet wird

p = fx-y.

Für die in Betracht zu ziehende Fläche F würde sich dann ein Druck P ergeben, welcher gleich der Summe der Drucke auf die Flächenelemente ist:

P = 2p — 2fxy — y2fx,

wobei das Zeichen 2 zur Andeutung der Summierung gebraucht wird.

Da sich nun nach den Lehren der Mechanik der Schwerpunkt eines Körpers oder einer Fläche so verhält, als wenn in ihm die ganze Masse konzentriert ist, so können wir für die Summe der Momente 2fx das Gesamtmoment Fx₀ setzen.

Dadurch ergiebt sich:

P —Fx„/,

oder in Worten der Druck einer Flüssigkeit auf einen beliebigen Teil der Gefäßwand ist gleich dem Gewicht eines graden Flüssigkeitscylinders, dessen Grundfläche die gedrückte Fläche und dessen Höhe der Abstand ihres Schwerpunktes vom Flüssigkeitsspiegel ist.

Es ist hierbei, wie Fig. 19 veranschaulicht, keineswegs nötig, daß der Schwerpunkt in der Fläche selbst liegt.

Der Druck auf die Seitenwand abed Fig. 20 eines mit Wasser gefüllten Gefäßes ist nach dem Obigen gleich dem Flächeninhalte ab-be der betreffenden Wand, multipliziert mit dem Abstand des Mittelpunktes dieser Wand unter dem Wasserspiegel.

Der Schwerpunkt der Wand liegt nun an der Kreuzungsstelle der Diagonalen, oder in der Mitte der Fläche und Höhe ab bei g und es ist somit der gesuchte Druck — a b • b e • a g, beziehentlich gleich dem Gewichte einer Wassersäule von diesem Inhalte.

Man kann sich dieses auch auf folgende Weise verdeutlichen: Man stellt sich a b als unendlich schmalen Streifen vor und in sehr viele kleine Teile geteilt und sucht nun den Druck auf jeden einzelnen Teil. Macht man g h = a g, so kann die Linie gh den Druck der Wassermenge ag auf g vorstellen; ebenso kann b c den Druck auf b vorstellen, wenn bc — ab. Das ganze Dreieck abc stellt alsdann den Gesamtdruck auf ab vor, welcher Streifen unendlich schmal ist. Der Gesamtdruck auf die Fläche abed wird daher durch ein Prisma dargestellt, dessen Grundfläche gleich dem Dreieck abc und dessen Höhe ad gleich der Breite der Wand ist. Ist H — der Hohe ab, B — der Breite ad, so ist der H²B

Inhalt des Prismas —    - •

Bei einem Würfel ist H = B und der Druck auf die Seitenfläche

H³

— i, also halb so groß als derjenige auf die Bodenfläche des Würfels.

Der Druck auf eine jede ebene Gefäßfläche oder auf ein unendlich kleines Flächenelement ist immer normal oder rechtwinklig auf dieses Flächenstück, da der Druck sich mit derselben Intensität nach jeder Richtung fortpflanzt. Dies zeigt Fig. 18.

Wird von dem Druck, den eine Fläche erleidet, nur eine Komponente gebraucht, z. B. Ph in Fig. 21, so erhalten wir den Wert derselben aus der Formel für P

Ph = P sin a = F sin ax₀y oder Ph = Fvx₀y.

Für die Vertikalkomponente würde sich ergeben:

Pv = Fhx₀y.

Da wir für jede andere Richtung einen ähnlichen Ausdruck erhalten und wir auch jede krumme Fläche aus einer großen Zahl ebener Flächenelemente entstanden denken können, so gilt allgemein:

Die Komponente des Druckes nach irgend einer Richtung ist gleich dem Gewichte einer Wassersäule, deren Grundfläche die Projektion der gedrückten Fläche senkrecht zu jener Richtung und deren Höhe der Schwerpunktsabstand vom Flüssigkeitsspiegel ist.

Beispiele.

1. Es ist der Druck auf die Seitenwand ab eines mit Wasser ganz angefüllten Gefäßes Fig. 22 zu bestimmen. Die Höhe des Gefäßes a — 2,30 IN; die Breite b — 3,74 m; die Länge c — 4,25 IN.

q2 Tk

Der Druck auf die Vorderfläche ab ist — _y y, wenn y das Gewicht der Volumeneinheit Wasser bezeichnet. Sind die Dimensionen in

2.    Wie groß ist der Bodendruck desselben Gefäßes? Der gesuchte Druck wird gleich sein der Höhe der über dem Boden befindlichen Wassersäule mal den Flächeninhalt der Bodenfläche, multipliziert mit dem Gewichte der Volumeneinheit Wasser.

Es ist also:

P = a • b • c • y = 2,3 • 3,74 • 4,25 • 1000 = 36558,5 kg.

3.    Ist die Wand des Gefäßes, auf welche der Wasserdruck bestimmt werden soll, ein Paralleltrapez nach Fig. 23, so hat man sich daran zu erinnern, daß die Höhe des Wasserdruckes durch den Abstand des Wasserspiegels vom Schwerpunkt i der fraglichen Fläche gemessen wird.

Man hat daher hier zunächst die Lage des Schwerpunktes, d. h. den

Abstand zi desselben aufzusuchen. Dieser Abstand ist

Za + 2c\ b

2,5 + 3,4    3

Der Flächeninhalt der Gefäßwand ist nun

(a+c)b_(2,5 + 3,4)l,8 2 2

2,5 + 2 • 3,4 1,8 nn„0 ¹    • ™ = 0,942 m.

— 5,31 qm.

Also der Wasserdruck auf diese Fläche

P = a^t-²°~-a-+C• b • y = 0,942 • 5,31 • 1000 = 5002 kg. a + c 3    2

Steht das Gefäß umgekehrt, mit der breiten Seite nach oben, so ist z die Höhe des Wasserdruckes und man hat zur Bestimmung dieses Wertes folgenden Ausdruck

_ c-f- 2a b z — '

Die Berechnung ergießt P = 3096 kg.

§ 9a.

Druck des Wassers auf Schützen und Schleusen.

Eine in einem Wasserlauf angebrachte Schütze (Tafel 2, Fig. 24) erleidet durch das Wasser einen Druck P, der sich nach dem vorigen Paragraphen durch die Formel

P = i ba²y

der Gefäßwand in Metern ausgedrückt, so muß y das Gewicht eines Kubik-meters sein. Das Gewicht von einem Kubikmeter Wasser ist aber gleich 1000 kg und also der Druck P ans die Flüche ab:

2,3 - 2,3 - 3,74

a²b

₂ -. 1000

. 1000 = 9892,3 kg.

bestimmt, wenn b die Breite der Schütze und a die Höhe des gedrückten Stückes bezeichnet.

Der Druck auf ein einzelnes Feld ABEE₄ (Fig. 25) einer Schütze ist

b Xj²

Pi = } Xj b Xj y

2~r'

Der Druck nimmt, wie früher bewiesen, nach unten hin zu. Bei großen Fallen oder Schleusen müssen deshalb horizontale Querriegel EE1; GGj, KKi, J J[ angebracht werden, deren Abstände immer kleiner werden sollen mit der zunehmenden Tiefe, wenn ein jedes- derselben dem nämlichen Drucke ausgesetzt sein soll.

Bezeichnen wir den Gesamtdruck auf die Schütze wieder mit P, so muß:

die    Fläche    A E Ej B    den    Druck ^ ,

Pn pH pH

erhalten, oder

Pi

b Xi²

b h²

Pa

P₈ =

P4 =

Y = i? =

2 V ~ * P = * ~~2~ b x₃²

-T*

bx,s    , v

2 y—v —    2

& i<s

Y,

= |P =

b h²

CM

7,

Hieraus folgt

xi=hj/j, xa =h j/|, xz = h \/\, xt = 2h Schreiben wir diese Ausdrücke

X₂ = |/li - - b,

cm wo

x₃ = |/h    ^hff

so sehen wir, daß

x, die mittlere Proportionale zwischen h und -

lO

h,

*2 „ x₃ „

X* „

ist. Daraus ergießt sich folgende Konstruktion. Man schlage über AC (Fig. 25) einen Halbkreis, teile AC in 5 gleiche Teile, ziehe durch die Teilpunkte Horizontale und verbinde die Schnittpunkte lg k₂ k₃ k₄ dieser

Meißner, Hydraulik. I. 2. Stuft.

h,

und des Kreises mit A, so sind diese Strahlen die gesuchten Längen. Es ist z. B. Ak₂ die mittlere Proportionale zwischen AC und AL oder zwischen h und | h, weil A k₂ C ein rechter Winkel ist. Die Punkte EG-KJ erhält man durch Schlagen der punktierten Kreisbogen um A durch ki k₂ k₃ k₄.

Der Druck auf ein Schleusenthor (Fig. 26) in der Kanalrichtung gemessen, ist ebenfalls durch die Formel

?! = | b a² y

gegeben. Der durch die schiefe Stellung der Schleusenflügel erzeugte Seitendruck läßt sich in folgender Weise bestimmen. Der Druck P auf ein einzelnes Thor steht senkrecht auf dasselbe und wird irgend wo in der Mittellinie M angreifen. Ziehen wir diese Druckrichtungslinien und verlängern die Schleusenthore über ihre zusammenstoßende Kante, so erhalten wir dadurch zwei Punkte DD,. Von diesen aus tragen wir nun in Richtung und Größe die Kraft P ab und verbinden I) und D, mit C und Cx. Zerlegen wir nun die Kräfte P nach den gezeichneten Komponenten DS, D Si bezw. D, 8, Di Si und verschieben dieselben in ihrer Richtung soweit, daß C und G die Angriffspunkte werden, so erhalten wir durch Zusammensetzung die Resultierenden R, welche den Druck des Schleusenthores auf die Seitennischen oder Seitenstützstellen angeben. Ist der Winkel ACB = AC,B = a, so ist C₁AD₁ = CAD = 2a als Außenwinkel an der Spitze des Dreiecks G A C. Somit wird P = Dj S cos (90 — 2 a) -(- Ü! Sx cos (90 — 2 a) = 2 S sin 2a

oder

2 sin 2 a

8 =

Nun ist R = 2 8 cos a und durch Einsetzung des eben gefundenen Wertes für 8

R =

2 P cos a P cos a

P cos a

2 sin 2 a sin 2 a 2 sin a cos a 2 sin a

Beispiele.

1.    Wie groß ist der Druck P des Wassers auf eine Schütze von b = 5 m Breite bei a — 1,5 m Wassertiefe?

P = ^ba²y = !- 5-1,5² • 1000 *) — 5625 kg.

2.    Wie groß ist der Wasserdruck auf eine Schütze (Fig. 28), welche von beiden Seiten vom Wasser gedrückt wird, wenn die Wassertiefe einerseits 3 m, andererseits 4 m beträgt und die Breite der Schütze = 2 m ist ?

J) Für y ist 1000 kg als Gewicht eines Kubikmeters Wasser eingesetzt.

und auf die Fläche ac

Bei diesen Verhältnissen hat man sich zu hüten, nur etwa den obern Teil ab als dem Wasserdrücke ausgesetzt zu betrachten.

Der Druck auf die Fläche b a beträgt

Px = 2 • 1 • 0,5 • 1000 = 1000 kg

P₂ = 2 • 3 • 2,5 • 1000 — 2 - 3-1,5-1000 = 2-3.1.1000 = 6000 kg. Für dieses Stück a c ist demnach als Druckhöhe der Teil a b maßgebend. Für den Gesamtdruck erhalten wir

P = Px + P₂ = 1000 + 6000 = 7000 kg.

Ebenso kommt man zum Ziele, wenn man den Druck auf jede Seite der Schütze besonders berechnet und den kleinern vom größern abzieht.

So ist z. B. der Druck auf die rechte Seite der obigen Schütze

Pz = 2 • 4- 2 • 1000 = 16000 kg und derjenige auf die linke Seite P₄ = 2 • 3 • 1,5 • 1000 = 9000 kg.

Also die Differenz oder der wirksame Druck = 7000 kg

wie oben.

3. Welches ist der Seitendruck E eines Schlensenthores gegen die Widerlager, wenn (nach Fig. 27) die Neigung a der Thore gegen die Querlinie Ct C = 18° beträgt und die Länge des Thores = 5 m, die Wassertiefe aber 2,3 m ist?

Der Druck auf ein Schleusenthor ist

P = 1 • 5 • 2,3² • 1000 = 13225 kg.

Der Seitendruck nach der Richtung Di Sx, Dt S, DS, D S, ist

= 11250 kg.

13225 _ 13225 2 sin 2 a 2 sin 36“    2*0,588

Der schiefe Seitendruck E dagegen wird

21399 kg.

13225    13225

2 sin«

2 • sin 18°    2 • 0,309

§ io.

Der Druckmittelpnnkt ebener Flächen.

Den Angriffspunkt des Gesamtdruckes einer Flüssigkeit ans eine Fläche nennt man den Druckmittelpunkt dieser Fläche. Er ist jedoch mit dem Schwerpunkt der gedrückten Fläche nicht zu verwechseln. Dies sagt uns schon eine kurze Überlegung. Nehmen wir z. B. eine rechteckige Fläche in der Seitenwand eines Gefäßes, bei welcher bekanntlich der Schwerpunkt in halber Höhe liegt, so wird doch die untere Hälfte bedeutend stärker gedrückt, als die obere. Es wird sich demnach auch der Druckmittelpunkt in der unteren Hälfte befinden.

Der Mittelpunkt des Wasserdruckes auf eine Fläche ist nun derjenige Punkt, an welchem die Fläche unterstützt werden müßte, um dem ganzen auf dieselbe einwirkenden Drucke das Gleichgewicht halten zu können.

Zur Bestimmung des Druckmittelpunktes der geneigten Fläche F (Fig. 29) denken wir uns die Wand um die Achse A A drehbar, es wird dann der Gesamtdruck P an dem zu suchenden Hebelarme § angreifen und ein eben so großes drehendes Moment erzeugen, wie die einzelnen Drucke p mit ihren entsprechenden Hebelarmen x oder als Formel

P£ = A(px).

Durch Einsetzung der Werte von P und p erhält man

oder

Hieraus folgt

oder auch

Fx₀yf = Afx yx,

F x₀ sin a y § = A f x sin ayx y - sin a • F x₀f = y • sin a ■ A f x². _ Afx²

— T^T'

.._ Trägheitsmoment der Fläche F in Bezug auf AA

b Statisches Moment der Fläche F in Bezug auf AA

Für die einfachern Formen der Fläche F findet man in Taschenbüchern die Trägheitsmomente in Bezug auf eine durch den Schwerpunkt gehenden Achse angegeben.

Von den Trägheitsmomenten eines Körpers oder einer Fläche, die auf parallele Achsen bezogen sind, ist stets dasjenige für die Schwer-puuktsachse das kleinste. Bezeichnet man dieses mit J, so ist ein beliebiges andere der erwähnten Trägheitsmomente — J -f- F x₀², wenn xo der Abstand der neuen Achse von der Schwerpunktsachse ist.

Durch Berücksichtigung dieses Satzes erhält unsere obige Formel

J + Fxo

die Form

/r.-

oder

Fx₀

1)

2)

Fxo

Zur Berechnung der Entfernung >/ des Druckmittelpunktes von der zu AB parallelen Schwerpnnktsachse erhalten wir die Gleichung

P'/ = -py_

F x₀ sin a y r; — A f x sin cryy As xy

FxT

oder

und hieraus

3)

Um den Weg zu bestimmen, welchen der Druckmittelpunkt beschreibt, wenn die gedrückte Fläche um die zum Wasserspiegel parallele Schwerpunktsachse C C gedreht wird, bestimmen wir den vertikalen Abstand !'.

Multiplizieren wir die Gleichung 2. für die Strecke 8 0 mit sin a, so findet man:

! sin a — x„ sin a

J sin² a

F x₀ sin a' 8 0' = !' — x'o — sin² a

~ Fx'o*

und bei vertikaler Stellung der Wand

8 0, = !,

Es ist somit

SO'= 8 Oi sin² a.

In Fig. 29 ist über 8 Oi ein Halbkreis beschrieben, für die dort gezeichneten Punkte ist hiernach

8 0 — 8 Oi sin a, 8 0 —80 sin a,

8 0' — 8 Oi sin² a.

demnach

Diese Punkte entsprechen der vorhin gefundenen Bedingung, es ist daher 0 der Druckmittelpunkt für die geneigte Fläche oder mit andern Worten: Der Druckmittelpunkt bewegt sich auf einem Kreise der über die Entfernung des Schwer- und Druckmittelpunktes bei aufrechter Stellung der Ebene beschrieben ist, wenn die Fläche um ihre zum Wasserspiegel parallele Schwerpunktsachse gedreht wird.

Ist die gedrückte Fläche F ein Rechteck (Tafel 3, Fig. 51), welches mit einer Kante den Wasserspiegel berührt, so werden wir erhalten

TT + bh

bh⁸

CO! 13-

bh

oder

Der Druckmittelpunkt liegt demnach auf a/₃ der Höhe unter dem Wasserspiegel.

Liegt die oberste Kante um h₂ unter dem Wasserspiegel (Fig 57) und ist die Gesamthöhe bis zur Unterkante h,, so hat das Trägheitsmoment J den Wert

12

j — b (bi — h₃)³

und der gesuchte Abstand wird

b (hi—ha)

12

+b₍h₁—h.)(^py

b(hi-hoh,+ha

oder

fr;

V, 3_Y> 3

_ 2 nl -n2

¥ hx²—ha²*

Obwohl sich dieser Bruch noch durch — h₂ heben ließe, behalten wir den gefundenen Wert als den einfacheren bei, da die zweiten und dritten Potenzen aus Tabellen entnommen werden können.

Für die in Fig. 30 dargestellte Ellipse ergießt sich

a b³ —|- Ti a b x²

fr;

b²

und für den Kreis

7ra b x0 r⁴-j-7t r² x₀²

fr;

71 Y² X₀

Wollte man ohne Benutzung von Tabellen den Wert von £ für Fig 30 bestimmen, so müßte man wie folgt verfahren:

Die Gleichung der gezeichneten Ellipse lautet

y² i (xo — x)²

a²

b²

1.

Hiernach ist

und somit die nötigen Jntegrationsgrenzen

b ,_____________

Xi =x₀ — — j/a² — y²

= x₀ + -^-ya² —y²-Für das Trägheitsmoment J ergiebt sich nach der Figur

y = + a x = x₂

J = f    sd x d y (x — x₀)²

y = —a x —

+ “ b³    8

J=/dyl^(a2_y,) '

oder

X₂

und nach der Methode der partiellen Integration

J = 15 { 4 (a²- y²)f] +itfsv^-y*&y = i~sW² - y* d y.

Ferner ist

a²

Es soll Die Kraft bestimmt werden, welche erforderlich ist, um das in Fig. 31 dargestellte Wasserablaßventil für Weiher und große Reservoirs zu öffnen.

Die zu berechnende Kraft K greift am Hebelarm C D und der Wasserdruck P am Hebelarm 00 an. Es muß somit die Gleichung bestehen

n r

CB

K • C D = P • 0 C oder K = P™

Nun ist nach der Figur und den Erörterungen dieses Paragraphen

oc = so + sc

= 8 0, sin a + 8 C

= | — sin a + S 0 x₀

P — r² 7t x₀ y.

Führen wir die Werte von 0 C und P in die Gleichung für K ein, so ergiebt sich

1 r²

SC —I—-=--sin a

K = r² 7t Xq y

Durch Einsetzung dieses Wertes erhalten wir:

b³

a²

• — n = \ a b³ n.

Dies ist derselbe Ausdruck, den wir bereits oben verwendet haben.

¹ 4 x₀

CD

In einem besonderen Falle möge sich der Mittelpunkt 8 der Klappe 43' engl, unter dem Wasserspiegel befinden, der Durchmesser der Klappe 23", der Hebelarm 0 8 — 19" und CD — 22" betragen und die Klappe gegen den Horizont um einen Winkel a geneigt sein, dessen sinus — J/s ist.

Wenn wir in der für K entwickelten Formel die Längenmaße wie in unserm Beispiele in englischen Zollen wiedergeben sollen, so muß y durch das Gewicht eines Kubikzolles Wasser ersetzt werden. Da nun ein Kubikfuß Wasser 62,5 Pfund engl, wiegt, so haben wir zu setzen 62,5

lbs.

⁷ 12-12-12

Die gesuchte Kraft K beträgt hiernach

23² 7t

43-12-4

19-4

23²

r4-4-43.12-3

62,5

12-12-12 K = 6704,1 lbs.

Welche Kraft K muß an einem horizontalen Hebelarm von 1 m Länge angreifen, um die in Fig. 32 gezeichnete Klappe zu öffnen.

oder

22

Das zu erzeugende verdrehende Moment P ?; muß nach der unterm Strich befindlichen Ableitung f y x₀ r³ betragen oder es muß

und darnach

H = | y x₀ r8 yx₀r³

sein.

Haben wir für einen besonderen Fall die Werte x₀ — 3,5 m, r — 300 mm, 1 = 2 m, so wird

K = -

Ferner beträgt noch P =

1000.3,5.0,3³

31,5 kg.

0 3 ²7T

^ ~ 3,5 -1000 --- 494,8006

CZ

4 • 0,3 _ 0,4

71

0,1273.

Um den Druckmittelpunkt einer gekrümmten Fläche zu bestimmen, muß man die Drucke p auf die Flächenelemente nach drei aufeinander senkrecht stehenden Achsen in px py pz unter Berücksichtigung des auf Seite 31 stehenden, zu Fig. 21 gehörigen Satzes zerlegen und die Lagen der resultierenden Kräfte Px — 2’px, Py = 2 py, Pz — 3 pz feststellen. Gehen die Kräfte durch einen Punkt , so ist dies der Druckmittelpunkt und sie lassen sich zu einer Resultierenden, P, vereinigen. Ist dies jedoch nicht der Fall, so giebt es keinen Druckmittelpunkt und der Wasserdruck erzeugt ein drehendes Kräftepaar.

Nach Fig. 32 kann man schreiben

r + x

P r) = yyd yyd x y (x₀ + x)

oder weil

ist auch

= y X„ Jy d y 2 x.

0

Nach der Kreisgleichung ist x durch ]/r¹ — y¹ zu ersetzen und somit

Prj = yx₀j2j dy|/r¹ — y¹ o

= i y xo r².

Für die Entfernung des Druckmittelpunktes von der Drehachse ergiebt sich hiernach

oder

_2 y x₀ r²_2 y x₀ r² 2

V ~    3 P — 3 r¹ n x„ y

§ 10 a.

Graphische Bestimmung der Lage des Druckmittelpnnktes eines Rechtecks.

In Fig. 324 auf Tafel 26 stellt A B die um den Winkel a geneigte ebene Wand dar, in welcher ein Rechteck so liegt, daß die beiden horizontalen Seiten die Abstände hx und h₂ vom Wasserspiegel haben.

Nach § 10 ist dann die Entfernung des Druckmittelpunktes vom Wasserspiegel

r==

₂ hi³ — h₂ ³

‘ V-h2¹

Ferner ergiebt sich aus der Figur

— h₂

BO

sin a

ober

BO =

r-

h,-

da sin a

hi —

AB

- ist.

Setzen wir für seinen Wert in die Gleichung für BO ein, so erhalten wir

hi -f- h

hx ¹ -f hx h₂ -j- h₂

hi — h₂

— h₂

A B 2 hi² — hi h₂ — h₂ ¹ 3 (hi — h₂) (hi -j- h₂)'

AB 2 hi + h2 3 " h! + h₂ "

Der zuletzt entwickelte Wert ist bekanntlich die Entfernung des Schwerpunktes 8 des Trapezes ACDB von der Linie BD, wenn AC = hi und BI) = h₂ ist. Hiernach ergiebt sich die folgende Konstruktion für den Druckmittelpunkt. Man errichtet die Lote CA und DB auf AB und mache sie gleich bezw. h₃. Bestimme den Schwerpunkt 8 des Trapezes ACDB als Schnitt der Linien KJ und (JE. Die Punkte K JE Gr sind dadurch erhalten, daß

B K = K D, AJ = JC, DE = AC und AG = DB

gemacht wurde.

Von 8 wird zum Schluß ein Lot auf AB gefällt, dessen Fußpunkt 0 der gesuchte Druckmittelpunkt ist.

§ 10b.

Drnckmittelpuukt der horizontalen Wasserpressungen auf eine gekriinlmte Fläche.

Das in die Fig. 324 Tafel 26 eingezeichnete Trapez BMNL stellt die Horizontalkomponente Ph des auf A B ruhenden Wasserdruckes P dar, da B L die Vertikalprojektion von A B ist. Der Angriffspunkt von Ph wird in 0' liegen. Eine nach Fig. 325 aus einer Reihe gegeneinander geneigter Rechtecke bestehende Fläche A B wird demnach einen horizontalen Druck Ph zu erleiden haben, der durch das rechtwinklige gleichschenklige Dreieck ACD dargestellt ist und dessen Angriffspunkt in der Entfernung | AC vom Wasserspiegel entfernt liegt.

An diesem Ergebnis wird natürlich nichts geändert, wenn alle Rechtecke eine unendlich kleine Höhe haben, oder mit andern Worten, wenn AB eine gekrümmte Fläche ist.

Drittes Kapitel.

Gleichgewichlserscheimmgen.

§ ii.

Spezifisches Gewicht.

Diejenige unbenannte Zahl, welche anzeigt, wievielmal so schwer ein beliebiges Volumen eines Körpers als das gleiche Volumen Wasser bei ->-4° C. ist, heißt das spezifische Gewicht dieses Körpers. Die nachfolgende Tabelle») enthält das spezifische Gewicht der gebräuchlichsten Materialien.

Tabelle über die spezifischen Gewichte.

Benennung der Körper

Spezifisches Gewicht

Benennung der Körper

Spezifisches Gewicht

Aluminium,

„ gegossen. . „ gewalzt . . „ gehämmert „ rein bei 4° Blei, gegossen . . „ gewalzt . . „ gezogen . . Eisen, gegossen . „ geschmiedet gezogen. . ., Stahl . . „ rein . . . . Gold, gediegen. . » gegossen. . „ gezogen . .

Iridium.....

Kohlenstoff:

Diamant. . Graphit. . . Gaskohle. . Holzkohle. . Braunkohle. Kupfer, gegossen. „ gehämmert. „ gezogen . . „ elektrolytisch Magnesium . . .

Natrium.....

Nickel, gegossen . „ gehämmert „ gezogen . .

*) Zum größten Teile nach dem Handbuche der Physik.

2,56

2,66

2,75

2,58

2,6

11,34

11,38 11,36 11,41 7,0-7,71

7,8

7,7

7,6—7,8

7,86

7,8

18,6—19,2

19,3

19,4

•19,3

22,42

3,52

2,17-2,33 2,25

1,9

1,5

1,2-1,4 1,5 8,8-8,9 8,88—8,95 8,93—8,96

8,92

8,95

1,74

0,98

8,28

8,67 8,9

9,20

Benennung der Körper Spez. Gewicht

Benennung der Körper

Spez. Gewicht

Platin, gegossen . . „ gehämmert . „    gezogen .    .    .

Quecksilber bet 0° . .

„ fest bei —39° Schwefel, rhombisch. „    monoklin.

„    amorph .

„ elektrolytisch Wismut.......

20,9-21,5

21,2—21,7

13,596

14,19

21,3

2,07

1,96

21,2

1,92-2,06 1,98 10,4—10,5 10,56

Kalkstein. Kork . . . Kreide . . Marmor . Meerwasser Milch . . Öl, Lein-.. Rüb-Paraffin .

Pech . . .

10,62

10,48

10,53

GO CM CO

10,53

Messing:

gegossen . gelb < gewalzt. . gezogen . .

rot

00 GO 00 005^

GO

weiß.......

Bronze:

Holzfaser, fest Alabaster . .

Asbest .... Asphalt . . .

Basalt....

Zement . . . Feldspat. . . Flußspat. . .

Glas, grünes „ Spiegel-„ Kron-„ Krystall Flint-Granit ....

Gips ....

„ gegossen u. trocken Kalk, gebrannt . . . Kalkspat.......

8,78

8,89

8,74

8.83

1,5

CD CM^ GO" GO"

>8,8

GO

2,61—2,7

2,1-2,8

1,12

2.7— 3,2

2.7- 3,1

2^6

2,46

2,7

2,9

3,15—3,9 2,5-3,1

2,3-3,2

2,72

Petroleum ....

Porzellan ....

Quarz ......

Salzsäure, rauchend Salpetersäure,

konzentr.....

Sand, trocken . .

„ feucht. . . Sandstein ....

Schiefer .....

Schwefelsäure, konzentr. ... Schwerspat. . . . Serpentin ....

Stearin.....

Steinsalz.....

Terpentin .... Thon... . . Thonschiefer . . .

Wachs......

Ziegelstein .... Ziegelmauer mit Kalkmörtel . . Bruchsteinmauer:

frisch

trocken.... Sandsteittmauer:

frisch

trocken

Lehm.......

Erde,lehmige,frische „    „ trockene

Eis bei 0° .... Wasser bei 4° . . Atmosphär. Luft .

iO(MCO^HDI>GO

lO CM r—^<D_00^l>- CM^CD^CM^

cm" cT cm" cm" —T t-T o" o" o" r-T o" cm" cm" r-T

CO

lO^iO^O^CO^CD^ H i—l CM CM

CO

CR

MOtOP O JO JO JO jfn ^

"cd "qo "gc "oo Io "cd "ol    "oo

CO JO

Vi "oo

CM

cc

•<]

CO JO

"oi

o 05 OG

"qi .O

CO

CO

o J-¹ J-* Z— JO J-* JO JO

o o Id "cd "o "u¹ "o "hJ

OCH WC5WOO HCC

00

GO

CJi

Tso

CO

Hölzer.

Grenzen

grün

Mittelwert

trocken

Grenzen

Mittelwert

Ahorn . Apfel . Birke Birne . Buche Buchsbaum Eiche. . Erle . . Esche. . Fichte Kiefer . Lärche . Linde Mahagoni Nußbaum Pappel . Pockholz Tanne . Weide .

0,89-1,05

0,95—1,26

0,80-1,09

0,90-1,12

0,93-1,28

0,63—1,01

0,70—1,14

0,40-1,07

1,38-1,03

0,52—1,00

0,61-0,87

0,73-1,07

0,77-1,23

0,73-0,97

h—i I p> p¹ p h-1 CD

CD

CD

Ol

io iO

H 00 05 I> I> I> t>

r-T CD cT cT cT cT cT

-O p I P I I

00 o I cd I I

Cn

0,61—0,74

0,66—0,84

0,51-0,77

0,66-0,83

0,69-1,03

0,42-0,64

0,57—0,94

0,35—0,60

0,31-0,74

0,44-0,80

0,32—0,59

0,64—0,70 0,34-0,52 1,26-1,33 0,37 - 0,60 0,43—0,63

o p p p o ^ p p p p p p p p p p p p p "cr ’bt Ins "oo "05 "o "o5 "o* Vi "cn "cd "oo Vi V] V] Vi "05

00 O* OO CO Ol

H^I>300GC^a05Q00JCn<lOiO

§ 12.

Der Satz vom Austrieb.

In einer Flüssigkeit möge ein irgendwie gestalteter Körper schwimmen, es ist zu untersuchen, welche resultierende Kraft durch die Flüssigkeit auf ihn ausgeübt wird.

Denken wir uns an irgend einer Stelle ein vertikales Prisma herausgeschnitten (Tafel 3, Fig. 33), dessen horizontaler Querschnitt f sehr klein ist, so erhalten wir als vertikale Komponente des Flüssigkeitsdruckes nach § 7 oben f'b₂ y und unten f ht y. Beträgt das Gewicht des Prisma k, so entsteht ein von unten nach oben gerichteter resultierender Druck p = f (hx — h₃) y — k.

Für den ganzen Körper erhält man hiernach

P — 3 p = 3f (hi — h₂) 7 — 3k,

oder

1)

P = V 7 — K .

Worin V = 3f (hi —li₃) das Volumen des Körpers oder der verdrängten Wassermasse und K = 3k das Gewicht des Körpers bezeichnet.

KS = K — Yy

Die Größe auf der rechten Seite unserer Gleichung mit umgekehrtem Vorzeichen kann man auch das scheinbare Gewicht Ks des Körpers nennen, weil die Kraft P genügt, um den Körper zu halten. Deshalb schreibt man auch

2)

Hiernach verliert jeder untergetauchte Körper so viel von seinein Gewicht wie die von ihm verdrängte Wassermasse schwer ist. Die Größe Yy, welche eine nach oben gerichtete Kraft darstellt, nennt man den Auftrieb. Aus Gleichung 1. folgt, daß der Körper an seiner Stelle verharrt oder im Wasser schwebt, wenn Yy — K ist, weil dadurch die hebende Kraft P — 0 wird, daß er aufsteigt, wenn V/)> k, also P> 0 und daß er sinkt, wenn Yy < k, demnach P < 0 oder nach unten gerichtet ist.

Wollte man noch den Druck der Atmosphäre, die sich über der Flüssigkeit befindet, berücksichtigen, so würde sich derselbe zu dem Drucke auf der obersten und zu dem auf der untersten Fläche des Körpers addieren und demnach dann wieder in der Schlußgleichung wegheben.

§ 13.

Kraftanwendung zum Aufziehen der Schützen.

Nach besonderen, über diesen Gegenstand angestellten Versuchen ist die Reibung zwischen einer Schütze und ihrer Unterlage für den ersten Augenblick des Hebens, also für den Anfang der Bewegung — 0,65 und während des Aufziehens selbst — 0,25 des ganzen Druckes P der Schütze auf ihre Unterlage, d. h. des Wasserdruckes auf die Schütze.

Es ist demnach diese Kraft zum Aufziehen K — 0,65 P -j- dem Gewichte Gr der ganzen Schütze, weniger dem Gewichte D des von ihr verdrängten Wassers.

K = 0,65 P -f- Gr — D.

Natürlich muß bei der Übersetzung an der Aufzugvorrichtung eines Schützenzuges die zum Anfang der Bewegung erforderliche Kraft berücksichtigt werden. Nimmt man zur Überwindung des ersten Widerstandes einen Druck auf die Kurbel von 30 kg an, so wird dieser Druck während des übrigen Teiles des Aufziehens nur

0,25P + G-D 0,65 P + G — D

betragen. Jedoch ist hierbei zu bemerken, daß die Kraft andererseits durch die Abnahme des Auftriebes wächst.

Bei Anwendung von Schrauben- und Schneckenrädern hat man zu berücksichtigen, daß ungefähr ²/s bis */₅ des Druckes auf die Kurbel zur Überwindung der Reibungswiderstände verbraucht werden und daß man daher die Übersetzung 3 bis 4 mal so groß machen muß, als dies sonst zu geschehen hat. Bei Anwendung von gewöhnlichen Stirnrädern und konischen Getrieben treten nur geringe Reibungswiderstände auf. Bei Schützenaufzügen sind nun dieselben selten genau und sorgfältig ausgeführt, den Einflüssen der Witterung unterworfen und die Achsenlager werden auch nicht regelmäßig geschmiert. Aus diesen Gründen wendet man ’/s bis l/a größere Übersetzungen an.

Eine Schützenfalle soll durch einen Schneckentrieb Fig. 300 gehoben werden. Sie wiegt mit Beschlägen und Zahnstangen 1250 kg, hat 4,5 m Länge bei 9 cm Dicke und steht unter einem Wasserdrücke von 2 m. Hiernach wird sie 0,09 • 4,5 • 2 • 1000 — 800 kg Wasser verdrängen und zu ihrer Hebung eine Kraft

K=0,65 P+G - D=0,65 • 4,5 • 2 -1 • 1000+1250—800 = 6 300 kg erfordern.

Nach dem oben Gesagten müssen wir eine dreimal so große Übersetzung wählen als bei Anwendung von 30 kg Druck auf die Kurbel zum Heben der Schütze erforderlich ist. Dadurch erhalten wir eine

3 • 0^00 __ ggofache Übersetzung.

Hat nun die Schnecke ein einfaches Gewinde und das Schneckenrad 80 Zähne und ferner die Kurbel einen viermal so großen Halbmesser als das in die Zahnstange eingreifende, mit dem Schneckenrade auf derselben Achse sitzende Stirnrad, so ist die Übersetzung nur eine 4- 80 — 320fache. Zwischen Kurbel und Schnecke muß demnach noch eine Räderübersetzung eingeschaltet werden.

Man hat bei der Befestigung des Schützentriebsupports wohl darauf zu achten, daß auch zum Herablassen der Schütze eine ganz bedeutende Kraft erforderlich ist, wenn es sich um einen großen Wasserdruck handelt. Zu dem angeführten Beispiele wäre diese Kraft K₂ = 0,25 P +1) — G = 0,25 - 9000 + 800 — 1250 = 2077 kg, also über */, der zum Heben erforderlichen Kraft. Jedoch ist sie nicht gleich so bedeutend, sondern wächst zu dieser Größe erst durch vollständige Eintauchung an, überschreitet sie aber noch wesentlich, wenn die Geschwindigkeit des gegen die Schütze anfließenden Wassers groß ist. Aus dem letztgenannten Grunde nimmt man bei der Konstruktion an, daß für das Öffnen und Schließen der Schützen dieselbe Kraft erforderlich ist.

§ 13a.

Drehschiitzen.

Wird die im letzten Paragraphen berechnete Kraft K durch eine ausgedehnte Wehranlage sehr groß, so konstruiert man bewegliche Aufziehvorrichtungen, die auf Schienengleisen laufen. Würde nun auch beim Schließen der Schützen die Antriebgestelle so stark beansprucht werden, daß ihre Verankerung mit zu großen Schwierigkeiten verbunden wäre, so wendet man gern Drehschützen mit vertikaler Achse an, besonders wenn ein Abschluß durch eine große Schütze bewerkstelligt werden soll.

Solche Drehschützen sind z. B. vor den Einläufen in das Turbinenhaus der Papierfabrik und Holzschleiferei in Perlen bei Luzern angewendet worden.

Die Schützen bestehen aus einer gewöhnlichen hölzernen Schützenwand von 9 cm Stärke bei einer ganzen Breite von 4,5 m. Diese ist an einer gußeisernen Achse von 105 mm Stärke in der Mitte festgeschraubt und hat vor sich eine Wasserhöhe von 1,35 und 1,80 m. Die Achse dreht sich in Lagern und trägt oben ein Schneckenrad von 1 m Durchmesser, in welches eine Schnecke von 270 mm Durchmesser und einfachem Gewinde eingreift. An der Schneckenachse von 60 mm Dicke sind an beiden Enden Kurbeln von 0,36 m Länge angebracht. An einer Stelle können diese Drehschützen von den im Innern des Gebäudes befindlichen Holländern aus reguliert werden, wobei das Regulierungsgetriebe 45 mm Durchmesser hat, da es mittelst konischer Räder*) von 22 und 44 Zähnen (10 n Teilung bei 75 mm Breite) rückwärts übersetzt.

Die untern Bodenlager der Drehschützen haben eine Bohrung von 105 mm und sind durch 25 mm dicken, 1,05 m langen, in die Betonmasse eingegossenen Ankerschrauben fest mit dem Fundament verbunden.

Die Bewegung solcher Drehschützen ist eine verhältnismäßig sehr leichte, indessen halten sie weniger dicht, als gut ausgeführte vertikale

!) Da konische Räder zur Übertragung auch bei Turbinenanlagen viel Verwendung finden, sei hier auf ein Instrument aufmerksam gemacht, welches mau bequem zum Zeichnen der Hilfskreise von beliebig großen Druckmessern gebrauchen kann. Eine Beschreibung desselben findet man an folgenden Stellen. Der praktische Maschinen-Konstrukteur von Uhland, 1894, Nr. 11. Der Mechaniker, 1894, Nr. 21. Dinglers Polytechnisches Journal, 1894, Heft 6. Zur Berechnung aller Zahnräder ist auch sehr gut zu benutzen: Hederich, Sammlung graphischer Konstruktionen aus dem Maschinenbau, Tafel 1. Graphische Bestimmung der Zahnraddimensionen. Mittweida 1894. Verlag von Schulze.

Ziehschützen, was indessen bei so großen Wasserbauanlagen nicht viel zu sagen hat.

Die Flügel, auf ivelche die hölzernen Schützen festgeschraubt sind, haben eine Dicke von 33 mm, eine Breite von 0,60 m. Die zugehörigen Schrauben sind 19 mm dick.

Um die zur Bewegung einer solchen Schütze erforderliche Kraft festzustellen, wollen wir zunächst den Wasserdruck auf die geschlossenen Flügel bestimmen. Derselbe beträgt

P = 1,8 • 4,5 - 0,9 -1000 = 7290 kg.

Der Reibungskoeffizient kann für die selten oder gar nicht geschmierten vertikalen Drehachsen zu 0,12 bis 0,10 angenommen werden. Mit dem ersten Werte erhalten wir eine Kraft

K 0,12 P = 0,12 -7290 = 875 kg, welche zum Öffnen der Schütze erforderlich ist.

Das auf den Achsen der Drehschützen angebrachte Schneckenrad hat 90 Zähne, somit ist bei eingängiger Schnecke die Übersetzung eine 90fache

875

= 29 kg.

90

und die zu übertragende Kraft beträgt 3 -

Mittelst eines Handrades vom 4fachen Durchmesser der Zapfen wird die durch den Arbeiter am Umfange des Rades auszuübende Kraft auf

29

^-=7 kg reduziert.

Je mehr sich übrigens die Schütze öffnet, um so weniger Fläche bietet sie dem durchfließenden Wasser dar und um so geringer ist die zu ihrer Bewegung erforderliche Kraft. Am leichtesten ist daher der Anfang des Schließens und am schwierigsten die erste Ingangsetzung beim Öffnen der Schütze zu bewerkstelligen.

§ 13b.

Holzstärke der Schützenzüge.

Bei einem jeden Schützenzuge hat das unterste Brett desselben den größten Wasserdruck auszuhalten und man hat daher hinsichtlich der Stärkeverhältnisse nur das unterste Brett zu berücksichtigen, welches die ganze Wassertiefe als drückende Wassersäule auszuhalten hat. Hierbei ist vorausgesetzt, daß alle Bretter gleich breit gemacht werden. Ist dies nicht der Fall, so müssen nach § 9a entwickelte Formeln mit benutzt werden.

Bezeichnen wir den auf dem untersten Brette lastenden gleichmäßig verteilten Wasserdruck mit P, die Länge des Brettes mit b, die Breite

Meißner, Hydraulik. I. 2. Auflage.

mit a und die Dicke mit d, wobei die Dimensionen tn Millimetern, die Kraft in Kilogramm zu verstehen ist, so erhalten wir nach der Festigkeitslehre die Formel

nd icO

kgi)

qmm

Hierin ist Kb der Bruchmodul für Biegung, d. h. die Spannung in

an der Bruchgrenze. Die Fasern eines auf Biegung beanspruchten Körpers werden nun teils gezogen, teils gedrückt, wir müssen daher für Kb den Bruchmodul für Zug Kz oder für Druck K einsetzen, je nachdem das betreffende Material weniger Zug oder Druck vertragen kann. Für Holz ist das letztere der Fall, daher ergiebt sich

D b ad- „

P - ---- = ß k.

o

Weil die bei der Biegung eines Brettes auftretende Druckbeanspruchung in der Richtung der Faser wirkt, so können wir setzen³)

L — 4,5 für Tannenholz,

K — 6,6 für Eichenholz,

Hierdurch erhalten wir für die Kraft, welche das Brett zerbrechen würde ad³ 8 6 b

ad³ 8

• 4,5 =

a-6

b

beziehentlich

ad³ 8

•6,6 —

• 8,8.

b 6

Begnügen wir uns mit 6facher Sicherheit, so kann das Brett einen Druck

ad³    ,    ad³ „

b    bezw.    2) P = ₍₎ -1,47

aushalten. Hiernach kann der Wasserdruck P bei Verwendung von Eichenholz annähernd um die Hälfte größer sein als bei Tannenholz. Wird die Höhe von Unterkante Brett bis zum Wasserspiegel h genannt und werden die Maße wieder in Millimetern gegeben, so ist der Wasserdruck

(h—    0,000001,

da 1 cbmm Wasser 0,000001 kg wiegt.

Setzen wir die Werte für P aus Gleichung 1) und 3) einander gleich, so ergiebt sich

1) - .

3)

P — ab

ist zu lesen kg pro 1 qmm.

1)    k§L ' qmm

Soll nun die Druckhöhe h — gemessen werden, so erhält die letzte Gleichung die Form

DO p

und die Breite b der Schütze in Metern

= ab

ce cm

•0,000001, oder h —

=1000000

»-Mir-

Hieraus berechnet sich die folgende Tabelle, deren Werte wir nach Gleichung 2) für Eichenholz um die Hälfte höher nehmen können.

Tabelle über die Holzdickt der Schützenzüge.

Drcke d

der

Bretter

Zulässige Druckhöhe h---bei 6facher Sicherheit für eine Breite b

der Schütze von

2 m 2,5 m 3 m 3,5 m

1 m 1,5 m

4 in

mm

30

45

60

75

90

105

120

ppppppp

'cd 'cd 'cn *05 4o 'P "o

O OC O Oi D5 DO O1 O CD Oi Q1<I 05

0000000 Ql V "oo "k> V* "O "o

^3 DO DO ^ 00 05

§ 14.

Größe der Eintauchung eines ans einer Flüssigkeit schwimmenden

Körpers.

Aus dem Satze vom Auftriebe folgt, daß jeder Körper, der leichter ist als ein gleiches Volumen Flüssigkeit, nur so weit in dieselbe eintaucht, daß die verdrängte Flüssigkeitsmenge an Gewicht ihm gleich ist.

Einige Beispiele für die Bestimmung der Eintauchtiefe mathematisch geformter Körper finden sich im folgenden Paragraphen. Diese Bestimmung wird viel umständlicher, wenn das Bildungsgesetz verwickelter oder gar nicht bekannt ist, wie z. B. bei einem schwimmenden Schiffe. In solchem Falle hilft man sich mit Annäherungen, zu deren Entwicklungen wir jetzt schreiten.

Zur Bestimmung vom Flächeninhalte und Volumina, deren Begrenzungen nach unbekannten Gesetzen gebildet sind, bedient man sich der sogenannten Simpsonschen Regel.

4*

Es sei der Inhalt der in Fignr 34, Tasel 3 dargestellten Fläche zu bestimmen. Wir teilen sie zuerst durch parallele Linien in eine gerade Anzahl Teile von gleicher Breite b. Das verlangte Flächenareal ist dann -A-i — f b [4 (h₀ + h₄) -j- 2 (b₄ -j- h₃) -]- h₂] oder allgemein für n Teile:

A] = § b [I (h₀ -J- h„) -(- 2 (hx —j— I13 —{— I15 —j- ... hn—3 -f- h„_i)

—|— Qi2 —j— h₄ —j— ... hn_4 Q— hn_2)]*

Für die Fläche zwischen h„ und h₃ ergießt sich nach der zweiten Simpson-schen Regel:

Az — h [h₀    3 (bx -)~ h₂) -j- h₃]

oder für eine durch 3 teilbare Zahl n:

Az = || b [(hg -)- h„) -j- 3 (hj —h₂ —)— h* —[— hg -|-... bn_₂ -J- hn__i) 2 (h₃ —h₆ —j— h₉ -j- .. h„_₃)].

Für die Fläche zwischen h₀ und h₂ benutzt man wieder die erste Regel: Ai = § b [y h₀ -)- 2 hx -)- 5 h₂J.

Zur Berechnung eines zwischen zwei benachbarten Ordinaten h₀ und h, liegenden Flächenstückes nimmt man noch die nächste dritte Ordinate h2 mit zur Hilfe und berechnet nach der dritten Simpsonschen Regel A3 == tV b [5 h₀ -f- 8 hi — ha].

Mit diesen drei Regeln läßt sich jeder Flächeninhalt berechnen. Hätten wir z. B. die Fläche in 17 Teile durch vertikale Ordinaten zerlegt, so könnten wir das Stück zwischen h₀ und h₁₆ nach der ersten und das zwischen h₁₆ und h₁₇ unter zu Hilfenahme von h₁₆ nach der 3. oder das Stück zwischen h₀ und hu nach der 1. und den Rest nach der 2. Regel berechnen.

Will man ein Volumen ausrechnen, so zerlegt man den Körper durch parallele horizontale Schnitte in gleichen Abständen a in Teile, rechnet den Inhalt der einzelnen Schnittflächen von unten beginnend [= f₀, — fi, = f₂.... = f„] aus und bestimmt nun das Volumen nach einer der Simpsonschen Regeln zu

V = | a [| (so 4- f„) + 2 (fi + f₃ + ... f„ _ 0 4- (f₂ + f₄ + .. fn _,)] oder zu

V = I a [(so + fn) + 3 (fl + f₂ + f₄ + f₆ + . . . fn - 2 + fn -1)

2 (f₃ Z- so -(- fg -[- . . fn—3)]

oder endlich nach einer dieser Regeln in Verbindung mit: ' v yj a [5 so —[- 8 fi — fa].

Um nun zu bestimmen bei welcher Eintauchung der Körper schwimmt, rechnen wir uns die Volumina

Aufgaben über das spezifische Gewicht und die Schwimmtiefe der Körper.

53

V^VsalMo + Sfx-fa],

V2 = a [y so 2 fi i fa],

V₃ = | a [so -(- 3 fj -(- 3 fa -j- f₃],

\ 4 = •§• a [1 so -)- 2 fl -[- f*2 "f" 2 fg -f- y fl]

bis V„ aus, und tragen dieselben wie in Fig. 35 nach einem beliebigen Maßstabe auf, verbinden die Endpunkte durch eine Kurve, die Deplacementsskala genannt wird, und suchen diejenige Abscisse 01) auf, welche ein Volumen V der Flüssigkeit vom Gewichte des Körpers darstellt. Alsdann ist E 0 die gesuchte Schwimmtiefe.

§ 15.

Aufgaben über das spezifische Gewicht und die Schwimmtiefe

der Körper.

1. In ein vertikal stehendes cylindrisches Gefäß von 0,10 m innerer Weite werden 12 kg Quecksilber gegossen. Welche Höhe wird dasselbe im Gefäße einnehmen, wenn das spezifische Gewicht des Quecksilbers — 13,596 ist?

25 - 3,141592 = 78,54 qcm.

Die Bodenfläche des Gefäßes beträgt 10²tt

Das Quecksilber gebraucht einen Raum

— 882,612 cbcm, steht

12000

13,596

es nun bis zur Höhe h über dem Boden, so muß h • 78,54 den nötigen Raum ergeben oder es muß

11,24 cm sein.

_882,612

~ 78,54

2. Welches ist das Volumen und das Gewicht eines Cylinders aus Eichenholz, dessen Länge 2,5 m und dessen Durchmesser 0,3 m beträgt? Das spezifische Gewicht des Eichenholzes werde zu 0,95 angenommen.

Der Inhalt des Cylinders wird

V = 0,3² ' - 25 = 176,71 cbdm '    4

und sein Gewicht

betragen.

Gr = 176,71 - 0,95 = 167,87 kg

3. Wie groß ist eine Kugel, wenn sie beim Eintauchen ins Wasser 25 kg von ihrem Gewichte verliert?

einerseits

Das Volumen der Kugel und des verdrängten Wassers betrügt 9>S

— 0,025 cbm

1000

und andererseits f ttt³ wenn r der Radius der Kugel ist.

| Tr r³ = 0,025 0,025 4,1888

4.    Ein Parallelepiped von Eis (Fig. 36) schwimmt im Meerwasser^ dessen spezifisches Gewicht = 1,025. Wie tief sinkt das Eisstück ins Wasser, wenn sein spezifisches Gewicht 0,930 ist?

Die Dimensionen des Eisstückes sind folgende:

AB = 20,45 m, A6 — 15,75 in und AD = 3,50 m.

Das Gewicht des Eisstückes ist = AB • AC • AD • 930 kg und das Gewicht des verdrängten Wassers = AB • AC • DE • 1025 kg. Beide Gewichte werden nun einander gleich, wenn AD-930 = DE -1025 „ „ AD • 930    3,5-930

~~    1025

5.    Wie tief sinkt eine Kugel vom Gewichte P ins Wasser ein, wenn der Halbmesser derselben = r ist?

Nennt man die Tiefe der Eintauchung = x und das Gewicht dev Kubikeinheit = p, so muß die Kugel so tief einsinken, bis das Volumen

Hieraus folgt

oder

oder

3 • 0,025

4tt

1025

0,18 m.

3,176 rn.

des verdrängten Wassers = Dieses Volumen ist aber

^ beträgt.

V = TTX

-st- ).

Daraus ergiebt sich die Gleichung

3P

oder x³ — 3rx²-|------= 0.

' TT p

Durch probeweises Einsetzen verschiedener Werte von x, bis dieser Ausdruck gleich Null wird, findet man bald den richtigen Wert der Eintauchung x.

Ist z. B. das Gewicht der Kugel P = 20 kg und deren Radius r = 0,40 m und nimmt man schätzungsweise an, die Kugel tverde 0,30 m tief eintauchen, so wird:

— = 7TX

0,3³ — 3 - 0,4 • 0,3²

3-20

= — 0,05

3,14 • 1000

statt gleich Null und es ist somit die Eintauchung zu groß angenommen.

Setzt man nun statt 0,3 m x — 0,15 m, so wird

0,15^ — 3 • 0,4 • 0,15² +

= — 0,005,

3-20

71.1000

x ist also immer noch etwas zu groß. Für x = 0,13 ergiebt sich aber 0,13³ —3-0,40-0,13² +

= 0,

3-20

71.1000

es ist somit die Eintauchungstiefe x der Kugel — 0,13 m.

6.    Wie tief sinkt eine Kugel vom Halbmesser r ins Wasser ein, wenn das spezifische Gewicht derselben — y ist?

Für diesen Fall ergiebt sich die Gleichung:

x³ — 3 r x²

4r³y = 0.

Die Tiefe x ist wieder wie vorhin durch Probieren zu bestimmen.

7.    Mit welcher Kraft wird eine ganz ins Wasser eingetauchte Korkkugel von 0,3 m Halbmesser durch den Auftrieb des Wassers nach oben getrieben, wenn das spezifische Gewicht des Korkes 0,25 ist?

Die verdrängte Wassermasse wiegt

i rrr³-1000 = 4,1888 • 0,3³ • 1000 = 113,4 kg

und die Korkkugel

0,25 -113,4 — 28,3 kg,

folglich beträgt der Auftrieb 113,4 — 28,3 = 85,1 kg.

8. Man hat einen kugelförmigen kupfernen Schwimmer zu konstruieren, welcher gerade bis zur Hälfte ins Wasser eintauchen soll. Welche Wandstärke darf der Schwimmer erhalten im Verhältnis zum äußern Halbmesser, der beliebig gewählt werden kann? Das spezifische Gewicht des Kupfers sei = 8,788.

4:71 B,³

f( R³-r³),

wenn B:1 der äußere und r der innere Radius ist. Das verdrängte Wasservolumen ist

. 4ttB³

Das Volumen der Kugelschale beträgt 4 irr³

Die beiden Volumina müssen dasselbe Gewicht haben, demnach muß die Gleichung bestehen

oder

™(B³ — r³) - 8,788 = 4 16,576 B³ = 17,576 r³.

Daraus ergiebt sich

R—r

und

= 1,02

_1VI7576

1,02    51

i- ' 16576 Was zu berechnen war.

9. Zwei Flüssigkeiten vom spezifischen Gewichte y und yt und den Gewichten P und Pi werden zusammengegossen. Welches ist das spezifische

Gewicht y% der Mischung, wenn eine Verdichtung des Gemenges — ^ der Summe beider Volumen stattfindet?

und

Die Volumina beider zusammengegossenen Flüssigkeiten sind —

p

¹ und der Teil, um welchen das Volumen des Gemisches abnimmt, ist * (    + *'") • Demnach beträgt das Volumen der Mischung

y yi

Da nun y± das spezifische Gewicht der Mischung sein soll, so wird ihr

Volumen auch — ** ^ ^>1 sein und somit die Gleichung bestehen Yi

/P ,    —i_P + Pi

Yi

\ y ' Yi/ n

Hierauf folgt

. . A)

(P -1- PQ y yi n ;2 (P Yi + Z Y) (n — 1)

Wenn statt der Verdichtung eine Ausdehnung des Gemisches stattfinden würde, so erhält man für den obigen Ausdruck:

B)

_ (P + ki) Y Yi n ⁷² (P Yx + Pi Y) (n + 1)

10.    Mischt man 18 kg Schwefelsäure von 1,84 spezifischem Gewichte mit 8 kg Wasser, so tritt eine Verdichtung des Volumens von ¹/₃a ein. Welches ist das spezifische Gewicht der Mischung?

1,51.

Nach der ersten im vorigen Beispiel entwickelten Formel ergiebt sich _ (8 + 18) 1,84-32 (8-1,84+ 18)- 31

11.    Man gießt P kg einer Flüssigkeit vom spezifischen Gewichte y mit Pi kg einer andern Flüssigkeit vom spezifischen Gewichte yx zusammen. Es fragt sich nun, ob Verdichtung oder Ausdehnung des Genienges statt« gefunden hat und welches der Wert der Veränderung der Dichtigkeit ist, wenn das spezifische Gewicht des Gemenges y₂ ist?

Aus Gleichung A folgt:

_ _ (P n + Pi y) fr n-(Pri+P₁y)y₂-(P + P₁)r7x ' •

- - C)

Da nun der Wert von n als Nenner des Ausdruckes welcher die

Veränderung der Dichtigkeit mißt, notwendig positiv sein muß, so ist im Falle einer Verdichtung

oder

(P Yi + Pi y) y% )> (P -f- Pi) y yi

/2>

(P + Pi) y y,

oder endlich

y% >

P+Pi

l + a

Da nun P + Pi das Gewicht der Mischung und y -f- y bte Summe

der Volumina beider Flüssigkeiten ist, so stellt der obige Ausdruck von y₂ genau das spezifische Gewicht der Verbindung dar, wenn weder Verdichtung noch Ausdehnung stattgefunden hat.

Bei eingetretener Verdichtung ist das spezifische Gewicht größer geworden, also:

+ Pl

und im Falle einer Ausdehnung hat das spezifische Gewicht abgenommen oder

P + Pi

12. Ein eiserner Kegel ASB (Fig. 37) taucht in Quecksilber ein, dessen Dichtigkeit — y, während die des Eisens — yt ist.

Welches ist das Verhältnis des eingetauchten Teiles 0 S = h der Höhe des Kegels zur ganzen Höhe CS — H?

?rB²H

Nach Fig. 37 erhalten wir als Voluinen des ganzen Kegels ^    ,

ttP² B

als sein Gewicht

o

TC V¹ 11

Das Volumen des eingetauchten Teiles dagegen ist    und somit

und somit

Nun ist aber auch = 5 • Setzt man diesen Wert von ™ in

den obigen Ausdruck ein, so wird

M:-

oder

h^_H² ^

H — h*

d. h. die Höhen der beiden Kegel verhalten sich umgekehrt, wie die Kubikwurzeln aus den Dichtigkeiten des Kegels und der Flüssigkeit.

13. Ein Würfel von Blei von 4 cm Seite soll als Schwimmer dienen und zu diesem Zwecke an eine Kugel von Kork aufgehängt werden, welche ganz ins Wasser eintaucht. Welchen Radius muß die letztere erhalten, damit der Auftrieb das System schweben läßt?

Das spezifische Gewicht des Bleies sei —11,35 und dasjenige des Korkes —0,24.

Das Volumen des Bleiwürfels beträgt 64 cbcm, sein scheinbares Gewicht beträgt hiernach

64 - 11,35 — 64 = 662,40 g.

Die Korkkugel vom unbekannten Radius r hat ein scheinbares Gewicht:

4 n r³

T    3

oder sie erzeugt diesen Wert als hebende Kraft. Im Falle des Schwedens unseres Systemes besteht daher die Gleichung

= — 0,76 -

4 Tr rs 3    °

0,76-

4 n r³

CO

= 662,40

oder es ist

,=17

3    - 662,40

4    - 0,76 n

14. Aus dem Siphon einer Girardturbine soll mit Hilfe einer kleinen Luftpumpe die Luft verdünnt werden, um denselben mit Wasser anzufüllen.

= 5,92 cm.

Welche Luftinenge bleibt nach n Kolbenhüben zurück und welches wirb ihre Spannung sein, wenn v das Volumen der einfach wirkenden Pumpe, V das Volumen des Siphons der Rohrleitung und M die Masse der in Pumpe, Leitung und Siphon vorhandenen Luft ist?

Nach einem Kolbenhübe hat sich die Luft vom Volumen V auf das

mal so

Volumen V -j- v ausgedehnt, ihre Dichtigkeit ist daher

groß wie vorher. Die Dichtigkeit nach dem zweiten Kolbenhübe erhalten wir wieder durch Multiplikation der Dichtigkeit nach dem ersten Hube mit

^    , oder durch Multiplikation der ursprünglichen Dichtigkeit mit

V + v

(y y - Wenn wir demnach die ursprüngliche Dichtigkeit mit (y

multiplizieren, so erhalten wir die Dichtigkeit nach n-Kolbenhuben.

Da nun die in demselben Raume vorhandenen Luftmassen den Dichtigkeiten direkt proportional sind, so beträgt die Masse nach n Kolbenhüben

Um die Spannung der. zurückbleibenden Luft zu bestimmen, vergegenwärtigen wir uns, daß zuerst der Druck einer Atnwsphäre herrschte. Dieser ist nun gleich einer Quecksilbersäule von 76 cm Höhe oder, da das spezifische Gewicht des Quecksilbers — 13,59 ist, auch gleich einer 76 -13,59 = 1033 cm = 10,33 m hohen Wassersäule.

Nun sind die Spannungen den Dichtigkeiten proportional. Folglich beträgt die gesuchte Spannung p in Wassersäulenhöhe gemessen

p = 10,33

Nach dieser Gleichung könnte man auch die Anzahl der Kolbenhübe oder das Volumen v bestimmen, wenn p bekannt ist. Muß z. B. das Wasser im Siphon i Meter ansteigen, so ist mit einem Drucke

p = 10,33 — i

zu rechnen, oder es besteht die Gleichung 10,33 — i = 10,33

(II

Vv + v7

fix.

XV + v/

15. Wie groß muß int vorigen Beispiel das Volumen v der Luftpumpe sein?

Die letzte Gleichung ergiebt durch Umformung

oder v = V

v-r

10,33

10,33

10,33 — i

10,33 — i

Mathematisch richtig sind aus der benutzten Gleichung abgeleitete Lösungen jedoch nicht, da schon beim Beginn des Pumpens das Wasser im Siphon ansteigt und das Volumen V vermindert. Man erhält aber doch annähernd richtige Resultate, weil noch viele Verluste auftreten.

16. Wie viele Pumpenkolbenhube sind erforderlich, um die Luft in einer Rohrleitung soweit zu verdünnen, daß die anfängliche atmosphärische Spannung derselben auf 2 mm Quecksilbersäule sinkt, wenn das Volumen der Leitung 100 1 und dasjenige des Kolbenhubes 10 1 beträgt?

In die Formel aus Nummer 14 haben wir einzusetzen V — 100, v — 10 und p = 0,2, wenn für 10,33 jetzt 76 geschrieben wird. Dadurch erhalten wir

¹

   (hi² h₂ ²)

²

   (hi¹—h3¹)    ¹¹²

hi — h₂

³

)    Kalender für Maschineningenieure von W. H. Uhland, 1894, II. Teil, S. 25.

oder

0,2 = 76

1,1° - 380

lg 1,1

ZIOOV

XI10/

und daraus durch Logarithmieren

n lg 1,1 = lg 380 oder

§ 16-

Bom Gleichgewicht schwimmender Körper.

Bei einem vollständig untergetauchten schwebenden Körper (Fig. 38) denkt man sich den Auftrieb im Schwerpunkt der verdrängten Wassermenge, dem Deplacementsschwerpunkte F, und die Schwere des Körpers in dessen Schwerpunkt, dem Systemschwerpunkte Gi, angreifend.

Wie man bei einem auf fester Unterlage stehenden oder bei einem aufgehängten Körper drei verschiedene Arten des Gleichgewichts unterscheidet, so müssen wir es auch bei einem vollständig untergetauchten Körper thun. Es entspricht der Deplacementsschwerpunkt F genau dem Aufhängepunkte. Es besteht demnach

„    G unter F liegt,

„    G mit F zusammenfällt.

labiles Gleichgewicht, wenn G über F liegt, stabiles    „

indifferentes    „

Das letztere wird z. B. eintreten bei einem homogenen Körper, d. h. bei einem solchen, dessen Kubikeinheit an jeder beliebigen Stelle entnommen gleich schwer ist.

Weil der Körper in der Flüssigkeit schwebt, so ist nach § 12 die Größe des Auftriebes gleich dem Gewichte P des Körpers, es wird also bei einer geringen Drehung des Körpers ein Kräftepaar P • G- H entstehen, welches

„ stabilen    „

„ indifferenten „

weiter dreht (Fig. 38 A), wenn der Körper int labilen Gleichgewicht war, zurück dreht (Fig. 38 B),    „    „

gleich Null ist (Fig. 38 6),    „    „

Schwimmt ein Körper auf einer Flüssigkeit, so treten wieder die drei eben besprochenen Gleichgewichtslagen ein, jedoch ist noch stabiles Gleichgewicht vorhanden, wenn sich der Systemschwerpunkt G über dem Deplaeemeutsschwerpuukte F befindet und gleichzeitig bei einer kleinen Neigung <p die Richtung des Auftriebes durch die neue Lage F(/, des Deplacementsschwerpuuktes die Mittelebene des Schiffes in einem Punkte M schneidet, der noch über G liegt. Es wird dann, wie Fig. 39 zeigt, ein aufrichtendes oder Stabilitätsmoment P- GH entstehen.

iF=i

Der Punkt M führt den Namen Metazentrum und seine Lage ist bestimmt durch den Abstand M F vom Deplacementsschwerpunkte nach der Gleichung

worin J das Trägheitsmoment der Schwimmebene oder der obersten Wasserlinie, d. h. der Schnittfläche des Wasserspiegels mit dem Schiffskörper, bezogen auf die Drehachse, und V das Volumen des Deplacements oder der verdrängten Wassermasse bedeutet. Fig. 40 veranschaulicht einen Fall des labilen Gleichgewichtes, bei dem M unter G liegt und ein weiterdrehendes Moment P-GH entsteht. Bei fortgesetzter Drehung kann wieder das Metazentrum M über G zu liegen kommen und dadurch stabiles Gleichgewicht auftreten. Es wird das Schiff übergeneigt liegen bleiben, oder wie man sagt Schlagseite erhalten. Dies tritt ein, wenn durch schlechte Verstauung der Ladung der Systemschwerpunkt zu hoch rückt.

Berechnung der metazentrischen Höhe MF.

Die Entfernung M F des Metazentrums vom Deplacementsschwerpunkte nennt man metazentrische Höhe. Um zu einem rechnerischen Werte derselben zu gelangen, denken wir uns, daß die Fläche ACB lFig. 39) oder bei der geneigten Lage A₂ C Bt oder der eingetauchte Teil des größten Schiffsquerschwttes, Hauptspantes, zugleich das gesamte Volumen V darstellt. Es wird dann das austauchende Keilstück A S Ax dasselbe Volumen v haben müssen, wie das eintauchende Bj 8 B.

Beziehen wir die durch die Neigung entstehenden statischen Momente aus eine vertikale Ebene durch G, so ergiebt sich, wenn N und Nx die Schwerpunkte der Keilstücke sind:

V - GH = — V • FR + v • TKX + v • TK V (GH + FR) = v (TKX + TK)

oder

Y. FQ = v • KKi.

FQ ist nun aber = MF sin cp. Daher erhält man für die metazentrische Höhe

v-KK,

V sin cp

MF =

Bezeichnen wir die Ordinaten der Wasserlinie für einen Schnitt senkrecht zur Drehachse SS (gtg. 41¹), 39,42), die beliebig angenommen ist, um die Entwicklung allgemein gültig zu machen, mit yt und y₂, so ist der Inhalt des ein- und austauchenden Drei-

l yi² sin cp und |y₂² sin cp.

ccks (Fig. 42) bei sehr geringer Neigung yt • y₂ S1|— =

Die statischen Momente für SS als Drehachse werden dadurch | ji • 1 yr sin cp und f y₂ • i y₂² sin 99 und somit das Moment vKKt des ein- und austauchenden Keilstückes

vKKj = (i/yi⁸ d x + id x ) sin <p.

Die Klammergröße ist nun aber das Trägheitsmoment der Wasserlinie in Bezug auf 8 8, denn für den unendlich schmalen Streifen in Fig. 41 erhalten wir als Trägheitsmoment

z = Yi

d x d z • z² = d x

und somit als Gesamtträgheitsmoment

Für die metazentrische Höhe erhalten wir hierdurch den Wert

MF =4

oder in Worten: die metazentrische Höhe M F ist gleich dem Trägheitsmoment J der Wasserlinie, bezogen auf die Drehachse, welche selbstverständlich eine Schwerpunktsachse ist, dividiert durch das Volumen des Deplacements.

Ist die Drehachse zugleich Mittellinie der Wasserlinie, so ist M das sogenannte Breitenmetazentrum oder Lateralmetazentrum und J hat den einfacheren Wert

J = ffy³ d

da yi = y₂ = y gesetzt werden kann.

Steht die Drehachse senkrecht zur Mittellinie der Wasserlinie, so ist M das Longitudinalmetazentrum.

§ 17.

Stabilität schwimmender Körper.

Die Standfestigkeit oder die Stabilität eines jeden schwimmenden Körpers hängt von der Lage des Systemschwerpunktes Gr gegen das Metazentrum M ab und ist um so großer, je tiefer der erstere unter dem

letztern liegt und je mehr durch eine Seitenbewegung oder Schwankung der Deplacemeutsschwerpunkt F seitwärts verschoben wird, weil das aufrichtende Moment P • <1H ist.

Es folgt ans diesem Verhalten der schwimmenden Körper, daß ein Schiff, das in bedeutender Höhe über dem Wasser mit Kanonen, Ankern, Masten, Segeln n. s. tu. ausgerüstet ist und seinen Schwerpunkt daher trotz des im untern Raume befindlichen Ballastes und der tief liegenden Maschine und Kessel hoch über dem Deplacemeutsschwerpunkte hat, dennoch eine sehr große Stabilität besitzen kann, indem eine Schwankung zur Seite sogleich ein Moment erzeugt, welches das Schiff in seine frühere Lage zurück zu drehen strebt.

Ans demselben Grunde schwimmt ein leerer hohler Kasten oder ein Kanoe aufrecht und besitzt genügend große Stabilität.

Die Stabilität schwimmender Körper hängt daher keineswegs von dem relativen Gewichte und der Größe derselben, sondern ausschließlich von der Form derselben ab.

Eine Kugel, ans beliebigem Material (Tafel 7, Fig. 116) bestehend, bleibt, falls ihr spezifisches Gewicht <s 1 ist, in jeder Lage im Wasser liegen, sie befindet sich demnach int indifferenten Gleichgewicht, tüte auch die folgende Berechnung zeigt.

Das Trägheitsmoment der Schwimmebene beträgt

Tt

— b4 4 u '

weil sie ein Kreis mit dem Radius b ist. Nach der Fig. 116 auf Tafel 7 ist nun aber b² = r² — (r — a)² = a(2r— a), demnach

sh

a² (2r — a)²

= 7t a

(-!)■

Das Volumen des eingetauchten Teiles beträgt

cd co

Y = rt a²

Nach dem vorigen Paragraphen ist nun

m f ---

in unserem Falle also

7i a

MF =

H-y ('

cd KM

7t a

(—)

cd CM ^ i C0

Denselben Ausdruck erhält man aber auch für den Abstand G-F des Deplacementsschwerpunkes F vom Mittelpunkt der Kugel, welcher zugleich der Systemschwerpunkt Gr ist. Hiernach ist also MF = G-F oder M fällt mit G- zusammen.

Für einen auf der Seite schwimmenden Cylinder, dessen Länge im Verhältnis zum Durchmesser groß ist, liegt das Longitudinalmetazentrum hoch über G-, dagegen fällt das Lateralmetazentrum mit G zusammen. Bei aufrechter Stellung des Cylinders im Wasser können alle drei Arten des Gleichgewichts vorkommen. Es ist nämlich

-4-r⁴

MF —

r²

und

FG =

n r² a

wenn a die Eintauchtiefe, r der Radius und h die Höhe des Cylinders ist. Es wird also indifferentes Gleichgewicht eintreten, wenn

h + |/h²— 2r²

oder

h — a

4a

ist. Liegt die Eintauchtiefe in den hierdurch bestimmten Grenzwerten von a, so befindet sich der Cylinder im labilen Gleichgewicht, liegt sie aber außerhalb dieser Grenzen, so tritt stabiles Gleichgewicht ein. Die betreffenden Grenzen werden enger, wenn h abnimmt und fallen zu einer zusammen,

wenn h = r ]/ 2 ist. Dadurch wird

a = — ■ Ist nun h < r ]/2, so

schwimmt der Cylinder bei jeder Tauchtiefe in aufrechter Stellung stabil.

Eine Halbkugel schwiinmt bei jeder Tauchtiefe stabil, wenn die ebene Fläche horizontal unten oder oben liegt.

Für den mit der Spitze nach unten schwimmenden Kegel (Fig. 37) erhalten wir:

CF = H — | h,

J=4

n ,

irr⁴,

oder da

auch J —

V = r² Tt-^r

h R² n h³

3H! '

1IF = 4

R⁴ h⁴ 3 H² 3 R²li

V 4 H⁴ R²fth³ 4E²

Im Falle des indifferenten Gleichgewichtes müßte nun

(H — h) = g-

oder

sein. Hieraus folgt

coH# pH

R²h

Ist die Tauchung größer, so haben wir stabiles Gleichgelvicht, ist sie geringer, so tritt labiles ein.

Für einen mit der Spitze nach oben schwimmenden Kegel erhalten wir nach Tafel 7, Fig. 117:

4 R

und zur Bestimmung der Entfernung CF die Momentengleichung

CG —

oder

Tjo H H h ₂ 3a + H nv/„₂ H ß2?I3 ¹ 4 =Ir f-4-CF^^-r^^

₊ CF[R^H-^-a]3R2]

R²R² _ (H — a)s (3 a -f fl) R²

Hz4

h)

3/

und hieraus CF=

R²H⁴—(H—a)³(3a-)-H)R²_H[H³—(H—a)³]—3a(H—a)

4 [R² H³—(fl—a)³ R²]

4[HS—(H— a)³]

Ferner ist

V=

s"0

T_E-r ⁴— —

J - ₄ ¹ - 4 (H —a)³

n (H — a)⁴R⁴

H⁴

ttR²

H-

3 JE²

[H³ —(H —a)³]

und somit

J __ 7r(H — a)⁴R⁴3H²    _    3R²(H — a)⁴

¹ V 4 H⁴ nR² [I I³ — (H — a)■"]~~ 4 H² [H³ — (H — a)³]' Für den Fall des indifferenten Gleichgewichtes muß nun C G- = C M = CF + FM sein, oder es muß die Gleichung bestehen:

3R²(H — a)⁴

H _ H [H³ — (H — a)³] — 3 a (H - a)³

4[H³ —(H —a)³]

Hieraus folgt

H³[H³—(H—a)³]=H³[H³—(H—a)³]—3aH²(H—a)³+3R²(H—a)⁴

und dies ergiebt

RR²

a — H² + R²'

Ist die Tauchung kleiner als der gefundene Wert von a, so haben wir stabiles, ist sie größer, so haben wir labiles Gleichgewicht.

In einem speziellen Falle sei R— 110, R = 40 und a —10. Nach den entwickelten Formeln erhalten wir dann

CG — 25, MF = 29,05, CF = 4,84 und im Falle des indifferenten Gleichgewichtes

a = 13,79.

Ein Kegel, dessen Achse länger als sein größter Durchmesser ist, schwimmt nur in einer Lage und zwar auf der Seite, so daß die Achse schief im Wasser liegt, wenn das spezifische Gewicht desselben oder seine

Eintauchung nicht sehr groß ist. Dies zeigt das unten durchgerechnete Beispiel und die oben gegebenen Bedingungen des labilen Gleichgewichtes eines mit der Spitze nach oben oder unten schwimmenden Kegels.

Für einen Würfel mit der Kantenlünge c erhallen wir bei der Drehung um diejenige Schwerpnnktsachse, welche die Schwimmebene in zwei gleiche Rechtecke zerlegt:

c³

C X —— X 12 c- a 12a'    0 — 2 '

X₀₊MF = |₊₁|a.

Im Fall des indifferenten Gleichgewichtes muß nun X₀ M F = X

n 3

12

J = ^r, MF =

oder

sein, hieraus folgt

2    12a    2

3ci |/9 c* — 6c

Es giebt hiernach zwei Tauchungen, bei welchen indifferentes Gleichgewicht eintritt. Innerhalb dieser Grenzen haben wir labiles, außerhalb derselben stabiles Gleichgewicht. Ist z. B. c = 1 dm, so erhalten wir a — 0,7886 und a — 0,6339. Hieraus sieht man, daß die Höhe zwischen beiden Grenzen = 0,1547 sehr klein ist, wir also meistens stabiles Gleichgewicht haben.

Unter Benutzung von Fig. 118 auf Tafel 7 wollen wir für einen auf der Seite schwimmenden Kegel bestimmen, welche Gleichgewichtsarten bei den verschiedenen Tauchtiefen a vorkommen können. Um nicht zu viel vorauszusetzen, wollen wir uns alle nötigen Formeln selbst entwickeln.

Da jeder Schnitt senkrecht zur zt Achse ein Kreis ist, so muß Xi² +y² = r²,

oder da

Hi

R²

auch

sein. Dies wäre die Gleichung des Kegels. Drehen wir nun unser Koordinatensystem um y um einen solchen Winkel «, daß z eine Erzeugende wird, so haben wir nach Fig. 118a:

Xj = x cos a — z sin a ) Zi — z cos cc + x sin « i

A)

oder da

sin a

können wir auch schreiben

J/R² + H²' x H — z R

Xl == -== r

|/R² + H²

cos <x

yW+E*'

_xR -f zH

Zl~~yR^+H² '

. . B)

Führen wir diese Werte in die Kegelgleichung ein, so erhält sie die Form

R²

x² H² — 2 x z H R + z² R² + y² (R² + H²) =    (R² x² + 2 x z R H + z² H²)

1)

x² (H⁴ — R⁴) — 2 x z H R (H² + R²) + z² (R² H² — R² H²) + y² (R² + H²) H² = 0 (H² - R²jx²-2HRxz + H²y² = 0

Durch Einsetzung von x — a erhalten wir hieraus die Gleichung für die Parabel der Schwimmebene:

2)

(H² — R²) a² — 2 H R a z + H² y² = 0 .

Verschieben wir nun unser Koordinatensystem parallel mit sich, bis der Scheitel der Parabel Koordinatenanfangspunkt wird, zu welchem Zwecke wir

z = z₂ + a cotang 2 a a (H² — R²)

2 RH

setzen, so ergiebt sich die Gleichung

(H² — R^j a² - 2 H R a z, - a² (H² - R²) + y² H² = 0 2 a R z.>

oder

y²

3)

Als Gleichung der durch eine Tauchtiefe x erzeugten Parabel kann 1) auch angesehen werden. Für ihren Scheitel wird

z — x cotang 2 cc x (H² — R²) Z= 2 RH

C)

D)

oder

und für ihren Schnitt mit der Grundfläche des Kegels zx ---- H, oder nach B):

x R + z H

VR² + II>

oder endlich

z --- VH² + R² - x

sein. Der Inhalt K der Parabel wird hiernach durch das folgende Integral dargestellt:

yiF+jy_x_|.

K= J 2y dz

x(H2—R2)

2 RH

oder unter Benutzung von 1) durch:

z — j/H2 + RS — x

K = y | J 11 Kxz - (H*- Ra)i* d z.

X (H2 - R2)

2 R 11

Durch Ausführung der Integration ergiebt sich

(H² —R²) x²} ^]

= yH2 + R2_ x A

X (H2— R2)

Zur Bestimmung des Schwerpunktes dieser Fläche wird die Gleichung dienen:

— (H²— R²)x² z dz.

Die Jntegrationskonstanten sind wieder dieselben wie vorhin. Es ergiebt sich durch Ausführung der Integration und nach entsprechender Umformung

zo

i[2HR VH² + R² — x (H² + R²)] + |x(H²— R²)

- - 5)

IHR

Für die Schwimmebene ist in diesen Ausdruck x — a einzusetzen, dadurch erhält man

i-[2HRyH² + R²-a (H² + R²)] + } a (H² - R²) z₀=--- -HR    • •

Bezeichnen wir zur Abkürzung

. . 6)

3 H² R

Cl,

2 H R |/H² -\- R² = e₂,

H² -j" R² — c₃,

H² — R² = c₄,

HR — C5,

4 C4 -5- c₃ — c₆

C₃

= c, C₂

so kann man für 4) und 5) schreiben

K = cx Vx [c₂ — c₃ x]²

4)

Z₀ = iC2 + c«x oder z₀=^=lM±_⁵ x^

I C₅    10 C5

Das Deplacement ergiebt sich wie folgt:

.    .    5')

V=/Kdx,

0

— ClCi-jsx² — 4 cx'³‘ + fc²x² + ₈'₉

—    /ci }/X [c₂ — c₃ x]² d X,

0

—    c₄ c₂²/ y x [1 —. c x] ² d X, c3xf+6^2c4xf + ---]d

X,

Y = c₁cä²aR|-|ca + * c²a² + TV c³ a² + T|T c⁴ a⁴ + ....] . ...    7)

a|/H² + R²

Die in der Klammer stehende Reihe ist konvergent, weil der größte von c a

erreichbare Wert, d. h. bei vollständiger Eintauchung, gleich 1 ist.

Das obige Integral läßt sich noch in zwei Weisen ohne Reihenentwicklung lösen.

Setzt man z. B. ]/1 — cx = u}/xc—1, so nimmt das Integral die Form an

/Vx(l — c x)² d x = J

Hieraus ergiebt sich

u⁹ — 4 u⁷ -\- 6 u⁵ — 4 u³ -f u

"— 16 (u² — l)⁴ u² d u C¹ (u² + 1)’

[9 u« — 28 u« -f 30 u⁴ — 12 u² + 1] d u

(u²+l)⁶

(u² + l)<

)•

Durch Zerlegung in Partialbrüche und Ausführung der entsprechenden Integration erhält man nach der Zusammenziehung

. 507    ,    1

+ 7T arc tan§ u \ r

— 3un + 47 u⁹ — 78u⁷+78 u⁵-47u³ + 3u

12

(u' + Jr

trigonometrisches verwandeln. Zn dem Zwecke setzen wir ycx = sin 99, was gestattet ist, da der Maximalwert von yc x, der bei vollständiger Untertanchnng eintritt, gleich 1 wird. Hiernach erhallen wir

Y = Cx c₂

cos 9p⁴ d 99

Cl "T i* sin V³ cos + - j- sin cp³ cos cp----- sin cp cos cp -f- ^ 9p”j

oder als bestimmtes Integral mit den Grenzen

sin cp = 0, cos cp — 1,    cp = 0

und

sin cp — y a c, cos cp — \\ — a c,    cp = arc sin y a c,

nach entsprechender Umformung

¹ C'² y*¹ T/c₃ — c₃ a + 63

oder

— u (u² — 1) (3 u⁸ — 44 u⁶ + 34 u⁴ — 44 u² + 3)

12

(U² + l)⁸

507    .    )

arctangu J.

J )

Da nun u

war, so müssen wir an Stelle von x == 0 und x = a die

Jntegrationsgrenzen ux = oo und u₂ =

einführen. Hierdurch kommen wir

zu dem Ausdrucke

V==

ci c2³ s — u-2 (u₂² — 1) 3 u₂⁸ — 44 u₂⁶ 4" 34 u₂⁴ — 44 u₂² + 3)

12 c₃

507

V.u₂² —l)6 507 n

i-

+ 2 arc tang u₂ —

Wir kommen jedoch noch viel schneller zum Ziel, wenn wir unser Integral in ein

— Cx a* (c₂ — c₃ a) + ^ a c₂ (c₂ — c₃ a)“ —g

3 H² R

{ 2 H R1/H²+ R²-x (H² + R²) |²

4)

C2³

arc sin

Kn

8)

8 c₃

Zur Bestimmung der Ordinate Z₀ des Deplacementschwerpnnktes dient die Gleichung V Z₀ = / K z₀ d x

oder unter Benutzung von 4' und 5':

oder endlich als trigonometrisches Integral nach der obigen Umformung

cos 9p⁶ + 5 c₂ c₄ sin cp⁴ cos 9p⁴] d cp

VZ₀ =

Cx c₂⁸

5yc₃ c₃²c5 Cx c₂³

5 yc₃ c₃²Cx 5 c₂ c₄

J [3 c₂ c₃ sin cp²

3 c₂ c₃

[sin 9p³ cos 9p⁵ -j- *>J d cp sin 99² cos 99Z -s-

[— sin 9p³ cos 9p⁵ + 3^/ d 99 sin y² cos 9p⁴] j -

Vc,*

2 Cx c₂³

2 Cx a '"' (c₂ — c₃ a)² (5 c₄ 3 c₃)

Berücksichtigt man noch, daß ssin cp² cos cp* d 9p = 80 c, eil¹⁵ °² (Cs + C4)

Zo —

ist, so ergiebt sich

}• • - ⁹)

Bei vollständiger Eintauchung verschwindet das zweite Klammerglied und man erhält

Z'o

15 c₂ (Cg + c₄)

3H²

80 Cg C5

4 VH² + R²

. . 9')

Gleichung

Um die Ordinate X₀ des Deplacementschwerpunktes zu bestimmen, benutzen wir die

V X₀ = /K d 0

oder

vx„=/c₁c₂Ma

0

2 Cj c₂

c x)² d x

Hieraus folgt

ssin <p* cs - J

cos <p⁴ d(p .

X₀ =

3 c₂

Ci a'² (c₂ — Cg a) “

8 Cg

4VCg

10)

Zur Berechnung der metazenirischen Höhe brauchen wir das Trägheitsmoment der Schwimmebene

oder nach 4')

J = /2yd

z z² —

2 Zo\/y d z

J == f 2 y d z z² — z₀² Cx Va (c₂ — c₃ a) • Die Jntegrationsgrenzen sind

a(H² —R²)

z = j/H² + R² - a ^ •

Das unbestimmte Integral / 2 y d z z² verwandelt sich unter Benutzung von 2) in:

2RH

und

4H⁴ R³ aaA

+ 2 a² c₄ v + a⁴ c₄² v“)dv

wenn v = 2HRaz - (H² — R²) a² gesetzt ist.

Für die Integration nach v gelten die Grenzen

v — 0 und v — 2 H R a |/H² + R² - a² (R² + H²) = c₂ a — c₃ a². Durch die bestimmte Integration bis zu diesen Grenzen ergiebt sich

/2 y d z z² =

4H⁴R³ a³

|f (c₂ a — c₃ a²)² -j- -g (c₂ a — c₃ a²)² c₄a² -f~ ^ (02 a c₃ a²)² c₄²a⁴| I? (c2 c3 a) L t ^4 a (c₂ c₃ a)" -j- f c₄² a² (c₂ c₃ a)²1 -

4 H⁴ R³

Führen wir diesen Wert in die Gleichung für das Trägheitsmoment ein, so erhalten wir unter Benutzung von 5')

J — 2 y4 {t (c2 — c3a)“ +1 °4 a (c₂ — Cg a)“    ^ c₄² a² (c₂ — c₃ a)-1

(3 c₂ + 15 c₆ji)² Ci (c₂ - c₃ a)

T/a

11)

(10 c₅)²

Zu einem viel kürzeren Ausdruck für das Trägheitsmoment gelangen wir aus folgende Weise: Die Scheitelgleichung 3) unserer Parabel lautete:

„    2 a R Zo 2 a R² z,

•v = ,l '⁻

C5

der Abstand 1 des Schwerpunktes vom Schettel beträgt nach den oblgen Berechnungen

a (H² — R²) Z° 2 RH"

3 (c₂ — a c₃) -f 5 a c₄ a c₄ 3-(c₂— ac₃)

10 c₅

2cß

10 c₅

a R a (H — R²)_c₂ — a c₃

2RH ~

2c₅

die Integration nach z₂ ist nun auszuführen von z₂ = 0 bis „ _ c2 Za-2HR H

Hiernach erhalten wir

C2-,aC‘

2<-5

J —/2 y d z₂ (z₂ — i)²

oder unter Benutzung von 3)

c₂ — a Cg

2c₅

y c5

]/z₂ d z₂ (z₂² — 2 z₂ i + i²)

— 2R

4    3(C2 — a c₃/ c₂ — a c₃\t

_ lf IÖC5

2 65

oder endlich

2 / (c, — a c₃)V Zc₂ — a c»\! |

■ 8 ‘v 10c₆ y v ^e, y )

CO :

12)

j 2 R Y a (c₂ — a c3 175 c₅⁴

Damit unser Kegel in seiner Lage sich schwimmend erhalten kann, müßten F und G in derselben vertikalen liegen, daß ist aber nach 9 und 9' nur bei vollständiger Eintauchung der Fall. Bei jeder andern Tauchung entsteht ein drehendes Moment

V • G H y = V (Z₀¹ — Z₀) y

7-

61 a^ (c₂ c₃ a)" (5 c₄ 3 c₃)

40 C₃ Cy

Als besonderes Beispiel sei ein Kegel gegeben, für welchen H = 10,0398 cm und R = 3,967 cm ist.

Für die Hilfsgrößen ergiebt sich hiernach:

Cl ---- 0,0016671, lg Ci = 0,2219526 — 3, c₂ = 860, lg c₂ = 2,9344985. c₃ = 116,5411, lg c₃ — 2,0664400, c₃a —571, lg c₃ a = 2,7566361. c₄ --- 85,060, lg c₄ = 1,9297254, c₅ = 39,832, lg c₅ = 1,6002310, lg c = 0,1319415 — 1.

a = 4,9, lg a = 0,6901961, lg y'ä= 0,3450980, lg a = 1,0352940.

Vc₂ — c₃a = 17, lg 17 — 1,2304489, lg 17³ = 3,6913468, lg 17⁵ = 6,1522445,

lg 17⁷ = 8,6131423.

H* = 100,797, lg H = 1,0017251, R² = 15,737, lg R = 0,5984622.

lg arc sin

|/™ = 0,9788280 — 1, arc sin j/C~ = 0,95242.

Durch Benutzung dieser Werte erhalten wir aus Formel 8):

V = c, [17763 + 39644 - 29855 4- 60197] — 81749 c, — 146,29 obern,

für vollständige Untertauchung ist c₂ — c₃ a = 0 und somit _CiC₂³ 1 n

max- " cr 8 2

dasselbe ergiebt auch die Formel Vmax = R² n -5- •

Nach 9) ist Z₀ = 6,930, nach 9') 2/ = 7,001, demnach 01 = 0,071 und das verdrehende Moment P • GH = 146,29 • 0,071 = 10,38659 cmg. Aus 10) findet man X₀ = — 0,3765 4" 2,7675 = 2,3910 und die x - Ordinate des Systemschwerpunktes oder

für vollständige Eintauchung X₀ max —

= 165,5 cbcm,

Xo

3 Co

8 Cg

Für die Parabel der Schwimmebene erhallen wir

a(H2_R->-aC4 = ₅,2319,

als Scheitelabscisse

2 RH

2c₅

= 2,7675.

als Abscisse bis zur gradlinigen Begrenzung j/H² + R² — a “ = 8,844

als Schwerpunktabscisse z₀ = 7,408 nach 5',

als Flächeninhalt K = cx ]/a (c₂ — c₃ a)² = 18,130 nach 4', als Trägheitsmoment J = 16,35 nach 11 und 12.

Hierdurch findet man M F = ^

Da nun X₀ + MF = 2,3910+ 0,1117 = 2,5027 kleiner als X₀ max = 2,7675 ist, so wird unser Kegel sich drehen und von der labilen Gleichgewichtslage weiter

= 0,11176.

entfernen.

Wollten wir einen Kegel in ganz beliebiger Lage betrachten, so müßten wir an Stelle von 1) die Gleichung

(x cos a — z sin tt)² + y² = (z cos oc -f- x sin «)²

R³

H²

als Ausgangspunkt wählen.

Nehmen wir wieder unsern alten Fall, aber eine Tauchung a= 1, so wird

lg arc sin —

0,5763311 — 1 ,

= 2,7675.

Der Kegel wird bei dieser Lage ein aufrichtendes oder Stabilitätsmoment besitzen, welches die Größe V (Z₀' — Z₀) y = 60,716 • 0,1687 -----10,240 cmg hat.

lg ]/c, - c₃ = 1,4356288,

V = 60,716, J = 201,805, M F = 3,3237, X₀

§ 18.

Graphische Bestimmung der Stabilität.

Gehen wir von den einfachen mathematischen Körpern zu einem Körper über, dessen Bildungsgesetz uns nicht bekannt ist, so müßten wir alle Berechnungen nach den Simpsonschen Regeln vornehmen. Was dieselben zwar nicht schwieriger, wohl aber langwieriger gestaltet. Aus diesem Grunde nehmen wir zu einem graphischen Verfahren unsere Zuflucht, welches vom Schiffsbauingenieur Arthur Liddel in Langfnhr aufgefunden

und von Middendorf in der Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure 1892 veröffentlicht worden ist.

Es sei hier noch bemerkt, daß derselbe Ausdruck, welcher zur Berechnung der nietazentrischen Höhe bei einer sehr kleinen Neigung cp dient, uns für eine größere Neigung des Schiffes den Krümmungsradius derjenigen Kurve giebt, auf welcher sich der Deplaeementschwerpunkt bewegt.'

Außer dem schon im § 16 und 17 behandelten Stabilitätsmomente P • G H, welches wir mit St bezeichnen und das statische nennen wollen, giebt es noch ein sogenanntes dynamisches Stabilitätsmoment Std, das jedoch in Wirklichkeit kein Moment, sondern diejenige Arbeit ist, welche zur Überneigung des Körpers, z. B. eines Schiffes, um den Winkel cp verrichtet werden muß. Die letzte Stabilität wird daher auch Arbeitsstabilität genannt und setzt sich aus der Arbeit der Schwere und des Auftriebes zusammen.

Der Systemschwerpunkt Gr befand sich bei der aufrechten Lage des Schiffes um das Stück Gr0 (Tafel 3, Fig. 39) unter AB und liegt nach der Neigung um G T darunter. Durch seine Hebung ist daher eine Arbeit P • (G 0 — G T) verrichtet. Für den Deplacementschwerpunkt F ergeben sich die entsprechenden Entfernungen zu F 0 und F(/, II und die verrichtete Arbeit zu P (Fv ü — F 0). Die Umkehrung des Vorzeichens ist dadurch entstanden, daß die Senkung des Deplacementschwerpunktes eine positive Arbeit vorstellt. Als dynamische Stabilität oder Summe dieser Arbeiten ergiebt sich:

Std = P (G 0 - G T) + P (F U — F 0)

= P [(FyU - G T) - (F 0 - G 0)]

Std = P (Fy H — F G).

Die Größen, welche zur Bestimmung von St und Std dienen, können wir nun unmittelbar aus der Zeichnung (Fig. 39) entnehmen, wenn uns die Lage der Punkte F und Fy bekannt ist. Diese läßt sich nun in folgender Weise graphisch bestimmen.

Ist 0 E D (Fig. 35) die Deplacementskala unseres Schiffes für die aufrechte Lage, so ergiebt sich

oder

F0

Flächeninhalt von 0 F D -

OB

Für die geneigte Lage (Fig. 43) zeichnet man ebenfalls eine solche sogenannte horizontale Deplacementskala abc und bestimmt die Schwimmebene A, Bi nach § 14. Hierauf berechnet man

FVU

Fläche abc

Um nun die Abscisse QR des Deplacementschwerpunktes zu finden, teilt man QR in eine gleiche Anzahl Teile und legt durch die Teilpunkte vertikale Ebenen, denkt sich alsdann das über A,. B, liegende Stück des Schiffes fort, dreht Q Cx R um 90°, so daß Q nach unten kommt, taucht nun bis zu den einzelnen Schwimmebenen und berechnet die zugehörigen Volumina. Durch diese Rechnung erhält man eine neue, die sogenannte vertikale Deplacementskala QdR und dadurch

RU =

Fläche QdR

Kd

Ist beim Auftragen dieser Skala wieder derselbe Maßstab wie bei der horizontalen gewählt, so muß

OB — a c — Rd

sein. Nach dieser Methode braucht man nur Flächeninhalte, beziehentlich Volumina nach den Simpsonschen Regeln zu berechnen oder dieselben mit einem Planimeter zu bestimmen.

Als Beispiel der Berechnnngsmethode ist ein Kegel (Tafel 23, Fig. 283) gewählt. In Bezug auf die in den Figuren angewendete Bezeichnungsweise sei bemerkt, daß von der aufrechten Stellung des Kegels ausgegangen und derselbe im positiven Sinne (der Drehung des Uhrzeigers entgegengesetzt) immer um ganze 10° weiter gedreht wurde. Es sind jedoch nur die Zehner angegeben, so daß z. B. F₂₃ , 23,, und 23v den Deplacementschwerpunkt, die horizontale und vertikale Deplacementskala bei einer positiven Drehung des Kegels um 230° bezeichnen. Die in der folgenden Anleitung zur Berechnung gegebenen Zahlenwerte beziehen sich auf die im dreifachen Maßstabe der Tafel angefertigte Originalzeichnung.

durch den Kegel gelegt und die erzeugten Hhperbeln ein-

mm

Um die Deplacementskurven nach den Simpsonschen Regeln berechnen zu können, sind parallel zur Zeichenebene 31 Ebenen im Abstande von je 10 gezeichnet.

Für die Drehung um 110°, die in Figur 284 noch einmal gezeichnet ist, wollen wir die. Berechnung teilweise durchführen.

Zur Ermittlung der horizontalen Deplacementskala messen wir mit dem Planimeter die Flächen der Hyperbeln bis zu den Wasserlinien I, II, III, IV, V aus oder berechnen dieselben nach Simpson. Nach diesen Flächen werden nun die verschiedenen Deplacements bestimmt. Bei der Tauchung bis IV ergiebt sich:

Hyperbel

Fläche

Simpsonsche

Faktoren

Produkte

64

32

536

1072

1648 3 600 5 690 8160 10592 13 576 16 216 19 600 22080 24808 26 464 28 520 30 320

1648 7 200 5 690 16 320 10592 27 152 16 216 39 200 22 080 49 616 26464 57 040 15160

295 482

Die so gefundene Summe müssen wir mit § des Abstandes der Hyperbelschnitte , d. h. mit f -10 und da wir nur den halben Kegel in Betracht gezogen haben, noch mit 2 nmltiplizieren. Dadurch erhalten wir

295482 - 40

— 3939760 cbmm.

Dies ist aber immer noch nicht das richtige Volumen, da das in Betracht kommende Kegelstück mit der Hyperbel 2 nicht seinen Abschluß erhält, sondern bis zum Punkte E reicht. Durch graphische Ermittlung findet man, daß das hinzukommende Volumen auf jeder Seite 128, demnach im Ganzen 256 cbmm beträgt. Hierdurch erhalten wir für das Volumen bis Wasserlinie IV 3939 760 + 256 = 3940016 cbmm.

Tragen wir dieses Volumen im Maßstabe 25000 cbmm — 1 mm

3940016 25000

Für die Berechnung der vertikalen Deplacementskala ergiebt sich die folgende Zusammenstellung:

auf. so muß die Linie JK =

157,6 mm lang sein.

Volumina

im ganzen

SS-

1%

00 02

CO

Ol CC CO <1 OX CO

02 CO

Hyper- Fak-betn toren

588 144

1 104

587 040

44 028 1 761 120

12 928

12 928

C0 C0 CO CO

CO

CO CO CO CO

29 448

1 652

3 120

184

1 460 907

1 459 627 1 280

109 472 4 378 880

32 496;

32 496

<] -3 05 Ol ^ CO I—¹    -O

-CI -v] 05 CA ^ CO 05 O 05 ^ O CO    d ^ CO    CO -O CO CO    -O

^<icoo^tf^    ^ co    a <1 o o    -O

^ CO CO O O 00

4X 0^^0000    02

7 5201

256

73 088

3 888

I—¹ I—¹ I—¹

CC I—¹ t—1 o

00 05 CO

CO

2 237 227

167 696 6 707 840

2 235 947 1 280

11 920

256

49 736

111872

6 088

2 902 293    3 466 533

217 576 8 703 040

2 901 013 1 280

259 894 10 395 760

3 465 253 1 280

64 224

64 224

76 384

76 384

2 512 6 728 10 688 13 432 15 072 15 792

2 512 6 728 12 048 16320

18    872

19    904

72 544

145 088

86 576

173 152

1200 4 456 8 776 12 376

14    208

15    480

16    048

1 200 4 456 9 096. 14 440 17 648

19    480

20    256

16 528

16 272

256

8 264

20 716

20 460|

256

10 358

3 895 680

292 080 11 683 200

3 894 400 1 280

|898 eg

85 368

to tc ^ I—1 CO DO 00 DO Ci COOMOM OMOitMsS ^ 05 O CO 00

2 512

194 224

97 112

1 200 4 456 9 096 14 920 20 804 22 776 24 360

24 976

12 488

24 720

I99S

4 209 813

315 640 12 625 600

4 208 533 1 280

90 728:

90 728

2512 6 728 12 048 18 160 23 904 27 376

1210 276

105 138

1 200 4 456 9 096 14 920 20 840 26 226 28 400

29 272;

14 636

29 016!

256

4 308 907

323 072 12 922 880

4 307 627 1 280

92 088!

92 088

2512 6 728 12 048 18160 23 904 28 736;

214 896

107 448;

1200 4 456 9 096 14 920 20 840 26 456 30 480

32 176

31 920

256

16 088

Flächen Produkte Flächen Produkte Flächen Produkte Flächen ^ Produkte Flächenj Produkte Flächen Produkte Flächen Produkte Flächen j Produkte

giq U3öuntpnvZ

Vertikale Deplacementskala für 110° Neigung.

-O

Wählen wir wieder denselben Maßstab zum Anftragen, so muß z. B.

— 172,36 mm sein. Für die Lage des Deplace-

LD = NB =

4308907

25000

mentschwerpunktes Fn ergiebt sich

39,44 mm,

^Fläche ÄBN_6800_

Länge NB⁻ 172,4 ~

— 276,75 mm.

172,4

_ Fläche C DL _ 47 680 ¹ ~ Länge D L '

Ebenso sind die Lagen der andern eingezeichneten Deplacementschwer-pnnkte ermittelt.

In Fig. 285 sind die aus Fig. 283 leicht zu entnehmenden Hebelarme GH als Hebelarme von G in natürlicher Größe aufgetragen, und zwar die zu negativ oder zurück drehenden Momenten gehörigen nach oben und die andern nach unten. Aus dieser Auftragung ist zu ersehen, daß wir bei den Neigungen 0°, 102°, 258°, 360° stabiles und bei 36°, 180°, 324° labiles Gleichgewicht haben. Ferner sind noch eingezeichnet die Hebelarme von F und die Weglängen F — G, das heißt die Differenzen F, H — F G, F₂ H — F G ... für die verschiedenen Neigungen.

'    § 18a.

¹

Fig. 41 ist in halbem Maßstabe von Fig. 39 und 42 gezeichnet.

²

RH

Berechnung von Gefäßwänden, die unter hydraulischem Druck stehen.

In manchen Lehrbüchern der Festigkeitslehre vermißt man einige Formeln, die zur Berechnung von Gefäßwänden nach dem auf sie ruhenden hydrostatischen Druck benutzt werden können, daher wollen wir dieselben hier entwickeln.

Ein aufrecht stehendes cylindrisches Gefäß, Fig. 350, Tafel 32, soll bis zur Höhe h mit einer Flüssigkeit gefüllt werden, wie stark müssen die Wände und der Boden sein.

Weil der Druck nach unten hin gleichmäßig zunimmt, so wollen wir die Wandstärke, welche genügende Sicherheit gegen einen unten beginnenden Längsriß bietet, berechnen. Zu dem Zwecke betrachten wir einen ringförmigen Abschnitt an der tiefsten Stelle von der Höhe hv Nach der Formel Ph — Fv x₀ y aus § 9 erhalten wir einen wirksamen horizontalen Druck

7-

Die auf Zug beanspruchte Querschnittssläche beträgt 2 h, ö und dadurch lautet die Festigkeitsgleichung da hi dort = 0 ist.

Wenn der Boden des Gefäßes nicht unterstützt ist, oder wenn das Gefäß von oben erfaßt und gehoben werden soll, so wäre noch ein Qnerriß in der Nähe des Bodens möglich. Ein solcher würde einen Flächeninhalt (D -j- (?) 7i 6 besitzen und der wirkende Zug wäre gleich dem Bodendrücke

D² ^ h y. Dadurch ergiebt sich die Festigkeitsgleichung

B²^ h;/ = (D + d'j7rdkz.

Dies ist eine quadratische Gleichung für <) mit der Lösung

2)

|l^ = 2h,(?k

wenn kz die zulässige Zugspannung ist.

Hiernach erhalten wir eine Wandstärke

oder für die tiefste Stelle

1)

3 = -:

Ist 6, was wir bei unsern Formeln voraussetzen müssen, im Verhältnis zu D sehr klein, so können wir die zweite Potenz von <)' vernachlässigen und erhalten als Festigkeitsgleichung

tr-

und daraus

3)

o*

£lö

Fl

Da dieser Wert halb so groß ist wie der nach Gleichung 1) gefundene, so müssen wir immer die letztere benutzen. Hier wäre noch darauf zu achten, daß in Bezug auf die Walzrichtung, die den Formeln 1) und 3) zu Grunde liegenden Beanspruchungen und somit die einzusetzenden Werte von kz verschieden sind. Der Unterschied bei den gebräuchlichen Materialien ist jedoch so gering, daß immer Gleichung 1) die zu benutzende bleibt.

Dieselbe Formel könnten wir auch gebrauchen, wenn das zu berechnende Gefäß geschlossen ist und mit einer Rohrleitung in Verbindung steht, welche zu einem hochgelegenen Reservoir führt. Nach § 7 wäre alsdann unter h die Höhe vom Gefäßboden bis zun: Flüssigkeitsspiegel

im Reservoir zu verstehen. Alle Dimensionen in 1) sind in Millimetern, ^ gemessen und y das Gewicht eines Kubikmillimeters der

kz in

qmm Flüssigkeit.

Ist die Füllflüssigkeit Wasser und wird I) und h in Meter», kz in

kg

qmm

gemessen, so erhalten wir für <) in Millimetern:

Dh

<)' =

Handelt es sich um die Berechnung der Wandstärken von Rohren, so muß noch mit Rücksicht auf ihre Herstellung und ihr Gewicht eine Konstante hinzugefügt werden. Dadurch ergiebt sich

ck — ch -st

4)

2kz

5)

Dh

2kz

Für d'i haben wir nach Weisbach zu setzen:

3    mm bei Eisenblech, 9 „

4    ..

5

„ Gußeiße»,

„ Kupfer,

„ Blei,

4 „ Zink,

Liegt z. B. das Reservoir 50 m hoch, und sollen gußeiserne Rohre von 50 cm Durchmesser verwendet werden, so müssen sie bei kz = 2 eine Wandstärke erhalten von

0,50 - 50 2 - 2

kz ist hier, mit Rücksicht auf die Stöße, welche auftreten, wenn das durch die Rohre fließende Wasser plötzlich gehemmt wird, so niedrig gewählt. Die Bestimmung der Größe dieser Stöße wird später vorgenommen werden.

Sind die auftretenden Drnckhöhen sehr groß, wie z. B. bei hydraulischen Preßcylindern, so würden wir nach Same, aber unter Beibehaltung unserer Bezeichnungen, die folgende Formel benutzen müssen:

d' = 9-i

— 15,2 mm,

6).....d = 500 D

Zl/kz + 0,001 h \ V kz - 0,001 h / ‘

Bezeichnet p die Größe des Druckes in Atmosphären, so erhält die Formel die Gestalt

7).....d = 500 D

(V

0-

kz -f- 0,01 p kz - 0,01 p

Für die Konstruktion des Gesäßes Fig. 350, Tafel 32, von welchem wir bei unsern Betrachtungen ausgingen, fehlt uns noch die Berechnung

der Bodendicke. Diese hängt nun nicht allein von dein darauf lastenden Drucke D² hy, sondern auch von der gewählten Bauart ab. Die Entwicklung der hierher gehörigen Formeln unter gleichzeitiger Berücksichtigung quadratischer und rechteckiger Flächen würde zu viel Platz in Anspruch nehmen. Daher führen wir nur die Formeln*) an und fügen Beispiele bei.

I. Eine mit den Rändern lose aufliegende kreisförmige Platte von D mm Durchmesser, die unter einem Druck von h m Wassersäule steht,

muß bei der zulässigen Maximalspannung kb in

kg

qmm

eine Dicke

8) . . 4 = 0,05 . D

1/4

V 10 kb

0,0158115-D

]/ j'¹ erhalten.

nehmen:

II. Ist diese Platte jedoch an den Rändern eingeklemmt, so ist zu

v~

* 15 kb

= 0,012910 - D

VI-

9) . . . . . d = 0,05 • I)

III. Eine mit den Rändern lose aufliegende rechteckige Platte von der Länge a und der Breite b erhält eine Dicke

10) 4=0,05 -

/0,3 h

V kb 1

CÖ

0,027386 -

lA

b²

j/0,15 -    = 0,019365 a f/-^- -

Für eine quadratische Platte, bei der doch a = b ist, ergiebt sich 11) . . . 4 = 0,05 a

IV. Ist dieselbe Platte an ihren Rändern eingeklemmt, so macht man

12) . <1=0,1

₁ /Ö,05ti b²

V l>

= 0,022361-

b²

k‘

Für a = b, d. h. für eine quadratische Platte wird:

13) . . d = 0,01a|/2,5- k =0,0158114a)/^ •

Ergeben sich nach diesen Formeln für die Ausführung zu große Wandstärken, so müssen die Platten durch Stehbolzen gestützt werden, die in rechtwinklig zu einander stehenden Reihen so angeordnet sind, daß in jede Ecke der entsteheirden Quadrate von der Seitenlänge a einer kommt.

') Die Maße D, a, b sind auf den freiliegenden Teil bezogen, oder die lichten Maße der Unterlage.

Die Wandstärke wird alsdann nach der Formel

1 h

14)    . (? = 0,1 a

v.

G¹

= 0,014 907-a-

berechnet').

k

Welche Dicke müßte der zu dem Abflußrohr Fig. 31, Tafel 2 gehörige gußeißerne Deckel erhalten, wenn kb — 2,5 sein darf.

Nach Seite 40 und 41 ist die wirkende Kraft

p 2    23²7t

P = r² n x₀ y — —. -

43-12.

62,5

12-12-12

lbs.

Denken wir uns den Druck gleichmäßig verteilt²), so kommt auf einen □ " engl.:

²³² i

43-12-

62,5    _ 43 • 62,5

12-12-12—    144

lbs.

Nun ist 1

lb

□" engl.

= 0,070383

kg

— 0,70383 m Wassersäule. Nehmen

qcm

wir an, daß für die Auflage eine Randbreite — 4" gebraucht wird, so ist der lichte Durchmesser — 22" engl. = 558,8 mm.

Unter Benutzung der gefundenen Werte ergiebt sich nach Formel 8)

0,70383-43-62,5

d = 0,0158115 • 558,8 = 20,253 =    20 mm²).

Die Formel 14) können wir auch dazu gebrauchen, die Ankerentfernung a zu bestimmen, wenn zu dem betreffenden Gefäß Blech von bestimmter

144-2,5

*) Zur Erleichterung logarithmischer Berechnungen sei noch gegeben: lg 0,0158115 = lg 0,05 yp = 0,1989 700 — 2 lg 0,012910 = lg 0,05 y* = 0,1109243 — 2 lg 0,027 386 = lg 0,05 \ p = 0,4 375 306 — 2 lg 0,022361 — lg 0,1 ychÖ5 = 0,3494850 — 2 lg 0,014907 = lg 0,1 y^q = 0,1733937 — 2 lg0,019365 = lg0,05 yÖ,l5 = 0,2870156 — 2 lg 0,0158114 = lg 0,01 y^5 = 0,1989 700 - 2 lg 67,082 = lg 10 yiS = 1,8266 062

²) Würden wir annehmen, daß der an der tiefsten Stelle, b. h. (43-12 + 11-unter dem Wasserspiegel, wirkende Druck an allen Stellen der Platte vorhanden wäre, so erhielten wir

(f = 0,0158115 • 22 • 25,3

V (ri2⁺⁴³)

0,3048

— 20,302 mm.

<5,0

Der äußerst geringfügige Unterschied gegen das obige Resultat rechtfertigt die dort gemachte Annahme.

Meißner, Hydraulik. I. 2. Auslage.

Stärke d verwendet werden soll. Durch Umformung von 14) erhalten wir nämlich

15) . . . . a = 10 Vlh-d

In welchen Entfernungen müßten die 6 mm dicken Wände eines rechteckigen Wasserkastens verankert werden, wenn kb = 7 sein darf und das Wasser 1,5 m hoch steht?

Nach Formel 15) ergiebt sich

a = 67,082 • 6

K!

= 67,082 - <)'

Kl-

1/1

" 1,5

— 869,5 —    870 mm.

Aus jeden Bolzen kommt eine Zugkraft uoit

P = 0,001 a²h = 0,001 - 870² • 1,5 = 756,9 -1,5 = 1135,35 kg.

Darf die Spannung kz = 7 sein, so muß der Stehbolzen einen Querschnitt

1135,35

kz

= 162,2 qmm

unb einen Durchmesser von rund 15 mm haben.

Über ein anderes Problem der Festigkeitslehre, mit dem wir öfter zu thun haben werden, sei hier nur eine vorläufige Bemerkung gestattet, da dasselbe im Zusammenhang mit ähnlichen später behairdelt wird. Im § 13 handelte es sich um die Berechnung eines Balkens (oder Brettes der Schutze), der an beiden Enden unterstützt und durch eine gleichmäßig verteilte Kraft beansprucht wurde. Tritt nun zu der gleichmäßig verteilten Last Q noch eine Einzellast P an einer beliebigen Stelle hinzu, so ist davor zu warnen, das Maximalmoment in jedem Falle dort anzunehmen, wo P, oder dort, wo die Resultierende E der Kräfte P und Q angreift. Beide Ansichten findet man in den Lehrbüchern der Festigkeitslehre vertreten.

l) Weitgehende Versuche über die Festigkeit plattenförmiger Körper sind von Bach ausgeführt und die Ergebnisse in der Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure 1890 und in seinem Lehrbuche „Die Maschinenelemente" veröffentlicht. Siehe auch R. Bredt, Festigkeit von Röhren und Kugelschalen mit innerm und äußerm Druck, Zeitschr. d. V. deutscher Ingenieure 1898.

h—I

Hydrodynamik.

A. Ausfluß aus allseitig begrenzten Öffnungen.

Viertes Kapitel.

Wirkung bewegter Wassermassen.

§ 19.

Wirkung einer Wassermasse durch ihr Gewicht.

Die theoretische Leistung oder der sogenannte absolute Effekt einer Wasserkraft ohne Berücksichtigung der Nebenhindernisse, wie Reibnngs-widerstände, Stoßverlnste n. dgl. ist gleich dem Gewichte des znr Wirkung kommenden Wassers multipliziert mit seinem Gefälle, also gleich

QHpg

QH "kgm oder

wenn Q in Litern gemessen ist und H in Metern. Ist jedoch Q in Kubikmetern gegeben, so lauten die beiden Werte

1000 QH "kgm oder

1000 QH 40

75

^QHPS.

o

Unter der wirklichen Leistung oder dem sogenannten Nutzeffekte versteht man dagegen den dnrch einen Motor in nützliche mechanische Arbeit verwandelten Teil des absoluten Effektes einer Wasserkraft, also diejenige Arbeitsgröße, welche nach Abzug sämtlicher Verluste dnrch Reibung, Stoß n. s. w. von der theoretischen Leistung übrig bleibt.

Bei einer Turbine z. B. bestehen diese Verluste, die im ganzen genommen von 20°/o bis 70°/₀ der ganzen theoretischen Leistung schwanken, in den Reibnngswiderständen des Wassers in der Zuleitung beim Durchfluß dnrch den Motor, in den Stoßverlnsten beim unregelmäßigen Dnrch-

fluß durch die Kanäle, sowie in der lebendigen Kraft, welche das aus dem Motor fließende Wasser vermöge seiner absoluten Ausflußgeschwindigkeit noch besitzt.

Das Verhältnis des Nutzeffektes zu dem absoluten Effekte heißt das Güteverhältuis und wird in Prozenten oder als Dezimalbruch geschrieben.

1. Welchen Nutzeffekt in Pferdestärken giebt eine Wasserkraft von 3 cbm Wasser in der Sekunde bei einem Gefälle von 2,5 m, wenn das Güteverhältnis oder die Nutzleistung des Wasserrades 75°/,, beträgt?

Es ist die absolute Leistung

"'IM

3-1000-2,5

75

100 PS

und der Nutzeffekt:

0,75 -100 — 75 PS.

2. Welche Nutzleistung (Güteverhältnis) in Prozenten soll ein Motor entwickeln, wenn eine absolute Wasserkraft von 95 PS 40 PS Nutzleistung ergeben soll?

Es ist

40

'    95

= 0,42.

3. Welche Wassermenge ist erforderlich, um bei einem Gefälle von 10 m und einer Turbine als Motor, welche 73°/₀ Nutzeffekt entwickelt, eine Nutzleistung von 95 PS zu erzielen?

Es ist

0,73-QH

75

= 95 PS

oder

folglich

0,73 • QH = 75 • 95,

75-95_ 75 -95

0,73 H—<>,73 10

= 9761 in der Sekunde¹).

4. Welches Gefälle ist notwendig, um mit einer Wassermenge von 0,890 cbm in der Sekunde eine Nutzleistung von 35 PS zu erzielen, wenn das Güteverhältnis der Turbine 0,68 beträgt?

0,68 - QH

Es ist:

oder

35 PS 0,68 QM = 75-35,

75

demnach

75-35    75-35

0,68 • Q 0,68 - 890

4,34 m.

tz Hierfür schreibt man auch 976 "1.

Tabelle über die absoluten Effekte der Wasserkräfte. Produkte der Gefälle und Wafsermcngcn.

Wassermenge in Litern per Sekunde

Absoluter Effekt der Wasserkraft bei einem Gefälle

von

0,75 m 1,00 m j 1,25 m 1,50 m 1,75 m 2,00 m 2,25 m

" kgm " kgm

"kgm

" kgm

" kgm

"kgm

" kgm

50

75

37,50

51,25

o< o

75

150

175

93,70

112,55

131,25

0»0 0 io .lO I> O CQ

H r-H

150

62,5

93,7

125

75

87.5

112,5

142,4

100

150

150

175

200

112,5

168,7

225

150

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

1 000 1050 1 100 1 150 1200 1 300 1400 1 500 1 600 1 700 1800

j“ r^V IC O oo" O istW o N iCi W O liO IN O »O N O lO O istO

iO O iO O IO o o

O 03 lO N O lO

rH 03    03 oq 00 00

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

1 350

1 425 1 500

1000 1 050 1 100 1 150 1200 1 300 1 400 1 500 1 600 1.700 1 800

156,2

187,5

208,7

187,5

225

262,5

218,7

262,5

306,2

250

300

350

250

300

350

400

271,2

337,5

393,7

450

281,2

312,5

343,7

337,5

375

412,5

393,7

487,5

481,2

450

500

516,2

562,5

618,7

375

450

525

675

437,5

525

500

600

612,5

700

662,5

675

725

750

737,5

825

750

812,5

875

937,5 1000 1 062,5 1 125 1 187,5 1250 1 312,5 1375 1 437,5 1 500 1 625 1 750

1    875

2    000 2 125 2 250 2 375

1 125 1 200 1 275

1350 1425 1500 1575 1 650 1 725 1800

1    950

2    100 2 250 2 400 2 550 2 700

700

800

787,5

900

787,5

900

875

962,5 1050 1 137,5 1225 1 312,5 1400 1 487,5 1575 1 662,5 1750

1    837,5 1925

2    012,5 2 100

2 275 2 450 2 625 2 800

1 000 1 100 1200 1800 1400 1 500 1 600 1 700 1800

1    900

2    000 2 100 2 200 2 800

2    400 2 600 2 800

3    000 3 200 3 400 3 600

1 012,5 1 125 1 237,5 1 350 1 462,5 1575

1    687,5 1800 1913

2    025 2 137 2 250 2 362 2 475 2 587 2 700

7    875 9 000

Wassermenge in Litern

0,75 m 1,00 m 1,25 m

1,50 m 1,75 m ' 2,00 m 2,25 m

Tabelle über die absoluten Produkte der Gefälle

Effekte der Wasserkräfte, und Wassermengen.

Wassermenge in Litern per Sekunde

Absoluter Effekt der Wasserkraft bei einem Gefälle

von

2,50 m 2,75 m

3,00 m 3,25 m

3,50 m ; 3,75 m 4,00 m

Wassermenge in Litern per Sekunde

Absoluter Effekt der Wasserkraft bei einem Gefälle

von

4,25 m

4,50 m 4,75 m 5,00 m 5,50 m 6,00 m 7,00 m

kgm

"kgm

" kgm

" kgm

SM

^ CO CO to CO i—

l| lllllll®|gtilg 11! 1 = 1§53

2 S OOOOOOOOOOO © © OOOOOOOOOOOOOOOOOO^OOTOCO^O^O

125

150

187,5

225

185

" kgm 200

"kgm

250

275

300

281,2

300

312,5

375

437,5

500

562,5

625

687,5

750

875

1000 1 125 1 250 1375 1 500 1 625

1    750 1835

2    000 2 125 2 250 2 375 2 500 2 625 2 750

8    750 10 000

CDOOaCnüi^^^^OJCOMCOOSCOCOlODOtOtOtO

343,7

412,5

481,2

375

450

525

600

675

750

825

900

1 050 1 200 1 350 1500 1 650 1 800

O tO in *vl O DO CTv] O Vx O Cn

10 500 12 000

370

400

468,7

555

656,2

500

600

700

O io

»O L» O CN »O

212,5

318,7

" kgm

225

337,5

" kgm

" kgm

" kgm

"kgm

"kgm

O IO o

425

450

475

250

375

550

275

412

550

300

350

450

600

525

700

740

800

175

832,5

900

200

531,2

637,5

733,7

562,5

675

787,5

593,7

712,5

831,2

625

687

875

850

900

950

t>ooo

825

962

925

1 031,2 1 110

1 295 1480 1665

1    850

2    045 2 220 2 405 2 590 2 775

2    900

3    145 3 300 3 515 3 700

6    290 6 660

7    030 7 400 9 250

11 100 12 950 14 800

1 000 1 100 1200 1400 1 600 1800 2 000 2 200 I 2 400 2 600 2 800 3 000 3 200 3 400 3 600

3    800

4    000 4 200 4 400 4 600

8    000 10 000 12 000 14 000 16 000

225

250

275

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

1000 1050 1 100 1 150 1 200 1 300 1400 1500 1 600 1 700 1800

956,2 1 062,5 1 168,7 1 275 1 487,5 1 700

1    912

2    125 2 337 2 550 2 762

2    975 3187

3    400 3 612

3    825 4137

4    250 4 462 4 675

8    075 8 300

10 625 12 750 14 875 17 000

1 012 1 125 1 237 1 350

1    575 1 800

2    025 2 250 2 475 2 700

2    925 3150

3    376 3 600

3    825

4    050 4 275 4 500 4 725

9    000 11 250 13 500 15 750 18 000

1 069 1 187 1 306 1 425 1 662 1 900

CDr42 00Q0*<l*<lO5OiCrfüiOi|^)4:^^i4^i4^0505D5C.0b0bCt0D0

1 125 1250 1 375 1 500

4    000 4 250 4 500 4 750

5 000 5 250 5 500

9    000 9 500

10 000 12 500 15 000 17 500 20 000

1 100 1 237 1375 1 512 1 650

1    925

2    200 2 475

2    750

3    025 3 300 3 575

3    850 4125

4    400 4 675

8    250 8 800

9    350 9 900

10 450 11000 13 750 16 500 19 250 22 000

1050 1 200 1 350 1 500

1    650 1 800

2    100 2 400

9    000 9 600

10 200 10 800

11    400

12    000 15 000 18 000 21 000 24 000

1050 1 225 1400 1 575 1 750

1    925

2    100

2    450 2 800

3    150 3 500

10    500 11200

11    900 12 600

13    300

14    000 17 500 21 000 24 500 28 000

2,50 m 2,75 m 3,00 m 3,25 m 3,50 m 3,75 m 4,00 in

Wassermenge in Litern

4,25 m

4,50 m 4,75 m 5,00 m 5,50 m 6,00 m 7,00 m

Nutzleistung der Wasserkräfte in Pferdestärken

bei verschiedenen Güteverhältnissen in Prozenten.

Absoluter Effekt in

Nutzleistung in Pferdestärken (ä 75 " kgm) bei einem Güteverhältnis von

"kgm

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

50

75

100

125

150

175

200

225

250

275

300

350

400

450

500

550

600

. 650

700

750

800

850

900

950

1 000 1 050 1 100 1 150 1200 1300 1400 1 500 1 600

1    700 1 800 1900

awoaoscöiOMOocooooo^^ioaaaoiOTOi^^^WMCotototOHMMMM-ioooo

0,37

0,55

0,73

0,92

1,10

1,27

1,46

1,65

1,83

2,01

2,20

2,56

2,93

3,30

3,66

4,03

4,40

4,77

5,13

5,50

5,86

5,23

6,60

6,97

7,33

7,70

8,06

8,43

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

2,40

2,80

3,20

3,60

4,00

4,40

4,80

5,20

5,60

6,00

6,40

6,80

7,20

7,60

8,00

8,40

8,80

9,20

0,43

0,65

0,87

1,09

1,30

1,52

1,73

1,95

2,15

2,39

2,60

3,03

3,47

3,90

4,34

0,47

0,70

0,94

1,17

1,40

1,63

1,87

2,10

2,34

2,57

2,80

3,27

3,74

4,20

4,67

4,77    5,14

5,20

5,63

6,07

6,50

6,91

7,37

7,80

8,23

8,67

9,10

9,54

9,97

8,80

0,50

0,75

1,00

1.25

1.50

1.75

2,00

2.25

2.50

2.75 3,00

3.50

4,00

4.50 5,00

5.50

5,00

6,07

6,00

6,50

6,54

7,00

7,47

7,91

8,40

8,87

9,34

9,80

10,27

10.74 11,20 12,13 13,07 14,00 14,94 15,87 16,80

17.74

18,67

23.34 28,00 32,67

37.34

7,00

7,50

8,00

8,50

9,00

9,50

10,00

10.50

11,00

11.50 12,00 13,00 14,00 15,00 16,00 17,00 18,00 19,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00

" kgm

0,50

0,55

0,60

0,65 i 0,70

0,75

§ 20.

Wirkung einer Wassermasse durch ihre Geschwindigkeit.

Läßt man eine Wassermasse unter der Einwirkung einer Kraft sich fortbewegen, ohne daß sie einen Widerstand überwindet, so nimmt sie eine gewisse Geschwindigkeit an und wird dadurch zu einem Magazin von Kraft, das ebenfalls im stände ist, einen Widerstand zu überwinden.

Dasselbe ist mit den aus Gefäßen oder Rohrleitungen mit einer bestimmten Geschwindigkeit ausfließenden Wassermassen der Fall.

Hat z. B. auf Wasser von der Masse 1 eine Kraft gi während eines Weges h eingewirkt, ohne daß dieselbe einen Widerstand überwinden mußte, so wird die Bewegung der Wassermasse eine gleichförmig beschleunigte gewesen sein, wie beim freien Fall durch die Höhe h bei einer beschleunigenden Kraft gt. Es besitzt daher eine Wassermasse, welche die Geschwindigkeit v erlangt hat, das Vermögen, einen Widerstand, der ihre Geschwindigkeit in jeder Sekunde um g vermindert, durch einen Weg 0

i — y2 2 g

zu überwinden, ehe sie zur Ruhe kommt. Nun vermindert die Schwere die Geschwindigkeit der senkrecht aufsteigenden Masse eines Kilogramms in einer Sekunde um g — 9,8088 m. Bei einer Verminderung der Geschwindigkeit um 9,8088 m beträgt daher der Widerstand 1 kg, bei

kg und bei einer

einer Verminderung um 1 m beträgt er somit J

y,oUoo

Verminderung von 8 m würde der Widerstand

9,8088

kg betragen.

Das Vermögen, einen gewitzen Widerstand zu überwinden infolge der vorhandenen Geschwindigkeit, heißt die Wirkungsfähigkeit oder lebendige Kraft einer Masse und beträgt nach dem obigen z. B. für 1 1 Wasser, welches die Geschwindigkeit v erreicht hat:

gi

kgm,

v¹

2 g, 9,8088    2 • 9,8088

da 1 1 Wasser 1 kg wiegt.

Dieselbe Arbeit würde geleistet werden, wenn 1 1 Wasser durch die

y 2

oder fiele. Den Ausdruck

Höhe

v¹

nennt man, weil er

CsQ

2-9,8088

die Geschwindigkeit enthält, die Geschwindigkeitshöhe.

2g

Eine Wassermasse von Q Litern, welche mit einer Geschwindigkeit v aus einem Gefäße oder einer Rohrleitung ausfließt, besitzt also eine lebendige Kraft von

V²

Q h— kgm

yü

Cf? ijC

oder

il die Masse,

Versteht man unter Q das Gewicht des Wassers, so ist

da nach den Begriffen der Mechanik eine Kraft (hier das Gewicht Q) gleich Masse (M) mal Beschleunigung (g) ist.

Hiernach kann man die lebendige Kraft auch schreiben

V²

MT'

fte ist also dem Quadrat der Geschwindigkeit proportional.

Die geführten Erörterungen zeigen uns auch, daß der Zuwachs an lebendiger Kraft gleichder verrichteten mechanischen Arbeit ist.

§ 21.

Wirkung einer Wassermasse durch Reaktion.')

Da in einer eingeschlossenen Wassermasse in derselben Horizontalebene der Druck auf jedes Flächenelement gleich ist, so werden in Fig. 44 Tafel 3 die gleich großen Flächen a und b denselben Druck P erleiden. Gestattet man bei a dem Wasser den Austritt, so wird bei b die Kraft P aus Fortbewegung des Wagens wirken.

Wird ein mit Wasser gefülltes Gefäß (Fig. 45) an einem Faden aufgehängt, so nimmt es eine solche Lage ein, daß der Schwerpunkt der ganzen Masse vertikal unter dem Aufhüngepunkt liegt. Sobald aber aus einer Seite bei a eine Öffnung frei gemacht wird und demnach dort der Druck aufgehoben wird, so findet eine Bewegung des Gefäßes durch den Druck P statt. Auf diesem Drucke, oder der sogenannten Reaktion des ausfließenden Wasserstrahles, beruht das Segnersche Wasserrad und die Reaktionsturbinen.

Bei dem Segnerschen Wasserrade²), Fig. 46, fließt das Wasser aus niehreren horizontalen und radial verlaufenden Röhren seitlich aus und

') Siehe auch § 50 und Dickt, „Über Aktion und Reaktion einer Flüssigkeit", Linz. ²) Von der Reaktionsarbeit beim Segnerschen Wasserrade handelt § 50a.

bewirkt infolge der Reaktion der Wasserstrahlen eine Umdrehung des Rades in der angegebenen Pfeilrichtung.

Bei der Reaktionsturbine von Fourneyron (Fig. 47 und 48) tritt das Wasser aus einem Behälter oder Wasserkasten A in einen ringförmigen Raum B und wird durch die im unteren Teile desselben angebrachten Leitkanäle C (Fig. 48) von der radialen Richtung abgelenkt und in günstiger Weise ohne Stoß in die Kanäle D des Turbinenrades E geleitet , welches sich konzentrisch um den mit den Schaufeln b versehenen untern Teil des Raumes B dreht.

Das Turbinenrad ist auf einer drehbaren Welle F befestigt, wird durch die Reaktion der ausfließenden Wasserstrahlen in der Richtung des Pfeiles (Fig. 48) umgedreht und die so entwickelte Arbeit wird durch die Welle F weiter geleitet, um auf beliebige Weise nutzbar gemacht zu werden.

Bei der Turbine von Jonval-Hentschel-Fontaine (Fig. 49) sind die gebogenen Kanäle nicht in konzentrisch ineinanderliegenden, sondern vertikal übereinander befindlichen Rädern B und C angebracht. (Fig. 50 zeigt einen cylindrischen abgewickelten Schnitt der Schaufeln.)

Bon den Rädern steht das obere, das sogenannte Leitrad B, fest und dient nur dazu, das Wasser aus dem Wasserkasten A ohne Stoß in die Kanäle des Laufrades C einzuführen.

Die genaue Bestimmung der Wirkungsweise des Wassers und der vom letztern bei gegebenen Verhältnissen entwickelten Arbeitsgröße, ferner die Festsetzung der vorteilhaftesten Dimensionen sämtlicher Bestandteile der Turbinen ist eine sehr verwickelte weitläufige Sache und wird mit der Hauptgegenstand des zweiten Bandes unseres Werkes sein, daher wollen wir an dieser Stelle nicht näher darauf eingehen. Bemerkt möge nur noch folgendes werden:

Wenn die Kanäle des Rades (Fig. 48) an dem Umfange tangential in horizontaler Richtung verlaufen und sich rückwärts mit derselben Geschwindigkeit bewegen, als das ausfließende Wasser sich relativ vorwärts bewegt, so hat das aus den Kanälen austretende Wasser keine absolute Bewegung mehr im Raume. Es ist daher leicht einzusehen, daß das Wasser in diesem Falle vermöge der Reaktion seine ganze lebendige Kraft an das sich drehende Rad abgiebt. In einer so vorteilhaften Weise kann nun freilich die lebendige Kraft des Wassers durch eine Turbine niemals ausgenutzt werden, weil, abgesehen von den mannigfaltigen Reibungs-widerstäuden des Wassers, sowohl in der Zuleitung bis zu den Kanälen, als auch in den Kanälen selbst, ein tangentialer Ausfluß des Wassers für größere Wassermengen niemals erreicht werden kann, so daß das Wasser immer noch einen Teil seiner absoluten Geschwindigkeit beibehält, welcher für die auf das Rad übertragene Kraft verloren geht.

§ 22.

Der hydraulische Widder.

Die lebendige Kraft einer Wassermasse kann mit Hülfe des hydraulischen Widders oder Stoßhebers dazu benutzt werden, einen Teil dieser Wassermasse auf eine Höhe zu heben, die im Vergleich zu dem kleinen verfügbaren Gefälle sehr bedeutend ist.

Nach den Ausführungen des § 20 haben P kg Wasser, die mit der Geschwindigkeit v ausströmen, eine Wirkungsfähigkeit

kgm.

Sie sind daher im Stande eine Kraft von (j, kg durch den Raum von H m zu bewältigen, wenn

= QH.

P v2 2 g

Da es in diesem Allsdruck nur auf das Produkt Q H ankommt, so

y 2

DO

könnte man beispielsweise vermöge der lebendigen Kraft ^ = 300 kgm

eine Wassermenge von 300 1 aus 1 m Höhe heben, oder 100 1 aus 3 m.

Aus einem Behälter oder einem Flusse A Fig. 82 Tafel 5 wird das Wasser dem Widder durch ein geneigtes Rohr B zugeführt. In einem kurzen weiten Stutzen C befindet sich ein Sperrventil D. Am Ende des Rohres B ist ein sich nach dem Windkessel E öffnendes Auslaßventil F angebracht. Vom Boden des Windkessels aus geht das Steigerohr Gr ab, um das Wasser in den anzufüllenden Behälter zu leiten. Zwischen dem Sperr- und Auslaßventil ist ein dünnes Rohr J abgezweigt, das oben ein Rückflußventil und dicht darunter ein Schnüffelventil oder eine kleine Seitenöffnung hat, deren Weite durch eine Schraube verstellt werden kann. Das Kopfstück des Rohres J ist durch ein dünnes Rohr L mit dem unter F befindlichen Teile des Rohres B in Verbindung gesetzt.

Ist der Widder in Thätigkeit, so fließt durch C so viel Wasser aus, daß durch die entstandene lebendige Kraft das Ventil I> gehoben und geschlossen wird. Die noch in Bewegung befindliche Wassermasse, welcher nun der Weg durch 6 versperrt ist, drängt weiter und öffnet das Auslaßventil F und preßt so viel Wasser in den Windkessel E, daß der dort auftretende Druck dein andrängenden Wasser das Gleichgewicht hält. Gleichzeitig wird die Luft, ungeachtet des geringen Verlustes durch das Schnüffelventil, so stark in J zusammengepreßt, daß das Rückflußventil sich öffnet und durch L etwas Luft nach E gelangt. Aus dem Windkessel E wird das eingedrungene Wasser vermöge der vermehrten Spannung durch das Rohr Gr getrieben.

Sowie das Gleichgewicht hergestellt und somit F geschlossen ist, wird das Sperrventil D sich öffnen und das in J sinkende Wasser durch das Schnüffelventil Luft einsangen, darauf beginnt dann wieder der oben beschriebene Vorgang des Wasserhebens. Dabei entstehen Oszillationen, welche die Wirkung auf die Ventile begünstigen.

Fig. 83 zeigt den von Montgolfier in St. Cloud bei Paris zuerst hergestellten Stoßheber oder hydraulischen Widder, welcher sich von dem in Fig. 82 dadurch unterscheidet, daß zwei ineinander liegende Windkessel angebracht sind. Es ist hier A B das Ende des Leitungsrohrs, D das Sperrventil, E der Windkessel mit dem Steigrohre Gr. Außerdem ist aber noch ein zweiter Windkessel M angebracht, welcher einerseits durch das Rohr C mit der Ventilkammer B, andererseits durch die beiden Steigventile F, F mit dem äußeren Windkessel E kommuniziert. Die Wirkung des inneren Windkessels besteht darin, daß er die nachteiligen Wirkungen des Stoßes aufhebt, welcher durch das plötzliche Auf- und Zusperren des Sperrventils I) entsteht, wodurch einerseits der Apparat mehr geschont wird, während andererseits die Wirksamkeit desselben größer ist.

Statt des Zweigrohres J L der vorigen Figur ist an der tiefsten Stelle des Windkessels E noch ein Mundstück N angebracht, welches mit einem kleinen sich nach innen öffnenden Ventile versehen ist. Dieses Ventil öffnet sich bei der rückgängigen Bewegung des Wassers im Rohre A B, sowie der Druck in demselben unter den Druck der äußeren Atmosphäre sinkt und es dringt daher bei jedem Spiele eine kleine Luftmenge in den Windkessel M ein, so daß beide Windkessel immer die erforderliche Luftmenge beibehalten.

Das Sperrventil D befindet sich öfter in einer Fortsetzung des Rohres B (Fig. 82) nach links und hat die in Fig. 122 Tafel 7 gegebene Form.

Die Theorie des Stvßhebers kann erst später gebracht werden.

Eine andere Konstruktion eines hydraulischen Widders ist von Pasek ausgeführt und in der Revue industrielle 15. Dez. 1894 S. 495 von

Marnier beschrieben. Die zu hebende Flüssigkeit ist von der hebenden durch gewellte Blechscheiben getrennt und durch Ausbauchung der letzteren beim Stoß wird das Heben verursacht.

§ 23.

¹

) Siehe hierüber § 24.

Der Saugheber.

Zur Entleerung von Gefäßen wird vielfach der Saugheber (Fig. 84) benutzt. Er besteht in einem gebogenen Rohre A B C D, durch welches das Wasser oder eine andere Flüssigkeit aus dem Gefäße M in das Gesäß N befördert werden soll. Die Höhendifferenz der Wasserspiegel sei h. Diese oder nur die Höhe C D, wenn das Ende D nicht in das Unterwasser taucht, verursacht die Bewegung, jedoch muß das Rohr erst mit Wasser angefüllt werden. Da auf die Mündung D die Atmosphärenpressung ruht, so darf die Entfernung von D bis zum obersten Punkte B des Hebers nicht mehr als die zugehörige Wassersäule von rund 10 m betragen, weil sonst die Bewegung aufhören würde. Wegen der im Rohre auftretenden Reibungswiderstände muß die betreffende Höhe noch geringer sein.

Mit Hülfe des Hebers kann auf einfache Weise ein regelmäßig unterbrochener und von selbst wieder eintretender Ablauf des Wassers aus Gefäßen erzielt werden, wie Fig. 86 zeigt. Durch ein gebogenes Rohr C, das einen Heber bildet, fließt das Wasser sogleich aus dem Gefäße A B ab, sobald der Wasserstand in demselben bis an den obersten Punkt C des Rohres reicht, und zwar dauert das Ausfließen so lange, bis der Wasserspiegel im Gefäße bis an die Mündung a des kürzeren Rohrschenkels gefallen ist. Durch derartige Einrichtungen kann der Wasserstand in Bewässerungskanälen auf sehr einfache Weise innerhalb beliebiger Grenzen reguliert werden. Felsspalten in Heberform (Fig. 85) sind auch die Ursachen der intermittierenden Quellen. Steht eine solche Spalte ABC mit einer Höhlung M im Innern des Bodens in Verbindung, in welcher sich Wasser ansammelt, so wird ein Ablauf des Wassers erfolgen, sobald der Wasserstand in der Höhlung die höchste Lage B der Felsspalte erreicht hat und es wird der Ablauf so lange andauern, als der Wasserspiegel in M noch höher liegt als die Mündung C der Spalte ABC.

Der Ausfluß bleibt dann so lange unterbrochen, bis das Wasser in der Höhlung wieder höher steht als der Punkt B.

Eine interessante und wichtige Anwendung hat das Prinzip des Hebers bei der Zuleitung des Wassers zu den Turbinen bei gewissen

Lokalverhältnissen gefunden und zwar wurde sie zuerst von dem bekannten Ingenieur Girard gemacht.

Hat nämlich bei einer Wasserkraft mit großer Wassermenge und geringem Gefälle der Wasserstand im Zuflußkanale A eine solche Lage gegen denjenigen im Ablaufkanale D, daß man durch die Niveaudifferenz h nicht genügenden Raum zur Anlage der Turbine samt Zulauf mit gehörigem Querschnitte erhält, und gestatten die Lokalverhältnisse keine Tieferlegung der Turbine, sei es wegen Verminderung ihrer Nutzleistung ober wegen der Unmöglichkeit vorzunehmender Grundbauten, Sprengungen u. bergt., so wird das Wasser der Turbine durch einen Heber B aus dem Wasserkasten A (Fig. 87) zugeführt, wodurch die sämtlichen Schwierigkeiten der Anlage auf eine einfache Weise umgangen werden. Die Kanäle des Leitrades der Turbine sind mit schließbaren Klappen versehen.

Im oberen Teile des Hebers B wird beim Ingangsetzen mit Hilfe einer kleinen Luftpumpe ein lustverdünnter Raum erzeugt, wonach derselbe sich mit Wasser aus dem Kasten A anfüllt. Jetzt wird das Wasser von selbst zufließen, wenn die Klappen des Leitrades geöffnet werden, ohne dadurch mehr an Kraft zu verlieren, als den Reibungswiderständen des Wassers im Heberrohre entspricht, und den Verlust an lebendiger Kraft beim Durchfluß durch das doppelt gekrümmte Rohr, welche Verluste bei genügender Weite des Rohres und nicht zu plötzlichen Krümmungen desselben nicht über einige Prozente betragen.

Die Theorie des Saughebers kann erst nach den Gesetzen der Reibungswiderstände erörtert werden.

Fünftes Kapitel.

Besondere Bewegungsarten der Wasserstrahlen.')

§ 24.

Freier Fall der Wasserstrahlen.

Wird beim Fall des Wassers vom Luftwiderstand abgesehen, so gelten dieselben Gesetze wie beim freien Fall fester Körper.

Die Bewegung des Wassers erfolgt immer unter dem Einfluß der Schwerkraft oder der Anziehung der Erde, deren Intensität für alle praktischen Verhältnisse (wo die Entfernung vom Mittelpunkt der Erde als gleich groß angenommen und der Breitengrad nicht in Betracht gezogen wird) die gleiche bleibt. Die Bewegung der fallenden Wassermasse wird daher immer eine gleichförmig beschleunigte sein.

Hat nun eine Wassermasse, die frei von einer Höhe herunterfällt, unter der Einwirkung der Schwere nach einer gewissen Zeitdauer eine bestimmte Geschwindigkeit v erlangt, so würde sie vermöge ihrer Trägheit auch im zweiten Zeitteilchen mit dieser Geschwindigkeit fortgehn, wenn die Schwerkraft nicht weiter auf sie einwirken würde. Die Einwirkung der Schwerkraft während des zweiten Zeitteils verursacht eine weitere Geschwindigkeitszunahme um v, und sie muß daher am Ende des zweiten Zeitteils die Geschwindigkeit v -[- v = 2 v besitzen. Auf diese Weise fortgehend erlangt die fallende Wassermasse am Ende des n. Zeitteilchens eine Geschwindigkeit n v.

i)

Wird die auf diese Weise nach einer Sekunde erlangte Geschwindigkeit oder die Geschwindigkeitszunahme (Beschleunigung) in jeder Sekunde mit g bezeichnet, so ist die Geschwindigkeit am Ende von t Sekunden ___ c = gt

¹) Von verschiedenen andern Eigenschaften der Wasserstrahlen handelt das Schlußkapitel unseres Abschnittes A.

Der Wert von g ist zwar für verschiedene Punkte der Erde verschieden, man rechnet aber nach den oben gegebenen Vernachlässigungen i» der Praxis immer mit

g — 9,8088 in,

welche Zahl für Paris genau richtig ist.

Um nun die von einem fallenden Körper in t Sekunden durchlaufene Höhe zu finden, hat man zu bedenken, daß die Geschwindigkeit gleichmäßig von 0 bis g t zugenommen hat und demnach der Körper mit der mittleren Geschwindigkeit 1 g t denselben Raum durchsallen hätte. Dieser ist folglich h = 4 g t • t = 4 g t² .    .    .    .

Durch Einsetzung des Wertes von t aus 1) findet man

2)

c-

h 2g'

c = V2 g h, h=2g-

Für einen aus einer Rohrleitung, Pumpe oder Feuerspritze vertikal in die Höhe geworfenen Wasserstrahl gelten dieselben Formeln. Es steigt nämlich ein Körper, der mit der Anfangsgeschwindigkeit c emporgeworfen

(3 2

wird, bis zur selben Höhe h —    , von der er herabfallen müßte, um

- - 3)

6aß

die Endgeschwindigkeit c zu erreichen.

Die im § 24b folgende Tabelle enthält bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes für verschiedene Fallhöhen sowohl die erlangte Endgeschwindigkeit, als auch die entsprechende Dauer des Falles.

Beispiele.

1.    Welche Höhe hat ein Körper nach 45 Sekunden durchfallen?

h == i g t» = 1 - 9,8088 - 45² = 9922 in.

2.    Welches ist die erlangte Endgeschwindigkeit desselben Körpers?

c = gt = 9,8088 - 45 = 441,396 m.

3.    Wie lange muß ein Körper fallen, um eine Geschwindigkeit von 600 in zu erlangen?

600

g 9,8088

= 61,16 Sekunden.

4. Wieviel Zeit braucht ein Körper, um durch eine Höhe von 1000 m

zu fallen?

v²i=v

2-1000 9,8088

— 14,28 Sekunden.

5. Durch welche Höhe muß ein Körper fallen, um eine Geschwindigkeit von 300 m zu erlangen?

4587,7 m.

, _ c² _ 90000 ¹    2 g 2-9,8088

6. Ein Wasserstrahl wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 245,22 m vertikal in die Höhe geschleudert. Wie lange und wie hoch würde er steigen, wenn der Luftwiderstand nicht wäre?

Man hat

245,22

9,8088

25 Sekunden.

für die Dauer der Steigung und

h = ^ g t² = | 9.8088 • 25² = 3065,25 m

für ihre Höhe.

7. Um die Tiefe eines Brunnens zu messen, in welchen mau nicht hinuntersteigen kann, läßt man einen Stein in denselben fallen und beobachtet die Zeit, welche vergeht, bis man den Stein auf das Wasser schlagen hört. Wie tief ist nun ein bestimmter Brunnen, wenn diese Zeit 3 Sekunden beträgt.

Vorweg sei noch bemerkt, daß der Schall in einer Sekunde v — 337 m zurücklegt. Nennt man x die gesuchte Tiefe des Brunnens und T die Zeit, welche zwischen dem Loslassen des Steines und der Ankunft des Schalles verstreicht, so ist zunächst nach Formel 2)

t = l/~

r g

die Zeit, welche der Stein zum Fallen braucht. Während der Schall vom Wasserspiegel an das Ohr des Beobachters gelangt oder den Weg x

zurücklegt, wird eine Zeit — * Sekunden verstreichen. Es ist daher

CO

oder

2Tx x-v" ' v² '

Dies ist eine quadratische Gleichung für x mit der Lösung x —    1 g T + v ± g T -)- v | •

337

9,81

Setzt man diese Formel für v, g und T ihre Werte ein, so erhält mau {9,81 • 3 + 337 ± j/337 (2 • 9,81 • 3 + 337)} ,

§ 24a.

Wirkliche Geschwindigkeit fallender Wasserstrahlen unter Beriicksichtigung des Luftwiderstandes.

Aus der hierher gehörigen Formel für den Fall eines festen Körpers in einem Medium, das dem Quadrate der Geschwindigkeit proportional lvidersteht, folgt, daß die Beschleunigung nach unendlich langer Zeit gleich Null ivird und somit der Körper dann in gleichmäßiger Geschwindigkeit weiterfällt.

337

oder

(336,43 ± 365,24)

x, = 25134,9, x₂ = 40,8.

Bon beiden Werten ist natürlich nur x₂ möglich.

X 9,81

Bei einem Wasserstrahl tritt nun dieser Zeitpunkt früher ein und zwar dann, wenn die Fallhöhe 50 m beträgt. Zugleich wird der Wasserstrahl gänzlich aufgelöst, auch wenn sein Querschnitt groß ist. Der Widerstand nimmt nämlich um so mehr zu, je kleiner der Querschnitt ist.

Für Wassermassen von bedeutendem Querschnitte (eigentliche Flüsse mit 0,5 bis 1 cbm Wasser in der Sekunde) kann der Luftwiderstand bis auf 10 m Geschwindigkeit des fallenden Wassers vernachlässigt werden.

Gegen das Ende einer großen Fallhöhe zu vermindert sich sogar die Geschwindigkeit und zwar so, daß sie bei ungefähr 50 m durchsallener Höhe, d. h. im Augenblick des Auflösens des Strahles, ein Maximum wird und langsam abnimmt.

Wasserstrahlen von kleinerem Querschnitte zerteilen sich schon bei geringerer Geschwindigkeit; doch darf man annehmen, daß bei einem Strahl von 5 bis 10 qcm Querschnitt die Verminderung der Geschwindigkeit von 10 bis zu 20 m nur ungefähr ¹ji bis ¹/₅ der theoretischen Geschwindigkeit beträgt.

§ 24b.

Graphische Darstellung der Fallgesetze.

Fig. 65 Tafel 4 giebt eine graphische Darstellung der Fallgesetze, welche, in etwas größerem Maßstabe mit genauer Einteilung ausgeführt, die Tabellen über die Ausflußgeschwindigkeiten leicht ersetze:^ könnte und zudem eine anschauliche Übersicht über die Verhältnisse gewährt, wie die Formeln und Tabellen eine solche nicht bieten können.

rH

LO

Hydrodynamik.

Die untere horizontale Einteilung A B Fig. 65 drückt die Fallhöhen bis zu 12,5 m, die vertikale A C die Fallzeiten t in ¹ I₁₀ Sekunden und die obere horizontale CD die erlangten Geschwindigkeiten c bis zu 25 m aus.

Die parabolische Kurve AaD¹) ist nach der Formel h = | g t² ausgeführt und giebt das Verhältnis der Quadrate der Zeiten zu beit durchfallenen Räumen an. Die Gerade AH ist nach der Formel c = gt gezogen und zeigt an, daß die erlangten Geschwindigkeiten den Fallzeiten proportional sind.

Hat man z. B. nach der graphischen Darstellung die Fallzeit imb Fallgeschwindigkeit eines durch eine Höhe von 10,25 m fallenden Körpers zu suchen, so geht man von der horizontalen A B von 10,25 m in die Höhe, bis die Vertikale an dieser Stelle die Kurve Aal) in a schneidet. Die diesen Durchschnittspunkt entsprechende Höhe b der Einteilung A C giebt die Fallzeit t = 1,45 Sekunden.

Zieht man dagegen durch den Durchschnittspunkt d der Horizontalen ab mit der Geraden AE eine Vertikale, so trifft diese die obere Horizontale C D bei 14,18 und dieses ist die gesuchte Fallgeschwindigkeit.

Tabelle über Seit, Fallhöhe und Geschwindigkeit der Wasserstrahlen.

Fallhöhe

Erlangte

Ge

schwin

digkeit

Fallzeit Fallhöhe

Erlangte

Ge-

schwin-

drgkeit

Fallzeit Fallhöhe

I Erlangte Ge-

' schwin-i bißfeit

Fallzcit

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

CO [> C5 ct> x

^ CO !> 00 05 O

cf cf cf cf cf th*

0,07

1,17

0,08

0,09

1,25

0,10

1,33

1,40

0,12

1,53

0,14

0,16

1,66

0,18

1,77

1,88

iOCDXQOH!MCCtHlOO^COC5

O O O O T-i rH 1—t rH tH T—I rH tH( T—I T—

cf cf cf cf cf cf cf cf cT cf cf cT es cf

p p p p p p p p p p p p p p b b b b bi bi OiGiOitOtOtOtOtO Oi^MCOOOS^MO.OOOJiMOO

OatOtOtOtOCOCOtOtOtOCOtOtOM-

O^*vlOW©(X^0J^0i-]0DG0

o p p p p p p p p p p p p p bs bo so To To To To To To To To To To To

0,48

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,10

1,20

3,07

3,13

3,28

3,43

3,57

3,71

3,84

3,96

4,08

4,20

4,32

4,43

4,65

4,85

oooooooooooooo

Fallhöhe

Erlangte

Ge

schwin

digkeit

Fallzeit Fallhöhe

Erlangte

Ge

schwin

digkeit

Fallzeit Fallhöhe

Erlangte

Ge

schwin

digkeit

Fallzeit

03 03 kU tU tu JU JU tu tU tU tU JU ^ —

tu

O iC

iß^CCCOO^OC(Ml>WUO^I>HistI>-QO C    C l'* C H 'M iC 00 O H W iO C C

iO iO iO iC iO iC C C C C C C l^- O- [> l>- 1>- [> l>

ooooooooooooooooooo

3,50

3,75

4,00

4,25

4.50 4,75 5,00

5.50

6,00

6.50

7,00

7,50

8,00

8,50

9,00

9,50

10,00

10,50

11,00

li

cg CG CG cf cf cf cf cf cf

0,85

0,88

0,90

0,93

0,96

0,99

1,02

1,06

bi "o 'bi "o 'bl "o 'bi

11,29

11,71

12,12

12,52

12,91

13,28

13,65

14,00

1,11

1,15

1,20

1,24

1,28

1,36

1,39

1,43

CO Ul

1,47

1,50

15,00

15.50 16,00

16.50 17,00

17.50 18,00

18.50 19,00

19.50 20,00 21,00

Ol TjH 't—( l>t*01>ist'^HfliCOCOOiO tH iO O C Cj CO_ CD_ C5_ Ol^ X rH_    O3    Cj iCj X__ CC_

irf tff irf . cs cf cf cf    i ^    x" cg cg cf cf cf cf cf

t—ItHt-it—Ir—ii—if—i. i—iT—(r—(iH t—I -rH ■*—< - tH i-H t-I t—< 03

WC-OCßC05(MiCXn^C0:(N^t*©(Nl>

o co^ cq_ co co^    aq^ aq_ oc^ ao^ c^ c^ c^ c^ Ov o_

rH tH tH H tH tH tH tH tH tH tH tH tH i—I tH( i—i i—f 03 03

h i c

Zur Bestimmung der Ausflußgeschwindigkeiten der Flüssigkeiten bei verschiedenen Druckhöhen dient die ausführlichere Tabelle § 28.

§ 25.

Bewegung des Wassers auf einer schiefen Ebene.

Wenn sich ein Körper auf einer geneigten Ebene befindet, so hat er das Bestreben, längs derselben herabzugleiten und die relative Schwere, d. h. die Kraft, mit welcher eilt Körper parallel mit der schiefen Ebene (Fig. 52 Tafel 3) zurückgehalten werden muß, verhält sich zum Gewichte des Körpers, wie die Höhe AB der schiefen Ebene zu deren Länge BC.

Denn zerlegt man das nach unten wirkende Gewicht Q eines Körpers oder einer Wassermasse in zwei Komponenten D E und DF, so muß die Kraft P ihrer Größe nach gleich D E sein. Es besteht nun aber, wie aus der Figur hervorgeht, die Beziehung:

DE_

Q~ —ÄC

AB

oder P — Q

AB

AG

oder endlich P = Q sin a.

Soll dagegen ein Körper aus einer schiefen Ebene durch eine horizontale Kraft P zurückgehalten werden, so verhält sich die Kraft P zum Gewicht Q wie die Höhe der schiefen Ebene zu ihrer Basis.

Nach der Fig. 53 ist nämlich durch die Zerlegung des Gewichtes Q: BE AB <i B (!

oder

AB

BC

P = Q tang a.

oder endlich

Für den allgemeinsten Fall (Fig. 54), bei welchem die Kraft P mit der schiefen Ebene einen Winkel ß bildet, erhält man

P cos ß — Q, sin a, sin a C.0S ß

Die eben angeführten drei Sätze über die schiefe Ebene lassen sich auch aus dem Prinzip von d.erErhaltung derArbeit ableiten. Es muß danach Kraft mal Weg gleich Last mal Weg sein, der Weg wird jedesmal in der Richtung der Kraft beziehentlich Last gemessen. Bilden Kraft und Weg einen Winkel 4, so wird sich die Arbeit ausdrücken lassen durch A = P • cos d • s. Fassen wir nun in diesem Ausdrucke (P cos 4) zusammen, so ist die Kraft auf die Wegrichtung projiziert. Nehmen wir dagegen s cos 4 als zusammengehörig an, so haben wir den Weg auf die Kraftrichtung projiziert. Bejde Male erhalten nur denselben Wert A = (P • cos 4) s = P (s • cos 4) — P cos 4 s.

Nehmen wir an, daß der Körper von A bis C (Fig. 54) gelangt, so ist die Arbeit der Kraft — P • A J , wenn P || A J und C J 1A ,1 und die Arbeit der Last — Q, • A B. Es ergiebt sich somit

AB AC cos 8 '

Q-

P • A J = Q • A B,

AB

A C cos ß

sina

eosßf

Da nach unserm ersten Satze die Beschleunigung in Richtung der schiefen Ebene g sin a sein wird, so muß ein Körper in der Zeit t auf derselben eine Strecke

AM = {gt sin a

zurücklegen und am Ende dieser Zeit die Geschwindigkeit

v = g t sin a

sin«

v — J/ 2 g sin «

oder

AK

erreicht haben. AM ist nun, wie ans der Fig. 52 hervorgeht — ——,

8111«

demnach

A K = A M sin « = 4 g t sin² a.

Nach Fig. 52 ist nun

A M = A B sin « und A K = A M sin a = A B sin² «, folglich A B = 1 g t der Weg des freien Falles in t Sekunden.

Es wird sich also ein Körper, der in t Sekunden den Raum AB dnrchfällt, in derselben Zeit ans einer der beliebigen Sehnen AM, AB, AN des über AB beschriebenen Kreises bewegen können.

Da die Beschleunigung in Richtung der schiefen Ebene g sin « und die Länge A C ist, so wird die Geschwindigkeit, die der Körper im Punkte C erlangt,

v = Y 2 g sin a • A C AB

sein. Fuhren wir für A C den Wert

8111«

oder

sina e'u' ergiebt sich

v = y 2 gh.

E i n auf einer schiefen Ebene herab r olle nderKörper besitzt demnach a m Fuße d e r s e l b e n d i e g l e i ch e G e s ch w i n d i g -keil, als wenn er durch die Höhe der schiefen Ebene frei herabgefallen wäre. Diesen Satz benutzte Galilei bei der experimentellen Untersuchung der Fallgesetze mit Hilfe der Fallrinne.

8 26.

Ablenkung der Wasserstrahlen.

Wenn eine Flüssigkeit ans einer Ebene a b (Fig. 68 Tafel 4) herunterfällt und bei b von einer Ebene b c abgelenkt wird, welche unter dem Winkel « gegen die Ebene a b geneigt ist, so kann der Wasserstrahl auf b c nicht mit der Geschwindigkeit b e fvrtgehn. Zerlegt man seine ursprüngliche Geschwindigkeit b e (Fig. 68) in eine Geschwindigkeit b g nach der Richtung b c fortgehend und eine solche b f senkrecht zur erstein, so drückt die Linie

b g = b e • cos «

die Geschwindigkeit ans, mit welcher der Wasserstrahl ans der Ebene b c fortgeht, während die Komponente b f der ursprünglichen Geschwindigkeit durch diese Ablenkung aufgehoben wird.

Trifft dagegen ein Wasserstrahl auf eine gebogene Fläche a b c (Fig. 79 Tafel 5), welche tangierend an seine frühre Richtung bei a verläuft, so ist der Winkel a Null Grad und der Strahl geht daher mit seiner ursprünglichen Geschwindigkeit auf b c fort, ohne einen Verliest erlitten zu haben. Dieses wird auch noch dann der Fall sein, wenn die Fläche (Fig. 80), auf welcher der Wasserstrahl sich bewegt, in einer nicht zu plötzlichen Krümmung in die entgegengesetzte Richtnitg übergeht.

Der Strahl wird also auch in diesem Falle bei c mit derselben Geschwindigkeit die Kurve verlassen, mit welcher er sie bei a betreten hat.

Beispiele. 1. Ein Wasserstrahl von 0,85 m Dicke i fließt in einem schiefen Gerinne a b Fig. 68 Tafel 4 gegen eine Ebene b c und zwar mit einer Geschwindigkeit von 3 m in einer Sekunde. Mit welcher Geschwindigkeit geht der Wasserstrahl ans der Ebene b c fort und welches wird dort die Strahldicke k sein, wenn die Neigung des Gerinnes den Winkel <x von 45° bildet? bg war gleich be • cos a oder in unserm Falle b g = 3 cos 45°

= 3-0,707 = 2,121 m.

Da die durch einen Querschnitt f l i e ß e n d e W a s s e r m a s s e g l e i ch der Geschwindigkeit multipliziert mit dem Querschnitt ist, so verhalten sich die Strahlguerschnitte bei derselben Wassermasse, oder die Strahldicken, wenn die Gerinnbreite konstant ist, umgekehrt wie die Geschwindigkeiten, d. h. es ist:

oder

1,2 m.

k : i = b e: b g = 3:2,121 3 - 0,85 2,121

2. Um welchen Winkel muß ein Wasserstrahl gebrochen werden, wenn seine Geschwindigkeit mtf die Hälfte reduziert werden soll?

Es ist:

= 0,5.

cos a —

b g_0,5 b e

b e be

Dieser Zahl als Cosinus entspricht der Winkel von 60°.

§ 27.

Wurf der Wasserstrahlen.

Wenn eine Wassermasse gleichzeitig durch mehrere nach verschiedenen Richtungen wirkende Kräfte beeinflußt wird, so entstehen in der Regel eigentümliche Kurven, wenn das Wasser ungehindert den auf dasselbe einwirkenden Pressungen nachgeben kann.

Fließt aus einem horizontalen Gerinne A (Fig. 81 Tafel 5) ein Wasserstrahl mit einer bestimmten Geschwindigkeit ins Freie, so beschreibt derselbe eine gebogene Linie b, welche um so weniger weit in horizontaler Richtung hinausträgt, also an ihrem oberen Teile um so stärker gekrümmt ist (Kurven c und d) je kleiner die Geschwindigkeit ist, mit welcher das Wasser das Ende E des Gerinnes verläßt.

Um die Gestalt dieser Kurve und ihre Gleichung zu finden, denken wir uns durch E (Fig. 81) ein Koordinatensystem (Fig. 67 Tafel 4) gelegt. Die in dem Wasser vorhandene lebendige Kraft will dasselbe in der y richtung E B mit der gleichmäßigen Geschwindigkeit c und die zur Wirkung kommende Schwerkraft in die xrichtung EC nach dem Fallgesetz bewegen. Rach t Sekunden muß daher ein Wasserteilchen einen horizontalen Weg

und einen vertikalen Weg zurückgelegt haben.

Aus der ersten Gleichung folgt t = ^ und durch Einsetzung dieses

Wertes in die zweite

oder

y = ct x = 4 g t'³ 4

die Erdbeschleunigung, die einen Fallraum 5 g t - erzeugt. Wir haben somit einen gesammten vertikalen Weg

x — c t sin « — | gt².

Wie für den horizontalen Wurf, können wir auch für den schiefen die Verzeichnung vornehmen, indem wir auf 0 A (Fig. 71) die früheren Werte yi y₂ ... als c, 2 c, 3 c ... und von den Teilpunkten vertikal abwärts die Fallhöhen f g, 4 - l g, 9 ■ j g . . . auftragen. Die Richtigkeit dieser Konstruktion geht aus den beiden letzten Gleichungen hervor.

Aus der ersten der beiden Gleichungen folgt

2)

c cos «

und durch Einsetzung dieses Wertes für t in die zweite erhalten wir

x —sin«—^--lg „

cos a    c² cos“*«

oder

x = y tg a

y²g

3)

2 c² cos²«

Dies ist auch die Gleichung einer Parabel.

Aus 3) läßt sich die Wurfweite W als derjenige Wert von y berechnen, der zu x — 0 gehört. Es ergiebt sich

0 = y tg a — und hieraus nach der Kürzung mit y

tg«

y‘g

2 c² cos² «

yg

2 c² cos² a

und durch Umformung

c² 2 sin « cos a

2 c² cos² a tg «

y — -.....-

J    g

oder endlich

c² sin 2 a

4)

weil 2 sin a cos a = sin 2 « ist und ' die Wurfweite mit W bezeichnet werden sollte.

Setzen tvir diesen Wert der Wurfweite für y in Gleichung 2 ein, so erhalten wir die Dauer T des ganzen Wurfes:

c² sin 2 a c • 2 sin a cos a

g cos a

g c cos a

oder

2 c sin «

5)

Die Wurfhöhe H erhalten wir aus Gleichung 3), wenn wir für y die halbe Wurfweite einsetzen. Es ergiebt sich dadurch

wtga_.(wy__JL_

2    °    \ 2 / 2 c² cos* et

oder für ^

W c² sin a cos a

c² sin a cos a

tg« —

c⁴ sin² a cos² a

g²

2 c² cos² a

c² sin² cc c² sin² a

2g

oder

c² sin² a

2g

6)

Diesen Wert erhalten ivir auch für x aus der vor 2 stehenden

gesetzt wird.

Gleichung: x = c t sin a —

T

I g t², wenn t = ₂

c sin et

Für dasselbe t ergiebt die Gleichung y = c t cos et für y den Wert

W

und das ist nach 4) gleich ^ ■ Hieraus geht hervor, daß T

der Strahl dieselbeZeit ₂ 5um ©teigen wie zum Fallen braucht.

c² sin a cos a

Ist die Wurfweite W gegeben mib der Elevationswinkel gesucht, so können wir zu seiner Berechnung 4) umformen und erhalten:

sin 2 a == W ~

7)

Diese Gleichung hat zwei Lösungen, da 2 a und 180 — 2 a denselben Sinus ergeben. Wir erreichen demnach dieselbe Wurfweite bei konstanten c unter dem Winkel « und 90 — a, oder nach Fig. 70 und 66 unter 45 — ß und 45 + ß.

Nach 4) werden wir die größte Wurfweite erhalten für sin 2 et = 1 oder für a —45°. Diese beträgt

Wmax =

c²

8)

Die Hälfte dieses Wertes folgt aus 6) für die größte Wurfhöhe

c²

Hmax 2 g

9)

Es muß dann sin et = 1 oder et — 90° fein, d. h. der senkrechte Wurf ergiebt die größte Wurfhöhe.

Soll ein Punkt mit den Koordinaten x = xlr y = yx (Fig. 66) von dem Wasserstrahl getroffen werden, so müssen wir einen solchen Elevationswinkel a wählen, daß die Gleichung 3) mit xlt y₁ für x, y erfüllt wird. Setzen wir diese Werte in die Gleichung ein mit) berück-

= 1 -f- tg2 a ist, so erhalten wir

»tifl™, ** SÄ».'

xi = yi tg.« —

gy.²

2 c²

(1 -f- tg² a)

und durch weitere Umformung

yi tg² a —

2 — tg«-f (2c2 xi + y¹) g    Vgyi    /

= 0.

Daraus folgt

tg« =

i rc. j/,^( -

yi Lg ' g \g

2 X,) — y, ²J . .

- 10)

Ist mm

2 xA

- yi

aTv

so können wir den gegebenen Punkt unter zwei Winkeln, ober unter einem Winkel, ober enblich unter keinem Winkel treffen. Die mittlere Bebingung ergiebt, baß alle Punkte, welche nur unter einem Winkel getroffen werben können, auf ber Kurve

- y² = 0,

^(5’-2x)

g Xg /

also auf einer Parabel liegen, welche bie halbe Anzahl ber Wurfkurven berührt. (Fig. 66.)

Aus ber Figur ist ferner zu ersehen, baß die Brennpunkte ber Wurfparabeln ans einem mit Hmax um bett Kvorbinatenanfangs-punkt beschriebenen Kreise und bie Scheitel auf einer Elipse liegen, bereit große Achse 2 Hmax und bereit kleine Achse Hmax ist.

Eine andere Gruppe Wurfparabeln, die ihrer geringeren Wichtigkeit wegen nicht verzeichnet wurden, erhält man für einen konstanten Winkel a bei veränderlicher Geschwindigkeit c. Hierfür gelten die Sätze, daß alle Brennpunkte auf einer Graden durch bett Kvvrbinatenanfangspunkt, bie mit ber x Achse einen solchen Winkel ß einschließt, für bett tgß— — cotg 2 a ist, und baß alle Scheitel auf einer solchen Graben liegen, für bereit Winkel y mit ber x Achse bie Bedingung besteht tgy — l tg a.

Beispiele.') 1. Aus einem Gerinne E, Fig. 78 Taf. 4, fließt Wasser mit einer Geschwindigkeit von 2 m in der Sekunde aus. Welche 'Zeit braucht dasselbe, um von a nach c zu gelangen und wie weit ist c in horizontaler Richtung von a entfernt, wenn die Höhe a b — 4m beträgt? Nach der Formel

tNL

ergiebt sich die Fallzeit

2-4

0,9 Sekunden.

9,8088

Da nun der Wasserstrahl in horizontaler Richtung 2 m in 1" zurücklegt, so wird der ebenso gemessene Weg b c in 0,9 Sekunden = 0,9 • 2 = 1,8 m sein.

2. Ein Wasserstrahl wird aus dem Wendrohr einer Feuerspritze mit einer Geschwindigkeit c von 20 m in einer Sekunde schräg in die Hohe geschleudert und zwar in einer Richtung, welche mit dem Horizont einen Winkel et von 50° bildet. Wie weit trägt der Strahl, bis zu welcher Höhe steigt er und wie lange braucht er, um diese Höhe zu erreichen?

Die gesuchte Wurfweite W ergiebt sich nach Formel 4) zu:

20² sin 100°

9,8088

Die Dauer der Steigung des Strahles ist:

20 - sin 50° _

9,8088

Die Steighöhe des Strahles ist nach 6)

20² sin² 50°

2 - 9,8088

Durch die Reibung des Wasserstrahles in der Luft ivird hier der Wert von W, T und H um ’/* bis ¹j₆ vermindert.

Mit welcher Geschwindigkeit muß ein Wasserstrahl aus der Mündung eines Wendrohres ausströmen, wenn bei einer Neigung des Strahles gegen den Horizont von 60° die horizontale Tragweite 30 m betragen soll?

Aus der Formel 4) findet man:

T c sin a

„ c- sin² et

xi = —

2g

— 40,2 m.

1,56 Sekunden.

-----12 in.

*) Die in den Berechnungen vorkommenden Winkelfunktionen könnte man aus entsprechenden Taschenbüchern entnehmen. Es ist z. B. sin 100° — 0,985, sin 50° = 0,766, sin 120° — 0,866 — sin 60°. Bequemer lassen sich die Aufgaben mit Hilfe der Logarithmen lösen. Zu diesem Zwecke sind am Schluffe des Bandes die Logarithmen einiger.irratioueller Zahlen angegeben.

c²

Wg

sin 2 a

ober

°=v

Wg

sin 2 a

und für unser Beispiel

G=V

30 - 9,8088

- 18,43 m.

Infolge der Reibungswiberstänbe wirb bei Geschwinbigkeiten über 6 bis 7 m bie nötige Ausflußgeschwinbigkeit größer.

4. Welches ist im obigen Falle bie gesuchte Ausflußgeschwinbigkeit, wenn bei derselben Anfanqsrichtung bes Strahles bie vertikale Steighöhe H = 15 m betragen sott ?

Durch Umformung von 6) ergiebt sich:

sin 120°

. 4™ VZ-9,8088 • 15 = 19,8 m. sm 60"

4aY2gH

Auch hier muß wegen bes großen Wertes von c derselbe noch um ¹/₄ bis ¹/s größer genommen werden, um bie Reibungswiberstänbe zu berücksichtigen.

5. Wie lange steigt ein mit 20 m Geschwindigkeit und unter 35° gegen beit Horizont in bie Höhe geworfener Wasserstrahl?

Es ist

CM iS

T c sin a

20-sin 35°

—1,17 Sekunden.

9,8088

Die Reibungswiberstänbe verringern bie Zeit des Aufsteigens und bie Steighöhe bei der großen Geschwindigkeit um */* bis J/₆.

6. Unter welchem Winkel muß ein Wasserstrahl mit 20 m Geschwindigkeit gegen den Horizont geneigt sein, damit er eine 10 m entfernte Wand in 5 m Höhe trifft?

Nach Gleichung 10) erhalten wir durch Einsetzung von xx — 5,

yi — 10 und c —

tga =

r 0² , 1/ 20² /

l_9,8088 ^ V 9,8088 \9,8088 — [40,780 ±83,988]

20²

rH

2.5)- 10²J

ober

tg a, = 7,4768 und tg a₂ = 0,6792. Zu diesen Tangenten gehört:

a, = 82° 20', «2 — 34° 10'.

Sechstes Kapitel.

Theoretische Austlußgeschmindigkeit und Ausflußmenge.

§ 28.-)

Ausfluß aus dem Boden eines Gesäßes.

Schon im Jahre 1644 stellte Torricelli den Grundsatz auf, daß die Ausflußgeschwindigkeit einer Flüssigkeit aus dem Boden eines Gefäßes eben so groß sei, als wie die Geschwindigkeit eines vom Niveau der Flüssigkeit bis zur Mündung frei fallenden Körpers an dieser Stelle oder als Formel geschrieben

c==V2gh.*)

Denken wir uns nämlich eine Wassermenge Q bei konstanter Höhe h (Fig. 55 Tafel 3) in einer Sekunde ausfließen, so wird diese die Arbeit Qyh verrichten können, wenn y das Gewicht der Volumeneinheit ist. Diese Arbeitsgröße muß nun aber nach einem schon öfter benutzten Satze gleich dem Zuwachs an lebendiger Kraft sein oder in unserm Falle gleich der ganzen lebendigen Kraft, da int Flüssigkeitsspiegel die Geschwindigkeit und somit auch die lebendige Kraft gleich Null ist. Die in Betracht zu

ziehende Masse ist gleich Gewicht durch Beschleunigung oder lebendige Kraft

, die

Qy c

2 und daher wird die Gleichung bestehen:

Qyh

Qyc²

oder

c = j/2 gh

1)

J) Die in diesem Paragraphen benutzten Begriffe und Lehrsätze finden sich schon in §§ 20 und 24.

²) Torricelli. De motu gravium naturaliter accelerato. anno 1643. Meißner, Hydraulik. I. 2. Auflage.

sein. Hiernach ergiebt sich die Ausflußmenge zu:

. 2)

Q = fc = fj/2gti

wenn f der Querschnitt der Mündung ist.

Da in der Formel für die Ausflußgeschnnndigkeit das spezifische Gewicht nicht vorkommt, so ist bei gleicher Druckhöhe die Aus-flußgeschwindigkeit der verschiedensten Flüssigkeiten 'die gleiche.

Für fernere Berechnungen bediene man sich der nachstehenden Tabelle:

Tabelle über die den verschiedenen Truckhöhen H entsprechenden theoretischen Ausflußgeschwindigkeitcn yTgH.

Druck höhe H in m

* Zugehörige V2gH

Druckhöhe H in m

Zugehörige

V 2 g H

Druck' I höhe H I in m

Zugehörige

V2gH

0,01

0,02

0,03

.    0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

0,16

0,17

0,18

0,19

0,20

0,47

0,21

0,22

0,23

0,25

0,26

0,27

0,67

0,72

0,74

WWWOiWWOiOiWWWOiWWWWWWOOOJ 03 03 03 03 03 03

Id "Id Id "cd "oc "oo "oo "oo Vj Vi Vj Vi "05 "05 "05 V< "ux ^ V V V "05 "oo "03 Id

GDDWH'GODWkQOOiWC^CHWCD^^mOOÜxÜJO^^^QC

05 tD -^1 DO <J — 35 O ^ 3DM C50MÜ»OCKW05000KMWl^Ö»CJi

(MM^iOCOI^GOC50HNCO^»i5CO^OOa50H(MCO^iOCOI>QO GO GO GO^ GO. GO. X. GO^ GO. 05. 05. 05. 05. 05. 05. 05. 05. 05. 05. O. O. O. O. O. O. <0. O.

cT cT cT o* o“ cT cT o" cT cT cT cT cT<S cT o cT cT⁻ r-T r-T r-T t-T t-T r-T r-T r-T t-T

Druckhöhe H in m

Zugehörige

V2jti

Druck höhe H in m

* Zugehörige

yigü

Druckhöhe H in m

Zugehörige

yipi

Druckhöhe H in m

Zugehörige

yügH

1,17

1,18

1,19

1,20

1,21

1,22

1,23

1,24

1,25

1,26

1,27

1,28

1,29

1,30

1,31

1,32

1,33

1,34

1,35

1,36

1,37

1,38

1,39

1,40

1,41

1,42

1,43

1,44

1,45

1,46

1,47

1,48

1,49

st st st    Jst) jst> Ox _^px _Gx _C?x ^px öxöxöxoxOxOxOxüxoxüxüxüxüxUxOxGxüxOxüxoxCJxoxüxOxöxOx

"h- k k b ob ob o 50« "cd "cs "cd"cd X "x"x X7x"x Vi Vi "«j Vi Vi Vi "(st"cst"czr"(st7st>"(st"an "o<"01 "ox"an"4^ "4^ 7p- 7p-

Cn4;-tCOcD-<lüx4^L'vLO^st'<10x4::-K;OCst-<3CJ<4^.K;OO-<30x00tNCiOX0^Cri0vi—i CO -O Ct

■ 4^ X IC CJx CD tO 05 C© OO Ist» C© KO (st C© KO ©x X I—¹- 4^- O KO ©x -^1 O OJ ©x O KO 4^- X O KO

1,93

1,94

1,95

1,96

1,97

1,98

1,99

2,00

2,01

2,02

2,03

2,04

2,05

2,06

2,07

2,08

2,09

2,10

2,11

2,12

2,13

2,14

2,15

2,16

2,17

2,18

2,19

2,25

r-i h IO © Ist rl t> 1^ 00 O (M CO

<M^ st^ (N^ CO^ CO^ CO^ cq_ CO

6,153

6,169

6,185

6,201

6,217

6,232

6,248

6,264

6,279

6,295

6,311

6,326

6,341

6,357

6,372

6,388

6,403

6,418

6,434

6,449

6,464

6,479

6,494

6,509

6,524

6,539

6,554

6,569

6,584

6,599

6,614

6,629

6,644

6,658

6,673

6,688

6,702

6,717

6,732

6,746

6,761

6,775

2.35

2.36

2,37

2,38

2,39

2,40

2,41

2,42

2,43

2,44

2,45

2,46

2,47

2,48

2,49

2,50

6,790

6,804

6,819

6,833

6,847

6,862

6,876

6,890

6,904

6,919

6,933

6,947

6,961

6,975

6,989

7,003

2,51

2,52

2,53

2,54

2,55

2,56

2,57

2,58

2,59

2,60

2,61

2,62

2,63

2,64

2,65

2,66

2,67

2,68

2,69

2,70

2,71

2,72

2,73

2.74

2.75

7,017

7,031

7,045

7,059

7,073

7,087

7,101

7,114

7,128

7,142

7,156

7,169

7,183

7,197

7,210

7,224

7,237

7,251

CO^ CO_ CO^ CO_ CO

tH CO ist

Druckhöhe H in m

Zugehörige

V2gH

Druckhöhe H in m

Zugehörige

V¥gü

Druckhöhe H in m

Zugehörige

V*gH

Druckhöhe H in m

Zugehörige

ySgH

2,77

2,78

2,79

2,80

2,81

2,82

2,83

2,84

2,85

2,86

2,87

2,88

2,89

2,90

2,91

2,92

2,93

2,94

2,95

2,96

2,97

2,98

2,99

3,00

3,01

3,02

3,03

3,04

3,05

3,06

3,07

3,08

3,09

3,10

3,11

3,12

3,13

3,14

3,15

3,16

3,17

7,372

7,385

7,398

7,411

7,425

7,438

7,451

7,464

7,477

7,490

7,503

7,517

7,530

7,543

7,556

7,569

7,582

7,594

7,607

7,620

7,633

7,646

7,659

7,672

7,684

7,697

7,710

7,723

7,735

7,748

7,760

7,773

7,786

7,798

7,811

7,823

7,836

7,849

7,861

7,873

7,886

7,898

3,19

3,20

3,21

3,22

3,23

3,24

3,25

3,26

3,27

3,28

3,29

3,30

3,31

3,32

3,33

3,34

3,35

3,36

3,37

3,38

3,39

3,40

3,41

3,42

3,43

3,44

3,45

3,46

3,47

3,48

3,49

3,50

3,51

3,52

3,53

3,54

3,55

3,56

3,57

3,58

3,59

7,911

7,923

7,936

7,948

7,960

7,973

7,985

7,997

8,009

8,022

8,034

8,046

8,058

8,070

8,082

8,095

8,107

8,119

8,131

8,143

8,155

8,167

8,179

8,191

8,203

8,215

8,227

8,239

8,251

8,263

8,274

8,286

8,298

8,310

8,322

8,333

8,345

8,357

8,369

8,380

8,392

8,404

3,61

3,62

3,63

3,64

3.65

3.66

3,67

3,68

3,69

3,70

3,71

3,72

3,73

3,74

3,75

3,76

3,77

3,78

3,79

3,80

3,81

3,82

3,83

3,84

3,85

3,86

3,87

3,88

3,89

3,90

3,91

3,92

3,93

3,94

3,95

3,96

3,97

3,98

3,99

4,00

4,01

8,415

8,427

8,439

8,450

8,462

8,474

8,485

8,497

8,508

8,520

8,531

8,543

8,554

8,566

8,577

8,588

8,600

8,611

8,623

8,634

8,645

8,657

8,668

8,679

8,691

8,702

8,713

8,724

8,736

8,747

8,758

8,769

8,780

8,792

8,803

8,814

8,825

8,836

8,847

8,858

8,869

8,880

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8,903

8,914

8,925

8,936

8,946

8,957

8,968

8,979

8,990

9,001

9,012

9,023

9,034

9,045

9,055

9,066

9,077

9,088

9,099

9,109

9,120

9,131

9,142

9,152

9,163

9,174

9,185

9,195

9,206

9,217

9,227

9,238

9,248

9,259

9,270

9,280

9,291

9,301

9,312

9,322

9,335

Druck- ! höhe H in m

Zugehörige

yigH

,®nUt Zugehörige hohe H ,--

mm y2 g H

,®rUt Zugehörige hohe H .--

in m V2gH

Druckhöhe H in m

Zugehörige

V^gH

4,45

4,46

4,47

4,48

4,49

4,50

4,51

4,52

4.53

4.54

4.55

4.56

4.57

4.58

4.59

4,60

4,61

4,62

4,63

4,64

4,65

4,66

4.67

4.68

4,69

4,70

4,71

4,72

4.73

4.74

4.75

4.76

4.77

4.78

4.79

4.80

4,81

4,82

4,83

4,84

4,85

9,343

9,354

9,364

9,375

9,385

9,396

9,406

9,417

9,427

9,437

9,448

9,458

9,468

9,479

9,489

9,500

9,510

9,520

9,530

9,541

9,551

9,561

9,572

9,582

9,592

9,602

9,612

9,623

9,633

9,643

9,653

9,663

9,673

9,684

9,694

9,704

9,714

9,724

9,734

9,744

9,754

9,764

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10,187

10,197

10,206

10,216

10,225

10,235

10,245

10,254

10,264

10,273

10,283

10,292

10,302

10,312

10,321

10,330

10,340

10,350

10,359

10,368

10,377

10,387

10,396

10,405

10,414

10,424

10,434

10,444

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10,500

10,509

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5.71

5.72

5.73

5.74

5.75

5.76

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5.82

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5,99

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6,01

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10,912

10,921

10,930

10,939

10,948

10,957

tH

r*H

GO

Hydrodynamik.

Druckhöhe H in m

Zugehörige

V2gH

Druckhöhe H in m

| Zugehörige ! V2gH

Druckhöhe H in m

Zugehörige

V2g!

Druck- | höhe H in in

Zugehörige

V 2gH

6,13

6,14

6,15

6,16

6,17

6,18

6,19

6,20

6,21

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6,29

6,30

6,31

6,32

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11,336

11.344

11,353

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11,370

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12,000

12,008

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12,370

,X‘U<tH Zugehörige

hohe H .---—

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Druckhöhe H in m

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VägH

Druckhöhe H in m

Zugehörige

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Druckhöhe H in m

Zugehörige

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7,82

7,83

7,84

7,85

7,86

7,87

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7.91

7.92

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8,10

8,11

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, 8,65

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13,630

13,637

Druckhöhe H in m

Zugehörige

V2iH

Druckhöhe H in m

Zugehörige

yaiH

Druckhöhe H in m

Zugehörige

V2fR

Druckhöhe H in m

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9,50

9,51

9,52

9,53

9,54

9,55

9,56

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9,60

9,61

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9,68

9,69

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9,79

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17.75    18,660

18,00    18,791

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19,559

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22,800

23,015

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24,057

24,260

24,461

24,660

24,859

25,055

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25,443

25,635

25,826

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26,203

26,390

26,575

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27,123

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27,660

27,837

28,013

28,361

28,704

29,044

29,380

29,712

30,040

30,365

30,686

31,004

31,319

31,631

31,939

32,245

32,547

32,848

33,145

33,440

33,732

34,021

34,308

34,593

34,875

35,156

35,433

35,709

35,983

Druck-höhe H in m

Zugehörige

]/2iH

Druckhöhe H in m

Zugehörige V* g H

Druckhöhe H _

i„„ VagH

Zugehörige

Druckhöhe H in m

Zugehörige

V271

67    36,255

68    36,524

69    36,791

70    37,057

71    37,321

72    37,583

73    37,843

74    38,101

75    38,358

76    38,613 38,866

78    39,118

79    39,367

80    39,616

81    | 39,863

82    j 40,108

83    40,352

84    40,594

85    40,835

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

77

96

97

98

99

100

105

110

115

120

41,075

41,313

41,549

41,784

42,019

42,252

42,483

42,713

42,942

43,170

43,397

43,622

43,846

44,070

44,292

45,386

46,454

47,498

48,519

125

130

135

140

145

150

155

160

165

170

175

180

185

190

195

200

205

210

215

49,520

50,500

51,462

52,407

53,334

54,246

55,143

56,025

56,894

57,749

58,592

59,424

60,243

61,052

61,850

62,638

63,416

64,185

64,944

220

225

230

235

240

245

250

255

260

265

270

275

280

285

290

295

300

65,695

66,438

67,171

67,898

68,616

69,328

70,031

70,728

71,418

72,102

72,780

73,450

74,114

74,773

75,426

76,074

76,716

¹

) Bei Aufzeichnung einer logarithmographischen Tafel nach den Angaben des § 39

²

würde man an Stelle der Parabel eine gerade Linie erhalten.

³

Dieses ist die Gleichung einer Parabel.

Sie sagt aus, daß sich die nach 1, 2, 3, 4, . . . Sekunden durchlaufenen Strecken E D, E F, E G, E H ... in horizontaler Richtung, wie 1:2:3:4 imb E J, EK, EL,EM in vertikaler wie 1:4:9:16 verhalten.

Die Verzeichnung der Wurfkurven geschieht am besten so, daß man in die Gleichungen

y — c t und x = fgt⁴

für t der Reihe nach 1, 2, 3, 4 ... Sekunden einsetzt und die danach berechneten zusammengehörigen Werte yi = c, x!=lg; y₂ = 2c, x₂=4-Jg; y₃ — 3 c, x₃ = 9 • | g als E D, E J • E F, E K; E Gr, E L austrägt, wie das in Fig. 67 geschehen ist.

Wird der Wasserstrahl unter einem Winkel a gegen den Horizont in die Höhe geschleudert, so ist die Horizontalkomponente der Geschwindigkeit c cos a (Fig. 69). Diese verursacht nach t Sekunden einen Weg

⁴

y = c t cos «.

In vertikaler Richtung wirkt »ach oben treibend die Komponente c sin a, welche einen Weg c t sin u hervorruft, und nach unten ziehend

§ 28 a.

Bestätigung der Ausflußgeschwindigkeit )/2gH durch Versuche.

2 Ci

Aus der Gleichung

y² =

g

der parabolischen Bahn eines Wasserstrahles svlgt

ci = y

oder

c, = 2,2146

j/x

Werden nun in einem Punkte die Werte y und x durch Messung bestimmt, so läßt sich nach der letzten Formel ct berechnen und diese Geschwindigkeit müßte mit

annähernd übereinstimmen.

Nach den Versuchen von Bossut verhielten sich Ci: ca wie 1:0,974 und 1:0,980. Dieser geringe Unterschied ist dem Luftwiderstände und der Reibung an den Austrittsöffnungen zuzuschreiben.

D'Anbuisson teilt in seiner Hydraulik ähnliche Versuche mit, welche Michelotti in Turin anstellte und deren Resultate die folgende Tabelle enthalt:

Druckhöhe

Wasserstrahl

Austrittsgeschwindigkeit

Abscisse x

Ordinate y

Wirkliche

Theoretische

Verhältnis

der

Geschwindig

keiten

O CO t» <M^    -H_

g<T orT i>"

CG CO r-1 (M^ <0_ ^

Co" xh" r-T

7,53 m 8,45 „ 6,25 „

6,65 m 8,67 „ 11,67 „

0,973

0,998

0,983

Die Austrittsöffnung hatte 0,0271 m Durchmesser.

Aus diesen Versuchen geht aus unzweideutige Weise hervor, daß selbst bei bedeutenden Druckhöhen die wirkliche Ausflußgeschwindigkeit sehr nahe der theoretischen V 2 g H entspricht, wenn die Druckhöhe vom Mittelpunkte der Austrittöffnung gerechnet wird. Die sehr kleinen Differenzen zwischen Theorie und Wirklichkeit in der obigen Tabelle sind leicht durch den Luftwiderstand und einige später zu erörternde Umstände erklärlich.

§ 28 b.

Ausfluß unter Berücksichtigung der Znflußgeschwindigkeit und eines treibenden oder hemmenden Druckes.

Würde die betrachtete Wassermenge Q mit einer Geschwindigkeit v zu und mit einer Geschwindigkeit c abfließen, so enthielte sie beim Ein-

Qyv

tritt eine lebendige Kraft

Q y c²

und da der

2 und beim Ausfluß

Zuwachs an lebendiger Kraft gleich der verrichteten mechanischen Arbeit sein muß, so besteht die Gleichung

Qy h =

oder

Qy cä Qy v²

g 2 g 2

— v²

2 g h — c

c — J/ 2 gh-fv²

und hieraus

Denken wir uns die Zuflußgeschwindigkeit v durch eine Druckhöhe H erzeugt, so können wir v² durch 2 g H ersetzen und bekommen

3)

Somit h konstant ist, innß die zufließende Wassermenge F v Gig. 55) gleich der abfließenden f c sein oder

im b daher

oder

hrj Hb

2 g h = c² — c²

Hrl Hh>

-Vr

2gh

5)

Ruht auf dein Spiegel F noch ein Druck P₀ oder auf der Flächen-p₀ der Atmosphäre oder einer andern Flüssigkeit, dagegen

P,

einheit „

ans der Ausflußöffnung f ein Druck P, oder ein spezifischer Druck plf so können wir uns diese Pressungen durch Wassersäulen hervorgebracht denken und setzen daher:

Po = ho y, Pi = hi y.

Für diesen Fall wird Gleichung 4 die Gestalt annehmen

e — j/2 g (h -)- H -f- h₀ — hi).....6)

oder

7)

Diese Formel ist dieselbe wie c² — v²

Po — Pi

8)

welche von Borda-Carnot herrührt.

Berücksichtigt man wieder, daß v = c ist, so läßt sich auch schreiben:

c²

Po — Pi

oder

hch

po^p.^

. - 9)

In den meisten Fällen ist nun der Querschnitt der Ausflußöffnung so klein im Verhältnis zur Größe des Reservoirquerschnittes, daß der Bruch

( *,) vernachlässigt iverden kann, denn wenn z. B. f — XV F, so ist

.i.

f²

Bei Vernachlässigung des Verhältnisses-^ wird die Gleichung 9):

f*

c = j/2g(h-l

10)

Po — l»i\

7    )

Bei elastischen Flüssigkeiten oder Gasen kann der Wert 2 g h außer Acht gelassen werden und man erhält sodann

- Pl)

11)

c==l/2giP<L

r    y

worin jetzt y das Gewicht von 1 cbm der betreffenden Flüssigkeit unter der Pressung p₀ bedeutet.

§ 28c.

Beispiele.

Beispiele. 1. Welches ist die Geschwindigkeit, mit der das Wasser aus einer Rohrleitung oder aus der Mündung eines Gefäßes ausfließt, wenn die Druckhöhe 5 m beträgt und die Reibungswiderstände nicht berücksichtigt werden?

Nach Formel 1) ergiebt sich

c = p 2 g H = V‘2 • 9,8088 • 5 = 9,904 m in einer Sekunde, welche Zahl auch in unserer Tabelle enthalten ist.

2. Mit welcher Geschwindigkeit stießt das Wasser aus einer Rohrleitung , wenn die Druckhöhe —10 m ist, bis zu welcher Höhe erhebt sich der Wasserstrahl, und welches ist die Zeitdauer dieser Steigung?

Die Ausflußgeschwindigkeit wird sein

c = f 2gh = j/2 - 9,8088 • 10 = 14,006,

wie auch die Tabelle zeigt.

Die Dauer der Steigung beträgt:

c 14 t — g —9)8088

welche Formel sich auch aus 5) des vorigen Paragraphen ableiten läßt,

T

wenn man bedenkt, daß t — a = 90° ist.

—1,53 Sekunden,

Die Steighöhe ist natürlich gleich der Fallhöhe:

li = jgt²= | - 9,8088 -1,53² = 10 m oder auch nach Formel 8) des vorigen Paragraphen:

c² _ 14-14 1—2g —2-9,8088

Ein ausfließender Wasserstrahl steigt daher ebenso hoch, als die seiner Ausflußgeschwindigkeit entsprechende Druckhöhe beträgt, wenn äußere Widerstände vernachlässigt werden.

3. Aus einem runden Gefäße (Fig. 55 Tafel 3) fließt durch eine ebenfalls runde Öffnung von 0,08 m Durchmesser Wasser aus und es beträgt der auf die Oberfläche des Wassers ausgeübte Druck p₀ = 5 Atmosphären , während der äußere Druck pi die gewöhnliche atmosphärische

Pressung und demnach    = 10,333 ist. Der Durchmesser des Gefäßes

ist 4,5 m. Mit welcher Geschwindigkeit fließt das Wasser durch f aus, wenn die Druckhöhe h = 2 m beträgt und alle die Geschwindigkeit beeinträchtigenden Umstände außer Acht gelassen werden?

Nach den gegebenen Werten ist:

F = 4,5² ^ = 15,904 qm

1 = 0,08²    =0,005 qm.

Rechnet man nun rund eine Atmosphäre gleich 1 kg pro qcm demnach p, = 10000 und p₀ = 50000 als Druck auf 1 qm und y = 1000 kg als Gewicht eines cbm Wasser, so erhält man nach Formel 9)

2g(2 +

50000—10000

1000

28,68 m in der Sekunde.

1 _ ( Q'005 \

\15,904/

4. Da im obigen Falle der Querschnitt des Gefäßes so groß ist, daß der Bruch (j vernachlässigt werden kann als XY —, so kann man die Ausflußgeschwindigkeit nach Formel 10) setzen:

f

p ist nämlich weniger

c=y 2 g (2+

J = 28,68 m in der Sekunde.

50000 — 10000

1000

5.    Herrscht dagegen im Innern des obigen Gefäßes nur die gewöhnliche atmosphärische Pressung, so wird

6 — j/2 gh = J/2 • g • 2 = 6,26 m in der Sekunde.

6.    Strömt aus dem obigen Gefäße statt Wasser gewöhnliche atino-sphürische Luft unter einem Drucke von 5 Atmosphären aus, so ist zunächst das Gewicht y der Kubikeinheit Luft unter der Pressung p₀ zu bestimmen.

Innerhalb bestimmter Grenzen nimmt die Dichtigkeit der Luft porportional mit der Pressung zu. Das Gewicht von 1 cbm Luft unter der gewöhnlichen atmosphärischen Pressung und bei 0° Celsius ist —1,293 kg und daher der in Rechnung zu ziehende Wert von y y = 1,293 - 5 = 6,465.

Hierdurch nimmt Gleichnung 11) die Gestalt an:

_ |/2 • g (50000 — C — y    6,465

10000)

348,39 m in der Sekunde.

7. Mit welcher Geschwindigkeit strömen Heizgase von der Temperatur T aus einem H m hohen Schornstein, wenn die Temperatur der umgebenden Luft t ist?

Die Höhen der Luftsäulen von verschiedenen Temperaturen, welche sich das Gleichgewicht halten, stehen bekanntlich im direkten Verhältnis der absoluten Temperaturen. Einer Luftsäule von der Höhe H und der Temperatur t würde demnach eine Säule der Verbrennungsgase tum der Höhe

273 + T ^ 273 4-1

das Gleichgewicht halten. Es ist aber nur eine Höhe H vorhanden und somit wird die Überdruckhöhe 273 4- T M 273 +1

betragen und demnach die Geschwindigkeit

°=V2e£a+i

T

oder H1

273-kt '

sein.

§ 29.

Ausfluß aus einer Öffnung in der Seitenwand des Gefäßes.

Nach Formel 1) des vorigen Paragraphen war die Ausflußgeschwindigkeit in einer Tiefe h unter dem Wasserspiegel c — V2gh.

Für eine Öffnung in der Seitenwand des Gefäßes sind nun verschiedene Druckhöhen in Betracht zu ziehen und die allgemeine Fornrel für die Ausflußmenge in Kubikmetern müßte daher unter Benutzung der Fig. 56 ans Tafel 3 lauten

Q = 2 f y2 g x

und für die zugehörige mittlere Geschwindigkeit

1)

Nach den unten gegebenen Entwickelungen oder unter Benutzung von Summenformeln erhalten wir für nachstehend durch die Figuren-nummern näher bezeichnete Mündungsquerschnitte die beigeschriebenen Ausflußmengen in Kubikmetern und mittleren Geschwindigkeiten in Metern pro Sekunde.

<t

b}/2g(V-V)

Figur

57

oder

ober annähernd

= 2,9528 b (ht

V2g-

= 2,9528

h,

h.

fcrl P*

tr-! S3⁻

K>

d-!-- t» lue

«In

<r

[‘“aUr) r²«¹'-

[¹

Mgur

51.

₃ bb /2gh,

CO

Figur

59.

Q = ^(2B + 3b)h/2gh,

4 2 B 4- 3 b C —15 B + b

/2gh.

<r

^ liO CD ! rH

Kg r

Figur

63.

13,363 r² , Vr

lö ' ° n

4,2535 l/r.

Figur

62.

q = r^K2gh[l-M(|-) e = |/2gE[l-l(^)

⁵ (~ V1

324 V h /

—frYl

324 V h / J

Figur

60.

Be

liebiges

Dreieck,

eine

Seite

dem

Wasser

spiegel

parallel.

Figur

61.

Be

liebiges

Dreieck,

eine

Seite

dem

Wasser

spiegel

parallel.

2 h² — (2 h² — h c sin a — 3 c² sin² «) Vh-\- c sin et sin² «

b 2 br — (2 h² — h c sin « —3 c²sin² «) j/h+c sin «

= 0,59056---c

4 -/— 2h²—(2h² — hcsin a — 3c²sin²«) j/h 3 c2 n    sin²«

_ 1,18112 2hf — c2 für h = 0:

sin²«

c sin «

(2 h² — h c sin « — 3 c² sin² «) Vh + c sin «

sin²«

Q = |- b c j/2 g c sin «, c — ~ )/2 g c sin «,

für h = 0 und « — 90°:

Q— ~bc|/'2gc, C = y r 2 g C.

Q = o b li y'2 g h

(₁₊c^y

sin a

-S- b c V2 ge sin a,

rC; o

V2gh

sin a

O¹

erq

£>

für h =0:

<J =

für a = 90°:

q= | bh i/2gh[(i+D -1 |

~ : -jco

CO

bij

1=7-1

₁ K2gcsin«,

CTq i

<-r

tr*

Sr

CD

CT"

XI

Cfq

Fig-62. In geneigter Wand.

Q = siv² /2 gh J^l c = /2 g h j^l

1 r² sin² a

5 r⁴ sin⁴ a

32 h2 1 r² sin²«

1024 h4 5 r⁴ sin⁴ a

]-

32 h²

1024 h⁴

Figur

UO ___

]/2r² F2 gr sina

63.

In geneigter Wand.

— 3,0170 r² j/2 g r sin a,

32/2

c — -----

15 TT

y 2 gr sin cr

— 0,96034 \2 g r sin a.

1 b² sin² a

Figur

64.

Q = ab7rj/2gh[jL

c = j/2 g t [l für h = b:

Q = ab7rf/2gbj^l — ^ sin² a

c = |/2gb [l

32 b2 1 b² sin² a

32 b²

32

sin² a —

5 b⁴ sin⁴ a

1024 b4 5 b⁴ sin⁴ a 1024 b⁴

ei • I

Die zur Mündung Fig. 57 gehörige Ausflußmenge ergiebt sich nach der allgemeinen

Formel

oder mit Benutzung der Integralrechnung

Q = ^fyr/i

Q=/’bdxy2g

zu:

_ hi

x-(1x

Q = by2gfy

h₂

= bl/2g.|(h4-h₂#).

Hieraus erhalten wir die mittlere Geschwindigkeit c, wenn wir durch die Fläche b (bj — h₂) dividieren:

c = ty2g

bl¹ ~ l4

hi —h₂

Ist nun die Mündung ein Kreis (Fig. 63), dessen Gleichung:

(r — x)² -J- y² = r²

lautet, so wird sich für die Ausflußmenge der allgemeine Wert

Q = ß y-dx s/2 g X = 2]/2i/y>/x.dx

Meißner, Hydraulik. I. 2. Auflage.

und durch Einsetzung von der Ausdruck

y — ]/r² — (r — x)²

oder

2r

Q = 2 V'2 g f j/r² — (r 0

2 r

Q = 2 V'2 g /x V2 r 0

— x)² ]/x • dx

— x dx ergeben.

Um die Funktion rational zu machen, setzen wir:

Y2r — x = z und somit x = 2r — z², dx — — 2 z dz. Als Jntegrationsgrenzen treten hiernach für

X — 0 z = Y2 r und für x = 2 r z = 0 ein. Durch diese Umformungen erhalten wir:

o

— 4 |/2 g /*(2 r — z²) z² dz

y 2r _ 0

= 4 ]/2 g y*(z⁴ — 2 r z²) dz

y 2r

= ⁴V2g[^

rz³l

3"J

= V2r

Q — 4V2 g = 8Vgr

(2 r)

4 * r² I 4 r2_ 5    ⁺ 3

2 r (2 r)-'1

3 J

64

Vg • r² •

lö

Die Berechnung gestaltet sich weit verwickelter, wenn der Mittelpunkt des Kreises um h unter dem Wasserspiegel liegt.

Es wird die durch den unendlich schmalen Streifen 2 y d x fließende Wassermenge d Q = 2 y dx |/2 g (h — x) sein.

Zur Einführung von Polarkoordinaten setzen wir:

und erhallen

y = r sin cpt x — r cos (p, dx — — sin <p dg) r d Q = — 2 r² sin² g) dg ]/2 g (h — r cos g)

= — 2 r² y2 g h sin² g j/1--cos g • dg.

Entwickeln wir die Wurzel nach dem binomischen Lehrsätze in eine Reihe:

128 V h

r-J cos⁴ g ,

so zerfällt das aus d Q für Q abzuleitende Integral in eine Reihe von bequem lösbaren Integralen:

H — — 2r²]/2ghj^/* sin² 99 dp---f j* cos p sin² p dp —

--ycos² 99 sin² 99 dgp — ^    ^ ^/eos³ cp sin² cp dp

-m(iyfco*ig,a^*d*-....._•

Hierin ist:

Jsin² p dp=* — | cos p sin p -j- (p, sin p cos² p

fisin 99,

Jsin² p cos p dp

sin p cos³ p

Jsin² p cos² p dp — —

ysin² p cos³ p dp —

ssin² p cos⁴ p dp — oder bei Ausführung der bestimmten Integration von p = 0 bis p = 180°:

(p —180°

siin² >p dy — -₂-,

sin³ p cos³ p

sin³ p cos³ p

j-|sin(pcos!P + |5p,

E^sinycos> + ^ sin p cos³ p

sin 99,

■HOsinycosy+-|y)j

91 = 0°

91 — 1800 Jsin² p cos p dp = 0,

(p = o°

91-= 1800

I sin² p cos² 99 699 —

91=- 1800

sin² 99 cos³ 99 (I99 = 0,

91-00

91 — 00 91 = 1800

j*sin² 99 cos⁴ 99 <199 = — •

91 = 00    lb

Nach Einsetzung dieser Werte und entsprechender Umformung findet man:

Q = r^l/2gh[l-l(y

4“

1024 l h )

§ 30.

Der hydraulische Druck.

Der Abfluß des Wassers aus einem Gefäße mit konstanter Oberfläche (Fig. 75, 76, 77 Tafel 4) durch ein vertikales Rohr, dessen untere Öffnung in einen ebenfalls konstanten Wasserspiegel eintaucht, ist ein Fall, der bei der Anlage hydraulischer Motoren außerordentlich häufig vorkommt.

Bezeichnet c die Ausflußgeschwindigkeit des Wassers aus der untern Mündung f des Rohres (Fig 75); f den Querschnitt dieser Mündung; H die Druckhöhe oder den Abstand beider Wasserspiegel AB und CD;

h die Tiefe der Rohrmündung unter dem Unterwasserspiegel; c, und h, die Geschwindigkeit und Pressungshöhe an irgend einer andern Stelle des Rohres mit dem Querschnitte fi in i)ent Abstande Hx unter dem Oberwasserspiegel , so ist zunächst die wirkliche Pressungshöhe an der untern Öffnung:

C ^

2g + h = H + h

d. h. gleich der hydrostatischen Druckhöhe.

Es bleibt also, welches auch der Wert von H sein mag:

2g

^ = H

d. h. die Ausflnßgeschwindigkeit c ist immer

1)

c = V2^R

entspricht somit stets dem wirksamen Gefälle H, welches auch die Tiefe sein mag, bis zu welcher das Rohr in den Unterlvafferspiegel eintaucht.

Zu demselben Ergebnis gelangen wir auch durch folgende Betrachtung: Ohne Berücksichtigung des Gegendruckes würde die Ausflußgeschwindigkeit betragen:

j/2 g (H -(- h

da die Mündung um H + h unter dem Oberwasserspiegel liegt. Nun lastet aber auf der Ausmündung ein Druck der für die Flächeneinheit p = h y ist und der nach Formel 6) des vorletzen Paragraphen die Ausflußgeschwindigkeit um so viel vermindert, als wenn die Druckhöhe um h kleiner wäre. Hiernach muß

c = K2 g (H + h — h) = g H

sein, was zu zeigen war.

Es ist ferner (Fig. 76)

,    . cv

hi +s—

2g

Da nun durch die beiden Querschnitte f und f) dieselbe Wassermenge

fi Ci = f c

Hi;

also 1^= Hi — £

2g

fließt, so ist:

oder

ei — fi c.

Hieraus folgt durch Quadrierung und Division mit 2g;

/ f y c*_

XfiV 2 g

Ci*

2g

und mit Benutzung von 1)

Führen wir diesen Wert in

Ci²

hx = Hx —

2g

G-

Der Wert der Pressungshöhe hx oder der Höhe des hydraulischen Druckes ist daher für ein gleiches Hx vom Verhältnis der beiden Querschnitte f und fi abhängig und kann also je nach diesem Verhältnisse ganz verschiedene Werte annehmen.

Hat z. B. wie in Fig. 75 das Rohr an allen Stellen denselben Durchmesser oder ist fx — f und Ci = c so ergiebt sich

hi — Hi — H

hi=-(H-H,)

Der Druck des Wassers in dem ganzen Rohre ist daher negativ und zwar um so größer, je höher der betrachtete Querschnitt über dem Unterwasserspiegel liegt und wird also durch die Höhe H — Hx ausgedrückt.

Ist der Querschnitt fi an der betrachteten Stelle kleiner als am Ausflusse, wie in Fig. 76, so ist also t) <(f und cx )> c und es wird

ein, so ergiebt sich:

hi — Hi —

oder

• 3)

>1

und somit hi noch stärker negativ als bei gleicher Rohrweite.

Ist endlich das Rohr an der betrachteten Stelle weiter als an der Ausflußmündung, ist also fi s> f und ct <s c, so wird ht nur so lange negativ bleiben, als

©H>H

4)

und es wird die Pressungshöhe hi — 0 werden, d. h. die Spannung im Innern wird der atmosphärischen Pressung gleich, wenn

H — Hi

oder

VI

ist. Wäre z. B. Hi — | H, so müßte hiernach U — 2 f sein, damit in dieser Tiefe die atmosphärische Pressung herrscht. Für st )> 2 f, wird in demselben Rohre hj schon positiv.

Giebt man in dem betrachteten Falle (Fig. 76) dem Rohre einen kreisförmigen Querschnitt, so ist

fx=f

5)

d² n

und fi —

d]² 7t

und es wird durch Einsetzung dieser Werte in 5)

oder

di²

=d²^

.4

VK

Hi

dj = d

Hi

6)

Berechnet man für die verschiedenen auf einander folgenden Höhen Hi = 0,1 H, Hi = 0,2 H .... Hi = 1,0 H die entsprechenden Werte von

iX»

r h.'

so erhält man durch Multiplikation mit diesem Faktor die Durchmesser des Rohres in diesen Höhen, bei welchen die Pressung des Wassers überall dem Atmosphärendrucke gleich oder der Manometerstand hi = 0 ist. Es wird für

Hi — 0,1 H der Wert von dx — 1,78 d,

„ di = 1,49 d,

, di — 1,35 d,

, di = 1,26 d,

, di = 1,19 d,

, di == 1,14 d,

, di — 1,09 d,

, di — 1,06 d,

, di — 1,03 d,

, di — 1,00 d.

Ein hiernach berechnetes Rohr ist in Fig. 73 dargestellt.

Man erkennt daraus, wie außerordentlich verschieden die Spannungen und Pressungen in einem einfachen vertikalen Rohre werden können, welches auch die Querschnittsdimensionen desselben sein mögen, und daß in der That der Ausfluß des Wassers, beziehentlich die dabei obwaltenden Verhältnisse, bei einem solchen Rohre keineswegs so einfache sind, vielmehr einer genauen Feststellung bedürfen.

Bringt man im Rohre (Fig. 75) in der Höhe des Unterwasserspiegels eine Turbine an, oder ist dieser Motor auch unter dem Unterwasserspiegel angebracht, so wirkt die ganze im Rohre befindliche Wassersäule durch ihr Gewicht auf das Rad ein.

Wird dagegen die Turbine an das obere Ende des Rohres verlegt, so wirkt das Wasser nicht mehr durch seine Pressung, sondern vielmehr durch Zug oder Saugen auf die Turbine, d. h. das Wasser wird von oben nach unten durch die Turbine infolge der negativen Spannung im obern Rohrteile hindurchgezogen und zwar genau mit derselben Geschwindigkeit, wie wenn sie unten am Unterwasserspiegel angebracht ist.

Die einzige Bedingung ist die, daß die Höhe der saugenden Wassersäule nicht größer als 10,33 m ist, daß also der Abstand des Unterwasserspiegels von der Turbine diese Höhe nicht übersteigt. In der Praxis darf sogar mit dem betreffenden Werte nicht über 8 m gegangen werden, wenn man der gehörigen Wirkung sicher sein will.

Werden bei der Konstruktion die eben bestimmten 10 m bezw. 8 m überschritten, so entsteht zwischen der Turbine und der hängenden Unterwassersäule ein leerer Raum, durch welcher das Wasser aus der Turbine herunter fließt, ohne daß es während seines Falles durch diesen Raum eine (saugende) Wirkung auf das Rad ausübt, weil die negative Spannung unter dein Rade um eine Wassersäule von 10 m Höhe zu tragen oder schwebend zu erhalten vermag.

Wird endlich eine Turbine mitten im Rohre zwischen Ober- und Unterwasserspiegel angebracht, so wirkt das Wasser im obern Rohrteil durch Pressung und dasjenige im untern Rohrteile saugend auf das durch die Radkanäle fließende Wasser ein. Es folgt daraus, daß man das Turbinenrad in einem solchen Rohre in jeder beliebigen Höhe anbringen kann, ohne daß sich die Durchflußgeschwindigkeit und somit dieWirkungdesWassersaufdasRadvermindert, weil in jeder Höhenlage die Summe der pressenden und saugenden Wassersäulen der ganzen Gefällhöhe H gleich ist.

Würde in Fig. 76 die Rohrwandung an der engsten Stelle ein Loch haben, so könnte dort die Flüssigkeit nicht austreten. Es würde vielmehr die Luft von außen eingesaugt werden. Setzt man in die kleine Öffnung ein Rohr seitlich ein, welches in einen etwas tiefer gelegenen Wasserspiegel mit seinen umgebogenen Ende taucht, wie in Fig. 72, so wird selbst das Wasser in dem vertikalen Schenkel ansteigen und ist die Druckdifferenz groß genug, gleichmäßig in das Hauptrohr überströmen.

Bei einem Gefäße von der Form Fig. 74 könnte der dort dargestellte Fall eintreten, daß sich im untern Teile ein neuer Flüssigkeitsspiegel Fj bildet. Es würden dann nach Formel 9 des vorletzten Paragraphen die Geschwindigkeiten Ci und c in den Querschnitten f'i und f die Werte:

2g(H

c, =

²*H)

--G'

haben. Wobei der hydraulische Druck x»i — 0 und der Druck auf 1 zu p angenommen wurde.

- 7)

Soll nun durch und f dieselbe Flüssigkeitsmenge fließen, so muß die Bedingung

bestehen, oder durch Einsetzung der Werte von c und ct

²s(H.+y)

jrh

Hieraus folgt

oder

, , (r) -G

⁷ G -G

(H-

Po)

y'

. . 8)

Kh'+t)-

Ist dieser Wert von x gleich oder größer als H — H,, so wird sich kein zweiter Flüssigkeitsspiegel Ft bilden und für x = H — kann gesetzt werden. Beim Ausströmen in die Atmosphäre ist noch P = Po zu setzen.

Für den Fall des gleichmäßigen Druckstusses ohne Bildung eines luftleeren Raumes werden unter Zugrundelegung der Bezeichnungen aus Fig. 72, in welcher die Druckverhältnisse durch Anbringung von Steigröhren veranschaulicht sind, die Geschwindigkeiten

C, =

₁/2s(b + &₇

£)

⁰⁼ V "Kiy

Unter Benutzung der Bedingung 7) erhält man hiernach

H ■ Po—P

f, = f F

(F* - f²) (hx + P°) + f² (h + ^J)

oder

f, =f

H + Po^P

y

H-H,

y /

- 9)

Wird fj so groß gewählt, wie diese Gleichung angiebt, so strömt has Wasser durch f, mit derselben Geschwindigkeit, als wenn es in einen luftleeren Raum flösse.

Ruht auf f nur der Atmosphärendruck p„, so gestaltet sich 9) einfacher, da dann p₀ = p ist. Es wird

fi =

Hx

oder

fi =

fl/

Hx

+ ho+(!)>-Hx-ho)

- - io)

wie schon früher h₀ gesetzt ist.

wobei für —

y

Ist F gegen f so groß, daß ( ^ J annähernd gleich Null gesetzt werden kann, so nimmt 10) die einfache Form

f, =

11)

fl/ZEZ

V Hx+h„-

an.

Durch fx fließt jetzt eine Wafsermenge f, V2 g (Ht -f- h₀), welche sich zu fj y2 g vermindern würde, falls das untere Gefäß fehlt. Man vermehrt somit die Ausflußmenge durch Hinzufügung des unteren Gefäßes oder durch Ansetzung eines sich nach unten auf den Querschnitt f er-

weiternden Rohres. Der Zuwachs an ausfließender Wassermenge beträgt in diesem Falle

oder

)•

Hx+h„

f'i F2 g (Hx + ho) — fj V'2 g Hx f)/2^H(l-|/ H Beispiel. In Fig. 72 bezw. 74 sei

f

H = 20 m, Hx = 5 m, jr = 0,1.

Es soll der Grenzwert von fx bestimmt werden, für welchen sich kein zweiter Wasserspiegel Fx mehr bildet.

Nach Gleichung 10) ergießt sich:

20

20

Hb

15,333 + 0,04667

r 5+ 10,333+ 0,1² (20—5 —10,333)

er    f‘

-L -1,3004.

Für einen kleineren Wert dieses Verhältnisses würde sich ein neuer Flüssigkeitsspiegel Fx bilden, wenn nach 8) auch x < H — Hx ist.

Wie groß ist nun die Höhe x über f und welche Geschwindigkeiten herrschen in f und fx, wenn ~ — 0,5 und Fx =F gewählt ist?

4 = 0,1 und 4 = 0,5

ü    I

3-z= 0,1 -0,5 = 0,05

jQ

Aus

folgt:

f,

und durch Einsetzung dieser und der oben gegebenen Werte in Gleichung 8) findet man:

x= 10,333 + 0,5²^ = 10,333

— 0,1²

— 0,05

0,25 - 0,99 -15,333 0,9975 x = 14,1377.

Die verlangten Geschwindigkeiten cx und c ergeben sich nach den vor 7) stehenden Formeln zu

oder

(5 + 10,333)

cx _ i j^ S (Hi + ho)

1/2 g (5 + 10,333) r 1 — 0,05² '

cx — 17,365, c — 8,683.

oder

§ 31.

Ausfluß unter veränderlicher Druckhöhe.

Die bisher aufgestellten Formeln über den Ausfluß des Wassers nehmen eine viel verwickeltere Gestalt an, wenn die Druckhöhe veränderlich ist. Dieselben sind von der Form des Gefäßes abhängig und lassen sich daher nur für einfache Gefäßformen geschlossen schreiben. Haben wir es z. B. mit einem cylindrischen oder prismatischen Gefäße (Fig. 89 Tafel 5) zu thun, so gebraucht der Flüssigkeitsspiegel die Zeit

2)

t — —(yh — j/h — x)

t'/2§

um von der Höhe h herab um das Stück x zu fallen. Daher wird bis zur Entleerung des Gefäßes die Zeit

3)

0 __ -|y/2g (x — ho)

(t)‘

y 2 g (14,1377

— 10,333)

0,1²

2 F h f J/'2 g h

vergehen. Setzen wir in der vorletzten Gleichung zur Abkürzung

~2F~~a'

so nimmt sie die Gestalt an:

a,t = ]/h — j/h — x

oder durch Umformung

— 2 a j/h t — a²1².

Führt man für

t = 2 a /h t

die neue Unbekannte y ein, so ergiebt sich die Parabelgleichung

y²

x = y — ~ -J 4h

Diese Parabel ist in Fig. 89 wiedergegeben. Man kann sie benutzen, um die Zeit t zu berechnen. Zu diesem Zwecke entnimmt man für ein bestimmtes x das zugehörige

7f

/2 g h t und berechnet t

f y'2 gh

Fließt in unser Gefäß in der Zeiteinheit eine Flüssigkeitsmenge Qo = f/2gh₀

hinein, so erhalten wir die Formel

jh — / h — x -j— /h₀ ln

A— /ho

j/h — x — j/h

Hieraus geht hervor, daß /h— x — /h₀ /> 0 sein muß, weil für /h — x — /h₀ = 0 oder für x = h — h₀ die Zeit t=oo wird. Somit kann der Flüfsigkeitsspiegel niemals so tief sinken, daß £h'2g(h—x) — Q„ wird oder so viel abfließt wie oben hinzukommt, und nähert sich nur der Grenze x — h — h₀.

Ist h„> h, so steigt natürlich die Flüssigkeit an und strebt der Grenze x = h₀ — h zu, erreicht sie aber nie.

Um die Ausflußzeit aus Gesäßen ohne Zufluß zu bestimmen, deren Bildungsgesetze uns nicht bekannt sind, bedienen wir uns der Formel

+ 2/A VA

+ _ ^    ^ I _1_ / F _ I I

£ /2g    3 n 2 \J/h /h„ /

Fn_i\ i / F₂ F4 Vh₃ ' '"/iw/AA* yt, '"/E

Fs

F„-2 \

ShzJ

. 5)

Für die Ausflußmenge erhalten wir 2(h —h„)

[i(F + Fn) +

-(-2 (Fi-)-F₃-)-...-}-Fn_i)-)-(Fa-f-F^-f-...-(-Fn_2)]. . 6) Hierin bezeichnen F, Flf F₂ ... Fn die in gleichen Zwischenräumen

——— auf einander folgenden Querschnitte (Fig. 91) und h, h,, h₂ .. hn

die hierzu gehörigen Höhen.

Die Ausflußmenge Q läßt sich aber auch dann noch berechnen, wenn man die Querschnitte F, F, ... F„ nicht kennt, wohl aber die Ausflußzeit t und die zu jedem n • Teil dieser Zeit — ^ gehörige Höhe h, / ... hn beobachtet hat. Es ist nämlich:

_ 0 4-    _ _ _

Q = fj/2g^[| (j/h-j-j/bn) -|-2    + V\ + • • • 4- /hn_i) -s-

+ (V^2 + K ^4 + - . . + K hn—2)]

Die in dieser Formel vorkommenden Höhen dürfen jedoch nicht mit den gleichnamigen der Fig. 91 verwechselt werden.

Fließt dem Gefäße eine Wassermenge Q₀ = f f 2 g h₀ zu, so treten die folgenden Formeln ein:

2^h — hnsl / _ F _    _Fn _\ ■

fj/2g 3 n _2\j/h —j/h₀ ff—ff/

F,

F.

+²(

ff— Kilo ff — ff    f h„_i

Fn——Vf

-fh of

Fa

~^\ff

2(h —hn)

f₄

F„—3

:)

- 8)

— ff ff— ff

[i(F + Fn) + ,2(F₁+F₃+... + Fn_i) +

-j-(F₂-f---j-... Fn_2)]-4“ f ^2 g h₀1 .... 9) Nach der vorletzten Formel bleibt t endlich, so lange kein Nenner Null wird und jeder mit j/h — /h₀ dasselbe Vorzeichen hat.

V £11—2 — |/h₀

= dt:

Nach den Bezeichnungen der Fig. 88 beträgt die Abflußmenge in dem Zeitelement

dQ = f]/2g(h — x) dt, wenn der Flüssigkeitsspiegel um x gefallen ist und die Zuflußmenge

Qo dt,

wenn Qo in der Zeiteinheit (1 Sekunde) zufließt. Die Volumen-Ab- bezw. -Zunahme der Flüssigkeit beträgt demnach

dQ — Qo dt = F dx

oder durch Einführung des obigen Wertes von d Q:

f "|/2 g *(h — x) dt — Qo dt = F dx

oder

dt

F dx

ff2g(h —x) —Qo

oder steigt:

Hieraus erhält man als Zeit, während welcher der Flüssigkeitsspiegel um x fällt

F dx

f |/2g(h —x) — Qo

oder

F dx

f K2 gVfh - x - fh₀

0

1)

wenn Qo = f Y 2 g h₀ gesetzt wird.

Ist F konstant, haben wir es also mit einem cylindrischen oder prismatischen Gefäße (Fig. 89) zu thun, so ergiebt die letzte Formel

-L [yh - >'h - x]

2)

F_ }_dx

f 1/2 gj ]/h — x    fY2g

o

falls kein Zufluß stattfindet.

Strömt dem Gefäße jedoch die Wassermenge Q₀ = f y2 gh₀ zu, so erhalten wir

nach 1)

dx

F r

f i/2 gj yh —x — ybo

0

Setzen wir yh — x = u, so nimmt das Integral die Gestalt an

Vk

— 2F

u du

fy2g

-yh» fy2g

/di(i

-yb₀

— 2F

fy2g

Hieraus findet man

[yb₀ ln (u — yb₀) + u] .

u=y h

²L[yy, in

f]/2g

yh - ybp yh - x - yy₀

+ yh — yh — x].    ...    4)

Ist uns eine Abhängigkeit zwischen F und x in 1) nicht bekannt, so müssen wir das Integral nach einer der Simpsonschen Regeln in eine Reihe verwandeln. Die Strecke zwischen den Grenzen der Integration teilt man zu diesem Zwecke in eine Anzahl gleich großer Teile (= b oder — a in den Formeln des § 14), bestimmt dann durch Messung die in dem Differentialquotienten des zu berechnenden Integrals vorkommenden Größen für die Teilpunkte und danach die Differentialquotienten (die Werte h₀... hn oder f₀... fn des § 14) selbst. Diese werden nun nach einer Simpsonschen Regel summiert.

• Durch die vorgenommene

yh-x- yh„

Einteilung nimmt nun h — x die Werte h, hlr h₂ . . . hn und nach der Messung F die Werte F, Flf F₂ . . . Fn an. Hiernach bekommen wir:

In unserm Falle ist der Differentialquotient

F dx

yh — x — yh₀

+ 2(-=Fl

xyh,

2 (h hn) r 1 / F

Ln

Fs

-ybo yhs-yho

yh-yh₀ ' yhn-yh₀/

F°~l—

yh^ - vkJ

+ •••4

F-² _yi

yhn_₂-ybo/J

^    4-...4

f₂

yb₂-yh„ yb₄ - yh»

Durch Einsetzung dieser Lösung des Integrals folgt aus 1) die Gleichung 8). Bedienen wir uns zur Berechnung der Ausflußmenge Q der Formel

q —sfy2g(h-x) dt +/fy2gh; dt,

—g (h — x) dt + f y2 gho t

und lösen das noch vorhandene Integral nach der ersten Simpsouschen Regel, so erhalten

wir die Formel 7) mit dem Zusatzgliede -f f |/2 g h₀1. Gehen wir dagegen von

Q =y*F dx + f 1/2 gh₀1

aus, so gelangen wir zu Gleichung 9).

Ist es in besonderen Fällen nicht möglich nach genau gleichen Zeiten die Fallhöhen oder nach gleichen Fallhöhen die Querschnitte des Gefäßes oder Teiches zu bestimmen, so kann man doch die zu den Formeln nötigen Werte graphisch ermitteln. Hat man beliebige Querschnitte F, Fa, Fb .. . Fn mit zugehörigen Höhen h, ha, lib . . . hn oder solche Höhen nach den Zeiten t, ta, tb . . . tn gemessen, so trage man in Fig. 119 Tafel 7 nach Art einer Deplacementskala die Flächen oder in Fig. 120

die ansgerechneten Werte

Fa

F„

in

— j/ho ' l'lia — l 'ho ' /hn — /ho einem bestimmten Maßstabe auf und berechne den Flächeninhalt der so entstandenen Kurven mit einem Planimeter oder nach neuer Ordinaten-einteilnng mit der Simpsouschen Regel. Der Flächeninhalt von Fig. 119 unter Berücksichtigung des Maßstabes giebt die Ausflußmenge Q der

Formel 6), derjenige von Fig. 120 nach Multiplikation mit —

fy 2g

die Zeit t der Formel 8). Würden wir den Flächeninhalt von Fig. 121 mit f j/2 g multiplizieren, so erhalten wir Q nach Formel 7). In derselben Weise kann man auch Formel 5) und ähnliche durch eine solche graphische Auftragung ersetzen.

Es sei die Formel für den Ausfluß aus dem kegelförmigen Gefäße Fig. 90 Tafel 5, welches keinen Zufluß hat, zu bestimmen.

Nach der Figur erhallen wir R — y , cc

oder

y = R-xtg|-

und hieraus die Flüche

-- (r* — 2 R X tg Y + X² tg² n.

F = y²7i

Setzen wir diesen Wert in die allgemeine Formel

ein, so ergiebt sich

=/,

o

Fdx

fy2g(h —x)

n-= ( R2 s

f]/2gl J

o

dx

2R tg ~

x dx

r x² dx -j

J y^xJ

0

und hieraus durch Einführung der neuen Unbekannten z==]/h — x:

2 R tg z² dz — J h dz] +

tg² [— h² f dz '+ 2 hy~z² dz — J z⁴ dz] |

| —/dz I^R —htg^ + 2/'z² dz tg — Rj tg — tg² z¹ dz J.

t = -^=f-R²/ fl/2g l    /

dz —

oder

2 7T

f"K2g

Nehmen wir die bestimmten Integrale von z = ]/h 6i§ z = |/h — x, so erhalten wir

f l/2 g

| [v'h — yh — x] |r —h tg^J + | [h- — (h — x)^] R—htg? tg~ -f + itg|²[h^-(h-x)f]}.

Führen wir nun noch die Beziehungen R-

tgl

' R-htg| = r

ein, so finden wir

fysg

| [yh — yh —x] r²+f [h² — (h — x)²] r +

+i[hf-(h-x)i](^-ry}

und für die Entleerungszeit:

{yhr²+| hfr Rh r + ¹ h¹ (- h—)² }

oder

Wollten wir eine Gefäßform ¹) berechnen, in welcher beim Ausfluß durch eine Bodenöffnung der Wasserspiegel in gleichen Zeiten um dasselbe Stück oder mit sich gleichbleibender Geschwindigkeit sinkt, so könnten wir wie folgt verfahren.

Der Raum, der durch das Sinken des Flüssigkeitsspiegels F in einer Sekunde frei wird, oder derjenige, den zwei der Zeit nach um eine Sekunde auf einander folgende Flüssigkeitsspiegel begrenzen, beträgt

Fn-r"'

wenn w die Geschwindigkeit ist, mit welcher der Spiegel sinkt. Ebenso groß muß die ausfließende Wassermenge

fv

2g(h—x)

sein. Dadurch ergiebt sich die Gleichung

2 g (h — x)

-v\

oder durch Umformung:

F = f|/

2 g (h — x)

w²

fl-

Soll unser Gefäß einen kreisförmigen Querschnitt in jeder Horizontalebene erhalten und bezeichnen wir den Radius an der zur Höhe (h — x) gehörigen Stelle mit y und den Radius der Mündung mit r, so nimmt unsere Gleichung nach einer kleinen Umrechnung die Gestalt an:

fl-

Soll der Querschnitt ein Rechteck bleiben, von dem nur ein Paar paralleler Seiten veränderlich ist, so erhalten wir die Parabelgleichung:

y*=aj/

2 g (h — x)

w²

+ 1.

Derartige Gefäße wurden im Altertum als Wasseruhren (Hydraule) benutzt.

Die Ausflußöffnung möge sich in der Seitenwand des Gefäßes befinden.

Um unserer Formel gleich allgemeine Gültigkeit zu geben, wollen wir bei dem in Fig. 92 Tafel 5 dargestellten Gefäße einen Zufluß Q₀ in der Sekunde annehmen.

Ist der Flüssigkeitsspiegel um x gesunken, so wird z sin « — x als Druckhöhe für den Ausfluß durch den unendlich schmalen Streifen (yx + y₂) dz zu nehmen sein. Somit erhalten wir

b__

dQ --- \ s⁽Ji f y₂) V2 g (z sin « — x) dz] dt

und nach der schon mal benutzten Formel

ergiebt sich nun

dQ - Q₀ dt = F dx

b    _

[/(yi f y₂)    g (z sin «

— x) dz] dt — Qo dt = F dx

und hieraus

10)

F dx

⁰ f (yi f y₂) sä g (z sin « — x) dz — Qo

Die größte zulässige Jntegrationsgrenze für x in dieser Formel ist x = a sin a. Ist x größer, so ist erst 10) bis zur Grenze a sin a zu berechnen und alsdann noch der Wert    x

-si

F dx

J (yi f y₂) f2 g (z si

na — x) dz — Q₀

hinzu zu addieren.

10

Meißner, Hydraulik. I. 2. Auflage.

Ein prismatisches Gefäß von beliebigem Querschnitte F habe einen vertikalen Einschnitt von der Breite b. Es ist die Ausflußzeit zu bestimmen, wenn kein Zufluß

stattfindetx).

Die allgemeine Formel 11) nimmt hier die Gestalt an

Fdx

Hierin ist

t=/-h    _

o y’b>/2g(z —x)dz

Jb l/2g(z-x) dz =    [(z _ X)i]h =    (h - x)l

Durch Einsetzung dieses Wertes in die vorige Formel findet man

Fdx

3 F r__dx

l fb]/2g(h-x)^    2b V2gJ (h_x)f

b ]/2g

— x yh.

*]•

b ]/2 g h

Als Entleerungszeit, für welche x = h ist, ergiebt sich nach der letzten Formel

T = oo.

Dies erklärt sich dadurch, daß der Ausflußquerschnitt und die Ausflußgeschwindigkeit gleichmäßig abnimmt.

Fließt unserm Gefäße in der Zeiteinheit die Wassermenge Q₀ zu, welche wir, um

die späteren Integrationen zu erleichtern, = f b y2 g h₀ ² setzen wollen, so nimmt Gleichung 11) die Form an:

Fdx

#    _ h

o b l/2g[/|/z — x dz — £h„^]

F r

ibV2gJ (h_x)f_hol

dx

oder, wenn die neue Unbekannte u = l/h — x eingeführt wird:

Vh — X

— u du

Nun ist

yh

u du

oder

u³ — L₀ ² b yh₀ L

u — yh₀

|/u²+ uyh₀ + h₀

+ y3 arc tg

2 u + yhp

yzho

*) Entnommen aus K. Jenny, Vorträge über technische Mechanik, II. Teil. Siehe auch Nazzani Idraülica prätica Seite 105.

s — udu

- n3

yh u

1_rin (l/h — Vhp ) F(h — x) + Vi h — ic) h₀ + h₀

_hof sy^L j/h + yhh, +X(yh^-yy()

ICO

^arc tg

2 yh + yb₀

ys h₀

— arc tg

2 yh — x + yh₀

ys h₀

)]•

Durch Einführung dieses Wertes in die obige Zeitgleichung findet man

,_F r]n (yh — yhp) /(h - x) + y<h — x) hp 4- h₀

b y2 g h₀ L j/h 4- yiTho + b₀ (yh - x — yv>

4- y5 ('arc tg

2 yh 4- yh₀

ysx

Für yh — X — yh₀ wird t = <x>, d. H. das Niveau X — h — h₀ über oder unter dem ursprünglichen Spiegel kann nie erreicht werden.

Es ist die Zeit t zu berechnen, in welcher der Wasserstand in einem cylindrischen Gefäße, das keinen Zufluß hat, von der Höhe h = 8 m über der Bodenöffnung von f — 0,09 qm bis zu derjenigen ü — 2,5 in herabsinkt, wenn F — 4,7 qm beträgt.

Es ist ferner die Zeit zu bestimmen, welche zur vollständigen Entleerung des Gefäßes erforderlich ist. Nach Formel 2) findet man 2 F

f y2g und nach 3)

(/h — j/h —x)

arc tg

2sth-

x 4~ Fhp\~|

ysh7 / J

9,4

0,09 /2 g

()/ 8 — j/2,5) = 29,4Sekund.

T_ 2Fh

f ) 2 g h 0,09 -12,528

Wie hoch stand die Flüssigkeit, wenn die Entleerung in 26 Sekunden stattfindet?

Aus Formel 3) folgt

T²f²g    26²-0,09²-9,8088

h = TTFr=-sTlTfi-

2 -4,7-8 r)

66,7 Sekunden.

0,83 m.

x) Die Zahl 12,528 ist für ]/2g-8 aus der Tabelle des § 28 entnommen.

10*

Siebentes Kapitel.

Wirkliche Ausflußgeschmudigkeit und Ausflußmenge.

§ 32.

Korrektionskoeffizienten.

Die zur Bestätigung der theoretischen Ausflußgeschwindigkeit im § 28a aufgeführten Versuche gaben einen nahe an 1 befindlichen Koeffizienten für das Verhältnis der wirklichen Geschwindigkeit v zu der theoretischen c = V2gh. Dieses Verhältnis wollen wir mit rp bezeichnen und Geschwindigkeitskoeffizienten nennen. Durch diese Festsetzung besteht die Gleichung

v — cp c oder v = cp j/2 g h.

Den größten Wert erhält cp für ein Mundstück (Fig. 94 Tafel 5), das sich von außen nach innen zu allmählich erweitert bei stetig abnehmendem Krümmungsradius.

Um die Abhängigkeit des Geschwindigkeitskoesfizienten von der Druck-hohe h zu finden, stellte I. Weisbach mit einem innen gut abgerundeten Mundstücke von 1 cm lichter Weite Versuche an, deren Ergebnisse die folgenden waren:

h =

cp =

0,02

0,959

iO CO

cT

3,5    17

0,975 0,994

103

0,994

In dem § 20, über die Arbeitsleistung einer Wassermenge durch ihre Geschwindigkeit, haben wir bei der Geschwindigkeit c eine theoretische

Qy c²

Arbeit

gefunden. Hiernach wird bei der Geschwindigkeit v eine wirkliche Arbeit

Qy v²

__Qyy²c²

geleistet werden und folglich ein Arbeitsverlust

Qy c2 g ²

stattfinden. Derselbe beträgt bei einem mittleren Werte von q> — 0,975 L (1 — <p²) = 0,049 L,

also 4,9 °/₀. Das ansfließende Wasser verrichtet demnach 4,9 °/₀ Arbeit weniger, als das von der Höhe h

(l-y²)-L(l-9>²)

c²

2g

herabfallende').

Das Verhältnis des Arbeitsverlustes zur wirklich geleisteten Arbeit oder das Verhältnis des Verlustes an lebendiger Kraft des ausfließenden Wassers zur wirklichen lebendigen Kraft nennt man Widerstandskoeffizienteu und bezeichnet es mit £. Als Formel erhalten wir

VJ _ 1 _ ,

r=

L-L, 1

L,

cp²

cp²

Nach Heinemann kann man die bisher besprochene, sogenannte Arbeitsgeschwindigkeit c=]/2gh von der Ausflußgeschwindigkeit cL unterscheiden, für welche nur der Druck an der Ausflußöffnung st maßgebend ist. Um zu einem Werte für zu gelangen, denken wir ein Gefäß, das bis zur Höhe h mit Wasser gefüllt ist, plötzlich am Boden geöffnet, dann muß die Gleichung Kraft gleich Masse mal Beschleunigung oder

bestehen. Somit ist

Ci - j/gh.

In einer bestimmten Entfernung von der Öffnung zeigt der ausfließende Strahl seine stärkste Zusammenziehung oder Kontraktion. Für das Verhältnis des Durchmessers an jener Stelle und des Durchmessers

9 Bei diesen Betrachtungen wurde jedesmal dieselbe Wassermenge Q zu Grunde gelegt, aber nicht die gleiche Zeit. Durch Bewegungshindernisse verlängert sich die zum Ausfluß von Q gebrauchte Zeit.

der Ausflußöffnung hat Weisbach 0,8 gefunden. An der Stelle der größten Kontraktion, wo der Strahlquerschnitt f₀ sei, habe die Flüssigkeit wieder die theoretische Ausflußgeschwindigkeit c = /2gh erreicht. Alsdann wird

f Ci = f₀ c

oder

so

fCi

= 0,707 f

sein. Für einen kreisförmigen Querschnitt würden sich die entsprechenden Durchmesser verhalten wie

y 0,707: yi = 0,84:1 *).

Die hiernach vorhandene geringe Abweichung von dem obigen Weisbachschen Werte findet wohl seine Ursache in der innern Kohäsion und den Reibungswiderständen. Das Verhältnis des Strahlquerschnittes an der Stelle der größten Zusammenziehung oder Kontraktion zu dem Mündungsquerschnitte, welches für den Ausfluß des

0,8²

Wassers durch Mündungen in dünner Wand

— — 0,64 ist, wird

Kontraktionskoeffizient genannt und mit x bezeichnet.

Würden die wirkliche und theoretische Geschwindigkeit beim Ausfluß aus einer Öffnung in dünner Wand einander gleich sein, so erhielten wir als Ausflußmenge xf|/2gh, da nun aber die wirkliche Geschwindigkeit v — (p c ist, so ergiebt sich als wirkliche Ausflußmenge

oder

Q = y xf )/2gh Q = ct f/2 g h,

wenn a, der sogenannte Ausflußkoeffizient, für cp x gesetzt wird. cp war im Mittel 0,97, x = 0,64, somit ist a = cpx = 0,97 • 0,64 = 0,621. Da f|/2gh die theoretische Ausflußmenge ist, so läßt sich der Ausflußkoeffizient a erklären als das Verh ältnis d er wirklichen Ausflußmenge zur theoretischen.

0 Für dieses Verhältnis sind noch folgende Werte angegeben: Bossut 0,817 —0,812, Borda 0,804, Eytelwein 0,800, Venturi 0,798, Michelotti sen. 0,792, Poleny 0,790, Michelotti jun. 0,790-0,783, Brunacci 0,780.

Die hierzu gehörigen Untersuchungen findet man in: Daubuisson, Hydraulique p. 21; Michelotti, Sperimenti idraülici, Turin 1767; Michelotti, Memoire physico - mathematique concernant les resultats d'experiences hydrauliques. Academie des Sciences de Turin 1784—1785; Leonardo da Vinci, Raccolta d’autori italiani che trattano del moto delle acque; Mariotti, Tratte du mouve-ment des eaux; Navier, Additions ä l’Architecture hydraulique de Belidor.

Zur Gleichung für die theoretische Form des ansfließenden Strahles gelangen wir durch die Betrachtung, daß durch jeden Querschnitt des Strahles (Fig. 313 Tafel 26) dieselbe Wassermenge fließen muß oder daß

ti

<1

M»

ist. Wird nun jedem Flüssigkeitsteilchen dieselbe Beschleunigung p an der Mündung erteilt, so erhalten wir noch die Beziehung

Vx² — V²

px =

Nach dem Schlußsätze im § 20 ist nämlich die verrichtete mechanische Arbeit gleich dem Zuwachs an lebendiger Kraft oder durch Division mit der Masse das Produkt ans Beschleunigung und Weg gleich der halben Differenz der Geschwindigkeitsqnadrate am Anfang und Ende des Weges. Ersetzen wir Vx in der zweiten Gleichung durch seinen Wert D²

Dx

- ans der ersten, so nimmt sie die Gestalt an

px =

Hiernach ist

1)

Dx

2p

Für einen bestimmten Strahl ist letzten Gleichung erhalten wir

2p_

V2 —

dies wird für D = 1, Dx = d = 0,8, x = a = 0,5:

V²

unveränderlich. Nach der vor-

2p

V²

2,882.

Durch Benutzung dieser Werte erhalten wir ans 1)

Dx

p/2,882 x-j-1 Hieraus berechnet sich nach Nazzani die Tabelle X — 0,347 — 0,30 — 0,20 — 0,10 0,00 I + 0,10 + 0,20 + 0,30 + 0,40 + 0,50 1,435    1,239    1,088 1,001 0,939    0,892    0,855    0,825    0,80

Nach dieser ist Fig. 312 auf Tafel 26 gezeichnet.

Dx

00

Es mag hier noch erwähnt werden, daß die Ausflußgeschwindigkeit im Mittelpunkt der Öffnung nahezu gleich Null ist. Dieses bewies Lajerhjelm J) durch folgendes Experiment. Man taucht eine an beiden Enden offene Röhre in das Ausflußgefäß bis nahe zur Mündung desselben. Es ist alsdann im Innern der Röhre kein Sinken des Wasserspiegels zu bemerken. Ein solches müßte aber eintreten, wenn die mittleren Wasserfäden vor dem Eintauchen eine vertikal abwärts gerichtete Geschwindigkeit hätten oder wenn die umgebenden Fäden saugend auf die mittleren einwirken würden.

Die durch eine Öffnung fließende Wassermenge bleibt bei gleicher Druckhöhe dieselbe, einerlei ob der Austritt in die freie Luft oder unter Wasser erfolgt, falls die Mündung nach unten gerichtet ist. Jedoch wird der Ausflußkoeffizient um l¹^⁰/» kleiner, wenn die Mündung sich unter Wasser befindet und nach oben gerichtet ist.

Über den Ausfluß aus rechteckigen Mündungen unter Wasser (Fig. 291 auf Tafel 24) hat Bornemann (Zivilingenieur 1871, S. 54 und 1880,

S. 297) zahlreiche Versuche angestellt und hat gefunden, daß von den vielen Formeln, die er aufstellen konnte, am besten diejenige mit dem Ausflußkoeffizienten

Vä

hi-h-y

a = 0,54138 + 0,14965

war. Die betreffende Formel lautet

Q = ctabl/2g(h-|- H).

Hierin bedeutet H die Geschwindigkeitshöhe und b die Breite der Öffnung, die andern Buchstaben sind in den Figuren 290 und 291 enthalten.

Den Geschwindigkeitskoeffizienten cp kann man nach der durch den Strahl gebildeten Parabel bestimmen.

Die Gleichung für diese ist nach § 27 Gleichung 3:

y²g

x — y tang a und für zwei Punkte der Parabel xt, jy; x₂, y₂:

2 v² cos² a

xi — Ji tang a =

7i g

2 v² cos²«

- - A)

xs — y₂ tang a = —

y«²g

2 v² cos² a

. . B)

Memoires presentes äl’Academie des Sciences par divers savants t. IIIp. 401.

Durch Division der Gleichungen durch einander ergiebt sich

— yi tang a_yx

und durch Umformung

Xg — y₂ tang a

y₂²

tang a

yi2xä —y₂2xi

yiy₂ (yi—y₈)

In den Formeln A) und B) kommt nun noch

vor, dafür

können wir aber bekanntlich 1 -|- tang² a setzen. Somit erhalten wir

7i²72²(7l — y₂)²A-(yi2x2-y₈' xi)²

cosJ a

= 1 + tg² a =

7i² 72² (7i — 7-)²

-4- m A) cos² a '

oder B) ein, so erhalten wir eine Gleichung für v, deren Lösung bei Benutzung von A) die Form

Setzen wir die eben berechneten Werte von tg et und

v=K

7i _g

2 cos² ce (yx tg a — xx)

hat. Wählt man für die Messung solche Punkte, bei denen y₂ — 2 y, wird, so erhält man:

tg«

cos a²

4 xt — x,

72

y₂² + (4 xi — x₂)²

72²

v = l/jL 72 ² + (4x, — x₂) y 4 '    2 xx — x₂

j/72² + (4xi — x₂)²

y 8 h (2 xx — x₂)

und mit Benutzung des letzten Wertes

c J/2 gh

Dieser Wert von <p ist zwar nicht mathematisch genau, da der Luftwiderstand nicht darin vorkommt und die Kurve demnach als reine Parabel angenommen wurde. Man erhält aber angenähert richtige Resultate, wenn sich die Punkte xx y, und x₂ y₂ nahe der Mündung befinden.

Weil es nun fast immer auf das Produkt <p% oder auf den sogenannten Ausflußkoeffizienten a ankommt, so ist es vorteilhafter, gleich diesen zu bestimmen. Die vollständigsten, umfassendsten und mit großer Genauigkeit angestellten Versuche verdanken wir den Genieoffizieren Poncelet und Lesbros, welche dieselben von 1827 bis 1834 im Aufträge der französischen Regierung ausgeführt haben. Die Resultate derselben sind im Jahre 1851 durch die französische Akademie der Wissenschaften veröffentlicht worden. Der erste Teil dieser Versuche bezog sich aus die Bestimmung der Ausflußkoeffizienten für Öffnungen in dünnen Wänden mit vollständiger Kontraktion (von allen vier Seiten), während der zweite Teil die Bestimmung der Ausflußmengen aus Schützenöffnungen und Schleusen bei den verschiedenen in der Praxis vorkommenden Anordnungen umfaßt.

Die erste der folgenden Tabellen giebt den Ausflußkoeffizienten a für verschiedene Höhen der Ausflußöffnung, der in die Formel:

Q = a f b j/2 g (hj — h₂*)

einzusetzen ist, während die zweite Tabelle einen Koeffizienten enthält, der in die Annähernngsformel

Q = a₁bal/2gh

einzuführen ist. (Die Bezeichnungen sind in Fig. 57 enthalten.)

Die dritte Tabelle enthält denselben Koeffizienten «i bei Messung der Wasserstände oder Druckhöhen über der Austrittöffnung (wo der Wasserspiegel immer etwas niedriger steht).

(v —Vi)

Ist die Öffnung unter Wasser gelegen, welches mit einer Geschwindigkeit vi abfließt, und bezeichnet man diejenige im kontrahierten Querschnitt mit v und die Differenz der Wasserstände mit h, so ergiebt sich als Druckhöhenverlust

■Vi² , (v —Vi)²

und daher die Gleichung

Hiernach berechnet sich die Ausflußmenge zu

Q = «i a b (v! + |/2 g h — v₂ ²).

Kommt dagegen das Wasser schon mit einer Geschwindigkeit v₀ vor der Mündung an, und bleiben die übrigen Verhältnisse ungeändert, so besteht die Beziehung

(V — Vj)

2g

2g

k Vj² — v₀ ²

und wir erhalten

Q = et! ab (v! + j/2 gh + v₀² — Vj²).

Bewegt sich durch die Öffnungen f₂, f), f in den Scheidewänden eines Gefäßes (Fig. 319 aus Tafel 26) eine Flüssigkeitsmenge Q, so besteht die Bedingung

Q = a f V2 g (h — x — y) = st, f, /2 g x = a₂ f₂ j/2 g y. Eliminiert man x und y, so ergiebt sich

Tj /_____2gli_____

1 tif) ⁺ti)

oder bei Annahme gleicher Ausflußkoeffizienten

2gh

§ 32 a.

Tabellen über Ansflnßkoefsizieuten.

Tabelle 1.

Ausflußkoeffizient « für rechteckige vertikale Öffnungen in dünnen Wänden, mit vollständiger Kontraktion und Ausfluß in freie Lust.

Die Druckhöhen sind an einem Punkte des Reservoirs gemessen, wo das Wasser vollkommen ruhig ist.

Wasserstand über dem oberen Rande der Öffnung in m

Ausflußkoeffizienten für eine Höhe der Ausflußöffnung

von

0,20 m 0,10 m 0,05 m 0,03 m

0,02 m 0,01 m

0,000

0,709

0,005

0,010

0,015

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09 0,10

0,12

0,14 o,592

o,594

0,596

0,597

0,598

0,598

0,599

0,599 0,600

0,600

0,600 o,6i i

o,6 II

0,612

0,612

0,613

0,613

0,614

0,614

0,614 0,622

0,623

0,624

0,626

0,627

0,628

0,629

0,630

0,630

0,631

0,631

0,631

0,631 0,644

0,644

0,644

0,643

0,642

0,642

0,641

0,640

0,639

0,638

0,638

0,637

0,636 0,667

0,665

0,664

0,662

0,660

0,659

0,658

0,657

0,656

0,655 0,654

0,653

0,652

0,704

0,700

0,696

0,690

0,684

0,680

0,676

0,673

0,670

0,668

Wasserstand über dem oberen Rande der Öffnung in m

Ausflußkoeffizienten für eine Höhe der Ausflußöffnung

von

0,20 m

0,10 m

0,05 m

0,03 m

0,02 m

0,01 m

0,16

0,18

0,20

0,25

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

i,30

1,40

i,5o

1,60

1,70

1,80

1,90

2,00

3)00

0,600

0,601

0,601

0,601

0,602

0,603

0,604

0,604

0,605

0,605

0,605

0,605

0,605

0,604

0,604

0,603

0,603

0,602

0,602

0,602

0,601

0,601

0,601

0,616

0,617

0,617

0,617

0,618

0,618

0,617

0,617

0,617

0,616

0,616

0,615

0,615

0,614

0,613

0,612

0,611

0,611

0,610

0,609

0,608

0,607

0,603

0,631 0,630 0,630 0,630 0,630 0,629 0,628.

0,628

0,627

0,627

0,626

0,626

0,625

0,624

0,622

0,621

0,620

0,618

0,617

0,615

0,614

0,613

0,606

0,635

0,634

0,633

0,632

0,632

0,631

0,630

0,630

0,629

0,629

0,628

0,628

0,627

0,626

0,624

0,622

0,620

0,6l8

0,6l6

0,615

0,613

0,6l2

0,608

0,650

0,649

0,648

0,646

0,644

0,642

0,640

0,638

0,637

0,636

0,634

0,633

0,631

0,628

0,625

0,622

0,619

0,617

0,615

0,614

0,613

0,612

0,610

0,658

0,657

0,655

0,653

0,650

0,647

0,644

0,642

0,640

0,637

0,635

0,632

0,629

0,626

0,622

0,618

0,615

0,613 0,612 0,612 0,6 ii 0,611 0,609

Tabelle 2.

Ausflußkoeffizienten für rechteckige vertikale Öffnungen in dünnen Wänden, mit vollständiger Kontraktion und Ausfluß in freie Luft.

Die Druckhöhen sind an einem Punkte des Reservoirs gemessen, wo das Wasser vollkommen ruhig ist.

Drnckhöhe über dem oberen Rande der Öffnung in m

Ausflußkoesfizienten für eine Höhe der Ausflußöffnung

von

0,20 m

0,10 m

0,05 m

0,03 m

0,02 m

0,01 m

0,000

0,005

o,593

0,607

0,612

0,630

0,632

0,660

0,660

0,705

0,701

0,697

Druckhöhe über dem oberen Rande der Öffnung in m

Ausflußkoeffizienten für eine Höhe der

Ausflußöffnung

von

0,20 m 0,10 m 0,05 m 0,08 m

0,02 m

0,01 m

0,596

0,600

0,603

0,605

0,607

0,609

0,610

0,610

0,611 0,612 0,613 0,614 0,615 0,615

0,616

0,616

0,617

0,617

0,630

0,630

0,630

0,631

0,630

0,630

0,630

0,629

0,628

0,628

0,020

0,030

0,040

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090 0,100

0,120

0,140

0,160

0,180

0,200

0,250

0,300

0,400

0,500 0,572

0,578

0,582

0,585

0,587

0,588

0,589

0.591 0,592

0,593

0,595

0,596

0-597

0,598

0,599

0,600

0,602

0,603 0,615

0,620

0,623

0,625

0,627

0,628

0,629

0,629 0,634

0,638

0,640

0,640

0,640

0.639

0,638

0,637 0,637

0,636

0,635

0,634

0,634

0,633

0,632

0,632

0,631

0,630 0,659

0,659

0,658

0,658

0,657

0,656

0,656

0,655 0,654

0,653

0,651

0,650

0,649

0,648

0,646

0,644

0,642

0,640 0,694

0,688

0,683

0,679

0,676

0,673

0,670

0,668 0,666

0,663

0,660

0,658

0,657

0,655

0,653

0,650

0,647

0,644

0.600

0,700

0,800

0,900

1,000

1,100

1,200

1,300

1,400

1,500

0,604

0,604

0,605

0,605

0,605

0,604

0,604

0,603

0,603

0,602

p p p p p popp p

<y\ o\ o\ o\ o\

0,627

0,627

0,627

0,626

0,626

0,625

0,624

0,622

0,621

0,620

0,630

0,630

0,629

0,628

0,628

0,627

0,626

0,624

0,622

0,620

0,638

0,637

0,636

0,634

0,633

0,631

0,628

0,625

0,622

0,619

0,642

0,640

0,637

0,635

0,632

0,629

0,626

0,622

0,618

0,615

1,600

1,700

1,800

3,000 0,602

0,602

0,601

0,601 0,6 ii

o,6io

0,609

0,603 0,618

0,617

0,615

0,606 0,618

0,616

0,615

0,608 0,617

0,615

0,614

0,610 0,613

0,612

0,612

0,609

Tabelle 3.

Ausslußkoeffizienten ax für rechteckige vertikale Öffnungen in dünnen Wänden, mit vollständiger Kontraktion und Ausfluß in freie Lust.

Die Druckhöhen sind unmittelbar an der Mündung gemessen.

Druckhöhe über dem oberen Rande der Öffnung in m

Ausflußkoeffizienten für eine Höhe der Ausflußöffnung

von

0,20 m 0.10 m 0,05 m 0,03 m 0,02 m 0,01 m

0,000

0,005

0,619

o,597

0,010

0,015

0,020

0,030

0,040

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

o,595

o,594

o,594

o,593

o,593

o,593

o,594

o,594

o,594

o,595

0,100

0,120

0,140

0,160

0,180

0,200

0,250

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,800

0,900

1,000

1,100

1,200

o,595

0,596

0,597

0,597

0,598

0,599

0,600

0,601

0,602

0,603

0,604

0,604

0,605

0,605

0,605

0,604

0,604

0,603

0,603

0,602

0,667

0,630

o,618 o,615 o,6i4 0,613 0,612 0,612 0,613 0,613 0,613 0,614

0,614

0,614

0,614

0,615

0,615

0,615

0,616

0,616

0,617

0,617

p p    p    p    p    p    p    p    p    p

a\    'bs    'b'N    "on    'on    'ctx    ~o\

M M    Cn)    4^    4^-    Ln    U v    ON    C'    Nl

0,713

0,668

0,642

0,639

0,638

0,637

0,636

0,636

0,635

0,635

0.635

0,634

0,634

0,633

0,632

0,631

0,631

0,630

0,630

0,629

0,629

0,628

0,627

0,627

0,627

0,626

0,626

0,625

0,624

0,622

0,621

0,766

0,725

0,687

0,674

0,668

0,659

0,654

0,651

0,647

0,645

0,643

0,641

0,640

0,637

0,636

0,635

0,634

0,633

0,632

0,632

0,631

0,630

0,630

0,629

0,629

0,628

0,628

0,627

0,626

0,624

0,622

0.783

o,75o

0,720

0,707

0,697

0,685

0,678

0,672

0,668

0,665

0,662

0,659

0.657

0,655

0,653

0,651

0,650

0,649

0,646

0,644

0,642

0,640

0,638

0,637

0,636

0,634

0,633

0,631

0,628

0,625

0,622

0,795

0,778

0,762

0,745

0,729

0,708

0,695

0,686

0,681

0,677

0,675

0,672

0,669

0,665

0,661

0,659

0,657

0,656

0,653

0,651

0,647

0,645

0,643

0,640

0,637

0,635

0,632

0,629

0,626

0,622

0,618

0,615

Ausflußkoeffizienten für eine Höhe der Ausflußöffnung

Druckhöhe über dem oberen Rande der Öffnung in m

von

0,20 m 0,10 m 0,05 m 0,03 m 0,02 m 0,01 m

1,600

1.700

1,800

1,900

3,000

0,002

0,602

0,601

0,601

0,601

o,6 ii o,6 io 0,609 0,608 0,603

0,618

0,6x7

0,615

0,614

0,606

0,618

6,616

0,615

0,613

0,608

0,617

0,615

0,614

0,613

0,610

p o p p o\    o\

0,009

§ 32 b.

¹

F. Neumann, Einleitung in die theoretische Physik, herausgegeben von Pape, Leipzig 1883, Seite 232.

Beispiele.

1.    Es sei die Druckhöhe h über dem Mittelpunkte einer Schützenöffnung 1,30 in, die Breite b der letzteren 1,20 m und die Höhe a — 0,10 in. Wie groß ist die Ausflußmenge?

Aus Tabelle 1 ergiebt sich a = 0,6135 und denselben Wert erhalten wir auch aus Tabelle 2 für «>. Hiernach fließt in der Sekunde aus:

Q = a $ b j/2 g (hx* — h₂*),

= 0,6135 - 0,80 j/2“g 0,1711,

— 0,37194 cbm,

oder

Q = a₁ba)/2gh,

= 0,6135 -1,20 - 0,10 V2 g -1,30,

= 0,37178 cbm.

Der Unterschied in den beiden Ergebnissen ist äußerst gering. Es wird sich daher für die Praxis die zweite Berechnnngsart als die einfachere empfehlen. Wenn jedoch a im Vergleich zu h nicht mehr sehr klein ist, so muß die erste Formel angewendet werden.

2.    Liegt die Öffnung teilweise im Unterwasser, wie in Fig. 102, so ist für den eingetauchten Teil die Höhe ht maßgebend. Hierdurch lautet die allgemeine Formel

Q = «|b V2j(h¹ - hj) + ab fögh (b, -li) -).

²) Das Handbuch der Jngenieurwissenschaften giebt diese Formel in der Schreibweise:

Q = « b V 2 g [(hi — h) ]/h + | (h² — h₂^)]

und für cc den Wert 0,62 in Bezug auf Fig. 289 Tafel 24.

Wenn nun b — 0,90, h — 1,40, h₂ — 1,35, h, — 1,45, und nach Tabelle 1 a = 0,6125 ist, wird eine Wassermenge

Q = 0,6125 -10,90 |/2g (l,40f- l,35f)+ 0,6125 • 0,90 +2++4Ö - 0,05, = 0,14308 + 0,14445,

= 0,28753 ausfließen.

Nimmt man die Höhendifferenz h: der Wasserspiegel als Druckhöhe für die ganze Öffnung an, so wird das dadurch nach der Formel

Q = «-b-a|/'2gh₁,

erzielte Resultat desto mehr den richtigen Wert übersteigen, je tiefer die Mündung in das Unterwasser eintaucht.

In unserm Beispiel erhalten wir:

Q = 0,6125 - 0,90 - 0,10 V2 g • 1,40,

= 0,28889.

Für die Benutzung    der obigen    Tabellen sei    noch    darauf aufmerksam

gemacht, daß in    der ersten Rubrik der    Wasserstand    über    dem    oberen

Rande der Öffnung, das heißt der Wert ht und nicht die Druckhöhe h der Annäherungsformel aufgeführt ist.

Um den Einfluß des Winkels d Fig. 124 Tafel 7 auf den Ausflußkoeffizienten zu bestimmen, stellte I. Weisbach eine Reihe von Versuchen mit Mundstücken von 2 cm Mündungsweite unter verschiedenem Druck von 0,3 bis 3 m an und fand die in der folgenden Tabelle aufgeführten Koeffizienten a.

ö= 180° 1574»    135«    1124° 90°    674»    45«    224«    114    5f    0°

«= 0,541 0,546    0,577    0,606 0,632    0,684    0,753    0,882    0,924    0,949    0,966

§ 33.

Einfluß der Breite und Höhe der Schützenöffnung auf die ausfließeude Wassermenge.

Lebros hat durch feine Versuche nachgewiesen, daß der Wert des Ausflußkoefsizienten zum kleinsten Teile von der Breite der Schützenöffnung abhängig ist, daß somit die durchfließende Wassermenge dieser Breite

Ist h₂ 5; ^j , so kann nach demselben Werke die Formel

Q = « b 1/2 g j+h — h) "|/h + (h —h₂) j/—^— J

geb.aucht werden.

Bei Grundablässen nach Fig. 290 Tafel 24 soll «— 0,65 bis 0,70 Betrugen.

proportional angenommen werden kann. Die folgende Tabelle enthält die Resultate seiner Versuche mit drei verschiedenen Öffnungen in dünner Wand von der gemeinschaftlichen Höhe von 0,02 m und von den verschiedenen Breiten von 0,60, 020 und 0,02 m.

Der Ausfluß geschah in die freie Luft und die Druckhöhe über dem obern Rande der Mündung wurde an einer Stelle gemessen, wo der Wasserspiegel in einiger Entfernung von der Öffnung vollkommen ruhig und noch nicht merklich gesenkt war.

Ausflußkoeffizicntcn für Öffnungen von verschiedener Breite.

Druckhöhe über dem obern Rande der Öffnung in m

Öffnungen 0,02 m hoch und von einer Breite von

0,60 m

0,20 m

0,02 m

0,644

0,641

0,630

0,635

0,633

0,631

0,630

0,629

0,628

0,628

0,627

0,626

0,625

0,624

0,623

0,621

0,620

0,615

0,660

0,658

0,660

0,656

0,653

0,648

0,644

0,640

0,639

0,637

0,635

0,634

0,633

0,632

0,628

0,623

0,619

0,616

0,613

0,608

0,01

0,05

0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 o;6o 0,70 0,80 0,90 1,00

1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 3,oo

Man sieht aus dieser Tabelle, daß die Koeffizienten für eine Breite der Austrittsöffnung von 2 bis 20 cm sehr nahe dieselben geblieben sind, und daß der Wert derselben sich bei einer Zunahme der Breite von 2 bis 60 cm höchstens um ¹/₈₀ geändert hat. Man kann daher in der Praxis den Satz als richtig anerkennen, daß die Breite der Öffnungen ohne Einfluß auf die Ausflußkoeffizienten ist. Die in § 39a aufgeführten Formeln berücksichtigen dagegen die Breite.

Aus den folgenden Tabellen ersieht man aber andererseits, daß der Ausflußkoeffizient der Höhe der Öffnung umgekehrt proportional ist.

Meißner, Hydraulik. I. 2. Auflage.

0,655

0,649

0,645

0,642

0,640

0,638

0,637

0,635

0,634

0,632

0,627

0,622

o,6o8

11

Es fließt also bei derselben Druckhöhe mehr Wasser durch eine wenig hohe lange Öffnung von demselben Querschnitte als durch eine höhere und schmälere.

§ 34.

Einfluß der Wanddicke auf die Ausflußkoeffizienten.

Ein gewöhnlicher Schützenzug von 5 cm Dicke sei mitten in einer Wand angebracht, so daß die Kontraktion vollständig von allen vier Seiten stattfindet. Er gleitet zwischen zwei Leisten von 5 cm Dicke und sitzt in seiner tiefsten Stellung aus einer Schwelle von 10 cm Dicke auf (Fig. 103 Tafel 6).

Bon den folgenden Tabellen enthält die erste einen Vergleich der Ausflußkoeffizienten für eine Wand von 5 cm Dicke und eine dünne Wand, die zweite die Versuchsresultate, welche Lesbros mit der Schützenanordnung (Fig. 103) bei verschiedener Höhe der Öffnung, und verschiedenen Druckhöhen erhalten hat. Die Breite betrug jedoch bei den Resultaten beider Tabellen 60 cm.

Vergleichung des Ausflusses aus Wänden verschiedener Dicke.

Druckhöhe über dem obern Rande der Öffnung in m

Austrittöffnungen von einer Höhe von

Wand von 5 cm Dicke

0,20 m

aus

dünner

Wand

Wand von 5 cm Dicke

0,05 m

aus

dünner

Wand

Wand von 5 cm Dicke

0,03 m

aus

dünner

Wand

0,05

0,10

0,50

1,00

1,50

2,00

3,00

0.645

0,658

0,676

0,676

0,675

0,674

0,670

0,585

0,592

0,603

0,605

0,602

0,601

0,601

0,651

0,672

0,696

0,695

0,694

0,694

0,692

0,625

0,630

0,628

0,625

0,619

0,613

0,606

0,680

0,695

0,711

0,706

0,700

0,697

0,693

0,640

0,637

0,631

0,627

0,621

0,613

0,607

Koeffizienten für den Ausfluß aus einer Schiitzcnöffnung nach Fig. 103 von 0,60 in Breite, 5 cm Wanddicke, 10 cm breiter Bodenschwelle.

Druckhöhe über dem obern Rande der Öffnung in m

Ausflußkoeffizienten für eine Höhe der Öffnung von

0,40 m

0,20 m

0,05 m

0,08 m

0,005

0,010

0,015

0,020

0,624

0,627

0,630

0,634

0,654

0,657

0,661

0,664

Druckhöhe über dem obern Rande der Öffnung in m

Ausflußkoeffizienten für eine Höhe der Öffnung von

0,40 m

0,20 m

0,05 m

0,03 m

0,030

0,040

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

0,100

0,120

0,140

0,160

0,180

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,800

0,900

1,000

1,100

1,200

1,300

1,400

1,500

1,600

1,700

1,800

1,900

2,000

3,000

0,624

0,627

0,629

0.631

0,633

0.635

0,639

0,642

0,644

0,646

0,648

0,654

0,654

0,653

0,650

0,646

0,643

0,639

0,636

0,633

0,630

0,628

0,626

0,624

0,622

0,621

0,620

0,618

0,617

0,607

0,636

0,641

0,645

0,648

0,652

0,654

0,656

0,658

0,662

0,664

0,667

0,669

0,671

0,677

0,679

0,678

0,677

0,677

0,676

0,676

0,676

0,676

0,675

0,675

0,675

0,675

0,675

0,675

0,674

0,674

0,674

0,673

0,640

0,640

0,651

0,656

0,661

0,665

0.669

0,672

0,679

0,681

0,684

0,689

0,691

0,695

0,696

0,696

0,696

0,696

0,695

0,695

0,695

0,695

0,695

0,695

0,694

0,694

0,694

0,694

0,694

0,694

0,694

0,692

0,670

0,670

0,680

0,684

0,687

0,690

0,693

0,695

0,699

0,702

0,704

0,706

0,707

0,710

0,711

0,711

0,710

0,709

0,708

0,707

0,706

0,704

0,703

0,702

0,701

0,700

0,699

0,699

0,698

0,697

0,697

0,693

Man sieht aus dieser Tabelle, daß die größere Wanddicke bei der Austrittöffnung eine wesentlich größere Ausflußmenge zur Folge hat, indem die Koeffizienten bei einer Höhe der Öffnung von 0,20 m um ¹ji0 größer find, als bei dem Austritte aus dünner Wand.

11*

§ 35.

Einfluß der Stellung der Wände aus die Ausflußmenge aus Schützenöffnungen.

Die Versuche Lesbros' haben für die nachfolgenden Anordnungen der Wände der Reservoirs (Anordnung Fig. 104 a und b) die in der unten* stehenden Tabelle enthaltenen Resultate ergeben.

Die Wände stehen bei beiden dieser Anordnungen sowohl am Boden als zu beiden Seiten in der Flucht der Ausflußöffnung selbst, bei der Anordnung a dagegen ragen die Kanten der Austrittöffnung nur um 2 cm aus den Wänden hervor. Bei der Anordnung b findet mithin Kontraktion nur von der obern Seite her statt, während bei derjenigen a die sowohl unten als zu beiden Seiten um 2 cm vorstehenden Kalkten auch noch eine kleine seitliche Kontraktion verursachen.

Druckhöhe über dem obern Rande der Öffnung in m

Ausflußkoeffizienten für die gemessenen Druckhöhen

bei der Anordnung a

bei der Anordnung b

Druckhöhe absolut gemessen

Druckhöhe über der Öffnung gemessen

Druckhöhe absolut gemessen

Druckhöhe über der Öffnung gemessen

o,i 6o 0,170 0,180 0,190 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900 1,000 1,100 1,200 1,300 1,400 1,500 1,600 1,700

0,679

0,678

0,677

0,676

0,676

0,672

0,670

0,668

0,667

0,666

0,665

0,665

0,664

0,664

0,663

0,663

0,662

0,661

0,661

0,660

0,695

0,693

0,692

0,691

0,690

0,683

0,678

0,675

0,673

0,671

0,670

0,669

0,663

0,666

0,666

0,665

0,664

0,663

0,662

0,662

0,715

0,708

0,687

0,682

0,680

0,679

0,678

0,677

0,677

0,676

0,676

0,675

0,674

0,673

0,672

0,671

0,670

0,721 0,717 0,714 0,712 0,710 0,697 0,690 0,687 0,685 0,683 0,681 0,681 0,680 0,679 0,678 0,676

0,674

0,672 0,671 0,670

Die nähere Betrachtung der Tabelle zeigt, daß die Koeffizienten für beide Anordnungen etwas größer sind, wenn die Druckhöhe unmittelbar

über der Öffnung gemessen wird, als im andern Falle, wo man die Druckhöhe absolut, d. h. etwas von der Öffnung entfernt an einer noch ruhigen ungesenkten Stelle des Wasserspiegels mißt. Der Unterschied ist indessen nur ¹ji2 in der ganzen Ausdehnung der Tabellenwerte und bleibt in der Regel */«₀ oder darunter, so daß es für alle Fälle der Praxis gleichgültig ist, wo die Druckhöhe gemessen wird. Immerhin soll dieses an einer Stelle geschehen, wo der Wasserspiegel ohne Bewegung und Oscillationen ist.

Man sieht ferner aus der Tabelle, daß die Öffnung nach der Anordnung a, wo die Kanten der Öffnung um 2 cm von den Boden- und Seitenwänden abstehen, geringere Koefsizienten ergeben hat, indem dort mehr Znsammenziehung stattfindet, als bei der Anordnung b. Der Unterschied beläuft sich indessen nur auf circa ¹/-₂o des Wertes für die geringern Druckhöhen und sinkt unter ¹/₅₀ von einer Druckhöhe über 1 m an.

Der mittlere Wert des Koeffizienten für die Anordnung a beträgt 0,668 und da derselbe vom Maximal- und Minimalwerte nicht mehr als um Veo differiert, so kann derselbe in der Praxis für alle Druckhöhen als gültig bezeichnet werden.

Die Wassermenge Q, welche in einer Sekunde aus einer nach a angeordneten Schützenöffnung fließt, ist somit allgemein:

Q, — 0,668 ab |/ 2 g h,

dagegen nach Anordnung b:

Q — 0,685 a b V2 g b,

wenn b die Breite und a die Höhe der Öffnung ist.

Achtes Kapitel.

Wirkliche Ausflußmenge bei unvollständiger oder bei unvollkommener Kontraktion.

§ 36.

Unvollständige und unvollkommene Kontraktion.

Außer der bisher besprochenen allseitigen Kontraktion giebt es noch eine unvollständige oder teilweise. Diese tritt ein, wenn der Umfang des Ausflußquerschnittes zum Teil oder ganz abgerundet ist. Bezeichnet man mit n das Verhältnis des Teiles des Umfanges, wo keine Kontraktion stattfindet, zu dein ganzen Umfange, so erhält man den Ausflußkoeffizienten a„ für unvollständige Kontraktion aus dem Koeffizienten a für vollständige Kontraktion nach der Formel

{• Öffnungen,

aa — «(Ich- 0,165 n) für rechteckige a„ = a (1 -|- 0,128 n) für kreisförmige au = a (1 -|— 0,155 n) für Ponceletmündungen.

Nach Poncelet soll man für rechteckige Öffnungen a mit 1,035 multiplizieren bei Kontraktion auf drei Seiten, mit 1,072 bei Kontraktion auf zwei Seiten, mit 1,125 bei Kontraktion auf einer Seite.

Kommt das Wasser mit großer Geschwindigkeit vor der Schützen-öffnung an, so kann man sich zur Berechnung der Ausflußmenge der Weisbachschen Formel

Q = « [l + 0,641 (1)²] f ^2 g h

bedienen, wobei

in den Grenzen liegen muß, welche die folgende

Tabelle enthält:

Die hier stattfindende Kontraktion nennt man unvollkommene, weil das Wasser vor der Mündung nicht still steht. An Stelle der obigen einfachen Formel von Weisbach würde die genaue lauten: da der Geschwindigkeit v die Druckhöhe ~ entspricht. Den Ausfluß-

^ &

koesfizienten a₂ für unvollkommene Kontraktion erhält man nach Weisbach aus dem Koeffizienten a nach der Formel:

«2

1 + 0,641 (1) =

¥“

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,80

0,85

0,40

0,45

0,50

1,002

1,006

1,014

1,026

1,040

1,058

1,079

1,103

1,130

1,160

= «[1 + 0,04564 (14,821F — 1)]

bei kreisförmigen Mündungen oder

<z₂ = ct [1 + 0,0760 (9f — 1)]

bei rechteckigen Mündungen.

Hb

Die zu bestimmten Verhältnissen Klammern entnehme man aus den folgenden Tabellen.

gehörigen Werte der eckigen

1. Kreisförmige Mündungen.

[]

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

1,007

1,014

1,023

1,034

1,045

0,30

o,35

0,40

o,45

0,50

1,059

1,075

I,O92 1,112 1,134

o,55

0,60

0,65

0,70

o,75

1,161 1,189

1,223

1,260

1,303

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

i,35i

1,408

i,47i

1,546

1,613

hr;j Hs bS

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

1,009

1,019

1.030

1,042

1,056

o,30

o,35

o,40

0,45

o,5o

1,071

1,088

1,107

1,128

1,152

0,55

0,60

0,65

0,70

o,75

1,178

1,208

1,241

1,278

1,319

o,8o

0,85

0,90

o,95

1,00

1,365

1,416

i,473

i,537

1,608

§ 37.

Ausfluß aus Öffnungen ohne seitliche Kontraktion, aber mit Znsammenziehnng von oben und nuten.

Bei einer Schützenöffnung, die nach Fig. 105 Tafel 6 angeordnet ist, findet keine seitliche Kontraktion statt. Die Resultate der mit einer solchen Falle angestellten Versuche sind in der nachfolgenden Tabelle zusammengestellt. Man sieht aus derselben, daß für die am meisten vorkommenden Öffnungshöhen von 0,20 m bis 0,05 m die Ausflußkoeffizienten bei verschiedenen Druckhöhen so ziemlich dieselben bleiben, so daß man durch allgemeine Annahme des mittleren Wertes 0,64 eine Annäherung bis auf i/so genau erhält für Öffnungen, deren Höhen sich nicht weit von 20 cm entfernen; daß ferner die größte Differenz sich nicht über ¹/₃i belaufen würde für die kleinsten Öffnungen von 0,05 m Höhe.

Die ausfließende Wassermenge ist daher für die Anordnung der Fig. 105:

Q — 0,64 a b l/2 g h.

Ausflußkoeffizientcn bei aufgehobener seitlicher Kontraktion.

0,20 m

Druckhöhe über dem obern Rande der Öffnung in m

Höhe der Öffnung von

0,05 m

0,01 m

0,010

0,015

0,020

0,030

0,040

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

0,100

0,120

0,140

0,160

0,180

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,649

0,648

0,647

0,647

0,646

0,645

0,645

0,644

0,643

0,642

0,641

0,641

0,639

0,639

0,639

0,638

0,659

0,657

0,655

0,653

0,651

0,649

0,648

0,647

0,646

0,646

0,645

0,644

0,644

0,643

0,643

0,642

0,642

0,641

0,640

0,639

0,730 0,721 0,7¹5

0,706

0,699

0,695

0,691

0,689

0,686

0,684

0,683

0,681

0,679

0,678

0,676

0,675

0,671

0,668

0,666

0,665

Druckhöhe über dem obern Rande der Öffnung in m

0,20 in

Höhe der Öffnung von

0,05 m

0,01 m

0,700

0,800

0,900

1,000

1,100

1,200

1,300

1,400

1,500

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0,638

0,638

0,638

0,638

0,638

0,638

0,638

0,637

0,637

0.637

0,6 38 0,637 0,635 0,634 0,633

0,631 0,630 0,628 • 0,627 0,626

1,700

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1,900

2,000

3.000

0,637

0,637

0,636

0,636

0,634

0,625

0,623

0,622

0,621

0,614

0,663

0,662

0,660

0,658

0,656

0,655

0,653

0,652

0,651

0,650

0,649

0,648

0,647

0,647

0,644

Breite der Öffnung = 0,20 m.

Neuntes Kapitel.

Hilfsmittel zur Berechnung der Aussiusznrengen aus Schützenöffnungen nebst Beispielen.

§ 38.

Wirkliche Durchflußmenge durch einen vertikalen Schützenzug von 1 in Breite bei vollständiger Kontraktion.

Die in diesem Kapitel gegebenen Hilfsmittel zur Berechnung der Ausflußmengen durch Schützenöffnungen sind zu angenäherten Bestimmungen ganz gut zu gebrauchen, beanspruchen aber keineswegs allgemeine Gültigkeit. Das letztere folgt aus den vorhergehenden Paragraphen von 33 an und aus dem folgenden Kapitel. Denn sie zeigen, von wie mannigfaltigen Bedingungen die Ausflußmengen abhängen und daß wir bei Berechnungen nicht schematisch verfahren können, sondern erst die Bauart der Schütze genau in Betracht ziehen müssen. Aber selbst die Formeln (§ 39 a), welche darauf Rücksicht nehmen, liefern immer noch nicht solche Werte, die den mathematischen Anforderungen genügen. Daß rührt wohl daher, daß sie den Ausflußkoeffizienten enthalten, zu dessen Wertbestimmung es keine allgemeine brauchbare Formel giebt. Wir sind hier zu einer der leider sehr zahlreichen schwachen Stellen der Hydraulik gelangt, worauf auch das aus Seite 9 Gesagte Bezug hat. Dasselbe Eingeständnis konnten wir im 14. und 15. Kapitel und noch an mancher andern Stelle wiederholen und würden unsere Wissenschaft nicht beeinträchtigen, sondern eher fördern, da es uns vielleicht gelingt, in dieser Weise Begabtere zum Ausbau derselben heranzuziehen. Aus demselben Grunde haben wir auch die verschiedensten Formeln eifrig gesammelt, von denen die eine nur vor dem falschen Wege warnt und die andere trotz vieler Verkehrtheiten doch ein Körnchen Wahrheit enthält, das in entsprechendem Boden reichlich Frucht tragen kann.

Nach dem Obigen können wir jetzt getrost die Tabelle der wirklichen Durchflußmenge durch einen vertikalen Schützenzug von 1 m Breite folgen lassen ohne zu befürchten, daß sie vom Leser gedankenlos verwendet werde.

Wirkliche Durchflnßmenge durch einen vertikalen Schützenzug von 1 m Breite bei vollständiger Kontraktion.

Druckhöhe über dem

Zugehörige Mittelpunkte Geschwindigkeit der Öffnung

Durchflußmenge in der Sekunde bei einer Höhe der Öffnung von

4 cm 5 cm 6 cm 7 cm 8 cm 9 cm

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

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3,600

3,705

3,836

3,961

4,208

4,430

4,645

4,852

5,050

5,241

5,425

5,603

5,775

5,943

6,105

6,264

6,419

6,570

6,718

6,862

7,003

7,i43

7,279

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145

151

157

162

168

173

182

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191

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201

205

210

214

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227

231

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242

246

251

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213

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224

229

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248

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106

114

122

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136

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148

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161

167

172

183

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201

210

218

226

233

241

248

255

261

286

293

299

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275

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413

420

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450

465

481

Wirkliche Durchflußmenge durch einen bei vollständiger

vertikalen Schützenzug von 1 in Breite Kontraktion.

Druckhöhe über dem Mittelpunkte der

Öffnung

Durchflußmenge in der Sekunde bei einer Höhe der Öffnung

10 cm

11 cm

Von

Drnckhöhe über dem Mittelpunkte

Durchflußmenge in der Sekunde bei einer Höhe der Öffnung

von

der

12 cm 13 cm

14 cm 15 cm 16 cm

Öffnung

17 cm

18 cm 19 cm

20 cm

21 cm 22 cm

28 cm

0,10

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0,20

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1.10 1,20 1,3° 1,40

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94

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122

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212

221

228

236

246

259

272

285

298

310

321

332

342

352

362

371

398

408

416

424

438

442

450

458

466

481

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135

145

149

164

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212

222

230

240

249

259

267

284

299

314

327

340

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376

387

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476

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987

i 006 i 023 i 042 i 060 i 104 i 146 i 185 i 223

Druckhöhe über dem Mittelpunkte

der

Öffnung

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

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1.30

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1.90

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2.10 2,20

2.30

2.40

2.50

2.60 2,70

2.80

2.90 3,oo 3,25

3.50 3,75 4,00

Wirkliche Durchflußmcnge durch einen bei vollständiger

vertikalen Schützenzug von 1 m Breite Kontraktion.

Durchflußmenge in der Sekunde bei einer Höhe der Öffnung

24 cm

244

282

317

348

377

404

429

452

475

492

521

537

556

574

611

643

674

703

732

758

785

809

833

859

880

903

926

947

969

989

I 010 I 030 I 049 I 068 I 088 I 106 I 152

1195

I 237 i 278

von

25 cm 26 cm 27 cm

28 cm 29 cm 30 cm

Druckhöhe über dem Mittelpunkte der

Öffnung

Durchflußmenge in der Sekunde bei einer Höhe der Öffnung

von

31 cm 32 cm 33 cm 34 cm 35 cm 36 cm 37 cm

254

294

329

363

393

420

446

471

494

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579

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662

697

731

762

793

822

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930

954

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275

318

336

392

424

454

482

509

534

559

586

604

625

645

688

724

758

791

823

853

883

911

939

966

991

i 016 i 042 i 066 i 090 i 113

i 136 i 159 i 181 i 202 i 223 i 245 i 296 i 345 i 392 i 437

286

329

373

406

439

471

500

527

554

573

608

626

649

679

713

740

777

820

854

885

916

944

975 i 001 i 027 i 054 i 080 i 105 i 130 i 154

i 172 i 202 i 224 i 246 i 268 i 291 i 344 i 395 i 442 i 491

296

340

382

421

455

573

602

CN n rovnt^vnO r-f- vo r) 't N O fO N H 1-000

'O vo ^ 'O n oo oo oo <j\

949

978

i 008 i 037 i 064 i 092 i 118 i 145 i 170 i 196

i 220 i 244 i 269 i 291 i 314 i 337 ¹ 392 i 444 i 494 i 544

307

353

395

434

47i

504

536

651

670

695

718

762

804

843

880

915

948

981

I 010

i 043 i 073 i 100 i 129 i 157 i 184 i 211 i 237

i 262 i 287 i 312 i 336 i 359 i 383

i 440 i 494 i 546 i 597

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

o,75

0,80

0,90

1,00

1.10

1.20

1.30

1.40

1.50

1.60

1.70

1.80

1.90 2,00

2.10

2.20

2.30

2.40

2)50

2.60

2.70

2.80

2.90 3,00 3,25

3.50 3,75 4,00

364

376

388

408

422

434

400

415

424

449

486

521

554

583

613

635

672

694

718

741

787

831

874

909

945

980

i 014 i 046 i 078 i 109 i 137 i 167 i 196 i 224 i 251 i 278

i 305

i 331

1356 1381 1405

1429 i 488 i 544 i 597 i 650

463

503

533

572

602

633

655

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ON M    h inOMTiN

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i 011

1047 1079 i 112 i 144 i 174 i 205

i 234

i 263

i 293

i 320

i 366 i 374 i 400 i 425 i 450 i 475 i 556 i 594 i 649 i 703

Ln Ln Ui -F*

622

651

676

716

737

758

927

969

i 007

1043

i 079

i 113 i 147 i 180 i 211 i 242 i 273 i 303 i 332 i 361

i 389

i 417 i 444 i 470 i 495 i 521

i 584

i 644 1701 1756

447

491

535

572

606

738

759

788

813

864

911

955

998

1037

i 074

i 112 i 147 i 182 i 216 i 247 i 279 i 312 i 342 i 373 i 402

i 431 i 460 1487

-    514 1541

i <68

1632

-    693 i 753 I 8l0

46O

507

548

588

624

659

692

717

760

782

811

837

889

i 027 i 067 i 103

i 145 i 180 i 217 i 252 i 284 i 317 i 350 i 382 i 414 i 443

i 473 i 502 i 531 i 559 i 586 i 614 1 679 i 743 i 805 i 863

473

520

564

605

642

677

712

737

780

804

834

861

9-5

965

I 012

I 057

I O98

I I38

I I78 I 214 I 25I I 288 I 321

i 355 i 389

i 421 i 453 i 485

l 515 i 545 i 575 i 604 i 632 i 660 i 728 i 793

- 857

i 916

58o

622

66o

696

732

758

803

826

863

885

940

981

i 040 i 086 i 128 i 169

i 210 i 248 i 286

i 324 i 357 i 392 i 427 i 461 i 494 i 526

i 557 i 588 i 619 i 648 1677 i 706 i 776

i 843

i 909

i 969

Wirkliche Dnrchflnßmenge durch einen bei vollständiger

vertikalen Schützenzug von 1 m Breite Kontraktion.

Druckhöhe über dem Mittelpunkte der

Öffnung

Durchflußmenge in der Sekunde bei einer Höhe der Öffnung

38 cm 39 cm

40 cm

von

41 cm

42 cm

43 cm

44 cm

Druckhöhe über dem Mittelpunkte

Durchflußmenge in der Sekunde bei einer. Höhe der Öffnung

von

der

Öffnung

45 cm

46 cm

47 cm 48 cm 49 cm

50 cm 51 cm

0,10

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

o,55

0,60

0,65

0,70

o,75

0,80

0,90

1,00

1.10

1,20

1.30

MO

1.50

1.60

1,70

1.80

1.90

2,00

2.10 2,20

2.30

2,40

2)50

2.60 2)70

2.80

2.90 3,00

3,25

3.50 3,75

4,00

450

499

549

595

638

677

715

751

778

824

849

880

909

965

i 018 i 068 i 115 i 159 i 201

i 243

i 283 i 321 i 359 i 394 i 430

i 465 i 500 i 534 i 567

i 599 i 631 i 662 i 692 i 722 i 752 i 824

i 893

i 958 2023

O-N

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M *<I M CT\ 0"\ CMn ln lO^JGJvOln kh ON 1-1

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846

872

904

933

991

i 045 i 096 i 145 i 189 i 232

i 276 i 315 i 356 i 395 i 431 i 468

i 504

i 540 i 574 i 608

i 641 1674 i 706 i 737 x 767 1798 I 872

¹    943

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591

641

688

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811

840

867

494

925

957

i 017 i 070 i 124 i 174 i 220 i 266

i 308

i 351

i 391

i 431

i 543 i 579 i 615 i 650

i 683 i 717 i 750 i 782 i 813 i 844 i 919

1    992

2    062 2 129

552

606

657

705

831

860

566

620

673

722

766

809

- 851

881

881

901

932

915

948

981

i 042 i 097 i 152 i 203 i 250 i 298

i 341

1384 1425

1467

1504 1543

1582 i 619

1655

i 690

i 725 i 760 i 794 i 826 1858

1    890 1967

2    042 2 114 2 182

938

971

i 005 i 067 i 124 i 180 i 233 i 281

i 329

i 374 i 419 i 460

i 503

i 541 i 581 i 620 i 658 i 696 i 732

i 768 i 803

i 837

i 871 i 904

1    936 2015

2    092 2 166 2 236

961

995

i 028 1093

i 151

i 208 i 262 i 311 i 361

m O O VO VO 00 00 ^3 ON OMn I I 1-1 O« hh 00 ln O *<1 M CO Oo vO Oj OO I I OO U) Os> Cu 1-1 m 90 Vi CNUi Q

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i 809 i 845 i 881 i 915 i 949

1    982

2    063 2 142

2 218 , 2 289

i 174 i 236-i 291 i 342 i 393

l 439 i 486 i 529 i 574 i 614 i 656 1697

- 737

1776 i 814

i 851 i 881 i 924 i 960

1    994

2    029 2 in 2 192 2 270 2 343

0,15

0,20

0,25

0,30

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0,40

o,45

0,50

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0,60

0,65

0,70

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0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

1.30 1,40

1.50

1.60

1.70

1.80

1.90 2,00 2,10 2,20

2.30 2,40

2.50

2.60

2.70

2.80

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3,25

3.50 3,75 4,00

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605

663

718

771

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866

908

941

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634

648

661

975

997

691

706

749

764

719

773

804

820

856

903

948

982

874

922

967

i 002

836

898

940

988

i 005 i 041 i 076 i 144 i 204 i 265 i 321 i 372 i 424

i 472 i 520

-    564

1609 1650 1694

-    736 1776 i 817

1    856

1894

-    932

1969

2    004 2 040 2075 2 159 2 241 2 320 2 394

i 028 i 064 i 100 i 169 i 231 i 293 i 350 .

i 403

i 456

i 505 i 554 i 599 i 636

i 688

i 731

i 774 i 816

- 857

1897

- 936

1975

2 OII

2 O49 2 085

2 12 I 2 207 2 29I 2 370 2 449

i 018 i 050 i 087 i 124 i 194 i 257 i 321 i 380 i 433 i 488

i 537 i 588

i 634

i 681 i 718 i 769 i 812 i 856

1    898 1938

1978

2    017 2 056 2093 2 130 2 167 2 255 2 341 2423 2 504

i 040 i 072

i HO

i 148 i 220 i 284 1348 1409

1463 1519

-    570 i 622 i 669 i 716 i 761 i 807 i 852

1    895 1938

-    979

2    020 2051 2 100 2 138 2 176 2 213 2 303 2391

2 474 2 559

i 062 i 095 i 133 i 172 i 245 i 3ii i 377 i 438 i 494 i 551

i 603 i 636

i 703 i 753 i 797 i 845 i 890

1    935 1978

2    021

i 023 i 084

i 115

i 156 i 194 i 271 i 337 i 405 i 468 i 525

1583 1635

1690 1741 1789

1834

i 882 i 928

1    974

2    018 2 062

1043

i 105 i 137 i 179 i 218 i 296

i 364 i 433 i 497 i 555

i 614

i 668

i 724 i 776 i 824 i 871 i 920

1    967

2    014 2059 2 103

2 062 2 103 2 143

2 182 2 221 2 339 2 351

2 440

2 525

2 614

2 104 2 146 2 187 2 227 2 266

2 305 2 399 2 490 2 577 2 669

2 147

2 189 2 231 2 272 2 312 2 351 2 447 2540 2 629 2724

Es ist zu dieser Tabelle noch zu bemerken, daß bei der Anordnung c der kleinere Absatz zwischen Öffnung und Kanalwand nur 0,02 m betragen hat. Bei der Anordnung e haben beide Absätze ebenfalls 0,02 m. Alle übrigen Absätze haben größere Dimensionen.

§ 38 a.

Beispiele.

1. Welche Wassermenge fließt durch eine vertikale Öffnung von 1,50 m Breite und 0,25 m Höhe aus, wenn die Druckhöhe 2,20 m beträgt und die Kontraktion vollständig ist?

Die Tabelle ergiebt die für 1 m Breite durchfließende Wassermenge in einer Sekunde zu 987 1 an und es ist daher

Q = 1,5 • 987 = 1480,5 1 in der Sekunde.

2. Es ist die Breite einer Öffnung von 0,08 m Höhe zu bestimmen, wenn durch dieselbe 300 1 in der Sekunde fließen sollen und die Druckhöhe über dem Mittelpunkte 0,30 m beträgt.

Die Tabelle ergiebt 120 1 für jeden Meter Breite. Somit inuß die Öffnung eine Breite

300

120

— 2,5 m

haben.

3. Durch eine Öffnung von 3,11 m Breite bei 0,30 m Druckhöhe sollen 420 1 in der Sekunde abfließen. Welche Höhe a muß die Öffnung erhalten?

420

= 135 1 in der Sekunde und

3,11

Für 1 m Breite erhalten wir nach der Tabelle hierzu

a = 9 cm.

4. Welche Wassermenge fließt in der Sekunde durch eine Öffnung von 25 cm Höhe und 1,30 m Breite, wenn die Druckhöhe über dem Mittelpunkte 0,80 m beträgt und nur auf drei Seiten Kontraktion stattfindet?

Für vollständige Kontraktion ergiebt die Tabelle bei 1 m Öffnungsbreite Q = 5981. Demnach für b = 1,30: Q = 598 • 1,30 = 777 1. Nach § 36 müssen wir diesen Wert noch mit 1,035 multiplizieren und erhalten Q, — 1,035 - 777 — 804 1 in der Sekunde.

Würde dagegen nur auf einer Seite, d. h. oben, Kontraktion stattfinden, indem die Ausflußöffnung sowohl am Boden als zu beiden Seiten die Verlängerung der Kanalwände bildet, so wäre der Multiplikator — 1,125 und somit die gesuchte Wassermenge

Q = 1,125 - 777 = 874 1 in der Sekunde.

§ 39.

Graphische Darstellung der aus Schntzenösinungen fließenden Wassermenge.

Die Diagramme Fig. 145 und 146 Tafel 8 stellen die theoretische Ausflußmenge rechtwinkliger Öffnungen dar für Druckhöhen h von 0 bis 4 m über dem Mittelpunkte der Mündung und für Öffnungshöhen a von 1 bis 50 cm bei einer konstanten Breite von 1 m.

Höhe.

cm

Das erste Diagramm ist für Öffnungshöhen von 1 bis 10 cm, das zweite für solche von 10 bis 50

Die Höhen a der Öffnungen sind dabei durch Vertikale ausgedrückt, welche auf der untern Horizontalen A B in ungleichen Distanzen errichtet sind. Die vom Punkte B aus gezogenen schiefen Linien stellen die Druckhöhen über dem Mittelpunkte vor.

Die Ausflußmenge in Litern wird durch eine Parabel A E bestimmt und kann auf der obern Horizontalen CD abgelesen werden. Für diese Parabel liegt der Scheitel in A, die Achse in AC, es ist somit nur die Berechnung eines ihrer Punkte nötig, um die ganze Kurve geometrisch zu konstruieren.

Es empfiehlt sich, die Diagramme in größerem Maßstabe mit genauer Einteilung aufzutragen, um sie zur raschen Lösung aller Fragen bezüglich des Ausflusses aus rechtwinkligen Öffnungen zu verwenden.

Beispiele. 1. Welches ist die Durchflußmenge durch eine rechtwinklige Öffnung (in dünner Wand) von 25 cm Höhe und 2,40 m Druckhöhe h ?

Man sucht in der zweiten Figur den Durchschnittspunkt a der Vertikalen in dem Punkte 0,25 der Horizontalen AB mit der schiefen Linie Bb, welche von B nach der Marke 2,4 auf AC gezogen ist.

Von a aus geht man horizontal fort bis zur Stelle c der Parabel und von dieser vertikal in die Höhe bis d, welcher Punkt einer Ausflußmenge von 1720 1 entspricht.

2. Welches Wasserquantum fließt durch eine Öffnung von 6 cm Höhe und 0,20 m Breite bei h = 3m, wenn auf zwei Seiten Kontraktion stattfindet?

Im Diagramm Fig. 145 von 0,06 auf AB ausgehend, gelangen wir zu a c d und dadurch zu einer Ausflußmenge von 460 1 für 1 m Breite.

Nach § 36 haben wir einen Ausflußkoeffizienten von 1,072 a oder für a — 0,604 von 1,072 • 0,604 — 0,647 zu benutzen. Berücksichtigen wir noch die Breite 0,20 m, so erhalten wir

Q — 0,20 - 0,647 - 460 = 59,341 in der Sekunde.

3.    Will man mit Hilfe der Diagramme aus einer gegebenen Wassermenge und einer vorhandenen, durch lokale Verhältnisse bestimmten Druck-'' höhe die erforderliche Öffnungshöhe suchen, so geht ntmt von der Wassermenge d auf C D vertikal herab bis zu c auf der Parabel, dann horizontal bis zu der von B aus gegen die Druckhöhe gezogenen schrägen Linie und von dem dadurch erhaltenen Schnittpunkte a abwärts bis zur Linie AB, auf welcher man die Öffnungshöhe ablesen kann.

4.    Hat man aber aus der Wassermenge und den gegebenen Öffnungshöhen die entsprechende Druckhöhe zu suchen, so geht man wieder von der Wassermenge d abwärts nach c, dann zieht man durch e die Horizontale und durch die Öffnungshöhe eine Vertikale und legt durch den Schnittpunkt a beider Linien die geneigte Gerade, welche uns in b die gesuchte Druckhöhe liefert.

Die Diagramme lassen sich in folgender Weise bedeutend vereinfachen:

Wir gehen wieder von der Formel Q = abl/'2gh oder da b = 1 ist von Q = a y 2 g h aus. Durch Logarithmieren erhalten wir lg Q — lg j/2 g = lg a -f | lg h.

lga = 0,5527 — 1 a - 0,357.

Ist nun z. B. Q = 50001 = 5 cbm, b = 10 in, so ergiebt sich lg Q = 0,6990, lg ]/2g = 0,6463, 4 lg h = 0,5000 und durch Einsetzung

und demnach

Rechnen wir nun ferner für dasselbe Q, die zu verschiedenen Druckhöhen h gehörigen Öffnungshöhen a aus und tragen die Werte nach einem logarithmischen Maßstabe auf, so erhalten wir eine gerade Linie (Fig. 148). Nach der durchgeführten Rechnung ist in Millimetern abgesetzt für a der lg a = 55 mm, dann für h der 4 lg li = 50 mm. Die Gerade muß die Abscissenachse in lg a = 105 mm schneiden, da

lg Q - lg V2g = 0,6990 — 0,6463 = 1,0527 — 1 ist. Für Q, = 40001 würde der Schnittpunkt in der Entfernung 95 mm vom Koordinatenanfangspunkte liegen.

Die in Fig. 148 in Klammern gesetzten Zahlen zeigen die aufgetragenen Millimeter an. Eine ebensolche Figur in anderem Maßstabe kann als Ersatz für Fig. 145 Tafel 8 konstruiert werden. Diese Diagramme in großem Maßstabe unter Berücksichtigung der genauen Werte der Logarithmen sind bequeme und praktische Hilfsmittel für hierher gehörige Rechnungen.

Fertigt man sich noch einen logarithmisch eingeteilten Maßstab an oder überträgt die Einteilung der a-Achse ans einen solchen, jedoch mit der Abänderung, daß die Teilstriche mit zehnfach größeren Zahlen bezeichnet werden, so kann man das b oder auch den Ansstnßkoesfizienten gleich beim Gebrauche der graphischen Tafel berücksichtigen. Wäre z. B. a — 0,2, b —1,5, so würde ans unserm zu verschiebenden Hilfsmaßstabe für die Strecke 0 bis 1,5 eine solche Länge vorhanden sein, wie auf der a-Achse von 0 bis 0,15. Verschieben wir unsern Maßstab nun so, daß der 0-Punkt mit dem Punkte a — 0,2 zusammenfällt, so erhalten wir den Punkt 0,3 als zu dem Maßstabpunkte 1,5 gehörig und mit der hierdurch gezogenen Vertikalen ist weiter zu arbeiten.

Wäre z. B. die Aufgabe gestellt, die Breite b zu ermitteln, wenn Q — 40001, a — 03 und h = 4 gegeben ist, so verfährt man wie folgt. Man sucht den Schnittpunkt von der Vertikalen durch a — 0,3 mit der Horizontalen durch h = 4 auf und mißt von diesem horizontal weiter nach dem logarithmischeu Maßstabe bis zu der schrägen Linie, die mit der Bezeichnung Q = 4000 versehen ist. Die dadurch erhaltene Zahl, in unserm Falle 1,51, giebt die gesuchte Breite b oder eigentlich a b au.

Die hiernach noch nötige Multiplikation mit

kaun ebenfalls durch

Verschiebung des logarithmischeu Maßstabes geschehen.

§ 39 a.

Die neueren Formeln über den Ausfluß ans Schleusenwehren imb Grundschleusen.

Gute oder wenigstens auf wissenschaftlichen Grundlagen beruhende Formeln über die aus Schleusenwehren und Grundschleusen abfließende Wassermengen sind von G. Ritter von Wex ’) abgeleitet worden. Den

i) Hydrodynamik. Entwicklung neuer genauer Formeln zur Berechnung der Wasserabflußmengen bei Überfallwehren, Grundschleusen, Schützenöffnungen und bei Wasserans-leitungen in Kanäle . . . . von Gustav Ritter von Wex. Leipzig 1888.

interessanten Entwicklungen zu folgen, würde uns zu viel Platz und Zeit kosten, und wir müssen daher in dieser Beziehung auf die Quelle verweisen.

Ein Schleusenwehr (Fig. 347 und 348 auf Tafel 32) habe eine Öffnungshöhe — a, eine Summe der Öffnungsbreiten — b. Die Höhe der Wehrschwelle sei k, ihr Böschungswinkel ?], die Zuflußgeschwindigkeit betrage vz, die Abflußgeschwindigkeit va, die Tiefe des Unterwassers t und die Niveaudifferenz h. Setzt man ein rechteckiges Querprofil des Flusses mit der Breite B voraus, und bezeichnet die Summe aller auftretenden Druckhöhen mit Si an der Unterkante der Öffnungen und mit s an der Oberkante, so erhalten wir die Gleichungen:

!)•••• Q = |« b |/2 g    [si* — sf],

²> s=^{¹+Ä(B^b)+2?b[t+ll_(k+a:)1}+h+n'i^'

vz² 4Bk

3)

S i - 8 -4— — '    ,

2g ab

cos

Durch n - ^ ist die saugende Wirkung des mit der Geschwindigkeit va

abfließenden Unterwassers berücksichtigt. Hierin ist n ungefähr — 0,67 nach wenigen hierüber bestehenden Versuchen zu setzen.

Liegt die Schwelle der Grundschleuse in gleicher Höhe mit der Flußbettsohle, so ist k = 0, daher

4) s, =s = ™|l + ^(B —b) +

2 ab

[t + h — a]j + h + n-

Va*

2g

Q = ßj b a V2 g s.

Bedeckt das Unterwasser nicht die ganze Mündung, so haben wir unter Berücksichtigung der Bezeichnungen in den Figuren 349 und 348, die folgende Formelgruppe zu benutzen.

5)

6)

Q — Qi + Qs-

Va²

7) . . . Q₁=|abV2g

- - Qa = «i b (t il + ^(B-b) +

8) . .

9) s =

vz

2g

a + n-₅--1

2g

sr-8

[si⁷-s⁷].

n.^)v2gs₁.

(t + h —a)} + h + t-

10)

Si = s -I- a-J-n • 5^--1.

Sind die Ausflußvorrichtungen, für welche die aufgeführten Formeln 1 bis 9 gelten, zwischen einem großen See und einem Kanal angebracht, so müssen wir vz = 0 setzen und erhalten für 1) bis 3):

11). . .

a₁baj/2g (h + n- '

weil 8 — 81 — b -j- ir -

va²

12)

13)

wird, ferner für 6) bis 10):

Q ⁼ Qi + Q2 •

Qi = f a b V2 g [si^ — s⁷].

2g

14) . . .

.    . Qi =

b(t —n.^) l/2gs,.

s == h

15) .

16)

si=h + n.^.

Die in den Formeln*) vorkommenden Ausflußkoeffizienten a bezw. at hat v. Wex nach den bekanntesten unten angeführten Versuchsreihen berechnet und dann unter Benutzung der von Bornemann aufgestellten Gleichungen ähnliche konstruiert. Jedoch hat er wohl hier noch nicht das Richtige getroffen, z. B. ist das eine Glied des Wertes von a einmal zu

]/ —, das andere Mal zu JL proportional, so ähnlich verhält es sich mit ' a    a

den übrigen Gliedern, wie wir im Folgenden sehen.

Aus den 20 Versuchen von Lesbros für den freien Ausfluß aus den in breiteren Zuflußkanälen eingebauten Schützenöffnungen, bei welchen am ganzen Umfange der Ausflußöffnung Kontraktionen stattfinden, ergiebt sich:

17) d = 0,5708 + 0,01355

1 /— --h 0,021091/ — + 0,00431 b.

\ h + y

Aus den 12 Versuchen von Boileau über den freien Ausfluß aus den in der ganzen Breite der Gerinne eingebauten Schützen ohne erhöhte Schwellen, also ohne Seiten- und ohne Bodenkontraktion wurde berechnet:

18)    . a = 0,5751 — 0,01898

lAi

0,00144

f 0,00048 b.

9 Nach den von v. Wex gegebenen Ableitungen ist es leicht sich für andere als hier aufgeführte Konstruktionsarten der Schleusen entsprechende Formeln zu bilden.

Für die von Bornemann in den Jahren 1866, 1867 und 1872 ausgeführten 63 Versuche über die Wasserabflußverhältnisse aus Schützenöffnungen in langen horizontalen hölzernen Gerinnen von 1,135 m, 0,544 m und 0,802 m Breite, an deren beiderseitigen Gerinneborden vertikale Säulen von 64 mm, 12 mm und 14 mm Dicke sich befanden, gilt der Ausflußkoeffizient:

f 0,00305 b.

Aus den 16 Versuchen von Weisbach über den freien Ausfluß aus den in der ganzen Breite der Gerinne eingebauten Schützen ohne erhöhte Schwellen, also ohne Seiten- und ohne Bodenkontraktionen, wobei auch noch die untere Schützenkante abgerundet war, wurde entwickelt:

0,00219

19)    . a = 0,8452 — 0,21936

Vdi

f 0,00048 b.

20) . . a, = 0,4988 + 0,14965

t-k —

Zehntes Kapitel.

Veränderung der Ausflußmenge durch besondere In- oder Fortlerlung.

§ 40.

Einfluß abgerundeter Kanten.

In den meisten Fällen der Praxis sind die Fallenzüge, bezw. die Öffnungen der Schützen zwischen zwei vertikalen Balken oder Pfosten angebracht, welche in der Regel eine Dicke von 25 bis 30 cm erhalten. Am unteren Teile der Öffnung sind diese Balken durch eine horizontale Schwelle verbunden, auf welcher die niedergelassene Schütze aufsitzt und deren Breite ebenfalls 25 bis 30 cm beträgt.

Der Schützen oder die Falle gleitet zwischen zwei seitlichen Führungsleisten von 4 bis 5 cm Dicke.

In wenigen Fällen ist die innere Kante der Schwelle als auch die seitlichen und obern Ränder der Öffnung abgerundet, öfter schon die obere Kante (untere Kante des Schützens) und die obere Kante der untern Schwelle.

Die folgende Tabelle enthält die Versuchsresultate mit zwei Anordnungen von der oben erwähnten gewöhnlichen Art, wo die Seitenpfosten und die Bodenschwelle eine Dicke von 27 cm haben. Beide Anordnungen (Fig. 106 und 107 aus Tafel 6) unterscheiden sich allein dadurch, daß bei der einen die Kanten der Öffnung und der Schwelle scharf gehalten find, während Kanten und Schwelle der andern mäßig abgerundet wurden. Die Konstruktion d giebt natürlich, wie auch die Tabelle zeigt, kleinere Koeffizienten als e. Da der Unterschied indessen nur ¹/3B des ganzen Wertes beträgt, so ist derselbe so wenig bedeutend, daß er in der Praxis meistens vernachlässigt werden kann.

Ausflußkoeffizienten einer Schützenöffnung mit runden und scharfen Kanten.

Anordnung d und e (Fig. 106 und 107).

Druckhöhe über dem obern Rande der Öffnung in m

Anordnung d, scharfe Kanten Anordnung e, abgerundete Kanten

Koeffizienten für eine Höhe der Öffnung von

Koeffizienten für eine Höhe der Öffnung von

0,20 m 0,05 m 0,01 m 0,20 m 0,05 m 0,01 m

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

0,100

0,120

0,140

0,160

0,180

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,800

0,900

1,000

1,100

1,200

1,300

1,400

1,500

1,600

1,700

1,800

1,900

2,000

3,000

0,780

0,760

o,732

0,713

0,688

0,684

0,682

0,682

0,681

0,681

0,681

0,680

0,680

0,680

0,680

0,679

0,679

0,679

0,679

0,679

0,678

0,678

0,676

0,719

0,716

0,714

0,712

0,710

0,709

0,700

0,703

0,700

0,698

0,696

0,689

0,685

0,682

0,681

0,680

0,680

0,679

0,679

0,678

0,678

0,678

0,677

0,677

0,677

0,666

0,666

0,665

0,665

0,662

0,711

0,708

0,706

0,704

0,703

0,701

0,699

0,697

0,695

0,693

0,692

0,687

0,683

0,682

0,680

0,680

0,680

0,680

0,680

0,679

0,679

0,678

0,677

0,677

0,676

0,675

0,674

0,674

0,673

0,670

0,745

0,738

0,722

0,717 o,7i5 0,7 r 3 0,711 0,710

0,709

0,706

0,704

0,703

0,701

0,729

0,726

0,723

0,721

0,719

0,717

0,714

0,711

0,709

0,706

0,713

0,705

0,703

0,702

0,701

0,701

0,700

0,700

0,700

0,699

0,699

0,699

0,699

0,699

0,698

0,698

0,698

0,698

0,698

0,696

0,700

0,697

0,695

0,695

0,694

0,694

0,693

0,693

0,692

0,692

0,690

0,690

0,689

0,688

0,687

0,686

0,685

0,685

0,684

0,680

0,704

0,697

0,694

0,693

0,693

0,693

0,694

0,695

0,695

0,695

0,694

0,693

0,693

0,692

0,690

0,690

0,689

0,688

0,688

0,684

Die Druckhöhen sind an einer Stelle gemessen, wo die Flüssigkeit völlig ruhig war.

Der mittlere Ansflußkoeffizient für d ist nach unserer Tabelle 0,680 und für e — 0,70.

Die Ausflußmenge ist daher bei Anordnung d Q = 0,68abl/2gh

und bei Anordnung e

Q — 0,70 ab j/2 gh.

§ 41.

Einfluß schiefstehender Schützen.

Durch schiefe Stellung der Schützen (Fig. 108) vermindert man die Kontraktion am obern Rande der Öffnung und vergrößert daher den Ausflußkoeffizienten.

Poncelet hat mit einem um 63gegen den Horizont geneigten Schützen Versuches angestellt, deren Resultate in der folgenden Tabelle stehen.

Die Kontraktion beschränkte sich auf die obere Kante der Öffnung und es konnte die durchfließende Wassermenge nicht berechnet, wohl aber die Dimensionen des ausgetretenen Strahles unmittelbar gemessen werden.

Poncclets Versuche mit einem geneigten Schützen (Fig. 108).

Höhe des Wasserstandes über

der Schwelle

Senkrecht Querschnitt Schützen- gemessene Höhe der

Öffnung

Weite der

Öffnung

cm

cm

Austritt

öffnung

qcm

Querschnitt des zusammengezogenen Strahles

qcm

Ausfluß

koeffizient

i,4i5

i,6oo

i,540

i,6oo

70

• 70

70

70

30,4

30,4

22,0

22,0

2128

2128

1540

1540

ii57

ii57

.    0,737

o,742 o,75i o,75i

Mittlerer Wert a = 0,745.

Andere Versuche, welche Poncelet mit einem um 45° gegen den Horizont geneigten Schützen anstellte, wobei am Grund und zu beiden Seiten die Kontraktion aufgehoben war, ergaben a = 0,80 und, wenn das Schutzbrett unten abgerundet ist, wie in Fig. 108, a = 0,90. An der Stelle der größten Kontraktion ermittelte Poncelet bei diesen Schützen den Geschwindigkeitskoeffizienten cp zu 0,9274.

Wenn weder am Boden, noch an den Seiten der Öffnung Kontraktion stattfindet, so wird

a = l — 0,0043 ß°,

¹) Memoires sur des experiences relatives aux roues a aubes courbees S. 78.

und daher

wobei ß die Neigung des Schützen gegen den Horizont bedeutet

Für ß=    40°    45°    50°    55°    60°

wird a =    0,83    0,81    0,79    0,76    0,74

Beispiele. 1. Eine Schützenöffnung von 3,6 m Breite und 0,20 m Höhe steht bei einer Druckhöhe von 2,4 m um 60° gegen den Horizont geneigt und es findet weder am Boden noch an den Seiten Kontraktion statt. Welches ist die in der Sekunde durchfließende Wassermenge?

Für diesen Fall erhalten wir

a = 1 — 0,0043 ß° = l — 0,0043 • 60 = 0,74

Q = 0,74 ab t/2gh = 0,74 • 3,6 • 0,20 j/2gö^4 = 3,656 cbm.

2. Ein um 45° gegen den Horizont geneigter Schützen hat eine Öffnung von 1,2 m Breite, 0,3 m Höhe und eine Druckhöhe einerseits von 3,6 m, anderseits von 1,7 in, da er von beiden Seiten unter Wasser ist. Welche Wassermenge fließt in der Sekunde durch denselben ab?

a = 1 — 0,004 -3-45 = 0,81

Es wird und somit

Q = 0,81 a b V2 g (li — lu) == 0,81 • 1,2 • 0,3 V2 g • (3,6 — 1/7)

= 0,81 -1,2 - 0,3 - 6,105 = 1,780 cbm.

Wäre die Neigung der Schütze nur 30°, so erhält man a — 0,87 und Q — 1,912 cbm.

§ 42.

Einfluß des hinter der Schütze befindlichen Motors auf den Ausflußkoeffizienten.

Morin hat bei seinen Versuchen mit einem unterschlächtigen Pon-celetrade die Entdeckung gemacht, daß unter den gewöhnlich vorhandenen Umständen das Vorhandensein des Rades in einiger Entfernung vom Schützen einen wesentlichen Einfluß auf den Koeffizienten hat, welcher je nach der Leichtigkeit, mit welcher das Wasser in die Schaufeln eintritt, ferner je nach der Umdrehungsgeschwindigkeit und dem Füllungsgrade so bedeutend sein kann, daß eine wesentlich kleinere Wassermenge durch die Öffnung fließt, als dieses bei Ausfluß in die freie Luft der Fall ist.

Dieselbe Entdeckung ist in neuester Zeit öfter gemacht worden, namentlich auch bei Überfällen, wovon später ausführlicher die Rede fein wird. Die bei sich drehendem Motor durch eine Schützenöffnung oder einen Überfall fließende Wasfermenge ist oft nicht über 60 °/₀ von derjenigen beim Austritt in die freie Luft.

§ 43.

Einfluß eines Gerinnes auf die Durchflußmenge einer Schützenöffnung.

Das Vorhandensein eines Gerinnes von derselben Breite wie die Schützenöffnung vermindert, wenn es sich außen an die Öffnung anschließt und so die Fortsetzung derselben bildet, die ausfließende Wassermenge um so mehr, je kleiner die Druckhöhe über dem obern Rande der Öffnung ist.

Ausflußkoeffizienten für eine Schützenöffnung mit äußerem Gerinne. Kontraktion auf allen vier Seiten, nach Anordnung f in Fig. 109.

Druckhöhe über dem obern Rande der Öffnung in m

Höhe der Öffnung

0,20 m 0,10 m 0,05 m

0,03 m

0,01 m

0,010

0,015

0,020

0,030

0,040

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

o,47i

0,480

0,493

0,503

0,511

0,518

0,525

0,53i

o,537

0,458

0,472

0,484

0,507

0,527

o,544

o,557

0,568

o,57b

0,582

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

1,000

2,000

3,000

o,542

o,574

o,59i

o,597

o,599

0,601

0,601

0,601

0.5 86

o,6o6

0,607

0,603

o,447

0,468

0,488

0,525

0,555

0,577

0,594

0,606

0,614

0,620

0,624

0,631

0,629

0,626

0,625

0,624

0,613

0,606

0,424

0,467

0,501

0,551

0,598

0,629

0,632

0,632

0,633

0,633

0,633

0,632

0,631 •

0,630

0,629

0,625

0,613

0,607

0,566

0,583

0,599

0,626

0,645

0,658

0,667

0,671

0,672

0,672

0,671

0,664

0,658

0,652

0,648

0,631

0,631

0,609

Die Breite der mit scharfen Kanten versehenen Öffnung betrug, wie bei den folgenden Anordnungen, 0,20 m. Aus dieser und den nachfolgenden Tabellen erkennt man, daß der Einfluß des Gerinnes mit der

Abnahme der Druckhöhe zunimmt und daher a vermindert. Eine Vergleichung der mittleren Koeffizientenwerte läßt ferner erkennen, daß der betreffende Einfluß auf Öffnungen von geringerer Höhe bedeutender ist, als auf diejenigen von größerer Höhe. Ferner sieht man, daß bei den Anordnungen f, g und h, bei den Druckhöhen bis und über 1 m, sowie für eine Höhe der Öffnung von 0,20 m, der Ausflußkoeffizient zwischen den äußeren Werten 0,600 und 0,604 liegt, also ziemlich derselbe ist, wie für Öffnungen in dünner Wand mit vollständiger Kontraktion. In welchem Falle der Wert von a für dieselben Verhältnisse zwischen 0,605 und 0,601 schwankt.

Immerhin ist bei der Wasservermessung zur Bestimmung des Güteverhältnisses eines Motors auf Anordnung, .Druckhöhe und Öffnungshöhe genau zu achten.

Ausflußkocsfizicnten für eine Schützenöffnung mit äußerem Gerinne.

Kontraktion auf drei Seiten (am Boden aufgehoben). Anordnung g.

Fig- HO.

0,20 m

0,01 m

Druckhöhe über dem obern Rande der Öffnung in m

Höhe der Öffnung

0,05 m

0,010

0,015

0,020

0,030

0,040

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

1,000

2,000

3,000

0,480

o,493

0,502

0,510

0,517

0,523

0,528

0,533

0,538

0,566

0,580

0,587

0,592

0,600

0,602

0,601

o,435

0,463

0,487

0,526

o,552

o,57i

0,583

o,592

0,598

0,602

0,605

0,617

0,622

0,625

0,626

0.628

0,623

0,618

o,57i

0,596

0,616

0,642

0,660

0,670

0,676

0,680

0,682

0,683

0,682

0,679

0,673

0,672

0,671

0,665

0,654

0,652

Ausflußkoeffizienten für eine Öffnung mit äußerem Gerinne.

Kontraktion auf zwei Seiten (am Boden und an einer Seite aufgehoben) Anordnung h. Fig. 111.

0,20 m

0,01 m

Druckhöhe über dem obern Rande der Öffnung in m

Höhe der Öffnung

0,05 m

0,010

0,015

0,020

0,030

0,040

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

0,518

0,528

0,530

0,543

0,549

0,555

0,472

o,493

0,512

0,543

0,566

0,582

o,595

0,604

0,611

0,616

0,584

0,607

0,625

0,651

0,667

0,679

0,686

0,692

0,692

0,696

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

1,000

2,000

3,000

o,56o

0,589

o,6oz

0,613

0,619

0,621

0,637

0,643

0,646

0,647

0,649

0,644

0,639

0,697

0,698

0,696

0,694

0,691

0,685

0,674

0,670

Anmerkung. Bei den Versuchen mit den Öffnungen nach der Anordnung h, i und k (Fig. 111, 112, 118) waren die seitlichen Kanten der Öffnung um 2 cm vor den Wänden hervorragend angebracht, so daß eine geringe seitliche Kontraktion stattfinden mußte. Wie indessen aus den Tabellen hervorgeht, haben diese Vorsprünge, die im Verhältnisse zur ganzen Breite der Öffnung von 0,20 m immerhin sehr gering sind, keinen wesentlichen Einfluß auf die Koeffizienten ausgeübt, so daß dieser Einfluß für die Praxis ganz vernachlässigt werden könnte.

Ausflußkoeffizicntcn für eine Schützenöffnung mit äußerem und innerem

Gerinne.

Kontraktion auf einer Seite nach Anordnung i. Fig. 112.

Druckhöhe über dem obern Rande der Öffnung in m

Höhe der Öffnung

0,20 m

0,05 m

0,08 m

0,01 m

0,010

0,015

0,020

0,432

0,458

0,483

0,486

0,516

o?539

0,569

o,590

0,607

Druckhöhe über dem obern Rande der Öffnung in m

Höhe der Öffnung

0,20 m

0,05 m

0,03 m

0,01 m

0,634

0,651

0,662

0,670

0,676

0,680

0,682

0,685

0,688

0,684

0,68 L

0,678

0,671

0,659

0,656

0,522

0,550

0,570

0,584

0,593

0,60I

0,606

0,609

0,623

0,627

0,629

0,630

0,633

0,631

0,628

0,493

0,502

0,509

0.515

0^520

0,525

0,530

0,534

0,562

0,577

0,586

0,591

0,60I

0,604

0,602

0,030

0,040

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

1,000

2,000

3,000

0,573

0,595 0,609 0,617 0,621 0,624 0,6.26 0,627

0,635 0,637

0,638 0,638 0,638 0,636

0,634

Ausflnßkocffizientcn für eine Öffnung mit äusserem Gerinne. Kontraktion auf zwei Seiten nach Anordnung k. Fig. 113.

0,20 m

Druckhöhe über dem obern Rande der Öffnung in m

Höhe der Öffnung

0,05 m

0,01 m

0,010

0,015

0,020

0,030

0,040

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

1,000

2,000

3,000

0,482

0,489

0,500

0,509

0,517

0,523

0,530

o,535

0,541

o,545

0,576

o,590

o,597

0,602

0,609

0,610

0,609

0,526

0,542

0,555

0,575

0,589

0,600

0,608

0,614

0,619

0,622

0,625

0,633

0,632

0,631

0,630

0,627

0,616

0,609

0,653

0,661

0,667

0,676

0,682

0,684

0,684

0,683

0,682

0,680

0,679

0,666

0,659

0,654

0,651

0,634

0,620

0,615

§ 44.

Ausflußkoeffizient für Einläufe in rückschlächtige Zellenräder.

Bei hölzernen rückschlächtigen Wasserrädern sowohl als bei Leerläufen und Wasserfassungen in Weihern trifft man öfter Einläufe von der in Fig. 114 abgebildeten Form.

Bei Wänden, die ungefähr 40 bis 50° gegen den Horizont geneigt sind, hat man durch Versuche den Ausflußkoeffizienten zu 0,75 bestimmt, wenn die theoretische Ausflußmenge in folgender Weise berechnet wird:

Q = fi    K2gb,

hierin sind a und b die in der Figur angegebenen Abstände der Öffnungsschwerpunkte vom Wasserspiegel und flr f₃ die Horizontalprojektionen der Öffnungsquerschnitte.

Elftes Kapitel.

Ansatzröhre n.

§ 45.

Cylindrische und prismatische Ansatzröhren.

In Fig. 115 sei ein cylindrisches Ansatzrohr mit zugehöriger Wasserbewegung dargestellt. Der Eintritt in das Rohr verursacht, wie der Austritt aus einer Öffnung in dünner Wand, eine Kontraktion des Strahles. Ist das Rohr lang genug, so dehnt sich der Strahl wieder so weit aus, daß er dasselbe ganz ausfüllt und ruhig weiter fließt. An dieser Stelle und beim Verlassen des Rohres wird der Strahl eine geringere Geschwindigkeit haben, als an der Stelle seiner größten Kontraktion, weil nur dieselbe sekundliche Wassermenge zur Verfügung steht. Bezeichnet nun v die Ausflußgeschwindigkeit, c die Geschwindigkeit an der Kontraktionsstelle und x den Kontraktionskoeffizienten, so haben wir die Beziehung

1)

Durch die Verminderung der Geschwindigkeit wird ein Verlust an lebendiger Kraft

Q (c —v)

2)

auftreten. Somit erhalten wir als Arbeitsgleichung

Q (c — v)²

A. _ _Q V* |

g 2^g    2

oder unter Benutzung von 1) und nach Kürzung durch Q,

Hieraus ergiebt sich

oder

wenn

v = a₃]/2gh .    .

a₃    *    ist.

Ki+d-i)⁸

3)

4)

Es wird schließlich die sekundliche Ausflußmenge Q = aäf)/2gh . .

5)

worin f den lichten Querschnitt des Rohres bezeichnet.

Nach Formel 4) kann man den Ausflußkoeffizienten ce₃ für cylindrische Ansatzröhren aus dem Kontraktionskoeffizienten x für den Eintritt in dieselben berechnen. Es ist jedoch bei unsern Formeln der Reibnngswiderstand nicht berücksichtigt. Sie gelten demnach nur angenähert für kurze Röhren, deren Länge nicht mehr als das Dreifache des lichten Durchmessers beträgt.

Nimmt man für x den vielfach durch Versuche gefundenen Wert 0,62, so ergiebt sich

«z — 0,85,

während die Beobachtungen

ergaben.

«3 — 0,82

Somit beträgt die Ansflußgeschwindigkeit

und dadurch der Druckhöhenverlust

v = 0,82 |/2 gh

v²

h(l —0,82 ²) = 0,33 h.

h 2g

Das cylindrische Ansatzrohr hat den Ausflußkoeffizienten von 0,62

auf 0,82 erhöht, demnach ist die Ausflußmenge das

1,32 fache

0,82

0,62

geworden, oder es fließt rund ²/₃ mehr Wasser aus als durch eine gleich große Öffnung in dünner Wand.

Zu demselben Ergebnis gelangen wir auch durch die folgende Betrachtung. Die Beobachtung hat gezeigt, daß an der Kontraktionsstelle des Strahles ein luftverdünnter Raum im Ansatzrohre entsteht, welcher saugende Wirkung auf eine tiefer gelegene Wassermasse durch ein Verbindungsrohr (Fig. 115, Tafel 6) ausübt, und zwar steigt in dem letzteren das Wasser bis zur Höhe s/₄ h an. Darnach müssen wir für die kontrahierte Stelle als Druckhöhe h + ³/₄ h — ⁷/t h in Betracht ziehen und erhalten als dort herrschende Geschwindigkeit

0 — j/2 g ⁷/₄ h = 1,32 )/2 g h.

Nehmen wir x — 0,62 als Kontraktionskoeffizienten, so beträgt die Ausflußmenge

Q — 1,32 - 0,62 y 2 gh = 0,82 ^2 g h und a₃ = cp = 0,82.

Um die Einwirkung des Verhältnisses der Länge 1 zum Durchmesser d der Ansatzröhren auf den Ausflußkoeffizienten zu finden, stellte Eytel-wein Versuche an, deren Resultate die folgenden sind:

<1 2 bis 3    12

DO

co

ZD

00

a₃ = 0,62    0,82    0,77 0,73 0,68 0,63 0,60

Man sieht aus dieser Zusammenstellung, daß die größere Länge infolge der wachsenden Reibungswiderstände den Wert des Ausflußkoeffizienten wesentlich vermindert. Wenn die Länge der Röhre nicht größer ist als der Durchmesser, so findet eine Ausfüllung der Öffnung durch das Wasser nicht statt.

Die Druckhöhe betrug im Mittel 0,79 m, die Röhren hatten 2,5 cm Weite, waren aus Messing und innen blank poliert.

Die zur Erzielung eines vollen Ausflusses aus der Ansatzröhre erforderliche Länge ist von der Druckhöhe abhängig. Eine Länge gleich dem dreifachen Durchmesser ist ausreichend für Druckhöhen bis zu 10 m.

Durch eine graphische Darstellung der Eytelweinschen Versuche geht hervor, daß man den Ausflußkoeffizienten a₃ für Ansatzröhren durch folgende einfache Formel erhält

0,0038 (i- — 2)

Anderweitige hierhergehörige Versuche sind in den folgenden Tabellenl) zusammengestellt.

6)

a₃ = 0,82

I. Cylindrische Ansatzröhrcn.

Beobachter

Druckhöhe

<x3 = <P

(Saftei

0,0155

0,0155

0,0155

*) Rnhlmann, Hydromechanik.

b'

0,040

0,040

0,040

0,20

0,48

o,99

0,827

0,829

0,829

Beobachter

Druckhöhe

«3 = <P

111

Castel.

Bossut

Eytelwein

Bossut

Venturi

Michelott

Weisbach

0,0155

0,0155

0,0230

0,0230

0,0260

0,0270

0,0270

0,0270

0,0410

0,0810

0,0330

0,0403

0,01064

0,01064

0,01934

0,01934

0,02672

0,02672

0,03020

0,03020

0,040

0,040

0,054

0,054

0,078

0,041

0,054

0,108

0,123

0,216

0,125

0,275

ungefähr = 3d

2,00

3,03

0,65

1,24

0,72

3,85

3,87

3,92

0,88

2,18

o,57i

0,569

0,5780

0,2361

0,5762

0,2334

o,5748

0,2319

o,5749

0,2319

0,829

0,830

0,788

0,787

0,821

0,804

0,804

0,804

0,822

0,815

0,8175

0,7822

0,8540

0,8509

0,8330

0,8323

0,8171

0,8129

0,8170

0,8165

II. Parallclepipedische Ansatzröhren.

Beobachter

Höhe

Breite

der Ansatzröhre

Länge

Druckhöhe

Michelotti. . .

pj 00    '10 vn

ro vcT d d

0,081

0,081

0,04217

0,05018

0,081

0,081

0,0191

0,02478

0,216

0,216

0,125

0,320

0,803 0,803

0,8194

0,7960

Daß der Ausflußkoeffizient a₃ zugleich der Geschwindigkeitskoeffizient cp ist, haben auch die Versuche von Venturi und Castel ergeben, bei welchen die Tragweite ausfließender Wasserstrahlen gemessen wurden.

Weisbach.

Wasserstrahl

Geschwindigkeiten

Koeffizrenten

Abscissen

Ordinaten

wirkliche theoret = j/2 g h

«3

1,462 m

0,546 „

1,400 „

1,868 m

0,673 „

3.415 m 2,017 3,669 „

4,154 m 2,426 „ 4,414 „

0,822

0,827

0,829

Nach den bisherigen Erörterungen scheint es vorteilhaft, immer Ansatzröhren von entsprechender Länge zu verwenden, das ist jedoch keineswegs der Fall, wenn die lebendige Kraft zur Arbeitsleistung gebraucht werden soll. Ziehen wir jedesmal die gleiche Ausflußmenge Q in Betracht, so haben wir als Verlust an lebendiger Kraft beim Ausfluß aus einer Öffnung in dünner Wand Qy c

Qy v²_Qyv⁸/ 1    \

2 g V    /

oder da für diesen Fall cp im Mittel — 0,975 ist:

l)-0,°S2^

Qyv

Qy •

(-1

2 g \0,975²

Für den Ausfluß durch cylindrische Ansatzröhren hatten wir nun <p = a₃ = 0,82, wenn — 2. Hierdurch erhalten wir als Verlust an lebendiger Kraft

^(w-O-o^q,

488

Es ergießt sich somit ein ^

9,4 mal größerer Verlust bei Ver- ‘

Wendung einer cylindrischen Ansatzröhre als beim unmittelbaren Ausströmen durch eine Öffnung der Gefäßwand.

Der Vergleich gestaltet sich jedoch wesentlich anders, wenn wir nicht die gleichen Wassermengen, sondern die gleichen Zeiten zu Grunde legen, wenn es also auf einen Mehrverbrauch des Wassers nicht ankommt.

In der Zeiteinheit fließt aus einer Mündung in dünner Wand mit der Geschwindigkeit <py'2gh eine Wassermasse Q = af p/2 g h, durch ein cylindrisches Ansatzrohr mit der Geschwindigkeit a₃ j/2 gh die Wassermasse Q = a₃f)//2 gh. Hiernach erhalten wir als gesuchtes Verhältnis der Verluste an lebendiger Kraft:

f j/2 gh y 2gh a₃ f |/2 gh y«₃² • 2 gh

—, = 1,092,

f y'2 g h y 2 g h «tj/2 gh y 9p - 2 gh 1 acP²

wenn u — 0,62 (p = 0,975 a₃ — 0,82 gesetzt wird. Der Verlust an lebendiger Kraft bei Verwendung eines cylindrischen Ansatzrohres ist daher in der Zeiteinheit ungefähr mit ¹/₁₀ größer als beim Ausfluß durch eine Öffnung in dünner Wand.

Ist die cytindrische Ansatzröhre wie in Fig. 123, Tafel 7, schief eingesetzt, so wird der Ausflußkoeffizient dadurch verringert, wie Weisbachs Versuche gezeigt haben.

In § 32 hatten wir die Formel

-1,

? =

woraus folgt

⁹ VT=ff‘

Wählen wir jetzt für schiefe Ansatzröhre den Index 4, so finden wir den Ausflnßkoeffizienten ai — Geschwindigkeitskoeffizienten y₄ aus

«4 =

hierin ist

j/wr

C₄ = C -j- 0,303 sin d + 0,226 sin d oder, wenn für C der mittlere Wert 0,505 gesetzt wird,

C₄ = 0,505 + 0,303 sin d + 0,226 sin d².

Für cf° =

0°

10°

20°

30°

40°

50°

60°

ist der Widerstandskoeffizient £₄ -----und der Ausflußkoeffizient «₄ -----

0,505    0,565    0,635    0,713    0,794

0,870

o,937

0,815

0,799

0,782

0,764    0,747

o,73i

Beispiele. 1. Welche Wassermenge fließt in der Sekunde durch eine Öffnung von 0,09 m Durchmesser und kreisförmigem Querschnitte mit

— 2 bis 3 und einer Druckhöhe von 6 m über

0,719

einem Ansatzrohre bei dem Mittelpunkte.

Q = a₃. d²^ j/2gli = 0,82 -0,09²~ l/2~g6 =

= 0,82 - 0,0063617 • 10,849 = 0,056 cbm in der Sekunde.

2. Wie groß wird der Ausflußkoeffizieut bei einer rechtwinkligen Mündung von 0,25 m Höhe, 1,4 m Breite und 2,5 m Druckhöhe über dem obern Rande, wenn die Öffnung mit einem 3 m langen Ansatzrohre vom Öffnungsquerschnitte versehen ist, und wieviel Wasser fließt aus?

Nach Tabelle 1 und 2 in § 32 ist a = 0,601, nehmen wir denselben Wert auch für %, so erhalten wir nach Gleichung 4 unseres Paragraphen

‘V

0,83

und nach 5)

Q = 0,83 - 0,25 -1,4 V2 g - 2,625 = 2,085 cbm ').

3. Welches Wasserquantum fließt durch das cylindrische Ansatzrohr einer Öffnung von 0,06 m Durchmesser bei einer Druckhöhe über der Mitte von 3,4 m, wenn das Ansatzrohr 20 mal so lang als der Durchmesser der Öffnung ist?

Nach Formel 6) erhält man

<z₃ = 0,82 — 0,0038 -18 = 0,75

und dadurch

Q = 0,75 - 0,06² - J Y¥gZ£ = 0,75 • 0,0028274 • 8,167 = 0,0173 cbm.

§ 46.

Konisch konvergierende und divergierende Ansatzröhren.

Unter konisch konvergierende Ansatzröhren versteht man solche, die nach außen hin sich verengern. Ihre Ausflußmenge erhält man durch Multiplikation der theoretischen Ausflußmenge durch den äußersten engsten Querschnitt mit dem in den solgenden Tabellen²) enthaltenen Ausflußkoeffizienten, die durch Versuche von dÄubuisson und Castel gefunden sind.

Ansatzröhre von 0,0155 m Durchmesser und 0,040 m Länge

Ansatzröhre von 0,020 m Durchmesser und 0,050 m Länge

Konvergenz

winkel⁸)

Konvergenz

winkel

<P

o° o i° 36' 3° io' 4° io'

2° 50

0,914

0,906

o,₉io

*) Für ]/2 g • 2,625 erhält man nach der Tabelle in § 28: 7,176 als arithmetisches Mittel zwischen }/2 g • 2^2 = 7,169 und \2 g • 2^63 = 7,183.

²) Rühlmann, Hydromechanik.

⁸) Der Konvergenzwinkel ist der Winkel an der Kegelspitze, den zwei diametral gegenüber stehende Erzeugende mit einander bilden, und nicht etwa der Neigungswinkel einer Erzeugenden gegen die Achse.

Ansatzröhre von 0,0155 m Durchmesser und 0,040 m Länge

Ansatzröhre von 0,020 m Durchmesser und 0,050 m Länge

Konvergenz

winkel

Konvergenz

winkel

<P

5° 26'

7° 52'

8° 58'

10° 20'

12° 4'

13° 24'

14« 28'

16° 36'

19° 28'

21° o'

23⁰ o'

29° 58'

40⁰ 20'

48° 50'

Durch graphische Austragung der Resultate halten wir die folgende Zusammenstellung.

0,924

0,929

o,934 0,938 0,942 0,946 0,941 0,938 • 0,924 0,918

0,913

0,896

0,869

0,847

0,920

o,93i

0,942

0,950

0,955

0,962

0,966

0,971

0,970

0,971

o,974

0,975

0,980

0,984

5° 26'

6° 54'

0,930

0,938

0,928

0,938

10° 30'

12° IO'

I30 40'

15» 2' i8° 10'

23° 4' 33° 52'

o,945

0.949

0,956

o,953

o,957

0,964

o,949

0,939

0,967

0,970

o,93o

0,920

o,973

o,979

der ersten Tabelle er-

Konvergenz-

winkel

cc

<p

Konvergenz

winkel

(p

0°

0.829

0,874

0,907

0,922

o,933

o,949

0,955

0,965

0,970

0,971

0,829

0,873

0,909

0,925

0,931

o,937.

0,942

0,943

0,938

o,93i

20°

0,972

o,973 o,974 o,974 0,975 o,975 o,977 0,980 0,982

0,985

Heinemann stellte nach seinen Experimenten und Formeln die folgende Tabelle zusammen.

2°

4°

6°

8°

10°

12°

14°

i6°

i8°

Konvergenz

winkel

Konvergenz

winkel

22°

240

26°

28°

3°°

35"

40°

45°

50°

0,922

0,916

0,911

0,906

0,898

0,896

0,883

0,871

0,857

0,844

Konvergenz-

winlel

cc

6o°

70⁰

8o°

0,851

0,845

0,840

0,830

0,818

90°

IOO°

110°

120°

I3O⁰

0,804

0,788

140⁰

150»

160⁰

170°

180⁰

0,7 iZ 0,690 0,666 0,641 0,615

Wie aus den Tabellen hervorgeht, ist die ausfließende Wassermenge ein Maximum bei einem Konvergenzwinkel von ungefähr 13°, was bei der Konstruktion der Wendrohre zu Feuerspritzen zu berücksichtigen ist.

Wenn man an eine Ausflußöffnung eine konvergierende Röhre (Fig. 125, Tafel 7) anbringt, deren Durchmesser innen 1,2 mal so groß ist, als der ab ernt äußeren Ende und deren Länge cä — ab ist, so wird der Ausflußkoeffizient der kleinen Öffnung nach Eytelwein — 0,967.

Noch wesentlich größer wird der Ausflußkoeffizient, wenn man an die eben beschriebene Öffnung nach Fig. 126 noch ein konisch divergierendes Rohr anfügt. Bei zweckmäßiger Anordnung fanden Eytelwein und Venturi, daß die Menge des durch eine solche Röhre fließenden Wassers um die Hälfte größer sein kann, als die, welche man erhielte, wenn das Wasser wie ein sreifallender Körper beschleunigt würde.

Die Ursache dieser Erscheinung, daß nämlich das Wasser durch den engsten Teil der Röhre mit 1,55 /2 gh ausfließt, liegt darin, daß das Wasser den äußern weitern Teil der Röhre anfüllt, daß aber dessen Geschwindigkeit infolge des Stoßes der nachrückenden Wassersäule beinahe derjenigen gleichbleibt, mit welcher das Wasser durch den engsten Teil des Rohres durchfließt.

Es müßte hinter der Wassersäule bei ab ein leerer Raum entstehn, wenn nicht die Wasserteilchen, die aus dem Gefäße nachrücken, diesen vermöge des Luftdruckes mit größerer Geschwindigkeit auszufüllen strebten.

Daß dies wirklich der Grund ist, geht deutlich daraus hervor, daß in einem heberförmigen Röhrchen m, welches oben mit dem Ansatzrohre in Verbindung steht, eine Flüssigkeit aus dem Gefäße n emporsteigt.

In Bezug auf die Ausflußmenge aus konisch divergierenden Ansatzröhren stellte Weisbach mit einer Röhre Versuche an, deren Durchmesser 1 cm bezw. 1,54 cm und bereit Länge 4 cm betrug, bei einem Divergenzwinkel von 8° 4' und einer Druckhöhe von 40 cm. Er fand a — 0,738 wenn die Röhre innen abgerundet war und a — 0,395, wenn dies nicht der Fall.

Die ausgedehntesten hierher gehörigen Versuche sind in «eurer Zeit von John R. Freeman auf Kosten der Associated Factory Mutual Insurance Companies von Neuengland und Pennsylvanien ausgeführt und in den Transactions of the American Society of Civil Engineers Nr. 426, 1889 II, S. 303 und im Engineering 1893 II, S. 717 veröffentlicht. Die gefundenen Ausflußkoeffizienten sind in die Figuren 149 a bis h, k bis m auf Tafel 9 eingeschrieben und gelten für die betreffenden Mundstücke, in Verbindung mit dem Ansatzrohre n, für welches

allein a = 0,976 war, oder mit einem andern mehr oder weniger konischen. Bei dem Mundstück g wurde durch Einsetzung des um Vio" nach innen hervorragenden Hohlkegels der Ausflußkoeffizient von 0,976 auf 0,961 herabgedrückt. Als Ergebnis seiner Versuche konstruierte Freeman das Normalmundstück i.

Für diejenigen, welche diese Versuche und die darauf folgenden über Reibungsverluste in Spritzenschläuchen nach der angegebenen Quelle eingehender studieren wollen, sei noch erwähnt, daß eine Vereinigtestaaten-gallone (a United States gallon) 3,63476 1 enthält.

In Bezug auf den günstigsten Konvergenzwinkel von ungefähr 13° sei erwähnt, daß dieser in der Praxis bei großen pyramidalen Ansatzröhren schon seit geraumen Zeiten Anwendung findet. Im südlichen Frankreich sind horizontale Mühlräder, Fig. 346, Tafel 32, in Anwendung, welchen das Wasser oft durch hölzerne pyramidale Röhren zugeführt wird.

Der Ingenieur Lespinasse untersuchte ein solches Rohr und fand, daß die Länge 9' 4"; die Breiten und Höhen der Öffnung an den Enden hatten 27,9 x 37,3 und 5,2 x 7,2". Der Konvergenzwinkel beträgt daher lU/a und 15V₂°. Die Druckhöhe war 9' 4" und es ergab sich bei drei Beobachtungen der Ausslußkoeffizient zu

0,987;    0,976;    0,979.

§ 47.

Flüssigkeitsbewegung zwischen zwei kommunizierenden Gesäßen.

Fi x, --- F₂ xo

Zwei cylindrische Gefäße mit den Querschnitten Fx und F₂ (Fig. 318, Tafel 26) seien durch ein Rohr vom Querschnitte f mit einander verbunden. Die beiden Flüssigkeitsspiegel haben beim Beginn der Beobachtungszeit einen Höhenunterschied H und zu einer beliebigen Zeit einen solchen x. Dann sind die Niveauflächen nach den Bezeichnungen der Figur um xx und x₂ von der Gleichgewichtslage AB entfernt. Durch die Bewegung nach dieser Lage AB sinkt eine Flüssigkeitssäule Fx xx, während auf der andern Seite die Flüssigkeitssäule F₂ x₂ steigt. Daher besteht die Gleichung

jO

pH ipH

Nach den unten stehenden Entwicklungen erhält man für die Zeit, die verbraucht wird, damit sich die Höhendifferenz H auf h erniedrigt,

2F,F,

(KH — j/h).....l)

af j/2g(Fj +F₂) und für diejenige bis zur Erreichung des Gleichgewichtszustandes

2)

2Ft F₂ fs

af j/2g(Ft +F₂) wenn « der Durchflußkoeffizient für das Verbindungsrohr der beiden Gefäße, das heißt das Verhältnis der wirklichen Durchflußmenge zur theoretischen, ist.

Soll der Höhenunterschied h nach einer bekannten Zeit t berechnet werden, so erhalten wir durch Umformung von 1)

fs.--

2 F.F

- - 3)

Ferner strömt in der Zeit t die Flüssigkeitsmenge

F F

und bis zur Erreichung der Gleichgewichtslage

Fi Fz

Fi + F₂ ' '

4)

5)

über.

Hiernach ergießt sich im Zeitraume t eine mittlere bewegte Flüssig-

keitsmenge

q

qm— t

Qm rp

und für die Zeit T

oder mit Benutzung von 4) und 1) oder 5) und 2)

_ f, f2 qm-Fl + F₂

(H-h)

af/2g (F j -f- Fs)

2 Fj Fg (j/H— j/b.)

— af |/ 2 g

]/h.)_af J^2 g H-(- af V2 g h

CD

cz

F.F. Haf|/2g(F₁-fF₂)₌₌afK2gH 2Fj F₂ j/H

Die Werte 6) und 7) sind selbstverständlich, da sie die arithmetischen Mittel der Ausflußmenge zur Zeit 0 und t einerseits und 0 und T andererseits angeben.

Qm =

Fi + F

• 7)

Würde in der Sekunde zu den Gefäßen die Flüssigkeitsmenge Q, bezw. Q₂ zu- oder abfließen, so tritt für Gleichung 1) die folgende ein:

t = --2Fl Y*——(yb. — Vh— — innFH+l"\

af(Fj+ F₂)>/2g\    n nj/h + l/

„_of(F₁+F,)J^i ±F₁Q₂TF₂Q₁

• 8)

wenn

9)

Ferner ist noch

T =-2F1 F- . sKH—— ln(n ]/R + 1)1,

af(F₁H-F₂)J/2gL    n    ^ J

h + 2(A-|)

-Kh —

Fi + F.

(x₂)h

[H + 2 (|/h₂ - -1) (f/H -1 ln (n/H + 1))] ,

° - Frfr; [h ■+² K- t)    ~ t *” <"    1>)] ■

Fi + F₂

(Vh

worin

j/h₂ —

q₂

a iV2g

Die Gleichungen 1) und 2) kann man auch zur Zeitbestimmung bei der Füllung von Schiffahrtsschleusen brauchbar machen. Das die Wassermenge liefernde Gefäß ist in diesem Falle ein Kanal oder Fluß mit einer im Verhältnis zu F₂ sehr großen und in konstanter Höhe bleibenden Oberfläche Fv Dividieren wir die rechte Seite der Gleichung 1) im Zähler und Nenner durch Flf so ergiebt sich

oder da jetzt ~

t._ 2F₂(l/H-FV)

afj/2i(l + ^)

nahezu gleich Null ist:

2F (j/H-Vhj

afj/2g

wenn noch F für F₂ gesetzt wurde.

Ebenso erhalten wir als Zeit der vollständigen Füllung rr_2Fj/H .

af/2g .....

10)

Die übergeführte Wassermenge ist F H. Soll dieselbe bei der Druckhöhe H durch die Öffnung f strömen, und wird die dazu erforderliche Zeit % genannt, so besteht die Gleichung

Tcefj/2gH = FH

___ F/H

afj/2gH afj/2g T = 2t

FH

12)

oder es ist

Aus 11) und 12) folgt oder in Worten:

ZurAnfüllung einesGefäßes auseinemunerschöpf-lichen bis zum Niveau des letzteren wird die doppelte Zeit gebraucht, als wenn dieselbe Flüssigkeitsmenge mit der anfänglichen Druckhöhe durch dieselbe Öffnung a u s st r ö m t.

Die zwischen den Gefäßen in Fig. 318 in der Zeit dt überströmende Flüssigkeit ist dQ = « f )/2 gx dt oder auch Fj dxx ----- F₂ dx₂. Daher besteht die Beziehung

Fi dxi — a f j/2 g x dt

a)

Nach den gewählten Bezeichnungen ist

X = xx + x₂

xi (Ft + F₂)

F₂

und demnach

dxx

F₂

dx.

Fi + F₂

Setzen wir diesen Wert für dxt in a) ein, so ergiebt sich Fl Fz Fi + F₂

und durch Umformung und Integration zwischen den Grenzen h und H

dx = a f j/2 g x dt

Fi F₂

dx

2 Fi F₂

« fV2 g (F, + Fjsyx « fl/2 g (F, + F₂)

h

(ys-yh).

Dies ist die obige Gleichung 1). Hieraus erhält man 2) wenn h = 0 gesetzt wird. Aus der Beziehung

dQ — Fi dxi

Fi + F₂

folgt durch Integration zwischen den Grenzen h und H oder 0 und H die Gleichung 4) oder 5).

Fließt dem ersten Gefäße eine Flüssigkeitsmenge Qi zu oder aus demselben ab, so beträgt die Abnahme der Niveauhöhe

^-(«fyagxTQ.) dt

und ist die entsprechende Flüssigkeitsmenge für das zweite Gesäß Q₂, so beträgt die Zunahme der Niveauhöhe in diesem

r,

(«fy2gx±Q₂)dt.

Die Summe beider Änderungen muß gleich der Änderung dx der Niveaudifferenz sein, oder es besteht die Gleichung

(« f]/2 g x PF Qi) dt 4" -ft- (« f g x i Q2) dt — dx

Fi

F₂

oder

oder endlich

[« f j/2 g x (Fi + F₂) 4= Qi F₂ ± Q₂ Fi] dt = Fx F₂ dx

dt

Fi F₂

dx

TQiF₂±Q₂Fi « f (Fj + F₂) 1/2 g

T Qi Fa ± Q2 Fi

Durch Benutzung der Relation 9) erhalten wir hieraus

FjF₂

±FiQ₂TF₂Qi nl/x+1 und durch Einführung der neuen Unbekannten y = nj/x und Integration:

y*+i

dt

dx

,₌__2 Fi Fä_ rydy

»•tt'F.Q.TP.Q,); y + l"

Die Ausführung des Integrals ergiebt

/;

y dy

y — ln (y + 1)

und wenn wir die Grenzen y --- n ]/h und n VH einsetzen, gelangen wir zur Gleichung 8).

Qi_Q2

Y und fließen die Flüssigkeitsmengen Qi und

Ist in einem besonderen Falle

Q₂ zu oder steigen die Flüssigkeitsspiegel in beiden Gefäßen durch die alleinige Einwirkung von und Q₂ um dasselbe Stück, so wird nach Gleichung 8)

t 2F₁F₈(]/H —yE)

« f (Pt + F.) V2 g

Wollen wir im allgemeinen Fall der Gleichung 8) die genaue Lage der Niveauflächen nach der Zeit t bestimmen, so müssen wir davon ausgehen, daß die oben aufgeführte Zu- bezw. Abnahme der Niveauhöhen dxx bezw. dx₂ ist. Dadurch ergiebt sich

F₂

(« f ]/2 g x -F Qx) dt = dxi -i- (cc f V2 g x JP Q₂) dt — dx₂

und durch Elimination von dt

Fi dxi

F₂ dx₂

« f V2 g x 4= Qi « f V2 g x ± Q2 Setzen wir jetzt der Bequemlichkeit halber

Qi --«k V2ghi und Q₂ = a f V2 g h₂, F₂ dx₂

V*T yh, ~~ yl±Vbt

und mit Berücksichtigung, daß dxt — dx — dxz ist:

so erhalten wir

Fi dxi

Fi (dx — dx₂)

F₂ dx₂

oder

dx₂

Fi Q/xj:J/h₂) dx

(Fj+f.) yx ± f, yii₂ t f₂ yy

F,    _ yx dx + yh₂ dx

±Fiytä+f₂yy, ~nyz+i

wenn

f,+f₂

n ±F,yh₂q=F₂yhl

ist, b. h. denselben Wert wie in 9) hat.

Setzt man noch n Yx = y, so ergießt sich

Wh-

F,

zb Fi ]/h₂ F₂ "j/hy

s(2T , 2yh₂y\

J \n* ^    1,2 /y +1

dy

Das Integral liefert

y² 1

dy

n (y + 1)

n (y + 1)

y+i

dy

-n-si+i

- j/y ä? + (Vv- y/* - (VS - Ij/

n (y +1)

dy

Y=nyH

-    ~i)y~    - b)ln fy +!)]

y = n "|/h

rs <*>?-"■ l> ■+ (>fs - J) c* vH -. ks) - (ytr -1) i. Ml.

Durch Benutzung dieses Wertes ergiebt sich

(xa)h

Fi

oder

n(±F,yh₂+F₂ yhj

— ln -n y

[h - h + 2 (yh, -    (yu -yh-

[H-h + 2(yh--l)(yH-y^_l

lyH + iyi

n yh + 1/J

nyh + l/j

(x ) ₌_£j__

v 2'h    ^ _|_ p₂

Wird die obige Integration zwischen den Grenzen 0 und H ausgeführt, so findet man

(x) _ *v r

1 !'H Ft + F„ _

Die Differenz der berechneten Werte (x„)H — (x₂)h giebt an, um wie viel der Wasserspiegel im zweiten Gefäße nach der Zeit t gestiegen ist. Sie beträgt

H + 2 (Vh₂ —1) (yH _ 1 ln (n yH + l)j •

F,

Fl + F₂

(h + 2 (yh, — -1) (yh — b !n yh + l))] •

§ 48.

Mittel zur Beseitigung oder Veriuiuderuug der Kontraktion.

Zur Vermeidung und Beseitigung der Kontraktion hat man darnach zu trachten, daß die Wasserfäden nach und nach in die Austrittsrichtung abgelenkt werden, so daß sie in parallelem Zustande unter sich und senkrecht auf die Ebene der Durchflußöffnung zu der letztern gelangen.

In Fig. 96, Tafel 5 können sich die nach der Austrittsöffnung drängenden Wasserstrahlen ohne gar zu plötzliche Ablenkung über die Öffnung und nicht zu schwer in parallele Lage zu dem Wasserstrahle begeben, die Kontraktion wird daher mäßig sein und der Ausflußkoeffizieilt 0,75 betragen. Bei der Anordnung Fig. 97 wird die Ablenkung und parallele Anordnung der Wasserfäden in dem austretenden Wasserstrahle noch wesentlich leichter von statten gehen, die Zusaminenziehllng ist äußerst

30

gering und a— ^

Weniger günstig gestaltet sich die Sache bei der Anordnung Fig. 99,

wo die Ablenkung schon etwas plötzlicher geschieht als in Fig. 97. Der

oq

Ausflußkoeffizient hat den Wert a — — •

Ganz besonders groß aber wird die Zusammenziehung des Strahles bei der Anordnung Fig. 98, wo die Wasserfäden von allen Seiten und zwar auch von unten herauf gegen die Austrittsöffnung zu drängen und die Ausflußmenge so herabziehen daß et — 0,5 und sogar 0,4 wird.

Bei Wasserleitungen kommt der Fall öfter vor, daß ein Rohrstück ins Innere eines Gefäßes oder Reservoirs hineinreicht, aus welchem Wasser entnommen werden soll und die Versuche von Borda haben für diesen Fall « — 0,515 ergeben, was bei der Anordnung von Leerläufen und Überfallröhren wohl zu berücksichtigen ist.

Weisbach hat für diesen Fall vergleichende Versuche angestellt und für die Anordnung Fig. 100 a — 0,53 bestimmt.

Es geht aus den Versuchen über die Kontraktion der Wasserstrahlen deutlich hervor, daß man in allen Fällen, wo es sich um die Herstellung eines Auslaufes oder Zulaufes für eine genau bestimmte Wassermenge handelt, alle plötzlichen Querschnittsveränderungen, Ecken und Kauten sorgfältig zu vermeiden hat, wenn das Wasser seine lebendige Kraft behalten soll. Es gilt dieses ganz besonders für die Zuflüsse und Einläufe zu Turbinen und Wasserrädern und ein wesentlicher Teil der Mehrleistung von den Girard - Turbinen beruht in der richtigen Anordnung der Zu-

Meißner, Hydraulik. I. 2. Auflage.

leitungen. Welchen Einfluß die Form des Turbinenkastens auf die durch den Motor fließende Wassermenge hat, sieht man daran, daß diese durch Einbauen der konischen Mantelflächen i und k (Fig. 101) in den rechtwinkligen Kasten ab cd wesentlich vermehrt wird.

§ 49.

Aufgabe» über beit Ausfluß aus Gefäße« und das Anfülle«

derselben.

1. Welches ist die Zeit der Entleerung eines Gefäßes von 6,5 qm Querschnitt, wenn demselben anfänglich eine Wassermenge Q von 0,005 cbm Wasser in der Sekunde durch eine Öffnung entfließt und die Druckhöhe am Anfange 9 m beträgt.

Nach § 32 besteht die Gleichung

Q = «f j/ 2 gh.

Hieraus folgt, wenn a — 0,8 gesetzt wird:

0,005

0,005

0,8 -13,288

0,00047.

0,8j/2g.9

Für die Entleerungszeit erhält man nun nach Gleichung 3) im § 31 unter Hinzufügung des Ausflußkoeffizienten «:

2Fh

2 - 6,5 - 9

0,8 - 0,00047 -13,288

23400 Sekunden.

ct.f K2 gb

2. In welcher Zeit t sinkt der Wasserspiegel eines cylindrischen Gefäßes mit F = 6,5 von h = 9 m Druckhöhe über einer Öffnung von f — 0,0008 qm Querschnitt zu der Druckhöhe b — X — 4 m herunter, wenn dem Gefäße iit der Sekunde eine Wassermenge Q₀ — 0,0050 cbm zufließt und a — 0,75 ist?

Nach § 31 erhalten wir

oder

A>

Qo

Q₀ = öfk,2gh0 0,005

afj/2g 0,75 • 0,0008 • 4,4292

1,88

und folglich nach Gleichung 4, § 31

a f j/2g

j/h — gh —x + lzh₀ ln

f/h - k'ho

J/h — x — Y h

0_

2-6,5

0,75-0,0008-4,4292

y 9 —V 4: + 1,88 ln

V 9 — 1,88

V 4 — 1,88

1,3

0,00006

1 +1,88 ln

0,28

1,3 - 5,1992

0,03

0,00006

—112648,9 Sekunden = 31" 17' 28,9".

In Bezug auf die Ausrechnung des Wertes ln

0,28

sei für diejenigen , welche im Rechnen mit den natürlichen Logarithmen nicht be-

0,03

wandert sind, bemerkt, daß ln a =

lga

ist. Worin a eine beliebige Zahl

und 6 — 2,7182818 die Basis des natürlichen Logarithmensystems bezeichnet. Hiernach erhalten wir

Ige

0,28 _ lg 0,28 — lg 0,03 _ 0,9700367 ™ 0,0 — lg 2,7182818    — 04342945

'ZT

lg ln

CO GO

CO

folglich

lg [ 1,88 ln 1,88 ln

0,28

0,03

= lg 0,9700367 — lg 0,4342945 = 0,3490053 ] = lg 1,88-|-lg ln

0,28

0,03

0,28

0,03

0,6231631,

Num. lg 0,6231631 = 4,1992.

Nach der auf Gleichung 4 in § 31 folgenden Bemerkung wird sich der Wasserspiegel in unendlich langer Zeit so weit senken, daß x — ho — 1,88² = 3,53 m

wird.

3. In welcher Weise ist die Entleerungszeit T eines Gefäßes von

6,5 qm Querschnitt zu bestimmen, wenn außer der Drnckhvhe von 9 m nur das in der ersten Sekunde abfließende Wasserquantum Q, — 0,005 cbm bekannt ist?

2Fh

Aus der Formel

a f j/2 g h

= 23400" = 6" 30'.

soft    ™_2Fh_2 • 6,5 • 9

Q 0,005

4. Alls einem Turbinenhause fließt das Wasser durch einen Absluß-kailal von 1,3 m konstanter Wassertiefe h und 2,7 m Breite b ab. Wieviel Wasser fließt im günstigsten Falle ab, wenn auf 3 Seiten der Ausflußöffnung Kontraktion stattfindet?

14*

In solchen Füllen, wo gleichsam der Ausflilß durch eine offene Gefäßwand stattfindet, nimmt man als Ausflußkoeffizienten wenn Kontraktion an vorhanden ist.

Hierdurch erhalten wir nach § 29 Q = 0,642 1 b h j/2 g h = 0,642 •

0,697    0,664    0,642    0,620,

4 Seiten

2-2,7-1,3

• V2 g • 1,3 = 7,586 cbm.

Natürlich fließt das Wasser nur dann mit dieser Anfangsgeschwindigkeit aus dem Turbinenhause ab, wenn der Abflußkanal ein solches Gefälle und solche Dimensionen besitzt, daß das Wasser in demselben mit der nämlichen Geschwindigkeit fortlaufen kann. Ist dieses nicht der Fall, so entspricht die Ausflußgeschwindigkeit aus dem Turbinenhause nur derjenigen im Kanal.

Ist dagegen die Geschwindigkeit des Wassers im Ablaufkanale größer, so fließt nichtsdestoweniger das Wasser nur mit der obigen maximalen Anfangsgeschwindigkeit aus dem Turbinenhause fort, so daß man durch ein starkes Fallenlassen des Ablaufkanales keineswegs den Wasserstand im Turbinenhause erniedrigen kann, weil das tot im letztern befindliche Wasser nur mit der oben erwähnten inaximalen Geschwindigkeit seinen Ablauf beginnt.

5. Welche Breite b muß die Ablauföffnung einer Wasserstube erhalten, wenn aus derselben 6 cbm Wasser in der Sekunde abfließen sollen, die Wassertiefe über der Sohle der Abflußöffnung 1,2 m betragen darf und an zwei Seiten Kontraktion stattfindet?

Aus der im vorigen Beispiel benutzten Formel erhalten wir nach Einsetzung des jetzt zu nehmenden Ausflußkoeffizienten a = 0,664:

6-3

0,664 • 2 • 1,2 • 4,852

2,328 m.

0,664 • | h y2 g h 6. Welches wird die Wassertiefe h in der Ablauföffnung eines Wasser-hauses, wenn durch eine gegebene Breite von 2,4 m 3,5 cbm Wasser in einer Sekunde abfließen sollen? Es findet nur auf einer Seite Kontraktion statt. Aus der Formel in Nr. 4 folgt bei Einsetzung von a = 0,697:

3,5-3

h*

0,70858

0,697 • | b ]/ 2 g 0,697 • 2 • 2,4 • 4,4292

h = 0,70858* = 0,7948 in.

7. Aus einem Weiher oder Teiche fließt das Wasser durch eine Öffnung von rechteckigem Querschnitte ab. Es ist die Wassermenge zu bestimmen, welche in 180" ausfließt, wenn nach:

oder

0    45    90"    135"    180"

die Druckhöhe —1,30 m 1,10 m 0,81 m 0,63 m 0,46 m betrug und die Breite der Öffnung 1,00 m, die Höhe 0,30 m und der Ausflußkoeffizient 0,603 ist.

Formel 7 in § 31 liefert uns

q = af:V2g || [i (f/h + Vk) + 2 (j/TiT + v%) + |h₂]

= 0,603.1-0,3- 4,4292 . 2 -- 0    (|/l,3 -j- V0,46) +

+ 2 (yU- + >/oM) f K0,8i |

= 5,427 • 4,4292 • 5,49428 = 132,07 cbm.

8. Aus einem Teiche fließt Wasser durch eine Öffnung von f —1,2 qm aus, die sich 6 m unter dem Wasserspiegel befindet.

In welcher Zeit sinkt der Spiegel um 2,4 m, wenn er zuerst einen Flächeninhalt von F = 10000 qm, nach dem Sinken um 1,2 m von Fl — 7000 qm und zuletzt von F₂ — 4000 qm hat, und wenn der Ausflußkoeffizient a —0,62 ist?

— (’JLz -L JliA _j_ 2 -^L

2 Vh^)/h₂/^ j/hx

Nach § 31, Formel 5 ergiebt sich 2 h — h. afV2g $¹ 2

6 — 3,6 f 1 /10000    4000X

~ y\7y'r\y,)

0,62 • 1,2 ]/2g 3 • 2

, ₂ 7000    _ 9485,4

¹ l 4,8 " 0,93 \ 2 g

= 2302,8" = 38' 22,8".

9. Wieviel Wasser ist in der eben berechneten Zeit aus dem Teiche ausgeflossen?

Zur Berechnung könnten wir nicht Formel 7) aus § 31:

Q —af/2g —- [| (y h -(- V h₂) + 2 ]/ hx]

benutzen, da h₂ nicht diejenige Höhe ist, welche zu ~ gehört. Wir müssen vielmehr die Sympsonsche Raumberechnungsformel

Q = f^^ + Fs) + 2Fl]

verwenden. Diese ergiebt

Q = |- 1,2 [l (10000 -f 4000) 4- 2 • 7000] = 16800 cbm.

10. In welcher Zeit würde derselbe Teich vom Spiegel F₂ bis F gefüllt, also der Spiegel um 2,4 m gehoben werden, wenn er mit einem Flusse durch eine entsprechende Verlängerung des in Fig. 91, Tafel 5 gezeichneten Rohres in Verbindung steht und sich der Flnßspiegel, dessen Höhe als konstant angenommen wird, nach Abzug des DruckhöhenverlusteH durch das Verbindungsrohr, noch 7 m über dem letzteren befindet?

Die zu benutzende Formel ist dieselbe wie im 8. Beispiele, nur sind die Höhen h, h,, ha jetzt die Niveaudifferenzen. Daher erhält man

7 — 3,6 — 1 1 /4000

² l/P

10000’

32

0,62-1,2 y 2g + 2-

= 3768,6" = lh 2' 48,6".

7000“

/ 2,2

/T

15523,4

0,93./2g

Es ist die Formel für dre Füllungszeit des Gefäßes Frg. 90, Tafel 5 zu bestimmen , wenn es durch seine untere Öffnung mit einem so großen Behälter in Verbindung steht, daß dessen Wasserspiegel als in konstanter Höhe h über der genannten Öffnung befindlich angenommen werden kann.

Es wird nach den Bezeichnungen der Figur

dQ = «f]/2gxdt=:Fdx

und daher

t=/-

o

Fdx

f/2gx

sein. Aus dieser allgemein gültigen Formei erhalten wir durch Einsetzung des Wertes

F = (R2-2Rxtg|- + x3    n,

und durch Einführung der neuen Unbekannten z = ]/ x

aus § 31:    ^

x dx

yx

+ tg;

1/

x² dx

2 71

«fl/2g

| R²J dz — 2 R tg j z² dz -s- tg² J z⁴ dz| -

fcO 2

Die Integration zwischen den Grenzen z = 0 und z = ]/ h ergießt

{R^h-|Rtg|hUytg^hn

un^    tft:

T = Ä/y{B’-Tß(Ii-’> + T(R-r>’[

«f'l/2g

oder mit Berücksichtigung, daß tg-^- =

oder

Zwölftes Kapitel.

Reaktion, Stoß und Widerstand des Masters.

§ 50.

Reaktion einer ausströmenden Flüssigkeit.

Wir haben bereits im § 21 gesehen, daß eine ausströmende Flüssigkeit einen Reaktionsdruck auf die der Öffnung gegenüberliegende Wand des Gefäßes und mithin auf das ganze Gefäß ausübt.

Bezeichnet Q die in der Sekunde ausfließende Wassermenge in cbm, h die Druckhöhe der Flüssigkeit über dem Schwerpunkt der Öffnung; f den Querschnitt derselben, « den Ausflußkoeffizienten und y das Gewicht eines Kubikmeters Wasser, so ist nach der Gleichung Kraft — Masse mal Beschleunigung der durch die Reaktion hervorgerufene Druck:

c²

2 « f h y.

„ Qy «sey ₀    „

2g

R — — ' c —--- c = 2 « f y

Der Reaktionsstrnck ist also gleich dem doppelten Gewicht einer Wassersäule vom Querschnitt «f, deren Höhe als Druckhöhe der Ausfluß-geschwindigkeit c entspricht.

Beispiele. 1. Wie groß ist der Reaktionsdruck auf die Wandungen eines Behälters mit 4,5 m Wasserhöhe über der Austrittsöffnung von 0,0095 qm, wenn der Ausflußkoefsizient « — 0,78 ist?

R = 2 • 0,78 - 0,0095 • 4,5 • 1000 = 66,69 kg.

2. Aus einer Rohrleitung A, Fig. 147, Tafel 8 von 1,2 m lichter Weite fließt das Wasser mit einer Geschwindigkeit von 2 m aus.

Welches ist der Druck R nach der Pfeilrichtung, der auf das Kniestück ausgeübt wird und welchen die Befestigungsschrauben auszuhalten haben, wenn der Ausflußkoeffizient « — 0,95 ist.

R = 2 • 0,95 • l,2²_ül. ²²

4 2g

1000 = 438,16 kg.

Wie man aus diesem Beispiele ersieht, ist der Reaktionsdruck bei großen Wasserleitungen wohl in Berücksichtigung zu ziehen, indem an den Austritt- und den Kniestücken oft Kraftwirkungen ins Spiel kommen, die nicht so leicht ins Auge fallen und eine gute Verankerung der erwähnten Stücke erfordern. Damit die Schrauben nicht auf Abscherung in Anspruch genommen werden, wird die Fußplatte solcher Kniestücke 15 bis 20 mm in den Fundamentstein eingelassen.

Die genauen Bestimmungen der Wirkungen einer bewegten Wassermasse auf das von ihr durchströmte Gefäß werden erst im zweiten Bande vorgenominen werden, hier sei nur noch das Folgende erwähnt.

In Fig. 332 Tafel 27 sei mit f der Querschnitt des Gefäßes an einer beliebigen Stelle und mit ß der Winkel, den die Richtung der Bewegung bezw. der dort herrschenden Geschwindigkeit c mit der Vertikalen bildet und endlich dieselben Größen beim Ein- und Austritt auch durch dieselben Buchstaben, aber mit dem Index e oder a bezeichnet. Alsdann erhält man als Gesamtwirkung in horizontaler Richtung

Ph

Qy

[(Ca)h (Cc)h ]

und in vertikaler Richtung

Pv

Qy

[Ca)v (Ce)v] P Gr,

vertikale

wenn der Index ^ die

deutet, Gr das Gewicht der im Gefäße enthaltenen Wassermasse, Q die sekundlich ausfließende Wassermenge, y das Gewicht der Volumeneinheit und somit Qy das Gewicht der sekundlich ausfließenden Wassermenge ist.

horizontale

Projektion der betreffenden Größe an

Die letzten Formeln kann man nach dein Satze

Der Antrieb der Kraft ist gleich dem Zuwachs der Bewegungsgröße

erhalten. Unter Antrieb der Kraft versteht man bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung das Produkt aus Kraft und Zeit (P • t), und unter Bewegungsgröße dasjenige aus Masse und Geschwindigkeit. In unserm Falle ist t — 1, und daher steht scheinbar auf der linken Seite jeder Gleichung nur die Kraft.

Die an einer beliebigen Stelle befindliche Flüssigkeitsschicht von der Dicke dx besitze eine derartige Beschleunigung p, daß deren Normal- und Tangentialkomponenten zur Bewegungsrichtung pn und pt sind. Die Wirkung beider ist verschieden, denn durch pt wird die Größe der Geschwindigkeit und durch pn die Richtung derselben geändert.

Die Masse der Flüssigkeitsschicht ist

und die horizontale Komponente der Normal-

f dxy

beschleunigung pn cos ß, daher erhält man für die Horizontalprojektion der Normalkrast für den betrachteten Zeitpunkt

Ebenso ergiebt sich

d (pJh = fyZ Pn coa ß-f dxy

d(P„)v =

P„ sin ß,

f dxy

d(pt)h

Pt sin ß,

. d(Pt)v

_f dxy

Pt cos ß.

, wenn q der Krümmungsradius

Als Zentrifugalbeschleunigung kann pn durch c²

ist, ober durch ^ d ß, weil der Bogen dx = Qdß ist, ersetzt werden. Da nun noch

de

Pt = — und pt dx — de c ist, so nehmen die obigen Gleichungen die Gestalt an

f y c² cos ß dß Qy

d(P»)h

f dxy c²

8 dx

dß cos ß

c cos ß dß,

d(Pn)v

f dxy c²

dx ain ß d (Pt) h — ^ de • c sin ß — ^fy

d iPt) v

f y c² sin ß dß Qy

de • c cos ß —

Qy

sin ß de

cos ß de.

c sin ß dß,

Die letzten Werte der einzelnen Gleichungen sind dadurch entstanden, daß Q = fc, die sich in der Sekunde durch einen beliebigen Querschnitt mit der Geschwindigkeit c bewegende, mit der Geschwindigkeit ce einströmende oder mit der Geschwindigkeit ca ausströmende Wassermenge ist.

Durch Integration findet man aus den Gleichungen

ca

(P„)h

----- J c cos ß dß

ce

°a

(Pn), = ~ Jcsinß&ß

ca

(Pt)h

J iin ß de

ce

ca

(pt)v = (jgry'cos ,4 de.

ce

Für die Gesamtwirkung in horizontaler bezw. vertikaler Richtung ergiebt sich hiernach mit Rücksicht darauf, daß (Pn)v nach oben gerichtet ist und noch das Gewicht G nach unten wirkt:

ca

ca

ph = (p„)i, + (Pt)h

—    °0Sj5 djS -f sin ß de) — (c d (s^n Z⁹) + sin ß de)

ce    ce

⁼    (c sin A = Qgyfici. =

Qr

g [(ca)h-(ce)h]

UNd

ce

ce

ca

Pv =

- (P„)v + (PJv + G=v/⁽-csin/» d/⁵ + c°s|Sde) + 6

ca

ca

= -?J (cd (cos /?) + cos jS de) + G = d (c

ce    ce

• cos ß) G

ca

= y/dcv + G = ~ [(c„)v - (ce)v] + 6.

ce

Die Formeln lassen die Unabhängigkeit von der Gefäßform erkennen.

Ist im besondern Falle die Geschwindigkeit konstant oder wenigstens annähernd konstant, so wird

ß*

(P„)h =

Y cJ cos ßdß=^'c (sin ßa - sin ßj

ße

ß*

_ Qy

c(cos,Se — cos^)

(PJh = 0

(Pt)v = 0

und dadurch die nur durch Flüssigkeitsbewegung hervorgerufene Kraft

P„ = V(P„)h² + tP„V = Y c /(sin/?, - sin/y* + (cos Je - cos ßj! _2 Q y ^    ße

Wird ße — — 90° und ßa — 90° wie beim Peltonrade genommen, so ergiebt sich

2g

²_Qrc = fy^!₌4fy^ = fyh,

welche Formel wir im § 52, der vom Stoß der Wasserstrahlen handelt, wiederfinden werden. Geschieht die Ablenkung nur um 90°, ist also ße = — 90° und /?a = 0, so er-

2Qy

halten wir

Pn

c £ = 2fyh,

welche Formel ebenfalls in § 52 wiederkehrt.

§ 50a.

Reaktionsarbeit beim Segnerschen Wasserrades.

Jil einem Segnerschen Wasserrade Fig. 46, Tafel 3 wird sich die Wasseroberfläche nach einem Rotatioirsparaboloide formen, wie dies int § 6 bei einem rotierenden Cylinder gezeigt wurdei Die Geschwindigkeit w

der Ausflußöffnung wird durch ihre Druckhöhe die relative Geschwindig-

»    lg

feit vr des ausfließenden Strahles vergrößern, so daß die Gleichung besteht

Vr = (f

K^Cb+Fg)*

Hiernach ergiebt sich als absolute Geschwindigkeit Va — Vr- W = Cf )/ 2 g ll -J- W

und für die theoretische Arbeit

wenn Q; die sekundliche Ausflußmenge uni) 7 das Gewicht der Volumeneinheit bezeichnet. Setzen wir in die letzte Gleichung für h und va ihre aus den beiden vorhergehenden entnommenen Werte ein, so erhalten wir:

Nach § 32 beträgt der Druckhöhenverlust

(<p — 1) 2 g

Vr²

und somit die wirkliche Arbeit

W (vr — w)

*) Nazzani, Idräulica prätica, Seite 281.

ober

f'i 7 vr w

(vr — w),

wenn fj der Querschnitt des kontrahierten Strahles und daher Q = f, vr ist. Aus der letzten Gleichung erhalten wir den Reaktionsdruck

Q 7

/ fl Vr .

g (Vr - W),

wozu

-(vr — w)

g

erreicht seinen Maximalwert

(L^max =(l — /l — 9²) Qhg

Q 7 ]/- - |/l — 9p² V1 — \ 1 — 9p²

w=yp|/ p==

gehört, wenn

und

Vr =

i/i—P²

ist. Sind n Ausflußöffnungen vorhanden, so ist in die obigen Entwickelungen einzusetzen Q = nf, vr.

Aus der Gleichung

(vr — w) = % w (qn y 2 g h + w“ — w)

^W = l/2gh + w

und wenn wir diesen Ausdruck gleich Null setzen, den oben benutzten Wert von w und daraus denjenigen von vr.

finden wir

(i

2 fpw

2 j/2gh -j- w

*)

.    § 51.

Senkrechter Stoß eines Wasserstrahles gegen eine ebene Fläche.

Wenn ein Wasserstrahl a (Fig. 151, Tafel 9) eine ebene Fläche AB trifft, welche sich seiner Bewegung entgegensetzt, so verbreitet sich der Wasserstrahl aus dieser Ebene und übt gleichzeitig einen bestimmten Druck auf sie aus, welcher nicht nur von der Masse des zum Stoße') gelangenden Wassers und dessen Geschwindigkeit, sondern auch von der relativen Aus-

*) Von einem direkten Stoße können wir eigentlich nicht sprechen, da keine plötzliche Geschwindigkeitsänderung eintritt. Deswegen nennt man die behandelte Erscheinung den permanenten Stoß. Mit einem wirklichen Stoße des Wassers haben wir es aber z. B. beim hydraulischen Widder zu thun.

dehnung der Fläche und bereit Lage gegen den zufließenden Wasserstrahl abhängt. Handelt es sich zunächst um eine vertikal gegen den Wasserstrahl stehende Ebene, so ist leicht einzusehen, daß die Größe derselben einen Einfluß auf Pressung, die sie erleidet, haben muß.

Wenn die hindernde Fläche nur den Querschnitt des Wasserstrahles hat, lute in Fig. 153, so werden die einzelnen Wassersäden allerdings auch zur Seite gelenkt, allein sie biegen mehr oder weniger um die Fläche herum und setzen ihren Weg dennoch fort, allerdings mit geringerer Geschwindigkeit und von ihrer ursprünglichen gradlinigen Richtung abgelenkt. Mit kleinen horizontalen Ebenen, die einem abwärts gerichteten Strahle entgegen gehalten wurden, stellte Savart Versuche') an, die wir jedoch hier nicht berücksichtigen, weil sie zwar wissenschaftlich interessant, aber für uns von keiner praktischen Bedeutung sind.

Je größer die hindernde Fläche int Verhältnis zum Querschnitt des Wasserstrahles ist, um so geringer ist die Anzahl der Wasserfäden, welche um die Ränder der Fläche umbiegen, und desto größer ist der Druck, welchen sie auszuhalten hat.

Ist der Inhalt der Fläche 6- bis 8 mal größer als der Querschnitt des Wasserstrahles, so werden sämtliche Wassersäden des letztern nach Fig. 151, Tafel 9 rechtwinklig zu ihrer ursprünglichen Richtung und parallel zur Widerstandsfläche abgelenkt und der Druck auf die letztere ist dabei ein Maximum geworden, d. h. er kann bei weiterer Vergrößerung der Fläche nicht mehr überschritten werden.

P = 2f-Jj y = 2fhy ¹ 2)    . .

Ist v die Geschwindigkeit des Wasserstrahles, f der Querschnitt desselben, y das Gewicht der Volumeneinheit Wasser, so ist für die ruhende Fläche der Druck

- - 1)

das heißt:

masse (m

(f) und. dem Quadrate der Geschwindigkeit oder endlich dem Querschnitte mtb der Geschwindigkeitshöhe.

Die Gleichung 1) behalt auch Gültigkeit für den Fall, daß sich die Ebene mit einer Geschwindigkeit c bewegt, wir müßten dann nur unter v die relative Geschwindigkeit vr = v c des Wassers gegen die Fläche verstehen. Geht die Bewegung der Fläche im selben Sinne vor sich wie diejenige des Wasserstrahles, so ist vr = v — c oder es ergiebt sich der Druck

P ₌ 2 f lv--^ y

2g

2)

sind dagegen die betreffenden Bewegungsrichtungen entgegengesetzt, so lverden wir erhalten

P = 2f

2g

3)

Zur Gleichung 2) können wir auch in folgender Weise gelangen. Nach einem in § 50 benutzten Satze ist der Antrieb der Kraft gleich der Zunahme an Bewegungsgröße, d. h. in unserm Falle

P • 1 = m (v — c).

Die zur Wirkung gekommene Masse beträgt

f (v — c) y m — —---------- ,

weil das Wasser mit der Geschwindigkeit v zu, mit c abströmt. Durch Einführung derselben ergiebt sich

P = f

oder unsere Gleichung 2) aus der für — c als Geschwindigkeit der Platte die Gleichung 3) oder für c = 0 die Gleichung 1) folgt.

Zu demselben Resultat 2) konnten wir auch durch folgende Betrachtung kommen.

Die ursprüngliche lebendige Kraft des Wassers betrügt

v²

m~2~'

durch den Übergang auf die Geschwindigkeit c verliert es an lebendiger Kraft

(v — c)²

----7

g

(v —c) m™2

nnd es besitzt zuletzt

in g '

daher ist der Gesamtverlust oder die in Arbeit umgesetzte lebendige Kraft

v²

(v — c)2 m'-2

c²

m y = m c (v — c).

woraus durch Einsetzung des Wertes

Diese muß gleich der Arbeit sein, die dnrch die Bewegung der Platte in einer Sekunde geleistet wird, dadurch erhalten wir die Gleichung

P c = m c (v — c), f (v — c) y

für m die Formel 2) folgt.

Am besten läßt sich der Vorgang des Stoßes beobachten, wenn man über einen Springbrunnenstrahl eine Glasplatte hält. Es. zeichnet sich auf der letztern in ganz bestimmten Uinrissen die Basis eines auf der untern Fläche der Platte ruhenden Wasserkegels ab, deren Größe eigentümlicherweise nicht von der Geschwindigkeit des Wassers, sondern allein vom Durchmesser des Strahles abhängt. Uin den Mantel dieses Kegels, dessen Spitze dein Strahle zugekehrt ist, gehen die Wasserfäden des letztern nach einem bestiminten Krümmungshalbmesser von ihrer ursprünglichen, der Platte zu gerichteten Bewegungsrichtung ab und ziehen sich schließlich parallel der Platte in allen möglichen Richtungen fort.

Durch die Ablenkung des Strahles um 90° hatten wir im § 50 auch die Gleichung 1) erhalten, woraus Dickl schließen will, daß die Formel für den Stoß falsch ist und nur die Reaktion angiebt. Wir müssen uns auch eingestehen, daß unsere Ableitungen einen wunden Punkt haben, denn die lebendige Kraft des Wassers wird nach der Stoßwirkung 0 ^

größer als m ^ und daher der Stoß geringer sein. Er beträgt nach Weisbachs Versuchen nur 92 bis 96 °/₀ des theoretischen.

§ 52.

Stoß zweier Wasserstrahlen gegen einander.

Wenn zwei Wasserstrahlen von demselben Durchmesser und derselben Geschwindigkeit in gerader entgegengesetzter Richtung auf einander treffen, so entsteht (Fig. 152) in der Mitte der Begegnungsstelle eine fast kreisrunde durchsichtige Scheibe, aus welcher das Wasser strahlenförmig am äußern Rande hervorsprüht. Die Größe dieser Scheibe hängt zwar gewissermaßen von der Geschwindigkeit der Strahlen ab, aber nicht in dem Maße , daß sie mit der Geschwindigkeit fortwährend wächst, vielmehr erlangt sie ihre maximale Ausdehnung bei einer gewissen Strahlgeschwindigkeit und nimmt sogar bei weiter wachsender Geschwindigkeit wieder ab').

J) Hierher gehörige Untersuchungen sind von Savart angestellt worden. Diese Versuche und die früher erwähnten hat er veröffentlicht in: Ann. Chim. Phys. (2) 54, S. 55

Sind die Strahlgeschwindigkeiten verschieden, sv wird die Scheibe konvex. Über die ebene Scheibe sagt noch Hagen:

„Die Spannung in der Richtung des Radius ist ohne Einfluß auf die Bewegung des Wassers, weil sie in jedem Ringe, der in die Scheibe tritt, schon vorhanden ist, uttb sich während der Bewegung desselben nicht merklich verändert. Diese Spannung würde allerdings, wenn der Wasserdruck aufhörte, die Masse der Scheibe nach der Achse hinziehen; während der Erscheinung wird ihr aber durch den dauernden Druck das Gleichgewicht gehalten, und wie eine Feder, die gleichmäßig gespannt bleibt, gar nicht als Feder wirkt, so kann auch diese Spannung keinen mechanischen Effekt äußern. Das Verhältnis ist ganz demjenigen analog, welches sich darstellt, wenn die Öffnung, aus der ein Wasserstrahl tritt, nicht unmittelbar in dem festen Reservoir angebracht, vielmehr durch einen elastischen Schlauch damit verbunden ist. Während man das Reservoir anfüllt und der Druck sich vergrößert, wird der Schlauch zwar gespannt und ausgedehnt, wozu allerdings ein Teil der lebendigen Kraft des Wassers verwandt wird, so daß der inzwischen austretende Strahl etwas schwächer ist, als er bei fester Verbindung der Ausflußöffnung mit dem Gefäße sein würde. In gleicher Art wird der Strahl während der Verminderung des Druckes etwas verstärkt werden. Von solchen Übergängen ist hier aber nicht die Rede, es handelt sich vielmehr nur um den Beharrungszustand und während dieses bleibt die Spannung des Schlauches unverändert: seine Elastizität ist daher vollständig aufgehoben, und der Wasserstrahl wird sich genau in gleicher Weise bilden, wie wenn der Schlauch absolut fest wäre und keine Elastizität besäße."

„Anders verhält es sich mit der in der Richtung des Bogens wirkenden Spannung der Oberflächen. Es leidet keinen Zweifel, auch kann man sich durch Aufstreuen feiner Körnchen leicht davon überzeugen, daß die äußeren Teilchen, welche die Oberfläche bilden, sich mit den inneren zusammen bewegen. Denkt man aber beide Oberflächen in konzentrische Ringe zerlegt, so wird jeder Ring, der Bewegung der innern Masse folgend, sehr schnell von dem Umfange der zusammenstoßenden Strahlen nach dem Rande der Scheibe laufen, und indem er sich in entsprechender Weise erweitert, muß seine Spannung immer aufs neue überwunden werden, und 113; 55, S. 257, 1833. Über beit Zusammenstoß, die Verzweigung und Bildung der Strahlen handeln: Kirchhofs, Crelle's I., Bd. 70, S. 289, Ges. Abh. 3. 416. Lord Raqleigh, Phil. Mag. (5) 2, S. 441, 1876. Voigt, Gott. Nachr. 1885, 285. Bobylcff, I. russ. phys. Ges. 13, S. 63, 1881. Beibl. z. Wied. Ana. 1882, S. 163. Auerbach, Handbuch der Physik von Winkelmann, S. 414-421.

was ohne Kraftverlust nicht geschehen kann. Die Spannung eines solchen Ringes in der Richtling des Bogens verursacht einen Druck in radialer Richtung und dieser wirkt als verzögernde Kraft der Bewegung des Wassers entgegen."

§ 53.

Stoß des Wassers gegen eine gekrümmte Fläche.

Der Stoß des Wassers gegen eine Fläche wird am größten ausfallen, wenn die letztere so gekrümmt ist, daß die einzelnen Flüssigkeitsfäden um 180° gegen ihre ursprüngliche Richtung abgelenkt oder mit andern Worten, wenn dieselben gezwungen werden, die der ursprünglichen entgegengesetzte Richtung einzuschlagen. Dies ist durch die in Fig. 155, Tafel 9 im Querschnitt dargestellte Form der Fläche der Fall.

Die Stoßkraft wird dieselbe sein, als wenn eine ebene Fläche mit der Geschwindigkeit v der Strahlrichtung entgegengesetzt bewegen würden, d. h. sie wird den doppelten Wert wie in 1) haben, was wir auch dadurch erhalten, daß das Wasser nicht nur seine Geschwindigkeit verliert, sondern eine gleich große in entgegengesetzter Richtung erhält. Somit ist

4)

2g

P = 4f ~- y = 4f h y

und wenn die Fläche vor dem andringenden Wasserstrahle mit der Geschwindigkeit c zurückweicht:

5)

6)

t> /f v — c)

P = 4f -—s——y......

2g

2g

oder sich mit dieser Geschwindigkeit gegen den Strahl bewegt: P = 4f (Y +

Trifft der Strahl auf eine zu ihm konvex oder konkav gekrümmte Fläche und verläßt er dieselbe unter einem Winkel ß gegen die ursprüngliche horizontale Bewegungsrichtung (Fig. 343, Tafel 32), so ist seine relative Geschwindigkeit beim Auftreffen vr = v — c und ebenso groß wird sie beim Verlassen der Fläche in tangentialer Richtung sein (wie dies auch in der Figur angegeben ist), wenn wir die Reibung vernachlässigen. Somit bleibt in der horizontalen Richtung noch eine Komponente (v — c) cos ß oder eine Bewegungsgröße m (v — c) cos ß, welche von der anfüikglichen m (v — c) abzuziehen ist, um den Zuwachs an Bewegungsgröße zu erhalten. Dieser beträgt

m[(v

c)—(v—c)cos ß\ = m (v—c) (1 — cos ß) — 2 m (v — c) sin²—»

4

Setzen wir dies gleich dem Antriebe der Kraft oder der Kraft selbst, weil die Zeit t = 1 ist und berücksichtigen, daß m = f ---- y, so finden wir

P = 4f

(v —c)

2g

y sin²

7)

Findet die Bewegung der Fläche nach entgegengesetzter Richtung statt, oder steht sie still, so folgt aus 7)

P = 4f

8)

(v-j-c)²    . ß

-—5—— y sm²-^-

2g ¹    2

oder

Für ß = 180 oder

- - 9)

y sin² = 4 f li y sin² —    .    .

= 90° gehen die Gleichungen 9, 7, 8 in 4, 5, 6 über.

2g

Ist ß = 134°, so erhält man in Wirklichkeit nur 83—88 °/₀ der theoretischen Stoßkraft. Die Verluste rühren wohl von auftretenden Wirbeln her.

§ 54.

Schiefer Stoß des Wassers gegen eine ebene Fläche.

Wenn ein Wasserstrahl auf eine Ebene trifft, auf welcher er nach zwei entgegengesetzten Seiten, g und i, ausweichen kann und welche schief gegen die Richtung des Wasserstrahles steht, so ist der Druck auf die Fläche nicht mehr derselbe wie in Fig. 151, wo die Ebene vertikal gegen die Bewegungsrichtung des Strahles steht. Um in diesem Falle die Größe des Druckes bestimmen zu können, muß man sich die Geschwindigkeit v die durch cf (Fig. 154) dargestellt sein mag, in zwei Komponenten cd und ce zerlegen, von denen nur die letztere ce rechtwinklig auf die Fläche drückt, während die andere Komponente cd ohne Wirkung auf die Fläche bleibt.

Der rechtwinklich zur Ebene in der Richtung des Pfeiles P (Fig. 154) ausgeübte Druck ist daher so groß, als wenn der Strahl in der Richtung ec mit der hierzu gehörigen Geschwindigkeit v sin ß auf die Fläche eindringen würde. Weicht die Platte mit der Geschwindigkeit c in der Richtung des Strahles zurück, oder was dasselbe ist, mit der Geschwindigkeit c sin ß in der Richtung des Pfeiles P, so erhalten wir nach dem vielfach benutzten Satze

P = m (v — c) sin ß.

Der Querschnitt des Strahles, mit welchem er die Ebene senkrecht trifft,

Beträgt ^ Wassermasse

sin/?'

folglich Beträgt die in der Sekunde zur Wirkung kommende

f (v — c) sin ß y_2f(v — c) y

sin/?

2g

also eben so viel, als wenn der Strahl mit dem Querschnitt f und der Geschwindigkeit v die mit c zurückweichende Fläche senkrecht getroffen hätte. Durch Benutzung dieses Wertes von m ergiebt sich

(v —c)

2g

y sin ß

10)

Bewegt sich die Platte der Strahlrichtung entgegen mit der Geschwindigkeit c oder steht sie still, so erhalten wir aus 10)

P = 2f

V²

P = 2f^—

(v + c)²

y sin ß

11)

oder

y sin /? = 2 f h y sin ß .    .    .    12)

Würde sich die Platte mit einer Geschwindigkeit c, nach einer Richtung bewegen, welche mit der Fläche einen Winkel /?i bildet, so hätten wir in den Formeln 10) und 11) c sin ß durch ct sin A oder c durch

<=■ M »“ e*6™'

Bewegt sich die Fläche mit der Geschwindigkeit c in der horizontalen Strahlrichtung, so ist die relative Auftreffgeschwindigkeit in derselben Richtung (v — c). Wird nun vorausgesetzt, daß das Wasser nur nach der einen Richtung i ohne Geschwindigkeitsverlust durch Reibung weiterfließt, so beträgt die Geschwindigkeit in horizontaler Richtung (v — c) cos ß und daher die Differenz der Bewegungsgrvßen

2-g

ß

m (v — c) —m (v — c) cos /? = m (v — c) (1 — cos/?) — 2 (v—c) sin²—-

Die in der Sekunde zur Wirkung gekommene Wassermasse ist

f (v — c) y in — —— — ,

folglich erhalten wir als Stoßkraft P₄ oder als sogenannten Parallelstoß (Fig. 154)

T, f(v — c) ₀,    \ ■ oß , f(v — c)

P, — —--- y • 2 (v — c) sin² ~ = 4 -+r—-

g    ’    2    2g

ysin²

13)

Findet die Bewegung der getroffenen Fläche in umgekehrter Richtung statt oder steht die Fläche still, so verwandelt sich 13) in:

P₄ = 4 f

(v + c)

2g

y sin²

- - 14)

15*

oder

P₄ = 4 f

fg^l

= 4f h y sin²™ , ...    15)

Zu einem Werte von P₄ in dem Falle, daß das Wasser nach den beiden Richtungen g und i ausweichen kann, gelangen wir durch Projektion der Normalkraft P aus Gleichung 10), 11), 12) auf die horizontale Richtung oder durch Multiplikation derselben mit sin ß. Somit ergiebt sich, wenn die Fläche mit der Geschwindigkeit c vor dem Strahle zurückweicht

(v — c)

P₄ = 2£    „

2g

y sin² ß

16)

wenn sie sich mit derselben Geschwindigkeit gegen den Strahl bewegt P₄ = 2f

und endlich wenn sie still steht

P₄ = 2 f y sin² ß = 2f\xy sin² ß ....    18)

(v—)-c)

2g

y sin²/?

17)

Für dieselben Fälle erhalten wir den sogenannten Seitenstoß P₂ (Fig. 154), wenn wir die Werte P aus den Gleichungen 10), 11) und 12) mit cos ß multiplizieren, dadurch haben wir im Ganzen P in seine beiden Komponenten P₄ und P₂ zerlegt. Man findet:

y sin ß - cos ß = f ^    — y sin (2 ß) .    .    . .    19)

2g

(v + c)²

P„=2f

(v — c)

2g

P,=2f

(v + c)

y sin ß cos ß = t

y sin (2 ß) . . . . 20) Pa = 2 t'o y sin ß cos ß = f ~ y sin (2 ß) = f h y sin (2 ß) . . 21)

2g

2g

2g

2g

Schließlich möge der Wasserstrahl schief gegen eine ebene Fläche stoßen, auf welcher er sich nach allen Richtungen frei ausbreiten kann und die mit der Geschwindigkeit c in der Richtung des Strahles ausweicht. Wir zerlegen die Wassermassen in zwei Teile, von denen der eine m' nach oben und unten (g und i der Fig. 154) und der andere in" nach vorn und hinten oder senkrecht zu den ersten Richtungen ausweichen kann. m' wird nach Formel 16) einen Stoß P' — m' (v — c) sin² ß

a)

und m" einen Stoß

P" — m" (v — c)

ausüben. Die letzte Gleichung ist aus der vorhergehenden dadurch entstanden, daß ß = 90° oder sin ß = 1 gesetzt wurde.

b)

Weil P' und P" einander gleich sein müssen, erhalten wir

m' (v — c) sin² ß — m" (v — c)

m" = m' sin² /?.......

Da nun noch m' -(- m" = m oder m" = m — m' ist, ergiebt sich

m' sin² ß = m — m'

oder

o)

oder

1 4- sin²/? ' '

und durch Einsetzung dieses Wertes in Gleichung c)

m sin² ß 1 -j- sin²/?

d)

e)

Mit Benutzung der abgeleiteten Gleichungen a), b), d) und e) finden wir für den Gesamtstoß

P₄=P' + P" = m' (v + c) sin² /? + nT (v — c) =

m (v — c) sin²/?

m (v — c) sin² ß

2 in (v — c) sin² ß

1 -j- sin-

1 -j- sin² ß

1 -f“ sin²/?

oder

weil

P₄ = 4f(v C)-y

⁴    2g ⁷

f (v — c) y

m — —-------—

sin²/?

1 —(— sin² /?

. . 22)

ist. Bewegt sich die Ebene mit derselben Geschwindigkeit c in entgegengesetzter Richtung oder steht sie still, so nimmt Gleichung 22) die Form an

-n A n(y 4- c)²

P, = 41 -——— y

2g

P. = 4 f — y —sin*ff...

⁴    2g⁷l + sin²/?

sin² ß 1 -j- sin²/?

23)

oder

4fhy

sin²/?

1 -j- sin² /?

. 24)

Betrachten wir P₄ und P₂ als Komponenten von P, so erhalten wir mit

sin^? unb ?2 ==Pcos/J = tg)? bie 8°rmetn:

Hilfe der Beziehungen P

P = 4ffc=^,

2g

p = 4ffe+^v

sin /?

1 -j- sin²/?

sin/?

25)

2g

1 + sin²/? ‘    '

. . 26)

P = ₄f —y---

2gzl +sin²/?

4f hy

sin ß

1 + sin²/?

. 27)

P _o f (v c)² .. sin (2 ß)

²    2 g    ^14- sin²/?

p _..of(v + c)²r sin (2 ß)

²    2g    rl + sinV

p _of vä r sin (2/?)

²    2gyi    + sina/J

28)

. 29)

2fhy

sin (2 ß)

. . 30)

§ 55.

Bestimmung des Winkels zwischen getroffener Fläche und Strahlrichtung für den maximalen Seitenstoß.

Wenn ein Wasserstrahl auf eine schiefe Ebene (Fig. 157) trifft, welche nur nach der vertikalen Richtung Y ausweichen kann, während dem Wasser der Abfluß nach zwei Seiten gestattet ist, so ist der Druck in der Bewegungsrichtung der Fläche wieder von der Größe des Winkels ß abhängig. Wir können uns jedoch einen Wert von ß bestimmen, für welchen dieser Seitendruck, den wir mit P₂ (Fig. 154) bezeichneten, ein Maximum wird.

In Formel 21 fanden wir, daß P₂ = f h y sin (2 ß) war. Hierin ist die einzige veränderliche Größe der Sinus des Winkels 2 ß. Ein Sinus erreicht nun bekanntlich seinen größten Wert 1, wenn der Winkel 90° wird, daher muß in unserm Falle 2 ß — 90° oder ß — 45° sein.

Ganz anders gestaltet sich jedoch das Resultat, wenn wir nicht die Querschnittsfläche f des Strahles, sondern die Fläche t), mit welcher er die Ebene trifft, als konstant und demnach f als unveränderlich voraussetzen. In dem Falle müssen wir in der Formel 21) f durch f) sin ß ersetzen. Dadurch erhalten wir

. . 31)

P₂ = ft h y sin (2 ß) sin ß ') .    .

und es wird der Seitenstoß P₂ ein Maximum werden, wenn sin (2 ß) sin ß ein solches ist. Dies tritt ein für einen Winkel ß — 54° 44' (oder genauer für ß = 54° 44' IO”²) wie die folgende Zusammenstellung zeigt. Es ist nämlich

lg sin 54° 43' =

lg [sin 70« 34' • sin 54° 43’] = lg sin (2 • 54° 43.')’ +

lg sin (2 - 54° 43') = lg sin 109° 26' = lg sin 70⁰ 34' = 0,9745252 — 1,

= 0,9118528—1,

oder

+ lg sin 54° 43' = 0,8863780 — 1 lg [sin (2 ß) sin ß] = 0,8863780 — 1 für ß = 54° 43'.

lg sin (2 - 54° 44') = lg sin 109« 28' = lg sin 70° 32' = 0,9744359 — 1, lg sin 54« 44' —

= 0,9119422 — 1,

lg [sin 70« 32' - sin 54° 44'] = lg sin 70» 32' +

ober

+ lg sin 54« 43' = 0,8863781 — 1 lg [sin (2 ß) sin ß] =0,8863781 — 1 für ß = 54« 44'.

lg sin (2 - 54« 45') = lg sin 109« 30' = lg sin 70° 30' = 0,9743466 — 1,

= 0,9120315 — 1,

lg sin 54« 45' =

lg [sin 70° 30' - sin 54« 45'] = lg sin 70« 30' -\-

ober

+ lg sin 54° 45' = 0,8863781 — 1 lg [sin (2 ß) sin ß] = 0,8863781 — 1 für ß = 54« 45'.

lg sin (2 - 54» 44' 10") = lg sin 109» 28' 20" =

lg sin 70« 31' 40" = 0,9744211 — 1, = 0,9119571 — 1,

lg sin 54« 44' 10" = lg [sin 70° 31' 40" • sin 54» 44' 10"] =

= lg sin 70» 31' 40" + lg 54° 44' 10" = 0,8863782 — 1 ober lg [sin (2 ß) sin ß] = 0,8863782 — 1 für ß = 54« 44' 10".

Weil nach biefen Berechnungen lg [sin (2 ß) sin ß] für beit Winkel = 54° 44' 10" am größten ausfällt, so tritt bies auch ein für ben Numerus bes lg [sin (2 ß) sin ß] ober für sin (2 ß) sin ß unb baher für P₂. Der hiernach bestimmte maximale Seitenstoß beträgt . (P₃)max = 0,76982 f, hy

32)

ableiten:

») Dieselbe Formel könnten wir in folgenber Weise unmittelbar

Man zerlegt bie Geschwinbigkeit v = AC (Fig. 157), mit welcher bie sämtlichen Wasserteilchen gegen bie Fläche in ber Dichtung bes Strahles stoßen, in bie beiben Komponenten A F unb F C, von welchen bie letztere F 6 rechtwinklig gegen bie Fläche gerichtet ist unb auf biefe ben Stoß ausübt, währenb bie anbere AF parallel zur Ebene ber Fläche verläuft unb keine Wirkung auf bieselbe ausübt. Die Komponente F C ist nun

FC = AC sin ß.

Um bie rechtwinklig auf bie ursprüngliche Richtung bes Wasserstrahles ober nach X Y wirkenbe Kraft zu finben, hat man bie Geschwinbigkeit F C toieber in zwei Komponenten F H unb H C zu zerlegen, wovon nur bie letztere H C nach ber Vertikalen X Y eine Wirkung ausübt. Diese Komponente ist aber

H C = F C cos ß

weil AC = v war.

oder mit Benutzung des oben gefundenen Wertes von FC:

HC = AC cos ß sin ß,

HC — v cos ß sin ß,

Nun ist FC — AC sin/? — v sin ß zugleich die Höhe des Wasserprismas, das in der Zeiteinheit auf die Fläche mn — einwirkt. In einer Sekunde wird hiernach die Wassermasse

mi

v sin ß • y

zur Wirkung kommen und eine Kraft m₁ HC oder

Pa = 2 fj v s*n ß y. v cos ß sin ß — st ~ y 2 sin ß cos ß • sin ß

2g

2g

= st h y sin (2 ß) sin ß in der vertikalen Richtung X Y ausüben.

²) Bezeichnet man den Ausdruck sin (2 ß) sin ß, welcher ein Maximum werden soll, mit z, so findet man

dz

- == sin 2 ß cos ß sin ß cos 2 ß • 2 = 4 sin ß cos² ß — 2 sin³ ß. aß

Dieser Wert wird gleich Null für sin ß = 0 und cos ß = Y % oder für ß = 0 und ß — 54° 44' 10". Die zweite Abgeleitete

d²z

djS²

2 cos ß (7 — 9 cos² ß)

wird für cos jS = )/|

d2z = -syi;

äß*

folglich z oder P₂ ein Maximum für ß — 54° 44' 10".

Konnte das Wasser nur nach einer Richtung i (Fig. 154) ausweichen, so ergab

Formel 15)

P₄ = 4 f h y sin² ~

und daher haben wir einen Seitenstoß

sin² -- cos ß

=4fhr

^ ⁼    wurde.

Wird jetzt cos ß (1 — cos ß) mit z bezeichnet, so findet man: dz

— — sin ß + 2 cos ß sin ß.

Dieser Differentialquotient wird gleich Null für sin ß = 0 und cos ß = | oder

P₂ =

tgß

sin ß

2 fx h y (1 — cos ß) cos ß,

wenn wieder

dß

für ß = 0 und ß = 60°. Durch den letzten Wert von ß wird der zweite Differential-quotient negativ, daher macht dieser den Seitenstoß P₂ zu einem Maximum.

sin² cos ß

sin ß

Gehen wir jedoch davon aus, daß f konstant ist und setzen

so ergiebt sich

dx

dß dß

d /cos ß — cos² ßs

sin ß

sin ß (— sin ß + 2 cosß sin ß) — (cos ß— cos²/?) cosß

sin² ß

— sin²ß 4* 2 sin²ß cosß — cos²ß -f* cos³ß_— cos³/? + 2 cos/?— 1

sin² ß

sin² /?.

Dieser Differentialquotient wird gleich Null, wenn cos ß = 1 oder ß = 0 ist. Dies ergiebt das Minimum des Seitenstoßes. Unter Benutzung der gefundenen Wurzel cos /?-----1 der Gleichung cos³ ß — 2 cos ß + 1 = 0 oder durch Division mit cos ß — 1 bekommen wir

Die Gleichung hat die Lösungen:

cos ß - 1 I cos³ ß — 2 cos ß + 1 — cos²/? 4" cos ß — 1. cos² ß 4“ cos ß — 1 — 0

1 =h V1 4- 4 _ — 1 4: 2,2361

cos ß

0,61805 — 1,61805'

Hiervon ist nur die erste zu gebrauchen, da zur zweiten ein imaginärer Winkel gehört. Dem cos ;? = 0,61805 entspricht der Winkel

§----510 49'30".

Für dieses ß wird der zweite Differentialquotient

d²x

(3 cos² ß sin ß — 2 sin /?) sin² ß 4* (cos³ ß — 2 cos ß -f 1) 2 cos ß sin ß

dß‘

sin⁴/?

— cos⁴ ß 4- cos² ß 4- 2 cos ß — 2

— 0,5279 .

sin⁴/?

sin⁴ ß '

also negativ, demnach wird der Seitenstoß durch ß = 51° 49' 30" zu einem Maximum.

Kann sich das Wasser nach allen Seiten frei ausbreiten, so lautete die Formel 30) für den Seitenstoß:

sin 2 ß 1 4* sin² ß

P₂ = 2 f h y

Wir setzen

_ sin² ß _sin ß cos ß

y 2 (1 4" sin² ß)    1 4- sin² ß

und erhalten

dy

(1 4" sin² ß) (— sin² ß 4- cos² ß) — 2 sin² ß cos² ß

dß

(1 4- sin² ß)‘

— sin² ß + cos² ß — sin⁴ ß — sin² ß cos² ß

(1 + sin² ß)

oder

dy _— 3 sin² /?-{-!

dß (1 -j- sin² ß)‘

Dies wird gleich Null für sin/? = ]/ £ oder für

§ = 35° 15' 50".

Derselbe Wert von ß liefert für den zweiten Differentialquotienten

(1 + sin²/?)⁴

d² y_(1 + sin² ß)² (— 6 sin ß cos ß) + (3 sin² ß — 1) 2 (1 + sin² ß) 2 sin ß cos ß

dß²

(— 10 + 6 sin² ß) sin ß cos ß [— 10 + 6 (]/ J-)²] sin ß cos ß

(1 + sin² /?)⁴

(1 + sin² /?)⁴

— 8 sin/? cos ß

(1 + sin² ß)

folglich macht er den Seitenstoß zu einem Maximum.

Taucht nun schließlich eine Fläche f₂ in einen bewegten Wafferstrom ein, und kann das Wasser nach allen Seiten ausweichen, so erhalten wir aus Formel 30), wenn noch f = fi sin ß gesetzt wird

P₂=2f₁h₇

sin 2 ß

Bezeichnen wir

1 + sin² ß

sin ß.

2 sin 2 ß

so finden wir

1 -+ sin² ß

sin/?

sin² ß cos ß

1 + sin² ß

mit u,

du _(1 + sin² /?) (2 sin ß cos² ß — sin³ ß) — 2 sin³ ß cos² ß

dß

(1 + sin² ß)²

sin ß

(—3 sin²/?+ 2 —sin⁴/?).

Dieser Ausdruck wird zu Null für sin /? = 0 oder ß = 0, dem entspricht das Minimum des Seitenstoßes, und für

(1 + sin² ß)²

sin ß

|/-3±yi7

wozu ein reeller Winkel

/? = 48° 32' 10"

gehört, welcher den zweiten Differentialquotienten negativ macht und daher dem Maximalseitenstoße entspricht.

Der hier behandelte Fall, daß fx konstant ist, tritt ein, wenn eine Fläche fj in Wasser eingetaucht wird, welches sich mit der Geschwindigkeit v bewegt. Daher ist der abgeleitete Winkel von Wichtigkeit oder maßgebend für die Einwirkung des Wassers aus das Steuerruder eines Schiffes oder des Windes aus die Segel beim Lavieren des Schiffes, falls die in Bewegung befindliche Flüssigkeit nur nach zwei Seiten ausweichst sonst tritt einer der im Folgenden abgeleiteten Winkel ein.

Wenn das Wasser nur nach einer Richtung i (Fig. 154) ausweichen kann, so erhalten wir den Seitenstoß

P₂ = 4 f h y

sin² ^ cos/?

sin ß

oder

P₂ = 4 fi h y sin² cos ß

und dieser wird zu einem Maximum für ß=51° 49' 30" und zwar ist

33)    . . . (P₂)max — 0,60057 f h y Bei f — konstant und für ß = 60° und zwar ist

34)    ... . (P₂)max — 0,5 f) li y bei fi — konstant.

Kann sich dagegen das Wasser nach allen Seiten frei ausbreiten, so erhalten wir nach der Formel 30)

sin 2 ß

1 -f- sin² ß

P₂ = 2fhy

oder aus

P₂ = 2 fj h y

sin 2 ß

sin ß

1 + sin² ß

den Maximalwert des Seitenstoßes für ß — 35° 15' 50" und zwar

35)    .    . . (P₂)max = 1,4142 f h y bei 1—konstant

oder für ß— 48° 32'10" und zwar

36)    . . . (P₂)max = 0,95247 h/ bei ft = konstant.

§ 56.

¹

   Der Druck ist gleich dem Gewicht einer Wassersäule vom Querschnitt des Wasserstrahles, deren Höhe das Doppelte derjenigen beträgt, welche als Druckhöhe die Geschwindigkeit v erzeugt.

²

   Dieser Druck ist proportional der zum Stoße gelangenden Wasser-

^^) un^ *)er Geschwindigkeit oder dem Querschnitte

!) Diese Versuche sind auch beschrieben in: Klimpert, Lehrbuch der Dynamik flüssiger Körper, II. Bd., 1. Hälfte, S. 135. Überhaupt enthält das Gesamtwert der Statik und Dynamik flüssiger Körper von Klimpert viele Dinge von wissenschaftlichem Interesse, die wir als für unsere Zwecke unbrauchbar überschlagen.

²) F. Neumann, Einleitung in die theoretische Physik, S. 238.

Bestimmung der Geschwindigkeit c der zurückweichenden Fläche für die maximale Stoßarbeit.

Bei dem Stoß eines Wasserstrahles gegen eine Fläche, welche mit einer Geschwindigkeit c in der Strahlrichtung zurückweicht, wird die Größe der geleisteten Arbeit von dieser Geschwindigkeit c abhängen. Ist c sehr groß, so kann der Stoß P in Fig. 151, P oder P₄ in Fig. 154 nur gering ausfallen, da er von der relativen Geschwindigkeit vr — v — c abhängt , und er wird gleich Null, wenn c = v ist. Hiernach scheint es, als wenn eine sehr kleine Geschwindigkeit c zur Erzielung einer großen Arbeit am günstigsten wäre. Dies kann aber auch wieder nicht der Fall sein, weil dadurch in dem Produkt Kraft mal Weg, welches gleich der Arbeit ist, der Weg und somit das ganze Produkt verkleinert wird. Der günstigste Wert von c muß dann wohl in den erwähnten Grenzen liegen. So ist es auch, denn für

37)

wird die geleistete Arbeit des Normal- öder des Parallelstoßes ein Maximum. Nach Formel 2) ergiebt sich

Pc = 2f

(v — c)² c

2g

y-

Die Größe der geleisteten Arbeit hängt hiernach von dem Ausdrucke (v — c)² c ob, wenn die andern Größen der Formel konstant sind. Setzen wir jetzt den obigen Wert von c ein, so finden wir

(v - c)² c = (v — y)

> co

----- 0,148 v³.

= —v3 27

Jeder andere Wert von c ergießt weniger, z. B

₍v-c)<c = (v-^=‘U. = 0,14₁v>

Y: (v —c)²c =

('-r)*

|<N

— Q v³ = 0,125 v³.

o

Bei Betrachtung der Fälle, welche den Formeln 5), 7), 10), 13), 16), 22), 25) zu Grunde liegen, würden wir für die entsprechenden Arbeiten Werte bekommen, die alle ebenfalls den Ausdruck (v — c)²c enthalten,

folglich ist durch c = ~ - immer die Maximalarbeit zu erzielen.

Setzen wir die fragliche Funktion (v — c)² c = x, so finden wir ^ = (V — c)² — c. 2 (v — c).

Dieser Ausdruck wird gleich Null für c = v und c = ~ •

Der erste Wert macht den zweiten Differentialquotienten

d²x    a \ a

= — 4 v 4- 6 c de²    '

positiv und der zweite negativ, daher entspricht o — ~ der Maximalarbeit.

§ 57.

Widerstand gegen die Fortbewegung von Körpern int Wasser.

Gegen Ende des vorletzten Paragraphen haben wir ohne weiteres angenommen, daß dieselben Gesetze für den Stoß des unbegrenzten Wassers gegen eine eingetauchte Platte (Fig. 156, Tafel 9) gelten, welche wir für den Stoß eines Wasserstrahles gegen eine ebene Fläche gefunden haben.

Durch kurze Betrachtungen gelangt auch Riehn ³) zu denselben Formeln, führt jedoch selbst an, daß der Vorgang viel verwickelter ist und daß Wirbel vor und hinter der Platte und seitliche Gegenströmungen entstehen, welche eine mathematisch genaue Berechnung nicht zulassen.

J) W. Riehn, Die Berechnung des Schifsswiderstandes, S. 71.

Widerstand gegen die Fortbewegung von Körpern im Wasser.

237

An Stelle der Formel 1) können wir allgemein setzen:

y2

dann gilt dieselbe für den Widerstand unbegrenzten ruhenden Wassers gegen die Bewegung eines schwimmenden Körpers in demselben oder für den Stoß unbegrenzten fließenden Wassers gegen einen in ihm schwimmenden aber an derselben Stelle verharrenden Körpers.

Wie Weisbach gezeigt hat, ist jedoch der Koeffizient £ für beide Bewegungsarten bei derselben Geschwindigkeit v nicht gleich. Er fand z. B. für dünne ebene, senkrecht gegen den Strom gestellte Platten £ = 1,86, wenn sich das Wasser, dagegen £=1,25, wenn sich die Platte mit der Geschwindigkeit v bewegte.

Föppl giebt in seinem Leitfaden der Mechanik II, S. 64 für £ bei kleinen Flächen 0,93 und bei größeren Flächen ein Anwachsen dieses Koeffizienten bis auf 1,5 an.

Nennen wir das Verhältnis der Werte von £ für Stoß und Widerstand x, so lassen sich die von Duchemin erzielten Versuchsresultate in folgende Tabelle bringen.

Cylinder, dessen Länge das

Ebene Platte

2-

3-

4-

5-

fache des Durchmessers beträgt

x -----

1,486

1,028

1,003

o,9954

0,9972

Bei größeren Längen wurde x nahezu = 1.

Derselbe Experimentator fand für die Stoßkraft oder den Widerstand einer schräg gegen die Bewegungsrichtung gestellten Platte die Formel

sin²/?

1 4* sin²/?

sin/?cos/? . cos²/?

•(-

6,48    3,52

P = ²^-

und zwar betrug £ = 1,8636 im ersten und £ = 1,254 im zweiten Fall. Würden wir £ — 2 setzen und die Klammergröße vernachlässigen, so ginge die Formel in unsere Gleichung 24) über.

Der Druck auf die Fläche oder den Körper fl wird um so kleiner.

Die weitgehendsten Untersuchungen über diesen Gegenstand sind von Geheimrat Fink in Darmstadt angestellt und im Civilingenieur 1892, 93, 94 veröffentlicht. Leider sind dieselben für den Schiffbau ohne Wert, da bei den verschiedenen Versuchskörpern nicht gleiches Deplacement zu Grunde liegt.

je mehr der vordere und hintere Teil des Körpers scharf prismatisch zuläuft. Bei den Schiffen ist dies der Fall und soll der Koeffizient £ für solche innerhalb 0,1 bis 0,3 schwanken und das Wasser dem Schiffe ungefähr den fünften Teil des Widerstandes darbieten, den es einem Prisma von gleichem Querschnitte entgegensetzt. Nach dem Gesagten scheint es nur darauf anzukommen, £ in seiner Abhängigkeit von der Schiffsform zu bestimmen, um danach den Widerstand, die Widerstandsarbeit und die nötige Betriebskraft zu berechnen. So einfach ist die Sache aber nicht, da £ wieder von der Geschwindigkeit abhängen würde. Es sei hier nur darauf hingewiesen, daß es eine große Anzahl von Formeln zur Berechnung des Schiffswiderstandes giebt, welche die verschiedensten Potenzen der Geschwindigkeit v enthalten und oft weit von einander abweichende Resultate liefern.

Die oben erwähnte Zuschärfung des Vorder- und Hinterteiles eines Schiffes hat auch seine bestimmten Grenzen, denn zur Erlangung des vorgeschriebenen Deplacements muß das Schiff wieder entsprechend länger konstruiert und dadurch die Reibungsfläche vergrößert werden. Unter Beibehaltung der Länge und des Deplacements mag bis zu einem gewissen Grade eine Verkleinerung des Schärfewinkels oder mittleren Neigungswinkels sämtlicher Wasserlinienelemente eines Schiffes gegen die Längsachse den Schiffswiderstand herabziehen. Man darf jedoch keineswegs glauben — wie man wohl aus Johows Kreuzerkorvette Problem schließen soll —, daß von zwei Schiffen dasjenige das bessere sei, welches den kleinsten Schärfewinkel in Wirklichkeit und nicht nur nach Johows Formel hat. Ein Beispiel möge diese teilweise verbreitete irrige Meinung beseitigen. Bei einer Wasserlinie in Form einer Parabel, deren Gleichung

CO

CD

* 20

lautet, ergiebt sich für den Schärfewinkel 7° 26' 57". Läßt man die Breite so weit abnehmen, daß sich die Parabel in ein Rechteck vom selben Flächeninhalt verwandelt, so wird der Schärfewinkel herabgezogen bis auf 7° 10' 40,5". Hiernach mußte also das Rechteck die beste Wasserlinien-sorm und ein rechtwinkliches Parallelepipedon die beste Schiffsform sein. Was wohl selbst diejenigen nicht glauben, welche dem Schiffsbau sehr fern stehen.

Widerstand gegen bte Fortbewegung von Körpern tm Wasser.

239

(!'■

Die betrachtete Wasserlinie (Fig. 345, Tafel 32) gehöre einem Schiffsmodell an, habe eine Länge L = 6, eine Breite 0,78 und sei eine quadratische Parabel. Ihre Gleichung lautet hiernach

y --- 0,39

Winkels %:

Durch Differentiation erhalten wir als Tangente des in der Figur angegebenen

tg*=dx

dy 0,26

und für x — Winkel selbst

, die Tangente des Eintrittswinkels s ----- 0,26 und für den Eintritts-e = 14° 34' 27".

Da dies der größte Neigungswinkel der Wasserlinienelemente ist, so kann man, ohne einen merkbaren Fehler zu begehen, denjenigen Winkel /, der zur mittlern Tangente (tgm %) gehört, als mittlern Winkel (/m) ansehen.

Für die mittlere Tangente erhalten wir:

k»| r

s—

dx

ds

^om X

X²

M'+m

o

3    _1_

0,26' 2

(ln(

0,26

3-2

0,26

1 1,0676* — 1 )

!J

,2ö I

1,103095 —

>}

~ j 0,25704+ 0,2686)

0,5256(84 [

0,13075.

Folglich ist

Zm = 7o 26'57".

Giebt man der Wasserlinie eine hohle Form, ähnlich einer Sinuslinie, so kann /m bis auf

*m = 8o 27' 37,4"

gesteigert werden, ohne daß eine Veränderung in der Breite oder Länge vorgenommen wird. Dies läßt schon erkennen, daß wir eine Formel für den Winkel von allgemeiner

Gültigkeit nicht aufstellen können.

Xm — 9° 50' 0,8".

Vergrößert man die Breite der Wasserlinie unter Beibehaltung ihrer Länge und ihres Inhaltes, macht man also das Hauptspant völliger, so steigert sich der Winkel /m im Grenzfalle bis

Daher muß der Schärfewinkel einer Funktion des Hauptspantvölligkeitskoesfizienten ß direkt proportional sein, oder es darf bei Johows Formel nicht im Nenner stehen. Nimmt ß ab, so werden die Breiten der Wasserlinien auch kleiner werden, unsere

ffl |n

— 0,26 wird.

als Beispiel gewählte Wasserlinie verwandelt sich in ein Rechteck, wenn Für dieses beträgt nun:

Xm

3 • 0° + 0,26 - 90o

3 + 0,26

7° 10' 40,5".

§ 58.

Ausbreitung des austreffenden Strahles.

Wenn ein Wasserstrahl auf eine größere ebene Fläche in schiefer Richtung auffällt, so fließt er nicht in einem graben begrenzten Wege oder als Strahl von gleicher Querschnittsform ans derselben fort, sondern es werden infolge der leichten Verschiebbarkeit der Wassermvleküle die seitlichen Teile weiter nach außen weggedrängt und der Strahl verläuft deshalb in eine kurvenförmig begrenzte dünne Wasserschicht, wobei die Kurve von der Geschwindigkeit des zufließenden Strahles seiner Neigung und von der Beschaffenheit der Oberfläche abhängt, auf welcher der Strahl zerfließt.

Die Form des auf einer Fläche sich ausbreitenden Wasserstrahles ist in Fig. 158 angedeutet. Es ist eine Kurve oder vielmehr eine parabolische Fläche abc, in deren Scheitel der Wasserstrahl einmündet.

Bei den Girard-Turbinen sind die Kanäle des Turbinenrades nach außen erweitert, so daß die Breite der Kanäle am äußern Umfange des Rades oder vielmehr deren Höhe (bei horizontalem Wasserdurchflusse) 21/2 bis 3'/₂ mal größer ist, als am innern Umfange beim Eintritt des Wassers in dasselbe. Man hat dieser Anordnung, die sonst in anderer Hinsicht mit wesentlichen Vorteilen verbunden ist, den Vorwurf gemacht, daß das Wasser den sich ausweitenden Wänden nicht folgen könne und daß daher dieselbe unnatürlich sei, was aber nach dem obigen keineswegs der Fall ist. Das Wasser breitet sich vielmehr vermöge des Druckes der obern Wasserschichten auf die darunterliegenden eines Wasserstrahles von selbst auf der Fläche aus, auf welcher es unter Druck abfließt, ohne daß dazu eine weitere Pressung erforderlich wäre, und zwar erhält der Wasserstrahl eine Breite ac (Fig. 158) gleich der 2- bis 6fachen Strahldicke in einer Entfernung bd, die 2- bis 6mal größer als die Dicke des Strahles ist. Die Breite hängt dabei ab von dem Winkel, unter welchem das Wasser die Platte oder Fläche trifft. Diese Ausbreitung findet auch

Unterschied zwischen dem Stoße bei festen und demjenigen bei flüssigen Körpern. 241

dann noch statt, wenn das Wasser auf einer gebogenen Kurve unter einem Winkel von Null Grad abgelenkt wird oder in der Richtung der Tangente sie trifft.

§ 59.

Unterschied zwischen dem Stoße bei festen und denljenigeu bei flüssigen Körpern.

Infolge der eigentümlichen physikalischen Beschaffenheit des Wassers können die Stoßwirkungen von Flüssigkeiten nicht mehr nach den Gesetzen des Stoßes fester Körper berechnet werden, und diese Gesetze können nur in dem Falle auch für flüssige Körper als gültig betrachtet werden, wenn dieselben in Gefäßen von allen Seiten eingeschlossen und am Nachgeben gehindert sind, wie z. B. in Wasserleitungen. Zwei Wassermassen, die im freien Raume aufeinander stoßen, werden nicht zurückgeworfen, obwohl die einzelnen kleinsten Teilchen des Wassers vollkommen elastisch sind. Ungeachtet der außerordentlichen Verschiebbarkeit der einzelnen Moleküle hängen diese letztern doch mit einer so ungemeinen Kraft zusammen, wenn es sich um die gänzliche Lostrennung derselben handelt, daß die zur Trennung erforderliche Kraft mehr als das Hunderttausendfache ihres Gewichtes beträgt. Aber ebenso leicht werden die fest aneinander hängenden (durch die Kohäsion zusammen gehaltenen) Wasserteilchen sich drehend und wälzend an- und durcheinander verschoben, und eben deshalb kann man sich beim Stoß von Flüssigkeiten die Wirkung nicht mehr im Schwerpunkte derselben konzentriert denken, wie bei den festen Körpern. In der That dnrchdringen sich zwei aufeinander stoßende Wassermassen vollständig und zerstieben nach allen Richtungen, in durcheinander wirbelnden Bewegungen, wobei durch die Kohäsion der größte Teil der entwickelten mechanischen Arbeit absorbiert wird, und der kleinste Teil sich auf die Umgebung übertrügt oder in der Weiterbewegung der Massen zum Vorschein kommt.

Die Wirkungen des Stoßes beim Zusammentreffen von Wassermassen oder von Wassermassen und festen Körpern lassen sich daher keineswegs auf theoretischem Wege verfolgen, und so scharfsinnig auch bei der mathematischen Behandlung der Sache vorgegangen werden mag, so werden die dabei erhaltenen Resultate doch nicht mit der Erfahrung übereinstimmen.

So ist z. B. auch für den allereinfachsten Fall des Wasserstoßes gegen eine ebene, vertikal gegen die Stoßrichtung stehende Fläche von Bidone eine etwas größere Kraft gefunden, als sich nach Formel 1) ergiebt.

16

Meißner, Hydraulik. I. 2. Auflage.

Für den ersten elastischen Anprall, bevor sich der erwähnte Führungskegel gebildet hatte, welcher die allmähliche Richtungsänderung der einzelnen Wasserfäden vermittelt, war der Druck auf die Fläche doppelt so groß, als beim fortgesetzten Stoße.

§ 60.

Beispiele zu dm Formeln über deu Stoß des Wassers.

1. Ein Wasserstrahl von f = 0,5 qm Querschnitt fließt mit einer Geschwindigkeit v von 4 m in der Sekunde rechtwinklig gegen eine ebene Fläche, welche sich nicht bewegen kann. Welchen Druck übt der Wasserstrahl auf dieselbe aus?

Nach Formel 1) erhalten wir:

CO

y = 2 • 0,5 •

4²

2-9,8088

-1000 = 815,5 kg.

2. Das Ende einer Rohrlellung ist — wie z. B. bei einem Stoßheber — mit einem Ventile von 20 cm Durchmesser geschlossen. Die darauf ruhende Wassersäule beträgt vertikal gemessen 15 m. Welches ist der Wasserdruck auf das geschlossene und welches auf das offene Ventil?

Der Druck auf das geschlossene Ventil ist gleich dem Gewicht der ans demselben ruhenden Wassersäule, also gleich

0,7854 - 0,20² -15 • 1000 = 471 kg.

Der Druck auf das offene Ventil dagegen ist vermöge des Stoßes durch die Ausflußgeschwindigkeit v des Wassers

P = 2fhy = 2- 0,20²

• 15 -1000 = 942 kg.

Dieser Druck ist also doppelt so groß wie derjenige auf das geschlossene Ventil, was schon bei Aufstellung der Formel 1) erwähnt wurde. Es wird daher erklärlich, warum z. B. bei einem hydraulischen Widder das Sperrventil sich schließen muß, sobald das Wasser im Leitrohre eine bestimmte Geschwindigkeit angenommen hat, da in diesem Falle der Wasserdruck auf die Ventilfläche wesentlich größer ausfallen kann, als dieses bei geschlossenem Sperrventil der Fall ist. Ebenso wird daraus erklärlich, daß man mit der Hand die Öffnung eines vollen Fasses wohl verschlossen halten kann, daß dieses aber nicht mehr der Fall ist, sobald die Hand sich einmal von der Öffnung entfernt hat, wobei der Wasserstrahl mit einem doppelt so großen Drucke gegen die Hand preßt.

3. Ein Wasserstrahl von rechtwinkligem Querschnitte von 0,06 m

Breite und 0,04 m Dicke stößt mit einer Geschwindigkeit v — 8 m in einer Sekunde rechtwinklich gegen eine ebene Fläche, die vor dem Wasserstrahle mit einer Geschwindigkeit c — 3 m in einer Sekunde zurückweicht. Welches ist der Druck des Wassers auf diese Fläche und bis zu welchem Werte läßt er sich durch Veränderung von c steigern.

Nach Formel 2) erhalten wir für den Druck

P = 2ffcp-Cl’y

2g

= 2.0,06.0,04

(8 — 3)2

2 - 9,8088

1000 =

oder

= 2 - 0,06 - 0,04 -1,275 • 1000 P = 6,12 kg -).

Im § 56 wurde gezeigt, daß wir die Maximalstoßkraft bei der Ge-(Formel 37) erzielen können, das wäre in unserm

schwindigkeit c =

Beispiele für c =

GO ICO

P = 2 • 0,06 - 0,04 .

-. Durch Einführung dieses Wertes ergiebt sich:

(1-8)

•1000 = 1,2-4-

5,333²

4,8 -1,45

P = 6,96 kg.

4. Kommt im obigen Beispiele die sich bewegende Fläche dem Wasserstrahle, statt sich von demselben zu entfernen, mit einer Geschwindigkeit von 2,5 m in 1" entgegen, so wird der Druck

= 4,8-

oder

•2f<i±aL

2g

(8 + 2,5)

2-g

= 4,8 • 5,62=26,976 = ~ 27 kg.

5. Stößt der Wasserstrahl im Beispiel 3 unter denselben Umständen gegen eine nach Fig. 155 gebogene Fläche, so wird der Druck auf dieselbe der doppelte, also

P = 2 • 6,12 = 12,24 P = 2 • 6,96 = 13,92, wie sich auch unter Benutzung der Formel 5) ergeben hätte.

beziehentlich

r) Werte wie

(8-3);

lassen sich bequem nach der Tabelle im § 28 bestimmen,

2.9,8088

es ist in unserm Falle die Druckhöhe für die Geschwindigkeit 8 — 8 = 5 zu suchen. In der betreffenden Tabelle finden wir

j/2gH 5,011 4,991.

Daraus ergiebt sich durch Interpolation die gesuchte Druckhöhe zu 1,275.

1,28

1,27

16*

6. Derselbe Wasserstrahl möge nun auf eine nach Fig. 343 Tafel 32 gestaltete Fläche stoßen und ß — 60° sein.

Nach Formel 7) oder durch Multiplikation des obigen Wertes 12,24

y sin²-^-=12,24.(])² = 3,06 kg

oder 13,92 mit sin² -- ergiebt sich: (v —c)

2g

oder

P = 13,92 (|)² = 3,48 kg,

d. h. halb so wenig wie im Beispiel 3, wo der Strahl eine ebene Fläche traf.

7. Ein Wasserstrahl, welcher auf eine schief gegen seine Bewegnngs-richtnng gestellte Ebene (Fig. 154) mit einer Geschwindigkeit von 16 m in 1" zuströmt, macht mit dieser Flüche einen Winkel ß von 45°. Der Durchmesser des runden Strahles ist 0,45 in. Welchen Druck übt derselbe auf die Fläche ans, parallel zur Strahlachse gemessen?

Wenn der Strahl nach zwei Richtungen ausweichen kann, wird der gesnchte Druck nach Formel 18):

P₄ — 2 f - y sin² ß — 2 • 0,45²    •

n 16²

4 2-g

• 1000

(Ff)

= 2 - 0,15904 -13,05 • 1 ■ 1000

oder

P₄ = 2075 kg.

8. Ist im obigen Beispiele der Druck nicht parallel der Strahl-richtung, sondern wie in Fig. 157 vertikal nach oben zu bestimmen, so wird derselbe nach Formel 21), wenn das Wasser sich ans der Fläche nach den in der Figur angegebenen beiden Richtungen ansbreiten kann:

Y'2    t]r 1 ß 2

P2 = f 2g⁷ sin (2ß) — 0,45² — -

4 2g

• 1000 - 1

oder wieder

P₂ = 2075 kg.

Dies ist nach § 55 auch der größte Seitenstoß, da ß — 45°.

9. Wie groß wird P₄ und P₃, wenn das Wasser in obigem Beispiele nur nur nach einer Richtung i (Fig. 154) ausweichen kann?

Nach Formel 15) wird:

P₄ — 4fj^-ysin

ms 1 ß 2

=4 - 0,45²    1000 - 0,383²

4 2g

= 4 - 0,15904 -13,05 • 1000 • 0,146689 = 4 • 2075 • 0,147 = 1220 kg.

P₄ _1220

1

2g

P₂

1220 kg.

557

10. Welche Werte erhalten wir für dieselben Drucke, wenn /? = 30° ist? P₄ = 4 - 2075 • 0,259¹ = 557 kg.

965 kg.

P₂ =

0,577

11. Wie ändern sich die in den beiden vorhergehenden Beispielen gefundenen Drucke, wenn das Wasser nach allen Richtungen ausweichen kann? Nach Formel 24) und 30) findet man

y²

P₄ = 4f-~-

sin¹ ß 2 g ' 1 sin¹/?

4 - 2075 -

(ä)

= 2767 kg

für

Po

v4 sin (2/?)

2 g ‘ 1 -|- sin¹ ß

/S=45°

= 2.2075 .

2767 kg

P₄ = 4 • 2075.

1 + (l)

= 1660 kg ;

P₂ = 2 • 2075 -

]/3

für ß = 30°.

2875 kg

l + (i)¹

12. Wie groß kann im vorigen Beispiele der maximale Seitenstoß durch Veränderung des Winkels ß gemacht werden, wenn sich das Wasser wieder frei nach allen Seiten ausbreiten kann.

Nach der Angabe auf S. 233 und 235 muß der Winkel

/?=35⁰15'50" sin ß = y}    (S. 233)

oder

gemacht werden.

Durch Benutzung des letzten Wertes finden wir

2-2075-

P₂ = 2 f h y

sin 2 ß

1 -j- sin¹ ß

oder

Nach Formel 36) erhalten wir den maximalen Seitenstoß für ß = 48° 32' 10” zu

CP»)

5²

= 0,95247 f; hy = 0,95247 • 0,5² -1000

= 9,5247 - 25 • 1,275 = 303,600 kg.

14. Wie viel beträgt die im letzten Beispiel berechnete Kraft, wenn sich die Platte in der Strömungsrichtung mit c = lm Geschwindigkeit in 1" bewegt?

In Formel 36) ist für unsern Fall

4²

2g    2g

0,8156,

daher ergiebt sich

= 9,5247 - 25 • 0,8156 = 194,209 kg.

15. Ein runder Strahl von 0,15 m Durchmesser ströme mit einer Geschwindigkeit von 6 m gegen eine konkave Fläche, welche die abfließenden Wasserfäden um 120° ablenkt und mit einer Geschwindigkeit c = lm zurückweicht. Wie groß ist die Stoßkraft.

Nach Formel 7) erhält man

(P-)

P = 4f

(v — c)

ysin² 2~ — 4 • 0,15 = 0,0900 - 1,275 -1000 • f = 87,06 kg.

2g

2g

1000. sin² 60° =

Dreizehntes Kapitel.

Der Wasserstrahl.

§ 61.

Fornweriinderung der Wasserstrahlen.

Wenn die Ausflußöffnung nicht kreisförmig, sondern geradlinig ist, so zeigt der austretende Wasserstrahl eigentümliche Formveränderungen, indem die hervorstehenden Kanten desselben sich abstumpfen oder sich weiterhin gar in Flächen verwandeln, während die geradlinigen Seiten sich ausbauchen, so daß der Wasserstrahl eine durchaus andere Form erhält als die Austrittöffnung.

Diese Erscheinung erklärt sich leicht durch die Anziehung der Wasserteilchen unter einander oder durch die dadurch entstehende Oberflächenspannung, welche bestrebt ist, den Strahlquerschnitt in eine Kreisfläche zu verwandeln. Hierdurch entstehen nun Schwingungen über die Gleichgewichtslage der Moleküle hinaus.

Fig. 133 zeigt einen aus einer quadratischen Öffnung in dünner Wand seitlich ausfließenden Wasserstrahl und Fig. 134, 135, 136 sind drei an den durch die Buchstaben abc näher bezeichneten Stellen befindliche Querschnitte.

Die Fig. 137 bis 141 stellen dasselbe für einen durch eine quadratische Öffnung frei überfallenden Wasserstrahl dar.

In Fig. 142 und 143 bezw. 142 und 144 sind die aufeinander folgenden Formen eines aus dem Boden eines Gefäßes durch eine quadratische bezw. dreieckige Öffnung ausfließenden Wasserstrahles gezeigt.

In Bezug auf die Formveränderung ist noch in Betracht zu ziehen, daß die aufeinander folgenden horizontalen Schichten des Strahles verschiedene Geschwindigkeiten haben wegen der nach unten zu wachsenden Fallräume und Fallzeiten.

Von zwei Schichten sei die eine t Sekunden und die tiefer liegende t + ti Sekunden gefallen. Es werden somit die Strecken vt +1 gt2 bezw. v(t-f-t₁) + |g(t + t₁)² zurückgelegt und sich die Schichten um v(t + ti)-M g (t -|- ti)² — v * — igt² = (v + i g ti + g t) ti entfernt haben.

Bei absoluter Ruhe der umgebenden Luft könnte nur eine Verdünnung und Verlängerung des Strahles aber keine Trennung stattfinden. Die geringste Bewegung aber ruft im Strahle Schwingungen (tote in einer Saite) hervor, welche den Einwirkungen der Molekularkräfte Spielraum verschaffen und dadurch die Zerteilung des Strahles einleiten.

Fällt ein Wasserstrahl in einem Rohre herab, indem er sich durch den Widerstand der Luft verteilt, so reißt er bei gehöriger Fallhöhe einen Teil der Luft mit hinab. Darauf beruht das sogenannte Wassertrommelgebläse (Fig. 344, Tafel 32).

Bei demselben fließt das Wasser aus einem Behälter 0 durch ein konisches Einlaufstück in ein Rohr A, au dessen unterm Ende es in einem Gefäße B auf eine feste Unterlage C aufprallt.

Bei A, b und c hat das vertikale Rohr schief gestellte Öffnungen zum Eindringen der Luft, welche sich mit dem fallenden Wasserstrahle mengt und im Gefäße B wieder frei wird, während das Aufschlagwasser bei C abfließt. Die im Gefäße B freigewordene und zusammengepreßte Luft wird zu der Düse D geführt und im Gebläse verwendet.

§ 62.

Theoretische Steighöhe der Wasserstrahleu.

Nach dem Gesetz der kommunizierenden Röhren (§ 8) steht die Flüssigkeit in allen Teilen eines Gefäßes, z. B. Fig. 15, Tafel 2, gleich hoch. Würden wir nun in Fig. 15 A das vertikale Rohr A entfernen, so wäre das Wasser immer noch bemüht bis zum ursprünglichen Wasserspiegel zu steigen.

Diese theoretische Steighöhe h wäre dieselbe, welche die Ausflußgeschwindigkeit c verursacht, daher besteht die Beziehung

c²

h    2g' •

Nun wird das Wasser aber nicht mit der Geschwindigkeit c, sondern mit der kleineren v = cp c in die Höhe steigen und somit nur eine Steighöhe

h!

<jp²c²

2g    2 g ^

erzeugen.

Hiernach steigt der Strahl weniger hoch, wenn cp klein ist.

Benutzen wir z. B. ein cylindrisches Ansatzrohr mit dem Verhältnis

1=2,

d.

cp = as = 0,82

für welches nach § 45 ist, so würden wir eine Steighöhe

hx = 0,82² h = 0,67 h,

somit nur eine solche gleich f der Druckhöhe über dem Mittelpunkt der Ausflnßöffnung erhalten. Hiernach ist die Anbringung cylindrischer Ansatzröhren für Feuerspritzen und Springbrunnen nicht vorteilhaft.

§ 63.

Wirkliche Steighöhe der springenden Wasserstrahlen.

Die Steighöhe eines springenden Wasserstrahles ist in Wirklichkeit immer kleiner als der Geschwindigkeit entsprechen würde und zwar einerseits wegen der Reibungswiderstände, als auch besonders infolge des Widerstandes, welchen die Luft dem aufsteigenden Strahle entgegensetzt. Es gilt das Folgende:

1)    Die Verminderung der Steighöhe ist größer bei großen Steighöhen als bei den weniger hoch steigenden Strahlen, und ferner

2)    Die Verminderung der Steighöhe ist größer bei Strahlen von geringer Dicke als bei Strahlen von bedeutender Stärke.

3)    Der Koeffizient, mit welchem die theoretische Steighöhe multipliziert werden muß, ist daher von dem Produkt aus dem Querschnitt des Strahles in die Steighöhe abhängig und es müssen immer beide dieser Faktoren berücksichtigt werden, wenn man die wirkliche Steighöhe bestimmen will.

Mariotte hat über die Steighöhe springender Strahlen Versuche angestellt und hat gefunden, daß bei Mündungen von 10 bis 15 mm Durchmesser in dünner Wand und für Druckhöhen von 1,600 bis 14 m folgendes Verhältnis zwischen der theoretischen Steighöhe und der wirklichen Sprunghöhe s herrscht:

oder

hi

oder

hi

hl ==s + ^Ö in ^arifer 3uß

= 1 + 3ÖÖ ⁼⁼¹ + °'0033s • = 1 + 0,001083 s in Metermaß.

1)

Weisbach hat ebenfalls zahlreiche Versuche über diesen Gegenstand angestellt und folgende Verhältnisse zwischen hx und s abgeleitet, welche für Druckhöhen von 1 bis 24 m gültig sind.

a) Für kreisförmige Öffnungen von 10 mm Durchmesser in dünner

Wand:

h,

= 1 -j- 0,01157 -f 0,0005818 \² *) .... 2)

b) Für kreisförmige Öffnungen von 14 mm Durchmesser in dünner

Wand:

. . 3)

^-=1 + 0,00778 h, + 0,000603 \² . .

c) Für kurze konische Ansatzstücke von 10 mm äußerer lichter Weite mit einwärts abgerundeten Kanten (Form des kontrahierten Strahles):

= 1,0272 + 0,000476 \ + 0,000956 ht ² ... 4)

d) Für ein längeres konisches Mundstück von 10 mm Weite, 145 mm Länge (30 mm Weite am hintern nach Form des kontrahierten Strahles gut abgerundeten Ende):

= 1,0453 + 0,000373 h, + 0,000859 ht ² . . . 5)

Von demselben Experimentator stammt die Formel

6)

s-_ .

A + Bhi + CV' ‘ ‘

wonach die Steighöhe s zu einem Maximum²) wird für

hi =

7)

h“=Kl - - - -

Weisbach wendete die Formel 6) nur an für Höhen, die kleiner als hm waren, und erhielt dadurch Werte, die mit den Experimenten gut übereinstimmten.

In den folgenden Tabellen ist eine Auswahl dieser experimentellen Ergebnisse wiedergegeben, welche in den einzelnen Fällen zu den Gleichungen 2) bis 5) führen. Die Tabellen dienen daher nur dazu, um zu zeigen, in welchen Grenzen die entsprechenden Formeln anwendbar sind.

') Die Maße sind in Metern zu nehmen.

²)    d_s^_ (A + Bh, + CIi!²) — hi (B + 2 C ht)

dh.

(A + b h, + c h,²j²

(A + Bhj + Oh,*)*

Dieser Differentialquotient wird zu Null für h, — j/ -

I. Mündungen in dünner Wand.

1. Kreisrunde Öffnungen.

hi

hm

0,004

0,0071

0,0100

0,0141

0,0255

0,02631

0,01035

0,01158

0,00778

0,00094

0,001185

0,000582

0,000604

0,000228

00

29,0

41,5

40,7

66,2

Hiernach ergeben sich die folgenden Werte von t— für die beistehen-

“1

den von L.

hi

d = 0,004 m d = 0,0071m d = 0,010 m d = 0,0141m d = 0,0255 m

19

o,974

0,927

0,988

0,960

0,925

0,885

0,841

0,796

o,749

0,703

0,988

0,962

0,933

0,901

0,869

0,835

0,801

0,766

0,733

0,699

0,992

0,972

0,949

0,923

0,894

0,863

0,831

0,798

0,765

0,732

o,999

0,995

0,990

0,982

o,974

0,96z

o,95i

o,939

20

2. Für eine quadratische Öffnung mit 0,0078 m Seitenlange hat Weisbach bei hx — 21,1 m gefunden

A=1 B = 0,02024 C = 0,000940 hm = 32,6.

Bei gleicher Druckhöhe ist die Steighöhe kleiner bei quadratischer Öffnung als bei kreisrunder.

II. Konische Ansatzröhren.

1. Für kurze konische Ansatzröhren mit innerer Abrundung bei einem Durchmesser von 20 mm am innern und 10 mm am äußern Ende und einer Länge von 40 mm ergab sich

A = 1,0164 B = 0,0071 C ----- 0,000406 hm = 50 m, wenn hi = 20,5. — Hiernach haben wir die Tabelle

hi =

11

13

15

17

19

21

24

hi

o,977

0,961

o,942

0,921

0,898

0,874

0,850

0,824

o,797

0,770

o,744

0,704

2. Für längere konische Ansatzröhren mit innerer Abrundung bei einem Durchmesser von 38 mm am innern und 10 mm am äußern Ende und einer Länge von 145 mm hat man

A = 1,0453 B = 0,00037 C = 0,000859 V = 34,9, wenn h, = 18,1

DO

00

00

er

- =    0,955    0,952    0,942    0,928    0,907 0,881    0,820    0,787    0,752    0,716

Für ein solches Ansatzrohr beiden Durchmessern 51 mm und 16 mm, einer Länge von 245 mm, ergaben Experimente mit den Druckhöhen von 5 m bis zu h — 17,7:

A = 1,060 B — — 0,00529 0 = 0,000718 hm = 38,4

ht =    5 m

10

12    14

16 18

20

0,950    0,949    0,940    0,927    0,909    0,887    0,863    0,835    o,8o6

III. Cylindrische Ansatzröhren.

1. Durch Experimente mit einem Rohre von 10 mm Durchmesser und 50 mm Länge, ohne innere Abrundung, bei Druckhöhen von h = 0,55 bis 2,58 m erhielt man angenähert

s = 0,683 V

2. Für dasselbe Rohr mit innerer Abrundung erhielt man bei h = 0,38 m bis 2,58

s = 0,979 hi.

Alle gegebenen Formeln gelten nur für die jedesmal angegebenen Grenzen der Druckhöhen.

In Marseille erhält man z. B. bei einer Druckhöhe von 520 m einen Strahl von 20 mm Durchmesser und nur 50 m Höhe.

Bei der Wahl der Form eines Mundstückes, mit welchem eine möglichst große Steighöhe des springenden Strahles erzielt werden soll, hat man den Ausflußkoefstzienten vom Geschwindigkeitskoeffizienten wohl zu unterscheiden, denn es ist für den vorliegenden Zweck die Größe des letztern Koeffizienten allein maßgebend.

Nichtsdestoweniger findet man in der Praxis keine so stark konischen Mundstücke, für welche nach § 46 der Geschwindigkeitskoeffizient wesentlich größer ist, als bei schwach konischen Ansatzröhren.

Man hat nämlich die Beobachtung gemacht, daß die Strahlen ans innen abgerundeten cylindrischen oder schwach konischen Ansatzstücken von mäßiger Länge bei großen Höhen ebenso hoch steigen, als aus den stärker konischen Mundstücken.

Es rührt dies ohne Zweifel davon her, daß die nicht kontrahierten Strahlen parallel austretende Wasserfäden geben, welche einen dicht beisammen bleibenden glatten Wasserstrahl bildeil, der von der Luft weniger aufgehalten wird, als ein kontrahierter Strahl.

Die letzteren haben bei großer Geschwindigkeit Anlage zu transversalen Schwingungen, zur Bildung von Knoten und Querschnitts-Veränderungen, welche beim Aufsteigen durch die Luft mehr Widerstand finden, als glatte Strahlen.

Für Strahlen von ¹jl bis 3 m Steighöhe bleibt die letztere sehr nahe gleich der Druckhöhe, vorausgesetzt nämlich, daß der Strahl aus einer Öffnung in dünner Wand ausstießt und der Wasserstrahl nicht auf sich selbst zurückfällt.

ausfällt.

Der Ausflußkoeffizient für solche ist nämlich nur 0,82, dagegen der Geschwindigkeitskoeffizient nahezu 0,97, so daß hier die Steighöhe bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes nach dem vorigen Paragraphen zu \ — <p²h = 0,97³ h = 0,94 h

Der Luftwiderstand (welcher dem Quadrate der Ausflußgeschwindigkeit proportional ist), kann bei Steighöhen von ’/₄ bis 5 m gänzlich unberücksichtigt bleiben, und ist auch bei großen Druckhöhen bis zu 25 m insofern zu vernachlässigen, als ein Teil des Strahles immer sehr nahe die theoretische Steighöhe h₄ = cp² h erreicht.

Die etwas geneigten Strahlen zerteilen sich bei sehr großen Steighöhen bis zu 30 und 50 m in ihrem obern Verlaufe immer in eine große Anzahl einzelner Strahlen, von welchen die obersten auf Kosten der untern oft sogar noch etwas höher steigen als cp" h, während dagegen die untersten Strahlen um einen ganzen vierten Teil unter dieser Höhe verbleiben, so daß es äußerst schwierig ist, eine mittlere Steighöhe anzugeben.

Versteht man unter Steighöhe immer diejenige der am höchsten steigenden Strahlen, so kann man den Luftwiderstand vollständig vernachlässigen.

Es kann befremden, daß die obersten Wasserstrahlen öfter noch etwas höher steigen, als der Ausflußgeschwindigkeit v aus der Öffnung entspricht,

2g

also höher als —•

Wenn man einen ausfließenden Strahl untersucht, so wird man bald finden, daß nicht alle Teile desselben Strahlquerschnittes dieselbe Geschwindigkeit besitzen, daß es Teile oder Wasserfäden giebt, welche sich rascher in dem Strahle bewegen, während andere Fäden dagegen mehr zurückbleiben.

Die Geschwindigkeit einzelner Strahlteile wird auf Unkosten anderer durch innere Vorgänge vermehrt, die sich nicht beobachten lassen, aber jedeikfalls Ähnlichkeit mit der Entstehung der Wellen von doppelter Höhe bei Begegnung zweier Wellenberge haben.

Die Geschwindigkeitsvermehrung findet hier innerhalb eines Systems zusammenhängender Körper statt und schließt daher durchaus keinen Widerspruch in sich ein, wie man auch leicht beobachten kann, daß beim Herabfallen eines Wassertropfens in ein Gefäß mit Wasser kleine Tröpfchen oft höher aufspritzen, als die Fallhöhe des ersten — das Aufspritzen verursachenden — Tropfens beträgt.

Es muß hier noch besonders erwähnt werden, daß unter der Druckhöhe h, diejenige Druckhöhe verstanden ist, welche der Ausflußgeschwindigkeit des Wassers an der engsten Stelle des Strahles entspricht, also diejenige Druckhöhe, welche nach Abzug der Reibungswiderstände bis zur Öffnung übrig bleibt.

Wenn das Zuleitungsrohr im Verhältnis zur Mündung einen großen Querschnitt hat, die Geschwindigkeit des Wassers in demselben also klein ist (nicht über 1 bis V/a m beträgt), so fallen die Reibungswiderstände klein aus und können für Zuleitungen von nicht über 30 m Länge vernachlässigt werden; in jedem andern Falle müssen diese Widerstände und der entsprechende Drnckhöhenverlust berechnet werden.

Für lange cylindrische Ansatzrohre wird der Geschwindigkeitskoeffizient gleich dem Ausflußkoeffizienten, was die Berechnungen insoferne erleichtert, als kein Unterschied zwischeir beiden gemacht zu werden braucht. Je länger das Ansatzrohr ist, um so kleiner werden beide Koeffizienten, und giebt die Tabelle § 45 die Werte derselben an.

Bei sehr großer Länge verschwindet der Begriff des Ansatzrohres; es bildet dasselbe eine eigentliche Rohrleitung und die Reibungsverluste müssen alsdann nach den Regeln für die Rohrleitungen berechnet werden.

Zum Schluß sei noch die Formel von Gerstner aufgeführt, in welcher nicht nur auf die Druckhöhe h, sondern auch auf den Durchmesser d und die Länge 1 der Zuleitung und auf die (Summe a aller Biegungswinkel Rücksicht genommen wird. Sie lautet

v²

2g 1+

2gl

45d"^45.100.vd)/d'r 1000 Hierin sind somit schon die erst später zu erörternden Widerstände in Rohrleitungen in Betracht gezogen.

Eine zweite Formel von Gerstner lautet

v²

2g

1 + x²

. " ) .45 dT 1000/

Es bezeichnet x den Kontraktionskoeffizienten, d den Durchmesser der Ausflußmündung. Die ausfließende Wassermenge berechnet sich dadurch zu

.    d²n

und die Geschwindigkeit vz in der Zuleitung:

x d² v Vz=='d^'

d² n

weil

d²7T

% 4 V== 4 Vz dieselbe Flüssigkeitsmenge Q angeben.

Beträgt in einem besondern Falle die Länge der Rohrleitung 1 — 900 m, der Durchmesser d = 0,05 m und derjenige der Mündung d = 0,01 m, der Kontraktionskoeffizient x — 0,62, die Druckhöhe h = 10 m und die Summe der Biegungswinkel o —180°, so erhalten wir nach der zweiten Gerstnerschen Formel

10

i+°’⁶²iQ,(

900

180

45-0,05 ¹ 1000

10 1 + 0,3844 - 0,0016 (400 4- 0,18)

10

= 8,02 m.

10

1 + 0,000615 • 400,18    1,246

Die schon im § 46 erwähnten Versuche²) von Freeman mit Feuerschlauchmundstücken von 19 bis 35 mm Durchmesser gaben für die Steighöhe 8 und Sprungweite w — diese letzte bei 32° Neigung des Mundstückes — die in folgender Tabelle zusammengestellten Werte.

Durchmesser des Mundstückes in mm

bei Druckhöhen (dicht vor dem Mundstück) h in m =

5    10 15 20 I 30 40 50 60 70

des noch gut zusammen-Steighöhe haltenden Strahles bei 8 in m im Mittel

frischem Winde

der äußersten Tropfen bei Windstille

xp oo m Ln 'oo |    45 Oj

11,0 14,4 11,6 15,2

13,1 17,7 14,0 18,3

4- cf\

_(N

c? cT

<q_

m rf

31,0 36,0 36,0 43,0

39,o

48,0

25,4

3i,o

41,0

50,0

Sprungweite w in m im Mittel

des noch gut zusammenhaltenden Strahles bei frischem Winde

der äußersten Tropfen bei Windstille

Ln \D Ln \Q

Cr»

0°

11,0 14,0 15,8 15,8 20,4 23,0

28,6

34,2

O 00

19,5

27,0

oo

rh xo

5i,o

72,0

Das Mundstück erhält am besten beim Austritt auf 20 mm Länge eine cylindrische glatte Innenfläche.

Nach Bach ist die Wassergeschwindigkeit int Mundstück vom Durchmesser d, welche die Sprungweite w zu einem Maximum macht

v — 20 d^.

Beispiele. 1. Wie hoch steigt ein Wasserstrahl durch ein cylindrisches vertikales Ansatzrohr vott der zwei- bis dreifachen Länge des Durchmessers, wenn die Drnckhöhe 20 m beträgt?

Nach § 45 ist hier der Ausflußkoeffizient gleich dem Geschwindigkeitskoeffizienten — 0,82 ein Maximum, somit auch die Steighöhe:

\ = cp² h = 0,82² - 20 = 0,6724 -20= 13,448 m.

2. Ist dagegen das Ansatzrohr 10 mal so lang als der Durchmesser,

so wird

cp — 0,77 und Iii = 0,77² • 20 = 0,5929 • 20 = 11,858 m.

3. Welche Druckhöhe muß ein Wasserstrahl erhalten, welcher durch ein kurzes eylindrisches Ansatzrohr 10 m hoch steigen soll?

Es wird , k

ti — —^

10

10

0,82²

14,87 m.

0,6724

4. Welches Wasserquantum fließt durch ein kurzes konisch verengtes Ansatzrohr, wenn die Druckhöhe 5,6 m, der Konvergenzwinkel der Rohrwände 50° und der Durchmesser der engsten Öffnung 0,035 m beträgt? Wie hoch steigt der Strahl, wenn das Ansatzrohr schief steht?

Aus der entsprechenden Tabelle in § 46 entnehmen wir die Koeffizienten a — 0,844 und cp = 0,985, Danach ist:

Q = 0,844 - 0,035² • V2 g 5,6 = 0,844 • 0,000962 • 10,481 =

— 0,0085 cbm in 1"

\ = 0,985² - 5,6 = 0,970225 - 5,6 = 5,433 m.

Diese theoretische Steighöhe hx kann auch als jene betrachtet werden, welche der Strahl bei Schiefstellung des Mundstückes erreicht.

Aus der Lösung der Aufgabe folgt, daß zur Erzielung relativ großer Steighöhen wenigstens bei mäßigen Druckhöhen nie cylindrische, sondern immer konisch konvergierende Ansatzröhren zu wählen sind, weil bei letztern die Ausflußgeschwindigkeit größer ist. Die beste Form für Mundstücke zu möglichst hochsteigenden Wasserstrahlen ist das stark konvergente Ansatzrohr Fig. 150, dessen vorderstes Ende eine Strecke weit gerade cylindrisch ausläuft und dessen hinteres Ende der Form des kontrahierten Strahles entsprechend abgerundet ist.

Die letztere Formgebung liefert den möglich größten Geschwindigkeitsund Ausflnßkoeffizienten 0,98 und die cylindrisch parallele Form des äußeren Endes bewirkt einen parallelen Austritt der Wasserfäden des Strahles, was nach dem obigen wegen der geringern Widerstandsfläche beim Aufsteigen durch die Luft vorteilhaft ist, indem ein größerer Teil des Strahles die maximale Steighöhe erreicht.

Aus den Tabellen des § 46 können wir noch entnehmen, daß zur Erzielung einer möglichst großen Ausflußmenge ein Konvergenzwinkel von 12 bis 14" der vorteilhafteste ist, daß dagegen die größten Steighöhen durch viel stumpfere Winkel erreicht werden, weil bei den letztern der Geschwindigkeitskoeffizient wächst.

B. Ausfluß bei Überfällen.

Vierzehntes Kapitel.

Vollkommene Überfälle.

§ 64.

Einteilung der Überfälle.

Bei Wasserwerksanlagen, Turbinenanlagen, Flußregulierungei: gehören wohl die folgenden Fragen zu den wichtigsten: Wie ist das entsprechende Wehr zu bauen, wenn eine entsprechende Wassermenge überfallen soll? Welche Abmessungen haben wir ihm zu geben, wenn sich der Stau nur bis zu einer ganz bestimmten Stelle flußaufwärts erstrecken darf?

Schon die einfach erscheinende Bestimmung der über ein fertiges Wehr fließenden Wassermenge ist sehr schwierig, denn diese Wassermenge hängt nicht allein von den Dimensionen des Wehrausschnittes, sondern auch von der Breite und Tiefe des Flusses, von der Form und Beschaffenheit des Flußbettes, somit von der Art der Zuleitung, von der Geschwindigkeit des zufließenden und der Geschwindigkeit des abfließenden Wassers, von der Fortleitung und vielen ähnlichen Dingen ab.

Dadurch erklären sich auch die großen Abweichungen, die wir durch Berechnungen nach den verschiedensten Formeln erhalten, wenn wir nicht die richtige Formel auszuwählen wissen. In den speziellen Fällen müssen wir daher besondere Erfahrungskveffizienten anwenden oder überhaupt nach dem Vorgänge von G. Ritter von Wex ganz andere Formeln aufstellen bezw. benutzen, als die seit langen Zeiten für Überfälle gebräuchlichen. Wir wollen jedoch erst die alten Formeln kennen lernen, da viele Hydrauliker gern danach rechnen. Jedoch ist besonders darauf aufmerksam zu machen, daß die einzelnen Formeln nur für solche Verhältnisse zu gebrauchen sind, denen sie ihre Entstehung verdanken. Großen wissenschaftlichen Wert haben natürlich diese alten Formeln nicht. Hierüber sagt Rühlmann in seiner „Hydromechanik oder die technische Mechanik flüssiger Körper",

„daß der wissenschaftliche Wert der sämtlichen bisher bekannten hydraulischen Formeln zur Berechnung der abfließenden Wasserquantitäten an den Überfallwehren sehr gering ist, was indes nicht auffallen kann, wenn man beachtet, auf welchen Grundlagen die wissenschaftliche Hydrodynamik beruht."

Die Überfälle können wir in zwei große Gruppen zerlegen

1.    vollkommene Überfälle,

2.    unvollkommene Überfälle.

Bei den ersteren (z. B. Fig. 160, 169—172 auf Tafel 10) liegt die Wehrkrone — d. h. die Oberkante des künstlichen oder natürlichen Hemmnisses am Boden eines Gewässers oder die Unterkante eines Ausschnittes in einer über den Spiegel des Oberwassers reichenden Wand —, noch über dem Unterwasser, bei den letzteren jedoch unter dem Unterwasserspiegel (z. B. Fig. 167, 168).

Ferner ergeben sich noch weitere Einteilungen nach der Form der Wehrkrone, ob nämlich dieselbe eine krumme, eine gebrochene oder grade Linie bildet und ob die letztere schief oder senkrecht zur Flußrichtung steht, sodann nach der Querschnittsform des Wehres, nach der Zu- und Fortleitung des Wassers und endlich noch danach, ob das Wehr immer stehen bleiben soll oder ob es beweglich zum Fortnehmen oder selbstthätigen Öffnen und Schließen eingerichtet ist. Diese Einteilungen ergeben sich im Texte von selbst, konnten aber bei der Ausführung nicht immer eingehalten werden und sind deshalb hier nur angedeutet.

§ 65.

¹

• 2075 • 2 • 3 ,.iy/₂ = 2075 j/2 P₂ = 2934,46 kg.

13. Eine quadratische Fläche von 0,5 m Seitenlänge wird in Wasser eingetaucht, welches 5 m Geschwindigkeit in 1" besitzt und nach allen ©eiten ausweichen kann. Bis zu welchem Werte läßt sich der Seitenstoß durch Veränderung des Winkels ß, den die Platte mit der Strömungsrichtung bildet, steigern?

²

Außer in ben im § 46 angeführten Quellen findet man diese Versuche in Schillings Journal für Gasbeleuchtung und Wasserversorgung 1890, Nr. 32 bis 34 beschrieben.

Vorgang bei einem gewöhnlichen Überfalle.

Wenn das Wasser über eine Schwelle oder eine Schütze fließt, ohne daß die abfließende Wasserschicht irgend einem Hindernis begegnet und ohne daß auf der Oberfläche des Wassers eine künstliche Pressung herrscht, so senkt sich der Wasserspiegel des Kanales, Teiches oder Reservoirs gegen die Schwelle hin und zwar auf eine Strecke von inehreren Decimetern. In Fig. 159 Tafel 9 und 160 Tafel 10 bezeichnet AB die Strecke, auf welcher die Senkung noch bemerkbar ist, und hj den Betrag derselben. In Wirklichkeit erstreckt sich die Senkung noch weit über A hinaus, wie wir später bei der genauen Bestimmung der Senkungskurven und Stau-knrven sehen werden. Infolge dieser Senkung wird die Höhe der Wasserschicht über der Schwelle oder Wehrkrone C geringer und ihre Geschwindigkeit größer.

Wie schon der Anblick der beiden Figuren (159 itnit 160) erkennen läßt, wird die Form der Krone oder Schütze C von bedeutendem Einfluß auf die abfließende Wassermenge sein.

Ist die Krone scharfkantig und vertikal oder noch schief einwärts (Fig. 159) gestellt, so drängen die von unten herauf fließenden Wasserfäden den Strahl aufwärts und heben ihn von der Kante ab, so daß oft eilt mit Luft gefüllter Raum zwischen Schwelle und Strahl sich befindet, der wie Quecksilber durch den Strahl hindurch schimmert oder vielmehr die Lichtstrahlen von der ihm ani nächsten liegenden Wasserschicht reflektieren läßt, wie man dies bei einer Fensterscheibe mit dunklem Hintergründe auch beobachten kann. In diesem Falle ist die Kontraktion bedeutend, die abfließende Wassermenge also verhältnismäßig gering.

Wenn dagegen die Krone des Wehres sowohl nach innen als außen stark abgerundet ist, so fließt der Wasserstrahl, namentlich wenn der äußere Ablauf in einer sanften Kurve nach Fig. 160 sich an die Schwelle anschmiegt, hart auf der Schwelle liegend in einer glatten Schicht ab, so daß kaum eine Bewegung des Strahles zu erkennen ist.

In diesem Falle ist die Kontraktion gering, die Strahldicke größer, die Geschwindigkeit des Durchflußes etwas kleiner, die durchfließende Wasserinenge aber wegen größerer Dicke der Wasserschicht bedeutender.

Die im überfallenden Wasser entstehenden Wirbelbewegungen sind am besten an den Figuren 307, 308 und 309 auf Tafel 26 zu sehen.

Eingehende Versuche fl über die Senkung h,, Fig. 159, hat Frese angestellt und dabei gesunden:

a)    Die Absenkung wächst mit zunehmender Breite, bis sie bei einer bestimmten Breite einen gewissen größten Wert annimmt, der sich dann nicht mehr ändert.

b) Die Absenkung nimmt zu mit wachsender Überfallhöhe.

c)    Je größer die Überfallhöhe, desto größer ist die

fl Versuche über den Abfluß des Wassers bei vollkommenen Überfällen vou F. Frese, Professor an der technischen Hochschule in Hannover, Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure 1890, Nr. 49—52.

Breite, bei welcher die Absenkung ihren größten Wert erreicht.

d) Die größte Absenkung h, steht in einem ganz bestimmten Verhältnisse zu der Überfallhöhe b und beträgt wahrscheinlich etwa 0,15 der letzteren

(also ^ = 0,15).

Der eben genannte Wert stimmt sehr gut mit dem von Bazin ¹)

erhaltenen.

Durch die seitliche Kontraktion wird bei breiten Überfällen nur ein Teil der Wasserfäden abgelenkt, während ein anderer Teil für die Breite b — bi (Fig. 355, Tafel 32) parallel bleibt. Nach Freses Versuchen ist nun bi von b unabhängig, dagegen wächst es mit h und beträgt

bi —1,5 m = 2,0 m = 2,5 m = 3,0 m

bei h = 0,2 m,

—    0,3 m,

= 0,4 m,

—    0,5 m.

Für b > b, ändert sich das absolute Maß ß (Fig. 355) nicht mehr. Hiernach teilt Frese die Überfälle in zwei Gruppen ein:

Überfälle mit vollkommen ausgebildeter Strahlzusammenziehung,

„    „ unvollkommen „    „

§ 66.

Versuche über die Wassermenge bei Überfällen.

Nennt man h die Druckhöhe eines Überfalles von der obern Kante der Krone bis zum Oberwasserspiegel an seiner ungesenkten Stelle (Fig. 159 bei A) gemessen, ferner b die Breite des Überfalles, so ist die in einer Sekunde abfließende Wassermenge nach § 29

Q = |abh)/2gh==ci!Tbhj/2gh, wenn a, für f a gesetzt wird und den sogenannten Ausflußkoeffizienten bezeichnet, welcher durch Versuche bestimmt werden muß, falls inan sich nicht mit den Formeln von Bornemann oder von v. Wex begnügen will.

Im Jahre 1835—36 hat Castel in Toulouse eine Reihe von Versuchen angestellt, deren Resultate den in den Handbüchern der Mechanik dargelegten Formeln zu Grunde liegen. Im Jahre 1855 hat Lesbros in den Annalen der französischen Akademie der Wissenschaften eine Reihe von Versuchen veröffentlicht, welche er für die verschiedenen Anordnungen von Überfällen im Auftrage der französischen Regierung ausgeführt hat.

Sowohl die Resultate Castels wie diejenigen Lesbros' werden im Folgenden für die wichtigern der vorkommenden Fälle zusammengestellt und sowohl mit einander, als mit den neuen Versuchsresultaten verglichen werden.

Es ist indessen zu bemerken, daß sowohl Castels, als namentlich Lesbros' Versuche mit einer Sorgfalt und Umsicht aufgestellt worden sind, daß die direkten Resultate derselben mit aller Sicherheit benützt werden dürfen, wenn dieses auch mit den aus diesen Resultaten von andern Beobachtern abgeleiteten Formeln nicht immer der Fall ist.

Dieser letztere Umstand ist auch die Ursache, daß im Nachfolgenden nicht nur die abgeleiteten Formeln, sondern die Versuchsresultate selbst angeführt werden.

Außer den oben erwähnten Versuchen sind in den folgenden Paragraphen noch diejenigen von A. Fteley und P. Stearns, von Francis, von Cipoletti und von Frese aufgeführt.

§ 67.

Ausflußmenge bei vollkommenen Überfällen.

Die Versuche Lesbros' haben für die vier folgenden Anordnungen 1, in, n, o die nachstehenden Resultate ergeben. Die Anordnung 1 (Fig. 161) stellt einen Überfall mit vollständiger Kontraktion dar, wo nämlich die Öffnung in dünner Wand ganz isolirt vom Boden und den seitlichen Wänden allgebracht ist.

Bei der Anordnung m (Fig. 162) dagegen findet nur zu beiden Seiten der Öffnung Kontraktion statt, indem die Wehrkante in der Ebene des Bodens liegt, also nur die Verlängerung desselben bildet.

Bei der Anordnung n (Fig. 163) findet nur auf einer Seite Kontraktion statt, da auf einer Seite und mit Boden die Öffnung in der Fortsetzung der Wand liegt und nur seitwärts 2 cm von derselben absteht, also ein kleiner Vorsprung vorhanden ist.

Bei der Anordnung o (Fig. 164) endlich findet keine Kontraktion des ausfließenden Strahles statt, da sowohl am Boden als zu beiden Seiten die Öffnung in der Fortsetzung der Wände liegt und nur als Kante von 3 cm Breite von den letztern absteht.

Einfluß des Abstandes der Seitmwände von der Öffnung.

263

Koeffizienten der Formel Q = «v li h \h g h für Überfälle von 0,20 m Breite für die Anordnungen 1, m, n, o (Fig. 161 bis 164).

Mit Ausfluß in die freie Luft.

Druckhöhe h über der Wehrkrone in m

Koeffizienten «v für die Anordnungen nach

1 (Fig- 161)

m (Fig. 162) n (Fig. 163) o (Fig. 164)

0,010

0,020

0,030

0,040

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

0,100

0,424

0,417

0,412

0,407

0,404

0,401

0,398

0,397

0,396

o,395

0,110

0,120

0,130

0,140

0,160

0,180

0,200

0,220

0,250

0,300

o,394

o,394

o,394

o,393

o,393

0,392

0,390

0,386

o,379

o,37i

0,384

0,402

0,410

0,411

0,411

0,410

0,409

0,409

0,409

0,408

0,408

0,408

0,408

0,408

0,407

0,406

0,405

0,405

0,404

0,403

0,363

o,379

0,388

°»394

0,398

0,400

0,402

0,403

0,404

0,405

0,406

0,406

0,407

0,407

0,407

0,408

0,408

0,408

0,407

0,406

0,292

0,318

0,337

0,353

0,362

0,370

0,375

0,379

0,380

0,382

0,382

0,383

0,383

0,383

0,384

0,383

0,383

0,382

0,381

0,378

§ 68.

Einfluß des Abstandes der Seiteuwände von der Öffnung.

Lesbros hat bei seinen Versuchen auch die vier nachfolgenden Fülle berücksichtigt, wo die Höhe der Wehrkrone über dem Boden des Reservoirs 0,540 m betrug, während die Ränder der Öffnung verschiedene Distanzen ck —1,74 m, 0,54 m, 0,02 m, und 0,00 m von den seitlichen Wänden hatten.

Die sämtlichen vier Fälle entsprachen in der ganzen Anordnung der Anordnung 1 (Fig. 161) und es hat, wie bereits erwähnt, der Abstand d betragen:

bei der Anordnung

LO

d = 1,74 in, 0,5

1* und 16 m 0,02 IN, 0,00 m.

Die folgende Tabelle enthält die Resultate der unter diesen Umständen angestellten Versuche, aus denen hervorgeht, daß der Abstand der Seitenwände von wesentlichem Einfluß auf den Koeffizienten ist.

Koeffizienten der Formel Q = «v 1> k y'2 g h für Überfälle von 0,20 in Breite, welche von den Seitenwänden verschiedene Distanz besitzen.

Nach den Anordnungen 1 (Fig. 161), 1₂ (Fig. 165), 1₄ und 1₆ (Fig. 166).

Druckhöhe h über dem obern Rande der Schwelle in m

Koeffizienten «v für die Anordnungen nach

d = 1,74 m

1,

1₄

d = 0,54 m

d --- 0,02 m

d --- 0,00 m

0,010

0,020

0,030

0,040

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

0,100

0,424

0,417

0,412

0,407

0,404

0,401

0.398

0,397

0,396

0,395

0,436

0,428

0,422

0,416

0,411

0,407

0,405

0,402

0,400

o,399

0,457

0,444

0,435

0,429

0,426

0,424

0,422

0,421

0,421

0,420

0,492

o,473

0,459

0,449

0,442

o,437

0,435

o,434

0,434

o,434

0,020

0,030

0,040

0.160

0,180

0,200

0,220

0,250

0,300

o,394

o,394

o,394

o,393

o,393

o,392

0,390

0,386

0,370

0,396

0,396

o,395

o,394

o,393

o,39i

0,389

0,383

o,375

0,420

0,421

0,422

0,424

0,424

0,424

0,424

0,422

0,418

o,434

o,434

o,434

0,433

0,432

0,432

0,430

0,428

0,424

Nach v. Wexs Meinung beruhen nur die oben angegebenen Werte von «v bis zur Druckhöhe 0,17 auf Versuchen, während die übrigen bis zu h == 0,300 durch Interpolation gefunden sein sollen, was auch eine graphische Darstellung begreiflich macht. Dadurch müssen sie aber falsch geworden sein, da die Koeffizientenkurve für die größern Druckhöhen flacher wird und somit die Interpolation aus den Werten von ctv für kleinere Druckhöhen unrichtige Resultate liefert.

§ 69.

Koeffizienten für einen Überfall von 0,60 in Breite über eine 5 cm dicke Wand, deren obere Kante genau horizontal und scharf war.

Druckhöhe

Koeffizient

Druckhöhe

Koeffizient

Druckhöhe

Koeffizient

"v

«V

«V

0,010

0,020

0,030

0,040

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

0,424

0,421

0,418

0,416

0,414

0,412

0,410

0,409

0,407

0,100

0,120

0,140

0,160

0,180

0,200

0,250

0,300

o,35o

0,406

0,403

0,401

o,399

o,397

0,395

0,392

o,39i

o,39i

0,400

0,450

0,500

0,600

0,700

0,800

0,900

1,000

2,000

o,39J

o,39i

o,39i

0,39°

0,390

0,390

0,389

0,389

0,389

Die obige Tabelle enthält die Versuchsresultate mit einem 60 cm breiten Überfall in einer 5 cm dicken Holzwand. Die obere Kante der Schwelle war dabei nicht abgerundet, sondern horizontal. Dieser Fall ist für die Praxis von ganz besonderem Interesse, weil er sehr häufig vorkommt, namentlich bei Überfallschützen vor Wasserrädern einerseits, als auch als künstlicher Überfall bei Wassermessungen anderseits.

§ 70.

Resultate der Versuche Castels.

Diese Versuche beziehen sich namentlich auf Überfälle von verschiedener Breite im Verhältnis zur Breite des Kanales, in dem sie angebracht waren und zwar wechselte diese Breite von 0,360 m bis zu 0,740 m. Die Schwelle war 0,17 m über dem Boden des Kanales angebracht. Die Breite eines zweiten Überfalles wechselte von 0,01 m bis 0,74 m.

In Übereinstimmung mit den Versuchen von Lesbros haben die Versuche Castels gezeigt, daß der Koeffizient nicht nur von der Druck-höhe h, • sondern auch von dem Verhältnis der Breiten von Kanal und Überfall abhängig ist.

Wenn die Breite des Überfalles nicht mehr als um VB von der Breite des Kanales verschieden ist und so lange die Breite des Überfalls nicht über 0,05 m beträgt, so kann die Ausflußmenge durch folgende Formel ausgedrückt werden:

Q = 0,400 b h |/2 g h,

welche zur Vermessung kleiner Wasser dienlich ist, wobei der Überfall eine scharfe Kante haben muß.

Für einen Überfall von der Breite des Kanales selbst ist die ausfließende Wassermenge

Q = 0,443 b h j/2 g h,

wobei der Überfall in dünner Wand mit scharfer Kante und in vertikaler Stellung angebracht ist. Diese Formel darf indessen nur dann gebraucht werden, wenn die Druckhöhe nicht mehr als '/z der Höhe der Schwelle über dem Kanalboden beträgt, was übrigens meistens der Fall ist.

So lange die Druckhöhe zwischen den Werthen 0,03 m und 0,22 m liegt, kann inan nach d'Aubuisson für jede Breite des Überfalls einen mittlern Wert für den Ausfluß-Koeffizienten annehmen, dessen Wert mithin nur von dem Verhältnis der Kanal- und Überfallbreite beeinflußt wird. Für einen Wert des Verhältnisses der Breite von Überfall und Kanal

B = 1,00; 0,90; 0,80; 0,70; 0,60; 0,50; 0,40; 0,30; 0,25,. wird der Koeffizient

ctv = 0,443; 0,438; 0,431; 0,423; 0,416; 0,410; 0,405; 0,399; 0,398.

Aus den Versuchen von Castel hat Redtenbacher zur Bestimmung der Wassermenge von Überfällen folgende Formel abgeleitet:

Q = (o,381 + 0,062 b h j/2^h,

in welcher b die Breite des Überfalles und B die Breite des Kanales bezeichnet. Diese Formel liefert jedoch nur richtige Werte, wenn:

1.    Der Querschnitt des Wasserkörpers im Zuflußkanal wenigstens fünfmal so groß ist als der Querschnitt b h des Überfalls.

2.    Die Breite b des Überfalls wenigstens ²/₃ der Breite B des Zuflußkanales beträgt.

3.    Die Öffnung des Überfalls mit scharfen Kanten versehen ist.

4.    Die Kante des Überfalls wenigstens in einer Höhe 2 h über dem Spiegel des Unterwassers sich befindet.

Die Werte von

(o,381 + 0,062 B J sind in folgender Tabelle

enthalten:

0,381 + 0,062 ^

0,443

= 0,905; 0,916; 0,930; 0,944; 0,957; 0,973; 0,986; 1,000.

§ 70a.

Wassermenge bei Überfällen von gleicher Breite mit dem Kanal für jeden Meter der Überfallbreite.

Für die Überfälle von gleicher Breite mit dem Kanal, für welche die Formel Q = 0,443 b h K2 g h die abfließende Wassermenge bestimmt, wie oben mitgeteilt wurde, giebt die nachfolgende Tabelle Redtenbachers die Wassermenge in Kubik-Decimetern (Litern), welche in einer Sekunde unter verschiedenen Druckhöhen auf einen Meter Breite des Überfalls abfließen.

Druckhöhe Q Druckhöhe Q Druckhöhe Q Druckhöhe Q

0,050

0,051

0,052

0,053

0,054

0,055

0,056

0,057

0,058

0,059

0,060

0,061

0,062

0,063

0,064

0,065

0,066

0,067

0,068

0,069

M tOfc)tOtOtJts>WtOtOtO o, ^ 4k 04 M M    J3 '^5 CO JX> M    0*\ cn    üJ U) W

"oo 'o Cr» 00 'o Uj 'o\ 'hi    '"o 'C'x OJ Oi i)

0,092

0,094

0,096

0,098

0,100

0,102

0,104

0,106

0,108

0,110

0,112

0,114

0,Il6

0,118 0,120 0,122 0,124 0,126 0,128

54,7

56.5

58,3

60,2

62,1

64,0

65,9

67,8

0,16o 0,162 0,164 0,166 0,168

118.6 120,9 123,2

125.6

128,0

130,4

132.7

i33,i

0,216

0,218

0,220

0,222

0,224

0,226

0,228

69,7

71,6

73.5

75,5

77,5

79,5

8i,5

83,6

85,7

87,8

89,9

0,170

0,172

o,i74

0,176

0,178

0,180

0,182

0,184

0,186

0,188

0,070

0,072

0,074

0,076

0,078

0,080

0,082

0,084

0,086

0,088

36,3

37-9

39,5

41,1

42,7

44,4

46,1

47,8

49,5

51,2

0,130

0,132

0,134

0,136

0,138

0,140

0,142

0,144

0,146

0,148

92,0

94.2

96.3 98,5

100.6 102,8 105,0 107,2 109,4

111.7

0,190

0,192

0,194

0,196

0,198

0,200

0,202

0,204

0,206

0,208

137,5

140,0

142.4

144.8

147.3

149.8

152.3

154.8

157.3

159.9

162.5

165,0

167.6

170.2

172.8

175.5

178.2

180.8

183.5

186,1

0,230

0,235

0,240

0,245

0,250

0,255

0,260

0,265

0,270

0,275

0,280

0,285

0,290

0,295

0,300

0,305

0,310

0,315

0,320

0,325

196.9

199.6

202,4

205.2 208,0 210,8

213.6

216.4

223.5

230.7

237.9

245.2

252.6

260.1

267.7

275.2

282.9

290,7

298.6

306.4

314.4

322.4

330.5

338.7 346,9

355,2

363.5

0,150

0,090

53.0

114,0

1-6,3

0,210

0,212

188,8

i9i,5

0,330

o,335

0,340

o,345

371,9

380,4

389,1

397.7

§ 71.

Vollkommene Überfälle mit abgenmdeter Krone.

Während die Überfälle mit scharfer Kante gewöhnlich nur bei Wasservermessungen Verwendung finden, oder wo eine Überfallschütze angewendet wird, haben die Wehre, welche zur Stauung des Wassers für technische Zwecke angewendet werden, jederzeit eine ebene oder abgerundete Krone, * so daß das Wasser ohne erhebliche Kontraktion von denselben herabfließt.

Nach zahlreichen für diesen Fall angestellten Versuchen ist die in einer Sekunde abfließende Wassermenge:

0,57 b h f/2~gh j/1 + 0,115 ^,

wobei vz die Geschwindigkeit des Wassers im Flusse in einiger Entfernung vor dem Wehr oder die Zuflußgeschwindigkeit bezeichnet.

§ 72.

Weisbachs Versuche.

Wird das Verhältnis des Querschnittes bh des Überfalls zum Querschnitt B T des Wasserkörpers im Kanäle mit u bezeichnet, so ist nach Weisbachs Versuchen die in einer Sekunde abfließende Wassermenge:

Q = xabh|/2gh.

Dabei hat « für verschiedene Druckhöhen den Wert: b = 0,03; 0,04; 0,06; 0,08; 0,10; 0,15; 0,20 m. a = 0,412; 0,407; 0,401; 0,397; 0,395; 0,393; 0,390 „ während der Wert von x für den Fall, daß der Überfall wesentlich kleiner ist als der Kanal — 1 -f-1,718 u⁴; dagegen für den Fall, daß Kanal und Überfall gleiche Breite haben

= 1,041 + 0,369 re-

beträgt.

Es ist dabei aber vorausgesetzt, daß n < 0,5; daß die Öffnung mit scharfen Kanten versehen ist und daß die untere Kante möglichst hoch über dem Unterwasserspiegel liegt.

§ 73.

Boileans Versuche.

Zum Nachweis der Richtigkeit der Formel Q = 0,43 b h ]/2 g h, sowie als Kontrolle über die Annäherung ihrer Ergebnisse an die Thatsachen mag die folgende Tabelle dienen, welche die Resultate der Versuche

Boileaus mit einem Überfalle enthält, bei welchem die Höhe der Schwelle über dem Kanalboden sehr bedeutend, nämlich 0,912 m war.

Sekundliche Ausflußmenge Q

in 1

Druckhöhe h in mm

Strahldicke h — hg, in mm

Koeffizient «v

8,577 10,790 12,456

13,377 22,766 26,388 36,167 4i,372 45.115

55,326

59,996 67,841

74,087

110,871 121,206 128,350 162,945

Hiernach beträgt der mittlere Wert von av:

aY — 0,4295 «v — 0,43.

Es geht aus der Vergleichung dieses Wertes mit den Maximal- und Mlnimalwerten des Koeffizienten ar hervor, daß die Formel Q — 0,431) h 12 g h

die wirkliche Ausflußmenge für die obigen Verhältnisse bis auf ¹/₃o genau berechnen läßt.

Ausflußkoesfizientcn «v für Überfälle mit freiem Abfluß, mit verschiedenen Höhen der Schwelle oder Krone über dem Boden des Kanales.

ober rund

Druckhöhe h in mm

40

50

60

63,0

73.5

8l,0

85,0

121,0

133,0

163,0

178,0

189,0

2l8,0

230,0

247,0

261,0

33i,o

357,0

370,0

436,0

52.5

61.5

68,o

71.5 102,0 112,0 138,0

151,0

160.5

182.5

196,0

210.5

219.5 279,o 300,0

311.5 368,0

0,4222

0,4216

0,4205

0,4204

0,4213

0,4235

0,4279

0,4288

0,4261

0,4217

0,4220

0,4271

o,43ii

0,4440

0,4409

o,4425

0,4392

Ausflußkoeffizienten ocv für eine Höhe der Krone über dem Boden von

200 mm

250 mm

800 mm

350 mm

400 mm

450 mm

0,42 t 0,419 0,418

0,425

0,422

0,420

0,426

0,423

0,422

0,424

0,422

0,420

0,418

0,419

0,415

0,411

0,415

0,407

Druckhöhe h in mm

Ausflußkoeffizienten «v für eine Höhe der Krone über dem Boden von

200 mm

250 mm

300 mm

350 mm

400 mm

450 mm

70

80

0,418

0,418

0,420

0,422

90

100

120

0,422

0,424

0,424

0,425

0,428

140

0,420

0,421

0,423

0,425

0,429

o,432

160

180

0,415

o,4i5

0,422

0,424

0,427

o,432

0,436

0-409

0,409

0,419

0,422

0,425

0,429

o,434

0,435

Druckhöhe h in mm

Ausflußkoeffizienten «v für eine Höhe der Krone über dem Boden von

500 mm

550 mm

600 mm

650 mm

700 mm

750 mm

40

50

60

70

80

90

100

120

140

160 .

180

0,408

0,409

0,404

0,404

0,405

0,416

0,418

0,421

0,424

0,430

0,432

0,405

0,404

0,400

0,400

0,402

0,412

0,414

0,417

0,418

0,424

0,428

0,402

o,399

0,398

0,398

0,399

0,408

0,410

0,411

0,413

0,418

0,424

0,402

o,397

0,398

0,398

o,399

0,406

0,409

0,409

0,410

0,412

0,419

0,404

0,398

0,400

0.400

0,401

0,407

0,409

0,409

0,408

0,408

0,416

0,407

0,402

0,404

0,404

0,405

0,409

0,410

0,410

0,408

0,408

0,415

200

0,436

220

240

o,434

0,438

0,438

260

280

300

320

o,43i

0,435

0,435

0,435

o,437

o,437

0,438

0,428

o,433

o,434

0,436

0,438

0,439

0,439

0,427

o,432

o,434

o,437

o,439

0,441

o,443

0,426

o,432

0,436

0,438

o,439

0,442

o,443

Druckhöhe h in mm

Ausflußkoeffizienten av für eine Höhe der Krone über dem Boden von

800 mm

850 mm

900 mm

950 mm

1000 mm

1050 mm

40

50

60

70

0,413

0,409

0,410

0,410

0,428

0,419

0,419

0,419

0,425

0,423

0,422

0,422

0,423

0,421

0,420

0,420

0,418

0,416

0,416

0,416

0,413

0,411

0,411

0,411

Ausflußkoeffizienten av für eine Höhe der Krone über dem Boden von

Druckhöhe h in in

800 mm 850 mm 900 mm 950 mm 1000 mm 1050 mm

80

90

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

3°o

320

340

360

380

0,411

0,413

0,413

0,412

4,4¹⁰

0,410

0,417

0,428

o,4i3

0,409

0,410

0,410

0,411

0,413

0,413

0,412

0,410

0,419

o,4i7

o,4i7

0,416

0,416

0,418

0,422

0,422

0,419

0,419

0,420

0,422

0,426

0,428

0,419

0,419

0,420

0,425

0,427

0,427

0,429

0,429

o,433

o,437

o,439

0,441

0,445

o,447

0,446

o,444

0,442

0,430

o,432

o,434

o,437

0,440

o,444

0,445

0,445

o,443

0,441

0,430

0,430

o,432

o,434

0,437

0,442

o,447

0,446

o,442

0.438

0,416

0,416

0,416

0,419

0,424

0,425

0,424

0,426

0,428

0,429

o,43i

0,434

0,437

0,442

0,441

0,437

o,433

o,4ii 0,4 iZ 0,414 0,416 0,420 0,420 0,420

400

420

440

460

480

0,410

0,417

0,428

o,433

o,437

o,442

o,443

0,445

o,447

0,448

0,440

0,440

o,442

0,444

0,445

0,436

0,437

0,438

0,440

0,442

o,43.2 0,433 o,434 • 0,436

0,438

0,422

0,424

0,426

0,428

0,430

0,432

0,435

o,434

0,432

0,428

0,428

0,428

§ 74.

Einfluß der Form und Stellung der Krone oder Schwelle bei tioöfmmitciteit Überfällen.

Um den Einfluß geneigter Schwellen bei vollkommenen Überfällen darzulegen und ein Urteil über die Wirkung verschiedener Kronenformen zu erhalten, stellte Boileau mit den nachstehenden Anordnungen a, b, c und d (Fig. 169—172) Versuche an. Die Anordnung a (Fig. 169) ist mit einer (im Verhältnis Höhe zur Horizontalen — 3:1) geneigten Schwelle versehen, deren Krone scharfkantig ist.

Bei verschiedenen Druckhöhen h haben sich die nachstehenden Werte ar für die Abflußkoeffizienten ergeben (Höhe der Krone über dem Boden k = 0,458 in):

h = 0,0697; 0,109; 0,118; 0,128; 0,137; 0,152 m.

av =0,4034; 0,4131; 0,4105; 0,4113; 0,4215; 0,4218 „ also im Mittel aY — 0,4136.

Es scheint daraus hervorzugehen, daß die Neigung der Schwelle ohne wesentlichen Einfluß auf die abfließende Wassermenge ist. Derselbe wird jedoch bei den Formeln des § 83 berücksichtigt.

Dagegen geht aus der Betrachtung der nachfolgenden Tabellen hervor, daß die obere Form der Wehrkrone einen wesentlichen Einfluß auf den Wert des Koeffizienten ausübt. Die erste Tabelle enthält die Koeffizientenwerte für die Anordnung b (Fig. 170), bei welcher die Wehrkrone aus einer 10 cm dicken, oben halbcylindrisch abgerundeten Schwelle besteht; deren Wirkung die Kontraktion vermindert, also die abfließende Wassermenge erhöht.

Bei einer Druckhöhe bis zu 0,160 m adhärierte der Wasserstrahl an der Krone auf der Abflußseite, bei den größeren Druckhöhen war der Überfall unvollkommen, d- h. die Krone tauchte in den Unterwasserspiegel ein.

Die zweite der nachfolgenden Tabellen enthält die Resultate der mit den Anordnungen c und d (Fig. 171 und 172) angestellten Versuche. Diese beiden Anordnungen sind diejenigen, welche beim Eintritt in Wasserräder sehr oft vorkommen, und bieten somit ein besonderes Interesse dar.

Bei der Anordnung c ist die obere Kante der Schwelle von 10 cm Dicke auf der Ablaufseite nach einem Viertelkreis abgerundet. Die Anordnung d endlich ist mit einer wnlstförmigen Krone von 12 cm oberer Dicke versehen.

Vcrsnchsresultntc mit der Anordnung b (Fig. 170) mit hnlbcylindrischer Krone.

Zustand des Strahles

Zustand des Strahles

Druckhöhe Koeffizient h in m

Druckhöhe Koeffizient hi in m au

0,080

0,090

0,100

0,110

0,120

0,130

0,140

0,150

0,160

0,464

0,483

o>4?8,

0,510

0,519

0,528

Der Überfall war vollständig, aber der abfließende Wasserstrahl adhärierte an der Krone des Wehres auf der Seite des Abflusses.

0,l80

0,190

0,200

0,210

0,220

0,230

0,240

0,250

0,260

0,578

o,574

o,57o

0,567

0,565

0,563

0,562

0,561

0,561

Der Überfall war unvollständig; resp.

die Krone des Überfalles in den Unterwasserspiegel eingetaucht.

Druck-höhe h adhärie-in m

Koeffizient für den

renden

Strahl

freien

Strahl

Zustand der Krone

Druck-höhe h adhärie-in m

Koeffizient für den

renden

Strahl

freien

Strahl

Zustand der Krone

0,050 0,060 0,070 0,080 0,090 0,100 0,1 IO 0,120 0,130 0,140

o,434

0,448

0,465

0,465

0,481

0,498

0,511

0,512

0,530

0,535

o,393

o,393

0,396

0,408

0,422

0,428

o,433

o,437

0,441

0,445

0,150

0,160

0,170

0,180

0,190

0,200

0,210

0,220

0,540

0,450

0,453

0,457

0,460

Krone auf derbem Ablauf zugekehrten Seite nach einem Viertel-kreis abgerundet. Dicke der Krone 10 cm, Schwelle einwärts geneigt.

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

0,100

0,110

0,120

0,130

0,140

0,150

0,160

0,170

0,180

0,190

0,200

0,210

0,220

o,447

o,457

0,467

0,476

0,485

o,494

0,502

o,5 io

o,5i7

0,539

0,403

0,417

0,432

0,446

0,458

0,468

o,477

0,486

o,494

0y502

0,508

Krone mit einem cylin-drischen Wulste von 10 cm Durchmesser. Schwelle nach einwärts geneigt.

Vcrsnchsresultate

mit der Anordnung c Gig. 171).

mit der Anordnung d Gig. 172).

Eine Betrachtung der vorstehenden Resultate zeigt, daß das Adhärieren des Wasserstrahles an der Wehrkrone mit einer bedeutenden Zunahme der abfließenden Wassermenge verbunden ist. So ist z. B. bei einer Druckhöhe von 0,130 m der Wert des Koeffizienten ctv — 0,441 für den frei herunterfallenden Wasserstrahl; während bei sonst ganz gleichen Umständen, wo aber der Wasserstrahl an der Wehrkrone adhärierte, der Wert des Koeffizienten 0,530 betragen hat, die abfließende Wassermenge also um den vollen fünften Teil größer war als im erstem Falle. Es geht daraus hervor, daß man bei Wasservermessungen nicht nur auf Druckhöhe, Anordnung, Form der Wehrkrone, sondern auch auf die Beschaffenheit des abfließenden Strahles selbst zu achten hat.

Aus diesem Grunde ist es bei Vermessungen, wo man einen künstlichen Überfall Herstellen muß, ratsam, den obern Teil der Schwelle scharfkantig zu machen, damit der abfließende Wasserstrahl sich von derselben abhebt und ganz frei herunterfällt.

Meißner, Hydraulik. I. 2. Auflage.

§ 75.

Bestimmung der Druckhöhe h eines Überfalles.

In manchen Fällen kann man bei einem vorhandenen Überfalle die Druckhöhe h wegen baulicher Verhältnisse ober anderweitiger Schwierigkeiten nicht messen. Um in diesem Falle dennoch die Wassermenge bestimmen zu können, kann man die Druckhöhe aus folgender Tabelle entnehmen, welche das Verhältnis der Strahldicke zur Druckhöhe h für die verschiedenen Druckhöhen selbst enthält. Bezeichnet e die Dicke des Strahles an der innern Kante des Überfalles, so giebt die Tabelle die Werte

® fcy-

und sucht nun die

an. Man sucht nun den ungefähren Wert von h zu bestimmen, berechnet mittelst der genau gemessenen Strahldicke

diesem Werte entsprechende Größe von h aus der Tabelle, wonach man einen korrigierten Wert von h erhält.

Verhältnis der Druckhöhen und der Strahldickcn bei Überfällen.

Vollständige Überfälle

Unvollständige Überfälle

Druckhöhe h in m

Wert von — für eine Höhe der Krone von

0,262 m 0,325 m 0,420 m 0,518 m

Druckhöhe h in m

Wert von — für eine Höhe der Krone von 0,325 m 0,335 m j 0,420 m

0,030

0,040

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

0,100

0,120

0,140

0,160

0,180

i,330

1,282

1,260

1,234

1,223

1,216

1,212

1,210

1,206

1,202

i,i99

1,196

1,243

1,232

1,232

1,228

1,225

1,221

1,216

1,320

1,285

1,249

1,231

1,223

1,218

1,217

1,212

1,206

1,201

i,i95

1,285

1,250

1,228

1,214

1,205

1,200

i,i99

i,i99

i,i97

i,i97

0,130

0,140

0,150

0,160

0,180

0,200

0,220

0.240

0,260

0,280

0.300

1,256

1,250

1,236

1,225

1,216

1,208

1,202

1,198

1,283

1,275

1,266

1,258

1,245

1,232

1,223

1,216

1,208

1,203

1,198

1,291

1,281

1,271

i,254

1,241

<D ET

beträgt deinnach für:

Der mittlere Wert des Verhältnisses a) Vollständige Überfälle —1,20. Nach Frese wäre — 1,176,

denn im § 65 ist gegeben - = 0,15, daraus folgt

CD fr³

tr"

tJ⁻

tr fcr⁴

1—0,15    0,85

= 1,176.

b) Unvollständige Überfälle -~ = 1,25.

Wenn es sich daher nicht um eine sehr genaue Wasservermessung handelt, hat man bloß die Dicke des Strahles an der innern Kante der

Krone zu messen, diese mit den angegebenen Werten von ~ zu multiplizieren,

um die Druckhöhe h zu erhalten.

Für genauere Berechnungen genügt die obige Bestimmung der Druckhöhe h nicht, es müssen vielmehr direkte Messungen ') vorgenommen werden, und zwar in entsprechender Entfernung (ungefähr 2 bis 3 m) vom Überfall.

Am einfachsten geschieht diese Messung mittelst einer Setzplatte und Wasserwage oder aber mit dem Nivellierinstrument.

Beim Gebrauche der Setzplatte wird dieselbe in einiger Entfernung vom Wehre in der Höhe des Oberwasserspiegels am Ufer eingelegt, nötigenfalls an einen in den Bach gestellten Stab gebunden, die Wasserwage daraufgelegt und nun die Latte mit dem vorderen Ende über der Überfallkante so lange auf- und abbewegt, bis die horizontale Lage erreicht ist, d. h. die Wasserwage einspielt. Nun kann die Druckhöhe leicht mit dem Meterstabe abgemessen werden.

beträgt), vor die Kante des Uber-

mm

Eine weitere sehr bequeme und in vielen Fällen recht gut brauchbare Methode²), die Druckhöhe h zu messen, besteht darin, daß man ein dünnwandiges Glasrohr a (Fig. 248 Tafel 16), das unten rechtwinklig umgebogen ist, und eine Öffnung von nur l¹^ bis 2 mm hat (während die Weite des übrigen Rohres 6 bis 7 falles stellt. Das Wasser steigt in der Röhre nicht nur bis zu der Strahldicke, sondern vermöge der Geschwindigkeit des Wassers genau bis zur Druckhöhe h, so daß man dieselbe leicht direkt mit dem Maßstabe messen kann.

Die Öffnung b des Glasrohres darf indessen nicht zu tief unter der Kante des Überfalles befindlich sein. Auch befestigt man das Rohr am

besten an ein hölzernes Gestell, wie bei dem Pitotschen Geschwindigkeitsmesser (Fig. 230 bis 232 auf Tafel 14), welcher im Prinzipe ganz auf dieselbe Weise wirkt.

§ 76.

¹

Annales de ponts et chaussees, Bd. XIX, 1890, S. 9.

²

== 0,33; 0,40; 0,50; 0,60; 0,70; 0,80; 0,90; 1,00. (0,381 + 0,062 1) = 0,401; 0,406; 0,412; 0,418; 0,424; 0,431; 0,437; 0,443.

³

Sehr genaue Messungen hat Frese bei seinen im § 80 mitgeteilten Versuchen vorgenommen.

²) Vergleiche hierzu § 82.

18³

Einfluß der Gerinne bei Überfällen.

Wenn das Vorhandensein eines Gerinnes bei Schützenösfnungen einen wesentlichen Einfluß auf die ausfließende Wassermenge ausübt, so kann man voraussetzen, daß dieses bei den Überfällen gleicherweise der Fall sein dürfte.

Die in den nachstehenden Tabellen zusammengestellten Resultate der von Lesbros über diesen Gegenstand angestellten Versuche bestätigen diese Voraussetzung und es geht aus denselben deutlich hervor, daß man eben keine allgemein gültigen Regeln über die Wassermenge bei Überfällen aufstellen kann, vielmehr bei einer Vermessung dann am sichersten geht, wenn man jeden speziellen Fall für sich betrachtet und nur die diesem letztern entsprechenden Koeffizientenwerte benützt.

Bei den Anordnungen a, b, c, d, e, f (Fig. 173—178) ist das sich dem Überfalle anschließende Gerinne in gleicher Breite mit demselben, liegt horizontal und hat eine Länge von 3 m.

Bei der Anordnung g (Fig. 179 Tafel 11) dagegen ist das Gerinne um !/io der Länge geneigt und hat eine Länge von 2,50 m.

Dieser letztere Fall entspricht also demjenigen, welcher bei den Wasserrad-Einläufen am häufigsten vorkommt.

. Drnckhöhe h in m

Ausflußköeffizient «T für einen Überfall von der Anordnnng

(5*9-173)

(Fig-174)

(Fig.175) <Fig.176)

Gig-177)

(Fig. 178)

(Fig. 179)

0,010

0,020

0,030

0,040

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

0,100

0,196

0,234

0,263

0,278

0,286

0,292

0,297

0,301

0,304

0,208

0.231

0,251

0,266

0,281

0,288

0,294

0,298

0,302

0,201

0,228

0,250

0,267

0,280

0,289

0,295

0,300

0,304

0,260 0,276 0,285 0,291 0,295    0,340

0,299 I 0,340

o,395 0,383

0,373

0.365

o,347

o,345

0,406

o,395

0,385

o,379

o,375

0,372

o,37i

o,37i

0,370

0,369

Druckhöhe h in m

Ausflußkoeffizienten av für einen Überfall von der Anordnung

Mg. 173)

(Sig.174)

(Fig.175)

(Fig-176) <Fig.177)

(mm

<Fig- 179)

0,369 0,369

0,368 0,368

0,367 0,367

0,366

0,365

0,364 0,361

Die Vergleichung der verschiedenen Koeffizientenwerte zeigt, daß dieselben für die kleinern Druckhöhen von 0,01 und 0,02 m kaum mehr als halb so groß ausfallen können, als diejenigen für dieselben Druckhöhen bei anderer Anordnung des Überfalles. Das geneigte Gerinne der Anordnung g (Fig. 179 Tafel 11) beeinträchtigt dagegen die ausfließende Wasfermenge etwas weniger als das horizontale Gerinne. Immerhin geht aus der Tabelle hervor, daß das Vorhandensein eines Gerinnes von derselben Breite mit dem Überfalle sorgfältig in Betracht gezogen werden muß, da es bedeutenden Einfluß auf das abfließende Wasserquantum hat.

0,110

0,120

0,130

0,140

0,160

0,180

0,200

0,220

0,250

0,300

0,306

0,309

0,311

0,313

0,316

0,317

0,319

0,420

0,321

0,324

0,305

0,308

0,310

0,312

0,316

0,319

0,322

0,325

0,329

0,332

0,307

0,310

0,312

0,314

0,317

0.319

0,322

0.324

0,326

0,329

0,303

0,306

0,308

0,311

0,315

0,319

0,322

0,325

0,329

0.332

o,339

0,338

o,337

0,336

o,334

o,333

o,33i

o,33o

0,328

0,326

o,344

o,343

o,342

o,34i

0,340

0,339

0,338

o,337

0,336

o,334

§ 77.

Überfälle mit schiefen Wehren.

Um dem Überfalle (namentlich in Flüssen) mehr Ausdehnung zu geben und zu verhindern, daß bei reißenden Gewässern die vom Hoch- 1) Wasser mitgeführten Baumstämme u. dgl. nicht so leicht am Überfalle hängen bleiben und sich stauen; ferner um bei der Anlage von Seitenkanälen das Wasser leichter in diese abzulenken, werden die Wehre öfter schief angelegt, d. h. geneigt gegen die Längenrichtung des Stromes.

Die Versuche von Boileau haben gezeigt, daß man bei solchen schiefen Wehren die abfließende Wassermenge berechnen kann, wie bei einem normal gegen die Lüngenrichtung des Flusses stehenden Wehre von derselben Länge, wie das schiefe Wehr, wenn man das Resultat mit den nachstehenden Werten multipliziert.

Mit 0,942, wenn die Schiefe 45° beträgt und „ 0,911,    „

§ 78.

Ermittelung von Wassermengen bei Wehren mit geneigtem

Fachbaume.

Die schon mehrfach angeführte Dubuatsche Formel

Q = |abh^/2gh,

läßt sich wegen ihrer Einfachheit zur Ableitung anderer Formeln benutzen, die natürlich ebensowenig wissenschaftlich sind wie sie selbst und nur zu rohen Annäherungen gebraucht werden können. Dies gilt auch von Formeln, welche v. Podhagsky ') abgeleitet hat. Es handelt sich dabei um die Bestimmung der Überfallmengen bei Wehren mit geneigtem Fachbaume (Fig. 356 Tafel 32).

Er erhält nach der unten gegebenen Entwicklung

•    - Q = |ab f/2g-    -

wenn die Zuflnßgeschwindigkeit vz annähernd — 0 gesetzt werden kann, und:

1) . .

h₂-h, '

2) , .

Q = |a/2g.b{l

(h₂ + H)’-(h₁ + H)

h₂ — bx

}■

wenn, wie im § 83, H

Hierbei ist also noch die Geschwindig-

v?

2g'

keitshöhe H als für die ganze Breite b gleichbleibend angenommen.

Zu einem ebenso richtigen oder noch besserem Resultate als die Formeln 1) und 2) ergeben, gelangen wir durch Bestimmung des Mittelwertes aus den Ausflußmengen bei horizontalem Fachbaume von der Länge b und den Druckhöhen b,, bx -si ^ (b₂— hj), hx-f-§ (h₂— hx), b₂ oder b,, hi + {(b₂—hx), hx + -|(h₂—bx), h₁-f-|(h₂ — hx), hx-|-|(h₂—hx), h₂.

Zu den obigen Formeln gelangt von Podhagsky in folgender Weise. Er setzt in der Dubuatschen Formel

und ec hält dadurch

f«V2g = C Q = C b hl

Durch einen unendlich schmalen Streifen y dx (Fig. 356) fließt darnach

dQ = C dx yk

Nun ist y = h₂ — rj und q ^ x, daher

!) Ter Civil-Techniker, Wien 1894, Nr. 21.

und dQ = C(h₂— ~xP dx.

y ₌ h₂-__

Integriert man diesen Ausdruck zwischen den Grenzen x = 0 und x = b, also

b

Q-C/(b,-

0

x)2 dx,

' so erhält man unter Benutzung des obigen Wertes von C die Gleichung 1). Soll die Zuflußgeschwindigkeit berücksichtigt werden, so erhält man nach

Q = t«b]/2i [(h + H)*-H*]

das Differential:

oder

dQ = C dx [(y + Hf - H*] dQ = C dx [(b₂ -~x + H)*-H?].

Formel 2).

Durch Integration zwischen den Grenzen x = 0 und x = b findet man die

§ 79.

Versuche von Fteley, Stearns und Francis.

Versuche von A. Fteley und F. P. Stearns bei vollkommenen Überfällen, von gleicher Breite mit den Zuflußkanälen.

Im Jahre 1877.

Breite des Zuflußkanales

Lichte Breite der Überfälle

Höhe der Überfalls -schwelle über der Kanal-

sohle

Höhe des noch ungesenkten Oberwassers über der Überfallsschwelle

Geschwindigkeit des zufließenden Oberwassers

Abgeflossenes und gemessenes Wasserquantum in der Sekunde

Vz

5,o

4,996

4,996

4,998

4,9965

3.17

5,o

4.999

4,966

4.998

4.999

5,o

0,0746

0,0991

0,1225

0,16385

0,21826

0,25325

0,32605

0.48443

0,6737

0,8118

0,023

0,034

0,046

0,069

0,1033

0,1265

0,180

0,3117

0,488

0,627

0,3652

0,5498

0,7526

1,1536

1,75073

2,15975

3J4475

5,696

9,376

12,466

Im Jahre 1878.

Breite

des Zuflußkanales

Lichte Breite der Überfälle

Höhe der Überfalls-schwelle über der Kanalsohle

Höhe des noch ungesenkten Oberwassers über der Überfallsschwelle

Geschwindigkeit des zufließenden Oberwassers

Abgeflossenes und gemessenes Wasserquantum in der Sekunde

Vz

5,o

5,0048

5,0044

5,0045

5,0043

5,0049

5,0047

5,0046

5,0040

5,0042

5,0038

3,56

0,1509

0,23035

0,33685

0,42425

0,4305

0,5116

0,5477

0,60076

0,69245

0,8047

0,054

0,098

0,168

0,233

0,237

0,301

o,33i

0,375

o,455

0,556

1,007

1,8685

3,284

4,6365

4,736

6.134

6,796

7,8093

9,677

12,147

19,0

18,997

Im Jahre 1879.

6,55    0,4685

»    0,6460

„    0,8191

„    0,9853

„    0,9873

„    1,1456

,    1,2981

»    i,4546

»    1,6038

0,151

0,239

o,334

0,433

0,433

0,532

0,632

o,737

0,840

20,178

32,685

46,760

62,023

62,061

77.783

94,192

112,066

130,117

Versuche von Francis an einem wehrartigen Überfalle mit einer 2,95 Fuß breiten Wehrkrone und stromauswärtiger Böschung von 20° Neigung.

5,048

13,385

20,892 28,914 46,183 64,346

Die Längenmaße sind in engl. Fuß, die Ausflußmengen Q, in Kubik-fuß gegeben.

Bei den Versuchen von Fteley und Stearns waren die Überfallwehre senkrecht zur Stromrichtung, mit vertikalen Wänden gegen das Oberwasser

9,995

9,995

0,5872

0,7904

0,9767

1,3252

1,6338

0,238

0,358

0,480

0,725

0,963

mit senkrechten Seitenwänden und mit horizontalen Wehrschwellen erbaut. Die letzteren endigten oben in einer 1 Zoll starken abgehobelten und mit stromabwärts abgeschrägten Oberkante versehenen eisernen Platte.

Versuche über die Wasserabströmungen bei den vollkommenen Überfallwehren, welche schmäler als die Zuflußkanälc waren.

Versuche von I. B. Francis im Jahre 1852.

13,96

9,997

5,048

5,048

5,048

5,048

5,048

2.014

2,014

2,014

0,62355

0,79899

o,99732

1,24757

1,55079

0,64928

0,82624

1,05033

16,2148

23,4305

32,5798

45,5654

62,60I9

17,4428

25,0410

36,0017

Versuche von A. Fteley und P. Stearns im Jahre 1878.

5,o

3,008

3,0081

3,008

3,007

3,0101

2,3132

2.3125

2.3126

3,56

0,2155

0,3301

0,4843

o,7398

0,8708

0,5824

0,7478

0,9548

1,007

1,869

3,284

6.134

7,8075

3,284

4,736

6,796

5,0

4,0058

4,007

3,3107

3.3101

3,3095

3,56

0,4978

0,70595

0,5678

0,6860

0,9307

4.636 7,815

4.637 6,134 9,6485

Die Maße sind wie bei der vorigen Tabelle in engl. Fuß bezw. Kubikfuß gegeben.

Francis stellte bei seinen Versuchen noch fest, daß das Unterwasser ohne Einfluß aus die durch den Überfall fließende Wassermenge ist, so lange seine Höhe t nicht weiter als bis 3" = 75 mm unter Kante des Überfalles steigt.

§ 80.

Cipollettis Versuche.

Im Jahre 1885 führte Cipolletti an einem Schleusenwehre und an einem Überfallwehre im Ticinoflusse Versuche aus und beschrieb dieselben in der 1886 in Mailand erschienenen Abhandlung:

„Canal Villoresi, Modell für die Verteilung des Wassers, freie Überfälle in Trapezform mit konstanten Kontraktionskoeffizienten, Versuche und Formeln für große Überfälle mit geneigter oder horizontaler Schwelle. Vom Ingenieur Cesare Cipolletti, Direktor der Arbeiten am vorerwähnten Kanäle."

Aus diesem Titel geht schon hervor, daß der Verfasser der Meinung ist, es mit einem konstanten Kontraktionskoeffizienten bei Überfällen von bestimmter Trapezform zu thun zu haben. Er leitet den Wert für die Neigung der Seiten aus der Formel von Francis:

Q = 0,623 (b —

o,owii{(h+D,-(vy}

ab. Diese ist aber, wie wir aus den später folgenden Erörterungen nach v. Wex sehen werden, nicht richtig. Ferner zeigen die verschiedensten Versuche, daß es keine Gattung von Überfällen giebt, für welche der Ausflußkoeffizient konstant ist. Daher gehen wir auf Cipollettis Theorie nicht weiter ein, führen aber in der nachstehenden Tabelle seine Versuche an, weil sie für die zu Grunde liegenden besondern Wehrkonstruktionen von Wichtigkeit sind.

Das Schleusenwehr hat 36 Schützen-, bezw. Thoröffnungen von 2,025 m lichter Weite, somit ist b — 36 • 2,025 — 72,9 m. Die einzelnen Thoröffnungen sind durch 0,08 m dicke Scheidewände getrennt. Die Krone der Schleuse, welche 2,44 m hoch über der Flußbettsohle liegt, hat 1,45 m Breite mit einer Neigung von 0,02 m und besitzt eine 0,12 m hohe vorstehende Überfallschwelle. Diese Schleuse ist an den Abschlußdamm mit zwei Flügeln von 2,50 m und 2,95 m Radius angeschlossen. Das Querprofil ist in Fig. 351 auf Tafel 32 wiedergegeben. Bei der nachstehenden Tabelle ist die Breite des Znflußkanales 81,15 m auf die

entsprechende Breite ebenso ist mit Q verfahren.

—— 2,254 m für eine Schleusenöffnung reduziert,

Breite des

Zufluß

kanales in m

Breite des Überfalles in m

Höhe der Überfallschwelle über der Flußbett-sohle in m

Höhe des noch ungesenkten Oberwassers über der Überfallschwelle

Geschwindigkeit des zufließenden Oberwassers in m

Sekundliche Ausflußmenge in cbm

VZ

0,538

0,770

0,835

0,895

1,61766 2,76436 3,1485 3,45595

Eine zweite Gruppe von Versuchen fanden an einem im Ticino errichteten Stauwehr statt, das 289,44 m lang und irrt Mittel 3,0 m über der Flußsohle erhöht ist. Sein Querprofil ist in Fig. 352 dargestellt.

2,254

2,254

2,254

2,254

2,025

2,025

2,025

2,025

2,44

2,44

2,44

2,44

0,241

0,382

0,4265

0,4597

Breite des Zuflußkanales in m

Breite des Überfalles in m

Höhe der Überfallschwelle über der Flußbettsohle in m

Höhe des noch ungesenkten Oberwassers über der Überfallschwelle

Geschwindigkeit des zufließenden Oberwassers in m

Sekundliche Ausflußmenge in cbm

vz

289,44

289,44

289,44

289,44

289,44

289,44

3,oo

3,oo

3,oo

0,458

0,628

0,928

0,23

o,37

97,427

239,771

422,542

§ 81.

Ergebnisse der von Professor Frese an der Herrenhäuser Schiffsschleuse (vollkommener Überfall mit seitlicher Kontraktion B — 6,3 in, T — 4,0 in) ausgeführten Versuche.

0,5 m 1,0 m 1,5 m 2,0 m 2,5 m 3,0 m

«i

«2

"i

«₂

«i

"2

"1

«Mittel «Mittel «Mittel «Mittel «Mittel «Mittel

0,1 m

0,2 m

0,3 m

0,4 m

0,5 m

0,6 m

o,5774|o,573I

0,5753

0,617410,6251

0,6213

0,5927(0,5866

0-5897

0,5956|o,5972

0,5964

0,5886(0,5704

o,5795

o,5754|o,5674

o,57i4

0,5665(0,5636

0.5651

0,5636(0,5669

0,5653

0.5659(0,5617

0,5638

o,6oi5|o,5959

0.5987

°,595°|o,583i

0.5891

0,5850(0,5807

0,5829

0,5804(0,5719

0.5762

0,5758(0,5666

0,5712

0,6019(0,5976

0,5998

o,5955(o,5857

0,5906

0,5842(0,5804

0,5823

0,5781(0,5839

0,5810

0,5816(0.5820

0,5818

0,6246|o,6io6

0,6176

0,5992(0,6014

0,6003

0,5967(0,5922

0.5945

0,5891(0,5880

O.5886

0,5859(0,5828

0.5844

0,605410,6178

0,6116

0,6067§0,6040

0,6054

0,6015(0,5976

0,5996

o,5933|o,5847

0,5890

0,609710,6241

0,6169

0,594^0,6101

0,6024

0,5966(0,6023

Q-5995

0,5891(0,5950

o,592i

0,5990(0,5851

0,5921

0,1 m

0,2 m

0,3 m

3,5 m

4,0 m

4,5 in

5,0 m

5,5 m

«1

«2

«1

«2

«2

«2

«1

«2

«Mittel

«Mittel

«Mittel

«Mittel

«Mittel

0,6092(0,6224

0,6158

0,6032(0,6018

0,6025

0,5940(0,5964

o,5952

0,6137^,6246

0,6192

0,6009(0,6075

0,6042

o,5987|o,5956

o,5972

0,6031(0,6117

0,6074

0,6046(0,6048

0,6047

0,6031(0,6004

0,6018

0,6129

0,6129

0,6130

0,6130

0,6000 jo,6076 0,6038

0,6201

0,6201

|°,6i 15

0,6115

0,6069

0,6069

0,6039(0,6045

0,6042

0,6006(0,6003

0,6005

0,6093

0,5952(0,5996

o,5974

ax und a₂ gehören zwei verschiedenen mit andern Hilfsmitteln durchgeführten Versuchsreihen an und bezeichnen die Ausflußkoeffizienten der Formel

Hiernach ist nun die folgende Tabelle, welche sich im Rahmen der Herrenhäuser Versuche hält, berechnet worden, natürlich unter Zuhilfenahme graphischer Auftragungen.

0,4 m

0,5933(0.6002

0,5968

0,6093

Q = |abh)/2gh.

Druck

Ausflußmenge in Litern bei einer Breite des Überfalls von

höhe

b —0,5 b= 1,0 b = 1,5 b = 2,0 b = 2,5 b = 3,0 b = 3,5 b = 4,0 b=4,5 b = 5,0 b=5,5

56    86

115    144

201

60

93

123

154

216

200

231

76

122

212

144

222

294

370

213

246

227

262

241

278

O O co O co vo

CO rh VO OO    C-.

ri n n m n co

287

309

331

318

343

368

256

294

335

270

310

354

285

326

300

OJ Oj    Oo Oo OJ

vO    0\    '

Vj ■<! 11 ln O ln

409

426

443

to -p»

'O

CO co

3¹¹

330

413

436

414 459 435 483 456 508 478 533

5°o

522

559

585

354

377

411

425

450

475

500

526

552

579

606

634

662

393

418

444

470

497

524

552

150    230    305

384

460

545 612 568 639 592 666 616 693

691

720

749

778

ur> ro in

N N OO X

Druck

höhe

0,200

0,205

0,210

0,215

0,220

0,225

0,230

0,235

0,240

0,245

0,250

0,255

0,260

0,265

0,270

0,275

0,280

0,285

0,290

0,295

0,300

0,305,

0,310.

0.315

0,320

0,325

0,330

0,335

0,340

o,345

o,35o

o,355

0,360

0,365

o,37o

o,375

0.380

0,385

0,390

0,395

Ergebnisse der von Prof. Frese an der Herrenhäuser Schiffsschleuse re.

Ausflußmenge in Litern bei einer Breite des Überfalls von

285

b = 0,5 b = l,0 b = 1,5 b = 2,0 b = 2,5 b = 3,0 b = 3,5 b=4,0 b = 4,5 b = 5,0 b = 5,5

76

79

82

85

88

9i

94

97

100

103

I06

IO9

112

"5

118

122

125

128

132

135

139

142

145

149

152

156

160

163

167

171

174

178

182

185

189

193

196

200

204

208

156

162

168

174

180

186

192

198

204

210

217

223

23O

236

243

249

256

263

269

276

283

290

296

303

310

317

324

331

339

346

353

361

368

376

383

391

399

407

415

423

238

247

256

265

273

282

291

300

310

319

329

338

347

\0 *oo

407

417

428

441

452

462

473

484

495

506

517

528

539

550

561

572

583

594

605

617

629

640

g.?ff£?S’ä3ä'3i'3 -Z    " £ S SS 'S ’S £ »£ S

~O0 ^ ^ S On M ln O t-r, •N0 4^<04^V04^<OU1    tO OOCni—1^4^ M    m

r? ^ ^ N O O vO VO vo VO

868

886

905

924

943

!    962

982

1001

1021

1041

1061

1081

478

496

514

532

550

569

588

607

627

646

666

686

706

727

747

768

789

810

831

852

873

894

9i6

982

1004

1026

1048

1071

1094 ii 16

1139

1162

1185

1208

1232

1256

1280

1304

557

578

599

620

642

664

686

708

730

752

774

797

820

843

866

889

912

936

960

985

1010 1036 1062 1088 1114 1141 1168 1195 1222 1249

1276

1304

1332

1360

1388

1416

1444

1473

1502

1532

640

664

688

713

737

762

787

812

837

862

888

914

940

966

992

1019

1047

1074

1102

1130

1159

1187

1216

1246

1275

1305

1335

1366

1396

1427

1458

1490

1522

1554

1586

1618

1651

1684

1717

1750

720

807

888

M 4»

ON 00

837

867

920

953

804

832

860

888

916

945

974

1003

1032

1061

1091

1121

1152

1183

1215

1247

1279

1312

1346

1381

1416

1451

i486

1521

1557

1593

1629

1665

1701

1737

1773

1808

1843

1878

1913

1948

1983

897

928

959

990

1021

1053

1086

1119

1152

1185

1218

1252

1286

1320

1355

1391

1428

1465

1502

1539

1576

1613

1651

1690

1729

1768

1807

1847

1887

1928

1969

1989

2050

2090

2132

2173

987

1021

1055

1090

1125

1161

1197

1233

1270

1307

1344

1382

1420

1459

1499

1539

1597

1619

1660

1701

1742

1784

1827

1871

1915

1959

2003

2048

2094

2138

2184

2229

2275

2320

2366

2412

2457

Druck

höhe

Ausflußmenge in Liiern bei einer Breite des Überfalls von

b = 0,5

b = l,0 b = l,5 b = 2,0 b = 2,5 b = 3,0 b = 3,5 b = 4,0 b=4,5 b = 5,0

b = 5,5

0,400

0,405

0,410

0,415

0,420

0,425

0,430

0.435

0,440

0,445

212

215

219

224

228

232

236

239

244

248

430

439

447

M "=4- XD 00 i-n vd 00 XD xO xo XO

912

928

0,450

0,455

0,460

0,465

0,470

0,475

0,480

0,485

0,490

0,495

252

256

260

2 73

2 77

282

286

290

Ox 00 <£> "d-    ro

00 O' o

'd* rj- vr>    vT)

O On

574

582

591

0,500

0,505

0,510

o,5i5

0,520

0,525

0,530

o,535

o,54o

o,545

o,550

o,555

0,560

0,565

0,570

o,575

0,580

0,585

0,590

o,595

0,600

295

299

304

308

313

317

322

326

331

335

34°

344

349

354

358

363

367

M t^. ri !>. OO OO

m m m rn

601

609

618

627

636

645

654

66z

672

68l

O ON O-N O-N XD XD

c» xo vn vn

Ln xo"    00"

i>*

700 944 712 961 725 977 737 993 750 1010 762 1027

775 1044 789 1061 801 1078 814 1095 828 1113 841 1130 854 1148 868 1166 881 1184 895 1202

910 1220

IIOI

1121 1353 II42 I377 II63 I4O2 II84 I427 1206 I452 1227 I478 I249 1504 I28o 153O 1292 1556

1327 1562

1314 1583

1336 1610 1358 1636 1380 1662

1402 l688 I425 I716 1447 1743 1469 1770 I492 1798 I5I4 I826

1537 1854

1783

2OI8

2257

2503

923

938

952

g66

xO

xO OO

1009

1023

1038

1052

1067

1081

1095

IIIO 1124 1139 1153 1168 1183 1198

§ 82.

Berechnung des Ausflußkoeffizienten « der Dubuatschen Formel.

Die verschiedensten Experimentatoren haben es versucht für den Ausflußkoeffizienten a Berechnungsformeln aufzustellen und zwar sind die meisten von der im § 66 wiedergegebenen sogenannten Dubuatschen Formel

Q = | ab h /2gh ausgegangen und sind, wie auch in neuerer Zeit Frese, zu dem Ergebnis gelangt, daß:

1.    der Koeffizient a mit wachsender Tiefe abnimmt, und zwar anfänglich rasch, dann langsamer; '

2.    der Koeffizient a mit der Breite wächst, und zwar anfänglich rasch, dann langsamer.

Nach Francis x) würde z. B.

. C / CinlA

!rfil r-j

fein. Hierin sind C und Cx Konstante, n die Zahl der Seitenzusammen-ziehungen und h' die in Rücksicht auf die Zulaufgeschwindigkeit berichtigte Überfallhöhe. Diese Formel ergiebt nur richtige Werte im Bereiche der Experimente, auf welche sie gegründet ist. Andere Werte finden Redtenbacher:

« = 0,381 + 0,062

i , t b k3 a —kt+k₂ y- + -^-;

, 0,0045

a = 0,6075

Fteley und Stearns:

Braschmann (§ 83):

Bazin (für b = B):

()/ 2 g ⁺ h'f j/2g);

Zu den beiden letzten Formeln bemerkt Frese, daß sie nach unten hin nur beschränkte Gültigkeit haben, weil a = oo wird für h = 0.

Für einen vollkommenen Überfall ohne seitliche Strahlzusammen-

ziehung von beliebiger Breite, der Überfallhöhe h und der Kanaltiefe T

giebt Frese zur annähernden Berechnung, wenn b + h:

)[₁₊o,₆₅(A)*].

Znfi1,n , 0,0021 '

a — ^0,6150 -j—^

l) Francis, Lowell Hydraulic Experiments; 4. edition, New York 1883.

Bei den 32 von ihm aufgeführten Versuchen der verschiedensten Experimentatoren weicht der hiernach berechnete Ausflußkoeffizient von dem beobachteten um — 1,86 bis + 1,35 °/₀ ab. Die Formel ist gültig für Druckhöhen h = 0,1 bis h = 0,5. Ob noch für größere Druckhöhen gute Resultate mit ihr erzielt werden, ist nicht festgestellt.

Bei seitlicher Kontraktion und Zufluß aus einem sehr großen Behälter über ein Wehr mit senkrechten Wänden und scharfkantiger Ausflußöffnung ist

«o — 0,5755 -j-

0,015    0,075

h+0,18 b +1,2'

Mit Benutzung dieses Wertes findet er für den Ausflußkoeffizienten bei einem Überfall von der Breite b, der in einem Kanal von der Breite B errichtet ist:

„=«,{!+[>,0’₊r](4)!(,

0,0375

(±)W

wenn

£' = 0,025

—    0,2 m,

—    0,6 m.

Die letzten drei Formeln geben gute Werte, wenn h innerhalb der Grenzen 0,1 und 0,6 liegt. Als geringste Überfallbreite ist anzunehmen d — 0,1 ni für b — 0,5 m „

Die größte Breite bei den Herrenhäuser Versuchen betrug 5,5 m. Die obersten Grenzen der Verhältnisse und    für welche noch Ver

suche vorliegen, sind

= 0,1 für ^ = 0,9,

= 0,2 = 0,3 = 0,4 = 0,4 = 0,7 = 1,0

EH

= 0,8, = 0,7, = 0,5, = 0,3, = 0,2, = 0,1.

Obwohl die Versuche mit großer Ausdauer durchgeführt uud dre Resultate nach den verschiedensten Richtungen hin unter Zuhilfenahme älterer Versuche rechnerisch verwertet wurden, so machen doch die abgeleiteten Formeln keinen Anspruch auf allgemeine Gültigkeit, wie Frese selbst zu-giebt. Dies liegt wohl hauptsächlich daran, daß die Dubuatsche Formel benutzt wurde. Das Hauptaugenmerk der Hydrauliker wird wohl jetzt darauf zu richten sein, erst eine oder mehrere gute Grundgleichuugen aufzustellen, wie dies nicht ohne Geschick v. Wex versucht hat, und hauptsächlich festzustellen, von welchen Umständen der Ausflnßkoeffizient und das andere Glied der Formel abhängt.

§ 83.

Neuere Formeln zur Berechnung der Ausflußmengen bei vollkommenen Überfällen.

In der Dubuatschen Formel (§ 66) ist die Zuflußgeschwindigkeit vz nicht enthalten, daher gilt sie auch nur, wenn die Ausstußöffnung gegen den Querschnitt des Zuflußkanales sehr klein ist und man angenähert vz = 0 setzen kann. Mit Berücksichtigung von vz sind die verschiedensten Formeln aufgestellt, von beiten wir nur die einfachsten und gebräuchlichsten aufführen wollen.

Nach Fig. 160 Tafel 10 könnte man sich vorstellen, daß die ausfließende Wassermenge identisch wäre mit derjenigen, welche eine Schützenöffnung von derselben Breite und der Höhe (h — ht) liefert. Danach würden wir erhalten:

Q = !«b ,/2 g [li- — h^J'),

welche Formel auch im § 29 gegeben ist, natürlich dort noch ohne den Ausflußkoefffzienten a.

Denken wir uns jetzt die Zuflußgeschwindigkeit vz durch eine Wassersäulenhöhe H = ^ erzeugt, so wird die Pressungshöhe h an der Unter*

H vergrößert. Dadurch erhalten

kante und an der Oberkante um wir die Gleichung

Vz²

l)..

oder

2) • • • Q = i « b ^ [(h + H)¹ - (h, + H) *].

Mit diesen Formeln begnügte man sich nicht lange, denn durch Versuche wurde gefunden, daß der hydrostatische Druck beim Überfall so groß ist, als wenn keine Senkung des Wasserspiegels stattgefunden Hütte. Man

y Am Schluß des Bandes findet man eine Tabelle, welche h-' für verschiedene Werte von h enthält.

19

Meißner, Hydraulik. I. 2. Auflage.

brachte nämlich ein unten umgebogenes Glasrohr (Fig. 248 Tafel 16) kurz vor dem Wehr in das Wasser und sah, daß die Flüssigkeit im Rohre bis zur Höhe h über der Wehrkrone anstieg.

Hiernach müßte die Ausflußformel lauten:

3) . .

oder

|ab/2g[(h + ^/-(^y]

4) . .

a d j/2 g [(h -f Hy — H¹].

Aber auch bei Benutzung dieser Formel fand man, daß die Wirkung der Zuflußgeschwindigkeit zu gering angesetzt war und multiplizierte deshalb

2g

die Geschwindigkeitshöhe ~ noch mit einem Faktor, der nach Fteley und

Stearns ungefähr — 1,5 ist. Dadurch ergiebt sich

6) . . . Q — a b j/2g[(h +1,5 h)¹-(1,5 H)¹].

Um diese Formel noch zu vereinfachen, ließen manche Hydrauliker das letzte Klammerglied, wegen seiner Kleinheit gegen das erste, fort und erhielten dadurch

7) . .

ab /2g(h + l,5pg)

O 00

•'•••• . Q = |abl/2g(b-f l,5H)-.

Dieser Ungenauigkeit ausweichend setzen Francis und Cipolletti

[(-

+ 1,5~

V s V 2\5'-|3

) -Ksi) ]

um die einfachere

gleich einer scheinbar vorhandenen Druckhöhe H Schreibweise

9)

Q = fabl//2gH₁

der Formel 3) oder 5) zu erhalten.

Für Überfälle, die seitliche Kontraktion besitzen und somit nicht die ganze Breite des Zuflnßkanales einnehmen, hat Cipolletti die von Francis aufgestellte Formel

10) . . . . Q = 0,623 (b — 0,20h) f /2g als richtig angenommen, und daraufhin für seine trapezförmigen Wehr-ausfchnitte die Formel

11)

Q = l,86bhf

abgeleitet, wonach also der nach seiner Meinung konstante Ausflußkoeffizient und die andern Zahlenwerte zu 1,86 zusammengefaßt sind. Für g wurde der in Oberitalien zutreffende Wert 9,806 gesetzt. Vor Gebrauch dieser Formel ist schon im § 75 gewarnt worden.

Besser schon ist die von Professor Braschmann aus Moskau aufgestellte Formel, welche bei Überfällen in dünner Wand oder solchen mit stromabwärts abgeschrägter Kante gute Übereinstimmung mit den Thatsachen zeigt, da sie für Druckhöhen über 100 mm genaue Werte liefert, dagegen bei Druckhöhen unter 100 mm im Mittel um nur 2 % differiert, und selbst bei ganz kleinen Druckhöhen von 30 mm Werte liefert, die nicht um mehr als einige Prozente von der Wirklichkeit abweichen.

Die Braschmannsche Formel berücksichtigt wie die Weisbachsche § 72 sowohl die verschiedenen Druckhöhen, als auch den Einfluß des Breitenverhältnisses von Überfall und Kanal und lautet

12)    ... Q — (ki -f~ k₂ -g- -j- k₃ b h Y2 g b.

j für jedes Maßsystem,

Hierin sind kj, k₃, ks Konstante und haben die folgenden Werte: ^ = 0,3838 k₂ =0,0386

k₃ = 0,00053 für Metermaß, kz = 0,001686 für preußisches Maß, k₃ = 0,001766 für Schweizer Maß, k₃ = 0,001614 für englisches Maß.

Setzt man, um die Formel weiter zu vereinfachen, den Ausdruck

= a%,

(ki + ^2 y- + k₃    f/2 g

so nimmt sie die Gestalt an

13)

Q z= aB b lr.

Für Überfälle mit scharfen Kanten (stromabwärts abgeschrägt) sind in der folgenden Tabelle die Koeffizienten a® für verschiedene Druckhöhen

und verschiedene Werte des Verhältnisses zusammengestellt.

') Siehe die Bemerkung von Frese auf S. 287.

19*

Koeffizient «y bei einer Druckhöhe von h =

0,030 m 0,050 m 0,10 m 0,20 m 0,30 m 0,40 in 0,50 m 0,60 m

i-i    rh NO OO O

o    o 6 o *-T

1,7969    1,7640    1,7410    i,7295    1,7256    1,7233    1,7-20    1,7216

1,8478    i,8i5o    1,7920    1,7805    1,7765    1,7741    1,7729    1,7725

1,8823    1,8496    I,8260    I,8l46    I,8l06    I,8083    I,8070    I,8066

I,9l65    1,8836    I,8602    1,8486    1,8452    1,8425    1,8411    1,8407

1,9505    1,9178    1,8943    1,8828    1,8787    1,8765    1,8752    1,8748

Auf viel bessere Grundlagen als all diese Formeln stützen sich die von v. Wex aufgestellten, welche den tut § 39 a gegebenen entsprechen.

Für ein Wehr, wie es die Fig. 328 bis 330 auf Tafel 27 darstellen, gilt die Gleichung

. . Q = iab/2g(iAi)[s₁*-sf].

14) - .

Es bezeichnet hierin b die Breite der Wehröffnung, h die Stauhöhe,

8i die Summe aller hydraulischen Drucke an der Wehrkrone, s dieselbe Summe für den Wasserspiegel.

Die hierzu gehörigen Werte sind:

15) . .

vz²si i B —b

■ *=2iL¹+-b

cos

■]-

16) . .

. . Sj = s 4" b

4Bk vz²

COS²

oder

bh 2g

15') . .

16') . .

. s, = s -j- h

__y^ri+—b

B(k + h)/ 2gL ^ b 2 B k

COS

Cü |G<1

bgh XB(k + h)

cos

In diesen Formeln ist

s der Winkel, den die Wehrflügel mit dem Flußufer bilden, der Böschungswinkel,

B die Flußbreite,

vz die Zuflußgeschwindigkeit.

Wird im besondern Falle e — >; = 90°, so nehmen die Gleichungen die Gestalt an: 17) . .

19) . . . .    8/— s + k -j-

2 Bk vz2 'bk 2g'

18)

vr

^sgL¹

B — tri

b J

₌ vz²B “2g b '

18')

19') . .

s-_Lf

S"2gXB(k + h)

•    - s, = s + h -|

)[H

PT* CT¹

J 2gVß(k-fk)/ b '

)•

b h g \B (k -j- k)

Sind keine Wehrflügel vorhanden, so muß in den vorhergehenden Formeln B = b gesetzt werden. Dadurch erhält man:

20) . .

vz²

21) . .

22) . .

IT I 2 k Vz²

- s₁=s + k + ^-.^,

CsO

21') - -

22') . .

•    • si =

■_ ¹ ( Q \

2g\b(k + h)/ '

S + h + ih(b(k + h)

)’

Für die in den Formeln 14 bis 22' vorkommenden Ausflußkoeffizienten a hat v. Wex aus den auch von uns § 79 mitgeteilten Versuchen von Francis, Fteley und Stearns Werte abzuleiten gesucht. Er hat gesunden, daß

23) . a = 0,3655 + 0,02357 Q ) + 0,002384    0 00305 b

oder

für Metermaß

23') . | a = 0,3655 -j- 0,02357 Q-)

für engl. Fußmaß

0,007328

0,00093 b

mit den Experimenten (§ 79 zweite Tabelle) gut übereinstimmende Aus-fiußkoeffizienten ergeben.

Ist jedoch die Breite b des Überfalls gleich der Breite B des Zuflußkanales, so muß a nach

24) . . | a = 0,4001 + °'Q^U + 0,00048 b für Metermaß oder nach

24’) . . | a = 0,4001 + °^³⁶² -f- 0,000146 b für engl. Fußmaß

berechnet werden, damit die Gleichungen 20) bis 22) Werte ergeben, welche mit den im Anfange des § 79 aufgeführten Versuchen übereinstimmen.

In die Gleichungen 20) bis 22') seht v. Wex nach Francis Antrag (b -j- 0,042 h) für b ein, wenn sich der betreffende Überfall am Ende des Zuflußkanales befindet und sich dadurch die überströmenden Wasserstrahlen gleich außerhalb der Schwelle erweitern können.

Mit den Lesbrosschen Versuchen übereinstimmende Ausflußkoeffizienten konnte v. Wex nach einer Formel trotz der eben erwähnten Änderung . feiner Gleichungen 18) bis 20') nicht erhalten, er mußte die betreffenden Experimente in zwei Gruppen teilen und für jede eine besondere Formel aufstellen, die wir jedoch hier übergehen, weil sie sich wissenschaftlich nicht begründen lassen.

§ 84.

Überfälle in den Seitenwänden eines Kanales.

Bor dem Einlaufe in ein Wasserrad- oder Turbinenhaus wird in manchen Fällen ein Leerlauf in den Seitenwänden des Kanales angebracht, so daß die Schwelle oder Krone des Überfalles von der Seitenwand selbst gebildet wird. Es hat dieses gewöhnlich zum Zwecke, keine Leerlauffchütze anbringen und aufziehen zu müssen, wenn die Einlauffalle zum Motor geschloffen wird, ferner wird dadurch eine Überschwemmung des Kanales verhindert, wenn aus irgend einer Ursache plötzlich eine größere Wasser-menge den Kanal herabfließt, als der Motor konsumieren kann.

Ist in einem solchen Falle die Geschwindigkeit des Wassers im Kanäle keine sehr große und der Überfall nicht besonders lang, so kann die abfließende Wassermenge aus dieselbe Weise und mit denselben Koeffizienten berechnet werden, wie ein gewöhnlicher Überfall quer gegen die Läugenrichtung des Kanales.

Ist aber der Überfall breit und die Zuslußgeschwindigkeit des Wassers größer, so ist die Druckhöhe h (Fig. 181) nicht mehr über die ganze Breite des Überfalles konstant, sondern es nimmt dieselbe von oben nach unten ab.

Der Theorie nach würde die Abnahme der Druckhöhe in der Weise erfolgen, daß die Oberfläche des Wassers über die Breite des Überfalles eine Kurve bilden würde, deren Scheitel der Krone des Überfalles zugekehrt ist und deren Schenkel assymptotisch gegen diese Krone auslausen, so daß eine wenn auch geringe Druckhöhe sich auf eine unendlich weite Distanz erstrecken würdö. Es folgt daraus, daß die durch das Schließen der Schütze bewirkte Aufstauung sich keineswegs etwa in demselben Verhältnis vermindert, wie die Länge des Wehres sich vermehrt.

Umgekehrt könnte man demnach einen Überfall' von beliebig kleiner Druckhöhe anwenden, wenn man die Länge desselben entsprechend wählen wollte.

Da dieses indessen die praktischen baulichen re. Verhältnisse niemals gestatten werden und eine sehr geringe Druckhöhe nebst großer Breite des Überfalles weiter keine Vorteile bietet, so wird man immer eine mäßige Breite des Überfalles und eine mittlere Druckhöhe h wählen und denselben für praktische Zwecke genau genug unter der Annahme berechnen, daß die Druckhöhe Ir,proportional mit der Breite des Überfalles abnimmt, resp. der Wasserspiegel nach dieser Breite eine gerade geneigte Linie bildet, in deren Mitte die mittlere Druckhöhe gemessen oder berechnet wird, je nachdem man bei einem vorhandenen Überfalle die abfließende Wassermenge zu berechnen oder die Dimensionen des Überfalles aus der Massermenge zu bestimmen hat.

Morin hat für einen solchen Überfall die Formel aufgestellt Q = ! a L h Y2 g h,

wenn h die Druckhöhe am obern Ende des Überfalles ist. Wird ein im Verhältnis 1:10 geneigtes Gerinne vorausgesetzt, so kann a — 0,37 gemacht werden.

§ 85.

Angenäherte Berechnung der Wassermenge bei vollkommenen

Überfällen.

In Fällen, wo eine Annäherung bis auf ¹/₃₀ bei der Bestimmung . der Wassermenge genügt, welche durch einen gegebenen Überfall fließt, kann man sich zur Berechnung der nachfolgenden Tabelle bedienen. Sie giebt die Wassermenge in Litern an, die bei einer gegebenen Druckhöhe über einen Überfall pro Meter Breite abfließt und zwar, daß

1. Fall: der Überfall wesentlich schmäler ist als der Zuflußkanal

2. Fall: Kanal und Überfall ungefähr gleiche Breite haben (b — B). Es ist dabei vorausgesetzt, daß der Überfall vollkommen sei, kein Gerinne habe und die Tiefe des Kanales nicht viel größer sei, als diejenige des Überfalles (ober als die Druckhöhe h).

Wassermcnge bei Überfällen mit verschiedener Druckhöhe

für jeden Meter Breite derselben.

Druckhöhe über der Schwelle in m

Geschwindig- Wassermenge feit, welche in 1 Sekunde dieser Druck- in 1

höhe entspricht,----

in m I.Fall l 2. Fall

Druckhöhe über der Schwelle in m

Geschwindig- Wassermenge feit, welche in 1 Sekunde dieser Druckhöhe entspricht,

in m I.Fall 2.Fall

in 1

0,030

0,035

0,040

0,045

0,767

0,828

0,886

0,940

io

10

12

12

14

15

17

18

0,050

0,055

0,060

0,065

0,070

0,075

o,o8o

0,085

0,090

0,095

0,990

i,039

1,085

1,130

1,172

1,213

l'253

1,291

1,329

1,365

20

23

26

29

33

36

40

44

47

5i

21

24

27

3i

34

38

42

46

50

54

0,210

0,215

0,220

0,225

0,230

0,235

0,240

0,245

2,030

2,054

2,077

2,101

2,124

2,148

2,170

2,193

i6Z

171

176

182

188

194

200

207

179

185

192

199

205

212

219

226

0,100

0,105

0,110

0,115

0,120

0,125

0,130

o,i35

0,140

0,145

1,401

i,435

1,469

1,502

1,534

1,567

i,597

1,627

1,657

1,686

56

59

60

64

68

73

77

82

86

9i

96

63

68

73

77

82

87

92

98

103

0,250

0,255

0,260

0,265

0,270

0,275

0,280

0,285

0,290

0,295

2,215

2,237

2,258

2,280

2,301

2,323

2,344

2,365

2,385

2,405

213

219

226

232

239

245

253

259

266

273

233

24O

247

254

261

268

276

283

290

298

0,150

0,155

0,160

0,165

0,170

0,175

0,180

0,185

0,190

0,195

0,200

1,715

i,744

1,772

1,800

1,826

1,852

1,879

1,905

1,931

1,956

1,981

2,006

101

108

106

114

in

116

121

127

132

138

143

148

154

119

125

130

136

142

148

154

160

166

0,300

0,305

0,310

0,315

0,320

0,325

o,330

o,335

0.340

o,345

0,350

0,355

0,360

0,365

0,370

0,375

0,380

2,426

2,446

2,466

2,486

2,506

2,525

2,544

2,563

2,582

2,601

2,620

2,639

2,658

2,676

2,694

2,712

2,730

2,748

280

287

294

301

308

Oo ^ U) OJ Oo OJ Oo Oj Oj Ck) Oj Oj 'O'O OQ ^4    <J\ 0\    In) m

nO m (zj Ln 00 O W Cn OO O Oo tu

306

313

361

369

377

385

393

402

410

419

428

436

Druckhöhe über der Schwelle in m

Geschwindigkeit, welche dieser Druckhöhe entspricht, in m

Wassermenge in 1 Sekunde in 1

I.Fall 2. Fall

Druckhöhe über der Schwelle in m

Geschwindigkeit, welche dieser Druckhöhe entspricht, in m

Wassermenge in 1 Sekunde in 1

2.Fall I.Fall

0,390

o,395

2,766

2,784

415

423

0,400

0,405

0,410

0,415

0,420

0,425

0,430

0,435

0,440

0,445

2,801

2,819

2,836

2,854

2,870

2,887

2,904

2.921

2,938

2,955

431

439

447

455

464

472

480

488

497

506

ln Ui Ui    ln    ln    Ui -P*    -P*    -P*    -P*    -F*    -P*

in-fs-tyj    W    m    OiO    OO    "<1    C\    ln

tO Oo OJ    Ui    Ui    CT\ ^1    OO    lO    1-1    In)    In)

o m o

OO OO ON

cf o o

o,595

3,373

3,388

3,402

3,416

752

762

771

78i

822

832

842

853

o,45o

0,455

0,460

0,465

0,470

0,475

0,480

<3,485

0,490

0,495

2,971

2.988

3,004

3,020

3,036

3,052

3,069

3,085

3,100

3-116

0,500

0,505

0,510

o,5i5

0,520

0,525

0,530

o,535

0,540

o,545

3,i32

3,148

3,163

3,178

3,i94

3,2io

3,225

3.240

3,255

3,270

o,550

o,555

0,560

0,565

o,570

o,575

3,285

3,3oo

3.315

3,330

3,344

3,359

|\    oi    -vj OO OO iQ O I⁻* In) Uj -p. ln O'v ^4 OO iQ *—¹    Uo -P»

561

571

58i

590

599

609

619

629

638

648

658

668

678

688

698

708

718

728

738

748

790

8oo

8ii

0,600

0,605

0,610

0,615

0,620

0,625

0,630

0,635

0,640

0,645

0,650

0,655

0,660

0,665

0,670

0,675

0,680

0,685

0,690

0,695

0,700

0,705

0,710

o,7i5

0,720

0,725

0,730.

o,735

0,740

o,745

o,75o

o,755

3,43i

3-445

3,459

3,474

3,488

3,502

3,5i6

3,530

3,543

3,557

3,57i

3,585

3,598

3,612

3,625

3,639

3,652

3,666

3,679

3,693

3,706

3,719

3,732

3,745

3,758

3,771

3,784

3,797

3,810

3,823

3,836

3,849

791

801

811

821

831

841

851

861

871

882

892

902

912

922

932

943

954

965

976

987

998

1008

1019

1030

1041

1052

1063

1073

1084

1095

1106 ii 17

864

875

886

896

907

918

929

940

951

963

1007

1018

1030

1042

1054

1066

1078

1090

IIOI

1113 II25 1137

1149

Il6l

II72

II84

II96

1208

1221

§ 86.

Beispiele zur Berechnung der Wassermenge bei vollkommenen

Überfällen.

1. Welche Wassermenge fließt durch einen Überfall von 3,39 m Breite bei einer Druckhöhe von 0,685 m, wenn Kanal und Überfall gleich breit sind?

Es ist nach der Tabelle für die gegebene Druckhöhe im zweiten Falle die bei b = 1 m abfließende Wassermenge = 1054 1 in einer Sekunde, also die gesuchte Wassermenge

Q = 1054 - 3,39 = 3573 1 = 3,573 cbm in 1".

2. Ist dagegen der Kanal wesentlich breiter als der Überfall, so giebt die Tabelle den Wert von Q zu 965 1 für 1 m Breite an und es wird somit -

Q = 965 - 3,39 = 32711 = 3,271 cbm in 1".

3. Wie groß ist die Ausflußmenge nach Freses Versuchen, wenn die Druckhöhe nur 0,375 m beträgt, die Breite b aber dieselbe bleibt.

Nach der Tabelle auf S. 285 finden wir bei h — 0,375

und

b = 3,5.

Q = 1208 für b = 3,0 Q = 1416

Die Differenz 1416 —1208 — 208 wird erzeugt durch die Breitenänderung 3,5 — 3,0 — 0,5. Wächst demnach die Breite von b = 3,0 um

0,1, so nimmt die Ausflußmenge um

O lO

00

— 41,6 zu. Für die gegebene

Breite b = 3,39 wird sie daher 1208 -f 3,9 • 41,6 = 13701 = 1,370 cbm betragen.

4. Welche Breite muß ein Überfallwehr erhalten, wenn bei einer durch die Ortsverhältnisse bestimmten Druckhöhe von 0,55 m ein Wasserquantum von 4,78 cbm abfließen soll?

Die Tabelle des vorigen Paragraphen ergießt zunächst unter Annahme des ersten Falles für 1 m Breite Q — 694 1. Es wird daher die gesuchte Breite

4780

694

6,888 m.

Wäre die gefundene Breite nun nicht kleiner als diejenige des Kanales, so hat man die Rechnung unter Annahme des zweiten Falles oder nach der Tabelle mit dem Werte 758 anstatt 694 zu wiederholen. Dies ergießt

4780

6,306 m.

7881 ausfließen. Je nachdem nun die Ortsverhältnisse

Ist aber die Kanalbreite B 6,306 m, z. B. nur —6 m, so kann die verlangte Ausflußmenge bei der gegebenen Druckhöhe h — 0,55 m nicht erzielt werden.

5. Welche Druckhöhe muß ein Überfall erhalten, wenn bei einer Breite von 3,4 m eine Wassermengr von 2,68 cbm in 1" abfließen soll? Nach der Aufgabe würde bei 1 m Breite des Überfalles eine Wasser-2680

menge

3,4

dem ersten oder zweiten Fall entsprechen, sucht man den Wert 788 in der dritten oder vierten Kolonne der Tabelle auf und entnimmt aus der ersten die zugehörige Druckhöhe.

Ist z. B. Kanal und Überfall gleich breit, so findet man in der vierten Kolonne als den nächsten Wert zu 788 denjenigen 790, welchem eine Druckhöhe von 0,565 m entspricht.

Soll die Wassermenge, die durch einen Überfall fließt, möglichst genau und unter Berücksichtigung aller Nebenumstände bestimmt werden, so hat man aus den vielen Formeln der vorangehenden Paragraphen diejenige auszuwählen, welche für einen Überfall ähnlicher. Konstruktion abgeleitet ist, oder wenn eine solche nicht zu finden ist, benutzt man eine der v. Wexschen Formeln aus § 83.

Bei einer Wasservermessung durch einen künstlichen Überfall ist es am passendsten, eine Anordnung zu wählen, die genau einem in den vorhergehenden Paragraphen beschriebenen Fällen entspricht, da man dadurch auch den richtigen Ausflußkoeffizienten hat.

6.    Welche Wassermenge fließt durch einen schmalen Überfall von 0,45 m Breite bei einer Druckhöhe von 0,15 m, wenn Kanal und Überfall nicht um mehr als ¹/₆ ihrer Breite von einander verschieden sind?

Nach § 70 ist für diesen Fall ¹):

Q = 0,400 b k V2g k = 0,4 • 0,45 • 0,15 • 1,715 = 0,0463 cbm in 1".

7.    Welches Wasserquantum fließt durch einen Überfall von gleicher Breite mit dem Kanal, wenn diese Breite — 6,5 m und die Druckhöhe = 0,60 m beträgt, wenn ferner die in § 70 erwähnten Bedingungen eintreffen?

Hier wird

Q = 0,443 b h f/ 2 g h = 0,443 • 6,5 • 0,60 • 3,431 -- 5,9277 cbm in 1".

8.    Ein Überfall von 3,5 m Breite hat 0,18 m Druckhöhe und ist halb so breit wie der Kanal. Wie viel Kubikmeter Wasser fließen durch

-) Y2gh = l/2g. 0,15 = 1,715 nach der Tabelle auf S. 115.

denselben ab, wenn er mit scharfer Kante versehen ist, die sich in einer Höhe über 2 h über dem Kanalboden befindet?

Nach D'Aubuisson (§ 70) ist für ein Verhältnis der Breite von

tti er⁴

— 0,5 der Koeffizient ay = 0,410 und somit

Überfall und Kanal

Q = 0,410 b h ^2 g h = 0,410 • 3,5 • 0,18 V2 g ■ 0,18 =

= 0,410 • 3,5.0,18 • 1,879 = 0,485 cbm in 1 Nach Redtenbacher dagegen ist:

Q = (o,381 + 0,062^ j 1.)li /2gb =

= (0,381 + 0,062 - 0,5) 3,5 • 0,18 -1,879 = 0,412 - 3,5 • 0,18 • 1,879 = = 0,4877 cbm in 1".

Den Wert 0,412 für (0,381 + 0,062 • 0,5) konnten wir auch direkt aus der kleinen Tabelle am Schluß des § 70 entnehmen.

9. Welche Breite muß ein Überfall erhalten, wenn bei einer Druckhöhe von 0,32 m eine Wassermenge von 0,5 cbm'in 1" abfließen soll?

= 1,4077 m

Nach der Tabelle in § 70a ergiebt sich bei der Drnckhöhe h — 0,32 eine Ausflußmenge Q — 355,2 1, wenn der Überfall 1 m breit ist. Somit ist eine Breite von - 500

355,2

erforderlich.

10. Ein Wehr mit stark abgerundeter Krone hat 2,8 m Breite und 0,26 m Druckhöhe. Welche Wassermenge fließt über dasselbe ab, wenn die Geschwindigkeit des Wassers im Kanäle vor dem Wehre vz = 0,6 m beträgt? Nach ß 71 ist für diesen Fall

0,57 b h y'2 g h ]/1 + 0,115 ^

= 0,57 - 2,8 -

0,26 y'2 g. 0,26 ]/1 4- 0,115

0,6*

0,26

= 0,57 - 2,8 - 0,26 - 2,258 - 1,077 = 1,0091 cbm = 1009,11.

11. Aus einem Kanal von 6 m Breite und 2 m Tiefe fließt das Wasser durch einen Überfall von 2 m Breite und 0,30 m Druckhöhe. Welches Wasserquantum fließt hier durch, wenu der Überfall mit scharfer Kante versehen ist und diese 1,7 m über dem Kanalboden liegt?

a)    Nach der Redtenbacherschen Formel § 70 wird hier:

Q = (0,381 + 0,062 b h j/2jh =

= 0,401 - 2 - 0,3 - j/2g^Ö^3 = 0,401 • 0,6 • 2,426 = 0,5837 cbm.

b)    Nach Weisbach (§ 72) ist dagegen

« — 0,385,

x = 1-j-1,718 (²g^³)⁴= 1,0000,

Q = x«bh V'Ygh = 1 • 0,385 • 2 • 0,3 • 2,426 = 0,5604 cbm.

12. Für eine ähnliche Aufgabe sei gegeben b = 2,1 m, h = 0,2 m, B = 6,3 m, T — 4,0 m. Die Berechnung soll geschehen nach den Formeln von Redtenbacher, Weisbach, Braschmann und v. Wex.

a)    Nach Redtenbacher (§ 70)

Q = (0,381 + 0,062 -U)2,1 • 0,2•    =

= 0,4017 - 2,1 - 0,2 • 1,981 = 0,3342 cbm = 334,2 1.

b)    Nach Weisbach (§ 72)

« = 0,390, x=l + 1,718    ;^)⁴= 1,0000,

Q = 1 • 0,390 - 2,1 - 0,2 -1,981 = 0,3244 cbm = 324,41.

c) Die Aufgabe ist so gewählt, daß sie genau die Verhältnisse bei der Herrenhäuser Schleuse wiedergiebt. Daher erhalten wir aus der Tabelle, die nach Freses Versuchen berechnet wurde

tO INS

CO CO

h- ZD

daher für eine Breitenzunahme um 0,5 eine Differenz 81    1

16,2 1.

„ 0,1 „

oder „    „

Bei der gegebenen Breite von 2,1 werden wir somit eine Ausflußmenge Q, = 317 -f-16 = 333,21 bekommen,

d) Nach Braschmann (S. 291 Formel 13):

= 1,7805 für i- = 0,4

J3

«« = 1,7295    .,    4 = 0,1

«SB

Der Koeffizient ist aus der Tabelle zu entnehmen. Er beträgt bei h = 0,2

1!

oder

Dies giebt eine Differenz = 0,0510 und 66 - 0,0510

0,3

300

= 0,0112 für eine Abnahme von = 0,4 um 0,066.

Daher ist as = 1,7805 — 0,0112 = 1,7693 für Dies ergiebt nach Formel 13)

0,33 zu nehmen.

Q = as8 b h¹ = 1,7693 - 2,1 • 0,2f = 1,7693 • 2,1.0,0894 ') =

— 0,3323 cbm = 332,31.

e) Nach v. Wex (S. 292 und 293 Formel 17, 18', 19' und 23). Formel 23) liefert für unser Beispiel

0,002384

0,00305 b =

|a = 0,3655 + 0,02357 Q)4

= 0,3655 + 0,02357 •

2,1    0,002384

6,3

0,2

f 0,00305 - 2,1 = 0,39168.

Die Gleichungen 17), 18) und 19) nehmen die Gestalt an

17) . .

j/2gQ hj (s/ — s¹) —

= 0,39168 - 2,1 - V2 g 0,2 L-JL ₌ 0,72862

q__yj_B

B (k + h)/ 2g b

19 ) Sl = s + li 4 Bk

sx --8

18) s = (

6,3

= 0,0002408 Q²,

(—

b h g VB (k + h)

(6,3-4)².2g-2,1

= 0,0002408 Q² + 0,2 +

6,3 • 3,8 Q²

2,1 • 0,2 • g (6,3 • 4)²

= 0,2 +0,0093916 Q².

Setzen wir die Werte von s und sx aus 18) und 19) in 17) ein, so ergiebt sich

A) . .

₍₍J+£Q2)T_ + Q3

ö+ (--?)<+ '

wenn zur Abkürzung gesetzt wird

,5 = 0,72862, y = 0,0002408, 6 = 0,2, e = 0,0093916.

Durch weitere Umformung erhält man aus Gleichung A):

Q +(e-Z) <+ = +<? + £ Q+-,?+<+, ^ Q + (« - 7 + ß?) Q³ = ß (ß + « Q²)¹-

*) Der Wert 0,0894 ist für 0,2² der Tabelle 2 am Schlüsse des Bandes ent

nommen.

ß² s³] Q,⁶ —|— [2 (« — y + ß 7²) — 3 ß² s²] <? Q⁴ + + (1 — 3 ß² a) d² Q² — ß² d³= 0.

Beide Seiten ins Quadrat erhoben liefern

d² Q² + 2 d 0 — y +./? f) Q⁴ + (e — r + ß yh:2 Q'⁶ — ß² (<f + e Q:2)3 oder

[(« — y+ßf)²

oder

Die Einsetzung der Zahlenwerte ergiebt 0,000083347 Q⁶ + 0,0036334 Q⁴ + 0,0394017 Q² — 0,0042471 = 0 Q⁶ + 43,594 Q* -f 472,75 Q² - 50,957 = 0.

Dies ist eine Gleichung dritten Grades für Q², welche sich durch Probieren wohl eben fo schnell lösen lässt, als auf mathematischem Wege.

Nehmen wir zuerst Q² = 0,09, so ist die linke Seite der Gleichung, welche wir mit x bezeichnen wollen,

x = 0,000729 + 0,35311 + 42,5775 — 50,957 = — 8,026.

Für Q.² — 0,1 ergiebt sich in derselben Weise x — — 3,246,

„ Q² = 0,11

x = -f- 2,574.

Tragen wir die zusammengehörigen Werte graphisch auf, so sehen wir, daß Q² ungefähr — 0,106 ist. Hierfür ergiebt sich x = — 0,355. Durch Eintragung des entsprechenden Punktes findet man

Q² = 0,1068

und daher

Q = 0,32680 cbm = 326,8 1.

Aus diesem Beispiel ersehen wir, daß die Ergebnisse aller benutzten Formeln von dem des Versuches noch wesentlich abweichen. Denn wir erhielten

Q = 333,2 1,

Q = 324,41, „ Braschmann: Q — 332,31, „ v. Wex:

nach dem Versuch von Frese: nach der Formel von Redtenbacher: Q = 334,21, „    „    „    „ Weisbach:

Q = 326,8 1.

Dies Beispiel spricht daher nicht zu Gunsten der letzten Formel, während die im v. Wexschen Lehrbuche enthaltenen Berechnungsresultate äußerst wenig (von nur —f-1 °/₀ bis —0,9 °/₀) von den Ergebnissen der Experimente abweichen.

Die Braschmannsche Formel liefert im allgemeinen Werte, die zwischen den nach Redtenbacher und Weisbach berechneten liegen, was die beiden folgenden Beispiele zeigen.

13. Ein Überfall von 3,8 in Breite und 0,20 m Druckhöhe leitet das Wasser aus einem Kanäle von 1,6 m Tiefe und 5,7 m Breite ab. Welche Wassermenge fließt in einer Sekunde durch den Überfall?

a)    Nach Redtenbacher (§ 70) ist:

Q = <0,381 + 0,062-3,8 - 0,20 /2 g-0,20 =

= 0,422 - 3,8 - 0,20 • 1,981 = 0,635 cbm.

b)    Nach Weisbach (§ 72) ergiebt sich:

a = 0,390, und daher

x = 1 + 1,718 (5 7 ^0)⁴ ~ 1,000048 = ~ 1

Q=l-0,390 - 3,8 - 0,20 \'2 g • 0,20 = 0,587 cbm.

c) Nach Braschmann:

Formel 12), liefert bei Einsetzung der entsprechenden Werte Q = (o,3838 + 0,0386 • f + 0,00053    /2g • 3,8 ■ 0,20f

= 0,4121 - 4,4292 - 3,8 • 0,089 = 0,620 cbm.

Wollten wir Formel 13) benutzen, so müßten wir uns nach der Tabelle auf S. 292 den Wert von bestimmen. Für unsern Fall ist

^ = 0,666 ..

nun

.. Die Tabelle enthält aber nur ccsg = 1,8486

bei

«B —1,8146

* =0,8 !: =0,6,

ergiebt also eine Differenz von 0,0340 für eine Zunahme von 0,2 im Verhältnis - -, oder von

0,0340

0,0113 „    „

„ 0,0666 . . .

im Verhältnis ^ -

_D

Daher müssen wir benutzen a® = 1,8146 -J- 0,0113 = 1,8259 und erhalten nach 13)

Q = 1,8259 - 3,8 • 0,20’ = 0,620 cbm.

Bei Berücksichtigung von 5 Stellen nach dem Komma berechnet sich Q zu 0,62059 und nach Formel 12) zu 0,62038. Der Unterschied ist demnach so gering, daß die angewendete Interpolation vollständig genügt.

14. Aus einem Kanäle von 5 m Breite und 0,50 m Tiefe wird durch einen Überfall von derselben Breite und 0,15 m Druckhvhe das Wasser abgeführt. Wieviel fließt in einer Sekunde ab?

a)    Nach § 70 ist für diesen Fall

Q = 0,443 -b h Vfg'h. — 0,443 • 5 • 0,15 y2g • 0,15 =

= 0,443 - 0,75 -1,715 = 0,5698 cbm.

Mit großer Annäherung erhalten wir dieses Resultat aus der Tabelle in § 70a. Sie ergiebt für die Druckhvhe von 0,15 m eine Durchflußmenge von 114,0 1 und daher in unserm Falle

Q = 5 • 114,01 = 5701 = 0,570 cbm.

b)    Nach Weisbach (§ 72) findet man zunächst a = 0,393 und

x = 1,041 + 0,369 (57050) *= 1-⁰⁴¹ + 0,369 • 0,09 = 1,074.

Mit Benutzung dieser Werte ist

Q = 1,074 - 0,393 • 5 • 0,15 |/2 • g • 0,15 = 1,074 • 0,393 • 0,75 • 1,715 =

— 0,5429 cbm.

c)    Nach Braschmann wäre zu nehmen

ct<8 — 1,8885 als Mittelwert von 1,8943 und 1,8828 die in der Tabelle ans Seite 292 als zu den Drnckhvhen h = 0,10 und 0,20 angegeben sind.

Formel 13 ergiebt alsdann

Q = 1,8885 - 5 - 0,15* = 1,8885 - 5 • 0,058 *) = 0,5486 cbm.

15. Welche Wassermenge fließt durch einen 5 m langen Überfall ab, der in den Seitenwänden eines Kanales angebracht ist, wenn die Druck-hohe am obern Ende des Überfalls 0,30 m betrügt?

Q = ! aLh V2gh

und bei Annahme eines im Verhältnis 1:10 geneigten Gerinnes für unsern Fall:

Nach § 84 ist

q = . 0,37.5.0,30 V2 g . 0,30 = 0,74.0,30.2,426 = 0,5386 cbm.

16. Ist wie oben die Druckhöhe 0,30 m, sollen aber 800 1 in einer Sekunde abfließen, so muß der Überfall eine Breite b erhalten, die sich

9 Der Wert 0,058 ist für 0,15*’ aus Tabelle 2 am Schlüsse des Bandes entnommen. Dieselbe enthält auch gleich den Logarithmus von 0,15* für logarithmische Berechnungen.

Meißner, Hydraulik. I. 2. Auflage.

nach der Morinschen Formel berechnet 31t L = |

² ah.V2gh

_ oder mit

a — 0,37 zu L = 1,5255    -

Das ergiebt für unser Beispiel L —1,5255 •

0,8

0,3f

7,427 m.

§ 87.

Graphische Darstellung statischer und dynamischer Momente.

Hat die in Fig. 291 ans Tafel 24 dargestellte Ausflußöffnung eine Höhe AB — a, so erleidet eine iit AB errichtete Wand auf 1 m Breite

ayc

einen Stoß

= 2 a h y,

wenn c — J ‘2 g h. Diese Kraft ist dargestellt durch das Rechteck ABCB, bei welchem AD = 2 h. Der hydrostatische Druck beträgt ah y und läßt sich veranschaulichen durch das Rechteck ABEF, in welchem AF = h.

Für eine beliebige Höhe y erhalten wir als Moment des Stoßes (dynamisches) 2yh und als Moment des hydrostatischen Druckes (statisches) y h. Die in der Figur gezeichneten Graden B F und BD können zur Darstellung dieser Momente dienen, da ihre Gleichungen lauten

hy

x = —— •

x_2hy a '

Bei einem vollkommenen Überfall, mit der Druckhöhe h (Fig. 159 Tafel 9 und Fig. 292 Tafel 24) erhält man

R = ^

da c=

]/2 g^- ist, und den hydrostatischen Druck yh² für lm Breite.

Das Gesetz der Stöße und der hydrostatischen Drücke sind wiedergegeben durch die Linien AC und AD, wenn BC == 2 h und BD = h ist. Die zu einer beliebigen Höhe y gehörigen Momente in Bezug auf B betragen 2 y (h — y) und y (h — y) und lassen sich daher durch die punktierten Kurven

x = 2y(h —y),

Die Summe aller Stöße sind durch den Inhalt des Dreiecks ABC wiedergegeben und daher erhalten wir das Gesamtmoment durch Multi-plikatiou dieses Inhaltes mit dem Schwerpunktsabstande von B oder es ist

M = 3 H³ y.

darstellen.

x = y (h — y)

Fünfzehntes Kapitel.

Unvollkommene Überfälle.

§ 88.

Versuche bei unvollkommenen Überfällen.

Wie wir int § 64 gesehen haben, wird ein Überfall unvollkommen genannt, wenn die Krone des Wehres tiefer liegt, als der Wasserspiegel im Ablanfkanale. Die Differenz der Wasserspiegelhöhen werde immer mit h (Fig. 167 und 168 ans Tafel 10) und die Höhe des Oberwasserspiegels über der Wehrkrone mit hx bezeichnet, diese letztere führt auch beit Namen Druckhöhe.

Der Dubuatschen Formel entsprechend bestimmt Lesbros die Durch-flußmenge nach der Gleichung

1)

* ££ = «„61^ /2gh und benutzt die von ihm durch Versuche bestimmten und in der folgenden Tabelle enthaltenen Ausflußkoeffizienten au.

Lesbros' Versuche an unvollkommenen Überfällen.

Pi*⁻

Ausflußkoeffizient

«u

P1*⁻

Ausflußkoeffizrent

"u

0,0010 0,0020 0,0030 . 0,0040 0,0050 0,0060 0,0070 0,0080 0,0090 0,0100

0,2270

0,2950

0,3630

0,4300

0,4960

o,556o

0,597°

0,6050

0,6000

0,5960

0,0150

0,0200

0,0250

0,0300

0,0350

0,0400

0,0450

0,0500

0,0600

0,0800

0,5810

o,57io

0,5570

0,5460

o,537o

o,53io

0,5260

0,5220

0,5190

0,5170

hi

Ausflußkoesfizient

Ausflußkoeffizlent

<*u

«u

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

0,3000

0,3500

0,4000

0,4500

0,5160

0,5120

0,5070

0,5020

o,497o

0,4920

1,4870

0,4800

0,5000 o,55oo 0,6000 0,7000 0,8000 0,9000 i ,0000

0,4740

0,4660

o,459o

0,4440

0,4270

0,4090

0,3900

Die Höhe h muß an der tiefsten Stelle des abfließenden Strahles gemessen werden. Worauf sorgfältig zu achten ist, da der Wasserstrahl sich bei seiner Begegnung mit dem Wasser des Ablaufkanales anstaut und eine so wesentliche Erhöhung bildet, daß die betreffende Stelle höher als der Spiegel des Oberwassers liegen kann.

Boileaus Versuche an unbollkommcncn Überfällen.

in 1

Wirkliche

Ausflußmenge

Druckhöhe \ in mm

Dicke des Wasserstrahles in mm

Koeffizient cru

Höhe der Krone über dem Boden des Kanals 0,608 m.

112,788 124,248 137,128 146,002 H7,205 177,990

198,925

4*    42.    Cu    lu    lu    Cu    Cu

vO    ln    \£>    vO    *<1    4*    tu

ln    42*    ln    42-    Cn    CO    Cu

264,0

286,0

308,5

325,0

326,0

376,0

412,0

0,4800

0,4728

0,4665

0,4612

0,4632

0,4545

0,4463

Höhe der Krone = 0,406 m.

43,424

43,777

50,643

86,013

109,584

154,229

166,770

173,336

212,71

Cn    Oj M vO M

vi m Cu ln O t—i —J

132,0

137,5

i54,o

228,0

278,0

355,0

376,0

387,0

459,0

o,5ooö 0,4872 0,4809 0,4691 0,4486 0,4441 0,4419 0,44h o,4253

Wirkliche

Ausflußmenge

in 1

Druckhöhe h, in mm

Dicke des Wasserstrahles in mm

Koeffizient «u

Höhe der Krone = 0,208 m.

0,4817

0,4675

0,4637

o,453i

0,4456

o,4i75

0,4260

89,0

126,0

129,0

i53,o

183,5

290,0

347,0

22,713 36,197 37,677

45,881 58,670 107,561 142,454

Diese Versuche sind in den Jahren 1845 bis 1853 in Metz durchgeführt und im Jahre 1854 in dem Werke Boileaus veröffentlicht worden: „ Tratte de la mesure des eaux courantes“.

Eine nähere Vergleichung dieser Resultate mit denjenigen bei vollkommenen Überfällen zeigt, daß unter sonst gleichen Umständen bei einem unvollkommenen Überfalle wesentlich mehr Wasser abfließt, als bei einem vollkommenen, ein Resultat, das man zum Voraus nicht erwarten könnte.

Der Ausflußkoeffizient wird ferner in dein Maße kleiner, als sich unter sonst gleichen Verhältnissen die Druckhöhe h, vermehrt.

Der Koeffizient hängt ferner von der Höhe der Wehrkrone über dem Boden des Kanales ab und wird in demselben Maße kleiner, als diese Höhe geringer wird.

Es sind außer den bisher betrachteten aber noch andere Umstände vorhanden, welche die Ausflußmenge bei einem Überfalle beeinflussen, wie aus den nachstehenden Versuchen hervorgeht, welche Boileau sowohl mit vollkommenen als mit unvollkommenen Überfällen angestellt hat.

Dieselben waren vertikal stehend, mit scharfer, aber nicht abgeschrägter, sondern horizontaler Kante.

I 10

153

158

183

218

341

406

Ausflußkocsfizienten

für unbollständige Überfälle mit scharfer horizontaler Kante.

Druckhöhe h* mm

Koeffizienten «u, wenn die Höhe der Krone über dem Boden ist

200 mm 250 mm 800 mm 850 mm 400 mm 450 mm 500 mm 550 mm 600 mm

90    0,485

0,483 0,481 o,479

100

I IO

Koeffizienten ctn, wenn die Höhe der Krone über dem Boden ist

Druckhöhe h: mm

200 mm 250 mm 300 mm 350 mm 400 mm 450 mm 500 mm 550 mm 600 mm

130

I4O

150

l60

170

l80

190

200

0,476

0,473

0,468

0,463

0,458

0,453

0,451

0,448

220

24O

2Ö0

280

300

320

340

360

380

400

0,445

o,44i

0,437

o,432

0,427 o,₄2I o,418 o,₄i7 0,417 o,4i7

0,472

0,466

0,462

0,458

0,455

o,452

0,448

o,444

0,440

o,437

o,435

o,430

o,424

o,424

o,424

o,424

.0,477

0,472

0,467

0,463

0,459

0,456

o,452

o,449

0,446

o,444

o,444

0,438

o,43i

o,43i

o,43i

o,43i

0,483

o,479

o,475

o,47o

0,467

0,464

0,460

0,457

0,454

0-452

0,452

0,446

0,438

0,438

0,43«

0,438

420

440

460

480

5°0

lllll

0,486

0,481

0,478

0,476

0,472

0,470

0,467

0,466

0,462

0,454

0,445

0,444

o,444

o,444

o,444

o,443

o,44i

o,439

Bei diesen, sowie den nächstfolgenden Versuchen ließen sich hinsichtlich der Form des Wasserstrahles drei Fälle unterscheiden.

Bei ganz kleinen Druckhöhen und freiem Überfall hängt sich der Wasserstrahl auf der äußern (Abfluß-) Seite an die Krone und äußere Fläche des Wehres an.

Bei größern Druckhöhen trennt sich der Wasserstrahl von der Krone und füllt in einem parabolischen Bogen in den Ablaufkanal.

Bei einem unvollkommenen Überfall erhebt sich der Unterwasserspiegel bis zur Hohe des Oberwasserspiegels und erscheint der Überfall oft ganz ins Wasser eingetaucht.

Wenn die Höhe k der Krone des Überfalles über dem Boden des Ablaufkanales die folgenden Werte erreicht, so ist die nachstehende Druckhöhe diejenige, bei welcher der Überfall gerade noch eingetaucht wird:

k = 0,200; 0,250; 0,300; 0,350; 0,400; 0,450; 0,500 m, Druckhöhe ll, = 0,070; 0,095; 0,115; 0,135; 0,155; 0,180; 0,200 „

§ 89.

Berechnung der Dnrchflnßmengen bei unvollkommenen Überfällen.

Die zu Anfang des vorigen Paragraphen angeführte Formel von Lesbros ist die einfachste, aber auch schlechteste zur Berechnung der Durch-flnßmengen bei unvollkommenen Überfällen. Zu besseren Formeln gelangt man, wenn man nach Dubuat die Öffnnngshöhe in zwei Teile h und ht — h zerlegt und die hierzu gehörigen Ausflußmengen einzeln berechnet. Nimmt man nun an, daß die erstere dieselbe ist wie bei einem vollkommenen Überfall mit der Druckhöhe h, also:

Qx =av bh)/2gli und daß sich die zweite nach der Formel

Q, = ab(h₁-li)l/2ih

berechnen läßt, so haben wir im ganzen eine Ausstußmenge

oder

Q = Qi + Qs = “v b h lz2 g h + a b (ht — h) j/2 g h

2).....Q = b V2 g h («v b a (hj — h)).

Für die hierin vorkommenden Ausflußkoeffizienten av und a setzt

Eytelwein a — 0,633, Redtenbacher « — 0,62,

ccr = 0,422,

und

«v — 0,57.

Durch Benutzung der letzten Werte verwandelt sich 2) in:

2).....Q = b /2gh (0,62 \ — 0,05 h).

Bei diesen Formeln war stillschweigend vorausgesetzt, daß die Zuflußgeschwindigkeit vz sehr klein ist und daher vernachlässigt werden kann. Ist dies jedoch nicht der Fall, so erhalten wir den Entwickelungen im vorigen Kapitel entsprechend:

Qi —

und somit

3) . .

Q₂ = a b (ht —

h)b/2g(h + ^)

. . Q=r«vb|/2g{(h + ^)-(^) } +

+ ce b (h, — h) 2 g li -j- v.J.

Bezeichnen wir wieder die Geschwindigkeitshöhe mit H, so er-

giebt sich

2g

4)    Q = b j/2g {av [(h + Es - H¹] + «(h, - h) Kh + H} •

Nach Pestalozzi ist ay = 1,245 und « — 0,62 zu nehmen.

Im Zivilingenieur 1876 S. 87 giebt Bornemann noch die folgenden Formeln an:

5)    Q = [o,2340—0,0742 Kh-f 0,0615 ( h h‘ J | b [2 (h, +H) +

+ (h!-h)] l/2g(h + H)

für unvollkommene Überfälle mit bedecktem Strahl und 6) . . Q = [o,1796 + 0,0109 j/j- + 0,0329 (h' h-- h)*] • b •

[2 (h.+Hj + ^-h)]

für unvollkommene Überfälle mit deutlichem Wellenthal, in dessen tiefstem Punkte die Druckhöhe h zu messen ist.

Becker giebt (1873) nach unserer Schreibweise die folgende Formel:

7)    . Q = cev b h K2 g (I h + H) -|- ce b (ht — h) V2 g (h --f- H).

Aus Bornemanns Versuchen entwickelt Delprat die Formel:

8)    Q = (a, + a₂    [2 (h, +H) + (h, - h)] b j/2g(h + H).

0,0981, «2 — < 0,0207, . 0,0489,

1,135,

wenn b — - 0,801, .0,551.

Hierin ist zu setzen 0,1878, at =| 0,2119,

.0,1958,

§ 90.

Neuere Formeln zur Berechnung der Wassermengen bei nuvoll-kommenen Überfällen.

Für die Berechnung der bei unvollkommenen Überfällen abfließenden Wassermengen hat v. Wex Formeln aufgestellt, die ebenso wie die im § 63 wiedergegebenen gute wissenschaftliche Begründung haben, aber auch leider ebenso umständlich anzuwenden sind.

Die Konstruktion des Wehres sei dieselbe wie in Fig. 328 bis 330 auf Tafel 27, nur die Wehrkrone ist scharfkantig. Die früher verwendeten Buchstaben behalten ihre Bedeutung bis auf h, welches jetzt die Niveau-differenz der beiden Wasserspiegel bezeichnet, während die Hohe des Ober-

Wasserspiegels über der Wehrkrone durch h, und die Tiefe des Unterwassers durch t (tote ht Fig. 347, 349 auf Tafel 32) wiedergegeben find.

Zur Berechnung dient die folgende Formelgruppe

9)

Q — Qi + Q₂,

10)    .    .    . Qj = av b f/2 g [sx - — s¹],

11) . .

2g

Sä — S,

[s₂

"V],

12) . .

Ul

toi <i

erq r«,

PA

DO

er

Ul

13) . .

sx = s -[- h -f-

n va

2g '

14) . .

2 vz‘- B k cos y

s₂ =

SH--7™

b g (t — k

n va²

2g

Ist t — k im Verhältnis zu ht, oder der eingetauchte Teil der Öffnung im Verhältnis zur ganzen Öffnung klein, so kann die Wasser-menge Q₂ auch durch die einfachere Formel

15) . . . Q₂ = a₂ b — k

n va²

2g

bestimmt werden.

Befindet sich der Überfall zwischen zwei großen Reservoirs in einer vertikalen Wand, so muß « = r- == 90° vz = va = 0 gesetzt werden und es ergiebt sich aus unserer Formelgruppe nach entsprechender Umformung die Gleichung 2) des vorigen Paragraphen, dadurch sehen wir, daß diese nur in dem eben näher bezeichneten Falle Gültigkeit hat und nicht allgemein angewendet werden darf.

Wird die Aufstauung des Wassers durch seitliche Einbauten im Flusse hervorgerufen, so dient zur Berechnung der Durchflußmenge eine Formelgruppe, die aus den obigen Formeln 9), 10), 12), 13) und aus

n va²

16) . .

. . Q₂ = a.₂ b (b

2g

)/2gs₁

besteht. Dieselben Gleichungen können wir auch benutzen, wenn das Aufstauen durch dichtstehende Brückenpfeiler verursacht wird. Jedoch müssen die Ausflußkoeffizienten nach den Versuchen von Francis bestimmt werden.

1.

§ 91.

Bestimmung der Ansflußkoeffizienten «v und «₂ der V. Welchen Formeln nach den von Francis im Jahre 1883 durchgeführten

Versuchen.')

Francis' Versuche über die Abflußverhältnifse bei den nnvollkommenen Übersallwchren und die dazu gehörigen Nesnltate der b. Wcxschcn Formeln.

2.

Breite

Breite

des

des

Zufluß-

kanales

Über-

falles

13

Höhe des Überfalles int Zuflußkanale    *

Höhe des „ Oberwassers über . der Übersallschwelle

F Höhe des Unterwassers über der Übersallschwelle

Höhenunterschied zwischenOber- | und Unterwasser    •' '

Abgeflossene sekundliche Wasser-mengen während der Versuche ^

«o

to Breite des Abflußkanales oo

^ Höhe des Wehres über der ~ Sohle des Abflußkanales ^

Berechnete Geschwindigkeit im ^ Zuflußkanale

DO

Berechnete Geschwindigkeit im ^ Abflußkanale

Verhältnis zwischen den Wasserstandshöhen

Berechnete sekundliche Abfluß-,0 mengen nach den neuen Formeln 5 9 bis 14, 17 und 19

Differenzen zwischen den Q in ^ den Kolonnen 13 und 7    ^

In englischen Fuß

In

Kubik-

fuß

In englischen Fuß

In

Kubik-

fuß

°/o

11,22

10,98

22,2

22,2

22,2

22,2

22,2

22,2

22,2

22,2

22,2

22,2

22,2

11,22 10,98 22,2 22,2 22,2 22,2 22,2 22,2 22,2 22,2 22,2 22,2 22,2

5,7

5.7

5,7

5,7

5,7

5,7

5,7

5,7

5.7

5,7

5,7

5,7

i,49i

1,156

i,i49

1,091

1,037

1,227

1,203

2,190

2,319

1,720

2,034

1,994

1,039

0,657

0,636

0,448

0,263

0,309

0,207

1,071

i,m

0,466

0,528

0,452

0,499

o,5i3

0,643

o,774

0,918

0,996

1,119

1,208

1,254

1,506

1,667

94,16

73,15

73,04

73,37

73,48

95,oo

95,12

202,54

224,17

159-25

203,01

20Z.I6

32,2

32,2

32,2

32,2

32,2

32,2

32,2

32,2

32,2

32,2

32,2

32,2

rC NNNNNNNtstsNN

0,5898

0,4806

0,4804

0,4867

0,4913

0,6l78

0,6589

1-1563

1,2592

0,9668

1,1824

0,7514 0,4890 201,98 —0,3 0,8277 0,4791 223,34 —0,3 0,6368 0,2709 158,57 —0,4 0,8054 0,2595 203,76 +0,4 0,8272 0,1640 203,77 + °,3

0,0

0,0

Nach den obigen Versuchen bestimmte v. Wex Formeln für die Ausflußkoeffizienten , jedoch konnte er für die unregelmäßig gestalteten Koeffizienten bei sehr kleinen Druckhöhen bis zu h — 0,513' — 0,156 m keine entsprechende Gleichung auffinden.

1) Transactions of the American Society of Civil Engineers 1884, XIII.

Für Druckhöhen von h = 0,643'=0,196 m bis h=1,119'=0,341 m gelten die nachstehenden Formeln:

17)    . .

«v = 0,4001 + (l'ülh(i:iS + 0,000146 1.

a₂ = 0,5274 + 0,000146 b

bei englischem Fußmaß oder

18) . .

«v = 0,4001 + °'⁰^³¹⁶ + 0,00048 b

a₂ = 0,5274 + 0,00048 b

bei Metermaß.

Für größere Druckhöhen benutzt man die Gleichungen:

0 00799

19)    . .

a, = 0,4001 + '    + 0,000146 b

a₂ = 0,5346 4- 0,000146 b

bei englischem Fußmaß oder

20) . .

av = 0,4001 4- 0,f)^²⁴⁴ 4- 0,00048 b

<x₂ = 0,5346 4- 0,00048 b

bei Metermaß.

Nach diesen Formeln und denjenigen des vorigen Paragraphen hat v. Wex die in Kolonne 13 aufgeführten Ausflußmengen berechnet. Wie nun die 14. Kolonne zeigt, weichen sie nur sehr wenig von den wirklichen Ausflußmengen ab, was jedoch nicht zu verwundern ist, da ja v. Wex dem entsprechend die Formeln 17) und 19) bestimmt hat.

8 92.

Beispiele.

1. Welche Wassermenge fließt durch einen unvollkommenen Überfall mit den folgenden Abmessungen: Abstand beider Wasserspiegel b = 0,20 m, Abstand des Oberwasserspiegels von der Krone ht = 0,30 m, Höhe der Krone über dein Boden k = 0,60 m, Breite b = 1,5 m.

Nach Lesbros' Versuchen (§ 88) ist der Ausflllßkoeffizient a„ von

dem Verhältnis = abhängig. Dieses beträgt in unserm Falle ki

= 0,666..

h _0,20

b, — 0,30

— 0,6 einen Ausflußkocffizienten ct„ — 0,4590

Die Tabelle des § 88 giebt h

fur e:

ar

aa = 0,4440

UN    h₌₀,7

Ei

daher bei einer Differenz der Höhenverhältnisse von

0,1 eine solche der Ausflußkoeffizienten von 0,0150 oder bei einer Differenz der Höhenverhältnisse von

= 0,033 . . eine solche der Ausfluß-

0,0050.

koeffizienten von

= 0,666 .. oder 0,7 — 0,033

Somit haben wir für unser Verhältnis ^

ein ctu von 0,4440 + 0,0050 — 0,4490 zu nehmen. Dadurch erhalten mit* eine Durchflußmenge

Q = 0,4490 - 0,30 • 1,5 ]/2 g • 0,20 = 0,449 • 0,45 • 1,981 = 0,4003 cbm.

Wollten wir die letzte Tabelle des § 88 benutzen, so erhielten wir eine viel größere Ausflußmenge, da nach jener der Ausflußkoeffizient «u — 0,486 ist.

2. Wie groß ist die in einer Sekunde durch einen unvollständigen Überfall (Fig. 168, Tafel 10) fließende Wassermenge, wenn die Höhen hx — 0,5, h — 0,35 und die Breite 5 — B = 1,50 m beträgt?

a)    Nach Dubuat (Formel 2 auf S. 311) ergiebt sich:

Q = 1,50 • J/2 g - 0,35 [«v 0,35 + a (0,50 — 0,35)].

Setzen wir, wie Eytelwein vorschlägt, a — 0,633 und aw — 0,422, so erhalten wir

Q = 1,50 - 2,620 [0,422 • 0,35 + 0,633 • 0,15] = 0,9536 cbm = 953,61.

b)    Mit Redtenbachers Koeffizienten:

a — 0,62 cev — 0,57 finden wir nach Formel 2') auf S. 311)

+ 0,00048 -1,5 = 0,4077 a₂ = 0,5346 + 0,00048 • 1,5 = 0,5353.

av — 0,4001

Q = 1,50 - j/2 g • 0,35 (0,62 • 0,5 — 0,05 • 0,35) = = 1,50 - 2,620 - 0,2925 = 1,1495 cbm = 1149,5 1.

c) Nach v. Wex (Formel 20 auf S. 315) ist 0,00244 0,35

Vernachlässigen wir nun wie bei a) und b) die Zu- und Abfluß-geschwindigkeit, so erhalten wir

Q = 2,620 -1,5 [0,4077 • 0,35 + 0,5353 • 0,15] =

= 2,620 -1,5 - 0,323 = 1,2694 cbm = 1269,4 1.

d) Nach Lesbros ist

c!-°

0,7

osu — 0,444 nach der Tabelle auf S. 308, weil

•    tii

und somit:

Q = au 1,5 - 0,5 \2 g • 0,35 = 0,444 • 1,5 • 0,5 • 2,620 = 0,8725 cbm =

= 872,5 1.

e) Nach Delprat (Formel 8 auf S. 312) für H = 0 Q — ^ßl + a2

0,5 — 0,35

) [2 - 0,5 + (0,5 — 0,35)] 1,50 ]/2 g • 0,35. Hiermit ist ai = 0,1878, a₂ — 0,0981, und daher ergiebt sich Q = (o,1878 + 0,0981 -    [1 + 0,15] 1,5

= 0,2172 -1,15 - 3,93 = 0,98164 cbm = 981,64 1.

0,5

• 2,620 -

§ 93.

Einfluß der Wasserräder nnf die vor denselben befindlichen Überfülle.

Das Vorhandensein eines Wasserrades an der Stelle eines Überfalles hat einen so wesentlichen Einfluß auf die abfließende Wassermenge, daß man bei der Wahl der Umdrehungsgeschwindigkeit, sowie der Geschwindigkeit, mit welcher das Wasser ins Rad eintreten soll, sehr sorgsam zu Werke gehn muß, indem die wirkliche Durchflußmenge bei arbeitendem Motor thatsächlich oft kaum die Hälfte derjenigen beträgt, welche bei freiem Ablauf durchfließen würde.

Man würde sich sehr irren, wenn man bei einem Überfalle die durchfließende Wassermenge (beim Vorhandensein eines Wasserrades an der Stelle des Überfalles) nach den oben abgeleiteten Formeln berechnen, die Umdrehungsgeschwindigkeit des Rades und die Nutzleistung dieser Wassermenge entsprechend bestimmen wollte; man kann sich auf diese Weise um die ganze Hälfte des erhaltenen Betrages täuschen.

Es soll dieses an einem Beispiel nachgewiesen werden.

Bei dem Wasserwerke der Stadt Zürich werden zwei doppelt wirkende Pumpen durch ein unterschlächtiges Zuppingersches Wasserrad mit folgenden Dimensionen betrieben (Fig. 184).

.    —6 m,

. — 3,9 m, . — 36 m,

Durchmesser des Wasserrades . .

Breite des Wasserrades ....

Anzahl der Radschaufeln . . .

Anzahl der Umdrehungen in der Minute . — 4,83.

Da die Wasserstände im Zu- und Abflußkanal veränderlich sind, ist das Rad zum Heben eingerichtet.

Der Kropf des Überlaufgerinnes ist in Stein ausgehauen und hat seinen tiefsten Punkt 0,51 m unter der Einlaufschwelle; er hat eine Länge von 1,8 in, so daß sich gleichzeitig vier Schaufeln int Kropfe befinden.

Nun ist die Zuflußgeschwindigkeit des Wassers — 1,28 m.

Die Umfangsgeschwindigkeit des Rades... — 1,52 „

. = 0,76 „ . = 0,770 „

Abflußgeschwindigkeit des Wassers . .

Gefälle...........

Diese Daten entsprechen bei einer Wasserkraftmenge von 6,2 cbm einer absoluten Wasserkraft von 64 PS.

Nun ist die Breite b des Überfalles — 3,37 m; h — 0,77 m.

Es ist also ttach der Redtenbacherschen Formel

Q = (0,57 h + 0,62 hx — h)b j/2gh = (0,57 - 0,77 + 0,62 • 0,77) 3,37 /2^9P^77 — 12,082 cbm,

welche Wassermenge einer absoluten Kraft von 120 PS gleichkommt.

In der That fließt aber bei dem erwähnten Gefälle von 0,77 m und bei arbeitendem Wasserrade nur die Hälfte (52 °/o) der eben berechneten Wassermenge durch den Überfall ab, wie aus folgender Zusammen-stellung hervorgeht, welche die Resultate genau vorgenommener Vermessungen enthält.

Gefälle in m

Durchfließende Wassermenge in cbm

nach der Formel

wirkliche

6,061

9,448

10,426

ii,452

16,338

0,72

0,66

0,64

0,63

0,60

3,152

4-913

5,422

5,955

8,496

Eine so leichte und einfache Sache die Festsetzung einer Wasserkraft auf Grundlage der vielen bereits vorhandenen Versuchsresultate erscheinen mag, eine so schwierige, Umsicht und Erfahrung erfordernde Aufgabe ist dieses, wo es sich um die Benützung großer Wassermassen bei kleinen Gefällen handelt.

Wie sehr man sich bei der Schätzung der bei vorhandenen Wasserständen disponiblen Wasserkraft täuschen kann, sieht man aus diesem Beispiele.

Durch den langsamen Gang der Wasserräder wird bei denselben die Wasserkraft besser ausgenutzt, der Stoß beim Eintritt des Wassers in das Rad beseitigt, also lebendige Kraft erspart.

Allein es wird dadurch auch die durchsiießende Wassermenge unter sonst gleichen Umständen herabgezogen und eine noch wesentlich größere Breite der Räder erforderlich, als der bloßen Abnahme der Umfangsgeschwindigkeit entspricht.

§ 94.

Wehr des Schaffhausener Wasserwerkes.

Ein interessantes Beispiel eines großen Wehres bietet dasjenige der Turbinenanlage der Schaffhausener Wasserwerke dar. Es bildet (Fig. 183, Tafel 11) eine gebrochene Linie ip deren totale Länge — 600'. Die Geschwindigkeit des zufließenden Wassers beträgt vz — 4'.

Die Differenz beider Wasserspiegel h = 5,27’.

Die Höhe des Unterwasserspiegels über der Schwelle hx — h = 1'. Räch Formel 3) im § 89 ist die durchfließende Wassermenge bei «v — 0,4 und « — 0,6:

Q — 0,4 •

+ 0,6.600.1. j/2 g 5,27 + 16.

Nach Tabelle 1 am Schluß des Bandes ist lg 2g = 1,2926459, wenn g in Metermaß gegeben ist. In unserm Beispiel haben wir es mit Rheinländischem Fußmaß zu thuil. Es ist aber Im — 3,18620' Rhld., daher lg 2 g für Rhld. Maß = 1,2926459 + lg 3,1862 = 1,2926459 + 0,5032730 = 1,7959189 und 2 g = Num lg 1,7959189 = 62,505. Mit Benutzung dieses Wertes finden wir:

Q = 240 1/62,505 {(5,27 -f 0,256? — 0,256? +

+ 360 VbpT- 62,505 + 16 = Num lg 3,2781706 {12,990 — 0,129} + 4- 6690,6 = 24403 + 6691 = 31094 cbf.

Nach genauen und sehr ausführlichen Vermessungen hat die ganze Wassermenge 30900 cbf betragen, so daß die bei der Berechnung benutzten Ausflußkoeffizienten etwas zu hoch gegriffen umreit.

§ 95.

Richtung und Lage der Wehre.

Hinsichtlich der Richtung und Lage der Wehre gegen die Längenrichtung des Stromes wäre zu bemerken:

Das vertikal zur Längenrichtung des Stromes hergestellte Wehr (Fig. 185 Tafel 11) ist das einfachste, am leichtesten zu errichtende. Es hat aber eine Krone von geringer Ausdehnung.

Die Veränderungen des Wasserstandes bei Hoch- und Niederwasser fallen in den meisten Fällen schon zu bedeutend aus. Dieses Wehr ist daher nur dann anwendbar, wenn die Wasserstände des Flusses nicht sehr veränderlich sind.

Das Wehr (Fig. 186) ist nur wenig länger, schwieriger herzustellen, leitet das Wasser an das linke Ufer und verursacht daditrch leicht ein Aufwühlen desselben. Dieses Wehr ist daher ebensowenig wie das doppelt geneigte Wehr (Fig. 187) zu empfehlen.

Für sehr veränderliche Wasserstände wäre am besten das in Fig. 188 dargestellte Wehr zu verwenden. Die Ausdehnung der Wehrkrone ist bei ihm von allen vorgeführten Konstruktionen am größten und es bewirkt nur ein geringes Schwanken des Wasserstandes tut Zuflußkanale. Die Länge des in der Stromrichtung liegenden Wehrteiles wird nach der Große der Veränderlichkeit des Wasserstandes im Flusse bemessen.

Das Wehr ist leicht fest auszuführen, wird natürlich nur dann gebaut, wenn die Konstrttktion in Fig. 185 nicht ausreicht. Es besitzt auch wie diese den Vorteil, daß es das Wasser nicht gegen die Ufer hitt leitet.

Bei den Wehrkonstruktionen ist es vorteilhaft, den Flußboden und die Ufer dicht unterhalb des Wehres so zu gestalten, wie sie das Wasser int Laufe der Zeit ausspülen würde. Die Formen zeigen die Figuren 307 bis 310 auf Tafel 26. Bei Hochwasser (Fig. 308) sind die Wirbel an der Oberfläche nicht so beträchtlich, wohl aber diejenigen am Flußboden, welche der Festigkeit des Wehres schädlich werden können. Die Möglichkeit einer seitlichen Ausbreitung (Fig. 309) der Wassermassen schützet die Ufer.

des Wehres war. Ist die Znflnßgeschwindigkeit nur gering, so können wir das letzte Glied in der Klammer vernachlässigen und daher schreiben:

§ 96.

Bestimmung der Wehrkronenhöhe k bei einem vollkommenen und unvollkommenen Überfall.

Bei einem vollkommenen Überfall hatten wir die Formel Q = avb/2^[(h + H)i-Hi],

worin H = ^- die Geschwindigkeitshöhe in einiger Entfernung oberhalb " §

Q = av b k2g (h + H)#.

Ans dieser Formel könnte man bequem h berechnen, wenn Q und die andern Größen bekannt sind.

Ist jedoch die Stauhöhe vorgeschrieben, so muß b bestimmt werden. Wollten wir die Znflnßgeschwindigkeit ganz vernachlässigen, so erhalten »vir, wie im § 66, die Dnbuatsche Formel

Q = avbj/2gh

und ans dieser

1)

r_Ri¹.

Losv b k2gJ

Mit Berücksichtigung von H dagegen

2)

b — ! - R 1

Lav b j/2 g J

— H.

Beispiel. Ein Fluß, welcher bei Niedrigwasser 7 cbm Wasser abführt und 16 qm Querschnittsfläche bei 14 m Wasserspiegelbreite hat, soll durch ein festes Wehr von 14 m Breite angestaut werden. Der Stau darf 0,8 m betragen. Oberhalb des Wehres sind seitlich noch

1,5 cbm Wasser abzuführen. Welche Höhe k muß die Wehrkrone erhalten?

Nach dem Obigen ist:

- 1,5    ,1

j/2gJ

— 0,296 m.

h-r -i

Lo,55 -14 -

Ist das Flnßprofil rechteckig an der Stelle, »vo das Wehr errichtet »vird, so betrug die Flnßtiefe

1,143 m.

21 *

-Meißner, Hydraulik. I. 2. Auflage.

Diese soll um 0,8 m anwachsen und daher gleich 1,143 -j- 0,8 = 1,943 m sein. Wir brauchen aber, wie oben berechnet, eine Druckhöhe h — 0,296 m, demnach muß

k = 1,943 — 0,296 = 1,647 m

sein.

Beträgt die Tiefe des ungestauten Wassers a, so wird die Wehrkrone in der Höhe des ungestauten Wasserspiegels liegen, oder k = a sein, wenn:

Q — 0,55 ba^ga.

Ist die Wassermenge kleiner, so haben wir ein vollkommenes Wehr, ist sie größer, so wird das Wehr ein unvollkommenes.

Im obigen Beispiel ist nun

Q > 0,55 b a V2 g a

wegen a = 1,143, folglich war die Annahme eines vollkommenen Überfalles gerechtfertigt.

Wird oberhalb des Wehres eine Wassermenge Q, in einen Seitenkanal abgeleitet, wodurch eine Erniedrigung e des Unterwasserspiegels eintritt, so gilt die Formel wenn die Ufer des Flusses steil sind und ^ sehr groß ist. Setzt man

i a

--=x+yß'

so sind die Werte von x und y aus folgender Tabelle zu entnehmen:

Qi

0,2

0,3

0,4

0,5

0,658

0,150

0,552

0,165

0,457

0,166

0,370

0,155

0,6    0,7

0,289 0,212 0,137 0,111

0,8

0,138 0,079

Beispiel. In einem Flusse von 3,5 m Breite und 0,90 m Wassertiefe soll ein Wehr errichtet werden, welches den ursprünglichen Wasserspiegel auf 0,50 m Höhe staut. In einem Seitenkanal vor dem Wehre soll eine Wassermenge von 2,5 cbm abfließen, während das ganze Wasser-quantum des Flusses 7,5 cbm und die mittlere Geschwindigkeit 2,5 m in 1" betrügt.

e = 0,56 - a = 0,56 • 0,90 = 0,504.

oder

Zunächst ist die Erniedrigung e des Unterwasserspiegels durch die seitwärts abfließende Wassermenge zu bestimmen. Zu dem Zwecke ermitteln

Qi_24

Q 7,5

halten wir durch Interpolation aus der obigen Tabelle x = 0,52, y = 0,165 und somit

wir die Werte von

Qi

x und y. Da nun

= 0,33 ist, so er-

£0 CD

= 0,52 + 0,165

= 0,52-f0,165-

0,90

3,5

0,56

Die Höhe der Wehrkrone über dem ursprünglichen Wasserspiegel beträgt nun

z = 0,50 —

7,5

0,53 - 3,5 j/2 g

( vV

f(äg) )

2,5²

2g

— 0,18 m.

Demnach liegt die Wehrkrone mit 0,18 m unter dem Spiegel. Die Senkung e betrug noch mehr, folglich bleibt der Überfall ein vollkommener. Wäre jedoch e kleiner, so hätten wir einen unvollkommenen Überfall und niüßten die Rechnung wiederholen.

Für die in einzelnen Fällen gewünschten besonderen Anordnungen müssen wir die entsprechenden in den früheren Paragraphen entwickelten Formeln benutzen und dieselben zunächst nach h auflösen.

Selbst die v. Wexschen Formeln sind nicht allzu umständlich zu handhaben, weil jetzt Q bekannt ist. Für einen vollkommenen Überfall z. B. würden wir zuerst die gegebenen Werte und einen für die Unbekannte k angenommenen in die Formeln 14 bis 22' auf S. 292 u. f. einsetzen, dadurch also s und s₁ berechnen. Diese Größen und der nach Formel 23 oder 24 ermittelte Ausflußkoeffizient werden nun in Formel 14,17 oder 20 eingesetzt, das dadurch erhaltene Q von dem gegebenen abgezogen und die Differenz in ein Koordinatensystem als Ordinate zu dem gewählten k als Abscisse eingetragen. Die durch Wiederholung desselben Verfahrens erzeugte Kurve schneidet auf der Abscissenachse das gesuchte k ab. Es wäre noch zu erwähnen, daß vor der Berechnung in die Formeln T — k für h einzusetzen ist, da doch wohl die größte Wassertiefe T = li -)- k vor dem Wehre gegeben ist.

In einem besonderen Falle sei gegeben:

Q = 3,68 cbm.

Durch Einsetzung dieser Werte in die Formeln 21' und 22' ergießt sich

B = b = 5,8 m,

T = k + h = 2,5 m,

Sj = s + 2,5 — k

2,5-

2,50328 — k +

k Num. lg (0,8173437 — 3)

2,5 — k

av = 0,4001 4

0,0011

0,0011

~ + 0,00048 - 5,8 = 0,402884 4

Q = «v 5,8 j/2i(²|£Ty)[sif-s ] ⁼

= «v. Num. lg 1,4097509 .

Um erst zu einem Näherungswerte von k zu gelangen und um die Rechnung abzukürzen, verwenden wir das vorige Verfahren. Danach ergiebt sich

2,5-

2,5 —k'

3,68

= 0,40784 = ou 0,41

ar

0,55 - 5,8]/2 g

k — 2,5 — 0,41 = <v2m.

Diesen Wert von k setzen wir in die obigen Formeln ein, wodurch wir erhalten:

Sl = 2,50328 — 2 +

2 Num. lg (0,8173437 — 3)

2,5 — 2

Slf = 0,38536,

«v = 0,402884-]-

0,0011

= 0,50328 4- 0,026267 = 0,52955,

0,405084,

Q = 0,405084 • Num. lg 1,4097509 • (

0,5

0,5

)■

0,52955 — 0,003283

- (0,38536 — 0,00018814),

= 0,405084 - Num. lg 1,4097509 • 0,5 • ^^7 0,38517 =

= 0,003283,

1/3,68 y 2 g 15,8-2,5/

sT = 0,00018814,

— 3,8081 cbm.

In Wirklichkeit ist Q nur =3,68, daher haben wir eine Differenz von 4-0,1281 für k = 2 m.

Wir müssen demnach den Wehrrücken noch hoher legen. Es sei k = 2,1 m gewählt. Dadurch ergiebt sich;

0,4

Q = 0,40563 Num. lg 1,4097509

0,437755 - 0,003283

= 2,7768 cbm.

sx = 2,50328 — 2,1

2,1 Num. Ig (0,8173437 — 3)

2,5-2,1

0,437755,

Sl ⁷ = 0,28963, et, = 0,402884 +

0,0011

0,4

0,405634,

• (0,28963 — 0,00018814),

Die Differenz beträgt somit 2,7768 — 3,68 = — 0,9032. Es wird also k näher an 2 als an 2,1 liegen. Durch eine graphische Auftragung, bei welcher die entstehende Kurve vorläufig als grade Linie angenommen wird, sehen wir, daß k ungefähr 2,015 sein wird. Mit Benutzung dieses Wertes finden wir nun:

Sl = 2,50328 - 2,015 -s Sj* = 0,37018, et, = 0,402884 4

2,015 Num. lg (0,8173437 — 3)

2,5 - 2,015

= 0,51556,

0,0011

2,5 - 2,015

0,405152,

Q = 0,405152 - Num. lg 1,4097509

= 3,6458 cbm.

0,485

0,51556 — 0,003283

• (0,37018 — 0,00018814),

k = 2,013 m,

Die Differenz ist jetzt nur 3,6458 — 3,68 = — 0,0342. Tragen wir auch noch diesen Wert als zu k = 2,015 gehörig auf, so sehen wir, daß zu nehmen ist

während die im vorigen Beispiel verwendete Methode

2,5 — 040784 = 2,09216

ergeben hätte.

In derselben Weise können wir die andern v. Wexschen Formeln bei besonderen Wehrkonstruktionen benutzen. Wir werden uns jedoch immer erst einen Näherungswert bestimmen. Dazu mögen die folgenden Erörterungen dienen.

Für eilten unvollkommenen Überfall lautete die Redteubachersche Formel 2') auf S. 311:

Q = b j/2 g h (0,62 h, - 0,05 li).

Nennen wir wieder die durch den Stau erzeugte Tiefe des Oberwassers T und diejenige des Unterwassers t, so läßt sich die obige Formel schreibeil:

Q = b j/2g~(T^t) [0,62 (T - k) — 0,05 (T — t)].

Daraus ergiebt sich:

0,57 T-f 0,05 t

0,62

0,62 b j/2g(T —t)

Diese Formel ist wie 2') nur zu benutzen, wenn die Znflußgeschwindig-keit sehr klein ist. Im andern Fall gehen wir von Gleichung 4) aus, die nach unserer jetzigen Schreibweise lautet:

3) . . . k

Q = b|/2g{av[(h+H)¹—H¹] -f a(T — k — h) j/h + H}

oder

b/2g(h + H){a(T-k-h) + a,h + avH(l-j/J

Vernachlässigt man jetzt das letzte Glied in der Klammer {}, so nimmt die Formel die Gestalt an:

Q = b 4Tg(ii + H) {a (T - k - h) -f at h}

oder es ist zu machen:

4) . . . k =

a b s 2 g (h + H)

An Stelle von av und a sind die der betreffenden Wehrform ent- ' sprechenden Ausflußkoeffizienlen einzusetzen. Nach dem Handbuch der Jngenieurwissenschaften soll z. B. ccv — 0,5533.. und a = 0,62 genommen werden, wenn es sich um ein Wehr von der Form der Fig. 311 Tafel 26 haildelt. Durch Benutzung dieser Werte findet man

5) . . . k = T — 0,1075 h

0,62 b K2 g (b + H)

Bei gut abgerundeter Wehrkrone ist zu nehmen av — 0,5533 und a — 0,67 und somit

6) . . . k = T —0,1741h

0,67 b J/2g(k + H)

Ferner soll gemacht werden, bei einem Grundwehr als Unterbau eines beweglichen Wehres mit Griesstünden und Setzpfosten

7)

| av = ct = 0,60 bis 0,65 und bei einem Grundablaß oder Schiffsdnrchlaß mit freier Durchflußöffnung bis zur Sohle des Wasserlaufes

8)

K = « = 0,75 bis 0,85.

Diese weiten Grenzen in den Werten der Ausflußkoeffizienten zeigen schon, daß die Ergebnisse nicht allzu genau sein können. Die berechneten Werte genügen aber, um für die v. Wexschen Formeln einen Anhalt zu haben.

Die Stauhöhe bei einer Verengung des Durchflußprofils durch völlig geöffnete bewegliche Wehre oder durch Brückenpfeiler läßt sich angenähert nach der folgenden Erörterung finden, bei welcher Q als Hochwassermenge anzusehen ist.

Bezeichnen wir mit F die Querschnittsfläche ohne Stau und mit B die Flußbreite, so ist

Vz =

F + Bh

und die Geschwindigkeit in der Verengung

Vy =

ab h, a b (h -)-1)

daher erhalten wir

Zwischen beiden Geschwindigkeiten besteht aber die Beziehung v,² = 2 g h + Vz², vv² — Vz²

und mit Benutzung der obigen Werte: oder 9) . .

Diese Gleichung ist wieder drlrch Probieren zu lösen und zwar wäre als erster Näherungswert zu betrachten:

Für a soll gesetzt werden a = 0,80 bis 0,95, wenn kein Vorsprung in der Sohle vorkommt und a — 0,90 bis 0,95, wenn die Zwischenpfeiler zugeschürft sind.

C. Ungleichförmige WllsscrbeMegnngen.

Sechzehntes Kapitel.

Stau und Senkung des Wasserspiegels.

§ 97.

Stauhöhe.

Die Erbauung eines Wehres hat die Herstellung eines künstlichen Gefälles oder die Vermehrung eines bereits vorhandenen Gefälles zum Zwecke und ist erforderlich zur Ausnützung einer vorhandenen Wasserkraft, wenn das zu bewirkende Gefälle nicht über 2,5 m beträgt.

Die zulässige Stauhöhe hängt von den besonderen Umständen ab und wird durch einen Merkpfahl genau bezeichnet. An diesem ist angegeben die im Sommer einerseits und im Winter andererseits nicht zu überschreitende Stauhöhe. Aber auch der geringste oder Mindeststau muß vermerkt sein.

Bei der Anlage des Wehres wird der Wasserspiegel vom Wehr an stromaufwärts bis auf eine gewisse Entfernung gehoben, welche man die Stauweite nennt. Mathematisch genau genommen bildet die Oberfläche des Wassers keine horizontale Ebene, sondern eine krumme Fläche, welche sich asymptotisch dem ursprünglichen Wasserspiegel oberhalb des Wehres nähert. Wenn jedoch die Zuflußgeschwindigkeit klein ist, so kann man die Oberfläche des angestauten Wassers als eine horizontale Ebene betrachten.

Nennt man unter dieser Voraussetzung h die Höhe, auf welche das Wasser gestaut werden soll, und i den Winkel, unter welchem die Wasserfläche vor der Herstellung des Wehres gegen den Horizont geneigt war, so beträgt die Stauweite w

w = h cotg i.

Die genaue Stauweite ist ganz besonders abhängig von der Geschwindigkeit v des zufließenden Wassers und es lassen sich hinsichtlich der Staukurve und der Stauweite folgende zwei Fälle unterscheiden:

1.    Wenn die Geschwindigkeitshöhe des zufließenden Wassers

kleiner als die halbe Tiefe des unaufgestauten Wasserkörpers ist, so ist genau genommen die Stauweite unendlich groß, indem die Staukurve (Oberstäche des Wasserkörpers) asymptotisch in den ursprünglichen Wasserspiegel übergeht, d. h. diesem Wasserspiegel sich zwar mehr und mehr nähert, aber denselben nie ganz erreicht. Dieser theoretische Sachverhalt ist nun in der Praxis insoferne anders, als die Stauweite allerdings sehr groß werden kann, aber doch immerhin eine entschiedene Grenze hat, die freilich schwierig genau zu bestimmen ist und schon unter dem Einstusse eines mäßigen Windes stromabwärts oder aufwärts sich ans eine bedeutende Länge verschiebt.

2.    Je größer die Geschwindigkeit v und mit ihr der Wert ^z-nun wird, um so kürzer wird die Stauweite, und wenn der Wert

die halbe Wassertiefe des unaufgestauten Wasserkörpers übertrifft, so 2g

verschwindet die Stauweite und es bildet das Wasser einen sogenannten Sprung oder eine Schwelle, Fig. 182 Tafel 11 und Fig. 321 Tafel 26, indem sich in einer inäßigen Entfernung von der Wehrkrone eine Erhöhung b c des Wasserspiegels bildet. Eine andere Bedingung für das Vorhandensein eines Sprunges steht auf S. 334.

Die Höhe des Wassersprunges läßt sich nach Möller (Ungleichförmige Wasserbewegung, Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover, 1894, Heft 8) durch die Formel

y = ! 5-—t±

2g

tNS

»H-

r-h

03

bestiminen. Hierin bezeichnet t die Wassertiefe vor dem Sprunge.

1 m die

2g

Der Maximalwert ymax tritt ein für t = 0 und ist gleich der Geschwindigkeitshöhe    Die obige Gleichung giebt bei v —

folgenden Werte:

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,05097 0,04954 0,04634 0,04216 0,03734 0,03204

0,06    0,07    0,08    0,09    0,10    0,10194

0,02638    0,02043    0,01324    0,00785    0,00130    0,00000

Für die Geschwindigkeit v = n m, sind die obigen Werte von t und y mit n² zu multiplizieren.

Beispiele. 1. Ist v —3m und t — 0,54 m, so erhalten wir

0 54

eine in der obigen Tabelle zu suchende Tiefe von ~-~-

selben entspricht ein Wassersprung von der Höhe 0,02638. Demnach erhalten wir für unser Beispiel

0,06 m, der-

y --- 0,02638 • 3² = 0,23742 = <v 0,24 m.

2. Die Geschwindigkeit sei wieder v = 3 m, der entstehende Sprung habe eine Hohe y = 0,18m. Wie groß ist die Tiefe t?

018

Der Geschwindigkeit v=l würde eine Sprunghöhe von -p- — 0,02 m

entsprechen. Zu dieser gehört ungefähr eine Tiefe von 0,07 m. Somit muß in unserm Falle t = 0,07 • 9 = 0,63 m betragen.

Leider gestattet es der Raum nicht, auf Möllers Untersuchungen weiter einzugehen, es sei nur erwähnt, daß er noch den fortschreitenden Wassersprung, die Gestalt des stehenden Wassersprunges, den belasteten Wassersprung, den Wasserknick, die Gestalt der Spiegelkurve bei einer stromab sich vermindernden Wassertiefe, die Wellen auf einem Wehrrücken, den Einfluß einer unregelmäßigen Gestaltung des Rinnsals, Grenzbestimmungen für die ruhige und unruhige Wasserbewegung und die Sinkstoffablagerungen behandelt.

Wo Wehre angelegt werden, haben die Flüsse und Kanäle kein so großes Gefälle, daß ein Wassersprung zum Vorschein kommt und da auch bei den gewöhnlich vorhandenen Zuflußgeschwindigkeiten die Stauweite nicht theoretisch ausläuft, so kann dieselbe für die Praxis genau genug durch die oben angegebene Regel bestimmt werden.

Auf die Stauweite müssen die Uferdämme eines Flusses erhöht und verstärkt werden, wenn die umherliegenden Grundstücke nicht durch Horizontalwasser leiden sollen.

Durch die Anlage eines Wehres werden die natürlichen Änderungen des Wasserstandes vermindert oder aufgehoben.

§ 98.

Stanknrve.

Die genaue Berechnung der Stauweite und Stauhöhe und ■ die Formbestimmung der Staukurven ist mit großen Schwierigkeiten verknüpft und läßt sich mathematisch richtig nur für einfache Flußprofile durchführen. Sind die betreffenden Querprofile vielfältig wechselnd, so teilt man sich eine bestimmte Flußstrecke in eine größere Anzahl Stiicke von der Länge ckx Mg. 365 Tafel 33) und bestimmt die zugehörigen 4y nach der Formel:

1)

In dieser bezeichnet, wie in den Gleichungen über die Bewegung des Wassers in Flüssen, Kanälen und Rohrleitungen, U den benetzten Umfang, F den Querschnitt und k einen Koeffizienten der von der gewählten Ge-schwindigkeitsformel abhängt.

Bei der Berechnung verfährt man nun so, daß man vom Wehr ausgehend die dort gültigen Werte von F und U als gleichbleibend für die erste Strecke ckx ansieht, nach 1) das dy berechnet und in das Längenprofil des Flusses einträgt. Für die folgende Strecke sind dann angenähert die Punkte A und B festgelegt und für diese die Werte F und U bestimmbar. Ihre Mittelwerte werden in Gleichung 1) eingesetzt. In dieser Weise fortschreitend kann man die ganze Stauknrve bestimmen. Wenn wir es mit einer großen Stauhöhe zu thun haben, müssen wir auch verschiedene Werte von k benutzen. Diese können als bequeme Mittelwerte zwischen dem k nach Bazin und demjenigen nach Hagen ans der folgenden Tabelle entnommen werden.

0,2    0,3    0,4    0,6    0,8    1,0    1,2

k nach Bazin k nach Hagen

00 DO OC DO "rfn "DO

CO^ 00^ cd" ioT CM co

xj^ lO_ CM CO

xh" cT co xtf

rH

CC_

oT co

CO xH

C5_

rH iO

xH

1,4    1,6    1,8    2,0    3,0    4,0    5,0

k nach Bazin k nach Hagen

iq_

■co ccT ^ xh

oq_ co_

00    05

lo "o

CM iO

cT c<f

tO iO

O' Ol Ol do

"o *DO

O¹ Ol -O _O0 "dO "oi

In der Praxis handelt es sich nicht darum, zu bestimmen, wie weit sich der Stau erstreckt, sondern vielmehr darum, wie groß (z in Fig. 322 Tafel 26) er in einer gegebenen Entfernung vom Wehr noch ist. Dies

läßt sich nun rechnerisch für den Fall bequem ermitteln, daß der Fluß als Querprofil eine Parabel (Fig. 366 Tafel 33) hat. Für eine solche ist

2)

und der Parameter

3)

B³

p—6F

oder bei zwei verschiedenen in Rechnung gezogenen Wasserständen

4)

5)

a + a, — I +

is^ + A³ |. Z 1,6 F^ 6 Fj J

P =

In diesen Formeln ist a die Tiefe des ungestauten Wassers, B die Breite. Ferner sei T die Tiefe des gestauten Wassers, z die Stauhöhe in der Entfernung l(h, z> (Fig. 322 Tafel 26) vom Wehr und yn,, z) die Höhe des zugehörigen Oberflächenpunktes über dem Wasserspiegel am Wehr, J das Wasserspiegelgefälle der ungestauten Flußstrecke.

Für die Profilparabel ist nun

B = 2 |/pT, F = |T ]/pT, U angenähert = B = 2 pst. T.

Diese Werte in 1) eingesetzt, ergiebt:

Ebenso erhalten wir

dy /QV ayPT _ 27 /QV 1 dx \k) (4 Typ^js 32 \k) pT⁴

32 V k ) p a⁴

Aus den beiden letzten Gleichungen folgt

I)

dy __ t a⁴

.......... dx T⁴ *

Nach Fig. 367 Tafel 33 ist aber auch

dy + dT

dx

oder

II)

III)

dy T dT dx    dx

Durch Gleichsetzung der rechten Seiten in 1) und II) und Umformung finden wir

-dT. a⁴

dy = „„ a‘ - d T.

J T⁴ — a⁴

Jdx

1'4 _

Aus II) und III) folgt dann:

Die Integration der Gleichungen 4) und 5) ergießt:

Jx =

r, ZT    T+a

c + aUr~*lnT^

T\

| arc taug — ),

y = c — a (i ln,|“ + i arc taug ~'j .

Hierin muß die Jntegrationskonstante C = a ~ sein, damit die rechte Seite für

T — oo verschwindet.

Setzen wir nun zur Abkürzung

t ln    + i arc tang ^    ^ = 9> ( j

UNd

~ä~<P

L- | 1—3

oder da T von a-fz bis

dann können wir schreiben y = — agn ^ j a + h zunimmt, die nachstehenden Gleichungen 6) und 7).

Zur Berechnung der oben näher definierten Größen 1(11,2) und y₍h, z> benutzen wir die Formeln

⁶> • - = y l> (^H (a4^)] - T Ih - z+r<‘. ->]•

a[y(a-±^)-,(^)]

7) . .

• J(h, Z) -

ober die genaueren

8) .

- •(s±-’)] - ■* V W‘4-°)

(p(a4Il)] ⁼ T[h“z + yi>-->1'

Verschwindet die Größe in der ersten Klammer auf der rechten Seite der letzten Gleichung oder ist Jk² = g, so wäre ym,z) = 0, d. h. der Oberwasserspiegel in der Nähe des Wehres ist horizontal (Fig. 321 Tafel 26) oder es tritt ein Wassersprung auf. Da nun aber, wie wir später

kJ/j-jj ist, so können wir für die obige Bedingung

₂.li.

2g

sehen werden, v = schreiben:

10) ..... .

Es müßte also

oder der sogenannte hydraulische Radius

R gleich der doppelten Geschwindigkeitshöhe sein.

Die in den Formeln 6) bis 9) vorkommenden Ausdrücke

(44

d>

können aus der folgenden Tabelle entnommen werden.

Tabelle zur Berechnung der Staukurvcu.

a -f h

(P

a + h'

<P

a -j- h

a +h'

a -j- li

<P

a + z'

<P

a -j-z'

a -f- z

83

c3 +

9>

£/a + h'

9>

+ s-

1,00

1,005

1,010

00

— 00

1,107

0,936

— 0,102 0,074

1,011 1,012

1,013

1,014

1,015

1,016

1,017

1,018

1,019

1,020

0,914

0,893

0,873

0,854

0,836

0,820

0,805

0,792

0,779

0,766

0,097

0,119

0,140

0,160

0,179

0,196

0,212

0,226

0,240

0,254

1,036

1,037

1,038

1,039

1,040

0,625

0,619

0,613

0,606

0,600

0,411

0,418

0,425

o,433

0,440

1,021

1,022

1,023

1,024

1,025

1,026

1,027

1,028

1,029

1,030

o,754

0,743

o,732

0,722

0,712

0,703

0,694

0,685

0,676

0,668

0,267

0,279

0,291

0,302

0,313

0,323

o,333

o,343

o,353

0,362

1,041

1,042

1,043

1,044

1,045

1,046

1,047

1,048

1,049

1,050

o,595

0,589

0,583

0,578

o,558

o,553

0,548

0,446

0,453

0,460

0,466

0,473

o,479

0,484

0,490

0,496

0,502

1,031

1,032

1,033

1,034

1,035

0,660

0,653

0,646

0,639

0,632

0,371

o,379

0,387

0,395

0,403

1,051

1,052

1,053

1,054

1,055

1,056

1,057

1,058

i,059

I,060

I,06l

I,062

1,063

0,544

0,540

0,535

0,530

0,526

0,522

0,518

0,514

0,5m

0,506

o,5oy 0,512 o,5 iS

0,524

0,529

o,534

o,554

0,502

0,498

o,495

o,559

0,564

0,568

1,064

1,065

1,066

1,067

1,068

1,069

1,070

1,071

1,072

1,073

1,074

i,o75

1,076

1,077

1,078

1,079

1,080

1,081

1,082

1,083

1,084

1,085

1,086

1,087

1,088

1,089

1,090

0,491

0,487

0,484

0,481

0,477

o,474

o,47i

0,467

0,464

0,461

0,458

0,455

0,452

0,449

0,446

0,443

0,441

0,438

0,435

0,432

0,430

0,428

0,425

0,422

0,420

0,418

0,415

1,091

0,412

0,573

0,578

0,582

0,586

0,591

0,595

0,599

0,604

0,608

0,612

0,616

0,620

0,624

0,628

0,632

0,636

0,639

0,643

0,647

0,649

0,654

0,657

0,661

0,665

0,668

0,671

0,675

0,679

a -J- h

<P

a+li

<P

a-f-h'

a+ hx

<P

a+ h‘

<z,Z'a + h

c5

a -f- z

<P

SJ

1,092

1,093

1,094

1,095

1,096

1,097

1,098

1,099

1,100

0,410

0,408

0,406

0,403

0,401

0,399

o,397

0,395

0,392

0,682

0,685

0,688

0,692

0695

0,698

0,701

0,704

0,708

1.101

1.102

1.103

1.104

1.105

1.106

1.107

1.108

1.109

1.110

0,390

0,388

0,386

0,384

0,382

0,380

0,378

0,376

0,374

0.372

0,711

0,714

0,717

0,720

0,723

0,726

0,729

o,732

o,735

0,738

1.111

1.112

1.113

1.114

1.115

i, 116

1,117

i, 118

1.119

1.120

0,370

0,368

0,366

0,364

0,362

0,360

0,358

0,357

0,355

0,353

o,74i

o,744

o,747

o,75o

0,753

0,756

0,759

0,761

0,764

0,767

1.121

1.122

1.123

1.124

1.125

1.126

1.127

1.128

1.129

1.130

o,352

o,35o

0,348

o,347

o,345

o,344

0,342

0,340

o,339

o,337

0,769

0,772

o,775

o,777

0,780

0,782

0,785

0,788

0,790

o,793

1.131

1.132

1.133

1.134

1.135

1.136

1.137

1.138

1.139

1.140

1,142

1,144

1,146

1,148

1,150

1,152

i,i54

1,156

1,158

1,160

1,162

1,164

1,166

1,168

1,170

1,172

i,i74

1,176

1,178

1,180

1,182

1,184

1,186

1,188

1,190

1,192

i,i94

1,196

1,198

1,200

0,335

o,334

0,332

o,33i

0,329

0,328

0,326

0,325

0,323

0,322

0,319

0,316

0,313

0,310

0,308

0,305

0,303

0,300

0,298

0,295

0,293

0,290

0,288

0,285

0,283

0,281

0,278

0^76

0,274

0,272

0,270

0,268

0,266

0,264

0,262

0,260

0,258

0,256

0,254

0,252

0,796

0,798

0,801

0,803

0,806

0,808

0,811

0,813

0,816

0,818

0,823

0,828

0,833

0,838

0,842

0,847

0,851

0,856

0,860

0,865

0,869

0,874

0,878

0,883

0,887

0,891

0,896

0,900

0,904

0,908

0,912

0,916

0,920

0,924

0,928

o,932

0,936

0,940

0,944

0,948

1,202

1,204

1,206

1,208

1,210

1,212

1,214

1,216

1,218

1,220

1,222

1,224

1,226

1,228

1,230

1,232

1,234

1,236

1,238

1,240

1,242

1,244

-.246

1,248

i,

I,

1,256

1,258

I.2Ö0

1,262

1,264

1,266

1,268

1,270

1,272

1,274

1,276

1,278

1,280

0,250

0,249

0,247

0,245

0,243

0,241

0,240

0,238

0,236

0,235

0,233

0,232

0,230

0,228

0,227

0,225

0,224

0,222

0,221

0,219

0,218

0,216

0,215

0,214 0,212 0,211 0,209 0,208 0,206 0,205

0,204

0,203

0,202

0,200

0,199

0,198

0,196

o,i95

0,194

o,i93

0,952

0,955

0,959

0,963

0,967

0,971

0,974

0,978

0,982

0,985

0,989

0,992

0,996

1,000

1,003

1,007

1,010

1,014

1,017

1,021

1,024

1,028

1,031

1,034

1,038

1,041

1,045

1,048

1,052

1,055

1,058

1,061

1,064

1,068

1,071

1,074

1,078

1,081

1,084

1,087

<P

a + h'

a + h'

<P

a + h'

'a+h'

a+z

<P

a+ z

a+z

<P

a+z'

a + z'

a + z'

1,341

I,

I,

I,

1,367

1,373

1,379

1,385

i,392

1,398

1,404

1,410

1,417

i,423

i,429

i,435

i,44i

i)447

i,453

1,466

i,477

1,489

i,50i

i,5i3

i,525

Cn

i,559

i,57i

1,582

1,276

1,282

1,289

1,296

1,302

1,309

i,3i5

1,322

1,328

i,335

1.282

,284 1,286

1,288

1,290

1,292

1,294

1,296

1,298

1,300

1,302

1,304

1,306

1,308

1,310

1,312

1,314

1,316

1,318

1,320

1,322

1,324

1,326

1,328

1,330

1,335

1,340

1,348

1.350

1,355

1,360

1.365

i,370

1,375

1,380

1,385

i,390

1.395

1,400

1,405 0,192

0,190

0,189

0,188

0,187

0,186

0,185

0,184

0,182

0,181

0,180

o,i79

0,178

0,177

0,176

o,i75

o,i74

o,i73

0,172

0,171

0,170

0,169

0,168

0,167

0,166

0,164

0,162

o,i59

0,157

0,155

o,i53

0,151

0,149

o,i47

0,145

o,i43

0,141

0,139

0,138

0,136

1,090

1,094

1,097

1,100

1,103

1,106

1,109

1,112 1,116

1,119

1,122

1,125

1,128

1,131

i,i34

i,i37

1,140

i,i43

1,146

1,149

1,152

1,155

1,158

1,161

1,164

1,171

1,178

1,186

1,193

1,200 1,207

1,214

1,221

1,228

1,235

1,242

1,249

1,256

1,262

1,269

1,410

1,415

1,420

1,425

i,430

i,435

1,440

i,445

i,45o

1,455

1,460

1,465

i,470

i,475

1,480

1,485

1,490

i,495

1,500

1,505

1,510

i,5i5

1,520

1,525

i,53o

i,535

i,540

1,545

i,55o

1,560

1,57°

i,58o

i,590

1,600

1,610

1,620

1,630

1,640

1,650

1,660 o,i34

o,i33

0,131

0,129

0,128

0,126

0,125

0,123

0,122

0,120 0,119

0,118

0,116

0,115

0,113

0,112

0,111

0,110

0,108

0,107

0,106

0,105

0,103

0,102

0,101

0,100

0,099

0,098

0,097

0,094

0,093

0,091

0,089

0,087

0,085

0,084

0,082

0,081

0,079

0,078 1,670

1,680

1.690

1,700

i,7io

1,720

i,73o

i,740

i,750

1,760

1,770

1,780

1,790

1,800

1,810

1,820

1,830

1,840

1,850

1,860

1,870

1,880

1,890

1,900

i,9io

1,920

i,93o

1,940

i,95o

1,960

i,970

1,980

i,990

2,000

2,010

2,020

2,030

2,040

2,050

2,060 0,076

0,075

0,073

0,072

0,071

0,069

0,068

0,067

0,065

0,064

0,063

0,062

0,061

0,060

0,059

0,058

0,057

0,056

0,055

0,054

0+53

0,052

0,051

0,050

0,049

0,049

0,048

0,047

0,046

0,046

0,045

0,045

0,044

0,043

0,043

0,042

0,041

0,040

0,040

0,039

1,594

1,605

1,617

1,628

1-639

1,651

1,662

1,673

1,685

1,696

1,707

1,718

1,729

1,740

i,75i

1,762

1,773

1,784

i,795

I,806

1,817

1,828

1,839

1,850

I,86l

1,871

1,882

1,893

1,904

1,914

1,925

1,935

1,946

1,957

1,967

1,978

1,989

2,000

2,010

2,021

a -|-h

a + hx

a-f hN

a+hx

a + hx

<p

a-{-h'

a -j- h

a 4" z

a+z'

a 4- z

a 4" z

a4~ z

a 4- z

a 4- z

<p

a 4- z

2,376 2,386 2,396 2,407 2,417

2,427

2,437 2,448 2,458 2,468

2,478 2,489

2,499 2,509 2,519 2,530 2,540 2,550 2,560

2,571

2,581

2,591

2,601 2,612 2,622 2,632 2,642 2,652 2,663

2,673

2,683

2,693 2,703

Beispiele. 1. Eine 8 km lange Flußstrecke wird am untern Ende durch ein Wehr angestaut. Bei Niedrigwasser beträgt F = 45 qm, B = 55 m und die Höhendifferenz —4m, bei Mittelwasser, welches 0,50 m höher liegt, dagegen F, = 75 qm und B, = 65 m. An welcher Stelle ist die Anstauung noch z—0,05 m, wenn sie am Wehr h=1,20 m ist?

Meißner, Hydraulik. I. 2. Auflage.

2,070

2,080

2,090

2,100

2,110

2,120

2,130

2,140

2,150

2,160

2,170

2,180

2,190

2,200

2,210

2,220

2,230

2,240

2,250

2,260

2,270

2,280

2,290

2,300

2,310

2,320

2,330

2,340

2,350

2,360

2,370

2,380

2,390

0,039

0,038

0,038

0,037

0,036

0,035

0,034

0,033

0,032

0,032

0,031

0,030

0,029

0,0278

0,0271

0,0264

0,0257

0,0251

2,031

2,042

2,052

2,063

2,073

2,084

2,094

2,105

2,115

2,126

2,136

2,i47

2,i59

2,400

2,410

2,420

2,430

2,44°

2,450

2,460

2,470

2,480

2,490

0,0244

0,0238

0,0232

0,0226

0,0221

2,168

2,178

2,188

2,199

2,209

2,219

2,230

2,240

2,251

2,261

2,500

2,510

2,520

2,530

2,540

2,550

2,560

2,570

2,580

2,590

0,0216

0,0210

0,0206

0,0201

2,730

2,740

2,750

2,760

2,770

2,780

2,790

2,800

2,810

2,820

2,830

2,840

2,850

2,860

2,870

2,880

2,890

0,0163

0,0160

0,0156

0,0153

0,0150

0,0147

0,0144

0,0140

2,272

2,282

2,293

2,303

2,314

2,324

2,334

2,345

2,355

2,365

2.600

2,610

2,620

2,630

2,640

2,650

2,660

2,670

2,680

2,690

2,700

2,710

2,720

0,0196

0,0192

0,0187

0,0183

0,0179

0,0175

0,0171

0,0167

2,900

2,910

2,920

2,930

2,940

2,950

2,960

2,97°

2,980

2,990

3,000

3.500

4,000

4.500 5,000

00

0,0138

0,0135

0,0132

0,0129

0,0127

0,0124

0,0078

0,0052

0,0037

0,0027

2,714

2,724

2,734

2,744

2,754

2,764

2,775

2,785

2,795

2,805

2,815

2,825

2,835

2,846

2,856

2,866

2,876

2,886

2,896

2,907

2,917

2,927

2,937

2,947

2,957

2,967

2,978

2,988

3,492

3,995

4,496

4,997

00

Da nach der Aufgabe a, = a +0,50 sein soll, so erhalten wir durch Formel 4)

Daraus folgt

Ferner ist nun

a + ai — 2 a + 0,50 — | (jrpr + gjr) -

(- + ~)

\11 ' 13/

a-f h_ 1,23 + 1,20

— 0,25 = 1,229 = ou 1,23.

1,23

= 1,975,

a + z_1,23 + 0,05

1,23

1,041

8000

0,0005.

Nach der obigen Tabelle entspricht a + h

1,980 der Wert <l>    = 1,935

„    =1,970 .,    „

dies ergiebt für ---™ =

Wert <I> (-”h) = 1,930.

Ferner ersehen wir aus der Tabelle, daß für a"^" z Ausdruck <I>    = 0,446 ist.

einem

und

= 1,925

1,975 den in unserm Falle zu benutzenden

—1,041 der

Setzen wir jetzt die gefundenen und gegebenen Größen in 6) ein, so erhalten wir

(h, z)

1,23

[1,930 — 0,446] = 3650,64 m.

0,0005

Um Gleichung 8) benutzen zu können, bestimmen wir erst die Funktionen cp nach unserer Tabelle. Dies ergiebt

= 0,595,

(4-k)

= 0,045,

sodann nehmen wir nach der vorhergehenden Tabelle k — 40. Somit erhalten wir

1,23

(h, 2)

[1,930 - 0,446]—1,23

40²

9,8088

[0,595 — 0,045]

0,0005

= 3650,64 - 110,35 = 3540,29 m.

Bei derartigen Aufgaben ist aber noch die Formel auf S. 329 zu berücksichtigen, welche die Höhe y des Wassersprunges angiebt. Setzt man dieses y für z in 6) oder 8) ein, so erhalten wir den Ort des Wasser-

sprunges. Ist y größer, als die in der Aufgabe gegebene Aufstauung z, so kann die letztere nirgends auftreten. Wie wir auf S. 329 gesehen haben, tritt der Wassersprung auf, wenn stromaufwärts irgendwo die

2g

Wassertiese einen kleinern Wert als besitzt.

2. Es soll die Stauhöhe z in der Entfernung l(h, -) — 3600 für das • Mittelwasser bestimmt werden, wenn am Wehr keine weitere Erhöhung des Wasserspiegels als beiin Niedrigwasser eintritt.

1,405.

Die durch das Wehr erzeugte Stauhöhe darf daher nur betragen h' = 1,20 — 0,50 = 0,70. Mit diesem Werte und a, = 1,73 ergiebt sich: h'_1,73 -}- 0,70

1,73

Hierzu gehört 0 (ai J⁻ ^¹) — G (1,405) = 1,269. Durch Einsetzung von

0 (1,405) und der übrigen Werte in Gleichung 6) nimmt sie die Gestalt an:

3600

1,73

0,0005

oder es ist

<Z>

= 1,269 -

3600 - 0,0005

1,73

0,229.

Nach unserer Tabelle gehört hierzu

1,73 + z'

1,73

—1,018. Somit erhalten

z' = 1,73 -1,018 — 1,73 = 1,73 • 0,018 = 0,03114 z = z' -j- 0,50 — 0,531 als Stauhöhe vom Niedrigwasserspiegel aus gerechnet.

wir

oder

3. Wie hoch muß das Niedrigwasser am Wehr angestaut werden, daniit in 3 km Entfernung die Stauhöhe z noch 0,25 m beträgt? Gleichung 6) liefert:

3000

1,23

weil

Daraus folgt

(D

V 1,23 /

0 (-'²³ry⁾'²⁵) = 0 (1,203) = 0,954. 3000 - 0,0005

0,0005

1,23

0,0005

1,23

f- 0,954 = 1,220 + 0,954 = 2,174.

Hierzu folgt nach der Tabelle

= 2,206

1,23

oder es ist zu machen

h = 1,23 - 2,206 — 1,23 = 1,23 • 1,206 --- 1,483 in.

Ist das Flußbett unregelmäßig gestaltet, so würde man doch die Rechnung erst ebenso durchführen, die erhaltene Staukurve in das Längsprofil des Flusses einzeichnen und dann die genaue Kurvenform mit Hilfe der Gleichung 1) ermitteln.

§ 99.

Senknngskurlie.

Wie eine plötzliche Erhöhung im Flußboden oder eine seitliche Verengung des Wasserlaufes ein Anstauen der Wassermassen verursacht, so wird das Gegenteil, eine Senkung des Wasserspiegels, durch eine plötzliche Vertiefung (Fig. 320 Tafel 26) des Bodens oder 'durch eine seitliche Erweiterung des Flußbettes hervorgerufen.

Eine genaue Berechnung der entstehenden Senkungskurve müßte nach der Formel

-QVy.)

1    vr/iooy /looyn /ioo\%u<?x

2    g ^ L\ f₂ /    VFj/J+vw f» von A (Fig. 320) NM kleine Stücke ckx fortschreitend, geschehen. Hierin ist y — y₀ der Höhenunterschied zwischen dem obersten und untersten Ende der ganzen Strecke. Fj und Fä sind die Querschnitte an den Enden einer Teilstrecke ckx. Eine durch Vernachlässigungen entstandene Annäherung an 11) bildet die im vorigen Paragraphen aufgeführte Formel 1). Für eine regelmäßige Flußstrecke besteht wieder dieselbe Differentialgleichung wie beim Stau, nur ändert sich das Resultat insoweit, als jetzt T <f a ist. Somit erhalten wir

12)    - - y₍h/Z) = a(l

13)    l(h, 7.) =

jk²

ak²

[»m

wenn

, a — z arc tang —--

<Z>

Za — z\ /a — z\    a — z

V a /    ^ \ a / a

Aus der folgenden Tabelle können zur Erleichterung der Rechnung die Werte <Z> und y entnommen werden.

Tabelle zur Berechnung der Senkungskurven.

<P

a — h'

a — h'

<P

a — h'

<P

a —hN

a — h'

4'l —

1,000

0,995

o,994

o,993

o,992

o,99i

0,990

00

00

1,889

1,843

1,804

i,77o

i,74i

1,714

o,8 n 0,778

o,75o

0,724

0,989

0,988

0,987

0,986

0,985

0,984

0,983

0,982

0,981

0,980

1,690

1,668

1,647

1,628

1,610

i,593

1,578

1,564

1,550

1,536

0,701

0,680

0,660

0,642

0,625

0,609

0,969

0,968

0,967

0,966

0,965

0,964

o,96z

0,962

0,96l

o,9do

1,422

i,4i4

1,406

1,398

i,39i

1,383

i,376

1,369

1,362

i,355

0,453

0,446

0,439

0,432

0,426

0,419

0,413

0,407

0,401

o,395

0,942

0,941

0,940

1,256

1,251

1,246

1,242

1,237

0,595

0,582

0,569

0.556

0,959

0,314

0,310

0,306

0,979

0,978

o,977

0,976

o,975

-0,974

o,973

0,972

o,97i

0,970

1,523

1,511

1,500

1,489

1,479

1,469

1,460

i,45o

1,440

0,544

0,533

0,523

0,513

0,504

0,495

0,487

0,478

0,469

0,461

o,952

o,95i

o,95o

i,348

i,342

i,336

i,33o

1,324

1,318

1,312

1,307

1,301

1,296

0,389

0,384

o,379

o,374

0,369

0,364

o,359

o,355

o,35o

0,346

o,939 0,938 0,937    i>233

0,936    1,228

0,935 0,934 o,933 0,932    1,212

0,931    1,208

1,224

1,220

1,216

0,949

0,948

0,947

0,946

0,945

0,944

1,290

1,285

1,280

1,275

1,270

1,265

1,260

0,341

o,337

o,333

0,329

0,325

0,321

0,317

o,930

0,929

0,928

0,927

0,926

0,925

0,924

0,923

0,922

0,921

0,920

0,919

0,918

0,917

0,916

1,204

1,200

1,196

1,192

1,189

1,185

1,181

1,177

i,i73

1,170

1,166

1,163

i,i59

1,156

1,152

0,303

0,299

0,296

0,292

0,289

0,286

0,283

0,280

0,277

0,274

0,271

0,268

0,265

0,263

0,260

0,257

0,254

0,251

0,249

0,246

0,244

0,241

0,239

0,236

<P

a — h.'

<p

/a-hx

M-

— hx

<P

<P

0,915

0,914

0,913

0,912

0,911

0,910

i,i49

1,146

i,i43

i,i39

1,136

i,i33

0,227

0,225

0,223

0,909

0,908

0,907

0,906

0,905

0,904

0,903

0,902

0,901

0,900

0,899

0,898

0,897

0,896

0,895

0,894

0,893

0,892

0,891

0,890

0,889

0,888

0,887

0,886

0,885

0,884

0,883

0,882

0,881

0,880

0,879

0,878

1,130 1,127 1,124 1,121 i ,118 i,H5 1,112 1,109 1,106 1,103

1,100

1.097

1,094

1,092

1,089

1,086

1,084

1,081

1,078

1,075

1,073

1.070

1,067

1,065

1,062

i,059

i,057

1.054

1,052

1,049

1,047

1,044

0,221

0,219

0,217

0,215

0,213

0,211

0,209

0,207

0,205

0,203

0,201 0,199 0,197 0,196 o,i94 0,192 o,i9i 0,189 0,187

o,i8s

0,184

0,l82

0,l80

0,179

0,177

0,175

0,l68

0,l66

0,165

0,876

0,875

0,874

0,873

0,872

0,871

0,870

0,869

0,868

0,867

0,866

0,865

0,864

0,863

0,862

0,861

0,860

0,858

0,856

0,854

0,852

0,850

0,848

0,846

0,844

0,842

0,840

0,838

0,836

0,834

0,832

0,830

0,828

0,826

0,824

0,822

0,820

0,818

0,816

1,039

1,037

1,034

1,032

1,030

1,027

1,025

1,022

1,020

1,018

1,015

1,013

1,011

1,009

1,006

1,004

1,002

0,163

0,162

0,160

o,i59

0,158

0,156

o,i55

o,i53

0,152

0,151

o,i49

0,148

o,i47

0,146

0,144

o,i43

0,142

0,808

0,806

0,804

0,802

0,800

o,795

0,790

0,785

0,780

o,775

0,770

0,765

0,760

o,755

o,75o

o,997

o,993

0,989

0,984

0,980

0,976

0,972

0,968

0,964

0,960

0,956

o,952

0,948

o,944

0,940

o,937

o,933

0,929

0,926

0,922

0,918

o,i39

o,i37

o,i35

0,132

0,130

0,128

0,126

0,124

0,122

0,120

0,118 0,116 0,114 0,112 0,110 0,109 0,107 0,105 0,104 0,102

0,100

0,099

o,745

0,740

o,735

o,73o

0,725

0,720

o,7i5

0,710

0,705

0,700

0,695

0,690

0,685

0,680

0,675

0,670

0,665

0,660

0,655

0,650

0,911

0,908

0,904

0,901

0,897

0,894

0,890

0,887

0,878

0,870

0,862

0,854

0,846

0,838

0,831

0,823

0,816

0,808

0,801

o,794

0,787

0,780

o,773

0,766

0,759

o,752

0,746

o,739

o,732

0,726

0,719

o,7i3

0,707

0,701

0,694

0,688

0,682

0,676

0,097

0,096

0,094

0,093

0,091

0,090

0,088

0,087

0,083

0,080

0,077

0,074

0,071

0,068

0,066

0,063

0,061

0,058

0,056

0,054

0,052

0,050

0,048

0,046

0,044

0,042

0,041

0,039

0,037

0,036

0,034

0,033

0,032

0,031

0,029

0,028

0,027

0,026

a — h'

a— hx

-h'

a —hx

0,640

0,635

0,630

0,625

0,620

0,615

0,610

0,605

0,600

o,595

0,59°

0,585

0,580

o,575

o,570

0,565

0,560

o,555

o,55o

o,545

0,540

o,535

o,53o

0,664

0,658

0,652

0,646

0,640

0,634

0,628

0,623

0,617

0,611

0,606

0,600

o,594

0,589

0,583

0,578

0.572

0,567

0,561

0,556

0,550

0,545

0,539

0,024

0,023

0,022

0,021

0,020

0,019

0,018

0,018

0,017

0,016

0,014

0,013

0,012

0,011

0,010

0,009

0,525

0,520

0,515

0,510

0,505

0,500

0,495

0,490

0,485

0,480

0,475

0,470

0,465

0,460

0,455

0,450

0,445

0,440

0,435

0,430

0,425

0,420

0,415

0,534

0,528

0,523

o,5i7

0,512

0,506

0,502

0,496

0,491

0,486

0,480

0,475

0,470

0,465

0,459

0,454

o,449

o,444

0,438

0,433

0,428

0,423

0,418

0,008

0,007

0,006

0,005

0,004

0,003

0,410

0,405

0,400

0,395

0,390

0,385

0,380

o,375

o,37o

0,365

0,360

o,355

o,35o

0,345

0,340

o,335

o,330

0,325

0,320

o,3i5

0,310

0,305

0,300

0,412

0,407

0,402

o,397

o,392

0,387

0,382

o,377

o,372

0,367

0,361

0,356

o,35i

0,346

o,34i

o,336

o,33i

0,326

0,321

0,316

o,3H

0,305

0,300

0,002

0,001

0,000

Die Senkungskurve erstreckt sich ebenso wie die Staukurve bis in die Unendlichkeit. Man kann jedoch die Senkung z = 0 cm jener Stelle annehmen, die um a (Fig. 320) über dem ungesenkten Wasserspiegel bei A oder um b -f- h über dem gesenkten Wasserspiegel ebendaselbst liegt.

Beispiel. Eine regelmäßige Flußstrecke habe bei Niedrigwasser eine Wasserspiegelbreite B = 50 m und einen Querschnitt F = 45 und ein Gefälle J — 0,0005. Von der Stelle A (Fig. 320) an abwärts ist eine Baggerung vorgenommen, da dort seitlich ein Schiffahrtskanal einmündet. Hierdurch wird eine Senkung des Spiegels um h = 0,4 m verursacht. Wo beträgt die Senkung z nur noch 0,05 m?

Nach Gleichung 2) ist

= !•** = 1,35.

Ferner haben wir

1,35 — 0,4

1,35

0,704,

1,35 — 0,05

1,35

0,963.

Die Tabelle ergiebt mm hierzu:

cp (0,704) = 0,745, cp (0,963) = 1,376.

Durch Benutzung dieser Werte erhalten wir aus Formel 12) 0,0005 - 40²

(-

) [1,376 — 0,745]

= 1,35 - 0,91844 - 0,631 = 0,7824.

Setzen wir dieses y(h, z> in 13) ein, so ergiebt sich:

M5510/7824-(0,4 - 0,05)] =

y<h, z) = 1,35

l(h, z)

0,4324

0,0005

865 in.

§ 100.

Gestalt des Wasserspiegels an Stelle der Erhöhungen, Vertiefungen, Erweiterungen und Verengungen des Flußbettes.

In den beiden vorhergehenden Paragraphen haben wir gesehen, daß eine Erhebung im Flußbette einen Stau und daß eine Vertiefung im Flußbette eine Senkung des Oberwassers verursachte. Es fragt sich nun, wie gestaltet sich der Übergang vom Ober- zum Unterwasser, wenn die Erhebungen und Vertiefungen der Flußsohle größere Ausdehnung besitzen.

Erster Fall. Erhöhung des Bodens.

Wird in einem Flusse oder Kanäle von konstanter Breite eine Erhöhung des Bodens nach Fig. 368 Tafel 34 auf einer kurzen Strecke angebracht, so würde man denken, daß über dieser Erhöhung des Bodens auch eine Erhöhung des Wasserspiegels eintreten müsse. Dies ist jedoch nicht der Fall. Es entsteht an der Stelle der Verengung des Durchflusses vielmehr eine Einsenkung des Wasserspiegels, wie Fig. 368 andeutet. Unmittelbar vor dieser Einsenknng zeigt sich die früher betrachtete Stauung des Wassers bezw. eine Erhöhung des Wasserspiegels, welche die nötige Vermehrung der Geschwindigkeit erzeugt, vermöge welcher das Wasser durch die verengte Stelle des Querschnittes hindurchfließt.

Hinter der größten Einsenkung des Wasserspiegels steigt der letztere wieder auf die Höhe des ursprünglichen Wasserspiegels, welcher der gleich-

Gestalt des Wasserspiegels an Stelle der Erhöhungen rc. des Flußbettes. 345

förmigen Bewegung des Wassers in einem Kanäle ohne Erhöhung des Bodens entspricht.

an den Stellen a, b, c,

Der Raum gestattet es leider nicht, den Verlauf dieser eigentümlichen Einsenkung und Stauung des Wasserspiegels theoretisch zu verfolgen. Zur Berechnung dienen die folgenden Forineln, in welchen bezeichnet ta, tb, tc die Wassertiefen f'a, fb, f„ die Querschnitte des Wasserkörpers va, vb, vc die Geschwindigkeiten des Wassers J das Gefälle,

k der schon oben benutzte Koeffizient in der Formel für die mittlere Geschwindigkeit,

ya die Höhe des Wasserspiegels bei a über demjenigen bei c, yb die Einsenkung bezw. die negative Höhe des Wasserspiegels über demjenigen bei c, ,

ya + yb die totale Stauung oder der Höhenunterschied der Wasserspiegel bei a und b.

Um nun die Kurve des Wasserspiegels in ihrem ganzen Verlaufe zu bestinlmeu, hat man den Wert von y in verschiedenen Entfernungen von der Mitte b aus sowohl der Größe als auch dem Sinne nach (ob positiv oder negativ) zu berechnen.

1. Obere Hälfte der Kurve von der Stelle b aus. Bezeichnet man den Abstand der Stelle, deren Stauhöhe y berechnet werden soll, von der Mitte b der Erhöhung mit xa, so ist die totale scheinbare Stauhöhe

ya

, _Tn, /I fc¹ fb + f» -A k\ f„¹(fb²-fa²h

+ yb J|_Xa\2 V fa2 ¹) 2gtc fa²fb² J

2. Untere Hälfte der Kurve.

Für diese ist die Einsenkung im Abstande xc von b

Jb =

ya =

k²

, (V , f=¹(fb²-fa²)    .\\

2 gtc \fb² ' ~ fa²fb² ^    /('

Wie wir es bei den v. Wexschen Forineln gemacht haben, so müssen wir auch diese Gleichungen nur durch Probieren lösen. Für die Stelle

der größten Einsenkung ist yb =

vc²—- vb²

2g

Zweiter Fall. Verminderung der Kanalbrcite.

In einem Kanäle von konstanter Breite wird auf eine kürzere Strecke eine Verengung angebracht, indem man nach Fig. 369 Tafel 34 die Breite auf Bb reduziert.

Es findet hier nicht, wie man denken sollte, eine Anschwellung des Wasserspiegels, sondern eine Einsenkung desselben statt.

Zn den früheren Bezeichnungen kommen hier noch die Breiten Ba, Bb, Bc hinzu.

1. Untere Hälfte der Kurve. Für die engste Stelle des Querschnittes:

Jb

Vc² — Vb²

2g

und für jede andere Stelle der Verengung

oder

crq I

yb=

J{xc[

Bct₀

k²

Bb (tc -j- yb)

2g

tc[

Be² V

Bb² (tc +yb)

2. Obere Hälfte der Kurve.

Für diese ist bei einer Entfernung xa von der Mitte der Verengung: vb² — va²

y» + yb

so²

y»

Vc² —

2g

— J xa + J xa — — J (xa + Xc) + j ™ (xc + Xa) , fa = ta Ba = Ba (t₀ -j- ya).

2g

fafb'

_ vc tc Bc

Va Ba (t₀ -j- ya) ’

Die obige Gleichung für ya enthält die beiden unbekannten Größen fa und fb oder va und vb, sie läßt sich daher am besten durch Annäherung lösen.

Zu diesem Zwecke setzt man zuerst vc — va oder fc — fa und erhält einen ersten Wert von

y» —

J (xa + xc)(^-- l) •

Hieraus ergiebt sich nach 1) ausgerechnet).

Gestalt des Wasserspiegels an Stelle der Erhöhungen re. des Flußbettes. 347

(yb ist dann bereits

fb = Bb (tc + yb)

Mit Hilfe dieses Wertes von fb läßt sich nun nach den obigen Formeln der erste angenäherte Wert von fa und va bestimmen, die dann einen zweiten schon genaueren Wert für ya ergeben.

Dritter Fall. Verbreiterung des Kanales.

Eine kurze Erweiterung im Querschnitte eines Flusses oder Kanales nach Fig. 370 Tafel 34 hat der Vermutung entgegen eine Stauung an der erweiterten Stelle und eine Einsenkung vor der erweiterten Stelle zur Folge, während hinter der Erweiterung die Hohe des Wasserspiegels dieselbe wie vor dem Anbringen der Erweiterung bleibt.

Mit den Bezeichnungen laut Fig. 370 gelten zur Bestimmung der Wasserspiegelkurve ganz die nämlichen Ausdrücke, wie oben beim zweiten Fall.

Allgemeine Folgerungen über die Stauverhältnisse bei Verengungen und Erweiterungen eines Kanalqucrschnittes.

Ähnlich wie in den bisher betrachteten Fällen hat auch eine Erweiterung desQuerschnittes infolge einer Austiefung des Bodens nach Fig. 371 oder nach Fig. 372 eine Erhöhung des Wasserspiegels an der vertieften Stelle und umgekehrt haben alle Verengungen des Querschnittes (Fig. 373 und Fig. 374) eine Einsen k n n g des Wasserspiegels an der verengten Stelle zur Folge.

Wird gegen die hierdurch bedingten Regeln bei Wasserbauten verstoßen, so kann der allergrößte Nachteil entstehen.

An einem in einem Wasserlaufe hergestellten Brückenpfeiler kann man sehr schön beobachten, wie trotz der verursachten Verengung der Wasserspiegel die in Fig. 374 angedeutete Form annimmt, d. h. derselbe sinkt längs des Pfeilers mehr und mehr, um am untern Ende aus der größten Einsenkung c in einer ziemlich steilen Kurve wieder auf die normale Höhe zu steigen, während vor dem obern Ende eine Stauung eintritt, welche die uns schon bekannte Staukurve des Oberwasserspiegels erzeugt. Besonders bei Brückenpfeilern wirkt die Einsenkung des Wasserspiegels infolge der damit verbundenen Geschwindigkeitsvermehrung außerordentlich schädlich aus die Fundamente und die Pfeiler selber ein. Man würde daher einen großen Fehler begehen, wenn man das Material solcher Pfeiler etwa der mittlern Geschwindigkeit des Wassers im ganzen Flußguerschnitte entsprechend wählen wollte.

Wenn man den Verlauf der Wasserspiegelkurve für verschiedene Ver-hältnisse aufzeichnet, nachdem man die entsprechenden Werte der Stauungen und Einsenkungen berechnet hat, so lassen sich folgende Regeln beobachten, die man auch aus den Formeln ableiten kann.

($■+')

Bei einer Verengung nach Fig. 369 (zweiter Fall) und für eine Erweiterung nach Fig. 370 (dritter Fall) wird der Wert von yb negativ für alle Entfermmgen

NT*

und das Gefälle J

und es findet an der verengten Stelle eine um so größere Einsenkung statt, je größer die Wassertiefe tc das Verhältnis des Flusses ist.

In der Entfernung xc = ^ tc (y- -s-1^ von der Mitte findet weder Einsenkung noch Stauung des Wasserspiegels statt, d. h. es liegt diese Stelle in der Höhe des ursprünglichen Wasserspiegels.

Selbstverständlich ist die Einsenkung mit einer Vermehrung der Geschwindigkeit an der verengten Stelle und umgekehrt, die Stauung mit einer entsprechenden Abnahme der Geschwindigkeit an der gestauten Stelle verbunden.

Daß durch eine jede derartige Umwandlung der Geschwindigkeiten etwas an Gefälle verloren geht, liegt auf der Hand, doch pflegen in den meisten vorkommenden Fällen die Geschwindigkeiten nicht so bedeutend zu sein, daß dieser Verlust einen wesentlichen Einfluß auf die numerischen Werte der Stauungen und Einsenkungen ausübt.

Infolge dieser Verluste während des Durchganges durch die verengte oder erweiterte Stelle stellen sich alle Wasserspiegel etwas höher, bezw. es wird die Stauung oberhalb etwas größer, die Einsenkung oberhalb etwas kleiner, dagegen erstreckt sich in allen Fällen auch eine kleine Stauung auf eine mehr oder weniger lange Strecke flußabwärts.

Siebzehntes Kapitel.

Wellenbewegungen.

§ 101.

Entstehung und Form der Wellen.

Die im vorigen Kapitel besprochenen Erscheinungen waren meist bleibende Formveränderungen des Wasserspiegels, weil die Ursache immer vorhanden war. Wirkt dieselbe aber nur einen Augenblick, so ist die Schwere bestrebt, den Wasserspiegel wieder zu glätten, und erzeugt dadurch die sich langsam verkleinernden Wellen.

Wird z. B. ein Stein ins Wasser geworfen, so entsteht ein System von konzentrischen kreisförmigen Wellen, die nach außen radial fortschreiten und in ihrer Höhe abnehmen. Mit der Fortbewegung der Wellen ist aber keineswegs eine derartige Bewegung des Wassers verbunden. Kleine im Wasser befindliche Körper (Bernsteinstückchen) zeigen das ganz deutlich, denn dieselben bewegen sich, wie die Gebrüder Weber (1825) feststellten, an der Oberfläche des Wassers in kleinen Kreisen (Fig. 190 Tafel 11) und iin Innern der Flüssigkeit in Ellipsen, deren kleine Achse vertikal steht und nach unten zu abnimmt.

Auf ähnliche Weise werden Wellenbewegungen des Wassers durch den Wind hervorgerufen. Bei einer Geschwindigkeit des Windes von ¹ji bis ⁷/₈ m in 1" entsteht nur eine leichte Kräuselung der Oberfläche, ohne daß die Wasserhaut der straff gespannten Oberfläche zerrissen wird, daher die Kräuselung auch sogleich verschwindet, wenn die wirkende Ursache aufhört. Sie entsteht gewöhnlich nur strichweise oder an der Oberfläche höherer aber breiter Wellen, die durch eine andere Ursache entstanden sind.

Sowie aber die Geschwindigkeit des Windes lm in 1" erreicht oder überschreitet, so werden kleine Wasserberge aus der Oberfläche des Wassers emporgehoben, die parallel zu einander und gradlinig sich fortpflanzen.

Die von den Wasserteilchen gebildete elliptische Bahn (Fig. 189) ist nur geschlossen, wenn die Wellenbewegung ganz ruhig und regelmäßig vor sich geht, sonst bleibt ein kleinerer oder größerer Rest mp unzurückgelegt.

Aus der Fig. 190 ist zu ersehen, in welcher Weise sich die Wasserteilchen an der Oberfläche bewegen. Die Welle ist von links nach rechts fortschreitend angenommen, in derselben Richtung bewegen sich nun auch die Wasserteilchen, welche dem Wellenberge angehören, während im Wellen-thale die Bewegungsrichtung entgegengesetzt ist. Diese Thatsache läßt sich am besten beobachten, wenn man von einem Schiffe aus schwimmend die Küste zu gewinnen sucht. Daran sieht man auch, daß bei der Wellenbewegung kein eigentliches Fortschreiten der ganzen Flüssigkeit stattfindet; nur die Form der Oberfläche schreitet fort, während jedes einzelne Wasserteilchen nur kreisförmige oder elliptische Bahnen beschreibt.

Der Wellenbildung entgegen wirkt außer der Schwerkraft noch die Oberflächenspannung (§ 4). Die letztere ist bei den einzelnen Flüssigkeiten verschieden, bei Wasser so gering, daß ihre Einwirkung auf Wellen von größeren Längen vernachlässigt werden kann. Verhältnismäßig groß ist sie jedoch bei Ol und deswegen wird dieses zur Beruhigung der Meeresfläche erfolgreich angewendet.

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Wellen ') in gleichförmig tiefem, ruhigem Wasser läßt sich mit Berücksichtigung der Oberflächenspannung T und der Schwerkraft g nach der Formel

1)

T2_fg² | 2 7rT\en e

\27i“r yl /eu+ e~u

berechnen. Hierin ist 2 nh.

e die Basis des natürlichen Logarithmensystems — 2,7182818, l die Wellenlänge, y die Dichte der Flüssigkeit, re — 3,141593,

h die Fallhöhe, bei welcher das im Niveau des ruhenden Wasserspiegels befindliche Wasserteilchen (Punkt 1 der Fig. 190) dieselbe Geschwindigkeit besitzen würde, die ihm bei der Wellenbewegung eigen ist.

Aus 1) ergiebt sich, wenn T vernachlässigt werden kann,

2) . v — j/gh für Wellen, welche gegen die Wassertiefe groß sind,

V = H .

Sind die Wellenlängen klein, so hat g einen geringen Einfluß, dagegen hängt v von T vorwiegend ab. Es wird dadurch

2 n T eu — e yT e“+e-u

und zwar überwiegt, wie hierbei angenommen wurde, der Einfluß von T über denjenigen von g, wenn

3) .

4)

V²

klein „

• 5)

ist-

Die Wellen 2) sind sinusförmig, bei wachsender Wellenhvhe angenähert trochoidenförmig wie die Wellen 3). Die Bahnen der Teilchen werden Kreise (Fig. 191). Diese Formen der Wellen sind aber rein theoretisch, denn in Wirklichkeit werden sie noch durch Wind und Bodenreibung (Fig. 192) beeinflußt.

Die Verschiedenheit in Fortpflanzungsgeschwindigkeit und Wellenlänge ersieht man am besten aus der nachfolgenden Zusammenstellung (nach L. Matthiessen):

Wellen an der Oberfläche der

Atmospäre......

Erdbebenwellen vom Jahre 1859 v — 750 m,

v — 135 m, v = 10

Flutwellen . Meereswellen

Wellen in Teichen . . Kapillarwellen. . . .

v = 8 — 20 m, l = 200 Meilen, l = 220    „

l = 800    „

30 in, l — 4 — 20 in,

•    v = i — ! m, l =    — | in,

•    v = 1 — 1,75 m, k = TTT) o

— Wo o ni.

§ 102.

Wellensysteme.

Eine besondere Eigentümlichkeit der Wellen ist es, daß sich die einzelnen Wellenzüge neben einander und über einander fortpflanzen, als wenn jeder für sich allein bestände. Das reichhaltigste Bild in dieser Beziehung liefert eine sich nach dem Sturm beruhigende Meeresfläche. Man sieht große Wellen in regelmäßigen Abständen einander folgend dem Ufer zustreben. Von dem letzteren werden sie je nach dessen Gestalt nach den verschiedensten Richtungen zurückgeworfen und müssen so die folgenden durchkreuzen. Wirft man einen Stein hinein oder fährt ein Dampfer vorüber, so werden sich neue kreisförmige oder gabelförmige Wellen bilden, ohne die vorhandenen zu beeinflussen oder selbst beeinträchtigt zu werden. Durch eigenartiges Zusammentreffen oder Ineinanderschieben von Wellen entstehen ganz besondere Bilder und zwar gelten die folgenden Gesetze:

1.    Zwei Wellen, deren Schwingungsebenen parallel sind und die in derselben Richtung mit gleicher Geschwindigkeit fortschreiten, geben eine fortschreitende Welle.

2.    Zwei Wellen von gleicher Geschwindigkeit, die sich begegnen und durch Reflexion einer Welle gegen sich selbst entstanden sein können, geben stehende Wellen, welche durch Ruhepunkte, Knotenpunkte und Knotenlinien getrennt sind. Dies läßt sich besonders gut an einem ausgespannten Faden beobachten, der mit dem einen Ende an dem federnden Anker eines kleinen Elektromagneten befestigt ist. Hierbei wird die Wellenbewegung von einem dichteren Medium reflektiert und dadurch geht die Welle mit entgegengesetzter Phase zurück, also ein Thal als Berg (eine Verdünnung als Verdichtung bei den Schallwellen). Es bilden sich demnach Knoten an den Enden.

Von diesem Gesetze machen die Wasserwellen eine Ausnahme. Wenn sie gegen eine feste Wand treffen, so geht Berg als Berg zurück. Normal verhalten sich dagegen die auf Seewasser stoßenden Flußwasserwellen.

3.    Vier paarweis entgegengesetzte Wellen von gleicher Geschwindigkeit geben quadratisch gemusterte Systeme. Sie lassen sich am besten bei Quecksilber beobachten, wenn dieses sich in einem rechteckigen Gefäße befindet, gegen dessen zwei angrenzende Seiten regelmäßig geklopft wird.

4.    Zwei Kreissysteme bilden hyperbolische Jnterferenzlinien. Um diese zu erzeugen, befestigt man an die Zinken einer Stimmgabel je eine Nadel und taucht deren Spitzen in Quecksilber, nachdeni die Gabel zum Tönen gebracht ist.

Zn 2) wäre noch zu bemerken, daß zwei einander begegnende gleich große Wellen die in Fig. 193 ³) dargestellten stehenden Schwingungen verursachen. Das fortschreitende Wellensystem ist schwach, das reflektierte punktiert und das durch die Interferenz beider entstandene stark ausgezogen. Die Kurven CC, DD' . . . GG' entsprechen einem Fortrücken des ursprünglichen Wellensystems um je ¹js Wellenlänge oder einem Zeitunterschied von je ¹I₈ Schwingungsdauer.

Die Ordinate der die st ehe n de Schwingung dar-stellenden Kurve ist in jedem Punkte gleich der algebraischen Summe derOrdinaten der beiden andern Kurven.

DieS ch wingungsdau er undWellenlängeder stehenden Schwingung stimmt mit der der fortschreitenden Welle, aus der sie hervorgegangen i st, überein. Die Entfernung je zweier benachbarten Knotenpunkte beträgt eine halbe Wellenlänge.

Bei der Begegnung zweier Wellenberge EE' (Fig. 193) gehen die Wasserteilchen unter dem Gipfel vertikal aufwärts (Fig. 194) und dann vertikal abwärts, die seitlich befindlichen Teilchen b und c bewegen sich wie die Pfeile andeuten und dann entgegengesetzt.

Eine andere Art von Wellen, die einzeln fortschreiten, entsteht dadurch, daß man in einem Kanäle, der zu beiden Seiten begrenzt ist, eine Anschwellung des Wasserspiegels an einem Ende desselben verursacht. Der Wasserberg schreitet dabei rasch fort, während die einzelnen Wellen nur um eine kleine Strecke in der Fortpflanzungsrichtung verschoben werden. Beim Anprall an eine Wand kehrt der Wellenberg ebenso rasch zurück.

Beträgt die Wassertiefe in dem Kanäle h, die Hohe des Wellenberges über dem Niveau des Wasserspiegels h,, so ist nach Rüssel die Fortpflanzungsgeschwindigkeit einer solchen Einzelwelle in einem gleich-förmigen Kanäle

v = /g(h + h,).

Sie nimmt also ab, wenn die Höhe der Welle kleiner wird und schreitet in tiefen Kanälen schneller fort, als in weniger tiefen.

Wie sich die erzeugte Anschwellung fortpflanzt, so geschieht es auch mit einer Vertiefung. Die entsprechende Geschwindigkeit beträgt dann

v = V g (b — hj).

D. Belocgnng des Wassers in Rohrleitungen.

Achtzehntes Kapitel.

Grade cylindrische und prismatische Röhren.

§ 103.

Das Fließen in den Röhren.

Die Bewegungserscheinungen einer Flüssigkeit in Rohrleitungen lassen sich ebenso wenig mathematisch genau bestimmen, wie die in den vorangehenden Kapiteln beschriebenen Wellenbewegungen, und die Durchflußmengen können auch nur angenähert berechnet werden, wie es bei den Ausflußmengen aus Gefäßen, Schützenöffnungen und Überfällen der Fall war.

Durch zahlreiche Versuche hat man die Ursachen zu erforschen gesucht, welche die Ausflußmenge verringern. Man fand dabei, das; in der Mitte der Röhre die größte Geschwindigkeit herrschte, und daß diese nach den Wänden zu abnahm. Aus diesem Grunde hat man das Fließen in Röhren mit dem Ausziehen eines Fernrohres verglichen. Schon diese Eigentümlichkeit zeigt, daß es irrig ist, von einem Reibungswiderstande zu sprechen. An den Rohrwandungen bilden sich Wirbel fl und durch die ganze Flüssigkeit geht außerdem ein Pulsieren fl, so daß die Bewegung periodisch wird.

Keine einzige dieser Eigenschaften konnte man bis jetzt bei Aufstellung der gebräuchlichen Formeln zur Berechnung der Durchflußmenge oder des Druckhöhenverlustes berücksichtigen, da man sonst zu Ausdrücken gelangte, welche für die Praxis nicht zu gebrauchen wären. An Stelle der ver-

J) Boussinesq, Essai theorique etc. Comptes rendus de l’Academie des Sciences LXXI 389. Reynolds Experiments on the flow of water in pipes. Proceedings and Transaction, Royal Soc. of London 1883.

²) Boileau, Notions nouvelles d’hydraulique S. 11.

schiedenen Geschwindigkeiten und der periodischen Bewegung setzte man eine mittlere sich gleich bleibende Geschwindigkeit und fand, daß der sogenannte Reibungswiderstand von dieser Geschwindigkeit abhängt. Jedoch bestehen über das Gesetz dieser Abhängigkeit sehr verschiedene Annahmen. Sodann fand inan noch, baß die Reibung des Wassers von der Pressung unabhängig sei, wenigstens bis zu einem Drucke von vier Atmosphären. Prony stellte noch fest, daß der Reibungswiderstand

1.    von dem Material der Rohrleitung unabhängig,

2.    der Dichte der Flüssigkeit proportional,

3.    der Berührungsfläche der Rohrleitung proportional ist.

In sinnreicher Weise bestimmt Brodmann den Reibungskoeffizienten von Flüssigkeiten. Er bringt durch ein phonisches Rad (nach de la Cour) eilte Kugelschale in Rotation. In derselben befindet sich eine zweite, auf welche durch eine den Zwischenraum füllende Flüssigkeit ein Drehmoment übertragen wird. Die Große des letzteren wird zur Berechnung der Reibungskonstanten benutzt. Bei einer zweiten Versuchsreihe wurden zwei koachsiale Kreiscylinder verwendet.

§ 104.

Bewegungswiderstand.

In den folgenden Formeln bezeichnet F den Querschnitt der Rohrleitung, U den innern Umfang der Rohre, L die Länge der Rohre, d hen lichten Durchmesser der runden Röhre, v die Geschwindigkeit des Wassers in der Röhre, h die durch Reibung verursachte Widerstandshöhe, Reibungshöhe oder verlorne Druckhöhe, d. h. die Höhe der Wassersäule, deren Gewicht im stände ist, den Reibungswiderstand des Wassers an der Röhrenwand zu überwinden, y das spezifische Gewicht oder das Gewicht von 1 1 Flüssigkeit.

Mit diesen Bezeichnungen erhalten wir nach dem im vorigen Paragraphen erörterten Gesetze für den Widerstand

W = 1000 yULcp (v),

worin <p (v) eine beliebige Funktion von v bedeutet.

Mit Hilfe der Widerstaudshöhe hr können wir für W den Ausdruck 1000 y F hr einsetzen und erhalten durch Uniformung

oder

hr = L F cp (v)

1)

:?o| [h

y(vX

F

wenn E für y eingeführt wird. Dieser Bezeichnung begegnen wir später

wieder unter dem Namen hydraulischer Radius.

Für Röhren von kreisförmigem Querschnitt ist

7rd²

7T(1²

j-, U = d n, somit R

Dadurch verwandelt sich 1) in:

4L

h,

2)

r»(v)-

An Stelle der Funktion <p (v) setzte de Prony

3)

......(p (v) = a v + b v².

Die beiden Konstanten a und b bestimmte de Prony    zu:    a    = 0,000 017 3314,    b = 0,000 348 259,

Daubuisson    „ :    a    = 0,000 018 840 0,    b = 0,000 342 500,

Eytelwein    „ :    a    = 0,000 022 358 0,    b = 0,000 280 320.

Nimmt man an,    daß    die Widerstandshöhe    hr nur dem Quadrat der

mittlern Geschwindigkeit v proportional ist, wie de Chesy im Jahre 1775 vorschlug, daß also

4)

cp (v) = B v²,

so ist zu setzen

B = 0,000 356 684 nach Eytelwein,

= 0,000 385 500 „ Dupuis,

— 0,000 362 400 „ de Saint-Vcnant. Der letztere stellte noch die Formel auf:

5)

cp (v) = A vn

A — 0,00029557. Bornemann setzte n = § oder

und bestimmte n —

ausführlicher <p (v) — a v² b v². Die Koeffizienten der de Pronyschen Formel 3) machte Darcy vom Durchmesser d abhängig und zwar soll bei gußeisernen Röhren mit leichten Ablagerungen von kreisförmigem Querschnitt sein:

a = 0,000032-+

0,000000015 04

d»

0,000012 94

0,000012 40000

.    3') . .

b = 0,000 443+

oder bei Benutzung von 4)

4').....B = 0,000507 +

Die linke Seite der Gleichung 1) und 2) enthält eine Höhe hr, welche von der Geschwindigkeit v abhängig ist, daher wird es auch am zutreffendsten sein, die rechte Seite so umzuformen, daß die Geschwindigkeitshöhe >1 — J

v2    “ e>

_ ^ L v2 = -r'T-2g

darin vorkommt. Zu diesem Zwecke schreiben wir in 2) Cr - für 4 <p (v), und erhalten:    °

hr

6)

Den Koeffizienten Cr nennt man Reibungskoeffizienten für die Wasserbewegung in Röhren oder Widerstandsvorzahl Nach Zeuner ist zu machen

6')

Cr = 0,014 312

0,010 327

j/v

und nach Weisbach:

6") . .

Diese Formel ergiebt

für v= 0,25

den Koeffizienten Cr = 0,03500 0,02892 0,02464 0,02161 0,01893 An Stelle der Gleichung 1) setzen wir jetzt

• • r —-r4R2g

. . Cr = 0,014 39 4-

0,009 4711

0,50

7) • -

]/v

v²

1,00

2,00

5,00

und bei einem rechteckigen Querschnitt mit den Seiten a und b

8)

i „ a + b L v²

....... r —V2ab R 2g"

Soll bei einem Rohre von kreisförmigem Querschnitt das Wasser mit der Geschwindigkeit v austreten, und geht außer hr noch eine Druck-

y 2

höhe he — Cebeim Eintritt in das Rohr verloren, so muß im ganzen die Druckhöhe h betragen:

h = H + be + hr = ^1 + Ce + Cr j ) 2 ,r oder wenn Ce = 0,505:

h = (W05 + C.i)ll.

9)

*) Siehe Seite 149. Die Aufnahme der 4 aus Gleichung 2) in £r hat keine wissenschaftliche Berechtigung, sie ist nur geschehen, um die ans Röhren von kreisförmigem Querschnitt bezüglichen Gleichungen bequemer schreiben zu können.

Hieraus ergießt sich andererseits:

2gh

1,505 + Cr ^

und die erzielte Ausflußmenge:

rcd² Trd² J/ 2 g h

~4TV —

11) . . Q =

cbm in r .

1,505 -f- Cr -J-

7T d ^

Bei den Berechnungen entnimmt man ^ - aus einer Kreisquerschnittstabelle und /2 g h aus der Tabelle im § 28.

Eine Formel, in welcher auch die Temperatur t, des Wassers berücksichtigt wird, ist diejenige von Reynolds ¹). Sie lautet

A^hr-(B L

oder nach entsprechender Umformilng

12) . .

Hierin ist

,    ( Bn zP\³-nl L

• hr=Md) -vn-

B = 396,

P 1 + 0,0337 t + 0,0002211*' Somit beträgt

13) . |r

A = 67 700000,

t die Temperatur nach Celsius.

0,28977 • 396" / P \2-n 1000000. Xvd/

2g /P y-»

67700000 Xv d /

Der Exponent n ist — 1, wenn v kleiner als die kritische Geschwindigkeit, er hängt jedoch von der Beschaffenheit der Rohrfläche ab, wenn v großer ist, und zwar kann man setzen:

n = 1,79 für neue Bleiröhren, n — 1,82 „ glasierte Rohren, n = 1,88 „ neue gußeiserne Röhren, n — 2,00 „ verrostete gußeiserne Röhren.

Unter Benutzung des letzten Exponenten erhalten wir L\. = 0,045441,

da j = 1 ist für n — 2. Hiernach ist die Temperatur bei alten

396" -

13')

*) Proceedings and Transaction, Royal Soc. of London 1883.

gußeisernen Röhren ohne Einfluß auf die Reibungshöhe oder die Geschwindigkeit.

Flamant setzt für n als Mittelwert 1,75, vernachlässigt den Einfluß

an Stelle von v ein, dadurch kommt er

der Temperatur und führt zu der Formel:

4Q

14)

hr =

welche wir uns auch ans der Unwinschen '):

vn

b L d³—¹

15)

- hr =

abgeleitet denken können.

Wollen wir wie Darcy die bei der Wasserbewegung in Flüssen (Abschnitt E) aufgestellte Formel v = kJ/RJ benutzen, so müssen wir für

J und bei kreisförmigem Querschnitt R = ^ setzen. Dadurch erhalten wir nach entsprechender Umformung und Verwendung der experimentell bestimmten Konstanten:

LQ⁴ 563,6 d⁵

. - für neue eiserne Röhren

und

17) . . . . hr =

LQ

wenn

0,3<d<l,2.

für alte eiserne Röhren

274,3 d⁵

Eine neuere Formel hat William Cox im Americain Machinist (28. Dez. 1893) aufgestellt, die in unserm Maßsystem lauten würde:

18) . . hr = (0,91136 v² + 0,34722 v — 0,042333)    •

Sie besitzt jedoch nicht die der Weisbachschen oder Zeunerschen gegenüber gerühmten Vorzüge.

Durch ihre sehr bequeme Handhabung wird sich jedoch eine andere von William E. Foss ²) abgeleitete Formel bald Bahn brechen.

• L.

19)

oder

Nach demselben ist

br = a^-L

a¹

20)

Hierin haben a und b die Werte a = 0,0004186; b = 0,00065 für englisches, und a = 0,00075822; 6 = 0,0011773 für metrisches Maß. Für logarithmische Berechnung lauten die Gleichungen 19) und 20):

19) .    lg hr = 0,8797957 — 4 + y+gv — | lgd + lgL,

20’) .    lg hr = 0,0709099 — 3 + ^lgQ — 51gd + lgL.

Um den Gebrauch der Formel 20) zu erleichtern, ist in der ersten

j_i

der folgenden Tabellen der Wert von b • Q’G" und in der zweiten der-1

jenige von gegeben. Sodann sind die bei der Berechnung nebenbei

erhaltenen Logarithmen noch aufgeführt, damit der Leser mit ihrer Hilfe eine logarithmographische Tafel nach Art der später besprochenen Frankschen Tafeln entwerfen kann.

cbm

0,0004

0,0006

0,0008

0,0010

0,0012

0,0014

0,0016

0,0018

0,0020

0,0025

0,0030

0,0035

0,0040

0,0045

0,0050

0,0055

0,0060

0,0065

0,0011773-

7 . io“¹⁰

1.5    . IO~⁹

2.5    . IO ⁹

3.7.    io⁻⁹

5,2. IO⁻⁹

6,9. io⁻⁹

8.8.    io 9 1,09. IO i,33-io 2,00.10 2,78 . IO 3,70- IO 4,73- 10

5,87- IO

7,12 . IO~ 8,48. IO 9,94. IO 1,152. IO

—8

-8

-8

—8

—8

-8

-8

—7

0,07099099

-3+y-lgQ

cbm

0,0011773 •

11

0,07099099

-3 + y-lgQ

0,8413532 — IO

0,1641873 — 9 0,3932416 — 9

0,5709099 — 9 0,7160754 - 9 0,8388112 — 9 0,9451299 — 9 0,0389095 — 8 0,1227982 — 8 0,3004666 — 8 0,445632 3 — 8 0,5683679 — 8 0,6746866 — 8 0,7684661 — 8

0,8523549 — 8 0,9282415 — 8 0,9975206 - 8 0,0612511 — 7

0,0070

0,0075

0,0080

0,0085

0,0090

0,0095

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

0,022

0,024

0,026

0,028

0,030

0,035

1,319-10 7 1,497 - IO-7 1,685 - IO-7 1,883 . IO 7 2,091 . io-7 2,309. IO⁻⁷

2,537 • 10 7 3,543 - 10-7 4,700. io-7 6,004. IO-7 7,452. IO-7 9,039. IO-7 1,0765 • IO-6 1,2627 • lo~~6 1,4623. IO-6 1,6751 • IO⁻⁶

1,8966. 10" 2,5217 • IO⁻⁶

0,1202562 — 7 0,1751889 — 7 0,2265749 — 7 0,2748445 - 7 0,3203545 - 7 0,3634032 — 7

0,4042432 - 7 0,5494071 — 7 0,6721446 — 7 0,7784632 — 7 0,8722428 — 7 0,9561316 — 7 0,0320182 — 6 0,1012971 — 6 0,1650276 — 6 0,224037 ) — 6

0,2779656 — 6 0,4017012 — 6

cbm

0,040

0,045

0,050

0,055

0,060

0,065

0,070

0,075

0,080

0,085

0,090

0,095

0,10

0,12

0,14

0,l6

0,l8

0,20

0,22

0,24

0,26 0,28 0,30 o,35 0,40 .    0,45

0,50

0,040

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

0,100

0,125

0,150

0,0011778-

3,2212 • 10 6 3,9976- IO-6 4,8494 • IO-6 5,7753 • io-6 6,7741 - io“6 8,0276 • io-6 8,9865 . IO-6 1,0198 . IO“⁵

1,1479. IO“5 1,2829 • IO™5 1,4246 . IO“5 1,5730. IO“5 1,7281 • IO“5 2,4140. io“5 3,2024. IO“5 4,0907 . IO-5 5,0766. IO“⁵

6,1584. IO“5 7,3342 . IO“5 8,6026. io“5 9,9623 . IO“5 1,1412 . io“4 1,2951. IO“4 1,7180. IO“4 2,1946 • IO^4 2,7235 . IO“⁴

3,3039 • IO“⁴

d⁵

9765624

3200000

1286007

594977

305176

169351

100000

32768

13169

0,07099099

-34 V’gQ

0,5080199 — 6 0,6017995 — 6 0,6856882 — 6 0,7615748 - 6 0,8308539 — 6 0,9045845 — 6

0,9535896 — 6

0,0085223 — 5

0.0599082 — 5 0,1081779 — 5 0,1536878 - 5 0,1967365 — 5 0,2375765 — 5 0,3827421 — 5

0,5054779 — 5

0,6117966 - 5 0,7055761 — 5

0,7894649 — 5 0.8653515 — 5 0,9346304 — 5 0,9983609 — 5 0,0573662 -- 4 0,1122990 — 4 0,2350346 — 4

0,3413532 — 4

0,4351328 - 4

0,5l902l6 — 4

— 5lgd

6,9897000

6,5051500

6,1092435

5,7745000

5,4845500

5,2287875

5,0000000

4,5154500

4,¹¹95435

0,0011773.

cbm

o,55

0,60

0,65

0,70

o,75

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

i,30

1,40

i,50

1,60

1,70

1,80

1,90

2,00

2.50

3,00

3.50 4,00

4.50 5,00

5.50

6,00

B e-

o,i75

0,200

0,225

0,250

0,275

0,300

0,325

o,35o

o,375

0,07099099 -3 + ^lgQ

3,9347.10 4 4,6152 . IO“4 5,3446. IO“4 6,1224 . IO“4 6,9479 • io“4 7,8206. io“4 9,6240 • io“⁴

1,1773. IO"3 1,4022 . IO“3 1,6447. IO“3 1,9046 . io“3 2,1818 • IO”3 2,4760. io“3 2,7870. IO“3 3,1146 • IO“3 3,4585 . IO”3 3,8191 . IO“³

4,1956. IO“3 6,3164. io“3 8,8233 • IO“3 1,1705 . IO“2 1,4952 . IO”²

1,8555 - IO 2,2509. io“2 2,6807 . io“2 3,1443 . IO”²

0,5949082 — 4 0,6641873 — 4 0,7279178 — 4 0,7869229 — 4 0,8418556 — 4 0,8932616 — 4 0,9833545 — 4

0,0709099 — 3 0,1467965 — 3 0,2160754 - 3 0,2798061 — 3 0,3388112 — 3

0,3937439 — 3

0,4451299 — 3 0,4933996 — 3 0,5388928 — 3 0,5819582 — 3

0,6227982 — 3 0,8004666 — 3

0,9456323 - 3

0,0683629 — 2 0,1746866 — 2 0,2684662 — 2 0,3523549 - 2 0,4282415 — 2 0,4975206 — 2

d⁵

6092.7

3117.8 1734,2 1024,0 635,82

4H,52

275,79

190,40

134.85

— 5 lg- d

3,7848100

3,4948500

3,2390875

3,0103000

2,8033365

2,6143935

2,4405830

2,2796600

2,1298435

d⁶

— 5lgd

p-

— 51gd

0,400

0,425

0,450

0,475

0,500

o,55o

0,600

0,650

97,656

72,120

54'l92

41,355

32,000

19,869

12,860

8,6185

1,9897000

1,8580555

1,7339375

1,6165320

1,5051500

1,2981865

1,1092435

0,9354330

0,700

0,750

0,800

0,900

1,000

100

1,200

5,9498

4,2140

3,0518

1,6935

1,0000

0,62092

0,40188

0,7745000 0,6246935 0,4845500 0,2287875 0,0000000 0,7930365 - I

0,6040940 - I

Für den Reibungskoeffizienten Cr hat Weston (1889) noch andere Formeln aus den Versuchen abgeleitet. Es soll nämlich sein:

0,0173 — 0,1085 d

21) . .

. . £r = 0,0126

yv

für ganz glatte reine Röhren,

22)

= 0,01989 ₊ ^⁷®

für neue gußeiserne Rohren. (Dieser Wert entspricht dem B in 4'.)

23) . .

o

0,0156 + ' —, wenn d bis 0,50 m wächst, 0,048 — 00143 68 44⁵⁵

V    V

— 0,0225, wenn d bis 0,92 m wächst,

für Rohren mit Niederschlag,

r. — 0,03978 +

für Röhren mit geringem Niederschlag.

Die zur Überwindung des Reibungswiderstandes erforderliche Kraft ist hrF • 1000 und die verbrauchte oder Reibungsarbeit Ar — h, F 1000 - v. Für ein Rohr von kreisförmigem Querschnitt erhalten wir unter Benutzung von 6):

24)

25) . . Ar —

L V² d²7T

r d 2g 4

1000 v — 40,0354 • Cr L d y³.

§ 105.

Bestimmung der Konstanten in den Formeln von de Prony und Foss.

Die Formel

auf S. 357 vereinfacht sich zu

26)

L v2 r d 2g'

2g

wenn die Rohrleitung so lang ist, daß die Geschwindigkeitshöhe J

für die Bewegung im Anfang der Rohre und der Druckhöhenverlust

v2 Ce ö

beim Eintritt des Wassers in die Rohre gegen die Reibungshöhe

L v2 d 2g

mitten in einer langem Rohrleitung in Betracht zieht. Mit Benutzung von 2) und 3) ergiebt sich aus 25):

2g

I'r —C,.

vernachlässigt werden kann oder wenn man ein Stück L

4L

oder

(j-(»v + b v²)

27)

• 1 g J +

wenn J = j¹ , a = a g und ß = b g gesetzt wird.

sind in der folgenden

Die von de Prony ermittelten Werte j g J ™

Tabelle enthalten.

Die bei der Ausstellung der de Pronyschen Formel benutzten Fundnincntalversuche.

Nr. Name

des

des

Druck-

Ver-    Beob-

suchs    achters

höhe

Durch-    Länge

messer    der

der    Rohr-

Röhren    Leitung

Wert von

Geschwindigkeit

(t

nach dem Versuche

berechnet

in

in

m

Dubuat    0,0041    0,0271    19,95    0,00031409    0,04301 0,04275

Couplet 0,1511    0,1353    2280,37    0,00040412    0,05443    0,05913

0,3068    0,1353    2280,37    0,00052299    0,08537    0,09212

Dubuat    0,0135    0,0271    19,951    0,00045929    0,09807 0,09260

Anmerkung. Die Versuche sind den steigenden Geschwindigkeiten nach geordnet.

Nr.

des

Name

Ver

suchs

des

Druck-

Beob

achters

höhe

Durch

messer

der

Röhren

Länge

der

Rohr

leitung

Wert von

Geschwindigkeit

nach dem Versuche

berechnet

in vd 00

Couplet

Dubuat

0,4534

0,5707

0,6497

0,6767

0,0189

o,H37

o,i354

o,i333

o,i333

o,i333

0,0271

0,0271

2280,37

2280,37

2280,37

2280,37

3,749

3,749

Bossut

Dubuat

Bossut

Dubuat

Bossut

Dubuat

Bossut

Dubuat

0,1137

0,1083

0,3248

0,1605

0,3248

0,2106

0,3248

0,2425

0,3248

0,2425

0,0271

0,0271

0,0361

0,0271

0,0361

0,0271

0,0361

0,0271

0,0544

0,0271

3,749

16,242

58,471

i9,95i

48,726

i9,95i

38,981

i9,95i

58,47

i9,95i

0,00059072 0,00063849 0,00067009 (X 00068358 0,00142651 0,00115843

0,00130958

0,00133748

0,00144598

0,00148184

0,00154968

0,00171296

0,00168746

0,0018308

0,00167204

0,0017932

0,1117 0,1301 0,1411 0,1440 0,2352 0,2826

0,2888

0,3308

0,3400

0,3604

0,3807

0,4090

0,4365

0,4408

o,4433

0,4500

0,1263

0,1330

o,i433

0,1467

0,2894

0,3088

0,3088

o,3359

0,3553

o,37i3

o,39i4

0,4287

0,4401

0,4618

0,4416

0,4618

Bossut

22

23

24

25

26

27

28

29

Dubuat

Bossut

Dubuat

Bossut

Dubuat

Bossut

30

0,3248

0,6497

0,3248

0,3385

0,3248

0,3709

0,6497

o,3952

0,3248

0,3248

0,0544

0,0361

0,0361

0,0271

0,0544

0,0271

0,0361

0,0271

0,0271

0,0361

48,726

58,471

29,235

19,951

38,981

19.951

48,726

19.951

26,242

19,490

0,00179521

0,00192257

0,00191780

0,00205052

0,00198315

0,00217735

0,00207278

0,00222265

0,00220106

0,00233276

0,4954

0,5115

0,5127

0,5411

0,5605

0,5676

0,5693

0,5916

0,6031

0,6323

0,4860

0,5122

0,5122

o,545o

0,5458

0,5766

0,5634

0,5960

0,5990

0,6327

31

32

33

34

35

36

37

38

39

Dubuat

Bossut

Dubuat

Bossut

40

0,3248

0,6497

0,6497

0,6497

0,6497

0,6416

0,3248

0,1624

0,6497

0,3248

0,0544

0,0361

0,0544

0,0544

0,0361

0,0271

0,0544

0,0271

0,0544

0,0361

29,235

38,981

58,471

48,726

29,233

19,951

19,490

3,749

38,981

9,745

0,00230502

0,00226756

0,00221446

0,00239239

0.00258798

0,0027506

0,0028119

0,0036206

0,0026558

0,00328667

0,6444

0,6497

0,6694

0,7436

0,7399

0,7760

0,7908

0,7942

0,8363

0,8976

0,6343

0,6323

0,6343

0,6972

0,7343

0,7660

0,7823

0,8929

0,7818

0,9047

41

42

0,6500

0,6500

0,0361

0,0544

19490

29,235

0,0031615

0,0030625

o,933i

0,9681

0,9047

0,9070

Nr.

Name

des

des

Druck-

Ver-    Beob-

suchs achters

Durch-    Länge

messet*    der

der    Rohr-

Röhren    leitung

Wert von

Geschwindigkeit

1 T ⁽¹

igj-v

nach dem Versuche

berechnet

in

ni

43    Couplet 3,9274    0,4873    1169,42

44    Bossut    0,3248    0,0544    9,745

„    0,6497    0,0544    19,490

„    0,6497    0,0361

47    Dubnat    0,4873    0,0271

„    0,5671    0,0271

49    Bossut    0,6497    0,0544

50    Dubnat    0,7219    0,0271

o,9745    0,0271

45

46

48

5i

0,0037855

0,0040737

0,0038209

9,743

3,167

3,749    0,0063075

9,745 3,167 3,167

0,0044911 0,0064699

0,0055786

0,0078386

0,0088825

1,0603 1,09151 1,164 1,313 1,578 1,591 1,594 1,930 2,299    2,4204

1,0592

1,1164 1,1164 1,2896

1,7043 >

1,6897

1,5889

2,0797

Um nach diesen Versuchen die Werte der Konstanten a und ß zu bestimmen, trug de Prony mit Benutzung eines rechtwinkligen Koordinaten-systenies (Fig. 195 Tafel 12) die Geschwindigkeiten v als Abscissen und

die denselben entsprechenden Werte \ g J ^ als Ordinalen auf. Durch

Verbindung der so bestimmten Punkte entsteht die punktierte gebrochene Linie b d e. Diese hat de Prony durch die ausgezogene grade Linie ersetzt. Nach Gleichung 27) finden wir a, denn auf der rechten Seite bleibt nur a stehen für v—0, das ist in Fig. 195 die Länge Ax=0,00017. Ferner ergiebt nach den Lehren der analytischen Geometrie die Tangente der Neigungswinkel unserer Graden mit der Abscissenachse den Wert ß, diesen fand de Prony zu 0,003416. Durch Division von « und ß mit g — 9,8088 finden wir das auf S. 356 gegebene a und b.

In etwas anderer Weise bestimmt Foss die Konstanten a, n, m seiner

Formel

19,)

Jr — a

yn

dm

Durd) Logarithmieren ergiebt dieselbe:

. . lg Jr = lg a + ¹¹ lg v —¹¹¹ lg d.

19*) • •

Dies muß die Gleichung zweier Systeme grader Linien sein, wenn a, m und n konstant sind. Foss trägt nun als Abscissen die Werte lg Jr und als Ordinalen lg v auf (von Versuchen mit gleichem d). Er erhielt dadurch and) angenähert eine grade Linie. Das so entstehende System der graben Linien war parallel und die Tangente des Neigungswinkels mit

bezw. — —

lg <1

03

lg V

der Abscissenachse betrug lgv

lg J 1,80

Als Mittelwert setzte Fuss n = 1,833 = Für Versuche mit gleichem v trug er lg d als Ordinalen auf und erhielt eine grade Linie mit der Tangente

und

lg J 1,88

— für neue gußeiserne Röhren

— für asphaltierte Röhren aus Eisenblech.

1,16

Hiervon behielt er m —1,33 bei, weil es sich damit bequemer rechnet und weil die Veränderlichkeit von J mit d bei den Röhren von Eisenblech aus den Versuchen nicht deutlich genug zu ersehen war. Nach 19₂) berechnet sich nun 19z) . lg a = lg Jr — ~ lg v -j- | lg d = 0,8797957 — 4

für einen beliebigen Punkt einer der graden Linien. Den Wert kann man auck) direkt aus der Zeid)nuug entnehmen. So benutzte Foss die Linie der Versuche mit konstantem d — 1' engl, und suchte die Abseisse lg dr auf, welche zur Ordinate lg v für v= 1' engt. gehörte, diese mußte daun seine Konstante a sein, da lg d = lg v = lg 1 — 0 ist. Er fand für die beiden Röhrenarten

lg Jr = lg a = 0,580000 — 4, a = 0,0003802, lg Jr = lg a = 0,660000 — 4, a = 0,0004571.

Als Mittelwert behielt er a — 0,0004186, woraus unsere Konstante a berechnet ist.

Für die Berechnung unsers Wertes b ist die englische Konstante benutzt und nicht unser a, deswegen weichen die Formeln 19) und 20) oder 19') und 20') um ein Geringes von einander ab.

§ 106.

¹

Die wirkliche Stauhöhe.

²

Winkelmann, Handbuch der Physik.

³

Jochmann und Hermes, Grundriß der Experimentalphysik.

⁴

Engineer, Januar 1886.

²) New Formulas for Calculating the Flow of Water in Pipes and Channels. Journal of the Association of Engineering Societies, Philadelphia June 1894. Die Formeln geben Mittelwerte für neue gußeiserne und mit Asphalt ober Teer überzogene, genietete Eisenblechröhren.

Darcys Versuche über die Bewegung des Wassers in Rohrleitungen.

Im Aufträge der französischen Regierung hat Darcy eine Reihe von Versuchen angestellt, um in die noch unbestimmten oder zweifelhaften Fragen über den Widerstand des Wassers in Rohrleitungen Sidjt zu bringen. In nick)t weniger als 198 Versuchen experimentierte Darcy mit wissenschaftlicher Genauigkeit mit gußeisernen, eisenblechenen, bleiernen, gläsernen alten und neuen, angestrichenen und reinen Röhren von den kleinsten Weiten bis zu einem Durchmesser von ’/₂ m und mit Rohr-

leitungen von 50 bis 100 m Länge. Es wurde ferner bei diesen Versuchen nicht bloß das Gefalle und die durchgeflossene Wassermenge bestimmt, sondern es handelte sich besonders auch darum, neben dem Totalwiderstand des Wassers beim Durchfluß durch die Leitungen den Druck an jeder Stelle der Leitungen zu messen und den Verlust des Wassers an lebendiger Kraft beim Eintritt in die Leitungen zu bestimmen.

Zn diesen: Zwecke wurde der in den Rohrleitungen ititb zwar an den verschiedensten Stellen herrschende Druck mit einem Piezometer bestimmt; es wurde ferner der Druck des Wassers im Reservoir vor dem Eintritte in die Leitung gemessen. Die Geschwindigkeit des Wassers ließ man dabei von 0,03 m bis zu 5 und 6 m wechseln, also innerhalb der ganzen in der Praxis vorkommenden Ausdehnung derselben. Aus den Darcyschen Versuchen haben sich die nachfolgenden Resultate ergeben:

1.    Ist die Beschaffenheit des Rohrmateriales von wesentlichem Einfluß auf die Reibungswiderstände.

2.    Ist bei mit Teer angestrichenen Röhren die wirklich durchfließende Wassermenge im Verhältnisse von 4:3 größer als die nach der Pronyschen Formel erhaltene.

3.    Ist die wirklich durchfließende Wassermenge bei längere Zeit gebrauchten gußeisernen Röhren wesentlich kleiner, als nach der Pronyschen Formel; bei ganz frisch gereinigten Röhren gab dagegen die Pronysche Formel mit den Versuchen übereinstimmende Resultate.

4.    Im allgemeinen giebt die Pronysche Formel für Röhren von kleinem Durchmesser zu große und für Röhren von großem Durchmesser zu geringe Werte für die durchfließende Wassermenge.

5.    Der Reibungswiderstand ist unabhängig von der Pressung in der Leitung.

Eine graphische Darstellung der sämtlichen Versuchsresultate führte zu dem Ergebnisse, daß das Gesetz des Reibungswiderstandes für sämtliche Rohrleitungen richtig ausgedrückt >vird durch die Formel ')

28)

K Jr = a v -)- b v²,

außer für die Rohrleitungen von ganz geringer Weite und für Geschwindigkeiten unter 0,10 m in der Sekunde, für welche der Reibungswiderstand einfach der Geschwindigkeit proportional gesetzt werden kann.

Allein es ändern sich die Werte der beiden Koeffizienten a und b

!) Nach 1. und 3. wenn für

das Neibungsgefälle Jr gesetzt wird.

mit den Rohrweiten und außerdem sind dieselben, wie bereits erwähnt, von der Beschaffenheit des Rohrmaterials abhängig.

Eine Vergleichung der graphisch dargestellten Versuchsresultate führte ferner zu dem Ergebnisse, daß man für Rohrleitungen der verschiedensten Durchmesser und Neigungen ganz mit der Wirklichkeit übereinstimmende Resultate erhält, wenn man den Widerstand in der Rohrleitung durch die einfache Formel")

E Jr = B v²

berechnet, sobald nur die Geschwindigkeit in der Leitung einige Decimeter in 1" erreicht, was in der Praxis ohne Ausnahme der Fall ist. Für die numerischen Werte des Koeffizienten B fand Durch:

a)    bei mit Teer angestrichenen Rohrwandungen

aus Eisenblech..........

b)    bei neuen gußeisernen, nicht angestrichenen

Rohrwandungen..........

c)    bei gußeisernen, mit einer durch lüngern

Gebrauch entstandenen Niederlage bedeckten Röhrenwänden..........

Wie man daraus ersieht, ist der Einfluß der Beschaffenheit der Rohrwände ein sehr wesentlicher. Nachdem ferner nachgewiesen worden war, daß der Wert der Koeffizienten B für ein und dasselbe Material mit dem wachsenden Durchmesser der Leitung abnimmt, suchte Darcy einen Ausdruck zur Bestimmung dieses Wertes und fand 4') der S. 356 besonders für alte nicht angestrichene Röhren ans Eisenblech und Gußeisen mit der Wirklichkeit übereinstimmend.

In der folgenden Tabelle hat er jedoch die Berechnung für neue Röhren durchgeführt und daher ein nur halb so großes B erhalten.

29)

B = 0,00021695,

B = 0,0002921965,

B = 0,0005838895.

l/z

y 4 b

aufgeführt, welche wir

Sodann sind noch die Größen und

nach Angabe der folgenden Paragraphen benutzen werden.

■ Für Röhren, die bereits längere Zeit im Gebrauche sind, was schließlich für jede neu herzustellende Rohrleitung angenommen kverden muß,

4 B

sind die Werte von B und —j- ohne Ausnahme doppelt so groß

zu nehmen, als die Tabelle angiebt und diejenigen von 0,707 zu multiplizieren.

1/Z

y 4 b

mit

hr

²) Nach 1. und 4. wenn für - das Reibungsgefälle Jr gesetzt wird.

4B

Tabelle über die Werte von B, und

' d

gußeiserne Röhren.

1/1

v 415

für neue

Durchmesser

Halbmesser

Wert von

Wert von

4B

Wert von

l/:i

X 4B

0,010

0,020

0,027

0,030

0,040

0,050

0,054

0,060

0,070

0,080

0,081

0,090

0,100

0,108

0,110

0,120

0,130

0,135

0,140

0,150

0,l60

0,l62

0,170

0,l80

0,190

0,200

0,210

0,2l6

0,220

0,230

0,240

0,250

0,260

0,270

0,280

0,290

0,1200 0,1250 0,1300 0,1350 0,140 0,H5

Meißner, Hydraulik. I. 2. 2luftage.

0,0050

0,0100

0,0135

0,0150

0,0200

0,0250

0,0270

0,0300

0,0350

0,0400 0,0405

0,0450

0,0500

0,0540

0,0550

0,0600

0,0650

0,0675

0,0700

0,0750

0,0800

0,08l0

0,0850

0,0900

0,0950

0,1000

0,1050

0,1080

0,1100

0,1150

0,0009005

0,0005770

0,000498

0,000469

0,000415

0,0003825

0,000378

0,000361

0,0003455

0,000334 0,000333

0,000325

0,000318

0,000313

0,000312

0,000307

0,000303

0,000301

0,0002995

0,0002965 0,0002935

0,000293

0,0002915

0,000289

0,0002875

0,0002855

0,000284

0,000283

0,0002825

0,0002815

0,000280

0,000279

0,000278

0,000277

0,0002765

0,0002755

0,360200

0,115400

0,073056

0,062555

0,041525

0,030632

0,027653

0,024089

0,019767

0,016718

0,016463

0,014461

0,012728

0,011607

0,011357

0,010247

0,009331

0,008931

0,008563

0,007910

0,007348 0,007245 0,006860 0,006432 0,006053 0,005717 0,005415 0,005249 0,005143 0,004897

0,004674

0,004470

0,004282

0,004110

0,003951

0,003804

1,6660

2,9430

3,6990

3,9980

4,9070

5,7130

6,0130

6,4430

7,1020

7,7330

7,7930

8,315°

8,8630

9,2310

9,3830

9,8780

10,352

IO,58lO

IO,8o6o

11,2430

11,6650

11,7480

12,0730

12,4680

12,7050

13,2250

13,5880

I3,8020

13,9430

14,2880

14,6260

14,9560

15,2800

15,5970

15,908

16,213

Durchmesser

Halbmesser

Wert von

Wert von

Wert von

jAii

0,300

0,310

0,320

0,325

0.150

0,155

0,160

0,1625

0,330

0,340

o,35o

0,360

o,37o

0,380

0,390

o,40o

o,₄io

0,420

0,1650

0,1700

0,1750

0,1800

0,1850

0,1900

0,1950

0,200

0,205

0,210

0,430

0,440

0,450

0,460

0,470

0,480

0,490

0,500

0,550

0,600

0,215

0,220

0,225

0,230

0,235

0,240

0,245

0,250

0,275

0,300

0,650

0,700

0,750

0,800

0,850

0,900

0,950

1,000

0,325

0,350

o,375

0,400

0,425

0,450

0,475

0,0002750

0,000274

0,0002735

0,000273

0,000276

0,0002725

0,0002715

0,000271

0,0002705

0,0002705

0,000270

0,0002695

0,0002690

0,0002685

0,0002685

0,000268

0,0002675

0,0002675

0,000267

0,0002665

0,0002665

0,000266

0,000265

0,000264

0,000263

0,0002625

0,0002625

0,0002615

0,000261

0,0002605

0,000260

0,0002595

0,003667

0,003540

0,003421

0,003365

0,003310

0,003320

0,003108

0,003016

0,002929

0,002847

0,002770

0,002696

0,002627

0,002561

0,002498

0,002438

0,002381

0,002326

0,002274

0,002224

0,002177

0,002131

0,001929

0,001761

0,001621

0,001501

0,001398

0,001307

0,001228

0,001158

0,001096

16,512

16,806

17,095

17,238

18,475 18,739 ¹8,999 19,256

i9,5io

19,760

20,007

20,251

20,493

20,731

20,967

21,200

2i,43i

21,659

22,767

23,823

24,835

25,807

26,745

27,650

28,527

29,378

30,205

31,010

§ 107.

Anwendung der Formeln von Darcy.

Da sich jede neue Rohrleitung in kurzer Zeit mit einem Niederschlage überzieht, muß, wie schon oben hervorgehoben wurde, der Koeffizient B doppelt so groß genommen werden, als er in der obigen Tabelle an-

Anwendung oer Formeln von Darcy.

371

gegeben ist. Wir wollen nun die Formel 29) weiter umformen, um zu ersehen, in welcher Weise wir die für neue Röhren erhaltenen Resultate zur Berechnung alter verwenden können.

Die Formel

J = B v²

oder

29) . . . . B J = B v2 giebt für das Gefälle J für jeden laufenden Meter

30)

4B

cTv-

Aus derselben Formel folgt:

31)

.......v-1

rns fj 2

Weil nun noch Q — v oder v² =

16 Q²

5T² d⁴

ist, so können wir

durch Einsetzung dieses Wertes in 29) schreiben:

t> 16 Q²

TT² d⁴ '

Hiernach ist

" r;‘

oder

d — 0,145337

5 ----------

Diese Gleichung läßt sich nur durch Probieren lösen, da in B der Durchmesser d enthalten ist. Bequemer kommen wir zum Ziel, wenn wir nach Darcy die obigen Gleichungen auf die folgende Form bringen:

32)

64

n² d⁶

und die hiernach berechnete Tabelle aus dein Hütten-Taschenbuch entlehnen, welche wieder für neue Röhren Gültigkeit hat.

Werte von

₍’*₂ nach Darcy.

in m

Q²

in m

in m

Q²

in m

Q²

0,010

0,012

0,015

0,020

34O l6o 125 200 54 120 26 296

0,045

0,050

0,055

0,060

13 960,7

7 945,5 4781,2 3 012,8

0,065

0,070

0,075

O,080

24*

i 972,7 1 334,4 928,31 661,65

in m

Q²

in m

Q²

in m

in m

Q²

0,085

0,090

0,095

0,100

0,125

0,150

0,175

0,200

0,750    0,007161

0,800    0,005175

0,850    0,003816

0,900    0,002863

0,950    0,002181

1,000    0,001687

0,12565 ■ 0,09412 0,07162 0,05528 0,03417 0,02203 0,01472 0,010135

481,61 357,26

269,45

206,327 64,847 25,326

11,473 5,791

Wenn zwei der Größen d, J, Q bekannt sind, können wir mit Hilfe der obigeil Tabelle die dritte finden.

Aus den Formeln 29) bis 32) geht hervor, daß nach ausgeführter Berechnung für neue gußeiserne Röhren die erhaltenen Werte von J und 1>, mit 2, von v und Q mit V \ — Num. lg 0,8494850 — 1 = 0,707, und

von d mit f 2 — Num. lg 0,0602060 — 1,15 zu multiplizieren sind, um die Ergebnisse für alte Röhren brauchbar zu machen.

0,225

0,250

0,275

0,300

0,325

0,350

o,375

0,400

3,i73

1,8548

1,1419

o,7339

0,4889

0,3357

0,2367

0,17075

0,425

0,450

0,475

0,500

0,550

0,600

0,650

0,700

§ 108.

Zusammenhang zwischen der Ausflußmenge Q, dem Röhreudnrchmesser d und der mittleren Geschwindigkeit v.

Auf der vorigen Seite hinter Gleichung 31) wurde die bekannte Formel

r] 2 n-r

Q =    - v aufgeführt, welche aussagt, daß die Ausflußmenge Q in cbm

r]2 rrr    ,

in 1" gleich ist der Querschnittsfläche ^ in qm multipliziert mit der

Geschwindigkeit v in m in 1'. Um die hierher gehörigen Berechnungen zu erleichtern, wurde die folgende Tabelle zusammengestellt. Sie enthält die Ausflußmengen in Litern für alle Röhren der Normaltabelle ’), gußeiserner Muffen- und Flantschenröhren und für die gebräuchlichsten Geschwindigkeiten.

Beträgt z. B. die erforderliche Ausflußmenge Q, — 0,0332 cbm bei einer Geschwindigkeit von v — 0,40 m in 1", so muß nach der Tabelle das Rohr einen Durchinesser von d = 0,325 m erhalten. Würde man aber ein Rohr von d = 0,400 m verwenden, so stiege die Ausflußmenge bei derselben Geschwindigkeit auf — 50,266 oder Q, — 0,050266 cbm.

!) Gemeinschaftlich aufgestellt von dem Vereine deutscher Ingenieure und dem Deutschen Vereine von Gas- und Wasserfachmännern, revidiert 1882.

Durchmesser des Rohres d in m

3-5,5 R<g R8 '<?R£ 8 S&K8 S'RKg I? &K8 5,8 5,8 5,8 8 8 8 8

OOOOOOh-ii-imm ci CI (s) e) ro co ro cn —h *d*    m i/i'O vO N NW O o H-i CI

^    ^ »X    r- _*x    *■' *x r    r>»S*N*v rsrvr.«N«\ »%    .    *N

OOOOOOOOOO 00000000-00    0000    0.00000 M M M

Tafel der Wassermengen in Litern in der Sekunde. (Qj —1000•'/ - v)•

Geschwindigkeit v des Wassers in m in 1"

0,05    0,10    0,15    0,20    0,25 | 0,30    0,40 | 0,50 ! 0,60 | 0,70 j 0,80 j 0,90 : 1,00 ! 1,25 | 1,50 j 1,75    2,00

2,513

2,199

1,885

i,57i

3,927

3,436

2,945

2,454

5,655

7,697

10,053

12,723

15,708

24,544

35.343

48.106

62,832

79,522

98,175

118,79

141,37

165,92

192,42

220,89

251,33

283,73

318,09

354,4i

392,70

475,17

565,49

663,66

769,69

883,57

1005,3

VzLz i

8‘oZSi

1900,7

XO

M

4,948

6,735

8,796

n,i33

13,744

21,476

30,925

42,092

54,978

69,581

85,903

103,94

123,70

145,18

168,37

193,28

219,91

248,26

278,33

310,11

343.61

415,77

494,80

580,70

773,13

879,65

1113,3

1374,4

1663,1

4,241

3,534

5,773

7,540

9,543

7,952

ii,78i

9,817

18,408

26,507

36,079

47,124

59,641

73,631

89,094

106,03

124,44

144,32

165,67

188,50

212,79

238,57

265,81

294,53

356,37

424,11

497,75

577,27

662,68

753,98

954,26

1178,1

1425,5

15,340

22,089

30,066

N ro NOO n -t- C4 M CO 1-0 XO M rh D <D lONNiO t* Oxoqoq O rooo_ N vo O t-T m rf ro vn-cT t'C rT rC -4'

39,270

49,701

61,359

74,245

88,357

103,70

120,26

138,06

157,08

177,33

198,80

221,51

245,44

296,98

353,43

414,79

481,06

552,23

628,32

795,22

981,75

1187,9

^t-

31,416

39,761

49,087

59,396

70,686

82,958

96,211

110,45

125,66

141,86

159,04

177,21

196,35

237,58

282,74

331,83

384,85

441,79

502,66

636,17

785,40

950,33

1,131

1,005

0,880

r^

o,754

0,628

0,503

ZZ£‘o

2,545

3,464

4,524

7,069

Sto‘i i

to6‘S i

21,648

28,274

35,785

44,179

53,456

63,617

74,662

86,590

99,402

113,10

127,68

143,14

159,48

176,72

213,82

254,47

298,65

346,36

397,60

452,39

572,56

706,86

855,30

i,57i

i,374

2,262

0,982

0,589

*d- i-H

3,079

4,021

5,089

6,283

9,817

14,137

19,242

25,133

31,809

39,270

47,517

56,549

66,366

76,969

88,357

100,53

H3,49

127,23

141,76

157,08

190,07

226,19

265,46

307,88

353,43

402,12

508,94

628,32

760,27

i,979

1,414

1,131

0,848

3,519

4,453

8,590

12,370

16,837

21,991

27,833

34,361

41,577

49,480

58,070

67,348

77,313

87,965

99,304

iii₂33

124,04

137,45

166,31

197,92

232,28

269,39

309,25

351,86

445,32

549,78

665,23

2,309

1,924

1,539

i,i55

3,016

4,712

10,603

14,432

18,850

2,513

3,181

3,927

6,136

8,836

12,026

15,708

29,698 35,637

35,343 42,411

55,223 66,268

tO

95,426

106,32

117,81

79,522

88,603

98,175

«7

141,37 469,65

192,42230,91

220,89:265,07

251,33:301,59

381,70

318,09

471,24

392,70

570,20

475,17

er;

■t

2,011

2,545

3,142

4,909

7,069

12,566

15,904

19,635

23,758

28,274

33,183

38,485

44,179

50,266

56,745

63,617

70,882

78,540

95,033

113,10

132,73

153,94

176,71

201,06

254,47

314,16

1,909

2,356

3,682

5,301

7,216

9,425

11,928

14,726

17,819

21,206

24,887

28,863

33,134

37,699

42,559

47,713

53,162

58,905

71-275

84,823

99,549

S4‘Sii

150,80

190,85

235,62

285,10 380,13

ox

N f)    ts    O ^OOO OO ro    tJ-O N Oh O'^OM'O^    H->    M CO XO    OO    hh

0,251

0,188

0,126

0,063

no,45

125,66

159,04

196,35

237,58

o,393

0,295

0,424

0,196

0,098

0,141

0,770

o,577

0,385

0,192

1,005

o,754

0,503

0,251

1,272

1,571

2,454

3,534

"d™ XD

zS6 ‘Z

9,818

11,879

14,137

16,592

19,242

22,089

25,133

28,373

31,809

35,441

39,270

47,517

56,549

66,366

76,969

88,357

100,53

127,23

157,08

190,07

Ox

0,954

0,318

oo" rt 10*0

4,712

10,603

12,444

14,432

16,567

21,279

23,856

26,581

29,453

35,637

42,411

49,775

57,727

66,268

75,398

95,426

117,81

142,55

1,227

2,405

3,142

4,909

5,940

11,045

12,566

14,186

15,904

17,721

19,635

23-758

28,274

33,183

38,485

44,179

50,266

63,617

78,540

95,033

o,393

0,884

1,203

1,571

2,454

2,970

3,534

"d~

zzSlS

6,283

7,093

zSVL

8,860

9,818

11,880

14,137

16,592

19,242

22,089

25,133

31,809

39,270

47,517

Ox

xd

Durchmesser des Rohres d in m

OOOOOOOvnOvo OvnO'-oO'-nO'-nOm 0^00000000 OOO -f- lOxo co o O N ^ N o rttor^O nmr^O M »x N O io O m O i-o O O OOO OOOOO^Oh-imi-im n d M N rorororo'^h’d- rj-ioir>vs) \o NNW q o H-, (X,

d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d *-T «-T »T

§ 109.

Levhs Ableitung der mittlern Geschwindigkeit des Wassers in Rohrleitungen.

Aus der regelmäßigen Form der Kurven, welche nach Fig. 196 Tafel 12 die Punkte gleicher Geschwindigkeit im Querschnitte einer Rohrleitung verbinden, geht hervor, daß die Geschwindigkeit, welche im Zentrum am größten ist und gegen die Wände zu nach einem gewissen Gesetze abnimmt, eine Funktion der (größten) Geschwindigkeit des mittlern Wasserfadens, des Rohrdurchmessers und der Beschaffenheit (Rauheitsgrades) der Rohrwandung sein muß.

Von diesem Standpunkte ausgehend, hat Levy in seinem Werke — „Theorie d’un courant liquide a filets rectilignes et paralleles.“ Paris 1867 — auf überzeugende Weise nachgewiesen, daß auch die Darcy-Bazinsche Formel noch nicht ganz genau für alle Geschwindigkeiten und Rohrdimensionen die Versuchsresultate wiedergiebt und auch nur innerhalb gewisser (freilich ziemlich weiter) Grenzen anwendbar ist.

Levy leitet folgende Ausdrücke ab unter dem Nachweise, daß dieselben allgemeine Gültigkeit besitzen und für alle Dimensionen und Geschwindigkeiten genau mit den Versuchsresultaten übereinstimmen:

Drückt man die mittlere Geschwindigkeit v durch die einfachste Regel aus:

33)

v = k PR J,

so ergabt sich für Röhren mit kreisförmigem Querschnitt, bei welchem bekanntlich R — ^ ist:

k j/R — 20,5 j/r Pl -f- 3 j/r, wenn sie längere Zeit im Gebrauch sind und

k J/ R = 36,4 j/r V14-Pr) wenn sie neu aus Gußeisen hergestellt sind.

Die nachfolgende Tabelle giebt den Wert des Koeffizienten k für längere Zeit im Gebrauche befindliche Rohrleitungen, sowie einige andere die Rechnung erleichternde Größen.

Tabelle zur Berechnung von Rohrleitungen.

Durch

messer

Halb

messer

Querschnitt

n r²

20,5 yiVl+SYv

Wert von —— =

yj

k ]/R • n r²

0,01

0,02

0,027

0,03

0,04

0,05

0,054

0,06

0,07

0,08

0,081

0,09

0,10

0,108

0,11

0,12

0,13

o,i35

0,14

0,15

0,16

0,162

0,17

0,18

0,19

0,20

0,21

0,216

0,22

0,23

0,005

0,01

0,0135

0,015

0,02

0,025

0,027

0,030

0,035

0,040

0,0405

0,045

0,050

0,054

0,055

0,060

0,065

0,0675

0,070

0,075

0,080

0,081

0,085

0,090

0,095

0,100

0,105

0,108

0,110

0,115

0,24

0,25

0,26

0,27

0,28

0,29

0,30

0,31

0,120

0,125

0,130

0,135

0,140

0,145

0,150

o,i55

0,000078

0,000314

0,0005725

0,000707

0,001257

0,001953

0,002290

0,002827

0,003848

0,005026

0,005153

0,006361

0,007854

0,009160

0,009503

0,011309

0,013273

0,014313

0,015393

0,017671

0,020116

0,020612

0,022698

0,025446

0,028352

0,031415

0,034636

0,036643

0,038013

0,041547

0,045238

0,049087

0,053093

0,057255

0,061573

0,066052

0,070685

0,075476

1,578

2,337

2,747

2,320

3,444

3,915

4,100

4,428

4,776

5,166

5,207

5,555

5,804

6,191

6,252

6,621

■6,929

7,052

7,257

7,564

7,872

7,913

8,159

8,466

8,753

9,040

9,307

9,471

9,594

9,860

10,127

10,399

10,660 10,906 n,i93 11,418 11,664 11,910

0,00012308

0,00073382

0,00157279

0,00207292

0,00432911

0,00768514

0,00938986

0,01251795

0,01837805

0,02596431

0,02683167

0,03533535

0,04557562

0,05671513

0,05941276

0,07487689

0,08997682

0,10093527

0,11170700

0,13466344

0,15827443

0,16310276

0,18519298

0,21502584

0,24816505

0,28399160

0,32235725

0,34704584

0,36469672

0,40965242

0,45813593

0,51045571

0,56597138

0,62442303

0,63985521

o,754i8i73

0,82446980

0,89891920

Durch

messer

Halb

messer

Querschnitt

n r²

— - = k yu — yj

20,5 y r /1 + 3 ]/r

Wert von - r =

yj

k yB • n r²

0,32

0,325

o,33

o,34

0,35

0,36

o,37

0,38

o,39

0,40

0,41

0,42

o,i 6o

0,1625

0,165

0,170

o,i75

0,180

0,185

0,190

o,i95

0,200

0,205

0,210

o,43

o,44

o,45

0,46

0,47

0,48

0,49

0,50

0,52

0,54

0,215

0,220

0,225

0,230

0,235

0,240

0,245

0,250

0,260

0,270

o,55

0,56

0,58

0,60

0,62

0,64

0,65

0,66

0,68

0,70

o,74

o,75

0,76

0,78

0,80

0,82

0,84

0.275

0,280

0,290

0,300

0,310

0,320

0,325

0,330

0,340

0,350

o,370

o,375

0,380

0,390

0,400

0,410

0,420

0,080424

0,082957

0,085529

0,090792

0,096211

0,101787

0,107521

0,113411

0,118459

0,125663

0,132025

0,138544

0,145220

0,152052

0,159045

0,166190

o,i73494

0,180955

0,188574

0,196345

0,213371

0,229021

0,237582

0,246301

0,264208

0,282743

0,30x907

0,321699

0,331830

0,342118

0,363168

0,384845

0,430084

0,441786

0,453645

0,477836

0,502654

0,528101

0,554177

12,156

12,279

12,382

12,628

12,874

13,099

13,345

13,550

13,796

14,022

14,227

14,452

14,678

14,903

15,049

15,334

15,559

15,764

15,969

16,195

16,625

17,035

17,240

17,445

17,835

18,245

18,634

19,044

19,331

19,413

19,883

20,192

20,951

2i,i35

21,320

21,618

21,976

22,427

22,775

0,97763414

1,01862900

1,05902008

I, 14652137

1,23852042

1,33307910

1,43486774

1,53671905

1,64806636

1,76204658

1,87831967

2,00223789

2,13153916

2,26603096

2,39346820

2,54835746

2,69939314

2,85257462

3,01123721

3,17980727

3,53066889

3,90137273

4,09591368

4,29672094

4,71214968

5,15855603

5,62573504

6,12643575

6,51460573

6,64163673

7,19181590

7,77079024

9,01068988 9,337i47ii 9,66171140 10,11486700

II, 04632430 11,84372112 12,62143117

Durch

messer

Halb

messer

Querschnitt n r²

v =kVÜ =

yj

Wert von -Q

yj

20,5 yr /l + 3 yf

k y R . n r²

0,567450 0,580880 0,608211

0,636172 0,664761 0,693978 0,723823 0,754296

0,785397

Die Vergleichung der Ergebnisse der Formeln von Darcy-Bazin und von Seilt) mit den Versuchsresultaten zeigt, daß die letztere für alle Geschwindigkeiten und für alle Rohrweiten von über 40 mm gute Resultate ergiebt, während die Formel von Darey bei Rohrleitungen von mehr als 240 mm Durchmesser für längere Zeit im Gebrauche befindliche Rohren bereits kleinere Abweichungen zeigt, die mit der Vergrößerung der Weite der Rohrleitung wachsen.

0,85

0,86

0,88

0,90

0,92

o,94

0,96

0,98

1,00

0,425

0,430

0,440

o,45o

0,460

0,470

0,480

0,490

0,500

22,960

23,H4

23,493

23,802

24,210

24,559

24,907

25,256

25,604

13,0286520

13,4438867

14,30870102

15,14216594

16,09386338

17,0434056

18,02825946

19,050499 77

20,24930478

§ 110.

Beispiele.

1. Wie groß ist der Druckhöhenverlust hr einer L = 100m langen neuen gußeisernen Rohrleitung vom Durchmesser <1 — 0,200, wenn das Wasser mit einer mittleren Geschwindigkeit v — 0,7003 durchfließt.

a)    De Prony. Unter Benutzung der aus 2) und 3) sich ergebenden

™ (a v 4- b v²) erhalten wir mit de Pronys Koeffizienten:

(0,000017 3314- 0,7003 + 0,000348259 • 0,7003²) = = 0,36586 m.

b)    Darey. Nach derselben Formel mit den Koeffizienten aus 3): ergiebt sich

4-100

0,200

bei Röhren mit leichten Ablagerungen oder hr = 0,27033 m für neue Röhren.

Formel: h,.=

4-100

0,200

4L

hr

hr

(0,000032376 • 0,7003 + 0,000505 • 0,7003²) = 0,54066

Um Formel 30) zu verwenden, entnehmen wir aus der Tabelle auf S. 369

d

hr = J L = ~₁P> v² L = 0,005717 • 0,7003² • 100 = 0,28037 m. c) De Saikrt-Venant. Aus Formel 2) und 5) folgt

⁴ ,L - 0,00029557 v ⁷ • d

Durch logarithmische Berechnung ergiebt sich

+ lgv = 0,7347727 — 1 lg 0,00029557 = 0,4706604 — 4

lg P = lg 2000 = 3,3010300

lg hr = 0,5064631 — 1 hr = 0,32097 in.

S) Cox. Nach Formel 18) finden wir hr = (0,91136 - 0,7003² + 0,34722 • 0,7003 - 0,042333)

oder

0,005717 für d = 0,200. Dadurch erhalten wir

hr

11

100

1000-0,200

= (0,44695 + 0,24317 — 0,042333) • 0,5 = 0,32389 in.

e) Foss. Formel 19) ergiebt

]g h, = 0,8797957 — 4 -f + lg 0,7003 — | lg 0,200 +- lg 100 =

= 0,8797957 — 4 + 0,7163542 — 1 — 0,0680400 + 1 + 2 = = 0,5281099 — 1

oder

hr = 0,33737 in.

f) Zeune r. Die allgemeine Gleichung 6) ist für unsern Fall 100 0,7003²

r'0,200........2 g

b,=

r;

= Cr • 12,4995.

Nach 6) ist

Cr = 0,014312

0,010327 ]/0,7003

= 0,026652,

somit ergiebt sich

hv = 0,026652 • 12,4995 = 0,33314 in. g) Weisbach. Nach diesem ist

Cr = 0,01439-j

. 0,0094711

j/v

oder in unserm Beispiel

. £r = 0,01439 +

0,0094711

j/v

0,025708.

Dadurch finden wir

hr = 0,025708 -12,4995 = 0,32134 m.

h) Reynolds. Das Wasser möge eine Temperatur t — 10° Celsius haben. Es wird alsdann

P    14- 0,0337 -10 + 0,000221 • 100

1,3591

Nun ist noch in Formel 13) für n der Wert 1,88 zu setzen, dadurch erhalten wir

..    0,28977 • 396¹'⁸⁸/

-r” 1000000 \

0,12

= 0,027050

1,3591 - 0,7003 - 0,200 hr = 0,027050 -12,4995 = 0,33812 m. i) Westo n. Nach Formel 22) ergiebt sich

0,0005078

0,200

und demnach hr — 0,022429 -12,4995 — 0,28035 m.

Das ist derselbe Wert, den Formel 30) unter b) ergab, wie auch schon in Bezug auf Formel 22) erwähnt wurde.

und

£, = 0,01989

= 0,022429

k) Hamilton Smith ’) j u n. Von diesem schon mehrfach erwähnten Experimentator ist die folgende Formel aufgestellt:

0,000140x 1 d ) y y *

= 0,0132

0,00900 4

Sie ergiebt:

c, = 0,0132 4- (o,00900 4

0,000140

0,200

j/0,7003

= 0,0132 4- 0,011591 = 0,024791

und

hv = 0,024791 -12,4995 = 0,30987 m.

1) Levy. Aus Formel 33) und den dazu gehörigen Angaben folgt

VJ

0,7003

k/R 36,4 Yy /f + 7?    36,4 ,4),l | 4 4- | '0,1

0,7003

36,4 - 10,1 | 1,31623

J) Siehe Wehage: Versuche über den Leitungswiderstand von Röhren in Dinglers Journal Bd. 252 S. 89.

hr == Jr L = 0,0028121 -100 = 0,28121 m.

Dieses Beispiel ist nach den verschiedensten Formeln berechnet, um zu zeigen, daß die Resultate vielfach von einander abweichen, jedoch geschieht dies nicht immer in demselben Sinne r), wie in unserer Aufgabe.

2. Bei einer Rohrleitung von 300 m Länge betrage die Druckhöhe h = 15 m. Wie groß wird der Verlust an Geschwindigkeit, Ausflußmenge und Arbeit, wenn der Rohrdurchmesser d = 0,125 m ist?

Nach der Tabelle auf S. 120 betrügt die theoretische Geschwindig-keit 17,154 m. Die zugehörige Ausflußmenge berechnen wir nach § 108. Es ist danach für d = 0,125

Qi = 122,72 1 bei v = 10 „ = 85,90 „ „

,, =    1,841 „ „

„ =    0,049 „ „

Qi ⁼⁼ 210,510 1 bei v = 17,154 m.

0,0028121.

oder

Nun wird dadurch

0,7003²

36,4² - 0,1 -1,31623

m,

= 0,15    „

= 0,004 „

somit

Es besteht also ein theoretisches Arbeitsvermögen von

210,510 -1 -17,154 = 3611,09 "kgm.

Nach 20') erhalten wir die wirkliche Ausflußmenge und zwar ist: 0,0709099 — 3 + st,' lg Q = lg hr -j- 5 lg d — lg L.

Für d — 0,125 entnehmen wir aus der Tabelle auf S. 361 5 lg d = -- 4,5154500. Dadurch erhalten wir für die rechte Seite unserer Gleichung

lg 15 - 4,5154500 - lg 300 = 1,1760913 - 4,5154500 - 2,4771213 =

= 0,1835200 — 6.

In der Tabelle auf S. 360 finden wir unter

0,0709099 — 3 st- stst lg Q den Wert 0,1650276 - 6

und hierzu gehörig eine Ausflußmenge Q = 0,026 cbm oder Qi — 26 1. Die genaue Berechnung ergiebt Q, — 26,6111. Somit fließen in 1": 210,510 — 26,611 — 183,8991 weniger aus.

Zur Ausflußmenge Qi — 26,611 suchen wir nach der Tabelle auf

S. 373 die zugehörige Geschwindigkeit und finden

') Vergleiche das 4. Beispiel.

Qi = 24,544 bei <1 = 0,125 und v = 2,00. Es bleibt

eine Differenz in der Ausflußmenge von. .

. . .    = 2,067.

„    0,15.

Daher

Nun ist Qi= 1,841 „ „

besteht noch eine Differenz . . .

= 0,226, wozu angenähert v — 0,018 gehört. Somit beträgt die Ausflußgeschwindigkeit v = 2,168 m in 1" oder sie hat um 17,154 — 2,168 = 14,986 m abgenommen.

Das Arbeitsvermögen beträgt jetzt nur noch

= ou 98,5°/o abgenommen.

26,611 -1 - 2,168 = 57,693 ''kgm, hat also um 3611,09 — 57,69 = 3553,40 "kgm oder um 355340 3611,09

Wie wir aus diesem Beispiel ersehen, kann durch einen zu engen Rohrquerschnitt fast die ganze Kraft verzehrt werden.

3.    Dieselben Untersuchungen sind durchzuführen, für ein Rohr von d = 0,700 m Durchmesser.

Die theoretische Geschwindigkeit bleibt 17,154. Nach der Tabelle ans S. 373 berechnet sich die zugehörige Ausflußmenge zu 6601,71. Somit haben wir eine theoretische Arbeit von

6601,7 - 1 - 57,154 = <x> 113250 "kgm.

In derselben Weise wie bei der vorigen Ausgabe finden wir: 0,0709099 — 3 + 44 lg Q = 1,1760913 — 0,7745000 — 2,4771213 =

= 0,9244700 — 3; Q = 3,0 oder genauer Q, = 2921,31.

= ou 80,4 o/g abgenommen.

Es fließen hiernach 6601,7 — 2921,3 = 3680,41 in 1" weniger aus. Die Ausflußgeschwindigkeit beträgt v = 7,591, sie hat also um 17,154 - 7,591 = 9,563 m abgenommen. Das Arbeitsvermögen besitzt noch die Größe 2921,3 • 1 • 7,591 = 22176 "kgm, es hat somit abgenommen um 113250 — 22176 = 91074 "kgm oder um 9107400 113250

4.    Welchen Durchmesser und welches Gefälle muß eine 100 m lange Rohrleitung erhalten, wenn sie 0,78 cbm in 1" mit 1 m Geschwindigkeit fortleiten soll?

Die Tabelle auf S. 373 ergiebt d = 1 m.

Nach Formel 20') ist dann lg J = 0,0709099 — 3-f 44 lg Q.

Für die rechte Seite dieser Gleichung erhalten wir durch Interpolation aus der Tabelle auf S. 361 den Wert 0,8526872 — 4 oder es ist J — Nu in. lg (0,8526872 — 4) = 0,00071234. Die genaue Berechnung liefert unter Berücksichtigung der wirklichen Ausflußmenge von 0,78540 cbm ein Gefälle J — 0,0007561. Dieser Wert gilt, wie zu den Fossschen Formeln bemerkt wurde, für neue gußeiserne und für innen asphaltierte oder geteerte Röhren aus Eisenblech.

Im ersten Beispiele ergab die Darcysche Formel einen kleineren Wert als die Fosssche, hier ist es nun umgekehrt, denn wir erhalten nach der

4B

Tabelle auf S. 370 - ^ — 0,001039 und dasselbe für J nach Formel 30),

da in unserm Falle v = 1 ist.

5. Welche Geschwindigkeit nimmt das Wasser in einer alten Rohrleitung an, deren Durchmesser. d — 0,80 m und deren Gefälle J — 0,005 beträgt?

Nach Formel 19') haben wir

nr lg v = lgJ + |lgd-0,8797957 + 4 =

=0,6989700—3 -f | • (0,9030900 -1)—0,8797957 + 4=0,6899609, lg v = 0,3763423 oder v = 2,38 für neue Röhren.

Nach der Schlnßbemerkung des § 107 ist diese Geschwindigkeit mit 0,707 zu multiplizieren, oder wir haben zu dem obigen lg v noch den Wert 0,8494850 — 1 zu addieren. Dadurch erhalten wir lgv = 0,3763423 f 0,8494850 — 1 = 0,2258273 und v = 1,682 m.

Unter Benutzung von 20') hätten mir 0,0709099 — 3 + + lg Q, = lg J + 51gd, nun ist nach der Tabelle auf S. 362 5 lg d = — 0,4845500,    „

deshalb erhalten wir für die rechte Seite unserer Gleichung 0,6989700 — 3 — 0,4845500 = 0,2144200 — 3 und wenn wir diesen Wert unter 0,0709099 — 3 + + lg Q, auf S. 361 aufschlagen, finden wir als dazu gehörig Q = 1,2 und nach S. 373, v = 2,39 und endlich durch Multiplikation mit 0,707 den Wert v = 1,689.

Sieht man von vornherein J — 0,005 als Rechnungsergebnis für das alte Rohr an, so muß für das neue J = j • 0,005 = 0,0025 sein, wenn alle andern Werte ungeändert bleiben sollen. Benutzt man gleich dieses Gefälle J bei der Berechnung, so erhält man unmittelbar das richtige v.

Unter Verwendung von Formel 33) und der dazu gehörigen Tabelle erhalten wir

v = k)/ßj = 21,976 j/0,005 = 1,554, also eine kleinere Geschwindigkeit.

Nach Darcy würde dieselbe noch geringer feilt, denn Formel 31) mit dazu gehöriger Tabelle ergiebt:

y==VlBVj

• 0,707 = 27,650 • /0,005 - 0,707 = 1,38 m.

6. Welchen Durchmesser d erhält eine Rohrleitung, welche bei einem vorhandenen Gefälle J = 0,004 eine Wassermenge von 0,80 cbm in 1" liefern soll?

Nach 20') ist

— 5Igd = lg J — (0,0709099 - 3 + lg Q).

Für die Größe in der Klammer finden wir bei Q, = 0,80 auf S. 361 den Wert 0,8932416 — 4. Wenn wir nun die Berechnung für alte Röhren durchführen und demnach gleich J = 0,002 setzen, so ergiebt unsere Formel

— 51gd = 0,3010300 - 3 — (0,8932416 - 4) = 0,4077884. Hierzu gehört ein gußeisernes Rohr von d = 0,800 m Durchmesser nach S. 362. Die genaue Berechnung ergiebt d = 0,829.

Ohne Verwendung der Logarithmen bekommen wir nach Formel 20):

0,002 0,00078

= 2,6.

bQ⁶

Hierzu gehört nach S. 362 d = 0,8.

Soll mindestens 0,80 cbm Wasser geleitet werden, so müßten wir schon das nächst größere Rohr mit d = 0,9 m nehmen.

7. Durch eine Rohrleitung soll eine Turbine gespeist werden. Die ganze Länge der Leitung beträgt 1000 m und die vorhandene Druckhöhe h = 7,5 m. Davon soll möglichst wenig verloren gehen. Welchen Durchmesser d und welches Reibungsgefälle muß die Leitung erhalten, wenn dieselbe 2 cbm Wasser in 1" der Turbine zuführen soll?

Die gewöhnliche mittlere Geschwindigkeit des Wassers in Rohrleitungen für hydraulische Motoren ist v = 1 m in 1". Da nun der Gefällverlust sehr gering sein soll, so wollen wir eine kleinere Geschwindigkeit und einen großen Rohrdurchmesser wählen. Nehmen wir nun d = 1,200, so müßte nach S. 373 v noch über 1,75 betragen. Die Forderung ist also mit einer Rohrleitung nicht zu verwirklichen, auch selbst mit zweien nicht, denn die Geschwindigkeit muß immer noch 0,90 m betragen. Nehmen wir aber anderes Material und deswegen den Durchmesser noch größer, so erhalten wir bei zlvei Leitungen und v = 0,6

0,6

= 1,66.

Aus einer Kreisquerschnittstabelle suchen wir das hierzu gehörige d auf. Dieses wird d — 1,45 m.

Nach Formel 20' ergießt sich

lg hr = 0,0709099 — 3 + PUgQ —51gd + lgL =

= 0,0709099 — 3 + 0 — 5.0,1613680 + 3 = 0,2640699 — 1

= 142 PS

und hr = 0,1837 oder bei alten Röhren hr = 2 • 0,1837 = ~ 0,4 m. Es bleibt somit eine nutzbare Druckhöhe h — + — 7,5 — 0,4 — 7,1 m. Ist der Wirkungsgrad der Turbinenanlage 0,75, so werden 0,75 - 2 -1000 - 7,1

75

geleistet.

§ Hl-

Abänderung der Fossscheu Formel.

Die int folgenden Kapitel besprochenen Widerstünde oder Druckhöhenverluste sind alle auf die Geschwindigkeitshöhe bezogen. Aus diesen: Grunde soll die Formel von Foss noch umgeformt werden, damit ein Zusammenziehen der verschiedenen Widerstände leichter möglich ist.

Durch einfache Umformung ergießt sich aus 19)

2 ga -i v² ,

2g

läßt sich nach bett beiden folgenden

34) ... . hr

Der Koeffizieitt Cr

2 g a. -i

d»

= Cr L

Tabellen mit Hilfe der Logarithmen oder ohne dieselben bequem ermitteln. Hier ist jedoch hervorzuheben, daß Cr nur den dten Teil des in den früheren Formeln aufgeführten Cr beträgt.

2ga

Tabelle der Werte

cP

- und lg

2 ga

d*

Durchmesser d des Rohres in m

2ga

d*

ig?4a

d*

Durchmesser d des Rohres in m

83

Cf?

0,040

0,050

O,06o

0,070

0,080

1,087

0,8o8

0,633

0,516

0,432

0,0363616 0,9071486 — I 0,8015732 — i 0,7123109 — i 0,6349883 - i

0,090

0,100

0,125

0,150

0,175

0,369

0,320

0,238

0,187

0,152

0,5667849 — I 0,5057749 — I 0,3765616— I

0,2709865 — I 0,1817243 — I

Durchmesser d des Rohres in m

2ga

d³

ig

2ga

Durchmesser d des Rohres in m

2ga

d³

d³

0,200

0,225

0,250

0,275

0,300

0,325

0,350

o,375

0,400

0,425

0,127

0,108

0,094

0,083

0,074

0,067

0,060

0,055

0,050

0,047

0,I0440l6 - I

0,0361983 — I

0,9751883 — 2 0,9199980 — 2 0,8696132 — 2 0,8232637 — 2 0,7803509 — 2 0,7403999 — 2 0,7030283 — 2 0,6679231 — 2

0,500

0,550

0,600

0,650

0,700

0,750

0,800

0,900

0,037

0,033

0,029

0,026

0,024

0,022

0,020

0,017

0,5738149 — 2

0,5186247 — 2 0,4682399 — 2 0,4218904 — 2

0,3789776 — 2

0,3390265 — 2 0,3016549 — 2 0,2334516-2

0,450

0,475

0,043

0,040

0,6348249 — 2 0,6035168 — 2

1,000

1,100

1.200

0,015

0,013

0,012

0,1724416 — 2

0,1172513 — 2

0,0668667 — 2

Tabelle der Werte v ® und Ig v *.

Ge-

Ge-

schwindig-

feit

v""*

v in m

Igv *

schwindig-

feit

05h

ao'

05k

v in m

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

1,648

1,598

1,557

1,523

1,494

0,10

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

0,16

0,17

0,18

0,19

1,468

i,445

1,424

1,405

1,388

1,372

i,357

i,344

i,33i

i,3i9

0,2168383

0,2036414

0,1923503

0,1828183

0,1742929

0,1666667

0,1597679

0,1534698

0,1476761

0,1423118

o,i373i8i

0,1326467

0,1282585

0,1241212

0,1202077

0,30

0,32

0)34

0,36

0,38

0,40

0,42

o,44

0,46

0,48

0,50

0,52

0,54

0,56

0,58

1,222

1,209

1,197

1,186

i,i75

1,165

1,156

1,147

1,138

1,130

1,122

1,115

1,108

1,101

i,095

0,0871464

0,0824750

0,0780868

0,0739496

0,0700361

0,0663233

0,0627918

0,0594245

0,0562070

0,0531598

0,0501717

0,0473328

0,0446010

0,0419687

0,0394287

1,308 1,287 1,269 1,252 1,236

Meißner, Hydraulik. I. 2. Auflage.

0,20

0,22

0)24

0,26

0,28

0,1164950

0,1095962

0,1032981

0,0975044

0,0921403

0,60

0,65

0,70

o,75

0,80

1,089

1,075

1,061

1,049

1,038

25

0,0369748

0,0315144

0,0258170

0,0208231

0,0161517

Ge-

Ge-

schwindig-

feit

y~6

schwindig-

feit

V-*

lg v ⁶

v in m

v in m

0,85

0,90

o,95

1,00

1,10

1,027

1,018

1,009

1,000

0,984

1.20

1.30 1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

1,90

2,00

2,10

2.20

2.30

0,970

o,957

o,945

0,935

0,925

0,915

0,907

0,899

0,891

0,884

0,877

0,0117635 0,0076262 0,0037127 0,0000000 0,9931012 — i

0,9868031 — i 0,9810094 — i

0,9756453 - -

0,9706514 — i 0,9659800 — i 0,9615918 — i

0,9574546 — -0,9535411 - -

0,9498283 — i 0,9462968 — i

0,9429295 ~ i

0,9397120 — i

2,40

2,50

2,60

2,70

2,80

2,90

3,oo

3,io

3,20

3,30

3,40

3'5o

3,6o

3,70

3,8o

3,90

0,864

0,858

0,853

0,847

0,842

0,837

0,833

0,828

0,824

7x5 7x5 «5 7x>

0,804

0,801

o,797

0,9366315 — i

0,9336767 — i

0,9308378 — i 0,9281060 — i 0,9254737 — i

0,9229337 - i

0,9204831 — i 0,9181064 — i

0,9158083 - i 0,9135810— i 0,9114202 — i 0,9093220 — i 0,9072829 — i

0,9052997 — i 0,9033694 — i

0,9014892 — i 0,8996567 — i

Ist z. B. d — 0,550 und v — 0,60, so würden mir nach den obigen Tabellen erhalten:

£r= 0,033 -1,089 = 0,035937

oder genauer

£r = Num. lg (0,5186247 - 2 + 0,0369748) = = Num. lg (0,5555995 — 2) = 0,035942.

Neunzehntes Kapitel.

Druckhöhenverluste durch Richlungs- und Ouer-schniltsänderungen der Rohrleitungen.

§ 112.

Die Richtllngsänderungen.

Über beit Einfluß von Krümmungen in Röhren auf die durchfließende Wassermenge hat Dubuat ausgedehnte Versuche angestellt. Die Rohrleitungen hatten Durchmesser von 0,027 bis 0,54 m und besaßen Krümmungen von den verschiedensten Radien.

Bezeichnen wir den Koeffizienten, welcher das Verhältnis des Druck-hohenverlustes bei Rohrkrümmungen zur Geschwindigkeitshvhe angiebt, mit iki, so besteht die allgemeine Gleichung

V²

= Ckr ₉-----

2g

Auf Grundlage der eben erwähnten Versuche bestimmte Navier diesen Koeffizienten zu

36) . .

35)

hkr

. . £kr = (0,0039+ 0,0186 <))4-

Q

Hierin ist q (Fig. 198, Tafel 12) der Krümmungsradius und s die Bogenlänge.

Die Ursache des Gefällverlustes ist darin zu suchen, daß das Wasser (Fig. 198, Tafel 12) unterhalb der Krümmungsmitte den Querschnitt des Rohres nicht ganz ausfüllt und Wirbel bildet. Um durch den so verengten Querschnitt zu gelangen, muß das Wasser beschleunigt werden und hierzu ist die Druckhvhe hkr erforderlich.

Nachdem Weisbach die Dnbnatschen Versuche teilweise geprüft und ergänzt hatte, gelangte er zu einem andern Wert von + und zwar zu:

37) . .

[0,131 +1,848 (+]g.

25*

Hiernach ergiebt sich die folgende Tabelle.

Für— = 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 ist [ ] = 0,131 0,138 0,158 0,206 0,294 0,440 0,661 0,977 1,408 1,978

Hat der Krümmer rechteckigen Querschnitt von der Höhe d, so wird

38) .... £

,.=[0,124+3,io4 (A)!j

O! o

Für *

wird [}==    0,135 0,180 0,250 0,398 0,643

Bei dem doppelten Knie mit kurzem Zwischenstück (Fig. 208) ist nach Weisbach £kr nur so groß wie bei dem einzelnen, wenn beide Ablenkungen in derselben Ebene in gleichem Sinne, dagegen doppelt so groß, wenn sie in entgegengesetztem Sinne (Fig. 209) stattfinden und endlich ungefähr l¹^ mal so groß, wenn die Mittelebene beider Krümmer sich rechtwinklig schneiden.

Der Gefällverlust kann bedeutend herabgezogen werden, wenn der Krümmer (Fig. 224 Tafel 13) so viel erweitert wird, daß sich der Querschnitt des Wasserstromes nicht verengt. Dann geht nur soviel Kraft verloren, als zur Wirbelbildung erforderlich ist. Auch durch Einsetzung einer kurzen Zwischenwand (Fig. 225) läßt sich der Verlust vermindern.

Für Kniestücke, in welchen das Wasser plötzlich um einen Winkel ß (Fig. 199) von seiner Bewegungsrichtung abgelenkt wird, fand Weisbach:

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

CD

'4.'

'cC

Cn

-<1

"o

4-

Für ß = . 20°

wird C'kn = 0,046 0,139 0,364 0,740 0,984 1,260 1,861

40«

60°

80°

90«    100« 120«

o CO

Bei doppelten Knieen (Fig. 200 und 201) gilt ähnliches, wie oben bei doppelten Krümmern gesagt wurde.

Beispiele.

1. Welches ist der Gefällverlust des Wassers in einer Rohrkrümmung vom Ablenkungswinkel ß — 90°, wenn d == 0,40 m, (> — 1 m und v — 1 in ist?

Zu ß — 90« gehört bekanntlich ein Bogen 8 — q • ~. Das ist

in unserm Falle s = 1 • 1,571 — 1,571 m. nach 36):

Dadurch erhalten wir

1,571

£kr = (0,0039 + 0,0186-1)    -

0,03535

und nach 35):

hkr = 0,03535 -

0,0018 m ¹).

Einen ganz andern Wert liefert Formel 37). Nach der dabeistehenden Tabelle ist nämlich ss —0,138, weil — —

Q I

selben Wert hat auch t"kr wegen ß — 90°. Somit erhalten wir hkv = 0,138 J- = 0,138 • 0,051 = 0,0070 in.

2g

2. Wie groß wird der Druckhöhenverlust hkn bei einer plötzlichen Richtungsänderung um 40°, wenn die Wassergeschwindigkeit v = 2 m in 1" beträgt?

Nach der hinter Formel 39) stehenden Tabelle ist £kn — 0,139 zu nehmen. Dadurch ergiebt sich

02

hkn = 0,139 - -- — 0,139 - 0,204 = 0,028 in.

2g

0,20

0,2, und den-

§ 113.

Die Querschnittsänderungen.

Bedeutende Druckhöhenverluste werden durch plötzliche Qnerschuitts-änderungen verursacht. Dies tritt aber bei Erweiterungenä) nur ein, wenn dieselben in der Bewegungsrichtung so ausgedehnt sind, daß die Flüssigkeit Zeit hat den größer» Querschnitt auszufüllen. Es wird alsdann (Fig. 204)

40) .... h

_(v —Vj)²_

CT?

wenn v₁ die Geschwindigkeit im größern Querschnitt oder

l²

!) Die Geschwindigkeitshöhe —- finden wir durch Interpolation ans der Tabelle ^ g

auf S. 114. Sie ist nämlich H = 0,051.

²) Vergl. die von Bach besprochene Wirkung der Labyrinthdichtung. Zeitschr. b. V. b. Ing., 1891, S. 474.

41)

nach neuerer Theorie

42)

(t)!

— 1.

Wird dagegen der Querdurchschnitt kleiner (Fig. 202), so ist:

V

2g'

nach neuerer Theorie bei einer Verengung, wie Fig. 375 Tafel 34 zeigt. Eine Verengung nach Fig. 203 erzeugt einen Druckhöhenverlust

43) .

44) . .

wenn v die Geschwindigkeit in der Verengung ist.

Den Kontraktionskoeffizienten x entnimmt man ans der folgenden

Tabelle:

für f, :f= 1 0,9    0,8    0,7    0,6    0,5    0,4    0,3 j 0,2    0,1

1 0,892 0,813 0,755 0,712 0,681 0,659 0,643^0,632 0,624

Eine Erweiterung nach Fig. 204 verursacht einen Druckhöhenverlust:

²1 v²

i2g'

£

xt ist aus der obigen Tabelle zu entnehmen, wenn unter

+2

aufgesucht wird.

Strömt das Wasser bei Fig. 375 Tafel 34 von rechts nach links, also der oben vorausgesetzten Richtung entgegen, so ist nach Weisbach, wenn t) <10 f₂,

ist

45) . .

46) .

47) .

48) .

*i

-)

t;

!'

Bei einem eylindrischm Rohre (Fig. 206) ergeben sich die folgenden Widerstandskoeffizienten, wenn AE die Senkung des Schiebers, f, der verengte Querschnitt von der Öffnungsweite w und f der Querschnitt des Rohres ist.

AE : d = f, : f —- 0, 48 Ck= 0,07

8"

0,856 0,740

0,26

0,81

DO -

0,315 0,159

17,0

97,8

Wird die Querschnittverengung durch einen Hahn (Fig. 205) verursacht, so kann man folgende Koeffizienten benutzen.

Stellwiukel ß= 10°

s    0,

l C== 0

fi :f = 0,

20°

30°

40°

50°

60°

65°

66 f° 82J °

rechteckiger

50) | Rohrquerschnitt kreisförmiger I Rohrquerschnitt

0,687

1,84

0,692

0,520

6,15

0,535

0,352

0,188

20,7

95,3

0,385

1,56

5,47

17,3

0,250

52,6

0,137

0,091

206

486

8o||

Bei Verengung burd) eine Drosselklappe (Fig. 207) wird:

Stellwinkel 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° rechteckiger

51) - 1 Rohrquerschnitt £ = 0,45 1,34 3,54 9,27 24,9 77,4 368 kreisförmiger . Rohrquerschnitt ’C —

Für ein Kegel- oder Tellerventil (Fig. 210) gilt nach Grashof:

■ ' C = (l.M7|—i)’,

wenn f, der engste Querschnitt ist. Nach Bach dagegen ist zu machen bei einem Ventil (Fig. 231)

53) . . £ = « + /?(« = 0,55 + 4

^ bis nnb Hubhöhen hv = ^ bis

schmaler Dichtungsfläche bis 0,16 bei breiter Dichtungsfläche.

bis 4-4

52) . .

b ==

0,52

1,54

3,91

10,8

32,6

118

751

Ventil (Fig. 213). Bei hv =

nd IGO

b - 0,1 «1

^---, bei Sitzbreiten

, ß — 0,lb bei

54) . + = « + /?

d²

-y

a um 0,8 bis 1,6 größer als

{n d — i s) h

im vorigen Fall entsprechend einer Verengung von 13 bis 20 °/0 durch die i - Führungsrippen von der Breite s am Umfang. ß = 1,7 bis 1,75.

Über neuere Versuche schreibt Lang in der Zeitschr. 6. V. b. Ing., 1891.

“+|J ©+•©' “

Kegelventil (Fig. 215) aber bei der seitlichen Eindrehung horizontal abgeschnitten.

55) . .

= 2,6, ß= — 0,8, £ -----0,14

bei hv —

HS T'

Kegelventil (Fig. 215).

Gleichung 53) mit a — 0,6, ß = 0,15 bei hv — 0,125 bis 0,25 d. Ventil mit kugelförmiger Unterlage (Fig. 216).

Gleichung 55) mit a = 2,7, ß = — 0,8, e = 0,14 bei hv — 0,1 bis 0,25 d.

Für das Ventil Fig. 214 ist ’C etwas kleiner als bei Fig. 212. Klappenventil (Fig. 211).

Für ß = 15° 20° 25°

ist

'l ;

90

62

42

30°    35°    40°    45°    50°    60°

30    20    14    9,5    6,6    3,2

70°

1,7

Über den Drnckhöhenverlnst bei einem 24" Absperrventil hat Kuichling Versuche angestellt und dieselben in den Transactions of the American Society of Civil Engineers 1892, 526 beschrieben. Siehe auch Journal f. Gasb. Wasservers. 1894. S. 128.

Zwanzigstes Kapitel.

Beispiele.

§ 114.

Berechnung eines Katzensprunges.

Einem oberschlächtigen Wasserrade a (Frg. 217 Tafel 13) soll das Wasser durch einen sogenannten Katzensprung zugeführt werden, weil lokale Verhältnisse die gerade Zuleitung des Wassers in einem Kanäle verhindern. Es ist die gesamte Widerstandshöhe h zu berechnen, und zwar nach folgenden Daten: Die Durchflußmenge ist Q = 0,12 cbm, die Krümmungsradien i\ = r = q = 0,30 m.

Beim Eintritt in die Rohrleitung geht, wie wir früher gesehen haben,

v-

=r gr

eine Druckhöhe he

2 o, verloren. Wir können nun 'Ce — 0,4 setzen,

da die Rohrleitung lang ist. Wäre das letztere nicht der Fall, so müßten wir 0,5 nehmen. Ist das Rohrende aber nach der natürlichen Form des eintretenden Strahles gestaltet, so wird u,, = 0,1.

Um die auftretenden Widerstände ins rechte Licht zu stellen, wurde bei der Aufgabe der kleine Rohrdurchmesser d = 0,3 m gewählt. Dieser

0,12

erfordert eine Geschwindigkeit v— ^

1,698 m und eine

4

Geschwindigkeitshöhe H — ' — 0,147 m. Der Eintritt verursacht da-

& g

nach einen Druckhöhenverlust he = 0,4 • 0,147. Da die Krümmer einen Radius () — 0,30 m haben, so beträgt die Länge der graben Rohrleitung 2.6 + 35 —4-0,30 = 45,8m. Nach der ersten Tabelle des § 111

ist nun noch

2 ga

0,074 und nach der zweiten — = 0,915, somit

v*

bei einer alten Leitung Cr = 2 • 0,074 • 0,915 = 0,135 und hr = 0,135-0,147 - 45,8 — 6,183 - 0,147. Für die Krümmer erhalten wir unter Benutzung von Formel 37) und der dazu gehörigen Tabelle hkr = 2 Ckr H = 2 • 0,294 • 0,147 = 0,588 • 0,147.

Die erforderliche Wassermenge Q — 0,12 cbm wird durch die Rohrleitung befördert werden, wenn nach den obigen Ermittelungen die Niveaudifferenz li die folgende Größe hat

h = H + he + hr + hkr = (l+Ce + CrL + 2Ckr)H =

= (1 + 0,4 + 6,183 + 0,588) 0,147 = 1,201 m.

§ 115.

Berechnung einer Wasserleitung zu einer Turbine.

Einer Turbine soll nach Anordnung der Fig. 218 1,4 cbm Wasser in 1" zugeführt werden. Das gesamte Gefälle beträgt 15 m.

Welche Dimensionen erhält die Rohrleitung, wenn dieselbe möglichst billig ausfallen soll und welches ist der Gefällverlust, wenn die ganze Länge der Rohrleitung 240 m beträgt?

Gehen wir mit der Wassergeschwindigkeit bis zur äußersten Grenze v = 2,2 m in 1", so muß der Durchmesser d = 0,90 m gemacht werden. Würde die Rechnung einen nur etwas größer» oder kleinern Durchmesser ergeben, so wird doch d = 0,90 gemacht werden, um nicht zuviel Verschnitt bei den Blechtafeln zu erhalten.

Durch die trichterförmige Erweiterung des Einlaufstückes wird C° bis auf 0,2 herabgezogen werden.

Die Krümmer fassen wir zusammen als 3 von je 90°, wobei der letzte

r

Doppelkrümmer nur als einfacher gerechnet ist, und setzen voraus — — 0,5,

Q

dann ist zu gebrauchen Ckr = 0,294, und es wird hkr — 3 - 0,294. H. Aus der Tabelle auf S. 114 finden wir H = 0,247. Nach § 111 ist

2ga

v*

0,017, -i- — 0,877 und demnach Cr = 0,017 • 0,877 = 0,015.

Um das Wasser mit der Geschwindigkeit v = 2,2 der Turbine zuzuführen, brauchen wir eine Gesamthöhe

(1 + Ce + Cr L + 3 Ckr) H = (l + 0,2 +0,015 -240 + 3.0,294) 0247 =

= 1,403.

Es bleibt somit noch eine Druckhöhe 15 — 1,403 = 13,597 m.

Anschauliche Darstellung der Druckverhältnisse in einer Rohrleitung rc.

395

§ 116.

Anschauliche Darstellung der Druckverhältuisse in einer Rohrleitung mit freiem Ausfluß.

Aus einem Reservoir A (Fjg. 219) fließt das Wasser durch eine lange Rohrleitung aus. Die im Innern der Leitung herrschenden Druckverhältnisse kann man dadurch dem Auge erkenntlich machen, daß an verschiedenen Stellen vertikale Zweigröhren angebracht werden, in welchem das Wasser bem an diesen Stellen vorhandenen Drucke entsprechend ansteigt. Durch den Eintritt in die Leitung geht die uns schon bekannte Druckhöhe h₀ verloren, welche sich im Rohre t durch das Sinken des Flüssigkeitsspiegels um z bemerkbar macht. Wäre das Hauptrohr bei i geschlossen, so würde in allen Röhren das Wasser gleich hoch stehen. In dem Augenblicke, >vo es aber geöffnet wird, sinken die Niveaus um ganz verschiedene Höhen herab. Im Rohre c z. B. so weit, als die Höhe h, der Wassersäule beträgt, welche erforderlich ist, um den Widerstand beim Eintritt beim Durchfließen des Krümmers und der Rohrleitung bis zu c hin zu überwinden. Da die Entfernungen der einzelnen Standrohre c, d, e, f gleich sind, so wird das Wasser in denselben um gleiche Stücke hä — h, = h₃ — li₂ — ht — h₃ sinken.

II--(1 “I⁻ Ce 's" Ckr “I⁻ t"r L) “

v_____________ V2 g I>....................

1 Ce ~\~ Ckr -|- Cr £

Wie groß wird bei den in Fig. 219 eingeschriebenen Dimensionen die Ausslußgeschwindigkeit bei i sein? Aus der schon mehrfach benutzten Formel    ₂

folgt 56)

In besonderen Fällen, wenn z. B. Schieber oder Hähne noch eingeschaltet sind, wird der Ausdruck im Nenner noch größer. Wir könnten altgentein schreiben

j/2 g h

V ~ K l +^TTr L

oder

___ YSgh

j/l+^+C'r^.

falls wir zur Bestimmung der Reibungshöhe Formel 6) von S. 357 statt 34) benutzen.

Die obigen Gleichungeit lassen sich unmittelbar nur lösen, wenn c*r von der Geschwindigkeit unabhängig wäre. Diese Annahme wird aber ttttr von wenigen Experimentatoren gemacht, >vie die früheren Erörterungen

zeigten. Somit müssen wir eine beliebige Geschwindigkeit annehmen, dazu das £r bestimmen und nach 56) v ausrechnen. Dieses Verfahren ist so oft zu wiederholen, bis das angenommene und berechnete v einander gleich sind.

Zu h=10m (Fig. 219) gehört auch S. 120 )/2gh = 14,006. Es sei £e = 0,4,

2ga

= 0,6, ß = 90°, somit tkr = 0,440. Bei d = 0,5 0,037 und Cr = 0,037 • \. Durch Einsetzung

ist nach S. 385

14,006

all dieser Werte in Formel 56) ergießt sich: 14,006

/l-j-O,4Z-0,440 + 0,037 - 510 •    V 1,84 -j- 18,87 v~*

Es kverde zuerst v₁ = 3,00 angenommen. Dadurch erhalten wir für die rechte Seite unserer Gleichung

14,006 : j/1,84 -f-18,87 • 0,833 = 3,34, also einen Unterschied von yx = + 0,34 gegen die linke.

Für die Annahme v₂ = 2,00 ergießt sich

y₂ = (14,006 : \ 1,81 + 18,87 • 0,891) — 2,00 = 3,24—2,00 = + 1,24.

Tragen wir jetzt die zusammengehörigen Werte v, y, , v₂ y₂ in ein rechtwinkliges Koordinatensystem ein und verbinden die beiden dadurch bestimmten Punkte durch eine grade Linie, so sehen wir, daß diese die v-Achse ungefähr im Punkte v₃ = 3,4 schneidet. Bei Annahme dieses Wertes erhalten wir

y₃ = (14,006 : j/I)84 + 18,87 • 0,815) — 3,4 = 3,37 — 3,4 == — 0,03 womit wir uns begnügen können. Es würde also v — 3,4 sein. Ein weiter fortgesetztes Probieren hätte v — 3,368 ergeben. Dieser Geschwindigkeit entspricht nach S. 114 eine Druckhöhe H = 0,58, es ist somit zur Beförderung des Wassers eine Höhe von 10 — 0,58 = 9,42 m gebraucht worden. Die in Fig. 219 eingezeichnete Niveaulinie p q muß also noch mehr abfallen.

Haben wir es mit einer alten gußeisernen Rohrleitung zu thun, so muß Cr doppelt so groß in Formel 56) eingesetzt werden.

Einundzwanzigstes Kapitel.

Wirkungen in Röhren sich bewegender Wassermassen.

8 117.

Die saugende Wirkung.

Wie wir im § 30 gesehen haben, kann die Pressung in einem Rohre sogar negativ werden. Bei genaueren Berechnungen müssen natürlich alle einzelnen Widerstände in Betracht gezogen werden. An einer beliebigen Stelle der Rohrleitung wird die Pressungshöhe betragen h —(l-K + £rL) H,

wenn £ die Summe derjenigen Koeffizienten bezeichnet, welche sich auf die durch Krümmungen, Knie, Ventile, Hähne oder ähnliche Vorrichtungen verursachten Verluste bezieht.

Wie aus dem obigen Ausdrucke ersichtlich ist, kann (1 -f- c -f ifi Lj H h oder die Pressung negativ werden.

Fließt z. B. aus dem Reservoir A (Fig. 221) das Wasser durch eine offene Rohrleitung B ab, in welcher man sich vorerst die Verengung f, wegdenkt, so fließt (bei Vernachlässigung anderer Widerstände) das Wasser am Ende der Leitung mit der Geschwindigkeit v — j/2 g h aus. Bringt man aber die Verengung f, an und schneidet dort das Rohr ab, so würde das Wasser mit der Geschwindigkeit vt — j/2 g h, ausfließen. Die Fortsetzung des Rohres bildet aber ein Ansatzrohr und dieses ändert gänzlich die Verhältnisse.

Das Wasser wird das Bestreben haben, nach dem Durchgänge durch mit der Geschwindigkeit \\ weiter zu fließen oder sogar noch mit größerer Geschwindigkeit, der zunehmenden Fallhöhe und der Querschnittserweiterung wegen. Soll dieselbe Flüssigkeitsmenge durch fx und f fließen,

CM itH

wird daher vx = 2 v.

fi

so ist t) vx — f v. Bei dem Verhältnis J

einer Wassersäulenhöhe

In dem verengten Querschnitte wird eine negative Pressung herrschen von (Vi—v)²

, welche aus einem Rohre C Wasser

aufsaugen kann. Die Sangvorrichtung wird so eingerichtet, daß Q, h2 ungefähr die Größe 0,3 bis 0,6 Q h hat.

Eine praktisch brauchbarere Anordnung stellt Fig. 220 dar. Es ist nur darauf zu achten, daß die Querschnitte f und f) nicht zu plötzlich ineinander übergehn.

Welches Wasserquantutn kann mit einer solchen Vorrichtung auf eine Höhe von 2 m gehoben werden, wenn das verfügbare Gefälle 5 m und die zugehörige Wassermenge 0,400 cbm betrügt. Nimmt man den Wirkungsgrad zu r> = 0,30 an, so ergiebt sich

Q, h₂ = 0,30 Q h = 0,30.0,400.5 = 0,6,

CO

0,6

sich der Querschnitt so viel erweitern, daß die saugende und angesaugte Flüssigkeit durchströmen kann oder er muß betragen:

— 0,30 cbm in 1". Hinter der Ansaugstelle muß

0,40

0,30

/2g-5 ' |/2g- 2 Das Saugrohr darf nicht mit seinem großen Querschnitte in f\ einmünden. Das Wasser Q, muß vielmehr mit einer Geschwindigkeit eingeführt werden, welche der Geschwindigkeit des dort durchfließenden Wassers entspricht, d. h. mit | V2 g Ir = ^ j/2 g 5 — 13,8 m. Es muß sich folglich das Saugrohr C nach der Eintrittsstelle hin konisch verengen,

so daß die Eintrittöffnung den Querschnitt

— 0,052 qm.

0,021 qm hat.

Q 0,30

13,8

13,8

Damit aber der Querschnitt si nicht zu sehr verengt werde, ist es erforderlich, daß er nach stattgehabter Ansaugung wie beim Giffardschen Dampfinjektor erweitert werden kann.

Die lebendige Kraft ausfließender Wasserstrahlen läßt sich ebenfalls zum Ansaugen von Wasser aus Baugruben, Kellern u. s. tu. verwenden.

Läßt man nach Fig. 222, 223 einen unter hohem Drucke ausfließenden Wasserstrahl (z. B. aus einer städtischen Wasserleitung) aus der Düse a austreten, an welche sich konzentrisch das sich kegelförmig erweiternde Rohr c anschließt, so sprüht das aus der Düse tretende Wasser in c hinein und strebt dasselbe auszufüllen und die ganze konische Wassersäule im Rohre c vorwärts zu schieben.

Dadurch entsteht aber hinter der Düse a tut Raume g eine Luft-

Verdünnung, infolge welcher das Wasser durch das Sangrohr angesaugt wird. Das angesaugte Wasser tritt durch das sich konisch verengende Rohrstück g rings um die Düse a herum in das Rohr c hinein und erleichtert das Saugen, indem es eine bessere Ausfüllung von c bewirkt.

Ein solcher Sangapparat hebt sehr kräftig Wasser, so lange die Ausflußgeschwindigkeit v des aus der Düse austretenden Wassers großer ist, als die Geschwindigkeit v₂ „ welche der Saughöhe h als Druckhöhe entsprechen würde.

Ist der Wert v wesentlich größer als v₂, so darf der ringförmige Raum um die Düse herum weiter sein, im andern Falle muß er sehr eng sein, daniit nur wenig Wasser aus g nach c übertreten kann, indem sonst ein Ansaugen gar nicht stattfinden würde. Es wird, genau genommen,

sein müssen,

Y *

2g

2g

das Produkt Q ₀ - mindestens nur so viel größer, als Q,₂

als Arbeit bei der Überwindung der Bewegungswiderstände verbraucht ivird. Ist der Wirkungsgrad wieder 30°/₀, so besteht die Bedingung

I bJD

2g

qj"=3q₂ y

Dabei ist noch vorausgesetzt, daß das konische Rohr c lang und vorn weit genug ist, damit die lebendige Kraft des ausfließenden Wassers möglichst vollständig ausgenutzt werde, bezw. die Ansflußgeschwindigkeit am Ende des Rohres möglichst klein sei.

Wenn der Apparat wirken soll, müssen die Querschnitte der beiden konzentrischen Ausflußdüsen reguliert werden können, da sich ihre Dimensionen durch Rechnung doch nicht genau bestimmen lassen.

Es kann auch mit einem kleinern Gefälle Wasser auf eine Höhe angesaugt werden, welche größer als das dazu benutzte Gefälle ist, sobald die Dimensionen der Düsen richtig gewählt werden und so lange die Saughöhe praktisch kleiner als 7 bis 8 in ist.

Daß aber um so weniger Wasser angesaugt wird, je größer die Saughöhe im Verhältnis zur Druckhöhe ist und daß auch (ähnlich wie beim hydraulischen Widder) das Güteverhältnis des Apparates in demselben Maße kleiner wird, ist selbstverständlich.

Urn in diesem letztern Falle Wasser ansaugen zu können, muß der Apparat aber die Einrichtung haben, welche Fig. 222" darstellt. Das aus der Düse austretende Drnckwasser kann nämlich dem zu fördernden Wasser keine größere Geschwindigkeit erteilen, als dem Nutzgefälle entspricht. Diese Geschwindigkeit genügt nun aber nicht, um das Wasser ans die größere Saughöhe zu fördern.

Aus diesem Grunde muß eine zweite Düse s r eingeschaltet werden, deren Querschnitt s so zu wählen ist, daß die oben geförderte Wassermenge die Düse mit einer um so viel größern Geschwindigkeit durchfließen muß, als zur Überwindung der Förderhöhe nötig ist.

Meißner verwendete den Apparat Fig. 223 am Ende der siebziger Jahre, um die unter Wasser stehenden Keller des Hotel Stadthof in Luzern . zu entleeren. Die Düse a wurde durch einen Hydrantenschlauch aus der städtischen Hochdruckwasserleitung gespeist und hatte eine lichte Weite von 18 mm bei 1 mm Wandstärke. Die lichte Weite der äußern konzentrischen Düse betrug 37 mm.

Folgendes sind die Ergebnisse der angestellten Versuche: Um die Geschwindigkeit des aus der Düse ausfließeuden Wassers zu bestimmen, wurde die vertikale Steighöhe und die größte Wurfweite des Wasserstrahles gemessen, weil jede andere Methode ohne weitläufige Vorrichtungen sich als praktisch unbrauchbar erwies.

Die gemessene Wurfweite bei a = 45° Neigung gegen die Horizontale war 28 m. Rechnet man die theoretische Wurfweite um ’/₄ größer, d. h. — 35 m, so ergiebt sich durch Umformung der Gleichung 4) S. 108:

35 • 9,8088    ...

-Ar«,--=>-³⁴³=¹⁸-3m

als Geschwindigkeit bei freiem Austritt aus der Düse a (wenn kein Wasser angesaugt wird).

Die gemessene vertikale Steighöhe des frei ausfließenden Strahles war 70' und die theoretische Steighöhe um ⁴/₃ größer gerechnet, ergiebt 93' — 28 m. Dies entspricht einer effektiven Ausflußgeschwindigkeit von

v = K2 g~28 = 23,437 m.

Nimmt man nun eine Verminderung der Geschwindigkeit um ⁴/g beim Ansaugen au, so ergiebt sich für den arbeitenden Apparat v zu 20,5 m.

Nun ist der Querschnitt der Düse 18² ~ — 254 qmm, der Konvergenzwinkel der Düse 5°, der Ausflnßkoeffizient somit a — 0,9, daher die Ausflußmenge

Q =r 0,9 • 2050 - 2,54 = 4786 cbm = ~ 4,8 1.

Der saugende Apparat ergab 150 1 in 16" oder 9x/₃ 1 in 1", so daß die Hälfte aus der Düse und die Hälfte aus dem Keller gefördert wurde.

Die Saughöhe war m.

§ US.

Theorie des Saughebers.

Beim Saugheber unterscheiden wir ein Steigrohr (von A sFig. 84] bis zum ersten Knie), ein Lagerrohr (ein noch etwas ansteigendes Rohrstück zwischen beiden Knieen) und ein Fallrohr (von dem letzten und höchst gelegenen Knie oder Heberscheitel bis zur Ausflußöffnung D). Wie schon im § 23 gesagt wurde, wird die Bewegung der Flüssigkeit im Heber durch die Druckhöhe CD oder durch die Niveaudifferenz h, wenn die Ausflußöffnung D eintaucht, verursacht. Wir wollen das letztere annehmen oder CD mit h bezeichnet denken. Ferner möge bedeuten h₀ die Druckhöhe an der obersten Stelle des Hebers oder am Scheitel, hs den Druckhöhenverlust im Steig- und Lagerrohr, hf dieselbe Größe für das Fallrohr, Ls und Lf die entsprechenden Rohrlängen, va die Ausfluß-geschwindigkeit, v die Geschwindigkeit irrt Heberrohr, f den Rohrquerschnitt, fa die Fläche der Austrittsöffnung, hat die dem Atmosphärendruck entsprechende Wassersäulenhöhe. Diese bewirkt das Aufsteigen der Flüssigkeit bis zum Scheitel. Sie muß einerseits die Geschwindigkeit v und einen

y 2

Druck im Scheitel hervorrufen und dadurch den Druckhöhenverlust

und h₀ erleiden, andererseits die Druckhöhe hx und die Summe der Widerstandshöhen hs überwinden. Hiernach besteht die Bedingung

1) - .

•    • hat-

oder

(i2g k°)    ^1 + hB)

2) . .

sr

da h„ ]> 0 ist.

Für die Bewegung im Fallrohr wirken die Größen der ersten Klammer in 1) treibend mit der Fallhöhe h ~f- hx zusammen. Dieser Gesamtdruck

muß die Ausflußgeschwindigkeit va oder die Druckhöhe

die Summe der Widerstandshöhen hf und den Atmosphärendruck hat überwinden. Somit erhalten wir eine zweite Gleichung

= ^! + hf+hat.

- - . hat>^ + h₁+h

va²

erzeugen und

3) .

2g

• ' (^ + l\>+(k+V)

Durch Addition von 1) und 3) finden wir

4)

......h=ii*+¹-+¹'

oder in Worten, die durch die Lage der Heberenden oder der beiden Flüssigkeitsspiegel erzeugte Druckhvhe h mnß so groß sein, daß sie die Ausflnßgeschwindigkeit v^ erzeugen und die Summe allerWiderstände im ganzen Heber überwinden kann.

5)

und

6)

Aus 4) folgt:

h>hs + hf

va = )/2g(h — hs — hf).

Die beiden Bedingungen 2) und 5) müssen bei der Konstruktion eines Hebers erfüllt werden, sie genügen aber auch, denn es lassen sich die noch sonst aufgeführten daraus ableiten. Multiplizieren wir z. B. in 2) das erste und letzte Glied der rechten Seite mit h und dividieren durch

Va²

den nach 4) ihm gleichen Wert

2g

-j- lis + hr, so erhalten wir:

7)

hat>h₁ + h-2g Va

y²

L + h

2g + h» + hr

oder es muß für hat h, -f b die Bedingung

8)

crq

DO <J Cfq

erfüllt sein. Berücksichtigt man noch, daß bei stetigem Durchfluß

9)

f v = fa va sein muß, so kann man für 8) schreiben:

10)

,    . Va² fa² - f²

h(>2-g-

f²

Ist nun hf verhältnismäßig klein, so macht man am besten fa <( f, wodurch die rechte Seite der Gleichung 10) negativ wird.

Die in den obigen Formeln vorkommenden Werte ks und hf lassen sich nach den vorangehenden Paragraphen leicht bestimmen.

Mathematisch genau genommen sind die beiden Größen hat in 1) und 3) verschieden. Dies kommt aber nur in Betracht, wenn sich über dem Ober- und Unterwasser zwei ihrem spezifischen Gewichte nach sehr verschiedene Gase befinden. Taucht z. B. die Ausflußöffnung in einen tiefen Brunnen ein, der viel Kohlensäure oder andere schwere Gase enthält und bezeichnen wir den entsprechenden Druck mit hk, so ergeben sich die Bedingungen:

•    bat>i5+hl + h8'

•    h ha hf -J- hk — hat.

2)

5)

§ 119.

Doppelt wirkender Sangwidder.

Zum Fördern des Wassers auf größere Höhen ist der Stoßwidder sehr gut geeignet, weniger aber, wo es sich darum handelt, Wasser aus geringen Tiefen (bis zu 7 m) heraufzusaugen. Hierzu paßt der Sangwidder besser. (Sin solcher mit doppelter Wirkung, wie er vom Ingenieur Leblanc konstruiert wurde, ist in den Figuren 376 und 377 auf Tafel 34 im Bertikalschnitt und Grundriß wiedergegeben.

A ist das Reservoir für das Speisewasser, das in den Kanal B abfließt. Der obere Teil des Rohres c ist durch ein horizontales Seitenrohr f mit dem Windkessel m verbunden, in welchen gleichzeitig das Rohr n einmündet und das aus der Grube gesaugte Wasser einführt. Aus dem Reservoir A fließt nun bei geöffnetein Sperrventile P das Wasser durch das Rohr c in den Ablaufkanal und zwar so lange, bis eine be-stinlmte Geschwindigkeit erreicht ist. Alsdann schließt sich das Ventil P und das weiterströmende Wasser saugt aus dein Windkessel m und dieser ans der Grube durch das Rohr n Wasser nach. Ist dadurch die lebendige Kraft erschöpft, so müßte (weil die Rohre c und n zusammen einen Heber bilden) das Wasser in c ansteigen und in n sinken. Dies wird aber durch ein im Verbindiingsrohre f angebrachtes Ventil g fast ganz verhindert. Die geringe rückwärts gehende Bewegung genügt, um P zu öffnen, wenn g sich schließt, und sonnt einen neuen Hub zu ermöglichen.

Um die Wirkung des Saugwidders regelmäßiger zu gestalten, sind, wie aus dem Grundriß ersichtlich ist, P, c, f und g doppelt vorhanden. Die beiden Ventile P sitzen nun neben einander an einem Balancier r so, daß sich das eine schließt, wenn sich das andere öffnet.

lichte Weite. Die Länge der Leitungs-

ININ

Bei der hier betrachteten Konstruktion liegt der Sitz des Sperrventils P um 0,50 m unter dem Wasserspiegel des Aufschlagwassers und es haben sämtliche Rohre 200 röhren c ist nur 3,25 in, das Gefälle 1,700 m und die Förderhöhe 2,250 in. Der größte Durchmesser der Sperrventile ist 0,350 m. Dasselbe besteht aus Lederscheiben, welche durch Bolzen zusammengepreßt sind.

Bei horizontaler Stellung des Balanciers stehn die Ventile P um 50 mm von ihren Sitzen ab. Das Säugventil g besteht aus einer einfachen Lederklappe.

Die Differenz in der Höhe der beiden Unterwasserspiegel soll nicht kleiner als 1 m sein.

Über die Leistung wird angegeben, daß der Saugwidder sechs hölzerne Pumpen ersetzt habe, von welchen jede zwölf Arbeiter zur Bedienung erforderte. Diese waren zur Ausübung einer ununterbrochenen 24stündigen Arbeit in drei Rotten zu je vier Mann (für jede Pumpe) eingeteilt.

Der Preis des Apparates stellte sich auf 800 Francs.

§ 120.

Stoßwirknilg bei plötzlicher Bewegungshemmung.

Obwohl der Druck des durch Röhren fließenden Wassers auf die Wandungen meistens nicht beträchtlich ist, so steigt er doch ungeheuer an, wenn mit einemmal das Wasser durch eine Absperrvorrichtung gehemmt wird. Leider gestattet es der Raum nicht, dem General MenabreaZ in seinen theoretischen Erörterungen zu folgen. Es möge daher die Aufführung seiner Formel

hp =

genügen. In dieser bezeichnet hp die durch eine Wassersäule gemessene

Pressungshöhe, H = ™ die Geschwindigkeitshöhe, y das spezifische Gewicht

für Schmiedeeisen = Wtt)- Setzen wir für Gußeisen

TT TT r

des Wassers, E den Elastizitätsmodul des Rohrmaterials, ca den Koeffizienten der Zusammendrückbarkeit des Wassers, i die der Elastizitätsgrenze entsprechende Verlängerung der Einheit des Umfanges (für Gußeisen —

E= 12 00000090©^ und dem E entsprechend ca = 214600000 kg, so erhalten wir

h _    2800 H

P~ 1 + J/1 +18,50 h‘

Hieraus ergießt sich

J) Nazzani et. a. O.

für v —

hP =

In neuerer Zeit sind über diesen Gegenstand weitgehende Unter-. suchungen von Carpenter ') angestellt, deren Ergebnisse auf unser Maßsystem umgerechnet in Fig. 378 Tafel 34 graphisch dargestellt sind²). Fig. 294 Tafel 25 zeigt den verwendeten Apparat. Das Wasser tritt von links in ein Rohr von 2" lichter Weite durch ein Ventil A ein, was dazu dient, die Pressung des Wassers auf seiner rechten Seite von 30 bis 5 Pfund engl, auf einen Quadratzoll herabzumindern. B stellt einen Windkessel dar von 655 cbcm Inhalt, der durch einen solchen von 5244 cbcm ersetzt oder durch Drehung nach unten in einen Wasserbehälter verwandelt werden konnte. C ist ein Indikator, D das zur plötzlichen Absperrung dienende Ventil und E eine zur Geschwindigkeitsmessung dienende Röhre.

Besonders bemerkenswert ist, daß nicht der erste, sondern der zweite Stoß die Maximalgröße hatte, wie auch das eine Diagramm Fig. 296 erkennen läßt. Diese Maximalpressungen, die zu verschiedenen Geschwindigkeiten gehören, sind in Fig. 378 zusammengetragen. Wir ersehen aus derselben, daß die Pressungen nur wenig von denjenigen abweichen, welche sich aus Menabreas Formel ergeben.

iO

CO

05

I—L CO

g o

CO CO ^ bi

05

8 3

CO co

‘Aöo

CO CO

Ol

gj o

~ 00 O. Ci iO iO

10,00

1323

§ 121.

Theorie des hydraulischen Widders.

Für die Bewegungsvorgänge im hydraulischen Widder und für seinen Wirkllngsgrad lassen sich die verschiedensten Formeln aufstellen, je nachdem man durch Vernachlässigungen für die Praxis genügende Werte ableiten will. Sie haben aber alle nur höchst zweifelhafte Bedeutung, da sie zu sehr von bis jetzt nur ungenau bestimmten Konstanten abhängen. Ich lasse daher auch die von Meißner in der ersten Auslage nach Weisbach gegebene Theorie fort und verweise aus das vortreffliche Buch „Die Pumpen" von K. Hartmann und auf „Eau sous pression“ von Bloch.

Bezeichnet man die Höhe des Wasserspiegels im Zuflußbehälter A

J) The Engineering Record, Building Record and the Sanitary Engineer 1894, p. 173. Some experiments on the effecfc of water hammer (A paper by Prof. R. C. Carpenter, of Ithaca N. Y. presented at the New York meeting of the American Society of Mechanical Engineers).

²) Die Fig. 295 ist durch ein Versehen des Zeichners falsch geworden und daher durch Fig. 378 zu ersetzen.

über dem Sperrventil D *) (Fig. 82 Tafel 5) mit H, den Druckhöhenverlust in der Zuflußleitung mit Hr, die Förderhöhe über 1) mit h und den entsprechenden Druckhöhenverlust in der Steigleitung mit hr, so ist nach Hartmann der Wirkungsgrad

1)

H —Hr h —H ⁷‘ li — H — hr ’ H

Verursacht das Sperrventil einen Verlust hk und ist die zuströmende Flüssigkeitsmenge Q-cbm, die gehobene q-cbm, also die durch das Ventil abfließende angenähert (Q — q) cbm, so hat die eingeleitete Arbeit die Größe: 1000 Q (H — Hr), die gewonnene die Größe: 1000 q (bst- bst und die verloren gegangene: 1000 (Q — q) hk oder es besteht die Beziehung ²)

1000 Q (H — Hst = 1000 q(h + bst st- 1000 (Q — q) bv. Hieraus folgt

qb _H — Hr — hk h

• ^“QH-h + hr-hk ‘IT

_ q • h_ 3 H — 4 Hr h

' Q.H — 4(h-|-hr) — H‘ H'

wettn hk = angenommen wird.

Die ausgedehntesten Versuche mit hydraulischen Widdern hat Eytel-wein angestellt und daraufhin die empirische Formel

ro

er

3) . .

4)

I/E

-H

= 1,12 — 0,2

gegeben. Aus dieser berechnet sich h

fut H--

der Wert rj =

Unter Berücksichtigung dieser Wirkungsgrade erhält man: — H

1    2    3    4    5    6    8    10 12 15

0,92 0,84 0,77 0,72 0,67 0,63 0,56 0,49 0,43 0,35

20

0,23

,.. h

f»t -H

den Wert

DO

CO

CT»

GO

CD

r—I

do

ist

00

20

DO

ist

co

"Ox

ist

"CH

CD

'qx

DO

ist

i—*■

CH

DO

"ox

do

Ist

do

cc

Cn

<1

90

Nrcht über C wie in der Figur irrtümlich angegeben.

²) The Principles of Waterworks Engineering by Tudsbery Turner and Brightmore, 1893.

Für die Konstruktion giebt er die Regeln, daß der Durchmesser D der Zuflußleitung — 0,3 /60 Q, ihre Länge L = h — H -f- 0,3 —

H '

der Durchmesser d der Steigleitung — 4 D und der freie Querschnitt des Sperrventils etwas größer oder gleich dem der Znflußleitung sein soll.

Am vorteilhaftesten arbeitete von Eytelweins Apparaten derjenige mit den folgenden Abmessungen

Querschnitt des Sperrventils.

13,33 m,

0,059 „

0,027 „

0,0088 cbm,

0,0024 qm.

Bezeichnet man die ganze Dauer eines Hubes mit 1, so ist die Zeit, während welcher das Sperrventil ganz offen bleibt, —0,57, und die Zeit, während dasselbe ganz geschlossen bleibt, —0,23. Der Rest von 0,20 wird für das Öffnen und Schließen verwendet.

Nach Hartmanu geben Möller und Blum in Berlin den Leitungen folgende Abmessungen:

Wassermenge in I, welche in Rohrdurchmesser in mm

der Minute betn Zufluß- ------------------

behälter entnommen wird Znflußleitung Steigleitung

4-8

20

IO

0\tn W tO lu O tO ln

M oo O in

7-15 12—25 25-50 5o— ioo

Die Länge der Zuflußleitung soll dabei 5 bis 15 m betragen, die der Steigleitung ist beliebig. Als Wirkungsgrad nehmen sie wie Garvens in Hannover 0,7 an.

E. Bewegung des Wassers in Flüssen und Kanälen.

Zweiundzwanzigstes Kapitel.

Bestimmung der mittleren Geschwindigkeit durch Rechnung aus dem Gefälle und den Dimenfionen

des Bettes.

§ 122.

Das Fließen in Kanälen nnd Flüssen.

Die Bewegung des Wassers in einem Flusse oder Kanäle müßte eine gleichförmig beschleunigte sein, wenn man von den Reibnngswider-ständen absieht (§ 25). Die letzteren üben aber eine derartige Wirkung aus. daß die Bewegung wenigstens bei mäßigem Gefälle eine ganz gleichförmige wird. Am meisten werden die Schichten an den Rändern und am Boden gehennnt. Die Verzögerung übertrügt sich durch die Kohäsion auf die anderen Schichten, so daß die Geschwindigkeitsunterschiede, wenn man von den äußersten Schichten absieht, nicht sehr bedeutend sind.

Am schnellsten müßte sich eigentlich die mittelste Schicht der Oberfläche bewegen, dies ist aber nur selten durch Beobachtungen bestätigt worden. Vielmehr liegt der Ort der größten Geschwindigkeit etwas tiefer, was zuni geringsten Teile durch die Reibung an der darüber liegenden Luftschicht verursacht wird. Der Hauptgrund liegt darin, daß die Luft zu wenig Widerstand bietet, um die vielfach auftretenden Wirbel der Oberflächenschicht zu hemmen. Die letztern werden dadurch hervorgerufen, daß die Unebenheiten des Bodens gegen die untersten Schichten stoßen und sich diese Stöße bis zur Oberfläche fortpflanzen, wo sie dem Auge in Form der Wassersprünge *) und Wellen') sichtbar werden.

-) Siehe Abschnitt C.

Für die Berechnung der durch einen Kanal- oder Flußquerschnitt fließenden Wassermenge ist nicht die größte Geschwindigkeit und ihr geometrischer Ort, sondern eine mittlere Geschwindigkeit von Wichtigkeit, d. h. diejenige, mit welcher sich alle Flüssigkeitsfäden bewegen müßten, damit dieselbe Wassermenge wie in Wirklichkeit durch den Querschnitt strömt.

Diese näher definierte mittlere Geschwindigkeit zu bestimmen, ist die Hauptaufgabe bei den hydraulischen Messungen an Flüssen und Kanälen. ' Hierauf werden wir später zurückkommen und vorläufig nur die rechnerischen Bestimmungen besprechen.

§ 123.

Zusammenstellung der symbolischen Bezeichnungen.

Damit lvir Wiederholungen spareir und die Übersicht erleichtern, seien hier gleich die in der ganzen Abteilung E vorkommenden Bezeichnungen zusammengestellt. Es bedeutet

L — die Länge einer bestimmten Flußstrecke in Metern, h = hr + h₂ den Höhenunterschied der Wasseroberfläche an den Enden von L,

hr — denjenigen Teil von h, welcher zur Überwindung der Reibungswiderstände des Flusses verbraucht wird, wenn man diesen gerade und von nahezrl gleichförmigem Querschnitte voraussetzt,

\ — hkr -j- hq = denjenigen Teil von h, welcher zur Überwindung der durch Krümmungen des Flußlaufes (hkr) und Unregelmäßigkeiten des Querschnittes (hq) verursachten Widerstünde gebraucht wird,

hr

J = sin i = y- den Sinus des Gefälles oder den Fall der Wasseroberfläche auf 1 m, den Fluß als grade und nahezu gleichförmig betrachtet,

F — die Fläche des Querschnitts in Quadratmetern,

U = die Länge des benetzten Umfanges,

F

R = yj = i)ie mittlere hydraulische Tiefe, den mittleren Radius (Dubuat),

Profilradins, hydraulischen Radius (Frank),

R, -

F

— XJ -j- b *)en mitttleren Hauptradius (bei größern Flüssen ungefähr

-IR),

Q — die durchfließende Wasserinenge in Kubikmetern,

v — p — die mittlere Geschwindigkeit des ganzen Flußquerschnittes,

in einer beliebigen vertikalen Linie des Querschnittes oder in einer dem Stromstrich parallelen Vertikalebene,

u — die mittlere Geschwindigkeit w — die maximale Geschwindigkeit v₀ — die Oberflächengeschwindigkeit vx — die Geschwindigkeit in der Tiefe t unter der Oberfläche

vz, = die Geschwindigkeit in halber Tiefe unter der Oberfläche

vt — die Bodengeschwindigkeit u₀ = die mittlere Geschwindigkeit an der Oberfläche u„ — die mittlere Geschwindigkeit von allen mittleren Geschwindigkeiten u

eines ■ Querschnittes,

ut — die mittlere Geschwindigkeit aller Bodengeschwindigkeiten

der Wasserfäden am benetzten Umfange aller Maximalgeschwindigkeiten in den verschiedenen vertikalen Linien w₀ — die maximale Geschwindigkeit von allen Oberflächengeschwindigkeiten v0 ww — die größte Geschwindigkeit z — den senkrechten Abstand eines Punktes der Oberfläche ) von der m — den senkrechten Abstand des Wasserfadens der größten - Basislinie Geschwindigkeit

uu= „

Uw -

am Ufer,

welche die größte Geschwindigkeit enthält.

mVx — die Geschwindigkeit an irgend einem Punkte x | in der Vertikalebene, mV₀ — die Oberflächengeschwindigkeit mVt — die Bodengeschwindigkeit

Die Geschwindigkeit in einer bestimmten Tiefe unter der Wasseroberfläche wird dadurch ausgedrückt, daß man dem v rechts unten die Tiefe unter der Oberfläche beisetzt. Ist die Geschwindigkeit in einer speziellen Vertikalebene gemeint, so wird deren Abstand von der Basislinie links unten dem v beigesetzt. Es bezeichnet daher ₂oVe die Geschwindigkeit 6 m unter dem Punkte des Wasserspiegels, welcher 20 m von der Basislinie entfernt ist.

j-bVx — die Geschwindigkeit in der Tiefe tx unter dem Punkte der Oberfläche, welcher die Breite halbiert, also in der Mitte des Flusses liegt, t — die Tiefe des Flusses an einem gegebenen Punkte, tX-die Tiefe eines gegebenen Punktes x unter dem Wasserspiegel.

x — den Abstand desselben Punktes von dem Wasserfaden, der sich mit der Maximalgeschwindigkeit w der betrachteten Vertikallinie bewegt.

|u ” | den Abstand desjenigen Wasserfadens vom Spiegel, welcher sich

mit der j

maximalen

mittleren | Geschwindigkeit in der dem Stromstrich

parallelen Vertikalebene bewegt. (tx = x + tw), t, — die Tiefe desjenigen Wasserfadens unter dem Spiegel, welcher sich mit dem Mittel aller Geschwindigkeiten bewegt,

F

t' —    — die mittlere Tiefe in einem Querschnitt,

1 —die größte Tiefe des Flusses,

b — die Breite der Wasseroberfläche an einer gegebenen Stelle, bx — die Breite am Boden,

f — die Zahl, welche die Stärke des Windes ausdrückt; eine Windstille oder einen Wind, der in rechtem Winkel auf den Stromstrich bläst, als Null und einen Orkan als 10 angenommen, f ist positiv, wenn der Windstrom aufwärts, und negativ, wenn er stromabwärts geht,

d — Einfallswinkel des Wassers beim Vorbeifließen in einer Fluß-krüminung. Dieser Winkel ist immer zu ungefähr 30° angenommen und es lvird der Einfluß der Flußkrümmung durch die Anzahl dieser Abweichungen bestimmt, welche nötig ist, um der Krümmung zu folgen,

x —die Dichtigkeit des Flußwassers, g — 9,8088 die Erdbeschleunigung.

§ 124.

Die älteren Formeln.

Um die Resultate der verschiedensten Gleichungen, welche zur Berechnung der mittlern Geschwindigkeit dienen, bequem vergleichen zu können, wollen wir nach Nazzani und anderen Hydraulikern alle- Formeln auf diejenige von Chezy (Formel 33 auf S. 374) zurückführen und der Raumersparnis wegen die ursprünglichen Formen, wenn irgend möglich, gar nicht aufführen.

1)

Der Koeffizient k in Chezys Formel v = k j/RJ

wird von mehreren Experimentatoren als konstant angesehen. So nimmt N o u n g für große Ströme: k — 46,4, Eytelwein: k — 50,9,

D'Aubuisson für Geschwindigkeiten über 0,65 m: k = 52,6, Downings und Taylor für breite und reißende Flüsse: k — 55, L e s l i n für kleine Flüsse: k — 37,4, für große: k—55, B e a r d m o r e: k — 51,8, NeuiHe für grade Flüsse mit 0,45 m Geschwindigkeit: k — 50,8 und für größere Geschwindigkeit: k —51,3, Stephenson für kleine Flüsse: k —38, für große: k — 52,8.

Dubuats Formel läßt sich nicht auf die obige Form bringen, denn sie lautet:

2) . .

_    48,87 fl/R —0,017)

n--

— t (|/R — 0,017).

Girard war der erste, welcher das Coulombsche Experimentalgesetz der Reibung flüssiger und fester Körper in Anwendung brachte. Danach ist bei kleinen Geschwindigkeiten die Reibung nahezu proportional dem Quadrat der Geschwindigkeit und dein Inhalt der bewegten Fläche, dagegen völlig unabhängig vom Druck und der Beschaffenheit der Fläche. Er stellt die Formel auf

.    . v == 0,162 + j/0,026 -1

Bei Kanälen, für welche hauptsächlich diese Formel entwickelt wurde, nimmt Girard wegen der Wasserpflanzen zu beiden Seiten den wirklich benetzten Umfang —1,7 U an. Er leitet den Wert von A aus 12 Versuchen Dubuats ob, bei welchen die größte Geschwindigkeit 0,80 m und die größte Fläche 10 qm war und erhielt dadurch:

.....v = /6Z5 + 8047 R J — 0,50.

Prony nimmt eine den Fluß auskleidende Wasserschicht an und setzt Chezys Ausdruck g R J einer Funktion von der Form C -J- A v -(-B v² -j- D v³ -(- • • • gleich und sucht nun die Konstanten A, B, C, I) ... durch Versuche zu bestimmen. Seine Formel wurde dadurch:

gRJ = Av-UBv²

und nach Einsetzung der gefundenen Konstantenwerte:

. v = k0)0052 + 3230 R J — 0,0719 m.

Hierauf suchte Prony neue Werte von A und B aus 51 Versuchen mit Röhren und 31 mit Kanälen, um die Formel für Röhren und Kanäle gleichzeitig anwendbar zu machen und erhielt für englische Fuße . v = y0,0237 + 9966 RJ — 0,1542.

Eytelwein bestimmte neue Werte von A und B aus 91 Beobachtungen an Flüssen und Kanälen, wo die Geschwindigkeit — 0,4 bis 8'

3) . .

g.J.R

4)

5) . .

6) . .

. v = i/0,0011+ 2734R J — 0,0332.

und das Querprofil von 0,2 bis 28 020 Qudratfuß betrug und erhielt für Metermaß:

7) . .

Weisbach kommt auf anderm Wege zur selben Form der Gleichung: 8) . . . v = )/0,Ö00 8 564 + 2647,86 R J — 0,029265.

Der Koeffizient k ist bei den Formeln 5) bis 8) nur von der Ge-schlvindigkeit abhängig, denn er lautet

9)

K+

+ Bi

Lah meyer stellt die Formel auf:

10)    ... . RJ = Av* wonach k = ~i^RJ.

A*

Er nimmt A = 0,000 4 021, für kleine Wasserläufe: A = 0,000 361, für Flüsse und Ströme: A — 0,000425.

Von den andern Forschern unabhängig geht Ioung vor und gelangt zu dem Ausdruck: ¹

toorrn

0,4766

A • 10¹⁰ = 413 -j--^

27,45

4,575

3 R + 2,44 4R + 0,009

CA

B - IO¹⁰

900 R²    0,32

2,10    0,0000107

R²+ 0,047 'yu

R³

)•

Für die meisten Flüsse nimmt er

v — 84,3 j/ü J.

12)

Dupuits Formeln. Dupuit beweist, daß die Annahme einer unbeweglichen, den Flußgrund auskleidenden Wasserschicht unstatthaft ist und daß die Kohäsion zwischen den Wasserschichten bedeutend größer ist, als die Adhäsion zum Flußbette.

Die Adhäsions- und Kohäsionswiderstände nimmt er direkt proportional der berührten Fläche, aber als unabhängig vom Drucke an. Die Adhäsion glaubt er mit der absoluten Geschwindigkeit zunehmend, die Kohäsion von der relativen Geschwindigkeit der sich berührenden Moleküle abhängig. Schließlich gelangt er zu der Parabelgleichung:

Ä<‘!+ **'>•

13)

V = vt +

Achse und Scheitel dieser Parabel liegen an der Wasseroberfläche und ihr Parameter ist dem Gefälle direkt proportional. Die Geschwindigkeit an der Oberfläche wird

v» = vt +

Jt²

2E

und U = Ut -f

t² J

3E

Diese Gleichungen gelten für den einfachsten Fall, daß das Querprofil rechtwinklig und unendlich breit ist. Für den allgemeinen Fall eines nahezu kreisförmigen Querschnittes schlügt er folgende, für die Praxis ausreichende Formeln vor:

R J = A ut -f- B ut²,

mV« + Ut

V —-—------

mV« — Ut-fi

R JE

ut +

R JE 4 E b

Diese Formeln enthalten drei numerische Koeffizienten A, B und E. Er nimmt für A = 0,000019 und für B = 0,0003708. Für E jedoch giebt er keine Werte. Ein solcher wurde nach den Mississippi-Versuchen durch die Formel

R ___:_RJE_

4 b (v + 0,082 — j/0,0067 + 9114 R J)

für engl. Maß bestimmt.

Das Mittel aus den berechneten Werten war 0,02 für englisches und 0,006 für Metermaß. Die so vervollständigte Dupuitsche Formel lautet für Metermaß:

_ RJE ‘ V —0,024 b

De Saint Venant ’) giebt ohne Beweis die folgende einfache Formel an:

woraus folgt:

14) .

0,025 + 1/2780 R J + 0,00062.

R J = 0,0004012 v¹,

v = 60,144 (R J)²\

Ellets Formel. Dieselbe war zur Lösung einiger wichtiger Fragen über die Aufgabe, das Mississippithal vor Überschwemmungen zu schützen, aufgestellt. Sie lautet 16) . .

15)

. . v = 0,81 K10Ö0 J T + 210 J T.

Mit ihr bewies Ellet das Gegenteil von dem, was die Mississippikommission zum Schutze der untern Mississippigegenden auf Grundlage

!) Formules et Tables nouvelles pour la solution des problemes relatifs aux eaux courantes. Paris 1851.

ihrer langjährigen Beobachtungen und Studien als am Besten vorschlug, nämlich die Unmöglichkeit eines Dammshstems. Später wurde jedoch die Unrichtigkeit der Formel nachgewiesen.

Stephensons Formeln sind ebenfalls ohne Nachweis aufgestellt und ergeben für kleine Flüsse:

17)

v — 38 |/R J

und für große Flüsse:

18)

v — 53 J/ R J.

§ 125.

Die Formeln von Humphreys nnd Abbot nnd ihre Vereinfachung

durch Grebeuan.

Nach den Arbeiten der Mississippikommission stellten Humphreys und Abbot die Formel auf:

19) . ,v= (V0,0025 m + /k8,72 IH f/j — 0,05 worin allgemein 19') -

0,933

oder

ft + 0,4572

0,58

0,18

4,5 bis 3,5

Für die Praxis kürzten sie ihre Formel noch ab zu:

. v = (?69 Ri f/J — 0,0214)'

Innerhalb der Grenzen der den Versuchen zu Grunde liegenden Verhältnisse angewendet, giebt die amerikanische Geschwindigkeitsformel durchaus zuverlässige Resultate und ist der Gebrauch dieser Formel überall da zu , .empfehlen, wo

1.    der Querschnitt des Wasserkörpers nicht unter 5 qm und

2.    nur bis zu Gefällen von ungefähr 0,0001, bei stärkern Gefällen giebt sie zu große Geschwindigkeiten.

Von den bis jetzt aufgeführten Formeln prüfen Humphreys und Abbot 14 der wichtigsten an 30 Versuchen von Ellet, der Mississippikommission, Dubnat, Watt, Krayenhoff, Buffon und Destrem, stellen die Fehler, d. h. die positiven und negativen Abweichungen der Formelresultate gegen die Versuche untereinander, bilden die Summe ohne Berücksichtigung

m —

bei Wassertiefen von

20) . .

1,07

1,10

2,2

1,4

0,2

der Vorzeichen und ordnen nach der Brauchbarkeit der Formeln, indem sie diejenige mit der kleinsten Fehlersumme als beste voranstellen. Dadurch folgen der Güte nach aufeinander die Formeln von Humphreys, Dupuit, Chezy, Prony... Es wäre vielleicht besser, die Summe der Fehlerquadrate zu bilden. Das ändert aber die Reihenfolge der genannten Formeln nicht, wie die Berechnung zeigte, obwohl das leicht eintreten könnte. Sind z. B. die Fehler für zwei beobachtete Größen 1 und —9 nach einer Formel und 5 und —6 nach einer andern, so betragen die Fehlersummen 10 und 11, die Summen der Fehlerquadrate dagegen 82 und 61. Es ist somit die zweite Formel besser als die erste.

Da es für die meisten Fälle der Praxis nicht auf eine mathematische Genauigkeit ankommt, versuchte Grebenau die Formeln 19) und 20) noch weiter zu vereinfachen. Seine dadurch erhaltene Formel kann mau ganz gut benutzen, so lange J <0,0005 ist. Für größere Gefälle werden die Resultate nicht mehr richtig.

Er fand den Ausdruck:

21)

v = ,yk, I R, | -I,

für Metermaß = 8,28972, für englisches Maß — 15,01532

wobei k, |

für alle Flüsse ist, während ß einen von der Größe des Querprofiles und dem Gefälle abhängigen Koeffizienten bezeichnet, dessen Wert für verschiedene Wasserläufe folgender ist:

a)    für    kleine Wassergräben unter 1    qm    Querschnitt    ß — 0,8543,

b)    „    „ Bäche von 1 bis 5 qm Querschnitt    ß = 0,8796,

c)    „    größere Bäche von 5 bis 10    qm    Querschnitt    ß — 0,8890,

d)    „    kleine Flüsse von 20 bis 400    qm    Querschnitt    ß — 0,9223,

ß = 0,9459.

e)    „ große Flüsse über 400 qm Querschnitt Bei dieser Berechnungsweise stimmen die Resultate bis auf ¹/ß0 mit

denjenigen der genauen Formel von Humphreys und Abbot überein.

VJ

Für große Flüsse können wir Ex — ^ setzen und erhalten dadurch v = 0,707 4-- f/R J. Somit ist

22)

k --- 0,707 ^klr -

fJ

Zur leichtern Benutzung der Formel 21) hat Nazzani in seinem schon mehrfach erwähnten vorzüglichen Werke die beiden nachstehenden Tabellen veröffentlicht:

Tabelle für Flußguerschnitte.

Mittlere

Geschwindigkeit

Wert von ßkt bei einer Flußtiefe t von

0,40 in

0,80 m

1,50 m 2,50 m 4,0 m 8,0 m

0,30

0,50

1,00

1,50

2,00

7,05

7,21

7,55

7,63

7,71

7,i3

7,38

7,63

7,71

7,8o

7,2i

7,46

7,63

7,8o

7,88

7,30

7,55

7,7i

7,80

7,88

00 ro O 00 XO ro XO OO. 20^ CSX rC tC inT rC t'C

7,46

7,71

7,88

7,96

7.96

Tabelle für rechtwinklige Kanalqucrschnittc.

Mittlere

Geschwindigkeit

Wert von ßkt bei einer Kanaltiefe t von

0,40 m

0,80 in

1,50 m 2,50 m

4,0 m

8,0 m

0,30

o,5o

1,00

i,5o

2,00

ro xO ox IN» xO 'O OO O    C3

'O*' 'ü N ts N

H ^ N LO LO

r^ co hi c,

xO xo l>^

00    in c,

N ro

xeT XO~ IN N N

6,86

7,09

7,25

7,32

7,3 2

6,97

7,09

7,25

7,32

7,40

7,02

7>i7

7,32

7,40

7,40

§ 126.

Bazins Formel.

Nach Bazins Formel hat der Koeffizient k die Form

23)

k=j/ ¹

V +E

Hierin soll gesetzt werden:

A)    a = 0,00015; ß = 0,000 004 5 für Kanäle mit ganz glatten

Wänden aus Zement ohne Sand oder gehobelten Brettern,

B)    « = 0,00019; ß = 0,0000133 für gewöhnliche glatte Kanäle

aus Holz, Ziegeln, behauenen Steinen,

C)    « — 0,00024; ß = 0,000 060 für Kanäle mit weniger glatten

Wänden aus Bruchsteinen,

D)    « — 0,00028; ß — 0,000 35 für Kanäle mit Erdwänden und

nach Ganguillet und Kutter

E)    « — 0,00040; ß = 0,000 70 für Wasserläufe mit Geschiebe oder

Gerölle.

27

Meißner, Hydraulik. I. 2. Auflage.

Mit Hilfe der aufgeführten Werte berechnet sich nach Formel 23) die folgende Tabelle.

Tabelle der Werte von lu

Kategorie

in m

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

o,35

0,40

0,45

0,50

0,60

76,

77,2

77,9

78,4

78,8

79,i

79,3

79,7

55,6

34,5

59,9

62,4

64,1

65,3

66,2

66,y

67,5

67,9

68,7

39,5

43,o

45,6

47,7

49,3

50,6

5i,8

52,7

54,2

o o\ 'b'x

22.2 24,4

26.3 28,0

29.4 30,7 3i,9 34,o

0,70

0,80

0,90

1,00

,10

1,20

1,30

1,40

I,60

1,80

2,00

2,50

3,00

4,00

5,oo

6,00

8o,o

80.2

80.3

80.4 8o,6

80.6

80.7

80.8

80.9 81,0

8 i,o 81,2

81.2

81.3

81.4

81.4

69,2

55,4

35,8

69.6 69,9 70,1 70,3 70,5

70.7

70.8

7i,o

71,2

56,3

57.1

37,3

38,7

71,3

71,6

71,7

71.9

72,0

72,1

57.7

58,3

58.7

59,i

59.5 60,0

60.5

60,9

61.5 62,0

62.6 63,0 63,2

39,8

40,9

41,8

42,7

43,4

44,8

45,9

46,9

48,8

50,2

52,2

53,5

54,4

11.6 14,0 16,0

17.7

19.1

20.4

21.6

22.6

23.6 25,3

26.7 28,0

29.1

30.2

31,1

31,9

32.6

33.3

34.6

35.6

36.5

38.3

39.7

41.7 43.0 44-0

Wie schon bei der Besprechung anderer Formeln hervorgehoben wurde, so ist auch die Bazinsche nur für Verhältnisse anzuwenden, die den entsprechenden Versuchen zu Grunde lagen. Die Kanäle hatten nun sehr kleine Dimensionen und zwar eine Breite von 0,10 m bis 2,00 m und eine Tiefe von 0,02 m bis 0,95 in. Die in der Sekunde durchfließende Wassermenge betrug 0,100 bis 1,236 cbm, ihr Gefälle 0,0015 bis 0,10 m und ihre mittlere Geschwindigkeit 0,01 bis 2,66 m. Innerhalb der so festgelegten Grenzen giebt die Bazinsche Formel gute Resultate.

§ 127.

Gaucklers Formel.

Im Jahre 1867 legte Ingenieur Ganckler der Pariser Akademie neue Formeln ) über die Bewegung des Wassers in offenen Kanälen von kleinen Querschnittsdimensionen vor.

Durch Vergleichung aller bis dahin vorliegenden Versuchsresultate gelangte er für Gefälle, die mehr als 0,0007 betragen, zu der Gleichung:

24)

]/v = apRfrj

und für kleinere Gefälle zu:

25)

Hiernach ist

24)

k = a²fR

oder

k = 0⁴ L° V J.

Die Koeffizienten a, 0 sollen die folgenden Werte haben:

A)    Mauerwerk von Quadern und

Zement........

B)    Gutes gewöhnliches Mauerwerk

C)    Wände von Mauerwerk, Sohle

in Erde........

D)    Kanäle in Erde, ohne Pflanzen

F.)    „    „

F) Flüsse.

25)

mit

a = 8,5 bis 10,0 a = 7,6 „    8,5

0 = 8,5 bis 9,0 (2 = 8,0 „ 8,5

6,8

5,7

5.0

I Ol ,05 <3 ¹ V] "qc "bi

0 = 7,7 „ 8,0 0 = 7,0 „ 7,7 0 = 6,4 „ 7,0 0 = 6,4 „ 7,0

Aus Formel 24) berechnet sich die folgende Tabelle.

Wert des Kocsfizicnten k in der Formel Hott Gaucklcr

für Gefälle größer als 0,0007.

0,01

0,03

o,o5

o,oy

46,4

55,7

60,7

64,2

33,5

40,0

43,7

46,4

26,8

32,2

35.1

37.1

2i,5

25,8

28,1

29,7

<y\ ui oj m

~o o b

J) Etudes theoriques et pratiques sur l’ecoulement et le mouvement des eaux. S. 280.

27*

Die beiden Formeln 24) und 25) faßt Bornemann *) zu der einen

26)

ne p j*

zusammen und bestimmt a wie folgt:

a — 0,000 623,

1.    Hölzerne Gerinne . .

2.    Gemauerte Gräben . . a = 0,001090,

3.    Ungemauerte Gräben. . a = 0,001 600,

4. Flüsse

« = 7,2

6,00

7,oo

8,00

9,oo

16,00

25,00

■ 73,4

0,10

0,15

0,20

0,30

0,40

68,1

49,2

72,9

52.7

39,3

42,1

3B4

33,7

76,5

81,8

85.8

55,3

59,i

62,0

44,2

47,2

49,6

35,4

37,8

39,7

22,1

23.7

24.8 26,6

27.9

17,0

18,2

20.4

21.4

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

2,00

3,00

4,00

5 00

89,1

91,8

94,2

96.3

98.3

100,0

64,4

66,3

68.1 69,6 7BO

72.2

5i,4

53,i

54,3

55,5

56,6

57,8

41,2

42-5

43,5

44,5

45,4

46,2

5i,8

55,5

58,3

60,6

28.9

29.9

30.5 31,2 31,8

32.5 37,4

39,o

40,9

42,5

22,3

22.9

23.5 24,1

24.6

25,0

28,0

30,0

3i,5

32.7

62,4

63,8

65,4

66,6

79.1

43,8

44,8

45,9

46,8

51,6

55.6

33,7

34,6

35,3

36,0

39,7

42,7

« = 9,2

«=8,05

a — 6,2

«=5,6

a = 0,003 900.

Für kleine Gefälle ist die Formel nicht zu benutzen.

Der von Gauckler angenommene Übergang des einen Bewegungsgesetzes (24) in das andere (25), kann in Wirklichkeit nicht in so engen Grenzen liegen.

Es ist jedoch unzweifelhaft, daß die Rauheit der Kanalwände bei

>) Bornemann, „Die Gaucklersche Theorie der Bewegung des Wassers in Flüssen und Kanälen". Civ.-Jng. 1869, S. 13.

kleinen Kanälen einen großen, bei großen Kanälen aber einen kleinen Einfluß auf die Geschwindigkeit des Wasserdurchflusses ausübt, und wahrscheinlich wird für jede andere Querschnittsdimension die Grenze des Überganges von einem Bewegungsgesetz ins andere an einer andern Stelle (bei einer andern mittlern Geschwindigkeit) liegen, während gleichzeitig die beiden obigen Formeln auch noch nicht die wirkliche Änderung in der Bewegung des Wassers ausdrücken werben.

§ 128.

Formeln von Ganguillet mib Kutter.

Die oben aufgeführte Bazinsche Formel wurde durch die Schweizer Ingenieure Ganguillet und Kutter auf die Form

27) . .

gebracht. In Bezug auf die Koeffizienten a und ß fanden sie, daß a konstant und zwar — 100, ß dagegen von der Rauheit der Kanalwände abhängt und die 12 Werte desselben zu unterscheiden sind: ß = 0,12, 0,15, 0,20, 0,27, 0,35, 0,45, 0,56, 0,72, 0,93, 1,22, 1,67, 244. Da sie aber bei weiteren Untersuchungen fanden, daß k auch von dem Gefälle abhängt, so stellten sie die nachstehende allgemein gültige Formel auf, welche bis jetzt die brauchbarste ist:

28) . .

23    1    0,00155

n ¹ J

l + (23 + ^°P)

-1 i; j.

n

j/R

Durch die Veränderung des Koeffizienten n werden sechs verschiedene Rauheitsgrade unterschieden und zwar

1.    Kategorie. Kanüle von sorgfältig

gehobeltem Holz und von glattem Zement........

2.    Kategorie. Kanäle von Brettern

Kanüle von Brettern (bei angebrachten Abflußerschwerungen durch aufgenagelte Latten, festgemachten Kies).....

0,0085 bis 0,0110 0,011 „ 0,013

0,013 „ 0,0215

0,010

0,012

100,00

83,33

3.    Kategorie. Kanäle von behauenen

Quadersteinen, gut gefügten Backsteinen.......

4.    Kategorie. Kanäle von Bruch

steinen ........

5.    Kategorie. Kanäle in Erde; bei

gemauerten Seitenwänden . .

Gewässer in Erde; Kanäle, Büche, Flüsse......

6.    Kategorie. Gewässer mit gröberen

Geschieben und mit Wasserpflanzen ........

0,012 bis 0,0200

0,014 „ 0,022

0,018 „ 0,030

0,020 „ 0,040

^Mittel

0,013

76,91

0,017

0,025

58,82

40,00

0,020 „ 0,060    0,030    33,33

Die Hauptschwierigkeit bei der Berechnung eines bestimmten Wasserlaufes nach Formel 27) oder 28) beruht darin, die richtige Kategorie zu finden. Dies gelingt bei der zweiten Formel schon leichter, als bei der ersten, daher ziehen wir sie auch vor. Manchmal findet man den richtigen Rauheitsgrad n besser durch den Vergleich des zu berechnenden Kanales oder Flusses mit einem bekannten Gewässer. Um hierzu die nötigen Anhaltspunkte zu geben, ist die nachstehende Tabelle beigefügt:

Nr.

Kanüle,

an welchen die Beobachtungen gemacht worden sind

Mittlere beobachtete Werte

Mitt

lerer

Radius

Gefälle

Breite an der Oberfläche t

Tiefe

Wert

von

Ci CO LO50

Gontenbachschale, neu gemauert in Halbkreisform .........

Alp-Bach-Schale, dgl., aber etwas verfallen ....

Linth-Kanal . . .

Kanal von Marseille Speierbach .    .

Hüben-Graben .

Hokenbach .    .    .

Mississippi. . .

Bajou Plaquemine Bajou La Fourche Ohio, Point Pleasant Tiber in Rom .    .

Newa.....

Weser.....

Elbe.....

Seine in Paris.    .

1,7    o,i8    0,0145

2,5    0,36    0,0230

37,5    3,30    0,0222

6,00    1,35    0,0244

5,00    0,60    0,0260

1,48    0,24    0,0237

3,40    0,35    0,0243

5,00    0,0270

Nebenflüsse des 5,130    0,000170    84,0    7,80    0,0294

4,000    0,000040    67,0    37,2    0,0200

2,048    0,000093    325,0    2,40    0,0210

2,883    0,000130    73,0    4,50    0,0228

10,796    0,0000140 370,0    6,00    0,0262

2,90    0,00020    120,0

3,325    0,00031

3,70    0,000137    96,0    13,30    0,025

0,10    0,440

0,220 0,274 2,40    0,0034

0,875 0,00043 0,446 0,00667

0,179 0,00130 0,266 0,00787 20,000 0,000667 760,0

Mississippi

3,00 0,0232 96,0    13,30 0,0285

Nr.

Kanäle,

an welchen die Beobachtungen gemacht worden sind

Mitt

lerer

Radius

Mittlere beobachtete Werte

Gefälle

Breite an der Ober-

Tiefe

Wert

von

fläche

1)

17

l8

19

20

21

22

23

24

25

26

Flüsse in Kieselbetten.

Rhein bei Speyer.....

Rhein bei Germersheim . . .

Rhein bei Basel......

Saalach..........

Salzach..........

Isar...........

Linthkanal..........

Rhein im Domletschger-Thal, Schweiz Simme bei Lenk, Schweiz . . .    .

Lech

rfoo m N o 'OOO'ON'sOO rd- O O O rd- (<l M M \0 vn

0,000112 0,000247 0,001218 0,001150

0,001 IO 0,00120 0,00250 0,0030 0,0075 0,0105

20,70

5.00

S.oo

OO l-t    Js) JO

s] vj Ln Oo

Ur ln O t-ri O ln Oj Cd C\

0,0200

0,0227

0,0300

0,0220

0,0270

0,0280

0,0305

0,0300

0,0350

0,0345

Aus Bazins Versnchsresultaten.

27

28

29

30

Versuch Nr. 2. Zementkanal mit rechtwinkligem Querschnitte „    „ 25. Zement mit 1,3 Sand,

halbkreisf. Querschnitt „    „ 24. Zement, rein, halbkreis

förmiger Querschnitt . „    „ 6. Bretterkanal mit recht

winkligem Querschnitte

0,15

0,00506

I,8l 0,l8    0,01040

0,260 0,00138

0,250    0,0142

1,00 o,4Q 0,01113

1,00 0,45 0,01005

3i

32

33

34

35

36

37

38

39

40

„ 7. dgl. ......

n    8.    dgl.......

„ dgl.......

„    10.    dgl.......

„    11.    dgl.......

„    18.    dgl.......

„    19.    dgl.......

„    27.    Kieselbett    mit Kieseln

0,200    0,002213

0,160    0,00488

0,140    0,008162

0,220    0,001467

0,140    0,00587

0,130    0,00838

0,200    0,00459

0,150    0,00427

1,99    0,26    0,0130

1,99    0,19    0,01190

1,99    0,16    0,01150

1.99    0,28    0,0129

1.99    0,17    0.0170

i,99    0,15    0,0114

1,20    0,28    0,0114

0,80    0,25    0,0114

0,230    0,001363    1,00    0,41 0,0163

0,200    0,004973    1,83    0,26 0,0170

0,220    0,00497

1,80    0,30 0,0206

In den folgenden Tabellen ist zur Erleichterung der Berechnung eine Zusammenstellung der Werte von k für verschiedene Rauheitsgrade, Gefälle und hydraulische Radien gegeben:

letzten

1,00

p p p p p p p p p

ÜniülWHOOOO

OOOOO^UuiUutu

°l 00

Gefälle

0,02

0,03

0,05

0,07

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

1,00

°/oo

Gefälle

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48,2

53.5    54,i

52.1    52,6

50.8    51,3

49-2    46,6

48.8    49,1

48.5    ; 48,9

48.2    ! 48,6

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der Koeffizienten k bei einem Werte R von

8,8 | 4,0    4,2 1 4,4    4,6 j 4,8 : 5,0 i 5,2

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35,7

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J»JX 00 CO OOV] ^1

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or

I

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er

68.4    69,0    69,6

63,9    64,4    64,9

60.1    60,3    60,5

57.5    57.8    58,1

55,7    56,0    56,2

53.2    53,4    53,6

52,4    52,5    52,6

52,o    52,2    52,3

51.6    51,8    52,0

5i,o    51.5    5C4

5,4 | 5,6 | 5,8 j 6,0

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Werte der Koeffizienten k bei einem Werte R von

Werte der Koeffizienten k nach der allgemeinen Gangnillet-Kutterschen Formel

für den Rauheitsgrad n = 0,025, für gut unterhaltene und gut ausnivellierte Kanäle in Erde und Thon ohne Steine,

Wasserpflanzen und Unregelmäßigkeiten.

Koeffizienten k nach der allgemeinen Ganguiltet-Kutterschcn Formel

für den Rauheitsgrad n — 0,030 für nicht sehr genau nivellierte Kanäle mit geringen Unebenheiten, Steinen

oder Wasserpflanzen.

Werte der Koeffizienten k bei einem Werte R von

0,1 I 0,2 |    0,3 j 0,4 |    0,5 | 0,6 |    0,7 | 0,8 i 0,9 |    1,0 1    1,2 |    1,4 [    1,6 |    1,8 |    2,0 >    2,2 |    2,4

MD 00^ O O^tsmd-N I I n d h" o" O cf d d ¹ ¹ d- d- d- d- ro ro ro ro

O ON ON d- q_ co !>. I i-T d d cd cd cd 00 co" ¹    ' d-d-d-rororororo

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28.1

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lO VO O d ro ts

|    | ^ 'g' tC rC tC tC

<0

00

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Werte der Koeffizienten k bei einem Werte R von 3,4 : 3,6 I 3,8 | 4,0 ! 4,2 I 4,4 | 4,6 | 4,8 | 5,0 | 5,2 | 5,4

CO

<0

CO

00

CM

CM

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42.5 42,0 4i,7

41.5 4i,i

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Gesälle

°l 00

0,02

0,03

0,05

0,07

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

1,00

Gefälle

⁰⁰/o

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OOOOi-idrod-LOO

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JH p p p p P p p

0Ün4OJt)H00

000000^401

°/oo

Gefälle

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°/°°

Für Gefälle größer als :/

OJ Oo Oo Oo

Oo Oo Oo Oo OOOOmmi-ii-i b CO'oob'b OoUl VJ

OoOoOoOoOoOoOoOo

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1,4

1,6

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0,1

6'0

1000

bleiben die Werte von k konstant, d. h. gleich denjenigen in der letzten Kolonne.

OoOoOoOoOoOoOoOo tUtUts)tUts)UJUJ4o-4 4 ui oi'boon b tu

1,8

W M M W W h .    ,

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8'0

Y££

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33,4

33.6

34,3

34,8

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2,0

33,8

33,8

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34,o

Y te

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35,7

36,3

2,2

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O0O0O0O0O0O0O04

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2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

Werte der Koeffizienten k bei einem Werte R von

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Oo Uj Uj U) Oj Uj Oj Oj

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0,4

S'O

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Z‘l

Werte der Koeffizienten k bei einem Werte R von

Koeffizienten k nach der allgemeinen Ganguillet-Kutterschcn Formel

für den Rauheitsgrad n = 0,035, oder für schlecht unterhaltene Kanäle in Kiesboden mit großen Steinen oder mit

großen Wasserpflanzen und Unregelmäßigkeiten verschiedener Art.

Nach den Versuchen von Cunningham am Gangeskanale (b — 30 m, t == 3 m) stellte Hagen die Formel

v = 43,7 ^R²)/J

auf, welche der Gaucklerschen Formel ihrer Zusammensetzung nach gleich ist, und zwar gehört sie in die vierte Gaucklersche Kategorie. Der

Koeffizient k wird — 43,7 VR. Das ergiebt

29)

Durch eine neu aufgestellte Theorie der Bewegung des Wassers gelangt Harder zu einer Formel, nach' der unser Koeffizient k den Wert

k = kx4-k₂ j/R annimmt. Es soll nun k₂ = 7,254 sein und kx betragen:

kj — 70,5 für sehr glatte Wände (Zement), k, — 56,0 für glatte Wände (Bretter, Quader- und Backsteine), k, — 36,27 für Flüsse, Kanäle in Erde und rauhem Bruchsteinmauerwerk.

Obwohl die Ganguillet-Kuttersche Formel öfter Ablveichtlngen ’) von den Messungen ergiebt, so müssen wir sie immer noch als diejenige betrachten , welche die Bewegungserscheiitungen des Wassers am besten²) wiedergiebt.

30)

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

*) Zeitschr. d. Arch. u. Jng.-Ver. zu Hannover 1882. Wassermessungen in der Elbe bei Altengamm im März 1881. Die Abweichung betrug + 39,5%.

²) v. Wagner, Harmonische Resultate der Gangnillet-Kutterschen Formel für die mittlere Flußgeschwindigüit. Protokolle des sächsischen Ing - u. Arch.-Vereins 85. Hauptversammlung. Vergl. noch Krüger, Verfahren zur Berechnung der mittleren Wassergeschwindigkeit in Gräben, „Zentralblatt d. Bauverw.", 1889.

¹

   . ._ v = ]/0,102 ~ + so,0254    ² - 0,0254

§ 129.

Vergleichung der verschiedenen neuen Geschwindigkeitsformeln in ihren Ergebnissen.

Anschließend an die von Humphreys-Abbot gegebene Vergleichung der amerikanischen Formel mit den älteren Formeln, deren Ergebnis auf S. 415 erwähnt ist, hat Meißner in der ersten Auflage dieses Werkes für den Rhein bei Germersheim und den Hokenbach diese Berechnungen der Geschwindigkeit noch nach mehreren andern Forineln ausgeführt. Die dazu gehörige graphische Darstellung ist in Fig. 234 Tafel 14 genau wiedergegeben. (In derselben ist noch, wie es Meißner hatte, der Rauheitsgrad in der Ganguillet-Kutterschen Formel durch ß statt durch n bezeichnet.)

1. Rhein bei Germersheim.

Dimensionen des Querprvfiles:

b—229,44 in, t=5,06 m, U = 233,63 m, F = 691,53 m, E = 2,96 m.

Berechnet nach der Formel

Mittlere Geschwindigkeit bei einem Gefälle J in °/oo von

0,025

0,05

0,10

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

Allgem. Kuttersche Formel; mit dem Rauheitsgrad

n = 0,025.....

Dgl. n = 0,030 . . . . Formel von Darcy, Kat. 4. Amerikanische Formel .    .

Pronys Formel . . . . Dupnits Formel . . . .

0,469

o,397

o,435

0,665

0,422

0,438

0,648

o,553

0,615

o,795

0,623

0,635

0,875

0,748

0,870

0,951

0,908

0,918

i,i93

1,019

1,22

i,i37

1,312

1,330

1,452

1,236

1.50

1,262

1,622

1,655

1,669

1,422

i,735

i,359

1,884

i,935

in

1,854

1,583

1,94

1,439

2,115

2,185

2,597

2,208

2,74

1,718

3,02

3,20

2. H 0 kenbach *).

Dimensionen des Querprofiles:

F = 1,087 m, b = 3,50 m, U = 5,715 m, t = 0,395 m, R = 0,292 m.

Berechnet nach der Formel

0,025

Mittlere Geschwindigkeit bei einem Gefälle J in °/oo von

0,05

0,10

0,20    0,30

0,40

0,50

1,00

in

in

in

Darcy, Kategorie 3. . . .

„    „    4.

Humphreys-Abbot.... Eytelwein......

0,187 0,264 0,374 0,456 0,117 0,165 0,234 0,285

—    0,271    —    —

—    0,275    —    —

J) Die Messung wurde von Grebenau im Frühjahr 1866 vorgenommen.

0,132

0,132

0,186

o,i37

0,528

0,330

o,395

o,55i

0,590

o,37o

0,835

0,52

0,505

0,871

§ 130.

Beispiele.

1. Ein kleiner Wassergraben hat folgende Dimensionen: Breite des Wasserspiegels b = 2 m, Tiefe t = 0,50 m, benetzter Umfang U = 3 m, Fläche des Wasserkörperquerschnittes — 1 gm, Gefälle des Wasserspiegels auf 1 m Länge J = 0,001 oder 1Ö-V Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit v?

Zunächst bestimmt sich:

F

Rl = Ü+b ~ 3~+2 a) Bei Benutzung von Chezys Formel mit dem von Leslin bestimmten Koeffizienten erhalten wir

00 I“¹

0,2.

F

R = 4

v = 37,4 |R J = 37,4 yj • 0,001 = 0,683 m in 1". b) Nach Grebenau (Formel 21) ergabt sich

v = (i k, j/r, y.J = 0,8796 - 8,2897 - V0,2 > 0,001 = 0,57988 m in 1".

c) Die genaue Humphreys-Abbotsche Formel liefert, weil nach 19')

0,933

== 0,9536 ist:

V 0,5 + 0,4572

v = (V0,0025 - 0,9536 -f > 68,72-0,2 • I 0,001 — 0,05 |/o,953ß)' = (/0,002384 -f 0,65926 — 0,048827)² = 0,58460 m in 1".

Die Resultate unter b) und c) werden nicht richtig sein, da für die verwendeten Formeln das gegebene Gefälle zu groß und der Querschnitt des Wasserkörpers zu klein ist.

d) Nehmen wir bei der Benutzung der allgemeinen Gangnillet-Kutterschen Formel den Rauheitsgrad für unser Beispiel n — 0,025, so wird nach der Tabelle auf S. 424 der Koeffizient k zwischen 30,3 und 32,6 liegen. Durch Interpolation finden wir k = 31,1. Die genaue Berechnung nach Formel 28) ergiebt etwas mehr und zwar:

64,55

2,0630

— 31,289.

23 + 40 + 1,55 1 + (23 + 1,55) 0,025 j/3 Mit Benutzung dieses Wertes finden wir:

v = 31,289 -    - 0,001 = 0,57126 m in 1".

Ist der Kanal unregelmäßig mit geringen Unebenheiten, Steinen u. s. >v., so würde man nach der Tabelle auf S. 425 k durch Interpolation zwischen

den Werten 24,7 und 26,7 zu 25,4 bestimmen und daher eine Geschwindigkeit

v = 25,4    • 0,001 = 0,46374 m in 1" erhalten,

e) Wollten wir nach Gauckler rechneir und legen wir die Kategorie E zu Grunde, so müssen wir nach der Tabelle auf S. 420

27,03

k = 26,6-f

27,9 — 26,6

machen. Dadurch finden wir:

v = 27,03 - y'l - 0,001 = 0,49465 m in 1".

2. Es sei das vorhandene Gefälle eines Fabrikkanales, der angelegt werden soll, J = 0,002 m, der Querschnitt F des Wasserkörpers von

2,5 m Breite und 0,40 m Tiefe — 1 qm. Die Länge des benetzten Umfanges U ist gleich 2,5 -st 2 - 0,40 — 3,3 m und es wird somit der

hydraulische Radius: E = -jj = ~ — 0,3. Rechnen wir nach Bazin

und nehmen die Kategorie B an, so erhalten wir aus der Tabelle auf

S. 418 k = 65,3 und dadurch:

v = 65,3 KO,3 - 0,002 = 1,60 m in 1".

3. Welche Geschwindigkeit nimmt das Wasser in einem in die Erde gegrabenen Kanäle von 5 m Breite und 1 m Tiefe an, wenn die Länge des Kanales 700 m und das Gesamtgefälle auf dieser Länge 1 m betrügt?

— 0,0014 m. Die Länge U

7 0 li

Es ist zunächst das Gefälle J — des benetzten Umfanges ist — 5 -st 2 -1 — 7 m, demnach

F

E = 4

v = 35,95 - KO,71 - 0,0014 = 1,13 m in 1".

Nach der Tabelle auf S. 418 ergiebt sich aus der Spalte I»: k — 35,95 und somit

Dreiundzwanzigstes Kapitel.

Graphische Hilfsmittel zur Bestimmung der mittleren Geschwindigkeit ans dem Gefälle und den Bimenfionen des Bettes.

§ 131.

Graphische Tafel zur Formel von Gangnillet-Kutter.

Wie wir uns schon mehrfach der graphischen Darstellung bedienten, um rechnerische Schwierigkeiten zu beseitigen, so können wir and) jetzt bei der verwickelten Formel 28) verfahren *). In Fig. 326 Tafel 27 sind als Abfassen die Werte von stE und als Ordinaten die Werte von k ²) aufgetragen. Der Zähler 23 -\- * -st 0-00155    ^juen c[u.e(ucn

Teilen zu erkennen und zwar ist das letzte Glied die Ordinate der oben gezeichneten Hyperbel.

Von dem Abscissenpunkte j/E — 1 sind die

Linien gezogen, die mit der Zunahme der Rauheit eine immer tiefere Lage erhalten. Die noch vorhandenen J - Kurven zeigen die Veränderlichkeit des Koeffizienten k mit dem Gefälle an.

Nach dem Hiittentaschenbuch seien hier nun noch vier allgemeine Aufgaben behandelt, um den Gebrauch der Fig. 326 klar zu machen.

1.    Gegeben E, J, n, gesucht k. Man verbinde den Punkt j/E der Abscisseuachse mit dem Schnittpunkte der n-Linie und der ck-Kurve durch eine Gerade; diese schneidet auf der Ordinatenachse den Wert k ab.

2.    Gegeben k, J, n, gesucht E. Man verbinde den Punkt k der Ordinatenachse mit dem Schnittpunkte der n - Linie und der J - Kurve durch eine Gerade; diese schneidet auf der Abscissenachse den Wert /E ab.

y Zeitschrift des Österreichischen Architekten- und Jugenieurvereins, 1869, Blatt 9. ²) Der Buchstabe k ist versehentlich in der Figur fortgefallen.

3.    Gegeben k, R, n, gesucht J. Man verbinde den Punkt j/R der Abscissenachse mit dem Punkte k der Ordinatenachse durch eine Gerade; diese schneidet die gegebene n - Linie in einem Punkte, durch welchen die gesuchte 4-Kurve geht.

4.    Gegeben k, R, J, gesucht n. Man verbinde den Punkt ^R der Abscissenachse mit dem Punkte k der Ordinatenachse durch eine Gerade; diese schneidet die gegebene 4-Kurve in einem Punkte, durch welchen die gesuchte u-Linie geht.

§ 132.

Graphische Ermittelung der Leistungsfähigkeit eines bestimmten Kanalquerprofiles.

Um den Leser auch mit den sehr praktischen logarithmographischen Tabellen von Frank') bekannt zu machen, wollen wir ein Beispiel mit deren Hilfe durchrechnen. Zur Erklärung müssen wir das Folgende erst vorherschicken.

Ein Hauptverdienst Franks ist es, daß er ein bequemes Vergleichsmittel zwischen der Leistungsfähigkeit verschiedener Querprofile für offene und gedeckte Kanäle gefunden hat.

Nach der Bezeichnung im § 123 ist der hydraulische Radius

31)

F

e = T'

wenn F die Fläche und U den benetzten Umfang des Querschnitts bezeichnet. Von verschiedenen Profilen wird nun offenbar dasjenige das günstigste sein, welches beim selben Fassungsvermögen den kleinsten Umfang U hat und somit der Flüssigkeitsbewegung den kleinsten Reibungswiderstand entgegensetzt. Mit andern Worten R muß möglichst groß sein.

von dem in Fig. 331

Frank führt nun die Dimensionen eines Profils auf ein Grundmaß, welches er mit a bezeichnet, zurück. Haben wir es z. B. mit einem auf dem spitzen Ende stehenden Eiprofil zu thun auf Tafel 27 die Hälfte angedeutet ist — so wird man den Radius r des großen Kreises als Grundmaß wählen, da der Radius des kleinen Kreises

und der des Überleitungsbogens welcher die Seiten des Profils bildet

Dr. H.

J) Berechnung der Kanäle und Rohrleitungen nach einem neuen einheitlichen System mittels logarithmographischer Tafeln von A. Frank. München 1886. Für die Erlaubnis, daß ich dieses vorzügliche Buch in der nachstehenden Weise benutzen durste, sage ich hier der Verlagsfirma von R. Oldenbourg meinen besten Dank.

Graphische Ermittelung der Leistungsfähigkeit eines bestimmten Kanalquerprofiles. 433

3 r beträgt. Der Inhalt F bis zu einer beliebigen Füllung wird dann r² und der zugehörige Umfang U = r sein, wenn und A₂ zwei zu der betreffenden Füllung gehörige Konstanten sind. Bezeichnen wir

noch zur Abkürzung 1/~ mit ls und J/ 'j- — z₃ mit Z₄, so be-

stehen im allgemeinen die Beziehungen

32) .

CO

CO

pH

^x

cd

X>

cd

^x

>o|

*g.i

I xo*

I cd

In unserm speziellen Falle wäre für a der Ramus r zu setzen.

Wir sagten oben, daß von verschiedenen Profilen dasjenige am günstigsten ist, welches den größten hydraulischen Radius hat, und zwar bei gleichem Fassungsvermögen. Um das letztere bei den Vergleichen zu berücksichtigen, müssen wir E zur Profilfläche F in Beziehung setzen. Zu dem Zwecke schreiben wir

E².

34)

Damit v nur ein dimensionsloser Zahlenkoeffizient wurde, mußte der Fläche F das Quadrat des E gegenüber gestellt werden. Ist E groß, so wird es auch v bei gleicher Fläche F. v giebt uns also ein Maß zum Vergleich von Formen beliebiger Profile und soll deswegen Formkoeffi-zient genannt werden.

Zum Übergang vom hydraulischen Radius auf die Profildimensionen können wir die in 32) enthaltene Beziehung

E = ^-a

benutzen, wollen aber noch

X'

35)

setzen und den Maßkoeffizienten nennen, dadurch erhalten wir ........» = ¥*•

In Fig. 331 sind die Werte der Koeffizienten h, h, v und ft für das auf der Spitze stehende Eiprofil graphisch dargestellt.

Die Berechnung der genannten Koeffizienten geschieht nach derjenigen von FUE durch die folgenden allgemeinen Gleichungen, die aus den obigen Formeln abgeleitet sind:

28

Meißner, Hydraulik. I. 2. Auflage.

2R

= 2 A3².

Das betreffende Werk von Frank enthält nun noch solche Tafeln für Trapez-, Kreissohlen-, Kreisprofil, Eiprofil auf dem stumpfen Ende, Ellipsenprofil stehend und liegend.

Mit Hilfe dieser graphischen Tafeln lassen sich die verschiedensten Fragen schnell beantworten. Lautet z. B. die Frage, welches gedeckte Profil von den genannten giebt bei halber Füllung die größte Wassermenge, so wird für die Beantwortung A4 der inaßgebende Koeffizient sein, wie 33) erkennen läßt, daher heißt die A4-Kurve auch Wassermengenkurve. Aus den Tafeln kann man direkt die Werte von A₄ für halbe Füllung ablesen. Fig. 331 liefert A₄ —1,495. In derselben Weise entnimmt man aus den anderen nicht abgedruckten Frankschen Tafeln:

A4 = 1,111 für das Kreisprofil,

„ Eiprofil auf dem stumpfen Ende, „ Ellipsenprofil, stehend, liegend.

Ai = —r

a²'

A₂ —

A₃ —

Ai

/₂

oder A₃

p | £d|

A4 — Ai Ag oder A4 —F

j/r

4R² 4R

4A,    4/₃ ²

a⁶'

A,²

A4 = 2,008 „

A4 = 1,803 „

A4 = 1,803 „    „

Hiernach würde bei halber Füllung die größte Wassermenge durch ein auf dem stumpfen Ende stehendes Eiprofil abgeleitet werden.

Frank giebt auch die Tabellen an, aus deren Auftragung die graphischen Tafeln entstanden sind. Die zu unserer Fig. 331 gehörige ist die folgende:

Füllungshöhe

als

Bruchteil

= Ai r²

= >L> r

FJ/R = >.4 Fr»

4 R²

= cF

Gesamthöhe

Ai

A₂

Ai

ft

0,503    i,330

0,528    1,263

1,178

4,594

4,367

3,980

3,518 3,023 2,525 7,930

6,485

5,835

5,291

4,788

4,287 0,761

0,821

0,826

0,815 o,795

0,768 3,497

3,583

3,287

2,869 2,402

i,938 0,292 0,415

0,468 o,55o 1,159 i,347

1.364

0,059

2,037

1,570

1,136 0,745 0,413 0,154 3,783 3,272 2,749 2,211

1,642 1,047 0,734

0,693

0,643 0,580

0,502 0,38Z 1,495

I,088 0,730 0,432 0,207 0,569

0,587

0,601

0,6l0

0,613

0,562 1,077

0,960

0,826 0,674

0,503

0,294

Füllungshöhe

als

Bruchteil

der

Gesamthöhe

= AX r²

Ai

yn f yR =a₃    = A₄y^

4R²

— vY

Nach diesen Tabellen kann man sich größere graphische Tafeln anfertigen und dadurch die Genauigkeit der Berechnungen vergrößern.

§ 133.

Die logarithmographischen Tafeln von Frank.

Die sonst so umständlich zu handhabenden Geschwindigkeitsformeln hat Frank durch seine logarithmographischen Tafeln leicht anwendbar gemacht. Die Darstellung ist in folgender Weise geschehen.

Wie in den §§ 124 u. ff. denken wir uns jede Geschwindigkeitsformel auf die Form 1) v — k j/R J gebracht.

Für die Ausfluß- oder besser für die Durchflußmenge gilt die Gleichung

Q = F v

36)

oder unter Benutzung von 34)

37)

4R²

oder endlich

38)

Q v = 4 R² v.

formung 39) . . oder

Durch Logarithmieren erhalten wir hieraus nach entsprechender Um

. . 2 lg 2 R = lg Q v — lg v

lg v = lg Q v — 2 lg 2 R.

Dies sind beides lineare Gleichungen, daher wird die Darstellung aus Systemen grader Linien bestehen. Die Berechnung und Verzeichnung

40)

28*

geschieht nun so, daß man E und v als Koordinatensystem wählt, d. h. man trägt die Logarithmen von v in horizontaler und die Logarithmen von E in vertikaler Richtung auf — ein Stück einer solchen Tafel und zwar für v — 0,5 bis v = 0,2 und E — 0,20 bis E — 0,05 ist in Fig. 353_jmf Tafel 32 wiedergegeben —, alsdann rechnet man für einen bestimmten Wert C von Q v zwei Paar zusammengehörige E und v ans, dadurch sind zwei Punkte der graben Linie Q f = C und somit die Linie selbst bestimmt. Es sei z. B. Qy = 0,1, dann ergießt Gleichung 40), wenn wir den Schnitt von Q v = 0,1 mit E —0,20 bestimmen wollen: 41) . . lg v = lg 0,1 — 2 lg 2 • 0,2 = 0,7958800 — 1

und

v — 0,625.

Ans Gleichung 39) finden wir bei v — 2,0:

43)    . . . 2 lg 2 E = lg 0,1 — lg 2 = 0,6989700 — 2 und daraus

44)    .

42)

E = 0,1118.

Um das (v, E) Netz und die berechneten Werte aufzutragen, müssen wir einen bestimmten Maßstab wählen. Durch Ausmessung der Fig. 353, die eine genaue Kopie eines Stückes der betreffenden Frankschen Formel ist, findet man, daß für die Vertikalen

45)    . . 100 (2 lg 2 E — 2 lg 2 • 0,05) = 100 (2 lg 2 E + 2) und für die Horizontalen

46)    .    200 (lg v —lg 0,5) = 200 (lg v + 1 — 0,6989700) -)

in Millimetern ansgetragen ist. Hiernach muß

A B = 100 (2 lg 2 E + 2)

und nach 43)

und

= 100 - 0,6989700 = 69,897 mm C D = 200 (lg v + 1 — 0,6989700)

und nach 41)

= 200 (0,7958800 — 1 + 1 — 0,6989700) =

= 200 - 0,0969100 = 19,38200 mm sein.

Für die Punkte F und E der Graden Qv = 0,03 erhalten wir in derselben Weise

(4 F — 100 (2 lg 2 E + 2) = 100 (lg Q v — lg v + 2) =

— 100 (lg 0,03 — lg 0,5 + 2) — 77,815 mm,

A E = 100 (lg 0,03 — lg 2,0 + 2) = 17,609 mm.

Ebenso sind alle andern Q, v - Linien ermittelt.

*) Für die Gesamttafel 200 (lg v — lg 0,1) = 200 (lg v + !)•

Um zur Verzeichnung der J - Linien zu gelangen, logarithmieren wir 1). Dies ergiebt

47)

!g v = i lg R + | lg J + lg k

oder

48)

lg R = 2 lg v — lg J — 2 lg k.

Für einen konstanten Koeffizienten k ergeben die Gleichungen ein System grader 4-Linien. Soll z. B. J = 1T°T bei dem Eytelweinschen Koeffizienten k = 50,9 bestimmt werden, so erhalten wir für die Entfernung CH des Schnittpunktes H dieser 4-Linie mit R = 0,20 nach den Gleichungen 46) und 47):

C H = 200 (lg v + 1 — 0,6989700) =

= 200 (4 lgR + 4 lg 4+ lgk +1 — 0,6989700) =

= 200 (4 lg 0,20 + 4 lg 0,001 + lg 50,9 + 1 — 0,6989700) = ----- 200 [4 (0,3010300 — 1) + | (— 3) + 1,7067178 +

+1 — 0,6989700] = 31,65256 mm.

Die entsprechende Geschwindigkeit ist v ----- 0,71983 m.

Durch Gleichung 45) und 48) finden loir bei v 0,5 m G L = 100 (2 lg 2 R + 2) = 200 [lg 2 + lg R -f 1] =

= 200 [lg 2 + 2 lg v — lg J — 2 lg k -)- 1] =

= 200 [lg 2 + 2 lg 0,5 — lg 0,001 — 2 lg 50,9 + 1] =

= 200 [0,3010300 + 2 (0,6989700 — 1) — (— 3) —

— 2 -1,7067178 + 1] = 57,10688 mm.

In derselben Weise kann das ganze System der J - Linien berechnet und eingezeichnet werden. Weil diese Graden nun alle parallel werden, so genügt es, wenn wir die 1A-Linie einzeichnen und nur die Teilpunkte einer Horizontalen durch die J - Linien bestimmen, den so erhaltenen Maßstab, Fig. 354, auf einen Streifen Papier oder noch besser auf einen durchsichtigen Stoff übertragen und bei der Ausführung einer Berechnung parallel mit sich so verschieben, daß der 1A-Punkt immer auf der Linie HL bleibt.

Beispiel. Das auf der Spitze stehende Eiprofil (Fig. 331 Tafel 27) soll bei halber Füllung und dem Gefälle J = 2 A eine Wassermenge Q = 0,123 nach der Eytelweinschen Formel liefern, welche Dimensionen muß es erhalten?

Aus Fig. 331 oder aus der Tabelle auf S. 435 entnehmen wir für halbe Füllung v = 0,569, u -----1,077.

Sodann legen wir den Maßstab Fig. 354 Tafel 32 in horizontaler Lage auf Fig. 353 und zwar so, daß der Teilpunkt l A mit einem Punkte der ll—!/-§--Linie der Eytelweinschen Formel, d. h. der Linie LH, zusammenfällt und verschieben ihn parallel mit sich, indem wir den erwähnten Teilpunkt auf L H gleiten lassen, soweit bis der Teilpunkt 2T°Tr auf die Qv = 0,123 • 0,569 — 0,07 cbm - Linie kommt. Dadurch wird auf der letztgenannten Graden der Punkt M bestimmt, zu welchem gehörig wir in horizontaler Richtung R — 0,143 und in vertikaler v = 0,85 ablesen können. Unter Benutzung des ersten Wertes ergiebt Gleichung 35)

r = — R =    0,143 = 0,265 m.

Hiermit ist das ganze Profil bestimmt. Es wird z. B.

kjIco CO

die lichte Höhe . . . die Füllungshöhe . . der benetzte Umfang . . U =

0,795 in,

0,3975 m,

A₃ r = 3,783 • 0,265 = 1,0025 m,

die gefüllte Querschnitts-

fläche

oder

h r² = 2,037 - 0,2652 4    0,143²

— 0,143 qm.

— R²

0,569

Soll irgend eine andere Geschwindigkeitsformel benutzt werden, so ändert sich nur der Koeffizient k und es verschiebt sich nach Gleichung 47) oder 48) das ganze System der J - Linien gleichmäßig nach rechts oder links. Für irgend eine der Formeln mit konstantem k haben wir daher nur eine ll-Linie, z. B. die 1 T°T - Linie zu verzeichnen und dem entsprechend unsern J - Maßstab zu verschieben.

Weniger einfach gestaltet sich die Sache, wenn k von J oder R oder gar von beiden Größen abhängt, wie dies bei der Gangnillet-Kutterschen Formel (28) der Fall ist. Für ein bestimmtes n werden wir ein System von ll-Linien erhalten, die nicht mehr grade und unter sich parallel sind. Daher können wir uns nicht mehr mit der Verzeichnung, der 1/^- Linie begnügen und müßten eigentlich alle J - Kurven konstruieren.

Die Genauigkeit wird aber groß genug, wenn man für jeden Wert von n die 10TV, 1-jV, 0,1tV und 0,01/^-Kurve einzeichnet und den Maßstab Fig. 354 so verschiebt, daß immer zwei Teilpunkte auf den entsprechenden ll-Linien verbleiben.

Als Beispiel der Konstruktion der Gefällkurven wollen wir einige Punkte der 1-^-Linie für n — 0,0125 berechnen. Es sei zuerst der Schnittpunkt N mit der Linie R — 0,20 gesucht. Unter Benutzung der gegebenen Werte liefert Gleichung 28)

C N = 200 (lg v 4- 1 — 0,6989700) =

= 200 (0,9426210 — 1 + 1— 0,6989700) = = 200 - 0,2436510 = 48,730 mm.

In derselben Weise sind eine ganze Reihe von Schnittpunkten der

Gefällekurve mit den R-Linien zu berechnen und aufzutragen.

Will man aber den Durchschnitt der J - Kurve mit einer bestimmten

Geschwindigkeitslinie — z. B. J = 1 + mit v — 0,5 — berechnen, so

erhält man durch Umformung von 28), wenn noch zur Abkürzung

50) . . gesetzt wird:

. . 234

0,00155 — = e

KR

23 4

0,00155

49) .

0,0125    0,001

l + (234

0,00155\ 0,0125

0,001 Jyopö

K0,20.0,001 =

_ 104,55 V 2 ~~ 1,6874' 100 Nach Formel 46) ergießt sich für die Aufzeichnung

0,87624 m.

. e = KR (e + ^) VJ.

Hieraus ergießt sich J)

5i) . . . Kr

v+K

v¹ + 4 n v e

²(e+TVJ

Für unser gewähltes Beispiel ist J — 0,001, v — 0,5, n = 0,0125 . in 50) und 51) einzusetzen. Dadurch finden wir

= 24,55

e = 23 +

0,00155

und

Kr=

0,001

0,5 + j/o,5¹ + 4 • 0,0125 • 0,5 • 24,55 (24,55+—L_) K0,001

K^ + O/kV⁰'⁰⁰¹

0,5 + K‘2,2792479    2,0097

6,612369 6,612369

lg /B --- 0,4827742 — 1, lg B = 0,9655484 — 2,

Hiernach ist

somit

B = 0,092374.

Der Schnittpunkt dieser B-Linie mit der Geschwindigkeitslinie v — 0,5 ist der gesuchte Punkt 0. Zur genaueren Bestimmung desselben gelangen wir nach 45). Es ist nämlich

GO=200(lgB+lg2+l)=200 (0,9655484—2+0,3010300+1) = — 53,316 mm.

Die Berechnung ist so ausführlich gebracht, um einerseits zu zeigen, welcher Fleiß für die Konstruktion einer derartigen graphischen Tafel erforderlich ist und anderseits wie sie angefertigt wird.

Die zur Ganguillet - Kutterschen Formel gehörigen Gefällkurven sind mit K und einem Index (0,01; 0,1; 1,0; 10) bezeichnet, der das Gefälle in A angiebt. Ferner ist noch eine Zahl dahinter gesetzt, welche den Rauheitsgrad n darstellt. Die von uns berechnete Kurve trägt daher die Bezeichnung Kx 0,0125, da sie nach der Ganguillet-Kutterschen Formel die 1A - Kurve für n — 0,0125 ist.

Zum Schluß dieser Betrachtungen wollen wir noch die folgende aus dem Originalwerte entlehnte Aufgabe mit Hilfe der Figuren 331, 353, 354 lösen.

Ein eiförmiger Kanal (Fig. 331) soll im Maximum 0,8 cbm Wasser abführen, im Minimum 0,04 cbm, letztere aber noch mit mindestens 0,6 m Geschwindigkeit; wie groß werden die Profildimensionen und das Gefälle?

Aus dem Verlaufe der A-Kurve in Fig. 331 ersieht man, daß die größte Wassermenge bei 0,95 Füllung abgeführt wird; diesem Füllungsgrade entspricht A₄ — 3,61, v — 0,38 und — 1,31, folglich wird

= 0,8-0,38 = 0,304.

Da die A - Linie gleichzeitig die Wassermengenkurve ist, so wird sich A für Qmin zu A für Qmax wie diese Wassermengen selbst verhalten oder in unserm Beispiel

0,04

0,8

A _0,04

3,61 ~ 0,8 '

• 3,61 = 0,18. Zu diesem Werte von A

Daraus ergiebt sich A gehört nach Fig. 331:

Folglich wird für Kleinwasser

v — 0,611 und ,u = 0,48.

Qy = 0,04 - 0,611 = 0,02444.

Durch den Schnittpunkt dieser -Linie (Fig. 353) mit v — 0,6 legt man den Maßstab Fig. 354 so, daß die Punkte 1A und 10A auf Li 0,0125 und K₁₀ 0,0125 zu liegen kommen — wie es in der Figur durch die punktierte Linie angedeutet ist. Die (v —0,6)-Linie bestimmt dann auf dem Maßstabe das erforderliche Gefälle J = 1,25 A und den hierzu gehörigen hydraulischen Radius R — 0,101¹). Nach Gleichung 35)

muß r — — R =    • 0,101 — 0,421 m werden, mittels des eben er

haltenen Gefälles J —1,25 A und der Maximalwassermenge = 0,304

• 0,255 = 0,39 m.

würde man aber bekommen R — 0,255 und r —

1,31

Diese Differenz zwischen den beiden so erhaltenen r rührt aber her aus der Vernachlässigung der Verschiedenheit der Geschwindigkeitskoeffizienten in der obigen Proportion.

Sie hat jedoch nichts weiter auf sich, da in der Praxis der Radius r ja doch abgerundet wird und es fragt sich nur, wie abzurunden ist. Nimmt man den zwischen beiden Werten liegenden Radius r — 0,40 und behält das Gefälle J — 1,25 A bei, so muß die Füllhöhe für Kleinwasser eine größere werden; wählt man als Füllnngsgrad statt 0,155 nun 0,17, so wird hierfür nach Fig. 331 v — 0,613, ^ — 0,51 und folglich o 51

r =    0,4 = 0,102 m.

tos?:

Diesen beiden Werten R und J entspricht aber nach Fig. 353 eine Wasser-

0,025

—0,407 und eine Geschwindig-

menge Qy = 0,025 cbm oder Q — keit v — 0,603.

Der Radius r — 0,4 oder die Weite des Kanals von 0,8 in und das Gefälle J — 1,25 A genügen also den Bedingungen.

Es sei hier noch bemerkt, daß wir leider von den Frankschen Bezeichnungen abweichen mußten, um nicht jetzt mit einem Buchstaben etwas anderes wiederzugeben wie früher oder denselben Begriff durch zwei verschiedene Buchstaben darzustellen.

0,613

Daher steht

für

H, 'S

bei Frank.

x) Um derartige Werte abzulesen, muß man sich einen nach 45) berechneten genau eingeteilten Maßstab anfertigen und diesen vertikal haltend parallel mit sich verschieben.

Vierundzwanzigstes Kapitel.

Uber den Zusammenhang der Geschwindigkeiten in den verschiedenen Punkten desselben (Querschnittes.

§ 134.

Berechnung der mittleren Geschwindigkeit ans bestimmten gemessenen Geschwindigkeiten.

Um die mittlere Geschwindigkeit nach Messungen zu bestimmen, müßte man die Gesetze genau kennen, nach welchen sich die Geschwindigkeiten in einem Querschnitte in einer beliebigen horizontalen oder vertikalen Linie ändern. Diese Gesetze scheinen aber sehr verwickelter Natur zu sein, denn die sür einen Fluß abgeleiteten stimmen bei einem andern manchmal gar nicht. Wir wollen uns zunächst mit der Änderung der Geschwindigkeit in einer Vertikalen beschäftigen.

Tadini giebt an, daß sich die Geschwindigkeit an der Oberfläche zu derjenigen an der Flußsohle im allgemeinen wie 1:0,0016 verhalte, daß aber an jenen Stellen des Po, wo der Strom und das Gefälle schwach und die Sohle dem Wasserspiegel parallel ist, beide Geschwindigkeiten nahezu gleich groß sind.

Dubuat fand durch 48 Versuche an einem kleinen, nicht ganz V tiefen Kanüle, daß die Differenz zwischen der Oberflächen- und Bodengeschwindigkeit im Stromstrich größer wurde, wenn die Geschwindigkeit abnahm. Für die Geschwindigkeit am Boden findet er:

1)

mVt = [Wo⁷-0,16s 2.

Er fand ferner, daß die mittlere Geschwindigkeit in ¹/₆ bis l/₈ der Tiefe über dem Boden liege, betrachtete indessen seine Versuche als hierüber nicht entscheidend.

Focacci fand, daß in einem Kanäle von 5' Tiefe die größte Geschwindigkeit 2 bis 2,5' unter der Oberfläche sei.

@ er ft n er glaubt das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung durch die Ordinalen einer Ellipse ausdrücken zu können.

Brünings fand, daß in Kanälen von 5 bis 14' Tiefe und von 2 bis 5' Geschwindigkeit das Mittel aus der ganzen Vertikalgeschwindigkeitskurve 0,89 bis 0,96 derjenigen Geschwindigkeit sei, welche an der Oberfläche oder vielmehr 1' unter derselben gefunden werde.

Woltmann glaubt, die Geschwindigkeit vermindere sich von der Oberfläche an abwärts nach den Ordinaten einer Parabel, deren Achse vertikal und bereit Scheitel in einer gewissen Distanz unter der Flußsohle liegt.

Limen es fand, daß die mittlere Geschwindigkeit in einer Vertikalebene des Arno, an Stellen, wo er 15' tief war und an der Oberfläche 3’ Geschwindigkeit hatte, 0,92 dieser Tiefe nahe der Oberfläche sei.

Eytelwein konnte kein bestimmtes Gesetz finden, giebt aber schließlich eine Abnahme in arithmetischer Progression zu, welche für jeden Meter der Tiefe ¹/io der Oberflächengeschwindigkeit betrage.

Funk giebt an, daß das Gesetz der Abnahme durch eine logarith-mische Kurve dargestellt wurde.

Aoung betrachtet'°/ig der Oberflächengeschwindigkeit als Mittel aus der Vertikalkurve.

Döfontaine konstatiert, daß der Rhein bei ruhigem Wetter an der Oberfläche die größte Geschwindigkeit habe. Diese nehme anfangs gegen die Tiefe zu unmerklich ab, die Veränderung werde aber in der Nähe der Flußsohle auf einmal sehr stark. Die mittlere Geschwindigkeit der ganzen Vertikalkurve variiere von 0,85 bis 0,89 des Maximums. Die Lage derselben sei im allgemeinen bei ³/₆ der Tiefe unter der Oberfläche. (Dieser stimmt genau mit den Ergebnissen der Mississippiversuche, welche bei windstillem Wetter 0,66 der Flußtiefe ergeben.)

Raucourt stellte an einer Stelle der Newa, wo dieselbe 900' breit und im Maximum 63' tief war und einen regelmäßigen Querschnitt hatte, Versuche an. Bei gefrontem Flusse wurde die größte Geschwindigkeit von 2' 1" per Sekunde ein wenig unter der Mitte der größten Tiefe gefunden. Diese größte Geschwindigkeit war etwas kleiner als das Doppelte der Geschwindigkeit an der Oberfläche und an der Flußsohle, welche letztern einander nahezu gleich waren.

Zur Sommerszeit war die größte Geschwindigkeit bei ruhigem Wetter nahe an der Oberfläche. Der Wind hatte aber großen Einfluß, indem er die Geschwindigkeit an der Oberfläche bei starkem Wehen stromaufwärts so reduzierte, daß sie kaum größer war als am Boden. Er glaubt, das

Gesetz der Abnahme sei durch die Ordinalen einer Ellipse gegeben, deren Scheitel etwas unter der Flußsohle und deren kleine Achse etwas unter dem Wasserspiegel liege.

Hennoque sand am Rheine, daß die größte Geschwindigkeit bei ruhigem Wetter oder leichtem Winde bei ¹/₆ der Tiefe unter der Oberfläche liege; bei einem heftigen Winde stromaufwärts war sie ein wenig unter der Mitte der Tiefe; bei starkem Winde wasserabwärts war sie an der Oberfläche.

Baum garten beobachtete an der Garonne, daß die größte Geschwindigkeit im allgemeinen an der Oberfläche stattfand; an einer andern Stelle war sie unter der Oberfläche.

Wenn die größte Geschwindigkeit unter und zum Teil wenn sie an der Oberfläche war, bildete das Gesetz der Geschwindigkeitsabnahme nahezu eine grade Linie; im allgemeinen aber bildete dieselbe eine schwache Ellenbogenkurve, deren oberer Teil entweder vertikal oder wasserabwärts oder aufwärts gerichtet war. Im letztern Falle glich die Kurve einer sehr geöffneten Hyperbel, deren Scheitel an dem Punkte der größten Geschwindigkeit lag. In dem 45' weiten Kanäle von der Rhone zum Rheine war die größte Geschwindigkeit gleichförmig bei ¹I₃ bis ¹/₅ der Tiefe unter der Oberfläche; in dem mittlern Stromstriche dagegen war sie an der Oberfläche. Der Punkt der größten Geschwindigkeit lag verhältnismäßig höher, wenn die Tiefe groß war. Unter dem Punkte der größten Geschwindigkeit nahm letztere nach einem parabolischen Gesetze ab.

D' A u b u i s s a n giebt an, die Geschwindigkeit nehme zuerst langsam ab, wie die Tiefe zunimmt, welches Verhältnis aber gegen den Boden rasch zunehme; die Geschwindigkeit an der Sohle sei indes immer mehr als halb so groß als jene an der Oberfläche.

Boileau fand durch Beobachtungen an einem kleinen Kanäle, daß die größte Geschwindigkeit bei ^ bis ¹/ö unter der Oberfläche lag. Unterhalb dieses Punktes nahm die Geschwindigkeit rasch ab und nahezu in dem Verhältnis der Ordinalen einer Parabel, bereit Achse an der Oberfläche liegt. Oberhalb befolge die Änderung der Geschwindigkeit kein Gesetz, werde aber stark durch den Wind beeinflußt. Bei breiten Flüssen sei die mittlere Geschwindigkeit einer Vertikalebene wenig größer als 0,9 der größten Geschwindigkeit, welche keineswegs immer an der Oberfläche stattfinde; ferner bestehe kein festes Verhältnis zwischen der Oberflächen-und mittlern Geschwindigkeit.

D a r c y nimmt an, daß sich die Geschwindigkeiten in einer Vertikalen nach den Ordinalen der Parabel x — a y$ ändern.

Weisbach dagegen setzt eine grade Linie an Stelle der Parabel und stellt die Gleichung auf:

2)

--st

Von vielen Ingenieuren wird eine sogenannte vertikale Geschwindigkeitsparabel mit der Gleichung x² = p y angenommen. Es fällt hierbei die y- Achse mit der Parabelachse, die um tw unterm Wasserspiegel liegt, zusammen und die x-Achse geht vom Parabelscheitel aus vertikal abwärts (Fig. 379 Tafel 35). Setzt man nun in die

tw²

Parabelgleichung den vielfach angenommenen Wert p — ^ w und

ferner nach der Figur x = tx — t„-, y = w — vx ein, so ergiebt sich nach entsprechender Umformung

3)

Vx= W

w — v₀

tw²

(tx —tw)².

4)

Humphreys und Abbot geben die Formel:

Vx =

worin

0,2844

Kt+ 0,457

Hiernach hat Nazzani die folgende Tabelle berechnet: t =

P p "co "h-L 00 O

O lO 03 CO CD CD

o co co co cT CD

o o

xH CO

cT cT

CD p "co "bi CD o

O GO CD 03 CD CD

o o "co V]

-3 O

O lO

CO CD

1,00 1,

0,23 0,

CO CO

CO o

CO Ol

03 O

O CO

O CD

O lO

CO O

O cn> V o ^ o

O 00

o o

CD O

12,00 16,00 20,00 30,00 0,08    0,07    0,06    0,05

50,00

0,04.

Aus 4) folgt für tx — 0 und tx = t

4)

Vo =

vt =

w — y.

v. Wagner berechnet v aus w₀ durch die Gleichung .......v — 0,705 Wo + 0,01 w₀².

de Koningi) giebt dafür

6) -

wenn

7) . .

. . . . . . v = 0,82 wo — 0,04 w₀²,

0,54 <( w₀ < 2,16 m.

Nach v. Wagner erhält man für eine beliebige Vertikale

u: v„ = 0,80, wenn v₀ S 0,7, u: v₀ = 0,85, u: v₀ = 0,90,

„    0,7 < v₀ S 1,2,

„    l,2<v₀S3.

tu ist nach 64 Beobachtungen — 0,5966 -1, es schwankt jedoch zwischen 0,580 und 0,620.

Nach Hagen:

8)

u: v₀ = 6: 7.

Man rechnet auch viel nach:

_1+ 0,2676 |/t U~ 2 + 0,4014 |/t

Bestimmt man für die verschiedenen Vertikalen die mittleren Geschwindigkeiten u und verschiebt die sie darstellenden Ordinaten um t„ in den Wasserspiegel, so bilden ihre Endpunkte wieder eine Parabel und zwar die sogenannte mittlere Horizontalgeschwindigkeitsparabel.

Lahmeyer berechnet die mittlere Geschwindigkeit v aus der größten Oberflächengeschwindigkeit w₀ nach der Formel:

9)

v₀.

10)

v — 0,7 w₀.

Bazin dagegen setzt:

— 14/E J,

welch letztere Formel man für kleinere Wasserläufe anwenden kann, wenn die Genauigkeit nicht sehr groß sein soll. Kombiniert man die letzte Gleichung mit der Bazinschen Formel zur Berechnung der mittlern Geschwindigkeit (Formel 23 auf S. 417), so gelangte man zu der Gleichung:

U)

v = Wo

12) . .

Wo

l + l₄j/a + |L

nach welcher die folgende Tabelle unter Berücksichtigung der fünf Rau-heitskategorieen berechnet ist:

Tabelle der Werte von — •

Wo

in m

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,70

1,00

B50

2,00

3,00

0,84

0,85

0,85

0,85

0,85

0,85

0,85

0,85

0,85

0,85

4,00

5,00

6,oo

0,85

0,85

0,85

0,80 0,82 0,82 . 0,83

0,83

0,83

0,83

0,84

0,84

0,84

0,84

0,84

0,84

0,71

0,76

0,77

0,78

o,79

0,80

0,81

0,81

0,81

0,82

0,82

0,82

0,82

0,54

0,61

0,65

0,68

0,70

0,72

0,74

0,76

o,77

0,78

o,79

o,79

0,80

0,45

o,53

0,58

0,61

0,63

0,66

0,68

0,71

0,72

o,74

0,75

0,76

0,76

Ist in einem Kanäle die größte Oberflächengeschwindigkeit w₀ gemessen , so wird dieselbe mit dem entsprechenden Werte aus der obigen Tabelle multipliziert, um v zu erhalten.

Nach Humphreys und Abbot bestehen noch folgende Relationen

13) . .

.    . Uo = uw

14) . .

-    . Um = Uw-

15) . .

Aus 13) und 14) ergiebt sich

16) . .

.    . Uo =

Die Tiefe tw der Parabelachse unterm Wasserspiegel für die Hauptmittelkurve fand man bei den Versuchen am Mississippi am besten ausgedrückt durch:

17) . .

tw = (0,317 +0,060 f)R²),

t    *

*) Diese Formel folgt aus t n — /Vx dtx bei Benutzung von 4).

0

²) Ein flußaufwärts wehender Orkan [f= + 10, also tw=(0,317+ 0,6) R=0,917 R] drückt also die Parabelachse ungefähr bis A R gegen die Sohle hinab, während derselbe [f = — 10 und tw = (0,317 — 0,6) R = - 0,283 R] stromab wehend, die Achse bis auf A R über den Wasserspiegel erhebt. Ist der Fluß sehr breit, so können wir t für R setzen.

sodann ergab sich noch für das Mittel um aller Vertikalkurven

um — 0,93 v.

18)

Durch Benutzung der beiden letzten Formeln folgt aus 16) 19) . .

. u₀ = 0,93 v + Ki v (0,016 — 0,06 f).

Ferner soll noch sein

20) .... uu = 0,93 v + yiv (0,06 f - 0,3497),

21) . .

w + i vt + 3^(vo — vt),

u —

-    . v*t = U + TV

.    . uiR = um + T¹¥KZv.

Aus 4) und 15) folgt:

24)    vx = Ti-f    ~~ txX

25)    ux = 0,93 v + yFv ^R(0,634 + 0,12f)-t^) _0r06f+0,016],

= 0,93 v + j/Xy (0,1165 — 0,022 f + 0,0036 f²),

27) v = [Vi,08uib + 0,0022 — 0,045 VI] \

Nach dieser letzten Formel kann man unter Zuhilfenahme von Messungen die Geschwindigkeit v in folgender Weise bestimmen. Man

F

2^jj, mißt dann die Geschwindigkeiten v|R in

verschiedenen Vertikalen des betrachteten Querschnitts, trägt sie zu einer Horizontalgeschwindigkeitskurve zusammen und ermittelt deren Inhalt mit einem Polarplanimeter oder nach einer Simpsonschen Regel (S. 52 und 53). Dividiert man nun diese Fläche durch die Breite b, so ergiebt sich u|R, welches in 27) eingesetzt wird, um v zu erhalten.

Anmerkung. Aus den mehrfach erwähnten vertikalen Geschwindigkeitskurven (I bis V Fig. 323 Tafel 26) eines Querschnittes kann man die Jsotachen, d. h. Kurven gleicher Geschwindigkeit, konstruieren, indem man aus den vertikalen Geschwindigkeitskurven die Tiefen tx, welche zu der zu verzeichnenden Jsotache der Geschwindigkeit vx gehören, entnimmt und auf die entsprechenden Vertikalen der Hauptfigur überträgt.

CM CM

CM CO

26)

Uw

berechnet zunächst |R

§ 135.

Die Ergebnisse der Mississippi-Versuche.

Die höchst vollständigen und mit wissenschaftlicher Genauigkeit am Mississippi im Auftrage der uordamerikanischen Regierung angestellten Versuche haben zu den nachfolgenden Resultaten geführt:

1.    Das von so vielen Hydrotechnikern angegebene bestimmte numerische Verhältnis zwischen der größten Geschwindigkeit des Querschnitts eines Wasserlaufes und der mittlern Geschwindigkeit dieses Querschnitts existiert thatsächlich nicht.

2.    Das fließende Wasser erleidet selbst bei ruhiger Luft sowohl am Wasserspiegel als am Flußgrund einen Widerstand, doch rührt der erstere Widerstand weniger von der Reibung der Luft, als vielmehr von dem bereits in § 122 besprochenen Verlust an lebendiger Kraft infolge der unregelmäßigen Bewegung an der Oberfläche her.

3.    Die Wirkung dieser Widerstände wird von den einzelnen Wasserteilchen vermöge deren Kohäsion von unten nach oben und umgekehrt fortgepflanzt, nimmt mit der Entfernung von der Flußsohle und dem Wasserspiegel ab und es hat an demjenigen Punkte, an welchem diese allmählich abnehmenden Widerstände einander gleich sind, der Fluß seine größte Geschwindigkeit.

4.    Denkt man sich diesen Punkt der größten Geschwindigkeit als den Scheitel einer Parabel, in einer dem Stromstrich parallelen Vertikalebene, die Achse der Parabel parallel dem Wasserspiegel und den Anfangspunkt der Messung in einer Entfernung vom Scheitel der Parabel, welche der größten Flußgeschwindigkeit gleich ist, so ist für ein in beliebiger Tiefe befindliches Wasserteilchen dieser Vertikalebene die Geschwindigkeit gleich der entsprechenden Abscisse der Parabel. Der Parameter oder die Stärke der Krümmung dieser Parabel ist proportional einer gewissen bekannten Funktion der Flußtiefe und der mittlern Geschwindigkeit des Flusses.

5.    Die höhere oder tiefere Lage der Achse der Parabel ist direkt proportional der Stärke des Windes; die Achse steigt bei einem stromab wehenden und sinkt bei einem stromauf wehenden Winde, ohne daß letzterer auf die Krümmung der Kurve einen Einfluß hat.

6.    Die mittlere und die größte Geschwindigkeit der Kurve (einer Vertikallinie) stehen in einem bestimmten Verhältnisse zu einander, so daß, wenn eine derselben und die Lage der Achse bekannt ist, die andere und die ganze Kurve bestimmt werden kann.

7.    Die Differenz zwischen der größten und kleinsten Geschwindigkeit (derselben Vertikalebene) ist immer ein sehr kleiner Bruchteil der mittlern Geschwindigkeit dieser Vertikalebene).

8.    Die Achse der Geschwindigkeitskurve bleibt selten in derselben Lage; der leiseste Wind ist im stände, dieselbe zu verschieben; bei starken Winden aber schwankt diese Kurve ebenso auf und ab, wie die

29

Meißner, Hydraulik. I. 2. Auflage.

vom Winde bewegten Gipfel hoher Bäume hin- und herschwingen. Wenn sich die eingetauchten Schwimmer noch so genau in derselben Tiefe unter der Oberfläche befinden, so können sie bei nicht ruhiger Luft niemals genau dieselbe Geschwindigkeit haben, weil sie sich dabei dennoch in sehr verschiedenen Entfernungen von der Kurvenachse befinden und die Geschwindigkeit ganz verschiedener Kurvenpunkte anzeigen.

Diese Veränderlichkeit der Kurvenachse erklärt auch vollständig die bisher so verschiedenen Ansichten über die Lage und Gestalt der Kurve.

Zur Verdeutlichung des Gesagten dienen die Figuren 237 und 238, Tafel 15 Z.

In Fig. 237 ist dbf hi die Geschwindigkeitskurve; ab deren Achse im Abstande ac unter dem Wasserspiegel. Es ist nun ab die größte Geschwindigkeit in der Tiefe a; es ist die Geschwindigkeit in der Tiefe e; g h diejenige in der Tiefe g und c d diejenige an der Oberfläche.

Fig. 238 zeigt, wie sich die Lage der Kurvenachse verändert; sie erklärt den Grad des Windeinflusses am Mississippi bei Columbus bei einer Windstärke 4 auf- und abwärts. Während bei ruhiger Luft die Kurvenachse sich in einer Tiefe von 0,317 der ganzen Flußtiefe unter der Oberfläche befand, erhob sie sich bei einein stromab wehenden Winde von der Stärke 4 bis nahe an den Wasserspiegel, sank dagegen bei einen: gleich starken stromauf wehenden Winde bis zu 0,56 der ganzen Tiefe unter die Oberfläche.

Werden daher die Beobachtungen bei einem flußauf wehenden Winde gemacht, welcher die Kurvenachse bis nahe zur halben Flußtiefe hinabdrückt, so kann die Kurve leicht für eine Ellipse angesehen werden. Liegt die Kurvenachse aber nahe oder ganz am Wasserspiegel, so kann die Kurve einer Hyperbel ähnlich werden, obwohl sie immer ein und derselben Parabel zugehört.

§ 136.

¹

) Es ist nur eine Lösung der quadratischen Gleichung für ]/R angegeben, da die zweite negativ wird.

Bestimmung der mittlern Geschwindigkeit, wenn die größte Geschwindigkeit an der Oberfläche ist.

In Flüssen mit sehr regelmäßigem Querschnitt, ganz besonders aber in Kanälen, auf deren Sohle keine Unregelmäßigkeiten vorkommen, liegt

*) In Bezug auf die Bezeichnungen in diesen und den folgenden Figuren ist zu bemerken, daß dieselben der photographischen Wiedergabe wegen mit den amerikanischen Originalen übereinstimmen und daß daher bD VmViD u.s.w. unserm X tu vi^... entspricht.

MW

die größte Geschwindigkeit w immer sehr nahe oder ganz am Wasserspiegel. Für diesen Fall vereinfachen sich die bisherigen Formeln, denn wir können t1T = 0 setzen. Geschieht dies in 4), so ergiebt sich

28) '

*fc ^

als Scheitelgleichung der Parabel, deren Parameter

Vx = V»-

ist-

y/. v

1.    Es sind daher bei allen vertikalen Geschwindigkeitsparabeln eines und desselben Flußquerschnittes die den gleichen (vom Scheitel gemessenen) Abscissen entsprechenden Ordinalen den Wassertiefen direkt proportional.

Dieses Gesetz- ist in Fig. 240 Tafel 15 für eine und dieselbe Geschwindigkeit AC = v₀ und verschiedene Wassertiefen von 1 bis 6 m (A1 = 1, A 2 = 2 . . . A6 = AD = 6m) graphisch dargestellt.

Es wird ferner nach 4" oder nach 28)

29)    . . . vt = v₀ — V'i- v oder v₀ — vt = j/l v

oder in Worten:

2.    Die Differenz zwischen einer beliebigen Oberflächengeschwindigkeit und der zugehörigen Bodengeschwindigkeit ist konstant und zwar gleich der Größe Vlv.

Aus 15) folgt:

CO

3. Die Differenz zwischen der Oberflächengeschwindigkeit und der mittleren Geschwindigkeit der zugehörigen Vertikalen ist konstant und zwar gleich Ij/Av.

Durch Einsetzung des Wertes von u aus 30) in 22) finden wir 31) . . v^t = v₀ —    oder v₀ — v|t =\Y'k v-

4. Die Differenz zwischen der Oberflächengeschwindigkeit und der zugehörigen Geschwindigkeit in halber Tiefe ist konstant und zwar gleich j j/A v.

Die Parabelgleichung 28) ergiebt: u = v₀ — \'l v j und mit Verwendung von 30):

. . t„ = j/j t = 0,57731, d. h.

32) . .

5. Der Ort der mittleren Geschwindigkeit liegt bei jeder Vertikalen um 0,5773 der Tiefe unter der Oberfläche.

Durch Subtraktion der Gleichung 30) von 31) ergiebt sich

33)

V|t — U = TV Yl V.

29*

6.    Die Differenz zwischen der Geschwindigkeit in der halben Tiefe und der mittleren Geschwindigkeit derselben Vertikalen ist konstant und zwar gleich XV Vk v.

Der Ausdruck ^ j/kv ist nahezu für die verschiedensten Beispiele konstant (— 0,11'), wie Grebenau am Schluffe seines Werkes nachgewiesen hat. Daher können wir mit großer Genauigkeit den Satz aufstellen:

7.    Die mittlere Geschwindigkeit in einer Vertikalen ist um 0,034 m kleiner, als die zugehörige Geschwindigkeit in halber Flußtiefe.

Die aufgeführten Gesetze sind in Fig. 240 graphisch dargestellt. Es ist jedoch, wie schon gesagt wurde, // v, u vt v,u ... für ]/h v, Ym, Yd, V"id ... zu lesen.

Von mehreren Kanälen werden Vertikale, welche die Tiefen tj = A1 = 1 m, t₂ =A2 = 2m . . . t₆ = A 6 = 6 m darstellen, in Betracht gezogen. Die größte Geschwindigkeit liege für alle an der Oberfläche und sei = AC = v₀, während die Bodengeschwindigkeit = DE = vt ist. Ziehen wir nach 31) die Größe {Vkv = CG von v₀ = AC ab, so muß die Vertikale in Gr sämtliche Geschwindigkeitsparabeln in Punkten schneiden, deren Abscissen von der Länge AG- die Geschwindigkeiten vjt ihrer Größe und Lage nach darstellen. Benutzen wir die Gleichung 30), ziehen also |f/A v = FC von v₀ = AC ab, so erhalten wir u —AE. Von diesen mittleren Geschwindigkeiten sind nur die über vt hinausreichenden Stücke ausgezogen.

Das Gesetz 7 giebt uns ein sehr bequemes Mittel zur Bestimmung der Geschwindigkeit v an die Hand, wenn die größte Geschwindigkeit w an der Oberfläche liegt. Man muß in verschiedenen Vertikalen die Geschwindigkeiten v|t messen, jedesmal 0,034 abziehen und die so erhaltenen Werte u auftragen und ihr Mittel u„ bestimmen, welches man für v gebraucht.

§ 137.

Gefällverlust durch Flußknimmimgen.

Zur Bestimmung des Gefällverlustes durch Flußkrümmungen hat Dubuat aus zahlreichen Versuchen mit Röhren folgenden Ausdruck abgeleitet:

hkr

v² sin² d

81

Aus direkten Messungen an den Krümmungen des Mississippi hat

sich dagegen ergeben, daß der obige Ausdruck für Flüsse zu kleine Werte liefert und daß die Formel

v² sin² 4

41

hkr

den Beobachtungen entspricht.

Es ließ sich annehmen, daß der Wert von sin² 4, da er von der Anzahl der Krümmungen zwischen den betrachteten Punkten abhängt, dem Überschuß der Länge des Flusses über die Luftlinie proportional sei.

Bezeichnet man diesen Überschuß in englischen Meilen mit H, so stellte sich nach den Beobachtungen der Wert

sin² 4 = 0,34 M

als den Thatsachen entsprechend heraus.

§ 138.

Gesetze der Wasserläufe.

Aus der amerikanischen Formel lassen sich folgende Regeln ableiten:

1.    Die mittlern Geschwindigkeiten zweier Flüsse verhalten sich wie die Produkte aus den Quadratwurzeln der mittlern Tiefen und den vierten Wurzeln der Gefälle.

2.    Die Produkte aus dem Gefälle und dem Quadrat der zugehörigen mittlern Tiefe verhalten sich wie die vierten Potenzen der mittlern Geschwindigkeiten.

3.    Bei gleicher mittlerer Tiefe verhalten sich die mittlern Geschwindigkeiten wie die vierten Wurzeln aus den Gefällen.

4.    Die Gefälle verhalten sich wie die vierten Potenzen der mittlern Geschwindigkeiten, d. h. vermehrt oder vermindert sich bei gleicher mittlerer Tiefe eines Flusses das Gefälle um 4, 8, 12, 16%, so vermehrt oder vermindert sich die mittlere Geschwindigkeit nur um 1, 2, 3, 4%.

5.    Bei gleichen mittlern Geschwindigkeiten verhalten sich die Gefälle umgekehrt wie die Quadrate der mittlern Tiefen und die mittlern Tiefen umgekehrt wie die Quadratwurzeln der Gefälle.

6.    Bei gleichem Gefälle verhalten sich die mittlern Tiefen wie die Quadrate der mittlern Geschwindigkeiten und die mittlern Geschwindigkeiten wie die Quadratwurzeln der mittleren Tiefen.

7.    Bei großen Flüssen und gleichem Gefälle entspricht einer Zu- oder Abnahme der mittlern Tiefe um 2, 4, 6% eine Zu- oder Abnahme der mittlern Geschwindigkeit von 1, 2, 3%.

§ 139.

Überblick über die verschiedenen Geschwindigkeitskurve» eines ganzen Querschnittes.

Ein deutliches Bild der Verteilung und Einwirkung des Reibungswiderstandes in Kanälen sowohl als in geschlossenen Röhren erhält man, wenn man die Geschwindigkeit an den verschiedensten Stellen eines und desselben Querschnittes eines fließenden Wasserkörpers bestimmt und die erhaltenen Punkte gleicher Geschwindigkeit durch Linien verbindet. Die so entstehenden Kurven führen auch den Namen Jsotachen.

Dieses hat Bazin gethan, indem er die Geschwindigkeit an 45 symmetrisch über den Querschnitt des fließenden Wasserkörpers verteilten Punkten gemessen hat und zwar sowohl in geschlossenen Kanälen und Rohrleitungen, als auch in gewöhnlichen oben offenen Wasserläufen.

Die Figuren 196 und 197 Tafel 12 des vorliegenden Werkes stellen die Resultate der auf diesem Wege angestellten Versuche dar.

Die Geschwindigkeiten sind dabei mit dem Darcyschen Geschwindigkeitsmesser bestimmt worden, welcher auch die Vermessung der Geschwindigkeiten nahe an den Kanalwänden mit außerordentlicher Genauigkeit gestattet und zwar derart, daß eine andere Methode, z. B. mit Schwimmern, für den vorliegenden Zweck ganz nicht angewendet werden könnte, da man einerseits die Geschwindigkeit mit solchen nie so nahe an den Wänden bestimmen könnte und man anderseits nicht die Geschwindigkeit in einem und demselben Kanalquerschnitte erhalten würde.

Fig. 196 zeigt die Geschwindigkeiten an den verschiedenen Stellen eines Querschnittes von einem rings geschlossenen Kanäle von rechteckigem Querschnitte. Wie man sieht, herrscht hier eine außerordentliche Regelmäßigkeit in der Verteilung der Geschwindigkeiten, indem die Kurven gleicher Geschwindigkeit nicht nur links und rechts der vertikalen Mittellinie ee, sondern auch über und unter der horizontalen Mittellinie hh symmetrisch sind. Die Geschwindigkeiten ganz nahe den Kanalwänden stellen sich dabei als den Wänden parallele Rechtecke dar, aber je weiter' von den Wänden man die Geschwindigkeitskurven betrachtet, desto mehr erhalten die Rechtecke, welche denselben Geschwindigkeiten entsprechen, abgerundete Ecken.

Ganz anders verhält es sich indessen in einem offenen Kanäle, wo die Regelmäßigkeit der Geschwindigkeitskurven eine weit geringere ist, wie aus Fig. 197 hervorgeht. Nicht nur beschränkt sich hier die Symmetrie

Überblick über die verschiedenen Geschwindigkeitskurven eines ganzen Querschnittes. 455

der Kurven von gleicher Geschwindigkeit auf die beiden Hälften zur Seite der vertikalen Mittellinie, sondern es sind diese Kurven selbst schon bedeutend weniger regelmäßig als bei dem ringsum geschlossenen Kanäle. Auch hier sind die den Wänden sehr nahe liegenden Kurven derselben Geschwindigkeit noch Rechtecke, deren vertikale Seiten ziemlich parallel den Seitenwänden verlaufen, aber je mehr von den Wänden entfernt man eine Kurve gleicher aber größerer Geschwindigkeit betrachtet, um so mehr läßt sich das Bestreben der Kurven erkennen, auch nach oben in eine geschlossene Kurve überzugehen, und um so spitzer sind die Winkel, unter denen sie die Oberfläche des Wassers schneiden. Wenn die Tiefe des Kanales den dritten Teil und mehr der Kanalbreite beträgt, so gehen die Linien gleicher Geschwindigkeit nahe dem Maximum der letzteren in geschlossene Kurven über und umgrenzen sodann einen Zentralkern, dessen Geschwindigkeit größer ist als die Maximalgeschwindigkeit der Oberfläche.

Es geht aus dem Obigen hervor, daß bei Kanälen von geringer Tiefe im Verhältnis zur Breite, wo nämlich die Tiefe den dritten Teil der Breite nicht erreicht, die Geschwindigkeit an der Oberfläche in der Mitte des Kanales von keiner andern Geschwindigkeit des ganzen Querschnittes übertroflen wird, daß also bei solchen Kanälen die größte Geschwindigkeit ganz oder doch sehr nahe an der Oberfläche ist.

Es läßt sich schließlich noch die interessante Frage auswerfen, ob die Unregelmäßigkeit der Geschwindigkeitskurven bei einem offenen Kanäle gegenüber dem regelmäßigen Verlaufe dieser Kurven bei einem gedeckten Kanäle mit einer geringern mittlern Geschwindigkeit des ganzen Querschnittes verbunden sei? Auch diese Frage ist von Bazin durch Versuche und zwar mit Nein beantwortet worden: Es konnte ein Unterschied in den durchfließenden Wassermengen bei gedeckten und offenen Kanälen unter sonst gleichen Umständen nicht nachgewiesen werden. Es scheint somit eine Verminderung der Gesamtgeschwindigkeit einer fließenden Wassermasse durch die in deren Innerem vorhandenen Unregelmäßigkeiten und wirbelnden Bewegungen nicht stattzuflnden, was insoferne mit den theoretischen Betrachtungen übereinstimmt, als der Schwerpunkt eines Systems von Körpern durch innere Vorgänge in demselben nicht verlegt werden kann, und alle Unregelmäßigkeiten der Bewegung bei einem offenen Kanäle an der Oberfläche transmittiert werden und somit an der Oberfläche zur Erscheinung und Wirkung gelangen.

In Fig. 196 sind die Geschwindigkeiten in den Vertikalschnitten a a, bb, cc, dd, ee und in den Horizontalschnitten ff, gg, hb zu entsprechenden Kurven zusammengetragen.

§ 140.

Horizontale Geschwiudigkeitskurven fließender Gewässer.

Es bleibt nun noch die Frage zu erörtern, ob die Geschwindigkeit in derselben Tiefe unter der Oberfläche von der Mitte des Stromes aus nach den beiden Usern hin nach einem bestimmten Gesetze abnehme. Es läßt sich indessen ohne weitere Prüfung dieser Frage schließen, daß ein solches Gesetz nur für Querschnitte von ganz regelmäßiger Form aufgefunden werden könne, daß dagegen in Flüssen, wo der Querschnitt ohne Ausnahme unregelmäßig ist, die größte Tiefe und Geschwindigkeit bald in der Mitte zwischen beiden Ufern, bald nahe dem einen oder andern Ufer am größten ist, ein solches Gesetz der Abnahme der Geschwindigkeit gegen die Ufer hin nicht herrschen könne. Dies haben denn auch die bezüglichen Versuche vollkommen bestätigt.

Bei den am Mississippi angestellten Versuchen hat sich ergeben, daß die Horizontalgeschwindigkeitskurve 5' unter dem Wasserspiegel bei Columbus, wo der Querschnitt des Stromes regelmäßig ist , eine Parabel wird oder eine Kurve, Fig. 241 Tafel 15, die nicht viel von einer Parabel abweicht, daß dagegen an andern Stellen, wo das Querprofil die bei Flüssen gewöhnlichen Unregelmäßigkeiten zeigte, die Horizontalgeschwindigkeitskurve eine ebenfalls ganz unregelmäßige Linie ist, wie dieses auch von vornherein zu erwarten war.

Die Fig. 241 Tafel 15 zeigt die durch zahlreiche Versuche erhaltenen Horizontalgeschwindigkeitskurven des Mississippi bei Vicksburg, Carrollton und Natchez.

Durch Vergleich der Horizontalgeschwindigkeitskurven mit den Querprofilen sieht man, daß beide ähnliche Linien sind, also keine mathematische Regelmäßigkeit erkennen lassen. Und wenn auch, wie Grebenau in seinem Werke bemerkt, die Geschwindigkeit an irgend einem Punkte des Querschnittes eines Flusses eine Funktion der Wassertiefe an der betreffenden Stelle und von der Lage der größten Flußtiefe im Querprofile ist, so müßte doch ein allgemeiner diese Geschwindigkeit bestimmender Ausdruck (der übrigens bis jetzt noch nicht gefunden ist) so kompliziert ausfallen, daß derselbe keine Sicherheit bieten und praktisch ohne alle und jede Wichtigkeit sein könnte.

In Fig. 243 Tafel 16 ist eine Wasserspiegelgeschwindigkeitskurve wiedergegeben, welche zeigt, daß die Oberflächengeschwindigkeiten v₀ von den Seiten nach der Mitte zu ungefähr wie die Ordinaten einer Parabel zunehmen.

Über die Theorie der vertikalen und horizontalen Geschwindigkeitskurven und über Profillinien findet man näheres in den folgenden Werken: Sasse, Parabeltheorie in ihrer Anwendung auf die Bewegung des Wassers in der Saale und Unstrut, Zeitschr. d. Arch.- u. Jng.-Vereins zu Hannover, 1870, S. 193; Über durchschnittliche Profile der Ströme, 1884, S. 141; Siber, Über die Anwendung der Parabel bei Stromregulierungen, Deutsche Bauzeitung, 1875, S. 455, 465; Sternberg, Untersuchungen über Längen- und Querprofile Geschiebe führender Flüsse, Zeitschr. f. Bauw., 1875, S. 483; Opel, das parabolische Profil, polygonal begrenzte Querprofile und Bestimmung der Stromquerschnitte im Flutgebiete, Deutsche Bauzeitung, 1886, S. 148; 1887, S. 138; 1888, S. 231, 519, 543, 550.

Fünfundzwanzigstes Kapitel.

Die Wahl der Wassergeschwmdigkeit und der Prosildimensionen.

§ 141.

Zulässiges Maximum der Geschwindigkeit des Wassers in Missen

und Kanälen.

Wenn das Grundbett eines Flusses oder Kanales von dem fließenden Gewässer nicht angegriffen werden soll, so darf die Geschwindigkeit desselben die nachstehend aufgeführten Werte bei der angegebenen Beschaffenheit des Kanales oder Bettes nicht übersteigen.

Beschaffenheit deZ Bettes

Geschwindigkeit an der Oberfläche

Mittlere

Geschwindig-

Geschwindig-

fett

seit

am Boden

Schlammige Erde oder brauner Töpferthon

Fetter Thon.........

Fetter Flußsand........

Kiesiger Boden.........

Grobsteiniger Boden.......

Gemisch von Schieferstücken.....

Lagerhafte Gebirgsarten......

Harte Felsarten........

0,15

0,30

0,60

1.22

i,52

2.22 2,75 4,27

0,11

0,23

0,46

0,96

1,23

1,86

2,27

3,69

0,08

0,16

0,31

0,70

o,94

i,49

1,82

3,14

Damit sich keine Sinkstoffe ablagern, so muß die mittlere Geschwindigkeit v eine bestimmte Größe erreichen. Diese beträgt v — 0,21 m in 1", wenn das Wasser leichten Schlamm mit sich führt, dagegen v = 0,42 m in 1", wenn sich Sand absetzen könnte.

§ 142.

Der trapezförmige Kanalquerschnitt.

Die hölzernen und gemauerten Kanäle von trapezförmigem Querschnitte (Fig. 252 Tafel 17) müssen hinsichtlich ihrer Dimensionen so gewählt werden, daß die Reibungswiderstände ein Minimum werden. Dies ist der Fall, sobald der benetzte Umfang ein Minimum wird.

Bezeichnet t die Tiefe, b die obere, bt die untere Breite, a den Böschungswinkel und F die Fläche des trapezförmigen Querprofiles eines Kanales, so bestehen im allgemeinen die Beziehungen

1)    . . . F = b t — t² ctg a,

2)    . . . F = bi t + t² ctg a,

.bi —    — t ctg a,

4) . . . TJ = bi + 2 -r—— = 4" — t ctg a -f- 2    - -

⁷    sin a t    01 sm a

Der zuletzt aufgeführte Ausdruck hat nun seinen geringsten Wert¹), wenn

3) . .

5)

V*

F sin a

— cos a

2t

wird. Setzen wir diese Tiefe t in 1) ein, so erhalten wir für 5) die Bedingung

6)

sin a'

d. h. die benetzte Uferwand ist gleich der halben Wasserspiegelbreite.

Nach diesen Gleichungen ist für F = 1 qm die folgende Tabelle berechnet. Es müssen also die Werte der Spalten 3 bis 7 für einen Querschnitt von F qm mit y'F multipliziert werden.

Böschungs-    Relative

Winkel    Böschung

ctg a

Tiefe

Untere

Breite

bi

Absolute Obere Breite Benetzter Böschung

t ctg cc bq + 2 t ctg a

Umfang

90°

6o°

45°

40⁰

36» 52' 35°

33° 40' 30°

26» 34' Halbkreis

0,000

o,577

1,000

1,192

i,333

1,402

1,500

i,732

2,000

O O n t-x C\ vo 00 O VO rj- N o ov 00 VO cOO t^c^t^t^r^vovovovo

d d d o d d d d d d

^■NrofOH <?\CO vO O M    Ci f--» rn m ino I

rfco vo m    m ro

^ EX rx r« «N «N ^ «V fs |

fOOOOOOOO

0,000

o,439

0,740

0,860

o,943

0,995

1,034

1,150

1,272 -

2,246

2,357

2,430

2,485

1,596

2,828

2,632

2,704

2,771

2,828

2,870

2,904

3,012

3,144

2,507

dü —F

i) Aus ,___________

; dt t²

ctg“⁺iiL

0 folgt 5).

Die Wahl des Böschungswinkels a richtet sich nach den zum Kanalbau verwendeten Material und zwar nimmt man: für gegrabene Kanäle in fester Erde mit Uferbekleidung. . ctg « = 1,

ctg « = 0,5,

„ Futtermauern

ctg « = 2.

„ gegrabene Kanäle in fester Erde ohne Uferbekleidung . ctg « = 1,5, „ Kanäle in lockerer Erde, Sand u. s. tu

Die lokalen Verhältnisse lassen oft die Erfüllung unserer Bedingungen

-i/^,

X — ctg a

nicht zu. Muß man z. B. ein bestimmtes Verhältnis einhalten, so macht man:    __

7)

Diese Gleichung folgt aus 5) und 6). Ist dagegen die Breite vorgeschrieben, so bedient man sich der Formel:

_ b ± yb² — 4 F ctg « t—    2 ctg«

8)

welche aus 1) abgeleitet ist.

In Bezug auf die Wahl anderer Profilformen und deren Vergleichung muß auf das im § 132 Gesagte und auf das dort angeführte Werk von Frank verwiesen werden. Es sei nur noch erwähnt, daß in einem geschlossenen Kanäle von kreisförmigem Querschnitte die größte mittlere Profilgeschwindigkeit eintritt, wenn der zum benetzten Umfange gehörige Zentriwinkel 257° beträgt und daß bei einem Anwachsen des letzteren bis zu 308° die größte Wassermenge durchströmt.

Beispiel. Welche Dimensionen erhält ein Kanal von kreisförmigem Querschnitte, der 1,33 cbm Wasser in 1" mit v = 0,665 m Geschwindigkeit führen soll, wenn er in fester Erde mit Uferbekleidung gegraben ist?

F =

0,665

und weil nach der letzten Tabelle ctg « — 1 ist:

t = 0,740 für F --- 1 t = 0,740 - j/2 ---1,05 m, b = 2,092 • j/2 = 2,96 m, U= 2,704-^2 = 3,82 m.

Es wird

2 qm

oder

hH

Wassermessungen.

/ i

>

Sechsundzwanzigstes Kapitel.

Direkte Messungen der Wassermengen in Reservoirs, Dachen, Kanälen und Flüssen.

§ 143.

Der Wasserzoll.

Durch eine kreisförmige Öffnung (Fig. 62 Tafel 3) fließt unter denselben Verhältnissen und bei gleicher Druckhöhe und Größe der Öffnung immer genau dieselbe Wassermenge aus. Daher kann eine solche Öffnung zum Vermessen kleinerer Wassermengen angewendet werden. Besonders in früheren Zeiten ist diese Methode der Wassermessung häufig benutzt worden und ist dieselbe auch jetzt noch für kleinere Wassermassen, die man nicht im Ganzen durch Einfließenlassen in ein Reservoir von bekanntem Inhalte unter Beobachtung der Füllungszeit messen kann, noch immer die verläßlichste Methode, da der Ausflußkoeffizient bei kleinen runden Öffnungen außerordentlich wenig veränderlich ist. Die in 24 Stunden durch eine solche Öffnung fließende Wassermenge nennt man den Wasserzoll.

Der Durchmesser der Öffnung betrug früher in Frankreich 1 Pariser Zoll — 27 mm und die Druckhöhe über dem obern Rande 1 Pariser Linie. Die Ausflußmenge ist hierbei 19,1953 cbm.

Eine Öffnung von 1 Zoll Rheinl. Durchmesser giebt bei einer Druck-* höhe von 1 Linie Rheinl. über dem obern Rande der Öffnung — 520 Kubiksuß Rheinl.

Gegenwärtig nimmt man nach de Pronys Vorschlag als Einheit für solche Wasservermessungen eine kreisförmige Öffnung von 20 mm Durchmesser und eine Druckhöhe von 30 mm über dem obern Rande oder 40 mm über dem Mittelpunkte der Öffnung an. Nach angestellten Versuchen beträgt der zugehörige Wasserzoll

20 0001 oder 20 cbm.

Die theoretische Ausflußmenge erhalten wir nach der Formel

—(-V- 1-

324 X h / J

60-60.24.

1) . Q = r² ?rj/2gh[l — ^(y)

Der Multiplikator hinter der Klammer ist zu der im § 29 entwickelten Formel hinzugefügt, weil wir die in 24 Stunden ausfließende Wassermenge haben wollen.

Durch Einsetzung der besonderen Werte ergiebt sich:

Q = 0,01²7r/2ÜäÖ4 [1 - A. 0,25² — ^. 0,25*-- 60 -60.24 = 23,997 cbm.

Der Ausflußkoeffizient a ist somit

0,8334.

20

23,997

Welche Wassermenge fließt durch eine Öffnung von 35 mm Durchmesser bei einer Druckhöhe von 38 mm in einer Sekunde ab?

Die nach der oben benutzten Formel zu berechnende theoretische Ausflußmenge multiplizieren wir noch mit dem zuletzt gefundenen Werte von a und erhalten dadurch die wirkliche Ausflußmenge:

5 /0,0175V "I 1024 X 0,038/ -I

Q=0,0175^1/2 g • 0,038 [l-A

• 0,8334 = 0,000688 cbm = 0,6881.

Wasserzoll

oder Wassermenge, welche aus einer kreisförmigen Öffnung von 20 mm Durchmesser bei 40 mm Druckhöhe über dem Mittelpunkte derselben in verschiedenen Zeiten ausfließt.

®a5« Wasser-fSfelt meng- in Sekunden

Dauer ~

St -ft

Sekunden

ä,

flusses in men0e m

Sekunden

Dauer «-r, -

st ä

Sekunden

VO 00 M On Lrx -F^ U) ts)

0,23

0,46

0,69

0,92

1,16

i,39

1,62

1,85

2,08

2,31

ii

12

13

14

15

16

17

18

19

20

2,54

2,78

3,oo

3,23

3,46

21

22

23

24

4,85

3i

7,i7

5,o8

5,31

5,54

25    5,77

3,70

3,92

4,16

4,39

4,63

32

33

34

35

7,39

7-64

7,85

8,09

26

27

28

29

30

6,00

6,24

6.47

6,70

6,94

36

37

38

39

40

8,31

8,56

8,78

9,oi

9,25

Dauer des Ausflusses in Sekunden

Wassermenge in

Dauer des Ausflusses in Sekunden

Wassermenge in

Dauer des Ausflusses in Sekunden

Wassermenge in

Dauer des Ausflusses in Sekunden

Wassermenge m

41

42

43

44

45

9,49

9,73

9,96

10,18

10,42

46

47

48

49

50

10,62 10,85 11,10 n,33 n,57

5i

52

53

54

55

11,78

12,01

12,24

12,49

12,72

56

57

58

59

60 *

12,95

13,16

13,40

13,63

13,88

Dauer des Ausflusses in Minuten

Wassermenge in

Dauer des Ausflusses in Minuten

Wassermenge in

Dauer des Ausflusses in Minuten

Wassermenge in

Dauer des Ausflusses in Minuten

Wassermenge in

10

12

13

14

15

13,88

27.78 41,66 55,55

69.45 83,33 97,22

in,ii 125,00 138,89

152.78 166,67 180,56

194.45

208,33

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

222.22 236,11 250,00

263.89

277.78

291.67 305,56 319,55 333,34

347.22

36i,h

375,oo

388.89

402.78

416.67

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

430.55

444.44

458.34

472.22

486,15

500,01

513,89

527,78

541,68

555.56

569.45

583.34

597.22 611,11 625,00

46

47

48

49

50

5i

52

53

54

55

56

57

58

59

60

639,09

652,98

666.67

680.56

694.45

708.33

722,2z 736,11 749,97 763,89 • 777,78

791.67

805.56

819.45

833.34

Ä. «»-

duff,« m "X,“

Stunden CDm

Dauer ..

flössest me2nin Stunden    CDm

Dauer des Ausflusses in Stunden

Wassermenge in cbm

Dauer des Aus flusses in Stunden

Wasser-* menge in cbm

o,»33    7

1,667 2,500 3,333

4,167

5,000

IO

II

12

5,833

6,657

7,5oo

8,333

9,167

10,000

13

14

15

l6

17

l8

io,733 11,667 12,500 13,333 14,167 15,000

19

20

21

22

23

24

15,833

16,667

17,500

18,333

19,167

20,000

Man kann natürlich zu solchen Messungen auch beliebig große Öffnungen verwenden, es ist jedoch vorteilhaft, den Durchmesser nicht über 40 mm und die Druckhöhe nicht über 60 bis 70

Meißner, Hydraulik. I. 2. Auflage.

mm

30

zu nehmen.

Zum Messen größerer Wassermengen vermehrt man die Anzahl dieser Öffnungen.

Nimmt man nur eine so kleine Druckhöhe, daß der ruhige Wasserspiegel etwa 3 mm über dem obern Rande der Öffnung liegt, wie beim alten französischen Wasserzoll, so senkt sich der Wasserspiegel gerade so viel, daß sich der Strahl etwas vom obern Rande der Öffnung trennt, was eine leichte Kontrolle in Bezug auf die Druckhöhe gestattet.

Welches ist die in 5 Stunden 45 Minuten und 25 Sekunden durch den normalen Wasserzoll fließende Wassermenge bei sieben Öffnungen?

Die Tabelle giebt in 5 Stunden = 4 167 1,

45 Minuten

625 1,

25 Sekunden —

5,77 1,

somit in der ganzen Zeit — 4 797,77 1 für eine Öffnung und hiernach als gesamte Ausflußmenge

7 - 4797,77 — 33584,39 1.

§ 144.

Schützen und Wehre.

Beim Vermessen größerer Wassermengen genügt die Methode des Wasserzolles nicht, es müssen vielmehr größere Öffnungen angebracht werden. Handelt es sich z. B. darum, die durch einen Kanal strömende -Wassermenge zu bestimmen, so errichtet man eine Schütze oder künstlichen Überfall und zwar genau nach dem Vorbilde einer in den Kapiteln 7, 9, 10, 14, 15 beschriebenen Vorrichtung, die jedoch nur innerhalb der Grenzen damit angestellten Versuche benutzt werden darf, weil die vielen gegebenen Formeln nicht so genaue Ergebnisse liefern. Es sind bei derartigen Messungen alle Lokalverhältnisse zu berücksichtigen, hierher gehören besonders die Zu- und Ableitungen, deren Einfluß so leicht übersehen werden kann. Aus diesem Grunde sind die vielen Tabellen über ausgeführte Versuche in den oben genannten Kapiteln angeführt. Es ist jedoch immer darauf zu achten, daß der Beharrungsznstand eingetreten ist, d. h. daß sich die Höhenlage des Ober- und Unterwasserspiegels nicht weiter verändert.

In allen wichtigern Fällen (z. B. als Grundlage bei Prozessen) müssen mehrere Meßmethoden zur Anwendung kommen, deren Ergebnisse verglichen und zur gegenseitigen Kontrolle benutzt werden.

Öfter sind indessen die Verhältnisse und namentlich auch die zur

Verfügung stehende Zeit und die Mittel derart, daß an eine ganz genaue Vermessung durch Herstellung von Schützen und Überfällen nicht gedacht werden kann.

In einem solchen Falle müssen nach den Angaben der Paragraphen 134 und 136 die Geschwindigkeiten an verschiedenen Stellen eines Querschnittes oder einer bestimmten Kanalstrecke gemessen werden. Danach berechnet mmt die mittlere Geschwindigkeit v, multipliziert sie mit der Fläche F des Querschnittes und erhält so die durchfließende Wassermenge.

Die in den folgenden Paragraphen beschriebenen Meßmethoden sind selbst in ganz regelmäßigen Kanälen schwierig auszuführen und verlangen große Übung. In den meisten Fällen ist aber der Boden des Kanales teilweise versandet, also an verschiedenen Stellen desselben Querschnittes die Wassertiefe verschieden; es sind ferner die Wände des Kanales bewachsen, mit überhängendem Gebüsch versehen, welches eine sehr unregelmäßige Breite des Kanales zur Folge hat oder doch im günstigsten Falle die Bewegung des Wassers in der Nähe der Wände sehr unregelmäßig gestaltet. Aus all diesen Gründen muß man, gelinde gesagt, die auf Bruchteilen von Prozenten angegebenen Güteverhültnisse der hydraulischen Motoren belächeln.

§ 145.

Wasservermessung durch Beobachtung des sinkenden Wasserspiegels

in einem Gefäße.

Eine interessante, in vielen Fällen, Vortheilhaft verwendbare Methode der Wasservermessung hat Prony in seinem Memoire sur le jaugeage des eaux courantes (1802) angegeben, die im Nachfolgenden besteht:

t₃ . . . eintretenden

Man läßt den zu vermessenden Wasserlauf so durch einen Kasten oder eine gegrabene Vertiefung fließen, daß das Wasser durch eine große Öffnung (die durch einen Schützen oder ein Brett plötzlich abgeschlossen werden kann) in die Vertiefung einfließt, während der Austritt durch eine tiefer gelegene Öffnung von kleinerem Querschnitte stattfindet. Sobald der Beharrungszustand eingetreten ist, wird die Höhe des Wasserstandes in der Vertiefung genau gemessen, sodann die Eintrittsöffnung plötzlich geschlossen und die nach bestimmten Zeiten t Senkungshöhen xt, x₂, x₃ . . . beobachtet. Nach der Gestalt der Vertiefung berechnet man die ausgeflossenen Wassermengen, dividiert sie durch die dazugehörigen Zeiten, wodurch man die in einer Sekunde mit gleichbleibender Geschwindigkeit ausfließenden Wassermengen Qj, Q₂, Q₃ . . .

30*

erhält, welche m denselben Zeiten das Gefäß oder die Vertiefung bis zn den Marken x,, x₂, x₃ entleeren würden. Die so ermittelten Größen werden nach Fig. 380 Tafel 35 zu einer Kurve zusammengetragen, deren Verlängerung nach oben die gesuchte Größe Q bestimmt.

Hat die Vertiefung eine cylindrische oder prismatische Gestalt, so können wir die Entwickelungen des § 31 benutzen. Danach erhalten wir

2)

x — 2 a j/h t — a²1²

und durch zwei Beobachtungen

Xi = 2 a Vh tj — a • j ²,

x₂ = 2 a Vh. t₂ — a²1₂ ².

Multiplizieren wir die erste der beiden letzten Gleichungen mit t₂, die zweite mit t, und subtrahieren sie von einander, so ergiebt sich xt t₂ —x₂t₁= a² (t₂ ²1, — t,²1₂)

oder

3) . .

xt t₂ — x₂ t,

tj t₂ (t₂ tj)

Verfahren wir noch einmal so, aber nehmen als Faktoren t₂ ² und t,², so erhalten wir:

2 a ]/h.

4)

Wird die Gleichung 2) mit

x. V — x₂ t,²

ti t₂ (t₂ t,) multipliziert, so ist die linke Seite die

sekundliche Ausflußmenge, welche die Entleerungen bis zur Marke x in der Zeit t verursachen würde, führt man mm noch auf der rechten Seite die durch 3) und 4) bestimmten Werte ein, so folgt die allgemeine Gleichung:

F x_\ xt t₂ ² — x₂ tt;

_ l tg t₂ (t₂ — tj oder für t = 0 der gesuchte Wert

5) . .

X1 tj X₂ tj , | Tj,

t, t₂ (t₂ — tj j

6) .

Xi t₂²— x₂ Vp ti t₂ (t₂ tj)

Beispiel. Bei einer Wasservermessung nach der obigen Pronyschen Methode hat das Reservoir oder die Vertiefung eine Breite von 1,5 m und eine Länge von 1 m, somit einen Querschnitt F — 1,5 qm. Nach plötzlicher Absperrung des Zuflusses findet in 25" eine Senkung des Wasserspiegels von 0,20 m und in weiteren 55" eine solche von 0,30 m statt. Welches ist die sekundliche Durchflußmeuge vor Absperrung des Zuflusses?

In Formel 16) ist einzusetzen:

tx = 25, t₂ = 25 —J— 55 = 80, ^=0,20, x₂ = 0,20 -f 0,30 = 0,50. Somit erhält man:

967,5

•1,5 = 0,013 cbm in 1".

-.1,5

0,20-80² —0,50-25²

110000

25 - 80 - (80 — 25)

Bei einer zweiten Vermessung hatte das Reservoir C eine Breite von 1,2 m und eilte Länge von 0,5 m, der Querschnitt war also 1,2 • 0,5=0,6 qm.

Nach einer Minute betrug die Senkung des Wasserspiegels 0,50 m und nach 80 Sekunden vom Ende der ersten Senkung an weitere 0,50 m. Es war also hier t, =60 und t₂ = 140; xt = 0,50 und x₂ = 1,0. Die ausgeflossene Wassermenge per Sekunde wäre somit:

0,6 = 0,0055 cbm per Sekunde.

140 • 140 • 0,50 -60-60.1,0

60-140 (140 — 60)

Auch hier ist es ratsam, nicht nur zwei Senkungen xt und x₂ mit den dazugehörigen Zeiten zu messen, sondern eine ganze Reihe von Beobachtungen anzustellen und die erhaltenen Werte zu benutzen. Hätte man z. B. nach derselben Füllung noch x₃ und' t₃ beobachtet, so würde man zwei Gleichungen

Xt t₃ ² - Xz ti

F und Q

ti t₃ (t₃ — ti)

X₂ t₃² — Xz t₂²p

t₂ t₃ (t₃ - t₂)

und dadurch zwei neue Werte von Q bekommen. Aber selbst mit dem Mittel aus den drei bis jetzt berechneten Werten darf man sich nicht begnügen, sondern man muß noch mehrere Male den Beharrungszustand des Durchströmens eintreten lassen und die Beobachtungen wiederholen. Es würde dann erst die Methode der kleinsten Quadrate zum besten Werte führen.

Siebenundzwanzigstes Kapitel.

Indirekte Bestimmung der Wastermengen in Kanälen und Flüssen durch Messung des Ouerprofiles und der Wassergeschwindigkeit.

§ 146.

Der Woltmannsche Flügel.

Am Ende einer horizontalen Welle J (Fig. 226) sind drei bis fünf Flügel angeordnet, auf welche das strömende Wasser derartig einwirkt, daß sich die Welle mit bestimmter Geschwindigkeit dreht. Auf der Welle befindet sich eine Schnecke 8, die ein Zählwerk in Bewegung setzt. Der ganze Apparat, der den Namen Woltmannscher Flügel führt, kann an einem Stabe D der Höhe nach verstellt werden.

Soll eine Beobachtung gemacht werden, so wird zunächst der Stock D fest gesetzt, die eben genannte Höheneinstellung vorgenommen, die Welle J in die Stromrichtung (Fig. 226 von links nach rechts) gebracht und dann die Schnur E angezogen, wodurch die Räder B aus den hemmenden Spitzen A herausgehoben werden und der Flügel seine Umdrehungen beginnen kann. Nach Verlauf einer bestimmten Anzahl von Sekunden wird die Schnur E losgelassen, wodurch das Zählwerk wieder gehemmt wird. Das letztere giebt die Anzahl der Flügelumdrehungen an.

Alle Teile an dem einfachen Instrumente müssen möglichst leicht gearbeitet und das Ganze sorgfältig zusammengepaßt sein, damit die Reibungswiderstände möglichst klein ausfallen und innerhalb der in der Praxis vorkommenden Grenzen der Umdrehungsgeschwindigkeit ziemlich konstant bleiben.

Die zahlreichen Versuche, welche mit den: Woltmannschen Flügel angestellt worden sind, haben nachgewiesen, daß derselbe ein ausgezeichnetes Instrument zur Bestimmung der Geschwindigkeit ist, wenn das Verhältnis

bekannt ist, welches die Anzahl der Umdrehungen des Flügels mit der Geschwindigkeit des Wassers ausdrückt.

Um dieses Verhältnis ausfindig zu machen (das für jedes Jnstruinent besonders aufgesucht werden muß), stellt nian das Instrument in ein Wasser, dessen Geschwindigkeit genau bekannt ist, und zählt die Anzahl Umdrehungen, welche der Flügel in einer Minute macht.

Natürlich wiederholt man diesen Versuch öfter, bis man einen überzeugenden Beweis von der Richtigkeit des erhaltenen Verhältnisses hat.

Da es indessen nicht so leicht Gelegenheit giebt, ein derartiges Wasser zur Verfügung zu haben, dessen Geschwindigkeit genau bekannt ist, kann man umgekehrt verfahren und das Instrument mit einer bestimmten Geschwindigkeit durch ein ruhendes Wasser bewegen, wobei man die Anzahl Umdrehungen des Flügels in einer Minute und die in derselben Zeit zurückgelegte Strecke zu beobachten hat. Das auf diese Weise erhaltene Resultat stimmt nach Darcy's Versuchen sehr nahe mit dem auf dem umgekehrten Wege erhaltenen überein.

Für den Zusammenhang zwischen der zu messenden Geschwindigkeit vx und der dazu gehörigen Umdrehungszahl n des Flügels sind die verschiedensten Formeln aufgestellt worden, deren Konstanten durch Aichung des Flügels zu bestimmen sind. Alle diese Formeln enthalten eine von n unabhängige Größe A, weil eine bestimmte von den Reibungsverhältnissen des benutzten Flügels • abhängige Wassergeschwindigkeit erforderlich ist, damit überhaupt die Welle J in Rotation versetzt wird.

Die einfachste Formel lautet:

........vx — A -|- B n.

Lahmeyer st giebt noch ein Glied mehr: .......vx = A + Bn + Cn¹

7)

8) und für geringere Geschwindigkeiten:

Vx

9)

10)

Bornemann und Weisbach geben dagegen: ......v = Bn-j-j/A² 1-j-Cn¹.

Exner st:

v=y a¹4

ii)

In dieser letzten Formel ist z die Zeit der Beobachtung und n die Anzahl der Umdrehungen während derselben, n₀ die Anzahl der Umdrehungen, welche der Flügel macht, wenn er durch ruhiges Wasser eine

l³ 4

z⁴n₀

Strecke 1 lang gezogen wird. Für ein und denselben Flügel ist eine Konstante.

§ 147.

Der Harlacher Flügel.

Eine der größten Vervollkommnungen des Woltmannschen Flügels bildet der in den Figuren 286 bis 288 auf Tafel 24 dargestellte Harlacher Flügel ’). An dem Rohre A kann der Flügel mit Hilfe der führenden Hülse a, Fig. 287, hinab oder herauf bewegt werden. Eine Drehung um A wird durch den Arm g verhindert, der sich in einem Schlitze von A bewegt. Das in der Strömungsrichtung hinter a befindliche Steuer kann demnach den Flügel nicht einstellen, sondern nur als Gegengewicht dienen. Das Rohr A wird durch visieren so eingestellt, daß der Flügel senkrecht zum Querprofil des Flusses zu stehen kommt. Dadurch wird er in jeder Höhenlage sich parallel bleiben. Die Hülse a ist noch unter dem Flügel ein Stück fortgesetzt und mit einer horizontalen Scheibe versehen, um zu verhindern, daß der Flügel den Flußboden berührt. Das zum Heben dienende Kabel ist im Innern der Röhre A empor geführt und über Rolle B und Trommel E geleitet.

Die letztere ist mit einem Zeiger versehen, welcher an einem festen Zifferblatt die Umdrehungen oder direkt die Hubhöhen anzeigt.

Wie die Zeichnungen andeuten, werden Versuchsergebnisse auf elektrischem Wege verzeichnet.

Bildet die Flügelachse mit der Strömungsrichtung einen Winkel ß, so ist nach den Versuchen von Frese⁴) kein erheblicher Einfluß auf die Messungsresültate zu bemerken, so lange ß 10° ist. Bei 20° betragen die Abweichungen jedoch 2,5 °/₀ und bei 30 bis 40° schon ll°/o.

Die oben angegebene Hyperbelgleichung 11) in der Schreibweise v = j/vo⁴ + k⁴n⁴ legt auch Prof. Dr. M. Schmidt, als Vorsteher der hydrometrischen Prüfungsanstalt der Technischen Hochschule in München, seinen interessanten Untersuchungen *) zu Grunde. Er findet, daß je nach der Flügelform und -Fläche die Umdrehungszahlen n₀ eines Flügels und die entsprechenden Zeiten z in Sekunden, welche sich ergeben, wenn man den Flügel durch eine abgemessene Strecke 1 in stillstehendem Wasser fortbewegt, zu einander im Verhältnis der rechtwinkligen Ordinaten einer Ellipse, Parabel oder Kurve vierter Ordnung stehen.

Will man mit einem der beschriebenen Flügel die mittlere Geschwindigkeit bestimmen, ohne eine der Relationen der §§ 134 und 136 zu benutzen, so teilt man den Querschnitt des Wasserkörpers (Fig. 227 Tafel 14) durch horizontale und vertikale Linien in eine Miebige Anzahl gleich großer Felder ein, bestimmt mit Hilfe des Flügels die Geschwindigkeit des Wassers in der Mitte eines jeden dieser Felder, zählt die erhaltenen verschiedenen Geschwindigkeiten zusammen und dividiert die Summe durch die Anzahl der Felder. Sind die letzteren nicht gleich groß, so multipliziert man die gefundenen Geschwindigkeiten mit ihren zugehörigen Felderflächen und erhält dadurch angenähert die Dnrchflußmenge. Viel genauer wird das Resultat, wenn die Geschwindigkeiten zu den Horizontal- und Vertikalgeschwindigkeitskurven zusammengesetzt werden und der dadurch gebildete Körper mit Hilfe des Planimeters oder nach einer Simpsonschen Regel berechnet wird. Der Rauminhalt stellt die sekundliche Durchflußmenge dar.

§ 148.

Der Meßcylinder von Lapointe.

Die Wirkungsweise des Meßcylinders von Lapointe ist ähnlich derjenigen des Woltmannschen Flügels. Die zu messende Wassermenge muß durch einen Cylinder aus Eisenblech stießen, der an der Wand des Reservoires, Kanales u. s. w. angebracht ist. Das sich bewegende Wasser versetzt ein im Cylinder befindliches kleines Schraubenrad in Uindrehungen, die durch zwei konische Räder auf ein Zählerwerk übertragen werden. Das letztere ist ebenso, wie es beim Woltmannschen Flügel beschrieben wurde, zum Ein- und Ausschalten eingerichtet.

Bei der Vornahme von Messungen ist genau darauf zu achten, daß eben so viel Wasser dem Kanal zu-, wie durch den Cylinder abströmt, bevor die Beobachtung des Zählwerkes beginnt.

0 Schmidt, Die Gleichung des Woltmannschen Flügels in neuer Form und die Ermittlung ihrer Koeffizienten auf graphisch-analytischem Wege. Zeitschr. d. Vereins deutscher Ing., 1895, S. 917.

Zur Berechnung der Wassergeschwiudigkeit aus der Umdrehungszahl der Flügelwelle kann man wieder eine der Formeln 1) bis 4) verwenden. Am häufigsten wird 1) benutzt. Es ist jedoch am besten, wenn man bei derartigen Apparaten die Umdrehungszahlen für verschiedene Wassergeschwindigkeiten feststellt, die zusammengehörigen Werte in ein Koordinatensystem einträgt und die so entstehende Kurve bei späteren Messungen zu Rate zieht.

Der Apparat liefert bei der Vermessung mäßig großer Wassermengen bis zu den kleinsten Wassermengen sehr zuverlässige Resultate, wenn er gut tariert ist. Ein ^achteil besteht darin, daß man mehrere den Wassermengen ungefähr entsprechende Meßcylinder besitzen muß. Auch ist das Anbringen des Apparates oft mit vielen Umständen verbunden. Der Erfinder hat Versuche mit zwei Meßcylindern, deren Durchmesser 0,46 m und 0,70 m waren, veröffentlicht.

§ 149.

¹

) Über den Gebrauch des hydrometrischen Flügels zur Bestimmung der Wasser- t mengen von Strömen. Zeitschr. f. Bauwesen 1875, S. 341.

²

¹

z n₀

*) Erfahrungsresultate über die Bewegung des Wassers in Flußbetten und Kanälen. Braunschweig 1845, S. 58.

³

)    Harlacher, Die Messungen in der Elbe und Donau und hydrometrische Apparate und Methoden, Leipzig 1881.

⁴

)    Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, 1886, S. 911 bis 914.

Schwimmer.

Durch Schwimmer lassen sich die verschiedenen Geschwindigkeiten des Wassers in einem Kanäle oder Flusse auf eine sehr zuverlässige Weise bestimmen. Bei großen, tiefen Gewässern wendet man als Schwimmer Holzwürfel an, welche so beschwert sind, daß sie in der verlangten Höhe der Wassertiefe schwimmen. Durch eine Schnur müssen dieselben indessen mit irgend einem Gegenstände aus Holz oder Kork verbunden sein, welcher möglichst wenig in den Wasserspiegel eintaucht und nur den Ort erkennen lassen soll, an welcher sich der Schwimmer befindet. Man läßt den Schwiminer eine möglichst regelmäßige Strecke des Kanales oder Flusses durchlaufen, mißt die letztere genau und beobachtet die Zeit, welche der Schwimmer zum Durchlaufen der Strecke gebraucht hat. Da der Boden ht Flüssen selten eine ziemlich ebene Flüche bildet, so läßt sich bei denselben die Geschwindigkeit des Wassers am Boden mir dann mit Hilfe des Schwimmers bestimmen, wenn die Wassertiefe groß ist; im andern Falle bedient man sich besser des Woltmannschen Flügels.

Bei Waffervermessungen zu technischen Zwecken handelt es sich nicht darum, die Geschwindigkeit des Wassers an den verschiedenen Stellen eines Längenschnittes in verschiedenen genau fixierten Höhen oder Wassertiefen zu messen, sondern man gebraucht in der Regel die mittlere Geschwindigkeit der ganzen Wassertiefe. Zu diesem Zwecke stellt man den Schwimmer am besten aus einer Reihe mit einander verbundener Holz-

Würfel her, wie Fig. 228 zeigt, welche sich auf die ganze Wassertiefe erstrecken und sogleich die wirkliche mittlere Geschwindigkeit u des Wassers in dem durchlaufenen Längenschnitte angeben. Wie Fig. 229 verdeutlicht, bildet der auf diese Weise angeordnete Schwimmer keine gerade Linie, sondern er nimmt die Form der Kurve an, welche das Gesetz der vertikalen Geschwindigkeiten darstellt. Bei diesem Schwimmer müssen aber die Holzwürfel regelmäßig der Wassertiefe nach verteilt sein. Bei einer Wasservermessung genügt es natürlich nicht, nur in der Mitte des Stromes oder Kanales die mittlere Geschwindigkeit |bu zu suchen. Diese mittlere Geschwindigkeit muß vielmehr in verschiedenen, der Breite des Querschnittes nach gleich weit von einander abstehenden Längsschnitten bestimmt werden und erst das Mittel u„ der auf solche Weise erhaltenen mittlern Geschwindigkeiten giebt die eigentliche mittlere Geschwindigkeit, welche dem ganzen Querschnitte des Wasserkörpers entspricht. Natürlich müssen die Längsschnitte in der Breite derart verteilt sein, daß die Geschwindigkeit in der unmittelbaren Nähe der Ufer ebenfalls (und zwar zu beiden Seiten) gemessen wird.

§ 150.

Pitots Geschwindigkeitsmesser.

Bereits im Jahre 1732 überreichte Pitot der französischen Akademie der Wissenschaften den sehr einfachen, aber sinnreichen kleinen Apparat, welcher unter dem Namen der Pitotschen Röhre allgemein bekannt ist.

Senkt man in das mit einer gewissen Geschwindigkeit fließende Wasser eines Kanales oder Flusses zwei Glasröhren, welche (Fig. 230 Tafel 14) über dem Wasserspiegel hervorragen, so wird in dem graben Rohre b das Wasser genau r) bis zur Höhe des Oberwasserspiegels selbst steigen. In dem andern rechtwinklig umgebogenen Rohre a dagegen, dessen untere Mündung dem Wasserstrome entgegengerichtet ist, wird das Wasser vermöge seiner lebendigen Kraft höher steigen und zwar um

**>l <j

crq

Hiernach berechnet sich die Geschwindigkeit im Punkte B zu

v — y/2 g h.

’) Vergleiche die Bedeutung des Buchstaben n auf S. 182.

Macht man die Mündung f) (Fig. 232) kleiner als den Querschnitt f2 der Röhre, so lautet die Berechnungsformel

v = f/2gh^--

Aber auch diese entspricht noch nicht der Wirklichkeit, denn es sind z. B. nicht berücksichtigt die Reibungsverhältnisse und die Kapillarwirkungen. Es müßte demnach die rechte Seite noch mit einem Erfahrungskoeffizienten multipliziert werden. Fassen wir denselben mit den übrigen Konstanten zusammen, so können wir schreiben

v — fi j/h.

12)

Durch entsprechende Versuche ist ,u zu bestimmen und danach die Röhre zu aichen.

Da die Oberfläche des Wassers selten so ruhig ist, um h bequem ablesen zu können, so mußte das Instrument so eingerichtet werden, daß auch im graden Rohre b die Flüssigkeit über dem gewöhnlichen Niveau zu stehen kam und im andern Rohre um dasselbe Stück höher stieg. Beide oben offene Röhren wurden zu dem Zwecke mit dichtschließenden Hähnen (Fig. 231) versehen.

Die beiden an einem Gestelle befestigten Rohre taucht man bei offenem Hahne tief ins Wasser, schließt den Hahn und hebt das Gestell etwas empor. Infolge des entstandenen luftverdünnten Raumes im obern Teile der geschlossenen Röhren nimmt das Wasser in denselben die in Fig. 231 angegebene Lage an.

So einfach der Gebrauch dieses Instrumentes war, so hafteten demselben doch noch wesentliche Mängel an, welche nainentlich in den Oscillationen bestanden, die sich in der Lage beider Wasserspiegel einstellten.

§ 151.

Darcys Geschwindigkeitsmesser.

Vielfache Versuche, welche Darcy mit dem Pitotschen Wassermesser anstellte, haben ihn dann zu verschiedenen Abänderungen in der Gebrauchsweise des Apparates geführt, welche die erwähnten Oscillationen größtenteils aufheben und die Wirkung des noch bleibenden Restes unschädlich machen.

Taucht man nämlich eine offene, unten rechtwinklig umgebogene Glasröhre in einen Wasserstrom ein, so daß, wie bei der Röhre a (Fig. 232 Tafel 14) die Mündung f) dem Wasserstrome entgegengekehrt

ist, so hebt sich der Wasserspiegel, wie bereits oben erwähnt, um die Höhe h, über die Oberfläche des Stromes.

Kehrt man die Röhre um, so daß sie, wie das Rohr b in Fig. 232, die Mündung vom Wasserstrome abkehrt, so sinkt der Wasserspiegel in derselben um eine Höhe h₂ unter die Oberfläche des Stromes. Stellt man endlich das Rohr rechtwinklig auf die eben erwähnten Richtungen, so wird die Höhe des Wasserspiegels in der Röhre ebenfalls und zwar um h₃ unter die Oberfläche des Stromes sinken.

Nach diesen Versuchen könnte man die Formeln

v — ii i j/h

1,

v = //2 y h₃, V=r/Zg fAg und durch entsprechende Kombinationen

v — j/li! -j- h₂:    —g H--

r p i²    fh

y — j/bi -j- li₃:    —2

v = j/hj + h₃:    ~~

/'s

bilden, um von den Oscillationen des Wasserspiegels bei den Berechnungen unabhängig zu sein. Die einzelnen Koeffizienten /<i, ,«₂ und /<₃ werden aber nicht einzeln bestimmt, sondern gleich die entsprechenden Funktionen, indem man sich einer der einfachern Formeln:

13)

. v = v₁₂ j/h, + ha,

14)

-    V = T'ia \ hi -|— hg,

15)    . .

bedient.

-    V ⁼ ^23 s^hg -)- hg,

Nach diesen Vervollkommnungen der Berechnungsweise hat Darcy der Pitotschen Röhre die in Fig. 235 Tafel 15 abgebildete Einrichtung *) gegeben.

Die beiden Glasröhren a a von 1,25 m Länge sind parallel auf einer eingeteilten Platte i befestigt. Längs jeder Röhre ist ein verschiebbarer Nonius b b angebracht, welcher festgestellt werden kann. Die untern Enden der Röhren stehen mit einer kupfernen Kapsel c c (Fig. 233 Tafel 14) in Verbindung, gehen indesseir getrennt durch dieselbe hindurch und sind an ihrem untern Ende, unmittelbar bei ihrem Austritt aus der Kapsel rechtwinklig umgebogen und an ihrem äußern Ende durch ein spitzes dreieckiges Stück o vereinigt, das dem Wasserstrome entgegen scharf zugespitzt ist.

x) Darcy, Note relative a quelques modifications ä introduire dans le tube de Pitot. Ami. des ponts et chaussees, 1858, 1. Sem. p. 351.

Dieses Endstück ist indessen mit zwei getrennten Kanälen versehen, in deren jeden eines der umgebogenen Rohrstücke s einmündet.

Der Kanal des einen Rohres f geht bis an die Spitze des Endstückes in horizontaler Richtung fort und hat dort eine Öffnung von 1 mm Durchmesser. Der Kanal des andern Rohres ex geht bloß bis zu dem Punkte g des Endstückes und mündet hier rechtwinklig abwärts ebenfalls in eine Öffnung von 1 mm Durchmesser.

Wenn nun das Instrument in die Tiefe niedergelassen ist, wo die Geschwindigkeit gemessen werden soll, und es steht die Spitze k des Endstückes direkt dem Wasserstrome entgegen, so verhält sich die Öffnung g des andern Rohres gerade so, als ob sie horizontal ausmünden würde, das Rohr aber rechtwinklig auf die Stromrichtung gestellt wäre.

Die Differenz h, -j- h₃ der beiden Wasserstände in den Rohren giebt daher, in die Formel v ----- v₁₃ )/hi + k₃ eingesetzt, sofort die Geschwindigkeit des Wassers in der Tiefe der beiden Öffnungen g und k an, sobald der konstante Koeffizient v₁₃ durch Tarierung des Instrumentes bekannt ist.

Darcy hat ferner, um ungeachtet der noch vorhandenen geringen Oscillationen ein genaues Ablesen des Höhenunterschiedes beider Wasserstände zu ermöglichen, in den beiden Röhren aa, und zwar an deren in der Kapsel c c eingeschlossenem Teile, Hähne angebracht, welche mittelst Schnüren ein plötzliches Abschließen der obern Röhrenteile von den untern ermöglichen, wonach man das Instrument heraufziehen und die nun ganz unbeweglichen Wasserstände beobachten kann.

Um indessen auch dieses letztere unnötig zu machen und das Instrument für eine Anzahl Versuche genau an derselben Stelle stehen lassen zu können, ließ Darcy die obern Enden beider Röhren in eine Kapsel münden, welche oben mit einem durch ein Hähnchen schließbaren Röhrchen versehen ist.

Hat nun die Messung bei geöffnetem Hähnchen stattgefunden, so saugt man durch das Röhrchen mit dem Munde eine bestimmte Luftmenge aus der Kapsel aus. Die beiden Wasserstände in den Röhren werden sich infolge der geringern Spannung der Luft in der Kapsel genau in demselben Betrage heben und können, nachdem man das Hähnchen abgeschlossen, nun in einer bequemen Höhe abgelesen werden.

Hat man umgekehrt die Geschwindigkeit in einer solchen Wassertiefe zu messen, daß man das ganze Instrument eintauchen muß, so bläst man erst eine Quantität Luft durch das Röhrchen in die Kapsel ein, um die Wasserstünde in eine passende Tiefe hinabzudrücken, schließt das Hähnchen, taucht das Instrument bis zu der verlangten Tiefe ganz unter Wasser,

schließt nach einiger Zeit die beiden untern Hähne und zieht das Instrument wieder hervor, um die Höhenlage beider Wasserspiegel abzulesen.

In der beschriebenen Gestalt ist die Pitotsche Röhre oder der Darcysche Geschwindigkeitsmesser ein äußerst brauchbares und bequem zu handhabendes Instrument, das die Geschwindigkeit eines Gewässers an seinen verschiedensten Stellen mit großer Genauigkeit zu messen gestattet.

Wie bei allen derartigen Instrumenten J) ist eine wiederholt geprüfte sorgfältige Tarierung desselben eine Hauptsache.

Die Versuche von Darcy, Baumgarten und Bazin über die Gesetze der Bewegung des Wassers in künstlichen Kanälen sind mit dem eben beschriebenen Geschwindigkeitsmesser von Darcy angestellt worden.

Da diese Versuche bis jetzt die genauesten und vollständigsten sind (abgesehen von den Resultaten der Versuche am Mississippi, welche mehr für große Ströme passen) und dieselben den neuen Anlagen von Fabrikskanälen zur Grundlage dienen, so mag hier noch erwähnt werden, daß Darcy die Tarierung seiner Instrumente ans drei verschiedenen Wegen durchführte, welche dasselbe Resultat ergeben haben, daß mithin diese Versuche alles Vertrauen verdienen. Diese Tarierung geschah:

1.    Durch Messen der Geschwindigkeit durch Schwimmer an regelmäßigen Stromschnellen und Vergleichung der Resultate mit den Angaben des Geschwindigkeitsmessers.

2.    Durch Bewegung des Instrumentes mit einer gewissen Geschwindigkeit in einer ruhenden Wassermasse, bei Beobachtung der Höhenunterschiede beider Röhren.

3.    Durch Messen der Geschwindigkeit an den verschiedensten Stellen eines Stromquerschnittes und eine Vergleichung der berechneten Wassermenge mit der thatsächlich abgeflossenen.

§ 152.

Andere Geschwindigkeitsmesser.

Es giebt noch eine größere Anzahl weiterer Instrumente, imt die Geschwindigkeit des Wassers in Flüssen und Kanälen zu bestimmen, doch sind wenige derselben von allgemeiner praktischer Brauchbarkeit.

Der Luftblasen-Schwimmcr

von Boileau besteht in einer parallel dem Stromstriche liegenden Glasröhre mit einer Luftblase. Die Zeit, welche die letztere gebraucht, um

y Der Apparat ist von Ritter noch weiter vervollkommnet worden (Deutsche Bauzeitung, 1887, S. 249 bis 251).

die Glasröhre zu passieren, giebt den Maßstab für die Geschwindigkeit des Wassers. Die absolute Geschwindigkeit der Luftblase kann durch Verengung des einen Röhrenendes beliebig verlangsamt werden. Das Instrument muß mit Hilfe von Schwimmern tariert werden.

Die Schwimm-Biichsc

von Grandi mit einem dem Strom entgegengerichteten kleinen Loch. Man senkt dieselbe in die gewünschte Tiefe und läßt sie eine bestimmte Zeit schwimmen. Die Geschwindigkeit wird aus der Menge des in die Büchse eingedrungenen Wassers berechnet.

Der Strom-Quadrant.

Der Umfang ist in Grade geteilt und turnt Mittelpunkte geht ein Faden mit angehängter Kugel aus. Die Kugel wird in das Wasser getaucht, worauf der Ablenkungsgrad des Fadens den Maßstab für die Geschwindigkeit giebt, welche für dieselbe Kugel gleich ist dem Produkt eines konstanten Koeffizienten in die Quadratwurzel aus der Tangente des Ablenkungswinkels. Der Apparat rührt von Castelli her.

Die Wage mit Kugel.

Eine Kugel wird an einem Drahte an eine feine Wage befestigt und ins Wasser gesenkt. Die Wage giebt den Druck des Wassers auf die Kugel an. Ans letzterem wird die Geschwindigkeit bestimmt.

St. Venant benutzte diesen Apparat.

Brünings' Tachometer

besteht aus einer Wage mit einer Platte, welche ins Wasser getaucht und der Stromrichtung entgegengesetzt wird. Die Wage giebt den Druck des Wassers auf die Platte an und aus diesem wird die Geschwindigkeit bestimmt. Dieser Geschwindigkeitsmesser ist von Frank in einen selbstauf-zeichnenden Strommesser verwandelt worden.

Anmerkung. Andere Geschwindigkeitsmesser sind beschrieben: Engineer, 1883, S. 326; Dinglers Polyt. Journ., 1884, S. 11; Wochenblatt s. Bank., 1886, S. 57.

§ 153.

Die Vermessung des Gesälles.

Zur Bestimmung des Wertes einer Wasserkraft muß außer der Wassermenge noch das Gefälle gemessen werden. Die hier zu befolgende Methode ist ganz durch die Lokalverhältnisse bedingt. Befinden sich die beiden Punkte, deren Höhenunterschied gemessen werden soll, in einer und derselben Vertikalebene, so kann das Gefälle natürlich sehr leicht mit dem Maßstabe oder einer Latte gemessen werden.

Befindet sich das Gefälle an einem mehr oder weniger steilen Bergabhang, so bedient man sich zur Vermessung am passendsten einer Wasserwage mit Setzlatte und des Meßbandes.

Ist das Terrain dagegen schwach geneigt, d. h. ist die Horizontaldistanz der Punkte, deren Höhenunterschied gemessen werden soll, sehr groß im Vergleich zum Gefälle, so leistet ein empfindliches Nivellier-Jnstrument mit Fernrohr und Wasserwage die besten Dienste. Dabei ist die Methode zu empfehlen, nach welcher das Nivellier-Jnstrument immer in der Mitte der Stationen aufgestellt und sowohl nach rückwärts als nach vorwärts visiert wird. Man erreicht durch diese Methode 1. daß man mit einem nicht rektifizierten Instrumente, dessen Fernrohrachse nicht mehr genau parallel zum Wasserspiegel der Wage ist, dennoch ganz genaue Resultate erhält, wenn nur das Fernrohr scharf und die Wasserwage einpfindlich ist; 2. kann bei diesem Verfahren durch die Refraktion kein Fehler entstehen; 3. hat man das Instrument dabei nicht so oft aufzustellen.

Soll z. B. der Höhenunterschied der Punkte A und B in Fig. 236 Tafel 15 mit Hilfe des Nivellier-Justrumentes gemessen werden, so stellt man die Meßplatte bei A, das Instrument bei b₃ auf, richtet das Fernrohr durch die Wasserwage genau horizontal, visiert nach der Meßplatte und notiert nach direktem Ablesen die Höhe Aa,. Bei größeren Entfernungen muß man dem Halter der Meßplatte durch Winke angeben, wie er die Visierscheibe zu verschieben hat.

Ohne nun an dem Nivellier-Jnstrument etwas zu verändern, bringt man die Meßplatte nach b, dreht das Fernrohr des Instrumentes herum und bestimmt durch Visieren die Höhe bb₂. Jetzt dreht man die Meßplatte um 180°, ohne ihre Höhenlage zu verändern, bringt das Instrument nach b₄ und bestimmt durch Visieren die Höhe b b,, bringt die Latte nach c, dreht das Fernrohr, bestimmt c c₂ und in der angegebenen Weise fortfahrend, erhält man noch c c₄ und B f.

Der zu suchende Höhenunterschied zwischen den Punkten A und B beträgt alsdann (A a₄ — b b₂) —j— (b bi — c c₂) -(— (c Ci — B f) oder nach dem gewählten Beispiel (8' — 2') -j- (7' — 3') -(- (7' — 3) — 14'.

Beim Umdrehen des Fernrohres hat man daraus zu achten, daß im übrigen nichts an der Stellung geändert wird, daß also nach der Drehung die Libelle noch genau einspielt. Da die Fernrohre der Nivellier-Jnstrumente ohne Ausnahme umgekehrte Bilder zeigen, so muß die Latte so eingeteilt

31

Meißner, Hydraulik. I. 2. Auflage.

und beschrieben fein, daß die Köpfe der Zahlen nach unten gerichtet sind. Wollte man durch das Fernrohr aufrechte Bilder erhalten, so müßte man noch eine oder zwei Linsen hinzufügen, welche das Instrument aber unnütz verteuern und außerdem lichtschwächer machen würden.

§ 154.

Die praktische Durchführung der Wasservermessung des Mississippi.

Als lehrreiches Beispiel einer Wasservermessung in größerem Maßstabe sollen im Nachfolgenden die Vermessungsoperationen bei der Bestimmung der Wassermenge des Mississippi und seiner Nebenflüsse etwas ausführlicher dargelegt werden.

A. Messung des Qucrprofiles.

Die Vermessungen der Querprofile des Mississippi sind infolge der heftigen Strömung, der Breite uud Tiefe des Flusses, sowie wegen des Treibholzes eine nicht so leichte Sache. Nach verschiedenen Versuchen wurde die nachfolgende Messungsmethode angenommen, welche auch beim höchsten Wasserstande noch eine genaue Arbeit ermöglichte.

In der Regel wurden die Messungen bei mittlerem Wasserstande ausgeführt, da einesteils während des Niederwasserstandes eine drückende Hitze vorhanden, beim Hochwasserstand aber die Schwierigkeiten überhaupt größer waren.

Man begann die Arbeiten zunächst mit dem Abstecken einer Basis von 400 und von 1000' längs des Ufers. An jedem Ende stellte sich ein Beobachter mit einem Theodoliten auf, von denen der eine das Fernrohr seines Instrumentes in die Richtung des zu messenden Querprofiles brachte, während der andere mit seinem Fernrohr das Boot verfolgte und nachdem die Sondierung stattgefunden, den Winkel ablas, den die von ihm nach dem Boote gezogene Linie mit der abgesteckten Basis machte.

In dem leichten sechsrudrigen Boote befand sich ein Mann mit der Sondierkette, ein Beobachter und drei Ruderer. Die leicht bewegliche, aber starke Sondierkette war durch Tuchstreifen in Abteilungen von je 5' Länge eingeteilt und es wurden die kleinern, zwischen diese Abteilungen fallenden Längenmaße mit dem Maßstabe gemessen. Das Senkblei, das je nach der Stärke des Stromes 10 bis 20 Pfund schwer war, bestand aus einem Bleistücke mit ausgehöhltem Boden, welcher mit Fett bestrichen wurde, um Bestandteile des Flußbodens daran haften zu lasten.

Nachdem das Boot in einige Entfernung oberhalb der Querprofiltime gebracht worden war, ließ man es abwärts treiben, wobei das Senkblei nahe dem Flußgrunde gehalten wurde, wodurch die Einbiegung der Senkbleikette verhindert werden konnte.

Sowie sich nun das Boot der Querprofillinie näherte, schwenkte der eine Beobachter an der Basis am Ufer eine Flagge als Zeichen, daß eine Sonde genommen werden soll, wobei er gleichzeitig sein Instrument so richtete, daß der Vertikalfaden des Fernrohres den Punkt schnitt, wo die Sondierkette das Deck des Bootes kreuzte. Sobald der Beobachter im Boot das Signal bemerkte, schwang er eine Flagge, was für den zweiten Beobachter an der Standlinie am Ufer das Zeichen war, das Boot mit seinem Fernrohr zu begleiten.

Der- Mann mit der Sondierkette ließ nun diese rasch durch seine Hand gleiten, bis das Blei am Flußboden aufstieß, woraus er die Kette über der Wasseroberfläche erfaßte und in vertikale Stellung brachte, was für die beiden Beobachter am Ufer das Zeichen zur Bestimmung der Winkel war. Der Aufschreiber im Boote notierte nun die Wassertiefe nebst der Beschaffenheit der am Senkblei haftenden Bestandteile des Flußbodens. Durch die gemessenen Winkel konnte die Lage des Bootes, welche immer nur um wenige Fuß von der Querprofillinie bald nach oberhalb, bald nach unterhalb abwich, genau festgestellt werden.

Dieses Verfahren wurde so oft wiederholt, bis die genügende Anzahl von Beobachtungspunkten auf der ganzen Querprofillinie genommen war.

Schließlich wurden an jedem Ufer sorgfältige Nivellements des Wasserspiegels aufgenommen, da der Wasserspiegel eines Flusses niemals eine horizontale Ebene bildet, das Wasser im Stromstrich an schnellfließenden Stellen vielmehr immer wesentlich höher steht, als an den langsamer fließenden, so daß der Unterschied am Mississippi oft mehr als V/2 beträgt.

In der Regel wurden die beobachteten Dreiecke sogleich an Ort und Stelle berechnet, und ehe der Operationsplatz verlassen wurde, die Sondierungen aufgerissen, um etwaige Lücken im Profile durch sogleich vorgenommene nachträgliche Sondierungen ausfüllen zu können.

Überall, wo eine Reihe täglicher Bestimmungen der Durchflußmengen zu machen war, wurden zwei Querprofile in 200' Entfernung von einander mit großer Sorgfalt abgemessen, und um zu erfahren, ob nicht merkliche Veränderungen in der Form des Flußbettes entstanden seien, wurden die Sondierungen an diesen Stellen dann und wann wiederholt.

31*

Wo eine solche Veränderung während der Beobachtungen stattgefunden hatte, wurde das Mittel aus allen erhaltenen Profilformen als das wirkliche Flußquerprofil angenommen.

Die Veränderung der Querprofilfläche durch Zu- oder Abnahme des Wasserstandes konnte leicht aus dem aufgerissenen Querprofil ermittelt werden.

Um eine genaue Vermessung des Querprofiles für jeden einzelnen Tag zu erleichtern, wurde zur leichten Bestimmung des täglichen Wasser-standes ein genau eingeteilter Pegel aufgestellt, dessen Stand gegen bestimmte Anhaltspunkte dann und wann untersucht worden ist.

B. Messung der Geschwindigkeit.

Für die zur täglichen Geschwindigkeitsmessung geeigneten Flußstreckeu wurden nur diejenigen Stellen des Flusses gewählt, welche möglichst schmal und gerade waren, ein ziemlich gleichmäßiges Flußbett ähnlich einem Kanäle darboten, frei von Wirbeln waren und deren Wasserspiegel auch beim höchsten Wasserstande noch zwischen den seitlichen Dämmen eingegrenzt war.

Die Messung der Geschwindigkeit war infolge der großen Tiefe des Flusses, welche stellenweise auf 80 und 120 und selbst bis auf 140' steigt, sowie ferner infolge der bedeutenden Strömung eine äußerst schwierige. Von allen Methoden der Geschwindigkeitsmessung hat sich diejenige mit Doppelschwimmern am besten bewährt. Nur an den Nebenflüssen, wo die beiden Ufer unter Wasser waren, wurden einige Messungen mit dem Schiffs-Log vorgenommen, an allen Stellen, wo dieses nicht der Fall war, wurde der Doppel-Schwimmer und zwar in verschiedener Gestalt angewendet. Zunächst wurden feste Holzwürfel von 1' Seite in Anwendung gebracht, welche bis zum Untersinken mit Blei belastet und mittelst Schnüren an Schwimmer von Kork aufgehängt wurden. Diese Würfel wurden aber wegen ihres großen Gewichtes als unzweckmäßig befunden und zunächst durch teilweise mit Wasser gefüllte und gleicherweise aufgehängte Flaschen ersetzt. Diese boten indessen dem Wasser zu wenig Fläche dar, um schnell die Geschwindigkeit des dieselben umgebenden Wassers annehmen zu können, und man brachte nachdem hölzerne Tönnchen ohne Deckel oder Boden zur Anwendung, welche mit Blei belastet wurden, bis sie vertikal unter dem Wasser schwimmen konnten. An ihr oberes Ende wurde eine Handhabe, aus einem Seile bestehend, angebracht und mittelst einer Schnur ein zweiter Schwimmer von weichem Holz oder Kork oder von Weißblech zusammengelötet an denselben befestigt, an welchem auf dem Wasserspiegel schwimmenden Gegenstände ein kleines Fähnchen an einem 1' langen Drahte befestigt war. Die Dimensionen dieser Schwimmer waren im Jahre 1851 folgende: Die Höhe der Tönnchen betrug 15" engl.; der Durchmesser 10"; der Strick, welcher die beiden Schwimmer (das Tönnchen und den Korkschwimmer an der Oberfläche) mit einander verband, 0,2" stark. Der Schwimmer an der Oberfläche von Kork war circa 8" im Quadrat und 3" dick, Ist-/' ins Wasser getaucht. Bei den Vermessungen int Jahre 1858 waren die Dimensionen folgende: Die Höhe der angestrichenen Tönnchen — circa 9" engt; Durchmesser derselben 6"; Strick zwischen den beiden Schwimmern = 0,1" dick; Schwimmer an der Oberfläche von weichem Holz, 5,5" im Quadrat, 0,5" hoch; Schwimmer aus Weißblech in elliptischer Form, die Achsen

5,5 und 1,5". Für Geschwindigkeiten über 5' hatte man 1851 dieselbe Einrichtung; im Jahre 1858 nahm man aber größere Tonnen von 12" Höhe, 8" Durchmesser und eine Verbindungsschnur von 0,2" Dicke. Durch Veränderung dieser Schnur konnte man den Schwimmer in beliebiger Tiefe unter der Oberfläche schwimmen lassen. Die geringe Größe des obern auf der Wasserfläche liegenden Schwimmers verhinderte einen wesentlichen Einfluß desselbeit auf dett eigentlichen untern Hauptschwimmer.

Dieser geringe Einfluß wurde auch direkt durch Versuche bestätigt, indem man den Doppelschwimmer bei starkem Winde in stehendes Wasser brachte, und auch dadurch, daß matt die Richtung des Doppelschwimmers beobachtete, wenn ein starker Wind quer auf die Stromrichtung wehte. In beiden Fällen konnte ein Einfluß des Windes nicht bemerkt werden.

Natürlich mußte man, um die Stromgeschwindigkeit an den verschiedenen Teilen des Querprofiles zu messen, die Schwimmer an allen diesen Teilen passieren lassen, wobei das nachfolgende Verfahren angewendet wurde:

Nachdem die bereits erwähnten Querprofile in einer Distanz vott 200' abgemessen worden waren, wurde senkrecht darauf die Basislinie am Ufer ausgesteckt, deren Länge gleich der Entfernung der Querprofile war.

Bei dieser nicht sehr großen Länge der zu beobachtenden Strecken konnten täglich mehrere Beobachttmgen auf dem ganzen Querprofile gemacht werden, ohne daß während dieser kurzen Zeit eine bemerkenswerte Änderung der Geschwindigkeit eintreten mußte. An jedem Ende der Basislinie stand ein Beobachter mit dem Theodolit, deren Fernrohre so gerichtet waren, daß die vertikalen Fäden der Kreuze die Richtung der Querprofile genau angaben.

Oberhalb und unterhalb der Querprofillinien wurde nun ein Boot im Flusse befestigt; vom obern Boote ziemlich weit oberhalb der ersten Querprofillinie ein Schwimmer losgelassen, welcher sogleich in die ihm zugemessene Tiefe sank und dem Querprofile zutreiben mußte.

Der Beobachter am obern Ende der Basislinie richtete sein Kreuz genau in die Querprofillinie, derjenige am untern Ende aber auf das Fähnchen des Schwimmers. Sowie der Schwimmer im obern Querprofile anlangte, rief der obere Beobachter dem untern ein kräftiges „Hopp" zu, bei welchem Zeichen derselbe den Winkel des Schwimmers mit der Basislinie im Momente der Kreuzung notierte, das Fernrohr aber sogleich darauf in die untere Querprofillinie richtete und die Ankunft des Schwimmers in derselben erwartete.

Im Momente, wo der Schwimmer die obere Querprofillinie passierte, notierte der obere Beobachter die Zeit einer aufgehängten Sekundenuhr und richtete hierauf sein Fernrohr aus das Fähnchen des Schwimmers. Sowie dieser letztere nun die untere Querprofillinie passierte, rief der untere Beobachter dem obern ein „Hopp" zu, bei welchem Zeichen nun der obere Beobachter den Winkel des Schwimmers mit der Staudlinie notierte und die Zeit beobachtete, welche der Schwimmer gebrauchte, um von dem obern zum untern Querprofile zu gelangen. Öfter wurde die Zeit auch von beiden Beobachtern notiert. Mittelst der beobachteten Winkel konnte die Stelle des Schwimmers im Querprofile aufs genaueste bestimmt und die Geschwindigkeit an dieser Stelle festgesetzt werden.

Dieses sehr genaue Verfahren, die mittlere Geschwindigkeit des ganzen Flußquerschnittes zu bestimmen, kann indessen nicht immer zur Durchführung gelangen, weil man nicht jeden Tag die Geschwindigkeiten an allen Punkten eines so bedeutenden Stromes beobachten kann. Es wurden daher im Jahre 1858 eine Anzahl Schwimmer über die ganze Breite des Flusses verteilt und in einer und derselben Tiefe den Fluß hinabtreibeu gelassen. Wäre nun der Querschnitt des Flusses rechteckig gewesen und hätte man das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung unter dem Wasserspiegel bereits gekannt, so hätte man die mittlere Geschwindigkeit des ganzen Flußquerschnittes leicht finden können, ohne eine so bedeutende Anzahl von Beobachtungen zu machen, wie dieses thatsächlich notwendig war, um dieses Gesetz erst auffinden zu können.

Zu diesem letztern Zwecke wurden verschiedene Methoden in Anwendung gebracht. Doch wurden für einen Fluß von dieser Größe nur die Doppelschwimmer als brauchbar gefunden. An jeder Station wurden mehrere Partieen Schwimmer beobachtet, wobei dieselben in den verschiedensten Tiefen unter der Oberfläche des Wassers bis nahe auf den

Flußgrund sich bewegten. Wenn sich an irgend einer Stelle Unregelmäßigkeiten oder Widersprüche zeigten, wurden die Versuche wiederholt, die Tiefe gewechselt, an einer Stelle und Tiefe oft längere Zeit beobachtet, von der Oberfläche plötzlich bis nahe an den Grund gegangen und die erhaltenen Resultate folgendermaßen aufgetragen.

Nachdem die beiden Querprofillinien, die Basislinie und die Uferränder auf dem Papiere aufgetragen waren, wurden mit Hilfe einer Tafel der natürlichen Tangenten die Entfernungen der beiden Punkte berechnet und aufgerissen, wo die Schwimmer die Querprofillinien schnitten. Die gerade Verbindungslinie beider Punkte, die auf den Querprofillinien nahe senkrecht stehen mußten, stellte den vom Schwimmer zurückgelegten Weg dar. Auf dieser Linie wurde die beobachtete Zeit und die Tiefe des Schwimmers unter dem Wasserspiegel beigesetzt und dadurch eine vergleichende Übersicht über die Geschwindigkeit an allen Stellen des Querprofiles geschaffen.

Ohne vorläufig auf das mathematische Gesetz in dem Verhältnis dieser Geschwindigkeiten Rücksicht zu nehmen, bemerkte man doch sofort, daß die Geschwindigkeiten allmählich und ganz gleichförmig mit der Entfernung vom Ufer und gegen den Stromstrich zunehmen, und wenn man das ganze Querprofil durch Vertikallinien in Unterabteilungen von 200' Breite einteilte, so konnte man sogleich bemerken, daß die innerhalb einer jeden dieser Abteilungen (ausgenommen die beiden an den Ufern liegenden) die Geschwindigkeit sich ganz unbedeutend ändert.

Man teilte daher das ganze Flußprofil von der Basislinie aus durch Parallele in gleiche Teile von 200' Breite und schrieb in diese Unterabteilungen das Mittel der von den Schwimmern gebrauchten Anzahl Sekunden als Geschwindigkeit ein.

Für die dem Ufer zunächstliegende Abteilung aber nahm man nach eigens hierzu angestellten Versuchen eine mittlere Geschwindigkeit — 0,8 derjenigen am äußern (vom Ufer abgekehrten) Rande dieser Abteilung an.

Um. Fehler zu vermeiden und die Unregelmäßigkeiten der Beobachtung verbessern zu können, wurden die täglichen Resultate in Gestalt einer Kurve aufgetragen; deren Ordinaten die mittlern Geschwindigkeiten und deren Abscissen die Abstände der Mittelpunkte der einzelnen Abteilungen ' (von 200' Breite) waren. Wo die Beobachtungen eines Tages für eine Unterabteilung fehlten, konnte man diese leicht nach der Kurve ergänzen. Fehlten dagegen Beobachtungen in verschiedenen Abteilungen, so wendete man folgendes Jnterpolationsverfahren an. Ohne das mathematische Gesetz der täglichen Geschwindigkeitsknrven zu berücksichtigen, konnte aus

der einfachen Betrachtung dieser Kurven die Veränderung erkannt werden, welche einer Veränderung der mittlern Geschwindigkeit entsprach, und es zeigte sich, daß die Gestalt der Kurve bei einer Veränderung der mittlern Geschwindigkeit von einem Fuß nahe dieselbe blieb.

Die täglichen Geschwindigkeitskurven wurden sodann gruppiert und die mittlern Kurven für jeden Fuß dieser mittlern Geschwindigkeiten aufgetragen, wonach mau die fehlenden Geschwindigkeiten der einzelnen Abteilungen durch Vergleichung der Gestalt der mittlern Geschwindigkeitskurve des gleichen Wasserstandes interpolierte.

Mit Hilfe dieser mittlern Geschwindigkeitskurven konnten auch die aus der ungleichen Verteilung oder durch ungenaue Beobachtung entstandenen Unregelmäßigkeiten aus den erhaltenen Resultaten eliminiert werden.

Um nun die Wassermenge zu berechnen, hatte man folgendes zu

beachten.

Wäre der Flächeninhalt der einzelnen vertikalen Abteilungen einander gleich, so hätte man offenbar nur das ganze Querprofil mit dem arithmetischen Mittel aller Abteilungsgeschwindigkeiten zu multiplizieren. Allein dieses ist bei Flüssen nicht der Fall und es ist auch das Verhältnis der Flächeninhalte der einzelnen Abteilungen bei verschiedenen Wasserständen nicht konstant. Die einzig richtige Methode zur Bestimmung der Durchflußmenge unter den obwaltenden Umständen war daher die folgende:

Die Fläche einer jeden Abteilung mußte mit der mittleren Geschwindigkeit dieser Abteilung multipliziert werden und die Summe der Produkte sämtlicher Abteilungen ergab die Durchflußmenge. Die Durch-fiußmenge mit dem ganzen Flußprofil dividiert ergab die wirkliche (approximative) mittlere Geschwindigkeit des Flusses. Diese allerdings sehr mtihsame Methode wurde bei der Berechnung der Durchflußmenge des Mississippi in Anwendung gebracht. Als die wirkliche Niederwasser-querprofil-Fläche wurde das arithmetische Mittel aller Querprofil-Flächen bei Niederwasser genommen und ähnlich bei allen Flächen.

Wo die Schwimmer in allen Tiefen beobachtet worden sind, wie bei Carrollton im Jahre 1851, konnte nach der oben angegebenen Weise die Durchflußmenge des Mississippi so genau festgesetzt werden, als dies überhaupt möglich ist.

Waren dagegen, wie in den Jahren 1857 und 1858, die Schwimmer alle in einer und derselben Tiefe beobachtet worden, so konnte die erhaltene Durchflußmenge nur eine annähernde sein und mußte noch mit dein Ver-

hältnis zwischen der dieser Tiefe entsprechenden Geschwindigkeit und dem Mittel aus der ganzen Vertikalkurve multipliziert werden.

Beim Aufsuchen des Gesetzes über die Abnahme der Geschwindigkeit vom Wasserspiegel gegen den Flußgrund sind, wie schon erwähnt, alle möglichen Vorsichtsmaßregeln zur Vermeidung von Irrtümern getroffen worden, indem man alle erdenkliche Variation in die Versuche brachte, um den einen durch den andern kontrolieren zu können. So wurden die Schwimmer so tief ins Wasser gelassen oder diese Tiefe so abgewechselt, daß man sowohl von oben nach unten, von unten nach oben, von oben und unten gegen die Mitte zu und umgekehrt von der Mitte aus nach oben und unten zu experimentierte.

Da die von einem festen Punkte aus abgelassenen Schwimmer immer genau dieselbe Richtung einschlagen, so wurden sämtliche Schwimmer nur von verankerten Booten aus losgelassen. Aus der bereits bekannten Querprofilfläche und der Lage des vom Schwimmer zurückgelegten Weges konnte die Wassertiefe an der Stelle des Schwimmers immer leicht und sicher festgesetzt werden.

Achtundzwanzigstes Kapitel.

Vermessung

der durch Röhren fließenden Wassermengen.

§ 155.

Anforderungen an einen Wassermesier für Wasserleitungen.

Die Apparate, welche durch Röhren fließende Wassermengen messen, können wir in zwei Gruppen zerlegen und zwar in direkt und indirekt anzeigende.

Die erste mißt dadurch den wirklichen Rauminhalt, daß das Wasser gezwungen wird bestimmte Kammern von bekanntem Inhalte anzufüllen, aus denen es der Verbrauchsstelle erst dann zufließen kann, wenn die betreffende Kammer gefüllt und von weiterem Zuflüsse automatisch abgeschlossen ist. Durch dieses Anfüllen und Entleeren der Kammern wird eine rotierende oder hin- und hergehende Bewegung eines Maschinenelementes verursacht und auf ein Zählwerk übertragen. Bei der zweiten Gruppe dagegen wirkt die lebendige Kraft des Wassers auf Platten oder Flügel und versetzt dadurch eine Welle in Umdrehungen, deren Zahl an einem Zählwerk abgelesen werden kann. Natürlich ist das letztere so eingerichtet, daß es nicht die Umdrehungen oder die Wassergeschwindigkeit, sondern unmittelbar die durchgeflossenen Wassermengen angiebt. Bei einer andern noch hierher gehörigen Gattung wird die lebendige Kraft nicht zur Hervorrufung rotierender Bewegung gebraucht, sondern sie wirkt auf eine Feder oder eine ausbalancierte Scheibe und die Bewegung dieser Elemente wird automatisch verzeichnet. Auch der später beschriebene Venturi - Wassermesser kann mit ‘ einer automatischen Schreibvorrichtung versehen und dadurch allgemeiner brauchbar gemacht werden.

Die Haupteigenschaften eines guten Wassermessers müssen sein: 1. Eine genaue Angabe der durchgeflossenen Wassermenge, ob diese groß

oder klein ist. 2. Ein geringer Druckhöhenverlust im Zuflußrohre durch die Thätigkeit des Wassermessers. 3. Billigkeit und Einfachheit. 4. Leichtes Montieren und Reparieren. 5. Geringe Abnutzung der arbeitenden Teile.

Der ganze Apparat muss aus einem Material bestehen, welches vom Wasser nicht angegriffen wird. Er darf im Zuflußrohre durch sein Arbeiten keine Stöße verursachen, den Zufluß nie absperren und muß nur wenig Raum einnehmen.

Einen Wassermesser, der nun all den aufgestellten Bedingungen genügt, wird es wohl schwerlich geben. Aber unter bestimmten Verhältnissen treten einige Anforderungen in den Vordergrund, während andere vernachlässigt werden können. Dementsprechend ist dann der Apparat auszuwählen.

§ 156.

Wassermesser von Siemens und Adamson.

Da die Zahl der in England und Deutschland patentierten Wassermesser wohl über 200 beträgt, deren beste nach Nazzanis Angaben diejenigen von Frost, Witt, Schund, Tylor, Ericsson, Pioz, Blackwood, Parkinson, Kennedy, Faller, Siemens und Adamson sind, so müssen wir uns damit begnügen, den zuletzt genannten nach den Verbesserungen von Quest und Chrimes zu besprechen. Derselbe wird durch die Figuren 301 -und 303 wiedergegeben. Das Wasser, welches durch ein Siebwerk im Zuführnngsrohre und in g gereinigt ist, tritt durch a in die Kanäle des Turbinenrädchens t achsial ein und verläßt dieselben radialfließend. Die drehende Bewegung der Turbine wird durch ihre Achse 0 auf die Schnecke v und von dieser auf ein Zählwerk übertragen, dessen Zifferblatt q q und dessen Zeiger ii sind.

Der bei diesem Wassermesser erlaubte Fehler soll unter 10°/„ bleiben. Er beträgt bei den von Siemens und Halske gebauten Apparaten 2,5 °/0 bei 6450 1 und steigt bis 2,8% bei 625 1 stündlicher Durchfluß menge.

§ 157.

Der Beuturi-Waffermesser.

Der Pitotschen Röhre ähnlich ist der Venturi-Wassermesser') für in Röhren sich bewegende Wassermassen, wenigstens geschieht nur eine Höhenablesung.

Der Erfinder dieses höchst praktischen Wassermessers, Clemens Herschel, läßt ihn herstellen bei der Builders Iron Foundry Providence Rhode Island. Das Grundprinzip des Apparates haben wir schon mehrfach kennen gelernt und zwar zuletzt im § 117. In der im Rohre (Fig. 327 Tafel 27) angebrachten Verengung vom Querschnitte f₂ wird nämlich die Geschwindigkeit Ci des Wassers bis c₂ zunehmen und die Pressungshöhe hx bis h₂ abnehmen.

Die Summe der Pressungs- und Geschwiudigkeitshöhe wird an allen Stellen gleich sein, wenn man von den Reibungsverlusten absieht. Daher besteht die Beziehung

oder weil fi cx — f₂ c₂ ist:

V . Ci

hl + 5-

2g

2g

h₂ J- K

Hieraus folgt

' 2g

Ci

Ebenso ergiebt sich:

V(hi — h₂) 2 g.

|/fx ² — f₂ ²

l/2g(hs —h₂).

c₃ — .    -—:

/f₃²— f₂²

Zur Berücksichtigung der Reibungswiderstände und der saugenden Wirkung der strömenden Wassermenge auf den Inhalt der Steigröhren, müssen die rechten Seiten der beiden letzten Formeln noch mit einem konstanten Faktor multipliziert werden, den wir jedoch gleich mit den andern Konstanten zusammenziehen. Daher schreiben wir:

Ci — A<ia — h₂,

10)

c₃ - [*32 Vh₃ — h₂

und müssen (W₁₂ und /u3i durch Experimente bestimmen.

Herschel hat zwei Wassermesser konstruiert. Der eine, welchen unsere Figur wiedergiebt, gehört zu einem Rohre von 9' Durchmesser und der andere zu einem solchen von 1' Durchmesser. Um die verengte Stelle befindet sich ein Hohlring von rechteckigem Querschnitte, dessen Hohlraum mit dem Innern der Röhre durch vier Löcher und außerdem mit dem Steigrohre verbunden ist.

Die im Wassermesser verbrauchte Reibungshöhe ist durch hx — h3 gemessen und beträgt wenig mehr als bei einem gleich langen Rohrstücke von der Querschnittsfläche ii — f₃.

Der größte Vorteil dieses Wassermessers besteht darin, daß keine beweglichen Teile an demselben vorhanden sind.

11)

Neunundzwanzigstes Kapitel.

Verteilung konstanter Wastermengen.

§ 158.

Verteilung durch den Wasserzoll.

Abgesehen von der Messung einer beliebigen Wassermenge läßt sich der Wasserzoll außerordentlich gut verwenden, um einer oder mehreren Wasserleitungen eine ganz konstante Wassermenge zuzumessen oder zufließen zu lassen; oder auch eine Wassermenge in bestimmtem Verhältnisse in mehrere Leitungen zu zerteilen.

Die Fig. 128 bis 132 auf Tafel 7 stellen eine solche Vorrichtung dar, wie sie bei den französischen Wasserleitungen allgemein üblich ist.

, Die Steigrohren A gießen das Wasser in möglichst gleichen Abständen in einen gemeinschaftlichen Kasten B aus, von wo es in einen Behälter D gelangt. In der Wand des Behälters D sind die Öffnungen angebracht, durch welche das Wasser vermessen wird, indem es nach F gelangt. Die Mündung Gr der zu speisenden Rohrleitungen ist wieder in je einem besondern Kasten H angebracht, dem das Wasser durch eine neue Reihe von Öffnungen (Wasserzollen) zugeführt wird. Durch die Anzahl dieser letztern kann jeder Rohrleitung das gewünschte Quantum Wasser zugeführt werden.

Diese Vorrichtung befindet sich auf dem Turme des Gebäudes der Wasserhebungsmaschine und an leicht zugänglichen Stellen sind die Steigrohre angebracht, welche das Wasser in den gemeinschaftlichen Kasten B fördern, der sich gewöhnlich an drei Wänden entlang zieht, während an der vierten die Treppe heruntergeht.

Durch die Anordnung der Kästen ist dem Arbeiter die Kontrolle erleichtert. Die Öffnungen, welche zur Messung dienen, haben 1 Pariser Zoll Durchmesser und müssen alle in derselben Höhe angebracht sein, damit die Messung zuverläßlich wird.

Um dies zu erreichen, werden die Messing- oder Kupferbleche, welche dem Oxidieren nicht so sehr unterworfen sind, zum Anbringen der Löcher in denselben — im Abstande von etwa 75 mm — möglichst genau in gleicher Höhe eingesetzt und es wird durch einen großen Kastenquerschnitt dafür gesorgt, daß der Wasserspiegel vor den Öffnungen gleichmäßig sinkt. Der Kasten erhält daher eine möglichst große Länge und einen regelmäßigen Zufluß des Wassers.

Das Vermessen der Wassermenge selbst geschieht nun folgendermaßen:

Die sämtlichen Öffnungen sind mit gewöhnlichen Korken verschlossen. Wenn nun das Wasser durch die Steigröhren herbeifließt und der Kasten angefüllt ist, nimmt der Arbeiter einen Kork nach dem andern heraus und zwar im ganzen so viele, daß sich die ausfließenden Wasserstrahlen von den obern Rändern der Öffnungen lostrennen, aber immer noch ganz voll ausfließen.

Geschieht dies, so ist die Druckhöhe genau eine Pariser Linie über dem obern Rande der Öffnung und es fließt durch eine solche — 15 Pinten in der Minute oder 19,1953 cbm in 24 Stunden.

Alle Kästen dieser Meßvorrichtung ruhen auf einem starken hölzernen Gestelle in solcher Höhe, daß der Arbeiter bequem zu den Öffnungen gelangen kann.

Durch die Anordnung einer solchen Kontrollvorrichtung wird ungefähr ein Fuß an der Druckhöhe verloren, was bei den meisten Wasserleitungen kaum in Betracht kommt.

§ 159.

Berteilung durch einen Kaliberhahn.

Für die Abgabe von Wassermengen an Private bei städtischen Wasserleitungen, wo dieselbe gemessen werden muß, wie z. B. für den Bedarf laufender Brunnen, werden in der Regel die sogenannten Kaliberhähne benützt, da bei gleichbleibendem Wasserdrücke ein konstant fließender Wasserstrahl genau dasselbe Wasserqnantum liefert.

Die Figuren 297 bis 299 auf Tafel 25 stellen einen solchen Hahn in seiner detaillierten Einrichtung dar.

Derselbe hat drei eingeschliffene Zapfen, von denen der erste a ein gewöhnlicher Abstellhahu ist, der zweite b die Regulierung der durchfließenden Wassermenge bewirkt und der dritte c die Beobachtung dieser durchfließenden Wassermenge gestattet.

Der mittlere Zapfen ist doppelt durchbohrt in der Weise, daß in der einen Stellung die verlangte beschränkte Wassermenge durchfließt, während der Hahn in der zweiten Stellung (für allfällige Feuerlöschzwecke) eine bedeutend größere Wassermenge durchläßt.

Die Kalibrierung geschieht durch ein in den Zapfen eingelegtes, mit einer feinen Öffnung versehenes Metallplättchen d, das durch eine Ringschraube e festgepreßt wird. Die Größe der Öffnung in diesem Scheibchen muß nach dem Wasserdrücke und dem verlangten Abgabequantum bestimmt werden.

Auf der Seite des zufließenden Wassers befindet sich vor diesem Zapfen ein feines Sieb f, welches etwa zufließende Unreinigkeiten, welche die regulierende Öffnung verstopfen könnten, zurückhält.

Behufs der Regulierung des Hahnes läßt sich bei geschlossenem vordern Zapfen der mittlere beliebig ausheben, so daß durch Probieren die richtige Weite der regulierenden Öffnung gefunden werden kann.

Die Messung des Abflußquantums geschieht an dem hintern Zapfen durch die Seitenleitung mit Schlauchstück, durch welches man das Wasser in ein Meßgefäß unter Beobachtung der Füllzeit fließen läßt. Der nötige Verschluß des zweiten Zapfens geschieht durch einen Riegel, welcher durch den Kopf der beiden ersten Zapfen durchgesteckt und außen mittelst eines Buchstabenschlosses festgehalten wird. Die Seitenabzweigung des dritten Hahnes in das Schlauchstück ist auch für Feuerlöschzwecke bestinlmt.

'

v-

.......... -

HH

Grundkauten der Wasserwerke.

Einleitung.

Hydraulischer Mörtel, Zement, Veton.

An Stelle des gewöhnlichen Kalk- oder Luftmörtels verwendet man zur Verbindung der Steine bei den Wasserbauten und auch bei anderen Bauten, wenn es auf besondere Festigkeit ankommt, den hydraulischen Mörtel oder Zement. Er besteht durchschnittlich aus 25% Kieselsäure, 7% Thonerde, 60% Kalk mit geringen Beimengungen von Eisenoxyd, schwefelsaure Magnesia, Kali und Natron. Jedoch dürfen in einem guten Zement nicht mehr als 2% Magnesia enthalten sein.

Man unterscheidet nach der Herkunft und der Erzeugung zwei Arten von Zement.

Portlandzement. Es werden thon- und kalkhaltige Rohstoffe zermahlen, bis zur Sinterung gebrannt und dann nochmals gemahlen.

Puzzolanzement. Hochofenschlacke wird in glühendem Zustande mit Wasser abgelöscht (granuliert), gemahlen und dann mit staubförmigem Kalke in abgelöschtem Zustande vermischt. Dieser Zement ist um % leichter als Portlandzement.

Wie wir gesehen haben, enthält der Portlandzement ungelöschten Kalk. Dies bedingt ein längeres Ablagern bis zu einem halben Jahre, damit die treibenden Eigenschaften aufgehoben werden.

Die Normen des Verbandes der Zementfabrikanten schreiben Volumenbeständigkeit und Mahlfeinheit vor. Es soll bei dem Durchsieben durch ein Sieb von 900 Maschen auf 1 qcm nur 10% Rückstand bleiben. Die geringste Zugfestigkeit soll noch 16 kg für 1 qcm bei einer Mischung von einem Teile Zement und drei Teilen Sand nach 28 tägigem Erhärten betragen. Das Abbinden darf nicht in kürzerer Zeit als zwei Stunden geschehen.

In der Herstellung der Fundamente unterscheidet man das nasse Verfahren oder den Betonguß und das Trockenverfahren. Bei dem ersteren

müssen die einzelnen Güsse möglichst rasch auf einander folgen, weil der Beton (ein Gemenge aus Zement, Sand und Steinstücken) schnell erhärtet, das heißt eine zusammenhängende Masse bildet, die sich mit einer frisch darangegossenen Betonmasse nicht mehr innig vereint.

In neuerer Zeit werden Wasserbauten von dem bekannten Ingenieur P. Ammann (Mödling bei Wien) nach dem Trockenverfahren in Portland-zementstampsbeton hergestellt. Zur Bereitung des letzteren wird der von allen erdigen und lehmigen Beimengungen gereinigte Sand mit Zement in trockenem Zustande gemischt, sodann diese Mischung angefeuchtet und mit reinem Schotter innig gemengt. Hierzu verwendet Ammann eine fahrbare Betonmischmaschine, die durch eine Lokomobile angetrieben wird und im stände ist, 100 cbm Beton an einem zehnstündigen Arbeitstage zu erzeugen.

Bei Herstellung von Stampfbeton - Mauern wird die feuchte Betonmasse in Schichten von ungefähr 20 cm in die Schablonen (d. h. zwischen Schalungen) gebracht und mit schweren eisernen Stößeln so lange komprimiert , bis sich an der Oberfläche Feuchtigkeit zeigt, worauf dann die nächstfolgende Schicht aufgebracht und komprimiert wird.

Schließlich versieht man das Betonmauerwerk nach Entfernung der Schalungen mit einer Putzschicht aus reinem Sande und Portlandzement.

Gute Anleitungen zur Berechnung der nötigen Betonmengen und ihrer Gewichte findet man in dem kleinen Buche von Castner *). Nach demselben soll man bei statischen Berechnungen das Gewicht eines Kubikmeters Beton zn 2000 kg annehmen. Er giebt auch die folgende praktische Tabelle.

Mörtel

mischung

Betonmischung

Zement

Nach Raumteilen

Portland-Zement Sand zement

Grober

scharfer Steinschlag Gewicht Sand

nach

kg

Loser

Zement

cbm

Loser    Loser

feuchter    feuchter

Grand Steinschlag cbm    cbm

N ro rf- vr> vo

3.5

2,33

T,75

1,40

V7

OOOOOO

M M M M M M

228

189

i6o

0,421

0,298

0,226

0,179

o,i47

0,125

0,421

o,596

0,679

0,714

0-735

o,749

0,833

0.833

0,833

0,833

0,333

0,833

i) M. Castner, Der Zement und seine rationelle Verwertung zu Bauzwecken, mit Berechnungsbeispielen und für die Praxis brauchbaren Mörtel-, Konkret- und Betontabellen. Leipzig 1894.

Dreißigstes Kapitel.

Künstliche Befestigung des Baugrundes.

§ 160.

Allgemeine Regeln.

In den meisten Fällen muß der Baugrund auf künstliche Weife befestigt werden, da der natürliche Boden selten die nötige Dichtigkeit und Festigkeit besitzt, um einen größern Bau ohne weiteres daraufstellen zu können. Wo es sich um Bauten in fließenden Gewässern handelt, muß durch gehörige Fundamentierung dem Unterspülen und Durchsickern des Wassers entgegengearbeitet werden, was für die verschiedenen vorkommenden Verhältnisse auf mannigfaltige Weise geschieht.

Bevor wir auf die am meisten vorkommenden Fundamentierungsarbeiten übergehen, haben wir die Fälle zu betrachten, wo eine künstliche Fundamentierung nicht erforderlich, der natürliche Boden also eine hinreichende Festigkeit zur Aufführung eines Baues besitzt.

Aber auch im letztern Falle muß der Grundbau oder das Fundament eines Baues wenigstens so tief gelegt werden, daß die Verbindungsstelle zwischen dem natürlichen Terrain und dem Mauerwerk allen Einflüssen der äußern Temperatur- und Feuchtigkeits-Verhältnisse entzogen ist, was in der Regel bei einer Tiefe von 1 bis 1,3 m der Fall zu sein Pflegt. Dies ist somit die normale Tiefe eines Fundamentes auf festem Boden, wo nicht geradezu eine feste Gesteinsart zu Tage tritt, in welchem Falle dann gar kein Fundament erforderlich ist und man nur für die Verhinderung des seitlichen Ausgleitens eine geringe Vertiefung anzufertigen hat.

Bei den aufgeschwemmten Erdschichten dagegen sind die obern Schichten in der Regel zu locker, um den Bau tragen zu können, und es ergiebt sich somit die Notwendigkeit, das Fundament so tief zu verlegen, bis eine genügende Dichtigkeit des Grundes erreicht wird. Aber auch wenn die

Dichtigkeit des Bodens mit der Tiefe nicht wesentlich zunimmt, erhält ein tiefer gelegtes Fundament eine größere Tragfähigkeit, weil der seitliche Druck der umgebenden Erdschichten eine Verschiebung des Fundamentes erschwert, die unter dem Fundamente befindlichen Erdschichten aber nicht mehr so leicht seitlich ausweichen können, als dies, nahe an der Erdoberfläche der Fall ist. Je schwerer daher ein Bau wird, um so tiefer muß in mittelmäßigem Terrain das Fundament verlegt werden, um so mehr soll sich ferner das Fundament nach abwärts stufenförmig erweitern, um den Druck auf eine größere Fläche zu übertragen.

Über das Verhalten verschiedener Terrain-Arten gegen das Eindringen eines festen Körpers stellte Hagen in Berlin Versuche an, indem er Blechcylinder mit ebenen Rändern mit verschiedener Belastung auf die Erde stellte und sowohl die Tiefe des Eindringens als die Art und Weise desselben genau beobachtete, resp. wie die Umgebung der Eindringstellen sich dabei verhielt.

Hagen erhielt bei diesen Versuchen das bemerkenswerte Resultat, daß bei den S a n d s ch ü t t u n g e n, und zwar sowohl bei den festem als den losern, und ebenso wohl bei trocknen wie bei feuchten, die Tragkraft nahe dem Quadrate der Einsenkung proportional wird. Bei allen Versuchen im T h o n b o d e n dagegen, sei er mit mehr oder weniger Wasser vermengt, ergab sich die Tragfähigkeit oder die Belastung als der ersten Potenz, d. h. als der einfachen Einsenkung proportional. Es zeigte sich ferner der bemerkenswerte Unterschied, daß bei den Sandschüttungen die Belastung sofort bis zu der entsprechenden Tiefe einsank und sich nachher nicht mehr rührte, während bei den Thonböden die Lasten nach und nach tiefer sanken, bis sie nach etwa 20 bis 30 Minuten ebenfalls keine weitere Bewegung mehr erkennen ließen.

Ließ man in eine Schüttung von trocknen: Sande Wasser von unten eintreten und dieses mit einer Druckhöhe wirken, welche sich etwa 3 cm über die Oberfläche erhob, so verlor der Sand alle Festigkeit und quoll stellenweise hoch auf. Ließ man aber das Wasser von obennach unten durch die Masse fließen, so ergab sich eine bedeutend größere Tragfähigkeit.

Trockner, aber festgestampfter Sand ergab nahezu die doppelte Tragfähigkeit, als lose aufgeschütteter.

Beim Durchlässen von Wasser durch die Sandschicht von unten wird die Tragfähigkeit immer noch etwas größer, als bei trocknem Sande, der lose aufgeschüttet wird, aber kleiner als bei

trocknem, festgestampftem Sande, indessen nur so lange, als die Druckhöhe des Wassers sich nicht auf mehr als einige Millimeter über die Oberfläche des Sandes erhebt und die Oberfläche nicht mehr ausspült.

Beim Durchfließen des Wassers von oben nach unten wird die Tragfähigkeit vier- bis fünfmal so groß, als bei trocknem, lose aufgeschüttetem Sande.

Ganz bedeutend vermehrt sich die Tragfähigkeit des Sandes, wenn er in eingeschlossenem Raume in dünnen Lagen und in feuchtem Zustande eingestampft wird, wobei durchfließendes Wasser nur sehr langsam eindringt und nur tropfenweise abfließt. Sie ist alsdann 12 bis 18 mal so groß als bei trocknem, losem Sande.

Die Versuche mit verschiedenen, auch sehr steifen Thonarten ergaben dagegen, daß dieselben sich ähnlich wie Flüssigkeiten verhalten, daß die Tragfähigkeit nahe dem Gewichte der verdrängten Thonmasse gleich ist und ein auf Thon gelagertes Gebäude somit immer eigentlich schwimmt. Es scheint sich ferner aus diesen Versuchen zu ergeben, daß für verschiedene drückende Flächen die Einsenkungen den Quadraten dieser Flächen umgekehrt proportional sind.

Über die A r t u n d W e i s e, wie der Boden bei deni Eindringen einer Last ausweicht, hat Hagen bei seinen Versuchen folgendes bemerkt:

In den lose aufgeschütteten trocknen Sand dringt die Last ein, ohne daß irgend eine Erhebung der Oberfläche des Grundes in der Umgebung bemerkbar wird; es bildet sich vielmehr eine konische Vertiefung um die Eintrittsstelle, woraus hervorgeht, daß der Sand nur zusammengedrückt und dichter wird, indem die herabgedrückten Sandteilchen in die Zwischenräume der untern lockern Sandschichten eindringen.

Bei dem festgestampften, feuchten (wenig benetzten) Sande zeigte sich um die Eindringstelle ebenfalls eine Vertiefung, aber in einiger Entfernung schwoll der Boden ringsherum stark auf.

Bei allen Thonarten dagegen erhebt sich beim Eindringen der Last die Umgebung bedeutend über die Oberfläche des Bodens, was auch bei Bauten vielfach bemerkt werden kann, indem bei Dammschüttungen durch Wiesen und Sümpfe mit weichem Untergründe ein Sinken des Dammes eintritt, während daneben Erhöhungen des Bodens entstehen, welche oft-inals den Damm selbst überragen.

Es folgt daraus, daß Thonboden sich in mancher Beziehung einer Flüssigkeit ähnlich verhält und ein auf Thonboden aufgeführter Bau niemals schwerer sein darf, als die verdrängte Thonmasse selbst, weil

nur in diesem Falle eine Sicherheit gegen Versinken des Fundamentes vorhanden ist.

Im Nachstehenden sollen nun die hauptsächlichsten Fundamentierungs-Arten für den Fall betrachtet werden, wo eine künstliche Befestigung des Bodens für den Bau erforderlich ist.

§ 161.

Die Sandschüttung.

Die Sandschüttung wird mit Vorteil angewendet, wo Unterspülungen durch Wasser nicht zu befürchten sind und sonst ein liegender Rost angewendet werden müßte. Die Schüttung soll beiderseits über die Breite des Mauerfußes um 2 bis 3' vorstehen und muß gut durchfeuchtet in einer Dicke (Höhe) von 1 bis 2 m aufgeführt werden. Eine 2 in dicke Sandschüttung kann erfahrungsmäßig eine Last von 600 bis 700 Zentner per qm tragen, ohne daß eine merkliche Senkung (von mehr als cm) entsteht.

Der Sand hat die merkwürdige Eigenschaft, die man von ihm am wenigsten erwarten sollte, einen an einer einzelnen Stelle auf dessen Oberfläche ausgeübten Druck gleichmäßig auf seine Unterlage zu verteilen, was ihn ganz vorzüglich als Grund der Fundamentmanern macht.

Füllt man z. B. eine Röhre mit Sand bis zu einer gewissen Höhe an, so daß der Boden der Röhre die Sandsäule zu tragen hat, so nimmt der Druck auf diesen Boden keineswegs mit der Höhe der Sandsäule zu, sondern er steigt nur bis zu einer gewissen Grenze und nimmt sodann gar nicht mehr zu, wie hoch man auch die Röhre noch anfüllen mag. Daher ist auch die Sandmenge, welche aus einer am Boden eines Gesäßes angebrachten Öffnung aussließt, von der Druckhöhe oder Höhe der Schüttung unabhängig und kann mit Vorteil als Zeitmesser (Sanduhr) benützt werden.

Eine Sandschicht kann zwar keineswegs eine Senkung des Grundes verhindern, sie bildet aber eine gute Sohle der Baugrube für die Fundamentmauern, und wenn auch der Grund an einzelnen Stellen weich sein sollte, während gerade über dieser Stelle die Belastung groß ausfällt, so tritt hier keine Senkung ein, weil diese größere Last nicht auf diese einzelne Stelle fällt, sondern durch die Saudmasse gleichmäßig auf den ganzen Grund verteilt wird. Außer durch ihre Wohlfeilheit und Dauerhaftigkeit zeichnet sich eine gute Sandschüttung noch dadurch aus, daß sie ohne weiteres alle Unebenheiten des natürlichen Terrains ausfüllt. Der Ausdruck „auf Sand gebaut" ist daher in der Praxis nicht mehr im figürlichen Sinne richtig; denn es haben sich viele großartige Gebäude auf einer starken Sandschüttung auch auf losem Wiesengrunde vorzüglich erhalten. Pfähle im Sand nützen nichts, denn sie bieten keine größere Tragfähigkeit als die Sandschicht selbst dar.

§ 162.

Der liegende Rost oder Schwellenrost,

Der liegende Rost oder Schwellenrost wird an Stelle der Sandschüttung angewendet, wo ein Unterspülen durch Wasser stattfinden kann. Der Zweck desselben ist derselbe, wie derjenige der Sandschüttung, nämlich den starken und an verschiedenen Stellen ungleichen Druck gleichmäßig auf den Baugrund zu übertragen und durch bedeutende Verbreiterung des Fundamentes die Tragfähigkeit eines losen, lockern Grundes zu erhöhen. Wo also eilt Baugrund zu nachgiebig ist (und wenn dieses auch nur an einzelnen Stelleü der Fall sein sollte), um einen Bau direkt darauf zu erstellen, so wird aus hölzernen Balken von 0,25 bis 0,30 m Stärke ein zusammenhängendes Gerippe oder ein Rost gebildet, welcher auf den ausgeebneten Grund gelegt und dessen Zwischenräume (zwischen den sich kreuzenden Schwellen) mit Thon, Bruchsteinmauerwerk oder Beton ausgefüllt werden. Auf diesem Roste wird nun der Bau hergestellt, dessen Last so gleichmäßig auf den ganzen Baugrund übertragen wird.

Die erste Bedingung bei der Herstellung eines Rostes ist, dafür Sorge zu tragen, daß derselbe beständig vom Wasser bedeckt bleibt, wenn er nicht in kurzer Zeit zerstört werden soll.

Der liegende Rost soll daher immer so tief angelegt werden, daß er unter dem niedrigsten Stande des Unterwassers ist und daher immer im Grundwasser liegt, in welchem Falle ein solcher Rost Jahrhunderte hindurch sich in ordentlichem Zustande erhält.

Oft wird der Schwellenrost noch mit einer Spundwand umgeben, welche das Unterspülen des Rostes verhindern soll. Die Spundwand besteht aus einer Reihe neben einander eingeschlagener Pfähle oder Pfosten, deren Zwischenräume mit eingelassenen Holzwänden ausgefüllt werden, so daß sie eine vollständige, im Boden liegende Holzwand bilden, welche womöglich mit Lehm bekleidet wird, um das Durchdringen des Wassers zu erschweren.

Der Natur der Sache gemäß kann der Schwellenrost nur da angewendet werden, wo die Baugrube vollständig vom Wasser entleert werden kann. Im andern Falle muß die Betonfundierung angewendet werden.

§ 163.

Der Pfahlrost.

Ist die obere Schicht eines Baugrundes derart locker, daß es nicht thunlich ist, auch mit Hilfe eines Schwellenrostes einen Ban darauf herzustellen, so ist man zur Anwendung des Pfahlrostes genötigt, welcher aus einem gewöhnlichen Schwellenroste besteht, der auf einer Anzahl eingetriebener Pfähle ausruht und durch die letztern eine größere Tragfähigkeit erhält, weil die Reibung der tief eingetriebenen Pfähle im umgebenden Grunde beim Sinken des Rostes überwunden werden müßte.

Öfter befindet sich auch unter einem lockern Grunde eine festere Erdschicht, und wenn dies auch in einer größern Tiefe (von 10 bis 12 m) ist, so kann man den Bau vermittelst der tief genug eingetriebenen Pfähle auf diese festere Erdschicht stellen, wobei dann die zwischen der letztern und dein Bau befindliche lose Schicht gleichsam blos als Auffüllung dient, welche die Pfähle sowohl in ihrer Lage erhält, als auch vermöge ihres Seitendruckes auf dieselben deren Tragfähigkeit erhöht.

Beim Pfahlrost ist dieselbe Hauptbedingung zu erfüllen, wie beim Schwellenrost, nämlich daß derselbe immer vom Grundwasser vollständig bedeckt sein muß, wenn er Anspruch auf längere Dauer haben soll. Die Köpfe der Pfähle sollen daher noch 0,50 m unter den niedrigsten Grundwasserstand eingetrieben werden. Hinsichtlich der Dimensionen der Pfähle wird als Regel angenommen, daß Pfähle bis zu einer Länge von 5 bis 6 in eine Dicke von 0,20 bis 0,25 m erhalten und für jeden Meter Länge mehr um 1 bis 1,5 cm stärker werden soll.

Für die zulässige Belastung der Pfähle wird gewöhnlich angenommen, daß ein Pfahl von 0,24 m Dicke eine Belastung von 500 Zentnern und ein solcher von 0,30 m Dicke eine Last von 1000 Zentnern zu tragen vermag. Die Pfähle werden dabei in Entfernungen von 1 bis 1,2 m eingetrieben und die darauf gelegten Längsschwellen des Rostes erhalten mindestens 0,24 m im Quadrat. Die Querschwellen dagegen werden etwas schwächer genommen.

Die in Verbindung mit dem Pfahlroste meist angewendeten Spundwände sollen isoliert vom Roste und Fundamente des Baues angebracht sein.

Zu den ganzen Rostbauten wird in der Regel das Kiefernholz verwendet; doch leistet auch Eichen- und Buchenholz gute Dienste, wie überhaupt jede festere Holzart dazu gebraucht werden kann.

Bei der Ausführung eines Pfahlrostbaues wird der fertig zusammengearbeitete Rost schwebend über den unter Wasser befindlichen Pfahlköpfen gehalten, sodann mit schweren Werkstücken belastet, welche denselben auf die Pfähle niederdrücken und auf welchen nachher das Mauerwerk aufgeführt wird, da sie ganz oder nahe an die Oberfläche des Wassers reichen.

§ 164.

Die Spundwände.

Die Spundwände werden in der Weise ausgeführt, daß man einen Pfahl dicht neben dem andern einrammt und die Pfähle durch eingearbeitete Federn und Nuten gegenseitig in einander eingreifen läßt. Durch die Spundwände wird der seitliche Wasserzudrang zur Baugrube verhindert, eine tiefere Senkung des Wasserspiegels durch Ausschöpfen behufs Aushebens der Erde ermöglicht und das fertige Fundament geschützt und besser zusammengehalten.

§ 165.

Das Betonfundament.

Überall wo ein Schwellenrost oder Pfahlrost ausgeführt werden müßte, wird mit Vorteil die Betonfundierung angewendet, wie auch überall, wo wegen des außergewöhnlichen Wasserzudranges durch den Grund einer Baugrube dieselbe nicht trocken gelegt werden kann.

Handelt es sich nur um die Anwendung des Betonfundamentes an Stelle des Schwellen- oder Pfahlrostes, so wird die Fundierung, bezw. die Ausführung der Fundamentmauern bis an den Wasserspiegel, durch Einsenken von Beton durch das Wasser hindurch auf den natürlichen Baugrund ausgeführt.

Soll dagegen mittelst einer Betonfundierung eine ganze Baugrube trocken gelegt werden , so wird dieselbe nach Fig. 244 Tafel 16 durchgeführt , indem der Grund nach thunlichst tiefem Ausschöpfen der Grube ausgehoben, die letztere entweder mit guten Spundwänden eingeschlossen oder aber mit einem Betonpfeiler ummauert wird. Nach gehöriger Ausebnung des Bodens wird sodann der Grund der ganzen Baugrube mit einer Betonschicht überdeckt und nach deren Erhärtung durch Ausschöpfen

trocken gelegt. Die Dicke der Betonschicht richtet sich nach der Ausdehnung der Grube und der von unten nach der Entleerung der letztern auf die Schicht drückenden Wassersäule.

Bloße Mauern erhalten eine Betonfundierung, die zwei- bis dreimal breiter ist als die Dicke der Mauer und es erhält die Betonschicht eine Dicke (Höhe) von bis 1 m.

Bei Fundierungen auf leichtem, sandigem Untergründe, in welchen Quellen durchbrechen und eine Auflockerung des Baugrundes stattfinden würde, wird die ganze Baugrube mit einer Betonschicht von ¹/₂ m Dicke bedeckt oder es wird ebenfalls die Fundierung nach Fig. 244 ausgeführt, bei welcher die Baugrube nur den Mauern entlang ausgehoben, mit Beton ummauert und dann ausgeschöpft wird, wonach das Ausmauern in der trocken geschöpften Betongrube ungehindert vor sich gehen kann.

Gewöhnlich werden die Spundwände erst mit Beton hinterfüllt (oft wird auch Erde zum Abdichten der Spundwände verwendet), wenn der Grund bereits mit Beton belegt ist.

Die Dicke des Betonfundamentes wird nach den Angaben auf S. 50 oder besser noch nach denen auf S. 80 berechnet. Die zur Wirkung kommende Kraft ist die Differenz zwischen dem von unten nach oben treibenden Wasserdrücke oder dem Gewichte einer Wassersäule, deren Höhe gleich dem Abstande des äußern Oberwassers über der untern Ebene der Betonfläche ist und dem Gewichte der Betonschicht selbst. Man rechnet das Gewicht von 1 cbm Beton zu 1500 kg, wenn Ziegelsteine, und zu 2000 bis 2500 kg, wenn Bruch- oder Kieselsteine bei dessen Bereitung verwendet wurden.

§ 166.

Die pneumatische Gründung timt Fr. Neukirch?)

Ein vorzügliches Fundierungsverfahren, welches die Entfernung des unterm Wasser befindlichen losen Sandes erspart und deswegen von großer Bedeutung ist, wurde vom Ingenieur Neukirch dem Jngenieurkongreß der Chicagoer Weltausstellung unterbreitet. Durch dasselbe wird der Sand dadurch in ein dauerhaftes Betonfundament verwandelt, daß man in

J) Improved method of constructing Foundations under Water by Forcing Cement into loose Sand or Gravel by means of Air Pressure. By Fr. Neukirch, C. E. of Bremen, Germany. Prepared for the International Engineering Congress of the Columbian Exposition 1893. Transactions of the American Society of Civil Engineers, 1893, 626.

einem Luftstrome fein verteilten Zement hineinpreßt. Das hierzu benutzte Rohr F (Fig. 281 Tafel 22) hat einen Durchmesser von 1¹/a" engl, und am untern Ende drei oder mehr Löcher von ³/₈" Durchmesser. Es ist mit dem das Zementpulver liefernden Injektor E durch Rohrstücke so verbunden, daß es ohne Beeinträchtigung des Luftstromes auf, ab und seitlich bewegt werden kann. Im Kessel A wird der den Kompressor B treibende Dampf erzeugt und in C die komprimierte Luft gesammelt, welche in I) noch mäßig erwärmt wird.

Die mit Gewalt in den losen Sand gepreßte Luft verursacht in demselben eine mit dem Kochen des Wassers vergleichbare Bewegung. Die aufsteigenden Luftblasen geben das mitgeführte Zementpulver an den feuchten Sand ab. Hierdurch wird ein dauerhaftes Betonfundament gebildet, wenn der eingeblasene Zement gleich J/₅ des Sandvolumens ist. Man wird ein Sinken der Sandoberfläche beobachten, da der entstehende Beton einen kleinern Raum einnimmt, als vorher der nasse Sand iitne hatte. Das Lancierrohr F kann man bis zu 19' Tiefe in verhältnismäßig kurzer Zeit einführen, indem man zuerst nur Luft ohne Zement hindurchströmen läßt. Diese verursacht dann ein Ausweichen des Sandes und ein Sinken des Rohres F. Ist das letztere in der beabsichtigten tiefsten Lage angekommen, so setzt man den Apparat E in Thätigkeit, d. h. man führt das Zementpulver ein und hebt gleichzeitig das Rohr F so langsam in die Höhe, daß die für ein Feld von acht bis zwölf Quadratzoll erforderliche Zementmenge eingeblasen ist, wenn das untere Ende des Rohres die Sandoberfläche erreicht. Jetzt wird F etwas zur Seite bewegt, um das nächste Feld von derselben Größe in Angriff nehmen zu können. Der erzeugte Beton erhärtet nach mehreren Wochen, vollständig jedoch erst nach mehreren Monaten.

Zu besondern Zwecken kann man auch erst Pfähle einrammen und zwischen diesen das eben beschriebene Verfahren zur Anwendung bringen. Ebenso können Spundwände oder eiserne Wände ’) dicht gemacht werden, daß man Zement in den hinter denselben befindlichen nassen Sand bläst.

') Dies ist im Hafen von Vegesack bei Bremen geschehen.

Einunddreißigstes Kapitel.

Die Dimensionen der Futtermauern, Damme und

Reservoirs.

§ 167.

Futtermauern gegen Erddruck.

Bezeichnet man bei einer einfachen Futtermauer von derselben Höhe wie die daran stoßende Erdschicht (Fig. 245 Tafel 16) mit h — die Höhe der Futtermauer, b — die obere Dicke der Futtermauer,

B — die untere Dicke der Futtermauer, ß — den Neigungswinkel der Vorderfläche mit der Vertikalen,

so ist

r=j/0,285* + |tgV,

b B .

¥ = Y-tg?.

Für

C+-

To

Ti

TT

0,

wird

ar

t— = 0,308 0,301 0,294 0,291 0,289 0,286 0,285

= 0,108 0,134 0,169 0,191 0,206 0,236 0,285.

Wenn die Futtermauer weniger hoch ist als die daran stoßende Erdschicht, so wird dieselbe nach Fig. 246 oben und unten in gleicher Dicke aufgeführt und es ist diese letztere so stark zu wählen, als wenn sie die Höhe der ganzen Erdschicht erhalten hätte.

Ist daher h die Höhe der Mauer und hx die über die Mauer hervorragende Höhe der Erdschicht, so ist die Dicke der Futtermauer

b = 0,285 (h 4- hx).

§ 168.

Mauern gegen Wasserdruck.

Unter der Voraussetzung, daß eine Mauer von größerer Länge (über 5 bis 6 m) ohne besondere Verstärkungspfeiler durch ihre eigene Widerstandsfähigkeit dem Drucke des Wassers Widerstand zu leisten hat, wird die erforderliche Dicke der Mauer an ihrer Basis B = 0,45 bis 0,5 h.

Die obenstehenden Regeln gelten indessen nur bei Anwendung gewöhnlichen Bruchstein-Mauerwerkes, und wo es sich um Mauern aus anderem Materiale handelt, oder überhaupt in wichtigern Fällen, hat man sich der nachfolgenden Formeln und Tabelle zu bedienen.

§ 169.

Mauern aus verschiedenem Materiale gegen Erd- und Wasserdruck.

Die Dicke der Mauer, welche unten und oben als gleich stark angenommen wird, ist abhängig von dem spezifischen Gewichte des verwendeten Materiales und demjenigen der drückenden Erde (oder Wasser), sowie ferner von dem Reibungswinkel oder der natürlichen Böschung der Erde.

Bezeichnet man mit

ß den Winkel (Fig. 246) der natürlichen Böschung mit der Horizontalen (die natürliche Böschung ist diejenige geneigte Linie, welche die äußere Begrenzungsfläche des aufgeworfenen Erdhaufens von selber annimmt), ye das Gewicht eines Kubikmeters Erde, ym das Gewicht eines Kubikmeters Mauerwerk, so sind zunächst die Werte von ß und tg ß für die verschiedenen Erdarten folgende:

„    0 = 43°    „    tg ß = 0,93,

„    0 = 36°    „    tg/? = 0,72,

"    ß = bb°    „    tg0= 1,42,

für feinen, sehr trockenen Sand ist Winkel ß — 30° und tg ß = 0,57, „ feine, trockene, lose Erde . „

„ gewöhnliche, stark feuchte Erde „

„ sehr feste, dichte Erde . . „

„ die gewöhnliche, mäßig feuchte

„    0=45° „ tg 0=1,00,

gröbere Erde.....„

„ Haldensturz, kleinere Steinstücke u. dgl. von 1 Kubikzoll bis 1 Kubikfuß Inhalt. . „    „    0 = 38° „ tg ,5 = 0,78.

Der Druck auf die Mauer fällt nun größer oder kleiner aus, je nachdem die Erde die Mauer nach Fig. 246 ganz bedeckt oder aber um eine gewisse Breite zurücksteht, Fig. 247.

In der folgenden Tabelle ist eine Breite dieses Rückstandes von 0,2 h sowie eine solche gleich der Mauerdicke in Berücksichtigung gezogen.

Die Mauerdicke wird in dem gewöhnlichen Falle, wo die Mauer ganz von der Erde bedeckt wird:

b = (h + h.) tg (45.- 4)(/^. M- h:

Handelt es sich um eine Mauer gegen Wasserdruck, so wird hx negativ, ye — y„ — 1000 und es wird die obige Formel:

b — 0,845 (h — hj

»K

1000

7m '

wobei hi die Höhe bezeichnet, um welche die Mauer über den Wasserspiegel hervorragt, während h wie vorhin die ganze Höhe der Mauer angiebt.

Bei Wehren und Dämmen hat die Mauer nicht nur den Wasserdruck auszuhalten, sondern auch den Wasserstoß und Wellenschlag; es können sich ferner Massen von Erde u. dgl. anhäufen, so daß für yw nicht der Wert 1000 kg, sondern 1800 kg gesetzt werden muß, welch letzterer das Gewicht von 1 cbm nasser Erde ist.

Um die Gewichte ym gleich bei der Hand zu haben, werden dieselben hier noch aufgeführt.

Es wiegt:

1400 kg,

1900 „

1770 „

1900 „

1600 bis 1900 kg, 1400 kg,

1600 „

2300 „

1500 „

2200 „

1 cbm feiner, trockener Sand........

1    „ feiner, feuchter Sand........

1    „ feuchter Flußsand.........

1    „    Erde, mit Kies und    Steinen    gemischt.    .    .

1    „    Thon und Lehm.........

1    „    Kies

1    „ Haldensturz.......... .'

1    „    harte Hausteine..........

1    „    gewöhnliche Erde im    Mittel......

1    „    Mauer aus harten Bruchsteinen    und    Mörtel

xh_

l>>

Rückstand Rückstand

= 0    = 0,2h

oo    ON    n    ro    O'x    OO    ror^

o,37i

0,384

0,428

o,475

o,53i

0,596

0,667

0,712

0,730

0,769

1,013

1,129

i,i74

i,279

Tabelle über die Stärke der Mauern (mit Mörtel gemauert) gegen Erddruck.

Werte von — für

Wert

= 1,7; tg ß—0,6

7m

/e

— =1,5; tg/3=l

rG

4-'l =6,S) i\ =

rm

re

= 0,6

y,n

Ye

Rückstand I Rückstand | Rückstand | Rückstand | Rückstand | Rückstand | Rückstand | Rückstand

= 0,2h

Rückstand

= 0,2h

= 0,2h I =0 I = 0,2b I =0

O oo    m    On    M    Ox    d    ro o    'd⁻    xOdm>-ii-i>-iOroo\

m O *d~ oo d d- N O' H d rn N o <n m oo oo oo

<n <n ^-Tj-inininin'O xq_ xo vo    i>x v>.

d d    d    d    d    d    d    d d    d    d d d d d d d d d

0,270

0,303

0,326

o,343

o,357

0,368

o,377

0,385

o,39i

0,398

0,405

0,416

0,425

o,435

o,445

o,452

0,456

0,458

0,461

0,270

0,306

0,342

o,375

0,405

o,43i

0,457

0,481

0,504

0,523

0,540

zo9‘o

0,655

0,717

0,270

0,303

0,336

0,368

o,399

0,436

0,477

0,512

o,544

o,575

0,605

0,696

0,795

0,892

1,002

1,109

1,171

1.194

1,243

0,258

0,290

0,326

0,361

o,394

0,423

o,45o .

0,476

0,501

0,524

0,546

0,624

o,7i4

0,835

o,994

1,182

1,327

1.389

1.541

o,54i

0,571

0,684

0,812

0,981

1,206

1,508

i,757

1.866

2,144

d    N    ro    oo    O    l'-»    -f-    O    O    oo    <n    m    -f-    O    *-<    xo d    m

m    O    vo    i-i    N    h    o    r)    -h    O    romvo

-rhmmvO'O N N N OO CO 0OC^OOmmmi-ii-i

d    d    d    d    d    d    d    d    d d    d    d    hT    hT    k-T    hT «

0,452

0,498

0,548

0,604

0,665

0,726

0,778

0,824

0,867

0,903

0,930

1,023

1,107

1,180

1,247

1,283

1,309

1,316

i,337

uoa

h,

0,0

0,1

0,2

o,3

o,4

o,5

0,6

o,7

0,8

o,9

i,o

Vi

2,0

3,0

5,o

10,0

20,0

30,0

unendlich

Beispiel, a) Welche Stärke erhält eine Mauer aus behauenen Quadersteinen, welche eine Höhe von 6 m hat und einem Wasserdrücke von 5 m Widerstand leisten soll?

Es wird

b = 0,845 (6 —

2,74 m.

1000

2300

6;if

b) Eine Mauer von 2 m Höhe hat einen Abhang aus Haldensturz von 8 m Höhe zu stützen, wobei der letztere die Mauer bedeckt, der Rückstand also gleich Null ist. Welche Dicke muß die Mauer erhalten, wenn sie aus gewöhnlichen harten Bruchsteinen mit Mörtel aufgeführt wird? Es wird hixr

= 1,4;

ye = 1600; ym = 2200; tg/? = 0,78;/J = 38°; bt = und somit die gesuchte Dicke

b = (2 + 6) tg (45° —    ) ]/

5,6 m.

2,25 • 1600 2 + 6 3 - 2200

Hätte dagegen die Mauer die ganze Höhe des Haldensturzes selbst, so würde die Dicke derselben nur die Hälfte der ebeir gefundenen, nänilich nur 2,8 m betragen.

Anmerkung. In der Praxis findet man häufig wesentlich geringere Mauerdicken angewendet, als die obigen Formeln ergeben. Es mag daher bemerkt werden, daß die Sicherheit bei den obigen Ausdrücken nur eine 2¹/₄facf)e ist, wobei allerdings die Kohäsion des Mauerwerkes in Bezug auf seitliche Stützpfeiler nicht berücksichtigt ist. Die gegebenen Regeln gelten für längere Mauern ohne Verstärkungspfiiler.

§ 170.

Lange Mauern für sehr hohen Wasserdruck.

Mauern von lnäßiger Höhe werben in der Regel oben und unten in gleicher Stärke aufgeführt. Wo indessen der Wasserdruck eine größere Höhe bis zu 20 und 50 m erreicht, lassen sich Mauern von Reservoirs oder Dämmen nicht mehr in dieser Weise ausführen, indem dieselben zu kostspielig ausfallen würden.

Den Festigkeits - Verhältnissen entsprechend darf die Stärke einer solchen Blauer von unten nach oben (wo der Druck zuletzt gleich Null wird) in einem gewissen Verhältnisse abnehmen und es entsteht nun die Frage, welche Form des Querschnittes eine solche Mauer erhalten muß, damit sie au allen Stellen dieselbe Festigkeit (Sicherheit) darbietet und doch am billigsten ausfällt. Bei Wasserbauten dieser Art handelt es sich gewöhnlich um ganz bedeutende Massen und Summen, welche zur Verwendung gelangen müssen, und es haben daher die Wasserbau-Ingenieure diesem Gegenstände von jeher große Aufmerksamkeit geschenkt. Man will bei solchen Bauten in der Regel absolut sicher gehn und andererseits doch nicht mehr auslegen, als ohnehin notwendig ist.

Die nachfolgenden Regeln stützen sich auf zahlreiche ausgeführte Bauten dieser Art und sind von den Ingenieuren I. B. Kranz (Ingenieur en chef des ponts et chaussöes). M. Sazilly und Graeff-Delocre abgeleitet worden. Sie bieten erfahrungsmäßig vollständige Sicherheit dar.

(Über deren Begründung siehe Annales des ponts et chaussees, 1853, 1866, 1870; Etudes sur les murs des reservoirs von Kranz, bei Dunod, Paris 1870; ferner: Trattato di Idraulica prütica von I. C. Nazzani, 1886.)

§ 171.

Regeln für die Ausführung der Mauern großer Reservoirs, Dämme u. f. w.

1.    Gemauerte Dämme stellen sick) im Preise nicht höher als Dämme aus Erde von gleicher Widerstandsfähigkeit, wenn man gewöhnliche Bruchsteine für 20 Frcs. per Kubikmeter in der Nähe hat und der Erdtransport sich nicht ganz außergewöhnlich günstig gestaltet.

2.    Das passendste Material zur Ausführung großer Bauten dieser Art sind gewöhnliche Bruchsteine von unregelmäßiger Form, mit hydraulischem Mörtel gemauert.

Der Kubikmeter solchen Mauerwerks wiegt ungefähr 2300 kg.

3.    Der Bau soll so ausgeführt werden, daß der Druck per 1 qcm Mauerwerk nicht über 6 kg steigt.

4.    Bei der Ausführung aus felsigem Grund soll das Gemäuer mit tief in den Felsen eingreifenden Vorsprüngen versehen sein.

5.    Der Baugrund soll schief gegen die Wasserseite zu geneigt werden, damit der Wasserdruck die Mauer eine sck)iefe Ebene hinauf stoßen müßte, wenn überhaupt ein Gleiten jemals eintreten könnte.

6.    Die Breite der Mauerkrone soll nicht weniger als 2 m betragen.

7.    Alle vorstehenden Teile wie Kapitäle u. dgl. auf der dem Wellenschlag zugekehrten Seite sind zu vermeiden.

8. Eine gewölbeartige Krümmung der Dämme im Grundriß ist zu vermeiden; es samt dadurch die Widerstandsfähigkeit bei größern Dimensionen wesentlich beeinträchtigt werden. Wo eine solche Krümmung bei sehr soliden Widerlagern ttichtsdestoweniger angewendet wird, darf dennoch die Mauerdicke nicht schwächer gemacht werden, als bei einer geraden Mauer.

Bei kurzen Mauern dagegen läßt sich die Krümmung praktisch

verwerten.

9. Verstärkungspfeiler sollen bei Mauern von großer Länge nicht angewendet werden und es ist vorteilhafter, das darauf zu verwendende Material zur Verstärkung der Mauer selbst zu verwenden.

10. Querschnittsform und Dimensionen. Sorgfältige Vergleichungen haben für die Querschnittsforin und die Dimensionen der Mauern für großen Wasserdruck folgendes ergeben.

Bei einem Wasserdrücke bis zu 35 m Höhe erhalten die Mauern die in Fig. 249 abgebildete Form.

Bei noch größerm Wasserdrücke bis ztt 50 m Höhe erhalten die obigen Mauern noch einen besondern Untersatz nach Fig. 250. Die nachfolgenden Tabellen enthalten die Werte der Abmessungen für einen Wasserdruck timt 5 bis 50 m; ferner die Querschnittsfläche der ganzen Mauer oder das Volumen per 1 m Länge; die mittlere Dicke der Mauer; den effektiven Druck, welchen das Material auszuhalten hat; das Verhältnis des horizontalen Wasserdruckes zum Gewicht der Mauer.

Unter die hier angegebenen Werte zu gehn, ist in keinem Falle anzuraten , denn die größten bewährten Bauten dieser Art in der Schweiz, in Frankreich, in Italien und in Spanien weisen Stärkeverhältnisse auf, welche teils gleich, teils noch etwas größer, niemals aber kleiner sind, als die angegebenen Werte.

Fig. 249 zeigt den nach den angegebenen Werten aufgerissenen Qtterschnitt einer Mauer für einen Wasserdruck von 20 m und sind in diesem Querschnitte nicht nur die Dimensionen des Mauerwerkes, sondern auch die Richtungen und die Größe der auf den Pfeiler einwirkenden Kräfte per 1 m Breite angeführt. So ist die horizontale Komponente des Wasserdruckes 200 Tonnen, das Gewicht des Pfeilers, vertikal abwärts wirkend, 393 Tonnen, der schief wirkende totale Wasserdruck 207 Tonnen und die Resultante aller auf den Pfeiler einwirkenden Kräfte schief abwärts in der Richtung P ist 441 Tonnen Druck.

Druck-

I. Dimensionen der Mauern gegen hohen Wasserdruck.

(Fig. 249 und 250.)

Neigung des Sockels

Pfeil

der Mauer

Krümmungs-Halbmesser Breite

Höhe

Höhe

Breite    der

ber    Krone ------------------

„ über dem gegen die gegen die Wasser- Außen- Wasser- Außen-Wassers Sockels    Wasser-    Wasser-    Außen-

AB    spregel    feite    fette

höhe

des

10

i5

20

25

30

35

40

45

50

des

untern

des

Hi

£ Sv. I I I I I I I 3

ui ui ui ui 4^ 4“ Oo Oo ju tu

'o'o'Ö O Zn O Zn O <7 O 3

oooooooooo

feite

feite

AC

DN

LM

GF

KT

feite

feite

Ri

Mauer-

fußes

0,50

1,00

1.50

2,00

2.50 3,00

3.50

3.50 3,50 3,50

oooooooooo a o o O    o -2

h 4 4 4^ \cT rf rf rf r^.

1,00

2.50

4.50 7,00

10,00

13.50

17.50 17,50 17,50 17,50

3,33

6,67

10.00

£ Sv. I I I I I II 3

13

26

39

52

65

78

9i

9i

9i

9i

13

21.25

27.25

32,07

36.25

40,08

43,75

4.3*75

43,75

43,75

4,00

7,00

10.50

14.50

19,00

24,00

29.50

39,83

48,17

56.50

II. Kräfte-Berhältnis und Volumen bei Mauern gegen hohen Wasserdruck

nach Fig. 249 und 250.

Querschnittsfläche der Mauer oder

Wassers Volum per 1 m Länge

Druckhöhe

des

Druck auf 1 qcm am Fuße der Mauer

bei leerem Reservoir bei vollem Reservoir

Maximum Mittel Maximum Mittel

kg

Verhältnis der Momente

des hori- des horizontalen    zontalen

Wasser-    Wasserdruckes    druckes

zu dem- zu demjenigen jenigendes der    Vertikal-

Gewichte    druckes

Mittlere'

Dicke

der

Mauer

^    ou    ou ju    ^u    i-, j-i jd    ^

Zn "o 'b\Zn    4    uj    'coOo "oo    m

Ul VO ^    OO —J    -P*    OO vO tu

kg

kg

2,86 4,22

5,73 7*38 9,16 11,06

13,07

15,89

19,01

22,35

Die nachfolgende Tabelle enthält die Werte der zur Wirkung gelangenden Kräfte und Momente für verschiedene Wasserdruckhöhen und zwar jeweilen per 1 m Breite der Mauer berechnet.

Die Tabelle enthält ferner alle nötigen Daten, welche teils zu Kostenberechnungen, teils zur Orientierung über die wirkliche Inanspruchnahme des Mauerwerkes erforderlich sind.

IO

15

20

25

30

35

40

45

50

14,28

42,19

85,96

147,66

229,12

331,89

457,29

635,62

855,64

1117,29

0,82

1,56

2,37

3,i9

4,05

4,90

5,76

1.45 3,oo 4,08 4,80 5,2i

5.45

o,9i

i,58

5,49

5,27

5,56

5,97

5,04

5,36

5,7i

cf cf so ro 4 4 LO LO

0,27

0,38

0,40

o,39

0,36

0,34

0,31

0,24

0.21

0,19

o,34

o,44

0,49

0,50

0,51

0,50

0,50

0,44

0,41

o,39

zum vertikalen Druck . . . . Mittlere Dicke der Mauer zur Berechnung des Volumens, m .    .

2,86

4,22

5,73

o,34    o,44    0,49

0,50

0,51

2,17

Moment des Kippens, kg ... 20 8ßo 166 500 562 500 1 334 000 2 603 000 Stabilitätsmoment, kg .... 77 840 437 450 1 408 710 3 453 810 7 197 250 Verhältnis des erstem zum letztem 0,27    0,38

Verhältnis der horizontalen Pressung

0,40

o,39

0,36

Gewicht der Mauer in kg . .    .    32 844] 97 02^ 197 7o8| 339 6i8| 526976

Breite der Mauer an der Basis in m | 4,00 Summe des Gewichtes und Vertikaldruckes .........

Druck Per 1 qcm der Mauer bei gefülltem Reservoir in kg:

Maximum......

im Mittel......

1,451 3,00

0,91 ! 1,58

4,08

4,80

2,71

3)22

iz*S

36204,110466    227947    393 376    612972

7,00

10,50

oS‘4i

19,00

.    .    150 2'    15⁰ 2'    150 2'    15⁰ 2'

Volumen des Mauerwerks in cbm 14,28    42,19    85,96    147,6

•    • uajüjuoSpoG?

150 2' 229,1

Horizontale Komponente des Wasserdruckes auf die Mauer in kg    .    12500    50000    112 500    200000    312000

Vertikale Komponente dgl. in kg    .    3 360    13439    30239    53758    83996

Resultante des Druckes in kg .    .    12944    5¹ 775    116493    207099    323 592

Winkel der Resultante mit der

ßunufpuSagg

5 m 10 m 15 m l 20 m

25 m

I I,06

0,50

13 423 000 o,34

000 00S fr

89‘f

545

884 302

150 2' 33i,9 763 347 24,00

450 000 . 120955 465 972

80 m

Zo‘£i

0,50

6g‘Si

Wo

549

4,12

7 147 OOO 10 664 OOO 23 099 000 44 767 000

0,31

0,24

449

5,04

i 216 407 i 786 429

29,50

39,83

15° 2'

457,3

i 051 774! i 461 921

9‘Sf9 ,fr oZZ

612 500 164 633 634 240

800 000

324 508

863 ZU

19,01

0,41

IS I87 OOO 72 667 OOO 0,21

2 434 412

24° 44' 855,6

I 967 98O

48,17

oZZ bi i i 99t

00S zio i

35 m 40 m |    45 m

?aq ahohpruT

22,35

0)39

5,71

5,65

20 837 000 110 782 000 0,19

3 194 407

oS‘9$ 00Z 69S z 6‘Zm ₀gz

I 250 OOO 624 633 I 397 380

50 m

Tabelle über die Größe der wirkenden Pressungen, die Stabilitätsverhältnisse u. s. w. für Mauern gegen hohen

Wasserdruck Per 1 m Mauerbreite.

Die Sicherheit, welche eine nach vorstehender Tabelle ausgeführte Mauer gewährt, läßt sich am besten aus folgenden Daten beurteilen:

Die Kraft, welche nötig ist, um zwei aufeinander liegende, mit noch flüssigem Mörtel vereinigte Steine aufeinander zu verschieben, betrügt ca. 0,75 vom Gewichte des gleitenden Steines.

Ein seitliches Gleiten der Mauer könnte also dann eintreten, wenn der horizontale Wasserdruck ³/₄ vom Gewichte der Mauer (des betrachteten Mauerstückes) erreichen würde.

Die zweite der vorstehenden Tabellen zeigt nun, daß dieses Verhältnis bei den angegebenen Dimensionen zwischen 0,34 und 0,51 schwankt.

Nach dem Trocknen hält der hydraulische Mörtel aber die Steine mit großer Kraft zusammen, was bei der obigen Rechnung noch nicht berücksichtigt ist.

Gegen das Gleiten ist also die Sicherheit jedenfalls groß genug.

Damit, die Mauer nicht um ihre äußere Kante kippt, ist nötig, daß das Moment des Wasserdruckes dasjenige des vertikalen Druckes (auf die Drehungskante bezogen) nicht erreicht.

Vernachlässigt man die Kohäsion zwischen Mörtel und Steinen, so variiert das obige Verhältnis laut Tabelle II zwischen 0,29 und 0,40.

Die Mauer bietet also schon vermöge ihres Gewichtes allein genügende Sicherheit dar.

§ 171a.

Die Thalsperre bei Einsiedel?)

Als Beispiel einer gegen hohen Wasserdruck errichteten Malier möge die Thalsperre bei Einsiedel zur Wasserversorgung der Stadt Chemnitz hier beschrieben werden. Um dem Wasserdrücke noch besser stand zu halten ist sie gegen das Wasser in einem Bogen von 400 m Radius gekrümmt. Sie schließt ein Sammelbecken von 360000 cbm Fassungsraum ab und hat den in Fig. 282 auf Tafel 22 dargestellten Querschnitt. Als Mörtel des Cyklopenmauerwerkes wurde ein Gemisch aus 1 Teile Zement, '/₂ Teilen Fettkalk und 5 Teilen gewaschnen Sand verwendet. Die benutzten Steinarten sind aus der Figur zu ersehen. Die Mauer ist mit einer 20 cm dicken Betonschicht und diese wieder mit Gußasphalt bekleidet. Auf der Wasserseite ist die Mauer int Boden mit einer 30 cm starken Beton-

Journal für Gabeleuchtung und Wasserversorgung 1 September 1894. Andere Thalsperren und hierher gehörige Bauten sind vielfach in der Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure 1888 u. f. und zwar hauptsächlich von Prof. Jntze besprochen.

schicht und oberhalb desselben mit 2¹/a bis 3 und dieser wieder mit einem doppelten Adiodonanstrich versehen.

starkem Zementputz

cm

Bei eintretendem Hochwasser können 30 cbm Wasser in der Sekunde über ein 25 m breites Überfallwehr durch einen Kanal von 8¹/₂ m Breite und 1 '/₂ m Tiefe abgeführt werden. In der Mitte der Mauer ist der Einlaßschacht aus Zementstampfbeton vorgebaut. Auf die weiteren Einzelheiten des höchst interessanten Baues können wir hier aus Raummangel nicht eingehen.

§ 172.

Dämme ans Erde gegen Wasserdruck.

Für mäßige Druckhöhen bis zu 10 und 15 m werden die Dämme statt aus Mauerwerk oft in Erde ausgeführt, namentlich wo Steine in der Nähe des Bauplatzes nicht leicht in gehöriger Menge erhältlich sind.

■ In feuchtern Klimaten sind diese Dämme allerdings zweckmäßig, sobald man über eine thonhaltige Erde verfügt.

Am besten hat sich eine Erde mit 40 °/₀ Thon und 60°/₀ Sand

bewährt.

Bei der Aufführung eines solchen Erddammes nnrß die Erde nur in dünnen Schichten von 10 bis 15 cm Dicke aufgetragen und sorgfältig festgestampft werden, wenn nicht der dickste Damm Wasser durchsickern lassen soll.

Das Volumen eines Erddamnies verhält sich zu demjenigen eines gemauerten Dammes wie 7:1, eine gleiche Widerstandsfähigkeit vorausgesetzt.

Die Festigkeit eines Dammes aus Erde ist ungleich weniger leicht auf eine zuverlässige Weise zu bestimmen, als diejenige eines gemauerten Dammes.

Es ist allgemeine Regel, die obere Breite eines solchen Dammes nicht unter 3 m, sonst aber der Höhe des Dammes gleich zu machen.

Die Dämme erhalten gewöhnlich 45° Böschung, so daß also die untere Breite derselben das Dreifache der Dammhöhe beträgt.

Ist man genötigt, einen Damm aus weniger thonhaltiger Erde herzustellen, so wird der Böschungswinkel nur 30° bis 40° gewählt und es fallen also die Diinensionen noch größer aus als vorhin angeführt.

Durch das Feststampfen wird die Erde sehr wesentlich dichter, indem ihr Volumen nur die Hälfte desjenigen der lockern Erde beträgt.

Zweiunddreißigstes Kapitel.

Wasserbauten aus Beton.

§ 173.

Die Reservoirs von Passy.

Die Stärkeverhältnisse der Mauern und Gewölbe bei Wasserbauten aus Beton werden infolge des innigen Zusammenhanges der Masse etwas andere als bei den Bauten aus gewöhnlichem Mauerwerke.

Alle Materialstärken, namentlich diejenigen der Gewölbe, werden bedeutend geringer bei Anwendung des Beton.

In Ermangelung spezieller Regeln über die Materialstärken sollen int Nachstehenden einige größere Wasserbauten aus Beton näher betrachtet werden, indem dieselben am besten als Anhaltspunkte zur Bestimmung der Stärkeverhältnisse neuer Bauten dieser Art dienen können.

Der artesische Brunnen in Passy ergießt täglich 15 bis 17000 cbm Wasser in zwei übereinanderliegende ganz frei außerhalb der Erde stehende Reservoirs, welche nach Fig. 251 Tafel 16 so angeordnet sind, daß die gewölbte Decke des untern Reservoirs den Boden des obern Reservoirs bildet.

Das obere Reservoir ist ganz offen und hat 2,750 m Tiefe. Das untere Reservoir hat 5,400 m Tiefe vom Boden bis zum innern Scheitel des Gewölbes.

Die Stärke der Gewölbe im Scheitel ist . . . 0,33 m,

Die Distanz der Gewölbepfeiler von Mitte zu Mitte 4,00    „

Stärke der Pfeiler an der Stelle, wo das Gewölbe

. . 0,800 ., . . 1,00 „ . 1,00 „ • 1,30    „

beginnt...........

Stärke der Pfeiler über dem Sockel . .

Höhe der Sockel.........

Stärke der Sockel oben 1,20 m, unten . .

Stärke des Bodens, welcher direkt auf dem sehr

0,50 „

soliden natürlichen Terrain aufliegt .... 0,30 m, Tiefe des Sockelanfangs unter dem Boden des Reservoirs

Wie bereits erwähnt, sind die Reservoirs ganz freistehend über der Erde aufgeführt, so daß die Mauern den vollen Wasserdruck auszuhalten haben.

Die Mauern sind auf der innern Seite vertikal jmb haben außen eine Böschung von 1:10.

Der Boden des obern Reservoirs schließt sich mit einer Krümmung von 0,5 m Radius, derjenige des untern Reservoirs mit einer solchen von 2 m Radius an die äußern Mauern an.

Um das Widerstandsmoment der Unifassungsmauern zu vermehren, ist die Mauer des obern Reservoirs gegenüber derjenigen des untern zurückgesetzt. Aus demselben Grunde ist das Fundament der Umfassungsmauern nach außen verschoben.

§ 174.

Turbinenanlage der Papierfabrik Perlen bei Luzern.

Die Figuren 333 bis 338 Tafel 28 stellen in 1:200 der wirklichen Größe den Turbineneinbau des obgenannten Etablissements dar, welches zu den großartigsteil und besteingerichtetsten dieser Art gehört. Die baulichen Einrichtlmgen desselben wllrden von den Herren Ingenieuren Largin und Großmann in Luzern, die mechanischen Einrichtungen dagegen von den Maschinenwerkstätten der Herren Theodor und Friedrich Bell in Kriens (bei Luzern) ausgeführt.

Der Wasserbau der Turbinenanlage ist quer über einer erweiterten Stelle des Kanals aufgeführt und zur Placierung non sechs Turbinen eingerichtet.

In der Mitte des Baues befinden sich zwei Leerläufe und symmetrisch von der Mitte aus jederseits drei Turbinenkammern, an den beiden äußern Enden wiederum je ein Leerlauf.

Des Raumes halber ist die Zeichilung abgebrochen und nur die eine (linke) Hälfte der Anlage ist vollständig dargestellt.

Die Anlage ist für die Benutzung einer minimalen Wassermenge von 24 000 1 in 1" bestimmt, so daß auf jede der sechs Turbinen ein Wasserquantum von 4000 1 in l" trifft, bei welchem die von jeder Turbine bei einem Gefälle von 2,70 m entwickelte Nutzleistung 100 PS beträgt.

Die totale Kraftentwickelung ist somit 600 effektive PS, von welchen die Hälfte zum Betriebe der auf der linken Seite der Turbinenanlage errichteten Papierfabrik verwendet wird, während die andere Hälfte zur Zeit noch nicht ausgenützt worden ist.

Daß nichtsdestoweniger der ganze Wasserbau für alle sechs Motoren schon von Anfang an ausgeführt wurde, während vorläufig nur die Hälfte der disponiblen Wasserkraft ausgenützt wird, liegt darin begründet, daß die vordere Mauer, welche den Abschluß des Obergrabens (sozusagen das Wehr) bildet, ohnedies auf die ganze Breite des Kanales hätte hergestellt werden müssen, durch einen später (nach Jahren) erfolgenden Anschluß der Querpfeiler aber keine innige Verbindung mehr beim Beton erzielt werden könnte, abgesehen davon, daß die Trockenlegung des Baugrundes wie überhaupt die Ausführung des ganzen Baues auf einmal verhältnismäßig weit billiger zu stehen kain, als wenn die andere Hälfte des Baues später extra hätte hergestellt werden müssen.

Die Breite der Turbinenkammern ist 4,500 m, die Länge 6,100 m, die Breite der Leerlaufkamnrern 3,400 m.

Die Breite des Einlaufes in jede Turbinenkammer ist 4,500 m, die Wassertiefe int Obergraben an der Einlaufstelle ins Turbinenhaus 1,350 m.

— 0,66 in in 1”.

O|o

Es ist somit der Querschnitt des Wasserkörpers im Einlauf itt die Turbinenkammern = 4,500 in • 1,350 m = oj 6 qm und daher die Geschwindigkeit des Wassereinlaufes =

Ungefähr ebenso groß ist die Geschwindigkeit des Wassers im Ober-grabcn vor dem Turbinenhause, d. h. in der erweiterten Stelle desselben.

Der untere Teil der Turbinenkammern ist 4,100 m breit; dieselbe Breite haben die Ausflußöffnungen der Kammern.

Die Wassertiefe itt den Kammern ist 1,350 m, wie auch in dem an das Tnrbinenhaus angrenzenden erweiterten Teile des Ablaufkanales.

Die Trockenlegung des Baugrnttdes geschah durch ein Betonbett (Betonfundament) von 0,60 m Dicke, welches sich, wie aus den Querschnitten Fig. 335 und 336 ersichtlich ist, auf die ganze Ausdehnung des Baugrundes erstreckt.

An seinem untern Ende lehnt sich dieses Betonfundament zunächst an eine Pfahlwand Fig. 335 uttd 336. Etwas von diesem untern Ende entfernt ist eine Art Spundwand in das Betonbett eingeschaltet, um das Uttterwaschen (Unterspülen) zu verhindern.

Zu demselben Zwecke ist vor dem fordern Mauerpfeiler (Einlaufpfeiler) eine tiefe Spundwand angebracht.

In den Leerlaufkammern fällt das Wasser auf eine Tiefe von 2,700 m grade herunter und übt dabei eine solche Wirkung aus, daß man sich dieselbe nur dadurch anschaulich machen kann, daß man sich vorstellt, daß dieselbe einer Kraftentwickelung von 100 PS gleichkommt.

Es ist leicht zu erachten, daß der Boden dieser Kammern, welcher durch das erwähnte Betonbett gebildet wird, aufs sorgfältigste befestigt werden mußte.

Wie aus dem Längenschnitt Fig. 333 und aus dem Querschnitt Fig. 335 ersichtlich, ist dies dadurch erreicht worden, daß in jeder Kammer drei Reihen Pfähle mit einer Anzahl Querbalken eingeschaltet sind, die einem hölzernen Boden zur Befestigung dienen, welcher später leicht ausgewechselt resp. erneuert werden kann.

Der vordere Manerpfeiler (Einlaufpfeiler), gegen welchen sich die Einlaufstützen lehnen und welcher somit den vollen Wasserdruck des Oberwassers auszuhalten hat, hat in seinem obern Teile (mit den Einlauföffnungen) eine Stärke von 0,900 m, in seinem untern Teile, welcher noch dem Erddruck ausgesetzt ist, dagegen eine solche von 1,400 m bei einer ganzen Höhe von ea. 4 m vom Oberwasserspiegel an gerechnet).

Der hintere Manerpfeiler mit den Auslaufgewölben hat unten eine Stärke von 1,100 m und oben eine solche von 0,900 m.

Die Zwischenpfeiler zwischen den einzelnen Turbinenkammern sind unten 2,200 m und oben 1,800 m stark. Diese bedeutende Stärke ist nicht durch bauliche Gründe, sondern durch die mechanische Anlage (wegen Lagerung der Transmission) bedingt.

Die von den einzelnen Turbinen entwickelte Kraft wird nämlich durch Stirnräder auf zwei seitlich angebrachte Hauptschwellen 3 und 4 übertragen und diese Stirnräder sind mitten auf den Zwischenpfeilern gelagert.

Die beiden seitlichen Wellen 3 und 4 geben durch konische Getriebe bei z die Kraft an die gemeinschaftliche Haupttransmission 5 der Papierfabrik ab.

Die Zwischenpfeiler zwischen Turbinen- und Leerlanfkammern haben eine Stärke von 1,350 m unten und 1,100 m oben.

In dem Querschnitte der Leerlaufkammern Fig. 335 ist unter dem Einlaufkanale noch ein zweiter Kanal eingezeichnet, welcher indessen nur bei einer Kammer vorhanden ist und zwar ist dies der Ablaufkanal zweier weiter oberhalb angebrachter kleinerer Turbinen zum Betriebe der Papiermaschinen allein, welche des exakten gleichmäßigen Ganges halber nicht von der Haupttransmission aus angetrieben werden dürfen.

Die mit U bezeichnete Spundwand im Betonfundamente war beim

Beginne des Baues höher aufgeführt und ebenso auch die mit s bezeichnete untere Spundwand').

Im zweiten Bande des Werkes wird ein anderer äußerst interessanter Turbineneinbau behandelt werden, welcher ebenfalls von den Herren Ingenieuren Largin und Großmann in Luzern ausgeführt worden ist, einer Firma, welche schon zahlreiche großartige und bewährte Wasserbauten in der Schweiz und in Italien ausgeführt hat und in dieser Branche die weitgehendsten Erfahrungen besitzt.

§ 175.

Turbinenanlage in Bellegarde.

Tafeln 29, 30 und 31.

Die vorliegende Turbinenanlage gehört zu den großartigsten und lnteressantesten ihrer Art und wenn dieselbe hinsichtlich der Zweckmäßigkeit in der allgemeinen Anordnung des Wasserbaues auch manches zu wünschen übrig läßt, so waren andererseits so bedeutende bauliche Schwierigkeiten zu überwinden und so kolossale Wassermassen zu bewältigen, daß die Ausführung des ganzen Baues (die Anordnung einmal als gegeben betrachtet) eine mustergültige genannt werden muß.

Eine Aktiengesellschaft hatte sich die Aufgabe gestellt, die disponible Wasserkraft der Rhone (bei Bellegarde in Frankreich) im Betrage von 12 000 PS für die dortige Industrie teilweise nutzbar zu machen.

Zu dem Zwecke wurde durch einen 550 m langen in den Felsen eingesprengten Tunnelkanal das Wasser einem Turbinenhause zugeführt, welches auf Tafel 29 im Grundrisse, auf Tafel 30 int Längendurchschnitte und auf Tafel 31 in zwei Querschnitten und zwar in 1:180 der wirklichen Größe dargestellt ist.

Es muß von vornherein erwähnt werden, daß infolge der vorhandenen Lokalverhältnisse eine Ausnützung der Kraft in der unmittelbaren Nähe der Motoren nicht stattfinden konnte und daß man daher genötigt war, die gewonnene Kraft durch Drahtseiltransmissionen den betreffenden neu gegründeten industriellen Etablissementen zuzuführen.

Das Turbinenhaus ist halb quer gegen den Zulaufkanal gestellt und zur Placierung von sechs Turbinen eingerichtet, von welchen jede eine

9 Der vorliegende Turbineneinbau ist, soweit er auf Tafel 28 dargestellt ist, ganz in Beton ausgeführt und mit einem leichten Oberbau mit Shedsdach abgeschlossen, welcher aber in der Zeichnung des Raumes halber nicht mehr angegeben ist.

Kraft von 630 PS (bei einer Nutzleistung von 70%) entwickelt, so daß also die ganze Anlage auf eine effektive Kraft von 3 800 PS berechnet ist.

Das Gefälle ist beim Niederwasserstand 13 m, beim Hochwasserstand 11 m. Der Stand des Oberwasserspiegels variiert dabei um 3,05, derjenige des Unterwasserspiegels aber um 5,28 m. Aus diesem Grunde konnten die Turbinen nicht in der Höhe des niedrigsten Wasserstandes aufgestellt werdeil, mußten vielmehr in der Höhe des höchsten Unterwasserstandes verlegt und durch ein Saugrohr mit dem tiefsten Unterwasserspiegel verbunden werden.

Die Turbinen befinden sich somit ungefähr in der Mitte zwischen Ober- unb Unterwasserspiegel und es wirkt das halbe Gefälle (die unter der Turbine befindliche Wassersäule) saugend auf den Motor ein.

Die letzter« sind in gleichen Entfernungen von einander in einer Reihe disponiert und jeder mit einem besondern Antrieb (Drahtseiltrieb) versehen.

Die Konstruktionen der Turbinen ist derart gewählt, daß sie unter Wasser arbeiten können und sind die Radkanäle zu diesem Zwecke wie bei gewöhnlichen Jouvalturbinen angeordnet.

Hier soll vorläufig nur die bauliche Anordnung betrachtet werden, während die Turbinenanlage in ihrem mechanischen Teile im 2. Bande des Werkes einläßlicher behandelt und dargestellt werden wird.

Die obere Mauer a • a₂ des Turbinenhauses Tafel 31 bildet einen Damm, welcher den Abschluß des Obergrabens bildet und hinter welchem dieser Graben zu einem Schachte von 11 m Höhe ausgetieft ist.

Aus diesem Schachte wird das Wasser einer jeden Turbine durch ein gußeisernes Rohr k zugeleitet, in welchem sich eine mit einem Regulator in Verbindung stehende Drosselklappe befindet.

Die Turbine ist in einem geschlossenen gußeisernen Wasserkasten m angebracht und fließt das Wasser nach dem Durchfluß durch die Turbine durch das vertikale gußeiserne Rohr p ab.

An der Eintrittstelle in das Einlaufrohr befinden sich vertikale Schützenzüge, welche mittelst einer kleinen Hilfsturbine geöffnet und geschlossen werden können.

Die Turbinen resp. die Wasserkasten m mit den Ablaufrohren p ruhen auf den Gewölben f auf, ebenso die Ständer für die Transmission auf den obern Gewölben b • b₂.

Der ganze Turbineneinbau bildet daher kein eigentliches Gebäude, sondern eine ganz eigentümliche Kombination von Pfeilern und Gewölben und es ist auch kein Oberbau und keine Bedachung über dem ganzen Wasserbau angebracht.

Von Stein, Beton und Eisen auf Felsen ausgeführt, bietet dieser Wasserbau ein durchaus monumentales Gepräge dar und zwar um so mehr, als derselbe sozusagen mitten in einem Flusse steht.

Die Stärke der Manerpfeiler a - a₂ beim Einlauf, welche den Damm bildet und den Druck einer Wassersäule von 11 m Höhe auszuhalten hat, beträgt 3,600 m, wozu bemerkt werden muß, daß diese Mauer bei der kleinen Distanz der Qnerpfeiler und ihrer Verbindung mit dem ganzen Bau eine ungeheure Widerstandskraft besitzt.

§ 176.

Turbinenanlage für „The Kellner Partington Paper Pulp Cio Limited“ in Hallein.

Bei den in Hallein ausgeführten Wasserbauten (Tafel 33) bestand die Hauptschwierigkeit nach den uns vom Erbauer Herrn Ingenieur Ammann gütigst zur Verfügung gestellten Angaben in der Bewältigung des großen Wasserandranges. Dieser rührte davon her, daß der Bauplatz von der nahen Salzach nur durch eine grobe, sehr leitungsfähige Schotterschicht getrennt war. Der Wasserauftrieb hatte bei der Schleuse am Kanaleinlauf eine Druckhöhe von *2,15 m über Fundamentunterkante und bei der Turbinenanlage eine solche von 4,55 m. Die andrängenden Wassermengen waren so groß, daß. sieben Zentrifugalpumpen — und zwar fünf mit je 200 mm und zwei mit je 250 mm lichter Weite des Saugrohres — durch zwei englische 40 HP Lokomobilen fortwährend in Thätigkeit gehalten werden mußten.

Die Bereitung des Portlandzement-Stampfbetons geschah nach dem oben beschriebenen Trockenverfahren.

Die Wassermenge der Salzach betrug bei dem niedrigsten beobachteten Wasserstande 46 cbm in 1". Das Gefälle, welches noch, ohne große Schwierigkeiten und übermäßige Kosten zu verursachen, ausgenützt werden konnte, ergab sich zu 4,2 m, wobei schon das Rinngefälle im Ober- und Unterwassergraben, sowie auch die Gefällsverluste bei den Schützen und Schutzrechen berücksichtigt sind. Für die Anlage bestand noch die Bedingung, daß 12 cbm Wasser über das Wehr in das Wildbett der Salzach abfließen sollte. Die Berechnung ergab, daß vier Turbinen zu je 330 PS betrieben werden könnten. Weil aber der Kraftbedarf vorläufig nicht so groß war, wurden zwar die vier Wasserkammern hergestellt, aber nur drei Turbinen installiert.

Die Verteilung der Kraft erfolgte in der Weise, daß der größere Teil am rechten Ufer abgegeben wurde, wo die Spezialmaschinen für die Cellulosefabrikation aufgestellt sind. Die Übertragung derselben auf die einzelnen Nebentransmissionen erfolgt mittelst Handseilbetrieb. Ferner ist die Haupttransmission über den Leerlauf nach dem linken Ufer des Kanales verlängert und zur Kraftabgabe für die zu dem elektrolytischen Verfahren nötigen Dynamos verwendet.

§ 177.

Turbinenanlage der Domäne Alt-Benatek.

Gleichzeitig mit den in Portlandzement - Stampfbeton ausgeführten Wasserballten für die Turbinenanlage der Donräne Alt-Benatek') Fig. 382 bis 384 auf Tafel 35 mußte der Bauunternehmer Ingenieur P. Ammann ein 60 m langes und 4 m über den Niederwasserspiegel ragendes Stauwehr wieder herstellen. Der zur Trockenlegung der Baugrube errichtete Längsdamm von 100 m Länge war schwer zu fundieren, weil man vielfach auf Trümmer der eingestürzten Großmühle stieß. Die Herstellung der Betonbauten selbst geschah in ähnlicher Weise, wie es bei der Anlage in Hallein beschrieben wurde. Von den projektierten zwei Turbinen wurde vorläufig nur eine errichtet, welche unter gleichbleibender Umdrehungszahl bei einem Gefälle von 3 und 3,5 m einen Nutzeffekt von 200 PS ergeben mußte.

y Zeitschrift des Öfter. Ingenieur- und Architekten-Vereins Nr. 51, 1893.

Dreiunddreißigstes Kapitel.

Die praktische Ausführung der Kanäle.

§ 178.

Bedingungen für die Anlage der Kanäle und Wehre.

Die Notwendigkeit einer Kanalanlage, sowie die Art und Weise der letztern werden in allen Fällen durch lokale Verhältnisse bedingt. Die Anlage eines Kanales wird erforderlich: 1. wenn der Wasserbau mit dem Motor nicht im Flusse selbst wegen baulicher Schwierigkeiten, wie solide Gründungen u. dgl., aufgeführt werden kann; 2. wenn die Fabrikanlage und der Motor vor den Einwirkungen der Hochwasser geschützt und daher in einiger Entfernung vom Flusse angelegt werden soll; 3. wenn die Fabrikanlage an einer bestimmten Stelle, entfernt vom Flusse, aufgeführt werden soll, sei es wegen bestehender Eigentumsverhältnisse oder aber weil das zu betreibende Geschäft und die bequeme Zu-und Abfuhr u. dgl. Verhältnisse dies erfordern; 4. überall, wo ein bedeutendes Gefälle eines Flusses benützt werden soll, das aber auf eine große Länge des letztern verteilt ist und durch einen Kanal an einer Stelle konzentriert werden kann.

Mit der Anlage eines Kanales ist in den meisten Fällen auch diejenige eines Wehres verbunden, sobald der Wasserspiegel des Flusses wegen der bestehenden Eigentumsverhältnisse und Wasserrechte ans eine größere Strecke oberhalb des Kanalanfanges über seinen natürlichen Stand erhoben werden darf.

Die Anlage eines Wehres wird zudem meist durch den Umstand bedingt, daß der Wasserstand im Zulaufkanale vor den Einwirkungen des Hoch- und Niederwassers, also vor dem veränderlichen Wasserstande, geschützt werden soll. Die Anlage eines Wehres vermindert die Länge des erforderlichen Kanales.

34

Meißner, Hydraulik. I. 2. Auflage.

Ist dabei die zu erzielende Stauung nicht groß und sind die Wasserstände des Flusses nicht stark veränderlich, so wird unterhalb des Kanalanfanges im Flusse ein Grund wehr, bei größerer Stauung aber ein Überfall wehr gebaut. Wenn dagegen beim höchsten Wasserstande die Lokalverhältnisse gar keine Stauung gestatten, so wird die Anlage eines Schleusenwehres erforderlich, d. h. eines Wehres, dessen Stauung durch eine ausziehbare Schütze hervorgebracht, also nach Erfordernis entfernt werden kann.

Wenn endlich bei sehr veränderlichein Wasserstande der Wasserstand im Kanäle immer auf derselben Höhe erhalten werden soll, so wird die Anlage eines Überfallschleusenwehres notwendig, bei welcher beim niedrigsten Wasserstande das überflüssige (nicht vom Kanal aufgefaßte) Wasser frei über die Stauschütze herunterfällt, während beim größer» Wasserzuflusse die Schütze nach Erfordernis gehoben wird, bis dasjenige Wasserquantum abfließt, wie es zur Konstanterhaltung des Oberwasserspiegels ans der Kanalniveauhöhe geschehen soll.

An die Stelle der Überfallschleusenwehre treten bei Flüssen mit sehr ausgedehntem Bette und veränderlichen Wasserständen (wie bei Gebirgs-flüssen) mit nicht sehr großer Tiefe die Klappen weh re, welche aus einer Reihe neben einander aufgestellter eiserner oder hölzerner Klappen bestehen, welche beim Eisgang und bei plötzlichen Hochwässern sofort ihrer ganzen Breite nach niedergelegt und nachher in kurzer Zeit wieder aufgerichtet werden können. Bei größerer Tiefe (über 1¹/₃ m) werden dagegen die sogenannten Nadelwehre in Anwendung gebracht.

Die weitere Frage, in welchem Falle ein Grundwehr oder ein Überfallwehr gebaut werden soll, muß durch numerische Rechnung entschieden werden, wie dieselben früher angestellt wurden.

§ 179.

Einteilung eines Kanales in Obergraben und Untergraben.

Bei der Anlage eines Kanales werden die Anfangs- und Endpunkte desselben immer durch das zu erzielende Gefälle bestimmt , welches wiederum durch Lokalverhältnisse, Kraftbedarf, Wasserrechte und Eigentumsverhältnisse innerhalb ganz bestimmter Grenzen gegeben ist, so daß ein Zweifel über die Wahl der Kanalgrenzen kaum leicht vorkommen dürfte.

Ist das erforderliche Gefälle H zu wählen, um mit einer vorhandenen mittlern Wassermenge Q per Sekunde eine bestimmte Nutz-

Einteilung eines Kanales in Obergraben und Untergraben.

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leistung von N PS zu erzielen, so ist für eine Nutzleistung des Motors von 75 %, wie bei guten Turbinen und oberschlächtigen Wasserrädern:

H Q = 0,125 N;

und

0,125 N

fl

Q = 0,125 —

Für eine Nutzleistung von 30 bis 35°/«, wie bei unterschlächtigen Wasserrädern ist dagegen

0,214N,. 0,250N bis

Q = 0,214 5 6i§ 0,250 2-

xi>

H Q = 0,214 N bis 0,250 N.

Bei 40 bis 50 °/₀ Nutzleistung, wie bei den Rädern mit Kropfeinlauf und Gerinire wird

Q = 0,150

„    0,150 N

idL —

Bei 60 bis 65 °/₀ Nutzleistung, wie bei Poncelet- und Überfall-Schaufelrädern, Kulissenrädern imb kleinern oberschlächtigen Rädern lvird:

H ₌ 0,115 N ₆.g 0,125 N

E>

Q = 0,115 bis 0,125

Hinsichtlich der Wahl des Bauplatzes läilgs dem Kanäle gilt die Regel, denselben möglichst nahe dem Einlailfspunkte des Kanales zu bestimmen, so daß der Untergraben oder Ablaufkanal lang, der Obergraben oder Zuflußkanal dagegen kurz ausfällt, so daß man die Einlaßschleuse nahe zur Hand hat und mit dem im Obergraben sich im Winter gern bildenden Eis nur auf eine kurze Strecke zu thun hat. Im Untergraben bildet sich der tiefern und geschütztern Lage halber das Eis nie so leicht und ist auch da, sofern es nicht durch Stauung oder Erzeugung von Hinterwasser den Nutzeffekt des Motors beeinträchtigt, ohne weitern Schaden, während umgekehrt das dem Motor aus betn Obergraben zufließende Eis sehr hinderlich ist und sehr hättfig zu Betriebsstörungen Veranlassung giebt.

Die aus beut Gebirge kommenden Gewässer liefern im Winter oft ein Wasser, das sich im Obergraben bei langsamer Bewegung zu einem förnilichen Brei gestaltet (S. 14), wenn dieser Graben lang ist, was dann namentlich bei Turbinen eine sehr schlechte Wirkung ergiebt. Der Obergraben muß daher im Winter um so sorgfältiger zttgedeckt werden, je kleiner sein Gefälle oder je geringer die Geschwindigkeit des Wassers in demselben ist.

34*

Der Obergraben muß ferner bei Erstreckung auf größere Länge immer zwischen künstlichen Dämmen fortgeführt werden, was abgesehen von den Anlagekosten und der Schwierigkeit der sichern Abdichtung bedeutende Unterhaltungskosten im Gefolge hat, während die Wände des Untergrabens keine sorgfältige Ausführung und Bekleidung erfordern, indem dieselben gar nicht wasserdicht zu sein brauchen.

In gebirgigen Gegenden ist dagegen ein langer Obergraben oft sehr einfach, billig und zweckmäßig, wenn derselbe aus Holz angefertigt und ohne künstliche Unterstützung den Abhängen entlang geführt werden kann. In diesen Gegenden ist überdies das Gefälle meist groß und würde ein in die Erde gegrabener Kanal ungewöhnlich große Schwierigkeiten und Kosten verursachen.

§ 180.

Gefiillverhältnisse der Kanäle.

1. Sind die Querschnittsdimensionen eines Kanales bestimmt, so wird das erforderliche Gefälle durch die Angaben des Abschnittes II. E. bestimmt , wobei man immerhin auf die Natur des Bodens Rücksicht zu nehmen hat. Man hat dabei nicht außer Acht zu lassen, daß die Ablaufkanäle ein etwas größeres Gefälle haben dürfen, hauptsächlich aber an der Austrittsstelle aus dem Wasserbaue. Man verhindert dadurch das leichte Zudringen des Hinterwassers in denselben und befördert den Ablauf des Wassers unter dem Motor, was für die Kraftentwicklung desselben immer vorteilhaft ist.

Auch im Obergraben oder Zulaufkanale soll die Geschwindigkeit des Wassers nicht zu klein und niemals unter 0,30 m angenommen werden, weil das Wasser sonst alle mitgeführten Bestandteile wie Sand niederfallen läßt und dadurch in kurzer Zeit den Kanal versandet. Kleine Geschwindigkeit erfordert auch große Dimensionen des Kanales, so daß man, wo es sich nicht um die Gewinnung einiger Centimeter Gefälle handelt, diese Geschwindigkeit nicht gern unter 0,80 m per Sekunde annimmt, weil man, abgesehen von den geringern Herstellungskosten, dadurch gleichzeitig das Ansetzen des Eises erschwert und die Reinigung und Instandhaltung des Kanales erleichtert.

Zu letzterem Zwecke soll jeder Kanal einen seitlichen Saum von 1 bis 1,5 m Breite erhalten, welcher sich der ganzen Länge desselben nach hinzieht.

2. Plötzliche Richtungs- und Querschnittsveränderungen sind in einem Kannte, wenn immer thunlich, zu vermeiden, weil durch solche nicht nur Gefällsverluste entstehen, sondern auch die Kanalwände stärker angegriffen werden.

Bei Krümmungen muß der Querschnitt vergrößert und der Krümmungshalbmesser möglichst groß gewählt werden. Das konkave Ufer hat dabei am meisten von dem Wasserdrücke und der Geschwindigkeit zu leiden und soll durch Bepflanzung mit Weiden, oder mit Weidenzäunen und Faschinen, vor zur starkem Angriffe geschützt werden.

Die Zuleitungsgräben werden, um dieselben wasserdicht zu erhalten, auf eine Dicke von 0,20 bis 0,5 m mit Lehm oder Beton ausgefüttert und bei größern Tiefen mit Mauern bekleidet. Besteht die Ausmauerung aus Ziegeln oder porösen, Wasser ansaugenden Steinen, so wird nicht selten die ganze innere Fläche mit Cement oder hydraulischem Mörtel ausgefüttert.

An Thalabhängen lassen sich die Kanäle meist so hinführen, daß die sogenannten Auf- und Abträge oder die auf- und abgebrochenen Erdmassen unter sich gleich sind, so daß eine Zu- oder Abführung von Erde nicht erforderlich wird.

Bon Zeit zu Zeit müssen die Kanäle gereinigt, vom Sande, Schlamm und den Wasserpflanzen befreit werden, da namentlich die letztern die Geschwindigkeit des Wassers in hohem Grade beeinträchtigen, wie aus dem 22. Kapitel hervorgeht.

§ 181.

Die Regulierschiitzen der Kanäle.

Die Regulierschützen der Kanäle an deren Anfang dienen dazu, die in den Kanal abfließende Wassermenge zu fixieren, um den Wasserbau vor Überschwemmung zu schützen. Überdies ist öfter das aus einem Flusse bei mittlerem und kleinstem Wasserstande zu beziehende Quantum wasserrechtlich bestimmt, so daß die Einlaufschütze diesem entsprechend gestellt werden kann.

Da die Niveaudisierenz auf beiden Seiten der geöffneten Schütze für den Motor ein Gefällverlust ist, so sucht man sie nur gleich 0,08 bis 0,10 m zu machen. Was oft durch genügende Breite der Schütze zu erreichen ist. Dieselbe berechnet sich aus einer der Formeln der Kapitel 7 bis 10. Wird danach die erforderliche Breite zu groß, so muß man schon einen größern Gefällverlust gestatten.

§ 182.

Schutzbekleidungen der Kanalwände.

Die Seitenwände eines Kanales müssen bei sandigem, leichtem, abschwimmendem Erdreich, sowie auch überhaupt bei großen Tiefen der Kanäle besonders gegen den Angriff des Wassers geschützt werden. Auf kürzere Strecken geschieht dieses am besten durch gemauerte Seitenwände oder sogenannte Futtermauern, welche etwas Böschung erhalten und deren Stärke nach den Regeln des § 169 bestimmt werden muß, indem dieselbe außer von der Höhe der Mauer noch von dem sogenannten Reibungswinkel, d. h. der natürlichen Böschung des Erdreichs abhängt.

Auf größere Strecken würde indessen ein derart gemauerter Kanal zu viele Unkosten verursachen und man wendet daher in solchen Fällen meist hölzerne Schutzbekleidungen an.

Fig. 253, Tafel 17 zeigt eine vielfach angewendete Schutzbekleidung (Bohlwerk), welche aus einer einfachen hölzernen Wandung g besteht, welche durch in je ca. 1,5 bis 2,0 m Entfernung von einander eingerammte Pfähle a gehalten wird. Die Linie des zeigt die gewöhnliche Böschung des natürlichen Fluß- oder Kanalufers an. Ein oben über die Pfähle gelegter Balken c dient als Abschluß sowie zur Aussteifung der ganzen Bekleidung. Der Zwischenraum defc wird mit gewöhnlicher Erde ausgefüllt.

Eine schon für größere Kanaltiefen geeignete hölzerne Schutzbekleidnng zeigen die Figuren 255 und 256 int Durchschnitt und Vorderansicht. Auf einer Reihe in 2 m Distanz eingeschlagener Pfähle a ist die Hauptoder Bodenschwelle k angebracht, in welcher die Pfosten b eingezapft sind. Diese letztern dienet: der Holzwand c als Stützen und werden durch einet: zweiten Balken d in vertikaler Lage erhalten. Eine dritte etwas tiefer in dem Ufer angebrachte, auf Pfählen f befestigte horizontale Schwelle dient nebst den Verbindungshölzert: e zur Verankerung der ganzen Wand. Diese Schutzwand ist solid und kann für Höhen bis zu 3 und 4 m angewendet werden. Eine ähnliche Konstruktion ist in Fig. 257 dargestellt.

Fig. 254 zeigt die Quaimauer des Donaukanales in Wien, eine bis zu 6 m Höhe anwendbare Schutzbekleidung von Stein, bei welcher die Anordnung keiner weitern Erklärung bedarf.

In neuerer Zeit hat man in England angefangen, auch gußeiserne Kanalbekleidungen auszuführen, doch werden solche ihres hohen Preises wegen keine weiter ausgedehnte Anwendung ftttben können.

Bei Kanälen von geringerer Tiefe, aber in leichtem Terrain werden die Wandungen durch Bekleiden mit Gesträuchen und Weiden vor zu starkem Angriffe geschützt. Die Wurzeln halten das Erdreich zusammen und verhindern die leichte Fortspülung desselben. Bei größerer Höhe werden die Seitenwände mit Faschinen oder Weidenbündeln von 3 bis 6 m Länge und 0,20 bis 0,30 m Dicke mit Hilfe eingeschlagener Pfähle bekleidet, was einen sehr guten Schutz gegen den Wasserstrom bildet und besonders bei koirkaven Uferseiten empfehlenswert ist.

Bei größern Flüssen und Kanülen sind äußerst sorgfältig ausgeführte Schutzbekleidungen erforderlich, namentlich wo sich Straßen oder Verkehrsplätze dem Ufer entlang ziehen.

Die Figuren 258 und 259 zeigen zwei Bekleidungen dieser Art, wo infolge lockern Bodens die ganze Kanalwand auf einem Pfahlrost ruht.

§ 183.

Konstruktion der Gerinne.

Die Zusammensetzung der hölzernen Gerinne ist eine äußerst einfache und geschieht so ziemlich überall in derselben Weise. Fig. 260 auf Tafel 17 zeigt ein gewöhnliches Gerinne im Querschnitt. Die eigentlichen Kanal-wände bestehen aus Brettern von 0,06 bis 0,075 m Dicke und sind alle in einander eingenutet. Vertikale Pfosten, in Abständen von 1,2 bis

1,4 m angebracht, verhindern die Wände am seitlichen Ausweichen und fiub zu dem Zwecke oben durch horizontale Pfosten mit einander verbunden, unten aber durch Schrauben zusaminengehalten.

Die vertikalen Pfosten sind in die Traversen eingezapft und es können hernach durch Anziehen der Schrauben die Seitenpfosten und daher die Seitenwände selbst außerordentlich fest gegen den Kanalboden gepreßt werden, wodurch bei einigermaßen sorgfältiger Bearbeitung des letztern leicht ein gutes Dichthalten zu erzielen ist. Die Schrauben findet man übrigens öfter weggelassen und durch hölzerne Traversen, ähnlich den obern, ersetzt.

Der ganze Kanal ruht lose auf den Querschwellen, welche in Abständen von 1,2 bis 1,6 m angebracht und ihrerseits wieder durch 2 Längsschwellen getragen werden.

Ruht der Kanal in der Erde, so fallen diese letztern weg; ist er aber über dem Boden angebracht, so werden dieselben durch hölzerne, ausgesteifte, auf Steinen ruhende Träger oder Ständer von 3 zu 3 bis 5 zu 5 m unterstützt.

Vorteilhaft und bei höher über dem Boden liegenden Kanälen notwendig ist es, die Pfosten seitlich über den Kanal vorspringen zu lassen und auf einer Seite mit Brettern zu belegen, so daß ein Gang entsteht, auf welchem man dem ganzen Kanäle entlang gehen kann. Es ist dieses zur Instandhaltung des Kanales und zur Konservierung der Kanaldecke bequem und vorteilhaft.

Die Höhe des Kanales soll um 0,25 bis 0,30 m höher sein als die Höhe des Wasserspiegels im Kanäle.

§ 184.

Fassung und Leitung des Wassers zu den Wasserbauten.

Je nach den vorhandenen Lokalverhältnissen, dem Gefälle und dessen Erstreckungsgebiet wird nach dem Vorhergehenden das Wasser dem Etablisse-mente oder Wasserbau entweder 1. durch einen gemauerten oder mit Holz ausgefütterten oder in die Erde gegrabenen Kanal ohne weitere Bekleidung zugeführt; 2. durch ein hölzernes Gerinne, das mehr oder weniger hoch über dem Boden angebracht ist oder einem Bergabhange entlang geführt werden kann.

Alle diese Fälle bieten keine Veranlassung zu weiterer Besprechung dar und ergiebt sich deren allgemeine Anordnung leicht ans den vorhandenen Verhältnissen bei Berücksichtigung der bisher erörterten Umstände.

Nichtsdestoweniger kommen noch Fälle vor, besonders in gebirgigen Gegenden, wo die Zuleitung des Wassers zu einem Motor keine so einfache Gestalt annimmt und wo die Brauchbarkeit und Zweckmäßigkeit der ganzen industriellen Anlage von der Zweckmäßigkeit der Fassung und Zuleitung des Wassers wesentlich abhängt.

Ist z. B. das Gefälle groß und läßt sich der Wasserbau, wie dies häufig vorkommt, nicht in der Nähe des Kanalanfanges herstellen, so ist die Anwendung eines Gerinnes nicht mehr möglich, da bei einem Gefälle von 10 bis 15 m dasselbe um nahe diesen Betrag über dem Boden angelegt werden müßte, was zwar immerhin möglich ist, aber sowohl wegen der Instandhaltung und Besorgung des Kanales bei eintretender Eisbildung höchst fatal ist, abgesehen von den Kosten der notwendigen Holzgerüste.

In diesem Falle bleibt dann nichts anderes übrig, als das Wasser dem Motor durch eine Rohrleitung zuzuführen, welche ganz unter dem Boden bis in die Nähe des Kanalanfanges geführt wird und dort das Wasser aus dem letztem empfängt.

Immerhin wird man in den meisten Fällen trachten, die Länge dieser Rohrleitung, die von Gtlßeisen oder Schmiedeisen ausgeführt werden kann, nach Möglichkeit zu reduzieren und das billigere hölzerne Gerinne soweit als thunlich reichen zu lassen. Das Wasser wird daher in diesem Falle zunächst iit einem gewöhnlichen Kanäle gefaßt, an welchen sich das hölzerne Gerinne anschließt. An der Stelle, wo dieses das Wasser an die Rohrleitung abgiebt, ist ein Sammelreservoir erforderlich, weil der Eintritt des Wassers in eine Rohrleitung nur dann ohne die das Gefälle reduzierende Wirbelbildung erfolgen kann, wenn die Druckhöhe über der Öffnung der Rohrleitung mindestens 2 m beträgt und der Querschnitt des Reservoirs mehrere mal denjenigen der Rohrleitung übertrifft.

Auf Tafel 18 ist die Fassung und Leitung des Wassers zu einer Turbinenanlage im Grundriß und Längenschnitt in 1:100 der wirklichen Größe dargestellt, wie dieselbe im Jahre 1873 von der Firma I. Pays und Söhne in Vernayez (Schweiz) ausgeführt worden ist. Da diese Anlage eine ziemlich vollständige ist und als interessantes Beispiel für den oben erwähnten Fall dient, soll dieselbe int nachfolgenden ausführlicher beschrieben werden.

Die ziemlich konstante Wassermenge eines Wasserfalles, des Pisse-vache, wird unmittelbar an der Stelle des Niedersturzes, wo die Gewalt des Wassers ein tiefes Becken in dem Steingerölle ausgewaschen hat, mit einem steinernen Damme eingefaßt und dadurch der Wasserspiegel gestaut und ein bedeutendes Wasserquantum in diesem halb natürlichen und halb künstlichen Teiche gesammelt.

Das Wasserquantnm per Sekunde, welches zur Benützung aus diesem Reservoir in einen Kanal geführt wird, beträgt 1,2 cbm und wird durch eine in § 181 erwähnte Regulierschütze bestimmt. Der Kaital zieht sich eine Strecke dem vorhandenen Bergabhange nach und übergiebt das Wasser dem Gerinne oder hölzeriten Kanäle A, von welchem nur noch das letzte, am höchsten über dein Boden liegende Ende in der Zeichnung ersichtlich ist.

Das Gerinne hat 1,70 m Breite int Licht und 1 m Höhe bei 0,70 rn Wassertiefe. Seine Höhe über dem Boden beträgt mit Ende 5 m und vermindert sich dieselbe gegen die Wasserfassung zu auf Null.

An der Stelle, wo das Gerinne das Wasser der Rohrleitung hg übergiebt, befindet sich das Reservoir fe von 3-3 in Länge und Breite bei 2,300 in Tiefe, und zwar in einem Wasserhause MN angebracht, in welchem der Arbeiter beschäftigt ist (und sich beständig aufhält), welcher das Stellen der Schütze C, und das Reinigen der Rechen zu besorgen hat. Ein im Kanäle der Rohrleitung angebrachter Glockenzug führt vom

Etablissement in den Wasserturm und giebt dem Arbeiter die Zeichen zum Öffnen und Schließen der Schütze. Das Reservoir e besteht aus Holz und das gußeiserne Mundstück g der Rohrleitung mündet mit einer trichterförmigen Erweiterung in dasselbe, so daß die Kontraktion eine sehr geringe ist. Rings um die Einlauföffnung in die Rohrleitung und von dieser bis an die Decke des Kastens reichend ist ein cylindrischer Rechen f angebracht, dessen Stäbe von 0,008 m Dicke und 0,040 m Breite Zwischenräume von 0,025 m zwischen sich lassen und alle Unreinigkeiten, Äste, Laub u. dgl. aufhalten, welche durch den bei d zwischen e und C\ angebrachten ersten Rechen d durchgegangen sind. Die Stäbe dieses Rechens lassen ebenfalls Zwischenräume von 0,025 m zwischen sich frei. Beide Rechen verursachen einen Gefällverlust von zusammen 0,050 in, welche Wassersäulenhöhe erforderlich ist, um das Wasser durch die Verengung des Querschnittes durch die Rechenstäbe hindurchzupressen. Vor dem Eintritt des Gerinnes A in das Sammelreservoir oder den sogenannten Wasserkasten e befindet sich im Kanäle eine Vertiefung C\ angebracht, an deren Seitenwand eine Leerschütze C\ angebracht ist, welche zum Ablassen des sämtlichen Betriebswassers in den Leerlanfkanal E F dient. Sowie die Schütze aufgezogen wird, fließt das Wasser durch das kurze Gerinne r aus dem Kasten (ch nach der Öffnung E hin, welche bis auf das Niveau des Leerlaufkanales K hinunter reicht und durch 0,90 m dicke Mauern umfaßt ist.

Das Einlaufstück g der Rohrleitung von 0,900 m lichter Weite ist mit einein Fuße versehen und ruht auf einer gut fundamenticrten starken gußeisernen Säule, hängt also nicht am Boden des Wasserkastens, sondern bildet vielmehr die Hauptstütze desselben.

Die Rohrleitung ist aus Rohren von 4y₂ mm dickem Eisenbleche mit gußeisernen Flantschen zusammengesetzt. Die einzelnen Rohrstücke sind alle gerade und geht die vertikale Eintrittsrichtung des Wassers zunächst durch den Rohrkrümmer G von 1,20 m Krümmungshalbmesser und fernerhin durch die zwischen die einzelnen Rohrstränge gelegten Keil-fiantschen e₂ in die horizontale Richtung über, mit welcher das Wasser der Turbine (System Girard) i zufließt.

Die Rohrleitung befindet sich in einem zugedeckten Kanäle I aus 0,60 m dicken Mauern. Seine Tiefe ist 1,70 m und die Rohrstränge ruhen aus den gußeisernen Trägern 2, von denen je drei einen Strang unterstützen. Diese Rohrfüße verhindern die direkte Berührung der Rohrleitung mit dem Boden des Kanales.

Die Länge der Rohrleitung vom Wasserhause bis zur Turbine beträgt

100 m und stellt die Zeichnung den horizontalen Teil derselben abgebrochen (verkürzt) dar.

Der Motor, welchem das Wasser zugeführt wird, ist eine Girardsche Partialturbine mit Ausfluß auf zwei einander gegenüber liegenden Vierteln des Umfanges. Dieselbe ist regulierbar mit zwei sog. Kreis- oder Schmetterlingsschiebern, außerdem wirkt aber noch ein Regulator auf eine Drosselklappe i₃ ein, welche im Einlaufstück in dem Turbinencylinder i angebracht ist. Durch die Räder n, k, 1 wird die entwickelte Arbeit auf die Haupttransmission m übertragen.

Die Nutzleistung des Motors beträgt 75 °/₀. Derselbe hat 1,2 m mittlern Durchmesser.

p ist der Ablaufkanal (aus der Wasserstube R) von 3 m Breite und 0,60 m Wassertiefe.

Im Nachstehenden sollen nun als Beispiel die Gefällverluste der ganzen Anlage, sowie die resultierende Nutzleistung des Motors berechnet werden.

Zu diesem Zwecke müssen die Hauptdimensionen hier kurz zusammengestellt werden. Es ist:

die Wassermenge in Sekunden, welche dem Motor zugeführt werden soll, in Kubikmetern Q = 1,2; das vorhandene totale Gefälle h = 12 m;

= iii;

Länge der Rohrleitung 1 = 100 m Durchmesser der Rohrleitung d — 0,90 m ) d Kanalbreite — 1,70 m;

Kaualtiefe — 0,70 m;

Länge des Kanales — 50 m.

Soll nun zunächst der durch das Gerinne verursachte Gefällverlust bestimmt werden, so ist die Geschwindigkeit des Wassers in demselben

= lm.

1,2

1,7-0,7

v²

Zur Berechnung des erforderlichen Gefälles erhält man aus Formel 1) auf S. 411:

Rk²

= 0,384

Nun ist in unserm Beispiel v = 1 1,70-0,70 1,70 + 2-0,70

und daher bei Zugrundelegung der Kategorie I) von Bazin nach S. 418 k — 29. Mit Benutzung dieser Werte findet man J — 0,0031.

Das totale Gefälle des Kanales von 50 m Länge wird demnach

der Gefällverlust bei der Einlaufschütze am Kanalanfange

ist nach § 181.............

der Gefällverlust durch die beiden Rechen d und f ist wie

bereits erwähnt.............

also der totale Gefällverlust bis zum Rohreintritt ... — 0,305 m.

Nun ist bei dem Durchmesser der Rohrleitung von 0,90 m deren Querschnitt — 0,636 qm und daher die Geschwindigkeit des Wassers in

Q 1,2

0,636

Es wird daher nach Darcy (Formel 30 S. 371 und Tabelle S. 370) das für 1 m Rohrlänge beim Durchmesser von 0,90 m erforderliche Gefälle J = 2 • 0,001158 • 1,88² = 0,0082 und das Gesamtgefälle oder der Druckhöhenverlust für 100 m Länge — 0,82.

Es beträgt nun weiter der Gefällverlust beim Eintritt in das Rohr

v²

= 0,2 «f-

50 - 0,0031 = 0,155 m,

= 0,100 „

— 0,050 „

derselben — ^

— 1,88 in.

v²

⁵⁶ 2 g

und der Verlust durch die Geschwindigkeit v des Durchflusses

2g

v²

2g

Diese beiden Verluste betragen zusammen

v²

1,2-,- = 1,2

1,88²

2g

2g

1,2-0,18 = 0,22 in.

Der durch die beiden Rohrkrümmer und die Keilflantschen verursachte Gefällverlust ergiebt sich bei der Berechnung zu 0,15 in.

Es ist somit der Gefällverlust

1.    im Kanäle von 50 m Länge. . . . = 0,155 m,

2.    bei der Einlaufschütze am Kanalaiifang = 0,100 „

3.    durch die beiden Rechen    . .

4.    durch die Rohrleitung . . .

5.    beim Eintritt in die Rohrleitung . . = 0,220 „

6.    durch Ablenkung

. = 0,050 „ . = 0,820 „

= 0,150 „

Summe sämtlicher Gefällverluste = 1,495 in.

Vierunddreißigstes Kapitel.

Praktische Ausführung der festen und beweglichen Wehre.

§ 185.

Einfache Wehre oder Überfallwehre.

Es ist bei der Ausführung eines Wehrbaues das Hauptaugenmerk auf die solide Befestigung der Wehrschwelle zu richten und Fürsorge zu treffen, daß dieselbe weder vom Wasser unterspült noch umgangen werden kann.

So einfach nun diese Aufgabe erscheinen mag, so schwierig. ist dieselbe in vielen Füllen zu lösen und es ist in dieser Hinsicht ganz unglaublich, welche kolossale Wirkungen ein schnell fließendes Gewässer bei großem Wasserstande zu äußern vermag, weshalb schon unzählige scheinbar sehr solid ausgeführte Wehre bei ungewöhnlich hohem Wasserstaude weggerissen oder gänzlich unbrauchbar geworden sind.

Bei jedem Wehre, welches einigermaßen Anspruch auf solide Ausführung haben soll, muß die hölzerne oder steinerne Krone durch Beton-massen, Spundwände oder Pfahlroste vor der Unterspülung geschützt und die Seitenwünde durch fest mit dem Ufer verbundene Schutzbauten gegen jedes Ausfressen durch das Wasser sichergestellt werden.

Fig. 263 Tafel 19 zeigt ein einfaches Wehr für kleine Wasserläufe; a, b und c sind Spundwände, e eine feste Wand aus über einander gelegten Balken, f die Wehrkrone.

Fig. 264 ist ein hölzernes Wehr mit einem steinernen Vorbau; a, b, c sind ebenfalls Spundwände; in der Mitte ist eine feste Wand aus über einander gelegten Balken, welche nach hinten versperrt sind und vorn eine Abdachung aus behauenen Steinen haben, ausruhend auf einem Pfahlroste.

Fig. 265 ist ein Wehr aus behauenen Steinen mit einem Betonfundament.

Vor und hinter dem Wehre sind Spundwände mit obern durchgehenden Schwellen, gegen welche sich die Wehrkrone stützt. Dies Wehr ist nur für ruhige Gewässer, Kanäle u. dgl. bestimmt.

Das ähnliche Wehr Fig. 266 ist schon solider angeordnet als das vorhergehende.

Es besteht aus harten Quadersteinen b und einem tief eingelassenen gemauerten Fundamente c, welches nebst der Quaderlage b ganz ins Terrain eingesenkt ist. Vor betn' Wehre ist ein Dielenboden auf einem Balkenroste angebracht.

Die Wehrkrone selbst besteht aus einem hölzernen Balken a, welcher nach oben entfernt werden kann und zu dem Zwecke in seitlichen Nuten liegt, die in dem massiven Seitengemäuer des Wehres eingehanen sind.

Natürlich ist diese Anordnung nur für eine kleine Breite bis zu 3 m anwendbar, bietet aber den Vorteil, daß man die Stauhöhe durch Einlegen oder Entfernen einer oder mehrerer Kronschwellen beliebig verändern kann.

Fig. 267 und 268 zeigen eine andere Anordnung eines Überfallwehres für größere aber ruhige Flüsse. Dasselbe besteht aus sorgfältig aufgeschichteten Steinen mit dazwischen eingerammten Pfählen und hölzernen Querschwellen.

Die Seitenwände sind hier bloß mit einer Steinlage ausgefüttert.

Der Abfall des untern Wehrgerinnes ist in zwei Absätzen ausgeführt.

Ein ganz steinernes Überfallwehr von 30 m Breite zeigt Fig. 272 auf Tafel 20. Es ist dies das Wehr in der Thur zu Bitschwiller (nächst Thann) im Elsaß.

Nachdem das früher vorhandene hölzerne Wehr von: Wasser weggerissen worden war, wurde der Bau eines ganz steinernen, äußerst soliden Wehres beschlossen.

Die eingeschriebenen Maße sind Metermaße.

Das 1 m tiefe Fundament des Wehres besteht aus Dioritblöcken von mindestens 0,5 cbm Inhalt, Die Höhe der Wehrkrone liegt 2,75 m über dem untern Wehrgerinne und es besteht diese Krone aus behauenen Steinen, wie aus der Zeichnung ersichtlich.

Zum Schutze gegen das Unterspülen ist eine doppelte Betonader in • das Fundament eingegossen, welche eine Stärke von 0,5 m hat.

Auf der Krone des Wehres ist ein bewegliches Brett angebracht, um die Stauhöhe je nach den veränderlichen Wasserständen regulieren zu können.

Jni untern Wehrgerinne ist ein Reihe eingeschlagener Pfähle mit einer Qnerschwelle angebracht, welche ein Ausweichen des Fundamentes verhindert.

Beim Einban des Wehres war das in der Zeichnung angegebene Gerüste mit Wellenbock znm Transport der schwerern Steinblocke hergestellt worden.

§ 186.

Schleusenwehre.

Wenn die Wassermenge eines Gewässers stark veränderlich ist, die Stauhöhe des Wehres aber nicht wesentlich überschritten werden darf, sei es, daß dadllrch das oberhalb des Wehres gelegene Terrain überschwemmt oder einem oberhalb befindlichen Wasserrechtsbesitzer schädliches Hinter-lvasser verursacht würde, so wird die Stauung mittelst einer oder mehrerer Schleusen (Schützen- oder Fallenzüge) hervorgebracht, durch deren teilweises Aufziehen die Stauhöhe immer gleich erhalten lverden kann.

Die Fig. 269 bis 271 Tafel 19 zeigen ein ganz gewöhnliches Schleusenwehr mit einfachem Kettenanfzuge.

Da die Wehrschwelle hier nicht die eigentliche Krone des Wehres bildet, braucht dieselbe nicht so vorsichtig befestigt zn sein, dagegen müssen die vertikalen Führungspfosten der Schütze sorgfältig festgemacht werden.

Beim vorliegenden Wehre sitzt die Schwelle ans einer Spundwand, ebenso ist beim Beginn des Vorbaues noch eine Spundwand angebracht, während der Boden des Wehrgerinnes ans einem Pfahlroste nach Fig. 270 befestigt ist.

Die vertikalen Schützenpfosten sind ans der Wehrschwelle aufgesetzt, welche seitlich wenigstens 1 m tief in die Ufer eingelassen ist.

Bei gemauerten Seitenwänden werden die vertikalen Pfosten noch durch Manerschranben und Schlandern mit denselben verbunden.

Bei einem größern Abfalle des untern Wehrgerinnes als von 1 bis

1,5 m wird dieser Abfall in mehreren Absätzen ausgeführt.

Ein Schleusenwehr mit gemauerten Seitenpfeilern beim Ausflüsse eines Teiches zeigen die Fig. 273 bis 275 ans Tafel 20.

Das Wehrgerinne sitzt auf einem Pfahlroste mit zwei Spundwänden (eine vor und eine hinter der Wehrschwelle in gleichen Abständen).

In die massiv verkleideten Seitenpfeiler eingehauene Nuten (Rinnen) bilden die Führung für die Schütze, welche durch eine hübsche mechanische Vorrichtung aufgezogen und niedergelassen wird.

Die Details dieser letztern sind deutlich aus Fig. 275 zu entnehmen.

Die Fig. 314 bis 317 auf Tafel 26 stellen ein Wehr mit Schleuse dar, welches der bekannte Wasserbautechniker Amman in der Rednitz an Stelle eines alten hölzernen Wehres oder vielmehr vor demselben in Portlandzement-Stampfbeton aufgeführt hat.

Wie Fig. 315 zeigt, durchschneidet das Wehr den Fluß in schiefer Richtung und führt von einem Brückenpfeiler (links) bis zu dem Betriebskanal (rechts). Die Dimensionen der Schleuse sind eingeschrieben. Der Verschluß derselben wird durch starke Balken (22 • 22 cm) gebildet.

Die Baugrube wurde dadurch trocken gelegt, daß man einen 15 m langen Abschlag ins Unterwasser einbaute, der auf der zerklüfteten Felssohle nur schwer zu dichten war. Der Inhalt des Wehrkörpers der Pfeiler und der zur Ausfüllung der Unebenheiten hergestellten Sohle beträgt ou 400 cbm. Die Bereitung des Betons geschah nach dem auf

S. 500 beschriebenen Trockenverfahren. Der Bau hat sich bis jetzt sehr gut bewährt.

§ 187.

Klappeuwehre.

Wenn durch ein Wehr in einem größern Flusse eine bedeutende Stauhöhe erzeugt werden soll, in diesem Flusse aber plötzliches Hochwasser eintritt, so muß das Wehr rasch entfernt werden können, wenn dasselbe nicht Überschwemmungen der oberhalb des Wehres befindlichen Gegenden verursachen soll.

In solchen Fällen reichen die Schleusenwehre nicht aus; einesteils weil dieselben für größere Stauhöhen bis zu m zu kostspielig und schwer zu handhaben sind und andrerseits weil dieselben bei größern Breiten von 10 bis 100 m überhaupt nicht mehr angewendet werden können.

In einem größern Flusse mit plötzlich eintretendem Hochwasser nmß bei der Ankunft des letztern jedes Hindernis aus dem Flußbette entfernt werden können.

An solchen Stellen nun wendet man bewegliche Wehre an und zwar entweder Klappenwehre oder sog. Nadelwehre, welche im nachfolgenden betrachtet werden sollen.

Fig. 276 Tafel 20 zeigt das Klappenwehr in Melun an der Seine, welches zur Verbesserung der Schiffahrt in diesem Flusse hergestellt worden ist und sich ganz gut bewährt hat.

Betrachet man das Wehr zunächst in aufgestelltem Zustande nach der Figur, so besteht dasselbe aus einzelnen neben einanderstehenden Schützen, welche mit den in der Mitte ihrer Höhe angebrachten Zapfen in einem eisernen Rahmen gelagert sind, die seinerseits wieder um eine am Boden gelagerte Achse drehbar ist, aber durch eine Gegenstütze am Umklappen verhindert wird.

Es ist leicht ersichtlich, daß das Wasser die Schütze nicht um ihre mittlere Achse drehen kann, weil der Wasserdruck auf die untere Hälfte bedeutend größer ist als auf die obere. Das Wasser hält also die Schütze oder Klappe in ihrer aufgestellten Lage fest, indem es das untere Ende gegen seine unterhalb angebrachte Auflage preßt.

Sowie aber der Gegenhalter durch horizontales Verschieben einer unter seinem untern Ende durchgehenden Schiene mit Knaggen aus dem Ansatz, gegen welchen er sich stemmt, herausgehoben wird, klappt der eiserne Rahmen samt der Schütze sogleich um, indem sich die letztere gleichzeitig um ihre mittlere Achse dreht, eine horizontale Stellung ein-nimint und sich auf den Rahmen an den Boden niederlegt.

Ein Niederschmettern auf den Boden findet deshalb nicht statt, weil das im Untergraben vorhandene Wasser den Stoß aufnimmt und das Wehr ruhig auf den Boden niederfallen läßt.

Soll das Wehr wieder aufgerichtet werden, so wird mittelst einer Kette eine Falle nach der andern von einem oberhalb des Wehres gelegenen Standpunkte aus aufgezogen, was mit geringer Kraftanwendung stattfinden kann, indem die Falle während des Hebens in horizontaler Lage verbleibt. Erst nachdem der Gegenhalter sich wieder gegen seinen Stützpunkt stemmt, wird die Klappe senkrecht aufgestellt, was durch den Wasserdruck mit großer Kraft geschieht.

Es genügt nämlich ein ganz geringer Anstoß an die horizontal liegende Klappe, um derselben infolge des größern Wasserdruckes auf ihre untere Hälfte das Übergewicht zu erteilen.

Die ganze Aufstellung des Wehres erfordert somit eine verhältnismäßig nur geringe Kraftanstrengung.

Das Wehr bei Melun hat eine Länge von 80 m und es ist zum Niederlassen desselben erfahrungsmäßig nur eine Zeit von 2 Minuten erforderlich, während die Aufrichtung eine volle Stunde Zeit in Anspruch nimmt, was immerhin ein außerordentlich kleiner Zeitaufwand ist.

Die eiserne Schiene, welche an dem Stützpunkte unter den Gegenhaltern durchgeht, hat in der Nähe jedes Gegenhalters einen Vorsprung

35

Meißner, Hydraulik. I. 2. Auflage.

oder Knaggen, so daß eine kurze Verschiebung derselben mit Hilfe eines am Ufer angebrachten Mechanismus genügt, um sämtliche Gegenhalter einen nach dem andern auszulösen und die betreffenden Klappen zu schließen. Die Breite der einzelnen Klappen ist 1,5 m.

§ 188.

Nadelwehre.

Eine andere Art beweglicher Wehre beruht darauf, daß man mit Hilfe von umklappbaren eisernen Wehrstützen (sog. Wehrrippen) und von darauf gelegten Brettern ein vollständiges Wehrgerippe bildet, gegen welches man vertikale hölzerne Bretter anlehnt, welche leicht eines nach dem andern aufgestellt und weggenommen werden können. Es genügt indessen nicht, daß man diese Bretter oder vertikalen Wehrschwellen (die sog. Nadeln) wegnehmen kann, sondern es muß auch das ganze Wehrgerippe beseitigt werden können.

Die Fig. 277a bis f auf den Tafeln 20 und 21 stellen ein 70 m langes Nadelwehr dar, welches von Poirce in Epineau über den Aonnefluß erstellt worden ist.

Fig 277a zeigt in 1:20 der wirklichen Größe eine Wehrrippe, resp. den Querdurchschnitt (senkrecht aus die Längenrichtung des Wehres); Fig. 277 b einen Längsschnitt durch das Wehr; Fig. 277 e zeigt in kleinerem Maßstabe den Querschnitt durch das Wehr samt seinem Einbau und Fundamente, und Fig. 2771 eine Längenansicht des Wehres, von welchem indessen nur ein kurzes Stück dargestellt ist.

Die einzelnen Wehrrippen, Fig. 277a, sind in einer Distanz von je 1 m angebracht, wie aus Fig. 2771 ersichtlich ist.

Jede Rippe bildet ein Rechteck aus Quadrateisen von 40 mm Stärke mit einer diagonalen Strebe. Der untere mit Zapfen versehene Schenkel des Rahmens bildet seine Drehachse, um welche dieselbe auf- und niedergeklappt werden kann.

Soll das Wehr aufgestellt werden, so richtet man, vom Ufer ausgehend, eine Rippe nach der andern mittelst einer gemeinschaftlichen Kette (an welche sämtliche Rippen angehängt sind) auf, legt Bretter e darüber, welche einen Steg oder eine Brücke bilden, auf welcher man immer weiter in den Fluß hinaus vordringen resp. das Wehr immer weiter aufstellen kann, indem die Wehrrippen durch beiderseits aufgelegte Halter Fig. 277c und d in ihrer vertikalen Lage festgehalten werden.

An den durch diese Bretter gebildeten Steg lehnen sich oben die

Nadeln cg an, während sie sich unten gegen eine am Boden befestigte Schwelle f stemmen.

Die einzelnen Nadeln (Bretter) cg haben nur eine Breite von 150 mm, damit sie leicht und rasch gehandhabt werden können, was bei hohem Wasserdrlicke ohnedies noch Kraft und Gewandtheit genug erfordert.

Fig. 277b zeigt zwei Wehrrippen in aufgestelltem Zustande und mehrere Rippen niedergelegt.

Die Fnndation des Wehres ist ans Fig. 277c ersichtlich. Dieselbe hat eine mittlere Stärke von 1,2 m, eine Breite von 10 m und eine Länge von 70 m (gleich der Flußbreite). In diesem Fundamente ist ein Einschnitt von 2,15 m Breite und 0,27 m Tiefe angebracht, in welchen der hölzerne Rost eingelassen ist. Der letztere besteht aus zwei Längsschwellen und in Querschwellen im Abstande von je 1 m.

Die obere Längsschwelle f steht 10 cm über dem Mauerwerke vor und ist auf der dem Strome zugekehrten Seite mit einer eisernen Schiene von 10-1 cm Stärke beschlagen, gegen welche sich die Nadeln g mit ihrem untern Ende stützen.

Die Drehzapfen der Rippen haben einen Durchmesser von 40 mm bei 55 mm Länge.

Die Lager der Drehzapfen sind an den Längsschwellen des Rostes festgeschraubt, haben 45 mm Bohrung.

Der Steg auf den Wehrrippen besteht ans 4 neben einander liegenden Brettern von 30 mm Dicke und 35 cm Breite.

Zur Aufstellung und Umlegung des Wehres sind mindestens zwei Mann erforderlich, welche im Durchschnitt 3 Minuten Zeit für die Aufstellung und l'/a Minuten für die Umlegung von 1 laufenden m Wehr gebrauchen.

Ein in Bezug ans die mechanische Ausführung konstruktiver gehaltenes Nadelwehr zeigt Fig. 278 auf Tafel 21. Dasselbe wurde für das Etablissement des Chokoladenfabrikanten A. Menier in Noisiel an der Marne ausgeführt.

Die Abbildung giebt den Querschnitt des Nadelwehres in 1 • 50 -der wirklichen Größe.

Die einzelnen Wehrrippen sind hier der grossem Widerstandsfähigkeit halber aus Winkel- und I-Eisen zusammengenietet.

Ein anderes Nadelwehr von ungefähr 45 m Länge zeigen in Bezug auf die mechanische Ausführung die Fig. 279a bis d in 1:10 der wirklichen Größe.

Es ist dies das am Ansflusse der Reuß aus dem Vierwaldstätter-

35*

See in Luzern befindliche Wehr, welches von den Herren Theodor und Friedrich Bell (Maschinen-Werkstätten, Eisengießerei und Kessel-schmieden) in Kriens bei Luzern hergestellt worden ist.

Die größte Stauhöhe des Wehres Fig. 277 ist ca. 2 in; die Distanz der Wehrrippen 1,500 in; die Breite der Nadeln ist 150 nun und deren Dicke 60 mm.

Die Drehzapfen der ans Winkeleisen zusammengesetzten Wehrrippen haben 45 mm Dicke und zeigt Fig. 279c die vordere Ansicht des Lagers für die Drehzapfen, welche mit Steinschrauben an das Quaderfundament befestigt sind.

Die besondern Halterstangen zur gegenseitigen Fixierung der Wehrrippen sind hier weggelassen, indem die Bretter des Arbeitssteges durch schmiedeeiserne Stiften aus den Wehrrippen festgehalten sind, so daß der Steg selbst die Rippen in ihrer gegenseitigen Lage aufrecht erhält.

Fig. 279 ck zeigt den Querschnitt durch den untern Schenkel (die Drehachse) der Wehrrippen.

Bei der Aufstellung des Wehres wird folgendermaßen verfahren:

Auf eine am Ufer angebrachte Winde (Trommel) ist das Ende einer Kette befestigt, welche die sämtlichen niedergelegten Wehrrippen mit einander verbindet.

Durch die Umdrehung der Kettentrommel wird nun zunächst die erste, dem Ufer zunächstliegende Rippe aufgezogen. Die Länge des zwischen zwei Rippen befindlichen Kettenstückes ist so groß, daß jede Rippe ganz aufgestellt werden kann, bevor die nächstfolgende Rippe anfängt ebenfalls durch die Kette gehoben zu werden.

Auf die aufgezogene Rippe werden nun vom Ufer aus die ersten Bretter des Arbeitssteges hinübergelegt und durch Einstecken der Stifte befestigt. Nun wird vom Ufer aus durch Aufwicklung der Kette auf die Trominel die zweite Rippe aufgezogen, von der ersten auf die zweite Bretter gelegt und fixiert u. s. w.

Die einzelnen Bretter des Steges greifen dabei (in ihrer Länge) auf jeder Rippe ca. 600 mm über einander.

Bevor die zweite Rippe aufgezogen werden kann, muß die erste von der gemeinschaftlichen Kette losgemacht werden, ebenso die zweite Rippe, wenn die dritte gehoben werden soll u. s. w.

Umgekehrt wird beim Niederlassen des Wehres eine Rippe nach der andern unmittelbar vor dem Niederlassen wieder mit der Kette verbunden.

Um diese Verbindung leicht herstellen und wieder aufheben zu können, ist an jeder Mehrrippe ein kurzes Stück Kette angebracht, deren Haken, in die Hauptkette eingehängt, durch eine Feder zugehalten wird, so daß kein zufälliges Loswerden der Rippen möglich ist.

§ 189.

Selbstthätige Klappenwehre.

Um dem mühsamen Auf- und Abbau eines beweglichen Wehres enthoben zu sein, hat man zur Herstellung der selbstthätigen Klappenwehre seine Zuflucht genommen.

Solche Wehre sind allerdings sehr bequem, erfordern aber eine äußerst solide Ausführung und verursachen daher ganz bedeutende Unkosten.

Die Fig. 280 a bis f auf Tafel 26 stellen das automatische Wehr in Noisiel an der Marne (Frankreich) dar, welches für das Etablissement von A. Menier hergestellt worden ist und sich in jeder Beziehung bewährt hat.

Die Einrichtung des Wehres hinsichtlich seiner systematischen An-ordllung ist am besten aus den Fig. 280a und b ersichtlich.

In einem halbkreisförmigen Ausschnitte des Wehrfundamentes sind drehbare eiserne Klappen 11' angebracht, welche sich leicht um eine horizontale Achse bewegen lassen. Jede Klappe bildet ein Stück des Wehres und soll daher im folgenden nur die Bewegung einer Klappe näher betrachtet werden.

Wenn die Klappe horizontal liegt, wie in Fig. 280b, so ruht dieselbe oben und unten auf den Quadern gg’ auf, welche in diesem Falle die Krone des Wehres bilden.

Steht die Klappe dagegen vertikal, wie in Fig. 280 a, so bildet der obere Rand der Klappe die Krone des Wehres und es ist somit die Stauung um die ganze Höhe des obern Klappeustückes (im vorliegenden Falle 700 mm) größer als vorher.

Um nun das Wehr aufzurichten oder niederzulegen, wird hier der Druck des Wassers zu Hilfe genommen und ist dazu folgende Einrichtung getroffen.

Die einzelnen Klappen von 1,500 m Länge sind durch gußeiserne Zwischenwände von einander abgeteilt und es ist der halbkreisförmige untere Raum vor und hinter der Klappe durch gußeiserne, dicht schließende Deckel vom Oberwasser gänzlich abgeschlossen.

Beim Niederlegen der Klappe legt dieselbe sich vorn auf diesen

Die gußeisernen Zwischenwände, welche diesen Raum zwischen je zwei Klappen abschließen, haben unmittelbar unter dem vordern Deckel eine horizontal längliche Öffnung H und unter dem untern (stromabwärts gelegenen) Deckel eine vertikal längliche Öffnung H', durch welche beiden Öffnungen alle Kammern unter dem Deckel mit einander in Verbindung stehen.

gußeisernen Deckel, ohne aber den Verschluß des untern Raumes zu bilden, was, wie schon erwähnt, von dem gußeisernen Deckel geschieht.

Der halbkreisförmige Raum unter den Deckeln (in welchem Raume der untere Klappenschenkel sich bewegt) ist also gänzlich von dem direkten Zutritte des Wassers abgeschlossen, obwohl natürlich immer mit Wasser angefüllt.

Denkt man sich nun, daß die Klappen in dem gußeisernen Gerinne g₂ Fig. 280 a ziemlich genau anschließen und daß die horizontalen Öffnungen H und diejenigen H' beliebig entweder mit dem Oberwasser oder mit einem Ablauf in das Unterwasser in Verbindung gesetzt werden können, so wird man bald finden, daß man dadurch die Klappen nach Belieben aufrichten oder niederlegen kann.

Läßt man nämlich in Fig. 280a die Öffnung H mit dem Oberwasser und diejenige H' mit dem Ablauf in Verbindung treten, so drückt das Wasser sowohl auf den aufgerichteten obern Teil 1 der Klappe als auch auf den untern Teil 1' derselben.

Da aber die auf die untere Hälfte der Klappe (die in den halbkreisförmigen untern Kammern befindliche Hälfte) wirkende Wassersäule höher ist, als die auf die obere Hälfte der Klappe drückende Wassersäule, so bleibt die Klappe in ihrer vertikalen Lage stehen, resp. das Wehr bleibt aufgerichtet, da die untere Klappenhälfte an der Schwelle d anliegt.

Läßt man aber die Öffnung H mit dem Ablauf und diejenige H', mit dem Oberwasser in Verbindung treten, so drückt oben das Wasser aus die obere Klappenhälfte wie vorhin, während dagegen unten das Wasser von hinten auf die Klappe drückt, weil das vorn befindliche Wasser frei durch H abfließt.

Die Klappe wird also sogleich umkippen, indem die obere Hälfte sich auf den Deckel k niederlegt, während die untere Hälfte gehoben wird, bis sie die Stellung Fig. 280b einnimmt, in welcher sie die Öffnung H immer noch nicht verdeckt, resp. sich noch unterhalb dieser Öffnung befindet. Da dieses letztere notwendig der Fall sein muß, ist die Klappe wie in der Zeichnung abgekröpft.

Wie ans dem Vorstehenden ersichtlich ist, werden sämtliche Halbkreisförmige untere Kammern durch den untern Klappenschenkel in zwei Teile abgeteilt, welche vermöge der Öffnungen H und H' in jeder Zwischenwand zwei der ganzen Länge des Wehres nach durchgehende Kanäle bilden, wonach es also leicht ist, an einer Seite des Ufers eine Vorrichtung anzubringen, vermittelst welcher jeder Kanal H und H' entweder mit dem Oberwasser oder mit dem Ablauf in Verbindung gesetzt werden kann. Die Fig. 280 c und d stellen diese Vorrichtung dar. Die erstere Figur zeigt einen Teil des Wehres im Grundriß, und die zweite einen Vertikalschnitt in der Richtung C₂ C₂.

Der Kanal H mündet durch einen (im Grundrisse punktiert angegebenen und mit L bezeichneten) sich in den Seitenpfeiler des Wehres fortsetzenden Kanal in einen Raum K' Fig. 280d aus, welcher an seinem linken Ende mit dem Oberwasser, am untern Ende aber mit dem Ablauf C₂ in Verbindung ist.

Der Kanal H' mündet mit einer im Grundrisse punktiert angegebenen und mit L, bezeichneten Verlängerung in einen Raum K,, Fig. 280d, welcher wie der darüberliegende Kj mit dem Oberwasser C, und dem Ablauf C₂ in Verbindung steht.

Die Enden der beiden Räume K' und K₂ sind mit zwei an einem Balancier IST aufgehängten Schiebern versehen, welche sich nur gemeinschaftlich, aber in entgegengesetztem Sinne bewegen lassen, nämlich so, daß der eine Schieber gehoben wird, wenn der andere sich senkt.

Die Schieber sind ferner so gestellt, daß derjenige auf der linken Seite die untere Öffnung von K₂, der auf der rechten Seite dagegen die obere Öffnung von K' verschließt und umgekehrt, wenn die Schieber verschoben sind, was leicht von Hand mittelst eines an der Achse des Balanciers angebrachten auf den Pfeiler hinaufreichenden Hebels geschehen kann.

Es genügt so eine leichte Handbewegung, die Kommunikation der Kanäle H und H' mit dem Oberwasser oder mit dem Ablaufe herzustellen, d. h. um das Wehr aufzurichten oder niederzulegen.

Wir haben nun noch einzelne Bestandteile des Wehres etwas näher zu betrachten.

Fig. 280 e zeigt die Verbindungskanäle L und L’ zwischen den Räumen K und K₂ und der Kammer G- der ersten Klappe.

Fig. 280£ zeigt die Konstruktion der Drehklappe und die Lagerung der Drehzapfen in den gußeisernen Deckeln.

Das ganze Wehr hat eine Länge von 40,5 m und ruht auf einem Betonfundamente, welches zwischen zwei Spundwänden F (wovon die untere nicht sichtbar) eingebettet ist.

Die Fig. 305 und 306 auf Tafel 26 stellen ein selbstthätiges Klappenwehr dar, welches von Sympher Doell konstruiert ist und wie die Schmetterlingsklappe durch den Wasserdruck geöffnet wird. Die zur . Regelung des Öffnungsmomentes dienende Gewichte' sind verstellbar angeordnet.

Anmerkung. Da der Raum die Durchführung der Festigkeitsbestimmungen verschiedener Wehrkonstruktionen nicht gestattet, sei bezugnehmend auf S. 82 nur das Folgende gegeben.

Fig. 381 auf Tafel 35 stelle ein an beiden Enden unterstütztes Bett oder einen solchen Balken dar, welcher der Einwirkung einer Einzellast P im Punkte C oder in der Entfernung a vom linken Stützpunkte und einer gleichmäßig verteilten Last Q unterworfen ist. Von den Momenten in den Entfernungen xlf a, x₂, —, mit den allgemeinen Werten

Ma = (P + y)a(1 a)

Mx₂=(Q^+'Pa)

1 — X₂

=P!-QT'

kann MXl nie das größte werden, jedoch tritt dies für Ma, d. h. für dasjenige im An-

griffspunkte der Kraft P ein, wenn

p

so wird Mx₂ mit x₂ -----

py a < a, ist die letzte Bedingung nicht erfüllt, P

z=r a zum Maximalmoment und erhält den Wert

(Q T + P a)

Fünfunddreißigstes Kapitel.

Anlage der Teiche.

§ 190.

Teiche oder Wassersammler.

Teiche oder Wassersammler haben die Bestimmung, bei geringern als den gewünschten Wasserniengen zum Betriebe eines Motors (auch für Feuerlösch-Zwecke) das während der Nacht wie überhaupt alles außer der Arbeitszeit herabfließende Wasser eines Baches aufzusammeln, um dasselbe während der Arbeitszeit konsumieren zu können.

Außerdem haben aber die Teiche noch den weitern Zweck, auch das während der Hochwasserzeit gelieferte Wasser wenigstens teilweise aufzufassen und dasselbe für die trockene Jahreszeit und den Niederwasserstand aufzusparen. In manchen Fällen werden auch Teiche angelegt, um einen Teil der Flutwassermenge vom Flußbett abzulenken und Überschwemmungen zu verhindern.

Der größte Fassungsraum, der einem Teiche gegeben werden könnte, hängt daher wesentlich von der Größe des Sammelgebietes (Wasserscheide) des betreffenden Gewässers oder von der größten Flutwassermenge ab, welche aus jahrelangen örtlichen Beobachtungen bestimmt werden muß.

In der Praxis wird übrigens einem Teiche selten eine derartige Ausdehnung gegeben (bei größer« Wasserläufen nämlich) und es wird der Fassungsraum vielmehr durch lokale Verhältnisse, Schwierigkeit und Kostspieligkeit der erforderlichen Bauten, Bedürfnis einer konstanten Wasserkraft u. s. w. u. s. w. bedingt, so daß in den meisten Fällen einzig der Kostenpunkt entscheidet.

Große Teiche sucht man immer in einem sich nach einer Stelle hin verengenden Thale anzubringen, an dessen engster Stelle sodann eine sog. Thalsperre oder ein Damm gebildet wird, dessen Höhe durch den Fassnngsraum des Teiches bedingt wird.

Da das Wasser zum Nutzgebrauche nahe an der tiefsten Stelle des Teiches abgeleitet werden muß, um auch bei niedrigein Teichwasserstande das erforderliche Wasser aus demselben entnehmen zu können, so ist bei offener Ableitung des Wassers die ganze Tiefe des Teiches für das Gefälle verloren und es folgt daraus, daß ein Teich wo möglich nicht in den tiefsten Teil eines Thales verlegt werden muß, daß man zur Anlage eines solchen vielmehr eine mittelhoch gelegene Stelle wählen soll, wobei auch der Wasserdruck auf den Damm weniger groß und die ganze Anlage billiger ausfällt.

Hinsichtlich der Kosten wäre dann im Übrigen eine Anordnung am günstigsten, bei welcher für den größten Fassungsraum die Ausdehnung der Dämme am geringsten wird.

Vor der Anlage eines Teiches hat man Grund und Boden namentlich an der Stelle des Dammes sorgfältig zu untersuchen. Dichter Thonboden und fester Felsgrund ist mir geeignetsten, während zerklüfteter, sandiger oder sumpfiger Grund sorgfältig vermieden werden muß.

An der Stelle des aufzuführenden Dammes wird zunächst ein Graben von 2 bis 7 in Tiefe hergestellt. Gelangt man dabei nicht auf festen lehmigen Boden oder dichten Felsgrund, so wird zunächst ein Pfahlrost gebaut, auf welchem sodann der Damm aufgeführt werden kann.

Die Aufführung des ganzen Dammes soll schichtenweise geschehen, wobei jede einzelne Schicht tüchtig festgestampft werden muß. Die Krone des Dammes erhält mindestens eine Breite von 3 m und wenn über dieselbe ein Weg führen soll, eine solche von 6 m. Die Dammkappe oder die Oberfläche des Dammes soll nicht weniger als 1 m über dem höchsten Wasserspiegel des Teiches stehen.

Die aus dem Teiche führenden Kanäle oder Gerinne sind mit gewöhnlichen kleinen Fallenzügen (Schützen) versehen. Bei größerer Tiefe des Teiches wird das Wasser durch Röhren aus demselben durch den Damni geleitet. (Vergleiche die Aufgabe auf S. 39.)

Bei der Durchführung eines Kanales durch den Teichdamm muß der letztere sorgfältig mit Quadersteinen ausgemauert sein, damit ein Anfressen des Dammes nicht vorkommen kann.

§ 191.

Teichgerinne.

Die Figuren 293 a bis e auf Tafel 24 und 25 stellen ein vollständiges gemauertes und mit Zugschütze versehenes Teichgerinne dar und es ist Fig. 293 a der vertikale Längenschnitt. Fig. 293 b der horizontale Durchschnitt. Fig. 293 c der vertikale Querschnitt. Fig. 293 d die innere und Fig. 293 e die äußere Ansicht des Gerinnes.

Der ganze Teil des Dammes, in welchem das Gerinne angebracht ist. ruht ans einem hölzernen Pfahlroste gik. Auf dem Boden k des Rostes ruht der aus behauenen Quadern gebildete Boden des Gerinnes und seines Schutzgewölbes B. A ist der Damm des Teiches, d die Schütze mit der Aufziehvorrichtung e. Das Gerinne erweitert sich von der Schütze nach dem Einlaufe zu bedeutend.

Ein durch eine Rohrleitung gebildetes Ablaufgerinne stellt Fig. 31 Tafel 2 dar.

Eine Erweiterung des Mundstückes nach der Form des zusammengezogenen Strahles ist hier nicht notwendig, weil die Weite des Rohres derart gewählt wird, daß beim kleinsten vorhandenen Wasserdrücke noch das gewünschte Wasserquantum abfließt, die Öffnung also bei höherem Wasserstande größtenteils geschlossen sein muß. Das Ablaufgerinne nach dem Motor wird, wie bereits erwähnt, nicht im tiefsten Teile des Teiches angebracht, um nicht zu sehr an Gefälle zu verlieren. Wohl aber soll außer diesem Nutzgerinne bei jedem Teiche noch ein zweites ganz an der Oberfläche des Teichwasserspiegels angebrachtes Schutzgerinne vorhanden sein, um dem Flutwasser einen sichern Ablauf zu gestatten. In den meisten Fällen wird dieses Schutzgerinne mit Überfallschleuse angeordnet, um nach vollständiger Anfüllung des Teiches auch den geringern zufließenden Wassermengen den Ablauf durch Überfallen zu gestatten, so daß die Schütze selbst nur bei Hochwässern oder starken Regenfluten gezogen werden muß.

Außer den beiden bisher erwähnten Gerinnen, d. h. dem Nutz- und dem Schutzgerinne, wird in der Regel noch ein drittes an der tiefsten Stelle des Teiches angebracht, welches meistens durch eine Rohrleitung mit Ventilabschluß gebildet wird und den Zweck hat, den Teich behufs Reinigung oder zum Fischen zu entleeren.

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Ton

□"engt.

₁ Lbs. av. d. p.

□'engt.

₁ Lbs. av. d. p.

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

Tabelle 1.

Nützliche Zahlenwerte.

= 9,8088 = 19,6176

= 0,101949

lgg = 0,9916159 lg 2 g = 1,2926459

lg — = 0,0083841 — 1

= 0,050975

= 3,13190 = 4,42918 = 2,95279 = 3,141593 = 6,283185

= 0,318310 = 3,28090' engl. = 157,49

qcm

= 4,88252 ——

lg-L = 0,7073541 —2

2g

lg Yg = 0,4958079 lg V2~g = 0,6463229 lg| j/2g = 0,4702306 lg Tr = 0,4971499 lg 2 TT = 0,7981799

lg —= 0,5028501 —1 lg 3,28090 = 0,5159930 lg 157,49 = 2,1972530

qm

kg

0,0703083    ⁰

qcm

lg 4,88252 = 0,6886441

lg 0,0703083 = 0,8470066 — 2

Tabelle 2.

Werte von und lglA

0,0010000    0,0000000 — 3

0,0028284    0,4515450 — 3

0,0051962    0,7156820 — 3

0,0080000    0,9030900 — 3

0,011180 0,014697 0,018520 0,022627

0,027000

0,0484550 — 2 0,1672270 — 2 0,2676470 — 2 0,3546350 - 2 0,4313638 — 2

0,5000000 — 2

lg

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

0,19

0,20

0,036483

0,041569

0,046872

0,052383

0,058095

0,064000

0,070093

0,076368

0,082819

0,089443

0,5620891 — 2 0,6187718 — 2 0,6709151 — 2 0,7191920 — 2 0,7641370 — 2 0,8061800 — 2 0,8456734 — 2 0,8829088 — 2 0,9181304 - 2

0,9515450 -2

ET¹

-a

hf

ig

0,21

0,22

0,23

0,24

0,25

0,26

0,27

0,28

0,29

0,30

0,31

0,32

o,33

o,34

o,35

0,36

o,37

0,38

o,39

0,40

0,41

0,42

0,43

o,44

0,45

0,46

o,47

0,48

o,49

0,50

0,51

0,52

o,53

o,54

o,55

0,56

o,57

0,58

o,59

0,60

0,096234

0,10319

o,no30

o,h758

0,12500

o,i3257

0,14030

0,14816

0,15617

0,16432

0,17260

0,l8l02

0,18957

0,19825

0,20706

0,21600

0,22506

0,23425

0,24355

0,25298

0,26253

0,27219

0,28197

0,29186

0,30187

0,31199

0,32222

0,33255

0,34300 . 0,35355 0,36421 0,37498

0,38143

0,39682

0,40789

0,41907

0,43034

0,44177

0,45319

0,46476

0,9833290 " 2

0,0136341 — i 0,0425917— i 0,0703168 — i 0,0969100 — i 0,1224600 — i 0,1470457 — 1 0,1707370 — i

0,6935970 — i

0,2156820 — i

0,2370426 — i 0,2577250— i 0,2777709 — i 0,2972184 — i 0,3161020 — i 0,3344538 — -0,3523026 — i 0,3696754 — i 0,3865969— i 0,4030900 — i

0,4191759 — i 0,4348740 — i 0,4502028 — i 0,4651791 — i 0,4798188 — i

0,4941367— i

0,5081469 — i 0,5218618 — i 0,5352942 — i

0,5484550 — -0,5613553 — -

0,5740050 — i 0,5814139— i

0,5985907 — -

0,6105441 — i 0,6222820 — i 0,6338124 — i 0,6451920 — i 0,6562780 — i 0,6672270 — i

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0,78

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0,82

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0,52405

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0,67567

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0,70217

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0,72900

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0,75617

0,76987

0,78366

o,79753

0,81148

0,82551

0,83962

0,85381

0,86808

0,88243

0,89676

0,91136

0,92595

0,94060

0,95534

0,97015

0,98504

1,00000

0,6779947 — i 0,6885876 — i 0,6990108 — i 0,7092700— i 0,7193701 — i 0,7293159 — i 0,7391122 — i

0,7487634 — i 0,7582737 — i 0,7676470 — i

0,7768875 — i 0,7859988 — i 0,7949844 — i 0,8038476 — i 0,8125920 — i 0,8212204 — i 0,8297361 — i 0,8381419 — i 0,8464407 — i 0,8546350 — i

0,8627275 — i 0,8707194 — i 0,8786172 — i 0,8864190 — i 0,8941284 — i 0,9017477 - i 0,9092789 — i 0,9167240 — i 0,9240850 — i

0,9313637 — i

0,9385621 — i 0,9456817 — i

0,9526743 — i

0,9596918 — i 0,9665854 — i 0,9734068—i 0,9801575 — i 0,9868391 — i 0,9934528 — i 0,0000000

Sachregister.

für rechtckige vertikale Öffnungen 155, 160. für Überfälle 287. für Schützen 185 bis 193.

501.

534.

A.

Abgerundeter Kanten, Einfluß a. K. auf die Ausflußmenge 185.

Ablenkung der Wasserstrahlen 105.

Adamson, Wassermesser von Siemens u, A. 491.

Aggregatzustände 9.

Alt-Benatek, Turbinenanlage der Domäne A. 528.

Anforderungen an einen Wassermesser für Wasserleitungen 490.

Ansatzröhren, cylindrische und prismatische 194, 252.

„ konische 200, 251.

Antrieb der Kraft 216.

Auftrieb 45.

Aufziehen, Kraftanwendung zum A. der Schützen 46.

Arbeit, Begriff der A. 19.

Arbeit, Prinzip von der Erhaltung der A. 19.

Arbeitsleistung des Menschen, des lebendigen und des mechanischen Pferdes 22.

Ausbreitung eines auftreffenden Wasserstrahles 240.

Ausdehnung des Wassers 14.

Ausfluß aus einer Öffnung im Boden eines Gefäßes 113 bis 126.

Ausfluß aus einer Öffnung in der Seitenwand eines Gefäßes 126.

Ausfluß aus einer Öffnung ohne seitliche Kontraktion 168.

„ bei Überfällen 258.

Ausfluß unter veränderlicher Druckhöhe 139, 467.

Ausflußkoeffizient « 150.

Ausflußmenge, Einfluß abgerundeter Kanten 185.

„    Wirkliche A. bei unvoll

ständiger und unvollkommener Kontraktion 166.

„    siehe auch Überfälle, Röhren,

Kanäle.

B.

Baugrund, künstliche Befestigung des B.

Befestigung, künstliche B.des Baugrundes, allgemeine Regeln 501 bis 509. Bekleidungen, Schutzb. der Kanalwände.

Bellegarde, Turbinenanlage in B. 525. Beton, Bereitung des B. 500.

„ Wasserbauten aus B. 521. Betonfundament 507.

Bewegungsgröße 216. Bewegungswiderstand des Wassers in Röhren 355.

Boden, Ausfluß aus dem B. eines Gefäßes 113 bis 126.

Bodendruck einer Flüssigkeit 27. Brünings Tachometer 480.

520.

87.

F.

408.

Flüssigkeitsdruck auf den Boden des Gefäßes 27.

„ auf eine Seitenwand 30.

276.

C.

Chemisch reines Wasser 11.

D.

Dampfbildung 15.

Dämme aus Erde gegen Wasserdruck 520. Darcys Geschwindigkeitsmesser 476. Deplacementschwerpunkt 60.

Dichtigkeit des Wassers 14.

Drehschützen 48.

Druck, Berechnung von Gefäßwänden, die unter hydraulischem D. stehen 77. „ Dämme aus Erde gegen Wasserd.

„ der Flüssigkeit auf den Boden des Gefäßes 27.

„ der Flüssigkeit auf die Seitenwand des Gefäßes 30.

„ des Wassers auf .Schützen und Schleusen 32.

„ Fortpflanzung des D. im Wasser 18. „ Hydraulischer D. 131.

„ lange Mauern gegen sehr hohen Wasserd. 514, 515.

„ Mauern gegen Wasserd. 531. Druckhöhe eines Überfalles 274. Druckhöhenverluste in Rohrleitungen 387 bis 392.

Druckmittelpunkt der horizontalen Wasserpressungen auf eine gekrümmte Fläche 42. Druckmittelpunkt ebener Flächen 35.

„ Graphische Bestimmung der Lage des D. eines Rechtecks 41.

Druckverhältnisse in einer Rohrleitung 395.

E.

Effekt, Absolute Effekte der Wasserkräfte

Einsiedel, Thalsperre bei E. 519. Eintauchung, Größe der Eintauchung 51. Erddümme gegen Wasserdruck 520. Erddruck, Futtermauern gegen E. 510.

„ Mauern aus verschiedenem Material gegen E. 511.

Erhaltung, Prinzip von der E. der Arbeit 19.

Erweiterungen der Röhren 389.

Fall, freier Fall der Wasserstrahlen, Fallgesetze 98.

„ wirkliche Geschwindigkeit fallender Wasserstrahlen unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes 101. Fallgeschwindigkeit, Tabelle 114. Fallgesetze, Graphische Darstellung d. F.' 101.

Fassung und Leitung des Wassers zu den Wasserbauten 586.

Flüsse, Bewegung des Wassers in F.

Flüssigkeitshaut 16.

Formkoeffizient 433.

Fortpflanzung des Druckes im Wasier 18. Füllung von Schiffahrtsschleusen 205. Fundierungsmethoden 501 bis 508. Futtermauern gegen Erddruck 510.

Gefälle, Vermessung des G. 480. Gefällverhältnisse der Kanäle 532. Gefällverlust durch Flußkrümmungen 452. Gefälle siehe auch Druckhöhe. Gefäßwände, Berechnung von G. die unter hydraulischem Druck stehen 77. Gefrierpunkt 13.

Gerinne, Einfluß der G. bei Schützen-öffnungen 189.

„ Einfluß der G. bei Überfällen

„    Konstruktion der G. 535.

„    Teichg. 554.

Geschwindigkeiten an verschiedenen Stellen des Fluß- oder Kanalquerschnittes 410, 413, 445 bis 448, 451.

Geschwindigkeit, Wahl der Wasserg. und der Profildimensionen 458. „    Wirkung einer Wassermasse

durch ihre G. 91.

„    siehe auch Ausfluß und

mittlere G.

Geschwindigkeitshöhe 91.

456.

Grundablaß 326. Grundeisbildung 14. Grundschleusen 181. Grundwehr 326. Güterverhältnis 86. Gyrometer 25.

456.

Radius 356, 409.

452.

432.

Geschwindigkeitskoeffizient y 148. Geschwindigkeitskurven 448, 454 bis 457. Geschwindigkeitsmesser 470 bis 480, 490. Geschwindigkeitsparabel, vertikale G. 414, 445, 449, 457. „    horizontale G. 446,

Gesetze der Wasserläufe 453.

Gewicht, Spezifisches G. y 43.

„ Wirkung einer Wassermasse durch ihre G. 85.

Gleichgewicht schwimmender Körper 60, 63. Gleichgewichtszustand einer Flüssigkeit 23. Graphische Bestimmung der Lage des Druckmittelpunktes eines Rechteckes 41. Graphische Bestimmung der Stabilität 72. „    Darstellung der aus Schützen-

öffnungen fließenden Wassermengen 179. „    „    der Fallgesetze 101.

„    „    statischer und dyna

mischer Momente 306. „    Ermittelung der Leistungsfähig

keit eines Kanalquerprofiles 432. „    Tafel zur Formel von Gan-

guillet- Kutter 431. .

H.

Hallein, Turbinenanlage 527.

Hähne, Druckhöhenverlust durch H. 391. Harlacher Flügel 472.

Höhenmessung 15.

Horizontale Geschwindigkeitsparabel 446,

Hydraulische Presse 19, 20.

„ Widder 94, 405. Hydraulischer Druck 131.

„ Mörtel 499.

Hypsothermometer 15.

Jsotachen 448, 454.

Kaliberhahn 494.

Kanal, Einteilung eines K. in Ober- und Untergraben 530.

Kanäle, Bedingungen für die Anlage der K. 529.

„ Bewegung des Wassers in K. 408.

„ Gefüllverhältnisse der K. 532

„ Regulierschützen der K. 533.

Kanalquerprofil, Leistungsfähigkeit eines K. 432.

Kanalwände, Schutzbekleidungen d.K. 534.

Katzensprung 393.

Kegel, Schwimmender K. 64, 74.

Klappenwehre, praktische Ausführung der K. 544.

Klappenwehre, praktische Ausführung der selbstthätigen K. 549.

Kommunizierende Röhren 29.

Kommunizierend,    Flüssigkeitsbewegung

zwischen zwei k. Gefäßen 203.

Kontraktion, Mittel zur Beseitigung oder Verminderung der K. 209.

Kontraktionskoeffizient * 150.

Korrektionskoeffizienten 148.

Kraft, Begriff einer K. 92.

Kraftanwendung zum Aufziehen der Schützen 46.

Krümmungen, Gefällverlust durch Flußkr.

L.

Lapoints Meßcylinder 473.

Lebendige Kraft, Begriff der l. K. 92.

„    „ Prinzip der l. K. 92.

Leidenfrostsche Phänomene 17. Leistungsfähigkeit eines Kanalquerprofiles

Leitung, Fassung und L. des Wassers zu den Wasserbauten 536.

Logarithmographische Tafeln v. Frank 435.

Luftblasen-Schwimmer 479.

Luftwiderstand, wirkliche Geschwindigkeit fallender Wasserstrahlen unter Berücksichtigung des L. 101.

546.

451.

M.

Maßkoeffizient 433.

Mauern gegen Erd- und Wasierdruck 511.

„ großer Reservoirs 515.

Mensch, Arbeitsleistung des M. 22. Meßcylinder von Lapoint 473. Messungen, Wassermessungen 461. Metazentrum 61, 70.

Mississippi 448, 482.

Mittlere Geschwindigkeit 410, 451.

„    „    Berechnung der m.

G. aus gemessenen Ges chwindigkeiten 442. „    „    Bestimmung der m.

G. eines Flusses, wenn die größte Geschwindigkeit an der Oberfläche ist 450. Mittlere Horizontalgeschwindigkeitsparabel 446.

N.

Nadelwehre, praktische Ausführung der N.

Neukirch, pneumatische Gründung von Fr. N. 508.

Nutzleistung der Wasserkräfte in Pferdestärken 90.

O.

Oberflächengeschwindigkeit v₀, u0z w₀,410,

Prinzip der lebendigen Kraft 92.

Prinzip von der Erhaltung der Arbeit 19. Profildimensionen 432, 459.

Profilradius R. 409, siehe auch hydraulischer R.

Puzzolanzement 499.

R.

Radius, hydraulischer 356, 409.

Reaktion einer ausströmenden Flüssigkeit 215.

„ Wirkung einer Wassermasse durch R. 92.

Reaktionsarbeit beim Segnerschen Wasserrade 219.

Reaktionsturbine 93.

Regulierschützen der Kanäle 533. Reibungskoeffizient 357.

Reservoirs von Passy 521.

Röhren, Bewegung des Wassers in R. 354 bis 386.

„    Druckhöhenverluste 387.

„    Druckverhältnisse in R. 395.

„    Versuche über die Bewegung

des Wassers in R. 363.

„    Zusammenhang zwischen Q,    d

und v 372.

Rost, der liegende R. 505.

P.

S.

Sandschüttungen Versuche mit S. 502. Sandschüttungen 504.

Saugende Wirkung in Röhren sich bewegender Wassermassen 397. Saugheber 96.

36

Paradoxon, hydrostatische P. 28. Pascalsche Wage 28.

Passy, Reservoirs von P. 521.

Perlen, Turbinenanlage 522.

Pfahlrost 506.

Pferdestärke 20-23.

Physik des Wassers 9.

Physikalische Eigenschaften des Wassers 11. Pitots Geschwindigkeitsmesser 475. Pneumatische, die pn. Gründung von Fr. Neukirch 508.

Poncelet 187.

Portlandzement 499.

Portlandzement - Stampfbeton, siehe auch Turbinenanlagen 500.

Presse, hydraulische Pr. 19, 20.

Meißner, Hydraulik I 2. Auflage.

„ Theorie 401.

Saugwidder, doppelt wirkender S. 403. Schaffhausener Wasserwerk, Wehr des Sch. W. 319.

Schärfewinkel 238.

Schieber, Druckhöhenverlust durch Sch. 390. Schiefe Ebene, Bewegung des Wassers auf einer sch. E. 103. Schiffahrtsschleusen, Füllung von Sch. 205. Schiffsdurchlaß 326.

Schleusen, Druck des Wassers auf Sch. 32.

Schleusen, Füllung von Schiffahrtsschleusen 205.

Schleusenwehre, Ausfluß aus Sch. 181. „    praktische Ausführung

der Sch. 543.

188.

160.

Schwellenrost 505.

Schwerpunkt, Deplacementsch 60, 70. „ Systemsch. 60.

schwimmender Körper 62.

bis 504.

Trapezförmiger Kanalquerschnitt 459. Turbine, Wasserleitung zu einer T. 394. Turbinenanlage Alt-Benatek 528.

„    Bellegarde 525.

„    Fassung und Leitung des

.Wassers zu einer T. 536. „    Hattein 527.

„    Perlen 522.

Schmelzwärme 13.

Schneekrystalle 12.

Schutzbekleidungen der Kanalwände 534. Schützen, Drehsch. 48.

„    Druck des Wassers auf Sch. 32.

„    Einfluß abgerundeter Kanten

auf die Ausflußmenge 185.

„ Kraftanwendung zum Aufziehen der Sch. 46.

„ Reguliersch. der Kanäle 533.

„ ce durch den Motor beeinflußt

„ a für schiefstehende Sch. 187. Schützenöffnung, Einfluß der Breite und Höhe der Sch. auf «

Einfluß der Wanddicke auf a 162.

Einfluß der Wandstellung auf cc 164. Einfluß eines Gerinnes auf « 189.

Graphische Darstellung der aus Sch. fließenden Wassermenge 179.

« 186.

Schützenzug, Holzstärke 49.

„ Wirkliche Durchflußmenge 170.

Schwimmbüchse 480.

Schwimmer 474, 479.

Schwimmtiefe 51, 53.

Segnersches Wasserrad 92, 219. Seitenwand, Ausfluß 126.

„ Flüssigkeitsdruck 30. Seitenstoß, der maximale S. 230. Senkungskurve 340, 344.

Siedepunkt 15, 16.

Siemens Wassermesser von S. und Adamson 491.

Simpsonsche Regel 51.

Spezifisches Gewicht y 43, 53. Spundwände 507.

Sphäroidale Zustand 17.

Stabilität, Graphische Bestimmung der St. 72.

Stauhöhe 328.

Staukurve 331, 344.

Steighöhe, Theoretische St. der Wasserstrahlen 248.

„ Wirkliche St. der Wasserstrahlen 249.

Stoßarbeit, maximale St. 235.

Stoß des Wassers gegen ebene und gekrümmte Flächen 220 bis 236.

„ Unterschied zwischen dem St. bei festen und demjenigen bei flüssigen Körpern 241.

Stoßwirkung bei plötzlicher Hemmung der Bewegung von Wassermassen 404. Stromquadrant 480.

Systemschwerpunkt 60.

T.

Tachometer 25, 480.

Tauchtiefe 51, 53.

Teiche 553.

Teichgerinne 554.

Thalsperre bei Einsiedel 519.

Theoretische Ausflußgeschwindigkeit und -menge 113.

„ Steighöhe der Wasserstrahlen 249. Thermobarometer 15.

Thonarten, Tragfähigkeit der Th. 499. Tragfähigkeit der Thonarten 502.

„    „ Sandschüttungen 502

U.

274.

317.

Einteilung der Ü. 258. Formeln für « 287.

„    „ die Ausfluß

541.

466.

Segnersches W. 92, 219. Zuppingersches W. 318.

36*

Überfälle, angenäherte Berechnung der Wassermenge bei vollkommenen Überfällen 295.

„ Bestimmung der Wehrkronenhöhe 321.

„ Boileaus Versuche 268.

„ Castels Versuche bei vollkommenen Ü. 265.

„    Cipolettis Versuche 282.

„    Druckhöhe eines Überfalles

Dubuats Formel 261, 287. Einfluß der Form und Stellung der Krone oder Schwelle bei vollkommenen Ü. 271.

Einfluß der Gerinne bei Ü. 276.

„    „ Wasserräder auf die

vor denselben befindlichen Ü.

menge 289.

Francis' Versuche 281. 314. Freses Versuche 283.

Gesetze 260.

in den Seitenwänden eines

Kanales 294.

„ Lesbros' Versuche 262.

„ mit schiefen Wehren 277.

„    Stearns Versuche 279.

„    Wehre mit geneigtem Fach

baume 278.

„ Weisbachs Versuche 268. Überfallwehre, prakt. Ausführung der Ü.

Überfälle, unvollkommene 307.

„    unvollkommene,Berechnung der

Durchflußmenge bei u. Ü. 311.

„ Boileaus Versuche 308. „ Lesbros' Formel und Versuche 307.

Überschmelzung 12.

Unvollständige und unvollkommene Kontraktion 166.

B.

Ventile, Druckhöhenverlust durch V. 391. Venturi - Wassermesser 491.

Verengungen in Röhren 390. Vermehrung der Ausflußmenge 209. Vermessung des Gefälles 480.

Verteilung konstanter Wassermengen durch den Wasserzoll 493. „    „ Wassermengen durch

einen Kaliberhahn 494. Vertikale Geschwindigkeitsparabel 414, 445, 449, 457.

Vollkommene Überfälle, siehe Übers. 258. Vorkommen des Wassers 10.

W.

Wage mit Kugel 480.

Pascalsche W. 28.

Wanddicke, Einfluß der W. auf « 162. Wandstärke der unter hydraulischem Druck stehenden Gefäße 77.

Wasserdampf 15.

Wasserdruck siehe Druck.

Wasserkräfte, Absolute Effekte 87.

„ Nutzleistung 90. Wasserleitung zu einer Turbine 394. Wassermengenkurve 434.

Wassermesser, Anforderungen an einen solchen 490.

„ von Siemens und Adam-son 491.

„    Venturi-W. 491.

Wassermessungen durch Beobachtung des sinkenden Wasserspiegels in einem Gefäße 467.

„ durch Geschwindigkeitsmesser 470.

„    „ Schützen u. Wehre

„    „ Wasserzoll 463.

Wasserrad, Gleichgewichtslage des Wassers im W. 27.

Wassersammler 553. Wasserspiegelgestalt 344. Wassersprung 330, 333.

247.

544.

543.

348.

249.

Wasserstrahlen, Ablenkung der W. 105.

„ Formveränderung der W.

„    Steighöhe 248, 249.

„    Stoß der W. 220 bis 236.

„    Wurf der W. 106.

Wasservermessung des Misfissippi 482. Wasserzoll 463, 493. WehrdesSchaffhausenerWasserwerkes319. Wehre, Bedingungen für die Anlage der W. 529.

„ mit geneigtem Fachbaume 278.

„ Praktische Ausführung der einfachen W. 541. „    „    „ derKlappenw.

„ „Nadelw.546 „ „ Schleusenw.

tt    n    tf „ selbst

thätiger Klapp enw. 549.

„ Richtung und Lage der W. 320. „    Überfülle mit schiefenWehren 277.

„    siehe auch Stauhöhe, Staukurve,

Wassermessungen. Wehrkronenhöhe 321.

Wellen, Entstehung und Form der W.

Wellensysteme 351.

Widder, hydraulischer W. 94, 405.

Widerstand, Bewegungsw. des Wassers in Röhren 355.

„ gegen die Fortbewegung von Körpern im Wasser 236.

Widerstandskoeffizient C 149, 357.

Widerstandsvorzahl 357.

Wirkliche    Ausflußgeschwindigkeit und

-menge 148.

„    Ausflußmenge bei unvoll

ständiger oder bei unvollkommener Kontraktion 166.

„    Durchflußmenge durch einen

vertikalen Schützenzug 170.

„    Steighöhe der Wasserstrahlen

Wirkungen in Röhren sich bewegender Wassermassen 397.

Wirkung bewegterWassermassen 85 bis97. Woltmannsche Flügel 470.

Wurf der Wasserstrahlen 106.

3.

Zement 499.

Zuppingers Wasserrad 318. Zusammendrückbarkeit des Wassers 15. Zusammensetzung des Wassers 11.

a.

F.

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