WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

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P. P.

Meinen umfangreichen Verlag auf dem Gebiete der Mathematik, der Naturwissenschaften und Technik nach allen Richtungen hin weiter auszubauen, ist mein stetes, durch das Vertrauen und Wohlwollen zahlreicher hervorragender Vertreter dieser Gebiete von Erfolg begleitetes Bemühen, wie mein Verlagskatalog zeigt, und ich hoffe, daß bei gleicher Unterstützung seitens der Gelehrten und Schulmänner des In- und Auslandes auch meine weiteren Unternehmungen Lehrenden und Lernenden in Wissenschaft und Schule jederzeit förderlich sein werden. Verlagsanerbieten gediegener Arbeiten- auf einschlägigem Gebiete werden mir deshalb, wenn auch schon gleiche oder ähnliche Werke über denselben Gegenstand in meinem Verlage erschienen sind, stets sehr willkommen sein,'

Unter meinen zahlreichen Unternehmungen mache ich ganz besonders auf die von den Akademien der Wissenschaften zu Göttingen, Leipzig. München und Wien herausgegebeneEneyklopädie der Mathematischen Wissenschaften aufmerksam, die in 7 Bänden die Arithmetik und Algebra, die Analysis, die Geometrie, die Mechanik, die Physik, die Geodäsie und Geophysik und die Astronomie behandelt und in einem Schlußband Geschichte, Philosophie und Didaktik besprechen wird. Eine französische Ausgabe, von französischen Mathematikern besorgt, hat zu erscheinen begonnen.

Weitester Verbreitung erfreuen sich die mathematischen und naturwissenschaftlichen Zeitschriften meines Verlags, als da sind: Die Mathematischen Annalen, die Bibliotheca Mathematiea, Zeitschrift für Geschichte der Mathematischen Wissenschaften, das Archiv der Mathematik und Physik, die Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, die Zeitschrift für Mathematik und Physik, Organ für angewandte Mathematik, die Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht, die Mathematisch-naturwissenschaftlichen Blätter, die Monatshefte für den naturwissenschaftlichen Unterricht aller Schulgattungen, die Geographische Zeitschrift, das Archiv für Rassen- und Gesellschafts-Biologie, ferner Himmel und Erde, illustrierte naturwissenschaftliche Monatsschrift u. a.

Seit 1868 veröffentliche ich: „Mitteilungen der Verlagsbuchhandlung B. G. Teubner“. Diese jährlich zweimal erscheinenden „Mitteilungen“, die in 31000 Exemplaren im In- und Auslande von mir verbreitet werden, sollen das Publikum, das meinem Verlage Aufmerksamkeit schenkt, von den erschienenen, unter der Presse befindlichen und von den vorbereiteten Unternehmungen des Teubnerschen Verlags durch ausführliche Selb stanzeigen der Verfasser in Kenntnis setzen. Die Mitteilungen werden jedem Interessenten auf Wunsch regelmäßig bei Erscheinen umsonst und postfrei von mir übersandt. Das ausführliche „Verzeichnis des Verlags von B. G. Teubner auf dem Gebiete der Mathematik, Naturwissenschaften, Technik nebst Grenzwissenschaften“ 101. Ausgabe, mit eingehender systematischer und alphabetischer Bibliographie und einem Gedenktagebuch für Mathematiker, 10 Bild haltend [CXXXI und postfrei zur

Leipzig, Pos

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J. A. SERRET

LEHRBUCH

DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

NACH AXEL HARNACKS ÜBERSETZUNG

DRITTE AUFLAGE

NEU BEARBEITET VON

GEORG SCHEFFERS

DRITTER BAND

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN UND VARIATIONSRECHNUNG

MIT 63 FIGUREN IM TEXT

LEIPZIG

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER

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ALLE RECHTE,

EINSCHLIESZEICH DES ÜBERSETZÜNGSRECHTS, VORBEHALTEN.

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Vorwort.

In viel stärkerem Maße als die beiden ersten Bände wurde dieser dritte einer gründlichen Umarbeitung unterworfen. Nachdem in den früheren Bänden durchweg eine reinliche Scheidung zwischen den Betrachtungen im reellen und imaginären Gebiete ausgeführt worden war, ergab sich die Notwendigkeit, die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen zunächst im reellen Bereiche vorzutragen. Auf diese Weise wurde erreicht, daß man nun leicht aus allen drei Bänden des Werkes diejenigen Kapitel herausfindet, in denen das Imaginäre vermieden wird. Dies ist dem jungen Studierenden, der noch keine Funktionentheorie kennt, erwünscht. Außerdem dürfte es auch im-Hinblieke auf die Anwendungen auf Probleme der Mechanik und Physik gerechtfertigt sein, daß die reelle Theorie, für sich entwickelt wird.

Es erschien ferner erwünscht, auch die auf die Anwendung der infinitesimalen Transformationen beruhenden Lieschen Integrationsmethoden heranzuziehen, da sie an theoretischer Wichtigkeit mit den Methoden, die sich an die Multiplikatoren anschließen, mindestens auf gleicher Stufe stehen, praktisch aber ihnen überlegen sind. Ansätze dazu fanden sich schon in der zweiten Auflage, und die neue Bearbeitung entwickelt diese Theorien soweit, als über den Begriff der eingliedrigen Gruppe nicht hinausgegangen zu werden braucht. Da aber hierbei die Fülle des Stoffes zu einer knappen Darstellung nötigte, ist dafür Sorge getragen worden, daß die Nummern, die von den Lieschen Methoden handeln, beiseite gelassen werden können.

Im übrigen darf wohl ein Fortschritt auch darin erblickt werden, daß die neue Bearbeitung großes Gewicht auf schärfere Definitionen der Begriffe legt, so z. B. des Begriffes der singulären Lösungen, der auf den Begriff singulärer Elemente (x, y, y') usw. zurückgeführt wird. Ferner ist melireres neu aufgenommen worden, so die Cauchysche Darstellung der Integration eines d’Alembertschen Systems im allgemeinen Falle, die Integration vollständiger Systeme und im Anschlüsse hieran auch der Jacobische Multiplikator mit dem Prinzipe des letzten

Vorwort.

IV

Multiplikators. Die Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung wird jetzt auch nach der Cauchyschen Methode unter grundsätzlicher Benutzung des Lieschen Begriffes der charakteristischen Streifen dargestellt, und ferner wird, wenn auch nur kurz, auf die Mongeschen Differentialgleichungen eingegangen.

Die Reihenfolge des Stoffes ist, wie es übrigens in der Natur der Sache liegt, im wesentlichen die alte geblieben. An den Anfang wurde aber ein orientierendes Kapitel über die verschiedenen Arten von Differentialgleichungen gesetzt. Die Anzahl der Beispiele ist größer geworden, allerdings immer noch nicht so groß, wie es eigentlich zu wünschen wäre. Fast alle in der zweiten Auflage enthaltenen Beispiele kehren wieder, zum Teil an anderen Stellen, wo sie besser am Platze sind.

Da das Buch nicht gar zu stark werden sollte, mußte vom früheren Inhalte etwas geopfert werden. Ich habe in der Hauptsache nur einige Ausführungen über die Berechnung bestimmter Integrale und die Summation einer unendlichen Reihe mittels einer Differentialgleichung fortgelassen, die in der Tat einen nur episodenhaften Charakter hatten, und außerdem die Betrachtungen über partielle Differentialgleichungen höherer Ordnung. Dies glaube ich wohl verantworten zu können in der Erwägung, daß z. B. die neugebrachte Theorie der vollständigen Systeme zunächst viel wichtiger ist, daß ferner die partiellen Differentialgleichungen höherer Ordnung eigentlich den Rahmen eines Lehrbuches für die Studierenden der drei ersten Semester überschreiten, und daß schließlich auch diejenigen Entwicklungen, die bisher darüber gebracht wurden, doch immer nur Einzelheiten gaben. Den von Harnack herrührenden Anhang „Zur Integration der partiellen Differentialgleichung in der Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen“ durfte ich fortlassen, da er sich im wesentlichen mit seiner Abhandlung „Anwendung der Fourierschen Reihe auf die Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen“ im 21. Bande der Mathematischen Annalen, S. 305—326, deckt und daher allgemein zugänglich ist.

Auch das letzte Kapitel, dem jetzt übrigens eine bescheidenere Überschrift gegeben worden ist, erfuhr eine Umarbeitung, hat aber den Inhalt in demselben Umfange wie früher behalten. Die zweite Auflage ließ hier die Definition der Extremwerte von Integralen vermissen, die jetzt gebracht wird. Um dabei Schwierigkeiten zu umgehen, die sich bei den Integralen mit veränderlichen Grenzen ergeben, wurden solche Integrale mittels geeigneter Substitutionen in Integrale mit festen Grenzen verwandelt..

Yrorwort.

Man wird vielleicht zweifeln, ob das Buch nun noch als $m*efeehes bezeichnet werden darf. Da aber der alte Text auch der neuen Bearbeitung als Leitfaden diente, wobei aus ihm fast alle Beispiele übernommen wurden, und da dieser Band — wie ich hoffe — mit den beiden ersten einheitlich zusammenhängt, dürfte es dem Buche doch wohl gestattet sein, den alten Automanien als Ehrenschild weiterzuführen.

Wie im ersten und zweiten Bande habe ich auch in diesem dritten alle Figuren neu gezeichnet und photomechanisch übertragen lassen. Ein ausführliches alphabetisches Sachregister ist auch dieses Mal beigegeben.

Dies Vorwort ist schon lang genug, so daß ich auf die Mängel meiner neuen Bearbeitung, soweit sie mir zu Bewußtsein gekommen sind, hier nicht auch noch eingehen will. Immerhin bitte ich wie im Vorworte zum zweiten Bande, darauf Rücksicht nehmen zu wollen, daß ich versucht habe, mich soweit möglich an die bisherigen Bearbeitungen anzuschließen. Man wolle also dies Buch nicht an sich, sondern in Vergleichung mit seinen früheren Auflagen beurteilen. Auf zwei Punkte muß aber doch mit Rücksicht auf Äußerungen in Rezensionen eingegangen werden: Weshalb die in der zweiten Auflage am Schlüsse hinzugefügten literarischen Hinweise fortgelassen worden sind, wurde von mir schon früher begründet, aber in Besprechungen des Werkes beanstandet. Deshalb sei bemerkt, daß auch deshalb darauf verzichtet werden mußte, weil die Bände sonst noch umfangreicher geworden wären; man möge bedenkeu, daß es nicht geringe Schwierigkeiten machte, trotz der Einschaltung vieler neuer Dinge den alten Umfang einigermaßen beizubehalten. Ferner hoffte ich seinerzeit, dem dritten Bande geschichtliche Nachweise hinzufügen zu können. Aber das hätte eine bedeutende weitere Verzögerung der Ausgabe dieses Bandes zur Folge gehabt, die ich im Hinblicke darauf, daß die zweite Auflage längst vergriffen ist, nicht verantworten konnte.

Schließlich erwähne ich noch dankbar das mir immer gezeigte Entgegenkommen des Verlagshauses und die treue, unauffällige und selbstlose Kleinarbeit, die darin liegt, daß mein werter Freund und Kollege Dingeldey in Darmstadt auch dieses Mal eine Korrektur mit gelesen hat.

Georg Scheffers

Steglitz, im April 1909.

Inhal t. h

Erstes Kapitel.

Übersieht über die Arten von Differentialgleichungen.

§ 1. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 661. Gewöhnliche Differentialgleichung rrer Ordnung. — 662. System rter Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen.

—    663. Zurückführung eines Systems von gewöhnlichen

1—17

17—20

20—26

26—29

30

30—36

36—55

Differentialgleichungen auf ein System erster Ordnung. — 664. Reduktion der Systeme erster Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. — 665. Normalform eines Systems von gewöhnlichen Differentialgleichungen. — 666. Geometrische Deutung einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung. — 667. Geometrische Deutung eines aus zwei Gleichungen bestehenden Systems in der Normalform. — 668. Geometrische Deutung eines allgemeinen Systems in der Normalform.........

§ 2. Partielle Differentialgleichungen. 669. Partielle Differentialgleichungen und Systeme von solchen Gleichungen. — 670. Beispiele. . . . ...........

§ 3. Totale Differentialgleichungen. 671. Systeme von totalen Differentialgleichungen. — 672. Beispiele ....

§ 4. Nachträgliche Bemerkungen. 673. Die Hauptaufgabe.

—    674. Integration, Quadratur, Existenzbeweise. —

675. Einige Bezeichnungen...............

Zweites Kapitel.¹ 2)

Existenzbeweise im reellen Bereiche.

§ 1. Vorbereitende Bemerkungen. 676. Verwandlung von y — f(x, y) in eine totale Differentialgleichung. — 677. Verwandlung der totalen Differentialgleichung in ein System

von zwei gewöhnlichen Differentialgleichungen.....

§ 2. Existenzbeweis beim Systeme dx : dt—X, dy:dt = Y. 678. Voraussetzungen. — 679. Ersatz einer Integralkurve durch ein Polygon. — 680. Eine endlose Folge von Polygonen. — 681. Grenzlage der Endpunkte aller Polygone. 682. Vervollständigung der Betrachtung. — 683. Existenz eines Systems von Lösungen. — 684. Die Lösungen als Funktionen der Anfangswerte. — 685. Ein besonderer Fall.

§ 3. Existenzbeweisbei der Gleichungy' = f(x,y). 686. Anwendung der Ergebnisse auf eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung in aufgelöster Form. — 687. Die Lösung als Funktion der Anfangswerte.........

55—58

§ 4. Existenzbeweis bei Systemen in der Normalform.

688. Système, in denen die unabhängige Veränderliche nicht auftritt. — 689. Systeme in der Normalform. —

690. Betrachtung eines besonderen Falles. — 691. Nur ein Lösungensystem mit vorgeschriebenen Anfangswerten. —

59-72

692.    Die Ableitungen der Lösungen nach den Anfangswerten ........................

§ 5. Existenzbeweise für unentwickelte Funktionen.

693.    Vorbemerkungen. — 694. Eine unentwickelte Funktion

von einer Veränderlichen. — 695. Die Ableitung der unentwickelten Funktion. — 696. Eine unentwickelte Funktion von mehreren Veränderlichen. — 697. Mehrere unentwickelte Funktionen. — 698. Die zu m gegebenen Funktionen inversen Funktionen. — 699. Die Ableitungen höherer Ordnung der unentwickelten Funktionen . . . .    73 — 87

§ 6. Existenzbeweis bei allgemeinen Systemen von gewöhnlichen Differentialgleichungen. 700. Lösungen der Differentialgleichung F(x, y, y) = 0. — 701. Lösungen eines Systems erster Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. — 702. Lösungen eines Systems höherer Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. 88—92

Drittes Kapitel.

93

93—115

115—148

Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung.

§ 1. Allgemeine und singuläre Lösungen. 703. Allgemeine Lösung der Differentialgleichung y — f(x, y). — 704. Integrationskonstante. — 705. Integral. — 706. Verschiedene Formen der allgemeinen Lösung, der Integrationskonstante und des Integrals. — 707. Verallgemeinerung für den Fall einer Differentialgleichung F (sc, y,y') = 0. — 708. Singuläre Lösungen. — 709. Beispiel. — 710. Die Einhüllende einer Schar von Integralkurven als singuläre Integralkurve. — 711. Diskriminantenort der Differentialgleichung F(x, y, y) = 0. — 712. Singuläre Integralkurven als Grenzlagen von regulären Integralkurven......

§ 2. Integration einiger Klassen von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung. 713. Vollständige Differentiale, insbesondere getrennte Veränderliche. — 714. Einführung von neuen Veränderlichen. — 715. Homogene Differentialgleichungen. — 716. Lineare Differentialgleichungen. — 717. Differentialgleichungen, die auf lineare zurückgeführt werden können. — 718. Allgemeine Riccatische Differentialgleichungen. — 719. Die spezielle Riccatische Differentialgleichung. — 720. Clai-rautsche Differentialgleichungen. — 721. Beispiele von Clairautschen Differentialgleichungen. — 722. Einführung der Ableitung y als neuer unabhängiger Veränderlicher. — 723. Differentialgleichungen, die in beiden Veränderlichen linear sind. .....................

§ 3. Multiplikatoren gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung. 724. Existenzbeweis für

die Multiplikatoren. — 725. Multiplikator einer homogenen Differentialgleichung. — 726. Multiplikator einer linearen Differentialgleichung. — 727. Ermittlung eines Multiplikators aus seiner geometrischen Deutung. —

728. Differentialgleichungen mit Multiplikatoren von gegebener Form. — 729. Differentialgleichung einer Isothermenschar. — 730. Die Eulersche Differentialgleichung. 148—164 § 4. Infinitesimale Transformationen gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung. 731.Gruppeneigenschaft der Lösungen des Systems dx-.dt=X, dy : dt — Y. — 732. Geometrische Bedeutung der Gruppeneigenschaft. — 733. Beispiele. — 734. Eingliedrige Gruppe und ihre infinitesimale Transformation. — 735. Symbol der infinitesimalen Transformation. — 736. Die bei der Gruppe invarianten einfach unendlichen Kurvenscharen. —

737. Kennzeichen der Invarianz einer einfach unendlichen Kurvenschar. — 738. Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung, die eine bekannte infinitesimale Transformation gestattet. — 739. Beispiele.

—    740. Anwendung auf das Problem der isogonalen Tra-jektorien. — 741. Bedingung dafür, daß die Differentialgleichung eine infinitesimale Transformation gestattet. —

742.    Neue Veränderliche in einer eingliedrigen Gruppe. —

746. Erweiterte infinitesimale Punkt-

743.    Integration durch Einführung kanonischer Veränderlicher. — 744. Beispiele. — 745. Erweiterte Punkt-Transformationen. —

164—218

Transformationen. — 747. Bedingung für eine infinitesimale Transformation der Differentialgleichung F(x,y,y') = 0.

§ 5. Projektive Transformationen und Jacobische Differentialgleichungen. 748. Projektive Transformationen einer Veränderlichen. — 749. Nochmals die allgemeine Riccatische Differentialgleichung. — 750. Nochmals die linearen Differentialgleichungen. — 751. Infinitesimale projektive Transformationen einer Veränderlichen.

752. Projektive Transformationen von zwei Veränderlichen.

—    753. Die Jacobische Differentialgleichung. — 754. Infinitesimale projektive Transformationen von zwei Veränderlichen. — 755. Charakteristische Eigenschaft der linearen Transformationen. — 756. Ausführung einer projektiven Transformation auf eine Jacobische Differentialgleichung.

758. Integration der Differentialgleichung Xdy— Ydx= 0, worin X und Y ganze lineare Funktionen sind. — 759. Die typischen Formen der Integralkurven Jacobischer Differentialgleichungen. — 760. Eine Eigenschaft der Integralkurven einer allgemeinen Jacobischen Differentialgleichung..............

—    757. Vereinfachung der Jacobischen Differentialgleichung.

218—248

Viertes Kapitel.

Systeme erster Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen.

§ 1. Systeme in der Normalform. 761. System der Hauptlösungen und allgemeines Lösungensystem. — 762. Integrale. — 763. Verschiedene Formen des allgemeinen Lösungensystems, der Integrationskonstanten und der In-

tegrale. — 764. Geometrische Deutung im Falle zweier abhängiger Veränderlicher. — 765. Einige Integrationsmethoden. — 766. Systeme, in denen die unabhängige Veränderliche nicht yorkommt’. — 767. Eingliedrige Gruppe von Transformationen von n Veränderlichen. — 768.

249—271

272—293

294—308

System von totalen Differentialgleichungen.......

§ 2. Lineare Systeme. 769. Charakteristische Eigenschaft eines linearen homogenen Systems. — 770. Das allgemeine Lösungensystem eines linearen homogenen Systems. — 771. D’Alembertsches System. — 772. Allgemeine Integration eines d’Alembertschen Systems. — 773. Beispiele. — 774. Lineare Systeme. — 775. Eingliedrige Gruppe yon linearen homogenen Transformationen yon n Veränderlichen . . . ...................

§ 3. Allgemeine Systeme erster Ordnung. 776. Allgemeine Lösungensysteme. — 777. Singuläre Lösungensysteme. — 778. Singuläre Lösungensysteme, die durch Einhüllung hervorgehen. — 779. Weitere Ausführung bei Systemen von zwei Differentialgleichungen. — 780. Clai-rautsches System..................

Fünftes Kapitel.

Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung.

309

§ 1.^Differentialgleichungen in aufgelöster Form.

309—328

781. Existenz von Lösungen. — 782. Allgemeine Lösung, Integrationskonstanten und Integrale. — 783. Geometrische Deutung einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung. — 784. Geometrische Deutung einer gewöhnlichen Differentialgleichung rtor Ordnung. — 785. Hilfsatz über linear abhängige Funktionen. — 786. Wesentliche

willkürliche Konstanten...............

§ 2. Differentialgleichungen in allgemeiner Form.—

328—343

§ 3.

787. Allgemeine Lösung. — 788. Singuläre Elemente rteT Ordnung und singuläre Lösungen. — 789. Einhüllende rter Ordnung als singuläre Integralkurven. — 790. Ansatz zur Bestimmung der ein hüllenden singulären Integralkurven. — 791. Ein Beispiel. — 792. Intermediäre Integralgleichungen .....................

Integrati onsmethoden. 793. Wiederholte Quadraturen.

— 794. Gleichungen zwischen y^ und y^r ~ ¹-⁾ allein. —

795.    Gleichungen zwischen y^ und y^r~^ allein. —

796.    Gleichungen, in denen die unbekannte Funktion oder die unabhängige Veränderliche nicht vorkommt. —

797.    Beispiele aus der Theorie der ebenen Kurven. —

798.    Rotationsflächen konstanter Krümmung. — 799. Rotationsflächen konstanter mittlerer Krümmung. — 800. Verschiedene Arten von homogenen Differentialgleichungen. —

801. Differentialgleichungen, die in doppelter Weise homogen sind. — 802. Integration durch Bildung einer Differentialgleichung von höherer Ordnung. — 803. Differentialgleichungen höherer Ordnung, die der Clairaut-schen Gleichung entsprechen. — 804. Beispiele. — 805. Lineare Differentialgleichungen. — 806. Verkürzte lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . .    343—382

§ 4. *) Infinitesimale Transformationen gewöhnlicher Differentialgleichungen höherer Ordnung. 807. Mehrmal erweiterte eingliedrige Gruppe von Punkt-Transformationen. — 808. Beispiele. — 809. Differentialinvarianten. — 810. Differentialgleichungen, die eine eingliedrige Gruppe gestatten. — 811. Berechnung der Differentialinvarianten nullter und erster Ordnung. — 812. Berechnung der Differentialinvarianten höherer Ordnung. — 813. Integration einer Differentialgleichung mit bekannter infinitesimaler Transformation. — 814. Einführung kanonischer Veränderlicher. — 815. Eine Aufgabe über Fußpunktkurven............

. .    382—407

Sechstes Kapitel.

408

419—429

Existenzbeweise im komplexen Bereiche.

§ 1. Analytische Funktionen von mehreren Veränderlichen. 816. Vorbemerkung. — 817. Definition der mono-genen Funktionen von mehreren Veränderlichen. —

818. Verallgemeinerung des Cauchyschen Fundamentalsatzes. — 819. Integrale als Funktionen ihrer oberen Grenzen. — 820. Die monogenen Funktionen als analytische Funktionen. — 821. Eine Vergleichungsfunktion. 408—419 § 2. Existenzbeweis bei Systemen in der Normalform.

822. Partikulare Lösung einer speziellen gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung. — 823. Satz über die Lösungensysteme eines Systems von gewöhnlichen Differentialgleichungen in der Normalform. — 824. Existenz eines Lösungensystems eines Systems von Differentialgleichungen in der Normalform. — 825. Verhalten des Lösungensystems in bezug auf die

Anfangswerte....................

429—435

§ 3. Die übrigen Existenzbeweise.' 826. Unentwickelte Funktionen. — 827. Nachträgliche Bemerkungen. — 828. Lösungen eines allgemeinen Systems erster Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. — 829. Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen höherer Ord-

nung . . . , ....................

435—474

§ 4. Theorie der linearen Differentialgleichungen. 830. Voraussetzungen. — 831. Lösung in der Umgebung einer regulären Stelle. — 832. Analytische Fortsetzung. — 833. Zusammenfassung der Ergebnisse. — 834. Analytische Fortsetzung um einen Pol herum. — 835. Allgemeinere Problemstellung. — 836. Normalform der Differentialgleichung. — 837. Die determinierende Gleichung. — 838. A^ereinfachung des Problems. — 839. Eine besondere verkürzte lineare Differentialgleichung riei Ordnung. — 840. Der Nachweis der Konvergenz. — 841. Das Ergebnis. — 842. Eine besondere verkürzte lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. — 843. Fortsetzung des Beispiels, erster Spezialfall. — 844. Fortsetzung des Beispiels, zweiter Spezialfall. — 845. Darstellung der Lösungen des Beispiels mittels bestimmter Integrale. — 846. Die spezielle Riccatische Gleichung

1) Dieser Paragraph kann überschlagen werden.

§ 5. Nachträge zur Theorie der linearen Differentialgleichungen. 847. Erniedrigung der Ordnung mittels partikularer Lösungen der verkürzten Gleichung. — 848.x) Ableitung desselben Ergebnisses mittels infinitesimaler Transformationen.

Seite

849. Die Determinante bei einer verkürzten linearen Differentialgleichung. —

850.    Anwendung der Integrationsmethode, die bei konstanten Koeffizienten gilt, auf einen anderen Fall. —

851.    Nicht verkürzte lineare Differentialgleichungen mit

konstanten Koeffizienten. — 852. Eine besondere lineare Differentialgleichung.................

475—488

Siebentes Kapitel.

Systeme erster Ordnung von linearen partiellen Differentialgleichungen.

§ 1. Theorie einer linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung. 853. Lineare homogene partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. —

854. Lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. — 855. Homogene Funktionen. — 856. Geometrische Deutung einer linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen. —

857. Beispiele. — 858. Die charakteristischen Streifen. .    489—511

§ 2. Theorie des Jacobischen Multiplikators. 859.Erste Definition des Multiplikators. — 860. Zweite Definition des Multiplikators. — 861. Übereinstimmung beider Definitionen des Multiplikators. — 862. Einfühlung neuer Veränderlicher. — 863. Verwertung bekannter Lösungen. —

864. Prinzip des letzten Multiplikators.........

§ 3. Vollständige Systeme. 865. Unabhängigkeit homogener linearer partieller Differentialgleichungen erster Ordnung. — 866. Der Satz von Poisson. — 867. Bildung und Begriff der vollständigen Systeme. — 868. Involutionssysteme. — 869. Integration eines Involutionssystems. —

870. Beispiele....................

§ 4. Pfaffsche Gleichungen. 871. Geometrische Deutung einer Pfaffschen Gleichung in drei Veränderlichen. —

872. Integrabilitätsbedingung. — 873. Homogene Pfaffsche Gleichungen in drei Veränderlichen..........

489

511—523

523-538

538—543

Achtes Kapitel.

Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.

§ 1. Die Lagrange-Mongesche Theorie. 874. Geometrische Deutung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung. — 875. Nochmals die linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. — 876. Begriff und Anwendung einer bekannten vollständigen Lösung.

—    877. Diskussion der aus einer vollständigen Lösung abzuleitenden Lösungen. — 878. Die Charakteristiken. — 879. Die charakteristischen Streifen. — 880. Ein Beispiel.

—    881. Ermittlung einer vollständigen Lösung.....

544

544—563

. 1) Diese Nummer kann überschlagen werden.

§ 2. Die Integrationstheorie von Cauchy. 882.Lösungen erzeugt durch charakteristische Streifen. — 883. Integration der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung. —

884. Beweis der Vollständigkeit des Integrationsverfahrens.

—    885. Nachweis der Existenz von Lösungen. — 886. Geo

563—579

metrische Deutung des Integrationsverfahrens. — 887. Ein Beispiel.......................

§ 3. Nachträge und Verallgemeinerungen. — 888. Die singulären Lösungen einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung. — 889. Verallgemeinerung der Clairaut-schen Differentialgleichungen. — 890. Die Legendresche und die Eulersche Transformation. — 891. Integrationsmethode im Falle von n unabhängigen Veränderlichen. 579—587 § 4. Mongesche Gleichungen. 892. Geometrische Deutung einer Mongeschen Gleichung in drei Veränderlichen.

—    893. Die zur Mongeschen Gleichung gehörige partielle Differentialgleichung erster Ordnung. — 894. Integration

der Mongeschen Gleichung. — 895. Loxodromen ....    587—596

Neuntes Kapitel.

597

Einleitung in die Variationsrechnung.

§ 1. Die Eulersche Differentialgleichung. 896. Die einfachste Aufgabe der Variationsrechnung. — 897. Definition der Extremwerte eines Integrals. — 898. Das Verschwinden der ersten Variation des Integrals. — 899. Die Eulersche Differentialgleichung.

901. Die gemeine Zykloide als Brachistochrone.....

§ 2. Verallgemeinerungen. 902. Extremwerte von Integralen, in denen mehrere unbekannte Funktionen Vorkommen.

900. Das Katenoid.

597—607

903. Die Brachistochrone im Raume. —

904.    Extremwerte von Integralen, in denen höhere Ableitungen einer unbekannten Funktion Vorkommen. —

905.    Besondere Fälle. — 906. Kurve, die mit ihrer Evo

607—618

lute eine kleinste Fläche einschließt. — 907. Extremwerte von Integralen, in denen höhere Ableitungen von mehreren unbekannten Funktionen Vorkommen.........

§ 3. Integrale mit veränderlichen Grenzen. 908. Vorbereitende Betrachtung von Integralen mit festen Grenzen und willkürlichen Konstanten. — 909. Umformung eines Integrals mit veränderlichen Grenzen in ein Integral mit festen Grenzen. — 910. Bedingungen für die Extremwerte eines Integrals mit veränderlichen Grenzen. — 911. Extremwerte von Integralen mit veränderlichen Grenzen und zwei unbekannten Funktionen. — 912. Geometrische Deutung der Grenzbedingungen bei einer gewissen Klasse von Aufgaben. 618—633 § 4. Probleme mit Nebenbedingungen. 913. Isoperimetrische Probleme. — 914. Kurve größten Flächeninhalts bei gegebener Bogenlänge. — 915. Rotationsflächen von kleinstem Flächeninhalte bei gegebener Meridianlänge. —

916. Rotationsflächen von größtem Volumen bei gegebener Meridianlänge. — 917. Rotationsflächen von kleinster Oberfläche bei gegebenem Volumen. — 918. Allgemeinere isoperimetrische Probleme. — 919. Ein anderes Problem mit einer Nebenbedingung. — 920. Geodätische Kurven. . .    633—645

646—657

Sachregister .

Berichtigungen

Erstes Kapitel.

Übersicht über die Arten von Differentialgleichungen.

§ 1. Gewöhnliche Differentialgleichungen.

661. Gewöhnliche Differentialgleichung ^ter Ordnung. Die Grundaufgabe der Integralrechnung, die nach Nr. 399 darin besteht, eine solche Funktion y von einer Veränderlichen x zu ermitteln, deren erste Ableitung y eine gegebene Funktion von x ist, kann so verallgemeinert werden:

Es soll eine solche Funktion y von x ermittelt werden, deren rte Ableitung yeine gegebene Funktion von x, von y und von den r — 1 Ableitungen niedrigerer Ordnung y', y", . . . y⁽'r~¹⁾ ist:

(1)

y{r) = f(x, y, yy^-V).

(2)

Wenn die Bedingungsgleichung nicht gerade in dieser nach yW aufgelösten Form vorliegt, hat sie die allgemeinere Gestalt: F (x, y, y j. . . yM) = 0.

Sie heißt nach Nr. 88 eine gewöhnliche Differentialgleichung rter Ordnung, vorausgesetzt, daß sie wirklich y^ enthält.

Eine Funktion y = cp(x), die der Gleichung (2) Genüge leistet, wie auch die unabhängige Veränderliche x in einem gewissen Intervalle gewählt sein mag, wird eine Lösung der DifferentialgleichuDg genannt. Die vorgelegte Differentialgleichung rter Ordnung vollständig integrieren heißt, alle ihre Lösungen berechnen. Bei der oberflächlichen Übersicht, die wir in diesem ersten Kapitel geben, wollen wir noch gar nicht auf diejenigen Voraussetzungen eingehen, die in bezug auf die Stetigkeit und Differenzierbarkeit der auftretenden Funktionen zu machen sind, vielmehr annehmen, daß alle in der Folge

S erre t - S che ff er a, Diff.- u. Integral-Rechnung. III. 3. Aufl.

auszuführenden Operationen des Elimin ierens, Substituierens und Differenzierens gestattet seien.

Aus der Gleichung (2) ergibt sich durch vollständige Differentiation nach x, weil y eine Funktion von x sein soll:

co

ca

«Sg

CÎD

+s^⁺¹⁾=°-

Wenn die linke Seite der Gleichung (2) nicht frei von y^ ist, muß cF : cy^ =f= 0 sein, so daß also y(r + 1) in (3) gewiß nicht fehlt. Die Gleichung (3) stellt also eine solche gewöhnliche Differentialgleichung (r -f l)ter Ordnung vor, die von allen Lösungen y der vorgelegten Differentialgleichung rtei Ordnung (2) befriedigt wird. Sie kann abermals vollständig nach x differenziert werden. Dadurch ergibt sich eine gewöhnliche Differentialgleichung (r -j- 2)ter Ordnung, die ebenfalls von allen Lösungen y der vor gelegten Gleichung (2) erfüllt wird, usw. Weil die hervorgehenden Gleichungen nach y⁽-r+1\ y(r+2\ ■ . . aufgelöst werden können, ist infolge der vorgelegten Gleichung (2) jede Ableitung von y von der (r -(- l)ten Ordnung an eine bekannte Funktion von x, y und den niedrigeren Ableitungen, und weil die Gleichung (2) selbst die Ableitung rter Ordnung als Funktion von x, y, y, . . . y{~r~V) definiert, sind mithin alle Ableitungen der gesuchten Funktion y von der rten Ordnung an vorgeschriebene Funktionen von x, y, y, ... ^r_1b

Man sagt, daß die durch beliebig oft wiederholte vollständige Differentiation der gegebenen Differentialgleichung (2) gewonnenen Gleichungen (3) usw., sowie diejenigen Gleichungen, die sich weiterhin durch Elimination und Substitution aus ihnen ergeben, Folgen der Gleichung (2) seien. Das Wort Folge wird hierbei in weiterem Sinne als in Nr. 79 gebraucht, wo wir nur Eliminationen und Substitutionen, aber keine Differentiationen an wandten.

662. System )

.ter

Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Werden m noch unbekannte Funktionen von x mit y1} y₂, . . . ym bezeichnet, so kann man sich die Aufgabe stellen, diese Funktionen so zu bestimmen, daß sie einem vorgeschriebenen Systeme von Gleichungen zwischen den Größen x, ylf y.₂, . . ., ym und den Ableitungen von 661, 6631

yx, y₂, . . ., ym bis zu denen von der rten Ordnung genügen. Ein solches Gleichungen system bestehe etwa aus den s Gleichungen :

(1)

Fi(x,yu...ym, yf

• • y'no • • • y{{\ • • • ń?) =⁰

(»■ “ 1, 2, . . . 8).

Es heißt ein System rter Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, sobald wenigstens eine der m Ableitungen rter Ord-.. yff wirklich in ihm vorkommt. Ein System von

(r)

•> •

nun g y\

Lösungen dieses Systems (1) heißt jedes solche System von Funktionen yl = (px(x), . . . ym = cpm(x), durch dessen Substitution alle Gleichungen (1) befriedigt werden, wenn x innerhalb eines Intervalles willkürlich bleibt. Das System (1) vollständig integrieren heißt, alle vorhandenen Systeme von Lösungen ermitteln.

Wie bei einer einzigen gewöhnlichen Differentialgleichung gelangt man auch bei dem Systeme (1) durch beliebig oft wiederholte vollständige Differentiation nach x zu Differentialgleichungen höherer Ordnung, denen alle Lösungensysteme von (1) genügen und die man daher Folgen des Systems (1) nennt.

Häufig werden Systeme "(1) ausdrücklich als Systeme von gleichzeitigen oder simultanen Differentialgleichungen bezeichnet. Jedoch dürfte es meistens überflüssig sein, den Umstand besonders zu betonen, daß alle Gleichungen des Systems zusammen gelten sollen.

663. Zurückführung eines Systems von gewöhnlichen Differentialgleichungen auf ein System erster Ordnung. Ein Verfahren, das wir schon in Nr. 88 angedeutet haben, gestattet die Verwandlung eines Systems höherer Ordnung in eines von der ersten Ordnung.

Liegt nämlich zunächst nur eine gewöhnliche Differentialgleichung rter Ordnung wie in Nr. 661 vor:

(1)

Fix, y, y,... y<r>) = 0,

so sind mit y auch die Ableitungen y, y", . . . y^r~^ unbekannte Funktionen von x, und wir können sie mit zx, z₂, . . . zr_x bezeichnen:

(2)

4 Kap. I. Übersicht über die Arten von Differentialgleichungen. Alsdann ist:

(3)

Außerdem ergibt sich wegen der letzten Gleichung (2):

(4)

y{r) = K-1-

Wenn wir nun für yr, y", . . . yW die Werte (2) und (4) in (1) substituieren, so geht hervor:

F(x,y,zx,...zr_u z'_x) = 0.

Fügen wir hierzu die r — 1 Gleichungen (3), so besagt das hervorgehende System von r Gleichungen:

' F (x, y, zx,...zr_x, z'r_t) = 0,

'=*i>

(5)

K-* = *r_i

für die Funktion y von x genau dasselbe wie die vorgelegte Differentialgleichung (1). Denn nach der zweiten Gleichung (5) bedeutet zx die erste Ableitung von y, nach der dritten also z₂ die zweite Ableitung von y usw., schließlich nach der letzten zr_x die (r — l)te Ableitung von y, so daß z'r_x die Ableitung y^ sein muß und folglich die erste Gleichung (5) nichts anderes als die vorgelegte Differentialgleichung (1) vorstellt.

In (5) liegt nun aber nach Nr. 662 ein System erster Ordnung von r gewöhnlichen Differentialgleichungen mit den r unbekannten Funktionen y, zl, z₂, . . . zr_₁ von x vor. Bedeutet nun:

y = <p(æ), Bx = Mx), *2 = MX), • • • *r-l = Vr-l (X)

irgend ein System Lösungen von (5), so ist wegen der r — 1 letzten Gleichungen (5):

^lO) = <p(x)i ^AX) = <P"(?), ■ • • tr-t(X) = <P(,'~l)(X)

und y — cp(x) folglich wegen der ersten Gleichung (5) eine Lösung von (1). Umgekehrt: Bedeutet y = cp(cc) irgend eine

663]

Lösung yon (1), so ist:

y = 9>(«), ex = <p'(x), z₂ = <p"(x), .. . zr_x = (p(r~V(x)

ein System Lösungen von (5). Man sagt deshalb, daß die Differentialgleichung (1) durch das System (5) ersetzt werden kann, ebenso umgekehrt das System (5) durch die Differentialgleichung (1). Man braucht dafür auch das Wort: Äquivalenz, indem man sich so ausdrückt:

Satz 1: Jede gewöhnliche Differentialgleichung rter Ordnung mit einer unbekannten Funktion ist äquivalent einem gewissen Systeme erster Ordnung von r gewöhnlichen Differentialgleichungen mit r unbekannten Funktionen.

Dasselbe Verfahren läßt sich nun auch dann anwenden, wenn ein System höherer Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen vorliegt. Ist nämlich wie in Nr. 662 ein System rter Ordnung:

(6)

F, 0, 9t> ■ ■ •    y(,    ■■■ y'{'< • • • jff) — ⁰

(.•-1,2,...«)

gegeben, so führen wir für alle hierin vorkommenden Ableitungen der unbekannten Funktionen, abgesehen immer von der Ableitung höchster Ordnung, in der die betreffende Funktion auf-tritt, neue Bezeichnungen ein und fügen alsdann zu dem Systeme entsprechend den Gleichungen (3) noch eine Reihe von Gleichungen hinzu. Liegt z. B. ein System von nur zwei Differentialgleichungen mit zwei unbekannten Funktionen yx und y₂ von x vor, in dem die höchste Ordnung der vorkommenden Ableitungen von yx bzw. y₂ die rte und wte ist:

(?)

Ft(x, yx, yf,... yf-v, yf\ y₂, yf,... y£~1], #) = 0, F₂{x, yx, yf, ... yf-l\ yf\ y₂, yf,... y^”^, y^) = 0, so setzen wir:

y₂ ux

Vi = Vi “ *1, • • • y{f~l) = er-i, y* = «a, • •• y^~1] = un_lf

so daß:

yf=zx, zx' = z₂,    0r_1;

ys — ux, ux — u₂, . . . un _ 2 = un _ x

wird, und erhalten an Stelle des Systems (7):

(8)

Fx(x, yx, elt...gr_lt z'_x, y₂, ux,...un_x, u'n_x) = 0, F₂(x, yx, zX}... zr_x, z'_x, y₂, ult... un_x, u'n_x) = 0,

Vl ~    &1 ~    ... ^r_2 ⁼ &r-l>

y₂ —    Ul — w2 ’ • ■ • Un - 2 = Un -1 ’

CO

Dies System von r -f- n Gleichungen enthält außer x die r + n unbekannten Funktionen yx, zx, . . . zr_x, y₂, ux, . . . un_x von x nebst ihren Ableitungen erster Ordnung, ist also ein System erster Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Die vollständige Integration von (8) zieht die von nach sich und umgekehrt; beide Systeme nennt man deshalb äquivalent.

Allgemein ergibt sich überhaupt:

Satz 2: Jedes System höherer Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen ist einem gewissen Systeme erster Ordnung äquivalent, hei dem allerdings die Anzahl der Gleichungen und die Anzahl der unbekannten Funktionen größer ist.

1. Beispiel: Es liege eine solche gewöhnliche Differentialgleichung ziveiter Ordnung:

(9)

y" = cp 0, y)

vor, in der die unbekannte Funktion y selbst nicht auftritt. Wir führen die neue unbekannte Funktion z = y' ein und erhalten das äquivalente System erster Ordnung mit zwei unbekannten Funktionen y und z:

(10)

z' — cp {x, z), y=z.

Z. B. sei:

(il)

rr

y = -

2 y'

die gegebene Gleichung (9). Dann ist :

2z

y

dx«+°Ądxp+\--+Ądx*

Xn-1 Xn-2 2 (ßn—X 4-2)» Vn-\ Un-2 -^«-2(^-1 ^n~2)»

\4x2\ < {1 + 2/14 — 41},

(2)

(4) voraussetzen, denn wenn nicht diese Ableitung, sondern etwa die nach yk von Null verschieden wäre, würde es genügen, yk mit ym und yru mit yk zu benennen, um doch zur Annahme

y - f 0, y)

y(y-\xy') = o

(2)

cr±(i)=i

Ux = vy,

X = X0(t + l), y = y0+t

(4)

£(*> 30f^ + vfa y)jy

K*xy- Yx) + V(xyy~ r,) + fo + fo,s^x-o-

x = «3Pi æo + y o + <ps

Oi* + y2y + y3)(xdy — vdx)

. . &

Vi = Vite), ys = 0), ■ ■ • yn = 9>„C*0

eQ1*, te$it, t*eQ,ł, ... t"‘L~1e^it,

ß = 1, 2, • • • *)•

y, y", ■ ■ ■ y{r~l), flx, y, y,---y[r~1])

y 9(.x> Qy C'2,... o?.), y = <p\x> ci, cs,... cr\

y-rwy +••■ +ajwJ' 791, 79»]

F(y, y, • • • y{r)) = o,

(5) als neue abhängige Veränderliche benutzt, gewinnt man für § eine gewöhnliche Differentialgleichung (r — l)ter Ordnung, die von der unabhängigen Veränderlichen £ frei ist. Nach Nr. 796 führt man daher die neue unbekannte Funktion:

(5)

ut-xyrx + fr,

(1)

|f = fi(æ> yi, y*, • - • yn) (^ = i, 2,... »)

y-yo + y0 + yo die innerhalb eines Kreises um x0 gilt, dessen Radius ivenigstens gleich &x ist. Die r ersten Koeffizienten in (2) sind die gegebenen Anfangswerte. Die übrigen kann man nacheinander aus der Gleichung (1) selbst und denjenigen Gleichungen berechnen, die aus (1) durch wiederholte Differentiation hervorgehen:

(2) p[y' + xy"Ą b P'~12/(r>] = <p(x)[y + xy'Ą + xr~1y^-^\

(8) berechnet und in die übrigen Gleichungen einse

= ß(Xl, X2, ■ • • Xn, *)•

x dx^y dy^ yp-+7ÖFTF);

Liegt ein System von Gleichungen (1) vor, so wird

(- zzt + rz,) + (zzx - XZ,) £ + (- zrx + xr, + ZXy- YXfi^-O,

-(^+2-^ = 0.

uv~ir)> *-<»»(<«> + £)•

yw+r

JlfyV + fyV H b UMny\dx “ 0.

f, = rx-fyy-W

X,

R.

¹

) Ein alphabetisch geordnetes Sachregister befindet sich am Schlüsse des Bandes.

²

2) Beim ersten Studium kann man nach der Anweisung in der Anmerkung zu S. 30 vorgehen.

y

das äquivalente System (10). Es ist übrigens leicht, dies System vollständig zu integrieren, denn seine erste Gleichung gibt:

d ln z

dx

, d. h. ln z = — 2 ln x -f- konst.

663] oder.

æ2 7

wo A eine beliebige Konstante yorstellt. Da nun y' — z ist, so folgt weiter:

dx = —

+ B,

y ₌ßdx _ f .

wo B eine beliebige Konstante bedeutet. Hiermit sind alle Lösungen y der Differentialgleichung (11) gefunden.

2. Beispiel: Es ist:

(12)

y" + y ₂" —    Vi - y₂' = ⁰

ein System zweiter Ordnung mit zwei unbekannten Funktionen yt und y₂ von x. Wir führen für y₂ und y₂ neue Bezeichnungen z und u ein und erhalten das äquivalente System erster Ordnung mit vier unbekannten Funktionen ylf y₂, z und u:

(13)

z + u = 2x, z — u — 0, yt' = z, y₂ — u.

Die zweite Gleichung (13) ist frei von Ableitungen und besagt einfach, daß u dieselbe Funktion wie z bedeutet, so daß verbleibt:

(14)

z = x, y^ = z, y₂=z.

Dies ist ein System erster Ordnung mit nur noch drei unbekannten Funktionen yl} y₂ und z. Nach der ersten Gleichung wird:

z = J*xdx — 4-x² + A,

wobei A eine willkürliche Konstante vorstellt. Die zweite Gleichung (14) liefert weiter:

= Izdx =J\^x² + A) dx = x³ -f- Ax + B

und die dritte entsprechend:

y% —    + Âx -f- C.

Auch B und C sind willkürliche Konstanten. Hiermit ist das vorgelegte System (12) vollständig integriert. Man möge sich durch Einsetzen der für y₁ und y.₂ gefundenen Funktionen in die Gleichungen (12) überzeugen, daß das System (12) durch diese Funktionen befriedigt wird, wie auch immer die Konstanten A, B, C gewählt seien.

664. Reduktion der Systeme erster Ordnung¹ von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Nach den Sätzen der letzten Nummer läßt sich jedes System höherer Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen auf ein System erster Ordnung zurückführen, so daß wir annehmen dürfen, es liege nur noch ein System erster Ordnung vor. Es bestehe aus s Gleichungen und enthalte m unbekannte Funktionen ylfy₂, ... ym von x:

(1)

Ft{x, ylf yif... ym, yl, yl,... ym') = 0

(i = 1, 2, • • • ^).

Wie in § 1, 4. Kapitel des 1. Bandes, wollen wir nun dieses Gleichungensystem Schritt für Schritt nach in ihm vorkommenden Ableitungen y    auf lösen, wobei    wir    uns gar nicht    darum

kümmern, daß die    y Ableitungen    der    y sein sollen.    Viel

mehr betrachten wir die s Gleichungen (1) nur als ein solches System von Gleichungen, durch das insgesamt 2m -f- 1 Veränderliche x, y1} ... ym, yl, . . . yj miteinander verknüpft werden. Gerade so    wie in Nr. 79    möge sich durch    schrittweise Auflösung und Substitution    der    Auflösungen    in die

jeweils noch übrig gebliebenen Gleichungen nach der Reihe ergeben:

' yl    ym, yl, yl, yl,.. • ym')

(2)

yl = (p₂(x, ylf... ym, yl, yl,.. ym'),

yl = <p₃ (x, yi,--- ym, yl, • • • ym'),

- yn Wn (.x, yi, • • • ym, yn + 1, • • • y ml

Hierbei ist die Anzahl n höchstens gleich m, und wir wollen annehmen, daß weiterhin keine Auflösungen nach den Größen y möglich seien, d. h. daß die Substitution der Werte (2) in alle noch nicht benutzten Gleichungen (1) nur noch solche Gleichungen liefere, die von allen y frei sind. Es seien dies die v Gleichungen:

(3)

tkfa yi, • • • ym) = ⁰

Das vorgelegte System (1) ist hierdurch auf die Form der n + v Gleichungen (2) und (3) gebracht worden.

664]

Unter den Gleichungen (3) können unverträgliche vorhanden sein (vgl. Nr. 79). Dann leidet das gegebene System an einem inneren Widerspruche und ist sinnlos. Hierzu gehört auch die Möglichkeit, daß sich insbesondere eine Gleichung x = konst, ergibt, die der Voraussetzung widerspricht, daß x die unabhängige Veränderliche ist. Wir nehmen an, daß keine Widersprüche in den Gleichungen (3) Vorkommen.

(1)

Es kann sein, daß sich gar keine Gleichungen (3) ergeben. Treten aber solche auf, so werden sie nach einigen der y auflösbar sein (nach dem in Nr. 79 durchgeführten Verfahren). Sind sie z. B. nach ya, y^ ... yu auflösbar, so stellen sich diese Größen als bekannte Funktionen von x und den übrigen Größen y dar. Indem wir sie vollständig nach x differenzieren, werden auch y^, yj, . . . yu' bekannte Funktionen von x und den übrigen Größen y und ihren Ableitungen. Setzen wir dann die so gefundenen Funktionen für ya, y^, ... yu und ya', yf, . . . yu' in das vorgelegte System (1) ein, so wird es frei von ya, y^, . . * yu und ihren Ableitungen, d. h. es wird vereinfacht.

Das so gewonnene einfachere System behandeln wir nun nach derselben Methode wie vorhin das System (1), d. h. wir stellen fest, ob es wiederum Gleichungen enthält, die wie die Gleichungen (3) frei von Ableitungen sind. Ist dies der Fall, so wird eine abermalige Vereinfachung möglich usw. Schließlich aber muß doch einmal, wenn nicht überhaupt alle Gleichungen des gegebenen Systems (1) von Ableitungen gänzlich frei sind, dies Verfahren ein Ende nehmen. Alsdann bleibt ein System übrig, das wie das vorgelegte System (1) beschaffen ist, aber weniger Gleichungen und weniger unbekannte Funktionen enthält. Wenn wir nun dies System gerade so wie das System (1) behandeln, ergeben sich mithin zwar Gleichungen analog den Gleichungen (2), jedoch gar keine analog den Gleichungen (3).

Ist das zuletzt hervorgehende System vollständig integriert, so gilt dasselbe vom gegebenen Systeme (1), denn alle diejenigen Funktionen y, die in dem vereinfachten Systeme nicht mehr Vorkommen, sind ja bekannte Funktionen der übrigen y und der unabhängigen Veränderlichen x.

665. Normalform eines Systems von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Wir haben soeben gesehen, daß jedes System von gewöhnlichen Differentialgleichungen durch Elimination, Differentiation und Substitution auf ein System zurückgeführt werden kann, das nur Gleichungen von der Form (2) der letzten Nummer enthält. Mithin betrachten wir weiterhin nur noch ein solches System. Wenn wir den letzten Wert yn'= <pn in die n— 1 ersten Gleichungen einsetzen, alsdann den für y'n_ t aus der (n — l)tea Gleichung hervorgehenden Wert in die n — 2 ersten Gleichungen usw., so nimmt das System die folgende Form an:

Vx = Xi0, Vx,---ym, y'n+x; • • • ym'),

(i)

y2 ⁼ %% fax yxx • • • ym> Vn+1> • • • ym)>

• yn    %n(XX Hxi ••• ymx y n + xx    y m) X

wobei n <] m ist. Die Units stehenden Ableitungen yf, yf, ■ • • yf treten rechts gar nicht auf.

Betrachten wir zunächst den Fall n = m. In ihm treten auch y'n + i,---ym' auf der rechten Seite nicht mehr auf, so daß das System die Gestalt hat:

(2)

yx=fx(%x yxx--- yn)x y* = U (Xx yxx • • • yn),

ynr==fn(xx yxx---yn)-

Dies System hat folgende charakteristische Eigenschaften: Es enthält gerade so viele unbekannte Funktionen y1}. . .yn als Gleichungen und ist nach den Ableitungen yf, . . . yf der un-kannten Funktionen aufgelöst. Ein solches System nennen wir die Normalform eines Systems von geivöhnlichen Differentialgleichungen. Auch im Falle n < m gelangen wir schließlich zu einem Systeme mit denselben charakteristischen Eigenschaften, wie jetzt gezeigt werden soll:

• • ym irgendwelche differenzierbare Funktionen

+ i; •

Im Falle n < m werden durch die Gleichungen (1) zwar den n Funktionen ylf y2} . . . yn Bedingungen auferlegt, den übrigen m — n Funktionen yn + 1, ■ • . ym jedoch nicht. Wenn in (1) für yn 665]

von x eingesetzt werden, so kommen auf der rechten Seite außer x nur noch yx, y₂,. . . yn vor, d. h. das System (1) nimmt, alsdann die Form (2) an. Hierbei ist hinzuzufügen: Wir werden im zweiten Kapitel sehen, daß das System (2) unter gewissen Voraussetzungen über Stetigkeit und Differenzierbarkeit der vorkommenden Funktionen stets Systeme von Lösungen hat, und deshalb gilt dies auch vom Systeme (1), sobald wir darin für ym + x, . . • yn willkürliche differenzierbare Funktionen von x setzen, die nur gewissen Beschränkungen hinsichtlich der Stetigkeit zu unterwerfen sind, auf die wir hier nicht ein-gehen wollen.

Das Ergebnis der drei letzten Nummern läßt sich jetzt in dem Satze zusammenfassen:

Satz 3: Die Aufgabe, ein vor gelegtes System von gewöhnlichen Differentialgleichungen zu integrieren, läßt sich mittels Elimination, Substitution und Differentiation auf die Aufgabe zurückführen, ein System in der Normalform:

yi = fi 0, Vi, y*, • • • y»), y*=U 0,    yn),

Vn = fn (X,    Vn)

zu integrieren, d. h. ein System erster Ordnung, das gerade so viele Gleichungen wie unbekannte Funktionen enthält und nach den Ableitungen der unbekannten Funktionen aufgelöst ist.

666. Geometrische Deutung einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung. Im einfachsten Falle n— 1 hat das System in der Normalform die Gestalt:

(1)

y' = f(x,y),

aus:

also die Form einer einzigen nach y aufgelösten gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung für eine unbekannte Funktion y von x. Deuten wir x und y als rechtwinklige Koordinaten in der Ebene, so wird jede Lösung y = cp (x) der Gleichung (1) durch eine Kurve dargestellt. Ist t der Winkel, den die Tangente der Kurve mit der positiven Æ-Achse bildet (vgl. Nr. 169), so sagt die Gleichung (1)

(2)

tg x^f(x, y),

d. h. eine Kurve y — cp (cc) ist dann und nur dann das geometrische Bild einer Lösung, wenn sie in jedem ihrer Punkte {x, y) die durch (2) vorgeschriebene Tangentenrichtung hat. Ist auch von vornherein keine Lösung y = cp(x) bekannt, so läßt sich doch auf Grund der Gleichung (2) von jedem Punkte (x, y) aus eine Richtung ziehen, die mit der positiven #-Achse den vorgeschriebenen Winkel r bildet, denn f{x, y) ist eine gegebene Punktion von x und y. Durch die vorgelegte Differentialgleichung (1) wird demnach jedem Punkte M oder (x, y) der Ebene eine Richtung mgeordnet. Siehe Pig. 1. Nennen wir den Inbegriff eines Punktes und einer von ihm ausgehenden Richtung ein Linien-^ element, so können wir sagen: Die Differentialgleichung (1) ordnet jedem Punkte der Ebene ein Linienelement zu, so daß sie eine gewisse Schar von Linienelementen definiert. Wir sagen ferner, daß eine Kurve ein bestimmtes Linienelement enthält, oder

-o-

/äc

Fig. 1.

Fig. 2.

daß das Element der Kurve angehört, y wenn die Kurve durch den Punkt des Elements geht und die Tangente dieses Punktes dieselbe Richtung wie das Element hat. Siehe Fig. 2.

Hiernach wird jede Lösung y = <p {x) der Differentialgleichung (1) in der xy- Ebene durch eine Kurve dargestellt, der überall nur solche Linienelemente angehören, die in der vermöge der Differentialgleichung gegebenen Schar von Linienelementen enthalten sind. Das Bild einer Lösung y = cp(x), d. h. die zugehörige Kurve, heißt eine Integralkurve der Differentialgleichung.

Die Integralkurven der Differentialgleichung (1) sind demnach alle die Kurven, deren Linienelemente sämtlich zur Schar derjenigen Linienelemente gehören, die durch die Differentialgleichung definiert iverden.

Wir können auch sagen: Ein beweglicher Punkt beschreibt eine Integralkurve, wenn er an jeder Stelle, die er erreicht, gerade diejenige Fortschreitungsrichtung hat, die durch das der Stelle vermöge (2) zugeordnete Linienelement angegeben

wird. Wenn also wie in Fig. 3 hinreichend viele Linien

elemente der Differentialgleichung konstruiert worden sind, so kann man leicht den ungefähren Verlauf von Integralkurven feststellen, indem man einen Punkt derjenigen stationären Strömung unterwirft, die von den Elementen angedeutet wird. Wir entlehnen hier der Mechanik ein anschauliches Bild

\X

und fügen nur noch hinzu, daß die Strömung stationär genannt wird, weil sie an jeder Stelle der Ebene eine zeitlich unveränderliche Richtung hat. Im allgemeinen ist dagegen die Richtung von Ort zu Ort eine andere. Bei dieser Deutung er scheinen die Integralkurven als Stromlinien.

Beispiel: Es liege die Differentialgleichung

Fig. 3.

(3)

Das Linien element, das sie einem Punkte M oder (x, y)

y ist, steht augenscheinlich

vor.

zuordnet, für das also tg x = — x : auf dem Radiusvektor OM von

M senkrecht, da der Tangens des Winkels, den OM mit der x-Achse bildet, gleich y : x, also gleich — ctg x ist. Siehe Fig. 4. Ein Punkt M beschreibt demnach eine Integralkurve, wenn er sich stets senkrecht zum jeweiligen Radiusvektor OM bewegt. Schon hieraus schließt man, daß die Integralkurven die Kreise mit dem Mittelpunkte 0 sind. In der Tat, ein solcher Kreis mit dem Radius C ist das Bild der Funktion:

Fig. 4.

Tr

für die sich: y = yc² — x²,

wie in (3) ergibt. Wir werden auf dies Beispiel noch einmal zurückkommen (in Nr. 676).

667. Geometrische Deutung eines aus zwei Gleichungen bestehenden Systems in der Normalform.

Das in Satz 3, Nr. 665, erwähnte System in der Normalform hat im Falle n = 2 die Gestalt:

(1)

y₂' = fz(x, y1} y₂).

Deuten wir x, yx und y₂ als rechtwinklige Koordinaten im Raume, so wird jedes Lösungensystem:

yx = cp₁ (x), y₂ = cp₂ (x)

durch eine Kurve dargestellt; man nennt sie eine Lntegralkurve. Infolge yon (1) ist dieser Kurve an jeder Stelle (x, yt, y₂) des Raumes eine bestimmte Tangentenrichtung vorgeschrieben, denn nach (6) in Nr. 252 hat die Tangente der Kurve an der Stelle (x, yx, y₂) in den laufenden Koordinaten f, t)₂ die Gleichungen :

(2)

Di — Vi = Vi (ï — x),

& - & - y* (s - x)

und nach (1) sind hier yx und y₂ gegebene Funktionen von x, yx und y₂.

Das System (1) ordnet also wieder jedem Punkte M oder (x, yx, y₂) des Raumes ein Linienelement zu, nämlich dasjenige, dessen Richtung die der Geraden:

(³) Di“    ,ylfy₂) (t — x), t)₂-y₂=f₂(x,y₁,y₂)(i~x)

durch den Punkt M ist. Demnach definiert das System (1) eine gewisse Schar von Linienelementen im Raume, die das Bild einer stationären Strömung gewähren, wobei die Integralkurven als die Stromlinien erscheinen.

Beispiel: Liegt das System vor:

(4)

y 2 = |f »

so hat die Gerade (3) in den laufenden Koordinaten £, und t)₂ die Gleichungen:

i — x & — Vi _

y»

Vi

und ist daher diejenige Gerade, die den Punkt M oder (x, yx, y₂)

666, 667] mit dem Anfangspunkte 0 verbindet. Jeder Punkt M erfährt also eine Fortschreitung längs OM, d. h. die Integralkurven sind alle Strahlen von 0 aus. Dies läßt sich rechnerisch bestätigen: Eine beliebige Gerade durch 0 hat in den laufenden Koordinaten x, yx, y₂ die Gleichungen:

Vx = Ax, y₂ = Bx

mit beliebigen Konstanten A, B. Für diese beiden Funktionen yx und y% von x ist yx = A, y₂ = B, so daß sie den Differentialgleichungen (4) genügen.

668. Geometrische Deutung eines allgemeinen Systems in der Normalform. Liegt ein allgemeines System von gewöhnlichen Differentialgleichungen in der Normalform

(1)

(i =1,2,... n)

vor, so können wir es wie im Falle n = 2 geometrisch deuten, sobald wir den abstrakten Begriff eines Baumes von n-\-1 Dimensionen benutzen, vgl. Nr. 605, indem wir x, yx, y₂, . . . yn als Koordinaten in diesem Raume auffassen.

In Nr. 605 wurde allerdings nur von den Funkten eines solchen Raumes geredet. Deshalb deuten wir an, wie man den Begriff einer Geraden und Kurve definiert: Da eine Gerade in der Ebene durch eine und im gewöhnlichen Raume durch zwei lineare Gleichungen zwischen den Koordinaten dargestellt wird, definieren wir als eine Gerade im Raume mit den n -f 1 Koordinaten x, yx, y₂, ... yn den Inbegriff aller derjenigen Punkte, d. h. Wertsysteme x, yx, y.₂, . . . yn, die gegebenen n voneinander unabhängigen linearen Gleichungen genügen. Sind die Gleichungen insbesondere nicht frei von x, so läßt sich also die Gerade durch n Gleichungen von der Form:

(i = 1, 2,. . . n)

(2)

Vi =

darstellen, wobei die at und t)i Konstanten bedeuten.

Unter einer Kurve im Raume von n -f- 1 Dimensionen wird allgemein der Inbegriff aller derjenigen Wertsysteme x, yx, y₂, ... yn verstanden, die irgend welchen n voneinander unabhängigen Gleichungen zwischen den n + 1 Veränderlichen genügen. Jedoch setzen wir dabei voraus, daß diese Gleichungen n der Veränderlichen als differenzierbare

667, 668]

Funktionen der einen noch übrig gebliebenen Yeränderlicben definieren. Ist x diese unabhängige Veränderliche, so sind:

(3)

Vi = <Pi 0)

<P*>

die Gleichungen einer Kurve, falls die n Funktionen cp1}

• . • (pn von x innerhalb eines Intervalles bestimmte endliche Ableitungen haben.

Insbesondere heißt diejenige Gerade, die in den laufenden Koordinaten £, t)1; l)₂, . . . i)n durch die n linearen Gleichungen:

(4)

V- - Vi = 9>/0) (ï - *0

(» - 1, 2,.. . »)

gegeben wird, die Tangente der Kurve (3) im Punkte (x, yt, y₂, • • • yn). Die Gleichungen (3) bzw. (4) sind die Verallgemeinerungen der Gleichungen (5) und (6) in Kr. 252 für eine Kurve und ihre Tangente im gewöhnlichen Raume. Wenn £ variiert, so sind \)₂, . . . t)n nach (4) ganze lineare Funktionen von £ mit den Ableitungen:

(5)

5F-«»/(*)

Das vorgelegte System (1) deuten wir nun geometrisch so: Durch jeden Punkt (x, yx, y%, . . . yn) des Raumes sei diejenige Gerade gelegt worden, deren Gleichungen in den laufenden Koordinaten £, t)1; t).₂,... t)n sind:

V- - Vi = fi(?,yi» • • • Vn) (£ “ x)

(6)

(i = 1, 2, . .. »).

Der Inbegriff des Punktes und der Geradenrichtung heiße wieder ein Linienelement. Alsdann definiert das System (1) im Raume von w-fl Dimensionen eine gewisse Schar von Linienelementen. Wir sagen wie in Nr. 666, daß eine Kurve ein Linienelement enthält, wenn der Punkt des Elements der Kurve angehört und die Tangente dieses Punktes die Richtung des Elements hat. Liegt irgend ein Lösungensystem (3) des Systems (1) vor, so ist es geometrisch als eine Kurve, eine sogenannte Lntegral-liurve, zu deuten. Da nun aber die Lösungen (3) dem Systeme (1) genügen müssen, so fallen die Gleichungen (4) mit den Gleichungen (6) infolge der Substitution der Werte (3) zusammen. Dies bedeutet: Die Integralkurven sind diejenigen Kurven, deren Linienelemente sämtlich der gegebenen Schar von Linienelementen angehören. Weiterhin bleibe es dem 6Ö8]

Leser überlassen, nunmehr auch den Begriff der stationären Strömung auf den Raum von n -f- 1 Dimensionen zu übertragen Dabei gelangt man wieder zur Auffassung der Integralkurven als Stromlinien.

§ 2. Partielle Differentialgleichungen.

669. Partielle Differentialgleichungen und Systeme von solchen Grleichungen. Während wir bisher eine einzige unabhängige Veränderliche x annahmen; mögen jetzt die n Größen xlt x₂, . ..xn unabhängige Veränderliche bedeuten. Ferner sei y eine Funktion von ihnen. Alsdann können wir uns die Aufgabe stellen, diejenigen Funktionen y von xl, x₂, ..xn zu berechnen, die eine Bedingung erfüllen von der Form:

(1)    y,

. M.    g8y    d²y

dxn’ dx^’ ox₁x₂

d. h. eine solche Gleichung, in der außer den n unabhängigen Veränderlichen x1} x₂, . . . xn die unbekannte Funktion y und ihre partiellen Ableitungen etwa bis zur rten Ordnung auftreten. Eine solche Bedingung heißt eine partielle Differentialgleichung rter Ordnung für die Funktion y.

Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung sind uns z. B. schon in Nr. 89, 90 und 92 und Nr. 345—349 und solche von zweiter und dritter Ordnung in Nr. 329, 350 und 353 begegnet.

Eine Funktion y, die der Bedingung (1) innerhalb eines gewissen Variabilitätsbereiches von xly x₂, ... xn genügt, heißt eine Lösung der partiellen Differentialgleichung (1). Diese Gleichung vollständig integrieren soll bedeuten, alle ihre Lösungen y berechnen.

Durch vollständige Differentiation der Gleichung (1) nach irgend einer der n unabhängigen Veränderlichen xl} x₂₎ ... xn geht eine partielle Differentialgleichung (r-f-l)ter Ordnung für y hervor, die von allen Lösungen der Gleichung (1) erfüllt wird und daher eine Folge der Gleichung (1) heißt. Durch wiederholte Differentiation kann man so zu beliebig vielen partiellen Differentialgleichungen von immer höherer Ordnung gelangen, die infolge von (1) bestehen.

Man kann auch Systeme von partiellen Differentialgleichungen betrachten. Bedeuten nämlich die m Größen yt, y%, . . . ym noch unbekannte Funktionen der n unabhängigen Veränderlichen x1} x₂, ... xn und sind Fx, F%} ... Fs etwa s gegebene Funktionen von xx, x₂,...xn7 von yx,y%, • • -yn und von den partiellen Ableitungen der y nach den x, so ist:

(2)

^i=0, FÈ « 0, . . . Fs - 0 ein derartiges System. Wenn die Gleichungen partielle Ableitungen von rter Ordnung wirklich enthalten, aber keine von höherer als rter Ordnung, so nennt man sie ein System rter Ordnung von partiellen Differentialgleichungen. Wieder heißt ein System von Funktionen:

(Je = 1, 2, . . . m)r

(3)

das den s Gleichungen (2) für alle Werte von xlh x₂,... xn innerhalb eines gewissen Variabilitätsbereiches genügt, ein System von Lösungen, und die Aufgabe, das System (2) vollständig zu integrieren, ist gleichbedeutend mit der, alle Lösungensysteme zu berechnen. Wie aus einer einzigen partiellen Differentialgleichung (1) kann man auch aus dem Systeme (2) durch wiederholte vollständige Differentiation nach irgend welchen der n unabhängigen Veränderlichen x1} x₂, ... xn solche Gleichungen in beliebiger Anzahl gewinnen, die als Folgen des Systems (2) bezeichnet werden, da jedes Lösungensystem (3) auch den so gebildeten Gleichungen genügt.

670. Beispiele.

1. Beispiel: Es ist

_ÜfL = 0

dxdy

eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für die' imbekannte Funktion z der beiden unabhängigen Veränderlichen x und y. Sie läßt sich in den beiden Formen:

d dz _^ d d_z__q

dy 8 x ’ dxdy

schreiben und besagt demnach, daß die Ableitung dz : dx frei, von y und die Ableitung dz : dy frei von x sein muß, so daßi das vollständige Differential von z die Form:

dz = cp (x) d x +    (y) dy

(1)

669, 670]

hat, wo cp nur von x und ÿ nur von y abhängt. In der Tat ist dieser Ausdruck ein vollständiges Differential, und Satz 1, Nr. 609, gibt daher:

x    y

z =cp (x)dx +rfil> (y) dy.

a    b

Weil das erste Integral eine Funktion X von x allein und das zweite eine Funktion Y von y allein ist, kommt schließlich:

z = X(x)+ Y{y).

Man erkennt sofort, daß jede Funktion z von dieser Form die vorgelegte partielle Differentialgleichung (1) erfüllt, so daß also die vollständige Integration von (1) geleistet worden ist. X(x) und Y (y) sind dabei willkürliche differenzierbare Funktionen von x bzw. y allein.

2. Beispiel: Vorgelegt sei das System erster Ordnung von zwei partiellen Differentialgleichungen:

du dv _

dx' dx y’

(2)

du dv

dy dy ~~ X

mit den beiden unbekannten Funktionen u und v von x und y. Die Größen x und y bedeuten hier die unabhängigen Veränderlichen. Weil sich die Gleichungen so schreiben lassen:

d(u + v) dx

d (u — v)

dy

= x,

folgt durch Integration:

u -f v = xy + Y fy), u — v = xy 4- X (x), wobei X nur von x und Y nur von y abhängt. Addition und Subtraktion liefert:

u = xy + ±X(x) + i Y (y),    v = — %X (x) -j- i Y (y).

Hiermit ist das System (2) vollständig integriert. Es sind wieder X und Y willkürliche differenzierbare Funktionen von x bzw. y allein.

3. Beispiel: Yorgelegt sei das System erster Ordnung von zwei partiellen Differentialgleichungen :

dv

(3)

dx

dy

dv du ~ dy’

mit den beiden unbekannten Funktionen u und v der beiden unabhängigen Veränderlichen x und y. Beschränken wir uns

[670

auf das reelle Gebiet, so folgt aus Nr. 623, da die vorliegend en Gleichungen die Cauchy-Riemannschen sind, daß das System (3) in folgender Weise integriert wird: Man nehme irgend eine monogene Funktion f der komplexen Veränderlichen z — x -f iy an und zerlege sie in ihren reellen und ihren rein imaginären Bestandteil:

f(x) = u (x, y) + iv (x, y).

Alsdann sind u und v Lösungen des Systems (3). Wie man sieht, sind die Lösungen noch in hohem Maße willkürlich, da für f eine beliebige monogene Funktion angenommen werden kann.

§ 3. Totale Differentialgleichungen.

671. Systeme von totalen Differentialgleichungen.

Außer den gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen gibt es noch eine dritte Art von Differentialgleichungen, die totalen. Ein Hauptunterschied ist hier der, daß von vornherein nicht ausgemacht wird, welche Größen die unabhängigen und welche die abhängigen Veränderlichen bedeuten sollen. Vielmehr wird nur das eine vorausgesetzt, daß xx, x₂, ... xn gewisse n Veränderliche sein sollen, zwischen denen noch unbekannte Gleichungen bestehen. Gegeben sei nun eine Anzahl von Gleichungen in xx, x₂, ... xn und ihren Differentialen dxx, dx₂, . . . dxn:

(i)

Fx (xx, x₂, ... xn, dxx, dx₂₎... dxJ = 0, F₂ (xx, x₂, ...xn, dxx, dx₂, ... dxn) = 0,

F,(xl: x₂, ...xn, dxu dx₂,... dx„) - 0.

Sie heißen ein System von totalen Differentialgleichungen. Die Aufgabe, die durch ein solches System gestellt wird, ist diese: Es sollen Gleichungen:

(Je = 1, 2,.. . m)

(2)

<Pk Ol, %, ' • • xn) = 0 zwischen xx, x₂, . . . xn gefunden werden, aus denen sich die Gleichungen (1) als Folgen ergeben. Doch ist noch zu erläutern, was als eine Folge der Gleichungen (2) verstanden

670, 671] werden soll: Wenn zwischen den n Veränderlichen x1} x₂,... xn gewisse m Gleichungen (2) und sonst keine Beziehungen bestehen, so sind ihre Differentiale dxx, dx₂, . . . dxn den m Gleichungen:

(3)    ||r dxx + dx₂ + • • • -f dxn = 0 (Je = 1,2,... m)

und keiner weiteren Bedingung unterworfen. Wir verlangen also, daß die gegebenen Gleichungen (1) aus den gesuchten Gleichungen (2) und den aus diesen folgenden Gleichungen (3) allein durch Elimination und Substitution hervorgehen.

Jedes Gleichungensystem (2), das in diesem Sinne alle s gegebenen Gleichungen (1) zur Folge hat, heißt ein System von Lösungen.

Man kann auch so sagen: Infolge der gesuchten Gleichungen (2) werden gewisse unter den n Veränderlichen x1} x₂, ...xn Funktionen der übrigen, die völlig unabhängig bleiben. Die Aufgabe, das System (1) vollständig zu integrieren, ist daher diese: Es sollen auf alle möglichen Weisen gewisse der n Veränderlichen x1} x₂, . . . xn so als Funktionen der übrigen, etwa von xa, x^, . . . xM, bestimmt werden:

(4)

Xi = (Xa, xßy- XM),

daß die Gleichungen (1) befriedigt sind, sobald darin für die Veränderlichen x diese Funktionen von xa,Xß,...x^ allein und für ihre Differentiale die Funktionen:

(5)

dxt =

dx«+°Ądxp⁺\--⁺Ądx*

von xa, Xp,. . . x^ und dxa, dXp . . . dx^ gesetzt werden, wie man auch, die Veränderlichen xa, x#,... x^ innerhalb eines Variahilitätsbereiches wählen mag und welche Werte auch die Differentiale dxa, dx^, . . . dx^ haben mögen.

Die Gleichung (4) ist wohlbemerkt nur der Repräsentant einer Reihe von Gleichungen, in denen links der Reihe nach alle x mit Ausnahme von xa, Xß, . . . xfl auf treten, und das Entsprechende gilt von der Gleichung (5).

Da die Gleichungen (3) die einzigen sind, die aus den Gleichungen (2) für die Differentiale hervorgehen, und da sie

[671

sich nicht ändern, wenn alle Differentiale mit derselben beliebigen Zahl multipliziert werden, und da entsprechendes von den Gleichungen (5) und (4) statt (3) und (2) gilt, so schließen wir: Das System (1) ist überhaupt sinnlos, d. h. es hat gar keine Integralgleichungen, wenn nicht das System (1) un-geändert bleibt, sobald die Differentiale dxx, dx₂, . . . dxn sämtlich mit derselben beliebigen Zahl multipliziert werden.

Mithin müssen wir voraussetzen, daß die Gleichungen (1) homogen in dx1} dx₂, . . . dxn seien, womit wir eben meinen, daß sie nach dem Ersetzen aller dxi durch tdx{ doch von t befreit werden können, wie auch t gewählt sein mag.

Die erste Schwierigkeit, die nun ein solches vorgelegtes System (1) von totalen Differentialgleichungen darbietet, besteht darin, daß man von vornherein gar nicht weiß, welche der n Veränderlichen xt, x₂, . . . xn als unabhängig betrachtet werden dürfen, d. h. welches die vorhin mit xa, x^, . . . xfl bezeichneten Größen sind. Man wird also alle verschiedenen Möglichkeiten durchprüfen. Nimmt man z. B. an, daß xx, x₂, ... xm die unabhängigen Veränderlichen und x ihnen seien, so kann man setzen:

^xm

. . xn Funktionen von

dXm +1 ⁼ "Ihr”¹ ^X1 +

n    ^Xm + 2    . dXm + 2 ,

(6) dXm + » =    dxi + -J^dx2 + • • ' +

dxi

dxm +1

d xm

OX

m + 2 d X,n

dx

dxn =

dXn

dxj -J-

ÖXn

8x₂

dx₂-\- • • • -f-

°Xn

Öxm

dXrn ■

dx,

Durch die Substitution dieser Werte in (1) gehen alsdann Gleichungen in xx, x₂, ... xn, in den partiellen Ableitungen erster Ordnung von xm + 1, . . . xn und in dx1} dx₂, . . . dxm hervor, und es ist zu fordern, daß sie für alle Werte der völlig beliebigen Differentiale dxx, dx₂, . . . dxm der unabhängigen Veränderlichen xl} x₂, . . . xm bestehen. Dies hat zur Folge, daß sie in eine Reihe von Gleichungen zerfallen müssen, die nur noch xx, x₂,... xn und die partiellen Ableitungen erster Ordnung von x wird auf ein System erster Ordnung von partiellen Differentialgleichungen für die- n — m unbekannten Funktionen xm+x,... xn «71]

. . xn enthalten, d. h. das System (1)

von x₁, x₂, ... xm zurückgeführt. Hat dies System kein Lösungensystem xm+1, ... xn, so folgt, daß die Annahme unzulässig war, unter der man zu dem Systeme gelangt ist, die Annahme nämlich, daß gerade xu x₂, ... xm voneinander unabhängige Veränderliche seien.

Statt x1} x₂, ...xm kann man bei dieser Überlegung natürlich irgend welche unter den n Veränderlichen xlf x₂, ... xn und zwar in beliebiger Anzahl annehmen und dann alle möglichen Fälle durchprüfen.

672. Beispiele. Die allgemeinen Erörterungen sollen durch zwei sehr einfache Beispiele erläutert werden.

1. Beispiel: Es seien a, b, c gegebene Zahlen, und es liege eine totale Differentialgleichung vor von der Form:

(i)

adx ff- bdy ff- cdz = 0.

In der Tat ist sie homogen in dx, dy, dz. Welche Beziehungen auch zwischen den drei Veränderlichen x, y, z bestehen mögen, stets besagt die Gleichung, daß das vollständige Differential von ax + by -{-cz verschwindet, woraus nach Satz 8, Hr. 74, folgt:

(2)

ax ff- by ff- cz = C.

Hier ist C eine Konstante. Umgekehrt: Ist C eine beliebig gewählte Konstante, so zieht die Gleichung (2) stets die Gleichung (1) nach sich. Hieraus folgt: Die Gleichung (1) wird in allgemeinster Weise dadurch integriert, daß man eine Gleichung (2) mit einer willkürlichen Konstanten C ansetzt. Dazu darf man aber noch beliebige andere Gleichungen zwischen x, y, z hinzufügen, vorausgesetzt, daß sie weder einander noch der Gleichung (2) widersprechen.

Fügen wir gar keine Gleichung zu (2) hinzu, so heißt dies bei der geometrischen Deutung im Raume mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y, z: Jede der unendlich vielen parallelen Ebenen ax ff- by ff- cz = konst, stellt eine Lösung dar. Fügen wir eine Gleichung zu (2) hinzu:

(p{x,y,z) = 0,

so gibt sie zusammen mit (2) irgend eine Kurve in einer jener Ebenen. Jede Kurve in einer der Ebenen ax -fby ff- cz = konst.

[671, 678

stellt demnach auch eine Lösung vor. Wenn wir schließlich noch zwei Gleichungen außer (2) annehmen, so werden alle drei Größen x, y, z Konstanten, d. h. es geht irgend ein Punkt des Raumes als Lösung hervor. Man muß aber sagen — und zwar, weil es nicht nur in diesem Beispiele, sondern entsprechend für jedes System von totalen Differentialgleichungen gilt —, daß die durch x = konst., y — konst., z — konst, dargestellte Lösung trivial ist.

2. Beispiel: Zu ganz anderen Ergebnissen führt die totale Differentialgleichung :

(3)

ydx — xdy + dz = 0, deren linke Seite kein vollständiges Differential ist. Nehmen wir zunächst an, es bestehe nur eine (gesuchte) Gleichung zwischen x, y, z, so definiert sie entweder z als Funktion von x und y oder ist frei von z. Im ersten Falle setzen wir:

dz

dz

dz — ö— dx + — du ex    oy a

in (3) ein und fordern, daß die hervorgehende Gleichung:

ty + Wx) dx + (~ x + Jy) dy = 0

für alle Werte von dx und dy bestehe, d. h. daß einzeln:

dz

dx

= -y,

dz

■q ⁼⁼⁼ X dy

sei, wodurch die totale Gleichung (3) auf ein System erster Ordnung von partiellen Differentialgleichungen für eine unbekannte Funktion z von x und y zurückgeführt worden ist. Aber eine Funktion z, die diesen beiden Gleichungen genügt, gibt es nicht, weil die Bedingung:

d dz

d_dz = dy dx dx dy

hier nicht erfüllt ist. Die Annahme, daß z eine Funktion der beiden unabhängigen Veränderlichen x und y sei, darf daher nicht gemacht werden.

Wir kommen zu dem Falle, daß eine und nur eine (gesuchte) Gleichung zwischen x und y allein bestehe, z. B. fix, y) = 0. Sie würde geben:

fjx + fydy = 0,

und hiervon kann die Gleichung (3) keine Folge sein, weil sie noch dz enthält. Also ist auch diese Annahme falsch.

Deshalb nehmen wir jetzt an, daß zwischen den drei Größen x, y, z insgesamt zwei voneinander unabhängige Gleichungen bestehen. Entweder werden sie y und z als Funktionen von x definieren, oder sie bestehen aus einer Gleichung x = konst, und einer Gleichung zwischen y und z allein. Im ersten Falle sind cly : dx und dz : dx die Ableitungen y und z von y und z nach der einzigen unabhängigen Veränderlichen x, so daß aus (3) hervorgeht:

y — xy + / = 0 oder z = xy — y.

Setzen wir hierin für y irgend eine differenzierbare Funktion X von x ein, so kommt:

z=ßxX'—X) dx + C,

(4)

y = X{x),

wobei C eine willkürliche Konstante bedeutet. Diese beiden Gleichungen definieren im Raume eine Kurve, die noch in hohem Maße willkürlich ist, weil außer der Konstanten G auch die Funktion X von x willkürlich gewählt werden kann. Daß die Gleichungen (4) die vorgelegte totale Differentialgleichung (3) nach sich ziehen, ist sofort zu bestätigen, denn die aus (4) folgenden Werte:

dy=X'dx,    dz = (xX'—X)dx

erfüllen zusammen mit y — X die Gleichung (3).

Es bleibt noch die Annahme zu untersuchen, daß x eine Konstante A ist und außerdem eine Gleichung zwischen y und z besteht. Alsdann gibt (3):

— A dy -j- dz = 0,

d. h. z — A y = konst., so daß die Gleichungen:

x = A, z = Ay + B

mit willkürlichen Konstanten A und B ebenfalls eine Lösung der totalen Differentialgleichung (3) vorstellen. Im Raume definieren sie eine beliebige Gerade, die der yz-Ebene parallel läuft.

Der Vollständigkeit halber sei noch erwähnt, daß x = konst., y = konst., z = konst, eine triviale Lösung von (3) ist.

Während sich im ersten Beispiele die nicht trivialen Lösungen geometrisch als Ebenen und Kurven darstellen, sind sie im zweiten Beispiele nur Kurven. Im ersten Beispiele gibt es Lösungen, die aus nur einer Gleichung zwischen x, y, z bestehen, im, zweiten nicht.

§ 4. Nachträgliche Bemerkungen.

673. Die Hauptaufgabe. In Nr. 671 sahen wir, daß sich die totalen Differentialgleichungen auf partielle zurückführen lassen. Man kann nun auch, wie wir später sehen werden, die partiellen auf gewöhnliche zurückführen. Nach Satz 2 in Nr. 663 ist ferner jedes System von gewöhnlichen Differentialgleichungen in eines von der ersten Ordnung zu verwandeln, ja nach Satz 3 in Nr. 665 gelingt es durch Elimination, Substitution und Differentiation, jedes System von gewöhnlichen Differentialgleichungen in ein solches System von der ersten Ordnung zu verwandeln, das wir eine Normalform nannten:

(1)

y'i = fi(x, Vi, y%, • • • y„) d = 1,2,... w).

Nicht immer wird ein solches System gerade in dieser nach allen Ableitungen y- der unbekannten Funktionen yt aufgelösten Form (1) vorliegen, sondern allgemeiner als ein System von n Gleichungen:

(2) Ft (x,y₁₇y₂₎... yn, yf, yf,... yf) = 0 (i = 1, 2,... n), deren linke Seiten voneinander unabhängige Funktionen hinsichtlich yf, yf, . . . yf sind.

Daher wird es unsere Hauptaufgabe sein, Systeme von der Form (1) oder der allgemeineren Form (2) zu untersuchen.

Im einfachsten Falle n = 1 liegt nur eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung vor, entweder in der nach y aufgelösten Form:

(3)

y'=f(x,y)

oder in der nicht aufgelösten Form:

(4)

F(x, y, y) = 0.

Wir werden daher die Differentialgleichungen (3) und (4) besonders gründlich untersuchen.

673, 673]

674. Integration, Quadratur, Existenzbeweise.

Unter Integration wurde im zweiten Bande die Auswertung eines einfachen oder mehrfachen Integrals verstanden oder auch die Bestimmung einer Funktion, deren vollständiges Differential gegeben ist, da auch diese Bestimmung nach Nr. 609 bis 611 auf die Auswertung einer Anzahl von Integralen zurückkommt.

Dagegen haben wir im gegenwärtigen Kapitel unter Integration die Berechnung aller Lösungensysteme von vorgelegten Systemen von Differentialgleichungen verstanden. Dies ist eine bedeutende Verallgemeinerung des Begriffes der Integration (vgl. Nr. 661). In der Tat ist auch die Aufgabe, z. B. ein einfaches Integral y = ff(x)dx auszuwerten, hierunter enthalten, denn sie bedeutet nichts anderes als die Bestimmung aller Lösungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung von der speziellen Form:

Es wird sich später das Bedürfnis herausstellen, für den engeren Begriff der Integration, der im zweiten Bande ausschließlich maßgebend war, einen unterscheidenden Namen zu haben. Wir werden daher für die Auswertung eines einfachen Integrals die Bezeichnung Quadratur nach Nr. 530 anwenden. Die Auswertung eines mehrfachen Integrals und die Integration eines vollständigen Differentials besteht alsdann in der Ausführung einer Anzahl von Quadraturen.

Die älteren, sogenannten klassischen Integrationsmethoden für Differentialgleichungen haben als Hauptziel, die Bestimmung aller Lösungen bzw. Lösungensysteme mittels Elimination, Substitution und Differentiation soweit wie möglich auf bloße Quadraturen zurückzuführen. Abgesehen davon, daß dies nicht immer möglich ist, können sich den dabei nötigen Eliminationen und Substitutionen erhebliche Schwierigkeiten in den Weg stellen, denn sie erfordern eine gründlichere Untersuchung der Frage, inwieweit die dabei zu berechnenden Funktionen wirklich bestimmt werden können, stetig und differenzierbar sind usw.

Die neuere Richtung in der Behandlung von Differential-

[674

gleichungen geht dahin, unmittelbar aus den vorgelegten Gleichungen oder Systemen von Gleichungen die Eigenschaften der Lösungensysteme zu erkennen. Es ist dies die funktionentheoretische Richtung im Gegensätze zu der vorhin gekennzeichneten formalen Richtung. Das ganze letzte Kapitel des vorigen Bandes ist eigentlich nur ein Beispiel zu dieser funktionentheoretischen Behandlungsweise, denn es beschäftigt sich mit denjenigen reellen, stetigen und differenzierbaren Funktionen u und v von zwei reellen Veränderlichen x und y, die den beiden Cauchy-Riemannschen Gleichungen:

du    d v    du    v

dx    dy’    d y    x

genügen. (Vgl. das 3. Beispiel in Kr. 670). Obgleich wir damals die Theorie der monogenen Funktionen u -f- iv nur in ihren Hauptzügen gegeben haben, sieht man doch schon, was für eine Fülle schwieriger Aufgaben die funktionentheoretische Behandlung eines verhältnismäßig einfachen Systems von Differentialgleichungen nach sich ziehen kann. Die diesem Werke gezogenen Grenzen gestatten deshalb auch nur ein gelegentliches Eingehen auf Untersuchungen in dieser zweiten Richtung. Unsere Hauptaufgabe wird die formale Behandlung der Differentialgleichungen bleiben. Ihr Ziel kann noch erweitert werden: Es ist auch schon als ein Gewinn zu betrachten, wenn es gelingt, zu zeigen, daß ein vorgelegtes System von Differentialgleichungen vollständig integriert werden kann, sobald man ein gewisses einfacheres System zu integrieren vermag.

In einer Hinsicht soll aber doch die funktionentheoretische Untersuchung bis zu einem gewissen Abschlüsse durchgefübrt werden. Es soll nämlich bewiesen werden, daß die vorgelegten Systeme von Differentialgleichungen in der Tat stetige und differenzierbare Lösungen haben, sobald man über die in den Systemen auftretenden gegebenen Funktionen vernünftige Voraussetzungen macht.

Solcher Existenzbeweise, wie sie genannt werden, gibt es zweierlei Arten, je nachdem man sich grundsätzlich auf das reelle Gebiet beschränkt oder komplexe Veränderliche zuläßt. Im nächsten Kapitel werden wir die Existenzbeweise im reellen

Gebiete erledigen, die im komplexen Bereiche sollen erst später gegeben werden. Nach den Auseinandersetzungen in Nr. 673 kommt es im wesentlichen darauf an, die Existenzbeweise insbesondere für die Systeme erster Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen zu geben, sei es nun, daß sie in der Normalform, d. h. nach den Ableitungen aufgelöst, oder nicht nach den Ableitungen aufgelöst vorliegen.

675. Einige Bezeichnungen. Im vorhergehenden wurde streng zwischen den Worten: Auflösung und Lösung unterschieden, und es ist nützlich, dies auch künftig zu tun. Unter der Auflösung von Gleichungen verstehen wir die Bestimmung solcher Größen oder Funktionen, die sich aus einem gegebenen Systeme von Gleichungen allein durch Elimination und Substitution ergeben (vgl. § 1, 4. Kap. des 1. Bandes). Dagegen sagen wir Lösung zur Bestimmung derjenigen Funktionen bzw. Funktionen Systeme, die einem gegebenen Systeme von Differentialgleichungen genügen. So z. B. gibt die Auflösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung:

F{x,y,y) = 0

nach y eine Gleichung:

y = f(,x, y )

oder einige solche Gleichungen, während ihre Lösung erfordert, diejenigen Funktionen y — <p(x) zu berechnen, die für alle Werte von x in einem gewissen Bereiche der Gleichung genügen :

F(cc, <p(x), cp\xj) = 0.

Den Gegensatz zu den Differentialgleichungen bilden die sogenannten endlichen Gleichungen, d. h. diejenigen Gleichungen, in denen zwar gesuchte Funktionen, aber nicht ihre Ableitungen auftreten. Solche Gleichungen ergaben sich z. B. auch bei der Untersuchung eines Systems von Differentialgleichungen in Nr. 664 unter (3). Wenn man wie z. B. in Nr. 71 (insbesondere Satz 6 ebenda) unter der Ableitung nullter Ordnung einer Funktion f(x) diese Funktion selbst verstehen will, so kann man die endlichen Gleichungen auch Differentialgleichungen nullter Ordnung nennen.

Zweites Kapitel.*)

Existenzbeweise im reellen Bereiche.

§ 1. Vorbereitende Betrachtungen.

676. Verwandlung- von y =f(x, y) in eine totale Differentialgleichung. Eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung, die nach der Ableitung der unbekannten Punktion y von x aufgelöst ist, hat die allgemeine Form:

(1)

y =°f(?,y)-

Wir betrachten sie nur innerhalb eines solchen Bereiches der beiden Veränderlichen x und y, in dem die Funktion f(x, y) stetig ist, und beschränken uns also auf die Untersuchung von stetigen Lösungen y = q>(x), die diesem Bereiche angehören. Aus der Bedingung für die Lösungen:

(2)

Cp'(x) = f(x, cp(X))

erhellt, daß wir Differenzierbarkeit der Lösungen fordern müssen, und (2) zeigt, daß auch die Ableitungen der Lösungen stetig sein werden.

Es sei hervorgehoben, daß wir bis auf weiteres alle Veränderlichen und Funktionen auf reelle Bereiche beschränken (vgl. Nr. 674). Ferner wird es vielleicht gut sein, besonders zu bemerken, daß wir wie immer von solchen Funktionen, die

1) Dies Kapitel bereitet vielleicht vorläufig Schwierigkeiten. Zum Verstehen des Späteren braucht man in diesem Falle zunächst nur den ersten Paragraphen zu studieren und von den Lehrsätzen des Restes ohne Beweise Kenntnis zu nehmen. Hat man alsdann nach Beendigung des dritten Kapitels größere Vertrautheit mit den gewöhnlichen Differentialgleichungen erlangt, so kehre man zum vollständigen Studium dieses zweiten Kapitels zurück.

mekrwertig sind (vgl. § 5, 8. Kap. des 2. Bandes), absehen, solange es nicht ausdrücklich anders gesagt wird. Alle Funktionen sollen also entsprechend den grundlegenden Definitionen in Nr. 6 in ihren Bereichen eindeutig sein..

Werden x und y als rechtwinklige Koordinaten in der Ebene aufgefaßt, so definiert die Differentialgleichung (1) an jeder Stelle M oder (x, y) des Bereiches der Funktion f nach Nr. 666 ein Linienelement, nämlich dasjenige, dessen Richtung mit der positiven #-Achse einen Winkel x bildet, für den

(3)

tg T = fix, y)

ist. Die Lösungen y = cp (x) werden alsdann durch Integralkurven dargestellt, nämlich durch diejenigen Kurven, die lauter Linienelemente von dieser Art enthalten.

Durch die Voraussetzung, daß f{x,y) stetig sei, werden solche Linien element e ausgeschlossen, die zur Abszissenachse senkrecht sind. Daß dies nicht immer der geometrischen Deutung einer Differentialgleichung angemessen ist, zeigt das folgende Beispiel: Liegt als Gleichung (1) die Differentialgleichung ,    x

y =--

J    y

vor, so ist f die Funktion — x : y. Demnach ist jede Stelle {x, y) der Ebene zulässig, abgesehen von den Stellen der x- Achse y — 0. Nun aber sind    »

die Integralkurven die Kreise um den Anfangspunkt 0 als Mittelpunkt (vgl. das Beispiel in Nr. 666).

Ein solcher Kreis vom Radius C, siehe Fig. 5, stellt aber zwei verschiedene Funktionen:

y=j yc²—x² j, y=— yc²—x²j

Fig. 5.

dar, je nachdem man seine obere oder untere Hälfte ins Auge faßt, und wenn man die Kurven im Sinne wachsender Werte der unabhängigen Veränderlichen x durchläuft (vgl. Nr. 169), so haben die Halbkreise entgegengesetzten Sinn. Die Stellen A und B, an denen der Kreis die x- Achse schneidet, d. h. wo die Linienelemente auf der x-Achse senkrecht stehen,

[676

sind nach der Yoraussetzung über die Funktion f = — x : y ausgeschlossen. Dies ist ebensowenig wie die Teilung des Kreises in Halbkreise der einfachen geometrischen Bedeutung der Differentialgleichung angemessen, denn die Gleichung besagt, daß jeder Stelle M das zum Radiusvektor OM senkrechte Linienelement zu geordnet werden soll. Vom geometrischen Standpunkte aus wäre es danach vielmehr das Natürlichste, als Integralkurven alle Yollkreise um 0 mit einheitlichem Drehsinne zu bezeichnen, wobei die Stellen auf der x-Achse durchaus keinerlei Ausnahmerolle spielen.

Solange die Größe x als unabhängige Veränderliche dient, können wir die analytische Betrachtung dieser geometrischen Auffassung nicht anpassen, weil die Größe x als unabhängige Veränderliche an solchen Stellen einer Kurve versagt, wo die Tangente zur x- Achse senkrecht ist. Wir behalten uns daher vor, ob wir x oder y als unabhängige Veränderliche auffassen wollen und ersetzen demgemäß die Ableitung y durch den Dif

ferentialquotienten dy : dx, so daß die Differentialgleichung des Beispiels übergeht in:

dx

oder, wenn wir alle Nenner entfernen, in:

x dx -j- y dy = 0.

Jetzt hat sie die Form einer totalen Differentialgleichung (vgl. Nr. 671) und besagt, daß das vollständige Differential von x² + y² verschwindet, d. h. x² -f y² konstant, etwa gleich C², sein soll:

x² -f- y* = C².

In der totalen Differentialgleichung treten statt der einen Funktion f = — x : y zwei Funktionen als Faktoren von dx und dy auf, nämlich x und y, und sie sind in der ganzen Ebene, auch auf der Abszissenachse, stetig.

Ganz entsprechend gehen wir bei einer beliebigen vorgelegten gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung von der Form (1) vor. Zunächst wird darin die Ableitung y' durch den Differentialquotienten dy : dx ersetzt:

Zunächst wird die Funktion f{x, y) in einen Quotienten von zwei Funktionen:

(5)

f O, y) =

Y (a?, y)

X{x,y) zerlegt. Dies kann in mannigfacher Weise geschehen. Insbesondere kann man es häufig ebenso wie in dem Beispiele einrichten, so daß da, wo f(cc, y) unstetig wird, dennoch sowohl X als auch Y stetig bleibt. Wenn man nun den Quotienten (5) für f in (4) einführt und alle Nenner entfernt, so geht die vorgelegte gewöhnliche Differentialgleichung in die totale Differentialgleichung über:

(6)

X (x, y)dy — Y (x, y)dx = 0.

Nunmehr lassen wir als erlaubten Bereich ein solches

Gebiet zu, in dem die beiden Funktionen X und Y von x und y stetig sind. Es ist dies der alte Bereich, aber zu ihm treten bei passender Zerlegung von f in Y : X noch solche Stellen (x, y), für die f unstetig, nämlich unendlich wird, d. h. solche Stellen, deren Linienelemente zur Abszissenachse senkrecht sind. Das zum Punkt (x, y) gehörige Linienelement hat die durch:

0)

tg r =

sin T

Y(x, y)

cos r

X (x, y)

gegebene Richtung, und wir können insbesondere noch festsetzen, daß sin x bzw. cos x dasselbe Vorzeichen wie Y bzw. X haben soll. Alsdann ist auch der Sinn der Dichtung des Linienelements vollkommen festgelegt.

In dem Beispiele besagt diese Festsetzung, daß sin x dasselbe Vorzeichen wie Y — x und cos x

dasselbe wie X = — y haben soll.

Fig. 6.

Demnach haben jetzt die Richtungen der Linienelemente, die ja in diesem Beispiele zu den Radienvektoren senkrecht sind, die in Fig. 6 angedeuteten Sinne. Man sieht, daß nunmehr die Integralkurven, nämlich die Kreise mit dem Mittelpunkte 0, überall einen einheitlichen Fortschreitungssinn haben.

S er r e t- S chef fers, Diff.- u. Integral-Kecłmung. III. 3.Aufl.

677. Verwandlung der totalen Differentialgleichung in ein System von zwei gewöhnlichen Differentialgleichungen. Die allgemeinste Art, eine Kurve in der xy-Ebene darzustellen, besteht nach Nr. 168 darin, daß man beide Koordinaten x und y als stetige und differenzierbare Funktionen einer Hilfsveränderlichen t betrachtet. Die totale Differentialgleichung :

(1)

X (x, y)dy — Y(x, y) dx — 0

besagt daher, daß eine Kurve dann und nur dann eine Integralkurve ist, wenn x und y solche stetige und differenzierbare Funktionen von t sind, deren Ableitungen dx : dt und dy : dt der Gleichung genügen:

(2)

Erinnern wir uns daran, daß f=Y:X nur eine der unzählig vielen möglichen Arten der Zerlegung der Funktion f in einen Quotienten darstellt, so folgt, daß die Allgemeinheit der analytischen Darstellung der Integralkurven nicht beschränkt wird, wenn wir insbesondere dx : dt = X setzen. Aber dann folgt aus (2) sofort noch dy : dt = Y. Wir gelangen somit zu den Gleichungen :

cO

a «•i &

&J a,

Y(x,y).

Dies ist ein System erster Ordnung von zwei gewöhnlichen Differentialgleichungen mit ztvei unbekannten Funktionen x und y von t. Durch Elimination von t, nämlich durch Division der beiden Gleichungen (3), geht wieder die totale Differentialgleichung (1) hervor.

Demnach werden wir zu folgender Aufgabe geführt: Es seien X und Y in einem gewissen Bereiche stetige Funktionen von x und y. Dann sollen alle Funktionenpaare:

(4)

x = <p(t), y = if(ß)

gefunden iverden, die in einem gewissen Intervalle der Veränderlichen t stetig sind und bestimmte endliche Ableitungen erster Ordnung haben, die überdies Stellen (x, y) jenes Bereiches geben

677] und die außerdem in dem Intervalle überall den beiden Gleichungen:

(5) genügen. Aus (5) folgt sofort, daß jedes derartige Lösungensystem (4) nicht nur bestimmte endliche, sondern auch stetige Ableitungen erster Ordnung hat.

Nach wie vor ordnet das Gleichungensystem (3) jedem Punkte (x, y) des Bereiches in der xy-Ebene ein bestimmtes Linienelement zu, nämlich dasjenige, dessen Richtung mit der positiven x-Achse den durch:

sin x : cos r = Y (x, y) : X (x, y)

gegebenen Winkel x bildet, wobei sin x bzw. cos x dasselbe Vorzeichen wie Y bzw. X haben soll. Wenn die durch (4) dargestellte Integralkurve im Sinne wachsender Werte der Hilfsveränderlichen t durchlaufen wird (wie in Nr. 169), so hat sie in jedem Punkte nicht nur dieselbe Richtung, sondern auch denselben Sinn wie das zugehörige Linienelement.

Beispiel: Nehmen wir wieder die schon mehrfach betrachtete D ifferentialgleichung :

y'=-

an, indem wir X = — y und Y = x wählen, so ergibt sich das System (3) in der Form:

(6)

dy

~TT = X.

Infolge hiervon ist:

-*(»£+49-o

d. h. x* -\- y* = C², wo C eine Konstante bedeutet. Hiernach kann gesetzt werden:

y = C sin œ.

x = C cos 03,

Alsdann ist œ die noch zu bestimmende Funktion von t, und aus den beiden Gleichungen (6) geht durch Substitution dieser Werte dieselbe Gleichung:

dco

dt

d. h. o = t c

hervor, wobei c eine Konstante vorstellt. Somit erhalten wir: x = C cos (t -f c), y = C sin (t -f- c).

(?)

In der Tat sind dies die Gleichungen eines Kreises um den Anfangspunkt 0 als Mittelpunkt, ausgedrückt mittels der Hilfs-veränderlichen t, und mittels dieser Gleichungen (7) wird das System (6) vollständig integriert.

§ 2. Existenzbeweis beim Systeme dx : dt = X, dy:dt = Y.

678. Voraussetzungen. Wir finden es zweckmäßig, statt der Frage nach der Existenz von Lösungen der Gleichung y' = f(x, y) zunächst die Frage nach der Existenz von Lösungensysteinen des Systems:

dx

= X{x,y), -f-r(*,y)

zn erledigen. Es wird nämlich nachher (in Nr. 686) leicht sein, auch die erste Frage zu beantworten.

Wenn wir uns auf einen Bereich von Stellen (x, y) beschränken, in dem X und Y stetig sind und bestimmte endliche partielle Ableitungen erster Ordnung haben, können wir einer bestimmt gewählten Stelle (x₀, y₀) im Innern des Bereiches eine Umgebung:

(2) \x — xQ\ <1, \y — yo\<k

zuschreiben, die völlig dem Bereiche angehört, siehe Fig. 7. Alsdann gibt es zwei (endliche) positive Zahlen g und g derart, daß in der Umgebung (2) überall die Ungleichungen gelten:

\X\ <g,    \Y\ < g,

(4) py< g, I X,\<g, irj <9,    ! Y,\ < g.

Die Zahlen g und g werden in der folgenden Beweisführung eine wichtige Rolle spielen.

677, 678]

(i)

dt

t\

■a

JCo

Fig. 7.

(3)

7c

Sind (x, y) und (x -f dx, y -f- dy) zwei Stellen in der Umgebung (2), so gibt es nach dem Mittelwertsatze 28 von Nr. 137 zwei positive echte Brüche 6 und & derart, daß:

dX=X(x+dx, y+dy)-X(xJy)-(Xxdx+Xsdy)x+eJXtÿ+eJy, dY=Y(x+dx, y+dy) -Y(x,y) = (Yxdx+Yydy)x+^y+&Jy

wird, wobei die Indizes angeben, welche Werte statt x und y eingesetzt werden sollen. Die Stellen (x -f ddx, y + Ody) und (x-\-&dx, yAr&dy) gehören ebenfalls der Umgebung (2) an. Daher folgt aus (4) nach Satz 2, Nr. 4, daß überall in der Umgebung (2) die Ungleichungen gelten:

(5) \dX\ <g(\dx\ + \dy\),    \dY\<g\\dx\ + \dy\).

Diese Ungleichungen werden wir später benutzen.

679. Ersatz einer Integralkurve durch ein Polygon.

Das System:

ordnet jedem Punkte (x, y) des Bereiches, wenn wir wieder x und y als rechtwinklige Koordinaten deuten, ein bestimmtes Linienelement zu. Weil nun eine durch den Punkt (x, y) gehende Integralkurve x = <p iß), y = ^ (ß) die Richtung des zugehörigen Linienelements zur Tangentialrichtung hat, so liegt es

nahe, zur Annäherung an eine der noch -

völlig unbekannten Integralkurven ein Polygon zu konstruieren: Yon M0 oder (x₀,y₀) aus, siehe Fig. 8, wird die Richtung des zugehörigen Linienelements bis zu einem benachbarten Punkte Mx oder (xt, yx) verfolgt. Yon Mx wird darauf in der Richtung desjenigen Linienelements, das dem Punkte Mt zugeordnet ist, bis zu einem benachbarten Punkte weiter gegangen, usw. Es ist dann zu vermuten, daß das entstehende Polygon M₀MXM₂... einer Integralkurve um so näher kommt, je kürzer alle Strecken M₀MJ} MxM₂, . . . gewählt werden. Dies werden wir in der Tat in den folgenden Nummern beweisen. Wir gehen dabei

(i)

% - y)

M.

WM₀

Mny.

(x.y)

Fig. 8.

entsprechend der in Nr. 7 aufgestellten Forderung rein analytisch ? or, wenn wir auch die geometrische Veranschaulichung der größeren Deutlichkeit halber heranzieh eu. Die Konstruktion wird analytisch so wiedergegeben:

Es seien t₀ und t zwei irgendwie, aber bestimmt gewählte Werte, und vorerst sei t > tQ gewählt, weil dies für den Ausdruck der Formeln etwas bequemer ist. Das Intervall von tQ bis t teilen wir durch irgendwelche wachsende Zwischenwerte tx, t₂, • •. tn._t in etwa n Teile. Nun berechnen wir xx,yx, alsdann x₂, y₂ usw. und schließlich xn_x, yn_x und ein letztes Wertepaar x, y mit Hilfe der folgenden Gleichungen:

—    i o (^i    Q >

—    Yx (t₂    tx),

Vi-Vo

xi xo    ⁼⁼ X₀ (tx t₀),

x₂ —Xx

y»-y i

=    (t₂— tx),

(2)

Xn-1 Xn-2    2 (ßn—X 4-2)» Vn-\ Un-2    -^«-2(^-1 ^n~2)»

yx~xn-1

= X»_ 1 (t-K-l),    y-Vn-l = Yn-1 {t—K-l)-

Hierin sollen allgemein Xi und Y\ die Werte von X und Y für die Stelle (xi} y{) bedeuten. Es leuchtet ein, daß die beiden ersten Gleichungen die Koordinaten xx, yx eines Punktes Mx auf der Geraden desjenigen Linienelements geben, das dem Punkte M₀ oder (x₀, y₀) zugeordnet ist, usw. Insgesamt werden n Wertepaare xx,yx\ x₂,y₂\ ... xn_x, yn_x] x,y definiert, zu denen die Ecken Mx, M₂, . . . Mn_x, M eines in M₀ beginnenden offenen Polygons gehören. Wenn die Zerlegung von t — tQ durch die Zwischenwerte tx, t₂, ... tn_x bestimmt gewählt worden ist, so haben auch die Punkte Mx, M₂,... Mn _ x und der Endpunkt M bestimmte Lagen. Zu jedem Zwischenwerte t{ gehört eine Polygonecke oder also ein Wertepaar xi} y{.

Den Grenzübergang vom Polygon M₀MXM₂ . . . Mn_xM zu einer Kurve, die von M₀ ausgeht, führen wir gerade so aus, wie es von Nr. 404 an im zweiten Bande beim Nachweise der Existenz eines Integrals geschah: Wir schalten zwischen t0 und t immer mehr Zwischenwerte und zwar so ein, daß alle Teilintervalle nach Null streben und dementsprechend ihre Anzahl, also auch die Anzahl der Gleichungen (2) über jede Zahl wächst. Es soll vor allem gezeigt werden, daß dann die Endwerte x, y, die sich aus den letzten Gleichungen (2) ergeben, 679] nach bestimmten endlichen Werten streben. Ist dies geschehen, so wird daraus weiter die Existenz von Integralkurven bzw. Lösungensystemen folgen.

Zunächst muß untersucht werden, oh die Stellen (ælf y (x2> y₂), . . . (xn _ j, yn_₁) und (x, y) wirklich in der in voriger Nummer angegebenen Umgebung der Stelle (x₀, y₀) liegen. Aus den beiden ersten Gleichungen (2) folgt wegen der Ungleichungen (3) der vorigen Nummer:

\ xi - *ol < 9 (A — Q, I Vt ?/o <<)(h- to)'

Also liegt die Stelle (x₁, yf) gewiß in der Umgebung, wenn g (tx—t₀)<Ch ist. In diesem Falle sind auch j Xx j und [3^| kleiner als g. Nun folgt weiter aus den vier ersten Gleichungen (2) durch Addition je zweier:

X2 Ä'0⁼^-l(^2    ^l) + ^o0l t₀)} y₂ Vq— 3-1 (^2 h) "b -^o (ßl ^o)

und hieraus:

\vs — v₀ \ <g(t₂— t₀),

ys — Vo\ <9(ta~to).

Daher liegt auch die Stelle (x₂, y₂) in der Umgebung, wenn g(t₂—t₀)<Clc ist, usw. Weil żj—f₀, t₂— t₀, . . . tn_₁ — t₀ sämtlich keiner als t— t₀ sind, so ergibt sich:

Sobald t so gewählt ivird, daß:

(3)

0 <<-<„<!

ist, liegen alle Stellen (xt, yf), (x₂, y₂), ... (xn_x, yn_f) und (x, y) in der Umgebung \x — x₀ \ <Ck, | y — y₀| < k der Stelle (x₀, y₀), wie auch immer die Zwischenwerte tx, t₂, . . . tn_x gewählt sein mögen, vorausgesetzt nur, daß sie eine wachsende Folge bilden.

Es bedeute x eine beliebig klein gewählte positive Zahl. Nach Satz 1, Nr. 570, gibt es alsdann eine positive Zahl öx derart, daß die Schwankung:

\AX\ = \X(x + Ax, y + Ay) - X{x, y) \ der Funktion X in jener Umgebung kleiner als x ist für \Ax\ < ei, \Ay\<ö₁. Ebenso gibt es eine solche auf die Schwankung der Funktion Y bezügliche positive Zahl ö₂. Wird die kleinere der beiden Zahlen <5X und ö₂ mit 6 bezeichnet, so ist in der Umgebung der Stelle (x₀, y₀) stets:

(4) \AX\<Cr, \AY\<x infolge von \Ax\<f6, \Ay\<6.

[679

Werden nun alle Teilintervalle t₁— t₀, t₂ — t1} . . . t — tn_t Meiner als 6 : g angenommen, so sind die absoluten Beträge aller Differenzen xx — x₀, x₂ —- x1}. . . x — xn_x und yx — y₀, y’₂ — yx, .. . y — yn-i nach (2) kleiner als 6, wegen |XJ < g, \Y\<g. Also gibt (4):

⁽⁵⁾ {

-i

l^-X„|<r,    ... |X-X,

Y„\<r, Ir.-Z.K«, ... \Y - Yn_₁\<r.

680. Eine endlose Folge von Polygonen. Wir

nehmen eine endlose Folge von lauter solchen abnehmenden positiven Zahlen r1} t₂, ts, . . . an, die eine konvergente Reihe Ti + t2 + r3 + * • • bilden (wie z. B. die Folge 1, •£,    -J,    • • •).

Nach Satz 3, Nr. 103, streben diese Zahlen nach Null. Zu jeder Zahl r{ gibt es eine positive Zahl <5i derart, daß die Ungleichungen (4) der letzten Nummer bestehen, wenn darin t und ö durch r. und öi ersetzt werden.

Wir konstruieren nun statt des bisher betrachteten Polygons eine endlose Folge von Polygonen, die sämtlich von der Stelle M₀ oder (x₀, y₀) ausgehen. Zuerst teilen wir das Intervall von t₀ bis t durch Zwischen werte tl7 t₂, . . .tn_ i in lauter Teile, die kleiner als 0₁:g sind; zweitens schalten wir zwischen diesen Werten noch neue ein und zwar so, daß alle Teilintervalle kleiner als <?₂ : g werden, drittens schalten wir noch mehr Zwischen werte zwischen den schon angenommenen ein und zwar so, daß alle Intervalle kleiner als <?₃ : g werden, usw. Das Wesentliche ist hierbei, daß wir bei jeder folgenden, feineren Zerlegung von t — t₀ alle schon eingeführten Zwischenwerte beibehalten und neue zu ihnen hinzufügen. Zu jeder Teilung gehört nach dem Vorhergehenden ein bestimmtes von M₀ ausgehendes Polygon und also auch ein bestimmtes Endwertepaar x,y, und alle Polygone liegen in der Umgebung \x — æ₀| < k, y — y₀ \ <.k der Stelle (x₀, y₀). Zu allen Zwischen werten, die bei einer Teilung benutzt worden sind, gehören nicht nur alle Ecken des durch diese Teilung bestimmten Polygons, sondern auch Ecken aller folgenden Polygone, jedoch nicht notwendig alle Ecken der folgenden Polygone.

Es seien wie in voriger Nummer (x1} yf), (x₂, y₂), . . .

und (x,y) die Ecken des ersten Polygons, die zu

den Werten tx, t₂, ... tn_₁ und t gehören. Sämtliche Zwischenwerte der zweiten Teilung seien mit tß, t₂', . . . bezeichnet, und die zugehörigen Ecken des zweiten Polygons mögen die Ecken (xß, yß), (%ß, yß), ■ • • sein. Die Werte tXJ t₂, . . . tn_x gehören nach Voraussetzung auch zu den Werten tß, tß, .... Es sei also etwa:

to

(1)

h — ßn> h+1 — t

m + rl

d. h. wir nehmen an, daß bei der zweiten Teilung zwischen t{ und ti+1 insgesamt r — 1 Werte t'm geschaltet worden seien.

Die Gleichungen (2) der vorigen Nummer gelten für die Ecken des ersten Polygons. Entsprechende Gleichungen bestehen für die Ecken des zweiten Polygons, und von ihnen wollen wir nur diejenigen angeben, die sich auf das Intervall von t'm bis t'm + r beziehen:

-a

+i>

ßri + 2’ • • • Kl

i + r-l

ein-

xL

=x:

Î7J + 1

(C

Vm+l Vm

+1) * ym+2 ym+i

~    +1 (ßm + 2 Kn.+1)?

/y»    _/y» r

^m+r tAym+r—l

=X'

ttm+r—K

m+r—l

V m+r ym+r—l ^ ,

(ßm+r ^m+r—l)'

m+r—l

Hierin sollen Xß und Ykr allgemein die Werte X(xß,yß) und Y(xk,yk) bedeuten. Da t'm+r — t'm oder, was nach (1) dasselbe ist, ti+x — ti kleiner als 6X : g ist und also umsomehr alle Teilintervalle der zweiten Teilung kleiner als <3X : g sind, ergibt sich nach den Formeln (5) der letzten Nummer:

m+i—1

l~X:\<Ti.

XL

XL

I m + 1

so daß wir schreiben können:

(ß) ^-m+l⁼⁼-^'wii^lTl? ^■m+2==    =

wobei 0t, d₂, ... 0r_t positive echte Brüche sind und es dahingestellt bleibt, mit welchen Vorzeichen sie auftreten. Addition aller in (2) links stehenden Gleichungen gibt mithin:

Xm+ r

Xm    (ßm + r ßii)

+    {±0l(^» + 2~C + l) ± "• ± Qr-l(ß'm + r~tm + r-l))-

Die in der geschweiften Klammer stehende Summe ist absolut genommen kleiner als t'rn + r — t'm + u umsomehr nach (1) kleiner

[680

als ti+1—ti. Folglich können wir schreiben:

(⁴)    < + r- X’m = O & + 1 - Q ± *1^1 & + 1 - 0.

wenn wieder -9^ einen positiven echten Bruch vorstellt.

Diese Formel (4) bezieht sich auf die Differenz der Abszissen x'm und xjt + r derjenigen beiden Eckpunkte des zweiten Polygons, die zu den unmittelbar aufeinander folgenden Zwischenwerten t{ und ti+1 der ersten Teilung gehören, und eine entsprechende Formel ergibt sich für die Ordinaten.

Ehe wir hieraus Schlüsse ziehen, schalten wir wegen einer später zu machenden Anwendung ein: Sind t und t + z/t zwei unmittelbar aufeinander folgende Zwischenwerte zwischen t0 und t bei der (s — l)ten Teilung und gehören zu ihnen die

Eckpunkte (jcs, t>,), fe, + z/^, t)s + zJgs) des s ergibt sich entsprechend:

ten

Polygons, so

(5)

y Ai ±

= Y (ï„ I),) z/t + Tr,.! Jt, wobei    und    positive echte Brüche vorstellen. Denn

das sie Polygon steht zur (s — l)t0“ Teilung in derselben Beziehung wie das zweite Polygon zur ersten Teilung.

681. G-renzlage der Endpunkte aller Polygone.

Beim ersten Polygon gilt nach (2) in Nr. 679 die Gleichung:

®i+1 - xi = x (xo VÙ ft+i - tù-Ziehen wir sie von der Gleichung (4) der letzten Nummer ah, so kommt:

i +r

so daß:

+i

- fi) {x OC y'J - X(xt, yt) ± Tj »!}

I ^\Xm Xi\ ~b (^*+1    ^i) !XiXm' Vm) XTl(ßi+1 ^i)l

also nach (5) in Nr. 678:

K+r-xi+11<\x'm-xt\+(ti+1-tf)g {\x'm-x\ + \y'r-yl}+*!&+!-*<) ist. Ebenso gilt die auf die Ordinatendifferenz bezügliche Ungleichung:

\y'm+r-yi₊i\<\y'm-y\Y{tin-tj)g' {\x'm~x} + \y'm-y\ )+Tt(tt+t-ty.

Addition der beiden letzten Formelm ergibt:

IXm + r    Xi + il "i“ IVm + r Vi + \\ <^-

{1 + 2g\ti+x-tf)} {\x'm-xt\ + \y'm-yt\} + 2rL(<<+1- tt).

680, 681]

Es ist zur Erzielung einer größeren Übersichtlichkeit zweckmäßig, von jetzt an diejenigen n Ecken des zweiten Polygons, die insbesondere zu den schon bei der ersten Teilung benutzten Werten t1} t₂, . . . tn_ i, t gehören, mit

(Hl> Vi)> (^2? Vs)> • •

.. Ö

Vn-1)>    v)

*£«•

zu bezeichnen (siehe Fig. 9).

Fig. 9.

Alsdann lautet die letzte Ungleichung so:

Hi-M Xi +1 I ! Vi + l    Vi + l \

{1% 9 (ßi+i 0} {Hi xi I “H I Vi Vi I} -+• 2 rt +1    0 ■

Zahl 1 -j- {ti

Sie wird etwas übersichtlicher und ist leichter zu handhaben, wenn wir beiderseits t₁ : g' addieren und alsdann rechts die — 4) durch die nach Nr. 117 größere Zahl

e²*'(*,•+1-*> = 1 + 2g (tt

ersetzen. Es kommt nämlich so:

i+l

xi+il +1+-4- < {! g,-*,I + !    Vi, + 4} e2ÿ (<i+1 4

Diese Ungleichung gilt für i = 0, 1, 2, ... w — 1. Natürlich sind tn, xn, yn, gw, rjn durch t, x, y, g, rj zu ersetzen; es sind dies die auf die Endpunkte beider Polygone bezüglichen Größen. Außerdem ist |₀ = x₀ und r]₀ = y₀, weil beide Polygone an der Stelle (x₀, y₀) beginnen. Multiplizieren wir alle n Ungleichungen miteinander, so ergibt sich infolgedessen einfach: so daß umsomehr einzeln: ist. Die linken Seiten sind die absoluten Beträge der Differenzen zwischen den Koordinaten der Endpunkte des zweiten und ersten Polygons, siehe Fig. 9.

Die Beziehung zwischen den Endpunkten der beiden ersten Polygone ist dieselbe wie die zwischen den Endpunkten

[681

irgend zweier aufeinanderfolgender Polygone aus der endlosen Reihe von Polygonen, die wir in Nr. 680 konstruiert haben. Wenn wir daher von jetzt an allgemein mit jcs, t)s die Koordinaten des Endpunktes des sten Polygons bezeichnen, so gelten die Ungleichungen:

{«VC-«-!),

für alle Indizes s = 2, 3, 4, . . .. Nun aber ist:

(2)

h - h = (& - ïi) + (ïs -&) + ••' + (h - h-i),

~    ⁼ (1)2 ~ 9l) + (^3 — 92) + • ' • + (*h — 9»-l)’

Die rechten Seiten werden für lim s = 00 unendliche Reihen und sind dann wegen Satz 8, Nr. 104, unbedingt konvergent, denn die absoluten Beträge ihrer Glieder sind nach (1) kleiner

als die Glieder der nach Nr. 680 konvergenten Reihe r₁-\-r₂-\----,

nachdem man diese mit multipliziert hat. Folglich haben £s — und t)s — ljx für lim s — 00 bestimmte endliche Grenzwerte, daher auch £s und ^ selbst. Wir haben also gefunden:

Die Koordinaten des Endpunktes (j₄, IjJ des sten Polygons streben für lim s = 00 nach bestimmten endlichen Werten, und zwar liegt die zugehörige Stelle mit allen Ecken aller Polygone in der Umgebung:

\y - y₀ \ <k

\x — x₀ < k,

des Anfangspunktes (x₀, y₀) aller Polygone.

682. Vervollständigung der Betrachtung. Die Herstellung der immer feiner werdenden Teilungen des Intervalles von t₀ bis t, die wir in Nr. 680 ausführten, ist von besonderer Art, weil bei jeder folgenden Teilung alle Zwischenwerte der vorhergehenden Teilung mit benutzt wurden. (Vgl. die entsprechende Bemerkung in Nr. 407.) Es soll jetzt gezeigt werden, daß man immer zu denselben Grenzwerten der Endkoordinaten der Polygone kommt, von welcher Teilung des Intervalles man auch ausgehen mag, vorausgesetzt, daß alle 681, 683]

Teilintervalle nach Null streben und ihre Anzahl demgemäß über jede Zahl wächst.

Es sei x eine beliebig klein gewählte positive Zahl. Zu ihr gibt es nach (4) in Nr. 679 eine positive Zahl 6 derart, daß die Schwankungen der Funktionen X und Y kleiner als t werden, sobald sich x und y um weniger als <3 ändern. Wenn wir das Intervall von t₀ bis t in Teile zerlegen, die sämtlich kleiner als 6 : g sind, so trifft dies für die Unterschiede der Koordinaten der aufeinanderfolgenden Ecken des zur Teilung gehörigen Polygons zu, nach (5) in Nr. 679.

Nun seien zwei verschiedene Teilungen des Intervalles von t₀ bis t angenommen und durch Einschaltung hinreichend vieler Zwischenwerte so weit verfeinert worden, bis alle Teildifferenzen kleiner als <3 : g geworden sind. Die Koordinaten der Endpunkte der beiden zugehörigen Polygone seien £I; t)j und çn, bii- Ein dritte Teilung sei dadurch hergestellt, daß alle Zwischenwerte der ersten und alle Zwischenwerte der

zweiten Teilung zusammen benutzt werden, und es seien £m, die Koordinaten des Endpunktes des zugehörigen Polygons.

Weil hiernach die dritte Teilung sowohl aus der ersten als auch aus der zweiten durch eine solche Verfeinerung der Zerlegung gewonnen worden ist, bei der auch alle Zwischenwerte der ersten bzw. zweiten Teilung zur Verwendung kommen, so sind nach (1) in voriger Nummer sowohl

als auch

lïiii £il UI]d j Dm Dil

£m £ii

kleiner als

und j hm Du j, {eW-« — 1}.

Infolge des Satzes 2 von Nr. 4 sind demnach jn —    | und

|bn — Dil kleiner als das Doppelte dieser Größe, die aber für lim t = 0 verschwindet. Demnach ist in der Tat beim Grenz-übergange nur der eine Umstand wesentlich, daß alle Teilintervalle von t — t₀ nach Null streben und dementsprechend ihre Anzahl über jede Zahl wächst.

Hieraus folgt noch mehr: Ist t' irgend ein Wert zwischen t₀ und t, so können wir ihn von vornherein als Zwischen-

[683

wert wählen und bei allen Verfeinerungen der Teilung beibehalten, so daß also zu ihm Ecken aller Polygone gehören. Daraus folgt weiter: Was wir für das ganze Intervall von t0 bis t bewiesen haben, gilt auch für jedes bei t₀ beginnende Teilintervall, d. h. nicht nur zum Endwerte t ergibt sich eine Grenzlage der Polygonecken, sondern auch zu jedem zwischen t₀ und t gelegenen Werte. Die Größe t war nach (3) in Nr. 679 einzig und allein der Bedingung 0 <Ct—t₀<k : g unterworfen. Folglich ergibt sich zu jedem Werte t im Intervalle:

(1) ein bestimmtes endliches Wertepaar x, y als das Paar derjenigen Grenzwerte, nach denen die Koordinaten der zu t gehörigen Polygonecken streben, und zwar liegt dies Paar im Bereiche \x — #₀! < k, \y — y₀\ < k. Mit anderen Worten:

Es gibt im Intervalle zwei solche Funktionen:

(2)

% — (p (ß), y =

die für t = t₀ die Werte x₀, y₀ haben und deren geometrisches Bild eine Linie ist, nach der alle Ecken aller von der Stelle

konstruierbaren Polygone bei dem Grenzübergange

aus

Oo> Vo)

streben.

Der größeren Bequemlichkeit des Ausdrucks wegen setzten wir in Nr. 679 insbesondere t > tQ voraus. Hätten wir t < t0 gewählt, so hätte es genügt, die neue unabhängige Veränderliche T = — t einzuführen, um zu der bisher gemachten Annahme zurückzukehren. Der Variabilitätsbereich der Funldionen

(2) von t ist demnach der Bereich:

(3)

\t-K\<y

683. Existenz eines Systems von Lösungen. Wir

müssen nun beweisen, daß die Funktionen:

(1)

x = <p(f), y =

deren Vorhandensein im Intervalle |£ — t₀ < k : g feststeht, ein Lösungensystem des in Nr. 678 vorgelegten Systems:

(2)

dTt -*(*»). Tt-Y^y) von gewöhnlichen Differentialgleichungen bilden.

68», 683]

Es sei t irgend ein erlaubter Wert, ebenso t -f- dt und dt > 0. Doch sei dt kleiner als 6g_x :g gewählt, wobei fis_L die auf die (s — l)te Teilung in Nr. 680 bezügliche positive Zahl bedeutet. Wir dürfen dann annehmen, daß t und t + dt unmittelbar aufeinanderfolgende Zwischenwerte der (s — l)ten Teilung sind. Zu ihnen gehören Ecken t)s) und (jÄ-f- d%sf t)₄ + dt)s) des sten Polygons, für die nach (5) in Nr. 680:

(3)

4 h = X (£„ y dt ± Ts_₁ &s_₁dt,

(s„ y 4t ± ts_x    dt

ist. Dabei bedeuten '9,s_₁ und 0,'g_₁ positive echte Brüche, und es bleibt dahingestellt, mit welchen Vorzeichen sie in diesen Formeln auftreten.

In Nr. 680 setzten wir voraus, daß xŁ -f- r₂ + • • • eine konvergente Reihe von lauter positiven Gliedern sei. Sie bleibt

konvergent, wenn wir die auf tg_₁ folgenden Glieder bis etwa zum Gliede

streichen. Dies bedeutet: Wir können auf

tn-l

die (s — l)te Teilung unmittelbar die nte folgen lassen, so daß für die zu t und t -f- dt gehörigen Ecken (jn, t)n) und (jÄ + d^n, t)n + dl)n) des nten Polygons entsprechend (3) die Formeln gelten:

(4)

4hi = X (h> 9») 4t ± ts_₁ &n_₁4t, 4t)n= Y(£n,\)dt±rs_₁&'n_xdt,

in denen &n_i und    positive echte Brüche sind. Die

angenommen, geht die zu t -f dt gehörige Ecke der d. h. dann haben wir statt (4):

Formeln gelten für jeden Index n^>s, sobald man nur die positive Größe dt < 6S_X : g wählt. Wird dagegen dt negativ aber immer noch so, daß \dt\ < 6S_X :g ist, so

zu t gehörigen voran,

(5) {

-4%n=> — X(£n + din, bn + 4t)n)4t + rs_x&n_xdt, -dt)n = - Y(ln + dln, \)n + dt)n)dt + xs_xK-₁4t. Für lim n = oo ist lim xn = 0 und nach (1): lim in = x = cp (t), ■ lim t)n = y = ^ (t),

dagegen :

lim (jw + d%J = <p(t + 4t) = <p (t) + d(p(t), lim (b„ + dt)n) = i/>(t + dt) = i\) it) + df(ß).

Demnach folgt aus (4) für At > 0:

(6)

Acp(t) == X(cp, xp) At + ts_₁ 0 At, Ai\) (t) — Y(cp, xp) At + tjj_₁ 0'At

und aus (5) für dt < 0:

A cp (t) = X(cp -f ■dtp, ip + Aip) At + rs_₁ 6 At,

Aip (t) == Y (cp + A cp, xp + Acp) At + tt_x d'At,

wobei 6 und 6' zwischen 0 und 1 liegen. Für lim At = 0 haben die rechten Seiten von (6) und (7) die Grenzwerte Null, d. h. cp (t) und xp (f) sind stetige Funktionen von t.

Dividieren wir die Formeln (6) bzw. (7) mit At und lassen wir alsdann s zur Grenze oo übergehen, so ist auch lim rs_₁ = 0 und lim At = 0, weil der Unterschied zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zwischenwerten t und t + Ait nach Null strebt. Da ferner X und Y stetige Funktionen sind, so folgt dabei sowohl aus (6) als auch aus

(?)

(7):

= Y (<p, ti).

lim

Jt = o

ob nun At von positiven oder negativen Werten aus nach Null strebt. Dies aber besagt: Die Funktionen cp(t) und xp(t) haben die Ableitungen:

zlt

lim

jt=o

(8)

<p'(f) = X (cp, xp), xp'(t) = Y (cp, xp).

Sie stellen daher ein System von Lösungen des Systems (2) dar. Überdies: Die Ableitungen cp'(t) und xp'(t) sind stetig. Die Grenzlage der konstruierten Polygone ist demnach eine Integralkurve des Systems (2).

Mithin können wir die Ergebnisse so zusammenfassen: Satz 1: Es liege ein System erster Ordnung von zwei ge-wöhnlichen Differentialgleichungen :

mit zwei unbekannten Funktionen x und y der unabhängigen Veränderlichen t vor. Innerhalb der Umgebung:

\y-Vo\ <li

\x — x₀\ < k,

einer bestimmten Stelle (x₀, y₀) seien die beiden Funktionen X und Y von x und y stetig, so daß ihre absoluten Beträge unter-

683]

halb einer gewissen endlichen Grenze g bleiben. Auch sollen die beiden Funktionen in dieser Umgebung überall bestimmte endliche partielle Ableitungen erster Ordnung haben. Alsdann gibt es, wenn der Anfangswert t₀ von t beliebig gewählt wird, ein System von Lösungen:

x = cp (t)

die für t = t₀ die Anfangswerte x₀ und y₀ haben und in dem Intervalle : stetige Funktionen von t mit stetigen Ableitungen erster Ordnung sind. Für jeden Wert von t innerhalb des Intervalles liegt die zugehörige Stelle (x, y) in der angegebenen Umgebung der Stelle (®o> Vo)-

684. Die Lösungen als Funktionen der Anfangswerte. Statt der Anfangsstelle (x₀, y₀) nehmen wir jetzt eine andere Anfangsstelle (x₀', yf) an, und zwar sei eine positive Zahl h₀ < k gewählt und vorgeschrieben :

(1)

ko'“ xo\<h, ko' Vo \ =

Fig. 10.

Der neue Anfangspunkt M₀' oder (xf, yQj liegt alsdann im Innern oder auf dem Rande desjenigen der alten Anfangsstelle M₀ umschriebenen Quadrates, dessen Seiten den Achsen parallel sind und die Länge 2Ä₀ < 2 k haben, siehe Fig. 10. Wir können, von Mf ausgehend, wie in Nr. 679 ein Polygon konstruieren und werden beweisen, daß es ebenfalls innerhalb der Umgebung:

(2)

\x — x₀\ <k,    y-y₀\<k

verbleibt, sobald nur solche Werte von t gestattet werden, die dem Intervalle angehören:

Es sei nämlich t irgendwo im Intervalle (3) gewählt. Zwischen t₀ und t schalten wir wie in Nr. 679 der Reihe nach beständig wachsende oder beständig abnehmende Zwischenwerte 4; • • • h-i ßin Üe nachdem t > t₀ oder t < £₀ ist) und betrachten gleichzeitig zwei zugehörige Polygone, indem wir ein-

⁴ [683,684

(3)

Serret-Scheffers, Diff.- u. Integral-Bechmmg. III. 3. Aufl.

mal von der alten Anfangsstelle M₀ und dann von der neuen Anfangsstelle M₀' ausgehen. Zu jedem Zwischenwerte ti gehört eine Ecke bzw. Mt' des alten bzw. neuen Polygons, zu dem Endwerte t ein Endpunkt M bzw. M'. Die Koordinaten der Ecken des ersten Polygons werden durch die Gleichungen (2) von Kr. 679 bestimmt; entsprechende Gleichungen gelten heim zweiten Polygon. Wir wollen die auf das zweite Polygon bezüglichen Größen mit dem Akzent versehen und stellen hier nur diejenigen beiden Formelreihen einander gegenüber, die sich auf die Abszissen der Ecken beider Polygone beziehen :

(4)

(5)

Xx    Xq K₀    ^₀),

x₂    xl = X± (t₂    ^i),

xx    *o (Â ^o);

#₂ xt = X₁ (t’2 tß)}

X ~ Xn-X ~ -^n-1 (ß ~~ K-x)-

Hierin hat Xt den Wert X(xif yi) und X? den Wert X(#/, y-).

Weil die Stelle (x₀\ y₀') in dem Bereiche (2) liegt, ist \X'\<g, nach (3) in Nr. 678, und da sich die erste Gleichung (5) in der Form:

Xl xo ^0    ^0 + *0 (^1    *o)

schreiben läßt, gibt sie also mit Rücksicht auf (1):

Ixx xoI <h +    —

Dieser Wert ist aber nach (3) kleiner als h. Das Entsprechende folgert man für \yß—yQj, d. h. die Stelle (xtr, yt') liegt in dem Bereiche (2). Mittels desselben Schluß Verfahrens zieht man aus den übrigen Gleichungen (5) die Folgerung, daß überhaupt alle Ecken des neuen Polygons im Bereiche (2) gelegen sind, denn alle Werte h₀ -j- g \t{ — £₀| sind kleiner als k, so auch der letzte Wert h₀ + g \t — £₀|.

Zur Abkürzung führen wir für die Differenzen zwischen den Werten der Größen, die sich auf das zweite und erste Polygon in gleicher Weise beziehen, die Zeichen ein:

(6)

Axq =xq' —x₀, Axx =xß —x1} ... 4xn_t =x'n_₁ —x„_₁, z1x=x—x, Ay₀=yQ'-yQ, 4yx =&' -yX} .--4yn-t —Vh-i —yn-i> 4y = y-y, AX₀ = X₀'—X₀, 4X₁ = X₁'—X₁,.. .^lXn_₁=X'n_₁—Xn_1) AY₀=*Y₀'-Y₀, 4Yx = Y;-Yx,...4Yn_^Y'n_-Yn_x.

Nun liefert die Subtraktion entsprechender Gleichungen (4) und (5) sowie der auf die Ordinaten bezüglichen Gleichungen:

^Ji = ^!/o + ^ir₀(4-4),

~ "H (4    4) ;

z/N₀ (4    4),

(7)

<dx₂ = 4xt + xtXx (4 — 4),

^ =^/^_₁+^Xm_₁(^-4_₁), Ay =4yn^+4Yn_x(t-tn_x). Nach (5) in Nr. 678 ist aber allgemein:

(8)    |z/XJ</{|z/^! + |^,|}, \AYt\ <gf[\4xt\ 4- \4yt\}-.

Demnach gibt die erste Gleichung (7) mit Rücksicht auf (1): \Ax₁\<\ + 2g'\\t₁—tQ\,

also umsomehr nach Nr. 117:

\Ax₁ I < Ti₀ei9'\ti~toi.

Dieselbe Ungleichung gilt für Ayt statt z1xv Daher gibt die in (7) linksstehende zweite Gleichung mit Rücksicht auf (8):

\4x₂\ <    {1 + 2/14 — 41},

so daß umsomehr:

\Ax₂\ < ti₀e2g'

wird, usw. Schließlich finden wir ebenso für die Differenzen der KoordiÊaten x, y und x, y der Endpunkte M und M' des alten und neuen Polygons die Ungleichungen:

Ax\ < h₀e*g'\ł~to\,

(9)

\Ay\ < \e²⁹'

Da diese Ungleichungen von den benutzten Zwischenwerten 4> 4> • • • K-i frei siad, gelten sie auch bei dem Grenz-übergange, der von den Polygonen zu Integralkurven führt. Dies besagt: Es werde der Anfangspunkt oder (x₀', y₀') der zweiten Integralkurve in dem durch (1) bestimmten Quadrate um den Anfangspunkt M₀ oder (x₀, y₀) der ersten Integralkurve und t in dem Intervalle (3) gewählt. Alsdann ist der zu t gehörige Punkt M' oder {x, y) der zweiten Integralkurve in derjenigen Umgebung des zu t gehörigen Punktes M oder {x, y) der ersten Integralkurve gelegen, die durch:

(10)

\y— y\ <}t

x' — x\ < h,

[684

h = \£⁹'\t~t°\,

angegeben wird. Dabei bedeutet -j£i' h die Zahl:

rin

die für t = t₀ den Wert h₀ hat. Siehe Fig. 11.

Fig. 11.

Nach Satz 1 der vorigen Nummer werden die beiden Integralkurven durch Funktionen von t dargestellt, die nebst ihren Ableitungen erster Ordnung stetig sind. Da sich für verschiedene Anfangsstellen verschiedene Integralkurven ergeben, so sind diese Funktionen nicht nur von t, sondern auch von den Koordinaten der Anfangsstellen abhängig. Demgemäß seien:

(12)

x — (p(t, xQ, y₀), y = f(t, x₀, y₀) die Gleichungen der ersten und entsprechend:

x=<p (t, x₀', y'),    y — i> (t, x₀', y₀')

die der zweiten Integralkurve. Die beiden letzten Gleichungen können wir nach (6) so schreiben:

x -f 4x = cp (t, x₀ -f JxQ, y₀ + Ay₀), y + Ay ^^(t, x₀ + Ax₀, y₀ + Ay₀),

d. h. /ix und zly sind diejenigen Zunahmen Acp und Aip, die den Funktionen (12) zukommen, wenn x₀ um Ax₀ und y₀ um Ay₀ wächst. Somit lassen sich die Ungleichungen (10) so schreiben:

M'

OL

\<Y

1k

Fig. 12.

I ziep < h, ! Ail> < h,

und zwar bestehen sie infolge von:

> I i == V

Da nun h nach (11) mit hQ schwindet, so folgt: Es sind

<P ft xo, Vo) und $ ft xo> Vo) steti9e Funktionen der leiden Anfangswerte x₀ und y₀.

Wählen wir insbesondere Ay₀ = 0, d. h. die neue Anfangs-

ver-

stelle Mf auf der durch M₀ gehenden Parallele zur Abszissenachse, siehe Fig. 12, so können wir etwa \Ax₀\ = h₀ nach (1) annehmen. Alsdann folgt aus (9) durch Division mit \Ax₀\:

zly

(13)

Jx₀

; zlx₀

d. h. diejenigen Differenzenquotienten der Funktionen cp (t, x₀, y₀) und cp (t, xQ, yj), die hervorgehen, wenn x₀ um ztxQ wächst, aber y₀ und t ungeändert bleibt, sind ihren absoluten Beträgen nach unterhalb einer endlichen Grenze gelegen, sobald \Ax₀ hinreichend klein gewählt worden ist.

Aus diesen Ungleichungen (13) werden wir erst in Nr. 692 weitere Folgerungen ziehen. Vorläufig hat sich ergehen:

Satz 2: Es liege ein System erster Ordnung von zwei gewöhnlichen Differentialgleichungen :

Tt -*(*»), S“ *■(**)

mit zwei unbekannten Funktionen x und y der unabhängigen Veränderlichen t vor. Innerhalb eines gewissen Bereiches seien die beiden Funktionen X und Y von x und y stetig und mit bestimmten endlichen partiellen Ableitungen erster Ordnung versehen. Alsdann gibt es, wenn der Anfangswert tQ von t beliebig, aber bestimmt gewählt worden ist, in der Umgebung jeder Stelle (x₀, y₀) des Bereiches ein System von Lösungen:

x = cp(t, x₀, y₀), y — cp (t, x₀, yQ),

die für t = t₀ die Anfangswerte x₀ und y₀ haben und für alle Werte von t innerhalb einer gewissen Umgebung des Wertes t0 stetige Funktionen von t mit stetigen Ableitungen erster Ordnung sind. Überdies sind diese Funktionen cp und cp auch stetige Funktionen der beiden Anfangswerte x₀ und y₀.

685. Ein besonderer Fall. Es kann sein, daß die beiden Funktionen X und Y an der Stelle (x₀, y₀) verschwinden. Alsdann liefert die in Nr. 679 benutzte Konstruktion gar kein Polygon, da alle Ecken (xlf yf), y₂), . . . {xn_i, Un-1) und (x, y) mit der Stelle (x₀, y₀) nach den Gleichungen (2) ebenda zusammenfallen. Demnach ergibt sich auch beim Grenzüber-gange keine Integralkurve, sondern nur der Funkt {x₀, yf). In der Tat werden die Gleichungen des Systems:

(1) unter der Voraussetzung:

(2)

X (>o> Vo) = 0,    Y(x₀, y₀) = 0

durch das Lösungensystem befriedigt:

(3)

y = Vo,

x = x₀,

das aus zwei Konstanten besteht. Denn hier ist dx : dt = 0 und dy : dt — 0. Man muß also den Punkt (x₀, y₀) in diesem Falle als ein Integralgébïlde bezeichnen.

Dies entspricht auch der geometrischen Deutung: Im vorliegenden Falle nämlich ordnet das System (1) dem Punkte (x₀, y₀) nicht ein bestimmtes Linienelement, sondern alle Linienelemente zu, die von ihm ausgehen, da für den Winkel x des Elements mit der x-Achse:

sin x :

cos x = Y(x,y) : X(x, y)

ist (vgl. Nr. 677) und sich also infolge von (2) für die Stelle («o; */o) ergibt:

sinr : cost = 0:0.

Wenn man will, kann man einen Punkt (x₀, y₀) als die Grenzlage einer zusammengeschrumpften geschlossenen Kurve auffassen, so daß die Grenzlagen der Linienelemente der Kurve alle Linienelemente des Punktes sind.

Beispiel: Das System

«•I «

ist leicht zu integrieren, denn es liefert:

dlnx

d ln y_₁

dt

~YlT = L>

d. h. lnx = t konst., ln?/ = t + konst, oder:

y = Be\

(5)

x = Ae*,

wobei A und B willkürliche Konstanten bedeuten. Diese Gleichungen ziehen x : y = A : B nach sich und stellen also einen beliebigen Strahl vom Anfangspunkte 0 des Koordinatensystems aus vor, siehe Fig. 13. Alle Strahlen von 0 aus sind dem-

Ö85J

nach Integralkurven. Für den Anfangspunkt selbst aber sind die rechten Seiten der Gleichungen (4) gleich Null, d. h. der Punkt 0 ist für sich ein Integralgebilde. Die Linienelemente, die das System (4) den Punkten der Ebene zuordnet, liegen samt und sonders auf den Strahlen durch 0; dem Punkte 0 selbst gehören .alle von ihm ausgehenden Elemente infolge von

(4)

zu.

Bei diesem Beispiele ist nun Eines hervorzuheben: Das Lösungensystem (5) stellt zwar einen Strahl von 0 aus vor, jedoch sobald A und B nicht beide gleich Null sind, gehört der Punkt 0 seihst nicht zu dieser Integralkurve, weil ja et für keinen endlichen Wert von t verschwindet.

Mg. 13.

Wenn aber

A = B = 0 gewählt wird, stellt (5) gar nicht mehr eine Gerade, sondern für alle Werte von t nur den Punkt 0 vor. Man beachte auch den Sinn der Richtungen der Linienelemente, der sich daraus ergibt, daß sin t : cos t = y : x ist und sinr bzw. cost dasselbe Vorzeichen wie y bzw. x hat.

Es wurden wohlbemerkt nicht die Vollgeraden durch 0, sondern nur die von 0 ausgehenden Strahlen als Integralkurven bezeichnet. In der Tat stellen die Gleichungen (5) bei gegebenen Werten von A und B nur einen solchen Strahl dar.

§ 3. Existenzbeweis hei der Gleichung yf=/(#, y).

686. Anwendung der Ergebnisse auf eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung in aufgelöster Form. Wir kehren zur Betrachtung der gewöhnlichen Differentialgleichung :

(i)

y' = f(x,y)

zurück (vgl. Nr. 676) und setzen voraus, daß die Funktion f(x, y) der beiden Veränderlichen x und y in einem gewissen

[685, 686

Bereiche stetig sei und bestimmte endliche partielle Ableitungen erster Ordnung habe. Wird eine Stelle (x₀, y₀) im Innern des Bereiches beliebig, aber bestimmt gewählt, so kann man ihr eine Umgebung:

(2)

\x

ff₀l <k, \y — yo\<k

zuschreiben, die völlig dem Bereiche angehört. Es gibt daher eine (endliche) positive Zahl g derart, daß überall in der Umgebung (2):

ist.

Die Differentialgleichung (1) läßt sich insbesondere in der Form:

dy — f(x, y) dx = 0

als totale Gleichung schreiben und ordnet sich somit der Form (1) in Nr. 677 unter, wenn darin X — 1, Y = f(x,y) gesetzt wird, so daß sie nach (3) in Nr. 677 zu dem Systeme:

(3)

-1,

führt, in dem t die unabhängige Veränderliche ist und x und y unbekannte Funktionen von t bedeuten. Auf das System (3) läßt sich der Satz 1 von Nr. 683 anwenden. Danach gibt es ein System von Lösungen:

» =

(4)

die für t — t₀ die Anfangswerte x₀ und y₀ haben und in dem Intervalle

stetige Funktionen mit stetigen Ableitungen erster Ordnung sind. Überdies gehört jedes durch (4) bestimmte Wertepaar x, y der Umgebung (2) an.

Wegen der ersten Gleichung (3) muß aber:

d.h. <p(()-t + c

(5)

sein, wo C eine Konstante bedeutet. Da cp (t₀) = x₀ ist, so kommt:

t₀ -f G — x₀ oder C = x₀ — t₀.

6861

Also lautet das System (4) insbesondere so:

(6)

x = t — t₀ -f x0 Daher ist nach der zweiten Gleichung* (B):

dip. = f(t - to + x₀, 4>(t))

oder, wenn wir entsprechend der ersten Gleichung (6): t = x — x₀ -f- t₀

setzen, d.h. x statt t als unabhängige Veränderliche einführen:

dip (x — x₀ -f t₀)

dx

= f(x, ip(x — x₀ + t₀)).

Wenn wir von jetzt an die Funktion ip (x — x₀ -)- £₀) als Funktion von x mit cp(x) bezeichnen, so kommt also:

d. h. y = cp (x) ist eine Lösung der vorgelegten Differentialgleichung (1).

Zur Bestimmung desjenigenlntervalles der Veränderlichen x, in dem sich die Lösung stetig verhält und eine stetige JAbleitung erster Ordnung hat, muß man auf die erste] Ungleichung (2) und die Ungleichung (5) zurückblicken, in der für t der Wert (7) einzusetzen ist. Sie liefern die Bedingungen:

Je

I x — x₀¹ < Je, [ X — XQ ! < — •

Wenn g < 1 ist, wird die zweite Bedingung überflüssig, dagegen die erste, wenn > 1 ist. Wir haben gefunden:

Satz 3: Es liege eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung:

y = f{%, y)

mit einer unbekannten Funktion y der unabhängigen Veränderlichen x vor. Die Funktion fix, y) der beiden Veränderlichen x und y verhalte sich in der Umgebung :

\x — x₀\<k,

\y-y*\<li

einer bestimmten Stelle (x₀, y₀) stetig, so daß ihr absoluter Betrag unterhalb einer endlichen Grenze g bleibt; auch habe fix, y)

[686

in jener Umgebung überall bestimmte endliche partielle Ableitungen erster Ordnung. Alsdann gibt es eine Lösung:

die für x = x₀ den Anfangswert y₀ hat und in demjenigen Intervalle, das durch:

1c

I x — x₀1 < h und I x — xQ | < -j

bestimmt wird, nebst ihrer Ableitung erster Ordnung stetig ist und überdies nur solche Werte annimmt, die von yQ um tve-niger als k abweichen.

Später wird sich zeigen, daß die Voraussetzung des Vorhandenseins der Ableitung fx überflüssig ist. (Siehe Satz 7 in Nr. 689.)

687. Die Lösung als Funktion der Anfangswerte.

In derselben Weise läßt sich der Satz 2 von Nr. 684 übertragen, so daß wir finden:

Satz 4: Es liege eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung:

y = f{x, y)

mit einer unbekannten Funktion y der unabhängigen Veränderlichen x vor. Innerhalb eines gewissen Bereiches sei die Funktion f{x, y) der beiden Veränderlichen x und y stetig und mit bestimmten endlichen partiellen Ableitungen erster Ordnung versehen. Alsdann gibt es in der Umgebung einer jeden Stelle ixo, y₀) des Bereiches eine Lösung:

y = yix, x₀, y₀),

die für x = x₀ den Anfangswert y₀ hat und für alle Werte von x innerhalb einer gewissen Umgebung des Wertes x₀ eine stetige Funktion von x mit stetiger Ableitung erster Ordnung ist. Ober dies ist die Lösung auch eine stetige Funktion der beiden Anfangswerte x₀ und y₀.

Wir werden später (in Nr. 691) sehen, daß diese Lösung die einzige Lösung ist, die für x = x₀ den yorgeschriebenen Anfangs wert y₀ hat. Vorher jedoch wollen wir die Ergebnisse verallgem einem.

686, 687] § 4. Existenzbeweis bei Systemen in der Normalform.

688. Systeme, in denen die unabhängige Veränderliche nicht auftritt. Die in § 2 durchgeführte Untersuchung läßt sich ganz ebenso anstellen, wenn es sich um ein System von n gewöhnlichen Differentialgleichungen handelt, das die Form hat:

(i)

T?“    ''n>

Hier sind a^, x%, ... xn die unbekannten Funktionen der unabhängigen Veränderlichen t, und das System hat gerade so wie das in § 2 betrachtete die besondere Eigenschaft, daß die unabhängige Veränderliche t in den Funktionen XXf X₂, ... Xn nicht Yorkommt.

Die Betrachtungen des § 2 sind nämlich rein analytischer Natur, wenn wir uns auch der größeren Anschaulichkeit halber zum Teil einer geometrischen Redeweise bedient haben. Anstatt in Nr. 679 von einem Polygon zu sprechen, hätten wir ja auch von einer Folge von Wertepaaren x₀, y₀; xx, yx; ... xn_x, yn_x und x,y reden können, die durch die damals aufgestellten Gleichungen (2) bedingt werden. Der einzige Umstand, der bei der Verallgemeinerung der in § 2 durchgeführten Betrachtung von n = 2 auf beliebiges n hervorzuheben ist, aber die Schlußfolgerungen nirgends wesentlich beeinflußt, besteht darin, daß in den Ungleichungen, die in Nr. 681 abgeleitet wurden, statt 2rx bzw. 2rs_x jetzt ntx bzw. nxs_x vorkommt, was nach sich zieht, daß auch in den späteren Formeln die Zahl n statt 2 auftritt.

Entsprechend dem Satze 1 von Nr. 683 gilt demnach

Satz 5: Es liege ein System erster Ordnung von n gewöhnlichen Differentialgleichungen :

(» = ¹, 2,. .. w)

[688

d*i =    xn)

mit n unbekannten Funktionen xx, x₂,... xn der unabhängigen Veränderlichen t vor. Innerhalb der Umgebung:

K - VI < k, \x₂ — VI <b, ... \xn — VI < Ä

Xx, X

2? '

eiwer bestimmten Stelle (xx°, x₂°, . . . xn°) seien die n Funktionen .. Xn von xx, x₂, ... xn stetig, so daß ihre absoluten Beträge unterhalb einer gewissen endlichen Grenze g bleiben. Auch sollen die n Funktionen in dieser Umgebung überall bestimmte endliche partielle Ableitungen erster Ordnung haben. Alsdann gibt es, wenn der Anfangswert t₀ von t beliebig gewählt wird, ein System von Lösungen:

xi = 9i(0»    ^2 = 92(0; • • • *, = 9,(0)

die für t = t₀ die Anfangswerte xx°, x®, . . . xn° haben und in dem Intervalle:

stetige Funktionen von t mit stetigen Ableitungen erster Ordnung sind. Für jeden Wert von t innerhalb des Intervalles liegt die zugehörige Stelle (xx, x₂, . . . xn) in der angegebenen Umgebung der Stelle (xx°, xf,. . . xn°).

Ferner finden wir entsprechend dem Satze 2 von Nr. 684:

Satz 6: Es liege ein System erster Ordnung von n gewöhnlichen Differentialgleichungen :

dxj

(i =1,2,... n)

dt

Xi(xx, x₂, . . . xf)

mit n unbekannten Funktionen xx, x₂,... xn der unabhängigen Veränderlichen t vor. Innerhalb eines gewissen Bereiches seien die n Funktionen Xlf X₂, ... Xn von xx, x₂,... xn stetig und mit bestimmten endlichen partiellen Ableitungen erster Ordnung versehen. Alsdann gibt es, wenn der Anfangswert t₀ von t beliebig gewählt worden ist, in der Umgebung einer jeden Stelle (V? V; • • • V) des Bereiches ein System von Lösungen:

(t - 1, 2,. . . n),

Xi = <pt (t, xx°, x₂°, .. . V) die für t = t₀ die Anfangswerte xx, x₂, . . . xn° haben und für alle Werte von t innerhalb einer gewissen Umgebung des Wertes t0 stetige Funktionen von t mit stetigen Ableitungen erster Ordnung sind. Überdies sind diese Lösungen <px, <p%, ■ • - <pn auch stetige Funktionen der n Anfangswerte xf, x₂°,. . . xn°.

688]

689. Systeme in der Normalform. Es liege nunmehr ein System erster Ordnung von n gewöhnlichen Differentialgleichungen in der Normalform (vgl. Nr. 665) vor:

(1)

Hier sind ylf yif . . . yn die unbekannten Funktionen der unabhängigen Veränderlichen x. Die rechten Seiten der Gleichungen (1) sind aber nicht mehr frei yon der unabhängigen Veränderlichen selbst, sodaß die Sätze der letzten Nummer zunächst nicht anwendbar sind. Die grundlegenden Betrachtungen des zweiten Paragraphen gestatten jedoch noch eine andere Verallgemeinerung außer der in voriger Nummer besprochenen.

Von Nr. 67 8 an handelte es sich nämlich um die Integration des Systems:

dx

dt

= X(x,y),    ~ = Y{x, y)

mit zwei unbekannten Funktionen x und y der unabhängigen Veränderlichen t. Statt dieses Systems soll jetzt eines von der allgemeineren Form:

(2)

% - nt, *, y)

ins Auge gefaßt werden. Hier hängen X und Y nicht nur von x und y, sondern auch von t ab. Es werde vorausgesetzt, daß die beiden Funktionen X und Y in der Umgebung:

(3)

x—x₀\<l, \y — yQ\<k

des Wertsystems t₀, x₀, y₀ stetig seien und bestimmte endliche partielle Ableitungen erster Ordnung hinsichtlich x und y haben. Dagegen soll das Vorhandensein von partiellen Ableitungen erster Ordnung hinsichtlich t nicht vorausgesetzt werden. Man erkennt nämlich, daß auch jetzt infolge dieser Annahmen die Ungleichungen (3), (4) und (5) von Nr. 678 gelten. In den Ungleichungen (5) handelt es sich dabei wohlbemerkt um Differenzen von der Form:

zJX = X(t, x + /Ix, y + /ly) — X(t, x, y),

/1Y = Y (t, x + /Ix, y -F /ly) — Y (t, x, y),

bei denen also Minuend und Subtrahend denselben Wert von t enthalten. Es ist nun leicht zu sehen, daß auch in den folgenden Betrachtungen von Nr. 679 an, wenn sie entsprechend auf das allgemeinere System (2) angewandt werden, nur Differenzen von dieser besonderen Art Vorkommen:

In den Gleichungen (2) von Nr. 679 bedeuten jetzt Xi und Yi natürlich die Werte X (£t. yf) und Y(t^ xif yf). Nun kommt in Nr. 681 die Differenz von X(x'm, y\Y) und X(x{ y{) vor. Dabei bedeutet (xi7 yt) die zu tt gehörige Ecke des ersten und (x'm, y'm) die zu demselben Werte t. gehörige Ecke des zweiten Polygons, vgl. (1) in Nr. 680. Bei dem allgemeineren Systeme (2) hat diese Differenz mithin die Form:

X(tif    yin)    X(ßi, xi} y{),

d*. h. die Form der oben mit A X bezeichneten Differenz, sodaß die Anwendung der Ungleichungen von Nr. 678 jetzt genau so wie damals statthaft bleibt. Dasselbe gilt von den weiteren Betrachtungen des zweiten Paragraphen bei allen vorkommenden Differenzen von Funktionswerten, insbesondere z. B. von denen in Nr. 684. Daher steht der Verallgemeinerung jener Betrachtungen auf das System (2) nichts im Wege. Noch sei erwähnt, daß jetzt in den Gleichungen (6) und (7) von Nr. 683 bei den Funktionen X und Y noch die Veränderliche t bzw. t-\- At eintritt, was jedoch ohne Einfluß auf die Folgerungen ist. Wie in Nr. 682 unter (2) ergibt sich, daß t auf das Intervall:

t-t₀i<4

beschränkt werden muß.

Wenn nun aber x, y, t mit y1} y₂, x sowie X und Y mit fx und f₂ bezeichnet werden, nimmt das System (2) die Gestalt:

= fi 0, Vi, yf>, % - h 0, Vu yf)

an und wird daher ein System in der Normalform (1) für den Fall n = 2.

Der Verallgemeinerung vom Falle n = 2 auf den Fall n > 2 stellen sich weiterhin, wie schon in voriger Nummer erläutert wurde, keinerlei wesentliche Schwierigkeiten in den

689]

Weg. Daher dürfen wir hier sofort den auf das System (1) bezüglichen Satz formulieren, der eine Verallgemeinerung des Satzes 5 der letzten Nummer ist:

Satz 7: Fs liege ein System erster Ordnung von n gewöhnlichen Differentialgleichungen in der Normalform:

(i-l, V..H)

mit n unbekannten Funktionen yi} y₂, . . . yn der unabhängigen Veränderlichen x vor. Die Funktionen f1} f₂,.. ,fn der n + 1 Veränderlichen x, y1} y₂,. . . yn seien in der Umgebung:

\x-x₀\ <k, \Vl- yx° I < k, ... I yn — y„\ < k

einer bestimmten Stelle (x₀, yt°, yf,. . . yn°) stetig, so daß ihre absoluten Beträge unterhalb einer endlichen Grenze g bleiben; auch sollen sie überall in der Umgebung bestimmte endliche partielle Ableitungen erster Ordnung hinsichtlich der n Größen yx, y₂, ■ ■ ■ yn haben. Alsdann gibt es ein System von Lösungen:

di =    y₂ =    ... yn = cpn(x),

die für x — x₀ die Anfangswerte yf, y₂°, . . . yn° haben und in demjenigen Intervalle, das durch:

\x — xf <Ck und

bestimmt wird, nebst ihren Ableitungen erster Ordnung stetig sind. Überdies liegen ihre Wertsysteme yx, y₂,. . . yn in dem Bereiche:

I Vx - y*\ <h I y» - y₂°\ <    • • • I y» - yn°\ <

Hiernach darf in Satz 3 von Nr. 686 die Voraussetzung, daß f(x, y) eine bestimmte endliche partielle Ableitung erster Ordnung hinsichtlich der unabhängigen Veränderlichen x habe, unterdrückt werden.

Ferner ergibt sich die folgende Verallgemeinerung des Satzes 6 von Nr. 688:

Satz 8: Fs liege ein System erster Ordnung von n gewöhnlichen Differentialgleichungen in der Normalform:

(*=1,2,...*)

d/J. = fi 0, di, lh, • • • yn)

mit n unbekannten Funktionen yl} y₂,. . . yn der unabhängigen Veränderlichen x vor. Innerhalb eines gewissen Bereiches seien

[689

die Funktionen ft, f₂, . . . fn der « -f 1 Veränderlichen x, ylf y₂, . . . yn stetig und mit bestimmten endlichen partiellen Ableitungen erster Ordnung hinsichtlich der n Großen y1} y₂, .. . yn versehen. Alsdann gibt es in der Umgebung einer jeden Stelle (x₀, yf>, y₂°,.. . yn°) des Bereiches ein System von Lösungen:

(i = 1, 2,. . . n)

Vi = V (x, %o, Vi, Vł, • • • yn°) die für x = x₀ die Anfangswerte yf, y₂, ... yn° haben und für alle Werte von x innerhalb einer gewissen Umgebung des Wertes x0 stetige Funktionen von x mit stetigen Ableitungen erster Ordnung sind. Überdies sind diese Lösungen auch stetige Funktionen der n Anfangswerte yf>, y₂°,. . . yn°.

690. Betrachtung eines besonderen Falles. Mit den beiden letzten Sätzen sind wir zu einem gewissen Abschlüsse gelangt, da wir die Existenz von Lösungensystemen für Systeme von Differentialgleichungen in der Normalform erkannt haben. Aber wir beabsichtigen überdies zu beweisen, daß nur ein System von Lösungen zu den gegebenen Anfangswerten vorhanden ist. Zur Vorbereitung bedürfen wir dabei der Untersuchung eines besonderen Falles, dem die gegenwärtige Nummer gewidmet werden soll.

Es liege ein System in der Normalform im Falle n = 2 vor:

(1)

dyt

=    y*)-

dx fi(x> Vii Vv)

Die beiden Funktionen ß und f₂ seien stetig in dem Bereiche:

\x-x₀\ <k, Iyt — yt\<kt 12/₂ — 2/2°i <^ und sollen überall im Bereiche nicht nur bestimmte endliche, sondern auch stetige partielle Ableitungen erster Ordnung hinsichtlich yi und y₂ haben.

Zu diesen Voraussetzungen fügen wir noch eine besondere Voraussetzung hinzu: Für alle erlaubten Werte von x soll:

fx(x, y*, vł) = o und U 0, Vit yf) = 0 sein. Wir untersuchen also eine Verallgemeinerung des in Nr. 685 betrachteten Falles. Wie dort ergibt sich auch hier, daß die beiden Konstanten:

(2)

(3)

yx = Vx,

y₂ = y₂°

§ 4. Existenzbeweis bei Systemen in der Normalform, ein System von Lösungen vorstellen, denn für sie ist ja:

dyt a dx ’

d]ä ₌ o

so daß die Gleichungen (1) infolge von (3) durch die Substitution dieser konstanten Werte erfüllt werden.

Wir wollen beweisen, daß das System (1) in dem Bereiche (2) außer diesen beiden Konstanten kein anderes System von Lösungen zuläßt, die für x = x₀ die Anfangswerte yx und y₂° haben und in der Umgebung von x₀ differenzierbar sind. Entgegen dem, was wir zeigen wollen, nehmen wir an, es gebe doch ein solches System von Lösungen:

(4)

y₁ = cp₁(x), y₂ = cp₂ (x), sodaß nach (1) für jeden erlaubten Wert von x:

(5)

9h'O) = fi(x, 9h> <Pz),    9h» = AO, 9h, 9h)

ist, woraus folgt, daß die Ableitungen cpx und cp₂' in der Umgebung von x₀ stetige Funktionen von x sein müssen. Insbesondere soll dabei qc₁ (x₀) = yx und cp₂ (x₀) = y.₂° sein.

Da cp₁(x) und <p₂(x) nicht alle beide bloß die Konstanten yx° und y₂ sind, gibt es Werte zlx mit hinreichend kleinen absoluten Beträgen derart, daß cpx (x₀ + /lx) und cp₂ (x₀ + Z/x) nicht beide gleich yx und y₂° werden, also nicht beide Differenzen:

(6)    4yx = cpx (x₀ + Jx) — tpx (x₀), zhy₂ = <p₂ (xQ + /ix) — <p₂ (x₀) verschwinden. Nach dem Mittelwertsatze 28 von Nr. 137 (für n = 1) gibt es einen positiven echten Bruch 6, für den die Gleichung gilt:

/i (xo + Axi Vt +    > V2° + 4y₂) - fx (x₀ + Jx, yx°, y.₂°) =

4y i

dft(x₀ +Ax, y,° + QAyx, ya⁰ + 6Ay%)

o ft <A₀+Ax, yx ⁰-f 6Ayl, y₂°+ 0Jya) dyi°

Der links stehende Subtrahend ist nach (3) gleich Null. Da ferner /j und f₂ im Bereiche (2) stetige partielle Ableitungen hinsichtlich yx und y₂ haben, bleiben die absoluten Beträge dieser Ableitungen unterhalb einer endlichen Grenze g. Also ergibt sich:

(⁷)    \fi(xo + ^x’    + ył + dy^\ <g{\4yx\ -f \4y₉\).

Serret-Sclieffers,Di£f.-u Integral-Rechnung. in. 3.Aufl.

[690

Ebenso kommt:

(⁸) l/’aOo + ^/z, yx° + Ayx, y₂° + Ay₂)\<g'{\Ayx\ + \Hy₂\}. Nun aber ist nach (5):

A (x₀ + Ax, yx° + Ayx, y₂° + Ay₂) = g>/ (x₀ + Ax), f% Oo + 4x, Vi + 4y1} y« + Ay₂) = (p₂ (x₀ + Ax). Außerdem gibt es nach dem Mittelwertsatze 3 von Nr. 28 zwei positive echte Brüche ^ und &₂, die Heiner als Eins sind und mit deren Hilfe die Differenzen (6) die Formen bekommen:

Hyx = Ax <ptł(xQ + &xAx), Ay₂ = Ax (p₂'(x₀ + &₂Ax). Setzen wir alle diese Werte in (7) und (8) ein, so kommt:

I <Pi Oo + 4x) \<g'\Ax\{\ (px(x₀ + frx Ax) [ + | cp₂'(x₀ + &₂Ax) |}, <p₉'(x₀ + Ax)\< g'\Ax\ {Oi'Oo + #i^O)l + \cp₂\x₀ + &₂Ax)\}.

Wir können immer annehmen, daß \Ax\ kleiner als 1:2g' sei. Daraus folgt:

Für hinreichend Meines \Ax[ gibt es sivei positive ec!de und von Eins verschiedene Brüche und &₂ derart, daß die Ungleichungen gelten:

(9) {

2\(Pl'(x₀ + Ax)\ < JO/(>₀ + &xAx)I + \<Pi(x₀ + Ax)\t 2\<Pi(?o + Ax)\ < 10/Oo + Ax)\ + O/Oo + ft₂Ax)\. Es sind cpx(x₀ + Ax) und cp₂'(x₀+ Ax) in der Umgebung von Ax = 0 stetige Funktionen von Ax, und für Ax = 0 haben sie nach (5) wegen (3) den Wert Null. Es mögen nun xx und x₂ die größten Werte sein, die

(10)

9>/Oo + Ax) I und | <p₂'(x₀ + Ax) | in dem für A erlaubten Intervalle erreichen. Dabei sei xx nicht kleiner als t₂. Der kleinste Wert von \Ax\, für den die erste Größe (10) den Maximalwert xx erreicht, sei hx. Nun steht folgendes fest: Für \Ax\<Chx sind beide Werte (10) kleiner als t₁. An mindestens einer der Grenzen dieses Intervalles dagegen, etwa für Ax = hx, wird der erste Wert gerade gleich xx und der zweite nicht größer als xx. W^enn wir jetzt in der ersten Ungleichung (9) insbesondere Ax = hx wählen, wird die linke Seite gleich 2x1; dagegen die rechte, weil frx und kleiner als Eins sind, kleiner als 2xx. Dies ist mit der Un-«90]

gleichung unvereinbar, da ihre linke Seite kleiner als die rechte sein soll. Nur im Falle xx — 0 ergibt sich kein Widerspruch. In diesem Falle wird auch r₂ = 0, weil t₂ nicht größer als rx ist. Im ganzen Intervalle \Ax\ < hx sind alsdann die beiden Größen (10) gleich Null, also gjx (x₀ + Ax) und cp₂ (x₀ -f- Ax) konstant und daher gleich cpx (xj) und <p₂ (x₀) oder yx und y₂°. Dies aber wollten wir gerade beweisen.

Wären wir von der Annahme t₂ > rx ausgegangen, so hätten wir statt der ersten Ungleichung (9) die zweite benutzen müssen, um zu demselben Ergebnisse zu gelangen.

Es hat sich also gezeigt, daß das System (1) unter den Voraussetzungen (3) nur ein Lösungensystem hat, das sich für x = x₀ auf die Anfangswerte yx° und y₂° reduziert, und zwar eben das System dieser beiden Konstanten:

Vi = Vi, Vz = yf-

Das Beispiel in Nr. 685 steht nur scheinbar hiermit im Widerspruche. Denn wenn wir statt der dort gebrauchten Zeichen t, x, y jetzt die Zeichen x, yx, y₂ wählen, so lautet das System:

dy₂

dx    y¹’    dx ^²'

Insbesondere ist hier also fx == yx und f₂ == y₂, so daß die Bedingungen (3) für yx = 0, y₂ = 0 erfüllt sind. Wir setzten jedoch schon damals auseinander, daß das allgemeine Lösungensystem, das jetzt so lautet:

yx = Aex

(11)

ys =

für keinen endlichen Anfangswert x₀ von x die Anfangswerte yx = 0 und y₂ = 0 hat, es sei denn, daß die beiden Konstanten A und B gleich Null gewählt werden. Dann aber reduziert sich dies Lösungensystem für jeden Wert von x auf yx = 0, y₂ = 0. Es gibt also tatsächlich auch in diesem Beispiele nur ein Lösungensystem mit den Anfangswerten yx° = 0 und y₂ = 0, nämlich die beiden Konstanten yx = 0, y₂ = 0.

691. Nur ein Lösungensystem mit vorgeschriebenen Anfangswerten. Die in der letzten Nummer gemachten besonderen Annahmen (3) lassen wir jetzt wieder fallen, behalten

⁵* [690, 691

aber die übrigen Voraussetzungen über die Funktionen ft und f2 bei, die in dem Systeme:

^ = U (x, Vx, V%)

(1)

% = fx(x, ft, &)>

auftreten. Wir wissen dann nach Satz 7 in Nr. 689, daß es ein System von Lösungen cpx{x), cp.₂{x) gibt, die für x = x0 die Anfangswerte yx° und y₂° haben und in der Umgebung von x = x₀ stetig und differenzierbar sind.

Wenn wir nun statt yx und y₂ die neuen abhängigen Veränderlichen:

% = Vx — <Pi 0*0 >

einführen wollen, so haben wir zu berechnen:

dzl

(2)

dy*.

dx

dx dx

Hierin sind für dy₁ : dx und dy₂ : dx die Werte (1) und für yt und y₂ nach (2) die Werte zx -j- <Pi(x) und z₂ -f cp₂(x) einzusetzen, während überdies nach (1):

<Px(x) = fx (x, 9>i>    = /s Ob 9>i> %)

ist, so daß für die neuen unbekannten Funktionen zx und z2 von x das System von Differentialgleichungen hervorgeht:

(3)

ddZ~ = fx (X> % + 9h (ß), %2 + % («)) — fx Ob 9>1 (®)> ⁽P2 (<&))>

ddZ~ = /à Ob *1 + <Px (ß), *2 +    - /> Ob Vite), Vite))-

Weil sich cpx und cp₂ für x = x₀ auf yx und y₂ reduzieren, sind die rechten Seiten stetige Funktionen von x, zx und z₂ in der Umgebung des Wertsystems x — x₀, zx — 0, z₂ = 0 und ebenda mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung hinsichtlich zx und z₂ versehen, so daß insbesondere diejenigen Voraussetzungen, die wir stets bei Systemen von Differentialgleichungen machen, in der Umgebung der Stelle (x₀, 0, 0) erfüllt sind.

Nun aber sind die rechten Seiten der Gleichungen (3) für jeden Wert von x gleich Null, sobald nur zx — 0 und z₂ = 0 gesetzt wird. Demnach liegt ein System von der besonderen Art vor, die in voriger Nummer betrachtet wurde. Es hat

also nur ein System von Lösungen zx und z₂ mit den Anfangswerten Null, nämlich die Konstanten:

*i=0,    *2 = °-

Dies zieht nach (2) nach sich:

Vx = 9>i0*0> y% = 9>s(®)>

d. h. außer dem Lösungensystem    %(%) von (1), das für

x = xQ die Anfangswerte yx° und y₂ hat, gibt es kein anderes Lösungensystem von (1) mit denselben Anfangswerten.

Da sich die Betrachtungen der vorigen und dieser Nummer ohne Mühe vom Falle zweier unbekannter Funktionen auf den Fall von n unbekannten Funktionen, definiert durch ein System von n Differentialgleichungen, verallgemeinern lassen, und da wir nach Satz 7 von Nr. 689 wissen, daß wenigstens ein Lösungensystem mit gegebenen Anfangswerten vorhanden ist, so können wir die Ergebnisse von Nr. 689 nunmehr etwas schärfer formulieren:

Satz 9: Es liege ein System erster Ordnung von n gewöhnlichen Differentialgleichungen in der Normalform :

(*-1,2

. . n)

Ÿx⁼ fiyn)

mit n unbekannten Funktionen yt, y₂, . . . yn der unabhängigen Veränderlichen x vor. Innerhalb eines gewissen Bereiches seien die Funktionen f1} f₂,. . . fn der n + 1 Veränderlichen x, ylf y₂, . . . yn stetig und mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung hinsichtlich der n Größen yx, y₂, . . . yn versehen. Alsdann gibt es, wenn irgend eine Stelle (x₀, yx°, y₂°,. . . yn°) des Bereiches ausgewählt worden ist, in der Umgebung des Wertes x = xQ von x ein und nur ein System von Lösungen:

yt = tPi (x, x₀, yx°, y₂°, . . . y ff)

die für x = x₀ die Anfangswerte yf, yf, . . . yn° haben. Diese Lösungen sind stets in einer gewissen Umgebung von x = x0 Stetig und mit stetigen Ableitungen erster Ordnung nach x versehen; überdies sind sie stetige Funktionen der n Anfangswerte

yi°, y₂°, ■ ■ ■ y»°-

Man bemerkt, daß in der Formulierung dieses Satzes nicht von vornherein verlangt worden ist, daß das System

[691

von Lösungen mit den vorgeschriebenen Anfangswerten stetig sei. In der Tat ist diese Forderung nicht nötig, denn wenn yX) y. . . yn ein System von Lösungen ist, so müssen sie die Differentialgleichungen befriedigen. Dies besagt, daß sie für jedes X in der Umgebung von bestimmte endliche Ableitungen erster Ordnung haben, woraus nach Satz 1, Nr. 27, unmittelbar ihre Stetigkeit folgt.

692. Die Ableitungen der Lösungen nach den Anfangswerten. Wir sind jetzt in der Lage, zu beweisen, daß die Lösungen eines vorgelegten Systems in der Normalform bestimmte endliche Ableitungen nach den Anfangswerten haben. Dabei wollen wir auf die Betrachtungen des zweiten Paragraphen zurückgehen, also das System:

(1)

dt

dx~X(x,y), |f -Y{x,y)

mit den beiden unbekannten Funktionen x und y der unabhängigen Veränderlichen t annehmen, wobei die rechten Seiten von t frei sind.

Um alle Schwierigkeiten zu vermeiden, setzen wir wie in den beiden letzten Nummern über die Funktionen X und Y voraus: In dem Bereiche:

(2)

[ X — x₀ j < k,

sollen X, Y und ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig sein. Es gibt dann wieder eine positive Zahl g derart, daß im Bereiche (2) sowohl i X j als auch j Y\ kleiner als y bleibt.

Wie bei der letzten Betrachtung in Nr. 684 (siehe Fig. 12, S. 52) nehmen wir außer den Anfangswerten x₀ und y₀ noch die Anfangs werte x₀ -f- Ax₀ und y₀ an und betrachten die beiden zugehörigen Lösungensysteme. Dabei wollen wir x und y im zweiten Systeme zum Unterschiede mit x + Ax und y -f- Ay bezeichnen. Es seien also:

(3) {

x = cp(t, xQ, y₀), y = f(t, x₀, y₀); x + Ax = cp(t, x₀ + Ax₀, y₀), y + Ay^^(t, x₀-\-Ax₀, y₀)

die beiden Lösungensysteme. In Nr. 684 hatten wir zum. Schlüsse unter h₀ die Größe \Ax₀\ verstanden. Deshalb sind

691, 692] die beiden Lösungensysteme nach (3) in Nr. 684 stetig und mit stetigen Ableitungen nach t versehen in dem Intervalle:

Nach (13) in Nr. 684

Auch gehören sie dem Bereiche (2) an. kommt nun:

Ax < e²^'K-fol

(4)

4 y :

Jx₀ I

Die Differenzenquotienten /Jx : /Jx₀ und /Jy : /Jx₀ sind also endlich; wir wollen aber beweisen, daß sie für lim /Jx₀ = 0 nicht nur endliche, sondern insbesondere bestimmte Grenzwerte erreichen.

Wenn im folgenden immer unter x, y und x -f- /Jx, y + z/y die Funktionen (3) von t verstanden werden, so gelten außer (1) die Gleichungen:

d(x-\-Ax)

dt

X(x + /Ix, y + zJy),

d(y-\-/)y)

dt

Y(x+/J x,y-\-/Jy).

Aus der ersten folgt durch Subtraktion der ersten Gleichung (1) und Division mit /Jx₀:

d /Ix _ X(x -j- /Ix, y -)- /ly) — X(x, y)

Jx₀

Nach dem Mittelwertsatze 28 von Nr. 137 (für n = 1) ist dieser Wert für einen gewissen positiven echten Bruch 6 gleich:

dt Ax₀

dX(x-\-6Ax, y-\-6Ay) Ax dX(x-\-6Ax, y-\-0Ay) Ay Ax₀

Weil mit z1x₀ auch /Jx und /ly infolge von streben und Xx und Xy nach Voraussetzung stetig sind, so folgt, wenn wir noch zur Abkürzung:

dx

dy

Ax₀

(4) nach Null

(5)

lim

Ax

Ay

für lim /Jx = 0

lim

— = u,

Axo

setzen, daß u die Bedingung erfüllt:

Ax₀

du

dt = X*u + Xyv‘

Entsprechend schließen wir für v. Danach genügen u und v den Gleichungen:

(6)

du

dv

Tt -

[69a

Da die Funktionen (3) für t = t₀ die Anfangswerte x₀, y0 bzw. xQ-\- Ax₀, y₀ haben, so hat Ax:Ax₀ für t = t₀ den Wert Eins und A y : zlx₀ den Wert Null. Nach (5) muß demnach auch u für t = t₀ den Wert Eins und v den Wert Null haben.

Weil x und y die unter (3) angegebenen Funktionen von t sind, liegt in (6) ein System erster Ordnung von zwei gewöhnlichen Differentialgleichungen für die beiden unbekannten Funktionen u und v von t vor, das den Voraussetzungen des Satzes 9 der letzten Nummer in der Umgebung des Wertsystems t = t₀, u — 1, v = 0 genügt, denn die rechten Seiten sind für alle Werte von u und v und für die erlaubten Werte von t stetige Funktionen mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung hinsichtlich u und v. Daher gibt es ein und nur ein Paar Funktionen u und v von t, die für t — t₀ die Anfangswerte Eins und Null haben und in der Umgebung von t₀ den Gleichungen (6) genügen. Sie sind in dem für t erlaubten Intervalle stetig.

Wegen der Bedeutung (5) von u und v haben demnach die beiden Funktionen:

y =    x₀, y₀)

x = <p(t, x₀, y₀),

bestimmte endliche und zwar stetige partielle Ableitungen erster Ordnung hinsichtlich x₀:

dy

dx

V = TT—

oxo

U dx₀’

Ebenso beweist man das Vorhandensein stetiger partieller Ableitungen erster Ordnung hinsichtlich y₀.

Wie in Nr. 688 und 689 auseinander gesetzt wurde, läßt sich auch dies Ergebnis sofort verallgemeinern, sodaß wir es so formulieren können :

Satz 10: Die Lösungen des in Satz 9, Nr. 691, betrachteten Systems von Differentialgleichungen haben stetige partielle Ableitungen erster Ordnung nach den Anfangswerten y®, y₂°,... yn°.

Mit den beiden Sätzen 9 und 10 sind die Existenzbeweise für Systeme von Differentialgleichungen in der Normalform beendet.

693]

§ 5. Existenzbeweise für unentwickelte Funktionen.

693. Vorbemerkungen. Bis jetzt haben wir Differentialgleichungen betrachtet, die in aufgelöster Form Vorlagen, wie z. B. y = f(x, y). Es wird sich aber nun darum handeln, die Beweise für die Existenz von Lösungen auch für den Fall zu führen, wo die Differentialgleichungen nicht in der aufgelösten Form vorliegen, wie z. B. für die Gleichung F (x, y, y') = 0. Dabei ist es zunächst erforderlich, Sätze über die Existenz unentwickelter Funktionen aufzustellen, was in diesem Paragraphen geschehen soll; die Anwendung dieser Sätze wird uns alsdann im nächsten Paragraphen die Existenzbeweise für Lösungen jener Differentialgleichungen liefern.

Der gegenwärtige Paragraph stellt somit eine Einschaltung dar, die nicht allein für die Theorie der Differentialgleichungen, sondern auch als Vervollständigung der Betrachtungen im vierten Kapitel des ersten Bandes von Bedeutung ist.

Wir brauchen dabei eine einfache Verallgemeinerung des Satzes 4 von Nr. 21 für den Fall von n Veränderlichen, die schon hin und wieder (z. B. in Nr. 154) benutzt wurde und jetzt ausdrücklich formuliert werden soll. Es sei unter f eine stetige reelle Funktion der n reellen Veränderlichen x1} x₂, ... xn verstanden. Zum Überflüsse erinnern wdr nochmals daran, daß wir mit dem Funktionsbegriffe stets den der Eindeutigkeit wie in Nr. 6 verbinden (was auch in Nr. 676 betont wurde). Der Variabilitätsbereich der Funktion f enthalte die Umgebung der Stelle (a₁₇ a2} . . . an)j die Funktion f habe an dieser Stelle einen von Null verschiedenen Wert h. Ist 6 eine beliebig klein gewählte positive Zahl, so gibt es nach Satz 7, Nr. 22, eine positive Zahl h derart, daß für jedes Wertsystem innerhalb des Bereiches:

a₁ — h xt <Ś % + h, ... an — h xn <1 an + h

auch: wird. Ist nun <?<[&i, so folgt, daß f innerhalb jenes Bereiches stets von Null verschieden bleibt. Also gilt die Verallgemeinerung des Satzes 4 von Nr. 21:

Satz 11: Wenn die Funktion f(ocl, x₂,... xn) an der Stelle (ax, a₂,. . . an) stetig und von Null verschieden ist, läßt sich die Umgehung der Stelle soweit einschränken, daß die Funktion auch an keiner Stelle in dieser Umgebung verschwindet, vielmehr dort überall dasselbe Vorzeichen wie an der Stelle (ax, a₂, ■ . . an) hat.

694. Eine unentwickelte Funktion von einer Veränderlichen. Es sei F(x, y) eine stetige Funktion von x und y innerhalb eines gewissen Variabilitätsbereiches, und sie habe eine stetige partielle Ableitung erster Ordnung hinsichtlich y. Insbesondere gehöre die Stelle x = 0, y = 0 dem Bereiche an, und an dieser Stelle sei F gleich Null, dagegen Fy nicht gleich Null. Es soll nun untersucht Averden, ob die Gleichung:

F{x, y) = 0

die nach den Voraussetzungen für x — 0 insbesondere durch den Wert y = 0 erfüllt Avird, die Veränderliche y auch in der Umgebung der Stelle x — 0 als Funktion von x definiert.

Da Fy stetig und für x = y = 0 nach Annahme von Null verschieden ist, gibt es nach Satz 11 der vorigen Nummer eine positive Zahl h derart, daß für:

(1)

-h£y£h

— h<Lx<Lh,

auch stets F =J= 0 und von demselben Vorzeichen Avie an der Stelle (0, 0) ist. Um einen bestimmten Fall vor Augen zu haben, wollen wir sagen, Fy sei positiv.

Die Funktion F(0, y) von y allein, die durch die Substitution des Wertes x = 0 in F(x,y) hervorgeht, ist im Intervalle — h^y<Lh stetig und hat nach dem, was wir soeben sagten, daselbst überall eine positive Ableitung, so daß sie nach Satz 9, Nr. 30, mit y Avächst. Aus F(0, 0) = 0 folgt daher, daß F(0, y) für y <C 0 negativ und für y> 0 positiv sein muß. Also ist insbesondere:

(2)

F(Q,-h)<0,    F(0, h) > 0.

Die Funktion F (x, h) von x allein ist für x = 0 nach der letzten Ungleichung positiv, und da sie stetig ist, gibt es nach Satz 4, Nr. 21, eine positive Zahl kx^h derart, daß

693, 694]

F(x, h) im Intervalle — kx x <[ kx überall positiv bleibt. Ebenso finden wir: Es gibt eine positive Zahl k₂ <^h derart, daß die Funktion F(x, —h), die für x = 0 nach (2) negativ ist, überall im Intervalle — k₂ x <1 k₂ negativ bleibt. Ist k die kleinere der beiden Zahlen kt und k₂, so wird demnach für:

(3)

— k < x < k

stets:

(4)

Fix, K) > 0,    F(x,-h)< 0.

Es sei x₀ irgend ein bestimmter Wert von x im Intervalle (3), und es werde nun die Funktion F(x₀, y) von y allein betrachtet. Sie ist nach (4) für y — h positiv und für y = — h negativ. Weil sie sich im Intervalle von —h bis -\-h stetig verhält, gibt es also nach Satz 5, Nr. 21, mindestens einen Wert yQ innerhalb des Intervalles, für den F(x₀, yQ) = 0 ist. Einen zweiten solchen Wert yx kann es nicht geben. Denn nach dem Mittelwertsatze 2, Nr. 28, müßte es sonst einen Wert y' zwischen yQ und yx derart geben, daß:

Fix,, Vl) — F(x₀, y₀)

dF(x₀, y)

dy

Vi — Vo

wäre. Aber wegen F(x₀,yx) = 0 und F(x₀, y₀) = 0 würde hieraus folgen, daß im Bereiche (1) eine Stelle (x₀, y) vorhanden wäre, an der Fy verschwindet, während doch Fy in diesem Bereiche nirgends gleich Null ist.

Bezeichnen wir jetzt den bestimmt gewählt gedachten Wert x₀ mit x, so folgt: Zu jedem Werte x im Intervalle (3) gibt es im Intervalle von — h bis -f- Ji einen und nur einen Wert y derart, daß F(x,y) = 0 ist, d. h. im Intervalle (3) wird y durch die Gleichung F (x, y) = 0 implizite als Funktion von x definiert, vorausgesetzt, daß noch ein Intervall —hffyfLh vorgeschrieben wird. Dabei ist k <ih.

Diese unentwickelte Funktion y von x ist aber auch stetig. Daß dies zunächst an der Stelle x = 0 selbst gilt, ergibt sich so: Die vorhergehende Betrachtung bleibt richtig, wie klein wir auch die positive Zahl h wählen mögen. Wählen wir für h eine beliebig kleine positive Zahl 6, so wird, weil k <^h ist, auch statt k eine gewisse positive Zahl k' <1 a auf-

[694

treteu, derart, daß die Gleichung F (x, y) = 0 für jedes x im Intervalle — k' x k' eine und nur eine Auflösung y hat, für die — <? y <3 ist. Für x = 0 ergibt sich insbesondere y = 0. Die zu einem x gehörige Auflösung y weicht deshalb von Null um weniger als 6 ab, sobald x von Null um weniger als k' abweicht, was nach Satz 3, Nr. 20, bedeutet, daß y an der Stelle x = 0 stetig ist.

Die Funktion y verhält sich auch an jeder anderen Stelle x0 im Intervalle (3) stetig. Denn wenn die Gleichung F(x₀,y) = 0 für y im Intervalle von — h bis -f- h durch den Wert y₀ erfüllt wird, so führen wir die neuen Veränderlichen:

Ź = x — X₀,

ein. Dadurch geht F(x, y) in eine Funktion F(£-{-x₀, gĄ-yj) von £ und r\ über, die in der Umgebung der Stelle | = 0, 7] = 0 stetig ist und an dieser Stelle verschwindet, weil F (x₀, y₀) = 0 ist. Diese Funktion hat eine partielle Ableitung erster Ordnung hinsichtlich g:

dF (I -f x₀, 7] + y₀) _ dF(x, y)

dy

dy

die an der Stelle £ = 0, rj — 0 das Pluszeichen bat, weil Fy an der Stelle (x₀, y₀) positiv ist. Die Funktion    ^ + ^/₀)

erfüllt also an der Stelle % = 0, r\ = 0 genau dieselben Voraussetzungen wie die Funktion F(x, y) an der Stelle x = 0, y = 0. Die Schlüsse, die wir vorhin für die Stelle x = 0, y = 0 zogen, gelten demnach entsprechend für die Stelle £ = 0, y = 0 oder (x₀, y₀). Somit ergibt sich der

Satz 12: Ist F(x, y) eine in der Umgebung der Stelle x = 0, y = 0 stetige Funktion von x und y mit einer stetigen partiellen Ableitung erster Ordnung hinsichtlich y und verschwindet die Funktion an der Stelle x = 0, y == 0, während ihre Ableitung Fy daselbst von Null verschieden ist, so gibt es zwei positive Zahlen h und k A h derart, daß zu jedem Werte x im Intervalle: ein und nur ein solcher Wert y im Intervalle:

-h£y£h

vorhanden ist, der die Gleichung:

F(oc, y) = 0

befriedigt. Die dadurch definierte Funktion y von x ist im Intervalle \x\ A k stetig und verschwindet für x — 0.

Nur der Bequemlichkeit des Ausdruckes halber sind wir yon dem Wertepaare x — 0, y = 0 ausgegangen. Genau ebenso hätte sich allgemeiner ergehen:

Satz 13: Ist F(x, y) eine in der Umgebung der Stelle Oo, y₀) stetige Funktion von x und y mit einer stetigen partiellen Ableitung erster Ordnung hinsichtlich y und verschwindet die Funktion an der Stelle (x₀, y₀), während ihre Ableitung Fy daselbst von Null verschieden ist, so gibt es zwei positive Zahlen h und k Ah derart, daß zu jedem Werte x im Intervalle I x — x₀\Ak ein und nur ein solcher Wert y im Intervalle \y — yo \ A h vorhanden ist, der die Gleichung :

F(x, y) = 0

befriedigt. Die dadurch definierte Funktion y von x ist im Intervalle \x — x₀1 A k stetig und hat für x = x₀ den Wert y₀.

695. Die Ableitung der unentwickelten Funktion.

Wir benutzen wieder der einfacheren Ausdrucksweise wegen das Wertepaar x = 0, y = 0 und fügen zu den Voraussetzungen des Satzes 12 der letzten Nummer noch die hinzu, daß auch die partielle Ableitung erster Ordnung von F hinsichtlich x stetig sein soll.

Im Intervalle \x\Ak seien x und x + Ax beliebig gewählt. Es gibt dann im Intervalle \y\ A h bestimmte zugehörige Werte y und y -f- Ay derart, daß:

(1)

F(x, y) = 0, F(x -f- Ax, y Ay) = 0

ist. Nach dem Mittelwertsatze 28 in Nr. 137 (für n = 1) gibt es ferner einen positiven echten Bruch 6 derart, daß:

F(x-f Ax, y + Ay) — Fix, y) = Ax [Fx] + Ay [Fy]

Die eckigen Klammern sollen andeuten, daß x und y

wird.

in Fx und Fy durch die Werte x -f- 6Ax und y -f OAy ersetzt werden müssen. Die linke Seite der letzten Gleichung ist nach (1)

gleich Null, während [\F ] =j= 0 ist, wie wir in voriger Nummer sahen. Demnach ergibt sich durch Division mit Ax und [Ff\ :

_ ra.

[■**] *

Da Fx und F nach Voraussetzung stetig sind, nehmen \FX\ und [Fy\ für lim /ix — 0 die Werte Fx und Fy an, so daß die stetige Ableitung hervorgeht:

d y __ F*

Fy

Wenn wir wieder statt des Wertepaares x = 0, y — 0, für das F verschwindet, ein anderes Wertepaar x₀, y₀ gewählt hätten, für das F(xü,y^) = 0 wird, hätten wir gerade so schließen können. Demnach läßt sich der letzte Satz so ergänzen:

Satz 14: Die nach Satz 13 von Nr. 694 vorhandene implizite definierte Funktion y von x hat, vorausgesetzt, daß der Funktion F in der Umgebung der Stelle (x₀, y₀) auch eine stetige partielle Ableitung erster Ordnung hinsichtlich x zukommt, in dem Intervalle \x — x₀\<^ k eine stetige Ableitung, und der Wert der Ableitung ist:

Fx

dy

dx

Fy

In Nr. 54 wurde vorausgesetzt, daß eine Gleichung zwischen x und y eine solche Funktion y von x definiere, die eine Ableitung hat, und alsdann wurde die Ableitung berechnet. Durch die jetzigen Überlegungen ist jenen Betrachtungen die sichere Grundlage gegeben.

696. Eine unentwickelte Funktion von mehreren Veränderlichen. Es sei F eine solche Funktion von n + 1 Veränderlichen x1} x₂,... xn und y, die sich in einer gewissen Umgebung der Stelle x₁ = 0, x₂ — 0, ... xn — 0, y == 0 stetig verhält und in dieser Umgebung eine stetige partielle Ableitung FtJ hat. Außerdem verschwinde F an der Stelle xy = 0, x₂ = 0, ... xn = 0, y = 0, während F daselbst von Null ver-, schieden sei. Alsdann entsteht die Frage, ob die Gleichung:

F(xx, x₂,...xn, y) = 0,

die im Falle x₁ = 0, x₂ = 0, . . . xn = 0 durch den Wert y = 0 befriedigt wird, die Veränderliche y als reelle Funktion von

695, 696J

Wir deuten das Wesentliche für den Fall n = 2 an, in dem die Gleichung:

x1} x₂₎ ... xn definiert und ob diese Funktion stetig ist. Die Beantwortung dieser Frage läßt sich wie in Nr. 694 durchführen.

FOi, xa, y) = 0

vorliegt.

Nach Satz 11, Nr. 693, gibt es eine positive Zahl h derart, daß die Ableitung Fy in dem Bereiche:

(1)

— h<^x₁<^ h, — h <. x₂ <Lh, — h <^y <^h überall von Null verschieden und etwa positiv ist. Dann folgt wie in Nr. 694, daß:

F(0, 0, y) > 0 für y> 0,

F (0, 0, y) < 0 für y < 0

wird. Da also F(xx,0,h) für xx = 0 positiv ist, dagegen F(xx, 0, —h) negativ und da das Entsprechende für F(0, x₂, h) und F(0, x₂, —h) gilt, folgt aus Satz 4, Nr. 21, daß es positive Zahlen    k₂, k₂ gibt, die fl nicht übersteigen, so daß

im Intervalle:

k± F- xx    kx

^2 ^    ^ k-2

k₂ ^ X₂ k₂

F(xu 0,    h)> 0,

F{xx, 0, —h) < 0,

F(0, x₂, h) > 0,

F(0, x₂,—h) < 0

wird. Bedeutet k die kleinste dieser' vier Zahlen k1} kx, k₂, k₂, so folgt, daß im Intervalle:

(2)    — k^xt^k    F(xlt 0, h) > 0,    F(xlf 0, — h) < 0,

(3)    — k<^x₂<,k    F(0, x₂, h) > 0,    F(0, x₂, — h) < 0

wird. Dabei ist k <[ h.

Nun sei x₂ irgend ein bestimmter Wert von x₂ im Intervalle von — k bis -f- k. Die Funktion F (xt , x₂°, h) von xx allein ist nach (3) für xt = 0 positiv. Nach Satz 4, Nr. 21, gibt es mithin eine positive Zahl x <[ k derart, daß die Funktion für xt < x stets positiv wird. Dabei kann x für verschiedene Stellen x₂ verschieden ausfallen. Deshalb wollen wir unter x die kleinste aller dieser Zahlen verstehen, so daß in den Intervallen :

— x 'Fxl^ y.

k <Lx₂⁰ <,k    F(xi} x₂°, fi) > 0

wird. Weil % k und #₂° irgend eine Zahl im Intervalle von — k bis -f* k ist, ergibt sich ferner, daß umsomehr in den Intervallen:

— 3f <1 Xx <1 X,

— K X₂ %

wird. Ebenso schließen wir, daß es eine positive Zahl x < k gibt, so daß in den Intervallen:

— X #1 ^ u, — X <f,X₂<^X F(xly X₂, —Ä) < 0 wird. Bedeutet k von jetzt an die kleinere der beiden Zahlen x und x, so folgt:

Es gibt eine positive Zahl h <^h derart, daß infolge von: — 1c    h,    — k <i x.₂ < Je

stets auch:

(5)

F(xly x₂, h) > 0,

F{xi, x₂, —h) < 0

wird.

Wenn nun xx und x₂ in den Intervallen (4) bestimmt gewählt werden, so ist F(x1} x₂, y) eine Funktion von y, die nach (5) für y = — h negativ und für y = h positiv wird, also, weil sie stetig ist, nach Satz 5, Nr. 21, für einen gewissen Wert von y zwischen — h und h verschwindet:

F{xi, x₂, y) = 0.

Es gibt keinen zweiten solchen Wert y zwischen — h und h, weil sonst wie in Nr. 694 aus dem Mittelwertsatze 2 von Nr. 28 folgen würde, daß Fy für ein Wertsystem verschwände, das dem Bereiche (1) angehört, während F doch in diesem Bereiche überall von Null verschieden ist.

Alles übrige folgt nun gerade so wie in Nr. 694, auch wird es keine Schwierigkeiten machen, diese Betrachtung für n = 2 auf ein beliebiges n > 2 zu verallgemeinern. Außerdem gilt auch hier die Bemerkung, daß nur der Bequemlichkeit des Ausdruckes halber von den Werten xx = 0, x₂ = 0, y = 0 ausgegangen wurde. Demnach gilt der

Satz 15: Ist F(xx, x₂,. . . xn, y) eine in der Umgebung der Stelle (xß, x₂,. . . xn°, y₀) stetige Funktion aller n -j-1 Veränderlichen mit einer stetigen partiellen Ableitung erster Ordnung hinsichtlich y und verschwindet die FunJction an der Stelle (xf, x₂°,. . . xn°, y₀), während ihre Ableitung Fy daselbst von 696]

Null verschieden ist, so gibt es zwei positive Zahlen h und Je h derart, daß zu jedem Wertsysteme xx, x₂, . . . xn des Bereiches:

I xi —VI ^ ^ I x₂ — VI ^ K • • • I Xn - VI ^ *

m und nur ein solcher Wert y im Intervalle \y — y₀\ h vorhanden ist, der die Gleichung:

F(xx, x₂, . . . xn, y) = 0

befriedigt. Die dadurch in jenem Bereiche definierte Funktion y von xx, x₂, ... xn ist stetig und hat an der Stelle (xx, xfi, ... xn°) den Wert y₀.

Wie in Nr. 695 können wir kinzufügen:

Satz 16: Die nach Satz 15 vorhandene implizite definierte Funktion y von xx, x₂,... xn hat, vorausgesetzt, daß der Funktion F in der Umgebung der Stelle {xx, x₂, ... xn°, y₀) auch stetige partielle Ableitungen erster Ordnung hinsichtlich xx, x₂, ... xn zukommen, in dem Bereiche:

I xi — VI ^ h lx2 ~ VI ^    • • • \xn - VI ^ *

stetige partielle Ableitungen erster Ordnung hinsichtlich aller n Veränderlichen xx, x₂, . . . xn, und die Werte dieser Ableitungen sind:

dy

xi

dy

dy

Fx

*n

dxt    dx,    F>

697. Mehrere unentwickelte Funktionen. Es seien Fx, F₂, . . . Fm reelle stetige Funktionen von n + m reellen Veränderlichen xx, x₂, . . . xn und yx, y₂, . . . ym innerhalb eines gewissen Bereiches. Dem Bereiche gehöre insbesondere die Stelle:

(!) xi = 0, x₂ = 0, . . . xn = 0, yx = 0, y₂ = 0,. .. ym — 0 an. In der Umgebung dieser Stelle sollen auch alle partiellen Ableitungen erster Ordnung aller m Funktionen stetig sein. Dasselbe gilt alsdann von der Funktionaldeterminante (vgl. Nr. 80):

dxn

F,

'Fx ... Fm

• • • ym.

Es soll nun noch vorausgesetzt werden, daß an alle m Funktionen Fx, F₂, . . . Fm verschwinden, dagegen nicht diese Determinante. Es sei also:

Vi

der Stelle (1)

®₀ =j= o.

Der Index Null soll hier und im Folgenden die Substitution der Werte (1) andeuten.

Wir wünschen zu beweisen, daß die m Gleichungen:

(3)

-^1 (%> “^27 • * •    Vl) Vil • • • Vm) ⁼ ^7

Fm 0: 17 ^27 • • •    Vl> &7 • • • Vm) = 0

unter diesen Voraussetzungen die m Größen yx, y₂, . . . ym in der Umgebung der Stelle (1) als stetige reelle Funktionen von xx, x₂, ... xn mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung definieren. Aus dem Nichtverschwinden der Funktionaldeterminante haben wir zwar früher nach Satz 4, Nr. 80, und Satz 3, Nr. 79, geschlossen, daß die Gleichungen (3) nach yx, y₂₎ . . . ym auflösbar sind, jedoch nur auf Grund der in Nr. 77 aufgestellten Forderung (£. Was wir jetzt beweisen wollen, ist, daß diese Forderung tatsächlich von dem Systeme (3) erfüllt wird.

Den Beweis führen wir durch in-malige Anwendung der beiden letzten Sätze, indem wir die Gleichungen (3) nach und nach hinsichtlich der m Größen yx, y₂, . . . ym auflösen.

Wären die m Ableitungen

(oK\    (dFm\    " /dFm\

\dyjQ \dyJo’ \dymJ₀

sämtlich gleich Null, so wäre auch ©₀ = 0 entgegen der Annahme (2). Wir dürfen daher etwa:

(4) voraussetzen, denn wenn nicht diese Ableitung, sondern etwa die nach yk von Null verschieden wäre, würde es genügen, yk mit ym und yru mit yk zu benennen, um doch zur Annahme

(4) zurückzukommen. Nach den Sätzen der letzten Nummer läßt sich nun die Umgebung der Stelle:

(5)

#i = 0, ... xn = 0, yx = 0, ... ym_x = 0 soweit einschränken, daß die letzte Gleichung (3) ebenda in einem gewissen Intervalle

— hm ym < hm

die Größe ym als stetige Funktion von xx, ... xn, yx, . . . ym_x mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung definiert:

(6)

Vm ⁼ *Pm OG? ^27 • * • Xn> Vi) Vz) ‘ ' ’ Vm-1)7

«97 j

wobei insbesondere

(T Jo = ⁰

ist. Setzen wir die Funktion (6) in die Gleichungen (3) ein, so werden die m — 1 ersten Gleichungen frei von ym, während die letzte identisch erfüllt wird. Die durch diese Substitution aus F1} F₂,. . . Fm_₁ hervorgehenden Funktionen mögen Q Q₂, . . . d?m_₁ heißen. Alsdann ist:

(7) ®k=Fk{xt ,xs,...xn, yu ya,... ym_x, <pm) (Je = 1,2,... m - 1), dagegen:

(8)

⁰ = Frn («1;    ... xn, yu y₂,... ym_x, (pj,

so daß von nun an das System von nur noch m — 1 Gleichungen: (9)    ®k(xx,x₂,...xn,y₁,y₂,...ym_x) = 0    (* = 1, 2,... m -1)

vorliegt. Nach Satz 8, Nr. 22, sind die m — 1 Funktionen 0k in der vorhin erwähnten eingeschränkten Umgebung der Stelle (5) stetig. Außerdem haben sie daselbst nach Satz 22, Nr. 42, stetige partielle Ableitungen erster Ordnung. Da ferner (pm an der Stelle (5) verschwindet, gilt dasselbe nach (7) für jede Funktion <bk. Wir behaupten ferner, daß die Funktionaldeterminante:

$' =

0 , m — 1

• * • Vm-1

an der Stelle (5) von Null verschieden ist.

In der Tat, nach (7) und (8) ergibt sich:

(Je = 1, 2, . . . m — 1),

dFk d qP m

(10)

dym 'àyi

dFm d<pm dym dyt

für i — 1, 2, ... m — 1, sobald nur rechts überall ym durch cpm ersetzt wird. Die Funktionaldeterminante SD ändert ihren Wert nicht, wenn man zu ihrer «ten Reihe die mit d(pm : dy{ multiplizierte letzte Reihe addiert. Dabei werden die m — 1 ersten Glieder der iten Reihe die Ableitungen von Qk nach yv y^---ym-\i aber ihr letztes Glied wird gleich Null, infolge von (10). Verfährt man so für i = 1, 2,... m — 1, so ergibt sich mithin:

' dFm

^ Vm

sobald überall ym durch die Funktion cpm ersetzt worden ist. Nach (2) und (4) folgt hieraus:

$o'+ 0.

Die Gleichungen (9) erfüllen demnach, abgesehen davon, daß ihre Anzahl nur noch m — 1 ist und sie nur noch m — 1 Größen y enthalten, in der Umgebung der Stelle (5) genau dieselben Voraussetzungen wie die ursprünglich vorgelegten Gleichungen (3) in der Umgebung der Stelle (1). Deshalb läßt sich dasselbe Schluß verfahren wiederholen. So kommen wir Schritt für Schritt zu Auflösungen:

Vm ~ <Pm (ß'l) X2> • ' • Xnt    * ' * Vm-2> Vvn~l)>

(H)

Vm-1 ⁼ fm-1 (X1J X2i ■ • • Xn1 V\l Vf) * • • Vm-i) >

= <Ps K, xa>... xn, yt),

= 9h If X2, ■ • • <0

der Gleichungen (3). Dabei gibt es m -j- 1 positive Zahlen Ji₂, . . . Jim und Je, wobei Je keine dey Zahlen Ji übersteigt, derart, daß die Yariabilitätsbereiche für jede der m Funktionen <Pm, <Pm-!»•••%» <Pi durctl die Ungleichungen:

(12)

— Je x₁ <| Æ, ... — Je    Je

und diejenigen unter den Ungleichungen:

(13)

- h i £vi<L J>t, .... -Kû Vm £ K

angegeben werden, die sich auf solche Veränderliche y beziehen, die in den Funktionen Vorkommen. Die übrigen Ungleichungen (13) geben dabei an, in welchen Intervallen die Auflösungen ym, Vm-lt'-’Vi vorhanden sind. Alle m Funktionen haben stetige partielle Ableitungen erster Ordnung hinsichtlich aller ihrer Veränderlichen. Außerdem verschwinden sie sämtlich, wenn alle ihre Veränderlichen den Wert Null annehmen.

Setzt man nun yt = (p₁ in die m — 1 ersten Gleichungen (11) ein, darauf den für y₂ hervorgehenden Wert in die m — 2 ersten Gleichungen usw., so geht ein Gleichungensystem von der Form:

(14)

Vi    (ßh: X₂, . . . Xn)

hervor. Insbesondere ist ihx dieselbe Funktion wie cpx. Die Funktionen ^1; if₂, ... xhm sind nach Satz 8, Nr. 22, im Bereiche (12) stetig und nach Satz 21, Nr. 41, mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung versehen; ferner verschwinden sie sämtlich an der Stelle xx = 0, x₂ = 0, . . . xn = 0. Außerdem geben sie die einzigen Werte der m Größen yx, y₂, ...ym an, die den vorgelegten Gleichungen (3) im Bereiche (12) unter den Bedingungen (13) genügen.

Indem wir wieder das Wertsystem xx = 0, ... xn = 0, yx = 0, ... ym = 0 durch ein anderes ersetzen, finden wir schließlich den

Satz 17: Sind Fx, K

2> •

. . Fm solche m Funktionen der n -f- m Veränderlichen x1} x₂,... xn, yx, y₂,... ym, die in der Umgebung der Stelle (xx°, x₂, ... xn°, yx, y₂°, . .. ym°) nebst allen ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig sind und insbesondere an jener Stelle selbst verschwinden, während die Funktionaldeterminante

Fi F, ■ ■ ■ F,

th »i ■■■ y„

daselbst nicht gleich Null ist, so definieren die m Gleichungen: Fi- 0, F.-O, ... Fm-0

in einem gewissen Variabilitätsbereiche:

¹ xi — VI ^ I x₂ — x₂q\ <; k, ... j xn — xnQ\ <- k

die m Größen yl, y₂,. . . ym als stetige Funktionen von xx, x₂, . . . xn mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung in der Art, daß diese m Funktionen yx, y₂, .. .ym für xx = xx, x₂ = x₂, . . . xn = xn° die Werte yx°, y₂, . . . ym° annehmen und für jedes Wertsystem xx, x₂, ... xn innerhalb des angegebenen Variabilitätsbereiches alle diejenigen Wertsysteme yx, y₂, . .. ym liefern, die den vorgelegten m Gleichungen zusammen mit xx, x₂, ... xn in der Umgebung der Stellen (xx, x₂°,... xn°) und (yx°, y₂°, ... ym°) genügen.

Hiermit sind die Betrachtungen von Nr. 78—80 vollständig geworden, indem sich gezeigt hat, daß die in Nr. 77 aufgestellte Forderung (S unter den im Satze 17 angegebenen Bedingungen in der Tat erfüllt ist.

(Ä - 1, 2, . . . m),

698. Die zu m gegebenen Funktionen inversen Funktionen. Insbesondere liege ein Gleichungen system vor:

yk = fk(xi, X2,---XJ

durch das m Größen yl} y₂, . . . ym als Funktionen von xx, x₂, ■ . ■ xm definiert werden. Dies System kann in der Form :

(Je — 1,2, ... m)

Vk-fkiP^i,    xj = 0

dem im letzten Satze betrachteten Systeme untergeordnet werden, indem gesetzt wird:

(k — 1, 2,. . . m).

Fk = yk - fk {xt, x₂,... xj

Wenn wir nun die Gleichungen nach xx, x₂, ... xm aufzulösen wünschen, haben wir bei Anwendung jenes Satzes die Holle der x und y zu vertauschen. Insbesondere ist außerdem n = m. Wegen der besonderen Form, die hier die Funktionen F haben, werden die Voraussetzungen, unter denen der letzte Satz anwendbar ist, einfacher, so daß sich ergibt:

Satz 18: Liegt ein System von solchen m Funktionen :

(Je = 1,2, ... m)

Uk ⁼ fk (^l 1 X2} • • • Xm) von m Veränderlichen xt, x₂, ... xm vor, die in der Umgebung einer Stelle (xx, x₂°,. . . xm°) nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig sind und an dieser Stelle die Werte yf, y₂°,... ym° annehmen, und ist überdies die Funktionaldeterminante

dH

an jener Stelle von Null verschieden, so sind auch umgekehrt infolge der m Gleichungen yk = fk die m Größen xx, x₂,... xm in einer gewissen Umgebung der Stelle (yx°, y₂°, . . . ym°) solche stetige Funktionen von yx, y₂, . . . ym mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung, die für yx = yx, y₂ = y₂,. . . ym = ym° die Werte xx, x₂, . . . xm° annehmen und überhaupt für jedes Wertsystem yx, y₂, . .. ym innerhalb dieser Umgebung alle diejenigen Werte von xlf x₂,... xm liefern, die mit jenen Werten y\, y₂, . . . ym zusammen in einer gewissen Umgebung der Stelle (xx, x₂,... xm°) die m Gleichungen yk = fk befriedigen.

Dies ist der Satz über die Existenz der zu m gegebenen

und voneinander unabhängigen Funktionen gehörigen m inversen Funktionen, von denen in Nr. 81 die Rede war.

699. Die Ableitungen höherer Ordnung der un-

entwickelten Funktionen.

G eichungensystem :

Wir betrachten wieder das

(1)

Fk (xx, x₂, ...xn, yx,y9t... ym) = 0 (Je =1,2,... m)

des Satzes 17 der vorletzten Nummer unter den dort angegebenen Voraussetzungen. Außerdem fügen wir die Voraussetzung hinzu, daß die Funktionen Fx, F₂, . . . Fm in der Umgebung der Stelle (xx, x₂°, ... xn°, yß, y₂°, . . . ym°) auch lauter stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung haben. Es läßt sich alsdann leicht erkennen, daß auch die durch das System

(1) definierten Funktionen yx, y₂, . . . ym stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung haben müssen. Denn zunächst gelten in Hinsicht auf die Ableitungen erster Ordnung nach die k Gleichungen:

dFk dym 'àVm dXi

(2)

cFk ! dFk dyt . dFk dy2 cx; d yl dxj ' dy₂ dxi

(k = 1, 2, . . . m).

Sie ergeben für die partiellen Ableitungen erster Ordnung von yx, y₂, . . . ym nach xi gebrochene rationale Funktionen der partiellen Ableitungen erster Ordnung von Fx, F₂. ... Fm. Da aber Fx, F₂, . . . Fm nach Voraussetzung stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung haben, so lassen sich die gefundenen Werte nach Satz 22, Nr. 42, nochmals nach irgend einer der Veränderlichen xx, x₂, ... xn partiell differenzieren. Allgemein gelangt man durch Wiederholung des Schlusses zu dem folgenden Zusatze zu Satz 17 der vorletzten Nummer:

Satz 19: Fügt man zu den Voraussetzungen des Satzes 17, Nr. 697, noch hinzu, daß die Funktionen Fx, F₂, . . . Fm in der Umgebung der Stelle (xx, xß, . . . xn°, yx°, y₂, . . . ym°) lauter stetige partielle Ableitungen bis zur rten Ordnung einschließlich haben, so gilt dasselbe von den durch das Gleichungensystem Fx = 0, F₂ = 0,. . . Fm = 0 definierten Funktionen yx, y₂, ... ym von xx, x₂, . . . xn.

§ 6. Existenzbeweis bei allgemeinen Systemen von gewöhnlichen Differentialgleichungen.

700. Lösungen der Differentialgleichung F(x, y, y')

— O. Die Ergebnisse des letzten Paragraphen setzen uns in stand, die in § 3 und § 4 entwickelten Existenzbeweise auch auf solche gewöhnliche Differentialgleichungen oder Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung auszudehnen, die nicht in der nach den Ableitungen aufgelösten Form vorliegen. Es ist zweckmäßig, dies in dem einfachsten Falle genauer zu erläutern.

Es liege die Differentialgleichung vor:

(1)

F(x, y, y) = 0.

Wir kümmern uns vorläufig nicht darum, daß y eine Funktion von x und daß y die Ableitung dieser Funktion sein soll, und machen über die Funktion F der drei Veränderlichen x, y, y die folgenden Annahmen : Sie verschwinde für ein bestimmtes Wertsystem x = a, y = &, y = c und sei in der Umgebung der Stelle (a, b, c) stetig; sie habe ferner in dieser Umgebung eine stetige partielle Ableitung erster Ordnung nach y\ doch sei die Ableitung an jener Stelle (a, b, c) nicht gleich Null. Alsdann ist die Gleichung (1) nach Satz 15, Nr. 696, in der Umgebung der Stelle (a, b, c) nach y' auflösbar, d. h. es gibt eine Funktion:

(2)

y = f(%, y),

die für x — a, y — b den Wert c annimmt, ferner in der Umgebung der Stelle (a, b) stetig ist und drittens zu jedem Wertepaare x, y in dieser Umgebung denjenigen einzigen Wert von y vorstellt, der die Gleichung (1) befriedigt, sobald die Werte y auf eine gewisse Umgebung von y = c beschränkt werden.

Die neue Gleichung (2) ist wie die alte eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung für die unbekannte Funktion y von x. Hieraus folgt:

Es sei das Wertepaar x₀, y₀ in der Umgebung des Wertepaares a, b beliebig gewählt. Zu x = æ₀, y = y₀ gehört alsdann infolge von (1) ein Wert y = y₀' in der Umgebung von y = c, nämlich der Wert y₀' = f(x₀, y₀). Soll nun y = (p{x) 700j eine solche Lösung der Differentialgleichung (1) sein, die für x = xQ den Anfangswert y₀ hat, während ihrer Ableitung der Anfangswert y₀' vorgeschrieben wird, so muß y — cp(x) auch eine solche Lösung der Differentialgleichung (2) sein, die für x = x₀ den Anfangswert y₀ hat. Umgekehrt: Wird die Stelle (x₀, y₀) in der Umgebung der Stelle (a, b) gewählt, so ist eine solche Lösung y = cp (x) der Gleichung (2), die für x = x₀ den Wert y₀ annimmt, notwendig eine Lösung der Gleichung (1).

Nach dem allgemeinen Satze 9 von Nr. 691 gibt es nun, sobald f(x, y) gewissen Voraussetzungen genügt, eine und nur eine Lösung y= <p(x) der Gleichung (2), die für x = xQ den Wert y₀ hat, aber es wäre irrig, wollte man hieraus schließen, daß auch der vorgelegten Gleichung (1) nur eine Lösung y = <p(x) mit dem für x = x₀ vorgeschriebenen Anfangswerte y₀ zukäme. Denn die Gleichung (2) stellt ja die Auflösung der Gleichung (1) nach y in der Umgebung der Stelle (a, b) nur unter der Voraussetzung dar, daß y auf eine gewisse Umgebung des Wertes c beschränkt wird. Es ist aber möglich und kommt oft genug vor, daß die Gleichung (1) nach der Substitution der Werte x = a, y — b nicht nur durch einen einzigen Wert y = c befriedigt wird.

Wir müssen demnach unterscheiden, ob es sich darum handelt, die vorgelegte Differentialgleichung (1) in der Umgebung des Wertepaares x = a, y = b oder in der Umgebung des Wertsystems x = a, y = b, y' = c vollständig zu integrieren. Nur die zweite Aufgabe ist identisch mit der, die neue Differentialgleichung (2) in der Umgebung des Wertepaares x = a, y ==b vollständig zu integrieren. Wenn die Gleichung:

(3)

F(a, b, y) = 0

durch verschiedene Werte y = cl} c₂, . . . befriedigt wird und sonst alle gemachten Annahmen zutreffen, so führt sie nicht nur zu einer Gleichung (2), sondern zu mehreren:

0)

=    y), y' = f*(x,y), • • ••

Die vollständige Integration der vorgelegten Gleichung (1) in der Umgebung des Wertepaares x = a, y = b ist erst dann geleistet, wenn jede einzelne unter den Gleichungen (4) in der Umgebung dieses Wertepaares vollständig integriert worden ist.

[700

Deuten wir x uncl y als rechtwinklige Koordinaten in der xy- Ebene, so sind x, y und y die Bestimmungsstücke eines Linienelements (vgl. Nr. 666). Die Differentialgleichung (1) definiert alsdann eine Schar von Linienelementen, aber dem Punkte (a, b) können sehr wohl mehrere Linien elemente zugehören, nämlich dann, wenn sich aus (3) mehrere Werte y = c₁, c₂, ... ergeben. Sollen nun alle Integralkurven in der Umgebung des Punktes (a, b) gefunden werden, so muß man alle Integralkurven in den Umgebungen der einseinen Linienelemente (a, b, cf), (a, b, cf), ... bestimmen. Dabei braucht kaum erklärt zu werden, was damit gemeint ist, daß eine Kurve in der Umgebung eines Linienelements (a, b, c) liegt. Es bedeutet natürlich, daß die Bestimmungsstücke x, y, y' der Linienelemente der Kurve in der Umgebung des Wertsystems a, b, c enthalten sein sollen.

Wenn man voraussetzt, daß die Funktion F in der Umgebung der Stelle (a, b, c) auch stetige partielle Ableitungen erster Ordnung nach x und y hat, so kann man außer dem Satze 15 noch den Satz 16 von Nr. 696 heranziehen, woraus folgt, daß die rechte Seite der Gleichung (2) in der Umgebung der Stelle (a, b) eine stetige Funktion mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung ist. Auf die Gleichung (2) läßt sich nunmehr der Satz 9 von Nr. 691 anwenden. Also können wir sagen :

Satz 20: Es liege eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung:

F{x,y,y) = 0

mit einer unbekannten Funktion y der unabhängigen Veränderlichen x vor. Die Funktion F der drei Veränderlichen x, y, y verschwinde für x = a, y = b, y = c und verhalte sich nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung in der Umgebung der Stelle (a, b, c) stetig; doch sei die Ableitung dF : cy an dieser Stelle von Null verschieden. Alsdann gibt es in der Umgebung der Stelle (a, b) eine und nur eine solche Lösung:

y = cp(x),

der für x = a der Anfangswert b zukommt, während ihrer Ableitung für x = a der Anfangswert c vorgeschrieben ist. Diese

700]

= , y* =

Lösung verhält sich nebst ihrer Ableitung erster Ordnung in einer gewissen Umgebung von x = a stetig.

701. Lösungen eines Systems erster Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Ganz entsprechende Überlegungen gelten für ein solches System erster Ordnung von geAvöhnlichen Differentialgleichungen für n unbekannte Funktionen yx, y₂, . . . yn von x, das sich nach dem Satze 17 von Nr. 697 nach den n Ableitungen yf, y₂, . ■ • yn' auflösen läßt. Wir begnügen uns damit, nur die folgende Verallgemeinerung des letzten Satzes zu formulieren.

Satz 21: Es liege ein System erster Ordnung von n gewöhnlichen Differentialgleichungen :

F{{x, yuy₂,... yn, yf, yf,... y ff) = 0 (i = 1, 2,... n)

für n unbekannte Funktionen yx, y₂,.. ,yn der unabhängigen Veränderlichen x vor. Alle n Funktionen F1} F₂, . . . Fn sollen für das Wertsystem:

x = a,

gleich Null sein und sich nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung in der Umgebung dieses Wertsystems stetig verhalten; doch sei die Funktionaldeterminante

F₂... Fn

y* • • • yń‘

für dieses Wertsystem nicht gleich Null. Alsdann gibt es in der Umgebung des Wertsystems:

x = a,

di = K

ein und nur ein solches System von Lösungen:

yi = <Pi<»> y2 = w(?), ... yn = <pn(x), die für x = a die Werte bx, b₂, . . . bn haben, während ihren Ableitungen für x = a die Werte cx, c₂,.. .cn vorgeschrieben sind. Die Lösungen verhalten sich nebst ihren Ableitungen erster Ordnung in einer gewissen Umgebung von x = a stetig.

702. Lösungen eines Systems höherer Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. In Nr. 663 hat sich gezeigt, daß jedes solche System von gewöhnlichen

[700, 701, 7oa

Differentialgleichungen, in denen Ableitungen höherer Ordnung der unbekannten Funktionen auftreten, in ein System erster Ordnung verwandelt werden kann, vgl. den Satz 2 ebenda, und zwar stehen dieser Überführung keinerlei Schwierigkeiten im Wege, da nur Substitutionen und keine Eliminationen zu leisten sind. Die gegebenen Existenzbeweise lassen sich alsdann auf das gewonnene System erster Ordnung anwenden, und auf diese Art ist man imstande, auch die Existenz von Lösungen des vorgelegten Systems zu beweisen. Doch wollen wir uns vorläufig mit diesen wenigen Bemerkungen darüber begnügen.

Drittes Kapitel.

Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung.

§ 1. Allgemeine und singuläre Lösungen.

703. Allgemeine Lösung der Differentialgleichung

y —f{pc, y). Liegt eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung für eine unbekannte Funktion y der unabhängigen Veränderlichen x in der Form:

(1)

y'=f(x, y)

vor, so soll ein für allemal hier festgesetzt werden, daß wir sie nur in einem solchen Bereiche der Veränderlichen x und y betrachten, innerhalb dessen die Funktion f(x, y) stetig ist und eine stetige partielle Ableitung erster Ordnung hinsichtlich y hat. Nach Satz 9 von Nr. 691 und Satz 10 von Nr. 692 gibt es eine und nur eine Lösung y der Differentialgleichung, die für x = x₀ einen vorgeschriebenen Anfangs wert y₀ hat. Es sei dies:

(2)

y = (p(x,x₀, y₀).

Sie ist einerseits eine stetige Funktion von x mit stetiger Ableitung y und andererseits auch eine solche stetige Funktion von y₀, der eine stetige Ableitung nach y₀ zukommt.

Die Gesamtheit aller Lösungen der Differentialgleichung (1) in dem festgesetzten Bereiche heißt ihre allgemeine Lösung. Sie wird durch (2) dargestellt, solange x₀ und y₀ willkürliche Konstanten bleiben. Wenn dagegen x₀ und yQ bestimmt gewählt werden, so heißt (2) eine Partilcularlösung. Die allgemeine Lösung ist die Gesamtheit aller Partikularlösungen.

Bisher haben wir noch keine Methode entwickelt, nach der man imstande ist, die allgemeine Lösung einer vorgelegten

[703

Differentialgleichung (1) wirklich zu berechnen. Auch im gegenwärtigen Paragraphen genügt uns vorläufig die Tatsache ihrer Existenz. Unter Umständen kann man ohne Rechnung bei einer gegebenen Differentialgleichung wenigstens eine Partikularlösung ausfindig machen, z. B. bei dieser:

(p + y)y

denn hier ist augenscheinlich die Konstante y = 0 eine Lösung, weil mit y = 0 auch y = 0 ist und die Gleichung durch y = 0, y' = 0 befriedigt wird.

Werden x und y wie in Nr. 666 als rechtwinklige Koordinaten in der Ebene gedeutet, so sind die geometrischen Bilder der Partikularlösungen von (1) Integralkurven. Es sind dies die Kurven, die in jedem ihrer Punkte (x, y) dasjenige Linienelement haben, dessen Winkel x mit der positiven x-Achse durch:

tg T = f(x, y)

bestimmt wird. Die allgemeine Lösung wird durch die Gesamtheit der Integralkurven dargestellt, und da von jeder Anfangsstelle {xQ, y₀) eine und nur eine Integralkurve ausgeht, so sagen wir, daß die Gesamtheit der Integralkurven den Bereich der Differentialgleichung überall einfach überdeckt. Nirgends schneiden oder berühren sich zwei verschiedene Integralkurven.

704. Integrationskonstante. Im folgenden beschränken wir uns, um den Schlüssen volle Strenge zu geben, auf die Umgebung einer bestimmt gewählten Stelle x = a, y = b des Bereiches der Differentialgleichung:

(1)

y = f{x, y).

Wenn also:

(2)

y = cp ix, Xq, y₀)

die allgemeine Lösung vorstellt, die für x = x₀ den Wert y0 annimmt, so sollen nur solche Anfangswertepaare x₀, y₀ betrachtet werden, die der Umgebung der Stelle (a, b) angehören.

Zunächst enthält die allgemeine Lösung (2) zwei willkürliche Konstanten x₀ und y₀. Alle Partikularlösungen in der 703, 704]

Umgebung der Stelle (a, b) oder, was dasselbe ist, alle Integralkurven in der Umgebung des Punktes (a, b) ergeben sieb aber auch schon dann, wenn für x₀ der bestimmte Wert a gesetzt wird und nur y₀ einen noch willkürlichen Wert C behält:

y = y{x, a, C).

Diejenige Integralkurve (2) nämlich, die von irgend einem bestimmt gewählten Punkte (x₀, y₀) in der Umgebung des Punktes («, b) ausgeht, hat für x = a eine bestimmte Ordinate y = C] es ist dies die Ordinate ihres Schnittpunktes mit der Geraden x = a (siehe Fig. 14):

(3)

(<x,b)

C = cp(a,x₀,y₀).

Andererseits steht fest, daß durch den Schnittpunkt (a, C) nur eine Integralkurve geht, d. h. daß zu dem Anfangswertepaare a, C nur eine Partikularlösung vorhanden ist, nämlich diejenige, die von der allgemeinen Lösung (2) bei der Annahme #₀ = a, y₀ = C geliefert wird. Demnach ist die Funktion:

Vo

C{

Pig. 14.

y = cp(x, x₀, y₀)

notwendig dieselbe wie die Funktion:

(4)

y = cp(x, a, C),

sobald unter G die Konstante (3) verstanden wird. Weil die Stelle (xQ, y₀) irgendwo in der Umgebung der Stelle (a, b) gewählt werden kann, bleibt die durch (3) bestimmte Konstante G noch willkürlich, so daß die Funktion (4) noch eine willkürliche Konstante C enthält, während a einen bestimmten Wert hat.

Die allgemeine Lösung ivird somit in der Form (4) durch eine Funktion dargestellt, die nur noch eine willkürliche Konstante G enthält. Diese Konstante heißt die Integrationskonstante.

In vielen Fällen, in denen die Integration der Differentialgleichung mittels elementarer Funktionen geleistet werden kann, gilt diese Schlußfolgerung nicht nur für die Umgebung einer

[704

bestimmten Stelle (a, b) des Bereiches, sondern für den ganzen Bereich. Man erkennt ja, daß sie gewiß für denjenigen Teil des Bereiches besteht, der von den Integralkurven bedeckt wird, die mit der gewählten Geraden x = a Punkte gemein haben.

Beispiel: Die Integralkurven der schon in Nr. 666 betrachteten Differentialgleichung :

y =* —

sind alle konzentrischen Kreise um den Anfangspunkt 0. Der durch den Punkt (xQ, y₀) gehende Kreis hat die Gleichung: d. h. es ist:

(5)

y = VV + ył -

die allgemeine Lösung. Sie enthält vorerst zwei willkürliche Konstanten xQ und y₀, aber man sieht hier sofort, daß nur die eine Konstante x₀² + y₀² wesentlich ist, so daß auch:

(6)

y = Y C² — x²

die allgemeine Lösung vorstellt. Es ist nützlich, dies mittels des oben angewandten allgemeinen Verfahrens zu zeigen. Wir wählen z. B. die Konstante a = 0, bestimmen also die Ordinate C des Schnittpunktes des Kreises (5) mit der Geraden x — 0 (wobei wir uns etwa auf den Bereich y > 0 beschränken). Diese Ordinate hat nach (5) den Wert:

(7)

c = yV + y₀².

Da jeder Kreis um 0 die Gerade x = 0 trifft, können wir die Anfangsstellen aller Integralkurven auf dieser Geraden wählen, d. h. in (5) einfach x₀ = 0 und y₀ = C setzen, ohne dadurch die Allgemeinheit der Lösung (5) zu beschränken. So geht wieder die Form (6) hervor, die aber auch durch Substitution des Wertes (7) in (5) gewonnen wird.

Wir kehren zur allgemeinen Betrachtung zurück. In der Form (4) enthält die allgemeine Lösung außer der Veränderlichen x nur noch eine willkürliche Konstante C, während a eine bestimmte Zahl bedeutet, die künftig nicht besonders unter dem Funktionszeichen angemerkt zu werden braucht. 704]

Danach sei von jetzt an die allgemeine Lösung mit:

(8)

y = (P (>, G)

bezeichnet. Es steht fest (nach Satz 10, Nr. 692), daß diese Funktion nicht nur eine stetige Ableitung nach x, sondern auch eine stetige partielle Ableitung erster Ordnung nach der Integrationskonstante C hat. Diese Ableitung ist nicht gleich Null, weil die Funktion sonst für alle Werte yon C dieselbe wäre, d. h. nur eine Partikularlösung darstellen würde.

705. Integral. Infolge der letzten Bemerkungen können auf die Gleichung:

(1)

y = 9 (x, G)

die Sätze 15 und 16 von Nr. 696 angewandt werden, wonach die Gleichung C als stetige Funktion von x und y mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung definiert:

(2)

C = e> (x, y).

Mithin gilt der

Satz 1: Die Gesamtheit der Lösungen y einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung von der Form y = f(x, y) wird in der Umgebung einer Stelle (a, b) ihres Bereiches implizite durch eine Gleichung:

œ (x, y) = C

dargestellt, wobei a (x, y) in der Umgebung der Stelle (a, b) eine stetige Funktion von x und y mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung ist, während G eine in der Umgebung des Wertes a {a, b) willkürliche Konstante bedeutet.

Eine Funktion von x und y, die, gleich einer willkürlichen Konstanten gesetzt, implizite alle Lösungen der Differentialgleichung :

(3)

y'=f(x,y)

in der Umgebung einer Stelle (a, b) des Bereiches definiert, heißt allgemein ein Integral der Differentialgleichung (3). Demnach folgt

Satz 2: In der Umgebung einer Stelle (a, b) des Bereiches einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung von der Form y = f(x, y) gibt es stets ein solches Integral œ (x, y) der

S er ret-S chef fers, Diff.- u. Integral-Kechnung. III. 3. Aufl.

Differentialgleichung, das ebenda eine stetige Funktion von x und y mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung ist.

Beispiel: Im ersten Beispiele von Nr. 40 handelte es sich um die Integration der Differentialgleichung :

/ p

y — y y

wo p eine gegebene Konstante bedeutet. Die Integralkuryen, nämlich die Kurven mit der konstanten Subnormale p, sind die Parabeln:

y = Y2px -f G.

Beschränken wir uns auf den Bereich y > 0, so ist die Wurzel positiv anzunehmen. Es ist dann y = ]/2px -j- G die allgemeine Lösung und C die Integrationskonstante. Auflösung nach C gibt:

C = y² — 2p x.

Demnach stellt y² — 2px ein Integral der Differentialgleichung vor. Dies Integral ist in der ganzen xy-Ebene, nicht nur in der Umgebung einer Stelle, eine stetige Punktion von x und y mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung.

Die Sätze 1 und 2 gelten überhaupt sehr oft bei solchen Differentialgleichungen, die mittels der elementaren Funktionen integriert werden können, nicht nur für die Umgebung einer Stelle {a, b), sondern für den ganzen Bereich der Differentialgleichung.

706. Verschiedene Formen der allgemeinen Lösung, der Integrationskonstante und des Integrals. Wenn die Differentialgleichung:

(i)

y - f 0, y)

in der Umgebung der Stelle (a, b) ihres Bereiches die allgemeine Lösung:

(2)

y = cp (x, C )

mit einer willkürlichen Konstante, der Integrationskonstante (7, hat, ist es leicht, die allgemeine Lösung auf eine andere Form zu bringen. Es sei nämlich etwa a < C < ß dasjenige Intervall, in dem die Konstante C gewählt werden muß, damit (2) alle Lösungen in der Umgebung der Stelle (a, b) darstellt. Wenn nun    eine solche Funktion einer Größe C' ist, die

705, 706]

bei geeigneter Wahl eines Intervalles a    alle Werte

im Intervalle von a bis ß annimmt, so stellt augenscheinlich:

(3)

y = cp (x, ip (Cj)

ebenfalls die allgemeine Lösung (2) dar. Wenn insbesondere ih(G') eine stetige Funktion von C' mit stetiger Ableitung erster Ordnung ist, so hat die allgemeine Lösung in der neuen Form (3) ebenfalls eine stetige partielle Ableitung hinsichtlich C'.

Dadurch also, daß man die Integrationskonstante C durch eine noch in hohem Maße beliebig wählbare Funktion einer neuen Integrationskonstante C ersetzt, kann man die allgemeine Lösung auf eine andere Form bringen.

Wenn die Auflösung der Gleichung (2) nach C das Integral w (x, y) = C und also co (x, y) = ( C') liefert und i die zu ÿ inverse Funktion ist, so nimmt das Integral durch Auflösung nach der neuen Integrationskonstante C die neue Form:

(4)

% (a (x, y)) = G'

an. Jede Funktion % (co) eines Integrals cj ist demnach wiederum ein Integral derselben Differentialgleichung. Bei geeigneter Wahl der noch in hohem Maße willkürlichen Funktion % kann man erreichen, daß das neue Integral ebenfalls in der Umgebung der Stelle (a, 6) eine stetige Funktion mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung wird.

Umgekehrt: Es seien œ (x, y) und Sl(x,y) zwei Integrale derselben Differentialgleichung, und zwar seien sie nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung in einem gewissen Bereiche stetig. Alsdann müssen die beiden Gleichungen:

+ c°yy' = ⁰

durch denselben Wert (1) von y befriedigt werden, was aber nur dann angeht, wenn:

(Q 8

<°x

SI

x y

ist. Daraus folgt nach Satz 4, Nr. 80:

Satz 3: Nicht nur ist jede Funktion eines Integrals der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung y —f (x, y) wiederum ein Integral der Gleichung, sondern es gilt auch das

Umgekehrte: Alle Integrale der Differentialgleichung sind voneinander abhängig.

Beispiel: Die Differentialgleichung:

y = — —    ^

J    x

läßt sich in der Form:

dx dy x ' y

sofort integrieren. Es ist danach:

ln x -|- ln y — G

ein Integral. Wird es als das Integral a gewählt und unter x(co) die Funktion eM verstanden, so lautet die neue Form (4) des Integrals:

xy = C'.

Die Integralkurven sind diejenigen Hyperbeln, deren Asymptoten mit den Koordinatenachsen zusammenfallen.

707. Verallgemeinerung für den Pall einer Differentialgleichung F(pc, y, y) = 0. Wir wollen die in den

vorhergehenden Kümmern entwickelten Begriffe auch auf solche gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung:

(1)

F(x, y,y) = 0 ausdehnen, die nicht nach y aufgelöst sind.

Es möge x = a, y = b ein bestimmtes Wertepaar sein, und es seien y = clf c₂, . . . alle diejenigen voneinander verschiedenen Werte von y, die der Gleichung:

F (a, b, y) — 0

genügen. Ferner sei die Funktion F (x, y, y) in den Umgebungen der Stellen (a, b, cf), (a, b, cf), ... nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig. Insbesondere werde vorausgesetzt, daß die Ableitung dF : dy' an keiner der Stellen (a, b, cf), (a, b, cf),... gleich Kuli sei. Dann hat die Gleichung (1) eine Anzahl von Auflösungen nach y :

(2)

y' = A(%,y),    y'=f*(v,y), • • •

die für x = a, y = b die Werte c1} c₂, . .. annehmen. Sie liefern alle diejenigen Werte von y, die der Gleichung (1) genügen, falls (x, y) irgend eine Stelle in der Umgebung der Stelle (a, b) bedeutet. Vgl. Kr. 700.

706, 707]

Die Differentialgleichung (1) wird somit in der Umgebung des Punktes (a, b) der xy-Ebene durch eine Anzahl von aufgelösten Differentialgleichungen (2) ersetzt. Da die Funktionen ft, f2, ■ in der Umgebung der Stelle (a, b) stetig sind und stetige partielle Ableitungen erster Ordnung haben, kommt jeder Differentialgleichung (2) in der Umgebung der Stelle (a, b) eine allgemeine Lösung zu:

(3)

y =    G), y = <ps(x, C), ...

Ihre Gesamtheit stellt die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (1) in der Umgebung der Stelle (a, b) dar. Weil jede einzelne Gleichung (3) eine Schar von Integralkurven bestimmt, von denen die Umgebung des Punktes (a, b) einfach überdeckt wird (vgl. Nr. 703), so überdeckt die Gesamtheit aller Integralkurven der vorgelegten Differentialgleichung die Umgebung des Punktes (a, b) gerade so vielfach, als einzelne Gleichungen (2) hervorgegangen sind, d. h. durch irgend einen Punkt (x, y) dieser Umgebung geht je eine Integralkurve einer jeden einzelnen Differentialgleichung (2).

Alle von einem solchen Punkte (x, y) ausgehenden Integralkurven haben daselbst verschiedene Tangenten, wenn jene Umgebung hinreichend beschränkt wird. Denn es stellen z. B. die beiden Gleichungen:

(4)

y ~ fi (%) y) ) y = /₂ y)

diejenigen Auflösungen der Gleichung (1) nach y dar, die alle Werte von y in einer gewissen Umgebung des Wertes cx bzw. c₂ erschöpfen, falls nur die Stelle* (x, y) in der Umgebung der Stelle (a, b) liegt. (Vgl. Satz 15, Nr. 696.) Weil die Differenz fx — f₂ an der Stelle (a, b) gleich cx — c₂ 4= 0 ist, gibt es nach Satz 11, Nr. 693, eine solche Umgebung der Stelle (a, &), innerhalb derer überall fx =f= f% ist. Da fx bzw. f₂ den Tangens des Winkels bedeutet, den die Integralkurve der ersten bzw. zweiten Differentialgleichung (4) mit der positiven Æ-Achse bildet, so folgt mithin, daß in einer hinreichend kleinen Umgebung des Punktes (a, b) keine Integralkurve der ersten Gleichung eine der zweiten Gleichung berühren kann. Dasselbe gilt für die Integralkurven aller Differentialgleichungen (2).

Dies Ergebnis wollen wir als Satz formulieren. Wir bemerken dabei ein für allemal vorweg, daß wir uns bei der Betrachtung einer Differentialgleichung von der Form F(x, y, y) = 0 stets stillschweigend auf einen solchen Bereich beschränken, innerhalb dessen die Funktion F (x, y, y) der drei Veränderlichen x, y, y nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig ist. Wird dies im Auge behalten, so gilt der

Satz 4: Wenn die gewöhnliche Differentialgleichung erster

Ordnung :

Fix, y, y) = 0

an der Stelle x = a, y = b nur durch solche Werte von y befriedigt wird, für die dF:dy' von Null verschieden ist, so gibt es eine Umgebung des Punktes (a, b) der xy-Ebene, in der keine zwei verschiedenen Integralkurven der Differentialgleichung einander berühren.

Daraus folgt, daß eine Berührung zwischen Integralkurven gewiß nur an solchen Stellen x = a, y = b denkbar ist, zu denen infolge von F (a, b, y') = 0 wenigstens ein Wert von y' gehört, für den dF : dy verschwindet. Hierauf kommen wir in der nächsten Nummer zurück.

Ist die Anzahl der Differentialgleichungen (2), die durch die Auflösung der Gleichung (1) in der Umgebung des Wertepaares x — a, y = b hervorgehen, begrenzt, etwa gleich n, so kann man alle n Lösungen (3) in einer Gleichung zusammenfassen:

[y — cp₁ (x, Cf] [y — cp₂ [x, Cf] • • • [y - cpn(x, G)] = 0, die implizite die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

(1) in der Umgebung der Stelle (a, b) darstellt. Bei denjenigen Differentialgleichungen (1), die man durch die elementaren Funktionen zu integrieren imstande ist, ergibt sich häufig, daß die allgemeine Lösung y durch eine einzige, aber mehrwertige Funktion ausgedrückt werden kann. In der Theorie aber sehen wir, wie schon oft gesagt wurde, von mehrwertigen Funktionen ab.

Durch Auflösung der Gleichungen (3) nach C gehen In

tegrale :

(x, y) = c,

0, y) = C, • • •

der einzelnen Differentialgleichungen (2) hervor. Erst ihre Gesamtheit wird man als Integral der vorgelegten Differentialgleichung (1) bezeichnen.

Unter einer Partikularlösung der Differentialgleichung (1) versteht man irgend eine der Lösungen (3) für irgend einen erlaubten und bestimmten Wert der willkürlichen Konstante C.

708. Singuläre Lösungen. Bisher wurde angenommen, daß für ein solches Wertsystem x = a, y = b, y' = c, das der vorgelegten Differentialgleichung :

(1)

F(x, y, y) = 0

genügt, insbesondere dF:dy =1=0 sei, denn nur dann war die Anwendung des Satzes 15 von Nr. 696 gestattet, nach dem die Gleichung (1) eine Auflösung von der Form y = f(x, y) hat. Nun soll der bisher ausgeschlossene Fall erörtert werden, in dem dF:dy für ein Wertsystem verschwindet, das der Gleichung (1) genügt. Es empfiehlt sich, alle diejenigen Wertsysteme x, y, y' oder also alle diejenigen Linienelemente (x, y, y) in der xy-Ebene als singulär zu bezeichnen, für • die zugleich die beiden Gleichungen gelten:

(2)

Fix, y, y) = 0,

dF

dy'

= 0.

Dann folgt aus dem Satze 4 der letzten Nummer sofort:

Satz 5: Wenn zwei Integralkurven der geivähnlichen Differentialgleichung erster Ordnung Fix, y, y ) = 0 einander berühren, so ist ihr gemeinsames Linienelement singulär.

Zunächst ist es denkbar, daß die zweite Gleichung (2) bloß eine Folge der ersten Gleichung (2) vorstellt. Wenn z. B. die gegebene Differentialgleichung die Form:

(3)

\y-f\x, y)f = 0 hat, so bedeutet F ihre linke Seite, so daß die zweite Gleichung (2) diese wird:

(4)

y - fix, y) = 0.

Hier ist es ganz klar, daß man die vorgelegte Differentialgleichung nicht in der Form (3), sondern von vornherein in der Form (4) betrachten wird, und dann tritt dieser besondere Fall nicht mehr ein. Wir wollen voraussetzen, daß die Differentialgleichung Fix, y, y') = 0 immer nur in solcher Form

[707, 708

gegeben sei, wobei die zweite Gleichung (2) nicht bloß eine Folge der ersten Gleichung (2) ist, d. h. nicht alle Linienelemente der Differentialgleichung sollen der zweiten Gleichung (2) genügen.

Gibt es nun überhaupt unbegrenzt viele Linienelemente (x, y, y'), die beide Gleichungen (2) befriedigen, so brauchen sie nicht notwendig Kurven zu bilden. Ein Beispiel zeigt dies sofort: Man betrachte alle diejenigen Linienelemente, die von den Punkten einer Kurve ausgehen und zu den Tangenten der

Vig. 15.

Punkte senkrecht sind, siehe Fig. 15. Wenn aber singuläre Linienelemente in unbegrenzter Anzahl vorhanden sind und eine Kurve bilden, muß man die Kurve als eine Integralkurve bezeichnen. Denn alle Linienelemente (x, y, y) einer Kurve y = ik(x) werden durch die beiden Gleichungen y = ik{x), y'=ip'(x) gegeben. Wenn nun ihre Bestimmungsstücke den beiden Gleichungen (2) genügen, so muß insbesondere nach der ersten Gleichung (2) für alle Werte von x (innerhalb eines gewissen Intervalles):

F(x, ip(x), ip'(xf) = 0

sein, d. h. y = 4>(x) ist eine Lösung der Differentialgleichung (1).

Alle diejenigen Integralkurven, deren Linienelemente singulär sind, heißen singuläre Integralkurven. Analytisch ausgedrückt: Eine differenzierbare Funktion y = ih(x) heißt eine singuläre Lösung der Differentialgleichung (1), wenn die beiden Gleichungen (2) durch die Substitutionen y = iy(x), y' =ip'(x) befriedigt werden.

Es erhellt, daß die Differentialgleichung (1) außer den in voriger Kummer betrachteten Lösungen und den etwa vorhandenen singulären Lösungen keine anderen Lösungen haben kann. Die nicht singulären Lösungen bzw. Integralkurven heißen regulär. Es leuchtet ferner ein, daß durch einen Punkt (x, y) gewiß keine singuläre Integralkurve geht, sobald sich aus der Forderung F(x, y, y) = 0 nur solche Werte von y ergeben, für die dF: cy 4= 0 ist.

Wenn y = ip(x) eine singuläre Lösung vorstellt, müssen die Werte y = ip (x) und y'=il>'(x), wie schon gesagt, den

beiden Gleichungen (2) genügen. Anders ausgedrückt: Eine singuläre Lösung y ist vorhanden, wenn die beiden Gleichungen (2) durch zwei Funktionen y und y von x befriedigt werden, von denen die zweite die Ableitung der ersten ist. Nun aber gibt die vollständige Differentiation der ersten Gleichung (2):

dF dF dy dF dy _ ^

dx dy dx ' dy' dx

oder einfacher wegen des Bestehens der zweiten Gleichung (2):

d_F dFdy_0 dx ' dy dx

Also ist zu fordern, daß der hieraus zu berechnende Wert von dy.dx mit y übereinstimme. Daher gilt der

Satz 6: Die gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung F(x, y, y) = 0 hat dann und nur dann eine singuläre Lösung, wenn es eine stetige und differenzierbare Funktion y von x gibt, die zusammen mit ihrer Ableitung y den drei Gleichungen:

8F . rdF

■jï + y -

= o,

'»jf 777, *299.

dy

= 0

Genüge leistet.

Hieraus folgt, daß alle etwa vorhandenen singulären Lösungen allein durch Elimination und Substitution, d. h. ohne jedes Integrationsverfahren berechnet werden können.

709. Beispiel. Die Schar aller Kreise vom Radius r, deren Mittelpunkte auf der Geraden x = y liegen (siehe Fig. 16), hat die Gleichung:

(x- C)²+(y-Cy=r2 mit der willkürlichen Konstante C.

Vollständige Differentiation nach x gibt:

x —G A- y (y — G) = 0.

Fig. 16.

Alle Linienelemente (x, y, y) aller dieser Kreise genügen mithin derjenigen Gleichung, die aus den beiden vorhergehenden Gleichungen durch Elimination von C gewonnen wird. Dadurch

[708, 709

ergibt sich die Differentialgleichung:

(1)

F=(x — y)²(l + y²) - r²( 1 + t/')²= 0,

und zu ihren Integralkurven gehören die Kreise der gegebenen Schar. (Vgl. die Methode, mittels derer in Kr. 86 die Differentialgleichung einer gegebenen Kurvenschar gewonnen wurde.) Die Funktion F von x, y, y ist nebst ihren partiellen Ableitungen überall stetig. Insbesondere wird:

dF

dy

= 2 [(x — y)² — r²] y — 2r².

Die Differentialgleichung (1) ist hinsichtlich y quadratisch und hat daher zwei Auflösungen nach y \

(2)

,_r² + (x — y)Ÿ2r² — (oc — y)²

(,x — y)² — r2    7

und für diese Auflösungen wird:

dF

=‘±2(x — y) ]/2 r²— (x - y)².

Beide Auflösungen (2) sind nur dann reell und verschieden, wenn x — y =f= 0 und (x — y)² <2r² ist, ferner reell und gleich, wenn entweder x— y — 0 oder (x — y)² = 2r² ist, und drittens imaginär, wenn (x — yf^> 2r² ist. Die Punkte (x, y), für die beide Auflösungen reell und gleich werden, sind also diejenigen, für die dF:dy = 0 wird, nämlich die der drei Geraden x = y, x — y — r]/2 und x — y = — ry2. Die erste Gerade ist der Ort der Kreismitten, während die beiden anderen die Einhüllenden der Kreisschar vorstellen (vgl. Kr. 210). Außerhalb des von den beiden letzten Geraden begrenzten Streifens hat die Differentialgleichung (1) nur imaginäre Auflösungen nach y , d. h. dort gibt es überhaupt keine (reellen) Integralkurven. Innerhalb des Streifens dagegen hat die Gleichung (1) zwei reelle verschiedene Auflösungen nach y, sobald man von der Mittelgeraden x = y absieht. Dies Gebiet wird somit nach Kr. 707 durch Integral kurven doppelt überdeckt. In der Tat tun es die Kreise der Schar. Daher stellen sie alle regulären Integralkurven vor. Der Satz 4 von Kr. 707 wird bestätigt: In dem Streifen, abgesehen von seiner Mittellinie, für deren Stellen ja dF:dy'= 0 ist, berühren keine zwei der Kreise einander.

ergibt hier:

(3)

dF .    ,

iw + y

(x -y)( 1 + y'*)( 1 - y) = 0, d. h. y = x oder y — 1, weil von imaginären Werten abgesehen wird. Ist y = x, so geht aus (1) der Wert y = — 1 hervor. Zwar wird dann auch dF:dy — 0, aber y = — 1 ist nicht die Ableitung von y = x. Deshalb ist y = x keine singuläre, ja überhaupt gar keine Lösung. Ist dagegen y — 1, so folgen aus (1) die Werte y = x + r ]/2, für die auch cF\cy — 0 wird. Da außerdem die Funktionen y = X+ r]/2 die Ableitung y = 1 haben, sind sie die einzigen singulären Lösungen.

710. Die Einhüllende einer Schar von Integral

kurven als singuläre Integralkurve. Es ist leicht zu daß eine etwa vorhandene Einhüllende einer Schar von

Die singulären Linien elemente, d.h. diejenigen, für die dF:dy = 0 ist, gelien von den Punkten der drei Geraden aus. Insbesondere für diejenigen, deren Punkte (x, y) auf den Geraden x — y = r]/2 und x — y — — r]/2 liegen, ergibt sieb Wert y = 1, d. h. es sind die Linienelemente der beiden Geraden selbst, siehe Fig. 17. Dagegen geht für diejenigen singulären Linienelemente, deren Punkte (x, y) auf der Mittelgeraden x = y liegen, y — — 1 hervor, d. h. diese Linienelemente sind zur Mittelgeraden senkrecht. Kurven werden also nur von den singulären Linienelementen der beiden Geraden x — y = + r Y2 gebildet, die also die einzigen singulären Integralkurven vorstellen, d. h. die beiden Funktionen y — x + r]/2 sind die einzigen singulären Lösungen.

Wir wollen sie nach Satz 6 der letzten Kummer auch analytisch bestimmen. Die Gleichung:

aus

z.

(1) oder (2) der

-x

I’ig. 17.

T'

~7

zeigen,

Integralkurven stets eine singuläre Integralkurve sein muß. Stellt nämlich:

(1)

eine Schar von Integralkurven der Differentialgleichung F(x, y, y) = 0 vor, wobei die Veränderliche x und die willkürliche Konstante G gewissen Intervallen angehören, so ist:

d<P(x, C)'

(2)

F(x,<p(x,C)

dx

Nach Nr. 210 hat die Schar eine Einhüllende, wenn es eine Funktion a von x und y gibt, die der Gleichung:

dtp(x, a)

(3)

dec

genügt, und wenn überdies:

(4)

y = <p(x, a)

die Veränderliche y als stetige und differenzierbare Funktion von x definiert. Die Werte, die dabei der Funktion a für die verschiedenen Punkte (x, y) der Einhüllenden (4) zukommen, sind diejenigen Werte, die der willkürlichen Konstante G in der Schar (1) gestattet sind.

Die Ableitung der Funktion (4), nämlich:

dcp(x, cc)    dcp(x, cc) da

dx ’

dx

da

nimmt nach (3) den Wert an:

(5)

y' ₌ dcpjx, a)

Da nun die Gleichung (2) für alle Werte x und G (in den erlaubten Intervallen) gilt und da die Funktion a dieselben Werte annimmt, die der willkürlichen Konstante C gestattet sind, so gilt die Gleichung (2) auch nach der Substitution von a statt 0; alsdann aber besagt sie nach (4) und (5), daß die Funktion (4) in der Tat eine Lösung der Differentialgleichung ist. Die Einhüllende muß demnach eine Integralkurve sein.

Geometrisch ergibt sich dasselbe so: Alle Linienelemente aller Integralkurven (1) gehören zu denen der Differentialgleichung, und weil die Einhüllende (4) mit jeder Integralkurve nach Satz 17, Nr. 212, ein Linienelement gemein hat, gehören folglich alle ihre Linienelemente zu denen der Differentialgleichung, d. h. sie ist ebenfalls eine Integralkurve.

Daß die Einhüllende eine singuläre Integralkurve sein muß, folgt sofort daraus, daß durch jeden ihrer Punkte zwei ver-710]

dx

schiedene Integralkurven gehen, die einander dort berühren, nämlich erstens die Einhüllende und zweitens eine Kurve der

Schar (1); mithin sind alle Linienelemente der Einhüllenden nach Satz 5, Nr. 708, singulär.

Satz 7: Hat eine Schar von Integralkurven der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung F(x, y, y) — 0 eine Einhüllende, so ist die Einhüllende eine singuläre Integralkurve.

Es ist aber hiermit nicht gesagt, daß jede singuläre Integralkurve eine Einhüllende einer Schar von Integralkurven sein müßte. Zum Belege diene das

Beispiel: Die singulären Linienelemente der Differentialgleichung:

F = y'² + y* ev = 0

sind diejenigen, deren Bestimmungsstücke x, y, y dieser Gleichung und der Gleichung:

- 2y = o

genügen. Für sie wird y — 0 und y = 0, d. h. die x-Achse ist die einzige singuläre Integralkurve. Im übrigen aber gibt es gar keine Integralkurven, auch keine regulären, denn die Gleichung 1 = 0 gibt nach y aufgelöst:

y = y Y— e*,

also nur imaginäre Werte, abgesehen vom Falle y = 0.

711. Diskriminantenort der Differentialgleichung

F{xf y, y ) = O. Wenn die beiden Gleichungen:

(1)

F(x, y, y') = 0,

= 0,

denen alle singulären Linienelemente der Differentialgleichung F = 0 genügen, durch Elimination von y zu einer Gleichung:

(2)

&(x, y) = 0

führen, gibt diese Gleichuug den Ort der Punkte aller singulärer Linienelemente der Differentialgleichung F = 0 an.

Ist insbesondere F eine ganze rationale Funktion von x, y und y, so gilt dasselbe von cF:cy. Alsdann gelingt es durch Determinantenbildung, y aus den beiden Gleichungen (1) zu eliminieren, wodurch eine Gleichung <&(#, y) = 0 hervorgeht, deren linke Seite O eine ganze rationale Funktion von x und y

[710, 711

HO Kap. III. Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung.

ist. Man nennt diese Funktion <P die Discriminante der Funktion F hinsichtlich y und die Gleichung 0 = 0 die Diskrimi-nantengleichung.

Indem man diese Bezeichnung yerallgemeinert, nennt man auch sonst die durch Elimination von y' aus den Gleichungen (1) gewonnene Gleichung (2) die Diskriminantengleichung der Differentialgleichung F=0. Dementsprechend soll im folgenden der geometrische Ort der Punkte aller singulärer Linienelemente der Differentialgleichung F = 0 der Diskriminantenort der Differentialgleichung heißen. Es ist nicht gesagt, daß er stets durch eine Gleichung (2) darstellbar sei, vielmehr kann er aus einzelnen Kurven und aus einzelnen Punkten bestehen.

Differentialgleichungen von der Form y'=f(x, y) haben, da hier F = y—f und also dF:cy = 1 ist, nie einen Diskri-minaatenort wie überhaupt nie eine singuläre Lösung (in ihrem Bereiche, vgl. Nr. 707). Obgleich eine Differentialgleichung F(x, y, y') = 0 nach Nr. 707 in der Umgebung einer Stelle x = a, y = b auf eine Anzahl von Gleichungen von dieser Form y = f(x, y) zurückkommt, darf doch nicht geschlossen werden, daß ihre regulären Integralkurven nirgends Stellen mit dem Diskrim inantenorte gemein hätten, denn die Betrachtungen bezogen sich immer nur auf eine Umgebung einer Stelle (a, 6).

Eine Integralkurve ist vielmehr nach Nr. 708 nur soweit als regulär zu bezeichnen, als ihre Linienelemente nicht singulär sind. Es kann sehr wohl Vorkommen, daß eine Lösung y = cp (x) auch dann noch stetig und differenzierbar bleibt, wenn x einen Wert erreicht, für den y = cp (x) und y' = <p'(x) ein singuläres Linienelement bestimmen. Dies war z. B. bei den Kreisen in Nr. 709 da der Fall, wo sie die Geraden y = x + r]/2 berühren, und da, wo sie die Gerade y = x schneiden. Ebenso ist es stets der Fall bei einer Schar von Integralkurven, die eine Einhüllende hat, nach Satz 7, Nr. 710.

In einem Intervalle, in dem die Integralkurve y = y(x) regulär bleibt, hat cp(x) überall eine stetige Ableitung, folglich tritt dort nirgends ein singulärer Punkt (vgl. Nr. 187 und 191) auf. Aber es kann sein, daß die Integralkurve an den Grenzen des Intervalles singuläre Punkte hat, indem sie zugleich auf hört, regulär zu sein, d. h. indem sie dort singuläre Linienelemente 711]

hat. Alsdann aber liegen diese singulären Punkte als Punkte von singulären Linienelementen auf dem Diskriminantenorte. Demnach sagen wir zusammenfassend:

Satz 8: Dem Diskriminantenorte der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung F(oc, y, y) = 0 gehören alle etwa vorhandenen Berührungspunkte zwischen Integralkurven, alle etwa vorhandenen singulären Funkte von Integralkurven, alle etwa vorhandenen Einhüllenden von Scharen von Integralkurven sowie alle etwa vorhandenen singulären Integralkurven an.

1. Beispiel: Nach (4) in Nr. 232 ist:

F = yy'²— 2 a + y = 0

die Differentialgleichung derjenigen gemeinen Zykloiden, die durch Rollen eines Kreises vom Radius a längs der oberen Seite der Abszissenachse hervorgehen. Weil cF\dy den Wert 2yy' hat, ist für den Diskriminantenort entweder y = 0 oder y = 0. Im Falle y = 0 geht aus der Differentialgleichung, die ja:

y~±V~vJL

ergibt, noch y’ = + 00 hervor, im Falle y = 0 dagegen y = 2 a. Der Diskriminantenort besteht demnach aus den beiden Geraden y = 0 und y — 2a, doch sind die von den Punkten beider Geraden ausgehenden singulären Linienelemente von verschiedener Art, denn diejenigen, deren Punkte auf der Abszissenachse y = 0 liegen, stehen auf der Achse senkrecht, während diejenigen, deren Punkte anf der Parallelen y = 2 a zur Abszissenachse liegen, die Richtung dieser Achse haben. Deshalb bilden nur die Elemente der zweiten Art eine singuläre Integralkurve,

->

Vig. 18.

nämlich die Gerade y = 2 a, die Einhüllende aller Zykloiden. Die Abszissenachse dagegen ist der Ort der Spitzen aller Zykloiden. Siehe Fig. 18.

Die Differentialgleichungen yon der Form y = f(x} y) haben, wie schon bemerkt wurde, gar keine singuläre Integralkurve; aber auch dann, wenn die Integralkurven einer Differentialgleichung F(oc, y, y') = 0 einen Bereich mehrfach überdecken (vgl. Nr. 707), braucht nicht stets eine singuläre Integralkurve vorhanden zu sein. Vielmehr kann der Diskriminantenort aus lauter singulären Punkten bestehen. Als Beleg diene das

2. Beispiel: Die Differentialgleichung:

F = 4«/'² — 9x = 0

gibt, nach y aufgelöst:

y = ± iVx.

Demnach stellt:

y = ± i f dx = + x Yx + C

Fig. 19.

die allgemeine Lösung dar. Alle Integralkurven gehen aus der Kurve y = + x]/x oder y-— xs= 0, die in Nr. 184 untersucht und daselbst in Fig. 33 wiedergegeben wurde, durch Verschiebung längs der «/-Achse um willkürlich gewählte Strecken C hervor, siehe Fig. 19. Wegen dF:dy'=Sy' ist der Diskriminantenort die Gerade x = 0, die ->■ alle Spitzen der Kurven enthält. Die singulären Linienelemente, die von den Punkten der Geraden x = 0 ausgehen, sind zur #-Achse parallel. Es gibt demnach keine singuläre Integralkurve. Das Gebiet x > 0 wird doppelt, das Gebiet x < 0 gar nicht von Integralkurven überdeckt.

Schließlich muß noch erwähnt werden: Eine Integralkurve braucht da, wo sie den Diskriminantenort trifft, durchaus nicht entweder eine singuläre Stelle zu haben oder von einer singulären Integralkurve berührt zu werden. Denn wenn der Punkt x = a, y = ł> auf dem Diskriminantenorte liegt, besagt dies zwar, daß die Gleichungen:

F(x, y, y) = 0,

für x = a, y = 6 eine gemeinsame Auflösung y = c haben, so daß das Linienelement (a, b, c) singulär ist; aber die Gleichung F — 0 kann für x = a, y = b außer y = c noch wenigstens eine andere Auflösung y haben, für die cF:dy nicht verschwindet. Alsdann geht durch den Punkt (a, b) eine reguläre Integralkurve, die dort den Diskriminantenort schneidet.

Das Beispiel, das die nächste .Nummer bringt, dient auch zur Erläuterung dieser Erscheinung.

712. Singuläre Integralkurven als G-renzlagen von regulären Integralkurven. Stellt:

(1)

y = <p(x, C)

eine Schar von regulären Lösungen der Differentialgleichung F(x, y, y') = 0 so lange vor, als die willkürliche Konstante G auf das Innere eines Intervalles a < 0 < /3 beschränkt wird, so kann der Fall eintreten, daß dieselbe Funktion für C = a oder C = ß eine singuläre Lösung wird. In einem solchen Falle zu sagen, daß die singuläre Lösung zugleich eine Partikularlösung sei, ist durchaus nicht korrekt, denn die Partikularlösungen sind nach den Definitionen in Nr. 703 und 707 stets regulär.

Es kann sein, daß die besprochene für C = a oder G — ß etwa vorhandene singuläre Lösung y — <p(x, cc) oder y = qp (xf ß) überdies eine Einhüllende der Schar (1) vorstellt. Dann ist es ebenfalls nicht korrekt zu sagen, daß die Einhüllende zur Schar der regulären Integralkurven (1), d. h. zur allgemeinen Lösung der Differentialgleichung gehöre.

Man darf nur sagen, daß die für C = a oder C = ß hervorgehende singuläre Lösung aus den regulären Lösungen beim Grenzübergange lim C = a oder lim G = ß entsteht, also eine Grenze für die Schar ist. Zur Erläuterung diene das

Beispiel: Liegt die Parabelschar:

(2)

y = C(x — cy

vor, so ergibt sich durch Differentiation:

(3)

y =2C(x — C), daher durch Elimination von y aus beiden Gleichungen die Differentialgleichung :

F =y‘ó— 4xyy' + 8 y*= 0,

die alle Parabeln der Schar (2) zn Integralkurven hat. Aber nicht alle diese Kurven sind reguläre Integralkurven. Um dies zu erkennen, bestimmen wir den Diskriminantenort. Da:

|y = 3*/'²- 4xy

ist, so muß y²=ixy in (4) eingesetzt werden, wodurch zunächst :

y(y-\xy') = o

hervorgeht. Für die singulären Linienelemente ist deshalb entweder :

(5)

y = 0, y = o

oder:

y — \xy, y'² = îxy-

Die beiden letzten Gleichungen, in denen y' 4= 0 gewählt werden muß, weil sie sonst auf (5) zurückkommen, ergeben:

li = — /Y%. y 27 ^ y

(6)

y = ix².

Sowohl in (5) als auch in (6) ist der für y' gefundene Wert die Ableitung des für y gefundenen Wertes. Demnach sind die Abszissenachse y = 0 und die Kurve dritter Ordnung y = ±x³ singuläre Integralkurven. Beide zusammen bilden den Diskriminantenort. Nun geht die Gleichung y = 0 auch aus (2) im Falle (7=0 hervor. Demnach sind alle Parabeln (2), abgesehen von der Geraden y = 0, reguläre Integralkurven.

Die Einhüllende der Parabelschar (2) geht hervor, wenn die Gleichung (2) nach (7 differenziert wird:

(x — C)² — 2 C (x — C) = 0,

worauf die hieraus folgenden Werte C = x oder C =\x in (2) zu substituieren sind (nach Nr. 210). Dadurch ergeben sich wieder die beiden singulären Integralkurven y = 0 und y = ₂⁴₇ x³.

Die Gleichung der Einhüllenden der regulären Integral-hurven geht also leim Gr en zuber gange lim (7=0 aus der Gleichung dieser Kurven hervor, definiert aber eine singuläre Integralkurve. Siehe Fig. 20.

Die Differentialgleichung (4) ist in bezug auf y vom dritten Grade und hat für

(7)    x>0, 0<y<£jXs und æ<0, ~jX³<y<.0

712] drei verschiedene reelle Wurzeln y , so daß also die beiden durch (7) bestimmten Gebiete, die in Fig. 20 nicht schraffiert sind, dreifach von Integralkurven überdeckt werden. Das in Fig. 20 schraffierte Gebiet dagegen gehört zu Wertepaaren x, y, für die sich aus (4) nur ein reeller Wert und zwei konjugiert komplexe Werte von y ergeben. Dieser Bereich wird von den Parabeln (2) einfach überdeckt. Die Kurve y = ^ xz ist der Ort derjenigen Punkte (x, y), für die die Gleichung (4) eine reelle Doppelwurzel y und eine davon verschiedene einfache Wurzel y hat, womit im Einklänge steht, durch jeden solchen Punkt zwei einander berührende Integralkurven außer einer dritten Parabel der Schar (2) gehen. Diese Parabel ist, obwohl sie dort den Diskriminantenort schneidet, dennoch ebenda eine reguläre Integralkurve (vgl. die letzte Bemerkung in der vorigen Nummer). Schließlich fallen alle dreh Wurzeln y der Gleichung (4) in eine reelle Wurzel zusammen, falls y = 0 ist. In der Tat gehen durch jeden Punkt x = a, y = 0 der Abszissenachse drei Integralkurven, die einander dort berühren, nämlich außer der Geraden y = 0 selbst noch eine doppelt zählende Parabel (2), weil (2) für x = a, y = 0 eine Doppelwurzel C = a hat.

■>

daß

Fig. 20.

§ 2. Integration einiger Klassen von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung.

713. Vollständige Differentiale, insbesondere getrennte Veränderliche. Nachdem wir die allgemeinen Grundlagen der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen entwickelt haben, besprechen wir einige Methoden, mittels

⁸* [71*, 713

derer die Integration gewisser Klassen von solchen Gleichungen auf Quadraturen (vgl. Nr. 674), unter Umständen verbunden mit Eliminationen, zurückführbar ist. Auf die Frage, ob die Quadraturen oder Eliminationen wirklich geleistet werden können, gehen wir nicht ein wie überhaupt auch nicht auf die Erörterung derjenigen Voraussetzungen, die über die auftretenden Funktionen zu machen sind. Liegt eine bestimmte Differentialgleichung vor, auf die man eine der zu entwickelnden Methoden an wenden will, so muß man sich über diese Voraussetzungen auf Grund der Theorie des zweiten Kapitels Klarheit verschaffen.

Wenn eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung in der nach y aufgelösten Form:

y = f&, y) oder = fi?, y)

vorliegt, kann sie nach Nr. 676 in eine totale verwandelt werden, indem man die Funktion f(x, y) in einen Bruch zerlegt und alle Nenner entfernt. Wir ziehen es hier vor, den Bruch nicht wie in Nr. 676 mit Y : X, sondern mit — U : V zu bezeichnen:

U(p,y)

f(?, y) =

V(x,y)>

sodaß die totale Differentialgleichung die Form annimmt:

(1)

U(x, y) dx + V(x, y) dy = 0.

Der einfachste Fall ist nun dieser:

Die linke Seite der Gleichung (1) kann ein vollständiges Differential sein. Dazu ist nach Satz 1, Nr. 609, erforderlich, daß die beiden Funktionen U und V der Bedingung genügen:

dU

(2)

dy 8 x

Ist sie erfüllt, so kann man nach jenem Satze durch zwei Quadraturen eine Funktion:

(3)

o — TJ(x, y)dx + f Y(a, y) dy

a    b

finden, deren vollständiges Differential dco mit der linken Seite von (1) identisch ist, so daß dco = 0 die Differentialgleichung vorstellt. Also wird gefordert: Es soll y eine Funktion von x

sein, nach deren Substitution die Funktion a(x, y) das Differential Null bekommt, daher konstant wird. (Vgl. Satz 8, Nr. 74.) Die Gleichung:

(4)

co(x, y) = G,

in der C eine willkürliche Konstante bedeutet, definiert also implizite die Lösungen y der Differentialgleichung. Oder auch, nach Nr. 705: Die Funktion a(x, y) ist ein Integral der Differentialgleichung (1), deren allgemeine Integration also nur die Ausführung der beiden Quadraturen (3) verlangt. Dabei können die in (3) auftretenden Konstanten a und b bestimmt gewählt werden.

Insbesondere liegt der besprochene Fall stets vor, wenn die Veränderlichen in der Differentialgleichung (1) getrennt sind, d. h. wenn die Funktion U nur von x und die Funktion V nur von y abhängt, also im Falle:

(5)

U {x) dx -j- V(y)dy = 0, da alsdann die Bedingung (2) erfüllt ist. Hier lautet das Integral :

(6)

JU (x) d x + j‘v(y)dy -

%    b

C.

Es definiert y im Falle C = 0 implizite als diejenige Lösung, die für x = a den Wert y = b hat. Wenn also für C der Wert Null gesetzt, aber h willkürlich gelassen wird, so definiert (6) immer noch die allgemeine Lösung. Alsdann ist b die Integrationskonstante.

Es ist öfters möglich, eine Differentialgleichung, in der die Veränderlichen nicht getrennt sind, durch Multiplikation mit einer geeigneten Funktion auf die Form (5) zu bringen.

(?)

1. Beispiel: Die Differentialgleichung (1 - x*) y -f- (1 - tß) = 0

läßt sich sofort auf jene Form bringen, indem man sie so schreibt:

= 0.

dx , dy

__ _L -"—

1 — x* ' 1 — y²

Nach (6) hat sie demnach das Integral:

æ + ^lni

łłn Ï

I + ?' = C oder łln S! ⁺ 1|l⁺-^-g. y    ²    (1 — x)(l — y)

Nach Nr. 706 ist folglich auch:

(8)

(l + a;)(l + y)

(1 — x) (1 — y) ein Integral. Auflösung nach y gibt die allgemeine Lösung. Wenn man darin die willkürliche Konstante (c -f- 1) : (c — 1) mit Je bezeichnet, so nimmt die allgemeine Lösung die bequemere Form an:

kx — 1

y x—k

Ihre Auflösung nach Je muß wieder ein Integral geben. Es lautet:

(9)

xy + i _ \ x + y ’

und die linke Seite von (8) ist, wie es sein muß, eine Funktion dieses Integrals, da sie sich so schreiben läßt:

= c.

xy + 1 x + y

2. Beispiel: Bei welchen Kurven in der Ebene ist die Tangente, gemessen vom BerührungspunJete M bis zum Schnitt-punJcte T mit einer festen Geraden, von Jeonstanter Länge a? Eine solche Kurve beschreibt ein Endpunkt M eines schweren Stabes MT auf einer wagerechten Ebene, falls der andere

->■

Fig. 21.

Endpunkt T die feste Gerade durchläuft, siehe Fig. 21. Deshalb heißen die gesuchten Kurven SchleppJeurven oder TraJetrizen mit gerader Leitlinie.

Wird die feste Gerade als Abszissenachse gewählt, so zeigt der in Nr. 170 angegebene Wert von MT, daß:

713]

p (i + v²) - «²

die analytische Bedingung der Aufgabe ist. Sie stellt eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung vor:

(10)

(a²-y²)y'²-y²=0, deren Auflösung nach y liefert:

(H) wobei die Wurzel positiv oder negativ sein kann. Reell kann eine Integralkurve demnach nur im Bereiche \y\<^a sein,* dies leuchtet auch geometrisch ein. In der Form:

Va*— y*

dy — dx = 0

sind die Veränderlichen getrennt. Die Ausführung der Quadratur gibt mittels der Substitution t² = a² — y² und mit Rücksicht auf Nr. 461 das Integral:

a ln

— x = C.

Weil a — y a²— y² nie negativ wird, gilt beim Numerus das obere oder untere Vorzeichen, je nachdem y > 0 oder < 0 ist. Wir beschränken uns auf das Gebiet «/> 0 oberhalb der x-Achse. Wird die Hilfsveränderliche r vermöge y — a sin x eingeführt, so ist alsdann x auf den Bereich 0 r < jc zu beschränken, und es geht die Parameterdarstellung der Traktrizen in der Form:

(12)

x = a (cos x + ln tg ^ r) — C, y = a sin x hervor. Insbesondere stellt die Fig. 21 die zu C = 0 gehörige Traktrix:

(13)

x = a (cos x + ln tg \ x), y = a sin x

dar; alle übrigen gehen aus dieser durch Verschieben längs der x-Achse hervor. Sie überdecken das Gebiet 0 < ?/ < a doppelt, was damit im Einklänge steht, daß die Differentialgleichung (10) in diesem Gebiete zwei verschiedene reelle Wurzeln y hat (vgl. Nr. 707). Die Hilfsveränderliche x ist übrigens wegen y = a sin t der Tangentenwinkel der Traktrix (vgl. Nr. 169).

Durchläuft r den ersten Quadranten, so wächst x von

y-Achse symmetrisch und

zur

— oo bis 0, durchläuft x den zweiten, so wächst x weiter von 0 bis -j- oo. Die Kurve (13) ist hat auf der ^/-Achse eine Spitze. Dies entspricht dem Satz 8, Nr. 711, denn der Diskriminantenort der Differentialgleichung (10) wird durch Elimination von y aus (10) und aus derjenigen Gleichung :

(a?-tf)y'= 0

gewonnen, die durch Differentiation von (10) nach y hervorgeht. Für die singulären Linienelemente ist demnach entweder y =0 oder y = a. Im Falle y = 0 gibt (10) noch y = 0, also die Abszissenachse als Ort singulärer Linienelemente. Die Ahszissenachse ist daher eine singuläre Integralkurve. Ferner ergibt sich für y = a aus (10) oder (11) der Wert y = oo, so daß auch alle diejenigen Linienelemente singulär sind, deren Punkte auf der Geraden y = a liegen und deren Richtungen zu dieser Geraden senkrecht sind. Die Gerade y = a ist folglich keine singuläre Integralkurve, dagegen ist sie der Ort der Spitzen aller Integralkurven. Nach Nr. 171 erkennt man leicht, daß die Abszissenachse eine Asymptote ist.

Nebenbei sei bemerkt, daß die Evolute der Traktrix (13) die Kettenlinie (vgl. Nr. 225) ist:

— x\a

)•

y = \a (ex:a + e

3. Beispiel: Es liege die Differentialgleichung vor:

(-J- + 1 njf) dx + -f Ina;) dy = 0

Hier sind die Veränderlichen nicht getrennt; sie lassen sich auch nicht durch Multiplikation der Gleichung mit einer passend gewählten Funktion trennen. Aber die linke Seite ist ein vollständiges Differential, weil die Bedingung (2) erfüllt ist. Wird in der allgemeinen Integralformel (3) insbesondere a = b = 1 gewählt, was geschehen darf, so sind die Quadraturen auszuführen:

x    y

= ln y,

j*(^r + lny) dx^ylnx + x\ny — hiy, j*-J

i    i

§ 2. Integration einiger Klassen v. gewöhnl. Differentialgleichungen. 121 so daß das Integral:

y\nx + x\ny = C hervorgeht, das sich durch das Integral:

xy ■ yx — c

ersetzen läßt.

714. Einführung von neuen Veränderlichen. Sehr oft macht man von dem Umstande Gebrauch, daß eine vorgelegte Differentialgleichung F(x, y, y') = 0 durch die Einführung geeignet gewählter neuer Veränderlicher £ und tj anstelle von x und y auf eine für das Integrationsgeschäft bequemere Form gebracht werden kann. Die dabei auszuführende Rechnung wurde schon in Nr. 94 besprochen, weshalb wir uns hier ganz kurz fassen.

Wenn x und y als voneinander unabhängige Funktionen der neuen Veränderlichen £ und t) gegeben werden:

(1)

X = X(b 9); y -

so kommt:

r cl y

y⁼rx =

(2)

V* + Y^dt) Yv -f ^ ff

wenn t)' den Differentialquotienten dt) : dl bezeichnet. Mithin geht die Differentialgleichung F{x, y, y) = 0 vermöge der Einführung der neuen Veränderlichen £ und l) über in:

(3)

F(x(ht)), r(S, ₉)

= 0.

Dies aber ist eine Gleichung in £, t) und t)', d. h. eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung für eine unbekannte Funktion t) von £.

Wenn man die Gleichung (3), die unter Umständen einfacher als die ursprünglich vorgelegte Gleichung F(x, y, y) = 0 sein kann, zu integrieren vermag, wenn also z. B. t) = Q (£) eine ihrer Lösungen ist, so braucht man hierin nur rückwärts wieder die alten Veränderlichen x und y einzuführen, um zu einer Gleichung in x und y zu gelangen, die y implizite als Lösung der vorgelegten Differentialgleichung F = 0 definiert. Denn man kann die Einführung der neuen Veränderlichen £ und t) als die Einführung eines neuen, im allgemeinen krumm-

[713, 714

linigen Koordinatensystems in der Ebene deuten, so daß also der Punkt (x, y) genau derselbe wie der Punkt (j, ty) ist, sobald die Gleichungen (1) bestehen. Dann aber werden die Kurven der Ebene, insbesondere die Integralkurven der Differentialgleichung F(x, y, y ) = 0 durch die Einführung der neuen Veränderlichen £ und t) nicht geändert, sie bekommen eben nur eine andere analytische Darstellung.

Z. ß. wird es sich bei manchen geometrischen Aufgaben empfehlen, statt der rechtwinkligen Koordinaten x und y Polarkoordinaten co und p einzuführen (wie in Nr. 94). Alsdann ist statt (1) und (2) zu setzen:

(4)

# = p cos co, g=psmo), y =

, q' sin ca -f- p cos co q' cos o — q sin co ⁷

wobei p' den Differentialquotienten dQ : dco bezeichnet.

Beispiel: Welche Kurven in der Ebene schneiden alle Badienvektoren unter dem gegebenen Winkel g? Da der Radiusvektor des Punktes (x, y) mit der positiven #-Achse einen Winkel bildet, dessen Tangens den Wert y : x hat, während y' den Tangens des Winkels bedeutet, den die Kurventangente mit der positiven x-Achse bildet, so ist zu fordern:

tH

a l«s

= tg /X .

Dies ist die Differentialgleichung des Problems. Sie wird durch die Einführung der Polarkoordinaten bedeutend vereinfacht, denn dann geht sie nach (4) über in:

VQ/ Q/

= ctgg,

Ą- = tg a oder

was nach (4) in Nr. 206 vorauszusehen war. In der neuen Form der Differentialgleichung, die auch so geschrieben werden kann:

d* = ctg g »dœ,

sind die Veränderlichen p und co getrennt. Also ergibt sich durch Quadratur:

ln p = oo ctg g -f- konst.

7141

oder

Q = QßVCtgf''

Die gesuchten Kurven sind demnach logarithmische Spiralen, was nach Nr. 247 vorauszusehen war. Es ist auch:

p2g- 2to ctg [x __ Qi

ein Integral. Werden wieder x und y eingeführt, so folgt, daß

— 2 ctg it . arc tg

= C²

O² + y²) e

ein Integral der Yorgelegten Differentialgleichung (5) ist. — Oben wurde die allgemeinste Art der Einführung neuer Veränderlicher £ und t) statt x und y besprochen. Sehr oft ist es zweckmäßig, nur statt y eine neue Funktion einzuführen und die unabhängige Veränderliche x beizubehalten. In einem solchen Falle sei die neue Funktion z genannt. Sie soll vermöge einer Annahme:

(6)

y = Y(x, z)

eingeführt werden. Alsdann ist mit y auch z eine Funktion von x, so daß vollständige Differentiation nach x liefert:

y - Ym+ TS,

demnach die Differentialgleichung F(x, y, y) = 0 übergeht in:

(?)

F{x, Y(x, e),    T,+ Y,/) - 0,

nämlich in eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung für die Funktion z von x.

Ein anderer spezieller Fall ist der, durch den ein Wechsel zwischen den Rollen herbeigeführt wird, die x und y spielen. Wird nämlich gesetzt:

(8) so kommt:

' = dy = !*£ == 1 dx dt) tf ⁷

so daß die Differentialgleichung F(x, y, y) = 0 übergeht in:

(9)

f(», Ï, f) - 0.

Nach (8) bedeutet dies diejenige Differentialgleichung, in die sich die vorgelegte verwandelt, wenn nicht x, sondern y als die

[714

unabhängige Veränderliche und dementsprechend nicht y, sondern x als die gesuchte Funktion aufgefaßt wird.

Die Einführung neuer Veränderlicher entspricht der Substitutionsmethode bei der Berechnung von Quadraturen (vgl. Nr. 417). Im zweiten Bande kamen öfters Quadraturen vor, die erst nach und nach, d. h. nach Ausführung einer Anzahl von einzelnen Substitutionen, auf eine berechenbare Form gebracht wurden. Entsprechendes gilt auch hier: Da man bei einer vorgelegten Differentialgleichung F(cc, y, y') — 0 von vornherein nicht weiß, welche Substitutionen neuer Veränderlicher zweckmäßig sind, wird man schrittweise Vorgehen und bei jedem einzelnen Schritte nur möglichst einfach gebaute Substitutionen anwenden. Alsdann kann man sich nach jedem einzelnen Schritte überlegen, ob ein Fortschritt erzielt wurde oder nicht.

In den folgenden Nummern werden wiederholt verhältnismäßig einfache Substitutionen neuer Veränderlicher angewandt werden.

715. Homogene Differentialgleichungen. Die Differentialgleichung y = f (x,y) heißt homogen, wenn f(x,y) eine homogene Funktion nullten Grades von x und y, d. h. nach Nr. 91 eine Funktion von y : x allein ist:

(i)

y-f( !)•

Hier empfiehlt es sich, y : x als neue unbekannte Funktion z einzuführen, also zu setzen:

(2)

y = xz,

wodurch (1) übergeht in:

z + xz = f(z) oder xz = f(z) — z.

Denn wenn man z wieder mit dz : dx bezeichnet, so sieht man daß die Veränderlichen x und z in der neuen Differentialgleichung in der Form:

dx

dz

getrennt sind (vgl. Nr. 713). Durch Quadratur ergibt sich somit das Integral:

714, 715]

dz

S-.

(3)

= C.

ln x +

-m

1st die Quadratur erledigt worden, so führt man nachträglich wieder z = y : x ein. Dann geht ein Integral der vorgelegten homogenen Differentialgleichung (1) hervor.

Die Differentialgleichung F(x,y,y') = 0 heißt homogen, sobald sie eine Auflösung von der Form (1) zuläßt. Dies ist der Fall, wenn F hinsichtlich x und y eine homogene Funktion von irgend einem Grade m ist. Denn dann läßt sich die Gleichung nach Nr. 91 in der Form:

i, *,✓)-<>

schreiben, und der Faktor xm kann gestrichen werden.

Beispiel: Bei welchen Kurven in der Ebene ist jeder Kurvenpunkt gerade so weit wie der Schnittpunkt seiner Tangente mit der y-Achse vom Anfangspunkte entfernt? Weil y — xy die Ordinate des Schnittpunktes der Tangente des Kurvenpunktes (x, y) mit der y-Achse ist, besteht die Forderung in der Differentialgleichung :

(4)

(y — xy')² - (x² + y²) = 0,

deren linke Seite vom zweiten Grade homogen in x und y ist. Die Substitution (2) gibt die Gleichung:

dz

dx

x ÿi + e* ’

wobei die Wurzel positiv oder negativ sein kann. Da jetzt die Veränderlichen getrennt sind, ergibt sich durch Quadratur (mit Rücksicht auf Nr. 461) das Integral:

ln x — ln [+ {z + Y1 + z²)] = konst.

Man sieht aber, daß hieraus, wie auch das Vorzeichen des zweiten Numerus gewählt sein mag, stets folgt:

-C,

zAf/lfz²

wo C eine Konstante bedeutet. Wird die Wurzel durch geeignetes Quadrieren entfernt und wieder z = y : x sustituiert so nimmt die allgemeine Lösung die Gestalt an:

x²—C*

2 C ’

so daß sich diejenigen Parabeln ergeben, die den Anfangspunkt zum Brennpunkte und die «/-Achse zur Achse haben. Die Ableitung der linken Seite von (4) nach y ist gleich Null für x = 0 und für y = xy. Daraus folgt nach Nr. 708: Die singulären Linienelemente sind alle diejenigen, deren Punkte auf der «/-Achse liegen. Mithin ist die «/-Achse die einzige singuläre Integralkurve. Aber auch jeder einzelne Punkt der «/-Achse kann, da alle von ihm ausgehenden Linienelemente singulär sind, als eine Lösung der Aufgabe bezeichnet werden, wenn man ihn als Grenzform einer Kurve betrachtet (vgl. Nr. 685). Alle Geraden durch den Punkt hat man nämlich dann als die Tangenten aufzufassen, und sie erfüllen die in der Aufgabe gestellte Bedingung, weil für sie der Berührungspunkt und der Schnittpunkt mit der «/-Achse zusammenfallen.

716. Lineare Differentialgleichungen. Eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung heißt linear, wenn sie die Ableitung y der gesuchten Funktion y als eine ganze lineare Funktion von y definiert, deren Koeffizienten noch von x abhängen können:

(1)

Zwischen ihr und einer anderen Differentialgleichung besteht, wie wir nachher sehen werden, eine wichtige Beziehung. Wenn man nämlich das Glied /j (sc) streicht, so geht die zugehörige verkürzte lineare Differentialgleichung hervor:

(2)

y'=fo(*)y-

Natürlich sind ihre Lösungen y andere als die der Gleichung (1). Zunächst wollen wir die verkürzte Gleichung (2) betrachten. Sie ist in der Form:

⁼ fo(x) dx>

weil die Veränderlichen hier getrennt sind, durch Quadratur integrierbar:

(3)

ln y = yTo (#) dx + konst.

Wenn die Quadratur auf der rechten Seite von einer bestimmt gewählten unteren Grenze a an ausgeführt wird, so stellt:

f/o O) d x

(4)

u = e

eine Partikularlösung von (2) vor, und die Gleichung (3) oder:

ff₀{x)dx

= Cu

y=Cea

lehrt: Die allgemeine Lösung der verkürzten linearen Differentialgleichung (2) ist gleich irgend einer ihrer Partikularlösungen, multipliziert mit einer willkürlichen Konstante C.

Dies ist eine Eigenschaft, die nur den verkürzten linearen Differentialgleichungen zukommt. Soll nämlich eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung y'=f(x,y) eine allgemeine Lösung von der Form y — Cu(x) haben, wo C die Integrationskonstante bedeutet, die in u (x) nicht auftritt, so geht die Differentialgleichung durch Elimination von C aus:

y = Cu(x) und y'=Cu(x)

hervor in der Form:

Wird nun u (x) : u(x) mit f₀(x) bezeichnet, so ergibt sich y'=fo(%)y wie in (2). Demnach gilt der

Satz 9: Eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung ist dann und nur dann eine verkürzte lineare, wenn ihre allgemeine Lösung aus einer Partikularlösung durch Multiplikation mit einer willkürlichen Konstante hervorgeht.

Wir wenden uns nun zur allgemeinen linearen Differentialgleichung (1). Wir behaupten, daß sie integriert werden kann, sobald man eine Partikularlösung u(x) der zugehörigen verkürzten linearen Differentialgleichung (2) kennt. Wenn nämlich eine Funktion u(x) bekannt ist, die der Bedingung:

(5)

u (x) = f₀(x) u(x)

genügt, so werde in (1) die neue unbekannte Funktion z vermöge der Substitution:

(6)

y = u (x) z -f u(sc) z

y = u(x)z,

128 Kap. III. Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung, eingeführt, wodurch sie übergeht in:

u (x) z + u(x) z = f₀(x) u(x) z -f- fx(x).

Diese Gleichung aber wird wegen (5) frei von den Gliedern, die mit z behaftet sind, so daß bleibt:

Eine Quadratur gibt demnach:

'V

fiG)

u(x)

d x -f- G,

wobei die untere Grenze b bestimmt gewählt werden darf, oder nach Multiplikation mit u(x) wegen (6):

(7)

fl&)

u(x)

dx -f- C\ ■

Dies also ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (1). Da u(x) die Form (4) hat, kann die allgemeine Lösung von (1) auch so geschrieben werden:

J'f₀(x)dx

(8)

\x)ea

-ffo O) d x

Es ist einerlei, ob die Grenze b bestimmt und C willkürlich gelassen, oder ob b willkürlich gelassen und C etwa gleich Null gesetzt wird. Deshalb läßt sich die allgemeine Lösung von (1) auch so schreiben:

ff₀{x)dx x

(9)

•j\{x)ea

—J'f₀(x)dx

dx.

Hier ist a eine zwar beliebig, aber bestimmt wählbare Grenze, dagegen c die ivilTkürlich bleibende Integrationskonstante.

Für die praktische Anwendung ist es jedoch vorteilhafter, sich statt der umständlichen Endformel nur die Methode zur Integration der allgemeinen linearen Differentialgleichung zu merken. Sie besteht, kurz zusammengefaßt, in folgendem: 716]

Es wird y — uz substituiert und dadurch z als neue unbekannte Funktion eingeführt, während die passende Wahl der Funktion u von x Vorbehalten bleibt. Dann geht (1) über in:

(10)

uz-F uz = f₀(x) uz 4 ft (x).

Man wählt nun u so, daß sich die mit z behafteten Glieder fortheben, d. h. man unterwirft u der Bedingung:

u' “/ÖW«,

aus der sofort:

dlllU _ f (r\

dx ~T^X)

also u = e

Jfo (x) d X

folgt, wobei a bestimmt gewählt werden darf, von (10) übriggeblieben:

uz =ft (x)

Nunmehr ist

dz_ ₌ fi(x) dx u ’

woraus sich z durch Quadratur mit willkürlich gelassener unterer Grenze ergibt. Multiplikation von z mit u liefert schließlich die gesuchte allgemeine Lösung y der vorgelegten linearen Differentialgleichung (1).

Da die Differentialgleichung:

d. h.

F₀(x) -f Ft(x)y + F%(x)y = 0

durch Division mit F₂(x) auf die Form (1) gebracht werden kann, gehört sie zu den linearen und ist ebenso zu behandeln. Beispiel: Die lineare Differentialgleichung:

(1 + x²) y — xy = 1

geht vermöge der Substitution y = uz über in:

(1 + x²) (uz -f uz) — xuz = 1 .

Nullsetzen des Koeffizienten von z gibt:

(11)

(1 -j- x²) u — xu — 0 oder

d ln u    x

dx 1 -f- xi

Also darf ln u gleich ln]/l + x² > d. h. u — Yl -f- x² gewählt werden. Nunmehr ist noch zu integrieren:

oder

(1 -f- X²) uz = 1

-|/i + xi 3

130 Kap. III. Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung. Hieraus folgt:

+ 0.

Z = ₇:r:r—-

]/l +£C²

Multiplikation mit u = ]/l -{- x² gibt die gesuchte allgemeine Lösung:

y = x -f (7]/l -j- x².

Die Form (8) der allgemeinen Lösung der linearen Differentialgleichung (1) zeigt, daß die Lösung eine ganze lineare Funktion der Integrationskonstante C ist. Dies ist eine für die linearen Differentialgleichungen charakteristische Eigenschaft. Denn wenn die Differentialgleichung y' — f(x, y) eine allgemeine Lösung von der Form:

(12)

y = G (f{x) + f(x)

mit der Integrationskonstante C hat, geht die Differentialgleichung selbst durch Elimination von C aus dieser Gleichung und der Gleichung

in der Form:

y' = Gcp'(x) + i>'(x)

y — fix) cp(x)

y — cp' ix) hervor. Diese Gleichung ordnet sich aber der allgemeinen Gleichung (11) unter. Somit gilt der

Satz 10: Eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung ist dann und nur dann linear, wenn ihre allgemeine Lösung als eine Funktion dargestellt werden kann, die hinsichtlich der Integrationskonstante ganz und linear ist.

Es muß nämlich beachtet werden, daß es leicht ist, die allgemeine Lösung auf eine Form zu bringen, in der sie nicht mehr eine ganze lineare Funktion der Integrationskonstante vorstellt. Denn in (12) läßt sich ja eine neue Integrationskonstante c vermöge einer Substitution C = %(c) einführen (vgl. Nr. 706).

717. Differentialgleichungen, die auf lineare zurückgeführt werden können. Hierher gehören zunächst die Bernoullischen Differentialgleichungen, nämlich die von der Form: (i)

worin n eine Konstante bedeutet, die von Null und Eins verschieden angenommen werden kann, denn im Falle n = 0 wäre die Gleichung eine lineare und im Falle n = 1 eine verkürzte lineare. Wird eine neue unbekannte Funktion z mittels der Substitution :

lz'

(2)

eingeführt, so geht die lineare Differentialgleichung für z hervor:

(1 — n) foix)e + (1 — n)fx(x).

Ferner gehören hierher die verallgemeinerten homogenen Differentialgleichungen, nämlich diejenigen von der Form:

(3)

cp(x, y) {xy — y) + %(x, y) y + if>(x, y) — 0,

deren linke Seiten also ganze lineare Funktionen von xy — y und y' sind, während die Koeffizienten <p,    $ solche Funktionen

von x und y sein sollen, deren Verhältnisse homogene Funktionen von gleichem Grade sind. Zunächst gibt die Division mit cp (x, y) eine Differentialgleichung von der Form:

xy — y + u{x, y)y'+v(x, y) = 0,

worin u und v homogene Funktionen gleichen Grades bedeuten, etwa vom Grade m. Wie in Nr. 715 machen wir die Substitution:

(4)

y = xz,

y' — z -f- xz'.

Dabei gehen u und v nach (1) in Nr. 91 über in Funktionen von der Form xm&(z) und xmZF{z), so daß kommt:

z -f- xm~² <&(z) (z + xz) + xm~^W{z) = 0.

Nun werde ein Wechsel in der Bedeutung von x und z eingeführt, d. h. von jetzt an soll z als die unabhängige Veränderliche und x als die unbekannte Funktion von z betrachtet werden, vgl. (8) und (9) in Nr. 714. Zu diesem Zwecke wird z durch dz : dx ersetzt und die Gleichung nach dx : dz aufgelöst:

(5)

dx

rßZ—m

dz z$+WX

Da hier 0 und W nur die unabhängige Veränderliche z enthalten, liegt jetzt für die unbekannte Funktion x von z eine

[717

z®+ W

Bernoullische Differentialgleichung vor, deren Integration oben besprochen wurde.

Hat man x als Funktion von z und einer Integrationskonstante C gefunden, so gibt nach (4) die Substitution z = y : x eine Gleichung zwischen x, y und C, deren Auflösung nach y die allgemeine Lösung der vorgelegten Differentialgleichung (3) liefert. Nur im Falle, wo z& + W gleich Null ist, versagt diese Methode. Man erkennt leicht, daß die vorgelegte Differentialgleichung (3) alsdann auf die einfache Form xy' — y = 0 zurückkommt, deren allgemeine Lösung y = Cx ist.

718. Allgemeine Riccatische Differentialgleichungen. Um die Sätze 9 und 10 von Nr. 716 zu verallgemeinern, suchen wir die Form derjenigen gewöhnlichen Differentialgleichungen, die eine allgemeine Lösung von der Gestalt haben:

(1)

Cy^x) 4-Ccpsix) -f ’

d. h. eine allgemeine Lösung, die hinsichtlich der Integrationskonstante C eine gebrochene lineare Funktion ist. Ein spezieller und schon durch Satz 10 von Nr. 716 erledigter Fall liegt vor, wenn diese Funktion ganz ist.

Statt (1) kann man schreiben:

[yy₂ (x) — 94(F)] C + yty%(x) — Fi 0*0 = 0, und hieraus geht durch vollständige Differentiation nach x hervor:

ly'<p-2 + ywt — f/] c + ff₂' — F/ = o. Elimination von C aus den beiden letzten Gleichungen gibt diejenige D ifferentialgleichu n g :

y<p₂ - Fi

ycp.₂ + y<p₂ —

= 0,

*/F₂ - Fi /F₂ + 2/F₂'— F/ deren allgemeine Lösung durch (1) dargestellt wird. Multipliziert man die Determinante aus, so heben sich die Glieder mit y y fort, und es ergibt sich eine Differentialgleichung, die sich der folgenden Form unterordnet:

(2)

y = fo(x)y² + 2fi(x)y + U (» •

Jede Differentialgleichung von dieser Form heißt eine Riccatische.

717, 718]

Man kann nun umgekehrt nachweisen, daß ihre allgemeine Lösung stets, wie auch die Funktionen f₀(x), fx{x), f₂(x) gewählt sein mögen, auf die Form (1) gebracht werden kann. Mit diesem Nachweise verbinden wir zugleich die Methode, mittels derer die Riccatische Gleichung (2) integriert werden kann, vorausgesetzt, daß irgend eine ihrer Partikularlösungen schon bekannt ist.

Es sei nämlich u(x) eine schon bekannte Funktion von x, die der Riccatisehen Differentialgleichung (2) genügt, d. h. es sei:

u' = fo(x)u² + 2 f\(x)u + fs(x) .

Wird nun in (2) vermöge y — u = z oder: y = u + e,

die neue unbekannte Funktion z eingeführt, so kommt:

u' + / = fQ(x) (u² + 2 uz + z²) + 2 ft (x) (u + *) + f₂(x) .

Da u den Wert (3) hat, verbleibt

é = fo (x) ^ + ² [/o 0*0 u 0*0 + fi 0)] B •

Dies ist wieder eine Riccatische Differentialgleichung für z, aber von spezieller Form: Es fehlt rechts das von z freie Glied. Außerdem ist dies aber auch eine Bernoullische Differentialgleichung, vgl. (1) in Nr. 717, worin jetzt n = 2 angenommen werden muß. Entsprechend der dort unter (2) gemachten Substitution führen wir demnach eine neue unbekannte Funktion Z statt z ein vermöge:

wodurch (5) übergeht in:

(3)

(4)

(5)

(6)

nur:

z'=-Z-²Z',

(7)

Z'--f₀ 0*0 — 2 l/₀ (x) u (x) + /i (x)\ Z.

Hier liegt nun eine lineare Differentialgleichung für Z vor, die wir nach Nr. 716 zu integrieren vermögen.

Nach Satz 10 in Nr. 716 läßt sich die allgemeine Lösung der Gleichung (7) auf die Form einer Funktion bringen, die hinsichtlich der Integrationskonstante C ganz und linear ist. Wenn also etwa:

Z = Cq)(x) -f- i>(x)

y = M \

die allgemeine Lösung von (7) vorstellt, so folgt, da nach (4) und (6):

(8)

ist, daß die allgemeine Lösung der Riccatischen Gleichung (2) die Form erhält:

oder:

y = u(x) +

Ccp{x)

Cu(x) Cp (x) -|- u(x) 1p (x) 4- 1

Ccp(x)+ ip(x)

Dies aber ist eine gebrochene lineare Funktion von C.

Mit Rücksicht auf Satz 10 von Nr. 716 läßt sich somit der Satz aussprechen:

Satz 11: Die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung kann dann und nur dann auf die Form einer Funktion gebracht werden, die hinsichtlich der Integrationskonstante G linear ist:

₌ Gef! (x) + % (x)

■ ~Ccp₂(x)+ ip₂(x) ’

wenn die Differentialgleichung eine Biccatische ist, d. h. die Form hat:

y = fo(x)y² + ² fi(x)y + Ut*)-

Die in Bede stehende lineare Funktion ist insbesondere dann und nur dann eine ganze lineare Funktion von C, wenn die Differentialgleichung linear ist, d. h. wenn f₀(x) verschwindet.

Zugleich haben wir erkannt, daß und wie die Riccatische Differentialgleichung integriert werden kann, sobald eine Partikularlösung von ihr bekannt ist.

Beispiel: Die Differentialgleichung:

y' = (y — iï)(Py + Q),

in der P und Q Funktionen von x sein sollen und k eine Konstante bedeute, ist eine Riccatische. Man sieht sofort, daß die Konstante y = k selbst eine Lösung ist, denn für sie ist y = 0. Folglich läßt sich die vorliegende Gleichung allgemein integrieren. In der Substitutionsformel (8) ist u = k zu setzen, d. h. wir führen die neue unbekannte Funktion Z vermöge:

Z'

z-

y = & + y ⁼

ein und erhalten die für Z lineare Differentialgleichung:

Z'--P-(Pk + Q)Z,

deren allgemeine Lösung nach (1) und (9) in Nr. 716 sofort mittels Quadraturen gefunden wird. Man findet aus ihr schließlich als allgemeine Lösung der vorgelegten Differentialgleichuug :

J\Pk + Q)dx

ea

x f(Pk + Q)dx

dx

f Pea

Hier ist a bestimmt wählbar und c die willkürliche Integrationskonstante.

719. Die spezielle Riccatische Differentialgleichung.

Darunter versteht man die von 1liccati selbst untersuchte Differentialgleichung :

(1)

y + ay² =

in der a, b und m Konstanten bedeuten. Man bemerkt, daß sich diese Gleichung der allgemeinen Form (2) in voriger Nummer unter ordnet, indem hier f₀ = — a, fx = 0 und f₂= bxm ist. Da keine Partikularlösung der Gleichung (1) bekannt ist, kann die in der letzten Nummer entwickelte Integrationsmethode nicht benutzt werden.

Im Falle a = 0 ist die Integration allerdings sofort zu leisten, ebenso wenn a =f= 0 und m == 0 ist, denn in diesem Falle liegt die Gleichung vor:

(2)

y-f «2/²=

in der sich die Veränderlichen in der Form:

-f- adx = 0

dy

ö i O*,

y²-

trennen lassen. Ist b : a > 0, etwa b = alt², so kommt:

I-,

dy

-f- ax = konst.

oder, wenn die Quadratur ausgeführt, die Integrationskonstante mit aC bezeichnet und die Gleichung nach y aufgelöst wird:

[718, 719

çka{x — C) g — ka(pc — C) çka(x-C) £ — ka(x— G)

(3)

Ist dagegen b : a < 0, etwa b — — ah², so kommt:

I,

ßr~n + ax = konst., î/² -j- Æ²

woraus ebenso folgt:

(4)

y = — k tg [ha (x — (7)].

Wenn endlich b — 0 ist, ergibt sich noch einfacher:

y a(x — C)

Die spezielle Riccatische Gleichung (1) ist aber noch in gewissen anderen Fällen mittels Exponentialfunktionen oder goniometrischer Funktionen integrierbar, und zwar gelingt dies dadurch, daß man in diesen anderen Fällen die Gleichung (1) durch geeignete Substitutionen auf die soeben besprochene besondere Form (2) bringt.

Es seien nämlich unter u und v Funktionen von x verstanden, deren geeignete Wahl noch Vorbehalten bleibt. Vermöge y — uz -f- v, y = uz -f uz 4- v werde die neue unbekannte Funktion z in (1) eingeführt:

uz + (u + 2auv)z + au²z² + (v + av² — bxm) = 0. Insbesondere lassen sich u und v so wählen, daß:

v'-{-av² = 0, u -f- 2auv = 0

wird; denn die erste Bedingung ist bei der Annahme v = l :ax erfüllt und infolge davon die zweite bei der Annahme u = 1 : x². Also soll in (1) die Substitution gemacht werden:

(5)

wodurch hervorgeht:

& I

U>\ N>

z -f a

Insbesondere im Falle m = — 2 ist dies eine homogene Differentialgleichung für z, die also nach Nr. 715 durch eine Quadratur integriert werden kann. Ist dagegen m =4= — 2, so liegt eine Differentialgleichung für z vor, die zwar nicht mehr die Form der speziellen Riccatischen Gleichung hat, jedoch durch 719]

(6)

_ bar⁺²= 0.

eine geeignete neue Substitution wieder auf diese Form gebracht werden kann. Einerseits werde als neue unabhängige Veränderliche xx die Potenz %m + ³ und anderseits als neue unbekannte Funktion yx der reziproke Wert von z eingeführt, d. h. es werde gesetzt:

(?)

x = xxm

+ H.

Dabei ist:

Vi

dz

v?iy\

dx

= — (m -f- 3) ¹-s

m + 2 m+ 3

dVi

dxx ’

m-\- 3

so daß aus (6) hervorgeht :

m 4-4

m + 3 .

(8)

ai

m -J- 3

dyi , _J_ v 2 _ «

dxx ' m -f- 3

Dies ist wieder eine spezielle Riccatische Gleichung von der Form (1). Fassen wir die beiden Substitutionen (5) und (7) zusammen, so folgt:

Wird in die spezielle Riccatische Gleichung (1) eine neue unabhängige Veränderliche xx und eine neue unbekannte Funktion yx vermöge:

(9)

cc_oc m

ax

eingeführt, so geht wieder eine spezielle Riccatische Gleichung:

(10)

dy,

dxj

+ axyx²=bxxxm^

hervor, und zwar haben hier die drei Konstanten die Werte:

m -f- 4 m -j- 3

(H)

mx = —

m -j- 3

Dies Verfahren ist wiederholt anwendbar, d. h. weiterhin setzen wir entsprechend (9):

m-(- 3

-r - /y»    + 3    ni

*^1 '*'2 ?

-] + ¹

*1 y-i und führen dadurch x₂ und y₂ ein, usw. Nach insgesamt k Anwendungen desselben Verfahrens geht eine spezielle Riccatische Gleichung:

mk=-

l + wi-*¹*¹’*

hervor, und zwar gelten dabei nach der letzten Gleichung (11) die Rekursionsformeln:

m -f- 4 m -f- 3 ’

woraus man leicht findet:

(12)

m₁ = —

m₂ = —

m, -f- 4

mx -f- 3

k-

(2 Æ — 1) m -(- 4 k km -f- (2k -j- 1)

Da nun die spezielle Riccatische Gleichung (1) im Falle m — 0 integriert werden kann, so folgt: Die Je-malige Anwendung des Verfahrens führt zu einer mittels Exponentialfunktionen oder goniometrischer Funktionen integrierbaren Gleichung, wenn mk = 0 wird, d. h. wenn die Zahl m die Form hat:

(13)

mk=-

(14)

1 — 2 h’

wo Je eine ganse Zahl bedeutet. Daß hier Je auch eine negative ganze Zahl sein darf, folgt daraus, daß das angewandte Verfahren auch umgekehrt werden kann: Wenn nämlich x, y, a, b und m mit xlf yx, ax, bx und mx vertauscht werden, so folgt (9) und (11):

aus

(15)

ry* - /y»

tAs    iAr-i

’    ^ xx (bxx yx -f- m + 1) ’

und vermöge dieser Substitution geht die spezielle Riccatische Gleichung (1) in die Gleichung (10) über, wobei aber jetzt statt (11) die Formeln gelten:

(16) ax = —

mx = —

3 m -f- 4 m -f- 1

m + 1 ’

Hier geht statt (13) bei ^-maliger Anwendung des Verfahrens

(2 k -f-1) m -f- 4 k km -j- (2 ft — 1)

hervor, so daß mk = 0 für m = — 4Je : (1 -f- 2Je) wird. Dieser Wert ergibt sich aber aus (14), Avenn darin Je durch — Je ersetzt wird.

720. Clairautsche Differentialgleichungen. So heißen Differentialgleichungen, die eine Beziehung zwischen y — xy und y allein ausdrücken. Sie lauten in der nach y — xy aufgelösten Form:

(1)

y xy — f(y') oder : y = xy + f(y) .

Die Differentialgleichung (1) ordnet einem Punkte M0 oder (xQ, y₀) ein Linienelement (x₀, yü, yf) zu, für das:

(2)

?/o= «o % + f(îk) ist. Dies Element liegt auf der Geraden:

(3)

y - y₀ = Vo - xo)>

geschrieben in den laufenden Koordinaten x, y. Wegen (2) läßt sich diese Gleichung so schreiben:

(4)

y yo x — f(yQ').

/ yo

Fig. 22.

Ist nun M oder (x, y) irgend ein Punkt der Geraden, so gehört auch ihm vermöge der Differentialgleichung (1) ein Linienelement (x, y, y') zu. Die Vergleichung von (1) und (4) lehrt aber, daß die Glei- A chung (1) durch den Wert y = yß befriedigt wird, d. h. die Differentialgleichung ordnet jedem Punkte M der Geraden (3) ein Linienelement zu, das auf derselben Geraden liegt (siehe Fig. 22). Mithin ist die Gerade (3) oder (4) eine Integralkurve.

Wir können aber auch rein analytisch bestätigen, daß die Clairautsche Differentialgleichung lauter Geraden zu regulären Integralkurven hat. Denn die ganze lineare Funktion:

y = Cx -f- a

hat die Ableitung y = C. Einsetzen beider Werte in (1) gibt nun einfach a — f{C). Demnach ist die ganze lineare Funktion:

(5)

y=Cx + f{C)

für jeden Wert der Konstante C eine Lösung.

Vergleichung von (1) und (5) lehrt, daß sich die Clairautsche Differentialgleichung (1) sofort in ihre allgemeine Lösung (5)

[720

umwandelt, wenn man die Ableitung y durch die Integrations-l'onstante C ersetzt.

Die Geradenschar (5) hat eine Einhüllende. Zu ihrer Bestimmung ist die Gleichung (5) nach C zu differenzieren:

(6) und dann die hieraus folgende Funktion C von x in (5) einzusetzen. Oder auch: Wenn statt C in (5) und (6) eine Veränderliche t geschrieben wird, geht die Darstellung:

(?) der Einhüllenden mittels einer Hilfsveränderlichen t hervor. Die Einhüllende ist nach Satz 7, Nr. 710, eine singuläre Integralkurve, und man erkennt, daß t den Tangens ihres Tangentenwinkels bedeutet.

Um alle singulären Linienelemente zu bestimmen, bilden wir nach Nr. 708 die durch Differentiation von (1) nach y hervorgehende Gleichung:

x=> — f\y).

Man sieht daraus, daß durch:

- f(f)> y = f(f) —    y'= t

alle singulären Linienelemente (x, y, y) dargestellt werden und daß es einzig und allein die der Einhüllenden (7) sind, die somit die einzige singuläre Integralkurve ist.

Man kann die Betrachtung umkehren: Jede gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung, die eine Schar von Geraden zu Integralkurven hat, ist eine Clairautsche. In der Tat wird eine Geradenschar allgemein in der Form:

y = Gx -f- f{G)

mit einer willkürlichen Konstante C dargestellt. Hieraus aber folgt y = C, so daß zwischen x, y, y die Gleichung (1) besteht.

721. Beispiele von Clairautschen Differentialgleichungen. Eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung F(x, y, y) = 0 drückt eine Eigenschaft aus, die den Linienelementen (x, y, y) einer Kurvenschar, der Schar der Integralkurven, zu kommt, d. h. eine Eigenschaft, die den Funkten (x, y) der Kurven und ihren Tangenten zukommt. Insbesondere 7ÄO, 721]

aber kann diese Eigenschaft von der Lage des Berührungspunktes der Tangente unabhängig, also eine Eigenschaft der Tangente allein sein. Da die Gleichung der Tangente des Kurvenpunktes (x, y) in den laufenden Koordinaten £, p lautet:

(1)

9 — y = y (ï - æ) oder: b = v'i + (y — xy'),

hängt die Lage der Tangente nur von y und y — xy ab. Die in Rede stehende Eigenschaft wird somit durch eine Gleichung zwischen y und y — xy' allein, also durch eine Clairautsche Differentialgleichung ausgedrückt. Von vornherein ist dann klar, daß alle Geraden, denen diese Tangenteneigenschaft zukommt, zu den Kurven mit der vorgeschriebenen Eigenschaft gehören. Sie bieten geringeres Interesse als die krummlinigen Kurven denen die Eigenschaft zukommt. Dies aber sind nach voriger Nummer die Einhüllenden der Geraden.

Aufgaben also, in denen es sich um die Ermittelung von solchen Kurven handelt, deren Tangenten eine von ihren Berührungspunkten unabhängige Eigenschaft haben, bieten das Eigentümliche, daß nicht die regulären, sondern nur die singulären Lösungen die interessanten sind. Nach den Entwicklungen der letzten Nummer verlangt die vollständige Erledigung derartiger Aufgaben keinerlei Integration.

1. Beispiel: Gesucht werden diejenigen Kurven in der Ebene, bei denen das Produkt der Abstände der Tangente von zwei festen Punkten F und F' konstant ist. Jede Gerade, deren Abstände von F und F' das gegebene Produkt, etwa b², haben, ist eine Lösung der Aufgabe. Die Schar dieser Geraden umhüllt die einzige krummlinige gesuchte Kurve. Obgleich sie ohne die Theorie der Differentialgleichungen nach Nr. 210 gefunden werden kann, soll doch die Clairautsche Differentialgleichung des Problems aufgestellt werden: Das Achsenkreuz sei so gewählt, daß F und F' auf der Abszissenachse liegen und die Abszissen + c haben. Die Gleichung der Tangente (1) lautet in der Normalform:

= 0,

yi + y ²

so daß die linke Seite für £ = + c, t) = 0 die Abstände von F und F' angibt. Diese Abstände können verschiedene Vorzeichen haben.

Daher setzen wir das Produkt gleich + b². So gehen die beiden Clairautschen Differentialgleichungen des Problems hervor:

(y — xy'Y— csy's

I + 2/'²

= + &².

Auflösung nach y — xy gibt, wenn noch c² + b² = a² gesetzt 7 wird:

y — xy = ]/a²y² + b².

Wird y durch die Integrationskonstante C ersetzt, so geht die allgemeine Lösung:

y = Cx + yaRj² + b²

hervor, die lauter Geraden darstellt. Nach (7) in voriger Nummer geben die Gleichungen:

_ —aH    _ ±b²

x ~ ya*t*±b²’ y ~ y^H*±b*

die singuläre Lösung, und Elimination der Hilfsveränderlichen t zeigt, daß sie eine Ellipse oder Hyperbel:

cr±(i)=i

mit den Brennpunkten F und F' ist.

2. Beispiel: Gesucht werden diejenigen Kurven in der Ebene, von deren Tangenten die Koordinatenachsen eine Strecke von konstanter Länge a abschneiden. Zunächst ist jede Gerade, von der die Achsen diese Strecke abschneiden, eine triviale Lösung der Aufgabe. Die einzige interessante Lösung ist die Einhüllende dieser Gerade, nämlich nach Nr. 249 die Astroide:

4    4    4

x³ +2/ = a³.

Die Behandlung der Aufgabe mittels der zugehörigen Clairautschen Differentialgleichung:

l/i + ÿ

y—xÿ=

sei dem Leser überlassen.

722. Einführung der Ableitung y als neuer unabhängiger Veränderlicher. Schließlich soll ein Integrationsverfahren besprochen werden, das auf der Idee beruht, die Ableitung y der gesuchten Funktion y von x als neue unab-

hängige Veränderliche einzuführen. Wenn nämlich die Integralkurven der vorgelegten Differentialgleichung:

(1)

F{x, y, y) = 0

keine Geraden sind, d. h. die Differentialgleichung keine Clairaut-sche (vgl. Nr. 720) ist, stellt sich eine allgemeine Lösung y als eine solche Funktion von x dar, deren Ableitung y nicht konstant, vielmehr eine Funktion von x ist und daher als unabhängige Veränderliche benutzt werden darf. Es fragt sich nur, wie dies analytisch zu erreichen ist. Zunächst empfiehlt es sich, die Ableitung y' bequemer zu bezeichnen, etwa mit^:

(2)

dy

dx P'

Die Differentialgleichung (1) hat alsdann die Form:

F(x, y, p) = 0, und vollständige Differentiation gibt:

Fxdx + Fydy + F dp = 0.

(»)

(4)

Nach (2) ist außerdem:

dy =pdx.

Werden die beiden letzten Gleichungen mit dp dividiert, so gehen zwei lineare Gleichungen für dx:dp und dy:dp hervor, deren Auflösung ergibt:

_ ~Fp _ ___

dp /•>: ,.1-y dp I\+pFy

(5)

dx

dy

— pFp

Dies sind die Werte, die den Ableitungen von x und y nach ÿ oder p zukommen.

Die Größe p als unabhängige Veränderliche zu benutzen, empfiehlt sich nun insbesondere dann, wenn die vorgelegte Differentialgleichung (1) in der nach y oder x aufgelösten Form:

y = f{y, x) bzw. x = f(y, y)

gegeben ist.

Wenn nämlich die Differentialgleichung:

(6)

y — f{», *)

vorliegt, ist F gleich y — f{y, x) oder y — f(p, x) zu setzen,

[722

144 Kap. III. Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung, sodaß die erste Gleichung (5) liefert:

(?)

dx

dp

P — fx

Rechts treten nur p und x auf, d. h. in (7) liegt eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung für die unbekannte Funktion x von p vor. Wenn x = q> (p, C) ihre allgemeine Lösung mit der Integrationskonstante C vorstellt, folgt aus (6) oder y = f(p,x) durch Substitution des Wertes cp(p,C) für x auch der Ausdruck von y durch p und C, d. h. man gelangt zu Gleichungen:

(8)

x = cp{p,G), y = tp(p, C)

vermöge derer die gesuchten Integralkurven mittels der Hilfsver-änderlichen p oder y dargestellt werden.

Entsprechende Schlüsse lassen sich machen, wenn die vorgelegte Differentialgleichung (1) in der nach x aufgelösten Form gegeben ist:

(9)

Denn dann ist F gleich x — f(y, y) oder x — f(jo, y) zu setzen, sodaß die zweite Gleichung (5) liefert:

vH

vH

a. «s

* h

Hier treten rechts nur p und y auf, d. h. dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung für die unbekannte Funktion y von p. Läßt sich ihre allgemeine Lösung y = ip(p, O) finden, so gibt die Substitution dieses Wertes in x = f(y', y) oder x = f(jp, y) auch x als Funktion von p und C, sodaß man wieder zu einer Darstellung der gesuchten Integralkurven in der Form (8) gelangt.

Die vorgelegte Differentialgleichung auf eine Differentialgleichung zwischen p und x bzw. zwischen p und y in der Form (7) bzw. (10) zurückzuführen, wird sich natürlich nur dann empfehlen, wenn die neue Differentialgleichung nach einer der früheren Methoden integriert werden kann. Da das Verfahren wesentlich auf der Benutzung der durch Differentiation gewonnenen Gleichung (4) beruht, so bezeichnet man es ge-722]

legentlich nicht ganz zutreffend als Methode der Integration durch Differentiation.

Weil p oder y den Tangens des Winkels r bedeutet, den die Kurventangente mit der positiven x-Achse bildet, so geben die Gleichungen (8) oder:

(H)

x = <P (tg T, C), y = ^(tg T, C)

eine Darstellung der Integralkurven mittels des Tangentenwinkels x (wie in Nr. 213).

723. Differentialgleichungen, die in beiden Veränderlichen linear sind. Die soeben entwickelte Methode dient insbesondere zur Integration solcher Differentialgleichungen F(x, y, y') = 0, bei denen die linke Seite in x und y linear ist:

(1)

+ x(y)y + <K/) = °-

Da diese Gleichung für jeden bestimmten Wert c von y eine Gerade der Geraden schar:

<v(c)x + %(c)y + ik(c) = 0

darstellt, sind ihre Integralkurven diejenigen Kurven, die jede einzelne Gerade dieser Schar in einer vorgeschriebenen Richtung durchsetzen. Diese Richtung ist im allgemeinen von Gerade zu Gerade eine andere.

Wenn zunächst %(y) = 0 ist, ergibt sich eine Differentialgleichung von der Form:

(2)

» = f(y) - f(p)>

und dieser Fall ordnet sich der Gleichung (9) der letzten Nummer unter; insbesondere ist hier f(p) in der dort angegebenen Differentialgleichung (10) zwischen p und y frei von y, sodaß eine Quadratur liefert:

(3)

Pf'

y J1 —Pf

dp -J- G-

Die Gleichungen (2) und (3) stellen zusammen die regulären Integralkurven dar, ausgedrückt mittels der Hilfsveränderlichen p.

Wenn dagegen %(y') in (1) nicht gleich Null ist, läßt sich die Gleichung auf die Form bringen:

(4)

y = xX(y) + g(y).

S err et-S chef fers, Diff.- u. Integral-Kecłmung. III. 3. Aufl.

dx    xX' -j- p'

Sie ordnet sich der Form (6) der letzten Nummer unter, so-daß die dort angegebene Differentialgleichung (7) zwischen jo und x hervorgeht. Weil hier f(p) gleich xX(p) + p(p) zu setzén ist, kommt:

dp p — X ’

also eine lineare Differentialgleichung für die gesuchte Funktion x von p, ygl. (1) in Nr. 716, worin x, y und y durchs, x und dx : dp sowie f₀ und fx durch X' : (p — X) und p : (p — X) zu ersetzen sind, sodaß die dort unter (8) angegebene allgemeine Lösung jetzt lautet:

(5)

x = ea

ex'd

J^

xr p

[/-

ea

p

rk'dp

Jp-x

dp G .

Wird dieser Wert von x in (4) eingesetzt, so wird auch y als Funktion von p und C gefunden.

Jedoch im Falle, wo sich X(p) auf p selbst reduziert, versagt dies Verfahren, weil p — X in den Nennern der Integranden auftritt. Dies ist nicht überraschend, denn dann ist (4) eine Clairautsche Differentialgleichung (nach Nr. 720), bei der die Methode der letzten Nummer ja überhaupt nicht angewandt werden kann.

Beispiel: Die Differentialgleichung:

(6)

y — 2xy — y ² = 0

gehört zu denen von der Form (4). Da hier X = 2p, p = p2 zu setzen ist, ergeben die Quadraturen für a = 1 und b = 0:

Bx’dp r 2dp J p — Xj ~ —p

nach (5) und (6):

= — 2\np, dp    2p² dp =

x = L~iP, y = y~iP²-

— 2e

2ln p

~ÎPS

Wird 3 C mit c bezeichnet, so lauten die Gleichungen der Integralkurven:

723]

c — 2p3 3 pi ’

2 c —ps 3 p

Durch Elimination von p geht die in x und y algebraische Gleichung hervor:

(?)

(8)

3 x²y² — 4ccx³ + 4 y³ — 6cxy — c² = 0;

die Integralkurven sind demnach algebraische Kurven vierter Ordnung (nach Nr. 187). Man kann sie auch so darstellen:

(3xy + 2x³ -J- c)² = 4(y -f- x²)³.

Die singulären Linienelemente (x, y, y) der Differentialgleichung (6) genügen außer dieser Gleichung (6) noch der durch Differentiation nach y hervorgehenden; sie gibt y' = — x, so-daß durch:

alle singulären Elemente dargestellt werden. Sie sind aber nicht die Linienelemente der Kurve y = — x², des Ortes ihrer Punkte, weil y = — x nicht die Ableitung von y = — x² ist. Eine singuläre Lösung gibt es also nicht. Der Diskriminantenort y = — x² ist vielmehr eine Parabel, auf der die singulären Punkte (Spitzen) der Integralkurven (8) liegen. In der Tat: Nach Nr. 191 erfüllen die singulären Punkte (x, y) der Kurven (8) außer der Gleichung (8) noch die beiden aus partielle Differentiation nach x bzw. y hervorgehenden Glei-

3’ 4'\ 5’'

(8) durch

chungen:

'S /Ï    3,

xy

— 2cx² — cy = 0,

x²y -j- 2y² — cx = 0.

Alle drei Gleichungen ergeben:

(9) x =f/c, y = —j^c²- Ł

Zu jedem Werte von c gehört eine Integralkurve (8), und sie hat die durch (9) bestimmte Spitze. Der Ort aller Spitzen geht aus (9) in ₃> der Form y = — x²

'f'/ ms

Fig. 23.

Einheit

10*

[7Ä3

hervor und ist demnach, wie zu erwarten war, der Diskriminantenort.

In Fig. 23 sind einige Integralkurven dargestellt, zusammengehörige Zweige tragen die gleiche Nummer. Für c — 0 zerfällt die Integralkurve in die doppeltzählende x- Achse und die Parabel y = — \x~.

§ 3. Multiplikatoren gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung.

724. Existenzbeweis für die Multiplikatoren. Wenn die linke Seite der Differentialgleichung:

(1)

U(x, y)dx -j- V(x, y)dy = 0

kein vollständiges Differential ist, kann man die Gleichung doch nach Nr. 713 mittels zweier Quadraturen integrieren, sobald sich ihre linke Seite durch Multiplikation mit einer passend gewählten Funktion M, d. h. mit einem sogenannten Eiderschen Integrabilitätsfaktor oder Multiplikator, zu einem vollständigen Differential machen läßt. Schon in Nr. 612 wurde die Bedingung für einen Multiplikator aufgestellt. Es soll jetzt noch gezeigt werden, daß es stets Multiplikatoren gibt.

Dabei werde vorausgesetzt, daß die Funktionen U und V von x und y nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung in der Umgebung einer Stelle x = a, y = b stetig seien. Überdies soll diese Umgebung keine Stelle enthalten, an der sowohl U als auch V verschwindet. Nach Satz 1, Nr. 705, gibt es alsdann stets ein Integral œ(x, y) = G der Differentialgleichung (1), und zwar verhalten sich co, (ox und coy in jener Umgebung stetig. Die Richtung dy : dx der durch den Punkt {x, y) gehenden Integralkurve ergibt sich aus:

coxdx -f- œydy = 0

U : V als auch gleich

d. h. es ist dy : dx sowohl gleich — cox : (oy, woraus folgt:

ox:(oy=U:V.

(2)

= MV

Demnach gibt es eine Funktion M derart, daß: cOx-Mü,

wird. Mithin geht die linke Seite von (1) durch Multiplikation mit M in das vollständige Differential dm über, d. h. M ist ein Multiplikator. Weil M = mx : U = my : V ist, verhält sich M unter den gemachten Annahmen in der Umgebung der Stelle (a, b) stetig. Mithin gilt der

Satz 12: Liegt die gewöhnliche Differentialgleichung erster

Ordnung:

U(x, y)dx + V(x, y)dy = 0

vor und sind U und V nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung in der Umgebung einer Stelle stetige Funktionen von x und y, während U und V an keiner Stelle der Umgebung gleichzeitig verschwinden, so gibt es einen in dieser Umgebung stetigen Multiplikator der Differentialgleichung.

von m

Zu jedem Multiplikator M der Differentialgleichung (1) gehört ein Integral m(x,y), nämlich dasjenige, dessen vollständiges Differential M(Udx + V dy) ist. Jede Funktion stellt nach Satz 3, Nr. 706, wiederum ein Integral vor; umgekehrt ist auch jedes Integral eine Funktion von m allein. Nach den Sätzen von Nr. 614 ergibt sich daher der

Satz 13: Ist M ein Multiplikator und m ein Integral der Differentialgleichung Udx + Vdy — 0, so ist jede Funktion von der Form 11 (m) • M ebenfalls ein Multiplikator; andererseits hat jeder Multiplikator diese Form. Der Quotient zweier Multiplikatoren stellt, wenn er nicht konstant ist, ein Integral vor, d. h. er ist von der Form H(m). Dabei bedeutet 11 eine Funktion von m allein.

Wenn ein Multiplikator M der Differentialgleichung (1) bekannt ist, liefern zwei Quadraturen wie in Nr. 713 ein Integral:

X    y

(3)

m(x, y)=jMix, y) U(x, y)dx M(a, y) V(a, y)dy.

a    b

Aber im allgemeinen ist es nicht leicht, einen Multiplikator zu finden, weil die Bedingung, die er erfüllen muß, nämlich nach (3) in Nr. 612 die Gleichung:

(4)

dy

dMU d MV dx ’

keine einfache Gestalt hat. Bei gewissen Klassen von Differentialgleichungen, die schon im vorigen Paragraphen besprochen

[724

wurden, gelingt es aber doch. Man kommt so zu anderen Methoden, jene Differentialgleichungen zu integrieren; aber daß man dabei zu denselben Ergebnissen gelangen muß, ist selbstverständlich. Wir führen im folgenden zwei Beispiele vor.

725. Multiplikator einer homogenen Differentialgleichung. Nach Nr. 715 heißt die Differentialgleichung:

(1)

TJdx -f- Vdy = 0

homogen, wenn U : V eine homogene Funktion nullten Grades von y : x ist. Man kann dann durch Multiplikation mit einer geeigneten Funktion immer erreichen, daß U und V homogene . Funktionen gleichen Grades m werden.

Unter dieser Voraussetzung läßt sich nun leicht ein Multiplikator M finden. Man wird nämlich vermuten, daß ein homogener Multiplikator vorhanden sei. Demnach bedeute M eine homogene Funktion wten Grades von x und y, sodaß MU homogen vom (m -f- w)ten Grade wird, also nach Satz 9, Nr. 91, die Gleichung besteht:

dMU , dMU x + y ~dy~

Nach der in voriger Nummer angegebenen Bedingung (4) für einen Multiplikator kann dMU:8y durch dMV:dx ersetzt werden, sodaß kommt:

dMU, dMV

x^r+y

= (m + n) M U.

dx

= (m -f n)MU.

Die linke Seite wäre nun die partielle Ableitung von M(TJx-(- Vy), wenn noch der Summand M U aufträte. Demnach addieren wir ihn beiderseits und erhalten:

= (m + n + 1 )MU.

dM{Ux + Vy)

dx

Ebenso kommt:

dM{Ux+ Vy)

dy

= (m + n -f- l)MV.

Über den Grad n des gesuchten homogenen Multiplikators steht noch die Verfügung frei. Wird er gleich — m — 1 gewählt, so lehren beide Gleichungen, daß M(Ux + Vy) konstant sein muß. Da ein konstanter Faktor beim vollständigen Differential M(TJdx + Vdy) unwesentlich ist, kann er auch beim 734, 735]

Multiplikator bestimmt gewählt werden. Somit schließen wir auf den Multiplikator:

(2)

Ux Vy ’

In der Tat ist dies eine homogene Funktion vom Grade — m — 1, und man bestätigt leicht, daß dieser Multiplikator die Bedingung (4) der letzten Nummer erfüllt. Hiernach ist die linke Seite der Gleichung:

(3)

üdx -f Vdy

Ux -j- Vy

ein vollständiges Differential, falls U und V homogene Funktionen gleichen Grades sind. Zwei Quadraturen liefern also das Integral.

Bei dem Verfahren in Nr. 715 wurde y = xz substituiert und dadurch die Trennung der Veränderlichen bewirkt. Das jetzige Verfahren führt zu demselben Ergebnisse, denn dort wurde die Differentialgleichung in der Form:

y - f{'x)

angenommen, sodaß, wie die Vergleichung mit (1) lehrt:

Y = ~f{ )

kommt und die linke Seite von (3) die Form annimmt:

f{fj¹ + V

Sie ist nach wie vor ein vollständiges Differential und bleibt es auch, wenn y = xz, d. h. dy = zdx + xdz substituiert wird. Alsdann ergibt sich das vollständige Differential:

dz

dU_ cV dy dx

(4)

erfüllen. Alsdann ist außer dem Multiplikator (2) noch der Multiplikator M = 1 bekannt. Der Quotient von beiden, also die Funktion Ux + Vy, muß nach Satz 13 der letzten Nummer ein Integral sein, falls er keine Konstante ist.

Wenn also die homogene Differentialgleichung (1) so beschaffen ist, daß die Gleichung (4) besteht und Ux -f Vy nicht konstant wird, so ist Ux + Vy ein Integral, so daß man die vollständige Lösung ohne Integrations verfahr en gewinnt.

Noch ist hinzuzufügen: Wenn die beiden homogenen Funktionen gleichen Grades U und V so beschaffen sind, daß Ux-f Vy konstant ist, so liefert (2) den Multiplikator M= konst, d. h. die linke Seite der Differentialgleichung (1) ist in diesem Falle ein vollständiges Differential.

726. Multiplikator einer linearen Differentialgleichung. Die Differentialgleichung:

y'=fo(.x)y + fiO)>

vgl. Nr. 716, lautet, als totale Differentialgleichung geschrieben, so : (foV + fx)dx— dy = 0.

Hier ist ü = f₀y + fx und F= — 1. Weil Uy= f₀(x) und Vx = 0 ist, vermuten wir, daß sich die Bedingung (4) in Nr. 724 für den Multiplikator, die hier die Form hat:

dM{f₀y + ff)

dM

dy

durch eine nur von x abhängige Funktion M erfüllen läßt. In der Tat geht sie für eine solche Funktion über in: dM

Mfo +

so daß:

dx

= 0 oder

d\nM

dx

= —/o>

-ff₀{x)dx

M=ea

einen Multiplikator vorstellt. Daher ist die linke Seite der Differentialgleichung :

X

-ff₀{x)dx

[(f₀y + fx)dx - dy] = 0

§ 3. Multiplikatoren gewöhnl. Differentialgleichungen erst. Ordnung. 153 ein vollständiges Differential, nämlich das von:

X

f* -ffodx b

-ffodx

dx — yea

Wird dies Integral gleich — C gesetzt, so ergibt sich durch Auflösung nach y die in Nr. 716 gefundene allgemeine Lösung (8) der linearen Differentialgleichung.

727. Ermittelung' eines Multiplikators aus seiner geometrischen Deutung. Wenn co(x, y) == G ein Integral der Differentialgleichung:

(1)

Udx -f Vdy ===== 0

ist, lehrt der Satz 4 von Nr. 613, worin wir f durch o und A a als Zuwachs von f durch A a ersetzen wollen, daß der zugehörige Multiplikator M als Grenzwert:

(2)

M = lim

h=o hyu²+v*

dargestellt werden kann. Hierin bedeutet z/o den Zuwachs, den die Funktion co(x, y) erfährt, wenn ein Punkt (x, y) einer Integralkurve o = C längs ihrer Normale um eine Strecke h bis zu einem Punkte (x + Ax, y -f- A y) weiter wandert.

Bei geometrischen Problemen, in denen man aus den Forderungen etwas über den Abstand zwischen Integralkurven ermitteln kann, ehe die Kurven selbst bestimmt worden sind, gelingt es zuweilen, mittels dieses Grenzwertes (2) einen Multiplikator ausfindig zu machen. Hierzu ein

Beispiel: Angenommen, es sei (1) die Differentialgleichung einer Schar von Parallelkurven. Unter einer solchen Schar wird Folgendes verstanden: Ist k₀ eine Kurve der Schar, so soll jede andere Kurve k der Schar aus ihr dadurch hervorgehen, daß man alle Punkte von k₀ längs der Normalen um ein und dieselbe beliebige Strecke C wandern läßt, siehe Fig. 24. Wenn nun y die Evolute von k₀ ist, so leuchtet nach Nr. 201 ein, daß die Parallelkurvenschar aus allen Evolventen ein und derselben Kurve y besteht. Weil zu jedem Werte von C eine Kurve k der Schar gehört, so dürfen wir annehmen, daß œ(x, y) ===== C die Gleichung der Schar sei. Allerdings ist das Integral o(x} y) noch unbekannt. Es sei nun (x, y) ein Punkt einer Kurve k oder a(x, y) = C, und er wandere längs ihrer Normale um eine Strecke h weiter bis zu einem Punkte (x -f- /Ix, y -f- /ly).

(x,

\ _____

y+dy)

Fig. 24.

Dieser neue Punkt liegt alsdann auf der zu C -f h gehörigen Kurve der Schar, was bedeutet, daß o den Zuwachs z/oo = h erfährt. Die Formel (2) wird somit frei von h und ergibt:

Satz 14: Wenn die gewöhnliche Differentialgleichung erster

Ordnung:

U(x, y)dx -j- V(x, y)dy = 0

in der Ebene mit dm rechtwinldigen Koordinaten x und y eine Schar von Parallelkurven definiert, so ist:

y TP + Vs

ein Multiplikator der Gleichung.

Es ist besonders bemerkenswert, daß sich dies ergeben hat, obgleich die Form der Differentialgleichung selbst noch nicht gefunden ist. Sie läßt sich aber leicht angeben. Denn die Tangenten der Evolute y müssen nach Nr. 720 die regulären Integralkurven einer Clairautschen Differentialgleichung:

y = %y' + f{y)

sein. Weil nun die Kurven k alle diese Tangenten senkrecht schneiden, geht ihre Differentialgleichung einfach dadurch hervor, daß man y durch — 1 : y ersetzt:

Diese Differentialgleichung hat die allgemeine Form:

(3)

F(y, x + yy) = 0.

Will man eine Differentialgleichung von dieser Form auf Grund des Satzes 14 integrieren, so muß man sie natürlich zunächst in eine totale Differentialgleichung (1) überführen.

Daß diese Differentialgleichung einer Schar von Parallelkurven durch Quadraturen integrierbar ist, war übrigens vorauszusehen: Denn wenn y in ihr durch — 1 : y ersetzt wird, ergibt sich diejenige Clairautsche Differentialgleichung, deren Integralkurven die Normalen der Schar sind. Die Einhüllende der Normalen ist nach Nr. 720 ohne jede Quadratur zu bestimmen; sie ist die Evolute y der gesuchten Kurven. Wenn man ihre Bogenlänge bestimmt hat, was nach Nr. 542 durch eine Quadratur zu erreichen ist, kann man die Evolventen nach Nr. 201 ohne Integration ermitteln.

728. Differentialgleichungen mit Multiplikatoren von gegebener Form. Um zu Klassen von gewöhnlichen Differentialgleichungen zu gelangen, die mittels Multiplikatoren durch Quadraturen zu integrieren sind, kann man so Vorgehen: Man nimmt von vornherein die Gestalt des Multiplikators M der fraglichen Differentialgleichung:

(1)

TJdx 4- Vdy — 0

an, sei es als eine Funktion von x und y oder als eine Funktion, die auch von U und V abhängt, und versucht alsdann zu ermitteln, welche Form die Differentialgleichung (1) haben muß. Die Bedingung dafür ist nach (4) in Nr. 724:

8MU dMV

(2)

dy

dx

oder M(Uy - Vx) = VMX - UM,

y’

also eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung für die beiden Funktionen U und V von x und y (siehe Nr. 669). Zuweilen gelingt es, die gesuchten Formen von U und V in allgemeinster Weise zu finden oder wenigstens einige Formen von ü und V zu erkennen, die der Bedingung (2) bei gegebenem M genügen. Hierfür einige Beispiele.

1. Beispiel: Es soll ein Multiplikator M vorhanden sein, der nur von x abhängt. In diesem Falle gibt (2): wo die rechte Seite nur von x abhängt. Sobald also (Uy— Vx) : V eine Funktion von x allein ist, gibt es einen Multiplikator, der ebenfalls nur von x abhängt. Er wird dann durch die Quadratur gewonnen:

Cuy - Vx

(4)

Insbesondere gilt dies bei den linearen Differentialgleichungen, vgl. Nr. 726.

2. Beispiel: Es soll ein Multiplikator vorhanden sein, der das Produkt von einer Funktion von x allein mit einer Funktion von y allein ist. Er kann in der Form:

cp(x)ip(y)

angenommen werden, und Einsetzen dieses Wertes in (2) gibt:

d\n <p dx

(3)

Uy-V.i,

M' dlnM

dx

U,-r'-uÉ3?~ V

Wird die Ableitung Y(y) bezeichnet, so kommt:

von

ln cp mit X(x) und die von ln ÿ mit

(5)

uy-vx= UY-rx.

Sobald also JJy — Vx auf die Form UY — VX gebracht werden kann, in der X nur von x und Y nur von y abbängt, ist ein Multiplikator von der gesuchten Art vorhanden. Nämlich dann kommt:

lncp=fxdx, ln i\>=^Ydy,

—J'Xdx -J'Ydy

d. h. es ist:

(6) ein Multiplikator der Differentialgleichung.

Liegt z. B. die Differentialgleichung vor:

[Ax²+ 2 Bxy+Cy²+ 2 (A +H) x-j-2 (B+K) y+2 {H+L)] dx+ [Ax²+2Bxy+Cy²+2(B+H)xA2(C+K)y+2(K+L)]dy=0,

M = U+y

wo A, B, C, FL, K, L Konstanten bedeuten, so läßt sich die Bedingung (5) durch die Annahme X = Y = — 1 erfüllen, so daß nach (6):

ein Multiplikator ist. Als zugehöriges Integral geht durch Quadratur hervor:

ec+y[Ax² -f- 2jBxy -f- Cy² + 2(Hx -f Ky -f L)J = konst.

3. Beispiel: Die Differentialgleichung (1) soll einen Multiplikator von der Form:

(?)

U² -f- V²

haben. Einsetzen dieses Wertes in (2) liefert die Bedingung, die U und V erfüllen müssen:

2 UV{ÜX - Vy) = (ü² - V²){Uy + Vx).

Natürlich läßt sich jede Differentialgleichung (1) durch Multiplikation mit einem geeigneten Faktor auf eine solche Form bringen, bei der (7) einen Multiplikator gibt. Denn die Differentialgleichung irgend einer Kurvenschar m(%, y) — C läßt sich in der Form:

(9)

coxdx + coydy

«! + "i schreiben, worin also:

ü=>

d. h.

“I + °>y

U²+V² =

ist, sodaß die Differentialgleichung (9) durch Multiplikation mit dem Multiplikator (7) in der Tat die Form den = 0 eines gleich Null gesetzten vollständigen Differentials annimmt.

Jedoch die Aufgabe, einen geeigneten Faktor zu finden, der eine vorgelegte Differentialgleichung auf eine Form bringt, bei der die Bedingung (8) besteht, ist als ebenso schwer zu bezeichnen wie die Aufgabe, einen Multiplikator der Differentialgleichung zu ermitteln. Aber ein besonderes Interesse bietet hier ein spezieller Fall, in dem die Bedingung (8) erfüllt ist, nämlich der Fall, in dem U und V den Gleichungen genügen:

¹

z — f(z)

einer Funktion von x und z, so daß man in der Tat zu demselben Integral (3) wie in Nr. 715 gelangt.

Es kann sein, daß die linke Seite der homogenen Differentialgleichung (1) selbst schon ein vollständiges Differential ist. Dies tritt ein, wenn die homogenen Funktionen Grades U und V die Bedingungen

Vy = ~Vx.

Ux = vy,

Diesen Fall besprechen wir in der nächsten Nummer.

(5)

729. Differentialgleichung einer Isothermenschar.

Soeben wurde erkannt, daß die Differentialgleichung:

U(x, y)dx + V(x, y)dy = 0, bei der U und V die beiden Bedingungen:

um = vy, uy = - rx

erfüllen, stets den Multiplikator:

üf =

(1)

(2)

(3)

U* + V“

bat und daher durch Quadraturen integriert werden kann.

Die Bedingungen (2) haben die Form der Cauchy-Riemannschen Gleichungen (2) in Nr. 623, d. h. es ist U + iV eine monogene Funktion der komplexen Veränderlichen x -J- iy. Um die Bedeutung dieses Umstandes zu erklären, betreten wir hier ausnahmsiveise den Bereich der komplexen Veränderlichen.

Wenn U.-\- iV etwa die monogene Funktion F(z) von z — x -f iy ist, so bedeutet U — i V die Funktion F(z), worin z die zu z konjugiert komplexe Veränderliche x — iy sein soll. Aus:

folgt:

x + iy = z, x — iy = z

2x = z + z und 2y = -iz-\-iz.

Werden z und z in (1) als Veränderliche statt x und y eingeführt, so kommt also:

oder:

U(dz + dz) 4- F(— idz -f idz) = 0

d. h.:

oder schließlich:

{U-iV)de + (TJ+iV)dz = 0 F{z)dz + F{z)dz = 0

(4)

dz

dz

F(z) + F(z) ⁼ ° •

In dieser Form (4) sind die Veränderlichen getrennt. Wenn nun die monogene Funktion f(z) ein Integral von (vgl. Satz 15, Nr. 633),

1 : F(z), sodaß die Integration der Differentialgleichung (4) liefert:

1 : F{z) ist so bedeutet f (z) ein Integral von

f{z) + f(z) = konst.

Dies also wird das Integral der Differentialgleichung (1) sein, jedoch geschrieben in den beiden konjugiert komplexen Veränderlichen z und z oder x + iy und x — iy. Es ist leicht, das Integral auf eine reelle Form zu bringen: Wir zerlegen die monogene Funktion f(z) in ihren reellen und rein imaginären Teil:

Alsdann ist:

f z) = u(x, y) + iv0, y).

f{z) = u(x, y) - iv(x, y),

sodaß aus (5) die reelle Form des Integrals von (1) folgt:

(6)

u(x, y) = konst.

Da wir eine Integration im komplexen Bereiche ausgeführt haben, muß dies Ergebnis nachträglich auf reellem Wege bestätigt werden: Es war angenommen worden, daß F(z) gleich U + i V sei, also :

-i

IP -f V²

F(z) U+iV 6'²-fF²

Nach (3) in Nr. 629 ist demnach der reelle Teil u(x, y) des Integrals f(z) von 1 : F(z) dieser:

u-f

Udx -f- Vdy ü²+ V² >

wobei Je einen Integrationsweg bezeichnet. Weil aber 1 : (U² + V²) nach (3) ein Multiplikator ist, stellt dieser Wert in der Tat das Integral vor.

Aus der Form (6) des Integrals kann man auch die geometrische Bedeutung der vorgelegten Differentialgleichung (1) erkennen:

Da u + iv eine monogene Funktion ist, vermitteln die Gleichungen :

w0, */) = £; v(x,y) = t)

nach Satz 6 und Satz 7, Nr. 626 und 627, eine leonforme Abbildung der Ebene mit den rechtwinkligen Koordinaten £, t) in der Ebene mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y. Insbesondere sind die Integralkurven (6) in der xy- Ebene die Bilder der parallelen Geraden £ = leonst. der £tp Ebene. Solche Kurven (6) spielten zuerst in der Wärmetheorie eine Rolle als Kurven

[729

konstanter Temperatur, und deshalb nennt man sie eine Schar von Isothermen.

Satz 15: Die Differentialgleichung :

U (x, y)dx + V(x, y)dy = 0

definiert in der Ebene mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y dann und nur dann eine Isothermenschar, wenn U -f- iV eine monogene Funktion der komplexen Veränderlichen x + iy vorstellt, d. h. ivenn:

v, = -r,

ist. Die Differentialgleichung hat alsdann den reziproken Wert von TP + V² oder ( ü + i V) ( U — i V) als Multiplikator.

Beispiel: Wird z³ oder (x + iyf als die monogene Funktion U -j- i V gewählt, so ist ü = x³ — 3 xy² und V— 3 x²y — y³. Demnach definiert die Differentialgleichung:

(x³ — 3 xy²)dx -f (3 x²y — y³)dy = 0 eine Isothermenschar, und sie hat den Multiplikator:

(x+iy)³ (x—iyY    (x² -f y²f

Durch Quadraturen ermittelt man leicht das Integral:

x- — y²

{x²-\-yy

= konst.

730. Die Eulersche Differentialgleichung¹. Man ver-steht hierunter die Differentialgleichung:

dy    ₌ 0

Vil-y*) (1 -k²y²)

(1)

dx

j/(l — x²) (1 — k²x²)

wo die Wurzeln etwa positiv seien und k² eine positive Konstante kleiner als Eins bedeuten soll. Diese Differentialgleichung bietet die schon von Euler erkannte Merkwürdigkeit, daß einerseits die Veränderlichen in ihr getrennt sind und daß sich andererseits ein Multiplikator ermitteln läßt, der nicht bloß eine Konstante ist. Mithin kann man das Integral in zwei verschiedenen Formen darstellen, und daraus fließt ein wichtiger Satz über die Addition elliptischer Integrale.

Da die Veränderlichen x und y in (1) getrennt sind, ge-729, 730]

nügt diejenige Lösung y, die für x = 0 den willkürlichen Anfangswert z hat, der Gleichung:

dx

|/(1 — x²) (1 — Jc*x*)

+f, . _________.=o,

J T/(1 — 2/²) (i-*V)

worin das erste Integral den Anfangswert 0, das zweite Integral den Anfangswert z hat. Das zweite Integral kann in der Form:

dy

dy

V(i — y*) (1 — & V)

Y(l — ys){l—Tc²y²)

geschrieben werden. Dabei dürfen wir im Jetzten Integranden y durch z ersetzen. Somit folgt: Diejenige Lösung y der Differentialgleichung (1), die für x = 0 den willkürlich gewählten Anfangswert z hat, genügt der Gleichung:

*>Ji

0

dx

y(l — #²)(1—Wx²)

dy

■/

0

dz

Hier treten nach Nr. 445 drei elliptische Normalintegrale erster Gattung mit demselben Modul k auf.

Um nun den erwähnten Multiplikator zu ermitteln, setzen wir zur Abkürzung:

(3)    X - (1 - x²) (1 - k*x*), U= (1 - î/²) (1 - k²y²),

sodaß die Differentialgleichung (1) die Form annimmt:

(4)

dx :    ₌ o

yx Yr

Multipliziert man sie mit ]/X ]/Y und einer Funktion T, deren geeignete Wahl noch Vorbehalten bleibe, so kommt:

Tf/Ydx + T]/Xdy = 0.

Nun aber ist für irgend drei Funktionen X, Y und T von x und y:

T-/Ydx = d{xTYŸ)-lYXdy = d(yiyX) -

xT

yT

2J/X

dY - xy YdT,

dX-yyXdT,

sodaß die Differentialgleichung die Form erhält:

(6)

^d(xTyr+ÿTŸX)-^dX +

Nach (3) ist:

+ ^fdY+(xVr+yyx)^.

und wenn:

dX = — 2x(l + k? — 2k²x²)dx, dY=-2y( 1 + k² -2k²y*)dy,

(6)

T =----

1 — k²x²y²

gewählt wird, kommt außerdem:

1 — k²x²y²

dT _ 2k²xy(y dx    xdy)

Demnach hat dx bzw. dy auf der rechten Seite der Gleichung

(5) als Koeffizienten den Wert, der aus:

S - !_Xy IWxy^/X (/r - 1 - F + 2k%x‘ + /) -

- F(1 + W)x*y*\

durch Dividieren mit ]/X bzw. ]/ Y hervorgeht. Somit ergibt sich als neue Form der Differentialgleichung diese:

d(xTVT + yTVX) - ST (^J + p|).

Demnach macht die Multiplikation der Eulerschen Gleichung (1) oder (4) mit dem Faktor ST die linke Seite der Gleichung zu einem vollständigen Differential, nämlich zu dem von xT]/Y -j- yT]/X, d. h. 1 : ST ist ein Multiplikator der Eulerschen Differentialgleichung (1) und

xTYT+yTŸX=C

ein Integral. Soll das Integral insbesondere y als diejenige Lösung definieren, die für x = 0 den Anfängswert z hat, so ist die Integrationskonstante C gleich z zu wählen. Demnach wird die Lösung implizite gegeben durch die Gleichung:

xTYY + yTYX = z.

Wegen der Bedeutungen (3) und (6) der Funktionen X, Y und

730J

T ist diese Gleichung in x, y und z algebraisch (ygl. Nr. 6), nämlich diese:

(?)

#]/(l — y²) (1 — ksy²) -(- y"[/(l — x²) (1 — k²x²)

1 — Ä*a?*y*    ⁼

Da aber die Differentialgleichung (1) nach Satz 9, Nr. 691, nur eine Lösung y hat, der für x = 0 der Anfangswert z zukommt, so ist der Schluß zu ziehen, daß die Gleichungen (2) und (7) dieselbe Funktion y von x implizite definieren. Hieraus folgt der

Satz 16: Die Summe des bis x und des bis y erstreclden elliptischen Normalintegrals erster Gattung:

y

⁺/i

0

dx

]/( 1 -£c²)(l —Æ²œ²)

dy

V(1 -y*) (i-*V)

ist wiederum ein elliptisches Normalintegral erster Gattung:

dz y(l — z²) (1 — l²z²)

und zwar ist die obere Grenze z dieses Integrals die algebraische Funktion von x und y :

₌    — y'²) G — fr V) + vVG — æ*) G — &x2)

1 — k²x²y²

Dies ist das Euler sehe Additionstheorem für die elliptischen Normalintegrale erster Gattung.

Insbesondere wird das bis x erstreckte elliptische Normalintegral erster Gattung gleich

arc sin x bzw. Ą ln

wenn der Modul k gleich Null oder Eins wird (nach Nr. 449, 450). Daher gelten insbesondere die Additionstheoreme:

arc sin x -j- arc sin y = arc sin z,

wenn

ist, und:

xY 1 — y² -f- y Y1 — x² = z ¹4~ y

+ 111 X    1

lnl

-—z>

wenn

x + y

l-\-xy

ist. Das erste besagt nichts anderes als die bekannte Formel der Goniometrie für den Sinus einer Summe und das zweite nichts anderes als den Satz, nach dem der Logarithmus eines Produktes gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren ist.

§ 4. Infinitesimale Transformationen gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung.

731. Gruppeneigenschaft der Lösungen des Systems

dx : dt —X, dy : dt = Y. Die von Euler entwickelte Theorie der Multiplikatoren ist wesentlich analytisch, denn auch die geometrische Deutung der Multiplikatoren (siehe Satz 4, Nr. 613, und Nr. 727) ist nicht frei von analytischen Bestandteilen. Dieser Theorie stellt sich die von Lie entwickelte Theorie der infinitesimalen Transformationen an die Seite, die den Vorteil hat, auch eine rein geometrische Auffassung zuzulassen. Soweit nötig, soll sie hier in ihren Grundzügen dargestellt werden. Die nächsten Nummern dienen zur Vorbereitung, erst von Nr. 738 an beginnt die Anwendung auf das Problem der Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung.

Vorerst liege ein System erster Ordnung vor von der besonderen Form:

'■e re

dy

st = Yix’ y)’

und im folgenden beschränken wir uns auf Untersuchungen in einem Bereiche, in dem die von t freien Funktionen X und Y nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig sind. Nach Satz 9, Nr. 691, gibt es ein und nur ein System von Lösungen x und y, die für irgend einen bestimmt gewählten Anfangswert t₀ von t die ebenfalls irgendwie bestimmt gewählten Anfangswerte x₀ und y₀ haben. Die Lösungen sind dabei in einem Intervalle um t₀ herum stetige Funktionen von t mit stetigen Ableitungen erster Ordnung; außerdem sind sie nach Satz 10, Nr. 692, hinsichtlich der Anfangswerte x₀ und y0 730, 731] stetig und mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung nach x₀ und y₀ versehen.

Das Lösungensystem hjingt außer von t von den drei willkürlich gewählten Anfangswerten xQ, y₀ und t₀ ab. Aber t0 tritt nur in Verbindung mit t in der Differenz t — t₀ auf. Denn wenn t — t₀ = t als neue unabhängige Veränderliche in (1) eingeführt wird, bleibt das System (1) ungeändert, abgesehen davon, daß dt statt dt zn setzen ist. Weil t für t = t0 den Wert Null annimmt, muß also das betrachtete Lösungensystem mit demjenigen Lösungensystem dieses neuen Systems (1) übereinstimmen, das für t = 0 die Anfangswerte x₀ und y₀ hat, also nur von r = t — t₀, x₀ und y₀ ab hängt. Hiernach darf das allgemeine Lösungensystem von (1) in der Form geschrieben werden:

(2)

x = <p(%of y*» * - 4)> y = Hxo> Vo, t - 4)-

Wird für t ein bestimmter Wert tx gesetzt, so mögen x und y die Werte X₁ und yx annehmen:

(3)

xx = q>(x₀, y₀, tx - t₀), yx = ty(x₀, y₀₎ tx - t₀).

Dasjenige Lösungensystem von (1), das für i = tx die Anfangswerte xx und yx hat, muß die Form haben, die aus (2) hervorgeht, wenn x₀, y₀ und t₀ durch xx, yx und tx ersetzt werden:

x = <p(xi> Vu t — 4); y = t(xi, Vu t — 4)-

Sowohl das Lösungensystem (2) als auch dies neue Lösungensystem nimmt für t = tx die Werte xx und yx an; es gibt aber nur eines, das für t — tx die Anfangswerte xx und yx hat (nach Satz 9, Nr. 691). Wenn also für t irgend ein anderer bestimmter Wert 4 gewählt wird, liefern die neuen Gleichungen dasselbe Wertepaar x₂ und y₂ wie die Gleichungen (2), d. h. es ist sowohl :

(4)

xi T(xii V\} 4 4)> y2 ^(xi; y\i 4    4)

als auch:

(5)

x2 t (xQ) y$i 4 4)> y2 ^(.xo, y Qi 4    4)?

d. h. durch Substitution der Werte (3) von xx und yx in (4) müssen die Werte (4) in die Werte (5) übergehen. Diese Eigen-

[731

tümliehkeit der Funktionen cp und ijj heißt ihre Gruppeneigenschaft; was das bedeutet, soll aber erst in der nächsten Nummer erörtert werden.

Das Schluß verfahren läßt sich ebenso um beliebig viele Schritte weiter führen. Wenn also nacheinander:

(6)

4 - 4-1)y yn = ^ (»«-i,yn-1? 4— 4-1)

-ly

xn = cp{xn_x,yn

gesetzt und darauf das Wertepaar xx, yx aus den beiden ersten Gleichungen in die beiden nächsten Gleichungen, alsdann das hervorgehende Wertepaar x₂, y.₂ in die folgenden beiden Gleichungen usw. substituiert wird, muß schließlich das Wertepaar hervorgehen:

(7)

Xn 4o y y Oy 4    4)? y?i ^ (x0y yoy 4    4)-

Dabei ist tx auf ein Intervall \ tx — t₀ ff h₀, t₂ auf ein Intervall 14 — 4|^ \ usw. beschränkt, nach Satz 1, Nr. 683. Diese Zahlen h₀, hx, . . . sind für alle Anfangsstellen (x., yf) innerhalb des Bereiches nicht kleiner als eine gewisse positive Zahl h. Wenn nun 4 ⁼ 4 + K 4 ⁼ 4 + ^ usw. oder 4 ⁼ 4 ~ K 4=4 — ^ usw. gewählt wird, so kommt tn = 4 ± nh- Die Anzahl n der erlaubten Schlußfolgerungen (6) ist dabei nur insoweit beschränkt, als der Bereich von den gefundenen Stellen (xx, yx), (,x₂, yf), . . . (xn, yf) nicht verlassen werden darf. Die Vergleichung von (7) mit (2) lehrt also:

Die Gleichungen (2) stellen das allgemeine Lösungensystem von (1) nicht nur in dem beschränkten Intervalle 11 — tQ <^h0 vor, sondern t darf darin von t₀ an solange beständig wachsen oder beständig abnehmen, als die zugehörige Stelle (x, y) noch innerhalb des Bereiches liegt. Somit gilt der

Satz 17: Es liege ein System erster Ordnung von zwei gewöhnlichen Differentialgleichungen vor:

ct.

X{x,y),    2=Y(x,y)

7311

wobei X, Y, Xx, Xy, Yx, Yy innerhalb eines Bereiches stetige Funktionen von x und y allein seien. Das allgemeine Lösungensystem, das für einen beliebig, aber bestimmt gewählten Anfangswert t₀ von t irgendwelche bestimmte Anfangswerte xQ und y0 innerhalb des Bereiches annimmt, besteht aus Funktionen von x₀, y₀ und t — t₀ allein:

x — <P(X<o, Vo, t - 4); y = Vo> t - 4);

und t darf darin von t₀ an beständig wachsend oder beständig abnehmend soweit variieren, als die zugehörige Stelle (x, y) noch dem Bereiche angehört. Ferner hat das Lösungensystem die Gruppeneigenschaft, d. h. : Die Substitution der Werte:

= <pO₀> Vo, 4 - 4)> Vx = Hxor 4 — 4)

in:

~ wiix) yx•> 4 4)> y% ~ ÿ{.xxi yxi 4 4)

gibt stets:

X2 = <p(?o, y₀, 4 - 4); % = y<x, 4 - 4)-

732. Geometrische Bedeutung der Gruppeneigenschaft. Werden x und y als Koordinaten in der Ebene gedeutet, so stellt das Lösungensystem:

(i)

x = xp(x₀, y₀, t t(f), y — i/j(Xq, y₀, t 4) die vom Punkte (x₀, y₀) oder M₀ ausgehende Integralkurve k des Systems:

(2) dar. Zu jedem Werte von t gehört ein Punkt (x, y) oder M dieser Kurve k, zu tü der Punkt M₀ selbst.

yy>

Ff'

Wird nun t — t₀ bestimmt gewählt, aber der Punkt M0 oder (x₀, y₀) veränderlich gelassen, so ordnen die Gleichungen (1) jedem Funkte M0 einen neuen Punkt M zu.

Dies soll Fig. 25 andeuten, worin wir statt M₀ mehrere Punkte Mq, Mf, M₀",..

—.......

Fig. 25.

. angenommen haben, um die Veränderlichkeit des Punktes M0 zu betonen. Zu jedem dieser Punkte wird vermöge (1) ein

neuer Punkt M, M', M", .. . zugeordnet. Dabei liegt M auf der von Mü ausgehenden integralkurve k, M' auf der von M₀' ausgehenden Integralkurve k', usw.

Umgekehrt: Wird irgend ein Punkt M oder (x, y) ausge-wählt, so gibt es einen Punkt M₀ oder (xQ, y₀), dem er vermöge (1) zugeordnet ist. Wir behaupten also: Die Gleichungen (1) sind nach x₀ und y₀ auflösbar.

Dies folgt sofort aus dem letzten Satze. Wenn nämlich darin t₂ — t₀ angenommen wird, so sind x₂ und y₂ nach der letzten Formelreihe des Satzes nichts anderes als x₀ und y0 selbst, so daß also die vorletzte Formelreihe gibt:

^0 = 9P(»i;    h), Vo = Vi, to — t'i)

und zwar als Folge von:

Xy = cp(x₀, t/₀, t\ t₀f y^ — ik(x₀, y₀, G tf).

Dies aber bedeutet: Die Auflösungen der Gleichungen (1) nach x₀ und y₀ lauten :

(3)

«0 = <p(x, y, t₀ - t), y₀ = y, t₀ - i).

Diese Gleichungen liefern denjenigen Punkt M₀, dem ein Punkt M vermöge (1) zugeordnet ist.

Eine solche Zuordnung von Punkten M zu den Punkten M₀ heißt eine Punkt-Transformation, analytisch eine Transformation der Wertepaare x, y. Die Gleichungen (1) stellen nun aber für jeden einzelnen bestimmten Wert von t —1₀ eine gewisse Transformation dar; mithin liegt hier eine Schar von Transformationen vor. Sie wird einfach unendlich genannt, weil die Auswahl einer bestimmten Transformation der Schar von der Wahl des Wertes einer einzigen Hilfsveränderlichen t —1₀ abhängt, die man auch als den Parameter der Schar bezeichnet. Insbesondere ergibt sich, wenn t — tQ= 0 gewählt wird, aus (1) einfach x = x₀ und y = y₀, d. h. die zu t — t₀ = 0 gehörige Transformation ordnet jedem Punkte M₀ den Punkt M₀ selbst zu. Sie heißt die identische Transformation.

Weil t in (1) nur in der Differenz t — t₀ vorkommt, wird es bequemer sein, diese Differenz mit r zu bezeichnen, so daß die Gleichungen:

(4)

« = <p(%o, Vot T)> y =    r)

die Schar der Transformationen darstellen. Diejenige Transformation der Schar, die zu irgend einem Werte x gehört, sei mit %t bezeichnet. Dann bedeutet die identische Transformation.

Nach (3) sind:

(5)

a?₀ = cp(x, y, — x), y₀ = y, — x)

die Auflösungen der Gleichungen (4) nach x₀ und y₀. Wird aber in (4) statt x der entgegengesetzte Wert — x eingesetzt, so ergibt sich die Transformation %_t:

x = <p(xQ, y₀, - x), y = ÿ(x₀, y₀, - r),

und ihre Vergleichung mit (5) lehrt, daß, sie gerade das Entgegengesetzte bewirkt wie %t. Denn wenn %t den Punkt M0 in den Punkt M transformiert, so führt %_t den Punkt M nach M₀ zurück. Daher heißt die zu %t inverse Transformation.

Es ist vielleicht nicht überflüssig zu bemerken, daß es für die geometrische Natur der Transformationen ganz gleichgültig ist, wie man die Koordinaten der ursprünglichen und die der neuen Punkte bezeichnet, wenn man nur an der Regel festhält, daß die auf der linken Seite der Gleichungen stehenden Größen die Koordinaten der neuen Punkte sein sollen.

Da t — t₀= x gesetzt worden war, stellt sich die in Satz 17 der letzten Nummer ausgesprochene Gruppeneigenschaft, sobald 4 — t₀ = x1} 4 — tx= x₂, also 4 — 4 = xx -f t₂ gesetzt wird, so dar:

Wenn die Werte:

(6)

xi = <P Oo> Vo, ri)> Vi = Hxo> Vo, Ti)

in die Gleichungen:

00

x₂ = cp{xt, yx, t₂), y₉ — t(xx, Vx, r₃) substituiert werden, gehen die Gleichungen hervor:

x₂ = (p(x₀, y₀, xx + x₂), y₂ = i/j(x₀, y₀, rx 4- r₈).

Die Gleichungen (6) stellen die Transformation % Gleichungen (7) die Transformation und die Gleichungen (8) die Transformation % wählten Punkt M₀ oder (x₀, yf) in den Punkt Mx oder (xx, yf)

[733

(8)

vor.

ti y

die

führt den beliebig ge-

über, weiterhin transformiert % den Punkt M₁ in den Punkt M2 oder (x₂, y₂), und die Gleichungen (8) besagen nun, daß M2 auch unmittelbar aus M₀ durch die Ausübung einer einzigen Transformation, nämlich % wo auch der ursprüngliche Punkt M₀ gewählt sein mag. Vgl.

hervorgeht; und zwar gilt dies,

Jt”

Fig. 26.

Fig. 26, worin wieder, zum Ausdrucke der beliebigen Annahme des Punktes M₀, statt seiner mehrere Punkte M₀, Mq, M₀", . . . angenommen worden sind. Dabei liegen M₁ und M₂ auf der von M0 ausgehenden Integralkurve k, ebenso Mf und M₂ auf der

von M₀' ausgehenden Integralkurve k', usw.

Dies spricht man

äquivalent. Deshalb

Die Gruppeneigenschaft bedeutet hiernach: Die Aufeinanderfolge irgend zweier Transformationen % und der Schar liefert dasselbe Endergebnis wie eine einzige Transformation der Schar, nämlich dasselbe wie St kürzer so aus: Die Aufeinanderfolge der Transformationen % und % ist der Transformation % heißt die durch (4) dargestellte Schar von Transformationen eine Gruppe von Transformationen. Allgemein nämlich wird eine Schar von Operationen eine Gruppe genannt, sobald die Aufeinanderfolge irgend zweier Operationen der Schar dasselbe Endergebnis liefert wie eine einzige Operation derselben Schar.

Ob zuerst    und danach Xr^ ausgeführt wird oder umgekehrt zuerst    und dann XT , ist gleichgültig, denn beide

formation X

Aufeinanderfolgen sind wegen ti + r₂ = x₂ + xx derselben Transäquivalent. Man sagt deshalb: die Transformationen der hier betrachteten Gruppe sind paarweise vertauschbar. Da ferner alle Transformationen der Gruppe irgend einen Punkt M₀ stets nur in Punkte ein und derselben Kurve, nämlich der von M₀ ausgehenden Integralkurve k, überführen, so heißen die Integralkurven die Bahnkurven der Gruppe.

Ob t — t₀ mit T bezeichnet oder t₀ = 0 gesetzt und die Bezeichnung t beibehalten wird, ist gleichgültig. Deshalb fassen wir die Ergebnisse so zusammen:

Satz 18: Innerhalb eines Bereiches, in dem sich die Funktionen X und Y von x und y nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig verhalten, sei dasjenige allgemeine Lösungensystem des Systems:

dx

dy

dt = r(*> y)>

das für t = 0 die Anfangswerte x₀ und y₀ hat, durch die Gleichungen ausgedrückt:

x cp(x₀, y₀, f, y xkÇx₀, y₀, 1).

der-

h + t-i

Diese Gleichungen stellen für jeden bestimmten Wert t eine Transformation %t der Wertepaare x₀, y₀ oder Punkte (x₀, y₀) in neue Wertepaare x, y oder Punkte {x, y) dar. Die einfach unendliche Schar aller Transformationen %t bildet eine Gruppe, indem nämlich die Aufeinanderfolge irgend zweier Transformationen und der Schar äquivalent ist der Transformation % selben Schar. Die Gruppe enthält die identische Transfonnation 5T₀ sowie zu jeder Transformation %t die inverse %_t. Außerdem sind ihre Transformationen vertauschbar. Die Bahnkurven der Gruppe sind die Integralkurven des vorgelegten Systems von Differentialgleichungen.

733. Beispiele. Zunächst geben wir zwei in geometrischer Hinsicht besonders einfache Beispiele.

1. Beispiel: Das System

dx

(1)

dy

-, - — — u, —Z- = x dt    dt

wurde in dem Beispiele von Nr. 677 in der Form x = G cos (t + c), y = C sin(£ + c) integriert. Soll das Lösungensystem für t = 0 die Werte x₀ und y₀ haben, so muß C cos c = x₀ und C sin c = y0 gesetzt werden, so daß kommt:

(2)

x = x₀ cos t — y₀ sin t, y = xQ sin t + y₀ cos t.

Sind x und y rechtwinklige Koordinaten in der Ebene, so ordnen die Gleichungen (2) für einen bestimmt gewählten Wert von t irgend einem Punkte M₀ denjenigen Punkt M zu, der aus M₀ durch Drehung des Radiusvektors O3I₀ um den Winkel t hervorgeht. Die Gruppe (2) besteht demnach aus

[732, 733

allen Drehungen um den Anfangspunkt 0. Hier leuchtet nun die Gruppeneigenschaft sofort ein, da die Aufeinanderfolge der Drehungen um 0 mit den Winkeln t₁ und t₂ der Drehung mit dem Winkel tx -f-1₂ äquivalent ist, siehe Fig. 27. Die Bahn-

JJ

V/H

t.

VI-

Kg. 27.

kurven sind die Kreise mit dem Mittelpunkte 0, die ja nach Kr. 677 in der Tat zugleich die Integralkurven des Systems (1) vorstellen.

2. Beispiel: Die Integration des Systems:

at y

(3)

dx

dt - x>

gibt nach dem Beispiele in Nr. 685, wenn darin A = x₀ und B = yo gesetzt wird:

(4)

x = x₀e\ y = y₀e?.

■ff

I’ig. 28.

Diese Werte sind gleich #0 und y₀ für t — 0. Für jeden bestimmten Wert von t stellen die Gleichungen (4) eine ähnliche Ver-j\£? größerung der Ebene vom Anfangspunkte 0 aus (ohne Drehung) dar, indem ein Punkt M₀ vermöge (4) in denjenigen Punkt M übergeht, dessen Radiusvektor OM auf OM₀ liegt und das e^-fache von OM₀ beträgt. Diese Transformation 733]

heißt eine Streckung von 0 aus. Die Gruppeneigenschaft der Schar aller Streckungen von 0 aus erhellt sofort: Werden nämlich zunächst alle Radienvektoren mit a, alsdann die hervorgehenden Radienvektoren mit b multipliziert, so ist das Ergebnis dasselbe, wie wenn alle Radien Vektoren sofort mit ab multipliziert worden wären. Siehe Fig. 28. Die Bahnkurven sind alle Strahlen von 0 aus, was damit im Einklänge steht, daß diese Strahlen nach Nr. 685 die Integralkurven des Systems (3) bilden.

Es ist nützlich, an einem Beispiele zu zeigen, daß nicht jede einfach unendliche Schar von Transformationen eine Gruppe bildet. Dazu diene das

3. Beispiel: Die Gleichungen:

(5)

X = X₀(t + l), y = y₀+t

stellen für jeden Wert von t eine Transformation vor, insbesondere für t = 0 die identische : x = x₀ und y = y₀ . Um zu untersuchen, ob die Transformationen (5) eine Gruppe bilden, stellt man analog den Gleichungen (6) und (7) der vorigen Nummer die Gleichungen auf:

x₁=x₀(t₁ -f i), yL = y₀ +11} x₂ = xfG + 1), y₂ = y₁ + t₂

und substituiert xx und x₂ aus den beiden ersten in die beiden letzten. Dann kommt :

X3 — xo (4 4 + 4 + 4 +    y<2,⁼ Vo + 4 + 4 •

Aber es gibt keinen Wert von t, für den dies eine Transformation der Schar (5), d. h. ein Gleichungensystem von der Form:

x₂ = x₀(t+l), y₂ = y₀ + t

wäre, denn die hervorgehenden Bedingungen £=44+4+4 und t — 4 + 4 widersprechen einander, wenn 4 und t₂ irgendwie gewählt worden sind. Demnach ist die Schar (5) keine Gruppe. Sie stellt in der Tat gar nicht das Lösungensystem eines Systems von Dilferentialgleichungen:

TS TS

TS Its

l'sS

dar, dessen rechte Seiten X und Y von t frei sind. Denn aus

(5) ergibt sich durch Differentiation nach t:

dx dt X° ’

oder, wenn x₀ mittels (5) eliminiert wird:

d][    -,

dt

dx

dt    t-fl >

und hier ist die rechte Seite der ersten Gleichung nicht frei von t.

Da die Bestätigung der Gruppeneigenschaft nicht immer geometrisch so einleuchtend wie in den beiden ersten Beispielen ist, wird noch ein Beispiel gegeben, in dem dies analytisch zu zeigen ist.

4. Beispiel: Die erste Gleichung des Systems:

(6)

dx = x*

gibt:

dt

Jt~xy

dx

^ = dt. d. h.

wo A eine Konstante bedeutet. Wird hieraus x = — 1 : (t -f- A) berechnet und in die zweite Gleichung (6) eingeführt, so kommt:

dXay = ~rh’ dh-

y t + A’

wo B eine Konstante bedeutet. Insbesondere haben x und y für t = 0 die Werte xQ und y₀, wenn A = — 1 : x₀ und B = — yQ : x₀ gewählt wird. Demnach ist:

— g» x₀t — 1 ’

dasjenige Lösungensystem, das für t = 0 die Anfangswerte x0 und y₀ hat. Zur Bestätigung der Gruppeneigenschaft werden die Gleichungen gebildet:

(?)

— Vo

x₀t — l

xx

— *0.

Vi =

— Vo

Xq tl 1

x% —

— Vx

fl?, t% I

und die Werte von x₁ und yx aus den beiden ersten in die beiden letzten eingesetzt. Dann kommt:

— xo

— Vo

x₂ =

Diese Gleichungen stellen in der Tat eine Transformation der Schar (7) dar, nämlich die zu t = tx -f- ts gehörige.

734. Eingliedrige Gruppe und ihre infinitesimale Transformation. Um späteren Unbequemlichkeiten in den Bezeichnungen auszuweichen, wollen wir die bisher X und Y genannten Funktionen von jetzt an mit % und rj bezeichnen. Es soll also die betrachtete Gruppe von Transformationen durch dasjenige allgemeine Lösungensystem:

(1)

ff = Vo> t), y = Vo, 0 des Systems erster Ordnung:

(2)

§?    Tt -v(x>y)

dargestellt sein, das für t = 0 die beliebig angenommenen Anfangswerte x₀ und y₀ hat.

Man kann sagen, daß die Gruppe von dem System (2) erzeugt wird, und zwar kann man der Art der Erzeugung eine geometrische Deutung beilegen, wenn man die Betrachtung unendlich kleiner oder infinitesimaler Größen zuläßt. Das soll hier nur ganz vorübergehend geschehen und zwar bloß deshalb, weil nur so eine von Lie eingeführte Bezeichnung verständlich wird.

Ein Wert tx von t sei bestimmt gewählt; er werde in beliebig viele, etwa in n Teile dlxt, dJ₂t, . . . zJnt zerlegt:

(3)

= 4xt -f- di₂t + • • • -j- dJnt.

Zu jeder Zahl <d₂t, ... <dnt gehört eine Transformation:

(4)

'&--d₁t ?    • • • <^dnt

der Gruppe. Die Aufeinanderfolge der beiden ersten ist der zu dtxtdl₂t gehörigen Transformation der Gruppe äquivalent; die Aufeinanderfolge von dieser und der dritten ist der zu /Jx t -f z/₂1 -j- z/₃1 gehörigen Transformation der Gruppe äquivalent, usw. Schließlich ergibt sich, daß die Aufeinander-

[733, 734

folge der n Transformationen (4) derjenigen Transformation der Gruppe äquivalent ist, die zur Summe tx aller Teilbeträge dt gehört, d. h. der Transformation %

Wenn nun alle Teile dt dasselbe Vorzeichen wie tx haben und nach Null streben, demgemäß ihre Anzahl n über jede Zahl wächst, streben alle einzelnen n Transformationen nach sogenannten infinitesimalen Transformationen, nämlich nach solchen, deren Parameter nach Null strebt, und die Transformation %t der Gruppe erscheint bei dieser Auffassung als das Erzeugnis der Aufeinanderfolge einer endlosen Anzahl von infinitesimalen Transformationen der Gruppe. Wir werden sogleich erkennen, daß diese infinitesimalen Transformationen sämtlich denselben analytischen Ausdruck haben, so daß wir zu der Auffassung der ganzen Gruppe als des Erzeugnisses einer infinitesimalen Transformation gelangen.

Daß in der Tat alle jene infinitesimalen Transformationen denselben analytischen Ausdruck haben, sieht man so ein: Es möge eine Summe von Teilwerten dx t, d₂t, ... bis zu einem gewissen Teilwerte gleich t sein, und dt sei der nächste Teilwert. Die Aufeinanderfolge der zu jenen zuerst genannten Teilwerten gehörigen Transformationen der Gruppe ist alsdann der Transformation %t äquivalent, und alsdann ist die Transformation %jt auszuführen. Nun sei der Punkt (xQ, y₀) vermöge %t in den Punkt (x, y) und dieser Punkt (x, y) vermöge %jt weiterhin in den Punkt (x -f dx, y -f dy) übergegangen. Es bestehen dann für x und y die Gleichungen (1). Da die Aufeinanderfolge von %t und %jt der zu t -f dt gehörigen Transformation äquivalent ist und den Punkt (ir₀, yQ) in den Punkt (x -f dx, y -f- dy) verwandelt, bestehen ferner die Gleichungen:

(5)

x + dx = <p(x₀, y₀, t + dt), y + dy = t(x₀, y₀, t + dt). Zieht man hiervon die Gleichungen (1) ab, so kommt: dx=cp(x₀, y₀, tĄ- dt) — cp(x₀, y₀, t), dy =    y₀, t + dt)- ri>(x₀, y₀, t).

Bei der Transformation %jt erfahren also die Koordinaten eines Punktes {x, y) diese Zunahmen dx und dy. Sie streben zwar mit dt nach Null., aber es wird:

734]

lim 4*    *3%.!^, lim^ =

dy>(æ₀,y₀, t)

dt = o    dt    Jt = 0

d. h. weil x = y, y = 4> die Lösungen des Systems (2) bedeuten:

' lim J]t=n(v,y)-

Jt=o

(Ö)

lim

jt=o 'dt

y)

Sobald also zlt nach Null strebt, erfahren x und y bei der Transformation %jt ebenfalls nach Null strebende Zunahmen, aber die Quotienten aus diesen Zunahmen und aus z1t streben nach den bestimmten endlichen Werten |(#, y) und r\{x, y). Die Gleichungen (6) sind der analytische Ausdruck der infinitesimalen Transformation. Wenn man unter dx, dy, dt unendlich kleine Größen versteht, kann man' sie in der von Lie gebrauchten Weise ausdrücken:

CO

dx = %(x, y) dt, dy = rj(x, y) dt.

Die Gleichungen (7) sind, abgesehen davon, daß hier das Zeichen d statt d steht, dieselben Gleichungen wie die des vorgelegten Systems (2), dem also hiermit die angekündigte geometrische Deutung als Ausdruck der infinitesimalen Transformation der Gruppe gegeben ist.

Die Gruppe (1), das Erzeugnis der infinitesimalen Transformation (7) oder des Systems (2), bezeichnet man als eine eingliedrige Gruppe. Es gibt nämlich auch Gruppen, die aus mehrfach unendlichen Scharen von Transformationen bestehen und von mehreren verschiedenen infinitesimalen Transformationen erzeugt werden.

Es ist nützlich, diejenige anschauliche Deutung zu erwähnen, die man von der eingliedrigen Gruppe erhält, wenn man t als das Maß der Zeit auffaßt. Dann stellen die Gleichungen (1) eine stationäre Strömung in der Ebene dar (vgl. Nr. 666). Bei ihr beschreiben alle Punkte Stromlinien, nämlich die Bahnkurven der Gruppe oder Integralkurven des Systems (2). Da der zur Zeit t an der Stelle (x, y) gelegene Punkt im nächsten Zeitteilchen /dt m. den Punkt (x -j- zlx, y -f- /dy) übergeht, so zeigen die Gleichungen (6), daß £ und y die Komponenten der Geschwindigkeit der Strömung an der Stelle (x, y) sind, die, wie es bei jeder stationären Strömung der Fall ist, nur vom Orte (x, y) und nicht von der Zeit t abhängen.

Serr et-Scheffers,Diff.- u.Integral-Rechnung. III. 3. Aufl.

735. Symbol der infinitesimalen Transformation.

Bei vielen Untersuchungen, in denen eingliedrige Gruppen Vorkommen, braucht man nicht die Gleichungen ihrer Transformationen:

(1)

* = <p(x(» Vo> 0 y = t(p₀, y<» 0

zu kennen. Vielmehr genügt dabei das Bekanntsein der infinitesimalen Transformation der Gruppe. Sie wird durch die beiden Funktionen £(#, y) und ij(x} y) oder auch durch das zugehörige System:

(2)

dx

dt

= Ux> y)>

'S 's

; = Ux, y)-

gegeben. Besonders bequem aber erweist sich ein einziger für die infinitesimale Transformation von Lie eingeführter Ausdruck. Zu diesem Symbol gelangt man so:

Es sei f(pc, y) eine beliebig gewählte differenzierbare Funktion von x und y. Bei derjenigen Transformation der Gruppe, die zu irgend einem beliebig kleinen Werte 4t von t gehört, erfahren x und y Zunahmen 4x und 4y, so daß auch f eine Zunahme 4f erfährt:

= fip + 4oc, y + 4 y) - f(p, y) •

Division mit 4t gibt:

_ f(x + Ax> y + Av) — f(x> y)

At

At

Hierbei sind x und y die Funktionen (1) von t. Mithin ergibt sich für lim 4 t = 0:

lim

Jt=o

bf(x,y)

dx

lim

Ax

Jt = o At

ofP,y) ,. Ay_

zy A*

d. h. nach (2):

- Up, y)l§i + nip,y)jy-

(3)

lim

At- 0

Man kann demnach sagen, daß die Funktion f(x, y) bei der infinitesimalen Transformation der Gruppe — siehe (7) in voriger Nummer — den unendlich kleinen Zuwachs: erfährt. Jedoch wollen wir, wie gesagt, mit unendlich kleinen Größen nicht rechnen. Daher drücken wir uns so aus:

735]

Infolge der Transformationen der Gruppe gehen nicht nur aus den Wertepaaren x₀, y₀ solche Wertepaare x, y hervor, die Funktionen des Parameters t sind, vielmehr wird auch aus jeder Funktion von xQ und y₀ eine Funktion f von x und yy also — da x und y Funktionen von t sind — ebenfalls eine Funktion von t. Dabei ist:

Oder auch: Wenn x und y die durch das System (2) definierten Funktionen von t sind, wird auch jede differenzierbare Funktion f von x und y eine Funktion von t, und zwar hat sie die Ableitung (4). Der Ausdruck:

(4)

(5)

df

dy’

in dem also f eine beliebige differenzierbare Funktion von x und y bedeutet, heißt nun das Symbol der infinitesimalen Transformation der eingliedrigen Gruppe.

1. Beispiel: Die eingliedrige Gruppe aller Drehungen um den Anfangspunkt 0 wird nach dem ersten Beispiele in Nr. 733 durch das System:

sü

y> dt

erzeugt. Hier ist | = — y, iq = x, d. h. das Symbol der infinitesimalen Drehung um 0 lautet:

df , df

-yj^+xdi„

2.    Beispiel: Bei der eingliedrigen Gruppe aller Streckungen vom Anfangspunkte 0 aus haben | und rj nach dem zweiten Beispiele in Nr. 733 die Werte x und y, daher ist das Symbol der infinitesimalen Streckung von 0 aus:

f    df .

XTx + yJy'

3.    Beispiel: Die im vierten Beispiele von Nr. 733 betrachtete eingliedrige Gruppe:

df

•^0

y-

x₀t — 1 ⁷

hat die infinitesimale Transformation:

Vo

x₀t— 1

» df . df x Tx + x^W

4. Beispiel: Die Gleichungen:

(6)

x = xQ+at, y = y₀ + bt, in denen aundfr bestimmt gewählte Konstanten sein sollen, stellen eine Gruppe dar. Denn vermöge (6) wird jeder Punkt (x₀, y₀) soweit verschoben, bis seine Abszisse bzw. Ordinate um at und bt gewachsen sind, d. h. für jeden bestimmten Wert von t ist (6) der Ausdruck einer Schiebung aller Punkte der Ebene um dieselbe Strecke t ]/a² + b² und in einer von t unabhängigen Richtung, die mit der positiven Æ-Achse einen Winkel r bildet, dessen Tangens gleich b:a ist. Zwei solche Schiebungen in derselben Richtung, nach einander ausgeübt, lassen sich augenscheinlich durch eine Schiebung in derselben Richtung ersetzen, so daß hier die Gruppe aller Schiebungen in der angegebenen Richtung vorliegt. Wächst t um Bt, so kommt:

Bx = aBt, By = bBt,

also:

lim %-b, Jt= 0

Jx

lim -Tr- = a,

Jt = o

so daß £ = a, rj = b ist. Folglich lautet das Symbol der infinitesimalen Schiebung in der durch tg t = b : a angegebenen Richtung so:

« r-s

Cf

Insbesondere sind:

dy'

U- und

df

dy

die Symbole der infinitesimalen Schiebungen parallel der x-bzw. «/-Achse. Daß die Gleichungen (6) in der Tat das Lösungensystem von:

SŁ.1 ^

= a,

vorstellen, sieht man sofort.

736. Die bei der Gruppe invarianten einfach unendlichen Kurvenscharen. Es seien wieder:

(1)

æ = <p(xo, y₀, t), y = t(x₀, y₀, t) die Gleichungen der von der infinitesimalen Transformation:

§4. Infinitesimale Transformationen gewöhnl. Diźferentialgln. l.Ordng. 181 oder also von dem Systeme:

(2)

3? -«(*>»)> TTt

erzeugten eingliedrigen Gruppe.

Ein Punkt (x₀, y₀) bleibt bei allen Transformationen der Gruppe in Ruhe, wenn für ihn die Gleichungen (1), wie auch t gewählt sein mag, beständig x = x₀ und y = yQ liefern, d. h. wenn von dem Punkte (x₀, y₀) gar keine Integralkurve des Systems (2) ausgeht, vielmehr das Konstantenpaar x = x₀, y = y0 eine Lösung des Systems (2) ist, d. h. wenn £(#₀, y₀) = 0 und rj(xQ, y₀) = 0 ist, vgl. Nr. 685. Gibt es ein Wertepaar x, y, für das %(x, «/) und rj(x, y) verschwinden, so heißt es invariant bei der Gruppe (1), oder auch: der Punkt (x, y) heißt invariant.

So war in dem 1., 2. und 4. Beispiele von Nr. 733 der Anfangspunkt 0 invariant. Es kaim auch unzählig viele invariante Punkte geben. So sind im 4. Beispiele von Nr. 733 alle Punkte (x, y), deren Abszisse verschwindet, d. h. alle Punkte der «/-Achse invariant.

Wenn der Punkt (x0} y₀) nicht invariant ist, beschreibt er bei der Ausführung aller Transformationen der Gruppe die durch ihn gehende Integralkurve k des Systems (2). Da jeder Punkt dieser Kurve ebenfalls nur in Punkte derselben Kurve übergeht, so werden zwar alle Punkte der Kurve bei den Transformationen der Gruppe in andere übergeführt, aber die Kurve k im ganzen genommen bleibt ungeändert. Deshalb heißen die Bahnkurven der Gruppe invariante Kurven. Außer ihnen kann es nur noch solche invariante Kurven geben, deren einzelne Punkte bei der Gruppe invariant sind, wie im 4. Beispiele in Nr. 733 die «/-Achse.

Nun sei K₀ eine nicht invariante beliebig gewählte Kurve. Vermöge der allgemeinen Transformationen %t der Gruppe (1) gehe sie in die Kurven Kt über. Die Gesamtheit aller Kurven Kt, zu denen auch die Kurve K₀ selbst gehört, bildet eine einfach unendliche Kurvenschar, weil sie von einem Parameter t abhängt. Es sei Kt irgend eine Kurve der Schar; sie ist aus K₀ durch die Ausführung der Transformation %t entstanden. Führt man auf Kt irgend eine andere Transformation %t^ der Gruppe aus, so ist das Ergebnis diejenige Kurve, die aus K₀ durch die Auf-

einanderfolge von 2# und 2, hervorgeht. Weil aber diese Aufeinanderfolge der Transformation 2^ ₊ ^ der Gruppe äquivalent ist, geht dieselbe neue Kurve durch Ausführung von 2<i + <s auf Kq hervor und ist also die Kurve Kt + , derselben einfach unendlichen Schar. Also gilt der

Satz 19: Die Gesamtheit derjenigen Kurven, in die eine Kurve bei der Ausführung aller Transformationen einer Gruppe übergeht, bleibt bei allen Transformationen der Gruppe dieselbe, indem jede Kurve der Schar bei jeder Transformation der Gruppe in eine Kurve derselben Schar übergeführt wird.

Aus dem Beweise ist zu ersehen, daß der Satz wesentlich auf der Gruppeneigenschaft beruht; z. B. gilt er nicht bei jener Schar von Transformationen, die im 3. Beispiele von Nr. 733 betrachtet wurde.

Nach Satz 19 geht aus jeder beliebig gewählten Kurve K0 durch Ausübung aller Transformationen der eingliedrigen Gruppe eine sogenannte invariante Kurvenschar hervor. Außerdem gibt es nur noch eine einfach unendliche Schar, die invariant ist, nämlich die aller Bahnkurven, von denen jede für sich invariant bleibt.

737. Kennzeichen der Invarianz einer einfach unendlichen Kurvenschar. In dem Bereiche, wo t? und ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig sind, bedeute g>(x, y) = konst, eine invariante Kurvenschar. Vorausgesetzt wird, daß auch co, cox und coy stetig seien. Insbesondere sei K% die Kurve:

(1)

«(>o> Vo) G)

mit den laufenden Koordinaten x₀ und y₀. Durch Ausführung der Transformation 2, der Gruppe:

(2)

» = <p(xo, y₀, t), y = y>(x₀, y₀, t)

geht die Kurve K₀ nach Annahme wieder in eine Kurve der Schar über, d. h. durch Elimination von x₀ und y₀ aus den drei Gleichungen (1) und (2) soll eine Gleichung hervorgehen von der Form:

(3)

co(x, y) — ct.

Zu jedem Werte von t gehört daher ein Wert der Konstante ct\

736, 737]

also ist ct eine Funktion k(f) von t. Da nun für die Funktionen (2):

dx

»), af

ist, liefert (3), wenn x und y darin als diese Funktionen (2) von t betrachtet werden:

da d a ^ da

Hiernach hat X (t) eine stetige Ableitung. Die Gleichung (3) oder co = X (t) definiert mithin auch t als stetige Funktion von co, nach Satz 13, Nr. 694. Wird sie in (5) auf der rechten Seite eingeführt, so geht eine Formel hervor :

tda{x,y)

⁵ dx

deren rechte Seite eine Funktion von co allein bedeutet. Es wird sich zeigen, daß eine solche Gleichung nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend für die Invarianz der Kurvenschar co(x, y) = konst, bei der Gruppe (2) ist.

Vorher jedoch soll die Bedingung noch vereinfacht werden. Insbesondere ist zunächst die Schar aller Bahnkurven, d. h. aller Integralkurven des Systems (4) invariant. Stellt co = konst, diese Schar vor, so muß die Gleichung coxdx -f- (Oydy = 0

eine Folge des Systems (4) sein, d. h. infolge von dy:dx = rj:è, bestehen, so daß sich eine Gleichung (6) ergibt, deren rechte Seite gleich Null ist. Wenn also Q (co) in (6) nicht schwindet, besteht die Schar go = konst, sicher nicht aus allen Bahnkurven. In diesem Falle gibt es eine stetige Funktion F(go), deren Ableitung 1 : ß(co) ist, so daß wir haben:

(4)

(5)

(6)

da(x, y)

dy

dX (t)

dt

= &(«>)>

ver-

(7)

•*» - À

Si (a) ’

denn die linke Seite von (6) ist ja stetig. Insbesondere kommt:

(8)

O i    77T / /    \    ⁰³ x    (s F    771/ /    \

ay

Si (ca)

Dies sind ebenfalls stetige Funktionen von x und y. Die Kurvenschar co = konst, wird aber auch durch die Gleichung: F(co(x, ÿj) = konst.

dargestellt. Nun aber gibt (8) und (6):

dy

_ jtox -f Va>/ _ 2 SŁ

Wenn also co(x, y) = konst, eine invariante Kurvenschar vorstellt und daher eine Bedingung von der Form (6) erfüllt ist, so läßt sich die Gleichung der Schar insbesondere auf eine solche Form co(x, y) = konst, bringen, für die entweder:

(9)

li 03x -f- rj coy = 0 oder £    -f-??    = 1

ist, je nachdem die Schar aus edlen Bahnkurven besteht oder nicht.

Jetzt soll die Betrachtung umgekehrt werden. Es sei also o(x, y) eine nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetige Funktion von x und y, die einer der beiden Bedingungen (9) genügt; alsdann soll gezeigt werden, daß co = konst, eine invariante Kurvenschar darstellt.

Werden unter x und y die Funktionen (2) von t verstanden.

so ist:

d ca (x, y)

dx

dy

dt

= ~dt    ~dt ,

also nach (4) gerade gleich dem in (9) links stehenden Ausdrucke. Mithin folgt aus (9):

d a (x, y)

== 0 oder

d ca {x, y)    ₁

dt = 1 >

d. h. œ(x, y) ist entweder frei von t, also nur von x₀ und y0 abhängig, oder co(x, y) ist gleich t, vermehrt um eine nur von x₀ und y₀ abhängige Funktion. Da außerdem x und y für t = 0 die Werte xQ und y₀ annehmen, folgt also:

(10) co(x, y) = eo{xQ, y₀) oder a(x, y) = t + at(x₀, y₀).

Sobald die erste oder zweite Bedingung (9) erfüllt ist und unter x und y die Funktionen (2) verstanden werden, besteht demnach die erste oder zweite Gleichung (10). Dies besagt: Vermöge einer Transformation %t der Gruppe geht die Kurve g)(æ₀, y₀) = c₀ entweder in die Kurve co(x, y) = c₀, d. h. in sich selbst, oder in die Kurve co(x, y) = t + c₀, d. h. in eine andere Kurve der Schar co(x, y) = konst, über. Mithin gilt der

Satz 20: Eine einfach unendliche Kurvenschar oo(x, y) = konst, bleibt bei der von der infinitesimalen Transformation :.

of

IO, 9) d + r,{x, y)Ę

73TJ erzeugten eingliedrigen Gruppe dann und nur dann invariant, wenn eine Gleichung von der Form:

*/)f~ + vix, y)^ =

besteht, in der Si(co) eine Funktion von co allein ist. Vorausgesetzt wird dabei ein Bereich, in dem %, y, œ und ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig sind. Insbesondere besteht die Schar co = konst, aus allen einzeln invarianten Bahnkurven der Gruppe, wenn £i(a) verschwindet. Ist dies nicht der Fall, so kann die Gleichung der invarianten Kurvenschar stets in einer solchen Form co = konst, angenommen werden, für die insbesondere Sl = 1; also: wird.

Es ist bemerkenswert, daß das gefundene Kennzeichen für die Invarianz einer einfach unendlichen Kurvenschar auch schon dann aufgestellt werden kann, wenn man nur die infinitesimale Transformation der Gruppe, also die Funktionen %(x, y) und r\{x, y) kennt, so daß die Integration des Systems (4) nicht nötig ist. Man kann daher sagen: Die Kurvenschar co = konst, bleibt bei allen Transformationen der Gruppe invariant, wenn sie bei der infinitesimalen Transformation invariant ist. Wenn wir nämlich für den Augenblick wie in Nr. 734 unendlich kleine Größen benutzen und die infinitesimale Transformation wie damals unter (7) in der Form:

dx = i(x, y)dt, dy = rj(x, y)dt schreiben, erfährt co(x, y) bei dieser infinitesimalen Transformation den unendlich kleinen Zuwachs:

da(x, y) = coxöx + aydy = (gœx + rjcoy)dt, der infolge der letzten Formel des Satzes 20 gleich dt ist, so daß also

a(x, y) = t in a(x -f- dx, y -j- dy) = t + öt übergeht, d. h. die infinitesimale Transformation führt jede Kurve co = t der Schar in eine unendlich benachbarte Kurve der Schar über. Doch wollen wir, wie schon in Nr. 734 hervorgehoben wurde, von unendlich kleinen Größen keinen Gebrauch machen. Vielmehr soll diese Abschweifung nur eine

[737

oft gebrauchte Redeweise begründen : Man sagt, daß die Kurven-schar co(x, y) = konst, bei der infinitesimalen Transformation invariant bleibt, wenn die in Satz 20 aufgestellte analytische Bedingung erfüllt ist. Demnach besteht das wesentliche des Satzes darin, daß die Kurvenschar a = konst, bei der Gruppe invariant bleibt, sobald sie bei der infinitesimalen Transformation der Gruppe invariant ist,

Anstatt zu sagen, daß die Kuiwenschar bei der Gruppe bzw. bei ihrer infinitesimalen Transformation invariant ist, drückt man sich auch so aus: Die Kurvenschar gestattet die Gruppe bzw. ihre infinitesimale Transformation, oder auch: Sie läßt sie zu.

738. Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung, die eine bekannte infinitesimale Transformation gestattet. Nunmehr kann die Theorie auf unser eigentliches Problem, das der Integration einer vorgelegten gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung, angewandt werden. Diese Differentialgleichung sei wie in Nr. 676 in der Form geschrieben:

(1)

X{x, y)dy — Y(x, y) dx = 0

Man sagt, daß die Differentialgleichung die infinitesimale Transformation:

(2)

^ dx + ^(x> $ dy

gestattet oder bei ihr invariant bleibt, wenn die einfach unendliche Schar der Integralkurven œ(x, y) = konst, der Differentialgleichung die infinitesimale Transformation zuläßt. Nach den letzten Erörterungen steht dann fest, daß die Schar aller Integralkurven auch alle Transformationen der zugehörigen eingliedrigen Gruppe gestattet, so daß man alsdann auch sagen kann, daß die Differentialgleichung bei der eingliedrigen Gruppe invariant bleibt.

Wir nehmen an, die Schar der Integralkurven co(x, y) = konst, der vorgelegten Differentialgleichung (1) sei noch unbekannt, das Integral co(x, y) sei also noch nicht gefunden. Dagegen soll (2) eine bekannte infinitesimale Transformation sein, bei der die Differentialgleichung invariant bleibt. Dabei wird vorausgesetzt, daß X, Y, %, rj und ihre partiellen Ab-737, 738] leitungen erster Ordnung in einem gemeinsamen Bereiche stetig seien.

Unter diesen Umständen kann man zwei Bedingungen angeben, die von den noch unbekannten Ableitungen cox und coy des Integrals co erfüllt werden müssen. Einerseits nämlich stellt co = konst, dann und nur dann das Integral vor, wenn die Gleichung:

coxdx -f- co(Jdy = 0

infolge von (1), d. h. infolge von dy:dx = Y: X besteht, so daß:

(3)

Xg>x 4~ YatJ = 0 sein muß. Andererseits muß das in Satz 20 der letzten Nummer aufgestellte Kennzeichen der Invarianz erfüllt sein. Indem wir uns daran erinnern, daß nach Satz 3 von Nr. 706 auch jede Funktion von co ein Integral bedeutet, sehen wir, daß das Kennzeichen in der Form:

|j cox -j- 7] C3y = 0 oder § co^. 4-17 coy = 1

(4)

geschrieben werden kann.

Liegt zunächst der erste Fall vor:

(5)

É®*+ Vay = 0,

so wissen wir, daß jede einzelne Kurve co (x, y) = konst, bei der infinitesimalen Transformation invariant bleibt, d. h. dann sind die Integralkurven von (1) die Bahnkurven der Gruppe. Die Gleichungen (3) und (5) können aber nur dann zusammen bestehen, wenn ihre Determinante:

= 0,

\X Y I l V

also:

§ = qX, rj = qY ist, wo q irgend eine nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetige Funktion von x und y bedeutet. Demnach werden alle diejenigen infinitesimalen Transformationen, die jede einzelne Integralkurve der Differentialgleichung (1) invariant lassen, durch das Symbol:

(6) dargestellt. Sie sind bekannt, sobald nur die Differentialgleichung (1) vorliegt. Aus diesem Grunde ist es nicht über-

[738

raschend, daß solche infinitesimale Transformationen für die Aufgabe, die Differentialgleichung (1) zu integrieren, keinen Vorteil mit sich bringen. Man nennt sie triviale infinitesimale Trans' formationen der Differentialgleichung (1). Sie lassen sich auch so charakterisieren: Eine triviale infinitesimale Transformation führt jeden Punkt (x, y) um unendlich wenig in derjenigen Richtung vorwärts, die durch das Linienelement angegeben wird, das dem Punkte vermöge der Differentialgleichung nach (7) in Nr. 734 zugeordnet wird, da £ und rj hier zu X und Y proportional sind.

Bedeutet dagegen (2) eine nicht triviale bekannte infinitesimale Transformation, bei der die Differentialgleichung (1) invariant bleibt, so gibt es ein Integral a(pc, y), das der Gleichung (3) und der zweiten Gleichung (4) genügt. Aus beiden lassen sich, da jetzt die Determinante Xrj —    =J= 0 ist, av

und ay berechnen. Es kommt:

(7)

— Y

Xt] — Yi ’    ⁰⁰y — Xrj — Ÿè '

Also ist das vollständige Differential da des Integrals a bekannt, so daß sich w mittels Quadraturen bestimmen läßt. Mithin gilt der von Lie herrührende

Satz 21: Gestattet die gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung:

X{cc, y)dy — Y(x, y)dx = 0 die nicht triviale infinitesimale Transformation:

so ist:

SO> y)d/x + y(x,y)^,

dx dy X Y

₇ Xdy — Ydx da _ -X—Yi -

trtv

das vollständige Differential eines Integrals, d. h. es ist dann:

XV - Yè

ein Multiplikator der Differentialgleichung. Vorausgesetzt ist dabei ein Bereich, in dem X, Y, fj, rj und ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig sind.

738]

739. Beispiele. Eine infinitesimale Transformation:

(1)

bei der die Differentialgleichung:

(2)

X(x, y)dy — Y(x, y)dx = 0

invariant bleibt, nennt man häufig einfacher eine infinitesimale Transformation der Differentialgleichung. Manche Aufgaben, die auf die Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung hinauskommen, sind so beschaffen, daß man von vornherein eine nicht triviale infinitesimale Transformation der Differentialgleichung anzugeben vermag und zwar schon, bevor man die Differentialgleichung selbst überhaupt aufgestellt hat, so daß man dann von vornherein weiß, daß die Lösung des Problems mittels Quadraturen möglich ist. Die folgenden Beispiele sowie Beispiele in den späteren Nummern zeigen dies.

1. Beispiel: Gesucht werden diejenigen Kurven in der Ebene, deren Bogenlänge s als Funktion der rechtwinldigen Koordinaten x und y in der Form:

(3)

s = <p(%) -f y + konst.

gegeben ist. Jede solche Kurve geht vermöge einer Transformation, bei der sich <p(x) -f y nur um eine additive Konstante ändert, in eine ebensolche Kurve über. Solche Transformationen sind offenbar die Schiebungen parallel der y-Achse:

(4)

x = y = y₀ + t,

wo t eine beliebige Konstante bedeutet. Denn infolge dieser Transformation ist:

(p{x) + y = <p(x₀) -j- y₀ -f- t.

Die infinitesimale Transformation der eingliedrigen Gruppe von Schiebungen (4) parallel der y-Achse hat nach dem 4. Beispiele in Nr. 735 das Symbol:

p-s

Hier wird insbesondere £ = 0, rj = 1. Wenn die Gleichung (2) die Differentialgleichung des vorliegenden Problems ist, muß daher nach dem letzten Satze 1 : X ein Multiplikator der Differential-

[739

gleichung sein. Nun ergibt sich die Differentialgleichung aus (3) nach (1) in Nr. 193 durch Differentiation in der Form:

V1 + y'² =    + y

oder, wenn die Gleichung nach y aufgelöst und dann y durch dy : dx ersetzt wird:

2cp'(x)dy — [1 — <jp'(V)²] dx = 0.

Hier ist X = 2q>'(x), und die Division mit X gibt in der Tat das vollständige Differential:

dy —¹

-cp'(xy

des Integrals:

2 <p' {x)

dx

dx — konst.

2. Beispiel: Ist die Differentialgleichung (2) homogen, vgl. Nr. 715, 725, so dürfen wir annehmen, daß X und Y homogene Funktionen von gleichem Grade m seien. Die Richtung des einem Punkte(oc, y) zugeordneten Linienelements, die sich aus:

Y(x, y)

Xfc~y)

ergibt, hängt daher von y.x allein ab. Allen Punkten (x, y) ein und desselben Strahls vom Anfangspunkte 0 aus sind demnach

parallele Linienelemente zugeordnet. Also sind die Linienelemente etwa so gelagert, wie es Fig. 29 andeutet. Wird irgend eine Kurve ins Auge gefaßt, so weiß man, daß eine Streckung vom Anfangspunkte 0 aus (vgl. das 2. Beispiel in Nr. 733) die Kurve in eine ähnliche Kurve verwandelt und zwar so, daß die neue Kurve irgend einen Strahl von 0 aus unter demselben Winkel schneidet wie die alte Kurve. Hieraus schließt man, daß jede Integralkurve k der homogenen Differentialgleichung bei allen Streckungen von 0 aus stets wieder in Integralkurven k', k",... übergeht. Die Differentialgleichung gestattet demnach die infinitesimale Streckung von 0 aus, deren Symbol nach dem 2. Beispiele in Nr. 735 ist:

739]

Fig. 29.

2 cp\x)

tgr ==

cf . df

Xrx + yry-

Nach Satz 21 muß deshalb der reziproke Wert von Xy — Yx ein Multiplikator sein. Dasselbe ergab sich in Nr. 725, wo X und Y mit V und — U bezeichnet wurden.

3. Beispiel: Es liege eine Differentialgleichung vor von der Form:

(5)

oder:

xy — y ₌

x + yy'

<p + y²)

(6)

(,x — ycp)dy — (y + xcp)dx = 0

wo (p eine Funktion von x² -j- y² allein sein soll. Ist x bzw. o der Winkel, den ein Linienelement (x, y, y') der Differentialgleichung bzw. der Radiusvektor des Punktes (x, y) dieses Elements mit der positiven re-Achse bildet, so folgt aus (5):

— (p, d. h. tg(-r — gj) = cp.

tgT— tg œ

1 —f— tg -r tg a

Da (p nur von x² -f- y² abhängt, sind allen Punkten eines Kreises mit dem Mittelpunkte 0 solche Linienelemente zugeordnet, die mit dem Kreise denselben Winkel bilden. Die Lagerung der Linienelemente ist also etwa so, wie es Fig. 30 andeutet. Irgend eine Drehung um 0 ändert dies Bild nicht.

tfK

h.

Deshalb gestattet die Differentialgleichung (6) die eingliedrige Gruppe aller Drehungen um 0, deren infinitesimale Transformation nach dem 1. Beispiele in Nr. 735 das Symbol hat:

df

cf x-y- •

~yTx +

Nach Satz 21 ist folglich der reziproke Wert von x²y² ein Multiplikator. In der Tat geht die linke Seite von (6) durch Division mit x² -f- y² in das vollständige Differential über:

dy

Fig. 80.

xdy—ydx

y(x*-+y*)

xî-\- y²

{xdx -f ydy),

192 Kap. III. Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung, so daß eine Quadratur das Integral:

= konst.

arc *8 f -    d^‘ + S'*)

liefert. Dabei ist x² -f- y² die Veränderliche des Integranden.

il

OL

740. Anwendung auf das Problem der isogonalen Trajektorien. Diejenigen Kurven k, die alle Kurven y einer einfach unendlichen Schar in der Ebene unter einem konstanten Winkel a schneiden, heißen die zum Winkel a gehörigen isogonalen Trajektorien der Schar y, siehe Fig. 31. Wenn die Schar y aus den Integralkurven der Differentialgleichung:

Fig. 31.

(1) X(x, y) dy —- Y{x, y)dx = 0 besteht, kann man daraus die Differentialgleichung jener Trajektorien in sehr einfacherWeise gewinnen. Denn die Linienelemente der Trajektorien gehen aus denen der Kurven y hervor, wenn man diese um ihre Punkte herumdreht und zwar um den Winkel cc. Nach (1) ist aber Xsinr —• Xcost = 0 die Bedingung für den Winkel r eines Linienelementes einer Kurve y mit der positiven #-Achse, so daß hierin x durch x — a zu ersetzen ist, damit sich die Bedingung für den Winkel x eines Linienelements einer isogonalen Trajektorie ergebe:

Xsin (r — a) — Xcos (x — a) = 0.

Werden hierin sinr und cost durch die zu ihnen proportionalen Differentiale dy und dx ersetzt, so geht die Differentialgleichung der isogonalen Trajektorien hervor:

(2) (Xcosa — Ysma)dy — (Xsin a -f- Y cos a) dx = 0. Insbesondere ergibt sich im Falle a = oder, was übrigens auf dasselbe hinauskommt, im Falle a = — die Differentialgleichung der orthogonalen Trajektorien:

(3)

Ydy -f Xdx = 0.

Man kann eine ausgedehnte Klasse von Differentialgleichungen von der Form (2) angeben, die sich mittels Quadraturen integrieren lassen. Die gegebene Kurvenschar y gestatte

739, 740]

nämlich eine eingliedrige Gruppe von lauter honformen oder winkeltreuen Transformationen, d. h. von Transformationen, bei denen zwei Kurven, die einander schneiden, stets in solche zwei Kurven übergehen, die denselben Winkel mit einander bilden wie die ursprünglichen. Dann werden die Transformationen dieser Gruppe auch jede Kurve, die alle Kurven y unter dem Winkel a schneidet, in ebensolche Kurven verwandeln, so daß die Differentialgleichung (2) die eingliedrige Gruppe gestattet und sich nach Satz 21, Nr. 738, mittels Quadraturen integrieren läßt. Eingliedrige Gruppen von der erwähnten Art sind z. B. die Gruppe aller Schiebungen nach einer bestimmten Richtung hin, die Gruppe aller Drehungen um einen Punkt 0 und die Gruppe aller Streckungen von einem Punkte 0 aus. Ein hierhergehöriges Beispiel wurde schon in Nr. 714 besprochen, nämlich die Bestimmung der isogonalen Tra-jektorien aller Strahlen von 0 aus, d. h. der logarithmischen Spiralen mit dem Pole 0. In diesem Falle ist die Gruppe aller Streckungen von 0 aus in der soeben auseinandergesetzten Weise anzuwenden.

Zunächst geben wir drei Beispiele, in denen die drei genannten speziellen Gruppen auftreten.

1. Beispiel: Die gegebene Kurvenschar y bestehe aus allen , denjenigen Kreisen vom Badius a, deren Mittelpunkte auf der x-Achse liegen. Jeder solche Kreis geht durch eine Schiebung parallel der x- Achse in einen Kreis von derselben Art über, so daß also die Schar y die infinitesimale Schiebung:

« r-H

parallel der x-Achse zuläßt (vgl. das 4. Beispiel in Nr. 735). Hier ist | = 1, rj = 0. Nach Satz 21, Nr. 738, muß daher die Differentialgleichung (2) der isogonalen Trajektorien der Kreisschar den reziproken Wert von — (X sina + Y cos a) zum Multiplikator haben. Hierbei ist übrigens das Vorzeichen unwesentlich, weil ein Multiplikator mit einer beliebigen Konstante multipliziert werden darf. Um nun die Differentialgleichung (2) im vorliegenden Falle zu bilden, stellt man zuerst die Gleichung:

(x — Cy + y* = a²

13

[740

S erre t-S cheffers, Diff.- u. Integral-Rechnung. III. 3. Aufl.

der Kreisschar auf, differenziert sie und eliminiert aus beiden Gleichungen G, wodurch man die Differentialgleichung (1) in der Form gewinnt:

ydy -f ]/a² — y² dx = 0.

Folglich ist X = y, Y — — ]/as— y² zu setzen, so daß sich als Differentialgleichung (2) der isogonalen Trajektorien ergibt:

(;y cos a + Y a² — y² sin a) dy — {y sin a — Ya² — y² cos a) dx = 0.

Der Wert von X sin a -f Y cos a ist hier y sin a — Y a² — y² cos a. Der reziproke Wert stellt einen Multiplikator yor. Die Gleichung der gesuchten isogonalen Trajektorie ergibt sich mithin in der Form:

dy — x = konst.

*y cos a    — y “sin a

y sin <x —j/as— y*cos a Die noch erforderliche Quadratur ist mittels der Substitutionen y = a sin# und t = tgĄ-z (siehe Nr. 452) leicht zu leisten. Insbesondere geht für a = n die Gleichung der orthogonalen Trajektorien hervor, die übrigens, wie man sofort aus der konstanten Tangentenlänge a sieht, die im 2. Beispiele von Nr. 713 berechneten Tralärizen mit der x-Achse als Leitlinie sind.

(4)

2. Beispiel: Die gegebene Kurvenschar y bestehe aus den konzentrischen, ähnlichen und ähnlich gelegenen Kegelschnitten: Ax² -f By² = konst.,

wo A und B gegebene Konstanten sind. Jede Streckung vom Anfangspunkte 0 aus führt jeden Kegelschnitt der Schar in einen Kegelschnitt derselben Schar über. Die Differentialgleichung (2) der isogonalen Trajektorien läßt folglich in diesem Falle die infinitesimale Streckung:

df

df ,

XTx + yJy

zu (vgl. das 2. Beispiel in Nr. 735) und hat daher nach Satz 21, Nr. 738, als Multiplikator den reziproken Wert von:

(X cos a — Y sin a)y — (X sin a -f- Y cos a)x.

Durch Differentiation von (4) ergibt sich sofort die Differentialgleichung der Kegelschnittschar:

Axdx -f Bydy = 0,

also X = By, Y = — Ax, so daß die Differentialgleichung (2) der isogonalen Trajektorien lautet:

(By cos a -f Ax sin a)dy — (By sin cc — Ax cos a)dx = 0. Sie hat demnach den Multiplikator:

(A — B)xy sin a (Ax* -f- By*) cos cc

Übrigens liegt hier eine homogene Differentialgleichung vor (nach Nr. 715). Insbesondere gibt die Annahme a = die orthogonalen Trajektorien der Kegelschnittschar (4) in der Form:

AB    —

ß-jZTj, ln U — jfZTj. X = k°nsk °der y ⁼⁼ honst. xA.

3. Beispiel: Die gegebene Kurvenschar y bestehe aus allen Kreisen vom Badius a, deren Mittelpunkte auf einem Kreise K liegen. Diese Kreisschar gestattet die Gruppe aller Drehungen um den Mittelpunkt 0 des Kreises K, so daß also die Differentialgleichung der isogonalen Trajektorien die infinitesimale Drehung :

df . df

-yWx + Xdy

zuläßt (vgl. das 1. Beispiel in Nr. 735), falls 0 als Anfangspunkt gewählt wird. Die weitere Berechnung sei dem Leser überlassen.

Nicht immer weiß man von vornherein die anzuwendende infinitesimale konforme Transformation:

£ (x> y) ß x ri (%, y ) ^

anzugeben, vielmehr muß man sie unter Umständen erst suchen. Dabei ist zu beachten, daß die Winkeltreue der infinitesimalen Transformation darin zum Ausdrucke kommt, daß der Übergang von den Punkten (x, y) zu den Punkten (x -f £d£, y + g dt) eine konforme Abbildung bedeutet, also x-\-£,dt-\-i(y -\-gdf) oder § -f irj eine monogene Funktion f(x + iy) von x -±- iy ist (siehe Nr. 626). Dies ist dann und g die Cauehy-Riemannschen Gleichungen von Nr. 623 erfüllen:

L = Vy> ^ = — hx-

Dann kann das System, das die Gruppe erzeugt, nämlich:

[740

(5)

(6)

nur

df

dann der Fall, wenn | und

d cc    j* /    \ d xj /    \

dtv&y)

in einer Gleichung:

zusammengefaßt werden. Bedeutet F(x + iy) eine monogene Funktion, deren Ableitung gleich 1 : f(x + iy) ist, so gibt die letzte Gleichung F(x + iy) = t + konst., also, da x -f- iy für t=0 den Wert x₀ -f- iy₀ haben soll:

F(x + iy) = F(x₀ + iy₀) + t.

Hiernach ist x -j- iy eine monogene Funktion von x₀ -f- iy₀ . Wenn also die Bedingungen (6) erfüllt sind, besteht auch die von der infinitesimalen Transformation (5) erzeugte eingliedrige Gruppe aus lauter winkeltreuen oder konformen Transformationen.

4. Beispiel: Die gegebene Kurvenschar y bestehe aus allen konzentrischen gleichseitigen Hyperbeln mit einem gemeinsamen Durchmesser PF. Wird der Mittelpunkt 0 der Hyperbeln als Anfangspunkt, die Gerade OP als #-Achse gewählt und die Strecke OP mit a bezeichnet, so ist:

Æ² — y² — a² -f- 2 Cxy == 0 die Gleichung der Hyperbelschar. Vollständige Differentiation nach x und Elimination yon C gibt ihre Differentialgleichung:

K¹ ~ x' + y*)dy ~ y(¹ + x^p)dx = °-

Dies ist hier die Gleichung (1). Die Differentialgleichung der isogonalen Trajektorien lautet nach (2):

x cos a — y sin a —

(?)

(8)

a²

(9)

x* + y²

— jjr sin a + y cos a

(,x cos a + y sin a)~^dy (.x sin a — y cos a) J dx = 0.

xs + y²

Diese Differentialgleichung könnte man integrieren, wenn eine solche infinitesimale konforme Transformation bekannt wäre, bei der die Schar der Hyperbeln invariant bleibt. Am einfachsten ist es, zu verlangen, daß jede einzelne Hyperbel invariant bleibe, d. h. daß die gesuchte infinitesimale Transformation für die Differentialgleichung (8) trivial sei. Dann haben I und rj nach (6) in Nr. 738 die Form:

740]

æs + i/²

I = p:r(l

Nun sollen aber % und rj die Bedingungen (6) erfüllen, die einfach qx = Qy = 0, also q = konst, geben. Wählt man z. B. q = 1, so folgt also, daß die Differentialgleichung (9) die infinitesimale konforme Transformation:

x(l

x*-\-y²

■)£ + »(! +

a²

df

x²-\-y²) cy

x* + y*

gestattet. Nach Satz 21 von Nr. 738 ist deshalb ein Multiplikator bekannt, nämlich:

sin a \{x² —|— y²)² — 2 a²{x² — y²) -j- a⁴J

Wird zur Abkürzung:

(10)

il> = (x² -f y²)² — 2 a²(x² — y²) -f al

gesetzt, so ist mithin auch 4 (x²-\-y²) :    ein Multiplikator.

Die Gleichung (9) nimmt nach Multiplikation mit ihm die Form an:

(H)

i\>ydx — y>xdy

cos a +

ipxdx-j-ipydy

sin a = 0.

Der mit sin a multiplizierte Bruch ist das vollständige Differential von ln iff. Im Falle a — ergibt sich somit, daß il> = konst, die Schar der orthogonalen Trajektorien vorstellt. Da wir wissen, daß sich im Falle a — 0 die Schar der Hyperbeln selbst ergeben muß, die nach (7) in der Form: x² — y² — a²

(12)

cp =

xy

= konst.

darstellbar ist, muß der in (11) mit cos a multiplizierte Bruch das vollständige Differential einer Funktion von cp allein sein. In der Tat ist nach (12) und (10):

und = x²y²(cp² -f 4),

dcp

Tpydx — tyxdy &x²y²

so daß jener Ausdruck die Form dcp : (%<p²    1) hat, also das

vollständige Differential von 2 arc tg ^cp ist. Mithin stellt:

2 arc tg ^ cp • cos a -f- ln ÿ • sin a = konst.

die Schar der isogonalen Trajektorien der Hyperbeln (7) dar. Werden Polarkoordinaten co und ç eingeführt, so geht die Gleichung = konst. der orthogonalen Trajektorien über in:

198 Kap. III. Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung. p⁴ — 2 a² Q² cos 2 co = konst.

Dies sind nach (1) in Nr. 554 Cassinische Kurven, wobei die damals mit Ft und F₂ bezeicbneten Punkte die beiden gemeinsamen Punkte der Hyperbeln (7) sind, nämlich der Punkt P und sein Gregenpunkt P'.

741. Bedingung dafür, daß die Differentialgleichung eine infinitesimale Transformation gestattet. Ist ein

Integral co(pc, y) der Differentialgleichung:

(1)

X(x, y)dy — Y(x, y)dx = 0 bekannt, so vermag man auf Grund des Satzes 20 von Nr. 737 zu entscheiden, ob die Differentialgleichung eine gegebene infinitesimale Transformation:

(2)

£(x> y)\-x + y)ly

zuläßt. Es entsteht aber die Frage, wie man dies entscheidet, wenn das Integral a> noch nicht bekannt ist. Zur Beantwortung schlagen wir den Weg ein, den der Satz 21 von Nr. 738 unmittelbar bietet.

Danach ist zu fordern, daß:

(3)

dco —

Xdy — Ydx ~Xn - Y£

ein vollständiges Differential, also:

d X    d

dx Xri — Fl ⁺ d y Xri - r|

sei. Dies gibt ausgerechnet:

(4) Y(ixi+nxt- Xi,- r§„) - x(i Y, + nrt-Xij, Y%)

-0.

Erfüllen £ und y diese Bedingung, so ist (3) ein vollständiges Differential, daher: — Y

ß,=

mithin :

Xr\ — Yt, ’    ~ Xri—Yl>

so daß die Schar der Integralkurven a(x, y) = konst, in der Tat nach Satz 20, Nr. 737, die infinitesimale Transformation (2) gestattet. Folglich haben wir den

740, 741]

Satz 22: Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Differentialgleichung:

X(x, y)dy — Y(x, y)dx = 0 die infinitesimale Transformation:

ź(x, y)j~x + V& y)^y

gestattet, lautet:

Y(t Xx + VX- Xi*x - ny - X(| Yx + v F - X rjx - YVy) = 0.

Sie gilt auch für die trivialen infinitesimalen Transformationen (vgl. (6) in Nr. 738), da sie durch die Annahmen | = pX, t] = qY erfüllt wird, welche Funktion yon x und y auch q

sein mag.

1. Beispiel: Die lineare Differentialgleichung :

(5)

y = fo(x)y + fi(x),

siehe Nr. 716, lautet, als totale Gleichung geschrieben:

(6)

dy — (f₀y + fi)dx = 0.

Hier ist X = 1, Y = f₀y -f- ft. Weil f₀ und f[ nur yon x ab-hängen, gibt die Bedingung des Satzes:

(f₀y + A) [£*+ (f₀y + /i)y +

Wo y + fi) + vfo ~Vx~ (foV + fi)vy = o.

Wünscht man die Gleichung (5) zu integrieren, so braucht man nicht alle ihre infinitesimalen Transformationen zu kennen, sondern es genügt eine und zwar eine nicht triviale. Demnach wird man versuchen, besonders einfache Funktionen £(#, y) und rj(x, y) zu finden, die der aufgestellten Bedingung genügen. Z. B. bleibt bei der Annahme £ = 0 für r\ die Bedingung übrig:

Vfo - Vx - {foV + Qvy = 0,

und da f₀ und /j nur von x abhängen, kann man sie durch eine nur von x abhängige Funktion rj befriedigen, denn für eine solche Funktion bleibt übrig:

CO

V = fo{x)rh

Daher gestattet die lineare Differentialgleichung (ö) die infinitesimale Transformation mit dem Symbol:

falls r] eine Funktion von x ist, die der Differentialgleichung (7) genügt, d. h. der zur vorgelegten linearen Differentialgleichung (5) gehörigen verkürzten Gleichung (siehe (2) in Nr. 716). Aus (7) folgt sofort, daß:

ff₀(pc)dx

7] — ea

gesetzt werden kann, wobei die untere Grenze a des Integrals bestimmt gewählt werden darf. Nach Satz 21, Nr. 738, ist daher:

— ff₀{x)dx

xn - n

ein Multiplikator von (5). Dasselbe ergab sich in Nr. 726.

Schließlich werde noch die Bedingung des Satzes 22 auf diejenige Form gebracht, die in der von Lie entwickelten Theorie der Transformationsgruppen gebräuchlich ist. Dazu bedürfen wir des sogenannten Klammerausdrucks. Unter dem Klammerausdruck:

(8)

df

versteht man folgendes: Zuerst soll der Ausdruck:

I K+'iL

für den Fall berechnet werden, wo f darin durch den Wert:

00

(10)

df

dy

ersetzt wird; dann soll der Ausdruck (10) für den Fall berechnet werden, wo f darin durch den Wert (9) ersetzt wird, schließlich soll das zweite Ergebnis vom ersten abgezogen werden. Der Klammerausdruck (8) soll also bedeuten:

Werden alle Differentiationen ausgeführt, so heben sich alle diejenigen Glieder fort, in denen partielle Ableitungen ziueiter Ordnung von f auftreten; mithin bleibt als Definition des Klammerausdrucks zweier Symbole übrig:

741]

(łd-Ł + JJ-

df

(11)

Vdx ^ ]dy’

(É Xx + VXtJ - Xèx - ry fx + (i Yx + V Yy - XVx - Yrjy) fy •

Der Klammevausdruck zweier Symbole ist demnach wieder ein Symbol einer infinitesimalen Transformation.

Nun ist insbesondere:

df

xń + r

eine triviale infinitesimale Transformation der Differentialgleichung (1), nach (6) in Nr. 738. Wenn die Differentialgleichung die infinitesimale Transformation:

tdf i

zuläßt, so besagt die dafür in Satz 22 aufgestellte Bedingung, daß die Koeffizienten von df:cx und cf'.cy in dem in (11) gefundenen Symbol zu X und Y proportional, also von der Form qX und g Y sein müssen, d. h. daß das durch die Klammerbildung hervorgehende Symbol die Form:

?{XT*+r%)

haben muß. Dies aber ist die allgemeine Form einer trivialen infinitesimalen Transformation der Differentialgleichung (1). Hiernach läßt sich der Satz 22 so aussprechen:

Satz 23: Die Differentialgleichung :

X(x, y)dy — Y(x, y)dx = 0 gestattet die infinitesimale Transformation:

y)°fi +yljy

dann und nur dann, wenn der Klammerausdruck aus dieser und aus der trivialen infinitesimalen Transformation:

x&, y)fx + Y(x’ y) %

der Differentialgleichung wieder eine triviale infinitesimale Transformation der Differentialgleichung gibt, d. h. ivenn eine Gleichung besteht von der Form:

2. Beispiel: Ist die Differentialgleichung homogen, d. h. sind X und Y homogene Funktionen gleichen Grades m von x und y, so gestattet die Gleichung nach dem 2. Beispiele in Nr. 739 die infinitesimale Streckung:

df . df

xTx ⁺ yry-

Der Klammerausdruck liefert hier:

xdf

(    i df

\x +y-dy’

{xXx+yXv-X)fx + (xYz + yYy-Y)*fy-

Weil aber nach Satz 9, Nr. 91:

xXx + yXy = mX, xYx + yYy=mY ist, erhält der Klammerausdruck den Wert:

(* — l)(x| + Y ■ )•

Hier ist also p die Konstante m — 1.

742. Neue Veränderliche in einer eingliedrigen Gruppe. Es seien cp und ^ zwei voneinander unabhängige stetige Funktionen von x und y mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung, so daß die Gleichungen:

(1)

x = cp(x,y), y = i>{xr, y)

auch umgekehrt x und y als Funktionen von x und ÿ definieren, vgl. Satz 18, Nr. 698. Alsdann sei die Aufgabe gestellt, in diejenige eingliedrige Gruppe, die von der infinitesimalen Transformation :

(2)

£(*> 30f^ + vfa y)jy

erzeugt wird, die neuen Yeränderlichen x und ÿ einzuführen.

Da man x und ÿ als neue, krummlinige Koordinaten der Punkte der Ebene mit den rechtwinkligen Koordinaten x und y auffassen kann, bewirkt die Einführung der neuen Veränderlichen nicht etwa eine Umwandlung der Gruppe in eine andere, sondern nur eine andere analytische Darstellung der Gruppe. Die Transformationen der Gruppe sind als diejenigen Lösungensysteme des Systems:

(3)

dx

Jt

= £0,y\ jt=y(x,y)

definiert, die für t = 0 die Anfangswerte x₀ und y₀ haben. Setzt man entsprechend (1) noch:

xo ⁼⁼    2/0)7 Vo ~    2/0)7

so gehen diese Lösungensysteme durch Einführung von x, ÿ,

x₀ und y₀ in diejenigen Lösungensysteme eines neuen Systems

in x, ÿ und t über, die für / = 0 die Anfangs werte x₀ und y₀

haben. Das neue System von Differentialgleichungen aber wird

so gewonnen: Nach (1) und (3) ist:

dx c. ,    dy c. ,

ÿj = 5<PX+ Wyt    = %ipx + rjipy.

Auf den rechten Seiten sind noch für x und y die zu den Funktionen (1) inversen Funktionen von x und ÿ einzuführen. Wenn sich dadurch die Funktionen:

(4)

lOü ÿ) = %<Px+ y<pv, y) = y\Ąy

ergeben, lautet das gesuchte neue System so:

dx

(5)

dt

= i(x,ÿ),

In der neuen Gestalt hat die Gruppe demnach die infinitesimale Transformation :

(6)

i(*> ¥)% + ’)(*, V)%y

Hierin bedeutet f eine beliebige differenzierbare Funktion von x und ÿ.

Zu derselben neuen Form (6) der infinitesimalen Transformation kommt man aber auch, wenn man direkt in dem

Symbol (2) die neuen Veränderlichen einführt, wodurch f in eine Funktion f von x und ÿ übergeht. Denn dann ist nach (1):

df ₌ d?    dl df_    df_ .df_

dx dx f^x d y ’ d y    dx^y'dÿ    ’

und diese Werte sind in (2) einzusetzen, so daß in der Tat wegen der Bedeutung (4) von 1 und rj gerade das Symbol (6) hervorgeht.

Übrigens wird die neue Gestalt des Symbols übersichtlicher, wenn man eine abkürzende Bezeichnung einführt. Man bemerkt nämlich, daß f und ÿ nach (4) gerade diejenigen Werte sind, die das Symbol (2) annimmt, wenn darin f durch cp bzw. ersetzt wird. Wenn also das Symbol (2) zur Ab-

[742

^■n+vÿ-%-

kürzung mit Uf bezeichnet wird, so sind | und ÿ die Ausdrücke Ucp und Uip, worin natürlich x, y mittels' (1) noch durch x, ÿ auszudrücken sind. Die neue Form (6) des Symbols ist also, da cp und ip mit x und ÿ bezeichnet worden sind, einfach diese:

Fassen wir alles zusammen, so können wir sagen:

Satz 24: Führt man in diejenige eingliedrige Gruppe, die von der infinitesimalen Transformation:

Uf-t{x,y)dJ- + rl(x,y)d/y

erzeugt wird, neue Veränderliche vermöge einer Substitution: x = cpix, y), ÿ = il>(x,y)

ein, so wird die Gruppe in einer neuen Art dargestellt, nämlich von derjenigen infinitesimalen Transformation erzeugt, deren Symbol aus dem Symbol Uf durch direkte Einführung der neuen Veränderlichen hervor geht und also die Form hat:

df

df

ux-é+ vÿ-w

Vorausgesetzt ist dabei ein Bereich, in dem £, rj, <p, ip und ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig sind und die Funktionaldeterminante cpxipy— iPxfpy nicht verschwindet.

Da f ebenso wie f irgendeine Funktion darstellt und f = f ist, werden wir künftig f mit f bezeichnen.

Beispiel: In die eingliedrige Gruppe aller Drehungen um den Anfangspunkt 0 sollen Bolarkoordinaten co, p eingeführt werden. Die infinitesimale Drehung hat das Symbol:

tu    df , df

ydx + Xdy’

Sv «

siehe das 1. Beispiel in Nr. 735. Hier sind x und ÿ die Größen: co = arc tg , p == ]/x'² -f y².

Nun wird:

U<o = -ylla,1ff:x) + z U₉ _    IL* +    _ 0.

c arc tg (y : x)

dy

= 1,

Folglich hat die infinitesimale Drehung um 0 in Polarkoordinaten co, q das Symbol:

df

da

In der Tat lautet das hierzu gehörige System von Differentialgleichungen, das die Gruppe definiert, so:

dt ~

da

und gibt integriert:

dt

-1,

03 = w₀ + t, Q = Qo .

Dies ist die einfachste analytische Darstellung der Gruppe aller Drehungen um 0.

743. Integration durch Einführung kanonischer Veränderlicher. Wir machen von dem Vorhergehenden eine besondere Anwendung. Die vorgelegte Differentialgleichung:

(1)

X(x, y)dy — Y(x, y)dx = 0 gestatte eine bekannte infinitesimale Transformation:

(2)

y)d/x + rj(x, y) •

Dann läßt sich zwar nach Satz 21, Nr. 738, das vollständige Differential eines Integrals co angeben, aber die zur Berechnung von co noch erforderlichen Quadraturen sind häufig unbequem, weil cox und co;/ beide Veränderliche x und y enthalten. Ein bequemeres Integrationsverfahren ist möglich, wenn man erstens die Schar der Bahnhurven cp(x, y) = konst, der von ZJf erzeugten eingliedrigen Gruppe und zweitens eine andere bei dieser Gruppe invariante einfach unendliche Kurvenschar ik (x, y) = konst, schon kennt (vgl. Nr. 736). Das ist in der Tat oft der Fall, denn wenn man eine infinitesimale Transformation Uf der vorgelegten Differentialgleichung zu ermitteln vermag, wird diese Transformation meistens von sehr einfacher Natur sein.

Das neue Verfahren ergibt sich so: Nach Satz 20, Nr. 737, bestehen zwei Gleichungen:

(3)

%<Px + V<Py = ^x + wobei il eine nicht verschwindende Funktion von allein ist. Daraus folgt, daß auch die Funktionaldeterminante cpxiky— i’x <py nicht verschwindet, also cp und tJj voneinander unabhängig sind.

[742, 743

Wenn sich <p und ip nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung ebenso wie X, Y, £, rj und ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig verhalten, kann mithin das neue Ver-änderlichenpaar:

x = cp(x,y), y*=1>(x,y)

eingeführt werden. Dabei möge die Differentialgleichung (1) die neue Form annehmen:

X(x, ÿ)dÿ — Y(x, ÿ) dx = 0.

Nach (3) ist nun Ucp= Ux = 0 und Ui) = Uÿ = SI (if>) = SI (ÿ). Nach dem Satze der letzten Nummer nimmt somit das Symbol Uf in den neuen Veränderlichen x und ÿ die einfache Form

(4)

Ä(y) %

Weil die Differentialgleichung (4) die infinitesimale Transformation (5) gestattet, liefert die in Satz 22, Nr. 741, aufgestellte Bedingung, in der X, Y, |, g, x, y durch X, V* 0,

ßfä), ÿ

(5)

an.

zu

ersetzen sind, die Gleichung:

r'OX

x(si

-Tß)

oder nach Division mit SIX² in der Form:

d , Ÿ r.

ln —= = 0 oy SiX

schreiben läßt. Hiernach muß Y : SIX eine Funktion <ï> von o5 allein sein, d. h. Y hat die Form Sl{y) <&(x)X. Die Differentialgleichung (4) lautet demnach nach Division mit SIX so:

^o.

Hier aber sind die Veränderlichen getrennt, so daß die Integration nur zwei Quadraturen verlangt, wobei jedes Integral nur noch eine der beiden Veränderlichen enthält (vgl. Nr. 713).

Hiermit sind wir zu einer neuen, ebenfalls von Lie angegebenen Integrationsmethode gelangt:

Satz 25: Gestattet eine vor gelegte gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung in x und y eine bekannte infinitesimale 743]

YSl

dg

YSl') = 0,

die sich in der Form:

si(x

dy

-XYSI'=0

Transformation TJf und kennt man sowohl die Schar cp (x, y) = konst. der Bahnkurven der von TJf erzeugten eingliedrigen Gruppe als auch eine andere hei der Gruppe invariante einfach unendliche Kurvenschar ip(x, y) = konst., so geht die Differentialgleichung hei Einführung der neuen Veränderlichen x = cp (x, y) und ÿ = xp(x, y) in eine solche über, in der die Veränderlichen getrennt sind.

Dies Integrations verfahren heißt die Integration mittels kanonischer Veränderlicher.

744. Beispiele. Die folgenden Beispiele zeigen, daß die kanonischen Veränderlichen als solche bezeichnet werden können, die dem jeweiligen Integrationsprobleme besonders gut angepaßt sind.

Die Anwendung der neuen Methode auf die älteren Beispiele in § 2 führt in der Tat gerade zu den dort gefundenen Integrationsverfahren. Man kann also sagen, daß die neue Methode in die verschiedenen Hilfsmittel, die man bei der Integration angewandt hat, einen einheitlichen Grundgedanken bringt.

1. Beispiel: Die homogene Differentialgleichung:

y,==f(V)’

siehe Nr. 715, gestattet, wie schon in dem 2. Beispiele in Nr. 739 erwähnt wurde, die infinitesimale Streckung vom Anfangspunkte 0 aus:

df

df .

X¥x + yTy'

Die Bahnkurven sind alle Strahlen y : x = konst. Außerdem führen alle Streckungen; von 0 aus jede Gerade x = konst, wieder in eine Gerade x = konst, über. Demnach ist hier cp — y :x und 4> = x zu setzen, d. h. wir führen die neuen Y eränderlichen : ein. Genau dasselbe geschah in Nr. 715, wo wir statt ÿ das alte Zeichen x beibehielten, dagegen x mit z bezeichneten.

2. Beispiel: Die lineare Differentialgleichung:

y = f₀(æ)y + ft(x)

gestattet nach dem 1. Beispiele in Nr. 741 die infinitesimale Transformation:

Uf-fl

wobei :

ffo(x)äx

rj = ea

ist. Diese infinitesimale Transformation und die von ihr er** zeugte eingliedrige Gruppe läßt x invariant, d. h. x = konst, stellt die Bahnkurven vor. Ferner ist:

y_ ₌

-.//o (*) d x

= konst.

ye a

eine invariante Kurvenschar, denn es ist:

= 1.

n oy î]

Also werden die neuen Veränderlichen:

—'ff₀(x)dx

X — X, y = ye a

eingeführt. Dasselbe geschah in Nr. 716, wo statt x das alte Zeichen x beibehalten und rj mit u(cc) und ÿ mit z bezeichnet wurde.

3. Beispiel: Die Differentialgleichung: xy — y x + yy

gestattet nach dem 3. Beispiele in Nr. 739 die infinitesimale Drehung um 0:

= t(>²+ y²)

df , df

-ydïc + XTy'

Die Bahnkurven der Gruppe aller Drehungen um 0 sind die Kreise mit dem Mittelpunkte 0, die sich in der Form:

]/x² + y² = konst.

darstellen lassen. Außerdem geht jede Gerade durch 0 bei der Gruppe wieder in eine Gerade durch 0 über, so daß:

arc tg — = konst.

eine invariante Geradenschar vorstellt. Deshalb führt man hier die Polarkoordinaten q und co ein, wie es im 3. Beispiele von Nr. 739 in der Tat geschah, wenn es auch dort nicht besonders

744]

hervorgehoben wurde. Als spezieller Fall gehört auch das Beispiel in Nr. 714 hierher, ebenso das 3. Beispiel in Nr. 740, das der Leser durch Einführung der kanonischen Veränderlichen p und oj von neuem behandeln möge.

745. Erweiterte Punkt-Transformationen. In Nr. 742

stellten wir uns vor, vermöge einer Substitution:

(1)

x = <p(x,y), y=t(x,y) seien in der xy- Ebene statt der rechtwinkligen Koordinaten x und y neue, krummlinige Koordinaten x und ÿ eingeführt worden, so daß also dadurch an der geometrischen Auffassung nichts geändert, wohl aber die analytische Darstellung eine andere wird.

Man kann aber auch annehmen, daß die Gleichungen (1) eine Abbildung der Punkte einer xy-Ebene in einer neuen #J/-Ebene vorstellen, wobei x und ÿ in der zweiten Ebene rechtwinklige Koordinaten bedeuten. Vgl. Nr. 593. Alsdann zieht die Einführung der neuen Veränderlichen in eine eingliedrige Gruppe auch eine neue geometrische Auffassung dieser Gruppe nach sich. Wenn z. B. in die eingliedrige Gruppe aller Drehungen um 0:

x = x₀ cos t — y₀ sin t, y = x₀ sin t + y₀ cos t, siehe (2) in Nr. 733, Polarkoordinaten œ und p eingeführt werden, also:

Po - yV +

p = ]/x² + ij

co = arc tg ^ , oj₀ = arc tg ^ gesetzt wird, so ist:

03 = COq-\- t, p — p₀

nur eine andere analytische Darstellung derselben Gruppe von Drehungen. Werden dagegen œ und p als rechtwinklige Koordinaten x und ÿ in einer neuen Ebene betrachtet, so gehen die Gleichungen :

x = xö + t, y = 2/₀

hervor, die die eingliedrige Gruppe aller Schiebungen parallel der x- Achse vorstellen.

In der neuen Auffassung bedeutet also die Einführung der neuen Veränderlichen x und y, daß auch die Transformationen in der xy-Ebene Abbilder in der xÿ-Ebene haben und daß

S er re t-S ch eff e r s, Diff.- u. Integral-Rechnung. III. 3. Aufl.

14 [744,745

insbesondere die Abbilder aller Transformationen einer eingliedrigen Gruppe wiederum die Gesamtheit aller Transformationen einer eingliedrigen Gruppe ausmachen.

Da die Punkte (x, y) als Punkte (x, ÿ) abgebildet werden, bat aueb irgend eine Kurve der xy-Ebene ein Abbild in der ä??/-Ebene, folglich auch jedes Linienelement (x, y, y) der xy-Ebene. Der analytische Ausdruck hierfür ergibt sich, wenn man noch berechnet, wie sich ÿ', nämlich dy : dx, vermöge (1) durch x, y und y oder dy:dx ausdrückt. Es kommt (vgl. auch Nr. 714):

+ % y

~ Wx 4- vy y ⁷

so daß sich zusammen mit (1) die drei Gleichungen ergeben:

%+% y _

Wx + Vy y

Dies wurde auch schon in Nr. 595 erörtert, vgl. die dort gefundene Formel (3) mit der obenstehenden Gleichung (2).

Die Formeln (3) gelten übrigens auch, falls man die alte Auffassung beibehält, bei der x und ÿ nur neue krummlinige Koordinaten der alten Punkte (æ, y) in der Ebene vorstellen. Alsdann sind x, ÿ und y’ die Bestimmungsstüche der Linienelemente (x, y, y') im neuen krummlinigen Koordinatensysteme. So dienen im Systeme der Polarkoordinaten a und q die drei Größen a, g und dg: da oder q zur Bestimmung eines Linienelements. Während M a und q den Punkt M des Elements festlegen, liefert der Wert von q die Richtung des Elements nach Nr. 207, wie folgt (siehe Fig. 32) : Auf dem Radiusvektor OM wird in 0 das Lot ON = q' errichtet. Alsdann ist die Richtung des Elements senkrecht zu MN. Die Vorzeichenbestimmung für ON ist dabei die seinerzeit angegebene.

Wird dagegen angenommen, daß x und ÿ rechtwinklige Koordinaten in einer neuen Æÿ-Ebene seien, so stellt (3) eine Abbildung aller Punkte und aller Linienelemente der #t/-Ebene in der ^^-Ebene dar.

Wir können aber nunmehr die neue Ebene mit der alten

(2)

(3)

(O

x = <p(n, y), y =    y)> y =

Fig. 32.

Ebene und die neuen Achsen mit den alten Achsen zusammenfallen lassen. Alsdann kommen wir abermals zu einer anderen Auf

fassung :

Die Gleichungen (1) stellen dann eine Transformation der Tunkte (x, y) der Ebene in Punkte (x, y) derselben Ebene dar. Dabei wird jede Kurve in eine Kurve transformiert, also auch jedes Linienelement (x, y, y') in ein Linienelement (x, ÿ, y'), und wie dies geschieht, sagen die Gleichungen (3) aus. Man nennt daher die durch die Gleichungen (3) definierte Transformation die erweiterte Punkt-Transformation (1).

746. Erweiterte infinitesimale Punkt - Transformationen. Insbesondere möge nunmehr eine jede Transformation :

(1)

z = <p(to, yQ, t), y = Vo, 0

einer eingliedrigen Gruppe, nämlich der von der infinitesimalen Transformation

(2)

+ '*(*>

erzeugten eingliedrigen Gruppe, erweitert werden.

Die zu einem bestimmten Werte von t gehörige Transformation (1) oder %t führt jeden Punkt (x₀, y₀) in einen neuen Punkt ([x, y) und infolgedessen jedes Linienelement (xw y₀, yf) in ein neues Linienelement (x, y, y) über. Dabei bedeuten xw y₀ und x, y Koordinaten in ein und demselben Systeme.

Beschreibt der Punkt (x₀, y₀) eine beliebige Kurve k₀, so sind x₀ und y₀ als irgendwelche differenzierbare Punktionen einer Hilfsveränderlichen r zu betrachten. Nach (1) sind alsdann auch x und y für jeden bestimmten Wert von t Funktionen von t, und sie gelten für diejenige Kurve kt, in die k0 vermöge der Transformation %t verwandelt wird. Das dritte Bestimmungsstück yf eines Linienelements (x₀, y₀, y₀') der Kurve k₀ hat die Bedeutung:

(3)

, dyn : dr ⁼ d£^dr

und entsprechend das dritte Bestimmungsstück y des Elements (x, y, yf) der Kurve kt die Bedeutung:

,_dy:8r

(4)

8x • 8 r

Hier sind partielle Differentiationszeichen angewandt, weil x und y nach (1) nicht nur von r, sondern auch von t abhängen.

Nun genügen die Funktionen (1) den Gleichungen:

(5)

ox

Yt ⁼    y),    = y(*,y),

wobei ebenfalls statt der geraden Differentiationszeichen jetzt runde zu setzen sind. Wir fragen, welchen Wert die partielle Ableitung 8y : it der durch (4) definierten Größe y hat. Nach (4) ist:

₌ 8_ y r ₌

8t 8t xt

Hierin sind die aus (5) folgenden Werte:

xtr =    èyyr, ytt = Vt +

einzusetzen. Dann kommt:

XT

8£ _    — (èxxr + è₉yr)yt

æl

Wird die Division mit x\ überall durchgeführt und beachtet, daß yt : xt nach (4) gleich y ist, so kommt:

M'².

(6)

Wenn wir also die Transformationen %t oder (1) der Gruppe

durch Hinzunahme derjenigen Transformationen erweitern, die dabei y₀' erfährt, d. h. wenn wir nach (3) in voriger Nummer die erweiterte eingliedrige Gruppe:

(7) x = <p(x₀, y₀, t)

, _ _ %₀ + %₀ y»'

<PXo + %Jo Vo

bilden und x₀, y₀ als Funktionen einer Hilfsveränderlichen r, demnach auch y₀' als Funktion von x betrachten, so genügen x, y und y, aufgefaßt als Funktionen von t und r, den drei Gleichungen (5) und (6). Die Gleichungen (5) und (6) sind aber von r frei. Sie gelten also für alle Linienelemente Dies bedeutet:

Ob y, y\

Satz 26: Liegt eine eingliedrige Gruppe von Punkttrans

formationen :

æ = <p 0₀, y₀, t), y = ip(xQ, tj₀, t) in der xy-Ebene vor, erzeugt von dem Systeme:

**“*(*>»)> 3t “’»(»>»)*

und erweitert man alle Transformationen der Gruppe durch Hinzunahme der Transformationen, die dabei den Linienelementen (x₀, y₀, yf) zukommen, so daß sich:

x = <p(x₀, y₀, t), y = t(x₀, y₀, t), y

, ₌ ^xa + %oyo <PXo + CPy₀ yf

ergibt, so stellen diese Gleichungen dasjenige allgemeine Lösungensystem des Systems von drei gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung:

% ~n,+in,— L)y - t,y'²

% =    % = n(*,y)

für drei Funktionen x, y, y von t vor, das für t = 0 die Anfangswerte x₀, y₀, yf hat.

Hierbei ist zu bemerken: Wenn | und v\ nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig sind, gelten für das System : die Sätze 9 und 10 von Nr. 691, 692, so daß x und y insbesondere stetige Funktionen von t sind. Werden diese Funktionen in die dritte Gleichung:

dy

dt

= hx+ (Ay- L)y'-£yy'²

substituiert, so wird hier die rechte Seite eine stetige Funktion you t und y mit einer stetigen partiellen Ableitung nach y, so daß auch für diese Differentialgleichung, die y' als Funktion von t bestimmt, jene Sätze bestehen.

Das in Satz 26 betrachtete System von Funktionen x, y, y von t wird für t = 0 gleich x₀, y₀, y₀' selbst. Wird vorübergehend unter dt eine nach Null strebende Größe verstanden, so erfahren x₀, y₀, yf bei der infinitesimalen, nämlich zu dt gehörigen, Transformation der erweiterten Gruppe die Zunahmen: dx = %(x₀ y₀)dt, dy = rj(x₀, y₀)dt,

dy,== bix° + (V - i*°) tto - lj° y^\â

wobei die Indizes 0 die Substitution der Werte xQ und y₀ an-

[746

deuten. Werden die Bestimmungsstücke der ursprünglichen Linienelemente mit x, y, y statt mit x₀, y₀, y₀' bezeichnet, so stellt sich daher die infinitesimale Transformation der erweiterten Gruppe so dar:

Uf= £ — 4- y — U' *dx^Vdy

dx = ldt, dy = y ôt, dy'= [yx + (yÿ — %x)y— t,yy*]àt. Analog dem Symbole:

führt man deshalb für sie das Symbol:

(8)

u'f-    + 1% + h-■+ (i.-üy - %y‘1 Ty-

ein. Dies Symbol U'f der infinitesimalen Transformation der erweiterten Gruppe oder auch der erweiterten infinitesimalen Transformation TJf der Gruppe hat (vgl. Nr. 735) die folgende Bedeutung :

Der mit t dividierte Zuwachs, den irgend eine differenzierbare Funktion f der drei Veränderlichen x, y, y bei der zu einem allgemeinen Werte von t gehörigen Transformation der erweiterten Gruppe erfährt, hat für lim t = 0 den Grenzwert TJ'f. 1. Beispiel: Bei der infinitesimalen Schiebung:

df

cf

aWi + h~

ist % — a, y = b, also

dy

Vx+ L)y'~

Daher erfährt y gar keine Änderung. In der Tat wird jedes Linienelement bei allen Schiebungen in ein paralleles Linienelement übergeführt.

2. Beispiel: Bei der infinitesimalen Streckung ?om Anfangspunkte 0 aus:

df

X -FT-

df

+ yJï

ist I = x, y = y, daher ebenfalls :

Vx+ivy—y/~ o.

In der Tat wird auch hier jedes Linienelement in ein paralleles übergeführt.

3. Beispiel: Anders ist es bei der infinitesimalen Drehung um 0:

746]

df .

y^ + x

df

dy

Hier ist § = — y, rj = x, d. h.

Vx + (vv- Dy'— %y*= ¹ + y'²-

Die dritte Gleichung des Systems von Differentialgleichungen lautet demnach:

dy

dt

-1 + y‘*

oder

dy'

== dt

¹ + y‘

und gibt integriert arc tg y = t + C oder y = tg (t -f C). Da y = y₀' für t = 0 sein soll, so ist tg G = y₀' zu setzen, so daß kommt :

tg t -f- y o’

¹ — 3/o'tgt

Diese Gleichung und die schon im 1. Beispiele von Nr. 733 angegebenen Gleichungen:

x = x₀ cos t — y₀ sin t, y = x₀ sin t -f y₀ cos t

stellen zusammen die zur allgemeinen Drehung um 0 gehörige Transformation der Linienelemente vor. Es handelt sich hier um eine Drehung mit dem Winkel t.

(Siehe Fig. 33.) Wenn das alte Linienelement (æ₀, yQ, y₀') mit der positiven x-Achse den Winkel r₀ und das neue Element (x, y, y) mit ihr den Winkel x bildet, wird y₀'=tgT,₀, y'= tgr, so daß (9) besagt:

(9)

y' =

sin t -f- y₀'cos t cos t — y₀' sin t

]fay)

Fig. 33.

T = r₀ + t,

was mit der geometrischen Auffassung im Einklänge steht.

747. Bedingung für eine infinitesimale Transformation der Differentialgleichung F(x, y, y) = 0. Wenn die Differentialgleichung:

(1) X (x, y)dy — Y{x, y)dx = 0 oder X(x, y) y — Y(x, y) = 0 die infinitesimale Transformation:

gestattet, so bedeutet dies, daß jede Integralkurve bei allen Transformationen der zugehörigen eingliedrigen Gruppe wieder

[746, 747

in eine Integralkurve übergeht, nach Nr. 738. Die Integralkurven aber sind die Orte derjenigen Linienelemente (x, y, y), die durch die Differentialgleichung (1) bestimmt werden. Man kann also auch sagen, daß jedes Linienelement der Differentialgleichung vermöge der erweiterten Transformationen der Gruppe stets wieder in Linienelemente derselben Gleichung übergeht. Die erweiterte Gruppe wird aber von der erweiterten infinitesimalen Transformation :

u'f ‘-^+yĘ + li*+(%-y y' - ï, y'*\ §

erzeugt, vgl. (8) in voriger Nummer.

die Differentialgleichung in der Form vor:

nun

Liegt

F(sc, y, y') = 0,

so ist die Schar ihrer Linienelemente (x, y, y ) eben durch diese Gleichung F — 0 charakterisiert. Deshalb muß U’f, auf F ausgeübt, einen Ausdruck U'F geben, der infolge der Gleichung F — 0 ebenfalls verschwindet, d. h. es muß:

(³)    +lv*+ (%-y v- %y{*\ff = ⁰

sein infolge von F = 0. In der Tat ist dies nur eine andere Form der in Satz 22, Nr. 741, gefundenen Bedingung. Denn wenn die Differentialgleichung (2), nach y aufgelöst, die Gleichung (1) liefert, ist F in (3) durch Xy' — Y zu ersetzen. Dann aber geht (3) über in:

K*xy- Yx) + V(xyy~ r,) + fo + fo,s^x-o-

Diese Gleichung soll nun infolge von Xy'— Y = 0 bestehen. Wird demgemäß y = Y:X in ihr substituiert, so geht die in Satz 22, Nr. 741, aufgestellte Bedingung hervor.

Mit Rücksicht auf die Bedingungen, unter denen die Gleichung (2) eine Auflösung y' hat, vgl. Nr. 700 und Nr. 707, ergibt sich also der

F(x, y, y ) == 0

und hat sie in einem Bereiche, in dem F eine stetige Funktion von x, y, y mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung ist,

747]

Satz 27: Liegt die gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung vor:

Auflösungen yr, für die die partielle Ableitung cF:iy nicht verschwindet, so gestattet sie die infinitesimale Transformation:

Uf=%{x, y) + y(x, y)^t,

in der % and y nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig sein sollen, dann und nur dann, wenn die erweiterte infinitesimale Transformation :

U'f ⁼ t Tx + ^ Ty + ^ + toy “ &») y — ty y~\ ly' ’ ausgeübt auf F, eine Funktion U'F liefert, die für die Auflösungen y der Gleichung F = 0 und für beliebige Werte von x und y innerhalb. des Bereiches verschivindet.

Kurz gesagt: F = 0 gestattet Uf, wenn ü'F = 0 infolge von F = 0 ist.

Beispiel: Die Differentialgleichung:

F — y'² — 2xy' + 2y = 0

gestattet die infinitesimale Transformation:

üf-

dx

df . df -f x-A--dy

Denn hier ist | = 1, y = x, so daß die erweiterte infinitesimale Transformation das Symbol hat:

TT' f df.^df.df

Daher wird U'F — 0 nicht nur infolge von F = 0, sondern schon an sich. Die infinitesimale Transformation Uf hat leicht zu bestimmende Bahnkurven, denn für eine Bahnkurve muß:

⁼ 1 ⁼ also dy = X(^X

sein, und dies ist für die Parabeln y — -\-x² = konst, der Fall. Außerdem bleibt augenscheinlich die Geradenschar x = konst, invariant, da Ux = 1 ist (vgl. Satz 20, Nr. 737). Folglich sind x und z = y — \x² kanonische Veränderliche (vgl. Nr. 743). Wird dementsprechend:

y = z + -\x², d. h. y = z + x

gesetzt, so geht die vorgelegte Differentialgleichung über in:

z² -\- 2z = 0

und gibt:

Y~ 2 z -f- x = C

die Integralkurven darstellt. Wird wieder z = y — substituiert, so kommt die Gleichung:

2Gx — 2y = (7².

Die Integralkurven sind also Geraden. In der Tat ist nämlich die vorgelegte Gleichung F — 0 eine Clairautsche Differentialgleichung (Nr. 720). Ihre regulären Integralkurven sind die Tangenten der Parabel y = \x², die ihrerseits die singuläre Integralkurve vorstellt.

§ 5. Projektive Transformationen und Jacobische Differentialgleichungen.

748. Projektive Transformationen einer Veränderlichen. Mit dem auch sonst in der Analysis wichtigen Begriffe der projektiven Transformation steht die Theorie der schon in Nr. 718 behandelten Hieratischen Differentialgleichung sowie die einer ebenfalls besonders merkwürdigen gewöhnlichen Differentialgleichung, der sogenannten Jacobischen, im engsten Zusammenhänge. Dieser Zusammenhang soll in dem gegenwärtigen Paragraphen in seinen Hauptzügen dargestellt werden.

Der Begriff der projektiven Transformation beruht auf dem des Doppelverhältnisses von vier Zahlen a, h, c, d:

(abcd) = c-

dz

so daß:

y—2z

= — dx = 0

— a d — a

~^b ' d —T) ’ den man auf vier Punkte Mi} ilf₂, Ms, itf₄ einer Geraden übertragen kann, indem man als die vier Zahlen die Strecken zwischen den Punkten einführt, mit Vorzeichen gemessen in einem einheitlichen, aber für den Wert gleichgültigen Fort-schreitungssinne :

Ms M₁ Mi M1 MsMf ‘ Mi M ’

Augenscheinlich ist das Doppelverhältnis von vier Punkten einer Geraden gleich dem ihrer Abszissen und gleich dem ihrer Or-dinaten.

Eine Transformation x = cp(x₀), vermöge derer die Ver-

747, 748]

änderliche in eine neue Veränderliche x übergeht, heißt projektiv, wenn sie stets beliebige vier Werte von x₀ in solche vier Werte x verwandelt, die dasselbe Doppel Verhältnis wie jene vier Werte haben. Wenn die Transformation drei bestimmt angenommene Werte a₀, b₀, c₀ etwa in a, b, c überführt, während x₀ willkürlich gelassen wird, muß hiernach für die zu x₀ gehörige Veränderliche x die Gleichung gelten:

CQ \ X₀ hü ⁷

deren Auflösung nach x eine gebrochene lineare Funktion von x₀ liefert:

(1)

_ «x₀+ß

Sie ist nur dann nicht frei von x₀, wenn aÖ — ßy =(= 0 ist. Umgekehrt: Sind a, ß, y, ó irgendwelche vier Konstanten, deren Determinante ad — ßy nicht verschwindet, so gehören infolge von (1) zu vier beliebig gewählten Werten von x₀ solche Werte von x, die dasselbe Doppel Verhältnis wie jene haben. Dies lehrt eine einfache Ausrechnung. Mithin ist (1) die allgemeine Form einer projektiven Transformation einer Veränderlichen. Werden x₀ und x als Abszissen von Punkten M₀ und M auf einer Geraden gedeutet, so stellt (1) eine derartige Transformation der Punkte der Geraden vor, die irgendwelche vier Punkte stets in vier Punkte mit demselben Doppelverhältnisse verwandelt.

Führt man nacheinander zwei projektive Transformationen aus, indem man zuerst x₀ in xt und dann xl in x₂ vermöge:

ai xo ~t~ ßi 7i xo +    ⁷

X₂

X, =

__ a‘ż xi + ßs

~f" ^2

verwandelt, so lehrt die Substitution des ersten Wertes in den zweiten, daß x₂ wieder eine gebrochene lineare Funktion von x0 wird. Die Aufeinanderfolge zweier projektiver Transformationen ist demnach einer einzigen projektiven Transformation äquivalent, mit anderen Worten: Alle projektiven Transformationen (1) bilden eine Gruppe, vgl. die in Nr. 732 gegebene allgemeine Definition des Gruppenbegriffs. Jedoch ist dies keine eingliedrige Gruppe, vielmehr wird sich in Nr. 751 zeigen, daß die Schar

[748

aller projektiven Transformationen unbegrenzt viele eingliedrige Gruppen enthält.

749. Nochmals die allgemeine Riccatische Differentialgleichung. Nach Satz 11, Nr. 718, ist eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung dann und nur dann eine Riccatische:

(i)

y = /o(%² + ²/i (p)y + U 0*0,

wenn ihre allgemeine Lösung bei passender Wahl der Integra -tionskonstante C eine gebrochene lineare Funktion dieser willkürlichen Konstante wird:

(2)

₌ <Pi (%)c + %

' cp₂(æ)C + ip₂(x)

Dabei muß — cp.₂y>₁A= 0 sein, weil die Lösung sonst von C frei wäre. Wenn y₀ der Anfangs wert ist, den y für einen bestimmten Anfangs wert x₀ von x hat:

₌ 9i (a?o) O +    (a?o)

Jo +

läßt sich hieraus C als eine gebrochene lineare Funktion von y₀ berechnen, deren Substitution in (2) zeigt, daß sich y auch als eine gebrochene lineare Funktion von y₀ darstellt:

(3)

0:(x)y₀ ±ß(x)

■ yWVo + à'ix)’ wobei wieder ad — ßy =4= 0 ist.

Diese Gleichung (3) aber stellt, sobald x bestimmt gewählt wird, eine projektive Transformation von y₀ in y dar. Sind x und y rechtwinklige Koordinaten in der Ebene, so ergibt sich also, daß der Satz 11, Nr. 718, die folgende geometrische Fassung erhalten kann:

Satz 28: Die Differentialgleichung y = fix, y) einer einfach unendlichen Kurvenschar in der xy -Ebene ist dann und nur dann eine Riccatische, wenn irgendwelche vier Integralkurven von allen Parallelen zur y-Achse in vier Punkten mit demselben Doppelverhältnisse geschnitten werden, dessen Wert eben nur von der Auswahl der vier Kurven abhängt.

Eine Kurvenschar von dieser Art ist in Fig. 34 dargestellt, worin (Mt M₂ Ms Mj) denselben Wert wie    MA MS M f ) hat.

Beispiel: Die einfach unendliche Schar aller Hyperbeln, die durch drei gegebene Punkte gehen und eine gemeinsame 748, 749]

Asymptotenrichtung haben, weist die in Satz 28 ausgesprochene Eigenschaft auf, falls die y-Achse in der gemeinsamen Asymptotenrichtung gewählt wird. Deshalb sind diese Hyperbeln die Integralkurven einer gewissen Ricca-

V/

wirkliche Aufstellun überlassen bleibe.

y rechtwinklige Koordinaten __    ^    _

stellen, denn das Ergebnis läßt

• un •    !

Mg. 34.

sich auch rem analytisch formulieren:

Satz 29: Eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung y = fix, y) ist dann und nur dann eine Riccatische, wenn vier Partikularlösungen, die für x = x₀ irgendwelche Anfangsiverte a₀, b₀, c₀, d₀ haben, für jeden Wert von x solche Werte a, b, c, d annehmen, deren Doppelverhältnis (abcd) gleich dem Doppelverhältnisse (a₀b₀c₀d₀) der Anfangswerte ist.

Führt man in die Riccatische Differentialgleichung (1) statt y eine neue unbekannte Funktion z ein vermöge einer Substitution von der Form:

«(®) y+ /*(«) y{x)y + S(x) ’

worin a, ß, y, d irgendwelche Funktionen von x sind, für die ad — ßy =f= 0 ist, so geht eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung für z hervor. Ihre allgemeine Lösung gewinnt man durch Substitution des Wertes (2) von y in der Form:

(aqPi + ß<Pi)C+ + ß%) .

(7 <Fi + s *Pa) C -f (.7    + Śęa)

Da sie wieder eine gebrochene lineare Funktion der Integrationskonstante C ist, muß die Differentialgleichung für z nach Satz 11, Kr. 718, auch eine Riccatische sein. Also gilt der Satz 30: Führt man in eine Riccatische Differentialglei

chung :

y = fo (%² + ²/“i 0*0 y + f» 0*0 eine neue unbekannte Funktion z von der Form:

y(x)ypd{x)

ein, wobei ad — ßy =}= 0 ist, so geht eine Riccatische Differentialgleichung für z hervor.

750. Nochmals die linearen Differentialgleichungen.

Zu den Riccatischen Differentialgleichungen gehören insbesondere die linearen (Nr. 716), denn aus der Riccatischen Gleichung

(1) der letzten Nummer geht im Falle fQ — 0 die lineare hervor:

V = ² fi{?) y + fi(x).

Ihre charakteristische Eigenschaft besteht nach Satz 10, Nr. 716, darin, daß ihre allgemeine Lösung y bei passender Wahl der Integrationskonstante C eine ganze lineare Funktion dieser willkürlichen Konstante C wird:

y = <p(x)C+

Analog (3) in voriger Nummer geht durch Elimination von C vermöge :

ÿo = <p{%o)C+ ÿ(%₀)

hieraus eine ganze lineare Funktion des Anfangswertes y₀ hervor:

y = a(x)y₀+ ß(x\

Werden y₀ irgendwelche drei Werte a₀, b₀, c₀ gegeben und sind a, b, c die zugehörigen Werte von y, so findet man sofort:

_ Co «0 .

Co    \ ⁷

also gilt der

Satz 31: Die Differentialgleichung y' = fix, y) einer einfach unendlichen Kurvenschar in der xy-Ebene ist dann und nur

__dann linear, wenn irgendwelche drei

^ Integralkurven von allen Parallelen zur y-Achse in drei Punkten geschnitten werden, deren gegenseitige Entfernungen ein konstantes, d. h. nur von der Auswahl der drei Kur-ven abhängiges Verhältnis haben.

Fig. 35.

In Fig. 35 sind derartige Kurven dargestellt, dabei ist M₁M₂ : M.₂ Mz gerade so groß wie Mf°Mf : Jf₂⁰ilf₃°.

Hier handelt es sich zwar nicht um ein Doppelverhältnis, sondern nur um ein einfaches Verhältnis. Dies kann aber durch 749, 750]

einen Kunstgriff in ein Doppelverhältnis verwandelt werden. Denn das Doppel Verhältnis:

z 7 7N c — ad — a (abcd) = c_b:j—t

geht für lim d = oo in das einfache Verhältnis (c — a) : (c — b) über. Mithin ist der Satz 31 doch nur ein spezieller Fall des Satzes 28 der vorigen Nummer; man muß nämlich zu den drei in Satz 31 ausgewählten Integralkurven noch die unendlich ferne Gerade y = oo hinzufügen. Die linearen Differentialgleichungen erscheinen demnach als solche Biccatische Differentialgleichungen, die insbesondere die unendlich ferne Gerade y = oo als eine Integralkurve haben. Man könnte diese Aussage durch Einführung homogener Koordinaten wie in Nr. 175 auch analytisch exakt machen. Sie läßt den eigentlichen Sinn der in Nr. 718 für die Riccatische Differentialgleichung gefundenen Integrationsmethode hervortreten: Wenn nämlich u(x) eine bekannte Partikularlösung der Riccatischen Differentialgleichung:

y = fo (æ)y² + % fi (x)y + U <»

bedeutet, wird nach (8) in Nr. 718 die Substitution:

y — u (x)

gemacht. Sie ordnet sich der in Satz 30 der vorigen Nummer angegebenen allgemeinen Substitution unter, d. h. für Z ergibt sich wieder eine Riccatische Gleichung. Da aber Z = oo für y = u(x) wird, muß die neue Riccatische Gleichung für Z eine solche sein, die eine Partikularlösung Z == oo hat, und deshalb ist es nach dem Vorhergehenden nicht mehr überraschend, daß sich für Z in Nr. 718 eine lineare Differentialgleichung ergab.

751. Infinitesimale projektive Transformationen einer Veränderlichen. Fragt man nach den eingliedrigen Gruppen von projektiven Transformationen einer Veränderlichen, so hat man von einer solchen Differentialgleichung zwischen x und t auszugehen (statt von zweien für Funktionen x und y von t, wie in Nr. 734), die dx : dt als eine von t freie Funktion von x darstellt:

ix~m-

dt

(o

-f ß(t)

Die Frage ist nun, wie %(x) gewählt tverden muß, damit sich diejenige Lösung x, die für t = 0 den Anfangswert x₀ hat, als gebrochene lineare Funktion von x₀ darstellt, deren Koeffizienten noch von t abhängen:

(2)

y{t)x₀ + d(t)'

Diese Gleichung (2) bringt gerade die charakteristische Eigenschaft einer solchen Riccatischen Differentialgleichung zum Ausdrucke, in der t die unabhängige Veränderliche und x die unbekannte Funktion bedeutet. Folglich hat die gesuchte Gleichung (1) notwendig die Form:

(3)

^ = ax² -f- 2bx + c,

worin aber jetzt a, b, c Konstanten sind, weil £ von t frei sein soll. Demnach ist:

(iax² -f 2bx -f- c)

das Symbol der allgemeinsten infinitesimalen projeläiven Transformation einer Veränderlichen. ( Hier wird df : dx statt df : dx geschrieben, weil nur eine Veränderliche vorkommt.) Dies Symbol setzt sich linear mit beliebigen konstanten Koeffizienten mis den Symbolen von drei speziellen infinitesimalen projektiven Transformationen zusammen, nämlich aus:

A A S "S

Ai A

Si :

752. Projektive Transformationen von zwei Veränderlichen. Unter einer projektiven Transformation, die zwei Veränderliche x₀ und y₀ in neue Werte x und y überführt, versteht man eine von der Form:

(1)

x = «1^0 +«gg/o + as

o 4- c,y₀ + cs ’

die also x und y als gebrochene lineare Funktionen von xQ und y₀ mit gleichen Nennern darstellt. Die neun Konstanten ai; b{, Cf (?' = 1, 2, 3) können beliebig gewählt werden mit der einzigen Beschränkung, daß die Gleichungen (1) nach x₀ und y₀ auflösbar sein sollen. Um die Bedingung hierfür zu finden, setzen wir:

751, 75»!

A A A

^1    ^2    ^3

C1 C2 C3

und verstehen unter Ai} Bv Ci die zu aiy biy c;. gehörigen zweireihigen Unterdeterminanten yon A, d. h. es soil:

I \ \

Ą-

C2

«2

o?

, 01-

sein, und die übrigen Bi} Gi sollen hieraus durch zyklische Vertauschung der Indizes 1, 2, 3 hervorgehen. Dann haben die Funktionen (1) von x₀ und y₀ die Funktionaldeterminante:

dx dx dx₀ dy₀

(As -B₃ — A Bf)x₀ + (A Bt — A B₃)y₀ Ą (A i?g — A A)

(Cj a?₀ A c2 y» A c₃)⁴

dy dy I

Nach einem bekannten Determinantensatze ist aber:

-Ag -®3    -^3 -®2 — ^1    ^8 Ą Ą — ^2    ^1 -®2    ^ 2 -®1 — ^3 A,

so daß kommt:

dæ dæ

dy dy dxo a?/₀

Nach Satz 4, Nr. 80, lassen sich also die Gleichungen (1) nach x₀ und y₀ auflösen, wenn die Determinante A der neun Koeffizienten von Null verschieden ist. Durch die Annahme A A 0 wird auch die Möglichkeit cx = c₂ = c₃ = 0 ausgeschlossen. Die Auflösungen findet man am bequemsten, wie folgt. Wird der gemeinsame Nenner in (1) mit N bezeichnet, so hat man:

Nx = axx₀ A AA + A;

Ny = \ A + hlJo + h,

A = cxx₀ -j- c₂ A A Cg.

(C1 æ0 A C2 2A) A cs)

Die rechten Seiten sind als ganze lineare homogene Funktionen von x₀, a un(i 1 zu betrachten, so daß die Auflösung gibt :

N(A₂x + Bay ±Cj)

N(Al x A Bxy A Cf)

y A

N(A₃x + B₃y + C₃)

Serret-Scheffers,Diff.- u Integral-Redlining. III. 3.Aufl.

15

[752

Wird der Wert yon N aus der letzten Gleichung in die beiden ersten eingesetzt, so geht die gesuchte Auflösung der Gleichungen (1) hervor:

Aix 4~ -ffi y -f G\

Azx -f- Bsy -f- Cs’

(3>

xo ⁼

2/o =

Ajx -f- B₃ y -f-    .

Aa x -j- Bs y -j- (7S

Dies ist die zur Transformation (1) inverse Transformation (nach Nr. 732); sie ist wie (1) seihst projektiv.

Werden x₀, y₀ und ebenso x, y als rechtwinklige Koordinaten in demselben Achsenkreuze gedeutet, so liefert die Ausführung der Transformation (1) auf die Punkte (x₀, y₀) einer beliebig gewählten Geraden:

(4)

«o*o + voVo +    = 0

diejenige Kurve, deren Gleichung hieraus durch die Substitution der Werte (3) hervorgeht und daher in x und y linear ist:

(Axuü 4- A₂v₀ -f- A₃w₀)x -f (Ąm₀ -f- B₂v₀-\- B₃w₀)y

-j- (Gtu₀ 4- C₂v₀-\- GsWq) — 0.

Die projektive Transformation (1) führt also jede Gerade in eine Gerade über.

Man kann zeigen, daß jede Transformation in der Ebene, vermöge derer jede Gerade in eine Gerade übergeht, die Form

(1) hat, daß also die projektiven Transformationen als diejenigen Transformationen der Punkte der Ebene definiert werden können, die jede Gerade in eine Gerade verwandeln. Darauf gehen wir hier aber nicht ein.

Führt man nacheinander zwei projektive Transformationen aus, wobei die erste das Wertepaar x₀, y₀ in ein Paar xt, yt verwandelt und die zweite das neue Paar x₁₇ yl weiterhin in ein Paar x₂, y₂ verwandelt, so erkennt man, daß sich x₂ und y₂ wieder als gebrochene lineare Funktionen von x₀ und y0 mit gleichen Nennern darstellen lassen, was bedeutet, daß die Aufeinanderfolge zweier projektiver Transformationen stets einer projektiven Transformation äquivalent ist, mit anderen Worten: Alle projektiven Transformationen der Ebene bilden eine Gruppe.

Die Gleichungen:

(5)

£o⁼ *o+ ai> %=Vo + ßt stellen in den laufenden Koordinaten j₀ und t)₀ eine Gerade

durch den Punkt (x₀, y₀) dar, falls t veränderlich ist. Indem man t vier bestimmte Werte tlf t₂, t₃, t± beilegt, bestimmt man vier Punkte der Geraden, und das Doppelverhältnis dieser vier Punkte ist gleich dem ihrer Abszissen, daher auch gleich (t\t%t₃tf)₇ weil sich £0 linear durch t ausdrückt. Bei einer projektiven Transformation (1) geht der Punkt (x₀, yQ) in einen neuen Punkt (x, y) und die Gerade (5) in eine Gerade durch den Punkt (x, y) über. Die laufenden Koordinaten £, der neuen Geraden drücken sich dabei gerade so durch £₀ und t)₀ aus wie x und y nach (1) durch x₀ und y₀. Insbesondere ist also:

«1 £p + «8    + «3

C1 Eo F C2 ho F CS

und wenn man hierin nach (5) die Werte x₀+ at und yQ-f ßt für £₀ und t)₀ substituiert, wird £ eine gebrochene lineare Funktion von t. Daher ist das Doppelverhältnis derjenigen vier Punkte, die aus den vorhin betrachteten vermöge der projektiven Transformation hervorgehen, ebenfalls gleich (ttt₂t₃t4). Eine projektive Transformation der Ebene führt also stets vier Punkte einer Geraden in solche vier Punkte einer anderen Geraden über, die dasselbe Doppelverhältnis wie jene haben, so daß das Doppelverhältnis von vier Punkten einer Geraden invariant ist.

Ferner sei an den Satz erinnert, wonach vier Geraden der Ebene, die von einem Punkte ausgehen, von allen Geraden in vier Punkten mit demselben Doppelverhältnisse geschnitten werden, das deshalb das Doppelverhältnis der vier Geraden heißt. Man schließt aus dem Vorhergehenden und diesem Satze sofort, daß eine projektive Transformation auch das Doppelverhältnis von vier durch einen Punkt gehenden Geraden invariant läßt.

753. Die Jacobische Differentialgleichung. In sehr naher Beziehung zu den soeben besprochenen projektiven Transformationen steht nun die sogenannte Jacobische Differentialgleichung. Sie hat die Form:

(1) (ytx F y₂y -f y₃){xdy - ydx)

— (c^x F a₂y -F a₃)dy F (ß±x + ß₂y F ß₉)dx = 0,

worin die neun Größen cci, ßi} yi (i = 1, 2, 3) irgend welche Konstanten bedeuten. Sie läßt sich auch so schreiben:

15* [752, 75»

dx₃

(4)

dt ßlXl~t~ ß%X2 *k ßsX3

7i Xx ~k y₂x₂ -j- y₃xg.

dy _ ßixßiV-\-ß» — y(yix-k Vîy-k7s) dx «^ + «^+«8 — x(Ytx + yty + ys) und ist daher nach Nr. 677 durch das System ersetzbar:

^ = ccxx + a₂y + a₃ - x(yxx + y₂y + y₃),

(2)

= ßix + ß₂y + ß₃ — y{v\x + y₂y + 73)-

Sind x und y rechtwinklige Koordinaten in der Ebene, so definieren die Lösungen dieses Systems (2) die Integralkurven der Jacobischen Differentialgleichung mittels der Hilfsveränderlichen t. Eine elegantere Darstellung ergibt sich, wenn man wie in Nr. 175 statt x und y drei homogene Koordinaten xx, x₂, x₃ vermöge:

(3)

x = —,

xs r

einführt. Denn dann gibt (2): x3    xt x₃(ctxxx -f- cc₂x2 ~k a₃x₃)    xx (yxxx-f- y₂x₂-\- 73^3);

X3 d l    X2 ~df ~ X3 ißt xi ~k ß<iX% ~k ßs X3 j    x₂ (7i x\ + 72 x2 “k 7s xz)m

xt

Dies sind nur zwei Differentialgleichungen für die drei Funktionen^, x₂, x₃ von t, was nicht überrascht, weil ja nur die Verhältnisse xx\ x₃ und x₂ : x₃ in Betracht kommen. Man kann deshalb noch die Forderung:

dxg

dt

nxi + y₂x₂ + ysxs

hinzufügen. Alsdann ergibt sich das System: ' dx₁ _

dt

axxx + ct₂x₂ -k «8^3,

dxs _

. dt

Umgekehrt: Wenn xx, x₂, x₃ solche Funktionen von t sind, die diesen drei Gleichungen (4) genügen, so folgt, daß x = xx : xs und y == x₂ : x₃ solche Funktionen von t werden, die dem Systeme

(2) genügen. In homogenen Koordinaten stellt also dasjenige Lösungensystem xx, x₂, x₃ von (4), das für t = 0 die Anfangswerte xx, x₂, x₃ hat, diejenige Integralkurve der Jacobischen 753]

Differentialgleichung (1) dar, die von dem Punkte mit den Koordinaten :

æ.°

^0=^-o,

(5)

ausgeht.

Nun möge dasjenige Lösungensystem von (4), das für t — 0 die Anfangswerte 1, 0, 0 hat, mit xx = <px(t), x₂ = Xi(ß)> x₃ = bezeichnet sein. Ferner sei dasjenige Lösungensystem, das für t = 0 die Anfangs werte 0, 1, 0 hat, mit x₁ = (p₂ (f), x₂ = x₂ (£), x₃ —    (t) bezeichnet. Schließlich sei noch xx = (p₃ (ß), x₂ = %₃ (£),

x₃ = ip₃ (t) dasjenige Lösungensystem, das für t = 0 die Anfangswerte 0, 0, 1 hat. Alsdann ist:

dl

d<Pi _

(6)

d%i

ßx <Pi+ ß2%i+ ßs^i,

(i - 1, 2, 3)

dip,-

n <Pi+ ytZi + rsVi-

Hieraus folgt aber, daß: xx = <pxXx° + (p₂x₂° + cp₃x₃°,

CO

rf nj /Y> Q I /v OP ö I /y /Y» 0

*^2 Zl^l * Z2J/2 « Zs^S J X₃ = Tl>xXx° -j- X^₂X₂ ~t"" ^3*^3°

machten Annahmen. Ferner ist nach der ersten Gleichung (7):

dq> t o_i_ ^ Ta o i d <P₃ o

Tt ⁼ ~dTxi + ~dtx2 ⁺ “dF** '

Dieser Wert wird nun nach der ersten Gleichung (6) gleich:

(«i <pt + a₂X 1+ <*s^i)xi° +    + «2Z2 + a₃ip₂)x₂°

ccxxx -f- cc₂x₂ -f-

daher kommt nach (7):

dæ, _

+ Ol9>3 + <*2*3 + «5^s)V>

wie es die erste Gleichung (4) verlangt. Ebenso bestätigt man das Bestehen der zweiten und dritten Gleichung (4) für die durch (7) definierten Funktionen x₂ und x₃.

x = «3Pi æo +    y o + <ps

Nach (3) und (5) ergibt sich weiterhin aus (7), daß:

y — fa x0 +foyp ~f~ fa»

(8)

fi «o +%y₀ + %

dasjenige Lösungensystem x, y des Systems (2) vorstellt, das für i = 0 die Anfangswerte x₀ und y₀ hat.

Mithin wird diejenige Integralkurve der Jacobischen Differentialgleichung (1), die von einem beliebig gewählten Punkte (x₀, y₀) ausgeht, mittels der Hilfsveränderlichen t durch die Gleichungen (8) dargestellt.

Für jeden bestimmten Wert von t bedeutet aber das Gleichungenpaar (8) eine projektive Transformation der Punkte (xo, y₀) in Punkte (x, y), nach (1) in voriger Nummer. Dabei ist noch zu bemerken, daß die Determinante:

-e- Ni    ^

M.    M.    H*

%2

nicht identisch gleich Null ist, weil sie für t = 0 den Wert Eins hat. Nun steht nach Nr. 734 fest, daß das System (2) eine eingliedrige Gruppe von Transformationen erzeugt. Folglich ergibt sich, daß das System (2) oder also die zugehörige infinitesimale Transformation mit dem Symbol:

7) f

Va\x + a2V + a3 ~~ x(tix + y₂y + y₃)] jx

+ [ßix + Asy + ßs ~ y{y-ix fry^yf-y$)~\

eine eingliedrige Gruppe von lauter projektiven Transformationen erzeugt.

Umgekehrt: Wir fragen nach denjenigen Systemen:

(9)

dt ⁼    y)* d? = 1l(x/ y)f

die eingliedrige Gruppen von lauter projektiven Transformationen erzeugen, d. h. deren Lösungensysteme sich in der Form :

y __ ll X0 "I" Xî Vf) "i⁻ fa J % x₀ + fiy₀ + %

(10)

₌ <Pi xo + <Pî Vo + fs

fi “f" fs Vo + fs

als gebrochene lineare Funktionen der Anfangswerte x₀ und y0 mit gleichen Nennern darstellen, wobei die neun Koeffizienten

(Pi, Xu ti (*’ = 1, 2, 3) natürlich Funktionen yon t sind. Zunächst müssen cplf und ^₃ für t = 0 einen gleichen Wert « =4= 0, alle übrigen Funktionen 9ii, if>. aber den Wert Null haben, weil nur dann x und y für t = 0 die Werte x₀ und y0 annehmen. Man kann alsdann alle Koeffizienten in (10) mit a dividieren, also cp{ : a, %i ' a und : a mit q)iy %i und i’i bezeichnen, so daß folgt: Man darf annehmen, daß (pl, x% und für t = 0 den Wert Eins und alle anderen Funktionen ipi fiir t = 0 den Wert Null haben. Nun sollen die Gleichungen (10) das allgemeine Lösungensystem der noch unbekannten Gleichungen (9) vorstellen. Es soll also, wenn der Akzent die Differentiation nach t an deutet, der Wert:

<Pi » L,

dx

dt

m'xo + v»y₀ 4- <Ps)(Viæo + ^*2/0 + ^«) — (Væo + %'y₀ + '«lOtoi*«, + 9*2/0 + v»)

in die von t freie noch unbekannte Funktion £(#, y) übergehen, sobald xQ und y₀ hieraus vermöge (10) eliminiert werden. Wenn:

50 «O

■ä-    &>

oq (M

-a- S'

Xz Xs % !

gesetzt wird und 0₂, X₂, W₂ sowie d>₃, X₃, W₃ diejenigen Funktionen von t bedeuten, die sich aus Xx, Wt durch zyklische Vertauschung der Indizes 1, 2, 3 ergeben, liefert die Auflösung der Gleichungen (10) nach x₀ und y₀ analog den Gleichungen (3) der vorigen Nummer:

-X₃y + WE

Xt =

<M    (M

8-    **

<Ps

Xs

$₂x + X,y-\- W,

4>sx + Xay + Vs'

Folglich wird nach einem bekannten Determinantensatze:

(11)

x₀ =

2/o =

xA

+ ^3 =

(12)

$₃x + Xsy+W₈>

so

daß sich durch Substitution der Werte (12) und (11) in den vorhin berechneten Wert von dx : dt ergibt:

dx    <t>i

— = ”+

Xcp/X, ZcpjW,

a y ' a

x Ą. E^iXi

y + PP)-

[75»

Ebenso kommt:

dt

dV _ ZXi'&i „ i

—--x +

ZXi'Xiy I Sli'Y*

a y ' A

"a V> • 1"|'

— y (z\ -

Dabei sind die Summen E über alle drei Werte i = 1, 2, 3 zu erstrecken.

Es wird somit verlangt, daß das gesuchte System (9) aus diesen beiden Gleichungen bestehe. Weil nun £ und rj von t frei sein sollen, müssen alle neun Summen 2J, dividiert mit A, Konstanten sein. Werden sie mit a{, ß{, y. bezeichnet, indem man setzt:

= a =

A    A

x Xi % _ o 2 Xi Xi _ — Plf

2<Pi

«2,    —= «3.

SZi'Vj ₌

ß%>

ßd )

U'ipf

Yi,

ZTpj'Xj ₌

Yz,

so nimmt daher das gesuchte System (9) die Form an: £ = «lX + a₂y + «₃ — x(yxx + y₂y + Yz),

£ = ßix -j- ß₂y + ß₃ — y{yxx + y₂y + ys).

Dies aber ist das System (2), von dem wir schon wissen, daß sein allgemeines Lösungensystem die Form (8) oder (10) hat. Mithin gilt der

Satz 32: Liegt in der xy-Ebene eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung:

X(x, y)dy — Y(x, y)dx = 0

vor, so läßt sich die von irgend einem Funkte (x₀, y₀) ausgehende Integralkurve mittels einer Hilfsveränderlichen t dann und nur dann in der Form:

y ₌    +fo(*)y<> + fo(*)

y    % (t) x₀ -f ipt (t) y₀ -F Fs (0

₌ <3Pi (ß)xo + <Pi (<)y₀ + qp» (0 Fi (0*o +F« (*)y₀ + F* tt)’ dar stellen, wenn die Differentialgleichung eine Jacobi sehe ist, d. h. die Form hat:

(YiX 4- y₂y H- y$)(xdy - ydx)

— (axx -f- a₂y -f- a₃)dy -f- (ßxx -(- ß₂y -f- ßs)dx = 0,

worin die neun Koeffizienten a-, ßi} y. irgendwelche Konstanten bedeuten.

Man kann dem Satze auch folgende Fassung geben: Satz 33: Die infinitesimale Transformation:

Kx, y) % + ^ yĄff

erzeugt dann und nur dann eine eingliedrige Gruppe von lauter projektiven Transformationen, wenn | und rj die Formen haben:

S = aix + «2 y + ^3 — x(y\x + r^y + y₃), v = ßix + ß*y + ß₃ - y(y ix + y%y + y₃),

worin die neun Koeffizienten ai} ß., y{ irgendwelche Konstanten bedeuten.

Oder auch:

Satz 34: Sämtliche Integralkurven einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung in der x y -Ebene sind dann und nur dann die Bahnkurven einer eingliedrigen Gruppe von lauter projektiven Transformationen, wenn die Differentialgleichung eine Jacobische ist.

754. Infinitesimale projektive Transformationen von zwei Veränderlichen. Nach Satz 33 ist eine infinitesimale Transformation:

Hx> y)^ + y(x> y)d/y

dann und nur dann projektiv, d. h. sie erzeugt dann und nur dann eine eingliedrige Gruppe von lauter projektiven Transformationen, wenn ihr Symbol die Form hat:

O f

[«xx + «2 y + «s - x(yi x + y»y + ys)] ^

+ lßix + ß₂y + ßz — yiy\x + y₂y + %)]

df

dy’

worin die neun Konstanten aif ßif y. irgendwie gewählt werden können. Da y₃ nur in den Differenzen ax — y₃ und ß₂—y3 vorkommt, sind jedoch nur acht Konstanten von wesentlicher Bedeutung, indem die allgemeinste infinitesimale projektive Transformation linear mit beliebigen konstanten Faktoren aus den folgenden acht speziellen infinitesimalen projektiven Transformationen zusammengesetzt werden kann:

(2)

(aix +    + «s) Yx + (ßix + ß%U + ßa) Yÿ '

In diesem Falle ergibt die dritte Gleichung des Systems (6) der vorigen Nummer difi : dt = 0, so daß dann = 0, ip₂ = 0, -if₃=1 ist, weil il>j, ip₂ und ip₃ für t = 0 die Anfangswerte 0, 0, 1 haben sollen. Folglich werden die dort mit (8) bezeich-neten Gleichungen jetzt diese:

(3)

df df

«    ~r\- •    00 ~r{- a    00

⁷ cy⁷ ox7 %df . df

X dx + Xydy>

Wenn in dem allgemeinen Symbole insbesondere yt = y2 = y₃ = 0 gewählt wird, geht die spezielle infinitesimale projektive Transformation hervor:

(i)

d ’ yd> df , o df X*d-x + *W

df

y dy'

% = <Pixo + 92^o+ <Ps, y = foxo + *2^0+

Die Determinante A, von der wir wissen, daß sie nicht gleich Null ist, reduziert sich hier auf

<PaZt-

Die Gleichungen (3) stellen für jeden Wert von t eine solche projektive Transformation von x₀, y₀ in x, y dar, bei der x und y ganze lineare Funktionen von x₀ und y₀ sind. Solche projektive Transformationen heißen lineare Transformationen. Demnach ist (2) das Symbol einer allgemeinen infinitesimalen linearen Transformation, und zu den Sätzen der vorigen Nummer lassen sich die speziellen Sätze hinzufügen:

Satz 35: Liegt in der xy-Ebene eine getvöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung:

X(x, y)dy — Y(x, y)dx — 0

vor, so läßt sich die von irgend einem Punkte (x₀, y₀) ausgehende Integralkurve mittels einer Hilfsveränderlichen t dann und nur dann in der Form:

x = <Pi(ß)x 0 + 9>*(%o + 9>s(0; y = A OK + a(%0 + Zs(0

dar stellen, wenn die Differentialgleichung die Form hat:

Oi# + y + % )dy — (ßxx + ß₂ y + ßs)dx = 0,

worin die sechs Koeffizienten ai und ßi irgend welche Konstanten bedeuten.

754]

Satz 36: Eine infinitesimale Transformation in der xy-Ebene erzeugt dann und nur dann eine eingliedrige Gruppe von lauter linearen Transformationen, wenn sie die Form hat:

CO

P) f*

(aix + a2 It + as) ^ + (ßj x + ß₂ y + ßa) ~ >

worin die sechs Koeffizienten ai und ßi irgend welche Konstanten bedeuten.

Satz 37: Sämtliche Integralkurven einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung in der xy-Ebene sind dann und nur daim die Bahnkurven einer eingliedrigen Gruppe von lau ter linearen Transformationen, wenn die Differentialgleichung die Form hat:

fax + a₂y + af)dy — fa x -f ß₂y + ßz)dx = 0, worin die sechs Koeffizienten cci und ß{ irgend welche Konstanten bedeuten.

755. Charakteristische Eigenschaft der linearen Transformationen. Es ist nützlich, zu zeigen, welche geometrische Eigenschaft die linearen Transformationen vor den übrigen projektiven Transformationen auszeichnet. Yermöge einer projektiven Transformation:

y _ G -f- b₂ y₀ -}- b3 '    c,x₀ 4- c₂ y₀ + cs

(1)

g, _a 1 gp ~\~ a2 y 0 4~ a3

G*0 + G</₀ +C3 ;

geht die Schar derjenigen Geraden, die einen Punkt auf der Geraden :

GXq S⁻ c₂y₀-{- c₃— 0

gemein haben, in eine Schar von parallelen Geraden über. Denn in den laufenden Koordinaten x₀, y₀ stellt:

(2)

hfax₀ + c₂ y₀ + cf) + k(mxx₀ + m₂y₀ + mf) = 0 eine derartige Geradenschar dar, wenn m1} m₂, m₃ bestimmt und h und k willkürlich gewählte Konstanten bedeuten. Nun gibt die Auflösung der Gleichungen (1) nach xQ und y₀ wie in (3), Nr. 752:

_ 4j x -f B₁ y -)- Cj Asx + Bsy + Cs’

wo die A., Bi} G{ die in Nr. 752 angegebene Bedeutung haben. Hieraus aber folget nach einem bekannten Determinantensatze:

(3)

Xq

A., x -f- Bi y -f-A₃ x -f- Bs y -f- Cs ’

G Xq Y c₂y₀ + c₃

As x -j- B₃ y -j- Ös ⁷

wenn A wie in Nr. 752 die Determinante der ai} bi} c. vorstellt. Andererseits geht durch Substitution der Werte (3) die ganze lineare Funktion:

₀4- m^y₀+m₃

in eine Funktion von der Form:

A$x Bsy Ca

M₁ x -f    y -f _i¥s

über, worin Mx, Af₂, M₃ konstant sind. Folglich geht die Geradenschar (2) vermöge der projektiven Transformation (1) über in:

oder:

h A -f- k(Alxx -j- AL₃y -j- A/gj = 0

Mxx + M%y + M₃ = konst.,

d. h. in der Tat in eine Schar von Parallelen.

Man kann ebenso zeigen, daß jede Schar von parallelen Geraden vermöge der projektiven Transformation (1) in eine Schar von Geraden übergeht, die einen Punkt auf der Geraden: A₃x -f B₃y -f- C₃ = 0

gemein haben.

Benutzt man wie in Nr. 175 den Begriff des unendlich

fernen Punktes einer Geraden, so kann man also sagen, daß die projektive Transformation (1) jeden Punkt der Geraden:

(4)

^1 #0 + C2^0 "k c3 6

in einen unendlich fernen Punkt verwandelt, dagegen jeden unendlich fernen Punkt in einen Punkt der Geraden:

(5)

A₃x + B₃y -f- C₃ = 0

uberführt.

Wenn die Transformation (1) insbesondere linear ist, d. h. wenn cx = c₃ = 0 ist (wobei dann c₃ = 1 gesetzt werden darf, da es in (1) nur auf die Yerhältnisse der Konstanten ankommt), stellt die Gleichung (2) mit den willkürlichen Konstanten h und k selbst schon eine Schar von parallelen Geraden dar:

mx x₀ +    + m₃ = konst.,

d. h. eine lineare Transformation führt jede Schar von parallelen Geraden wieder in eine Schar von parallelen Geraden über. Anders ausgedrückt: Eine lineare Transformation verwandelt jeden

755]

unendlich fernen Punkt wieder in einen unendlich fernen Punkt, oder: Sie läßt die unendlich ferne Gerade invariant.

756. Ausführung¹ einer projektiven Transformation auf eine Jacobische Differentialgleichung. In eine vor-gelegte Jacobische Differentialgleichung:

(!) (ft® + V%V + n)(xdy - ydx)

— (cctx + a₂y + ccf)dy -f (ßxx + ß₂y + ß₃)dx = 0

sollen neue Veränderliche x, y vermöge einer projektiven Transformation :

ü = x ~k \ y + bs

J c,x + cty -f Cg

(2)

_ ₌ CTt a: + y -f- a3 C\ x -j- c₂ y -j- Cg >

eingeführt werden. Alsdann geht eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung in x und y hervor. Wenn nun wie in Satz 32, Nr. 753:

<Pi (fla?₀ -f qpä (t) y₀ -f qpg (t)

% (t)xo + ^2 (Otto + ⁷i'a (*) ’

das allgemeine Lösungensystem von (1) ist, geht daraus das allgemeine Lösungensystem x, ÿ der neuen Differentialgleichung hervor, sobald man erstens die Werte (3) in (2) substituiert und zweitens die Anfangswerte x₀ und y₀ vermöge der zu analogen Gleichungen:

₌ «1 XQ + “2 Vo + «3 C1 X0 + C2 2/o + CS

eliminiert. Weil diese Gleichungen nach (3) in Nr. 752 die Auflösungen haben:

₌ Xi(t)xo + XiV)y₀ + xs(f)

'    (t) X0 + ^2 (*) Vo + % (f)

(2)

XQ

¥o =

b j x₀ -f- b₂ y₀ -j- b₃

«0 “k C2 Vo C8

J xo ~k £>1 Vo -k C-i

x₀

?/o =

Äs x₀ +    ;//„ -j- Cs ’

X0 ~k -^2 Vo ~t~ ^2 J3 X0 ~k -®3 y₀ ~k Gs

stellen sich x und ÿ wieder als gebrochene lineare Funktionen der neuen Anfangswerte xQ und y₀ mit gleichen Nennern dar, so daß also die charakteristische Eigenschaft der Jacobischen Differentialgleichung, die in Satz 32 von Nr. 753 ausgesprochen wurde, erhalten bleibt. Daraus folgt der

Satz 38: Werden in die .Jacobische Differentialgleichung : (ft® + y₂y + y₃)(xdy — ydx)

— (uxx + a₂y + az)dy + (ßtx + ß.₂y + ßf)dx = 0 neue Veränderliche x und y vermöge einer projektiven Transformation:

£ ₌ aLx -\- a₂y + as CiX+csy + cs

cix + cs y 4- cs

eingeführt, so geht ivieder eine Jacobische Differentialgleichung in den neuen Veränderlichen x und y hervor.

Die Koeffizienten der neuen Jacobischen Differentialgleichung werden allerdings im allgemeinen andere Werte als die in der ursprünglichen Gleichung haben.

Entsprechend läßt sich in Anknüpfung an Satz 35, Nr. 754, der allerdings fast augenscheinliche Satz formulieren:

Satz 39: Eine Differentialgleichung von der Form:

{atx + a₂y + a₃)cly — (ßtx + ß₂y + ß₃)dx = 0,

worin die sechs Koeffizienten ai und ß{ Konstanten sind, geht bei der Einführung neuer Veränderlicher x und y vermöge einer linearen Transformation:

x = axx + a₂y + a₃, ÿ = \x + b₂y + b₃

wieder in eine Differentialgleichung von derselben allgemeinen Form über.

757. Vereinfachung der Jacobischen Differentialgleichung. Wenn die Koeffizienten yx und y₂ in der Jacobischen Differentialgleichung:

(1) (ytx + y₂y + y₃)(xdy — ydx)

— fax -f a₂y -f- a₃)dy + fax + ß₂y + ß₃)dx = 0 gleich Null sind, reduziert sie sich auf eine Gleichung:

X(x, y)dy — Y(x, y)dx = 0,

in der X und Y ganze lineare Funktionen von x und y sind Dieselbe Vereinfachung kann man, wie jetzt gezeigt werden soll, auch dann erreichen, wenn yx und y₂ nicht beide gleich Null sind, und zwar durch Einführung von neuen Veränderlichen vermöge einer geeigneten projektiven Transformation.

Die Gleichung (1) ist zunächst wie in Nr. 753 durch das System ersetzbar:

— axx + a₂y -f oc₃ — xfax + y₂y 4- y₃),

(2)

dj⁼⁼ßix + ß*y + ß₃- yfa x + y*y + y₃)-

Wenn yt und y₂ nicht beide gleich Null sind, gibt es, behaupten wir, mindestens eine Gerade:

(3)

cxx + c₂y + c₃ = 0,

die eine Integralkurve der Jacobiscben Differentialgleichung ist. Denn dazu ist nach (2) notwendig und hinreichend, daß die Gleichung:

ci [(«i« + <*₂ y + «₈) — x(yix + v*y + r₃)]

+ c% Kßix + ß*y + ßs) — y(y ix + y₃y + 73)]⁼ o

infolge von (3) bestehe. Wird hierin nach (3) für c₁x + c₂y der Wert — c, eingeführt, so kommt die in x und y lineare Gleichung:

ci + cc₂y + a₃) + c₂(ßtx-\- ß₂y -f- ßs) + c₃(y₁x + y₂y + y₃) — 0,

und diese ist dann und nur dann eine Folge von (3), falls ihre linke Seite mit der linken Seite von (3), abgesehen von einem konstanten Faktor p, übereinstimmt. Somit ergibt die Vergleichung die drei Bedingungen:

(ai    Q)G ~b ßic2 V 7ic₃ = 0,

(4)

a2Cl “h (/^2    (0C2 “b T2 ^3 ⁼

“b ß₃c2 “b (y₃    ?)c3 ~ 0-

Dies sind drei in c1} c₂, c₃ lineare homogene Gleichungen, und bekanntlich gibt es dann und nur dann drei nicht sämtlich verschwindende Werte ci, c₂, c₃, die ihnen genügen, wenn:

ßi

Yi

«i —9

(ö)

cc₂

ßs—Q

72

cc₃

ß₃

Yz — Q

ist. Hierin aber liegt eine hubische Gleichung für p vor, die mindestens eine reelle Wurzel hat. Wird diese Wurzel benutzt, so sind von den drei aus (4) für c₁, c₂, c₃ hervorgehenden Werten, von denen übrigens nur die Verhältnisse bestimmt werden und für die Gerade (3) in Betracht kommen, die beiden ersten gewiß nicht beide gleich Null, denn sonst würde sich aus den beiden ersten Gleichungen (4) auch c₃= 0 ergeben, weil y₁ und y₂ nicht beide gleich Null sind. Die Gleichung (3) ist demnach nicht von x und y frei, stellt also in der Tat eine Integralgerade dar.

Nun führt man in die Jacobische Differentialgleichung (1) neue Veränderliche x und ÿ vermöge einer projektiven Transformation :

(6)

¥-

Cj x -j- c₂ y -j- cg

_ ₌    +    -j-«₃

G « + c₂ y -f- cs ’

ein, worin die Nenner gleich der linken Seite von (3) sind. Es ist leicht zu sehen, welche Form die neue Differentialgleichung annimmt, von der schon nach Satz 38 der vorigen Nummer bekannt ist, daß sie wieder eine Jacobische Differentialgleichung sein muß. Durch Multiplikation der beiden Gleichungen (2) mit c₁ bzw. c₂ und Addition ergibt sich nämlich mit Rücksicht auf (4):

0)

dt

= Ol* + W +    - ytx — y₂y - y₃).

Daher liefert die Differentiation der Werte (6) von x und ÿ nach t, wenn darin für dx : dt und dy : dt die Werte aus dem Systeme

(2) substituiert werden, zwei gebrochene lineare Funktionen von x und y mit gleichen Nennern. Wenn beide Werte miteinander dividiert werden, geht folglich auch für dÿ : dx eine gebrochene lineare Funktion von x und y hervor. Hieraus sind nun noch x und y vermöge (6) zu eliminieren. Nach (3) in Nr. 752 aber bestimmen die Gleichungen (6) die Veränderlichen x und y als gebrochene lineare Funktionen von x und ÿ mit gleichen Nennern. Mithin wird schließlich dÿ : dx eine gebrochene lineare Funktion von x und ÿ. Somit gilt der Satz 40: Die Jacobische D iff a 'en tialgle ichun g :

Oi* + y₂y + y₃)(xdy — vdx)

- Oi* + u₂y + a₃)dy + (ßxx + ß₂y + ß₃)dx = 0

läßt sich durah Einführung neuer Veränderlicher x und ÿ vermöge einer geeigneten reellen projektiven Transformation stets in eine solche Jacobische Differentialgleichung verwandeln, in der das Glied mit xdÿ — ÿdx fehlt, d.h. in eine von der Form:

Oi* + a₂ÿ + a₃)dÿ - (ßxx + ß₂y + ß₃)dx = 0.

Nach den Erörterungen in Nr. 755 ist der geometrische Sinn der erreichten Vereinfachung dieser: Vermöge der projektiven Transformation (6) wird eine Gerade (3), die eine Integralkurve vorstellt, ins Unendlichferne übergeführt.

757]

758. Integration der Differentialgleichung Xdy — Ydx — O, worin X und Y ganze lineare Funktionen sind. Das Problem, irgendeine Jacobische Differentialgleichung-wirklich zu integrieren, ist hiernach gelöst, sobald man jede solche Differentialgleichung:

(1)

Xdy — Ydx = 0, in der X und Y ganze lineare Funktionen:

(2)

axx + cc₂y -f- a₃, Y= ßxx + ß₂y + ß3 sind, zu integrieren vermag. Wie dies zu geschehen hat, sei in aller Kürze angedeutet.

Wenn a₁ß₂—a₂ß₁=j= 0 ist, kann man stets erreichen, daß die Glieder a₃ und ß₃ fortfallen. Sind sie nämlich nicht beide gleich Null, so gibt es zwei Konstanten m und n derart, daß a₁m + a₂n = a₃, ßxm + ß₂n = ß3 wird, und durch Einführung der neuen Veränderlichen x—x-\-m und y — y -f n geht die Differentialgleichung (1) über in:

{axx + cc₂y)dy — (ßxx + ß₂y)dx = 0.

Diese Gleichung aber ist homogen, daher nach Nr. 715 in allen Fällen leicht zu integrieren, indem man zunächst die Funktion z — ÿ : x von x bestimmt. Es tritt dabei eine Quadratur von der Form

dz

f    8 + «2

J    + ß* + 7

auf, die in jedem Falle nach § 1, 2. Kap. des 2. Bandes, zu leisten ist.

Wenn dagegen cq ß₂—a₂ß₁ = 0 ist, sind atxĄ- cc₂y und ßx x -f- ß₂ y einander proportional, so daß die Differentialgleichung (1) die speziellere Form:

\h(ax -f ßy) + a₃~]dy — [k(ax + ßy) -f- ß$\dx = 0

hat, worin alle Koeffizienten konstant sind. Wenn hierin ccxYßy überhaupt fehlt, ist die Integration sofort auszuführen. Andernfalls erreicht man durch Einführung von x und ax + ßy oder von y und ax -j- ßy als neuen Veränderlichen, daß die Veränderlichen in der neuen Form der Differentialgleichung getrennt werden, so daß nur noch leicht ausführbare Quadraturen zu leisten sind (vgl. Nr. 713.)

Serret-Scheffers, Diff.- u. Iiitegral-Ilechnung. III. 3. Aufl.

Führt man alle diese Rechnungen durch, so erhält man für das Integral der Differentialgleichung (1) insgesamt vier typische Formen, nämlich, wenn U und V ganze lineare Funktionen von x und y bedeuten und a und b Konstanten sind, die folgenden:

(3)

UaVb = konst.,

yu² + V2    arc *8 (V: w = konst.,

Ueu = konst.

ü⁸- F = konst.,

759. Die typischen Formen der Integralkurven Jacobischer Differentialgleichungen. In Kr. 757 wurde die allgemeine Jacobische Differentialgleichung:

(1) (yxx + y₂y + ys)(xdy — ydx)

— (utx + «₂ y + «₃ )dy + (ßyx + ßty + ß₃)dx = o

vermöge einer geeigneten projektiven Transformation in eine Differentialgleichung verwandelt, deren Integration die vorige Kummer gewidmet war. Will man wieder zur Jacobischen Differentialgleichung zurückkehren, so muß man statt x und y

gebrochene lineare Funktionen von x und y mit gleichen Kennern einsetzen.

Dabei verwandeln sich zwei ganze lineare Funktionen U und V in gebrochene lineare Funktionen mit gleichen Kennern. Somit ergibt sich aus (3) in voriger Kummer, daß folgende typische Formen für das Integral einer Jacobischen Differentialgleichung Vorkommen können:

(2)

UaVbW-a-b= konst.,

vs

ea

arc

tg(r: to = konst.,

U —

= konst., ~ eu = konst.,

worin U, V, W ganze lineare Funktionen von x und y bedeuten und a und b konstant sind.

Man kann umgekehrt zeigen, daß jede Gleichung (2) bei beliebiger Wahl der ganzen linearen Funktionen U, V, W und der Konstanten a und b in der Tat alle Integralkurven einer Jacobischen Differentialgleichung vorstellt. Denn wenn man vermöge der projektiven Transformation:

U² — VW

W²

(3)

W’

in die Gleichungen (2) neue Veränderliche x und y einführt, ergeben sich die Kurvenscharen:

xayb = konst., ]/x²-j- y² ea a’c tg ^:    = konst.,

x²—ÿ = konst., xJ,x = konst., d. h. die Integralkurven der vier Differentialgleichungen: aÿdx + bxdÿ = 0, (x — aÿ)dx -f- (ÿ -f- ax)dÿ = 0, 2xdx — dÿ = 0, (x — ÿ)dx -f xdÿ = 0,

die ihrerseits spezielle Jacobische Differentialgleichungen sind. Wenn man wieder x und y auf Grund der Gleichungen (3) in sie einführt, gehen also nach Satz 38, Nr. 756, vier Jacobische Differentialgleichungen hervor, deren Integrale die Funktionen

(2) vorstellen.

Wir gelangen daher zu folgender Übersicht:

Satz 41: Jede Jacobische Differentialgleichung:

(?!% +    + n)(.xdy — vdx)

— fax + «%y + cc₃)dy + fax + ß₂y + ß₃)dx = 0

läßt sich durch Einführung neuer Veränderlicher x und ÿ vermöge einer geeigneten reellen projektiven Transfonnation auf eine der folgenden vier Formen bringen:

aÿdx -j- bxdÿ = 0, (x — aÿ)dx + (ÿ -f ax)dÿ = 0, 2xdx — dÿ = 0, (x — y)dx -f xdÿ = 0, deren Integrale sind: .

x ey 'x «= konst.

xayb = konst., ]/x² + ÿ² ea arc tg = konst., x² — ÿ = konst.,

Nach Satz 34, Nr. 753, sind die Integralkurven der Jacobi-schen Differentialgleichung (1) die Bahnkurven einer eingliedrigen projektiven Gruppe. Deshalb kommen ihnen viele merkwürdige geometrische Eigenschaften zu, die systematisch zuerst von Klein und Lie abgeleitet wurden, von denen sie den allerdings wenig bezeichnenden Namen W-Kurven erhalten haben.

Nach dem Vorhergehenden haben wir also die Bahnkurven aller eingliedrigen projektiven Gruppen der Ebene auf vier typische Formen zurückgeführt, indem wir die Ebene jedesmal

[759

in einer geeigneten Weise mittels einer reellen projektiven Transformation abgebildet haben. Das Integrationsverfahreü, das wir dabei benutzten, war in zwei Schritte zerlegt worden, indem die Jacobische Differentialgleichung zuerst in eine spezielle verwandelt (in Nr. 757) und alsdann diese (in Nr. 758) integriert wurde. Man kann aber auch direkt Vorgehen, und dies soll hier wenigstens in einem Falle gezeigt werden, den man den Hauptfall nennen kann. Im Übrigen kommen wir auf die allgemeine Integration im zweiten Paragraphen des nächsten Kapitels gelegentlich (in Nr. 775) zurück.

In Nr. 757 ergab sich, daß die Jacobische Differentialgleichung (1) insbesondere eine Gerade als Integralkurve hat, und zwar folgte dies daraus, daß der kubischen Gleichung (5) in Nr. 757 wenigstens eine reelle Wurzel q zukommt. Dies läßt sich nun in dem Falle, wo die kubische Gleichung drei verschiedene reelle Wurzeln q1} q₂, q₃ hat, noch weiter ausnutzen. Alsdann nämlich gibt es drei Geraden:

(4) axx + a₂y + «₃ = °, \x + b₂y + b₃ = 0, ctx -f- c₂y + c₃ = 0,

die Integralkurven sind, und es ist leicht zu sehen, daß dabei die Determinante der at, b{, ci nicht verschwindet. Folglich stellen die Gleichungen:

% x -4- a% y + ct8 oc -F c₂ y -f- c₃ *

(5)

J Clx+Ciy + cs eine projektive Transformation dar, vermöge derer man neue Veränderliche x und ÿ in die Jacobische Differentialgleichung (1) einführen kann. Analog der Gleichung (7) von Nr. 757 ist nun bei dem Systeme:

dx

(6)

M = aw + «2 y + «3 — x(vw + v₂y + vs)>

= ßw + ß₂y + ßs - y{vw + r₂y + ya),

das die Differentialgleichung (1) ersetzt, auch:

d(a,xA a₃y A a₃)

dt

d(bi x + b₂ y + 6S)

dt

d(c,x -f c₂y + cs)

dt

= (aw + °₂y + as)(Qi - vw - v₂y - Vs),

= (btx + b₂y -f b₃)(p₂ - ytx - y₂y — y₃), fax + c₂y + c₃)(p₃ - yxx - y₂y - y₃).

Berechnet man auf Grund dieser Gleichungen die Ableitungen der Funktion (5) nach t, so kommt sehr einfach:

dx ,    , _

dt ~~ i— Qa)æ)

und hieraus ergibt sich durch Division die neue Form der Jacobischen Differentialgleichung :

'<!

SO

(?2

(?)

((>2 - Ps) + (p3 - Ql) y = 0,

deren Integration liefert:

xQi ÇïyÇ* Ci _ konst.

Werden für x und y wieder die Werte (5) eingesetzt, so ergibt sich als Integral der Jacobischen Differentialgleichung (1):

(8) + +

Cs Ç3

Cs Pi

Ci Cs

ipxxĄ-\y + b₃)

= konst.

Wenn man die drei ganzen Funktionen mit U, V, W und p₂—p₃ mit a, (>₃ —- mit b bezeichnet, nimmt das Integral die erste typische Form in (2) an.

Wenn von den drei verschiedenen Wurzeln    P3 zwei

imaginär, also konjugiert komplex sind, etwa und p₃, so kann man immer noch drei Integralgeraden (4) bestimmen, aber die zweite und dritte werden imaginär, indem sich für b₁ und çlt ebenso für b₂ und c₂ und schließlich auch für b₃ und c3 konjugiert komplexe Werte ergeben. Alsdann kann man aber das Integral (8), nachdem man seinen Logarithmus gebildet hat, mit Hilfe der Formel (2) von Nr. 376 auf eine reelle Form bringen, und so ergibt sich die zweite unter (2) angegebene typische Form. Die beiden anderen Fälle in (2) ergeben sich, wenn die kubische Gleichung für q nicht lauter verschiedene Wurzeln hat.

760. Eine Eigenschaft der Integralkurven einer allgemeinen Jacohischen Differentialgleichung. In dem

Hauptfalle, wo die drei Wurzeln ç der kubischen Gleichung reell und voneinander verschieden sind, besagt die Existenz der drei Integralgeraden, siehe (4) in der letzten Nummer, daß diejenige eingliedrige projektive Gruppe, die von der infinitesimalen Transformation :

(1)

\.<hx + «ay + «3 — x(vix + ysy + r*)] ^ + [ßix + ß₂y + ßa — y{Vix + y₂y + y₃) J

df

dy

erzeugt wird, drei gerade Linien invariant läßt, die ein wirkliches Dreieck bilden. Die Ecken A, B, C des Dreieckes sind deshalb invariante Punkte (siehe Fig. 36). Vermöge der projektiven Transformation (5) in der letzten Nummer werden die beiden ersten Geraden in die Geraden x = 0, ÿ = 0 verwandelt, während für die dritte Gerade x = ÿ — oo wird; sie wird also ins Unendlichferne transformiert. Die drei Punkte A, B, 0

'B

p

Im

fl

M(æ,ÿ)

->•

Fig. 36.

Fig. 37.

sind daher im neuen Achsenkreuze der Anfangspunkt 0 und die beiden unendlich fernen Punkte der x- und ÿ-Achse. Bedeutet nun M einen beliebigen Punkt (x, ÿ), siehe Fig. 37, so seien von ihm die drei Geraden nach diesen drei Punkten gezogen, d. h. die Gerade MO und die Parallelen zu beiden Achsen.

Die Differentialgleichung (7) in der letzten Nummer ordnet M ein Linienelement zu, das mit der ä;-Achse einen Winkel t bildet, für den

tg r = rlJL =    e:' y_

° dx — çs x

ist. Es sei T die Gerade dieses Elements. Nun gehen von M vier Geraden aus, deren Winkel mit der ä?-Achse die vier Tangens haben:

Qi — Qs y

Ql—QzX

Das Doppelverhältnis von vier von einem Punkte M ausgehenden Geraden (vgl. Nr. 752) ist aber, wie man leicht erkennt, das der vier Tangens, also hier:

Sil *SI

, o,

⁰⁰,

__y p?—e₈ y__y

x q, — (»g Zc &

* fa ~ fa y 0 Pi Pa æ

Der erste Bruch wird, weil oo im Zähler und Nenner dieselbe Bedeutung hat, gleich Eins, so daß sich der Wert:

Pa Pg Pa Pi

OO — 0

■ergibt, der konstant ist.

Kehren wir nun zur Fig. 36 zurück, d. h. führen wir hie vorhin angewandte projektive Transformation rückwärts aus, so tritt an die Stelle des beliebig gewählten Punktes M ein beliebiger Punkt M oder (x, y), dem die Jacobische Differentialgleichung ein Linienelement zuordnet, dessen Gerade die Gerade l sei. Die vier Geraden, von denen vorhin die Rede war, werden nun in die Geraden MA, MB, MC und l verwandelt, und da die angewandte projektive Transformation das Doppelverhältnis ungeändert läßt (nach Nr. 752), so folgt:

(2)

(MA, MB, MC, l) = 1,2    (':i •

Pa Pi

Die Integralkurven der Jacobischen Differentialgleichung haben also im Hauptfalle die Eigenschaft, daß in allen Punkten M dieser Kurven das Doppelverhältnis, das die Kurventangente l daselbst mit den Geraden MA, ALB, MC bildet, ein und denselben Wert hat. Die drei Punkte A, B, C sind dabei diejenigen, die bei der infinitesimalen projektiven Transformation (1) in Ruhe bleiben; ihre Koordinaten genügen also den beiden Bedingungen:

(3)

«i^ + cc₂y + a₃— x(yxx + y₂y + y₃) = 0, ßiX + ß₂y + ß₃ - y(yxx + y₂y -f- y₃) = 0,

die zwei Kegelschnitte mit einer gemeinsamen Asymptotenrichtung darstellen, so daß die Kegelschnitte in der Tat drei im Endlichen gelegene Punkte A, B, C gemein haben.

Da die Jacobische Differentialgleichung in der Form:

dy ₌ ßix + ß₂y + ßs — y(viX d-raS/fi-fa)

dx cc₁x-\-cciy + cci—x(ylx-\ryiy-{-yz)

geschrieben werden kann, sieht man auch, daß die Integral-

[760

kurven nirgends singuläre Stellen haben können, abgesehen von denjenigen Stellen, wo die rechte Seite dieser Gleichung unbestimmt wird, und dies sind gerade die gemeinsamen Punkte A, B, C der beiden Kegelschnitte (3).

Die vorhin gefundene Eigenschaft (2) der Integralkurven oder W-Kurven (vgl. Nr. 759) gestattet noch mancherlei andere Eigenschaften derselben Kurven zu ermitteln. Auch läßt sich eine analoge Eigenschaft in den anderen Fällen finden, wo die kubische Gleichung für q nicht drei verschiedene reelle Wurzeln hat. Aber wir müssen uns mit diesen Andeutungen begnügen.

Viertes Kapitel.

Systeme erster Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen.

§ 1. Systeme in der Normalform.

761. System der Hauptlösungen und allgemeines Lösungensystem. Unter dem Bereiche eines Systems erster Ordnung von n gewöhnlichen Differentialgleichungen in der Normalform (vgl. Nr. 665):

(1)

(i = 1, 2,.. . n)

% = fi(%, Vt, ys, ■ • • Vn)

wird ein Variabilitätsbereich verstanden, innerhalb dessen fXJ f₂, • • • fn solche stetige Funktionen aller n -j- 1 Veränderlichen x, yltya, ... yn sind, denen stetige partielle Ableitungen erster Ordnung hinsichtlich der n Veränderlichen yt, y₂, . . . yn zukommen. Das System (1) soll nur in diesem Bereiche untersucht werden. Wenn die Werte:

(2)

x = a, y^\, y₂ = b₂, ... yn=bn eine bestimmte Stelle im Bereiche definieren und wenn x₀ sowie yx°, y₂Q, . . . yn° in gewissen Umgebungen von a und von bl7 b₂, ... bn beliebig gewählt werden, ist nach Satz 9, Nr. 691, ein und nur ein Lösungensystem:

(3)

Vi= <Pi(x, Vx, vł, • • • yn) vorhanden, das für x = x₀ die Anfangs werte yx°, y₂°, . . . yn° hat. Es sind dies in einer gewissen Umgebung von x₀ stetige Funktionen von x mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung; übrigens kann man j x₀ — a | so klein wählen, daß insbesondere x = a dieser Umgehung von x₀ angehört. Die Lösungen sind ferner stetige Funktionen der n Anfangswerte yx°, y₂, . . . yn° und haben nach Satz 10, Nr. 692, stetige partielle Ableitungen erster Ordnung hinsichtlich dieser Anfangs-wTerte.

Da dem Lösungensysteme (3) für x = x₀ gerade die Werte y®, y2°7 • ■ • Vn zukommen, heißt es das zu den Anfanysiverten x₀, y®, y₂, . . . yn° gehörige System von Hauptlösungen. Da es ferner, so lange x₀ und y®, y₂°, . . . yn° in Umgebungen der Stelle x = a bzw. (bl} b₂, . . . hn) willkürlich bleiben, die Gesamtheit aller dort vorhandenen Lösungensysteme umfaßt, beißt es auch das allgemeine Lösungensystem in der Umgehung der Stelle (2). Werden dagegen die Anfangswerte bestimmt gewählt, so liegt nur ein partikulares Lösungensystem vor.

Da jedes partikulare Lösungensystem (3) für x = a ein gewisses Wertsystem Ct, C₂, ... Gn in der Umgebung der Stelle (bv h₂, . . . hn) wird, stellt (3) auch dann noch alle Lösungensysteme in der Umgebung der Stelle (2) dar, wenn darin x — a gesetzt und nur noch für yx°, y₂°, . . . yn° willkürliche Konstanten Clf C₂, ... Gn angenommen werden:

Vi = <Pifa a, CU C₂, ... Cn) (i = 1, 2,. . . n).

Die bestimmte Zahl a braucht aber unter dem Funktionszeichen nicht vermerkt zu werden. Demnach sei das allgemeine Lösungensystem in der Umgebung der Stelle (2) von jetzt an so dargestellt:

(4)

Vi⁼⁽Pi{X, C17 Cî, • • • Cn)

(f = 1, 2,. . . n).

Die darin enthaltenen n willkürlichen Konstanten C1} C₂,... Cn, die sogenannten Integrationskonstanten, bedeuten diejenigen Werte, die dem Lösungensysteme für x = a zukommen, und deshalb sind die Funktionen (4) nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung hinsichtlich C1} C₂, . . . Cn stetig. An

dererseits sind sie nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung hinsichtlich x stetig. Hieraus folgert man leicht, daß sie hinsichtlich aller n -j- 1 Größen x, Ct, C₂, . . . Cn stetig sein müssen.

Denn wenn x die Zunahme Ax erfährt und 6\, C₂, ... Cn um z/Cj, AC₂, . . . ACn wachsen, bekommt y{ nach (4) die Zunahme:

4yt = <Pi(x + Ax, Ct + 4Clt . . . Cn + JCn) - tpfa Gl}... Gn),

die sich nach Subtraktion und Addition von (p^x -f- Ax, C1}... Cn) auch so darstellen läßt:

761J

(5) Ayt = ą> {(x + A x, Ct -f ACy, ...CnJr A Cn) — cpi (x + Ax, Cy,... Gn)

+ <Pi(x + C₁, • •. Cn) — <p.(x, Cy, ... Cn).

Weil nun ein partikulares Lösungen system (4) überall in der Umgebung der Stelle (2) vorhanden ist, sind auch die n Funktionen q){(x -f Ax, Cy, ... Cn) hinsichtlich Ct, C₂, ... Cn stetig. Demnach hat die in der ersten Zeile von (5) stehende Differenz für lim ACy = 0, . . . lim A Cn = 0 den Grenzwert Null, und dasselbe gilt von der in der zweiten Zeile stehenden Differenz für lim Ax = 0. Folglich ist lim Ayl.= 0 für lim /Ix = 0 und lim ACy = 0, ... lim A Cn = 0, was zu beweisen war.

Die partiellen Ableitungen der n Funktionen (4) nach Cy, C₂, ... Gn haben insbesondere an der Stelle x = a leicht zu berechnende Werte, weil die Funktionen selbst dort gleich Cy, C₂, . . . Cn werden. Denn wenn z. B. nur Cy um A Cy wächst und Ay{ die zugehörige Zunahme von y{ bedeutet, hat der Zähler des Differenzenquotienten:

AC.

JC,

fiG'i Q    zjCy, Ç2,... Cn) tpiiXi fi i Cg,... fi,)

an der Stelle x = a für i =)= 1 den Wert Gi — Ci— 0, dagegen für i — 1 den Wert Cy-f- ACy — Cy = ACy. Folglich ist der Differenzenquotient an der Stelle x = a gleich Eins oder Null, je nachdem i = 1 oder i 4= 1 ist. Für lim z/Q = 0 ergibt sich dasselbe für den Differentialquotienten dyi:dC₁. Ebenso erkennt man, daß überhaupt allgemein dyi:dCk an der Stelle x = a gleich Eins oder Null wird, je nachdem i = Je oder i 4= /»' ist. Weiterhin folgt hieraus, daß die Funktional determinantę:

(M a

O

■ ■ ■ <Pn

an

der Stelle x = a den Wert Eins hat. Deshalb läßt sich die Umgebung der Stelle x — a nach Satz 11, Nr. 693, soweit «inschränken, daß überall in ihr die Funktionaldeterminante von Null verschieden bleibt und mithin cpi7 cp₂, . . . epn von einander unabhängig hinsichtlich Cy, C₂, ...(?„ sind.

Deutet man x, y₁₇ y₂, ... yn wie in Nr. 668 als Koordinaten der Punkte in einem Raume von n + 1 Dimensionen, so ordnet

das System (1) jedem Punkte des Bereiches ein und nur ein bestimmtes Liniendement zu. Jedes Lösungensystem wird alsdann durch eine sogenannte Integralkurve dargestellt, deren Linienelemente sämtlich der Schar dieser Elemente angehören. Insbesondere definiert das allgemeine Lösungensystem (4) die Gesamtheit derjenigen Integralkurven, die in der Umgebung des Punktes (2) verlaufen. Diese Gesamtheit erfüllt die Umgebung einfach, d. h. durch jeden Punkt der Umgebung geht eine und nur eine Integralkurve (vgl. Nr. 703).

762. Integrale. Unter einem Integral des Systems: <hh ₌

(} = 1, 2, . . . w)

versteht man eine Funktion hl der n + 1 Veränderlichen x, yx, y₂, . . . yn, die für jedes solche Lösungensystem von (1) konstant ist, das dem Variabilitätsbereiche von Q angehört. Vorausgesetzt wird natürlich, daß der Variabilitätsbereich von Q in dem Bereiche des Systems (1) gelegen sei.

Der Satz 17 "von Nr. 697 lehrt, angewandt auf das allgemeine Lösungensystem (4) in der vorigen Nummer, daß dies Lösungensystem Auflösungen hinsichtlich Oj, C₂, . . . Cn hat:

(fe = 1,2,... n\

(i)

(2)

dx

Vi, y₂, ■■■ yn)

die nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung in der Umgebung der Stelle (a, bx, b₂, . . . bn) stetig sind. Die n Funktionen coj, co₂, . . . oon sind folglich für jedes Lösungensystem in dieser Umgebung konstant und deshalb Integrale des Systems (1). Man kann co₁, a>₂, . . . con als die zu y₁= <p1; . . .

yn = cpn inversen Funktionen (vgl. Nr. 698) bezeichnen, wenn man von der in den ra und

<P

noch vorkommenden Veränder-

liehen x absieht. Die Funktionaldeterminante von co₁, œ₂, . . . con hinsichtlich yi7 y₂, . ■ . yn ist deshalb nach Satz 6, Nr. 81, der reziproke Wert der in voriger Nummer betrachteten Funktionaldeterminante. Mithin sind a>₁, a>₂, . . . con von einander unabhängig hinsichtlich yx, y₂, ... yn. Wenn man von unabhängigen Integralen spricht, meint man stets, daß sie hinsichtlich der gesuchten Funktionen y1} y₂, . . . yn von einander unabhängig sein sollen.

Wenn £1 ein differenzierbares Integral des Systems (1)

für die Funktion ' Si der n -j- 1 unabhängigen Veränderlichen x,

Vu y 2, • • • yn ist-

, con gesetzt

bedeutet, wie z. B. co₁₇ m₂, ... con differenzierbare Integrale sind, so bat Si, falls darin unter y₁, y₂, . . . yn ein System von Lösungen von (1) und daher Funktionen von x verstanden werden, als Funktion von x die Ableitung:

dSl da , da dyx da dy^ dy, dx ' dy₂ dx

die nach (1) den Wert annimmt:

₌ I f    f _l . . . _L_ f un .

dx dx ' '¹ dyx ' '² dy% '    ' nöyn

Weil nun für jedes Lösungensystem Si = konst., d. h. dSi:dx = 0

sein soll, ergibt sich der

Satz 1: Eine differ en zierbare Funktion Si von x, y1} y₂,. ■ ■ yn stellt dann und nur dann ein Integral des Systems von n gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung:

= fi(x, Vu y• ■ • yJ

dx dx

da

dVi

j_____i djffdÿn

'    ^ dyn dx ’

da

(Ż == 1, 2, . . . n)

dar, wenn sie eine Lösung der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung:

dx

da

dx

+ fi

da

da

da

ö2/i

oyn

Insbesondere also wird diese partielle Differentialgleichung erster Ordnung durch die n Funktionen Si = o₁, co₂, . . . con befriedigt. Es leuchtet wie in Nr. 706 ein, daß jede Funktion F von mlf œ₂, ... an ein Integral ist, da sie mit col, to₂, . . . œn für jedes Lösungensystem konstant wird. Dies läßt sich nun umkehren: Wenn man in einem Integral Si für y₁, y₂, ... yn das allgemeine Lösungensystem (4) aus voriger Nummer substituiert, geht zunächst eine Funktion von x und den n Konstanten Clf C₂, . . . Cn hervor. Sie muß aber als Integral von x frei sein, d. h. sie ist eine Funktion von Clf C₂, . . . Cn allein. Die gemachte Substitution wird wieder rückgängig gemacht, wenn für Clf C2} ... Cn die Funktionen gj₁₇ co werden. Dadurch ergibt sich, daß Si eine Funktion von col7 co₂, . . . mn allein sein muß. Mithin gilt der

Satz 2: Das System erster Ordnung von n gewöhnlichen Differentialgleichungen :

Si-;

** iS?

rH

hat in der Umgebung einer Stelle seines Bereiches stets n unabhängige Integrale, die nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung in dieser Umgebung stetig sind. Jede Funktion dieser Integrale ist ebenfalls ein Integral, und andere Integrale gibt es nicht.

Hieraus folgt noch ein Satz über diejenige partielle Differentialgleichung, von der in Satz 1 die Rede war, nämlich

Satz 3: Fs liege eine partielle Differentialgleichung erster

Ordnung:

dsi da . - da .    ... da n

für eine Funktion Si von n -f- 1 unabhängigen Veränderlichen x, y₁, y₂, . . . yn vor. Dabei seien /],/,, ... fn in der Umgebung einer Stelle x = a, yl = bl, y₂ — b.₂, . . . yn = bn stetige Funktionen von x, ylf y₂, . . . y/t, und insbesondere seien auch ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung hinsichtlich der n Veränderlichen yx, y.₂, ■ ■ ■ yn in dieser Umgebung stetig. Alsdann gibt es n Lösungen Si = eox, oo₂, ... an, die nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung in jener Umgebung stetig und insbesondere hinsichtlich yx, yS) . . . yn von einander unabhängig sind. Ferner ist jede Funktion von col, co₂, . . . con allein ebenfalls eine Lösung, und sonst gibt es keine Lösung mehr.

Man erkennt hieraus, daß die Aufgabe, das System erster Ordnung von n gewöhnlichen Differentialgleichungen (1) vollständig zu integrieren, der Aufgabe äquivalent ist, diese partielle Differentialgleichung erster Ordnung vollständig zu integrieren.

763. Verschiedene Formen des allgemeinen Lösungensystems, der Integrationskonstanten und der Integrale. Hat das System:

(i)

S = fi(x> y±> y*> • • • yn)

(• -1,2,... *)

wie in Nr. 761 in der Umgebung einer Stelle (a, b1} &₂, . . . bn) das allgemeine Lösungensystem:

(2)

J, — CUC„ ...C„)    (» — 1,2,... *),

wobei Cx, C.₂, . . . Cn diejenigen Werte bedeuten, die yx, y₂, . . . yn

76», 763]

für x = a annehmen, so ist es leicht, den Funktionen (2) eine andere Form zu geben, indem man statt Clf C2} ... Gn dadurch n neue Integrationskonstanten c1} c₂, ... cn einführt, daß man allgemein :

(3)

Q ⁼    1} C2> ‘    • Cn)

setzt. Hier sollen^, ÿ₂, . . . il>n solche n Funktionen sein, die denjenigen Bedingungen genügen, unter denen nach Satz 18, Nr. 698, zugehörige inverse Funktionen rF₁, If₂, . . . Wn vorhanden sind, so daß:

O' = 1, 2,. . . n)

(4)

<*= vM, c₂,... cn)

die Auflösungen der Gleichungen (3) nach cx, c₂, . . . cn vorstellen. Vermöge der Substitutionen (3) geht eine neue Form des allgemeinen Lösungensystems (2) hervor:

®i(x, Gi, c₂, ... cj

Wenn die Auflösungen der Gleichungen (2) nach C1} C2r . . . Cn wie in Nr. 762 die Form haben:

<7t.= m.(x, yu y₂, ... yn) erkennt man leicht, daß auch die Gleichungen (5) Auflösungen nach c1} c₂, ... cn haben. Denn die Auflösungen ergeben sich aus (4) und (6) in der Form:

(5)

(6)

(7)

0 = 1, 2, . .. »).

0 = 1, 2, . . . n),

o = 1, 2,.n\

o», • • • ©*)

Demnach sind diese Funktionen W₁, lF₂, ... Wn ebenfalls n unabhängige Integrale. Einerseits nämlich sind sie hinsichtlich ö1? o₂, . . . mn von einander unabhängig, und andererseits sind co₂, . . . mn hinsichtlich y1} y₂, . . . yn von einander unabhängig (vgl. Satz 5, Nr. 81).

Die Auflösung der Gleichungen (5) des neuen allgemeinen Lösungensystems gibt somit n neue unabhängige Integrale:

(8)

0 = 1, 2,. . . n\

• • o

Da die Auswahl der n Funktionen xk₂, . .. ikn nur durch jene Bedingungen beschränkt ist, die man nach Nr. 698 solchen Funktionen auferlegen muß, zu denen es inverse geben soll, erkennt man also, daß das allgemeine Lösungensystem (2) auf sehr verschiedenartige neue Formen (5) gebracht werden kann.. Zu jedem erlaubten Wertsysteme der Konstanten C1} C₂, ....Cn gehört dabei ein Wertsystem der Konstanten cif c₂, . . . cn der-

art, daß die n Funktionen (2) mit den n Funktionen (5) überein -stimmen.

Umgekehrt werde jetzt angenommen, daß £i1} Si₂, . . . Hn irgendwelche solche n unabhängige Integrale des Systems (1) in der Umgebung der Stelle x = a, yt = bl: ■ . .yn=bn seien, die sich nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig verhalten. Nach Satz 2 der letzten Nummer sind sie Funktionen W₂, . . . Wn der n Integrale oo₁, co₂, ... on wie in (8). Ferner ist nach Satz 5, Nr. 81:

Cf 3"

C? 3

... co

n

«as 8

H* (-*■

. . &

n

••• Vre

Da die linksstehende Funktional déterminante und die zweite

rechtsstehende von Null verschieden ist, ergibt sich hieraus, daß die Funktionen £lv Sl₂, ... £ln auch hinsichtlich öj, co₂, ... con von einander unabhängig sind. Indem man nun &il} H₂, . . . Sin oder, was dasselbe ist, W₂, . . . Wn gleich n willkürlichen Konstanten ct, c₂, . . . cn setzt, gelangt man rückwärts von den Gleichungen (7) oder (4) zu den Gleichungen (3).

Mithin gilt der

Satz 4: Es seien Si₂, . . . Sin solche n unabhängige

Integrale des Systems erster Ordnung von n gewöhnlichen Diffe-ren tialgieichungen :

⁽Hi

dx

fi(%, yi,ySf- yj (*' = 1,2,... n),

die nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung in der Umgebung einer Stelle x = a, yl= bx, . .. yn = bn des Bereiches des Systems stetig sind. Alsdann definieren die n Gleichungen:

yi, y%, • • • yn) =c.-

das allgemeine Lösungensystem in jener Umgebung, falls die n Integrationskonstanten cly c₂, ... cn in einer Umgebung derjenigen Werte willkürlich gewählt werden, die den n Funktionen Si₂, ... Qn an der Stelle x = a, y₁ = bl, . . . yn=bn zukommen.

Solche n Integrale £lly Si₂, . . . £ln wie die in diesem Satze erwähnten heißen ein vollständiges System von Integralen. Man kann nämlich sagen, daß die Aufgabe, das vorgelegte System von Differentialgleichungen zu integrieren, im wesentlichen gelöst ist, wenn ein vollständiges System von Integralen SIX1 Si₂, 763]

. . . Sin ermittelt worden ist, denn dann kommt es nur noch darauf an, die n Gleichungen = konst, nach yx, y₂, . . . yn aufzulösen. Jede Funktion der n Integrale £lX} . . . Sin ist nach Satz 2, Nr. 762, ebenfalls ein Integral, und außerdem gibt es keines.

Dasjenige vollständige System von Integralen, das sich zuerst in voriger Nummer ergab, nämlich co1; co₂, ... con) ist von besonderer Art. Denn in:

ai(x,    Vn) = Ci

O' = 1; 2, . . . n)

sind C₁, 0₂, ... Gn diejenigen Werte, die ytJ y₂, . . . yn für x = a annehmen.

Jede Gleichung, die man aus den Gleichungen (9) durch * Elimination und Substitution gewinnen kann, heißt eine Integralgleichung.

764. Geometrische Deutung im Falle zweier abhängiger Veränderlicher. Das Notwendigste über die geometrische Deutung eines Systems erster Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen in der Normalform wurde in Nr. 667, 668 und gelegentlichen Bemerkungen der Nr. 761 gebracht. Aber es dürfte angemessen sein, insbesondere im Falle n = 2, wo zur Deutung von x, y₁ und y₂ als Koordinaten der gewöhnliche Raum zur Verfügung steht, die geometrische Veranschaulichung noch etwas genauer zu besprechen.

Das System:

(i)

Yix — fi(x> yi) y 2)?    — f*(pt y u y2)

ordnet einem Punkte M mit den rechtwinkligen Koordinaten xi y xi y2 dasjenige Linienelement zu, dessen Richtungskosinus nach Nr. 667 zu dx, dyx, dy.₂ oder also zu 1, /j, f₂ proportional sind. Jedes Lösungensystem yx, y₂ besteht aus zwei Funktionen von x und wird durch eine Integrallmrve veranschaulicht, nämlich durch eine Kurve, der lauter Linienelemente von der erwähnten Art angehören. Jede Aufgabe also, die verlangt, solche Raumkurven zu bestimmen, denen in jedem Punkte eine bestimmte Tangentenrichtung vorgeschrieben ist, findet ihren analytischen Ausdruck in einem Systeme von der Form (1).

Serret-Scheffers, Diff.-u.Integral-Kechnung. III. 3. Aufl.

Bedeutet:

(2)

Vi 9h OL    Vi 9h (.xj @1) ^2)

das allgemeine Lösungensystem von (1) in der Umgebung einer Stelle x = a, yl=b₁, y^:=b₂, so definiert es für jedes erlaubte Wertepaar der Integrationskonstanten Cx, C₂ eine Integralkurve k in der Umgebung des Punktes M₀ oder (a, bx, b₂), und die Gesamtheit dieser Integralkurven k erfüllt die Umgebung von Mq einfach, d. h. durch jeden Punkt der Umgebung geht eine und nur eine Integralkurve, so daß also auch keine zwei verschiedene einander berühren können. Ihre Schar wird zweifach unendlich genannt, weil die Individuen der Schar von zwei willkürlichen Konstanten Cu C₂ abhängen.

Bedeutet Si(x, yx, y₂) ein Integral des Systems (1), so definiert die Gleichung Si = konst, eine einfach unendliche Schar von Flächen, und jede Fläche der Schar wird durch eine einfach unendliche Schar von IntegraTkurven k überdeckt. Denn durch jeden Punkt der Fläche geht eine und nur eine Integralkurve, und diese Kurve verbleibt auf der Fläche, weil

zwei unabhängige Integrale, so >J2£ offenst sie ein vollständiges System von Integralen bilden, so definiert jede der beiden Gleichungen Six = konst.

Si₂ = konst.

eine einfach unendliche

Si für jedes Lösungensystem konstant ist. Sind Si. und Si«

und

-y-

Je^Konst.

Fig. 38.

Flächenschar, s. Fig. 38. Durch irgend einenPunkt M in der Umgebung von M₀ geht je eine Fläche der ersten und zweiten Schar und außerdem eine Integralkurve k. Diese Integralkurve k muß der ersten und zweiten Fläche angehören, daher ihre Schnittkurve sein. Die zweifach unendliche Schar aller Integralkurven wird somit als Durchschnitt der beiden einfach unendlichen Scharen von Flächen Six = konst, und Si₂ — konst, erzeugt.

Wenn alle Integralkurven bekannt sind, kann man jedes Integral Q(x, yx, y₂) geometrisch konstruieren: Man wählt eine einfach unendliche Schar von Raumkurven c aus, d. h. eine Schar, die von einer willkürlichen Konstanten abhängt, jedoch so, daß diejenigen Integralkurven, die von den Punkten irgend einer Kurve c ausgehen, nicht auch die anderen Kurven c treffen. Alsdann erzeugen jedesmal alle von einer Kurve c ausgehenden Integralkurven k eine Fläche, siehe Fig. 39, und die Gesamtheit dieser Flächen wird durch eine Gleichung £l(x, y1} yf) = konst, dargestellt, deren linke Seite ß ein Integral des Systems (1) ist.

1. Beispiel: Irgend einem Punkte M oder (x, yx, yf) sei dasjenige Linienelement zugeordnet, das auf dem Radiusvektor OM liegt, so daß dx, dyx, dy₂ zu x, yx, y2 proportional sind und demnach:

dVi Vi

Fig. 39.

(3)

dVt ^ Vi

x ’ dx x

das zu betrachtende System von Differentialgleichungen ist. Dies Beispiel wurde schon in Nr. 667 gebracht, wo sich ergab, daß die Integralkurven alle Strahlen vom Anfangspunkte 0 aus sind. Dieser Punkt selbst ist auszuschließen, weil für ihn die Funktionen yx : x und y₂ : x unstetig werden. Eine von lauter Integralkurven erzeugte Fläche ist eine Kegelfläche mit der Spitze 0; sie wird nach Nr. 346 durch eine Gleichung zwischen yx : x und y₂ : x dargestellt. Jedes Integral ß des Systems (3) ist deshalb eine Funktion von yx : x und y₂ : x allein, und jede Funktion von yx : x und y₂ : x allein ist ein Integral. Dies steht mit Satz 2, Nr. 762, im Einklänge, denn es sind insbesondere yx : x und y₂ : x Integrale. In der Tat wird die partielle Differentialgleichung, die in Satz 1, Nr. 762, für alle Integrale ß des Systems angegeben wurde und hier so lautet:

dx

da yt da I ÿ₈ gfi ^ n dx ' x dyx x dy₂ ’

durch die Annahmen ß = yx: x und ß = y₂ : x erfüllt. Die beiden Flächenscharen yx : x = konst, und y₂ : x — konst, sind

dyx = _ ü d2L\ ₌ o dx    Vi ’ dx

die Scharen aller Ebenen durch die y ₂-Achse bzw. yx-Achse-, ihr Durchschnitt besteht in der Tat aus allen Strahlen von 0 aus.

2. Beispiel: Irgend einem Punkte M oder (x, yx, y₂) sei dasjenige Linien element zugeordnet, das der xyx-Ebene parallel ist und mit dem Lote von M auf die y₂-Achse einen rechten Winkel bildet. Hier muß dy₂ — 0 und dyx : dx — — x : y₁ sein, so daß :

(4)

das zu betrachtende System von Differentialgleichungen vorstellt. Weil die Differentiale von x² + yt² und y₂ infolge von (4) verschwinden, bilden x² -f- y ² und y₂ ein vollständiges System von Integralen. Gleich willkürlichen Konstanten gesetzt stellen sie die Schar aller Rotationszylinder mit der y₂-Achse und die Schar aller Ebenen senkrecht zur y₂-Achse dar; ihr Durchschnitt besteht aus allen Kreisen, deren Mittelpunkte auf der y₂-Achse liegen und deren Ebenen zur y₂-Achse senkrecht sind. Diese Kreise sind somit die Integralkurven. Eine Fläche wird von lauter Integralkurven erzeugt, wenn sie eine Rotationsfläche mit der y₂-Achse ist, so daß ihre Gleichung nach Nr. 348 eine Gleichung zwischen x² + y ² und y₂ allein sein muß. Jedes Integral ist deshalb eine Funktion von x² -j- yf2 und y₂ allein, und dies steht wieder im Einklänge mit Satz 2 von Nr. 762, Jede Funktion £2 von x²y ² und y₂ allein genügt der partiellen Differentialgleichung:

= 0,

d£i x d£l dx yx dyl

wie es nach Satz 1, Nr. 762, sein muß.

765. Einige Integrationsmethoden. Wie in § 2 des

dritten Kapitels kann man auch für gewisse Klassen von Systemen erster Ordnung in der Normalform besondere Integrationsmethoden entwickeln. Je größer jedoch die Anzahl n der gesuchten Funktionen^, y₂, . . . yn wird, um so mannigfaltiger und unübersichtlicher gestalten sich diese speziellen Verfahren. Wir begnügen uns daher mit einigen wenigen Hinweisen. Systeme von der Form:

(i.)

(i = 1, 2, . . . »),

bei denen also jede einzelne Gleichung die Ableitung einer der gesuchten Funktionen yi als Funktion von x und yi allein gibt, integriert man, indem man jede einzelne Gleichung für sich als eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung zwischen x und yi behandelt. Man erkennt, daß das allgemeine Lösungensystem die Form hat:

(<-l, ; • •

to

y* = <Pifa °i)

Systeme von der Form:

(2)

= fi Ob Vi, y₂, ■ • • Vi)

0 =    2, • • • n),

bei denen also die ite Gleichung frei von yi + 1, yi+2, ■ • • Vn behandelt man so: Die erste Gleichung ist eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung zwischen x und yx allein. Hat man ihre allgemeine Lösung yx '== q?x (x, Cx) gefunden, so wird sie in alle n — 1 übrigen Gleichungen substituiert. Das hervorgehende System von nur noch n — 1 Gleichungen:

dVi

fi(x, <px, yv y₃, ... yt)

hat nun wieder die charakteristische Form des Systems (2), doch ist die Zahl n auf n— 1 verringert. Diesem Vorteile steht der Nachteil gegenüber, daß rechts in cp noch eine willkürliche Konstante Cx vorkommt. Das neue System wird nach derselben Methode behandelt, usw. Man erkennt, daß das allgemeine Lösungensystem die Form hat:

Vi= Cif C₂, . . . Q

(3)

(ix

0 = 2, 3, . . . n)

wo also die 7te Funktion von den n — i Integrationskonstanten (7,

. . Cn frei ist. 1. Beispiel: Das System:

äyx

dx

dx xa

dVi ¹ yi d^~^

_y%-A_y»

X² X

xa

gehört zu denen von der Form (2). Die erste Gleichung ist eine lineare Differentialgleichung für yx und hat nach Nr. 716 die allgemeine Lösung:

yx = x -j- Cxx²

mit der Integrationskonstante Cx. Wird sie in die zweite und dritte Gleichung substituiert, so kommt:

dh _ ^2__Çi ^ ₌ Vs_ __    _ Çi .

dx

x ’ dx x    x²    a:²

Dies System für y₂ und y₃ hat wieder die Form des Systems

(2), und die erste Gleichung ist wieder eine lineare Differentialgleichung für y₂ mit der allgemeinen Lösung:

y% = C\ + G%x

und der Integrationskonstante C₂. Substitution dieser Lösung in die letzte Differentialgleichung gibt:

d j/s _ Vs^ 2 G₁ ą '

dx

x²    x

Auch dies ist eine lineare Differentialgleichung für y₃ mit der allgemeinen Lösung:

-f- C₂ + C₃x

und der Integrationskonstante C₃. Folglich stellt:

yi = x + Ct x², y 2 = Cx -f- C₂ x, y₃ = -f C₂ -f C₃ x

das allgemeine Lösungensystem vor.

Ein sehr allgemeines Integrationsverfahren, über das sich jedoch keine besonderen Vorschriften machen lassen, besteht darin, daß man vermöge einfacher Substitutionen passende Funktionen von x, y 1; y₂, .. . yn als neue unbekannte Funktionen anstelle von yx, y₂, . .. yn einführt.

2. Beispiel: Gesucht werden im Baume (x, yx, y₂) die orthogonalen TrajeJctorien aller Kugeln, die im Anfangspunkte 0 die yxy₂-Ebene berühren. Die Gleichung einer solchen Kugel ist: F — x* — 2ax + yf + yf = 0.

Das einem Punkte (x, yx, y₂) der Kugel zugehörige Linienelement der gesuchten orthogonalen Trajektorie liegt in der Normale der Kugel. Nach (8) in Nr. 253 müssen daher dx, dyx, dy₃ zu Fx, Fyi, FtJi proportional sein, so daß sich ergibt:

dys = y»

dx x — a

dyi ₌ yt

dx x — a ’

Eliminiert man hieraus a vermöge der Gleichung JE = 0 der Kugel, so findet man das System:

__₌ 2xyi

dx x^ — yf — y.₂

(4)

dyi

dy₂

₌ ixy₂

dx    x* — y A — î/₂

dessen Integralkurven die gesuchten orthogonalen Trajektorien sind. Statt yt und y₂ sollen die neuen unbekannten Funktionen:

g «S'*

2 er.

*

¹    y 2 ’

eingeführt werden, d. h. es soll:

yt = xste₂, y₂ = xz₂

gesetzt werden. Das alsdann hervorgehende System lautet:

dzl

dx ^ dx

¹+ V +W . *«_ '

1 —Z,²—    x

Nach der ersten Gleichung ist konstant, gleich Ct. Demnach geht für z₂ die Differentialgleichung mit getrennten Veränderlichen hervor:

dx

1 — (1 + C,*)«,* dz, 1 + (1-f cw z.

die sich mittels Quadratur sofort integrieren läßt:

ln s₂ — ln [1 + (1 -j-    — \nx = konst.,

woraus folgt:

^2

1 + (1 + C^z,²

Wird wieder z₂ = y₂:x und Gx =    = yx : y₂ substituiert, so

gelangt man zu den beiden unabhängigen Integralen:

-- = Oi,

V2

-ft.

-f Vi² + y 2

Das erste stellt die Schar aller Ebenen durch die Æ-Achse dar

und das zweite die Schar aller Kugeln, die im Anfangspunkte die xyx-Ebene berühren. Die Durchschnitte beider liefern die Integralkurven; demnach sind die orthogonalen Trajektorien der Schar aller Kugeln, die im Anfangspunkte die yxys-Ebene berühren, diejenigen Kreise, die im Anfangspunkte die x-Achse berühren.

(5)

Angenommen, es sei von dem Systeme:

= Vu Vi,--- Vu)

(i =1,2,... n)

schon ein Integral Sb(x, yt, y₂, . . . yn) bekannt. Alsdann kann man mit Hilfe der Gleichung:

ylfy₉, . • • y„) = ft

etwa y₁ als Funktion von x, y₂, ■ ■ . yn und Cx berechnen und

[765

diesen Wert in die n — 1 letzten Gleichungen des Systems ein-setzen. Dadurch geht ein System von nur noch n — 1 Gleichungen hervor, in dem y₂, y₃, . . . yn die noch unbekannten Funktionen sind, während yx gar nicht auftritt. Dagegen kommt in dem neuen Systeme noch eine willkürliche Konstante Gx vor.

Sind mehrere unabhängige Integrale Slx, £2S, ... £lm schon bekannt, wobei m < n sei, so kann man ebenso mit Hilfe der m Gleichungen:

(6)

&k(X, Vl, y₉, ■ • • tin) = ⁽k

(Je = 1,2,... m)

m Unbekannte, etwa yX) y₂, . . . ym, als Funktionen von x, den

. . Cn, so definieren die

m +1 y m 4- 2? '

übrigen Unbekannten ym+x, ym + 2, ■ • • Vn un(^ den willkürlichen Konstanten Gx, C₂, . . . Gm berechnen und in die n — m letzten Gleichungen des Systems substituieren. Dadurch geht ein System erster Ordnung in der Normalform hervor, das nur noch n — m Gleichungen hat, aber m willkürliche Konstanten Cx, C₂, ... Cm enthält. Ist es vollständig integriert worden, d. h. hat man n — m unabhängige Integrale om + 1, com+2,... ton dieses Systems ermittelt, so werden sie außer x, ym+1, ym + 2, ■ ■ ■ yn noch Cx, C2> ... Gm enthalten. Setzt man sie gleich willkürlichen Konstanten C

n — m Gleichungen:

to^x, Cx, G₂, ... G.

(?)

Vm +1? Vm + 2? • • • yn)    ^j

(j = m + 1, m + 2, ... ri)

zusammen mit den m Gleichungen (6) implizite das allgemeine Lösungensystem von (5).

Wie man mitunter aus der Gestalt eines vorgelegten Systems von Differentialgleichungen das Vorhandensein gewisser Integrale erkennen kann, beleuchtet das 3. Beispiel: Das System:

dj/i

l{x)

dx

(y« — Vi) (Vx — y 2)

dJA ₌

<ix

(Vi — y‘3 (2/2 — ys)

dys

• Â (x)

dx

(y₈ — y») (ya — yJ*

in dem X(x) eine gegebene Funktion von x sei, ist in bezug auf yx, y₂, y₃ symmetrisch gebaut. Daher ist zu vermuten, daß es Integrale hat, die symmetrische Funktionen von yXf y2> y₃ sind. Die einfachsten symmetrischen Funktionen sind nun

2/1 + 2/2 + 2/31    y Ms,

und man sieht leicht, daß die vollständigen Differentiale der beiden ersten infolge des Systems verschwinden, dagegen das der letzten nicht. Folglich sind:

ßi = 2/1 + 2/2 + y% und ß₂ = 2/22/3 + 2/32/1 + 2/12/2

Integrale des Systems; dagegen ist yxy₂y₃ keines. Wenn man nun mittels £lx = Cx und i^₂ = C₂ etwa yx und y₂ aus dem Systeme eliminiert, wird sich zwar eine gewöhnliche Differentialgleichung für y₃ ergeben; aber es geht dabei die Symmetrie verloren. Daher tut man besser, zur Ermittlung eines dritten Integrals die neue unbekannte symmetrische Funktion:

* = 2/12/22/3

einzuführen, für die sich aus dem Systeme ergibt:

Vî Vs (y» — y») + y» Vi (y» — yf) + Vi y* (2/1 — y») (2/1 — y»)(3ft — y«)(!/s — 2/1)

__ ur\

dx —

Der Bruch ist aber gleich — 1, also geht hervor:

— X(x)dx, d. h. z = — jl(x)dx -f- C.

dz -

wobei die Quadratur von einer bestimmten unteren Grenze an auszuführen ist, während C₃ eine willkürliche Konstante bedeutet. Hiernach sind:

2/1 + 2/2 + 2/3 ⁼ @i> 2/22/3 + 2/32/1 + 2/12/2 = C₂,

2/12/22/3 +fi(x)dx = C₃

drei unabhängige Integrale. Nach einem bekannten Satze der Algebra sind daher die Lösungen yx, y₂, y₃ die Wurzeln der in y kubischen Gleichung:

21³ — Cxy* + C₂y — C₃ + j\(x)dx = 0.

766. Systeme, in denen die unabhängige Veränderliche nicht vorkommt. Unter den bisher betrachteten Systemen:

dßi = fi 0, 2/1; 2/2;- • -y»)

sind diejenigen besonders bemerkenswert, deren rechte Seiten von x selbst frei sind. Wie in Nr 688 mag die unabhängige Veränderliche in diesem Falle mit t statt x bezeichnet sein, während für die unbekannten Funktionen die Zeichen xx, x2}

[765, 766

. . . xn benutzt werden sollen. Um deutlich zu machen, daß alsdann die rechten Seiten nur von xx, x₂, . . . xn abhängen, verwenden wir für sie die Funktionszeichen Xlf X₂, ... Xn, so daß also ein System von der Form vorliege: dx{

(1)

0' =    2,... n).

dt

Deutet man nicht alle n -f- 1 Veränderliche, sondern nur x1} x₂, . . . xn als Koordinaten der Punkte in einem Raume, so braucht man dazu einen Raum von nur n Dimensionen. Die unabhängige Veränderliche t spielt bei dieser Deutung die Rolle einer Hilfs veränderlich en, die man, wenn man will, z. B. als das Maß der Zeit auffassen kann. Jedes Lösungensystem:

= 9b(0; x2 = 9>s(0> • • • ^ = 9\(f)

bedeutet eine Kurve, eine sogenannte Integralkurve, ausgedrückt mittels der Hilfsveränderlichen t.

Das System, das sich im Falle n = 2 ergibt, wurde in Nr. 731 besprochen. Die dort durchgeführten Betrachtungen lassen sich ohue jedes Hindernis für das System (1) verallgemeinern. Gerade so wie damals zeigt sich, daß das System der Hauptlösungen, d. h. nach Nr. 761 dasjenige System von Lösungen, das für t = t₀ die Anfangswerte x®, x₂, . . . xn° hat, aus Funktionen besteht, in denen t und t₀ nur in der Differenz t — t₀ auftreten:

(2)

xi = 9b (xi°, x2°> • • • xn, t ~ to)

(i = 1, 2, . . . n).

Die Verallgemeinerung des Satzes 17, Nummer 731, gibt den Satz 5: Es liege ein System erster Ordnung von n ge-wohnlichen Differentialgleichungen vor:

(i = 1, 2, . . . n),

wobei X1} X₂, . . . Xn und ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung innerhalb eines Bereiches stetige Funktionen von x₁,xi,. . . xn allein seien. Das allgemeine Lösungensystem, das für einen beliebig, aber bestimmt gewählten Anfangswert t₀ von t irgendwelche bestimmte Anfangswerte x^, x₂°, . . . xn° innerhalb des Bereiches annimmt, besteht aus Funktionen von xf, xf, . . . xn° und t — t0 allein :

(i = 1, 2, . . . n),

xi= <Pi(xi°; xł, • • • xn, t-t₀)

und t darf darin von i₀ an beständig wachsend oder beständig abnehmend soweit variieren, als die zugehörige Stelle (xx, x₂, ... xn) noch dem Bereiche angehört. Ferner hat das Lösungensystem die Gruppeneigenschaft, d. h.: Die Substitution der Werte:

{i = 1, 2,. . . n)

in :

Xi = CPifa⁰, x₂ ... xn°, f - t₀)

gibt stets:

XiU = <PiW, X2 • • • xni 4 - 4)

(* = h 2, • . • n).

XiU = <Pi(X1°, X2, • • • Xn, 4 - 4)

767. Eingliedrige Gruppe von Transformationen von n Veränderlichen. Es ist ein Leichtes, die Deutung der Gruppeneigenschaft, die in Nr. 732 vorgenommen wurde, für den vorliegenden Fall zu verallgemeinern. Man kann dabei rein analytisch vorgehen, nämlich die Gleichungen:

(1)

Xi = <Pi(X i°, X2°, ■ • • X«, t - 4)

(i - 1,2, ■ • • »)

als die einer Transformation %t der n Veränderlichen xf, x₂, . . . xn° in die n Veränderlichen xx, x₂, . . . xn auffassen, deren besondere Art alsdann noch von dom Werte von t — t₀ abhängt, so daß (1) eine Schar von Transformationen von n Veränderlichen definiert, der die Gruppeneigenschaft zukommt, und die man deshalb eine eingliedrige Gruppe nennt, weil die Schar von nur einem Parameter t — tQ abhängt. Man kann aber auch wie in voriger Nummer die n Veränderlichen xx, x₂, . . . xn als die Koordinaten eines Punktes M in einem Raume von n Dimensionen betrachten und dadurch zu einer geometrischen Auffassung der Transformationen der eingliedrigen Gruppe gelangen. Wenn z. B. n = 3 ist, reicht dazu der gewöhnliche Raum aus. Wir raten dem Leser, die Betrachtungen in Nr. 732 auf diesen Fall n = 3 in allen Einzelheiten zu übertragen.

Ebenso steht der Verallgemeinerung der Betrachtungen in Nr. 734 und Nr. 735 nichts im Wege. Wenn wir wie in Nr. 734 statt Xx, X₂, . . . Xn die Funktionszeichen £₂, . . . %n benutzen, gelangen wir so zunächst zu der Verallgemeinerung des Satzes 18 von Nr. 732:

Satz 6: Innerhalb eines Bereiches, in dem sich die Funktionen l₂, . . . |n von xlt x₂, ... xn nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig verhalten, sei dasjenige allgemeine Lösungensystem des Systems:

dxi

dt

...xn)

(i = 1, 2,. .. n),

das für t = 0 die Anfangswerte xf, xf,. . . xn° hat, durch die Gleichungen ausgedrückt:

Xi =    Z₂°, • • ■ %n, 0

(i - 1, 2,. .. »).

Diese Gleichungen stellen für jeden bestimmten Wert von t eine Transformation %t der Wertsysteme xf, x₂°, . . . xn° in neue Wertsysteme xx, x₂,... xn dar. Die einfach unendliche Schar aller Transformationen %t bildet eine eingliedrige Gruppe, indem nämlich die Aufeinanderfolge irgend zweier Transformationen %t^ und der Schar äquivalent ist der Transformation SL ₊ ^ derselben Schar. Die Gruppe enthält die identische Transformation St₀ soivie zu jeder Transformation %t die inverse %_ t. Außerdem sind ihre Transformationen vertauschbar. Werden x1} x%, ... xn als Koordinaten cler Punkte in einem Paume von n Dimensionen gedeutet, so liegt eine eingliedrige Gruppe von Punkt-Transformationen vor. Dabei sind die Bahnkurven der Punkte die Integralkurven des vorgelegten Systems von Differentialgleichungen.

Wie in Nr. 734 kommt man ebenfalls laicht zu der Auffassung, daß das System:

(2)

..xn)

(i = 1, 2,. . . n),

von dem die Gruppe erzeugt wird, als der Ausdruck einer infinitesimalen Transformation zu deuten ist, bei der xly x₂,.. .xn die mit dt nach Null strebenden Zunahmen:

dxt = ^ (xt, x₂,... xn)dt

erfahren, so daß die Gruppe als das Erzeugnis einer infinitesimalen Transformation erscheint. Eine beliebige differenzierbare Funktion von xfi, x₂°, . . . xn° geht vermöge der Transformation (1) in eine Funktion f von xx, x₂, . . . xn über, die nach (1) als eine Funktion von t zu betrachten ist. Wie in Nr. 735 erkennt man, daß der Quotient aus dem Zuwachs Af, den f bei der Ausübung der Transformation %jt der Gruppe auf xlf x₂, . . . xn erfährt, und aus At, d. h. also, daß der Differenzenquotient Af’.At für \imAt = 0 den Grenzwert hat:

(3)

(i = 1, 2, . . . n)

lim Ai ⁼ ^

ut = ozlt

df

df

dxt

Deshalb dient der Ausdruck:

df

dt

dx.₂

~dxn

auch jetzt als das Symbol der infinitesimalen Transformation der eingliedrigen Gruppe. Dabei bedeutet also f eine beliebige differenzierbare Funktion von xx, x₂, . . . xn, während die gegebenen Funktionen von x1} x₂, ... xn sind.

1. Beispiel: Im Raume mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y, z liege das System vor:

dx

dz

— = a    *£-=b    - = c

dt a’    dt V’    dt

worin a, b, c gegebene Konstanten seien. Das System der Hauptlösungen für t = 0 ist:

x = x₀ + at, y = y₀ -f- bt, z = z₀ -j- ct.

Es stellt für jeden bestimmten Wert von t eine Schiebung aller Punkte (x₀, y₀, z₀) oder M₀ nach neuen Punkten (x, y, z) oder M vor; denn alle Strecken M₀ M sind parallel, gleichlang und gleichgerichtet. Die Richtung ist dabei von t unabhängig, indem ihre Richtungskosinus proportional a, b, c sind. Augenscheinlich bilden (wie in der Ebene, vgl. 4. Beispiel von Nr. 735) alle Schiebungen nach derselben Richtung hin eine Gruppe. Die infinitesimale Schiebung in derjenigen Richtung, deren Kosinus proportional a, b, c sind, hat das Symbol:

df.idf df adfc + hdj + cdz>

und insbesondere sind:

df df d dy’ d

die Symbole der infinitesimalen Schiebungen parallel den drei Koordinatenachsen.

2. Beispiel: Offenbar bilden alle Drehungen um ein und dieselbe feste Achse im Raume eine Gruppe. Z. B. werden alle Drehungen um die z-Achse durch:

x = x₀ cos t — y₀ sin t, y = x₀ sin t -f- y₀ cos t, z = z0 dargestellt, vgl. das 1. Beispiel in Nr. 733. Dabei ist t der Drehwinkel. Diese Gleichungen stellen die Hauptlösungen des Systems:

dx

dy

dz

dt y’ dt X’ dt für t = 0 dar, und es ist:

df , df

-Vrx + Xdy

das Symbol der infinitesimalen Drehung um die Achse. Ebenso sind:

df z ~

df

dy y dz ’

df . df

X ^ + ⁸ Ti

die Symbole der infinitesimalen Drehungen um die x- bzw. j/-Achse.

3. Beispiel: Die Streckungen im Raume vom Anfangspunkte 0 aus definiert man wie in der Ebene, siehe das 2. Beispiel in Nr. 733. Es leuchtet ein, daß ihre Gesamtheit eine eingliedrige Gruppe bildet, und man erkennt wie im 2. Beispiele von Nr. 735, daß sie von der infinitesimalen Streckung:

df , d'f . df

xry + yJi ⁺

erzeugt werden.

768. System von totalen Differentialgleichungen.

Mit den in Nr. 766 betrachteten Systemen erster Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen stehen die Systeme von totalen Differentialgleichungen (vgl. Nr. 671) von der besonderen Form:

(1)

dxx

dx₂

Ai (xt    x,i)

dxn

■Äs (x₁, x%,... xn )

-Vn (xx , X% y .. . xn)

in engem Zusammenhänge. Dies sind n — 1 Gleichungen zwischen den n Veränderlichen x1} x₂, . . . Xn und ihren Differentialen. Wenn von den n Veränderlichen mehr als eine unabhängig wäre, würde mehr als ein Differential willkürlich bleiben, was den Vorschriften widerspricht, die das System (1) angibt, denn wenn x1} x₂, ... xn und etwa dxx gegeben sind, so bestimmt (1) auch dx₂, dx₃, . . . dxn. Folglich müssen n — 1 der n Veränderlichen Funktionen der noch übrig bleibenden sein. Faßt man z. B. x₂, x₃, . . . xn als Funktionen von Xx auf, so kann man eine (n -f l)te Veränderliche t vermöge der Gleichung:

(2)

dxx X₁ (æ,,    , ... xn)

definieren, die nach einer Quadratur auch t als Funktion von xx ergeben würde. Man kann nun umgekehrt xx als Funktion von t und daher auch x₂, x₃, ... xn als Funktionen von t auffassen. Die Vergleichung von (2) mit (1) lehrt, daß alsdann allgemein:

(3)

(*' = 1, 2, • •. n)

= Xi(xi, x₂,.. . x„)

wird. Wenn man also dies System erster Ordnung von n gewöhnlichen Differentialgleichungen für n unbekannte Funktionen x1; x₂, ... xn von t vollständig integriert hat und aus den Integralgleichungen t eliminiert, bleiben diejenigen n — 1 Gleichungen zwischen x1} x₂, ... xn allein übrig, die infolge des Systems (1) von n — 1 totalen Differentialgleichungen bestehen müssen.

Das System (1) von n — 1 totalen Differentialgleichungen ist somit durch das System erster Ordnung (3) von n gewöhnlichen Differentialgleichungen ersetzbar oder ihm äquivalent. In Nr. 677 wurde dieselbe Betrachtung im Falle n — 2 angestellt.

Das System (3) ist nun gerade das in Nr. 766 betrachtete System.

Im Raume von n Dimensionen mit den Koordinaten xu x₂, ... xn definieren n — 1 Gleichungen zwischen xlf x₂, . . . xn eine sogenannte Kurve (vgl. Nr. 668). Solche n — 1 Gleichungen, die infolge des Systems (1) bestehen müssen, geben daher eine Integralkurve des Systems (1). Die Einführung der Hilfs-veränderlichen t und die Überführung des Systems (1) in das System (3) kann also, wenn man t als Maß der Zeit deutet (wie es schon in Nr. 766 geschah), begrifflich so auffassen: Die Integralkurven des Systems (1) werden als Bahnkurven beweglicher Punkte betrachtet. Nach den Ergebnissen der vorigen Nummer sind die Integralkurven von (1) die Bahnkurven derjenigen eingliedrigen Gruppe, die von der infinitesimalen Transformation

df

df

df

erzeugt wird.

dxn

§ 2. Lineare Systeme.

769. Charakteristische Eigenschaft eines linearen homogenen Systems. Es soll hier die Frage beantwortet werden, unter welchen Umständen dem Systeme:

(1)

|f =fi(x,yi,y2, ••■y«)

die Eigenschaft zukommt, daß sich aus irgend zwei partikularen Lösungensystemen :

(2)

Vi = Vite), ys =    0), ■ ■ • yn = 9>„C*0

und:

(3)

;/, - łiW, % - ¥■»(»), ■ • • y» -

durch Addition stets wieder ein Lösungensystem:

(4) yx =    (z) +tx (x), y₂ = % (a;) -f f, {x),.. .    (æ) + fn (?)

ergibt.

Nach Annahme ist:

(5)    = fi(x, <Pl, <P2, • • ■ <Pn)t 4>i = 4- (», fl, fi, • • • fn)

0' = i, 2, . . . »),

und es wird gefordert:

<Pi +    = fi 0, 9>l + fl, <P2 + fi, • • • 9V + fn)

(* = 1, 2,. .. w).

so

Werden hierin für çd/ und die Werte (5) eingesetzt, kommt:

/iO, î’ir- y») + /*(*> fv-fn) = £0; 9>1 + fl, ■ ■ • 9>» + fn)

{i = 1, 2,. . . »).

Weil es nun im Bereiche des Systems (1) partikulare Lösungensysteme gibt, die für einen angenommenen Wert von x irgend welche vorgeschriebene Werte, sagen wir yx, y₂, . . . yn oder 8lt z₂,. . . zn, haben, wird also gefordert, daß stets:

(6) fi {x,yx,... y„) + fi(x,0₁,... en) = ft(x, yt + eu . .. yn + zn)

(i “ 1; 2,... n)

sei. Differentiation nach yk zeigt, daß dann

dfjjx, y,, y,, ... yw) _    +    +    + O

3 (24 + **)

sein muß, d. h. daß sich die partiellen Ableitungen erster Ord-

769]

nung der Funktionen ft(x, yv y₂,,.. yn) hinsichtlich yl7 y₂, ...yn nicht ändern dürfen, wenn yif y₂, . . . yn geändert werden, so daß diese Ableitungen nur von x abhängen können, woraus weiterhin folgt, daß die Funktionen f\Ai yx, «/₂, ... y f) selbst hinsichtlich y1} y₂, . . . yn ganz und linear sein müssen. Sie müssen überdies homogen sein, denn wenn f{(x, y₁₇ y₂,... yn) einen von yi} y₂, . . . yn freien Summanden «■ (x) hätte, würde aus (6) sofort 2coi—œi oder œi = 0 folgen. Das System (1) muß somit die Form haben:

(7)

jx = Ai (x)vi + ArA)y* + •• • + An A) Vn (* = 1, 2, . . . »).

Solche Systeme heißen lineare homogene Systeme erster Ordnung.

Satz 7: Die linearen homogenen Systeme:

⁼ Al A) Vl + A2 A) V* + • • • + An A) Vn

ü = 1, 2, . . . «)

sind die einzigen Systeme erster Ordnung in der Normalform, denen die Eigenschaft zukommt, daß aus irgend zwei partikularen Lösungensystemen :

y₂ = (p₂(x), ... yn = <pn(x)

Vi = <PiA)>

und:

iji = ihiA), y₂ = y>₂A), ■■■ yn=NnA)

stets durch Addition wieder ein Lösungensystem:

Vi = 9hA) + AA)> lh = 9>2 A) + AA), • ■ • Vn = <PnA) + AA)

hervorgeht.

Ferner ergibt sich sofort Satz 8: Bedeutet:

y-2 = <PnA)> ■ ■ ■ yn = y* A)

, yi = <PiA),

irgend ein partikulares Lösungensystem des linearen homogenen Systems:

f - An W //i + Äa (»& + ••• + A,„ (*) (i - 1, 2, ■ ■ • »),

so ist auch:

yi =-C<PiA)> y2 = c<pzA), • • • yn =

m Lösungensystem, wie auch immer die Konstante G gewählt sein mag.

Serret-Scheffers, Diff.- u. Integral-Rechnung. III. 3. Aufl.

Diese Eigenschaft kommt aber einer ausgedehnteren Klasse von Systemen zu. Denn das System (1) hat sie, wenn infolge von (1) auch stets:

(i-1, 2, ,..n)

NEE = Cdx ⁼ f*C^’ • • • CVn) ist. Wird der Wert (1) von dyt : dx eingeführt, so geht die Forderung hervor:

Cfi (?,yt,yai... Vn) = fi (x, Gyt, Cya,... Cyn) (i = 1, 2,.... n),

die nach Nr. 91 nur dann erfüllt wird, wenn ft{x, yx, y₂, . . .yn) eine in bezug auf yx, y₂,... yn homogene Funktion ersten Grades ist. Somit kommt der

Satz 9: Dem Systeme erster Ordnung in der Normalform:

Ar A

(i = 1, 2, . . . n)

x=fi(x> Vi, ' ■ ‘ yn)

kommt die Eigenschaft, daß aus jedem partikularen Lösungensysteme durch Multiplikation mit einer willkürlichen Konstante stets wieder ein Lösungensystem hervorgeht, dann und nur dann zu, wenn fx, f₂, . . . fn homogene Funktionen ersten Grades hinsichtlich yx, y₂,... yn sind.

Dies ist eine Verallgemeinerung des Satzes 9 von Nr. 716. Die linearen homogenen Systeme (7) sind spezielle Fälle, in denen der Satz gilt.

770. Das allgemeine Lösungensystem eines linearen homogenen Systems. Es liege das lineare homogene System vor:

dx ⁼    0) yi + Ai2 (X) y* + • • • + An (X) Vn

(1)

(i-1,2,...»),

und es seien schon n partikulare Lösungensysteme:

(2)

9i — Vt, (*), !h — Va (*)>    — Vt, 0)

(*-1,2,...*) bekannt. Nach den Sätzen 7 und 8 der letzten Nummer ist dann auch:

(3)

lJi = C'l 9>1 i (X) + A <P2i (X) + • • ' + Gn <Pni (X)

{i = 1, 2,...n) ein Lösungensystem, wie auch die n Konstanten Cx, Ca, ...

769, 7701

gewählt sein mögen. Dieses Lösungensystem ist dann und nur dann ein allgemeines, wenn es nach den n willkürlichen Konstanten Cx, C₂,. . . Cn auflösbar ist (vgl. Nr. 763). Dazu aber ist notwendig und hinreichend, daß die Determinante:

(4)

9hl 0*0 9hi 0*0 • • 9>m 0*0 9>12 0*0 9*22 0*0 • • 9^2 0*0

9h* 0*0 9h* 0*0 • • 9h* 0*0

nicht verschwindet.

Man nennt solche n Funktionensysteme (2), für die diese Determinante nicht verschwindet, linear unabhängig, weil es keine n Konstanten Cx, C₂,... Cn derart gibt, daß alle n Summen (3) verschwinden, es sei denn, daß Cl7 C₂, ... Cn selbst sämtlich gleich Null sind.

Nun seien umgekehrt irgend welche n linear unabhängige Funktionensysteme (2) gegeben. Soll alsdann (3) das allgemeine Lösungensystem eines Systems erster Ordnung in der Normalform:

dVj

dx

(i = 1,2,... n)

sein, so müssen die linken Seiten fx, f₂,... fn dieses Systems aus

= Cx(p'u(x) + C₂cp'2i(x) +----h Cn(p'ni(x)

(i = 1,2, ...n)

durch Elimination von CX} C₂, ... Cn vermöge der n Gleichungen (3) hervorgehen. Wegen des Nichtverschwindens der Determinante (4) sind aber die Auflösungen der Gleichungen (3) nach Cx, C₂,...Cn homogene ganze lineare Punktionen von yx, Vi) • • • Vn von x abhängigen Koeffizienten. Folglich werden auch fx, f₂, . . . fn homogene ganze lineare Funktionen hinsichtlich yx, y₂,... yn. Demnach haben wir den

Satz 10: Ein System erster Ordnung von n gewöhnlichen Differentialgleichungen in der Normalform hat dann und nur dann die Eigenschaft, daß sich sein allgemeines Lösungensystem aus irgend welchen n linear unabhängigen partikularen Lösungensystemen :

Vi = y kt 0)> y2 = v« 0*0 > • • • yn = 90*0

(* = l, 2,... w)

durch Multiplikation mit n willkürlichen Konstanten Gt, C₂₎ :. . Cn und Addition in der Form:

Vi = 0i9>nO*O + C₂<p2i(x) + ••■• + Cn<pni(x)

(* = 1, 2,. . . w)

bilden läßt, wenn es ein lineares homogenes System ist, d. h. die Form hat:

dVi

dx

= An 0*0 Vt + A'2 (»)% + ••• + 4« 0*0 Vn

(i = 1, 2, . . . n).

771. D’Alembertsches System. Wenn insbesondere die «² Koeffizienten Aik(x) Konstanten aik sind, liegt ein sogenanntes d’Alembertsches System:

dVi _

(i = 1, 2,. . . n)

vor. Da hier die rechten Seiten von der unabhängigen Veränderlichen x frei sind, ordnet sich dies System den in Nr. 766 betrachteten Systemen unter. Wir wollen daher wie damals die unabhängige Veränderliche mit t gtatt mit x und die unbekannten Funktionen mit xx, x₂, . . . xn statt mit yi7 y₂, . . . yn bezeichnen, also das System betrachten:

dx

(1)

d{f = aitXl + ai2X2    + ainXn 0’ =1,2,... n).

Das Integrationsverfahren beruht hier auf dem Umstande, daß es partikulare Lösungensysteme von der Form:

x, = c₁e^t, x₂ = c₂ek\ . . . xn = cne^

gibt, wo ct, c₂, ... cn und p Konstanten bedeuten.

Denn wenn diese Werte in (1) eingesetzt werden, gehen n von t freie Bedingungen:

9^ = ai 1 Ct + ai2c2 + * • • + ainCn

hervor, nämlich n lineare homogene Gleichungen für die n Konstanten clf c₂,. . . cn. Da (2) nur dann ein Lösungensystem vorstellen kann, wenn die n Konstanten cif c₂, ...cn nicht sämtlich gleich Null sind, muß man den Satz der Algebra benutzen, wonach den Bedingungen (3) nur dann durch nicht sämtlich 770, 771]

(2)

(3)

0' = 1, 2,.. . »)

verschwindende Werte von ct, c₂, . . . cn Genüge geleistet werden kann, wenn ihre Determinante hinsichtlich c1} c₂, ... cn gleich Null ist:

«n g

«12

«21

«22 Q

«i« «2 »

= 0.

«Bl

«k2

• •««„-?

Dies aber ist eine Gleichung nten Grades für die Unbekannte g. Sie heißt die charakteristische Gleichung des Systems (1).

Wir betrachten zunächst den Fall, wo diese Gleichung n verschiedene reelle Wurzeln g1} g₂, ... gn hat. Alsdann wird diejenige Gleichung, die aus (4) durch Differentiation nach g folgt, nach Satz 22, Nr. 378, gewiß nicht von irgend einer der Wurzeln g1} g₂, . .. gn befriedigt. Mithin können nicht alle (n — l)-reihigen Unterdeterminanten der Determinante (4) für irgend eine der Wurzeln verschwinden, denn die linke Seite derjenigen Gleichung, die aus (4) durch Differentiation nach g folgt, ist eine Summe von solchen Unterdeterminanten. Mithin bestimmen die n Gleichungen (3) nach einem bekannten Satze der Algebra für jeden der n Werte gx, g₂, . . . gn von g eindeutig die Verhältnisse der Konstanten cx, c₂, ... cn. Es kommt aber auch nur auf diese Verhältnisse an, denn nach Satz 8 oder 9, Nr. 769, darf ein partikulares Lösungensystem mit irgend einer Konstante multipliziert werden. Folglich gibt es n partikulare Lösungensysteme von der Form (2). Wir wollen beweisen, daß sie linear unabhängig sind, so daß sich aus ihnen nach Satz 10 der vorigen Nummer das allgemeine Lösungensystem durch Multiplikation mit willkürlichen Konstanten Ct, C₂, . . . Cn und Addition bilden läßt.

Um dies zu beweisen, seien insbesondere solche n nicht sämtlich verschwindende Konstanten cx, c₂, . . . cn, die den Gleichungen (3) für g = gk genügen, mit ckx, ck2, . . . ckn bezeichnet, so daß:

(5)

ist und:

QkCki— anCkX "F «» 2 Ck2    + ainCkn

(i = 1,2,... n, h = 1, 2,... n)

X1 = Ckl <***,    % =    • • • Xn = Ckne'kt

(6)

(7c= 1, 2,... n)

die n partikularen Lösungensysteme vorstellen. Wären sie nicht linear unabhängig, so müßte es n nicht sämtlich verschwindende Konstanten C1} C₂, . . . Cn derart geben, daß die n Gleichungen :

Ci cue^*+ C₂c2ie^-\----+ CncnieSn*= 0

(i =1,2,... n)

für beliebige Werte von t beständen. Es müßten also auch diejenigen Gleichungen gelten, die hieraus durch wiederholte Differentiation nach t folgen:

Pi ąclfe^-t- q₂ C₂c2ie^ł+ • • • + Qn CncnieSnt= o,

Ql^l i#l*+ Q2²C₂C2ie«'-f+----h 0nGnCnieQntz= °>

Man könnte so n Gleichungen aufstellen, die in den n Größen:

(7)

CtCu#'*, C₂c2ie^, . . . CncnieQnt linear und homogen sind und die Determinante:

Qi

(>«

Qi

Pl²

j „ 7i 1    „ n—1    „ n-1    n n—l

Ql Qi Qs    ■    ■ Qn

haben, die bekanntlich nur dann verschwindet, wenn zwei der Größen p1; p₂, . . . pn übereinstimmen. Da dies nicht der Fall ist, müßten also alle Größen (7) gleich Null sein. Weil aber Ci, Cg, ... Cn nicht sämtlich verschwinden sollen, würde weiterhin folgen, daß wenigstens eine Wertereihe:

Ckll Ckil- • • * Ckn

aus lauter Nullen bestehen müßte, was aber nicht der Fall ist. Folglich ist in der Tat:

(8)

ÇicneQLt+ C₂c2ie^-i-----f Cncni#n*

(i = 1, 2,. ... n)

das allgemeine Lösungensystem von (1) mit den n Integrationskonstanten Clf C₂, . . . Cn.

771]

Dies gilt auch, wenn nicht alle n Wurzeln qx, q₂, . ■ ■ Qn der Gleichung nten Grades (4) reell sind. Wenn nämlich z. B. Qi und p₂ konjugiert komplex sind, ergeben sich aus den Forderungen (5) auch für die Wertereihen clx, c₁₂, . . . cln und c2i> c22> ■ ■ ■ c2n konjugiert komplexe Werte. Wählt man alsdann für Ct und C₂ ebenfalls konjugiert komplexe Werte, so werden die in (8) auftretenden Summanden:

(t - 1, 2, .. . n)

C₁CueQlt+ C₂c2ieW

doch wieder reell, nach (6) in Nr. 373, indem alsdann statt der Exponentialfunktionen goniometrische Funktionen auf-treten.

772. Allgemeine Integration eines d’Alembertschen Systems. Die Betrachtungen der letzten Nummer werden ungültig, wenn die charakteristische Gleichung für q nicht bloß lauter einfache Wurzeln hat. Man kann durch einen von Euler und d’Alembert angegebenen Grenzübergang auch in solchen Fällen das allgemeine Lösungensystem gewinnen. Wir ziehen es aber vor, eine sehr elegante Darstellung des allgemeinen Lösungensystems zu beweisen, die von Cauchy herrührt und in jedem Falle richtig ist. Dabei bedürfen wir eines Satzes über gebrochene rationale Funktionen, den wir zunächst in aller Kürze ableiten.

Es seien F(x) und f(x) zwei ganze rationale Funktionen vom (n — l)ten bzw. nten Grade. Insbesondere habe xn in f(x) den Koeffizienten Eins. Ferner seien a,b, . . .1 sämtliche verschiedene Nullstellen von f(x)\ sie mögen bzw. a - fach, /3-fach, . . . A-fach auftreten, so daß die Summe von cc, ß, . . . I gleich n ist und f(x) die Form hat:

fix) = (x — a)a(x — by . . . {x — Vf.

der Koeffizient von

-»B

/Ł-1

Wir wenden nun die in Satz 2, Nr. 383, angegebene Partialbruchzerlegung an, bei der hier die additive ganze Funktion G(x) fortfällt, weil Fix) von niedrigerem Grade als f(x) ist, vgl. Satz 4, Nr. 384. Wie schon gelegentlich in Nr. 431 bemerkt wurde, ist die Summe der in der Zerlegungsformel vorkommenden Konstanten Aa xn~i- in F(x), den wir mit c bezeichnen wollen. Wird nun x

[771, 77a

Alle Glieder rechter Hand lassen sich, wenn | h | hinreichend klein ist, nach ganzen Potenzen von h entwickeln. Die Glieder der ersten Zeile liefern dabei negative Potenzen:

+ • • • + Aa_ lh~¹,

dagegen die der andern Zeilen nur positive, weil sie auf Grund der allgemeinen Formel:

Ahra+ AJi

— a + 1

?-i(l+

m \ m) m L 1

r(r+ 1) tis

1 • 2 w¹

in jener Zerlegungsformel durch a -f- h ersetzt, wo h eine Veränderliche sei, so kommt:

F ja + h) _ A

/V< -i- ti) ......h“ ha~

J-

bä +

- o.... 4—

1 ‘    ‘ h

(<a—b + Kf    (a — b-ł- hf

Li

(a — l -f- h)

(a — l -j- h)

___I_____1__

¹ -¹ '    ' a — l 4- h

(in -f- h)

nach der Binomialreihe (vgl. Nr. 125) zu entwickeln sind. Demnach ergibt sich rechts nur ein Glied mit h~\ nämlich Aa_₁h~¹. Dies soll so ausgedrückt werden:

F(a + h)i

Der Einschluß eines von Ji abhängigen Ausdrucks in eckige Klammer mit angehängtem Index Ir¹ soll nämlich bedeuten, daß nur der Koeffizient von h~¹ in der Entwicklung des Ausdrucks nach ganzen Potenzen von h genommen wird. Ebenso kommt:

rFjb + Kn = B L f(b -f- h) i-1 V

^(Z + ZQ-l ₌ j

gleich dem Koef-

Da nun die Summe von Aa_₁, B fizienten c von xn~¹ in F(x) ist, gilt mithin für jede gebrochene rationale Funktion von der Form:

n — 1

;.-i

(1)

Fix)

r.V

die Formel:

xnĄ----

sobald unter a, b,. . .1 sämtliche verschiedene Nullstellen votif(x) verstanden werden. Dieser Satz ist es, der bei dem Cauchyschen Integrationsverfahren für ein d’Alembertsches System gebraucht wird.

(3)

Es liege nämlich jetzt das d’ Alembertsclie System vor:

dxi __¹ =

dt

ai\x\ + anxi H-----h ainx„ (* = 1, 2, . .. n).

Die Anfangswerte t₀, xt°, x₂°, . . . xn° von t, xt, x₂, ... xn seien irgendwie gewählt. Alsdann werden zunächst n Funktionen Ui> 1^2 ? • • • ihn emer Veränderlichen q aus den n linearen Gleichungen :

(ai 1 —’ 9)^1 + ai 2^2 + ‘    + ai nAn = — Xl°)

(4)

a2 1 i’l + (a2 2 ~~ (0^3 + ' ■ ' + a2n tn ⁼⁼ ~ X2\

berechnet. Wenn

ai 2

(5) A(p) = !

a21

a2n

an 1

an2

•    • ann~Q 1

gesetzt wird, und Aijfc(ç>) die zum iten Elemente der kteu Zeile gehörige (n — l)reihige Unterdeterminante bedeutet, sind die Auflösungen von (4) nach einem bekannten Satze der Algebra diese:

^<(P) =

(6)

(- i)wA(e)

Hier ist im Zähler und Nenner der Faktor (— l)n hinzugefügt worden; dadurch wird erreicht, daß im Nenner, der ja nach (5) eine ganze rationale Funktion nten Grades von q ist, der Koeffizient der höchsten Potenz pn gerade den Wert Eins bekommt. Auch Au(p) ist eine ganze rationale Funktion von q und zwar vom (n — 2)ten bzw. fn — l)ten Grade, je nachdem h =F i oder Je = i ist. Im Falle h = i hat dabei die höchste Potenz p”⁻¹ den Koeffizienten (— l)w_1. Demnach ist der Zähler in (6) eine ganze rationale Funktion (n — l)ten Grades

(2)

von q, worin p”_1 den Koeffizienten xf fiat. Wenn qx, q₂, ... ç alle verschiedenen Wurzeln der charakteristischen Gleichung A(q) = 0 bedeuten, treten bei der Anwendung von (2) auf die gebrochene rationale Funktion (6) an die Stelle von x, a,h, . . . I und c die Größen q, qx, p₂, ... q< und xf, so daß sich ergibt:

bhiiQi + h) + tiiQi + ä) + • • • -f* tiiQ/u + h)l/~¹ = %i°

(i =1,2,. .. n)

oder kürzer:

X?

(V

Nunmehr wird behauptet, daß die n Funktionen von t:

£

(8)

(» — 1, 2,. . . n)

= [ S tt(9j + h)e^j + V (*- «]Ä_i

i dasjenige Lösungensystem des d’Älembertschen Systems (3) vorstellen, das für t = t₀ die Anfangswerte xx°, x₂°, .. . xn° hat.

Daß diese n Funktionen in der Tat für t = tQ die Anfangswerte xx, x₂, . . . xn° haben, ist leicht zu sehen, denn wenn man sie für einen bestimmten Wert von t berechnen will, darf man diesen bestimmten Wert innerhalb der eckigen Klammer einsetzen; folglich geht für t = t₀ aus (8) gerade der Wert (7) hervor.

Nun muß noch gezeigt werden, daß die n Funktionen (8) dem Systeme (3) genügen. Weil die Differentiation der Funktionen (8) nach t innerhalb der eckigen Klammer ausgeführt werden darf, ergibt die Substitution der Werte (8) in

(3) die Formel:

n    ju

2k    + iï)e^J+h'> (*-«]

1 1

die sich so zusammenfassen läßt:

/u    n

2j [ {(fii +    + A) S aikMQj + h) I e(?/+*)(f-«]k_₁ = 0

i    i und sofort weiter vereinfacht werden kann, weil nach der ften

772]

Gleichung (4), die ja für alle Werte von q, also auch für Qj + h gilt, die Summe:

— Æ-⁰

aatk(.Qj + Ä) = (fy + Ä) ti (Qj + h) 1

wird, so daß nur noch die Behauptung übrig bleibt:

e

>1 \xf e^j+ta)\-¹ = 0. 1

Diese Gleichung aber ist deshalb richtig, weil die Entwicklung des Inhalts der eckigen Klammer nach ganzen Potenzen von h gar kein Glied mit ir¹ liefert. Folglich gilt der

Satz 11: Das System derjenigen Hauptlösungen des d’Alem-bertschen Systems:

d£i = atlxt + ai2x2 + • • • + ainxn (i = 1, 2,.. . »),

<Z$s für t — t₀ die Anfangswerte x®, x₂, ■ • ■ xn° hat, besteht aus den Funktionen:

- [Jÿ *«(?,+

1

n(en

Hierin soll die rechte Seite den Koeffizienten bedeuten, den h~1 bei der Entwicklung des Inhaltes der eckigen Klammer nach ganzen Potenzen von h bekommt. Ferner bezeichnen Qi, Q₂, ■ ■ • alle verschiedenen Wurzeln q der charakteristischen Gleichung Grades:

ai 2

ai i Q

$2 1

$2 2 ?

cT

a»n—Q

während ip,(q), 4>₂(q), ■ ■ . ihn(o) diejenigen Funktionen von q bedeuten, die aus dem linearen Gleichungensysteme:

($n - ?)^i(?) + H-----1- aintn(fi) = - V;

+ («22 - ?M(?) H-----k a»»t*(fi) = - V>

+ »«2^2(9) + ••• + (<*„»— ?>„(?) = -berechnet werden können.

Bedenkt man, daß nach Nr. 117:

dQj+m-to) = eqjh-t₀) J1 7 h ~ ^

ist und die Partialbruchentwicklung, die oben benutzt wurde, für xpi(Qj + h) einen Ausdruck von der Form:

tonst. tonst.

hmT ⁺ beliefert, wenn die Wurzel p. von A(p) = 0 gerade m^-fach ist, so übersieht man, daß sich alle n Funktionen x1} x₂, ... xn, die das System der Hauptlösungen vorstellen, linear und homogen mit konstanten Koeffizienten aus den Funktionen:

tonst.

I+-+-Ä

F konst A -j- konst, h² -j----

¹

+ h) F(b + h) f(a -f- h) + fib + h)

7721

eQ¹*,    te$it, t*eQ,ł, ... t"‘L~¹e^it,

CO

te^f t^e^d, . . . tm*~¹

efy» , te^uł, reß'n*, . . . tnt,u ~¹ e'Vł,

zusammensetzen. Dies sind gerade n Funktionen, weil die Summe von m₁, m₂, . . . mlt gleich n ist. Demnach gilt der Satz 12: Liegt das d’Älembertsche System:

77 = aiXXl + tti2X2 + • • • + nXn

vor und hat seine charakteristische Gleichung ntm Grades A (7) = 0 gerade g verschiedene Wurzeln qx, q₂, . . . qu, die hzw. mufach, m₂-fach,. . . mu-fach sind, so besteht das allgemeine Lösungen-system aus solchen Funktionen, die sich linear und homogen mit konstanten Koeffizienten aus den n Funktionen

-1,2,... io

efy*, teQjf t²e^jf ... tmj~¹e^jł

zusammensetzen.

Anstatt also die Funktionen -ih₁,    . . . i\>n zu berechnen,

kann man auch von vornherein für xx, x₂, . . . xn Funktionen von der soeben bezeichneten Art ansetzen, in denen man dann nachträglich die Koeffizienten in allgemeinster Weise so bestimmt, daß die Gleichungen des Systems befriedigt werden.

Falls die Wurzeln der charakteristischen Gleichung A(7) == G zum Teil oder sämtlich imaginär sind, gilt wieder die Schlußbemerkung der letzten Nummer.

772]

-1=0

A(0)= jj

— Q

0    — Q

und sie hat vier einfache Wurzeln = 1₇ q₂ = — 1, p₃ = i, ^₄ = — i. Demnach kann hier die Methode der Nr. 771 benutzt werden. Danach bildet man ein partikulares Lösungensystem, indem man

rp — p pQ t    rp - p pQ t    rp - p pQ t    rp - p pQ t

tX/-£    “~    O’ y    lA/g    ' l/g O’ y    lA/n ——    Og t/'    ^

setzt, für p eine der vier Wurzeln wählt und durch Substitution in (1) ermittelt, welche Beziehungen zwischen den Konstanten cx, c₂, c₃₎ e₄ bestehen müssen. So ergeben sich, wenn man stets = 1 wählt, die vier partikularen Lösungensysteme :

x₂

773. Beispiele.

1. Beispiel: Liegt das d’Alembertsche System:

dxi _

dx,

df = X*’

dx₉

__5 _ rp

dt s>

dx,

dt ~X^

vor, so lautet die charakteristische Gleichung: — Q ¹

dt

x₃

et

e~*

— e~*

e~

—

— ië* ie~ił

— ët

) e~u — ie~it —e~H

Multipliziert man sie bzw. mit Gx, C₂, Ą (C₃ -(- i Cf) und ^(C₃— 7C₄), so liefert ihre Addition mit Rücksicht auf die Formeln (6) von Nr. 373 das allgemeine Lösungensystem in der reellen Form:

it

ië*

xi ⁼    Gxeł    -(-    C₂e~*    -f-    C₃    cos    t    —    0₄    sin t,

x₂ —    Cxë    —    C₂e~*    —    C₃    sin    t    —    G±    cos t,

x₃ =    C₁ ë    +    C₂ e~ *    —    C₃    cos    t    -f    (7₄    sin t,

x± =    G\ ë    —    C₂ e~ *    -f    C₃    sin    t    -f    Ci    cos t

mit den vier Integrationskonstanten C1} C₂, C₃, 0₄.

2. Beispiel: Liegt das d’Alembertsche System vor:

dx₂

(2)

dxt

dt

so lautet die charakteristische Gleichung: 3 — Q

-1

A((>) =

= p² - 4 9 + 4 = (p - 2)² = 0

!-?

und hat also die Doppelwurzel p = 2. Soll der Satz 11 von Nr. 772 benutzt werden, so sind ^ und aus den Gleichungen:

(3 — p) + f₂ = — xf, — fl + C¹ “ ?) ^2 = — X2°

zu berechnen. Es kommt:

(?) =

(<? — 1)Ą⁰ + Ą⁰

(e - 2)²

; ^2 (?) =

— V -f (g — 3) V

(e — “)²

Hier gelten die Partialbruchzerlegungen (vgl. Satz 2 in Nr. 383):

£C₁°

— 2 ’

₌ a?i°+ V i (e — 2)* ç

<Pl (?)

so daß sich für p == 2 -f h ergibt:

+ f ^2 (ß + *) = -Folglich hat A“¹ in den Entwicklungen von

ip₁ (2 + A) g(²+*)?-*<>) und ^,₂ (2 -f- A) e(2+A)?-;o) die Koeffizienten:

(2 + A)

_ æ,⁰ -f- a;? ⁰

*i_°+ 3°

Ä*

Ä*

/y> 0

I ^2_

= {«i° + («i° + «2°) (* - *q) } e2(i_

^2 = W ~ (xi° + ^2°) (< - *₀)}

Dies ist also dasjenige Lösungensystem von (2), das für t = t0 die Anfangswerte xt° und x₂° hat.

3. Beispiel: Bedeutet s die Summe xt + x₂ -j- • • • -f- xnJ so wird die Anwendung der allgemeinen Methode auf das d’Alembertsche System:

dxt

dt = 5

(i = 1, 2,. .. w)

(3)

~xi

sehr unbequem. Man wird daher besser den folgenden Weg einschlagen. Addition aller Gleichungen des Systems gibt:

— = (W — l)s,

woraus durch Integration folgt:

(4)

s = Ce(n~¹') *.

Dabei ist C eine willkürliche Konstante. Wird der Wert (4) in (3) eingesetzt, so kommt:

773]

(5)

dt

xi

(i = 1,

INS

Dies ist kein dAIembertsches System mehr, da rechts eine Funktion von t auftritt. In der nächsten Nummer wird aber gezeigt werden, wie man solche Systeme integrieren kann, und alsdann soll auch dieses Beispiel vollständig erledigt werden.

774. Lineare Systeme. Ein System erster Ordnung in der Normalform:

diu

dx

(i = 1,2,... n)

heißt linear, wenn f\, f₂, . . . fn hinsichtlich yx, y%, ... yn ganze lineare Funktionen sind, wenn es also die Form hat:

dy{ _

(1)

+ ÄiÄX)V2 + • • • + An(X)Vn + Bi(X)

(<-l, 2,...n).

Als das zugehörige verkürzte System bezeichnet man dasjenige lineare homogene System, das aus (1) hervorgeht, wenn B₂ (x), . . . Bn (x) durch Null ersetzt werden. Dies verkürzte System hat natürlich andere Lösungensysteme als das System (1) selbst.

Wenn :

dx

Bx(x\

Vl = <Pl (X), y2 = ^2 0*0, • • • Vn = <Pn 0*0

irgend ein schon bekanntes partikulares Lösungensystem von

(1)    vorstellt, kann man in (1) statt yx, y₂, ... yn die n Größen Vi — *Pi {x) als neue unbekannte Funktionen:

(2)    ex = yx - cpx{x), z₂=y₂- cp₂(x), . . . zn = yn - cpn(x)

einführen. Infolge von (1) und wegen:

<Pi'0*0 = AiXix)cpx(x) + A.₂(x) cp₂(x)-\-----b Ain(x) cpn(x) + Bt(x)

0' = 1, 2,... n)

ergibt sich für sie das System:

= An (x) zx + Ai2 ( x) z₂ + • • • -f Ain (x) zn (i = 1, 2,. . . n),

(3)

Wenn man also im-

d. h. das zugehörige verkürzte System, stände ist, dies verkürzte System vollständig zu integrieren,

braucht man nach (2) zu seinem allgemeinen Lösungensysteme zx, z₂, ... zn nur die n Funktionen cpx(x), cp₂(x),. . . <pn(x) zu

addieren, um das allgemeine Lösungensystem von (1) zu bekommen.

Man kann das System (1) mittels Quadraturen aber auch dann vollständig integrieren, wenn man das verkürzte System

(3) schon vollständig integriert hat, und zwar ohne Kenntnis eines partikularen Lösungensystems von (1). Denn nach Satz 10, Nr. 770, kann das als bekannt vorauszusetzende allgemeine Lösungensystem von (3) in der Form angenommen werden:

(4)

*t = Gtq>u(x) + C₂cp2i(x) H-----f Cncpni (x)

0' = 1;², ■ • • n)> wobei die Determinante aller n² Funktionen <p von Null verschieden ist. Das anzuwendende Verfahren von Lagrange, die sogenannte Methode der Variation der Konstanten, besteht darin, daß man die n Integrationskonstanten Cx, C₂, ... Cn durch n noch unbekannte Funktionen ut, u₂,. . . un und ferner z₂,... zn durch yi} y₂, ... yn ersetzt, d. h. daß man vermöge der nach ux, u₂, . . . un auflösbaren Gleichungen:

(5)

Vi = <Pli{X)Ul + <P₂i(X)U2 + ■ • ’ + <Pni(X)Un

(7=1, 2,...n)

in (1) die neuen n unbekannten Funktionen ut, u₂, . . . un einführt. Die Substitution der Werte (5) in (1) gibt: 2 [<p'u(x)uk + <Ph(x) Ÿx] =“2* [2 Ao-(x) <Pkj 0)] uk + Bi 0*0

]    i    i

(7 = 1,2,... n).

Hierin ist aber allgemein:

<Pki 0) = 2    0*) o*o>

i

weil nach (4) die Werte:

*1 = <Pkl 0*0 > *2 = <Pk 2 0*0, •••'*« = <Pkn 0*0.

dem verkürzten Systeme (3) genügen. Also bleibt das System übrig:

du!

+ 9>U 0*0    -f----+ <Pni 0*0 dd x - Bi 0*0

(7 = 1,2,... n).

Da die Determinante der n² Funktionen

774]

<Pti

von Null ver-

schieden ist, läßt sich das System nach den Ableitungen der n unbekannten Funktionen ut, u2} ... un auf lösen. Dadurch ergeben sich für diese Ableitungen bekannte Funktionen (x), ik₂(x), . . . ik„(x), so daß das neue System die Form annimmt:

(< = 1, 2,. . . »).

Tx ⁼

Mittels Quadraturen ergibt sich hieraus: = fPi (x) dx + c- (i = 1, 2, . . . n)

wobei die Integrale von bestimmten unteren Grenzen an erstreckt und clf c₂, ... cn die Integrationskonstanten sind. Bezeichnen wir die Integrale von tiix), ^’₂(x), . • • ^„(x) mit *P[(x), W₂(x),... Wn(pc), so gibt die Substitution der Werte:

(i — 1, 2,... n)

«<= ^0) + cf

in (5) das allgemeine Lösungensystem:

Vi = % i (x)    0*0 +    0*0 ^ (*) + ••• + <Pni 0*0 ix)

+ ci <Pi i (x) + c₂cp2i(x) +----f- c„ <pn t (x)

0 = 1, 2,... w)

des Yorgelegten Systems (1). In der Tat ist das gefundene Lösungensystem allgemein, weil es nach den n Integrationskonstanten cx, c₂, ... cn auflösbar ist.

Beispiel: Im 3. Beispiele der vorigen Nummer trat das noch zu integrierende lineare System auf:

(i - 1, 2,.. . »),

das jetzt erledigt werden soll. Zu diesem Zwecke wird das zugehörige verkürzte System (3) gebildet, das hier so lautet:

(6)

dt    ¹

dz,

O' = 1, 2,... n).

Dies ist wieder ein dAlembertsches System, das sofort in der Form :

0 = 1, 2,. .. n)

z{ = Cie~t

integriert ist. Nun wird in (6) analog (5), worin jetzt y1} y₂, . . . yn und x durch xt, x₂, ... xn und t zu ersetzen sind, die Substitution gemacht:

0 1,2,,..*),

[774

Serret-Scheffers, Diff.-u. Integral-Kechnung. III. 3. Aufl.

290 Kap. IV. Systeme erster Ordnung v. gewöhnt. Differentialgleichungen. wodurch das System hervorgeht:

(i - 1, 2, . . . n),

dui — n.pnt

dt ~ °e

das sich sofort integrieren läßt:

Ui =

» e*'+c<

1, 2, • • • »)•

Hier sind cx, ci,...cn die Integrationskonstanten. Substitution dieser Werte in (7) liefert das allgemeine Lösungensystem von (6):

(8)

(* = 2, . . . »).

Das System (6) ergab sich im 3. Beispiele der vorigen Nummer, wo das d’Alembertsche System:

dx:

dt ⁶

(9)

integriert werden sollte, in dem s die Summe xx -j- x₂ -j-----1- xn

vorstellte. Demnach liefern die Funktionen (8) erst dann das allgemeine Lösungensystem von (9), wenn noch die Gleichung (4) von voriger Nummer berücksichtigt wird, nach der

S =

ist. Die Addition aller n Gleichungen (8) gibt nämlich: s = Ce(n~1)ł -f- (cx -j- c₂ H-----f- cn) e-*.

Folglich muß:

(10)

angenommen werden. Die Funktionen (8) stellen also dann und nur dann das allgemeine Lösungensystem des d’Alembertschen Systems (9) dar, wenn darin zwar die n -f 1 Konstanten C, cv c₂, cn willkürlich sind, aber so, daß c1} c₂, ... cn der Bedingung (10) genügen.

775. Eingliedrige Gruppe von linearen homogenen Transformationen von n Veränderlichen. Nachdem in den vorhergehenden Nummern die wichtigsten Betrachtungen über allgemeine lineare Systeme erledigt sind, kehren wir zum d’Alembertschen System : dxt _

(*'-1,2,...«)

zurück, um ihm eine geometrische Deutung zu geben. Ein

774, 775]

(1)

dt

ai\X\ + üi2X2 +----H °inXn

spezielles d’Alembertsches System, nämlich im Falle n = 3, begegnete uns schon in Nr. 753 unter (4) bei der Betrachtung der Jacobisehen Differentialgleichung. Damals gingen wir von n, nämlich drei, partikularen Lösungensystemen aus und konstruierten daraus durch Multiplikation mit willkürlichen Konstanten und Addition das allgemeine Lösungensystem, vgl. (7) in Nr. 753. Auf Grund des Satzes 10 von Nr. 770, der ja insbesondere auch für d’Alembertsche Systeme gilt, kann dieselbe Betrachtung beim Systeme (1) gemacht werden. Was sich dann ergibt, kann aber auch aus der in Satz 11, Nr. 772, angegebenen Form des Systems der Hauptlösungen geschlossen werden, denn die Funktionen ipi, i/'₂,. . . ipn, die damals auftraten und den in jenem Satze angegebenen linearen Gleichungen genügen, sind augenscheinlich in xf, x₂, ... xn° homogene ganze lineare Funktionen.

(1),

Mithin hat das System derjenigen Hauptlösungen von die für t = 0 die Werte xx, x₂°, . . . xn° annehmen, die Form:

(2)

Xi = <Pil (0 V + <Pi2 (0 *8° + • • • + Tin (0 xn (* = h 2, • • •n)-

Nach Satz 12, Nr. 772, folgt noch, daß sich die Funktionen cpn, <jpi2, . . . cpin linear und homogen mit konstanten Koeffizienten aus den n Funktionen

(3)

e«j⁽, teü*, t*e*i*, ...

V = h 2, -■ #0

zusammensetzen, wenn die charakteristische Gleichung A(p) = 0 insgesamt g- verschiedene Wurzeln p1? q₂, ... q hat, die bzw. mufach, w₂-fach, . . . w^-fach auftreten.

Da nun die Gleichungen (2) für jeden Wert von t auch nach xx, #₂°, . . . xTl° auflösbar sind, stellen sie für jeden Wert von t eine sogenannte lineare homogene Transformation %t der n Veränderlichen xx⁰, x₂, . . . xn° in die n Veränderlichen x1} Xi,... xn vor.

Nach Satz 6 von Nr. 767 ist die Gesamtheit aller linearen homogenen Transformationen %t, die durch (2) für die verschiedenen Werte von t dargestellt werden, eine eingliedrige Gruppe von linearen homogenen Transformationen, die von derjenigen infinitesimalen Transformation:

haben.

Wenn umgekehrt ein vorgelegtes System:

(6) eine eingliedrige Gruppe von lauter linearen homogenen Transformationen erzeugen soll, muß das System der Hauptlösungen von (6), das für t = 0 die Anfangs werte xx°, x₂°, . . . xn° hat, die Form:

(7)

x, — r,i (0 V + Va (0 V + • • • + <Pin (t)*„0 (*’ - 1, 2,... n)

haben, so daß das System (6) selbst durch Elimination von xxQ, xf, . . . xn° aus den n Gleichungen:

^7 = Vn (0 V + Ti 2 (0 «*° H----4) 9><'w (0

(t «= 1, 2,.. . w)

mittels der w Gleichungen (7) hervorgehen nmß. Nun aber sind die Auflösungen von (7) nach xj⁰, #₂°,... ganze lineare homogene Funktionen von x1} x₂, ... xn. Das hervorgehende System (6) muß deshalb rechts lauter ganze lineare homogene Funktionen von xx, x₂,... xn haben, mithin ein d’Alembert-sches System (1) sein.

Diese Ergebnisse fassen wir zusammen in den folgenden

Sätzen:

Satz 13: Eine infinitesimale Transformation von n Veränderlichen x1} x₂,... xn erzeugt dann und nur dann eine eingliedrige Gruppe von lauter linearen homogenen Transformationen, ivenn sie die Form hat:

worin |₁₇ |₂,.. . |n ganze lineare homogene Funktionen von xx, x₂, ... xn sind:

(i-1,

(4)

df

I, ~ + S,

df

dx₂

erzeugt wird, in der die Koeffizienten |₁₅ |₂, . . . die Werte:

dxn

(5)

§< =    + ai2^₂ H-----1- ««A

{i - 1, 2,. .. «)

ii = «ii^i + «««* H----+ ainxn

7751

Form :

Satz 14: Diejenigen Hauptlösungen eines Systems von der

dXj

dt

(i = 1, 2,. . . n) ,

die für t = 0 die Anfangswerte x®, xf,... xn° haben, sind dann und nur dann ganze lineare homogene Funktionen von x®, x₂°, . . . xn°, wenn das System ein d’Älembertsches ist:

Tfi = ailXl + ai2X2 + * * * + 0>in*n

(i= 1, 2,...n).

Wegen des Satzes 13 nennt man eine infinitesimale Transformation linear und homogen, wenn sie die in diesem Satze angegebene Form bat.

Nach Nr. 768 können wir noch hinzufügen:

Satz 15: Die allgemeinen Integralkurven des Systems von totalen Differentialgleichungen :

dx₂

Ai, x%,... xn)

dx j

d Xj\

-V1 Al i i ■ • ■

-Ni Ai >    ».. •

die von den Punkten (x^, x₂°, . . . xn°) des Raumes mit den n Koordinaten xlf x₂, ... xn ausgehen, lassen sich dann und mir dann mittels einer Hilfsveränderlichen t in der Form:

Xi = <Pil(0 V + 9>«(0 Xi H----+ <Pin(f) Xn

(* = 1, 2,... »)

dar stellen, wenn das System auf eine For in gebracht werden kann, in der X1; X₂,... ganze lineare homogene Funktionen von xx, xs,... xn sind:

(»* - 1, 2, . . . »):

Xt — aixxx -j- ai2x₂ *F • • ■ d⁻ n%„

Man muß nämlich beachten, daß man die n Funktionen Xx, X₂, ■ ■ ■ Xn, ohne dadurch das System der totalen Dilfe-rentialgleichungen zu ändern, mit einer willkürlichen Funktion multiplizieren darf, weil nur ihre Verhältnisse in Betracht kommen.

Schließlich sei noch bemerkt, daß das in Nr. 772 gegebene allgemeine Verfahren zur Integration eines d’Alembertschen Systems insbesondere auf das System (4) in Nr. 753 angewandt werden kann. Dadurch geht eine neue Methode hervor, die Jacobische Differentialgleichung (1) jener Nummer vollständig zu integrieren.

§ 3. Allgemeine Systeme erster Ordnung.

776. Allgemeine Lösungensysteme. Es handelt sich jetzt darum, die Betrachtungen des ersten Paragraphen auf solche Systeme erster Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen auszudehnen, die zwar nicht in der Normalform (vgl. Nr. 665) vorliegen, aber Auflösungen nach den Ableitungen yx, y₂, ■ • ■ yn' der unbekannten Funktionen y₁₇ y2f . . . yn der unabhängigen Veränderlichen x zulassen. Demnach wird ein System von n Gleichungen:

(1)    Fi(x,yl,y₂,...yn,y₁',y₂,...yn') = 0 (i = 1, 2,... n)

angenommen und vorausgesetzt, daß es einen Bereich gebe, innerhalb dessen alle n Funktionen Fx, F₂, . . . Fn nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig hinsichtlich aller 2n + 1 Veränderlicher x, yx, y₂, ... yn und yx, y₂, ■ ■ ■ yn' sind. Stets soll sich die Betrachtung auf diesen Bereich beziehen. Außerdem wird vorausgesetzt, daß die Funktionaldeterminante:

2) =

(2) '

Ft F₂ ...Fn Fi y* • • • yń.

nicht für alle diejenigen Wertsysteme der 2n -j- 1 Veränderlichen verschwinde, die den n Gleichungen (1) Genüge leisten. Wenn nun:

(3)

x = a, yx = bx, y₂ = b₂, ... yn = bn ein bestimmtes Wertsystem ist, nach dessen Substitution in

(1) diese Gleichungen durch eine Anzahl von Wertsystemen:

V\ ~ C11 >    y2    ~ C1 2 )    • ■ ■    Vn    ~    C1 n 5

(4)

y\ ~ C21>    2/2    ~ C22>    ' ‘ '    y n    ~    C2 »?

yi — Cr\t îfa Cr2> ‘    • y^i Crn

befriedigt werden, von denen keins mit den übrigen völlig übereinstimmt, so hat das Gleichungensystem (1) in der Umgebung der Wertsysteme Auflösungen nach yx, y₂, ■ ■ ■ yn', vorausgesetzt, daß die Funktionaldeterminante ® für keines der Wertsysteme gleich Null wird, nach Satz 17 von Nr. 697. Es ergeben sich so insgesamt entsprechend den r Wertsystemen

(4) gerade r einzelne Systeme in der Normalform, von denen 776]

ein jedes in der Umgebung der Stelle (3) ein allgemeines Lösungensystem hat. Ygl. auch Satz 21 von Nr. 701. Demnach lassen sich die Betrachtungen in Nr. 707 verallgemeinern. Wir brauchen jedoch nicht auf alle Einzelheiten einzugehen.

. . bn) von der Gesamtheit aller Integralkurven des

Werden x, yx, y₂, ... yn als Koordinaten der Punkte in einem Raume von n -f- 1 Dimensionen gedeutet, so wird jedes partikulare Lösungensystem durch eine Integralkurve dargestellt. Es zeigt sich dann, daß die Umgebung des Punktes (a, \, b

lt

vorgelegten Systems (1) gerade so vielfach überdeckt wird, als es Wertsysteme (4) gibt. Dies bedeutet analytisch: Die Anzahl derjenigen partikularen Lösungensysteme, die für x = x₀ die Anfangswerte yx, y₂°, . . . yn° haben, ist, vorausgesetzt, daß die Stelle (æ°, yf, yf, . . . yjf) in der Umgebung der Stelle (a, b b₂, . ..&„) liegt und daß dabei stets SD 4= 0 ist, gerade so groß wie die Anzahl der Wertsysteme (4), die den Gleichungen (1) für x = a, yx = bl} . . . yn= bn genügen. Entsprechend dem Satze 4 von Nr. 707 ergibt sich auch jetzt der

Satz 16: Wenn das System erster Ordnung von n gewöhnlichen Differentialgleichungen :

Fiix, yx, y₂, . . . yn, yf, yf, . .. yn') = 0 • (i = 1, 2,... n)

an der Stelle:

i>

x = a, yx = b

nur durch solche Werte von yf, yf, ... yf befriedigt wird, für die die Funktionaldeterminante:

Fx F, ...

yî

y» •••

von Null verschieden ist, gibt es eine solche Umgebung der Stelle (a, b1; b.₂, . . . bf), in der keine zwei verschiedene partikiäare Lösungensysteme, die für x = x₀ dieselben Anfangswerte yt°, y₂°, • ■ ■ Vn haben, an dieser Anfangsstelle völlig übereinstimmende Werte ihrer Ableitungen haben.

Die Gesamtheit aller partikularen Lösungensysteme in der

Umgebung der Stelle (a, bx, b₂, . . . bn) heißt ein allgemeines Lösungensystem. Es besteht, entsprechend den r möglichen Auflösungen des Gleichungensystems (1) hinsichtlich yf, yf,

■ ■ ■ yń,

aus

den r allgemeinen Lösungensystemen, die den durch

diese Auflösungen zu findenden r Systemen in der Normalform in der Umgebung derselben Stelle zukommen.

777. Singuläre Iiösungensysteme. Wenn dasselbe System wie soeben vorliegt:

(1) Fi(x, yx, y₂, .. . yn, y,', y₂, ... yn') = 0 (i = 1,2,. .. n),

so werden wir, auch, wenn keine geometrische Deutung in einem Raume von n -f- 1 Dimensionen vorgenommen wird, doch von den Linienelementen sprechen, die vermöge (1) irgend einem Wertsysteme x, yx, y₂, ... yn zugeordnet werden, 'Wdr verstehen darunter die Gesamtheit aller Wertsysteme x, yl} y₂, . . . yn, yf, y₂', . . . yf, die den Gleichungen (1) genügen, falls x, yx, y₂,

. . . yn bestimmt gewählt worden sind. Singulär soll ein Linienelement des Systems (1) heißen, wenn die Funktionaldeterminante : F₁ F₂ ... Fn

y-2 • • ■ yń

für die Eestimmungsstücke des Elements den Wert Null hat. Dem Satze 16 der letzten Nummer kann man dann die Form geben: Nur singuläre Linienelemente können mehreren verschiedenen partikularen Lösungensystemen angehören. Geometrisch ausgedrückt: Nur durch singuläre Linienelemente können mehrere verschiedene Integralkurven gehen. Vgl. Nr. 708.

(2)

Ein System von stetigen und dilferenzierbaren Funktionen: yx = tpt Ix), y₂ = cp₂(x), . . . yn = cpn(x) heißt ein singuläres Lösungensystem von (1), wenn es den Gleichungen (1) innerhalb eines gewissen Intervalles von x genügt und wenn außerdem die Werte (2) und:

(3)

yf = cpf(x), y₂' = <p₂'(x), . . . yn' = cpf (x) die Funktionaldeterminante ® zum Verschwinden bringen. Stellt dagegen (2) ein Lösungensystem vor, bei dem 2) =(= 0 ist, so heiße es ein reguläres. Außer den regulären und singulären Lösungensystemen gibt es keine. Es entsprechen ihnen bei der geometrischen Deutung die regulären und singulären Integralkurven. Ein System in der Normalform:

(.•=1, 2, . . . n)

y’i = fi(x, y» y» • • • yJ

hat keine singulären Lösungensysteme, denn hier ist Fi = y' — f und daher 2) = 1 =4= 0.

776, 777]

Unter dem Diśkriminantenorte verstehen wir wie in Nr. 711 die Gesamtheit aller Wertsysteme x, yx, y₂, . . . yn, zu denen es Werte yx, y₂, . . . yn' gibt, die sowohl dem Systeme (1) genügen als auch die Funktionaldeterminante 5D zum Verschwinden bringen. Es ist dies der Ort der Punkte (x, ylt y₂, .. . yn) aller singulären Linienelemente.

Die Bedingungen, unter denen ein singuläres Lösungensystem vorhanden ist, hissen sich verschärfen. Soll nämlich ein solches System existieren, so heißt dies: Es sollen Funktionen ylf y.₂₎ . . . yn und yx, y.₂', • • . yn' von x vorhanden sein, die erstens dem Systeme (1) Genüge leisten, zweitens die Gleichung 3) = 0 erfüllen und drittens so beschaffen sind, daß die Ableitungen von ylf y₂, . . . yn mit den Funktionen yx, y₂, . . . yn' übereinstimmen. Nun gibt die vollständige Differentiation der Gleichungen (1) nach x:

dF_i c Fi dyx dx dyx dx

(4)

dFj dy„ cFj dyx dyn dx ' dyx dx

._____i    dVn

'    ' dy’n dx

(i =1,2,... »).

Diese Gleichungen lassen sich aber von den Ableitungen von Vi\ • • • Vn befreien. Denn es bedeute Aik diejenige (n — 1)-reihige Unterdeterminante von die zu dem Elemente oFi : dyk von SD gehört. Wird nun die ice Gleichung (4) mit Aik multipliziert und alsdann die Summierung über i von 1 bis n ausgeführt, so kommt, da:

dFi

2 k o

àVj

AlkdF\ + Ä

dy.

für

ist:

dFj dyn dyn dx

dyk'

dx

ß = 1, 2, • • • *)•

Nach der zweiten Bedingung aber muß ® = 0 sein. Ferner sollen die Ableitungen von y1} y₂, . . . yn nach x infolge der dritten Bedingung die Funktionen yx, y₂, . . . yt' sein. Demnach müssen die n Gleichungen bestehen:

(6)

Vi + • * • + (k =1,2,... n).

dFt

dp»

y. j - ⁰

Die gesuchten 2n Funktionen yt, y₂, . . . yn und yf, yf, . . .yj von x müssen somit den n Gleichungen (1), der Gleichung 'S) = 0 und den n Gleichungen (6) genügen.

Jedoch für solche 2n Funktionen, die dies tun, kann hieraus doch nicht geschlossen werden, daß yf, yf, . . . yf wirklich die Ableitungen von y1} y₂, . . . yn sind. Denn für die Ableitungen gelten die Gleichungen (5), worin 3) = 0 ist, so daß die Subtraktion entsprechender Gleichungen (5) und (6) gibt:

kl

“M-

cdi

-tyj.

a, a-

a ?

(k - 1, 2,... n),

und aus diesen n Gleichungen folgt das Gewünschte nur dann, wenn ihre Determinante von Null verschieden ist. Aber diese Determinante ist das Produkt der Determinante mit der Determinante aller (n — l)-reihigen Unterdeterminanten Aik von 2), die nach einem bekannten Satze gleich 2)n_1 ist. Für das fragliche Funktionensystem ist aber gerade ® = 0. Im Falle n > 1 sind also die aufgestellten Bedingungen nicht hinreichend. Auf den Fall n = 1, wo SD”⁻¹ durch Eins zu ersetzen ist, kommen wir sogleich zurück. Vorher soll das Ergebnis formuliert werden. Die Bedingungen (6) und die Gleichung ® = 0 lassen sich übersichtlich zusammenfassen. Es ergibt sich nämlich der

Satz 17: Jedes singuläre Lösungensystem y1} y₂, . . . yn des Systems erster Ordnung von n gewöhnlichen Differentialgleichungen:

^ i(j) Vu Vn • • • Vn) Ul > y% f • • • Vn )    ^

bringt zusammen mit seinen Ableitungen yf, yf, . . . yn' alle diejenigen n + 1 Determinanten zum Verschwinden, die aus der Matrix:

777] durch Streichen je einer Reihe hervorgehen.

Diese Matrix, wie man überhaupt eine solche Tafel von Elementen nennt, in der die Anzahl der Reihen nicht mit der Anzahl der Zeilen übereinstimmt, hat an sich keine Bedeutung. Sie soll nur zur bequemen Zusammenfassung von n -f- 1 Determinanten dienen, denn nach dem Streichen irgend einer Reihe geht jedesmal eine Determinante hervor.

Insbesondere im Falle n — 1 lauten die Bedingungen für eine singuläre Lösung der Differentialgleichung:

F{x, y, y) = 0

so:

= 0.

dF cF , n dx ⁺ dy y °>

Sie wurden schon in Satz 6, Nr. 708, angegeben; und wir benutzen die Gelegenheit, diesen Satz, der nicht ganz exakt ist, zu verbessern:

**l

d_Fn

OX

031 03 03] 03 2s

031 03 03] 03

ä⁸

co co co !co

03 03 ; 03

031 03    031 03

dyn

Vn

In diesem Falle kommt nur die eine Gleichung (7) vor: f {Ÿx ~ y) = 0;

daß also y wirklich die Ableitung von y ist, kann nur bei der Annahme:

Sh I

geschlossen werden. Diese Voraussetzung ist in Satz 6, Nr. 708, übersehen worden und also hinzuzufügen.

778. Singuläre Lösungensysteme, die durch Einhüllung hervorgehen. Wenn von dem Systeme:

(1)    R\{x, yx, yt, ... y„, yj, y₂', . . . yj = 0 (i = 1, 2,.. . n)

ein solches Lösungensystem:

(2)

Vx =    c), y₂ = cp₂(x, c), ... yn = <pn(x, c)

schon bekannt ist, in dem eine (innerhalb eines gewissen Intervalles) willkürliche Integrationskonstante c auftritt, so kennt man eine einfach unendliche Schar von partikularen Lösungensystemen oder Integralkurven im Raume mit den n -(- 1 Koordinaten x, yx, y₂, . . . yn. Es ist nun möglich, daß diese Schar eine sogenannte Einhüllende hat (vgl. Kr. 710 im Falle n = 1), d. h. analytisch ausgesprochen, daß es ein System von differenzierbaren Funktionen:

(3)

yi = fiO), y2 = f₃0); ■■■yn- fn0)

gibt, die so beschaffen sind, daß sie und ihre Ableitungen erster Ordnung für jeden erlaubten Wert von x mit den Funktionen

(2) und ihren Ableitungen erster Ordnung übereinstimmen, sobald man der Konstante c in (2) einen gewissen bestimmten Wert erteilt hat, der mit x variiert und also eine Funktion cc von x sein muß. Mit anderen Worten: Es ist denkbar, daß es eine Funktion a(x) derart gibt, daß die Funktionen (3) für jedes erlaubte x mit den Funktionen:

(4) yx = <px (x, a («)), y₂ = (p₂ (x, a (x))f . . . yn = (pn (x, a (xf) und die Ableitungen dieser Funktionen zugleich mit:

dcp„(x, cc) dx

übereinstimmen. Da die Ableitungen der Funktionen (3) oder (4) die Werte:

dcp!^, cc) dcpzix, a) d x , d x

d cc dx

(i = 1,2,... n)

' _ d<pi(x, a) di

O cpi (x, a) da(x)

haben, falls a(x), wie wir annehmen wollen, differenzierbar ist, so existieren die fraglichen Funktionen (3) oder (4) dann und nur dann, wenn es eine differenzierbare Funktion a(x) derart gibt, daß die n Gleichungen:

(5)

dcpfx, a)

d cc

(i = 1, 2,. .. n)

für alle Werte von x im erlaubten Intervalle bestehen.

Ist dies der Fall, so sagt man, daß die einfach unendliche Kurvenschar (2) eine Einhüllende (4) hale, denn dann gibt es eine Kurve (4), die jede einzelne der Kurven (2) in je einem Punkte berührt. Man wird diese Bezeichnung auch beibehalten, wenn man von der geometrischen Deutung absieht, also 778] sagen, daß die einfach unendliche Schar (2) von Funktionen-systemen ein einhüllendes Funktionensystem (4) habe, wenn die n Bedingungen (5) durch eine differenzierbare Funktion a (x) erfüllbar sind.

(4)

Da alsdann jedes Wertsystem y1} .%,... yn, yf, yf, . . . yf, das sich aus (4) für ein beliebiges x im erlaubten Intervalle ergibt, mit dem entsprechenden Wertsysteme der Funktionen (2) und ihrer Ableitungen für dasselbe x übereinstimmt, falls darin für c der zugehörige Wert von a(x) gewählt wird, so genügen alle Wertsysteme x, y1} .. . yn, yf, . . . yf, die sich aus (4) gewinnen lassen, dem vorgelegten Systeme (1). Folglich muß (4) ebenfalls ein Lösungensystem sein. Weil nun aber jedes Linienelement (x, yt, ... yn, yf, . . . y ff), das zu gehört, auch einem der Lösungensysteme (2) angehört, folgt aus Satz 16, Nr. 776, daß (4) ein singuläres Lösungensystem darstellen muß. Wir haben demnach den

Satz 18: Wird unter den partikularen Lösungensystemen des Systems erster Ordnung von n gewöhnlichen Differentialgleichungen:

Ffx, yx, y₂, . . . yn, yf, yf, . . . yf) = 0 (i = 1, 2,. .. n) eine solche einfach unendliche Schar:

Vi = 9h c), y₂ = cp₂ (x, c), ... y n = (pn(x, c)

ausgewählt, zu der ein einhüllendes Funktionensystem gehört, d. h. zu dem es eine differenzierbare Funktion a(x) derart gibt, daß die n Gleichungen:

d = 1, 2,.. . n)

bestehen, so ist das einhüllende Funktionensystem:

Vl = 9>1 (X, «G»)), y2 = 9>2(?, ß(4 • • •Vn= 90:(Xf ein singuläres Lösungensystem.

Dies ist die Verallgemeinerung des Satzes 7 von Nr. 710.

779. Weitere Ausführung bei Systemen von zwei Differentialgleichungen. Im Falle n = 2 sollen die Betrachtungen weitergeführt werden. Die unbekannten Funktionen seien mit y und z (statt mit yv und yf) bezeichnet, und das zu betrachtende System erster Ordnung von Differentialgleichungen sei: 0(x, y, z, y, z) = 0, W(x, y, z, y, z) = 0.

(1)

Ferner möge das allgemeine Lösungensystem durch die beiden Funktionen:

(2)

y = cp(x, a,b), z = ip (x, a, b)

mit den beiden Integrationskonstanten a, b dargestellt sein. Werden x, y, z als rechtwinklige Koordinaten im Raume gedeutet, so gehört zu jedem erlaubten Konstantenpaare a, b eine Integralkurve, dargestellt durch (2). Insgesamt liegt eine zweifach unendliche Schar von Integralkurven vor. Nebenbei bemerkt nennt man eine zweifach unendliche Schar von Kurven im Raume, die nicht etwa nur eine Fläche erfüllen, auch eine Kurvenkongruenz. Bei den folgenden Betrachtungen, die nur darüber Aufklärung geben sollen, wie die einhüllenden singulären Integralkurven im allgemeinen gelagert sind, wird vorausgesetzt, daß die auszuführenden Operationen sämtlich erlaubt seien.

Aus der zweifach unendlichen Schar (2) aller Integralkurven wird in allgemeinster Weise eine einfach unendliche herausgegriffen, wenn man a als willkürliche Konstante c beibehält und für b irgend eine Funktion X von c setzt:

(3)

y = cp (x, c, X(c)), y — ip (x, c, X{ćf).

Allerdings wird dabei von der einen Schar, die sich ergibt, wenn a festgehalten wird und nur b willkürlich bleibt, ab-gesehen. Sie würde aber sofort hervorgehen, wenn wir die Rollen von a und b vertauschten. Die Ergebnisse werden jedoch in Hinsicht auf a und b symmetrisch ausfallen, so daß ihre x411gemeinheit trotzdem nicht beeinträchtigt wird.

Nach Satz 18 der vorigen Nummer hat nun eine Einhüllende, falls es eine Funktion u(x) gibt derart, daß:

dCp (x, a, X (a))    dqV {x, a, X (a))

die Schar (3)

(4)

da

dl

8 7p {x, a, X (a))

dip (x, a, X {a))

da

dX

X' (cc) — 0, X' («) — 0

Diese beiden Gleichungen können nur dann zusammen

w'ird.

bestehen, wenn ihre Determinante:

ist, und zwar wird dann eine überflüssig.

Man kann hieraus im allgemeinen cc(x) und X (cc) finden. Denn (5) ist eine Gleichung zwischen x, a und X (cc) allein und etwa die erste Gleichung (4) eine zwischen x, cc, X (a),. X'(cc), so daß also zwei Gleichungen:

Si (x, ec, X) = 0, X' (cc) = a» (x, cc, X)

yorliegen. Durch vollständige Differentiation von Si = 0 kommt noch:

Setzt man hierin den Wert X'= œ (x, cc, X) ein und eliminiert dann X mittels Si (x, cc, X) = 0, so ergibt sich eine gewöhnliche Diff erentialgleichung erster Ordnung für a (x) :

a (x) = f(x, a (x)).

Ihre Integration liefert cc(x), und aus Si(x, cc,X) = 0 kann man nun auch X berechnen. Durch Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung und Eliminationen und Substitutionen lassen sich somit die einhüllenden singulären Integral-Jcurvcn bestimmen und zugleich diejenigen einfach unendlichen Scharen (3) von Integralkurven ermitteln, die solche Einhüllende haben. Denn da jetzt cc und 4(a) bekannt sind, ist auch X (c) in (3) bekannt.

Nun wissen wir, daß die zu einer solchen Schar (3) gehörige Einhüllende:

(6)

d cp (x, cc, X (cc)) dcp (cc, cc, 4(c0)

(5)

d cc

dX

dip (x, cc, X (cc)) dip (X, cc, X(a))

d cc

dX

y = cp (x, cc(x), 4(a)), z — ijf (x, a (er), 4(a))

so beschaffen ist, daß zu jedem erlaubten Werte von x ein Wert von a(x) existiert derart, daß (3) und (6) denselben Punkt geben, sobald in (3) für c gerade dieser Wert von cc(x) gewählt wird. Demnach lehrt (5), wenn man c und 4(c) wieder mit a und b bezeichnet: Die Koordinaten eines solchen Punktes (x, y, z) einer Kurve (2), der einer Einhüllenden angehört, erfüllen auch die Gleichung:

Wir nehmen an, aus dieser Gleichung in x, a, b lasse sich x als Funktion von a und b berechnen. Wird sie auch in (2) für x substituiert, so ergeben sich drei Gleichungen:

(8)

x = A(a, b), y = B(a, b), z = C(a, b).

Für jedes Wertepaar a, b liefern sie einen Punkt (x, y, z), in dem eine hindurchgehende Integralkurve eine Einhüllende berühren kann. Die Gesamtheit der Punkte (8) wird im allgemeinen eine Fläche erfüllen, denn man kann a und b als jene beiden Hilfsveränderlichen deuten, die in Nr. 251 in den Gleichungen (6) mit u und v bezeichnet wurden.

Man kann sich auch vorstellen, daß a und b aus den drei Gleichungen (2) und (7) eliminiert werden, wodurch die Gleichung der Fläche in der Form F(x, y, z) = 0 hervorgeht. Diese Fläche heißt die Brennfläche der betrachteten zweifach unendlichen Kurvenschar (2).

Zu einem bestimmten Wertepaare a, b geben die Gleichungen (2) und (7) einen Punkt (x, y, z) der Brennfläche. Auf der Fläche sind also sowohl x, y, z als auch a, b veränderlich. Nach (2) bestehen dabei für die Differentiale dieser Größen die Gleichungen:

dy = cpxdx -f- cpada -f cpbdb, dz = ipxdx -f- ÿada + i>bdb.

Hieraus geht wegen (7) eine von da und db freie Gleichung hervor, indem man die erste mit ipa und die zweite mit cpa multipliziert und dann beide von einander abzieht:

^ady - <padz = (<Px^a - tx<Pa) dx.

Folglich ist:

(9)

d qp (x, a,b) d cp {x, a, b)

0)

da

db

d ip (x, a, b) d ip (x, a, b)

= o.

da

db

(9 - y) - y a il - *) = (Vxta ~ 4x<Pa) (ï ~

in den laufenden Koordinaten ç, t), § die Gleichung der Taugentenebene der Brennfläche.

Andererseits ist längs der Kurve (2), d. h. wenn a und b konstant sind:

dy = (pxdx, dz = ipxdx.

(10)

Mithin stellen die Gileichnngen :

9 - y =    (£ - *) ; à — * =    (£ — *0

in den laufenden Koordinaten Ç, tj, § die Tangente der Integralkurve (2) dar. Ist insbesondere (x, y, z) derjenige Punkt, den die Kurve mit der Brennfläche gemein hat, so zeigen die Gleichungen (9) und (10), daß die Kurventangente der Tangentenebene angehört, d. h.: Jede Integralkurve berührt die Brennfläche.

Wir sagen, daß ein Linienelement einer Fläche angehört, wenn sein Punkt auf der Fläche liegt und seine Richtung in die zugehörige Tangentenebene fällt. Danach gibt es in jedem Punkte der Brennfläche mindestens ein der Fläche angehöriges Linienelement, das zugleich auf einer regulären Integralkurve (2) liegt,

Dies soll durch Fig. 40 angedeutet werden, worin die Integralkurven (2) mit kx, \, k₃, ... bezeichnet sind.

\ Vs

\^2

Fig. 40.

VZ

Nun können wir auf einem anderen Wege, als es oben geschehen, aufs neue erkennen, daß es in der Tat einfach unendliche Scharen von Integralkurven gibt, die Einhüllende haben: Projiziert man nämlich die besprochenen Linienelemente der Brennfläche auf die xy-Ebene, so wird jedem Punkte (x, y) der Ebene ein Linienelement fx, y, y) zugeordnet, d. h. es liegt eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung:

f(%, y, y ) = o    £

ez

Fig. 41.

vor. Ist cf, cf, cf, . . . die einfach unendliche Schar ihrer Integralkurven und geht man von L der Projektion zur Fläche zurück, «** so ergibt sich aus cf, cf, cf, . . . eine einfach unendliche Schar von Flächenkurven cL, c₂, c₃, . . ., die nur solche Linienelemente enthalten, die auch den regulären Integralkurven kt, k₂, ks,

20

S e r r e t - S c h e f f e r s, Diff. - u. Integral-Rechnung. III. 3. Aufl.

[779

zukommen. Siehe Fig. 41. Jede Kurve clf c₂, c₃, . . . berührt demnach in jedem ihrer Punkte eine der Integralkurven k und ist folglich eine einhüllende singuläre Integralkurve.

Im allgemeinen also wird die JBrennfläche von lauter singulären Integralkurven ct) c₂, e₃, ... in der Art überdeckt, daß durch jede Stelle der Fläche wenigstens eine geht.

Es kann sein, daß auch die Kurven cj, c₂', c₃, ... in der xy-Ebene eine Einhüllende y haben. Ihr wird auf der Brennfläche eine Kurve y entsprechen, die alle singulären Integralkurven clf c.₂, c₃, . . . einhüllt und daher ebenfalls eine singuläre Integralkurve des vorgelegten Systems (1) sein muß. Man kann sie als eine singuläre Integralkurve zweiter Ordnung bezeichnen, da sie eine Einhüllende von Integralkurven ist, die selbst singulär (von der ersten Ordnung) sind. Schließlich sei noch hervorgehoben, daß die Brennfläche notwendig zum Diskriminantenorte gehört (vgl. Nr. 777).

780. Clairautsches System. Als Beispiel hierzu betrachten wir solche Systeme erster Ordnung von zwei Differentialgleichungen:

#0, y, *, y, *) = 0, W(x, y, z, y, z) = 0, die lauter Geraden als reguläre Integralkurven haben und deshalb mit Rücksicht auf Nr. 720 als Clairautsche Systeme bezeichnet werden können.

Wird von dem besonderen Falle abgesehen, wo die zweifach unendliche Schar von Geraden aus lauter Parallelen zur yz-Woene besteht, weil dieser Fall durch andere Wahl der Koordinatenachsen leicht vermieden werden kann, so geben allgemein die Gleichungen:

(i)

y = ax — X(a, b), z = hx — y(a, b) eine zweifach unendliche Geradenschar mit den beiden willkürlichen Konstanten a und b an. Hieraus folgt y' = a und z = b. Substitution dieser Werte für a und b gibt die allgemeine Form eines Clairautschen Systems:

(2) y -xy +1 (y, z) = 0, e — xz + y(y', z) = 0. Umgekehrt erhellt sofort, daß die allgemeine Lösung des Systems (2) die Form (1) hat, also einfach dadurch hervorgeht, daß y und z durch willkürliche Konstanten a und b ersetzt 779, 780]

werden (entsprechend wie in Nr. 720). Satz 17, Nr. 777, gibt für die singulären Lösungen Systeme die Bedingungen, die durch Nullsetzen der Determinanten der Matrix:

CV>

dl

dz'

OIL

C (L

dy

~x + d?

hervorgehen, also nur die eine Bedingung:

(3)

/Ü , £ü;\    , dl dr _ dl o

Vdy' ^ dz') x ^ dy' dz' dy dz ’

die mit der Bedingung 3) = 0 von Nr. 777 für die singulären Linienelemente identisch ist.

Weil die Funktionen cp und ^ der letzten Nummer hier die Funktionen (1) sind, hat die Gleichung (7) der letzten Nummer die Form:

(4)

₂ (dl . dy\    . dl

X ~ \dh + dl) X + dh

«S3 Ci)

dl

a db

worin X und y jetzt Funktionen von a und b sind. Diese Bedingung geht in (3) über, wenn a und b durch y und z ersetzt werden. Daher macht die Brennfläche den ganzen Diskriminantenort aus. Zu jedem Wertepaare a, b liefert (4) zwei Werte von x, d. h. auf jeder Integralgeraden (1) liegen zwei Punkte, in denen sie die Brennfläche berührt. Demnach besteht die Brennfläche aus zwei Mänteln. Auf jedem Mantel liegt eine einfach unendliche Schar von singulären Integralkuryen ct, c₂, c₃, . . .

Eine einfach unendliche Schar von Integralgeraden Ti hat aber nur dann eine Einhüllende, falls sie eine abwickelbare Fläche bilden (vgl. Nr. 282). Die Einhüllende ist alsdann die Gratlinie der abwickelbaren Fläche. Die Kurven c1} c₂, c₃, . . . sind also solche Gratlinien. Die zweifach unendliche Schar (1) aller regulären Integralkurven k₂, k₃,. . . besteht demnach aus den Tangenten einer Kurvenschar cX) c₂, c₃, . . . auf der Brennfläche. Da die Brennfläche zweimal jede Gerade (1) berührt, liegt, wie gesagt, auf jedem der beiden Mäntel der Brennfläche eine solche Schar von Kurven c, und zwar haben die Kurven c die Eigenschaft, daß jede Tangente einer Kurve der einen Schar zugleich Tangente einer Kurve der zweiten Schar ist.

Die Fig. 42, in der nur drei Kurven jeder der beiden Scharen von Kurven c angegeben sind, deutet die Lagerung dieser Doppeltangenten, d. h. regulären Integralkurven des Clairautschen Systems an.

Wenn insbesondere die Greradenschar (1) aus allen Normalen einer Fläche F besteht, muß es hiernach auf der Fläche F zwei einfach unendliche Kurvenscharen geben, die so beschaffen

Fig. 42.

sind, daß alle Flächennormalen der Punkte einer solchen Kurve eine abwickelbare Fläche bilden. An-_ dererseits wissen wir nach Nr. 319, daß es auf jeder Fläche in der Tat solche Kurvenscharen gibt, nämlich die Scharen der Krümmungskurven. Nach Satz 15, Nr. 321, folgt ferner, daß die Kurven cl7 c₂, c₃, . . . der Brennfläche alle Krümmungsmittelpunkte aller Flächenpunkte enthalten. Die Brennfläche ist hier demnach der Ort der Krümmungsmittelpunkte aller Flächenpunkte von F, die sogenannte Zentrafläche. Da zu jedem Flächenpunkte zwei Krümmungsmittelpunkte existieren, erhellt wiederum, daß die Brennfläche aus zwei Mänteln besteht.

7801

Fünftes Kapitel.

Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung.

§ 1. Differentialgleichungen in aufgelöster Form.

781. Existenz von Lösungen. Das in Nr. 702 angegebene Verfahren zum Nachweise von Lösungen eines Systems höherer Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen ist so einfach, daß es genügen wird, es hier nur für den einfachsten Fall genauer darzulegen, nämlich für den einer einzigen gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung:

(1)

y" = f(%, y, y)

mit der unabhängigen Veränderlichen x und der abhängigen Veränderlichen y. Unter dem Bereiche der Differentialgleichung, der nie verlassen werden soll, wird ein Variabilitätsbereich verstanden, in dem f eine stetige Funktion der drei Veränderlichen x, y, y ist und stetige partielle Ableitungen erster Ordnung hinsichtlich y und y hat. Ferner sei eine bestimmte Stelle .im Bereiche ausgewählt:

y' = V

(2)

x = a, y — b

Die Gleichung (1) wird nach Nr. 663 durch Einführung der neuen unbekannten Funktion z — y in ein System erster Ordnung in der Normalform verwandelt:

dz

(3)

auf dessen Lösungensysteme die Betrachtungen in Nr. 761—763 anwendbar sind. Wenn also (x₀, yQ, z₀) eine Stelle in der Umgebung der Stelle:

(4)

x = a, y = b, z = \ bedeutet, gibt es ein und nur ein System von Lösungen: y ~ wip,    yo, 2q)) z — Xq, y0} Zq)}

(Ö)

das für x — x₀ die Anfangswerte y₀ und z₀ hat. Diese Funktionen sind nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung nach x in einem gewissen Intervalle um x₀ herum stetig; überdies sind sie stetige Funktionen von y₀ und z₀. Die erste Gleichung (3) lehrt, daß die erste Ableitung von nach x gleich z oder cp ist; die zweite Gleichung (3) zeigt, daß die erste Ableitung von cp nach x, folglich die zweite Ableitung von cp nach x gleich f(x, cp, cp) ist, worin cp durch die erste Ableitung von cp ersetzt werden kann. Wenn y'₀ statt z0 geschrieben wird, folgt hieraus: Bedeutet (#₀, y₀, y'₀) eine Stelle in der Umgebung der Stelle (2), so hat die Differentialgleichung (1) eine und nur eine Lösung:

(6)

y = cp(x, x₀, y₀, y₀) ,

wenn an der Stelle x₀ für sie und ihre Ableitung y die Werte y₀ und y'o vorgeschrieben sind. So lange (x₀, y₀, y'₀) eine beliebige Stelle in der Umgebung der Stelle (2) ist, bedeutet

(6) die allgetneine Lösung von (1) in dieser Umgebung. Wie in Nr. 761 erkennt man, daß ihre Allgemeinheit nicht beschränkt wird, wenn man insbesondere x₀ =4= a wählt, so daß alsdann in (6) nur noch zwei willkürliche Konstanten y₀ und y'₀ Vorkommen, die wir wieder als die Integrationskonstanten mit Ct und C₂ bezeichnen. So gelangt man zu der Darstellung:

(?)

(8)

y = cp{x, C1} C₂) der allgemeinen Lösung. Die beiden Gleichungen zusammen: y = cp(x, Cu C₂), y = cp\x, C1} C₂)

treten hier an die Stelle des in Nr. 761 besprochenen Lösungensystems. Also sind cp und cp' in einem Intervalle um x — a herum und in einem gewissen Variabilitätsbereiehe von Cx und C₂ um b und bi herum solche stetige Funktionen von allen drei Größen x, C1} C₂, denen auch stetige Ableitungen erster Ordnung zukommen.

Auch die Übertragung der Betrachtungen in Nr. 762 ist einfach: Danach haben die Gleichungen (8) gewisse Auflösungen nach C₁ und C₂:

(9)

— œ₂(x, y, y ),

die sich in der Umgebung von (2) stetig verhalten und stetige

781]

partielle Ableitungen erster Ordnung haben. Insbesondere sind, diese beiden Funktionen (9) hinsichtlich y und y voneinander unabhängig. Wie in Nr. 762 heißen sie unabhängige Integrale Ferner kann man mittels geeigneter Substitutionen:

Gi =    cv):    Gs ⁼ ^2 (ci >

wie in Nr. 763 neue Integrationskonstanten c₁ und c.₂ in (8) einführen, wodurch etwa:

(10)

. y — 0{x, Cj), y' = i>'(x,cuca)

hervorgeht, also eine neue Form der allgemeinen Lösung: y = <£(>, q, c₂)

gefunden wird. Auflösung der beiden Gleichungen (10) nach cx und c₂ gibt dann ein neues System von unabhängigen Integralen :

c₂ = SlJx,y,y')',

cx    ßj (x, y, ^/ ),

dabei sind œx und œ₂ Funktionen von Six und H₂ allein und umgekehrt.

782. Allgemeine Lösung, Integrationskonstanten und Integrale. In entsprechender Weise läßt sich die Untersuchung einer gewöhnlichen Differentialgleichung rter Ordnung:

(1)

yd) = f(x, y, y, ... tfr-V) an die Betrachtungen in Nr. 761—763 anschließen. Man hat dabei nur zu beachten, daß hier y,y, ...y(’’~¹'> die Rolle der damals mit yx, y₂, . . . yn bezeichneten unbekannten Funktionen spielen und daß an die Stelle der damals mit fx, f₂, ■ ■ ■ fn bezeichneten Funktionen hier die r Funktionen

treten.

y, y", ■ ■ ■ y{r~l), flx, y, y,---y[r~1])

Unter dem Bereiche der Differentialgleichung (1) wird dementsprechend ein Yariabilitätsbereich verstanden, innerhalb dessen f eine stetige Funktion der r -f 1 Veränderlichen x, y, y, . . . yfr~ h ist und stetige partielle Ableitungen erster Ordnung hinsichtlich der r Veränderlichen y, y, ... y(r~t'⁾ hat.

Während in Nr. 761 — 763 Lösungen Systeme auftraten, braucht bei der Differentialgleichung (1) nur von Lösungen geredet zu werden. Denn mit y = cp(x) sind auch die anderen Funktionen :

[781, 7S2

y =    v" =    • • • y{r~¹⁾=

bekannt, die hier zusammen mit y = g>(x) einem jener Lösungensysteme entsprechen. In der Umgebung einer Stelle:

(2)

x*=a, y = b, y' = blf . . . y{r~1]= br_x des Bereiches gibt es eine und nur eine Lösung:

(3)

y = 9>fa Cl,    ••• Gr)

mit r willkürlichen Konstanten Ctf C₂, ... Cr derart, daß y, y, ...    für x = a die Werte C1} C₂, ... Gr’ annehmen.

Dabei sind die r Funktionen y, y', ...    stetig in bezug

auf alle n -f 1 Größen x, Clf C₂, ... Cr und mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung nach ihnen versehen. Die Funktion (3) heißt eine allgemeine Lösung.

Integral von (1) heißt jede Funktion von x, y, y, ... die für jede Lösung der Differentialgleichung (1) in der Umgebung einer Stelle (2) konstant ist. Unabhängig nennt man r solche Integrale, falls sie hinsichtlich y, y, ... yfr~^ voneinander unabhängige Funktionen sind. Wie in dem Falle r=2 in vorigeiV Nummer erörtert wurde, bekommt man durch Auflösung der Gleichung (3) und der Gleichungen:

(4) y=cp\x,CvC₂,...Cr),... y^ = ^-'\x,CvCl}...Cr) nach Gx, C2> ... Cr ein System unabhängiger Integrale; ferner wurde dort auch angedeutet, wie man durch Einführung von r geeigneten neuen willkürlichen Integrationskonstanten c1} c₂₎... cr zu neuen Formen:

y = G, c2, • • • cr)

der allgemeinen Lösung gelangt. Werden für die Konstanten bestimmte Werte gewählt, so liefert die allgemeine Lösung eine 'partikulare.

Wir dürfen nun ohne weiteres die Übertragungen der Sätze der Nummern 762 und 763 wie folgt formulieren:

Satz 1: Eine differenzierbare Funktion Si von x, y, y',... y(r -stellt dann und nur dann ein Integral der gewöhnlichen Differentialgleichung rter Ordnung:

yä) = f(x} y} y\ ... y^“¹))

dar, wenn sie eine Lösung der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung:

78Ä]

dsi ,da . „dsi    dsi    da n

7ź + ydy+y w ⁺ "' + r Jf'=T) + fW⁼')=(>

für die Funktion kl der r-f 1 Veränderlichen x, y, y, y", . . . y(r~^ ist.

Satz 2: Die gewöhnliche Differentialgleichung rter Ordnung:

y{r)=f(x, y, y, hat in der Umgebung einer Stelle:

y = b, ij = bx, y" = b₂,    ...    y{r~¹⁾=br

ihres Bereiches stets r unabhängige Integrale, die nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung in dieser Umgebung stetige Funktionen von x, y, y, ... y⁽-r~l'> sind. Jede Funktion dieser Integrale ist ebenfalls ein Integral, und andere Integrale gibt es nicht.

Satz 3: Es seien £llf kl₂, ... Slr solche r unabhängige Integrale der geivöhnlichen Differentialgleichung rter Ordnung: y^ = f(x,y,y,...y(r-v>),

die nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung in der Umgebung einer. Stelle:

-i

x = a, y = b, y =b1} y" = b₂, ... y⁽~r~¹'⁾=br des Bereiches der Differentialgleichung stetig sind. Falls alsdann die r Integrationskonstanten cx, c₂, ... cr in einer Umgebung desjenigen Wertsystems willkürlich gewählt werden, das den r Integralen klx, kl₂, ... £ir an dieser Stelle zukommt, definieren die r Gleichungen:

&i(%, y, y, ■ • • y{r~¹⁾) = ct (* = l, 2,... r)

die allgemeine Lösung y der Differentialgleichung und ihre r—1 ersten Ableitungen in der Umgebung jener Stelle.

783. Geometrische Deutung einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die nächstliegende geometrische Deutung der Differentialgleichung:

(1)

y"=y, y)

gewinnt man, wenn man x und y als rechtwinklige Koordinaten in der Ebene auffaßt. Der Bereich der Differentialgleichung, d. h. jener Variabilitätsbereich, innerhalb dessen f eine stetige Funktion von x, y, y mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung hinsichtlich y und y ist, stellt dann

[783, 783

einen Bereich von Linienelementen (x, y, yj vor. die Differentialgleichung vorliegt:

Wenn z. B.

VS

: th

so sind nur die Werte y = + 1 auszuschließen. Dies bedeutet: Der Bereich dieser Differentialgleichung besteht entweder aus allen Linienelementen (x, y, y), bei denen \y\ < 1, d. h. der Winkel x mit der #-Achse absolut genommen kleiner als ist, oder aus allen Linienelementen (x, y, y), bei denen | y'\ > 1, d. h. der Winkel x absolut genommen größer als ist.

Eine Lösung y = <p(x) der Differentialgleichung (1) wird durch eine Kurve, eine sogenannte Integralkurve, dargestellt. Die Gleichung (1) schreibt den Linienelementen der Integralkurve keinerlei Bedingung vor außer der selbstverständlichen, daß die Linienelemente dem Bereiche angehören sollen. Dagegen gibt sie zu jedem Linienelemente (x, y, y) einen bestimmten Wert von y". Dies bedeutet nach Nr. 195 oder 197: Diejenige Integralkurve, die ein irgendwie bestimmt ausgewähltes Linien element l oder (x, y, y) enthält, hat in dem Punkte M oder (x, y) des. Elements eine gegebene Krümmung, denn der zugehörige Krümmungsmittelpunkt Ml oder (xx, yx) hat nach (6) in Nr. 197 die Koordinaten:

1 + y°-

1 + y ²    ,

f(r, y, y) y ’ y± y +

fr

Fig. 43.

Wird als Normale des Linienelements diejenige Gerade bezeichnet, die durch den Punkt des Elements geht und die zum Elemente senkrechte Richtung hat, so ist also infolge von (1) jedem Linienelemente l des Bereiches ein auf seiner Normale gelegener Krümmungs-\ mittelpunkt Mx zugeordnet, siehe Fig. 43. ic. Deshalb wird man ein Wertsystem x, y, K" y, y" ein Krümmungsclement nennen können ^ > und sagen: Die Differentialgleichung (1) ordnet jedem Linienelement (x, y, y ) ihres Bereiches ein Krümmungselement (x, y, y, y") zu, und eine Kurve ist dann und nur dann eine Integralkurve, wenn sie nur lauter solche Krümmungselemente enthält. Damit ist dann 7831

gemeint, daß zum Linienelement (x, y, y) der Kurve der Krümmungsmittelpunkt mit den Koordinaten:

(3)

xx = x —

1 y ² ,    .    1 -f- y ²

y? - y, 2/i = 2/ ~t--Y>—

gehören soll. Wir wissen ferner, daß es eine und nur eine Integralkurve gibt, die ein bestimmt gewähltes Linienelement des Bereiches enthält. Von einem Punkt M gehen also unzählig viele Integralkurven aus entsprechend denjenigen Linienelementen l von 31, die zum Bereiche gehören. Die Gesamtheit aller Integralkurven ist eine zweifach unendliche Schar, vgl. Kr. 784, 782, dagegen die Gesamtheit der durch einen bestimmten Funkt gehenden Integralkurven eine einfach unendliche Schar.

1.    Beispiel: Der Bereich der Differentialgleichung y" — 0 ist unbeschränkt. Ihre Integration gibt sofort y = Cxx -f-die Integralkurven sind die Geraden der Ebene. Die Gleichungen

(2) geben hier xx = oo und yx = oo, d. h. zu jedem Linienelement gehört ein unendlich ferner Krümmungsmittelpunkt, vgl. Satz 12, Kr. 196.

2.    Beispiel: Bei der Differentialgleichung:

(4)

>r _ ₉ 3+y*){xy — y)

*    * x* + y*

sind nur diejenigen Linienelemente vom Bereiche auszuschließen, für die x = y = 0 ist, d. h. die Linienelemente des Anfangspunktes 0. Die Gleichungen (2) geben hier:

xx =

Demnach kommt:

(X* — y³) y' —2 xy

2(xy’ — y)

Vx =

x² — yÿ-\- 2xyy

2 ixy — y)

Fig. 44.

augenscheinlich die Konstruktion für

nun

2xxx + 2 yyx = x²+ if, was besagt, daß der zu einem Linienelement (x, y, y) gehörige Krümmungsmittelpunkt Mx auf der Mittelsenkrechten des Radiusvektors 031 des Punktes 3d. des Elements liegt, so daß der zugehörige Krümmungskreis derjenige Kreis ist, der durch 0 geht und das Element enthält, siehe Fig. 44. Weü alle Elemente dieses Kreises eben denselben Krümmungskreis

[783

liefert, ist der Kreis selbst eine Integralkurye. Daß in der Tat alle Kreise durch 0 die Integralkurven von (4) sind, wird analytisch wie folgt bestätigt: Man geht von der Gleichung x² — 2 G₁x + y² — 2 C₂y = 0

aller Kreise durch 0 aus, differenziert sie zweimal vollständig nach x:

x — Cx + (y — C₂)y' =0,    1 +iy'²+ (y—C₂)y" = 0

und eliminiert Cx und C₂ aus allen drei Gleichungen, wodurch die Gleichung (4) hervorgeht. Weil durch jedes Linienelement der Ebene, abgesehen von den Elementen von 0, nur eine Integralkurve geht, gibt es außer den Kreisen durch 0 keine Integralkurven.

3. Beispiel: Eine bemerkenswerte Klasse von gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung geht hervor, wenn man sich fragt, wie die Gleichung (1) beschaffen sein

Fig. 45.

muß, damit alle m einem beliebig X gewählten Punkte M oder (x, y) ge-J hörigen Krümmungskreise ein Büschel / / bilden, d. h. außer M noch einen ylP'' zweiten Punkt M gemein haben. Dies tritt ein, wenn die zu M gehörigen und durch (2) bestimmten Krümmungsmittelpunkte Mt auf einer Geraden liegen, siehe Fig. 45. Es wird daher gefordert, daß X₁ und yx einer linearen Gleichung genügen:

(5)

axx + ßyx + y= 0,

deren Koeffizienten nur von x und y (nicht auch von der Richtung des Linienelements, d. h. nicht auch von y') abhängen. Substitution der Werte (2) für f:

von

xx und yx gibt eine Gleichung

(6)

(ax + ßy + y)f— (1 + y'²)(ay'— ß) = 0.

Wenn man

ctx-\-ßy + y

ux-\-ßy-\-y

setzt, nimmt die Gleichung der Geraden (5) die Form:

(7) an, während (6) ergibt:

7831

f= (1 + y'²)(^y' ~ fO*

(8)

Folglich kommt den Differentialgleichungen von der Form: y"= (1 + y'²)(ky'-y)

die verlangte Eigenschaft zu. Dabei können l und g irgendwie als Funktionen von x und y allein gewählt werden. Die zweifach unendliche Kurvenschar, die durch eine solche Differentialgleichung (8) definiert wird, hat also die besondere Eigentümlichkeit, daß allen denjenigen einfach unendlich vielen Kurven der Schar, die durch einen Punkt M gehen, in M solche Krümmungskreise zukommen, die außer M noch einen Punkt M gemein haben. Da MM die Gerade (7), den Ort der Mittelpunkte Mx dieser Kreise, zur Mittelsenkrechten hat, findet man leicht als Koordinaten x und ÿ von M die Werte:

(9)

Die im zweiten Beispiele betrachtete Differentialgleichung (4) ist ein spezieller Fall von (8), geht nämlich hervor, wenn für k und g die Funktionen 2x : (x² -f- y²) und 2y : (#² + y²) angenommen werden. Dann gibt (9) einfach % = 0, ÿ = 0, d. h. alle Krümmungskreise aller Integralkurven von (4) gehen durch den Anfangspunkt 0. In der Tat sind ja die Integralkurven von (4) sämtliche Kreise durch 0.

4. Beispiel: Wie lautet die Differentialgleichung der Evolventen aller Kreise mit dem Mittelpunkte 0? Ist y irgendein Kreis mit der Mitte 0 und Mx ein Punkt auf ihm, so soll Mx Krümmungsmittelpunkt eines Punktes M einer Integralkurve, nämlich einer Evolvente von y sein, siehe Nr. 199, d. h. M soll auf der Tangente von y in Mx liegen, und das Linienelement l von M soll zu MMX senkrecht sein, siehe Fig. 46. Daher muss 0Mx zu l parallel sein. Also wird verlangt:

Vi—y ₌ _

xx — x

ÏÏ

'V

Vig. 46.

== y,

\l

woraus

folgt:

Durch Vergleichung mit (2) ergibt sich hieraus der Wert, den die Funktion f(x, y, y') haben muß, und man findet: Die Differentialgleichung aller Evolventen aller Kreise mit der Mitte 0 lautet so:

(1 + V²)

rr

y =

xx-

x + yy' ¹ + y

x + yy , i + yiV'

xy —y

784. Geometrische Deutung einer gewöhnlichen Differentialgleichung rUv Ordnung. Hier schicken wir einige

Bemerkungen über Evoluten und Evolventen voraus. Wenn y — (p(x) die Gleichung einer Kurve Je ist und dieser Kurve ein gewisses Linienelement (x, y, y) oder l angehört, wird der Mittelpunkt Mx oder (xl} y^) des zugehörigen Krümmungskreises wie in voriger Nummer durch die Formeln:

(i)

xx = X —

1 + ÿ²

bestimmt. Er ist der zum Punkte M

h.

Th

/M*

J h

Fig. 47.

yon l gehörige Punkt der Evolute kx t von k, siehe Nr. 199, und liegt auf der Normale des Elements l. Dasjenige Linienelement \ von dessen Punkt Mx ist, also das zu l gehörige Element

lt der Evolute, liegt ebenfalls auf dieser Normale.

Siehe Pig. 47. geben die Formeln (1) zusammen mit:

Demnach

(2)

, 1 y'

die Bestimmungsstücke xt, y₁, yx dieses Elements \. Hierbei bedeutet yx die Ableitung:

yi =

•SS

äyx : dx

dxt : dx

Der Wert (2) kann übrigens auch hieraus mittels (1) berechnet werden. Das Linienelement lx der Evolute kt ist somit bekannt, wenn die Werte von x, y, y\ y" gegeben sind.

Die Evolute A₂ von kx heiße die zweite Evolute von Je. Dem Element \ von hx entspricht ein Element Z₂ von ft₂; es 783, 784J

liegt auf der Normale des Elements lt. Sind x₂, y₂, y₂ die Bestimmungsstücke von l₂, so ist zunächst:

Vi = — t' = y,

Ui

weil l₂ auf der Normale von lt und somit auf einer Parallelen zu l liegt. Außerdem ergibt sich entsprechend (1):

*2 = % - ¹    !h, y₂ = iyx+    ■

Dabei bedeuten yx und yt" die Ableitungen dyx : dxx und d²yx : dxx. Die Werte von x₂ und y₂ lassen sich aus (3) mit Hilfe von (1) und (2) berechnen, wenn yx schon gefunden ist. Aber hierfür geht nach (2) und (1) der Wert hervor:

(3)

‘(-f)

: dx

" =    = dyd : dx ₌

dxj    dx,:dx

y" i

y ² dx,: dx

dx,: dx

__

y^-zyy^ + ^ + y^y"] '

Das Linienelement l₂ der zweiten Evolute k₂ von k ist somit bekannt, wenn die Werte von x, y, y', y", y" gegeben sind.

Diese Schlüsse lassen sich fortsetzen, indem man zur Evolute k₃ von k₂, der sogenannten dritten Evolute von 1c, übergeht, usw. Allgemein folgt: Das zum Element l von lc gehörige Element lr_x der (r — 1 )ten Evolute kr_₁ von k ist bekannt, wenn die Werte von x, y, y, . . . y^ gegeben sind.

Umgekehrt: Wenn r Linienelemente (x, y, y), (xx, yx, yx),

• • • fa-if yr-i> Vr-1) ⁰⁽^er h ht • • • h-1 so angenommen werden, daß jedes folgende auf der Normale des vorhergehenden gelegen ist, so geben beide Gleichungen (1) für y" denselben Wert, ebenso beide Gleichungen (3) für yx denselben Wert usw. Aus (4) findet man alsdann auch y". Ebenso erkennt man, daß sich ylv, . . . yberechnen lassen, so daß also durch die Annahme jener r Elemente l, lx, . . . lr_t auch x, y, y, . . . y bestimmt werden.

Nach diesen notwendigen Vorbemerkungen betrachten wir eine gewöhnliche Differentialgleichung rter Ordnung:

oder:

(4)

Vi =

y{r) = fO, y, y t • • • y[r~l))-

Hier kann man x, y, y, . . . yim Bereiche der Gleichung willkürlich wählen. Dann gibt es eine und nur eine Lösung

[784

(5)

y — <p(x), die nebst ihren Ableitungen bis zur (r— l)ten Ordnung für den angenommenen Wert von x die angenommenen Werte y, y, .. . y(r~^ hat. Das Bild der Funktion y = <p(%) heißt eine Integralkurve, und auf Grund der vorhergehenden Betrachtungen läßt sich nun die charakteristische Eigenschaft der Integralkurven geometrisch ausdrück en. Denn wenn x, y, y, . . . yfr~ b im Bereiche willkürlich gewählt werden, bestimmt (5) noch y(r\ Zu den r + 2 Werten x, y, y', . . . yW gehören nun r Linienelemente l, ... lr_ ₁ derart, daß jedes folgende auf der Normale des vorhergehenden gelegen ist. Sind M,

die Punkte der

Mi

M,

Elemente, so sei zunächst

r—1

derjenige Kreis z₀ um Mr_1 konstruiert, der durch Jf.

7    r

geht, also das Element lr enthält, siehe Fig. 48 für den ¹ Fall r — 4. Nun werde diejenige Evolvente x₁ von x0 konstruiert, die das Element lr_g enthält, dann diejenige Evolvente x₂ von xx, die das Element    enthält, usw.

Schließlich gelangt man zu einer Kurve xr_₂, die das Element l enthält und eine Evolvente (r — 2)ter Ordnung des Kreises x0 heißen möge. Wenn y — ip(x) die Gleichung dieser Evolvente xr_₂ ist, sind diejenigen Werte, die i>(x),    ■ . . ip(r\x) für

den angenommenen Wert von x haben, gerade dieselben wie die für y, y, . . . y{r~V) angenommenen Werte und der aus berechnete Wert y(r\ Nach Nr. 214 besagt dies:

Es gibt eine und nur eine Integralkurve k, die im Punkte M von l die Kreisevolvente (r — 2)ter Ordnung xr_₂ in mindestens rter Ordnung berührt.

Da x, y, y, . . . y(r~b innerhalb des Bereiches beliebig gewählt werden können, gibt die vorhin durchgeführte Konstruktion eine (r -f 1 )-fach unendliche Schar von Kreisevolventen (r — 2)ter Ordnung xr_₂ und auf jeder einen bestimmten Punkt M. Umgekehrt aber gehört jeder Punkt M einer (r — l)-fach unendlichen Schar von solchen Kreisevolventen an, denn wenn 784]

-2

-2

l.

Ms

*2

Fig. 48.

(5)

M oder (x, y) gewählt worden ist, können noch die r — 1 Größen y, y", . . . y(r~V beliebig angenommen werden.

Dadurch also, daß eine gewöhnliche Differentialgleichung rter Ordnung (5) gegeben ist, wird in der Ebene eine (r Ą- 1)-fach unendliche Schar von Kreisevolventen (r — 2)ter Ordnung jcr_₂ derart bestimmt, daß zu jedem Punkte M eine (r — 1)-fach unendliche Schar solcher Evolventen gehört. Eine Kurve ist nun dann und nur dann eine Integralkurve, wenn sie in jedem ihrer Punkte M eine der zugehörigen Evolventen in mindestens rter Ordnung berührt.

Im Falle r = 2, d. h. im Falle einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung, treten an die Stelle der Evolventen (r — 2)ter Ordnung die Kreise x₀ selbst, nämlich die Krümmungskreise der Integralkurven.

785. Hilfsatz über linear abhängige Funktionen. Diese Kummer stellt eine Einschaltung dar, die sich mit der Frage beschäftigt, wie man analytisch feststellen kann, ob n Funktionen /j(x), f₂(x), . . . fn(x) linear abhängig oder unabhängig sind. Man nennt nämlich wie in Nr. 770 die Funktionen linear abhängig, falls es eine lineare Gleichung:

(1)

Cifi(» + o₂f₂(x) H----+ cnfn(x) = 0

zwischen ihnen gibt, worin c1} c₂, . . . cn konstant, aber nicht sämtlich gleich Null sind. Es leuchtet sofort ein, daß n Funktionen linear abhängig sind, sobald dies von n — 1 unter ihnen gilt, denn eine Gleichung von der Form:

G/iO) +    + • • • + en_i = ⁰

ordnet sich der Form (1) für cn=0 unter. Ferner folgen aus (1) durch (n—l)-malige Differentiation die n — 1 Gleichungen:

/i⁽⁰O) + czfłKx) + •*•■ + cnfn(i)(x) = ⁰

0' = 1, 2, . .. n - 1),

die zusammen mit (1) das Verschwinden der Determinante:

/iO)    f*{?)

/i'O)    fj(x)

fS.x)

fniX)

erfordern, weil cl, c₂, ... cn nicht sämtlich gleich Null sind.

Serret-Scheffers, Diff.- u. Integral-Rechnung. III. 3. Aufl.

Nun gilt auch die Umkehrung hiervon: Wir wollen beweisen, daß    . . . fn(x) linear abhängig sind, sobald

D = 0 ist. Dies ist im Falle einer einzigen Funktion fix) richtig, denn dann ist D — fix). Nebenbei bemerkt haben wir es auch schon für n = 3 bewiesen, wie Satz 7 in Nr. 275 zeigt, jedoch wurden damals zum Beweise Betrachtungen über die Torsion von Raumkurven benutzt. Demgegenüber gehen wir hier rein analytisch vor. Jedenfalls darf der Schluß von n — 1 auf n gemacht werden, d. h. es darf vorausgesetzt werden, daß die zu beweisende Umkehrung für weniger als n Funktionen gelte.

Verschwände irgendeine derjenigen (n — l)-reihigen Unterdeterminanten &x{x), co₂(x), . . . (on(x) von D, die zu den Elementen der letzten Zeile gehören, wäre z. B. con(x) = 0, so würde die entsprechende Determinante für die n — 1 Funktionen fx(x), f₂(x), . . . fn_x(x) verschwinden, so daß aus dem Satze (für n — 1) folgen würde, daß diese n — 1 Funktionen linear abhängig wären. Dies aber würde, wie gesagt, die lineare Abhängigkeit aller n Funktionen bedeuten. Folglich braucht der Satz nur noch unter der Voraussetzung bewiesen zu werden, daß alle (n — l)-reihigen Unterdeterminanten cox(x), cu₂(F), . . . an(x) der Elemente der letzten Zeile von D von Null verschieden sind. Die Summe ihrer Produkte mit den entsprechenden Elementen irgend einer Zeile ist gleich Null oder D, je nachdem die Elemente einer der n — 1 ersten Zeilen oder der letzten angehören. Da aber auch D = 0 vorausgesetzt wird, gelten alle n Gleichungen:

(3) rf),    H----+    — 0

(i = 0, 1, 2,... « - 1).

Dabei bedeuten die nullten Ableitungen die Funktionen selbst. Wird irgend eine Gleichung differenziert und von ihr die nächste Gleichung abgezogen, so gehen die n— 1 Gleichungen hervor:

afftff^ix) + (of(x)f^(x) ----+ ö ,XX)fn\X) = ⁰

(i = 0, 1, 2, . . . n - 2).

Infolge hiervon verhalten sich (of(x), &f{x), . . . con'(x) zueinander wie diejenigen (n — l)-reihigen Determinanten, die durch Streichen je einer Reihe aus der Matrix (vgl. Nr. 777) :

785]

hervorgehen und nichts anderes als co₁(x), m₂(x), . . . (on(x) sind. Mithin ist:

cox'(x)    <x>2 (x)

cox (x) co₂ (x)

SS

mn(x) . an (x) *

Werden alle diese Brüche, deren Nenner sämtlich von Null verschieden sind, mit q(x) bezeichnet, so kommt:

—sr³-*(*)> dk »<(*) -cyw

(i — 1, 2,.... n),

wobei ct — konst, ist und die Quadratur von einer bestimmten unteren Grenze an vollzogen werden kann. Einsetzen der Werte von co^x), (o₂(x), . . . con(x) in die erste Gleichung (3) liefert:

Clfl 0) + Cifii?) + • ■ • + cjn(x) = 0,

wie zu beweisen war. Mithin haben wir den

Satz 4: Solche n Funktionen fx(x), f₂(x), . . . fn(x) von x, die in einem gemeinsamen Intervalle bestimmte endliche Ableitungen bis zur (n — l)ten Ordnung einschließlich haben, sind dann und nur dann linear abhängig, trenn die Determinante:

• A'O)

s"^ s'~K"

SS

verschwindet.

Werden unter fx (x), f₂(x), . . . fn(x) Punktionen verstanden, deren erste Ableitungen die bisher so bezeichneten Funktionen sind, so geht die folgende Form des Satzes hervor, die auch öfters gebraucht wird:

Satz 5: Zwischen solchen n Funktionen fx (x), f₂(x),. . . fn{x) von x, die in einem gemeinsamen Intervalle bestimmte endliche Ableitungen bis zur nien Ordnung einschließlich haben, besteht dann und nur dann eine lineare Gleichung:

q/iO) + f‘MX) 4-----f- Cnfn(X) = konst.

mit nicht sämtlich verschwindenden konstanten Koeffizienten cx, c₂, . . . cn, wenn die Determinante der Ableitungen bis zur ntm Ordnung gleich Null ist:

ff(x)    ff(x)    . .

/i"0)    f₂"(x)    • •

= 0.

fl{n'KX) fłnKx) •    • fnnKX)

Für n — 3 ist dies der Satz 7 yon Nr. 275.

786. Wesentliche willkürliche Konstanten. Nun

liege eine Funktion

(1)

y = <p(x, Ci} C₂, ... Cr) von x und r willkürlichen Konstanten Ct, C₂, . . . Cr vor. In Nr. 782 erkannten wir, daß die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung rtei Ordnung eine solche Funktion ist. Wenn nun nicht eine Differentialgleichung, sondern eine Funktion (1) yorliegt, erhebt sich die Frage, ob bzw. unter welchen Umständen die Funktion in der Tat die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung rter Ordnung ist. Dabei werde vorausgesetzt, daß es einen Variabilitätsbereich gebe, innerhalb dessen diese Funktion und ihre r ersten Ableitungen nach x stetig in bezug auf alle r + 1 Größen x, Clf C₂, .. . Gr sind und stetige partielle Ableitungen erster Ordnung nach Clf C₂, . . . Cr haben.

Wenn die r folgenden Gleichungen, in denen der Akzent die Differentiation nach x andeutet:

to

y 9(.x> Qy C'2,... o?.), y = <p\x> ci, cs,... cr\

0i, Ct, ... Cr)

Auflösungen nach C₁, C₂, ... Cr haben, gibt die Substitution der Auflösungen in:

sofort die gewünschte gewöhnliche Differentialgleichung rter Ordnung:    ...

785, 786]

y{r} = ffc, y, y, ... y(r~¹⁾).

Nach Satz 17, Nr. 697, steht fest, daß es solche Auflösungen der r Gleichungen (2) nach C1; C₂, ... Cr gibt, sobald die Funktionaldeterminante

.

<4 - ■ . cr

von Null verschieden ist. Alsdann gibt es auch keine gewöhnliche Differentialgleichung von niedrigerer als rter Ordnung, der die Funktion (1) genügt, da sich G\, 0₂, . . . Gr aus (2) nicht eliminieren lassen.

D ==

.    . (p

(r-l)

Aber es steht noch völlig dahin, was sich ergibt, wenn jene Funldionaldeter minante für die erlaubten Werte von x und C1} C₂, . . . Cr verschwindet. Dies soll jetzt untersucht werden. Wird zur Abkürzung:

o m -f»

■co

CCp

' ' ' JCr ⁼

gesetzt, so lautet die Funktionaldeterminante so:

dtp

de.

fr

I fl    U    •    • fr

ff ff • • ff

I) =    •

/i(r_ï) fłr~l).. • /;(/-ł)!

dabei sind    ■ ■ ■ fT Funktionen von #, die außerdem Cly

C₂, ..." Gr enthalten.

Es soll also J) == 0 angenommen werden. Dabei sei zunächst vorausgesetzt, daß nicht alle diejenigen (r — l)-reihigen Unterdeterminanten von D verschwinden, die zu den Elementen der letzten Zeile gehören. Weil die Reihenfolge in den Bezeichnungen der r willkürlichen Konstanten C1} C₂, ... Cr ohne Belang ist, darf alsdann insbesondere angenommen werden, daß die (r — l)-reihige Unterdeterminante:

(4)

fs    •    •    fr

ff    ■    •    fr

=4=0

<r-2)

ff-**    •    ■ fr

sei.

Aus D — 0 folgt nach Satz 4 der letzten Nummer, daß zwischen fx, f₂, . . . fr eine lineare homogene Gleichung mit nicht sämtlich verschwindenden Koeffizienten besteht:

(5)

Clfl + ^2/2 + • • • + Crfr = 0.

. . Gr mit stetigen partiellen Ab-

Die Koeffizienten cx, c₂, ... cr sind zwar frei von x, werden aber im allgemeinen noch von den r willkürlichen Konstanten Cx, C₂, ... Gr abhängen. Man sieht leicht, daß ^4=0 ist und die Koeffizienten nach Division der Gleichung (5) mit cx stetige Funktionen von Cx, C₂, . leitungen erster Ordnung werden. Denn (r — 2)-malige Differentiation von (5) gibt die r — 2 Gleichungen:

ojJ® + Ctfp + • • • + crf= 0 (i - 1, 2,.. . r - 2),

die zusammen mit (5) besagen, daß sich cx, c₂, ... cr wie diejenigen (r — l)-reihigen Unterdetermin anten von D zueinander verhalten, von denen vorhin die Rede war. Die auf cx bezügliche ist die von Null verschiedene Determinante (4), und alle jene Unterdeterminanten sind in bezug auf Gx, C₂, . . . Cr nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig.

Mithin gibt (5) nach Division mit cx und mit Rücksicht auf (3) eine Gleichung von der Form:

dcp

cep

cep

ö'b

= 0,

wo ra₂, co₃, . . . œr nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetige Funktionen von Gx, C₂, . . . Gr sind. Hier aber liegt für die Funktion cp, sobald sie als eine Funktion von Cx, G₂j ... Cr betrachtet wird, die außerdem noch eine willkürliche Größe x enthält, eine partielle Differentialgleichung vor, die nach Satz 3, Nr. 762, nur r — 1 voneinander unabhängige Lösungen Ax, A₂, ... Xr_x hat, indem jede andere Lösung cp eine Funktion von Ax, A₂, . . . lr_x sein muß. Dabei sind Xx, A₂, ... Xr_x Funktionen von Cx, C₂, . . . Cr allein, aber cp enthält außerdem x. Demnach ergibt sich eine solche Darstellung von cp:

<p(x, Ci> G2} • • • Or) — 0(xf Ax, A₂, ... Ar_x).

Werden nun r — 1 neue willkürliche Konstanten Gx, C₂, . . . G'r_x vermöge:

786]

cr), ...c;_t = K-.(Pi,... cr)

eingeführt, so kommt:

<p(x, Clf C₂,... Cr) = 0(x, C', C', . . . G'_f).

Ohne also die Allgemeinheit der Funktion mit r willkürlichen Konstanten zu beeinträchtigen, kann man die Anzahl der Konstanten dadurch um Eins erniedrigen, daß man r — 1 geeignete Funktionen von ihnen als neue willkürliche Konstanten einführt. Deshalb sagt man in diesem Falle, daß die r willkürlichen Konstanten Gt, Cs, ... Cr in der vorgelegten Funktion (p nicht sämtlich wesentlich sind.

In dem vorhin ausgeschlossenen Falle, wo die Determinante

(4) gleich Null ist, läßt sich dasselbe in Hinsicht auf die r— 1 ersten Konstanten C₁, C₂, ... Cr_ ₁ auf demselben Wege schließen, so daß diese r — 1 Konstanten durch höchstens r — 2 ersetzt werden können, zu denen dann noch die Konstante Cr tritt. Also auch dann ist die Zahl der willkürlichen Konstanten mindestens um Eins zu erniedrigen. Mithin gilt allgemein der von Jacobi herrührende

Satz 6: 1st cp(x, Gt, C₂, ... Gr) eine Funktion von x und r ivillkürlichen Konstanten G1} C₂, ... Gr derart, daß diese Funktion und ihre Ableitungen nach x bis zur (r — l)ten Ordnung einschließlich in einem gewissen Variabilitätsbereiche stetig in bezug auf alle r -f- 1 Größen x, Clf C₂, ... Cr sind und stetige partielle Ableitungen erster Ordnung hinsichtlich G\, C₂, ... Gr haben, so läßt sich die Funktion durch x und weniger als r willkürliche Konstante dann und nur dann ausdrücken, wenn die Determinante:

dqp

8C,

dy

sa.

d-cp

d-cp

cxdClm dxdC₂    dxdCr

crcp

daf-WC, dxr-idC₂ '    ‘ cxr-^dGr

dTcp

drcp

verschwindet.

Man kann hinzufügen, daß folglich nur dann, wenn diese Determinante nicht verschwindet, die Funktion

y = <p(x, Clt 0₂, .. . Gr)

die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung rter Ordnung vorstellt. Ist dagegen die Determinante gleich Null, so ist die Funktion die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung von niedrigerer als rter Ordnung.

§ 2. Differentialgleichungen in allgemeiner Form.

787. Allgemeine Lösung. Unter dem Bereiche einer gewöhnlichen Differentialgleichung rter Ordnung:

(1)

F{x, y, y, ... yM) = 0 wird ein Variabilitätsbereich verstanden, innerhalb dessen F und alle partiellen Ableitungen erster Ordnung von F stetige Funktionen der r + 2 Veränderlichen x, y, y', . . . y^ sind. Dieser Bereich soll nie verlassen werden. Mit Hilfe der Sätze 15 und 16 von Nr. 696 kann man die Betrachtungen von Nr. 781 und 782 leicht auf die Gleichung (1) übertragen.

Wenn nämlich:

(2)

. .    = hr

x = a, y = b, y' =h

ein solches bestimmtes Wertsystem innerhalb des Bereiches ist, das der Gleichung (1) genügt, für das aber dF : dy(r> nicht gleich Null wird, gibt es nach Satz 15, Nr. 696, eine und nur eine Auflösung der Gleichung (1) nach y^:

y[r) = fix, y, y', ... y{r-1]),

die innerhalb einer gewissen Umgebung:

(4)    \x-a\£le, \y — b\ <LTc, ... |y(r-1) — br_₁1 ^Je

der Stelle (a, h, b1} ... br_f) alle diejenigen Werte von definiert, die der Gleichung (1) in einem gewissen Intervalle

I y{r) — br\<Lh

genügen. Dabei ist die Funktion (3) in der Umgebung (4) stetig. Nach Satz 16 derselben Nummer 696 kommen ihr ebenda stetige partielle Ableitungen erster Ordnung zu. Die Integration der Differentialgleichung (1) kommt also in der durch (4) und (5) bedingten Umgebung der Stelle (2) auf die der aufgelösten Differentialgleichung (3) zurück.

Nun kann es sein, daß zu den Werten:

786, 787]

(3)

(5)

17 •

x = a, y = b, y = bu ... y{r~X) = br innerhalb des Bereiches der Differentialgleichung (1) mehrere Werte br von yfO gehören, die der Gleichung (1) genügen, und daß für alle diese Werte dF : dy^ 4= 0 wird. Dann gibt es mehrere aufgelöste Differentialgleichungen (3), und die vollständige Integration von (1) in der Umgebung der Stelle (6) ist erst dann geleistet, wenn alle so hervorgehenden Gleichungen

(6)

-1

(3) daselbst vollständig integriert worden sind.

Werden Anfangs werte:

y = yQ, y = ?/<>', • • - y{r~X) = y₀{r~1}

(?)

00 -— 00 q y

in der gestatteten Umgebung der Stelle (6) beliebig angenommen, so gehört zu ihnen bei jeder einzelnen der hervorgehenden Differentialgleichungen (3) je eine Lösung y = cp (pc) in dem Sinne, daß cp(x), (p'(x), . . . cp(r~r>(x) für x = x₀ die Anfangswerte y₀, yf, . . . î/₀(r-1) haben. Da nun die rte Ableitung y7) für x = x₀ bei jeder einzelnen Differentialgleichung (3) in einem gewissen Intervalle um den zugehörigen Wert hr herum liegt, siehe (5), so schließt man wie in Nr. 707 (und in Nr. 776), daß man die Umgebung der Stelle (6) soweit beschränken kann, daß auch überall in der Umgebung die rten Ableitungen aller dieser Lösungen für x = x₀ voneinander verschieden sind. Entsprechend den Sätzen 4 und 16 von Nr. 707 und Nr. 776 gilt daher der

Satz 7: Wenn die geivöhnliche Differentialgleichung rter

Ordnung:

an der Stelle:

F{x, y, y, ... y7)) = 0

-i

x = a, y = b, y' = b1} . . . ^r~x) — br

nur durch solche Werte von y^ befriedigt wird, für die oF : dy^> nicht gleich Null ivird, gibt es eine Umgebung dieser Stelle, in der nirgends für zwei verschiedene Lösungen der Differentialgleichung alle Werte von y, y, y", . . . yjr) bei der einen mit denen bei der anderen übereinstimmen.

Wenn man x und y wie in Nr. 783 und 784 als rechtwinklige Koordinaten in der Ebene deutet, heißt dies: Keine zwei verschiedene Integrallcurven haben an einer Stelle jener Umgebung eine Berührung in mindestens rter Ordnung, es sei

[787

demi, daß sie überhaupt miteinander identisch sind, vgl. Nr. 214.

788. Singuläre Elemente rter Ordnung und singuläre Lösungen. Einen Inbegriff von Werten von x, y, y, . . . yW nennen wir ein Element rter Ordnung, also ein Linienelement {x, y, y) ein Element erster und ein Krümmungselement (x, y, y', y") — vgl. Nr. 783 — ein Element zweiter Ordnung. Wir sagen ferner: Der Funktion oder Kurve y = (p(x) gehört ein bestimmtes Element rter Ordnung (x₀, y₀, yf, . . . y₀(0) an, wenn cp(x), fp'(x), . .. cp^(x) für x — x₀ die Werte y₀, y₀', - . . y₀^ haben.

ter

Der Bereich der gewöhnlichen Differentialgleichung r

Ordnung:

(1)

Fix, y, y, ... y^) = 0

besteht nun aus lauter Elementen rtei Ordnung, nämlich aus allen denjenigen, für die F und die partiellen Ableitungen erster Ordnung von F stetig sind. Die Differentialgleichung selbst definiert innerhalb dieses Bereiches eine (r + 1) - fach unendliche Schar von Elementen rter Ordnung, weil die r + 1 (xrößen x, y, y,. . . y{r~l) beliebig gewählt werden können, während (1) die dazu gehörigen Werte von yW bestimmt. Eine Kurve ist dann und nur dann eine Integralkurve, wenn sie lauter solche Elemente rter Ordnung hat, die der Differentialgleichung genügen.

Singulär soll nun jedes Element rter Ordnung heißen, das der Differentialgleichung (1) genügt und für das überdies cF : cyfO gleich Nidl wird. Aus den letzten Bemerkungen der vorigen Nummer ergibt sich dann als Verallgemeinerung des Satzes 5 von Nr. 708:

Satz 8: Zwei verschiedene Integralkurven einer gewöhnlichen Differentialgleichung rter Ordnung können einander an einer Stelle nur dann in höherer als (r — 1 )ter Ordnung berühren, wenn sie daselbst ein singidäres Element rter Ordnung gemein haben.

Eine Lösung der Differentialgleichung (1) soll singulär heißen, wenn sie lauter singuläre Elemente rter Ordnung enthält. Sie wird durch eine singuläre Integralkurve dargestellt.

787, 788]

Alle übrigen Lösungen bzw. Integralkurven, nämlich die in voriger Nummer betrachteten, heißen regulär. Eine Differentialgleichung von der Form:

y(r) = f(x, y, y'f ... y^~Vi)

hat, da hier F = y(r) — f, also dF:dy^== 1 ist, keine singulären Elemente rter Ordnung und keine singulären Lösungen.

Die Funktion y — rp{x) ist eine singuläre Lösung von (1) wenn die Werte:

y = (p(x), y = rp'(x), . . . yM = tpW(x) nicht nur der Gleichung (1), sondern auch der Gleichung

dF(x, y, y , • ■ • y(r))

(2)

dyr

genügen. Da nun aus (1) durch vollständige Differentiation nach x die Gleichung:

;    + ™Lv(r₊1) ₌ o

dx ' dy y '    ' dyir~v ^    ' dy(n "

hervorgeht, liefert (2) für die singulären Lösungen noch die Bedi ngung:

gF

(3)

dx

y'+’-' + sj^y(r)===0-

Diese Begriffe und Bedingungen gehen auch hervor, wenn man die Betrachtungen von Nr. 777 auf dasjenige System erster Ordnung anwendet, das der Differentialgleichung (1) nach Nr. 663 äquivalent ist.

Im Falle einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung zeigte sich in Nr. 711, daß eine singuläre Integralkurve unter Umständen ein Ort von singulären Punkten regulärer Integralkurven ist, während sich in Nr. 710 ergab, daß auch die Einhüllenden regulärer Integralkurven singulär sind. Etwas Entsprechendes gilt bei Differentialgleichungen höherer Ordnung. Wir wollen uns hier im folgenden auf die Betrachtung solcher singulärer Integralkurven beschränken, die Einhüllende von regulären Integralkurven sind. Dabei treten jedoch wesentlich neue Gesichtspunkte auf, deren Erörterung die folgenden Nummern gewidmet sind.

789. Einhüllende rUl Ordnung als singuläre Integralkurven. Wir sagen, daß eine einfach unendliche Kurvenschar:

[788, 789

y - <p(x, C)

(i)

mit einer willkürlichen Konstante C eine Einhüllende von mindestens rter Ordnung hat, wenn ihr nach Nr. 210 eine Einhüllende zukommt und wenn diese Einhüllende jede Kurve der Schar in mindestens rter Ordnung berührt. Die Bedingungen hierfür sind leicht aufzustellen. Nach Nr 210 muß die Einhüllende eine Gleichung von der Form:

(2)

y = 0, «(#))

haben, so daß sie also an irgend einer Stelle x = #₀ einen Punkt mit derjenigen Kurve der Schar (1) gemein hat, für die G den Wert oc(x₀) annimmt. Die Gleichung y = cp (sc, a) stellt also die Einhüllende oder eine einzelne Kurve der Schar (1) dar, je nachdem man a in ihr als die Funktion von x oder als eine Konstante auffaßt. Nach Nr. 214 ist daher für eine Einhüllende

in mindestens rter Ordnung das Bestehen der r Gleichungen erforderlich :

(3)

dicp (x, cc)_diy> (x, cc)

dxi

Weil:

8 xi

(i- 1, 2,... r).

d cp (x, cc)

dx

= <Px+ <Paa'

ist, gibt die erste Bedingung wegen a 4=0 die Gleichung:

(4)

wie zu erwarten war, denn dies ist die schon in Nr. 210 in anderer Form angegebene Bedingung (4) für die fragliche Funktion u von x. Wenn a die Gleichung (4) befriedigt, reduziert sich die vollständige Ableitung von cp(x, a) nach x auf cpx. Folglich wird:

d²cp(x, cc)

dx²

= <Pxx+ <PxeF'

Mithin gibt die zweite Bedingung (3) sofort <pxa=0. Ist auch diese Gleichung erfüllt, so reduziert sich die vollständige Ableitung zweiter Ordnung von cp(x, a) auf cpxx, so daß:

= <Pxxx + <P

d³<p(x, cc)

dx³

wird, die dritte Bedingung (3) demnach noch (pxxa= 0 liefert, usw. Durch Fortsetzung dieser Schlüsse ergibt sich der

Satz 9: Die einfach unendliche Kurvenschar: y = <p{x, C)

hat dann und nur dann eine Einhüllende von mindestens rter Ordnung:

y = <p(x, a(x))

wenn die Funktion a(x) den r Bedingungen genügt:

dcp(X} CĆ)

dcc

-o,

dÿcp(x, cc) G xd cc

Crcp(x, cc)

dxr X(jCC

= 0.

Gibt es eine Einhüllende rter Ordnung, so hat sie mit jeder Kurve der Schar (1) ein Element rter Ordnung (x, y, y',... ifr)) Ą gemein. Gehören nun die Kurven der Schar (1) zu den Integralkurven einer gewöhnlichen Differentialgleichung rter Ordnung, so befriedigen alle Elemente rter Ordnung der Kurven der Schar die Differentialgleichung, demnach auch alle Elemente rter Ordnung der Einhüllenden, die mithin ebenfalls eine Integralkurve ist. Aus Satz 8 der letzten Nummer folgt überdies, daß die Einhüllende eine singuläre Integralkurve sein maß. Somit gilt der

Satz 10: Gibt es unter den Integralkurven einer gewöhnlichen Differentialgleichung rter Ordnung eine solche einfach unendliche Schar, die eine Einhüllende von mindestens rter Ordnung hat, so ist die Einhüllende eine singuläre Integralkurve.

Dies ist die Verallgemeinerung des Satzes 7 von Nr. 710.

790. Ansatz zur Bestimmung der einhiillenden singulären Integralkurven. Es erübrigt jetzt die Beantwortung der Frage, wie man unter denjenigen Integralkurven einer gewöhnlichen Differentialgleichung rter Ordnung:

(i)

F(x, y, y’, ... ■ y(r>) — 0, die durch eine allgemeine Lösung:

(2)

y = <p(x, Ci, C₂, ... Cf) mit den r Integrationskonstanten C\, C₂, ... Cr dargestellt werden, eine solche einfach unendliche Schar zu ermitteln im stände ist, der eine Einhüllende rter Ordnung zukommt. In einem summarischen Überblicke soll hier die Methode angegeben werden, die anzuwenden ist, während wir auf die Frage, in wie weit die auszuführenden Operationen erlaubt sind, nicht eingehen. Während man bei einer gewöhnlichen Differential-

1789, 790

gleichung erster Ordnung die Einhüllende durch Differentiation, Elimination und Substitution findet, siehe Nr. 710, bedarf es im Falle r> 1 noch der Integration von Differentialgleichungen, wie das Folgende zeigen wird.

Aus der Schar (2) wird eine einfach unendliche Schar dadurch herausgegriffen, daß man alle r Konstanten Ct, C₂,... Cr gleich Funktionen einer einzigen Konstante C setzt. Gibt es dann eine Einhüllende der herausgegriffenen Schar, so geht sie hervor, sobald man diese eine Konstante C durch eine gewisse Funktion cc(x) ersetzt. Dabei treten für alle r Größen Cl} C₂, ... Cr gewisse Funktionen von x ein. Mithin kann man stets annehmen, daß die gesuchte Einhüllende durch eine Funktion von der Form:

(3)

y = <p(x, «i(«), cc₂(x), . . . ar (aO)

dargestellt werden muß, wobei ccx(x), cc₂(x), . ... ccr(x) noch zu ermittelnde Funktionen von x bedeuten. Da für einen beliebigen, aber bestimmten Wert von x alle r Funktionen alf u₂,... ar Konstanten werden, würde diese Einhüllende, falls sie vorhanden wäre, diejenigen Kurven der Schar (2) umhüllen, die durch die Gleichung:

y = tp(xf ccj(C), a₂(C), . . . ar(P)) mit einer willkürlichen Konstanten C dargestellt sind.

Je nachdem man also in (3) unter atf cc₂, ... ar noch zu bestimmende Funktionen von x oder Funktionen einer Konstante G versteht, stellt (3) die gesuchte Einhüllende oder eine der eingehüllten Kurven (2) vor. Für die Einhüllende von mindestens rter Ordnung bestehen somit nach Nr. 214 die r Bedingungen:

(4)

d'tpjx, a₁,... ar)

di<p(x, ct1}. . ,ar)

dxi

dx{

Wenn zur Abkürzung:

8 ar

gesetzt wird, zeigt genau dasselbe Schluß verfahren wie in voriger Nummer, daß sich die r Bedingungen (4) so umformen lassen:

A = 0,

dl

8x

= 0,

8r~n * ’ dar-'

= 0.

§ 2. Differentialgleichungen in allgemeiner Form. Sie lauten ausführlich geschrieben:

-j-

cep

(5)

0²ep

dxda₁

dep

dep

dctt

d²<p

dccr

d²ep

dxdar

«;-o,

<= o,

Ortp

. dxr 1 doc₁

«1 -f-

8rcp

dxr 1 d

drcp

ccr' = 0.

dxr 1 dar

Weil nicht alle r Funktionen cc₁₇ a₂, . . . ar konstant sein sollen, sind cct', a₂,. . . ccr' nicht sämtlich gleich Null. Demnach sind die Gleichungen (5) nur dann miteinander verträglich, wenn ihre Determinante:

d<p

dep

dep

(6)

da₁

d²(p

~dxdat

dcii

d²cp

d XC CLt

dar

d²ep

dx dar

drcp

6r<p

dxr 1 da.

dxr 1dcc₂

dotf ¹ èar

verschwindet. Die Determinante kann nicht für alle Funktionen al7 cc₂, . . . ccr von x gleich Null sein, denn sonst müßte sie auch dann verschwinden, wenn ccly a2} ... ar durch willkürliche Konstanten C1} C₂, . . . Gr ersetzt würden, was aber nach Satz 6 von Nr. 786 besagen würde, daß nicht alle r Konstanten in der allgemeinen Lösung (2) wesentlich wären, somit die Funktion (2) einer Differentialgleichung von niedrigerer als rter Ordnung genügen müßte.

Wohl aber ist es denkbar, daß die Determinante (6) eine von Null verschiedene Konstante oder eine Funktion von x allein wird; im zweiten Falle gibt sie dann x = konst. Beides aber ist absurd, d. h.: Wenn die Determinante (6) frei von a1} cc2} ... ar ist, gibt es Jeeine singuläre Lösung von der gesuchten Art.

Es bleibt die Annahme übrig, daß sich durch Nullsetzen der Determinante (6) eine Gleichung in x, cclr a₂,... ar ergibt, die nicht von allen Funktionen a₁₇ cc₂, ... ur frei ist. Wird dann eine von ihnen, etwa ar, aus ihr berechnet und sie nebst

[790

ihrer Ableitung in (5) für ar und ccr substituiert, so reduziert sieb das Gleichungensystem (5) auf höchstens r— 1 Gleichungen in x, ccl7 cc₂, . . . ccr_x und ccf, a₂', . . . cc'r_t, die hinsichtlich af, af,... a'r_ f linear sind. Betrachten wir nur den allgemeinsten Fall, wo sich diese Gleichungen nach ccf, ccf, . . . a'r_l auf lösen lassen, so geht ein System von der Form:

= 1, 2,... r — 1)

du-

dx ⁼ N³⁰’ “i’ a2’ • • • Är-l) hervor, d. h. ein System von Differentialgleichungen in der Normalform für die r— 1 Funktionen aX} a₂, . . . ar_₁ von x. Ist es vollständig integriert worden, so sind ax, a₂, . . . ccr_1 als Funktionen von x und von r — 1 willkürlichen Konstanten

> ^2 > ’ • ‘ — 1

ist. Substitution der Werte aller r Funktionen a in (3) gibt schließlich eine (r — 1 )fach unendliche Schar von singulären Integralkurven :

cl7 c₂, ... Cr_x ermittelt. Dann gilt dasselbe von ccr, weil dies eine schon bekannte Funktion von x und von

(?)

y = xl>(x, clf c₂,...cr_₁),

die Einhüllende rter Ordnung der regulären Integralkurven sind.

Es kann sein, daß diese Schar ihrerseits Einhüllende zuläßt, insbesondere kann man ja durch Anwendung desselben Verfahrens auf die Schar (7) anstelle der Schar (2) Einhüllende von mindestens (r — l)ter Ordnung zu ermitteln versuchen, da ja r — 1 willkürliche Konstanten c1} c₂, . . . cr_₁ in (7) auf-treten. Jedoch nichts berechtigt zu der Annahme, daß diese neuen Einhüllenden ebenfalls singuläre Integralkurven sein müßten. Eies ist vielmehr nur dann der Fall, ivenn sie Einhüllende von mindestens rter Ordnung sind.

791. Ein Beispiel. Die allgemeinen Entwicklungen der letzten Nummer sollen durch ein schon von Lagrange benutztes Beispiel erläutert werden.

Die Funktion:

(1)

y = Gx x² -j- C₂x -j- 4 Ox² -f- C₂

mit den beiden willkürlichen Konstanten Cx und C₂ erfüllt eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung, denn aus:

y" = 2 Cx

y=2Cxx + O

lassen sieli Cx und C₂ berechnen und in (1) substituieren, wodurch die Differentialgleichung hervorgeht :

(2)    (1 + x²)y"² — Ąx(4ij -f x)y” + y'ÿ + xy' — y = 0.

Um die einhüllenden singulären Integralkurven zu bestimmen, ersetzt man (\ und C₂ in (1) durch zwei Funktionen at und a₂ von x und unterwirft die Funktion:

(3)

y = uxx² + a₂x -f 4a² + a.2 als Funktion cp(x, al} a₂) den Bedingungen (5) der vorigen Nummer, die hier die beiden Gleichungen liefern:

(4)

(.x² -f- 8 aj) ax + (x -f- 2 cc₂) ct₂ = 0,

2xccx u₂ ⁼ 0 •

Nullsetzen der Determinante gibt: (5) daher:

2 a,

_ JL .

Werden diese Werte in (4) substituiert, so liefern beide Gleichungen (4) dieselbe Bedingung für ax:

(1 -f x²)ccx —    = \x,

nämlich eine lineare Differentialgleichung, dei-en Integration nach Nr. 716 (mit Rücksicht auf das 1. Beispiel in Nr. 436 sowie auf Nr. 461) gibt:

7^ M±(*+ /*+*)] + «}■

Hier ist c die Integrationskonstante. Nun folgt aus (5) noch:

“ ₄,= I laL± o+v¹+*²)] + c)- i x-

Wird der Logarithmus zur Abkürzung mit X bezeichnet:

X=ln\± (x + y 1 + x²)]

so geht durch die Substitution der Werte von ccx und a₂ in

(3) die gesuchte einfach unendliche Scbar von Einhüllenden zweiter Ordnung hervor, also eine Schar von singulären Integralkurven:

y - -k(x + c? +t*yi + A* + 0) -

Auflösung der Gleichung nach der willkürlichen Konstante c gibt:

(7) y 16«/ -f 4x²~ł~ xi~ #j/l + x¹ — ln [+ (x -\~V 1 4- #²)] = c•

Die einfach unendliche Schar (6) hat ihrerseits wieder eine Einhüllende. Man bestimmt sie nach Nr. 210; indem man c durch eine Funktion a(x) ersetzt und dann verlangt, daß die Ableitung nach a verschwinde. Dies gibt:

a(x) = — xVl -j- x² — X,

und wenn man diesen Wert in (6) für c substituiert, kommt als Gleichung der Einhüllenden:

(8)

y = —    (4 + Æ²).

Diese Kurve (8) berührt jedoch jede Kurve (6) nur in der ersten Ordnung. Ginge sie nämlich mit ihr eine Berührung von der zweiten Ordnung ein, so müßte (8) eine Lösung der Differentialgleichung (2) sein, vgl. die letzte Bemerkung in voriger Nummer. Man sieht jedoch, daß die Funktion (8) die Differentialgleichung (2) nicht befriedigt.

792. Intermediäre Integralgleichungen. Es ist unter Umständen möglich, zu einer vorgelegten gewöhnlichen Differentialgleichung rter Ordnung:

(1)

F(x, y, y,... y<r>) = 0 eine solche gewöhnliche Differentialgleichung von niedrigerer,. etwa ster Ordnung zu ermitteln:

Q(x, y, y,. . . y«) = 0

deren reguläre Lösungen sämtlich die vorgelegte Differentialgleichung (1) befriedigen. Jede solche Gleichung 0 = 0 heißt eine intermediäre Integralgleichung von (1), weil ihre Gewinnung einen Schritt auf dem Wege zur Integration darstellt.

Aus (2) folgt durch r — s vollständige Differentiationen nach x eine Reihe von Gleichungen:

d

dx*

(2)

(3)

^=0 dx ’

= 0,.

dr~s$ ‘ • dxT^¹

(s < r),

yon deneD z. B. die erste ausführlich geschrieben so lautet:

dx

r \ O & rr ,    ,    3 &    (& 4- 1) A

y-rwy +••■ +ajwJ' 791, 79»]

In allen hat die vorkommende höchste Ableitung y(s+1\ y(s+2\ . . . yW den Koeffizienten od>:dy(*\ Wird nun ein Element ster Ordnung (pc, y, y,... y®) herausgegriffen, das die Gleichung (2) befriedigt, aber für (2) nicht singulär ist, für das also c Q:cy® von Null verschieden ist, so bestimmen diese r — s Gleichungen (3) auch ?/⁽* + 1), y⁽*⁺ 2), . . . y^r). Mithin stellt (2) dann und nur daiin eine intermediäre Integralgleichung von (1) dar, wenn sich zu jedem regulären Elemente ster Ordnung der Differentialgleichung (2) aus (3) ein solches Element rter Ordnung ergibt, das der Gleichung (1) genügt.

(i)

Hiernach ist es erklärlich, daß, obgleich die regulären Lösungen von (2) ausnahmslos Lösungen von (1) sind, dennoch die singulären Lösungen von (2) heine Lösungen von zu sein brauchen. Wenn z. B. eine singuläre Lösung von (2) als Einhüllende von mindestens ster Ordnung aus den regulären Lösungen von (2) hervorgeht (wie in Nr. 790), wird sie doch nur dann zugleich eine Lösung von (1) sein, wenn sie eine Einhüllende von mindestens rteT Ordnung ist, was eben im allgemeinen nicht eintritt.

Die intermediäre Integralgleichung (2) heißt singulär, wenn ihre regulären Lösungen singuläre Lösungen von (1) sind. Andernfalls wird man sie, wenn es überhaupt angebracht erscheint, dies zu betonen, eine reguläre intermediäre Integral-

gleichung nennen.

Enthält die intermediäre Integralgleichung (2) keine oder weniger als r — s willkürliche Konstanten, so ist die Gesamtheit ihrer regulären Lösungen weniger umfangreich als die der regulären Lösungen von (1). Wenn dagegen in (2) noch r — s willkürliche Konstanten C

(4)

s + l> Wi + 2J •

0(x, y, y,.. . i/*\    Ct+1, ^₊₂,.

. . Cr auftreten:

.. Gr) = 0

und sich die r — s Konstanten aus dieser und den r — s — 1 Gleichungen:

(5)

dx

dxi

nicht eliminieren lassen, ist es gewiß, daß die Gesamtheit der regulären Lösungen von (4) keine solche gewöhnliche Differentialgleichung von niedrigerer als rter Ordnung erfüllen kann,

[793

die von willkürlichen Konstanten frei ist. Wird nun die Differentialgleichung (r — s)ter Ordnung:

(6)

dr-s$

äof-s

s + 1 J + 2t •• • @r

' hinzugefügt, so gibt die Elimination von C;

aus allen r — s + 1 Gleichungen (4), (5), (6) eine gewöhnliche Differentialgleichung rter und nicht niedrigerer Ordnung, so daß die Gesamtheit der Lösungen von (4) r-fach unendlich ist, also gerade so umfangreich wie die der Lösungen von (1). Alsdann nennt man (4) eine allgemeine intermediäre Integralgleichung ster Ordnung von (1). Alle nicht allgemeinen intermediären Integralgleichungen, die regulär sind, heißen partikular.

.. Cr behaftete Gleichung (4) sei, daß zweitens die r — s Gleichungen (4) und (5) hinsichtlich Ct+1, Cs+2, • • • Cr voneinander unabhängig seien und daß drittens die vorgelegte Gleichung (1) eine Folge der r — 5+1 Gleichungen (4), (5) und (6) sei, also durch Elimination der willkürlichen Konstanten hervorgehe.

Eine allgemeine intermediäre Integralgleichung von

Damit also eine intermediäre Integralgleichung ster Ordnung allgemein sei, ist erforderlich, daß sie erstens eine mit r — s willkürlichen Konstanten C

(1)

hat zwar eine r-fach unendliche Schar von regulären Lösungen wie (1) selbst, und alle diese Lösungen gehören zu denen von (1), jedoch daraus folgt nicht umgekehrt, daß jede reguläre Lösung von (1) auch eine Lösung der intermediären Integralgleichung sei. Denn man muß bedenken, daß eine Differentialgleichung (1), die in einer nicht nach y(r) aufgelösten Form vorliegt, nach Nr. 787 in der Umgebung einer Stelle mehrere Auflösungen:

y(r) = f(x, y, y y^-¹))

haben kann, von denen jede eine r-fach unendliche Schar von Lösungen hat. Die allgemeine intermediäre Integralgleichung

(4) braucht also z. B. nur die Lösungen einer von diesen aufgelösten Gleichungen zu liefern, dagegen die der anderen nicht.

Was die Existenz der allgemeinen intermediären Integralgleichungen anbetrifft, so ist zu bemerken:

Wenn:

(0

y - <p(x, olt c₂,... cr)

eine allgemeine Lösung von (1) in einem gewissen Bereiche vorstellt, sind die r Gleichungen:

y-

dx

(8)

— !)

_ dr 1 cp (x, Cx, C₂,

_    daf-T -

C,)

hinsichtlich (71; C₂, ... Cr voneinander unabhängig. Folglich sind die s ersten Gleichungen (8) in bezug auf gewisse s Konstanten C, etwa in bezug auf Cu C₂, . . . Cs, voneinander unabhängig. Sind:

•• cr)

Cj = y, y,... <—‘J, C

2,... S)

die Auflösungen dieser s ersten Gleichungen nach C1} C₂, .. . Cs so liefert ihre Substitution in die (s -f l)te Gleichung (8) eine allgemeine intermediäre Integralgleichung .S'ter Ordnung:

(i =

b-*-

Ä + i’

s + 1) s + 2? •

y{s) = y, y'> - ÿs~V), ct

Beispiel: Es sei u eine gegebene Funktion von x und y allein. Liegt dann die Differentialgleichung zweiter Ordnung vor:

(9)

y" — (i + y'²)(% + y'%),

so läßt sie sich in der Form:

d arc tg y' d u (x, y)

dx

dx

schreiben, was besagt, daß:

(10)

arc tg y' = u(x, y) + C eine allgemeine intermediäre Integralgleichung erster Ordnung ist. Setzt man tgu(x, y) gleich v(x, y), so geht:

(11)

y —v Ix, y)

1 + yv{x, y)

= tgO

hervor. Dies ist für jeden bestimmten Wert von C eine partikulare intermediäre Integralgleichung. Es mögen C zwei verschiedene Werte C₁ und C% erteilt und die Lösungen der beiden zugehörigen Differentialgleichungen erster Ordnung (11) mit yt und y» bezeichnet sein, so daß:

(12)

yx —v{x, yx)

= tg C

y₂_—v(x, y₂)

i?

wird. Beide Lösungen yx= <p(%, konst.) und y₂==if;(x} konst.) stellen je eine einfach unendliche Kurvenschar dar. Ist (x, y) der Schnittpunkt einer Kurve der einen mit einer Kurve der andern Schar, so stimmen yx und y₂ in (12) für diese Stelle überein, so daß aus (12) folgt:

d. h.

V + tgCt

l — vtgC₁

y* =

g + t gC₂

1 — vtgC₂ ’

Vi'-Vi' ___

ï+yi'y> i+tgątgc,

tg G, — tgC₂

-t g(ą-Ą).

Da nun yx und y₂' die Tangens der Winkel xx und rs sind, die von den Tangenten der beiden betrachteten Kurven an der Stelle (x, y) mit der positiven x-Achse gebildet werden, ergibt sich:

tg Oi - **) = tg (C} - C₂) .

Hieraus folgt: Für jeden bestimmten Wert von C definiert die Differentialgleichung erster Ordnung (11) eine einfach unendliche Kurvenschar derart, daß alle Kurven einer solchen Schar alle Kurven einer anderen solchen Schar unter einem konstanten Winkel schneiden. Jede dieser Scharen besteht also aus isogonalen TrajeJdorien jeder anderen solchen Schar, vgl. Nr. 740. Alle Scharen zusammen sind die Integralkurven der vorgelegten Differentialgleichung (9). Wird etwa diejenige Schar ausgewählt, die zu G = 0 gehört, d. h. die Schar der Integralkurven der Differentialgleichung erster Ordnung:

(13)

y = v(x, y) oder y = tg u(x, y),

so folgt: Die Gesamtheit der Integralkurven der Differentialgleichung (9) besteht aus allen Kurven, von denen jede die durch (13) definierte einfach unendliche Schar y unter einem konstanten Winkel a durchsetzt. Der Winkel cc kann dabei alle möglichen Werte haben, während er in Nr. 740 bestimmt gewählt wurde. Da die Differentialgleichung (9) zu den im

3. Beispiele von Nr. 783 betrachteten Gleichungen (8) gehört, ergibt sich im besonderen der Satz von Cesclro, nach dem alle diejenigen Kurven, die durch einen Punkt M gehen und eine 79»] gegebene einfach, unendliche Schar y unter konstanten Winkeln schneiden, in M solche Krümmungskreise haben, die ein Büschel bilden.

§ 3. Integrationsmethoden.

793. Wiederholte Quadraturen. In diesem Paragraphen sollen einige Klassen von gewöhnlichen Differentialgleichungen höherer Ordnung vorgeführt werden, die entweder durch Quadraturen oder durch Integration von Differentialgleichungen von niedrigerer Ordnung vollständig integrierbar sind.

Wir beginnen mit einer Differentialgleichung rter Ordnung von der besonderen Form:

(1)

y(r) = fix),

in der nur yW und x vorkommt. Ihre allgemeine Integration erfordert r nacheinander auszuführende Quadraturen, die y(r~x\ y⁽'r~²\ . . . y, y ergeben. Werden insbesondere für x = x₀ die Anfangswerte yQ, y₀', ... y^~X) vorgeschrieben und wird die Funktion, die aus f(x) durch k-malige Integration zwischen den Grenzen x₀ und x hervorgeht, mit fk(x) bezeichnet, so daß allgemein:

(2) ist, so kommt:

y{r-l) =    -J_ y(r~l) ,

y{r~²⁾=fa(x) + y^-v (x - x₀) + «4r_2),

-i)

y[r~³⁾=ft 0*0 + Y\ y*~1] (x ~ xo)² + Mr~²⁾ (x - xo)+Vo

usw. und schließlich, wenn noch die mit x Glieder um gestellt werden:

x₀ behafteten

(3) y = fr 0) + Vo + yó(x - xo) + y y°"(x - xo)*+

rr^iy: y«~L) <> - xo)r~l-

Die r aufeinander folgenden Quadraturen lassen sich durch eine einzige ersetzen, bei der allerdings der Integrand noch eine willkürliche Konstante enthält. Teilweise Integration gibt nämlich nach (1) in Nr. 415 für u = fx (x) und v == x:

f,(x) = [xfx (x)]t₀ —jfl'(x)xdx = x jf(x)dx — j‘f(x)xdx.

Xq    Xq    Xq

Unter den Integralzeichen darf die Veränderliche x mit z bezeichnet werden, so daß kommt:

fXx)

= x jf(z)dz — j‘f(z)zdz =

Xq    Xq    Xq

— z) dz.

fs(x)

Nun steht /₃ (x) zu /j (x) nach (2) in derselben Beziehung wie zu f(x); demnach ergibt sich ebenso:

— z)dz.

fzix) =ffi(.*Xx

*0

Nach der Formel (1) in Nr. 415 für die teilweise Integration, worin jetzt x durch z, u durch fx(z) und v durch —^(x — z)2 zu ersetzen ist, kann man hierfür schreiben:

fXx) = [- 2! (x - Z?tx (*)] + 2! ßl(*)(X - ZXdz-

Z-Xq

Xq

Das erste Glied rechts hat an der oberen Grenze z = x wegen des Faktors x — z und an der unteren Grenze z = x₀ wegen des Faktors ft (x₀) den Wert Null. Außerdem ist fi(/)=f(z), so daß kommt:

fzix) = jr Jf(*Xx - z?dz■

Xq

Man vermutet demnach, daß allgemein:

(4)

fXx) -

Xq

sein wird. Diese Formel ist durch Schluß von k auf k -(- 1 sofort zu bestätigen.

Nach (3) ergibt sich demnach die gesuchte allgemeine Lösung der vorgelegten Differentialgleichung (1) in der Form:

(5)

₍.r_rïyj ff{z){x-z)h~ldz +y₀

Xq

jfZIfjl Vo ~*KX xoY

+ fr Vo Cx — xo) + 2î Vo" (x ~ xoT 4-----t*

793]

Nebenbei bemerkt ist die Formel (4) in einer anderen Einkleidung schon in Nr. 421 enthalten.

794. Gleichungen zwischen und y(r ~^ allein.

Bei einer gewöhnlichen Differentialgleichung rter Ordnung von der besonderen Form:

(1)

F(y^\ y«) - 0

kann man, falls sie nach    auf lösbar ist:

y{r) = Wr“¹⁾)

so vorgehen: Es wird y(r~^ als neue Yeränderliche z eingeführt, so daß:

(2)

(3)

dz

= dx

wird und also eine Quadratur:

(4)

fdz

X Jl

liefert. Wenn die Quadratur'Ausführbar und die hervorgehende Gleichung nach z auflösbar ist, so daß sich z als Funktion von x und C darstellt, wird y⁽-r~X) eine bekannte Funktion von x und C, so daß die weitere Integration so verläuft, wie es in voriger Nummer erörtert wurde. Aber auch, wenn man z nicht als Funktion von x bestimmen kann, gelingt die Integration durch eine Reihe aufeinander folgender Quadraturen, sobald man durchweg z statt x als unabhängige Yeränderliche benutzt. Denn es ist:

dy(r~^ — yfr~x^dx = zdx

und daher nach (3):

dy(r~V =

zdz

woraus sich:

Jt

zdz

^-²⁾

ergibt. Nun kommt weiterhin:

dy(r~^ = yfr~^dx =

-f- konst.

also :

]fr ^dz

rvT’

(r — 3)

+k<msi *+k0DSt

usw. Schließlich liefern insgesamt r — 1 Quadraturen eine Formel:

y = (p(z) Ą- Cx -f- C₂z + - • • + Cr_₁z’ während (4) etwa gibt:

x = ip (z) -f C.

Hiermit sind x und y als Funktionen von z und r Integrationskonstanten C, Gx, C₂, ... Cr_₁ gefunden.

Falls die vor gelegte Differentialgleichung (1) nicht nach yd), aber nach yd-¹) auflösbar ist:

(5)

y(r~1] = f\y{r)),

führt man yd) als neue Veränderliche t ein und erhält:

(6)

Nun ist:

also:

dy{r-1]    ,

dx    ’

-1_ = «(r-l)

dx d >

daher nach (6):

(r-1)

, dyd~²) = yd- X)dx =

yd-Vdyd-l)

dx —

ftp) dt

mnt)dt

so daß sich durch Quadraturen ergibt: x = j*-j~ + konst.,

(r-2)

= / ~dt + konst. J *

Ferner wird:

dyv

k-3)

dx y

(r-2)

also:

yd-*)f'(t)dt

dyd-³) =

Da yd~²) schon als Funktion von t berechnet worden ist, liefert eine abermalige Quadratur auch yd~³) als Funktion von t. Fährt man so fort, indem man:

dyd-Ą) = yd- s)dx =

usw. setzt, so geht schließlich auch y als Funktion von t und yon r — 1 Integrationskonstanten hervor.

Wenn die Differentialgleichung (1) weder nach yd) noch nach yd-¹) auflösbar ist, es aber gelingt, diese Größen so als Funktionen einer Hilfsveränderlichen t zu bestimmen, daß diese Funktionen :

794]

yd-Z)f(t)dt

yM = A(r), t/r- V =

(7)

die Gleichung (1) befriedigen, so folgt aus:

dx

sofort:

so daß eine Quadratur a? als Funktion von x und einer Konstante gibt. Ferner ist:

dy(r~²) = yfr~t)dx = —-dt]

also liefert eine Quadratur für yfr-*> eine Funktion von t und einer Konstante. Weiterhin wird:

]fr ft' dr

dy^-'V = yfr~^dx

usw., so daß schließlich auch y als Funktion von r und r — 1 Konstanten hervorgeht.

Beispiel: Bei welchen Kurven in der Ebene ist die Projektion des Krümmungsradius auf eine gegebene Gerade von konstanter Länge a? Wird die Gerade als ^-Achse gewählt und bedenkt man, daß die Normale mit der y -Achse denselben Winkel bildet wie die Tangente mit der a?-Achse, so erhält man nach (1) in Nr. 197 als Differentialgleichung des Problems :

(8)

y"

= a,

also eine Differentialgleichung, die sich der Form (1) für r = 2 unterordnet. Wir setzen wie zuerst y — z und erhalten:

i + y'

z = y" =

1 + z⁸

daher:

C dz

aJï+^

also, wenn etwa x — xQ für 0 = 0 sein soll:

a arc tg z = x — x₀.

Mithin wird z — tg[(# — x₀) : a\, so daß weiterhin kommt:

dy = zdx — tg—^ • dx und, falls y für x = x₀ den Wert y₀ haben soll:

ygl. das 3. Beispiel in Nr. 452. Die Differentialgleichung (8) ordnet sich der im Beispiele zu Nr. 792 betrachteten Differentialgleichung (9) für den Fall u = x : a unter. Demnach sind die Kurven (9) die isogonalen Trajektorien der Integralkurven der Differentialgleichung: (vgl. (13) in Nr. 792), d. h. der Kurven:

(10)

y = — a ln cos æ + konst.

Nach dem 3. Beispiele in Nr. 783, worin jetzt X = 0, y — 1 : a zu setzen ist, haben alle diejenigen Kurven (9), die einen Punkt M oder (x, y) gemein haben, in M solche Krümmungskreise, die ein Büschel bilden, und zwar zeigt (9) in Nr. 783, daß der zweite gemeinsame Punkt dieser Krümmungskreise die Koordinaten x = x, ÿ = y + 2 a hat. Daraus ergibt sich eine sehr einfache Konstruktion der Krümmungskreise, insbesondere auch für die Kurve y = —- a ln cos (x : d).

795. Gleichungen zwischen */(,) und yallein.

Betrachten wir zunächst den Fall r = 2, d. h. eine Differentialgleichung von der Form:

(i)

i’(y, f) = o.

Solche Gleichungen spielen eine bedeutende Bolle in der Mechanik. Wenn x die Zeit und y eine mit der Zeit veränderliche Größe bedeutet, ist y die Geschwindigkeit und y" die Beschleunigung, und in manchen Problemen der Mechanik kommt es darauf an, y zu ermitteln, wenn eine Beziehung zwischen der Größe y selbst und ihrer Beschleunigung y" bekannt, d. h. wenn eine Gleichung (1) gegeben ist.

Wenn die Gleichung (1) nach y" aufgelöst iverden Jcann:

(2)

y" = f{y),

d(y'²) = 2f(y) dy,

(9)

-/** *".*•■

•'o

dx = — a In cos -——

ergibt sich durch Multiplikation mit 2y, weil 2y'y" die Ableitung von y'² ist:

mithin durch eine Quadratur:

(3)

y ² — y₀

'2

y

= 2 ff{y)dy,

Vo

wobei wir annehmen, daß für x = x₀ die Anfangswerte y₀ und y₀' gegeben seien. Ist die Quadratur erledigt, so kennt man y' als Funktion von y, also auch den reziproken Wert dx : dy, so daß eine bekannte Gleichung besteht:

dx = cp (y) dy,

aus der sich durch eine Quadratur:

y

=j <P 0) d y

Vo

auch x als Funktion von y ergibt.

Wenn die Gleichung (1) nicht nach y", aber nach y auf

lösbar ist:

(4)

y = f{y"),

tut man gut, y" als unabhängige Veränderliche z einzuführen. Denn aus d(y'²) = 2y"dy und dy = f\z)dz, sowie y" = z folgt dann:

dfy’*) = 2zf'(z)dz,

so daß eine Quadratur liefert:

(5)

y ² = 2 Çzf\z)dz + konst.

Durch ihre Erledigung wird y' eine bekannte Funktion von z. Aus:

dx-H

df(z)    f (z)dz

y y'

worin für y diese Funktion von z einzusetzen ist, ergibt sich durch noch eine Quadratur auch x als Funktion von z.

Wenn die Gleichung (1) weder nach y" noch nach y auflösbar ist, wohl aber durch zwei Funktionen:

y =    y"-t(t)

einer Hilfsveränderlichen t befriedigt werden bann, ergibt sich:

d(y'²) = 2y"dy = 2ih(t)cp'(t)dt,

(6)

d. h.:

(7)

y ² = 2 f i)>(t)cp\t)dt -f- konst.

dy _ q>'(t)dt

Nachdem so y als Funktion von t gefunden ist, berechnet man x aus:

\AJ vL/    /    "    /    4

y y

worin für y die bekannte Funktion von t eingesetzt wird, mittels einer Quadratur.

Wir betrachten nun allgemeiner eine geivÖhnliehe Differentialgleichung rter Ordnung, die nur «/Y> und y{/~2j enthält:

(8)

/’">) - 0.

Setzt man hierin yfr ~²⁾ = z, so geht eine Differentialgleichung zweiter Ordnung für z:

F(z, z") = 0

hervor, die nach den soeben angegebenen Methoden zu behandeln ist. Der dabei zuletzt besprochene Fall (6) ist der allgemeinste; wir nehmen deshalb an, es seien z und z" oder yfr~Ti und yW bekannte Funktionen der Hilfsveränderlichen t] auch sei schon wie vorhin x mittels zweier Quadraturen als Funktion von t ermittelt. Dann kennt man zwei Gleichungen von der Form:

Da nun:

s = %(f), y{r 2) = t(t)-

dy⁽''⁻³) = tfr~*>dx = tp(f) %(t)dt ist, gibt eine Quadratur auch y(r~³) als Funktion von t, ebenso eine weitere Quadratur y<-r~^ usw., schließlich wird auch y als Funktion von t gewonnen.

1. Beispiel: Ist ein Punkt mit einer festen Stelle 0 elastisch verknüpft und wird er um eine Strecke a von 0 entfernt, so strebt er in die Ruhelage 0 zurück und beschreibt infolgedessen Schivingungen, die, wie die Mechanik lehrt, einer Differentialgleichung :

(9)

" 2 y = — nr y

genüge leisten, worin y die Entfernung von 0, gemessen mit Vorzeichen, und die unabhängige Veränderliche x die Zeit bedeutet, während m² eine positive Konstante vorstellt. Nach (3) kommt hier, weil f{y) = — m²y ist:

y'²-yo'²= ™²(y₀²-y²),

also:

y = Vy₀'² + ™²ył — m2y²-

Wird die Zeit x yon einem Augenblicke an gerechnet, in dem der Punkt die Stelle 0 passiert, so ist y₀ = 0 zu setzen, also:

— m²y².

'2

y = VVo

Aus dx : dy = 1 : y folgt weiter:

oder:

y

J Vvo'⁸

dy

— miy²

g ! H*

■ my arc sm —4

Vo

Vo ■

y = — sin mx. J m

Da a die Maximalentfernung des Punktes von 0 ist, hat man a = y₀' : m, d. h. y₀' = am zu setzen. Also gibt:

y = a sin mx

das gesuchte Gesetz an, das zeigt, daß es sich um sogenannte Sinusschwingungen handelt.

2. Beispiel: Bei welchen Kurven in der Ebene ist der Krümmungsradius dem Kubus der Normale proportional? Nach Nr. 170 ist die Normale gleich — «/]/l + y², und nach (1) in Nr. 197 wird demnach gefordert:

r 2³

= ai/yi + y

wobei a konstant ist. Hieraus folgt für ay"y³ der Wert Eins. Nach (2) ist daher f(y) gleich 1 : ays zu setzen, so daß (3) gibt:

y"

;,y +

'2

y — —

wo Gx konstant ist. Aus dx : dy = 1 : y folgt weiter, wenn Gx =4= 0 ist:

dy

-f konst. = ^ y Cxy² —    + konst.

oder:

ay*

(Gxx — konst.)² — Gxy² -f ~ = 0.

Die Kurven sind demnach Ellipsen und Hyperbeln. Wenn dagegen G₁ — 0 ist, ergeben sich die Parabeln:

x — ł y² V~ a + konst.

796. Gleichungen, in denen die unbekannte Funktion oder die unabhängige Veränderliche nicht vorkommt. Wenn in einer gewöhnlichen Differentialgleichung rter Ordnung für y die unbekannte Funktion y selbst nicht auf-tritt, kann es sein, daß etwa auch y fehlt, ebenso y" usw. Um sogleich den allgemeinsten Fall zu betrachten, nehmen wir an, daß y, y j y", . . . yW fehlen, dagegen y⁽~s+v> yorkomme, die Differentialgleichung also die Form habe:

(1)

F{x, i/s+2\ . .. ip) = 0.

Hier ergibt sich für £ = y(,+ 1) sofort die Differentialgleichung (r — s — l)ter Ordnung :

F(x, e, f—¹) = 0.

Die Integration dieser Differentialgleichung, die wohlbemerkt von niedrigerer Ordnung als die vorgelegte ist, kann nicht umgangen werden. Bedeutet:

• • Cr)

i + 3> •

£ = y(s+1) = <p(x, Cs+2,

. . Cr, so liegt eine Differentialgleichung

ihre allgemeine Lösung mit den r — s — 1 Integrationskonstanten C

(,s + l)ter Ordnung für y vor, die nach Nr. 793 durch Quadraturen zu erledigen ist, weil rechts nur die Veränderliche x auftritt.

Wenn eine Differentialgleichung rter Ordnung vorliegt, in der die unabhängige Veränderliche x selbst fehlt:

(2)

F(y, y, • • • y{r)) = o,

empfiehlt es sich, zunächst die Größe y, die wir mit p bezeichnen wollen, als Funktion von y zu berechnen. Es kommt nämlich:

„ dp    dp-.dy dp

y    dx dx:dy    ^ dy

trr

y dx

(pff)

dx : dy

usw. Allgemein wird yeine Funktion von p und den Ableitungen von p nach y bis zur (r — l)ten Ordnung einschließlich. Demnach geht durch die Substitution dieser Werte der Ableitungen von y in (2) eine Differentialgleichung (r — l)ter Ordnung für die Funktion p hervor, wobei y die unabhängige 796]

Veränderliche ist; weil nämlich (2) von x frei ist, fehlt X auch in der neuen Gleichung. Die Integration dieser Differentialgleichung (r — l)ter Ordnung für p ist nicht zu umgehen. Wenn:

p = <p(y, Ct, C₃, ... C,r_f)

ihre allgemeine Lösung mit den r — 1 Integrationskonstanten Cx, Cg, ... Cr_₁ ist, ergibt sich aus dx = dy : p durch noch eine Quadratur auch x als Funktion von y.

In dieser Nummer sind zum ersten Male Integrationsmethoden gegeben, die erst dann auf Quadraturen führen, wenn man eine gewisse Differentialgleichung integriert hat, die von niedrigerer Ordnung als die vorgelegte ist. Der Vorteil dieser Methoden besteht also in der Erniedrigung der Ordnungszahl.

797. Beispiele aus der Theorie der ebenen Kurven.

1. Beispiel: Es sollen diejenigen Kurven in der Ebene gefunden werden, bei denen die Krümmung eine gegebene Funktion der Abszisse ist. Wenn f(x) diese gegebene Funktion ist, lautet die Gleichung des Problems nach (1) in Nr. 195:

= f{x).

y"

Vi + y

Sie ist von y frei und daher eine Differentialgleichung erster Ordnung für y, aus der sich ergibt:

oder:

fyéfW’⁼Jf{x)dX + k

j f(x)dx -f k

onst.

y'i f y

onst.

Wird unter F(xj eine Funktion verstanden, deren Ableitung die gegebene Funktion f(x) ist:

so

folgt:

d F (x)

= f(x)>

' _ E(x) +

yi - (Fm + cf)v

dx

wo Cx die Integrationskonstante bezeichnet. Abermalige Quadratur gibt:

dx -j- Og .

„ ₌ r _

J j/i - {Fix) + c\r

²³ [796,797

Serrat-Scheffers, Diff.- u. Iutegral-Eechnung. III. 3. Aufl.

Soll z. B. die Krümmung der Kurve der Abszisse proportional sein, wie es bei der sogenannten elastischen Kurve in der Mechanik der Fall ist, so hat man f(x) gleich 2ax, also Fix) gleich ax² zu setzen, wobei a eine Konstante bedeutet. Dann geht für y ein elliptisches Integral hervor, vgl. Kr. 440.

2. Beispiel: Es sollen diejenigen Kurven in der xy-Ebene bestimmt werden, die der Differentialgleichung dritter Ordnung:

Sy'y"%— (1 + y'²)y"'=Q

genügen. Weil y fehlt, ist dies eine Differentialgleichung zweiter Ordnung für y ; weil ferner x fehlt, bestimmt man nach der zweiten Methode der letzten Kummer zunächst die Größe z = dy : dx oder y" als Funktion von y. Es ist dabei:

,//    dz    dz : dy

y    dx    dx:dy'

(1)

dz

so daß (1) gibt:

dy’

ßy'z²— (1 + y'*)z    =

0.

Zunächst tritt der Faktor z heraus. Die Annahme z — 0 oder y" = 0 liefert die Geraden der Ebene (vgl. 1. Beispiel in Kr. 783). Wenn dagegen z =f= 0 ist, bleibt die Differentialgleichung erster Ordnung für die Funktion z von y übrig:

dz    Sy'dy'

T ⁼ r+iT’>

in der die Yeränderlichen getrennt sind, so daß sich durch Quadratur:

t-CxV l + </'²

ergibt. Dabei bedeutet C₁ die Integrationskonstante. Weil z die Ableitung dy : dx ist, folgt weiter aus dem reziproken Werte:

x=L

dy’

Ł.

o, Vi + y‘

c, i/i + y

- + konst.

und hieraus durch Auflösung nach y eine Gleichung von der Form:

c\x + c,

yi-^x + cff*’

worin 0₂ konstant ist. Weil z = y" 4= 0 sein soll, ist Cx =j= 0, so daß abermalige Quadratur gibt:

r Cl If

y-di-

tVï- (c,x+ c.y— ca.

Gt

7973

Dabei stellt Cä die dritte Integrationskonstante vor. Demnach kommt:

(ciy + ct c₃y + (ctx + c₂y = 1.

Da jeder Kreis einer solchen Gleichung genügt, wird die Differentialgleichung (1) nur von den Geraden und Kreisen der Ebene erfüllt, was schon aus Satz 21 und 22 von Nr. 218 zu folgern war.

3. Beispiel: Gesucht werden diejenigen Kurven in der Ebene, bei denen Krümmungsradius der Normale proportional ist. Die Differentialgleichung des Problems lautet:

(2)

¹ + y'² ~ ay’

vgl. das 2. Beispiel in Nr. 795. Hier fehlt x, also ist die zweite Methode der vorigen Nummer anwendbar. Danach wird y = p eingeführt und y" = pdp : dy gesetzt, so daß sich ergibt: oder:

yi -f p2 == konst. ya.

Weil die linke Seite von Null verschieden ist, gilt dasselbe von dem konstanten Faktor, so daß man schreiben darf: wobei c die Integrationskonstante ist. Auflösung nach 1 :p oder dx : dy und Quadratur gibt schließlich:

dy

(3)

+ konst.

(v) -¹

Die Differentialgleichuug (2) gehört zu denjenigen, die im 3. Beispiele von Nr. 783 besprochen wurden. Denn sie geht aus der Gleichung (8) jener Nummer bei der Annahme A = 0, g = — 1 : ay hervor. Die zweifach unendliche Kurvenschar (3) hat somit die Eigenschaft, daß alle diejenigen Kurven der Schar, die durch einen gemeinsamen Punkt M oder (x, y) gehen, in M Krümmungskreise haben, die einen zweiten Punkt M gemein haben, dessen Koordinaten nach (9) in Nr. 783 sind:

[797

356 Kap. Y. Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung. x = x, ÿ = (2 a + l)y.

Wir heben einige besondere Fälle hervor: Für a = — 1 ergeben sich aus (3) Kreise, deren Mitten auf der x-Achse liegen, für a = 2 Parabeln, deren Leitlinie die x-Achse ist, für a = — 2 nach dem 1. Beispiele in Nr. 711 gemeine Zykloiden, deren Bahnkurve die x-Achse ist. Besonders bemerkenswert ist noch die Annahme a = 1, die zu den Kettenlinien:

/ X — X₀    X-Xp\

y = ± łc \e c + e c )

führt (vgl. Nr. 225 und das 2. Beispiel in Nr. 713). Es sind dies alle diejenigen Kettenlinien, deren Evolventen Traldrizen mit der x-Achse als Leitkurve sind.

798. Rotationsflächen konstanter Krümmung.

Weitere Beispiele entnehmen wir der Flächentheorie. Dabei sei vorausgeschickt: Nach Nr. 348 sind die Meridiane und Breitenkreise einer Rotationsfläche ihre Krümmungskurven. Nach Nr. 321 ist deshalb der eine Hauptkrümmungsradius B eines Punktes M der Fläche gleich dem Krümmungsradius des Meridians und der andere gleich der Länge MN der Normale des Meridians, gemessen bis zum Schnittpunkte mit der Fläcben-achse. Wird diese Achse als x-Achse gewählt, so kann die Meridiankurve in der Form y = f(x) dargestellt werden. Nach Nr. 170 und Nr. 197 ist nun:

MN =

-fVi+T*,

wobei die Quadratwurzel positiv sein soll. Das Gaußische Krümmungsmaß der Rotationsfläche ist also nach Nr. 318:

(l)

y"

yAA-y'*)*’

dagegen die sogenannte mittlere Krümmung nach Nr. 308:

y"

(2)

77^-1 ...y .........._,₌ ysT-q+in-

'V¹ + y'²°    2 2/j/1-f-F ²    2y}/l -F y'^

In dieser Nummer behandeln wir nun die Aufgabe:

Gesucht werden edle Rotationsflächen von konstanter Krüm

mung K.

Nach (1) handelt es sich zur Ermittlung der Meridiankurve um die Integration der Differentialgleichung zweiter Ordnung:

y"+Ky(l +<n»-0

(3)

die nach der zweiten Methode in Nr. 796 zu behandeln ist, wonach y' = p und y" = pdp : dy gesetzt wird, so daß kommt:

Eine Quadratur gibt:

r-k'“Ky2+G-

Dabei ist C die Integrationskonstante. Wird hieraus 1 : p oder dx : dy berechnet, so ergibt eine zweite Quadratur:

(4)

Xmmf 1/........Ky*+C

J V 1 — Ky* — C

dy + konst.

Wenn man die Fläche ähnlich vergrößert oder verkleinert, geht sie in eine andere Fläche konstanter Krümmung über, indem K mit einer positiven Konstanten multipliziert wird. Deshalb dürfen wir uns auf die drei Annahmen K = 0, +1, — 1 beschränken. Der Fall K = 0 ist sofort erledigt, da er gibt:

x = konst, y -f konst.

so daß hier die Meridiankurve eine Gerade, also die Fläche ein Rotationskegel ist. Die additive Konstante in (4) ist unwesentlich, da die Rotationsfläche ihre Gestalt nicht ändert, wenn sie längs der Drehungsachse verschoben wird. Deshalb ergeben sich in den Fällen K = + 1 und K = — 1 die beiden Gleichungen:

(y*+C)dy

*“/

(C — y*)dy

V-(y* + c)(y* + c-i)’

v ■■<y-c+ï)W-c)’

d. h. x wird ein elliptisches Integral, daß sich nach Nr. 443 und 445 auf Normalintegrale erster und zweiter Gattung zurückführen läßt. Im Falle K = fl- 1 darf G nicht größer als Eins, im Falle K — — 1 nicht kleiner als Null sein, weil sonst der Radikand imaginär wird. In beiden Fällen ergeben sich nach Nr. 443 je zwei verschiedene Arten der Zurückführung auf Normalintegrale. Dabei ist t in Nr. 443 durch y zu ersetzen, und die neu einzuführende Veränderliche, die in Nr. 443 mit x bezeichnet wurde, möge hier t heißen. Wir geben nun kurz die erforderlichen Substitutionen an:

Im Falle K== + 1 und 0 < G < 1 gilt Fall (4) von Nr. 443. Dabei ist À² = C, y² = 1 — C, k² = 1 — C. Demnach kommt:

>/ = £*(1 -C), X = wf~-Jd4 ■

Hier und im folgenden soll nämlich sein:

T = ]/(l —-£²)(1 —k²t²j.

Im Falle K = + 1 und C < 0 gilt Fall (2) von Nr. 443, indem l² = — C, y² =1 — C, k² = 1 : (1 — C) zu setzen ist. Dann kommt:

~T

*/"

Im Falle K — — 1 und 0 < 6 < 1 gilt Fall (4) von Nr. 443 und A²= 1 — G, y² = C, k² = C. Es kommt:

k²J-

y² = k²(l — t²), x =

Im Falle AT = — 1 und C > 1 endlich liegt wieder der Fall (2) von Nr. 443 vor, indem A² = C— 1, y² = C, k² = 1 : C wird und sich ergibt:

y    ° >

Es ist einerlei, welches Vorzeichen man dem x gibt, denn der Wechsel dieses Zeichens bedeutet für die Fläche nur, daß die positive Richtung der Achse geändert wird. Macht man nun wie in Nr. 448 die Substitution:

t = sin cp,

setzt:

z/cp =]/1 —k²sm²cp

und benutzt die in Nr. 546 eingeführten Bezeichnungen:

<p    JP

E(<p) Jydcp, F(cp) dJy 0 0

folgender Übersicht über die typischen Formen

so gelangt man zu von Meridiankur c en der Rotationsflächen konstanter Krümmung

-f- 1 oder — 1: 7981

(5)

K=-fl: x = E(cp), AT= + 1:

K = — 1 :

K = - 1 :

y = k cos cp,

x = ^E(v)-i^F(v), y = \j<r,

x = F (cp) — E(cp), x = F (cp) — y -E(qp),

y — h cos cp, y — y d cp .

Hierbei ist h ein positiver echter Bruch. Die Übergangsfälle zwischen den beiden für K = +1 auftretenden Typen und zwischen den beiden für K= — 1 auftretenden sind besonders interessant. Sie ergeben sich für K = -f- 1 bei der Annahme (7=0 und für K= — 1 bei der Annahme (7=1, d. h. sie gehen aus den vier Formelreihen (5) hervor, wenn man darin dem Modul h der elliptischen Integrale den Wert Eins erteilt, wobei die beiden ersten Formelreihen gleiches liefern, ebenso die beiden letzten. Es kommt dann, weil E(cp) dabei gleich sin cp und F (cp) gleich ln tg Q cp -j- \ je) wird:

x = sin cp,

x = ln tg (I cp -f- tc) — sin cp, y = cos cp.

K = + 1:

A= - 1:

Im ersten Falle (6) liegt der Kreis:

x² -\- y² = 1

vor, d. h. die zugehörige Rotationsfläche ist die Kugel vom Radius Eins. Im zweiten Falle (6) dagegen zeigt die Substitution cp = r — lz7t, daß die Meridiankurve die Tralctrix:

x = cos x + ln tg ,    ?/ = sin r

wird, deren Leitlinie die Achse der Rotationsfläche und deren konstante Tangentenlänge gleich Eins ist, siehe (13) in Nr. 713.

(6)

y = cos cp,

799. Rotationsflächen konstanter mittlerer Krümmung. Ein zweites Beispiel aus der Flächentheorie liefert die Aufgabe:

Gesucht werden alle Rotationsflächen von konstanter mittlerer Krümmung H.

Nach (2) in voriger Nummer ist die Meridiankurve eine Integralkurve der Differentialgleichung:

,__-=i=-2.Zfy = 0.

yT-f/²³ i/i + y’²

(l)

yy"

Weil die Gleichung von x frei ist, wird wieder die zweite

[798, 799

Methode von Nr. 796 benutzt, nach der sich, wenn p — dy : dx gesetzt wird, die Differentialgleichung erster Ordnung in p und y ergibt:

y pdp

]/r-n?³

deren linke Seite augenscheinlich ein vollständiges Differential ist, so daß das Integral:

(2)

j/i+p

— Hy² = konst.

hervorgeht.

Im Falle H== 0, der vorweg erledigt werden möge, kommt:

«    p = yc*y²-l,

wobei C die Integrationskonstante ist. Wegen p = dy : dx folgt nun:

x /i/cy-i'

Hieraus findet man die Kettenlinie (vgl. Nr. 225):

1 r c(x

y = 2cte

Die von ihr durch Drehung um die Æ-Àchse erzeugte Rotationsfläche mittlerer Krümmung Null heißt das Katenoid.

Nunmehr werde HĄ= 0 angenommen. Dabei kann durch ähnliche Vergrößerung oder Verkleinerung der Fläche wie in voriger Nummer erreicht werden, daß H — -f- 1 oder — 1 wird. In beiden Fällen gibt (2):

-*o)

dy

— C(x —

1 +p² = b' + cj"

wobei C die Integrationskonstante ist. Durch Auflösung nach p geht wegen p = dy : dx hervor:

(3)

X == /

J '

{y*+C)dy I/y²-(y*+C)*

Wie in voriger Nummer wird also x durch ein elliptisches Integral dargestellt. Anstatt es auf die verschiedenen möglichen typischen Formen zurückzuführen, wollen wir hier eine bemerkenswerte Eigenschaft der Integralkurven (3) ableiten.

Die Kettenlinie, die sich vorhin im Falle H — 0 ergab, wird nach Nr. 225 von dem Brennpunkte einer Parabel be-799]

schrieben, wenn diese ohne Gleiten auf einer festen Geraden rollt. Man kann nun, wie Delaunay zuerst bemerkte, die Kurven (3) ebenso erzeugen, indem man eine Ellipse oder Hyperbel statt der Parabel benutzt. In der Tat, es sei:

(4)

x²

die Gleichung einer Ellipse, bezogen auf ihre Hauptachsen. Dabei sei a > b, so daß ein Brennpunkt F auf der positiven x- Achse liegt und die Abszisse c = Ya²—b^ hat. Der

zugehörige Scheitel der Ellipse _L

sei S. Ist M oder (x, y), siehe ____\

Fig. 49, ein beliebiger Punkt auf der Ellipse, so möge die Länge s des Bogens von S bis M auf der Tangente von M bis J abgetragen werden, so daß MJ mit dem Bogen MS im Sinne der Fortschreitung übereinstimmt. Die Tangente hat in den laufenden Koordinaten £, t) die Gleichung:

FL . Ul - i

a² ^ b²

Fig. 49.

IJ

und das Lot, das in J auf der Tangente zu errichten ist, die Gleichung:

yi

b² a²

xt) _xyc² $y b⁴x² -f- a⁴y²

—    ä²b²

Der Brennpunkt F hat yon diesem Lote und jener Tangente die Abstände:

cy{a²— cx) _ b²(a²— cx) yb⁴x²Fa⁴y²’    yb⁴x² -j-a⁴y²

Auflösung der zweiten Gleichung nach x mit Rücksicht auf die Ellipsengleichung (4) ergibt:

(5)

5² ]/4aV — (P* +V)²

V ~    c(&² + ÿ²)

Ferner liefert die erste Gleichung (5) mit Rücksicht auf die zweite und auf den soeben für y gefundenen Wert:

(6)

a²(b² — ty²)

<b² + l,*)

CO

ï==

&* + $*

Da x und y in (6) durch ausgedrückt sind, läßt sich die Ableitung von s nach t):

di)

ds ydx²-j-dy2 Tt) ⁼

daraus berechnen. Es kommt:

ds

_    8a²b²if

di) — (ft* _|_    *)> ’

Mithin ist nach (7):

(8)

di =

&²-f-t)²

Ÿ 4a²t)² — (&*+"$*)

dl).

Wenn hiermit die Formel (3) verglichen wird, worin auch x und y mit j und bezeichnet sein mögen, so erkennt man, daß beide übereinstimmen, wenn C — b² und a — gewählt wird. Dies ist möglich, sobald C > 0 ist.

Denkt man sich nun in Fig. 49 die Gerade MJ und das in J darauf errichtete Lot fest, dagegen die Ellipse beweglich, nämlich auf der Geraden MJ rollend, so beschreibt der Brennpunkt F, weil MJ gleich dem Bogen MS' gewählt wurde, gerade diejenige Kurve, deren laufende Koordinaten in bezug auf das Achsensystem der beiden festen Geraden j und i) sind.

Die Bahnkurve von F liefert also die Meridiankurve (3) einer Rotationsfläche konstanter mittlerer Krümmung ± 1, bei der C > 0 ist, sobald die Halbachse a = gewählt wird. Ersetzt man die Ellipse (4) durch die Hyperbel:

= 1,

a²    b²

so ändert sich in (8) nur das Vorzeichen von b². Beim Abrollen der Hyperbel, bei der a = geivählt wird, beschreibt folglich der Brennpunkt F eine Meridiankurve (3), die zu einem negativen Werte der Konstante C gehört.

800. Verschiedene Arten von homogenen Differentialgleichungen. Wenn eine Kurve in der ;r«/-Ebene vorliegt und beide Koordinaten mit derselben Konstante c multipliziert werden, bleibt die Ableitung y — dy : dx ungeändert, während y" = dy' : dx mit c zu dividieren, folglich y" = dy" : dx mit c² zu dividieren ist, usw.

Wenn dagegen nur y, nicht aber x mit einer Konstante c multipliziert wird, muß y mit c, y" also auch mit c usw. multipliziert werden.

Wird drittens nur x, nicht aber y mit einer Konstante c multipliziert, so ist y mit c zu dividieren, y" mit c² usw.

Diesen drei Möglichkeiten entsprechen drei verschiedene Arten von homogenen Differentialgleichungen rter Ordnung.

Bedeutet nämlich c eine beliebige Größe, so werde angenommen, daß entweder die Gleichung:

(l)

F [ex, cy, y,

y"

* c* ’ ' '

oder die Gleichung:

(2)

F(x, cy, cy, cy", . .. cy<r>) == 0

oder die Gleichung:

(3)

F[cx, y, f

(r)

cr

von c befreit werden könne, also mit der Gleichung:

F(x, y, y', y",. .. yM) = 0

(4)

identisch sei.

Für die Differentialgleichung (4) bedeutet dies im ersten Falle, daß aus jeder Integralkurve durch Streckung vom Anfangspunkte 0 aus (vgl. das 2. Beispiel in Nr. 733) stets wieder eine Integralkurve hervorgeht, im zweiten Falle, daß aus jeder Integralkurve durch Vergrößerung oder Verkleinerung der Ordinalen, dagegen im dritten Falle, daß aus jeder Integralkurve durch Vergrößerung oder Verkleinerung der Abszissen stets wieder eine Integralkurve hervorgeht.

Falle (1). In

In allen drei Fällen kann man die Differentialgleichung (4) homogen nennen. Die in Nr. 715 als homogen bezeichnete Differentialgleichung erster Ordnung gehört zum jedem der drei Fälle ist es möglich, das Integrationsgeschäft zu vereinfachen.

Der erste Fall läßt sich sofort auf den dritten zurückführen, wenn man z = y : x als unbekannte Funktion benutzt, weil diese Größe ungeändert bleibt, wenn man x und y mit c multipliziert. Übrigens läßt sich auch der zweite Fall in den

[800

dritten dadurch verwandeln, daß y statt x als die unabhängige Veränderliche behandelt wird.

Man kann aber im zweiten Falle auf direktem Wege zur Erniedrigung der Ordnung der Differentialgleichung gelangen, indem man die Größe:

(5) als unbekannte Funktion einführt. Dann ist nämlich zu setzen: (6) y = yz, y" = y{z² + /), y" = y{f + 3zz + z"),...

Allgemein wird y^ gleich y, multipliziert mit einer ganzen rationalen Funktion von z, /,. . . z^r~¹\ Da sich nun die Gleichung (4) im Falle (2) nicht ändert, wenn y, y', . . . y¹^ mit irgend einer Größe multipliziert werden, so folgt, wenn 1 : y als diese Größe benutzt wird, daß (4) in eine Differentialgleichung (r — l)ter Ordnung für z übergeht. Nachdem man sie integriert hat, erhält man auch y aus (5) mittels einer Quadratur:

_ çfzdx

Im dritten Falle empfiehlt es sich, die Größe: t = \nx

(?)

als unabhängige Veränderliche zu benutzen. Dann ist zu setzen:

(8)

f , dy:dt

x -e > y - ûüi

= e~

dy

//    dy * dt

y    dx : dt

usw. Allgemein wird yW gleich e~rt, multipliziert mit einer ganzen rationalen Funktion der Ableitungen von y nach t bis zur rten Ordnung einschließlich. Weil sich nun die Differentialgleichung (4) im Falle (3) nicht ändert, wenn

x, y; y, y", ■ • • bzw- mit ¹, e~*f e~2t,...

multipliziert werden, geht eine Differentialgleichung rter Ordnung von der Form:

= e~

d*y dy dt² dt

w(i „ dy d*y dy    \ _ ₀

lJ: dt’ ~dt* ~ ~dt> " ') ~ ü

hervor, die von der unabhängigen Veränderlichen t frei ist, ’daher nach der zweiten Methode in Nr. 796 auf eine Differential-

gleichung (r — l)ter Ordnung und eine Quadratur zurückkommt.

Man kann also in allen drei Fällen der Homogenität eine Erniedrigung der Ordnung der Differentialgleichung um eine Einheit erreichen. Wenn die vorgelegte Differentialgleichung überdies von x oder y selbst frei ist, kann man die Reduktion nach Nr. 796 noch weiter treiben. Hierfür geben wir das Beispiel: Bei welchen Kurven in der Ebene ist die Bogenlänge der entsprechenden Bogenlänge der Evoluten proportional? Bezeichnen xx, yx die Koordinaten des zu einem Punkte (x, y) einer solchen Kurve gehörigen Punktes der Evolute, d. h. des Krümmungsmittelpunktes, so ist zu fordern:

a J“]/l + y^dx =

/V+(IK

*i°

nach Satz 2, Nr. 542. Dabei ist a eine von Null verschiedene Konstante. Durch vollständige Differentiation nach x geht eine Grleichung hervor:

aVT+Y^ym₊m

infolge deren jene Forderung besteht. Dies aber ist eine gewöhnliche Differentialgleichung dritter Ordnung in x und y, denn die rechts auftretenden Ableitungen von xx und yx haben die schon in Nr. 218 unter (5) berechneten Werte, deren Substitution die folgende Form der Differentialgleichung liefert:

(1 + y^)y'"— 3 y'y"² + ay’² = 0.

Sie ist einerseits von x selbst frei und andererseits homogen in der ersten Art (1). Deshalb kann die Reduktion hier weiter getrieben werden. Benutzt man y als unabhängige Veränderliche und y" als abhängige, so kommt, weil:

(9)

äy”

dy

ist, die Differentialgleichung erster Ordnung zwischen y und y":

dy"

(i + y'²)

dy'

= (3 y — a) y",

in der sich die Veränderlichen y' und y" sofort trennen lassen:

8« —

¹ + y

dy"

—yr —

a , ,

T dy.

Es ist bequemer, den Tangentenwinkel x vermöge y = tg t einzuführen. Dann kommt:

folglich :

(10)

dlny" = (3tgr — a)dr,

„ C₀e~at

COS⁸ T ’

wobei C₀= konst, ist. Nun haben wir:

= y", d. h. dx = . dx J ⁷    y

dy = y dx =

äy

dx

y" cos²r ’

tgx dx

y" cos²r

so daß die Substitution des Wertes (10) und je eine Quadratur gibt:

x = Gx + ~

Co

eat cosr dx,

eat sinr dx

oder nach (3) und (4) in Nr. 454, wenn außerdem a = ctg y gesetzt wird:

x = C₁ -f-

sin y

C₀

cos (t — a) e*ctg ",

y = C₂ -f

sin y

C₀

sin (x — y)etot8‘u.

Alle diese Kurven gehen durch Streckungen vom Anfangspunkte 0 aus und durch Schiebungen aus der einen Kurve:

x = cos (x — y)etctgfl, y = sin (x — y)etctgfl hervor, die in Polarkoordinaten ra, p die Gleichung:

q = e(“> + M)ct8,“

hat und daher eine logarithmische Spirale ist, vgl. Nr. 247. Die gesuchten Kurven sind folglich lauter logarithmische Spiralen.

801. Differentialgleichungen, die in doppelter Weise homogen sind. Es kann Vorkommen, daß eine Differentialgleichung zu zweien der in voriger Nummer besprochenen Fällen der Homogenität gehört. Dann tritt stets auch der dritte Fall ein, und die Integralkurven haben die Eigenschaft: Aus jeder Integralkurve geht wieder eine Integralkurve hervor, falls alle Abszissen mit irgend einer Zahl a und alle Ordinaten mit irgend einer Zahl h multipliziert werden. Die Differentialgleichung:

F(x, y, y, y", . . . y^) = 0

(1)

800, 801]

hat diese Eigenschaft, falls die Gleichung:

(2)

F(ax, by, ~y, ^y", ...    = 0

auf (1) zurückkommt, wie auch a und b gewählt sein mögen. Ihre Ordnung läßt sich um zivei Einheiten erniedrigen. Denn zunächst führe man:

(3)

£ = ln x, 1} = ln y als neue Veränderliche ein, d. h. man setze:

, de^ : dg _

deE:di

eö-sli

(4)

dl ’

„ dy'-.di y =

rd*t) , (dt>Y d\)-1

U? + tev “ 5^-J

de¹ : dl

usw. Allgemein wird y^ gleich e^~r^, multipliziert mit einer ganzen rationalen Funktion der Ableitungen von t) nach £ bis zur rten Ordnung einschließlich. Weil nun in (2) insbesondere: a = <?~£, b = e~[)

angenommen werden kann, geht vermöge der Substitutionen die Differentialgleichung rter Ordnung:

TT /1    1    d^t)

V⁷ ' dl’ df

+ (|)

SU &

ins

hervor, die sowohl von £ als auch von t) frei ist. Indem man:

(5) als neue abhängige Veränderliche benutzt, gewinnt man für § eine gewöhnliche Differentialgleichung (r — l)ter Ordnung, die von der unabhängigen Veränderlichen £ frei ist. Nach Nr. 796 führt man daher die neue unbekannte Funktion:

(6)

^ dl df

ein und betrachtet § als unabhängige Veränderliche, indem man:

di*

(7)

usw. setzt. Alsdann geht eine Differentialgleichung (r — 2)ter Ordnung für p hervor. Ihre Integration gibt p als Funktion von §, so daß man nach (6) und (5) und nach (3) mittels Quadraturen auch:

als Funktionen von j berechnen kann.

Beispiel: Hierher gehört die Differentialgleichung zweiter

Ordnung:

(9)

die zu der Differentialgleichung militer Ordnung für p führt:

+â³-è²+2 = 0,

aus der sich: ergibt. Nach (8) wird daher hier:

r s*dj

= eJ?-b³-2.

Da:

(8)

x = &■

fdA

= P, y

= e^

â²-â³-2 = -(â + l)(â²-2â + 2)

ist, gibt die Partialbruchzerlegung mit Rücksicht auf (11) in Nr. 433:

# = konst, <?

l arctg(ä-l) V

V.

a² —²a +²

arctg f j — 1)

= konst. e ⁵

(a + i) (a² — ²a + ²)²

802. Integration durch Bildung einer Differentialgleichung von höherer Ordnung. Aus einer vorgelegten Differentialgleichung rtei Ordnung:

(1)

F(x, y, y, .. . y^) = 0 kann man nach Nr. 661 durch vollständige Differentiation nach x Differentialgleichungen von höherer als rter Ordnung gewinnen, unter deren Lösungen die von (1) enthalten sind. Man kann auch aus diesen Differentialgleichungen und aus (1) durch Eliminationen und Substitutionen neue Differentialgleichungen höherer Ordnung ableiten, die infolge von (1) bestehen. Dabei kann es eintreten, daß die vollständige Integration einer solchen Differentialgleichung höherer Ordnung zu leisten ist. Alsdann braucht man nur noch ihre allgemeine Lösung, die mehr als r willkürliche Konstanten enthält, in (1) einzusetzen; auf diese Weise müssen sich Gleichungen zwischen den Kon-801, 803]

stanteh allein ergeben, wodurch jene allgemeine Lösung soweit spezialisiert wird, daß sie zur allgemeinen Lösung der vorgelegten Gleichung (1) wird.

1. Beispiel: Die Clairautsche Differentialgleichung :

(2)

y -Xy' = f(y),

siehe Nr. 720, gibt, wenn sie vollständig nach x differenziert wird:

(3)

— xy" = f\y)y".

Diese Gleichung (3) wird entweder durch die Annahme y" = 0 oder durch die Annahme x — — f'(y') erfüllt. Im ersten Falle y" = 0 kommt sofort die Schar aller Geraden :

y = Cxx + Ca.

Wird dieser Wert in (2) eingesetzt, so geht die Bedingung für die Integrationskonstanten hervor:

Mithin erhalten wir die einfach unendliche Schar von Geraden :

y = Cxx -f f(Cf), vgl. (5) in Nr. 720. Im zweiten Falle:

s = -f(y)

gibt (2) nach Substitution dieses Wertes:

y = f(y) - yf\y')-

Die beiden letzten Gleichungen stellen die singuläre Lösung (7) in Nr. 720 dar, ausgedrückt mittels der Hilfsveränderlichen y.

fi. Beispiel: Es sollen die Krümmungskurven der FUichè ztvciter Ordnung:

Ax* + By² -F Cz² = 1

bestimmt werden. Indem man z als die durch diese Gleichung definierte Funktion von x und y betrachtet, berechnet man durch Differentiationen nach x bzw. y die partiellen Ableitungen erster Ordnung p und q sowie die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung r, s, t von z nach x und y und setzt ihre Werte in die Gleichung (6) von Nr. 319 ein, die ja die Differentialgleichung derjenigen Kurven in der ^^-Ebene ist, die aus den Projektionen der Krümmungskurven besteht. Wenn man diese

24

Serret-Scheffers,Diff.- u.Integral-Rechnung. III. 3. Aufl.

[803

Gleichung noch mit dxdy dividiert und dann dy : dx mit y bezeichnet, lautet sie so:

(4)

A (*² - y) - B(ÿ² - xyy') + V - 0.

wobei zur Abkürzung:

A = AB(C-A), B = AB(C — B), V = {A-B)C gesetzt ist. Vollständige Differentiation der Differentialgleichung

nun:

(4) gibt

+ ß) (xyy" + xy² — y y) = 0.

Nullsetzen des ersten Faktors liefert, wie man leicht sieht, nicht die allgemeine Lösung von (4). Nullsetzen des zweiten Faktors gibt die Differentialgleichung:

yy” + y *

deren linke Seite das vollständige Differential von ln (yy) ist, so daß ihre Integration y y = konst, x liefert und weiterhin : y² = konst, x² -f- konst.

Die Integralkurven sind also Kegelschnitte. Werden sie in der Form:

(5)

Ci

+ ?r-l

dargestellt, so daß yy =—C₂x : Ct wird, so gibt die Substitution von y² und y y in (4) die Bedingung für Gl und Cs:

ag\- bc₂ + r = o,

unter der (5) die Integralkurven von (4) vorstellt. Z. B. für das Ellipsoid:

(6)

(?)

Xe

a* + b² +

ist A = 1 : a², B = 1 : h² und C = 1 : c² zu setzen. Alsdann wird die Bedingung (6) in allgemeinster Weise durch:

as(a²— a)

-as—cs >

befriedigt, wenn a eine willkürliche Konstante bedeutet. Daher sind nach (5) die Kegelschnitte:

Ci-

c₈=

b³(b² — «) ~b* — c*

(8)

a* — c-

a*(a*— a)

₂ b² — C² g 1 X + ¥{b² — a)y — ¹

die Projektionen der Krümmungskurven des Ellipsoids (7). Dasselbe ergab sieb in Nr. 334 unter (6) auf anderem Wege.

803. Differentialgleichungen höherer Ordnung, die der Clairautschen Gleichung entsprechen. Nach Nr. 783 schreibt eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung:

(1)

y" = f(x, y, y)

jedem Linienelemente (x, y, y) ihres Bereiches in der #t/-Ebene einen bestimmten Krümmungskreis zu; denn es sind:

(2)

1 -f- y ³ r    . 1 —f- y

= x-~-r~y,    = y + —-

die Koordinaten des Mittelpunktes, und es ist:

yï+7“âS

(3)

y"

der Radius dieses Kreises, und diese drei Größen sind bekannt, sobald x, y, y gegeben werden und y" durch (1) bestimmt wird. Eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung drückt also eine solche Eigenschaft aus, die den Funkten (x, y) der Kurven und ihren Krümmungskreisen zukommt. Insbesondere aber kann diese Eigenschaft von der Lage des Berührungspunktes des Krümmungskreises unabhängig, also eine Eigenschaft der Krümmungskreise allein sein. Da die drei Bestimmungsstücke eines Kreises die Koordinaten xt, yt seines Mittelpunktes und sein Radius R sind, wird eine solche Eigenschaft durch eine Gleichung zwischen den drei Größen (2) und (3) allein zum Ausdruck gebracht:

' u _i_¹ + y *

? y y” >

Eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ch'dnung von dieser besonderen Form hat deshalb als reguläre Integralkurven lauter Kreise; diese Kreise bilden eine zweifach unendliche Schar, indem zwischen den Koordinaten xt, yx ihrer Mittelpunkte und ihren Radien R die Gleichung besteht:

(4)

*(z-i±A

y”

= 0.

(5)

0(x1} ylf R) = 0, infolge deren eines der drei Bestimmungsstücke durch die beiden anderen bedingt wird. Integralkurven, die keine Kreise sind, ergeben sich hier nur als singuläre Integralkurven.

²⁴ * [808,80S

Hiermit ist die Betrachtung in Nr. 721, die sich auf die Clairautsche Differentialgleichung bezog, verallgemeinert worden, und man kann deshalb eine Differentialgleichung zweiter Ordnung von der Form (4) in gewissem Sinne als eine Verallgemeinerung Her Clairautschen Differentialgleichung bezeich-Es erübrigt die Beantwortung der Frage, wie man erkennt, ob eine vorgelegte Differentialgleichung zweiter Ordnung:

nen.

F{x, y, y, y") = 0 auf die Form (4) gebracht werden kann. Dies geschieht so: Aus (2) und (3) ergibt sich durch Auflösung nach x, y und y':

(6)

y = Vi

O + !/'■’

Werden diese Werte in (6) eingesetzt, so kommt:

* Vî+7*s

».

m    Tr,«-

= 0.

Vi~

yi+!/'*’

Demnach geht dann und nur dann eine Gleichung von der Form (5) oder (4) hervor, wenn die Gleichung (7) von der Größe y befreit werden kann.

Wenn man die geometrische Deutung einer gewöhnlichen Differentialgleichung von höherer als zweiter Ordnung benutzt, die in Nr. 784 auseinandergesetzt wurde, kann man leicht zu weiteren Verallgemeinerungen der Clairautschen Differentialgleichung kommen; zunächst gelangt man dabei zu denjenigen Differentialgleichungen dritter Ordnung, deren reguläre Integralkurven lautet’ Kreisevolventen sind. Wir wollen uns jedoch auf den Fall der Differentialgleichungen zweiter Ordnung (4) beschränken, deren reguläre Integralkurven lauter Kreise sind.

Ihre singulären Elemente zweiter Ordnung (x, y, y, y") sind nach Nr. 788 der Bedingung:

TV 77

oy

unterworfen. Wenn die Gleichung (4) in der Form (5) geschrieben wird, worin also xlf y₁ und R die Größen (2) und (3) bedeuten, lautet diese Bedingung so:

d® l+Y®    l + y'² d$ l/F+y®³

" s y

dxl

W, y”*

dB

y"

, 0$ C #    ------'2    l\

oder:

(8)

y 'dxl~Ty₁~Vl + y dH^⁰-Zu jedem Wertsjsteme xx, yx, R, das der Gleichung (5) genügt, ergeben sich hieraus zwei zugehörige Werte von y, die übrigens imaginär sein oder zusammenfallen können. Allgemein gesagt also liegen auf jedem Kreise mit den Bestimmungsstücken xx, yl} R zwei Elemente zweiter Ordnung (x, y, y, y"), die singulär sind. Die Richtungen der Tangenten der zugehörigen Punkte des Kreises ergeben sich aus den beiden Wurzeln y der Gleichung (8). Eine singuläre Integralkurve muß also, falls sie überhaupt vorhanden ist, überall Kreise aus der durch (5) bestimmten zweifach unendlichen Schar in der zweiten Ordnung berühren, d. h. jede singuläre Integralkurve ist eine Einhüllende zweiter Ordnung dieser Kreisschar. Das in Kr. 790 entwickelte Verfahren zur Bestimmung solcher Einhüllender setzte voraus, daß die Gleichung der regulären Integralkurven nach y aufgelöst sei. Da die Auflösung umständlich wäre, gehen wir hier anders vor:

(9)

Es seien xx, yx und R Werte, die der Gleichung (5) genügen, so daß der Kreis mit den laufenden Koordinaten x, y: (x - xxf + (y - yx)² — R²

eine reguläre Integralkurve vorstellt. Für seine Linienelemente (x, y, y ) ist:

x-xx + (y — yx)y' = 0.

Aus den vier Gleichungen (5), (8), (9) und (10) findet alsdann durch Elimination von xx, yx und R eine Gleichung zwischen x, y, y allein:

(10)

man

(11)

W(x, y, y) - 0,

der alle Linienelemente aller singulären Lösungen genügen. Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung, und ihre regulären Integralkurven sind die singulären Integralkurven der vorgelegten Differentialgleichung (4).

804. Beispiele. Aufgaben in der Ebene, bei denen es sich um die Ermittlung von Kurven auf Grund einer solchen Eigenschaft handelt, die ihren Krümmungskreisen allein vorgeschrieben wird, d. h. die unabhängig davon ist, wo die Be-

[803, 804

rührungspunkte der Krümmungskreise liegen, führen stets auf eine Differentialgleichung zweiter Ordnung von der in voriger Nummer besprochenen Art. Die regulären Lösungen der Gleichung werden durch lauter Kreise dargestellt, und deshalb sind in diesem Falle gerade so wie bei der Clairautschen Differentialgleichung in Nr. 721 nicht die regulären, sondern die singulären Lösungen die einzig interessanten. Die regulären Lösungen ergeben sich ohne jedes Integrationsverfahren, siehe (5) in voriger Nummer, während die Bestimmung der singulären die Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung erfordert, siehe (11) in voriger Nummer.

1. Beispiel: Gesucht werden diejenigen Kurven in der Ebene, deren Krümmungsmittelpunkte {xx, yf) auf einer gegebenen Kurve:

(i)

yd - o

liegen. Von vornherein vermutet man, daß diese Aufgabe durch eine Differentialgleichung erster Ordnung ausgedrückt wird, weil ja die einfach unendliche Schar aller Evolventen der gegebenen Kurve die verlangte Eigenschaft hat, nach Nr. 199. Aber dies ist falsch. Denn man hat die Werte (2) der Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes aus voriger Nummer in die gegebene Gleichung 0 = 0 einzusetzen und gelangt zu der Differentialgleichung ztveiter Ordnung:

0.

(2)

Die Lösung des Widerspruchs liegt einfach darin, daß die regulären Integralkurven dieser Differentialgleichung zweiter Ordnung aus der zweifach unendlichen Schar aller Kreise bestehen, deren Mittelpunkte auf der gegebenen Kurve (1) liegen, während die Evolventen der Kurve (1) die singulären Lösungen von (2) sind. Nach den Vorschriften der vorigen Nummer, wobei man von der Gleichung (9) gauz absehen kann, weil sie nur R bestimmt, das in (1) nicht vorkommt, geht die Differentialgleichung erster Ordnung der Evolventen durch Elimination von xx und yx aus den drei Gleichungen:

dxl dyx

= 0, x - xx *f (y - yx)y - 0

(3)    fS* ⁹*

804].

hervor. Durch Elimination von y aus der zweiten und dritten Gleichung ergibt sich: d. h. nach (4) in Nr. 169 die Gleichung der Tangente des Punktes (xx, yf) der Kurve (1), geschrieben in den laufenden Koordinaten x, y\ ferner besagt die zweite Gleichung (o), daß das Linienelement (x, y, y') zu dieser Tangente senkrecht ist. Mithin sind die singulären Lösungen von (2) die orthogonalen Trajektorien der Tangenten der Kurve (1), also in der Tat die Evolventen, nach Nr. 201. Wie man sie berechnen kann, wenn die Bogenlänge der Kurve (1) gefunden ist, erhellt aus Nr. 200 und 201. Vgl. auch das Beispiel in Nr. 727.

2. Beispiel: Gesucht werden diejenigen Kurven in der Ebene, deren Krümmung skreise in bezug auf einen festen Punkt 0 eine Potenz haben, die dem Quadrate des Krümmungsradius proportional ist. Wird 0 als Anfangspunkt gewählt und sind x1} yt, P wieder die Bestimmungsstücke des Krümmungskreises, so ist die Potenz gleich xx²-\- yx — B². Daher wird verlangt:

x² -f iy² — P² = a Pr, wo a konstant ist. Demnach ist:

(4)

= x² + y\— (1 + a)P² — 0

die Gleichung = 0 der vorigen Nummer, so daß man zu der Differentialgleichung zweiter Ordnung kommt:

(5)

x² + y² - 2 O y - y)-J/-- - a    = 0.

(4) und

Ihre regulären Integralkurven sind diejenigen Kreise, deren Mittelpunktskoordinaten x₁, yx und Radien P der Bedingung (4) Genüge leisten und also nur dann reell sind, wenn a > — 1 ist. Die singulären Integralkurven von (5) sind die regulären Integralkurven derjenigen Differentialgleichung erster Ordnung, die man durch Elimination von xx, yx und P aus der Gleichung aus den drei Gleichungen:

xiV' —    + (1 + a)R yi rf y ² = 0,

(x - xx)² + (y — y₁)²= P², x - xx Ą- (y - yf)y = 0

gewinnt, nämlich der Differentialgleichung:

1 -f- CI

xy' — y ₌ I x-r-yy' y

Sie sind nur dann reell, wenn a zwischen — 1 und 0 liegt, und zwar ergeben sich nach dem Beispiele in Nr. 714 diejenigen logarithmischen Spiralen, die alle Radienvektoren unter einem konstanten Winkel g schneiden, dessen Tangens einen der beiden Werte:

hat.

tgp =Vr-Ta

805. Lineare Differentialgleichungen. Eine gewöhnliche Differentialgleichung rter Ordnung für y heißt linear, wenn y(r) vermöge ihrer eine ganze lineare Funktion von y, y, . . .    ~ 0 ist:

(1) y\r) = f₀(x)y + flippy -\-----b fr-iO)r _1) + Fix).

Verwandelt man diese Differentialgleichung nach der Methode in Nr. 663 in ein System erster Ordnung in der Normalform, indem man außer y noch die r— 1 Ableitungen y, y", . . . y(r~^ als unbekannte Funktionen yt, y2f . .. yr_t einführt:

Vi = y, y*=°y", • • • yr-i-y

so ergibt sich:

dyr-1

dx

d-l==v

dx

^2/i

dx

dyr-2

dx

y>-1,

= fo(% + fx{x)yx 4* • • • + fr-i(x)yr-i + F(x).

Dies System gehört zu den in Nr. 774 betrachteten linearen Systemen. Das zugehörige verkürzte lineare System geht durch Streichen von F(x) hervor. Dementsprechend heißt diejenige lineare Differentialgleichung rter Ordnung, die aus (1) durch Streichen von F(x) entsteht, die zugehörige verkürzte lineare Differentialgleichung. Weil ihre Lösungen nicht mit denen von (1) übereinstimmen werden, seien sie mit z bezeichnet, so daß also:

(2)

Z{r) = fo+ ft(xy+----j- fr-x(x)z{r~1}

die verkürzte Gleichung vorstellt.

Es ist nun leicht, die Betrachtung in Nr. 774, die sich auf lineare Systeme bezog, auf das oben gefundene System an-

804, 805] zuwenden und dadurch auf die vorgelegte Differentialgleichung zu übertragen, wodurch man erkennt, daß die Gleichung

(1) vollständig integriert ist, sobald man die allgemeine Lösung z der verkürzten Gleichung (2) und irgend eine Partikularlösung rp(cc) von (1) kennt. Doch ist es ebenso einfach, dies direkt zu zeigen: Für tp(x) gilt nach (1) die Gleichung:

(1)

<p(r) O) = fo 0*0 <p 0)+/i 0) fp'(x) H-----v fr-1 («) ¥r ~1} 4) + F 04

Wird sie von (1) subtrahiert und dann y — cp(x) = z gesetzt, so geht für z sofort die verkürzte Gleichung (2) hervor, d. h.:

Satz 11: 1st (p(x) eine Partihdarlösung der linearen Differentialgleichung rter Ordnung:

y{r) = U(x)y + t\(x)y H----+ /;_i4)4⁻¹⁾ + F{x)

und z die allgemeine Lösung der zugehörigen verkürzten linearen Gleichung:

Z{r) =    + f^xy _|----+ fr_₁{x)z^~¹\

so stellt y = z -f- cp (x) die allgemeine Lösung der unverkürzten Gleichung vor.

Man kann aber auch die Gleichung (1) auf eine verkürzte Gleichung (r + l)ter Ordnung zurückführen, indem man die Methode von Nr. 802 benutzt. Denn aus (1) folgt durch vollständige Differentiation nach x:

y{r+!)=ff y+(ff+Qy -f •. •+(/;_ j+fr _ ₂) y[r ~1]+fr-i y{r)+F'-

Wird hiervon die mit F:F multiplizierte Gleichung (1) abgezogen, so kommt:

(3)    » - (/•„' - Ç fc)y + (fr +f₀-Çfi)y + ---

+ (f,’-i + fr-2~ yr fr-l)y['+ (/’r-1 +

Dies aber ist eine verkürzte lineare Differentialgleichung (V-j-l)ter Ordnung. Wenn y = cp(x, C1} C₂, . . . Cr+1) ihre allgemeine Lösung mit r -f- 1 willkürlichen Konstanten C1} C₂, . . , Cr+1 bedeutet, gibt es also eine gewisse Bedingung, die man den Konstanten C1} C₂, . . . Cr + l auferlegen muß, damit sich daraus die allgemeine Lösung der vorgelegten Gleichung (1) ergibt.

Was nun die verkürzten linearen Differentialgleichungen betrifft, so kann man den Satz 10 von Nr. 770 leicht auf sie

[805

übertragen. Wenn wir bei der Formulierung des Ergebnisses wieder, wie gewöhnlich, y statt z schreiben, geht hervor:

Satz 12: Eine gewöhnliche Differentialgleichung rfer Ordnung für eine Funktion y von x hat dann und nur dann die Eigenschaft, daß sich ihre allgemeine Lösung linear mit r ivill-kiirlichen konstanten Koeffizienten Ct, C₂, ... Cr aus irgend welchen r linear unabhängigen Partikularlösungen cpt (x), <p₂ (x),

. . , (pr(x) in der Form:

y = ( f (px (x) -f C₂q>₂(x) + •••.+ Gr 9V (,x) zusammensetzen läßt, wenn die Differentialgleichung eine verkürzte lineare ist, d. h. die Form hat:

y{r) = U(x)y + fx(x)y + • • ■ + fr-i(x)y(r~1}-

Übrigens ergibt sich dieser Satz auch leicht aus Satz 4 von Nr. 785.

Kennt man die allgemeine Lösung:

(4)

z = CL (p₁ (x) -f- C₂ <p₂ (x) + . .. + Cr<pr(x) der verkürzten linearen Differentialgleichung (2), so kann man die der nicht verkürzten Differentialgleichung (1) auch nach der schon in Nr. 774 entwickelten Methode der Variation der Konstanten durch Quadraturen ermitteln: Man ersetzt die Konstanten Cv C₂, . . . Cr durch r Funktionen uv u₂, . . . ur von x, betrachtet also die Funktion:

(5) y = ą>₁(x)a₁(x) + (f₂(x)u₂{x) +    + cpr(x)ur(x)

und versteht unter ux, u₂, . . . ur solche r Funktionen, deren Ableitungen den r Bedingungen genügen:

= 0,

' ⁽Pl ui    Ü 94%    + ‘ • ' + <PrUr

= 0,

cpfuf    + (p.₂'u₂'    -1----+ cpfuf

(6)

(pf-^uf + <pf~²⁾u₂' H-----H <p{rr~^uf = 0,

-f- fff -r> it f -f- • * ■ + cpf^^uf = Fix).

Die durch (5) definierte Funktion hat dann die Ableitungen bis zur (r — l)ten Ordnung:

y{k) =    + <p⁽2k)u₂ 4-----F (pf]ur (k = 1, 2, - • • r — 1)

und die Ableitung rteT Ordnung:

y(r) = (pf^h 4- fffhh 4- • • • 4- <P{rr)ur + F(x).

Hieraus folgt, daß y der Differentialgleichung (1) genügt, weil cpi, (p₂, ... cpr die verkürzte Gleichung (2) erfüllen. Nun lassen sich u\, u₂', . . . ur' in der Tat aus (6) berechnen, weil die Determinante:

(7)

I) =

. ^ 'e

to u>

. 'S 'S

'S *■*

(r-1)

• ^'_1)

nach Satz 4, Nr. 785, von Null verschieden ist. Bezeichnet Dk die zum £ten Elemente der letzten Zeile gehörige Unterdeterminante, so gibt (6):

(*- 1, 2, ... r).

<=§F(*)

Wenn also:

(8)

(Je - 1, 2, . . . r)

gesetzt wird, wobei alle Quadraturen von derselben bestimmten unteren Grenze aus erstreckt sein mögen, ist uk — ipk + Konst, zu setzen, d. h. nach (5) wird:

(9) y = qpx (a?)    (x) H-----h 9V (®) fr (a:) + Cx cpt (x) + • • + Cr <pr (x) eine Lösung von (1). Dies ist die allgemeine Lösung, weil man die r willkürlichen Konstanten Cv Cs, ... Cr aus dieser Gleichung und den r — 1 durch Differentiation hervorgehenden Gleichungen für y', y", . . . ytr ~4) wegen D 4= 0 berechnen kann.

Bezüglich der verkürzten linearen Differentialgleichung (2) sei noch bemerkt, daß sie zu denjenigen gehört, die nach der in Nr. 800 unter (2) betrachteten Art homogen sind, so daß sich ihre Ordnung um eine Einheit erniedrigen läßt, wenn man z : z als neue unbekannte Funktion einführt; jedoch ist die hervorgehende Differentialgleichung im allgemeinen nicht mehr linear. Beispielsweise ergibt sich aus der verkürzten linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung: wenn man Z — z‘ : z setzt, die Biccatische Differentialgleichung (vgl. Nr. 718):

806. Verkürzte lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Wenn insbesondere eine solche verkürzte lineare Differentialgleichung rter Ordnung vorliegt, in der die Koeffizienten konstante Werte a₀, a₁₇ a₂, . . . ar_x haben:

(1)

y(r) = a₀y + aty + a₂y" -f-----b

geht ein d’Alembertsches System (vgl. Nr. 771) hervor, sobald man wie in voriger Nummer y, y", .. . y(r~v> als unbekannte Funktionen y1} y.₂, . . . yr_₁ neben y selbst einführt, nämlich das System: dy

(2)

dx

Vi,

dh ₌

dx

y%, •

dyr_ ₂

dx

dyr-1

dx

= «0y +    + a-1----+    •

Die charakteristische Gleichung dieses Systems ist (vgl. (4) in Nr. 771):

oder:

c₀

<h a2

ar-2 ar-1    9

(3)

9' = ao + cx q + a₂Q“ -1- * • • + ar_₁Q' ¹.

Deshalb heißt (3) auch die charakteristische Gleichung der Differentialgleichung (1).

Wenn sie lauter verschiedene reelle Wurzeln qx , ę₂, ... or hat, ergibt sich aus Nr. 771 als die allgemeine Lösung von (1):

(4)

y = Ct€f}C^x-1-----b Cr#rx.

Dabei sind Ct, C₂, ... Gr die Integrationskonstanten. In der Tat ist nach (4):

yW —    C₂Q₂ke^xĄ-----f GrQke£r*

Substitution dieser Werte in (1) und Vergleichung der Koeffizienten von Ck auf beiden Seiten gibt dann:

9k — ao + ax9k + a29k + ' * ’ + ar-i9k ~¹ (& = 1, 2,.. . r),

8061 und diese Gleichung gilt, weil Qk eine Wurzel der charakteristischen Gleichung (3) ist. Außerdem sind in (4) alle r Konstanten Clf C₂, ... Gr wirklich wesentlich, denn sonst müßte nach Satz 6, Nr. 786, die Determinante:

1

(5)

Pi

P2

Pr

Pi²

P₂²

Qr

Pi

P₂r 1 Qs

gleich Null sein, was aber bekanntlich nur dann der Fall ist, wenn zwei der r Werte pJ; q₂, ... gr übereinstimmen. Dies wurde ausdrücklich ausgeschlossen.

Sind die Wurzeln q der charakteristischen Gleichung zwar sämtlich verschieden, aber zum Teil imaginär, so treten stets konjugiert komplexe Wurzeln auf. Ist z. B. gx = a -f- iß, so ist eine zweite Wurzel p₂ = u — iß. Wenn man dann in (4) auch für C\ und C.₂ konjugiert komplexe Zahlen A -f iB und A — iB setzt, haben die beiden ersten Glieder in dem Ausdrucke (4) die Summe:

(A + iB)e(a+i‘*>x H- (A — iB)e{-a~i^x,

die sich nach (5) in Nr. 373 in der reellen Form schreiben läßt: 2(A cos ßx — B sin ßx)eax.

So kann man überhaupt stets, falls nur alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung voneinander verschieden sind, die allgemeine Lösung (4) auf eine reelle Form bringen.

Dagegen versagt die Formel (4), falls die charakteristische Gleichung (3) wenigstens eine Doppelwurzel hat. Hier stellt zwar (4) immer noch eine Lösung dar, aber nicht die allgemeine, weil in diesem Falle die Determinante (5) verschwindet und daher nicht alle r Konstanten Cx, C.₂, ... Cr in (4) wesentlich sind. Aber aus den Ergebnissen von Nr. 772, vgl. insbesondere Satz 12 daselbst, folgt sofort:

Satz 13: Liegt die verkürzte lineare Differentialgleichung rter Ordnung:

y{r) = aQy + axy + a₂y" -\-----f- ar_xt/r 1}

mit konstanten Koeffizienten aQ, ax, a₂, ... ar_t vor und hat ihre charakteristische Gleichung:

(> + % Q² “I” ' ' ' ~f~ ar - i 9

gerade g verschiedene Wurzeln çly q₂, ... ç , die bzw. mufach, m.₂-fach, . . . m -fach sind, so setzt sich die allgemeine Lösung der Differentialgleichung linear mit willkürlichen konstanten Koeffizienten aus den r Funktionen:

eßjx, xe‘dx, . . . xmi~xe$jx

zusammen.

Wenn dabei imaginäre Wurzeln auftret en, kann man nach dem vorhin angegebenen Verfahren doch stets zu einer reellen Form der allgemeinen Lösung gelangen.

§ 4. Infinitesimale Transformationen gewöhnlicher Differentialgleichungen höherer Ordnung.¹)

807. Mehrmal erweiterte eingliedrige Gruppe von Punkt-Transformationen. In diesem Paragraphen soll ein kurzer Einblick in diejenigen von Lie herrührenden Integrationsmethoden gegeben werden, die man bei gewöhnlichen Differentialgleichungen höherer Ordnung mit bekannten infinitesimalen Transformationen anwenden kann. Zu diesem Zwecke bedarf es einiger Vorbereitungen.

Vermöge einer Transformation:

(1)

^ =    y — Hxo>yo)

der Punkte (x₀, y₀) der Ebene in neue Punkte (x, y) geht jede Kurve in eine neue Kurve und daher auch jedes Element rter Ordnung (x₀, y₀, yf, . . . yfr>), vgl. Kr. 788, in ein neues Element rter Ordnung (x, y, y, . . . t/k)) über. Für die Linienelemente wurde dies schon in Nr. 745 erörtert. Versteht man unter x0 und y₀ irgendwelche Funktionen einer Hilfsveränderlichen r, so bedeuten sie die laufenden Koordinaten einer Kurve, und längs der Kurve ist y₀ als eine Funktion von x₀ aufzufassen.

Die Ableitungen der Funktion y₀ nach x₀ sind alsdann durch die Formeln definiert:

(²) Po

dy₀:dt

r, dy/:dt

dx₀:dt ’

■ ■ Vo{r) -

dyf-V-.dx

dx₀ : dt

Infolge von (1) sind aber auch x und y als Funktionen von t aufzufassen, so daß es auch hier Ableitungen y, y", ... yfO von y nach x gibt, definiert durch die Formeln:

/o\    / dy.dt

(3) y = ——-

dx: dt ’

r, dy : dt

y =    -

dx : dt

dy^-V-.dt dx : dt

Nach (1) ist nun zunächst:

dip , dip

dip : dr_ dx₀ dy₀ ^⁰

dcp : dt ~ fiep dcp ,f

ä^ ⁺ %o2/o

vgl. (2) in Nr. 745 (wo x₀, y₀ mit x, y, dagegen x, y mit x, y bezeichnet waren). Dieser Wert von y ist eine Funktion von x0> y₀ und yf, die zur Abkürzung (x₀, y₀, yf) heißen möge. Alsdann gibt die zweite Formel (3):

⁺f^y‘/+

,t dip, : dt

y d(p : dt

dcp

dcp

dx₀ dy₀ %

und dies ist eine Funktion ip₂ von x₀, yQ, y₀', y₀". So kann man fortfahren und allgemein yk) als eine Funktion ipr von xQ, y₀, yf, . . . y₀^ darstellen. Dadurch gewinnt man diejenigen Gleichungen :

(4) y = ^(ar₀, y₀, y₀'), ... y^ = i'r(x₀, y₀, yf, ... y^), die man zu (1) hinzufügen muß, um den analytischen Ausdruck der r-mal erweiterten Punkt-Transformationen (1) zu bekommen, d. h. derjenigen Transformation der Elemente rter Ordnung, die infolge dieser Punkt-Transformation stattfindet. Wohlbemerkt kann man die Formeln (4), die von t frei sind, aufstellen, ohne zu wissen, welche Funktionen von r unter x₀ und y₀ verstanden werden. Sie gelten daher für ganz beliebige Kurven.

Ein System von der Form:

¹

Dieser ziemlich knapp gefaßte Paragraph kann ohne Nachteil für das Verstehen des Späteren überschlagen werden. Ausdrücklich sei bemerkt, daß in den Nummern 809—812 mehrfach begriffliche Schlußfolgerungen gemacht worden sind, deren Umsetzung in rein analytische Schlüsse zu viel Platz beansprucht hätte. Man findet diese analytischen Beweise in dem Werke von Lie : „ Vorlesungen über Differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen Transformationen“, Leipzig 1891.

(5)

wobei I und v\ und ihre partiellen Ableitungen bis zur t Ordnung einschließlich in einem gewissen Bereiche stetige Funktionen von x und y, aber frei von t sind, definiert nach Nr. 734 eine eingliedrige Gruppe von Punkttransformationen % dargestellt durch das System derjenigen Hauptlösungen:

.ten

(6)

« = <p(%oi Vo> 4 y = ^(xo> %> 4

die für t = 0 die Anfangswerte x₀ und y₀ haben. Bei jeder Transformation %t dieser Gruppe werden alle Elemente rter Ordnung (x₀, y₀, yf, . . . y^) in neue Elemente rter Ordnung (x, y, y, . . . îfr)) verwandelt, und die Gleichungen für die r-mal erweiterten Transformationen der Gruppe lassen sich nach dem angegebenen Verfahren aus den Gleichungen (6) ableiten. Dabei tritt noch der Parameter t in die Formeln ein, die nach wie vor von r frei sind. Die Gesamtheit der Formeln (6) und der aus ihnen abgeleiteten Formeln für y, y", . . . y^> sei durch die Gleichungen dargestellt:

» = 9>Oo; %> 4 y = Po, 4 y ⁼ i yqi y₀ > 4

(7)

y"=t₂(x₀, y₀, yf, y₀”, t),

y{r) = tr(xo, y₀, yf, y₀",... y₀(r), 4

zu ersetzen, und da %t^ %u und diejenigen Transformationen der Elemente rter Ordnung

Sie definieren für jeden Wert von £ eine Transformation der Elemente rter Ordnung, und alle diese Transformationen bilden eine Gruppe. Denn die Aufeinanderfolge der zu zwei Werten 4 und 4 von t gehörigen Transformationen %t^ und %L der vorgelegten eingliedrigen Gruppe ist nach Satz 18, Nr. 732, durch die Transformation X

*14* 4

nach sich ziehen, die durch (7) für t = t1} t = t₂ und t = 4 + t3 dargestellt werden, muß dasselbe für die r-mal erweiterten Transformationen gelten. Weil zu t — 0 die identische Transformation gehört (vgl. Nr. 732), haben die Funktionen (7) für t = 0 die Werte x₀, y₀, yf, y₀", . . . y₀<r>.

Werden x₀ und y₀ wie vorhin als Funktionen einer Hilfsveränderlichen x betrachtet, wird also irgend eine Kurve mit den laufenden Koordinaten x₀ und y₀ ins Auge gefaßt, längs deren y₀ eine Funktion von xQ mit den Ableitungen (2) ist, so sind x und y nach (6) Funktionen von t und t. Deshalb wird man es bei dieser Auffassung vorziehen, das System (5) so zu schreiben:

(8)

xt=l(x,y\ yt=rj(x,y).

Man kann nun leicht auch die Ableitungen von y', y", . . . ÿ^) nach t berechnen, die wir durch Anhängen des Index t bezeichnen. Denn nach (3) ist:

(9)

ft'-⁶*

— x tritt

" Vtrxt xtiVt

yt -

xt

Werden die Werte (8) in die erste Formel eingesetzt und wird yt : xt wieder mit y bezeichnet, so kommt (wie schon in Nr. 746):

oder auch:

Vt = vx+ (% - tx)y - lyy

y;-dü

wenn das gerade Differentiationszeichen die vollständige Differentiation nach x andeutet. Der Wert von y' stellt sich daher als eine Funktion rj₁ von x, y und y dar, so daß die zweite Formel (9) mit Rücksicht auf die erste Gleichung (8) gibt:

(10)

'di

y di’

'2

diu ' di

„    ** gr    dr

yt =

oder, wenn man dies ausrechnet und yT:xt durch y und yf : xt durch y" ersetzt:

⁺ diyr

ff    07], I dl}y ' I dlji 'r    " /(

-si +    ⁺ wy ~y (i

Hierfür kann man kürzer schreiben:

⁷jl y" ⁽lA.

x    J dx’

und es ist leicht, entsprechend den Formeln (10) und (11) zu denen für die Ableitungen von y", . . . yW nach t zu gelangen.

Erinnert man sich noch daran, daß die Funktionen x, y, y. yw von t, die (7) an gibt, für t = 0 die Anfangs werte x₀, y₀, yf, . . . yf^ haben, so findet man mit Rücksicht auf Satz 6 von Nr. 767 den folgenden

Satz 14: Durch r-malige Erweiterung aller Transformationen der eingliedrigen Gruppe in zwei Veränderlichen x, y :

[807

(ii)

Serr e t- Scheff er s, Oiff.- u. Integral-Bechnung. III. 3. Aufl.

25

die durch ein System:

at    dt y(x> y)’

erzeugt wird, ergibt sich eine eingliedrige Gruppe:

x = <p(,æ0> ÿo> y = Hxo> */o> 0; 2/' =    (>o; 2A» Vo, 0;

y"=y₀> y₀'> */o"> 0> ■ • • y{r)=i>r(%₀> y₀> y** y<>" ■ ■ ■ y*r\ 0

vow Transformationen der Elemente rter Ordnung (#₀, y₀, y₀',... y₀^) in neue Elemente rter Ordnung (x, y, y,. . . y(r)), und zwar wird diese Gruppe in r + 2 Veränderlichen x, y, y, . . . erzeugt von dem System:

dt = S0&, y),    = i?0», y),    ^ y, y')>

Ift"⁼ y’ y'f y")> ■■■%r ⁼ Vr(x> y, y, y", • • ■ y(r)),

wobei rjlf %, ... pr vermöge der Rekursionsformeln:

v=^lr^_ Mü

dx’ 'r d# ” dx

dx

dr\

drj\

,äi

y dx'    «Zæ

y TT,

ł/l d x

hervorgehen. Vorausgesetzt ist ein Bereich, innerhalb dessen £ und >] und ihre partiellen Ableitungen bis zur rten Ordnung einschließlich stetige Funktionen von x und y sind.

Daß man nicht auch die Stetigkeit der Ableitungen (V -j- l)ter Ordnung von £ und rj zu fordern braucht, ist gerade so wie in Nr. 746 für den Fall r = 1 einzusehen.

Die hervorgegangene Gruppe von Transformationen der Elemente rter Ordnung heißt die r-mal erweiterte eingliedrige Gruppe der Punkt-Transformationen.

Zur Vermeidung irriger Auffassungen dürfte es angebracht erscheinen, darauf besonders hinzuweisen, daß man in dem neuen System die r -j-2 Größen x, y, y, . . . y(ir) als voneinander unabhängige Veränderliche aufzufassen hat. Denn man kann ihnen irgend welche bestimmte Werte x₀, y₀, y₀', . . . y^f erteilen, weil es stets eine Funktion y = f(x) gibt, die so beschaffen ist, daß f(x), f (x), . . . /V)(/p) für x = xQ gerade diese Werte y₀, y₀', . . . yft annehmen. Man darf auch nicht etwa y mit dem Werte dy : dx verwechseln, der aus den beiden Gleichungen des vorgelegten Systems (5) hervorgeht, muß 807]

§ 4. Infinites. Transformationen gew. Differentialgleiclign. höh. Ordn. 387

sich vielmehr daran erinnern, daß y nach der unter (3) angegebenen Definition yt:xt bedeutet, während der Wert dy.dx, der aus (5) folgt, gleich yt : xt ist.

System:

(1)

808. Beispiele.

1. Beispiel: Die eingliedrige Gruppe, die von dem

Tt-°’ ft-y

dx

erzeugt wird:

(2)

x = x₀, y — y₀eł,

besteht aus allen denjenigen Transformationen, die die Abszissen xQ ungeändert lassen, dagegen alle Ordinaten y₀ nach einem konstanten Verhältnisse vergrößern oder verkleinern. Hier ist £ = 0, rj = y ; daher geben die Rekursionsformeln des Satzes 14:

dy ,

dr\. r/ % ⁼ dx = y

■ Ar =

dUr

Die r-mal erweiterte Gruppe wird somit von dem System:

at y

dx_n dy dt ’

dt y’

dy' ,

At=y’

TS

y    //

t = y

erzeugt, das offenbar das folgende System von Hauptlösungen hat:

x = xQ, y = y₀eł, y = y₀'e*, y" = yfé, . . . yV) = yfr)eK

Dies also sind die Gleichungen der r-mal erweiterten Gruppe. Wird e* = c gesetzt, so folgt: Wenn man alle Ordinaten mit c multipliziert, geht irgend ein Element rter Ordnung (x₀, y₀, yf,. . . yfrî ) einer Kurve in dasjenige Element rter Ordnung über, dessen Bestimmungsstücke sind:

x- x₀, y = cy₀, y = cyf, y = cy', . . . ytf = cyftf.

Vgl. hierzu auch den Fall (2) in Kr. 800.

2. Beispiel: Bei der eingliedrigen Gruppe aller Drehungen um den Anfangspunkt 0, die nach dem ersten Beispiele in Nr. 733 von dem System:

(3)

dx

dy

dt y ’ dt

-TT = X

erzeugt wird, ist £ =— y, r] = x, so daß die Rekursionsformeln des Satzes 14 ergeben:

dx .    ,

'S 'S

= i + 2/'²,

dSy'y"

d(i + y *)

usw.

System:

+y"i

+ s,'"f|-3<,"*+4s,y"

Die £«mmal erweiterte Gruppe wird daher von dem

dx

da;

da;

'S :rS

¥=w

dt 2/5

erzeugt, dessen drei erste Gleichungen schon integriert wurden. Es kommt, vgl. das dritte Beispiel in Nr. 746:

x = x₀ cos t — y₀ sin t, y = x₀ sin t -f- y₀ cos t, y'

Die vierte Gleichung des Systems gibt:

sint -f- y₀' cost

cos t — y₀' sint

4-8 f‘

Vo J <

0

sinf -)- y₀' cos t cos t — y₀' amt

dt = — 31n(cos t — y₀' sin t),

so daß als vierte Gleichung der zweimal erweiterten Gruppe hervorgeht:

ff

y =

Vo

(cos t — y₀’ sin t)

809. Differentialinvarianten. Wie bisher betrachten wir die eingliedrige Gruppe, die von einem System:

dx .. ,    \    dy , v

di - «(*> »)> s* - ’(*> »)

oder von der infinitesimalen Transformation:

(1)

df

dy

(vgl. Nr. 735) erzeugt wird. Wieder sei ein Bereich vorausgesetzt, innerhalb dessen £ und r\ nebst ihren partiellen Ableitungen bis zur rten Ordnung einschließlich stetig sind.

Die Gleichungen der r-mal erweiterten Gruppe sind diejenigen Hauptlösungen des Systems von r -f 2 Gleichungen:

= Ux, y), d/t = Ux> y), % ⁼ y, y),

dyin

dt

(2)

%■ = y, y, y"), • •

die für t = 0 die Anfangswerte x₀, y₀, y₀', y₀",... y\^ haben. Wird die Umgebung einer Stelle (x, y) des Bereiches ins Auge ge-

808, 809]

= yr(p> y, y, y", • • • y{r)),

faßt, während y, y",.. . y^ beliebige Werte haben können, so erfüllt das System (2) die Bedingungen, unter denen die Betrachtungen von Nr. 762, 763 anwendbar sind.

Das System hat danach gerade r -f 2 unabhängige Integrale. Hier sollen nun insbesondere diejenigen Integrale J besprochen werden, die von t selbst frei sind. Nach Satz 1 von Nr. 762 ist die Bedingung für ein solches Integral J diese:

ydJ. dJ . dJ .    . dJ

^d^ + 11d^ ⁺ ^W ⁺ "' + rir'W⁾

Dividiert man die Gleichung (3) mit irgend einem der Koeffizienten, z. B. mit I, so geht eine solche partielle Differentialgleichung für J hervor:

d£    i 2L QL 4_    <!£. _i_    _i_

dx i dy ^ a    dy' ¹

die sich der des Satzes 3 von Nr. 762 unterordnet, wenn dort x, yx,    y₂,    . . .    yn durch x,    y, y,...    y^    ersetzt    werden.    Danach    sind    die    von t freien    Integrale    des    Systems    (2)    identisch

mit allen Integralen des Systems:

y ₌ n ^ Vi dy[r) ₌ ?k

(3)

= 0.

%. dJ è dy<r>

0,

(4)

*s r®

dx

dyin

(5)

das sich auch als totales System so schreiben läßt: dx dy dy'

Vi

Wie zum Schlüsse von Nr. 807 sei dabei hervorgehoben, daß man von der Deutung der Größen y, y", . . . y^ als Ableitungen von y nach x abzusehen hat. Zu demselben System (5) wäre man auch gelangt, wenn man die Gleichung (3) statt mit | mit einem der andern Koeffizienten rj, rjlf . . . rjr dividiert hätte. Daher ist nur noch eine Einschränkung zu machen: Abgesehen wird von solchen Wertsystemen x, y,    yif\ f^r

die alle r -f- 2 Funktionen £, rh rjx, ... rjr verschwinden.

Weil (4) oder (5) ein System erster Ordnung von r + 1 Differentialgleichungen in der Normalform ist, hat es nach Satz 2, Nr. 762, gerade r.-f 1 unabhängige Integrale. Demnach gibt es gerade r-f 1 von t freie unabhängige Integrale J des vorgelegten Systems (2). Jede Punktion von ihnen ist auch ein von t freies Integral, und sonst gibt es keines.

Wird r durch r — 1 ersetzt, so wird das System (2) um eine Gleichung verkürzt. Da die Integrale des verkürzten Systems auch Integrale des Systems (2) sind, gibt es gerade r — 1 unabhängige und von t freie Integrale von (2), die auch y^ nicht enthalten. Ebenso gibt es gerade r — 2, die von y^ und y(r~^ frei sind usw. Es ist daher ein einziges unabhängiges Integral J₀(x, y) vorhanden, das nur x und y enthält; ferner gibt es nur noch ein von J₀ unabhängiges Jx(x, y, y), das nur x, y, y enthält, usw. Demnach sind r -f- 1 unabhängige Integrale von der Form:

y),    y, y), Ą{x, y, y, y"), ... Jr{x, y, y, y",... y[r))

vorhanden, und dabei steht fest, daß allgemein Jk auch wirklich von yW abhängt. Jede Funktion von J₀, Jx, J₂, . . . Jr ist ein von t freies Integral des Systems (2), und sonst gibt es keines.

Weil das System (2) insgesamt r -f 2 unabhängige Integrale hat, tritt zu J₀, J1} J₂, . . . Jr noch ein Integral das auch von t abhängt. Die r -f- 2 Gleichungen:

(6) ü(t, x, y, y,. . . . y«) = ß(0, x₀, y₀, y₀',. . . ?/₀(r)),

Jo(x, y) = J₀(x₀, y₀),

oo

J₁ (x, y, y ) — Jx{Xq, y₀₎

Jr(x, y, y, • • • y{r)) = Jr(x₀, y₀, y₀',. . . yjr)) definieren dann diejenigen Hauptlösungen des Systems (2), die für t = 0 die Werte x₀, y₀, y₀'. . . haben. Die letzten r -)- 1 Gleichungen (7) besagen, da sie von t frei sind: Alle Elemente rter Ordnung (x, y, y\ . . . y(r>), die aus einem beliebig gewählten Element rter Ordnung (x₀, y₀, y₀\ . . . ?/₀M) bei allen Transformationen der r-mal erweiterten Gruppe hervorgehen, haben die Eigenschaft, daß für sie jede Funktion Jk denselben Wert hat wie für das ursprüngliche Element; dasselbe gilt von allen denjenigen Funktionen, die von J₀, Jx, ... Jr allein abhängen, sonst aber von keiner Funktion.

Demnach bleibt jede Funktion von J₀, Jx, . . . Jr allein und sonst keine Funktion bei allen Transformationen der r-mal erweiterten Gruppe ungeändert oder invariant. Da sie von x, y und denjenigen Differentialquotienten y', y", . . . y^> abhängt, 809]

die y hinsichtlich x hat; sobald man y als irgend eine Funktion von x betrachtet, nennt man sie eine Differentialinvariante, und zwar eine Differentialinvariante von gerade rter Ordnung, wenn die höchste Ordnung der in ihr vorkommenden Ableitungen gerade die rte ist.

Hiernach gilt der

Satz 15: Die von der infinitesimalen Transformation :

üf=${x, y)^~+v0> y)°/y

erzeugte Gruppe hat gerade r -\- 1 unabhängige Differentialinvarianten von der nullten bis zur rtm Ordnung. Insbesondere gibt es je eine Differentialinvariante J₀, J1} . . . Jr von gerade nullter, erster, . . . rter Ordnung derart, daß jede Funktion von J₀, Jt,... Jr allein eine Differentialinvariante ist und sonst keine Differentialinvarianten von höchstens rter Ordnung vorhanden sind. Diese Differentialinvarianten sind die Integrale des Systems:

₌ dy ₌

y) 7](x, y) rjSx, y, yj worin gt, . ■ ■ gr die durch die Rekursionsformeln:

r, a

dx

dy'

dt/n

d r\

Vl dx

, di

y dx’

djh

% - dfc ~y

• * • Vr=*

dnr-i

dx

hervorgehenden Funktionen bedeuten, wenn hierin die Differentiationen nach x vollständig ausgeführt werden. Vorausgesetzt ist dabei eine solche Umgebung einer Stelle, wo £, g und ihre partiellen Ableitungen bis zur rten Ordnung einschließlich stetige Funktionen von x und y sind und nicht alle r-j- 2 Funktionen £, g, g₁,... gr zugleich verschivinden.

Wenn man die r + 1 Werte von x₀, yQ, y₀', . .. yßr~ ^ willkürlich läßt und y^ einer Bedingung:

(8)

vor) = f(?o, y₀, y A • • • vA~l)

unterwirft, liegt eine (r + 1 )facli unendliche Schar von Elementen (x₀, yo> yA • • • y</r)) vor- Die Gleichungen (7) werden alsdann von allen Elementen (x, y, y, .. . y(/,)) erfüllt, die aus diesen Elementen vermöge aller Transformationen der erwähnten Gruppe entstehen, vorausgesetzt, daß man in (7) für y₀(r) den Wert (8) einsetzt. Soll die Schar der durch (8) definierten Elemente bei der erweiterten Gruppe invariant sein, d. h. soll jedes Element, das die Gleichung (8) befriedigt, bei allen Transformationen dieser Gruppe immer wieder in Elemente übergeben, die dasselbe tun, so ist zu fordern, daß auch:

(9)

y(r)==f{%, y, y, • • • y(r_1)

werde, d. h. die Gleichungen (7) zusammeu mit (8) müssen die Gleichung (9) zur Folge' haben. Wenn nun    y)

nicht frei von y ist, hat die erste Gleichung (7) eine Auflösung nach y. Ist dagegen von y frei, so gibt es eine Auflösung nach x. Es genügt, den ersten Fall zu betrachten. Die zweite Gleichung (7) ist nach y, die dritte nach y" usw. auflösbar. Daraus folgt das Bestehen von Gleichungen von der Form: y = X(x, J₀°), y ~ Jo°, ^i°)j y ~    x> ^o°?    ^2°)>

y{r)- K{x, Jo°,

worin t7₀°,    . . . Jr° die Differentialinvarianten, gebildet für

x₀, y₀, y₀', . .. y₀(r\ bedeuten. Damit die Schar (8) invariant sei, ist dann zu verlangen, daß die aus (9) durch diese Substitutionen hervorgehende Gleichung:

W, • • - Jr°) -

f(x, X(x, J₀°), Xx(x, J₀°, Jx⁰),.. . Xr_J(x, JQ°, Jx°,... Jr°-1))

infolge von (8) allein bestehe. Sie erhält jedoch außer x₀, «/₀, y₀', . . . |/₀⁽O noch x, das in (8) gar nicht auftritt, darf also x nur scheinbar enthalten. Dann aber ist sie eine Gleichung in Jo⁰, Jx°,. . . Jr° allein.

Demnach kann (8) nur dann eine invariante Elementen-schar definieren, wenn die letzte Gleichung eine Gleichung zwischen J₀°, J₁°, . . . Jr° allein wird. Bezeichnen wir die Bestimmungsstücke der Elemente mit x, y, y, . .. y^\ so heißt dies: Die durch:

y(r) — fi?, y, y,---y{r))

definierte Elementenschar kann nur dann bei allen Transformationen der erweiterten Gruppe invariant sein, wenn die Gleichung in der Form einer Gleichung:

(10)

zwischen den r -f 1 Differentialin Varianten J₀, J₁,...Jr allein geschrieben werden kann. Daß umgekehrt jede solche Gleichung (10) eine Elementen schar bestimmt, die bei der erweiterten Gruppe ungeändert bleibt, liegt auf der Hand. Denn wenn irgend ein Element rter Ordnung die Gleichung (10) befriedigt, behalten J₀, Jt,... Jr für alle Elemente, die aus diesem Element bei den Transformationen hervorgehen, dieselben Werte bei, so daß diese Elemente der Gleichung (10) genügen und deshalb auch zur Schar gehören. Also ergibt sich der

Satz 16: Soll eine Gleichung zwischen x, y, y,... eine solche Schar von Elementen rter Ordnung (x, y, y, . .. y^) definieren, die hei allen Transformationen derjenigen Gruppe invariant hleiht, die durch r-malige Erweiterung aus der von

Uf — l(x, y)^~ + vi(x, y)

erzeugten eingliedrigen Gruppe hervorgeht, so muß sie eine Gleichung zwischen den Differentialinvarianten J₀, Ju ... Jr von nullter, erster, . . . rter Ordnung allein sein:

Jede solche Gleichung definiert eine invariante Schar von Elementen rter Ordnung.

810. Differentialgleichungen, die eine eingliedrige Gruppe gestatten. Es liege nunmehr eine gewöhnliche Differentialgleichung rter Ordnung vor:

(i)

F(x, y, y, y", . . . \ff>) ^ 0, außerdem eine infinitesimale Transformation:

(2)

Uf = %{x, y)^ + g(x, rf)FL-

In der Umgebung einer Stelle x, y, y,. . . sei F nebst den partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig, und ebenda seien auch I und g nebst ihren Ableitungen bis zur rtea Ordnung einschließlich stetig. Doch soll ausdrücklich ausgeschlossen werden, daß |, g und die nach Satz 14, Nr. 807, aus ihnen abzuleitenden Funktionen g1} g%, . . . gr sämtlich an einer Stelle der Umgebung verschwinden.

Man sagt nun, daß die Differentialgleichung die von Vf erzeugte eingliedrige Gruppe gestattet oder zuläßt, oder auch,

[809, 810

daß sie bei der Gruppe invariant bleibt, wenn jede Integralkurve durch jede Transformation der Gruppe wieder in eine Integralkurve verwandelt wird.

Man kann die Gleichung (1) auch auffassen als eine Gleichung, die eine gewisse Schar von Elementen rter Ordnung (x, y, y. yw) bestimmt, und die Integralkurven sind dann nach Nr. 788 als diejenigen Kurven zu definieren, die lauter Elemente rter Ordnung aus dieser Schar enthalten. Wie diese Elemente bei der Gruppe transformiert werden, lehrt die r-mal erweiterte Gruppe. Soll also die Differentialgleichung die eingliedrige Gruppe gestatten, so ist zu fordern, daß alle Transformationen der erweiterten Gruppe jedes Element der Schar wieder in Elemente der Schar verwandeln, d. h. daß (1) eine invariante Schar von Elementen rter Ordnung bestimme.

Dies aber ist ausreichend, denn bei irgendeiner Transformation der eingliedrigen Gruppe geht jede Kurve in eine neue Kurve über, und die zugehörige r-mal erweiterte Transformation verwandelt dabei alle Elemente rter Ordnung der alten Kurve in alle Elemente rter Ordnung der neuen Kurve. Eine Integralkurve, d. h. eine Kurve, deren Elemente rter Ordnung einer invarianten Elementschar (1) angehören, geht deshalb notwendig in eine Kurve über, deren Elemente dieselbe Eigenschaft haben, so daß die neue Kurve auch eine Integralkurve sein muß.

Der Satz 16 der letzten Nummer liefert nun das Kennzeichen für die Invarianz der durch (1) definierten Elementschar. Daraus ergibt sich der

Ord-

tcr

Satz 17: Eine gewöhnliche Differentialgleichung r

nung:

F(cc, y, y, ... yW) = 0

bleibt bei der von einer infinitesimalen Transformation:

Uf= l{x, y)cfx + ij(a, y) §£

erzeugten eingliedrigen Gruppe von Punkt- Transformationen nur dann invariant, d. h. jede Integralkurve geht vermöge der Transformationen der Gruppe nur dann immer wieder in Integralkurven über, ivenn die Differentialgleichung als eine Gleichung

zwischen den Differentialinvarianten J₀, Jlf . . . Jr nullter bis rter Ordnung der Gruppe geschrieben werden kann, also die Form hat:

^(^07 ^17 * • ' J~r) ⁼ Q-

811. Berechnung der DifFerentialinvarianten nullter und erster Ordnung. Um aus dem letzten Satze Vorteile für die Integration von Differentialgleichungen ziehen zu können, die bekannte eingliedrige Gruppen zulassen, muß man vorher untersuchen, wie man die Differentialinvarianten berechnen kann. Das soll in dieser und der nächsten Nummer geschehen.

Die Differentialinvariante nullter Ordnung J₀(x, y) der von

Uf=*{x, y)^ + rj(x, y)

erzeugten eingliedrigen Gruppe ist ein Integral des in Satz 15, Nr. 809, angegebenen Systems für r = 0, d. h. der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung in x und y:

dx

(1)

dy

yfa y)

Ist Jx{x, y, y) eine Differentialinvariante erster Ordnung, so bilden J₀ und J₁ zusammen ein vollständiges System von Integralen des Systems:

(2)

dx

dy

dy

y) Vi (x,y,y)’ worin rix nach der Rekursionsformel den Wert:

vi = Vx+ (vy— Uy'-iy²

hat. Bei der Integration des Systems (2) darf man, wie in Nr. 807 am Schlüsse betont wurde, y nicht mit dem aus (1) folgenden Werte von dy : dx verwechseln; vielmehr hat man y und y als zwei unbekannte Funktionen von x aufzufassen. Das System (2) kann wegen (3) so geschrieben werden:

dy ₌ r\{x,y) dx è(x,y) ’

wenn £4=0 ist. Andernfalls bildet man dx : dy und dy : dy. Wir nehmen an, J₀(x, y) sei schon bekannt, so daß:

y) - co

die allgemeine Lösung y der ersten Gleichung (4) mit der will-

[810, 811

è(x,y)

(3)

(4)

(5)

dy 7jx i % — èx„/

%y\

kürlichen Konstante C₀ definiert. Um die zweite Gleichung (4) zu integrieren, berechnet man y aus (5) als Funktion von x und setzt sie statt y ein. Dadurch geht für y eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung mit der unabhängigen Yeränderlichen x hervor. Sie ist frei von y, enthält aber noch die Konstante C₀, und sie ist augenscheinlich eine Iliccatische Gleichung für y. Also kann sie nach Nr. 718 durch eine Quadratur integriert werden, wenn man eine Partikularlösung kennt.

Dies ist in der Tat der Fall, denn durch (5) werden die Bahnkurven der eingliedrigen Gruppe definiert (vgl. auch Nr. 732), und die Elemente erster Ordnung (x, y, y) der Bahnkurven genügen der aus (5) durch Differentiation folgenden gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung:

(6)

dJo

Tx

(5)

Sie bilden eine invariante Elementschar. Aber jede invariante Schar von Elementen erster Ordnung wird nach Satz 16, Nr. 809, durch eine Gleichung zwischen J₀ und Jx bestimmt. Da nun JQ = konst., Jx = konst, das allgemeine Lösungensystem von (2) oder (4) ist, hier aber nur </₀ = C₀, d. h. gleich einer willkürlichen Konstante gesetzt worden ist, während dann Jx durch jene Gleichung zwischen J₀ und Jt bestimmt wird, folgt, daß (5) und (6) zusammen ein allerdings nicht allgemeines Lösungensystem y, y des Systems (2) oder (4) definieren müssen. Der aus folgende Wert von y war, wie wir annahmen, schon in die zweite Gleichung (4) substituiert worden, und deshalb muß die noch zu integrierende Riccatische Gleichung für y diejenige Partikularlösung y haben, die aus (6) zu berechnen ist, nachdem auch darin für y die aus (Ö) folgende Funktion von x (und C₀) eingesetzt worden ist. Mithin erfordert die allgemeine Integration der Riccatischen Gleichung für y nur eine Quadratur, wobei eine neue Integrationskonstante Cx auftritt. Die allgemeine Lösung wird außerdem C₀ enthalten. Wenn sie diese ist:

/= <p(x> C₀, Gt),

so setze man wieder für C₀ nach (5) den Wert J₀(x, y) ein

811] und löse die Gleichung nach Gx auf. Diese Auflösung ist alsdann eine Differentialinvariante Jx von erster Ordnung.

Es wird zweckmäßig sein, dies Verfahren an einem Beispiele zu erläutern.

Beispiel: Es sei:

TT, of ₂df

ut-xyrx + fr,

d. h. £ — xy, fj — y², so daß das System (4) so lautet:

y y àÿ y — xy'r

y ■

SU! SL

X X ⁷

Die erste Gleichung hat das Integral J₀ = y : x. Nach (5) wird demnach y — C₀x in die zweite Gleichung eingesetzt:

dx

xy

(?)

*y_ ₌ c, — y /

dx G₀x •' '

Aus (6) folgt y = y : x — C₀x : x = C₀, so daß y = C₀ eine Partikularlösung von (7) sein muß, was in der Tat der Fall ist. Nach der allgemeinen Methode in Nr. 718, vgl. insbesondere Gleichung (8) daselbst, worin u die Partikularlösung, also C₀ bedeutet, wird Z statt y' eingeführt vermöge:

y = C₀ + ~ź>

(8)

d. h.

dy’

1 dZ dx ~~Z* dx

gesetzt. Die für Z hervorgehende lineare Differentialgleichung:

C₀ x

dZ _ C₀Z+ 1 dx

ist nach Nr. 716 durch Quadratur integrierbar. Man sieht hier sofort, daß ein Integral ist. Wird nach (8) wieder Z = 1 : (y' — C₀) und dann C₀= y : x eingeführt, so geht das Integral in die gesuchte Differentialinvariante erster Ordnung über:

xy —y

812. Berechnung der DifFerentialinvarianten höherer Ordnung. Es gilt der

Satz 18: Sind P(x, y, y, . . .) und Q(x, y, y, . . .) zwei Differentialinvarianten der von einer infinitesimalen Transformation Uf in x, y erzeugten eingliedrigen Gruppe, so ist auch:

[811, 81»

dQ __ Qx -f- Qyy' +_Qy'V H~ ; dP

Px + P!/y'+Py>y" + ...

eine Differentialinvariante.

In der Tat nämlich definiert die Gleichung:

(1)

Q — aP = b,

wenn a und b Konstanten sind, nach Satz 17 von Nr. 810, eine bei der erweiterten Gruppe invariante Differentialgleichung. Wird a bestimmt gewählt und b willkürlich gelassen, so sind alle Integralkurven aller zu den verschiedenen Werten von b gehörigen Differentialgleichungen identisch mit den Integralkurven der Differentialgleichung, die aus (1) durch vollständige Differentiation nach x hervorgeht, weil dann b fortfällt:

Qx + QyV + Qy'y' H-----a(Px + Pyy' + Py'V" H----) = 0.

Demnach ist dies ebenfalls eine invariante Differentialgleichung und zwar für jeden Wert der Konstante a. Die Gleichung:

Qx + Qyy’ + Qy'V" H—

Px + Pyy,-\-Pyy' + ---

muß sich also, wie man auch a als Konstante wählen mag, als eine Gleichung zwischen Differentialinvarianten allein schreiben lassen, nach Satz 17 von Nr. 810, woraus folgt, daß ihre linke Seite eine Differentialinvariante ist.

Indem wir den Satz 18 zunächst auf P = J₀ und Q = Jx anwenden, ergibt sich aus den beiden schon berechneten Differentialinvarianten nullter und erster Ordnung, J₀ und Jx, die Differentialinvariante zweiter Ordnung:

dp . dp , . dp ,,

J,-

dy

denn y" fällt nicht fort, weil dJx:dy'Ąj= 0 ist. Anwendung des Satzes auf P = JQ und Q = gibt ferner eine Differentialinvariante dritter Ordnung:

Ml Mi v' Mi v" 4

dxj dyy ^ dy,J ^

Mo + dPy

dx ' dy y

denn y" fällt nicht fort, weil, wie sich soeben zeigte, dJ% : dy" 4= 0 ist. So kann man fortfahren. Daher lassen sich die Ergebnisse dieser und der vorigen Nummer so zusammenfassen:

Satz 19: Jede Differentialinvariante J₀ von nullter Ordnung der von der infinitesimalen Transformation:

Uf=t(x, y) d/x + y{x,

erzeugten eingliedrigen Gruppe ist ein Integral der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung in x, y:

dy

dx

y)

y (æi y)

Hat man ein solches Integral J₀ bestimmt, so kann man eine Differentialinvariante erster Ordnung J₁ durch eine bloße Quadratur, abgesehen von Eliminationen und Substitutionen, berechnen. Ferner geben dann die Rekursionsformeln:

■■ «*>

djr_x

dJ₀

dJ₀> *

Differentialinvarianten zweiter bis rter Ordnung.

813. Integration einer Differentialgleichung mit bekannter infinitesimaler Transformation. Man sagt, daß eine gewöhnliche Differentialgleichung rter Ordnung :

(1)

F{x, y, y', ... y^) = 0 eine bekannte infinitesimale Transformation:

(2)

Uf = iOö y)    + y(v, y)

gestattet oder zuläßt, wenn sie hei der von Uf erzeugten eingliedrigen Gruppe invariant bleibt. Man spricht dann auch kürzer von einer Differentialgleichung (1) mit einer bekannten infinitesimalen Transformation (2).

Es gibt manche Fälle, in denen man bei einem Probleme, das die Integration einer Differentialgleichung (1) erfordert, aus der Matur der Aufgabe sehen kann, daß die Differentialgleichung eine bekannte infinitesimale Transformation (2) gestattet. Jetzt soll gezeigt werden, welchen Vorteil man daraus nach Lie für das Integrationsgeschäft ziehen kann.

Nach Satz 17, Nr. 810, hat die Differentialgleichung die

Form:

(3)

Jlf • Jr) —

£ = Jü(oc, y), t; = Jj (x, y, y )

(5)

Ihre Zurückführung auf diese Form erfordert bloß Eliminationen und Substitutionen, wenn man J₀ und Jx schon kennt, weil man dann nach Satz 19 der letzten Nummer auch:

(1 *Ty. _ J

(4)

r _dJj j _

e/2 “ dJ₀ ’    ~

dJ₂

■ Jr

dJ₀

dJ»’ ■

berechnen kann. Die gesuchten Lösungen y der Differentialgleichung (1) sind Funktionen von x, daher auch y, y", ... y(r\ mithin auch die Differentialinvarianten J₀, J₁. . .. Führt man nun:

statt x und y als neue Yeränderliche ein, so gibt (4):

d¹-¹)

-i >

d*t)

■ Jr

J*-

df’ •

d. h. die Differentialgleichung nimmt nach (3) die Form an:

di ’

df

(6)

^ di’ df’ • •

. d-^) = 0.

df-y

Sie ist also auf eine Differentialgleichung von nur noch (r — ï)ter Ordnung zurückgefülirt. Wenn man sie integriert und ihre allgemeine Lösung:

mit r — 1 Integrationskonstanten bestimmt hat, ist nach (5) noch die gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung in x und y:

CO

Jt(%, y, y) = <p(J₀(x> y), clt c₂₎... cr_t)

zu integrieren. Aber diese Differentialgleichung gestattet als Gleichung zwischen den beiden Differentialinvarianten J₀ und J₁ nach Satz 17, Nr. 810, die bekannte infinitesimale Transformation Uf und zwar ist Uf für sie keine triviale Transformation (vgl. Nr. 738), da die Gleichung r—1 willkürliche Konstanten Gt, C₂, . . . Cr enthält. Die Integration von (7) verlangt deshalb nach Satz 21, Nr. 738, außer Eliminationen nur noch die Berechnung eines vollständigen Integrals.

Wenn man bedenkt, daß J₀ — konst, die Bahnkurven der von Uf erzeugten eingliedrigen Gruppe bestimmt, kann man daher das Ergebnis so aussprechen:

Satz 20: Gestattet eine gewöhnliche Differentialgleichung rter Ordnung:

Fix, y, y, ... y«) = 0

die von einer bekannten infinitesimalen Transformation: Uf=Ź(x, y)% + ri(x, y)Uy

erzeugte Gruppe und kennt' man die Bahnkurven der Gruppe, so kann die Ordnung der Differentialgleichung mittels bloßer Eliminationen, Substitutionen und Quadraturen um eine Einheit erniedrigt werden.

814. Einführung¹ kanonischer Veränderlicher. In

TJf =&{$)%■

solchen Fällen, in denen eine Aufgabe auf eine gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung führt und zugleich aus der Stellung des Problems ersehen werden kann, daß diese Gleichung eine gewisse bekannte infinitesimale Transformation gestattet, wird die infinitesimale Transformation zumeist von einfacher Form sein, so daß es wie in Nr. 743 möglich sein wird, die Schar der Bahnkurven und eine zweite bei TJf invariante einfach unendliche Kurvenschar zu ermitteln und wie damals kanonische Veränderliche x, y einzuführen, d. h. die infinitesimale Transformation auf die Form (5) von Nr. 743 zu bringen :

Hier lautet das System (2) von Nr. 811, das zur Bestimmung der Differentialinvarianten erster und zweiter Ordnung dient, wegen £ = 0 und rj — Sl so:

dx    dy dy

so daß:

F ⁼ pjjj) ⁼ WWf ’

Jq x, Ji

m

Differentialinvarianten nullter und erster Ordnung sind. Die Differentialgleichung muß dann in den neuen Veränderlichen x und ÿ die Form:

® (Jo,

dJ\

.. —hy) — 0

dxr~x'

annehmen. Ist diese Differentialgleichung (r — l)ter Ordnung zwischen J₀ und Jl integriert worden, also etwa:

Cu C„ ■ ■■Gr_₁)

Serret-Scheffers, Diff - u. Integral-Rechnung. III. 3. Aufl.

gefunden, so handelt es sich noch um die Integration der Gleichung:

aus der sofort:

&(v)

= (p{x, Clf C₂, ... Cr_₁)

i? •

fm⁼ß^c

• • Cr-\ )dx    Cr

hervorgeht.

Beispiel: Gesucht werden alle Kurven in der Ebene, bei denen eine gegebene Beziehung zwischen dem Radiusvektor p, dem Krümmungsradius R und dem Winkel 1 zwischen dem verlängerten Radiusvektor und dem Krümmungsradius besteht:

(1)

F(p, R, k) = 0.

Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung. Wenn man eine ihrer Integralkurven um den Anfangspunkt 0 dreht, geht eine Kurve hervor, bei der p, R und l dieselben Werte wie bei der ursprünglichen Kurve haben, d. h. eine Kurve, die ebenfalls die Bedingung (1) erfüllt und daher auch eine Integralkurve ist. Daher gestattet die Differentialgleichung die infinitesimale Drehung um 0. Bei dieser infinitesimalen Drehung sind die Polarkoordinaten co, p kanonische Veränderliche, denn p = konst, stellt die Schar der Bahnkurven (Kreise um 0) vor und co = konst, eine invariante Kurvenschar (die der Radienvektoren). Man wird daher von vornherein Polarkoordinaten co, p einführen. Alsdann hat die infinitesimale Drehung um 0 nach dem Beispiele in Nr. 742 das Symbol

df dio

Hier ist also etwa x = p, ÿ = co und SI (ÿ) = 1, d. h. J₀ = p, da- Demnach nimmt die Differentialgleichung in Polarkoordinaten die Form an:

®(<-,

dç

) = °-

dco ds<a dq’ d^

Dies aber ist eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung zwischen p und dœ : dp. Wenn ihre Integration liefert:

Tq - v(9, Cd

-§ 4. Infinites. Transformationen gew. Differentialgleichgn. höh. Ordn. 403 so gibt eine Quadratur:

co = J^cp(ç, C^dç -f

die gesuchten Kurven.

815. Eine Aufgabe über Fußpunktkurven. Die in

Nr. 813 entwickelte Integrationstheorie läßt sich noch vervollkommnen. Die Grenzen, die wir uns gesteckt haben, erlauben uns jedoch nicht, darauf einzugehen, ebensowenig auf die allgemeine Untersuchung desjenigen Falles, in dem eine gewöhnliche Differentialgleichung mehrere bekannte infinitesimale Transformationen zuläßt. Es wird aber einleuchten, daß man alsdann noch weitere Vereinfachungen des Integrationsgeschäftes erzielen kann; wir begnügen uns mit der Behandlung eines Beispiels, das die Fußpunktkurven betrifft.

))

{*,y)

Fig. 50.

Ist eine Kurve k in der Ebene gegeben, so versteht man unter ihrer zu einem gegebenen Pol 0 gehörigen Fußpunktkurve den Ort f der Fußpunkte äft der Lote von 0 auf die Tangenten der Punkte M der gegebenen Kurve, siehe Fig. 50. Es sollen nun diejenigen Kurven bestimmt werden, deren Bogenlänge s zur entsprechenden Bogenlänge & der Fußpunktkurven proportional ist. Hat eine Kurve k diese Eigenschaft, so leuchtet ein, daß sie die Eigenschaft behält, wenn sie um 0 gedreht wird und auch dann, wenn sie durch Streckung von 0 aus ähnlich vergrößert oder verkleinert wird. Die Differentialgleichung, deren Integralkurven die gesuchten Kurven sind, gestattet deshalb sowohl die eingliedrige Gruppe aller Drehungen um 0 als auch die aller Streckungen von 0 aus. Diese beiden Gruppen haben ihren einfachsten analytischen Ausdruck, wenn man die Amplitude co und den Logarithmus des Radiusvektors q der Polarkoordinaten mit dem Pole 0 als Bestimmungsstücke der Punkte benutzt, denn bei einer Drehung um 0 bleibt ln q ungeändert, während co um eine additive Konstante wächst,

[814, 815

und bei einer Streckung von 0 aus bleibt co ungeändert, Aväh-rend ln q um eine additive Konstante wächst. Setzt man also: ® = u, ÿ = ln Qj

so bat die infinitesimale Drehung um 0 bzw. die infinitesimale Streckung von 0 aus das Symbol:

df

7T= bzw. dx

Im ersten Falle ist £ = 1, ?; = 0, also ^ = 0 (nach Satz 14, Nr. 807), im zweiten Falle ist | = 0, i] = 1, also auch rj₁ = 0. Daraus erkennt man nach Satz 15, Nr. 809, daß:

dÿ d²ÿ dx’ dx² ’

die Differentialinvarianten der ersten und:

nikł

- dÿ ’ dx’

die der zweiten Gruppe sind. Nach Satz 17, Nr. 810, darf die Differentialgleichung des Problems nur die Differentialinvarianten der einen Art, aber auch nur die der zweiten Art enthalten, d. h. sie muß eine Gleichung zwischen

dÿ d²ÿ dx’ dx²’ '’‘

allein sein. Sie ist von zweiter Ordnung, weil die Bogenlängen s und ä durch Integrale dargestellt werden und die Differentialgleichung aus der Forderung g = konst, s durch Differentiation hervorgeht. Also muß die Differentialgleichung des Problems eine Gleichung von der Form:

d²y dx²

d² ln q d m²

oder:

Cdz

Jf

sein. Wird d\n p : dco für den Augenblick mit z bezeichnet, so folgt:

= £ = <p (oj + Cj)

Ist die Quadratur erledigt und dann z als eine gewisse Funktion cp von co -f- C₁ berechnet worden, so daß man: d ln q

dm

gewonnen hat, so gibt eine abermalige Quadratur:

ln q = fcp(cj + C^)dœ + C₂.

8151

Ohne also die Differentialgleichung des Problems aufgestellt zu haben, wissen wir doch schon, daß sie außer Eliminationen und Substitutionen nur zwei Quadraturen verlangt.

Nun gehen wir zur Ausrechnung über. Hat der Punkt M der Kurve k die Koordinaten x und y und der Fußpunkt ÜÜi des Lotes vom Anfangspunkte 0 auf die Tangente von M die Koordinaten £ und t), so ist:

9 — y

d. h.:

xy y /

Dabei bedeutet y natürlich die Ableitung dy : do;. Für die Bogenelemente ist nach (2) in Nr. 193:

(1)

xy' — y 1 + 2/'²

ds =y~dx² -f- dy², d&    + d\)%.

Berechnet man d% und di) aus (1), so folgt hieraus:

(2)

\ds) -

y"²(xf+y²')

(1 + y'y

Bezeichnet R den Krümmungsradius von M, so kann man hierfür mit Rücksicht auf (1) in Nr. 197 schreiben: •

(3)

dW ₌

\ds)

q'²

iü² >

d. h. die gesuchten Kurven sind identisch mit denjenigen Kurven, bei denen der Krümmungsradius II dem Radiusvektor q proportional ist. Indem man den Ausdruck (2) gleich dem Quadrate einer Konstante setzt, erhält man die Differentialgleichung zweiter Ordnung des Problems, ausgedrückt in den rechtwinkligen Koordinaten. Nach dem V or her gehenden werden wir jedoch die Koordinaten co und ln p benutzen, also nach (3) von der Gleichung:

p = aR

ausgehen, wo a eine gegebene Konstante bedeute. Nach Nr. 208 ist, wenn der Akzent die Ableitung nach co andeutet:

oder wegen:

çt+Zç't-çç"

auch:

(in q)’ =

VQ/i Qa

, (ln

1 + (ln q)' ² — (ln q)"

V1 + (ln QÏ

Daher lautet die Differentialgleichung q : B = a nunmehr so:

1 + (ln (,)'² - (ln ₉)" = aV 1 + (ln (>)'2 oder, wenn (ln p)' = z gesetzt wird:

= da.

dz

1 + z² — a}/l -f **

Außerdem ist jetzt:

d ln q = zdco, d. h. ln q = Jlzdco. Mithin ergibt sich durch zwei Quadraturen:

to = konst.

⁺J>

dz

i -f- z² — a y i -f s²

z dz

q = konst, e

Noch bequemer ist es, eine neue HiIfsveränderliche t durch die Substitution z = tg t einzuführen. Dann kommt, weil die zweite Quadratur sofort erledigt werden kann:

ca = konst. 4- I

J «

cos tdt

konst.

cos t — a ⁾

cos t — a

Das in der ersten Formel noch vorkommende Integral ist nach Nr. 460 leicht zu berechnen. Alle Kurven gehen aus einer Kurve:

(4)

(0=1

cos;tdt

cos t — a

cos t — a

durch Drehungen um 0 und Streckungen von 0 aus hervor.

Yon besonderem Interesse ist der Fall a² = 1, in dem sich diejenigen Kurven ergeben, deren Bogenlänge gleich der entsprechenden Bogenlänge der Fußpunktkurven ist, d. h. diejenigen Kurven, deren Krümmungsradius gleich dem Badiusvektor ist. Da die für a = + 1 hervorgehenden Formeln dadurch, daß man t durch t :t ersetzt, in die für a = — 1 hervorgehenden verwandelt werden, darf man sich auf den Fall a — — 1 beschränken, in dem sich aus (4) die Kurve ergibt:

(5)

a = t—tg{ t,

Alle anderen Kurven werden aus dieser gewonnen, wenn man sie um 0 dreht und von 0 aus ähnlich vergrößert oder verkleinert. Wird von 0 das Lot auf die Normale der Kurve gefällt, so hat der Fußpunkt des Lotes, wie man leicht nach Kr. 206 ausrechnet, die Polarkoordinaten:

(o = ^7t — tg%t, p = t g-H;

für den Ort dieser Fußpunkte ist daher q =    — a>. Nach

Kr. 245 kann man hieraus sofort schließen, daß der Ort der Fußpunkte der Lote von 0 auf die Normalen der gefundenen Kurve eine archimedische Spirale ist.

Sechstes Kapitel.

Existeuzbeweise im komplexen Bereiche.

§ 1. Analytische Funktionen von mehreren Veränderlichen.

816.    Vorbemerkung'. Bisher wurde die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen im reellen Bereiche entwickelt. Um sie auch auf den Bereich komplexer Veränderlicher ausdehnen zu können, muß man sich auf den Begriff der analytischen Funktionen von mehreren komplexen Veränderlichen und die Sätze über solche Funktionen stützen. Daher liegt es uns zunächst ob, in engem Anschlüsse an das achte Kapitel des zweiten Bandes das Notwendigste hierüber beizubringen. Ist dies erledigt, so wird es sich darum handeln, die Existenzbeweise für Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen im komplexen Bereiche durchzuführen. Bei dieser Gelegenheit wird auch der Nachweis der Existenz implizite definierter Funktionen im komplexen Bereiche hervorgehen. Schließlich werden wir die Ergebnisse zur Entwicklung der Theorie der linearen Differtialgleichungen höherer Ordnung anwenden.

817.    Definition der monogenen Funktionen von mehreren Veränderlichen. Es seien:

(1)

*1 = «1 + ^2= ^2 + *>2, •••*«=**+ *0« n komplexe Veränderliche. Jede einzelne kann nach Nr. 355 durch einen Punkt in einer komplexen Zahlenebene, nämlich zk durch den Punkt mit den reellen rechtwinkligen Koordinaten Xk und yk, versinnlicht werden. Man tut dabei gut, die n Veränderlichen £₂, ... zn in n verschiedenen Zahlenebenen zu deuten. Unter einem Variabilitätsbereiche wird nun folgendes verstanden: Jeder einzelnen der n Veränderlichen wird ein Bereich in seiner Ebene zugewiesen; alsdann soll der Variabilitätsbereich aus allen Wertsystemen zk, zä, . . . zn bestehen, die 816, 817]

durch Punkte zL, z₂, ... zn in den einzelnen Bereichen dargestellt werden.

Wenn eine Vorschrift vorhanden ist, nach der jedem bestimmten Wertsysteme zx, z₂, . . . zn des Variabilitätsbereiches eine bestimmte komplexe Zahl w = u -f iv zugeordnet wird, heißt w nach der Definition in Nr. 6 eine Funktion der n Veränderlichen indem vorgeschriebenenVariabilitätsbereiche. Diesen sehr allgemeinen Funktionsbegriff schränken wir aber zweckmäßig ein. Vgl. dabei Nr. 621.

Zunächst soll die Funktion w stetig sein. Dies bedeutet nach Nr. 20: Wird im Bereiche ein Wertsystem zx, z₂, ... zn angenommen, dem man die Zunahmen erteilt:

(2)

,    ... 4zn= z1xn + iztyn

und sind z/m, zlv und z/m’ die zugehörigen Zunahmen von u, v und w, so soll es zu jeder beliebig klein gewählten positiven Zahl 6 eine positive Zahl Ji derart geben, daß infolge von:

(3)

I 4et ! < h, j zlz 2 \<ii, ... j /tzn I < h

stets auch j Ztw j < 6 wird. Nach (1) und (2) in Nr. 357 ist dann auch

I z/m I < 6, I Zlv j < <?,

und die Bedingungen (3) sind erfüllt, wenn:

^Vn\<7,

\^yl <77=

ÿs’ '

angenommen wird (vgl. die letzte Bemerkung in Nr. 357). Folglich müssen u und v stetige reelle Funktionen sein. Man schließt ebenso leicht umgekehrt, daß w eine stetige Funktion der komplexen Veränderlichen z1} Z₂, . . . zn ist, sobald u und v stetige Funktionen der reellen Veränderlichen x₁,yl,...xn,yn sind.

Unter einer monogenen Funktion w — u -j- iv der n Veränderlichen zx, Z₂, . . . Zn wird nun eine solche stetige Funktion verstanden, der innerhalb des Variabilitätsbereiches auch stetige partielle Ableitungen erster Ordnung hinsichtlich aller n Veränderlicher zukommen. Da man bei der Bildung einer partiellen Ableitung alle Veränderlichen bis auf eine bestimmt zu wählen hat, sind diese Ableitungen wie in Nr. 622 zu definieren. Aus Satz 3 von Nr. 623 folgt also: Werden alle Ver-

[817

änderlichen bis auf eine, etwa zk, bestimmt gewählt, so wird w eine monogene Funktion von zk allein. Daher genügen u und v nach (2) in Nr. 623 den Cauchy-Riemannschen Gleichungen :

(4)

du dv du

dyn dVk

dv

dxh

und es sind nach (4) in Nr. 623:

dxk

ß = 1, 2,. .. n),

(5)

dw

du

dv

(Je = 1, 2,... n)

- — + i —

dzk dxk

die partiellen Ableitungen erster Ordnung von iv. Mithin kann man die Bedingungen für eine monogene Funktion iv = u -f- iv der n Veränderlichen zt, z₂, ... zn oder x₁-\- iyx, x₂-j- iy₂, . . . xn-\- iyn auch so formulieren:

Es sollen u und v nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung solche stetige reelle Funktionen von xx, yx, ... xn, yn sein, die den 2n Cauchy-Riemannschen Gleichungen (4) genügen, natürlich innerhalb des Variabilitätsbereiches.

dxk

Gerade so wie der Satz 5 von Nr. 625 läßt sich der folgende allgemeine Satz über Funktionen von Funktionen beweisen:

Satz 1: Sind wx, iv₂, ... wm innerhalb eines gemeinsamen Bereiches monogene Funktionen von z1} zi} ... zn und ist W eine monogene Funktion von wx, w₂, ... wm innerhalb eines solchen Bereiches, den jene m Funktionen ivt, w₂, ... wm von zt, z₂,

. . . zn erfüllen, so ist W auch eine monogene Funktion von zx, z₂, . . . zn in dem zugehörigen Bereiche dieser Veränderlichen.

Im besonderen folgt hieraus leicht die Verallgemeinerung des Satzes 4 von Nr. 624 über Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten von monogenen Funktionen für den Fall von mehreren Veränderlichen.

Hier möge noch ein gelegentlich anzuwendender Satz angemerkt werden, der nicht nur für monogene, sondern überhaupt für stetige Funktionen gilt.

Satz 2: 1st f{z₁, z₂, ... zn) in der Umgebung einer Stelle (zxQ, z₂, . . . zn°) eine solche stetige Funktion der n komplexen Veränderlichen zx, z₂, . . . zn, die an jener Stelle selbst einen von Null verschiedenen Wert hat, so gibt es eine Umgebung der Stelle, innerhalb derer die Funktion nirgends verschivindet.

Diesen Satz, die Ausdehnung des Satzes 11 von Nr. 693 auf den komplexen Bereich, beweist man so: Nach dem Vorhergehenden gibt es zu jeder beliebig kleinen positiven Zahl 6 eine positive Zahl h derart, daß:

(6)

! f(*i,    • • • O -    • OI < *

infolge von

CO

kl - V I < ]h \*t - V I < h • • * k» - Zn I < h

wird. Da nun \f(zx, z₂Q, ... 0n⁰)' von Null verschieden ist, braucht man nur 6 kleiner als diesen Wert zu wählen, um zu erreichen, daß f in der Umgebung (7) nirgends verschwindet, weil sonst die linke Seite von (6) größer als 6 würde.

818. Verallgemeinerung des Cauchy sehen Fundamentalsatzes. In Nr. 639 wurde der außerordentlich wichtige Cauchysche Satz 16 bewiesen, der in der Integralformel:

èij ł=hds”f^>

k

zum Ausdrucke kommt. Dieser Satz soll zunächst auf mono-gene Funktionen f{zXJ 0%) von zwei Veränderlichen zlf z₂ übertragen werden.

Innerhalb der für zx und z₂ erlaubten Bereiche in der zx-und 0₃- Ebene seien Bereiche Bx und B.₂ abgegrenzt, deren Ränder Integrationswege \ und lc₂ sind und sehr wohl in einzelne geschlossene Linien zerfallen können, wie z. B. in Fig. 95 von Nr. 639. Außerdem mögen innerhalb Bx und B.₂ bestimmte Stellen cx und c₂ angenommen sein. Wenn nun z₂ vorerst irgendwo innerhalb B% oder auf dem Rande von B.₂ gewählt wird, ist f(zu z₂) eine monogene Funktion von zv allein, auf die der Cauchysche Satz angewandt werden darf. Er liefert:

(1)

¹    Çt\z i , 0»)

in J zx

*1

— «1

dzx = f(cx, z₂).

Hierbei wird längs Jcx in solchem Sinne integriert, daß die Fläche Bx stets linkerhand liegt. Da nun f(clf z₂) eine monogene Funktion von z₂ allein bedeutet, gibt die Anwendung des Cauchy sehen Satzes auf diese Funktion:

(2)

i f'm*

in J z, -

dz₂ = f(cx, c₂),

— ci

wobei über die Art der Integration längs k₂ Entsprechendes gilt wie vorhin. Wird der Wert (1) in (2) substituiert, so kommt:

^2

Weil z₂ — c₂ bei der ersten Integration konstant bleibt, verliert die Formel nichts an ihrer Richtigkeit und Verständlichkeit, wenn sie so geschrieben wird:

(2in)³ SJ*\

i »*g)

(«i — ci) («* — cs)

dzxdz₂ = f(cx, Cg).

Auch leuchtet ein, daß sich derselbe Wert f(cx, c₂) ergibt, wenn zuerst hinsichtlich z₂ längs k₂ und dann hinsichtlich zx längs kx integriert wird.

Da die weitere Verallgemeinerung dieses Ergebnisses auf der Hand liegt, formulieren wir mithin sofort den

*1, ■ • * *.•

Ebene, z₂-Ebene, . . . zn-Ebene und ihre Bänder Integrationswege

Satz 3 (Verallgemeinerter Caucliyscher Fundamentalsatz): Es sei f eine monogene Funktion der n Veränderlichen Ferner seien Bx, B₂, . . . Bn Bereiche in der zx-

Ą, •

kx, k₂, ... kn. Vorausgesetzt wird, daß diese Bereiche mit ihren Bändern zu dem Variabilitätsbereiche der Funktion f gehören. Außerdem sollen Stellen cx, c₂, ... cn im Innern der Bereiche Bl: . . Bn bestimmt gewählt sein. Bann ist:

/ (Cl> C2> • • • Cn)-

f(z₁,z,,...z„)dz₁dzi...dzn (01 — cx) (0₂ — Cg).. . (zn — cn)

h ?ri

Hierbei sind die n Integrationen in einer für das Ergebnis gleichgültigen Beihenfolge längs der Bänder Jcx, k₂, . . . kn der n Bereiche stets so auszuführen, daß die Bereiche linkerhand liegen, und die Formel gilt auch dann, wenn Integrationswege in mehrere geschlossene Linien zerfallen.

819. Integrale als Funktionen ihrer oberen Grenzen. Um die Theorien des achten Kapitels des zweiten Bandes auf monogene Funktionen von mehreren Veränderlichen aus-

dehnen zu können, muß man noch die Verallgemeinerung des Satzes 15 von ISTr. 633 beweisen. Wir nehmen zunächst an, daß f(zx, z₂) eine monogene Funktion von zwei Veränderlichen et und z₂ sei, und setzen voraus, daß der für zx gestattete Bereich Bx in der z₁ - Ebene einfach zusammenhängend sei (vgl. Nr. 632). Alsdann mögen zx und Zx irgend zwei Stellen innerhalb Bx bedeuten, während z₂ irgendwie im Bereiche B₂ der Veränderlichen z₂ gewählt sei. Innerhalb Bx werde von zx nach Zx irgendein Integrationsweg Jcx gezogen.

Nach Satz 15 von Nr. 633 stellt das Integral:

Zi

(1)

wenn die Integration längs l\ ausgeführt wird, eine monogene Funktion von Zx vor, deren Wert nicht von dem eingeschlagenen Integrationswege hx abhängt und deren Ableitung nach Zx gleich f{Zx, z₂) ist. Aber F hängt noch von z₂ ab, und daher muß noch bewiesen werden, daß F eine monogene Funk-von Zx und z₂ vorstellt.

Wenn f(zx, z₂) = u + iv gesetzt wird, läßt sich das Integral F nach (3) in Nr. 629 so schreiben:

(2)

—J*(udxx — vdyf) -j- i j(ydxx -f- udyf).

k    k

Insbesondere nehmen wir zunächst den einfachsten Fall an, der in betreff des Integrationsweges h von zx° bis Zx denkbar ist: Es möge die gerade Strecke von zx bis Zx dem Bereiche Bx vollständig angehören. Dann kann man, wenn:

*i° = $1° + iy*, Z₁=X₁ + iYx ist, insbesondere längs dieses Weges:

x₁=x₁°+(X₁ -xx°)t, yx = y? + (Yx- iy«)t

setzen und dadurch t statt xx und yx als die einzige Veränderliche in (2) einführen, hinsichtlich derer integriert wird, und zwar von tf = 0 bis £=1. In (2) liegen nunmehr zwei gewöhnliche reelle Quadraturen vor. Da u und v stetig in xx, yx, x₂ und y₂ sind, kann man gerade so wie Nr. 487 beweisen, daß die beiden in (2) auftretenden Integrale stetige Funktionen von Xj, Yx, x₂, y₂ sind. Demnach verhält sich die durch (1)

[819

definierte Funktion F yon Zx und z₂ stetig. Wenn es nicht möglich ist, die Stellen zx° und Zx durch einen einzigen geradlinigen Integrationsweg zu verbinden, der dem Bereiche BL angehört, kann man einen Weg benutzen, der aus einigen geradlinigen Stücken besteht, und man gelangt daher auch dann zu demselben Ergebnisse.

Die stetige Funktion F von Zx und z₂ hat, wie wir schon wissen, eine stetige Ableitung nach Zx, nämlich f(Z1} z.₂). Um also dessen sicher zu sein, daß F eine monogene Funktion von Zx und z₂ vorstellt, braucht man nur noch zu zeigen, daß F auch eine stetige Ableitung nach z₂ hat. Daher nehmen wir an, daß z₂ um Az₂ wachse; dabei möge F den Zuwachs A F erfahren. Alsdann ist nach (1):

AF

dzx.

f{zx, z% + Azf) — f(z,, ea)

Az,

Azi

Hieraus folgt für lim Az₂ = 0, weil f(zx, z₂) eine stetige Ableitung hinsichtlich z₂ hat:

Zx

fHißx.

J dz₂

dzx.

dF__

dz₂ ~ J dz

*i°

Weil der Integrand stetig ist, läßt sich wieder wie vorhin beweisen, daß das Integral eine stetige Funktion von Zx und z₂ ist.

Die Verallgemeinerung auf Funktionen von mehr als zwei Veränderlichen ist einleuchtend, so daß wir uns darauf beschränken dürfen, das Ergebnis zu formulieren:

Satz 4: Wenn f eine monogene Funktion von n Veränderlichen zx, z₂, . . . zn ist und der Bereich der erlaubten Werte von zx einfach zusammenhängt sowie die Stellen zx° und Zx enthält, bedeutet das Integral:

Zx

z₂, ... zn)dzx

eine monogene Funktion der n Veränderlichen Zx, z₂, ... zn. Ihr Wert ist unabhängig davon, welchen Weg man in dem Bereiche von zx bei der Integration einschlägt. Die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion F sind:

f C^l ? ^2 > • • • •Ol

dF

df(ßi » «s » • • • *»)

czk

0 = 2, 3,. . . w).

820. Die monogenen Funktionen als analytische Funktionen. Blickt man auf diejenigen Entwicklungen zurück, die in Nr. 641—647 gegeben wurden, so erkennt man nun, daß ihrer Verallgemeinerung auf monogene Funktionen von mehreren Veränderlichen kein Hindernis im Wege steht. Es würde zu weit führen, wollten wir dies in allen Einzelheiten erörtern; vielmehr begnügen wir uns damit, kurz auszusprechen, daß diejenigen Sätze, die sich auf gleichmäßig konvergente unendliche Reihen und ihre gliedweise Differentiation und Integration beziehen, auf unendliche Reihen von monogenen Funktionen von mehreren Veränderlichen sinngemäß verallgemeinert werden können.

Insbesondere ergibt sich als Verallgemeinerung des Satzes 19 von Nr. 643 der

Satz 5: Ist f(z1} z₂, .. . zn) eine monogene Funktion von zl, z₂,... zn, bedeutet ferner zfl, zf, •.. zn° irgend ein bestimmt gewähltes Wertsystem innerhalb ihres Bereiches und sind k1} k₂,.. . kn Kreise in der z^Ebene, z₂-Ebene, . . . zn-Ebene mit den Mittelpunkten zfl, z₂, .. . zn° und zwar Kreise, deren Flächen vollständig den Bereichen der einzelnen Veränderlichen angehören, so ist f innerhalb des durch diese Kreisflächen k1} k₂, ... kn bestimmten Variabilitätsbereiches darstellbar durch eine daselbst gleichmäßig konvergente Potenzreihe:

f = c₀ + [cn Oi - V) + (ha Os - zfl) H----+ cln(zn - zn°) ]

+ feil Ol - O² + 2c212 Ol - V) Os - *8°) + • • • + C2*»0* ~ ZnY\

Eine Funktion aber, die als konvergente unendliche Reihe, fortschreitend nach den ganzen positiven Potenzen von zt — zfl, z₂ — zfl, . . . Zn — zn°, darstellbar ist, nennt man — wie in Nr. 365 im Falle n — 1 — eine analytische Funktion. Der Sinn des letzten Satzes ist also dieser: Jede monogene Funktion von z1} z₂, ... zn ist in der Umgebung eines Wertsystems zt°, z₂°, . . . zn° innerhalb ihres Variabilitätsbereiches eine

[819, 8»»

analytische Funktion. Umgekehrt: Jede in der Umgehung des Wertsystems zx°, z₂, . . . zn° analytische Funktion ist ebenda eine monogene Funktion. Denn die Potenzreihe ist gliedweise differenzierbar, so daß sich also die Funktion mit ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig verhält und deshalb nach Nr. 817 monogen sein muß.

Entsprechend dem Satze 20 von Nr. 643 gilt noch der Satz 6: Eine monogene Funktion hat innerhalb ihres Bereiches überall Ableitungen beliebig hoher Ordnung, und diese Ableitungen sind in demselben Bereiche monogene Funktionen.

Die in Satz 5 auftretende unendliche Reihe ist natürlich nichts anderes als die verallgemeinerte Taylorsche Beihe, vgl. Satz 29, Nr. 137, für den Fall komplexer Veränderlicher.

Gebräuchlicher als die Bezeichnung: monogene Funktion ist der Name: analytische Funktion, weshalb wir künftig zumeist diesen Namen benutzen. Sehr bequem ist auch die Redeweise: Die Funktion f von zlf zt, ... zn verhält sich in der Umgebung der Stelle (Zj⁰, z₂°, . . . zn°) regulär. Dies soll bedeuten, daß sie in dieser Umgebung als eine gleichmäßig konvergente Potenzreihe wie in Satz 5 darstellbar, d. h. in der Umgebung eine analytische oder monogene Funktion ist. Man kann übrigens wie in § 5 des achten Kapitels, 2. Band, insbesondere Nr. 653 und Nr. 660, eine in einem Gebiete monogene Funktion fort zusetzen versuchen. Man gelangt auf diese Weise wie auch durch Integration (wie in Nr. 651, 652) zu vieldeutigen Funktionen. Wir betonen deshalb ausdrücklich, daß wir uns stets auf einen Variabilitätsbereich beschränken, in dem zu jedem Wertsysteme nur ein Wert der zu betrachtenden Funktion gehört, und außerdem soll sich die Funktion in der Umgebung eines jeden Wertsystems des Bereiches regulär verhalten.

821. Eine Vergleichungsfunktion. Unter den Voraussetzungen der in Nr. 818 bewiesenen Verallgemeinerung des Cauchyschen Fundamentalsatzes:

f{* x »    1 ...zn)dzldzi ...dzn

Gi — ci) (** — e«) • • • 0« — en)

(1)

(2 in)n

fff,

t (C1> C2 7 • • • Cn)

k₂

kann man ohne Mühe gerade so wie in Nr. 645 weitere Fol-

820, 831]

gerungen ziehen, indem man dieselbe Formel auf den Fall anwendet, wo cx durch cx-f <dcx ersetzt wird. Das Ergebnis ist der

Satz 7: Die Formel des verallgemeinerten Cauchyschen Fundamentalsatzes 3 in Nr. 818 darf beliebig oft partiell hinsichtlich cx, c₂, ... cn derart differenziert werden, daß man die Differentiationen auf der linken Seite unterhalb des Integralzeichens ausführt.

Nun läßt sich auch das Ergebnis von Nr. 648 verallgemeinern. Dies soll zunächst im Falle einer Funktion f von nur zwei Veränderlichen zx und z₂ gezeigt werden, die sich an der Stelle (cx, cf) regulär verhält. Es mögen rx und r₂ die Radien zweier solcher Kreise %x und x₂ in der ^-Ebene und z₂-Ebene sein, innerhalb deren Flächen f überall regulär ist. Die Radien seien aber so gewählt, daß dasselbe auch noch auf den Umfängen der Kreise xx und x₂ gilt. Ferner sei M das Maximum und N das Minimum, das ) f(zx, z₂) { erreicht, falls zx und z₂ irgendwie auf den Umfängen der Kreise variieren, d. h. im Falle |    — cx | = rx und |    ~ c2 I= r2 • Nach dem letzten Satze

folgt nun aus (1) hei der Annahme n = 2, wenn man a-mal hinsichtlich cx und /3-mal hinsichtlich c₂ differenziert und die Kreisumfänge xx und x₂ als Integrationswege benutzt:

f(z₁,z₂)dz₁dz2 (*i -c₁)a + \z₂-c₂f+l

a“⁺^/(cl;c₂)

a! ß\

dc^dc/

(2 in)

*ff'

al ß!

(2 ix)²

fis,, zf) dzz

j dzx.

Der absolute Betrag des Integranden des in der Klammer stehenden Integrals liegt zwischen M:r₂f⁺¹ und N:r₂ß + 1. Der Kreis %₂ als Integrations weg hat die Länge 2nr₂. Mithin liegt der absolute Betrag jenes Integrals nach Satz 11, Nr. 630, zwischen 2 7tM : r/ und 2orN:r/. Weiter folgt hieraus, daß der absolute Betrag des Integranden des auf zx bezüglichen Integrals zwischen 2nM : rxa+1r₂ß und 2tcN : r₁“+ ¹r₂f liegt, und weil 2itrx die Länge des Weges xx ist, folgt aus dem angegebenen Satze ebenso, daß der absolute Betrag des Doppelintegrals zwischen

Serret-Scłieffers, Diff.-u. Integral-Kechnung. III. 3. Aufl.

(2 tc) ² M

r‘r/

und

(2 n)*N_

W

liegt. Also geht die Formel hervor:

3a+/V(cMC,) I dc^dc/ I

cdßl N

a ! ß ! M

=

Dies Ergebnis gilt auch für a = 0 und /5 = 0; alsdann sind a! und /3! durch Eins zu ersetzen. Die Verallgemeinerung auf den Fall von n Veränderlichen geschieht ebenso, so daß sich entsprechend dem Satze 25 von Nr. 648 ergibt:

Satz 8: Gehören die Flächen der Kreise xx, x₂, ... xn mit den Mittelpunkten cx, c₂, ... cn und Radien rx, r₂, ... rn sowie die Umfänge dieser Kreise in der zxEbene, z₂-Ebene, .. . zn-Ebene vollständig dem Bereiche einer analytischen Funktion f von zx, z₂, . . . zn an und ist M das Maximum und N das Minimum von \ f(zx,z₂, ...#„) | für alle Wertsysteme (zx, z₂,

. . . zn), die durch Funkte auf den Umfängen der n Kreise dargestellt werden, so ist:

(2)

riar₂

t* —

ccx ! a₂ ! ... an !

N<!

cct ! a₂

dc^dc*... dcn“n

M.

rxa'r“*...rnan

Eies gilt auch, wenn eine der ganzen positiven Zahlen ax, cc₂, . . . an gleich Null gewählt wird, sobald nur 0/ durch Eins ersetzt wird.

Nach dem Vorgänge von Cauchy betrachten wir nun die

Funktion:

cp(zx, z₂, ... zf)

Dies ist eine analytische Funktion von zx, z₂, . . . zn für alle Werte von zx, z₂, ... zn innerhalb der Kreise xx, x₂, ... und auf ihren Umfängen, abgesehen von den Stellen:

zx=c₁+r₁, z₂ = c₂+ r₂, . . . zn= cn + rn auf den Kreisumfängen. Als die Ableitung:

dz₁aidzia'...dzna”

ergibt sich:

ccx ! a₂ ! . . . ccn ! M

ft

-TN-Uf¹)

Daher hat sie an der Stelle (ct, e₂, . . . cf) den Wert:

M.

ai •    • • • • an •

r^r^...rnan

Folglich liefert der letzte Satz das gewünschte Ergebnis, nämlich den

Satz 9: Wenn f eine analytische Funktion von zl7 z.₂, ... zn ist, wenn ferner die Stellen zx = cx, z₂ = c₂, . . . zn = cn und die Flächen der Kreise mit den Mittelpunkten c1} c₂, ... cn und den Badien r₁, r₂, . . . rn vollständig dem Bereiche der Funktion angehören und M der größte Wert ist, den der absolute Betrag der Funktion f erreicht, falls zx, z₂, ... zn auf den Umfängen der n Kreise variieren, so hat die im Innern der Kreise ebenfalls analytische Funktion:

5_ n__Sn

(‘

Zi — Ci

9>(*i, «2» • • • O =

ri

an der Stelle (c,, c₂, ... cf) lauter positive partielle Ableitungen, und es ist an dieser Stelle der absolute Betrag von f nicht größer als der Wert von cp und ebenso der absolute Betrag jeder partiellen Ableitung von f nicht größer als der Wert der entsprechenden partiellen Ableitung von cp.

Dieser Satz, die Verallgemeinerung des Satzes 26 von Nr. 648, ist für den Nachweis von Lösungensystemen bei Systemen von gewöhnlichen Differentialgleichungen von der größten Bedeutung, siehe Nr. 824.

§ 2. Existenzbeweis bei Systemen in der Normalform.

822. Partikulare Lösung einer speziellen gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung. Der Nachweis für die Lösungensysteme von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen im komplexen Bereiche wird, wie das Spätere zeigt, wesentlich erleichtert, wenn man zunächst einen gewissen ganz speziellen Fall erledigt hat. Wir betrachten deshalb hier die gewöhnliche Differentialgleichung erster Ord-imng:

27*

[8*1, 8**

Dabei sollen M, r und p drei gegebene positive Zahlen sein, während n eine positive ganze Zahl vorstelle. Dagegen sollen x und y nicht mehr wie im 2. und 3. Kapitel auf das reelle Gebiet beschränkt, vielmehr komplexe Yeränderliche sein.

Die rechte Seite der Gleichung (1) ist in dem Bereiche:

(2)

%\<r, I y I < ?

eine analytische Funktion von x und y. Es soll nun bewiesen werden, daß es eine und nur eine in der Umgebung von x = 0 analytische Funktion y von x gibt, die für x — 0 den Anfangswert Null hat und der Differentialgleichung (1) in dieser Umgebung genüge leistet. Dies läßt sich direkt zeigen, weil man die Veränderlichen in der Differentialgleichung (1) in der Form:

'S «

(l - >ffdy - -Mdx

trennen kann. Wenn nämlich x und y in den durch (2) bestimmten Bereichen in der Zahlenebene der x bzw. y beliebig gewählt werden und jedesmal vom Nullpunkte aus ein Integrationsweg nach der Stelle x bzw. y so gezogen wird, daß er ebenfalls in dem Bereiche bleibt, ergibt sich durch Integration:

Mdx

0.

fw-A

0 0

Nach Satz 15, Nr. 633, sind beide Integrale monogene Funktionen der oberen Grenzen, und ihre Werte sind von den eingeschlagenen Integrationswegen unabhängig. Ist eine Lösung y der Differentialgleichung vorhanden, die den angegebenen Bedingungen genügt, so muß die letzte Gleichung erfüllt sein, sobald man darin die Lösung y substituiert und sich auf hinreichend kleine Umgebungen von x = 0 und y = 0 beschränkt.

Das erste Integral ist leicht auszuwerten, das zweite wird durch die Substitution:

(3)

1 x z = 1--

vereinfacht. Es kommt:

8«»]

Wegen \x\ <r bedeutet z nach (3) eine solche komplexe Veränderliche, deren Bereich das Innere des Kreises vom Radius Eins mit dem Mittelpunkte z — 1 ist. Innerhalb dieses einfach zusammenhängenden Bereiches aber ist das in (4) auftretende Integral der Hauptwert des Logarithmus von z, nach Nr. 636, d. h. derjenige, der für z = 1 den Wert Null hat, da das Integral für z = 1 verschwindet. Dieser Hauptwert ist eine monogene Funktion ln z von z. Nun geht aus (4) wegen (3) hervor:

(n -f-1) Mr

Setzt man:

(n -f-1) Mr

(5)

so kommt durch Ausziehen der (n -f- l)ten Wurzel:

(6)

y — q — p n+Yt}

und es bleibt noch zu erörtern übrig, was für eine monogene Funktion von t unter der (n + l)ten Wurzel verstanden werden muß.

Wenn t eine komplexe Veränderliche vorstellt, wird ,!+jZ~t nach Nr. 655 nur dann eine einwertige monogene Funktion, wenn der Bereich von t in der Zahlenebene so weit eingeschränkt ist, daß es darin keinen vollständigen Umlauf um den Nullpunkt gibt. Da t nach (5) von x abhängt, kann man dies immer durch passende Einschränkung des Bereiches von x erlangen. Denn es genügt, dafür Sorge zu tragen, daß t für keinen erlaubten Wert von x negative reelle Werte annimmt, weil dann die negative reelle Achse in der Zahlenebene von t nicht überschritten werden kann. Nach (5) aber wird t nur dann reell, wenn x reell ist, und da aus (5) folgt:

(<-1)

(4)

w-f-l n + 1

= 0.

1 — — = e{n + l)Mr

würde sich für t nur dann ein negativer reeller Wert ergeben, wenn x reell und größer als

(?) wäre. Dieser Wert r ist Meiner als r. Indem man also die komplexe Veränderliche x von jetzt an auf den kleineren Bereich:

(8) beschränkt, erreicht man, daß die in (6) auftretende (n -f l)te Wurzel eine eindeutige analytische Funktion von t, also nach

(5) auch eine eindeutige analytische Funktion von x wird, vorausgesetzt, daß man angibt, welcher unter den M-f 1 Werten der Wurzel für einen bestimmten erlaubten Wert von t oder x angenommen werden muß. Für x = 0 wird t = 1 nach (5) ; es soll dann aber y = 0 werden. Mithin muß man nach (6) festsetzen, daß:

"TÏ-1

sein soll. Alsdann geben (6) und (5) die gesuchte monogene Funktion:

(9)

(n -f- 1) Mr

als die einzige Lösung der vorgelegten Differentialgleichung (1) mit dem Anfangswerte y = 0 für x = 0 und zwar in der Umgebung (8) von x.

823. Satz über die Lösuugensysteme eines Systems von gewöhnlichen Differentialgleichungen in der Normalform. Nach diesen Vorbereitungen, deren Ergebnisse wir in der nächsten Nummer anwenden, nehmen wir die Aufgabe in Angriff, den Beweis für die Existenz von Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen im komplexen Bereiche zu führen.

Zunächst gilt der

Satz 10: Liegt ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen in der Normalform vor:

dVi

dx

= /)0, Vx, y₂> ■■ ■ y»)

und verhalten sich die n Funktionen /j, f₂, . . . fn von x, yx, y₂, . .. yn in der Umgebung der Stelle (xQ, yf, y₂°, . . . yn°) regulär, so bilden n in der Umgebung von x₀ analytische Funktionen :

Vt =

(* = 1, 2,. . . n),

saa, sa3j

die für x = x₀ die Werte yf, y₂°, .. . y ff haben, stets in dieser Umgebung ein Lösungensystem des vorgelegten Systems von Differentialgleichungen, sobald nur ihre Ableitungen an der Stelle x = x0 mit denjenigen Werten der Ableitungen übereinstimmen, die sich aus den Differentialgleichungen selbst und den durch wiederholte vollständige Differentiation nach x aus ihnen folgenden Gleichungen an der Stelle (xQ, yf, yf, . . . yf) ergeben.

Wenn man nämlich das System:

yl = fi(x, yi, y2, - yn)

(i)

wiederholt vollständig nach x differenziert, gehen Gleichungen für die höheren Ableitungen der Funktionen ylf y₂, .. . yn hervor.

So z. B. zunächst diese:

(2)

Ofi

(i = 1, 2,. . . n),

usw. Es wird nun behauptet, daß die als vorhanden vorausgesetzten analytischen Funktionen:

Vi = <Pitx)

stets ein Lösungensystem bilden, wenn nur ihre Ableitungen an der Anfangsstelle x = x₀ selbst mit denjenigen Werten übereinstimmen, die sich aus (1), (2) usw. an der Stelle (x₀, yf, ył, ■ • • yn°) ergeben.

In der Tat, nach Satz 1, Nr. 817, werden die n Funktionen f.(x, yt, y₂, . . . y ff) in der Umgebung von x == x₀ analytische Funktionen von x allein, sobald darin für yx, y₂,. . . yn die Funktionen (3) von x eingesetzt werden. Dann aber lassen sich die Gleichungen (1), (2) sowie die weiteren durch Differentiation hervorgehenden Gleichungen so schreiben:

y* dx2 ;

(3)

fr*    rr

Vi = to yt =

und nach Annahme gelten sie für x — x₀. Nun aber ist:

— ^0

y' = ldh\ + Ä *

d 1 \dxjQ \dx²) o

1!

. (d*Ai\

^ \dx³J₀ 2!

und demnach:

vf= (f\ i (*Û\    , (&fï\

Ji \Ti. o t \dx)₀ 1!    ' \dx²/o    2 !

(* “ 1, 2, • . . w).

Die rechte Seite ist aber nichts anderes als die Entwicklung von ft nach Potenzen von x — x₀. Also sind die Gleichuugen (1) in der Tat erfüllt.

824. Existenz eines Lösungensystems eines Systems von Differentialgleichungen in der Normalform. Um

die Formeln bequemer zn gestalten, nehmen wir zunächst alle Anfangs werte gleich Null an und betrachten das System:

a.

(1)

= fi(x, Vu y₂, • • • yn) 0' = l, 2,... »)

unter der Voraussetzung, daß sich die n Funktionen /], f₂, . .. fn der n + 1 Veränderlichen x, yi, y₂, . . . yn in der Umgebung der Werte Null regulär verhalten.

Soll es nun in der Umgebung von x = 0 ein Lösungensystem yx, y₂, ... yn von (1) geben, das aus analytischen Funktionen besteht und für x = 0 die Anfangswerte Null hat, das also in der Form:

(2)

x , xi . yi = C»1 ÏT + Ci2 2Î + Ci

Xs

³ 3!

(i = 1, 2,... n)

darstellbar sein müßte, so liefert der letzte Satz ein Mittel zur Berechnung der Koeffizienten cn, ci2, ci3, .... Denn dies müssen diejenigen Werte sein, die sich ans den Gleichungen:

y[ = fi(x, yi, y₂> ■■■ yn),

" “àfi i dfi , . dfi r .    . df ,    , ₀    v

⁺    +    ' ⁺ Wj*’ ^ = lł ' ‘ • ^

für y-, y”, . . . ergeben, wenn darin x, yx, y2} . . . yn sämtlich durch Null ersetzt werden. Hiernach sind die Reihenentwicklungen (2) bekannt, und es steht auch nach dem letzten Satze fest, daß sie das einzige Lösungensystem von der vorgeschriebenen Art darstellen, vorausgesetzt, daß diese Reihenentwicklungen wirklich analytische Funktionen bedeuten. Es muß also nur noch bewiesen werden, daß die Reihen (2) Konvergenzradien haben, die nicht gleich Null sind.

Dieser Beweis ist so zu führen: Nach Nr. 820 gibt es zwei von Null verschiedene positive Zahlen r und p derart, daß die Entwicklungen der n analytischen Funktionen /], f₂, .. . fn nach Potenzen von x, ylf y₂, ... yn in dem Bereiche: æ I ^ r, 12/i ! ^ Q, I Sb I ^ Ç, ■ • • I Vu ! ^ Q,

(4)

möglich sind. Ferner sei M der größte Wert, den die absoluten Beträge von fx, fa, . . . fn annehmen können, wenn x alle Werte mit dem absoluten Betrage r bekommt und yx, y₂, . . . yn alle Werte mit dem absoluten Betrage q erhalten. Alsdann wird die Funktion gebildet:

(5)    ^(a?, yx, y₂, ... yn) =

und statt (£) das folgende System erster Ordnung von n gewöhnlichen Differentialgleichungen betrachtet:

(6)

In dem Bereiche:

|f = Vu y», • • • yn.) (* = i, 2,... n).

CD

MO, yx <q, Iya1 < Q, • . . Iyn 1 < Q ist ip eine analytische Funktion, und es ist leicht, dasjenige analytische Lösungensystem von (6) in der Umgebung von x = 0 za finden, das für x = 0 die Anfangswerte Null hat. Denn da die rechten Seiten aller Gleichungen (6) übereinstimmen und die Anfangswerte aller Lösungen yx, y₂, ... yn auch übereinstimmen sollen, müssen alle n Funktionen yx, y₂, ... yn gleich ein und derselben Funktion y werden, die der Differentialgleichung:

(8)

= <pG, y)

genügt, wobei cp aus xp hervorgeht, wenn yx, y₂, . . . yn durch y ersetzt werden. Es ist also:

cp(x, y) =

Mithin ist die Differentialgleichung (8) die in Nr. 822 betrachtete. Damals wurde gezeigt, daß sie gerade eine Lösung:

X , X² , X³ ,

y “ ai Ï7 + a2 2Ï + a3 3j + ' ■ *

hat, die für x = 0 verschwindet und in der Umgebung von x = 0 eine analytische Funktion ist. Folglich hat das System

(6) ein System von lauter gleichen Lösungen:

(9)

X , X² , X³ .    /• i o    \

yi = ai n 4" a2 27 + ^3 3? + • • -    (1 — 1,2,... n),

I x I < r,

die für x = 0 die Anfangswerte Null haben und in der Umgebung von x = 0 analytische Funktionen von x sind, nämlich in dem Bereiche:

wobei r nach (7) in Nr. 822 den Wert hat:

(10)

= (l — e~(» + i)^>) r

Nun lassen sich die Koeffizienten alf a2t a3f . . . in (9) auch aus dem Systeme (6) selbst berechnen, denn sie müssen mit den Ableitungen:

y! = ip{x, ylt y₂, ... yn\

„ dtp . dip , . dty r .    .dip    r

y* ⁼ d^ ⁺ d^Vl    + "' ⁺ Wnyn’

an der Stelle x = y₁ = y₂ — • • • = yn = 0 übereinstimmen, nach Satz 10, Nr. 823. Jetzt hat man sich daran zu erinnern, daß andererseits die Koeffizienten ca, ci2)... in den Entwicklungen

(2) mit den Werten der Ableitungen übereinstimmen, die sich aus (3) an derselben Stelle ergeben. Man kann nun den Satz 9 von Nr. 821 auf die Funktionen

fi(%, y i, ys, ■ ■ ■ y„) und ip(x, yuylt... yn)

anwenden. Denn wenn man in jenem Satze z2f ... zn durch x, 24, y₂, . . . yn und f durch f. ersetzt, außerdem alle Größen c gleich Null wählt und schließlich noch r1} r₂, . . . rn durch r und q ersetzt, wird die in dem Satze auftretende Funktion cp nach (5) gerade die jetzt mit ip bezeichnete Funktion. Danach ist an der Stelle x = yx = y₂ = • • • = yn = 0 sowohl \fi\^ip als auch der absolute Betrag jeder Ableitung von f. nicht größer als die entsprechende Ableitung von ip. Die Ableitungen von ip sind dabei ebenso wie ip selbst positiv. Die ersten Gleichungen (3) und (10) lehren also, daß:

I I ^ ai

ist, darauf die zweiten Gleichungen (3) und (10), daß:

I Ci2 I ^ a2

ist, usw., während ax, a₂, . . . positiv sind. Mithin sind die absoluten Beträge der Koeffizienten in den n Entwicklungen

(2) nicht größer als die durchweg positiven Koeffizienten in

834] der Entwicklung (9), von der feststellt, daß sie im Bereiche j x j < r konvergiert. Demnach konvergieren auch alle n Heiken (2) in diesem Bereiche, nach Satz 10, Nr. 105, und nach Nr. 362.

Hiermit ist der Existenzbeweis für ein solches Lösungensystem von (1) beendet, das für x = 0 die Anfangs werte Null hat.

Nimmt man an, daß sich die Funktionen f1} f₂, . . . fn in dem vorgelegten Systeme:

(11)

dx

= fi(x> Vi, V2, ■ • • yn) (* = 1, 2, • • • n)

in der Umgehung der Stelle (x₀, yf, y₂°, . . . y ff) regulär verhalten, so ist leicht zu beweisen, daß es ein und nur ein System von Lösungen gibt, die für x = xQ die Anfangswerte y ff, Vs⁰; • ■ ■ yn° haben, in der Umgebung von x = x₀ analytisch sind und die Gleichungen (11) befriedigen. Denn wenn man die Substitutionen:

(12) % = x-x₀, y₁ = y₁-yff, % = 2/₂-j/₂°, •••łL = 2/w-^⁰

macht, geht das System:

(13)

dVi

= fi(l + xo> Vi + y\i % + ył> • • • vn + yn°)

(i = 1,2,... n)

hervor, das nach dem, was soeben bewiesen wurde, ein und nur ein Lösungensystem:

dè,

(14)

Vi = <pS)

(i - 1, 2,... n)

(14),

hat, dessen Anfangswerte für | = 0 sämtlich gleich Null sind und das in der Umgebung von £ = 0 sowohl analytisch ist als auch die Gleichungen (13) befriedigt. Das fragliche Lösungensystem von (11) muß durch dieselben Substitutionen (12) in dieses System (14) übergehen. Mithin ergibt es sich aus wenn man die Substitutionen (12) wieder aufhebt, in der Form:

Vi = y? + <Pi(x - xo)

(* = 1, ², • • w).

Somit gilt der

Satz 11: Es liege im komplexen Bereiche ein System erster Ordnung von n gewöhnlichen Differentialgleichungen in der Nor

malform:

|f = fi(æ> yi, y*, • - • yn)    (^ = i, 2,... »)

mit n unbekannten Funktionen y₁, y₂, . .. yn der unabhängigen

[834

Veränderlichen x vor. Die n Funktionen /j, f₂, . .. fn sollen sich in der Umgehung der Stelle (x₀, yf, y₂Q, . . . yn°) regulär verhalten. Alsdann gibt es ein und nur ein System von Lösungen :

y₂=cp₂(x), ... yn = cpn(x),

y y = <Pi (%),

die für x = x₀ die Anfangswerte yf, y₂°, . . ■ yn° haben und sich in der Umgebung der Stelle x = 0 regulär verhalten.

825. Verhalten des Lösungensystems in bezug auf die Anfangswerte. Wieder liege das System in der Normalform vor:

(i)

man

=ft(x>    yJ (* = h■ ■ • »)•

Setzt

einer bestimmten Stelle (a, b1} b₂, ... bn) regulär verhalten, so kann man die Anfangs werte x₀, yf, y₂, . . . yn° in dieser Umgebung beliebig wählen. Zu ihnen gehört nach dem letzten Satze ein System von Lösungen, und wenn man diese Lösungen als Reihen nach Potenzen von x — x₀ entwickelt:

(x — x₀)

voraus, daß sich f1} f₂, . . . fn in der Umgebung

4---- (i = 1, 2, ... n),

(²) Vi = Vi + % —fr" +    ₂ ;

sind also cn, ci2, ... Funktionen von x₀, yf, y₂°, . .. yn°, nämlich diejenigen, die sich aus den Gleichungen (3) der letzten Nummer nach den Substitutionen x = x₀, yx = yx, y₂ =

. . . yn = yn° ergehen. Weil sich nun fx, f₂, ... fn in der Umgebung der Stelle (a, b1} b₂, ... bn) regulär verhalten, gilt dasselbe von ihren partiellen Ableitungen. Mithin verhalten sich cit, ci2, ... in der Umgebung dieser Stelle ebenfalls regulär. Nun gilt der Satz 21, Nr. 644, nach Nr. 820 auch für gleichmäßig konvergente unendliche Reihen von analytischen Funktionen mehrerer Veränderlicher, und deshalb verhalten sich auch die Funktionen (2) von x, von x₀ und von yf, y₂°, . . . yn° in der Umgebung der Stelle x = x₀= a, yi°=b₁, ... yn°= bn regulär. Zu dem Satze 11 der vorigen Nummer tritt also noch hinzu der

Satz 12: Verhalten sich die Funktionen /j, f₂, . .. fn von x, yi, y₂, - ■ ■ yn in der Umgebung einer Stelle (a, \, b₂, . . . bn) regulär und ist (x₀, y ff, y₂,... yn°) irgend eine Stelle in dieser Umgebung, so besteht dasjenige Lösungensystem des Systems:

834, 835]

àVi

dx

= fi(%, yx> y*, • • • y„) (i — l, 2,... n),

das für x = x₀ die Anfangswerte yf, y₂°, . .. yn° hat, aus solchen Funktionen:

Vi =    y*, yf, • • • Vn)

von x, x₀, yx°, y₂, . . . y ff, die sich in der Umgebung der Stelle x = a, x₀ = a, yf = bx, ... yn° = bn ebenfalls regulär verhalten. Zunächst hängt das Lösungensystem:

Vi =    3b⁰, 2/2°, • • • Vn) (» = 1, 2, .. . w)

von a? und von den w -f- 1 Größen #₀, ^⁰, y₂°, . . . yn° ab, die man als willkürliche Konstanten bezeichnen kann. Aber da dies Lösungensystem für x — a gewisse Werte y₁= Cx, y₂= C₂, . . . yn — Cn hat, ist es identisch mit dem Lösungensysteme:

(i = l, 2

in dem außer der bestimmten Zahl a nur noch n willkürliche

(3)

Vi= a, Glf Cv ... Cf)

Konstanten Cx, C₂, ... Cn, die sogenannten Integrationskonstanten, auftreten. Insbesondere liegt in (3) das System der JHauptlösungen vor, nämlich dasjenige, das für x = a gerade die Werte Cu C₂, ... Cn hat. Vgl. Nr. 761.

Hiernach sind wir imstande, auch die Betrachtungen von Nr. 762 und 763 auf den komplexen Bereich zu übertragen, sobald wir noch denjenigen Satz aufgestellt haben, der sich auf die Existenz unentwickelter Funktionen im komplexen Bereiche bezieht und auf Grund dessen auch Eliminationen wie in Nr. 763 statthaft werden. Diesen Satz werden wir in der nächsten Nummer beweisen. Es erscheint aber nicht nötig, die Entwicklungen von Nr. 762, 763 auch im komplexen Bereiche wiederzugeben, da sich keinerlei Schwierigkeiten einstellen.

§ 3. Die übrigen Existenzbeweise.

826. Unentwickelte Funktionen. Gegeben sei ein System von n Gleichungen:

(i = 1, 2,. . . n)

Fi(x, Vl, 3b, • • • Vn) = 0 zwischen n -f- 1 komplexen Veränderlichen x, yx, y₂, . . . yn. Die n Funktionen Fx, F₂, . . . Fn mögen sich in der Umgebung der Stelle (x₀, yx°, y₂°, . . . yn°) regulär verhalten und an dieser

(1)

Stelle verschwinden, d. h. das System (1) möge für x — x0 durch die Werte yt = yxQ, y₂ = y₂°, . . . yn = yn° befriedigt werden. Dagegen soll die Funktionaldeterminante (vgl. Nr. 80):

Fi F₂ ... Fn

Vi y₂ ••• yn-

an der Stelle (x₀, y®, y₂°, . . . yn°) von Null verschieden sein. Unter diesen Annahmen wollen wir beweisen, daß ein und nur ein System von Funktionen y1} y₂, . .. yn vorhanden ist, die für x — x₀ die Werte yj°, y₂°, . . . yn° haben, in der Umgebung von xQ regulär sind und die Gleichungen (1) befriedigen.

Ein solches Funktionensystem muß, wenn es existiert, auch diejenigen Differentialgleichungen erfüllen, die aus (1) durch vollständige Differentiation nach x hervorgehen:

dFj

, . dFt , ,    , BFt r A

Vl+d^^⁺"' ⁺ W,%~°

»).

Weil die Determinante 2) an der Stelle (x₀, yx°, y₂°, . . . yn°) von Null verschieden ist, gibt es nach Satz 2, Nr. 817, eine Umgebung dieser Stelle, wo ® überall von Null verschieden bleibt. In dieser Umgebung lassen sich deshalb die Gleichungen (2) nach den Ableitungen der y auflösen, wodurch ein System von Gleichungen in der Normalform hervorgeht:

Vi = fi(v, Vi, y», • • • Vn) 0' = b², • • • »), deren rechte Seiten sich in der Umgebung der Stelle (x₀, yt°, y2°, . . . yn°) regulär verhalten. Nach Satz 11, Nr. 824, gibt es' aber nur ein Lösungensystem von der gesuchten Art:

Vi = <Pi ix), y₂ — cp₂ {%), . . . yn = cpn (x).

Es bleibt also nur noch übrig, zu beweisen, daß dies auch die Gleichungen (1) befriedigt. Setzt man die Funktionen (4) in Flt F₂, . . . Fn für ylt y₂, . . . yn ein, so gehen Funktionen von x allein hervor, die in der Umgebung von x₀ regulär sind, und die linken Seiten der Gleichungen (2), die dasselbe wie die Gleichungen (3) besagen, gehen dabei in die Ableitungen dieser n Funktionen von x allein über:

dF,

(2)

(3)

(4)

dx

dx

(i = 1, 2,.. . n).

Demnach werden F₁, F₂, . . . Fn Konstanten, und da die Funktionen (4) für x = x₀ die Werte yx°, y₂°, . . . yn° haben, müssen diese Konstanten gleich den Werten yon Ft} F.,, ... Fn an der Stelle (x₀, y₁°, y₂°, . . . yn°), d. h. gleich Null sein. Folglich befriedigen die Funktionen (4) die Gleichungen (1).

Nachdem somit der Fall eines Systems (1) yon n Gleichungen in n + 1 Veränderlichen erledigt ist, betrachten wir den allgemeinen Fall eines Systems von n Gleichungen in m F n Veränderlichen xlf x₂, ... x^ und y1} y₂, . . . yn\

(5)

Fi(x1} x,, ... xm, ylt y₂, ... yn) = 0.

Die Voraussetzungen sind hier diese: Die n Funktionen Fu F₂, ... Fn sollen sich in der Umgebung der Stelle (x±, . . . x^r ■ • ■ Vn) regulär verhalten, sie sollen ferner an dieser Stelle selbst gleich Null sein, dagegen soll die Funktionaldeterminante :

««S bej

fc© fc©

(6)

an dieser Stelle von Null verschieden sein. Unter diesen Voraussetzungen wollen wir beweisen, daß es ein und nur ein System von n Funktionen yt, y₂, . . . yn von xx, x₂, . . xm gibt, die an der Stelle (xt°; x₂°, . . . xm°) die Werte y±, y₂°, . . . yn° annehmen, sich in der Umgehung dieser Stelle regulär verhalten und die Gleichungen (5) für alle Werte von xt, x₂, ... xm in dieser Umgebung befriedigen.

Dieser Fall ist auf den des Systems (1) zurückzuführen, indem man setzt:

(?) •T'i ⁼ ~F    ^2 ⁼ ^2 ~F    m ⁼ 'X'm ~F

Bedeuten nämlich |₂, ... Werte in dem Bereiche:

(8)

|6,|<i, ••• |«.l<i

und wird z auf einen hinreichend kleinen Bereich | z | < r beschränkt, so gibt (7) irgend ein Wertsystem in der Umgebung der Stelle (x^, x₂, . . . xm°). Durch Einführung der Werte (7) in (5) geht ein Gleichungensystem hervor, dessen linke Seiten Funktionen von z, ylf y₂, . . . yn sind, die sich in der Umgebung der Stelle (0, y®, y₂°, . . . yn°) regulär verhalten und an dieser Stelle verschwinden, während die Determinante ® daselbst nach

rsao

wie vor von Null verschieden bleibt. Außerdem enthalten die Gleichungen noch die m unter den Bedingungen (8) willkürlichen Konstanten %lf g₂, ... Nach dem, was beim Systeme (1) bewiesen wurde, gibt es ein und nur ein System von Lösungen y1} y₂, ... ym. Da sie noch von    ab-

hängen, seien sie so geschrieben:

(9)

Vi =    11,    • • • U (» — 1, 2, — »).

Wenn man £₂, ... mit irgend einer Zahl t multipliziert, deren absoluter Betrag kleiner als Eins ist, und zugleich z mit t dividiert, bleiben die Werte (7) ungeändert, und die Bedingungen (8) sind nach wie vor erfüllt. Also muß auch: sein. Da r < 1 angenommen werden darf, kann man insbesondere t = z wählen. Dann aber kommt:

9k ⁼ (^; £l? ^2> • • • %m) ⁼ 9k(l;    ^2^; * • • ^m^)‘

Mithin sind die n Funktionen (9) Funktionen von %xz, £₂£, . . . %mz allein. Da sie andererseits analytische Funktionen von z sind, lassen sie sich als Reihen nach Potenzen von z entwickeln, die folglich die allgemeine Form haben:

Vi = 2/i°+ \ßn%iz + ci2l₂z + • • • -f- Cim!;mz]

+ [cm(M² + ²oil2^z •&* + ••• +

Sie konvergieren unbedingt im Bereiche \z\<.r, falls £1? £₂, . . . irgendwie im Bereiche (8) gewählt werden. Aber man sieht, daß sie auch Reihen nach Potenzen der m Größen %xz, 1₂z, . . . %mz sind, die den Bedingungen:

\h*\<r, \&\<r, • •• \tm*\<r

genügen. Nach (7) kann man diese m Größen mit xt — xt°, x₂ — x₂, . .. xm — xm° bezeichnen. Somit kommt:

Vi = Vt + [cuOi - V) + ci2{x₂ - x₂°) + • • • + cim(xm- xm⁰)]

+    - O² + 2cil2(^ - x₁°)(x₂ - x₂°) + • • •

(* - 1, 2,... n),

und dies sind in dem Bereiche:

I *1 - VI < r, I % - x₂° j < r, . . . I xm - xj j < r unbedingt konvergente Potenzreihen, daher analytische Funktionen von xx, x₂, . . . xm.

Hiermit ist bewiesen der

Satz 13: Liegt ein System von n Gleichungen:

Fi(xu x₂, ... xm, ylf y₂, .. . yn) = 0 (i = 1, 2,.. . n)

in den m -f- n komplexen Veränderlichen xx, x₂, . .' xm, yx, y₂, . . . yn vor, wird es insbesondere durch das Wertsystem xxQ, x₂, . . . xm°, yx, y₂°, . . . yn° befriedigt, verhalten sich ferner die linken Seiten der Gleichungen in der Umgebung der Stelle (xx°, x₂, . . . xm°, yx°, y₂°, . . . yn°) regulär und ist überdies die Funktionaldeterminante: an dieser Stelle nicht gleich Null, so gibt es ein und nur ein System von Funktionen y1} y₂, . .. yn von xx, x₂, .. . xm, die sich in der Umgebung der Stelle (xx°, x₂°, . . . xm°) regulär verhalten, an der Stelle selbst die Werte yx°, y₂°, . . . y ff haben und dem Gleichungensysteme für alle Werte von x1} x₂, . . . xm in jener Umgebung genüge leisten.

827. Nachträgliche Bemerkungen. Soeben wurde die Verallgemeinerung des Satzes 17 von Nr. 697 auf den komplexen Bereich gewonnen. Es sei dabei auf einen Unterschied hingewiesen: Wenn man analytische Funktionen betrachtet, zieht der Nachweis ihrer Existenz stets von selbst den der Existenz ihrer Ableitungen nach sich; deshalb bedurfte es hier nicht wie z. B. in Nr. 696 besonderer Untersuchungen über die Ableitungen.

Ferner verweisen wir auf Nr. 187 zurück, wo die regulären und singulären Punkte von ebenen Kurven unterschieden wurden. Damals wurde unter einer Kurve in der Ebene der

Inbegriff aller Punkte verstanden, deren Koordinaten x, y eine solche Funktion F(x,y) gleich Null machen, die sich in der Umgebung eines Kurvenpunktes (x₀, yf) nach Potenzen von x — x0 und y — y₀ entwickeln läßt.

²⁸ [836,827

Serret-Scheffers, Piff.-u.Integral-Kedmung. III. 3. Aufl.

Diese Definition ersetzen wir jetzt durch folgende: Unter einer reellen Kurve in der Ebene wird der Inbegriff aller Punkte mit denjenigen reellen Koordinaten x und y verstanden, für die eine analytische Funktion F zweier im allgemeinen komplexer Veränderlicher x und y gleich Null wird:

(1)

F[x, y) = 0.

Alsdann ist jene in Nr. 187 gemachte Annahme erfüllt. Wenn F in der Umgebung der Stelle x — 0, y — 0 regulär und außerdem F(0, 0) = 0 ist, gilt eine Entwicklung wie die in Nr. 188 mit (1) bezeichnete und alles, was damals darüber gesagt wurde. Die Voraussetzung (4) von Nr. 188 ist in der Tat diejenige Bedingung, unter der die Gleichung (1) nach Satz 13 der letzten Nummer in der Umgebung von x = 0 nach y auflösbar ist, siehe (5) in Nr. 188.

Somit sind die in Nr. 188 gemachten Annahmen gerechtfertigt. Was dagegen einige Betrachtungen in Nr. 189 betrifft, wo es sich im wesentlichen darum handelte, die Gleichung (1) in der Umgebung der Stelle x = 0, y = 0 auch im Falle:

F® = 0

aufzulösen, so wollen wir nur bemerken, daß es zwar möglich ist, den Satz 13 der letzten Nummer etwa bei der Annahme einer einzigen Gleichung (1) auch auf solche Fälle zu erweitern, wo die Ableitung von F hinsichtlich y verschwindet, daß es aber nicht in unserer Absicht liegt, dies hier zu tun. Die notwendige Ausfüllung der in Nr. 189 gelassenen und dort ausdrücklich angegebenen Lücken findet man in den Lehrbüchern der Theorie der analytischen Funktionen.

828. Lösungen eines allgemeinen Systems erster Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Auf Grund des Satzes 13 von Nr. 826 läßt sich nun die Untersuchung der Lösungen eines allgemeinen Systems erster Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen:

(1) Ft{x, yu y*, ... yn, y/, ys', ... yn') = 0 (i = 1,2,... n) auf die von Systemen in der Normalform zurückführen. Denn die Betrachtungen in Nr. 776 lassen sich jetzt für den Fall anstellen, wo die Veränderlichen komplex sind. Unter dem Bereiche des Systems (1) ist dabei ein solcher Bereich der 2w-pl 837, 838] komplexen Veränderlichen x, ylf y₂, . . . yn, yf, y₂', . . . yn' zu verstehen, innerhalb dessen sich die n Funktionen Fx, F₂, ... Fn regulär verhalten; und dieser Bereich soll niemals verlassen werden. Alsdann gilt der Satz 16 von Nr. 776 auch für komplexe Veränderliche, sobald man sich auf solche Lösungensysteme beschränkt, die durch analytische Funktionen dargestellt werden. Es ist deshalb nicht nötig, das Ergebnis hier aufs neue zu formulieren.

829. Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen höherer Ordnung. Ganz dasselbe gilt von denjenigen Betrachtungen, die in Nr. 781, 782 für gewöhnliche Differentialgleichungen rter Ordnung in der aufgelösten Form: y{r) = f(x, y, y, ... y{r~1])

und in Nr. 787 für allgemeine gewöhnliche Differentialgleichungen rter Ordnung:

F(x, y, y', ... y{r)) = 0

angestellt wurden. Unter dem Bereiche der Differentialgleichung hat man dabei stets einen solchen Bereich der komplexen Veränderlichen zu verstehen, wo sich die Funktion f hzw. F regulär verhält, und dieser Bereich soll nie verlassen werden.

Wir müssen es dem Leser überlassen, auch alle anderen Betrachtungen der vorhergehenden Kapitel, wie die über singuläre Elemente, singuläre Lösungen und Lösungensysteme sowie über die eingliedrigen Gruppen von Punkttransformationen, in ihren Einzelheiten auf den komplexen Bereich zu übertragen. Die geometrischen, anschaulichen Deutungen gehen dabei allerdings verloren. Man pflegt aber auch in der Geometrie von imaginären Kurven, Flächen usw. zu sprechen, und wenn man dies tut, kann man doch in vielen Fällen den Wortlaut früherer geometrisch eingekleideter Ergebnisse auch noch im komplexen Bereiche beibehalten.

§ 4. Theorie der linearen Differentialgleichungen.

830. Voraussetzungen. Die Theorie soll insbesondere auf eine wichtige Klasse von gewöhnlichen Differentialgleichungen, auf die linearen, angewandt werden, von denen schon in Nr. 805 die Rede war. Bei diesen Differentialgleichungen

²⁸ * [838, 839,830

nämlich, kann man mit verhältnismäßig einfachen Mitteln Betrachtungen in derjenigen Richtung durchführen, die in Nr. 674 als die funktionentheoretische bezeichnet wurde. Nach Vorarbeiten von Sturm und Liouville ist ihre Theorie namentlich von Fuchs ausgebaut worden.

Nach Nr. 805 ist jede lineare Differentialgleichung einer verkürzten linearen Differentialgleichung äquivalent. Deshalb betrachten wir insbesondere die verkürzten linearen Differentialgleichungen rterOrdnung, also diejenigen von der Form:

(1) p₀(x)y +(x)y + • • •    + pr(x)y(r) = 0,

die durch Auflösung nach ?/r) in die Form:

(2)

y{r) = fo(x)y + f\(x)y +----f fr-t&W-¹'

übergeht, wobei also:

Po 0*0

Prix) ’

ist. Solche Differentialgleichungen heißen auch homogen linear.

In betreff der Koeffizienten p₀(x), px (x), . . . pr(x) könnte man z. B. die besonders einfache Verabredung treffen, darunter ganze rationale Funktionen der komplexen Veränderlichen x zu verstehen. Die Theorie, die bei dieser speziellen Annahme entwickelt werden kann, gilt aber in allem wesentlichen auch dann, wenn man etwas allgemeinere Annahmen macht, nämlich die folgenden:

Die Funktionen pQ (x), px (x), . . . pr(x) sollen in einem gemeinsamen Bereiche monogen sein, so daß sie in der Umgebung einer jeden Stelle xQ des Bereiches in der Form:

(4) pk(x) = ck0 + ckX(x-x₀) + ck2(x-x₀)² +••• (fc = 0,l,•••,*■) entwickelbar sind. Wenn alle r -f- 1 Funktionen etwa an der Stelle x₀ verschwinden, sind c₀₀, c₁₀, ... cr0 gleich Null. Beginnt nun die Reihe für pk(x) mit der nf*n Potenz von x — Xq und ist n die kleinste der r -fl Zahlen n₀, nt ... nr, so haben alle r -f- 1 Funktionen den gemeinsamen Faktor (x — x₀)n. Da er aus der Differentialgleichung (1) fortgehoben werden kann, dürfen wir voraussetzen: An keiner Stelle des Bereiches verschwinden alle r-j-1 Funktionen p₀(x),px(x), . .. pr(x)-Sieht man von denjenigen Stellen des Bereiches ab, wo insbesondere pr (x) gleich Null wird, so lehren die Formeln (3), 830]

(3)

fo(x) = —

••• fr-lO) = -

Pr-lfc)

Pr[X)

daß die Koeffizienten f₀(x), fx(x),. . . fr_x{x) der nach aufgelösten Differentialgleichung (2) sonst überall im Bereiche mono gene Funktionen sind.

In betreff der Stellen, wo pr(x) verschwindet, ist zu bemerken: Wenn xQ eine solche Stelle vorstellt und n₀, nt} . . . nr dieselbe Bedeutung wie vorher haben, ist nr ^ 1. Zu denjenigen Zahlen n₀, nx,. .. nr_1} die mindestens gleich nr sind, gehören Funktionen p(x), die nach Division mit pr(x) auch für x = x₀ stetig bleiben. Sie liefern also in der Umgebung von xQ monogene Koeffizienten der Gleichung (2). Da aber nicht alle r Funktionen p₀(x), px{x), . . . pr_x(x) für x = x₀ verschwinden, trifft jene Annahme nicht für alle r Zahlen n₀, n1} ... nr_₁ zu. Wenn z. B. nk<.nr ist, gibt die Division:

fk(x) = -

Pk(x)

Pr(x)

eine Funktion, die an der Stelle x₀ mit 1 : (x — x₀) in der (nr — nk)ten Ordnung unendlich groß wird (vgl. Nr. 127). Man sagt dann auch, daß fk(x) an der Stelle x₀ eine solche Unstetigkeit hat, die durch Multiplikation mit einer passenden ganzen positiven Potenz von x hebbar ist, nämlich mit der (nr — wÄ)ten, oder auch: daß x₀ eine außerwesentlich singuläre Stelle der Funktion fk{x) vorstellt. Demgegenüber hat z. B. ln x die wesentlich singuläre Stelle x — 0, denn es gibt keine ganze positive Zahl n derart, daß xn\nx für x = 0 stetig wäre.

Jede Stelle x₀, wo pr(x) = 0 wird, ist mithin für mindestens einen der Koeffizienten der Gleichung (2) außerwesentlich singulär. Alle diese Stellen heißen die Pole der Differentialgleichung im Gegensätze zu den übrigen regulären Stellen ihres Bereiches. Da sich der Bruch pr{x) : (x — xj)nr in der Umgebung von x₀ regulär verhält und für x₀ selbst nicht verschwindet, gibt es nach Satz 2, Nr. 817, eine solche Umgebung von x₀, wo der Bruch ebenfalls nirgends gleich Null wird. Dasselbe gilt dann von pr(x)> falls nur von ^er Stelle xü selbst abgesehen wird.

Mithin gibt es in jedem Teile des Bereiches, der endliche Abmessungen hat, nur eine begrenzte Anzahl von Polen. In den Figuren, die im folgenden zur Erläuterung dienen, sollen die stark markierten Stellen immer die Pole bedeuten.

831. Lösung in der Umgebung einer regulären Stelle. Nach Nr. 829 gibt es in der Umgebung einer regulären Stelle x₀ stets eine und nur eine analytische Lösung der verkürzten linearen Differentialgleichung:

(1)

y(r) = fo(x)y +    + —f fr~

sobald für y, y, . . . y^r~V) an dieser Stelle x₀ bestimmte Anfangswerte vorgeschrieben sind. Die Andeutungen in Nr. 829, wonach dies Ergebnis aus den Betrachtungen in Nr. 824 zu gewinnen ist, dürften aber gerade bei dem besonders wichtigen Beispiele einer verkürzten linearen Differentialgleichung zweckmäßigerweise eine ausführlichere Erläuterung verdienen.

Aus dem Bereiche sei deshalb ein Teilbereich ausgewählt, der nicht nur im Innern, sondern auch auf dem Rande nur reguläre Stellen hat. Dies erreicht man z. B., indem man das Innere beliebig kleiner Kreise um die Pole ausschließt und beliebig nahe der Grenze des Bereiches eine engere Grenze zieht, siehe Fig. 51. Falls der Bereich unbegrenzt ist, kann

an-

Fig. 51.

man als äußeren Rand des Teilbereiches etwa einen Kreis von beliebig großem Radius um den Nullpunkt als Mittelpunkt nehmen. Jedenfalls soll der Teilbereich von endlichen Abmessungen sein. Es gibt nun eine positive Zahl m derart, daß die absoluten Beträge von fQ(x), f\(x), ... fr_:(x) im Innern und auf dem Rande des Teilbereiches nirgends m übertreffen.

Setzt man wie in Nr. 805:

y' = y±, y" = %>••• y{r~1] = yr~u

und verwandelt man die Differentialgleichung (1) dadurch in ein System erster Ordnung in der Normalform:

dV _ .. dVi dx    dx

dVr-1

(2)

dx

yz, •

. dyr-

dx yr-l >

mit den r unbekannten Funktionen y, yi} . . . yr

831]

-u

so läßt sich

die Betrachtung in Nr. 824 ohne weiteres auf dieses System anwenden. Es werde also x₀ im Teilbereiche bestimmt angenommen, und es seien irgendwelche Anfangs werte y₀, yt°, . . . y^-i von V-, y■ Vr—i ^r x = x₀ bestimmt gewählt. Ferner bedeute B₀ den Radius desjenigen größten Kreises um x₀, der vollständig dem Teilbereiche an gehört. Außerdem sei noch eine positive Zahl p beliebig groß gewählt. Alsdann verhalten sich die rechten Seiten der Gleichungen (2) als Funktionen von x, y, yx, . . . yr_t unter den Bedingungen:

(3) 'x-x₀\^B₀, \y-y₀\<Q, yx-y? <Q, • • * yr-i~yr-i Sq regulär, und ihre absoluten Beträge sind für diejenigen Werte von x, y, y1} . . . yr_t, die den Bedingungen:

x-xQ\ = E₀, \y-y₀\ = Q, \yl-yi°\ = Q, ■ ■ ■ 2/,-i-2/M = ? genügen, nicht größer als die r Werte:

V + 9, |y«°l + ?;••• yr-i\ +

{\Vo\ + Q + \yt \ +(> + **• + \Vr-l\ + ^}-

Bedeutet 6 eine Zahl größer als |yQ\, yx , . . . \y^_x\, so sind alle r — 1 Werte in der ersten Zeile kleiner als 6 -f- p, während der in der zweiten Zeile kleiner als mr(ö -|-p) ist; folglich sind alle r Werte kleiner als:

Diese Zahl darf demnach als die Zahl M in Nr. 824 benutzt werden. Die Betrachtungen jener Nummer gelten nämlich um so mehr, Avenn darin M durch eine noch größere Zahl ersetzt wird. Außerdem tritt hier R₀ an die Stelle von r , und die Anzahl n muß hier durch die Anzahl r ersetzt werden.' Der in Nr. 824 unter (10) angegebene Radius r ist somit jetzt dieser:

Q_

beliebig groß gewählt worden. Mit

Die positive Zahl p wachsendem p nimmt der vorstehende Wert zu und zwar bis:

war

(4)

R₀'=R₀jl-e r(r+i)(« + i)|₇

vorausgesetzt, daß die Zahl 6 größer als \y₀\, | yx j, ... | y®_ Ł !

[831

existiert, d. h., daß die absoluten Beträge der Anfangswerte von y, Vu • • • Vr-x endlich sind. Der in der geschweiften Klammer stehende Faktor hat einen im gesamten Teilbereiche konstanten und von Null verschiedenen positiven Wert & kleiner als Eins.

Aus Nr. 824 entnehmen wir folglich das Ergebnis: In der Umgebung irgend einer Stelle x₀ des Teilbereiches gibt es ein und nur ein System von analytischen Lösungen y, yif . . . yr_1 des Systems erster Ordnung (2), sobald die Anfangswerte y ox Vi, • • • 2/r°_i der Lösungen für x == x₀ irgendwie bestimmt und endlich gewählt worden sind. Dies Lösungensystem gilt dabei mindestens in der Umgebung:

(5)

\x — x₀\ < @B₀

von x₀. Aus Satz 10 von Nr. 823 folgert man leicht: Soweit dasjenige Gebiet reicht, innerhalb dessen alle diese Funktionen yi yxi ■ • • yr-x nionogen sind und zugleich nur reguläre Stellen der Differentialgleichung (1) liegen, genügen die Funktionen dem Systeme (2). Nach den r—1 ersten Gleichungen (2) sind aber yl} . .. yr_x die r— 1 ersten Ableitungen von y. Wenn man also die Anfangswerte mit y₀, yQ\ . . . y^~^ bezeichnet, folgt weiterhin:

In der Umgebung irgendeiner Stelle x₀ des Teilbereiches gibt es eine und nur eine analytische Lösung y der verkürzten linearen Differentialgleichung (1), sobald für y, y', . . .    an

der Stelle x = x₀ irgendwelche bestimmte endliche Anfangswerte y₀, y₀', . . . y^~^ vorgeschrieben worden sind. Diese Lösung y gilt dabei mindestens in der Umgebung (5) von x0y und soweit sie darüber hinaus noch in einem Gebiete von regulären Stellen eine monogene Funktion ist, genügt sie auch dort noch der Differentialgleichung (1).

832. Analytische Fortsetzung¹. Das Ergebnis gilt für jede Stelle x₀ im Teilbereiche. Nimmt man x₀ auf dem Bande des Teilbereiches an, so wird R₀ = 0, also auch ®R₀ = 0, so daß der Beweis versagt. Die Beschränkung von x₀ auf das Innere des Teilbereiches stellen wir so her: Eine positive Zahl t wird beliebig klein gewählt; dann sollen nur solche Stellen im Teilbereiche betrachtet werden, die von seinen Rändern mindestens die Entfernung x haben. Für jede derartige Stelle 831, 83Ä]

ist JR₀ ^ x, daher auch &R₀ &x. Wie man also auch die Stelle x₀ im Innern des Teilbereiches und wie man auch die Anfangswerte y₀, y₀', . . . y^~1} wählen mag, stets hat die vor-gelegte verkürzte lineare Differentialgleichung:

(1)

y{r) = fo(x)y + fx(%)y H— 4- fr-i(x)y(r~¹⁾

eine und nur eine zugehörige analytische Lösung:

(2)

.    , x — x₀ „ (x — x₀)

y-yo + y₀ + yo die innerhalb eines Kreises um x₀ gilt, dessen Radius ivenigstens gleich &x ist. Die r ersten Koeffizienten in (2) sind die gegebenen Anfangswerte. Die übrigen kann man nacheinander aus der Gleichung (1) selbst und denjenigen Gleichungen berechnen, die aus (1) durch wiederholte Differentiation hervorgehen:

(yfr ⁺¹¹ -y + (/„+/,')tj -t-----t-(fr-2 + fr-l)y,'-tl+fr-l,/r’>

(3) U^-fa''y+{2f„'+f^y+---+(fr^+2f;_₁Y')+fr^*'\

worin man die Werte x₀, y₀, yQr, . . . y^ ~l) für x, y, y, . . . y{r~t) zu substituieren hat.

Liegt xt im Innern des Kreises um x₀ mit dem Radius &x, so ist nicht nur der Wert yx von y für x = xx auf Grund von (2) bestimmt, sondern dasselbe gilt für die Werte yx, yx",... der Ableitungen der Potenzreihe (2) für x = xv Nach Satz 19, Nr. 643, stimmt alsdann die Potenzreihe:

„ (x — x,Y

(4)

, X — X.    .

y = yi+yi tt + &

mit der Reihe (2) an jeder Stelle x überein, die innerhalb desjenigen größten Kreises um xx liegt, der in dem Kreise um x0 mit dem Radius ©x enthalten ist. Mithin ist die Lösung y der Differentialgleichung, bei der für x = xQ die Anfangs werte y₀, y₀', . . . y^~^ vorgeschrieben sind, identisch mit derjenigen, bei der für x = xx die Anfangswerte yt, yx, ..., y^{~^ vorgeschrieben sind, und die mindestens innerhalb des Kreises um xx mit dem Radius ©x gilt, also innerhalb eines Kreises, der über den Kreis um x₀ hinausgreift. In demjenigen Bereiche, den beide Kreisflächen bilden (siehe Fig. 52), liegt somit jetzt eine bestimmte monogene Lösung y der Differentialgleichung (1) vor,

vgl. Nr. 660, wo diese sogenannte analytische Fortsetzung allgemein betrachtet wurde.

rc₀

Diese Art der Erweiterung des Bereiches der monogenen Funktion y läßt sich wiederholt anwenden, aber in Nr. 660 wurde schon gezeigt, daß man dabei zu Widersprüchen gelangen kann. Deshalb sind einige weitere Schlüsse erforderlich.

Pig. 52.

Dabei schicken wir eine einfache Bemerkung voraus: Außer x₀ seien zwei Stellen xx und £ im Innern des Teilbereiches so gewählt, daß die Seiten des von x₀, xx und | gebildeten Dreiecks sämtlich kleiner als &t sind. Wenn dann y, y, y', . . . diejenigen Werte sind, die sich aus dem Werte (2) von y und aus den zugehörigen Ableitungen y, y'\ . . . für x = % ergeben, kann die Funktion (2) auch nach der Stelle £ hin fortgesetzt werden vermöge der Entwicklung:

r,(X~W

(5)

y = y + r[ -

p;

Pig. 53.

Diese Reihe gilt im Kreise um £ mit dem Radius &t, und der Kreis enthält die Stelle xx, siehe Fig. 53. Diejenigen Werte, die aus (5) und den Ableitungen von (5) für y, y, y", ... an der Stelle x = xx hervorgehen, sind dann nichts anderes als die in (4) auftretenden Werte yX} yX7 Vi"> • • ■> wie man sofort durch Anwendung des Satzes 30 in Nr. 659 erkennt. Anstatt also die Funktion (2) direkt nach xx hin in der Form

(4) fortzusetzen, kann man sie zuerst nach £ hin in der Form (5) und dann von da aus nach xx hin fortsetzen. Man sagt: Der Weg von x₀ nach xx ist durch die Folge der beiden Wege von x₀ nach | und von £ nach xx ersetzbar. Dies läßt sich umkehren: Die Folge der beiden Wege von x₀ nach Ü und von | nach xx ist durch den Weg von x0 nach xx ersetzbar.

Nun sei außer x₀ eine Stelle X im Innern des Teilbereiches gegeben. Von x₀ aus werde ein (offenes) Polygon x₀xxx.₂ . . . xnX bis X so konstruiert, daß alle Ecken im Innern des Teilbereiches liegen und alle Seiten des Polygons kleiner als &x sind siehe Fig. 54. Ferner sei von x₀ nach X ein 833]

zweites Polygon x₀xxx₂...xmX mit denselben Eigenschaften konstruiert. Der Einfachheit halber werde vorerst angenommen, daß die beiden Polygone einander nicht schneiden, so daß sie ein Flächenstück F einschließen. Wenn dieses Flächenstück F nur reguläre Stellen enthält, die sämtlich im Innern    V V

des Teilbereiches liegen, so läßt sich    j

Fig. 54.

nach weisen, daß die wiederholte ana-lytische Fortsetzung der Funktion y, die durch (2) definiert wird, längs des durch das erste Polygon angegebenen Weges an der Stelle X denselben Wert von y liefert wie die wiederholte analytische Fortsetzung längs des durch das zweite Polygon angegebenen Weges. Diese beiden Arten der wiederholten Fortsetzung sind, nebenbei bemerkt, deshalb möglich, weil jede folgende Ecke eines der Polygone infolge der gemachten Voraussetzungen innerhalb desjenigen Kreises um die vorhergehende Ecke gelegen ist, dessen Radius den Wert &t hat.

Zum Beweise überzieht man die Fläche F mit irgend einem Netze von lauter Dreiecken, deren Seiten kleiner als &t sind, wobei auch alle Ecken beider Polygone Ecken solcher Dreiecke werden sollen. Dies ist immer möglich. Da nach der vorausgeschickten Bemerkung die analytische Fortsetzung längs jeder Dreieckseite durch die Folge der beiden Fortsetzungen längs der beiden anderen Dreiecksseiten ersetzbar ist und umgekehrt, kann nun der Weg längs des zweiten Polygons Schritt für Schritt so verwandelt werden, daß er schließlich in den Weg längs des ersten Polygons übergeht. So z. B. ist in Fig. 54 der Weg von x₀ nach xl durch die Folge der Wege von x₀ nach £ und von | nach xx ersetzbar; ferner ist die Folge der beiden Wege von £ nach x₁ und von xx nach x₂ durch den Weg von i; nach x₂ ersetzbar. An die Stelle des Polygons x₀x₁xs ... xmX tritt also das Polygon x₀lx₂x₃ . . . xmX, und es bedarf keiner weiteren Auseinandersetzung, daß man ebenso schließlich das ganze zweite Polygon durch das erste ersetzen kann. Mithin ist der Wert, der sich für y an der Stelle x — X auf dem durch das zweite Polygon angegebenen Wege ergibt, genau derselbe wie derjenige, der

[83£

833. Zusammenfassung der Ergebnisse. Falls der Bereich der Differentialgleichung:

(1)

y[r) = fo(*)y + fi(x)y' + —f fr-\(x)y{r~iyi

endlos ist, geben wir ihm wie in Nr. 831 dadurch eine äußere Grenze, daß wir etwa um den Nullpunkt einen Kreis mit beliebig großem Radius ziehen. Wir betrachten die Lösungen der Differentialgleichung stets nur in einem solchen Bereiche, der außer Polen nur reguläre Stellen hat und dem endliche Abmessungen zukommen.

oX

°*o

Fig. 56.

auf dem durch das erste Polygon angegebenen Wege her-yorgeht.

Dieser Schluß erfordert nur eine begrenzte Anzahl von Operationen, wenn das Netz aus einer begrenzten Anzahl von Dreiecken besteht, wenn also die Fläche F von endlicher Ausdehnung ist. Dies aber trifft zu, weil der Teilbereich nach den in Nr. 831 getroffenen Maßnahmen endliche Abmessungen hat.

Wenn die beiden Polygone einander schneiden, wie z. B. in Fig. 55, worin eine Schnittstelle vorkommt, also zwei Flächen-

stücke Fx und _F₂ von ihnen ein-Ijc geschlossen werden, kann man, wie man nun nachträglich ohne Mühe einsieht, genau ebenso schließen, sobald jene Flächenstücke nur reguläre Stellen enthalten, die von den Rändern des Teilbereiches um mehr als ©t entfernt sind.

-TC

*o'

Fig. 55.

JCm.

Ein endlicher Bereich enthält nach Nr. 830 nur eine begrenzte Anzahl von Polen. Man kann ihn daher in einen einfach zusammenhängenden verwandeln (vgl. Nr. 632), indem man z. B. einen Pol mit einem zweiten durch eine Linie verbindet, ebenso den zweiten mit einem dritten usw., schließlich den letzten Pol ebenso mit der äußeren Grenze des Bereiches und dann festsetzt, daß keine dieser Linien überschritten werden darf, siehe Fig. 56. Alsdann haben noch statthafte Wege von x₀ nach X stets die Eigenschaft, daß sie nur 832, 833]

solche Flächenstücke einschließen können, die keine Pole enthalten. Mit diesen Wegen darf man aber auch beliebig nahe an die Grenzlinien herankommen, weil die Entfernung ©r von den Rändern beliebig klein gemacht werden kann, da r eine beliebig klein gewählte positive Zahl bedeutete. Mithin läßt sich das Ergebnis so aussprechen:

Satz 14: Liegt die verkürzte lineare Differentialgleichung rter Ordnung :

y{r) = foO)y + A 0)y 4-----0)y{r~1]

vor, und wird innerhalb des Bereiches der Differentialgleichung ein einfach zusammenhängender Bereich hergestellt, der keinen Bol enthält und überdies von endlichen Abmessungen ist, so gibt es eine überall in diesem einfach zusammenhängenden Bereiche monogene Funktion y von x, 'die der Differentialgleichung genügt , und zwar ist eine derartige Funktion vollkommen bestimmt, sobald für y, y, . . . yir~X) an einer bestimmten Stelle x₀ im Innern irgendwelche bestimmte endliche Anfangswerte y₀, yf, . . ., yff~V vorgeschrieben werden.

Diese Funktion wird in der Umgebung jvon x₀ durch die

Reihe:

(2)

y = Vo + yo x -ir +

„ (x — x₀y

als analytische Funktion dargestellt, und nach Satz 19, Nr. 643, gilt die Reihenentwicklung überall innerhalb desjenigen größten Kreises um x₀, der vollständig dem einfach zusammenhängenden Bereiche angehört. Man kann nun die vorhin willkürlich eingeführten neuen Grenzlinien immer so annehmen, daß dieser Kreis derselbe ist wie derjenige größte Kreis um x₀, der vollständig dem Bereiche der Differentialgleichung (nicht nur dem einfach zusammenhängenden Bereiche) angehört und keinen Pol enthält. Siehe die Fig. 56. Somit folgt:

Satz 15: Liegt die verkürzte lineare Differentialgleichung

yter Qrclnung;

y{r) — fo(x)y + fi(x)y' H-----b fr-i(v)y{r~¹⁾

vor und ist x₀ eine reguläre Stelle, sind ferner für y, y, . . . yir~ an dieser Stelle x₀ bestimmte Werte y₀, y₀', ... y{f ~vor geschrieben und werden schließlich noch die Werte yßr\ yjf⁺¹\ . . . von

[833

y(r\ y^⁺¹\ ... an derselben Stelle aus der Differentialgleichung und denjenigen Gleichungen berechnet, die man durch wiederholte Differentiation der Differentialgleichung erhält, so konvergiert die Entwicklung der Lösung y:

„ (x — x₀)²

y = Vo + y₀' —+ y₀

mindestens innerhalb desjenigen größten Kreises um x₀, der vollständig im Bereiche der Differentialgleichung liegt und keinen Pol enthält.

In Nr. 831 hatten wir nur einen kleineren Kreis fest

gestellt;, innerhalb dessen diese Reihe konvergiert. Durch den letzten Satz wird daher das Ergebnis von Nr. 831 vervollständigt.

Besonders sei darauf aufmerksam gemacht, daß nicht bewiesen wurde, daß der Kreis, von dem in dem Satze die Rede ist, der wirkliche Konvergenzkreis ist; vielmehr kann dieser noch größer sein, und das kommt tatsächlich vor, wie das folgende einfache erste Beispiel schon zeigt.

1. Beispiel: Die Differentialgleichung erster Ordnung:

(3)

J X

hat nur den Nullpunkt als Pol; alle anderen Stellen sind regulär. Diejenige Lösung, die für x = x₀ =j= 0 den Anfangswert y0 hat, lautet:

Vo

y — — x x₀

oder, als Reihe nach Potenzen von x — xQ geschrieben:

Da die Reihe abbricht, konvergiert sie überall im Endlichen, auch im Pole x = 0.

2. Beispiel: Die Differentialgleichung zweiter Ordnung:

(4)

y" — y

hat gar keinen Pol; alle Stellen sind regulär. Ihre Lösungen sind deshalb überall im Endlichen monogen. In der Tat, wenn für x = x₀ die Anfangswerte y₀ und y₀' vorgeschrieben werden, ergibt sich aus der Differentialgleichung (3) und denjenigen

833]

Gleichungen, die man durch wiederholte Differentiation von erhält:

(4)

n    rfr    / tu    rr

Vo ⁼⁼ y₀> Vo = — y₀ ; % = — y₀ = Vo usw-,

so daß die Lösung diese ist:

. f X    X²    , Xs . X⁴ ,

y = Vo + Vo f, — Vo jT ~ Vo st 4" y₀ 4j" 4—

oder also nach (2) in Nr. 373: y — yQ cos x + yQ' sin x.

3. Beispiel: Die Differentialgleichung zweiter Ordnung:

(Ö)

_ _ 4 £ - hi

J    X X² hat nur den Pol x = 0; alle anderen Stellen sind regulär. Diejenige Lösung also, bei der für x = x₀ =j= 0 die Anfangswerte y₀ und y₀' vorgeschrieben werden, wird sich als Potenzreihe darstellen, die für \x — rr₀| < |æ₀| konvergiert. Man kann leicht einsehen, daß sie keinen größeren Konvergenzkreis hat, denn die Gleichung (5) läßt sich so schreiben:

d\x²y)_ dx²

und liefert daher x²y = konst.x -f- konst., so daß man findet:

Vyo + Vy<>'

2x₀y₀ +x₀²tj₀’

In der Tat sind 1 : x und 1 : x² nach Nr. 657 in der Form:

entwickelbar, aber nur für \x — xQ\ < |a?₀|.

834. Analytische Fortsetzung um einen Fol herum.

Liegt wie in voriger Nummer die verkürzte lineare Differentialgleichung rter Ordnung:

(i)

ÿr) — faix)y + h(x)y' H-----1- fr-i(x)ÿ:'-"

und eine Lösung:

(2)

. r X X₀ . rr X Xq .

y = yo + yo — y?—b y₀    2y—b * * ■

in der Umgebung einer regulären Stelle x₀ vor, so ist dies die allgemeine Lösung, sobald die r Anfangs werte yQ, y₀',. . . ^⁻¹⁾

willkürliche Konstanten sind, ygl. Nr. 782. Die Gleichung (1) zeigt für x = x₀, daß sich yffi als lineare ganze homogene Funktion von y₀, y₍₎', . . . y^r~¹'⁾ dar stellt, und dasselbe gilt für

. ., da sie aus denjenigen Gleichungen zu be-

(r + 2)

rechnen sind, die aus (1) durch Differentiation hervorgehen. Wenn man also in (2) die bzw. mit y₀, y₀', . . .    be

hafteten Glieder für sich zusammenfaßt und dann y₀, y₀', . . .

als willkürliche Konstanten mit Gt, C₂, . . ., Cr bezeichnet, nimmt die Lösung die Form an:

(3)

y = Ci<Pi(æ) + G₂<p₂(x) +----f- Grg>r(x).

Hier tritt der Satz 12 von Nr. 805 deutlich zutage, indem sich die allgemeine Lösung linear und homogen mit willkürlichen konstanten Koeffizienten aus r partikularen Lösungen cpk(x), <jp₂(x), . . . cpr(x) zusammensetzt. Allgemein ist hierbei cpk(x) «ine Entwicklung nach ganzen positiven Potenzen von x — x₀, die mit der (1c — l)ten Potenz von x — x₀ anfängt.

Nimmt man für 6\, C₂, ... Cr bestimmte Werte an und schlägt man längs eines von x₀ ausgehenden Polygons einen Weg der analytischen Fortsetzung ein, der schließlich nach x0 zurückführt, so kommt man am Ende nach Nr. 832 zu genau derselben Lösung (3), falls das Polygon in einem einfach zusammenhängenden und von Polen freien Bereiche liegt. Nicht so braucht es sich zu verhalten, wenn das Polygon z. B. einen oder einige Pole einschließt. Allerdings ist auch dann die analytische Fortsetzung möglich, und man kommt schließlich in der Umgebung von x₀ wieder zu einer Lösung, aber nicht gerade zu derjenigen Lösung (3), von der man ausging. Da aber alle Partikularlösungen in der Umgebung von x₀ in der Form (3) darstellbar sind, kann das Ergebnis nur dieses sein:

Hat man Clf Ci}. . . Gr bestimmt gewählt und die Lösung auf irgendeinem Wege von x₀ aus im regulären Teile des Bereiches fortgesetzt, bis man schließlich nach x₀ zurückgelangt, so geht eine gewisse neue Partikularlösung:

y = C'iViO) + C₂'(p₂(x) +----(- Cr'(pr(x)

hervor, in der C/, C₂J ... Cr' im allgemeinen andere Werte als Clf CSf . . . Cr haben. Zwischen den alten Werten Ct,

834]

C₂, . . . Gr und den neuen Werten Cf, Cf, ... Cr' der Konstanten bestehen Zusammenhänge. Ohne näher darauf einzugehen, bemerken wir, daß diese Zusammenhänge -von der speziellen Art der Wege unabhängig und nur davon abhängig sind, wie die Wege die Pole einschließen, sowie daß man jeden Weg ersetzen kann durch die Folge einer Anzahl von Wegen, von denen jeder von x₀ nach x₀ zurückführt und nur je einen Pol enthält. Weiß man dann, wie sich auf jedem solchen Wege, einer sogenannten Fundamentalschleife, die Werte Clt C₂, . . . Cr ändern, so kann man auch für jeden anderen von x₀ ausgehenden und nach x₀ zurückführenden Weg die neuen Werte der Konstanten bestimmen.

Es ist jedoch nicht unsere Absicht, diese Betrachtungen weiter zu verfolgen. Wir haben sie nur deshalb angedeutet, um einen Begriff von der Bedeutung der Pole für die Lösungen der Differentialgleichung zu geben. Vollständige Umläufe um die Pole bewirken eben im allgemeinen, daß die Lösungen nicht mehr monogen bleiben, indem ihre Einwertigkeit auf hört. Eine ähnliche Erscheinung wurde in § 5 des achten Kapitels des 2. Bandes an mehreren Funktionen studiert, insbesondere an der Potenzfunktion, vgl. Kr. 654.

835. Allgemeinere Problemstellung. Bisher haben wir die Frage, ob es monogene Lösungen in der Umgebung eines Poles gibt, nicht erörtert. Wir wollen ihr jetzt näher treten. Leicht kann man an Beispielen sehen, daß, wenn x0 ein Pol ist, keine Lösungen zu existieren brauchen, die in der Umgebung von x₀ monogen sind. Da nun die Pole nach den letzten Andeutungen in voriger Nummer eine ähnliche Rolle spielen wie die Stelle x = 0 für die allgemeine Potenzfunktion xa, liegt es aber nahe, zu untersuchen, ob es nicht in der Umgebung eines Poles x₀ eine Lösung gibt, die sich in der Form:

y = 0 — %oY K + Ci 0 — ®₀) -r c₂ (x — xoy H----]

darstellen läßt, wo a irgend eine bestimmte Konstante bedeutet.

Natürlich sind dann nur solche Werte der Konstanten c₀, cx, c₂, . . . brauchbar, für die der Inhalt der eckigen Klammer in einer gewissen Umgebung von x₀ konvergiert. Übrigens kann man dabei c₀ bestimmt wählen, weil mit y ja stets auch

S er r e t-S chef f er s, Diff.-u. Integral-Keclmung. III. 3. Aufl.

²⁹ [834, 835

konst, y eine Lösung ist. Da die Annahme c₀ — 0 darauf hinauskommt, daß sich noch ein Faktor x — x₀ absondern läßt, also darauf, daß a durch a + 1 ersetzt wird, darf c₀ 4= 0 und mithin gleich Eins gewählt werden:

(1)

x = (x — x₀)a [1 4- C| o — x₀) + C₂(x — xoy -\----]

Was ferner die ate Potenz von x — x₀ anbetritft, so sind die Bemerkungen in Nr. 654 noch zu ergänzen, weil wir auch komplexe Exponenten a zulassen wollen. Auch dann läßt sich xa durch die Formel:

Xa = g W*“) — g&lnx

als Funktion von einer Funktion definieren, denn In x ist ja nach dem Beispiele in Nr. 651 eine monogene Funktion, sobald man von x = 0 aus in der komplexen Zahlenehene eine Grenzlinie s zieht, die nicht überschritten werden darf. Zugleich erkennt man, daß auch die allgemeine Potenzregel gilt:

%axß = galna; + (ilnx _ ß(a + [i)lnx __ ^a + ß

und nach der Regel von der Differentiation einer Funktion von einer Funktion (vgl. Nr. 625) ist außerdem:

dealnx

dxa

dx

dx

— .    ^cc 1 nx xP (%X^ —° ^

X    X    ’

so daß die elementare Regel für die Differentiation einer Potenz gültig bleibt. Entsprechendes gilt von der Potenz (x — x₀)a.

Die Frage, ob die verkürzte lineare Differentialgleichung in der Umgebung einer Stelle x₀ ihres Bereiches eine Lösung von der Form (1) hat, werden wir in der Folge unter gewissen Einschränkungen, aber unabhängig davon beantworten, ob x0 eine reguläre Stelle oder ein Pol ist.

836. Normalform der Differentialgleichung. Wie in Nr. 830 nehmen wir die Differentialgleichung in der Form an:

(1)

Po(x)v + i>i(x)y' + —f- Pr(x)y{r) = o.

Es sei x₀ eine Stelle ihres Bereiches, die entweder regulär oder ein Pol ist, d. h. es seien p₀, p1} . . . pr in der Umgebung von x₀ nach ganzen positiven Potenzen von x — x₀ entwickelbar. Wird allgemein angenommen, daß die Entwicklung von pk(x) mit der nktoJ1 Potenz von x — x₀ beginnt:

pk(x) = konst, (x — x₀)n* + konst, (x — #₀)”*+ ¹ + • • -r so muß wenigstens eine der r -f- 1 ganzen positiven Zahlen nQ, nx, ... nr gleich Null sein, weil sich sonst von der Gleichung (1) ein Faktor x — x₀ absondern ließe, was in Nr. 830 ausdrücklich ausgeschlossen wurde. Nun möge q die kleinste ganze positive Zahl, unter Umständen die Null, bedeuten derart, daß:

no + Q ^ 0, nx + q 1, . . . nr + q ^ r

wird, sodaß also bei mindestens einer dieser Bedingungen das Gleichheitszeichen gilt. Dann sind die Produkte:

■q₀(x) = (x-x₀)?pQ(x),

<h(x) = (x-x^~lpx{x)₇

(2)

ft 0*0 = (x-x₀ y~²p₂(x),

qr{x) ={x — xoy~rpr(x) ebenfalls nach Potenzen von x — x₀ entwickelbar. Wenn man also die Differentialgleichung (1) mit (x — xfß multipliziert, nimmt sie die Form an:

(3) q₀ (x) y + O - x₀) qx (x) y + (x - xQ)²q₂ (x) y" + • • •

+ (v—'x₀ )rqr(x)y{r) = 0, die man ihre Normalform in bezug auf die Stelle x₀ nennt.

1.    Beispiel: Bei der im zweiten Beispiele von Nr. 833 betrachteten Differentialgleichung:

y + y" = o

sind für x₀ = 0 die Funktionen p₀ (x), px (x), p₂ (x) gleich 1, 0, 1, d. h. hier wird w₀ = 0, nx = oo, n₂ = 0, so daß q = 2 gewählt werden muß. Multiplikation mit x² gibt demnach die Normalform in bezug auf die Stelle x₀ = 0:

x²y + x²y" = 0,

so daß q₀ (x) = x², qx (x) = 0 und q₂ (x) = 1 ist.

2.    Beispiel: Soll die im dritten Beispiele von Nr. 833 betrachtete Differentialgleichung:

2y -f 4xy -f x²y" = 0

in bezug auf die Stelle x₀ — 0 auf die Normalform gebracht werden, so hat man hier wegen p₀(x) = 2, px (x) — 4x, p₂(x) = x2 die Zahlenwerte nQ = 0, nx = 1, n₂ = 2, folglich q = 0. Also

[836

liegt die Gleichung schon in der Normalform vor. Dabei ist q^x) = 2, qt(x) = 4 und q₂(x) = 1.

837. Die determinierende Gleichung. Es liege nunmehr die Differentialgleichung in der zu einer Stelle x₀ ihres Bereiches gehörigen Normalform vor:

(1) q₀ (x) y+ (x — x₀) q₁ (x) y +----\-{x- x₀Y qr (x) y^ = 0.

Wenn man ihr durch eine Funktion y genügen will, die eine Entwicklung von der Form:

(2)

y = (x — Xo)a[l + ct(x-x₀) + c₂(x — x₀)² H----]

hat, kann man unter der zunächst noch nicht bewiesenen Annahme, daß der Inhalt der eckigen Klammer einen von Null verschiedenen Konvergenzradius habe, die Werte:

y = 0 - a?o)“ + q 0 - x₀)a+1 H----;

(x — x₀)y'= a(x — x₀)a -f q(a + 1) (x — x₀)

a+ 1

(3)

(x — Xo)ry^ = a(cc—l) • • • (a-r-\- l)(x — x^tt

+ q (a -f 1) a(a—1) • • • (a — r -j- 2) (# —-æ:₀)“ + 1 -f • • •

in (1) substituieren. Dann wird die linke Seite von (1) eine Entwicklung, die nach der aten, (cc + l)ten, (a + 2)ten, . . . Potenz von x — x₀ fortschreitet. Demnach ist vor allem zu fordern, daß hierin einzeln die Koeffizienten dieser Potenzen verschwinden. Durch das Nullsetzen der Koeffizienten gehen also diejenigen Bedingungen hervor, denen die Konstanten a, cu c₂, • • • in (2) genügen müssen, damit die Entwicklung (2) die Differentialgleichung formal erfülle. Falls die Konstanten cc, cx, c₂, . . . so gewählt worden sind, daß diesen Bedingungen genügt wird, ist schließlich noch der Nachweis zu führen, daß die in (2) in der eckigen Klammer stehende Entwicklung in der Umgebung von x₀ konvergiert.

Fürs nächste betrachten wir nur die formale Seite des Problems. Der Konvergenznachweis wird erst in Nr. 840 geführt werden.

Die erste von den nach der Substitution der Werte (3) in (1) hervorgehenden Bedingungen ergibt sich durch Nullsetzen des Koeffizienten von (x — xf)a. Sie heißt die zur Stelle x₀ gehörige determinierende Gleichung, weil sie die Form hat:

836, 837]

(⁴)    Î0 Oo) + ⁽h M « + ft (%)'K (« - 1) 4----

4 ?rK)ß(ß — 1) • • • (« — r 4 1) = 0,

nämlich eine Bedingung für u allein ist, und daher diejenigen Werte von a bestimmt, die überhaupt einzig und allein in Betracht kommen können. Die determinierende Gleichung ist vom höchstens rten Grade in a und zwar gerade vom rten Grade, wenn qr(x₀) =f= 0 ist. In diesem Falle heißt x₀ eine Stelle der Bestimmtheit. Wir werden den Nachweis von Lösungen (2) nur an solchen Stellen der Bestimmtheit führen.

Durch Nullsetzen des Koeffizienten von (x — x₀)a + n ergibt sich eine Gleichung von der Form:

(5)    [ft (x₀) + ft Oo) (« + n) + ⁽h Oo) (ce + n) (a + n - 1) H----

+ ft(4o)(a + n)(a 4 n — 1) • • • (a + n — r 4 1)] cn + Ko + &»1C1 + KzC2 ⁴---⁻ + K,n-lCn-l =

nur von den Koeffizienten der Ent-

n,n — 1

worin b

Wicklungen von q{)(x), qx(x), ... qr(x) abhängen und also bekannte Konstanten bedeuten. Da sich eine solche Formel (5) für n = 1, 2, 3, ... ergibt, lassen sich clf c₂, ... auf Grund dieser Rekursionsformel nacheinander berechnen, vorausgesetzt, daß der Koeffizient von cn in (5) für keinen dieser Werte von n verschwindet. Andernfalls ist es denkbar, daß sich Wider-

Sprüche ergeben. Der Koeffizient von cn in (5) unterscheidet sich von der linken Seite der determinierenden Gleichung nur dadurch, daß a 4 n an der Stelle von a steht.

Wir wollen daher an einer Stelle x₀ der Bestimmtheit nur solche Wurzeln a der determinierenden Gleichung benutzen, zu denen es keine ganze positive Zahl n derart gibt, daß auch a + n eine Wurzel der determinierenden Gleichung wird. Unter diesen Voraussetzungen gibt es stets eine Lösung (2), wie wir in der Folge beweisen werden.

838. Vereinfachung¹ des Problems. Wenn cc eine Wurzel ist, die der soeben ausgesprochenen Bedingung genügt, lassen sich widerspruchslos c1} c₂, . . . aus der Rekursionsformel berechnen, so daß die Differentialgleichung:

(1) q₀(x)y 4 0-x₀)qx(x)y' 4----\r(x- x₀)rqr(x)y^ = 0

von der Entwicklung: (2) y = (x-x₀)a[l + ct(x — x₀) + c₂(x-x₀y + • • •]

formal erfüllt wird. Der Nachweis der Konvergenz der Reihe ist noch zu führen.

Wenn man nun die neue unabhängige Veränderliche x = x — xQ und die Funktion:

ÿ = 1 + ct(x—x₀) + c₂(x — x₀y d----

statt y in die Differentialgleichung einführt, also:

(3)

x = x + x₀, y — xaÿ

setzt, nimmt sie augenscheinlich wieder dieselbe allgemeine Form an. Es möge also:

(4)

äo&)¥ + ägt(ä) §f H-----b xrqr(x) || = 0

die für ÿ als Funktion von x hervorgehende Differentialgleichung sein. Dann wird sie notwendig durch die Funktion:

(5)

ÿ = 1 + ctx + c₂x² H----

formal befriedigt. Umgekehrt: Wenn die Entwicklung (5) die Gleichung (4) formal befriedigt, muß auch die Entwicklung (2) die Gleichung (1) formal befriedigen.

Die Entwicklung (5) ordnet sich in ihrer Form der Entwicklung (2) für a = 0 unter.

Demnach ist es keine wesentliche Beschränkung der Allgemeinheit, wenn wir von vornherein annehmen, die betrachtete Stelle sei die Stelle x — 0, und für sie habe die determinierende Gleichung insbesondere die Wurzel a = 0, die alsdann benutzt werden soll. Entsprechend der letzten Bemerkung von Nr. 837 wird vorausgesetzt, daß x = 0 eine Stelle der Bestimmtheit sei und die determinierende Gleichung keinen der Werte 1, 2, 3 ... als Wurzel habe.

Nach (4) in voriger Nummer ist jetzt:

(6) 2o(°) + 2i(°)a q₂{0)a{a-l) Ą----

+ qr(0)cc(a— 1) • • • (a — r + 1) = 0

Grade sein

ten

die determinierende Gleichung. Da sie vom r soll, muß qr(G) =j= 0 angenommen werden, und da sie die Wurzel a = 0 haben soll, ist außerdem q₀(0) = 0 zu setzen. Also läßt sich der Faktor x von der Entwicklung von q₀(x) nach ganzen

positiven Potenzen von x absondern, und wegen qr(0) ={= 0 sind die Funktionen:

~ qr{Jy ~

- iUI

auch an der Stelle x = 0 monogen, d. h. nach ganzen positiven Potenzen von x entwickelbar, so daß die Differentialgleichung (1), worin x₀ = 0 ist, durch Division mit xqr(x) die Form annimmt:

g»(s)

qr(x)’ '

•• &-lO)

2r(*)

r-2

ör-i(*)y(r"¹⁾ + «,'‘Vr) = o. Es ist für das Folgende etwas bequemer, von den Entwicklungen von Qx(x), Q₂(x), ... Qr_x (x) nach ganzen positiven Potenzen von x die von x freien Glieder, die mit ax, a₂, • • • ar-i bezeichnet seien:

Ql(9) = ai> Q%(P) — a2> • • * Qr-1(^) = ar-l7 abzusondern und alle anderen Glieder auf die rechte Seite der Differentialgleichung zu bringen. Dabei setzen wir:

Qi (x)    Qi (Q)

- - PiO»), • • •

Qq(x) = “ P₀(*),

Qr -l(x) Qr -1 (0)

--Pr-lW-

Man bemerkt, daß P₀(x), Px(x), . . . Pr_x(x) immer noch in der Umgebung von x = 0 nach ganzen positiven Potenzen von x entwickelbar sind. Die Differentialgleichung hat jetzt die F orm :

(7) axy + a₂xij" H-----b ar_xxr~²y<r“■*> + af“Vr>

= P₀(æ)y'+ xPx(x)yf 4-----h xr~¹Pr_₁ (x)“ V

Schließlich geben wir noch einmal die zugehörige Form der determinierenden Gleichung für a sowie der Rekursionsformel für die Koeffizienten cx, c₂, ... der Entwicklung an, die jetzt gesucht wird, nämlich der Entwicklung:

(8)

y = 1 4- cxx -f- c₂x² Ą----

Die Rekursionsformel geht durch Substitution dieses Wertes y und der zugehörigen Werte von y, y", . . . yM in (7) und Vergleichung der Koeffizienten gleicher Potenzen von x auf beiden Seiten der Gleichung (7) hervor. Statt (6) haben wir die determinierende Gleichung:

(9) axa -f- • • • -f ar_₁cc(a — 1) • • • (a — r + 2)

+ a(a-l) • • • (a-r+1) = 0. Sie hat, wie es sein muß, die Wurzel cc = 0 und ist vom rten Grade in a. Für ergibt sich die Rekursionsformel:

(10) [axn    ör_i«(n — 1) • • • (w — r + 2)

+ »(w — 1) •••(» — r + l)]cB

n,n —

«0? nl) ' ' ’

b _x sind, was besonders betont werden muß, ganze homogene lineare Funktionen der Koeffizienten der Entwicklungen von P₀(x), Px{x), ... Pr_₁(x), und zwar haben diese linearen Funktionen ihrerseits lauter positive Koeffizienten. Nun aber

Nach Voraussetzung ist die Gleichung (9) für keine ganze positive Zahl n statt « richtig, d. h. der Faktor von cn in (10) ist stets von Null verschieden, so daß sich die Koeffizienten clf c₂, . . . nacheinander mittels dieser Rekursionsformel berechnen lassen. Die rechts auftretenden Größen b

sind die Koeffizienten der Entwicklungen von P₀ (x), Pt (x), . . . Pr_₁(cc) nichts anderes als Ableitungen der Funktionen PQ(x\ Px(x),... Pr_₁(x) für x — 0, dividiert mit gewissen Fakultäten. Folglich bedeuten bnQ, bnl,. . . b _t in der Rekursionsformel (10) gewisse ganze homogene lineare Funktionen der Werte der Ableitungen von P₀(x), Px(x), ... Pr_₁(x) an der Stelle x = 0, und die Koeffizienten dieser Funktionen sind durchiveg positiv.

Es erübrigt, zu beweisen, daß die Entwicklung (8), worin für cx, c₂,... die aus (10) zu berechnenden Werte eingesetzt worden sind, einen von Null verschiedenen Konvergenzradius hat. Ehe wir diesen Beweis führen, betrachten wir ein Beispiel.

839. Eine besondere verkürzte lineare Differentialgleichung riex Ordnung. Bedeuten R und k zwei positive Konstanten, so ist:

(1)

, V-*(i+S+£+-)

eine Funktion, deren Entwicklung für \x\ < R konvergiert. Wir betrachten nun die verkürzte lineare Differentialgleichung rter Ordnung:

838, 839] (2) y + xy" -f • • • -f xr~²y⁽'r~¹^ -f xr~¹yi~r)

= {y + xy 4-----(- xr-¹i/r~%

die sich der allgemeinen Form (7) in der letzten Nummer unterordnet, so daß es eine Entwicklung von y nach ganzen positiven Potenzen von x gibt, die der Gleichung (2) formal genügt. Ihre Koeffizienten wollen wir mit y1} y₂, . . . statt mit cx, c₂, . . . bezeichnen:

(3)

y = ¹ + rt% + H----

Im vorliegenden Falle läßt sich statt derjenigen Rekursionsformel, die in voriger Nummer aufgestellt wurde, eine bequemere bilden, indem man die Differentialgleichung (2) zunächst mit 1 — x : R multipliziert:

(l —    (y -\-xy'~1-----\-x¹

y{r]) = k(y+xy'-\-----\-x

S^’¹⁾)

und erst dann den Wert (3) sowie die daraus folgenden Werte von y', y"} . . . yW substituiert. Die Rekursionsformel lautet dann so:

\n + n (n — 1) -f- • • • -f- n (n — 1) • • • (n — r -f-1)] yn — ^[(w—1) + (w—1)(m—2) 4-----f (n — 1) (n—2) ■ • • (n—r)]y„_₁

=k[l+(n-l) + (n—l)(n—2)-{-----f (n— l)(w—2)---(w—r-\-l)]yn_t,

so daß:

Yn

Yn — 1

nr -j- • • •

wird, wobei die Punkte niedrigere Potenzen von n vertreten. Hiernach ist:

lim

Ynx    x

l* y„-iXn~¹ R’

d. h. die Entwicklung (3) konvergiert für \x\ < R, vgl. Satz 13; Nr. 105, und Satz 8, Nr. 362. Noch sei angemerkt, daß sich für yx, y₂, ... lauter positive Werte ergeben.

840. Der Nachweis der Konvergenz. Das soeben betrachtete Beispiel kann nun auch zum allgemeinen Nachweise der Konvergenz herangezogen werden. Wir werden nämlich erkennen, daß man die positiven Zahlen R und k in der Differentialgleichung der letzten Nummer immer so wählen

[839, 840

kann, daß die Koeffizienten y1} y₂, ... nickt kleiner werden als die absoluten Beträge der Koeffizienten c1; c₂, . . denen in der vorletzten Nummer die Rede war.

von

, % M <p(%) =--

Es sei P der Radius eines solchen Kreises um x — 0, innerhalb dessen sowie auf dessen Umfange die Funktionen P₀ (x), Px (x), . . . Pr_₁(x), die in der Differentialgleichung (7) von Nr. 838 Vorkommen, monogen sind, so daß es auch eine positive Zahl M derart gibt, daß die absoluten Beträge von P₀(x), Px{x), . . . Pr_x(x) für keine Stelle x auf dem Umfange dieses Kreises den Wert M übersteigen. Nach Satz 26, Nr. 648, ist dann jede Ableitung höherer Ordnung von irgendeiner der Funktionen PQ(x), Px(x), . . . Pr_x(x) an der Stelle x = 0 absolut genommen nicht größer als die Ableitung derselben Ordnung von

(1) an der Stelle x = 0. Die Funktion iJj(x) in voriger Nummer unterscheidet sich von der Funktion cp(x) nur um einen konstanten Faktor, und da die Zahl k dort irgendeine positive Zahl sein durfte, läßt sich die Differentialgleichung (2) der vorigen Nummer auch so schreiben:

(2)    p[y' + xy"Ą-----b P'~¹2/(r>] = <p(x)[y + xy'Ą----+ xr~¹y^-^\

worin jetzt p irgendeine positive Zahl vorstellt. Dagegen betrachteten wir in Nr. 838 die Differentialgleichung:

(3)    axy a₂xy" -j-----ar_₁xr-*y(r~¹'> -f xr~¹ yW

= P₀(x)y + xPx(cc)y H-----f xr-¹ Pr_₁(x)y(r-¹\

Mithin geht die Differentialgleichung (2) aus (3) hervor, wenn man die Koeffizienten ax, a₂, . . . ar_x und 1 durch p und die Funktionen P₀(x), P₁ (x), . . . Pr_x(x) durch <p(x) ersetzt. Aus der Rekursionsformel (10) von Nr. 838, nämlich:

(4) [axn-1-----\-ar_xn(n—l) •••(«—r+2)-j-w(w—l)-”(w—r+l)]cB

⁼ Ko + Kici + Kzc2 + ••• + &

n,n —

in der Form hervor:

(5)p\n H-----J- n(n— 1) • • • (n — r + 2) + n(n—1) • • • (n—r+l)]yn

⁼ ßnO + ßnlYl + ßn%y2 + * ' ' + ßn,n-lYn-l>

Dies ist eine andere Rekursionsformel als die in voriger Nummer aufge stellte.

Zur Vereinfachung des Ausdruckes setzen wir nun:

Bn = ajU + • • • + ar_₁n(n— 1) ■ • • (m —r + 2)

+ n(n — 1) • • • (n — r -f- 1),

Bn = w + • • • -f- n(n — 1) • • • (n — r + 2)

+ n(n— 1) • • • (n — r-\-1).

Dann nehmen (4) und (5) die einfacheren Formen an:

BnCn = Ko + Kl + • • • + K,n-lCn-l,

P^nYn = ßnO + ßnlYl + ’ * * + ßn,n-lYn-l‘

t gewisse ganze lineare homogene Funktionen der Werte der Ableitungen von P₀(V), Px{%),. . . Pr_₁(x) für x = 0, und zwar sind die Koeffizienten dieser Funktionen durchweg positiv. Also sind ß

Ki, - • • b

nO,

n,n —

Nach Nr. 838 sind b

nO’

ßni, • • • ßn,n-1 diejenigen Funktionen, die aus ihnen hervorgehen, wenn man die Ableitungen der Funktionen P₀ (x), P₁(x), ... Pr_₁(x) für x = 0 durch die Ableitungen gleich hoher Ordnung von cp (x) für x = 0 ersetzt. Demnach gelten wegen der vorhin über diese Ableitungswerte gemachten Schlußfolgerung die Ungleichungen:

{»)    \h„\£ß»o, \Ki\<ß

nl> *

.. b

11 = ßn,n — 1 '

Dabei sei noch angemerkt, daß ßn0, ßnl, • • • ß Konstanten sind und nach (6) auch Bn positiv ist.

Die positive Zahl p kann so klein gewählt werden, daß;

! positive

(9)

wird. Zum Beweise gehen wir davon aus, daß Bn und Bn nach (6) ganze rationale Funktionen rten Grades von n sind in denen nr den Koeffizienten Eins hat. Deshalb ist:

d. h. es gibt einen Index m derart, daß für n^m stets:

r^i<¹ + *

\Bn\

ist, wenn <7 eine beliebig klein angenommene positive Zabi vorstellt. Wird nun p kleiner als 1 : (1 -f- a) gewählt, so besteht die Bedingung (9) für jeden Index nf>m. Damit sie auch für n = 1, 2, . . . m — 1 gelte, braucht man der positiven Zahl p nur noch die m — 1 Bedingungen:

ABX\    AB

Bm_i

P < Bi , ' • ' P < p

aufzuerlegen, was immer möglich ist, weil dies eine begrenzte Anzahl von Forderungen ist.

Nun folgt aus (7) für n = 1 :

h.o ■Bi ’

v = ^10 p Bx »

also nach (8) und (9) auch |    \ < y₁. Ferner liefert (7) für

n = 2:

Ci =

C2

i?B₂

Infolge von (8), (9) und j q | < y₁ ergibt sich hieraus auch S c₂ ! <    , usw. Mithin sind die absoluten Beträge der Koeffi

zienten derjenigen Entwicklung:

(10)

y = 1 + oxx + c₂æ² -1----,

die der Differentialgleichung (3) formal genügt, kleiner als die entsprechenden durchweg positiven Koeffizienten derjenigen Entwicklung: die der Differentialgleichung (2) formal genügt und nach den Ergebnissen der vorigen Nummer für \x\ <. R konvergiert. Um so mehr ist also die Entwicklung (10) für \x\ < JR konvergent, nach Satz 10, Nr. 105, und nach Nr. 362.

841. Das Ergebnis. Hiernach können wir den Hauptsatz der Theorie der linearen Differentialgleichungen so aussprechen:

Satz 16: Es liege eine verkürzte lineare Differentialgleichung rter Ordnung für eine Funktion y von x vor, und es sei x = % eine Stelle in ihrem Bereiche und zwar eine Stelle der Bestimmt

vom r

heit, d. h. die zu x = x₀ gehörige determinierende Gleichung sei und nicht von niedrigerem Grade. Insbesondere bedeute

a eine solche Wurzel der determinierenden Gleichung, aus der durch Addition einer ganzen positiven Zahl keine andere Wurzel derselben determinierenden Gleichung hervorgeht. Dann gibt es eine und nur eine Entwicklung von der Form:

y = (x- x₀)a [1 + cx(x - x₀) +c₂(x- xoy +•••],

die der Differentialgleichung formal genügt, und zwar ist dabei der Inhalt der Klammer innerhalb desjenigen größten Kreises um x₀ konvergent, der nur reguläre Stellen der Differentialgleichung enthält, abgesehen von seinem Mittelpunkte x₀, der regulär oder ein Pol sein kann.

Der Kreis \x\ < 11 nämlich, der in der letzten Nummer auftrat, war dadurch charakterisiert, daß P₀(x), Px(x), . . . Pr_ X(x) innerhalb des Kreises und auf seinem Rande überall monogen sein sollten. Der Zusammenhang aber, in dem diese r Funktionen mit den Funktionen in der ursprünglichen Differentialgleichung :

(1) p₀{x)y + p₁ (x)y -f----+ pr_x(x)i/r-b + pr{x)y(r) = 0

stehen (vgl. dazu Nr. 836 und 838), zeigt, daß der Kreis | x | < R definiert werden kann als ein Kreis, in dessen Innern und auf dessen Umfange pQ(x), px(x), . . . pr(x) durchweg monogen sind, wenn von der Stelle x — 0 selbst abgesehen wird. Diesen Kreis kann man so groß wählen, wie es hiernach nur irgend möglich ist, und so kommt man zu demjenigen Kreise, von dem in Satz 16 die Rede ist, wenn man wieder x — x₀ statt x einführt.

Wenn x = x₀ insbesondere eine reguläre Stelle bedeutet, ist pr(x₀) =(= 0 (nach Nr. 830\ d. h. die Zahl nr in Nr. 836 wird gleich Null und deshalb q = r. Nach (2) in Nr. 836 werden also q₀(x₀), qx(x₀), . . . qr_x(x₀) gleich Null, dagegen qr(x₀) oder pr(xo) nicht, so daß die determinierende Gleichung (4) in Nr. 837 die einfache Form hat:

a (u — 1) • • • (a — r + 1) = ,0.

= r — 1. Nach Satz 16

Ihre Wurzeln sind u = 0, a = 1, . . . a gibt es demnach zu a = r — 1 gewiß eine Lösung:

y = (x- Æ₀)r-1[l + ciO - %> +    — ^o)² H----1

während der Satz für die anderen Wurzeln versagt. Wir

[841

haben aber schon in Nr. 834 erkannt, daß es r partikulare Lösungen <px(x), <jp₂(x), ... <pr(x) gibt, die bzw. mit der 0ten, lten, ... (r — l)ten Potenz von x — xQ beginnen. Demnach gehört doch zu jeder Wurzel der determinierenden Gleichung eine Lösung, sobald x₀ kein Pol ist.

842. Eine besondere verkürzte lineare Differentialgleichung¹ zweiter Ordnung. Als Beispiel zur Theorie wählen wir die Differentialgleichung:

(1)

rr

y =

6-1 ,

y - ay, die öfters in der mathematischen Physik vorkommt. Darin sollen a und 6 Konstanten bedeuten; insbesondere sei b =4= 1. Dann ist der Nullpunkt x = 0 der einzige Pol, während alle anderen Stellen regulär sind. In der Umgebung einer beliebig gewählten Stelle xQ gibt es also zwei Partikularlösungen, die als Reihen nach ganzen positiven Potenzen von x — x0 fortschreiten, und man kann ihre Koeffizienten in bekannter

Weise bestimmen. Von besonderem Interesse sind hier jedoch die Lösungen in der Umgebung des Poles x = 0. Zunächst wird die Differentialgleichung nach Multiplikation mit x auf diejenige Form:

(2)

axy + (1 — b)y + xy" = 0 gebracht, bei der nach (1) in Nr. 830:

p₀{x) = ax, Pt{x) = 1—6, y>₂{x) = x

von

ist. Die Zahlen n₀, n1} n₂ (vgl. Nr. 836) sind also die Zahlen 1, 0, 1, d. h. es muß q so gewählt werden, daß 1 -f q 0, p^>l, l-fp^2 wird. Die kleinste derartige ganze positive Zahl ist q = 1. Mithin ergibt sich die in Nr. 836 aufgestellte Normalform (3) der Differentialgleichung durch Multiplikation

(2) mit x:

(3)

ax²y + (1 — 6)xy -f- x²y" = 0,

so daß:

q₀(x) = ax², q₁(x) =1 — 6, g₂ (x) = 1

wird. Weil demnach qQ(0) = 0, qx (0) =1 — 6, g₂(0) = 1 ist, lautet die determinierende Gleichung (4) von Nr. 837 so:

(4)

(1 — b)cc + a(u — 1) = 0.

Sie hat die beiden Wurzeln a = 0 und a = b, und daher ist der Pol x = 0 eine Stelle der Bestimmtheit. Der Satz 16 der letzten Nummer kann auf beide Wurzeln nur dann angewandt werden, wenn ihre Differenz b keine ganze Zahl ist. Zur Aufstellung der Rekursionsformel substituieren wir den Wert: y = xa(l c₁x + c₂x² + • • •)

und seine beiden Ableitungen y und y" in (2) und setzen dann den Koeffizienten von xa+n~¹ gleich Null. Es kommt so für n = 1 und n = 2:

(5) (ß -f-1) (b — a — 1)^ = 0, (a -j- 2) (b — a — 2) c₂ — a, dagegen für n > 2:

(6)

(ß + n)(b - ß - ri)cn = acn_₂.

Weil h keine ganze Zahl sein soll, folgt aus der ersten Gleichung (5) und aus der Rekursionsformel (6) sowohl für ß = 0 als auch für a = b, daß alle Koeffizienten ci mit ungeraden Indizes i gleich Null sind. Dagegen ergibt sich im Falle ß = 0 für n = 2m der Wert:

C2m

am

m ! 2m (6 — 2) (b — 4) • • • (6 — 2 m) ’

also die Lösung:

yi = ¹ + b

und im Falle a = b für n = 2m der Wert:

(V

1 \ax²

— 2 1!

(6 — 2) (6 — 4)    2 !

C2m

am

ml (— 2)w (6 + 2) (6 -f 4) • • • (6 + 2m) ’

also die Lösung:

(8) y₂ = xb[l

1    %ax²

6 + 2 1 !

(& + 2)(ö + 4)    2!

•]

Beide Lösungen gelten in der ganzen Ebene; die zweite aber ist nur dann monogen, wenn von x = 0 aus eine Grenzlinie gezogen wird, die nicht überschritten werden darf. Mithin stellt: mit den beiden willkürlichen Konstanten G₁ und C₂ die allgemeine Lösung der vorgelegten Differentialgleichung (1) dar, vorausgesetzt, daß b keine ganze Zahl ist.

[84 2

Die Fälle, wo b eine ganze ungerade oder ganze gerade Zahl ist, sollen in den beiden nächsten Nummern behandelt werden.

843. Fortsetzung des Beispiels, erster Spezialfall.

Wenn b eine ungerade ganze Zahl bedeutet, ist der Satz 16 von Nr. 841 allerdings für eine der beiden Wurzeln a = 0 und a = b der determinierenden Gleichung nicht mehr anwendbar und zwar nicht für a — 0, wenn b > 0 ist, und nicht für a = b, wenn b < 0 ist. Dennoch aber bleiben die in den Werten von yx und y₂ auftretenden Entwicklungen auch für ungerades b konvergent, und da sie der Differentialgleichung formal genügen, stellen yt und y₂ auch in diesem Falle Partikularlösungen vor und zwar nach wie vor zwei linear unabhängige.

Man kann aber in dem vorliegenden Falle die Partikularlösungen auch auf einem anderen Wege bestimmen, den wir in aller Kürze an geben. Wenn b = 1 — 2 h gesetzt wird, wobei k also eine ganze Zahl bedeutet, lautet die Differentialgleichung (4) der vorigen Nummer so:

(1)

y + y + ay = o.

Wird nun die neue unbekannte Funktion z vermöge:

(2)

y == gßiVax

eingeführt, so geht für z die Differentialgleichung hervor:

(3)

xz" -j- (2i]/ax -f- 2k)z -f- 2ikYäz = 0.

Ist k insbesondere positiv, so kann man hieraus einen wichtigen Schluß ziehen, indem man die Gleichung so schreibt:

[xz" + kz] + [(2i}/ä x + k)z + 2ik^a z\ = 0.

Versteht man nämlich unter z die (k—l)te Ableitung einer Funktion u, so kommt:

[xu⁽'k+V} -f- ku®] -f- [(2iYax-\- Je)u® 4- 2ikYauP~t)] = 0, und hierbei ist der Inhalt der ersten Klammer die kte Ableitung von xu und der Inhalt der zweiten Klammer die kte Ableitung von (2i]/ax -f k)u. Demnach muß:

dk[xu -f- (2 i~\/a x 4- &) w] _ n dx*    =U

sein, d. h.:

84», 843]

xu -f- (2iYux-f- Je)u = Aq -|- A^x -f- A₂x^ —f~ - * * —|— A^ wobei Aq, Alf .. . A partikulare Lösung suchen, wählen wir diese Konstanten gleich Null und erhalten:

Konstanten bedeuten. Da wir nur eine

*-1

d ln u

dx

+ 2i}/a -f- — = 0

oder:

ln u -j- 2i Y a x -f- Je ln x — konst.

Nimmt man die Konstante insbesondere gleich Null an, so kommt:

u - %-ke~2iVax

und also, weil z die (Je—l)te Ableitung von u bedeutete:

dlc-¹x~ke~^x dxk 1

Somit liefert (2) die Partikularlösung:

y = ëV~a

xdk-'x-ke-**V

ax

dx*-¹

der vorgelegten Differentialgleichung (1). Da Y a durch — Ya ersetzt werden darf, ergibt sich noch eine zweite Partikularlösung und somit die allgemeine Lösung in der Form:

(4) y =

dxk~¹

-f- C₂e~i^

æ dk~xx~ke^x

dxk 1

wobei Ct und C₂ die Integrationskonstanten sind.

Auch dann, wenn Je eine negative ganze Zahl bedeutet, läßt sich die allgemeine Lösung in geschlossener Form darstellen. Man bemerkt nämlich, daß die Differentialgleichung (1), falls darin die neue unbekannte Funktion t) vermöge:

(5)

y = x¹~2k\)

eingeführt wird, übergeht in:

r+!>'+«>>- 0.

Diese Gleichung ordnet sich der Form (1) unter, indem jetzt an die Stelle von Je die Zahl 1 — Je tritt, die positiv ist, wenn le eine negative ganze Zahl bedeutet. Demnach gibt (4), wenn darin Je durch 1 — Je ersetzt wird, die allgemeine Lösung der

30

S e rr et- S chef f er s, Diff.- u Integral-Keełmung. III. 3.Aufl.

[843

neuen Differentialgleichung, und aus ihr geht nach (5) durch Multiplikation mit x¹~2k die allgemeine Lösung:

d-txt-¹e-uy

y = C₁x¹~2keiŸax

ax

dx~k

-j- Gix¹~'ike~i^'ax

dx k

der vorgelegten Differentialgleichung (1) für den Fall hervor, daß h eine negative ganze ZaJd bedeutet.

Die gefundenen Formen der allgemeinen Lösung, die der Differentialgleichung (1) in voriger Nummer zukommen, falls b eine ungerade ganze Zahl 1 — 2h bedeutet, gehen natürlich auch dadurch hervor, daß man die beiden in voriger Nummer mit yt und y₂ bezeichneten partikularen Lösungen (7) und (8) mit Konstanten multipliziert und addiert.

844. Fortsetzung des Beispiels, zweiter Spezial-fall. Schließlich ist noch der Fall zu erledigen, wo b eine gerade ganze Zahl bedeutet. Yon den beiden Wurzeln cc = 0 und a = b der determinierenden Gleichung ist dann bei der Anwendung des Satzes 16 von Nr. 841 die erste oder zweite unbrauchbar, je nachdem b > 0 oder < 0 ist. Man kann sich übrigens auf die zweite Annahme b < 0 beschränken. Denn vermöge der Substitution:

y = xbz

geht die Differentialgleichung (1) von Nr. 842 über in:

— b —

&rr

az,

d. h. in eine von derselben Form, wobei aber — b statt b auf-tritt. Demnach nehmen wir b = — 21c an, indem wir unter h eine ganze positive Zahl verstehen, so daß die Differentialgleichung so lautet:

(i)

2Ä + 1 ,

- ay.

Alsdann ist die Wurzel ćc = 0 der determinierenden Gleichung zu brauchen, d. h. die Entwicklung (7) von yx in Nr. 842 gibt eine Partikularlösung:

(ł^²)²

jax²

2F-j- 2 1!

Aus ihr kann man eine zweite von yx linear unabhängige Partikularlösung nach einer allgemeinen Methode gewinnen, die

843, 844]

(2Jfc + 2)(2Ä-J-4)    2!

erst später (in Nr. 847) erörtert werden wird. Hier genügt es, wie folgt zu schließen:

Soll es eine Funktion u(cc) derart geben, daß auch y=ii(x)y1 der Differentialgleichung (1) genügt, so muß sein:

u"y₁ + 2uyx + uy ” = - 2/-^~¹ (uy₁ + uyx) - auyx.

Da aber nach (1):

Vi — W i

2k+l ,

ist, heben sich die mit u behafteten Glieder fort, und es bleibt eine Gleichung, die nach Division mit uy₁ gibt:

d ln u

Demnach darf:

dx

+ ²^ +

= 0.

d. h.

ln u = — 2 ln yx — (21c -f l)ln x,

(3)

«lV*⁺¹

gewählt werden. Die Partikularlösung yx ist in der Umgebung von x = 0 monogen und verschwindet nicht für x = 0. Mithin läßt sich 1 : yx nach ganzen positiven Potenzen von x entwickeln. Also ergibt sich eine Gleichung von der Form:

_1_= _A_    j_____„(x)

wo (p{x) eine in der Umgebung von x = 0 gültige Entwicklung nach ganzen positiven Potenzen von x bedeutet und c₀, cx, ... c2i die ersten 2k -\- 1 Koeffizienten in der Entwicklung von 1 : yx sein sollen.

Nach Nr. 635 gibt die Integration längs eines Weges in der Umgebung von x = 0:

_ Cp _ g £ cl ™

2k    2k — 1

wobei co(x) eine in der Umgebung von x = 0 gültige Entwicklung nach ganzen positiven Potenzen von x ist. Man kann diesen Wert so zusammenfassen:

-2* + l

°²^-¹ Æ- x+ c2 k ln x + ca (#),

(4)

Y(x)

+ y ln x -(- m(x),

*²*

wobei Y(x) eine ganze rationale Funktion 2 74en Grades von x

T844

(8)

y = yx\n.x + z

zu machen, wodurch die neue unbekannte Funktion 8 eingeführt wird, von der wir von vornherein wissen, daß sie sich in der Umgebung von x = 0 regulär verhält. Die Differentialgleichung für 8 lautet nun so:

+    + aV\ ln x +

und y eine Konstante bedeutet. Die Differentialgleichung (1) wird demnach, wenn man u noch mit y₁ multipliziert, eine Lösung von der Form:

(5)

= Vi    + yhixp z

haben. Hier stellt z abermals eine in der Umgebung von # = 0 gültige Entwicklung nach ganzen positiven Potenzen von x vor.

Diese Lösung ist, weil Ina: auftritt, nach Nr. 636 mono-gen, wenn von der Stelle x == 0 aus eine Grenzlinie gezogen wird, die nicht überschritten werden darf, z. B. die negative reelle Achse.

Nachdem das Yorhandensein einer Lösung von der Form (5) feststeht, wird man, um ihre exakte Form zu finden, die Funktion (5) in (1) statt y einführen und dann durch Koeffizientenvergleichung die Werte der in Y(x) und z auftretenden Konstanten ermitteln. Wir wollen die Rechnung nur für den Fall Je = 0 durchführen. Alsdann ist nach (2) :

a³xG

2² ■ 4² ■ 6²

1    aX2 !

Vl = ¹--2⁸“ +

Aus (4) folgt wegen Je = 0, daß Y — 0 wird, also nach (5) :

Vi = VVi ln x + e.

Die Konstante y muß von Null verschieden angenommen werden, weil diejenigen Partikularlösungen, die sich als Entwicklungen nach ganzen positiven Potenzen von x darstellen lassen, die Form konst. yt haben. Da ferner mit y₂ auch konst. y₂ eine Partikularlösung sein muß, darf y = 1 gewählt werden. Demnach ist in der Differentialgleichung (1), die jetzt so lautet:

(6)

a²x⁴

2² ■ 4 ²

(7)

die Substitution:

y" + x+ ay = 0

und weil yx der Differentialgleichung (7) genügt, heben sich hier die mit \nx behafteten Glieder fort, so daß bleibt:

(9)

/' + — + az = —

X    X

Nun setzen wir hierin eine Entwicklung:

(10)

2 = \ + \x + \x* -]----

ein. Da nach (6):

ist, wenn man:

yx — 1 + Axx² + Ąx⁴ H----

(U)

(—1 )nan

2² ■ 4² • • • (2w)²

setzt, so zeigt die Vergleichung der Koeffizienten gleich hoher Potenzen von x auf beiden Seiten der Gleichung (9), daß blf &₃, ... verschwinden. Daher macht man besser statt (10) die Substitution:

(12)

s — JBq Bxx² -f- S₂xi -f- • • •

Alsdann gibt die Vergleichung der Koeffizienten von x2n beiden Seiten der Gleichung (9) die Rekursionsformel:

4 n²Bn + aBn_x = — 4 nAn.

-2

auf

Weil nach (11):

An => —

n

JL A

in² n-¹

ist, läßt sie sich so schreiben:

^ ₌ 1

An    An_x

und durch Addition aller dieser Formeln bis zu irgendeinem Index n ergibt sich:

Bn =BSl

Aff -A₀

(— 1 )”a"

B=-

Die Konstante B₀ wird hierdurch nicht bestimmt, und sie kann z. B. gleich Null gewählt werden. Dann folgt mit Rücksicht auf (11):

2² • 4² • • • (2 n)²

Nach (12) läßt sich jetzt z bilden und darauf nach (8) auch die gesuchte zweite Partikularlösung yx\n.x z, nämlich:

-yjnx

i

2² • 4² • • • (2 n)²

(1 — b)cp(n) = (2n — 1) f cos²”⁻²03 sin-fi + 203 da,

also nach Addition von (2n — l)q>(n), indem man cos²G3 -f- sin²co durch Eins ersetzt:

(3)

845. Darstellung der Lösungen des Beispiels mittels bestimmter Integrale, Wir wollen noch zeigen, wie man die Partikularlösungen der in den letzten drei Nummern betrachteten Differentialgleichung:

6 — 1 ,

-^-y - av

(i)

rr

y

für den Pall, daß a und b reelle Konstanten sind, mittels bestimmter Integrale darstellen kann.

Dabei schicken wir Bemerkungen über das bestimmte

Integral:

cp(n) = Çcos²”o3 sin⁻⁶eoc?c3 o

voraus, worin n eine ganze positive Zahl bedeutet. Dies Integral ist wohldefiniert, wenn b < 0 ist. Für b > 0 konvergiert es nach Satz 11, Nr. 471, sobald b < 1 ist. Wird also b < 1 angenommen und entsprechend (2) auch:

(2)

<p(n— 1) = f cos²” o

⁻²co sin-smda

gesetzt, so gibt die Formel (1) für die teilweise Integration in Nr. 415 für:

Y sin² o

v = cos²”⁻¹co sin⁻⁶⁻¹«

zunächst:

<p(n) =

oder:

7t

2n— 1 C

I COS²”

0

-2

co sin-i + 2co dm -f-

b -j- 1    / \

—2~~ <P (»)

[(2n — b) rp(n) = (2n— 1 )cp(n— 1).

Nun ergab sich in Nr. 842 als Partikularlösung (7) unserer Differentialgleichung eine von der Form:

2/i = l-f- c₂z² +    + • • -,

wobei:

845]

(2w-&)e2ra = - —c₂„_₂

war, vgl. (6) ebenda. Division mit der Gleichung (3) ergibt:

___C2n-r-2

2 n (2 n — 1) cp (n — 1) ■

C2n _ _

cp(n)

und aus dieser Rekursionsformel folgt:

₌ (— aT ¹

(2 ri) ! cp (0)

cp(n)

Da die Lösung yx mit einer Konstanten multipliziert werden darf, betrachten wir (p(Q)y₁ statt yx. Diese Partikularlösung hat alsdann eine Entwicklung:

bei der:

Vi — Vo + r₂z² + Y^ H----

(-«)"

(2n)|

9>(n)

Y 2n =

ist, und kann deshalb so geschrieben werden:

oo

(-<

(2 n) !

Wird hierin der Wert (2) von q>{n) substituiert, so kommt:

Vi

rS

o

(p(ri)x2n.

Vi =

^ 'S? (V— aoc cos CO)2n o o

(2«) !

sin“⁶co da.

oder nach (1) in Nr. 373:

7t

Vi =

ç]/— axcos co    Y — ax cos co

sin“⁶ 03 d a.

Um eine zweite Partikularlösung y₂ zu bekommen, kann man die Bemerkung zu Beginn von Nr. 844 benutzen. Danach geht y₂ hervor, wenn man in y₁ die Zahl b durch — b ersetzt und dann die Funktion mit xb multipliziert:

7t

Y — ax cosco

+ <T

y — ax cos co

sin*a da]

dies Integral ist jedoch nur für Konstanten b > — 1 zu gebrauchen. Die beiden Partikularlösungen y₁ und y.₂ sind

[845

also anwendbar, wenn b eine Konstante zwischen — 1 und -f- 1 ist.

Wenn a eine positive Konstante bedeutet, sind übrigens die Integrale nur scheinbar komplex, da sich yx und y.₂ nach

(6) in Kr. 373 so darstellen lassen:

y*

ax cos a) sin⁶a da.

Vi cos (V

0

7t

= xbJ‘ cos (y

0

cos a) sin~⁶<o da,

Im Falle b = 0 werden beide Partikularlösungen identisch mit:

j cos(yax cosa)da.

Da aber:

afi sin* ta — sin⁻*ta

a x cos a) lim

b = 0

ist, ergibt sich im Falle b = 0 noch die zweite Partikularlösung:

lim

da

7t

jcos (Ya x cos a) ln (x sin² to) da o

y'

Man kann übrigens leicht durch Anwendung der teilweisen Integration bestätigen, daß dies eine Lösung der Differentialgleichung:

v"=--x~ay ist.

846. Die spezielle Riccatische Gleichung. Die Integration der in Kr. 719 betrachteten speziellen Riccatischen Differentialgleichung :

(1)

y' + ay² = bxm

läßt sich auf das in den letzten Nummern erledigte Problem zurückführen. Führt man nämlich vermöge:

e = efaydx

§ 4. Theorie der linearen Differentialgleichungen, eine neue unbekannte Funktion z ein, d. h. setzt man:

az²’

y az’

z" z²

az

so gebt die verkürzte lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung für z hervor:

(2)

z" = abxmz.

Kennt man zwei linear unabhängige partikulare Lösungen zt und z₂ von (2), so daß G₁z₁ + C₂z₂ ihre allgemeine Lösung mit den Integrationskonstanten Cx und C₂ vorstellt, so ist:

(3)

ifiy + ąy a ( \ zx j C₂ z₂

die allgemeine Lösung von (1). Sie enthält in der Tat nur eine wesentliche willkürliche Konstante, nämlich den Quotienten

Gx : C₂.

Weiterhin kann man die Differentialgleichung (2) auf die in Nr. 842—845 betrachtete zurückführen, indem man als neue

unabhängige Veränderliche die Größe:

(4)

4-»» + 1

benutzt. Denn dann geht hervor:

d²z

m 1 dz 4ab ni -j- 2 t dt ' (m -Ç- 2)²

In der Tat ordnet sich diese Gleichung der Differentialgleichung (1) in Nr. 842 unter, indem z und t statt y und x auf-treten und a und & durch

(5)

dt²

und

m -f- 2

4 ab

(m -f 2)² ersetzt werden.

Noch sei angemerkt: Nach Nr. 842 läßt sich die Differentialgleichung (5) und daher auch die Riccatische Differentialgleichung (1) in geschlossener Form integrieren, wenn 2 : (m + 2) eine ungerade ganze Zahl 1 — 2Tc bedeutet, d. h. wenn m die Form hat: wo 1c eine positive oder negative ganze Zahl vorstellt. Dasselbe ergab sich schon in Nr. 719, siehe (14) ebenda.

rs4<>

§ 5. Nachträge zur Theorie der linearen Differentialgleichungen.

847. Erniedrigung der Ordnung mittels partikularer Lösungen der verkürzten Gleichung. Hier ist die geeignete Stelle, um die in Nr. 805 und 806 über lineare Differentialgleichungen gemachten Bemerkungen nach einigen Richtungen hin zu vervollständigen.

Wie in Nr. 805 liege eine allgemeine lineare Differentialgleichung rter Ordnung vor:

(1) yir) = f₀(x)y + fx (x)y 4-----h fr-! (x)y{r~1] + F(x).

Damals wurde gezeigt, daß man sie mittels der Methode der Variation der Konstanten integrieren kann, sobald man die allgemeine Lösung z der zugehörigen verkürzten linearen Differentialgleichung :

(2)

£(r) = Ü(F)z +fl{x)z 4----4- fr_^{x)z^r-^

kennt. Aber auch dann, wenn nicht diese allgemeine Lösung z, sondern nur einige linear unabhängige Partikularlösungen z = 94O), tp₂(x), .. . <ps(x)

von (2) bekannt sind, kann man daraus für die Integration der Diffentialgleichung (1) Vorteile ziehen, nämlich die Ordnung der Gleichung (1) um so viele Einheiten erniedrigen, als die Anzahl s der bekannten Partikularlösungen von (2) beträgt; außerdem treten dann noch s Quadraturen auf.

Wir verfahren ähnlich wie in Nr. 805, indem wir die Funktion bilden:

(3)

y = <px(x)ux(x) -f- cp₂(x)u₂(x) 4-----b <PÄx)us(x)-

Dabei seien die s Funktionen u1} u₂, ... us von x den s — 1 Bedingungen unterworfen:

(4)

während:

94 V 9⁾2w2 4* • • • 4~ 94M* — 0, (pfuf -f cp₂ u₂' 4- • • • 4- 94 us ⁼

cptf-^uf 4- fp{i~^u₂r -1-----b 9^_2)w/ = 0,

(5)

9>iÄ~¹⁾V +    4-----h    = Y(x)

gesetzt sei. Mit anderen Worten: Wenn

847]

*    <P,

(6)

<Pi <Pz ' • • <PS'

_1)cp

-i),

• • ^_1)

gesetzt wird und Di die zum iten Elemente der letzten Zeile gehörige Unterdeterminante bedeutet, sollen unter ux, u.₂', . . . u' die s Punktionen verstanden werden:

Jh Y

D

Die Determinante D ist ja von Null verschieden, weil cpx, cp₂, . . . <ps nach Voraussetzung linear unabhängig sind (vgl. Satz 4, Nr. 785). Über die Funktion Y von x behalten wir uns die Verfügung vor.

Für die Funktion y gelten nun nach (3) und mit Rücksicht auf (4) die Formeln:

CO

u- =

(i = 1,2,... s).

y = cp₁u₁ 4* cp₂u₂ +----h cpsus,

(8)

y = (pxux 4- cp₉'u₂ + • • • 4* <ps us,

■    -f-    + • • • +

Dagegen kommt mit Rücksicht auf (5):

(9)

yw = <pfux 4- cpfu₂ 4-----h (pfus 4- Y.

Differenziert man diese Formel wiederholt, indem man die Werte (7) der Ableitungen von u₁₇ u.₂, . . . us benutzt, so sieht man, daß sich die höheren Ableitungen von y so darstellen:

(10)

y(s + k) ₌ <p(» + *)Wi 4- (p^ + k)u₂ 4" • • • 4- <Ps's + *)w* +

wobei co* eine ganze lineare homogene Funktion von Y₇Y}... Y® ist mit solchen Koeffizienten, die bekannte Funktionen von x sind, weil sie sich durch tp1} cp₂, ... cps und ihre Ableitungen ausdrücken. Insbesondere tritt in cok mit dem Koeffizienten Eins auf.

Wir verlangen nun, daß die durch (3) definierte Funktion y von x die Differentialgleichung (1) erfülle, und machen deshalb die Substitution der Werte (8), (9) und (10) in (1). Dabei ist zu beachten, daß nach (2):

9>/r) = fo% + ft<Pi 4----+ fr-1 cP%r~0' = 1,2, • • • s)

[847

Ydx + ^jVią

(13)

1 1

eine Lösung der vor gelegten Differentialgleichung (1).

Sie enthält allerdings r willkürliche Konstanten Cv C₂, . . . Cr, von denen die r — s letzten in Y auftreten. Aber daraus darf man nur dann folgern, daß sie die allgemeine Lösung von (1) ist, wenn die für y, y,... yfr ~ ^ hervorgehenden Werte voneinander hinsichtlich C1} C₂, ... Cr unabhängig sind. Dies läßt sich so beweisen: Für y und die Ableitungen y, y", . . . yfr~ ü gelten die Gleichungen (8), (9) und (10). Die ersten s Gleichungen (8) sind wegen D =f= 0 nach C1} C₂,.. . Cs auflösbar. Da diese s Konstanten nur in ulfu₂, . .. us auftreten, eliminiert man sie, indem man ux, u₂, ... us aus den s Gleichungen

¹

Cn-l

geht deshalb die Rekursionsformel für die Koeffizienten yx, y₂, ... yn der in dem Kreise \x\ <P nach den Ergebnissen der vorigen Nummer konvergenten Entwicklung:

(8) berechnet und in die übrigen Gleichungen einsetzt. Die verbleibenden r — s Gleichungen haben nun die Form:

yw-Ao + r,

(14)

ist. Infolgedessen lieben sieb in der bervorgebenden Gleichung die mit ux, u₂, ... us behafteten Glieder fort, so daß bleibt:

= fsY+ fs + lal H---- + fr-s-lœ

Weil nun œx, co₂, . . . ar_s die vorhin angegebenen Formen haben, ist dies eine lineare Differentialgleichung von gerade (r — s)ter Ordnung für die Funktion Y.

Hat man ihre allgemeine Lösung Y als Funktion von x und von r — s willkürlichen Konstanten C gefunden, so folgt aus

(H)

cor

— 6*

+ F.

•• Gr

(7):

(12)

= Ydx + Ct

(*-1,2,... 4

wobei die Quadraturen von bestimmten unteren Grenzen an auszuführen sind und Cx, C₂, . deuten. Nach (3) ist alsdann:

. . C. willkürliche Konstanten be-

y{s+x) = h + <olf

-1- (O

¹ T —

.. K-s-1 von y> y y •• • y{*~l) und Ton <Pi> • • -

worin Â₀, X

cps sowie den Ableitungen der Funktionen <p bis zur (s — l)tenOrd-

îj •

nung abhängen, also jedenfalls von allen willkürlichen Konstanten frei sind. Die nach der Elimination von C1} C₂,.. . Cs übrig gebliebenen r — s Gleichungen (14) enthalten also die r — s willkürlichen Konstanten G

. . (X nur noch in

r

. Da nun mk allgemein als höchste Ableitung

Y, Gmr

von Y die kte mit dem Koeffizienten Eins linear enthält, lassen sich die Gleichungen (14) nach Y, Y, . . .    auf lösen.

Aber Y, Y', . . .    sind hinsichtlich G

•• cr

$ + 2? •

voneinander unabhängig, weil Y die allgemeine Lösung der linearen Differentialgleichung (r — s)ter Ordnung (11) bedeutet. Mithin sind die Gleichungen (14) nach C auflösbar, was allein noch zu beweisen war.

Somit gilt der

Satz 17 : Die Integration einer allgemeinen linearen Differentialgleichung rter Ordnung verlangt, falls schon s (< r) linear unabhängige Partikularlösungen der zugehörigen verkürzten Gleichung bekannt sind, nur noch die Integration einer linearen Differentialgleichung (r — s)ter Ordnung und s Quadraturen.

in Y, Y, ...

Da die Funktionen co₁, co₂, . . . cor_ linear und homogen sind, erkennt man, daß die Differentialgleichung (1.1) eine verkürzte ist, wenn F verschwindet. Demnach schließen wir:

Satz 18: Die Integration einer verkürzten linearen Differentialgleichung rter Ordnung verlangt, falls schon s (< r) linear unabhängige Partikularlösungen von ihr bekannt sind, nur noch die Integration einer verkürzten linearen Differentialgleichung (r — s)ter Ordnung und s Quadraturen.

Beispiel: Liegt eine allgemeine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung vor:

(15)

y" = /o(% + ft(x)y' + F{x)

und kennt man eine Partikularlösung z = <p(x) der zugehörigen verkürzten Gleichung:

*' = /o<» +

so kommt die Integration nach Satz 17 auf die einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung zurück, die aber nach Nr. 716 durch Quadraturen geleistet werden kann. Demnach sind in diesem Falle überhaupt nur Quadraturen erforderlich.

[847

Wie sich hier die allgemeine Methode darstellt, sei noch kurz angegeben: Nach (3) wird y = cpu gesetzt und nach (5):

(16)

cpu = Y.

Nach (9) ist nun, weil jetzt s = 1 angenommen werden muß:

y = cp u -f Y.

Hieraus folgt durch Differentiation mit Rücksicht auf (16): '

y" = y"u + cp'u' +Y' = cp”u + ^ Y + Y.

Setzt man die Werte von y, y' und y" in (15) ein, so heben sich die mit u behafteten Glieder fort, und es kommt für Y die lineare Differentialgleichung erster Ordnung:

r-(fl-ÿr+F.

Hat man sie nach Nr. 716 mittels zweier Quadraturen vollständig integriert, wobei eine willkürliche Konstante C₂ auftritt, so wird mittels einer Quadratur nach (16) noch:

u = dx -f Gx

berechnet und schließlich y = cpu gebildet.

Ein anderes Beispiel hierzu werden wir in Nr. 850 bringen.

848.¹) Ableitung desselben Ergebnisses mittels infinitesimaler Transformationen. Wenn wieder die lineare Differentialgleichung rter Ordnung:

(l) y{r) = f₀(x)y + A(cc)y' + —V fr-10¹0 y{r ~v + F(x) vorliegt und s linear unabhängige Partikularlösungen cp±, cp₂, . . . <ps der zugehörigen verkürzten linearen Differentialgleichung:

(2)

Z{r) ₌    + f^xy _|-----|_

bekannt sind, ist zunächst Gx cpx (x) eine Lösung von (2), wie auch die Konstante Gx gewählt sein mag. Nach Satz 11 von Nr. 805 ist mit y also auch stets y -f Cx cp (x) eine Lösung von (1). Aber die Gleichungen:

(3)

x = x, ÿ = y + iq>i(x) stellen eine eingliedrige Gruppe dar (vgl. Nr. 731 u. 734), denn wenn man nacheinander ansetzt:

x₁ = X,

Vt= y + 49hO);

x₂ = Xi, y^-y^-V 4ti(xi)>

gibt die Elimination von ^ und x% aus den beiden letzten Gleichungen mittels der beiden ersten:

#2 — x> y-2 = y + (4 + 4)0)>

und diese Gleichungen haben wieder die allgemeine Form (3), Da x bei der eingliedrigen Gruppe (3) ungeändert bleibt, kann man also sagen: Jede Lösung y von (1) gebt bei allen Transformationen der eingliedrigen Gruppe wieder in Lösungen von (1) über. Die Differentialgleichung (1) gestattet deshalb die infinitesimale Transformation einer Gruppe, deren Symbol ist:

Uf= cpi(x)

df

dy ’

indem hier | = 0 und łj = q>x(x) wird. Nach (3) in Nr. 811 wird = cpf (x), so daß man zur Berechnung der Differential-invarianten J₀ und Jt von nullter und erster Ordnung nach (2) ebenda das System hat:

dx

dy

dy’

0 cpfx) cpf{x)>

dem offenbar die Integrale:

Jo = x, J\— y ~ y

zukommen. Indem man J₀ und Jx als neue unabhängige und abhängige Veränderliche einführt, muß sich daher die Differentialgleichung (1) auf eine von nur noch (f — l)ter Ordnung reduzieren, nach Nr. 813. Da J₀ gleich x selbst ist, heißt dies,, daß man nur eine neue abhängige Veränderliche:

(4)

.    t cpf    ,    d ln cp,

»-</ -fty-y - a ,u

statt y einzuführen braucht. Weil sich tf, t)", ..    hiernach

als lineare homogene ganze Funktionen von y, y, . . . yW darstellen, leuchtet ein, daß die für t) hervorgehende Differentialgleichung (r — l)ter Ordnung wieder linear sein muß und übrigens dasselbe letzte Glied F(x) hat.

Zuerst lag die lineare Differentialgleichung rter Ordnung für y vor, und es war uns bekannt, daß mit y auch stets

y + CifPiOs) + c₂(p₂(x) h-----\- cscps(x)

eine Lösung von ihr ist, wie auch die Konstanten Clf C₂, . . . Cs gewählt sein mögen. Jetzt gilt Entsprechendes: Für t) liegt eine lineare Differentialgleichung (r— l)ter Ordnung vor, und aus (4) folgt, daß mit t) auch:

y + Gi<Pi + • • • + c»<Pt'    + c+ • • • -f- Cscps)

'r l

■oder also:

t) + C₂ (rp₂

^ H    + Gs(<Ps'

•eine Lösung von ihr ist. Demnach treten hier an die Stelle von y, r und s die Bezeichnungen 1), r — 1 und s — 1 und an die Stelle der s Funktionen q>lf cp₂, ... <ps die s — 1 Funktionen:

d ln <pt

,    ,    d ln cp.

ll>₂ = Cp₂ —

• * • Vs = 9>/ - <Ps

dx

Sie sind wiederum linear unabhängig. Sonst nämlich müßte es s — 1 nicht sämtlich verschwindende Konstanten c₂, c₃, . . . <es derart geben, daß: wäre, woraus sofort folgen würde:

dln(c₂cp₂ -J-----₌ d ln cp₁

dx

dx ⁷

d. h.:

c2^2 H-----b ct<pt = konst. 9>j,

was nicht sein kann, weil 9ot, cp₂, ... cps nach Voraussetzung linear unabhängig sind.

Mithin liegt jetzt genau dieselbe Problemstellung wie zu Anfang vor, nur sind die Zahlen r und s um je eine Einheit verringert. Daher kann derselbe Schluß wiederholt werden, d. h. wenn man entsprechend (4) jetzt:

als neue unbekannte Funktion einführt, geht für $ eine lineare Differentialgleichung (r — 2)ter Ordnung hervor, usw. Insgesamt kann man s-mal dieselbe Schlußfolgerung machen. Schließlich gelangt man dann zu einer linearen Differentialgleichung (r — s)ter Ordnung. Dies Verfahren führt demnach zu demselben Ergebnisse wie das in voriger Nummer, zumal man 848]

Schritt für Schritt dasselbe letzte Glied F(cc) bei der Differentialgleichung wieder bekommt.

849. Die Determinante bei einer verkürzten linearen Differentialgleichung. Es sei jetzt eine verkürzte lineare Differentialgleichung rter Ordnung vorgelegt:

(1)

y{r) = fo (% + fi{%)y + —f /r-i(%(r_1)> und es mögen y1} y₂ . .. yr gerade r linear unabhängige Partikularlösungen sein, aus denen sich also die allgemeine Lösung linear mit willkürlichen konstanten Koeffizienten zusammensetzen läßt. Nach Satz 4, Nr. 785, ist alsdann die Determinante:

• yr • yr

7) =

‘A

(r-l)

von Null verschieden. Die Ableitung von D ergibt sich als die Summe derjenigen r Determinanten, von denen jede wie D selbst gebaut ist, abgesehen davon, daß die Elemente je einer Zeile durch die Ableitungen dieser Elemente zu ersetzen sind. Die r — 1 ersten Determinanten haben zwei aufeinander folgende gleiche Zeilen und verschwinden, so daß bleibt:

• • • yr

dD

dx

y(r-*)y(r-2)

(r-2)

y\r)

• • • y$

yv ••• m

(r)

Aber nach (1) ist:

yi(r) = fo yi + hyi + • • • + fr—i y%r ~    0 = 0 • • • »•).

Werden diese Werte in die letzte Zeile eingesetzt, so kommt einfach:

ffr-i(x)dx

woraus folgt:

(2)

D — konst, é

Demnach gilt der

³¹ [848,849

Serret-Scheffers, Diff. - u. Integral-Rechnung. III. 3. Aul.

19: Sind ylf y₂, .. . yr gerade r linear unabhängige Partikularlösungen der verkürzten linearen Differentialgleichung rter Ordnung:

y{r) — fo(x)y + h(x)y' H— + fr-i(%)y(r 1},

so ist:

= konst. e

ffr - 1 (*) dx

y{r-X)y{r-X) . . . yjr-1)

Hiervon machen wir nach Sturm eine Anwendung auf eine verkürzte lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung:

(3)

y"=fo(?)y + ft(x)y,

wobei wir annehmen, daß f₀(x) und fx(x) reelle Funktionen seien. Es mögen yt und y% zwei linear unabhängige reelle Partikularlösungen bedeuten. Dann ist nach dem Satze:

(4)

yiy%—y*yî⁼ konst-e

fh(x)dx

Die Exponentialfunktion ist positiv; folglich hat yxyf — y%yf immer dasselbe Vorzeichen, vorausgesetzt, daß man sich auf ein Intervall für x beschränkt, in dem fx(x) stetig ist. In demselben Intervalle soll auch f₀ (x) stetig sein. Dann verschwinden yx und yf an keiner Stelle zugleich, denn sonst gilt dasselbe nach (3) von y", also auch von y" usw., weil die höheren Ableitungen von y aus (3) durch wiederholte Differentiationen hervorgehen. Um einen bestimmten Fall vor Augen zu haben, nehmen wir die Konstante in (4) positiv an, so daß stets:

y±y* - y»yi > ⁰

ist. Ferner seien x = a und x = & > a zwei Stellen, an denen y y verschwindet; doch soll yx dazwischen nirgends gleich Null sein. Für x = a und x — h ergibt sich dann y₂yf < 0, und dabei ist yf =J= 0. Nun aber hat yf für x = a und für x = h verschiedene Vorzeichen, weil yx von x — a bis x = h entweder zunächst wächst und zuletzt abnimmt oder umgekehrt zunächst abnimmt und zuletzt wächst. Mithin hat y₂ für x = a und x = b verschiedene Vorzeichen, d. h. zwischen a und h liegt eine Stelle, wo y₂ verschwindet.

So ergibt sieb überhaupt: Die Stellen, wo yx und y% gleich Null werden, folgen abwechselnd aufeinander.

850. Anwendung der Integrationsmethode, die bei konstanten Koeffizienten gilt, auf einen anderen Fall.

Nach Satz 13, Nr. 806, läßt sich eine verkürzte lineare Differentialgleichung rter Ordnung:

(1)

y(r) = a₀y + axy + aty" Ą-----|- ar_₁y(r~r>

mit konstanten Koeffizienten stets mittels Exponentialfunktionen integrieren. Dabei braucht man die Wurzeln p der charakteristischen Gleichung:

(2)

Q' — ao “k ai 9 H~ azQ² 4" * • * "k Mr-iQr~

Ist z. B. eine m-fache Wurzel p vorhanden, so sind:

e?*, xe$x, . . . xm~¹eQx

(3)

m linear unabhängige Partikularlösungen. Demnach wird die Gleichung (1) befriedigt, wenn man darin die Funktion: y = (c„+c₁x+----1- cm_lx’n-'i)ee‘

mit willkürlichen konstanten Koeffizienten c₀, ct, ... cm_₁ substituiert.

Wir lenken hier die besondere Aufmerksamkeit darauf, in welcher Weise diese Befriedigung der Gleichung (1) zustande kommt: Vermöge der Substitution (3) werden beide Seiten von (1) linear und homogen in c₀, c1} . . . cm_±. Die mit irgendeinem behafteten Glieder auf beiden Seiten der Gleichung sind ferner rationale ganze Funktionen von x, und die mit derselben Potenz von x und mit demselben behafteten Glieder auf beiden Seiten der Gleichung stimmen deshalb überein, weil p eine m-fache Wurzel der Gleichung (2) ist.

Hieraus läßt sich ein neuer Schluß ziehen:

Es liege eine verkürzte lineare Differentialgleichung rter

Ordnung:

(4)

y[r) = fo(p)y + fi0*0y H— + fr-i(,x)y(r~1]

vor, deren Koeffizienten nicht konstant sind. Entsprechend (2) sei die Gleichung für p gebildet:

(5)

Qr-fo(x) + fliX)Q + * • • + fr-

Im allgemeinen wird sie keine konstante Wurzel p haben.

³¹ * [849,850

Wenn sie aber eine etwa m-fache konstante Wurzel q hat, folgt wie vorher, daß

e$x, xe$x, . . . xm~¹e^x

m linear unabhänge Partikularlösungen sind.

Dieser Schluß ist jedoch nicht statthaft für eine von x abhängige Wurzel p, weil dann die Ableitung von e$x nicht mehr einfach qe^x ist.

Der soeben gekennzeichnete Fall tritt in der Tat zuweilen ein, und dann kann man, weil m linear unabhängige Partikularlösungen bekannt sind, die Ordnung der Diffentialgleichung nach Nr. 847 um m Einheiten erniedrigen.

Beispiel: Bei der verkürzten linearen Differentialgleichung vierter Ordnung:

(6) yIV= — xy + ([3% + l)y — 3 (as + 1 )y" + (x + 3 )y" lautet die Gleichung (5) so:

— x) = ⁰

und hat daher die dreifache konstante Wurzel q — 1. Man kennt also die drei Partikularlösungen:

(7)

cpt == ex, cp₂ = ase*, cp.ä — x²ex.

Nach der Methode in Nr. 847 läßt sich daher die Ordnung der Differentialgleichung um drei Einheiten erniedrigen, d. h. man kommt zu einer verkürzten linearen Differentialgleichung erster Ordnung. Sie läßt sich durch eine Quadratur erledigen. Nach (6) in Nr. 847 ist:

und:

D = eZx

1    1 -j- x 2x -f- x²

1    2 + x    2 + 4:x x²

— 2eZx

D₁ = x²e2x, D₂= — 2xe2x, D₃ = e2x,

also nach (7) ebenda:

(8)

m/ = ~ e~x Y, u₂'= — xe~xY, u₃=~e~xY.

Nun setzen wir nach (9) in Nr. 847, weil s — 3 ist:

y " — cPi'"ui + (Pz"^ -f cp₃ u₃ -f- Y und erhalten hieraus durch Differentiation mit Rücksicht auf

(7) und (8):

850]

yIV= + <plyUz + <pIyu₃ + 3 Y + T.

Nach (10) in Nr. 847 ist also ra₁ gleich. 37+ Y'} so daß die Differentialgleichung (11) in Nr. 847 hier so lautet:

3 Y+ Y' = {x+S)Y.

Mithin kommt:

dlnY

— a:²

-dx - = « oder r=C₄e² ,

wobei 0₄ eine willkürliche Konstante bedeutet. Nach (12) und (13) in Nr. 847 lautet deshalb die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (6) so:

y = y ( %2e

-+a:² — x

dx —

xr

0

4-a:² — x

xe

dx+Y

x²fe

0

4-a:² — x

dx

+- (Cx +- C₂x +- C₃x²)eK.

Hier sind C1} C₂, C₃ die drei übrigen Integrationskonstanten. Man kann die drei Quadraturen in eine zusammenfassen, nachdem man die Veränderliche unter dem Integralzeichen etwa mit z statt x benannt hat. Wenn man außerdem eine andero Konstante C₄ einführt, kommt schließlich:

y —    +- C₂x +- C₃x² +- C₄J\x

0

— zfe

dz\,

851. Nicht verkürzte lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Wenn eine lineare Differentialgleichung rter Ordnung:

(1)

y{r) = a₀y + ailJ H-----b ar_iy(r-1} + F{x)

Yorliegt, in der a₀, a1} .. . ar_x konstant sind, läßt sich die zugehörige verkürzte Gleichung:

(2)

z[r) = a₀z +- axz +-•••+- ar_₁z(r~¹)

(1) durch

nach Nr. 806 vollständig integrieren. Sind <jp1? cp₂, ... cpr die somit bekannten r linear unabhängigen Lösungen von (2), so kann man nach der in Nr. 805 entwickelten Methode der Variation der Konstanten die allgemeine Lösung von Quadraturen ermitteln.

Wenn z. B. die charakteristische Gleichung:

(3)

Qr = ao + a\Q + • • • + ar-1 V

von (2) lauter verschiedene Wurzeln p₂, ... Qr hat, ist: 9o₁ = e^iX, <p₂ = P**, ... cpr = e$rx. man:

Nach (7) in Nr. 805 setzt

• i?

. yO

to

<2/ •

g (Qi + Q* + ■ ' * + Çr)x

pr^—pr¹

Die hierin auftretende Determinante ist bekanntlich gleich dem Produkte aller p- — ęk, wobei i<Ck ist, und für die Unterdeterminanten D1} D%, . . . Dr der Elemente der letzten Zeile von D gilt Ähnliches. Daraus folgt z. B.:

c-ft*

(Pi — Pj) (Pi — Cs) ■ • • (Pi — Pr) ’

also nach (8) in Nr. 805:

AO)

fF(x)e~^xdx

(Pl — P*) (Pl — Ps) • • • (Pi — Pr)

wobei das Integral von einer bestimmten unteren Grenze an genommen werden kann. Der hierin auftretende Nenner läßt sich kürzer schreiben. Setzt man nämlich:

(4)

so ist:

o(p) = Qr~ ar-iQr 1-----aiQ — ao>

daher:

ra(p) = (p — Pl) (p - Qi) • • • (p - Pr); ra'(Pi) = (pl — Ps) (Pi - Ps) • • • (Pi - Pr);

also:

¹Xdx.

- ^hfF(-^e~e

Entsprechende Werte gehen für ip₂ (cc),. . . 4>r(x) hervor, so daß die allgemeine Lösung von (1) nach (9) in Nr. 805 so lautet:

(5)

9=o,#“

i    i

dx.

Dabei sind C1} Cg, . . . Cr die Tntegrationskonstanten.

Man kann auch für den Fall, wo die charakteristische Gleichung (3) mehrfache Wurzeln hat, den Ausdruck für die

worin a, b, Alf A₂, ... Ar Konstanten bedeuten und y^> mit dem Divisor (ax + b)r~k behaftet sein soll.

Diese Gleichung läßt sich in eine mit konstanten Koeffizienten verwandeln, also nach Nr. 806 vollständig integrieren^ indem man vermöge:

(2)

ax -f- b = eł

die neue unabhängige Veränderliche t einführt, denn es kommt:

allgemeine Lösung von (1) entwickeln, doch verzichten wir darauf Man kommt in jedem einzelnen Falle nach der in Nr. 805 angegebenen Methode zum Ziele.

852. Eine besondere lineare Differentialgleichung.

Yorgelegt sei die lineare Differentialgleichung rter Ordnung:

y{r) +

(1)

ax -f- b

(iax + b'f y    ^(x).

t_ a dy

y ax+b dt’ y

a²

d*y

dy\

dt)

usw.

{ax -j- b)² \ dt*

Es ist indessen nicht nötig, diese Transformation wirklich auszuführen. Man kann nämlich die allgemeine Lösung der zugehörigen verkürzten Gleichung:

sF> -1---

ax -

(3)

+ b

so gewinnen: Würde man hierin t statt x als unabhänge Veränderliche einführen, so ginge eine verkürzte lineare Differentialgleichung rter Ordnung mit konstanten Koeffizienten hervor, die also Parikularlösungen von der Form e^¹, te^\ . . . tm~¹eQt

(a x -j- 6)

hätte, wenn q eine m-fache Wurzel der charakteristischen Gleichung wäre. Nach (2) müßte also die Gleichung (3) Partikularlösungen von der Form:

(axĄ-by, (ax + by ln (ax + b), . . ., (ax -f- &)? lnTO_1 (ax -f- b) haben. Man wird also von vornherein darauf ausgehen, alle Partikularlösungen von (3) von der Form:

z — (ax-j- &)"ln" (ax -f b)

zu bestimmen, indem man diesen Wert direkt in (3) einsetzt. Nachdem so (3) vollständig integriert worden ist, kann man nach der in Nr. 805 angegebenen Methode die allgemeine Lösung von (1) durch Quadraturen bestimmen.

[851, 85Ä

Beispiel: Die Differentialgleichung zweiter Ordnung: x*z" — (2 a — 1 )xz + a?z = 0, worin a konstant sein soll, gekört zu denen y on der Form (3), indem ax-\-b hier gleich x ist. Man setzt deshalb

(4)

z = xQ ln” x

in (4) ein und erhält, da der Faktor x^\nn~²x herausfällt:

(q — a)²ln²# + 2u(q— a) lnx -f- n(n — 1) = 0.

Diese Gleichung kann aber nur dann bestehen, wenn einzeln:

(q — ay = 0, n(ç — a) = 0, n(n — 1) = 0 ist. Demnach muß q = a und n — 0 oder = 1 sein, so daß xa und xalnx die beiden Partikularlösungen sind und

Z ⁼ (fil + ^2 X)X<X

die allgemeine Lösung von (4) mit den Integrationskonstanten Gt und C₂ yorstellt.

Siebentes Kapitel.

Systeme erster Ordnung yon linearen partiellen Differentialgleichungen.

§ 1. Theorie einer linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung.

853. Homogene lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. Die Aufgabe, eine partielle Differentialgleichung zu integrieren, sucht man auf die Aufgabe zurückzuführen, ein System yon gewöhnlichen Differentialgleichungen zu integrieren, denn auf ein solches System kann man die bisher entwickelten Theorien anwenden. Wir beginnen mit der Betrachtung der einfachsten, nämlich der linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung.

Sind xx, x₂, ... xn die n unabhängigen Veränderlichen, während z eine noch unbekannte Funktion von ihnen bedeuten soll, so heißt eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung für z (vgl. Nr. 669) insbesondere linear, wenn sie auf die Form:

+ ■■■ + ccn(xux₂, ...xn,z)

0^1 ; X₂ , • • • Xn, z)

dz

dz

dx,

= ß(xux₂,... xn,z)

dxn

gebracht werden kann, in der cc₁, ... an und ß gegebene Funktionen von x1} x₂, . . . xn und von z sind.

Insbesondere heißt die lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung homogen, wenn erstens ß = 0 ist, also die Ableitungen von z homogen auftreten, und zweitens alt cc₂, ... an nur von xx, x₂, ... xn, d. h. nicht von z abhängen. Eine lineare homogene Differentialgleichung erster Ordnung für eine Funktion z von n Veränderlichen hat also die allgemeine Form:

worin a1} cc₂,... an gegebene Funktionen von x1}x₂₎...xn allem sind.

Unter dem Bereiche der Differentialgleichung (1) wird ein Variabilitätsbereich verstanden, innerhalb dessen alf a₂, . . . an monogene Funktionen der n komplexen Veränderlichen x1}x₂,...xn sind. Eine Funktion z von x1} x₂, . . . xn, die sich innerhalb des Bereiches oder eines Teiles des Bereiches regulär verhält und die Gleichung (1) für alle erlaubten Werte der n Veränderlichen x1: x₂, . . . xn befriedigt, heißt eine Lösung von (1). Da aber insbesondere jede Konstante z die Gleichung (1) befriedigt, wird noch hinzuzufügen sein, daß die Lösung z nicht bloß eine Konstante sein soll.

Um die Existenz der Lösungen zu beweisen und zu zeigen, wie man sie findet, erinnern wir an die Betrachtungen in Nr. 762 über die Integrale eines Systems erster Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen und insbesondere an Satz 1 jener Nummer, der im komplexen Bereiche im wesentlichen gerade so wie damals zu beweisen ist. Benutzen wir als das dort betrachtete System insbesondere dieses:

dxn

dXy

(2)

dx₂

an (x₁, x%, ... xn)⁷

(1) CiJ (Xy ,X%,... xf)

dz

dx₁

+ ftg (X17X2y %n) H I- CCn(X ••'*0 ßx —

ai (Xy, xs, ... xn) (xl, x%, ... xf)

das sich ja z. B. in der Form:

(3)

dxj

ai O*! i xi , .. . xf)

als System erster Ordnung von n — 1 gewöhnlichen Differentialgleichungen für xi} x₃,... xn schreiben läßt, falls etwa 4= 0 ist, so folgt, daß die Integrale f des Systems identisch sind mit den Lösungen z der linearen homogenen partiellen Differentialgleichung :

cz cc., dz .    . an dz ₌ ß

dXy ' CC₁ dx^    CCy dxn ’

die durch Multiplikation mit in die vorgelegte lineare homogene partielle Differentialgleichung (1) übergeht. Wenn man von denjenigen unter Umstäuden vorhandenen Stellen im Bereiche absieht, wo alle n Koeffizienten a1} a₂, . . . ccn der Gleichung (1) verschwinden, ist die Voraussetzung c^ + 0 unwesentlich, da dann wenigstens einer der Koeffizienten, etwa av von »5» 1

Null verschieden ist und also xt an Stelle von xx benutzt werden kann.

Die Existenz von Integralen des Systems (3) ist im Falle reeller Veränderlicher und Funktionen in Nr. 762 bewiesen worden, und im komplexen Bereiche ist der Beweis im wesentlichen gerade so zu führen, weil in diesem Falle beim Systeme

(3) die Sätze 11 und 12 von Nr. 824, 825 über die Existenz von Lösungensystemen gelten. Dabei ist Satz 13 von Nr. 826 heranzuziehen, da die Lösungensysteme nach den Anfangswerten aufzulösen sind, wenn man die Integrale des Systems (3) gewinnen will. Also gilt

Satz 1: Sind ax, a₂,... ccn solche Funktionen der n komplexen Veränderlichen xx, x₂, . . . xn, die sich in einem Varia-bilitätsbereiche regulär verhalten, so hat die lineare homogene partielle Differentialgleichung erster Ordnung:

dz

dz

ul O*!;    • • • Xn) V CZ₂(x₁,X₂, ... xff) H * "ł" ani.X 11 X1T ' ' Xn) dxn ^

in der Umgebung einer jeden Stelle des Bereiches, wo nicht alle n Funktionen ax, a₂,... an verschwinden, solche Lösungen z, die sich ebenda regulär verhalten. Diese Lösungen sind identisch mit den sich regulär verhaltenden Lntegralen eines Systems erster Ordnung von n — 1 gewöhnlichen Differentialgleichungen, das sich in symmetrischer Form als System von totalen Differentialgleichungen so dar stellt: dx,

cc, (x,,    , ... xS) ccs (x,, xi} ... xn)

dx 2

dxn

Kn (x₁ i • • • Xji)

die monogene Funktionen von xx,

Dies System erster Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen hat nach Nr. 762 gerade n—1 unabhängige Integrale ca1} co₂, ... con x₂, ... xn sind; und jedes andere Integral ist eine Funktion von mi, œ₂, ... (on_₁ allein. Demnach sind die Lösungen z der vorgelegten linearen homogenen partiellen Differentialgleichung (l) die Funktionen:

• °L- x)

(4)

Z = f((oi, co

von œx, g3₂, ... con_i allein. Dabei ist die Funktion f soweit willkürlich zu wählen, als sie noch regulär bleibt. Mithin gilt der

Satz 2: Eine lineare homogene partielle Differentialgleichung für eine Funktion z von n unabhängigen Veränderlichen

rp /y*    /y»    •

Jsi, X2, . . .

al (X1>X2) • ‘ ■ Xn)    “t" a2 i.Xl >X2>- • • Xn) ß^    “f“ Kn(.X1) X2f ’ ' Xn)    ^

hat gerade n — 1 voneinander unabhängige Lösungen; alle anderen Lösungen sind willkürliche Funktionen von ihnen.

854.

Lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. Nunmehr betrachten wir eine allgemeine lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung für eine unbekannte Funktion z von n unabhängigen Veränderlichen

(1)

dz

dz

dx₁

¹

Diese Nummer kann überschlagen werden.

847, 848]

= ß(Xl, X2, ■ • • Xn, *)•

Dabei bedeuten al} a₂, ... an und ß gegebene Funktionen von x₁, x₂, ... xn und auch von z, und sie sollen sich in einem gewissen Variabilitätsbereiche, dem Bereiche der Differentialgleichung (1), regulär verhalten.

In der Umgebung einer Stelle:

(2)

x₁ = alf x₂ = a₂, .. . xn = an, z = b

des Bereiches sei z eine solche reguläre Funktion von xXT x₂, . . . xn, die an der Stelle (ax, a₂, . . . an) den Wert b hat. Sie heißt eine Lösung von (1), falls die Gleichung (1) durch diese Funktion für alle Werte von x1} x₂, ... xn in der Umgebung der Stelle (ax, a₂,... an) befriedigt wird. Da die Koeffizienten ax, cc₂, ... an und ß auch von z abhängen, ist es denkbar, daß diese n + 1 Funktionen für eine Lösung z sämtlich verschwinden. Umgekehrt: Wenn ccx, a₂, ... an und ß für eine Funktion z von xx, x₂, ... xn sämtlich gleich Null werden, befriedigt z offenbar die Gleichung (1). Derartige Lösungen heißen singulär; ihre Berechnung erfordert nur Eliminationen und Substitutionen. Ausdrücklich sei bemerkt: Wenn z eine Lösung von (1) ist, für die alf cc₂, . . . an verschwinden, ist für sie auch ß — 0, d. h. man hat es dann mit einer singulären Lösung zu tun.

Nun möge ein bestimmtes Wertsystem xx, x₂Q, . . . xn°, z0 in der Umgebung der Stelle (2) gewählt sein, und es bedeute 853, 854]

f eine Funktion von xlf x₂,. . . xn und z, die sich in der Umgebung der Stelle regulär verhält, aber nicht frei von z ist. Nach Satz 13, Nr. 826, definiert alsdann die Gleichung:

(3)

f(Xl,    *) = f(Xl, Xł, • • • Xn> *o)

implizite eine in der Umgebung der Stelle (x₁°,    . . . xn°)

reguläre Funktion z von xlf x₂, . . . xn, die an dieser Stelle selbst den Wert z₀ annimmt. Wir werfen die Frage auf, unter welchen Bedingungen diese Funktion z eine Lösung von (1) ist. Da aus (3) durch partielle Differentiation nach xk folgt:

df df dz_ dxk 'dz dxk

(4)

dz

df . df

= 0 oder:

(4-1,2,...»)

und df:dz =4=0 ist, gibt die Substitution der Werte der partiellen Ableitungen von z in (1) die Bedingung:

dxk dxk ' dz

df

a f

(5) ux(xk, x₂,...xn,z)-^-\----+ aH(xlt x₉, • • • xn, z) ~

x„

= 0.

+ ß(Xl, x„ • • • xn* *)

Es ist demnach zu verlangen, daß sie infolge von (3) bestehe.

Soll dies gelten, wie man auch die Anfangswerte xf*, x₂°,...xn° und z₀ in der Umgebung der Stelle (2) wählen mag, d. h. soll: 6)    f(x₁,x₂,...xtl,z) = C

bloß infolge

von

für beliebige Werte der Konstante C in der Umgebung desjenigen Wertes, den f an der Stelle (2) erhält, eine Lösung z von (1) definieren, so muß die Gleichung (5) an sich und nicht (6) bestehen, weil durch (6) nur die in (5) gar nicht vorkommende willkürliche Größe C eingeführt wird. Die Forderung (5) ist aber nichts anderes als eine homogene lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung für eine Funktion f der n-fl Veränderlichen xt, x₂, ... xn und z, wenn man alle n + 1 Veränderliche als unabhängig betrachtet.

Die Bedingung dafür, daß f = honst, lauter Lösungen z der vorgelegten linearen Differentialgleichung (1) mit n unabhängigen Veränderlichen x₁₇ x₂, ... xn definiere, besteht demnach darin, daß f eine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung (5) mit n-\-1 unabhängigen Veränderlichen x1} x₂, ... xn und z sein muß.

Dieser Schluß ist umkehrbar. Bedeutet nämlich f eine solche Lösung der homogenen Gleichung (5), die sich in der Umgebung der Stelle (2) regulär verhält und überdies nicht frei von z ist, so definiert (6) oder (3) lauter Funktionen z für die die Gleichungen (4) bestehen, so daß die daraus folgenden Werte:

df

(k = 1,2,... n)

of oz dxk    dz dxk

in (5) substituiert werden können, wodurch dann in der Tat wieder die ursprünglich vorgelegte Differentialgleichung (1) für z hervorgeht.

Man könnte also sagen, daß die Differentialgleichungen (1) und (5) einander äquivalent sind, wenn nicht noch der folgende Einwand zu erheben wäre: Der Schluß von (1) auf

(5) war nur dadurch möglich, daß wir die Konstante C in (6) willkürlich ließen. Es ist aber denkbar, daß die Differentialgleichung (1) eine Lösung z hat, die nicht zu einer Schar von solchen Lösungen z gehört, die man durch eine Gleichung (6) mit einer willkürlichen Konstante C definieren kann. Wir werden aber nunmehr zeigen, daß derartige Lösungen z von (1) nur singuläre Lösungen sein können.

Der homogenen linearen partiellen Differentialgleichung

(5), in der man xx, x₂, . . . xn und z als n-j-1 unabhängige Veränderliche aufzufassen hat, kommt nach voriger Nummer gerade derselbe Bereich wie der vorgelegten linearen partiellen Differentialgleichung (1) zu. Nach Satz 2 der vorigen Nummer hat sie gerade n voneinander unabhängige Lösungen:

Ul Ou t X₂, • • * Xn y    K>2 (xi,%2) • • • Xn) 2)) • • •    (*U j X%> • ■ • Xn, &) >

die sich in der Umgebung der Stelle (2) regulär verhalten, so daß in dieser Umgebung für alle Werte von x₂, . . . xn und z die n Gleichungen:

(7)

(»-1,2,...»)

bestehen. Unter z sei nun eine Lösung von (1) verstanden, die ebenfalls in jener Umgebung existiert und sich als Funktion von x1} x2} ... xn regulär verhält. Setzt man sie in (7) überall für z ein, so bestehen die Gleichungen (7) nach wie

vor. Aber dann wird die vollständige partielle Ableitung von ai nach xk diese:

(i = 1, 2, . . . »; Tc =1, 2, . . . n).

dmj dai dz dxk ' dz dxk

Gerade diese Größen treten nun auf, wenn man zu den Gleichungen (7) die mit doi : dz multiplizierte Gleichung (1) addiert, indem dann hervorgeht:

c<a aa

«£\    _ Q

dz dxj

Hier liegen nun n in den Koeffizienten a1} a₂, ... an lineare homogene Gleichungen vor. Ist die benutzte Lösung z von (1) nicht singulär, so sind ax, «₂, . . . an nicht sämtlich gleich Null. Folglich muß die Determinante:

dxk

dz dxk

i-l, 2,-.

k = 1, 2, . . . n

verschwinden. Dies aber ist nichts anderes als die Funktionaldeterminante von col} a₂, ... 0Jn hinsichtlich xx, x₂, ... xn für den Fall, daß man z in Oj, ra₂, . . . on als eine Funktion von xx, x₂, ... xn auffaßt.

(5)

Wenn also ax, co₂, . . . œn solche n Lösungen von bedeuten, die sich in der Umgebung der Stelle (2) regulär verhalten und als Funktionen der n + 1 Yeränderlichen xXf x₂, ... xn und z voneinander unabhängig sind, werden sie voneinander abhängig, sobald man in ihnen unter z eine ebenda sich regulär verhaltende Lösung von (1) substituiert, vorausgesetzt, daß dies keine singuläre Lösung von (1) ist. Dies aber bedeutet, daß alle in der Umgebung der Stelle (2) existierenden und sich regulär verhaltenden Lösungen von (1) durch Gleichungen zwischen g^, œ₂, ... œn definiert werden. Z. B. sei die Stelle (x₁°, . . . xn°, z₀) in der Umgebung der Stelle (2) gewählt, und es bedeute z eine Lösung von (1), die für xx = xx,... xn = xn° den Wert z₀ annimmt. Außerdem mögen co₁, «₂,... an an der Stelle (xx, . . . xn°, z₀) die Werte G3₁°, co₂°, . . . œn° haben. Alsdann wird eine Gleichung:

F\Pl> <°î> • • • <°n) = F(Pl> ra2°; • • • ®„°)

existieren, die von der Lösung z befriedigt wird. Ihre linke Seite ist als Funktion von cq, co₂,... con allein für alle Werte von xx, xs, .. . xn und z in der Umgebung der Stelle (2) eine Lösung f der homogenen linearen partiellen Differentialgleichung (5), und wenn sie für xt = xx°,.. . xn = xn°, z == z₀ den Wert C hat, kann man also schreiben:

f(xx, x₂, .. . xn, z) = C.

Damit sind wir aufs neue zur Gleichung (6) gelangt.

Die Äquivalenz zwischen der Gleichung (1) und der Gleichung (5) besteht demnach in der Tat, sobald man von den singulären Lösungen von (1) absieht. Mithin gilt der

Satz 3: Die Bestimmung aller nicht singulären Lösungen einer linearen partiellen Differentidlgleidmng erster Ordnung für eine Funktion z von n unabhängigen Veränderlichen xx, x2?... xn:

dx„

ai (^1, ^2) • • •    &)    “f" ' ■ ■ 4"    17 x2f... xn, z)

= ß(xi,    Xn> *)

kommt zurück auf die Bestimmung alter Lösungen der homogenen linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung für eine Funktion f der n-fl als unabhängig betrachteten Veränderlichen xx, x₂, ... xn und z:

df

\ df

X2’ • • • x«> ^ dxn

dx₁

ai(xi, x₂, . . . xn, z')

+ ßfa, x₂,. . • Xn, z)

~ = o,

dz ’

indem die Lösungen z der ersten Gleichung definiert werden durch: f(xx, x₂, ... xn, z) = konst.,

falls f irgend eine Lösung der zweiten Gleichung bedeutet.

Infolge von Satz 1 der vorigen Nummer ist hiermit zugleich der Beweis für die Existenz der Lösungen z der vorgelegten linearen Differentialgleichung (1) geliefert.

Es sei besonders darauf aufmerksam gemacht, daß die Funktion ß in (1) auf der rechten, dagegen in (5) auf der linken Seite steht. Ferner weisen wir darauf hin, daß eine Differentialgleichung (1), in der ß = 0 ist:

dz

dz

(8) ux(xx, x₂,...xn,z)^-+--- + an{xu x₂,... xn, z) ^ = 0

nicht zu den in voriger Nummer betrachteten homogenen Gleichungen gehört, es sei denn, daß a1} ... an sämtlich von z frei sind. Enthält wenigstens einer der Koeffizienten noch g, so muß man vielmehr die Gleichung (8) nach Satz 3 in die äquivalente homogene Gleichung:

(9) cq(hq, x₂, . . . xn, z) 0^- -f- • • • + an(x₁, x₂, . • . xn7 z) = 0

verwandeln, worin f als Funktion von x1} x₂,...xn und z betrachtet wird. Ihre Integration kommt nach Satz 1 der vorigen Nummer auf die des Systems:

dxt

dx₂

dxn dz

ai

<*2

an

zurück, und dies System hat außer z noch n — 1 unabhängige Integrale œl7 ra₂, . . . raB_₁, die xlf x₂, .. . xn und z enthalten. Alsdann ergeben sich die Lösungen von (8) durch Auflösung der Gleichungen von der Form:

27 • •

F[co 1; m₂, .. . cy_1; z) = konst, nach z, wobei also zu beachten ist, daß z auch in co₁₇ m Mn-i vorkommt.

855. Homogene Funktionen. Indem wir zwei einfache Beispiele zu den Entwicklungen der beiden letzten Paragraphen bringen, werden wir zugleich instand gesetzt, den Eulerschen Satz 9 über homogene Funktionen in Nr. 91 zu vervollständigen. Wir betrachten nacheinander folgende Beispiele:

1. Beispiel: Es ist:

(1)

*łk+x'*k:⁺-⁺‘-Ł-⁰

eine homogene lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung. Nach Satz 1 von Nr. 853 kommt ihre Integration zurück auf die des Systems:

dxn

dx₇ _ dx%

Xi

xt

Xn

von dem offenbar x₁ : xn, x% : xn, . . . xn_x : xn gerade n— 1 unabhängige Integrale sind. Demnach sind die Lösungen von (1) die Funktionen von der Form:

z = f(°F ...

' W V æn ) ’

d. h. die homogenen Funktionen nullten Grades.

ßerret-Scheffers , Diff.-u. Integralrechnung. HL. 3. Aufl.

zurück. Es hat die n unabhängigen Integrale:

/y» /y»    /y*

_¹    # # b

xn xn

Folglich gehen die Lösungen von (2) aus den Gleichungen von der Form:

X2    xn-1

2. Beispiel: Die lineare partielle Differentialgleichung :

dz .    dz. .    . dz

x' Wx ⁺    dź ⁺ ' ' ■ + x* wn = me>

worin m eine von Null verschiedene Konstante bedeute, ist nicht homogen. Nach Satz 3 ist sie aber der homogenen linearen partiellen Differentialgleichung für f:

Xi^₁+X*li ⁺ ''‘ + X”Mn ⁺

äquivalent. Diese wieder kommt nach Satz 1 von Nr. 853, worin z durch f und xx, x₂, . . . xn durch xx, x₂, . . . xn und z zu ersetzen sind, auf das System:

dxx _dxt_    _dxn

(2)

mz

dz

lf=0

dz

xi

X2

xn

mz

, 4) = o

xn ⁷ </ durch Auflösung nach z hervor und sind also diese:

fl    xn-1

xn

wobei f eine willkürliche Funktion bedeutet. Dies aber sind die homogenen Funktionen mten Grades von xx, x₂,... xn. Singuläre Lösungen hat die Gleichung (2) nicht, da die Funktionen ax ⁼ xlf • . • an = xn und ß = mz nicht sämtlich für eine Funktion z von xx, x₂, . . . xn verschwinden.

Der Satz 9 über homogene Funktionen in Nr. 91 läßt sich folglich so vervollständigen:

Satz 4: Eine Funktion z von n Veränderlichen xx, x₂,... xn ist dann und nur dann eine homogene Funktion mten Grades, wenn sie eine Lösung der linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung ist:

dz

dz

dz

+ x2dFi ⁺ ”' + x”dFn==m&r>

856. Geometrische Deutung einer linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei 855, 856]

xx

dxx

unabhängigen Veränderlichen. Die Betrachtungen in Nr. 853

und 854 hätten auch im reellen Gebiete durchgeführt werden können. Man hätte alsdann statt der sich regulär verhaltenden Funktionen solche reelle Funktionen von reellen Veränderlichen annehmen müssen, die nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig sind. Eine entsprechende Bemerkung gilt auch für spätere Stellen. Es wäre ermüdend, jedesmal die Beweisführung im reellen Gebiete zu wiederholen. Überall, wo wir geometrische Deutungen vornehmen, beschränken wir uns stillschweigend auf das reelle Gebiet. Man könnte aber auch die geometrischen Begriffe mittels ihrer analytischen Be-stimmungsstücke im imaginären Gebiete definieren und folglich beibehalten.

Liegt eine lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen vor, so wird es sich empfehlen, x und y statt x₁ und x% zu schreiben. Alsdann kann man x, y und die Lösungen z als rechtwinklige Koordinaten im Raume deuten. Jede Lösung z = cp (x, y) der linearen partiellen Differentialgleichung:

(1)

«O, y, z) jx + ß(x, y, z) = y(x, y, z)

wird nun durch eine Fläche dargestellt, die man eine Integralfläche von (1) nennt. Stellt man eine Schar von Integralflächen durch eine nicht nach z aufgelöste Gleichung:

f(x, y, z) = konst.

dar, so lassen sich die Schlüsse in Nr. 854 wiederholen. Denn dann kommt:

df i df dz = 0 dx dz dx ’

df df dz n

dff ⁺ dz âÿ" = u>

und die Substitution der hieraus folgenden Werte von dz : dx und dz : dy in (1) führt zur zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung erster Ordnung:

+ ß(x> y>z) jy + y(x> y>

für eine Funktion f der drei unabhängigen Veränderlichen x, y, z. Ebenso ist der umgekehrte Schluß von leicht zu wiederholen. Dabei haben nur solche Lösungen f von

[856

(2)

a(x, y, z)

df

dx

(2) auf (1)

(2) Bedeutung, die nicht frei von z sind, d. h. f = konst, darf keine Schar von Zylindern parallel der #-Achse vorstellen.

Werden die Ableitungen von z nach x und y mit p und q bezeichnet (wie in Nr. 85), so kommt statt (1):

(3)

a{x, y, z)p + ß(x, y,z)q- y(xf y, e) = 0.

Die Tangentenebene eines Punktes M oder (x, y, z) einer Integralfläche hat in den laufenden Koordinaten £, tj, 5 nach (5) in Nr. 253 die Gleichung:

(4>

Diese Gleichung stellt andererseits irgend eine Ebene durch den Punkt M dar, wenn p und q irgend welche Wrerte haben (wobei nur von den zur z-Achse parallelen Ebenen abgesehen wird);

Punkt M. Infolge

Fig. 57.

dann bedeuten p und q die Tangens der Winkel 6 und x, unter denen die Schnittlinien der Ebene (4) mit der xzEhene und yz-Woene> zur ««/-Ebene geneigt sind, siehe Fig. 57. Mithin bestimmen die Größen p uud q die Stellung einer Ebene (4) durch den von (3) werden nun p und q einer linearen Bedingung unterworfen, wenn man einen bestimmten Punkt M oder (x, y, z) ins Auge faßt. Demnach gibt es eine nur einfach unendliche Schar von Ebenen (4) durch M, die in M Tangentenebenen von Integralflächen sein können. Die Gleichung (4) kommt insbesondere dann auf (3) zurück, wenn man:

(5)

CC *

b — ³ ₌ y_

*) — y

setzt, d. h. die durch (5) in den laufenden Koordinaten £, t), g dargestellte Gerade g, die von M ausgeht, liegt in allen denjenigen Ebenen (4) durch M, deren Bestimmungsstücke p und q der Gleichung (3) genügen. Alle Ebenen durch M, die in M Tangentenebenen von Integralflächen sein können, bilden somit ein Ebenenbüschel mit der von M ausgehenden Achse g; und die Richtungskosinus der Achse g sind nach (5) zu a, ß, y proportional. Der Inbegriff von M und g aber gibt ein Linien-8561 element l, und wenn wir sagen, eine Fläche enthalte ein Linienelement l, falls sie seinen Punkt M enthält und die Richtung des Elements die einer Tangente von M ist; so folgt:

Die lineare partielle Differentialgleichung (1) ordnet jedem Punkte M oder (x, y, z) ein Linienelement l zu, nämlich dasjenige, dessen Piichtungskosinus proportional a, ß, y sind, und eine Fläche ist dann und nur dann eine Integral fläche, wenn sie an jeder Stelle M das zugehörige Linienelement l enthält.

Der Inbegriff eines Punktes und einer durch ihn gehenden Ebene heißt ein Flächenelement. Man sagt, daß eine Fläche ein solches Element hat oder enthält, wenn der Punkt des Elements auf der Fläche liegt und die Ebene des Elements daselbst die Tangentenebene ist. Dementsprechend sagt man auch, daß eine Fläche von allen ihren Flächenelementen erzeugt wird. Offenbar hat eine Fläche eine zweifach unendliche Schar von Flächenelementen, weil sie eine zweifach unendliche Schar von Punkten hat. Irgend ein Flächenelement im Raume dagegen hängt von fünf Bestimmungsstücken ab, nämlich von den Koordinaten x, y, z seines Punktes M und von den Größen p und q, die die Stellung der Ebene des Elements festlegen. Dabei wird allerdings von Flächenelementen, die der z-Achse parallel sind, abgesehen. Will man sie auch berücksichtigen, so wird man außer x, y, z als Bestimmungsstücke etwa die drei Richtungskosinus der Normale des Elements benutzen, und weil die Summe der Quadrate der Richtungskosinus gleich Eins ist (nach Nr. 252), wird ein Element auch dann durch nur fünf unabhängige Größen festgelegt. Wir benutzen jedoch p und q, da hier keine zur 0-Achse parallelen Flächenelemente in Betracht kommen.

Die Differentialgleichung (1) oder (3) legt den fünf Bestimmungsstücken der Flächenelemente ihrer Integralflächen eine Bedingung auf; sie definiert daher eine vierfach unendliche Schar von Flächenelementen. Wir sagen, daß ein Flächenelement der Differentialgleichung (1) oder (3) angehört, wenn seine Bestimmungsstärke x, y, z, p, q der Gleichung (3) genügen. Die Aufgabe, die Differentialgleichung zu integrieren, bedeutet geometrisch, alle von solchen Elementen erzeugte Flächen zu ermitteln. Dabei haben diese Elemente eine besondere Lage-

[856

rung: Alle diejenigen Flächenclemente, die denselben Funkt gemein haben, enthalten ein gemeinsames Linienelement l. Nach den Sätzen 3 und 1 von Nr. 854 und 853 kommt die Integration der linearen partiellen Differentialgleichung (1) auf die des Systems:

(6)

dx

dy

dz

ß(x, y, z)

a(x, y, z)

zurück, das sich z. B. in der Form:

y(*-i y, *)

dy ₌ ß(x, y, z) dz _ v(x, y, z) dx ct{x, y, z) ’

als System erster Ordnung von zwei gewöhnlichen Differentialgleichungen schreiben läßt. Sind co₁ (x,y,z) und œ₂(x,y,z) unabhängige Integrale, so stellen die Gleichungen:

œ₁(x, y, z) = konst., a₂(x, y, z) = konst, zusammen die Integralkurven des Systems (6) dar. Man kann auch eine längs der Integralkuryen veränderliche Hilfsgröße t einführen und das System (6) demgemäß durch:

(⁸)    % = a(x,y,z),    = ß(x,y,z), dz

(?)

dx

cc(x, y, z)

d t = ?(a, y, e)

ersetzen, vgl. Nr. 768. Dann sind x, y, z längs der Integralkurven Funktionen von t. Diese Integralkurven von (6) oder (8) bilden nach (7) eine zweiîach unendliche Schar. Yon jedem Punkte M oder (x, y, z) geht eine von ihnen aus, nämlich diejenige, die dort die Tangente hat, deren Richtungskosinus proportional a, ß, y sind. Daher sind die Integralkurven identisch mit denjenigen Kurven, die von den Linienelementen l erzeugt werden, die vermöge der linearen partiellen Differentialgleichung (1) oder (3) den Funkten M zugeordnet sind. Man nennt sie die Charakteristiken der linearen partiellen Differentialgleichung (1), und zwar aus folgendem Grunde:

Jede nicht singuläre Integralfläche von eine Gleichung zwischen den Integralen co₁ und co₂ von dargestellt:

(1) wird durch

(6)

F(g>i, k>₂) = 0

und enthält daher die einfach unendliche Schar derjenigen Integralkurven von (6), in deren Gleichungen:

0*5 y, z) = Q, ra₂ o, y, z) = C2 die beiden Konstanten Cx und C₂ der Bedingung:

856]

(9)

f (C„ C,) = 0

unterworfen sind. Man kann umgekehrt schließen: Es werde eine Kurve c ausgewählt, die keine Charakteristik ist; alle von c ausgehenden Charakteristiken k erzeugen eine Fläche, die in der Form (9) darstellbar und daher eine Integralfläche von (1) ist, vgl. Nr. 764.

AUe Integral flächen, die nicht singulär sind, werden somit von Charakteristiken erzeugt. Siehe auch Fig. 39 in Nr. 764.

Singulär sollen alle diejenigen Flächenelemente (x, y, z, p, q) heißen, deren Bestimmungsstücke der Differentialgleichung (3) in der Weise genügen, daß dabei a = ß = y — 0 wird. Dann kann man nach Nr. 854 die singulären Integralflächen als diejenigen Flächen definieren, die von lauter singulären Flächenelementen erzeugt werden.

857. Beispiele.

1. Beispiel : Bei der linearen partiellen Differentialgleichung :

dz

dz

(1)

a q— -j- h ^—

dx dy

mit drei gegebenen Konstanten a, h, c ist u = a, ß = h und y = c. Deshalb gibt es keine singuläre Lösungen. Die den Punkten M oder (x, y, z) zugeordneten Linienelemente l mit den Achsen g haben überdies einerlei Richtung. Deshalb sind die Charakteristiken diejenigen Geraden, deren Richtungskosinus proportional a, h, c sind, woraus weiter folgt, daß die Integralflächen die Zylinder von derselben Richtung sein müssen, vgl. Satz 28, Nr. 345. Analytisch wird dies durch die Integration des Systems:

(2)

dx_ dy_ dz

bestätigt, das die Integrale cx — az und cy — hz hat, sodaß: F(cx — az, cy — hz) = 0

alle Integralflächen darstellt, vgl. (2) in Nr. 345. Übrigens kann man auch cx — az und ay — hx als die Integrale von (2) benutzen. Dann stellen sich die Integralflächen so dar: F(cx — az, ay — hx) = 0.

Auflösung nach z lehrt, daß die Lösungen von (1) diese sind:

[856, 857

z — — x + cp (ay — bx)

wobei cp eine willkürliche Funktion von ay — bx bedeutet. Diese Darstellung ist im Falle a = 0 unbrauchbar. Man kann aber die Lösungen auch so ausdrück en:

= j y + ip (ay - bx),

und hier darf a = 0 sein.

2. Beispiel: Liegt die lineare partielle Differentialgleichung :

dz

dz

(% - xo) 2^. + (y - Vo) Jy = z - #o

mit den drei Konstanten x₀,y₀, z₀ vor, so lautet das äquivalente System:

(3)

dx

dy

dz

z — z₀

X — x₀

y — yo

Das einem Punkte M oder (x, y, z) zugehörige Linienelement l hat daher Richtungskosinus proportional x — x₀, y — y₀, z — z₀, sodaß die Gerade g des Elements von dem festen Punkte oder (x₀, y₀, z₀) nach M geht. Demnach sind die Charakteristiken alle Strahlen von M₀ aus; jede nicht singuläre Integralfläche ist ein Kegel mit der Spitze M₀, vgl. Satz 29, Nr. 346. Wir überlassen dem Leser die analytische Bestätigung dafür,, daß die Gleichung (1) von Nr. 346:

2? (x xo y 3/o\ _ q

\z — Z₀’ z — z₀)

die Integralflächen von flächen auch in der Form:

(3) definiert. Weil

man

die Integral-

Fl-—y—= 0

\x — x₀ ⁷ X — xj.

darstellen kann, ergibt sich durch Auflösung nach z, daß:

z = z₀ + (x-x₀) cp

mit der willkürlichen Funktion cp die Lösungen von (3) gibt. Es ist nützlich, dies analytisch durch Substitution in (3) zu bestätigen. Auch in diesem Beispiele gibt es keine singulären Lösungen.

3. Beispiel: Es liege die lineare partielle Differentialgleichung vor:

2 xz

vyz

z² — x² — y²

z z²— Æ² — i/²’

Nach dem zweiten Beispiele in Nr. 765, worin x, y, 3 mit yXJ Vzi x bezeichnet wurden, sind daher die Charakteristiken alle Kreise, die im Anfangspunkte die 3-Achse berülmen und durch die beiden Gleichungen:

aä + ?/ä+

- konst.

(4)

dz

dz

2x3    == z* — %² — y²-

Sie ist dem System äquivalent:

dx dy 2 xz

dz

2yz

Faßt man hierin # als die unabhängige Veränderliche auf, läßt es sich wie folgt schreiben:

so

— = konst., x    ’

dargestellt werden können. Jede nicht singuläre Integralfläche läßt sich mithin in der Form:

oder :

x‘² + y²+ z²

= *(i)

*=y/y<p(ÿ — x²- y²

mit einer willkürlichen Funktion cp darstellen. Auch hier gibt es keine singulären Integralflächen.

4. Beispiel: Es soll die lineare partielle Differentialgleichung :

(5)

dz

dz

integriert werden, in der 2 eine gegebene Funktion von x und y allein bezeichnet. Hier ist a = x, ß = y und y = 3 — 2, so daß es keine singulären Lösungen gibt und das äquivalente System lautet:

dy ₌ y

l (x, y)

dx

Es hat ein von 3 freies Integral, nämlich y : x. Demnach werde y = Cxx gesetzt und unter Cx eine willkürliche Konstante verstanden (nach der in Nr. 765 angegebenen Integrationsmethode). Alsdann liefert die letzte Gleichung :

X (x, C\ x)

dz

dx x

und dies ist eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung erster Ordnung für z, die nach Nr. 716 die Lösung:

XJ

z = C₉x —

•X(x, Clx)

mit der willkürlichen Konstanten C₂ hat. Dabei kann die untere Grenze a bestimmt gewählt werden. Hieraus würde nun ein von y : x unabhängiges Integral hervorgehen , wenn man die Gleichung nach C₂ auflöste und wieder Cx == y : x einführte. Damit die Substitution Cx = y : x schon unter dem Integralzeichen gemacht werden kann, ersetzt man x unter dem Integralzeichen durch eine Veränderliche t und Cx durch y : x. Dann kommt:    x

(6)

z = C₂x —

dt.

Jede Gleichung zwischen Cx = y:x und dem aus (6) folgenden Werte von C₂ stellt eine Integralfläche dar, d. h. jede Lösung von (5) geht aus (6) hervor, wenn man darin C₂ als eine willkürliche Funktion <p von Gx oder y : x wählt:

dt.

Beispielsweise liege als Differentialgleichung (5) diese vor:

(8)

x dx^y dy^ yp-+7ÖFTF);

wobei c eine gegebene Konstante bedeute. Wenn man a = 0 wählt, geht hier als Lösung hervor:

dt

* - xf (f) ~ °y

Das hierin vorkommende elliptische Integral läßt sich nach Nr. 485 in ein elliptisches Integral mit bestimmter oberer Grenze verwandeln, indem man t = x£, dt = xd% einführt:

(9)

dè

Y(c* + xn*) (c²-f y*|*)

858. Die charakteristischen Streifen. Die Charakteristiken der linearen partiellen Differentialgleichung:

(i)

0 Z    3 Z

« O, y,*)    + ß(x> sc ^ y’ *)>

nämlich die Integralkurven des äquivalenten Systems:

dy

dz

(2)

dx

«(*» y» *)— ß(x> y> *) — y(®, y, *) ’

unterscheiden sich von allen andern Kurven des Raumes dadurch , daß durch jede Charakteristik unbegrenzt viele Integralflächen gehen. Denn wenn k₀ eine Charakteristik und c irgend eine von einem Punkte M₀ von k₀ ausgehende Kurve vorstellt, bilden alle von c ausgehenden Charakteristiken nach Nr. 856 eine Integralfläche, und diese Fläche enthält insbesondere k₀. Da man beliebige von M₀ ausgehende Kurven c annehmen kann, gibt es also in der Tat unzählig viele Integralflächen, die k0 enthalten. Nach Nr. 856 haben sie in irgend einem Punkte von k₀ solche Flächenelemente, die ein Büschel bilden, dessen Achse die Tangente von Jc₀ ist, die damals mit g bezeichnet wurde. Hieraus folgt auch, daß irgend zwei Integralflächen, die überhaupt einen Punkt gemein haben, einander längs derjenigen Charakteristik schneiden, die durch diesen Punkt geht. Dabei wird stets von den singulären Integralflächen abgesehen, die man ja nach Nr. 854 auf dem Wege der Elimination und Substitution findet, so daß sie nur in begrenzter Anzahl vorhanden sein können.

Greift man eine derjenigen Integralflächen heraus, die durch eine bestimmte Charakteristik k₀ gehen, so hat sie längs k₀ einen Streifen von Flächende-

menten, den man nach Lie einen    yyX

charakteristischen Streifen nennt.    AJfV    Lu

Eine ungefähre Vorstellung davon    f~Lf

soll Fig. 58 geben, worin aller-dings die Flächenelemente durch    jL

Fig. 58.

krumme Vierecke angedeutet werden mußten; die Ebenen der Elemente muß man sich als Tangentenebenen dieser krummen Flächenstücke vorstellen. Wie in Nr. 856 kann man x, y, 2 längs der Charakteristik k₀

[858

als Funktionen einer Hilfsveränderichen t betrachten, für die nach (2): (³) Ft =a(x>y’Ą> §? = ß(x>y>*)> ist. Längs Jc₀ werden nun auch die beiden übrigen Bestimmungsstücke p und q der Flächenelemente des charakteristischen Streifens Funktionen von t sein, und wir wollen feststellen,, welchen Bedingungen diese Funktionen unterworfen sind.

Zunächst sind z und die Ableitungen p — dz : dx und q — dz : dy auf einer Integralfläche als Funktionen von x und y nach (1) der Gleichung:

ccp + ßq = y

unterworfen, aus der durch partielle Differentiation nach x und y folgt:

(«* + azP)P + (ßx + ßzP) <1 + upx + ßqx= Yx + YzP,

(Uy +cczq)p + (ßy + ß₂q)q+ ccpy+ ßqy=yy+ y₂q.

Da aber    d²Z : dx dy = qx ist, kann man hieraus folgern::

I aPx + ßpy = Yx + YzP - (ax + azP)P - (ßx + ßzP)fP ' ; l <*QX+ ßQy= Yy + YzQ. - K+ cczq)p — (ßy+ß,q)q.

Beschränkt man sich nun aber auf die Flächenelemente (x, y, z, p, q) der Integralfläche längs einer Charakteristik, so gelten außerdem die Formeln (3), und deshalb wird:

dp    dx -, dy    .    „

ji=p,di + p,-£ = «p.+ ßp

dy

y’

dq

dx

<*Qx+ ß⁽ly>

so daß aus (4) folgt:

(5)

&.

«-Iw «- hs

— Yx + YzP — K + azP)P — (ßx + ßzV)⁽i

= Yy + Y.ÇL — K+ - (Ą + ß₉q)q.

Setzt man zur Abkürzung:

(6)

so

F= ccp + ßq — y, so daß F eine Funktion von x, y, Z, p, q ist und F = 0 die vorgelegte lineare partielle Differentialgleichung (1) bedeutet,

858]

lassen sich die Gleichungen (3) und (5) für die charakteristischen Streifen so darstellen:

dz

= pFp+qF,

dt

djc_ j-, dy _ -pp

(7)

dt — ^p’ dt ~~ "î

% — F-PF„ % = -F-qF„

Man kann    sie    von    der    Hilfsveränderlichen t    befreien,

indem man die    Verhältnisse    der Differentiale dx,    dy, dz,

dp, dq bildet. Dann liegt ein System erster Ordnung von vier gewöhnlichen Differentialgleichungen in der Normalform zwischen den fünf Veränderlichen x, y, z, p, q vor. Es hat also vier unabhängige Integrale. Eines davon ist F selbst, denn das vollständige Differential von F verschwindet infolge von (7). Zwei andere Integrale sind die des Systems (2), das ja in dem Systeme, das wir betrachten, mit enthalten ist, weil Fp und Fq gleich a und ß sind. Diese beiden Integrale und co2 sind also Funktionen von x, y, z allein, indem = konst., co₂ = konst, alle Charakteristiken darstellen, vgl. Nr. 856-Schließlich gibt    es    also    nur    noch ein Integral Si,    das von

x, y, z, p und q abhängt. Da nun nach (1) und (6) noch F = 0 gefordert werden muß, kommen für die charakteristischen Streifen nur diejenigen Wertsysteme x, y, z, p, q in Betracht, die den Gleichungen:

' œ₁ (x, y, z) = konst., o₂ (x, y, z) = konst.,

(8)

F = ccp -f- ßq — y = 0,

(x, y, z, p, q) = konst, genügen. Ein Flächenelement (x₀, y₀, z₀, p₀, q₀), das der Differentialgleichung    (1)    oder    F = 0 angehört, liegt, wenn

nicht a, ß und y für dies Element sämtlich verschwinden, auf einer nicht singulären Integralfläche und gehört daher wenigstens einem charakteristischen Streifen an. Dieser muß nach

(8) durch:

0; y, *) = Vo> ^o)> °h(x, y, *) = ®s(x₀,    ^o)>

ap -f ßq = y, Si(x, y, z,p, q) = Si(x₀, y₀, z₀,p₀, q₀) definiert werden. Auf diese Weise sieht man ein, daß die Gleichungen (7) unter der Bedingung F = 0 nicht nur notwendige, sondern auch hinreichende Bedingungen für einen

[858

charakteristischen Streifen sind. Da in (8) drei willkürliche Konstanten Vorkommen, gibt es insgesamt eine dreifach unendliche Schar von charakteristischen Streifen, während nach Nr. 856 eine nur zweifach unendliche Schar von Charakteristiken vorhanden ist. In der Tat gehen ja durch jede Charakteristik unzählig viele Integralflächen und demnach liegen längs ihrer auch unbegrenzt viele charakteristische Streifen. Sie bilden eine gerade einfach unendliche Schar, denn eine bestimmte Charakteristik wird ausgewählt, wenn man die beiden ersten willkürlichen Konstanten in (8) bestimmt wählt, so daß nur noch eine Konstante willkürlich bleibt.

Es möge jetzt ein Punkt M oder (x, y, z) bestimmt gewählt sein. Diejenigen Flächenelemente (x, y, z, p, q), die dem Punkte M und der Differentialgleichung (1) angehören, bilden nach Nr. 856 ein Büschel, dessen Achse die Tangente g der durch M gehenden Charakteristik Je ist. Insbesondere seien vier solche Elemente ausgewählt, d. h. es seien vier Wertepaare pv qt angenommen, die den Gleichungen:

3,4)

(9)

ß<li~ 7 = 0

genügen. Ihre Ebenen haben in den laufenden Koordinaten £,    §

nach (4) in Nr. 856 die Gleichungen:

(* = 1,2,3,4)

oder, wenn man qi mittels (9) eliminiert, die Gleichungen:

- a(\)~ y)]Pi = ß(i - e) - y (t) - y) (i= 1,2,3,4).

Da sie einem Büschel mit der Achse g angehören, werden sie von jeder Geraden in vier Punkten getroffen, deren Doppelverhältnis bekanntlich unabhängig von der Lage der Schnittgeraden ist und daher das Doppelverhältnis der vier Ebenen heißt. Nach der letzten Gleichung werden die vier Ebenen z. B. von der 0-Achse in den Punkten mit den Koordinaten:

hi —

ß 8 — yy— (ßx — ay)Pi

geschnitten, und das Doppelverhältnis der vier Punkte ist deshalb gleich dem Doppel Verhältnisse (j>± p₂ p₃ pf), weil sich Zx, z₃, z₃, z± in gleicher Art linear durch p1} p₃, p₃, pi aus-drücken, vgl. Nr. 748.

Nun aber gehören die vier betrachteten Flächenelemente von M zu vier charakteristischen Streifen mit einer gemeinsamen Charakteristik k, nämlich mit der von M ausgehenden. Daher betrachten wir px, p₂, ps, als veränderlich längs Jc> und dann gelten die Formeln (7). Es ist aber nach Nr. 748:

d ln (p^PzPj =

dps — dp, , dpA — dp,

Pi—Pi

Ps— Pi ~r

dps — dp.₂    dp₄ — dp,

Pi — Pi ’

P3 — P2

und hierin sind dpx, dp₂, dpä, dpx nach (7) proportional -Fx-pxFz, -Fx-p₂Fz, -Fx-p₃Fz, — Fx — pxF,

Mithin folgt, daß längs der Charakteristik k:

d ln (p^PsPj

dt

wird, d. h.: Vier nicht singuläre Integral flächen, die eine Charakteristik k gemein haben, sind stets so beschaffen, daß überall längs der Charakteristik das Foppeiverhältnis der vier zugehörigen Tangentenebenen dasselbe bleibt.

Insbesondere erkennt man noch leicht, daß zwei nicht singuläre Integral flächen, die einander an einer Stelle ifcf₀ berühren und daher die von M₀ ausgehende Charakteristik k gemein haben, einander überall längs k berühren.

§ 2. Theorie des Jacobischen Multiplikators.

859. Erste Definition des Multiplikators. Da die

Integration der linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung nach Satz 3, Nr. 854, auf die der homogenen zurückkommt, beschränken wir uns von jetzt an auf die Betrachtung homogener Gleichungen. Die unbekannte Funktion bezeichnet man dabei herkömmlich nicht mit z, sondern mit f, während xlf x₂, ... xn wie immer die unabhängigen Veränderlichen bedeuten sollen. Wir betrachten also eine Gleichung von der Form:

(1) (ß'l    • %n)

8f

b an (fl'l > X2> • * • Xn)

df

cc₂ (xx, x₂,... xff)

d x.₂

in der cc1} a₂, ... an gegebene Funktionen von xx, x₂, ... xn allein bedeuten. Eine solche Differentialgleichung für f hat

[858, 859

dxJ

nach Nr. 854 gar keine singuläre Lösung. Alle Lösungen sind vielmehr nach Satz 1, Nr. 853₇ identisch mit den Integralen ■des Systems:

(2)

dxx

dx₂

dxn

an(Xi ,x₂,...xn)

Um nun an die Theorie des Eiderschen Multiplikators in § 3 des dritten Kapitels anzuknüpfen, nehmen wir zunächst n = 2 an. Das System (2) ist alsdann eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung in xx und x₂:

a₂ (xx, xf) dxl — ax (xt, x₂) dx₂ = 0.

Sie stimmt mit der Gleichung (1) in Nr. 724 über ein, wenn man x1} x₂, a1} a₂ durch x, y, — V, U ersetzt. Die damals unter (4) angegebene Bedingung für einen Multiplikator M lautet demnach jetzt so:

oMce₁

GX₁

d Mcx₂

dx₂

= 0.

Nach dem Vorgänge von Jacóbi definieren wir daher, indem

wir dies verallgemeinern, als einen Multiplikator von (1) jede von Null verschiedene Funktion M von x1: x₂, . . . xn, die der Bedingung:

(3)

d Mcc,

d Mcc₂

g Mccn

dx₁

genügt. Da die Bedingung in der Form:

dx₂

dxn

a ln M ⁰⁽¹ dxt

als lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung für ln M geschrieben werden kann, steht die Existenz unbegrenzt vieler Jacobischer Multiplikatoren fest, nach Satz 3, Nr. 854.

Sind M und N zwei Multiplikatoren, so besteht entsprechend (4) eine Gleichung in N statt M, und die Subtraktion beider Gleichungen voneinander zeigt sofort, daß ln (M : N) und daher auch M: N die vorgelegte Differentialgleichung (1) befriedigt, also entweder eine Lösung von (1) oder bloß eine Konstante ist. Umgekehrt: Wenn f eine Lösung von (1) oder eine Konstante und M einen Multiplikator bedeutet, multipliziere man und (3) mit f. Alsdann gibt die Addition beider Gleichungen:

dfMun

(4)

+----H an

gor.

g ln M _

dxn    g x₁

dfMcc₁ g fMcc₂

ox₁

dx₂

dxn

(1) mit M

d. h. fM ist ein Multiplikator N. Entsprechend dem Satze 13 von Nr. 724 gilt somit der

Satz 5: Das Verhältnis zweier Multiplikatoren einer homogenen linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung ist entweder eine Lösung oder eine Konstante, und das Produkt aus einem Multiplikator und einer Lösung oder einer Konstanten ist wieder ein Multiplikator.

Im Falle n = 2, auf den wir noch einmal zurückgreifen, ist der Ausdruck M(a₂dxx—ccxdx₂) nach der ursprünglichen Definition des Multiplikators M in Nr. 612 ein vollständiges Differential, nämlich das einer gewissen Lösung a, so daß wie in (2), Nr. 724:

Ma₂ =

dco

, Max = —

Cv>

si *r

dx,

wird. Daher kommt dann, wenn f eine beliebige Funktion bedeutet:

M(ccx

df

Im Falle n = 2 wird also die linke Seite der Differentialgleichung (1) nach Multiplikation mit M gleich der Funktionaldeterminante einer gewissen Lösung co und der beliebigen Funktion f. Hiervon ausgehend, kann man die Definition des Multiplikators auf einem zweiten, ebenfalls von Jacobi angegebenen Wege verallgemeinern. In Nr. 861 wird sich aber ergeben, daß man dabei doch wieder zur Definition durch die Bedingung (3) gelangt.

860. Zweite Definition des Multiplikators. Vorweg machen wir eine Bemerkung, die sich auf beliebige Funktionaldeterminanten ® von n Funktionen fx, f₂, . . . fn von n Veränderlichen xx, x₂, ... xn:

(1)

®~(

fl f* • • • fn\

• • xj

X, x₂ .

bezieht. Wird die zum Element df : dxk gehörige (n — l)-reihige LTnterdeterminante SDU, genannt, so ist, behaupten wir:

d

d%

8%n

dxn

Aus    geht nämlich durch Differentiation nach xk eine

Summe von n — 1 Determinanten hervor. In einer von ihnen

³³ [859, 860

(2)

dx ₂

= 0 (i = 1,2,... n).

S er r et - Schef f era, Diff.- u. Integral-Kechming. III. 3. Aufl.

tritt, wenn j ein von Je verschiedener Index ist, die Reihe mit den Elementen

_    ay,-! d*ft __

dXjdxk ’ ' ' ‘ dx.dxk ’ dxjdxk ’ ' ' ' dxfoxk

auf. Dasselbe gilt, wenn 2)^ nach xi differenziert wird. Man bemerkt aber, daß die beiden mit dieser Elementenreihe behafteten Determinanten einander entgegengesetzt gleich sind, sich also in der Summe, die in (2) links steht, fortheben. Auf diesem Wege leuchtet ein, daß überhaupt die ganze Summe (2) gleich Null ist.

Nun seien o1; ci₂, ... con_₁ irgendwelche n— 1 voneinander unabhängige Funktionen von x₁, X₂, . . . xn. Es gibt dann eine und nur eine homogene lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung:

(3)

df

df

df

die ra₁, ra₂, .. . con_₁ zu Lösungen hat. Denn man braucht ja nur für ax, a₂, . . . an die n — 1 Bedingungen:

dŹ ⁺ ** Tx, ⁺ " ' ⁺ “’df, = 0    ¹’²’" •”_1)

aufzustellen, die gerade die Verhältnisse von ax, a₂, ... an bestimmen, weil co₁, co₂, . . . 03n_₁ voneinander unabhängig sind. Die gesuchte Differentialgleichung für f geht also einfach dadurch hervor, daß man aXi a₂, . .. an aus den n Gleichungen (4) und (3) eliminiert, nämlich in der Form:

I .....jJcoi

dxn

(4)

' i»|8

= 0.

d<°n-l d<0n-l    dc0n-1

dx₁ cx% df df

dxx dx.₂    dxn

In der Tat ist dies eine in cf : dxx, ... cf : dxn homogene lineare Gleichung mit von xx, x₂, . . . xn abhängigen Koeffizienten. Sie besagt übrigens nichts anderes als Satz 2 von Nr. 853, wonach jede Lösung f eine Funktion der n — 1 unabhängigen Lösungen gj1; co₂, ... (on_₁ ist. Man Jeann demnach diejenige 860]

dxn

df

homogene lineare Differentialgleichung für f, die gegebene n — 1 unabhängige Lösungen co₁, co₂, ... con_x hat, in der Form:

(5)

schreiben.

= ( °h

V xz

Bezeichnet die zum Element df:dxi gehörige Unterdeterminante von A, so kann man (5) auch so darstellen:

(6)

df

df

df

dx₂

⁺ "' + A”-^; = 0-

dxx

In der Tat ist dies die Gleichung (3), weil cc1} a₂, ... an die Bedingungen (4) erfüllen sollen. Aber die Differentialgleichung (3), die cox, œ₂, . . . con_x zu Lösungen hat, kann sich von der Gleichung (6) noch um einen von xx, x₂, ... xn abhängigen Faktor M unterscheiden, so daß:

Mccx=Ax, Mcc₂= A₂, ... Man=An

(V

ist. Nach der vorausgeschickten Bemerkung gilt nun die Formel:

d ax

dxx

+ --- + §t = °

woraus nach (7) und nach der Definition (3) in voriger Nummer folgt, daß M ein Multiplikator von (3) sein muß. Aus (7) und (5) ergibt sich daher, daß ein Multiplikator M vorhanden ist derart, daß für jede Funktion f von xx, x₂, . . . xn die Gleichung besteht:

of

df

dx₂

t)=C:

dxx

Hiervon ausgehend kann man nun die angekündigte zweite Definition für die Multiplikatoren aufstellen:

Unter einem Multiplikator M der homogenen linearen partiellen Differentialgleichung (3) wird eine jede von Null verschiedene Funktion von xx, x₂, ... xn verstanden, die so beschaffen ist, daß die linke Seite der Differentialgleichung durch Multiplikation mit M gleich der Funktionaldetermina,nte von n — 1 Lösungen cox, ! und von der beliebigen Funktion f wird.

Daß cox, o₃,. . . con_x voneinander unabhängig sein sollen, wird dabei schon durch die Voraussetzung M =4= 0 bedingt.

Man hat nun nur noch zu zeigen, daß jeder der in voriger

[860

C3₂, . . . CO

Nummer definierten Multiplikatoren M auch dieser neuen Definition genügt.

861. Übereinstimmung beider Definitionen des Multiplikators. Es seien wieder co1? co₂, ... con_₁ voneinander unabhängige Lösungen der homogenen linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung:

(1)

df

df

df

und es sei M ein Multiplikator nach der letzten Definition, d. h. für jede Funktion f von x1} x₂, ... xn bestehe die

Gleichung :

w *(*£+*£+-+0-G;

••• ®»-1 \. ••• /

Wie wir soeben sahen, ist alsdann M auch ein Multiplikator nach der ersten Definition in Nr. 859. Nun möge N irgend einen Multiplikator nach dieser ersten Definition bedeuten. Nach Satz 5 vor Nr. 859 gibt es alsdann eine Lösung fl von (1) derart, daß N= fl M wird. Aber fl ist nach Satz 2 von Nr. 853 eine Funktion von œ₁, co₂, . . . (on_₁ allein. Also kommt nach (2):

df

+ - + “.10 = &0,, as, ... «>„_,) (

«1    ••• ®n-1

^2 • • • -Li-l

und zwar gilt diese Formel für beliebige Funktionen f.

Zunächst könnte fl nun aber auch eine bloße Konstante C sein. Dann kann man die letzte Gleichung so schreiben:

Cco₁ co₂ . . . con _ x f \ xt x₂ ... xn_₁ xj und da Cœ₁ ebenso wie œt selbst eine Lösung von (1) vorstellt, würde N in diesem Falle in der Tat der zweiten Definition des Multiplikators genügen. Dies gilt auch dann, wenn fl keine Konstante ist, sondern etwa wirklich enthält. Denn dann bilden wir eine Funktion:

df

dx₂

• + “.© = (

= f »(cou eo₂, ... œn_₁)dav

die ebenfalls nur von cj₁, co₂, . . . con_l abhängt und deshalb eine Lösung ist. Wegen:

860, 861]

d. h. diejenigen von Null verschiedenen Funktionen M, die der Bedingung:

8Ma, 8Mcc₂    8jMun _

8x₁    8x₂    ' 8xn

genügen, sind identisch mit denjenigen von Null verschiedenen Funktionen M, mit denen man die linke Seite der Differentialgleichung multiplizieren muß, um sie in die Funktionaldeterminante von n—1 Lösungen al, oj₂, .. con_x und von der als willkürlich betrachteten Funktion f zu verwandeln:

df

8x₂

to₂ . . . C0n_

X^ ... Xn_

Daß cox, co₂, . . . 0Jn_x voneinander unabhängig sein sollen, braucht nämlich nicht besonders betont zu werden, da die Annahme M 4=0 dies schon verlangt.

862. Einführung neuer Veränderlicher. Es empfiehlt sich, die linke Seite einer vorgelegten homogenen linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung:

(1) al(x₁,x₂,...xn)^- + a₂(xvx₂,...xn)^£ + ---han(x₁,x₂,...xn)^~0

zur Abkürzung mit Af zu bezeichnen und dies Symbol:

(2)

wird nun:

yi ih

iS 3

- iß(C31; OJ

2? • •

• Vn-1)

/Ol

Va?!

)-« :

J* $

so daß aus (3) folgt:

N{a'U, ⁺

df

■ '+*•§£) - (

••* ®»-l f

■ • •    «*-l

Da œ1} œ₂, . . . œn_₁ Lösungen sind, genügt N mithin in der Tat der zweiten Definition des Multiplikators. Also gilt der

Satz 6: Die Multiplikatoren M der homogenen linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung:

8x₂

df

«1 (x, ,X₂,... Xn) 2 v -j- Ci₂ (X1yX₂, ... xj)    "i l~ an (XV X2j—Xn) ÿx ^

8x₁

und:

C°>n-1

d<o„_x dxk

8 co, 8co, 8ca, dxk    8 Oj 8xk

8ca₁ 8g>₂    ' '

8co₂ 8xk '    '

4r df ,    8f    .    8f

Af= “i dĘ + a*8Ę + ' ' ' + tt«Wn

[861, 863

auch dann zu benutzen, wenn f nicht gerade eine Lösung von (1), sondern irgendeine Funktion von x1} x₂, ... xn bedeutet. Danach ist, wenn man f durch x₁₇ x₂, ... xn ersetzt:

Axt = a1: Ax₂ = cc₂, ... Axn = an.

Wir wollen nun neue Veränderliche xx, x.₂₎ ... xn vermöge eines Gleichungensystems:

(3)

Xi = cpi (Xj , x₂, ... xw)

einführen, das nach x1} x₂, . . . xn auflösbar ist. Jede Lösung f von (1) geht dahei in eine Funktion von #x, x₂, ... über, und wir fragen nach derjenigen Differentialgleichung in x1} x₂, ... xn, der alle diese Funktionen genügen. Infolge von

df _ cf d cp, df 0 9s d x{ dxx d x; dx₂ dx^

(3) ist:

df o <pn dxn dXi

(»‘-I, 2,...»).

Multiplikation mit und Summierung über i von 1 bis n zeigt, daß die aus (1) hervorgehende neue Differentialgleichung die Form hat:

(4)

' W, + Ä(p2 ' U₂ ⁺ * ' ‘+ A(p» ' wn = a

Dabei hat man sich vorzustellen, daß auch in die Koeffizienten, nämlich in:

d<Pk

d<Pk

d<Pk

xn

die neuen Veränderlichen xlf x₂, ... xn vermöge (3) eingeführt worden seien. Man kann die neue homogene lineare partielle Differentialgleichung (4) in xlf x₂, . . .. xn auch so schreiben:

(5)

ÄXl ' dlt + Äx'² '    ^ Ax* ' dln °’

Nun seien ßjl7 co₂, . . . ojra_₁ voneinander unabhängige Lösungen von (1), und es bedeute AI den nach dem letzten Satze durch :

(6)

df

df , df ,    ,

definierten Multiplikator. Diese Formel (6) enthält/¹ nur scheinbar, denn nach (7) in Nr. 860 sind alf cc₂, . . . ccn proportional denjenigen Koeffizienten, die den Ableitungen von f in der im Zähler stehenden Funktionaldeterminante zukommen.

Wenn man die neuen Veränderlichen x1} x₂, ... xn in diese Funktionaldeterminante einführt, werden g^, co₂, ... oj, und f Funktionen von x1} x₂, ... xn, die ihrerseits nach (3) von xlf X₂, . . . x abhängen. Nach Satz 5, Nr. 81, ist daher:

3⁸

<Pn

n'

xn.

(6)

Der Nenner in (6) verwandelt sich in die linke Seite der Differentialgleichung (4) oder (5). Demnach folgt aus durch Einführung der neuen Veränderlichen:

J» £

Atpi

df

dxx

8    I«

9    i«r

+ ^-9>2

df

cv>

rH

-j- • • • -j- A.Cpn

df

Nun werden ax, . . . con_x nach Einführung der neuen Veränderlichen Lösungen der neuen Differentialgleichung (4), während f eine beliebige Funktion von xx, x₂, ... xn bedeutet. Nach dem letzten Satze ist also die linke Seite der gewonnenen Gleichung ein Multiplikator der neuen Differentialgleichung (4). Da man <p1; <jp₂, ... cpn mit xx, x₂, ... xn bezeichnen kann, ergibt sich somit der

Satz 7: Fuhrt man in eine homogene lineare 'partielle Differentialgleichung erster Ordnung:

df

df

dxt + dxs ^    ^ a*d

df

xn

neue Veränderliche xx, x₂, . .. xn vermöge einer Substitution ein, so geht aus jedem Multiplikator M der Differentialgleichung durch Einführung der neuen Veränderlichen zwar nicht direkt ein Multiplikator der neuen Differentialgleichung :

\HG2

hervor, wohl aber wird der Bruch:

j* ä»i

'Xi

ßh.

ein Multiplikator der neuen Differentialgleichung.

863. Verwertung bekannter Lösungen. Von der

Differentialgleich un g :

(1)

Af_    Öf ,    Üf    .    df    r,

Af~ “i dfcx + ^ 0Ę + • • • +    = ⁰

mögen schon etwa m (< n — 1) voneinander unabhängige Lösungen co₁, co₂, ... com bekannt sein. Es ist keine sachliche Einschränkung, wenn wir voraussetzen, daß cox, co₂, ... com hinsichtlich xx, x₂, . . . xm voneinander unabhängig seien. Alsdann führen wir vermöge der nach xx, x₂, . . . xn auflösbaren Gleichungen:

x₂ cj₂ ,

(2)

Xx = COj ,

Fp    - rp    Fp    - rp    Fp - rp

^m + l⁻ ^m + l) ^7^ + 2 —    +    •••    ~

die neuen Veränderlichen xx, x₂, ... xn in (1) ein. Die hervorgehende Differentialgleichung lautet nach (4) in der letzten Nummer:

Acox •

df

dx,

dxm

df

df

⁺*dxm

• • + Axn • d-n 0,

dxm

Weil aber ax, co₂, . . . com Lösungen von (1) sind, ist Aco₁ = 0 • . . Acom= 0. Ferner ist Axm + 1 = am + 1, . . . Axn= ccn. Also kommt:

(3)

a™ + lrdx

df

df

df

= 0.

+ ----1- an

dK

Natürlich sind hierbei auch am+1, amĄ_₂, ... an in xx, x₂,. . . xn auszudrücken.

In dieser neuen homogenen linearen partiellen Differentialgleichung kommen die Ableitungen von f nach x1} öc₂, ... xm gar nicht vor. Daher spielen x1} x₂, ... xm die Rolle von willkürlichen Konstanten, und es liegt eine Differentialgleichung mit nur noch n — m unabhängigen Veränderlichen x vor. Sie hat n — m — 1 Lösungen, die hinsichtlich gewisser 862, 863]

Xm +1

m-f1) *

m +

n — m — 1 der n — m Veränderlichen x

. . x„ oder x

n

. . . xn voneinander unabhängig sind. Zusammen mit den schon bekannten Lösungen co₁, co₂, . . . mrn von (1) machen sie ein System von gerade n — 1 voneinander unabhängigen Lösungen der vorgelegten Differentialgleichung (1) aus, wenn wieder überall xx, x₂₎ . . . xn eingeführt werden.

Das Bekanntsein von m voneinander unabhängigen Lösungen der homogenen linearen partiellen Differentialgleichung (1) mit n unabhängigen Veränderlichen gestattet also mittels Eliminationen und Substitutionen die Zurückführung auf eine ebensolche Gleichung mit nur noch n — m unabhängigen Veränderlichen.

864. Prinzip des letzten Multiplikators. Bei denselben Annahmen wie in der letzten Nummer sei überdies vorausgesetzt, daß ein Multiplikator M der vorgelegten Differentialgleichung bekannt sei. Da infolge der Gleichungen (2) der letzten Nummer:

I X1 X2 ' • • Xn \ _ /

X₂ . . . xj \

•

• XJ

■■■ *>m Xm +1 ■■■ Xn

/y»    /V»    /y»

* * •    U/m +1 * * • *V

wird, zeigt der Satz 7 von Nr. 862, daß:

“l ®8 • • • æl

ein bekannter Multiplikator der neuen Differentialgleichung ist.

-2

Wenn nun die Zahl m = n — 2 ist, d. h. wenn man schon n — 2 voneinander unabhängige Lösungen œ1} co₂, ... aJn der vorgelegten Differentialgleichung kennt, und wenn außerdem ein Multiplikator M bekannt ist, lehrt die Methode der letzten Nummer, daß nach der Substitution der neuen Veränderlichen :

(1)    ^=£0,,    ...    Xn_₂^(On_₂, Xn_₁ = Xn_₁, Xn=Xn

eine verkürzte lineare partielle Differentialgleichung:

(2)

df , df

d*n- 1 + Undxn

hervorgeht, die den bekannten Multiplikator:

hat. Dies aber bedeutet (vgl. Nr. 859), daß die der Gleichung (2) äquivalente gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung in xn_x und xn:

(3)

“ndXn-l-“n

dx„=0

den Eulerschen Multiplikator M hat, d. h. daß:

das vollständige Differential eines Integrals an_₁ von (3) oder also eine Lösung von (2) ist, so daß dies letzte Integral an durch Quadraturen gefunden werden kann. Das vollständige Differential enthält auch x1} x₂, ... xn_₂, aber diese Größen sind dabei als willkürliche Konstanten zu betrachten.

Hiernach gilt der

Satz 8: Sind n — 2 voneinander unabhängige Lösungen der homogenen linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung:

-1

-1

cix{x₁,x₂,...xf)^ + a₂(x₁,x₂,...xf)~l-+---+uJgcx,x₂₎...xf)^-=0,

d.h. n — 2 unabhängige Integrale des Systems von n — 1 gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung:

dx₂

a₂ (xl, xt, ... x?f

dxx

d%n

an (*1 ’ X2 ’ ' • • Xn)

a₁ (xx, xs, ... æw)

bekannt und ist überdies auch ein Multiplikator M gefunden, so läßt sich die noch fehlende Lösung bzw. das noch fehlende Integral mittels Eliminationen, Substitutionen und Quadraturen bestimmen.

Dieser Satz ist der wesentliche Inhalt des von seinem Entdecker Jacobi als Prinzip des letzten Multiplikators bezeich-neten Theorems.

Es soll an einem einfachen Beispiele erläutert werden, das man zwar auch leicht ohne Anwendung dieses Satzes erledigen kann, bei dem wir aber genau so wie in der entwickelten Theorie Vorgehen wollen.

Beispiel: Liegt die Differentialgleichung:

(4) Af= x(y -z)^ + y(g- x)^ + z(x - y)= 0

vor, so folgt, weil:

(y — e) + 0 — x) + 0 — v)—

x(y — z) + y{e — x) + z(x — y) = 0

ist, erstens, daß die Bedingung für den Multiplikator, nämlich nach (3) in Nr. 859 die Gleichung:

dMy(z — x)

d Mx(y — z)

dx

dy

dMz(x — y)

dz

-o,

durch die Annahme M = 1 erfüllt wird, und zweitens, daß x 4- y + z eine Lösung von (4) ist. Mithin erfordert die Auffindung der noch fehlenden zweiten Lösung nur Eliminationen, Substitutionen und Quadraturen. Nach der Theorie wird:

(5)

x = x + y + g, y = y, z = e gesetzt. Dann ist Ax = 0, ferner:

Ay = Ay = y (z - x) = y{— x + y -fi 2z),

Az = Az = z(x — y) = ź(x — 2y — z), so daß die neue Differentialgleichung nach Nr. 862 so lautet:

df

ÿ(-x + ÿ + 2g) ü + g{x - 2g - l)

Nach (5) ist ferner die Funktionaldeterminante von x, ÿ, ź hinsichtlich x, y, z gleich Eins; daher geht aus dem Multiplikator M = 1 von (4) nach Satz 7, Nr. 862, der Multiplikator M = 1 yod (6) hervor, d. h. die linke Seite der mit (6) äquivalenten gewöhnlichen Differentialgleichung:

z(x — 2ÿ — z)dÿ — ÿ(— x -f- ÿ -j- 2z) dz = 0

muß ein vollständiges Differential sein, wenn x darin als Konstante betrachtet wird. In der Tat ist sie das von yz(x—ÿ — z) woraus nach (5) die gesuchte zweite Lösung cj₂ = xyz von (4) hervorgeht. Die Lösungen von (4) sind somit die Funktionen von x -f- y -f z und xyz allein.

(6)

dz

= 0.

§ 3. Tollständige Systeme.

865. Unabhängigkeit homogener linearer partieller Differentialgleichungen erster Ordnung. Wir wenden uns zu der Aufgabe, diejenigen Funktionen /’von n unabhängigen Veränderlichen xlf x₂, . . . xn zu ermitteln, die zugleich Lösungen von mehreren homogenen linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung:

(1)

df

df

df

Af- +    +    +

(Je = 1, 2,... m) sind. Hierbei sollen an, cckS, . . . cckn gegebene Funktionen von xt, xa,. . . xn sein, und die linken Seiten der m vorgelegten Gleichungen sollen zur Abkürzung mit Axf, A₂f, . . . Amf bezeichnet werden, und zwar für jede Funktion /'.

Jede Gleichung von der Form:

KAf + KAf + • • • + AA/^ o

besteht infolge von (1), wie auch Xx, 1₂, . . . lm als Funktionen von xlf x₂,. . . xn gewählt sein mögen. Derartige Gleichungen heißen von den Gleichungen (1) abhängig. Sie tragen nichts neues zur Ermittelung der gemeinsamen Lösungen der m Gleichungen (1) bei. Es kann sein, daß schon einige der Gleichungen (1), die alsdann überflüssig sind, von den übrigen ab-hängen. Dies erkennt man geradeso, wie in der Algebra die Abhängigkeit linearer homogener Gleichungen in n LTnbekannten; an die Stelle der n Unbekannten treten hierbei die n partiellen Ableitungen von f nach xx, x₂, . . . xn. Somit gilt der

Satz 9: Die m homogenen linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung:

df ,

dĘ + a*

sind dann und nur dann voneinander unabhängig, wenn nicht alle m-reihigen in der Matrix

n dxn

(2)

df

dx ₂

+ • * • + akn ⁼ 0 (Je = 1,2,.... m)

fó12    ^13    • * •    n

a21 fó22    K23    • • •    K2n

ßral am2

enthaltenen Determinanten verschwinden.

Man kann auch so sagen:

Satz 10: Die m homogenen linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung:

'm n

+a»^ ⁺ *" + a*»Ä“⁰

sind dann und nur dann voneinander unabhängig, wenn sie sich nach m partiellen Ableitungen, von f auf lösen lassen.

865]

Liegt ein System von Gleichungen (1) vor, so wird man zuerst immer untersuchen, ob sie voneinander unabhängig sind, also die etwa unter ihnen vorhandenen von den übrigen abhängigen Gleichungen als überflüssig streichen. Es leuchtet ein, daß es höchstens n voneinander unabhängige Gleichungen Af = 0 geben kann.

866. Der Satz von Poisson. Hier schalten wir eine wichtige Bemerkung über diejenigen Punktionen f ein, die einem gegebenen Systeme von nur zwei Gleichungen:

df

df

df

genügen. Nach dem vorhergehenden ist jede Gleichung von der Form:

(2)

(1)

l Af + [iBf = 0 eine Folge von (1), und sie besagt nichts neues. Aber es gibt noch ein anderes Mittel, aus den gegebenen Gleichungen (1) eine neue Gleichung zu gewinnen, die ebenfalls von ihren gemeinsamen Lösungen erfüllt wird und unter Umständen eine von den Gleichungen (1) unabhängige Gleichung sein kann.

Dies Mittel besteht in der Bildung des von Poisson eingeführten Klammerausdrucks, der durch die Formel definiert wird : (Af,Bf) = A(Bf)-B{Af),

eines Prozesses also, der in anderem Zusammenhänge schon in Nr. 741 erwähnt wurde, worauf wir aber nicht zurückgreifen wollen. In (2) soll AÇBf) derjenige Ausdruck sein, der aus Af hervorgeht, wenn darin f durch Bf ersetzt wird, und entsprechendes gilt von B(Af)• Berechnet man den Klammerausdruck, so findet man, daß sich alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von f fortheben. Es verbleibt:

(3)

(Af, Zf) =

dß ₁

dxn

-ßl

dccx

dß,

dxn

ßx

CV) CV>

tf a t?

g d«,

' ² dx₂

cvi cv)

Xx

df

d x..

----h 0Cn

~ßi

dan

dxx

dccn

d x₂

- Æ c aT>) — ■ ™ dxj dx„

Die Ausrechnung gestaltet sich übrigens in jedem speziellen Falle einfacher, als es nach dieser allgemeinen Formel den Anschein hat. Denn da die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von f fortfallen, kann man den Klammerausdruck (2) in der Weise bilden, daß man während der Ausrechnung die Ableitungen von f nach x1} x₂, . . . xn wie Konstanten behandelt. In der Tat läßt sich ja die Formel (3) kürzer so schreiben:

df

df

dxl

dx₂

(4) (Af, Bf) = (Aß, - B«,)

Der Klammerausdruck ist somit geradeso wie Af und Bf selbst eine homogene lineare ganze Funktion der partiellen Ableitungen erster Ordnung von f mit gewissen von xt, x2}... xn abhängigen Koeffizienten. Stellt nun f insbesondere eine gemeinsame Lösung der beiden vorgelegten Gleichungen (1) dar, so verschwinden Af und Bf für alle Werte von xt, xa,. . . xn7 und (2) zeigt alsdann, daß dasselbe von dem Klammerausdrucke (Af, Bf) gilt.

Dies aber liefert den wichtigen Satz von Poisson:

Satz 11: Jede gemeinsame Lösung f der beiden homogenen linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung:

a />_    of    df    .    ,    df    n

Äf    dx, ⁺    “² dx,    A    dxn    °>

Bf⁼ßiWx₁ ⁺ &§i ⁺ ''' ⁺ ?" d\

worin die a und ß Funktionen von x₁, x₂,... xn sind, befriedigt auch die durch Klammerbildung hervorgehende Gleichung:

df

xn

= 0,

(Af, Bf) - 0

nämlich die homogene lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung:

(Aß, - Btt,) §£■ + (Aß, -Ba,) $£■ + ■■■ + (Aß, - Ba.) ^ - 0.

Beispiel: In vier Veränderlichen x1} xa, x₃, xA seien die beiden Gleichungen gegeben:

Af    df    df .

Äf==    8Ę ⁺ dĘ + Xl

Bf=Xl^ + XS

(5)

df

dx₂

df

df

dxs

= 0.

AXl8x₄ °’

Hier liefert (4):

Jede Funktion /', die den beiden Gleichungen (5) genügt, erfüllt somit auch die Gleichung:

Cf- K +    dL _

¹ dx, ^ dx₂    dx₃

Man kann Af = 0 und Cf= 0 durch:

ł {Af + Cf) = 0 und ! (Af—Cf) = 0

ersetzen; dann liegen die drei Gleichungen vor:

df .

df

æ₄

= 0.

1±1 = 0

dxx ' dx% ’

1/ + K ₌ o

dxs dxé

Nach den beiden ersten müssen cf: exx und cf:dx₂ verschwinden. Also ist f von xx und x₂ frei. Demnach handelt es sich nur noch um die Bestimmung derjenigen Funktionen f von x₃ und x₄ allein, die der dritten Gleichung genügen, d. lider Integrale der gewöhnlichen Differentialgleichung:

dxs dxx

dx₉

= 0,

die Funktionen von x₃ — x₄ allein sind. Jede Funktion also, die den beiden vorgelegten Gleichungen (5) genügt, ist eine Funktion von x₃ — x₄ allein, und umgekehrt erfüllt jede Funktion von x₃ — x± allein die Gleichungen (5).

867. Bildung und Begriff der vollständigen Systeme. Nach den letzten Bemerkungen in Nr. 865 nehmen wir nun an, daß m (< n) voneinander unabhängige homogene lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung vorliegen:

df

(i)    • • • O

(* = 1,

zu-

Nach dem letzten Satz sind ihre gemeinsamen Lösungen f gleich Lösungen der homogenen linearen partiellen Differentialgleichungen:

(Akf, Af) = 0

(2)

(Je = 1,2,... ü = 1,2,... m)..

Unter ihnen können solche vorhanden sein, deren linke Seiten selbst gleich Null sind, oder auch solche, die von den m Gleichungen (1) abhängig sind. Derartige Gleichungen lassen

[866, 867

wir als überflüssig beiseite. Es können aber ancb Gleichungen (2) heryorgehen; die nicht von den ursprünglich gegebenen Gleichungen (1) abhängen, und diese Gleichungen fügen wir zu dem vorgelegten Systeme (1) hinzu. Es besteht alsdann aus mehr als m Gleichungen, und es handelt sich wieder um die Ermittelung ihrer gemeinsamen Lösungen.

Das neue System kann man nun gerade so behandeln, wie wir das vorgelegte System (1) behandelt haben, d. h. man kann wieder die Klammerausdrücke gleich Null setzen und Zusehen, ob sich auf diese Weise neue, nämlich von den bisherigen Gleichungen unabhängige Gleichungen ergeben, usw. Da höchstens n Gleichungen voneinander unabhängig sein können, muß dies Verfahren nach einer endlichen Anzahl von Schritten zu Ende kommen.

Somit gelangt man von einem vorgelegten Systeme (1) schließlich zu einem Systeme von r (< n) voneinander unabhängigen homogenen linearen partiellen Differentialgleichungen, aus dem durch Klammerbildung keine von den Gleichungen des Systems unabhängigen Gleichungen hervorgehen. Ein solches System heißt ein vollständiges. Hiernach gilt der

Satz 12: Liegt in n unabhängigen Veränderlichen xv x%,... xn ein System von homogenen linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung für eine Funktion f vor, so sind die Lösungen f dieses Systems identisch mit den Lösungen eines gewissen vollständigen Systems:

cf

df

dx, *" dx, — ⁰

(k-l,2,...r),

d. h. eines Systems, das so beschaffen ist, daß alle r (< n) Gleichungen des Systems voneinander unabhängig, dagegen alle durch Klammerbildung zu gewinnenden Gleichungen:

(Af, Af)~ 0 (*-l,2,...r; 1-1,2,...r)

von den Gleichungen des Systems abhängig sind. Die Aufstellung dieses vollständigen Systems erfordert nur eine begrenzte Anzahl von Differentiationen.

Nach Nr. 865 haben die Klammerausdrücke bei diesem vollständigen System deshalb, weil sie nur abhängige Gleichungen

867]

liefern, die Form:

(3) (A-kft Atf) = XknA₁f Ą- khnA%f + • • • + KirArfl

wobei die l Funktionen von xt, x₂, . . . xn bedeuten. Ein vollständiges System:

Af- 0, Aj-0, ... Arf = 0

besteht mithin aus r unabhängigen Gleichungen von der Art, daß sich die Klammerausdrücke ihrer linken Seiten linear und homogen mit von xx, x₂, . . . xn abhängigen Koeffizienten durch die linken Seiten selbst ausdrücken. Man nennt das System r-gliedrig.

Beispiel: Es mögen die beiden voneinander unabhängigen D ifferentialglei chungen :

d£ , d£ ..,K ₌ o

dx, ' dx₂    ' dxn ’

⁺ ':' + x»§£ = °

'"+x*Uy

Nullsetzen dieses Ausdrucks liefert eine von den Gleichungen (4) unabhängige Gleichung:

(4)

Af =

Bf

df

dx₁

vorliegen. Hier ist:

df

dx₂

df

df

Demnach sind die Lösungen f des Systems (4) die gemeinsamen Lösungen der drei Gleichungen (4) und (5). Wir bilden nun:

(5)

Cf = xx

dxx

df

(Aft Cf) — Xx ~ + %2    + ‘ • • + xn

+ • • • +

+ - + 0‘

{Bf, Cf)- V !£ + *>*

df

dx₂

df

dxn⁷

df

dxn

Hiernach ist:

ox₂

(Af, Cf) = Cf, (Bf, Cf) = - Bf.

Nullsetzen der Klammerausdrücke gibt daher keine von den drei Gleichungen (4) und (5) unabhängige Gleichung. Demnach bilden die Gleichungen (4) und (5) ein dreigliedriges vollständiges System. Wir kommen in Nr. 870 auf dies Beispiel zurück.

868. Involutionssysteme. Ein r-gliedriges vollständiges System in n Veränderlichen:

(i)

Af-o, Af=o,...Arf=o,

hei dem also nach (3) in voriger Nummer für die Klammerausdrücke Gleichungen von der Form:

(2)

iAkfi AJ) — Xkn Axf -\- XH2A₂f + • • • + Klr^-rf (Je = 1, 2,. . . r; l = 1, 2,... f)

gelten, wobei die X Funktionen von xt, x₂, . . . xn sind, läßt sich in unbegrenzt vielen anderen Formen schreiben. Denn wenn man r² Funktionen so wählt, daß ihre Determinante:

^12 • • • ftr ^21 ^22 • • • hr

(3)

Prl fb-2 * • ' Prr

ist, besagen die r Gleichungen:

Ą-/ =    -f- [lk2A₂ f “h ’ ■ * ~h Pkr-A-rf = 0

(*-l, 2, ...*•)

dasselbe wie die r Gleichungen (1), und sie sind wieder lauter homogene lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. Nun liegt die Vermutung nahe, daß die Gleichungen auch in der neuen Form (4) ein vollständiges System bilden, d. h. daß alle Klammerausdrücke (Bkf} Bf) infolge von (4) verschwinden. Dies ist so zu beweisen:

Da ein Klammerausdruck nach seiner in Nr. 866 gegebenen Definition die Eigenschaft hat, daß stets:

(Af+ Bf, Cf+ Df) - (Af Cf) + (Bf, Cf) + (Af, Df) + (Bf,Df)

und, falls X uud (i Funktionen von xi} x₂, . . . xn sind, auch stets :

(XAf, [ijBf) = X[i(Af‘ Bf) + XA[i • Bf— pBX • Af

wird, so ergibt sich, wenn man aus zweien der Summen Bf in (4) den Klammerausdruck herstellt, eine Summe, in der als Summanden die r Größen Af, .. . Arf und ihre Klammerausdrücke auftreten, multipliziert mit Funktionen von xlf x₂,...xn (d. h. mit von f freien Funktionen). Setzt man darin die 868]

Werte (2) ein, so wird (Bf Bf) eine Summe der r mit Funktionen von xx ,x₂,...xn multiplizierten Größen Af, Af...Af die sich ihrerseits wegen (3) nach (4) linear durch Bf, Bf,... Bf ausdrücken lassen. Schließlich zeigt sich also, daß sich (Bf, Bf) als eine homogene ganze lineare Funktion von Bf Bf.. .Bf mit von xx, x₂,... xn abhängigen Koeffizienten darstellt, d. h. daß jede Gleichung (Bf Bf) = 0 von den r Gleichungen (4) abhängig ist.

In welcher Form (4) man also auch das System (1) schreiben mag, stets behält es die für ein r-gliedriges vollständiges System charakteristische Eigenschaft.

Insbesondere sagt man, daß die Gleichungen des Systems

(4) in Involution sind oder daß das System (4) ein Involutionssystem ist, wenn alle Klammerausdrücke (Bf Bf) für beliebige Funktionen f identisch verschwinden. Nach einem Satze von Glebsch läßt sich das System (1) stets in ein Involutionssystem verwandeln. Dies kann man sehr einfach so beweisen:

Infolge des Satzes 10 von Nr. 865 sind die vorgelegten r Gleichungen (1) nach gewissen r der n partiellen Ableitungen von /'auflösbar, etwa nach denjenigen hinsicbtlich xx, x₂,...xr:

df

dxk

= /3

df

df

*> r+1 dxr + 1

wobei die ß Funktionen von xt, x₂, ... xn sind. Dann aber ist das System (1) auf die neue Form:

AL__ß

>r+¹dxr + 1 p*>r+²dxr + 2

gebracht, in der es nach wie vor ein vollständiges ist, so daß jeder Klammerausdruck (Bf Bf) linear aus Bf Bf,... Bf zusammensetzbar sein muß. Wegen der besonderen Gestalt der Bf erhellt jedoch, daß (Bf Bf) von den Ableitungen von f hinsichtlich xx, xs,...xr frei wird, während in jedem Bf eine von ihnen mit dem Faktor Eins auftritt. Demnach muß notwendig (Bf Bf) verschwinden. Somit gilt der Satz von Clebsch :

df

B^~dxk ß*

df

■—ß

df

k'n dxn

Satz 13: Jedes r-gliedrige vollständige System:

Af-o, Af-o,.-..Af-o

läßt sich in ein Involutionssystem:

verwandeln, d. Ji. in ein System, bei dem alle Klammerausdrücke (Bf\ Bf) identisch verschwinden. Dies kann z. B. dadurch erreicht werden, daß man das System nach r partiellen Ableitungen von f auflöst und dann alle Glieder der hervorgehenden Gleichungen auf eine Seite bringt.

Die Gesamtheit der bisherigen Betrachtungen gibt schließ

lich den

Satz 14: Die Aufgabe, die gemeinsamen Lösungen mehrerer homogener linearer partieller Differentialgleichungen erster Ordnung zu bestimmen, läßt sich stets mittels Differentiationen auf die Aufgabe zurückführen, ein gewisses Involutionssystem zu integrieren.

869. Integration eines Involutionssystems. Demnach liege jetzt die Aufgabe vor, ein r-gliedriges Involutionssystem :

(i)

Af-o, Af = 0,    ... Aff- 0

in n unabhängigen Yeränderlicben xx, x₂, . . . xn zu integrieren. Wenn man im stände ist, eine Gleichung des Systems für sich vollständig zu integrieren, läßt sich die Aufgabe, wie wir zeigen wollen, auf die der Integration eines nur noch (r — l)-gliedrigen Involutionssystems in nur noch n — 1 unabhängigen Veränderlichen zurückführen.

-i •

Es werde also angenommen, die Gleichung Arf = 0 habe die n — 1 voneinander unabhängigen Lösungen co₁, m₂,... an Da ein Involutionssystem vorliegt, ist jeder Klammerausdruck gleich Kuli, also insbesondere:

{Af, Af) = AiAf) - A(Af) - o,

und weilArco,. = 0 wird, folgt hieraus für f = coj, daß Ar(Akcof) verschwindet, so daß Akm; ebenfalls eine Lösung von Arf = 0 sein muß. Alle Akœj (für k = 1, 2,... r — 1 ; j = 1, 2, ... n — 1) sind daher Funktionen von oo₁, œ₂, ... con_₁ allein. Von diesem Umstande machen wir nachher Gebrauch.

Der größeren Bequemlichkeit der Ausdrucksweise halber darf angenommen werden, daß co₁, to₂,... œn_₁ gerade in bezug auf xx, x₂,...xn_x von einander unabhängig sind. Vermöge der Gleichungen:

868, 869]

Vi “ ai> Vi “ a2> • • • y*_x = ®»_1 kann man nun an Stelle von x1} x₂, . .. xn_x die neuen Veränderlichen yu y₂, . . . yn_x einführen, indem man . als nte Veränderliche xn heibehält. Nach Nr. 862 nimmt das System (1) dabei die Form an:

df

df

df

+ ----\~ -A-h^n-1 !

Qi = 1, 2,... r).

Die rte Gleichung wird besonders einfach, denn Arœx,... Arœn_1 sind sämtlich gleich Null, während Arxn =j= 0 ist, weil xn keine Lösung von Arf = 0 vorstellt. Wenn man die Funktion Arxn, geschrieben in yx, y₂, . . . yn_₁ und xn, mit yr bezeichnet, lautet mithin die letzte Gleichung so:

Wx

dyn

(2)

Arf= 7r{y 1, Vt, • • • Vn-1, Xn) = ⁰ •

In den r — 1 ersten Gleichungen sind die Koeffizienten von cf : dyx, . . . cf: cyn_₁ nach der vorausgeschickten Bemerkung Funktionen von œ₁, a₂, . . . <on_₁ oder also von yx, y₂,---yn_t allein. Haben also die Gleichungen jetzt die Form:

df

II

+ ---+ß

(k 1, 2, . . . n — 1),

df

k,n~¹ dyn„ i

+ 7k

df

dxn

so sind ßkX, ßk2, . . . ßkn_x Funktionen von yx, y₂, . . . yn_x allein, während yk außerdem noch von xn abhängen kann. Nach (2) müssen alle Lösungen des Systems(l), geschrieben in yx,y₂,... yn_x und xn, frei von xn sein. Deshalb sind sie nach (3) identisch mit denjenigen Funktionen von y1} y₂, . . . yn_x allein, die den r — 1 Gleichungen:

(4)

df

df

Of~=0

-i

in den n — 1 unabhängigen Veränderlichen yx, y₂, , . . yn_x Genüge leisten. In diesen Gleichungen tritt xn gar nicht mehr auf.

Nun ist nur noch zu beweisen, daß die r — 1 Gleichungen (4) ein (r—l)-gliedriges Involutionssystem bilden. Wären

[86»

sie voneinander abhängig, so bestände wenigstens eine Gleichung von der Form:

nicht sämtlich

für alle Funktionen f, wobei kx, k₂₎... k verschwinden. Nun ist aber nach (4), (3) und (2):

so daß käme:

Bkf— Akf — Vy^Arf,

KYi ~H • • ’ 4~ K-lYr-l

A-if-

Yr

Af- o,

was unmöglich ist, weil die r vorgelegten Gleichungen (1) voneinander unabhängig sind. Ferner zeigt die Art, wie man in die Gleichungen des Systems (1) nach Nr. 862 die neuen Veränderlichen einzuführen hat, daß die Klammerausdrücke nicht nur bei der alten Schreibweise (1) des Involutionssystems, sondern auch bei der neuen Schreibweise (2), (3) dieses Systems identisch verschwinden. Nach (3) und (4) ist aber:

df

df

Aif= Bif + 7i

Af=JBkf+ n

(*=l,2,...r-l; Z=l,2,...r-1),

dx„

dxn

und da die Veränderliche xn in Bkf und Bxf gar nicht auf-tritt, folgt hieraus:

Hierbei stellt (Bkf, Btf) die Gesamtheit derjenigen Glieder dar, die Ableitungen von f nach yx, y₂, . . . yn_₁ allein enthalten. Daher wird insbesondere:

(& = 1,2,...r —1; Z = 1,2,...r—1). Die Gleichungen (4) bilden also in der Tat ein (r — l)-gliedriges Involutionssystem. Hiernach gilt der

Satz 15: Liegt ein r-gliedriges Involutionssystem:

-i

Af-% Atf-0,...Arf-0 in n unabhängigen Veränderlichen xx, x₂,... xn vor, und kennt man n — 1 voneinander unabhängige Lösungen (ox, œ₂,...œn einer Gleichung des Systems, etiva der Gleichung Arf = 0, so sind die Lösungen des Systems identisch mit den Lösungen desjenigen (r — 1) -gliedrigen Involutionssystems in n — 1 unab-869]

hängigen Veränderlichen yx, y₂,. . . yn_₁, das sich ergibt, wenn man in den r — 1 Gleichungen:

AkcOi ■

df

dyx

+ Äkco₂ •

df

df

dy*

~¹ ' öyn-i

(*-l, 2,...r-l),

deren Koeffizienten Funktionen von ax, m₂,... con_₁ allein werden, die neuen Veränderlichen:

einführt.

Vl ÖD y% œ2’ ■ ' • Vn-l — an-1

usw.

Das neue, (r—l)-gliedrige Involutionssystem kann genau in derselben Weise weiter vereinfacht werden, sobald man eine seiner Gleichungen vollständig zu integrieren vermag, Schließlich gelangt man so zu einem eingliedrigen Systeme in nur noch n — r + 1 unabhängigen Veränderlichen, also zu einer einzigen homogenen linearen Differentialgleichung, die gerade n — r voneinander unabhängige Lösungen hat, Demnach folgt, weil jedes vollständige System nach Satz 13. Nr. 868, als Involutionssystem dargestellt werden kann:

Satz 16: Ein r-gliedriges vollständiges System in n unabhängigen Veränderlichen hat gerade n — r voneinander unabhängige Lösungen. Jede andere Lösung ist eine Funktion von diesen, und jede Funktion von Lösungen ist wieder eine Lösung.

870. Beispiele. Im Falle n = 2 sind für r die drei Werte r = 1, 2, 3 möglich. Zu r — 1 gehört eine einzelne homogene lineare partielle Differentialgleichung. Ist r = 3, so hat das vollständige System nur die trivialen Lösungen f = konst. Daher interessieren"uns hier nur die zweigliedrigen vollständigen Systeme. Die drei Veränderlichen seien mit x, y, z bezeichnet und als rechtwinklige Koordinaten im Raume gedeutet. Alsdann hat ein zweigliedriges System nach dem letzten Satze nur eine unabhängige Lösung œ (x, y, z), indem jede andere eine Funktion von co ist. Die durch œ = konst, dargestellten Flächen, die sogenannten Integralflächen, bilden eine einfach unendliche Schar, die sich geometrisch wie folgt definieren läßt. Sind:

df , a df . df A df . a df . df n

die beiden Gleichungen des vollständigen Systems, so ordnet jede irgend einem Punkte M oder (x, y, z) nach Nr. 856 je ein Linienelement \ und l₂ zu, indem die Richtungskosinus der beiden Elemente proportional zu a%, ßlt yt und a₂, ß₂, y₂ sind. Die durch M gehende Integralfläche co = konst, muß beide Linienelemente enthalten.

Sind dx, dy, dz die Differentiale der Koordinaten auf einer Integralfläche, so muß daher:

dx dy dz ßx y i = 0 ßs y 2 I

oder:

(²) (ßx y? — ß* yß)dx + (yx ~ y2 «1) dv + Oi ß₂ - ßx)dz = 0 sein. Die Integralflächen des vollständigen Systems (1) sind demnach identisch mit den Integralflächen dieser totalen Differentialgleichung. Auf solche totale Differentialgleichungen kommen wir im nächsten Paragraphen zurück. Man kann auch sagen, daß die Normalen der Integralflächen Dichtungskosinus haben, die den drei in (2) auftretenden Determinanten proportional sind. 1. Beispiel: Die beiden Gleichungen:

Bf=xTX+yfy+4-°

xr df , df . df p.

Af= ~yjX + XJy+ ZTz = 0,

bilden ein Involutionssystem, da (Af, Bf) = 0 wird. Die zweite Gleichung ist nach Satz 1, Nr. 853, dem Systeme:

dx dy dz

mit den beiden Lösungen x : z und y : z äquivalent. Nach der Methode der vorigen Nummer führt man daher

x =

ein und bildet:

Ax = A

_ 1.

Ai-Ął)-!-'?-*-*.

so daß noch die Gleichung:

in x und y allein integriert werden muß. Sie ist der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung:

dx

— i dv ₌ o

X+ÿ^X—ÿ

äquivalent, die als homogene Gleichung nach Nr. 715 das Integral co = arc tg -I- + ln ]/x² ÿ² = hat. Die Integralflächen werden also durch:

z = konst. ]/x² + y²e dargestellt. Sie sind diejenigen Flächen, die an jeder Stelle (x, y, z) nach (2) eine Normale haben, deren Richtungskosinus den Größen z{x— y), z(x + y) und — (x²    y²) proportional sind.

2. Beispiel: In n Veränderlichen xx, x₂, ... xn mögen die beiden Gleichungen:

Af-§i[ + & + ■■■+ä = °>

arc

tgf+i

arc tg

y_

Bf~*>ik+x*U,

vorliegen. Nach dem Beispiele in Nr. 867 ergänzen wir sie durch:

nr df . df . i df A + x*d^, + ' ' ‘ + x"Wn ~ ⁰

zu einem dreigliedrigen vollständigen Systeme, das nach Satz 16 gerade n — 3 voneinander unabhängige Lösungen hat. Man könnte die Integrationsmethode der vorigen Nummer anwenden, müßte jedoch zu diesem Zwecke das System erst auf Grund des Satzes 13 von Nr. 868 in ein Involutionssystem verwandeln. Da aber dabei die Symmetrie verloren geht, ziehen wir das folgende direkte Integrationsverfahren vor. Die Gleichung Af= 0 hat die n — 1 voneinander unabhängigen Lösungen:

'yi = X1 ~ Xn, V* = X2 - X», • • • Vn-1 = Xn-1 ~ Xn'

Die gesuchten Lösungen des Systems müssen Funktionen von lJ\ ; Vs ) • • • Vn -1 allein sein. F ür eine Funktion f von ylf y%,... yn_\ allein ist aber:

df ₌ df_

dxj dVj

Va.

= 1,2

n - 1),

df

df

_ df__ df__________

dxn dy, dy₂    dyn-x

538 Kap. VH. Systeme 1. Ordng. von lin. partiell. Differentialgleichungen, so daß Cf = 0 für sie die Form:

df

df

df

Viw, ⁺" '+ y°-iw„

bekommt. Diese Gleichung aber hat die n — 2 voneinander unabhängigen Lösungen:

-i

xk~xn

Vn-1

xn~1    xn

(Je = 1, 2, . . . n — 2).

Die gesuchten Lösungen sind somit Funktionen vonzx,z₂,...zn allein. Aber für jede Funktion f von zl} z₂, .. . zn_₂ allein nimmt die noch zu befriedigende Gleichung Bf= 0 nach Streichen des überall auftretenden Faktors yn_t die Form an:

-2

*i(*i~ ¹)|^" + *2(^2 — 1)^ + • —h Zn-2(^-2 — 1)

\ df

0,

d&n — 2

und diese Gleichung hat die n — 3 voneinander unabhängigen Lösungen:

^—- : g"-».-.¹, oder    ^-2~^-i (;₌i

/V* /v»    <v»    _ /y*    \    7 /    / 7

J'n - 2

d. h. die w —3 Doppelverhältnisse (%n_₁xnxlxtl_₂), vgl- Xr• 748. Da sich alle Doppelverhältnisse von je vieren der Veränderlichen xi7 x₂,... xn durch diese n — 3 ausdrücken lassen, sind die gesuchten Lösungen identisch mit den Funktionen der Doppel-verhältnisse von je vieren aller Veränderlicher x., x₂,... xn.

²i

Zn— 2

§ 4. Pfaffsche Gleichungen.

871. Geometrische Deutung einer Pfaffschen Gleichung in drei Veränderlichen. In engem Zusammenhänge mit den homogenen linearen partiellen Differentialgleichungen stehen diejenigen totalen Differentialgleichungen (vgl. Nr. 671), die man auf eine Form bringen kann, in der sie linear und homogen in den Differentialen der Veränderlichen sind, also die Gleichungen von der allgemeinen Form:

dxt + X₂ dx2 + • • • -j- Xn dxn = 0, wo Xt, X₂, ... Xn gegebene Funktionen der n Veränderlichen x1} x₂,... xn bedeuten. Solche Gleichungen heißen Pfaffsche Gleichungen.

Wir beschränken uns auf den Fall von nur drei Veränderlichen, die mit x, y, z bezeichnet seien, also auf die Betrachtung einer Pfaffschen Gleichung von der Form:

870, 871]

X(x, y, z) dx -j- Y(x, y, z) dy -f- Z(x, y, z)dz = 0.

(1)

Nach Nr. 671 wird hier die Aufgabe gestellt, alle diejenigen Gleichungen zwischen den drei Veränderlichen x, y, z zu ermitteln, infolge deren zwischen den Veränderlichen und ihren Differentialen die Gleichung (1) besteht. Es kommen nur zwei Fälle in Betracht: Entweder bestehen zwischen x, y, z zivei voneinander unabhängige Gleichungen, oder es ist nur eine Gleichung zwischen ihnen vorhanden, denn der dritte Fall, wo x, y, z alle drei bestimmte Werte haben, ist trivial. Deutet man x, y, z als rechtwinklige Koordinaten im Raume, so heißt dies: Entweder sucht man Integralkurven oder Integralflächen der totalen Differentialgleichung (1). Es fragt sich nun, ob es solche gibt. In beiden Fällen wären dx, dy, dz proportional den Richtungskosinus einer Tangente der Kurve bzw. Fläche. Aber alle diejenigen von einem Punkte M oder (x,y,z) ausgehenden Richtungen, deren Richtungskosinus proportional dx, dy, dz sind, liegen unter der Bedingung (1) in der Ebene durch M:

(2)

X(p — x) + Y(t)-y) + Z(i — z) = 0 mit den laufenden Koordinaten £, t), Mithin folgt:

Vermöge der Differentialgleichung (1) wird jedem Punkte M oder (x, y, z) eine durch ihn gehende Ebene und daher ein Flächenelement (vgl. Nr. 856) zugeordnet. Es ist alsdann die Aufgabe gestellt, alle Kurven oder Flächen zu finden, die in jedem ihrer Punkte M das zugeordnete Flächenelement berühren.

Daß es solche Kurven in unbegrenzter Anzahl gibt, ist leicht einzusehen. Denn längs einer Kurve kann man etwa y und z als Funktionen von x betrachten. Wählt man nun eine Gleichung y = cp(x) beliebig, so gibt (1):

\X(x, cp, z) -f- Y{x, cp, z) cp'] dx + Z{x, cp, z) dz = 0,

und dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung für die Funktion z von x. Hat sie die allgemeine Lösung z == ip(x, C), die eine willkürliche Konstante C enthält und außerdem natürlich durchaus davon abhängt, welche Funktion man als Funktion cp (x) angenommen hat, so geben die Gleichungen y == cp (x) und z = ip(x, C) eine Schar von Integralkurven an. Diese Schar ist wegen der beliebigen Wahl von cp(x) noch in sehr hohem Maße willkürlich.

In der nächsten Nummer beantworten wir die nicht ebenso einfache Frage, unter welchen Umständen die Differentialgleichung (1) Integx Aflächen hat.

872. Integrabilitätsbedingung“. Soll die Pfaffsche Gleichung:

(1) X(x, y, z) dx -f- Y(x, y, z) dy -f Z(x, y, z) dz = 0 infolge einer einzigen etwa nach z auflösbaren Gleichung zwischen x, y und z bestehen, so muß für die gesuchte Funktion z von x und y:

Xdx + Ydy + ^ (~ dx + dy) = 0

sein und zwar für alle Werte von dx und dy, d. h. es muß einzeln :

dz

dz

r+zĘ-o

sein. Dies sind zwei lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung für die Funktion z von x und y. Nach Nr. 854 können sie singuläre Lösungen z gemein haben, nämlich wenn es Funktionen z von x und y gibt, für die X, Y und Z verschwinden. Solche Lösungen können also nur vereinzelt Vorkommen. Wir fragen aber, ob es eine Lösung geben kann, für die X, Y und Z nicht sämtlich verschwinden. Solche Lösungen würden implizite durch eine Gleichung f (x, y, z') = konst, definiert sein, wenn f den beiden homogenen linearen partiellen Differentialgleichungen :

(2)    Af-Z”-X%- 0,

Genüge leistete, nach Satz 3, Nr. 854. Nach Satz 16, Nr. 869; gibt es solche Funktionen f nur dann, wenn Af=Q und Bf= 0 ein zweigliedriges vollständiges System bilden, d. h. wenn \Af, Bf) = 0 infolge von Af = 0 und Bf = 0 besteht. Durch Nullsetzen des Klammerausdruckes ergibt sich aber:

X + ZE~⁰’

Bf- Z

-yU-o

dz

(- zzt + rz,) + (zzx - XZ,) £ + (- zrx + xr, + ZXy- YXfi^-O,

und diese Gleichung besteht infolge von (2) nur dann für beliebige Funktionen f, wenn die Determinante der Koeffizienten

871, 873] der Ableitungen yon f in allen drei Gleichungen verschwindet. Daraus folgt die Bedingung:

(3)

-X(r,- Z,) + Y(Z, - Xz) + F(Xy - Yx) = 0.

Da sie in X, Y, Z symmetrisch ist, war die besondere Annahme, daß die gesuchte Gleichung nach z auflösbar sei, nicht nötig. Mithin ergibt sich der

Satz 17: Die Pf aff'sehe Gleichung:

X (x, y, z) dx + Y (x, y, z) dy -f Z (x, y, z) dz = 0 wird dann und nur dann durch eine einzige Gleichung in x, y, z befriedigt, infolge deren X, Y, Z nicht alle drei verschwinden, wenn die drei Funktionen X, Y, Z für alle Werte von x,y,z der Bedingung:

X (T, - Zy) + Y{Z, - X,) +Z(Xy- Y,) - 0 Genüge leisten. Alsdann bilden die Gleichungen:

z¥- —    0

df

Z

dx

dy

Tz

f{x, y, z) = konst.

ein zweigliedriges vollständiges System, und wenn f(x, y, z) eine Lösung des Systems vor stellt, besteht die Pfaffsche Gleichung infolge von:

Man kann auch so sagen:

Satz 18. Eine einfach unendliche Flächenschar : f{x, y, z) = konst.,

bei der an jeder Stelle (x, y, z) vorgeschrieben wird, daß die Normale Bichtungskosinus proportional drei Funktionen X, Y, Z von x, y, z habe, gibt es dann und nur dann, wenn X, Y, Z der Bedingung:

*(r, - Zy) + Y(zm - X.) + Z{X₉ - Yx) = 0

Genüge leisten.

In Nr. 870 lag in der Gleichung (2) eine Pfaffsche Gleichung vor, bei der die Bedingung des Satzes erfüllt ist.

Diese Bedingung (3) heißt die Integrabilitätsbedingung der Pfaffschen Gleichung (1) und die Funktion f ein Integral. Jede Funktion von f allein ist ebenfalls ein Integral, und sonst gibt es keines. Man nennt die Pfaffsche Gleichung (1) integrabel, wenn die Bedingung (3) besteht; dies ist jedoch eine etwas irreführende Bezeichnung.

Den Satz 17 kann man noch anders ansdrücken: Ist die Integrabilitätsbedingung (3) erfüllt und f ein Integral, so besteht die Gleichung (1) infolge von df = 0 allein, d. h. es gibt einen Faktor M derart, daß identisch:

M(X dx -F Ydy -f- Z dz) = df

wird. Dieser Faktor M, der im allgemeinen von x, y und z abhängt, heißt ein Multiplikator der Pfaffsehen Gleichung (1). Daher gilt der

Satz 19: Der Differentialausdruck:

X (x, y, z) dx + Y ix, y, z)dy -f- Z (x, y, z) dz

hat dann und nur dann einen Multiplikator M derart, daß der Ausdruck nach Multiplikation mit M ein vollständiges Differential df(x, y, z) wird, wenn X, Y, Z die Bedingung:

X{Yz-Zy)+ Y(ZX - Xß + Z(Xy- Yx) = 0

erfüllen.

873. Homogene Pfaffsche Gleichungen in drei Veränderlichen. Die Gleichung:

(1)    X (x, y, z) dx + Y(x, y, z) dy -f Z(x, y, z) dz = 0 heißt homogen, wenn X, Y, Z homogene Funktionen gleichen Grades m sind. Ist die Integrabilitätsbedingung erfüllt, so kann man, um das Integral zu finden, entsprechend wie in Nr. 715 so Vorgehen:

Vermöge x = ^z und y=t)z führt man neue Veränderliche £ und b statt x und y ein. Dann nehmen X, Y, Z Formen:

(2)

X = zml

Y = zmfj, Z = zmQ an, worin 3t, ^), 3 nur noch von j und t) abhängen, und aus (1) geht hervor:

(3)

züd% + styd\) -F (?3£ + b$ + 3)dz = 0.

Die Integrabilitätsbedingung lautet bei dieser neuen Form der Pfaffsehen Gleich ung:

+ rn + 8) - g) |(ïï + 09 + 3) -Ä-&)(£* + »?)+ 3)-

Wenn nun zunächst:

xX + yY+zZ +0,

873, 873]

§ 4. Pfaffsche Gleichungen, also auch £36 + tyV) + 3=4=0 ist, läßt sie sich so schreiben:

(4)

dt> ï* + 9?) + 8 dt ?£ + l?g) + 3J während sich die Pfaffsche Gleichung (3) so darstellt:

<*9 + ^ = 0.

(5)

?) + 8

Aus (4) folgt nach Satz 1, Nr. 609, daß die beiden ersten Summanden das vollständige Differential einer Funktion cp(jç, ty) sind, die man durch Quadraturen finden kann, so daß alsdann aus (5) das Integral in der Form:

9?(£, b) + ln z = konst, oder cp , y-) + ln z = konst, hervorgeht.

Wenn dagegen:

xX + yY+zZ = 0,

also auch fBÊ + tyD + B^O ist, reduziert sich (3) auf eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung in £ und t) allein:

36 d£ + <9 dy = 0. Ist gp(£, t)) ihr Integral, so stellt:

(f > r) - konst

<P

das Integral von (1) dar.

Beispiel: Die Pfaffsche Gleichung:

(y² y 2 + z²) dx + (z² + z x + x²) dy + {x²-\-xy + y²)dz = 0 ist homogen und erfüllt die Integrabilitätsbedingung. Hier liefert das soeben vorgetragene Verfahren die Gleichung:

(9*+9 + l)^S + (V + E+ 0^ i dz (S9 + Ï + 9) (S + 9 + ¹)    «

Da der Zähler des ersten Bruches als die Differenz:

= 0.

(£ + 9 +1) ^(£9 + £ + 9) — (£9 + £ + 9) ^(£ + 9+1)

geschrieben werden kann, geht sofort:

ln (£t) + £ + 9) - ln (£ + t) + 1) + ln 0 = konst.

oder:

yz + zx + xy

= konst.

als Integral hervor.

[87a

Achtes Kapitel.

Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.

§ 1. Die Lagrange- Mongesche Theorie.

874. Geometrische Deutung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung. Die von Lagrange entwickelte Theorie der allgemeinen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung wurde von Monge geometrisch gedeutet und durchsichtiger gestaltet. In dem gegenwärtigen Paragraphen legen wir mehr Gewicht auf diese geometrische Auffassung; im zweiten Paragraphen soll alsdann die von Cauchy geschaffene endgültige Integrationstheorie rein analytisch entwickelt werden.

Wir betrachten eine allgemeine partielle Differentialgleichung erster Ordnung für eine unbekannte Funktion z der beiden unabhängigen Veränderlichen x und y:

dz dz d x ’ d y

) = °,

F (x, y, z,

die wir bequemer so schreiben:

(i)

F{x, y, z, p, q) — 0 , indem wir unter p und q die partiellen Ableitungen erster Ordnung der gesuchten Funktion z hinsichtlich der beiden unabhängigen Veränderlichen x und y verstehen.

Die analytischen Betrachtungen werden wir im komplexen Gebiete durchführen, indem wir annehmen, daß es einen Bereich von komplexen Wertsystemen x, y, z, p, q gebe, innerhalb dessen sich die Funktion F regulär verhält. Dies ist dann der Bereich der Differentialgleichung, den wir nicht verlassen wollen. Bei allen künftig auftretenden Funktionen z=cp(x,y) setzen wir daher immer stillschweigend voraus, daß die Gleichungen z = cp(x,y)} V = <Px> Q. ⁼ Vv durch Wertsysteme x, y, z, p, q innerhalb des 874]

Bereiches der Differentialgleichung befriedigt Averden. Wenn man will, kann man auch im komplexen Gebiete die geometrischen Deutungen beibehalten, indem man z. B., falls x, y, z komplex sind, unter einem Punkte ein Wertsystem x, y, z versteht, unter einer Ebene den Inbegriff aller Wertsysteme x, y, z, die eine lineare Gleichung erfüllen, usât. (vgl. Nr. 829). Wir werden in diesem ersten Paragraphen ohne Rücksicht auf Reelles oder Imaginäres die Sprache der Geometrie an wenden. Man vergleiche auch die Bemerkung am Anfänge von Nr. 856.

(2)

Eine sich regulär verhaltende Funktion z = cp(x, y) heißt eine Lösung der Differentialgleichung, wenn die Gleichung: F{x, y, cp, cpx, (py) = 0

für alle erlaubten Werte von x und y erfüllt ist, d. h. für diejenigen Werte x, y, die zusammen mit z = cp, p = cpx, q = cp Wertsysteme x, y, z, p, q im Bereiche der Differentialgleichung ausmachen. Im Raume mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y, z wird jede Lösung durch eine Fläche, eine sogenannte Integralfläche, dargestellt. Die Tangentenebene eines Punktes M oder (x, y, z) der Integralfläche hat nach (5) in Nr. 253 in den laufenden Koordinaten £, t), % die Gleichung:

(3)

p(jc-x) + qty — y) - (h-s) = 0.

Der Punkt und diese Ebene bilden zusammen ein Flächenelement (x, y, z, p, q), vgl. Nr. 856, und nach (2) kann man sagen: Eine Fläche z = cp (x,y) ist dann und nur dann eine Integralfläche, wenn alle ihre Flächenelemente (x, y, z, p,q) zu denjenigen gehören, die durch die Differentialgleichung (1) definiert werden.

Die Differentialgleichung (1) kann nämlich, ganz abgesehen von ihren Integralflächen, in der Tat als eine Gleichung aufgefaßt werden, vermöge deren aus der fünffach unendlichen Gesamtheit aller Flächenelemente (x, y, z, p, q) des Raumes eine vierfach unendliche Schar herausgegriffen wird, die man die Schar der Flächenelemente der Differentialgleichung (1) nennt. Wir erinnern dabei daran, daß p und q die Stellung der Ebene des Elements (x, y,z,p, q) bestimmen, nämlich nach Nr. 856 die Tangens derjenigen Winkel sind, unter denen die Schnitt-

Serret-Scheffers, Diff- u. Integral-Rechnung. III. 3. Aufl.

geraden der Ebene des Elements mit der xz- und s/^-Ebene zur xy- Ebene geneigt sind.

Wir betrachten jetzt insbesondere diejenigen Flächenelemente (x,y, z,p,q) der Differentialgleichung, die zu einem beliebig, aber bestimmt gewählten Punkte M oder (x, y, z) gehören. Für sie haben x,y,z bestimmte Zahlenwerte, so daß die Gleichung (1) nur noch eine der beiden Größen p und q, etwa p, willkürlich zu wählen gestattet. Der Punkt M gehört somit einer nur noch einfach unendlichen Schar von Flächenelementen der Differentialgleichung an, und alle Ebenen dieser Elemente umhüllen einen Kegel mit der Spitze M, den man den Elementarhegel von M nennt. Die grundsätzliche Benutzung des Elementarkegels verdankt man Bonnet. Nach Nr. 281 kann man die Mantellinien des Kegels als Grenzlagen der Schnittlinien benachbarter Ebenen so bestimmen: Die Gleichung (3) der Ebene wird nach der willkürlichen Größe p, von der auch q infolge der Gleichung (1) abhängt, differenziert. Dies gibt:

ï-* + 3ïft-y)-⁰-

Weil aber q die durch (1) definierte Funktion von p bedeutet, liefert die Differentiation von (1): und wenn der hieraus folgende Wert von dq : dp in die vorige Gleichung substituiert wird, kommt:

(4)

_ ÿ — y

F F p    g

Die beiden Gleichungen (3) und (4) stellen zusammen bei gegebenen Werten von x, y, z die gesuchten Mantellinien dar, wenn p und q an die Bedingung (1) gebunden werden. Bezeichnen wir mit u, v, w die Richtungskosinus einer dieser Geraden, so sind sie zu £ — x, t) — y, l~z proportional, so daß aus (3) und (4) folgt:

(5)

Fp    F,    PFt + iF,'

Ein Flächenelement (x,y,z,p,q) also, dessen Bestimmungsstücke die Gleichung _F= 0 befriedigen, berührt den Elementar-

874]

kegel des Punktes M oder (x, y, z) längs der Geraden, deren Richtungskosinus u, v, w der Proportion (5) genügen. Siehe Fig. 59.

Unbestimmt wird die Richtung der Geraden nur dann, wenn Fp und F beide gleich Null sind. Solche Flächenelemente (x, y, z, p, q), die nicht auch den beiden Gleichungen F = 0 und F — 0 genügen, heißen singulär. Wir setzen voraus, die vor gelegte Differentialgleichung F= 0 sei so beschaffen, daß nicht für alle Wertsysteme x, y, z, p, q, die ihrem Bereiche angehören und ihr Genüge leisten,

Fp = 0 und Fq = 0 ist.

Unter einer singulären Integralfläche wird eine Integralfläche verstanden, deren Flächenelemente sämtlich singulär sind, d. h. die Funktion z = cp(x, y) heißt eine singuläre Lösung, wenn für z = cp, p = cpx und q = ç>y nicht nur F— 0, sondern auch F = 0 und F = 0 ist. In der Folge beschäftigen wir uns im wesentlichen nur mit den nicht singulären Integralflächen. Wie man die singulären Integralflächen bestimmt, soll in Nr. 888 erörtert werden, wobei sich zeigen wird, daß das keine Schwierigkeiten macht.

Die nicht singulären Integralflächen sind diejenigen Flächen, die in jedem ihrer Punkte den zugehörigen Elementarkegel des Punktes berühren. Dies soll Fig. 60 veranschaulichen.

nur

der Gleichung F = 0, sondern

/Mfx.y.z)

Fig. 59.

Fig. 60.

Elementarkegel fehlen nur solchen Punkten M oder (x, y, z), deren zugeordnete Flächenelemente (x, y, z,p, q) sämtlich singulär sind.

875. Nochmals die linearen partiellen Differential-

gleichungen erster Ordnung. Daß wir die Theorie der linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung schon im vorigen Kapitel gebracht haben, hat seinen Grund darin, daß sie in der Tat unter den partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung eine besondere Rolle spielen. Bei der linearen Differentialgleichung :

a(x, y, z)p + ß(x, y, z) q=y(x, y, e) ist nämlich F — ccp -f- ßq — y zu setzen, d. h. Fp — u, Fq = ß, so daß aus F — 0 noch pFp -f- qFq = y folgt. Mithin gibt hier die Proportion (5) der letzten Nummer:

(1)

(2)

u : v : w = cc : ß : y, und da a, ß, y nur von x, y, z und nicht von p und q abhängen, fallen alle Mantellinien des Kegels eines Punktes M in eine Gerade zusammen. Die Richtung dieser Geraden ist die Richtung desjenigen Linienelements l, das dem Punkte M nach Nr. 856 zugehört. Bei einer linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung also umhüllen alle einem Punkte M zugeordneten Flächenelemente nicht mehr einen Kegel, sondern sie bilden ein Büschel. Der Kegel ist eben in eine einzige Gerade ausgeartet.

Umgekehrt: Der einem Punkte M oder (x, y, z) vermöge einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung:

(3)

F{x, y, z, p,q) = 0 zugeordnete Elementarkegel artet in eine Gerade aus, wenn die Verhältnisse u, v, w in der Proportion (5) der letzten Nummer von p und q unabhängig sind, also:

(4)

Fp = Qd(x, y, z), Fq == Qß(x, y, z), pFp + qFq = çy(x, y, z)

ist, wo a, ß, y nur von x und y abhängen, dagegen p noch außerdem von p und q abhängen darf. Die Gleichungen (4) sollen dabei infolge von (3) bestehen. Setzt man die Werte von Fp und Fq aus den beiden ersten Gleichungen (4) in die dritte ein, so fällt der Faktor p heraus, und es bleibt übrig, daß die Bedingung:

a(x, y,z)p + ß(oc, y, z) q = y(x, y, z) infolge von (3) bestehen soll, was aber besagt, daß die vorgelegte Differentialgleichung (3) auf die lineare Form (1) gebracht werden kann.

Die linearen partiellen Differentialgleichungen sind also die einzigen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, bei denen der einem beliebigen Funkte M zugeordnete Elementarkegel in eine Gerade ausartet.

875]

Yon den linearen partiellen Differentialgleichungen, deren Theorie ja schon im vorigen Kapitel gegeben wurde, nehmen wir künftig Abstand.

876. Begriff und Anwendung einer bekannten vollständigen Lösung. Nach Lagrange bezeichnet man als eine vollständige Lösung der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung:

(i)

■f’O; y> p,s) — ⁰

eine solche Lösung:

(2)

z = cp (x, y, a, b),

die noch zwei willkürliche Konstanten a und b derart enthält, daß die beiden partiellen Ableitungen erster Ordnung cpx und cpy hinsichtlich a und b voneinander unabhängig sind. Natürlich ist für a und b ein gewisser Yariabilitätsbereich anzunehmen, und cp soll sich als Funktion von allen vier Größen x, y, a, b regulär verhalten.

Eine solche Lösung (2) heißt nicht deshalb vollständig, weil sie etwa alle Lösungen von (1) umfaßt, im Gegenteil, wir werden zeigen, daß es, falls eine vollständige Lösung (2) überhaupt vorhanden ist, noch unbegrenzt viele andere Lösungen gibt. Sie heißt vielmehr deshalb so, weil zu einer gegebenen vollständigen Lösung eine bestimmte partielle Differentialgleichung erster Ordnung gehört. Denn man erhält diejenige partielle Differentialgleichung erster Ordnung, der die Funktion (2) genügt, durch Elimination von a und b aus (2) und:

(3)

P = T*;    2 = Vr

Wie man überhaupt eine vollständige Lösung finden kann, wird in Nr. 881 gezeigt werden. Hier nehmen wir an, daß eine solche in der Form (2) schon bekannt sei.

Wir erinnern nun an die in Nr. 92 angestellte Betrachtung, die wir anwenden können, indem wir die damals mit V be-zeichnete Funktion in der Form:

(4)

V — cp (x, y, a, œ (a)) — z annehmen. In Nr. 92 stand allerdings <p statt co; da jedoch hier das Zeichen cp schon in anderer Bedeutung aufritt, ist die Abänderung der Bezeichnung nötig. Die Betrachtung in Nr. 92

[875, 876

lehrt: Wird eine Funktion ca von a willkürlich gewählt und setzt man die durch 8 V : da = 0 oder:

(5)

dcp(x,y, a, oo(u))

definierte Funktion a von x und y in V— 0 oder:

(6)

z — cp (x, y, a, gj(a))

ein, so genügen alle so hervorgehenden Funktionen z von x und y einer gewissen partiellen Differentialgleichung, die unabhängig davon ist, wie man die Funktion ca (ci) wählen mag, und nach (2) in Nr. 92 durch Elimination von cc und m(cc) aus den drei Gleichungen (6) und:

(7)

P — <P* = 0, 1 - <Py = 0 hervorgeht. Hierbei bedeutet cp die Funktion (6) von x, y und a. Da aber a und ra eliminiert werden, ist es für das Ergebnis gleichgültig, ob man die beiden Größen so oder mit a und h bezeichnet. Setzt man aber dafür a und h, so treten an die Stelle von (6) und (7) die Gleichungen (2) und (3), und wir wissen, daß durch Elimination von a und h aus (2) und (3) die vorgelegte partielle Differentialgleichung (1) hervorgeht. Der partiellen Differentialgleichung (1) genügt demnach außer ihrer angenommenen vollständigen Lösung (2) jede Funktion

(6), worin ca (ci) eine willkürliche Funktion von a bedeutet und a selbst die durch (5) definierte Funktion von x und y ist.

Der innere Zusammenhang dieser Theorie wird viel klarer, wenn man nach dem Vorgänge von Monge geometrische Veranschaulichungen benutzt. Deshalb wollen wir sie von neuem so ableiten:

Die vollständige Lösung (2) stellt eine zweifach unendliche Schar von Integralflächen dar. Unter einer Einhüllenden sei eine solche Fläche verstanden, die an jeder Stelle eine der Flächen der Schar berührt. Sie hat an jeder Stelle ein Flächenelement, das einer Fläche der Schar (2) und deshalb auch der vorgelegten Differentialgleichung angehört. Folglich müssen alle Einhüllenden der Schar (2) ebenfalls Integralflächen sein. In Nr. 278—280 war von den Einhüllenden einfach unendlicher Flächenscharen die Rede, während hier in (2) eine zweifach unendliche Schar vorliegt. Trotz dieses Unterschiedes werden 876] wir doch, wie sich in der nächsten Nummer zeigen wird, auf den damals behandelten Fall zurückkommen.

(8)

Um allgemein eine Einhüllende der Flächenschar (2) zu gewinnen, schließt man so: Zu jedem gestatteten Wertepaare x, y muß eine dritte Koordinate z der gesuchten Fläche und ein Konstantenpaar a, b gehören, das die den Punkt (x, y, z) enthaltende eingehüllte Fläche ans der Schar (2) bestimmt, so daß die Koordinate z dieser Fläche der Schar (2) mit jener Koordinate z der gesuchten Fläche überein stimmt. Wird aber jedem Wertepaare x, y ein Wertepaar a, b zugeordnet, so heißt dies, daß es zwei Funktionen u und ß you x und y geben soll, derart, daß sie zu jedem Yeränderlichenpaare x, y die zugehörigen Werte von a und b angeben. Anders ausgedrückt: die Koordinate der gesuchten Fläche muß sich so darstellen: z = q>(x,y, a(x,y), ß(x,y)).

Die Funktionen a und ß sind nun noch so zu bestimmen, daß die Fläche (8) an der zu x und y gehörigen Stelle diejenige Fläche der Schar (2) berührt, bei der a und b die zugehörigen Werte von u und ß haben. Die Tangentenebene der Fläche (8) hat in den laufenden Koordinaten ç, t), % die Gleichung : (SPx +<Paax+<Pii ßx) (ï-%) + (<Py + <PaCCy + V ß ßy) (9 ~ V) ~ (&“'*) = ⁰> dagegen die Tangentenebene der zu a und b gehörigen Fläche (2) die Gleichung:

<Px(l -x) + <Py(l9-y)-(h- *) = °; worin cp zwar die Funktion von x, y, a und b und nicht die von x, y, a und ß ist, aber a und b doch gerade diejenigen Werte haben sollen, die a und ß für das angenommene Wertepaar x,y zukommen. Eine Berührung tritt ein, falls beide Tangentenebenen übereinstimmen, also:

(9)

<Pa*x + <Pßßx = °;    9+ <pßßy = ⁰

ist. Die Fläche (8) stellt somit eine Einhüllende der Schar (2) und mithin eine Integralfläche dar, wenn die Funktionen a und ß die Bedingungen (9) erfüllen.

877. Diskussion der aus einer vollständigen Lösung abzuleitenden Lösungen. Wir haben jetzt die Bedingungen:

[876, 877

<P«ax + <Pßßx = <PaKy + V^ßy = 0 näher zu betrachten. Wenn ax, ßx, ay und ßy sämtlich gleich Null wären, würden a und ß Konstanten sein, d. h. wir kämen auf die gegebene vollständige Lösung zurück. Mithin setzen wir voraus, daß a und ß nicht beide konstant seien. Je nachdem dann die Determinante

(1)

(2)

I«* ßx

k ß

gleich Null oder von Null verschieden ist, gehen wesentlich verschiedene Ergebnisse hervor.

Ist die Determinante (2) gleich Null, so ist ß von a abhängig. Daher werde für ß irgend eine Funktion co von a allein gesetzt. Dann kommen die beiden Forderungen (1) auf die eine zurück:

(3)

<Pa +    = 0.

Dies aber ist, weil ß = «(«) eingesetzt werden muß, eine Gleichung in x, y und a allein. Gibt es eine Funktion a von x und y, die ihr genügt, so ist auch ß = co(a) als Funktion von x und y bestimmt und:

(4)

Z = cp(x, y, a, a3(a))

eine Lösung der partiellen Differentialgleichung. Die Gleichung

(5) in voriger Nummer ist in der Tat gerade die Bedingung (3), und mithin sind wir hier aufs neue zu dem alten Ergebnisse gelangt (siehe (6) in voriger Nummer). Die Funktion ß = co(a) war zwar willkürlich. Aber man muß sich in ihrer Wahl soweit einschränken, daß die für a und ß infolge von (3) hervorgehenden Funktionen von x und y Werte annehmen, die dem Yariabilitätsbereiche der Konstanten a und b in der vollständigen Lösung cp (x, y, a, b) angehören.

(1):

Wenn dagegen die Determinante (2) nicht gleich Null ist, sind a und ß voneinander unabhängig. Dann folgt aus

(5)

0,    T,y=0-

Gibt es also zwei voneinander unabhängige Funktionen a und ß von x und y, die den Bedingungen (5) genügen und deren Werte dem für die Konstanten a und b gestatteten Variabilitätsbereiche angehören, so muß cp (x, y, a, ß) eine Lösung der

Differentialgleichung sein. Diese Lösung aber ist notwendig singulär (vgl. Nr. 874), und zwar sieht man das so ein:

Für jede Lösung z der Differentialgleichung besteht nicht nur die Differentialgleichung F = 0 selbst, sondern auch jede durch partielle Differentiation nach x bzw. y hervorgehende Gleichung. Wenn man die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von z nach x und y mit r, s, t bezeichnet (wie in Nr. 85), so ist also:

(6) Fx + Ftp + Fpr + Fqs = 0, Fy+ F₂q + Fps + Fqt = 0. Diese Gleichungen gelten für die vollständige Lösung:

* = <p(%, y,a, V)

und für die neue Lösung:

* = <p(x, y, u, ß).

Bei der ersten haben p und q die Werte (px und q> . Bei der zweiten haben sie zwar anscheinend andere Werte, nämlich:

<Pz + <Paax + <Pfißx und % +<Pa“y+ <Pßßy, aber nach (5) sind dies doch wieder cpx und çp Die Ableitungen r, s, t gehen also bei beiden Lösungen durch nochmalige Differentiation von cpx und <p nach x bzw. y hervor. Bei der vollständigen Lösung sind sie:

r=(Pxx, s = <Pxy, dagegen bei der neuen Lösung:

^ *PxxF ^Pxa^xF *Pxßßx)

S = <Pxy + <PxcFy + <Px(lßy ⁼ <Pyx + <PyaKx + Vyjißx,

^ *Pyy ⁽PyaayJr tyyßßy'

Nach (6) und (7) ist nun bei der vollständigen Lösung:

Fx + Fz<Px+ Fp<Pxx + Ft<Pxy Fy + F,<Py+ Fp<Pxy + Fq<Pyy = 0.

Bei der neuen Lösung treten hierin an die Stelle von cpxxr cpxy, <pyy die Werte (8). Da aber die Gleichungen (9) für alle erlaubten Werte der Konstanten a und b gelten, sind sie auch richtig, wenn a und b durch die Funktionen a und ß ersetzt werden. Dann stimmen die Werte von cpxx, cpxy, <p mit den in (8) rechts ebenso bezeichneten Werten überein. Nun gelten bei der neuen Lösung entsprechend den Gleichungen

T877

(?)

(8)

(9)

^yy’

= 0,

in (9)

(9) diejenigen, die aus (9) hervorgehen, wenn cpxx, <pX)j und durch die Werte (8) von r, s, t ersetzt werden. Zieht man von diesen Gleichungen die entsprechenden Gleichungen

yy

(9) ah, so ergeben sich die beiden folgenden Formeln, die für die Lösung cp(x, y, a, ß) und für alle erlaubten Werte von x und ÿ gelten:

(10)

( Fp{<Px«ttx+ Vxßßx) + Fq(<Pxa“y + <Pxßßy) = l Fp(<Py«az+ Vyfißx) + Fq(<Pya“y + 9yßßy) = 0.

Für z, p und q sind darin natürlich die Werte 9>, cpx und q>{/ eingesetzt zu denken. Hier liegen nun in Fp und Fq lineare homogene Gleichungen vor, deren Determinante gleich dem Produkte

<Pxa <Px,i I ' ßx Vya II«, ßy

von zwei Determinanten ist, die beide nicht verschwinden, weil erstens cpx und q> hinsichtlich a und ß und zweitens a und ß hinsichtlich x und y voneinander unabhängig sind. Das erste folgt nämlich aus der in voriger Hummer gemachten Voraussetzung, wonach die partiellen Ableitungen von cp (x, y, a, V) nach x und y hinsichtlich a und b voneinander unabhängig sein sollen, da a und ß demselben Variabilitätsbereiche wie a und b angehören. Also ergibt sich aus FtJ= 0 für z == cp (x, y, a, ß) wird, d. h. daß die Lösung z = <p(x, y, a, ß) singulär ist, nach Nr. 874.

Da a und ß in dem soeben betrachteten Falle voneinander unabhängige Funktionen von x und y sind, gibt es zu irgendeinem erlaubten Wertepaare a, b solche Werte von x und y, für die cc und ß gerade gleich a und b werden. Dies bedeutet, daß die singuläre Integralfläche wirklich von der zweifach unendlichen Schar der in der vollständigen Lösung enthaltenen Integralflächen eingehüllt wird und nicht von einer darin enthaltenen nur einfach unendlichen Schar.

Anders ist es in dem vorhergehenden Falle, d. h. bei der Integralfläche:

(10), daß Fp= 0 und

(H)

z = <p(x, y, cc, co {af)

wobei nach (3):

(12)

<Pa+ 9>«V(«) = ⁰

ist. Hier nämlich kommen, da ß — 03(a) gesetzt worden war, nur diejenigen Integralflächen der Schar 2 = cp(x, y, a, b) in betracht, bei denen die Konstante b gleich 03(a) ist, d. h. die Fläche (11) ist die Einhüllende der einfach unendlichen Flächenschar :

(13)

2 = cp(x, y, a y (o(a)) .

878. Die Charakteristiken. Wir erinnern jetzt an die in Nr. 278—280 angestellten Betrachtungen über die Einhüllende einer einfach unendlichen Flächenschar. Danach sind die Grenzlagen der Schnittkurven benachbarter Flächen der Schar, d. h. die Charakteristiken, diejenigen Kurven, längs deren die Flächen die Einhüllende berühren. Eie Einhüllende enthält also eine einfach unendliche Schar von Charakteristiken, längs deren sie je eine Fläche der Schar berührt.

Wenn man sich die Frage vorlegt, wie viele Charakteristiken es hier überhaupt gibt, hat man zu bedenken, daß man aus der zweifach unendlichen Schar der Integralflächen:

a)

* = cp(x, y, a, b), die durch die vollständige Lösung gegeben sind, auf unbegrenzt viele Arten einfach unendliche Scharen:

(2)

z = cp (x, y, a, 03(a)) herausgreifen kann, indem man für b eine willkürliche Funktion von a setzt. Da nun zu jeder solchen Schar (2) eine Einhüllende:

(3)

2 = cp (x, y, a, 03(a))

gehört, nämlich diejenige, bei der die Funktion a von x und y der Gleichung:

(4)

genügt, ist man zunächst vielleicht zu der Vermutung geneigt, daß die Gesamtheit aller Charakteristiken viel umfangreicher sei, als sie sich in Wahrheit herausstellt und zwar so:

Die Einhüllende (3) berührt die zu einem bestimmten Werte von a gehörige Fläche (2) längs derjenigen Kurve der Fläche (3), längs deren a(x,y) den konstanten Wert a hat, d. h. längs der Kurve, die durch die beiden Gleichungen:

(5)

2 = cp(x, y, a, co(a)), cpa + cpU)co'(a) = 0

dargestellt wird. Die Konstante a ist willkürlich; da co(a) eine willkürliche Funktion von a bedeutet, sind auch a(a) und co'(a) willkürliche Konstanten. Bezeichnen wir sie mit b und c, so folgt: Alle überhaupt vorlwmmenden Charakteristiken werden (durch die beiden Gleichungen:

(6)

0 = cp(x,y,ä,b), cpa + cpbc = 0

mit nur drei willkürlichen Konstanten a, b, c dargestellt. Die Schar aller Charakteristiken ist somit höchstens dreifach unendlich. Sie ist aber auch gerade dreifach unendlich. Wenn sich nämlich die Gleichungen (6) so umformen ließen, daß sie nur zwei willkürliche Konstanten enthielten, würden sich für bestimmte Werte von x, y, z zwei Gleichungen zur Bestimmung der Konstanten ergehen, d. h. dann würde durch einen beliebig gewählten Punkt M oder (x, y, z) keine unbegrenzte Anzahl von Charakteristiken gehen, und dies ist falsch. Denn bei gegebenen Werten von x, y, z kann man a noch beliebig annehmen, während die erste Gleichung (6) alsdann b und die zweite noch c bestimmt, weil yb =j= 0 ist.

Hierbei erinnern wir daran, daß der Begriff der Charakteristiken auch bei den linearen partiellen Differentialgleichungen in Nr. 856 auftrat. Aber die Charakteristiken einer linearen partiellen Differentialgleichung in x,y,z bilden, weil sie durch zwei Integrale dargestellt werden (vgl. (7) in Nr. 856), eine nur zweifach unendliche Schar. Dies findet seine Erklärung darin, daß die Annahme der Existenz einer vollständigen Lösung z = cp (x, y, a, b), bei der cpx und cp^ hinsichtlich a und b voneinander unabhängig sind, bei einer linearen partiellen Differentialgleichung nicht erlaubt ist. Wir schließen ja auch die linearen partiellen Differentialgleichungen nach Nr. 875 von der Betrachtung aus.

Soeben sahen wir, daß durch einen beliebig gewählten Punkt M oder (x, y, z) unbegrenzt viele Charakteristiken gehen, die eine einfach unendliche Schar bilden. Sie haben in dem Punkte M Tangenten, die einen Kegel bilden, und die Vermutung liegt nahe, daß dieser Kegel der Elementarkegel von M (vgl. Nr. 874) ist. Dies läßt sich so beweisen: Sind dx, dy, dz die Differentiale längs einer Charakteristik, so folgt aus (6): 878]

dz = cpxdx + cpydy,

(?)

(SPxa + <PxbC) dx + (9Oy« + <PybC) dy = 0.

Fassen wir einen bestimmten Punkt M oder (x, y, z) ins Auge, so sind a und b der ersten Bedingung (6) zu unterwerfen, d. h. b ist als Funktion von a zu betrachten. Ferner ist c nach der zweiten Bedingung (6) gleich — <Pa: Wb zu setzen? so daß die letzte Gleichung diese wird:

(8)

(<Pxa<Pb ~ <Pxb<Pa) dx + (SPya^b ~ <Pyb<Pa) dV = 0-

Andererseits wird aber die Differentialgleichung F= 0 von z = (p erfüllt, d. h. es ist:

F{x, y, cp, cpx, <py) - 0

für alle erlaubten Werte von x, y, a und b. Daher kann sie nach a differenziert werden. Dies gibt:

(⁹) Fz (<Pa +    + Fp (<Pxa + <Pxb    + Fq (%a + <Pyb Ja) = ⁰ •

Zur Abkürzung sind dabei cp, <px und (py mit z, p und ą bezeichnet. Die erste Gleichung (6) dagegen liefert:

db

⁰ - »’.+ v»!*-

Wird hieraus db : da = — rpa: cpb entnommen und in (9) eingesetzt, so kommt:

(10)

FP(<Pxa<Pb-<Pxb<Pa) + Fq(<Pya<Pb- <Pyb<Pa) = ⁰‘

dx_dy

F~ ~~ F~

p    i

Diese Gleichung besteht also, falls b als die bei gegebenen Werten von x, y und z durch z = (p (x, y, a, b) definierte Funktion von a betrachtet wird, und die Vergleichung von (8) mit

(10) ergibt somit, daß für die Differentiale dx, dy, dz der Charakteristiken an der Stelle M außer der Bedingung (7) noch die Bedingung: (H) gilt, d. h. daß für sie:

(12)

dx dy    dz

F, p\Fp+

wird. Dies aber besagt nach (5) in Nr. 874: In jedem Punkte M oder {x, y, z) sind die Tangenten der hindurchgehenden Charakteristiken die Mantellinien des Elementarkegels von M.

Bei dieser Schlußfolgerung wurde ohne weiteres angenommen, daß die Koeffizienten von F und F in (10) nicht beide verschwinden. Wäre:

VccaVb- <PXb<Pa⁼⁰> <Pya<Pb- <Pyb<Pa⁼®, so müßte wegen cpa =f= 0 und cpb =4= 0 auch :

VxaVyb- <Pya<Pxb=⁰

sein, d. h. cpx und cpy wären entgegen der Annahme in Nr. 876 voneinander hinsichtlich a und b abhängig.

<Ci)

Fig. 61.

Wir kehren zur Einhüllenden (3) einer einfach unendlichen Schar von Integralflächen (2) zurück. Es sei M ein Punkt, den die Einhüllende mit der zu einem bestimmten Werte von a gehörigen Fläche (a) der Schar gemein hat. Die Einhüllende berührt die Fläche (a) längs einer Charakteristik k. Diese hat in M eine Tangente t, die eine Mantellinie des Elementarkegels von M ist. Andererseits berührt der Elementarkegel in M sowohl die / l Fläche (a) als auch die Einhüllende, nach Nr. 876. Mithin berührt der Elementarkegel von M die Fläche (a) und die Einhüllende gerade längs der Charakteristik k. Siehe Fig. 61. Anders ausgesprochen: Das Flächenelement, das die Fläche (a) mit der Einhüllenden an der Stelle M gemein hat, berührt den Elementarkegel längs der Tangente t der Charakteristik k.

879. Die charakteristischen Streifen. Wir haben gesehen: Wenn eine vollständige Lösung cp(x, y, a, b) der partiellen Difientialgleichung erster Ordnung vorliegt und die Einhüllende einer in ihr enthaltenen einfach unendlichen Schar von Integralflächen bestimmt wird, ergibt sich eine Integralfläche, die jede Fläche der durch die vollständige Lösung definierten Schar längs einer Charakteristik berührt und also längs der Kurve mit ihr die Flächenelemente gemein hat. Die Schar dieser Elemente längs der Charakteristik heißt nach Lie ein charakteristischer Streifen. Vgl. Fig. 58, Nr. 858. Um die Bedingungen für die charakteristischen Streifen aufzustellen, verfahren wir entsprechend wie in Nr. 858:

Zunächst sind z, p, q auf der Einhüllenden Funktionen von x und y, die der Differentialgleichung:

F{x, y, z,p, q) = 0 und folglich auch den beiden Gleichungen:

(1)

Fx + Fzp + Fppx-f Fqqx — 0, Fy -f- Fzq + Fppy + Fqqy = 0 genügen. Da aber py= d²z : dxdy = qx ist, folgt hieraus:

(2) Fppx+FqPy=-Fx-PF„ Fpqx+Fiqy=-Fy-qFi

z"

Längs einer Charakteristik kann man x und y als Funktionen einer einzigen Hilfsveränderlichen t betrachten, und dabei ist, falls man dx : dt = Fp annimmt, nach (12) in voriger Hummer: dy _ jp

(3)

dz

2’ di=pFp⁺ qF'r

p’ dt

Längs des charakteristischen Streifens sind auch p und q gewisse Funktionen von t. Da nun:

dp

dx

dt    dt    dt

dy dq

dx

dy

dt ~V*dt+qy d

ist, ergibt sich aus den Gleichungen (3):

dq

dp

dt FpPX-\- FqPy,

dt

Fpqx+Fqqy,

also nach (2):

— = — F — pF

dt    x * *

Mithin genügen die Flächenelemente (x, y, z, p, q) eines charakteristischen Streifens den fünf Gleichungen (3) und (4).

Man kann diese Gleichungen auch von t befreien, indem man die Verhältnisse von dy, dz, dp und dq zu dx bildet Dann liegt ein System erster Ordnung von vier gewöhnlichen Differentialgleichungen für die Funktionen y, z, p, q von x vor, das vier unabhängige Integrale hat. Fin Integral ist F selbst, weil das vollständige Differential von F infolge von (3) und (4) verschwindet. Außerdem sind noch drei von F unabhängige Integrale c^, co₂, co₃ vorhanden. Da nun die Gleichung F = 0 von den Flächenelementen erfüllt werden muß, folgt, daß jeder charakteristische Streifen aus Elementen (x, y, z, p, q) besteht, die den vier Gleichungen:

F= 0

(4)

= -Fy-qFz.

(5)

a₁ = konst., = konst., co₃ = konst.

genügen.

das System (3), (4),

Ein beliebig gewähltes nicht singuläres Flächenelement (x₀, y₀, zQ, p₀, q₀), das der Gleichung F = 0 genügt, gehört nach Nr. 876 einer Integralfläche an, die in der vollständigen Lösung enthalten ist, und diejenige Einhüllende, die diese Fläche im Punkte (xQ, y₀, z₀) berührt, hat mit ihr einen charakteristischen Streifen längs der gemeinsamen Berührungslinie, der Charakteristik, gemein. Da nun wenn es von t befreit wird, auch gerade ein Lösungensystem hat, dem für x = x₀ bestimmte Anfangswerte y₀, z₀, pQ, q₀ zukommen, folgt, daß die Gleichungen (5) stets einen charakteristischen Streifen darstellen, wie auch die drei willkürlichen Konstanten innerhalb eines gewissen Bereiches gewählt sein mögen.

Weil die Bestimmung der charakteristischen Streifen nur die Integration des Systems (3), (4) von gewöhnlichen Differentialgleichungen erfordert, das man aufstellen kann, ohne eine vollständige Lösung zu kennen, so läßt sich der Begriff der charakteristischen Streifen auch unabhängig von der Annahme einer bekannten vollständigen Lösung entwickeln. Hierauf fußt die von Cauchy gegebene Integrationsmethode, die wir im nächsten Paragraphen auseinandersetzen werden.

Das System (3), (4) hat dieselbe Form wie das System (7) in Nr. 858. Dort aber war F in p und q linear und ganz, und infolge davon waren insbesondere zwei von p und q freie Integrale vorhanden, was hier nicht der Fall ist.

880. Ein Beispiel. Man kann sich dadurch Beispiele zu den Betrachtungen der letzten Nummer bilden, daß man von einer gegebenen zweifach unendlichen Flächenschar ausgeht und diejenige partielle Differentialgleichung erster Ordnung berechnet, die diese Flächen als Integralflächen hat.

Die Schar aller Ebenen, die die Kugel:

<i)    .

x*+y*+z²=R* mit dem Radius B berühren, wird durch die Gleichung:

(2)

ax + by + cz — R = 0 dargestellt, wenn die drei Konstanten a, b, c der Bedingung:

(3)

«² + b² -f- c² = 1

genügen, so daß also nur zwei von ihnen wesentlich sind.

879, 880]

Faßt man s als Funktion von x und y auf, so gibt die Differentiation von (2) nach x und y: •

a -f- cp = 0, b + cq = 0.

Elimination von a, b, c aus diesen beiden Gleichungen und den beiden Gleichungen (2) und (3) liefert eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung:

(4)

F = (xp + yq — s)² — -ß²(j>² + q² + 1) = 0, bei der die Schar der Tangentenebenen der Kugel (1) eine vollständige Lösung darstellt. Die durch einen Punkt M gehenden Tangentenebenen der Kugel umhüllen den zu M gehörigen Elementarkegel, der daher der Tangentialkegel ist, den man von M an die Kugel legen kann. Jede Integralfläche von (4) muß in jedem ihrer Punkte M den Elementarkegel berühren, d. h. alle Tangentenebenen der Integralflächen müssen Tangentenebenen der Kugel sein, also aus diesen Ebenen durch Einhüllung hervorgehen. Entweder wird die Fläche von allen Tangentenebenen der Kugel eingehüllt, und dann ist sie die Kugel selbst und nach Kr. 877 singidär, oder sie wird von einer nur einfach unendlichen Schar von Tangentenebenen eingehüllt, und dann ist sie nach Nr. 281 die Tangentenfläclie irgendeiner Kurve, deren Tangenten die Kugel berühren. Jeder charakteristische Streifen besteht hier aus solchen Flächenelementen, deren Punkte eine Tangente der Kugel bilden und deren Ebenen in diejenige Tangentenebene der Kugel zusammenfallen, die diese Tangente enthält.

881. Ermittlung einer vollständigen Lösung. Diejenige partielle Differentialgleichung erster Ordnung, die nach Nr. 876 durch eine gegebene vollständige Lösung definiert wird, hat nur solche Flächenelemente, die den Integralflächen der vollständigen Lösung angehören. Mithin muß jede Integralfläche an jeder Stelle eine von den Flächen der vollständigen Lösung berühren, d. h. das in Nr. 876, 877 entwickelte Verfahren der Einhüllung muß alle Integralflächen liefern.

Hiernach ist die vollständige Integration einer vorgelegten Differentialgleichung:

(1)

F(x,y,0,p, q) = 0

mittels Differentiation, Elimination und Substitution zu leisten,

³⁶ [880, 881

S erre t-S chef f er s, Diff.- u. Integral-Rechnung. III. 3. Aufl.

sobald eine vollständige Lösung bekannt ist. Es erübrigt daher nur noch zu zeigen,* wie Lagrange eine solche Lösung bestimmte :

(2)

Wenn man zu der Gleichung (1) noch eine Gleichung: f(x, y, z, p, q) = a mit einer willkürlichen Konstanten a hinzufügt, kann man p und q als die durch beide Gleichungen definierten Funktionen von x, y und z auffassen; aber es gibt nur dann Integralflächen, auf denen p und q diese Funktionen sind, wenn alsdann die totale Differentialgleichung:

(3)

dz = pdx + qdy

die Integrabüitätsbedingung in Satz 17, Nr. 872, erfüllt, lautet, da hier X = p, Y = q, Z = — 1 zu setzen ist, so:

Mz~ ÜPz-Py+ Qx= 0-

Nun aber gelten für die durch (1) und (2) definierten Funktionen p und q von x, y, z die Gleichungen:

Fx + FpPx + Fqqx = 0,

Fy + Fppy Ą- Fqqy = 0,

Fz + FpPz + Fqqz = 0,

Substituiert man die hieraus zu berechnenden Werte von qz, pz7 py und qx in (4), so ergibt sich:

Sie

(4)

fx + fpPx + fqQx = °> fy + fpPy + fj%=

tz + fpPz + fqgz = o.

df

df

i dg

+ 0F,+qF,)g - (F, +pF.)

-(^+2-^ = 0.

Dies ist eine homogene lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung für f. Nach Satz 1, Nr. 853, muß daher f ein Integral desjenigen Systems sein, das die charakteristischen Streifen bestimmt, vgl. (3) und (4) in Nr. 879.

Hat man ein solches Integral fix, y, z,p, q) gefunden, so sind die aus (1) und (2) folgenden Funktionen p und q von x, y, z in (3) einzusetzen. Nach Nr. 872 kommt alsdann die Integration der totalen Differentialgleichung (3) auf die eines zweigliedrigen vollständigen Systems hinaus, indem es sich darum handelt, diejenigen Funktionen &(x, y, z) zu ermitteln, für die:

881]

ist. Da nun die durch (1) und (2) definierten Funktionen p und q von x, y, z] auch von der Konstanten a abhängen, gilt dasselbe von den Funktionen <&. Mithin ergibt sich schließlich eine Gleichung:

&>(x, y, z, d) = b

als Integral von (3), und darin bedeutet b ebenfalls eine willkürliche Konstante. Implizite wird diese Gleichung demnach im allgemeinen eine vollständige Lösung z = (p(x, y, z, a, b) der vorgelegten partiellen Differentialgleichung (1) definieren.

Hiermit ist der Yortrag der Integrationsmethode von Lagrange beendet. Die Betrachtungen dieses Paragraphen haben nur einen vorläufig orientierenden Charakter. Wir gehen jetzt dazu über, die vollkommenere Cauchysche Integrationsmethode zu entwickeln.

§ 2. Die Integrationstheorie von Cauchy.

882. Lösungen erzeugt durch charakteristische Streifen. Im Gegensätze zum ersten Paragraphen soll jetzt die Cauchysche Integrationstheorie einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung:

(1)

dx ‘ dy dz

= p:q: — 1

F(x, y, z,p, q ) = 0 rein analytisch entwickelt werden. Der Vollständigkeit halber sind dabei einige im ersten Paragraphen ausgeführte Rechnungen zu wiederholen. Der geometrische Inhalt der neuen Methode soll aber doch nachher (in Nr. 886) angedeutet werden.

Unter dem Bereiche der Differentialgleichung (1) wird wie in Nr. 874 ein Bereich verstanden, innerhalb dessen F eine reguläre Funktion der fünf komplexen Veränderlichen x,y,z,p,q ist. Singulär heißen solche Wertsysteme x, y, z, p, q, für die außer F auch Fp und Fq gleich Null sind. Es wird vorausgesetzt, daß nicht für alle Wertsysteme des Bereiches, die F zum Verschwinden bringen, auch F und Fq gleich Null werden. Wir betrachten nur solche Lösungen z = cp (x, y), die zusammen mit p = cpx und q = cpy reguläre Funktionen von x und y innerhalb des Bereiches sind. Eine Lösung heißt singulär, wenn sie zu-

³⁶ * [881, 882

sammen mit p = cpx und q = (py nur durch lauter singuläre Wertsysteme x, y, z, p, q befriedigt wird.

Nun bedeute z = cp(x, y) eine nicht singuläre Lösung. Mit z sind auch p = <px und q = q> reguläre Funktionen von x und y, für die F = 0 wird. Partielle Differentiation yon (1) nach x und y gibt daher (wie in Nr. 879):

+ Fzp + Fppx -f Fqqx = 0, Fy -f- Fzq + Fppy + Fqqy= 0. Da py = qx ist, folgt hieraus:

(2) F^ + F^^-Fs-pF,, Ftąx + Ftąt = -Ft-ąF,.

Wir betrachten jetzt das folgende System erster Ordnung von zwei gewöhnlichen Differentialgleichungen in derNormalform :

dx

(3)

^_ -ri äy _ xi

dt ~ P’ dt ~~    1’

in dem t die unabhängige Veränderliche bedeutet und F und Fq ebenso wie z, p und q Punktionen von x und y allein sind und zwar offenbar reguläre Funktionen. Es sei a, b ein Wertepaar von x, y, zu dem es einen Wert von z = y(x, y) gibt. Wird ein Wertepaar x0; y₀ in der Umgebung der Stelle (a, b) gewählt, so hat das System (3) nach Satz 11, Nr. 824, ein und nur ein System von Lösungen x und y, die für t = 0 die Anfangswerte x₀ und y₀ haben:

(4)

x — X (oCq, î/₀, f)} y — u(Xq, z/q, i).

Dabei sind A und g in der Umgebung der Stelle (a, b, 0) reguläre Funktionen von x₀, y₀, t, nach Satz 12, Nr. 825. Setzt man in z = <p (x, y) die Werte (4) ein, so wird z eine Funktion von xQ, yQ, t, für die dasselbe gilt. Ebenso für p und q. Dabei ist nach (3):

dz

dx

di⁼Pdi ⁺ «dt=VFP⁺VF<

und nach (3) und (2):

dx

Tt -+ N-t “P.F* + p,F,~-f*-pf'> %-*£,+ «J = łĄ + %F, — *,-iF.,

so daß x, y, z, p, q als Funktionen von t das System erster Ordnung von fünf gewöhnlichen Differentialgleichungen in der Normalform :

883] befriedigen. Insbesondere hat dies System das Integral F, da das vollständige Differential von F infolge von (5) verschwindet.

Wenn unter 8₀, p₀, qQ diejenigen Werte verstanden werden, die 8 = cp(x, y), p — cpx, q = cp für x — x₀, y = y₀ annehmen, hat das System (5) ein und nur ein System von Lösungen x, y, 8, p, q, dem für t = 0 die Anfangs werte x₀₎ y₀, 8₀, p₀, q0 zukommen und das aus Funktionen von x₀, yQ und t besteht, die sich in der Umgebung der Stelle (a, b, 0) regulär verhalten. Da andererseits diejenigen Funktionen von t, die durch die Substitution (4) aus 8 = cp, p = cpx, q = (p hervorgehen, für t = 0 gerade die Werte 8₀, p₀, q₀ haben, folgt mithin:

Sat8 1: Es liege eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung für eine Funktion 8 von x und y vor:

F(x, y, 8, p, q) = 0,

und F verhalte sich in einem gewissen Bereiche als Funktion der fünf Veränderlichen x, y, 8, p, q regidär. Ferner sei 8 = cp (x, y) eine Lösung von F = 0, die sich in der Umgebung eines Wertepaares x = a, y = b regulär verhält; dabei werde vorausgeset8t, daß die Werte von x, y, 8 = <p, p — (px, q== cp innerhalb dieser Umgebung dem Bereiche angehören und daß dabei Fp und Iq nicht beide verschwinden. Ist alsdann x₀, yQ ein Wertepaar in der Umgebung der Stelle (a, b) und sind 8₀, p₀ und q₀ die 8ugehörigen Werte von 8 = cp(x, y"), p = <px und q = cptJ, so werden die Gleichungen:

8 — fp (x, y), p = fpx, q = <py

in einer gewissen Umgebung von t = 0 durch dasjenige Lösungensystem x, y, 8, p, q des Systems erster Ordnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen :

dz

dt ~PFP+4Fq>

% = -F-qF,

befriedigt, das für t = 0 die Anfangswerte x₀, y₀, 8₀, p₀, q₀ hat.

[88»

dx Ti dy -»-i Ft-*'.

-F,-pF,

dt

dx

(5

dy ₌ y dz P⁷ dt i⁷ dt

dE = _ F — pF dt    x p *

dt

^VFv + ⁽lFq> = -Fy-qFz

dp _

Unter einem charakteristischen Streifen der Differentialgleichung F = 0 soll jedes reguläre Lösungensystem des Systems (5) verstanden werden, dessen Anfangswerte für t = 0 der Gleichung F = 0 Genüge leisten. Diese analytische Definition besagt dasselbe wie die geometrische Definition in Nr. 879.

Der Satz 1 läßt sich nun so aussprechen:

Satz 2: ln der Umgehung einer Stelle x = a, y = b, wo die partielle Differentialgleichung erster Ordnung:

Fix, y, z, p, q) = 0

eine ihrem Bereiche angehörende nicht singuläre Lösung z — tp(x, y) hat, wird das Gleichungensystem:

z = cp(x, y), p = <px, q = <pv

von jedem charakteristischen Streifen befriedigt, dessen Anfangswerte x₀, y₀, z₀, pQ, q₀ beliebige Werte x₀ und y₀ in der Umgebung der Stelle (a, b) und die zugehörigen Werte von (p, cpx und (py sind.

883. Integration der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung. In der letzten Nummer wurde von einer Lösung der partiellen Differentialgleichung :

(1)

Fix, y, z, p,q) = 0 ausgegangen und gezeigt, daß sie durch charakteristische Streifen befriedigt wird. Jetzt wird die Betrachtung umzukehren sein: Aus den charakteristischen Streifen sollen die Lösungen abgeleitet werden.

Es seien x₀, y₀, z₀, p₀, q₀ solche in der Umgebung von r == 0 reguläre Funktionen einer Hilfsveränderlichen t, deren Werte dem Bereiche der Differentialgleichung (1) angehören und den beiden Gleichungen:

dy₀

t - °>

F(xo, y₀, z₀, p₀, q₀) = 0

genügen; die Ableitungen Fp und Fq sollen aber für diese Wertsysteme nicht beide verschwinden. Im Laufe der Betrachtung wird diesen Funktionen x₀, y₀, z₀, p₀, q₀ von r noch eine Bedingung auferlegt werden. Ob es überhaupt derartige Funktionen gibt, ist eine Frage, deren Erörterung der Nr. 885 Vorbehalten bleibt.

(2)

Unter x, y, z, p, q sei nunmehr dasjenige Lösungensystem des Systems erster Ordnung von fünf gewöhnlichen Differentialgleichungen in der Normalform: dx

dy

dz

(3)

P’

⁼ —Fx — pF,

dt - F'f dt dq

z>

dt

-Fy-qFz

verstanden, das für t = 0 die Anfangswerte x₀, y₀, z₀, p₀, q0 hat und sich in der Umgebung von t — 0 regulär verhält. Da die Anfangswerte selbst von r abhängen, besteht das Lösungensystem aus Funktionen von t und r, die sich in der Umgebung von t = t — 0 regulär verhalten. Deshalb wird es deutlicher sein, die geraden Differentiationszeichen in (3) zu vermeiden und statt (3) zu schreiben:

xt = Fp, yt-Fq, zt = pFp+qFq,

Pt--Fx-pFz, qt = Fy— qFz.

Das Lösungensystem sei etwa dieses:

x = Ut, t), y = g(t, x), z = v(t, t), p = n(t,x), q = x(t,x).

(4)

(5)

Da F nach Nr. 882 ein Integral von (3) ist, wird F für diese fünf Funktionen von t und x konstant, und weil F insbesondere für t = 0 nach der zweiten Gleichung (2) verschwindet, befriedigen die fünf Funktionen (5) die vorgelegte Differentialgleichung (1) für alle Werte von t und x in der Umgebung von t = x = 0. Indem wir nun t und x aus (5) eliminieren, werden wir zu einer Lösung der Differentialgleichung gelangen, nämlich so: Die Funktionen (5) mögen für t = x = 0 die Werte a, b, c, h₂ haben. Alsdann definieren die beiden ersten Gleichungen (5) nach Satz 13, Nr. 826, umgekehrt t und x als reguläre Funktionen von x und y in der Umgebung der Stelle (a, b), wo sie verschwinden, sobald nur noch feststeht, daß die Funktionaldeterminante xtyt — ytxt, d. h. nach (4) die Determinante Fpyx — Fqxt für t = x — 0 nicht verschwindet. Aber für t = 0 werden x, y, z, p, q gleich x₀, y₀, z₀, p₀, q₀. Also setzen wir noch voraus, daß:

8F(x₀, y₀, z₀, p₀, q₀) dy₀

(6)

dp₀

dt

dF(x0} y₀, z₀, p>₀, q₀) dx₀'j    Q

° ~    dr j '

x = 0

dq₀

sei. Substituiert man nun die durch die beiden ersten Gleichungen (5) definierten Funktionen t und x von x und y in die drei übrigen Gleichungen, so ergeben sich drei Funktionen:

(7)

0 = <p(x,y), p = %{x,y), q = ip(x, y), die sich in der Umgebung der Stelle (a, b) regulär verhalten Außerdem erfüllen sie die Gleichung F = 0. Es braucht also nur noch gezeigt zu werden, daß die Funktionen p = % und q = die partiellen Ableitungen der Funktion z = cp hinsichtlich x und y sind. Da die Funktionen z, p und q von x und y durch Elimination von t und x hervorgegangen sind, genügt es zu beweisen, daß die Funktionen x, y, z, p und q von t und x, die als Lösungensystem von (3) oder (4) definiert waren, den Ausdruck dz — pdx — qdy oder:

(8)

(zt-pxt- qyt) dt + (at — pxt— qyt)dx zum Verschwinden bringen, d. h. daß die beiden Gleichungen: zt-pxt-qyt=0, zt — pxx— qyt= 0

bestehen. Die Richtigkeit der ersten leuchtet ein, wenn man darin die Werte von xt, yt, zt aus (4) substituiert. Um die der zweiten zu beweisen, setzen wir:

(9)

9 = et — px% — qyr.

Dann ist:

(10)

Nach (4) ist aber:

dFP

dr

, d Fq

+ Ï-J7’

dF

dFq

dr ⁷    dr '

Setzt man diese Werte und die aus (4) zu entnehmenden Werte von pt und qt in (10) ein, so kommt:

9 t = Fxxt + Fyyt + Fppt + Fqqt + Fz(px, + qyr)

oder, wenn rechts Fzzt addiert und wieder subtrahiert wird, mit Rücksicht auf (9):

BF -rp

v< ⁼ l7~F.f-

Aber für das Lösungensystem x, y, z, p, q von (3) ist F = 0. Demnach bleibt:

(h = - FzQ-

Wäre nun q =4= 0? so käme:

d.h. Q-Q,e -    ,

wo q₀ den Wert von p für t — 0, d. h. nach (9) den Wert:

dy₀

z-t

bedeutet, der nach der ersten Gleichung (2) verschwindet. Folglich ist in der Tat q = 0, also die zweite Gleichung (8) ebenfalls bewiesen. Mithin ist die unter (7) gefundene Funktion z = cp(x,y) eine Lösung der Differentialgleichung F= 0.

884. Beweis der Vollständigkeit des Integrationsverfahrens. In der vorigen Nummer haben wir ein Integrationsverfahren gewonnen, durch das, falls man Funktionen x₀, y₀, z₀, Pq, q₀ von x finden kann, die den dort aufgestellten Bedingungen genügen, stets eine Lösung z = cp (x, y) der partiellen Differentialgleichung hervorgeht. Wie man diese Bedingungen in allgemeinster Weise zu erfüllen vermag, soll in der nächsten Nummer erörtert werden. Vorher soll hier gezeigt werden, daß das Integrationsverfahren jede überhaupt vorhandene nicht singuläre Lösung liefert.

Es sei nämlich z = cp (x, y) irgendeine nicht singuläre Lösung der Differentialgleichung F = 0. Sie verhalte sich in der Umgebung der Stelle x = a, y — h regulär. Dann sind p = (px, q = (p;/ und folglich auch Fp und Fq in dieser Umgebung reguläre Funktionen von x und y, und Fp und F mögen an der Stelle (a, h) selbst die Werte cl und c₂ haben, die nicht beide verschwinden, weil die Lösung nicht singulär ist. Nun mögen unter x₀ und yQ irgend solche zwei Funktionen von t verstanden werden, die sich in der Umgebung von r = 0 regulär verhalten, für t = 0 die Anfangswerte a und h haben und der Bedingung:

t

-fFzdt

dz o

dx₀

^-~d7~Pdz~~

4?-]*°

t = 0

genügen. Solche Funktionen gibt es stets, da c₁ und c₂ nicht beide verschwinden. Ferner bedeute z₀ die Funktion cp(x₀,y₀)7 und es seien p₀ und q₀ ihre partiellen Ableitungen nach x₀

(1)

dy₀

und y₀, so daß auch z₀, p₀, qQ in der Umgebung von x = 0 reguläre Funktionen von x vorstellen. Diese Funktionen genügen nun wegen (1) der Bedingung (6) der letzten Nummer. Außerdem ist für sie dzQ gleich p₀dx₀-\- q₀dy₀ sowie F = 0, d. h. auch die beiden Bedingungen (2) der letzten Nummer sind befriedigt. Man kann somit, ausgehend von diesen fünf bekannten Funktionen x₀, y₀, z₀, p₀, q₀ von x, das Integrationsverfahren der letzten Nummer anwenden. Nach Satz 1, Nr. 8827 befriedigt alsdann das Lösungensystem x,y,z,p,q die Gleichungen:

0 = cp(x, y), p = <px, q = (py, d. h. das Integrationsverfahren liefert gerade diejenige Lösung z = cp(x, y) der partiellen Differentialgleichung, von der wir vorhin ausgingen.

Mithin kann man die Ergebnisse der letzten Nummer so formulieren:

Satz 3: Es liege eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung für eine Funktion z von x und y vor:

F(x, y, z, p, q) = 0₇

und F verhalte sich in einem gewissen Bereiche als Funktion der fünf Veränderlichen x, y, z, p, q regulär. Jede nicht singuläre Lösung z = cp (x, y), die dem Bereiche der Differentialgleichung angehört und sich in der Umgebung einer Stelle x = a, y == ft regulär verhält, ergibt sich so: Unter x₀, y₀, z₀, p₀, q₀ iverden fünf solche in der Umgebung von x = 0 reguläre Funktionen einer Hilfsveränderlichen x verstanden, die den Bedingungen:

dx₀

yQ, £q>Po> (lo) gt Po M = a> li/oJ = i>,

t — 0

rdF(%₀,y₀,?₀,p₀,g₀) dy₀ _ dF(x₀,y₀, z₀,p₀,

dt

+ *%>

qj ducoj ^ q

t=o

genügen. Dasjenige Lösungensystem x, y, z, p, q des Systems erster Ordnung von fünf gewöhnlichen Differentialgleichungen in der Normalform:

dx

o<h

dz

Tt=F*’ Tt~F*’ i -P*, + 9f„ dt “ — F‘ ~ PF‘’ ” — Fv ~ yF”

dp

das für t = 0 die Anfangswerte x₀, g₀, z₀, p₀, q₀ hat und sich in der Umgehung der Stelle t = 0 regulär verhält, besteht aus Funktionen:

x = Ht, x), y = g (t, t), z = v(t, r), p = 7t(t, x), q = x(t, x)

der beiden Hilfsveränderlichen t und x, und diese Funktionen sind in der Umgebung der Stelle t = x = 0 regulär. Durch x = l und y = g werden t und x als Funktionen von x und y definiert, die für x = a, y = & den Wert Null haben und sich in der Umgebung der Stelle (a, b) regulär verhalten. Ihre Substitution in z = v liefert eine Lösung:

z = cp(x,y)

von der gesuchten Art. Dieselbe Substitution verwandelt p = n und q = x in die partiellen Ableitungen dieser Lösung nach x und y.

885. Nachweis der Existenz von Lösungen. Schließlich erübrigt nur noch zu zeigen, wie man die Bedingungen befriedigen kann, die für die Funktionen xQ, y₀, z₀, p₀, q₀ von x in dem letzten Satze aufgestellt worden sind.

Es sei:

1)    x = a, y = b, z = c, p = hx, q = h₂

ein bestimmtes dem Bereiche der Differentialgleichung F — 0 angehöriges Wertsystem, das die Differentialgleichung erfüllt und nicht singulär sein soll, sodaß Fp und Fq für dies Wertsystem solche Werte cx und c₂ annehmen, die nicht beide gleich Null sind. Nun wählt man drei Funktionen x₀, y₀, z₀ von x, die für x = 0 gleich a, b, c werden und sich in der Umgehung von x = 0 regulär verhalten. Ihre Ableitungen nach r sollen außerdem an der Stelle x = 0 den Bedingungen:

dy₀

dt

(2)

r^fi = \ r^i +hS-]A

Ldr_lr = o ¹ L dr J« = o JLar_|* = o genügen. Diese Annahmen sind immer erfüllbar, weil cx und c₂ nicht beide verschwinden. Um nun noch p₀ und qQ als Funktionen von x zu gewinnen, bildet man die beiden Gleichungen :

F(x„ yo, z₀, p₀, q₀) — 0,

(3)

*.&+■*

Sie lassen sich durch Funktionen und q₀ von x erfüllen, die für r == 0 die Anfangswerte \ und li₂ haben. Denn die linken Seiten dieser Bedingungen stellen, weil xQ) y₀ und z₀ von x abhängen, Funktionen von x, p₀ und q₀ dar, die sich in der Umgebung von t = 0, Pq = hx, q₀ = h₂ regulär verhalten. Außerdem hat ihre Funktionaldeterminante hinsichtlich p₀ und qQ, nämlich:

dr

dF{x₀, y₀, z₀, Pp, g„) dy₀ _ cF(x₀, y₀, z₀,p₀, q₀) dx₀

dPo

ëq₀

dr ’

für r = 0, pQ = ht, q₀ = h₂ nach der ersten Bedingung (2) einen von Null verschiedenen Wert. Nach Satz 13, Nr. 826, haben die Gleichungen (3) folglich Auflösungen p₀ und q₀, denen für x = 0 die Anfangswerte \ und h₂ zukommen und die sich in der Umgebung von r = 0 als Funktionen von x regulär verhalten.

Hiermit sind solche fünf Funktionen x₀, y₀, z₀,p₀, q₀ von x gefunden, die den Bedingungen des Satzes 3 genügen. Überdies gibt dies Verfahren jedes System von Funktionen von der verlangten Art. Die Voraussetzungen also, unter denen die in Nr. 883 entwickelte Integrationsmethode anwendbar ist, sind erfüllt. Mithin folgt

Satz 4: Es liege eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung für eine Funktion z von x und y vor:

F{x, y, z,p,q) = 0,

und F verhalte sich in einem gewissen Bereiche als Funktion der fünf Veränderlichen x,y,z,p,q regulär. Ferner sei:

x = a, y = &, z = c, p = hlf- q = h2 ein Wertsystem, das dem Bereiche angehört und der Gleichung F = 0 genügt, für das aber Fp und Fq solche Werte c₁ und c2 haben, die nicht beide gleich Nidl sind. Alsdann hat die Differentialgleichung unbegrenzt viele nicht singuläre Lösungen z — q>{x,y)t die sich in der Umgebung der Stelle x = a, y = b regulär verhalten und zusammen mit p = cpx, q = <py für x = a, y = b die Werte c, \ und h₂ haben. Man kann insbesondere vorschreiben, daß die Gleichung z — cp (x, y) durch solche drei bestimmt ge-885]

wählte in der Umgebung von t = 0 reguläre Funktionen x₀, y₀, z0 von x erfüllt werden, denen für r = 0 die Anfangswerte a, b, c zukommen und für die:

dxn Co -r ”

J ÖT

e iy»

Cl dt

an der Stelle x = 0 nicht verschwindet, dagegen :

dt

äs₀ 7, dx Q <2r    ¹ cZr

an dieser Stelle gleich Null wird. Diesen Forderungen genügt stets eine und nur eine Lösung.

886. Geometrische Deutung- des Integrationsverfahrens. Wenn man x,y,s als rechtwinklige Koordinaten auffaßt, besteht das Integrationsverfahren in folgendem: Zuerst wird ein bestimmtes Flächenelement der Differentialgleichung:

F{x, y, z,p, S') = 0 ausgewählt, dessen Punkt A die Koordinaten a, b, c hat, während h± und h₂ die Bestimmungsstücke der Stellung seiner Ebene bedeuten. Dies Plächenelement darf aber nicht singulär sein. Es berührt den zu A gehörigen Elementarkegel längs einer Geraden g, siehe Fig. 62.

Diese Gerade ist die Tangente einer von A ausgehenden Charakteristik k₀, und nach (5) in Nr. 874 verhalten sich die Diffe- ^ rentiale von x und y beim Fortschreiten längs g zueinander wie cx und c₂, wenn dies die Werte von Fp und Fq für das betrachtete Flächenelement von A bedeuten.

(1)

(i

*9

Fig. 62.

(t)/

Nach dem letzten Satze wählt man nun drei Funktionen x₀, y₀, z₀ von r, die für x = 0 die Anfangswerte a, b, c haben. Diese Funktionen sind die laufenden Koordinaten einer von A ausgehenden Kurve y, längs deren x die unabhängige Veränderliche bedeutet. Die Bedingungen, die der Kurve y nach (2) in voriger Nummer aufzuerlegen sind, besagen, daß sie in A das Flächenelement {a, b, c, hv h₂) zwar berühren soll, aber nicht längs der Geraden g. Im Übrigen ist die Kurve y noch willkürlich.

574 Kap. YIII* Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.

Alsdann werden p₀ und q₀ auf Grund der Forderungen (3) der letzten Nummer als Funktionen von t ermittelt. Diese Forderungen bedeuten: Man konstruiert an jeder Stelle (x₀,y₀,z₀) oder M₀ von y ein Flächenelement (xü,, y₀, z₀, p₀, q₀), das sowohl den zu 3I₀ zugeordneten Elementarkegel als auch die Kurve y berührt. So entsteht längs y ein Streifen von Flächenelementen, die zwar der Differentialgleichung angehören, jedoch keinen charakteristischen Streifen bilden.

Nun wird — vgl. Satz 3, Nr. 884, — von jedem Element (xQ, Vq, Po, qf) dieses Streifens aus derjenige charakteristische Streifen längs je einer Charakteristik k konstruiert, der es zum Anfangselement hat, ebenso wie schon k₀ von A ausgehend konstruiert wurde, denn die Differentialgleichungen jenes Satzes, d. h. die Gleichungen (5) in Nr. 882, definieren ja die charakteristischen Streifen, indem die Bestimmungsstücke x, y, z, p, q der Elemente eines solchen Streifens als Funktionen einer Hilfsveränderlichen t dargestellt werden.

Da diese Operation von jedem Elemente aus, das längs y konstruiert wurde, gemacht werden soll, ergibt sich eine einfach unendliche Schar von charakteristischen Streifen, daher eine zweifach unendliche Schar von Flächenelementen, deren Bestimmungsstücke x, y, z,p, q als Funktionen von t und r hervorgehen. In Nr. 883 ist bewiesen worden, daß diese Eiernenten-schar eine Fläche erzeugt. Siehe die Gleichungen (8) ebenda. Weil alle Elemente dieser Fläche der Differentialgleichung angehören, geht so eine Integral fläche hervor.

In Nr. 882 wurde bewiesen, daß überhaupt jede nicht singuläre Integralfläche durch eine einfach unendliche Schar von charakteristischen Streifen erzeugt wird, und in Nr. 885 wurde die geometrisch sofort einleuchtende Tatsache analytisch dargetan, daß es auf einer solchen Fläche stets Kurven y gibt, die den oben formulierten Anfangsbedingungen genügen. Daraus ergibt sich alsdann, daß die vorhin ausgeführte Konstruktion der Integralflächen sämtliche nicht singulären Integralflächen liefern muß.

Eine Aufgabe, bei der jedem Punkte M des Raumes gesetzmäßig ein Elementarkegel mit der Spitze M zugeordnet ist und diejenigen Flächen gesucht werden, die überall die Elementar-

kegel berühren, führt nach Nr. 874 stets auf eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung. Dabei können die Elementarkegel unter anderen von solchen Flächenelementen (x, y, z, p, q) berührt werden, die der z-Achse parallel sind, so daß wenigstens eines der Bestimmungsstücke p und q unendlich wird. Solche Elemente sind bei der analytischen Behandlung ausgeschlossen. In der älteren Fassung der Cauchyschen Integrationsmethode pflegte man nun die Kurve y von vornherein zu beschränken, z. B. auf eine der Koordinatenebenen zu legen, und da konnte es Vorkommen, daß diejenige Integralfläche, die eine solche Kurve y enthält, gerade längs y Elemente parallel der z-Achse aufwies, woraus sich alsdann ergab, daß die Methode bei der analytischen Durchführung versagte. Bei der allgemeinen Fassung, die wir hier der Methode nach Lie gegeben haben, sind diese Mängel beseitigt.

Man erkennt leicht: Wenn zwei nicht singuläre Integralflächen einander in einem Punkte M₀ berühren, haben sie nicht nur das Flächenelement von M₀, sondern den ganzen charakteristischen Streifen gemein, der von diesem Elemente ausgeht. Ferner gehört jeder charakteristische Streifen unbegrenzt vielen Integralflächen an.

Die linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung haben nach Nr. 856 eine nur zwei fach unendliche Schar von Charakteristiken, dagegen wie die allgemeinen nach Nr. 858 eine dfm'fach unendliche Schar von charakteristischen Streifen. Der Unterschied liegt hier darin, daß bei einet linearen Differentialgleichung jede einzelne Charakteristik unbegrenzt vielen charakteristischen Streifen angehört, bei einer nicht-linearen jedoch nicht.

887. Bin Beispiel. Yorgelegt sei die partielle Differentialgleichung:

(i)

F — zp — ypq — mq = 0

in der m eine von Null verschiedene gegebene Konstante bedeute. Wäre m = 0, so zerfiele die Gleichung in zwei lineare. Das System für die charakteristischen Streifen ist nach (5) in Nr. 882 dieses:

dx

—rr = z yq,

(2)

Jf = -yp-m, " ~ = zp — 2ypq — mq

dp

ds

dt

~P ,

= 0.

Ein Integral ist, wie immer, F selbst; ein zweites ist augenscheinlich q und ein drittes 1 :p— t. Da die Anfangswerte für t— 0 mit x₀, y₀, £₀, p₀, q₀ bezeichnet werden sollen, ist also:

*p - y Pi — m = Wo - y Mo -

fl = Qo,

Po

zu setzen. Werden die hieraus für g, p und q folgenden Werte in die beiden ersten Gleichungen (2) substituiert, so geht aus der zweiten eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung für y hervor, die nach Nr. 716 die Lösung: typ Po + m

- g (Pot + 1)

Po t + ¹

liefert, sodaß die erste Gleichung schließlich noch gibt:

2p„

X — a?₀ + (*o - VoZo) (À-Pot² + 0 •

Demnach ist das allgemeine Lösungensystem von (2) dieses:

(3)

₈ yoL + ■ł    (P₀t +1)

₌ go(²yoPo + ^)    1    , ²z₀p₀ -2y₀p₀q₀-mq₀

²Po Pot + ¹

Q = Öo •

2p₀

p ==-^-

Po * + ¹

Es gilt jedoch nicht für y>₀ = 0, denn dann hat die vierte Gleichung des Systems (2) nicht mehr das Integral 1 \p — t, sondern die Lösung p = 0. Auf diesen Fall kommen wir nachher zurück.

Die Anfangswerte x₀, y₀, z₀ sind nun als willkürliche Funktionen von t zu wählen und p₀ und q₀ als Funktionen von t nach Satz 3, Nr. 884, aus den Bedingungen:

(4) zQPo - yMo - mcLo = 0, lW + Wo ~ *o = ⁰

zu ermitteln. Hieraus ergeben sich zwei Wertepaare für p0 und q₀. Allgemein geredet gehen also durch eine beliebige Kurve y, deren laufende Koordinaten die Funktionen x₀,y₀,s0 von t sind, je zwei Integralflächen. Diese Flächen werden dann

analytisch durch die drei ersten Gleichungen (3) dargestellt, die x, y, z als Funktionen von t und x definieren, vorausgesetzt, daß Pq und q₀ darin die durch (4) bestimmten Funktionen von t bedeuten.

Die Hilfsveränderliche t läßt sich aus den Gleichungen der Fläche eliminieren, nicht aber die Hilfsveränderliche x, da sie in willkürlichen Funktionen auftritt. Es gilt vielmehr hier wie meistens bei der Integration einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung die Bemerkung, daß die explizite Darstellung der allgemeinen Lösungen z als Funktionen von x und y an der Unausführbarkeit von Eliminationen scheitert, was natürlich nicht hindert, daß partikulare Lösungen explizite darstellbar sein können, nämlich solche, die sich ergeben, wenn man für xQ, y₀, z₀ spezielle Funktionen von x wählt.

Die Gleichungen der Integralflächen lassen sich aber übersichtlicher gestalten. Setzt man nämlich:

—ft— - u

Pot+l

und berücksichtigt man noch, daß sich der Wert von z in (3) vermöge der ersten Bedingung (4) bedeutend vereinfacht, so

(5)

Po

^ 2 V

kommt:

(6)

00 x₀

— Vo%

VPo

, fo — Vo% ' 2

Po ’ u*>

y = -\{

m\    q₀ (    m\

Außer u und v treten hierin noch q₀ und die beiden Größen:

w=

P 2

auf. Für q₀ darf man infolge von (7) und der ersten Gleichung (4) auch 2p : m setzen.

Nun kann man sich vorstellen, daß u und v statt t und r ■ vermöge (5) als neue Hilfsveränderliche eingeführt werden. Insbesondere ist v eine Funktion von x allein oder also umgekehrt x eine Funktion von v allein, folglich auch l und p. Deshalb stellen sich die Integralflächen so dar:

(?)

— VoVo

— VoQo

^Po

Po

(8)

x = X(v) + ^J, y = i-(

uv--

H(v)

iuv + î)-

Dabei sind X und p jedoch nicht völlig willkürliche Funktionen

Serret-Scheffers, Diff.- u. Integral-Rechnung. III. 3. Aufl.

37

[887

von v, denn die zweite Bedingung (4) muß noch, berücksichtigt werden. Welche Form sie in den neuen Hilfsveränderlichen u und v annimmt, ermittelt man am bequemsten so:

Hach den letzten beiden Gleichungen (3) und nach (5) ist:

(9)

p = u, q = qQ =

2g(w)

und alle Werte (8) und (9) befriedigen die partielle Differentialgleichung (1). Also ist nur noch zu verlangen, daß p und q auch wirklich die partiellen Ableitungen von z nach x und y bedeuten, d. h. daß für alle Werte von u und v die durch (8) definierten Funktionen von u und v der Bedingung:

dz — pdx — qdy — 0

oder:

dy = 0

dz — udx —

Genüge leisten. Setzt man hierin die vollständigen Differentiale der Werte (8) von x, y und z ein, so reduziert sich die Bedingung auf:

ml' — vp = 0.

Da sie durch teilweise Integration gibt:

ml = »fi —J pdv,

kann man für das mit m dividierte Integral von p eine willkürliche Funktion a von v einführen und also setzen:

p = mco’, l = vco'—co .

Substitution dieser Werte in (8) liefert schließlich die neue Darstellung der Integralflächen:

(10)

y = ł(

uv~ir)> *-<»»(<«> + £)•

In dem Falle p₀= 0 ergibt sich aus der ersten Bedingung (4) auch #0=0 und aus der zweiten Bedingung (4) noch z₀ = konst. Er tritt also ein, wenn die Kurve y in einer Ebene parallel zur Æ?/-Ebene gewählt wird. Alsdann liefern die drei ersten Gleichungen (2):

x = x₀+z₀t, y = y₀—mt, £ = V Dabei ist zQ, wie gesagt, eine Konstante, während x₀ und y₀

887] irgendwie als Funktionen von r gewählt werden können, denn die Bedingungen (4) sind befriedigt. Jene Gleichungen aber definieren die Ebene z = z₀. In der Tat bat die partielle Differentialgleichung (1) auch die Lösungen z — konst.

Singuläre Lösungen sind nicht vorhanden, denn für sie müßte nach Nr. 874 außer (1) auch das Gleichungen paar gelten:

Fp= z-yq = 0, Fq= — yp — m = Q, so daß sich z = 0, q — 0 und daher auch p = cZ : cx = 0 ergäbe, was mit der Gleichung F — 0 wegen m =j= 0 unvereinbar ist.

§ 3. Nachträge und Verallgemeinerungen.

888. Die singulären Lösungen einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung. Nach Nr. 874 sind diejenigen Lösungen der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung:

(1)

Fix, y, e, V, q) = 0 singulär, für die auch F und F verschwindet. Weil nach (1) für jede Lösung:

(2)

Fx dx + Fydy + Fzdz + Fpdp + Fqdq= 0

wird, folgt aus F = 0 und Fq= 0 sowie wegen dz = pdx + Q.dy> daß im Falle einer singulären Lösung Fx -f- pFz und Fy + qFz gleich Null werden. Die singulären Lösungen sind somit diejenigen, für die die rechten Seiten der Differentialgleichungen der charakteristischen Streifen gleich Null sind, vgl..

(5) in Nr. 882. Von welchen Flächenelementen (x₀, y₀, z₀,p₀, q₀) einer singulären Integralfläche man auch ausgehen mag, stets geben diese Differentialgleichungen für x, y, z, p, q die Anfangswerte x₀, y₀, z₀, p₀, q₀ selbst, so daß also die singulären Integralflächen nicht durch charakteristische Streifen erzeugt werden.

Will man alle singulären Lösungen ermitteln, so sucht man zunächst diejenigen Funktionen z, p und q von x und y, die außer der Gleichung (1) auch die Gleichungen:

(ß)

Fp = 0, Fq = 0, Fx + pFz= 0, Fy + qF,= 0

Im allgemeinen darf man das Vorhandensein

befriedigen.

solcher Funktionen nicht erwarten. Gibt es aber solche, ge-

37* [887, 888

hören sie ferner dem Bereiche der Differentialgleichung an und verhalten sie sich regulär, so muß noch verlangt werden, daß die Funktionen p und q die partiellen Ableitungen der Funktion z sind. Diese letzte Untersuchung ist jedoch nicht mehr nötig, wenn Fz für die durch (3) definierten Funktionen z, p und q von x und y nicht verschwindet. Denn wenn man in (2) die Werte von Fx, Fy, Fp und F aus (3) einsetzt, so kommt wegen Fz =f= 0 von selbst:

dz = pdx + qdy.

In jedem Falle erfordert die Bestimmung der singulären Lösungen nur Differentiationen, Eliminationen und Substitutionen. Ist eine vollständige Lösung:

2 = cp(x, y, a, h)

bekannt, so ergibt sich eine eventuell vorhandene singuläre Lösung nach Nr. 877 durch Elimination von a und b aus dieser Funktion vermöge der beiden Gleichungen:

889. Verallgemeinerung der Clairautschen Differentialgleichungen. Eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung drückt nach Nr. 874 eine Eigenschaft der Flächenelemente (x, y, z, p, q) ihrer Integralflächen aus, indem diese Elemente die ihren Punkten zugeordneten Elementarkegel berühren müssen. Dies ist also eine Eigenschaft, die den Tangentenebenen der Flächen und ihren Berührungspunkten zukommt. Eine solche Eigenschaft kann aber unter Umständen unabhängig von der Lage der Berührungspunkte der Tangentenebenen sein. Da die Ebene des Elements (x, y, z, p, q) in den laufenden Koordinaten £, t), § die Gleichung:

oder:

p(i - x) + q($ - y) - (i - 8) = ⁰

hat, sind p, q und px + qy — z die Bestimmungsstücke der Ebene allein. Mithin liegt eine Eigenschaft von der angegebenen besonderen Art vor, wenn die Differentialgleichung die Form:

(1)

F(p, q, px + qy - z) = 0

oder, nach z aufgelöst, die Form:

(2)

* =PX + qy + f{p, q)

hat. Hiermit wird eine Bemerkung in Hr. 721 über Clairaut-sche Differentialgleichungen sinngemäß auf den Raum übertragen, so daß man die partiellen Differentialgleichungen von der Form (1) oder (2) als Verallgemeinerungen der Clairautschen Differentialgleichungen bezeichnen kann.

Jede Ebene:

(3)

z = ax + by -j- f(a, h) mit den beiden willkürlichen Konstanten a und b ist eine Integralfläche von (2), da hier p = a und q = b ist. Durch (3) wird eine vollständige Lösung (vgl. Hr. 876) dargestellt, und nach Hr. 877 (vgl. auch den Anfang von Hr. 881) ergehen sich alle übrigen Integralflächen durch Einhüllung aus den Ebenen (3). Die übrigen nicht singulären Integralflächen sind deshalb nach Hr. 281, 282 dbiviclielbare Flächen. Eine singuläre Integralfläche ist vorhanden, wenn sich a und b vermöge:

(4)

x + fa ⁼ 0; y + fb ⁼ 0

aus

(3) eliminieren lassen.

890. Die Legendresche und die Eulersche Transformation. Wenn die Integralflächen der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung:

(1)

F{x, y, z, p, q) = 0 nicht gerade abwickelbare Flächen sind, werden p und q auf den Integralflächen nach Satz 33, Hr. 349, voneinander unabhängige Funktionen von x und y sein. Man kann daher p und q statt x und y als unabhängige Veränderliche benutzen. Als abhängige Funktion kann man alsdann statt z eine Funktion von x, y, z, p und q wählen.

Insbesondere benutzte Legendre als abhängige Größe px + qy — z. Die dadurch bewirkte Legendresche Transformation der Differentialgleichung (1) kommt wie folgt zustande. Man setzt:

(2)

X=P, y = y, z=px-\-qy — z und definiert p und q durch:

dz = pdx + qdÿ.

Substituiert man hierin die Werte (2), so kommt:

xdp -f- ydq -f pdx -f- qdy — dz = pdp + qdq, d. h. wegen dz = pdx -f- qdy:

oder einzeln:

(x — p)dp + (y — q)dq = 0

(3)

p = x, q — y ■

Folglich geht die Differentialgleichung (1) vermöge der Legendreschen Transformation über in die neue partielle Differentialgleichung erster Ordnung:

F{p, q, px + qÿ- ż, x,ÿ) = Q

für die Funktion z von x und y. Hat sie z. B. die Lösung z = cp (x, y)} so setzt man:

dcp

z = cp{x, y), p = ||, q =

und führt hierin nach (2) und (3) wieder die ursprünglichen Veränderlichen ein. Dann kommt:

d cp (p, q) dq

px + qy - z = cp (p, q), x =    V =

Berechnet man aus den beiden letzten Gleichungen p und q als Funktionen von x und y und setzt sie in die erste Gleichung ein, so geht z als Funktion von x und y und damit als Lösung der vorgelegten partiellen Differentialgleichung (1) hervor.

Diese zuweilen zur Vereinfachung einer partiellen Differentialgleichung nützliche Legendresche Transformation, die übrigens schon in Nr. 100 besprochen wurde, ist unbrauchbar, wenn die Integralflächen der vorgelegten Gleichung (1) abwickelbare Flächen sind. In einem solchen Falle kann sie nur die etwa vorhandenen nicht abwickelbaren singulären Integralflächen liefern. Dies ist der Fall bei der in der vorigen Nummer besprochenen Differentialgleichung von der besonderen Form:

(4)

z=px + qy + f(p, q).

Infolge von (2) und (3) geht sie über in die Differentialgleichung nullter Ordnung:

* + f&, ÿ) = o,

die eben nur die eine Lösung ź = — f(x, y) liefert. Dabei ist: gibt. Eliminiert man mittels dieser beiden Gleichungen p und q aus (4), so geht demnach nur die singuläre Lösung der Differentialgleichung (4) hervor. Man sieht, daß dies Verfahren mit dem in voriger Nummer übereinstimmt, vgl. (3) und (4) ebenda.

Die Legendresche Transformation ist nur ein spezieller Fall einer sehr umfangreichen Klasse von Transformationen, die in voller Allgemeinheit erst von Lie gefunden wurden und Berührungstransformationen heißen. Die Grenzen, die wir uns gezogen haben, gestatten uns aber nicht, hierauf einzugehen. Wir erwähnen nur noch eine ältere, nämlich von Euler benutzte Transformation von dieser Art und zeigen ihre Anwendbarkeit an einem Beispiele.

Bei der Eulerschen Transformation werden p und y als unabhängige Veränderliche gewählt, während z —px als abhängige angenommen wird. Man setzt also:

(5)

x = p, y = y, z=z — px

und außerdem:

dź = pdx + q dÿ.

Hieraus folgt durch Substitution der Werte (5):

dz — pdx — xdp = pdp -f- qdy

oder wegen dz = pdx -f qdy:

($L - q)dy = (x + p)dp,

woraus man schließt:

(6)

df

so daß die Einführung der alten Veränderlichen außer (4) noch die Gleichungen:

x -f

of(P: q)

df(p> q)

dp

dq

P = -x, q=q-Die Gleichungen (5) und (6) stellen zusammen die in Rede stehende Transformation dar. Sie verwandelt die Differentialgleichung (1) in:

F(- p,y, z- P*, i) - o.

Hat sie die Lösung ź — y(x, y), so setzt man:

_    _    dw _    dcp

* = 9>0*> y); i> 2

nnd führt hierin nach (5) und (6) wieder die alten Veränderlichen ein. Dann kommt:

dcpjp, y) _ dtpjp, y) dp ’    * dy

8 —px = cp(jp, y), x =

Eliminiert man hieraus p und q, so geht z als Funktion von x und y und damit als Lösung von (1) hervor.

(?)

Beispiel: Die in Nr. 887 betrachtete Differentialgleichung: zp — ypq — mq = 0 geht vermöge der Eulerschen Transformation über in:

(8)

x²p + (xÿ -f- m)q = xz.

Dies aber ist eine lineare Differentialgleichung:

+ m) ff ⁼

die nach Satz 3, Nr. 854; und Satz 1, Nr. 853, dem Systeme:

dx

dy

dz

xy -f- m

äquivalent ist, das die Integrale 2 xy -J- m

xz

hat. Somit stellt:

X*

und

12 x y -j- m\

)

Z — XCO

die Lösungen von (8) dar; dabei ist co eine willkürliche Funktion. Nun wird:

P = 03-2 Xyfi m co', q = 2 co'.

Führt man wieder die ursprünglichen Veränderlichen vermöge (5) und (6) ein, so kommt:

. npy m

— px = pco, x = — co + 2    —

wobei jetzt œ eine willkürliche Funktion von

2py -f m

co', q — 2co',

p*

bedeutet. Bezeichnet man p mit u, so folgt:

y-i(

Genau dieselbe Darstellung der Integralflächen der Differentialgleichung (7) mittels zweier Hilfsveränderlicher u und v ergab sich in Nr. 887 unter (10).

891. Integrationsmethode im Falle von n unabhängigen Veränderlichen. Wir kommen zur Verallgemeinerung der im zweiten Paragraphen gegebenen Integrationsmethode auf den Fall einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung:

(1)

F(x₁₇ x₂₎... xn, z, jplf p₂, ...pn) = 0 für eine Funktion z von n unabhängigen Veränderlichen xt, x₂, . . . xn. Dabei bedeuten p1} p₂, . . . pn die partiellen Ableitungen erster Ordnung von z nach xx, x₂,. . . xn. Unter dem Bereiche der Differentialgleichung wird ein Variabilitätsbereich aller 2n + 1 Veränderlicher verstanden, innerhalb dessen sich F regulär verhält. Es wird vorausgesetzt, daß die partiellen Ableitungen erster Ordnung von F nach pt, p₂, . . . pn nicht sämtlich für alle diejenigen Wertsysteme verschwinden, die der Gleichung (1) Genüge leisten.

Unter Lösungen der Differentialgleichung (1) verstehen wir solche Funktionen z von xx, x₂, ... xn, deren Werte zusammen mit x1} x₂, . . . xn und ihren Ableitungen plf p₂, ... pn dem Bereiche angehören, die sich ferner regulär verhalten und überdies die Gleichung (1) befriedigen. Singulär heißen solche Lösungen, für die alle partiellen Ableitungen erster Ordnung von F nach p1: p₂, . . . pn verschwinden. Ihre Ermittlung erfordert nur Differentiationen, Eliminationen und Substitutionen.

(1) folgt

Ist z = (p{xx, x₂, ... xn) eine Lösung, so sind auch p1}pi} . . pn reguläre Funktionen von xx, x₂, ... xn, und aus dann durch Differentiation nach xp.

dF dPn ₌ 0 dp„ dx{

LÆ + ££„ .    ₊ .

dXj dz ¹ ^ dpx dxi

'(* = 1, 2,... n).

Weil nun cpk : cxi dasselbe wie cPi : cxk bedeutet, kann man hierfür schreiben:

cd; cd

CD

cd! cd

dF

1? 2,. . . »).

(i —1, 2,... n),

Entsprechend den Entwicklungen in Nr. 882 betrachtet man das System erster OrdnuDg von n gewöhnlichen Differentialgleichungen in der Normalform:

dXf

dt dpf

dF

(3)

worin t die unabhängige Veränderliche bedeutet und die rechten Seiten nur von x1; x₂, ... xn abhängen, da z = tp(x₁₎x₂, ... xn) ist. Setzt man nun in z = cp dasjenige Lösungensystem von

(3) ein, das für t — 0 die Anfangswerte xf>, x₂°, . .. xn° hat, so wird z eine Funktion von t, und es ist nach (3):

dz

dF

dF

dF

sowie:

ÖPn

dpi ₌ dp± dF dpi dPf , _ _ dpL dF_ dt dxk dpt ' dx₂ dp₂ ‘    dxn dpn ⁷

so daß sich mit Rücksicht auf (2) insgesamt ergibt:

(4)

dxi_ dF

d t    dpi ’

dz    8 F

dt    dpk

i

dF

dPi

(i =1,2,... »).

dF

dt    dxt dz

Dies System tritt hier an die Stelle des Systems (5) von Nr. 882, und wenn man jedes solche Lösungensystem von (4), dessen Anfangswerte x\, x\, . . . z₀ und p\, p\, . . . für t = 0 der vorgelegten Gleichung (1) Genüge leisten, einen charakteristischen Streifen nennt, ergibt sich wie in Satz 2 jener Nummer, daß jede Lösung z = q>(xlf x₂, . . . xn) von charakteristischen Streifen erzeugt wird.

Zur Integration der Differentialgleichung (1) verfährt man nun nach Nr. 883 so: Es werden unter x^₇ . . . x\, z₀, p°₁₇ . . . p® solche 2n-\-1 in der Umgebung von xx = r₂ = • • • = rn_₁ = 0 reguläre Funktionen von n — 1 Hilfsveränderlichen tlf r₂, . . . tn_₁ verstanden, deren Werte dem Bereiche der Differentialgleichung (1) angeboren und den n Gleichungen:

(5)

fej &i

x°, x°₂, ... x°, z₀, p\, pl, ... p°) = 0,

dx\

dtk

+p

o dx\

+ ••• +

(k = 1, 2, . . . n - 1)

dxk

dx*n dz₀

drk

§ 4. Mongesche Gleichungen.

Genüge leisten (vgl. (2) in Nr. 883). Überdies wird noch ausgesetzt, daß die Determinante:

dxl

drl

dx\___ ____

dtl dt₂ d t _ i

587

vor-

dx\

d*n-1 dxl

dpi

SFp

dp%

dx°n dx°n _ _ _ dx% dF0 dr i drt ' drn_₁ dp°n

an der Stelle xx = x₂ = • • • = xn_x =0 von Null verschieden sei, vgl. (6) in Nr. 883. Hierbei bedeutet F₀ den Wert von F für die 2n + 1 Funktionen x®, . . . x®, z₀, p\, . . . p®. Alsdann bestimmt man dasjenige Lösungensystem von (4), das für t — 0 als Anfangs werte eben diese 2n + 1 Funktionen hat. Es besteht aus Funktionen xx,x₂, . . . xn, z, px, p₂, . . . pn von t und tx, x₂, . . . tn_x. Gerade so wie in Nr. 883 läßt sich nun beweisen, daß sie die Differentialgleichung (1) befriedigen und daß dabei:

dz — pxdxx — p₂dx₂ — • • • — pndxn = 0

ist. Wenn man also t, xx, t₂, . . . tn_x als die zu xx, x₂, .. . xn inversen Funktionen auffaßt, was wegen des NichtverSchwindens jener Determinante für tx = t₂ = • • • = xn_x = 0 möglich ist, erscheint z als eine Funktion von xx, x₂, . . . xn und demnach als eine Lösung der Differentialgleichung (1).

Wie in Nr. 884 kann man beweisen, daß sich so jede nicht singuläre Lösung ergeben muß, und wie in Nr. 885 zeigt man, daß sich Funktionen x\, x\, ... xz₀ und p°x, p®, . . .

von r1; x₂, ... tn_x auf Grund der an sie gestellten Forderungen stets finden lassen.

§ 4. Mongesche Gleichungen.

892. Geometrische Deutung einer Mongeschen Gleichung in drei Veränderlichen. Wie die linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung nach Nr. 872 in enger Beziehung zu den Pfaffschen Gleichungen stehen, hängen auch die allgemeinen partiellen Differentialgleichungen

[891, 89g

erster Ordnung mit den allgemeinen totalen Differentialgleichungen :

Q(xx, x₂, . . . xn, dx1} dx₂, . . . dxn) = 0 innig zusammen. Eine derartige totale Gleichung, in der natürlich die Differentiale nur in ihren Verhältnissen auftreten dürfen (vgl. Nr. 671), heißt eine Mongesche Gleichung.

Wir beschränken uns auf den Fall n = 3, in dem die drei Veränderlichen mit x, y, z bezeichnet seien und als rechtwinklige Koordinaten im Raume gedeutet werden können. Die Mongesche Gleichung:

(1)

fl(x, y, z, dx, dy, dz) = 0 stellt nach Nr. 671 die Aufgabe, alle Gleichungen zwischen x, y, z zu ermitteln, infolge deren sie gilt. Drei voneinander unabhängige Gleichungen würden zu der trivialen Lösung x = konst., y = konst., z = konst, führen. Bestände nur eine Gleichung zwischen x, y, z, etwa f{x, y, z) = 0, so müßte die Gleichung (1) infolge von f = 0 und

df

cf

df

^.dx -f dy + dz = 0

gelten, was aber nur dann möglich wäre, weun sie selbst sich in dx, dy, dz linear schreiben ließe, d. h. insbesondere eine Pfaffsche Gleichung wäre. Da wir diese schon im vierten Paragraphen des vorigen Kapitels besprochen haben, soll vorausgesetzt werden, daß die vorgelegte Mongesche Gleichung (1) nicht auf eine Pfaffsche zurückkomme. Alsdann bleibt nur noch die eine Möglichkeit übrig, daß die Gleichung (1) infolge zweier voneinander unabhängiger Gleichungen in x, y, z besteht. Will man keine der drei Veränderlichen x, y, z bevorzugen, so kann man sie auch als Funktionen einer Hilfsveränderlichen t betrachten. Demnach ergibt sich die Aufgabe, x, y, z als Funktionen von t zu bestimmen, so daß die Gleichung (1) oder:

(2)

fl(x, y, z, x, y', z) = 0 für alle Werte von t innerhalb eines gewissen Bereiches gilt. Dabei deutet 'der Akzent die Differentiation nach t an, denn man darf x, y, z statt dx, dy, dz setzen, weil doch nur die Verhältnisse von dx, dy, dz auftreten, d. h. weil die Gleichung ungeändert bleibt, wenn man dx, dy, dz mit dt dividiert. 8»»]

Drei solche Funktionen x, y, z von t, die der Gleichung (2) genügen, bestimmen eine Integralkurve. Geht durch den Punkt M oder (x, y, z) eine Integralkurve und ist (£, t), 5) irgendein Punkt auf der Tangente von M, so sind x, y, z zu g — x, g — y, l — z proportional, d. h. es muß:

(3)

&0, V, s, £ - s, t) — y, i-z) = 0 sein, was nach (1) in Nr. 346 besagt, daß der Ort der Punkte (£, t), l) oder also der Ort aller Tangenten von M bei allen durch M gehenden Integralkurven ein Kegel mit der Spitze M oder (x, y, z) ist. Denn man muß bedenken, daß die letzte Gleichung nur die Yerhältnisse von £ — x, t)—y, l~z enthält.

Demnach ordnet die Mongesche Gleichung (1) jedem Punkte (x, y, z) einen Elementarkegel zu, und eine Kurve ist dann und nur dann eine Integralkurve, wenn sie an jeder Stelle M ein Linienelement hat, das dem der Stelle M zugeordneten Elementarkegel angehört. Da eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung nach Nr. 874 ebenfalls jedem Punkte M einen Elementarkegel, eingehüllt von Flächenelementen, zuordnet, liegt es nahe, die Verbindung zwischen einer Mongeschen Gleichung (1) und einer solchen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung herzustellen, die beide jedem Punkte M identische Kegel zuweisen. Dies soll in der nächsten Nummer geschehen.

Vorher sei noch erwähnt, daß die Integration der Mongeschen Gleichung (1) in folgender Art geleistet werden kann: Man setzt für x und y irgend welche bestimmte Funktionen (p(t) und ip(i) und erhält alsdann eine Gleichung: die nichts andres als eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung für die Funktion z von t ist. Diese Art der Integration hat aber bloß formalen Wert, denn die gewöhnliche Differentialgleichung wird sich nur bei besonderer Wahl von cp(t) und if>(t) integrieren lassen, d. h. man wird nicht im stände sein, hiernach alle Integralkurven der Mongeschen Gleichung zu ermitteln. Außerdem gibt diese Methode keinen Aufschluß über den Zusammenhang zwischen den verschiedenen

[89a

Integralkurven. Erst die Herstellung der Beziehung zu den partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung führt zu einer in diesen beiden Hinsichten vollkommeneren Integrationsmethode, die übrigens von Monge herrührt.

893. Die zur Mongescheu Gleichung gehörige partielle Differentialgleichung erster Ordnung. Diejenige partielle Differentialgleichung erster Ordnung, die jedem Punkte M oder (x, y, z) denselben Elementarkegel wie die Mongesche Gleichung :

(1)

£l(x, y, z, dx, dy, dz) = 0

zuordnet, wird von allen denjenigen Flächen befriedigt, deren Flächenelemente die ihren Punkten (x, y, z) zugehörigen Kegel berühren. Nun ist einerseits:

p(X-x) + q(Y-y)- (Z-*)-0 in den laufenden Koordinaten X, Y, Z die Gleichung der Ebene eines Flächenelements (x, y, z, p, q) und andererseits :

&(x, y,z, i — x, l) — y, l - z) = 0 in den laufenden Koordinaten £, t), g die Gleichung des dem Punkte M oder (x, y, z) zugeordneten Kegels und folglich:

da

d(ic — x)

(X-x) +

da

(Y- y) +

da

d{b-z)

0(1} — y)

in den laufenden Koordinaten X, Y, Z die Gleichung einer Tangentenebene des Kegels. Dabei kann man £ — x, t) — y, % — z nach voriger Nummer durch x, y, z ersetzen. Also fällt die Ebene des Flächenelements mit einer Tangentenebene des Kegels dann und nur dann zusammen, wenn es ein Wertsystem x, y, z derart gibt, daß :

(2)

p \ q\ 1    iQixr : &ły,. ißj,

wird, wobei die Funktion £l(x, y, z, x, y, z') bedeutet.

in ihren Verhältnissen Vorkommen,

nur

Weil x, y, z in ß kann man diese Verhältnisse nach (2) als Funktionen von x, y, z, p, q betrachten. Werden sie in (1) für die Verhältnisse von dx, dy, dz substituiert, so geht eine Gleichung:

(3)

F(x, y, z, p, q) — 0 hervor. Sie definiert alle diejenigen Flächenelemente (x, y, z, p, q'), die die Elementarkegel der Mongeschen Gleichung (1) 893, 893]

umhüllen, und ist daher die zugehörige partielle Differentialgleichung erster Ordnung.

Liegt dagegen eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung (3) vor, so weiß man nach (5) in Nr. 874, daß die Richtungskosinus der Mantellinien des zum Punkte (x, y, z) gehörigen Elementarkegels proportional Fp, Fq und pFp ff- qFq sind. Bei der zugehörigen Mongeschen Gleichung sind aber x, y, z diesen Richtungskosinus proportional. Folglich wird man p und ą aus:

(4)

x: y': z - Fp : Fq : (pFp + qFq)

als Funktionen der Größen x, y, z und der Verhältnisse von x, y', z berechnen und in (3) substituieren, um die zugehörige Mongesche Gleichung :

&(x, y, z, x, y, z) = 0 zu erhalten. Demnach haben wir den

Satz 5: Die Mongesche Gleichung:

D{x, y, z, x, y, z) = 0

ordnet den Punkten (x, y, z) dieselben Flementarkegel zu wie diejenige partielle Differentialgleichung erster Ordnung, die durch Elimination von x’, y, z aus il = 0 vermöge:

p:q:—l = ilx,:ily,:il,,

hervor geht.    Umgekehrt: Die partielle Differentialgleichung erster

Ordnung:

F(x, y, z, p, q) = 0

ordnet den Punkten (x, y, z) dieselben Elementarkegel zu wie diejenige Mongesche Gleichung, die durch Elimination von p und q aus F = 0 vermöge:

x: y : z = Fp: Fq: (pFp + qFq)

hervorgeht.

894. Integration der Mongeschen G-leichung. Wir

wollen hier auf geometrischem Wege zeigen, wie man die vorgelegte Mongesche Gleichung:

(1) H(x, y, z, dx, dy, dz) = 0 oder il{x, y, z, x, y, z) = 0 vollständig integrieren kann, wenn man die charakteristischen Streifen der zugehörigen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung schon gefunden hat. Wir nehmen dabei an, daß

[893, 894

(2)

F{x, y., s, p, q) = 0

diese zugehörige partielle Differentialgleichung sei, so daß das System:

dp -- K- PF„

so a.

dt

- - = pFpA- qFq,

^ ₌ — F — qF dt    y 1 z

nach (3) und (4) in Nr. 879 oder nach (5) in Nr. 882 die charakteristischen Streifen definiert.

Yor allem ist zu bemerken, daß die Charakteristiken k nach Nr. 878 an jeder Stelle M eine Mantellinie des Elementarkegels von M zur Tangente haben und deshalb selbst Integral-kurven der Mongeschen Gleichung (1) sind. Bedeutet nun c irgendeine Integralkurve der Mongeschen Gleichung und zwar eine, die keine Charakteristik ist, so hat sie an jeder Stelle M eine Tangente, die dem zu M zugeordneten Elementarkegel als Mantellinie angehört, und nach Nr. 878 gibt es eine Charakteristik k, die in M dieselbe Mantellinie zur Tangente hat. Demnach wird die Integralkurve c an jeder Stelle M von einer Charakteristik k berührt. Längs dieser Charakteristik k liegt ein charakteristischer Streifen. Er geht von demjenigen Flächenelemente aus, das in M den Kegel längs der Tangente von c berührt. Betrachtet man die Integralkurve c als die in Nr. 886 mit y bezeichnete Kurve, so folgt, daß die einfach unendliche Schar derjenigen charakteristischen Streifen, die man so konstruieren kann, eine Integralfläche der partiellen Differentialgleichung (2) erzeugt. Diese Integralfläch.e enthält demnach eine einfach unendliche Schar von Charakteristiken k, und die Kurve c ist die Einhüllende aller dieser Charakteristiken.

Wir gehen jetzt umgekehrt von irgendeiner nicht singulären Integralfläche der partiellen Differentialgleichung (2) aus. Nach Nr. 886 wird sie so erzeugt: Man nimmt irgendeine Kurve y an, die keine Charakteristik ist, und konstruiert längs y einen Streifen von Flächenelementen, die an jeder Stelle sowohl y als auch den Elementarkegel berühren. Die von diesen Flächenelementen ausgehenden charakteristischen Streifen erzeugen eine Integralfläche. Sie enthält die einfach unendliche Schar der Charakteristiken k, längs deren die charakteristischen 894]

Streifen liegen. Diese Kurven k können nun eine Einhüllende c haben, siehe Fig. 63. Die Existenz der Einhüllenden von einfach unendlichen Kurvenscharen Ti auf einer krummen Fläche kann man wie in Nr. 779 dadurch erkennen, daß man die Fläche

etwa auf die xy-Ebene projiziert (siehe / ^--^

Fig. 41 in Nr. 779) und die Einhüllende der Projektionen der Charakteristiken Ti J bestimmt. Sie ist die Projektion der frag-liehen Einhüllenden c der Charakteristiken y\

Ti selbst. Die Einhüllende c berührt an    -—"y

jeder Stelle eine Charakteristik Ti und hat    N y

Mg. 63.

daher an jeder Stelle eine Mantellinie des zugeordneten Elementarkegels zur Tangente, d. h. sie muß eine Integralkurve der Mongeschen Gleichung sein. Nach der vorhergehenden Betrachtung erhellt zugleich, daß man auf diesem Wege alle diejenigen Integralkurven der Mongeschen Gleichung findet, die keine Charakteristiken sind.

Die Einhüllende c trat übrigens schon in Nr. 279 und 280 auf. Ist nämlich:

z = <p(x, y, a, b)

(2),

eine vollständige Lösung der partiellen Differentialgleichung so entsteht jede nicht singuläre Integralfläche nach Nr. 877 als Einhüllende einer in z = cp enthaltenen einfach unendlichen Flächenschar, und zwar berührt sie jede einzelne Fläche dieser Schar längs einer Charakteristik. Es liegt demnach für diese einfach unendliche Flächenschar der Fall von Nr. 279 vor, wo auseinandergesetzt wurde, daß die Charakteristiken auf der Einhüllenden Grenzpunkte haben, d. h. Grenzlagen der Schnittpunkte benachbarter Charakteristiken, und in Satz 11, Nr. 280, ergab sich, daß der Ort dieser Grenzpunkte, die sogenannte Gratlinie der einhüllenden Fläche, an jeder Stelle eine Charakteristik berührt, also die einhüllende Kurve der Charakteristiken ist.

Kurz gesagt zeigt sich demnach, daß die Integralkurven der Mongeschen Gleichung (1) aus den Charakteristiken der partiellen Differentialgleichung (2) und aus den Gratlinien der nicht singulären Integralflächen von (2) bestehen.

Serret-Scheffers, Diff.- u. Integral-Rechnung III. 3. Aufl.

Weiter wollen wir die Theorie der Mongeschen Gleichungen nicht verfolgen, obgleich das Yorgetragene noch nach zwei Richtungen hin zu vervollständigen wäre. Einerseits nämlich ist der Zusammenhang zwischen einer Mongeschen Gleichung und der zugeordneten partiellen Differentialgleichung erster Ordnung in Nr. 893 mittels geometrischer Betrachtungen gewonnen worden, so daß noch die rein analytische Herstellung der Beziehung zwischen beiden zu fordern ist, und andererseits kann man sich die Aufgabe stellen, die Charakteristiken direkt mit Hilfe der Mongeschen Gleichung selbst anstatt mit Hilfe der erst aus ihr abgeleiteten partiellen Differentialgleichung zu definieren, um dadurch zu einer Integrationstheorie zu gelangen, die von der zugeordneten partiellen Differentialgleichung unabhängig ist. Die Grenzen, die wir uns gesteckt haben, erlauben uns aber nicht, dies zu entwickeln.

Wir begnügen uns damit, an einem Beispiele die Anwendung der vorgetragenen Theorie zu erläutern.

895. Loxodromen. Wir behandeln die Aufgabe, alle Kurven zu bestimmen, die ein Ebenenbüschel unter einem konstanten Winkel s schneiden. Diese Kurven heißen Loxodromen. Dreht man eine solche Kurve um die Achse des Büschels, so entsteht eine Rotationsfläche, auf der die Kurve alle Breitenkreise oder (was dasselbe ist) alle Meridiane unter konstantem Winkel schneidet.

Die Achse des Büschels werde als ^-Achse gewählt. Die Ebene durch einen Punkt M oder (x, y, z) und die Büschelachse hat eine Normale, deren Richtungskosinus

x_____ 0

1/x* + y2 ?

—    y

yw+r

sind. Bedeuten a, ß, y die Richtungskosinus der Tangente einer durch M. gehenden Loxodrome, so wird also gefordert:

= sm£.

—    «y + ß% yV-j-t/²

Sind dx, du, dz die Differentiale längs der Kurve, so ist nach

(3) in Nr. 252:

dy

ß-

_    dx

Ydxi -f- dy² -f- dz'¹

ydx* -f- dy* -f- dz* ’

Mithin ergibt sich die Forderung:

(1) (xdy — ydxf — sin²f (x² -f y²) (dx² + dy² -f dz²) = 0.

Dies ist demnach die zu integrierende Mongesche Gleichung.

Der dem Punkte M zugeordnete Kegel enthält alle Strahlen von M aus, die mit der Ebene durch M und die £-Achse den Winkel s bilden und ist folglich ein Botationskegel, der die Normale dieser Ebene in M zur Achse hat und dessen Mantellinien mit der Kegelachse den Winkel — s einschließen. Die zugeordnete partielle Differentialgleichung F = 0 hat dieselben Elementarkegel. Mithin sind ihre Integralflächen diejenigen Flächen, die alle Ebenen des Büschels unter dem konstanten Winkel e schneiden, woraus nebenbei nach Satz 22, Nr. 325, folgt, daß jede Integralfläche von allen Ebenen des Büschels in Krümmungskurven geschnitten wird.

Das Verfahren zur Ermittlung aller Integralkurven der Mongeschen Gleichung kann man hier wie folgt an wen den î Insbesondere heißen Loxodromen, die auf solchen Kugeln verlaufen, deren Mittelpunkte auf der Büschelachse liegen, sphärische Loxodromen. Auf jeder Kugel, die ihren Mittelpunkt auf der 0-Achse hat, gibt es eine einfach unendliche Schar von solchen Kurven. In Polarkoordinaten sind nach Nr. 251:

(2) x = r sin 6 cos tl>, y = r sin 6 sin ik, z = a + r cos 6

die Gleichungen einer Kugel vom Radius r, deren Mittelpunkt auf der £-Achse liegt und die ^-Koordinate a hat, während 6 und i\) Hilfsveränderliche bedeuten. Setzt man diese Werte sowie die aus ihnen folgenden Werte der Differentiale dx, dy, dz in die Mongesche Gleichung (1), ein, so kommt:

■J ,    ,    ,    dd

sin 0

oder nach dem 1. Beispiele in Nr. 452:

dik = ± tg e •

(3)

i’ = ± tg« lntg£0 + b,

wo b eine willkürliche Konstante ist. Versteht man also unter ip die Funktionen (3) von d, so stellen die Gleichungen (2) alle sphärischen Loxodromen dar, ausgedrückt mittels der Hilfsveränderlichen 6. Dabei sind r, a und b willkürliche Konstanten.

38*

[895

Wir behaupten, daß diese dreifach unendliche Schar von sphärischen Loxodromen die Charakteristiken sind. Faßt man nämlich eine Kugel mit einem Mittelpunkte S auf der z-Achse und eine auf ihr gelegene sphärische Loxodrome ins Auge, so ist der Kegel, der S zur Spitze hat und dessen Mantellinien die Strahlen von S nach der Kurve sind, eine Fläche, die alle Ebenen des Büschels unter dem Winkel s schneidet, folglich eine Integralfläche der partiellen Differentialgleichung. Da man die Kegelspitze S irgendwo auf der z- Achse wählen kann und auf jeder Kugel um S eine einfach unendliche Schar von Loxodromen liegt, gelangt man auf diese Art zu einer zweifach unendlichen Schar von Integralflächen. Sie bilden zusammen eine vollständige Lösung der partiellen Differentialgleichung (vgl. Nr. 876). Nun weiß man nach Nr. 878, daß die Charakteristiken diejenigen Kurven auf den Flächen der vollständigen Lösung sind, die überall Mantellinien der zugehörigen Elemen-'tarkegel zu Tangenten haben, d. h. die Charakteristiken sind die auf den soeben konstruierten Kegeln gelegenen Integralkurven der Mongeschen Gleichung (1), demnach in der Tat die sphärischen Loxodromen.

Folglich läßt sich jede Loxodrome nach Nr. 894 so konstruieren: Man wählt irgend eine Kurve y und legt in jedem Punkte von y eine Ebene durch die Tangente von y, die auch den zugehörigen Elementarkegel berührt. Die Berührungslinie ist zugleich Tangente einer gewissen sphärischen Loxodrome lî. Die einfach unendliche Schar dieser sphärischen Loxodromen bildet einerseits eine allgemeine Integralfläche der partiellen Differentialgleichung und wird andererseits von einer allgemeinen Integralkurve der Mongeschen Gleichung eingehüllt. Da diese Konstruktion rechnerisch nur Differentiationen, Eliminationen und Substitutionen erfordert, kann man also alle Loxodromen ohne Integrationsprozesse bestimmen.

Neuntes Kapitel.

Einleitung in die Variationsrechnung.

§ 1. Die Eulersche Differentialgleichung.

896. Die einfachste Aufgabe der Variationsrechnung. Außer den im sechsten Kapitel des ersten Bandes besprochenen Aufgaben, hei denen es sich darum handelte, diejenigen Werte von Veränderlichen zu ermitteln, für die gegebene Punktionen Extremwerte erreichen, gibt es eine andere viel ausgedehntere Klasse von Aufgaben über Maxima und Minima. Bei ihnen werden Funktionen gesucht, für die gewisse Größen Extremwerte annehmen. Das einfachste derartige Problem lautet so:

Gegeben ist eine reelle Funktion f von drei reellen Veränderlichen x, y, y \ dabei soll y eine Funktion von x bedeuten und y' ihre Ableitung. Der Funktion y wird vorgeschrieben, daß sie für zwei gegebene Werte x₀ und xx von x ebenfalls gegebene Werte y₀ und yx annehme. Die Frage ist dann, für welche Funktion y das Integral

xi

=ff(x> y> y)dx

x0

ein Maximum oder Minimum hat.

Dabei muß man wohlbemerkt noch definieren, was unter einem Maximum oder Minimum des Integrals zu verstehen ist, weil die Definition in Nr. 140 nicht anwendbar ist. Denn das Integral J kann man nicht als eine Funktion der gesuchten Funktion y bezeichnen.

Die vorstehende Aufgabe ist die einfachste im Bereiche der Variationsrechnung. Dieser Name wird in der nächsten Nummer seine Erklärung finden. Im Laufe der Zeiten hat sich die von

[896

Bernoulli, Euler und Lagrange begründete Variationsrechnung zu einer besonderen und nicht einfachen Disziplin herausgebildet; deshalb geben wir nur eine Einleitung in diese Theorie. Insbesondere werden wir uns immer mit der Feststellung solcher Bedingungen für die gesuchten Funktionen begnügen, die ausreichen, die Funktionen zu ermitteln, ohne dabei auf die viel schwierigere Frage einzugehen, ob für diese Funktionen wirklich ein Maximum oder Minimum zustande kommt. Auch in bezug auf die Voraussetzungen, die über das Verhalten der auftretenden Funktionen zu machen sind, begnügen wir uns, um alle Schwierigkeiten zu vermeiden, mit den einfachsten Annahmen, ohne zu ergründen, ob man nicht auch mit geringeren Mitteln auskommen kann.

Um auch äußerlich den rein einleitenden Charakter dieses Kapitels zu kennzeichnen, unterlassen wir die ausdrückliche Formulierung der Ergebnisse als Sätze. Man wird erkennen, daß die Ermittlung der gesuchten Funktionen die Integration von Differentialgleichungen erfordert.

897. Definition der Extremwerte eines Integrals. Weil es sich um Maxima und Minima handelt, benutzen wir ausschließlich reelle Veränderliche und Funktionen. Von allen vorkommenden Funktionen wird vorausgesetzt, daß sie stetig seien und daß sich auch alle ihre partiellen Ableitungen, soweit sie gebraucht werden, stetig verhalten, indem wir immer annehmen, daß alle Betrachtungen innerhalb solcher Variabilitätsbereiche stattfinden, wo diese Voraussetzungen erfüllt sind.

Nun sei f(x, y, y ) eine gegebene Funktion der drei Größen x,y,y. Ferner seien Anfangs- und End werte x₀,y₀ und x₁,y1 von x und y vorgeschrieben. Unter y soll irgend eine Funktion von x verstanden werden, die für x = x₀ und x = xx die Werte y₀ und yt annimmt, und y bedeute ihre Ableitung. Alsdann betrachten wir das Integral:

xi

(1)

=ff(x,y,y') dx.

X₀

Denken wir uns hierin für y eine bestimmte Funktion eingesetzt, so erhält J einen bestimmten Wert. Indem wir nun y durch irgend eine benachbarte Funktion ÿ ersetzen, die eben-

falls für x — x₀ und für x — xx die vorgeschriebenen Werte yQ und yt hat, verändern wir den Wert des Integrals, und diese Änderung heißt die vollständige Variation des Integrals. Es muß aber noch gesagt werden, was unter einer zu y benachbarten Funktion ÿ verstanden wird: Vorweg sei eine beliebig kleine positive Zahl 0 angenommen; für jeden Wert x im Intervalle von xQ bis x₁ soll nun der absolute Betrag der Differenz ÿ — y kleiner als 0 sein. Diese Differenz heißt die Variation der angenommenen Funktion y und wird mit öy bezeichnet, während man die zugehörige vollständige Variation von J durch ÖJ ausdrückt. Nach Voraussetzung hat öy an den Integralgrenzen x₀ und xl den Wert Null. Wegen ÿ — y öy ist ferner:

ÖJ

oder:

(2)

xx    xx

=ff(x, y + ày, y'+ (öy)') dx -ff{x, y, y) dx

Xq    Xq

dJ    y + dy, y'+(.öy)') - f(x, y, y)~] dx.

Xq

Den Integranden von öJ bezeichnet man auch als die zu öy gehörige Variation öf der Funktion f} so daß: «1

ÖJ

=J*dx,

d. h.:

*0

Xx    XL

ö ffdx = föf dx

Xq    Xq

ist, in Worten: das Variationszeichen ö ist mit dem Integralzeichen J vertauschbar.

Nunmehr können wir definieren: Das vorgelegte Integral J hat für die angenommene Funktion y von x ein Maximum bzw. Minimum, wenn es eine positive Zahl 0 derart gibt, daß alle diejenigen vollständigen Variationen öJ des Integrals, bei denen J öy \ < 0 ist, nie positive bzw. nie negative Werte haben.

898. Das Verschwinden der ersten Variation des Integrals. Um zu Bedingungen für die Funktionen y zu gelangen, die das Integral J zu einem Extremwerte machen, wählen wir die Variation Öy von y in spezieller Weise. Unter

[897, 898

rj (x) sei irgend eine Funktion von x verstanden, die für x = x0 und x = x₁ verschwindet. Da ihr absoluter Betrag nach den allgemein in voriger Nummer über alle vorkommenden Funktionen gemachten Annahmen im Intervalle von x₀ bis xt unterhalb einer gewissen Grenze m bleibt, können wir unter h eine Zahl verstehen, die der Bedingung \h\<C.G:m genügt. Dann ist \rjh \ < <?, d. h. man darf dy insbesondere gleich rfh wählen. Die Variation öJ von J wird nun nach (2) in voriger Nummer:

(1) SJ

X₁

y + i)h,y' + rfh) - fix, y, y) \ dx.

a-o

Hat man 6 hinreichend klein gewählt, so gilt dasselbe von h wegen j h \ < G : m, so daß sich der Integrand nach ganzen positiven Potenzen von h in der Form:

h    7)*

7] (fyV + fyV) + 2! (fyy⁷!² + ²fyy'VV + fyyV*) H----

entwickeln läßt. Dabei bedeutet f die Funktion f(x,y, y ). Nach Satz 26, Nr. 426, vgl. auch die Bemerkungen in Nr. 428, darf diese unendliche Reihe gliedweise integriert werden. Mithin kommt:

ÔJ

= 7j J(fyV + fyVl^+^lJ\fyyVa+²fyyVV+fyyV'²)dx+

*0    xo

Der Faktor von hn : n\ heißt die nte Variation des Integrals J> so daß insbesondere:

*1

flfyV + fyV) dx

die erste Variation von J ist.

Hat nun das Integral J für die gewählte Funktion y z. B. ein Minimum, so ist nach der Definition in voriger Nummer dJ^> 0, also nach (1):

X₁    xl

(2)

ff{x, y + rjh, y + rfh) dx    y, y)dx.

Xq    Xq

Wenn auch rj bestimmt gewählt worden ist, stellt die linke Seite von (2) eine Funktion F(h) von h allein dar und zwar

in dem Variabilitätsbereiche h \ <C 6 : m. Man kann folglich statt (2) schreiben:

(3)

F Qi) > F{ 0).

Dabei ist F Qi) nach Satz 18, Nr. 487, eine stetige Funktion von h, und sie hat nach Satz 19, Nr. 488, die Ableitung:

(4)

F'Qi) =yy + yh, y'+7]'h)dx

xo

Die Ungleichung (3) besagt nun nach Nr. 140, daß F Qi) für Tn = 0 ein Minimum hat. Folglich muß F' (Qi) = 0 sein, d. h. nach (4):

xi

jlfyV + fy>y) dX — 0

XQ

(5)

Dabei bedeutet f wieder die Funktion f(x, y, y). Dieselbe Bedingung (5) geht im Falle eines Maximums hervor; ihre linke Seite ist die erste Variation von J.

Somit hat sich ergeben, daß die erste Variation von J verschwinden muß, falls J für die angenommene Funktion y von x ein Maximum oder Minimum erreicht. Dies Merkmal reicht aber für das wirkliche Eintreten eines Extremwertes von J nicht aus. Zu hinreichenden Bedingungen gelangt man erst, wenn man auch die höheren Variationen von J berücksichtigt, die nämlich hier eine ähnliche Rolle spielen wie die höheren Ableitungen einer Funktion f(x) bei der Feststellung der Maxima und Minima der Funktion (in Satz 1, Nr. 142). Wie gesagt (vgl. Nr. 896), wollen wir jedoch keine hinreichenden Bedingungen für die Maxima und Minima des Integrals J aufstellen.

899. Die Eulersche Differentialgleichung. Die für

einen Extremwert des Integrals J notwendige Bedingung, nämlich das Verschwinden der ersten Variation:

xi

J (fyV + fy’V ) dX = 0,

formt man um, indem man auf das über f ,rf erstreckte Integral die Methode der teilweisen Integration anwendet, siehe

[898, 899

Gleichung (1) in Nr. 415, worin u und v durch fy, und rj zu ersetzen sind. Es kommt dann:

xx    X₁

JfyVdx +    - 0.

x0 x0

Weil rj nach Nr. 898 für x = x₀ und x = x₁ verschwindet, ist das zweite Glied gleich Null. Mithin bleibt übrig:

(1)

X₀

0.

Da diese Bedingung für jede Funktion rj von x gelten muß, die an den Integralgrenzen verschwindet, folgt, wie wir sogleich zeigen werden, daß der Ausdruck:

to

an jeder Stelle im Intervalle von x₀ bis xt verschwindet. Denn man kann insbesondere 17 gleich (x — x₀) (x₁ — x) E annehmen, weil diese Funktion für x = x₀ und x — xt den Wert Null hat, und bekommt dann statt (1) insbesondere:

XL

(3)

dx = 0,

f (pc — x₀) (xx — x) E²

x₀ und hier ist der Integrand positiv. Wenn also z. B. xt > x₀ und x irgend eine Stelle zwischen x₀ und xt ist, wird das in (3) linksstehende Integral gleich der Summe der beiden von x0 bis x und von x bis xi erstreckten Integrale, die beide positiv sind, so daß infolge von (3) insbesondere auch das von xQ bis x erstreckte Integral verschwindet:

J*(x — xQ) (xt — x) jE² dx = 0

xo

Links steht hier eine Funktion der oberen Integralgrenze x, die im Intervalle von x₀ bis xt willkürlich ist, und folglich verschwindet diese Funktion überall im Intervalle, so daß auch ihre Ableitung nach x gleich Null sein muß, d. h. (x — xQ) (xx — x) JE² muß verschwinden. Demnach ist E überall im Intervalle gleich Null. Dasselbe ergibt sich bei der An-899]

nähme xt < xQ, wo anstelle positiver Integrale negative auf-treten.

Wegen (2) folgt demnach, daß die erste Variation von J dann und nur dann verschwindet, wenn überall im Intervalle von xQ bis xx

(4)

t,~

dx

ist. Mit anderen Worten: Wenn das Integral J für die angenommene Funktion y einen Extremwert erreicht, muß die Funktion y die Gleichung (4) befriedigen. Diese Gleichung lautet ausführlich geschrieben so:

(5)

fy-fxy'-fyy'V -fy'y'V"

und ist mithin eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Funktion y von x. Sie wurde von Euler aufgestellt und soll deshalb die Eulersche Differentialgleichung heißen. Ihre allgemeine Lösung y enthält zwei Integrationskonstanten. Andererseits sind aber auch gerade noch zwei Bedingungen zu befriedigen, denn y soll für x = x₀ und für x = xt die vorgeschriebenen Werte y₀ und yx annehmen. Mithin reichen die Ergebnisse aus zur Ermittlung einer jedenfalls beschränkten Anzahl von Funktionen y, für die allein das Integral J ein Maximum oder Minimum haben kann. Ob aber für eine solche Funktion wirklich ein Extremwert auftritt, steht noch dahin.

In den nächsten und auch in späteren Beispielen werden wir in der Problemstellung stets entweder von einem Maximum oder Minimum sprechen, obgleich das wirkliche Eintreten eines Maximums oder Minimums nicht bewiesen wird. Immerhin sind die Beispiele so einfacher Art, daß man in jedem Falle rein anschaulich ausfindig machen kann, ob es sich nun gerade um ein Maximum oder um ein Minimum handelt.

900. Das Katenoid. In der Ebene seien zwei Punkte gegeben. Man soll diejenige Kurve vom ersten Punkte zum zweiten Punkte ziehen, die bei der Drehung um die x-Achse eine Flotations fläche von kleinstem Flächeninhalte liefert. Die «/-Achse kann man so annehmen, daß beide Punkte entgegengesetzt gleiche Abszissen — a und -f- a bekommen. Die zugehörigen gegebenen Ordinaten y₀ und yx seien positiv. Der Schwerpunkt

[899, 900

/ X—C    X — c\

(i)

einer Kurve hat, wenn ds ihr Bogenelement und S ihre Gesamtlänge ist, nach (11) und (10) in Nr. 602 die Ordinate:

\jyds,

0

und nach der Guldinschen Hegel in Nr. 589 ist daher der Flächeninhalt der durch die Drehung der Kurve erzeugten Rotationsfläche:

s

= 2 ntyS = 2n jyds

5

oder, wenn man x als unabhängige Veränderliche einführt, nach (1) in Nr. 193:

F = 2tc fy'Y 1 + y ² dx.

Dabei ist die Wurzel positiv. Es handelt sich somit um die Ermittlung derjenigen Funktionen y von x, die das Integral:

J =jyVi +

zu einem Minimum machen. Der Integrand f ist hier yYl-ł-y*. Folglich lautet die Eulersche Differentialgleichung (4) der letzten Nummer so:

l/l + y ² -

yy'

oder:

d% 'J/l -F y ²

yy"

= 0.

yi + y'²    V'i + V²

Multiplikation mit y' ]/l -\- y'² :y gibt sofort:

ln y — ln j/l -f y'² = konst.

Hieraus folgt, falls b und c Integrationskonstanten bedeuten:

dx =

b dy

d. h.:

yy* — b*

, x — c , y \/yi— b2 oder -y- = ln -    - ^-

y “ Y U~+«"w-

Die gesuchte Kurve ist daher ein Stück einer Kettenlinie und zwar einer solchen Kettenlinie, deren zugehörige Tralctrix (vgl.

900] das 2. Beispiel in Nr. 713) die x-Achse zur Leitlinie hat. Durch Drehung der Kettenlinie um diese Leitlinie, die man übrigens auch die Leitlinie der Kettenlinie selbst nennt, entsteht das Katenoid (vgl. Nr. 799).

Für x = — a und x = + a soll y die Werte y₀ und yx haben. Dies liefert die beiden Bedingungen für die in (1) auftretenden Konstanten b und c:

a — c\

W.

q + g\

(2)

Vo

b ), Vi

Sie sind nicht immer erfüllbar. Wenn z. B. yt = y₀ ist, geben sie c = 0 und zur Bestimmung von b:

(3)

lo ₌ JL A

a 2 a

Dabei ist y₀ ebenso wie a positiv, mithin auch b. Die rechte Seite von (3) ist eine Funktion von a : b, die für positive Werte von a : b stets positiv ist und ihr Minimum an derjenigen Stelle u = a : b hat, die der Bedingung:

e2u ₌

u —}- 1 u — 1

genügt. Mittels der Fehlerrechnung findet man leicht für u abgerundet den Wert 1,1997 und nach (3) als den zu a : b = u gehörigen Wert von y₀ : a die Zahl 1,5089. Ist also yQ : a kleiner als dieser Betrag, so ist es unmöglich, b so zu wählen, daß die Bedingung (3) befriedigt wird.

901. Die gemeine Zykloide als Brachistochrone.

In einer lotrechten Ebene seien zwei Punkte gegeben. Es soll diejenige von dem höheren Punkte nach dem tieferen Punkte verlaufende und in der Ebene liegende Bahnkurve gefunden werden, die ein materieller Punkt unter dem Einflüsse der Schwere, aber ohne Reibung, am schnellsten zurücklegt. Bahnkurven kürzester Fallzeit heißen Brachistochronen. Hier handelt es sich also um die Brachistochrone in einer gegebenen lotrechten Ebene und mit gegebenem Anfangs- und Endpunkte.

Den höher gelegenen Punkt wählt man zweckmäßig als Koordinatenanfangspunkt und die Vertikale nach unten als positive x-Achse. Der tiefer gelegene Punkt habe die Koordinaten x₁ und yv Dann darf x₁ > 0 und yx > 0 vorausgesetzt

[900, 901

werden. Die Mechanik lehrt, daß bei der Bewegung die Gleichung gilt:

(i)

Dabei bedeutet t die Zeit und g die Gravitationskonstante. Hieraus folgt:

dx,

daher als Fallzeit:

dx.

à/VA

Folglich ist das Integral:

_

-/vH

o

mit positiver Wurzel zu betrachten. Hier gibt die Eulersche Gleichung (4) von Nr. 899 sofort, da der Integrand von y frei ist:

2 l/¹ + V² _ dy V x ~

konst.

oder, wenn a eine Integrationskonstante bedeutet:

, -i / x

y ~ V 2a — x‘

Vertauscht man x mit y, so geht die Differentialgleichung hervor, die im 1. Beispiele von Nr. 711 betrachtet wurde. Die gesuchte Brachistochrone ist demnach eine gemeine Zykloide, die durch Abrollen eines Kreises auf der geraden horizontalen «/-Achse längs ihrer unteren Seite hervorgeht und im Anfangspunkte eine Spitze hat. Nach (1) in Nr. 231 läßt sie sich mittels einer Hilfsveränderlichen cp so darstellen:

x — a (1 — cos cp), y — a (cp — sin cp).

Nun ist a so zu wählen, daß die Kurve auch durch den Punkt (x1}yx) geht. Ist cpt der zugehörige Wert der Hilfsveränderlichen, so wird demnach gefordert:

(2)

xy — a (1 — cos cpy), yx = a (cpx — sin cpf).

Außerdem hat man, da Unstetigkeiten ausgeschlossen werden, noch zu fordern, daß die Stelle (xlf yf) auf demjenigen ersten Zykloidenbogen liege, der vom Anfangspunkte ausgeht, d. h. cpx 901] muß im Intervalle von Null bis 2jt liegen. Um zu zeigen, daß es immer bestimmte Werte a > 0 und tpx gibt, die unter dieser Beschränkung die beiden Bedingungen befriedigen, genügt es nachzuweisen, daß es eine und nur eine zwischen 0 und 27t gelegene Wurzel cp₁ der Gleichung:

(3)

Xx

<Pi — sin <Pi ₌ Vi 1 — cos cpx

gibt. In der Tat ist die linke Seite hiervon eine Funktion von cpx, die sich im Intervalle von 0 bis 2n überall stetig verhält, für qp₁ = 0 den Wert Null hat und für lim cp₁ = 2 7t nach Unendlich strebt. Ihre Ableitung nach cp₁ ist gleich:

2 (1

cos cpx) — <px sin qp,    1 — ctgjy,

sin* \ cp₁

und daher überall im Intervalle von 0 bis 2 jt positiv. Mithin wächst die linke Seite von (3) beständig von Null bis Unendlich, wenn cpx von 0 bis 27t wächst, so daß die Behauptung richtig ist.

§ 2. Yerallgememerungen.

902. Extremwerte von Integralen, in denen mehrere unbekannte Funktionen Vorkommen. Die Betrachtungen lassen sich leicht auf den Fall ausdehnen, wo die Funktion f unter dem Integralzeichen mehr als eine unbekannte Funktion nebst ihren Ableitungen erster Ordnung enthält. Es wird genügen, den Fall von zwei Funktionen zu betrachten. Demnach handle es sich darum, diejenigen Funktionen y und z von x zu ermitteln, für die das Integral

(1)

=/?(>, y, 8, y, z )dx

Xq mit gegebenen Grenzen x₀ und xx ein Maximum oder Minimum erreicht. Dabei wird vorgeschrieben, daß y und z für x = x0 gegebene Werte y₀ und z₀ und für x = xx gegebene Werte yx und zx annehmen.

Indem wir unter ö eine beliebig klein gewählte positi/e Zahl und unter öy und dz solche Funktionen von x verstehen, die an den Grenzen x₀ und xx verschwinden und deren absolute Beträge im Intervalle von x₀ bis xx kleiner als <7 sind,

[901, 9©£

bilden wir wie in Nr. 897 die vollständige Variation dJ des Integrals J:

xi

dJ

=f fix, y + dy, 0 + dz, y + (dy)', z + (dz)') x°    - f(x, y, s, y, z )] dx.

Nun wird definiert: Das Integral J bat für die Funktionen y und z von x ein Maximum bzw. Minimum, wenn dJ nie positiv bzw. nie negativ wird.

Wie in Nr. 898 seien unter y und £ solche Funktionen von x verstanden, die für x = xQ und für x = x₁ verschwinden, und es bedeute m eine Zahl, die größer ist als die absoluten Beträge von tj und £ im Intervalle von x₀ bis x₁ ; ferner sei h eine Zahl, die der Bedingung [ h | < 6 : m genügt. Nun kann dy = r]h und dz = t,h angenommen werden, so daß kommt:

[i] ifyV +    + fy’rf + ^A) + • “] dx

oder:

xo

äJ-k

X₀

Dabei deuten die Punkte Glieder an, die mit den höheren ganzzahligen Potenzen von h behaftet sind, während f die Funktion f(x, y, z, y, z) vorstellt. Gerade so wie in Nr. 898 folgt: Wenn das Integral J für die Funktionen y und z ein Maximum oder Minimum erreicht, muß die erste Variation des Integrals verschwinden, d. h. :

a;,

J\fyV + fzl + fy'V + fA ) dX = 0

Xq

sem. tegration :

Wie in Nr. 899 findet man hieraus durch teilweise In-

*i    xi

aŁr‘+-ŁAx-°’

J (fyV + fzQdx + \fylg + fA]Xo ~~J"(

T₀    Xa

und weil r\ und £ an den Grenzen x₀ und verschwinden, vereinfacht sich diese Gleichung so:

90»]

A(f,-dê)'>+(f,-dék

dx = 0.

dfz,

x₀

Setzt man zur Abkürzung:

dfy'

so hat man also zu fordern:

0.

f [Er] + Fl) dx =

XQ

Insbesondere kann man 1 = 0 und r\ = [x — æ₀)(Æj — X)E wählen und daraus wie in Nr. 899 schließen, daß E — 0 sein muß. Entsprechend folgert man F = 0. Also ergibt sich hier ein System von zwei Eruier sehen Gleichungen:

(2)

df,    df,

f---ü = 0    f__— = 0

ly dx ’    '* dx ’ d. h. ein System zweiter Ordnung von zwei gewöhnlichen Differentialgleichungen für die Funktionen y und z von x, und wir wissen, daß das Integral (1) nur für solche Funktionen y und z von x ein Maximum oder Minimum erreichen kann, die Lösungen des Systems (2) sind. Doch ist nicht gesagt, daß diese Bedingungen (2) für das wirkliche Eintreten eines Extremwertes hinreichen, selbst dann nicht, wenn man noch, wie es sein muß, die Lösungen y und z den vier Bedingungen unterwirft, daß sie für x = x₀ und x = xt die gegebenen Werte y₀ und z₀ bzw. y₁ und z₁ annehmen. Übrigens ist die Anzahl dieser Bedingungen gerade so groß wie die der noch zur Verfügung stehenden Integrationskonstanten. Denn wenn man das System (2) nach der Methode von Nr. 663 dadurch in ein System erster Ordnung verwandelt, daß man noch y und z als unbekannte Funktionen einführt, gehen insgesamt vier Differentialgleichungen hervor, so daß in der Tat gerade vier Integrationskonstanten auftreten.

903. Die Brachistochrone im Baume. In Nr. 901

wurde die Brachistochrone oder Bahnkurve kürzester Fallzeit in einer lotrechten Ebene bestimmt. Wir lassen jetzt die Bedingung fallen, daß die Bahnkurve in einer lotrechten Ebene

Serret-Scheffers, Diff.- u. Integral-Kechnung. III. 3. Aufl.

³⁹ T903, 903

liege. Es soll also im Baume diejenige Kurve von einem gegebenen Punkte nach einem anderen gegebenen Punkte ermittelt werden, die ein materieller Punkt unter dem Einflüsse der Schwere ohne Beibung am schnellsten durchläuft. Der höher gelegene Punkt wird als Koordinaten-Anfangspunkt angenommen und die Vertikale nach unten als positive x-Achse. Entsprechend der Gleichung (1) von Nr. 901 gilt, wie die Mechanik lehrt, jetzt die Gleichung:

V1 +y'2jr-z'*    = j/2gx,

woraus sich als Fallzeit ergibt:

Xi

1+ V² + *'²

dx.

wjy

0

Es handelt sich somit um das Minimum des Integrals:

fi

1 +y'i + hi

dx,

SM

0

in dem die Wurzel positiv ist und diejenige Funktion f vorstellt, mit der man die beiden Eulerschen Gleichungen (2) der letzten Nummer zu bilden hat. Es kommt, weil f frei von y und z ist, sofort:

— V

dy' V

1 +?'* + *'*

a i/l±jis dz V x

-4,

wobei Cx und C₂ Konstanten sind. Hieraus folgt:

]/x(i + y'² + 0

-Cu

z'

so daß:

d. h.:

Crf-CS- 0,

C₂y — Gtz = konst.

Mithin verläuft die gesuchte Kurve in einer lotrechten Ebene und folglich kommt man zu derselben Lösung des Problems wie in Nr. 901.

ist.

904. Extremwerte von Integralen, in denen höhere Ableitungen einer unbekannten Funktion vor-903, 904]

kommen. Wir gehen zu dem Falle über, wo ein Integral yon der Form vorliegt:

*1

(1)

J office, y, y', y", .. . */«) dx,

x₀

dessen Integrand die Ableitungen der gesuchten Funktion y bis zu der von der nten Ordnung enthält. Dabei sein x₀ und xx gegeben, außerdem seien diejenigen Werte vorgeschrieben, die y, y, . . .    für x = x₀ und x = xt zukommen. Die sehr

leicht auszuführende Verallgemeinerung der Betrachtung in Nr. 897 gibt hier die vollständige Variation des Integrals J in der Form:

a'i

. . y^)\ dx.

dJ

=f\J\x, y + ày, . .. y W + (ôy)n) - f(x, y, . *0

Dabei bedeutet dy eine solche Funktion von x, die nebst ihren n — 1 ersten Ableitungen für x — x₀ und für x = xx verschwindet und deren absoluter Betrag im Intervalle von x₀ bis xx kleiner als eine vorgegebene positive Zahl 6 ist. Wiederum wird definiert, daß das Integral J für die Funktion y ein Maximum bzw. Minimum hat, wenn dJ nie positiv bzw. nie negativ wird. Wie in Nr. 898 wählt man nun dy = r\h. Dabei bedeutet eine Funktion von x, die nebst ihren n — 1 ersten Ableitungen an den Grenzen x₀ und xx verschwindet, während h die damals angegebene Bedingung erfüllt. Nun wird:

ÔJ

⁼Jïf(x> y + rjh, .. . yW + rjWJi) y, . .. f/(n))]dx,

Xq

und dieselbe Schlußfolgerung wie in Nr. 898 liefert: Wenn J für die betrachtete Funktion y einen Extremwert erreicht, muß die erste Variation von J verschwinden:

(2)

JlfyV + fyV H-----b UMny\dx “ 0.

Xq

Zur Umformung dieser Bedingung bedient man sich wieder der teilweisen Integration, wobei zu beachten ist, daß rj, rf, . . .    für x = x₀ und für x = xx den Wert Null haben.

Es ist nämlich danach:

*1

fwdx - iw.fj

x₀    Xo

■ń^dx

und ebenso, wenn man y und rj' durch y" und rj" ersetzt:

*

J fyV'dx

Xq

Hier läßt sich die rechte Seite wieder durch teilweise Integration in

•fi

-f°

Xq

dfy"

dxV

umformen, so daß kommt:

dxri]Xo⁺fw~r]dx

x₀

jft,,n"dx=jy^ndx,

x₀    x₀

usw.

Folglich läßt sich die Gleichung (2) so schreiben:

(3) f[f.

rfj.)

dxn _

Bezeichnet man den Inhalt der eckigen Klammer mit E und wählt man, wie gestattet ist:

7] = (x —    ~~ x)n E,

weil dann rj, rj,... rfi*“¹) für x = x₀ und für x = xx verschwinden, so ergibt sich wie in Nr. 899, daß E an jeder Stelle des Intervalles von x₀ bis x₁ gleich Null sein muß. Mithin geht die Bedingung hervor:

dfy d*fy„

dx²

Dies ist die Eulersche Gleichung des Problems. Rechnet man die hierin auftretenden n vollständigen Ableitungen nach x aus, so geht eine gewöhnliche Differentialgleichung 2nter Ordnung für die Funktion y von x hervor. Ihre allgemeine Lösung enthält 2 n Integrationskonstantan. Gerade so groß ist die Anzahl der noch zu erfüllenden Grenzbedingungen, weil y, y', . . . \fn ~für x = Xq und x = xt vorgeschriebene Werte haben sollen.

9041

(4)

_ dJl i dîfL

dx dx²

v"

rjdx = 0.

x₀

fy~

dx

Wieder ist zu bemerken, daß wir zwar so zu einer jedenfalls nur beschränkten Anzahl von Funktionen y gelangen, die allein für die Ermittlung der Maxima und Minima des Integrals J in Betracht kommen, daß es aber nicht feststeht, ob sie wirklich J zu einem Extremwerte verhelfen.

905. Besondere Fälle. Beschränken wir uns auf die Annahme n = 2, d. h. suchen wir diejenigen Funktionen y von x, für die das Integral:

(1)

y> y> y")dx

x₀

ein Maximum oder Minimum wird, falls für y und y' an den Grenzen bestimmte Weife vorgeschrieben werden, so müssen diese Funktionen y Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung vierter Ordnung sein:

(2)

df. dsf„

f__JL _J_ 'v ₌ 0

'y    dx ^ dx²

In einigen Fällen kann man die Ordnung erniedrigen:

Enthält die Funktion f die Veränderliche y nicht, so folgt

aus (2) wegen f = 0, daß :

(3)

fy~

df

dx

— = konst.

Dies aber ist eine gewöhnliche Differentialgleichung

wird.

dritter Ordnung für y.

Ist die Funktion f in bezug auf y linear und ganz und der Koeffizient von y dabei eine Konstante, d. h. hat f die Form:

f=ay + <p{x, y, if), wobei a — konst. ist, so gibt (2):

d(Py>

a--j-

dx

(4)

dx²

= 0,

also:

(5)

== konst.,

d. h. eine gewöhnliche Differentialgleichung dritter Ordnung für y.

Enthält die Funktion f die Veränderliche x nicht, so ist

identisch:

[904, 905

df - fydy - fy.dy — fy„dy" = 0.

Addiert man diese Gleichung zu der mit dy multiplizierten Gleichung (2), so kommt:

d%"

dy - fyudy'^j = 0

dx²

df-(*kdy+f*äy) + (

oder wegen dy — y dx, dy = y"dx:

df - <y dfy, + fy, dy) + (yd - fy„dy") = 0.

Hier aber ist der Inhalt der ersten Klammer das vollständige Differential von y fy, und der Inhalt der zweiten Klammer das vollständige Differential von

rr /*

-y f

idfy"

y'"

dx

Mithin gibt eine Integration:

dfy"

f-yfy+y-jü

(6)

— y" fy" = konst.,

und dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung dritter Ordnung für y.

(7)

Wenn die Funldion f von x und y frei ist, gelten die beiden Gleichungen (3) und (6). Durch Multiplikation der ersten mit y und Addition zur zweiten geht für y eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung hervor: f — y"fyn — konst, y — konst. = 0.

In den betrachteten Fällen gelingt es demnach allgemeine intermediäre Integralgleichungen der Differentialgleichung (2) zu ermitteln, vgl. Nr. 792.

906. Kurve, die mit ihrer Evolute eine kleinste Fläche einschließt. In der Ebene seien zwei Punkte A und B einer gesuchten Kurve nebst ihren Tangenten gegeben, so daß auch die Normalen von A und B gegeben sind. Die Kurve soll so bestimmt werden, daß die Fläche, die von ihr, von der Anfangs- und der Endnormale und von der Evolute eingeschlossen wird, ein Minimum erreicht. Natürlich muß vorausgesetzt werden, daß die gesuchte Kurve zwischen A und B keinen Wendepunkt hat, weil sonst die zugehörige Stelle der 905, 906]

Evolute unendlich fern läge; d. h. die Kurve muß von A bis B einerlei Krümmung, etwa positive Krümmung haben.

Es seien (x, y) und (x -j- Ax} y + Ay) zwei benachbarte Punkte der Kurve mit den positiven Krümmungsradien R und R + AR, die einen positiven Winkel Ar miteinander bilden. Die Fläche AF, die von dem zugehörigen Kurvenbogen, den beiden Krümmungsradien und dem zugehörigen Evolutenbogen eingeschlossen wird, liegt nun, falls die beiden gewählten Punkte hinreichend benachbart sind, zwischen den Flächen zweier rechtwinkliger Dreiecke mit dem Winkel Ar und der dem Winkel Ar anliegenden Kathete R bzw. R -f- AR, so daß man im Falle AR^> 0 hat:

^R²tgAr<iAF<C^(RJr AR)² tgAr.

Durch Division mit der positiven Bogenlänge As vom ersten bis zum zweiten Punkte folgt:

AF

tg Ax Ax Ax As ^ As

<\(R + 4ICf

tg At Ax Ax As

Beim Grrenzübergange lim As = 0 wird auch WmAz = 0 und \\m.AR = 0, und es kommt, falls ds das Bogenelement und dz den Kontingenz wink el bezeichnet:

______ i ffî ffü

ds 2 ds

dF

oder:

dF = \-R²dz.

Dies ergibt sich auch im Falle AR <C 0.

Da nun nach (1) in Nr. 197 bzw. in Nr. 193:

Vi ±jr*

ds

R = -F

dx

ds = ]/l -f- y'²dx

ist, folgt weiter:

dF

1 (1 + y'a)\

dx 2 y

Demnach handelt es sich um die Ermittlung derjenigen Funktionen y von x, für die das Integral:

(1)

/

x₀

?i

(1 + y'r

2 y"

dx

ein Minimum erreicht.

Hier liegt der letzte Fall der vorigen Nummer vor, so daß nach (7) ebenda die Differentialgleichung:

(1 + V²)

y"

= konst, y' -f- konst.

zu integrieren ist. Sie läßt sich mit Rücksicht auf (1) in Nr. 169 auch so schreiben:

ds

R —    == konst, sin x + konst, cos t = 4 a cos (r — a),

wenn a und a Konstanten bezeichnen. Dreht man das Achsenkreuz um den Winkel cc, so tritt an die Stelle des Tangentenwinkels x der Winkel r — cc, während der Krümmungsradius R ungeändert bleibt. Man darf daher einfacher R = 4 a cosr annehmen. Dann aber kommt nach (1) in Nr. 194:

folglich :

x = a (2t -f sin 2 t) + konst., y = a (1 — cos 2t) -j- konst.

Führt man die neue Hilfsveränderliche cp = 2t — n ein, so ergibt sich, wenn man geeignete Konstanten zu x und y addiert, d. h. eine geeignete Verschiebung des schon vorhin gedrehten Achsenkreuzes vornimmt:

y = a (cos cp — 1).

x = a (cp — sin cp)

Nach (1) in Nr. 231, worin y durch — y zu ersetzen ist, besagt dies, daß die gesuchte Kurve eine gemeine Zykloide sein muß. Daß hier y durch — y zu ersetzen ist, hängt damit zusammen, daß die gemeine Zykloide, die in Nr. 231 durch die Formeln (1) dargestellt wird, überall negative Krümmungsradien hat, während wir R > 0 an nahmen.

907. Extremwerte von Integralen, in denen höhere Ableitungen von mehreren unbekannten Funktionen Vorkommen. Die Betrachtungen in Nr. 904 lassen sich weiterhin verallgemeinern, wenn es sich um die Maxima und Minima von Integralen handelt, deren Integranden außer x mehr als eine unbekannte Funktion mit ihren Ableitungen bis zu ge-906, 907] wissen Ordnungen enthalten, z. B. wenn ein Integral mit zwei unbekannten Funktionen y und z von x in der Form:

*1

J = ff(x,y,y, .

Xq

(1)

. . i/n\ z, /,. . . £⁽”)) dx

Yorliegt. Dabei werde vorgeschrieben, daß y, y', . . . y(n~V und z,/,. . . z{n ~ ^ an den gegebenen Grenzen x₀ und xx gegebene Werte annehmen. Entsprechend der Formel (2) von Nr. 904 ergibt sich, falls für die in J auftretenden Funktionen y und z ein Extremwert des Integrals vorkommt:

xx

•■• + Un)py\dX- o.

ffyV + fy'Tl H-----H 4(n)^(W) + f£ + fA' +

»0

Wie in Nr. 904 formt man dies Integral durch teilweise Integration um und folgert alsdann wie in Nr. 902, daß statt der einen Gleichung (4) von Nr. 904 hier die beiden Euler-schen Gleichungen hervorgehen:

(2)

f _ dk _i_ d*fy" _ . 'y dx dx²

dxn

= 0,

Dies ist ein System von zwei gewöhnlichen Differentialgleichungen 2nteT Ordnung für y und z. Wenn man außer y und z auch die Ableitungen y, y", ... y^n~ 9 und z, z", ... z'^n~V) nach der Methode von Nr. 663 als unbekannte Funktionen einführt, geht ein äquivalentes System erster Ordnung von 4 n gewöhnlichen Differentialgleichungen für die 4w unbekannten Funktionen hervor. Demnach enthält das allgemeine Lösungensystem y und z von (2) gerade 4n Integrationskonstanten. Da gefordert wird, daß y, y, .. . y{-n~9 und z, z, ... z^n~^ an den Grenzen x₀ und xx vorgeschriebene Werte annehmen, sind andererseits gerade 4n Bedingungen zu erfüllen, also gerade so viele, als willkürliche Konstanten zur Verfügung stehen.

Bei manchen Aufgaben, wo es sich um die Ermittlung einer Kurve in der xy- Ebene handelt, für die ein gewisses Integral ein Maximum oder Minimum erreicht, ist es bequemer, statt x eine Hilfsveränderliche t zu benutzen, indem man x und y als Funktionen von t betrachtet, vgl. Nr. 93

und Nr. 168. Dies ist sogar nötig, wenn es sich um Kurven handelt, die von Parallelen zur y-Achse in mehr als einem Punkte getroffen werden, denn solche Kurven lassen sich nicht durch Funktionen y von x darstellen, wenn wir — wie immer einwertige Funktionen zulassen. Liegt z. B. das Integral vor:

nur

J~ß(

Xq

x, y,

d^y

dxn

so wird man, wenn x und y als Funktionen von t betrachtet werden, nach Nr. 93 die Ableitungen von y nach x durch die Ableitungen von x und y nach t ausdriicken. Kennzeichnet der Akzent diese Ableitungen nach t, so setzt man überdies dx = x dt. Alsdann geht ein Integral von der Form:

J'⁼J<P (x, y, x, y,.. . dn\ y(n)) dt

hervor, das nach der vorhin vorgetragenen Methode wie das Integral (1) zu behandeln ist, in dem jetzt t, x und y an die Stelle von x, y und z treten.

§ 3. Integrale mit veränderlichen Grenzen.

908. Vorbereitende Betrachtung von Integralen mit festen Grenzen und willkürlichen Konstanten. Bei der

einfachsten Aufgabe der Variationsrechnung, siehe Nr. 896, handelte es sich um die Bestimmung derjenigen Funktionen y von x, die ein gegebenes Integral: zu einem Maximum oder Minimum machen, vorausgesetzt, daß x₀ und x₁ sowie die Werte y₀ und yx von y für x = x₀ und x — xx gegeben sind. Wir beabsichtigen, dies Problem auf den Fall veränderlicher Grenzen zu verallgemeinern. Zur Vorbereitung ist es zweckmäßig, eine andere Erweiterung der Aufgabe zu betrachten:'

Nach wie vor seien die Integralgrenzen x₀ und xx sowie die Werte y₀ und y1} die der gesuchten Funktion y an den

Grenzen vorgeschrieben werden, gegeben. Dagegen möge der Integrand f von J noch eine willkürliche Konstante a enthalten. Dann handelt es sich darum, die Funktion y und die Konstante a so zu bestimmen, daß das Integral:

(1)

y, y, a)dx

*0 einen Extremwert erreicht.

Zur Definition der Maxima und Minima verfahren wir entsprechend Nr. 897 so: Es sei 6 eine beliebig kleine positive Zahl. Ferner bedeute y -\- ô y irgend eine Funktion von xy die ebenfalls für x = xQ und x = xx die Werte y₀ und yx hat und im Intervalle von x₀ bis xx um weniger als 6 von y abweicht, so daß |d«/| < 6 ist. Außerdem weiche die Konstante cc -f da um weniger als 6 von a ab ; es sei also auch da | < <?. Alsdann wird die vollständige Variation gebildet:

dJ

y + äy, y +S$y)', a + da) dx —ff(x, y, y, a) dx.

X₀

Xq

Man definiert nun: J erreicht für die Funktion y und den Wert a der Konstanten ein Maximum bzw. Minimum, falls dJ nie positiv bzw. nie negativ wird.

Nun kann wie in Nr. 898 eine Funktion rj von x beliebig im Intervalle von x₀ bis xt gewählt werden, doch so, daß sie für x = x₀ und x — xx verschwindet. Ist ihr absoluter Betrag überall kleiner als m, so sei h eine Zahl, die der Bedingung \h\<i<5:m genügt. Alsdann erfüllt dy = r\h die vorhin an die Variation dy gestellten Anforderungen. Ferner sei k eine beliebige Zahl, deren absoluter Betrag ebenfalls kleiner als m ist. Dann wird, wenn man da = kh setzt, auch ]da|<<?, wie verlangt wurde. Bei diesen besonderen Annahmen dy = r]h, da = kh nimmt die Variation dJ den Wert an:

dJ

=J[f(x, y + rjh, y + r[h, a + kh) - fix, y, y, «)] dx.

x₀

Nach den allgemeinen Voraussetzungen zu Anfang von Nr. 897 können wir die in der eckigen Klammer stehende Differenz bei hinreichend kleinem | h | nach ganzen positiven Potenzen

[908

von

ergibt:

h entwickeln, wodurch sich entsprechend wie in Nr. 898

ÔJ

= Y\f('fy*¹ + fy,ri' + f«® dx + -’-

xa

Nun heißt wieder:

%

j\fyV + fy'V + fafy dx

XQ

die erste Variation von J, und wie in Nr. 898 ergibt sich: Falls die Funktion y von x und die Zahl a das vorgelegte Integral (1) zu einem Maximum oder Minimum machen, muß die erste Variation gleich Null sein:

xi    xi

f(fyV + fy'V) dx + kffa dx = 0. X0 *0

Hier bedeutet aber Je eine beliebige Zahl, die nur der Bedingung |Ä| < m zu genügen hat. Also muß einzeln:

(2)

X1

fifyV + fy'V) dx = 0,

Jfadx = 0

x₀

sein. Die erste Bedingung führt wie in Nr. 899 zur Euler-schen Differentialgleichung:

(3)

df,

f----- = 0

'y dx

Sie ist von der zweiten Ordnung und enthält die Konstante a. Ihre allgemeine Lösung y wird also außer von x und den beiden Integrationskonstanten 6\ und C₂ noch von a abhängen:

(4)

y = cp(x, Cl} C₂, a).

Nun ist noch die zweite Bedingung (2) zu befriedigen, nämlich :

(5)

Xq

Durch Substitution von (4) in (5) ergibt sich, wenn man das Integral auszuwerten vermag, eine Gleichung zwischen C1} C2 und a. Außerdem ist zu fordern, daß y für x = x₀ und x = x1 die vorgeschriebenen Werte yQ und yx annimmt. Dadurch gehen noch zwei Bedingungen für Ct, C₂ und a hervor. Wenn es 9081 nun möglich ist, den drei so gewonnenen Bedingungen für Cx, C₂ und a zu genügen, ist damit ebenso wie früher immer noch nicht gesagt, daß für die alsdann bestimmte Funktion y und Konstante a das Integral (1) wirklich einen Extremwert erreicht, denn wir haben nur notwendige, nicht aber hinreichende Bedingungen für das Eintreten eines Maximums oder Minimums aufgestellt.

Es ist leicht, diese Betrachtung auf den Fall zu verallgemeinern, wo der Integrand f nicht nur eine, sondern mehrere willkürliche Konstanten enthält. Wenn es sich z. B. um die Extremwerte des Integrals:

(6)

=ff(x> y, y, a, ß)dx = 0

Xq

mit zwei willkürlichen Konstanten a und ß handelt, ergeben sich außer der Eulerschen Differentialgleichung noch die beiden Bedingungen:

(?)

dj

d cc

fi

x₀

S3 l'-S

dx = 0,

dJ

dß

*1

-fi

Xq

df

tt4 dx = 0.

dß

Ebenso bedarf es keiner weiteren Erörterungen darüber, daß Entsprechendes gilt, wenn das Integral mehrere unbekannte Funktionen mit Ableitungen höherer Ordnungen enthält.

909. Umformung eines Integrals mit veränderlichen Grenzen in ein Integral mit festen Grenzen.

Wir gehen zu der angekündigten Verallgemeinerung der Betrachtungen in Nr. 896 bis 899 über, nämlich zur Betrachtung von Integralen: (i) bei denen weder die Grenzen x₀ und x₁ noch die Werte yQ und yx, die der Funktion y von x an den Grenzen zukommen, vorgeschrieben sind, vielmehr nur verlangt wird, daß y₀ und yx gegebene Funktionen von x₀ bziv. xx seien:

(2)

y₀ = k(x₀), yx = g(xx).

Solche Integrale lassen sich leicht durch Anwendung der in Nr. 485 angedeuteten Methode in Integrale mit festen

[908, 909

Grenzen verwandeln. Man führt nämlich die neue unabhängige Veränderliche t vermöge der Substitution:

x = x₀ + (tfj — x₀) t ein. Dann durchläuft x das Intervall von x₀ bis xlf wenn t von 0 bis 1 wächst. Wegen dx = {x₁ — x₀) dt lautet das her-vorgehende Integral so:

(3)

(4)

i

=ff(x> y> y) - xo)dt-

0

Hierin soll x natürlich die Funktion (3) von t bedeuten. Infolgedessen wird auch y als Funktion von t aufzufassen sein. Sie hat für t = 0 (d. h. x = x₀) den Wert y₀ oder X(x₀) und für t= 1 (d. h. für x = xß) den Wert yt oder y (a^). Man kann nun auch statt der gesuchten Funktion y eine neue Funktion u einführen, die an den Grenzen feste Werte, z. B. an beiden Grenzen den Wert Null hat. Dies ist der Fall bei der Funktion:

u = y — X (>₀) (1 —ł) — (i M t.

Demnach machen wir in (4) noch die Substitution:

y = u + X (x₀) (1 — t) + y 0*01.

Da y die Ableitung dy:dx vorstellt, muß außerdem wegen (6) und (3) noch die Substitution:

(5)

(6)

du

(7)

Jï — X (x₀) + ii (xt)

X1 — xo

ausgeführt werden.

Versteht man also unter x, y und y in (4) die Ausdrücke (3), (6) und (7), so hat das Integral die allgemeine Form:

(8)

i

-f V (t, u,

o

du

dt’

x₀, x^j dt.

Dabei ist u    eine    noch    unbekannte    Funktion von t,    die an

den Grenzen    t = 0 und    t = 1    verschwindet, während    x₀ und

xt willkürliche Konstanten bedeuten. Mithin ordnet sich jetzt das Integral    der    allgemeinen    Form    (6) in voriger Nummer

unter, wenn    man    dabei    x, y,    a und    ß durch t, u, x₀    und xx

ersetzt. Deshalb können wir jetzt definieren: Als Funktion 909]

y von x, die das vorgelegte Integral (1) mit veränderlichen Grenzen x₀ und xv unter den Grenzbedingungen y₀ = X (#₀) und yt — y (xf) zu einem Maximum oder Minimum macht, wird jede solche Funktion y bezeichnet, zu der nach (5) und (3) eine Funktion u von t gehört, die das Integral in der neuen Form

(8), worin x₀ und xt willkürliche Konstanten bedeuten, zu einem Maximum oder Minimum macht, und zwar unter der Bedingung, daß u für t = 0 und t = 1 verschwindet.

Aus den Ergebnissen der vorigen Nummer folgen drei Bedingungen, die dann erfüllt sein müssen, einmal die Euler-sche Differentialgleichung für die Funktion u von t, dann die Bedingung cJ:dxQ = Q und schließlich noch die Bedingung dJ: dxx = 0. In der nächsten Nummer werden wir untersuchen, wie sich diese drei Gleichungen in den ursprünglichen Größen x und y ausdrücken.

910. Bedingungen für die Extremwerte eines Integrals mit veränderlichen Grenzen. Es handelt sich jetzt darum, das Integral: i

(1)

y, y) i - a₀)dt,

0 worin x, y und y die Bedeutungen:

(2)

x — x₀ + (xx — xf) t, y = w + X (x₀) (l—t) + y (xf) t,

du

jj — *(*<>)+

haben, durch geeignete Wahl der Funktion u von t, die für t = 0 und t = 1 verschwindet, und durch geeignete Wahl der Konstanten xQ und x₁ zu einem Maximum oder Minimum zu machen.

Da (xx — x₀) f der Integrand ist, lautet die Eulersche Differentialgleichung für u entsprechend (3) in Nr. 908 so:

8 (a?x — x₀)f__d_ d {xx — x₀) f

du    dt

du

= 0.

ddt

Nach (2) ist aber:

Mithin nimmt die Eulersche Differentialgleichung ivieder die bekannte alte Form an:

(3)

d. h.:

d (xt — x₀) f

du

d (Xy x₀) f

= {x₁ - x₀)

= («i - «o)

df

= («1 - *>)f„

df

du

dt

-f

y'>

d fo — X₀) f _ dfy' _ dfy' dx    ,    _ s dJy'

dx dt    ^ ¹    dx

du

d~

dt

dt

df,

4¹ = o.

Ferner ist:

dJ

dxx

i

/[(*>-*«)§£+f]dt 0

Da xx nach (2) in x, y und y' auftritt, muß hierin:

du

JĘ = fj + fy^t + fy

_ X • X Qß

V X0 , r f X X₀ ■ /. fl    y

æo ' V1 xi — Xü' yX\ — xo

gesetzt werden. Außerdem ist dt = dx:(xl—x₀). Also kommt:

X₁

“Jl[fx(X-Xo)+fy^(X

x₀

—»o HfyiP—yl+ßdx.

Hier kann man nun:

f, = rx-fyy-W

einsetzen, so daß sich ergibt:

(5) (xt -x₀)~ =

ß

x₀

d(x — xa) f

dx

dx —

*1

J fy'V" ^-X₀) dx

X₀

Xl

-y)\ dx.

f [fy (ß'-f) 0 - %o) + fy' ih

X₀

Das zweite hierin auftretende Integral kann man mittels teilweiser Integration umformen in:

910]

\tyV\x -

*<>)£- jy

X₀

' ,dfßx-x₀)

y -~dx—

dx.

Führt man diesen Wert in (5) ein und ersetzt man f in Gemäßheit der Eulerschen Gleichung (3) durch df ,:dx, so kommt:

*1

= -(fy’y\X~^)Ÿ+ Ie

*0 e/ x₀

d (x— x₀) f

dx

rd(x—x₀)f, dx+liJ--Tx—

Xo

dx.

Hier aber lassen sich die Integrale aus werten, so daß sich ergibt:

Da ferner x — x₀ für x = x₀ verschwindet, bleibt:

(6)

= [f+ (ß - y)fy\

cJ

CX,

wenn der Index 1 andeutet, daß der in der Klammer stehende Ausdruck für x = xx zu bilden ist.

Mithin lautet die Bedingung dJ: dxt = 0 'so:

17+ (ß— y')fy\ = 0-

Ganz entsprechend muß sich dJ : dx₀ = 0 darstellen. Folglich haben wir für diejenigen Funktionen y von x, die mder den Vorschriften y₀ = l{xQ) und y₁ = g(xf) das Integral:

xi

-ff Oi y, y)dx

x₀

mit veränderlichen Grenzen zu einem Extremwerte machen, drei Bedingungen erhalten, nämlich außer der Eulerschen Gleichung:

G)

f -3^-0

•v dx

noch die beiden Grenzbedingungen:

0)

[f+P-tDfĄ- o,

17 + ⁽y-y) fy\ = 0.

Die allgemeine Lösung von (7) enthält zwei Integrationskonstanten, und sie sind den beiden Grenzbedingungen (8) zu unterwerfen. Wieder ist aber zu bemerken, daß man so zwar zu einer jedenfalls beschränkten Anzahl von Funktionen y und Grenzwerten x₀ und x₁ gelangt, die allein für das Eintreten

Serret-Scheffers, Diff.- u. Integral-Kechnung. III. 3. Aufl.

eines Maximums oder Minimums von J in Betracht kommen, daß aber nicht notwendig ein Extremwert einzutreten braucht.

911. Extremwerte von Integralen mit veränderlichen Grenzen * und zwei unbekannten Funktionen.

Wir betrachten nunmehr wie in Nr. 902 ein vorgelegtes Integral :

J=jf{x,y,z,y,z') dx

X0

mit zwei unbekannten Funktionen y und z von x. Deutet man x, y, z als rechtwinklige Koordinaten im Raume, so stellen die Funktionen y und z von x eine Raumkurve dar. Es sollen also diejenigen Raumkurven gesucht werden, die das Integral J zu einem Maximum oder Minimum machen. Jetzt aber sollen entgegen den Annahmen von Nr. 902 die Grenzen x₀ und xx nicht bestimmt gegeben sein. Wenn die Werte von y und z an der Grenze x = x₀ mit y₀ und z₀ und an der Grenze x = xx mit yx und zx bezeichnet werden, so daß die gesuchte Kurve von der Stelle (xQ, y₀, z₀) zur Stelle (xlf yx, zf) geht, sind insbesondere zwei Arten von Vorschriften über diese beiden

Punkte geometrisch wichtig:

Erster Fall: Es wird vorgeschrieben, daß die Punkte (®₀, y₀, zQ) und (xXf yx, zf) auf gegebenen Kurven h₀ und \ liegen, d. h. analytisch: Es sind Gleichungen von der Form gegeben:

Vo *o Oo) 7 Vi ~    (ß'i) )

(2)

^0 LU0 O^o)?

gl ⁼ .U1 0*1 ) •

Die beiden Kurven Jc₀ und \ heißen die Grenzhurven.

Zweiter Fall: Es wird vorgeschrieben, daß die Punkte Oo, yo, e₀) und (xx, yx, zx) auf gegebenen Flächen F₀ und Fx liegen. Da man sich die Gleichungen der Flächen nach der Koordinate aufgelöst denken kann, seien also Gleichungen von der Form gegeben:

(3)

= * («/o; *0);    =

Die beiden Flächen F₀ und Fx heißen die Grenzflächen.

Im ersten Falle sind x₀ und xx willkürliche Konstanten, während y₀, z₀, yx, zx die gegebenen Funktionen (2) von x0 und xx bedeuten; im zweiten Falle dagegen sind y₀, z₀₎ yx, zx 910, 911]

willkürliche Konstanten, während x₀ und x₁ die gegebenen Funktionen (3) von ihnen bedeuten.

In beiden Fällen gelingt es durch einfache Substitutionen, das Integral J in ein Integral zu verwandeln, das feste Grenzen hat, und zugleich solche gesuchte Funktionen einzuführen, die an diesen Grenzen ebenfalls bestimmte Werte, z. B. insbesondere sämtlich den Wert Null, haben. Aber im ersten Falle treten in dem hervorgehenden Integral noch zwei willkürliche Konstanten x₀ und x1} im zweiten Falle noch vier willkürliche Konstanten y₀, zQ, yx, z₁ auf. Im ersten Falle treten demgemäß zu den Eulerschen Gleichungen noch zwei Bedingungen:

(4)

dx₁

und im zweiten Falle noch vier Bedingungen:

(5)

dJ

dJ

hinzu.

dz₀

= 0,

dJ

dJ

dVi

dz₁

Im ersten Falle machen wir die Substitutionen:

(6)

' x = x₀ -j- (x₁ — x₀) t, y = u ~\~ X q Oo) (1    0 d⁻ Oi)

■e = v + y₀(x₀) (1 — 0 + PiO:x) t, indem wir t als unabhängige Veränderliche und u und v als unbekannte Funktionen einführen. Man sieht, daß x,y, z für t = 0, u = 0, v = 0 infolge von (6) gleich x₀, A₀ (x₀), y₀ (x₀) und für t = 1, m = 0, ü = 0 gleich x1} ^(as,), OJ werden, wie verlangt wird. Infolge von (6) ist ferner:

du

(?)

Sä

^    (*o) H⁻ (æi)

xï æ₀

dv

dz dt

M'O (æo) “f" f*l (*x)

dx

xx — x₀

während das Integral (1) wegen dx : dt = xx — xQ übergeht in:

i

(8)

=J?0> y, 0, y, z)Oi-&o)dL

0

Hierin betrachtet man also x, y, z, y, z als die Funktionen (6) und (7), und es liegt, abgesehen davon, daß noch die beiden

[911

willkürlichen Konstanten x₀ und x₁ unter dem Integralzeichen auftreten, dasselbe Problem wie in Nr. 902 vor, indem t, u, v an die Stelle yon x, y, z treten. Demnach ergeben sich entsprechend den Gleichungen (2) von Nr. 902 die beiden Euler-schen Gleichungen:

d(x, — x₀)f

djx, — x₀)f _ dL d (xl —x₀)f ₌ 0 dv    dt ~dv

dTt

Führt man wieder die alten Veränderlichen ein, so erkennt man leicht wie in voriger Nummer, daß diese Bedingungen auf die gewohnten Eulerschen Gleichungen:

fy dx

zurückkommen. Dazu treten nun die beiden Bedingungen (4). Nach (8) ist aber:

(9)

du

d d (x, — xn)f ₌ Q dt „du    ’

d dt

dfy'

dA _ 0

d^~ö

dJ

dt,

und hierin hat man nach (6) und (7) zu setzen:

=    + fyh't + fzdl't

. //    v du , „

h (æi æo)    -f K h

df

dv

—^0) —    + f^o —

(xi — xoY

Man kann gerade so wie in Nr. 910 das Integral dJ : dxx umformen, indem man die Gleichungen (9) benutzt, und es ergibt sich entsprechend der Formel (6) der vorigen Nummer:

fz'

§Ę-[f+ (V- sO f,' + (ft - *)f,\-

Der Index 1 deutet dabei an, daß der Ausdruck in der eckigen Klammer für x = xx zu bilden ist. Ein entsprechender Wert geht für dJ : dx₀ hervor, so daß die beiden Gleichungen (4) die Grenzbedingungen liefern:

(10)

I Vf + (V - y) fy> + OV - *') fz'l o = 0, I [f + (V- y ) fy, + (gf - z) fĄ = 0.

Wir wenden uns zum zweiten Falle. Hier erreichen wir durch die Substitution:

911]

& = a (y₀, *o) + 0 (&* *0 — (Vo> *<>)] t, y = w + i/o (1 — 0 +

(11)

£ = V +    (1 — 0 + ^

das Gewünschte, da x, y, z dann für t = 0, m = 0, v = 0 die Werte Ä (y₀, £₀), ?/₀ und z₀ und für t = 1, u = 0, v = 0 die Werte y (yt, zx), y₁ und zl annehmen. Außerdem ist zu setzen:

du

(12)

, dy

y = Tx

dt -S'. + S'.

dv

dt~Zo + Zl y — X ’

während das Integral (1) wegen dx : dt = y — l die Form:

dz

dx

(13) annimmt. Man erhält also wie in Nr. 902 zwei Eidersche Gleichungen, die auf u und die auf v bezügliche:

d (fi —X)f

d 8 (fi — X)f A dt..... „'du “ = U’

du

d (fi —X) f d d (y — X) f ₌ ^ dv    dt „dv    ’

ddt

die in den alten Bezeichnungen infolge von (11) wieder die gewohnten Formen (9) annehmen. Hierzu treten aber, weil in dem Integranden von (13) noch die vier willkürlichen Konstanten y₀, z₀, y1} z₁ Vorkommen, die vier Grenzbedingungen (5). Insbesondere wird nach (13):

dt,

dJ

cVi

und hierin ist nach (11) und (12) für df : dy₁ der Wert:

*-(a?-*•+*)

dy

dv

dÿi

-u

dt~Z°+*i d

(fi — X)*    dy\

zu

setzen, so daß sich ergibt:

(g-X)

dJ

dÿi

*

J wk    +fy(x-X)+fJ\dx.

Xo

Dies Integral kann man gerade so wie das Integral in (4), Nr. 910, behandeln, indem man darin:

U=%.-fyy'-fzZ- fy'V" - fr*" einführt, überdies die Umformungen benutzt:

Xx    xx

J fy'y"(x — l)dx = [Mix - A)] —J y’\ix

Xq    x₀

xL

— A)dx = [fz'0 (x — A)] — fz'Ux — A)

XQ J Xq

-*)

dfy

dx

+ fy"\ d ,

X,

Jfz'0"(x

Xq

dft’

dx

+ />] dx

und f und fz nach (9) durch dfy> : dx und dfz' : dx ersetzt. Dann kommt:

dVi

= [0 — A ) {^ (/■ — Vfy - Zf*) ^rfy'W

oder, da x₀ = A und xx — y ist:

Xq

dJ

wobei wieder der Index 1 andeutet, daß der Inhalt der eckigen Klammer an der Grenze x = xx zu bilden ist. Entsprechende Werte gehen für dJ : cxx sowie für dJ : dy₀ und für dJ : dz0 hervor, so daß die Gleichungen (5) die vier Grenzbedingungen liefern:

<14)

\jy'y-(f—y'fy— •-/■■) +/»']=o> [g^ if— y'f,—i'ff)+fJ\—o■

912. Geometrische Deutung der Grenzbedingungen bei einer gewissen Klasse von Aufgaben. In der xy-

Ebene oder im Raume mit den drei rechtwinkligen Koordinaten x, y, z sei jeder Stelle eine gewisse Zahl zugeordnet. Dies geschieht durch Annahme einer Funktion cp(x,y) bzw. <p(x,y,z) der Koordinaten. Ferner sei ds das Bogenelement einer Kurve, die in der Ebene durch eine Funktion y von x und im Raume durch zwei Funktionen y und z yon x dargestellt wird. Dabei ist nach (1) in Nr. 193 bzw. nach (5) in Nr. 257: (1) ds = yi -j- y'²dx oder ds = ]/l + y ² + z'²dx.

Man kann nun die Aufgabe stellen, eine Kurve zu ermitteln für die das Integral:

ds

einen Extremwert erreicht, vorausgesetzt, daß dabei vorgeschrieben wird, daß der Anfangspunkt und der Endpunkt der Kurve entweder auf zwei gegebenen Grenzkurven k₀ und \ oder auf zwei gegebenen Grenzflächen F₀ und Fx liegen sollen. Das Integral läßt sich, nach (1) auf die Form bringen:

Xx    Xx

(2) J= f(p(x,y)Vi+y'²dx bzw. J==ßcp(x/y,z)}/l-{-y'²-{-z'²dx.

Xq    Xq

Man kann dem Probleme eine physikalische Deutung beilegen, indem man unter cp(x,y) bzw. cp(x, y, z) die Dichtigkeit der mit Masse belegten Kurve an der Stelle (x, y) bzw. (x, y, z) versteht. Denn dann stellt J die Gesamtmasse der Kurve dar, so daß es sich etwa um die Aufgabe handelt, diejenige Kurve zu ermitteln, deren Masse ein Minimum hat. Doch ist diese Deutung nicht nötig, denn z. B. auch das Problem der Rotationsfläche von kleinstem Flächeninhalte in Nr. 900 sowie das der Brachistochrone in Nr. 901 und 903 führt auf die Betrachtung eines Integrals von der Form (2).

Wir betrachten der Einfachheit des Ausdruckes halber nur jRawmkurven, und es seien cc, ß, y die Richtungskosinus der Tangente der gesuchten Kurve, so daß nach (7) in Nr. 252:

(3)

Bei der Annahme zweier Grenzkurven k₀ und kx, d. h.

wird.

im ersten Falle der letzten Nummer, wo:

yi = lx{xf), 0₁ = y₁ (xx)

Po —    ß'o Oo)

ist, seien cc₀, ß₀, y₀ und cc₁, ßx, yx die Richtungskosinus der Tangenten der Grenzkurven, so daß entsprechend (3) auch:

ß±

ßo

₌ ÏL

P⁰

wird. Weil überdies nach (2):

f = <p{x, V, 3)V~1 + y'^+z*

y =

Ao

(4)

setzen ist, ergibt die erste Grenzbedingung (10) der letzten Nummer, wenn <p(x₀, y₀, zQ) nicht verschwindet:

zu

i¹+? + «! + (

Po

«o

cc/ a \or₀ a/ aJ₀

oder wegen a² -J- ß² + y² = 1 :

K« + ßoß + n v\ = 0>

und die zweite liefert entsprechend:

[«i« + ßiß + ViV\ = °-

Dies aber bedeutet: Die gesuchte Kurve trifft in ihrem Anfangsund in ihrem Endpunkte die beiden gegebenen Grenzkurven k0 und \ senkrecht.

Dasselbe gilt im Falle eines Problems von der gekennzeichneten Art in der Ebene. Da außerdem die Eulerschen Differentialgleichungen immer dieselben wie im Falle fester Anfangs- und Endpunkte sind, kann man z. B. aus Nr. 900 sofort schließen: Wenn in der Ebene zwei Kurven k₀ und kx gegeben sind und zwischen ihnen diejenige Kurve gezogen werden soll, durch deren Drehung um die #-Achse eine Rotationsfläche von kleinstem Flächeninhalte entsteht, muß die gesuchte Kurve eine Kettenlinie sein, die die x-Achse zur Leitlinie hat und beide Grenzkurven k₀ und kx senkrecht trifft. Ebenso folgt aus Nr. 901: Diejenige Kurve zwischen zwei gegebenen Kurven k₀ und kx, auf der ein Punkt unter dem Einflüsse der Schwere ohne Reibung am schnellsten von einem Ende zum andern gelangt, d. h. die Brachistochrone, ist eine gemeine Zykloide, die beide Grenzkurven senkrecht schneidet.

Schließlich kommen wir zu der Annahme, daß das vorgelegte zweite Integral (2) einen Extremwert unter der Voraussetzung zweier Grenzflächen F₀ und F₁ haben soll. Dabei mögen X₀, Y₀, Z₀ und Xx, YZx die Richtungskosinus der Normalen der beiden Flächen sein. Hier liegt der zweite Fall der letzten Nummer vor, wobei also die Grenzflächen durch die Gleichungen:

= * Q/o; *o) und xi = f*Q/i; h) gegeben sind. Folglich ist nach (10) in Nr. 253:

X,

2y₀’

dl

X₀ dz₀’

HM

dp

dp

⁼ dyx> x, dz,

Da außerdem die Annahme (4) vorliegt, nehmen die vier Grenzbedingungen (14) der letzten Nummer mit Rücksicht auf (3) die Form an:

ça.! a

Uo

vorausgesetzt, daß die Funktion (p für die Wertsysteme x₀, y₀, z0 und xx, yx, zx nicht verschwindet. Sie besagen, daß die Normale der ersten Grenzfläche an der Stelle (x₀, yQ, z₀) und die Normale der zweiten Grenzfläche an der Stelle {xx, y1} zf) mit der Tangente der gesuchten Kurve zusammenfällt, daß also die gesuchte Kurve beide Grenzflächen senkrecht schneidet.

§ 4. Probleme mit Nebenbedingungen.

913. Isoperimetrische Probleme. Dieser Name wird auf eine Reihe von Aufgaben angewandt, weil sich die einfachste unter ihnen auf die Bestimmung derjenigen geschlossenen Kurve in der Ebene bezieht, die hei vorgeschriebenem Umfänge die größte Fläche einschließt. Diese Kurve ist, nebenbei bemerkt, ein Kreis (vgl. Nr. 914). Der Umfang einer Kurve oder die Länge eines Kurvenstückes wird durch ein Integral dargestellt. Das angegebene Problem ordnet sich deshalb der folgenden allgemeineren Fassung unter:

Vorgelegt sei ein Integral:

(1)

=ff{x,y,y)dx.

Xq

Es werden diejenigen Funktionen y von x gesucht, für die J ein Maximum oder Minimum erreicht, vorausgesetzt, daß ein anderes vor gelegtes Integral:

(2)

=Jcp(x,y, y ) dx

x₀ einen gegebenen Wert l hat. Dabei seien x₀ und xt gegebene Konstanten, ebenso seien diejenigen Werte y₀ und yx gegeben, die der Funktion y an den Grenzen x₀ und xx zukommen.

Die in Nr. 897 gegebene Definition der Extremwerte ist auch hier anwendbar, wenn man sich nur bei der Variation der Funktion y auf solche Funktionen y + dy beschränkt, die

[91£, 913

dem Integral K auch nach der Substitution von y -fi Öy statt y den vorgeschriebenen Wert l erteilen.

Wie in Nr. 897 nehmen wir die Variation ôy von y in spezieller Art an, aber in etwas anderer Art als damals:

Es seien y und d zwei Funktionen von x im Intervalle von x₀ bis xx, die für x = x₀ und x = xx verschwinden. Die absoluten Beträge von y und d werden dabei unterhalb einer Grenze m bleiben. Ist <? eine vorgegebene beliebig kleine positive Zahl, so mögen h und Je zwei Zahlen sein, für die:

(3)

1*1 <i¥» i*i<A

ist. Dann hat yh -f d'h im Intervalle von x₀ bis xx stets einen absoluten Betrag, der kleiner als 6 ist. Folglich darf man, wenn man die Definition der Extremwerte in Nr. 897 anwenden will, insbesondere:

ôy = yJi -f- dh

setzen, so daß J die Variation bekommt:

xL

(4) dJ=j\f{x, y + yh + die, y’+ yh + d'h) — f(x, y, y')] dx.

Xq

Dabei erfährt auch K einen Zuwachs ó K, der aber wegen K= l gleich Null sein soll. Also darf man h und h nur so wählen, daß:

Xl

(5) öK = f\cp(x,y + yhdh, y'+ yh + d'Jt) — q)(xfy,y')]dx = 0

x₀

wird.

Wenn das Integral J für eine gewisse Funktion y ein Maximum bzw. Minimum erreicht, während K für sie gleich der vorgeschriebenen Zahl l wird, ist ÔJ nie positiv bzw. negativ, wie auch h und h unter den Bedingungen (3) und

(5) gewählt sein mögen. Denken wir uns nicht nur diese noch gesuchte Funktion y in (4) und (5) eingesetzt, sondern auch y und d in bestimmter Weise als Funktionen von x gewählt, so ist die Variation ÔK in (5) eine bestimmte Funktion von h und Je allein, so daß die Gleichung (5) die Form:

(6)

m (h, Je) = 0

hat. Insbesondere wird sie für Ji = Je = 0 erfüllt. Die Ab-

leitung von co oder dK nach Je ist an der Stelle Ji = Je = 0 nach Satz 19, Nr. 488, diese:

(?)

/[

*0

dcp(x,y, y)

dcp{x, y, y')

dy

dy

dx,

und wir wollen vorläufig annehmen, daß sich ft immer so als Funktion von x wählen lasse, daß diese Ableitung nicht verschwindet. Dann definiert die Gleichung (5) oder (6) implizite Je als Funktion von h in der Umgebung der Stelle Ji = Je = 0, nach Satz 13, Nr. 694. Mithin dürfen wir Je in (4) als diese Funktion von Ji betrachten. Dann bedeutet ÖJ eine Funktion FQi) von Ji allein, und wie in Nr. 898 schließt man, daß F'(Ji) = 0 für Ji = 0 sein muß. Diese Bedingung aber stellt sich, weil Je von Ji abhängt, nach (4) so dar:

*i

(8)

dx = 0

J[fyV +    + fy¹®') ©J

x₀ wobei f die Funktion fix, y, yr) bedeutet* Andererseits aber gibt (5) für Ji = 0:

*1

dx = 0,

(9)

J[<PyV + WV + (<Pv& + W&') (II) J

x₀ wo cp die Funktion cp(x,y,z) ist. Der Index Null soll in (8) und (9) die Annahme Ji = 0 andeuten. Setzt man nun:

f &')dx

so ist A, da y und fr als bestimmte Funktionen gedacht worden sind, eine Konstante, und es folgt, wenn die Gleichung (9) mit A multipliziert und von der Gleichung (8) abgezogen wird:

xl    xx

fifyV + fy’V) dx + if[cpyrj + <p«'}f) dx = 0

x₀    %0

Dies aber ist diejenige Bedingung, die sich durch Null-

[913

setzen der ersten Variation nach Nr. 898 ergibt, wenn das Integral:

xi

J lf(x> y, y) + *<p(x, y, y)]äx

Xq

für die Punktion y von x einen Extremwert erreicht.

Mithin muß die gesuchte Punktion y yon x die zu diesem Integrale gehörige Eulersche Gleichung: (ii) befriedigen, nach Nr. 899. Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Punktion y von x, und sie enthält noch eine willkürliche Konstante X. Ihre allgemeine Lösung hängt also von x, X und noch zwei Konstanten G₁ und C₂ ab. Nun ist erstens zu fordern, daß das zweite vorgelegte Integral K für diese Funktion y gleich l werde, zweitens, daß y für x = x₀ den Wert y₀ habe, und drittens, daß y für x = x₁ den Wert yt habe. Mithin ergeben sich gerade drei Bedingungen für die drei Konstanten X, Cx und C₂.

Vorhin wurde der Fall ausgeschlossen, wo der Ausdruck (7) für jede Funktion &(x) verschwindet. Tritt dies ein, so heißt es, daß die erste Variation des Integrals K gleich Null wird, d. h. daß y die Eulersche Differentialgleichung:

(12)

dcp d dcp _~

dy dxdy' befriedigt. Von diesem Falle wollen wir absehen.

Hiernach hat sich gezeigt, daß man das vorgelegte isoperimetrische Problem so zu behandeln hat, als ob es sich nicht um die Extremwerte des Integrals J unter der Bedingung K=l handelte, sondern um die Extremiverte des Integrals J-f- XE ohne jede Nebenbedingung, wobei X eine Konstante bedeutet, vorausgesetzt, daß die Funktion y, die sich alsdann auf Grund der Eulerschen Differentialgleichung (11), der Bedingung K = l und der Grenzbedingungen y = y₀ und y — yx für x = x₀ und x — xt ergibt, nicht auch die Eulersche Gleichung (12) erfüllt.

914. Kurve größten Flächeninhalts hei gegebener Bogenlänge. Zunächst behandeln wir als Beispiel hierzu die »13, 914] in voriger Nummer zuerst erwähnte Aufgabe: In der Ebene seien zwei Punkte (x₀, y₀) und (x1} yf) gegeben. Alsdann soll diejenige Kurve gefunden werden, die von einem Punkte zum andern geht, die gegebene Länge l hat und zusammen mit der x-Achse und den Ordinaten des Anfangs- und Endpunktes die größte Fläche einschließt. Hier soll also das Integral:

X,

= fy dx

*0

unter der Bedingung (vgl. Satz 2, Nr. 542):

xx

=j yi -\- y* dx = l

*0

zu einem Maximum werden. Die Eulersehe Differentialgleichung (11) der letzten Nummer ist für f=y und cp = yl Ą- y bilden, und da f -\- Xtp von x frei ist, ergibt sich nach (6) in Nr. 905 (für den Fall fy" = 0):

f + krp — y

wo C eine Konstante ist, d. h.:

(1)

2 (/■+*<?)

'2

ZU

oder:

1/1 + 2/'

dx =

QC — y)dy

yv-tc-yÿ'

Demnach wird, wenn C' eine Konstante vorsteht:

oder:

X==C' +Ytf-(C-y)

(x-cy+(y-cy=x².

Also ist die Kurve ein Kreisbogen.

915. Rotationsflächen von kleinstem Flächeninhalte bei gegebener Meridianlänge. Als zweites Beispiel behandeln wir eine Aufgabe, die zwar an die in Nr. 900 erinnert, aber doch wesentlich anders ist: In der Ebene seien zwei Punkte (x₀, yf) und (x₁, yf) gegeben. Es soll diejenige Kurve vom einen zum andern Punkte gefunden werden, die eine gegebene Länge l hat und bei der Drehung um die x-Achse eine Rota-

[914, 915

tionsfläche von kleinstem Flächeninhalte erzeugt. Nach Nr. 900 handelt es sich um das Minimum des Integrals: *1

=JyV i + y'2dx

unter der Bedingung:

*0

K-fyi + y'²dx = l.

xa

Insbesondere kann man wie in Nr. 900 die «/-Achse so wählen, daß x₀ = — a, xx = + a wird. Nach den Ergebnissen yon Nr. 913 verfährt man nun, als oh es sich um die Extremwerte des Integrals:

J + XK («/ -f- 1) j/l + y'² dx

— a

handelte, das aber aus dem Integral J von Nr. 900 hervorgeht, wenn man ÿ durch y + X ersetzt, da dann y ungeändert bleibt. Folglich ergibt sich eine Kettenlinie, deren Leitlinie eine gewisse Parallele zur x-Achse ist, und zwar ist es diejenige Kettenlinie, die die beiden gegebenen Punkte verbindet und die gegebene Länge l hat.

Nach der Guldinschen Hegel in Nr. 589 ist die Ordinate des Schwerpunktes der Kurve gleich dem Flächeninhalte der Rotationsfläche, dividiert mit 2nl. Mithin erreicht sie zugleich mit dem Flächeninhalte ein Minimum. Dies steht damit im Einklänge, daß man die Kettenlinie mit wagerechter Leitlinie in der Mechanik als diejenige Kurve von gegebener Länge zwischen zwei Punkten definiert, deren Schwerpunkt am tiefsten liegt.

916. Rotationsflächen von größtem Volumen hei gegebener Meridianlänge. Wieder seien in der Ebene zwei Punkte (x₀, y₀) und (x₁, yt) gegeben. Gesucht wird diejenige Kurve von einem zum andern Punkte, die eine vorgeschriebene Länge l hat und durch Prehung um die x-Achse eine Rotationsfläche von größtem Volumen erzeugt. Nach (2) in Nr. 566 handelt es sich um das Maximum des Integrals:

f¹

J = j y² dx

x₀

unter der Bedingung:

*1

=J*Y1 -f- y² dx = 1.

Xq

Weil f = y* und <p = |/l -f y%, also f -j- ly von x frei ist, gibt die Eulersche Gleichung (11) von Nr. 913 nach (6) in Nr. 905:

y² +

V¹ + y'²

wo C eine Konstante ist. Hieraus folgt:

{C — y*)dy

yx*-(c-yy'

Durch Vertauschen von x mit y erkennt man, daß die gesuchte Kurve eine elastische Kurve ist, vgl. 1. Beispiel, Nr. 797.

917. Rotationsflächen von kleinster Oberfläche hei gegebenem Volumen. Es soll diejenige Kurve in der Ebene zwischen zwei gegebenen Funkten (x₀, y₀) und (x₁₇ yj) bestimmt werden, die bei der Drehung um die x-Achse eine Fotationsfläche von gegebenem Volumen V und kleinstem Flächeninhalte erzeugt, d. h. das Integral:

dx =

»1

= /yV 1 + y²äx

Xq

soll unter der Bedingung:

Xq

ein Minimum werden. Die Eulersche Differentialgleichung (11) von Nr. 913 gibt, da auch hier fXcp von x frei ist:

= konst.,

*y² +

V¹ 4- y

und die Auflösung dieser Gleichung nach 1 : y oder dx : dy zeigt, daß es sich um die in Nr. 799 besprochenen Kurven handelt, siehe (3) ebenda. Mithin ist die gesuchte Fläche eine Fotationsfläche von konstanter mittlerer Krümmung.

918. Allgemeine isoperimetrische Probleme. Vorgelegt sei das Integral:

(1)

*1

J= ff(x, y, y, y") dx.

Xq

Man soll y so als Funktion von x bestimmen, daß J unter den beiden gegebenen Bedingungen: *1

=f<p(x> y, y'> y")dx =

(2)

xo

X₁

kl

K₂ =ßip{x, y, y, y") dx =

Xo einen Extremwert erreicht. Dabei sind x₀, xt, lx, l₂ und die Werte y₀, y₀' und yx, yf, die y und y für x — x₀ und x = xx erreichen, gegeben. Außerdem sollen f, cp und ip gegebene Funktionen von x, y, y und y" bedeuten.

Da man hier wie in Nr. 913 schließen kann, dürfen wir uns auf die notwendigsten Angaben darüber beschränken: Als Variation dy wählt man:

(3)

dy = rjh +    4* ^2^2;

wobei 7],    &₂ drei Funktionen von x bedeuten, die nebst

ihren Ableitungen erster Ordnung für x — x₀ und für x = xx verschwinden, während h, k₂ drei Zahlen sind, die wie k und h in Nr. 913 gewissen Ungleichungen genügen. Wie in Nr. 913 unter (4) ergibt sich für die Variation dJ ein Integral, dessen Integrand aber jetzt die Differenz von

f(x, y + Tjli 4-    ft₂k₂, y "F y'h 4-    \ 4- ^

y + rf'h + kx 4- ₂"k₂)

und fix, y, y, y") ist. Entsprechend der Gleichung (5) in Nr. 913 bestehen dabei zwischen li, \ und k₂ die beiden Bedingungen :

dKx = 0, dK₂ = 0.

Dabei sind dKx und öK₂ gerade so wie dJ zu bilden, nur steht ą> bzw. ip anstelle von f. Diese Bedingungen sind Gleichungen, die \ und k₂ in der Umgebung von h = \ = k₂ = 0 als Funktionen von h definieren, vorausgesetzt, daß die Funktionaldeterminante von dKx und öK₂ hinsichtlich \ und k₂ für h = kx = k₂ = 0 nicht verschwindet (nach Satz 17, Nr. 697). Mithin hat man dJ als eine Funktion von Ji allein aufzufassen und zu fordern, daß ihre Ableitung für h = 0 verschwinde. Dies liefert die Gleichung:

xl    jjl

fifyV + fy'rl + fy„l]")dX + (jfö)₀j (fyb 1 + fy'^1 + fy"^") dX

X°    x₀

Xl

(§)o/^ ⁺ 4^2 +fyr&.₂")dx — 0. x₀

Der Index Null deutet dabei an, daß h = 0 gesetzt werden soll. Die Ableitungen d\ : dh und dht : dli genügen ferner für h = 0 denjenigen beiden Gleichungen, die aus dieser Gleichung hervorgehen, wenn man f durch cp bzw. ijj ersetzt. Es gibt nun (wie in Nr. 165) Faktoren Xx und A₂ derart, daß die Addition der beiden mit Ax und l₂ multiplizierten Bedingungen zur angegebenen Gleichung eine von den Ableitungen von \ und /r₂ nach h freie Gleichung liefert:

Xl    Xl

JlfyV + fy V + fy"V")dx + Aj Jl<pyV + <PyV + <Pp»y") dx x₀    -r₀

Xi

+ K Jli’yV + tyV + ty"V") dx = 0.

X₀

Dieselbe Bedingung aber ergibt sich, wenn man sich die Aufgabe stellt, diejenigen Funktionen y von x zu ermitteln, für die das Integral:

J -f- AXKX -j- A₂AT₂ = J\f + AiÇ) -f- A₂ ip) dx

X₀

ein Maximum oder Minimum erreicht, wobei Ax und L₂ als Konstanten zu betrachten sind. Mithin hat man nach (4) in Nr. 904 die zugehörige Eulersche Differentialgleichung zu bilden:

dif K 9 + h ’IO d d(f -\- \ cp 4-1₂ ip)

dy

dx

dy'

d² d (f -f- Xx cp -f- ty)

dy"

Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung vierter Ordnung für y, deren allgemeine Lösung außer x, Ax, A₂ noch vier Integrationskonstanten Gx, C₂, C₃, 0₄ enthält. Also ist noch über sechs Konstanten Xx, G\, C₂, C₃, Gi zu verfügen. Es sind aber auch gerade noch sechs Bedingungen zu erfüllen, denn erstens sollen Kx und K₂ die gegebenen Werte lx und l₂ und

[918

S erret-Scheffera, Difi'.- u. Integral-Rechnung. III. 3. Aufl.

41

= 0.

zweitens sollen y und y für x = x₀ und x — xx die gegebenen Werte y₀, y₀' und yt, yf haben.

Es leuchtet ein, wie man dies Ergebnis auf den Fall verallgemeinern kann, wo das Integral:

. . yW)dx

=fffa y, y, •

x₀

unter den n Bedingungen:

a-i

*o

y, y, ■ • • y{n))dx = i.

(»' = i, 2,... n)

einen Extremwert haben soll.

919. Ein anderes Problem mit einer Nebenbedingung. Es handle sich jetzt darum, y und z so als Funktionen von x zu bestimmen, daß das vorgelegte Integral:

(i)

=Jf(x> y> y,z')dx

x₀

unter einer vorgeschriebenen Bedingung von der Form:

F(x, y, z) = 0

zu einem Maximum oder Minimum wird. Werden x, y, z als rechtwinklige Koordinaten im Raume gedeutet, so liegt die Aufgabe vor, diejenigen durch die Funktionen y und z von x dargestellten Kurven auf der Fläche (2) zu ermitteln, für die das Integral (1) einen Extremwert erreicht. Dabei sollen für y und z an den gegebenen Grenzen x₀ und x₁ gegebene Werte y₀, z₀ und yx, zx vorgeschrieben sein, die also den Bedingungen:

F(*o, yo> *o) = °; F(xi> yu *i) = ⁰

(2)

(3)

genügen.

Implizite definiert (2) die Größe z als Funktion von x und y. Bezeichnen p und ą ihre partiellen Ableitungen nach x und y, so ist:

(4)

dz = pdx -f qdy

und:

(5)

F ’

Aus (4) folgt, weil y und z Funktionen von x sein sollen, für die Ableitungen nach x:

918, 919]

(6)

z'=P + qy-

Man wird also in (1) unter z die durch (2) definierte Funktion von x und y und unter z die durch (6) mit Rücksicht auf (5) definierte Funktion von x, y und y verstehen. Dann aber nimmt das Integral die Form:

J = J cp(x, y, y')dx

X₀

an, so daß aus (4) in Nr. 899 das Bestehen der Eulerschen Differentialgleichung :

defy,

dx

folgt. Wegen cp = f ist aber dabei nach (2), (5) und (6): <Py=fy + fA + fz’ (ff + I~y),

<Py> = fy’ + fz’Q.

zu setzen, so daß sich ergibt:

fy + fzq + fz- (ff + Jyy)

dx

Hierin ist:

d(fy' + fz'Z)

dx

⁼ fXy'+ fyy<y' + fzy>8 + fy'tfV" + fy'z'²"

+ (fxz' + fyz'V "h fzz’Z' + fy'z>y" + fz't'Z")q + f* {Ix + Tyy ) '

Berücksichtigt man, daß cp : dy = cq : dx ist, so kommt also, wenn man überdies den Wert (5) von q einsetzt:

fy fxy' fyy' y fy'Z fy' y'V fy'z'Z

fz ~ fxz’ - fy z' y - fz z’g/ - fy' z V” ~ fz' z' Z"

Bezeichnet man beide Brüche mit — A, so kann man schreiben:

f.+ ir-

Zu diesen Formeln gelangt man aber auch, wenn man die Extremwerte des Integrals:

Sk-o.

dx

(8)

Jlffa y, *, y, z) + *F(x, y, z)\dx

Xq

41

[919

unter der Voraussetzung sucht, daß 2 eine gegebene Funktion von x allein bedeutet und y und z zwei gesuchte Funktionen von x sind, denn nach (2) in Nr. 902 hat man alsdann zu bilden:

W+IF) _ d d(f+lF) dz    dx    dz'

und dies sind gerade die Gleichungen (7), weil 2 und F von y und z frei sind.

Da der Wert der Funktion 2 von x von vornherein nicht bekannt ist, muß man 2 zunächst aus den Gleichungen (7) eliminieren. Es geht also eine einzige gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung hervor, die die beiden unbekannten Funktionen y und z von x enthält. Außerdem aber besteht die gegebene Gleichung:

F(x, y, z) = 0,

mittels derer man z. B. z, z und z" eliminieren kann. Dann bleibt eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung für y allein übrig. Ihre allgemeine Lösung enthält zwei Konstanten, die daher auch in der durch F = 0 implizite definierten Funktion z auftreten. Die Bedingungen, daß y und z für x = x₀ und für x = x± gegebene Werte y₀, z₀ und ylf zx annehmen sollen, kommen aber auch gerade auf zwei Gleichungen zurück, weil ja die Gleichungen (3) von vornherein bestehen.

d(f+lF) d d(f + lF)

dy

dx

dy

= 0,

= 0,

920. G-eodätische Kurven.

Als Anwendung behandeln wir die Aufgabe, auf einer gegebenen Fläche:

(1)

F(x, y, z) = 0

die kürzeste Linie zwischen zwei gegebenen Funkten zu bestimmen. Gesucht werden hier solche Funktionen y und z von x, die der Bedingung (1) genügen und das Integral:

= f]/l + y'²-{- z'²dx

xa

zu einem Minimum machen. Die Gleichungen (7) der letzten Nummer sind also:

et

dx Ÿ1 4- y' * 4- *'

= IFZ.

Bedeuten nun a, ß, y die Richtungskosinus der Tangente der gesuchten Kurve, so kann man hierfür nach (3) in Kr. 252 schreiben:

dß _ dy

Fz

Fv

Wenn l, m, n die Richtungskosinus der Hauptnormale der gesuchten Kurve sind, ergibt sich daraus nach den Frenetschen Formeln (1) von Kr. 272:

F F

y z

Andererseits sind Fx, Fy, Fz nach (8) in Kr. 253 den Richtungskosinus X, T, Z der Kormale der gegebenen Fläche (1) proportional. Mithin finden wir, daß sich m zu n wie Y zu Z verhält. Dies genügt, um zu folgern, daß die Hauptnor-malen der kürzesten Linien der Fläche mit den Flächennormalen zusammenfallen, oder auch, daß die Schmiegungsebenen der kürzesten Linien der Fläche überall zu den Tangentenebenen der Fläche senkrecht sind.

Immer aber haben wir nur notwendige, nicht hinreichende Bedingungen für das wirkliche Eintreten eines Maximums oder Minimums aufgestellt. Eine Flächenkurve also, deren Hauptnormalen mit den Flächennormalen zusammenfallen, ist nicht notwendig eine kürzeste Linie auf der Fläche; wohl aber muß jede kürzeste Linie auf der Fläche eine derartige Kurve sein. Man nennt die Flächenkurven, deren Hauptnormalen mit den Flächennormalen zusammenfallen, geodätische Kurven der Fläche und kann also nur das Eine folgern, daß jede kürzeste Linie auf der Fläche ein Teil einer geodätischen Kurve sein muß.

An einem einfachen Beispiele kann man deutlich sehen, daß die aufgestellten Bedingungen in der Tat nicht hinreichen. Denn auf der Kugel sind die geodätischen Linien augenscheinlich die größten Kreise der Kugel. Aber ein Teil eines größten Kugelkreises ist doch nur dann auf der Kugel die kürzeste Linie zwischen seinen beiden Endpunkten, wenn der zugehörige Zentriwinkel der Kugel weniger als zwei Rechte beträgt.

[9»0

Sachregister.

Die Zahlen bedeuten die Nummern des Textes.

Für die Anordnung unter ein- und demselben Stiebworte war meistens die natürliche Reihenfolge maßgebender als die alphabetische; im übrigen gehen die allgemeineren Begriffe den spezielleren voran. Abkürzungen : Dffgl. — Differentialgleichung, Fkt. = Funktion, gew. = gewöhnlich, hom. = homogen, inf. == infinitesimal, kompl. — komplex, lin. = linear, 0. = Ordnung, part. = partiell, Trf. = Transformation.

A.

Abbildung der Trfn. einer eingliedrigen Gruppe 745.

Ableitungen der Lösungen nach denAnfangswerten 692, monogener Fktn. 820, unentwickelter Fktn. 695—697, 699, insbes. y' als neue unabhängige Veränderliche 722, 723.

Abwickelbare Flächen als Integralflächen einer part. Dffgl. 1. 0. 889.

Additionstheorem für elliptische Integrale 730.

Allgemeine intermediäre Integralgleichung 792.

Allgemeine Lösung einer gew. Dffgl. 1. 0. in aufgelöster Form 703, 704, 706, einer gew. Dffgl. 1. 0. überhaupt 707, einer gew. Dffgl. höherer 0. in aufgelöster Form 781, 782, 786, einer gew. Dffgl. höherer 0. überhaupt 787, lin. und ganz hinsichtlich der Integrationskonstante 716, linear und gebrochen hinsichtlich der Integrationskonstante 718.

Allgemeines Lösungensystem eines Systems 1. 0. von gew. Dffgln. in der Normalform 761, 763, eines allgemeinen Systems 1. 0. von gew. Dffgln. 776.

Analytische Fortsetzung mo-gener Fktn. 820, von Lösungen einer verkürzten lin. gew. Dffgl. 832, 834.

Analytische Funktion von mehreren Veränderlichen 820.

Anfangsbedingungen für Lösungen einer part. Dffgl. 1. 0. 884. Anfangs werte von Lösungen bzw. Lösungensystemen 684, 687, 691, 692, 761, 879, 882, 886, 885, 891, im kompl. Bereiche 825. Äquivalenz von Dffgln. und Systemen von Dffgln. 663, 665, 671, von lin. hom. part. Dffgln. und Systemen gew. Dffgln. 853, von lin. part. Dffgln. und lin. hom. part. Dffgln. 854, einer Pfaffschen Dffgl. mit einem vollständigen System 870, 872.

Archimedische Spirale 815. Arkusfunktionen addiert 730, Astroide 721.

Aufeinanderfolge von Trfn. 732.

Auflösung im Gegensatz zu Lösung 675, von Gleichungen siehe unentwickelte Fktn. Außerwesentlich singuläre Stellen 830.

B.

Bahnkurven einer eingliedrigen Gruppe 732, 734, 736—738, 743, 767, 811, 813, einer eingliedrigen projektiven Gruppe 753,    759,

760, als Integralkurven eines Systems von Dffgln. 768, der Brennpunkte beim Abrollen eines Kegelschnittes 799.

Beispiele von Dffgln. und Systemen von Dffgln. 663,666,667, 670, 672, 676, 677, 685, 704—706, 709—719, 721, 723, 727—729, 733, 739, 741, 744, 747, 764, 765, 773,

Glei-

Streifen

Erzeugung von

zur

774, 783, 791, 792, 794, 795, 797—802, 804, 814, 815, 822, 833, 839, 842—845, 852, 855, 857, 864, 866, 867, 870, 873, 880, 887, 890, 895.

Benachbarte Funktionen 897.

Bereich einer gew. Dffgl. 1. 0. in aufgelöster Form 703, einer gew. Dffgl. 1. 0. überhaupt 707, einer gew. Dffgl. 2. 0. in aufgelöster Form 781, 783, einer gew. Dffgl. höherer 0. in aufgelöster Form 782, einer gew. Dffgl. höherer 0. überhaupt 787, 788, insbes. im kompl. Bereiche 829, eines Systems 1. 0. von gew. Dffgln. in der Normalform 761, eines Systems 1. 0. von gew. Dffgln. überhaupt 776, insbes. im kompl. Bereiche 828, einer verkürzten lin. gew. Dffgl. 830, einer horn. lin. part. Dffgl. 1. 0. 853, einer lin. part. Dffgl. 1. 0. 854, einer part. Dffgl. 1. 0. 874, 882, 891.

Bernoullische Dffgl. 717.

Berührung von Integralkurven 707, 708, 777, in höherer 0. mitKreisevolventen höherer 0.784, 787, 788.

Berührungstransformationen

890.

Brachistochrone in lotrechter Ebene 901, 912, im Raume 903.

Brennfläche einer zweifach unendlichen Schar von Integralkurven 779, insbes. bei einem Clairautschen System 780.

Brennpunkte eines Kegelschnittes beim Abrollen 799.

Büschel von Flächenelementen 856, 858, von Krümmungskreisen 783.

C.

Cassinische Kurven 740.

Cauchy- Riemannsche chungen 670, 674, 817.

Cauchyscher Fundamentalsatz für monogene Fktn. von mehreren Veränderlichen 818,821.

Cauchysche Integrationsmethode bei part. Dffgln. 1. 0. 882 bis 886, 891.

Cesàros Satz 792.

Charakteristiken einer lin. part. Dffgl. 1. 0. 856, einer Mongeschen Dffgl. 894, einer part. Dffgl. 1. 0. 878.

Charakteristische Gleichung eines d’Alembertschen Systems 771—773, einer verkürzten lin. gew. Dffgl. mit konstanten Koeffizienten 806.

Charakteristische einer lin. part. Dffgl. 1. 0. 858, einer part. Dffgl. 1. 0. analytisch definiert 882, geometrisch definiert 879,

Lösungen 883, 884, 886, im Falle von n unabhängigen Yeränder-lichen 891.

Clairautsche Dffgl. 720, 721, 727, 747, 802, verallgemeinert auf höhere 0. 803, verallgemeinert als System 1. 0. von zwei gew. Dffgln. 780, verallgemeinert als part. Dffgl. 1. 0. 889.

Clairautsches System 780.

D.

D’Alembertsches System 771, 775, 806, integriert nach Cauchy 772.

Determinante lin. unabhängiger Fktn. und ihrer Ableitungen 785, 849.

Determinierende Gleichung 837.

Differentialgleichungen militer 0. 675, siehe auch Bernoullische Dffgl., Clairautsche Dffgl., d’Alembertsches System, Euler-sche Dffgl., gew. Dffgl., hom. gew. Dffgl., hom. lin. part. Dffgl., hom. lin. System, Involutionssystem, Jacobische Dffgl., lin. gew. Dffgl., lin. hom. part. Dffgl., lin. hom. System, lin. part. Dffgl., lin. System, Mongesche Dffgl., Normalform eines Systems 1. 0., part. Dffgl., Pfaffsche Dffgl., Riccatische Dffgl., System 1. 0. u. höherer 0. von gew. Dffgln., System von hom. lin. part. Dffgln., System von part. Dffgln., System von totalen Dffgln., totale Dffgln., verkürzte lin. gew. Dffgl., verkürztes lin. System 1.0., vollständiges System von hom. part. Dffgln.

Differentialin variant en 809 bis 814, 0. und 1. 0. zu berechnen 811, höherer 0. zu berechnen 812.

Diskriminantenort einer gew. Dffgl. 1. 0. 711, eines Systems 1. 0. von gew. Dffgln. 777, 779.

Funktionen-

[807.

Doppelverhältnis von 4 Zahlen 748, von 4 Punkten einer Geraden 748, von 4 Geraden durch einen Punkt 752, von Flächenelementen längs Charakteristiken 858, von je vieren der Veränderlichen xx, x₃, ... xn 870, bei TP-Kurven 760.

Drehungen 735, 739, 740, 742, 744—746, 767, 808.

E.

Ebene Kurven analytisch definiert 827, algebraisch von 4. 0. und spezieller Art 723, deren Bogenlänge der Bogenlänge der Evolute proportional ist, 800, deren Bogenlänge eine gegebene Fkt. der Koordinaten ist, 739, deren Bogenlänge der Bogenlänge einer Fußpunktkurve proportional ist, 815, als Brachistochronen 901, 903, 912, von Cassini 740, von Delaunay 799, elastisch 797, 916, die mit ihren Evoluten kleinste Flächen bilden, 906, größter Fläche bei gegebener Bogenlänge 914, deren Krümmung eine gegebene Fkt. der Abszisse ist, 797, deren Krümmungsradius der Normale propoxdional ist, 797, deren Krümmungsradius dem Kubus der Normale proportional ist, 795, deren Krümmungsradius eine Projektion von konstanter Länge hat, 794, deren Krümmungsradius dem Radiusvektor proportional ist, 815, deren Krümmungsmittelpunkte einen gegebenen Ort haben, 804, deren Krümmungskreise eine gewisse gegebene Potenz in bezug auf einen Punkt haben, 804, mit gegebener Beziehung zwischen Krümmungsradius, Radiusvektor und Winkel beider 814, mit konstantem Produkte der Abstände der Tangenten von zwei festen Punkten 721, die alle Radienvektoren unter konstantem Winkel schneiden, 714, mit konstantem Tangentenabschnitte zwischen den Achsen 721, mit konstanter Tangentenlänge 713, bei denen jeder Punkt gerade so weit wie der Schnittpunkt der Tangente mit der i/-Achse vom Anfangspunkte entfernt ist, 715, siehe auch die spezielleren Stichworte.

Einfach überdeckter Bereich 703.

Eingliedrige Gruppe in zwei Veränderlichen 734—737, einmal erweitert 746, mehrmals erweitert 807, 808, bei Einführung neuer Veränderlicher 742, die bei ihr invarianten einfach unendlichen Kurvenscharen 736, 737, in «Veränderlichen 767, aller Drehungen um einen Punkt 735, 745, 808, aller Schiebungen nach einer Richtung 735, 745, aller Streckungen von einem Punkte aus 735.

Eingliedrige lin. hom. Gruppe 775.

EingliedrigeprojektiveGrup-pe in einer Veränderlichen 751, in zwei Veränderlichen 753, 760.

Einhüllende Fläche 876, 877.

Einhüllende Kurve als singuläre Integralkurve 710, 778, 779, einer

■ Schar von Charakteristiken 894, rter Ordnung als singuläre Integralkurve 789, 790.

Einhüllendes system 778.

Elastische Kurven 797, 916.

Elementarkegel einer Monge-schen Dffgl. 892—894, einer part. Dffgl. 1. 0. 874, 878, 893, ausgeartet bei einer lin. part. Dffgl. 1. 0. 875.

Elemente höherer Ordnung788, bei Punkttrfn. und eingliedrigen Gruppen 807.

Ellipsen 721, 795, 799.

Ellipsoid 802.

Elliptische Integrale 797—799, addiert 730.

Endliche Gleichungen im Gegensätze zu Dffgln. 675.

Erste Variation 897,902,904,908.

Erweiterte eingliedrige Gruppen 746, 807, Beispiele 808.

Erweiterte inf. Punkt-Trfn. 746.

Erweiterte Punkt-Trfn. 745,

Eulersche Dffgl. für elliptische Integrale 730, in der Variationsrechnung 899, 902, 904, 905, 907, 908, 910, 911, 913, 918, 919.

Eulersche Multiplikatoren s. Multiplikatoren gew. Dffgln. 1. 0.

Eulersche Transformation 890.

Evolventen als singuläre Integralkurven 804.

802, 895.

Evoluten als Parallelkurven 727, von Evoluten 784.

Existenzbeweis für Lösungen allgemein 674, von gew. Dffgln. 1.0. in aufgelöster Form 686, 687, von gew. Dffgln. 1. 0. überhaupt 700, von Systemen 1. 0. von gew. Dffgln. in der Normalform 689, 691, 692, von Systemen 1. 0. von gew. Dffgln. überhaupt

701,    von Systemen 1. 0. von der Form dx : dt = X(x, y), dy : dt = Y(x,y)<o78—684, von Systemen 1. 0. von der Form dxi: dt = Xi{x₁, xi,.. . xn) 688, von Systemen höherer 0. von gew. Dffgln.

702,    von gew. Dffgln. 2. 0. in aufgelöster Form 781, von gew. Dffgln. höherer 0. 787, von Systemen 1. 0. von gew. Dffgln. in der Normalform im kompl. Bereiche 824, von Systemen 1. 0. von gew. Dffgln. im kompl. Bereiche 828, von gew. Dffgln. höherer 0. im kompl. Bereiche 829, von verkürzten lin. gew. Dffgln. höherer 0. in der Umgebung regulärer Stellen 831, von hom. lin. part. Dffgln. 1. 0. 853, von lin. part. Dffgln. 1. 0. 854, von part. Dffgln. 1. 0. 885, 891.

Existenzbeweis für Multiplikatoren 724.

Existenzbeweis für unentwickelte Fktn. einer Veränderlichen 694, 695, mehrerer Veränderlicher 696, 697, 699, im kompl. Bereiche 826.

Extremwerte von Integralen mit einer unbekannten Fkt. und ihrer Ableitung 1. 0. bei festen Grenzen 896—901, von Integralen mit zwei unbekannten Fktn. und ihren Ableitungen 1. 0. bei festen Grenzen 902; 903, von Integralen mit einer unbekannten Fkt. und ihren Ableitungen höherer 0. bei festen Grenzen 904—906, von Integralen mit zwei unbekannten Fktn. und ihren Ableitungen höherer 0. bei festen Grenzen 907, von Integralen mit festen Grenzen und willkürlichen Konstanten 908, 909, von Integralen mit festen Grenzen und einer Bedingung F(x, y, z) = 0 919, 920, von Integralen mit festen Grenzen, wenn ein anderes Integral konstant bleiben soll, 913, von Integralen mit festen Grenzen, wenn zwei andere Integrale konstant bleiben sollen, 918, von Integralen mit einer unbekannten Fkt. bei veränderlichen Grenzen 909, 910, von Integralen mit zwei unbekannten Fktn. bei veränderlichen Grenzen 911, der Masse einer materiellen Kurve 912.

F.

Faktoren bei isoperimetrischen Problemen 913, 918, 919.

Fläche der Krümmungsmittelpunkte einer Fläche 780, 2.0. 802, siehe auch Integralflächen.

Flächenelemente 856, einer lin. part. Dffgl. 1. 0. 856, 875, einer part. Dffgl. 1. 0. 874, 878, 879, 880, 886, einer Pfaffschen Dffgl. 871.

Flächenkurven: geodätische und kürzeste 920, Krümmungskurven [662, 669.

Folgen aus gegebenen Dffgln. 661,

Formale Theorie der Dffgln. 674.

Fundamentalschleifen 834.

Funktionen, die sich in der Umgebung einer Stelle regulär verhalten, 820, von Fktn. 817, variiert 897, zwischen denen eine lin. Gleichung mit konstanten Koeffizienten besteht, 785, siehe auch analytische, monogene, stetige und unentwickelte Fkt.

Funktionaldeterminante beim Existenzbeweise für unentwickelte Fktn. 697, 826.

Funktionentheoretische Behandlung von Dffgln. 674.

Fußpunktkurven 815.

G#

Gemeine Zykloiden 711, 797, 901, 906, 912.

Geodätische Kurven 920.

Geometrische Deutung derClai-rautschen Dffgl. 721, eines Clai-rautschen Systems 780, der Cau-chyschen Integrationsmethode part. Dffgln. 1. 0.886, gew. Dffgln. 1, 0. in aufgelöster Form 666, 676, gew. Dffgln. 1. 0. überhaupt 707, gew. Dffgln. 2. 0. in aufgelöster Form 783, gew. Dffgln. 2. 0. überhaupt 803, gew. Dffgln. höherer

O. 784, gew. lin. part. Dffgln.

Gew. Dffgl. 1. 0. über ha up t 700, 703—712, bei Einführung neuer Veränderlicher 714, ihr Diskriminantenort 711, die eine bekannte inf. Trf. gestattet, 747, aufgelöst nach x oder y 722, bei Einführung von y als unabhängiger Veränderlicher 722, Clairautsche 7 20, 721, 727, 747, 802, für eine Isothermenschar 729, lin. in x und y 723, für Parallelkurven 727.

1. 0. 750, der Grenzbedingungen in der Variationsrechnung 912, der Gruppeneigenschaft 732, der Lagrangeschen Integrationsmethode part. Dffgln. 1. 0. durch Monge 876—878, lin. part. Dffgln.

1. 0. 856, Mongesche Dffgln. 892, der Multiplikatoren 727, part,

Dffgln. 1.0.874, Pfaffscher Dffgln..

871, 872, der Riccatischen Dffgl.

G e w. D ffgl. 2. 0. 781, geometrisch gedeutet 783, die eine Eigenschaft der Krümmungskreise allein ausdrückt, 803, 804, deren Integralkurven an jeder Stelle Büschel von Krümmungskreisen haben, 783, und zwar spezieller Art 792, 794, 797, deren Integralkurven Kreise sind, 797, 803, 804, aller Evolventen konzentrischer Kreise 783, von spezieller Art 663.

Gew. Dffgl. höherer 0. in aufgelöster Form 782, 788, geometrisch gedeutet 784, allgemein 661, 787 —790, verwandelt in ein System 1. 0. von gew. Dffgln. 663, zurückgeführt auf ein System 1.0. von gew. Dffgln. in der Nonnalform 665, die eine bekannte inf. Trf. oder eingliedrige Gruppe gestattet 810, 813, 814, integriert durch Bildung von Dffgln. höherer 0. 802, integriert mittels kanonischer Veränderlicher 814, die der Clai-rautschen Dffgl. entspricht, 803, 804, von der Form y{r) — f(x) 793, von der Form F(y(r\ 2/(r_1)) = 0, 794, von der Form F(y{r), yir~²⁾) — 0, 795, hom. 800, hom. in doppelter Weise 801, frei von x oder y 796, verkürzt lin. mit konstanten Koeffizienten 806,' 3. 0., deren Integralkurven Kreisevolventen sind, 803, siehe auch lin. gew. Dffgl. und verkürzte lin. gew. Dffgl.

749, von Systemen 1. 0. von gew.

Dffgln. in der Normalform 667,

668, 761, 764, von Systemen 1. 0. von gew. Dffgln. überhaupt 776,

779, totaler Dffgln. 672 , eines zweigliedrigen vollständigen Systems 870.

Gerade bei inf. projektiver Trf.

752, als Integralkurve einer Ja-cobischen Dffgl. 757, 759, 760, im Raume von beliebig vielen Dimensionen 668.

Geschwindigkeit einer stationären Strömung 734.

Gew. Dffgl. 1. 0. in aufgelöster Form 666, 676, 686, 687, geometrisch gedeutet 666, 676, ersetzt durch ein System 677, ohne singuläre Lösungen 711, verwandelt in eine totale 676, die eine inf.

Trf. oder eingliedrige Gruppe gestattet 738, 741, integriert durch Einführung kanonischerV eränder-licher 743, ihre Multiplikatoren 724—730, mit Multiplikatoren von gegebener Form 728, Bernoulli-sche 717, Eulersche 730, mit getrennten Veränderlichen 713, 743, hom. 715, 725, 739, 741, 744, hom. verallgemeinert 717, die eine inf.

Drehung gestattet, 739, die eine inf. Streckung gestattet, 739, für isogonale Ti-ajektorien 740, Jaco-bische 753, 756, 757, 759, 760, deren Integralkurven Parallelkurven sind, 727, lin. 716, 726,

Gleichzeitige Dffgln. gleichbedeutend mit System von Dffgln. Gliedweise

und Integration unendlicher Reihen 820.

741, 744, lin. verkürzt 716, auf Gl eichmäßige Konvergenz 820. lin. zurückführbar 717, Ric-catische allgemein 718, 749, 805,

Differentiatio n

Riccatische speziell 719, 846,

Riccatische zur Berechnung der Differentialinvarianten 1. 0. 811,

einer part. Dffgl. 1. 0. 894.

werten von Integralen 910—912.

von der Form Xdy— Ydx — 0, Gratlinien der Integralflächen wo X und Y linear und ganz sind, 754, 758, von spezieller Art Grenzbedingungen bei Extrem-im kornpl. Bereiche 822.

zur

Grenzflächen und-kurve n 911, 912.

Grenzübergang von Polygonen zu Integralkurven 681—684.

Gruppeneigenschaft analytisch 731, 766, geometrisch 732, 767.

Gruppen von Trfn. von zwei Veränderlichen 732, 733, von n Veränderlichen 767, siehe auch eingliedrige Gruppe, projektiv in einer V eränderlichen 748, proj ektiv in zwei Veränderlichen 752.

Guldinsche Regel 900, 915.

H.

Hauptlösungen 761, 825, eines d’Alembertschen Systems 772,775.

Hauptnormalen der geodätischen Kurven 920.

Homogene Funktionen 855.

Hom. gew. Dffgl. 1. 0. 715, 725, 739, 741, 744, 1. 0. verallgemeinert 717, höherer 0. 800, 801, lin. 830.

Hom. Koordinaten bei Jacobi-scher Dffgl. 753.

Horn, lin part. Dffgl. 1. 0. 853, 854,856, bei Einführung neuer Veränderlicher 862, die zu gegebenen Lösungen gehört, 860, vereinfacht mittels bekannter Lösungen 863, vereinfacht mittels bekannter Lösungen und eines bekannten Multiplikators 864, ihre Jacobischen Multiplikatoren 859—862,    864,

unabhängig von anderen 865, für die Integrale eines Systems 1. 0. von gew. Dffgln. 762, für die Integrale gew. Dffgln. höherer 0. 782, siehe auch Involutionssysteme, Systeme von hom. lin. part. Dffgln. 1. 0. und vollständige Systeme.

Hom. lin. System 1. 0. in der Normalform siehe lin. hom.System, mit konstanten Koeffizienten siehe d’Alembertsches System.

Hyperbeln 721, 740, 749, 795, 799.

I.

Identische Trf. 782.

Imaginäre Kurven, Flächen usw. 829.

Implizite Fktn. siehe unentwickelte Fktn.

Infinitesimale Trf. zweier Veränderlicher 734—737, von n Veränderlichen 767, bei Einführung

neuerV eränderlicher 742, erweitert 746, mehrmals erweitert 807, einer gew. Dffgl. 1.0. 738, 739, einergew. Dffgl. höherer 0. 810, 813, 814, einer lin. gew. Dffgl. 848, konform 740, lin. 754, lin. hom. 775, projektiv in einer Veränderlichen 751, projektiv in zwei Veränderlichen 753, 754, trivial 738, insbes. Drehung 735, 739, 740, 742, 744, 746, 767, insbes. Schiebung 735, 739, 740, 746, 767, insbes Streckung 735, 739, 740, 744, 746, 767.

Integrabilitätsbedingung bei einer Pfaffschen Dffgl. 872, Bestimmung einer vollständigen Lösung einer part. Dffgl. 1. 0. 881.

Integrabilitätsfaktor gleichbedeutend mit Multiplikator.

Integrale, gew. Dffgln. 1. 0. 704, 706, 707, gew.Dffgln. l.O. als Quotienten von Multiplikatoren 724, gew. Dffgln. höherer 0. 781, 782, gew. Dffgln. als Lösungen einer part. Dffgl. 1.0. 782, hom. lin. part. Dffgln. als Quotienten von Multiplikatoren 859, monogener Fktn. 818, 819, eines Systems 1. 0. von gew. Dffgln. in der Normalform 762, 763, eines Systems 1. 0. dargestellt als Lösungen einer part. Dffgl. 1. 0. 762, variiert 897, 902, 904, 908, 913, 918, mit veränderlichen Grenzen, verwandelt in solche mit festen Grenzen, 909,911, siehe auch Extremwerte von Integralen.

Integralflächen einer lin. part. Dffgl. 1. 0. 856, 858, einer part. Dffgl. 1. 0. 874, einer part. Dffgl. 1.0., gewonnen durch Einhüllung, 876, 877, einer part. Dffgl. 1. 0., erzeugt von charakteristischen Streifen, 886, einer Pfaffschen Dffgl. 871, 872, eines vollständigen Systems 870, singulär siehe singuläre Integralflächen.

Integralgleichungen bei einem System 1. 0. von gew. Dffgln. in der Normalform 763, intermediär 792.

Integralkurven einer gew. Dffgl. 1. 0. 666, 676, 703. 704, 707, 722, einer gew. Dffgl. höherer 0. 783, 784, eines Systems 1. 0. von gew. Dffgln. in der Normalform 667, 668, 761, 764, eines

Probleme

V eränderliche

allgemeinen Systems 1. 0. von gew. Dffgln. 776,einerMongeschen Dffgl. 892, einer MongeschenDffgl., eingehüllt von Charakteristiken, 894, einer Pfaffschen Dffgl. 871, einer totalen Dffgl. 672, eines Systems von totalen Dffgln. 768, 775, die ein Linienelement gemein haben. 707, 708, 777, die einander in höherer 0. berühren, 784, 787, 788, des Systems dx:dt=X(x,y), dy : dt— Y(x, y) 732, 734, 736, des Systems d xi : d t — (xt, x₂,... xn) 767, der Jacobischen Dffgl. 759, 760, die Isothermen sind, 729, die Parallelkurven sind, 727, singulär siehe singuläre Integralkurven.

Integration allgemeiner als Quadratur 674, durch Differentiation 722, von Dffgln. und Systemen von Dffgln. siehe unter diesen Stichworten und unter Integralflächen und -kurven und Integrationsmethoden.

Integrationskonstanten 704, 706, 761—763, 781, 782, im kompl. Bereiche 825, bei einer Riccati-schen Dffgl. 718, 749, bei einer lin. gew. Dffgl. 1. 0. 716, 750.

Integrationsmethoden allgemein 674, bei gew. Dffgln. 1. 0. 713- 730, 738—740, 743, 744, 747, 749, 750, 753, 757—759, beim System 1. 0. von gew. Dffgln., 765, 771—774, bei gew. Dffgln. höherer 0. 793—806, 813—815, bei lin. part. Dffgln. 1. 0. 853, 854, 857, 863, 864, bei vollständigen Systemen 869, 870, von Cauchy für part. Dffgln. 1. 0. 882—886, 891, von Lagrange und Monge für part. Dffgln. 1.0. 876— 881, bei Mongeschen Dffgln. 894, bei Pfaffschen Dffgln. 871—873.

Intermediäre Integralgleichungen 792, insbe8. bei den Eulerschen Dffgln. der Variationsrechnung 905.

Invariante Geraden u. Punkte bei eingliedriger projektiver Gruppe 760.

Invariante gew. Dffgln. 1. 0. 738—741, 743, 744, 747, höherer 0. 809, 810, 813, 814.

Invariante Kurven 736.

Invariante Kurvenscharen 736, 737, 743.

Invariante Punkte oder Wertepaare 736.

Invariante Scharen von Elementen rteT 0. 810, 813, 814.

Inverse Punktionen 698.

Inverse Transformation 732.

Involutionssystem 868—870.

Isogonale Trajektorien740,792, 794.

Isoperimetrische 913—918.

Isothermenscharen 729.

J.

Jacobische Dffgl. 753, bei Ausführung einer projektiven Trf. 756, 757, auf typische Formen gebracht 759, zurückgeführt auf ein d’Alembertsches System 775, ihre Integralkurven 760.

Jacobische Multiplikatoren 859—862, 864, erste Definition 859, zweite Definition 860, Übereinstimmung beider Definitionen 861, bei Einführung neuer Veränderlicher 862, insbes. letzter Multiplikator 864.

K.

Kanonische 743, 744, 814.

Katenoid 799, 900.

Kegel 797, 799, 857.

Kegelschnitte 740, 795, 802.

Kettenlinie 713, 797, 799, 900, 912, 915.

Klammerausdruck 741,    866,

868.

Klassische Integrationsmethoden 674.

Konforme Abbildung bei der Dffgl. einer Isothermenschar 729, vermittelt durch eine inf. Trf. 740.

Konstanten bei der Integration siehe Integrationskonstanten.

Kreise als Integralkurven 666, 764, 765, 783, 797, 803, 804, als Kurven größter Fläche bei- gegebener Bogenlänge 914.

Kreisevolventen als Integralkurven 783, 803, höherer 0. 784.

KrummlinigeKoordinaten714,

745.

Krümmung einer Rotationsfläche 798, mittlere 799.

Krümmungselement 783, als Element 2. Ord. 788.

gew. Dffgl.

zu-

ver-

Krümmungskreise ebener Kurven 783, 803, 804.

Krümmungskurven der Flächen 2. Ord. 802, der Flächen, die ein Ebenenbüschel unter konstantem Winkel schneiden, 895.

Krümmungsmittelpunkte ebener Kurven 783, 784, von Flächen 780.

Kugel als Rotationsfläche konstanter Krümmung 798.

Kurven und ihre Linienelemente 666, 667, in Räumen von beliebig vielen Dimensionen 668, die ein Ebenenbüschel unter konstantem Winkel schneiden, 895, geodätische und kürzeste auf Flächen 920, kürzester Fallzeit 901, 903, 912, siehe auch ebene Kurven und Integralkurven.

Kurvenkongruenz 799.

Kürzeste Linien 920.

L.

Lagrange - Mongesche Integrationsmethode bei part. Dffgln. 1. 0. 876—881. Legendresche Trf. 890. Leitlinie der Kettenlinie 900, der Traktrix 713.

Letzter Multiplikator 864. Lin. gew. Dffgl. 1. 0. 716, 726, 741, 744, 750, verkürzt 716, 741, aufgefaßt als Riccatische Diffgl. 750.

Lin. gew. Dffgl. höherer 0. 805, vereinfacht mittels bekannter Lösungen der verkürzten Dffgl. 847, 848, mit bekannten inf. Trfn. 848, mit konstanten Koeffizienten und veränderlichem absoluten Gliede

851,    verkürzt mit konstanten Koeffizienten 806, spezieller Art

852,    verkürzt siehe verkürzte lin. [775.

Lin. hom. eingliedrige Gruppe Lin. hom. part. Dffgl. 1. 0. siehe hom. lin. part. Dffgl. 1. 0.

Lin. hom. Transformation 775. Lin. hom. System 1. 0. von gew. Dffgln. in d. Normalform 769, 770, mit konstanten Koeffizienten 771, 772, 775, 806.

Lin. part. Dffgl. 1. 0. 853—858, 875,887, äquivalent einer lin. hom. part. Dffgl. 1. 0. 854, geometrisch gedeutet 856, für hom. Fktn. 855.

Lineares System 1. O. von gew. DfFgln. in der Normalform 774.

Lineare Trf. 754, 755.

Linear unabhängige Fktn. 785.

Linienelemente ebener Kurven 666, von Raumkurven 667, 668, als Elemente 1. O. 788, einer Fläche 779, bei einer eingliedrigen Gruppe 745—747, bei gew. Dffgln. 1. 0. 666, 676, bei Systemen 1. 0. von gew. Dffgln. 667, 668, 761, 764, 777, bei lin. part. Dffgln. 1. 0. 856, singuläre siehe singuläre Linienelemente.

Logarithmen addiert 730.

Logarithmische Spiralen 714, 800, 804.

Lösungen von Dffgln. 661, 669, trivial 672, zu unterscheiden von Auflösungen 675, von hom. lin. part. Dffgln. 1. 0. 853, von lin. part. Dffgln. 1. 0. 854, die mehreren hom. lin. part. Dffgln. 1. 0. gemein sind, 866, 868, eines vollständigen Systems 869, einer part. Dffgl. 1. 0. 874, 876, 877, 881, 882, 891, siehe auch allgemeine und singuläre Lösung und Lö-suDgensystem.

Lösungensystem eines Systems 1. 0. von gew. Dffgln. 683, 684, 689, 691, 692, 701, 761, 763, 776, insbes. im kompl. Bereiche 823 —825, 828, eines Systems höherer 0. von gew. Dffgln. 662, 702, eines Systems von part. Dffgln. 669, eines Systems von totalen Dffgln. 671, siehe auch allgemeines und singuläres Lösungensystem.

Loxodromen 895.

M.

Matrix 777.

Maxima siehe Extremwerte.

Methoden der Integration siehe Integrationsmethoden.

Minima siehe Extremwerte.

Mittlere Krümmung einer Rotationsfläche 798.

Mongesche Dffgl. geometrisch gedeutet 892, integriert 894, gehörige part. Dffgl. 1. 0. 893, der Loxodromen 895.

Monogene Fkt. von mehreren Veränderlichen 817, als analytische Fkt. 820, integriert 818, 819, glichen mit einer speziellen Fkt.

[732.

821, ihre Ableitungen 820, von einer Veränderlichen als Lösung eines Systems von part. Dffgln. 670, 674, bei Isothermenscharen in der Ebene 729.

Multiplikatoren gew. Dffgln. 1. 0. 724, 859, geometrisch gedeutet 727, von gegebener Form 728, abgeleitet aus bekannten infinitesimalen Trfn. 738—741, insbes. bei der Eulerseben Dffgl. 730, insbes. von bom. Dffgln. 725, 739, inbes. von lin. Dffgln. 726, 741, insbes. bei Dffgln. für Iso-tbermenscharen 729, insbes. bei Dffgln. für Parallelkurven 727, Pfaffscher Dffgln. 872, bom. lin. part. Dffgln. 1. Ü. siehe Jacobi-sebe Multiplikatoren.

N.

Neue Veränderliche in eingliedrigen Gruppen 742, in gew. Dffgln. 1. 0. 714, 722, 723, in verkürzten lin. gew. Dffgln. 838. in hom. lin. part. Dffgl. 1. 0. und ihren Jacobischen Multiplikatoren 862, in Involutionssystemen 869, 870, kanonische 743, 744, 814, vermöge der Legendreschen und Eulerschen Trf. 890, in Integralen zur Verwandlung veränderlicher Grenzen in feste 907, 909, 911.

Normalenschar 780, 872.

Normalform eines Systems 1. 0. von gew. Dffgln. 665, 673, 689, 691, 692, 761—763, 765, 766, geometrisch gedeutet 667, 668, 761, mit einigen bekannten Integralen 765, worin die unabhängige Veränderliche nicht vorkommt, 678—685, 731—735, 742, 766—768, lin. hom. 769, 770, lin. hom. und mit konstanten Koeffizienten 771, 772, 775, 806, lin. 774, von spezieller Art 690, 765.

Normalform verkürzter lin. gew. Dffgln. 836.

0.

Orthogonale Trajektorien ebener Kurvenscharen 740, einer Kugelschar 765.

P.

Parabeln 715, 723, 747, 795, 797,

Parallele Geraden bei projektiven und insbes. lin. Trfn. 755. Parallelkurven 727. Parameter einer Schar von Trfn. Partielle Dffgl. 1. 0. 874—891, geometrisch gedeutet 874, ihre Charakteristiken 878, ihre charakteristischen Streifen 879, ihre Elementarkegel 874, 878, 893, ihre vollständigen Lösungen und deren Anwendung 876, 877, 881, die zu einer gegebenen vollständigen Lösung gehört, 876, integriert nach Lagrange und Monge 876, 877, 881, integriert nach Cauchy 882—887, 891, ihre singulären Lösungen 882, 888, zugeordnet einer Mongeschen Dffgl. 893—895, bei Ausführung der Legendreschen oder Eulerschen Trf. 890, der Flächen, die ein Ebenenbüschel unter konstantem Winkel schneiden, 895, siehe auch lin. und hom. lin. part. Dffgl. 1. 0.

Partielle Dffgln. höherer 0. 669.

Partikularlösungen siehe Lösungen.

Pfaf'fsche Dffgl. 871—873, geometrisch gedeutet 871, ihre Inte-grabilitätsbedingung 872, äquivalent mit einem vollständigen System 872, für vollständige Lösungen einer part. Dffgl. 1. 0. 881, als Spezialfall einer Mongeschen Dffgl. 892, hom. 873.

Poissons Satz über zwei hom. lin. part. Dffgln. 1. 0. 866.

Polarkoordinaten 714, 742, 744, 745.

Pole einer verkürzten lin. gew. Dffgl. 830, ihre Bedeutung für die Fortsetzung der Lösungen 834.

Polygon als Annäherung an eine Integralkurve 679—683.

Potenzfunktion im kompl. Bereiche 835.

Potenzreihen für monogene Funktionen 820.

Prinzip des letzten Multiplikators 864.

Projektive Trf. einer Veränderlichen 748, insbes. bei der Riccati-schen Dffgl. 749, insbes. bei der lin. gew. Dffgl. 1. 0. 750, zweier Veränderlicher 752, 753, 754,

[724, 859.

[900.

insbes. bei der Jacobischen Dffgl. 756, 757, 759, 760.

Pud kt-Tr f. 732, einmal erweitert 745, mehrmals erweitert 805.

Q-

Quadratur 674.

Quotient von Multiplikatoren

R.

Raum von mehr als drei Dimensionen 668, 768, 776.

Regulär als Gegensatz zu singulär siehe die Stichworte mit singulär.

Reguläre Stellen hei einer verkürzten lin. gew. Dffgl. 830.

Reguläres Verhalten einer Fkt. 820.

Riccatische Dffgl.allgemein 718, 749, 805, zur Berechnung der Differentialinvarianten 1. 0. 811, speziell 719, 846.

Rollen eines Kegelschnittes auf einer Geraden 799.

Rotationsfläche größten Volumens bei gegebener Meridianlänge 916, kleinster Fläche 900, 912, 915, kleinster Fläche bei gegebenem Volumen 917, konstanter Krümmung 798, konstanter mittlerer Krümmung 799, 917.

Rotationskegel als Fläche von der Krümmung Null 798.

S.

Schar von Trfn. 732, 733.

Schiebungen 735,    739,    740,

745—747.

Schleppkurve mit gerader Leitlinie 713.

Schmiegungsebenen der geodätischen Kurven 920.

Schwerpunkt einer ebenen Kurve

Simultane Dffgln. 662.

Singuläre Elemente höherer Ord. bei einer gew. Dffgl. 788.

Singuläre Flächenelemente einer lin. part. Dffgl. 1. 0. 854, einer part. Dffgl. 874.

Singuläre Integralflächen einer lin. part. Dffgl. 1. 0. 854, einer part. Dffgl. 1. 0. 874, 877, 882, 888, einer part. Dffgl. 1. 0. als Einhüllende 877.

Singuläre Integralkurven einer gew. Dffgl. 1. 0. 708, 710—712, 721, insbes. als Einhüllende 710, insbes. als Grenzlage regulärer 712, insbes. unter Umständen wichtiger als die regulären 721, einer gew. Dffgl. höherer 0. 788, insbes. als Einhüllende höherer 0. 789, 790, insbes. unter Umständen wichtiger als die regulären 804, eines Systems 1. 0. von gew. Dffgln. 777, insb. als Einhüllende 778, 779, siehe auch singuläre Lösung.

Singuläre intermediäre Integralgleichungen 792.

Singuläre Linienelemente einer gew. Dffgl. 1. 0. 708, eines Systems 1. 0. von gew. Dffgln. 777.

Singuläre Lösung einer gew. Dffgl. 1. 0. 708, 710—712, 777, insbes. der Clairautschen 720, 721, einer gew. Dffgl. höherer 0. 788—791, einer lin. part. Dffgl. 1. 0. 854, einer part. Dffgl. 1. 0. 874,882,888, 891, siehe auch singuläre Integralkurven und -flächen.

Singuläres Lösungensystem eines Systems 1. 0. von gew. Dffgln. 777, gewonnen durch Einhüllung 778, 779.

Sinusschwingungen 795.

Sphärische Loxodromen 895.

Stationäre Strömung in der Ebene 666, 734, im Raume 667, im Raume von n Dimensionen 668.

Stelle der Bestimmtheit 837.

Stetige Fkt. von mehreren Veränderlichen 817, in der Umgebung einer Stelle, wo sie nicht verschwindet, 693, 817.

Strahlen als Integralkurven 667.

Streckungen 733, 735, 739, 740, 744, 746, 747.

Stromlinien siehe stationäre Strömung.

Symbol einer inf. Trf. von zwei Veränderlichen 735, von »Veränderlichen 767, bei Einführung neuer Veränderlicher 742, lin. 754, lin. hom. 775, projektiv 751, 753, 754, insbes. einer Drehung, Schiebung oder Streckung 735.

Symbol d. hom. lin. part. Dffgl. 1. 0. 862.

System 1. 0. von gew. Dffgln. in der Normalform 665, 673, 689, 691, 692, 761—763, 765, 766, 777, geometrisch gedeutet 667,

U.

wo

668, 761, 764, mit einigen bekannten Integralen 765, frei von der unabhängigen Veränderlichen 677—685, 781—735, 742, 766— 768, 688, für d. charakteristischen Streifen 858, 879, 882, 891, von spezieller Art 690, 753, 765, siehe auch lin. und lin. hom. Systeme.

System 1. 0. von gew. Dffgln. allgemein 701, 776—779, als Ersatz eines Systems höherer 0. 663, 664, seine Normalform 665, 673, Clairautsches 780.

System höherer 0. von gew. Dffgln. 662, 702, zurückgeführt auf ein System 1. 0. 663.

System von hom. lin. part. Dffgln. 1. 0. 865—870, vollständig 867 — 870, in ein Involutionssystem verwandelt 868—870.

System von part. Dffgln. 669.

System von totalen Dffgln. 671, zurückgeführt auf ein System in der Normalform 768, linear und homogen 775.

System von Lösungen usw. siehe Lösungensystem usw.

T.

Tangente in Räumen von mehr als drei Dimensionen 668.

Tangentenflächen, die eine Kugel einhüllen, 880.

Tangenten winkel ebener Kurven 666, als unabhängige Veränder-licho y 22

Totale Dffgln. 671, 672, 676, 677, äquivalent vollständigen Systemen 870, s. auch Pfaffsche und Mongesche Dffgl.

Traktrix 713, 740, 797, 798, 900.

Transformation der Linienelemente 745—747, der Elemente höherer 0. 807.

Transformation vonLegendre und Euler 890.

Transformation von Veränderlichen 732, 745, 767, erweitert 745, 807, siehe auch inf., lin., projektive Trf.

Trennnung der Veränderlichen 713, 743.

Triviale inf. Trfn. 739, 741.

Überdeckung des Bereiches durch Integralkurven 703, 707, 761, 764, 776, der Brennfläche durch singuläre Integralkurven 779.

Umgebung einer Stelle, eine stetige Funktion nicht verschwindet, 693, 817.

Unabhängige Integrale eines Systems 1. 0. von gew. Dffgln. 781, einer gew. Dffgl. 781, 782.

Unabhängigkeithom. lin. part. Dffgln. 1. 0 865.

Unendlich ferne Gerade als Integralkurve 750, beilin.Trf. 755.

Unendlich ferner Punkt bei lin. Trf. 755.

Unentwickelte Funktion von einer Veränderlichen 694, von mehreren Veränderlichen 696 bis 699, ihre Ableitungen 695—697, 699, im kompl. Bereiche 826.

V.

Variabilitätsbereich einer Fkt. von mehreren kompl Veränderlichen 817, siehe auch Bereich.

Variation der Konstanten 774, 805, von Funktionen 897, von Integralen 897, 898, 902, 904, 908, 913, 918, insbes. die erste 897, 902, 904, 908, insbes. die nte 897.

Variationsrechnung 896—920.

Verallgemeinerung des Begriffs der Integration 674, der Clairaut-sche Dffgl. 780, 803, 889.

Vergleichungsfunktion f. eine monogene Fkt. 821.

Verkürzte lin. gew. Dffgl. 1. 0. 716, 741.

Verkürzte lin. gew. Dffgl. höherer 0. 805, im kompl. Bereiche 830, integriert in der Umgebung einer regulären Stelle 831—833, integriert mit Hinzuziehung einer Potenzfunktion 835—841, ihre determinierende Gleichung 837, 838, ihre Normalform 836, 838, ihre Stellen der Bestimmtheit 837,838, vereinfacht mittels bekannter Lösungen 847, Determinante ihrer Partikularlösungen und der Ableitungen dieser 849, 2. 0. 849, andere spezielle Fälle 839, 842—845, 850, mit konstanten Koeffizienten 806.

Verkürztes lin. System 1. 0. in der Normalform 774, mit konstant. Koeffizienten siehe d’Alem-bertsches System.

[830.

Verschwinden der ersten Variation 897, 902, 904, 908.

Vertauschbare Trfn. 732.

Vollständiges Differential gleich Null 713, des Integrals einer gew. Dffgl. 1. 0. 713, 724, 738.

Vollständige Integration 661. 662, 669, 671.

Vollständige Lösung einer part. Dffgl. 1. 0. 876, ihre Berechnung 881, zur Bestimmung der regulären Lösungen 876, 877, zur Bestimmung der singulären Lösungen 877, 888.

Vollständiges System von hom. lin. part. Dffgln. 1. 0. 867—870,

als Involutionssystem 868, integriert 869, zweigliedrig 870, 872. Vollständiges System von Integralen 763.

W.

Winkeltreue Trf. 729, 740. TF-Kurven 759, 760. Wesentlich singuläre Stellen Wesentliche willkürliche Konstanten in einer Fkt. 786.

Z.

Zentrafläche 780.

Zykloiden 711,797,901, 906, 912. Zylinder 857.

42

Serret-Sckeffers, Diff.- u. Integral-Rechnung. III. 3. Aufl.

Berichtigungen.

Man beachte außer den folgenden Berichtigungen auch die in den beiden ersten Bänden schon angegebenen.

Zum ersten Bande (in der 4. u. 5. Auflage). Seite 558, Zeile 5 von unten lies: Moduls.

„ in der zweiten Spalte: Funktionen.

„    619,    „

Zum zweiten Bande.

Seite 39, Zeile 15 von unten lies: (3) statt (2).

„ tg \ x = t.

„    AX statt Ax.

„    \AX,<^h statt \AF\<^h.

,, fehlt beim zweiten Integralzeichen die obere Grenze X.

„ lies: x statt fa.

10 „

11

11

343,    „

498,    „

„    501,    „

11

11

15    „

14    „ oben sind die Striche auf den rechten Seiten der

Ungleichungen nicht nötig.

16    bis 11 von unten ist die Behauptung, daß p— q kon

stant bleibt, nur für solche Wege c richtig, die den bald darauf erwähnten Integrationsweg x nicht tveifen.

5 von unten lies: dx statt: du.

„ der Differenz statt: des Differentials.

Zum dritten Bande.

Seite 69, Zeile 5 von unten lies zu Anfang: stetig.

„    105 beachte man bei Satz 6 die in Nr. 777 am Schlüsse angegebene

Korrektur.

„    281 in Formel (6) lies: A statt A.

„    335, Zeile 15 von unten lies: Konstanten.

„    379,    „    12    „

,,    „ Differentialgleichung.

425

„    —,    „    ~    „ oben „    (1) statt (2).

„    426 ist die Formelnummer (11) zu streichen.

Verlag von B. Gr. Teubner in Leipzig und Berlin.

Ahrens, Dr. W., in Magdeburg, mathematische Unterhaltungen und Spiele. Mit 1 Tafel und vielen Figuren. [X u. 428 S.] gr. 8. 1901. In 2 Hälften geh. je n. J 5.— In Original-Leinwandband mit Zeichnung von P. Bürck in Darmstadt. (2. Auflage in Vorbereitung.) n. JC. 10.—

- Kleine Ausgabe: Mathematische Spiele. 170. Band der

Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher Darstellungen „Aus Natur und Geisteswelt“. Mit einem Titelbild und 69 Figuren. [VI u. 118 S.] 8. 1907. Geh. n. JC 1.—, in Leinwand geb. n. JC. 1.25.

und die er, wo nur

„Der Verfasser derselben wollte sowohl den Fachmann, den der theoretische Kern des Spieles interessiert, als den mathematisch gebildeten Laien befriedigen, dem es sich um ein anregendes Gedankenspiel handelt; und er hat den richtigen Weg gefunden, beides zu erreichen. Dem wissenschaftlichen Interesse wird er gerecht, indem er durch die sorgfältig zusammengetragene Literatur und durch Einschaltungen mathematischen Inhalts die Beziehungen zur Wissenschaft herstellt; dem Nichtmathematiker kommt er durch die trefflichen Erläuterungen entgegen, die er der Lösung der verschiedenen Spiele zuteil werden läßt, irgend nötig, durch Schemata, Figuren und dergleichen unterstützt.“

(Professor Czub er in der Zeitschrift für das Realschulwesen.)

Archiv der Mathematik and Physik mit besonderer Rücksicht auf die Lehrer an höheren Unterrichtsanstalten sowie die

Studierenden der Mathematik und Physik. Gegründet 1841 durch J. A. Grunert. III. Beihe. Im Anhänge: Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft. Herausg. von E. Lampe in Berlin, W. Franz Meyer in Königsberg in Pr. und E. Jahnke in Berlin. 1909/10. 15. Band. gr. 8. Preis für den Band von 24 Druck-

bogen in 4 Heften

n. JC. 16 . —

Das Archiv ist das einzige Organ, das sich nicht nur die Erweiterung der mathematischen Erkenntnis, sondern auch die Verbreitung mathematischer Forschung als Ziel steckt. Zur Fesselung des Leserkreises sollen auch solche Aufsätze gebracht werden, die die Kenntnisnahme und das Verständnis der neueren mathematischen Anschauungen und Entdeckungen vermitteln.

Um zu selbständigen Arbeiten anzuregen, werden Aufgaben zu stellen versucht, die dem Stoffe des Hochschulunterrichts entnommen sind. Die Namen der Einsender richtiger Lösungen werden in den nächsten Heften veröffentlicht. Bearbeitungen, die sich durch Originalität und Eleganz der Darstellung auszeichnen, werden, soweit der Platz verfügbar ist, zum Abdruck gelangen. Durch die Mannigfaltigkeit der Gaben soll vor allem die Langweiligkeit und die Kleinigkeitskrämerei aus dem Archiv verbannt werden.

Borei, Dr. E., Professor an der Sorbonne zu Paris, die Elemente der Mathematik. Deutsche Ausgabe, besorgt von P. Stäckel, Professor in Karlsruhe i. B. 2 Bände, gr. 8.

ii.

I. Band: Arithmetik und Algebra. Mit 57 Figuren und 3 Tafeln. [XVI u. 431 S.] 1908. In Leinwand geb. n. Jt 8.60.

— Geometrie, [ca. 350 S.] [Unter der Presse.]

Die Vorschläge zu einer Reform des Unterrichtes in den Elementen der Mathematik, die neuerdings seitens der Unterrichtskommission der Gesellschaft Deutscher Naturforscher und Ärzte gemacht worden sind, hatten in Frankreich bereits seit 1900 in den offiziellen Lehrplänen Verwirklichung gefunden. Auf dieser modernen Grundlage hat E. Borei seine vortrefflichen Lehrbücher aufgebaut, die in Frankreich weite Verbreitung gefunden haben. Es erschien daher angebracht, diese Elemente der Mathematik in einer den deutschen Verhältnissen angepaßten Bearbeitung dem deutschen Publikum zugänglich zu machen.

Burkhardt, Dr. H., Professor an der Universität München, Vorlesungen über die Elemente der Differential- und Integralrechnung und ihre Anwendung zur Beschreibung von Naturerscheinungen. Mit 38 Figuren. [XII u. 252 S.] gr. 8.    1907. Geb.

n. JC. 6 . —

Verlag von B. G. Tenbner in Leipzig und Berlin.

Das Bach gibt eine Darstellung der Elemente der höheren Analysis, die nach Möglichkeit den Bedürfnissen der Studierenden sowohl der Mathematik wie auch der Naturwissenschaften, insbesondere auch der Chemie gerecht werden soll. Aus diesem Grunde mußte einerseits der Stoff den letzteren in für sie genießbarer Eorm dargeboten, also auf Arithmetisieren verzichtet werden; andrerseits mußte erreicht werden, daß auch die ersteren nicht in die Notwendigkeit versetzt werden, das, was sie in der elementaren Vorlesung gelernt haben, später

wieder verlernen zu müssen. Verfasser hat diesem Ziele nahe zu kommen

dureh

geglaubt

sorgfältige Auswahl des Stoffes, ausführliche Entwicklung der fundamentalen Begriffe an konkreten Problemen und verschiedene Abänderungen in der herkömmlichen Anordnung.

Das Werkchen, das zunächst auf die besonderen Verhältnisse einer kleinen Universität zugeschnitten ist, dürfte doch auch anderwärts von Nutzen soin; namentlich auch Lehrern, die sich über die Frage der Tunlichkeit der Einführung der Elemente der Differentialrechnung in den Schulunterricht ein Urteil zu bilden wünschen. Doch ist es nicht als Schulbuch gedacht, auch nicht als ein Buch für Techniker, sondern vor allem als ein Buch für Studenten der Universitäten in den ersten Semestern.

Czuber, Hofrat Dr. E., Professor an der Technischen Hochschule zu Wien, Vorles un gen über Differential-und Integralrechnung. 2 Bände. 2., sorgfältig durchgesehene Auflage, gr. 8. 1906. In Leinwand geh.

I. Band. Mit 115 Figuren. [XIV u. 560 S.] n. M. 12.—

II.

Mit 87 Figuren. [VIII u. 532 S.] n. M 12.—

Das Werk verfolgt das Ziel, eine Darstellung der theoretischen Grundlagen der Infinitesimalrechnung in organischer Verbindung mit deren Anwendungen, insbesondere den geometrischen, von solchem Umfange zu geben, als es einerseits für da3 Studium jener angewandten Disziplinen, in welchen die Mathematik den Grund zu legen hat, erforderlich ist, und als es andererseits die Vorbereitung für das Eintreten in Spezialgebiete der Analysis voraussetzt. Es hat in erster Linie die Bedürfnisse der technischen Hochschulen im Auge, wird aber auch von Studierenden der Mathematik im engeren Sinne mit Nutzen gebraucht werden können, denn die reichliche Bedachtnahme auf die Anwendung der theoretischen Sätze ist wesentlich geeignet, das Verständnis der Theorie zu fördern und zu vertiefen.

Die zweite Auflage weist gegenüber der ersten einige größere Erweiterungen im Inhalt auf, insofern u. a. im ersten Bande die hyperbolischen Funktionen und der Begriff der Funktion einer komplexen Variablen, im zweiten Bande die Theorie der Eulerschen Integrale, der Fourierschen Reihen, die Moment- und Schwerpunktsbestimmungen und die Sätze von Green hinzugeftigt wurden.

- Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung auf

Fehlerausgleichung, Statistik und Lebensversicherung. 2. Aufl. in 2 Bänden.

ii.

I. Band Wahrscheinlichkeitstheorie. Fehlerausgleichung. Kollektivmaßlehre. Mit 18 Figur [X u. 410 S.] gr. 8. 1908. In Leinwand geh. n. Ji. 12.—

— [Unter der Presse ]

Das vorliegende Buch gibt eine Darstellung der Wahrscheinlichkeitstheorie zusammen mit ihren hauptsächlichsten Anwendungsgebieten: Fehierausgleichung, mathematische Statistik und Lebensversicherungsrechnung.

In dem grundlegenden ersten Teil wird auf die fundamentalen Fragen der Wahrscheinlichkeitsrechnung eingegangen; eine große Auswahl von Problemen, darunter selbstverständlich die klassischen, ist dazu bostimmt, in den Geist der WahrscheinUchkeitssätze und ihren richtigen Gebrauch einzuführen.

Der zweite Teil begründet die Fehlortheorie und die aus ihr entspringende Methode der kleinsten Quadrate; Beispiele aus verschiedenen Wissenszweigen geben eine zureichende Vorstellung von der Verwendung dieses wichtigen Instruments zur Bearbeitung von Beobach-tungs ergebnissen.

Im dritten Teile werden die modernen Hilfsmittel der wissenschaftlichen Beurteilung und Ausnützung von Erfahrungstatsachen auf statistischem Gebiete erörtert ; die Probleme der Sterblichkeits- und Invaliditätsmessung stehen im Vordergründe der Betrachtung.

Der vierte Teil erklärt das Wesen und behandelt alle belangreichen Probleme der Lebensversicherungsrechnung; um auch einen Einblick in die Auswertung der hier maßgebenden Formeln und die auftretenden Zahlwerte zu gewähren, sind Tabellen und Rechnungsbeiepiele in größerer Zahl eingefügt.

Encvklopädie der Mathematischen Wissenschaften, mit Einschluß ihrer Anwendungen. Herausgegeben im Aufträge der Akademien der Wissenschaften in Göttingen, Leipzig, München und Wien, sowie unter Mitwirkung zahlreicher Fachgenossen. In 7 Bänden. Jährlich etwa 6 Hefte, gr. 8. Geh. und in Halbfranz geb.

Verlag von B. GL Teubner in Leipzig nnd Berlin.

I. Band: Arithmetik nnd Algebra, in 2 Teilen, red. v. W. Pr. Meyer.

Analysis, in 2 Teilen, red. y. H. Burkhardt und W. Wirtinger. Geometrie, in 3 Teilen, red. v. W. Pr. Meyer.

Mechanik, in 4 Teilhänden, red. v. P. Klein und C. H. Müller.

Physik, in 3 Teilen, red. v. A. Sommerfeld.

1: Geodäsie und Geophysik, in 2 Teilbänden, red. y. Ph. Purtwängler und E. Wiechert.

II.

ITI.

IY.

Y.

YI.

VI.

VII.

2: Astronomie, red. y. K. Schwarzschild.

— Geschichte, Philosophie, Didaktik. Kedaktion unbestimmt.

[I ist erschienen, II—VI im Erscheinen begriffen, VII in Vorbereitung.] Ausführlichen Prospekt bittet man vom Verlag zu verlangen.

Aufgabe der Encyklopädie ist es, in knapper, zu rascher Orientierung geeigneter Porm, aber mit möglichster Vollständigkeit eine Gesamtdarstellung der mathematischen Wissenschaften nach ihrem gegenwärtigen Inhalt an gesicherten Resultaten zu geben und zugleich durch sorgfältige Literaturangaben die geschichtliche Entwicklung der mathematischen Methoden seit dem Beginn des 19. Jahrhunderts naehzuweisen. Sie beschränkt sich dabei nicht auf die sogenannte reine Mathematik, sondern berücksichtigt auch ausgiebig die Anwendungen auf Mechanik und Physik, Astronomie und Geodäsie, die verschiedenen Zweige der Technik und andere Gebiete, und zwar in dem Sinne, daß sie einerseits den Mathematiker darüber orientiert, welche Prägen die Anwendungen an ihn stellen, andererseits den Astronomen, Physiker, Techniker darüber, welche Antwort die Mathematik auf diese Prägen gibt. In sieben Bänden zu je etwa 640 Druckseiten sollen die einzelnen Gebiete in einer Beihe sachlich geordneter Artikel behandelt werden ; der letzte Band soll ein ausführliches alphabetisches Register enthalten. Auf die Ausführung von Beweisen der mitgeteilten Sätze muß natürlich verzichtet werden.

Die Ansprüche an die Vorkenntnisse der Leser sind so gehalten, daß das Werk auch demjenigen nützlich sein kann, der nur über ein bestimmtes Gebiet Orientierung sucht.

Enriques, Dr. F., Professor an der Universität Bologna, Probleme der Wissenschaft. Deutsch von K. Greiling in Göttingen. [ca. 20Bg.] 8.    1909. In Leinw. geh.

[In Vorbereitung.]

„Unter dem bescheidenen Titel ,Probierni della scienza¹ bietet Enriques nicht weniger als eine vollständige Theorie der Erkenntnis. Diese 600 Seiten sind so reich an Gedanken, berühren so viele Prägen und werfen so viele Probleme auf, daß man nicht an eine erschöpfende Inhaltsangabe denken darf. Keine Anzeige könnte die Lektüre des Buches ersetzen.“

(Pierre Boutroux in der Rivista di Scienza.)

Gruudlehreu der Mathematik. Für Studierende und Lehrer. In 2 Teilen.

Mit vielen Textfiguren, gr. 8. In Leinwand geh.

I. TeU: Die Grundlehren derArithmetik und Algebra. Bearbeitet von C.P är b e r und E.Netto. 2 Bände. (In Vorbereitung.)

II. Teil: Die Grundlehren der Geometrie. Bearbeitet von H.Thieme und W Prz. Meyer. 2 Bände.

1. Band: Die Elemente der Geometrie. Von Dr.Hermann Thieme, Professor an der Kgl. Berger-Oberrealschule in Posen. Mit 323 Textfiguren. [XII u. 394 S.] M. 9.—

[In Vorbereitung.]

Die „Grundlagen der Mathematik“ sind als ein, dem heutigen Stande der Wissenschaft entsprechendes Gegenstück zuR. Baltzers „Elementen der Mathematik“ gedacht. Sie bilden kein Handbuch, in dem aller irgendwie wissenswerte Stoff aufgespeichert wurde, sondern sie sind in erster Linie dem Unterricht, und zwar auch dem Selbstunterricht gewidmet. Tieferen Prägen suchen sie durch gelegentliche Ausblicke gerecht zu werden. Nicht minder soll auch den historischen Interessen Rechnung getragen werden durch die Angabe der wichtigsten Momente in der zeitlichen Entwicklung der einzelnen Theorien.

Speziell ist der zweite Teil in freier Darstellung den Grundlagen, Grundzügen und Grundmethoden der Geometrie gewidmet. Im ersten Bande (Verfasser H. Thieme) erhalten die „Elemente“, einschließlich der analytischen Geometrie der Ebene, gerade durch das sorgfältige Eingehen auf das Axiomatische, ihre charakteristische Pärbung, ohne daß die praktischen Forderungen des Lehrstoffes vernachlässigt würden. Der zweite Band (Verfasser W. Pr. Meyer) wird unter Heranziehung der Hilfsmittel der modernen Algebra (und auch P'unktionentheorie) die Geometrie der „Transformationen“ behandeln, wobei mit Rücksicht auf deu zur Verfügung stehenden Raum eine beschränkte Auswahl von selbst geboten ist.

Höfler, Dr. A., Professor an der Universität Wien, Didaktik des mathematischen Unterrichts. A. u. d.T.: Didaktische Handbücher für den realistischen Unterricht an höheren Schulen. Herausgegeben von A. Höfler und F. Poske. Band I. [ca 500 S.] gr. 8. In Leinwand geb. [Erscheint Juli 1909.]

Serret-Scheffers, Diff.- u. Integral-Rechnung. III. 3. Aufi.

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin.

Dieser erste Band der Sammlung didaktischer Handbücher für den realistischen Unterricht will Impulse geben, um die von Klein verlangte „zeitgemäße Umgestaltung des mathematischen Unterrichtes“ in die Wirklichkeit umzusetzen. Vorbildlich sind die von Gutzmer auf der Meraner Naturforscherversammlung 1905 erstatteten Vorschläge. Im zweiten, ausführlichsten Teile werden Lehrproben, Lehrgänge, Lehrpläne als konkrete Beispiele seiner neuen Unterrichtspraxis vorgeführt. Im ersten Teile werden die Wege und Ziele eines solchen mathematischen Unterrichtes skizsiert; im dritten folgen Blicke in die Grenzgebiete der didaktischen Psychologie, Erkenntnis- und Bildungslehre.

Killing, Geheimer Regierungsrat Dr. W., Professor an der Universität Münster i. W., und Dr. H. Hovestadt, Professor am Realgymnasium zu Münster i. W., Handbuch des mathematischen Unterrichts, [ca. 330 S.] gr. 8. In Leinw. geh. [Band I erscheint Juli 1909, Band II in Vorb.]

Das Werk, dessen erster Band im Manuskript vorliegt, will einem doppelten Zweck dienen: der Vermittlung zwischen Wissenschaft und Unterricht sowie der Auswahl passender methodischer Lehrgänge. Die Verfasser sind der Ansicht, daß der Unterricht leide, wenn seine Beziehungen zur Wissenschaft sich lockern. Dagegen liefert eine genaue Kenntnis der Grundlagen der elementaren Mathematik wesentliche Gesichtspunkte für den Unterricht. Außerdem will das Buch zum Nachdenken über den Unterricht anregen. Es wägt die Vorteile und Mängel verschiedener Methoden gegeneinander ab, damit der Lehrer mit klarer Erkenntnis auswähle, was seiner Persönlichkeit und dem Standpunkt der Schüler am besten entspricht.

n. JL 8. —

Müller, Dr. F., Professor in Dresden, Führer durch die mathematische Literatur. Mit besonderer Berücksichtigung der historisch wichtigen Schriften. [X u. 252 S.] gr. 8. 1909. Geh. n. Jl. 7.—, in Leinwand geh.

Das Buch gibt eine systematische Übersicht über diejenigen Einzelwerke und Journalabhandlungen aus der reinen Mathematik, deren Kenntnis dem Studierenden unentbehrlich ist. Besondere Berücksichtigung haben die historisch wichtigen Schriften gefunden sowie auch die Zeitschriften-Literatur und die Enzyklopädien. Der Studierende, welcher Vorlesungen über eine spezielle Disziplin besucht, wird in den Stand gesetzt, die Quellen dieser Disziplinen, die Originalarbeiten, die Lehrbücher, die Aufgabensammlungen, die Tafeln usw., auf welche in der Vorlesung oft nur in Kürze hingewiesen werden kann, mit Leichtigkeit aufzufinden. Auch weist der Führer auf Studienwerke für diejenigen Disziplinen hin, über welche nicht gelesen wurde.

Perry, Dr. J., F. R. S., Professor der Mechanik und Mathematik am Royal College of Science zu London, höhere Analysis für Ingenieure. Autorisierte deutsche Bearbeitung von Dr. Robert Fricke, Professor an der Technischen Hochschule zu Braunschweig, und Fritz Süchting, Direktor des Elektrizitätswerkes in Bremen. Mit 106 Fig. [Xu. 423 S.] gr. 8. 1902. In Leinw. geh. n. JÜ. 12.—

Das Buch soll sowohl den Studierenden an den technischen Hochschulen zur Vorbereitung oder Ergänzung der mathematischen Vorlesungen dienen als auch dem praktischen Ingenieur in Fällen, wo ihn seine mathematische Bildung" im Stiche zu lassen droht.

Die Bedeutung des Buches ist in dem Umstande begründet, daß der Verf. Ingenieur ist und dementsprechend die mathematischen Begriffsbildungen fortgesetzt in die Sprache und Vor-steUungsweise des Ingenieurs einzukleiden befähigt ist, daß er aber andrerseits die richtige Würdigung der Mathematik in ihrer Bedeutung für die technischen Wissenschaften besitzt. Die beiden ersten Kapitel handeln nur von den allereinfachsten Funktionen, aber mit reichlichen Ausführungen an Beispielen, welche den verschiedensten Gebieten der Technik entnommen sind. Im dritten Kapitel sind schwierigere Aufgaben und Lehrsätze für diejenigen zusammengestellt, welche sich eine über das Notwendigste hinausgehende mathematische Bildung aneignen wollen.

n. JL 3.—

Pfaundler, Hofrat Dr. L., Professor an der Universität Graz, das chinesisch-japanische Go-Spiel. Eine systematische Darstellung und Anleitung zum Spielen desselben. Mit einem Deckelbildehen und zahlreichen erklärenden Abbildungen im Texte. [VI u. 74 S.] 8. 1908. In Leinwand geb.

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Anknüpfend an das Interesse, welches hervorragende Mathematiker, wie Leibnitz, Euler, Gauß, Hamilton u. a. an geistreichen Brettspielen genommen haben, gibt der Verfasser, fußend auf Mitteilungen von Korschelt und eine Vorarbeit von Schurig, sowie auf japanische Originalwerke eine systematische DarsteUung des über 3000 Jahre alten Go-Spieles, dąs ältesten und neben dem Schach geistreichsten Brettspieles der Welt. Beigefügt ist eine Anleitu Spiele nebst einer Auswahl von Problemen und Musterpartien. Die zahlreichen Abbildungen und eine Titelvignette sollen das Verständnis fördern.

Verlag von B. Gr. Teubner in Leipzig und Berlin.

Picard, E., Membre de l’Institut de France, das Wissen unserer Zeit in Mathematik und Naturwissenschaft. Deutsch von'F. u. L. Lindemann. [ca. 280 S.] 8. 1909. In Leinwand geh.

[Unter der Presse.]

Der Verfasser hat versucht, in diesem Buche eine zusammenfassende Übersicht über den Stand unseres Wissens in Mathematik, Physik und Naturwissenschaften in den ersten Jahren des 20. Jahrhunderts zu gehen Eine kurze, mit historischer Bemerkung begleitete Darstellung des gegenwärtigen Standes dieser Wissenschaften, ihrer Methoden und ihrer Ziele vermag besser als abstrakte Abhandlungen verständlich zu machen, was die Gelehrten suchen, welche Vorstellung man sich von den genannten Wissenschaften bilden soll, und was man von ihnen erwarten kann. Man findet in diesem Buche die verschiedenen Gesichtspunkte, unter denen man heute den Begriff der wissenschaftlichen Erklärung, betrachtet, ebenso wie die Rolle, die hierbei die Theorien bilden, eingehend diskutiert.

Poincaré, H., Membre de l’Académie de France, Wissenschaft und Hypothese. Autorisierte deutsche Ausgabe mit erläuternden Anmerkungen von F. und L. Lindemann. 2. verbesserte Aufl. [XVI u.

346 S.] 8. 1906. In Leinw. geb.

n. Jt. 4.80.

Wenige Forscher sind sowohl in der reinen als in der angewandten Mathematik mit

war den

gleichem Erfolge tätig gewesen, wie der Verfasser des vorliegenden Werkes. Niemand daher mehr als er berufen, sich über das Wesen der mathematischen Schlußweisen und erkenntnistheoretischen Wert der mathematischen Physik im Zusammenhänge zu äußern. Und wenn auch in diesen Gebieten die Ansichten des einzelnen zum Teil von subjektiver Beanlagung und Erfahrung abhängen, werden doch die Entwicklungen des Verfassers überall ernste und volle Beachtung finden, um so mehr, als sich derselbe bemüht, auch einem weiteren, nicht ausschließlich mathematischen Leserkreise verständlich zu werden, und als ihm dies durch passende und glänzend durchgeführte Beispiele in hohem Maße gelingt. Die Erörterungen erstrecken sich auf die Grundlagen der Arithmetik, die Grundbegriffe der Geometrie, die Hypothesen und Definitionen der Mechanik und der ganzen theoretischen Physik in ihrer neuesten Entwicklung sowohl, als in ihrer klassischen Form.

Um dem allgemeinen Verständnisse noch mehr entgegenzukommen, sind der deutschen Ausgabe durch den Herausgeber zahlreiche Anmerkungen hinzugefügt, die teils einzelne Stellen des Werkes näher erläutern, teils durch literarische Angaben dem Leser die Mittel zu weiterem Studium der besprochenen Fragen an die Hand geben.

—-— der Wert der Wissenschaft. Mit Genehmigung des Verf.

ins Deutsche übertragen von E. Weber. Mit Anmerkungen und Zusätzen von H. Weber, Professor in Straßburg i. E., und einem Bildnis des Verf. [V u. 252 S.]    8. 1906. In Leinwand geb.n. Jt 3.60.

Das vorliegende Werk hat ähnliche Ziele wie das vorstehende Werk „Wissenschaft und Hypothese“ desselben Verfassers, bietet aber ein für sich abgeschlossenes Ganze, dessen Verständnis durch die meisterhafte Sprache und die kunstvolle Darstellung auch den Laien zugänglich ist.

Der Verfasser gibt im ersten Teil eine Darlegung seiner Anschauungen, wie in uns die Vorstellungen von Raum und Zeit entstanden sein könnten. Der zweite Teil enthält eine Darstellung des gegenwärtigen Standes der Physik und der besonders durch die neuen Untersuchungen über Elektrizität hervorgerufenen Krisis, in der die früher für vollständig gesichert gehaltenen Prinzipien ins Wanken geraten sind, und die merkwürdigerweise auf die philosophischen Anschauungen der Zeit zurückgewirkt haben. Auch der Laie wird sich aus dieser Darstellung eine richtige Vorstellung von dem Inhalt der Fragen, um die es sich dabei handelt, bilden können. Der dritte Teil endlich mündet wieder in den Ausgangspunkt ein und kehrt zu der durch den Titel des Werkes gestellten Frage nach dem Wert der Wissenschaft zurück, indem er das Verhältnis der Wissenschaft zur Wirklichkeit einer Untersuchung unterwirft.

Die der deutschen Ausgabe beigefügten Anmerkungen haben teils den Zweck, Einzelheiten, die dem deutschen Leser vielleicht weniger zur Hand sind, zu erläutern, teils die behandelten Fragen noch aus einem etwas anderen Gesichtspunkt zu betrachten.

Schriften, mathematische und physikalische für Ingenieure und Studierende. Herausgegeben von Dr. E. Jahn be, Professor an der Kgl. Bergakademie zu Berlin. In Bänden zu 5—6 Bogen. 8. Steif geh. u. in Leinwand geb.

Bisher erschien Band:

I. Einführung in die Theorie des Magnetismus. Von Dr. R. Gans, Privatdozent an der Universität Tübingen. Mit 40 Textfiguren [VI u. 110 S.] 1908 Steif geh. n. M. 2.40, in.Leinwand geb. u. M. 2.80.

Verlag von B. GL Teubner in Leipzig und Berlin.

II. Elektromagnetische Ausgleichsvorgänge in Freileitungen und Kabeln. Von K. W. Wagner, Ingenieur in Charlottenburg. Mit 23 Textfiguren. [IV u 109 S.]    1908. Steif geh. n. dl. 2.40, in Leinwand geh ń. dl. 2.80.

III.    Einführung indie Maxwellsche Theorie der Elektrizität und des Magnetismus. Von Dr. Cl. Schaefer, Privatdozent an der Universität Breslau. Mit Bildnis J. C. Maxwells und 32 Textfiguren. [VIII ir. 174 S.] 1908. Steif geh. n. dl. 3.40, in Leinwand geh. n. dt. 3.80.

IV.    Die Theorie der Besselschen Funktionen. Von Dr. P. Schafheitlin, Professor am Sophien-Realgymnasium zu Berlin. Mit 1 Figurentafel. [V u. 129 S.] 1908. Steif geh. n. dl. 2.80, in Leinwand geh. n. dl. 3.20.

V. Funktionentafeln mit F or mein und Kurv en. Von Dr. E. Jahnke, Professor an der Kgl. Bergakademie zu Berlin, und F. Emde, Ingenieur in Berlin. Mit 53 Fig. [XII u. 176 S.]    1909. Steif geh, in Leinwand geh.

Bände in Vorbereitung.

Tannery, J., Professor an der Universität Paris, Subdirektor der École normale supérieure zuParis, Elemente der Mathematik. Mit einem geschichtlichen Anhang von P. Tannery. Autorisierte deutsche Ausgabe von Dr. P. Klaess, Gymnasiallehrer in Echternach (Luxemburg). Mit einem Einführungswort von Felix Klein und 184 Textfiguren. [XII u. 364 S.] gr. 8. 1909. Geh. n. Ji. 7.—, in Leinwand geb. n. Jl. 8.—

Das vorliegende Buch entspricht den neuen französischen Lehrplänen von 1902 und behandelt das mathematische Pensum der Philosophie-Klasse. Aus dem reichen Inhalte des Werkes seien einige der bemerkenswertesten Kapitel hervorgehoben: algebraische Geometrie, Koordinaten, empirische Kurven, graphische Darstellung der Funktionen (graphische Fahrpläne), graphische Methoden zur Auflösung der Gleichungen, Elemente der Differential- und Integralrechnung, Grenzwerte, Reihen. — In ebenso klassischer Form behandelt am Schlüsse der Bruder des Verfassers, P. Tannery, einige wichtige Kapitel der Geschichte der Mathematik; sie beziehen sich meistens auf die im Buche selbst behandelten Fragen.

Taschenbuch, für Mathematiker und Physiker, unter Mitwirkung von Fr. Auerbach, 0. Knopf, H. Liebmann, E. Wölffing u. a. herausg. von Felix Auerbach. Mit 1 Bildnis Lord Kelvins. [XLIVu. 450 S.]    8. I. Jahrgang 1909. In Leinwand geb. n. Ji 6.—

Während es Taschenbücher und Kalender für Chemiker, Geographen, Techniker, Elektrotechniker, Astronomen usw. gibt, entbehren die Mathematiker und Physiker his heute dieses bequemen und, wenn einmal vorhanden, unentbehrlichen Hilfsmittels.

Kreise der Interessenten zum ersten Male vorgelegt, und zwar mit Rücksicht auf die nahen Beziehungen zwischen Mathematik und Physik in einer beide Wissenschaften umfassenden Form. Es enthält Angaben über Personalien, Literatur, Praktisches qsw., hauptsächlich aber ein Gerippe des Tatsachenmaterials der genannten Disziplinen, zu denen noch Astronomie, Geodäsie und physikalische Chemie als Annexe hinzugefügt wurden, um allseitigen Bedürfnissen entgegenzukommen. Bei dem gewaltigen Umfange der in Rede stehenden Wissenschaften mußte man sich für diesen ersten Jahrgang auf eine Auswahl des zunächst Wichtigsten und Dringendsten beschränken; es ist aber in Aussicht genommen, in den folgenden Jahrgängen immer wieder Neues hinzuzufügen, so daß die Abnehmer nach und nach ein, dem Charakter eines Taschenbuches entsprechend, lückenloses Material in die Hand bekommen.

Weber, Dr. H., u. Dr. J. Wöllstein, Professoren an der Universität Straßburg i. E., Encyklopädie der Elementar-Mathematik. Ein Handbuch für Lehrer und Studierende. In 3 Bänden, gr. 8.

I. Band. Elementare Algebra und Analysis. Bearbeitet von Heinrich Weber. 2. Aufl. Mit 38 Textfignren. [XVIII u. 539 S.]    1906. In Leinwand geb. n. dl. 9.60.

Elemente der Geometrie. Bearbeitet von Heinrich Weber, Joseph Wellstein und Walther Jacobsthal. 2. Aufl. Mit 251 Textfiguren. [XII u. 596 S.]    1907. In Leinwand geb. n. dl. 12.—

Angewandte Elementar-Mathematik. Bearbeitet von Heinrich Weber, Joseph Wellstein und Rud. H. Weber (Rostock). Mit 358 Textfiguren. [XIH u. 666 S.]    1907. In Leinwand geb. n. dl 14.—

Das vorliegende Werk wendet sich in erster Linie an die gegenwärtigen und künftigen Lehrer an höheren Schulen, an die Studierenden der Mathematik unserer Hochschulen. Es beansprucht nicht, wie die große Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Material allseitig zu erschöpfen, nach der historischen und literarischen Seite hin vollständigen Aufschluß zu geben. Es will eine Verbindung herstellen zwischen der höheren Mathematik und der Mathematik der Schule, indem es einerseits dem Studierenden ein Führer ist, wo er der Auffrischung und Ergänzung früher erworbener Kenntnisse bedarf, andererseits dem Lehrer ein Wegweiser, um das im Studium der höheren Mathematik Erworbene der Vertiefung und Bereicherung des Unterrichts nutzbar zu machen. Besonderes Gewicht ist auf die wissenschaftliche Ausgestaltung der allgemeinen Grundlagen gelegt.

Weitere

Es wird hiermit dem

II.

III.

das

. Verlag von B. G. TEUBNER in LEIPZIG und BERLIN

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mit Einschluß ihrer Anwendungen.

Herausgegeben im Aufträge der

Akademien der Wissenschaften zu Göttingen, Leipzig, München und Wien

sowie unter Mitwirkung zahlreicher Fachgenossen.

In 7 Bänden zu je ß— 8 Heften, gr. 8. Geheftet und in Halbfvz. geb.

V. Physik, 3 Teile, redigiert tou A. Sommerfeld.

VI. 1. Geodäsie und Geophysik. 2 Teilbände, redigiert yon P h. F u r t w ä h gl e r und IS. Wie chert.

2. Astronomie, rqd. von K. Schwarz-schil d.

VII. Geschichte, Philosophie, Didaktik. (In

Vorbereitung.)

Aufgabe der Encyklopädie ist es, in knapper, zu rascher Orientierung geeigneter Form, aber mit möglichster Vollständigkeit eine Gesamtdarstellung der mathematischen Wissenschaften nach ihrem gegenwärtigen Inhalt an gesicherten Resultaten zu geben und zugleich durch sorgfältige Literaturangaben die geschichtliche Entwicklung der mathematischen Methoden soit dom Beginn des 19. Jahrhunderts nachzuweisen. Sie beschränkt sich dabei nicht auf die sogenannte reine Mathematik, sondern berücksichtigt auch ausgiebig die Anwendungen auf Mechanik und Physik, Astronomie und Geodäsie, die verschiedenen Zweige der Technik und andere Gebiete, und zwar in dem Sinne, daß sie einerseits den Mathematiker darüber orientiert, welche Fragen die Anwendungen an ihn stellen, andererseits den Astronomen, Physiker, Techniker darüber, welche Antwort die Mathematik auf diese Fragen gibt. In sieben Bänden zu je otwa 640 Druckseiten' sollen die einzelnen Gebiete in einer. Reihe sachlich geordneter Artikel behandelt werden; der letzte Band soll ein ausführliches alphabetisches Register enthalten. Auf die Ausführung von Beweisen der mitgeteilten Sätze muß natürlich verzichtet werden.

Die Ansprüche an dio Vorkenntnisso der Leser sind so gehalten, daß das Werk auch demjenigen nützlich sein kann, der nur über ein bestimmtes Gebiet Orientierung sucht.

I. Arithmetik und Algebra, 2 Teile,redigiert von W. Fr. Meyer.

II. Analysis, 2 Teile, redigiert von H. * Burkhardt und W. Wirtinger.

III. Geometrie, 3 Teile, redigiert von W. Fr. Meyer.

IV. Mechanik, 4 Teilbände, redigiert von F. Klein und

C. H. Müller.

Encyclopédie des sciences mathématiques

pures et appliquées.

Fubliée sous les auspices des Académies des sciences

de Göttingue, de Leipzig, de Munich et de Vienne

avec la collaboration de nombreux savants.

Édition française,

rédigée et publiée d’après l’édition allemande sous la direction de Jules Molk, professeur à l’université de Nancy.

En sept tomes, gr. 8. Geheftet.

Durch die günstige Aufnahme veranlaßt, welche die deutsche Ausgabe dieses monumentalen Werkes in Fachkreisen gefunden hat, und auf vielfache Anregungen hat sich die Verlagsbuchhandlung entschlossen, die Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften in Gemeinschaft mit der Firma Gauthier-Villars in Paris auch in französischer Sprache erscheinen zu lassen. Das Werk wird, wie schon die ersten Lieferungen zeigen, seitens der deutschen Bearbeiter viele Änderungen und Zusätze erfahren, und auch die französischen Mitarbeiter, sämtlich Autoritäten auf ihren Gebieten, haben eine gründliche Umarbeitung vorgenommen. Zum ersten Male dürfte somit wohl hier der Fall eiugetreten sein, daß sich bei einem so großen Werke^ié gelehrten zn gemeinsamer AVerbunden

yt» * -»?

ersten deutschen und französischen Fach

haben.

Verlag von B.G.Teubner in Leipzig und Berlin

Repertorium der höheren Mathematik von Dr. Emst Pascal, ord.

Professor an der Universität Neapel. In 2 Teilen: Analysis und Geometrie. 2., neubearbeitete Auflage, gr. 8.

an der Universität Straß-

I. '-Teil:.Die Analysis. Unter Mitwirkung von E. Pascal sowie Pli. Furtwängler, A. Guldberg, H. Hahn, E. Jahnke, H. Jung, A. Eoewy, H. E. Timerding hrsg. von Dr. P. Epstein, Privatdozenten burg i. E. [ca. 700 S.]    1909. In Leinwand geb. ca. n. JL 12.— [Erscheint

II.

Ostern 1909.]

Die Geometrie. Unter Mitwirkung von E. Pascal sowie L Berzolari, R. Bonola, E. Ciani, M. Dehn, Fr. Dingeldey, F. Enriques, P. Epstein, G. Giraud, H. Grassmann, O- Guar es chi, L. Hef ft er, W. Jacobs-thaï, H. Liebmann, J. Mollerup, J. Neuberg, U. Perazzo, O. Staude, E. Steinitz, H. Wieleitner und K. Zindler hrsg. von Dr. H. E. Timerding, Professor an der Universität Straßburg i. E. [ca. 800 S.] 1909. In Leinwand geb. ca. n. M. 14 ^ [Erscheint im Sommer 1909.]

Bei der Bearbeitung' der zweiten Auflage werden die Herausgeber in erster Linie bestrebt sein, dem Buche seine Vorzüge zu erhalten. Daneben aber erfährt es formell und inhaltlich so durchgreifende Änderungen, daß es in vieler Beziehung als ein neues Werk gelten kann.

Zunächst muß im ersten Teile (hrgb. von P. Epstein) den in den letzten Jahren erzielten Fortschritten Rechnung getragen werden, neue Methoden (z. B. in der Variationsrechnung) und neu eröffnete Gebiete wie die Integralgleichungen, die moderne Funktionentheorie, die algebraischen Zahlen fordern eino nicht unbeträchtliche Erweiterung des Stoffes, ganz besonders aber haben es die Bearbeiter nach Möglichkeit vermieden, eine große Menge von Einzelheiten lose aneinander zu reihen, sondern habon vielmehr auf eine zusammenhängende und in sich geschlossene Darstellung Wert gelegt.

Dieselben Grundsätze werden dann auch im 2. Teile (hrsg. von H. E. Timerding) befolgt werden. Es soll nicht bloß eine Übersicht über das weite Gebiet der Geometrie im einzelnen, sondern auch eine Darlegung ihrer allgemeinen Prinzipien und Methoden gegeben und von dem gegenwärtigen Stand der Auffassungen Rechenschaft erteilt werden.

Vocabulaire Mathematigue, français-allemand et allemand-

français. Mathematisches Vokabularium, französisch-deutsch und deutsch-französisch. Enthaltend die Kunstausdrücke aus der reinen und angewandten Mathematik. Von Professor Dr. Felix Müller. [XV u. 316 S.] Lex.-8.    1900/1901. In Leinw. geb. n. JL 20.— Wurde in 2 Lieferungen

ausgegeben: I. Lieferung. [IX u. 132 S.] 1900. Geh. n. JL 8.— II. Lieferung. [S. IX—XV u. 133—316.]    1901. Geh. n. JL 11.—

Das Vokabularium enthält in alphabetischer Folge mehr als 12 000 Kunstausdrücke aus der reinen und angewandten Mathematik in französischer und deutscher Sprache und soll in erster Linie eine Ergänzung der gebräuchlichen Wörterbücher für die beiden genannten Sprachen sein. Da das Vokabularium zugleich als Vorarbeit zu einem.Mathematischen Wörterbuche dienen soll, so sind auch zahlreiche Nominalbenennungen aufgenommen, deren Anführung aus rein sprachlichem Interesse überflüssig erscheinen dürfte. Z. B. Gaußsche Abbildung (einer Fläche auf eine Kugel) (Gauß 1827) [inf. Geom.] représentation de Gauss ; Clairauts Satz (über die geodätischen Linien auf Umdrehungsflächen) (Clairaut 1733) [inf. Geom.] théorème de Clairaut. Aus den beigefügten Zusätzen ist zu ersehen, daß das Vokabularium mehr bietet, als der Titel erwarten läßt.

Von

Vorlesungen über Geschichte der Mathematik.

Moritz Cantor. In 4 Bänden, gr. 8. Mit zahlreichen Figuren und Tafeln. In Halbfranz geb.

u.

I. Band: Von den ältesten Zeiten bis zum Jahre 1200 n. Chr. 3. Auflage. [VI u. 911 S.]    1907. n. JL 26.—

Vom Jahre 1200 bis zum Jahre 1668. 2. verm. Auflage. [XII u. 943 S.]

1900.    n. JL 28.—

m.

Vom Jahre 1668 bis zum Jahre 1758. 2. verm. Auflage. [X u. 923 S.]

1901.    n. JL. 27.—

IV.

Vom Jahre 1759 bis zum Jahre 1799. Herausgegeben unter Mitwirkung der Herren V. Bobynin, A. v. Braunmühl, F. Cajori, S. Günther, V. Kommereil, G. Loria, E. Netto, G. Vivanti und C. R. Wallner von M. Cantor. [VI u. 1113 S.]    1908. n. JL 35.—

„Mit rastlosem Fleiß, mit nie ermüdender Geduld, mit der unverdrossenen Liebe des Sammlers, der auch das scheinbar Geringe nicht vernachlässigt, hat M. Cantor dies kolossale Material gesammelt, kritisch gesichtet, durch eigene Forschungen ergänzt, nach einheitlichen Grundsätzen und einheitlichem Plan zu einem Ganzen verschmolzen, und indem er in seltener Unparteilichkeit bei strittigen Fragen, deren die Geschichte der Mathematik soviele hat, auch die abweichenden Ansichten zu Wort kommen ließ, hat er ein Werk geschaffen, das die reichste Quelle der Belehrung, der Anregung für einen jeden ist, der sich über einen geschichtlichen Fragepunkt Rat holen, der an der Geschichte der

Mathematik mitarbeiten v jll-,,"ftos-den Qöttingischen gelehrten Anzeigen.]

S~ 96

Verlag von B. 6. Teubner in Leipzig und Berlin

Encyklopädie

der Elementar-Mathematik.

Ein Handbuch für Lehrer und Studierende von

Dr. Heinrich Weber

und

Professoren an der Universität Straßburg i. E.

Dr. Joseph Weilstein,

In drei Bänden, gr. 8. In Leinw. geb.

I.    Elementare Algebra und Analysis. Bearbeitet von H. Weber. 2. Auflage. Mit

38 Textfiguren. [XYIII u. 539 S.]    1906.    ^9.60.

II.    Elemente der Geometrie. Bearbeitet von H. Weber, J. Wellstein und W. Jacobsthal. 2. Auflage. Mit 251 Textfiguren. [XII u. 596 S.]    1907. JC 12.—

III. Angewandte Elementar-Mathematik. Bearbeitet von H. Weber, J. Wellstein und R. H. Weber (Rostock). Mit 358 Textfiguren. [XIII u. 666 S.] 1907. JC 14.—

I)as Werk vorfolgt das Ziel, den künftigen Lehrer auf einen -wissenschaftlichen Standpunkt zu stellen, von dem aus er imstande ist, das, was er später zu lehren hat, tiefer zu erkennen und zu erfassen und damit den Wert dieser Lehren für die allgemeine Geistesbildung zu erhöhen. — Das Ziel dieser Arbeit ist nicht in der Vergrößerung des Umfanges der Elementar-Mathematik zu ersehen oder in der Einkleidung höherer Probleme in ein elementares Gewand, sondern in einer strengen Begründung und leicht faßlichen Darlegung der Elemente. Das Werk ist nicht sowohl für den Schüler selbst als für den Lehrer und Studierenden bestimmt, die neben jenen fundamentalen Betrachtungen auch eine für den praktischen Gebrauch nützliche, wohl-geordnete Zusammenstellung der wichtigsten Algorithmen und Probleme darin finden werden.

„ . . . Zwei Momente müssen hervorgehoben werden, die dem Buche das Gepräge verleihen. Das eine liegt darin, daß die grundlegenden Fragen der Geometrie eine eingehende Behandlung erfahren, in einem Umfange, wie er in zusammenfassenden Werken sonst nicht anzutreffen ist . . . Das zweite Moment ist in dem Umstande zu erblicken, daß die Verfasser es nicht darauf angelegt haben, eine pragmatische Vorführung des üblichen Vorrats an geometrischen Sätzen, Konstruktionen und Kechnungen zu geben, sondern daß es ihnen mehr darum zu tun war, an ausgewähltem Material die wissenschaftlichen Methoden zur Geltung zu bringen und überall auf die Grundfragen einzugehen. Jüngere Lehrer der Mathematik werden das Buch gewiß oft und mit Nutzen zu Kate ziehen, namentlich wenn sie im Unterrichte zu prinzipiell wichtigen Fragen kommen, um sich über die leitenden Gedanken zu orientieren.

Eines verdient noch besonders-Lervorgehobeh zu werden : das ist die reiche Ausstattung mit schönen, sehr instruktiv gezeichneten Figuren. Der schwierigen Vorstellung der verschiedenen Formen sphärischer Dreiecke kommen die stereographischen Bilder der Euler’schen, Möbius’schen und Study’schen Dreiecke sehr'zustatten.“    (Zeitschrift für das Realschulwesen.)

Émile Borei,

Professor an der Sorbonne zu Paris:

Die Elemente der Mathematik

Deutsch von Paul Stäckel

Professor in Karlsruhe i. B.

In 2 Bänden:

I. Band: Arithmetik und Algebra.

Mit57Fig. und 3 Tafeln. [XVI u. 431 S.] gr. 8. 1908. In Leinw. geb. n. JC 8.60.

II. Band: Geometrie und Trigonometrie. In Vorbereitung.

Die Vorschläge zu einer Reform des Unterrichtes in den Elementen der Mathematik, die neuerdings seitens der Unterrichtskommission der Gesellschaft deutscher Naturforscher und Arzte gemacht worden sind, hatten in Frankreich bereits seit 1900 in den offiziellen Lehrplänen Verwirklichung gefunden. Auf dieser modernen Grundlage hat E. Borei seine vortrefflichen Lehrbücher aufgobaut, die in Frankreich weite Verbreitung gefunden haben. Es erschien daher angebracht, diese EieJnento'der Mathematik in einer den deutschen Verhältnissen angepaßten Bearbeitung dem deutschen Publikum zugänglich zu machen,

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