WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KHAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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G. P. ADERHOLZ’

BUCHHANDLUNG !

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In allen mathematischen Disziplinen und in der Mehrzahl der naturwissenschaftlichen Fächer und ihrer Grenzgebiete sind in meinem Verlage neben rein wissenschaftlicher, populär - wissenschaftlicher und pädagogischer Literatur größere Handbücher und namentlich auch moderne

Lehrbücher für Studierende

erschienen. Ich bitte, meinen alljährlich neugedruckten „kleinen mathematisch-naturwissenschaftlichen Katalog“ zu verlangen, der durch alle Buchhandlungen sowie den Verlag unentgeltlich zu beziehen ist.

Leipzig, Poststr. 3

B. G. Teubner

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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ENZYKLOPÄDIE

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EIN HANDBUCH FÜR LEHRER UND STUDIERENDE

VON t HEINRICH WEBER und JOSEF WELLSTEIN

PROFESSOR IN STRASSBURG

WEIL. PROFESSOR IN STRASSBURG

IN DREI BÄNDEN

ZWEITER BAND

ELEMENTE DER GEOMETRIE

DRITTE AUFLAGE

LEIPZIG UND BERLIN DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER 1915

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ELEMENTE DER GEOMETRIE

BEARBEITET VON f HEINRICH WEBER • JOSEF WELLSTEIN und WALTHER JACOBSTHAL

DRITTE AUFLAGE

MIT 237 TEXTFIGUREN

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LEIPZIG UND BERLIN DRÜCK UND VERLAG VON B.G.TEÜBNER

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ALLE »ECHTE, EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN

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Vorrede zur ersten Auflage.

Der zweite Band der Enzyklopädie der Elementarmathematik, dessen Erscheinen durch äußere Umstände in unerwünschter Weise verzögert wurde, ist ausschließlich der Geometrie gewidmet. Bei dem großen Umfange der Elementargeometrie mit ihren zahllosen Sätzen und Sätzchen über Dreieck und Kreis, Tetraeder und Kugel, die einige wenige projektive Grundgedanken immer wieder variieren und spezialisieren, mußte umso mehr eine Beschränkung auf das Notwendigste eintreten, als, zum Teil mit Rücksicht auf den dritten Band, auch die Kegelschnitte, die ebene und sphärische Trigonometrie sowie die Anfangsgründe der analytischen Geometrie zu behandeln waren.

Es liegt nicht im Plane unseres Buches, eine Sammlung alles Wissenswerten aus diesem weiten Gebiete, womöglich mit Angabe der Literatur zu geben, wie in der großen Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften; vielmehr sollte unter Ausscheidung alles zur Zeit noch Isolierten und darum Unfruchtbaren nur das geboten werden, was in den Anwendungen auf Mechanik und Physik sich als nützlich erweist und auch in der höheren Mathematik fortlebt.

In diesem engeren Bereiche wurde in erster Linie Vertiefung und Belebung des Gegenstandes angestrebt, Vertiefung durch ausführliche kritische Untersuchung der Grundlagen nach der logischen und erkenntnistheoretischen Seite, durch sorgfältige Behandlung alles dessen, was Vorzeichen, Rechts und Links, Richtung und Drehsinn betrifft; Belebung durch Anwendungen, die für den dritten Band Vorbehalten sind.

Der Band ist in drei Bücher eingeteilt. Nicht ohne Sorge übergebe ich das erste Buch der Öffentlichkeit, das die Grundlagen behandelt, also jenes schwierige Zwischen gebiet, das außer mathematischem auch philosophischen Sinn beansprucht. Bei dem allgemeinen Tiefstände unserer philosophischen Bildung, den wir uns wohl ruhig eingestehen dürfen, und der großen Abneigung weiter Kreise gegen alle Fragen, die in dieses Gebiet schlagen, kam es vor allem darauf an zu zeigen, daß hier wirklich ernsthafte Fragen vorliegen, die auch

den Mathematiker angehen. Mögen auch nicht alle Ausführungen des Verfassers Anklang finden, so würde er sich schon freuen, etwas erreicht zu haben, wenn es ihm gelänge, für die ganze Fragestellung Interesse zu erwecken, besonders bei den jungen Lehrern. Verfasser weiß es aus eigener Erfahrung, wie deplaziert sich der eben von der Universität gekommene junge Lehrer fühlt, wenn er, der sich bis dahin mit den höchsten und neuesten Fragen der höheren Mathematik beschäftigt hat, sich in die Lage versetzt sieht, Quartanern die Anfangsgründe der Geometrie beibringen zu müssen. Daß dies in Wirklichkeit eine schwere, verantwortungsvolle Aufgabe ist, die nicht nur gründliche wissenschaftliche Bildung, sondern auch pädagogische Kunst erfordert, das vermag nur derjenige vollständig zu würdigen, der sich bemüht hat, in die erkenntnistheoretische Grundlegung der Geometrie einzudringen. Nichts ist so geeignet, den Lehrer innerlich zu heben und mit dem Gefühl der Größe seines Berufes zu erfüllen, als die klare Einsicht, daß die Grundlegung der Geometrie eine beinahe unüberwindlich schwere Aufgabe ist, mit deren Lösung er sein ganzes Leben hindurch ringen muß, fortwährend vermittelnd zwischen den Forderungen der strengen Logik und der Rücksicht auf die erst zu erschließende Auffassungsfähigkeit der Schüler, zwischen wissenschaftlicher Strenge und naiver Anschauung, deren Belebung und Stärkung nach dem Urteil pädagogisch und wissenschaftlich erfahrener Schulmänner das erste Ziel des geometrischen Unterrichts sein muß. Es sei auch an dieser Stelle der Gedanke abgewiesen, als solle der geometrische Unterricht rein formal logisch betrieben werden. — Da das erste Buch wegen seiner erkenntnistheoretischen Fragestellung auch Leser finden könnte, die der sonstige Inhalt des Bandes vielleicht weniger interessiert, so wurden alle nicht im engsten Sinne elementaren Sätze, die zum Verständnis notwendig waren, abgeleitet. Zur Kennzeichnung des Wesens der projektiven Raumanschauung mußten auch die Anfangsgründe der projektiven Geometrie in diesen Abschnitt eingeflochten werden. Daran schließt sich die Planimetrie, in der besonders die Theorie des Kreisbündels ausführlich behandelt ist; sie bildet, wie nach Zeuthen (Poncelet) gezeigt wird, einen bequemen Zugang in die Metrik der Kegelschnitte.

Das zweite Buch bringt die ebene und sphärische Trigonometrie, bei der einerseits nach dem Vorgänge von Study der Gruppenbegriff in den Mittelpunkt gestellt, andererseits auf die Bedürfnisse der Praxis Rücksicht genommen wurde.

Im dritten analytisch-geometrischen und stereometrischen Buche wird die Lehre von den Kegelschnitten nach der analytischen Seite ausgebaut, wobei auch die Lehre von der Krümmung, besonders mit Rücksicht auf die im dritten Bande zu bringende Projektionslehre, dargestellt wird. Eine zusammenhängende Darstellung der Kegelschnittslehre würde über den Rahmen unseres Werkes hinausgegangen sein, vielmehr wurde Wert darauf gelegt, dieses schönste und höchste Gebiet der Elementargeometrie von den verschiedensten Seiten in Angriff zu nehmen: rein synthetisch, von der Kreisgeometrie her, analytisch, und im dritten Bande mit Hilfe der darstellenden Geometrie und der Perspektive. Auch die sphärischen Kegelschnitte sind in einem kurzen Paragraphen behandelt. Der stereometrische Abschnitt bringt außer den Grundlagen der Raumgeometrie die Lehre vom Y olumen.

Die Bearbeitung der sphärischen Trigonometrie und der analytischen Sphärik hat W. Jacobsthal übernommen. In den übrigen Stoff haben sich die beiden Herausgeber in der aus dem Inhaltsverzeichnis ersichtlichen Weise geteilt.

Straß bürg, im August 1905.

Josef Wellstein.

Vorrede zur zweiten Auflage.

Der von der vorangehenden Vorrede für den dritten Band in Aussicht gestellte Abschnitt über Perspektive mußte aus Mangel an Platz wegfallen. Dafür ist dort die Krümmungslehre der Kegelschnitte eingehender behandelt.

Die neue Auflage unterscheidet sich von der ersten nur durch eine Reihe kleiner Veränderungen.

Straßburg, im Oktober 1907.

Josef Wellstein.

Vorrede zur dritten Auflage.

Nach dem Tode Heinrich Webers ist die verantwortliche Herausgabe des vorliegenden Werkes in meine Hand übergegangen.

Bei der dritten Auflage des zweiten Bandes konnten die vier ersten Abschnitte ohne erhebliche Änderung wieder abgedruckt werden. Ich will aber nicht verschweigen, daß gegen diesen Teil Einwendungen erhoben worden sind:

Study, E., Die realistische Weltansicht und die Lehre vom Raume, Braunschweig 1914.

Beck, H., Ein Seitenstück zur Moebiusschen Geometrie der Kreisverwandtschaften, Transactions Am. Math. Soc. XI, Nr. 4, 1910.

—    , —, Ein Gegenstück zur proiektiven Geometrie, Arch. d. Math.

u. Phys. (3), 18.

—    , —, Hyperbolische und pseudosphärische Geometrie des Raumes,

ebenda.

Study verwirft die „Axiomatik“ als mathematisch unfruchtbar und erkenntnistheoretisch wertlos. Zu einer Kritik seines Buches ist hier nicht der Ort und jetzt nicht die Zeit; ich kann nur erklären, daß ich den Standpunkt Studys nicht einnehme.

Beck bestreitet die Verwendbarkeit der Kugelgebüsche zur Ver-sinnlichung der beiden Nichteuklidischen Geometrien des linearen dreidimensionalen Raumes innerhalb der Euklidischen Geometrie, oder will sie nur unter Einschränkungen und vergleichsweise gelten lassen. Die Beck sehe Kritik gegen mich und die Dissertation meines Schülers Magener muß ich als in allen Einzelheiten unzutreffend und zum Teil unbillig ablehnen. Zu einer Widerlegung Becks habe ich keinen Anlaß, 1. weil Beck meine Gedanken und Absichten durchweg mißversteht, und 2. weil alles zur Sache dienliche von mir und Magener ausführlich gesagt ist und insbesondere durch die Kleinschen Arbeiten im vierten und sechsten Bande der Mathematischen Annalen ergänzt wird.

Nachdem ich schon bei der zweiten Auflage des zweiten und dritten Bandes einige von Herrn Weber herrührende Paragraphen umgeschrieben hatte, entschloß ich mich bei der jetzigen Auflage zu noch durchgreifenderen Änderungen. Die Web ersehen Abschnitte über ebene Trigonometrie und analytische Geometrie gehörten einer mathematischen Stilperiode an; die zwar von Hesse, Clebsch und anderen Algebraikern die formale Eleganz übernommen, aber noch nicht den Einfluß von Hamilton, Graßmann, Moebius und der neueren Vektoranalysis erfahren hatte. Der älteren Geometrie war der Gegensatz zwischen -j- 1 und — 1 nur eine Eigenschaft der Koordinaten, die man in Kauf nehmen mußte, um sie auf geometrische Dinge anwenden zu können; die neuere Geometrie dagegen prägt diesen Gegensatz immer mehr dem Raumgebilde selber auf, indem sie ihnen einen „Sinn“ der Durchlaufung, eine rechte und linke „Seite“ beilegt. Damit im Zusammenhang wird das Gleichungspolynom einer Kurve oder einer Fläche nicht bloß da betrachtet, wo es verschwindet, sondern in Ausdehnung Hesse scher und Moebius scher Gedanken auch für ortsfremde Punkte. Für die Durchführung dieser Auffassungsweise und eine sorgfältigere Behandlung aller Fragen der Orientierung ist besonders Study lebhaft eingetreten, man vergleiche etwa seinen Aufsatz im 21. Bande des Archivs der Mathematik und Physik, 1913. Ich habe daher die von Herrn Weber stammenden Abschnitte so gut wie neu geschrieben, hoffe aber, dem algebraischen Geiste Webers treu geblieben zu sein. Auch schien mir eine gewisse Zurückhaltung geboten, da alles Neue Zeit braucht, um sich durchzusetzen.

Die ebene Trigonometrie zerfällt jetzt in einen ganz elementaren, auf dem älteren Winkelbegriff' beruhenden Teil, der bei allem Streben nach Einfachheit und Sammlung doch die grundlegende Bedeutung des Projektionssatzes hervortreten läßt, und in einen mehr analytischen Teil mit der Trigonometrie des orientierten Winkels. Ich habe diese Darstellung der Trigonometrie vor Jahren im Unterrichte mit gutem Erfolg angewandt.

Auch in der sphärischen Trigonometrie wünschte der Verfasser dieses Abschnittes, Herr Dr. W. Jacobsthal, den Zusammenhang zwischen den grundlegenden Sätzen besser hervorzuheben; er stellte mir noch vor Ausbruch des Krieges ein umfangreiches Manuskript zur Verfügung, das die Frage mit den Mitteln der analytischen Geometrie und der Gruppentheorie erschöpfend behandelt. Leider konnte ich, da der Druck schon vorgeschritten war, den nötigen Raum nicht mehr verfügbar machen, und das Zurückgehen auf die analytische Geometrie des Raumes gerade in Vorzeichenfragen hatte ihre Bedenken, da der betreffende, sehr summarisch gehaltene Abschnitt unseres Buches sich einer solchen Belastungsprobe gegenüber nicht als ausreichend erwies; ich habe ihn ganz gestrichen, den Wünschen Jacobsthals aber, der zur Zeit als Kompagnieführer im Felde steht, durch den neuen Paragraphen 42 wenigstens teilweise zu entsprechen gesucht.

In der analytischen Geometrie der Ebene sind jetzt die verschiedenen Ausschnitte der Kegelschnittlehre, die sich auf den zweiten und dritten Band verteilt finden, zu einem Ganzen zusammengefaßt, es fehlt nur noch (aus Mangel an Raum) ein Paragraph über die analytische Behandlung der Projektivität. Durch ausführliche Diskussion der Scheitelgleichung bildet meine Darstellung den Übergang von der individuellen Ableitung der Eigenschaften der Kegelschnitte zu der allgemeinen mit den Mitteln der Formentheorie. Die Schlußweisen der Formentheorie sind vorbereitet oder angedeutet.

Dem Teubnerschen Verlage bin ich zu außerordentlichem Danke verpflichtet, weil er die Kosten nicht gescheut hat, die neuen Abschnitte mit neuen ausdrucksvollen Figuren zu versehen.

Straß bürg i/E., Pfingsten 1915.

Josef Wellstein.

Einleitung

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Inhaltsverzeichnis.

Erstes Buch.

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Grundlagen der Geometrie.

(Von Josef Wellstein.)

Erster Abschnitt.

Kritik der Grundbegriffe.

Geschichtliches.............

Die Begriffe „Punkt“, „Linie“, „Fläche“ . Die Begriffe „Gerade“, „Ebene“, „parallel“ Die Bewegung und die Kongruenz .... Die Steinerschen Linealkonstruktionen . . Natürliche Geometrie..........

Zweiter Abschnitt.

Seite

11

13

18

22

Die natürliche Geometrie als eine der unendlich vielen Erscheinungsformen einer rein begrifflichen Geometrie (Metageometrie).

§ 7. Natürliche und Approximationsgeometrie, Analysis situs, Metageometrie ...........................

§ 8. Euklidische Geometrie im parabolischen Kugelgebüsch.......

§ 9. Das Kugelgebüsch.......................

§ 10. Teilweise Verwirklichung der Euklidischen Geometrie im Kugelgebüsch. Die beiden Nichteuklidischen Geometrien........

§ 11. Metrik der beiden Nichteuklidischen Geometrien.........

§ 12. Die Euklidische Geometrie in einer linearen Zahlenmenge dritter Stufe

§ 13. Das Wesen der Grundbegriffe ..................

§ 14. Die Anschauung........................

28

33

42

54

62

83

98

123

Dritter Abschnitt

Grundlegung der projektiven Geometrie.

§ 15. Die Axiome der Verknüpfung und der Anordnung.........

§ 16. Das Dedekindsche Axiom und der Fundamentalsatz der projektiven

Geometrie ...........................

§ 17. Die wesentlichsten projektiven Eigenschaften der Kegelschnitte. . .    179

§ 18. Projektive Metrik....

§ 19. Anhang: Literaturangaben

150

159

196

Vierter Abschnitt.

Planimetrie.

Seite

§ 20. Die grundlegenden Sätze.............

§ 21. Ähnlichkeit..................

§ 22. Flächenvergleichung...............

§ 23. Regelmäßige Vielecke und der Kreis........

§ 24. Sätze und Aufgaben über den Kreis........

§ 25. Elementargeometrische Behandlung der Kegelschnitte

225

239

252

262

280

291

Zweites Buch.

Trigonometrie.

Fünfter Abschnitt.

Ebene Trigonometrie nnd Polygonometrie.

(§32, § 34, § 35 von Heinrich Weber, das Übrige von Josef Wellstein.)

§ 26. Der Sinus................. .

§ 27. Der Kosinus.................

§ 28. Vermischte Anwendungen des Sinus und Kosinus § 29. Additionstheoreme des Sinus und Kosinus . . .

§ 30. Die Funktionen Tangens und Kotangens ....

§ 31. Goniometrie.................

§ 32. Vierecke...................

§ 33. Vielecke...................

§ 34. Multiplikation und Teilung des Winkels ....

§ 35. Zusammenhang mit der Analysis........

301

.    305

309

311

315

319

326

331

.    335

338

Sechster Abschnitt.

Sphärik und sphärische Trigonometrie.

(Von Walter Jacobsthal.)

A. Orientierung auf der Kugel.

§ 36. Einleitung. Der Eulersche Dreiecksbegriff......

§ 37. Die stereographische Projektion...........

§ 38. Der Moebiussche Dreiecksbegriff...........

§ 39. Pol und Polare...................

341

344

347

356

B. Die Formeln erster Ordnung.

§ 40. Einleitung. Der Projektionssatz.................

§ 41. Die Kosinussätze und der Sinussatz...............

§ 42. Über den algebraischen Zusammenhang zwischen den beiden Kosinussätzen und dem Sinussatz (von Josef Wellstein)..........

§ 43. Weitere Formeln erster Ordnung. — Anwendung auf das rechtwinklige Dreieck.......................*

362

364

368

C. Die Grundformeln zweiter Ordnung.

Seite

§ 44. Einleitendes..........................

§ 45. Die Delambreschen Formeln...................

§ 46. Der Gauß-Studysche Dreiecksbegriff...............

§ 47. Der Satz von Study.......................

§ 48. Analytische Darstellung. Stammverwandte Dreiecke. Der Studysche

Dreiecksbegriff.........................

§ 49. Gruppentheoretische Betrachtungen...............

§ 50. Die L’Huilier-Serretschen Formeln................

376

377

383

387

396

401

409

D. Angewandte sphärische Trigonometrie.

§ 51. Hilfssätze über die Schärfe trigonometrischer Rechnungen. „Übergangsformeln“ ........................

§ 52. Die Auflösung des rechtwinkligen sphärischen Dreiecks......

§ 53. Die „gewöhnlichen“ Formeln für das schiefwinklige Dreieck . . . .

§ 54. Die Auflösung des schiefwinkligen Dreiecks...........

§ 55. Berechnung anderer wichtiger Dreiecksstücke...........

§ 56. Beziehungen zwischen sphärischer und ebener Trigonometrie. „Kleine“ Dreiecke: Satz von Legendre..................

411

414

416

419

429

434

Drittes Buch.

Analytische Geometrie und Stereometrie.

(VII. Abschnitt von Josef Wellstein, das Übrige von Heinrich Weber.)

Siebenter Abschnitt.

Analytische Geometrie der Ebene.

§ 57. Das Koordinatensystem.....................

§ 58. Der Punkt...........................

§ 59. Fläche des Dreiecks......................

§ 60. Die Gerade.........................

§ 61. Der Strahlenbüschel......................

§ 62. Geometrie des Dreiecks...............

§ 63. Der Kreis....................

§ 64. Definierende Eigenschaften der Kegelschnitte...........

§ 65. Die Normalform der Kegelschnittsgleichungen...........

§ 66. Analytischer Beweis der Sätze des § 64.............

§ 67. Konstruktion der Kegelschnitte.................

§ 68. Eigenschaften ausgezeichneter Sekanten auf Grund der t- Gleichung § 69. Allgemeine Sekanteneigenschaften auf Grund der t- Gleichung

§70. Potenz der Kegelschnitte....................

§71. Sekanteneigenschaften auf Grund der t-Gleichung.

§ 72. Tangenteneigenschaften auf Grund der x-Gleichung........

§ 73. Grundeigenschaften der Kurven zweiter Ordnung § 74. Die Arten und Kennzeichen der Kurven zweiter Ordnung

441

443

446

451

456

461

466

471

475

479

482

487

495

500

508

514

519

Seite

§75. Die Arten und Kennzeichen der Kurven zweiter Ordnung durch

Transformation in die Scheitelgleichung.............

§ 76. Der Krümmungskreis......................

§ 77. Analytische Sphärik (Anhang, von W. Jacobsthal)..........

530

534

539

Achter Abschnitt.

Punkte, Ebenen und Gerade im Räume.

§ 78. Die Grundgebilde der Geometrie des Raumes.....

§79. Winkel......................

§ 80. Kürzester Abstand zweier windschiefer Geraden ....

§ 81. Körperliche Ecken.................

545

548

551

552

Neunter Abschnitt.

Rauminhalt nnd Flächeninhalt.

§ 82. Inhaltsmaß...........

§ 83. Rauminhalt von Pyramiden . . .

§ 84. Das Cavalierische Prinzip ....

§ 85. Beispiele............

§ 86. Existenz von Inhaltszahlen . . .

§ 87. Flächeninhalt gekrümmter Flächen

557

559

562

566

568

570

Zehnter Abschnitt.

Drehungsgruppen und reguläre Körper.

§ 88. Drehungen und ihre Zusammensetzung.........

§ 89. Endliche Drehungsgruppen..............

§ 90. Der Eulersche Polyedersatz..............

§ 91. Die regulären Polyeder...............

Druckfehler........................

Alphabetisches Register...................

575

578

585

587

.    588

589

ERSTES BUCH.

GRUNDLAGEN DER GEOMETRIE.

Weber u. Welletein: Enzyklopädie. II. 3. Aufl.

Einleitung.

1. Was die Mathematik zum stolzesten und vollendetsten Vorbild einer reinen Wissenschaft macht, ist ihre streng deduktive Methode in Verbindung mit der Tatsache, daß sie in der Lage ist, die Voraussetzungen, auf die sie sich gründet, als „Grundbegriffe“ und „Grundsätze“ an die Spitze ihres Lehrganges zu stellen und die Tragweite der einzelnen Grundsätze dadurch ins rechte Licht zu rücken, daß Systeme konstruiert werden, in denen die eine oder die andere dieser Voraussetzungen fehlt. Die Grundlagen der Arithmetik (siehe Bd. I, erstes Buch) haben wir im wesentlichen durch eine einzige Funktion unseres Geistes, die der Zuordnung, gewonnen. Die Grundlagen der Geometrie, die wir nunmehr, soweit es mit elementaren Mitteln möglich ist, einer genaueren Untersuchung unterwerfen wollen, sind nicht so einfacher Natur. Es sind die Begriffe „Punkt“, „Gerade“, „Ebene“, „parallel“, „zwischen“ u. s. w. und unter anderem die Sätze: Durch zwei Punkte geht immer eine und nur eine Gerade; durch drei Punkte, die nicht in gerader Linie liegen, geht immer nur eine Ebene; von drei Punkten einer Geraden liegt immer nur einer „zwischen“ den beiden übrigen, u. s. w. Diese Sätze sehen zwar sehr einfach aus, da sie in der Anschauung unmittelbar einleuchten und nicht durch noch einfachere bewiesen werden können; sie werden leicht für selbstverständlich gehalten. Aber nichts ist tieferer Erkenntnis hinderlicher als kritiklose Hinnahme dessen, was auf den ersten Blick als selbstverständlich erscheint. Während die Mathematiker aller Zeiten bestrebt waren, den Umfang ihrer Wissenschaft durch Entdeckung neuer Lehrsätze zu erweitern, sind es nur wenige, freilich gerade die besten, gewesen, die mehr nach Vertiefung der Geometrie, nach Einsicht in den Zusammenhang und die Tragweite der einzelnen Grundsätze drangen: so wenig hielt man es für der Mühe wert, jene schlichten Sätze, die beinahe trivial klingen und nur geringe Ausbeute versprechend offen zu Tage lagen, zu sammeln und ihnen auf den Grund zu gehen. Und doch gibt es in der ganzen Geometrie kaum etwas reizvolleres als die Beschäftigung mit jenen unscheinbaren Sätzen, die mit wenig Worten so ungeheuer viel sagen, da sie in nuce die ganze Geometrie enthalten. Durch ihre Erforschung sind der Geometrie größere Gebiete erobert worden, als durch den Ausbau ihrer höheren Theorien.

2. Wir beabsichtigen in der Folge nicht, nach Euklidischem Vorbild unter Vorausschickung der Grundannahmen ein System der Geometrie Stufe für Stufe aufzubauen, weil bei diesem Verfahren die Bedeutung der einzelnen Voraussetzung zu wenig hervortritt. Vielmehr geben wir einer Darstellung den Vorzug, die durch Kritik der üblichen Auffassung der Elemente erst den Sinn für streng logische Betrachtung der Geometrie wecken und für das Studium der grundlegenden Werke von Hilbert, Schur u. a, vorbereiten und werben soll.

Erster Abschnitt.

Kritik der Grundbegriffe.

§ 1. Geschichtliches.

1.    Wie die Geschichte zeigt, ist die Geometrie empirischen Ursprunges. Wenigstens ist von dem ältesten Kulturvolk, das auf die Geometrie des Abendlandes nadnveisbaren Einfluß ausgeübt, von den alten Ägyptern, sowohl durch griechische Geschichtsschreiber als auch durch die Ergebnisse der Ägyptologie bezeugt, daß ihre Geometrie hervorgegangen ist aus dem Bedürfnisse, alljährlich nach dem Sinken der Nilschwelle die verwischten Flurgrenzen wieder herzustellen. Dementsprechend beziehen sich die ältesten aus dem Papyrus Eisen-lohr¹) uns bekannten geometrischen Formeln auf die Ausmessung von Flächen, eine Aufgabe, die aber nur durch Näherung gelöst wird. So wird z. B. die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks mit den Seiten a, a, c gleich \ac angegeben, statt Ą-ac}/1—(c/2a)², was aber um so besser stimmt, je größer die beiden gleichen Seiten im Verhältnis zur dritten sind. Auch was jener Papyrus sonst noch an geometrischen Tatsachen enthält, hat unmittelbar praktischen Wert; Beweise oder Andeutungen solcher finden sich nirgends. Im ganzen wird man den alten Ägyptern in dieser Richtung nicht viel Zutrauen dürfen, ihre Weisheit ist im Altertum sehr überschätzt worden.

2.    Die Griechen befreiten die Geometrie aus dem engen Gesichtskreis ägyptischer Handwerker und Baumeister. Indem sie die Geometrie um ihrer selbst willen trieben, förderten sie dieselbe in zwei Jahrhunderten mehr als jene in zwanzig. Anfangs mag noch die sinnliche Anschauung die entscheidende Rolle gespielt haber, bald aber stellte sich das Bedürfnis nach logischen Beweisen ein; aus einfachen Sätzen wurden schwierigere hergeleitet und immer umfangreichere Abschnitte der Geometrie im Zusammenhang dargestellt. Damit war der Anstoß gegeben, auf die letzten Voraussetzungen zurückzugehen, aus denen alles übrige folgt. Der Mann, der diese unvergleichlich große Geistestat vollbrachte, war Euklid, der um das Jahr 300 v. Chr. unter Ptole-maeus I. in Alexandria lebte und lehrte. Er brachte, was seine Vorgänger in mehr als hundertjähriger Vorarbeit zur Grundlegung der Geometrie geleistet, zum Abschluß, und seine dreizehn Bücher der Elemente, die in geometrischer Einkleidung zugleich die Grundlagen der Arithmetik enthalten, verdrängten vollständig die Werke seiner Vorgänger. An die Spitze seines Buches, der <jtot%Ela, stellt Euklid die Definitionen (öpot), Postulate (aitrjfiurcć) und Axiome (xocvai ev-voLui), auf die sich seiner Ansicht nach die Geometrie gründet. Die wichtigsten Definitionen sind

I. 2Jrtuelóv iöriv, ov uegog ov&év.

Ein Punkt ist, was keinen Teil hat. Eine Linie ist Länge ohne Dicke.x) Eine Gerade ist eine Linie, die gleichmäßig liegt zu ihren Punken.

II.    de uijxog ànkarég.

III. Ev&eîu yga,Li[irj eöxlv, rjxig Ą Ï6ov toig ecp savxrjg örjUEL-

Oig XEÎXUL.

IV. ’ETUcpavsca dé eöxlv, b uijxog xal jtkdxog [idvov e%el.

Diese Sätze sind offenbar ursprünglich in der umgekehrten Reihenfolge gedacht: Die Fläche hat Länge und Breite, die Linie nur Länge, der Punkt gar keine Ausdehnung.

V. ’Entoedog EXLCpavsid eöxlv, Eine Ebene ist eine Fläche, die

gleichmäßig zu ihren Geraden liegt.

Parallel sind Geraden, welche in derselben Ebene liegen und nach beiden Seiten bis ins unendliche

nur Länge

was

Eine Fläche ist, und Breite hat.

rjxig Ï60V xalg ecp savxrjg ev&etcug xelxca.

VI. Ilagdkkrjkoi’ eiöiv evfteïca, aixivsg èv reo avxà ETunśdą ovöai xcd Exßakk0{ievai sIg ccTcetgov sep êxdxsga xà peśgrj verlängert auf keiner Seite sich E7ci ufjÔéxEQa <)V[i7tL7txov(jLV treffen. dkkxjkaig.

Von den Postulaten wollen wir nur das fünfte anführen, das in manchen Euklidausgaben als elftes oder dreizehntes Axiom erscheint und gewöhnlich das Parallelenaxiom genannt wird.

dende Gerade mit ihnen auf derselben Seite innere Winkel bildet, die (zusammen) kleiner sind als zwei Rechte, so schneiden sich jene zwei Geraden, verlängert bi3 ins unendliche, auf der Seite, auf der diese Winkel liegen.

1) Genauer „ohne Breite“, vergl. ànlccxêg in II und nXdxog in IY. Euklid denkt die Linie offenbar auf einer Fläche gezeichnet.

(Hixrjö&co) xcd èàv slg dvo sv&Eeag (Es soll gefordert werden) wenn sv^Eia êixTcCnrovôa ràg èvxog xcd eine zwei andere Geraden schneiet! xà avxà [iégr] yeovCag dvo ogfrarv ikaööovag tcoiïj, ixßakko-(.lévccg rag dvo sv&Etag èri dnsi-QOV 6V[l1lCltTSlV, ècp CC flSQT] siölv cd xcbv dvo 6p&àv ikdööoveg.

Die Axiome 1, 2, 3 und 8 enthalten die Grundsätze der Arithmetik, sind aber hier unmittelbar auf Raumgrößen bezogen. Axiom 7 enthält den Begriff der Kongruenz:

xai rà écpaQiiôÇovrcc èn akXrjXu Ï6a und was sich deckt, ist gleich. aXltflois sötlv.

3. Auf Euklid folgte im Altertum eine Reihe hervorragender Mathematiker, wie Apollonius, Archimedes, Heron (1. Jahrhundert v. Chr.), Geminus, Nikomachus (1. Jahrh. n. Chi\), Pappus (um 800 n. Chr.), Theon und Proklus (5. Jahrh. n. Chr.), die sein Werk teils durch Kommentare zu erklären und in Einzelheiten zu verbessern, teils durch selbständige Werke zu übertreffen bemüht waren. Ihre Tätigkeit bezog sich auf das Parallelenaxiom, die Wahl der Voraussetzungen und den Aufbau des ersten Buches sowie auf die Hebung gewisser Widersprüche zwischen den sechs ersten und den drei letzten Büchern. Als ganzes blieb das System Euklids unangetastet, nur das Parallelenaxiom fand ernsthaften Tadel, weil es im Verhältnis zu angeblich einfacheren Sätzen, die Euklid eines Beweises gewürdigt hatte, zu wenig anschaulich sei, um als Postulat gelten zu können.

Als im 6. Jahrhundert n. Chr. die griechische Kultur erlosch, da sank auch die Geometrie bald wieder auf die Stufe des Handwerksmäßigen hinab, die sie in Ägypten inne gehabt, ja jene uralte Näherungsformel für den Inhalt des Dreiecks (siehe Art. 1) kam wieder zu Ehren. Im Mittelalter wurde die Kenntnis Euklids neu belebt durch die Araber, und alsbald machte sich der Eifer der Mathematiker wieder an die Rätsel des Parallelenaxioms. Die erste Euklidausgabe des Mittelalters in lateinischer Sprache ist eine Übersetzung aus dem Arabischen (1482). Erst mit dem Beginn der Renaissance wurden wieder griechische Codices des Euklid und seiner Kommentatoren ans Licht gezogen; 1533 erschien die erste griechische Textausgabe des Euklid, besorgt von Simon Grynaeus. Von den Versuchen mittelalterlicher Mathematiker, das fünfte Postulat (Parallelenaxiom) zu beweisen, ist der des Nasir Eddin (13. Jahrh.) wohl der älteste; im 16. Jahrh. widerlegte dann Clavius einen Beweisversuch des Proklus, wie seinerseits Proklus ähnliche Versuche seiner Vorgänger als falsch erwiesen hatte. Immer deutlicher trat die Schwierigkeit des Problems zutage und reizte zahlreiche Mathematiker, diesen „Fleck" des Euklidischen Systems zu beseitigen. Soweit diese Beweisversuche sich nicht auf Trugschlüsse gründen, beruhen sie alle darauf, stillschweigend oder offen einen anderen Satz vorauszusetzen, der auf den ersten Blick ganz unverfänglich aussieht. „Das, was noch zu erweisen übrig ist, scheint anfangs eine Kleinigkeit zu sein; aber diese anscheinende Kleinigkeit, soll sie nach aller Strenge berichtigt werden, ist, wenn man genau nachsieht, immer die Hauptsache selbst; gewöhnlich setzt sie den Satz, oder einen ihm gleichwertigen, voraus, den man eben erweisen soll.“ (Lambert.) Dieses Mißgeschick traf auch den Begründer der Nichteuklidischen Geometrie und Herausgeber des „Euklides ab omni naevo vindicatus“, Hieronymus Saccheri (1667—1733), der mit bewunderungswürdigem Scharfsinn eine Geometrie aufbaute, die das Parallelenaxiom verwirft. Nicht als hätte er an der Wahrheit dieses Axioms und seiner logischen Abhängigkeit von den anderen Voraussetzungen gezweifelt. Er hoffte vielmehr durch zu erwartende Widersprüche „die verhaßte Hypothese“ beweisen zu können. Eng verwandt mit Saccheris Ideen und anscheinend von ihnen nicht unabhängig ist die „Theorie der Parallellinien“ von Lambert, die Johann Bernoulli nach dem Tode dieses großen Mannes im Magazin für reine und angewandte Mathematik 1786 herausgegeben hat.

4. Über 2000 Jahre hatten sich die hervorragendsten Denker im festen Glauben an die absolute Wahrheit des Satzes, daß zu einer Geraden durch einen gegebenen Punkt immer eine und nur eine Parallele gezogen werden könne, vergeblich angestrengt, dieses Axiom als Folge der übrigen Voraussetzungen darzustellen, als fast zu gleicher Zeit nicht ein, sondern vier Mathematiker den Bann lösten, der die Geister umfangen hatte. Zuerst wohl Gauß, der aber nichts darüber veröffentlichte. Doch geht aus seinem Nachlaß mit Sicherheit hervor, daß er mindestens schon um das Jahr 1799 an der logischen Beweisbarkeit des Parallelenaxioms zweifelte und spätestens 1816 die Grundlagen der hyperbolischen Geometrie hatte.¹) Unabhängig von ihm gelangte etwa 1818 der Jurist K. Schweikart in Marburg zu demselben Ergebnis. Auch diese Arbeit wurde nicht publiziert. An die Öffentlichkeit wagten sich mit der neuen Lehre zuerst der Russe Lobatschewski (Vortrag in Kasan 12. Februar 1826) und Joh. Bolyai in seinem Appendix 1832, ohne jedoch viel Verständnis und Anerkennung zu finden. Die neue Lehre wurde teils mit Gleichgültigkeit, teils mit abweisendem Spott aufgenommen und als „Metageometrie“²) auf gleiche Stufe gestellt mit der Metaphysik, die sich nicht gerade des besten Rufes erfreute. Erst die Schriften von Beltrami, Riemann, Helmholtz, Klein, Lie u. a. zerstreuten einigermaßen die Vorurteile, mit denen selbst Mathematiker die Nichteuklidische Geometrie ansahen. Aber die neue Auffassung der Grundlagen hätte vielleicht noch lange auf allgemeine Anerkennung warten müssen, wenn nicht die Entwicklung der mo

li Gauß, Werke, Bd. 8. Gort findet sich auch Nachricht über Schweikarts (Astral-)Geometrie. Vergl. auch Engel und Stäckel, Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauß. Leipzig 1895.

2) Das Wort stammt übrigens von Leibniz.

dernen Funktionentheorie und der Mengenlehre dazu gedrängt hätte, gleichzeitig auch die Grundbegriffe der Arithmetik zu revidieren. Die Entdeckung stetiger und doch nicht differentiierbarer Funktionen (durch Weierstraß), denen analytisch-geometrisch stetige Kurven ohne Tangenten entsprechen, der Nachweis der Möglichkeit, eine Kurve auf eine Fläche abzubilden, die immer deutlicher werdende Unzulänglichkeit der überlieferten Auffassung des Zahlbegriffes, besonders des Begriffes der Irrationalzahl, die Ausbildung des Stetigkeitsbegriffes und der Lehre von der Reihenkonvergenz sowie viele andere Umstände wirkten zusammen, um den blinden Glauben an die Zuverlässigkeit unserer sinnlichen Anschauung gründlich zu erschüttern und eine kritische Richtung in der Mathematik zu erzeugen, die auch der Geometrie zugute kam.

§ 2. Die Begriffe „Punkt“, „Linie“, „Fläche“.

1. Die Entwicklung der modernen Funktionentheorie hat gezeigt, daß die Kritik der Grundlagen nicht am fünften Postulat, sondern gleich an der ersten Definition hätte ansetzen sollen:

Ö^LBIOV 6ÖTLV, ov [légog ov&év.³)

Dieser Begriff entsteht aus dem Begriffe des — wirklichen oder vorgestellten — materiellen Punktes durch den Grenzprozeß, d. h. durch einen Geistesakt, der einer an sich unbegrenzten Reihe von Vorstellungen ein Ziel setzt. Man stelle sich etwa ein Sandkörnchen oder ein Sonnenstäubchen vor, das ohne Unterlaß kleiner und kleiner wird. Damit schwindet dann immer mehr die Möglichkeit, sich innerhalb dieses Sandkörnchens kleinere Teilchen abzugrenzen, und es entsteht, so sagt man, mit wachsender Bestimmtheit die Vorstellung des Punktes als eines bestimmten Ortes im Raum, der nur noch Einer ist und keine Teile mehr hat. Diese Auffassung ist unhaltbar, denn man kann sich zwar einigermaßen vorstellen, wie das Körnchen kleiner und kleiner wird, aber nur so lange, bis es den Augen fast entschwindet; von da an sind wir vollkommen im Dunkeln, und den Fortgang der Verkleinerung können wir weder sehen noch uns vorstellen. Daß dieses Verfahren ein Ende erreicht, ist undenkbar, daß dagegen ein Ziel existiert, über das es nicht hinaus kann, ohne es je zu erreichen, müssen wir glauben oder postulieren. Man gehe sich keiner Täuschung hin: so gut man sich vorstellen kann, daß ein Sandkömchen unbegrenzt kleiner wird, können wir uns auch vorstellen, daß man es durch ein Mikroskop betrachtet, dessen Vergrößerungsvermögen im Verhältnis zu jener Verkleinerung zunimmt. Dann wird an dem Sandkorn keine Veränderung wahrzunehmen sein und es leuchtet ein, was auch an sich klar ist, daß jener Verkleinerungsprozeß in der Anschauung nie ein Ende erreichen kann. Wenn man diesem Prozesse gleichwohl den Begriff des Punktes als „Des durch ihn eindeutig Bestimmten“ zuordnen will, so muß man sich bewußt bleiben, daß das ein reiner Akt des Willens, nicht des Verstandes ist; und der so definierte „Punkt“ ist nicht vorstellbar, sondern nur etwas an eine Vorstellungsreihe Geknüpftes. Zu der ersten Definition gehörte also auf alle Fälle ein erstes Postulat, daß es überhaupt Punkte gibt. Räumliche Existenz haben sie nicht. Bewegte sich unsere tägliche Erfahrung so häufig im Reiche des sehr klein Erscheinenden, wie sie sich im Reiche des Großen bewegt, so würde man dem Begriffe des Punktes mehr Mißtrauen entgegenbringen. Wenn man an das reiche Leben der Kleinwelt denkt, die unseren Sinnen hauptsächlich nur durch das Mikroskop zugänglich ist, an das Leben der Spaltpilze, Algen und Bakterien, an das Leben der Pflanzen- und Tierzellen mit ihrer wunderbar feinen Struktur, wenn wir überlegen, wie in der menschlichen Eizelle ein hoch organisiertes Wesen mit diesen oder jenen Eigenheiten seines Körperbaues, seines Charakters und Verstandes präformiert vorliegt, so können wir uns des Eindruckes nicht erwehren, daß das, was klein erscheint, nur in bezug auf unsere Sinne so ist, und daß vor einer anders gearteten Intelligenz als der menschlichen der sinnliche Unterschied zwischen groß und klein wegfallen könnte.

2. Wie der Punkt als Grenzbegriff dem im Abnehmen begriffenen Sandkömchen zugeordnet wird, so knüpfen wir den Begriff der (krummen) Linie und der (krummen) Fläche an die Vorstellung einer materiellen Linie oder Fläche, die eine zunehmende Verfeinerung erfährt. Und zwar können wir uns die Linie als dünnen Faden, die Fläche als dünnes Blatt vorstellen, die immer dünner werden, oder als scharfe Kante oder glatte Oberfläche, die immer noch feiner und glätter wird. Bei der Bildung des Flächenbegriffes nur von der Oberfläche oder dem zwei Körpern Gemeinsamen auszugehen, ist nicht ausreichend, weil es Flächen gibt, die nicht als Ganzes Oberfläche eines Körpers, nicht Trennungsfläche zweier Körper sein können. Versucht man z. B. das in Fig. 1 abgebildete Möbiussche Blatt, das aus einem Rechteck AA^B^B entsteht, indem man nach geeigneter Verdrehung AlB₁ an BA klebt, auf einer Seite mit Materie zu bedecken, etwa mit Wachs, so wird schließlich die ganze Fläche in der Materie stecken, weil sie nur eine Seite hat.

Der zur Linie und Fläche führende Grenzprozeß unterliegt denselben Bedenken wie beim Punkt. Eine genaue Vorstellung einer glatten Fläche gibt es nicht, eine yorgestellte Fläche kann nicht glatter oder dünner sein als eine materielle; denn umgekehrt sind wir nicht imstande, von zwei materiellen Flächen anzugeben, welche die dünnere ist, wenn sie beide nur einigermaßen dünn sind und der

Unterschied nicht zu groß ist; .__

ebenso verhält es sich mit der

Glätte. Selbst die Oberfläche einer ß__

AB,

Flüssigkeit ist nicht absolut glatt, denn die Flüssigkeiten lassen fortgesetzt zahllose Teilchen in den Raum sprühen, was man Verdunstung nennt; eine Flüssigkeit hat daher ebensowenig eine bestimmte ^

BA,

Fig. i.

Oberfläche, wie ein Bienenschwarm eine hat. Von diesen verschwommenen Vorstellungen soll nun der Grenzprozeß zu etwas vollkommen Genauem und Bestimmtem übergeben; das kann aber nicht wieder ein Vorstellbares sein, sondern ein reiner Begriff, den wir dem Grenzprozesse als das durch ihn Bestimmte zuordnen. Sinnliche Existenz haben die „Linie“ und die „Fläche“ ebensowenig als der „Punkt“.

§ 3. Die Begriffe „Gerade“

Ebene“, „parallel“.

1. Die Schwierigkeiten und Widersprüche häufen sich, wenn man von der (krummen) Linie und der Fläche zu der geraden Linie und der Ebene aufsteigt. Diese Begriffe oder doch die ihnen zu gründe liegenden Anschauungen sucht man dadurch zu übermitteln, daß man verlangt, man solle sich zunächst eine materielle Gerade, etwa eine scharfe Kristallkante, einen gespannten Faden oder einen Lichtstrahl vorstellen und nun den in § 2 geschilderten Grenzprozeß vornehmen. Die (grobe) Vorstellung des Geraden entsteht auch, wenn man Körper zwischen zwei Körper A, JB so einordnet, daß sie sich beim Visieren mit ihnen zu decken scheinen (Richtung nehmen beim Militär!). Diesem Vorgänge entspricht die Platonische Definition der Geraden als einer Linie, „deren Mittleres die Enden beschattet“, also als Weg des Lichtstrahles. Es braucht nicht wiederholt zu werden, daß eine materielle Linie nicht eine exakte Vorstellung und auch keinen exakten geometrischen Begriff erzeugen kann; auch der Lichtstrahl ist nichts in seiner Richtung Unteilbares, zudem hat er die durch den Schwingungszustand bedingte Seitlichkeit. Noch weniger geht es an, die

Gerade als Das zu definieren, was bei der Drehung eines Körpers um zwei Punkte in Ruhe bleibt. Denn damit käme in intensivster Weise die Bewegung mit allen ihren Rätseln in die Geometrie, außerdem kann man sich dabei nichts vorstellen und noch weniger aus dieser Definition brauchbare Schlüsse ziehen. Die dem Archimedes zugeschriebene Definition, die Gerade sei die kürzeste Linie zwischen zwei Punkten, setzt den Begriff der Länge, wenn auch nur des Linienelementes, und damit denn doch wieder den Begriff der Geraden voraus.

2.    Wie ihre Modelle ist die (roh vorgestellte) Gerade zunächst endlich, muß aber, besonders dem Parallelenbegriff zuliebe, unbegrenzt fortgesetzt werden, denn die Definition des Parallelismus besagt, daß zwei Geraden einer Ebene einander parallel heißen, wenn sie, bis ins Unendliche verlängert, einander nicht treffen. Diese Forderung ist aber bei einer vorstellbaren, also materiellen Geraden vollkommen unzulässig, weil sie die Grenzen der Erfahrung und des Vorstellbaren übersteigt und es auf Grund dieser Definition vollkommen unmöglich ist, von zwei Geraden zu entscheiden, ob sie wirklich parallel sind. Man knüpft die Vorstellung des Parallelismus gern an die beiden Schienenstränge eines Gleises, die durch die Schwellen immer in gleichem Abstand voneinander gehalten werden und sich auch bei unbegrenzter Fortsetzung des Gleises nie schneiden werden. Aber hier müßte erst bewiesen werden, daß, wenn die eine Schiene wirklich eine absolut genaue Gerade wäre, auch die andere Schiene eine Gerade sein muß. Außerdem wird der Begriff des Lotes und der Gleichheit vorausgesetzt. Von den rohen Linien, auf die sich allein unsere Vorstellung und Erfahrung bezieht, sollte man vernünftigerweise überhaupt nichts aussagen, was eine Überschreitung der engen Grenzen voraussetzt, die unseren Sinnen gezogeü sind; wenn man es doch tut, muß man auf Widersprüche oder Zweideutigkeiten gefaßt sein.

3.    Die hier geltend gemachten Bedenken übertragen sich auch auf die Ebene. Es wird nicht nötig sein, das weiter auszuführen, dagegen muß noch ein anderer Umstand hervorgehoben werden. Wenn man zwischen zwei (groben) Punkten A, B einen Faden spannt, oder zwischen ihnen andere Punkte durch Visieren einordnet, ähnlich wie man die Mitte einer Zielscheibe zwischen Korn und Kimme einer Flinte einvisiert, so gewinnen wir den Erfahrungssatz, daß zwischen zwei materiellen Punkten nur eine materielle Gerade möglich ist. Definiert man ferner die Ebene als die Fläche, welche eine Gerade beschreibt, die durch einen Punkt P gehend eine Gerade p trifft, so ist die Ebene durch P und zwei Punkte dieser Geraden p, die übrigens nicht durch P gehen darf, vollkommen bestimmt. Ob oder daß

Bie durch drei andere ihrer Punkte ebenfalls bestimmt ist, oder, was auf dasselbe binauskommt, ob sie jede Gerade vollkommen enthält, von der sie zwei Punkte enthält, das kann nur die Erfahrung lehren. Diese Erfahrung gewinnen wir etwa an einer Tischplatte, auf der wir ein Lineal nach allen Richtungen hin glatt auf legen können, wenn wir nicht allzugroße Ansprüche an Genauigkeit stellen. Werden aber diese Eigenschaften sich erhalten, wenn man von der materiellen Ebene oder Geraden zur exakten übergeht? Ist es zulässig, wie Euklid es tut, zu postulieren, daß die Gerade durch zwei ihrer Punkte völlig bestimmt ist, oder liegt das nicht schon im Begriffe? Diese Fragen sind nicht schwer zu beantworten. Man kann nämlich zwischen zwei Punkten A, B einen dritten nur so lange einvisieren, als diese Punkte wirklich sichtbar sind; werden sie bei dem vorzunehmenden Grenz-übergange unsichtbar, so sind wir völlig ratlos, wie jene Punkte eingeschaltet werden sollen; wollte man ein Vergrößerungsglas zur Hilfe nehmen, so entstände wieder der Einwand, daß man nicht zu Ende kommt. Ebenso geriete man in Verlegenheit, wenn man am gespannten Faden den Grenzprozeß vornehmen wollte, denn der Faden müßte doch, um gespannt werden zu können, immer materiell bleiben, was der Absicht des Grenzverfahrens vollständig widerspricht. Es folgt, daß bei einer materiellen Geraden, wie man sie auch immer erzeugt, ein exakter Grenzübergang überhaupt nicht möglich ist. Will man nun doch zu einem bestimmten Begriffe gelangen, so muß man so viel Eigenschaften der materiellen Geraden in die Definition dieses Begriffes aufnehmen, bis man mit der so definierten (nicht mehr vorstellbaren) Geraden alles das anfangen kann, was uns die verfeinerte materielle leisten sollte. Es zeigt sich also schon hier, daß die Euklidischen Definitionen für die logische Beweisführung vollkommen unbrauchbar sind. Zu jenen Eigenschaften der materiellen Geraden nun, die man in den zu bildenden Begriff der exakten übernehmen muß, gehört gerade die, daß sie durch zwei Punkte bestimmt sein soll; ähnlich müssen wir in die Definition des durch Grenzübergang ebenfalls nicht bestimmbaren Begriffs der Ebene die Eigenschaft aufnehmen, daß sie jede Gerade völlig enthält, von der zwei Punkte in ihr liegen, oder eine äquivalente Eigenschaft. Ebene und Gerade können also nur durch Eigenschaften, nicht durch Grenzübergänge an Objekten der Anschauung definiert und damit überhaupt ins Dasein gerufen werden.

§ 4 Die Bewegung und die Kongruenz.

1. Auf eine Kritik des Begriffes „zwischen“, die hier unmittelbar anknüpfen könnte, wollen wir, um nicht zu ermüden, nicht eingehen, dagegen dürfen die Schwierigkeiten des Begriffes der Bewegung, auf die sich die ganze Lehre von der Kongruenz stützt, nicht uner-örtert bleiben. „Zwei Strecken heißen einander gleich oder kongruent, wenn sie sich aufeinander legen lassen.“ Auf Grund dieser bekannten Definition kann also die Frage nach der Gleichheit zweier Strecken zunächst nur rein empirisch entschieden werden, nämlich indem man sie aufeinander legt. Das wäre noch zu dulden, wenn sich später andere Mittel fänden, die rein mittels der existent⁴) gedachten geometrischen Gebilde eine Entscheidung ermöglichten. Solche Mittel gibt es, wie wir sehen werden, aber die Elementargeometrie hat sich nie darum bemüht, sie zur Beseitigung des Empirischen zu benutzen. Diese wird aber noch aus einem anderen Grunde notwendig. Die Feststellung der Deckbarkeit zweier Strecken kann nur an materiellen Geraden vorgenommen werden. Durch die obige Definition werden also Strecken geometrischer Geraden gar nicht getroffen. Auch zwei Winkel werden als kongruent oder gleich definiert, wenn sie sich so aufeinander legen lassen, daß ihre Schenkel sich decken. Wiederum ist der Einwand zu machen, daß das reine Gedankending, das man Gerade nennt, und dem keine unmittelbare sinnliche Anschauung entspricht, nicht bewegt werden kann-, also ist auch diese Definition hinfällig. Oder soll man sich auch die Bewegung nur denken? Aber was ist Bewegung?

2. Mag man den Begriff der Gleichheit bei materiellen Geraden immerhin auf die Bewegung gründen, in die Geometrie kann er nicht so ohne weiteres übernommen werden. Die Bewegung muß auf alle Fälle eliminiert werden. Da stünde man nun vor einem unüberwindlichen Hindernis, wenn jene Philosophen Recht hätten, die behaupten,

A3

B'

Fig. 2.

daß man ohne Bewegung in der Geometrie nicht auskom-men kann. Dann wäre eine exakte Geometrie nicht möglich. So liegt die Sache aber nicht. Vergegenwärtigen wir uns doch erst, was die Bewegung im obigen Falle uns eigentlich leisten soll!

1.) Ist eine (materielle) Strecke AB gegeben und eine Gerade u mit einem Punkte A' darauf, so ordnet die Bewegung in vollkommen bestimmter Weise den Punkten AB und Ä in gegebener

Richtung auf u einen Punkt B' zu, und man sagt dann, die Strecke A B’ sei kongruent AB, in Zeichen: ÄB' ^ AB. Speziell ist in diesem Sinne AB ^ AB. Weiter können wir von der Bewegung aussagen:

2. ) Wenn die Bewegung einer Strecke AB sowohl die Strecke ÄB' als auch die Strecke A"B" als kongruent zuordnet, so entsprechen auch die Strecken ÄB' und Ä'B" einander als kongruent.

Ferner:

3. ) Entsprechen auf derselben Geraden a oder zwei verschiedenen Geraden a, a drei Punkten A, B, C, von denen B zwischen A und C liegt, drei Punkte Ä, B', C, von denen B' zwischen Ä und C' liegt, in der Weise, daß AB ^ A'B' und BC ~ B'G', so ist auch AC^A'C'.

Es ließen sich noch viele Sätze dieser Art aufstellen. Ähnliche Dienste leistet uns die Bewegung beim Winkel:

4. ) Sei in einer Ebene a ein Winkel mit den Schenkeln h, k> sowie in einer Ebene a (die mit a zusammenfallen darf) ein Halbstrahl h' und eine bestimmte Seite von li in a gegeben: dann ordnet die Bewegung in vollkommen bestimmter Weise den gegebenen Stücken einen Halbstrahl k' in a durch den Anfangspunkt von K zu, so daß man von dem Winkel h'k' aussagt, er sei kongruent hk. Speziell ist in diesem Sinne ^ hk sich selbst kongruent. Dem Satze 2.) steht gegenüber:

5. ) Sind zwei Winkel demselben dritten kongruent, so sind sie einander kongruent.

So könnte man noch viele Eigenschaften von Strecken und Winkeln aussagen, die nur der Bewegung ihren Ursprung verdanken; dazu kämen dann noch die Eigenschaften kongruenter Dreiecke. Nun hat aber Hilbert⁵) in seinem berühmten Buche über die „Grundlagen der Geometrie“, Leipzig 1903 (2. Aufl.), § 5 und 6 gezeigt, daß man zu diesen fünf Tatsachen der Bewegung 1.) bis 5.) nur noch die folgende hinzuzunehmen braucht, um alles das zusammenzufassen, was uns beim Beweise der Kongruenzsätze allein die Bewegung leisten

von

man

kann und muß; alles andere folgt dann streng deduktiv, sechste Satz aber lautet:

Dieser

6.) Wenn für zwei Dreiecke ABC und A B C' die Kongruenzen

AB ~ A'B', AC^A'C, BAC çv B'A'C'

gelten, so sind auch stets die Kongruenzen

^ABC^^A'B'C' und ■£. ACB ^ A'C'B'

erfüllt.

Hilbert legt sich bei der Definition der Kongruenz sogar die Beschränkung auf, daß er die Kongruenz zunächst nicht als eine wechselseitige definiert, also z. B. in 1.) nur AB kongruent AB', nicht A'B' auch kongruent AB nennt; die Wechselseitigkeit folgt dann aus 2.) und 5.). Die Einzelheiten und vor allem den Beweis der Kongruenzsätze wolle man bei Hilbert 1. c. nachlesen.⁶)

3.    Die Beweisbarkeit der Kongruenzsätze aus den Voraussetzungen

1.) bis 6.) ohne weitere Benutzung der Bewegung hat eine merkwürdige Folge: Hätte man nämlich ein Konstruktions verfahren, das man Idealbewegung nennen könnte, ohne daß es aber mit der Bewegung eine andere Eigenschaft gemeinschaftlich zu haben brauchte als die, die Sätze 1.) bis 6.) zu erfüllen, so könnte man auf diese Idealbewegung den Begriff der idealen Kongruenz gründen und streng logisch vier ideale Kongruenzsätze beweisen. Unsere gewöhnliche Kongruenz wäre dann nur ein besonderer Fall der idealen. Idealkongruente Strecken brauchten durchaus nicht im gewöhnlichen Sinne gleich zu sein. Solche ideale Kongruenzen gibt es: Um in einer Ebene rj eine solche herzustellen, nehme man etwa eine Ebene rj' sowie einen außerhalb beider Ebenen liegenden Punkt P zur Hilfe und nenne zwei Strecken AlB₁, A₂B₂ in ij idealkongruent, wenn die Strecken A(B{} A₂'B₂, die die Strahlen FAl, PA₂, PBl} PB₂ auf rf als Projektion bestimmen, im gewöhnlichen Sinne kongruent sind. Freilich ist diese Pseudokongruenz von der gewöhnlichen abhängig, beweist aber jedenfalls, daß nicht jede ideale Kongruenz mit der gewöhnlichen identisch sein muß und daß diese Begriffsbildung überhaupt zulässig ist. Auf diesem Standpunkt steht Hilbert, der die ideale Kongruenz mittels der Eigenschaften 1.) bis 6.) definiert, soweit sie eben dadurch definiert ist. Man muß dann während derselben geometrischen Betrachtung voraussetzen, daß man es immer mit derselben Realisierung der idealen Kongruenz zu tun hat.

4.    Kann dieses Verfahren auch nie zu inneren Widersprüchen führen, so unterliegt es doch folgenden zwei Bedenken:

Erstens. Wenn es ein Verfahren der Strecken- und Winkelzuordnung gibt, das die Bedingungen der idealen Kongruenz erfüllt, so ist das Verlangen gerechtfertigt, daß man ein solches Verfahren auch angebe, damit man wirklich geometrische Geometrie treiben kann, denn so lange man das Verfahren nicht hat, kann man nicht konstruieren.

Zweitens. Dieses Verfahren und überhaupt die ideale Kongruenz würde die gewöhnliche, unvollkommene Kongruenz aus der Geometrie nicht verbannen, wenn es selber wieder, wie das soeben angegebene, die gewöhnliche Kongruenz voraussetzte. Die Bewegung wäre dann eines der notwendigen Übel in der Geometrie. Ob durch die Kongruenz in die Geometrie ein den Grundbegriffen und den übrigen Grundsätzen fremdes, auf empirischen Grundlagen beruhendes Element hinein geschleppt werden muß oder nicht, ob wir auch die ideale Kongruenz, ohne Benutzung der gewöhnlichen, schlechterdings als gegeben voraussetzen müssen, oder ob wir sie selbst geben können, das wird beim Hilbertschen Aufbau der Elemente nicht vollkommen klar. Denn was nützt es zu wissen, daß die Annahme der idealen Kongruenz nie zu logischen Widersprüchen führen kann, wenn ich diese Kongruenz ohne Hilfe der gewöhnlichen gar nicht realisieren könnte? Ideale Kongruenz ohne empirisch-physikalische Hilfsmittel (Zirkel und Lineal) existiert nur dann, wenn sie dadurch gesetzt ist, daß alle Punkte, Linien und Flächen gesetzt sind. Es müßte also möglich sein,

A)    gleiche Strecken und Winkel, überhaupt kongruente Figuren durch eine der Geometrie „immanente Konstruktion“ herzustellen, d. h. durch eine Konstruktion, die weder materiell noch auch nur in der Vorstellung ein Instrument benutzt, sondern die unter der Voraussetzung, daß alle Punkte, E'lächen und Linien des Raumes existieren⁷), darin besteht, daß man sich speziell derjenigen unter ihnen bewußt wird, die die Zuordnung der kongruent zu nennenden Stücke vermitteln. Und damit nicht schließlich doch wieder die Bewegung in die Geometrie kommt, müßte sich

B)    auf diese „immanente Konstruktion“ auch eine „immanente Definition“ der Kongruenz stützen lassen,. d. h. man müßte von dieser Konstruktion, ohne den Begriff der Kongruenz irgendwie zu benutzen, erst rein logisch beweisen können, daß sie die Bedingungen 1.) bis 6.) erfüllt; dann könnte man die Kongruenz einfach durch diese Konstruktion definieren. Die Frage also, ob in einer streng logischen Geometrie auch die Kongruenz Platz hat, hängt von der anderen ab: Gibt es eine „immanente Konstruktion“ kongruenter Strecken und

der ohne Benutzung der Kongruenzsätze bewiesen

Winkel,

werden kann, daß sie die in 1.) bis 6.) geforderte eindeutige Zuordnung leistet?

von

§ 5. Die Steinerschen Linealkonstrnktionen.

1. Eine Konstruktion, welche wenigstens der Forderung A) des vorigen Paragraphen genügt, existiert. Jacob Steiner hat nämlich in einem berühmten kleinen Buche¹), das zu den Perlen der Elementargeometrie zu zählen ist, mit ganz einfachen Mitteln den Beweis erbracht, daß alle Konstruktionen, die man mit Zirkel und Lineal ausführen kann, auch mittels des Lineals allein gelingen, wenn ein Kreis und sein Mittelpunkt gezeichnet vorliegen. Da das Lineal dabei nur zum Ziehen gerader Linien benutzt wird, so brauchen wir uns den Kreis und sämtliche gerade Linien nur als schon vorhanden vorzustellen oder besser zu denken, um die verlangte immanente Konstruktion zu haben. Die Begriffe Gerade und Kreis müßten natürlich einwandsfrei definierbar sein, was wir vorläufig voraussetzen müssen. Die Steinerschen Konstruktionen benutzen eine Eigenschaft des Paralleltrapezes, die leicht zu beweisen ist:

Satz 1. Die Gerade, welche den Schnittpunkt der beiden nicht parallelen Seiten eines Paralleltrapezes mit dem Schnittpunkte der beiden Diagonalen verbindet, halbiert die parallelen Seiten, und umgekehrt:

Satz 2. Wenn die Verbindungslinie des Schnittpunktes zweier gegenüberliegender Seiten und des Diagonalschnittpunktes eines Vierecks eine dritte Seite des Vierecks halbiert, so halbiert sie auch die vierte, und diese beiden Seiten sind parallel.

Sind also zwei paral--M- leie Gerade u, v gegeben, und auf einer derselben, etwa auf v, eine Strecke AB, so kann man mit dem v Lineal allein AB halbieren, indem man auf u willkürlich

Cb/

4-

/<

7A

Fig. 3.

\//

AS

A

■7

'J.

B\

zwei

Punkte a, b annimmt und den Schnittpunkt S der Geraden A a, Bb mit dem Schnittpunkte T der Geraden Ab, Ba verbindet. Diese

1) Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 60.

Gerade ST halbiert dann nicht nur AB, sondern auch ab. Konstruktion 1.

Ist umgekehrt die Mitte M von AB sowie ein Punkt a gegeben, durch den zu AB die Parallele konstruiert werden soll, so nehme man auf a A einen beliebigen Punkt S an, der von a und A verschieden ist, ziehe SM, SB und «5; die Geraden aB und SM bestimmen dann den Schnittpunkt T, und AT trifft SB in einem Punkte b, so daß ab parallel zu AB ist. Konstruktion 2.

p’

Wenn nun ein Kreis K mit seinem Mittelpunkte 0 gezeichnet vorliegt, so halbiert 0 jeden Durchmesser PP'. Also kann man mittels der Linealkonstruktion 2. durch einen Punkt Q von K (wie durch jeden anderen) zu PP' die Parallele ziehen; ist R ihr anderer Schnittpunkt mit dem Kreise, so P bestimmen die Durchmesser Q 0,

TŁ

Mg. 4.

BO auf K zwei andere Punkte Q', B’, so daß die drei Geraden QR, PP' und Q'R' parallel und „äquidistant" sind (gleichen Abstand von der mittleren haben). Diese drei Geraden treffen jede dazu nicht parallele Gerade g in drei äquidistanten Punkten; folglich kann man nach Konstruktion 2. zu g durch einen beliebigen Punkt die Parallele ziehen. Nach Konstruktion 1. kann man dann auf g jede Strecke halbieren. Da man nun PP' immer so annehmen kann, daß diese Gerade zu einer vorgegebenen Geraden g nicht parallel ist, so folgt:

Satz 3. Wenn ein Kreis mit Mittelpunkt gezeichnet vorliegt, so können wir mit Hilfe des Lineals ohne Zirkel

l)

zu einer gegebenen Geraden durch einen gegebenen Punkt die Parallele ziehen;

2) eine gegebene Strecke halbieren.

2. Nach dieser Vorbereitung können wir zunächst das Steiner-sche Verfahren der „Verschiebung“ einer Strecke auf ihrer Geraden beweisen. Um zu einer Strecke AB einer Geraden u in einem Punkte Ä derselben nach gleicher Richtung die kongruente Strecke abzutragen, ziehe man zu u nach Satz 3 zwei Parallelen v, w, verbinde einen beliebigen Punkt S von w mit A und B und bringe diese zwei Verbindungslinien mit v zum Schnitt; der Schnittpunkt auf SA sei a, der auf SB sei b. Dann bestimmt A'a auf w einen ecke aS'b, A'S'B'. anderen Geraden proportionale Stücke abschneiden:

Danach ist, indem drei Parallelen auf jeder

Punkt S', so daß die Gerade S b die Gerade u in dem Punkte B' trifft, für welchen A'B' = AB ist. Es ist leicht einzusehen, wie

diese Konstruktion

io

S'

Vs

/<

sich ändert, A'B'

\a/ X bi

wenn entgegengesetzte Richtung haben soll wie AB\ den außer A, B gegebenen Punkt nennt man dann am besten V B' und ermittelt A'

cj>-

BjB

jf

Fig. 5.

nach nebenstehender Figur. Der Beweis benutzt die Ähnlichkeit einerseits der Dreiecke a Sb, ASB, andererseits der Drei-

AB : ab = SA : Sa = S'A' : S'a = A'B' : ab,

also AB = A'B'.

Zu diesem Verfahren fügen wir noch ein zweites, das die Drehung

v\v'

rV

Pi

II

Ub,

!p'

U'

d\ d'

fB

ii

Fig. 7.

Fig. 6.

einer Strecke auf einem Durchmesser des gegebenen Kreises x um den Mittelpunkt 0 ermöglicht.

Soll (s. Fig. 6) ein Durchmesser d mit einer darauf gelegenen Strecke P Q um den Mittelpunkt 0 so gedreht werden, daß d in die vorgeschriebene Lage d' kommt, so trifft d' den Kreis in zwei Punkten, von denen wir noch den Punkt Ä willkürlich vorschreiben können, auf den der zwischen 0 und P liegende Punkt A von x fallen soll. Zieht man jetzt durch P und Q zu AÄ die Parallelen (Satz 3, i), so treffen diese d' in zwei Punkten P', Qr, so daß, wie man leicht zeigt, P'Q' = PQ ist.

Soll jetzt endlich eine auf einer Geraden u gegebene Strecke AB auf eine beliebige Gerade u übertragen werden (s. Fig. 7 j, wobei ein Endt punkt der neuen Strecke und die Richtung, nach der sie liegen soll, gegeben sein dürfen, so braucht man offenbar nur zu u und u durch 0 zwei Parallelen v, v zu ziehen, auf v die Strecke PQ = AB durch Konstruktion eines Parallelogramms PQAB zu übertragen, diese Strecke samt v in die Lage P'Q' auf v zu drehen und die Strecke P'Q' durch Konstruktion eines Parallelogramms P'Q'A'B' auf v zu übertragen. Dann ist A'B' — AB. Je nachdem man den auf u gegebenen Endpunkt E der Strecke AB' mit A' oder B' bezeichnet, wird das gesuchte B' bezw. Ä rechts oder links von E auf u liegen.

3. Die Fundamentalaufgabe der Winkelmetrik, einen gegebenen Winkel (a, b) an eine gegebene Gerade a in einem gegebenen Punkte S' derselben anzutragen, gestattet folgende einfache Lösung¹): Durch einen beliebigen Punkt C des Kreises x (Fig. 8) i zieht man zu a und b die Parallelen, ! die x in zwei Punkten A und B ç treffen; durch A legen wir die Parallele zu a, welche x in C treffen möge.

Zieht man jetzt durch S' die Parallele V zu CB, so ist <£(a', b') == AC'B = -èf^ACB = ^ (a, b), wie verlangt war.

Wir haben der bequemeren Ausdruckweise wegen die Konstruktionen der Strecken- und Winkelabtragung in der ^

Sprache der Elementargeometrie dargestellt, in der eine Gerade, auf die man seine Aufmerksamkeit richtet, immer erst „gezogen“ wird; setzen wir den Kreis und alle Geraden und Punkte einfach als schon vorhanden voraus,

"Mc

ÖJ

V.

Fig. 8.

a\y

S'

1) Sie erspart gegenüber der von Steiner angegebenen die Konstruktion von zwei Parallelen.

was man in einer streng logischen Geometrie tun muß, so braucht man sich der zur „Konstruktion“ benutzten Hilfslinien und Hilfspunkte immer nur bewußt zu werden. Das ist dann die verlangte „immanente“ Konstruktion.

§ 6. Natürliche Geometrie.

6. Es bleibt noch übrig, diese Resultate auf die K

1 + v

di=y (a2 ~ asY+o>i - \y+(ci - czfj di=y(«3- «1)2+(pz—\y+(c3 - o2>

13. Die Möglichkeit, einem derartigen logischen Fo

Anblick dieser Figur erregt und ermüden leichter,

1. zur Gattung U' jeden Punkt x von [A, B], der de

folge mit 1, 2, 3, 4 und konstruiere die Pascals

('.A,

§ 19. Anhang: Literaturangahen.

§ 14. Ähnlichkeit.

Ï7 = I7’ 7"77^ 7'7 =

(2) Sn = rs„/(>n = 2sn//4 - sn8/r2.

U-,

§ 27. Der Kosinus.

§ 31. Goniometrie.

AA3 = A - *o)2 + iün - y0Y =

§ 38. Der Moebiussche Dreiecksbegriff.

§ 41. Die Kosiuussätze und der Sinussatz.

= eT;

§ 49. Gruppentlieoretisclie Betrachtungen.

tgi-ytgftgftgftgf-

(6)

b) durch einen Punkty und den Neigungswinkel qp, o

§ 63. Der Kreis.

§ 67. Konstruktion der Kegelschnitte.

§ 69. Allgemeine Sekanteneigenschaften anf Grund der f-Gleiehung.

- V2^ - = 8

§ 73. Grundeigenschaften der Kurven zweiter Ordnung.

x[ — ((Au + A22) © — A)/2 ®3p = x*, x2 = x*

Achter Abschnitt.

(i)

. . ., a~2, a-1, a0; a, a2, a3, ...

Enzyklopädie

¹

A. Eisenlohr, Ein mathematisches Handbuch der alten Ägypter.

²

Leipzig 1877.

³

Die folgenden Ausführungen passen zwar genau auf den Wortlaut der Euklidischen Definitionen, sollen aber nicht diese, sondern ihre gewöhnliche Auffassung treffen.

⁴

„Existent“ wollen wir die Geraden, Kreise u. s. w. nennen, wenn sie im Raume vorhanden sind oder so gedacht werden, so daß sie also nicht erst „gezogen“ werden müssen wie in der Schulgeometrie.

⁵

Das Verdienst des Hilbertschen Buches besteht in der klaren, erkenntnistheoretischen Grundauffassung, in der scharfen Problemstellung und den arithmetisch-algebraischen Methoden. Die Aufstellung vollständiger Systeme Axiomen und den rein formal-logischen Aufbau der Geometrie verdankt Pasch, Schur sowie der logischen Geometerschule der Italiener, die in § 19 namhaft gemacht sind. Wenn wir im folgenden fast ausschließlich das Hilbert-sche Buch zitieren, so geschieht das, weil es leicht zugänglich ist und durch seine Methoden überaus anregend gewirkt hat und voraussichtlich noch wirken wird; die Arbeiten der Vorgänger sind meistens in Zeitschriften zerstreut oder in fremden Sprachen gedruckt.

⁶

Unseren Sätzen 1.) bis 6.) entsprechen 1. o. genau III, bis III₆.

⁷

Siehe die Fußnote S. 14.

Weber n. Wellstein: Enzyklopädie. II. 3. Aufl.

§ 6. Natürliche Geometrie.

1. Die Grenzübergänge, die man an dem Rohmaterial der Geometrie, den materiellen Punkten, Geraden und Ebenen vorzunehmen pflegt, um es von aller Unbestimmtheit und Willkür frei zu machen, haben zu so schweren Bedenken Anlaß gegeben, daß die Wahrheit der ganzen Elementargeometrie in Frage gestellt scheint. Andererseits beweist aber, wie wir sehen werden, die analytische Geometrie, als reine Analysis einer linearen, dreifach unendlichen Zahlenmenge ohne Beziehung auf das räumlich Vorstellbare entwickelt, daß die elementare Geometrie nie zu logischen Widersprüchen führen kann. Und doch besteht unsere Kritik zu Recht, daß die sogenannten „geometrischen“ Punkte, Ebenen und Geraden keine sinnliche Existenz haben, daß die Kongruenz durch die übliche Definition nur für materielle, vollkommen starre Gebilde erklärt wird u. s. w. Der Widerspruch löst sich so: Allerdings schickt Euklid seinem Lehrsystem jene bedenklichen Definitionen voraus, und viele Lehrbücher, sogar das sonst so vortreffliche von Baltzer, tun das noch heute. Aber beim weiteren Aufbau des Systems wird von diesen Definitionen kein Gebrauch gemacht, weil sich kein Anlaß dazu bietet. Was schadet es auch, wenn eine Kreislinie einige zehntel Millimeter dick ist? Erst in der Funktionentheorie macht sich das Bedürfnis nach ausdehnungslosen Punkten und Linien ohne Dicke geltend, indem man in der komplexen Zahlenebene jeder Zahl einen Punkt zuordnen möchte. Nur in der Lehre von den Parallelen und überall, wo der Begriff des Unendlichen in der Geometrie eine Rolle spielt, sind aus der Unzulässigkeit der idealisierten Grundbegriffe von jeher Streitigkeiten entstanden. Sollte also die Elementargeometrie als anschauungsmäßige Geometrie sich rechtfertigen lassen, so müßte sie ohne alle unerlaubten Grenzprozesse aufgebaut werden können.

2. Es fragt sich demnach, ob nicht eine Geometrie möglich wäre — man könnte sie „natürliche“ Geometrie nennen — die ausdrücklich auf Grenzprozesse verzichtet und sich an das hält, was unsere Sinne wahrnehmen, oder was wir uns wenigstens als wahrnehmbar vorstellen können, an die materiellen Punkte, Linien und Flächen in einem endlichen, wohlübersehbaren Teil des Raumes, in dem wir alle Urteile, die wir uns bilden, auch auf ihre Richtigkeit prüfen können. Ein Lehrsystem der natürlichen Geometrie müßte zunächst in einem einleitenden Kapitel nach naturwissenschaftlichen Methoden gleichsam das Rohmaterial der Geometrie an Vorstellungen und Tatsachen einsammeln. Dieses Kapitel, so wie wir es uns denken, vräre ganz vortrefflich für den Vorunterricht in der Geometrie geeignet, um die Raumanschauung zu wecken, zu stärken und den geometrischen Beobachtungssinn, die Quelle des schöpferischen geometrischen Vermögens, zu schärfen. Was ließe sich nicht alles über die (materielle) Gerade sagen! Ein gespannter Faden von nicht allzugroßer Länge hätte zunächst, wie wir bereits ausgeführt haben, die Vorstellung des Geraden zu wecken. Wir könnten einen Draht so biegen, daß er dem gespannten Faden sich innig anschmiegen läßt, das wäre dann ein stabileres Modell. Indem wir an diesem Drahte entlang visieren, erscheint er zum Punkt verjüngt, sein „Mittleres wird von den Enden beschattet“ (Plato). Wir unterstützen den Draht in zwei Punkten; er wird dann festliegen, während ein Punkt ihn nicht festlegen konnte — den „Mittelpunkt“ ausgenommen; wir verschieben nun den Stab, während die zwei Stützen bleiben und visieren gleichzeitig: die Gerade wird sich zum Punkt verjüngen und in Ruhe zu sein scheinen. So ergibt sich die Fortsetzbarkeit der Geraden (Strecke) und zugleich die Tatsache, daß sie durch zwei Punkte mechanisch festgelegt und begrifflich bestimmt ist. Dann wäre die Absteckung gerader Linien im Feld, durch fortgesetztes Ein visieren, das Richtungnehmen beim Militär, das Zielen und vieles andere zu besprechen, wo der Begriff der Geraden empirisch verwirklicht wird. Das Lineal wäre endlich die vollkommenste Realisierung der Geraden; aber ein Blick durch ein Vergrößerungsglas hätte uns vor der Illusion zu bewahren, daß diese Vollkommenheit absolut ist¹).

3. Reicher fließen die Beobachtungen, wenn wir zum Begriff der natürlichen (materiellen) Ebene aufsteigen. Der Spiegel einer ruhenden Flüssigkeit wäre etwa das Prototyp; wir beobachten sofort, daß wir die Linealkante nach allen Richtungen scharf auflegen können. Wir bemerken diese Eigenschaft alsbald an anderen Flächen, die wir darauf zur Probe unmittelbar auf die Oberfläche der Flüssigkeit legen; so bekommen wir dann etwa in einer dünnen Platte ein haltbares Modell der Ebene. Es wird durch drei seiner Punkte, die nicht in gerader Linie liegen (die Schwerlinien ausgenommen), mechanisch festgelegt; über drei stützende Punkte hin kann die Fläche willkürlich verschoben werden, ohne daß sie beim Visieren zu schlingern scheint: die Ebene ist durch drei Punkte bestimmt. Interessant wäre es dann, zu zeigen, wie bei den verschiedenen Handwerken die (begrenzte) Ebene hergestellt und nach allen Seiten erweitert wird; jene ausgezeichneten Geraden, durch deren Unterstützung die Ebene mechanisch festgelegt, wenigstens ins Gleichgewicht gebracht wird, wechseln bei der Erweiterung der Ebene ihre Lage, desgleichen der Schwerpunkt, erweisen sich also als „schwankende“ Eigenschaften der natürlichen Ebene, die Bestimmbarkeit durch drei nicht in gerader Linie liegende Punkte ist dagegen eine „wesentliche“ Eigenschaft. Diese Unterscheidung ist natürlich nicht zwingend, ein Schwerpunkt ist auch nach jeder Erweiterung vorhanden. Hier kommt so recht unsere Willkür in der Bildung des Ebenenbegriffes zum Ausdruck. Legten wir bei der Fortsetzung der Ebene mehr Gewicht auf die Eigenschaft, durch eine ruhende Wasserfläche verwirklicht zu sein, so würde die Ebene zu dem, was wir jetzt Kugel¹) nennen, allerdings zu einer unübersehbar großen. Man wende nicht ein, daß auf einer solchen Ebene keine Gerade möglich wäre. Denn diese müßte doch erst durch Fortsetzung einer verhältnismäßig kleinen Geraden der Ebene, etwa mittels der Methode des Yisierens, gewonnen werden. Ergäbe sich nun nach vieler Mühe endlich eine kleine Abweichung, so brauchte man den Versuch nur zu wiederholen, um sicher zu sein, eine andere Abweichung zu finden; außerdem sind einigermaßen glatte Ebenen von hinreichender Ausdehnung gar nicht vorhanden, also experimentell wäre nichts zu entscheiden. Im Vorübergehen wollen wir hier die Frage aufwerfen: Was wäre aus der Geometrie geworden, wenn ihre „Ebenen“ in „Wirklichkeit“ große „Kugeln“ wären? Die Antwort dürfte den, der mathematischen Betrachtungen dieser Art fernsteht, überraschen: Wir könnten — wie wir später sehen werden — unter dieser Annahme alle Sätze unserer Geometrie gewinnen; die Annahme brächte sogar in der Physik manche Vorteile.

sei nur wir aus winnen

nächst ganz roh dadurch nachahmen, daß wir auf einen Bogen Papier mit schwärzer Kreide irgend einen Gegenstand, etwa ein halbes Kastanienblatt zeichnen und dann durch Falten des Papiers längs der

4. Doch genug! Aus dieser Skizze dürfte hinreichend klar werden, wie wir uns den ersten Anschauungsunterricht in der empirischen Geometrie etwa gestaltet denken; er könnte sehr anregend sein. Es noch gestattet, kurz darauf hinzuweisen, welch reiches Material der Beobachtung der Symmetrie an Naturgegenständen gekonnten. Indem wir die axiale Symmetrie in der Ebene zu

Symmetrieachse und festes Aufeinanderlegen der beiden Papierhälften die Figur auf die andere Seite der Symmetrieachse abklatschen, gewinnen wir einen geeigneten Übergang yon der rein beobachtenden Geometrie zur zeichnenden. Man sieht und beweist leicht aus der Definition, daß ein Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Symmetrieachse liegt, beim Kopieren in sich selbst übergeht, und findet durch Verwendung zweier solcher Kreise unmittelbar eine Konstruktion des einem Punkte zugeordneten Punktes. Damit werden zahlreiche Konstruktionsaufgaben zugänglich. Ist so das empirische Material der Geometrie hinreichend gesammelt und durch einfache Schlüsse bereits die Möglichkeit logischer Bearbeitung erkannt und die Freude an scharfsinnigen Schlüssen, die uns die verborgenen Eigenschaften der Figuren enthüllen, hinreichend geweckt, so handelte es sich in einem zweiten Kapitel der „natürlichen" Geometrie darum, zwischen logisch beweisbaren und nur durch die Erfahrung zu gewinnenden Eigenschaften der geometrischen Gebilde streng zu scheiden; es würde sich zeigen, daß, je nach den Sätzen, die man als unbeweisbar voraussetzt, ein gegebener Satz bald beweisbar, bald unbeweisbar sein wird. In letzter Linie ist es also Willkür oder Sache des Geschmackes, welche Tatsachen man als Grundsätze betrachten will und welche nicht; es kommt nur darauf an, daß die Grundsätze empirisch leicht, d. h. ohne umständliche Experimente, erkannt werden können.

5. Aber nun kommt die entscheidende Frage: Wird man mit diesem rohen Material, mit diesen grob sinnlichen Punkten, Linien und Flächen überhaupt eine Wissenschaft auf bauen können? Diese Frage kann nur der Erfolg entscheiden, und der Erfolg hat sie bereits entschieden: Wir besitzen in den „Vorlesungen über neuere Geometrie" von M. Pasch ein ausgearbeitetes System des im engeren Sinne geometrischen Teiles der Geometrie, die oben als „natürliche" bezeichnet worden ist. Zur Charakterisierung dieses schönen Buches, das jeder gelesen haben muß, der mehr nach intensiver als nach extensiver Kenntnis der Geometrie trachtet, sei folgender Satz aus dem Vorwort angeführt: „. . . Mag man immerhin mit der Geometrie noch mancherlei Spekulationen verbinden; die erfolgreiche Anwendung, welche die Geometrie fortwährend in den Naturwissenschaften und im praktischen Leben erfährt, beruht jedenfalls nur darauf, daß die geometrischen Begriffe ursprünglich genau den empirischen Objekten entsprachen, wenn sie auch allmählich mit einem Netze von künstlichen Begriffen übersponnen wurden, um die theoretische Entwicklung zu fördern; und indem man sich von vornherein auf den empirischen Kern beschränkt, bleibt der Geometrie der Charakter der Naturwissenschaft erhalten, vor deren anderen Teilen jene sich dadurch auszeichnet, daß sie nur eine sehr geringe Anzahl von

Begriffen und Gesetzen unmittelbar aus der Erfahrung zu entnehmen braucht.“

Diesem Standpunkte entsprechend sind die „Punkte“ bei Pasch nicht in mystisches Dunkel gehüllte Gedankendinge, sondern materielle Körper, „deren Teilung sich mit den Beobachtungsgrenzen nicht verträgt“, also nicht Dinge, „deren Teil nichts ist“ (Euklid), sondern deren Teil vernachlässigt werden soll. Wenn man auch nach Pasch die Punkte, Linien und Flächen sich als sehr dünn vorzustellen hat, so ist das doch im Grunde genommen unwesentlich; die (begrenzte) Gerade hat jedenfalls nach Pasch nur eine endliche Zahl solcher Punkte; auch dürfen zwei Punkte nicht zu nahe aneinander rücken, wenn sie eine Gerade bestimmen sollen (1. c. Seite 17); es würde nichts schaden, wenn man die Punkte, Linien und Flächen etwas vergrößerte, nur würde der Bereich dessen, was sich unmittelbar am Objekt sehen und beurteilen läßt, dadurch verkleinert. Wer befürchtet, daß durch diese natürliche Auffassungsweise, die den Weg vom Anfang an noch einmal geht, auf dem die Geometrie historisch zu ihrer jetzigen Vollendung emporgestiegen²), in die Geometrie ein weder wissenschaftlich noch ästhetisch befriedigender Realismus und grobe Sinnlichkeit getragen werde, der lese bei Pasch die grundlegenden Paragraphen nach. Es gehört ein außerordentliches Feingefühl dazu, um all die kleinen und kleinsten Dinge zu würdigen, aus denen die Geometrie so große Schlüsse zieht. Jedermann glaubt zu wissen, was „zwischen“ heißt, aber wer vermöchte so ohne weiteres die Eigenschaften anzugeben, die diesen Begriff bestimmen?

(1. C. § 1.)

6. Es geht nicht an, den Gedankengang dieses Buches hier zu skizzieren; nur eines sei hervorgehoben: es wäre unmöglich, ausnahmslose Lehrsätze aufzustellen, wenn man die empirischen Geraden und Ebenen in ihrer Unvollkommenheit beließe und nicht einmal ihre räumliche Begrenztheit beseitigen könnte. Das geschieht aber nicht durch unzulässige Operationen an den in der sinnlichen Anschauung gegebenen Objekten der Geometrie, sondern an ihren Begriffen. Die Gesamtheit der durch einen Punkt A gehenden Geraden nennt man ein Strahlenbündel; die Strahlen des Bündels sind dadurch ausgezeichnet, daß je zwei von ihnen (die nicht zu eng beieinander liegen) eine Ebene bestimmen. All diese Gebilde sind natürlich räumlich begrenzt vorzustellen. Nimmt man nun in einer solchen Ebene zwei Strahlen u und v des Bündels an, auf u zwei Punkte B, B', auf v zwei Punkte S3 und S3', so daß sich die Geraden J5S3 und B'S3' in einem Punkte S, die

Geraden i?29' und B'\8 in einem Punkte T treffen, so schneidet ST die Gerade u in einem Punkte Ä, der³), wie wir später sehen werden, nur von den gewählten Punkten A. B, B\ nicht von v, 23, 23', S, T abhängt; legt man jetzt durch u irgend eine Ebene, und nimmt man in dieser einen Punkt S an, den man mit B, B' A' verbindet, und auf SA' einen zweiten Punkt T, den man mit B und B' verbindet, so trifft BT die Gerade SB' und B'T die Gerade SB in je einem Punkte 23', 23, so daß die Gerade x — 2323' durch A geht. Bei allen diesen Konstruktionen ist A nicht benutzt worden. Sind nun u und v zwei Geraden einer Ebene, von denen die Existenz eines Schnittpunktes nicht ausgesagt werden kann, so kann man nach dem soeben erklärten Verfahren doch beliebig viele Geraden -X, durch jeden Raumpunkt eine, konstruieren, von denen die Existenz eines Schnittpunktes ebenfalls nicht zu übersehen ist, aber es läßt sich zeigen, daß je zwei dieser Strahlen eine Ebene bestimmen, ganz ebenso, wie die Strahlen eines Bündels; und nun nennt man nach Pasch auch dieses neue System von Strahlen ein „Bündel“, und zwar ein „uneigentliches“, und schreibt ihm einen „uneigentlichen“ Punkt zu, durch den seine Strahlen „hindurchgehen“. Das ist also eine reine Sprechweise. Ähnlich werden „uneigentliche“ Schnittlinien von Ebenen definiert, die sich in „Wirklichkeit“ nicht schneiden. Auch die Schwierigkeiten des Kongruenzbegriffes werden nicht durch die Forderung unvollziehbarer Vorstellungen, sondern rein begrifflich überwunden. Interessant ist der § 9 1. c., der die ausgedehntere Anwendung des Wortes „zwischen“ behandelt. Die Betrachtungen, die nötig sind, um es nach und nach zu ermöglichen, daß man von den „uneigentlichen“ Punkten, Geraden und Ebenen gerade so sprechen darf, als wären sie wahrnehmbar vorhanden, sind sehr reizvoll. Das Ergebnis isi ein in sich widerspruchfreies System der natürlichen Geometrie. Durch sie werden alle geometrischen Systeme gerechtfertigt, welche sich auf vorstellbare Raumgebilde, auf räumlich lokalisierte Punkte, Linien und Flächen beziehen.

Zweiter Abschnitt.

Die natürliche Geometrie als eine der unendlich vielen Erscheinungsformen einer rein begrifflichen Geometrie (Metageometrie).

§ 7. Natürliche und Approxiinationsgeometrie, Analysis situs,

Metageometrie.

1. Aus unseren Andeutungen über die natürliche Geometrie dürfte das Wesen ihrer Grundbegriffe hinreichend klar zu erkennen sein. Sie kommen durch eine eigentümliche Mischung von Empirismus und Nominalismus zustande. Empirisch in ihrer ursprünglichen Form müssen die Begriffe „Punkt“, „Gerade“ u. s. w., damit man allgemein gültige Lehrsätze aufstellen kann, über ihren engen Gültigkeitsbereich hinaus „erweitert“ werden; das geschieht rein nominalistisch durch Einführung einer merkwürdigen Sprechweise, die es ermöglicht, auch wenn gerade Linien einer Ebene sich im übersehbaren Raum nicht schneiden, sie doch so zu behandeln, als wenn sie sich schnitten. Dieses Spiel mit fingierten Tatsachen müßte üble Folgen haben, läge ihm nicht eine höhere Wahrheit zu gründe, die durch jene Sprechweise nur nicht objektiv genug ausgedrückt wird. Was nämlich immer existiert, wenn zwei Geraden einer Ebene gegeben sind, mögen sie sich schneiden oder nicht, das ist das von ihnen erzeugte Strahlenbündel, d. h. die Gesamtheit der Strahlen, welche zusammengenommen mit den gegebenen die Eigenschaft haben, daß je zwei von ihnen eine Ebene bestimmen. Das Bündel ist also immer vorhanden, der gemeinsame Schnittpunkt seiner Strahlen aber nicht —• wenigstens enthält man sich eines Urteils in dieser Beziehung —; die Nötigung zu dem künstlichen Begriffe eines „uneigentlichen“ Schnittpunktes ergibt sich daraus, daß man sich darauf steift, das zufällige. Merkmal (eines gemeinsamen Schnittpunktes) auch vom allgemeinen Begriffe aussagen zu wollen. Mit Recht bemerkt Pasch in seinen „Vorlesungen“, daß man den Begriff des Punktes ganz beseitigen und durch den des Bündels ersetzen könnte, allerdings nicht von vornherein. Man würde sich dadurch aber zu sehr von der üb-lichen Auffassung der geometrischen Lehrsätze entfernen und auch auf große Schwierigkeiten der sprachlichen Darstellung stoßen.

„un-

2.    Auch würde dieser Schritt sofort zu einem zweiten nötigen: Yon zwei Ebenen ist (im übersehbaren Raum) eine Schnittgerade nur zufällig, das sie enthaltende Büschel dagegen immer vorhanden; um also auch den Begriff der „uneigentlichen“ Geraden zu vermeiden, müßte man zugleich den Begriff der „eigentlichen“ Geraden aus der Geometrie ausmerzen und dafür den Begriff des Ebenenbüschels einführen. Dem in Artikel 1 besprochenen Falle zweier Geraden in einer Ebene entspräche jetzt der, daß zwei Ebenenbüschel eine Ebene gemein haben; sie bestimmen dann ein Ebenenbündel, d. h. eine Gesamtheit von Ebenenbüscheln, von denen je zwei eine Ebene gemein haben. Die Grundgebilde der Geometrie wären dann: die Ebene, das Ebenenbüschel und das Ebenenbündel; dagegen wären die Punkte und Geraden nur Hilfsgebilde, um jene anderen zu konstruieren. Setzt man alle Ebenenbüschel und -bündel als existent voraus, so könnte man die Punkte und Geraden völlig entbehren; aber das wäre keine natürliche Geometrie mehr; wäre doch schon jene Darsteilungsform der Geometrie unnatürlich genug, die ihre Lehrsätze nur von Ebenen, Ebenenbüscheln und Ebenenbündeln aussagt; man suche nur in dieser Form die Begriffe „Strecke“, „Winkel“ zu definieren oder die Kongruenzsätze auszusprechen. Also lassen wir es lieber bei dem Begriffe „uneigentlicher“ Punkte und Geraden bewenden, wenn sie auch dem empirischen Tatbestände nicht vollkommen entsprechen. Nur muß man sich vor einem naheliegenden Trugschlüsse hüten: Wenn auch der erweiterte, eigentliche wie uneigentliche Punkte umfassende Punktbegriff logisch zu keinem Widerspruch führt, so hat das seinen tiefsten Grund nicht etwa darin, daß eben in Wahrheit immer eigentliche Punkte als existent⁴) angenommen werden dürfen, denn zu einem solchen Schlüsse liegen keine Prämissen vor. Wenn man von eigentlichen“ Elementen spricht, so soll andererseits damit durchaus nicht in Abrede gestellt werden, daß unter Erweiterung des Gesichtsfeldes, in dem man operiert, und nach Fortsetzung der in Betracht kommenden Ebenen und Geraden sich nicht oft genug „eigentliche“ Elemente statt uneigentlicher einstellen werden; jene Sprechweise will eben nur in bescheidener Selbstbeschränkung es vermeiden, ein Urteil zu fällen, wenn man nicht am Objekte nachprüfen kann, ob es zutrifft oder nicht.

3.    Darin liegt freilich eine Willkür und, wenn man will, Unentschlossenheit, die den nach Klarheit und Bestimmtheit strebenden Verstand wenig befriedigt. Daß wir uns die Geraden und Ebenen begrenzt vorstellen müssen, versetzt unsere Phantasie in eine gewisse Unruhe, wir können uns die Grenzen der Geraden bald enger, bald weiter, die Grenzlinie der Ebene bald so, bald so gestaltet vorstellen. Zu diesen Unbestimmtheiten kommen noch tiefer liegende: Da die Geraden, Ebenen und Punkte eine gewisse Dicke haben, ohne die sie gar nicht sinnlich vorgestellt werden können, so kann man sich eine ganze Reihe von Geometrien Gx, G₂, 6r₃,. . . denken, so daß die Grundgebilde in jeder folgenden Geometrie feiner sind als in der vorangehenden; in Gx etwa 1 mm dick, in 6r₂ nur 0,1 mm, in G₃ nur 0,01 mm u.s.w.; es braucht kaum gesagt zu werden, daß das Millimeter selber keine absolut genaue Größe, sondern nur mit einem gewissen Spielraum bestimmt ist, der allerdings eine verhältnismäßig geringe Ausdehnung hat.⁵) Was in Gx eine Linie ist, ist in G₂ ein Körper, den man mit zahlreichen Linien der 6r₂ ausfüllen, mit zahlreichen ihn berührenden Linien der G₂ einhüllen kann. Geht man umgekehrt aus der G₂ zurück in die Glf so werden viele Feinheiten, die in der 6r₂ noch zu unterscheiden waren, wegfallen: Eine Strecke von 1 m Länge wird in der Gx gleich aussehen, ob man sie einer Geraden oder einem Kreise von 300 m Radius entnimmt. In einer (hohl gedachten) Geraden der Gx wird man zahlreiche Kurven der G₂ und a fortiori der G₃ unterbringen können, die durchaus nicht Gerade zu sein brauchen, z. B. flache Sinuslinien oder Teile von Kurven III. Ordnung, woraus, nebenbei bemerkt, wieder folgt, daß der natürliche Begriff der Geraden kein absolut bestimmter sein kann, ebensowenig wie der der Ebene. Nach absoluten, von aller Willkür und Unbestimmtheit freien Begriffen wird aber der mathematische Sinn mit fast unwiderstehlicher Kraft getrieben, nach Bestimmtheit selbst auf Kosten der empirischen Wahrheit. Je eingehender man sich mit der natürlichen Geometrie beschäftigt, desto gewisser wird unser Glaube an die Möglichkeit einer von allen Zufälligkeiten freien Geometrie, welche ihre Gebilde durch die Eigenschaften definiert, die sich an den Grundgebilden der natürlichen Geometrie als fruchtbar erwiesen haben, und die aus diesen Definitionen ihre Wahrheiten ohne Bezug auf sinnenfällige Realisierbarkeit rein deduktiv ableitet. Ohne Willkür könnte es freilich bei der Definition der Grundbegriffe nicht hergehen, denn welche Eigenschaften der empirischen Geraden man für wesentlich halten soll, so daß sie in die Definition der idealen aufgenommen werden müßten, läßt sich a priori nicht entscheiden. Wir haben ja gesehen (S. 24), daß man von der Vorstellung der Ebene als Oberfläche einer ruhenden Flüssigkeit durch Fortsetzung dieser begrenzten Fläche eigentlich zur Vorstellung einer sehr großen Kugel hätte kommen müssen, und daß man mit diesen „sphärischen“ Ebenen unsere gewöhnliche Geometrie gerade so gut hätte auf bauen können als mit den „wirklichen“ Ebenen; die „Kugeln“ dieser seltsamen Geometrie wären auch Kugeln im gewöhnlichen Sinne gewesen; experimentell könnte nie entschieden werden, welche von beiden Geometrien die der „Wirklichkeit“ entsprechende ist, schon aus dem einfachen Grunde, weil unendliche Geraden und Ebenen nur begriffliche, nicht materiell-räumliche Existenz haben könnten.

4. Ganz anders muß unser Werturteil über die natürliche Geometrie ausfallen, wenn man sie nicht nach der Richtung weiterbildet, die von ihren Unvollkommenheiten ab sieht, sondern vielmehr gerade diese ihre Ungenauigkeiten zum Gegenstände der Untersuchung macht und sich dabei von dem Grundsätze leiten läßt, in ihren Konstruktionen nicht genauer sein zu wollen, als man bei der Ungenauigkeit ihrer Punkte, Linien und Flächen erwarten darf. Das wäre dann die „Approximationsgeometrie“, ein Teil der gegenwärtig heiß ersehnten „Näherungsmathematik“, die in allen Anwendungen der Mathematik vom größten Nutzen sein würde. Aber auch in der reinen Mathematik, z. B. in der Funktionentheorie hei der Betrachtung der Funktion in einem Streifen, hätte sie einen Platz; wir denken hier an Ansätze und Untersuchungen Kleins, die sich aber in einem Lehrbuche der Elementarmathematik, das den Funktionsbegriff (in der Trigonometrie) sich erst erringen muß, nicht gut andeuten lassen. Doch auch das Elementare der Approximationsgeometrie ist durchaus unverächtlich, besonders wegen des praktischen Wertes. Wir haben hervorgehoben, daß in der natürlichen Geometrie bei gewisser Dicke der Punkte, Linien und Flächen manche Gebilde, die begrifflich voneinander verschieden sind, empirisch nicht voneinander zu unterscheiden sind, wie z. B. kurze Stücke von Geraden und von großen Kreisen. Aufgabe der Approximationsgeometrie, ihrem Grundsätze entsprechend, wäre es nun, begrifflich definierte oder sonstwie gegebene Gebilde, sagen wir etwa Kurven, aus einfacheren Gebilden so genau zusammenzusetzen, als das bei der gewählten Größe der Punkte u. s. w. möglich ist. Um einen bestimmten Fall zu behandeln, denken wir uns etwa eine Ellipse mit gegebenen Hauptachsen 2a und 26. Die Konstruktion der Ellipse ist nicht schwer, aber immerhin umständlich; gezeichnet soll sie werden mit 0,5 mm Strichdicke. Durch diese Strichdicke müssen die Feinheiten einer exakten Konstruktion doch zum Teil illusorisch werden. Also entsteht die Frage: Kann man nicht aus einfacheren Kurven, die bequem zu zeichnen sind, etwa aus Kreisbögen, eine Kurve zusammenstückeln, die in den gegebenen Fehlergrenzen die Ellipse zu ersetzen vermag? Das wäre eine typische Aufgabe der in Rede stehenden Geometrie; ihre Lösung wird im ^siebenten Abschnitt gegeben werden; die dabei benutzten Kreise heißen „Krümmungskreise“ weil sie sich der Krümmung der Kurve an der betreffenden Stelle so innig anschmiegen, daß sie auf eine gewisse Strecke hin die Kurve völlig zu ersetzen vermögen. Präzisiert wird dieser immerhin verschwommene Begriff erst an der erwähnten Stelle sowie im III. Bande.

5. Wir haben an den Begriffen der Geraden und der Ebene in der gewöhnlichen Geometrie so viel auszusetzen gehabt, daß, ehe wir zu einer reineren Geometrie aufzusteigen suchen, die Frage am Platze ist, ob wohl eine Geometrie möglich ist, die diese Begriffe und damit überhaupt den Begriff der mathematischen Kurven und Flächen gänzlich entbehrt und nur das aussagt, was man über krumme Linien und Flächen im allgemeinen aussagen kann. Gibt es da Sätze von hinreichendem Interesse? Nehmen wir eine kugelartige Hohlfläche, etwa einen ausgehöhlten und wieder geschlossenen Kürbis. Wenn wir in dieser Fläche irgendwo ein Messer einsetzen, und längs einer beliebigen Linie so lange weiter schneiden, bis der Schnitt in sich zurückläuft, so wird die Fläche in zwei Stücke zerfallen. „Eine sehr triviale Tatsache“ wird der Nichtmathematiker sagen; aber eben dieser wird auch geneigt sein, zuzugeben, daß das immer so sein muß, daß

Fig- 9.

ein in sich zurücklaufender Schnitt oder „Ringschnitt“ eine Fläche immer in Stücke zerlegen müsse. Setzen wir aber an diese Fläche, die wir uns als dünnwandig vorstellen, einen aus einer dünnwandigen Röhre zurechtgebogenen „Henkel“ an, so wird ein Schnitt, der diesen Henkel aufschlitzt und über die ursprüngliche Fläche ohne Umschweife in sich zurückkehrt (s. Fig. 9), die Fläche nicht in zwei oder mehr Stücke zerlegen. Auch wenn man den noch nicht geschlitzten Henkel an irgend einer Stelle quer durchschneidet, werden keine getrennten Stücke auftreten; ja diese beiden Schnitte dürfen sogar hintereinander ausgeführt werden, sie können die Fläche nicht zerstückeln. Aber dann muß, wie man sich leicht überzeugt, jeder andere Ringschnitt die Fläche in getrennte Stücke zerlegen.

Setzt man an die ursprüngliche Fläche im ganzen p solcher Henkel an, so wird man 2p solcher Schnittpaare ausführen können, die die Fläche nicht in getrennte Gebiete zerlegen, ihr aber nun die Eigenschaft verleihen, durch jeden ferneren Ringschnitt in Stücke zu gehen. Man sieht aber, daß man diese die Fläche nicht zerstückelnden Schnitte, „das Querschnittsystem“, auch in anderer Weise anlegen könnte, so daß etwa ein Schnitt mehrere solcher Henkel zugleich aufschlitzte. Auch dann sind 2 p Schnitte möglich, die der Fläche die genannte Eigenschaft des „einfachen Zusammenhanges“ verleihen, d. h. durch jeden weiteren Ringschnitt zerstückelt zu werden. Denkt man nun zwei solcher „Querschnittsysteme“ auf der Fläche verzeichnet, so werden diese sich in gewissen Punkten treffen müssen. Wird sich über die Anzahl dieser Schnittpunkte etwas aussagen lassen? Allerdings, und zwar ist die Herleitung dieser Sätze so schwierig, daß man dazu meist die komplexe Integration und hochtranszendente Funktionen benutzt hat⁶): es leuchtet also ein, daß hier eine eigenartige Geometrie vorliegt, die nicht nur zu interessanten, sondern auch schwierigen Fragestellungen Anlaß gibt. Es ist die sogenannte Analysis situs⁷), eine Schöpfung Riemanns, die besonders von Klein und Dyck ausgebildet worden ist; sie bildet eines der wirksamsten Hilfsmittel der Funktionentheorie, und doch operiert sie nur mit dem allgemeinen Begriff der Linie, der Fläche (im approximativen Sinne) und des Zusammenhanges, ist also wesentlich einfacher als die gewöhnliche Geometrie. In einem vollständigen Lehrsystem der Geometrie müßte also die Analysis situs vor der Elementargeometrie ihren Platz haben.

§ 8. Euklidische Geometrie im parabolischen Kugelgebüsche.

1. Ehe man es wagen darf, der natürlichen Geometrie mit ihren vielen Mängeln eine rein ideale entgegenzustellen, wird es nötig sein, Klarheit darüber zu gewinnen, welche Eigenschaften der geometrischen Grundgebilde die Träger der geometrischen Wahrheiten sind. Zwar haben sich die Grenzübergänge, die an Stelle der natürlichen Punkte, Linien und Flächen etwas vollkommen Bestimmtes setzen sollten, als unzulässig und auch unnötig erwiesen; aber noch könnte es scheinen, als müßte der Punkt etwas sein, wovon keine Ausdehnung in Betracht kommen soll, die Linie ein Gebilde mit vorherrschender Längenausdehnung u. s. w. Die folgenden Betrachtungen dürften geeignet sein, das tief eingewurzelte Vorurteil zu erschüttern, als trüge das Aussehen der geometrischen Grundgebilde irgend etwas zur Gültigkeit der geometrischen Lehrsätze bei; wir werden sehen, daß man auf unendlich viel Weisen an Stelle der den Begriffen Punkt, Gerade,

Ebene entsprechenden Objekte andere, davon verschiedene Objekte setzen kann, die als „Punkte“, „Geraden“ und „Ebenen“ bezeichnet sämtliche Lehrsätze der Geometrie verwirklichen. Ein sehr nahe liegendes Beispiel ist dieses: Man nimmt im Raume R der Euklidischen⁸) Geometrie einen Punkt 0 an und versteht unter R' den Raum, der mit R außer 0 alle Punkte gemeinsam hat. Die Gesamtheit der Kugeln und Kreise des R, die durch 0 gehen, nennt man ein „Kugelgebüsch“ und

ein parabolisches zum Unterschied von anderen,

zwar

die wir alsbald werden kennen lernen; die durch 0 gehenden Ebenen und Geraden des R gehören dem Gebüsche als „Grenzkugeln“ und „Grenzkreise“ (mit unbegrenzt großem Radius) an, eine Auffassung, die sich auch sonst in der Kugelgeometrie als nützlich erweist. Und nun definieren wir im Raume R' als „Geraden“ und „Ebenen“ die Kreise und Kugeln des R, die dem Gebüsche angehören; um Verwechselungen vorzubeugen, wollen wir für diese „Geraden“ und „Ebenen“ die Ausdrücke „Scheingeraden“ und „Scheinebenen“ gebrauchen. Dann gelten folgende Sätze:

I₁. Zwei voneinander verschiedene Punkte A, B des R' bestimmen stets eine Scheingerade.

Ig. Diese Schein gerade wird auch durch je zwei andere, voneinander verschiedene ihrer Punkte bestimmt.

1₃.    Auf einer Geraden gibt es stets mindestens zwei Punkte; in einer Ebene mindestens drei, die nicht in gerader Linie liegen.

1₄.    Drei nicht auf derselben Scheingeraden liegende Punkte bestimmen stets eine Scheinebene.

1₅.    Diese wird auch bestimmt durch je drei andere ihrer Punkte, die nicht einer Scheingeraden angehören.

1₆.    Wenn zwei Punkte einer Scheingeraden in einer Scheinebene liegen, so liegen alle Punkte dieser Geraden in dieser Ebene.

1₇.    Wenn zwei Scheinebenen einen Punkt gemein haben, so haben sie mindestens noch einen zweiten Punkt gemein.

1₈.    Es gibt mindestens vier nicht in einer Ebene liegende Punkte.

Die Sätze ließen sich leicht vermehren, es sind die acht ersten Hilbertschen Grundsätze seines Systems der Euklidischen Geometrie, und zwar seine „Axiome der Verknüpfung“; wir werden davon noch zu sprechen haben. Die Beweise sind äußerst einfach, wenn man diese Scheingeometrie des Raumes R' im Raume R vom Euklidischen Standpunkt aus betrachtet: Die zwei Punkte des Satzes I₄ bestimmen mit 0 zusammen immer einen Kreis; 0 bestimmt mit den drei Punkten des Satzes I₄ stets eine Kugel, den Grenzfall eingerechnet, daß diese

vier Punkte einer Ebene angeh Ören. Im Falle I₇ haben die Kugeln natürlich eine gemeinschaftliche Schnittlinie.

2. Diese Scheingebilde erfüllen auch alle Sätze, die man in der Euklidischen Geometrie über den Begriff „zwischen“ aussagen kann. Wir wollen von diesen Sätzen nur die anführen, die nach Hilbert als „Grundsätze“ (Axiome) gelten können; diese „Axiome der Anordnung“, wie Hilbert sie nennt, lauten in unserem Falle:

IIj. Wenn A, B, C Punkte einer Scheingeraden sind und B „zwischen“ A und C liegt, so liegt B auch „zwischen“ C und A.

J)

Fig. 10.

11₂.    Wenn A und C zwei Punkte einer Scheingeraden sind, so gibt es stets wenigstens einen Punkt B, der zwischen A und C liegt, — und wenigstens einen Punkt D, so daß C zwischen A und D liegt.

11₃.    Unter irgend drei Punkten einer Scheingeraden gibt es stets einen und nur einen, der zwischen den beiden anderen liegt.

11₄.    Seien A, B, C drei nicht in scheingerader Linie liegende Punkte und u eine Scheingerade der Scheinebene ABC, die durch keinen der Punkte A, B, G geht; wenn dann die Gerade u mit einer Seite des Scheindreiecks A, B, C einen Punkt gemein hat, der zwischen den Endpunkten dieser Seite liegt, so trifft u auch eine der übrigen Seiten in einem Punkte, der zwischen den Endpunkten der betreffenden Seite liegt.

Alle diese Sätze gelten offenbar nur in dem Raume R', der den Punkt 0 nicht enthält, nicht etwa im Raume R; denn hier ist auf einem Kreise durch zwei Punkte A, C die Bezeichnung „zwischen“ überhaupt nicht festgelegt, weil ein Punkt auf dem Kreise sowohl durch linksläufige als auch dureh rechtsläufige Bewegung von A nach C gelangen kann; durch Ausschluß des Punktes 0 wird das verhindert. (Siehe Fig. 11.)

Fig. 11.

3. Von besonderem Interesse ist nun, daß in unserer Scheingeometrie auch das Parallelenaxiom erfüllt ist. Als „parallel“ wird man zwei Scheingeraden anzusprechen haben, die als Gebilde (Kreise) des Euklidischen Raumes R betrachtet sich in 0 berühren, denn diese Geraden bestimmen eine Scheinebene und haben in ihr keinen Punkt gemein; ebenso wird man zwei Scheinebenen parallel nennen müssen, wenn sie als Gebilde des R sich in 0 berühren. Diese „Parallelen“

haben alle Eigenschaften der gewöhnlichen, insbesondere genügen sie dem Parallelenaxiom, das bei Hilbert die Nummer IY führt:

Durch einen Punkt ist zu einer Geraden immer nur eine Parallele möglich.

Um jetzt im Raume R' auch die Kongruenz zu definieren, ziehen wir, da ein anschauliches Analogon der Bewegung fehlt, die Steiner-schen Linealkonstruktionen heran; die „Scheinmitte“ M einer Schein-

10/

'S

/T

Fig. 12.

geraden AB bestimmen wir mittels der Trapezkonstruktion (§ 5, 1.), ein Verfahren das erst dadurch seine Berechtigung erhält, daß man die Unabhängigkeit des Punktes M von der Wahl der ihn bestimmenden Hilfslinien beweisen kann. Bevor wir den Beweis erbringen, wollen wir den Gedankengang zu Ende durchführen. Die „halbierte“ Strecke AB kann, wie in § 5, umgekehrt dazu dienen, zu ihr durch einen beliebigen Punkt die Parallele zu ziehen, wie die Fig. 12, die in der Bezeichnung genau mit Fig. 3 des § 5 übereinstimmt, unmittel bar erkennen läßt. Auch das in § 5 angegebene Verfahren, eine Strecke auf ihrer Geraden beliebig zu verschieben, kann in unsere

Geometrie übertragen werden; sie wird dabei vom Standpunkte unserer gewöhnlichen Geometrie betrachtet um so kleiner, je mehr sie sich dem ausgeschlossenen Punkte nähert. Zur Drehung von Strecken und Winkeln ist endlich in jeder Ebene ein „Kreis“ notwendig. Zu dem Zwecke nehmen wir eine Kugel k des Raumes R zu Hilfe und betrachten sie auch im R' als „Kugel“, ihre Schnitte mit den Scheinebenen also als „Kreise“. Die „Scheincentra“ dieser Scheinkreise (und der Scheinkugel) werden wir in Artikel 9. angeben; dann ist zunächst in allen Scheinebenen, die k treffen, der zu den Steinerschen Konstruktionen nötige Kreis nebst Zentrum bekannt. Um auch in einer Scheinebene rj, die von k nicht geschnitten wird, konstruieren zu können, braucht man nur rj durch parallele Scheingeraden auf eine zu r] parallele Scheinebene rf zu projizieren, die k trifft, in ihr die Konstiuktion auszuführen und nach rj zurückzuprojizieren. Nennen wir zwei Strecken oder Winkel des R' einander „kongruent“, wenn sie durch diese Konstruktion, deren Eindeutigkeit wir gleich beweisen werden, ineinander übergehen, so kann man auf diese Definition leicht die Lehre von der Kongruenz und der Flächengleichheit aufbauen.

4. Die Übereinstimmung unserer Scheingeometrie des R' mit der Euklidischen des R liegt auf der Hand und kann dadurch vollständig bewiesen werden, daß wir ein Abbildungsverfahren angeben können, welches die „Scheinebenen“ und „Scheingeraden“ des R' in „wirkliche“ Ebenen und Geraden des R "verwandelt. Diese Abbildung besteht in der Inversion. Die ebene „Inversion“ oder „Kreisverwandtschaft“ setzt einen festen Kreis to, den „Inversionskreis“, voraus, dessen Zentrum und Radius wir mit 0 und r bezeichnen wollen. Es gibt zwei Arten von Inversion, die „hyperbolische“ und die „elliptische“. Zu einem Punkte P der Kreisebene heißt ein Punkt P' „hyperbolisch invers“, wenn P und P' auf demselben von 0 einseitig begrenzten Halbstrahl liegen und die Bedingung OP • OP'= r² erfüllen; zu P' ist daher wiederum P invers, die Inversion ist also eine wechselseitige oder involutorische Punktverwandtschaft. Das gilt auch von der elliptischen Inversion, die sich von der hyperbolischen nur dadurch unterscheidet, daß die zueinander elliptisch inversen Punkte P und P", deren Yerbindungsgerade durch 0 gehen muß, auf verschiedenen Seiten von 0 liegen; daher werden die Strecken OP und OP", deren Produkt absolut genommen gleich r² ist, mit entgegengesetzten Vorzeichen gemessen, und es ist also bei der elliptischen Inversion OP • OP" = — r². Sind also P' und P" die beiden zu P hyperbolisch und elliptisch inversen Punkte, so liegt P" zu P' symmetrisch bezüglich 0 als Symmetriezentrum.

Satz 1. Die elliptische Inversion mit dem Inversionskreis a geht demnach aus der hyperbolischen mit demselben Inversionskreis hervor durch zentrische Symmetrie mit 0 als Symmetriezentrum.

Daher genügt es, wenn wir im folgenden nur auf die hyperbolische Inversion näher ein gehen.

5. Die Konstruktion des zu P hyperbolisch inversen Punktes P' ergibt sich unmittelbar aus der Definitionsformel OP - OP = r². Liegt

P außerhalb des Kreises m (Fig. 13), so konstruiert man den Kreis über dem Durchmesser OP; er trifft ca in zwei Punkten U undF, derenVerbindungs-I / gerade durch P' geht, pP denn in dem rechtwinkeligen Dreieck OUP ist nach demPy thagoreischen Lehrsätze

OF OP= OF=r.

Fig. 13.

Wenn dagegen der gegebene Punkt im Inneren von 03 liegt und etwa mit P' (Fig. 13) identisch ist, so findet man den dazu inversen Punkt P, indem man auf OP' in P' das Lot P'U errichtet, das os in U trifft, und in U auf OU das Lot errichtet; dieses Lot, das « in U berührt, schneidet OP’ in P.

Ist A irgend ein Kreis durch die inversen Punkte P, P' (Fig. 13), und wird A von irgend einem Strahle durch 0 in den Punkten Q, Q' getroffen, so ist nach dem Sekantensatze OQ • 0Q' = OP - OP' = r², also sind auch Q und Q' zueinander hyperbolisch invers bezüglich 03, d. h.:

Satz 2. Jeder Kreis durch zwei inverse Punkte ist zu sich selber invers.

Das kann dazu dienen, nachdem P, P' und A konstruiert sind, zu jedem anderen Punkte P den inversen Punkt R' sehr einfach zu finden (Fig. 13): Man lege um 0 als Zentrum einen Kreis, der durch R geht und A in einem Punkte Q trifft; OQ schneide A noch in Q'-, dann konstruiere man den Kreis, der 0 zum Zentrum und OQ' zum Radius hat; er trifft OR in R'.

6. In einem von zwei zueinander inversen Punkten A, Ä, etwa in A, errichten wir auf OA das Lot a (Fig. 14). Zu einem Punkte P von a sei P' invers. Da also OA • OA' = OP - 0P' = r²,

<JÜ

A’

’O A

Fig. 14.

so liegen die vier Punkte A, A', P, P' auf einem Kreise, und es ist -jcA'P'P wie <yCA'AP ein Rechter. Daher ist auch A'P'O ein Rechter, und P' liegt auf dem Kreise a, der die Strecke 0^4' als Durchmesser faßt. Ändert P auf a seine Lage, so nimmt auch P' andere und andere Lagen auf a an:- a ist also der Ort der zu den Punkten von a inversen Punkte. Es folgt:

Satz 3. Beschreibt ein Punkt P

eine Gerade, so beschreibt der inverse Punkt P' einen Kreis, der durch das Zentrum des Inversionskreises geht, und umgekehrt.

Zu dem Punkte 0 von a ist natürlich der unendlich ferne Punkt von a invers, und die Ebene verhält sich bei der Inversion so, als hätte sie nur einen unendlich fernen Punkt, durch den alle ihre Geraden hindurchgehen.

7. Satz 4. Beschreibt P einen Kreis x, der nicht durch das Zentrum 0 der Inversion geht, so beschreibt auch der inverse Punkt P' einen Kreis.

Der durch 0 gehende Durchmesser von x treffe x in A, B, und dazu seien invers die Punkte Ä, P'; zu einem beliebigen Punkte C von x sei C invers. Dann ist OA- OA'=r²=OC- OC, OA/OC=OC/OÄ,

vOJ

C,

a.

'A

cc

\B

’la

rig. 15.

also Dreieck OAC<^ OCA und OC'A = OAC = cc- ebenso ist OB - OB' = 00. 00', OB/OG = OC'/OB', OBC~OC'B', *$C OC'B' = <£ OBC = 2R — ß, und da in dem rechtwinkeligen Dreieck A CB die Winkel a und ß sich zu einem Rechten ergänzen, so ist auch A'C'B' = 2R — a — ß = R; also liegt C' auf dem Kreise x', der A'B' als Durchmesser faßt, w. z. b. w. Die Mittelpunkte von x und x' sind übrigens nicht zueinander invers.

Alles das gilt der Ableitung nach zunächst von der hyperbolischen Inversion und dann nach dem Schlüsse von 4. auch von der elliptischen.

rOJ

i-----------

“1 v

xLA \

*1

#V\

fco

Tj

so-

Fig. 16.

7. Wenn zwei Kreise x, A sich in einem Punkte S schneiden, so versteht man unter ihrem Winkel in S den Winkel ihrer Tangenten in dieser Begriff ist zunächst mehrdeutig, ebenso wie der des Winkels zweier sich schnei-\ dender Geraden. Er läßt sich aber leicht / eindeutig machen / (Tig. 16). Die beiden Kreise x, A zerlegen / nämlich die Ebene in vier durch Kreisbogen begrenzte Felder «, ß, y, ö, genannte Kreisbogenzweiecke; diese Kreisbogen werden begrenzt durch die Schnittpunkte S und T von x und A. Als Winkel einer solchen Zweiecksfläche inS betrachten wir denjenigen Winkelraum ihrer Tangenten in S, der den ganzen in S endigenden Flächenzipfel enthält. Dieser Winkel ist also ein ganz bestimmter, und in diesem Sinne hat ein Kreisbogenzweieck in seinen beiden Ecken gleiche Winkel.

Satz 5. Eine charakteristische Eigenschaft der Inversion ist es nun, daß die so definierten Winkel eines Kreisbogenzweiecks durch die Inversion nicht geändert werden,

d. h. den Punkten eines Kreisbogenzweiecks y entsprechen durch Inversion wiederum Punkte, die ein Kreisbogenzweieck y kontinuier-lieh erfüllen, und beide' Zweiecke haben gleiche Winkel. Der Winkel von y in S wird nämlich durch zwei Halbstrahlen a, b gemessen, zu denen zwei Kreisbogen Oa'S', Ob*S' invers sind, deren Tangenten in 0 und daher in S' zu a und b parallel laufen; d. h. jene Kreisbogen bilden ein Zweieck, dessen Winkel gleich dem von y sind. Die Tangenten in S' berühren aber auch die zu x und X inversen Kreise x, X', und diese bilden daher vier Zweiecke, von denen eines zu y invers ist und dieselben Winkel hat.

Wie beim geradlinigen Winkel, so ist auch beim krummlinigen Winkel der Fall von Interesse, wo die vier Zweiecksfelder cc, ß, y, 8 recht winkelig sind; man sagt dann, die Kreise x, X schnitten sich rechtwinkelig oder orthogonal. In Figur 20 (S. 46) schneiden sich die Kreise M und G orthogonal; die nach einem Schnittpunkte hingehenden Radien beider Kreise stehen aufeinander senkrecht, und jeder berührt den anderen Kreis. Diese Eigenschaft des orthogonalen Schneidens wird durch Inversion auf die inversen Kreise übertragen.

Wenn die gemeinschaftliche Sehne zweier Kreise durch den Mittelpunkt des einen von ihnen geht, so sagt man, dieser Kreis werde vom anderen diametral oder unter dem Durchmesser geschnitten, oder er werde von ihm gehälftet. Diese Eigenschaft wird durch Inversion nicht übertragen.

Ein Kreis wird von jedem Durchmesser orthogonal und diametral geschnitten.

8. Alle diese Betrachtungen lassen sich auf den Raum übertragen. Die Inversion im Raume setzt eine Kugel to voraus, die „Inversionskugel“, deren Mittelpunkt das „Inversionszentrum“ genannt wird. Die Definition der hyperbolischen und der elliptischen Inversion lautet im Raume so wie in der Ebene (Art. 4). Auch gilt der Satz 1, wenn man nur unter ta die Inversionskugel versteht. Betrachtet man Figur 13 (S. 38) als Schnitt der Inversionskugel mit einer ihrer Durchmesserebenen, so folgt als Analogon zu Satz 2. der

Satz 6. Jede Kugel durch zwei zueinander inverse Punkte ist zu sich selbst invers.

Aus den Sätzen 3. und 4. folgt, wenn man Figur 14 und Figur 15 um 0A rotieren läßt:

Satz 7. Zu einer Ebene ist eine Kugel durch das Inversionszentrum invers, und umgekehrt.

Satz 8. Zu einer Kugel ist wieder eine Kugel invers.

Beide Kugeln haben das Inversionszentrum 0 zum Ahnlichkeits-punkt, und zwar bei hyperbolischer Inversion zum äußeren, bei elliptischer zum inneren.

Auch der Satz 5. gilt mit entsprechenden Änderungen im Raume.

9. Wenden wir jetzt die Inversion auf die Scheingeraden und Scheinebenen des Raumes R' der Artikel 1—4 an, indem wir den ausgeschlossenen Punkt 0 zum Zentrum einer beliebigen hyperbolischen oder elliptischen Inversion machen, so werden diese in Geraden und Ebenen des R verwandelt; dagegen geht die zu den Steinerschen Konstruktionen benutzte Hilfskugel in eine Kugel des R über und jenen „Scheinkonstruktionen“ entsprechen im R die gewöhnlichen Steinerschen Konstruktionen, wenn die Scheinzentra der Scheinkreise (und der Scheinkugel) zu den wirklichen Zentren der inversen Kreise (bezw. Kugel) invers sind. Damit ist nicht nur die Zulässigkeit dieser Konstruktionen zur Definition der Kongruenz bewiesen, sondern zugleich dargetan, daß die Scheingeometrie des R' nie zu logischen Widersprüchen führen kann, weil aus ihr vermöge der Inversion sofort sich Widersprüche der Euklidischen Geometrie ergeben würden, die, wie wir sehen werden, begrifflich vollkommen widerspruchsfrei begründet werden kann. Vorläufig kommt es uns nur darauf an, gezeigt zu haben, daß man eine im Wortlaut ihrer Lehrsätze mit der gewöhnlichen übereinstimmende Geometrie aufbauen kann, deren „Ebenen“ und „Geraden“ von den gewöhnlichen vollkommen verschieden sind.

§ 9. Das Kugelgebüsch.

1. Treffen die Strahlen eines Büschels 0 einen Kreis M in den Punktepaaren A, A!\ B, B'\ C, C. . . (siehe Fig. 17 und 18), so ist nach dem Sehnensatze OA • OA' = OB • OB' = OC ■ OC — • • •, gleichgültig, ob 0 außerhalb oder innerhalb des Kreises liegt. Im ersten Falle kann dieses konstante Produkt, die „Potenz des Kreises M im Punkte 0“, speziell durch das Quadrat der Tangente OT, im zweiten Falle durch das Quadrat der in 0 auf OM senkrechten halben Sehne OX bestimmt werden, oder auch, wenn OM den Kreis in B und B' trifft, im ersten Falle durch

OB - OB' = (OM-r) (OM + r) = OM² - r²,

im zweiten durch

OB ■ OB' = (r + OM) (r - OM) = - (OM² - r²),

wenn M den Mittelpunkt und r den Radius des Kreises bezeichnet. Dieser Ausdruck der Potenz durch ± (OM² — r²) legt es nahe, der

„Potenz“ des Kreises im Punkte 0 das Plus- oder Minuszeichen zuzuschreiben, je nachdem 0 außerhalb oder innerhalb des Kreises liegt; man kann das auch dadurch begründen, daß im ersten Falle die von 0 ausgehenden Stücke jeder Sekante auf derselben Seite von 0 liegen, im zweiten aber ein Stück links, eines rechts von 0; gibt man diesen Stücken im ersten Falle gleiches Vorzeichen, so verdienen sie im zweiten ungleiches. Also ist die Potenz des Kreises M im Punkte 0

in Fig. 17 gleich + (OAf²-r²) = + OT², in Fig. 18 gleich + (OiK²-r²) = - 0X\

Diese Begriffsbildung überträgt sich unmittelbar auf die Kugel. Treffen die Strahlen eines Strahlenbündels 0 eine Kugel mit dem

€'

D'/

C-

X'

(l

\>B

[C

Fig. 17.

Fig. 18.

Mittelpunkt M in den Punktepaaren A, A'- JB, B'\ C, C"; . . ., so trifft die durch OAA' und OBJB' bestimmte Ebene die Kugel in einem Kreise, für den OA • OA' = OB - OB’ ist; ebenso ist in der Ebene der Strahlen OBB' und OCC' die Potenz des Schnittkreises in 0 gleich

OB • 0B'= OC • OC', also OA ■ 0A'= OB • OB' = OC • OC' = • • •

gültig für alle Strahlen durch 0; dieses konstante Produkt heißt „Potenz der Kugel in 0“ und wird mit positivem oder negativem Vorzeichen genommen, je nachdem 0 außerhalb oder innerhalb der Kugel liegt; wiederum ist die Potenz in beiden Fällen übereinstimmend gleich -(-(OJK² — r²).

Aufgabe 1. Wo liegen alle Punkte, in denen ein Kreis dieselbe Potenz p² (oder —p²) hat?

Aufgabe 2. Alle Punkte zu konstruieren, in denen ein Kreis Mx die Potenz ± p²y ein anderer M, die Potenz ± p,² bat.

Aufgabe 3. Die vorigen Aufgaben auf die Kugel zu übertragen.

2. Haben zwei beliebig zueinander gelegene Kreise Mlf M, (siebe Fig. 19) einer Ebene in einem Punkte P dieselbe Potenz:

PM² - r² = PM² - r²

wo rt, r, die beiden Radien sind und die Yorzeicben entweder beiderseits positiv oder negativ gemeint sind, und ist Q der Fußpunkt des von P auf MXM, gefällten Lotes, so folgt durch Subtraktion von PQ² aus dieser Gleichung:

(PM² -PQ²)- r² = (PM,² -PQ²)- r₂²,

QM² - r² = QM² - r².

Dann haben also beide Kreise auch in Q gleiche Potenz, und wenn man zur letzten Gleichung QS² addiert, wo S ein beliebiger Punkt von PQ ist,

(QM² + QS²) — rx² - (QM,² + QS²) - r,²y

SM² - r² = SM² - r²,

QM² — r²= QM,² — r,

so sieht man, daß auch in S beide Kreise gleiche Potenz haben. Nun gibt es aber nur einen Punkt Q auf der Zentrale, in dem die Gleichung

oder

QM² - QM² = V - r₂²

stattfindet, denn für QMX -f QM, = MXM, = c hat man

woraus sich für QMX der eine Wert

1 r,¹ —r,» + c²

ergibt. Daraus folgt:

Satz I. Die Punkte, in denen zwei Kreise derselben Ebene gleiche Potenz haben, erfüllen eine Gerade, die auf der Zentrale dieser Kreise senkrecht steht.

Die Potenz ist natürlich auf dieser Geraden, der „Potenzachse“ der beiden Kreise, von Punkt zu Punkt eine andere.

Wenn die Kreise sich schneiden, ist die gemeinschaftliche Sehne die Potenzachse (Sehnensatz). Um dann im Falle, daß die Kreise sich nicht schneiden (s. Fig. 19), mindestens einen Punkt zu finden, in dem beide Kreise gleiche Potenz haben, nimmt man einen Kreis zu Hilfe, der M₁ und M₂ schneidet, und die zwei gemeinsamen Sehnen schneiden sich dann in einem Punkte der gewünschten Art; auf die-

f,'

/

yfït

Fig. 19.

selbe Weise bestimmt man noch einen zweiten Punkt; die Yerbindungsgerade beider oder das Lot vom ersten auf die Zentrale ist dann die Potenzachse. Läßt man die Kreise um die gemeinschaftliche Zentrale rotieren, so erhält man zwei Kugeln, und es gilt der

Satz II. Die Punkte, in denen zwei Kugeln gleiche Potenz haben, erfüllen eine Ebene, die „Potenzebene“ der beiden Kugeln, die auf der Zentrale senkrecht steht und, wenn die Kugeln sich schneiden, ihren Schnittkreis enthält.

Aufgabe 4. Die Potenzebene zweier sich nicht schneidenden Kugeln Zc₂ mit Hilfe zweier Kugeln zu konstruieren, die \ und k2 schneiden.

3. Wenn drei Kreise in einer Ebene liegen und ihre Mittelpunkte Mx, MS) M₃ ein Dreieck bilden, so werden sich die Potenzachsen p₁₂, p₂₈, p₃₁ dieser Kreise in dem nämlichen Punkte C, dem „Potenzzentrum“ der Kreise, schneiden müssen, denn im Schnittpunkte von pl2 und p₂₃ haben die drei Kreise gleiche Potenz, und durch diesen Punkt geht also auch die dritte Potenzachse p₃₁; liegen die Mittelpunkte Mx, Jf₂, M% dagegen in gerader Linie, so sind die Geraden p₁₂, p₂₃₎ pn entweder voneinander verschieden und dann parallel, oder sie fallen zusammen. Im ersten Falle spricht man von einem „uneigentlichen“ Potenzzentrum ; der letzte Fall tritt ein, wenn zwei der drei Potenzachsen zusammenfallen. Dann ist nämlich ihr

Schnittpunkt mit der Zentrale ein Punkt gleicher Potenz aller drei Kreise, und solcher Punkte gibt es, wie wir gesehen haben, auf der Zentrale zweier Kreise nur einen.

Haben die drei Kreise M1} M₂, M₃ ein uneigentliches Potenzzentrum C, so werden sie von der gemeinschaftlichen Zentrale zugleich orthogonal und diametral geschnitten, und es gibt außer diesen Geraden keinen Kreis, der Mx, Ms, M₃ orthogonal oder diagonal schnitte, denn sein Zentrum wäre ein Punkt gleicher Potenz

C_£-

der drei Kreise. Liegt C dagegen im Endlichen, und ist die gemeinsame Potenz gleich ±r², so wird der Kreis um G mit dem Radius r von

den drei Kreisen Mlt M₂, M₃ rechtwinkelig (siehe Fig. 20) oder diametral (siehe Fig. 21) geschnitten, je nachdem die Potenz positiv oder negativ ist.

..■y

m₂

Fig. 20.

Analoge Sätze gelten für drei Kugeln: Wenn ihre Potenzebenen und jr₂₃ sich in einer Geraden schneiden, so haben die drei Kugeln in jedem Punkte der Schnittgeraden gleiche Potenz; folglich muß auch die dritte Potenzebene jr31 durch diese Gerade gehen:

Satz III. Schneiden sich zwei der drei der Potenzebenen dreier Kugeln

in einer Geraden a₁₂₃,

Potenzebene und heißt „Potenzachse“ der drei Kugeln.

so liegt diese auch in der dritten

Satz IV. Wenn vier Kugeln zu je dreien eine Potenzachse bestimmen, so schneiden sich diese vier Potenzachsen in einem Punkte, dem „Potenzzentrum“ der vier Kugeln,

denn je zwei dieser Achsen liegen in einer Ebene und müssen sich daher schneiden.

Satz Y. Das Potenzzentrum C ist Mittelpunkt einer Kugel Je, welche von den gegebenen orthogonal oder diametral geschnitten wird, je nachdem die gemeinsame Potenz positiv oder negativ ist. Nur wenn G im Unendlichen liegt, und Je in-

folgedessen in eine Ebene ausartet, ist das Schneiden orthogonal und diametral zugleich.

Außerdem ist noch der Grenzfall zu erwähnen, daß die Potenz null ist, also die Kugeln durch C gehen; die gemeinsame Orthogonalkugel oder Diametralkugel artet dann in eine „Punktkugel“, d. h. in den Punkt C aus. Es wird wohl nicht nötig sein, die Besonderheiten aufzuzählen, die dadurch entstehen können, daß man eine

'M,

il

M,

1'

■oM,

Fig. 21.

oder mehrere der gegebenen Kugeln unbegrenzt abnehmen oder zunehmen läßt. Wir wollen noch einige Aufgaben folgen lassen. Zuvor aber eine allgemeine Bemerkung: Während der Aufbau der gewöhnlichen Elementargeometrie mit seiner dogmatischen Darstellungsweise den Eindruck des Schwerfälligen macht, und die einzelnen Lehrsätze für sich isoliert und als überraschende Merkwürdigkeiten erscheinen, läßt uns die Kugelgeometrie einen ersten Einblick gewinnen in die reiche Fülle der neueren Geometrie, deren Tatsachen ungezwungen aus wenigen, aber fruchtbaren Begriffsbildungen und Hauptsätzen entspringen und sich dem Aufmerksamen ungesucht darbieten.

Aufgabe 5. Wo liegen die Punkte, von denen an zwei gegebene Kugeln gleiche Tangenten gehen?

Aufgabe 6. Die Punkte zu bestimmen, in denen drei gegebene Kugeln klf k₂, k% die Potenzen JPlf P₂, P₃ haben. (Pf = + d*, i = 1, 2, 3.)

Aufgabe 7. Wo liegen die Mittelpunkte aller Kugeln von gegebenem Radius, die eine gegebene Kugel k unter gegebenem Winkel schneiden?

Aufgabe 8. Wo liegen die Mittelpunkte aller Kugeln, die zwei Ebenen unter gegebenen Winkeln schneiden?

Aufgabe 9. Wo liegen die Mittelpunkte aller Kugeln, die zwei sich schneidende Kugeln unter gegebenen Winkeln schneiden?

4. Unter einem „Kreisbüschel“ versteht man die Gesamtheit der Kreise einer Ebene, welche dieselbe Potenzachse haben. Treffen sich zwei Kreise eines Büschels in einem Punkte, so ist in ihm die Potenz null, er liegt auf der Potenzachse und alle Kreise des Büschels müssen durch ihn gehen, weil die Kreise des Büschels in jedem Punkte der Potenzachse gleiche Potenz haben. Je nach der Anzahl der gemeinsamen Schnittpunkte unterscheidet man:

1.    Hyperbolische Kreisbüschel, deren Kreise keinen Punkt gemein haben,

einen

2.    parabolische

zwei Punkte

3.    elliptische

Die Kreise eines parabolischen Büschels berühren einander und die Potenzachse a in demselben Punkte A- ihre Mittelpunkte liegen

deren

.Ä

a'

auf einer Geraden a, die in A auf a senkrecht steht (siehe Fig. 22). Die Kreise des zu diesem Büschel „orthogonalen“ Büschels Centra auf a liegen und die a als Potenzachse in A berühren, schneiden die Kreise des ersten Büschels recht-

winkelig.

Fig. 22.

Das elliptische Büschel (siehe Fig. 23) ist ebenfalls leicht zu konstruieren: seine

Kreise gehen durch zwei feste Punkte Alf A%, die „Grundpunkte“, ihre Mittelpunkte liegen also auf dem Mittellote a von A₁A₂. Der größte Kreis dieses Büschels ist, wie beim parabolischen, die durch Alt A2 gehende Potenzachse a, der kleinste hat AtA₂ zum Durchmesser, wird also von allen anderen Kreisen des Büschels diametral geschnitten. Wiederum haben alle Kreise des Büschels in jedem Punkte der Potenzachse a gleiche Potenz. Für die Punkte P von a, die außerhalb der Strecke A±A₂ liegen, ist diese Potenz p² positiv, so daß man von P an alle Kreise des Büschels Tangenten von gleicher Länge p legen kann. Der Kreis um P mit dem Radius p schneidet also alle Kreise des Büschels orthogonal.

a’

a'

cc

Fig. 23.

JL

d\

r,

a'

ar

Fig. 24.

Sind Mlf M₂ die Mittelpunkte zweier Kreise des gegebenen Büschels (siehe Fig. 24), rlf r₂ ihre Radien, so hat der Kreis um P in M₁ die Potenz rx, in M₂ die Potenz r₂². Ein zweiter Kreis Q, von dem wir nur voraussetzen, daß er die Kreise Mx, M₂ orthogonal schneidet, hat dann ebenfalls in Mx und M₂ die Potenzen r x und r₂². Also ist die durch Ml, M% gehende Gerade a die Potenzachse aller Kreise, die die Kreise des gegebenen Büschels rechtwinkelig schneiden, und da a selber zum Büschel gehört, so liegen die Mittelpunkte der rechtwinkelig schneidenden Kreise auf a; diese bilden ebenfalls

ein Büschel, das zu

dem ersten „orthogonal“ heißt und a zur Potenzachse hat. Dieses zweite Büschel ist ein hyperbolisches. Denn bezeichnet 0 den Mittelpunkt von AXA₂, so ist, da das erste Büschel als elliptisch vorausgesetzt wurde,

PJf,² = p² + r,² = MxO²-f PO²,

Weber u. Wöllstein: Enzyklopädie. II. 3. Aufl.

woraus, da Mt 0 < rx ist, p < PO folgt, d. h. der Kreis um P trifft a nicht, und da a als Grenzkreis dem zweiten Büschel angehört, so treffen sich die Kreise dieses Büschels nicht. Die Beziehung zwischen beiden Büscheln ist eine wechselseitige, denn umgekehrt werden die Kreise des zweiten von jedem Kreise des ersten orthogonal geschnitten, und wenn man von einem hyperbolischen Büschel ausgeht und die vorangegangene Betrachtung darauf überträgt, erhält man ein elliptisches Büschel, das zu ihm „orthogonal“ ist. Da in jedem Kreise eines hyperbolischen Büschels noch kleinere Kreise des Büschels liegen, so müssen die Kreise des Büschels in zwei Stellen symmetrisch zu seiner

et

\*

t

Cs

u,

II

/P

a’

X.

u'

7*

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//

Fig. 25.

Potenzachse sich immer mehr je einem Punkte nähern; es sind das die „Grundpunkte“ des orthogonalen elliptischen Büschels. Sie heißen die „Punktkreise“ des hyperbolischen Büschels. Das elliptische Büschel hat keinen Punktkreis, das parabolische einen, das hyperbolische zwei. (Siehe auch Fig. 25.)

Bei der Ableitung des zu einem elliptischen Büschel orthogonalen hyperbolischen Büschels gingen wir von einem Punkte P außerhalb der Verbindungsstrecke der Grundpunkte aus. Es liegt nahe, P innerhalb dieser Strecke anzunehmen (siehe Fig. 25). Die gemeinsame Potenz der Kreise des Büschels in P ist dann negativ, etwa gleich — p², und der Kreis (P) um P mit dem Radius p wird dann von den Kreisen des Büschels diametral geschnitten. Durchläuft P die Strecke AtA₂, so nimmt der Kreis (P) andere Lage und Größe an, dabei aber immer eine Ellipse £ von innen berührend, die Ax, A₂ zu Brennpunkten und eine kleine Achse von der Länge A₁AS hat. Wir werden von dieser Tatsache keinen weiteren Gebrauch machen, weshalb diese Andeutung genügen mag.

}Qj

Qj

\c.

YA

5. Die Gesamtheit der Kreise einer Ebene, welche in einem Punkte 0 dieselbe Potenz haben, nennt man ein „Kreisbündel“. Da alle durch einen Punkt gehenden Kreise der Ebene in diesem die gleiche Potenz Null haben, so bilden sie einen Grenzfall eines Bündels, das „parabolische“ Kreisbündel. Hyperbolisch oder elliptisch heißt das Bündel, je nachdem die Potenz positiv oder negativ ist. Ist + p2 die Potenz im hyperbolischen Bündel, so werden alle Kreise des Bündels von dem Kreise x, der 0 zum Zentrum und p zum Radius hat, orthogonal geschnitten. Das Bündel kann dann auch definiert werden als Gesamtheit der Kreise, die x orthogonal schneiden. Damit ist zugleich die Konstruktion seiner Kreise gegeben (siehe Fig. 26): Man legt an Kreis x in irgend einem seiner Punkte A die Tangente und schlägt um einen Punkt C dieser Tangente den Kreis, der durch A geht; dieser Kreis hat in ~L 0 die Potenz + P², gehört 1 also zum Bündel. Zum \

Fig. 26.

Bündel gehört ferner jedes Büschel, das je zwei Kreise des Bündels bestimmen.

Die Punktkreise aller hyperbolischen Büschel liegen auf x\ die zwei Grundpunkte aller elliptischen Büschel im Bündel bilden inverse Punktepaare mit 0 als Zentrum und p² als Potenz der Inversion. Umgekehrt gehören alle durch ein paar inverse Punkte dieser Inversion gehenden Kreise zum Bündel. Überhaupt trifft jede durch 0 gehende Gerade jeden Kreis des Bündels, den sie schneidet, in zwei inversen Punkten, „einem Punktepaar des Bündels“. Durch zwei nicht zueinander inverse Punkte der Ebene geht daher immer nur ein Kreis des Bündels, den man dadurch festlegen kann, daß man zu einem dieser Punkte den inversen bestimmt. Das Bündel ist in dieser Inversion zu sich selbst invers.

Aufgabe 10. Den gemeinsamen Kreis zweier Büschel des Bündels zu konstruieren.

Aufgabe 11. Ein elliptisches Kreisbüschel durch Inversion in ein Strahlenbüschel zu verwandeln. Was wird dabei aus dem orthogonalen Büschel?

\n

Fig. 27.

als Po-

Das elliptische Bündel ist einförmiger als das hyperbolische. Da alle seine Kreise im gemeinsamen Potenzzentrum 0 dieselbe negative Potenz — p² haben, so schneiden sie alle denselben Kreis k, der 0 zum Mittelpunkt und p zum Radius hat, diametral. Während der Orthogonalkreis x des hyperbolischen Bündels nicht zu dem Bündel gehört, weil er in 0 ja negative Potenz hat, ist der „Diametralkreis“ k des ellipti-/ sehen Bündels in diesem enthalten. Wiederum gehört das Büschel, das von zwei Kreisen des Bündels bestimmt wird, dem Bündel an; da aber alle Kreise des Bündels den Punkt 0 einschließen, so müssen sie sich paarweise in zwei Punkten schneiden: die im Bündel enthaltenen Büschel sind daher ausnahmslos elliptisch (siehe Fig. 27 und 28; in Fig. 28 liegen die Grundpunkte des elliptischen Büschels auf dem Diametralkreis), ihre Grundpunkte natürlich wieder invers bezüglich 0 als Zentrum und

,.-Y\

V}

Fig. 28.

tenz. Überhaupt wird, wie beim hyperbolischen Bündel, jeder Kreis des Bündels von jeder durch 0 gehenden Geraden in zwei inversen Punkten dieser Inversion, einem „Punktepaare des Bündels“, getroffen.

Aufgabe 12. Den gemeinsamen Kreis zweier Büschel des Bündels zu konstruieren.

Aufgabe 18. Durch zwei Punkte, die nicht zueinander invers sind, geht immer ein Kreis des Bündels. Man soll ihn konstruieren.

Sind zwei Bündel mit gleichen oder verschiedenen Potenzzentren 0\> ü₂ gegeben, und Pif P₂ in diesen Bündeln zu einem gegebenen

Punkte P invers, so gehört der Kreis n durch PP₁P₂ zu beiden Bündeln. Ist r ein zweiter Kreis dieser Art, so ist OtOs gemeinsame Potenzachse beider Kreise, und das von ihnen bestimmte Büschel gehört zu beiden Bündeln. Fällt 0₁ mit ö₂ zusammen, so artet dieses Büschel aus in die Gesamtheit der durch Ol gehenden Geraden. Fassen wir dieses Strahlenbüschel als Grenzfall eines elliptischen Kreisbüschels auf, in das es ja durch Inversion verwandelt werden kann, so haben wir den Satz: Die gemeinsamen Kreise zweier Kreisbündel bilden ein Kreisbüschel.

¹

Vgl. auch P. du Bois-Reymond, Die allgemeine Funktionentheorie. Tübingen 1882.

²

Oder besser gesagt: hätte emporsteigen sollen, wenn sie nicht frühzeitig das Empirische und Ideale vermengt hätte.

³

Als vierter harmonischer Punkt zu A und B, B’.

⁴

Vgl. die Fußnote S. 14.

⁵

Vgl. P. du Bois-Reymond, 1. c.

⁶

   Einen rein geometrischen Beweis gab Verfasser in Bd. 54 der Math. Ann.

⁷

   Das Wort stammt von Leibniz, der damit in einem Briefe an Huygens (1679) vorahnend das bezeichnete, was wir jetzt Streckenrechnung (Quatemionen, Ausdehnungslehre) nennen ; statt Analysis situs sollte man lieber Zusammenhangslehre sagen. Vgl. Leibniz, Mathematische Schriften, herausgegeben von C. J. Gerhardt, 1, 19.

Weber u. Welletein: Enzyklopädie. II. 3. Aufl.

⁸

Man nennt so die gewöhnliche Geometrie zum Unterschied von anderen Geometrien, die wir bald werden kennen lernen.

6. Es bleibt noch übrig, diese Resultate auf die Kugel zu übertragen. Läßt man zunächst ein Kreisbüschel um seine Zentrale rotieren, so entsteht das „Kugelbüschel“, die Gesamtheit aller Kugeln mit derselben Potenzebene. Wenn die zu einem Bündel gehörigen Kreise — wozu der etwa vorhandene Orthogonalkreis nicht gehört — je um ihren Mittelpunkt rotieren, beschreiben sie Kugeln, die zusammen ein „Kugelbündel“ bilden, d. h. die Gesamtheit der Kugeln, welche dieselbe Potenzachse haben; diese steht senkrecht auf der Ebene des erzeugenden Kreisbündels im Potenzzentrum. Während also die Mittelpunkte der Kugeln eines Kugelbüschels eine Gerade erfüllen, liegen die Mittelpunkte der Kugeln eines Kugelbündels in einer Ebene, und die Kugeln des Bündels gehen entweder sämtlich durch zwei Punkte, deren Verbindungslinie dann die Potenzachse ist, oder nicht; im ersten Falle schneiden sie sämtlich einen gewissen Kreis diametral, der den Schnittpunkt S der Zentralebene mit der Potenzachse zum Mittelpunkt hat; im letzten Falle ist der Punkt S das Zentrum eines Kreises, der die Kugeln des Bündels orthogonal schneidet; sein Radius ist die Quadratwurzel aus der Potenz des Bündels in S.

Man sieht leicht, daß zu jedem Kugelbündel ein Kugelbüschel gehört, dessen Kugeln die des Bündels orthogonal schneiden, und umgekehrt.

Die Gesamtheit der Kugeln, die in einem Punkte 0 dieselbe Potenz haben, heißt ein „Kugelgebüsch“. Dann bilden speziell alle durch einen Punkt gehenden Kugeln ein Gebüsch, das wir bereits als das parabolische kennen gelernt haben. Seine Potenz ist Null. Die Gebüsche mit nicht verschwindender Potenz nennt man hyperbolisch oder elliptisch, je nachdem die Potenz positiv, = -j- p², oder negativ, = — p²y ist. Die Kugel um das Potenzzentrum 0 als Mittelpunkt und mit p als Radius wird im hyperbolischen Gebüsch von allen Kugeln des Gebüsches orthogonal geschnitten, gehört aber nicht zum Gebüsch; im elliptischen Gebüsche dagegen wird jene Kugel diametral geschnitten und ist eine ausgezeichnete Kugel des Gebüsches, die bei Konstruktionen gute Dienste leistet. Eine Gerade durch 0 trifft jede

Kugel des Gebüsches, die sie schneidet, in zwei Punkten, die zueinander invers sind bezüglich 0 als Zentrum und der Potenz des Gebüsches als Inversionspotenz. Jede Kugel eines Gebüsches ist bei dieser „Inversion des Gebüsches“ zu sich selbst invers. Wenn zwei Kugeln eines Gebüsches sich schneiden, so ist der Schnittkreis, dessen Ebene natürlich durch 0 geht, zu sich selbst invers und heißt ein „Kreis des Gebüsches“, während zwei inverse Punkte kurz „ein Punktepaar“ des Gebüsches genannt werden. Jede Kugel und jeder Kreis durch ein Punktepaar des Gebüsches gehört zum Gebüsch. Durch zwei Punktepaare geht immer nur ein Kreis, durch drei Punktepaare, die nicht einem Kreise angehören, immer nur eine Kugel des Gebüsches. Bezüglich zweier Gebüsche (OJ, (0₂) kann man zu jedem Punkte P des Raumes zwei inverse und P₂ konstruieren, und alle durch jene drei Punkte P, Pj, P₂ gehenden Kugeln, die also ein Büschel bilden, gehören beiden Gebüschen an und haben die Gerade Ot 0₂ zur Potenzachse; man erhält so unendlich viele den Gebüschen (OJ, (0₂) gemeinsame Büschel, die zusammen ein Bündel mit 0t0₂ als Potenzachse bilden. Es ist unmöglich, auch nur annähernd die reiche Fülle von Sätzen zu erschöpfen, die sich hier mühelos aufstellen ließen, wir müssen deshalb auf Spezialwerke verweisen.¹) Für unsere Untersuchung über die Grundlagen wird das Mitgeteilte ausreichen.

§ 10. Teilweise Verwirklichung der Euklidischen Geometrie im Kugelgebüsch. Die beiden Nichteuklidischen Geometrien.

1. Während die Versinnlichung der Euklidischen Geometrie im parabolischen Kugelgebüsche immer noch den Anschein erwecken konnte, als müßte der „Punkt“ stets etwas Unteilbares sein, haben wir jetzt die Mittel in der Hand, Geometrien aufzubauen, in denen der „Punkt“ bald als Kugel, bald als Kreis, bald als inverses Punktepaar eines hyperbolischen oder elliptischen Kugelgebüsches (0) erscheint.

A) Bezeichnet man als „Scheinpunkte“ die Kugeln des Gebüsches (0), als „Scheingeraden“ seine Büschel, als „Scheinebenen“ seine Bündel, so können wir von diesen „Scheingebilden“ sämtliche Sätze der Hilbertschen Axiomgruppe I aussagen, die wir in § 8 kennen gelernt haben. Insbesondere gilt der Satz:

Zwei Scheinpunkte bestimmen immer eine Scheingerade, und drei Scheinpunkte, die nicht einer Scheingeraden angehören, bestimmen eine Scheinebene.

Denn jene zwei Kugeln bestimmen ein Büschel, jene drei Kugeln ein Bündel, dessen Kugeln alle dem Gebüsche angehören. Es wäre nicht schwer, die Hilbertsche Satzgruppe II, die den Begriff „zwischen“ auseinandersetzt, in der Modifikation auf die „Punkte“ unserer Scheingeraden zu übertragen, die Pasch 1. c. § 1, 18. durch Einführung des Begriffes des „ausgeschlossenen“ Punktes erzielt; es handelt sich da um die Bedeutung der Aussage, daß zwei Punktepaare einer Geraden einander „trennen“ oder „nicht trennen“. Wir werden noch darauf zurückkommen.

B) Eine andere, der zeichnend-konstruktiven Behandlung mehr zugängliche Realisierung der Hilbertschen Satzgruppen I und II (diese mit der eben angedeuteten Modifikation) beruht darauf, daß man als „Scheinpunkte“, „Scheingeraden“ und „Scheinebenen“ die Kreise, Kreisbüschel und Kreisbündel einer Ebene r] bezeichnet. Durch Inversion kann man t] in eine Kugel verwandeln und damit den „Scheinraum“ unserer Scheingeometrie auf eine Kugel verlegen. Zwei voneinander verschiedene Scheinpunkte bestimmen immer eine Scheingerade, drei nicht einer Scheingeraden angehörige Scheinpunkte immer eine Scheinebene. Es würde eine ebenso lehrreiche als nützliche Aufgabe sein, die Hilbertschen Sätze I und ihre Folgerungen durch Konstruktion zu verifizieren. Um auf die große Fruchtbarkeit der Durchführung derartiger Analogien wenigstens einigermaßen hinzuweisen, wollen wir das Analogon des Desarguesschen Satzes herleiten. Der Satz von Desargues setzt zwei Dreiecke Alf Bx, Cx und A₂, B₂, C₂ in zwei sich schneidenden Ebenen rj₁ und rj₂ voraus, die zueinander in der speziellen Lagebeziehung stehen, daß die in der Bezeichnung sich entsprechenden Seiten A₁B₁ und A₂B₂, B₁C₁ und B.₂ C₂, C₁Al und C₂A2 sich in drei Punkten Z, X, Y der Schnittgeraden s von rjl} rj₂ treffen. Dann bestimmen diese drei Geradenpaare drei Ebenen, die sich in einem Punkte S treffen, so daß also die Punktepaare Ax und As, Bt und Ba, Cx und C₂ mit S je in einer Geraden liegen. Nimmt man jetzt in der Ebene rjl selber noch ein Dreieck Ax, Bx, Cx an, dessen drei Seiten je durch X, Y, Z gehen, so gehen ebenso die Strahlen At'A₂, BxB₂, C₁'C₂ durch einen Punkt S'. Mithin enthalten die Ebenen A₁A₁'A₂, BlB₁'B₂, CtC₁'C₂ die Geraden AtA₂ und A₁'A₂, BXB₂ und BXB₂, CxC₂ und Cx C₂, also auch die Punkte S, S' und bilden daher ein Ebenenbüschel mit der Achse SSdieses trifft die Ebene tjl in den Strahlen A₁Ai', BlB₁', CxCx, die durch den Punkt X gehen, in dem SS' die Ebene trifft. Der Satz von Desargues lautet jetzt:

Wenn zwei Dreiecke Alf Bx, Cx und A₂, B₂, C₃ in derselben oder in verschiedenen Ebenen so aufeinander bezogen sind, daß die homologen Seiten A₁B₁ und A₂B₂, B₁C1 und B₂C₂, C₁A₁ und C₂A₂ sich in drei Punkten einer Geraden s treffen, so liegen die Ecken Ax und A₂, Bx und B₂, Cx und C₂ je in drei Strahlen durch denselben Punkt S.

Dieser Satz gilt nun auch in den beiden Scheingeometrien A) und B). In die Sprache der gewöhnlichen Kreisgeometrie zurückübersetzt würde der Satz im Falle B) lauten:

Nimmt man in einer Ebene sechs Kreise AXf Bx, Cx, A₂, B2} C₂ an, von denen die drei ersten und ebenso die drei letzten keinem Büschel angehören; haben ferner die durch

Y,

Bx und Cly B₂ und C₂ bestimmten Büschel einen Kreis X, @1 n Ax, C₂ „ A2 -d-l » Ą) ^2 ?> "®2 gemeinsam, und gehören, falls die beiden von Ax, BX) Cx und A₂, B2} C₂ bestimmten Bündel miteinander identisch sind, die drei Kreise X, Y, Z demselben Büschel an, so haben die drei Büschel {Ax, A₂), (Bx, B₂), (Cx, C₂) einen Kreis S gemein.

Wenn die Bündel [Ax, Bx, Cx) und (A%, B₂, C₂) voneinander verschieden sind, so sind X, Y, Z doch ebenfalls in einem Büschel enthalten. Der Satz läßt sich leicht umkehren. Wer mit der projektiven Geometrie vertraut ist, wird sehen, daß nun auch der Satz vom vollkommenen Yierseit in unserer Geometrie B) gilt und folglich der Begriff der „harmonischen“ Lage von vier Scheinpunkten einer Scheingeraden definiert ist; damit ist sofort der Begriff der projektiven Beziehung zweier Scheingeraden festgelegt, und man wird also das Analogon der Kurve zweiter Ordnung konstruieren können. Doch wollen wir die Kenntnis der projektiven Geometrie hier nicht voraussetzen und müssen daher auf die Ausbeutung dieser Tatsache verzichten.

geraden enthält. Denn die jenen zwei „Scheinpunkten“ entsprechenden zwei Punktepaare bestimmen einen Kreis, der schon durch drei dieser Punkte festgelegt ist und auch durch den vierten geht. Drei Scheinpunkte, d. h. sechs Punkte wären ebenfalls zur Bestimmung einer Kugel zu viel, wenn nicht eine Kugel, die durch vier dieser Punkte geht, auf Grund des Sehnensatzes auch durch die übrigen gehen müßte. Man sieht nun leicht, daß in unserer Scheingeometrie die Hilbertsche Axiomgruppe I gilt.

In dieser Scheingeometrie gibt es nur ein Bündel von Scheingeraden, das zugleich auch im gewöhnlichen Sinne ein Strahlenbündel ist, nämlich die Gesamtheit der Strahlen durch das Potenzzentrum 0. Da nun jede „wirkliche“ und damit zugleich „scheinbare“ Gerade durch 0 jeden Kreis und jede Kugel des Gebüsches, die sie trifft, in einem Paare inverser Punkte, also jede Scheingerade oder Scheinebene in einem Scheinpunkte schneidet, so gelten in der Scheinebene und auf der Scheingeraden alle ' die Aussagen über den Begriff „zwischen“, die auch im wirklichen Strahlenbündel zutreffend sind. Wie also z. B. von vier Strahlen a, b, c, d eines Bündels, die in einer Ebene liegen, immer nur zwei Strahlen die beiden übrigen trennen, etwa a, b und c, d, während die anderen Anordnungen zu je zwei Paaren sich nicht trennen, so gibt es unter vier Scheinpunkten einer Scheingeraden auch nur zwei Paare, die einander „trennen“, und zwei Anordnungen zu je zwei Paaren, die einander „nicht trennen“. Weitere Sätze dieser Art finden sich bei Pasch 1. c., § 1, 18. Die Hilbertsche Axiomgruppe II gilt also in unserer Scheingeometrie mit der Modifikation, die wir auch in Artikel 1. angedeutet haben und im dritten Abschnitte genauer werden kennen lernen.

3. Um nun auch zum Parallelenaxiome Stellung zu nehmen, müssen wir die beiden Arten von Kugelgebüschen mit nicht verschwindender Potenz voneinander trennen. Im elliptischen Gebüsche schließen alle Kreise und Kugeln das Potenzzentrum ein, alle Kugeln, sowie alle Kreise auf derselben Kugel müssen sich schneiden. Auf den entsprechenden „elliptischen Raum“ übertragen heißt das: Je zwei Scheinebenen im elliptischen Raume haben eine Scheingerade, je zwei Scheingeraden auf derselben Scheinebene einen Scheinpunkt gemeinsam. In der elliptischen Geometrie gilt demnach das Parallelenaxiom nicht, zwei Geraden einer Ebene schneiden sich immer.

Im hyperbolischen Gebüsche gibt es dagegen beliebig viele Kugeln, die eine gegebene nicht treffen Man kann hier, ohne auf Widersprüche zu stoßen, die Sprechweise ausbilden, daß zwei sich nicht schneidende Kugeln einen „imaginären Schnittkreis“ gemein haben;

das (aus dem hyperbolischen Kreisbüschel durch Rotation um die Zentrale entstehende) hyperbolische Kugelbüschel kann dann aufgefaßt werden als Gesamtheit der Kugeln mit demselben imaginären Schnittkreise. Dieser „liegt" in der Potenzebene des Büschels. Jede Gerade durch 0 in dieser Ebene „trifft" den imaginären Kreis in zwei „zueinander inversen imaginären Punkten". Diese ergeben zusammengenommen einen „idealen" Scheinpunkt, dem imaginären Kreise entspricht die „ideale" Gerade.

Zwei sich nicht schneidende Scheinebenen haben also eine „ideale" Schnittgerade: Es gibt dann Büschel und Bündel von Scheinebenen mit idealer gemeinsamer Schnittgerade bezw. mit einem idealen gemeinsamen Schnittpunkt. Das sind offenbar Analoga zu den „uneigentlichen" Punkten und Geraden der natürlichen Geometrie.

Zwischen diesem Falle des Schneidens und dem des Nichtschneidens der Kugeln und Kreise des hyperbolischen Gebüsches liegt der der Berührung. Da ein Berührungspunkt zu sich selbst invers sein muß, so muß er auf der Orthogonalkugel a des Gebüsches liegen. Jeder Kreis des Gebüsches trifft œ in zwei Punkten A, B. Ist P ein beliebiger Punkt und P' der dazu inverse, so werden die durch A, P, P' und B, P, P' gehenden Kreise den gegebenen Kreis in A und B je einmal berühren, wie denn überhaupt alle Kreise des Gebüsches, die durch denselben Punkt der Orthogonalkugel cj gehen, einander in diesem Punkte

_    berühren. Will man jetzt in unserer

7Ê

^d\p y

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r-

Oo

hyperbolischen Scheingeometrie etwas ähnliches haben wie Parallelismus, so wird man als „Raum" dieser Geometrie denjenigen definieren müssen, der aus dem gewöhnlichen Raume der y    Kugelgeometrie entsteht, wenn man

Fig. 29.

daraus die Fläche der Orthogonalkugel co fortläßt. In dem verbleibenden „hyperbolischen" Raume gilt dann der Satz, daß zu einer Scheingeraden AB durch einen Scheinpunkt P immer zwei Scheinparallelen gehen. Um das an einer Figur veranschaulichen zu können, wollen wir uns erinnern, daß die durch 0 gehenden Ebenen dem Gebüsche als Grenzkugeln angehören, also zugleich Scheinebenen genannt werden dürfen. In einer solchen speziellen Scheinebene wollen wir eine Scheingerade g annehmen und durch einen Punkt P die beiden „Parallelen" PA und PB ziehen. Der Schnitt der Scheinebene mit der Orthogonalkugel heiße x. (Siehe Fig. 29.)

Die beiden Parallelen bilden in P vier Winkelfelder. Eines davon enthält die Scheingerade g und möge mit y bezeichnet werden; das ist dann der sogenannte Parallelenwinkel, der in der Geometrie von Bolyai und Lobatschefski eine Rolle spielt. In den beiden Feldern cp, cp der Nebenwinkel von y verlaufen diejenigen Scheingeraden, welche g in „idealen“ Punkten treffen, während im Felde des Parallelenwinkels y sich die wirklich schneidenden Scheingeraden befinden. Alles das zusammenfassend können wir also sagen: In der hyperbolischen Geometrie gilt das Parallelenaxiom ebenfalls nicht, vielmehr kann man durch einen gegebenen Punkt zu einer gegebenen Geraden immer zwei Parallelen ziehen, und diese bestimmen zwei Scheitelwinkel cp, cp, so daß alle in diesen Winkeln verlaufenden Geraden mit der gegebenen keine realen Schnittpunkte gemein haben.²)

4. Da haben wir nun zwei Geometrien, in denen allemal durch zwei Punkte nur eine Gerade, durch drei Punkte, die drei verschiedene Geraden bestimmen, nur eine Ebene geht, Geometrien, in denen überhaupt alle Sätze gelten, die sich über das Schneiden von Ebenen und Geraden aussagen lassen, die auch in der Euklidischen Geometrie gelten, mit alleiniger Ausnahme des Parallelenaxioms. Damit ist also einwandsfrei und vollkommen anschaulich der Beweis erbracht, daß die zweitausendjährigen Bemühungen, das Parallelenaxiom, oder, wie es richtiger heißen müßte, das fünfte Postulat Euklids, aus den übrigen Voraussetzungen abzuleiten, notwendig scheitern mußten: Das Parallelenaxiom ist keine logische Folge der übrigen Grundsätze der Geometrie. Wir können sogar sagen: Wenn jemals die beiden Geometrien, die das Parallelenaxiom leugnen, auf logische Widersprüche stoßen könnten, so müßte auch die Euklidische Geometrie Widersprüche enthalten, denn man brauchte diese Widersprüche der Nichteuklidischen Geometrie nur aus der Sprache der „Scheingeometrie“ im Kugelgebüsche zu übersetzen in die Sprache der gewöhnlichen, der Euklidischen Geometrie angehörenden Kugelgeometrie und hätte dann Widersprüche in der Kugelgeometrie. Daß aber die Euklidische Geometrie auf vollkommen widerspruchslosen Voraussetzungen beruht, werden wir in einem der folgenden Paragraphen zeigen können. Das kann natürlich nur von einer idealisierten Geometrie gelten.

Aus der Unabhängigkeit des Parallelenaxioms einerseits und der Unzulässigkeit des Parallelenbegriffes in der natürlichen Geometrie

andererseits folgt, daß die natürliche Geometrie niemals zu einer Scheidung der drei möglichen Annahmen bezüglich des Parallelismus wird gelangen können. Tatsächlich muß denn auch Pasch in seinen öfters erwähnten „Vorlesungen“ diese Frage offen lassen; in dem engen Bereiche, in dem sich die Geraden und Ebenen unserer Erfahrung befinden, kann man alle Tatsachen der natürlichen Geometrie gleich gut beschreiben, mag es zu einer Geraden durch einen Punkt keine Parallele geben, oder eine oder zwei. Ja, wir können noch einen Schritt weiter gehen und sagen: Es wird empirisch nie möglich sein, zu entscheiden, ob das, was man Ebenen und Geraden nennt, „wirkliche“ Ebenen und Geraden sind, oder Scheinebenen und Scheingeraden in einem Kugelgebüsche von ungeheuer großer Potenz ; wäre etwa die Sonne das Potenzzentrum und die Orthogonalkugel bezw. Diametralkugel so groß, daß sie sämtliche Planeten einschlösse, so wären die Scheinebenen und Scheingeraden, d. h. die Kugeln und Kreise des Gebüsches, in dem uns von der Erde aus zugänglichen Teile des Raumes von Ebenen und Geraden der natürlichen Geometrie nicht zu unterscheiden. Denkt man sich an einen solchen Kreis eine Tangente gezogen, so würde diese 11 km vom Berührungspunkte entfernt sich erst um von dem Kreise abheben. Ein Unterschied zwischen beiden Linien würde also nur dem Begriffe nach bestehen und könnte empirisch nicht nachgewiesen werden. — Es ließen sich noch zahllose andere Versinnlichungen der drei nur hinsichtlich der Parallelenfrage sich unterscheidenden Geometrien angeben, die im Bereiche des empirisch Zugänglichen vollkommen mit der natürlichen Geometrie übereinstimmten, doch reichen dazu unsere elementaren Mittel nicht aus.

V:

mm

1000

Wir müssen jenen drei Geometrien nun noch die ihnen zukommenden Namen geben: Die Geometrie mit dem Parallelenaxiom heißt Euklidische oder parabolische Geometrie. Wir haben daher das Kugelbündel mit der Potenz null, das dièse Geometrie vollkommen realisiert, als parabolisch bezeichnet. Die beiden anderen Geometrien heißen xar Ąo%rjv Nichteuklidische. Eigentlich müßte man ja jede Geometrie so nennen, die mit der Euklidischen nicht in allen Voraussetzungen übereinstimmt. Diejenige Nichteuklidische Geometrie, in welcher überhaupt kein Parallelismus vorkommt und die durch das elliptische Kugelgebüsch illustriert wird, heißt elliptische Geometrie, die andere hyperbolische. Sie wird im hyperbolischen Gebüsche verwirklicht. Bolyai und Lo-batschefski fanden die hyperbolische Geometrie, die elliptische wurde viel später von Riemann entdeckt. Der charakteristische Unterschied dieser drei Geometrien läßt sich auch so aussprechen:

In der parabolischen Geometrie ist die Winkelsumme im Dreieck zwei Rechte, in der hyperbolischen kleiner, in der elliptischen größer, aber beidemal keine Konstante. Um

das auch in den beiden Kugelgebüschen in Evidenz zu bringen, messen wir die Winkel zwischen Scheingeraden, d. h. die Winkel zweier Kreise in einem ihrer Schnittpunkte durch die Winkel der entsprechenden Tangenten; jedoch betrachten wir abweichend von § 8, 7. in einem Dreieck ABC als Winkel A dasjenige der vier Winkelfelder mit dem Scheitel A, in dem die Strecke BC liegt. Nimmt man jetzt im hyperbolischen Gebüsche, um bequem darstellen zu können, eine Scheinebene, die durch das Potenzzentrum geht, und ist eo ihr Schnitt mit der Orthogonalkugel (siehe Fig. 30), so ist jedes Dreieck, dessen drei Ecken A, B, C auf œ liegen, dadurch ausgezeichnet, daß die betreffenden Kreise des Gebüsches sich in A, B, C berühren, daß also die drei Scheingeraden in A, B} C drei Winkel gleich Null bilden. Die Winkelsumme eines solchen Dreiecks ist also Null; seine Seiten sind nach der oben getroffenen Festsetzung paarweise zueinander parallel. Daß in anderen Dreiecken dieser Geometrie die Winkelsumme kleiner als 2R ist, läßt sich leicht mittels einer Inversion beweisen, die eine Ecke des Dreiecks zum Zentrum hat und somit zwei Seiten in wirkliche Geraden verwandelt.¹) Die Möglichkeit von Dreiecken von verschwindenden Winkeln war schon den Entdeckern der hyperbolischen Geometrie bekannt und wurde von ihren Gegnern als anschauungswidrig bekämpft. Denkt man aber, wie oben angedeutet wurde, die Orthogonalkugel so groß, daß sie die sämtlichen Planeten einschließt, so könnten in den uns zugänglichen Scheinebenen von derartigen Dreiecken im übersêhbaren Bereiche nicht zugleich Stücke aller drei Seiten Vorkommen; ein Widerspruch gegen die Anschauung wäre also nicht möglich. Der Mangel an einer leicht verständlichen Yersinnlichung hat den Nichteuklidischen Geometrien sehr geschadet. Die von Beltrami 1868 angegebene Realisierung der hyperbolischen Geometrie auf Flächen von konstanter negativer Krümmung ist nicht elementar genug und nicht ohne höhere Mathematik zu verifizieren. Die elliptische Geometrie der Ebene hat Riemann auf der Kugel verwirklicht gefunden, wobei die zwei Endpunkte jedes Durchmessers als derselbe „Punkt“ gelten. Indem man aber nicht scharf genug hervorhob, daß der „Punkt“ dieser Yersinnlichung aus zwei gewöhnlichen Punkten besteht, sind Mißverständnisse und Unklarheiten entstanden, die zu dem Zweifel führten, ob die Riemannsche ebene

CO

CO.

.ix)

Fig. 80.

1) Für diese Bemerkung bin ich den Herren K. Kommereil und C. Siebold zum Dank verpflichtet.

Geometrie nicht mit der gewöhnlichen Geometrie auf der Kugel identisch ist. In der richtig aufgefaßten Realisierung der elliptischen „Ebene“ auf einer Kugel wird man mühelos unsere Scheinebene im elliptischen Kugelgebüsche wiedererkennen: die Riemannsche Kugel

ist die Diametralkugel des Gebüsches; die Endpunkte jedes Durchmessers sind invers, konstituieren also in der Tat einen Scheinpunkt. Es wäre aber nicht notwendig gewesen, gerade den Endpunkten des Durchmessers diese Ausnahmestellung zuzuweisen. Als Scheinpunkt konnte man jedes Paar Endpunkte der Sehnen definieren, die durch denselben Punkt 0 im Innern der Kugel gehen. Nimmt man 0 außerhalb der Kugel an, so hat man die hyperbolische Ebene.

Schließlich wollen wir an einer Figur (siehe Fig. 31) veranschaulichen, daß in der elliptischen Geometrie die Winkelsumme im Dreieck größer als zwei Rechte ist. Als Scheinebene dient das Zeichenblatt, das durch das Potenzzentrum 0 gelegt ist; k ist der Schnitt der Diametralkugel. Das gezeichnete Dreieck hat ersichtlich drei stumpfe Winkel.³) Der Beweis kann wiederum mittels geeigneter Inversionen geführt werden.

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10

Je

Fig. 31.

§ 11. Metrik der beiden Nichtenklidischen Geometrien.

1. Wie wir gesehen haben, stimmt die Geometrie des Kugelgebüsches von nicht verschwindender Potenz mit der Euklidischen vollkommen überein in den Hilbertschen Axiomen I, und mit einer gewissen, im dritten Abschnitt zu besprechenden (projektiven) Modifikation auch in der Axiomgruppe II. Um nun den Beweis zu vervollständigen, daß die Geometrie der Gebüsche nur im Parallelenaxiom und seinen logischen Folgen von der Euklidischen abweicht, haben wir noch die Gültigkeit der Hilbertschen Axiome III und Y zu verifizieren. Es sind das im wesentlichen die Kongruenzaxiome, auf die sich die Lehre von den Maßeigenschaften der Raumgebilde, die „Metrik“, gründet. Erst wenn die Übereinstimmung unserer beiden Nichteuklidischen Geometrien mit der Euklidischen in diesem Umfange sicher ist, sind sie charakterisiert durch den Satz von der Winkelsumme. Läßt man dagegen in der Euklidischen Geometrie etwa das Archimedische Axiom (Hilbert, 1. c. § 8, V) fallen, so kann man eine Geometrie auf bauen, in der die Winkelsumme jedes Dreiecks zwei Rechte beträgt, ohne daß der Parallelensatz gilt.⁴) Wir wollen nun nicht etwa die Kongruenzsätze vom Standpunkte der beiden Nichteuklidischen Geometrien aus den Kongruenzaxiomen ableiten, denn die Hilbertschen Beweise dieser Sätze sind so eingerichtet, daß sie das Parallelenaxiom nicht benutzen, also ohne weiteres für die parabolische, hyperbolische und elliptische Geometrie gelten. Überhaupt besteht der Reiz, den die ungewöhnlichen Realisierungen einer Geometrie gewähren, nicht darin, daß man sie mit den Augen der betreffenden Geometrie ansieht, sondern daß man sie vom Standpunkte einer anderen Geometrie aus betrachtet. Als hyperbolische Geometrie unterscheidet sich z. B. die Geometrie des hyperbolischen Kugelgebüsches in keinem Satze von einer anderen Realisierung der hyperbolischen Geometrie; ihre Sätze aber erlangen sofort das größte Interesse, wenn man sie in die Sprache der Euklidischen Geometrie zurückübersetzt. Man vergleiche den Satz von Desargues mit seiner seltsamen Übersetzung in § 10, 1. Umgekehrt kann es auch unter Umständen von Nutzen sein, ein System geometrischer Gebilde vom Standpunkte einer Nichteuklidischen Geometrie aus zu studieren. So hat man z. B. in einem von der Geometrie anscheinend ganz fern abgelegenen Gebiete der modernen Funktionentheorie, in der Theorie der automorphen Funktionen, Veranlassung, gewisse Kreisbogenpolygone der komplexen Zahlenebene zu untersuchen, deren Seiten einen gewissen Kreis Je orthogonal schneiden; die Inversionen dieser Polygone bezüglich seiner Seiten als Inversionskreise werden Spiegelungen genannt. Die Polygonseiten gehören offenbar dem Kreisbündel an, dessen Orthogonalkreis Je ist. Die kleinste durch Je gehende Kugel 0 ist dann Orthogonalkugel eines hyperbolischen Kugelgebüsches, dem auch die Zahlenebene mit ihrem Kreisbündel angehört. Die Kreisbogenpolygone erscheinen daher als geradlinige Polygone, wenn man sie vom Standpunkte der durch das Gebüsch 0 verwirklichten hyperbolischen Geometrie betrachtet, und was besonders schön ist, die sogenannte Spiegelung der Ebene an einer Seite eines Polygons wird dann, wie wir alsbald zeigen werden, zu einer wirklichen Spiegelung, das

heißt zu einer axialsymmetrischen Abbildung der Ebene auf sich selbst. Hier lohnt es sich also in der Tat, den Standpunkt der Euklidischen Raumanschauung gegen den der hyperbolischen einzutauschen, die in diesem Falle den einfachsten, zutreffendsten Ausdruck gestattet.

2. Über die Inversion im Kugelgebüsche gilt der folgende, grundlegende Satz:

I. Ein Kugelgebüsch geht durch hyperbolische Inversion an irgend einer seiner Kugeln in sich selbst über.

Das hyperbolische Gebüsch besteht nämlich aus allen Kugeln, die eine Kugel Je rechtwinkelig schneiden. Ist nun k eine Kugel des Gebüsches, so hat Je im Mittelpunkt L von k die Potenz -f l², wenn l der Radius von k ist, also schneidet jede Gerade durch L, die Je trifft, diese Kugel in zwei Punkten A, Ä, so daß LA • LA' = Z² ist, d. h. durch die hyperbolische Inversion, die die Kugel k vermittelt, geht Je in sich selbst über. Da aber durch Inversion der Schnittwinkel zweier Kugeln nicht geändert wird, so gehen die Kugeln, die Je orthogonal schneiden, wieder in Kugeln dieser Art über. Es folgt: Durch die Inversion an k werden die Kugeln des Gebüsches nur miteinander vertauscht, das Gebüsch als Ganzes geht in sich selbst über.

Ist x in einem elliptischen Gebüsche die Kugel, bezüglich der eine hyperbolische — nicht elliptische — Inversion ausgeführt werden soll, so hat man nur zu beachten, daß x jede Kugel k des Gebüsches schneidet; der Schnittkreis heiße y. Dieser geht dann durch die Inversion an x Punkt für Punkt in sich selber über, und der Kugel k entspricht eine durch y gehende Kugel k', die als Kugel durch einen Kreis y des Gebüsches dem Gebüsche angehört, w. z. b. w. Auf den einfachen Fall des parabolischen Gebüsches brauchen wir Wohl nicht einzugehen. Damit ist denn unser Satz vollständig bewiesen, und es gilt nun, ihn in die Sprache der betreffenden Nichteuklidischen Geometrie zu übersetzen. Er lautet dann:

II. Die hyperbolische Inversion eines Kugelgebüsches bezüglich einer seiner Kugeln x erscheint vom Standpunkte der betreffenden Nichteuklidischen Geometrie aus als Spiegelung an der Scheinebene x.

Jedenfalls ist nämlich die hyperbolische Inversion an x vom Standpunkte dieser Scheingeometrie aus eine Kollineation, d. h. eine stetige Abbildung des Raumes auf sich, die jedem Scheinpunkte P einen Scheinpunkt P' so zu weist, daß, wenn P eine Ebene durchläuft, auch P' sich in einer im allgemeinen davon verschiedenen Ebene bewegt, und umgekehrt. Wenn also P eine Gerade (als Schnitt zweier

Ebenen) beschreibt, beschreibt auch P' eine Gerade. Diese Kollineation hat aber folgende spezielle Eigenschaften:

a)    Die Punkte der Scheinebene x, und nur diese, entsprechen je sich selbst.

b)    Die Scheingeraden, die auf x senkrecht stehen, gehen — als zur Kugel x normale Kreise — in sich selbst über, in der Weise, daß jedem Punkt P einer solchen Geraden g ein Punkt P' derselben Geraden g entspricht, der nur dann mit P zusammenfällt, wenn P zugleich in x liegt.

Eine derartige Kollineation wird aber zur Spiegelung an der Scheinebene x, wenn sie zugleich winkeltreu ist, und das ist bei der Inversion ja in der Tat der Fall.

3. Mit der räumlichen Symmetrie ist durch’ diesen Satz auch die axiale Symmetrie in einer Ebene gegeben. Aus der ebenen Symmetrie ergeben sich dann rückwärts in bekannter Weise die Kongruenzsätze. Das Beweisverfahren beruht im wesentlichen darauf, daß zwei in derselben Ebene gelegene kongruente Dreiecke immer durch höchstens drei Spiegelungen ineinander übergeführt werden können, und zwar durch eine ungerade Zahl von Spiegelungen, wenn sie ungleichwendig, durch zwei Spiegelungen, wenn sie gleichwendig kongruent sind. Wenn nämlich die Dreiecke ungleich wendig (spiegelbildlich) kongruent sind, aber nicht schon symmetrisch liegen, so mache man sie durch Spiegelung des einen an irgend einer Geraden der Ebene erst gleichwendig kongruent. Um zwei gleichwendig kongruente Dreiecke ABC, A'B'C' durch Spiegelung ineinander überzuführen, spiegele man A'B'C erst an dem Mittellote von AÄ — falls nicht schon A' mit A zusammenfällt. Sicher hat dann das Spiegelbild AB"C” mit ABC die Ecke A gemeinsam. Die Dreiecke ABC und AB"C" sind jetzt gegenwendig kongruent und gehen also durch Spiegelung an der Halbierungslinie des Winkels BAB'r (oder CAC") ineinander über.

Wenn in einer Geometrie, wie in unserem Beispiele, die Spiegelung direkt gegeben ist, kann man, wie diese Betrachtung zeigt, beim Abtragen von Strecken und Winkeln den Zirkel ganz entbehren. Man darf vom Standpunkt der beiden Nichteuklidischen Geometrien im Kugelgebüsche aber nicht etwa sagen, weil alle Scheingeraden Kreise sind, die Planimetrie dieser Geometrie komme allein mit dem Zirkel ohne Lineal aus, denn der Zirkel der Euklidischen Geometrie ist vom Standpunkte der beiden Nichteuklidischen Geometrien kein Zirkel. Nicht minder wichtig wie der Zirkel wäre übrigens für beide Geometrien ein Inversor, d. h. ein Instrument, das — vom Standpunkt der Euklidischen Geometrie aus gesprochen — bei gegebenem In-

Weber u. Wellstein: Enzyklopädie. II. 3. Aufl.

versionszentrum und Inversionsradius zu jedem Punkte den inversen unmittelbar angibt. Der bekannteste Inversor ist der von Peau-cellier⁵), der erste Gelenkmechanismus, der durch Verwandlung einer Kreisbewegung in eine geradlinige das Problem der Geradeführung löste. Er besteht aus einem Rhombus P, Q, P', Q', dessen Seiten in den vier Ecken gelenkartig aneinander befestigt sind; von zwei gegenüberliegenden Ecken Q, Q' gehen zwei gleich lange Stäbe Q 0, Q'O, die um Q, Q', 0 ebenfalls drehbar sind (siehe Fig. 32). Bezeichnet M den Mittelpunkt des Rhombus, so ist:

OP • OP'= {OM - MP) {OM + MP) = OM² - MP²,

= {OQ²- QM²) - {QP²- QM²) = OQ²- QP²= const.,

also nur abhängig von den unveränderlichen Stablängen, nicht von der veränderlichen Länge OP. Läßt man P bei festgehaltenem 0 eine

.........

P\

V.

Fig. 82.

ebene Figur beschreiben, so durchläuft P' die dazu inverse Figur bezüglich 0 als Zentrum und r²=OQ²—QP2 als Potenz der Inversion. Gibt man dem Instrumente einen siebenten Stab CP, dessen Länge gleich OC ist, so kann P bei festgehaltenem 0 und C sich nur noch um C auf einem Kreise drehen, der durch das Inversionszentrum 0 geht; der inverse Punkt P' durchläuft also ein Stück einer geraden Linie. Wenn dagegen die Bedingung CP = CO nicht erfüllt ist, beschreiben P und P' zwei zueinander inverse Kreise.

Damit der Inversor eine elliptische Inversion verwirklicht, hat man offenbar nur die gleichen Stäbe OQ und OQ' kleiner als PQ anzunehmen (siehe Fig. 33); alsdann ist nämlich:

OP ÖP' = {PM - OM) {PM + OM) = PM² - OM²,

= {PQ²— QM²) -{OQ²- QM²) = PQ²- OQ²= const.,

und 0 liegt zwischen den Punkten PP'. Die Bedingung der Geradführung von P ist dieselbe wie beim hyperbolischen Inversor.

4. Es wird gewiß von Interesse sein, die wichtigsten elementargeometrischen Konstruktionen unserer beiden Nichteuklidischen Geo-metrien keimen zu lernen. Yor allem wird man fragen: Wie sehen in diesen Scheingeometrien der Kreis und die Kugel aus? Wir definieren beide Gebilde als Kurven bezw. Flächen konstanten Abstandes von einem festen Punkte, dem scheinbaren Zentrum. Da Strecken gleich sind, wenn sie durch Spiegelung ineinander übergehen, so können wir die Kugeln mit dem Scheinzentrum C auch definieren als Flächen, die durch Spiegelung an allen Scheinebenen, die durch C gehen, in sich selbst übergehen. Ähnlich ist ein Kreis definierbar als Kurve, die durch Spiegelung an allen Durchmessern in sich selbst übergeht. Die Scheinebenen durch C bilden aber ein Bündel, das durch Spiegelung an einer seiner Ebenen als Ganzes in sich übergeht.

C-

o,

Fig. 33.

Nun bilden die Kugeln des zum Kugelbündel orthogonalen Büschels offenbar ein System von Flächen, die bei der genannten Spiegelung unverändert bleiben, und zwar ist es ein hyperbolisches Kugelbüschel, dessen Achse C'C" durch das Zentrum 0 unseres ganzen Kugelgebüsches geht; C", C" sind die beiden Bestandteile des Scheinpunktes C. Die Punktkugeln des hyperbolischen Büschels sind C und C", und so folgt:

III. Die Scheinkugeln und Scheinkreise unserer beiden Nichteuklidischen Scheingeometrien sind auch vom Standpunkte der Euklidischen Geometrie aus Kugeln bezw. Kreise, nur muß man nicht Anstoß daran nehmen, daß in dieser Versinnlichung der beiden Nichteuklidischen Geometrien die Scheinkugel aus zwei Euklidischen Kugeln besteht, die bezüglich des Gebüsches zueinander invers sind. Umgekehrt konstituiert jedes Paar bezüglich des Gebüsches inverser Ktrgeln eine Scheinkugel. Das Scheinzentrum einer

5*

Scheinkugel oder eines Scheinkreises ist vom Euklidischen Zentrum im allgemeinen verschieden. Zu den Scheinkugeln gehören auch alle im Sinne der Euklidischen Geometrie Ebenen zu nennenden Gebilde, die nicht durch das Zentrum des Gebüsches gehen.

Insbesondere ist dann auch die Orthogonalkugel des hyperbolischen Gebüsches eine Scheinkugel, die „absolute“ Kugel der hyperbolischen Geometrie, während die Diametralkugel des elliptischen Gebüsches eine Schein ebene des elliptischen Raumes ist. Erblickt man das Wesen der Kugel darin, daß sie sämtliche Ebenen und Strahlen des Durchmesserbündels rechtwinkelig schneidet, so muß man in der

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Fig. 34.

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Fig. 85.

hyperbolischen Geometrie noch zwei eigenartige Gebilde als Scheinkugeln ansprechen, nämlich die Orthogonalkugeln aller im Gebüsche enthaltenen parabolischen und hyperbolischen Kugelbündel. Wir wollen diese Verhältnisse erst am Kreise studieren, wo man der Anschauung leichter durch Zeichnungen entgegenkommen kann.

5. Wie schon öfter, legen wir die Zeichenebene £ durch das Zentrum des Gebüsches, wodurch sie ja zu einer Scheinebene £ der betreffenden Nichteuklidischen Geometrie wird, und stellen uns die Aufgabe, in £ den Scheinkreis zu konstruieren, der durch einen gegebenen Scheinpunkt P geht und ein gegebenes Scheinzentrum C hat. Seien C' und C" (Fig. 34, 35, 36) die beiden schlichten Punkte, die den Scheinpunkt G konstituieren, P' eine der Konstituenten von P und gj der Schnitt von £ mit der Orthogonalkugel des zunächst als hyperbolisch vorausgesetzten Gebüsches. Da der schlichte Kreis x, der zusammen mit dem dazu bezüglich gj inversen Kreise x' den gesuchten Scheinkreis x ausmacht, alle Kreise a, b, ... durch C, G" orthogonal schneiden soll, so gehört er dem zum Büschel der a, b, . . . orthogonalen Büschel an. Die Scheinkreise mit dem Scheinzentrum C sind also in der Sprache der Euklidischen Geometrie Kreispaare des zum Durchmesserbüschel orthogonalen Büschels. Durch (hyperbolische) Inversion bezüglich a, b, .. . erhält man aus P' weitere Punkte Pa', Pb'r ... des Kreises x', wodurch er also völlig bestimmt ist; Pa' liegt natürlich mit P' und dem Zentrum A von a in gerader Linie, ebenso a geht P'Pb' durch das Zentrum B von b. Jede Gerade durch A trifft x in zwei bezüglich a inversen Punkten H',

to

(O

P’

A'

bt

PC"

t±X'

(O

Fig. 36.

K' (nicht in den Figuren), die im Sinne der hyperbolischen Geometrie als zueinander symmetrisch bezüglich der Scheingeraden a gelten. Da auch Kreis x" (siehe Fig. 36; in Fig. 34 und 35 ist x" nicht gezeichnet) ebenfalls den Kreis a senkrecht schneidet, so liegen auch die bezüglich gj zu H\ K' inversen Punkte auf x" und sind zueinander invers bezüglich a. Die Punktepaare H', H” und K', K" des Gebüsches konstituieren also zwei Scheinpunkte B, K des Scheinkreises x, die zur Scheingeraden a symmetrisch liegen, d. h. der Scheinkreis x geht in der Tat durch Spiegelung an seinen Scheindurchmessern in sich selbst über. Ist, wie in Fig. 34, das scheinbare Durchmesserbüschel als Kreisbtischel elliptisch, so möge auch der Scheinkreis elliptisch genannt werden.

Parabolisch kann das Durchmesserbüschel a, b, . . . nur werden, wenn C mit C" (natürlich auf gj) zusammenfällt, wie in Fig. 35. Seine Kreise berühren sich in C = C" Das orthogonale Büschel

ist dann ebenfalls parabolisch und bat die Tangente von o in C' zur Potenzachse. Je zwei zueinander bezüglich « inverse Kreise dieses Büschels bilden zusammen einen Scheinkreis mit dem Mittelpunkt 0; Scheinkreise mit parabolischem Scheindurchmesserbüschel mögen als parabolisch bezeichnet werden.

Zu einem hyperbolischen Kreisbüschel a, b,... (sieheFig. 36) ist ein elliptisches Kreisbüschel orthogonal; seine Grundpunkte seien £7, V. Entschließt man sich dazu, a, b, . . . als Büschel von Scheingeraden durch ein ideales Scheinzentrum C zu deuten, so bestehen die — hyperbolischen — Scheinkreise mit diesem Scheinzentrum aus je zwei schlichten Kreisen durch £7, V, die bezüglich cd zueinander (hyper-, bolisch) invers sind, wie z. B. x und x" (Fig. 36). Nur wenn x mit x' zusammenfällt, also wenn x zum Gebüsche gehört, darf man nicht von einem Scheinkreise sprechen, sondern man hat dann eine Scheingerade vor sich, die auf den gegebenen Scheingeraden a, b, . . . senkrecht steht. Es gibt aber nur einen Kreis g durch U, V, der cd orthogonal schneidet, sein Zentrum G ist auf dem Mittellote von UV so gelegen, daß GVO einen rechten Winkel bildet.

Alles das zusammenfassend können wir also sagen:

IY. Im hyperbolischen Raume gibt es drei Arten von Scheinkreisen, elliptische, parabolische und hyperbolische:

a)    die elliptischen haben ein im Endlichen gelegenes reelles Scheinzentrum;

b)    das Scheinzentrum der parabolischen liegt auf der absoluten Scheinkugel, seine scheinbaren Durchmesser sind zueinander parallel; der Schein kreis geht durch das Scheinzentrum;

c)    die hyperbolischen haben ein ideales Scheinzentrum, ihre Scheindurchmesser sind nicht (asymptotisch) parallel, aber sie schneiden sich auch nicht. Es gibt außerdem immer eine Scheingerade g, die das Durchmesserbüschel ebenfalls orthogonal trifft.

Der letzte Satz läßt sich umkehren: Die Scheinlote einer Scheingeraden bilden ein Büschel, und zwar in der hyperbolischen Geometrie ein hyperbolisches, in der elliptischen ein elliptisches. Wir setzen jetzt voraus, das Gebüsch sei elliptisch. Die Zeichenebene £ sei zugleich — als Scheinebene — wieder durch das Zentrum des Gebüsches gelegt, d sei der Schnitt mit der Dianjetralkugel (Fig. 37). Wie vorhin seien Cr, C" die Konstituenten des gegebenen Scheinzentrums, P', P" die des gegebenen Scheinpunktes, durch den der Scheinkreis gehen soll. Durch Spiegelung an den scheinbaren Durchmessern a und b entstehen aus P' zwei weitere Punkte Pa\ P₆'

der einen Konstituente x des gesuchten Scheinkreises x, die dadurch bestimmt ist. Die andere Konstituente x" ist aus drei ihrer Punkte

P", Q", S" konstruiert, die aus Punkten von x durch elliptische Inversion bezüglich d erhalten sind. Übrigens genügte schon der auf a gelegene Punkt S" zur Festlegung des Mittelpunktes N von x", indem OS"N ein rechter Winkel sein muß. Da es im elliptischen Gebüsche nur elliptische Kreis büschel    gibt, so

folgt:

P’

\x

V. Im elliptischen Raume gibt es nur elliptische Scheinkreise (mit reellem Scheinzentrum).

Nach dieser ausführ-

C>

di

!a

\\

liehen Behandlung der Scheinkreise können wir uns hinsichtlich der Kugel auf die Bemerkung beschränken, daß die Sätze IV und Y mit sinngemäßer Änderung auch von der Kugel gelten.

6. Auf den rechnenden Teil der Nichteuklidischen Metrik können so mehr ver-

X'/>

x"

¥P

Ji"

wir um zichten, als dabei für unsere Fragestellung nach dem Wesen der geometrischen Grundbegriffe nur wenig herauskommen würde. Die Metrik der Nichteuklidischen Geometrie ist hoch inter-

Fig. 37.

essant, wenn man sie gleichsam von einem erhöhten Standpunkte aus mit einem Male überblicken kann, wie ihn einerseits die projektive Maßbestimmung Cayleys, andererseits die Liesche Gruppentheorie gewährt. Dagegen ist es eine ziemlich unerquickliche Arbeit, nach Art der Elementargeometrie von unten herauf in dies fremdartige Gebiet einzudringen, zumal wenn die Lektüre der großen grundlegenden Untersuchungen durch eine Menge von neuen Kunstausdrücken und Symbolen, über welche bei den verschiedenen Autoren

keine Einigkeit herrscht, sowie durch philosophische Betrachtungen gestört wird, denen man nicht immer beizupflichten vermag; dem weiteren Mißstand, daß man diesen Gedankengängen nicht mit exakten Konstruktionen folgen konnte, wird durch die Verlegung der ganzen Geometrie in ein Kugelgebüsch begegnet. Aber dann übersieht man die Sätze immer viel leichter vom Standpunkte der Euklidischen Kugelgeometrie als vom Nichteuklidischen. Die sphärische Trigonometrie läßt sich auf diesem Wege leicht in die Scheingeometrie übertragen.

Zur analytischen Behandlung der beiden Geometrien haben Schur⁶) und Hilbert⁷) einen bequemen Zugang geschaffen. Die Hilbertsche Theorie setzt nur die Anfangsgründe der analytischen Geometrie voraus. Diese Theorie wird bei Benutzung eines hyperbolischen Kugelgebüsches so überraschend klar, daß ihre Durcharbeitung an der Hand dieses Hilfsmittels einen hohen Genuß bereitet. Die Hilbert sehen „Enden“ einer Geraden der hyperbolischen Geometrie sind natürlich die zwei Schnittpunkte mit der Orthogonalkugel. Den Hilbertschen Hilfssatz 4 in § 1 der angeführten Abhandlung, auf den sich die Operationen mit den Enden stützen, mache man sich erst in der Euklidischen Geometrie

CO

CO

'\c'

z-

//

A /y

TI

ac

Fig. 88.

klar; er sagt dann im wesentlichen aus, daß sich die Mittellote der drei Seiten eines Dreiecks ABC •P in einem Punkte, dem Zentrum des Umkreises x, schneiden. In der hyper-_ bolischen Geometrie können jene Lote entweder parallel sein, oder sich überhaupt nicht schneiden, in welchem Falle sie aber auf einer gewissen Geraden senkrecht stehen. In der Scheinebene £ des vorigen Artikels sieht man sofort: Jene Lote gehören entweder einem elliptischen, oder einem parabolischen bezw. hyperbolischen Büschel an (einem Büschel, weil sie den Kreis durch ABC und den absoluten Kreis ca rechtwinkelig schneiden). Da wir in der hyperbolischen Geometrie den Loten einer Geraden, die mit dieser in derselben Ebene liegen, einen idealen Schnittpunkt zuschreiben (Zusatz zu IV), so gilt

jener Hilfssatz Hilberts nicht nur, wenn die drei Lote parallel sind, sondern auch, wenn sie einen idealen Schnittpunkt gemein haben. In Fig. 38 ist das ausgeführt, und zwar, wie in Art. 5, unter Weglassung des zur Figur bezüglich œ inversen Teiles; Ä, B', C und x sind je eine Konstituente von A, B, C und x. Die scheinbaren Mittellote der Scheinstrecken B'G', C'A', A'B' werden versinnlicht durch die Kreise x, y, z, deren Mittelpunkte X, Y, Z auf der gemeinschaftlichen Sehne UV der Kreise oj, x liegen. Die Radien sind gleich den Tangenten von X, Y, Z an den Kreis x. In der Figur sind alle benutzten Hilfslinien eingetragen; die Tangenten sind nach Augenmaß angelegt, die Berührungspunkte durch Fällen eines Lotes vom Zentrum aus bestimmt, was mit Hilfe zweier Winkellineale geschehen ist. Wenn man sich diese Freiheiten gestattet, die auch in der darstellenden Geometrie als zulässig gelten, machen derartige Konstruktionen nur wenig Mühe. Bringt man das scheinbare Mittellot x von AB zum Schnitt mit der Scheingeraden AB (die in der Figur nicht gezeichnet ist), so erhält man einen Punkt M, den man als Mittelpunkt der Scheinstrecke AB zu definieren pflegt. Die so definierte „Mitte“ zeigt jedenfalls mehr Übereinstimmung mit der Euklidischen Mitte als die auf Grund des Satzes 1 in § 5 definierbare: die „Mitte“ wäre dann der Punkt, der A und B vom unendlich fernen Punkte harmonisch trennt. Daher gäbe es in der hyperbolischen Geometrie zwei „Mitten“ einer Strecke, und in der elliptischen würde die Definition ganz versagen, während die erste Definition immer anwendbar bleibt.

7. Es hat sich bisher gezeigt, daß die beiden Scheingeometrien von der gewöhnlichen Geometrie empirisch nicht zu unterscheiden sind, wenn man nur den Radius R der Orthogonal- bezw. Diametralkugel des Gebüsches hinreichend groß nimmt (vgl. S. 60). Die Frage ist aber am Platze, ob nicht etwa die Besonderheiten der Nichteuklidischen Kugel sofort auffallen müßten, da man doch von keinem Raumgebilde eine so klare Anschauung besitzt als von der Kugel. Zur Beurteilung dieser Frage wollen wir einige Formeln ableiten, die zeigen, wie groß man R nehmen muß, um eine Nichteuklidische Ebene oder Kugel einer Euklidischen so anzunähern, daß der Unterschied in beliebig vorgeschriebenen Grenzen bleibt. Dazu sind folgende Sätze der Euklidischen Geometrie erforderlich:

a) An einen Kreis mit dem Radius r (siehe Fig. 39) legen wir eine Tangente und fällen auf sie von einem Punkte C des Kreises das Lot CB. Gegeben sei die Größe CB — h, gesucht der Abstand a des Punktes B vom Berührungspunkte A. Aus der Figur entnimmt man unmittelbar: r² — (r — h)²-f «², also:

(ii

a = Y2rh — h².

Wenn der Kreis als Scheingerade einer Nichteuklidischen Geometrie betrachtet wird, so heiße h ihre tangentiale Abweichung von der Euklidischen Geraden im Abstand a.

b) Wie auf S. 60 sei das Sonnenzentrum S der Mittelpunkt des Gebüsches, der Radius R der Orthogonalkugel oder Diametralkugel

R,

S/e

><r

r-h \

a ''

.o*

te*.

Kcfl

Fig. 40.

\h

A a B

Fig. 39.

sei gleich n Erdbahnradien e, und durch den Mittelpunkt E der Erde sei eine Kugel Ê des Gebüsches gelegt, deren Radius q gesucht wird.

In den Fig. 40 und 41, die dem hyperbolischen und elliptischen Falle entsprechen, bezeichnet e die (kreisförmig angenommene) Erdbahn. Nach dem Sekanten- und Sehnensatze ist

in Fig. 40: e(2p + e) = R², „    „ 41: e(2f-e) = B»,

also zusammengefaßt

(2) 2₉=(R*-6e*)/e=(n³-e)e,

Fig. 4t.

wo im hyperbolischen Gebüsche £ — -f- 1, im elliptischen £ == — 1 ist.

c) An die Kugel legen wir in einem von der Erde aus zugänglichen Punkte die Tangentialebene und suchen in dieser den vom Berührungspunkte A aus genommenen Abstand a eines Punktes B, über dem sich die Kugel um die Höhe h abhebt, so wie in a) genauer auseinandergesetzt ist. In Formel (1) ist also r = p aus (2) einzusetzen. Man findet:

d) Sei K eine beliebige Kugel, ihr Radius, K ihr Euklidischer, U ihr scheinbarer Mittelpunkt im Sinne der Nichteuklidischen Geometrie des betreffenden Gebüsches, d dessen Abstand vom Zentrum S des Gebüsches. Gesucht wird die Differenz z = SU'— SK, die „Anomalie" der Kugel gegen die betr. Nichteuklidische Geometrie, wo U' die am nächsten bei S gelegene Konstituente des Scheinpunktes U ist. Damit U im hyperbolischen Gebüsche reell ausfällt, muß die Kugel K innerhalb der Orthogonalkugel verlaufen. Wir legen die Zeichenebene £ wiederum durch S und zugleich durch K, weshalb auch U in sie fällt. Durch U geht eine Kugel Q des Gebüsches, die den Kreis K rechtwinkelig schneidet. In Fig. 42 und 43 sind die Schnittkreise dieser Kugeln mit £ dargestellt; in Fig. 42 ist außerdem die Konstruktion von U ersichtlich gemacht. Aus Dreieck QAK entnimmt man in beiden Figuren:

a = n ~ÿeh — /<—J -h = w]/ëÂ J/T

(3)

JL

i\

X'

U"

r\ R

Fig 42

Fig. 48.

u)

r² -F q² = (r BZ)², wo wieder im hyperbolischen Gebüsche e = + 1, im elliptischen E — — 1 ist; e² = 1. Das Dreieck QBS ergibt

in Fig. 42: r² -f -R² = (ß -f- z + r)², also

R² = d² -f z² 4- 2dz -f 2zr + 2rd\ in Fig. 43: r² — R² = [r — z — d)², also

— R² = d² -F z² -f 2dz — 2zr — 2rd oder, indem man beide Fälle wieder zusammenzieht:

ß)

eR²= d² 4- z² 4- 2dz 4- 2szr + 2Erd, fR²= d² 4- (z² + 2ezv) 4- 2ds (r 4- sz).

Vermöge ce) kann man in ß) einsetzen:

v)

r + ez = -f Vr² + p², z“ -f- 2szr — p².

Daraus folgt

oder:

s R² = d² + p² + 2d£)/r*+ p²,

Ô) ]/r² -f- p² = [R² — e (.d² + Q²)]/2d, r = V[R²- £(cP+q²)Y/4cI?- p². Nach y) ist aber:

£)

£Z =

-r+Vr²+ p²,

daher endlich

(4) 2ezd = [R²— £ (d² + p²)] - y[R²-£(<Z²-j-p²)]²-4d²p²

mit eindeutig bestimmter Wurzel. Aus (4) findet man nach leichter Rechnung:

(5)

szR*

z-j- d

— zd —

sz R*

— zd — £

Diese allgemein gültigen Formeln werden wesentlich einfacher, wenn man auf die Größenordnung der Zahlen Rücksicht nimmt, die in sie eingehen, und sich mit einigen Dezimalstellen Genauigkeit zufrieden gibt. Ist, wie S. 60, die um das Sonnenzentrum S als Mittelpunkt gelegene Orthogonal- oder Diametralkugel so groß, daß sie alle Planeten des Sonnensystems einschließt, so beträgt ihr Radius R = ne mindestens n = 30 Erdbahnradien e. Es sei

n ^ 30,

(6)

e = 148 • 10⁶ km (angenähert),

h = ¹/₁₀₀₀ Millimeter == 10⁻⁹ km (siehe c)),

also gleich der Einheit der feinsten mikroskopischen Messungen. Dann ist auf zwei Dezimalen genau

(n ^ 30).

(7)

a = n y eh = 0,38 • n km.

In Fig. 42 und 43 ist K das Zentrum einer Kugel, von der wir jetzt annehmen wollen, daß es von der Erde aus zugänglich sei. Dann ist sein Abstand d von der Sonne nur unerheblich vom Erdbahnradius e verschieden. Für d — e, R = ne geht aber aus (5) hervor:

¹

Am besten eignet man sich die Geometrie der Kugelgebüsche auf dem Wege der Konstruktion, also durch Lösung vieler Aufgaben an. Als geometrische Aufgabensammlung, die das Gebüsch gründlich behandelt, ist die von Milinowski, II. Teil, zu empfehlen. Eine elegante Einzeldarstellung der Kugelgeometrie mit elementaren Mitteln findet man in dem Buche „Synthetische Geometrie der Kugeln“ von Th. Reye, Leipzig 1879.

²

Im Grunde genommen könnte man alle diese Geraden als Parallelen betrachten, doch haben die (asymptotischen) Parallelen PA, PB mehr Ähnlichkeit mit den Parallelen in der Euklidischen Geometrie.

³

Die bekannten Beweise dafür, daß die Winkelsumme im Dreieck nicht größer sein kann als zwei Rechte, beruhen auf der stillschweigend gemachten Voraussetzung, daß die Gerade unendliche Länge hat oder daß sie die Ebene in zwei getrennte Stücke zerlegt. Beides trifft aber für die elliptische Geometrie nicht zu. Daher verliert auch in der elliptischen Ebene die Stelle ècp’ a ps'çrj sielv . . . des Parallelenaxioms (vgl. § 1, S. 6) jeden Sinn, denn eine Gerade in der Ebene hat dort keine Seiten. Vgl. Gauß, Werke, Bd. 7, S. 190.

⁴

Vgl. M. Dehn, Die Legendreschen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck. Math. Ann. 63.

⁵

Nouv. ann. (2) 3 (1864), p. 344 und (2) 12, (1873), p. 71.

⁶

   Schur, F., Über die Grundlagen der Geometrie, Math. Ann. 55.

⁷

   Hilbert, D., Neue Begründung der Bolyai - Lobatsch efskyschen Geometrie, Math. Ann. 67. (Abgedruckt in der 2. Aufl. seiner „Grundlagen der Geometrie“.)

p² = £zn²e — ze —

¹ + v

ein Ausdruck, dessen letztes Glied man sicher unterdrücken darf, wenn etwa z²n² < 10⁻⁶, £zn < 10⁻³ und z gegen e sehr klein angenommen wird; £Z ist immer positiv. Unter dieser Annahme ist angenähert

Q² = eze (n² — s), und p² wächst oder fällt zugleich mit s z. Geht s z nicht über h= 10~⁹km, so überschreitet q nicht den Wert

(8)

(» ^ 30),

q = 0,38 • n km,

wie in (7) und mit derselben Annäherung. Das Ergebnis dieser Rechnungen können wir so aussprechen:

Millimeter erst im Abstande

1000

VI. Die beiden Nichteuklidischen Geometrien sind nicht nur logisch mit der Euklidischen gleichberechtigt, sondern auch empirisch. Speziell genügt die Versinnlichung der beiden Nichteuklidischen Geometrien im elliptischen oder hyperbolischen Kugelgebüsche den größten Ansprüchen auf Genauigkeit. Wenn das Sonnenzentrum zum Mittelpunkt des Gebüsches, der Radius der Orthogonaloder Diametralkugel gleich n Erdbahnradien e gemacht wird, n > 30, so beträgt die tangentiale Abweichung einer von der Erde aus zugänglichen Scheinebene von der Euklidischen Ebene lj

also für n = 30:

a = 0,38 • n km,

a = 11 km

Die elliptische Anomalie

vom Berührungspunkte aus. einer Scheinkugel ist negativ, die hyperbolische positiv, und damit sie in beiden Fällen dem absoluten Werte nach unter Y₁₀₀₀ Millimeter bleibt, darf der (Euklidische) Kugelradius p nicht größer als

p = 0,38 • :i

sein, also im ungünstigsten Falle n = 30 nicht über 11 km betragen.

Für Kugeln und Kreise gewöhnlicher Größe ist die Annäherung der Scheinmitte an die Euklidische ganz enorm. Man darf nicht etwa einwenden, daß hiermit zwar ein sehr kleiner Unterschied, aber immerhin doch ein Unterschied der drei Raumanschauungen bezüglich ihrer praktischen Verwendbarkeit in den Naturwissenschaften und im täglichen Leben zugegeben sei. Ein empirisch festzustellender Unterschied ist schon für n = 30 kaum noch vorhanden und schwindet für verhältnismäßig geringe Werte von n (> 30) vollständig. Die errechnet en Abweichungen der hyperbolischen und elliptischen Geometrie von der Euklidischen stehen dann sozusagen nur auf dem Papiere; sie existieren nur in unseren Begriffen, und ebensogut als man vom Euklidischen Standpunkte aus sagt, die (Schein-)Ebene der hyperbolischen oder elliptischen Geometrie habe doch auf alle Fälle eine berechenbare Abweichung von der Ebene der Euklidischen Geometrie, kann man umgekehrt vom Standpunkte dieser Nichteuklidischen Geometrien aus einwenden, daß die sog. Ebene der Euklidischen Geometrie eine krumme Fläche sein müsse, weil sie von einer angelegten Tangentialebene (dieser Nichteuklidischen Geometrie) um einen genau zu berechnenden Betrag ab weiche. Ebenso steht bei der Kugel Behauptung gegen Behauptung. Wenn alle drei Geometrien denselben (materiellen) Maßstab benutzen, werden sie bei Aufwendung aller Genauigkeit im Messen und Rechnen auf wesentlich dieselben Werte von h und z kommen, allerdings mit ganz verschiedenen Formeln. Wenn man also gewöhnlich sagt, in unendlich kleinen Gebieten der zwei Nichteuklidischen Geometrien gelte die Euklidische Metrik, so sehen wir jetzt, daß diese Gebiete im Verhältnis zu unserer menschlichen Kleinheit doch gewaltig groß sind.

8. Es ist nun zum Schlüsse noch der Nachweis zu erbringen, daß in beiden Nichteuklidischen Geometrien der Kugelgebüsche auch die zwei Hilbertschen Stetigkeitsaxiome Vt und V₂ gelten. Das eine, das „Archimedische Axiom“, sagt aus, daß, wenn man in geraden Linien mit gleich großen Schritten vorwärts schreitet, man nach einer endlichen Zahl von Schritten über jeden im Endlichen gelegenen Punkt der Geraden hinaus gelangen kann. Der Beweis ist im Kreisbüschel sehr leicht zu führen, wenn man beachtet, daß von zwei bezüglich eines Kreises x inversen Punkten immer der vom Kreisumfange den kürzesten (Euklidischen) Abstand hat, der im Kreise liegt. Das gilt für beide Arten der Inversion. — Das „Axiom der Vollständigkeit“ V₂ ist im Gebüsche ebenfalls erfüllt, weil das Gebüsche ja die „Ebenen“, „Geraden“ und „Punkte“ der Euklidischen Geometrie mit umfaßt. Von den beiden Stetigkeitsaxiomen V ist

Kr

(7"

DA-

Fig. 44.

das Archimedische das wichtigste, da es die Grundlage der Streckenmessung bildet. Wir wollen daher untersuchen, in welchem Zusammenhang die Streckenmessung der beiden Nichteuklidischen Geometrien mit der Euklidischen steht, und zwar denken wir uns die Nichteuklidischen Geometrien

Die „Länge“ (AB) einer

wieder im Kugelgebüsche versinnlicht.

Scheinstrecke AB wird dann eine von den Konstituenten A, A' und B', B" ihrer Endpunkte abhängige Zahl sein, die ihren Wert nicht ändert,

1) wenn Ä mit A", B' mit B" vertauscht wird, oder

die Punkte A', A" und B', B" durch ihre Spiegelbilder an irgend einer Kugel des Gebüsches er-

2) wenn

%', %" und S3', S3" setzt werden.

Durch diese Forderungen ist die „Länge“ (AB} noch nicht vollständig bestimmt, aber wir wissen doch wenigstens, daß wir sie unter den Ausdrücken zu suchen haben, die durch Inversion nicht geändert werden. Man nennt sie Invarianten der Inversion. Sind A' und A", B' und B", . . ., paarweise invers (siehe Fig. 44), und ist S das Inversionszentrum, also SA' • SA" = SB' ■ SB" — • • -, so geht durch Ä, A", B\ jB" ein Kreis, ebenso durch C', C", D', B" u. s. w., und es ist daher SAB' = <)C SB"A", .... Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke SA'B' und SB"A" folgt aber:

A'B' : SA' = A"B" : SB", A'B' : SB' = A"B" : SA",

also

(9)

AB'

A"B"

y SA' ■ SB'    y SA"- SB"

Aus dieser einfachsten Invariante der Punkte Ä, B', A", B" ergeben sich leicht andere. Es ist z. B. identisch

A'C ; AB} ₌ A'C/ySA'- SC m A’I)'/ySA' ~SD'

B'<7 ' B TÏ ~ B'C'/ySB'- SC' ' B'D'/ySB' SD’ ’ und da man rechts nach (9) überall A', B', C, IÏ durch A", B", C", D" ersetzen kann und sich die Wurzeln wieder herausheben:

A'C AD’ A"C' A"D"

B'C : B'D' — B"C' ¹ B"D"

Eine Proportion von dieser Form nennt man ein Doppelverhältnis. Wir sehen also:

VII. Das Doppelverhältnis von vier schlichten Punkten ist gegenüber der Inversion invariant.

Die vier Punkte brauchen nicht in derselben Ebene zu liegen. Während der Ausdruck (9) ungeändert blieb, ist das Doppelverhältnis invariant bei allen Inversionen. Weniger als vier Punkten entspricht keine solche Invariante, was wir aber mit elementaren Mitteln nicht beweisen können. Um also zwei Scheinpunkten A, B eine Länge (AB} ihrer Verbindungsstrecke zuzuordnen, müssen wir notgedrungen noch zwei weitere Punkte der Scheingeraden AB zur Hilfe nehmen. Der tiefere Grund dieser Tatsache läßt sich nur mit den Hilfsmitteln der Invariantentheorie einsehen, In der hyperbolischen Geometrie wird man sofort zu den beiden „Enden“ der Scheingeraden greifen, ihren Schnittpunkten U, V mit der Orthogonalkugel. Im elliptischen Gebüsche ist bekanntlich die Diametralkugel kein ausgezeichnetes Gebilde, und

(10)

nur

bei der dort vorliegenden Inversion

die Schnittpunkte einer Scheingeraden mit ihr eignen sich daher nicht für unsere Zwecke. Das Analogon der Orthogonalkugel ist hier vielmehr eine Kugel um das Zentrum des Gebüsches mit rein imaginärem Radius, dessen absolute Größe gleich der des Diametral-kugelradius ist. Da aber dieses Gebilde sich der Anschauung entzieht, wollen wir uns auf die hyperbolische Geometrie beschränken. Indem

wir die durch Ä, A", B', B" und das Zentrum 0 des Gebüsches gehende Ebene £, die zugleich auch eine Scheinebene ist, als Zeichenebene benutzen,erhalten wir Fig. 45. Der Schnitt mit der Orthogonalkugel ist eo; die Enden von AB sind U, V. Durch Spiegelung an einer Scheinebene des Gebüsches geht die Orthogonalkugel in sich über; daraus folgt:

Die Enden einer Scheingeraden gehen durch Spiegelung in die Enden des Spiegelbildes über. Wir spiegeln nun die Scheingerade AB speziell an der Scheingeraden Z in £, die auf ihr in B senkrecht steht (siehe Fig. 45). Der Mittelpunkt L des Kreises Z liegt auf UV, der Potenzachse des von o und AB gebildeten Kreisbüschels. Also sind U, V bezüglich Z zueinander invers. Die Spiegelbilder von A', A” bezüglich Z seien 51', 21" ; diese Punkte sind bezüglich des Gebüsches zueinander invers und konstituieren den Scheinpunkt 21, das Spiegelbild von A bezüglich Z. Nach (10) ist jetzt einerseits

'9

tu

......V......

's;

far

Fig. 45.

(H)

Ä’U B'U

A'U B'U _

IT : B'V ~ Ä’V : B"V'

andererseits :

(12)

A’U ' BjU A'V : B'V

Ä’U B"U

%" V B’’ V

WV B'V ru: B'U’ A"v: B"V ~ W'u: B"U

Setzt man abkürzend

(13)

so ist also

PU QU PV ¹ QV

-( PQ),

(14) [A'B') = {A"B"}• {AB') - [B'SIV), {AB") = {£"*"}, wofür wir zusammenfassend schreiben wollen:

(15)

[AB] = (BSt)

Ferner ist

und ebenso

oder kurz

{ÄB'}² = {AB'} {B'W}

_ /ATU BAJ\ /B'U rm — \A'V ¹ B'V) \RV : Wv) ~

{A'B"}² = {A'B") [B"W'} = {A'%"),

ÄU WU_.Arw

Tv ’ Wv ~ ‘Æ A

(16)

{AB}²= {AB} {B%} = {A%}.

Die Scbeinstrecke A'W ist die Summe der Scbeinstrecken A'B' und B'W, die einander im Sinne der hyperbolischen Geometrie gleich sind; A ST ist also das Doppelte von A'B' im Sinne dieser Geometrie In (16) entspricht der Summe A'W der Teilstrecken A'B' und B'W das Produkt ihrer Doppelverhältnisse, dem Doppelten der Strecke AB' das Quadrat ihres Doppelverhältnisses. Soll also der geometrischen Addition der Strecken auch die arithmetische Addition der zugeordneten Maßzahlen entsprechen, so kommen als solche nicht die Doppelverhältnisse, sondern ihre Logarithmen in Betracht. Wir machen daher zur Definition der Länge (AB) der Scheinstrecke AB den Ansatz:

(AB) = Je log {AB} = Je log ^

wo Je eine noch zu bestimmende Konstante ist. Als Logarithmensystem soll das natürliche benutzt werden; bei anderer Wahl würde sich übrigens nur Je ändern. Wenn Je von A, B' unabhängig ist, so ist nach (11) die in (17) definierte Größe in der Tat gegenüber der Inversion des Gebüsches invariant, also geeignet, als eine von den Scheinpunkten A, B abhängige Zahl betrachtet zu werden. Auch bei der Spiegelung an Scheinebenen bleibt (AB) nach VII ungeändert. Die Gleichungen (16) setzen sich um in:

(17)

A'U B’U\

A’V : B'V) *

(18)

(AB) + (B%) = (AW), 2 (AB) = (AW),

wo B die Scheinmitte von rt.31 ist.

Sei jetzt rt₀, A1} Aa, . . ., An eine Reihe von Scheinpunkten einer Scheingeraden g, und Ax die Scheinmitte von A₀A^, A₂ die von AxA₃, . . ., An_x die von An_₂An, so ist, wenn wir wieder die Konstituenten dieser Punkte durch Accente unterscheiden,

Weber u. Wellstein: Enzyklopädie. II. 3. Aufl.

(19)

K-iU Ku

K'U. K 'U__ AX'U.K'U    Aj'U .A»u

Ao'VA/V K'V'K’V A'V A’V    A'^V A'nV >

ist das Spiegelbild von A'v-t an dem in Äv auf g errichteten

denn Ä

Scheinlote. Dieselbe Beziehung gilt auch für die zweifach gestrichenen A. Durch Bildung des Produktes erfolgt aus den Gleichungen (19):

v+l

also

K'U. K'U\n_ KE. A'nu

A₀'VAv'V,

K'VA'V’

(20)

W<AA> = <KK>,

wie es sein muß. Ist das wi-fache von (AqA^ gleich der als Maßstab zu verwendenden scheinbaren Einheitsstrecke e, so ist

<A4,> - ~ e-

Die Formel (21) leistet also in diesem Falle die Messung der Scheinstrecke A₀An mit der Einheitsstrecke c. Ähnlich wie in der Euklidischen Geometrie kann man aber mittels des Archimedischen Axioms beweisen, daß sich zu jeder Strecke A₀An mit beliebiger Annäherung eine Hilfsstrecke A₀A₁ finden läßt, die einerseits ein wter Teil von A₀An, andererseits ein mtei Teil des Maßstabes e ist, wo m, n ganze Zahlen bedeuten. Damit ist das allgemeine Verfahren der Streckenmessung erklärt.

Wir können jetzt die Konstante k leicht bestimmen. Sind (£2 die scheinbaren Endpunkte der Einheitsstrecke e für irgend eine Lage derselben im Baume, so ist

(21)

also

<ąą> = i,

(22)

i = Mog {ą<s₂}

Das Ergebnis unserer Untersuchung sprechen wir so aus:

VIII. Die Länge einer Strecke AB in der hyperbolischen Geometrie ist eine Zahl, die vom Verhalten der Endpunkte A,B der Strecke zur absolutenFläche, d.h. zur Fläche der unendlich fernen Punkte abhängt, und zwar ist die Länge bis auf einen konstanten Faktor gleich dem Logarithmus des Doppelverhältnisses der zwei Endpunkte A, B der Strecke und der zwei unendlich fernen Punkte der Geraden AB:

A" U . B" U\

A" V ‘ B” r)>

<42?> - * log    §;-£).=* log (

1—4 log {®, !.

Ist B identisch mit A", also B" identisch mit A', so ist yAj}\    (A'U A"U

^    y ’ A” V.

(ABy = — <AB),

mithin

\ Ł1 (A" U Ä U\

) ~ klo8 \a"v A'r)>

<ABy = 0,

wie 'es auch sein muß, da in diesem Falle der Scheinpunkt B mit A zusammenfällt.

zu-

In der elliptischen Geometrie ist die absolute Fläche imaginär, und die Streckenlänge hängt wiederum vom Verhalten der Endpunkte der Strecke zu der absoluten Fläche ab. Doch wollen wir den zu VIII analogen Satz nicht formulieren, weil er sich nur mittels der analytischen Geometrie befriedigend beweisen läßt. Beide Sätze sammen ermöglichen uns einen bescheidenen Einblick in das Wesen der Cayley sehen Maßbestimmung, die bezüglich der Winkel zu ganz ähnlichen Resultaten gelangt.¹) Um tiefer Torzudringen, wäre übrigens nur eine Erweiterung unserer elementaren Hilfsmittel durch die Theorie von Pol und Polare am Kreise nötig; es ist dann ganz leicht eine anschauliche geometrische Transformation nachweisbar, die die Geometrie des Kugelgebüsches in die Geometrie der Cayleyschen Metrik umformt. (Vgl. Archiv d. Math. u. Phys. (3) 17, S. 195 ff. (1911).) Zur Aufnahme dieser Betrachtungen fehlt es hier leider an Platz.

§ 12. Die Euklidische Geometrie iu einer linearen Zahlenmenge

dritter Stufe.

1. Die geometrischen Ergebnisse der vorangegangenen Untersuchung beweisen, daß die Erforschung der Grundlagen unserer Wissenschaft nicht nur erkenntnis-theoretischen, sondern auch praktischen Wert hat, indem sie eine fast unbegrenzte Ausbeutung der geistigen Arbeit ermöglicht, die zum streng deduktiven Aufbau der Geometrie einmal wird geleistet werden müssen: alle Sätze über die gegenseitigen Beziehungen zwischen den Punkten, Geraden, Ebenen und ihren Erzeugnissen lassen sich notwendigerweise übertragen auf jede andere Mannigfaltigkeit oder Menge von Dingen, die sich den Voraussetzungen entsprechend ordnen lassen, aus denen die Sätze der Geometrie rein deduktiv folgen. Das sinnliche Aussehen der Grundgebilde, z. B. das Vorherrschen der Längendimension bei der Geraden, die vollkommene Gestalt der Kugel, die ästhetisch so ansprechende Form der Ellipse — alles das hat für die Geometrie als solche nicht den geringsten Wert. Für die Ableitung der Lehrsätze ist es vollkommen unnötig, sich mit der Vorstellung eines unbegrenzt abnehmenden (materiellen) Punktes zu quälen; wir haben gesehen, die Kugeln eines Gebüsches oder die Kreise der Ebene, als Punkte definiert, leisten denselben Dienst. Wir können jetzt sogar zeigen, daß der Punkt nicht einmal ein Raumobjekt zu sein braucht, überhaupt nicht

1). Vgl. die Dissertation von A. Magener: Anallagmatische Punktkoordinaten im Kugelgebüsch und ihre Anwendung auf die Nichtenklidische Geometrie, Straßburg 1906, wo unsere Versinnlichung der beiden Nichteuklidischen Geometrien mit den Mitteln der analytischen Geometrie begründet ist.

mit dem Raume in Beziehung stehen muß, indem wir die analytische Geometrie rein formal als Geometrie einer dreidimensionalen linearen Zahlenmenge entwickeln können. Die Kenntnis der analytischen Geometrie wird hierbei nicht vorausgesetzt, vielmehr wird sich derjenige, der in dieses Gebiet der Mathematik noch nicht eingedrungen ist, dem Kenner gegenüber im Vorteil befinden, indem er genötigt ist, sich streng an die Definitionen zu halten, während es dem mit der analytischen Geometrie Vertrauten leicht begegnen kann, daß er auf Grund dieser seiner Kenntnis als richtig vorwegnimmt, was tatsächlich aus den Definitionen nicht folgt.

2. Als „Punkte“ bezeichnen wir alle Systeme von je drei in bestimmter Reihenfolge genommenen reellen Zahlen; zwei Punkte (a, b, c) und (a', b', c) sollen immer nur dann für identisch gelten, wenn a = a, b — b\ c = ć ist. Eine „Ebene“ ist der Inbegriff aller „Punkte“ oder Zahlentripel x, y, z, die derselben Gleichung ersten Grades

Ax + By -f- Gz -f D = 0

mit numerischen Koeffizienten A, B, C, I), die nicht alle verschwinden, genügen. Die Lösungen dieser „Gleichung der Ebene“ ändern sich nicht, wenn man die beiden Seiten der Gleichung mit einer Zahl multipliziert. Zwei Ebenen, die sämtliche Punkte gemein haben, gelten als identisch; ihre Gleichungen unterscheiden sich dann höchstens um einen Zahlenfaktor. Eine „Gerade“ besteht endlich aus den gemeinschaftlichen Punkten zweier Ebenen • ihre Zahlentripel genügen also zwei Gleichungen ersten Grades. Seien etwa

(i)

fi 0, y, e) = Axx H- Bxy + Gxz + Bx = 0 und

ft 0, y, *) = Ax + A y +    + A = o

die Gleichungen einer Geraden g und (x', y', z') ein Punkt dieser Geraden. Dann ist nicht nur fx (x, y, z') = 0, /₂(x, y, z) = 0, sondern auch

(2)

(*',y, O + if,O',y, z) - o

für jedes numerische x und A. Jede Lösung von (1) genügt also auch der Gleichung (2), die ebenfalls vom ersten Grade ist, d. h. jede Gerade ist in unendlich vielen Ebenen enthalten. Soll die Ebene

(3)

*fi (x, y, e) + Lfî ix, y,z) = °

„durch einen bestimmten Punkt (a, b, c) gehen“, d. h. ihn enthalten, so muß *fi (a, b, c) f kf₂ (o, b, c) = 0

sein, woraus

— œf₃ (a, b, c), A = afx (a, b, c)

folgt, wo co ein unbestimmt bleibender Proportionalitätsfaktor ist. Setzt man diese Werte in (3) ein, so erhält man

(4)

fi 0, y, *) fi 0, h> e) - U (x, y, z) fi (a, h>c) = o

als Gleichung einer Ebene, welche nicht nur die Gerade g, sondern auch den Punkt (a, b, c) enthält. Diese Gleichung wird zur Identität 0 = 0, wenn fx (a, b, c) — 0, f₂ (a, b, c) = 0, d.- h. wenn (a, b, c) auf g liegt. Wir können also sagen: Eine Gerade kann mit jedem nicht auf ihr gelegenen Punkte „durch eine Ebene verbunden“ werden.

3. Vermittelst der unendlich vielen Ebenen, die durch eine Gerade g gehen, läßt sich das sie bestimmende Paar von Gleichungen in eine sehr übersichtliche Form bringen: Ist die Gerade g ursprünglich durch (1) gegeben und (x, y, z) einer ihrer Punkte, so ist jede Lösung von fx (x, yf z) = 0, f₂ (x, y, z) = 0 auch Lösung von

fi 0> y, z) - fi (x, y y z) = 0, f₂ (x, y,, z) - f₂ (x, y, z) = 0 und umgekehrt, so daß also auch die Gleichungen

<Pi (x, y, z) = fx {x, y y z) - fx (x, y', z) =Ax(x- x) -f Bx(y-y)

(5)

+ Cx(z-z')~ 0,

<Pi (x, y, z) = f₂ (x, y y z) - f₂ (x, y, z) = A, (x - x') + B₂ (y - y)

(6)

+ C₂(z- z) = 0 die Gerade g definieren. Dann ist g aber auch in den Ebenen ei (x, y y z) = x₁ <px (x, y, z) + x₂ <p₂ (x, y, z) = 0,

(x, y, z) = A^ (x, y, z) + À₂<ps (x, y, z) = 0

enthalten, wo xx, x₂, Âx, A₂ beliebige Zahlen sind, und diese Ebenen können sicher zur Definition von g dienen, wenn sich aus den Gleichungen (6) rückwärts cpx und cp₂ wieder durch ex und e₂ ausdrücken lassen, d. h. also, wenn die Determinante xxX₂ — x₂Xx, für welche wir das Symbol

(?)

X₂kx = (X, A) — (AjJfg ^2Xl) — x) einführen wollen, nicht Null ist. Wir nehmen jetzt speziell xx Cg I x₂ = -J- Cx y Xx =    B₂, A₂ — -j~ Bx 5 ux = A₂ y g₂ = -j- Ax,

wo das letzte Paar einer dritten Ebene

«s (x, y, z) — fix <px (x, y, z) + g₂(p₂ (x, y, z) = 0

entsprechen soll. Nach einfacher Rechnung bekommt man unter Benutzung der Symbole (7):

{CyA)(x-x’)-(ByC){y-y') = 0, (A, B) (x - x) - (B, G) {z — z) = 0, (A, B) (y — y) — (C, A) (z — z') = 0,

und diese Gleichungen bestimmen paarweise g, wenn die Determinanten (x, X), (X, g), (fi, x) oder — (B, C), — (A, B), — (C, Ä)

von

Null verschieden sind. Wären sie alle drei gleich Null, so hätte man

A₂ = £Ä₁₇ B₂ =    C₂ = £Cl} £' ein Proportionalitätsfaktor,

d. h. die Ebenen (5) wären identisch, was nicht zutrifft. Es ist also mindestens eine der Zahlen (A, B), (B, C), (C, A) von Null verschieden, also in (8) mindestens ein Gleichungspaar, das die Gerade bestimmt, und wenn wir noch die dritte Gleichung des Systems (8) hinzufügen, so kann sie nicht stören, weil sie durch jede Lösung der beiden anderen ebenfalls befriedigt wird. Aus (8) folgt zunächst, wenn keines der Klammersymbole Null ist:

(S-O : Gr-J0 - (B, O : (C,A)-, (x-x') : (*-*') - (Ą0) : (Ä,B):

(y - y) : o - o = (C, A) : (A, B), so daß man für g das „Tripelverhältnis“

(9)

(*-*') : (y-y) : (*-*') - W C) : (C, A) : (A, B) hat, das wir nun auch benutzen wollen, wenn nicht alle Klammer-symbole von Null verschieden sind, indem wir dann aus (9) erst wieder die unzweideutigen Gleichungen (8) ableiten. Auf alle Fälle bestimmt also die Tripelgleichung (9) unsere durch (x, y, z) gehende Gerade, und jeder Gleichung

(10)

ix — x’) : (y — y) : (« — «') = a:b:c

entspricht eine Gerade, wenn nicht die Zahlen a, b, c sämtlich Null sind, und diese Gerade geht durch (x', y, z). Durch zwei Punkte (x, y, z) und (x", y", z") geht also immer eine und nur eine Gerade, denn wenn man x", y", z" in (10) einsetzt, findet sich das zu bestimmende Tripelverhältnis a:b:c — (x"— x) : (y'— y) : (%'— z) und „die“ Gleichung der Geraden, wie wir kurz sagen wollen, ist

(11) (x - x) : (y - y) : (z - z) = (x"~ x) : (y"~ y) : (z- z¹).

4. Da die Gleichung

(12)

Ax + By -f- Cz -f D — 0

einer Ebene, durch einen ihrer Koeffizienten dividiert, nur drei wesentliche Konstanten aufweist, so können wir diese durch Angabe dreier Punkte (x, y, z')\ (x", y", z")\ (x”, y", z”) bestimmen, die in der Ebene liegen sollen. Es ist etwa A : B, B : D, C : D zu berechnen aus

Ax -P By + Cz' + B = 0,

(13)

Ax' + By" + Cz" + D = 0,

Ax'"A By'"A Cz'"+ D = 0,

wodurch diese Unbekannten nur dann nicht eindeutig festgelegt sind,

wenn die (bekannten) Koeffizienten einer dieser Gleichungen, etwa der dritten, sich aus denen der beiden anderen durch dieselbe lineare Verbindung zusammensetzen lassen:

(14) x" = xx' + kx", y"= xy -(- ky", 0'"== xz + kz”, 1 = x + k.

Aber x"' — x = (x — 1) x -f kx" = k (x"— x), also:

(x'"~ x') : (r- y) : (*"'- /) - (*"- *') :    ✓)’: (*"~ *),

d. h. der Punkt (#'", «/'", 0"') liegt auf der durch (#', y, z ) und (#", y", z") gehenden Geraden

(* - O : {y - y) : (* - *0 = (*"— x): (y"~ y):    «0;

es folgt: Drei Punkte, die nicht in gerader Linie liegen, bestimmen immer eine Ebene, denn unter dieser Voraussetzung sind die drei zur Berechnung von A : D, B : D, C : D dienenden Gleichungen (13) voneinander unabhängig.

5. Man überzeugt sich jetzt leicht, daß unsere Grundgebilde alle Eigenschaften der gewöhnlichen Punkte, Geraden und Ebenen haben, die das Bestimmen dieser Gebilde durch gegebene Elemente und die gemeinsamen Elemente zweier derselben betreffen (vgl. § 8, I.). Es gilt nun, auch die Eigenschaften des Begriffes „zwischen“ unseren „Geraden“ aufzuprägen. Die Lagebeziehungen der Punkte einer Geraden haben ihr Bild bekanntlich in den Zahlen der reellen Zahlenreihe: Eine Zahl 0 liegt entweder „zwischen“ zwei gegebenen Zahlen a, b — dann ist a <?z<^b — oder nicht, und dann ist entweder 0 < a oder b < 0. Die Beziehung „zwischen“ findet also sicher statt in der Geraden x = O, y = 0, denn ihre Punkte haben die Form (0, 0, 0), wo 0 alle reellen Werte annimmt. Diese Gerade möge „die 0-Achse“ genannt werden. Ebenso ist auch auf der «/-Achse 0 = 0, x = 0 und auf der x-Achse y = 0, 0 = 0 die dem Begriff „zwischen“ entsprechende Anordnung der Punkte durch das „größer“ oder „kleiner“ sein der rationalen Zahlen gegeben. Die Punkte der x-, y-, 0-Achse sind von der Form (x, 0, 0), (0, y, 0), (0, 0, 0), können also aufeinander eindeutig bezogen werden, indem man gleiche Werte der von Null verschiedenen Zahlen x, y, 0 der drei Tripel einander zuordnet, und damit sind zugleich die drei Orientierungen dieser Geraden aufeinander bezogen: Was auf der einen sich von der Anordnung ihrer Punkte sagen läßt, gilt auch von den zugeordneten Punkten der anderen. Um also auf einer von den drei Achsen verschiedenen Geraden die gewünschte Anordnung herzustellen, brauchen wir sie nur eindeutig auf eine der drei Achsen abzubilden.

Das geschieht durch die (vorläufige) Definition: Ein Punkt Q = (x, y, 0) einer Geraden liegt „zwischen“ zwei Punkten = («j, bl, cL) und P₂ = (a₂, &₂, c₂) dieser Geraden, wenn der Punkt

(x, 0, 0) zwischen (al: 0, 0) und (e»₂, 0, 0),

(0, blt 0) „ (0,    0),

(0, 0, Cj) „ (0, 0, c₂)

(0, y, 0)

(0, o, *)

liegt, wo von einem Punkte Q der Achsen die Aussage zulässig sein soll, daß Q zwischen Q und Q liege. Diese Bedingungen sind voneinander nicht unabhängig. Da nämlich die Gleichung der Geraden in den beiden Formen

0 — at) : (y — bt) : (z — cj = (a₈ — aj : (&₂ - bt) :    — cx) und

(* - «2): (y - h) : (* ~ cs) = («i - «2) : (Pi - h) ‘ (Pi ~ ej angesetzt werden kann, so ist:

(15)

x — a,

x—at

z — cx y ^2    £

wo der „Parameter“ A₃ offenbar alle reellen Zahlenwerte außer A₃ = 1 annehmen kann; denn A₃ = 1 gäbe ax = a₂, &!=■ bi} ct = c₂, was der selbstverständlichen Voraussetzung widerspricht, daß die Punkte Pif P₂ voneinander verschieden sein sollen. Umgekehrt entspricht jedem reellen Zahlenwerte von A₃ (außer A₃ = 1) ein Punkt der Geraden Plf P₂; speziell müssen wir auch den Wert A₃ = 00 zulassen.

Wenn nun im Sinne obiger Definition Q zwischen Px und P2 liegt, so ist von den Differenzen

x — «j und x — «g; y — \ und y — b₂; z — cx und z — cs

allemal eine positiv, eine negativ, also A₃ negativ, und umgekehrt ergeben sich bei negativ angenommenem A₃ für jene Differenzen immer ungleiche Vorzeichen. Liegt dagegen Q nicht zwischen Px und P₂, so haben jene Differenzen immer paarweise gleiche Zeichen, so daß also A₃ positiv ausfällt. Der Punkt Q liegt demnach zwischen Plf P₂ oder nicht, je nachdem sein Parameter A3 negativ oder positiv ist.

Der Inbegriff aller Punkte der Geraden zwischen P1} P2 heißt „Strecke“ P^g, die Punkte Plt P₂ bilden die „Endpunkte“ der Strecke, die übrigen Punkte der Geraden liegen auf der „Verlängerung“ von PXP₂.

Aus (15) ergibt sich für die Punkte der Geraden Px, P₂ die „Parameterdarstellung“ :

^    ai ^3 (li

³“ l-K ’

die nochmals erkennen läßt, daß A₃ nicht gleich 1 sein darf. Ebenso sind in der Form

(16)

ys- 1-1. ’

Ą-

C1 ^8 C1

1-1. ’

die Punkte der Geraden P₂P₃ und P₃PX darstellbar, wo P₃ = (a₃,6₃, c₃) ein nicht auf P₁P₂ gelegener Punkt sei.

Die drei Punkte Px, P₂, P₃ bilden ein „Dreieck“, die Strecken PXP₂, P₂P₃,    seine „Seiten“. Die Geraden PXP₂,

Ax -f By + Cz D = 0

P₂P₃, P₃PX bringen wir zum Schnitt mit einer Geraden s, die in der Dreiecksebene 7] als Schnittgerade mit einer von rj verschiedenen Hilfsebene

gegeben sei; die Schnittpunkte seien S₃, Sx, S₂. Die entsprechenden Zahlentripel sind von der Form (16) oder (16() und müssen der Gleichung der Hilfsebene genügen. So ergibt sich je eine lineare Gleichung zur Bestimmung von X₃, kx, X₂. Man findet

A ctj *j- B bj -j- C Cj -j- D Aaa+Bba + Cca + D>

(17)

2 _Aaa -f- Bba -J- Cca + D

² Aat + B\ + CCl + D'

lg —

Aax -f- Bbt -j- Ccx -f- D Aat + Bbt + C^+D’

woraus die wichtige Formel

(18)

^1 U‘i

(16')

*2 =

as—ltai

1-1₂ ?

— L b„

tir¹

2/₂ =

*i =

t-'a    c3

und

&₈ Zâ fo, i-l₂ ’

z2

^1 ^2^3 — 1

folgt, die den analytischen Ausdruck für den bekannten Satz des Menelaus enthält, worauf wir aber hier nicht eingehen können; wir wollen diese Formel nur zum Beweise des „ebenen Axioms der Anordnung“ (Hilbert) benutzen, das wir in § 8, H₄ kennen gelernt haben: Eine Gerade in der Ebene eines Dreiecks trifft von den (nicht verlängerten) Seiten desselben entweder zwei oder keine. In der Tat werden mit Rücksicht auf (18) entweder zwei der Zahlen XX} X2t X₃ negativ sein oder keine.

Damit ist die Richtigkeit des Satzes II₄ und überhaupt aller Sätze I und H des § 8 bewiesen.

6. Wir kommen jetzt zur Kongruenz. Als kongruent oder gleich definieren wir zwei Strecken, wenn sie gleiche „Länge“, als kongruent zwei Winkel, wenn sie gleiches „Maß“ haben, wo nun noch diese beiden Begriffe festzulegen sind. Einer Strecke mit den Endpunkten ('x, y, z) und {x, y, s) ordnen wir eine positive Zahl l, ihre „Länge“, zu durch die Formel die durch Vertauschung der beiden Punkte den Wert von l nicht ändert; die Länge einer Strecke nennen wir auch „Abstand" ihrer Endpunkte.

Die trigonometrischen Funktionen können wir natürlich nicht in der gewöhnlichen Weise einführen, müssen sie vielmehr, losgelöst von ieder Beziehung zur Geometrie, definieren durch die Exponentialreihe (Bd. I, § 123):

2 cos (p = é’f + e~i<p, 2i sin cp =    — e~i(f, i — ]/— 1.

Zwei von demselben Punkte P₁== (alf bly cx) ausgehenden Strecken d3f dg mit den Endpunkten P₂ = (a₂, b₂, cs) und P₃ — (a₃, b₃, c₃) ordnen wir durch die Formel

(20) d₃ d₃ cos rpx = (a₂ - ax) (a₃ - ax) -f (b₂ - bx) (&₃—bx) + (ca—cx) (c₃—q)

mit dem Zusatze, daß <px^x sein soll, eindeutig einen Winkel oder eigentlich nur eine unbenannte Zahl cpx zu, die wir „den von den beiden Strecken gebildeten Winkel" nennen; <px ist die „Maßzahl" des Winkels. Man darf sich bei dieser Sprechweise durchaus nicht mehr denken, als durch die Definition hineingelegt ist. Der Kosinus von tpx ist, wie in der gewöhnlichen Trigonometrie, ein echter Bruch, der alle Werte von — 1 bis -j- 1 und keine anderen annimmt; sein Zähler Z ist nämlich höchstens gleich dem Nenner 2V, denn aus der Identität

(A‘ + S’ + C’) (A’ + B’ + O’) - (At A, + BtB,+ C\ C,J - (Ą(S, ca - B,Ct)‘ + (Gt A,- C,Ą)’ ergibt sich, wenn man

Gx — Cg cx,

— a3 a\f -®2 ⁼⁼    3    7

setzt, für 2V² — Z³ die Summe von drei Quadratzahlen, die nicht negativ sein kann, also Ns — Z* 0, N^Z.

Schreibt man die Gleichungen der zwei Geraden, auf denen die Strecken liegen,

(x — ax) : (y — bx) : (z - cx)    w₂ : v% : w₃,

0 - ax) : (y - bx) : {z — c,) = us : v₃ : w₃,

wo etwa die erste Gerade durch (a₂, b₂, c₂), die zweite durch (a₃, ö₃, c₃) gehen mag, so ist

also

u₂:v₂:w₃ = (a₂ - ax) : (ö₂ - 6t) : (cg - q), w₃ :v₃:w₃ = (a₃ — ax) : (6S - 6J : (c₃ - cx),

jcw₂ — c₂ — cx

xMs = a₂ — aX)    xv₃ — 6₂ — bx,

AWj = d₃ ctj, kv₃ = b₃    b^, AWj = c₃ Cj,

wo x, A Proportionalitätsfaktoren sind; durch Einsetzen in (20) erhält man:

cos =

1/«,* +V + Wt* VV + «a *+ «’,*'*

wo zwar x, A wieder herausgefallen, aber nun beide Vorzeichen zulässig sind; denn die Wurzeln müssen hier nur so gezogen werden, daß die in (20) Yorkommenden Längen d₃, d₃ positiv sind, also ist z. B.

V(a» — aif + (h — bif + (ßj — q)⁸ = Vxa (V + v₂² -f- w₂²)

bei negativem x gleich

— x y ua + v₂² 4- w.

zu nehmen, daher:

Zwei Geraden bestimmen zwei zueinander komplementäre Winkel, zwei Strecken nur einen einzigen Winkel, wenn die Forderung hinzugefügt wird, daß der Winkel nicht über n gehen darf.

Unsere Definition des Winkels in (20) ist nur wegen dieser Eindeutigkeit so eng gefaßt.

7. Um jetzt das von den drei Punkten

P\~ (a1} blf cx), P₃ = (a₃, &₂, c₂), P₃ — (a₃, b₃₁ c₃) bestimmte Dreieck zu berechnen, bezeichnen wir

^ P$ P\ Pi ~ tył) ^ P\ P'2 Pÿ ⁼ *Pi1 ^ Pi P3 P\~ Vi’

Pi P3 — di> P3 P\ = d₂, P₁P₂ = d₃.

Nach (20) ist dann:

fl?₂^3 COS^=(«2 — ^) («s“«l) + (&2“A) (&3“&l) + fa“ O (C3~Cl)> (21) df₃ cos 9>g = (a₃ - «2) («1 — ai) + (&3—&a) (⁶i - bi) + (c3—c₂) (ci— c₂), <4 C0S 9>3 = («1 - «3) («2 - «3) + (&1 - bä) (Pi - h) + Ol - Cs) (Ci~ C₈),

WO

(22)

di⁼y (a2 ~ asY+o>i - \y+(ci - czfj di=y(«3- «1)²+(pz—\y+(c₃ - o²>

<4 = VK - a₂)² + ft - hf + Oi - c2)²-

Aus (21) erhält man durch Addition von je zwei dieser Gleichungen:

di ~ di cos ^3 “I" ds cos Vi ; d₃ — d₃ cos <px + dy cos <p₃,

d3= di C0S <Pi + d2 cos <Pl»

(30)

sin cp₂ = sin (<p₃ + cpx),    sin cp₃ = sin (cpx + cp₂)

also entweder (31)

oder

und daraus, indem man aus den beiden ersten Gleichungen cos <p₂, cos <px entnimmt und in der dritten einsetzt:

d₃² — d² -f d2² — 2dxd₂ cos <p₃,

also den Kosinussatz der elementaren Trigonometrie. Für <jp₃ = jr/2 ergibt er als Spezialfall den Pythagoreischen Lehrsatz, und die Formeln (23) definieren dann cos cp₂, cos cp₃ durch die Verhältnisse der Seiten des rechtwinkeligen Dreiecks.

Eine einfache Folge des Kosinussatzes ist der Sinussatz. Mit Rücksicht auf sin² <p₃ = 1 — cos² cp₃ schließt man nämlich aus (24):

(24)

4 dfdf sin³ <ps -    - (ds° - tf,² - d*y

-    (2dtd,-d₃³ + d₁! + rfa³) (2d₁di + d₃³ - i,* - rfa³)

-    ((<*, + da)³ - Ä,³) (d„³ - (dt - <4)³) - 16^³, wo zur Abkürzung

(25)

dx + d₂ + d₃ = 2 s

und

(26)

A = y8 (s - dt) (s— d₂) (s- dz)

gesetzt ist. Mithin ist

(27)

d₂d₃ sin yx == d₃d₁ sin cp₂ = dxd₂ sin (p₃ = 2A,

und zwar mußte die Wurzel positiv gezogen werden, weil die Winkel unter 7t keinen negativen Sinus haben. In (27) erkennen wir den Sinussatz der ebenen Trigonometrie wieder:

sin tpx : sin cp₂ : sin tp₃ = dx : d₂ : d₃.

Wenn man die erste Gleichung (23) durch eines der drei d dividiert und die Verhältnisse der d nach dem Sinussatze (28) durch die Sinus der Winkel cp ausdrückt, ergibt sich

sin cpx = sin <p₂ cos cp₃ -f cos cp₂ sin <p₃,

und nach dem Additionstheorem

(28)

(29)

sin <px = sin (cp₂ + cp₃)

ebenso ist

= <Pz + <Pz, (f'2 ⁼ ^3 + <Pl> <P3 =

also 4* % + 9>₃ == 0, woraus, da die Winkel positive Zahlen sind, einzeln ipx = 0, <p₂ = 0, qp₃ = 0 folgt. Nach (23) ist dann dx + d2 + d₃ — 0, also wiederum einzeln d₁ = 0, d₂ = 0, ds = 0, was unmöglich ist; denn dx = 0 gibt z. B.:

(a₂ — a₃)² + (&₂ — &₃)² + (c₂ — c₃)² = 0,

und da alle drei Glieder positiv sind, so müssen sie einzeln verschwinden, also würde P₂ mit P₃ zusammenfallen. Daher ist von den beiden sich ausschließenden Annahmen (31) und (32) die letzte unrichtig, und es folgt: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt zwei Rechte.

8. Durch Angabe seines Kosinus ist ein Dreieckswinkel eindeutig bestimmt, während zu demselben Sinus zwei Winkel gehören, die sich zu zwei Rechten ergänzen. Die Folgen davon zeigen sich bei der Berechnung eines Dreiecks aus gegebenen Seiten oder Winkeln. Ist ein Dreieck durch die gegebenen Stücke eindeutig bestimmt, so ist es zu jedem anderen, mit dem es in den gegebenen Stücken übereinstimmt, „kongruent“, d. h. es stimmt mit ihm in allen Seiten und Winkeln überein, was hier die Definition der Kongruenz sein möge. Auf diesem Wege müssen wir daher zu den vier Kongruenzsätzen gelangen. Sind zunächst zwei Seiten dt, d₂ und der „eingeschlossene“ Winkel cp:i gegeben, so berechnet sich die positive Zahl d₃ eindeutig nach dem Kosinussatz, und dann findet man cos (p₁ und cos qp₂, also auch çq, <p₂ eindeutig durch denselben Satz, wenn das auch nicht gerade der bequemste Weg für die Rechnung ist. In unserer Geometrie gilt also der erste Kongruenzsatz. Aus einer Seite d.d und den zwei „anliegenden“ Winkpin qq, cp2 ermittelt man dy und d₂ am einfachsten mittels des Sinussatzes, da 94 —    94 — 94 bekannt ist. Damit ist der zweite Kongruenz

satz bewiesen. Auch die Kongruenz zweier Dreiecke, die in den drei Seiten übereinstimmen, ist unmittelbar evident, da nach dem Kosinussatze die drei Winkel eindeutig zu berechnen sind. Zum Beweise des noch fehlenden Kongruenzsatzes brauchen wir den Hilfssatz, daß in einem Dreieck der größeren Seite auch der größere Winkel gegenüberliegt. Wenn man die erste Gleichung (23) von der zweiten abzieht, folgt:

also:

(cos <Pi — cos 9>a) = —■ (1 + cos q)₃) (dx — d₃),

COS qpx — COS <p₂

(33)

2 COS³

d₃

Die rechte Seite ist sicher negativ, da ds eine stets positive Zahl, der Zähler eine Quadratzahl ist. Wenn nun dt > d₃, so ist nach

dieser Formel cos cpx — cos qp₂ negativ, also cos <p₂ > cos cpx und folglich (px > <p₂, da mit wachsendem Winkel innerhalb der Grenzen 0 und je der Kosinus abnimmt. Damit ist der Hilfssatz bewiesen. Berechnet man aus dem gegebenen dx,d₂ und cpx den Winkel <p₂ mittels des Sinussatzes, so ist nach dem Hilfssatze von den beiden für <p2 sich ergebenden Winkeln unter je der spitze zu wählen und damit das Dreieck eindeutig bestimmt, d. h.: Zwei Dreiecke, die in zwei Seiten und dem der größeren von ihnen „gegenüberliegenden“ Winkel übereinstimmen, sind kongruent.

9. Damit ist in unserer Geometrie die Gültigkeit sämtlicher Kongruenzsätze nachgewiesen. Aber noch fehlt der charakteristische Satz der Euklidischen Geometrie, das fünfte Postulat: Durch einen gegebenen Punkt geht nur eine Gerade, die eine gegebene Gerade, mit der sie in einer Ebene liegt, nicht trifft.

Dieser Satz läßt sich am besten im Anschluß an die Betrachtungen des Artikels 5. beweisen. Sei (S. 88, 89) Px P₂ die gegebene Gerade, Sx der gegebene Punkt und s die zu ziehende Parallele. Wir definieren zwei Geraden einer Ebene als parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben. Damit also s parallel zu PXP₂ wird, muß die Berechnung von S₃ in (16) illusorisch werden, was nach einer zu gemachten Bemerkung immer nur eintritt, wenn A₃ den unzulässigen Wert As = 1 annimmt. Mit Sx ist nach (17) Ax ^ 1 gegeben, und nach (18) ist AXA₂ = 1, also A₂ ^ 1 und damit Sa als eigentlicher Punkt festgelegt; die Gerade S₁S₂ ist also die einzige Parallele durch Sx zu PjPg- Die Formeln (16') ergeben mit Rücksicht auf AjA₂ = 1 nach leichter Rechnung:

«2 — «1

(15)

^2_^1

1- V

also hat die Parallele durch Sx = (xlf yX} zx) zur Geraden

(34)    (x-ax) : {y-bx) : (z-cx) = (a₂-ax) : (b₂-bx) : (ą-cx) die Gleichung

(35)    (x - xx) : (y - yx) : (z - zx) = (as - ax) : (ö, - \) : (c₂ - cx).

Unser Ziel ist erreicht. Der weitere Ausbau der Elementargeometrie macht jetzt keine prinzipiellen Schwierigkeiten mehr und kann daher hier unterbleiben. Dagegen müssen wir zum Schluß noch auf die analytischen Voraussetzungen des Parallelensatzes näher ein-gehen.

x₂ — xx =

y* - Vx = -

z₂ — zx--

— Cl

1-V

10. Die Gerade s erweist sich als parallel zu PXP₂, weil für A₃ = 1 die zur Berechnung von S₃ dienenden Ausdrücke in die Form

c. — c.

X ₌ CT1 ~.?j y ₌

•*3    0    ’"S

0    ' ^3==-V^

übergehen. Läßt man Â₃ den unzulässigen Wert X₃ — 1 nicht unvermittelt, sondern von X₃ = 0 wachsend durch Grenzübergang annehmen, so ergeben sich nach (16) Werte von x₃, y₃, z₃, die nach und nach alle Schranken überschreiten. Im Grenzfalle erhält man also unendlich große „Werte“ xm, yx, zœ der x₃, y₃, z₃, die aber zueinander in endlichen Verhältnissen stehen:

x«>’-y*'z„ = {at — a₂) : (bt — \) : (cx — c₂).

Erweitert man jetzt die Definition des Punktes dahin, daß auch unendlich große „Werte“ von x, y, z zulässig sein sollen, die aber zueinander in endlichen Verhältnissen stehen müssen, und bezeichnet man diese Punkte als „uneigentliche“, so muß man jeder Geraden

(*-«i) : (y-\) : (s-cj = («2-%) : (&₂-6x) : (c₂~cx)

einen und nur einen uneigentlichen Punkt (xyœ, zx) zuschreiben, und zwar ist xM : y^ : z^ — (a₃ — ax) : (b₂ — bx) : (c₂ — ct). Wie der Schlußsatz von Artikel 9. unmittelbar zeigt, sind in dieser Auffassungsweise zwei Geraden parallel, wenn sie durch denselben uneigentlichen Punkt gehen.

Sind {x₃, y₃, z₃) und (x₃ \ y₃", z₃”) zwei eigentliche Punkte von PXP₂ mit den Parametern k₃ = x und X₃ ==* x", so findet man nach leichter Rechnung:

x$ x3 ~ (ai    Vz Vz *** (Pi    z₃ z₃ — (cx c₂)x,

mit

also ist:

V{x₃-x₃y + (y₃-y$y + fo'-O² = ± *dz>

wo d₃ die in (22) angegebene Bedeutung hat.

Der Abstand der Punkte (x₃, y₃, z₃) und (x₃", y₃", z₃) > wächst daher über alle Grenzen, wenn bei konstantem, von 1 verschiedenem x der Parameter x" von 0 gegen 1 geht, d. h. der uneigentliche Pünkt einer Geraden hat von allen eigentlichen Punkten der Geraden unendlich großen Abstand.

Das Wesen der uneigentlichen Punkte tritt am deutlichsten hervor, wenn man den Punkt nicht als Tripel, sondern als Quadrupel von endlichen,,reellen Zahlen (x1} x₂, x₃, x₄) definiert, mit der Bestimmung, daß für endliches, von Null verschiedenes reelles q die Quadrupel (xX} x₂, x₃, #₄) und (qx1} qx₂, qx₃, qx₄) denselben Punkt x repräsentieren, während das Quadrupel (0, 0, 0, 0) nicht als Punkt dieser Geometrie § gelten soll. Die Ebene und die Gerade werden

wie in der Geometrie @ der vorangehenden Artikel definiert: die Ebene durch eine lineare, homogene Gleichung

(36)

akxk + a₂x₂ -f- a₃x₃ -j- a₄#₄ = 0,

24?

die wir abgekürzt durch a(x) = 0 wiedergeben, deren Koeffizienten ai> a2> aä> a4. reeU und nicht sämtlich null sein sollen; die Gerade durch die gemeinsamen Punkte zweier voneinander verschiedener Ebenen. Zwei Ebenen a(x) = 0, b(x) = 0 gelten für identisch, wenn sie dieselben Punkte enthalten, d. h. wenn sich q so bestimmen läßt, daß ax = çb1} a₂ = çb₂, a₃ = çbs, a^= çbi ist. Diese Bedingung läßt sich auch in die Form bringen, daß die drei Größen (a, b)u, (a, b)

(a, b)u nicht gleich Null sein dürfen, wo abkürzend

(37)

0, &)Ä* = ahbk - akbh

gesetzt ist; da (a, b)hh identisch null ist, so kann man allgemein sagen: Die vier Größen (a, b)lk} (a,b)2k, (a,b)3k, (a, b)^ dürfen nicht (bei beliebig gewähltem &) gleichzeitig verschwinden. Ebenso sind dann zwei Punkte x = (x1} x₂, x₃, xé), y — (t/x, y₂, y₃, y₄) voneinander verschieden, wenn nicht (x, y)lk, (x, y\k, (x, y)äk, (x, y)u für irgend ein k zugleich Null sind. Aus zwei voneinander verschiedenen Punkten x, y der Geraden a(x) = 0, b(x) = 0 ergeben sich unendlich viele andere Punkte z der Geraden durch die Formel

(38)

** = v + yh = (i, ²> 4),

wo x, A alle endlichen Zahlenwerte annehmen dürfen; denn es ist offenbar a(z) = xa(x) + la(y) = 0, b(z) = xb(x) -(- Ab(y) = 0, da einzeln ą{x) = 0, a (y) = 0, b(xj = 0, b (y) = 0 ist. Die Formel (38) würde also das Gegenstück zur Parameterdarstellung (16) der Geraden bilden, wenn man umgekehrt zeigen könnte, daß jede gemeinsame Lösung zx, z₂, z₃, z± von a(z) = 0, b(z) = 0 bei geeigneter Wahl von p, q in die Form

(39)

= zhp + y hi, (h = h ², z,⁴) ;

gebracht werden kann. Die Lösbarkeit zweier dieser Gleichungen

h = xhP + yhq,

*k = xkP + y a

nach p, q hängt davon ab, ob (x, y)hk von Null verschieden ist oder nicht. Da aber die Punkte x, y voneinander verschieden sind, so sind in der Tat die (x, y)hk nicht für sämtliche Kombinationen der h, k gleich null. Sei etwa (x,y)ali von Null verschieden; dann kann man also za, Zß in die Form

(44)

bringen. Zu den Indizes a, ß fügen wir y, d, so daß a, ß, y, â irgend eine Reihenfolge der Zahlen 1,2,3,4 ausmachen. Aus a{z) — 0, b(z) = 0 folgt: a(z)bM — b{z)= 0, (y = 1, 2, 3; 4), also ausgerechnet:

0,    + 0,    + («, &)₃^₃ + 0> &)4**4 “ 0 oder

(«> &)«„*« + (a, 6)^+ («, &)y(U*y + («, &)*„** - 0.

Dieser Gleichung genügen auch xlf x₃, x₃, xi und yx, y₃, yz, yv Aus (41) folgt mit Rücksicht auf (40):

(K + K 1»ßp*ß)P + O, + (fl,

+ {fl, fyyp*r + (a’    = 0,

oder, da die x und y ebenfalls der Gleichung (41) genügen:

- ((«,    + (a, b)â/uxâ)p - ((a, b)yflyy + (a, &)*„&) g

+ (à, à)yfl*Y + {fl, ⁼ °>

(a, &)y(ü {*y-jp®y- qyY} + {a, b)âfl{zâ-pxâ -qyâ} = 0.

Ist nun (a, b)y$ y on null verschieden, so folgt aus dieser Gleichung, indem man y = d oder y = y setzt:

*y =pxy + qyY,

— Pæâ + m-

(41)

also:

(42)

Da aber die Gleichung (a, b)yä = 0 nach (41) (für y => d) die Gleichung

(«>    + (a, 6)^ = 0

zur Folge hat, der auch xa, Xß und ya, yH genügen müßten, so wäre xa: xß ⁼ Va ’ V/s> a^so im Widerspruch zu unserer Voraussetzung {x, y)aß = 0. Die Annahme (a, b)yd = 0 trifft demnach nicht zu, und es ist hiermit bewiesen, daß alle Punkte einer Geraden sich aus zwei von ihnen in der Form

(43)

*h = xhP + yhQ

darstellen lassen.

Wir bilden jetzt die Geometrie £) der homogenen Koordinaten auf die frühere Geometrie @ der inhomogenen ab, indem wir setzen:

*4

y,

*,

Xf=x', y,

— - y",    & _

y4    Vi

wo immer links Größen der §, rechts solche der © stehen, und eine

Weber u. Wellstein: Enzyklopädie. II. 3. Aufi.

Verwechselung mit den Bezeichnungen in (16), (16') nicht zu befürchten ist. Aus (43) folgt jetzt

X— lx"

_ XiP + & g _    ,

a^ + ftg U₄

Uli- V*

y4 p «4 wo

; _ Ï ft P *4

ist, und die homogene Parameterdarstellung der Geraden geht über in die frühere:

x — Ix"

z — Iz"

T—T ■

y— ly"

T=rr"> y = ~T-rf>

Dem früher unzulässigen Parameterwerte X = 1 entspricht jetzt aber px₄ -f qyK = 0, also = 0, d. h.: Während in der Geometrie © dem Parameterwerte X = 1 kein eigentlicher Punkt entsprach, ist in § diesem Werte derjenige Punkt der Geraden zugeordnet, der in der Ebene #₄ = 0 der Sg liegt. Vom Standpunkte der Geometrie © aus können wir also sagen: Den uneigentlichen Punkten der & entsprechen in § die Punkte der Ebene #₄ => 0; zwei Geraden oder Ebenen der ($ sind parallel, wenn sie sich in einem Punkte bezw. einer Geraden dieser Ebene schneiden. Es ist daher zulässig, zu sagen, daß die uneigentlichen Punkte der & eine „uneigentliche“ Ebene erfüllen, die mit jeder eigentlichen Ebene eine Gerade, die „uneigentliche“ Gerade dieser Ebene, gemein hat, auf der alle uneigentlichen Punkte dieser Ebene liegen. Das ist die moderne „projektive“ Auffassung des Parallelismus.

§ 13. Das Wesen der Grundbegriffe.

1. Das erste und wichtigste Ergebnis der vorangehenden Untersuchung ist, daß die Euklidische Geometrie keinen Widerspruch in sich schließt, d. h., daß es wenigstens eine Mannigfaltigkeit oder Menge, die der Zahlentripel, gibt, deren Elemente sich zueinander in die Beziehungen setzen lassen, welche die Grundbegriffe und Grundsätze der Euklidischen Geometrie verlangen. Allerdings fehlt diesen Elementen und damit dieser ganzen Geometrie die unmittelbare sinnliche Existenz, auch haben wir bei der Bildung der Begriffe „Länge“ und „Winkel“ es ausdrücklich abgelehnt, uns dabei mehr zu denken als Zahlen, die gewissen anderen Zahlen zugeordnet sind. Aber gerade weil die gewöhnlichen Eigenschaften der Zahlen ausreichten, um die von der Euklidischen Geometrie geforderte Ordnung vollkommen insoweit nachzubilden, daß jeder Satz der Euklidischen Geometrie auch in der Zahlengeometrie gilt und umgekehrt jedem Satze

der arithmetischen Geometrie ein Satz der räumlichen entspricht, sind wir sicher, daß die Grundbegriffe und Grundsätze der Euklidischen Geometrie miteinander verträglich sind.

Durch die Euklidische Geometrie sind zugleich auch die beiden Nichteuklidischen Geometrien gesichert, die ja, wie wir gesehen haben, mit ihr stehen und fallen: Mit den Kugelgebüschen der arithmetischen Geometrie des vorigen Paragraphen aufgebaut können die elliptische und die hyperbolische Geometrie niemals zu logischen Widersprüchen führen. Weil aber, wie hieraus nochmals folgt, das Parallelenpostulat keine logische Folge der übrigen Begriffe und Voraussetzungen der Geometrie ist, so kann es weiter nicht befremden, daß die in der Perspektive und in der projektiven Geometrie übliche Auffassung des Parallelismus auf Grund der Ausführungen am Schlüsse des § 12 nun ebenfalls sich als logisch zulässig erweist, wonach auch parallele Geraden einen Schnittpunkt haben, der aber, als „uneigentlicher“ Punkt, einer ausgezeichneten Ebene des Raumes, der „uneigentlichen“ Ebene angehört. Man kann hierin entweder nur eine Umschreibung der Tatsache erblicken, daß der Schnittpunkt in Wirklichkeit fehlt, oder aber die „uneigentliche“ Ebene sich als wirklich existierend denken. In einer rein begrifflichen Geometrie ist diese Auszeichnung einer Ebene vor den anderen ein reiner Akt der Willkür, aber an sich zulässig; da diese ausgezeichnete Ebene sich als Ebene in nichts von den anderen unterscheidet, so können wir sagen: Nach der projektiven Auffassung des Parallelismus ist die elliptische Geometrie, in der alle Ebenen und alle Geraden derselben Ebene einander schneiden, die begriffliche Grundlage der parabolischen und hyperbolischen Geometrie, der hyperbolischen, weil in ihr durch Einführung der idealen Schnittpunkte und Schnittgeraden ja schließlich doch bewirkt wird, daß alle Ebenen und alle Geraden in ihnen einander schneiden.

Durch die Euklidische Geometrie des parabolischen Kugelgebüsches ist noch eine vierte Auffassungsweise des unendlich Fernen als in sich widerspruchsfrei erwiesen, die dem Raum einen einzigen, allen Geraden und Ebenen gemeinsamen Punkt im Unendlichen zuschreibt. Der Parallelismus wird dabei in der Euklidischen Weise als Nichtschneiden erklärt, indem man jenen uneigentlichen Punkt als Schnittpunkt nicht mitzäblt. Den gewöhnlichen Euklidischen Raum kann man übrigens als Grenzfall eines parabolischen Gebüsches betrachten, dessen Zentrum ins Unendliche gerückt ist; die Kreise und Kugeln des Gebüsches gehen dadurch in „wirkliche“ Geraden und Ebenen über.

2. Daß somit (mindestens) vier einander vollkommen widersprechende Auffassungsweisen des unendlich Fernen und des Parallelis-

mus möglich sind, gibt sehr zu denken. Wer wird da noch im Ernste behaupten wollen, daß die Geometrie ausschließlich die „Tatsachen“ der Raumanschauung „beschreibe“? Haben wir es nicht vielmehr, wenn wir vom unendlich Fernen reden, mit einer reinen Begriffsbildung zu tun, welche nicht nur die Grenzen jeder möglichen, sondern wahrscheinlich jeder denkbaren Erfahrung hinter sich läßt? Zeigt sich hier nicht deutlich, daß nicht nur die Anschauung den Begriff, sondern der Begriff auch die Anschauung beeinflussen kann? Das sind Fragen, die sich jedem denkenden Menschen aufdrängen werden. Ehe wir uns an die Beantwortung derselben wagen, wird es gut sein, mit unseren durch den § 12 erweiterten Hilfsmitteln eindringender zu zeigen, daß dabei auch rein mathematische Interessen im Spiele sind. Wir haben schon in § 12, 1. auf den hohen wissenschaftlichen Wert der logischen Analyse unserer Raumanschauung und des rein logischen Aufbaues der Geometrie hingewiesen. Er besteht darin, daß die Sätze der rein logisch begründeten Geometrie von jeder linearen dreidimensionalen Mannigfaltigkeit gelten, d. h. von jedem System von Dingen, die sich zueinander verhalten wie Punkte, Geraden und Ebenen.¹) Die Ausdrücke „Scheinpunkt“, „Scheingerade“, „Scheinebene“, die wir im vorangehenden für diese Gebilde gebraucht haben, waren nur Notbehelfe, um die Wortzwitter Pseudopunkt u. s. w. zu vermeiden; sie mögen von nun an Grundgebilde „nullter“, „erster“ oder „zweiter“ Stufe heißen, kürzer ©₀,    die Mannigfaltig

keit selber heiße ein @₃: „Stufe“ sei gleichbedeutend mit Dimension. Für Grundgebilde nullter Stufe nehmen wir auch aus der Mengenlehre (Bd. I, erster Abschnitt) den Ausdruck „Elemente“ herüber. Diese ganze Namengebung rechtfertigt sich dadurch, daß es außer den Kugelgebüschen noch unendlich viele andere dreidimensionale Mannigfaltigkeiten gibt, wie wir alsbald zeigen werden, so daß also die Punkte Geraden und Ebenen als Individuen der Gattungsbegriffe @₀, ©₁, @₂ zu betrachten sind.

3. Es geht aus didaktischen Gründen nicht an, die rein begriffliche Geometrie von vornherein als Geometrie dreidimensionaler linearer Mannigfaltigkeiten zu entwickeln, weil dieser Begriff selber aus der Anschauung nicht unmittelbar gewonnen werden kann, sondern die gewöhnliche Geometrie voraussetzt. Erst wenn die gewöhnliche Geometrie soweit durchgeführt ist, daß man hinreichend viele Beispiele linearer Mannigfaltigkeiten dritter Stufe zur Verfügung hat, kann man die bis dahin gewonnenen Lehrsätze von der Beschränkung auf die gewöhnlichen Punkte, Geraden und Ebenen befreien, indem man zeigt, daß die ($₀, ©x, @₂ jener Mannigfaltigkeiten ebenfalls den (Hilbertschen)

Axiomen der Geometrie, also auch ihren logischen Folgerungen gehorchen. Von da an muß die Geometrie dann ganz abstrakt, für alle bekannten und denkbaren Mannigfaltigkeiten gültig, weiter gebildet werden.

Hat man etwa die gewöhnliche Geometrie rein begrifflich soweit gesichert, daß man die Lehre vom Kugelgebüsche beherrscht, so liefert das parabolische Gebüsch die erste Travestie der Euklidischen Geometrie (bis auf das Verhalten im Unendlichen). Bezeichnet man die Punktepaare, Kreise und Kugeln des hyperbolischen oder elliptischen Gebüsches als Scheinpunkte, Scheingeraden und Scheinebenen, und ist von diesen nachgewiesen, daß sie außer dem Parallelenaxiom alle Axiome der Euklidischen Geometrie erfüllen, so gelten von ihnen, ohne daß noch Beweise nötig wären, alle Sätze der Euklidischen Geometrie, die vom Parallelenaxiom nicht abhängen.

Wenn man ferner aus der projektiven, von jeder Maßbestimmung unabhängigen Erzeugung der Kurven und Flächen zweiter Ordnung rein logisch die Theorie dieser Gebilde gewonnen hat, so läßt sich diese Theorie ohne weiteres auf die Kngelgebüsche übertragen, die wieder als Scheingeometrien betrachtet werden. Von den Kurven und Flächen zweiter Ordnung dieser Scheingeometrien haben wir nur die Scheinkreise und Scheinkugeln kennen gelernt. Viel interessanter sind aber die allgemeinen Scheingebilde zweiter Ordnung, deren Theorie man ohne ein Wort des Beweises aus der gewöhnlichen Geometrie herübernehmen kann. Und, was das Schöne ist, vom Standpunkte der gewöhnlichen Geometrie aus wären das Kurven und Flächen (Zykliden) vierter Ordnung, deren direkte Erforschung sehr schwierig wäre, während bei jener Übertragung die geometrischen Erkenntnisse ungesucht in unerschöpflicher Fülle uns Zuströmen. Man denke nur an die Lehre von Pol und Polare.

So kann die Geometrie jeder dreidimensionalen linearen Mannigfaltigkeit unter zwei ganz verschiedenen Gesichtspunkten studiert werden, die man begrifflich streng auseinander halten muß, während man praktisch fortgesetzt zwischen ihnen wechseln wird: Man kann die Grundgebilde nullter, erster und zweiter Stufe ©₀, ($j, ($₂ einer Mannigfaltigkeit @₃ entweder als Gebilde der gewöhnlichen Geometrie auffassen, wo sie dann im allgemeinen von sehr komplizierter Natur sein werden, oder als Analoga der Punkte, Geraden und Ebenen der gewöhnlichen Geometrie, die alle Axiome derselben erfüllen. Dann lassen sich auch alle Folgerungen der Axiome von den @₀, ($1? @2 aussagen. So wird die zum Aufbau der rein begrifflichen Geometrie verwandte Geistesarbeit zur unerschöpflichen Quelle neuer Wahrheiten. Also nicht aus Mißachtung der schöpferischen Anschauungskraft, nicht aus Freude an zerstörender Kritik oder pedantischer Logik, sondern im wohlerwogenen Interesse unserer Wissen-

schaft muß man eine streng axiomatische Kodifizierung ihrer Voraussetzungen verlangen, damit ihre Lehrsätze von vornherein die volle ihnen zukommende Tragweite erhalten. Das ist die Forderung, die man nach Mach die „Ökonomie des Denkens“ nennt.

4. Noch aus einem anderen Grunde ist es wünschenswert, sozusagen mehrere geometrische Sprachen zu beherrschen und das Anschauungsvermögen zu einer gewissen Elastizität auszubilden. Es gibt nämlich in der Geometrie des dreidimensionalen Raumes Probleme, die ihrem analytischen Charakter nach in Räumen von vier und mehr Dimensionen spielen. Sie entziehen sich dabei in der ursprünglichen Einkleidung der rein synthetischen Forschung, weil wir nicht gewöhnt sind, uns den Euklidischen Raum als Grundgebilde dritter Stufe eines vierdimensionalen Raumes zu denken. Dagegen gibt es im Euklidischen Raume zahlreiche lineare Mannigfaltigkeiten von vier und mehr Dimensionen. Am bekanntesten ist die aller Kugeln. Zur Festlegung des Zentrums einer Kugel ist die Angabe seiner drei Abstände von drei aufeinander senkrechten Ebenen nötig; der Radius erfordert eine vierte Zahlenangabe. Also gibt es „vierfach unendlich“ viel Kugeln, d. h. man kann die Elemente der Mannigfaltigkeit aller Kugeln durch je vier Zahlen voneinander unterscheiden, die aller reellen Werte fähig sind. Die Kugeln bilden daher eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit ($₄. Diese ist linear, d. h. je zwei ($₃ (Gebüsche) der ($₄ bestimmen ein ($₂ (Bündel), je drei ($₃ ein (Büschel), je vier ($₃ ein ($₀ (Kugel); oder auch: je zwei ($₀ bestimmen ein ©₁, je drei ($₀, die nicht einem @₁ angehören, ein ($₂, und je vier Elemente, die keinem ($₂ angehören, legen endlich ein @₃ fest. Ähnlich wird der Begriff der Linearität für fünf und mehr Dimensionen definiert. Analytisch entspricht der Linearität die Tatsache, daß die Grundgebilde durch „lineare“ Gleichungen, d. h. durch Gleichungen ersten Grades in den Koordinaten dargestellt werden.

Wenn man nun auf ein Problem gestoßen ist, das (analytisch geometrisch) dazu nötigt, den Punkt-Geraden-Ebenenraum als Grundgebilde dritter Stufe einer vierdimensionalen linearen Mannigfaltigkeit aufzufassen, so braucht man das Problem nur etwa auf die Mannigfaltigkeit der Kugeln zu übertragen, um es der rein synthetischen Geometrie zu erschließen und zugleich anschaulich zu machen. Diese Übertragung aus einer Mannigfaltigkeit in eine andere ist aber nur unter der Voraussetzung zulässig, daß beide Mannigfaltigkeiten denselben Axiomen gehorchen und ihre Geometrie sich nur auf diese Axiome stützt; sowie man Beweismotive nicht rein logischer Herkunft zuließe, wäre diese Übertragbarkeit nicht mehr a priori sicher.

Daß es geometrische Probleme gibt, die erst durch Übergang in eine Mannigfaltigkeit höherer Dimension eine vollkommen befrie-digende Lösung erfahren, hat man zuerst hei dem Satze von Des argues bemerkt (vgl. § 10, 1.). Auf zwei Dreiecke in derselben Ebene beschränkt, bildet dieser Satz die Grundlage der synthetischen Geometrie der Ebene. Während nun alle anderen Sätze dieser Planimetrie rein mit den Hilfsmitteln der ebenen Geometrie, und zwar rein synthetisch, d. h. unabhängig von den Kongruenzaxiomen bewiesen werden können, wollte ein Gleiches für diesen fundamentalen Satz nicht gelingen, bis dann Hilbert in seinen „Grundlagen" (§ 23) zeigte, daß diese Versuche notwendig scheitern mußten. Hilbert bewies, daß dieser Satz entweder die räumlichen Axiome, oder die Kongruenzaxiome voraussetzt. Da aber die Kongruenzaxiome dem Geiste der reinen Synthesis widersprechen, so ist jener planimetrische Satz nur unter Benutzung des Raumes synthetisch beweisbar, und zwar durch die einfache Überlegung, j,2 die wir in § 10, 1. mitgeteilt haben.

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4.

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Fig. 46.

5. Wie ein Problem durch Übersetzung aus einer Mannigfaltigkeit in eine andere plötzlich in das klarste Licht gerückt werden kann, wollen wir an einem Beispiele zeigen, das sich leicht an den Satz von Des argues an-knüpfen läßt.

Unter einer ebenen Konfiguration Kf. (nk) versteht man ein System von n Punkten und n Geraden einer Ebene in der Anordnung, daß durch jeden seiner Punkte k seiner Geraden gehen und in jeder seiner Geraden k seiner Punkte liegen. Eine räumliche Konfiguration Kf. (nk, gs) ist ein System von n Punkten, n Ebenen und g Geraden in folgender Anordnung: Durch jeden Punkt des Systems gehen k seiner Ebenen, und in jeder Ebene des Systems liegen k seiner Punkte; jede Gerade des Systems geht durch s der n Punkte und liegt in s der n Ebenen.

Die Ermittelung aller Konfigurationen für gegebenes n, g, k, s ist ein ebenso schönes als schwieriges Problem, das noch der vollständigen Lösung harrt. Im folgenden wollen wir die zwei Anfangsglieder einer unbegrenzten Reihe von Konfigurationen angeben, die

aber Räumen von zunehmender Dimensionszahl angehören. Eine einfache ebene Konfiguration, und zwar eine Kf. (10₃) haben wir in der vollständigen Figur des Satzes von Desargues, wenn man die beiden Perspektiven Dreiecke in einer Ebene rj annimmt. Wie die Figur 46 zeigt, kann man die 10 Punkte dieser Konfiguration so mit je einem Indexpaare aus der Zahlenreihe 1, 2, 3, 4, 5 bezeichnen, daß jedes

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*2,6

3.1

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der 10 möglichen Paare nur einmal vorkommt und die zu einer Kon-figurationsgeraden ge-7 hörigen Indexpaare nur aus drei verschiedenen Ziffern gebildet sind, die daher zur Bezeichnung dieser Geraden dienen können. Dieser Sachverhalt bringt uns auf den Gedanken, ob vielleicht im Raume ein System von fünf Punkten % so angenommen werden kann, daß der Punkt h, h der >,6- Konfiguration als Schnitt von rj mit der Geraden

die Gerade h,k,l der Konfiguration als Schnitt von r; mit der Ebene    erscheint (h, h, l = 1,2,3,4,5).

Das ist nun in der Tat möglich, und so ergibt sich denn die ebene Kf. (10₃) als Schnitt einer Ebene mit einem vollständigen räumlichen Fünfeck,- d. h. einem System von fünf Punkten, den Verbindungsgeraden von je zweien und den Verbindungsebenen von je dreien derselben.

'5,6

Fig. 47.

Es liegt nahe, zum Raume aufsteigend zwei Perspektive Tetraeder zu betrachten, d. h. zwei Tetraeder, die infolge spezieller Lage so aufeinander bezogen werden können, daß die Verbindungslinien entsprechender Punkte durch denselben Punkt gehen; durch wiederholte Anwendung des Satzes von Desargues folgt aus dieser Voraussetzung, daß die entsprechenden Seiten und Kanten beider Tetraeder sich in Geraden und Punkten einer Ebene treffen. Die so entstehende Figur bildet eine Kf. (15e, 20₃), deren Punkte, wie Figur 47 zeigt, analog zu Figur 46 so mit Indexpaaren aus der Zahlenreihe 1, 2, 3, 4, 5, 6 bezeichnet werden können, daß jedes der 15 möglichen Paare einmal vorkommt und die Paare auf einer Geraden der Konfiguration

nur aus drei, auf einer Ebene derselben nur aus vier verschiedenen Zahlen gebildet sind; diese Tripel und Quadrupel können dann zur Bezeichnung dieser Geraden und Ebenen dienen. Nach der Analogie der Kf. (10₃) wird man jetzt sofort an ein vollständiges Sechseck in einem vierdimensionalen Raume denken, dessen Schnitt mit dem dreidimensionalen Raume RK unserer Euklidischen Geometrie die Kf. (15₆ , 20₃) sein soll; der Punkt h, Je, die Gerade Ji, Je, l, die Ebene Ji, Je, l, m unserer Konfiguration wären dann der Schnitt des RE mit der Geraden ^^3*, der Ebene    dem dreidimensionalen Raume    (h, Ji, l, m = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Ana

lytisch läßt sich diese Vermutung sehr leicht bestätigen¹), aber rein geometrisch vermögen wir den an sich einfachen Rechnungen nur schwer zu folgen, weil wir uns den RE als Gebilde eines Raumes von vier Dimensionen nicht anschaulich vorstellen können. Da wir aber wissen, daß die Kugeln, Kugelbüschel, Kugelbündel und Kugelgebüsche als Grundgebilde militer, erster, zweiter und dritter Stufe einer linearen Mannigfaltigkeit ($₄ von vier Dimensionen betrachtet werden können, so kommen wir über diese Schwierigkeit leicht hinweg, wenn wir den Schauplatz der Untersuchung in die Mannigfaltigkeit aller Kugeln verlegen. Die Grundgebilde ($₀,    @₂, @₃ dieser

Mannigfaltigkeit nennen wir Scheinpunkte, Scheingeraden, Scheinebenen, Scheinräume und denken uns von sechs willkürlich angenommenen Scheinpunkten $ß₄, $ß₂, $ßs, $ß₄, ^ß₅, ^ß₆ je zwei durch eine Scheingerade, je drei durch eine Scheinebene, je vier durch einen Scheinraum verbunden. Der „Schnitt“, d. h. das Gemeinsame dieses „vollständigen“ vierdimensonalen Sechsecks mit einem Scheinraume R ist dann die Konfiguration Kf (15₆ , 20₃), die nunmehr der Anschauung und der geometrischen Untersuchung zugleich erschlossen ist. Doch können wir hierauf nicht weiter eingehen. Nur eins wollen wir noch erwähnen: Zu den Scheinräumen gehört auch der Punkt-Geraden-Ebenen-raum der Euklidischen Geometrie als Grenzfall eines parabolischen Gebüsches mit unendlich fernem Mittelpunkt. Bringen wir aber das vollständige vierdimensionale Sechseck mit diesem speziellen (Schein-)Raume zum Schnitt, so erhalten wir die Kf. (15g, 20₃) in gewöhnlichen Ebenen, Geraden und Punkten; und zwar sind das die Potenzebenen von je zwei, die Potenzachsen von je drei und die Potenzzentra von je vier der sechs Kugeln, die als Scheinecken des Sechsecks fungieren.

Wenn wir von diesem besonderen Glücksfalle, daß sich das zu untersuchende Gebilde hier schließlich wieder in der ursprünglichen Form einstellt, auch ganz absehen, war die Hinüberspielung unseres

1) Vergl. etwa die Arbeiten von Richmond, Math. Ann. 53 und R. Funck (Straßb. Dies. 1901) über die Kf. (15₆ , 20s).

Problems in die Kugelgeometrie an sich schon ein entscheidender Erfolg, durch den der Machtbereich der rein synthetischen Geometrie um eine Dimension erweitert wurde. Wie hier, so in vielen anderen Fällen! Es wird daher erwünscht sein, und für eine klarere Erfassung des Wesens der geometrischen Grundbegriffe ist es ohnehin notwendig, den Umfang des Begriffes der linearen Mannigfaltigkeit näher kennen zu lernen. Wir müssen dazu die Anfangsgründe der analytischen Geometrie voraussetzen, wenn anders der Leser es nicht vorzieht, die Ergebnisse des folgenden Artikels auf guten Glauben hinzunehmen.

6. Wir verwenden ein gewöhnliches rechtwinkeliges System von Punktkoordinaten x, y, z, also etwa die des § 12. Die Punkte einer Fläche nt6T Ordnung werden durch eine Gleichung nt6t Ordnung fix, y, z) = 0 dargestellt, die Punkte einer algebraischen Kurve durch die gemeinsamen Lösungen einer endlichen Anzahl s solcher Flächengleichungen. Diese s Gleichungen gt= 0, g₂ = 0, g₃= 0, . .., gs = 0 lassen sich in eine einzige cp = 0 zusammenziehen, wenn man cp = gxux -j- g₂u₂ • • • + gsus setzt und nur solehe Lösungen x, y, z der Gleichung cp = 0 in Betracht zieht, die von den unbestimmt bleibenden Parametern ut, u2> ..., ut unabhängig sind; man nennt den Ausdruck cp bei dieser Beurteilung seines Verschwindens ein Funktional.²)

Wenn die Flächen fx = 0, f₂ = 0, . . ., fr = 0 nur ein System von einzelnen Punkten, im äußersten Falle einen Punkt gemeinsam haben, so stellt das Funktional 0=fxvx -f-f₂v₂ -+-••• +frvr, mit unbestimmten Parametern vx, . . ., vr gebildet und gleich null gesetzt, dieses Punktsystem dar; haben die Flächen aber keinen Punkt gemeinsam, so stellt 0 = 0 überhaupt kein Raumgebilde dar. Wir vermerken als erstes Ergebnis dieser Betrachtung:

Mit Hilfe von Funktionalen kann man das allgemeinste algebraische Gebilde, das aus einzelnen Punktsystemen Ox = 0, 0₂ = 0, . . ., Op = 0, einzelnen Kurven (p₁ = 0, cp₂ = 0, . . ., cpk = 0 und einzelnen Flächen fx = 0, f₂ = 0, . .fm = 0 besteht, durch eine einzige algebraische Gleichung ß = 0 darstellen, wo

£1 = O. Oa . . . O

pm

cpxcp₂ ... cpk. fxf₂ ... fm

ist.

Zwei solcher algebraischer Gebilde Sl = 0, £l'= 0 bestimmen ein ^-Büschel x&l Ą-kSl' = 0, drei nicht demselben Büschel angehörige Gebilde £1 = 0, ß' = 0, £1" = 0 ein ii-Bündel x£l -f l£i' -j- y&l" = 0, vier nicht demselben Bündel angehörige Gebilde ß = 0, £l'= 0, £1" = 0, £1"' — 0 endlich ein ii-Gebüsch x£l -f k£ï + g£l" + v£i'" = 0, wenn

x, A, y, v alle Zahlenwerte durchlaufen. Weiter wollen wir nicht gehen. Sind nun iß₄ = 0, ß₂=0, ß₃=0, &₄=0 in „laufenden“ Koordinaten x, y, z die Gleichungen von vier algebraischen Raumgebilden, die keinem Bündel angehören, und bezeichnet man die Individuen des Gebüsches $,Six -f rjSi₂ -j- £ili₃ -(- Six = 0 als Scheinpunkte, die sie festlegenden Parameter £, rj, £ als ihre Scheinkoordinaten, so kann man auf diese Scheinkoordinaten die Begriffsbildungen des § 12 anwenden und so Scheingeraden und Scheinebenen definieren. Die Scheinkoordinaten eines Scheinpunktes (£, rj, £) auf der Scheingeraden durch zwei Scheinpunkte (£', r[, £'), (£", rj”, £") lassen sich nach § 12, 5. mittels eines Parameters A in die Form

n' — W.

l — X

bringen. Wegen £ü₁-f-Tjß₂-|-£i£i₃-|-<ß₄= 0 hat man daher: Si — kSi”=0, wo Si =    -f- Si₂rj + Sis £ + , Si' = iSixç' Si₂rj +    + Si±.

Die Scheinpunkte der Scheingeraden bilden daher ß-Büschel, deren Individuen dem Gebüsche angehören; die Scheinpunkte der Scheinebenen bilden, wie leicht zu zeigen ist, Si-Bündel, deren Elemente ebenfalls im Gebüsche enthalten sind. Wir haben somit eine dreidimensionale lineare Mannigfaltigkeit von höchst umfassender Art hinsichtlich der Elemente gewonnen, die in ihr als (Schein-)Punkte auftreten. Jedes Raumgebilde vom Typus Si, also speziell jede Raumkurve oder Fläche, kann zum „Punkt“ einer „Geometrie“ gemacht werden, die nach dem Vorbild der Euklidischen geordnet ist und alle Sätze derselben erfüllt.

7. Damit ist aber der Umfang des Begriffes der linearen Mannigfaltigkeit bei weitem nicht erschöpft, und das dürfte auch kaum möglich sein. Man könnte die Si in Ebenen- und Linienkoordinaten ansetzen, mit Hilfe der Matrizensymbolik lineare Transformationen des Raumes als Elemente einer Mannigfaltigkeit einführen u. s. w. Eine andere Erzeugungsweise wollen wir an einem Beispiele klar machen, das unsere beiden Geometrien des § 10, 2ff. als besonderen Fall umfaßt und leicht zu verallgemeinern ist. Wir gehen zu diesem Zwecke aus von einem Gebüsche von Flächen zweiter Ordnung, einem „F²- Gebüsche“

Fi 0, y,s)t-f F₂ (x, y,z)rj + Fs (x, y, z) Ç + F₄ (x, y, z) = 0.

Soll eine Fläche dieses Gebüsches durch den Punkt (x, y, z') gehen, so muß Fx (x, y, z) l + F₂ (x, y, z) rj + Fs (x, y, z) £ + Fx (x, y, z) = 0, also auch

(FlF;-Fl'F₄)t + (F₂F;-F₂F,)rj + (f₂f;-F₃'Fj £ - 0

sein, wo zur Abkürzung Fh, F}[ für Fh (x, y, z), Fh(x',y',z) gesetzt ist. Die Flächen durch (x, y', /) bilden also ein Bündel und haben die acht Schnittpunkte der Flächen zweiter Ordnung F₁ F±—F^F± = 0, jF₃F±— F%F± = 0, FZF±— Fs'F4c= 0 gemeinsam; einer dieser Punkte ist (x',y',z). Die Flächen eines _iF²-Gebüsehes, die durch einen Punkt (x, y, z) gehen, haben daher noch sieben andere Punkte gemeinsam, die mit dem gegebenen „assoziiert'- heißen; jede Fläche des Gebüsches durch einen dieser Punkte geht von selbst durch die sieben anderen. Acht assoziierte Punkte bestimmen daher im _F²-Gebüsche nur ein F²-Bündel, zwei Oktupel assoziierter Punkte nur ein JF²-Büschel, drei Oktupel endlich erst eine einzige Fläche, die durch diese Punkte geht, während neun Punkte allgemeiner Lage allein schon eine Fläche zweiter Ordnung im Raume festlegen können. Da die Flächen eines Büschels sich in einer Raumkurve IY. Ordnung durchdringen, so kann man auch sagen: Zwei Oktupel bestimmen eine und nur eine durch sie gehende Raumkarve IY. Ordnung. Man sieht, die Oktupel assoziierter Punkte tragen zur Festlegung der Raumkurven IY. Ordnung und der Flächen II. Ordnung des Gebüsches in ähnlicher Weise bei, wie die Paare inverser Punkte zur Festlegung der Kreise und Kugeln eines Kugelgebüsches. Es folgt: Wenn man die Oktupel assoziierter Punkte eines JF²-Gebüsches als Scheinpunkte, die Raumkurven IY. Ordnung desselben als Scheingeraden, die Flächen II. Ordnung desselben als Scheinebenen bezeichnet, so bilden diese Scheinpunkte, Scheingeraden und Scheinebenen eine lineare Mannigfaltigkeit von drei Dimensionen, in der die Axiome der Euklidischen Geometrie erfüllt sind; natürlich auch die der beiden Nichteuklidischen Geometrien, je nachdem man eine Fläche des Systems als uneigentliche auszeichnet oder nicht.³) Wir heben als wesentlich für die Gültigkeit dieses Satzes hervor, daß je acht assoziierte Punkte für einen einzigen Scheinpunkt gelten müssen; man darf nicht etwa sagen, wenn A und B assoziiert sind, A sei derselbe Scheinpunkt wie B. Es ist in hohem Grade interessant, die Lehre von den F²-Gebüschen unter diesem Gesichtspunkte zu betrachten und sich die Sätze bei Reye, Geometrie der Lage, Bd. III klar zu machen. Als Analoga der Kurven und Flachen

II. Ordnung der gewöhnlichen Geometrie treten wichtige Kurven und Flächen höherer Ordnung auf, die man von unserem Standpunkte aus im hellsten Lichte übersieht. Ein ganz spezieller Fall des F²-Gebüsches ist übrigens das Kugelgebüsch; an die Stelle der assoziierten Punkte treten dort die Paare inverser Punkte.

8.    Wenn man in obigen Formeln überall z durch einen konstanten Wert ersetzt und dieselben nebst den Bezeichnungen sinngemäß umdeutet, ergeben sich entsprechende Sätze für die Ebene, von denen wir nur den anführen wollen, daß die Kegelschnitte, die Kegelschnittbüschel und Kegelschnittbündel eines ebenen Kegelschnittgebüsches eine dreidimensi onale lineare Mannigfaltigkeit bilden, in der die Voraussetzungen der Euklidischen Geometrie erfüllt sind — von einigen Ausnahmen und Ausartungen abgesehen. — Diese Sätze über die Kegelschnitt- und F²- Gebüsche sind verhältnismäßig leicht auch rein synthetisch zu gewinnen. Bezeichnet man nun die Kegelschnitte eines Gebüsches als Scheinpunkte, die Büschel und Bündel als Scheingeraden und Scheinebenen, so gelten alle Folgerungen der Axiome der Anordnung und Verknüpfung.

Im wesentlichen waren diese Sätze, allerdings nicht in diesem Zusammenhänge, schon den Analytikern zu Anfang des vorigen Jahrhunderts bekannt und wurden von Jakob Steiner rein synthetisch heiß umworben. In einem Briefe an Jacobi vom 31. Dezember 1833, den Jahnke im Archiv der Mathematik und Physik (3), Bd. 4, S. 274 mitgeteilt hat, gibt Steiner die Umdeutung eines Satzes über das vollkommene Vierseit in die Geometrie des Kegelschnittgebüsches an; aus dem Stolze, mit dem er von dieser doch ziemlich an der Oberfläche liegenden Entdeckung spricht, geht deutlich hervor, daß ibm die logischen Gründe dieser ihn überraschenden Übereinstimmung nicht bekannt waren, ein neuer Beweis dafür, daß es kein unfruchtbares Beginnen der kritisch gerichteten Mathematik ist, alle Sätze der Geometrie von vornherein so zu beweisen, daß sie auch in jeder anderen linearen Mannigfaltigkeit von drei Dimensionen gelten. Das ist im wesentlichen ja auch das Ziel der Ausdehnungslehre von Graßmann, deren steigende Anerkennung im Gebiete der reinen und angewandten Mathematik besonders dafür spricht, daß es einen guten Sinn hat, auch die Eigenschaften des Maßes auf alle Mannigfaltigkeiten zu übertragen; hinsichtlich der aus den Axiomen der Anordnung und Verknüpfung folgenden (projektiven) Eigenschaften wird man ja ohnehin geneigt sein, die Möglichkeit und Zweckmäßigkeit ihrer Übertragung auf alle lineare Mannigfaltigkeiten zuzugeben.

9.    Während wir bisher zu beweisen suchten, daß die logische Zergliederung und Präzisierung unserer Raumanschauung vom rein geometrischen Standpunkte aus notwendig und nützlich ist, wollen wir nun auch auf die rein erkenntnistheoretische Seite des Problems eingehen, soweit das mit einfachen mathematischen Methoden möglich ist. Es sei gleich vorausgeschickt, daß wir damit den Boden streng mathematischer Deduktion verlassen und uns auf ein Gebiet begeben, auf dem zwischen den Mathematikern ebensowenig Überein-

Stimmung herrscht als zwischen den Philosophen. Deshalb dürfen wir aber den Schwierigkeiten nicht aus dem Wege gehen, oder gar sie als mathematisch unfruchtbar lediglich den Philosophen überlassen. Denn allem Anschein nach wird das Erkenntnisproblem der exakten Wissenschaften die Philosophie in steigendem Maße beschäftigen. Da ist es Sache des Mathematikers, der ja in seiner Wissenschaft nach Plato⁴) die „Handhaben der Philosophie“ (Aaßag (piloöCHpCus) besitzt, seine Interessen zu vertreten und das Material herbeizuschaffen, das ihm der Berücksichtigung besonders wert scheint. Es handelt sich hier um Fragen, die auch wir wesentlich fördern können, wenn wir unbefangen prüfen und zum Ausdruck bringen, was wir uns beim Betriebe unserer Wissenschaft eigentlich denken. Dazu kommt noch ein anderer Grund: die Anwendung der Mathematik auf die Naturwissenschaften kann nur dann im höchsten Sinne erfolgreich sein, wenn wir uns im voraus keiner Täuschung darüber hingeben, was wir mit unserer Wissenschaft leisten können und was nicht. In dieser Beziehung wäre es sehr lehrreich, auf die Geschichte der Mathematik in den letzten zweihundert Jahren zurückblickend sich klar zu machen, wie es kommen konnte, daß die Mathematik als Hilfsmittel der Naturwissenschaften ebenso maßlos überschätzt als herabgesetzt und daß andererseits der Formelapparat der Physik von den großen Umwälzungen der physikalischen Anschauungen verhältnismäßig so wenig berührt worden ist.

Raum“, und den Grundbegriffen „zwischen“,

zu scheiden hat

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10. Soviel dürfte aus unserer Untersuchung mit Bestimmtheit hervorgehen: daß man bei den Grundgebilden „Punkt“, „Gerade“, „Ebene“

„Strecke“, „Winkel“, „Kongruenz“ streng

zwischen den Eigenschaften, die sich vom gewöhnlichen Raume auf jede andere lineare dreidimensionale Mannigfaltigkeit übertragen lassen, und den Eigenschaften, die diesen Begriffen individuell zukommen Übertragbar sind die Eigenschaften der Verknüpfung und Anordnung, der Stetigkeit und Kongruenz, soweit sie in den (Hilbertschen) Axiomen zusammengestellt sind. Unübertragbar ist z. B. die Kleinheit des (materiellen) Punktes, die gefällige, gleichmäßige Rundung der Kugel, überhaupt alles, was sich auf das Aussehen der Raumgebilde bezieht, indem man dieselben an sich, nicht in Beziehung zu anderen betrachtet. Durch gewisse Ausfallserscheinungen macht sich die Unterdrückung der individuellen Eigenschaften besonders in der rein formal begründeten analytischen Geometrie des § 12 bemerkbar. Bei einem Zahlentripel (a, b, c), das dort den Punkt definiert, denkt man überhaupt nicht an

etwas Großes oder Kleines, es müßte denn die Größe der drei Zahlen selbst sein, worauf es hier aber nicht ankommt; und das unendlich Ferne büßt in der „homogenen“ Geometrie des § 12 die Sonderstellung, die es in unserer Raumanschauung hat, vollständig ein; eine geometrische Figur in unserer gewöhnlichen Raumanschauung hat stets ein Oben und Unten, hat näher und ferner liegende Teile: in der rein arithmetischen Geometrie ist das von unserem subjektiven Standpunkte Herrührende völlig eliminiert. Die übertragbaren Eigenschaften betreffen die Beziehungen der Grundbegriffe zueinander, die individuellen Eigenschaften die Beziehungen zu unserer Sinnlichkeit.

man ihm vorgeworfen hat, auf Grund

wenn

11. Wohl jeder Grundbegriff wird in eine übertragbare und in eine individuelle Komponente spaltbar sein, doch ist es im allgemeinen schwer, eine scharfe Grenze zu ziehen. Während noch Kant in seinen Prolegomena wiederholt darauf hin wies, daß der Gegensatz zwischen rechts und links, zwischen einem Körper und seinem Spiegelbilde durch begriffliche Definitionen gar nicht zu fassen sei, was Gauß durchaus anerkennt, wenn er auch die von Kant daraus gezogene Folgerung bestreitet (Selbstanzeige der „Theoria residuorum biquadraticorum“, Gauß' Werke, Bd. 2, S. 117), ist es Pasch in seinen schon zitierten Vorlesungen über Neuere Geometrie gelungen, die Begriffe der Anordnung rein axiomatisch zu fixieren. Jener Gegensatz läßt sich nunmehr nicht nur begrifflich fassen, sondern sogar rein logisch deduzieren. Damit soll durchaus nicht gesagt sein, daß in den Axiomen der Anordnung der Begriff der Anordnung restlos untergebracht sei, es ist nur die Rede von der übertragbaren Komponente, für die allein die rein logische Geometrie Verwendung hat. Die Euklidischen Definitionen der Begriffe „Punkt“, „Gerade“, „Ebene“ (der Begriff „zwischen“ wird überhaupt nicht erörtert) enthalten ausschließlich die individuelle, oder, wie man es auch auffassen kann, die materielle Seite dieser Begriffe, weshalb denn auch aus diesen Definitionen kein geometrischer Schluß gezogen werden kann. Die Axiome der Anordnung und Verknüpfung, der Kongruenz, des Parallelismus und der Stetigkeit (in der Hilbertschen Fassung) legen ebenso ausschließlich nur die rein logischen Beziehungen zwischen diesen Begriffen fest, indem ja, wie Hilbert selbst zeigt, diese Axiome in der linearen dreidimensionalen Zahlenmenge sich erfüllen lassen. Es beruht daher auf vollständiger Verkennung der Absichten Hilberts, seiner Axiome könne man nicht entscheiden, ob eine Taschenuhr ein Punkt ist oder nicht. Das können und das wollen diese Axiome nicht. Denn obwohl die Geometrie zu dem Zwecke erfunden ist und weiter ausgebildet wird, die Eigenschaften der Gebilde unserer (sinnlichen)

Raumanschauung zu ergründen, sind doch ihre Wahrheiten, insofern sie sich auf die oben übertragbar genannten Eigenschaften beziehen, von der sinnlichen Form, in der uns die Raumgebilde erscheinen, logisch vollkommen unabhängig; unsere gewöhnliche Geometrie ist ja, wie wir an zahlreichen Beispielen dargetan haben, nur eine von unendlich vielen (angenäherten) Realisierungen ihres reinen Gedankengehaltes. Also beabsichtigt oder nicht, muß eine im Sinne der Hilbert sehen „Grundlagen“ aufgebaute Geometrie in jeder dreidimensionalen linearen Mannigfaltigkeit gelten. Wenn man, wie wir es tun, diese Übertragbarkeit der geometrischen Sätze ausdrücklich anstrebt, so kann man auch nicht im Zweifel sein, was man von jenen Axiomen zu halten hat, die manchen als unnötig, als trivial erscheinen, weil sie unmittelbar einleuchten, wie z. B. die Axiome der Anordnung. Schon die Mathematiker des griechischen Altertums waren gegenüber derartigen Axiomen geteilter Ansicht. Für eine in allen dreidimensionalen linearen Mannigfaltigkeiten gültige Geometrie ist aber keiner dieser Sätze so unscheinbar, daß er nicht als Voraussetzung ausdrücklich anerkannt werden müßte. Das sieht man sofort, wenn diese Beziehungen in ungewohnter Weise verwirklicht werden; man versuche einmal, den Oktupeln assoziierter Punkte eines F²-Gebüsches, die wir in Artikel 7 als Scheinpunkte aufgefaßt haben, die Beziehung „zwischen“ aufzuprägen; ohne die Axiome der Anordnung würde man da ganz ratlos sein.

12. Die Geometrie kann ihre Gewißheit nicht den individuellen Eigenschaften der Grundgebilde und Grundbeziehungen verdanken, die ja von einer Mannigfaltigkeit zur anderen wechseln, sondern einzig und allein den Eigenschaften, die wir als übertragbare bezeichnet haben und die als solche in allen Mannigfaltigkeiten wiederkehren. Wie der Hilbert sehe Abriß der Grundlagen zeigt, bilden die Axiome die einzige unbeweisbare Voraussetzung und die einzige Erkenntnisquelle seines ganzen Systems. Auf die Grundbegriffe stützen sich die Definitionen der abgeleiteten Begriffe des Kreises, des Kegelschnittes u. s. w. Aber die Geometrie arbeitet nicht bloß mit den fundamentalen und den abgeleiteten Begriffen, deren Anzahl immerhin eine begrenzte ist; denn sonst müßte sie sich schließlich erschöpfen, weil man aus jenen Begriffen nicht mehr herausziehen kann, als man durch die Definition in sie hineingesteckt hat. Das Charakteristische der geometrischen Forschungsmethode besteht vielmehr darin; daß man immer und immer wieder neue Voraussetzungen einführt, die sich aber von den Grundvoraussetzungen dadurch ganz wesentlich unterscheiden, daß ihre Verträglichkeit mit jenen stets im voraus beweisbar ist und daß sie mit jenen zugleich erfüllt sind. So setzt z. B. der Satz des Desargues zwei Dreiecke A, B', C und A", B", C"

voraus, die so zueinander gelegen sind, daß sich die Geraden AB' und A"B", B'C' und B"C", C'A' und C"A" in drei Punkten C, A, B einer Geraden u treffen. Um die Zulässigkeit dieser Annahme ein-zusehen, nehme man (vgl. Fig. 48) A, B, C auf einer Geraden u willkürlich an (Axiom Il₂), füge dazu einen nicht auf u gelegenen Punkt A' und verbinde ihn mit B und C (Axiom Ix). Die drei Punkte Ä, B, C bestimmen eine Ebene r] (I₄), der die Geraden AB, BC, CA' angehören (lg). Man nehme jetzt etwa B' auf der Verlängerung der Strecke CA' an (Hg).

,B‘

]C’

Dann muß die Gerade B'A, da sie nach I₆ in rj liegt, die Seite BÄ des Dreiecks A'CB in einem Punkte C zwischen ^

Fig. 48.

A'B treffen (II₄); damit ist der Hilfssatz bewiesen: Man kann ein Dreieck immer so annehmen, daß seine drei Seiten je durch einen gegebenen Punkt einer gegebenen Geraden gehen. Durch zweimalige Anwendung dieses Satzes erhält man die vom Desarguesschen Satze vorausgesetzte Figur.

Durch ähnliche Überlegungen beweist man die Zulässigkeit der Annahme, aus der wir in Art. 5. die Kf. (15₆, 20s) ableiteten. Man sieht schon aus diesen Beispielen, daß diese Möglichkeitsbeweise auf Grund der Axiome sehr schleppend sein können.

Der erste, der auf diese charakteristische Methode der Geometrie nachdrücklich aufmerksam gemacht hat, war Kant in seiner Kritik der reinen Vernunft. Doch stellt er mehr die Konstruktion, die durch diese Möglichkeitsbeweise und zugleich mit ihnen gegeben wird, in den Vordergrund Die Konstruktion ist aber Nebensache, es muß auf alle Fälle die Erkenntnis vorangehen, daß sie überhaupt möglich ist.¹)

einer unbegrenzten Reihe

Die Geometrie erscheint so als Inbegriff der logischen Folgen von Voraussetzungen, die mit dem System der Axiome nicht nur vereinbar, sondern immer erfüllt sind, wenn jene gelten.

1) Siehe Kant, Kritik der reinen Vernunft, Transzendentale Methodenlehre; Kant denkt zu ausschließlich an die Hilfslinien, die konstruiert werden müssen, um die Lehrsätze anwenden zu können. Die alt überlieferte starre und unbeholfene Elementargeometrie gibt übrigens ein sehr einseitiges Bild von der Methode der Geometrie, was aber um so weniger als Vorwurf gegen Kant gedeutet werden kann, als zu seiner Zeit die Geometrie der Lage noch nicht erfunden war.

Weber n. Wellatein: Enzyklopädie. II. 3. Aufl.

Nicht alle wissenschaftlichen Darstellungen der Geometrie werden in dieser streng logischen Form durchgeführt; besonders verläßt man sich hinsichtlich der Eigenschaften der Anordnung gern auf die Anschauung, weil eine exakte Beweisführung zu umständlich wäre. Überhaupt pflegt man sich in den geometrischen Beweisen häufig auf die Angabe der Momente und des allgemeinen Ganges der Beweisführung zu beschränken, es dem Leser überlassend, sich nach Neigung oder Bedürfnis einen strengen Syllogismus herzustellen. Doch gibt es Gebiete der Geometrie, wo man, von der Anschauung im Stiche gelassen, sich streng an die vorausgesetzten oder bewiesenen Tatsachen halten muß oder beinahe genötigt ist, die Beweise in die Form von Syllogismen zu bringen, damit kein Irrtum unterläuft. Dahin gehören die Sätze über den Zusammenhang und die Zerschneidung Riemannscher Flächen, worüber wir in § 7 Andeutungen gemacht haben, Sätze über die Struktur von Fachwerken, u. s. w.; aber auch in den Elementen der Geometrie stößt man auf derartige Schwierigkeiten, wenn man auf die Anschauung freiwillig verzichtet, um sicher zu sein, daß man wirklich nur aus den Axiomen und Begriffen logisch deduziert.

¹

Vgl. weiter unten Art. 4.

²

H. Weber, Lehrb. der Algebra, 2. Aufl., Bd. II, § 153 (Braunschweig, Vieweg 1899).

³

Dabei wird allerdings auf Realitätsverhältnisse keine Rücksicht genommen !

⁴

Diogenes Laertius, IV, 10 (nach M. Cantor).

13. Die Möglichkeit, einem derartigen logischen Formalismus in der Anschauung ganz andere Objekte unterzuschieben, als die waren, für welche er ursprünglich geschaffen ist, beschränkt sich nicht auf die Geometrie allein, sie wird sich naturgemäß überall bieten, wo man in ähnlicher Weise in einem axiomatisch festgelegten Denkbereiche operiert. Es muß besonders betont werden, daß auch die Arithmetik durch ihre Rechenregeln und Axiome die Gebilde nicht festlegt, die ihnen gehorchen sollen; man kann in mannigfacherWeise mittels des Galoisschen Gruppenbegriffes Systeme von Symbolen bilden, die denselben Verknüpfungsgesetzen unterliegen wie die Zahlen.¹) Die ganze aus der multiplikativen Verknüpfung der Zahlen entspringende Satzgruppe über Teilbarkeit gilt im wesentlichen auch von den algebraischen Zahlen, und die Theorie der algebraischen Zahlen läßt sich auf die algebraischen Funktionen übertragen. Die additive Komposition der komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene hat ein genaues Gegenbild in der Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften, die in einer Ebene an demselben Punkte wirken. Wie die geometrischen Grundgebilde hat auch die Zahl sowohl übertragbare als individuelle Eigenschaften. Die letzteren bedürfen noch sehr der Durchforschung.

In der Physik kennt und benutzt man die Übertragbarkeit mancher Theorien von einem Gebiete auf ein anderes schon seit langer Zeit. Man spricht da von mechanischen, hydrodynamischen und statischen „Bildern“. Manche diese Bilder sind bloße Analogien, manche aber entspringen aus gleichen logischen Voraussetzungen. Vollkommen axiomatisch hat z. B. Christoffel²) die Übertragbarkeit der Differentialgleichungen der Wärmeleitungstheorie auf die Theorie des Welthandels begründet und diese Gleichungen so abgeleitet, daß ihre Gültigkeit für beide Probleme unmittelbar einleuchtet. Reich an ganz eigenartigen Übertragungen ist die „Geometrie der Dynamen“ von Study.

In der Chemie war man an derartige „Bilder“ nicht gewöhnt. Daher erregte seinerzeit die Entdeckung von Sylvester und Clifford (1878) ein gewisses Aufsehen, daß die Konstitutionsformeln der organischen Verbindungen sich in den symbolischen Bildungsgesetzen der Invarianten binärer Formen spiegeln. Ein innerer Zusammenhang zwischen Chemie und Invariantentheorie liegt nicht vor, die Übereinstimmung ist nur eine Folge zufällig gleicher Verknüpfungsgesetze.³)

14. Abgebildet werden in allen diesen Fällen nicht die zu erkennenden Objekte selber, sondern ihre übertragbaren Eigenschaften, oder besser gesagt: die zwischen diesen Objekten bestehenden Beziehungen. In diesem Zusammenhänge leuchtet nun ein, daß, was wir oben (am Anfang des Art. 13) einen logischen Formalismus nannten, doch eigentlich den Kern der wissenschaftlichen Geometrie ausmacht. Denn da unsere Erkenntnis nicht auf die Gegenstände selber, sondern auf Relationen zwischen ihnen geht, so ist einzig und allein in der rein logischen Geometrie der wertvolle, absolut gewisse Teil unserer Wissenschaft enthalten. Daher fängt für viele produktive Mathematiker die Geometrie erst da an, wo sie auf Axiome gebracht ist — bei der analytischen Geometrie ist das indirekt immer der Fall —, während für die Vorstufen der Geometrie der Historiker und der Philosoph aufzukommen hat. Aber wenn man auch dieser immerhin einseitigen Auffassung nicht beitreten mag, wird man dem Mathematiker das Recht einräumen müssen, wenn ihm einmal ein System von Axiomen vorliegt, diese zu den Grundpfeilern eines rein logischen Lehrgebäudes zu machen. Dabei vollzieht sich ein interessanter Wechsel des Gesichtspunktes: Waren die Axiome vorher durch die

Erfahrung gegebene oder eingegebene Sätze, die in der natürlichen Geometrie mehr oder minder genau erfüllt sind und daher bei allen Lehrsätzen lästige Einschränkungen nötig machen¹), so erheben wir sie jetzt zu strenger Gültigkeit, indem wir sie zu Definitionen machen. In dieser Weise definieren die Hilbert sehen Axiome die Begriffe der Inzidenz (d. h. „auf einer Geraden¹* oder „Ebene liegen**, „durch einen Punkt gehen**, „bestimmen**, „gemeinsam haben**, „schneiden**), der Anordnung („zwischen**), des Parallelismus, der Kongruenz und der Stetigkeit. Was dagegen Punkte, Geraden, Ebenen sind, darüber wird nichts vereinbart, so daß die aufgezählten Beziehungen, wie wir wissen, auf jede lineare dreidimensionale Mannigfaltigkeit übertragbar sind; es genügt zu wissen, daß die Worte Punkt, Gerade, Ebene drei Systeme von Dingen bezeichnen, die den Anforderungen der Axiome genügen. Es empfiehlt sich, daraufhin die sehr sorgfältig und korrekt gefaßten „Erklärungen** und „Definitionen“ in Hilberts „Grundlagen** nochmals durchzulesen.

Da also im Hilbert sehen Buche über die drei Grundgebilde selber nichts ausgesagt und auch der Aufbau der Geraden und Ebenen aus Punkten nicht versucht wird, so wird man die Hilbertsche Geometrie am zutreffendsten eine reine Beziehungslehre nennen.

Axiome

15. Es versteht sich von selbst, daß durch die Hilbertschen wie wir die Definitionen seiner Beziehungsgeometrie wieder nennen wollen — auch zwischen den Punkten einer Geraden oder einer Ebene gewisse Beziehungen gesetzt werden, wenn dieselben auch nicht dazu ausreichen, die Gerade als Punktgebilde eindeutig zu definieren. Selbst wenn man — über die Axiome hinausgehend — bereits vereinbart hätte, das Wort Punkt solle den gewöhnlichen (sehr kleinen materiellen) Punkt bedeuten (und nicht etwa eine Kugel eines Kugelgebüsches), so könnten die Geraden und Ebenen entweder die gewöhnlichen sein, oder etwa Kreise und Kugeln eines parabolischen Gebüsches. Andere Beispiele lassen sieh leicht analytisch konstruieren: Man lege etwa homogene Koordinaten xlf x₂, xa, x± zu Grunde und nehme die Transformation

*1 = «42/i 2/2 2/3

(1) xi =    «22/32/42/1? x$~ «32/42/12/2

des ^-Raumes in einen «/-Raum vor. Dadurch gehen die Ebenen ulxl + u₃x₃ -f- uax₃ -4-    = 0 des x-Raumes in Flächen dritter Ordnung

(2)

«i«i 2/22/324 -f «2% 24 24 2/1 + «3% 2424 2/2 + «4 «4 24 24 24 = 0,

1) Zwei Punkte bestimmen eine Gerade, wenn sie nicht zu nahe beieinander liegen; zwei Geraden einer Ebene, die nicht parallel sind, bestimmen einen Schnittpunkt, doch dürfen sie nicht einen gar zu spitzen Winkel einschließen u. s. w.

die Geraden in die Sehnittkurven je zweier dieser Flächen über. Diese Abbildung ordnet aber nicht nur jedem Punkte (xif x%, xz, #₄) einen einzigen Punkt (tfa, y₂, yz, «/₄), sondern auch umgekehrt jedem (y₁, y2} yz, î/₄) einen bestimmten Punkt (xlf xi} xz, #₄) zu, denn aus (1) folgt:

(’-'j QDl~ ^2 ^3 *^4 J 9 y2 ~ ^2    ^4^1 > 9 V 3 ~ ®3 *^4 *^1 ^2 > 9Vi~ ®4    ^2 *^3 ?

wo p einen Proportionalitätsfaktor bezeichnet, der durch Einsetzen der Formeln (1) in (3) leicht bestimmt werden kann. Die Eindeutigkeit der Beziehung zwischen dem x-Raume und dem y Raume erleidet eine Ausnahme nur in den Punkten (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), den „Fundamentalpunkten" dieser Abbildung. Auch bei der Inversion gibt es einen (reellen) Fundamentalpunkt, das Inversionszentrum. Diese Ausnahmestellung der Fundamentalpunkte hat zur Folge, daß alle den Ebenen des x-Raumes entsprechenden Flächen dritter Ordnung durch diese vier Punkte gehen, wie Gleichung (2) zeigt. Sollen diese Flächen also im y-Raume die Rolle von Ebenen, ihre gegenseitigen Schnittkurven die Rolle von Geraden spielen, so müssen wir die Fundamentalpunkte in ähnlicher Weise vom «/-Raume ausschließen, wie wir im parabolischen Gebüsche zu dem gleichen Zwecke das Zentrum des Gebüsches ausgeschlossen hatten (§ 8). Man kann zeigen, allerdings nicht mit elementaren Mitteln, daß Euklidische Scheingeometrien, deren Scheinpunkte zugleich „wirkliche" Punkte sind, ohne daß die Scheingeraden und Scheinebenen „wirkliche" Geraden und Ebenen wären, nur auf die Weise möglich sind, daß vom Raume gewisse Punkte oder Linien ausgeschlossen werden.

16. Da muß nun die für die Erkenntnistheorie bedeutsame Frage aufgeworfen werden: Ist es möglich, die Axiome (der Gruppe V) so zu vervollständigen, daß eine vorgelegte Menge von Elementen nur auf eine einzige Weise sämtlichen Axiomen entsprechen kann? Oder, indem wir uns auf den gewöhnlichen (Punkt-)Raum beschränken: Lassen sich die eindeutigen und eindeutig umkehrbaren Transformationen der Euklidischen Geometrie, die jedem Punkte wieder einen Punkt zuordnen, durch geeignete Axiome von den Realisierungen der Hilbertschen Axiome ausschließen? Es gilt also, die Linearität einer Mannigfaltigkeit von drei Dimensionen eindeutig festzulegen, so daß man, um mit Kant zu reden, die Gerade „vom Punkt aus" erzeugen könnte.

Zur Beantwortung dieser Frage teilen wir die in Rede stehenden Transformationen ein in Kollineationen, die jede Ebene wieder in eine Ebene überführen, und in höhere Transformationen, die das nicht tun.

a) Die Eindeutigkeit der höheren Transformationen erleidet, wie unser Beispiel zeigt, in gewissen „Fundamentalpunkten“ eine Ausnahme, denen nicht ein einzelner Punkt, sondern unendlich viele entsprechen. Bei der Inversion ist das Inversionszentrum ein Fundamentalpunkt, dem alle unendlich fernen Punkte entsprechen. Es wird wohl möglich sein, die Existenz solcher Punkte durch geeignete Axiome auszuschließen, aber nicht durch Axiome, von deren Gültigkeit man sich an den Gebilden einer empirischen Geometrie überzeugen kann. Es genügt, das am Beispiele des parabolischen Kugelgebüsches zu beweisen, das ja, bei Ausschluß seines Zentrums 0, die Euklidische Geometrie realisiert, d. h. alle Axiome derselben erfüllt. Damit diese Geometrie auch empirisch mit der Euklidischen übereinstimmt (deren Geraden etwa durch den Weg der Lichtstrahlen oder durch gespannte Fäden realisiert seien), muß man 0 in großer Entfernung von der Erde, sagen wir etwa auf einem Fixsterne, annehmen. Ist diese Entfernung gleich n Erdbahnradien e, so hat die kleinste von der Erde aus zugängliche Kugel des Gebüsches den Radius r = nej2. Nach Formel (1) des § 11 ist die tangentiale Abweichung einer solchen Kugel von der Ebene im Abstande a vom Berührungspunkte gleich 1/1000 mm, wenn man a = Yneh— h², also angenähert a — 0,38 j/n km annimmt. Für den nächsten Fixstern (a Centauri) ist ungefähr n = 227000, also rund a — 180 km. Diese Kugel realisiert also die Ebene mit ganz ungeheurer Genauigkeit. Verlegt man 0 in noch größere Ferne, so könnte diese Kugel in den genauesten astronomischen Berechnungen als Ebene betrachtet werden. Unter dieser Voraussetzung ist also die Scheingeometrie des § 8 axiomatisch und empirisch von der Euklidischen nicht zu unterscheiden: Oder besser gesagt, sie ist eine Euklidische, da eine solche ja nicht genauer realisiert werden könnte.

Selbst wenn wir die natürlichen Beobachtungsgrenzen erheblich erweiterten, könnten wir nie eine Abweichung dieser „Schein“-Geometrie von der „wirklichen“ konstatieren, und folglich nie feststellen, ob ein den Punkt 0 betreffendes Axiom erfüllt ist oder nicht; wir können es zwar nicht beweisen, glauben aber behaupten zu dürfen, daß durch Axiome, deren Gültigkeit- im Endlichen schon konstatiert werden könnte, diese Scheingeometrie nicht von den Realisierungen der Euklidischen sich ausscheiden läßt.

Wir nahmen bis jetzt das Zentrum 0 des Gebüsches nur in sehr großer Entfernung an: aber mit demselben Recht, mit dem man in der Euklidischen Geometrie von unendlich fernen Punkten spricht, kann man sich auch 0 in unendlicher Ferne denken. Dann kann eine auf 0 bezügliche axiomatische Forderung überhaupt nicht auf ihre Gültigkeit geprüft werden.

Wenn es also auch gelingen mag, durch geeignete Axiome die höheren Transformationen der Euklidischen Geometrie als nicht zum Euklidischen Typus gehörig zu charakterisieren, so würden diese Axiome von ähnlicher Natur sein wie das Parallelenaxiom, das zwar begrifflich zulässig, aber praktisch nicht kontrollierbar ist. Wir haben diese Transformationen stillschweigend als algebraisch, ihre Fundamentalpunkte als reell vorausgesetzt, weil wir im allgemeinsten Falle mit unseren beschränkten Mitteln der Schwierigkeiten noch weniger Herr werden könnten.

b) Yon den Kollineationen kommen für uns nur die in Betracht, die alle unendlich fernen Punkte wieder in solche, also die „unendlich ferne Ebene“ in sich selbst überführen. Man nennt sie Affinitäten (vgl. § 11). Sind (x, y, z) und (§, rjf £) entsprechende Punkte der Affinität in den Koordinaten des § 12, so bestehen für alle §, 7), £ Beziehungen von der Form

% — 0*1% + y +    £ + dx,

y =    b₂rj    d

z =    + b₃V + C3% + ^3 >

mit konstanten Koeffizienten, und es gibt drei ganz ähnlich gebaute Gleichungen, die |, rj, £ durch x, y, z ausdrücken, ebenfalls mit konstanten Koeffizienten. Ob man nun diese Transformation, wie hier, rein analytisch, oder wie in § 11 rein geometrisch begründet, auf alle Fälle ist leicht einzusehen, daß sie ausnahmslos jeden Punkt wieder in einen Punkt, jede Gerade in eine Gerade, jede Ebene wieder in eine Ebene verwandelt, wobei die unendlich ferne Ebene in sich übergeht. Aus dieser vollkommen ausnahmslosen Eindeutigkeit und eindeutigen Umkehrbarkeit der Abbildung folgt: Wenn man die Bilder kongruenter Figuren wieder kongruent nennt und auch die übrigen Beziehungsbegriffe vom Original auf das Bild überträgt, so sind im Bilde des Euklidischen Raumes alle Axiome der Euklidischen Geometrie ohne Ausnahme erfüllt. Es gibt also unbegrenzt viele vollkommene Realisierungen der Axiome der Euklidischen Geometrie mit gewöhnlichen Punkten, Geraden und Ebenen, ohne daß die kongruent zu nennenden Figuren wirklich im empirischen Sinne kongruent wären. Von diesen Geometrien läßt sich aber keine als die „wirkliche“ Euklidische Geometrie aussondern durch Axiome, die reine Beziehungseigenschaften verlängern

17. Die Frage, von der wir in Artikel 16 ausgingen, ist also ablehnend zu beantworten. Selbst wenn man gewisse singuläre Stellen des Raumes durch Axiome verbietet, die, wie die Axiome von den Parallelen und von der Vollständigkeit, niemals als Kriterien der An-

wendbarkeit der begrifflichen Geometrie auf die Gebilde der sinnlichen Anschauung gelten können, gibt es noch unendlich viele (angenäherte) Realisierungen der Axiome der Euklidischen Geometrie mit „wirklichen“ Punkten, Geraden und Ebenen. Aber die Schuld dieser Vieldeutigkeit liegt, wie wir nun sehen, zugleich auch an der Kongruenz. Die Kongruenz wird durch die Hilbertschen Kongruenzaxiome nicht eindeutig festgelegt. Wir werden den Satz alsbald noch schärfer formulieren. Vorerst sei gewissen philosophischen Illusionen gegenüber bemerkt: Die Axiome der Geometrie enthalten keine Erzeugungsgesetze der Grundgebilde. Daß zunächst die Hilbertschen Axiome nicht die Erzeugung der Geraden „vom Punkte aus“ ermöglichen, ist schon gesagt. Aber auch andere Axiome können das nicht; denn wenn man ein rein begriffliches Erzeugungsgesetz hätte (das also keinerlei physikalische Mittel benutzen darf), so brauchte man nur eine Inversion mit sehr fernem Inversionszentrum hinzuzunehmen, um sofort ein Gebilde zu erzeugen, das in jeder Beziehung als Gerade gelten kann und erst in großer Ferne sich begrifflich (nicht materiell, da eine materielle Gerade eo ipso begrenzt ist) von einer gewöhnlichen Geraden unterscheidet. Abgesehen von dieser Art der Unbestimmtheit des Problems gibt es noch eine zweite viel tiefer liegende. Wir haben soeben gesagt, daß durch die Hilbertschen Axiome die Kongruenz nicht auf eindeutige Weise als ein Verfahren festgelegt werde, zu gegebenen Strecken und Winkeln in beliebiger Lage gleiche zu konstruieren; es gäbe vielmehr unendlich viele Verfahren, die den Hilbertschen Axiomen genügen. Man darf aber daraus nicht etwa schließen, daß diese Vieldeutigkeit die Kongruenz allein betreffe und fortfalle, wenn man von der Kongruenz absieht. Vielmehr sind die Begriffe der Inzidenz und der Anordnung, der Kongruenz, des Parallelismus und der Stetigkeit in den Hilbertschen Axiomen so miteinander verflochten und verquickt, daß es absolut unmöglich ist, sie aus dieser innigen Verbindung zu isolieren und jeden dieser Begriffe unabhängig von den anderen zu definieren; an der erwähnten Unbestimmtheit haben also alle Begriffe teil, auch der Begriff der Linearität, falls man ihn durch ein die punktuelle Lückenlosigkeit⁴) des Raumes sicherndes Axiom zu fassen suchte.

18. Die Axiome bewirken also nicht eine Synthesis, einen Aufbau der geometrischen Gebilde, sondern nur eine Auslese der geeigneten Mannigfaltigkeiten und Verknüpfungen aus der Gesamtheit aller denkbaren. Läßt man also das eine oder andere Axiom fallen, so wird die Auslese weniger streng, es werden dann Systeme als den

Ebene als „Bild“ zu, und diese Zuordnung erleidet nicht die geringste Ausnahme, während bei den „höheren“ Transformationen, wie wir ausführten, Fundamentalpunkte auftreten. Gebraucht man nun von den Bildern der Punkte, Geraden und Ebenen die Ausdrücke „quasiinzident“, „quasiparallell“, „quasikongruent“ u. s. w., falls den Originalen die Inzidenz, der Parallelismus, die Kongruenz u. s. w. von rechts-wegen zugesprochen werden muß, so ist diese Sprechweise in sich folgerichtig durchführbar, selbst wenn z. B. das Bild v\ der unendlich fernen Ebene im Endlichen liegt und zwei durch einen Punkt von r{ gehende Bilder a, b' von Geraden a, b als quasiparallel bezeichnet werden. Zur größeren Anschaulichkeit wollen wir aber nur eine affine Transformation des Raumes vornehmen, wobei die unendlich ferne Ebene in sich übergeht, und ihre Wirkung auf die Kongruenz untersuchen.

Wir erinnern vorerst an die Steiner sehen Linealkonstruktionen in § 5. Da der Quasiparallelismus unserer Scheingeometrie jetzt zugleich wirklicher Parallelismus ist, so können wir ohne Hilfskreis mit dem Lineale allein zu einer gegebenen Strecke quasikongruente auf derselben oder jeder parallelen Geraden konstruieren; um dagegen auf zwei sich schneidenden Geraden quasikongruente Strecken zu konstruieren, reicht das Lineal nicht aus; im ursprünglichen Raume R ist dazu nach § 5 eine Kugel nötig; ihr entspricht im transformierten Raume R' ein Ellipsoid, das wir Quasikugel nennen und in R' zu den Linealkonstruktionen des § 5 benutzen, als wenn es eine wirkliche Kugel wäre. Diese Konstruktionen widersprechen sich nie, obwohl die „Kongruenz“, die sie vermitteln, nicht die empirische ist. Yon einer Avirklichen Kugel kann man beliebig viel Punkte mit dem Lineal allein (unter Benutzung von Ebenen) konstruieren, wenn drei aufeinander senkrechte Durchmesser gegeben sind; ihre Bilder nennt man zueinander konjugierte Durchmesser des Ellipsoids. Da alle Linealkonstruktionen sich durch Affinität von der Kugel auf das Ellipsoid übertragen lassen und andererseits ein Ellipsoid durch drei beliebig angenommene paarweise konjugierte Durchmesser festgelegt ist, so können wir die vorläufige Bemerkung über die Kongruenz in Art. 17 so ergänzen: Aus jeder Verwirklichung der Kongruenzaxiome entspringen durch affine Umformung des Raumes unendlich viele andere; um von diesen eine bestimmte festzulegen, kann man drei beliebige Strecken x, y, z, die von demselben Punkte 0 ausgehen und nicht in derselben Ebene liegen, als zueinander „senkrecht“ und „kongruent“ definieren; sie bestimmen dann eine „Kugel“, die im Sinne des § 5 die „Kongruenz“ vermittelt. Soll nun diese „Kongruenz“ die empirische sein, die wir allein so zu nennen gewohnt sind, so

Ebene als „Bild“ zu, und diese Zuordnung erleidet nicht die geringste Ausnahme, während bei den „höheren“ Transformationen, wie wir ausführten, Fundamentalpunkte auftreten. Gebraucht man nun von den Bildern der Punkte, Geraden und Ebenen die Ausdrücke „quasiinzident“, „quasiparallell“, „quasikongruent“ u. s. w., falls den Originalen die Inzidenz, der Parallelismus, die Kongruenz u. s. w. von rechts-wegen zugesprochen werden muß, so ist diese Sprechweise in sich folgerichtig durchführbar, selbst wenn z. B. das Bild r\ der unendlich fernen Ebene im Endlichen liegt und zwei durch einen Punkt von r( gehende Bilder a, b' von Geraden a, b als quasiparallel bezeichnet werden. Zur größeren Anschaulichkeit wollen wir aber nur eine affine Transformation des Raumes vornehmen, wobei die unendlich ferne Ebene in sich übergeht, und ihre Wirkung auf die Kongruenz untersuchen.

Wir erinnern vorerst an die St einer sehen Linealkonstruktionen in § 5. Da der Quasiparallelismus unserer Scheingeometrie jetzt zugleich wirklicher Parallelismus ist, so können wir ohne Hilfskreis mit dem Lineale allein zu einer gegebenen Strecke quasikongruente auf derselben oder jeder parallelen Geraden konstruieren; um dagegen auf zwei sich schneidenden Geraden quasikongruente Strecken zu konstruieren, reicht das Lineal nicht aus; im ursprünglichen Raume R ist dazu nach § 5 eine Kugel nötig; ihr entspricht im transformierten Raume R' ein Ellipsoid, das wir Quasikugel nennen und in R’ zu den Linealkonstruktionen des § 5 benutzen, als wenn es eine wirkliche Kugel wäre. Diese Konstruktionen widersprechen sich nie, obwohl die „Kongruenz“, die sie vermitteln, nicht die empirische ist. Yon einer wirklichen Kugel kann man beliebig viel Punkte mit dem Lineal allein (unter Benutzung von Ebenen) konstruieren, wenn drei aufeinander senkrechte Durchmesser gegeben sind; ihre Bilder nennt man zueinander konjugierte Durchmesser des Ellipsoids. Da alle Linealkonstruktionen sich durch Affinität von der Kugel auf das Ellipsoid übertragen lassen und andererseits ein Ellipsoid durch drei beliebig angenommene paarweise konjugierte Durchmesser festgelegt ist, so können wir die vorläufige Bemerkung über die Kongruenz in Art. 17 so ergänzen: Aus jeder Verwirklichung der Kongruenzaxiome entspringen durch affine Umformung des Raumes unendlich viele andere; um von diesen eine bestimmte festzulegen, kann man drei beliebige Strecken x, y, z, die von demselben Punkte 0 ausgehen und nicht in derselben Ebene liegen, als zueinander „senkrecht“ und „kongruent“ definieren; sie bestimmen dann eine „Kugel“, die im Sinne des § 5 die „Kongruenz“ vermittelt. Soll nun diese „Kongruenz“ die empirische sein, die wir allein so zu nennen gewohnt sind, so

gibt es schlechterdings kein anderes Mittel, als jene drei Strecken x, y, z im empirischen Sinne (etwa mit dem Zirkel) möglichst genau zueinander senkrecht und kongruent anzu-nehrneu.

§ 14. Die Anschauung.

1. Wie der Regreß des lückenlosen, streng deduktiven Gefüges der geometrischen Lehrsätze schließlich auf Sätze zurückführt, die nicht weiter beweisbar sind, sondern als „Axiome“ die Grundgesetze des geometrischen Denkbereiches bilden, so ist die gesetzmäßige Erzeugung der den geometrischen Begriffen in der (sinnlichen) Anschauung entsprechenden Raum ge bilde nur möglich unter der Voraussetzung, daß die Grundgebilde gegeben sind; da die Ebene durch ein Strahlenbüschel erzeugt werden kann, dessen Strahlen eine gegebene Gerade schneiden, so brauchen in letzter Linie nur die Geraden erzeugt vorzuliegen, woraus jedoch nicht folgt, daß eine Gerade für sich definiert werden könne. Wohl aber läßt sich die axiomatische Definition der Ebene (Axiome I₄, I₅, I₆) vermeiden, wenn man die Ebene in der angegebenen Weise erzeugt und das Axiom aufnimrat, daß eine Gerade, die zwei Seiten eines Dreiecks trifft, auch die dritte schneiden muß, die Seiten als unbegrenzte Geraden genommen; doch erfordert in der Euklidischen Geometrie alsdann der Parallelismus eine andere Behandlung.

Außerdem muß noch angegeben sein, wie die in den Kongruenzaxiomen geforderten Beziehungen in eindeutiger Weise verwirklicht werden können. Bei der konstruktiven Vermittelung der Kongruenz durch die Steinerschen Linealkonstruktionen, die wir zu diesem Zwecke in § 5 vorgeschlagen haben, muß in jeder Ebene noch ein Kreis mit Mittelpunkt als existent angenommen werden. Diese Kreise kann eine einzige Kugel liefern, die vermittelst der gegebenen Geraden nach § 13 aus dem Mittelpunkt und drei aufeinander senkrechten und kongruenten Durchmessern ohne Benutzung der Kongruenzsätze Punkt für Punkt konstruiert werden kann. Die Gleichheit und Orthogonalität dieser drei Durchmesser ist jedoch nur nötig, um eine Übereinstimmung der rein begrifflichen Kongruenz mit der empirischen zu erzielen; an sich dürfen die drei Strecken, wie in § 13 bemerkt, ganz beliebig angenommen werden. Jene Punktkonstruktion liefert dann allerdings keine Kugel, sondern ein Ellipsoid, aber die durch dasselbe vermittelst der Steinerschen Konstruktionen erhaltene Quasikongruenz erfüllt alle Axiome (natürlich sind in diesem Falle die Schnittkurven Ellipsen, dieselben werden aber behandelt, als wären es Kreise). Wenn man solche Punkte als unendlich fern“ definiert, die

von keinem anderen Punkte aus durch eine endliche Zahl im Sinne der Kongruenzaxiome kongruenter Schritte erreicht werden können, so erhält man noch umfassendere Systeme von Geometrien, die allen Hilbert sehen Axiomen genügen, ohne mit der Geometrie unserer gewöhnlichen Anschauung identisch zu sein. Dann kann man nämlich nicht nur die drei „Durchmesser“ vollkommen willkürlich, ohne Rücksicht auf Gleichheit und Orthogonalität, annehmen, sondern sie brauchen auch durch den Mittelpunkt 0 nicht im empirischen Sinne halbiert zu werden. Führt man jetzt jene „Kugelkonstruktion“ aus, so entsteht ein Ellipsoid, das als (Schein-)Kugel bezeichnet eine Euklidische (Schcin-)Geometrie mit Euklidischer Kongruenz vermittelt: eine Standpunkte unserer gewöhnlichen Anschauung „im Endlichen gelegene“ Ebene rj wird zur „unendlich fernen Ebene“ jener Scheingeometrie im Sinne ihrer Kongruenz. In sich ist diese Euklidische Scheingeometrie vollkommen widerspruchsfrei. Nach Wahl des „Mittelpunktes“ 0, einer Durchmessergeraden xx und einer durch sie gehenden Durchmesserebene xy kann die Durchmessergerade yy noch oo⁵, die dritte Durchmessergerade zz noch oo⁶ 7 Lagen annehmen; fixiert man auf xx einen Punkt der „Kugel“, so bleiben für die fünf anderen Kugelpunkte auf den drei Durchmessergeraden noch oo⁵ Lagen zulässig. Es gibt somit oo⁸ verschiedene Geometrien, die gewöhnliche Punkte, Geraden und Ebenen voraussetzen und sämtliche Axiome der Euklidischen Geometrie erfüllen; keine dieser Geometrien kann durch rein geometrische Bestimmungen vor den anderen als die Euklidische Geometrie ausgezeichnet werden. Vielmehr ist dazu die empirische Bewegung eines im empirischen Sinne starren⁵) Körpers nötig.

vom

2. Mit Hilfe der als gegeben vorauszusetzenden Gebilde kann man alle anderen erzeugen durch Verfahren, die um so genauer funktionieren, je besser die benutzten Grundgebilde den Anforderungen der Axiome genügen. Da dies aber immer nur mit mehr oder minder großer Annäherung möglich ist, so besteht die reine, von allem Makel freie Geometrie nur in der Idee; ihre Gebilde existieren nicht in der Anschauung, sondern im Erzeugungsgesetz.

Vom Standpunkte dieser idealen Geometrie aus muß man das System der sinnlichen Raumgebilde als eine äußerst anschauliche, aber immerhin unvollkommene Realisierung der reinen Ideen bezeichnen. Es ist überdies nicht die einzig mögliche. Denn da die Punkte, Ge-

raden und Ebenen nur Vertreter von Gattungsbegriffen, nämlich der Raumgebilde nullter, erster und zweiter Stufe einer dreidimensionalen linearen Mannigfaltigkeit sind, und die Axiome der Geometrie auch von diesen allgemeinen Gebilden erfüllt werden, so versinnlichen die gewöhnlichen Raumgebilde die ideale Geometrie in der mannigfachsten Weise: jedes Raumgebilde kann die Rolle des idealen Punktes übernehmen. So erscheinen also die materiellen Punkte, Geraden und Ebenen der gewöhnlichen Geometrie nur als eine von unendlich viel möglichen Versinnlichungen, als anschauliche Illustration, oder, um mit Plato zu reden, als jiccquöstypa (Beispiel) der idealen Geometrie. Diese verschiedenen Paradigmata der idealen Geometrie im voraus begrifflich voneinander zu unterscheiden, nicht etwa relativ zu einem von ihnen, bedeutet ein neues, äußerst schwieriges Problem der Geometrie, zu dessen Lösung, wenn sie überhaupt möglich ist, jedenfalls neue Begriffe in die Geometrie aufgenommen werden müssen.

3. Alle Sorgen, die man sich in den landläufigen Darstellungen der Geometrie macht, durch Grenzprozesse in der empirischen Anschauung exakte, den Axiomen völlig entsprechende Punkte, Geraden und Ebenen zu erzielen, betreffen also immer nur das Paradigma, das Illustrationsmaterial der reinen Geometrie, und speziell die Euklidischen Definitionen der Grundgebilde können nur als Beschreibungen dieser Illustration gelten. Zur Sicherung der geometrischen Wahrheit wird dadurch nicht beigetragen. Eine exakte Wissenschaft ist die Geometrie, weil sie ihre Grundbegriffe selbst erzeugt, zwar anknüpfend an die Erfahrung und zum Zweck, diese zu bestimmen, aber nicht in dem Sinne auf dieselbe gestützt, daß die Erfahrung etwa als erster Erkenntnisgrund diente, wenigstens insoweit es sich um wissenschaftliche Geometrie handelt. Die Erfahrung hat für die im Ausbau begriffenen Systeme der Geometrie einzig und allein den Wert, daß sie zur Aufstellung des Problems der Geometrie führt, im Verein mit der Physik und Mechanik ein geordnetes Weltbild zu gewinnen. Ohne ein solches Endziel wäre der Geometrie der Zufluß neuer, befruchtender Gedanken von außen her ab ge schnitten, sie hatte nicht mehr Erkenntniswert wie ein geistreiches Spiel, z. B. das Schachspiel, das ja seine Grundbegriffe und Axiome ebenfalls selbst erzeugt und als exakte Wissenschaft zu bezeichnen wäre, wenn der Begriff des richtigsten Zuges (eventuell unter weiterer Einengung der Spielaxiome) feststände. Soll aber ein Denkbereich zur begrifflichen Bestimmung der Raumgebilde geeignet sein, so muß er die in der empirischen Raumanschauung immer schon vorhandenen Ansätze ordnenden Denkens herausgreifen und zu freier Entfaltung bringen. Daher die Notwendigkeit, beim Unterricht von der Erfahrung auszugehen. Da aber die der empirischen Anschauung entnommenen Ansätze noch

nicht allseitig miteinander verknüpft sein können, so ist man im voraus nicht sicher, ob sie, zu freier Entfaltung gebracht, miteinander überhaupt vereinbar sind. Ich finde z. B., schon ehe ich Geometrie treibe, den Begriff der Ähnlichkeit in mir ziemlich scharf ausgebildet, desgleichen die Anschauung, daß eine Gerade nach jeder ihrer beiden Richtungen ins Unendliche läuft. Es widerspricht der unbefangenen Anschauung, diese zwei unendlich fernen Punkte in einen zusammenfallen zu lassen, wie es die parabolische Geometrie annimmt; erst durch Scheinbeweise (mittels eines Strahlenbüschels) läßt man sich überzeugen, daß diese Punkte in Wirklichkeit miteinander identisch „sind“. Wenn ich nun in ein geometrisches System den Begriff der Ähnlichkeit und der beiden unendlich fernen Punkte einer Geraden aufnehme, darf ich da im voraus erwarten, daß diese Begriffe miteinander verträglich sind? Tatsächlich sind sie es nicht, in der hyperbolischen Geometrie gibt es keine Ähnlichkeit, wenigstens nicht auf Grund der Euklidischen Definition. Dieses Beispiel zeigt, daß die landläufigen Begriffe der Erfahrung nicht ihren Gegenstand völlig bestimmen, denn sonst wären Widersprüche zwischen den so gewonnenen Begriffen nicht möglich, wenn anders man die Möglichkeit der Erfahrung nicht in Frage stellen will. Die Erfahrung läßt sich eben nicht durch Gesetze bestimmen, die jeder sozusagen mit Händen greifen kann; was man an Gesetzen „der Anschauung zu entnehmen“ glaubt, sind im günstigsten Falle nur Annäherungen, die den ersten ordnenden Versuchen unseres Denkens entstammen. Daraus entspringt für die Geometrie die Pflicht, die gegenseitige Verträglichkeit ihrer Grundannahmen zu beweisen, wie das in den „Grundlagen der Geometrie“ von Hilbert zuerst geschehen ist.

4. So wird denn der berechtigte Stolz der idealen Geometrie auf die schöpferische Tätigkeit des menschlichen Geistes in Schranken gehalten durch die Erkenntnis, daß die ideale Geometrie, die sich mit den gegenwärtigen Mitteln der Wissenschaft auf bauen läßt, noch lange nicht die Geometrie ist. Wenn das Problem der Geometrie darin besteht, unter Mithilfe der Mechanik und Physik den Inhalt unserer Empfindungen zu einem einheitlichen Weltbilde zu ordnen, dann ist die Bestimmung unserer empirischen Raumanschauung sowohl der Ausgangspunkt, als auch das ferne, vielleicht nie erreichbare Ziel aller Geometrie. Das geometrische System von Pasch, das wir in § 7 als „natürliches“ zu skizzieren versucht haben, bedeutet in diesem Entwicklungsgänge der Geometrie also nicht das erreichte Ende, sondern erst den Anfang; auch diese Geometrie macht ja ihr Glück dadurch, daß sie schließlich mit reinen Begriffen arbeitet, die ihren Gegenstand nur an genähert bestimmen; aus diesem reinen Begriffe allein folgert sie ihre Lehrsätze; denen hinterher durch einschrän-

kende Zusätze (auf Grund der Stetigkeit des Raumes), wie „ungefähr“, „im allgemeinen“, „wenn die Bestimmungsstücke nicht zu ungünstig liegen“ u. s. w. ihre Schärfe genommen wird. Wollte eine Geometrie die Eigenschaften von Geraden und anderen Kurven der Ebene bestimmen, die mit Bleistift und Lineal hingezeichnet sind, so müßte sie dem Umstand Rechnung tragen, daß wirkliche Punkte immer eine Ausdehnung, wirkliche Geraden immer eine Dicke haben. Um auf Gesetze zu kommen, könnte man den Punkt als kleinen Kreis, die Gerade als schmalen Parallelstreifen definieren. Läßt man den Streifen in einer Ebene sich so bewegen, daß er zwei kreisartige Punkte A, B derselben wenigstens teilweise bedeckt, im Grenzfalle berührt, so wird er ein Gebiet cp {A, B) überstreichen, den „Spielraum“, in welchem die streifenartige Gerade durch A, B festgelegt ist. Zwei solcher Spielräume cp (J., B) und cp (C, D) haben dann ein Gebiet ^ gemeinsam, den „Spielraum“ des Schnittpunktes der Geraden AB und CD. Die Aufgabe dieser Geometrie wäre, die Abhängigkeit des Spielraumes cp (A, B) von A und B, des Gebietes i/j von cp {A} B) und cp (G, D) untersuchen, indem man etwa, um einfache Gesetze zu erhalten, das Gebiet cp durch eine Hyperbel, das Gebiet rjj durch eine geeignete Ellipse angenähert ersetzt. Dies ist aber eines der Hauptprobleme der „Approximationsgeometrie“, wovon wir in § 7 gesprochen haben.⁸) Es braucht kaum gesagt zu werden, daß auch diese Geometrie vereinfachende Annahmen machen muß, die zudem nicht möglich wären ohne eine vorausgehende reine Geometrie, die den Begriff völlig bestimmter Punkte, Geraden und Ebenen hat. Versucht man dieser Notwendigkeit dadurch zu entgehen, daß man sich darauf beruft, die Grenzen der Streifen seien selbst wieder Streifen, nur feinere, so muß man diesen feineren Streifen ihrerseits wieder Grenzen zuschreiben u.s.w. Damit wird die Approximationsgeometrie zur Grundlage für eine Näherungsgeometrie zweiter Ordnung, auf die sich eine von der dritten Ordnung stützt u. s. w. Aber keines dieser Systeme könnte Gegenstand einer Wissenschaft werden ohne Annahmen, die eine mit unseren jetzigen Begriffen faßbare Gesetzmäßigkeit hineinlegen, und das ist nur auf Grund einer Geometrie möglich, die den Begriff bestimmter Punkte, Geraden und Ebenen hat. Daraus ergibt sich mit zwingender Notwendigkeit, daß man im guten Recht ist, eine beabsichtigtermaßen ideale Geometrie zu entwerfen; ohne es zu wollen,

zu

ist ja jede Geometrie eine ideale, wenn es auch bei der Darstellung nicht klar zum Ausdruck kommt.⁹)

5. Wie ist aber diese ideale, aller sinnlichen Realität entbehrende Geometrie auf die empirische Wirklichkeit anwendbar, zu deren gesetzmäßiger Erklärung sie doch geschaffen ist? Diese Frage muß ersichtlich überall aufgeworfen werden, wo man die Erscheinungswelt durch reine Begriffe auf Gesetze bringen will. In zahlreichen Fällen wird die Anwendung der Idee auf die Wirklichkeit durch ein Verfahren erreicht, das, je mehr die Mathematik sich begrifflich vervollkommnet, immer deutlicher als eine ihrer fundamentalsten, fruchtbarsten Methoden hervortritt; wir meinen das Verfahren der Klassenbildung. Es hat uns im ersten Bande zur Verwirklichung der Irrationalzahlen mittels der Dedekindschen Schnitte gedient, wir gründen darauf im dritten Bande die Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf Naturvorgänge-, es führt in der Gruppentheorie zur Idee der abstrakten Gruppenelemente, in der Theorie der algebraischen Zahlen zu der von Dedekind gefundenen Realisierung der Idealzahlen. Auf diesem Wege hat denn auch Heinrich Weber in einem Anhänge in der ersten Auflage des zweiten Bandes versucht, einen Zusammenhang zwischen der reinen begrifflichen Geometrie und unserer empirischen Raumanschauung herzustellen. Den wesentlichen Inhalt dieses Anhanges, der beträchtlich erweitert auch in der von E. Weber besorgten Übersetzung von Poincares „Wert der Wissenschaft“ S. 217 Aufnahme gefunden hat, wollen wir hier folgen lassen.

„Die ursprüngliche Vorstellung vom Raume enthält nichts genaues, nichts scharfes in sich. Es gibt darin keinen Punkt, keine Linie, keine Fläche und also auch keine Maße und keine Geometrie.

Diese Begriffe sind Schöpfungen des denkenden Geistes, und zwar entspringen sie aus der allerallgem ein sten, fundamentalsten und fruchtbarsten Geistestätigkeit, der Bildung von Gattungsbegriffen, Klassen oder Ideen.¹⁰)

Diese Ideenbildung vollzieht sich in unserer Seele unbewußt, und ich will es dahingestellt sein lassen, ob unsere Raum- und Zeitanschauung selbst das Ergebnis einer Ideenbildung ist. Der Nachweis der einzelnen Schritte und ihres Zusammenhanges ist eine schwere und verwickelte Aufgabe, die noch kaum in Angrilf genommen ist, von der aber eine tiefere Einsicht in die Grundlagen der Geometrie abhängt. Denn wie können Beweise befriedigend ausfallen, so lange man nicht weiß, was die Dinge sind, deren Eigenschaften man erkennen will?

Wir wollen hier versuchen, an dem einfachsten Fall, dem Begriff des Punktes, den Weg darzulegen, auf dem die Lösung der Aufgabe gesucht werden könnte.

Wie schon bemerkt, haben wir in unserer Raum Vorstellung keine scharfeu Grenzen. Bei keinem physischen Körper können wir, wie sehr wir auch die Beobachtung verschärfen mögen, genau angeben, was zu ihm gehört, was nicht.

Ich gehe aber von folgenden, der Anschauung entnommenen Voraussetzungen aus:

1.    Ich unterscheide im Raume verschiedene Raumteile, die nicht scharf gegeneinander abgegrenzt sind.

2.    Jeder Raumteil hat selbst wieder Teile, die nicht mit ihm identisch sind (echte Teile).

3.    Ist A irgend ein Raumteil, so gibt es von A verschiedene Raum teile Ä, die unzweifelhaft in A enthalten sind, und andere Raumteile A", die mit A unzweifelhaft nichts gemein haben.

(Außerdem gibt es noch Raumteile, die mit A einen Teil gemein haben oder bei denen die Sache der unscharfen Grenzen wegen zweifel

haft ist.)

In diesen Voraussetzungen ist die Kontinuität der Raumanschauung enthalten.

wenn

Ein Raumteil Ax heißt kleiner als A (AX<CA oder A^> Ax)} Ax nicht mit A identisch, aber unzweifelhaft in A enthalten ist. Es heißt dann Ax ein Teil von A.

4. Ich gehe aus von einem beliebigen Raumteil A und nehme einen Teil Ax von A, sodann einen Teil A₂ von Ax, einen Teil A3 von As u. s. f. unbegrenzt. Die so entstandene Reihe von Raumteilen

• "t

•A-i Ax, A₂, .

An, ... (a)

nenne

und bezeichne sie mit a.

ich (in Ermangelung eines besseren Wortes) eine Raumreihe

5. Sind

a = A, Ax, A₂, . b = B, Ą, B₂, . . ., Bm, .. .

zwei Raumreihen, so haben wir folgende Fälle zu unterscheiden:

• ‘7

A.n, . .

Weber u. Wellstein: Enzyklopädie. II. 3. Aull.

a) Es läßt sich zu jedem noch so großen n ein v bestimmen von der Art, daß Bv und folglich auch Bv + l, Bv+2, . . . Teile von An sind.

In diesem Falle nennen wir b in a enthalten.

Ist & in a und eine dritte Raumreihe c in b enthalten, so ist auch c in « enthalten.

so nennen wir

ß) Enthalten a und b sich gegenseitig,

a und b einander gleich oder äquivalent (a = b). Sind zwei Raumreihen a und b einer dritten c gleich, so sind sie auch untereinander gleich.

Alle untereinander gleichen Raumreihen a, b, c . . . fassen wir zu einer neuen Idee zusammen, die wir ein Raumelement nennen. Wir bezeichnen es mit einem griechischen Buchstaben und setzen etwa

a = a, b, c,

Jede der Raumreihen a, b, c, ... oder jeder der Raumteile Am, Bn, Cp, ... ist ein Repräsentant des Raumelementes.

y) Wenn b in a, aber nicht a in & enthalten ist, so heißt b ein Teil von a oder b kleiner als a, oder a größer als b (a > b, b < a).

Wenn a größer ist als b, b größer als c, so ist auch a größer

als c.

Die Beziehung a > b bleibt erhalten, wenn a und b je durch eine gleiche Raumreihe ersetzt werden und überträgt sich daher auf die Raumelemente.

Es gibt aber auch Raumreihen und Raumelemente, die keine Größenbeziehung (im Sinne von /3), y)) zueinander haben.

6.    Ein Raumelement a heißt ein (geometrischer) Körper, wenn es einen Raumteil K gibt, der in allen Raumteilen An einer repräsentierenden Raumreihe enthalten ist. Es folgt dann, daß K in allen zu a gehörigen Raumteilen enthalten ist.

7.    Ein Raumelement, das keinen Teil hat, heißt ein Punkt.

Diese Definition besagt nach y): Eine Raumreihe a repräsentiert einen

Punkt, wenn jede in a enthaltene Raumreihe b auch ihrerseits a enthält.¹)

1) Hier werden wir also auf das Euklidische „JCłj/móv èartv, ov utQog ov&évil geführt, wenn ich auch nicht behaupten will, daß es bei Euklid so zu verstehen ist. Im Gegenteil, ich kann mich trotz der Einwendungen, die von philologischer Seite dagegen gemacht werden, wenn ich die Euklidischen Definitionen 1, H, IY, die in § 1, 2. dieses Bandes zusammengestellt sind, betrachte, nicht ganz der Vermutung entschlagen, daß Euklid (in umgekehrter Reihenfolge) sagen wollte: „Eine Fläche ist, was nur Länge und Breite hat. Eine Linie ist Länge ohne Breite. Ein Punkt ist, was weder Länge, noch Breite, noch Dicke hat.“

Hier würde nun der Satz folgen, daß es in jedem Raumteil Punkte gibt. Dieser Satz läßt sich vielleicht noch weiter reduzieren, muß aber einstweilen als Axiom angenommen werden.

Das weitere Ziel wäre dann eine entsprechende Definition für die Begriffe Linie und Fläche. Diese Aufgabe dürfte nicht so einfach sein, wie es auf den ersten Blick scheinen könnte, und müßte sich auf tiefer gehende Untersuchungen über die „analysis situs“ (in dem Sinne von § 7, 5.) stützen.

Schließlich sei noch die wohl selbstverständliche Bemerkung gemacht, daß die auf Anwendungen aller Art gerichtete Sprech- und Denkweise an Stelle der Ideen irgend einen passenden Repräsentanten setzt, genau so, wie der praktische Rechner an Stelle einer irrationalen Zahl eine genäherte rationale Zahl setzt.“ Soviel aus dem Weberschen Versuche.

6. Es wäre wünschenswert, wenn diese Anregungen weiter verfolgt würden. Ein anderes Verfahren zur Verknüpfung der idealen Geometrie mit der empirischen Wirklichkeit besteht im Grenzprozeß; nur muß man es vermeiden, die empirische Anschauung künstlich mit den reinen Begriffen in Übereinstimmung bringen zu wollen. Es ist das offenbar eine Rückwirkung der begrifflichen Vollkommenheit der Geometrie auf ihren sinnlichen Gegenstand, soweit nicht einfach nur ein Übersehen der Abweichungen der sinnlichen Gebilde von den begrifflichen vorliegt. Künstlich glaubt man sie beseitigen zu können durch Grenzübergänge. Von der Einsicht ausgehend, daß die hingezeichneten Gebilde den Axiomen (im Endlichen) um so genauer entsprechen, je feiner und sorgfältiger man zeichnet, schließt man auf völlige Exaktheit der (sinnlichen) Figuren, falls man den Punkt zum vollständigen Nichts abnehmen läßt, der Geraden jede Breite und Tiefe nimmt und die Ebene nur Länge und Breite ohne Tiefe sein läßt. Auf das Unerlaubte dieses Schlusses haben wir schon im ersten Abschnitte hingewiesen. Der richtig geleitete Grenzprozeß kann vernünftigerweise nur den Zweck haben, durch die unendliche Vorstellungsreihe in fortwährender Verfeinerung begriffener Punkte, Geraden und Ebenen 1) die Idee* vollkommen exakter Grundgebilde als möglich und notwendig nachzuweisen und 2) rückwärts ein Verfahren zu gewinnen, wie diese Idee auf empirische Objekte angewandt werden kann. Der Grenzprozeß ist also der Schematismus dieser reinen Begriffe im Sinne Kants, d. h. das Verfahren, wie dieselben auf sinnliche Objekte allein bezogen werden können. Mit den reinen Begriffen des Punktes, der Geraden und Ebene selber haben die Grenzprozesse nichts zu tun, denn auch Kugeln, Kreise, Zahlentripel u. s. w. können die Rolle von Punkten übernehmen.

7. In ganz anderer Richtung sucht Kant die Anschauung mit den reinen Begriffen in Einklang zu bringen, indem er eine vom reinen Denken und der (sinnlichen) Anschauung verschiedene Erkenntnisquelle apodiktischer geometrischer Wahrheiten, die reine Anschauung a priori annimmt. Um zu dieser schwierigen Frage auf Grund mathematischer Betrachtungen Stellung zu nehmen, gehen wir von einer Bemerkung des Philosophen Natorp aus: „Den Mathematikern ist der allgemeine Begriff von Räumen beliebiger Dimensionszahl und verschiedener Charakteristik so in Fleisch und Blut übergegangen, daß ihnen oft jedes Verständnis abgeht für den Euklidischen, Newtonschen und Kantschen Begriff des Raumes, welchem das Merkmal deT Einzigkeit wesentlich ist. Das hat einen begreiflichen Grund: dies Merkmal der Einzigkeit ist in der Tat nicht mehr von rein mathematischer Begründung, sondern es ist gefordert durch den Begriff der Existenz, der überhaupt nichts weiter als Bestimmtheit in einziger Weise, im Unterschied von der unendlichen Vielheit offener Möglichkeiten, besagt. Dieser fordert sie aber in der Tat bedingungslos. Es ist kein Ort des Existierens eindeutig-bestimmt, wenn nicht der Raum selbst, der ja nur das System der Bedingungen der Ortsbestimmung besagt, eindeutig bestimmt ist. Daraus entsteht aber, obwohl die Forderung selbst keine rein mathematische ist, doch die Aufgabe für die Mathematik, nachzuweisen, aus welchen Voraussetzungen diese verlangte Geschlossenheit und damit Einzigkeit des Systems der Ortsbestimmungen möglich ist.“ (Unterrichtsblätter für Math. u. Naturw., 1902, Heft 1.) Die Existenz des Raumes, d. h. in diesem Zusammenhänge: eines geometrischen Systems als des einzigen, absolut bestimmten, ist die fundamentale Voraussetzung der rein begrifflichen Mechanik, und zwar fordert letztere eine Geometrie, in der die Kongruenz unabhängig vom Begriffe der Bewegung definiert ist, um umgekehrt den Begriff der Bewegung und des starren Körpers auf die Kongruenz rein begrifflich gründen zu können. Man würde sich vollständig im Kreise bewegen, wollte man die Kongruenz auf die Bewegung und den Begriff des starren Körpers auf die Kongruenz stützen. Unter Voraussetzung der Kongruenz ist Bewegung zunächst ganz zeitlos die Erzeugung einer stetigen Reihe von gleichwendig kongruenten Figuren, so daß homologe Punkte gewisse Kurven, ihre „Bahnen“, stetig erfüllen. Die verschiedenen Figuren heißen „Lagen“ einer von ihnen, „der bewegten“; jede der kongruenten Figuren kann „die“ bewegte sein. Die Abstände eines bewegten Punktes von seinen verschiedenen Lagen, gemessen auf seiner Bahn, heißen seine Wegstrecken bis zu diesen Lagen oder die durchlaufenen Wege. Unter dem Begriff der Zeit nun verstehen wir eine Bestimmung mit Größencharakter, die hinzutreten muß, um die Lagen eines bewegten Punktes voneinander zu unterscheiden, und zwar sollen dieser Größe die Weglängen des Punktes eindeutig und stetig zugeordnet sein. Vermöge dieser Zuordnung bat die Zeit nur eine Dimension, kann also durch eine Veränderliche t gemessen und abgebildet werden. Die Bewegung eines Punktes auf gerader Bahn heißt „gleichförmig“, wenn die Zeit dem Weg proportional ist; hierauf gründet man in bekannter Weise die Definition der Geschwindigkeit und der Beschleunigung. Die Punkte einer Geraden können auf unendlich viele Weisen durch eine Variable t festgelegt; werden, d. h. ein Punkt kann sich auf einer Geraden auf unendlich viele verschiedene Weisen bewegen.

die einzelnen Taktschläge nicht zu rasch und

wenn

Zur Charakterisierung eines materiellen Punktes reicht der geometrische Punktbegriff nicht aus, man muß dem Punkte noch einen Größenbegriff zuordnen, die Masse, der von der Zeit unabhängig ist. Zeit und Masse sind die Grundbegriffe der Mechanik. Die vorangehenden Definitionen wollen angesichts der großen Schwierigkeit des Gegenstandes nur als vorläufige Versuche gelten, Zeit und Masse soweit zu bestimmen, als diese Begriffe für die reine Mechanik nötig sind. Bei der Anwendung derselben auf die Wirklichkeit muß noch der Schematismus dieser Begriffe, die Einführungsbestimmung der in ihnen liegenden Gesetzgebung, angegeben werden. Der Schematismus der Zeitmessung bereitet außerordentliche Schwierigkeiten, die in der Eindimensionalität der Zeit ihren Ursprung haben. Da man auf einer Geraden nicht ohne Benutzung anderer Raumgebilde gleiche Strecken konstruieren kann, so lassen sich gleiche Zeiten empirisch nicht konstruktiv, sondern nur durch einen rhythmischen Bewegungsvorgang, etwa den Pulsschlag oder die Pendelschwingung, geben. Von der Zeit haben wir nur die allgemeine Größenanschauung und das Gefühl für Rhythmus, nicht allzu langsam folgen.¹¹)

In unserer Darstellung der Grundbegriffe haben wir versucht, die Bewegung als den ursprünglicheren Begriff hinzustellen, auf den der Zeitbegriff sich stützt. Die Bewegung ist andererseits die Quelle des Kraftbegriffes. Als natürlicher, „unbeeinflußter“ Bewegungszustand eines materiellen Systems gilt nämlich das Fortschreiten seiner Punkte auf gerader Bahn. Anders verlaufende Bahnen werden in bekannter Weise durch Kräfte erklärt, die dem Körper Beschleunigungen nach verschiedenen Richtungen „erteilen“; diesen folgt er nach dem ParaL-lelogrammgesetz. Wie innig hier die Mechanik mit der Geometrie

verwachsen ist, kommt am schlagendsten zum Ausdruck in dem obersten Prinzip, aus welchem der große Physiker Heinrich Hertz die ganze Mechanik deduziert hat: Jedes freie System beharrt in seinem Zustande der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung in einer geradesten Bahn (Werke III, S. 162 u. S. 100).

8. Wenn auch Kant im einzelnen sich diese Dinge anders zurechtgelegt haben wird, so muß ihn doch das Studium von Newtons „Philosophiae naturalis Principia Mathematical (London 1687) auf ähnliche Gedankengänge gebracht haben, aus denen er die Überzeugung von der Notwendigkeit einer auf einzige Art bestimmten Geometrie, gleichsam der Weltgeometrie, geschöpft hat. Daß das nur die Euklidische Geometrie sein könne, war für Kant eine der unumstößlichsten wissenschaftlichen Tatsachen. Wäre diese Ansicht begründet, so läge hier eine Erkenntnis von ungeheuerer Tiefe und gewaltiger Tragweite vor, eine Erkenntnis, die weder aus der Erfahrung stammen kann, weil ihre einzigartige Notwendigkeit für den Aufbau des geordneten Weltsystems feststände, noch aus der Zergliederung von Begriffen, weil die Grundbegriffe der Mathematik und Mechanik erst durch die Axiome erzeugt werden; denn als Weltgeometrie kann die Euklidische Geometrie nur in ihren Axiomen erkannt sein, die als solche aber den Grundbegriffen vorhergehen und. ihre (formale) Definition erst möglich machen. In diesem grundlegenden, eine einheitliche rein begriffliche Wissenschaft erst ermöglichenden Charakter dieser ganzen Erkenntnis beruht das, was Kant mit dem Worte a priori¹²) ausdrücken will.

An diesem Punkte setzt Kants „Kritik der reinen Vernunft“ und ihre Erläuterung in den „Prolegomena“ ein. Es steht fest, daß Mathematik und Physik auf Erkenntnissen a priori beruhen. Wo kommen diese her, da sie nicht aus der Erfahrung, noch aus der Zergliederung von Begriffen gewonnen sein können? Die aparte Erkenntnisquelle, aus der diese Wahrheiten geflossen sein müssen, nennt Kant die reine Anschauung a priori. Wie ist diese aber möglich? Stellte die Anschauung die Dinge vor, so wie sie an sich sind, so wäre eine Anschauung a priori gar nicht denkbar, denn die Eigenschaften der Dinge, die diesen unabhängig von mir zukommen, kann ich nur wissen, wenn ich die Dinge vor Augen habe. „Freilich ist es auch dann unbegreiflich, wie die Anschauung einer gegenwärtigen Sache mir diese sollte zu erkennen geben, wie sie an sich ist, da ihre Eigenschaften nicht in meine Vorstellungskraft hinüberwandern können“.¹) Jedenfalls aber könnte diese Anschauung nicht a priori sein. So lange überhaupt die Anschauung sich nach den Dingen richtet, kommt man über diese Schwierigkeit nicht hinaus; wie aber, wenn umgekehrt sich die Dinge nach ihrer Anschauung richten, wenn Raum und Zeit die unserem Geiste eigentümlichen Ordnungsprinzipien sind, durch die er den Chaos unserer Empfindungen entwirrt und uns das Weltbild zusammensetzt? Nur auf diese eine Weise ist Erkenntnis a priori denkbar, „wenn sie nämlich nichts anderes enthält als die Form der Sinnlichkeit, die in meinem Subjekt vor allen wirklichen Eindrücken vorhergeht, dadurch ich von den Gegenständen affiziert werde“.²) Folgerichtig müßte hier das Subjekt aus dem Spiele bleiben, da das Ich ja schließlich von diesem Gesichtspunkte aus ebenso sehr ein Ergebnis der Erkenntnis ist als die Gegenstände. Diese werden also nicht an sich erkannt, sondern so, wie sie uns, verarbeitet durch unsere Erkenntnisprinzipien, erscheinen.

So ungefähr läßt sich Kants Lehre vom Raume, der transzendentale Idealismus, soweit es überhaupt in kurzen Worten möglich ist, wiedergeben. Absichtlich haben wir dieselbe nicht in der vollen Reinheit darzustellen versucht, zu der sie sich in ihrem mathematischen Teile ausbilden ließe³), weil Kant selber nur an einzelnen Stellen zum vollendeten Idealismus, der allen Sensualismus überwindet, vorgedrungen ist. Besonders die Beispiele, die Kant der Mathematik entnimmt, sind seinen eigenen Absichten häufig ungünstig und wissenschaftlich nicht einwandsfrei.⁴)

9. Angesichts der Tendenz der modernen Geometrie, sich zu einer reinen Begriffswissenschaft auszubilden, kann es uns nicht gleich-

1)    Prolegomena, § 9.

2)    Prolegomena, § 9.

3)    In der Richtung von Cohen, Natorp, vgl. etwa Natorp, Sozialpädagogik, § 1—5, und Natorp, Die logischen Grundlagen der exakten Wissenschaften. Man wird bemerken, daß ich der Marburger Schule nahe stehe; nur wo diese zu der Anwendung ihrer Denkweise auf die speziellen Probleme der Mathematik und Physik übergeht, vermag ich nicht zu folgen, wenn es mir auch in wenigen Worten nicht möglich ist, scharf zu sagen, was uns trennt. Die geringe Rücksichtnahme auf die Ergebnisse der kritischen Mathematik, die bei allen Marburgern auffällt, nötigt jedenfalls jeden Mathematiker, eine Trennungslinie zu ziehen.

4)    Man beachte etwa Prolegomena, § 12 und § 13, die unzulässige Definition der Kongruenz.

gültig sein, ob außer dem Begriffsdenken noch eine andere Erkenntnisquelle geometrischer Wahrheiten in Betracht kommt, die nicht bloß Anregungen geben will, sondern auf absolute Glaubwürdigkeit Anspruch macht. Wir können daher nicht umhin, zu der Erkenntnislehre Kants Stellung zu nehmen, indem wir uns erlauben, das mathematische Beweismaterial Kants vom Standpunkte der seit Kant erheblich fortgeschrittenen mathematischen Kritik nachzuprüfen.

von der inneren Not-

Das Bewußtsein von der einzigartigen Stellung der Euklidischen Geometrie als der durch die Einheit der exakten Naturwissenschaften geforderten, die wissenschaftliche Überzeugung

wendigkeit ihrer Axiome zur Erklärbarkeit des W^eltganzen, wie sie Kant voraussetzt, haben wir nicht und können sie vorläufig auch gar nicht haben, weil unsere Kenntnisse über die Grundlagen der Mathematik, Mechanik und Physik viel zu lückenhaft sind, als daß man über ihre gegenseitige Verträglichkeit und ihre Notwendigkeit sich ein begründetes Urteil bilden könnte. Zwischen der Physik des Äthers und der der ponderabeln Materie klafft ein tiefer Spalt, der sich erweitert, je mehr man versucht, diese Wissenschaften rein begrifflich nach Art der Geometrie durch scharf formulierte Axiome zu begründen; es ist schon außerordentlich schwer, diese zwei Bereiche der Erscheinungswelt überhaupt begrifflich zu definieren. Da somit große Gebiete der Physik noch so gut wie vollständig ohne inneren Zusammenhang sind, so läßt sich weder von der Euklidischen Geometrie, noch von einer anderen absolut sicher entscheiden, ob sie sich ohne Widerspruch diesen Wissenschaften wird zugrunde legen lassen.

man mit Zirkel und Lineal

10. Es ist merkwürdig, daß Kant und seine Anhänger es für unstatthaft erklären, durch ein Experiment¹³) entscheiden zu wollen, ob die Euklidische Geometrie „die“ reale ist oder nicht. Zweck und Voraussetzung des Experimentes werden allerdings nicht immer scharf definiert. Man kann durch Nachmessen an Dreiecken natürlich nicht beweisen wollen, ob die Euklidische Geometrie (oder eine andere) als Begriffssystem richtig, d. h. in sich widerspruchsfrei ist oder nicht. Das kann man bei keiner Geometrie, weil wir die Grundgebilde keiner Geometrie auf Grund ihrer Axiome sinnlich darstellen können; das ist aber auch nicht nötig, weil die Richtigkeit der Euklidischen Geometrie (und der beiden Nichteuklidischen) sich aus den Axiomen begrifflich beweisen läßt. Wohl aber muß man sich fragen, ob die Gebilde mannigfachster Erzeugungsweise, die wir im täglichen Leben als Geraden bezeichnen, den Axiomen der Euklidischen Geometrie wirklich (angenähert) entsprechen. Wenn

ein „Dreieck“ konstruiert und die Winkel mit dem Transporteur mißt, kann man da schon wirklich a priori wissen, daß die Winkelsumrae mit hinreichender Näherung zwei Rechte beträgt? Wenn man in das Lineal (angenähert) die in den Axiomen geforderte Gesetzmäßigkeit hineinlegen könnte, dann gewiß. Aber das gibt es nicht; wir benutzen zur Herstellung des Lineals nicht die in den Axiomen verlangte Gesetzmäßigkeit, sondern die der Lichtbewegung, indem wir dafür sorgen, daß seine Kante beim Visieren zu einem Punkte zusammenschrumpft, vielleicht auch ist die Kante nur mit rein mechanischen Mitteln „gerade“ gemacht worden. Nun kann man ja allenfalls aus Erfahrung wissen, daß die durch das Lineal erzeugten Linien den Axiomen der Anordnung und Verknüpfung, Kongruenz und Stetigkeit hinreichend genügen; ob aber auch das Parallelenaxiom, also der Satz von der Winkelsumme gilt, kann man nicht mit Sicherheit sagen, da es von den anderen Axiomen unabhängig ist. Also nicht über die Richtigkeit der Lehrsätze dieser oder jener Geometrie soll das Experiment entscheiden, sondern über ihre Anwendbarkeit auf so oder so erzeugte empirische Raumgebilde. Die Erzeugungsart derselben muß freilich genau angegeben sein, sonst hätte das ganze Problem keinen Sinn. Je größer das Dreieck ist, desto mehr müßten Abweichungen der Winkelsumme zur Wirkung kommen; gleichzeitig kompliziert sich dann aber das Experiment. Konnte man bei kleinen Dreiecken noch ausschließlich mit den Mitteln der Mechanik aus-kommen, so muß man bei großen terrestrischen und astronomischen Dreiecken die Gesetze der Optik heranziehen. Denn da jetzt die Winkel mit dem Theodolit gemessen werden, so bestehen die Seiten des Dreiecks aus Lichtstrahlen. Der Teilkreis des Theodolits ist dagegen in der Drehbank hergestellt, also seine Kreisgestalt durch Rotation eines starren Körpers erzeugt. Hier wirken also zwei getrennte Welten, der Äther und die Materie, zusammen, um die Messung zustande kommen zu lassen. Nun sind ja die Lichtstrahlen, gespannte Fäden, Rotationsachsen u. s. w. gewiß im landläufigen Sinne gerade Linien, aber ob das nicht bloß Annäherungen sind, kann man nicht wissen, und daß speziell die Fortpflanzungsrichtung des Lichtes identisch ist mit den Trägheitsbahnen starrer Körper, die ja in der reinen Mechanik auf Grund der Definition (Euklidische) Geraden sind, ist theoretisch noch nicht bewiesen. Es wäre denkbar, daß die Lichtstrahlen eine Nichteuklidische, die Trägheitsbahnen die Euklidische Geometrie verwirklichen, d. h. zu ihrer Erklärbarkeit in einem einheitlichen Systeme der Wissenschaft voraussetzen. Selbst wenn ein Dreieck mit rein mechanischen Mitteln erzeugt und gemessen wird, ist ein Zweifel statthaft. Beim üblichen Aufbau der Mechanik setzt man nämlich ohne weitere Begründung die Euklidische Geometrie voraus und definiert die Triigheitsbahnen als Euklidische Geraden. Dann muß doch zum mindesten bewiesen werden, daß diese Geometrie mit den Axiomen der überlieferten Mechanik verträglich ist. Daß in dieser Hinsicht Kollisionen denkbar sind, beweist folgendes Beispiel. Die vierte Ecke B eines Parallelogramms A, B, C, D kann man aus den drei anderen erhalten, indem man den Mittelpunkt M der nicht durch B gehenden Diagonale AC mit der Ecke B verbindet und MB = MB macht. Damit ist bewiesen, daß das sogenannte Parallelogrammgesetz der Mechanik den Parallelenbegriff ganz ohne Not benutzt, indem der Punkt B, auf den es ankommt, auf Grund der Kongruenzsätze allein definiert und konstruiert werden kann; dieses Gesetz soll ja nur die Resultante von BA und BC nach Größe und Richtung festlegen, alles andere ist Zutat von Seiten der Geometrie. Es könnte demnach scheinen, als ob auch in den beiden Nichteuklidischen Geometrien auf Grund dieser Konstruktion die Zusammensetzung von Kräften und Geschwindigkeiten möglich wäre. Dem ist aber nicht so! Konstruiert man nämlich auf diese Weise zu drei Kräften x, y, z der Ebene mit demselben Angriffspunkte 0 die Resultanten rj, £ der Paare y, z\ z, X, x, y, und dann die Resultanten a, b, c der Paare £, æ; rj, y; £, z, so müssen a, b, c zusammenfallen auf Grund des Resultantenbegriffes und des Axioms, daß Kräfte mit demselben Angriffspunkte eine bestimmte Resultante haben. Hier stellt also ein Axiom der Mechanik ganz erhebliche Ansprüche an die Geometrie; das Zusammenfallen von a, b, c findet nur statt in der Euklidischen Geometrie, und zwar ausdrücklich unter Voraussetzung des Parallelenaxioms, so daß also in den beiden Nichteuklidischen Geometrien die Geraden a, b, c voneinander verschieden sind. Nebenbei bemerkt folgt daraus nun nicht, daß die Euklidische Geometrie die in der Mechanik allein mögliche ist, sondern nur, daß obige Konstruktion der Resultante zweier Kräfte in den beiden Nichteuklidischen Geometrien nicht als Grundlage der Resultantenbildung dienen kann; man muß da also ein anderes Konstruktions verfahren¹⁴) annehmen, das der Forderung des Zusammenfallens von a, b, c genügt. Wenn dieses Verfahren dem Resultate nach mit der obigen Konstruktion in genügender Annäherung übereinstimmt — nachdem eine exakte Übereinstimmung ausgeschlossen ist —, hat man von dieser Seite her nicht mehr und nicht weniger Widersprüche mit den übrigen Axiomen der Mechanik zu besorgen als unter Zugrundlegung der Euklidischen Geometrie und des herkömmlichen Verfahrens der Resultantenbildung.

11. Man hört nicht selten die Meinung vertreten, daß Kant schon durch die Schöpfung der Nichteuklidischen Geometrien widerlegt sei. Kant konnte aber von seinem Standpunkte aus diese Geometrien, wie auch viele Mathematiker tun, als reine Denkbereiche ebensowohl gelten lassen als die mehrdimensionalen Geometrien. Nur würde er ihnen die „Realität“ abgesprochen haben. Wir hoffen im vorangehenden gezeigt zu haben, daß die beiden Nichteuklidischen Geometrien gerade auf Grund der Euklidischen sich realisieren lassen, daß sie also nicht reine Hirngespinste sind, wie so häufig behauptet wurde. Hiergegen würde man vom Kantschen Standpunkte wohl kaum einwenden, daß die Punkte bei diesen Realisierungen keine wirklichen Punkte seien. Die hiermit gestellte Aufgabe wird gelöst durch die Cayley-Kleinsche Darstellung der beiden Nichteuklidischen Geometrien, deren Wesen wir im dritten Abschnitt andeuten werden. Diese Yersinnlichung der Nichteuklidischen verhält sich zur unsrigen etwa wie die gewöhnliche Euklidische Geometrie zum parabolischen Gebüsche; ihr liegen Punkte, Geraden und Ebenen der Euklidischen Geometrie in gleicher Benennung zugrunde. Dadurch kommt, wie uns scheinen will, in die Frage eine entscheidende Wendung. Denn wenn die durch die Euklidische Geometrie gesetzte Raumordnung es ermöglicht, die Nichteuklidischen Geometrien zu verwirklichen, dann kann man die Realität dieser Geometrien nicht länger bestreiten, wie dies viele Kantianer tun. Die Nichteuklidischen Geometrien sind schon auf Grund unserer elementaren Realisierung derselben einfach besondere Abschnitte der Euklidischen Geometrie, nur in einer eigenen Kunstsprache ausgedrückt. Wir zweifeln nicht daran, daß es umgekehrt möglich sein wird, die Euklidische Geometrie mit den Mitteln der Nichteuklidischen zu erzeugen; das unendlich ferne Gebiet der Euklidischen Geometrie kann ja im Endlichen abgebildet werden, denn unendlich fern heißt nur „durch eine endliche Anzahl von Schritten auf Grund der Bewegung im Sinne dieser Geometrie nicht erreichbar“, d. h. „nicht durch eine endliche Reihe äquidistanter Punkte im Sinne der Kongruenz dieser Geometrie meßbar“. Der Satz von der Einzigkeit der Euklidischen Geometrie, soweit ihn Kant braucht, würde durch die volle Anerkennung der Nichteuklidischen Geometrie unseres Erachtens nicht preisgegeben, müßte aber anders formuliert werden (vgl. Art. 12). — Von einer Geometrie A aus, etwa der Euklidischen, kann man zahllose Mannigfaltigkeiten erzeugen und ihre Yerknüpfungsgesetze erforschen. Wenn man dann auf Grund dieser Yerknüpfungsgesetze eine solche Mannigfaltigkeit B independent definiert, wobei also ein zur Erzeugung von B hinreichendes und notwendiges System jener Yerknüpfungsgesetze zu Axiomen gemacht wird, so entsteht eine „in A enthaltene Geometrie B“, oder allgemeiner, ein im Denkbereich A enthaltener Denkbereich B. Zwei geometrische Denkbereiche, von denen jeder im anderen enthalten ist, nennen wir äquivalent. Dann besagt der Realitätssatz im Sinne Kants: Eine Geometrie hat nur dann Realität, wenn sie der Euklidischen äquivalent ist. Das hiermit gestellte Problem, Kriterien für die Äquivalenz zweier Denkbereiche anzugeben, ist sehr schwer: man bedenke, daß in der Euklidischen Geometrie Mannigfaltigkeiten von beliebig hoher Dimensionszahl enthalten sind, und zwar lineare und nicht lineare. Die Lösung dieses Problems wäre für die Geometrie nicht weniger wichtig als für die Beurteilung der Erkenntnislehre Kants. Denn jene Kriterien müßten die obersten Grundsätze frei von allen Besonderheiten eines zufällig gewählten Gesichtspunktes enthalten, die zur Ableitung des Euklidischen Denkbereichs notwendig und hinreichend sind; das wären aber nach Kant Erkenntnisse a priori. Das Parallelenaxiom würde nicht zu diesen Kriterien gehören, denn es gilt nicht in den beiden Nichteuklidischen Geometrien; wohl aber die Stetigkeit.

12. Nachdem die Realitätsfrage der beiden Nichteuklidischen Geometrien ausgeschieden ist, läßt sich das Problem von der Einzigkeit der Euklidischen Raumordnung schärfer fassen. Beim rein begrifflichen und rein geometrischen Aufbau der Euklidischen Geometrie wie der beiden Nichteuklidischen wird die Kongruenz nicht, wie üblich, durch Deckbarkeit mittels Bewegung definiert und bewiesen, sondern durch ein Konstruktionsverfahren, das begrifflich nur die nach Abzug des Parallelenaxioms und der Kongruenzaxiome verbleibenden Axiome, materiell nur die als existent angenommenen Grundgebilde benutzt. Auf diese Definition der Kongruenz gründen wir dann umgekehrt den Begriff der Bewegung, wie in Art. 7 angedeutet wurde, die zunächst ganz zeitlos ist und durch den abgeleiteten Begriff der Zeit näher bestimmt wird. Jeder der drei Geometrien entspricht daher eine eigene „Bewegung“ und eine eigene „Zeit“. Nunmehr ist die Kant sehe Ansicht von der einzigartigen Stellung der Euklidischen Geometrie dahin auszulegen, daß nur der „Bewegung“ und „Zeit“ der Euklidischen Geometrie Wirklichkeit zukommt. Also nicht die Realität der elliptischen und der hyperbolischen Geometrie, sondern die Wirklichkeit ihrer „Bewegung“ und „Zeit“ wird geleugnet; was man vom Standpunkte dieser zwei Geometrien auf Grund gewisser Analogien „Bewegung“, „Zeit“ und „starre Körper“ nennt, das kann nicht dazu dienen, in einem widerspruchsfreien Lehrsystem der Mechanik und Physik Bewegungsvorgänge zu bestimmen. Die Euklidische Bewegung ist die Bewegung, der Euklidische starre Körper ist der starre Körper, die Euklidische Zeit ist die Zeit — das sind kurz gefaßt jene großen Erkenntnisse a priori, wodurch die Euklidische Geometrie zur einzig möglichen Grundlage der Mechanik wird.

Es liegt uns fern, bestreiten zu wollen, daß die Euklidische Geometrie sich in allen Anwendungen auf Mechanik, Physik und Astronomie bisher auf das Beste bewährt hat, wir. glauben auch, daß sie sich ferner bewähren wird, aber die Notwendigkeit und einzige Möglichkeit dieser Geometrie als Grundlage der Naturerkenntnis ist nie und nimmer eine Erkenntnis a priori, die wir bereits haben, sondern höchstens eine Erkenntnis, die wir im Verlauf der fortschreitenden Entwicklung unserer Gesamterkenntnis einmal zu gewinnen hoffen dürfen. Bei Kant besteht die logische Substruktion unserer Erkenntnis sozusagen aus einigen mächtigen Säulen, die das ganze Gebäude der Wissenschaft tragen; richtiger wäre es, an ein Fach werk zu denken, dessen Stäbe sich mannigfach kreuzen und einander gegenseitig rückwirkende Festigkeit verleihen. So greifen auch die Axiome der Geometrie und der Mechanik ineinander über, und keines kann herausgenommen werden, ohne das Zusammenhalten der übrigen zu gefährden. Zu dem Beispiel in Art. 10 ließen sich noch viele andere fügen. Uber die ganze Frage wird man sich erst ein begründetes Urteil bilden können, wenn einmal ein streng begriffliches System einer reinen Mechanik vorliegen wird, dessen Durchführbarkeit in der Physik des Äthers sich einigermaßen übersehen läßt. Die Einzigkeit einer bestimmten Geometrie ist also nicht Grundlage, sondern ein Problem der Erkenntnis, und zwar ein sehr schwieriges. Denn ob ein in sich widerspruchfreies System der Mechanik zur Bestimmung wirklicher Naturvorgänge geeignet sein wird, kann mangels anderer Kriterien nur der Erfolg entscheiden. Unser gegenwärtiges Wissen läßt sich aber durch verschiedene Systeme der Mechanik gleich genau vereinheitlichen, deren Unterschiede erst in fernen Zeiten und Raumgebilden deutlich genug hervortreten würden, um das geeignetste System auswählen zu können. Alle Versuche, die „Nichteuklidischen Systeme der Mechanik“, d. h. Systeme der Mechanik auf Grund der Nichteuklidischen Geometrien als mit der Erfahrung nicht vereinbar hinzustellen, laufen darauf hinaus, gewisse Gesetze dieser Mechaniken nachzuweisen, die mit der bisherigen Erfahrung in Widerspruch stehen. Wenn man aber jene Raumkonstante der beiden Nichteuklidischen Geometrien, die bei unserer Versinnlichung derselben als Radius der Orthogonalkugel bezw. Diametralkugel erscheint¹⁵), hinreichend groß annimmt, so lassen sich diese Widersprüche jenseits der Grenzen aller bisherigen Erfahrung verlegen. Damit verstößt man durchaus nicht gegen die Grundforderung der Naturwissenschaften, im Raume durchgängig dieselben Gesetze gelten zu lassen; es gibt ja

Naturgesetze, wie die Aberration des Lichtes, die erst bei großen Entfernungen der Beobachtung zugänglich werden, und so könnten auch jene „Widersprüche“ gegen die Erfahrung in Wirklichkeit Naturgesetze sein, die in den verhältnismäßig kleinen Räumen und Zeiten unserer Erfahrung sich der Beobachtung entziehen. Andererseits läge nur dann ein Grund zur Annahme einer der beiden Nichteuklidischen Geometrien als Fundament der Mechanik und Physik vor, wenn sich herausstellte, daß man auf dieser Grundlage zu einfacherer Gesetzmäßigkeit der empirischen Wirklichkeit gelangte als auf dem alten. Eine hierzu nötigende Erfahrung liegt aber nicht vor.

13. Dagegen wollen wir noch bemerken, daß alle Argumente zugunsten der Euklidischen Geometrie im Endlichen auch dem parabolischen Kugelgebüsche und allgemeiner allen Gebüschen von Flächen zweiter Ordnung zu statten kommen, die ähnliche Struktur haben wie das genannte Kugelgebüsch. Diese F²-Gebüsche lassen sich aber unabhängig vom Parallelenaxiom erzeugen. In der Graphischen Statik werden wir nun gerade das parabolische Kugelgebüsch als natürliche Grundlage der Lehre vom astatischen Gleichgewicht kennen lernen und darauf ein System von homogenen Punktkoordinaten auf der Kugel gründen, in denen die Gleichungen der Kreise des Gebüsches linear sind. Trotz der Ausführungen des § 13 wird es nicht überflüssig sein, mit Hinweis auf dieses Beispiel zu betonen, daß mit dem Formalismus der Cartesiusschen Punktkoordinaten noch lange nicht der Euklidische Raum, sondern höchstens der Euklidische Denkbereich gegeben ist. Eine andere, allerdings nur indirekte Hinüberspielung eines Problems der Mechanik in die Nichteuklidische Geometrie, speziell in die eines Kugelgebüsches, ist Klein und Sommerfeld geglückt. Sie fanden, daß die Bewegung eines schweren Kugelkreisels an der Bewegung eines Punktes unter dem Einfluß geeigneter Kräfte in einem „sphärischen“ Raume von drei Dimensionen studiert werden kann, der mit einem nicht parabolischen Kugelgebüsche identisch ist. Überhaupt gewinnt die Mechanik nichteuklidischer und mehrdimensionaler Räume immer mehr an Bedeutung. Wir können auf diesen hochinteressanten Gegenstand nicht eingehen und verweisen deshalb auf den (vorläufigen) „Bericht über die Mechanik mehrfacher Mannigfaltigkeiten“ von P. Stäckel¹⁶), sowie auf dessen oben zitierte Festschrift zur Erinnerung an Bolyai; mit Rücksicht auf den beabsichtigten elementaren Charakter unserer Untersuchung geben wir uns damit zufrieden, wenn es uns gelingt, den Leser an diese naturwissenschaftlich und philosophisch gleich interessanten Probleme heranzuführen und in ihm den Wunsch nach vertiefter Kenntnis dieser

Fragen zu wecken. Dazu ist aber das Studium der grundlegenden Arbeiten notwendig, die wir in dem bibliographischen Schlußparagraphen angeben werden.

14. Ehe wir aus unseren Ausführungen über die Frage der Apriorität des Raumes die Schlußfolgerungen ziehen, müssen wir noch eines Einwandes gedenken, der oft zu gunsten der Euklidischen Geometrie gemacht wird, daß nämlich die Möglichkeit der Translationsbewegung (Parallelyerschiebung) nur an die Euklidische Geometrie geknüpft sei. Hier liegt es ähnlich wie mit dem Parallelogrammgesetz. Definiert man nämlich die Translationsbewegung als eine solche Bewegung eines starren Systems, bei der alle Punkte parallele oder wenigstens einem Strahlenbündel angehörige gerade Linien beschreiben, so ist diese Bewegung in der Euklidischen Geometrie exakt, in den beiden Nichteuklidischen Geometrien nur angenähert möglich; bei unbegrenzt fortschreitender Bewegung müßte da das System seine Form ändern. Dagegen wäre diese Bewegung im parabolischen Kugel -gebüsche genau ausführbar. Das spricht aber nicht gegen die beiden Nichteuklidischen Geometrien. Denn absolut genaue Translationsbewegungen, in der Schärfe des Begriffes, wie sie der Idealismus voraussetzt, gibt es nicht, ebensowenig wie absolut starre Körper; das sind alles „nur“ Ideen, durch die wir in die Fülle der Naturerscheinungen Ordnung zu bringen suchen. Alle unsere Messungen bestimmen ihren Gegenstand nur ungenau, teils aus (noch zu beseitigenden) Ungenauigkeiten der Methode, teils weil wir kein Phänomen in der Reinheit isolieren können, die zur vollkommen exakten Beobachtung und Messung vorausgesetzt werden müßte. Der gleicharmige Hebel z. B., mit zwei gleichen Lasten rechts und links, auf den sonst nichts wirkt, ist absolut genommen „nur“ eine Idee. Der Erdmagnetismus, die mit der geographischen Breite sich ändernde Gravitation, die Anziehung der Himmelskörper, jeder Lichtstrahl, jeder Blick, die Millionen von feinsten Stäubchen, die sich darauf niederlassen, kurz, eine unübersehbare Fülle von Einflüssen, machen die Reinheit der Naturerscheinung unmöglich. Das Hebelgesetz ist also keine absolut exakt beobachtbare Tatsache, sondern eine von den zahlreichen exakten Annahmen, die man auf Grund der Beobachtung machen darf (wenn sie sich mit den übrigen exakten Annahmen verträgt), um physikalische Tatsachen überhaupt erst zu bestimmen. Eine ähnliche Hypothese ist der freie Fall. Außer der Erdanziehung, die streng genommen mit der Annäherung an den Erdmittelpunkt wächst, wirken auf den herabfallenden Körper der Widerstand der Luft, die Zentrifugalkraft der Erde, etwa in der Nähe befindliche Ge-birgsmassen, die Anziehung der Himmelskörper und viele andere Einflüsse, deren Aufzählung ermüden würde. Naturwissenschaft be-

obachtet demnach nicht reine Phänome, sondern nimmt sie an, um die Beobachtung auf Gesetze zu bringen; sie geht nicht von „exakten“ Tatsachen aus, sondern die Konstatierung des wahrhaft Tatsächlichen — immer im absolut strengen Sinne des Wortes — ist ihr fernes, nie zu erreichendes Endziel; ihre Formeln sind nicht kompen-diöse Beobachtungstabellen, so objektiv sind mathematische Formeln nicht, sondern Erzeugungsgesetze für die beobachteten und dazwischenliegenden Zahlen. Durch Beobachtung und Messung allein kann aber nie ein funktionaler Zusammenhang zwischen einem veränderlichen x und einem davon abhängigen y ermittelt werden, wenn wir nicht aus eigener Machtvollkommenheit über die Natur der gesuchten Funktion eine Verfügung treffen. So werden also die reinen Phänomene, die exakten Gesetze immer Ideen bleiben. Natur erklären heißt, sie aus reinen Phänomenen vermittelst exakter Gesetze aufbauen, heißt, „den großen Gedanken der Schöpfung noch einmal denken“ (Klopstock). Nach alledem darf man also einer Nichteuklidischen Mechanik nicht vorwerfen, daß in ihr dieser oder jener Naturvorgang nicht exakt möglich ist, sondern man muß nur fragen: kann man ohne die Idee der exakten Translationsbewegung, des exakten Hebels u. s. w. Naturvorgänge gesetzmäßig bestimmen? Und man wird gewiß nicht mehr sagen, in der Nichteuklidischen Mechanik sei alles ungenau, nur angenähert, vielmehr sind ihre Ideen so rein und streng wie die der Euklidischen Mechanik. Nur sind es andere, und die Frage kann allein sein, ob sie sich in der Anwendung bewähren. Das ist aber bis jetzt immer der Fall und wird es auch bleiben, so lange wir unsere Erfahrungen nicht auf unendliche Zeiten und enorm ferne Bäume ausdehnen können. Andererseits hat sich noch nie begründeter Anlaß gefunden, die historisch uns werte, wohlerprobte Euklidische Geometrie als Grundlage der Mechanik aufzugeben. Aber ihre prinzipielle Alleinherrschaft ist gebrochen, ihre Vorrechte sind nur historisch, psychologisch - physiologisch und durch die Ökonomie des Denkens zu rechtfertigen.

15. Damit fällt die Apriorität der Euklidischen Raumordnung in dem strengen Nebensinne, den das Wort bei Kant vielfach erkennen läßt; denn außer der begrifflichen gibt es bei ihm noch eine andere Art des Gegebenseins exakter Tatsachen, nämlich in der reinen Anschauung a priori. Di«se Zwangsläufigkeit unseres Geistes, welche die Axiome der Geometrie schlechthin als gegeben hinnehmen muß, ist nur zu erklären aus jenem Erdenreste von Sensualismus, der dem Kantschen Idealismus noch anhaftet: Kant nimmt bei seinen geometrischen Betrachtungen in so hohem Maße die (empirische) Anschauung zu Hilfe, daß unter dem Einfluß Schopenhauers sich die Auffassung bilden konnte, die Geometrie (und Arithmetik) gründe sich

bei Kant auf die Anschauung. Nichts könnte aber verkehrter sein. Das ordnende Denken ist Kant immer die Hauptsache gewesen, der Verstand bestimmt geradezu die Sinnlichkeit. Wenn Kant trotzdem der Sinnlichkeit in der reinen Anschauung eine im einzelnen schwer zu verstehende Rolle zuweist, so lag das wohl an den Mängeln seiner geometrischen und physikalischen Kenntnisse. Er beurteilt die Geometrie ganz unter der Perspektive der Elementargeometrie, die vom Größenbegriff vollständig beherrscht wird. Die Begriffe „in“ (allgemeiner der Inzidenz) und „zwischen“ (allgemeiner der Anordnung) sucht er nirgends zu erfassen, sondern beruft sich dabei nur auf die Anschauung. Am schlimmsten tritt das hervor bei dem früher zitierten Beispiel aus den Prolegomena, wo ein Handschuh mit seinem Spiegelbild verglichen wird; in allen Bestimmungen seien sie einander gleich und ließen sich doch nicht zur Kongruenz bringen. In Wirklichkeit fehlt aber eine wesentliche Bestimmung, nämlich die des „Sinnes“. In der projektiven Geometrie läßt sich der Gegensatz eines Körpers zu seinem Spiegelgebilde zurückführen auf die Alternative, ob ein Punkt einer Geraden zwischen zwei auf ihr gegebenen Punkten liegt oder nicht. Die Kongruenz scheint bei Kant bald durch Deck-barkeit mittels Bewegung, bald durch Gleichheit aller Bestimmungen definiert zu sein, also im einen Falle nicht rein geometrisch, im anderen ganz unzulänglich. Wie wenig Kant den inneren Zusammenhang der Geometrie übersah, ergibt sich daraus, daß das Ziehen einer Linie (= Geraden) mit dem Ziehen der Ellipse auf gleiche Stufe gestellt wird. Das Erzeugungsgesetz der Geraden sollte wohl die reine Anschauung liefern, die Erzeugung der Ellipse, wenn alle Geraden als konstruiert vorausgesetzt werden, ist streng begrifflich definierbar. Das Parallelenaxiom erkannte er durch die reine Anschauung mit dem Bewußtsein, daß es so ist und nicht anders sein könne. Alles das sind Mängel, die nicht seinem System zur Last fallen, sondern seinem Glauben an die Euklidische Geometrie; die Literatur über das Parallelenaxiom findet man in der Kritik der reinen Vernunft und in den Prolegomena nirgends erwähnt. Es liegt auf der Hand, daß so die freie Entfaltung des guten Grundgedankens seiner Erkenntnislehre verhindert wurde.

16. Mit der reinen Anschauung a priori möchten wir aber nicht alle Anschauung aus der Geometrie verweisen; läßt sich doch die (empirische) Anschauung in gewisser Hinsicht durch fortgesetzte Übung dem Ideal einer reinen Anschauung nähern. Ihre Reinigung von allen Zufälligkeiten der sinnlich vorgestellten Figur gelingt uns, indem wir die .Raumgebilde bald aus gewöhnlichen Punkten, Geraden und Ebenen auf bauen, bald aus Kugeln, Kugelbüscheln und Kugel-

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Weber u. Well etein: Enzyklopädie. II. S.Aufl.

bündeln eines Gebüsches, bald rein arithmetisch u. s. w., so daß im bunten Wechsel der sinnlichen Erscheinungsformen nur das reine Erzeugungsgesetz bestehen bleibt, nach dem wir die ursprüngliche Figur erzeugt hatten. Wenn wir an dieser Figur Eigenschaften entdecken, die bei diesen Transformationen bleiben, so dürfen wir hoffen, daß dieselben aus dem Erzeugungsgesetz folgen, aber nur ein Beweis aus den reinen Begriffen kann uns die geometrische Wahrheit verbürgen. Aus der Anschauung allein fließen immer nur isolierte und angenäherte Erkenntnisse; ob diese sich im Zusammenhänge mit anderen Anschauungen widerspruchslos zu streng exakter Gültigkeit erheben lassen, kann nur durch Denkarbeit entschieden werden.

Mit der Anschauung muß alle Geometrie anheben; denn begriffliche Verarbeitung des Empirischen ist ihr Problem. In die unendliche Fülle der Wahrnehmungen läßt sich nur Ordnung bringen durch unbegrenzt funktionierende Gesetze. Wir beobachten etwa, wie die Bewegung eines Geschosses beeinflußt werden kann, indem wir über drei Punkte seiner Bahn verfügen, wie Formen beweglicher Gebilde durch Festlegung einiger ihrer Punkte bestimmt werden können. Durch derartige und andere Erfahrungen, die wir in § 7 zu skizzieren gesucht haben, ergibt sich für den denkenden Geist die Notwendigkeit, versuchsweise einige Ordnungen vollzogen anzunehmen, um andere daraus ableiten zu können. Das geschieht durch Begriffe und Axiome. So beginnt die exakte Wissenschaft zwar mit der Erfahrung, und ihre Grundbegriffe mögen in geschichtlich weit zurückliegenden Zeiten wohl in dem Glauben gebildet worden sein, dem empirischen Objekte genau adäquat zu sein; im Grunde sind sie aber nicht Nachbildungen des Empirischen, sondern in Anlehnung an die Empirie erfaßte reine Ideen, die ungeheuer viel einfacher sind als der sinnliche Gegenstand. Wir befürchten nach diesen Ausführungen und denen des Art. 15 nicht mißverstanden zu werden, wenn wir kurzweg sagen: Die Axiome der Geometrie und der Mechanik sind empirischen Ursprungs. Wir leugnen damit durchaus nicht ihre freie Schöpfung durch unser Denken, das nur geleitet ist durch die Absicht, den Inhalt unserer Erfahrung durch Gesetze zu ordnen; wir treten damit aber andererseits den Ansprüchen eines die Erfahrung mißachtenden Idealismus entgegen, als hätte man durch bloßes Nachdenken auf Grund unserer Denkgesetze allein zu unserer Geometrie und Mechanik kommen müssen. Auf diesem Wege können wir nur zu der Einsicht gelangen, daß wir suchen müssen, Ordnungen zu vollziehen, die aus gewissen fundamentalen Ordnungen entspringen. In diesem Sinne ist Geometrie a priori, d. h. zur Erfahrung nötig. Aber ihre grundlegenden Sätze können nicht von Anfang an bereits gesicherte Erkenntnisse, sondern nur durch die Erfahrung nahegelegte Hypo-thesen sein, in dem Sinne, den das Wort bei Platon¹) bat, d. b. versuchsweise gemachte Ansätze, um überhaupt einen Anfang zu gewinnen und darauf relative Erkenntnisse zu gründen. Je mehr die Hypothese sich bewährt, desto höher steigt sie im Erkenntniswert; es kann aber auch, wie die Physik täglich lehrt, Vorkommen, daß die Hypothese sich nicht durchführen läßt. Dann ist aber die aufgewandte Arbeit im allgemeinen nicht vergebens gewesen, in der Regel sieht man, wo die Voraussetzungen verbessert werden müssen. Erst wenn die Grundannahmen als in sich widerspruchsfrei erkannt sind und zur Bestimmung des Wirklichen ausreichen, werden sie zu Erkenntnissen im echten Sinne des Wortes. Betrachtet man als Endziel unserer Geometrien ihre Einfügung in den Verband unserer gesamten Naturerkenntnis, dann sind ihre Axiome auch heute noch Hypothesen. Das wird uns ganz besonders auch durch die Diskussion über das Relativitätsprinzip zum Bewußtsein gebracht, wenn auch vielleicht aus der ganzen Untersuchung wenig dauerndes herauskommen sollte.

Wenn man den Streit um die Grundlagen unserer Wissenschaft, der von tiefdenkenden Gelehrten mit großer Erbitterung geführt wird, leidenschaftslos verfolgt und sich dabei von dem Gedanken leiten läßt, daß jeder von seinem Standpunkte aus etwas Vernünftiges gedacht haben müsse, dann kommt man zu der Überzeugung, nicht, daß die Wahrheit zwischen ihnen in der Mitte, sondern daß sie über ihnen liege. Von dem Standpunkte, den wir zu erreichen gesucht haben, glauben wir das Berechtigte aller philosophischen Systeme würdigen zu können, die mit wissenschaftlichem Emst über die Grundlagen der Mathematik nachgeforscht haben. Speziell möchten wir noch in Kürze einen guten Gedanken in Kants Lehre von der reinen Anschauung a priori herausheben. Hilbert hat den Anstoß gegeben, die Tragweite der einzelnen Axiome unserer Wissenschaft genau zu bestimmen. Ähnliches geschieht zurzeit in der Mechanik; diese Untersuchungen gehen übrigens bis auf Lagrange zurück, wie man aus den zitierten Abhandlungen von Stäckel und dem Berichte von Voß ersehen kann. Auf Grund dieser Vorarbeiten wird man immer mehr imstande sein, zu beurteilen, welche Axiome der Geometrie und Mechanik man voraussetzen muß, um diesen oder jenen Naturvorgang so oder so exakt erklären zu können; solche Untersuchungen über die Vorzüge und Nachteile dieser oder jener Hypothese werden jetzt in steigendem Maße angestellt, Diese Betrachtungen aber bewegen sich wahrhaft im Bereiche der reinen Anschauung a priori in dem vertieften Sinne, daß sie Überlegungen über die Voraussetzungen der Möglichkeit unserer Erfahrung enthalten. Nur wäre statt des a priori ein unzweideutiger Kunstausdruck zu wählen.

1) Vgl. H. Cohen, Platons Ideenlehre und die Mathematik. Marburg 1879.

10*

17. Indem wir Übergriffe der Anschauung in den Machtbereich des reinen Denkens entschieden zurückweisen, lassen wir sie als anregende Stütze und Begleiterin unseres Denkens um so unbedenklicher herrschen. Ohne die individuellen Eigenschaften der sinnlichen Figuren, die in die Begriffe der Geometrie nicht aufgenommen sind, wären manche Begriffe der Geometrie ihrem Zwecke nach gar nicht zu verstehen. Wir erinnern nur an den Begriff der Krümmung. Nach Art. 1 kann man eine beliebige Ellipse als „Kreis“, einen Punkt in ihr als „Zentrum“ desselben bezeichnen und konsequent eine Euklidische Geometrie aufbauen, in der die sogenannten „Radien“ dieses „Kreises“ einander gleich sind. Wenn man aber in dieser oder der herkömmlichen Euklidischen Geometrie den Begriff der Krümmung zu einem exakten machen will und sich nach einer Kurve umsieht, die (im noch unklaren Sinne des Wortes) etwa als durchaus gleichmäßig gekrümmt zu bezeichnen wäre, so wird jedermann zu dem mittels des Zirkels konstruierten „wahren“ Kreise greifen. Vom Standpunkte jener „Pseudoeuklidischen Geometrie“ müßte man aber ihrem Pseudokreis gleichmäßige Krümmung zuschreiben und käme dabei zu genau denselben Gesetzen, die man in der „wahren“ Euklidischen Geometrie mit Zugrundelegung der „wahren“ Kreise erhält. So konsequent die Krümmungslehre jener Pseudogeometrie in sich wäre, so unbegreiflich bliebe die Wahl ihres Pseudokreises als Kurve gleichmäßiger Krümmung. Wollte aber diese Pseudogeometrie der Anschauung mehr gerecht werden, so müßte sie versuchen, unter den Ellipsen diejenige, welche wir wahren Kreis nennen, irgendwie zu definieren. Das ist aber, wie wir gesehen haben, durch rein geometrische Bestimmungen nicht möglich. Aber, wird man mit Recht einwenden, wenn jemandem ein wahrer Kreis vorgelegt würde, ohne daß man verriete, wie er (mittels des Zirkels) konstruiert ist, so würde er doch an dieser Kurve ganz entschieden eine Gesetzmäßigkeit herausfühlen, wenn er sie auch nicht beschreiben könnte, die sie vor allen Ellipsen auszeichnet. Gewiß! Die Bestimmung dieser Gesetzmäßigkeit ist aber kein geometrisches, sondern ein physiologisch-psychologisches und ästhetisches Problem von größter Schwierigkeit. Zu seiner Erklärung wird man wohl auf die physiologisch-psychologische Grundlage der Symmetrie zurückgreifen müssen. Auch der nicht mathematisch Denkende hat ein ausgesprochenes Gefühl für „wahre“ Symmetrie, das nicht aus der Bewegung allein erklärt werden kann. Wenn wir zwei kongruente Figuren rechts und links von einer Geraden nicht ganz symmetrisch anordnen, so empfinden wir geradezu ein physisches Unbehagen; wenn eine Gerade x senkrecht auf der Symmetrieebene unseres Körpers, eine andere mit dem Fußpunkte in dieser Ebene nicht vollkommen senkrecht auf x steht, so werden wir durch den fortwährenden

¹

Überhaupt läßt sich der Operationsbereich der Arithmetik dem Gruppenbegriff unterordnen, und zwar sowohl dem Galoisschen als auch dem Lieschen. Vgl. einerseits Weber, Math. Ann. Bd. 43, S. 521, andererseits F. Schur, Math. Ann. Bd. 41, S. 509.

²

   In einer Vorlesung über partielle Differentialgleichungen im Wintersemester 1891/92.

³

   Diese Zufälligkeit hat Study in den Beiblättern zu den Annalen der Physik, 1901, Bd. 25, S. 87 überzeugend nachgewiesen. Die Arbeiten von Sylvester und Clifford stehen im Am. Jouxn. I.

⁴

Ob das überhaupt ein zulässiger Begriff ist, wollen wir hier dahingestellt sein lassen.

⁵

Unabhängig vom Kongruenzbegriff kann der Begriff des starren Körpers

⁶

nur sehr unbestimmt als der eines Körpers definiert werden, der unserer Muskel

⁷

kraft beim Zusammendrücken großen Widerstand entgegensetzt.

⁸

Inzwischen ist u. a. eine Arbeit von K. Nitz über diesen Gegenstand erschienen: „Beiträge zu einer Fehlertheorie der geometrischen Konstruktionen“ (Ztschr. f. Math. u. Phys. 53, 1906) mit einer sehr interessanten historischen Einleitung und zahlreichen Literaturangaben. Vgl. ferner die interessanten Ansätze bei Rohn und Papperitz, Darst. Geom., I. (3. Aufl.), Anhang.

⁹

   Eine Geometrie, die es ablehnte, ideal zu sein, müßte notwendig im Nominalismus eine Ergänzung suchen.

¹⁰

   Diese Auffassung berührt sich mit den Ideenlehren Platons. Ich (H.Weber) habe schon vor siebenundzwanzig Jahren in einer Königsberger Rektoratsrede den Versuch gemacht, die Kausalität auf den Klassenbegriff zurückzuführen (Über Kausalität in den Naturwissenschaften. Im Druck erschienen bei Wilhelm Engelmann, Leipzig 1881). Diese kleine Schrift ist zwar ihrer Natur nach wenig bekannt geworden, hat aber doch hin und wieder Beachtung gefunden. Ich habe mich seitdem, ohne mich gerade systematisch damit weiter zu beschäftigen, durch die Erfahrung mehr und mehr von der Fruchtbarkeit dieses Gedankens überzeugt.

¹¹

Über den gegenwärtigen Stand der Kritik der Grundlagen der Mechanik vergleiche man den ausführlichen Bericht von A. Voß in der „Encyklopädie der Math. Wissenschaften“, Bd. IY, 1.

¹²

Die Erklärung des a priori von den analytischen und synthetischen Urteilen aus, wie sie Kant in der „Ästhetik“ zu geben versucht, ist nicht glücklich, weil das Wort „Urteil“ es nahe legt, den Standpunkt der alten formalen Logik einzunehmen, die durch das „Urteil“ ihre fertig vorliegenden Begriffe, um deren Genesis sie sich nicht kümmert, zueinander in Beziehung setzt. Dann sind natürlich alle „Urteile“ der Geometrie „analytisch“, auch die in den Axiomen ausgesprochenen, weil nach dieser Auffassung ja die Grundbegriffe durch die Axiome formal definiert werden. Synthetisch sind diese Sätze gewesen, als die Grundbegriffe durch sie erst gewonnen wurden, also auf jener Vorstufe der Erkenntnis, die die alte Logik als abgeschlossen ansieht (oder ignoriert), ehe sie ans Werk geht.

¹³

Auf diesen Gedanken kam u. a. Joh. Bolyai. Vgl. P. Stäckel, De ea Mechanicae analyticae parte, quae ad varietates complurium Dimensionum spectat.

¹⁴

Ein solches hat E. Davis (Die geometrische Addition der Stäbe in der hyperbolischen Geometrie, Dies. Greifswald 1904) angegeben; ob es das einzig mögliche ist, scheint nicht sicher.

¹⁵

Vom Standpunkte der betr. Nichteuklidischen Geometrie heißt diese Konstante das Krümmungsmaß des entsprechenden Raumes, ein Begriff, der sich der elementaren Darstellung entzieht.

¹⁶

Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 12 (1903).

Anblick dieser Figur erregt und ermüden leichter, als wenn der Winkel vollkommen (d. h. mit unmerklichem Fehler) ein Rechter wäre. Offenbar kommt hier die Akkomodationsstellung der beiden Augen in Betracht. Gegenüber Figuren, die zu unserer eigenen Symmetrieebene symmetrisch liegen, werden beide Augen beim Sehen gleich eingestellt und gleich angestrengt. Rechte Winkel, die durch diese Symmetrie in sich übergehen, kann man „aus der Anschauung“ viel leichter zeichnen als anders liegende. Vielleicht ist dies in Verbindung mit der Erzeugung des Kreises durch Rotation eines starren Körpers ein Weg, die Bevorzugung einer bestimmten Euklidischen Geometrie vor allen anderen zu erklären.¹) Das ist Sache der Psychologie.

Dritter Abschnitt.

Grundlegung der projektiven Geometrie.

§ 15. Die Axiome der Verknüpfung und der Anordnung.

1.    Indem wir die beiden Nichteuklidischen Geometrien mittels der Euklidischen darstellten, erlangten wir den Vorteil, die Schicksale dieser drei Geometrien miteinander solidarisch zu verketten: führte eine von ihnen zu inneren Widersprüchen, so müßten alle drei falsch sein. Andererseits erwuchs daraus der Nachteil, daß es scheinen könnte, als sei schließlich die Euklidische Raumordnung doch der Urquell aller anderen Raumgestaltungen. Daß jedoch die beiden Nichteuklidischen Geometrien eine selbständige Begründung zulassen, haben wir in § 13 und § 14 bereits bemerkt, und zwar kann man diese Geometrien entweder nach Art der Schulgeometrie aus ihren Axiomen auf bauen, oder, was einen rascheren Überblick gewährt, sie aus der Cayleyschen Maßbestimmung deduzieren. Wir entschließen uns zu letzterem, wenn w'ir uns auch auf Andeutungen beschränken müssen. Die Cayleysche Metrik gründet sich aber auf die projektive Geometrie, und so müssen wir erst diese herleiten.

2.    Die projektive Geometrie soll uns zugleich die Grundlage für das definitive Lehrgebäude der Euklidischen Geometrie abgeben. Wir hatten die Bewegung als Kriterium der Kongruenz verworfen (§ 14), weil dabei stillschweigend die bewegten Gebilde als starr vorausgesetzt werden, der Begriff der Starrheit aber nur durch die Unveränderlichkeit der Maße bestimmt werden kann; die übliche Definition der Kongruenz begeht also einen circulus vitiosus, über den auch die „reine Anschauung“ nicht hinweghelfen kann, wie man wohl behauptet hat. Die Bewegung ist kein Prinzip der Geometrie, sondern ein Problem der Kinematik. Nach dem Vorgänge von Leibniz hat neuerdings Natorp²) versucht, die Bewegung als Ortsveränderung oder Inbegriff aller Lagen zur Herleitung der Raumordnung zu benutzen. Der Begriff der Veränderung ist aber für diesen

Zweck zu allgemein; man könnte leicht „Veränderungen“ angeben, die eine stetige Umgestaltung der Raumordnung bewirken, ohne das zu leisten, was die Bewegung leisten soll. Man muß also die Eigenschaften hinzunebmen, welche jene Veränderungen oder Transformationen zur Bewegung machen. Das sind aber Gruppeneigenschaften, die sich ohne Benutzung der Axiome I, II, IV, V nicht bestimmen lassen. Da dies im wesentlichen die Axiome der projektiven Geometrie sind, so kann das Brauchbare des Natorpschen Gedankens erst auf Grund der projektiven Geometrie Verwertung finden, etwa im Sinne von Lindemann.³) Dieser Weg ist aber nur mit den Mitteln der Analysis oder der ganzen Geometrie der Lage gangbar. Es liegt mehr im Geiste der Elementargeometrie, die Kongruenzaxiome durch geeignete Konstruktionen zu verwirklichen. Das sollten die Steiner sehen Linealkonstruktionen leisten (§5). Diese setzen in jeder Ebene einen Hilfskreis voraus. Die geometrischen Eigenschaften des Kreises können aber ohne Maßbegriffe nicht definiert werden. So würden wir uns also mit unseren Absichten in einem falschen Zirkel bewegen, wenn die Geometrie ihre Gesetze wirklich, wie der naive Empirismus will, aus den Figuren herausläse, statt sie vielmehr hineinzulegen. Vom Standpunkte der rein begrifflichen Geometrie schließen wir dagegen umgekehrt: wenn der ideale Kreis nur metrisch von anderen Ellipsen unterschieden ist, so muß man jede Ellipse im reinen Begriffssystem der idealen Geometrie zum „Kreis“ machen können, nicht in dem Sinne, daß man auch an eine „ungenaue“ Figur exakte Folgerungen knüpfen könne, sondern so, daß die durch jenen Kreis vermittelten Konstruktionen vollkommen exakt sind, wenn auch die auf diesem Wege erzeugte Kongruenz nicht die empirische ist. Diese Möglichkeit wurde schon in § 14 behauptet. Es gilt nun, sie zu verwirklichen.

3. Da die parabolische und die hyperbolische Geometrie durch Einführung der uneigentlichen bezw. idealen Elemente rein begrifflich die Verknüpfungsgesetze der elliptischen Geometrie herbeiführen, so wird die projektive Geometrie, die jenen zur Grundlage dienen soll, die Verknüpfungsaxiome der elliptischen voraussetzen müssen.

In der projektiven Ebene werden also je zwei Geraden einander schneiden; erst hinterher werden wir gewisse Punkte und Geraden als uneigentliche oder ideale auszeichnen, um zu den drei verschiedenen Geometrien zu gelangen. Die Worte „Punkt, Gerade, Ebene“ könnten übrigens durch „Grundgebilde nullter, erster, zweiter Stufe“ ersetzt werden; die Ebene suchen wir durch ein Strahlenbüschel zu erzeugen.

Wir gehen demnach von zwei verschiedenen Systemen von Dingen aus, die Punkte und Geraden heißen mögen. Es sei festgesetzt, was man unter Inzidenz eines Punktes und einer Geraden zu verstehen hat. Von den mit einer Geraden inzidenten Punkten sagen wir, sie „liegen auf ihr“, sie „gehören ihr an“; nach einer in § 13 gemachten Bemerkung brauchen diese Punkte nicht im gewöhnlichen Sinne „auf“ der Geraden zu liegen; die mit einem Punkte inzidenten Geraden „gehen durch diesen Punkt“. Eine Gerade „verbindet“ je zwei „ihrer“, d. h, der ihr angehörigen Punkte. Zwei durch denselben Punkt gehende Geraden „schneiden sich in diesem Punkte“, sie „haben diesen Punkt gemein“. Alle diese Redewendungen dienen nur zur Erleichterung des Ausdruckes. Zwischen den Punkten und Geraden bestehe unter Benutzung des Begriffes der Inzidenz eine Verknüpfung folgender Art:

1₁.    Durch zwei voneinander verschiedene Punkte geht stets eine und nur eine Gerade.

1₂.    Auf jeder Geraden liegen mindestens zwei Punkte.

1₃.    Es gibt mindestens zwei einander nicht schneidende Geraden.

Es gibt demnach mindestens drei nicht in einer Geraden liegende Punkte. Die drei Geraden, welche drei nicht in einer Geraden gelegene Punkte paarweise verbinden, konstituieren ein „Dreiseit“ mit den drei Geraden als „Seiten“ und den drei Punkten, als „Ecken“. Unter einem „StrahlenbüscheP (S, u) mit dem „Scheitel“ S und der „Leitlinie“ u verstehen wir die Gesamtheit der Geraden oder „Strahlen“, welche den Punkt S mit den Punkten der Geraden u verbinden. Ein Strahlenbüschel kann nur einen Scheitel haben, sonst müßten seine Strahlen nach I* miteinander zusammenfallen. Wir fordern weiter:

1₄.    Zwei Strahlenhüschel mit gemeinsamem Scheitel haben mindestens einen gemeinsamen Strahl.

1₅.    Eine Gerade, die zwei Seiten eines Dreiseits schneidet, und zwar nicht in ihrem gemeinsamen Schnittpunkte, schneidet auch die dritte Seite.

4. Diese zwei Axiome dienen ersichtlich zur Konstruktion der Ebene. Aus I₅ folgen zunächst die Hilfssätze:

A.    Eine Gerade, die zwei Strahlen eines Strahlenbüschels schneidet, ohne durch den Scheitel zu gehen, schneidet 1) auch die Leitlinie und 2) die übrigen Strahlen des Büschels und kann daher als Leitlinie dienen.

B.    Je zwei Leitlinien desselben Büschels schneiden einander.

Die Allheit der Strahlen und Leitlinien eines Strahlenbüschels mit den ihnen angehörigen Punkten nennen wir eine „Ebene“, die mit jenen Geraden und Punkten „inzident“ ist; diese Gebilde „liegen in dieser Ebene“, sie „gehören ihr an“, die Ebene „geht durch sie“. Der Ebene gehören an: die Yerbindungsgerade von je zwei ihrer Punkte, der Schnittpunkt von je zwei ihrer Geraden. Je zwei Geraden einer Ebene schneiden sich. Jeder Punkt einer Ebene kann Scheitel, jede nicht durch ihn gehende Gerade der Ebene kann Leitlinie eines die Ebene „erzeugenden“ Strahlenbüschels sein. Nach I3 liegen nicht alle Geraden in derselben Ebene. Eine Ebene wird von jeder nicht in ihr liegenden Geraden in einem und nur einem Punkte geschnitten. Denn ist S der Scheitel, u eine Leitlinie eines Strahlenbüschels der Ebene, v jene Gerade, so haben die Büschel (S, u), ($, v) nach I₄ einen Strahl w gemeinsam, der die Gerade v in dem Punkte V schneidet; dieser ist der Geraden v und der Ebene gemeinsam. Gleichzeitig folgt hieraus, daß zwei Ebenen einander stets in einer Geraden schneiden. Drei Ebenen, die nicht eine Gerade gemeinsam haben, schneiden sich in einem Punkte. Durch drei Punkte, die nicht in einer Geraden liegen, geht stets eine und nur eine Ebene; denn einer dieser Punkte kann als Scheitel, die Verbindungsgerade der beiden anderen als Leitlinie eines Strahlenbüschels dienen, das die Ebene erzeugt.

S ' auf ß. Eigen-

a aus

5. Die Yerbindungsstrahlen der Punkte einer Ebene a mit einem ihr nicht angehörigen Punkte & bilden einen „Schein“ dieser Ebene; der Schnitt dieser Strahlen mit einer nicht durch S gehenden Ebene ß heißt die „Projektion“ (der Punkte) von schäften von Figuren der Ebene a, die durch Projektion erhalten bleiben, heißen „projektiv“. Die Geometrie, deren Begründung uns obliegt, befaßt sich nur mit projektiven Eigenschaften der geometrischen Gebilde. Die Eigenschaft des Mittelpunktes M einer Strecke AB der gewöhnlichen Geometrie, „zwischen“ ihren Endpunkten zu liegen, ist z. B. nicht projektiv, da man leicht bewirken kann, daß die Projektion M' von M aus einem Punkte S auf eine Gerade u außerhalb der Verbindungsstrecke A'B' der Projektionen Ä, Br von A, B fällt. Liegt der Punkt JD auf der Geraden AB außerhalb der Strecke AB, und ist D' seine Projektion aus S auf it, so wird von den Punkten M', D' einer zwischen Ä, B' und einer nicht zwischen ihnen liegen. Die Eigenschaft der vier Punkte A, B, M, D, daß A und B durch M und D getrennt werden, überträgt sich also auf ihre Projektionen Ä, B', M', D', sie ist projektiv. Das gibt uns einen Fingerzeig, wie wir die Axiome der Anordnung für die Zwecke der projektiven Geometrie zu modifizieren haben (vgl. § 10, 1.). Wir postulieren:

Je zwei verschiedene Punkte A, B einer Geraden u bewirken eine Einteilung aller übrigen Punkte der Geraden

in zwei Klassen (A, B)i und (A, B)u mit folgenden Eigen-seliaften:

IIj. Die Klasseneinteilung ist von der Reihenfolge der Punkte A, B unabhängig.

11₂.    Jeder Punkt der Geraden außer A und B gehört einer und nur einer Klasse an.

11₃.    In jeder Klasse gibt es mindestens einen Punkt.

Bei der durch A, B bewirkten Klassenbildung heißen zwei Punkte Z, W „isothetisch“ oder „enantiothetisch“ bezüglich A, B, je nachdem sie derselben oder verschiedenen Klassen angehören.

11₄.    In jedem Quadrupel von Punkten einer Geraden gibt es zu jedem seiner Punkte nur einen von der Art, daß beide bezüglich der zwei übrigen enantiothetisch sind.

Sind also Z, W enantiothetisch bezüglich A, B, so sind Z, A isothetisch b) Z, B W,A

d)    W,B

aus a) und c) folgt auf Grund von II₄:

e)    A, B sind enantiothetisch bezüglich Z, W.

Dasselbe ergibt sich aus b) und d); aus a) und d) wie aus und c) erhellt, daß auch die isothetische Anordnung von vier Punkten wechselseitig ist. Wir haben also den Satz:

Wenn Z, W isothetisch (oder enantiothetisch) bezüglich A, B ist, so ist auch umgekehrt A, B isothetisch (oder enantiothetisch) bezüglich if, W.

a)

c)

W,B,

W,A,

Z,B,

b)

Um dieser Wechselseitigkeit Ausdruck zu geben, sagen wir im Falle der enantiothetischen Lage, die Paare if, W und A, B „trennen“ einander, im Falle der isothetischen Lage dagegen, sie „folgen“ einander. Zwischen den verschiedenen Punktanordnungen auf derselben oder auf verschiedenen Geraden vermittelt das „ebene“ Axiom der Anordnung:

II₅. Zwei Geraden u, 11 in der Ebene eines Dreiseits a, b, c, die durch keine der drei Ecken A, B, C gehen und sich auf keiner der drei Seiten schneiden, haben mit den drei Seiten a, b, c drei Punktepaare X, X'• Y, Y'; Z, Z' gemeinsam, die entweder kein Eckenpaar oder zwei Eckenpaare trennen,

also entweder allen drei Eckenpaaren folgen oder nur einem.

6. Wenn auf einer Geraden c die Punktepaare Z, W und A, B einander trennen, also Z, B und A, W einander folgen, und Z, Z das Paar A, W trennt, so kann Z' nicht mit B identisch sein, und natürlich auch nicht mit A, W, Z. Auf einer Geraden c gibt es also mindestens fünf Punkte A, B, W, Z, Z', und es ist die Annahme erlaubt, daß Z, Z' und A, W einander trennen; C sei ein nicht auf c gelegener Punkt, der von W durch S, S' getrennt werde (II₃). Die Verbindungsgerade u von S, Z und u yon S', Z' (siehe Fig. 49) schneiden BC und AG in X, X' und Y, F.

S/

Aus den Voraus-

Setzungen

1.    Z, Z’ trennt A, W,

2.    S, S' trennt W, C,

XA / / \c

folgt vermöge IL aus dem Dreieck WCA:

/y/i

Si

u.

Fig. 49.

3. Y, r folgt A, C.

Mit Rücksicht auf 2. ergibt jf sich bei Dreieck WCB die Alternative:

CT PS

) entweder X, X' trennt B, (7;

folgt „ ;

oder

X, X' folgt W, B-„ trennt „    .

Andererseits besteht bei Dreieck ABC wegen 3. die Alternative:

a) entweder X, X' trennt B, C] Z, Z' trennt A, B] folgt „ ;

ß)    oder

folgt „    .

Da der Fall a)

nur mit a), b) nur mit ß) vereinbar ist, so trennt Z, Z' außer dem in der Voraussetzung angenommenen Paare immer noch ein zweites, aber kein drittes. Im ganzen haben wir aber auf C nur die aus A, B, W gebildeten drei Paare, die gegenüber Z, Z’ in Betracht kommen. Wenn Z, Z' zwei dieser Paare nicht trennt, so kann Z, Z' auch das dritte nicht trennen, denn sonst müßte Z, Z' noch ein zweites der drei genannten Paare trennen. Es folgt:

Satz 1. Von fünf Punkten einer Geraden trennt jedes Paar entweder zwei oder keines der drei Paare, die sich aus den drei übrigen Punkten bilden lassen.

Jetzt können wir das Axiom II₅ von der Einschränkung frei machen, daß u, u sich auf keiner der drei Geraden a, b, c schneiden dürfen. Sei etwa Y' mit Y identisch, A, B trenne das Paar Z, Z"• Y, Y" trenne A, 0; ist X" der Schnittpunkt der Geraden u" = Y"Z" mit BC, und mit X nicht identisch, so muß X, X" nach II& dem

Paare B, C folgen (siehe Fig. 50). Wenn nun A, B das Paar Z, Z' nicht trennt, also nach Satz 1 das Paar Z', Z" trennt, muß X', X" dem Paare B, C nach II₅ folgen, da Y', Y" das Paar AC trennt. Nach Satz 1. folgt daher auch X, X' dem Paare B, C. Ist zufällig X” mit X identisch und Z von Z', also X von X' verschieden, so kann X" nicht mit X' Zusammenfällen. Daher ist auf die Geraden u\ u" der Satz II₅ anwendbar und ergibt unmittelbar, daß X, X' das Paar B, C nicht trennt, wenn Z, Z' das Paar A, B nicht trennt. Diese Beziehung zwischen X, X' und Z, Z' ist wechselseitig, woraus folgt, daß, wenn X, X' das Paar B, C trennt, Z, Z' auch das Paar A, B trennt. Damit ist die erwähnte Einschränkung des Satzes ü5 aufgehoben. Legt man durch Y noch weitere Geraden, die A, B (und B, C) treffen, so ergibt sich durch wiederholte Anwendung des gefundenen Resultates der

Satz 2. Die den Axiomen II entsprechende Anordnung der Punkte einer Geraden ist projektiv,

d. h. sie wird durch Projektion von einer Geraden auf die anderen übertragen.

7/ A

YfY'

Yl'

C,

ix

io'

Z‘

Fig. 50.

7. Die in den Axiomen II geforderte Klasseneinteilung der Punkte einer Geraden ist einer wesentlichen Verallgemeinerung fähig. Wenn A, B, C, Z vier Punkte einer Geraden sind und (A, B)c diejenige durch A, B bestimmte Klasse bezeichnet, die C nicht enthält, so wird Z, je nachdem Z, C durch A, B getrennt wird oder nicht, der Klasse (A, B)c angehören oder nicht. Wenn man die Punkte A, B, C in irgend einer der sechs möglichen Reihenfolgen mit 1, 2, 3 bezeichnet, so muß Z nach II₄ einer und nur einer der Klassen (1, 2)₃, (2, 3)j, (3, 1)₂ angehören. Wir behaupten jetzt ganz allgemein:

Satz 3. » Punkte einer Geraden lassen sich stets so mit den Ziffern 1, 2, . . ., n bezeichnen, daß folgende Ordnung besteht:

1. Je zwei im Zyklus 1, 2, 3, . . ., », 1 unmittelbar aufeinander folgende Punkte v, v -f-1 (v— 1, 2,.,., n— 1) oder », 1 bestimmen im Sinne der Axiome II eine Klasse [v, v -f 1] oder [», 1], die keinen der »—2 übrigen Punkte enthält, so daß diese also der anderen Klasse, der „Ergänzungsklasse“, angehören.

2.    Jeder von diesen n Punkten verschiedene Punkt Z liegt in einer und nur einer dieser n Klassen [1> 2], [2, 3], ..[n - 1, n], \n, 1].

3.    Diese Ordnung bleibt bestehen, nicht nur, wenn man die Ziffern 1, 2, . . ., n zyklisch permutiert, sondern auch, wenn man sie bezw. durch n, n — 1, . . ., 1 ersetzt, worauf man sie wieder zyklisch permutieren darf.

Für n = 3 haben wir den Satz vorweggenommen; um ihn durch den Schluß von n auf n + 1 vollständig zu beweisen, denken wir n + 1 Punkte gegeben und auf n derselben den Satz angewandt. Die entsprechenden Klassen seien [1, 2]*, [2, 3]*, . . \n — 1, n\*7 [w, 1]*. Der (n + l)te Punkt liegt nach Voraussetzung in einer und nur einer dieser n Klassen; wir dürfen annehmen, in [w, 1], da dieser Fall durch zyklische Permutation der Ziffern 1, 2, . . ., n sich leicht herbeiführen läßt. Dann trennt n + 1, v das Paar n, 1 für

v = 2, 3, 4, . . ., n — 1.

Nach II₄ folgt also n + 1, 1 dem Paare v, n, und n, n + 1 dem Paare v, 1, woraus sich ergibt, daß

0 + 1,1), = 0 -hl, l)n; (n, n + l)t — (n, n + l)r für v = 2,3,..., n — 1,

wenn das Gleichheitszeichen zum Ausdruck der Identität benutzt wird. Die Symbole (n + 1, 1)₂ = (w + 1, 1)₅ =»•••*=»(» + 1, 1)„_! = 0+1, 1)M bezeichnen also dieselbe Klasse, die wir kurz \n + 1, 1] nennen wollen; ebenso bezeichne \n, n + 1] die Klasse

(n, n + 1), = 0, n + 1)₂ = • • • = (:n, n +

Ein von 1, 2, . . ., n + 1 verschiedener Punkt Z muß einer und der Klassen [1, 2]*, [2, 3]*, . . ., [n - 1, n]*, [n, 1]*

an-

nur einer

gehören. Neues bietet nur der Fall, daß Z in der letzten Klasse 0, 1]* enthalten ist, in der auch n + 1 sich befindet; Z, v(v = 2, . . ., n— 1) trennt dann n, 1, und durch Anwendung des Satzes 1. auf die fünf Punkte Z, v, n, n    + 1, 1    ergibt sich, daß    Z,    v eines und nur eines

der Paare n, n +    1 oder    n + 1, 1 trennt,    d.    h. daß Z entweder in

0, n + 1)^ oder in (n + 1, 1)„ sich befindet.

Sind also Z    und n    + 1 Punkte von    [«,    1]*, so gehört Z entweder zu [n, n +    1] oder zu \n + 1, «].    Damit ist der Satz 3. be

wiesen und zugleich gezeigt, daß jeder hinzukommende Punkt immer die Klasse in zwei neue Klassen spaltet, der er angehört. Die Sternchen, welche die durch n Punkte bewirkte Klasseneinteilung von der durch n + 1 Punkte erzeugten unterscheiden sollten, erweisen sich demnach als überflüssig. Nach II₃ gibt es in jeder

Klasse mindestens einen Punkt. Auf jeder Geraden gibt es demnach mindestens vier Punkte, also ebensoviel Klassen, also vier weitere Punkte, also acht Klassen und mindestens acht weitere Punkte u. s. w. In jeder der beiden Klassen, die ein Punktepaar auf einer Geraden bestimmt, gibt es also unendlich viel Punkte.

aus

8. Die zwei verschiedenen zyklischen Anordnungen der Klassen, die durch n Punkte im Sinne des Satzes 3. gebildet werden, bestimmen zwei verschiedene „Sinne“, in denen man die Klassen „durchlaufen“, d. h. zunächst nur „aufzählen“ kann. Läßt man aber an der Klasseneinteilung einen (n + l)ten Punkt a teilnehmen, der etwa der Klasse [4, 5] angehört, so zerfällt diese, wie wir soeben bewiesen haben, in die Klassen [4, cc] und \cc, 5] ; ein zu [4, 5] gehöriger Punkt ß muß dann entweder in [4, a] oder in [a, 5] Vorkommen. Nehmen wir das letzte an, so zerfällt [cc, 5] in [«, ß] und [ß, 5], so daß jeder Punkt y von [a, 5] in [«, ß] oder [ß, 5] liegen muß. Falls y zu [ß, 5] gehört, zerfällt [ß, 5] in [ß, y] und [y, 5]; daher setzt sich [4, 5]

[4, cc], [a, ß], [ß, y], [y, 5] zusammen, und es ist [1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, cc], [cc, ß], [ß, y], [y, 5], [5, 6], . . ., [n, 1] eine erweiterte Klassenteilung nach Satz 3. Eine Aufzählung dieser Klassen im einen oder anderen Sinne gibt dann zugleich eine Aufzählung der ursprünglichen Klassen in einem oder dem anderen Sinne; das setzt sich bei vermehrten Teilpunkten fort, und man nähert sich so der Vorstellung, daß die Punkte der Geraden selbst in eine bestimmte Ordnung gebracht werden können, indem eben alle Klassen und dann alle Unterabteilungen derselben u. s. f. sich in die zwei zyklisch verschiedenen Ordnungen bringen lassen. Zugleich prägt sich hier mit wachsender Schärfe die Vorstellung der Klasse als Strecke aus, zunächst als Strecke ohne Beimischung des Längenbegriffs. Wohl aber stehen wir bereits am Ursprung der Begriffe Größer und Kleiner. Es liegt nämlich nahe, die Zerlegung von [ 4, 5] in die Teilklassen [4, cc], [cc, 5] des obigen Beispiels symbolisch auszudrücken durch

[4,5] = [4, «] + [*, 5]

und die „Teilklassen“ [4, cc], [cc, 5], die weniger umfassend als [4, 5] sind, „kleiner“ als [4, 5] zu nennen. Es ist dann

[cc, 5] = [a, ß] + [ß, 5],

[A5]-tÄ y] + [y, 5],

und

[4, 5] = [4, a] + [«, ß] + [ß, y) -f [y, 5].

Bezeichnet man die Beziehung zwischen einer Klasse Je und einer Teilklasse x durch x < Je, so ist z. B.

[y, 5] < [/?, 5], [ß, 5] < [a, 5], [«,5] <[4,5]

und aus diesen „Ungleichungen“ folgt, wie in der Arithmetik,

[y, 5] < [4, 6].

Wir können also zwei Teilklassen kx, k₂ einer Gesamtklasse k auf das Größer- oder Kleinersein vergleichen, wenn eine dieser Teilklassen ihrerseits eine Teilklasse der anderen ist: Ist dagegen keine von beiden Teil der anderen, so fehlt es an einem Vergleichungsmodus. Dieser muß durch ein Gesetz gegeben sein, das es gestattet, allenthalben auf einer Geraden einer gegebenen Klasse andere Klassen eindeutig zuzuordnen, die als der gegebenen Klasse „gleich“ gelten sollen; kx heißt „kleiner“ als k₂, wenn k₂ eine Teilklasse xx enthält, die gleich Jcx ist. Die logische Genesis des Größenbegriffes geht also aus von der Erzeugung des Größer und Kleiner, setzt dann die Gleichheit und definiert zum Schlüsse das „Wie groß“. Für unsere Zwecke reicht die Vorstufe aus. Doch möchten wir hierdurch angeregt haben, diese Begriffsbildung einmal an einer Mannigfaltigkeit auszuführen, wo sie uns nicht infolge alltäglicher Gewohnheit so trivial vorkommt wie an den Punkten einer Geraden, z. B. an Temperaturdifferenzen.

§ 16. Das Dedekindsche Axiom und der Fundamentalsatz der projektiven Geometrie.

1. Zur Begründung der Geometrie der Ebene müssen wir nach § 13, 4. die reichere Gesetzlichkeit des Raumes benutzen, um den Satz von Desargues abzuleiten; seine Voraussetzungen sind in § 13, 12. ausführlich besprochen, der Beweis ist in § 10, 1. erbracht worden. Diesen Satz wenden wir auf zwei Dreieekspaare AXBXCX und A₂B₂C₂, BXCXJDX und B₂C₂D₂ einer Ebene r\ an, die so zueinander gelegen sind, daß die Schnittpunkte

C von AXBX und A₂B₂, A von BXCX und B₂C₂,

B von Cx Ax und C₂ A»

der homologen Seiten des ersten Paares, und die Schnittpunkte

A von Bx Cx und B₂ C₂, C von Gx Dx und C₂ Z>₂, B' von Dx Bx und D₂ B₂

der homologen Seiten des zweiten Paares einer Geraden u angehören. Dann gehen nach dem Satze von Desargues einerseits die Geraden

andererseits BXB₂, CXC₂, JDxD₂

CXC₂,

durch einen Punkt. Dieser wird aber durch das Paar BXB₂ und CXC₂, das beiden Tripeln angehört, allein schon bestimmt, ist also für beide Dreiecke derselbe Punkt S. Jetzt sind die Dreiecke AXBXI)X und A₂B₂1)₂ so zueinander gelegen, daß die Verbindungslinien homologer Eckpunkte AXA₂, BXB₂, I)x I)₂ durch denselben Punkt S gehen,

also liegen nach der Umkehrung des Satzes von Desargues die Schnittpunkte

C von AiB₁ und A₂B₂,

B' von B₁Dl und B₂D₂,

Ä von D₁J,₁ und D₂A

in einer Geraden. Das ist u (siehe Fig. 51). Der Beweis bleibt bündig, wenn die Punkte eines oder zweier der drei Paare A, A'\ B, B' ; C, C' je miteinander zusammenfallen, versagt aber, wenn einer

jtô

A,

\\

N\\!

Fig. 51.

der vier Punkte Ax, Blf Cx, J)x auf u liegt. Das System der drei Paar Yerbindungsgeraden dieser Punkte heißt ein „vollständiges“ Viereck, je zwei Geraden oder „Seiten“ desselben, die zusammen die vier „Eckpunkte“ Alf Blf Ct, B\ enthalten, werden ein Paar „Gegenseiten“, ihr Schnittpunkt eine „Nebenecke“ genannt. Wir haben also den

Satz 1. Wenn von zwei aufeinander bezogenen vollständigen Vierecken fünf Paar homologer Seiten sich in Punkten einer Geraden u schneiden, welche durch keinen Eckpunkt geht, so liegt auch der Schnittpunkt des sechsten Paares auf dieser Geraden.

2. Ein vollständiges Viereck OPQB (Fig. 52) hat drei Nebenecken A, J, B; von diesen gilt der

Satz 2. Die Nebenecken eines vollständigen Vierecks liegen nicht auf einer Geraden.

Den Beweis führt man am besten ohne Figur, um sicher zu sein, daß man nicht irgendwo die Anschauung benutzt. Die Ecken des Vierecks, von denen keine drei in gerader Linie liegen dürfen, mögen 1, 2, 3, 4 heißen. Es mögen einander schneiden

1 4 und 2 3 in der Nebenecke A,

24 „

34 „

INS H-i

ft s

B,

C,

und es ist zu zeigen, daß A, B, C nicht auf einer Geraden liegen. Bezüglich des Dreiecks 12 3 sind 14, 2 4, 3 4 die Ecktransversalen des Punktes 4, und A, B, C ihre Schnittpunkte mit den Seiten.

Mittels der Axiome der Gruppe I zeigt man leicht, daß die Punkte A, B, C voneinander und von 1, 2, 3, 4 verschieden sind, indem jede gegenteilige Annahme immer zur Folge hätte, daß drei der Punkte 1, 2, 3, 4 in einer Geraden lägen. Der weitere Beweis des Satzes 2 gründet sich auf die Axiome der Anordnung und ihre Folgerungen.

Wir nehmen auf den Seiten 2 3 und 3 1 des Dreiecks 12 3 zwei Punkte Ä und B' so an, daß A, A' durch 2, 3 und B, B' durch 3, 1 getrennt werden, und ziehen die Verbindungsgerade u der Punkte A'B'’ sie möge 12 in C treffen. Ließe sich nun beweisen, daß auch C, C' durch 1, 2 getrennt werden, so könnten A, B, C nicht auf einer Geraden u liegen, weil nach Axiom II₅ die Punktepaare A, A ; B, B'\ C, C entweder kein oder nur zwei Eckenpaare des Dreiecks 12 3 trennen. Dieser Beweis kann in der Tat erbracht werden. Dazu ist eine kleine Vorbereitung nötig.

Werden nämlich vier Strahlen a, b, c, d eines Strahlenbüschels von zwei Geraden x} x, die dem Büschel nicht angehören, in vier Punkten A, B, C, JD und A', B’, C, JD' geschnitten, so hat nach § 15, Satz 2. das Punktepaar A, B zu O, D dieselbe Lagebeziehung im Sinne der Axiomgruppe II wie A', B’ zu G', JD', was wir kurz durch

U,H; C, B) = (Af, B': C, D')

ausdrücken wollen. Das heißt also: Je nachdem die Paare A, B und C, D einander trennen oder nicht, gilt das auch von A', B' und C', D'.

Sind nun X, Y, Z die Schnittpunkte von 14, 2 4, 3 4 mit u, so liefert der Schnitt der Strahlenbüschel 1, 2, 3, 4 mit den Seiten des Dreiecks 12 3 und mit u eine Reihe von derartigen „Gleichungen",

11

Weber u. Wöllstein: Enzyklopädie. II. 3. Aufl.

die wir unter Angabe des Strahlenbüschels, das sie vermittelt, zusammenstellen wollen:

(1)

(O

Büschel 1: (X, X'; 2, 3) = (X, X'; C, B'), „    4: (X,X'; 2, 3) = (X, X'; Y,X);

(2)

(2')

„ 2:    3,l) = (r,J5'; A',C'),

„ 4: (Ą5; 3,l) = (r,5'; Z, X);

(3)

(3')

cô

O Ci

h ) —

i, ) =

to to

NT NT

X, .

Vorausgesetzt ist:

(4)

X, X' trennt 2, 3,

(5)

3,1.

Aus (4) und (1') folgt:

X, X' trennt Y, Z, und hieraus nach Axiom II₄: X, Y folgt X', X,

(6)

(6')

Aus (5) und (2') folgt:

Yf B' trennt Z, X,

(7)

ICO

Y, X folgt X, B\ Nach § 15, Satz 1. schließt man aber aus (ö') und (7'):

(8)

x, j folgt ä, ir.

Vermöge des Axioms II₄ folgt aus (6):

X, X folgt X', Y,

(9)

und (7) besagt auch:

X, X trennt B', Y.

Nach § 15, Satz 1. folgt einerseits aus (9) und (10):

X, X trennt X', B'-

(10)

(H)

andererseits aus (11) und (8):

(12)

X', B' trennt Yf Z.

Aus (5) und (2) folgt:

(13)

Y, B' trennt X', C,

also nach 1I₄: oder um gestellt:

Y, C' folgt X', B’,

(14)

Ä, B' folgt Y, C’.

Endlich schließt man wiederum auf Grund des Satzes 1, § 15, aus (12) und (14):

(15)

Ä, B' trennt X, C\

und hieraus mit Rücksicht auf (3):

C₇ C trennt 1, 2,

(16)

w. z. b. w.

3.    Dem vollständigen Viereck steht das „vollständige Vierseit“ gegenüber, der Inbegriff der sechs Schnittpunkte von vier Geraden der Ebene, von denen keine drei durch einen Punkt gehen. Zwei dieser Schnittpunkte oder „Ecken“ des Vierseits, durch die zusammengenommen alle vier Geraden gehen, heißen „Gegenecken“, ihre Verbindungslinie eine „Nebenseite“ des Vierseits. So bestimmen z. B. die Geraden OP, PQ, QR, RO der Figur 52 ein vollständiges Vierseit mit den Paaren von Gegenecken O, Q\ P, P; A, B und den Nebenseiten OQ, PR, AB. Diese gehen nicht durch einen Punkt, denn das müßte etwa der Punkt J sein, in dem sich OQ und PR treffen, und dieser liegt nicht auf AB, weil A,.B, J die Nebenecken des durch 0, P, Q, R bestimmten vollständigen Vierecks sind. Es folgt der zu Satz 2. analoge

Satz 3. Die Nebenseiten eines vollständigen Vierseits gehen nicht durch einen Punkt.

4.    In Fig. 52 ist der spezielle Fall dargestellt, daß die Gerade u des Satzes 1. durch die Schnittpunkte A und B zweier Paare von Gegenseiten der Vierecke OPQR und O'P'Q'R' geht. Zu den so ausgezeichneten Punkten A, B und einem weiteren Punkte C von u bestimmt dieser Satz eindeutig vermöge der vollständigen Vierecke einen Punkt I) der Geraden u, so daß man also beliebig viel Punkte von u konstruieren kann, wenn noch ein dritter Punkt C dieser Geraden gegeben ist. Geht man bei festgehaltenem A und B von D aus, so liefert die Konstruktion rückwärts den Punkt C.

Die Beziehung der Punkte C, D zu dem in bezug auf das Viereck ausgezeichneten Paare A, B ist also wechselseitig. Diese Auszeichnung von A, B ist übrigens nicht wesentlich. Sind nämlich (vgl. Fig. 53) H, K, L, M die Schnittpunkte der Geraden AJ, BJ mit den durch A

IC

!//

i\

Q;\

>//

Fig. 52.

11*

und B gehenden Seiten des Vierecks, so senden die Vierecke HOKJ und JMQL je ein Paar Gegenseiten durch A und durch B, während ihre gemeinsame Seite OJQ durch C geht; also müssen ihre sechsten

di

fj

/

Hr

Fig. 53.

Seiten HK und M L durch D gehen. Andererseits senden aber die Vierecke PIIJM und JKRL je ein Paar Gegenseiten durch A und B, und die gemeinsame Seite PJB durch D, folglich müssen die sechsten Seiten HM

und KL durch den Punkt C gehen. Jetzt ist aber HKLM ein Viereck, das zwei Paar Gegenseiten durch C und I) sendet, während das dritte Paar Seiten durch A und B geht, also ist jetzt C, D so gegen A, B bevorzugt, wie ursprünglich A, B gegen C, D bevorzugt war. Man wird fragen, ob nicht etwa auch A und C zu Schnittpunkten von Gegenseitenpaaren gemacht werden können. Das ist aber unmöglich, weil, wie wir gleich zeigen werden, A, B durch C, D getrennt wird, also A, C und B, D nach II₄ (§ 15) einander folgen. Die Projektion von AB CD

aus Q auf PR ist nämlich: RJPD,

PJRD.

» 0 „

Wenn nun AC und BD einander trennten, so gälte das auch von R, J und P, D, sowie von P, J und R, D (§15, Satz 2.), im Widerspruch mit Axiom II₄ (§ 15), wonach unter den Punkten R, P, D nur einer den Punkt J von den anderen trennen kann. Folglich trennen AC und BD einander nicht; dasselbe gilt auch von A, D und C, B, so daß also nach II₄ die Paare A, B und C, D einander trennen müssen. Das Ergebnis unserer Untersuchung fassen wir zusammen als

Satz 4. Ist ein vollständiges Viereck OPQR zu drei Punkten A, B, C einer Geraden u so gelegen, daß es. durch A und B je ein Paar Gegenseiten sendet, während eine fünfte Seite durch C geht, so bestimmt die sechste Seite auf u in eindeutiger Weise einen Punkt Z); d. h. jedes andere ebenso zu A, B, C gelegene Viereck OPQR bestimmt denselben Punkt D. Die zwei

Punktepaare A, B und C, D heißen zwei harmonische Punktepaare oder zwei Paar harmonischer Punkte. Sie haben folgende Eigenschaften: a) sie trennen einander; b) auch C und _D können zu Schnittpunkten von Gegenseitenpaaren eines vollständigen Vierecks gemacht werden, das dann durch A und B je eine Seite sendet; c) wenn C bei festgehaltenem A und B in die Lage von D fällt, so fällt D in die von C.

Die Eigenschaft zweier Punktepaare A, J5; C, D einander harmonisch zu trennen, d. h zwei harmonische Paare zu bilden, ist offenbar projektiv, weil ein vollständiges Viereck immer wieder in ein vollständiges Viereck, zwei harmonische Paare also in zwei ebensolche Paare projiziert werden.

5. Die drei Seitenpaare XX und YT, XY und XT, X'Y und XY' eines vollständigen Vierecks mögen durch zwei Geraden u und ut geschnitten werden in den drei Punktepaaren B, A; Z, Z'; W, W und Bx, Ax; ZXJ Zx\ Wx, W₁'. Die Punktepaare X, X' und Y, Y' können bezüglich des Dreiecks ABC nach II₅ nur folgende Lagen haben:

a)    entweder sie trennen das Paar C, B bezw. das Paar C, A, wie in Fig. 54;

b)    oder sie trennen nicht;

X'

z'

7/

c.

7/

w/YL

c)    oder es findet eine Trennung, eine Folge statt, wie in Fig. 54 das Dreieck AXBXC seigt. Wendet man auf das Dreieck ABC bzw. AXBXC und die Schnittgeraden XY und X'Y' oder X'Y und XY' das Axiom II₅ an (§ 15), so müssen Z, Z' und W, W die Punkte des Paares A, B im Falle c) trennen (illustriert in Fig. 54 Z. an A₁,B₁] Zx, Z/; Wx, Wx)} im Falle a) und b) dagegen nicht. Jetzt wenden wir dasselbe Axiom auf das von u,

Fig. 54.

X'Y und XY' gebildete Drei- ^ eck SWW' und die Schnittgeraden an, die durch X', Y,

X, Y' gehen. Im Falle a) und b), wo das Paar A, B die Punkte

W,    W nicht trennt, wird das Paar X', Y zu S, W und zugleich

X,    Y’ zu S, W entweder isothetisch oder enantiothetisch liegen (II₅), also wird Z, Z' das Paar W, W nicht trennen (II₅, § 15). Im Falle c), wo A, B die Punkte W, W trennt und daher die Geraden XY und XY' auf den Seiten des Dreiecks SWW noch eine Tren-

nung hervorrufen müssen (II₅, § 15), wird Z, Z' die Ecken W, W trennen. Also ist bewiesen:

Satz 5. Wenn eine Gerade u von den Seiten eines vollständigen Vierecks in drei Paaren verschiedener Punkte geschnitten wird, so müssen diese drei Paare einander zn je zweien entweder sämtlich trennen oder nicht trennen.

X'

g'

XL

Fig. 55.

6. In Artikel 4. wurde der besondere Fall erörtert, daß die schneidende Gerade u der Sätze 1. und 4. durch zwei Schnittpunkte von Gegenseitenpaaren geht. Es bleibt also noch der Fall zu untersuchen, daß auf u sich nur ein Paar Gegenseiten schneidet, also in Fig. 54 etwa Z' mit Z zusammenfällt. In der so entstehenden Fig. 55 werden alle Bezeichnungen der vorigen beibehalten und noch die Gerade SC eingefügt, die AB in Q und X'Y' in Q' schneidet. Vermöge des vollständigen Vierecks XCYS wird das Punktepaar X', Y' durch Q', Z harmonisch getrennt. Als Projektionen dieser Paare aus C und S auf u müssen dann auch , A, B und Q, Z; Wt W und Q, Z einander harmonisch trennen. Da die Punktepaare A, C und Y, r; B, C und X, X' von Z aus aufeinander projiziert werden, so müssen sie entweder beide einander trennen oder beide einander nicht trennen. Vermöge des Axioms II₅, § 15 in Anwendung auf Dreieck ABC werden A, B und W, W in beiden Fällen einander nicht trennen, daher

Satz 6. Wenn unter der Voraussetzung des Satzes 5. eines der dort genannten Punktepaare in einen Punkt Z zusammenfällt, so trennen die zwei übrigen Paare einander nicht und es gibt einen Punkt Ç, der jedes dieser Paare von Z harmonisch trennt. Werden umgekehrt zwei Punktepaare durch ein Paar Z, Q harmonisch getrennt, so gibt es vollständige Vierecke, die durch Z (oder Q) zwei Gegenseiten, durch die zwei Punktepaare je ein Gegenseitenpaar senden.

Denn man kann Z, Q' und X', Yr auf einer durch Z gehenden Geraden willkürlich als harmonische Paare annehmen, AY' und BXr sowie X'W und Y'W' ziehen, wodurch in Fig. 55 die Punkte C und

S festgelegt werden, und die Schnittpunkte X, Y von WX' mit AC sowie W', Y' mit BC konstruieren. Dann muß XY durch Z gehen, weil X', Y' und Q', Z harmonische Paare sind. Damit ist die Umkehrung bewiesen, aus der folgt, daß zwei einander trennende Punktepaare einer Geraden nicht durch ein drittes Paar harmonisch getrennt werden können.

7. Aus den Hilbertschen Untersuchungen über die Stetigkeit in § 12 seiner „Grundlagen“ geht hervor, daß zu zwei einander nicht trennenden Punktepaaren A, B und M, N auf Grund unserer bisher eingeführten Axiome nicht notwendig ein drittes Paar U, V existiert, das A von B und M von N harmonisch trennt. Versucht man nach Satz 6. die Konstruktion eines vollständigen Vierecks PQRS, das durch M und N die Gegenseiten PQ und RS, durch A und B die Gegenseiten PR und QS sendet, und dessen drittes Gegenseitenpaar PS und QR die Gerade w, auf der A, B, M, N liegen (siehe Fig. 56), in demselben Punkte

U schneiden, so er.-hält man im allge-zwei ver-Schnitt-

meinen schiedene

punkte x₁ und yv Die ihnen entsprechenden Punkte P und Q auf den festgehaltenen Strecken AR und BS bezeichnen wir genauer als P1} Qx. Indem wir R und S zugleich mit A, B, M, N fest- A halten und die Konstruktion für andere und andere Lagen P₂, P₃, ... des Punktes P auf AR wiederholen, erhalten wir die Quadrupel P₂ Qÿx₂y₂, P₃Qsxayz, . . ., die jedem Punkte xn von w einen Punkt yn, jedem Punkte yn einen Punkt xn zuordnen. Der Schnittpunkt von AR und BS sei C. Wir beschränken die Lage von Pn auf die durch A, B bestimmte Klasse (A, C)R, die R nicht enthält. Da M, N durch A, B nicht getrennt werden, so müssen SN und PnM die Seite CB des Dreiecks ABC in einem Punkte Qn treffen, der von S durch B, C getrennt wird; also ist Qn auf (C, B)s beschränkt, und da die durch A, C getrennten Punkte Pn und R aus S auf xn und N projiziert werden, so gehören die Punkte xn infolge der Einschränkung der Punkte Pn sämtlich der Klasse {A, B)N

</i

,4

W'-

Pig. 56.

an, die wir kürzer mit [A, B] bezeichnen wollen. Derselben Klasse gehören auch die Punkte yn an, weil die Punktepaare A, P; xn, yn\ 31, N nach Satz 5. einander nicht trennen. Es wird nun unter Benutzung der ersten Stufe des Größenbegriffes nach § 15, 8. immer entweder

(17)

VA Znl < VA Vn\ oder VA %n\ > VA Vn\ sein, wo der Fall der Gleichheit nur eintritt, wenn xn mit yn zusammenfällt, der uns gerade interessiert. In Fig. 56 erfüllt Xx,yx die erste, x₂, y₂ die zweite Ungleichung, während U den axiomatisch noch zu fordernden Punkt x bezeichnet, der mit dem zugeordneten y zusammenfällt.

Ist umgekehrt TJ, V ein irgendwie nachgewiesenes Punktepaar, das A,B und M,N harmonisch trennt, und ist U derjenige Punkt des Paares, der zur Klasse \A,B\ gehört, so ist Uein Punkt x, der mit dem zugehörigen y zusammenfällt; denn nach Satz 6. werden wir zeigen, daß die Gerade BQ, welche den Schnittpunkt P von US und AB mit dem Schnittpunkt Q von UB und BS verbindet, durch 31 geht. Bezeichnet man nämlich den Schnittpunkt von BQ und AB vorläufig mit 31', so gibt es nach Satz 6. zu U einen Punkt V von der Art, daß

a)    A, B durch U, V' harmonisch getrennt wird,

b)    M', N „ u, r

Andererseits wird nach Voraussetzung

a) A, B durch U, V harmonisch getrennt, weshalb wegen a) der Punkt V mit V identisch ist, und

ß) 31, N durch U, V harmonisch getrennt, so daß also wegen b) auch 31' mit 31 zusammenfällt, w. z. b. w.

zur

8. Durch die Ungleichungen (17) wird unter den Punkten der Klasse [A, B] ein Dedekindscher Schnitt U'/U" hervor gerufen, wie wir ihn in Bd. I, § 22, 4. (2. Aufl. § 24, 4., 3. Aufl. § 24, 2.) Definition der irrationalen Zahlen benutzt haben, d. h.: Die Gesamtheit der Punkte der Klasse [A, B] zerfällt in zwei Gattungen¹) ZT und U" von der Art, daß

1.    jeder Punkt von [A, B] einer und nur einer dieser Gattungen angehört;

2.    von den Endpunkten A, B der Klasse einer zur Gattung U', der andere zu U" zu zählen ist;

3.    zwischen jedem Punkte ii der einen und u" der anderen Gattung in [A, B] die Beziehung [A, u] < [A, u"] besteht.

1) Wir vermeiden den 1. c. gebrauchten Ausdruck „Teil“, um jede Anspielung auf das räumliche Beieinanderliegen der Punkte eines „Teils“ zu vermeiden, das erst durch ein neues Axiom erzwungen werden muß.

Um im vorliegenden Falle den durch die Zuordnung der y zu den x erzeugten Schnitt bequem beschreiben zu können, wollen wir sagen, ein Punkt y von [A, B] gehe in [A, B] einem Punkte v von [A, B\ voran, wenn innerhalb [A, B] die Beziehung [A, y] < [A, v] besteht. In Ergänzung dieser Ausdrucksweise wollen wir sagen, A gehe dem Punkte B voran. Nach F. Enriques⁴) rechnen wir nun

¹

Ygl. M. Simon, Zu den Grundlagen der Nichteuklidischen Geometrie, Straßburg 1891, woselbst weitere Literaturangaben.

²

Siehe das Zitat S. 133; vgl. auch Natorp, Logik in Leitsätzen zu akad. Vorlesungen, Marburg 1904.

³

Ygl. A. Clebsch, Vorlesungen über Geometrie, bearbeitet von Lindein an n, Bd. II.

⁴

Vgl. F. Enriques, Vorlesungen über projektive Geometrie. Deutsch von H. Fleischer, Leipzig 1903, §§ 18 und 19.

1.    zur Gattung U' jeden Punkt x von [A, B], der dem zugeordneten Punkte y vorangeht; zu dieser Gattung gehört wenigstens der eine Punkt A;

2.    zur Gattung U" alle anderen Punkte von [_A,B\ \ hierher gehört B.

Jeder Punkt von [A, B], die Endpunkte A, B eingeschlossen, kann als Punkt x gelten und muß einer der beiden Gattungen angehören. Geht xn dem Punkte yn voran, so geht auch jeder Punkt x von [A, #n] dem entsprechenden Punkte y voran, da die Klasse [^4, #„] als Inbegriff von Punkten x der Klasse [B, yn~\ als Inbegriff von Punkten y entspricht (Satz 2., § 15). Die Voraussetzungen eines Schnittes sind also erfüllt.

Den hiermit nachgewiesenen Schnitt Ü'/U" könnten wir, wie im ersten Bande, benutzen, um den in Frage stehenden Punkt U zu definieren. Man kommt aber rascher zum Ziel, wenn man diesen Punkt fordert durch das Dedekindsche Axiom:

III. Ein Schnitt U'/U" in einer Punktklasse [A, B] einer Geraden w wird immer durch einen Punkt U der Klasse in der Weise erzeugt, daß V mit [A, U], U" mit [U, B] identisch ist.

Dieser Punkt U muß, als Punkt x aufgefaßt, in der Tat mit dem zugehörigen Punkte y zusammenfallen, da er ihm weder vorangehen, noch folgen kann. Nachdem U ermittelt ist, findet man V als Schnittpunkt der Geraden w mit der Geraden 0(7, die den Punkt C mit dem Schnittpunkte 0 der Geraden SR und PQ verbindet.

In der Klasse [A, B] gibt es keinen von U verschiedenen Punkt Z7₀, der zusammen mit einem ebenso wie V zu konstruierenden Punkte V0 die Punkte A und B, M und N harmonisch trennt; denn wäre AP₀PC die Projektion von AU₀UB aus S auf AC, ferner BQ₀QC die Projektion von AP₀PC aus M auf CB, so wäre BÜ₀UA die Projektion dieses letzten Quadrupels aus R auf AB. Also müßten A U₀ UB und B U₀ UA gleiche Anordnung haben (Satz 2., § 15). Wenn nun die Punkte A, B durch U, U₀ nicht getrennt werden, also entweder A, U₀ durch U, B, oder A, U durch U₀, B getrennt wird, so müßte im ersten Falle B, U₀ durch U, A, im zweiten B, U durch A, U₀ getrennt werden, beides im Widerspruch mit Axiom II₄, wonach zu U unter

den Punkten U₀, A, B nur einer gefunden werden kann, der U von den beiden anderen trennt.

Da aber von zwei Punkten, die A von B harmonisch trennen, immer einer zur Klasse \A, B] gehören muß, so folgt:

Satz 7. Zu zwei einander nicht trennenden Punktepaaren A, B und M, N existiert immer ein und nur ein Punktepaar U, V, das A von B und M von N harmonisch trennt.

Aus diesem Existenzbeweise kann sich, da er die entscheidende Wendung durch eine Forderung, das Axiom III, herbeiführt, keine exakte Konstruktion von U, V ableiten lassen; dazu ist vielmehr die Adjunktion einer Kurve zweiter Ordnung nötig, eines Gebildes, dessen Erzeugung selber nur als durch unbegrenzte Wiederholung eines gewissen Konstruktionsverfahrens ausführbar gedacht werden kann.

9. Die Axiome I, II, III bilden die Grundlage der projektiven Geometrie. Schon an dieser Stelle können wir den Erfolg der Arbeit, der zum Aufbau dieser Geometrie nötig ist, verdoppeln, wenn wir bemerken, daß aus den Axiomen I, II, III und ihren Folgerungen durch Vertauschung der Worte „Punkt", „Ebene“ mit „Ebene“, „Punkt“ richtige Sätze hervorgehen, z. B.:

ZweiPunkte sindmiteiner einzigen Geraden, ihrer Verbindungsgeraden, inzident.

Zwei Ebenen sind mit einer einzigen Geraden, ihrer Schnittgeraden, inzident.

Drei Punkte, die nicht mit

Drei Ebenen, die nicht einer Geraden inzident sind, mit einer Geraden inzident sind mit einer Ebene inzident, sind, sind mit einem Punkte,

ihrem Schnittpunkte, inzident.

Aber auch in der Geometrie der Ebene, auf die wir uns im folgenden beschränken wollen, ordnen sich alle Lehrsätze immer zu zweien, die durch Vertauschung der Worte Punkt und Gerade nach sinngemäßer Änderung der übrigen Ausdrücke ineinander übergehen. Dem Dreieck als dem System der Verbindungsgeraden dreier Punkte entspricht so das Dreiseit als System der Schnittpunkte dreier Geraden der Ebene. Der Satz von Desargues ergibt z. B.:

Wenn zwei aufeinander bezogene Dreiseite einer Ebene so zueinander liegen, daß die Schnittpunkte entsprechender Seiten auf einer Geraden liegen, so gehen die Verbindungsgeraden entsprechender Ecken durch einen Punkt.

Wenn zwei aufeinander bezogene Dreiecke einer Ebene so zueinander gelegen sind, daß die Verbin dungsgeraden entsprechender Ecken durch einen Punkt gehen, so liegen die Schnittpunkte entsprechender Seiten in einer Geraden.

Es wird nicht nötig sein, die Axiome der Verknüpfung in diesem Sinne einzeln durchzugehen. Der Begriff der Anordnung läßt sich leicht auf die Strahlen eines Strahlenbüschels S(a, b, c, . . .) übertragen, indem man von seinen Strahlen a, b, c, . . ., die durch S gehen, dieselben Eigenschaften der Anordnung aussagt, die von ihren Schnittpunkten A, B, G, . . . mit einer nicht durch S gehenden Geraden u gelten. Da nach Satz 2., § 15 die Anordnung von Punkten einer Geraden projektiv ist, d. h. auch von ihren Projektionen aus irgend einem Punkte S auf irgend eine Gerade gilt, so ist die Anordnung der Strahlen jenes Büschels von der Wahl der Hilfsgeraden u unabhängig und erfüllt die Axiome II, wenn man die Worte Punkt und Gerade miteinander vertauscht. Von den sich so ergehenden Sätzen fuhren wir nur das ebene Axiom der Anordnung U₅ und sein Gegenstück an:

Zwei Geraden u, v in der Zwei Punkte U, V in der Ebene eines Dreiecks trennen Ebene eines Dreiseits trennen entweder kein oder zwei Paar entweder kein oder zwei Paar Eckpunkte desselben.    Seiten desselben.

Die hier neu eingeführten Bezeichnungen bedürfen wohl keiner Erläuterung; zum Beweise des Satzes rechts hat man die Verbindungsgerade von U und V mit den drei Seiten zum Schnitt zu bringen und den Satz 1., § 15 anzuwenden. Da auch der aus Axiom III entspringende Satz über Strahlen eines Büschels zutrifft, so stehen die Punkte einer Ebene zu ihren Geraden in derselben Beziehung wie die Geraden zu ihren Punkten. Damit ist das Dualitätsgesetz der Ebene bewiesen, daß alle Sätze der rein projektiven Geometrie der Ebene durch Vertauschung der Worte Punkt und Gerade und entsprechende Änderung der auf die Inzidenz bezüglichen Ausdrücke in richtige Sätze übergehen. Wir werden daher in Zukunft von zwei „dualen*', d. h. in der angegebenen Weise einander gegenüberstehenden Sätzen immer nur den einen zu beweisen brauchen, eine Ersparnis an Arbeit, wodurch die auf die axiomatische Begründung der projektiven Geometrie verwandte Mühe schon an dieser Stelle reichlich aufgewogen wird. Um das Machsche Prinzip von der Ökonomie des Denkens vollständig durchzuführen, werden wir von nun an alle Definitionen dual aussprechen, also z. B. vier harmonische Strahlen definieren als vier Strahlen eines Büschels, zu denen ein vollständiges Vierseit sich in der Lage befindet, daß zwei jener Strahlen durch je ein Paar Gegenecken, der dritte und vierte je durch eine Gegenecke gehen. Diese Strahlen gehen immer durch vier harmonische Punkte eines der vollständigen Vierecke, die das vollständige Vierseit bestimmt, und es ist leicht einzusehen, daß vier Strahlen eines Büschels durch vier harmonische Punkte immer vier harmonische Strahlen sind.

10. Dem Strahlenbüschel, das wir bereits in § 15 definiert haben, stebt in der Ebene die „Punktreihe“ dual gegenüber, d. b. die Gesamtheit der Punkte einer Geraden. Die Punktreihe und das Strahlenbüschel sind die Grundgebilde (erster Stufe) der projektiven Geometrie der Ebene. Aus ihnen werden die interessantesten Gebilde der Ebene, die Kegelschnitte, punkt- oder tangentenweise erzeugt. Um das Ziel unserer Untersuchung schon jetzt hervortreten zu lassen, wollen wir eine Zwischenbemerkung unter Voraussetzung der Euklidischen Geometrie vorausscbicken. Wenn man die Punkte P1} P₂, P₃,... eines Kreisumfanges von zwei Punkten S und T des Umfanges aus projiziert, so sind die Winkel PhSPk und PhT Pk (h, k = 1, 2, 3,. . .) einander kongruent für alle Kombinationen der Indizes h, k. Ordnen wir die nach demselben Punkte Pn des Kreises gehenden Strahlen der Büschel S und T einander zu, so entsprechen je vier harmonischen Strahlen von S vier harmonische Strahlen von T, indem letztere Strahlen nach dem Peripheriewinkelsatze miteinander dieselben Winkel bilden, wie erstere. Die harmonischen Beziehungen zwischen den beiden Strahlenbüscheln wird aber durch Projektion nicht gestört, und wenn wir vorübergehend als bekannt voraussetzen dürfen, daß jeder Kegelschnitt als Zentralprojektion eines Kreises aufgefaßt werden kann, so können wir sagen, daß die Punkte Pv P₂, . . . eines Kegelschnittes aus zwei Punkten S, T desselben durch Strahlen zweier Strahlenbüschel projiziert werden, die so aufeinander bezogen sind, daß je vier harmonischen Strahlen des einen Büschels vier harmonische Strahlen des anderen entsprechen. Man wird also erwarten dürfen, umgekehrt die Punkte eines Kegelschnittes als Schnittpunkte entsprechender Strahlen zweier Strahlenbüschel S, T erzeugen zu können, die so aufeinander bezogen sind, daß je vier harmonischen Strahlen des einen vier harmonische Strahlen des anderen entsprechen.

Diese Überlegung, von der wir im folgenden natürlich keinen weiteren Gebrauch machen werden, führt uns dazu, Strahlenbüschel (und Punktreihen) umkehrbar eindeutig aufeinander zu „beziehen“, d. h. Gesetze anzugeben und zu untersuchen, die jedem Elemente (d. h. Punkte bei der Punktreihe, Strahlen beim Strahlenbüschel) des einen Gebildes ein bestimmtes Element des anderen Gebildes zuordnen und umgekehrt. Ein Strahlenbüschel S (a, b, c,. . .) mit dem Mittelpunkt S und den Strahlen a}b, c, . . . wird auf eine in derselben Ebene liegende Punktreihe u (A, P, C,. . .) mit den Punkten A, B, C, . . . auf der Geraden u am einfachsten bezogen, indem man jedem Strahle von S den Punkt von n zuordnet, durch den er geht; diese Zuordnung nennt man perspektiv. Sind zwei Punktreihen u und v einer Ebene zu einem Strahlenbüschel S derselben Ebene perspektiv, so sind sie dadurch auch aufeinander eindeutig bezogen und werden zueinander perspektiv genannt. Die Verbindungslinien homologer Punkte zweier perspektiver Punktreihen einer Ebene gehen also durch denselben Punkt S. Zwei Strahlenbüschel, die zu derselben Punktreihe perspektiv sind, mögen auch zueinander perspektiv heißen.

Man denke sich nun eine Punktreihe u mittels eines Strahlenbüschels St auf eine Punktreihe ut perspektiv bezogen, diese mittels eines Büschels S₃ auf eine Punktreihe w₂, diese mittels S₃ auf u₃ u. s. w.; dann wird auch die letzte Punktreihe nn dieses Systems auf die erste u eindeutig bezogen sein, aber die Verbindungslinien homologer Punkte von « und un werden im allgemeinen nicht durch denselben Punkt gehen, die Punktreihen u und un also nicht perspektiv liegen. Aber die zwischen u und un bestehende Beziehung hat mit der Perspektiven die wichtige Eigenschaft gemein, daß je vier harmonischen Punkten von u je vier harmonische Punkte von un entsprechen. Eine eindeutige Beziehung zwischen zwei Grundgebilden erster Stufe heißt projektiv, wenn je vier harmonischen Elementen des einen vier harmonische Elemente des anderen entsprechen. Zwei Grundgebilde erster Stufe, die zu einem dritten projektiv sind, sind auch zueinander projektiv. Ein Grundgebilde kann auch auf sich selbst projektiv bezogen sein, die Punktreihe u zum Beispiel, indem man etwa un mit u zusammenfallen läßt. Jede Perspektive Beziehung ist zugleich projektiv; es wird sich umgekehrt zeigen, daß sich jede projektive Beziehung durch eine Reihe perspektiver Beziehungen hersteilen läßt.

11. Zu diesem Zwecke vermerken wir zunächst:

Satz 8. Die projektive Beziehung zweier Grundgebilde erster Stufe ist eine geordnete, d. b. je zwei einander trennenden Elementenpaaren des einen Gebildes entsprechen zwei ebensolche des anderen.

Denn wenn den einander trennenden Paaren A, B und C, D zwei einander nicht trennende Ä, B' und C, D' entsprächen, und V, V' wären nach Satz 5. die Elemente, die Ä von B' und C' von D' harmonisch trennen, so müßten nach der Definition die zu U', V homologen Elemente U, V des ersten Gebildes die Elemente A und B wie C und D harmonisch trennen, im Widerspruch zum letzten Satze des Artikels 4. Also ist Satz 8. richtig, woraus folgt, daß einer zyklischen Folge von Punktklassen [1, 2], [2, 3], ... im Sinne des § 15, 7. wieder eine zyklische Folge [1', 2'J, [2', 3'], . . . entspricht.

Es fragt sich nun, wieviel Elementen eines Grundgebildes erster Stufe man je ein Element eines anderen Grundgebildes willkürlich zuordnen darf, um zwischen den Grundgebilden eine projektive Beziehung herzustellen, in der jene Elemente einander entsprechen. Zwei Elemente sind sicher zu wenig; denn handelte es sich etwa um zwei

Punktreihen u, u, und ordnete man zwei Punkten A, B der einen zwei beliebige Punkte Ä, B' der anderen zu₇ so könnte man beide Punktreihen auf das Strahlenbüschel perspektiv beziehen, das den Schnittpunkt S von AÄ und BB' zum Mittelpunkte hat: dadurch wären dann u, u selber perspektiv aufeinander so bezogen, daß A und A', B und B' einander entsprächen. Man könnte aber auch erst u auf eine Punktreihe u" perspektiv beziehen, indem man den Punkten A, B auf u" willkürlich A", B" zuordnete, und dann u" auf u perspektiv beziehen, so daß A" und Ä, B" und B' einander entsprächen. Ein Versuch zeigt, daß je nach der Wahl von u", von A" und B" die Beziehung von u und u sich ändert, daß also zwei Punkte sie nicht eindeutig festlegen. Wir versuchen es daher mit drei Punkten, und zwar wollen wir zur Erhöhung der Anschaulichkeit annehmen, eine Punktreihe u sei auf sich selber projektiv so bezogen, daß von den Punkten A, B, C derselben jeder sich selbst entspricht.

12. Es ist vielleicht übersichtlicher, sich den Sachverhalt so zu denken, daß auf derselben Geraden zwei Punktreihen u, u einander projektiv in der Weise zugeordnet sind, daß die den Punkten A, B, C von u homologen Punkte A', B', C' von u mit A, B, C zusammenfallen. Dann fällt auch der Punkt D, der B von A, C harmonisch trennt, mit dem entsprechenden Punkte D' zusammen, da dieser B' von A', C harmonisch trennt.

Wenn zwei Punktreihen auf derselben Geraden oder zwei Strahlenbüschel mit demselben Mittelpunkt aufeinander projektiv bezogen sind, so versteht man unter einem Doppelelement ein Element, das mit dem entsprechenden zusammenfällt; A, B, C, D sind also Doppelelemente' bei der in Rede stehenden projektiven Beziehung. Ein Doppelelement ist auch der Punkt E, der C von B, D harmonisch trennt, ferner der Punkt F, der JD von C, E harmonisch trennt u. s. w. Es gibt also eine unbegrenzte Menge von Doppelelementen, da, wie man zeigen könnte,

\c

77F

IC'

\P'

Fig. 57.

die Punkte A, B, C, B,E,F.... voneinander verschieden sind. Doch hat das hier keinenWert. Jedenfalls wird aber die Ver-< mutung nahegelegt, daß über-haupt alle Punkte der Geraden sich selbst entsprechen. Um dieser Frage auf den Grund zu gehen, nehmen wir an, F sei ein Punkt von u, dem ein davon verschiedener Punkt V von u entspricht. Nach Satz 1, § 15 wird dann das Paar P, P' entweder zwei oder keines der Paare A, B: B, C- C, A trennen.

Im ersten Falle möge P, P' etwa C von A und von B trennen, siehe Fig. 57. Da also das Paar A, C die Punkte des einen Paares P, P' trennt, so muß es entweder noch P von B oder P' von B trennen (§ 15, 1.). Auf Grund des Satzes 8. wird dann A, C aber auch bezw. entweder P' von B oder P von B trennen; folglich müßte A, C alle drei aus P, P, B zu bildenden Paare trennen, im Widerspruch mit § 15, Satz 1. Mithin ist dieser Fall unmöglich.

Im zweiten Falle denken wir, was immer möglich ist, die Punkte A, B, C so mit X, F, Z bezeichnet, daß P und P' der Klasse [X, F] angehören, die Z nicht enthält, und P' innerhalb [X, F] in die Klasse [P, F] fällt; die in [X, Y] enthaltenen Klassen können unzweideutig durch eckige Klammem um die Symbole der sie bestimmenden Punkte bezeichnet werden (siehe Fig. 58). In [P, P']

liegt keiner der Punkte X,

Y, Z. Die projektive Bezieh- 2L ung zwischen u und u läßt u X' nach Satz 6. den Punkten

ir

X X T

P’

u'

Y' Z'

Mg. 58.

einer Klasse von u die Punkte

von

[P, FJ ist ein Punkt von | PT, F]

von

zu-

von [P, P'], P eingeschlossen, P' viel-

Alle Voraus-

einer Klasse von u, also z. B. den Punkten der Klasse [X, F], die Z nicht enthält, die Punkte der Klasse [X', Y'] entsprechen, die Z' nicht enthält. Das heißt aber, da X'f Y', Z' mit X, Y, Z identisch sind: Jedem Punkte von [X, Y] entspricht wieder ein Punkt [X, F]. Jedem Punkte geordnet. Mittels dieser Zuordnung erzeugen wir, wie in Art. 5., unter den Punkten von [P, F] einen Dedekindschen Schnitt UJU₂, indem wir zur Gattung L\ jeden Punkt Q von [P, F] zählen, der mit jedem ihm vorangehenden Punkte von [P, F] dem entsprechenden Punkte vorangeht; alle anderen Punkte verweisen wir in die Gattung U₂. Zu Ut gehören alle Punkte

leicht ausgenommen; zu U₂ sicher der Punkt F.

LP, £7], also wiederum ein

zu

Setzungen eines Schnittes sind erfüllt, also gibt es nach Axiom III in [P, F] einen Punkt U, der L\ als [X, U] und U₂ als [£7, F] erzeugt. Der dem Punkte U entsprechende Punkt JJ' kann weder in [P, U]₇ noch in [JJ, F] liegen. Läge er in [P, JJ], so müßte JJ ihm vorangehen, also ein Widerspruch; läge er in [£7, F], so entspräche nach Satz 6. jedem Punkte von [Z7, F] ein Punkt von [UF], also ging⁶ jeder Punkt von [Z7, £7'] dem entsprechenden voran und gehörte mithin zur Gattung Ux, d. h.

von

unserer

Widerspruch. Folglich fällt £7' mit JJ zusammen, U ist also, wie X, F, Z, ein Doppelelement der projektiven Beziehung von u zu u. ln [P, £7] existiert kein Doppelelement, da ja jeder Punkt LP, U] dem entsprechenden vorangeht. Dieses vorläufige Resultat Untersuchung wenden wir sofort auf die projektive Beziehung

von u zu u an, die den Punkten Y', P', X umgekehrt die Punkte Y, P, X, also jedem Punkte von [ Y', X] wieder einen Punkt von [Y, XJ entsprechen läßt. Jedem Punkte von \P', X'] ist ein Punkt von [P, X] zugeordnet. Also gibt es in [P, X] einen Punkt F', der mit dem zugeordneten Punkte V identisch ist und eine Klasse [P', F] in [P', X'J bestimmt, die kein Doppelelement der Beziehung von u zu u enthält. Jedes Doppelelement dieser Zuordnung ist aber auch ein Doppelelement der Beziehung von u zu u, und so folgt, daß in der Klasse [77, F] von [X, Y] kein Doppelelement der Beziehung von u zu n enthalten ist, während ihre Endpunkte 77, F Doppelelemente sind. Dann ist aber andererseits der Punkt IF, der Z von 77 und F harmonisch trennt, ein Punkt von [77, F], der mit dem zugeordneten Punkte W zusammenfällt, da auch 77, F und Z je mit ihrem zugeordneten Punkte identisch sind. Also hätten wir im Widerspruch zu unserer soeben ausgesprochenen Behauptung nun doch ein Doppelelement in [77, F]; folglich ist die Voraussetzung des zweiten Falles ebenfalls unzulässig, und da, solange P' von P verschieden ist, immer einer der beiden Fälle eintreten muß, so muß P' mit P identisch sein. Damit dieser apagogische Schluß Beweiskraft hat, muß man sicher sein, daß der Denkbereich der Geometrie, also das System der Axiome I, II, III, in sich widerspruchsfrei ist. Das ließe sich aber mittels der arithmetischen Geometrie des § 12 sehr leicht beweisen, worauf wir, um Kaum zu ersparen, nicht eingehen dürfen.

13. Das vorläufige Ergebnis dieser Untersuchung ist: Wenn auf einer Geraden eine projektive Beziehung besteht, die drei Punkte je sich selbst zuordnet, so ordnet sie jeden Punkt der Geraden sich selbst zu.

Der dual entsprechende Satz, daß eine projektive Beziehung in einem Strahlenbüschel jeden Strahl sich selbst zuordnet, wenn sie drei Strahlen je sich selbst zuweist, ist schon darum richtig, weil durch den Schnitt dieses Büschels mit einer Geraden u in dieser eine projektive Beziehung hergestellt wird, die drei Punkte, die Schnittpunkte von u mit jenen Strahlen, je sich selber zuordnet. Ferner sieht man ohne weiteres: Wenn eine Punktreihe auf ein Strahlenbüschel so bezogen ist, daß drei Punkte je auf dem entsprechenden Strahle liegen, so liegt jeder Punkt auf dem zugeordneten Strahle. Diese drei Sätze bilden zusammengenommen den

Fundamentalsatz der projektiven Geometrie:

Wenn zwei Grundgebilde erster Stufe projektiv aufeinander bezogen sind und drei Elemente je mit dem zu-

geordneten inzident sind, so ist jedes Element mit dem zugeordneten inzident.

Dabei sollen zwei Punkte oder zwei Geraden miteinander inzident

heißen, wenn sie zusammenfallen, ein Punkt und eine Gerade, wenn dieser in jener liegt. Wir behaupten jetzt:

Wenn zwei Punktreihen u, u projektiv aufeinander so bezogen sind, daß der Schnittpunkt A der Geraden u, u sich selber entspricht, so sind die Punktreihen zueinander perspektiv.

Wenn zwei Strahlenbüschel

Uf U' projektiv aufeinander so bezogen sind, daß die Verbindungslinie UV ihrer Mittelpunkte sich selbst entspricht, so sind die Strahlenbüschel zueinander (oder, wenn man will, zu derselben Punktreihe) perspektiv.

wird das Strahlenbüschel S, dem die

Denn sind unter der Voraussetzung des Satzes links B und C irgend zwei Punkte von u, abgesehen vom Punkte A, und B', C die zugeordneten Punkte auf u Geraden BB' und CC' angehören, auf sich selber projektiv bezogen sein, wenn wir jedem Strahl durch einen Punkt von u den Strahl durch den homologen Punkt von u zuordnen. Dann sind aber die Strahlen SA, SB, SG je sich selber zugeordnet, folglich auch alle anderen. Daraus ergibt sich zugleich, daß eine Perspektive Beziehung zwischen zwei Punktreihen oder zwei Strahlenbüscheln festgelegt ist, wenn man, abgesehen von ihrem gemeinschaftlichen Elemente, zwei beliebigen Elementen des einen Gebildes zwei beliebige Elemente des anderen zuordnet.

14. Von diesem Satze machen wir Gebrauch, um die allgemeinste projektive Beziehung zwischen zwei Grundgebilden erster Stufe zu untersuchen.

Auf AÄ nehmen wir einen

Weber u. Wellutein: Enzyklopädie. II. 3. Aufl.

Seien a, b, c und a, b', c drei einander entsprechende Strahlen zweier zueinander projektiver Strahlenbüschel U, V, und sei U" ein auf a liegender Hilfspunkt (siehe Fig. 60).

Seien A, B, C und Ä, B', C drei einander entsprechende Punkte zweier zueinander projektiver Punktreihen u, u, und sei u" eine durch A gehende Hilfsgerade (siehe Fig. 59).

Pgnkt S an und beziehen u perspektiv auf das Büschel S, dieses perspektiv auf die Punktreihe u", wodurch auch u" auf (u und) u perspektiv bezogen ist, indem der Schnittpunkt A von u und u" sich selber entspricht. Nach dem Schluß-

Durch den Schnittpunkt von a und a legen wir eine Gerade s und beziehen V perspektiv auf die Punktreihe s, diese perspektiv auf das Büschel U", wodurch auch U" auf (U' und) U perspektiv bezogen ist, indem die Verbindungsgerade a von U und U" sich selber

12

xt

er

u’

JC

•Ó

Fig. 60

IC

b/aJi

c'l

''Z

.jc'

/ ;t

;x

s.

satze von Art. 12 sind folglich u und u" perspektiv zu dem Büschel T, dem BB" und CC" augehören. Die projektive Beziehung zwischen w und u wird also vermittelt durch die Perspektive Beziehung von u zu u" und von u" zu u.

entspricht. Nach dem Schlußsätze von Art. 12 sind folglich U und U" perspektiv zu der Punktreihe t, der die Schnittpunkte von b, b" und von c, c" angehören. Die projektive Beziehung zwischen U und U' wird also vermittelt durch die Perspektive Beziehung von U zu U" und von U" zu U'.

Fig. 59.

Zu einem beliebigen Punkte Zu einem beliebigen Strahle x X von u bestimmt TX auf u” den von U bestimmt der Schnittpunkt homologen Punkt X", und SX" von t und x, verbunden mit U", auf u den Punkt X', der in jener den homologen Strahl x" im Büschel projektiven Beziehung dem Punkte U", der Schnittpunkt von s und x"f X zugeordnet ist.    verbunden mit U', den Strahl x\

der dem Strahle x entspricht.

Eine projektive Beziehung zwischen zwei Grundgebilden erster Stufe ist also festgelegt, wenn man drei beliebigen Elementen des einen drei beliebige Elemente des anderen als entsprechende zuordnet. Handelt es sich um eine Punktreihe und ein Strahlenbüschel, so kann man diese erst auf ein Büschel, oder jenes auf eine Punktreihe perspektiv beziehen und die soeben angegebene Konstruktion anwenden, die zu jedem Element das entsprechende finden lehrt. Eine projektive Beziehung, die nicht perspektiv ist, kann stets, wie wir sehen, durch eine geringe Anzahl perspektiver Beziehungen erzeugt werden.

15. Nachdem wir hiermit alle tieferen Schwierigkeiten der projektiven Geometrie überwunden haben, können wir zur Verwirklichung der in Art. 10 ausgesprochenen Gedanken schreiten; nur sind wir inzwischen dahin belehrt, daß wir nicht zueinander Perspektive Strahlenbüschel nehmen dürfen. Wir beziehen daher nach Art. 14 zwei

Strahlenbüschel U, U' projektiv so aufeinander, daß der Strahl Uj U' nicht sich selbst entspricht, und bringen jeden Strahl x von U mit dem homologen Strahle x von V zum Schnitt. Der Inbegriff der Schnittpunkte & heißt eine Punktreihe (Kurve) zweiter Ordnung, weil auf einer Geraden g höchstens zwei Punkte & liegen können.

Punktreihen u, u projektiv so aufeinander, daß der Schnittpunkt von u und u nicht sich selbst entspricht, und verbinden jeden Punkt X von u mit dem homologen Punkte X' von u' durch eine Gerade |. Der Inbegriff der Strahlen I heißt ein Strahlenbüschel zweiter Klasse, weil durch einen Punkt P höchstens zwei Strahlen £ gehen können.

Zum Beweise der letzten Behauptung links hat man g mit den Büscheln U} U' zum Schnitt zu bringen und erhält so auf g zwei zueinander projektive Punktreihen; nach dem Fundamentalsatze können höchstens zwei Punkte je mit dem entsprechenden zusammenfallen, weil sonst, entgegen der Voraussetzung, U und U' perspektiv wären. — Von den Punktreihen und Strahlenbüscheln zweiter Ordnung unterscheiden wir die bisher so genannten Gebilde als Punktreihe erster Ordnung und Strahlenbüschel erster Klasse. Es sei schon hier bemerkt, daß die Punktreihe zweiter Ordnung ein Kegelschnitt, das Strahlenbüschel zweiter Klasse seine Tangentenhülle ist. Im nächsten Paragraphen werden wir diese Gebilde ausführlich zu betrachten haben.

§17. Die wesentlichsten projektiven Eigenschaften der Kegelschnitte.

1. Die wesentlichsten projektiven Eigenschaften der Punktreihen

II. 0. (zweiter Ordnung) und der Strahlenbüschel II. Kl. (zweiter Klasse) folgen aus dem Erzeugungsgesetz dieser Gebilde mit der größten Leichtigkeit, und zwar im wesentlichen auf Grund von nur zwei einander dual gegenüberstehenden Figuren. Um das Dualitätsgesetz recht deutlich hervortreten zu lassen, werden wir einander dual entsprechende Punkte und Geraden mit demselben Buchstaben bezeichnen, Punkte mit denen des großen, Geraden mit denen des kleinen Alphabets.

Fig. 62.

reihe II. 0. an. Durch G legen wir zwei Geraden cp, xp und beziehen die Punkte von cp auf die durch sie gehenden Strahlen von S, die Punkte von ip ebenso auf die Strahlen von T. Den Strahlen a, b', c entsprechen dann auf cp die Punkte Ä, B', C', den Strahlen a”, b", c" auf tp die Punkte A", B", C". Da cp perspektiv zu S, xp perspektiv

c\

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Zwei Strahlenbüschel S,T(siehe Fig. 61) beziehen wir aufeinander projektiv, indem wir drei beliebigen Strahlen a, b', c des einen drei beliebige Strahlen a", b", c" des anderen als homologe zuordnen. Die Schnittpunkte A, B, C der einander entsprechenden Strahlen gehören dann der von S, T erzeugten Punkt-

Zwei Punktreihen s, t (siehe Fig. 62)*) beziehen wir aufeinander projektiv, indem wir drei beliebigen Punkten Ä, B', C der einen drei beliebige Punkte A", B", C" der anderen als homologe zuordnen. Die Verbindungsgeraden a, b, c der einander entsprechenden Punkte gehören dann dem von s, t erzeugten

Fig. 61.

Strahlenbüschel II. Kl. an. Auf c nehmen wir zwei Punkte O, W an und beziehen die Strahlen von # auf die mit ihnen inzidenten Punkte von s, die Strahlen von W ebenso auf die Punkte von t. Den Punkten Ä, B', C' entsprechen dann in O die Strahlen a, b', c, den Punkten A", B", C" in W die Strahlen a"} b", c". Da <J> perspektiv zu s,

1) Wir veranschaulichen das Strahlenbüschel durch die von ihm eingehüllte Kurve, die, wie wir in Art. 4. sehen werden, eine Punktreihe II. 0. ist.

Damit

X" der Punkt X'.

Damit x mit 5 zu-

żu T und S projektiv zu T ist, so ist auch cp projektiv zu ip’ da aber die homologen Punkte C und C" von cp und ip in C zusammenfallen, so ist cp zu. ip perspektiv, d. h. die YerbindungsgeradenJ/A", B'B",... homologer Punkte gehen durch denselben Punkt Sl. Man findet also zu einem beliebigen Strahle x von S den homologen Strahl x" von T, indem man den Schnittpunkt X' von x und cp mit ii, und den Schnittpunkt X" dieser Geraden und der Geraden ip mit T verbindet; x und x" schneiden sich dann in einem Punkte X der Punktreihe II. 0. Ähnlich ergibt sich zu x' der Strahl x. So kann man also beliebig viel Punkte X der Punktreihe finden. Dem Strahle TS oder s" des Büschels T entspricht auf ip der Punkt S", in welchem ip von TS geschnitten wird, diesem auf cp der Schnittpunkt S' von cp mit S"Si; die Strahlen s' und schneiden sich in S, also ist auch S ein Punkt der Punktreihe II. 0.; ebenso T. Durch die Konstruktion von X wird also zugleich die Aufgabe gelöst, auf einer Geraden x, die durch einen Punkt S der Punktreihe geht, den anderen eventuell auf ihr liegenden Punkt X der Punktreihe zu finden.

X mit S zusammenfällt, die Gerade x also außer S keinen Punkt der Punktreihe enthält, muß auch x" durch S gehen, also x mit SS' oder, s zusammenfallen. Eine Gerade wie s', die mit der Punktreihe einen, aber nicht zwei Punkte gemeinsam hat, heißt eine Tan-

W perspektiv zu t und s projektiv zu t ist, so ist auch 0 projektiv zu Wj da aber die homologen Strahlen c und c" von 0 und W in c zusammenfallen, so ist 0 zu W perspektiv, d. h. die Schnittpunkte a'a", b'b", . . . homologer Strahlen liegen auf einer Geraden co. Man findet also zu einem beliebigen Punkte X' von s den homologen Punkt X" von t, indem man die Verbindungsgerade x von X' und 0 mit o, und die Verbindungsgerade x" dieses Schnittpunktes und des Punktes W mit t zum Schnitt bringt; die Gerade X'X" oder x ist dann ein Strahl des Büschels II. Kl. Ähnlich ergibt sich zum Punkte So kann man also beliebig viele Strahlen x des Büschels finden. Dem Punkte ts oder S" der Punktreihe t entspricht in W der Strahl s", der W mit ts verbindet, diesem in 0 die Verbin dungsgerade von 0 mit s" a; die Verbindungsgerade von S' und S" ist s, also ist auch s ein Strahl des Büschels II. Kl.: ebenso t. Durch die Konstruktion von x wird zugleich die Aufgabe gelöst, durch einen Punkt X', der auf einem Strahle s des Büschels liegt, den anderen eventuell mit X' inzidenten Strahl x des Büschels zu legen, sammenfällt, durch X' also außer s kein Strahl des Büschels geht, muß auch X" auf s liegen, also X' mit ss oder S' zusammenfallen. Ein Punkt S', durch welchen ein Strahl des Büschels II. Kl., aber nicht zweie gehen, heißt ein Be

n X/, X₂', : . .

; tr¹

die Lagen X/', es geht immer . . durch ß.

an,

zu

n = 0, 1, 2,.. reihe II. 0. auch durch die projektiven Strahlenbüschel U, V erzeugt.

an

g en te derselben. Durch S geht demnach nur eine Tangente s'. Ebenso ist f die Tangente der Punktreihe in T. Wie leicht einzusehen ist, trifft TSl die Gerade cp, S£l die Gerade il> je in einem Punkte U und V der Punktreihe

II. 0.

Durch Angabe der Punkte A, B, C ist die projektive Beziehung der Strahlenbüschel S, T festgelegt, indem die Strahlen SA und TA, SB und TB, SC und TC einander zuzuordnen sind. Die Punktreihe IL 0. ist also durch die fünf Punkte S, T, A, B, C vollkommen bestimmt, jedoch, wie es scheinen könnte, unter Auszeichnung von S und T. Nun sind aber cp und tp beliebige Geraden durch C, also U und V zwei beliebige Punkte der Punktreihe II. 0., die auch, wenn man will, mit A und B zusammenfallen dürfen. Ersetzt man C unter Festhaltung von A, B, U, V, S und T durch andere Punkte Ct, C₂, ... der Punktreihe II. 0., so nimmt X' auf x die X" auf

X X", X/X/', X₂'X₂",.

Es entstehen also zwei durch ß perspektiv aufeinander bezogene Punktreihen X'X₁'X₂' . . . und X'Xi'X" . . . auf x’ und x"-, diesen sind aber die Strahlenbüschel

U und V perspektiv, also sind diese zueinander projektiv, und da Cn der Schnittpunkt der homologen Strahlen ÜX; und VX„" ist, so wird die Punktrührungspunkt des Büschels. Auf s liegt demnach nur ein Berührungspunkt S'. Ebenso ist T" Berührungspunkt des Büschels auf t. Wie leicht einzusehen ist, gehören die Geraden u und v, die tco mit 0, sa mit W verbinden, ebenfalls zum Büschel II. Kl.

Durch Angabe der Strahlen a, b, c ist die projektive Beziehung der Punktreihen s, t festgelegt, indem die Punkte sa und ta, sb und tb, sc und tc einander zuzuordnen sind. Das Strahlenbüschel II. Kl. ist also durch die fünf Strahlen s, t, a, b, c vollkommen bestimmt, jedoch, wie es scheinen könnte, unter Auszeichnung von s und t. Nun sind aber 0 und ⁷F beliebige Punkte auf c, also u und v zwei beliebige Strahlen des Büschels II. Kl., die auch, wenn man will, mit a und b zusammenfallen dürfen. Ersetzt man nun c unter Festhaltung von a, b, u, v, s und t durch andere Strahlen cx, c%, ... des Büschels II. Kl., so nimmt x im Büschel X' die Lagen xt', x₂, . . .

x" im Büschel X" die Lagen Xi"> x₂", . . ., und es liegt immer der Punkt x x", x,'x^', x₃'x₂", . . . auf c). Es entstehen also zwei durch to perspektiv aufeinander bezogene Strahlenbüschel x x±x₂, ... und x"x±’x₂", . . . mit den Mittelpunkten X' und X"; zu diesen sind aber die Punktreihen u, v perspektiv, also sind diese zueinander projektiv, und da cn die Verbindungsgerade der homologen Punkte uxn' und vx„ ißt, n — 0,1,2, ..., so wird das Büschel II. Kl. auch durch die projektiven Punktreiheu u,v erzeugt.

2. Aus der Fülle der hiermit festgestellten Tatsachen heben wir nur die allerwichtigsten hervor:

Satz 1. Eine Punktreihe II. 0. Satz 1'. Ein Strahlenbüschel

enthält stets die Mittelpunkte der sie erzeugenden projektiven Strahlenbüschel.

II. Kl. enthält stets die Träger (Geraden) der sie erzeugenden projektiven Punktreihen.

II. Kl. wird

gß-

Satz 2. Eine Punktreihe II. 0. wird aus je zwei ihrer Punkte durch projektive Strahlenbüschel projiziert.

Satz 2'. Ein Strahlenbüschel von je zwei seiner Strahlen in projektiven Punktreihen schnitten.

Dieselbe Punktreihe II. 0. kann also auf oo² Arten projektiv erzeugt werden; ebenso ein Büschel II. Kl.

Satz 3'. Ein Strahlenbüschel II. Kl. ist bestimmt durch fünf Strahlen, oder durch vier Strahlen und den Berührungspunkt auf einem derselben, oder durch drei Strahlen und die Berührungspunkte auf zwei derselben.

Satz 3. Eine Punktreihe II. 0. ist bestimmt durch fünf Punkte, oder durch vier Punkte und die Tangente in einem derselben, oder durch drei Punkte und die Tangenten in zwei derselben.

Der erste Fall wird illustriert

Der erste Fall wird illustriert durch S, T, A, B, G\ der zweite durch S, s, T, A, C, wo die Strahlen s, a, c von S den Strahlen s", a", c" von T zugeordnet sind; der dritte durch S, s', T, t", C, wo die Strahlen s', t', c von S den Strahlen s", t", c" von s den Punkten S", T", C" von von T entsprechen.

durch s, t,a, b, c; der zweite durch s, S, t, a, c, wo die Punkte S', Ä, C' von s den Punkten S", A", C" t zugeordnet sind; der dritte durch s, S', t, T”, c, wo die Punkte S', T', C'

von

t entsprechen.

Auf Grund des Satzes 2. gewinnt auch die in Art. 1. gegebene Konstruktion von Tangenten und Berührungspunkten an Wert, weil sie nunmehr für alle Punkte der Punktreihe II. 0. bezw. des Strahlenbüschels II. Kl. gilt.

Es folgt:

II. Kl. hat auf jedem seiner Strahlen einenBerührungs-punkt.

Satz 4. Eine Punktreihe II. 0. Satz 4'. Ein Strahlenbüschel hat in jedem ihrer Punkte eine Tangente.

Weitaus das wichtigste Ergebnis des Art. 1. sind der

Satz von Pascal¹) und der Satz

In jedem einfachen Sechseck, dessenEcken einerPunkt-reihe II. 0. angehören, schneiden sich die drei Paar Gegenseiten in drei Punkten einer Geraden w, wie das Sechseck SXTUCV unmittelbar erkennen läßt:

von Brianchon.¹)

In jedem einfachen Sechsseit, dessen Seiten einem Strahlenbüschel II. Kl. angehören, gehen dieVerbindungs-geraden der drei Paar Gegenecken durch einen Punkt W, wie das Sechsseit sxtucv unmittelbar erkennen läßt:

il:

Seite: SX, XT, TU Gegenseite: UC, CV, VS Schnittpunkt: X',    X”,

Ecke: sx, xt, tu Gegenecke: uc, cv, vs Verbindungsgerade: x, x", o;

lU"

7X

c.

N lW —--------\

__________ZfV"’

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S,

T'

Va

rc

Fig. 64.

<p

T'

ZV

Fig. 63.

in der Tat liegen diese drei Punkte in einer Geraden w. In Fig. 63 ist das Sechseck in anderer Anordnung, aber mit den Bezeichnungen der Fig. 61 wiederholt.

in der Tat gehen diese drei Strahlen durch einen Punkt. In Fig. 64 ist das Sechsseit in anderer Anordnung, aber mit den Bezeichnungen der Fig. 62 wiederholt.

Es lohnt sich, auch auf den Fall einzugehen, wo die Strahlenbüschel S, T perspektiv sind, also etwa C auf ST liegt (siehe Fig. 65); sie erzeugen dann eine Gerade, die durch U und V geht und X enthält. So ergibt sich der

Spezialfall des Satzes von Brianchon:

Spezialfall des Satzes von Pascal:

Wenn die Seiten eines

Wenn die Ecken eines Sechsecks SXTUVC abwech- Sechsseits sxtuvc abwechselnd selnd auf zwei Geraden p und durch zwei Punkte P und Q g liegen, so schneiden sich die gehen, so gehen die Verbindrei Paar Gegenseiten in drei dungsgeraden der drei Paar Punkten einer Geraden w (siehe Gegenecken durch einen Punkt

Fig. 65).

W (siehe Fig. 66).

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nV

Sj,

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I¹

v'

, u:

/ w \

-------------------

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tfP

'A

u"

UL

~xr

Fig. 65.

Fig. 66.

Umkehrung des Satzes von Brianchon.

Wenn die drei Verbindungsgeraden der drei Paar Gegenecken eines ebenen Sechsseits sxtucv durch einen Punkt W gehen, so gehören seine sechs Seiten entweder einem Strahlenbüschel II. Kl. an oder sie gehen zu je dreien durch zwei Punkte P, Q.

Umkehrung des Satzes von Pascal.

Wenn sich die drei Paar Gegenseiten eines ebenen Sechsecks SXTTJGV in drei Punkten X', X", Si einer Geraden w schneiden, so gehören seine sechs Ecken entweder einer Punktreihe II. 0. an oder sie liegen zu je dreien auf zwei Geraden p, q.

Denn führt man die Bezeichnungen der Fig. 63—66 ein, so sind unter den Voraussetzungen des Satzes links die Punktreihen cp und ÿ bei Zuordnung von U', C, V zu U", C", V" perspektiv, und zwar wird diese Perspektivität vermittelt durch das Strahlenbüschel Si

Also sind auch X', X" homologe Punkte. Die Ecken des Sechsecks sind daher die Schnittpunkte homologer Strahlen der projektiven Büschel S und T, gehören also einer Punktreihe II. 0. an, wenn die Büschel nicht zufällig perspektiv sind; in diesem Ausnahmefalle aber muß G auf ST liegen und dann gehören auch U, X, V einer Geraden an (§ 16, 10.). Damit ist, wegen des Dualitätsgesetzes, auch der Satz rechts bewiesen. Beide Sätze können dazu dienen, eine Punktreihe II. 0. oder ein Strahlenbüschel II. Kl. aus fünf Punkten bezw. fünf Tangenten zu konstruieren.

die Strahlen SU und TU, SV und TV, SG und TG einander

3. Wie wir in Art. 1. gesehen haben, entspricht dem gemeinsamen Strahle ST zweier projektiver Büschel S, T, die eine Punktreihe zweiter Ordnung x erzeugen, sowohl in S als in T die Tangente von x. Um diese Tatsache auszunützen, müssen wir uns noch einmal den Beweis des Satzes von Pascal vergegenwärtigen, siehe Fig. 61 oder 63. Die projektiven Strahlenbüschel S und T bestimmen auf <p und ip zwei Perspektive Punktreihen; diese Perspektivität wird vermittelt durch das Strahlenbüschel Si. Die projektive Beziehung zwischen S und T ist aber festgelegt, wenn man

zuordnet; das bleibt richtig, wenn man T mit U zusammenfallen läßt und, nach dem soeben angeführten Satze über die Tangenten, unter TU die Tangente in T versteht, da dieser Geraden in der Tat im Büschel S der mit ST identische Strahl SU entspricht. Gleichzeitig darf man S mit V zusammen fallen lassen, wo man dann unter SV die Tangente in S zu verstehen hat. So ergeben sich die Sätze 5. und 6.²):

Satz 5. Der Satz von Pascal bleibt richtig, zwei aufeinander folgende Ecken in einen Punkt zu-

und

läßt

wenn man

sammenfallen unter ihrer Verbindungsgeraden dieTangente dieses Punktes versteht (siehe Fig. 67); wenn also fünf Punkte einer Punktreihe II. 0. gegeben sind, und die Tangente in einem von ihnen bestimmt werden soll,

Satz 5'. Der Satz von Brianchon bleibt richtig, wenn man zwei aufeinander folgende Seiten in eine Gerade zusammenfallen läßt und unter ihrem Schnittpunkt den Berührungspunkt derGeraden versteht (siehe Fig. 68); wenn also fünf Strahlen eines Büschels II. Kl. gegeben sind und der Berührungspunkt auf einem von ihnen

so bezeichne man diesen Punkt etwa mit 5 und 6, die vier anderen in irgend einer Reihenbestimmt werden soll, so bezeichne man diesen Strahl mit 5 und 6, die vier anderen in

2)

Plg. 67.

/\

\x

V»/

Fig. 68.

/9 v

¹

Wir entnehmen der Geometrie der Lage von Th. Reye, 3. Auf!., 1. Abt., S. 77, die Angabe, daß Pascal den nach ihm benannten fundamentalen Satz 1639 im Alter von 16 Jahren entdeckte. Brianchon veröffentlichte seinen Satz im Jahre 1806.

²

Wir sprechen den Satz vom Fünfeck und vom Fiinfseit in der Form aus, in der man ihn durch Grenzübergang aus dem Pascalschen bezw. Brianchon-schen Satze abzuleiten pflegt.

folge mit 1, 2, 3, 4 und konstruiere die Pascalsche Gerade p nach dem Schema: irgend, einer Reihenfolge mit 1, 2, 3, 4 und konstruiere den Brianchon sehen Punkt P nach dem Schema:

Seite: 12, 23, 34 Gegenseite: 45, 56, 61 Schnittpunkt: ~X, Y, ZT

Durch X und Z ist p, durch 23 und p ist Y festgelegt, Yb ist dann die Tangente.

Satz 6. Wenn die Ecken eines vollständigen Vierecks einer Punktreihe II. 0. angehören, so liegen je zwei Nebenecken mit dem Schnittpunkte der zwei Tangenten zweier Gegenecken auf einer Geraden.

Hierzu gehört die Fig. 69, die in den Bezeichnungen mit Fig. 67 übereinstimmt; auf p schneiden

Ecke: 12, 23, 34 Gegenecke: 45, 56, 61 Verbindungsgerade: x, y, z.

Durch x und z ist P, durch 23 und P ist y festgelegt; y5 ist dann der Berührungspunkt.

Satz 6'. Wenn die Seiten eines vollständigen Vierseits einem Strahlenbüschel II. Kl. angehören, so gehen je zwei Nebenseiten und die Verbindungsgerade der Berührungspunkte zweier Gegenseiten durch einen Punkt.

Hierzu gehört die Fig. 70, die in den Bezeichnungen mit Fig. 68 übereinstimmt; durch P geht nach

sich nach unserem Satze auch die Tangenten der zwei anderen Gegenecken, unserem Satze auch die Verbindungsgerade der Berührungspunkte (die „Berührungssehne“) der zwei anderen Gegenseiten,

z/

zl \ A

\5,6

\P/

.....______

\\

Fig. 69.

Fig. 70.

wie sich ergibt, wenn man die Bezeichnungen 1; 2, 3; 4; 5, 6 ersetzt durch 1, 2; 3; 4, 5; 6.

4. Vier Punkte A, B, C, D einer Punktreihe II. 0. bestimmen im ganzen drei Vierecke, nämlich ABCD, ACBD, ADBC, auf die sich der Satz 6. anwenden läßt; ähnlich liegt es mit vier Strahlen a, b, c, (l eines Büschels II. Kl. Daraus ergeben sich zwei überaus fruchtbare Sätze:

Satz 7 . Vier Strahlen a. b, c, d eines Büschels II. Kl. bestimmen ein vollständiges Vierseit, ihre Berührungspunkte A, B, C, D ein vollständiges Viereck von der Beschaffenhei t Nebenecken X, Y, Z des Vierecks und die Nebenseiten x, y, z des Vierseits dasselbe Dreiseit bilden.

daß

die

Satz 7. Vier Punkte A, B, C, D einer Punktreihe II. 0. bestimmen ein vollständiges Viereck, ihre Tangenten a, b, c, d ein vollständiges Vier seit von der Beschaffenheit, daß die Nebenseiten x, y, z des Vierseits und die Nebenecken X, Y, Z des Vierecks dasselbe Dreieck bilden.

Wir denken die Punktreihe II. 0. durch die Punkte B, C, D und die Tangenten b, d in B, D gegeben; um sie zu konstruieren, hat man den Strahlen b, BC, BB des Büschels B die Strahlen DB, DC, d des Büschels D zuzuordnen. Die Punktreihe ist durch diese Angaben in der Tat festgelegt und damit auch die Tangente c in C. Ist jetzt A ein beliebiger Punkt der Punktreihe, so findet man seine Tangente a nach Satz 7., indem man den Schnittpunkt X der Geraden AC und BD aus bc und cd auf d und b projiziert und die erhaltenen Punkte da und ab verbindet (siehe Fig. 72). Nimmt man statt A andere Punkte At, A₂, A₃, . . . der Punktreihe¹), so bestimmen die Strahlen CA, CA1} CA₂, CAS, . . . auf BD eine zum Büschel C Perspektive

ab

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Fig. 72.

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17^ bd

Fig. 71.

~X

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die aus bc und cd durch zwei zu-

• •)

eines Strahlenbüschels II. Kl. bilden eine Punktreihe II. 0.

Punktreihe X, Xj, X₂, Xs, . einander projektive Strahlenbüschel projiziert wird. Diese bestimmen dann auf d und b zwei zueinander projektive Punktreihen, und die Tangenten a, a1} a₂, as, ... der Punkte A, Al} As, A₃, . . . verbinden immer zwei homologe Punkte dieser Punktreihen. Indem man noch das Dualitätsgesetz anwendet, erhält man so die fundamentalen Sätze: Satz 8. Die Tangenten einer Satz 8'. Die Berührungspunkte Punktreihe II. 0. bilden ein

Strahlenbüschel II. 0.

Jetzt leuchtet ein, warum die Sätze 7. und 7'. durch dieselbe Figur erläutert w erden konnten. Man beachte die aus Fig. 72 fließenden Konstruktionen von Punktreihen II. 0. aus Punkten und Tangenten. Auch legt die vorangehende Betrachtung es nahe, die Punkte einer Punktreihe II. 0. auf die einer anderen Punktreihe II. 0. projektiv zu beziehen. Wir definieren zu diesem Zwecke:

Vier Punkte einer Punktreihe H. 0, heißen vier harmonische Punkte, wenn sie aus einem und dann nach Satz 2. aus jedem anderen Punkte der Punktreihe durch vier harmonische Strahlen projiziert werden.

ge-

Vier Strahlen eines Strahlenbüschels II. Kl. heißen vier harmonische Strahlen, wenn sie von einem und dann nach Satz 2'. von jedem anderen Strahle des Büschels in vier harmonischen Punkten troffen werden.

Mit Hilfe der angeführten Sätze kann man auch die Eigenschaften der Anordnung, die in den Axiomen II definiert sind, mühelos auf die Punkte und Strahlen der Gebilde zweiter Ordnung übertragen. Definiert man nun die projektive Beziehung zweier Gebilde ganz allgemein als eine eindeutige Zuordnung, die je vier harmonischen Elementen des einen Gebildes vier harmonische Elemente des anderen entsprechen läßt, so können wir an Fig. 72 feststellen: Vier harmonischen Punkten A, Alf A₂, Aa entsprechen vier harmonische Strahlen, die sie mit C verbinden, diesen vier harmonische Schnittpunkte X, Xx, Xa, X₃ auf DB, diesen auf b und d je vier harmonische Punkte ab, axb, a^b, a₃b und da, dax, da₃, da₃ als Projektionen aus cd und bc, diesen vier harmonische Tangenten a, ax, a₂, a₃. So sind also die Punkte der Punktreihe zweiter Ordnung den Strahlen des sie berührenden Büschels II. Kl. projektiv zugeordnet, und es gilt der

Satz 9. Die Punkte einer Punktreihe II. 0. werden auf die Strahlen des sie berührenden Strahlenbüschels H. Kl. projektiv bezogen, wenn man jedem Punkte seine Tangente als entsprechenden Strahl zuordnet.

Vier harmonische Punkte haben also vier harmonische Tangenten, und umgekehrt gehören zu vier harmonischen Tangenten vier harmonische Berührungspunkte.

5. Aus Fig. 71 und den daran geknüpften Betrachtungen gewinnt man nach dem Vorgänge von Th. Reye²), dem wir auch bisher uns angeschlossen haben, die Polarentheorie der Punktreihen II. 0. und der Strahlenbüschel II. Kl. in großartiger Einfachheit. Wir behaupten zunächst, daß, wenn die Punktreihe zweiter Ordnung x und mit ihr das sie umhüllende Strahlenbüschel II. Kl. gegeben ist, der Punkt X und die Gerade x, ebenso Y und y, Z und z einander wechselseitig bestimmen.

Wegen ihrer Lage zu dem

durch die Punkte A, B, C, D be- durch die Strahlen a, b, c, d bestimmten vollständigen Vierecke stimmten vollständigen Vierseite

werden nämlich

die Punkte U' und U", die x mit die Strahlen u und u", die X mit den Geraden BD und AC gemein- den Punkten bd und ac verbinden, sam hat, von X harmonisch ge- von x harmonisch getrennt durch trennt durch die Punkte von x, die Strahlen von x,

womit wir ausdrücken wollen, daß

durch die Punkte u'x oder bd und u'x oder ac zwei Tangenten von x gehen, die x von u bezwr. von u' harmonisch trennen.

Nun ist aber X durch die zwei Tangenten a, c, die durch denselben Punkt von x gehen, schon völlig bestimmt als Schnittpunkt der Ver-bindungsgeraden AC der Berührungspunkte von a und c mit dem Strahle u", der von x durch a und c harmonisch getrennt wird. Wir können daher bd als einen ganz beliebigen Punkt von x ansehen, von dem aus zwei Tangenten b und d an x gehen, und haben soeben festgestellt, daß sowohl der Strahl u, der b und d von x harmonisch trennt, als auch die Verbindungsgerade der Berührungspunkte von b und d durch X geht.

die Geraden U'X und U"X mit x je zwei Punkte gemein haben, die X von U' bezw. von U" harmonisch trennen.

Nun ist aber x durch die zwei Punkte A, C von x, die mit X in einer Geraden liegen, schon völlig bestimmt als Verbindungsgerade des Schnittpunktes ac der Tangenten von A. und C mit dem Punkte U", der von X durch A, C harmonisch getrennt wird. Wir können daher BD als eine ganz beliebige Gerade durch X ansehen, die mit x zwei Punkte B und D gemeinsam hat, und haben soeben festgestellt, daß sowohl der Punkt £/', der B und D von X harmonisch trennt, als auch der Schnittpunkt bd der Tangenten von B und D auf x liegt.

Damit ist bewiesen:

Satz 10'. Ein Strahlenbüschel zweiter Klasse x bestimmt zu jedem ihm nicht ange-hörigen Strahle x seiner Ebene einen Punkt X, sein en

Satz 10. Eine Punktreihe zweiter Ordnung x bestimmt zu jedem ihr nicht angehö-rigen Punkte X ihrerEbene eine Gerade x, seine „Po-

„Pol", mit folgenden Eigenschaften:

lare", mit folgenden Eigenschaften:

a) jede Gerade durch X, die mit x zwei Punkte gemeinsam hat, schneidet x in einem Punkte, der von X durch x harmonisch getrennt wird;

b)

*>)

wenn die Berührungspunkte zweier Tangenten von x mit X in gerader Linie liegen, so schneiden sich diese Tangenten auf x\

a) jeder Punkt auf x, von dem aus zwei Tangenten an x gehen, bestimmt mit X eine Gerade, die von x durch die Strahlen des Büschels x harmonisch getrennt wird; wenn die Tangenten zweier Berührungspunkte von x sich in einem Punkte von x schneiden, so geht die Verbindungsgerade der Berührungspunkte durch X;

c)

c) wenn von X an x zwei Tangenten gehen, so liegen ihre Berührungspunkte auf x\

wenn auf x zwei Berührungspunkte des Büschels x liegen, so gehen ihre Tangenten durch X;

d) wenn das Büschel zweitex Klasse aus den Tangenten der Punktreihe zweiter Ordnung besteht, so ist jeder Punkt der Pol seiner Polare, jede Gerade die Polare ihres Pols.

Die Behauptungen c) bedürfen noch des Beweises. In Fig. 71 gehen von X keine Tangenten an x, wohl aber von Y und Z. Da aber Y von V und V" durch x harmonisch getrennt wird, so ist y die Polare von V; ebenso ist z die Polare von Z; also ist in dem Dreieck XYZ jede Seite die Polare der gegenüberliegenden Ecke, ihres Pols. Es wird daher ein „Poldreieck" und „Poldreiseit" genannt. Wenn nun die Gerade ZZ", die von Z nach dem gemeinschaftlichen Punkte Z" von x und z geht, mit x noch einen Punkt P gemeinschaftlich hätte, so müßte der Punkt, der Z" und P von Z harmonisch trennt, ebenfalls auf z liegen, also mit Z" zusammenfallen, was nur dann keinen Widerspruch gibt, wenn P und Z" zusammenfallen. Daher gehen die Tangenten von Z' und Z" durch Z. — Die Sätze 10. und 10'. können auf mannigfache Weise benutzt werden, um zu einem Punkte die Polare, zu einer Geraden den Pol zu konstruieren; dabei braucht x nur durch die hinreichende Zahl von Punkten oder Tangenten gegeben zu sein, also durch fünf Punkte

oder Tangenten, oder durch vier Punkte und die Tangente in einem derselben, oder durch vier Tangenten und den Berührungspunkt einer derselben, oder durch drei Punkte und die Tangenten in zwei von ihnen, oder durch drei Tangenten und die Berührungspunkte auf zwei von ihnen. In allen diesen Fällen ist die projektive Erzeugung von x unmittelbar in die Hand gegeben, und Pole und Polaren können mit alleiniger Hilfe des Lineals gefunden werden.

ab

r*.

ac

■Xk.

\ /ä.........—.....

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h!

9/

Fig. 71.

•)

6. Indem wir in Fig. 71 die Punkte A, B, Z und mit ihnen die Geraden a, b, z festhalten, lassen wir X auf z andere und andere Lagen Xl} X₂, X₃, . . . annehmen.³) Da C und D durch AX und BX auf je festgelegt sind, so werden mit X zugleich die Tangenten c und d von C und B andere Lagen cx, c₂, c₃, . . . und dx, d₃, d₃, . . . annehmen. Wir fassen nun die Lagen des Strahles c ins Auge; die Strahlen c, cl7 c₂, c₃, . . . schneiden a und b nach Satz 2'. in zwei zueinander projektiven Punktreihen ac, acl} ac₂, ac₃, . . . und bc, bct, bcbc₃, . . ., die aus Z durch zwei zueinander projektive Strahlenbüschel x, xx, x₂, x₃, .. . und y, yt, y₂, y₃, ... projiziert werden; das letztere ist aber auch perspektiv zur Punktreihe X, X1; X₂, X₃, . .

13

also diese projektiv zum Strahlenbüsehel x, xx, x.₂, x3} .... Wenn Xn nicht auf x liegt, ist xn die Polare dieses Punktes, und wenn die Gerade xn nicht x berührt, ist Xn ihr Pol; wenn aber X mit einem der Punkte Z', Z" zusammenfällt, die z mit x gemein hat, so fallen auch B und D und damit auch F in diesen Punkt und x wird zur Tangente, da, wie wir gesehen haben, ZZ' und ZZ" die Tangenten sind, die aus Z an x gehen. Will man also den Begriff der Polaren auch auf Punkte ausdehnen, die auf x liegen, so wird man definieren müssen: Die Polare eines Punktes von x ist seine Tangente, der Pol einer Tangente ihr Berührungspunkt. Auf Grund dieser Definition können wir ohne Einschränkung den Satz aussprechen:

Satz 11. Die Polaren der Punkte einer Punktreihe erster Ordnung z bilden ein zu dieser Punktreihe projektives Strahlenbüschel erster Klasse Z, dessen Mittelpunkt der Pol von z ist, und umgekehrt.

Der noch unerörterte Fall, daß z die Punktreihe x berührt, ist sehr leichl; für sich zu erledigen. — Auf diesen Satz kann man einen neuen Beweis des Dualitätsgesetzes gründen, der weniger fundamental ist als der oben gegebene, dafür aber jeder ebenen Figur eine duale in vollkommen bestimmter Weise zuordnet. Man hat zu diesem Zwecke nur zu jedem Punkte der Figur seine Polare, zu jeder Geraden den Pol zu konstruieren bezüglich irgend einer Punktreihe II. 0.; vier harmonischen Punkten einer Geraden entsprechen dann vier harmonische Strahlen durch einen Punkt, zwei einander trennenden Punktepaaren zwei einander trennende Strahlenpaare u. s. w. Die Konstruktion und Untersuchung der zu einer Figur polaren ist sehr lehrreich. Zur Übung wollen wir in der Ebene einer Punktreihe zweiter Ordnung x noch eine andere Punktreihe zweiter Ordnung l annehmen und jedem Punkte P derselben seine Polare p bezüglich x zuordnen. Man erhält so unbegrenzt viele Strahlen p. Was läßt sich von diesen aussagen? Denken wir k durch zwei projektive Strahlenbüschel S und T erzeugt, so sind diesen zwei projektive Punktreihen s und t zugeordnet, und die Geraden p verbinden je zwei homologe Punkte derselben. Die Strahlen p bilden also ein Büschel zweiter Klasse, die Tangentenhülle einer gewissen Punktreihe zweiter Ordnung.

7. Man sieht an diesem Beispiele und der ganzen vorangehenden Untersuchung, wie ungemein beweglich und leichtflüssig die moderne synthetische Geometrie ist im Gegensatz zur antiken Geometrie, deren Aufbau wir im wesentlichen in der Schulgeometrie kennen lernen. Der auffälligste Gegensatz beider Geometrien besteht offenbar darin, daß die alte Geometrie vollkommen unter der Herrschaft des Maßbegriffes steht, während die neue sich vorwiegend auf die Eigen-

schäften der Anordnung und Lage (Inzidenz) gründet, weshalb sie auch Geometrie der Lage genannt wird. Die Eigenschaften des Maßes können immer nur durch Vergleichung auf Grund der Maßgesetze erkannt werden, springen also viel weniger in die Augen als die der Anordnung und Inzidenz. Daher die große Anschaulichkeit der Geometrie der Lage. Wenn man häufig liest, dieser oder jener Beweis im Bereiche der projektiven Geometrie sei rein aus der Anschauung geführt, so soll oder kann das immer nur bedeuten, daß der Beweis sich nur auf Eigenschaften der Raumgebilde beruft, die, wie die Anordnung und Inzidenz, unmittelbar an der Figur gesehen werden können, ohne messende Vergleiche. Wir erkennen z. B. die Eigenschaft zweier Punktepaare, einander harmonisch zu trennen, an ihrer Lage zu einem vollständigen Viereck. In der älteren Geometrie werden sie definiert durch eine gewisse Proportion, und die Erkenntnis der harmonischen Lage wird daher häufig nur auf dem Wege der Rechnung gewonnen. Die Punktreihen II. 0. wurden von den Griechen als ebene Schnitte von Kreiskegeln definiert, also mit Hilfe einer metrisch spezialisierten Punktreihe zweiter Ordnung, des Kreises, dessen Theorie natürlich vorausgegangen sein muß, während die neuere Geometrie bis zu den Quellen zurückgeht, aus denen die Eigenschaften aller Punktreihen zweiter Ordnung fließen. — Daß der Kreis zu den Punktreihen zweiter Ordnung zählt, haben wir bereits im vorigen Paragraphen gesehen. Dagegen haben wir zur Abrundung unseres Abrisses der Kegelschnittslehre noch zu zeigen, daß die Punktreihen zweiter Ordnung wirklich die Schnitte von Kreiskegeln, oder, was auf dasselbe hinauskommt, die Zentralprojektionen von Kreisen sind. In einer Ebene rj sei eine Punktreihe zweiter Ordnung x gegeben (siehe Fig. 73). Durch eine Tangente t derselben legen wir eine Ebene r[ und konstruieren in ihr einen Kreis x, der t berührt und mit x den Berührungspunkt T auf t gemeinschaftlich hat. Drei beliebige Tangenten a, b, c von x mögen t in X, Y, Z treffen. Aus diesen Punkten legen wir an x die Tangenten a, b', c. Dann bestimmen die Geraden a und a',

..s-

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[T

,c‘

Fig. 73.

13*

b und b'} c und c drei Ebenen cc, ß, y. Diese schneiden sich in einem Punkte S, da sie nicht durch eine Gerade gehen können. Von S aus projizieren wir x auf die Ebene rj. Wir behaupten, daß x die Projektion von x ist. Jedenfalls ist nämlich die Projektion von x auf rj ein durch projektive Strahlenbüschel erzeugbares Gebilde, also eine Punktreihe zweiter Ordnung, die mit x die vier Tangenten a, b, c, t und den Berührungspunkt T auf t gemeinschaftlich hat und daher in der Tat mit x identisch ist. Von x hat dabei nur die Eigenschaft Anwendung gefunden, daß x eine Punktreihe zweiter Ordnung ist; die metrischen Sondereigenschaften des Kreises kamen gar nicht zur Wirkung. Wenn wir also den Satz aussprechen:

Satz 12. Die Punktreihen zweiter Ordnung sind Zentralprojektionen von Kreisen,

so gibt derselbe das Resultat unserer Untersuchung nur in beschränkter Form wieder. — Hiermit wollen wir die Lehre von den Kegelschnitten abschließen; die metrischen Eigenschaften dieser Gebilde sollen teils in der Planimetrie, teils in der analytischen und darstellenden Geometrie abgeleitet werden.

§18. Projektive Metrik.

1. In den drei vorangehenden Paragraphen zur Grundlegung der projektiven Geometrie haben wir uns auf die fundamentalen Sätze beschränkt, bei deren Beweis wirklich prinzipielle Schwierigkeiten zu überwinden sind; diesem Grundsätze entsprechend hätten auch die Stetigkeitseigenschaften der Punktreihen II. 0. und der Strahlenbüschel II. Kl. behandelt werden müssen, und zwar besonders die wichtigen Sätze, die Reye im achten Vortrage der ersten Abteilung seiner „Geometrie der Lage", S. 100 und 101 der 4. Auflage anführt; diese Sätze sind aber an angeführter Stelle mit Hilfe der Stetigkeit der Geraden bewiesen, während wir von unserem erkenntniskritischen Standpunkte aus das Stetigkeitsaxiom III nicht ohne zwingenden Grund an wenden dürfen. Es handelt sich in erster Linie um den Satz, daß, wenn von zwei Punkten A und B einer Geraden u aus an eine Punktreihe zweiter Ordnung Tangenten gehen, von zwei anderen Punkten C und D■ dieser Geraden aus aber nicht, die Punkte A und B durch C und D nicht getrennt werden. Dieser Satz scheint weiter ausholende Vorbereitungen zu erfordern, weshalb wir nicht darauf eingehen wollen.⁴)

2. Wir wenden uns nun zur projektiven Metrik als der Grundlage alles Messens in der elliptischen, der hyperbolischen und der parabolischen Geometrie, speziell der Ahnlichkeitslehre und Flächenvergleichung in der Euklidischen Geometrie. Die projektive Metrik der Ebene ist, im Gegensatz zu der der Euklidischen Geometrie, vollkommen dual, d. h. jedem Satze über Größenbeziehungen von Strecken steht ein Satz über Größenbeziehungen von Winkeln gegenüber, der aus dem ersten im wesentlichen durch Vertauschung der Worte Gerade“, „Strecke“, „Punkt“ mit den Worten „Punkt“, „Winkel“, Strecke“ hervorgeht; wir werden von dual entsprechenden Sätzen immer nur den einen beweisen, empfehlen aber, immer den Beweis des entsprechenden Satzes mit den zugehörigen Konstruktionen als Übungsbeispiel durchzuführen.

ft ft

Beim Beweise des Fundamentalsatzes ist uns die in § 15 ausgebildete Vorstufe des Begriffes der Streckengröße nützlich geworden, die zur Synthesis dieses Begriffes nur den Grundsatz verwendet, daß das Ganze größer heißen soll als seine Teile. Dem entsprechend konnten wir zwei Strecken miteinander vergleichen, wenn eine ein Teil der anderen war; nicht aber, wenn sie keine Teilstrecke gemeinschaftlich hatten, und wir haben bereits bemerkt, daß es zum vollständigen Aufbau des Größenbegriffes nötig sein wird, eine Konstruktion zu verabreden, die entscheidet, ob zwei gegebene Strecken einer Geraden gleich genannt werden sollen oder nicht. Dazu soll das projektiv verallgemeinerte St einer sehe Verfahren der „Streckenverschiebung“ dienen, das wir in § 5, 2. zur Herstellung kongruenter Strecken AB und AB' verwendet haben, siehe Fig. 5. Indem wir die Geraden u, v, w dieser Figur durch einen beliebigen Punkt U gehen lassen, erhalten wir die in Fig. 74 angegebene Verschiebungskonstruktion einer Strecke AB auf ihrem Träger u unter Auszeichnung des Punktes U der Geraden u als ihres „ausgeschlossenen“ Punktes. Unter der Strecke AB excluso U verstehen wir die von A und B nach den Axiomen II bestimmte Punktklasse auf u, die den Punkt U nicht enthalt. Die Strecken AB und AB', die durch die Verschiebungskonstruktion „ineinander übergeführt“ werden können, wollen wir excluso U einander gleich nennen; dabei soll es gestattet sein, die Buchstaben A und B' in der Figur miteinander zu vertauschen. Es gilt nun, diese konstruktive Definition der Gleichheit in eine rein begriffliche, von den Hilfslinien und Hilfspunkten dieser Konstruktion unabhängige überzuführen. Ist P der Schnittpunkt von SA und S'B', Q der Schnittpunkt von SB und S'A, so schneiden sich die Geraden BQ und u nach dem Satze 6., § 16, angewandt auf das vollständige Viereck abSS', in einem Punkte M, der durch A und B' sowie durch B und A von U harmonisch getrennt wird; dabei wird vorausgesetzt,

daß die Strecken AB und ÄB', entsprechend der Figur, excluso U gleichsinnig sind, d. h. daß die Tripel U, A, B und Uf A', B' im Sinne des § 16 gleichsinnige Cyklen von Punktklassen bilden. Demnach können wir folgende Definition aufstellen:

Zwei excluso U gleichsinnige Strecken AB und A'B' einer Geraden u heißen excluso U einander gleich, wenn ein Punkt M existiert, der von U durch jedes der Punktepaare A, B' und B, A' harmonisch getrennt wird, dessen Punkte nicht in einen Punkt zusammenfallen; zwei ungleichsinnige Strecken AB und A'B' sollen excluso U ein-

S.

sX

V".

y \

(j'\

S"

s'

B M

Fig. 74.

ander gleich heißen, wenn die gleichsinnigen Strecken, die dieselben Endpunkte haben, gleich sind.

Durch Angabe von U, A, B und Ä oder B' ist also A'B' eindeutig bestimmt, wenn noch festgesetzt wird, ob die Strecken AB und A'B' gleichsinnig sein sollen oder nicht. Jede Strecke ist sich selbst gleich, auch ist AB = BA- dagegen ist eine Strecke AB nie einem ihrer Teile A'B' gleich, es müßten denn beide Strecken U zum Endpunkte haben. Denn zwei Strecken TJA und UA' sind sowohl nach der Verschiebungskonstruktion als auch nach der mit ihr gleichbedeutenden Definition immer als einander gleich anzusprechen, wobei es gleichgültig ist, welche der beiden Punktklassen, die U und A (sowie TJ und Ä) bestimmen, man als „Strecke“ UA (bezw. Strecke UA') auffaßt¹); wenn dagegen

1) Die obige Definition der Strecke excluso V versagt nämlich, wenn U selber Endpunkt der Strecke ist; man könnte es daher auch in diesem Falle ablehnen, von Streckenvergleichung zu reden.

keiner der Punkte A, B, A', B mit U identisch und die Teilstrecke Ä, B von AB denselben Sinn hat wie AB, so wird A von B' durch Ä und B getrennt, also existiert nach § 16,6.(Ende) kein Punktepaar UM, das beide Paare harmonisch trennt. Zwei Strecken AB und A"B" (ex-cluso U), die derselben Uf dritten Strecke ÄB' ex-cluso U gleich sind, sind auch einander gleich, da die Verschiebungskonstruktion, die AB und A"B" mit AB’ vergleicht, mit Hilfe desselben Punktepaares ab auf v ausgeführt werden kann (s. Fig. 74). Auf Grund dieser Sätze kann man von je zwei Strecken von u unterscheiden, ob sie gleich sind, oder welche von ihnen, falls sie nicht gleich sind, die größere ist.

3. Auch reicht die Verschiebungskonstruktion vollkommen aus, um einen in gleiche Teile eingeteilten projektiven Maßstab herzustellen. Ohne weiteres läßt sich zunächst die Maßeinheit m beliebig oft hintereinander ab tragen, vgl. Fig. 75.¹) Man erhält so die Punkte 2, 3,

4, . . . der Figur, wenn 01 die Maßeinheit m ist. Nach der Definition der Gleichheit liegt

1) In der Figur ist zu u die Parallele QB gezogen, um zu zeigen, daß der im Sinne der Euklidischen Geometrie unendlich ferne Punkt von u in der projektiven Skala eine endliche Kummer hat, die in unserem Falle zwischen 4 und 5 liegt, was deutlich die Skala auf w für den Punkt B erkennen läßt.

2'

«»>

=r

tcx»

«6

+12

+11

+to

+9

?»

der Punkt n + 1 so zu den vorangehenden, daß er von n — 1 durch U und n harmonisch getrennt wird. Ebenso wird man die Punkte — 1, — 2, — 3, . . . bestimmen durch die Bedingung, daß — (n -f- 1) von —(n— 1) durch — n und U harmonisch getrennt sind-, die Verschiebungskonstruktion liefert auch diese Punkte unmittelbar. Es ist übrigens nicht nötig, zu dieser Konstruktion immer dieselben zwei Hilfspunkte auf v zu verwenden, das Resultat ist ja von denselben unabhängig. Man wird sie daher so annehmen, daß die Teilpunkte auf u bequem erhalten werden. Auf die hier denkaren Modifikationen der Verschiebungskonstruktion können wir nicht eingehen. Die Teilung verdichtet sich um den Punkt U immer mehr, ohne ihn je zu erreichen, und zwar liegen auf der einen Seite nur Punkte mit positiven, auf der anderen nur solche mit negativen Indizes. Von keinem Punkte der Geraden u aus ist U durch eine endliche Zahl excluso U gleicher Schritte zu erreichen, U ist also im Sinne der projektiven Gleichheit „der unendlich ferne Punkt von u“.

Faßt man die Definition der Punkte mit positivem und mit negativem Index in den Satz zusammen, daß drei excluso U äquidistante Punkte mit Uzusammen ein harmonisches Quadrupel bilden, so wird man sofort auch den «teR Teil einer Strecke p, p 4- 1 unserer Skala definieren können: Die Strecke p, p 1 ist in n gleiche Teile mit den Teilpunkten

» i> + ¹

p,» + ~, p+^,

geteilt, wenn je drei aufeinander folgende Punkte dieser Teilung zusammen mit U in der Weise ein harmonisches Quadrupel bilden, daß der mittlere Punkt von den beiden anderen durch U harmonisch getrennt wird. Bezieht man also die Punktreihe u projektiv auf sich selbst, so daß den Punkten

U, p, p + die Punkte U, 0, 1 entsprechen, so sind den Punkten P + ~, ■••)!> + P + 1 die Punkte 2, 3, ..

n — 1, n

p -\--

r 1 n

zugeordnet. Diese Beziehung ist aber auch festgelegt, wenn man den Punkten U, p, p -f 1 die Punkte U, 0, n zuordnet, da ja p 1 und n, wie wir soeben festgestellt haben, einander entsprechen. Daraus folgt, daß durch unsere Definition die Teilung der Strecke p, p -f 1 in n excluso U gleiche Teile eindeutig bestimmt ist-, zugleich ergibt sich folgende Konstruktion (siehe Fig. 76): Man projiziert die Punkte 0, 1, ..., n auf eine durch U gehende Gerade v als 0', 1', . .., nf verbindet 0' mit p, n mit p -f- 1 und projiziert aus dem Schnittpunkte Q beider Verbindungsgeraden die Punkte 0', 1', . . ., n zurück auf u; ihre Projektionen sind die gesuchten Teilpunkte. Es kommt

übrigens nur darauf an, daß je drei aufeinander folgende Punkte der Reihe 0', 1', . .., n mit U zusammen ein harmonisches Quadrupel bilden, man kann sie also auch direkt konstruieren, wobei 0' und 1' willkürlich angenommen werden können.

Von den Punkten U, 0, 1 ausgehend können wir also mit Leichtigkeit jeder rationalen Zahl einen Punkt der Geraden u zuordnen, und zwar gelangt man zu jedem dieser Punkte durch eine Kette harmonischer Konstruktionen wurde der Fundamentalsatz der projektiven Geometrie nicht benutzt. Als wir daher bei der Herleitung dieses Satzes drei Punkte A, B, C einer Geraden je sich selbst zuordneten, um zu zeigen, daß, falls

zur

Begründung dieser Konstruktionen

4'/

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'S

I n'

.31

iv.

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TTy

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Oi 2 p

! jp*ł

71

rig. 76.

diese Zuordnung projektiv sein soll, auch jeder andere Punkt sich selbst zugeordnet ist, hätten wir diese drei Punkte in irgend einer Reihenfolge mit U, 0, 1 bezeichnen und aus der Definition der projektiven Beziehung unmittelbar schließen können, daß jeder Punkt mit rationaler Nummer sich selbst entsprechen muß; die eigentliche Schwierigkeit des Fundamentalsatzes bestand alsdann in dem Nachweise, daß auch alle anderen Punkte je sich selbst entsprechen müssen.

4. Es liegt auf der Hand, daß die projektive Skala in ähnlicher Weise zur Streckenmessung benutzt werden kann, wie eine gewöhnliche Meterskala; breitet man auf einer Geraden eine projektive Skala aus, so ist ein beliebiger Punkt der Geraden entweder mit einem der Teilpunkte genau identisch, oder er kann durch einen Teilpunkt in beliebiger Annäherung ersetzt werden. Jede Strecke ist also in beliebiger Annäherung als ein rationales Vielfaches der Einheitstrecke der Skala darstellbar und hat dieses Vielfache der Maßeinheit zur Maßzahl. Auf den strengen Beweis dieses Satzes können wir nicht eingehen.

Wie man die Maßzahlen a und ß zweier Strecken a und b arithmetisch zu einer neuen Zahl, der Summe a -\-yß, verknüpfen kann, so kann man aus den entsprechenden Strecken geometrisch eine neue Strecke konstruieren, der jene Summe a + ß als Maßzahl entspricht und die daher Summe der beiden Strecken a und b genannt wird. Es liegt nahe zu fragen, ob nicht auch das Produkt aß ein rein geometrisches Analogon hat, so daß man Strecken ohne Benutzung ihrer Maßzahlen rein geometrisch nach zwei verschiedenen Gesetzen miteinander verknüpfen könnte, die sich ähnlich verhielten wie die Addition und Multiplikation der Zahlen. Jene zwei Konstruktionsverfahren müßten also dieselben Verknüpfungsgesetze erfüllen wie die Addition und Multiplikation von Zahlen. Das sind in erster Linie:

A)    bei der Addition:

a)    das kommutative Gesetz: a -f b — b -f- a,

b)    das assoziative Gesetz: (a -f b) -j- c = a -f- (b -f c);

B)    bei der Multiplikation ebenso:

a)    das kommutative Gesetz: ab = ba,

b)    das assoziative Gesetz: (ab)c = a(bc)\

C)    bei der Verknüpfung beider Operationen:

das distributive Gesetz: (a-f- b)c = ac + bc.

Eine diesen Anforderungen genügende Konstruktions weise oder Streckenrechnung, um mit Hilbert zu reden, wollen wir im folgenden ableiten.

Die Gleich ei t von Strecken einer Geraden u unter Auszeichnung eines Punktes U denken wir nach Art. 2 definiert. Außer dem Punkte U nehmen wir auf u zwei beliebige von U verschiedene Punkte als „Nullpunkt“ N und als „Einheitspunkt“ E an. Alle auf u miteinander zu vergleichenden Strecken denken wir durch die Verschiebungskonstruktion so verschoben, daß sie sämtlich den Punkt N zu einem Endpunkt haben; im Sinne UNE sollen positive, im Sinne ENU negative Strecken liegen, ähnlich wie bei der projektiven Skala, die wir uns ebenfalls ausgeführt denken. Der Skalenpunkt mit der rationalen Nummer r möge Ar heißen, so daß U, N, E mit Ax, A₀, At zu bezeichnen wären, und r sei zugleich ein Symbol für die Strecke

A₀Ar. Wenn der Punkt P nicht zu denen mit rationaler Nummer gehört, und wir die Strecke A₀P als solche mit dem Buchstaben x bezeichnen, so soll P auch durch Ax ausgedrückt werden; A₀ heiße Anfangspunkt, Ax Endpunkt dieser Strecke.

Endpunkt A

5. Wir definieren zunächst die Addition. Man erhält den der Summe zweier Strecken A₀AX und A₀Ay, indem man im Endpunkte der einen mittels der Verschiebungskonstruktion die andere unter Wahrung ihres Sinnes anlagert. Zu diesem Zwecke legt man durch Ax noch zwei Hilfsgeraden v, w, projiziert aus einem Punkte C₀ von w die Punkte A₀, Ax, At/ auf v als Pc, Bx, By und fügt zur Strecke A₀AX die Strecke A₀Ay, indem man vom Schnittpunkte Cx der Geraden B₀AX und iv den Punkt By auf u projiziert (siehe Fig. 77). Zur Strecke

\.s

VI

w.

V.

tc

Ao Ax

Fig. 77.

A₀Ay fügt man A₀Ax, indem man vom Schnittpunkte Cy der Geraden B₀AtJ und w den Punkt Bx auf u projiziert. Beide Projektionen sollen nach dem kommutativen Gesetze der Addition auf u denselben Punkt A

bestimmen. In der Tat ist B₀CxByC₀BxCy ein spezielles Pascalsches Sechseck, und wenn man den in Frage stehenden Schnittpunkt von CyBx und CxBy mit S bezeichnet, so ergibt das Schema:

Seite: B₀CX, Gegenseite: C₀BX, BxCy, Schnittpunkt:

C,B„ ByC₀,

¹

Man vergleiche die Detailfigur 72, in der zur Erleichterung des Zeichnens, wie öfters im vorangehenden, die Punktreihe II. 0. durch einen Kreis wiedergegeben ist.

²

Geometrie der Lage, 1. Abt., achter Vortrag.

³

In Fig. 71 der Übersichtlichkeit wegen weggelassen.

Weber u. Wellstein: Enzyklopädie. II. 8. Aufl.

⁴

In der von C. Koehler, Arch. d. Math, und Phys., 3. Reihe, Bd. 6, p. 95 angegebenen Richtung.

('.A,

Ax,    S, Ay:

daß S auf u liegt, wie verlangt wurde. Also ist x y = y x gültig für positive und negative Strecken. Die Konstruktion ergibt: A₀AX -f Ä₀ A₀ = A₀AX, d. h. die Strecke A₀A₀ verhält sich bei der Addition der Strecken wie die Zahl Null in der Arithmetik.

Von der Addition der Strecken gilt der wichtige

Hilfssatz I. Es ist

^ (Ax A₀AX AxAyA.. •.) A m    ₄^ 4    4 Az _j_ s ...),

wo A das aus einem griechischen 7t entstandene Zeichen für die projektive Beziehung ist. Zur Konstruktion von Ax+ hat man nämlich aus dem Punkte C₀ der vorigen Figur den Punkt As auf v, und den erhaltenen Punkt Bs aus Cx als Ax + S auf u zu projizieren. Indem man diese Konstruktion für x = oo, 0, 1, x, y, z, . . . ausführt (siehe Fig. 78), erhält man auf w die Punktreihe w(CaoC₀C₁CxCyC₃...), die einerseits durch die Strahlen des Punktes B₀ auf '

f!

\--

tu

O,-

às\;

XJ

fy

Ay+S

A*

Fig. 78.

‘^,(AccA^A₁AxAyA₃.. .),

andererseits durch die Strahlen des Punktes Bs auf M(A<x>AsAi+gAx+sAy+sA₃^s. . .)

perspektiv bezogen ist. Folglich sind die beiden letzten Punktreihen zueinander projektiv. — Aus Satz I. folgt einerseits

-* + y x + y ■

îi(AxA₀A_₃Ax ...) A u(AxAyA

andererseits

A    • • •)?

uCA.A₀A_,Â,...) A u(A„A,A₀A

A w(Ac0HJ^yAJ/...).

Mit Rücksicht auf das soeben bewiesene kommutative Gesetz

ist also:

• • •) A u(AccAy+3lAyA(X+^+y ...).

Die Projektionen der Punkte A₀, Ay} Az aus einem Punkte P

der Ebene auf eine durch Ax gehende Hilfsgerade v seien B₀, By, Bz (siehe Fig. 79); der Schnittpunkt der Geraden AQBZ mit w sei Q.

Trifft

Die Geraden QB₀ und QBy schneiden u in A_z und A w die Gerade A

Punkte A

-* +y

_z+yB₀ in R, so schneidet RBZ die Gerade u in dem Dieser Punkt ist identisch mit A , wie aus

Q hervorgeht. Da hier-

4

«+y) + *-

(— -2 + y) + i '

dem Pa sc al sehen Sechseck A₀PAyRA nach von den projektiven Punktreihen u(AxAy + zA^_ und u(Aa0Ay+iAyA^x+z) + y . . .) die drei zuerst genannten sich selbst zugeordnet sind, so ist nach dem Fundamentalsatze jeder Punkt sich selbst zugeordnet, also A^x+y^ + z und A^x+t)+y identisch, d. h. es gilt das assoziative Gesetz der

— t+y

(x + y) + z

Punkte

Addition:

(oc+y) + z = (x+z) + y.

Die Summe dreier Strecken x, y> z wird demnach durch x-\-y-\-z eindeutig bezeichnet.

R,

6. Von den Punk-

ten A<aA₀A₁ aus gelangt man zu As, As, ..., An ^ durch die harmonischen v Quadrupel

AxA₃AlA₂, AxA^A₂A₃, AxA₂A₃A^f ..AaäAn_₃An_^AH.

A-- AZfy -A Fig. 79.

Ebenso erhält man mittels der Verschiebungskonstruktion aus AXA₀AX die Punkte ASx, ASx, . . ., A

nischen Quadrupel AxA₀AxA2x, AxA₀A2xA3x, AxA₀A3xA4x, .

Anx. In jedem Quadrupel wird der erste Punkt von

AXA

(» —2)

nx

durch die Konstruktion der harmo-

(n — l)x

dem dritten durch den zweiten und vierten harmonisch getrennt. Der Punkt Anx wird aus AXA₀A₁ auf dieselbe Weise durch eine Kette harmonischer Quadrupel konstruiert wie An aus AxAi)A₁; wenn man also auf der Geraden u eine projektive Beziehung herstellt, bei der den Punkten AXA₀A₁ die Punkte AaoA₀Ax zugeordnet sind, so ist dem Punkte An der Punkt A zugeordnet, daher

u(AxA₀ĄAJ A u(AxA₀AxAnx).

Diese Beziehung gilt zunächst nur für ganzzahliges positives n; wir benutzen sie nur, um uns die Anregung zu folgender allgemeinen Definition der multiplikativen Streckenverknüpfung zu holen: Die Strecke xy entsteht aus x und y eindeutig durch die Forde-

Sind x und y rationale

rung u(AxAüAyAxy) A u(AxA₃AxA^.

Zahlen, so heißt das: Die Strecke xy entsteht aus y ebenso, wie x aus 1.

In dieser Form findet man häufig die Multiplikationsregel der Brüche ausgedrückt, wie denn überhaupt die projektive Streckenrechnung einen interessanten Einblick in die Grundlagen der Arithmetik gewährt. Man übersieht zugleich den Vorteil der Geometrie gegenüber der Arithmetik: Wenn die Strecke x sich nicht als ein rationales Vielfaches der Einheitsstrecke darstellen läßt, so kann man den Punkt Ax von Ax, A₀, A₁ ausgehend nicht durch eine endliche Anzahl harmonischer Konstruktionen erreichen, und dann würde die arithmetische Definition von xy versagen. Unsere Definition der

ä:

4*

A')

Fig. 80.

Strecke xy operiert dagegen mit den Strecken x, y selber, nicht mit ihren Maßzahlen, und umgeht die angedeutete Schwierigkeit.

denn es ist u(AxA₀AxA^ A v(BxB₀BxBx), und

wenn man

■r-y’

Die Konstruktion des Produktes xy aus x und y ergibt sich unmittelbar aus der Definition der Multiplikation. Aus einem Punkte C₀ der Ebene (siehe Fig. 80) projiziert man Ax, A₀, Al} Ax auf eine durch Ax gehende Gerade v und erhält so Bx, B₀, Bx, Bx. Die Gerade BxAy bestimmt auf CQAQ einen Punkt Y, und YBX trifft u in A

diese Punkte aus Y auf u projiziert, v(Ba0B₀B₁Bx A u(AX)A₀AyAxy), also u(AaoA₀A₁Ax) A w(AxX₀ Ay A^), wie es verlangt war. Wir vertauschen jetzt die Bestimmungsstücke Ax, Ay, indem wir durch Projektion von Ax, A₀, Alf Ay aus C₀ auf v die Punkte Bx, B₀, Bx, By konstruieren, den Schnittpunkt X von BXA mit C₀ A₀ bestimmen und

XBy mit u zum Schnitt bringen. Der mit Ayx zu bezeichnende Schnittpunkt fällt mit Axy zusammen, da in dem Pascalschen Sechseck BtAxBxA ByAy die Schnittpunkte der Gegenseiten BtAx und AxyBy, AXBX und ByAy, BxAxy und AyBx in gerader Linie liegen müssen; die beiden letzten Schnittpunkte sind C₀ und Y, also muß der erste X sein. Damit ist das kommutative Gesetz der Multiplikation bewiesen: yx = xy. Aus der Definition der Multiplikation folgt der

Hilfssatz II. Es ist

u(AxA₀A₁AxAyA, • • •) A u(AxA₀AsAfXAsyA„ • • •).

Daher ist einerseits

^(■XxAqAxA^ A y/(AxXffAyAxy) A m(AxAqAyiA^xy^f

andererseits

u(AxA₀AtAx) A u(AxA₀AzAxg) A u(AxA₀AytA{xg)y), u(AxA₀Ay,A(xy)i) A u(AxA₀AytA(x,)y),

und nach dem Fundamentalsatze fällt A(xy^z mit A Das assoziative Gesetz der Multiplikation ist daher erfüllt. Nach den Hilfssätzen I. und II. ist ferner einerseits

^0^-wXqA_yA^ A %(AXAqA_y2Axl~) A 'M(AxAyzA₀AXz+yz)j

andererseits

u(AxA₀A_yAj^) A ui^-^-<nXyAQAx+^ A u(X<a-A-y»Aa-A-(x+y)t)j AytAoAxt+y^) A ^(AxAyzA^A^x+y^x

und nach dem Fundamentalsatze fällt A Somit ist schließlich auch die Gültigkeit des distributiven Gesetzes bewiesen.

also

also

xz + yz

mit A

(x + y)z

zusammen

zusammen.

7. Läßt man in Fig. 80 den Punkt Ax mit A₀ oder Ax oder Ax zusammenfallen, so rückt X auf AQCQ als Punkt von BtAx bezw. nach A₀, C₀, B₀ und Axy auf u als Punkt von XBy bezw. nach A₀, Ay, Ax. Also ist:

i -y = y, cx>-î/ = oo,

00 t

wenn Ay nicht selber mit Ax zusammenfällt. Nehmen wir noch die früher bewiesene Tatsache hinzu, daß in unserer Streckenrechnung x -f 0 = x ist, so ist nunmehr die Wahl der Indizes der Punkte A A₀, At vollständig gerechtfertigt.

Wie die Subtraktion sich als Addition negativer Strecken erklären ließ, so definieren wir die Division durch eine Strecke x als Multiplikation mit ihrem reziproken Werte 1/x. Da für y = 1/x der Punkt Axy mit Ax zusammenfallen muß, so ergibt sich A1/x in Fig. 80, indem man XAx mit v zum Schnitt bringt und den erhaltenen Schnittpunkt Bi/x aus C₀ auf u projiziert. In der beistehenden Fig. 81 ist diese einfache Konstruktion der reziproken Strecken von x, y, z ausgeführt; zur Konstruktion von Ax/X bringt man BtAx zum Schnitt mit der Geraden C₀A₀, die wir mit s bezeichnen wollen, und projiziert den Schnittpunkt Bx/X von XAx mit v aus C0 auf u. Man wird bemerken, daß im Sinne unserer Streckenrechnung l/0=oo? 1/1 = 1, l/oo = 0 ist. Durch die Strahlenbüschel Bx und A₁

<z

Xz 7

II —0'- —

Ą/v

A.

(X

t'ig. 81.

werden AKA₀AxAxAyAz und Ax ■ œAx/0Ax/xAx jxAxjyAx!t auf dieselben Punkte B₀AqC₀XYZ von s perspektiv bezogen; daraus folgt der Hilfssatz III. Es ist

M(AccA₀AxAxAyAi •) /\ u{AqAxAxAXixAx;vAx/t •).

Aus den drei Hilfssätzen werden wir alsbald wichtige Folgerungen ziehen. Vorher wollen wir aber das Resultat unserer Untersuchung feststellen, daß unsere Streckenrechnung allen Gesetzen der vier Spezies gehorcht. Sämtliche zur Bildung von x + y, x — y, xyr xfy führenden Konstruktionen sind linear, d. h. mit alleiniger Hilfe gerader Linien ausführbar. Das Resultat dieser Konstruktionen hat sich aber als unabhängig von den Hilfslinien erwiesen, es hängt nur ab von den drei Punkten AKA₀AX und den Endpunkten der Strecken, auf die sich gerade die Konstruktion bezieht. Denken wir uns die Ebene rj, in der diese Konstruktionen an den Strecken der Geraden u vorgenommen werden, mitsamt dieser Geraden u auf eine andere Ebene r[ projiziert, und sind Dx, D₀, Dx, Dx,, I)y, die Projektionen von Ax, A₀, AXf Ax, Ay, so ist der von Ax, Ay in rj zu Ax+y, Axy, Axiy führenden Konstruktionsfigur in r[ die von Dx,, Dy, zu Dx, + yl, führende Figur zugeordnet; projiziert man r/ auf eine

x'y'J

zweite Hilfsebene rj", so wiederholen sich diese Schlüsse. Da aber, wie im Anschluß an Fig. 59 gezeigt worden ist, jede projektive Beziehung zwischen zwei Geraden u, u* durch zwei Projektionen vermittelt werden kann, so ist bewiesen:

Satz 1. Wenn zwei mit projektiver Skala versehene Geraden u, u* aufeinander projektiv bezogen sind, und den Fundamentalpunkten i„, A₀, Ax von u die Fundamentalpunkte (7«, C₀, Cx von u*, den Strecken x, y, . . . (excl. An) von u die Strecken x*, f, ... (excl. Cf) von u* entsprechen, so ist:

1) 0+ «/)*=    y*, 2) (xo-y)*~ x*—y*, 3) (x o yf= x* • y*,

4) (x$y)*= x*/y*,

<{> die Operationszeichen der vier Grund-

°>

wo -f-,

rechnungsarten, bezogen auf Ax, A₀, Ax als Fundamentalpunkte, darstellen, während die Zeichen +, —, / sich auf Cnj C₀, Cx beziehen.

Mit anderen Worten: Die vier Grundoperationen sind projektive Operationen. Also sind z. B. Ax und Cx*oy* homologe Punkte. Da l² = 1, so ist auch l*² = 1*, also 1* = 1 und daher nach 1): 2* — 2, 3* = 3, ...; nach 1), 2), 3), 4) ist also r* = r, wenn r eine rationale Zahl, was natürlich auch daraus folgt, daß von (7«,, C₀, Cx zu Cr+ dieselbe Kette harmonischer Konstruktionen führt wie von A^, A₀, Ax zu Ar. Da jede Strecke mit beliebiger Annäherung durch rationale Vielfache der Einheitsstrecke gemessen werden kann, so ist allgemein x* — x, wenn jetzt unter x, x* Maßzahlen verstanden werden. Trotzdem ist der Satz 1. nicht überflüssig. Abgesehen von seinem in der Fußnote x) angegebenen Zwecke gestattet er nämlich einen Beweis der

1) Der Satz 1. vermittelt einen innigen Zusammenhang zwischen den Grundlagen der projektiven Geometrie und denen der Zahlenlehre, speziell der algebraischen Zahlenkörper. Da wir im Texte auf diese Verhältnisse nicht ein-gehen können, so seien an dieser Stelle folgende Angaben gestattet. Durch die Formeln 1)—4) (des Satzes 1.) definiert R. Dedekind in der vierten Auflage (1894) von Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie (Supplement XI) vollkommen abstrakt die „Permutationen“ eines Körpers A, die diesen in einen

14

Weber u. Wellstein: Enzyklopädie. II. 3. Aull.

Formel x = x*, der von dem Stetigkeitsaxiome III. nur indirekt abhängt, insofern dieses nämlich dem Fundamentalsatze zu Grunde liegt. Genügt x* einer algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten, so genügt x nach Satz 1. derselben Gleichung, und da Ax wegen der Projektivität der Eigenschaften der Anordnung excluso U zwischen den rationalen Punkten mit derselben Nummer liegt wie kann die Zahl x* keine andere Lösung jener Gleichung sein als X] daher ist die Zahl x* = x. Ist x* weder rational noch algebraisch, so gilt das Gleiche von x, und die Formeln 1), 2), 3), 4) des Satzes 1. ergeben dann, daß es wenigstens nicht zu Widersprüchen führen kann, auch in diesem Falle x* — x anzunehmen, was zu beweisen war.

X*} so

,,konjugierten“ Körper A* überführen. In seiner Festschrift „Über die Permutationen des Körpers aller algebraischen Zahlen“ (1901) dehnt Dedekind diese Detinition und die darauf sich stützenden Folgerungen auf den Körper aller algebraischen Zahlen und auf den Körper aller reellen sowie den aller komplexen Zahlen aus. Diese Permutationen sind nach Satz 1. projektive Beziehungen der Zahlenreihe des Körpers A auf sich selbst, falls A mit dem konjugierten Körper A* identisch ist; im entgegengesetzten Falle entsprechen zwar je vier harmonischen Punkten der Zahlenreihe A vier harmonische Punkte der Reihe A*, aber diese Anordnung ist trotzdem nicht projektiv, weil die Anordnungseigenschaften der Punktreihen A und A* sich nicht entsprechen. Unsere Formeln 1*= 1, 2*=2, ... zeigen zwar, daß die rationalen Punkte mit gleicher Nimmer sich stets entsprechen, aber die irrationalen Punkte tun es im allgemeinen nicht. Als Beispiel diene der Körper der in der Form x — «-(-&}/ 2 ausdrückbaren Zahlen, wo a, b rationale Zahlen sein sollen. Setzt man x*=a — 6}/2, so entsprechen je vier harmonischen x vier harmonische x*, die rationalen Zahlen (6 = 0) entsprechen je sich selbst, aber zu x =}/2 gehört x*——1/2. Die Eigenschaften der Anordnung haben sich also nicht übertragen. Anders in der Geometrie. Das liegt daran, daß der Fundamentalsatz sich auf die axiomatisch erzwungene Tatsache gründet, daß zu je zwei einander nicht trennenden Punktepaaren ein drittes Paar u,v existiert, das die Punkte jedes derselben harmonisch trennt. Aus den vier gegebenen Punkten werden u und v durch Ziehen einer Quadratwurzel gefunden. Wenn diese nicht zufällig in A vorhanden ist, gilt in A der Fundamentalsatz nicht. Um die Möglichkeit anderer Permutationen als der identischen auszuschließen, müßte man in A alle reellen Quadratwurzeln und alle reellen Zahlen aufnehmen, die sich durch Neben- und Übereinanderstellen von Quadratwurzelzeichen aus Größen des sich fortwährend erweiternden Körpers darstellen lassen. Dieser Körper ist aber mit seinen konjugierten Körpern nicht identisch, da diese auch komplexe Zahlen enthalten werden, und so ist es kein Widerspruch gegen den Fundamentalsatz, wenn Dedekind für den Körper aller algebraischen Zahlen Permutafcionen nachweist, die von der Identität verschieden sind. Diese Körper sind zudem nicht reell. Dagegen können wir die zwei Hauptfragen der „Festschrift“ dahin beantworten, daß der Körper aller reellen Zahlen nach dem Fundamentalsatze nur die identische Permutation, der Körper aller komplexen Zahlen außerdem noch die aus der Vertauschung von \— ï mit — ]/— 1 resultierende Permutation zuläßt.

8. Mittels der Hilfssätze beweisen wir jetzt den für die gesamte Metrik grundlegenden

Satz 2. Das projektive Doppelverhältnis von vier Elementen einer Punktreihe erster oder zweiter Ordnung, eines Strahlenbüschels erster oder zweiter Klasse ist von den drei Fundamentalelementen oo, 0, 1 unabhängig.

Den Begriff des Doppelverhältnisses haben wir in § 11, 8. kennen gelernt; projektiv heißt es hier, weil es auf Grund der projektiven Maßskala gebildet werden soll. Es wird ausreichen, den Satz für die gerade Punktreihe (erster Ordnung) zu beweisen, da er alsdann nach dem Dualitätsgesetz auch von dem Strahlenbüschel erster Klasse gilt und durch dieses auf die Punktreihe zweiter Ordnung, durch diese auf ihre Tangentenhülle, das Strahlenbüschel zweiter Klasse, übertragen wird, wie wir auch die Eigenschaften der Anordnung vom Strahlenbüschel erster Klasse auf die Punktreihe zweiter Ordnung übertragen haben.

Wir nehmen jetzt an, daß die aufeinander projektiv bezogenen Punktreihen u und u* des Satzes 1. auf derselben Geraden liegen. Den Punkten Ax, Ae, AXjl von u seien zugeordnet die Punkte C», C₀, Cx, CXn% von u* (n— 1,2,...); die x seien auf Ax, A₀, Ax, die x* auf CK, CQ, Cx als Fundamentalpunkte bezogen. Wie wir in Art. 7. festgestellt haben, ist dann

(i)

x*= x.

Auf die Fundamentalpunkte CK, C₀, Cx bezogen seien die Strecken C₀AX} C₀A₀, C₀AX, C₀AXn gleich a, V, ć, xn', also ihre Endpunkte identisch mit Ca,, Cb,, Cc,, CXn,. Es gilt, den Zusammenhang zwischen den xn und xn' zu ermitteln.

zu

Nach den Hilfssätzen I., IL, III. erhält man aus der Punktreihe u(Cx, C₀, Cx, CXjl*) stets eine zu ihr projektive Punktreihe, wenn man den Indizes sämtlicher C dieselbe (positive oder negative) Größe addiert, wenn man diese Indizes mit derselben Zahl multipliziert oder sie durch die reziproken Werte ersetzt. Indem wir statt der Punkte C nur ihre Indizes anschreiben, erhalten wir auf diesem Wege der Reihe nach:

(oo, 0, 1,0 A (<», 0, r, rx*) A (oo, 5, r + s, rx* + s)

/₀ 1    1    _1__\ U A h__\

^ \ ’ s ’ r-\-s⁷ rcc„*-f s)    \ ’ s ’ r -f s’ rxn*-\- s)

A (a, 4 + a'> AAs +    + a) '

oder nach Unterdrückung der Zwischenglieder:

(2)

(oo, 0₇1, x*) A (a, y + a, ^ + a, ~xl+₈ + «') •

ist C sein, so muß man

Der zu 0«, homologe Punkt bei dieser projektiven Zuordnung Sollen den Punkten C₀ und Cx ebenso C₆, und Cc, zugeordnet

h    r    i/    h    . r    t

also

---b a = o , —j--b a = c,

s    ’r-j-s    ’

h = (b‘— a) (c — a)co, r = (&'— c)a, s = (c — a)a nehmen, wo œ einen Proportionalitätsfaktor bezeichnet. Jetzt ist nach (2):

(3) u{Cxy 6₀, Gx, Cx*, C^*,...) A uipa'7 Cbt} Cc,r CXi,, CXt,f...),

wo

(4)

<-

, a(b- ć)xn*+b'(ć-g') ⁺    (b'-c')xn*+(c'-a)

rx*+ s

und endlich mit Rücksicht auf (1):

/_ a'(b'— ć)xn~b b'(c — a) (&'— c')xn+(c — a) ’

(5)

= 1,2,....

Man sieht, daß die Formel (4) auch für xn*= oo, 0, 1 die richtigen Werte a, b', c liefert, daß also alle Indizes auf der rechten Seite von (3) aus denen der linken nach demselben Gesetze (4) ge-

rxn*+s

bildet sind. Setzt man xn' =

, wo

p — a'(b'—c')(o, q = b(c'—a)a, r = (b'— c)a, s = (c'—a)(o,

so können die vier Größen nicht vollkommen willkürlich vorgeschrieben werden, weil a, c der selbstverständlichen Bedingung unterworfen sind, voneinander verschieden sein zu müssen, die mit der Forderung gleichwertig ist, daß (a —&') (b'—c ) (c — a ) = (ps — qr)a~¹ nicht verschwinden darf. Indem wir jetzt von den Punkten A statt den Punkten C sprechen, erhalten wir den

Satz 3. Wenn man die projektiven Indizes einer Punktreihe n derselben Transformation erster Ordnung

x — pX j~g, ps — qr 4= 0 rx -f s 7 r *    '

unterwirft und den Punkten Ax die Punkte Ax, zuordnet, erhält man eine projektive Beziehung.

Die Formel (5) deckt den oben gesuchten Zusammenhang zwischen xn und xnr auf:

Satz 4. Der Übergang zu neuen Fundamentalpunkten einer projektiven Skala vollzieht sich durch eine und die-

(6)

selbe Transformation erster Ordnung der Indizes; sind Ax, A₀, Ax die alten Fundamentalpunkte, Gx, (7₀, Cx die neuen, und ist auf sie bezogen

C₀AX = a, C₀A₀ = V, C₀A₁ = c,

so besteht zwischen dem auf Ax; A₀, Ax bezogenen Index x und dem auf Cx, CQ, Cx bezogenen Index x desselben Punktes P die Beziehung

,    a'(b'—c)x-\-b'(c— a)    x — b’ c — b’

X ~    (b'~ ć)x + ć— a' ’ X =

man jetzt von vier Punkten %ń^ (j>xn-\-q)/(rxn-\-ś),

‘ CCa «P* CCa    * 1 I •

?-- : —,-~>t , so ergibt eine

x₃ x±

Bildet

— xĄ

n = 1, 2, 3, 4, das Doppelverhältnis %

xt

leichte Rechnung sofort, daß dasselbe gleich Xl - — - : ——— ist. Da-

O    /    O    /y* _ rp    rp _

*^4    ‘^4

mit ist der Satz 2. bewiesen.¹) Wie das Beispiel der einander harmonisch trennenden Punktepaare oo, 1 und 0, 2 zeigt, ist das Doppelverhältnis von vier harmonischen Elementen gleich — 1: die vier harmonischen Elemente können Punkte einer Punktreihe erster oder zweiter Ordnung, aber auch Strahlen eines Büschels erster oder zweiter Klasse sein. In (6) ist x selber als Doppelverhältnis dargestellt. Für a = oo wird x = (x — br) : (c — b'), also

Oi- a₈) : Os“ xi) - Oi - O : Os - O,

d. h. das Verhältnis zweier Strecken einer Geraden ist nur vom ausgeschlossenen Punkte, nicht vom Nullpunkt und Einheitspunkt der projektiven Maßbestimmung abhängig; die Indizes x und x beziehen sich nämlich beide auf Ax als ausgeschlossenen Punkt.

9. Die bis jetzt entwickelte Streckenrechnung gestattet nur, Strecken auf derselben Geraden miteinander zu vergleichen, und die ihr dual entsprechende Winkelmessung ermöglicht die Winkel Vergleichung nur in demselben Strahlenbüschel. Es wäre möglich, die hiermit angedeutete Lücke durch Einführung des projektiven Kreises auszufüllen, doch können wir darauf nicht eingehen. Unsere Strecken-und Winkelrechnung reicht vollkommen aus zur Begründung der Metrik in den beiden Nichteuklidischen Geometrien, doch müssen wir uns, weil wir die Theorie des Imaginären als der höheren synthetischen Geometrie angehörig in unser Buch nicht aufnehmen konnten, auf die hyperbolische Geometrie beschränken, und in dieser auf die

Streckenmessung. Die hyperbolische Geometrie gelangt, wenn man sie nach dem Vorbilde der (Euklidischen) Schulgeometrie ganz elementar aufbaut, zum Nachweise einer Punktreihe a zweiter Ordnung, auf der die beiden unendlich fernen Punkte aller Geraden der Ebene liegen. Rein geometrisch ist œ yon anderen Punktreihen nicht zu unterscheiden, es sei denn durch die Metrik, und man ist daher im stände, jede beliebige Punktreihe zweiter Ordnung o zur „Absoluten“ in der Ebene, d. h. zum Ort der unendlich fernen Punkte der Ebene zu machen. Das wollen wir jetzt tun. Wir beschränken uns auf das „Innere“ von œ, auf die Punkte, von denen aus an a keine Tangenten gehen. Jede Gerade u dieses Gebietes trifft co in zwei Punkten Ux, U₂, und wir definieren jetzt nach § 11, (17) die Länge einer Strecke AB auf u, deren Endpunkte A, B in o liegen, als

log

wo als „Strecke“ AB die im Inneren von ra liegende Punktklasse bezeichnet ist, die A und B auf u bestimmen. Das Doppelverhältnis ist hier im Sinne der projektiven Metrik zu bilden, die von unserem Standpunkte aus betrachtet der sogenannten absoluten Metrik der hyperbolischen Geometrie als primäre Metrik zu Grunde liegt. Im übrigen vergleiche man die Ausführungen über die hyperbolische Metrik in § 11, die dort von der Euklidischen Metrik abhängig erschien. Von den Konstruktions verfahren der absoluten Streckenmessung wollen wir nur die unentbehrlichsten, die Verschiebungskonstruktionen, angeben, hauptsächlich, um von neuem zu zeigen, daß die Streckenlänge eine vom Maßstabe und der Definition der Gleichheit abhängige Größe ist. Nach der Definition der Länge von (AB) wird die Strecke (AB) einer anderen Strecke (AB') auf u gleich sein, wenn A, B und A, B' mit Uu U₂ dasselbe Doppelverhältnis bilden, also

U,

Ab

s{

Fig. 82.

fr

ütABUt A UiAB'Us

ist. Projiziert man AB aus einem Punkte S von o auf c? (siehe Fig. 82), und die erhaltenen Punkte A", B" aus einem Punkte T von o zurück auf u, so ist (AB) —(AB'), weil UiABU₂ zum Büschel S, dieses zum Büschel T, dieses zu Ui^AB'U₂ projektiv ist. Man überzeugt sich leicht, daß TJ₁ und U₂ von A aus durch eine endliche

Punktreihe zweiter Ordnung.

Fig. 83.

Zahl von gleichen Schritten im Sinne dieser Maßbestimmung nicht erreichbar sind. Zwei Strecken (AH') und (A'B'y auf zwei verschiedenen Geraden u und u mit den unzugänglichen Punkten JJX, U2 und Ux, U₂ sind gleich, wenn UxABU₂ J\ UXAB U₂ ist (siehe Fig. 83). Um, wenn A, B und A' gegeben sind, B' zu finden, projizieren wir Ä aus dem Schnittpunkte S der Geraden UXUX und U₂U2 auf UXU₂ als A”, bestimmen den Schnittpunkt T von U₂U₂ mit A"A und den Schnittpunkt B" von TB mit Ux U₂. Dann wird u von SB" im gesuchten Punkte B' geschnitten. Offenbar ist

<AB) = <A "B"> = Çi'B'y.

Man überzeugt sich leicht, daß der Ort eines Punktes B, der festen Punkte A

/\

/ /1 \

//! '

/    ' i

/ / !    \⁵

/ , \

IL

'/

von einem einen bestimmten Abstand a hat, das Erzeugnis projektiver Strahlenbüschel ist. Der hyperbolische Kreis ist also eine ;

<A'

\u:

//

'-4

IS

fr-“- &

Eine ausführliche Darstellung der wichtigsten elementaren Konstruktionen der beiden Nichteuklidischen Geometrien vom Standpunkte der projektiven Geometrie aus hat M.

Großmann²) gegeben, allerdings mit Hilfe von Koordinaten, doch sind die meisten Figuren auch ohne Rechnung verständlich.

Wir möchten nicht unterlassen, auf den interessanten Unterschied dieses Systems der hyperbolischen Geometrie gegen unsere Versinn-lichung derselben im Kugelgebüsche aufmerksam zu machen, daß zwei Geraden, die sich innerhalb co nicht schneiden, außerhalb co stets einen Schnittpunkt haben, der vom Inneren der Punktreihe « aus nicht durch eine endliche Anzahl im Sinne der hyperbolischen Metrik gleicher Schritte erreicht werden kann. Während also hier die idealen Schnittpunkte reell sind, waren sie beim sphärischen Typus der hyperbolischen Geometrie imaginär.

10. Die Metrik der parabolischen Geometrie ist viel weniger einfach als die der hyperbolischen. Die parabolische (Euklidische)

Streckenskala auf einer Geraden u ist eine projektive, unter (vermeintlicher) Fixierung des unzugängliches Punktes U der Geraden u durch Bestimmungen, die rein empirischer Natur sind. Wir behaupten nämlich zunächst: Wenn auf einer Geraden u zwei Punktepaare A, B und Ä, B' gegeben sind, so läßt sich immer eine projektive Maßbestimmung auf u so einrichten, daß A, B und Ä, B' im Sinne dieser Metrik gleiche Strecken bestimmen Denn man kann immer die Bezeichnung der Punkte A', B' so eingerichtet denken, daß A, B' und Al, B einander nicht trennen; dann kann jeder der beiden Punkte M, N, welche unter

B'

\Ą

\ V (

iS

IC

"ß

cc.

Fig. 84.

dieser Voraussetzung A von B' und B von A' harmonisch trennen, als unendlich ferner Fundamentalpunkt gewählt werden. Zur Konstruktion von M, N ist in einer durch u gehenden Ebene eine Punktreihe e zweiter Ordnung erforderlich. Seien a, a, ß, ß' die Projektionen von A, Al, B, B' aus einem Punkte S von s auf £• dann sind M, N die Schnittpunkte von u mit den Verbindungsgeraden $tu, Sv von S mit den beiden Punkten von e, die a von ß' und ß von a harmonisch trennen (siehe Fig. 84). Man findet ja und v als Schnittpunkte von e mit der Geraden XZ, die den Schnittpunkt X von aal und ßß' mit dem Schnittpunkte Z von aß und aß' verbindet. Auf XZ schneiden sich nämlich nach § 17, Satz 6. die Tangenten von a und ß, und dieser Schnittpunkt y ist der Pol von aß, wird also durch ja und v harmonisch getrennt von c, dem Schnittpunkte von XZ mit aß. Die zwei Punktepaare a, ß und g, v werden aus a durch zwei Paare ay, aß und a ja, av von Strahlen projiziert, die bezw. durch y, c und ja, v gehen, also einander harmonisch trennen. Also werden in der Tat a und ß durch ja und v harmonisch getrennt, ebenso ß' und a. — Wenn A, B und Ä, B' einander nicht trennen, so gibt es

auch ein Punktepaar K, L, das A von B und Ä von B' harmonisch trennt. Ihm muß durch Projektion aus S auf der Punktreihe zweiter Ordnung ein Punktepaar x, A entsprechen, das a von ß und a von ß' harmonisch trennt und auf der Verbindungsgeraden XY von X mit dem Schnittpunkte Y der Geraden aß' und aß liegt. Wenn auch YZ mit der Punktreihe zwei Punkte Jt, p gemein hätte, so würden diese a von a und ß von ß' harmonisch trennen; es gäbe dann auf u zwei Punkte P, B, die A von Ä und B von B' harmonisch trennten. Das ist aber unmöglich, denn zu A gibt es unter den Punkten A', B, B' nur einen, etwa Ä, der von A durch die beiden anderen getrennt wird, und diese zwei Paare können nicht durch ein drittes harmonisch getrennt werden; dagegen zweimal zwei Paare aus A, B, A', B\ die je einander nicht trennen, und folglich gibt es zweimal ein harmonisch trennendes Paar. Also müssen auf zwei der Geraden XV, YZ, ZX Punkte von £ liegen, die dritte aber kann s nicht schneiden. Da XYZ ein Poldreieck ist, so haben wir nebenbei das Resultat gewonnen, daß immer eine Seite eines Poldreiecks einer Punktreihe zweiter Ordnung diese nicht schneidet. — Zu den Strecken AB und A'B' zurückkehrend nehmen wir nun an, daß dieselben mit Hilfe des Zirkels im empirischen Sinne „gleich“ gemacht seien. Suchen wir jetzt das Punktepaar M, N zu bestimmen, das A von B' und B von Ä harmonisch trennt, so werden zwar die nach M und N hinführenden Strahlen S(i und Sv immer existieren, aber einer dieser Strahlen wird die Gerade u in erreichbarer Nähe nicht schneiden. Dieser zunächst nur empirisch unzugängliche Punkt ist der „imendlich ferne“ Punkt der Geraden in der parabolischen Geometrie, und wenn man ihn zum Punkte Ax einer projektiven Skala macht, so wird er auch im Sinne dieser Maßbestimmung unendlich fern liegen.³) Dabei ist zu beachten, daß es für unsere Konstruktionen in der projektiven Skala durchgängig genügt, zwei Geraden v und w zu haben, von denen feststeht, daß sie überhaupt durch gehen, wenn dieser Punkt auch nicht auf der Zeichenebene liegt, denn anders als durch Vermittelung dieser Geraden v, w haben wir Ax beim Addieren und Multiplizieren nicht gebraucht. Einen nach A^ führenden Strahl v haben wir aber in Sv, und durch andere Annahme von S auf e bekommen wir leicht einen zweiten. Also sind alle Bedingungen zum praktischen Konstruieren erfüllt.

11. Die parabolische Streckenmessung ist als projektive an sich einfach, so lange es sich um Messung auf derselben Geraden handelt.

Dagegen bereitet die Übertragung der Maßeinheit von einer Geraden zur anderen, wie wir in § 5 gesehen haben, ziemlich viel Umstände. Eine beliebige Punktreihe e von der zweiten Ordnung kann, wie wir wiederholt betont haben, begrifflich zum Kreise gemacht werden; es sei etwa die des vorigen Artikels. Ein beliebiger Punkt 0 in der Ebene des Kreises, von dem aus an ihn keine Tangenten gehen, werde sein Mittelpunkt oder Zentrum genannt; die von 0 ausgehenden „Radien“ nennen wir einander gleich, nachdem dieselben vorher als „Strecken“ definiert sind durch Ausschluß des Punktes, der 0 jedesmal von s harmonisch trennt.

Diese ausgeschlossenen Punkte liegen also auf einer Geraden, der Polare a von 0 bezüglich £; sie heißt „die unendlich ferne“ Gerade der Ebene. Sie bestimmt auf jeder Geraden den Punkt, der auf ihr als unendlich ferner Fundamentalpunkt der (projektiven) Streckenmessung dienen soll. Geraden mit demselben unendlich fernen Punkte heißen parallel. Man kann die Metrik genau unter den begrifflichen Voraussetzungen der parabolischen Geometrie so einrichten, daß irgend zwei Geraden der Ebene als parallel anzusprechen sind. Bei anderer Wahl der drei Fundamentalpunkte hat natürlich auch „der“ unendlich ferne Punkt einer Geraden der Euklidischen Geometrie endlichen Abstand vom Nullpunkt. Vor Einführung der Metrik gibt es eben kein Nah und Fern, denn das sind ja metrische Begriffe, und Nähe oder Ferne ist ja nichts absolutes, sondern hat immer nur Bedeutung relativ zur Maßeinheit und den Gesetzen der jeweils benutzten Metrik. Für die Geometrie des naiven Mannes aus dem praktischen Leben ist freilich mit der Strecke zugleich auch die Länge gesetzt. Daß auch in der wissenschaftlich betriebenen Geometrie die Empirie einen viel größeren Spielraum hat, als man sich zugestehen möchte, kann man alle Tage beobachten. — Auf zwei Parallelen n, v schneiden zwei andere Parallelen p, q derselben Ebene, wenn sie nicht zu n und v parallel sind, gleiche Strecken ab. Das hat als Definition zu gelten. Sind zwei parallele Strecken einer dritten zu ihnen parallelen Strecke gleich, so sind sie, wie eine einfache Überlegung zeigt, nach dem Satze von Desargues über die Perspektiven Dreiecke auch einander gleich. Zur Verschiebungskonstruktion und zur Übertragung der Strecken von einer Geraden auf die zu ihr parallelen kommt als dritte Fundamentalkonstruktion der Streckenmessung die Drehung mittels des Kreises e (vergl. § 5). Auch hier ergibt der Satz von Desargues unmittelbar die Gleichheit zweier Strecken, die einer dritten gleich sind, wenn sie auf drei verschiedenen Geraden durch den Mittelpunkt 0 des Kreises s liegen und durch das Verfahren der Fig. 6 die Drehung definiert wird.

12. Während die Streckenmessung der parabolischen Geometrie ihrem Wesen nach eine projektive ist, welche die ausgeschlossenen Punkte ein für allemal definiert, beruht die Euklidische Winkelmessung auf ganz anderen Grundsätzen, die ohne den lebhaften Anteil der sinnlichen Anschauung an der Entwicklung der Geometrie nicht zu verstehen wären. Daß Strecken größer sein können als unser Blick in die Weite reicht, ist eine der ältesten, natürlichsten Erfahrungen; die Erde erscheint dem naiven Menschen unmeßbar groß; die Maßeinheit ist etwa sein Schritt. Anders der Winkel. Das ganze Winkelfeld in der Umgebung eines Punktes 0 übersieht man mit einem Blick, seine Größe muß „also“ endlich sein, und wie der naive Sinn an absolute Länge glaubt, so glaubt er auch an absolute Winkelgröße. Eine natürliche Vierteilung des Winkelfeldes um 0 bewirken zwei aufeinander im empirischen Sinne senkrechte Geraden, das Auge entdeckt keinen Vorzug des einen Feldes vor den A anderen. Aber wie man das Winkelfeld durch geeignete Wahl derWinkelmessung zu einer endlichen Größe machte, könnte man auch die Länge der Geraden durch ein entsprechend gewähltes Meßverfahren zu einer endlichen machen. — Die Winkelgleichheit haben wir in § 5 durch das aus Fig. 8 ersichtliche Verfahren definiert. Es ist noch zu zeigen, daß das Ergebnis dieses Verfahrens von der Wahl des Punktes C auf dem Kreise x unabhängig ist. Erteilt man also dem Punkte C auf x eine andere Lage Ct (Fig. 85), der die Lagen Alf Bx von A, B entsprechen mögen (wo also Aß^AC, BXCX\BG ist), und nimmt man noch Ct' auf x so an, daß A^G^\AC', so gilt es zu beweisen, daß auch Da die Pascalgerade des Pascalschen Sechsecks ACBAiC₁Bl wegen des Parallelismus von AG und AlC₁, CB und ClBl mit der unendlich fernen Geraden zusammenfällt, so ist BA₁\\B₁A, und dies hat für das Sechseck AC'BAlCl'Bl die Folge, daß auch seine Pascalgerade die unendlich ferne Gerade ist. Also ist BßillBC'f w. z. b. w.

! Je;

Fig. 85.

B&’WBC' ist.

Um an die Figuren des § 5 anzuknüpfen, haben wir einen wirklichen Kreis mit seinem wirklichen Zentrum benutzt. Aber allein schon der Umstand, daß der Pascalsche Satz den Ausschlag gab, zeigt,

daß man auch mit einer beliebigen Punktreihe zweiter Ordnung eine in sich widerspruchsfreie Winkelmessung nach den Grundsätzen der Euklidischen definieren könnte, nur mit dem Unterschiede, daß die im Sinne dieser Metrik „gleichen“ Winkel nicht im empirischen Sinne gleich wären.

Wie wir sehen, ist die Euklidische Metrik nicht so leicht wissenschaftlich zu begründen wie die hyperbolische (und elliptische). Ihr Mangel an Symmetrie, der eine Folge der Preisgabe des Dualitätsgesetzes ist, wird aber reichlich ersetzt durch ihren hohen praktischen Wert. Die Teilung einer Strecke in beliebig viel gleiche Teile ist in der Euklidischen Geometrie infolge des projektiven Charakters ihrer Streckenmessung auf derselben Geraden eine mit Zirkel und Lineal exakt ausführbare Konstruktion, während dieselbe Aufgabe in den beiden Nichteuklidischen Geometrien ebenso kompliziert ist wie die w-Teilung des Winkels in der Euklidischen Geometrie. Dafür ist in der Euklidischen Geometrie das Rechnen mit Winkeln eine besondere Wissenschaft, die Trigonometrie, während in der rein projektiven Metrik Strecke und Winkel vollkommen nach gleichen Gesetzen gemessen werden.

Damit müssen wir diese Untersuchung schließen und hinsichtlich weiterer sich hier aufdrängender Fragen auf die Literatur verweisen.

¹

Einen anderen Beweis gab M. Pascb in seinen Vorlesungen über neuere Geometrie, § 21.

²

M. Großmann, Die fundamentalen Konstruktionen der Nichteuklidi sehen Geometrie, Beilage zum Programm der Thurgauischen Kantonschule 1903/04.

³

Die projektive Auffassung des Parallelismus läßt sich demnach so formulieren: Auch parallele Geraden haben einen Schnittpunkt, derselbe ist aber durch eine endliche Anzahl (im Sinne der parabolischen Metrik) endlicher Schritte nicht erreichbar.

§ 19. Anhang: Literaturangahen.

Uber die einschlägige Literatur gibt jetzt der 1907 erschienene Bericht von Enriques in der Enzyklopädie der math. Wiss. III A, Bj Auskunft. Daneben dürfte die nachfolgende Auswahl nicht unerwünscht sein. Im vorangehenden bereits zitierte Werke sind nicht aufgenommen.

1. Bibliographische Werke.

Libellus post saec quam Jo. Bolyai de Bolya anno 1802, a. D. Claudiopoli natus est ad celebrandam memoriam eius immort. . . . editus, Claudiopoli, 1902. (Ein Verzeichnis aller Schriften über Nichteuklid. Geom.).

Bono la, Bibliografia sui fondamenti della geometria noneuclidea, im Bollettino di bibliografia e storia delle scienze matematiche, seit 1899.

E. Wölffing^ Mathematischer Bücherschatz, I. Teil, Leipzig 1903. (Keine Zeitschriften !)

Siehe besonders: Abt. 2. Philosophie der Mathematik. Abt. 139. Prinzipien der Geometrie. Abt. 140. Parallelentheorie. Abt. 141. Nichteuklidische Geometrie. Abt. 132. n-dimensionale Geometrie.

2. Geschichte der Erforschung der Grundlagen.

Tropfke, Geschichte der Elementar-Mathematik. 1902 u. 1903.

Simon, M., Euklid und die sechs planimetrischen Bücher. Leipzig 1901.

Reye, Th., Die synthetische Geometrie im Altertum und in der Neuzeit. Straßburg 1899. (2. Aufl.)

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Stäckel u. Engel, Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis Gauß. Leipzig 1895.

Stäckel u. Engel, Urkunden zur Geschichte der Nichteuklidischen Geometrie. Leipzig 1899.

Schmidt u. Stäckel, Briefwechsel zwischen Gauß u. Bolyai. Leipzig 1899. Stäckel, P., Untersuchungen a. d. absoluten Geometrie. Aus Joh. Bolyais Nachlaß. Math. u. Nat. Ber. Ungarn, 18. Bd. 1902.

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Wertvolle historische Notizen.

3. Erkenntnislehre der Mathematik vom philosophischen

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Cassirer, E., Leibniz’ System in seinen wissenschaftlichen Grundlagen. Marburg 1902.

Stumpf, Über den psychologischen Ursprung der Raumvorstellung. 1873.

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Couturat, E., Principes des mathématiques. Paris 1906.

Couturat, E., Dasselbe, Deutsch von Siegel. Leipzig 1908.

Dingier, H., Die Grundlagen der angewandten Geometrie. Leipzig 1911. Branford, B., Betrachtungen über mathematische Erziehung vom Kindergarten bis zur Universität. Deutsch von Schimmack und Weinreich. Leipzig 1914.

Klein, F., Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus. Leipzig 1911/14.

5. Arbeiten in der Richtung von Bolyai und Lobatschefsky.

Stäckel, P., Johann Bolyais Raumlehre. Math. u. Nat. Ber., Ungarn, 19. Bd. 1903.

Kürschâk, J., u. Stäckel, P., Johann Bolyaie Bemerkungen über Nicolaus Lobatschefskys geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien. Math. u. Nat. Ber. Ungarn, 18. Bd., 1902.

Engel, Fr., N. I. Lobatschefsky, Zwei geometrische Abhandlungen, aus dem Russischen übersetzt, mit Anmerkungen u. einer Biographie des Verfassers. Leipzig 1898/99.

Lobatschefskys Theorie der Parallelen ist in Ostwalds Klassikern der exakten Wissenschaften erschienen.

Simon, M., Zu den Grundlagen der Nichteuklidischen Geometrie. Straßburg 1891.

Betont besonders die psychologische Seite des Problems und gehört auch in Nr. 6.

Simon, M., Die Elemente der Geometrie mit Rücksicht auf absolute Geometrie. Straßburg 1890.

Simon, M., Elementargeometrische Ableitung der Parallelenkonstruktion in der abs. Geometrie. Joum. f. r. u. a. Math. Bd. 107,- Heft 1.

Simon, M., Die Geometrie der Zwischenebene. Jahresber. d. Math.-Ver. VII, 1.

Simon, M., Die Trigonometrie der abs. Geom. Joum. f. r. u. a. Math. Bd. 109, Heft 3.

Liebmann, H., Winkel- und Streckenteilung in der Lobatschefskyschen Geometrie. Arch. d. Math. u. Phys. (3), 5, S. 213.

Liebmann, H., Verschiedene wichtige Artikel in den Leipziger Sitzungsberichten.

Stäckel, P., Zur Nichteuklidischen Geometrie. Arch. d. Math. u. Phys. (3), 3, S. 187.

Engel, Fr., Zur Nichteuklidischen Geometrie. Leipzig 1898.

Gauß, Werke, Bd. 8.

Großmann, M., Projektive Konstruktionen in der hyperbolischen Geometrie. Math. Ann. 68.

Coolidge, J. L., The Elements of Non-Euklidean Geometry. Oxford 1909.

6. Arbeiten in der Riemann-Helmholtzschen Richtung.

Riemann, B., Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen.

Göttingen 1854 (Werke, 2. Aufl. XIII; siehe ferner XXII).

Helmholtz, Über die Tatsachen, die der Geometrie zu Grunde liegen. Nachr.

Kgl. Ges. Wiss. Göttingen, Bd. 2. Braunschweig 1868.

Helmholtz, Über den Ürsprung u. d. Bedeutung der geometrischen Axiome.

Vorträge und Reden, Bd. 2. Braunschweig 1884.

Beltrami, Saggio di interpretazione della geometria noneuclidea. 1868. Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura constante. Annali di Mat., ser. II, 2. Bd. (1868).

Lie, S., Theorie der Transformationsgruppen. 3. Absch., V. Abt. Leipzig 1893. Russell, R. A. W., An Essay on the foundations of geometry, Cambridge 1897; vgl. die Besprechung der französischen, von A. Cadenat ausgeführten Übersetzung durch P. Stäckel. Arch. f. Math. u. Phys. (3), IV, S. 140 ff Brill, Bemerkungen über pseudosphärische Mannigfaltigkeiten von drei Dimensionen. Math. Ann. 26.

Schur, F., Über die Deformation der Räume konstanten Riemannschen Krümmungsmaßes. Math. Ann. 27, S. 163—176 u. 537—567.

Schur, F., Über den Zusammenhang der Räume konstanten Riemannschen Krümmungsmaßes mit den projektiven Räumen. Math. Ann. 27, S. 537 ff. Voß, Zur Theorie des Riemannschen Krümmungsmaßes. Math. Ann. 16. Monro, S., On flexure of spaces. Proc. Lond. Math. Soc. 9, p. 171 ff. Schwarzschild, Über das zulässige Krümmungsmaß des Raumes. Vortrag auf der Versammlung der Astr. Ges. Heidelberg 1900.

7. Systembildung der Euklidischen Geometrie (Lehrbücher).

Veronese, Elementi di Geometria. Padova 1897.

Veronese, Grundzüge der Geometrie, deutsch von Schepp.

Peano, Sui fondamenti della Geometria. Rivista di Matematica, vol. IV (1894).

Ingrami, Elementi di Geometria per le scuole secondarie superiori. Bologna 1899.

Pieri, Della geometria elementare come sistema ipotetica deduttivo. Mem. della Acc. di Torino 1899.

1900.

Enriques, Questioni riguardanti la geometria elementare. Bologna

Veronese, G., Nozioni elementari di Geometria intuitiva ad suo dei ginnasi inferiori. Verona-Padova 1901.

Vgl. dazu

Thieme, Die Umgestaltung der Elementargeometrie. Progr.-Abh. Posen, 1900.

Zu Literaturangaben über Ähnlichkeit, Flächen- und Volumenbestimmung wird sich in der Planimetrie und Stereometrie Gelegenheit finden.

Hj elms lev, J., Neue Begründung der ebenen Geometrie. Math. Ann. 64.

Schur, Fr., Grundlagen der Geometrie, Leipzig 1909.

Kommerell, K., Rein geometrische Begründung der Lehre von den Proportionen . . . Math. Ann. 66.

8. Projektive Geometrie und projektive Metrik.

Cayley, A sixth memoir upon quantics. Phil. Trans., vol. 149 (1859); Coll, pap. vol. 2.

Salmon-Fiedler, Analytische Geom. d. Kegelschnitte, II. Bd., Kap. XX. Klein, F., Arbeiten über Nichteuklidische Geometrie: Math. Ann. 4 (1871), S. 573—625; 5 (1873), S. 112—145; 6 (1873), S. 112; 7 (1874), S. 531—537; 37 (1890), S. 544—572.

Darboux, Math. Ann. 17.

Klein, Vorlesungen über Nichteuklidische Geometrie (autographiert).

Killing, Die Nichteuklidischen Baumformen in analytischer Behandlung. Leipzig 1885.

Die vollständigste Darstellung der drei Geometrien vom projektiven Standpunkte gibt

Clebsch-Lindemann, Vorlesungen über Geometrie, Bd. II, Teil 1. Leipzig 1891. Schor, D., Neuer Beweis eines Satzes aus den „Grundlagen der Geometrie“ von Hilbert. Math. Ann. 58, S. 427.

Wiener, H., Über die Grundlagen u. den Aufbau der Geometrie. Jahresber.

Deutsch. Math.-Ver. Bd. I, S. 45 ff. u. Bd. III, S. 70 ff.

Schur, F., Über den Fundamentalsatz der projektiven Geometrie. Math. Ann. 51. Schur, F., Lehrbuch der analytischen Geometrie. Leipzig 1898.

Zeuthen, Sur le fondament de la Géométrie projective. Comptes rendus 1898, p. 213.

Hessenberg, G., Desarguesscher Satz u. Zentralkollineation. Arch. d. Math. u. Phys. (3), 6, S. 123—128.

Hessenberg, G., Über die projektive Geometrie. Arch. d. Math. u. Phys. (3), 5, Anhang, S. 35.

Hessenberg, G., Über Beweise von Schnittpunktsätzen. Arch. d. Math. u. Phys. (3), 3, S. 121 u. S. 316.

Vierter Abschnitt.

Planimetrie.

§ 20. Die grundlegenden Sätze.

1. Geometrie ist nach Platon¹) die „Erkenntnis des ewig Seienden“, d. h., im Gegensatz zur Mechanik, Astronomie und Physik, die Erkenntnis der ob allem Wechsel beharrenden Raumordnung. Diese Erkenntnis schöpfen wir mittels reiner Denkarbeit aus den wenigen Grundgesetzen und Axiomen, durch welche zwischen den Grundgebilden der Raumordnung, nämlich den Punkten, Geraden und Ebenen, geordnete Beziehungen hergestellt werden. Während aber die Grundgebilde vollkommen ausreichen, um die Formen der sinnlich wahrnehmbaren Gebilde durch reine Denkbestimmungen eindeutig zu beschreiben und mit Gesetzmäßigkeit auszustatten, so daß jemand, dem diese Formen unbekannt wären, sie auf Grund dieser Bestimmungen, unabhängig von der Erfahrung, erzeugen könnte, ist die sinnliche Form der Grundgebilde selber nicht durch Denksetzungen bestimmbar. Die Anschauung des Punktes, der Geraden und der Ebene kann nur empirisch an geeigneten Modellen geweckt und übermittelt werden und verwirklicht diese Ideen nur unvollkommen. — Die Anschauung ist nach Platon der Paraklet des Denkens, seine bewegliche, anregende, das Resultat oft vorwegnehmende Helferin. Sie ist der Steigerung und Vervollkommnung fähig und schon deshalb nicht letzte Instanz bei der Feststellung der geometrischen Wahrheit. Die Anschauung kann das Denken durch Begriffe nicht ersetzen, vielmehr soll das Begriffsdenken die Anschauung regeln und präzisieren. Durch fortgesetzte Übung läßt sich nicht nur eine geometrische, sondern auch eine arithmetische, eine graphostatische oder physikalische Anschauung ausbilden; ohne sie bliebe das Denken unbeholfen und unfruchtbar.

2.    Der Aufbau des Lehrsystems der Euklidischen Geometrie hängt wesentlich davon ab, welche Stellung man zum Parallelenbegriffe nimmt. Der antiken Definition, daß Parallelen sich schlechterdings nicht schneiden, macht die moderne, projektive Auffassung immer inehr den Rang streitig, wonach ausnahmslos alle Geraden einer Ebene einander schneiden, nur, daß bei den Parallelen der Schnittpunkt durch eine endliche Zahl von Schritten endlicher Länge im Sinne der Euklidischen Metrik nicht erreichbar ist. Zwischen beiden Auffassungen sucht eine dritte, nominalistische zu vermitteln, die parallelen Geraden einen „uneigentlichen“ Schnittpuukt zuschreibt und durch diese Sprechweise die vollendete Gesetzmäßigkeit des projektiven Standpunktes gewinnt, ohne an die (begriffliche) Existenz eines Schnittpunktes zu glauben. Dazu ist zu bemerken, daß nirgends in der ganzen Geometrie absolutes Nichtschneiden der Parallelen erforderlich ist und begrifflich benutzt wird, sondern immer nur die Unzugänglichkeit des Schnittpunktes auf Grund der Metrik. Rein wissenschaftlich betrachtet verdient die projektive Auffassung des Parallelismus ganz entschieden den Vorzug, weil sie einfacher ist als die antike und das Gesetz, daß je zwei Geraden einer Ebene einander schneiden, zur ausnahmslosen Gültigkeit erhebt. Gesetze ohne Ausnahme müssen doch wohl immer als das Ideal einer reinen Begriffswissenschaft gelten. Vom projektiven Standpunkte aus verliert der Parallelismus jede Spur des Geheimnisvollen und Unbegreiflichen, er wird zu einer rein internen Angelegenheit der Metrik, in die die Erkenntniskritik nicht hineinzureden hat; das Parallelenaxiom sinkt herab zu der Vorschrift, die Metrik so einzurichten, daß eine gewisse Ebene von allen ihr nicht angehörigen Punkten aus in gerader Bahn nicht durch eine endliche Zahl von Schritten erreichbar wird, denen auf Grund dieser Metrik eine endliche „Länge“ zuzuschreiben ist. Begrifflich kann diese Auszeichnung jeder beliebigen Ebene zuteil werden, speziell kann auf jeder Geraden ein Punkt begrifflich zum „unendlich fernen Punkte“ gemacht werden, der auf Grund der durch die Sehweite unserer Augen, durch den Tastbereich unserer Hände gegebenen Metrik im Endlichen liegt (vergleiche Fig. 75 im dritten Abschnitte). Immer läßt sich die Metrik so einrichten, daß ein beliebiger von sechs Ebenen begrenzter Körper begrifflich zum „Würfel“ wird; durch Angabe eines solchen „Würfels“ ist die Metrik konstruktiv festgelegt, so daß man begrifflich vollständig exakte Konstruktionen metrischer Natur ausführen kann. Legt man denselben einen „wirklichen“ Würfel zugrunde, so vermittelt dieser die „wirkliche“ Euklidische Maßbestimmung.

3.    Hiernach ist das Parallelenaxiom eigentlich ein Eingriff in die Freiheit der projektiven Geometrie, der die parabolische Metrik vor der hyperbolischen und elliptischen bevorzugt. Wie im dritten Abschnitte gezeigt worden ist, kann die projektive Geometrie aus eigenen Mitteln alle drei Maßbestimmungen erzeugen. So hätte denn die projektive Geometrie, vom rein wissenschaftlichen Standpunkte aus betrachtet, als die wahre Elementargeometrie zu gelten, und sie ließe sich auch unter Benutzung der Stetigkeit wahrhaft elementar darstellen. Aber bisher sind alle Versuche fehlgeschlagen, sie an Stelle der überlieferten Schulgeometrie zu setzen, und so müssen wilden streng wissenschaftlichen Standpunkt aufgeben. Insbesondere müssen wir darauf verzichten, Parallelismus und Kongruenz als Probleme zu betrachten, die die Geometrie mit eigenen Mitteln, durch Erschaffung einer geeigneten Metrik, zu lösen hat; wir wollen vielmehr alle diese Dinge mittels der Hilbert sehen Axiome postulieren; streng genommen sollte man ja nur das axiomatisch fordern, was man nicht durch reine Denksetzungen aufbauen kann. Durch die Kongruenzaxiome fordert man etwas, das mit Hilfe der Axiome der Verknüpfung, der Anordnung (in der projektiven Modifizierung) und der Stetigkeit sich leisten ließe; in den Kongruenzaxiomen steckt ganz besonders der Fundamentalsatz der Geometrie der Lage. Dem widerspricht durchaus nicht die von Hilbert in § 11 seiner „Grundlagen der Geometrie“ nachgewiesene „Unabhängigkeit“ der Kongruenzaxiome. Denn Hilbert zeigt a. a. 0. nur, daß man nach Einführung seiner Axiome I, II, IV und V in der Metrik noch beinahe vollkommen freie Hand hat; ließe man auch IV fort, so hätte man u. a. die Wahl zwischen der parabolischen, hyperbolischen und elliptischen Metrik. Die Hilbertschen Axiome III und IV stellen eben an die projektive Geometrie die Forderung, von den zahlreichen Maßbestimmungen, die sich mittels der übrigen Axiome erzeugen ließen, eine bestimmte zu bevorzugen. Nur in diesem Sinne sind die Kongruenzaxiome von den anderen unabhängig.

4. In den Kongruenzaxiomen steckt ferner auch der Satz von Desargues, der einzige Satz der projektiven Geometrie der Ebene, der durch Betrachtungen im Raume bewiesen werden muß. Daher ist es möglich, die Planimetrie, der wir uns jetzt zuwenden, mittels der Hilbertschen Axiome zu begründen, ohne die Ebene zu verlassen. Durch diese Wahl der Axiome wird die Geometrie so ganz und gar dem Maßbegriffe untergeordnet, daß man häufig die Geometrie als Lehre von den Raumgrößen definiert. In Wahrheit ist aber die Geometrie des Maßes nur ein besonderer Fall der rein projektiven Geometrie. — In der „Geometrie der Lage“ von Reye erscheinen z. B. die auf den Maßbegriff sich gründenden Sätze der Euklidischen Geometrie nur anhangsweise und zwar als Spezialisierungen viel umfassenderer Sätze. Die synthetische Geometrie braucht in ihren niclit-

metrischen Sätzen die Zahl nur als Anzahl, als multitudo, nicht als Maßzahl oder magnitudo²), während sie in ihrer Metrik zur höchsten, reinsten Auffassung der „Zahl“, der rein qualitativen, emporsteigt, der sich einerseits die gewöhnliche Zahl, andererseits die Streckengröße unter ordnet; die projektive Metrik erzeugt „Summe“ und „Differenz“,' „Produkt“ und „Quotient“ von Strecken rein konstruktiv, ohne Vermittelung der Maßzahl, wie wir in § 18 gesehen haben.

5. Die Hilbertschen Axiome der Euklidischen Geometrie sind in den beiden ersten Abschnitten aufgezählt und ausführlich besprochen worden. Es würde zu weit führen, wenn wir hier ein den verschärften Ansprüchen der rein begrifflichen Geometrie genügendes Lehrsystem der Elementargeometrie entwickeln wollten, sowohl wegen der unvermeidlichen Widerholung von Sätzen der vorangehenden Paragraphen als auch deshalb, weil ein solches Lehrsystem viel ausführlicher sein müßte als die gewöhnlichen Lehr-\    bûcher der Elementargeometrie. Da

B\ C]

—~— zudem die Untersuchung der Grund-\ lagen in lebhaftem Fluß ist und die \ vorhandenen Systembildungen noch

_\ nicht elementar genug sind, so wollen

Fig. 86.

wir die grundlegenden Sätze rein referierend mitteilen und je nach Bedarf auf einzelne Fragen näher eingehen.

Weitaus die wichtigste Folge der Axiome der Anordnung ist der

Satz 1. Die Ebene wird durch jede in ihr liegende Gerade a in zwei Gebiete, die beiden „Seiten“ der Geraden a, zerlegt, die folgende Beschaffenheit haben: jeder Punkt der Ebene, der nicht auf a liegt, gehört einem und nur einem dieser Gebiete an; je zwei Punkte desselben Gebietes begrenzen eine Strecke, die keinen Punkt von a enthält; dagegen begrenzt jeder Punkt des einen Gebietes mit jedem Punkte des anderen eine Strecke, der ein Punkt von a angehört.

Ist nämlich Pj irgend ein nicht auf a liegender Punkt der Ebene und A ein Punkt von a, so enthält die Strecke AP₁ nach Axiom II₂ von Hilbert einen Punkt Qlf so daß A nicht der Strecke PtQt angehört.

Wir behaupten, daß P₄ und Qx demselben Gebiete im Sinne des Satzes 1. angehören. Denn ist Rt ein Punkt, so daß Strecke PXRX keinen Punkt von a enthält, so kann auch auf Strecke QlRl kein Punkt von a liegen (Axiom II₄ in Anwendung auf Dreieck PlQlR₁). Ist jetzt B ein Punkt von a, der mit A identisch sein darf, so gibt es auf PXB nach II₂ andererseits einen Punkt P₂, so daß B der Strecke P₄P₂ angehört. P₂ ist dann ein Punkt des anderen Gebietes, denn z. B. die Strecke P₂P₁ muß mit a einen Punkt C gemeinsam haben auf Grund des Axioms II₄ in Anwendung auf Dreieck PtP₂P; und wenn Q.₂ demselben Gebiete angehört wie P₂, also die Strecke PxQ₂ keinen Punkt von a enthält, so muß die Strecke RXQ₂ mit a einen Punkt gemeinsam haben (II₄ auf Dreieck P₂Q₂Rt angewandt). Also gehören die Punkte Ply Qlt Rlf ... zum einen, P₂, Q₂, . . . zum anderen Gebiete.

Dieser Satz gilt nicht mehr in der elliptischen Geometrie; die elliptische Ebene ist eine in sich zurücklaufende Fläche, die durch eine Gerade nicht in getrennte Gebiete zerlegt werden kann.

6. Wie aus den Kongruenzaxiomen die Kongruenzsätze abgeleitet werden, wolle man bei Hilbert nachlesen. Sie lauten:

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie der Größe nach übereinstimmen:

I. entweder in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel;

II. oder in einer Seite und den anliegenden Winkeln;

HI. oder in den drei Seiten;

IV. oder in zwei Seiten und dem der größeren von ihnen jedesmal gegenüberliegenden Winkel.

Eine interessante Begründung der Geometrie ohne den Winkelbegriff hat neuerdings Mollerup³) gegeben, die verhältnismäßig einfach zu den Kongruenzsätzen führt. Am natürlichsten ist die Ableitung der Kongruenz aus der Symmetrie, da die Symmetrie ursprünglicher ist als die Kongruenz; sie findet sich als gestaltendes Prinzip in den Kunst versuchen der primitivsten Völker. Axiomatisch ist die Symmetrie u. a. von Peano, Sui fondamenti della Geometria, Rivista di Matematica, vol. IV, 55 (1894) begründet worden. Leibniz hat die Kongruenzsätze aus dem „Axiom“ gewonnen, daß Figuren kongruent sind, wenn ihre Bestimmungsstücke kongruent sind.⁴)

7. Der Parallelismus kann durch folgende Betrachtungsweise eingeführt werden. In zwei Punkten A und B einer Geraden u errichtet man die Lote a und b. Wenn diese sich in einem Punkte C schnitten, der auf a und b endliche Strecken CA und CB bestimmte, so könnte man in der Euklidischen und in der hyperbolischen Geometrie einen Punkt C auf a so annehmen, daß A der Strecke CC angehörte und AC g^AC wäre. Die Dreiecke BAC und BAC' wären dann kongruent, weil C'A ^ CA, AB^ AB, BAC^ BA C, also wäre auch «£; C'BA ^ CB A s=’ einem Rechten, also Strecke CB auf

to

Fig. 87.

der Geraden BC gelegen. Die Geraden a und b hätten dann zwei Schnittpunkte, im Widerspruch zum Hil-bertschen Axiom I₂. Dieser Wider->,c sprach fällt nur fort: entweder, wenn C mit C identisch ist, also u nicht im Sinne des Art. 6, Satz 1. die Ebene in zwei Gebiete teilt (elliptische Geometrie), oder I) wenn C unendlich fern liegt, oder II) wenn a und b sich überhaupt nicht schneiden. Wenn C unendlich fern liegt, also A und C auf a keine Strecke mehr bestimmen, mit der sich auf Grund der Kongruenzaxiome konstruieren läßt, so läßt sich der Punkt C' nicht einführen. Die Fälle I) und II) sind der parabolischen und der hyperbolischen Geometrie eigen. Je nachdem man der ersteren die projektive oder die antike Auffassung des Parallelismus zugrunde legt, wird der Fall I) oder II) eintreten, der andere ausgeschlossen sein. Wir haben also in der Euklidischen Ebene den

Satz 2. Zwei Geraden a, b, die auf einer dritten Geraden senkrecht stehen, sind parallel,

der sich sofort umkehren läßt:

Satz 3. Wenn von zwei parallelen Geraden a, b (einer Ebene) die eine, a, auf einer dritten Geraden u der Ebene senkrecht steht, so steht auch die andere, b, auf u senkrecht.

Da nämlich nach dem Parallelenaxiom durch den Schnittpunkt A von a und u nicht zwei Parallelen a und u zu b gezogen werden können, a aber zu b parallel ist, so muß u die Gerade b in einem metrisch zugänglichen Punkte B schneiden; das in B auf u errichtete Lot b’ ist dann nach Satz 2. zu a parallel, muß also nach dem Parallelenaxiom mit b zusammenfallen.

Satz 4. Zwei Geraden a, b, die einer dritten Geraden c derselben Ebene parallel sind, sind auch zueinander parallel,

denn sie haben ein gemeinsames Lot w. Wenn also a und b in derselben Ebene liegen und parallel sind, und a von einer Geraden t dieser Ebene in einem Punkte A getroffen wird (siehe Fig. 88), so muß t auch mit b einen Schnittpunkt B haben. Fällt man vom Mittelpunkte 0 der Strecke AB auf a das Lot OX, so steht dieses nach Satz 3. auch auf b senkrecht; Y sei der Schnittpunkt von t und b. Dann sind die rechtwinkeligen Dreiecke OXA und OYB kongruent,

C/a

Ct/y

<r₀

Fig. 89.

Fig. 88.

also XAO oder a gleich YBO oder ß. Diese Winkel heißen wegen ihrer Lage zu a, b, t Wechselwinkel, und wir haben den

Satz 5. Wenn zwei Parallelen von einer Geraden t geschnitten werden, so sind die Wechselwinkel gleich,

und umgekehrt:

Satz 6. Wenn die Winkel a und ß gleich sind, so sind a und b parallel;

denn zieht man durch den Mittelpunkt 0 der Strecke AB eine Gerade, und sind X, Y ihre Schnittpunkte mit a, b, so ist

^:XOA = ^YOB, a = ß, OA=OB,

also Dreieck OXA = OYB, ^ OXA = OYB, und wenn OX auf a senkrecht steht, so ist OX auch auf b senkrecht, also a zu b parallel (Satz 2.).

Das sind die grundlegenden Sätze der Lehre von den Parallelen. Eine unmittelbare Folge daraus ist der für die Euklidische Geometrie charakteristische

Satz 7. Die Winkelsumme des Dreiecks beträgt zwei Rechte.

Denn zieht man (siehe Fig. 89) durch eine Ecke C die Parallele zur Grundlinie AB, so treten bei C die Winkel a und ß als Wechsel-winkel zu CAB und <)C CBA auf, also ist die Winkelsumme, wie sich in C zeigt, in der Tat einem gestreckten Winkel gleich. Nimmt

man statt des bei C liegenden Winkels cc seinen ihm gleichen Scheitelwinkel XCY (siehe Fig, 89), so hat man den

Satz 8. Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der gegenüberliegenden Winkel, ^YCB=a Aß-

8. Um geometrische Gebilde konstruieren zu können, muß die Euklidische Geometrie so rasch wie möglich zum Kreise zu gelangen suchen, während die rein projektive Geometrie ihre grundlegenden Konstruktionen mit dem Lineale, d. h. der Geraden allein ausführt. Der Kreis wird definiert als der Ort der Punkte, die von einem festen Punkte, dem „Mittelpunkte" oder „Zentrum** des Kreises, gleichen Abstand haben. Auf Grund dieser Definition allein ist es nicht möglich, einen Kreis zeichnerisch zu erzeugen, man muß vielmehr ein Instrument zur Hilfe nehmen, das gleiche Strecken zu übertragen gestattet, den Zirkel. Wir haben im vorangehenden gesehen, daß der Zirkel in der Ebene nur zur Konstruktion eines einzigen Kreises unbedingt erforderlich ist, durch den dann alle anderen Kreise unter Benutzung gerader Linien festgelegt sind; und selbst bei diesem einen Kreise ist der Zirkel nur nötig, um zwei aufeinander „senkrechte" und „gleiche" Durchmesser herzustellen. Aus diesen Stücken ist der Kreis mit Hilfe des Lineals allein konstruierbar, d. h. man kann beliebig viel Punkte und Tangenten der Kurve aus den gegebenen Durchmessern mit alleiniger Hilfe gerader Linien ableiten. Wollte man sich beim Aufbau der Geometrie diese

B \C

■y

Fig. 90.

Einschränkung auferlegen, so müßte man vom herkömmlichen Lehrgang ganz erheblich ab weichen. Wir wollen daher beim Euklidischen Verfahren bleiben, das überall in der Ebene Streckengleichheit setzt, statt sie begrifflich zu erzeugen. — Ein Kreis wird von jeder durch seinen Mittelpunkt gehenden Geraden in zwei Punkten „geschnitten"; d.h. die Gerade enthält zwei Punkte des Kreises (Axiom HI,); die von ihnen begrenzte Strecke heißt „Durchmesser" des Kreises, die Strecke vom Mittelpunkt bis zu einem Punkte des Kreises heißt „Radius“ oder Halbmesser.

Auch eine nicht durch den Mittelpunkt M gehende Gerade u kann mit dem Kreise nicht mehr als zwei Punkte gemeinsam haben. Denn liegt auf u ein Punkt A des Kreises (siehe Fig. 90), und ist D irgend ein anderer Punkt von w, so ziehen wir das Dreieck AM'D in Betracht, das mit AMD kongruent ist und dessen Ecke M'

nicht mit M auf derselben Seite von u liegt. Die begriffliche Existenz dieses Dreiecks kann auf Grund der Kongruenzaxiome leicht bewiesen werden; auch folgt leicht, daß MM' auf u senkrecht stellt. Der Schnittpunkt von u und MM' sei B. Ist nun C auf u so gelegen, daß BC AB und C von A verschieden ist (Axiom IIIj), so ist Dreieck MCB ^ MAB, also MC = MA, d. h. auch C ist ein Punkt des Kreises, der nur dann mit A identisch ist, wenn A mit B, dem Fußpunkte des von M auf u gehenden Lotes, zusammenfällt. Läge nun auf u ein weiterer Punkt des Kreises, etwa 7), so wäre MI) ~ MC, M'D^M'C, MM'^ MM', also Dreieck A1CAI'~ AIDAI' nach dem dritten Kongruenzsatze. Dann wäre BMC çv BMD, was dem Axiom III₄ widerspricht, falls nicht D mit A oder C zusammenfällt. Damit ist außer unserer Behauptung auch noch bewiesen, daß jede Gerade, die auf einem Radius im „Endpunkte⁴⁻' B desselben, d. h. in seinem dem Kreise angehörigen Punkte B, senkrecht steht, mit dem Kreise keinen weiteren Punkt gemeinsam hat. Derartige Geraden nennt man „Tangenten⁴" oder „Berührungsgeraden⁴⁴, jener Punkt heißt Berührungspunkt. Beim Kreise (und allgemein bei den Kurven zweiter Ordnung) kann man die Tan genten noch einfach als Geraden definieren, die mit der Kurve nur einen Punkt gemeinsam haben; die begrifflichen Schwierigkeiten des Tangentenbegriffes treten erst bei den Kurven höherer Ordnung hervor.

Wäre in unserer Figur MB größer als der Radius r des Kreises, so Aväre für jeden von B verschiedenen Punkt A der Geraden u erst recht Al A > r,¹) d. h.: Ist der Abstand — wie man das Lot AIB nennt — einer Geraden u vom Zentrum eines Kreises größer als der Radius, so hat die Gerade mit dem Kreise keinen Punkt gemein, ist der Abstand gleich dem Radius, so berührt die Gerade den Kreis. Folglich kann der Fall des Schneidens nur eintreten, wenn der Abstand kleiner ist als der Radius; daß unter dieser Voraussetzung der Fall des Schneidens immer ein-tritt, ist nicht ganz einfach zu beweisen. Sei (siehe Fig. 91) AI der Mittelpunkt des gegebenen Kreises, 0 der Fußpunkt des von AI auf die gegebene Gerade u gefällten Lotes, und OAI kleiner als der Radius r. Ist K₀ der Endpunkt des Radius AIO, und auf n die Strecke OJ^ś OK₀, so ist zwar MJ₀ > AIO, aber doch auch AU < r nach dem im Anschluß an die Beweise der Kongruenzsätze sich ergebenden Hilfssatze, daß in einem Dreieck jede Seite größer als die Differenz, aber kleiner als die Summe der beiden anderen Seiten ist. Ist ebenso Kt der Endpunkt des Radius AIJ₀, uud J₀JX

1) Auf Grund des Satzes, daß in einem Dreieck dem größten Winkel auch die größte Seite gegenüberliegt, der mit den Kongruenzsätzen als Hilfssatz gewonnen wird.

auf u gleich J₀KX, wobei Jx außerhalb der Strecke OJ₀ liegen soll, so ist nach demselben Hilfssatze MJx > 31J₀ > 310, aber immer noch MJ < r. Durch Wiederholung dieser Schluß weise ergeben sich auf dem Kreise die Punkte Kt, Kz, ..., auf u die Strecken J^L, ^

JÿJz ^ J₂Ks, . . ., und es ist

(a)

MO < MJ₀ < MJX < MJi < MJZ < • • • < r.

Auch für jeden anderen Punkt S der Strecken OJ₀, 0JX, OJ₂, . . . gilt die Beziehung OS<Cr. Andererseits können wir aber auf u auch Punkte nach weisen, deren Abstand von M größer als r ist. Denn die Parallele durch M zu u muß als Durchmesser mit dem Kreise zwei Punkte P, Q gemein haben, und wenn man von diesen auf u die Lote PP' und QQ' fällt, so ist nach dem oben benutzten Hilfssatze

7!

*/

//y

Fig. 91.

MP' > r, 31Q' > r. Wenn A₀ ein Punkt von u und OA₀ > OQ ist, so ist um so mehr OA₀ > r. Es gibt also auf u zwei Gruppen von Punkten: „innere“ Punkte, deren Abstand von 31 kleiner als r ist, und „äußere“ Punkte, deren Abstand von M größer als r ist. Trägt man auf der Strecke OA₀ die Strecke AÜA₁ ^ AÜL₀ ab, wo L₀ der auf dem Radius MA₀ gelegene Kreispunkt ist, so ist zwar MAX > r, aber MAX < MA₀. Durch Wiederholung dieser Konstruktion erhält man so auf u die Punkte A₀, Alf A%, ... mit der Eigenschaft, daß

0>)

MA₀ > MAX > MA₂ > •'• •> r

ist. So nähern sich die Punkte Jn und An mit wachsendem Index n demselben Grenzpunkt X, für den 3IX — r ist. Dieses Resultat kann sowohl auf Grund des Archimedischen Axioms, als auch des Dede-kindschen aus den Relationen (a) und (b) exakt erschlossen werden.

Da aber die Schnittpunkte einer Geraden mit einem Kreise immer paarweise auftreten, falls nicht Berührung vorliegt, so folgt, daß jede Gerade in der Ebene eines Kreises, deren Abstand vom Zentrum kleiner als der Radius ist, mit dem Kreise genau zwei Punkte gemein hat.

9. Zwei Kreise können höchstens zwei gemeinschaftliche Punkte haben. Denn sind Ox, 0₂ ihre Mittelpunkte (siehe Fig. 92) und ist A ein gemeinschaftlicher Punkt beider Kreise, so kann man sofort einen zweiten gemeinschaftlichen Punkt A' angeben: Nach Axiom III₄ existiert auf der anderen Seite von 0X0₂ ein zu 0₂0XA kongruenter Winkel, und auf seinem von 0X0₂ verschiedenen Schenkel liegt die Strecke OxA' çv OxA. Dann ist nach dem ersten Kongruenzsatze Dreieck 0XÄ0₂ Sä 0XA0₂, also nicht nur OxA' Sä OxA, sondern auch 0₂Ä ^ 0₂B'f d. h. Ä liegt auf beiden Kreisen. Der Schluß versagt nur, wenn 0XA0₂ kein Dreieck ist, wenn also A auf 0X0₂ liegt. Ist umgekehrt A" irgend ein Punkt, der beiden Kreisen (außer A und A') zugleich angehört, so sind nach dem dritten Kongruenzsatze die Dreiecke 0XA0₂, 0XA'0₂ und 0XA"0₂ kongruent;

Ą"

te

U-

Fig. 92.

Fig. 93.

A" muß entweder mit A oder mit A' auf derselben Seite von 0X02 liegen (Satz 1.). Wir dürfen etwa das erste annehmen. Dann sind aber die Kongruenzen

0₂0xA" ^ <£ 0₂0xA und Ox0₂A" sé <)C Ox0₂A

nur

in der Weise möglich, daß die Gerade OxA" mit OxA, 0₂A" mit 0₂A der Lage nach zusammenfällt, w. z. b. w.

Wenn A auf 0X0₂ liegt, so steht das in A auf 0X0₂ errichtete Lot auf den Radien OxA und 0₂A senkrecht, ist also Tangente beider Kreise, und man sagt dann: beide Kreise berühren sich in A. Wenn umgekehrt zwei Kreise sich berühren, d. h. einen Punkt und in ihm die Tangente gemeinschaftlich haben, so liegt der Berührungspunkt auf der Verbindungsgeraden der Zentra, der „Zentralen", und die Tangente steht in ihm auf der Zentralen senkrecht. Aus einem bekannten Dreieckssatze ergibt sich der Satz 9. Wenn zwei Kreise sich schneiden, so ist die Zentrale kleiner als die Summe und größer als der Unterschied der beiden Radien, und umgekehrt.

Nicht so leicht ist die Umkehrung dieses Satzes. Wenn nämlich die Zentrale C\C₂ kleiner als die Summe der Radien rx und r₂ zweier Kreise Cx, Cit aber größer als ihre Differenz rx — r.₂ ist (rx>r₂), so liegen zwar auf c je ein Punkt J und A des zweiten Kreises, so daß CxJ<rx, CxA>rx ist, aber es läßt sich an dieser Stelle ohne Berufung auf ein Stetigkeitsaxiom nicht beweisen, daß beide Kreise sich schneiden müssen. Auf das Nähere dieses Beweises brauchen wir nicht einzugehen. Es ist aber von Interesse, daß die Fundamentalkonstruktionen der elementaren Geometrie, die sich auf das Abtragen von Strecken und Winkeln, das Halbieren derselben und auf das Fällen von Loten beziehen, unabhängig von der Umkehrung des Satzes 9. ausführbar sind. Es wird genügen, das an der Aufgabe zu zeigen, eine Strecke AB zu halbieren (Fig. 93). Sei C irgend ein nicht auf AB gelegener Punkt der Ebene. Nach den Kongruenzaxiomen existiert auf der Seite von AB, auf der C nicht liegt, ein Winkel CAB ç^ ABC und auf seinem von AB verschiedenen Schenkel eine Strecke AC ^ CB. Dann ist Dreieck AC'B ^ ABC und also auch BC' ^ AC. Folglich müssen die Kreise um A und B als Zentren mit den Radien BC bezw. AC durch den sicher existierenden Punkt C gehen, d. h. sie müssen sich schneiden.

Von den zwei Schnittpunkten beider Kreise ist für unsere Zwecke nur der brauchbar, der mit C nicht auf derselben Seite von AB liegt. Nach Satz 1. hat die Strecke CC mit AB einen Punkt M gemeinschaftlich. Dieses ist der Mittelpunkt von AB, d. h. es ist AM ^ MB. Denn wäre nicht AM, sondern etwa AN ^ MB, so folgt aus der Kongruenz der Dreiecke ANC und BMC', BMC und ANC, daß CN^C'M, C'N^CM ist; dann wäre also im Dreieck CNC die Seite CC' gleich der Summe der beiden anderen, eine Tatsache, die nur dann keinen Widerspruch gegen bekannte Sätze enthält, wenn N mit M zusammenfällt. Damit ist die Existenz und Konstruktion der Mitte einer Strecke nachgewiesen.

Nachdem man weiß, daß AB eine Mitte hat, kann man in ihr auch an AB einen rechten Winkel liegend denken; es existiert also das Mittellot von AB. Beschreibt man jetzt um A und B zwei Kreise mit demselben Radius, der größer als die Hälfte von AB ist so muß jeder dieser Kreise das Mittellot schneiden, und zwar in demselben Punkte, da, wenn Z etwa der Schnittpunkt des ersten Kreises mit dem Mittellote wäre, nach den Kongruenzsätzen ZB ^ ZA wäre. Damit ist denn auch die übliche Konstruktion des Mittelpunktes gerechtfertigt, aber erst in zweiter Linie.

10. Indem wir die Umkehrung des Satzes 9. gelten lassen, wollen wir eine im wesentlichen von Euklid*) herrührende Lösung

1) Elemente III, 7.

der Aufgabe bringen, von einem Punkte S an einen Kreis 0 die Tangenten zu ziehen, eine Lösung, die deshalb bemerkenswert ist, weil sie auch in den beiden Nichteuklidischen Geometrien gilt. Ist nämlich SA (siehe Fig. 94) eine Tangente, also SA auf OA senkrecht, und erinnert man sich, daß beim Fällen des Lotes von 0 auf SA immer auch der Punkt 0' auftritt, der zu 0 bezüglich /SA symmetrisch liegt, so liegt es nahe, 0' mit in die Figur zu bringen. Wegen des gleichschenkeligen Dreiecks OSO' ist SO — SO' und 00'=20A~ also liegt ö sowohl auf dem Kreise um S mit dem Radius SO als auch auf dem Kreise um 0, dessen Radius gleich dem Durchmesser des gegebenen Kreises ist. Für 0' ergeben sich zwei Lagen ö und 0", denen zwei Berührungspunkte A und B, also zwei Tangenten SA und SB entsprechen.

Die andere verbreitete Lösung dieser Aufgabe geht unmittelbar

2x/ 2y

0\

Fig. 95.

Fig. 94.

auf einen geometrischen Ort für A und B (abgesehen vom gegebenen Kreise) aus. Nach einem Satze, der von Euklid auf Thaies von Milet (um 600 v. Chr.) zurückgeführt wird, ist der Ort für die Spitzen aller rechten Winkel, deren Schenkel durch zwei feste Punkte S, 0 gehen, der Kreis, der SO zum Durchmesser hat. Demnach liegt A auf dem Kreise, der die Mitte M von SO zum Zentrum und MO zum Radius hat. In der Tat: ist Z irgend ein Punkt dieses Kreises (siehe Fig. 95 ), so ist MS = MZ = MO, also sind die Dreiecke ZMS und ZMO gleichschenkelig; daher

<£ MSZ^^ MZS, ^MOZ^^iMZO,

und wenn wir die Größe der ersten zwei Winkel mit x, die der beiden anderen mit y bezeichnen, so ist nach dem Satze vom Außenwinkel ^SMZ'^i2x, Z'M0^2y, also 2x -f 2y = 2 Rechten, x -f y

= 1 Rechten; also SZO ein rechter Winkel, w. z. b. w. — Der gegebene Kreis und der Kreis M schneiden sich daher in A und B, wodurch die Aufgabe gelöst ist.

11.    Der Satz des Thaies ist als Spezialfall in einem Satze enthalten, den man gewöhnlich den Peripheriewinkelsatz nennt und so ausspricht: Peripheriewinkel über derselben Sehne eines Kreises sind einander gleich. Auf die hier genannten Begriffe und auf den Beweis des Satzes, der dem Beweise des Satzes von Thaies ganz analog geführt werden kann, wollen wir nicht weiter eingehen, weil er an sich keine Schwierigkeiten bietet. Dagegen bereitet die Definition der „Gleichheit“ von Kreisbogen eine gewisse Schwierigkeit, wenn man die Kongruenz nicht durch die empirische Aufeinanderlegung der Figuren gesetzt sein läßt. Man sagt: Zu gleichen Zentriwinkeln eines Kreises gehören gleiche Bogen. Ist das ein Lehrsatz oder eine Definition? Die Empiristen „beweisen“ den Satz mit Berufung auf die Anschauung (Bewegung). Für die begriffliche Geometrie besteht aber das Wesen der Größe und der Größenmessung in der begrifflichen Setzung der Gleichheit, wie wir in § 15, 8. und § 18, 2. gesehen haben, wo wir die Gleichheit der Strecken durch ein Konstruktions verfahren definiert haben. Der in Frage stehende Satz legt nun offenbar den Kreisbogen Größencharakter hei. Der kommt ihnen in der Tat zu, denn wir können die Betrachtungen des § 15, 8. über den Begriff „zwischen“ leicht auf Kreisbogen übertragen; aber es fehlt uns, um den Größen charakter zu vollenden, das Gleichheit setzende Konstruktionsverfahren. Am natürlichsten wäre es nun offenbar, Gleichheit zu definieren durch den Satz, daß gleichen Zentriwinkeln gleiche Bogen entsprechen sollen. Man könnte ganz allgemein den S. 229 zitierten Satz von Leibniz zur Definition der Gleichheit erheben. Lehnt man diese zwei Vorschläge ab, so bleibt nur der Weg über die ganz allgemein zu definierende Bogenlänge von krummen Linien übrig, ein Begriff, der so schwierig ist, daß wir ihm die Aufnahme in die kritische Darstellung der Grundlagen versagen mußten, obwohl wir uns dort nicht immer auf das Elementare beschränkt haben. In einer elementaren Geometrie muß also der fragliche Satz als Definition gelten.

12.    Auf die nächsten Folgerungen aus den genannten Lehrsätzen und ihre Anwendung auf Konstruktionsaufgaben wollen wir nicht weiter eingehen. Stoff und Anregungen bieten die geometrischen Lehrbücher und Aufgabensammlungen in unbegrenzter Fülle.

¹

Politeia VII, 527b; rov yàç àsi övrog r) ytcûfiitçixf] yvàoiç èaziv Weber u. Wellstein: Enzyklopädie. II. 3.Aufl.

²

Diese Unterscheidung rührt von Leibniz und Newton her; Leibniz kam sehr nahe an die qualitative Auffassung der Zahl, die Zahl als System von Relationssetzungen heran, die uns in § 18 entgegengetreten ist; vergl. Newton, Arithm. univ., Sect. I, cap. 2 und das in § 19 zitierte Werk von Cassirer.

³

   Mollerup, J., Studier over den plane Geometria Aksioiner (Diss.), Kjöbenhavn 1903 und Math. Ann. 58, 479.

⁴

   Si determinantia sunt congrua, talia erunt etiam determinata posito scilicet eodem determinandi modo (C. J. Gerhardt, Leibnizens Math. Schriften, V, 172).

§ 14. Ähnlichkeit.

1.    Um aus der mehr oder minder klaren Anschauung, die wir mit dem Worte „ähnlich“ bei ebenen Figuren verbinden, einen exakten Begriff zu gewinnen, beachten wir zunächst, daß die Ähnlichkeit jedenfalls eine Abbildung ist: zwei einander ähnliche Figuren sind vermöge der Ähnlichkeit so aufeinander bezogen oder „abgebildet“, daß jedem Punkte der einen Figur ein Punkt der anderen entspricht und umgekehrt. Das reicht aber zur Definition der Ähnlichkeit nicht aus, denn auch zwei durch Kreisverwandtschaft (Inversion) ineinander über-führbare Figuren sind aufeinander abgehildet, aber sie haben nicht das, was man als Ähnlichkeit bezeichnet. Einer Geraden kann ein Kreis invers sein und umgekehrt. Ähnlichkeit ist also genauer eine kollineare Abbilduog, d. h. den Punkten einer Geraden entsprechen in der ähnlichen Figur wiederum Punkte einer Geraden, und umgekehrt ist jedem Punkte der letzten Geraden ein Punkt der ersten zugeordnet. Durch das Beispiel der Affinität, das wir in der darstellenden Geometrie werden kennen lernen, ließe sich zeigen, daß auch die Forderung der Kollinearität nicht ausreicht, um den Begriff der Ähnlichkeit zu bestimmen: einem rechtwinkeligen Dreieck muß nicht notwendig ein rechtwinkeliges kollinear entsprechen. Die Ähnlichkeit schließt aber auch für die noch nicht mathematisch präzisierte Anschauung die Winkeltreue in sich¹), und so wollen wir von vornherein die Definition aufstellen: Ähnlichkeit ist die kollineare, winkeltreue Abbildung einer Ebene auf eine andere.

Fig. 96.

2.    Es ist nun vor allem zu beweisen, daß es Ähnlichkeit auf Grund dieser Definition überhaupt gibt. Wir versuchen die Zuordnung oder Abbildung in der Weise, daß die Yerbindungsgerade je zweier ent- o sprechender Punkte durch denselben festen Punkt 0 geht, der sich selbst entspricht. Dieser sei willkürlich angenommen, ebenso ein Punktepaar A, At auf einer durch 0 gehenden Geraden. Ist nun JB ein weiterer Punkt, der nicht auf der Geraden OA liegt, so muß also der zugeordnete Punkt Bi jedenfalls auf der Geraden OB liegen, jedoch so, daß A^B^A^O^BAO, also BiAl parallel BA ausfällt. Dadurch ist bestimmt, und so sind in der Tat die Winkel des Dreiecks

OAB den entsprechenden Winkeln des Dreiecks OAlB₁ kongruent. Soweit ist daher unsere Definition erfüllbar. Aber noch ist es fraglich, ob, wenn ein weiterer Punkt C herangezogen wird, der nicht auf den Geraden OA, AB, BO liegt, der zugeordnete Punkt auf der Geraden OC widerspruchsfrei bestimmt ist; denn einerseits muß B^C^BC, andererseits A^C^AC sein, immer wegen der Winkelgleichheit. Diese zwei Forderungen sind aber auf Grund des Satzes von Desargues wirklich erfüllbar, der in § 10 ausgesprochen worden ist und einstweilen hier vorausgesetzt werden soll. Es gibt also Ähnlichkeit im Sinne unserer Definition, und zwar, wie wir sehen, in dem erweiterten Sinne, daß nicht nur zwei Figuren, sondern überhaupt die ganze Ebene auf sich oder eine andere Ebene ähnlich ahgebildet werden kann; denn wie auch immer C in der Ebene des Dreiecks OAB liegen mag, immer ist C₁ eindeutig bestimmt, und das wäre nachträglich auch noch leicht für den bisher noch ausgeschlossenen Fall nachzuweisen, daß C auf einer der Geraden OA, AB, BO liegt.

3. Die Kongruenz ist in der Ähnlichkeit als besonderer Fall enthalten, indem sich die Kongruenz allgemein als winkeltreue Kollineation, d. h. Ähnlichkeit, definieren läßt, zu der noch Strecken-treue, d. h. Kongruenz der entsprechenden Strecken, kommt. Da aber kongruente Figuren nicht notwendig die im vorigen Artikel angegebene Lagebeziehung zueinander haben, so liegt dort ein besonderer Fall von Ähnlichkeit vor, nämlich Ähnlichkeit bei ähnlicher Lage. Der sich selbst entsprechende Punkt 0 heißt Ähnlichkeitspunkt der Abbildung, und zwar innerer oder äußerer, je nachdem er zwei und damit je zwei (Axiom II₄) entsprechende Punkte trennt oder nicht. Die Ähnlichkeit bei ähnlicher Lage ist demnach eindeutig bestimmt, wenn gegeben sind: I. entweder der Ähnlichkeitspunkt und außerdem ein Paar entsprechender Punkte, oder II. zwei Paar entsprechender Punkte. Wenn im Falle II. etwa A und Ä, B und B' einander entsprechen sollen und diese Punkte nicht alle in einer Geraden liegen, so ist der Ähnlich-lichkeitspunkt 0 bestimmt als Schnittpunkt der Geraden AA' und BB'. Natürlich muß A'B' parallel AB angenommen sein. Diese Bedingung kann aber noch erfüllt sein, indem A, B, Ä, B' auf derselben Geraden u liegen. Konstruiert man dann irgend ein Dreieck ABC und ein dazu ähnliches A'B'C', so sind auch C und C in der ursprünglichen Ähnlichkeitsbeziehung einander zugeordnet; daher schneiden sich die Geraden AA' und CC im Ähnlichkeitspunkt. Damit ist der Fall II. auf I. zurückgeführt. Aus der Definition der Ähnlichkeit folgt unmittelbar: Wenn zwei Figuren einer dritten ähnlich sind, so sind sie auch untereinander ähnlich. Sollen nun die

Figuren OABC ... und OÄB'C' .. . einander ähnlich sein, und ist O'AXBXCX ... zu O'A'B'C ... ähnlich und ähnlich gelegen .mit 0' als Ähnlichkeitspunkt), so muß auch 0'AxBxCx ... zu OABC . . . ähnlich sein; diese Beziehung geht aber in Kongruenz über, wenn 0'AX OA wird. Die zu OABC . . . kongruente Figur OAxBxCx .. . ist aber durch Angabe von 0' und Ax bestimmt bis auf eine Spiegelung an 0'A₁, d. h. es gibt zwei zu OABC . . . kongruente Figuren

OAxBxCx... und 0'AxBx*Cx*..

•>

die bezüglich 0'AX symmetrisch sind. Aus jeder dieser Figuren geht aber O'A'B'C’ . . . eindeutig hervor, wenn O’ und Ä gegeben sind und noch feststeht, auf welcher Seite von O'Al der Punkt B' liegen soll. Daraus folgt: Eine zu PQ . . . ähnliche Figur PQ'. . . ist durch Angabe zweier entsprechender Punktepaare P und P', Q und Q' bestimmt bis auf eine Spiegelung an PQ’, womit endlich bewiesen ist, 1) daß der durch unsere Definition geschaffene Begriff der Ähnlichkeit einen guten Sinn hat und sich mit der Euklidischen Geometrie wohl vereinbaren läßt; und 2) daß jede ähnliche Abbildung der Ebene auf sich selbst oder auf eine andere Ebene durch eine kongruente und eine ähnliche Abbildung bei ähnlicher Lage erzeugt werden kann. Daher kann die Ähnlichkeit im wesentlichen an diesem speziellen Falle studiert werden.

4. Sind zwei entsprechende Strecken ähnlicher Figuren kongruent, so sind alle entsprechende Strecken paarweise kongruent; ist eine Strecke das Dreifache der entsprechenden, so ist, wie man leicht beweisen kann, jede Strecke der einen Figur das Dreifache der entsprechenden Strecke der anderen. Überhaupt gilt der Satz: Ist eine Strecke einer Figur ein rationales Vielfache der entsprechenden Strecke einer ähnlichen Figur, so ist jede Strecke der ersten Figur demselben Vielfachen der entsprechenden Strecke der ähnlichen Figur kongruent; sind also a,b,c,... Strecken der einen, ol, b', c, . . . die entsprechenden Strecken der anderen Figur, so ist a ^ aa, b'^ ab, c ^ ac, . . ., wo a eine rationale positive Zahl bedeutet. Alles das kann ohne (direkte) Benutzung des Stetigkeitsaxioms bewiesen werden. Andererseits ist aber beweisbar, daß die Diagonale eines Quadrates kein rationales Vielfache der Seite sein kann; macht man nun diese Seite und Diagonale zu entsprechenden Strecken zweier ähnlicher Figuren, so kann unser Lehrsatz auf diese Figuren nicht angewandt werden, es sei denn, daß man mit Berufung auf das Stetigkeitsaxiom zeigte, daß auch für die Seite und Diagonale a und a eines Quadrates sowie überhaupt für je zwei Strecken a, a mit beliebiger Annäherung eine rationale Zahl a gefunden werden kann, welche die Bedingung a^aa erfüllt. Aus dieser nur angenähert erfüllten Kongruenz schließt aber die Ähnlichkeitslehre auf

16

Weber n. Wellstein: Enzyklopädie. 11. 3. Anfl.

Sätze, die ganz exakt gelten. Darin liegt etwas logisch Unbefriedigendes, das man erst in der letzten Zeit durch anderen Aufbau der Ähnlichkeitslehre aus der Elementargeometrie eliminiert hat. Wenn a^icoa, und a eine rationale Zahl, d h. der Quotient zweier ganzen Zahlen m, n ist, so ist a das m-fache der auf Grund der Kongruenzsätze leicht konstruierbaren Strecke a/n, die wir y nennen wollen, und a ist das n-fache von y. Diese Strecke ja, von welcher a und a ganze Vielfache sind, heißt das gemeinschaftliche Maß von a und a, die Strecken a und a heißen „kommensurabel“; existiert a nur angenähert, so gibt es auch kein exaktes gemeinschaftliches Maß ja, die Strecken a, a' sind dann „inkommensurabel“. Die Schwierigkeiten des Begriffes der Kommensurabilität oder des gemeinschaftlichen Maßes gilt es also von der Geometrie fern zu halten. Das kann nur geschehen, indem man entweder die Rechnung mit Strecken als rein geometrisches Konstruktions verfahren darstellt, so wie wir es in § 18 der projektiven Geometrie skizziert haben, oder aber, man sucht den Sachverhalt rein geometrisch zu erfassen, was immer möglich sein muß, da die Zahl, soweit sie die Geometrie in der Metrik braucht, sich als System von Relationssetzungen, also rein qualitativ auffassen läßt.

5. Die Metrik der Ähnlichkeitslehre beruht auf der Ähnlichkeit der „geraden Streckensysteme“; wir verstehen darunter folgendes: auf zwei Geraden u und u seien Strecken x, y, z, ... bezw. x, y, z, . . . in gleicher Anzahl (aber mindestens zwei) gegeben, die wir, wie es durch die Bezeichnung geschehen ist, einander zuordnen. Wir sagen nun, die Strekensysteme u(x, y, z, . . .) und u(x,y',z, . . .) seien einander „ähnlich“, in Zeichen

u(x, y, z, ...) ~ u\x, y, y, ...),

wenn u

und u als entsprechende Geraden ähnlicher Figuren gedacht werden können, in denen jene einander zugeordnete Strecken x und x, y und y, z und z, ... einander entsprechen. Hier liegt also eine Erweiterung der früheren Definition der Ähnlichkeit vor, die ja versagte, wenn die ähnlich zu nennenden Figuren aus Strecken zweier Geraden bestehen, da alsdann keine Winkel auftreten.

Ist S ein nicht auf u liegender Punkt (siehe Fig. 97), und sind A, B, C, D, . . . die Puukte, welche die Strecken x, y, . . . auf u begrenzen, Ä, B', C, JD', . . . die entsprechenden Punkte auf u, und macht man Dreieck S'A'B' ähnlich zu SAB, so müssen auch SAC und S'A'C', SBC und S'B'C', . . . einander ähnlich sein. Daraus folgt zweierlei: 1. Wenn etwa die Strecken auf u sämtlich gegeben sind, so kann auf u nur noch eine Strecke A'B' willkürlich angenommen werden; denn die Ähnlichkeit der Dreiecke SAB und

Fig. 97.

wenn

ist, so wird auch OQ zu SS₀, also zu u parallel. Zieht man noch zu QB₀, OCl zu QC₀, . . . parallel, und sind .. die Projektionen von Av Blf 6\, ... aus 0 auf u, so ist OA₁BlC₁A₁'B₁'C₁f... zu QA₀B₀C₀ÄB'C' .. . kongruent, also

S'A'B' bestimmt dann S', und durch S' und die geforderte Ähnlichkeit von SAC und S'A'C' ist C' festgelegt Punktepaar S, S' gibt, so daß die Gesammtfiguren (S, A, B, C, . . .) und (S’, A', B' C', . . .) einander ähnlich sind, so kann zu jedem Punkte S das entsprechende S' (auf zwei Weisen) gefunden werden, so daß diese Ähnlichkeit besteht; unsere Erweiterung des Ähnlich-keitsbegriffes ist also zulässig; die zwei Lagen von S' sind zueinander symmetrisch bezüglich u als Achse.

Von den Strecken x, y und x, y auf u und u ist also vermöge der Ähnlichkeit dieser Streckensysteme immer eine durch die drei anderen bestimmt, und nach Lage und Größe unabhängig vom Hilfspunkte S, also abhängig nur von der gegenseitigen Lage der drei sie bestimmenden Strecken auf u und u. Wenn zwei Figuren zu einer dritten ähnlich und ähnlich gelegen sind, so sind sie auch zu- / einander ähnlich und ähnlich ge-legen, wie der Satz von Desargues \ leicht ergibt. Sind also SABC . . . und S'AB'C . .. sowie SABC . . . und

u. s. w.

2. Wenn es ein

(s

is'

\\

\

~ur

Ci

/

S₀A₀B₀C₀ . . . ähnlich bei ähnlicher Lage, und ist A₀B₀ ... zu AB . .. überdies kongruent, so ist SAB C ... zu S₀A₀B₀C₀ . . . kongruent, weil SS₀, AA₀, BB₀, CC₀,., . parallel sind. Mithin ist die Größe der Strecken x, y, x, y vom gegenseitigen Abstande der Geraden u, u und vom Punkte 0 unabhängig. Aber noch mehr! Lassen wir % mit u zusammenfallen (Fig. 98), ohne daß A₀ mit A identisch werden müßte, so wird nach dem vorher aufgestellten Satze²) SS₀ zu u parallel, und Q der Ähnlichkeitspunkt von S'A'B'C' . . . und S₀A₀B₀C₀ .. .

OAt zu QAq, OBt Ai, B', C’, .

a;b;^äb’, b;c;^b'c, ....

Damit ist erstens die in § 5, Fig. 5 gegebene „Verschiebungskonstruktion" bewiesen, die wir so aussprechen können: Jedo Par-

allele zu der Grundlinie eines Paralleltrapezes trifft die zwei Seiten und die Diagonalen in den vier Endpunkten zweier gleicher Strecken (AB ^ A₀B₀ in Fig. 99); zweitens bemerken wir, daß auch die erweiterten Streckensysteme AAxBBxCCt . . . und Ä AXB'BXC'CX . .. einander ähnlich sind; wenn nun etwa AB 2^ x, CD ^ y, und AXBX wie oben zu AB kongruent, so ist auch AxBl' zu A'B', also zu y kongruent. Also wird von den vier Strecken x, y, x, y jede durch die drei anderen festgelegt nicht nur durch die Beziehung u(AB, CD) ~ u (A'B', C'D'), sondern auch durch u(AtBlf CD) ^ u (AXBX, C'D'), d. h.: Durch die Ähnlichkeit der Streckensysteme u(x,y) und u(x',y) wird zwischen den vier Strecken x, y, x, y eine Größenbeziehung festgelegt, die von der Wahl der Geraden w, u und von der

<?

TZ

a; b; c;

Ar\\Bj /Cr

A'

B'

rS

Fig. 99.

Fig. 98.

Schnitte bringt, so

zum

Lage der Strecken auf ihnen ganz unabhängig ist, die also einzig und allein bestimmt wird durch die Größe von irgend drei dieser Strecken. Diese alleinige Abhängigkeit der Größe der Strecken von der Größe dreier derselben wollen wir zum Ausdruck bringen, indem wir sagen: Das Streckenpaar x, y ist dem Streckenpaare x, y ähnlich, in Zeichen (x, y) ~ (x',y'), womit gleichbedeutend sein soll: (y, x) ~ (y, x). Das soll aber, um es nochmal hervorzuheben, nur heißen: Wenn man auf einer Geraden u die Strecken AB ^x, CD ^ y, und auf einer dazu parallelen Geraden u die Strecke A'B'^ x abträgt, den Schnittpunkt 0 der Strahlen AÄ und BB' aufsucht und OC, OD mit u in C'D' ist C'D'^y', und zwar unabhängig 1) von dem Abstande der Geraden w, u und 2) unabhängig von der gegenseitigen Lage der drei bestimmenden Strecken auf u und u. Allgemein können wir definieren: Ein — „freies“ — Streckensystem (x, y, z, . . .) heißt einem — „freien“ — Streckensysteme (x'} y, z, .. .) ähnlich,

wenn es im Sinne der früheren Definition zwei ähnliche „gebundene“ Streckensysteme u(x, y, z, . ..) und u(x', y, z,. . .) gibt; „gebunden“ sollen nunmehr unsere früheren Streckensysteme heißen, weil jedes einer Geraden angehören mußte und die gegenseitige Lage der Strecken auf dieser Geraden in Betracht kam.

6. Daß wir damit wirklich den Kern jener Sätze herausgeschält haben, die man sonst mit Hilfe von Proportionen oder metrischen Streckenverhältnissen auszusprechen pflegt, während wir einen qualitativen Ausdruck für diese Beziehungen suchten, ergibt sich jetzt einfach aus der Möglichkeit, die Ahnlichkeitssätze zu formulieren und die üblichen Konstruktionen auszuführen.

Die Ahnlichkeitssätze: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn eine der vier folgenden Annahmen erfüllt ist, und umgekehrt, wenn die Dreiecke ähnlich sind, gelten folgende vier Sätze:

I. Die Dreiecke stimmen in zwei Winkeln überein:

II. die Dreiecke stimmen in einem Winkel überein und die einschließenden Seiten des einen und die des anderen dieser zwei Winkel bilden zwei ähnliche Streckenpaare;

III. zwei Seiten des einen Dreiecks und zwei Seiten des anderen bilden ähnliche Streckenpaare, und die Winkel, die der größeren Strecke des einen Paares bezw. der größeren des anderen gegenüberliegen, sind einander gleich;

IY. die drei Seiten des einen Dreiecks und die des anderen bilden zwei ähnliche Streckentripel.

b/ \a

Zu I. Die Dreiecke stimmen, weil die Winkelsumme je zwei Rechte beträgt, auch im dritten Winkel überein, sind also ähnlich nach Definition und umgekehrt.

b'

a’

c'

B'

Fig. 100.

Zum Beweise der übrigen Sätze konstruieren wir zwei zu den ähnlichen Dreiecken kon- / gruente, die sich in ähn- x licher Lage befinden, und zwar soll eine Ecke C des einen Dreiecks ABC zugleich Ahnlichkeitspunkt sein, also mit der Ecke C des ähnlichen Dreiecks A'B'C' zusammenfallen (s. Fig. 100). Dann liegen Ä, B' auf CA, CB und AB’ ist parallel zu AB] auf AB tragen wir AX^AC, BY^lBC ab, und X', Y' seien die

Schnittpunkte von CX, CY mit A'B'. Dann sind die Dreiecke X'A'C und XAC ähnlich, ebenso Y'B'C und YBC; X'A'C und Y'B'C sind daher gleichschenklig, also AX' ^ A'C, B'Y' ^ B’G. Bezeichnen wir die den Ecken A, B, C gegenüberliegenden Seiten des Dreiecks ABC mit a, b, c, die des Dreiecks A'B'C' ebenso mit a, b', c, so ist BY^a, AX^b, AB ^ c und B'Y' ^ a, A'X'^b', A'B' ^c, also sind (a, b, c) und (a, b', c) ähnliche Streckentripel (Umkehrung von II, III und IV).

daß

Dann sind Dreieck

Zu II. Im Falle des direkten Satzes II. sei ACB^à A'C'B'. Wir tragen auf der Seite CA von C aus C'A' ab, der Endpunkt heiße wieder A, und nehmen auf CB den Punkt B* so an A'B* zu AB parallel ist, ferner machen wir AX auf AB kongruent AC, BY kongruent BC und bezeichnen den Schnittpunkt von A B* und CX mit X', von A B* und CY mit Y’.

X'A'C und XAC ähnlich (L), ebenso Y'B*C und YBC, also A'X'^ A'C ^b', B*Y'^B*C. Nun sind {a, b, c) und (.B*T, A'B*, A'X') ähnliche Streckentripel, oder, was hier nur interessiert, (a, b) und (B*Y’, A'X'), also (a, b)~(B*Y', b). Nach der Voraussetzung des direkten Satzes II. ist aber (a, b) ~ (a, b'), also ist B*Y'^a, und da B*Y'^B*C war, auch B*C^a'. Folglich ist der Punkt B* mit B' identisch, wo B'C^a, und es ist tatsächlich Dreieck A'B'C dem Dreieck ABC ähnlich, da AB*C zu ABC ähnlich bei ähnlicher Lage ist.

AB gezogene Parallele

zu

Zu III. Vorausgesetzt sei: c > b, c>b', <)C ACB ^ A'C'B' und (ib, c) ~ (b', c). Wir dürfen annehmen, beide Dreiecke hätten die Ecke C gemeinsam, A' läge auf AC, B' auf BC. Zu beweisen ist, daß A'B' zu AB parallel ist. Die durch Ä treffe CB in B*, dann ist zu zeigen, daß B* mit B' zusammenfällt. Macht man wie vorhin AX ^ AC ^by und ist X' der Schnittpunkt von A'B* mit CX, so ist X'A'^AC^b. Also ist: (XA, AB)~ (.X'ÄA'B*), oder (b, c) ~ (b', AB*), und da nach Voraussetzung (6, c) ~ (b', c), so folgt A'B* ^ c. Das Dreieck A'B*C stimmt dann mit A'B'C überein in zwei Seiten A'C rv A'C, ÄB* ^ ÄB' und dem der größeren gegenüberliegenden Winkel y, die Dreiecke sind also kongruent, und B* fällt daher mit B' zusammen. Da aber A'B*C zu ABC ähnlich und ähnlich gelegen ist, so ist der direkte Satz III. bewiesen.

Zu IV. Vorausgesetzt ist: (a, b, c) ~ (a', b', c). Aus a, b, c konstruieren wir ein Dreieck ABC, machen, wie vorher, AX ^ b, BY^a, CA ^b' und ziehen durch A die Parallele zu XE; sie treffe CX in X', CB in B‘, CE in E'. Wir müssen beweisen, daß CB' ^ a, AB' ^ ć ist. Aus dem Parallelismus von X'A und XA ergibt sich, daß Dreieck X'A'C wie XAC gleichschenkelig ist, daher

X'Ä ^ b'. Also ist wegen der Ähnlichkeit von (XA, AB) und (X’A', AB ) einerseits: (b, c) ~ (b'f A'B')] andererseits nach Voraussetzung (b, c) ~ (6', c'), also    c'. Ferner ist einerseits (AB, B Y)

~ (A'B', B'Y') oder (c, d) ~ (c, B'Y'), andererseits nach Voraussetzung (c, d) (c, a ), also B'Y'^a, und somit B'C^a', w. z. b. w. Aus dem Beweise ist zugleich zu ersehen, wie man in jedem der vier Fälle das Dreieck A B C' konstruiert.

7. Wie fremdartig auch diese ganze Darstellungsweise sich ausnehmen mag, es läßt sich exakt beweisen, daß sie den Inhalt der gewöhnlich in metrischer Form aufgestellten Lehrsätze voll und ganz wiedergibt. Wir wollen nur noch die wichtigen Lehrsätze von Pythagoras und von Apollonius in die Sprache unserer qualitativen Metrik übersetzen. Sei (Fig. 101) ABC ein bei C rechtwinkliges Dreieck, a, ß, a, b, c mögen die übliche Bedeutung haben und auf

,C

6.

er

Fig. 102.

Fig. 101.

AB sei AX^AC und AZ^AC. Dann sind ^ CXA und ^CZCB gleich a/2, also Dreieck XCB ähnlich zu CZB nach dem ersten Aehnlichkeitssatze. Also ist (XB, BC) ^ (CB, BZ), oder:

(c + b, a) ~ (a, c — b).

Wir fällen (Fig. 102) von C auf AB die Höhe h; ihr Fußpunkt F teilt AB in die Strecken AF und FB, die wir mit p und q bezeichnen. Dann ist Dreieck AFC^CFB, also

(h, p) ~ (q, h),

(p, b) ~ (b, c).

Diese drei Relationen geben den Lehrsatz des Pythagoras mit seinen Zusätzen wieder und würden in der antiken Bezeichnungsweise lauten:

(c -j- b) : a = a : (c — b), oder c² = d² -f- b²,

oder h² = pq, oder b² = pc.

Dabei ist nun wohl zu beachten: in (1), (2), (3) sind a, b, c, p, q, h lediglich Zeichen für Strecken, und die „Formeln“ (1), (2), (3) sagen von diesen Strecken Lagebeziehungen bei gewissen Kon-

(i)

(2)

und AFC ~ ACB, also

(3)

(!')

(2')

(3')

h : p = q : h, p : b = b : c,

struktionen aus. In (1'), (2'), (3') dagegen bezeichnen a, b, c, p, q, h nicht Strecken, sondern ihre Maßzahlen, und die Formeln (1'), (2'), (3') machen nur über diese Maßzahlen gewisse Aussagen.

Zum Zwecke einer anderen Anwendung der Ähnlichkeit von Streckensystemen konstruieren wir (Fig. 103) an einem Dreiecke ABC

>r'

a.

a.

die zwei Halbierungsgeraden der Winkel an der Ecke C, bezeichnen mit W und W' ihre Schnittpunkte mit der \    gegenüberliegenden Seite, und

\    tragen auf CA die Strecken

O    CY^CY'^ CB ab. Dann

*7    ist CW± BY, CW _L BY,

Fig. 103.

¹    also CW\\Y'B, CW'\\YB

und folglich sowohl ACW ~ A Y'B als auch ACW~AYB, oder: 1) {AW, AB) ~ {AC, A Y’) und 2) {AW, AB) ~ {AC, AY). Da nun aus {x, y) ~ {x, y ) immer auch (x, y, x + y, x — y) ~ (x, y, x + y, x — y) folgt, wie sich leicht auf Grund der Yerschiebungskonstruktion (Fig. 98) ergibt, so ist nach 1): {AW, AB—AW) ~ (AC, AY'—AC) oder {WA, WB) - (b. a)- nach 2): {AW, AW - AB) ~ AC, AC - AY) oder (W'A, W'B) ~ {b, a), oder zusammengefaßt:

(WA, WB) ~ {WA, WB) ~ (b, a), d. h.:

Die Halbierungslinien der Winkel an der Ecke C eines Dreiecks ABC treffen die gegenüberliegende Seite AB in zwei Punkten W, W, so daß

( WA, WB) ~ ( W'A, WB) ~ {CA, CB).

Da die Halbierungslinien CW, CW der bei C liegenden zwei Nebenwinkel aufeinander senkrecht stehen, so geht durch die Punkte C, W, W ein Kreis, der WW zum Durchmesser hat. Hält man außer AB auch die Punkte W, W fest, so kann C nur noch auf diesem Kreise variieren, und man hat den Satz:

Besteht zwischen vier Punkten A, B, W, W' einer Geraden die Beziehung {WA, WB) ~ {W'A, W'B), so ist der Kreis, der WW zum Durchmesser hat, der geometrische Ort für die Punkte C, die der Bedingung

{CA, CB) ^ {WA, WB)

genügen.

Das ist der sogenannte Apollonische Kreis.

8. Der Begriff der Ähnlichkeit von Streckensystemen würde zwar, wie behauptet worden ist, durchgängig ausreichen, um die

sonst metrisch eingekleideten Eigenschaften der ebenen Figuren rein begrifflich-qualitativ zu bestimmen, doch würde diese Darstellungsweise eine zu große Abweichung von der herkömmlichen bedingen und zur Anwendung der Rechnung auf praktische Beispiele nicht eben bequem sein. Es ist aber leicht, die von uns benutzte Symbolik zunächst rein formal, also äußerlich, der gewöhnlichen Verhältnisrechnung anzugleichen, ohne aber in Wirklichkeit unter den Zeichen a, b, c, ... etwas anderes zu verstehen als Strecken. Zu diesem Zwecke hat man, wie in Art. 7 beim Pythagoräischen Lehrsätze offenbar wurde, die Relation

nur durch x : y = x : y

wiederzugeben. Da die Ähnlichkeit eine wechselseitige Eigenschaft der Figuren ist, so werden wir, wenn (1) gilt, noch bestimmen dürfen:

x :y = x :y entsprechend (x, y) ~ (x, y).

(1)

(2)

(x, y) ~ (x, y)

Auf Grund des Artikels 5 folgt

aus

(1)

(3)

(y, x) ~ (y, x), also y : x = y : x,

und nach diesem Artikel ist ferner

(x, y, x + y, x - y) ~ (xf, y, x+ y, x- y), oder in der neuen Symbolik

x:(x±y) = x :(x ± y), (x ± y) : (x + y) = (x ± y) : (x T y), u. s. w.

Von dem leicht zu beweisenden Satze ausgehend, daß die Mittellote der drei Seiten eines Dreiecks durch einen Punkt gehen, erhält man, indem man durch die drei Ecken zu den gegenüberliegenden Seiten Parallelen zieht und auf das neu entstandene Dreieck achtet, den Satz: Die drei Höhen eines Dreiecks (d. h. die von den Ecken auf die gegenüberliegenden Seiten gefällten Lote) treffen sich in einem Punkte, dem „Höhen-punkte“ (Fig. 104). Dieser sei H, das Dreieck heiße ABC, die Fußpunkte der Höhen seien X, Y, Z. Dann ist:

(4)

Yj

x'

■x--L-

Z * B

Fig. 104.

A ZC ~ HZB, also (ZC, ZA) ~ (ZB, ZU) ;

BZC ~ HZA, also (ZC, ZB) ~ (ZA, ZH).

Nun kann man aber ZA^x, ZB^y willkürlich annehmen, ZHJ_AB und ZH^x machen, yon A und B auf HB und HA die Lote AY und BX fallen und ihren Schnittpunkt C bestimmen: H ist dann

Der Vollständigkeit halber verzeichnen wir noch:

(6) Wenn x : y = x : y, y : z = y : z, so ist auch x : z = x : z\

denn die Voraussetzung (x, y) ~ (x, y), (y, z) ~ (y, z) besagt (x, y, z) ~ (z, y', z) auf Grund des Art. 5 (Fig. 98).

9. Durch die Beziehung a :b = x : c ist x der Länge nach eindeutig bestimmt; wir wollen sie auffassen als eine „Umformung“ des „Bruches“ a : b oder a/b auf den „Nenner“ c. Da nun bei „gleichnamigen“ Brüchen a/c, b/c die Definition der Addition und Subtraktion nahe liegt:

a -f b

(7)

der Höhenpunkt des Dreiecks ABC, und es ist also, wenn wir CZ mit y bezeichnen, nach

(sox) ~ (so O;

(so y) ~ ix, x).

Daraus folgt die wichtige Formel für das Vertauschungsgesetz:

(5) Wenn (x, y) ~ {x, y), so ist auch (x, x) ~ (y, y), oder: Wenn x:y — xiy, so ist x:x'—y:y.

a):

h):

ü_i_ 1 = c c

so können wir jetzt allgemein Brüche addieren und subtrahieren. Nach (6) dürfen wir weiter die Multiplikation und Division definieren durch: (8)

Um z. B. zu bilden a/b • c/d, setzen wir a — x, b = y, c/d = y/z, wodurch die Strecke z eindeutig bestimmt ist; dann ist a/b • c/d = x/z, so daß also die Hilfsstrecke y sich ganz ausschaltet.

Für unsere Zwecke reichen diese Angaben aus. Daß man dieser Streckensymbolik vollständig die Verknüpfungsgesetze der Zahlen aufprägen kann, ist schon hier deutlich zu erkennen, es fehlt ja nur noch die Definition der Vergleichung durch den fast selbstverständlichen Ansatz a/c<Cbjc, wenn a<6, sowie die Beseitigung der Nenner durch Einführung einer „Einheitsstrecke“ e oder 1, die während derselben Untersuchung nicht wechseln darf und überall als selbstverständlicher Nenner nach Belieben bald gesetzt, bald fortgelassen wird. Aus a/b = c/d folgt so z. B.: ab c b a c b /öv a d

¹

Wenigstens für rechte Winkel.

²

Seine Gültigkeit in diesem Spezialfalle ergibt sich leicht mittels ues Satzes von Desargues.

Ï7 ⁼ I7’ 7"77^ 7'7 ⁼

oder auch ad = bc, wobei allerdings (die leicht zu beweisende) Verträglichkeit des kommutativen Gesetzes bei der „Multiplikation“ von Brüchen mit den übrigen Definitionen vorausgesetzt wird.

Auf den Beweis der Verknüpfungsgesetze wollen wir verzichten. Nur müssen wir noch auf den Satz von Desargues zurückkommen, der sich als das Fundament unseres konstruktiven Kalküls erwiesen hat. Derselbe ist nach § 10, 1. vermöge der Axiome I und II unter Berücksichtigung des Parallelen axioms leicht zu beweisen, freilich unter Zuhilfenahme des Raumes. Wer die Planimetrie grundsätzlich auf ihre eigene Kraft angewiesen sehen will, wird einen Beweis dieses Satzes mit Hilfe der Axiome der Ebene erwarten. Es scheint aber keinen Beweis dieser Art zu geben, der nicht irgendwie mit der Streckenrechnung verquickt wäre, so daß bei Beschränkung auf die Axiome der Ebene die Ahnlichkeitslehre auf andere Grundlage zu stellen ist. Dazu ist eine kompliziertere Streckenrechnung nötig, etwa die Hilbert-sche, ein Problem, an dessen Vereinfachung eifrig gearbeitet wird.¹) — Auch die Trigonometrie kann nach ihrer formalen Seite unabhängig vom Begriffe des gemeinsamen Maßes, d. h. unabhängig vom Archimedischen Axiome, ausgebildet werden, wie das die Mollerupsche²) Streckenrechnung mit Hilfe des „Projektionsparameters“ zeigt. Eigentlich nur in den Anwendungen der Geometrie auf spezielle Beispiele des praktischen Lebens oder der Naturwissenschaften liegt ein Interesse vor, nach Maßzahlen zu fragen; in diesen Fällen wird aber immer das angenäherte gemeinschaftliche Maß fi zweier Strecken, das auf Grund des Archimedischen Axioms existieren muß, ausreichen. Die Geometrie als reiner Denkbereich kann an dieser Stelle auf das Irrationale, was ja wörtlich „das des Verhältnisses (zur Einheit! Ermangelnde“ besagt, verzichten und damit begrifflich elementarer gestaltet werden als es bis jetzt der Fall war. Für die Anschauung ist allerdings oft das Irrationale natürlicher und klarer, und es soll durchaus nicht behauptet werden, daß etwa im Schulunterrichte die reine Begriffsgeometrie an Stelle der anschaulichen treten müßte. Im Gegenteil. Es wäre sehr bedauerlich, wenn man der rein abstrakten Geometrie in den Schulen Eingang verschaffen wollte; das wäre das beste Mittel, die unbefangene schöpferische Freude der anschauenden Phantasie, wie sie gerade der Jugend eignet, im Keime zu ersticken und gemütsarme Menschen zu erziehen. Höchstens wo in höheren Klassen an die Repetition der Elementargeometrie eine Einleitung in die Noetik geknüpft werden soll, wird der streng logische Aufbau der Geometrie am Platze sein; dann ist aber die rein begriffliche Arithmetik und Geometrie geradezu der Schlüssel für das Verständnis der Erkenntnislehre, besonders für die von Plato, Descartes, Leibniz, Kant.

§ 22. Flächenvergleichung.

1.    Das Dreieck, das Quadrat, das Rechteck und der Kreis sind die einfachsten Beispiele von Linien oder Linienzügen, welche die Ebene in zwei „getrennte Gebiete“ zerlegen, dergestalt, daß jeder Punkt der Ebene, der nicht auf der betreffenden Linie A liegt, immer einem und nur einem dieser Gebiete angehört und mit keinem Punkte des anderen Gebietes durch eine Strecke oder einen Streckenzug verbunden werden kann, ohne daß dieser mit der gegebenen Linie A einen Punkt gemeinsam hätte. Wohl aber können je zwei Punkte desselben Gebietes durch eine Strecke oder einen Streckenzug verbunden werden, der keinen Punkt jener Linie A enthält. Diese Tatsache ist eine einfache Folge der Axiome der Verknüpfung und des deraus abgeleiteten Satzes 1. in § 20. Eine Linie A von der angegebenen Art nennen wir eine „einfach geschlossene“³); die beiden Gebiete unterscheiden sich dadurch, daß dem einen, dem „äußeren“, immer unbegrenzt viele Geraden in ihrer ganzen Erstreckung angehören, ohne mit der abgrenzenden Linie A einen Punkt gemeinsam zu haben, während das andere, „innere“ Gebiet keine vollständige Gerade enthält. Das „innere“ Gebiet wird von A „eingeschlossen“; es bildet eine „begrenzte Fläche“, ein „Flächenstück“.

2.    Die Bedürfnisse des praktischen Lebens, wie Wertbestimmung eines Grundstücks, Bemalung oder Vergoldung einer Wand u. dergl. mehr haben dazu genötigt, einem begrenzten Flächenstück eine Größe beizulegen [die beim Acker durch die zu einer Bestellung nötige Zeit (Morgen) oder Zahl von Hilfskräften (Iugera, Joch (Ochsen)), bei Wandflächen etwa durch das Gewicht des verbrauchten Materials gemessen wurde], lange bevor diese Anschauung auf einen exakten Begriff gebracht war; erst der allerneusten Zeit, speziell den Untersuchungen von Schur und Hilbert ist es geglückt, die Idee der Flächengröße wenigstens so weit völlig zu erfassen, als in der Elementargeometrie notwendig ist.

Alle Größenbestimmung ist relativ, nämlich abhängig von dem Gesichtspunkte, unter dem man vergleichen will. Für die Messung der Flächengröße war die praktische Forderung maßgebend, daß zwei von kongruenten Figuren umschlossene Flächen als „flächengleich“' gelten sollen, während eine begrenzte Fläche A, die ganz einer begrenzten Fläche B angehört ohne B zu erschöpfen, „kleiner“ als A sein soll. Wenn B in einer dritten Fläche G enthalten ist, ohne damit identisch zu sein, so ist auch A in C enthalten, so daß also aus der Annahme A < B, B < C auch A < C folgt, wie es der allgemeine Größenbegriff verlangt. Man vergleiche nun die ganz ähnliche Sachlage, von der aus wir in der projektiven Geometrie zur Synthesis des Begriffes der Streckengröße gelangt sind: dort wie hier konnten wir A mit B nur vergleichen, wenn A in B enthalten war; und wie wir dort zwei Strecken, die keinen Punkt gemeinschaftlich haben, erst vergleichen konnten, nachdem wir ein Verfahren verabredet hatten, wodurch die Streckengleichheit dem Begriffe und der (reinen) Anschauung nach erzeugt werden sollte, so müssen wir auch, um den Flächen Größencharakter zu verleihen, erst ein Gesetz aufstellen, das Flächengleichheit setzt. Nach Hilbert („Grundlagen“, § 18) ist dazu der Hilfsbegriff der Zerlegungsgleichheit⁴) erforderlich. Zwei „Polygone“⁵), d. h. geradlinig begrenzte Flächenstücke, definieren wir als zerlegungsgleich, wenn sie in eine endliche Anzahl von Dreiecksflächen zerlegt werden können, so daß jedem Dreieck des einen Polygons ein ihm kongruentes Dreieck des anderen Polygons entspricht. Dann lautet die Definition der Flächen gleichheit, oder, wie wir jetzt mit Hilbert sagen wollen, der Inhaltsgleichheit: Zwei Polygone heißen inhaltsgleich, haben gleichen Inhalt, wenn es möglich ist, zu ihnen zerlegungsgleiche Polygone hinzuzufügen, so daß die beiden zusammengesetzten Polygone einander zerlegungsgleich sind. Die Schwierigkeit der Flächenvergleichung liegt in der Willkür, welche diese Definition läßt. Bei den projektiven Strecken war die gleichheitsetzende Konstruktion vollkommen bestimmt, während es im vorliegenden Falle ganz unmöglich ist, alle ausführbaren Zerlegungen zu übersehen. Es ist ohne weiteres nicht einmal sicher, ob die zwei Definitionen der Zerlegungsgleichheit und der Inhaltsgleichheit überhaupt einen vernünftigen Sinn- haben, denn es wäre denkbar, daß auf Grund dieser Definitionen allen Polygonen gleicher Inhalt zukäme. Dieses Bedenken wird sich nicht ohne umständliche Vorbereitungen beseitigen lassen, wenn wir, wie in der

Ähnlichkeitslehre, ohne direkte Benutzung des Stetigkeitsaxiomes kommen wollen, eine Forderung, die vom Standpunkte der idealen

Geometrie aus unbedingt erhoben werden muß, bald sie erfüllbar ist, weil anders durch dieBerufung auf die Stetigkeit die komplizierte Idee des Irrationalen ohne Not eingeführt würde.

3. Aus den Hilbert-^ sehen Definitionen folgt:

Satz 1. Sind zwei Polygone einem dritten zerlegungsgleich, j    so sind sie auch ein-

B    ander zerlegungs

gleich; sind Polygone einem dritten inhaltsgleich, so sind sie auch einander inhaltsgleich.

Sind nämlich die Polygone P'und P'mit P zer-G legungsgleich (Fig. 105), so zerfällt P einerseits in Dreiecke z//, z/₂', z/₃', . . ., z/?', die¹) in anderer Gruppierung das Polygon P' ausfüllen, andererseits in Dreiecke z//', z/₂", . . z/?", die in einer gewissen Gruppierung das Polygon P" bilden. Denken wir uns an P diese beiden Zerlegungen gleichzeitig ausgeführt, so wird das i. a. keine Zerlegung in Dreiecke mehr sein, kann aber durch Zufügung weiterer Strecken in eine

1) Yon kongruenten Dreiecken sagen wir, es seien dieselben Dreiecke.

aus-

.5

P'

so-

4 > z' 5

iM-—

11 \12

10

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17

-v\T7~

⁷ ,■

11 \12

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13

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15 \ 14

\l5\ Ü

22    y⁴

¹¹ \12

10

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23 \

28

29

27

25\ 26

30

i W

19%2t ! \    '

26

27

zwei

'18

18

13

\lS\ 14

16

Fig. 105.

22,

22,

19

23

23

20

24

29

29

30

21\

,24

25\ 26

28

solche verwandelt werden. Dadurch wird dann sowohl jedes Dreieck A' als auch jedes Dreieck A" des Netzes P in kleinere Dreiecke ô zerlegt. Diese Zerlegung führen wir auch an den entsprechenden Dreiecken A' und A" von P' und P" aus. Dann erscheinen P' und P" je als Aggregate der Dreiecke d, aus denen auch P sich zu-sammensetzt. Damit ist die erste Aussage des Satzes 1. bewiesen.

In der Figur 105, die noch für einen anderen Zweck bestimmt ist, sind die Seiten der Dreiecke A' kräftig ausgezogen, die der Dreiecke A” strichpunktiert, soweit sie nicht der Begrenzung von P' oder P" angehören; kongruente Dreiecke d tragen dieselbe Nummer in arabischen Ziffern.

Der zweite Teil des Satzes 1. setzt zwei Polygone p, p" voraus, die einem dritten Polygone p inhaltsgleich sind, d. h. wenn man zu p und p zugleich gewisse Dreiecke At'} A₂', A₃', . . ., Ah' fügt, so sind die so „erweiterten“ Polygone P' und Px zerlegungsgleich, also je durch dieselben Dreiecke D/, Z)₂', . . . ausfüllbar. Ebenso kann man zu p" und p gleichzeitig Dreiecke At", A₂", . . ., Ak fügen, so daß die erweiterten Polygone P" und P₂ zerlegungsgleich, d. h. durch dieselben Dreiecke P₁", D₂", . . . genau überdeckbar sind. Wir denken nun zu p zugleich die Dreiecke Ak, A₂, . . ., Ah' und Ak\

^4 ) •

. . desselben Netzes.

:u

.., Ak" gefügt, so wie dieselben in P' bezw. P" liegen. Es kann sein, daß keines der A' mit keinem der A" ein Flächenstück gemein hat, es kann aber auch das Gegenteil der Fall sein. Wenn nun gewisse Dreiecke A' und A" übereinander greifen, so fügen wir, wie in Fig. 105, Hilfsstrecken hinzu, so daß die aus p durch Superposition der Dreiecke A' und A" entstehende Figur IT ein Dreiecksnetz bildet. Dann läßt sich IT immer aus P' durch Hinzufügung gewisser Dreiecke d1? d₂, ... dieses Netzes ableiten, ebenso aus P" durch Hinzufügung gewisser Dreiecke dv, d Fügt man erstere Dreiecke zu P1; letztere zu P₂, so sind die erweiterten Figuren T^ und 7T₂ mit II und daher auch miteinander zerlegungsgleich; folglich haben p, p" gleichen Inhalt, w. z. b. w.

Fig. 10G.

Haben zwei Parallelogramme ABCD und ABEF (Fig. 106) die Grundlinie AB gemein, und liegen die Seiten CD und EF auf derselben Geraden, so ergibt sich aus dem ersten durch Hinzufügung des Drei- A ecks BDF, aus dem zweiten durch Hinzufügung des zu BDF kongruenten Dreiecks A CE jedesmal das Trapez AB CF. Folglich sind beide Parallelogramme inhaltsgleich. Eine leichte Erweiterung dieses Resultates gibt dann den

Satz 2. Parallelogramme von gleicher Grundlinie und Höhe sind einander inhaltsgleich.

Zieht man (Fig. 107) durch den Mittelpunkt E der Seite CB

eines Dreiecks ABC die Parallele zu AB, so muß diese nach Axiom H₄

die Seite CA in einem Punkte D treffen, und zwar in ihrer Mitte, da die Dreiecke CED und CBA ähnlich sind und CB = 2 • CE ist. Liegt F so auf DE, daß E der Mittelpunkt von DE' ist, so sind ~1 f die Dreiecke CDE und BEF¹ kongruent /    (I. Kongruenzsatz) und AB DF ist ein

Fig. 107.

Parallelogramm. Wenn man zu diesem das Dreieck E)EC, oder zu ABC das zu DEC kongruente Dreieck FEB fügt, erhält man jedesmal das Polygon CABFEC. Es folgt:

Satz 3. Jedes Dreieck ist einem gewissen Parallelogramm mit gleicher Grundlinie und halber Höhe zerlegungsgleich.

Daraus folgt:

Satz 4. Dreiecke mit gleicher Grundlinie und gleicher Höhe sind inhaltsgleich, denn sie sind Parallelogrammen mit gleicher Grundlinie und Höhe inhaltsgleich.

Satz 5. Auf Grund des Archimedischen Axioms sind Parallelogramme mit gleicher Grundlinie und Höhe zerlegungsgleich.

Sind nämlich (s. Fig. 105) P und P' die gegebenen Parallelogramme, also A₀At = CB und E, D, T, S auf derselben Geraden gelegen, so ziehe man A₁A₂\\BE, A₂A₂\\A₀Al, A^A^BE, A₉Ab\\A₀Al, . . ĄyA^^WAęA^ A2v+iA2v+2[BE, ...; auf A₀T entstehen so die kongruenten Strecken A₀A₂, A₂A₄, A±A₆, . . ., und nach dem Archimedischen Axiom muß sich eine Strecke A2nA2n + 2

darunter finden,

die Parallele-zu BE. so

2n + l

auf der T liegt. Sei zunächst w> 1, also etwa, wie in Figur 105,. gleich 2. Ziehen wir auch durch A trifft sie nun nicht mehr die Strecke A₀T, sondern die Strecke ST in einem Punkte, der R heißen möge. Ebenso konstruieren wir aus Parallelogramm P die Strecken CK, LM, NQ parallel zu H₀T; dann ist QM\\RN, und die Parallelogramme P, P' erweisen sich als zerlegungsgleich, wenn die stark ausgezogenen Dreiecke als Teildreieck genommen werden, denn es ist A₀At A₂^CBK, AlA₂A₃^CKL,.... — Es wäre denkbar, daß das Archimedische Axiom nur infolge der

besonderen Anlage unserer Figur herangezogen werden muß und eine andere Figur vielleicht ohne dasselbe auskommt. Daß dem aber nicht so ist, hat Hilbert in § 18 seiner Grundlagen streng bewiesen. Aus den Sätzen 3 und 5 folgt nun leicht:

Satz 6. Auf Grund des Archimedischen Axioms sind Dreiecke mit gleicher Grundlinie und gleicher Höhe zerlegungsgleich.

²'k&rsl —~ys7?. .

2 /4^.w\

3/ (tJ \ (*) /a

J)S°

Da wir das Archimedische Axiom zur Lehre von der Flächenvergleichung nicht benutzen wollen, so dürfen wir von den Sätzen 5 und 6 keinen weiteren Gebrauch machen. Yon den zahlreichen Folgerungen, die sich aus den Sätzen 1 bis 4 ableiten lassen, erwähnen wir nur die allerwichtigste, den Lehrsatz des Pythagoras:

ß/

AX.

XL

CL,

cc

\U

V\

Das Quadrat über der Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks ist der Summe der Quadrate über den Katheten inhaltsgleich.

.ÇC

ft

Zum Beweise konstruiert man (Fig. 108) außer dem Hypotenusenquadrate ABB₃A₃ und den Katheten quadraten A CB₂ A₂,

'<V

C3

Pig. 108.

BCCXBX noch die Gerade B₂CX und trägt an A₃B₃ das Dreieck A₃B₃C₃ ^ ABC so an, daß es außerhalb des Hypotenusenquadrates zu liegen kommt. Dreht man das Viereck A₂ABBX um die Ecke A, bis A₂ mit C zusammenfällt, so fällt B auf A₃, Bx auf C₃. Ebenso läßt sich das Viereck A₂ABBX durch Drehung um B mit C₃B₃BC zur Deckung bringen. Da A₂ABBX ferner kongruent zu A₂B₂CxBx ist, so ist das Sechseck A₂ABBXCXB₂ dem Sechseck CAA₃C₃B₃B kongruent; jedes dieser Sechsecke enthält aber zweimal das gegebene rechtwinkelige Dreieck A, denn es ist A ^ ABC ^ B₂CCx^ A₃B₃C₃. Nach Abzug von je 2 A gehen also aus beiden Sechsecken zwei inhaltsgleiche Figuren hervor, nämlich einerseits die Summe der Katheten quadrate, andererseits das Hypotenusenquadrat. ⁶)

17

P. Epstein¹) hat bemerkt, daß dieser Beweis leicht in einen Zerlegungsbeweis um geformt werden kann. Man hat nur die Geraden AA₃, BB₃ bis zum Schnitt mit der Geraden A₂CBl zu verlängern und die Endlagen U, V der Ecke C bei jenen beiden Drehungen des Vierecks A₂ABB₁ in Betracht zu ziehen, die, wie aus den in der Figur eingetragenen Winkelbeziehungen folgt, auf der Geraden CC₃ liegen. Die punktierten Teile der Figur sind jetzt natürlich wegzulassen. Zieht man noch UX\\A₂CBl:j]VY, so zerfällt das Hypotenusenquadrat in 8 paarweise kongruente Dreiecke, die in anderer Anordnung auch die Summe der Kathetenquadrate ausmachen.

aha = b\ = chc.

Das Produkt aus einer Seite und der zugehörigen Höhe eines Dreiecks A ist demnach unabhängig von der gewählten Seite, ebenso auch das halbe Produkt. Dieses heiße das Inhaltsmaß des Dreiecks A und werde mit J(A) bezeichnet: J(A) = Ąalia = %bhb = ch₀. Der Faktor Ä wird sich alsbald rechtfertigen. Wir werden nun den Polygonen dadurch Größencharakter verschaffen, daß wir ihnen, wie dem Dreieck, ein Inhaltsmaß beilegen. Der Nachweis des Größencharakters ist aber nötig, um die Zulässigkeit der Definition inhaltsgleicher Polygone zu beweisen, denn sonst wäre denkbar, daß alle

5. Wenn so auch die Hauptsätze der Flächenvergleichung sich beweisen lassen, zumal wenn wir uns auf das Archimedische Axiom berufen, so kann das doch nicht darüber hinwegtäuschen, daß durch die bloße Definition des Größer- und Kleinerseins, der Gleichheit und der Addition (durch Aneinanderlagern) noch keine Größe geschaffen wird; vielmehr gehört dazu auch noch die Definierbarkeit der „Multiplikation" sowie der Nachweis, daß die als Addition und Multiplikation bezeichneten Operationen denselben Verknüpfungsgesetzen gehorchen wie in der Arithmetik, und daß endlich ein und nur ein Analogon der Null und der Eins existiert. Bei der projektiven Streckenmessung haben wir diese Forderung streng durchgeführt. Im vorliegenden Falle würde der direkte Weg in zu große Schwierigkeiten führen. Hilbert hat in seinen Grundlagen (§ 20) ein viel einfacheres Verfahren angegeben, das allerdings auf den ersten Blick ein wenig befremdet: Sind a, b, c die Seiten eines Dreiecks A und ha, hb, hc die darauf senkrechten Höhen, so ist a : hb = b : ha, a : hc = c : ha, also:

4, 5 bei den alten Ägyptern, die dasselbe höchst wahrscheinlich zum Abstecken rechter Winkel benutzt haben. Vgl. M. Cantor, Über die älteste indische Mathematik (Archiv der Math. u. Phys. [3] 8, 63—72).

1) Zeitschr. f. math, u. naturw. Unterr. XXXVII (1906).

Polygone einander inhaltsgleich wären, oder daß ein Polygon mit einem seiner Teile gleichen Inhalt hätte. Wenn Euklid zur Umkehrung der Sätze 2 und 4 den allgemeinen Größensatz: xal tö öXov tov [isQovg gùÇov èôtL (das Ganze ist größer als der Teil) benutzt, so postuliert er damit eben, worauf Hilbert aufmerksam gemacht hat (1. c. § 19), die Größennatur des Flächeninhaltes.

6. Eine Strecke, die einen Eckpunkt S eines Dreiecks A mit einem Punkte der gegenüberliegenden Seite g verbindet, heißt eine Transversale des Dreiecks; sie bewirkt eine transversale Zerlegung des Dreiecks in zwei Teildreiecke Ax, A₂, welche jene Ecke als Spitze gemeinsam haben und deren Grundlinien g1} g₂ auf der Geraden g liegen. Beide Teildreiecke haben also die von jener Ecke ausgehende Höhe h gemeinschaftlich, und es ist:

J(A) = %hg — 1%!+^) = J(A) + J(A₂).

Durch wiederholte Anwendung dieser Formel ergibt sich der

Hilfssatz:'Wenn ein Dreieck A so in Teildreiecke zerlegt ist, daß alle Ecken der Teildreiecke auf zwei Seiten von A liegen, so ist das Inhaltsmaß von A gleich der Summe der Inhaltsmaße der Teildreiecke (s. Fig. 109).

Ist dagegen A in Teildreiecke a zerlegt, von denen die Eckpunkte Aly A₂, . . ., An dem Inneren, nicht den Seiten von A angehören

Fig. 109.

Fig. 110.

(während andere Eckpunkte auf den Seiten von A liegen), so verbinden wir die Spitze S von A mit Alf A₂, ..., An und bringen diese Geraden mit der Grundlinie von A zum Schnitt in Bx, B₂,..., Bn. Dadurch zerfällt A in n -f 1 Dreiecke d, d1} . .., ön, mit derselben Spitze und derselben Höhe; das Inhaltsmaß von A ist daher nach dem Hilfssatze gleich der Summe der Inhaltsmaße dieser Teildreiecke. Wir dürfen die Bezeichnung der Ecken At> A₂₎..., An so getroffen annehmen, daß in keinem der n -J- 1 Dreiecke d eine Ecke A liegt. Jedes d wird daher aus Dreiecken und Vierecken bestehen, deren Ecken auf den Seiten von d liegen (s. Fig. 110). Zerlegen wir die Vierecke durch je eine Diagonale in Dreiecke, so ist das Inhaltsmaß von d nach dem Hilfssatze gleich der Summe der Inhaltsmaße der Teildreiecke e von d; so erscheint also J(A) selbst als die

17*

Summe der Inhaltsmaße der Teildreiecke s sämtlicher ö. Aus den e bauen sich aber auch die Dreiecke a der ursprünglichen Zerlegung je nach Art der Figur 105 auf, denn die a zerfallen durch die Strahlen SJB1} SB₂, . . . des Punktes S, der in keinem u liegt, nach Art der Figur 105. Folglich ist die Summe der Inhaltsmaße aller a gleich der Summe der Inhaltsmaße aller £, und es gilt daher endlich der

Satz 7: Wenn ein Dreieck in eine endliche Anzahl von Teîl-dreiecken zerlegt ist, so ist das Inhaltsmaß aller Dreiecke gleich der Summe der Inhaltsmaße der Teildreiecke, J"(z/) = 2JJ(a).

Wird ein Polygon einmal in Dreiecke z^, . . ., z/p, ein andermal in Dreiecke z/x', . . ., z/ ' zerlegt, und führt man diese Zerlegungen gleichzeitig aus, so können die z/ und z/', wie in Fig. 105, je aus denselben Dreiecken d\, . .. ., dn aufgebaut werden, und es ist

ZJ(J) = 2JJ(d) = SJÇd').

Definiert man also das Inhaltsmaß eines Polygons P als Summe der Inhaltsmaße aller Dreiecke z/, in die dasselbe bei einer bestimmten Zerlegung zerfällt, so ist dieses Inhaltsmaß J{P) von der Art der Zerfällung unabhängig: J(P) = 2-J(A) = XJ(zl'), also durch das Polygon allein bestimmt. Für ein aus den Teilen X, Y zusammengesetztes Polygon X -f Y ist daher J(X + Y) = J(X) + J(Y). — Mit Rücksicht auf Satz 7 folgt nun:

Satz 8:-Zerlegungsgleiche Polygone haben gleiches Inhaltsmaß.

Sind ferner P und Q inhaltsgleiche Polygone, so gibt es nach der Definition der Inhaltsgleichheit zwei zerlegungsgleiche Polygone P' und O', so daß das aus P und P' zusammengesetzte Polygon (P+P') dem aus Q und Q' zusammengesetzten Polygon (Q -f Q') zerlegungsgleich ist. Nach Satz 7 ist daher:

J(P') = J(Q'), J(P+P') = P( <?+$'),

und mit Rücksicht auf J(X + Y) = J(X) + J(Y) folgt:

J(P) = P(P'), d. h.

Satz 9. Inhaltsgleiche Polygone haben gleiches Inhaltsmaß.

7. Jetzt lassen sich die Sätze 2 und 4 umkehren:

Satz 10. Inhaltsgleiche Parallelogramme mit gleichen Grundlinien haben gleiche Höhen.

Satz 11. Inhaltsgleiche Dreiecke mit gleichen Grundlinien haben gleiche Höhen.

Denn bezeichnet g die Größe der Grundlinien, h, h' die der Höhen, so ist im Falle des Satzes 10: gh = gh', im Falle des Satzes 11: \gln = \gE, also jedesmal h = h'.

P_

Zieht man (Fig. 111) durch eine Ecke B eines Polygons ABODE... die Parallele p zur Verbindungsgeraden AC der nicht benachbarten Ecken A, C, so ist das gegebene Polygon allen Polygonen ABODE. . . inhaltsgleich, deren Ecke B auf p liegt (Satz 4). Liegt nun B' zugleich noch auf der Polygonseite DC oder ihrer Verlängerung, so hat das Polygon AB'ODE . . . oder AB'DE ...    /

eine Ecke (C) weniger als das ursprüng-liehe. Durch Wiederholung dieses Ver- /P fahrens erhält man schließlich ein Drei- / eck A, das dem Polygone inhaltsgleich / ist und daher mit ihm gleiches Inhaltsmaß hat (Satz 9.).

Ei

Fig. 111.

Zwei Polygonen P, P' mit gleichem Inhaltsmaß J entsprechen dann zwei Dreiecke A und A' mit demselben Inhaltsmaße J. Die Ecken dieser Dreiecke seien A, B, C und A', B', C'. Mit einem Radius g, der größer als die größere der Seiten AC, A'O' ist, schlagen wir um A und Ä als Mittelpunkt je einen Kreis. Jeder dieser Kreise trifft dann ganz sicher die durch die Spitze C bezw. C zur Grundlinie gezogene Parallele p bezw. p ; sind dann Z und Z' je einer dieser Schnittpunkte auf p bezw. p, so haben auch die Dreiecke AZB und A'Z'B' je das Inhaltmaß P; da sie aber überdies in der Größe g der Seiten AZ, A'Z' übereinstimmen, so ist, wenn h, lÏ die zugehörigen Höhen sind, \gh = \gh’, also k = h', d. h. die Dreiecke AZB und A’Z'B' sind inhaltsgleich (Satz 4.), folglich auch A und A’ (Satz 1.) und damit P und P' (Satz 1.). Es folgt die Umkehrung des Satzes 9:

Satz 12. Polygone mit gleichem Inhaltsmaß sind inhaltsgleich.

Die Produkte gh, \gli sind immer in der Symbolik des § 21 gemeint, die mit Strecken selbst, nicht mit ihren Maßzahlen operiert. Damit ist dann der wichtige Satz 9. mit seiner Umkehrung 12. bewiesen, aus dem die Identität der Inhaltsgleichheit mit der Gleichheit des Inhaltsmaßes hervorgeht; dadurch ist der Größencharakter der Polygonfläche unmittelbar gesichert. Das von Hilbert eingeführte Wort Inhaltsmaß ist natürlich nicht als Maß im metrischen Sinne, als Maßzahl, zu verstehen, sondern als Produkt im Sinne der Streckenrechnung des § 21; \gb, ist also gleichbedeutendtim • g je • h/e, wo e die Einheitsstrecke. Der Faktor ist dem Inhaltsmaße des Dreiecks offenbar gegeben, damit das Quadrat mit der Seitenlange e das Inhaltsmaß e² erhält. Die symbolischen Formeln der geometrischen Strecken Verknüpfung stimmen dann mit den wirklichen Zahlenformeln der auf Maßzahlen gegründeten Streckenrechnung vollkommen überein. Wenn in einem Dreieck die Längen in irgend einem Verhältnis vergrößert werden, so wird der Flächeninhalt im quadratischen Verhältnis vergrößert. Durch Zerlegung der Polygone in Dreiecke folgt hieraus:

Satz 13. Bei ähnlichen Polygonen stehen die Inhaltsmaße in dem Verhältnis der Quadrate entsprechender Längen.

§ 25. Regelmäßige Vielecke und der Kreis.

1. Von den vielen Anwendungen, die sich auf die Begriffe der Ähnlichkeit und der Flächengröße stützen lassen, wollen wir nur die allerwichtigsten mitteilen, die sich auf die Kreisteilung und Kreismessung beziehen.

Ein Vieleck oder Polygon heißt regelmäßig (regulär), wenn

Fig. 112.

seine Seiten einander gleich sind und auch gleiche Winkel einschließen; gemeint sind damit immer die Winkel zweier aufeinander folgender Seiten: <£ ABC = <£ BCD = <£ CDE =... (siehe Fig. 112). Ist 0 der Schnittpunkt der Halbierungsgeraden der Winkel bei A und B, so ist wegen der Gleichheit dieser Winkel auch <£ OAB = <£ OBA, also OA= OB. Die Dreiecke COB und BOA stimmen dann überein in den Seiten OB und BC — BA und dem eingeschlossenen Winkel, sind also kongruent. Daher ist OG— OB und *^OCB = *$iOBC. Jetzt ergibt sich ebenso die Kongruenz der Dreiecke BOG und GOB, u. s. w., woraus folgt, daß 0 von den Ecken des Polygons gleichen Abstand hat. Aus der Kongruenz der Dreiecke A OB, BOC, ... folgt auch die Gleichheit ihrer von 0 auf die Seiten AB, BG, ... gefällten Höhen; diese Tatsachen können wir so aussprechen:

Satz 1. Jedes regelmäßige Vieleck hat einen „Umkreis“ (auf dem seine Ecken liegen) und einen „Inkreis“ (den

seine Seiten berühren) mit gemeinschaftlichem Mittelpunkte 0;

dieser heißt auch Mittelpunkt des Vielecks. Die Verbindungsstrecken des Mittelpunktes mit den n Eckpunkten eines regelmäßigen n-Ecks teilen dasselbe in n kongruente gleichschenklige Dreiecke; aus irgend einem von ihnen läßt sich das ganze Polygon zurückgewinnen, man spricht daher von einem „Bestimmungsdreieck“. Der Winkel an der Spitze 0 eines Bestimmungsdreiecks des regelmäßigen w-Ecks beträgt den wten Teil von vier Rechten, also 4R/n, wenn R den rechten Winkel bezeichnet; als Spitze soll dabei immer der Mittelpunkt des Vielecks gelten. Durch Hälftung der Winkel bei 0 entsteht aus dem regelmäßigen w-Eck das regelmäßige 2w-Eck, aus diesem das 4w-Eck u. s. w. Seit alters her kennt man folgende vier Reihen regelmäßiger Vielecke, die aus dem regelmäßigen 3-Eck, 4-Eck, 5-Eck und 15-Eck durch das Verfahren der Winkelhälftung hervorgehen:

Dreiecksreihe. Aus dem regelmäßigen Dreieck entspringt durch Winkelhälftung zunächst das regelmäßige Sechseck, dessen Bestimmungsdreieck an der Spitze den Winkel 4J?/6 = 2R/3 hat. Da 2jR/3 -f 2R/3 -f 2R/3 = 2R, so ist 2R/3 der Winkel des gleichseitigen Dreiecks. Die Seite des regelmäßigen Sechsecks ist also gleich dem Radius, und dieses Vieleck kann daher leicht konstruiert werden. Es war schon den alten Assyrern bekannt. Die erste, dritte und fünfte Ecke dieses Sechsecks bestimmen das regelmäßige Dreieck.

Quadratreihe. Der Spitzenwinkel des Bestimmungsdreiecks ist ein Rechter. Auf diese Reihe brauchen wir daher nicht näher einzugehen. Das regelmäßige Viereck (Quadrat) und Achteck begegnen uns sehr häufig im Ornament und als Formen von Gebrauchsgegenständen bei den alten Agytern.

2. Fünfecksreihe. Wie bei der Dreiecksreihe geht man zur Konstruktion dieser Reihe nicht vom ersten, sondern vom zweiten Vieleck aus, was auch bei der algebraischen Behandlung der Kreisteilung (Band I, 3. Aufl., § 106) auffällt. Das Bestimmungsdreieck A OB eines regelmäßigen 10-Ecks (siehe Fig. 113) hat an der Spitze 0 den Winkel o = 4jR/10 = 2JR/5. Die Winkel bei A und B machen also zusammen 2R — 2R/5 = 8JR/5, einzeln 4R/b = 2co aus. Die Halbierende des Winkels BAO trifft daher die Seite OB in einem Punkte C, so daß Dreieck BAG wie Dreieck AOB die Winkel », 2to, 2co haben, und mit dem Dreieck BAC ist überdies auch noch das Dreieck A CO gleichschenkelig. Daher ist OG = CA = AB = s₁₀, wenn sn allgemein die Seite des regelmäßigen w-Ecks bezeichnet. Der Radius des Umkreises heiße immer r. Aus der Ähnlichkeit von

woraus

BAC und AOB ergibt sieh die Ähnlichkeit der Strecken Systeme (BC, AB) und (AB, OA) oder:

(r 510> sio) ~ (⁵10> r)

(1)

oder in der gewöhnlichen Schreibung

(2)

r : sio = Oio +r):r, r² = s₁₀ (s₁₀ + r)

folgt. Die zwei ähnlichen Streckenpaare erinnern sofort an den Beweis des Pythagoreischen Lehrsatzes in § 21 und legen es nahe, die dort benutzte Figur zur Konstruktion von s₁₀ zu verwenden.⁷) Durch Anpassung dieser Figur an die Daten des vorliegenden Falles erhält man folgende Konstruktion von s₁₀ aus r (siehe Fig. 113): Auf OU = r errichtet man das Lot 0F=r/2 und schlägt um V den Kreis mit dem Radius VO. Dieser trifft die Strecke UV in einem Punkt X [ihre Verlängerung in P], Dann ist UX die gesuchte Seite des regelmäßigen Zehnecks. In der Tat sind die Dreiecke UXO und UOY wegen Übereinstimmung in den Winkeln ähnlich, und es ist daher: (UO, UX) ~ {UY, UO) oder (r, s₁₀) ~ (r -f s₁₀, r). Die Verknüpfung dieser Konstruktion mit der des regelmäßigen Zehnecks zeigt Figur 113.

Zu dieser Figur ist noch zu bemerken, daß C den Radius OB in zwei ungleiche Teile von folgender Eigenschaft zerlegt: Das aus dem kleineren und dem größeren Teil bestehende Streckenpaar ist ähnlich dem Streckenpaar, das sich aus dem größeren Teil und der ganzen Strecke OB zusammensetzt, oder nach (1) in Formeln:

(r 5107 Slo) ~ (⁵107 r)>    (r 5io) • ⁵10 ~ ⁵10 • r-

Weil sich beim Lesen der letzten Formel das rechts stehende s₁₀ an das links stehende sofort (stetig) anschließt, spricht man von einer stetigen Proportion, deren allgemeine Form also x : y = y : z wäre; unter einer Proportion versteht man, wie in der Arithmetik, die Gleichheit zweier Brüche oder „Verhältnisse“, ein Begriff, der seine frühere Wichtigkeit eingebüßt hat, da die neuere Elementargeometrie ohne die Maßverhältnisse von Strecken auskommt. Man sagt auch, der Punkt C teile die Strecke OB stetig oder nach dem goldenen Schnitt (Sectio aurea). Golden hieß dieser Schnitt (= Streckenteilung) wegen seiner großen Bedeutung in der Geometrie und der Ästhetik: Man behauptet nämlich, eine Ellipse oder ein Rechteck mache den gefälligsten Eindruck, wenn die kleine und große Achse bezw. die kleine und die große Seite so gewählt wird, daß sie, auf einer Geraden aneinander gelegt, eine stetig geteilte Strecke ergeben.

Auch sonst sollen wohlgefällige Abmessungen mit der stetigen Teilung Zusammenhängen. (Vgl. Bd. I, 3. Auf!., p. 105.) — Wir wollen das Zahlenverhältnis der Teile OG und CB in Figur 113 ausrechnen. Aus s*₀ = r(r - s₁₀) folgt:

*    5,0 - - 1/2 • r + }V/4 + r* = 1/2 • r(Vö - l) ;

fr-o : ⁵io - (3 -VS) : (V6 - 1) = (V§-1) : 2.

Demnach ist angenähert

(r — sl0): s₁₀ = 0,618 = 3/5.

/X

ff?

K'

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WS

'tu

\.

2 tu

<2a>

ito,

«U N

2(0 2(0

ä,

\s&*\W/s<

Fig. 113.

Durch Vergleichung der Winkel läßt Figur 113 zahlreiche schöne Eigenschaften des regelmäßigen Zehnecks erkennen, so z. B., daß AC durch eine Ecke U des Zehnecks gehen muß und daß die beim goldenen Schnitte von r neben UX=s₁₀ auftretende Strecke UY=r-\-s10 gleich TJA, also gleich der Seite des regelmäßigen Sternzehnecks ist. Dreiecke mit den Winkeln eo, 2co, 2co und co, co, 3 co zeigt die Figur

in fast unerschöpflicher Zahl. Dasselbe gilt vom regelmäßigen Fünfecke, dessen Bestimmungsdreiecke an der Spitze den Winkel 2 a haben.

3.    Fünfzehneckreihe. Der Spitzenwinkel eines Bestimmungsdreiecks des regelmäßigen Fünfzehnecks beträgt 1/15 von vier Rechten, oder, da 1/15 = 1/6 — 1/10 ist, 2B/3 — 2R/5. Das ist die Differenz der Spitzenwinkel, die dem regelmäßigen Sechseck und Zehneck entsprechen, woraus die Konstruktion unmittelbar zu entnehmen ist. Durch Winkelhälftung entspringen daraus das regelmäßige 30-Eck, 60-Eck u. s. w.

Es mußte den Scharfsinn der Mathematiker reizen, außer den Polygonen dieser vier Reihen auch noch andere, besonders zunächst das regelmäßige Siebeneck (mit Zirkel und Lineal) zu konstruieren; dabei lag es nahe, außer der Winkelhälftung auch die Dreiteilung als Hilfsmittel heranzuziehen. Erst seit der Begründung der modernen Algebra durch Gauß und Abel kann streng bewiesen werden, daß die Dreiteilung des Winkels und die Konstruktion der regelmäßigen Vielecke nur in gewissen ausgezeichneten Fällen mit Zirkel und Lineal exakt ausführbar ist. Speziell das 7-Eck und 11-Eck sind nicht konstruierbar, wohl aber, wie Gauß entdeckte, das regelmäßige 17-Eck; vergl. die Abschnitte 18. und 19. des ersten Bandes.

4.    Wie die theoretische Geometrie keines festen Streckenmaßstabes bedarf, so braucht sie auch kein festes Winkelmaß, zumal da, wie die Trigonometrie oder die in § 21 zitierte Untersuchung von Mollerup zeigt, die Winkelmessung aus der Geometrie ganz eliminiert werden kann. Unsere von den Griechen übernommene Einteilung des Voll winkeis in 360, des rechten Winkels in 90 Grad ist babylonischer Herkunft; noch kurz vor Euklid war sie dem astronomischen Schriftsteller Autolykos unbekannt und ist anscheinend von dem Alexandriner Hypsikles (zwischen 200 und 100) zuerst eingeführt worden. Die Einteilung des Vollwinkels oder des Kreisumfanges in 360 = 6-60 Teile oder Grade, von denen jeder in 60 gleiche Unterabteilungen (Minuten) zu je 60 Sekunden zerfällt, ist jedenfalls künstlichen, und zwar, wie M. Cantor wahrscheinlich macht, astronomischen Ursprungs; es liegt nahe, an eine rohe Zählung der Tage des Sonnenjahres zu denken. Mit der 60-Teilung des Sextanten wird dann wohl auch das Sexagesimalsystem der Babylonier irgendwie Zusammenhängen; diese stellen nämlich die ganzen Zahlen in der Form a -f 0^60 + a₂60² + • • • dar, wo a, ax, a₂, • • • ganze Zahlen und zwar kleiner als 60 sind. Wie zur ganzen dezimal geschriebenen Zahl z = b -j- bx 10 + 10² -\ (b, bx, b₂, • • • < 10) systematisch der Dezimalbruch gehört, so entspricht dem 60er-System folgerichtig die Bruchdarstellung £ = • • • -f c₈60³ -f- c₂60² + cx60 -j- c -f- ^ßO⁻¹ + y₂60~² + • • • nach fallenden Potenzen, von 60. Diese Darstellung der Zahlen ist schwerlich aus irgend einem Zählverfahren⁸) hervorgegangen, denn dann müßten doch auch die babylonischen Zahlwörter sexagesimal gebildet sein. Diese sind aber, wie bei allen Völkern der kaukasischen Rasse, dezimal, und man findet überdies sexagésimale Zahlschreibung mit dezimaler wechselnd; auch die Ägypter, die sich noch vor den Babyloniern von der semitischen Urgemeinschaft losgelöst haben und den Babyloniern in den ältesten Sprachformen sehr nahe stehen, besitzen dezimale Zahlwörter.

Die Konstruktion des Winkelgrades ist mit Zirkel und Lineal nicht exakt ausführbar, läßt sich aber von der Dreiteilung eines einzigen Winkels abhängig machen: Der Winkel an der Spitze des Bestimmungsdreiecks eines regelmäßigen Zehnecks beträgt 36°, der entsprechende Winkel des regelmäßigen Zwölfecks 30°, die Differenz ist 6°, die Hälftung gibt 3° und die Dreiteilung 1°.

5. Wir kommen nun zu einem der schwierigsten und berühmtesten Probleme der Elementargeometrie, zur Rektifikation und Quadratur des Kreises. — Ein Vieleck, dessen Ecken auf einem Kreise liegen, heißt dem Kreise eingeschrieben; ein Vieleck, dessen Seiten den Kreis berühren, heißt ihm um ge schrieb en. Von diesen Vielecken gilt aber

U/

Satz 2. Jedes einem Kreis umgeschriebene Vieleck hat größeren Umfang als jedes ihm eingeschriebene Vieleck.

Zum Beweise dieses wichtigen Satzes verbinden wir den Mittelpunkt 0 des Kreises mit allen 0 Ecken A, B, ... des eingeschriebenen w-Ecks © und fällen aus 0 auf alle Seiten desselben die Lote.

Fig. 114.

Durch diese 2n Geraden zerfällt die Ebene in 2n Gebiete, von denen jedes auch ein Stück des Umfanges des umgeschriebenen Vielecks U enthalten wird. Dieses Stück ist ein Streckenzug, der in einem Punkte U des einen Grenz-

Strahles des Gebietes beginnt und in einem Punkte V des anderen Grenzstrahles endigt (siehe Fig. 114). Die Strecke UV ist dann kleiner als dieser Streckenzug oder höchstens von gleicher Länge; OV sei der auf einer Seite AB des eingeschriebenen Vielecks © senkrechte Strahl; fällt man noch UW_L OV, so ist UV als Hypotenuse des rechtwinkeligen Dreiecks UWV größer als UW, oder, wenn U, V, W in eine Gerade fallen, gleich UW, sicher ist also der zwischen den Strahlen OA, OF liegende Teil t des Umfanges von U größer als UW oder gleich UW. Nun liegt aber U als Punkt von U nicht innerhalb des Kreises, also ist OU^> OA und UW £> AF, t > AF’, die Gleichheit von t und AF ist ausgeschlossen, da sie nur eintreten könnte, wenn t mit UW und dieses mit AF zusammenfiele, was unmöglich ist, weil F im Kreise liegt. Nunmehr ist auch die Summe der 2n Teile t größer als die Summe der zugehörigen AF, d. h. der Umfang von U größer als der von (£.

6. Satz 3. Die Differenz der Umfänge je eines eingeschriebenen und eines umgeschriebenen Vielecks ist nach Satz 2. eine positive Größe. Diese Differenzen können (durch geeignete Wahl der Vielecke) unter jede noch so kleine Strecke s hinabgedrückt werden,

man noch (siehe

Mittelpunkte 0 auf - die Seiten Sn und sn beider Vielecke die Lote r und Qn, so ist (Un, r) ~ (un, Qn) oder Un: r = un: Qn, also Un = rujQu. Daher ist

Fig. 115)

d. h. sie haben Null zur unteren Grenze. Es genügt zu zeigen, daß der Unterschied Un — un der Umfänge Un und un des umgeschriebenen und des eingeschriebenen regelmäßigen w-Ecks mit wachsendem n unter jede Grenze s sinkt. Der Beweis kann so geführt werden: Zieht man zu den Seiten des eingeschriebenen regelmäßigen w-Ecks parallele Tangenten an den Kreis x, dem das w-Eck eingeschrieben ist, so ist das entstehende umgeschriebene regelmäßige w-Eck zu dem eingeschriebenen ähnlich und ähnlich gelegen. Fällt vom

Un-un = un(r-Qn)/çn.

Wir vergrößern nun sicher die rechte Seite, wenn wir rechts

1.    statt un den Umfang 8r des um geschriebenen regelmäßigen Vierecks einsetzen, den ja kein un erreichen kann, und

2.    für Qn im Nenner den kleinsten Wert r/2 nehmen, der überhaupt (im Falle n = 3) vorkommt. Also ist ün — un <8r(r—Q„)/(r/2) oder

Un-un< 16(r -Qn).

Die Differenz Un — un wird kleiner als £ ausfallen, wenn wir

16(r — Qn) = s, also Qn = r — f/16 wählen. Zu dem Zwecke hat man nur eine Sehne zu konstruieren, deren Abstand vom Mittelpunkte 0 gleich r — f/16 ist, und diese auf dem Kreise herum abzutragen. Geht das m-mal, aber nicht m + 1-mal, und nimmt man n > m, so ist Un — un < s, wie verlangt war.

Wenn man auf einer durch einen Punkt 0 einseitig begrenzten („Halb“)-Geraden g die Umfänge der einem Kreise x eingeschriebenen und umgeschriebenen Vielecke von 0 aus abträgt, und es sind Elf L\, Eä, ... Endpunkte der Umfänge der ersteren Art, Ut, U₂, Us,... Endpunkte der Umfänge der zweiten Art, so ist jede Strecke OE kleiner als jede Strecke OU, und die Differenz OU — OE kann unter jede noch so kleine (positive) Strecke s sinken. Nach Bd. I, § 25 gibt es also einen Punkt K, der zugleich obere Grenze aller Punkte E und untere Grenze aller Punkte U ist. Will man nun dem Kreise einen Umfang zuschreiben, der durch eine gerade Strecke meßbar ist, so kann dies nur die Strecke OK sein, der sich die eingeschriebenen und umgeschriebenen Vielecke mit wachsender Seitenzahl unbegrenzt annähern. Es folgt:

Satz 4. Der Umfang eines Kreises ist größer als der Umfang jedes ihm eingeschriebenen und kleiner als der Umfang jedes ihm umgeschriebenen Vielecks.

7. Jedem eingeschriebenen oder umgeschriebenen Vieleck des bis jetzt betrachteten Kreises x ordnen wir nun ein ä h n 1 i c h e s Vieleck eines anderen Kreises x zu und tragen die Umfänge der zu x gehörigen Vielecke auf einem Halbstrahl g ab, der von einem Punkte 0' begrenzt sei. Dann wird jedem Punkte E oder U von g ein Punkt E' oder U' von g eindeutig zugeordnet, und wegen der Ähnlichkeit verhalten sich entsprechende Strecken von g und g wie die Radien r und r von x und x. Insbesondere entspricht der Strecke OK von g eine Strecke O K von g, die den Umfang von x' mißt, und es ist OK : O'K' = r : r.

Dann ist A'C'B' — ACB, und da AGB als

Dazu stimmt nun sehr schön, daß man die Kreise selbst als ähnliche Linien auffassen muß. Die Verbindungsgerade c der Mittelpunkte 0, 0' der Kreise x, x treffe x in A, B, und x in A', B'; ist nun C ein dritter Punkt von x, so ziehe man durch Ä die Parallele zu AC, durch B' die Parallele zu BC\ der Schnittpunkt der Parallelen sei C'.

Winkel im Halbkreis ein Rechter ist, so ist auch A'C'B' ein Rechter, also C' auf dem Kreise x gelegen. Jedem Punkte C von x entspricht so ein bestimmter Punkt C von x, und immer ist A'C'jjAC, B'C'\\BC. Aus dem Peripheriewinkelsatze folgt leicht, daß überhaupt je zwei

entsprechende Sehnen beider Kreise parallel sind. Also sind die Kreise ähnlich und ähnlich gelegen.

Für r —i bezeichnen wir den Umfang des Kreises x mit 2 n. Dann ist OK — r ■ O'K''fr = 2itr, also:

Satz 5. Der Umfang des Kreises vom Radius r ist 2rn, wo je den halben Umfang des Kreises vom Radius 1 oder den ganzen Umfang des Kreises vom Durchmesser 1 bezeichnet.

8. Wie die Umfänge, so haben auch die Inhalte der dem Kreise x eingeschriebenen Vielecke (5 dieselbe obere Grenze, welche die Inhalte der umgeschriebenen Vielecke U nach unten abgrenzt. Verbindet man nämlich die Ecken dieser Polygone mit dem Mittelpunkte 0, so zerfallen sie in Dreiecke, und wenn man in jedem Dreieck von 0 auf die Gegenseite die Höhe fällt, so ergibt sich durch “Summation der Dreiecksinhalte, daß U den Inhalt Ąr U hat, wenn U den Umfang von U bezeichnet; hingegen läßt sich von (£ aussagen, daß der Inhalt jedenfalls größer ist als ĄqE, wenn E den Umfang von @ und q das kleinste der Lote bezeichnet, das von 0 auf die Seiten von (S sich fällen läßt. Da nun q die obere Grenze r hat und die U von den E durch die gemeinsame Grenze 2jtr geschieden sind, so ist • 2itr = r²jc zugleich die obere Grenze der Inhalte der (S und die untere Grenze der Inhalte der U; der Grenzwert r²je wird von keinem dieser Inhalte erreicht und dem Kreise selbst als Inhalt beigelegt, der jene Scheidung in Vielecke kleineren und größeren Inhaltes bewirkt.

9. Zur Berechnung von tc hat schon Archimedes die Tatsache benutzt, daß bei wachsendem n der Unterschied Un — un der Umfänge Un und un des umgeschriebenen und des eingeschriebenen regelmäßigen Vielecks unter jede noch so kleine Grenze e sinkt.

Das Wachsen von n wird nach Archimedes am einfachsten durch fortgesetzte Verdoppelung der Seitenzahl bewirkt.

Aus der Seite sn des eingeschriebenen regelmäßigen rc-Ecks berechnet sich s2n leicht mit Hilfe des Pythagoreischen Lehrsatzes. Nach Fig. 115 ist:

wo

also

= (r~<>n)²+ (S„/²)²,

Qn² = *“² — (sJ2y = (4r² — s,„²)/4,

słv = 2r* — 2r]/r² — s„²/4,

(1) s2n = r]/2 -1/4 - sn²/r².

Wegen der Ähnlichkeit der in Fig. 115 yorkom menden Dreiecke ist

*^n

Sn:r==Sn:Qn,

P*

oder

¹

   Die wichtigste Literatur ist:

Hilbert, Grundlagen § 13ff., § 22ff.

J. Mollerup, Studien over den plane geometrie axiomer, Kopenhagen 1903, sowie Math. Ann. 56 und 58;

F. Schur, Math. Ann. 57;

A. Kneser, Arch, für Math. u. Phys. (3. Reihe) Bd. 2.

²

   Siehe Zitat S. 229.

³

Im Gegensatz zu n-fach geschlossenen, die n -f- 1 Gebiete abgrenzen.

⁴

   Der Begriff der Zerlegungsgleichheit ist von W. Bolyai in seinem Tentamen eingeführt worden. Das Problem der zerlegungsgleichen Figuren hat dann später Schönemann (Soest, Pr. 1884 und 1888) wieder aufgenommen. Grundlegend sind die in den Math. Ann. erschienenen Arbeiten von Réthy (1. c. 38, 42, 45), Rausenberger (1. c. 43) und Dobriner (I. c. 42); vergl. auch Dobriners „Leitfaden der Geometrie“, Leipzig 1898.

⁵

   Die Begrenzung eines „Polygons“ soll eine einfach geschlossene Linie X sein.

⁶

Pythagoras lebte im 6. Jahrhundert v. Ghr. Schon ungefähr 1200 Jahre vorher findet sich das spezielle rechtwinkelige Dreieck mit den Seitenlangen 3,

Weber n. Wellstein: Enzyklopädie. II. S. Aafl.

⁷

Der Sekanten- und Tangentensatz, dessen Anwendung hier am Platze wäre, wird erst im nächsten Paragraphen abgeleitet werden.

⁸

In der Zeitschrift für Assyriologie (Bezold), 12, pg. 73—95 macht G. Kewitsch darauf aufmerksam, wie unsicher unser Wissen über diesen Gegenstand immer noch ist und sucht umgekehrt das Sexagesimalsystem und die Teilung des Kreises in 360 Grad von einem künstlichen Zählverfahren abzuleiten.

rO

(2) Sn = rs„/(>n = 2sn//4 - sn⁸/r².

Mit Hilfe der Formel (1) läßt sich 4* nunmehr aus irgend einem bekannten sn zuerst s2n, daraus s4n, daraus s8n berechnen u. s. w.; mittels (2) findet man dazu Sn, Sin7 . . ., und schließlich:

Um = mSrni    = mSrn för m = %n,

Fig. 115.

4n, 8n, .... Dann ist, indem man noch den Durchmesser d = 2r einführt, um < 7td < Z7to für m = n, 2n, 4«, 8«, ....

Yon w = 6 ausgehend, wo s₆ = r ist, erhält man angenähert:

= 3,00000d «12 = 3,10583 d «₂₄ = 3,13263^ «48 = 3,13935 d «₉₆ = 3,14103 d «i92 = 3,14145 d «3₈4 == 3,1415Qd «768 = 3,14158 d «4536 — 3,14159 d

«₆

UG = 3,46410 d Ul2 = 3,21539 d Uu = 3,15966d Utë = 3,14609*7 Ua6 = 3,14271 d Ul92 = 3,14187 d U₃84 = 3,14166 d Ü7₇₆₈ = 3,14161 d ^1536 ⁼ 3,14160rf. Auf vier Dezimalstellen abgerundet ist daher n = 3,1416.

10. Die Zahl n hat eine fast viertausendjährige Geschichte, die sich in drei Perioden einteilen läßt.

Erste Periode: Geometrische Berechnung von it. Die älteste Annäherung von % dürfte Jt = 3 sein, die vielleicht noch der Urgemeinschaft der semitischen Völker angehört und damals wohl auch zu den Chinesen gekommen ist. Der Wert tc = 3 tritt uns zweimal in der Bibel entgegen. Im 1. Buch der Könige 7, 23 und im 2. Buche der Chronika 4, 2 heißt es von dem großen Wasserbecken, welches als „ehernes Meer“ den Yorhof des Salomonischen Tempels (erbaut um 1000 v. Chr.) zierte, daß es „10 Ellen weit von

einem Rande zum anderen“ war, „und eine Schnur von 30 Ellen Länge war das Maß ringsum“. Also n = 3. — Von den ältesten Ansätzen der Geometrie bei den alten Ägyptern erhalten wir Kunde aus dem Papyrus Rhind des British Museum, den A. Eisenlohr als „Ein mathematisches Handbuch der alten Ägypter“ (Leipzig 1877) übersetzt und erklärt hat. „Verfaßt wurde das Buch“, wie es selbst am Eingänge berichtet, „unter dem Könige ... c3-wśr-r L) .. . nach dem Vorbild von Schriften aus den Zeiten des Königs ... Nj-m3ct-r‘¹ 2 3 4 5 6 7) durch den Schreiber Lh-insw“.⁸ 9) Hier finden wir nun zum ersten Male (in Nr. 41—43, 48, 50) im wahren Sinne des Wortes die Quadratur des Kreises, d. h. die Aufgabe, einen Kreis in ein flächengleiches Quadrat zu verwandeln; die Seite desselben wird gleich dem um 1/9 seiner Länge verminderten Durchmesser genommen, also (2r • 8/9)² = r²jr, n = 3,16 .... Dieser offenbar durch die Erwartung eines rationalen Wertes für die Quadratseite s = r]/jt beeinflußte Wert von n kann schwerlich rein empirisch sein, ist aber einstweilen vollkommen rätselhaft. Bei Heron von Alexandria (um 100 v. Chr.), der sonst vielfach aus altägyptischen Quellen schöpft, findet er sich nicht. — Nach langen vergeblichen Versuchen griechischer Mathematiker, die Kreisfläche in ein flächengleiches Quadrat, den Umfang in eine längengleiche Strecke zu verwandeln, war es Archimedes von Syrakus (287—112 v. Chr.), der in seiner berühmten Abhandlung über die Kreismessung (Kvxkov perqt]6ls) der Kreisberechnung im wesentlichen die Form gab, in der sie noch heute in den Schulen vorgetragen wird. Mittels des eingeschriebenen und umgeschriebenen regelmäßigen 96-Ecks fand er 3¹⁰/₇₁ < n < 3ł/₇ oder

3,1408 •••<»< 3,1428-

eine Leistung, die man um so höher schätzen muß, wenn man die ungeheueren Schwierigkeiten bedenkt, die damals das numerische

Rechnen (ohne Dezimalbrüche) bereitete. Der berühmte Verfasser des Almagest ({leyctty avvrcc&g), Claudius Ptolemäus (etwa 87—165 n. Chr.) ermittelte in Form eines (babylonischen) Sexagesimalbruches rc = 3° 8'30", d. h. jr = 3 -f 8/60 + 30/60² = 3,14166 .... — Die Römer haben bekanntlich in der Mathematik nicht viel geleistet und auch zur Kreisberechnung nichts beigetragen. Wohl aber war es von den Indern mit ihrem ausgezeichneten Zahlensystem zu erwarten, daß sie auf dem von Archimedes betretenen Wege weiter arbeiten würden. In der Tat ist Aryabhatta (geb. 476 n. Chr.) von der Sechseckseite über das 96-Eck hinaus zum 384-Eck vorgedrungen und zu x = 31416/10000 gelangt. Fast gleichzeitig findet sich aber auch die rohere Annäherung x ==]/10 = 3,162 .... Die Völkerwanderung bewirkt zunächst einen starken Rückgang der wissenschaftlichen Kultur. Im Mittelalter fördern zuerst die Araber wieder die Kreisberechnung durch Konstruktion umfangreicher trigonometrischer Tabellen. Der bedeutendste christliche Gelehrte dieser Zeit, Leonardo Pisano, war der erste, der über Archimedes hinausging, indem er in seiner Practica geometriae (1220) am 96-Eck, wie Archimedes, die Zahl x zwischen die engeren Grenzen 1440/458| =3,1408... und 1440/458^ = 3,1428... einschloß. — Die folgenden zwei Jahrhunderte brachten keinen Fortschritt in der Behandlung des Problems. In den Jahren 1450—1460 lenkte der Kardinal Nicolaus von Cues (an der Mosel) von neuem die Aufmerksamkeit weiterer Kreise auf die Kreisberechnung und bereicherte (nach arabisch-indischen Vorbildern?) dieselbe durch den Gedanken, umgekehrt von einer gegebenen Strecke ausgehend regelmäßige Dreiecke, Sechsecke, Zwölfecke, ... zu konstruieren, deren Umfang gleich jener Strecke ist, und sich so dem Kreise zu nähern (Arkufikation der Geraden). Seinen Konstruktionen entspricht x = 3,1423 .... Weniger Glück hatte er mit der direkten Berechnung und beging, wie einige seiner nächsten Vorgänger, den Fehler, den durch Eingrenzung von x erhaltenen Wert für genau zu halten. Diesen Irrtum sehen wir in der Folgezeit immer wieder auftauchen. Die großen Männer der Renaissance erzielten keine besonderen Erfolge. Mit Adrianus Metius beginnt dann am Ausgang der Renaissance eine überaus rechenlustige Zeit, die ihren ganzen Ehrgeiz darein setzte, x auf möglichst viel Dezimalstellen zu bestimmen. Adrianus gab den nach dem Schema 113)355 leicht zu merkenden Wert x = 355/113 = 3.1415929 ..., der erst in der 7ten Dezimale unrichtig ist. Der gleichen Geistesrichtung huldigen Adrianus Romanus (gest. 1616), der bis zum 2³⁰-Eck(!) vordrang und so 15 Dezimalen sicherte, ferner Ludolf van Ceulen¹¹), der ihn mit

18

Hilfe des 60 • 2²⁹-Ecks (!) um fünf Dezimalen überbot. Alle drei sind Rechner ohne neue Ideen. Anders der große französische Mathematiker Vieta (1540—1606). Dieser gab die erste exakte analytische Darstellung von n (durch ein unendliches Produkt), worauf wir noch zurückkommen werden. Er gehört schon zu den Mathematikern der nächsten großen Periode, die n durch analytische Ausdrücke zu bestimmen suchen. Die geometrische Periode in der Geschichte der Zahl % schließen Snellius (1580—1626) und Huygens (1629—1695), welche zum ersten Male seit Archimedes die Methode der Eingrenzung des Kreises zwischen eingeschriebene und umgeschriebene Vielecke wachsender Seitenzahl wesentlich verbesserten. Der Fortschritt bestand darin, daß sie die durch ein eingeschriebenes und ein umgeschriebenes w-Eck bewirkte Eingrenzung des Kreisumfanges schärfer ausbeuteten, ohne n zu verdoppeln, indem sie, modern gesprochen, die Anfangsglieder der Arcussinusreihe abschätzten. Der wissenschaftlich schärfer Denkende ist Huygens. Sein Werk: De circuli magnitudine inventa (1654) nennt Rudio¹²) eine der schönsten und bedeutendsten elementargeometrischen Arbeiten, die jemals geschrieben worden sind. Auf Huygens gehen verschiedene Näherungskonstruktionen der Rektifikation von Kreisbogen zurück, die seitdem wiederholt neu entdeckt worden und noch heute in der angewandten Mathematik gebräuchlich sind. Wir werden am Schluß dieses Paragraphen darauf zurückkommen.

Wallis (1616—1703), die in Bd. I, 2. Aufl., § 137 mitgeteilt ist.

11. Zweite Periode. Analytische Darstellung von ji. (Vergl. den 24. Abschn. des Bd. I.) Der Formel von Vieta ist schon oben gedacht worden. Mit der Ausbildung der Analysis des Unendlichen erfolgt in der Methode der Kreisberechnung ein großer Umschwung. Mit Hilfe der unendlichen Reihen, Produkte und Kettenbrüche war man in der Lage, die unendlichen Grenzprozesse, die man nach Archimedes am geometrischen Gebilde vorzunehmen hatte, durch Formeln auszudrücken, die dann für sich weiter zu bearbeiten waren. Das ganze Verfahren des Archimedes selber konnte in eine Formel gebracht werden. Auf anderer Grundlage beruht die Formel von

Die von Gregory (1670) und Leibniz (1673) entdeckte Arcustangensreihe (Bd. I; § 121) gestattete eine vollständige Loslösung der Bestimmung der Zahl æ von der Geometrie. Mittels des Additions-

theorems des Arc tg gewinnt man nach dem in Bd. I, 3. Auf!., § 134 angegebenen Verfahren sehr stark konvergierende Reihen, die von verschiedenen Rechnern benutzt wurden, um n auf mehrere hundert Dezimalen genau zu bestimmen. (Vergl. Bd. I, § 134.) Wichtiger als alle diese Reihenentwicklungen ist die Entdeckung des Zusammenhanges zwischen den trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion durch Leonhard Euler (1707—1783), dem die Trigonometrie ihre jetzige Form verdankt. In seiner Introductio in analysin infinitorum, I, p. 104, bringt Euler die Funktionen sin x und cos x mit der Exponentialreihe in Verbindung durch die folgenreichen Formeln

e~ix = cos x — i sin x,

éx = cos x + i sin x,

(Bd. I, 3 Aufl., § 127), die zusammen mit e“nt = 1 die ganze Trigonometrie umfassen. Auf diese Formeln sollte sich später der Beweis der Transzendenz von n stützen.

12. Dritte Periode. Erforschung des Zahlencharakters von 7t. Wir können uns den Eindruck nicht groß genug vorstellen, den die überraschenden Entdeckungen der Analysis auf alle denkenden Geister machen mußten. Jahrhunderte hatte man der Mathematik nur in mühsamer Arbeit ihre Geheimnisse abgerungen, und nun spendete sie ihre Wahrheiten in überraschender Fülle. Und trotzdem wollte es nicht gelingen, die Quadratur des Zirkels im engeren Sinne des Wortes zu finden; man verstand darunter eine begrifflich exakte Konstruktion des dem Kreise flächengleichen Quadrates nach Art der gewöhnlichen Konstruktionen der Elementargeometrie, d. h. mit alleiniger Hilfe von Zirkel und Lineal in einer endlichen Zahl von Operationen. Während die bedeutenderen Mathematiker anfingen, an die Unlösbarkeit der Quadratur und die Transzendenz der Zahl 7t zu glauben, bemächtigten sich immer mehr Unberufene des Gegenstandes. Wohl kein Problem der Geometrie ist so populär geworden wie die Quadratur des Zirkels; schien doch sein Sinn jedem Laien ohne weiteres verständlich, und indem man die Bedeutung der numerischen Berechnung von 7t für die Geometrie völlig überschätzte, machten sich Berufene wie Unberufene daran, „des Zirkels Viereck“ zu finden.¹) Da veröffentlichte im Jahre 1766 J. H. Lambert (geb. 1728 zu Mülhausen im Elsaß, gest. 1777 in Berlin) gerade zur rechten Zeit seine Abhandlung: „Vorläufige Kennt-

l'i Wie zahlreich diese Versuche waren, ist daraus zu entnehmen, daß die Pariser Akademie sich im Jahre 1775 zu der Erklärung veranlaßt sah, keine Lösung der Quadratur mehr der Durchsicht unterziehen zu wollen.

18*

nisse für die, so die Quadratur und Rectification des Circuls suchen“, worin er zeigte: Ist x eine von Null verschiedene rationale Zahl, so kann weder e* noch tg x rational sein. Wegen tg nj4 = 1 folgt daraus die Irrationalität von n. Damit war die Unmöglichkeit der Quadratur im engeren Sinne natürlich noch nicht bewiesen, denn % konnte etwa den Charakter der Quadratwurzel aus einer ganzen Zahl haben, die immer mit Zirkel und Lineal in einer endlichen Zahl von Operationen auf Grund des Pythagoreischen Lehrsatzes konstruierbar ist. Wohl aber war der Anstoß und die Grundlage gegeben, die Zahlennatur von n zu untersuchen, und Lambert hatte geradezu das Problem gestellt, zu beweisen, daß n nicht Wurzel einer algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sein könne.

die einer solchen Gleichung genügen, werden zu ihnen gehören die rationalen als Lösung

Zahlen

algebraische genannt; einer Gleichung ersten Grades mit rationalen Koeffizienten; n sollte also eine nichtalgebraische Zahl, d. h. eine transzendente Zahl sein. Im Jahre 1840 glückte es Liouville, die Existenz transzendenter Zahlen darzutun; 1873 bewies dann Hermit e die Transzendenz von e, der Basis der natürlichen Logarithmen, nachdem schon Liouville gefunden, daß weder e noch e² einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten genügen kann. Auf Grund der Hermiteschen Arbeit brachte endlich F. L i n d e m a n n im Jahre 1882 das uralte Problem der Quadratur zum Abschluß durch den Nachweis der Transzendenz von n (siehe Bd. I, 26. Abschn.).

13. Aus der Transzendenz von tc folgt die Unmöglichkeit, n mit Zirkel und Lineal allein begrifflich exakt in einer endlichen Zahl von Operationen zu konstruieren, denn alle durch Zirkel und Lineal exakt konstruierbaren Strecken lassen sich aus den schon gefundenen (im wesentlichen nach dem Pythagoreischen Lehrsatz) durch Ziehen von Quadratwurzeln berechnen; eine in diesem Sinne konstruierbare Strecke läßt sich also aus den gegebenen Strecken darstellen durch eine Kette neben- und übereinander gestellter Quadratwurzeln, genügt daher einer algebraischen Gleichung.

Wenn demnach eine exakte Konstruktion von n im angegebenen Sinne unmöglich ist, so wird es in vielen Fällen der praktischen Geometrie darauf ankommen, hinreichend genaue Näherungs verfahren zur Rektifikation von Kreisen und Kreisbogen zu besitzen. In vielen Fällen wird n = 22/7 ausreichende Genauigkeit geben; auf die daraus folgende Rektifikation des Kreises brauchen wir wohl nicht einzugehen; sie ist übrigens nur insofern einfach, als sie sich leicht begründen läßt. Viel leichter und kürzer, aber schwerer zu

beweisen ist die Konstruktion, die Huygens in seinem oben zitierten Werke als Lehrsatz XIII aufführt: Um einen Bogen AB' zu rektifizieren (siehe Fig. 116), trägt man auf dem Radius OA die Strecke OC gleich dem Durchmesser so ab, daß 0 zwischen A und C liegt, und bringt die Gerade CB' mit der Tangente des Punktes A. zum Schnitt; ist B der Schnittpunkt, > so ist angenähert AB= arc AB'.

Den Beweis wollen wir analytisch führen.

ÙL

71

fl

0 rcosfjl ’

~A

Fällt man noch BÄA.CA, so folgt aus der Ähnlichkeit der Dreiecke CA'B' und CAB, indem wir B'OA mit cp, die Strecke AB mit s bezeichnen:

Fig. 116.

s = 3r • sin <p/(2 4* cos cp).

s/r sin cp = 3r/(2r + r cos cp),

Unter cp wollen wir jetzt genauer den Bogen verstehen, der im Kreise mit dem Radius 1 dem Zentriwinkel AOB' entspricht; man nennt diesen Bogen das absolute Maß des Winkels. Dann ist arc AB' — rep, und es wird zur Beurteilung der Genauigkeit der Konstruktion darauf ankommen, den Unterschied A = rcp — s der wahren und der angenäherten Bogenlänge rep und s zu bestimmen. Zu dem Zwecke entwickeln wir 3 sin cp/(2 -(- cos cp) in eine nach ganzen Potenzen von cp ansteigende Reihe, indem wir für sin cp, cos cp die in Band I, 2. Aufl., § 127 gefundenen Reihenentwicklungen ein-setzen und die Division ausführen.

Eine kurze Rechnung gibt:

3 sin op    /

r's+Wi

Der „Fehler“ A d«r Annäherung ist demnach positiv und ungefähr der fünften Potenz des Winkels cp, der ersten Potenz des Radius r proportional. Bei 60 Grad ist cp — 2ä/6 = 1,05; bei 30 Grad ist cp = 0,52. Aus der letzten Gleichung -entnimmt man aber

(ungefähr)>

⁼    ^ ⁼ 5900    ”

für g? — 1:

» <P

180 ¹ 1512

)>

Bei Winkeln, die nicht über 30 Grad gehen, ist also die Genauigkeit der Annäherung ganz außerordentlich; man darf den Radius unbedenklich bis zu 100 cm annehmen, ohne auf dem Reißbrett einen merklichen Fehler zu erhalten. Das Zwölffache des rektifizierten Bogens von 30 Grad ist gleich dem Umfang. In den meisten Fällen der darstellenden Geometrie, wo r nicht über 5 cm ist, darf der Winkel des Bogens bis zu 60 Grad betragen.

Hujgens gibt noch ein anderes, praktisch weniger brauchbares Verfahren zur Rektifikation des Bogens an (Aufgabe III 1. c.), dessen Fehler ebenfalls zu r und der fünften Potenz des Zentriwinkels proportional, aber kleiner ist wie in der oben angegeben Konstruktion.

Neuerdings haben sich Lampe (Mathesis (2) 7, 1897) und Stäckel (Arch. d. Math. u. Phys. (3), 11) mit der Verallgemeinerung der Formel s = 3r sin cp/(2 -f- cos cp) beschäftigt, die übrigens von Nicolaus Cusanus herrührt.

14. Zum Schlüsse wollen wir noch ein Verfahren der Rektifikation besprechen, das geometrisch der Methode von Archimedes überlegen ist und wohl verdiente, der elementaren Kreisberechnung zugrunde gelegt zu werden, wenn nicht das Archimedische Verfahren mehr dem Begriffe der Bogenlänge angepaßt wäre; denn es wird doch immer das Natürlichste bleiben, die Bogenlänge als Grenzwert eines eingeschriebenen Vielecks von unbegrenzt viel Seiten aufzufassen. — Es sei der Bogen OA eines Kreises C vom Radius r zu „strecken“ (Fig. 117), d. h. in eine längengleiche Strecke zu ver-

£.

f/2

Fig. 117.

wandeln. Der Durchmesser OC trifft den Kreis in einem Punkte CXJ so daß <)C ACxO = ACO/2 = cp/2 ist, wo cp das absolute Maß von ^CACO sei. Dann ist arc AO — rep, und wenn wir um Cx den Kreis mit dem Radius CxO schlagen, so wird derselbe vom Radius CXA in einem Punkte Ax getroffen, so daß arc OAx = 2r • cp/2 = rep ist. Also ist arc OA = arc OAx Das Verfahren läßt sich nun be-

liebig oft wiederholen: Man mache CXC₂ = Cx0, schlage um C₂ den Kreis mit dem Radius C₂0 und bringe denselben mit dem Radius G₂AX zum Schnitt. Ist A₂ der Schnittpunkt, so ist arc 0A₂ = arc 0AX — arc OA- u. s.w. Die Kreise werden immer größer, 0C₃ = 20G₂, 0 Cx — 2 0 G₃ u. s. w., arc OA = arc 0AX = arc 0A₂ = arc 0A₃ = arc 0AA = •••, die Bogen aber bleiben sich gleich, werden daher immer flacher und nähern sich unbegrenzt der Strecke 0An. Je größer n, um so mehr wird die Strecke 0An dem Bogen OA gleich. — Die Konstruktion wird aber in dieser Gestalt praktisch unausführbar, da die Punkte C über den verfügbaren Raum hinausgehen. Dem kann durch die Überlegung abgeholfen werden, daß AXA₂ _L 0Ax, A₂A₃ _L 0A₂, A₃A± _L OA,, . . ., und daß 0AX den Winkel AOT,¹) 0A₂ den Winkel A₂0T halbiert n. s. w. Daher die aus Fig. 118 unmittelbar ersichtliche Konstruktion, die im vorliegenden Falle schon bei 0A3 abgebrochen werden kann.

Zieht man noch ^4i?JL CO, so ist

AB = r sin cp,

0AX = OA : cos cp/4, Daher:

0Ą,-

OA = BA : cos (p/2, 0A₂= 0Ax : cos cp/8,

r sin cp

<p/2«+l ’

gültig, wenn cp unterhalb zwei Rechten liegt, also für ç><3T. Daß diese Formel für wachsendes n den Bogen OA = rep immer genauer darstellt, folgt aus der Eulersehen Formel

_    sin cp

V cos (p/2 ■ cos qp/4 • cos qp/8 • • • • ad inf.

cos cp/2 • cos cp /4 • cos qp/8

cos

<3L

\ T/sfĄ

Fig. XIS.

(Opuscula anal. I, pag. 346). Für cp = %/2 folgt hieraus die Vieta-sche Darstellung von n/2, deren wir oben gedachten. Es ist sehr anschaulich, sie aus 0A„ entstehen zu lassen.

Endlich sei noch bemerkt, daß im rechtwinkligen Dreieck 0AnCn + l (Fig. 117), die Hypotenuse 0Cn+1 = 2n + 1r, die Kathete AGn+i = V(2w+1r)²-sn², wo = 0An, also

AA

n

= Cri+xAn+1 — Cn+xAn = G'n+10 — Cn+xAn = 2n~xr - y(2" + 1r)² — s₇₎²,

1) T sei ein Punkt der Tangente von 0, der mit A auf derselben Seite von AG liegt.

und im rechtwinkligen Dreieck OAnA

daher

S„³₊, - OA,*+I - sj + AnAt₊₁ - s„s + (2- y₍2»+V)‘-«„*)*

ist. Mit alleiniger Hilfe des Pythagoreischen Lehrsatzes und des Satzes vom Peripheriewinkel lassen sich demnach die Strecken OAn = sn aus OA = s berechnen:

s„s₊, -    + (2-+ ‘r-y(2” + >r)>-«,»)*,

die mit wachsendem n sich dem Bogen OA nähern. Dieser umfassenden Bogenberechnung ließe sich leicht eine obere Grenze geben in den Strecken OZn, welche die Geraden Cn+1An auf OT abgrenzen. Auch gelingt es mittels des binomischen Lehrsatzes leicht, aus der letzten Formel die Differenz sn+1 — sn abzuschätzen, die für die Beurteilung der Konvergenz des Verfahrens maßgebend ist.

§ 24. Sätze und Aufgaben über den Kreis.

1. Zur Anwendung der grundlegenden Lehrsätze und Herstellung des Zusammenhanges mit den in den „Grundlagen“ eingeflochtenen elementargeometrischen Betrachtungen wollen wir einige Aufgaben aus der Geometrie des Kreises folgen lassen.

Die Halbierungsgeraden der Winkel a, ß, y eines Dreiecks ABC und die der Nebenwinkel schneiden sich zu je dreien in vier Punkten J, Ia) Ib, Ic, den Mittelpunkten von vier Kreisen, die alle Seiten des Dreiecks oder ihre Verlängerungen berühren; I sei das Zentrum des „Inkreises“, der die Seiten selbst berührt; Ia der Mittelpunkt des „Ankreises“, der die Seite a oder BC selber, die anderen Seiten in ihren Verlängerungen berührt (siehe Fig. 119). Wir bezeichnen den

Berührungspunkt des Kreises und der Geraden a mit & *

Die Strecken, in welche die Seiten durch diese Punkte zerlegt werden, seien aus den Seiten zu bestimmen. Wegen Kongruenz der Dreiecke AYI, AZ1 ist AY = AZ; ebenso BZ = BX, CX^CY.

Setzt man die beiden von A ausgehenden gleichen Strecken gleich sa, die von B ausgehenden gleich sb, die von C ausgehenden gleich s , so ist

Ferner hat man:

a = CXc — BXC, b = CYc — AYC, c = AZc + BZc,

vß,

......

js \

Fig. 119.

und da CTc = CXc, iZc = JTC, 2?XC = BZC ist,

a = CXc — BZC, b = CXc — AZC, c = AZc + BZc,

daher

BZC = BXC = s-a,

(1)

a = sb + sc

b = sc + sa

C Sa "ł" Sb>

also

(2) sa = s — a, sb = s — b, sc = s — c, wo a -j- b + c = 2s.

i OO

(3) CXc = CYc = s, AYC = AZC = s — b, woraus u. a. folgt, daß AZ = BZC ist, d. h.:

Satz 1. Die im Innern einer Dreiecksseite gelegenen zwei Berührungspunkte sind symmetrisch zu den Endpunkten der Seite.

Da BXr = BZC = sa, CXb — C Yb = AY = s , so folgt analog:

Satz 2. Die auf der Verlängerung einer Dreieckseite gelegenen zwei Berührungspunkte sind ebenfalls symmetrisch zu den Endpunkten der Seite.

Bei Untersuchungen metrischer Natur ist es zweckmäßig, der von einem Punkte P an einen Kreis x gehenden Tangente PQ die Strecke PQ als Länge beizulegen, wenn Q der Berührungspunkt ist. Die erste Formel (3) ergibt dann:

Satz 3. Die Tangenten von einem Eckpunkte des Dreiecks an den die gegenüberliegende Seite berührenden Ankreis sind je gleich dem halben Umfang s.

Merkt man sich noch die Formeln (1) und (2), so kann man mit Hilfe dieser Sätze leicht die in Fig. 121 auf den Seiten vorkommenden Strecken durch a, b, c ausdrücken.

Auch löst man jetzt leicht die im vorigen Paragraphen gestellten Aufgaben, ein Dreieck aus c, a + b — c = 2sc und dem Radius r des Umkreises oder aus c, s und r zu konstruieren; da sc = s — c, so sind beide Aufgaben einander äquivalent. Durch r und c ist nach dem Peripheriewinkelsatz y als Peripheriewinkel im Kreise mit dem Radius r über c als Sehne bestimmt. Auf den Schenkeln des Winkels y trage man vom Scheitel, der C heißen möge, CYc = CXc = s ab (Fig. 119) und konstruiere den Kreis lc, der die Schenkel in Xc und Yc berührt; macht man noch auf CXc    und    CYc    die Strecken    CX

und CY je gleich s — c, so schneiden    sich    die    in X, Y auf    den

Schenkeln errichteten Lote im Zentrum I des Inkreises, und AB wird als Tangente der Kreise 7, Ic gefunden. Damit die Lösung möglich ist, darf keiner der Kreise den anderen schneiden oder einschließen, also die Größe von 2 sc eine gewisse Grenze d nicht überschreiten.

2. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke    CY1    und    CYcIc der Fig.    119

folgt, wenn wir die Radien der Kreise I, Ia,    Ib, Ic mit p, Qa, p₆, pc

bezeichnen:

9 ‘ sc = 9c '■

andererseits sind auch AZI und ICZCA ähnlich, da • die Dreiecke rechtwinkelig sind und ICA auf Al senkrecht steht. Daher ist:

9 : Sa Sb • 9c>

und aus beiden Formeln folgt durch Multiplikation: Q²:sasc = sb:s oder Q² = sasbsc:s, sowie durch Division: sa : sc = pc² : ssb oder q² = ssasb:se.

Satz 4. Zwischen den Radien der vier Berührungskreise und den aus den Seiten a, b, c abgeleiteten Strecken s, sa, sb, sc bestehen die Relationen:

(4) p = ysasbsjs, pa = Vssbsjsa, p₆ = Vsscsjsb, pc = VssasbJsc.

Da die Fläche ABC sich aus den Dreiecken AIB, BIG, CIA zusammensetzt, so ist der Inhalt J von ABC gleich cq/2 4- ag/2 -j- bo/2 = so: aus ABC = Al.C + BIC — AI B folgt ebenso: J *“ bçc/2 + açc/2 — cqJ2 = scqc.

Satz 5. Aus den Größen des vorigen Satzes berechnet sich J nach den Formeln:

(5)

J—SQ = SaQa — S₆(>, - SeQc.

Aus Satz 4. und 5. folgt speziell die von Heron von Alexandria gefundene Inhaltsformel

(6)

J = ]/ssasbsc.

Nach der Definition des Inhaltsmaßes ist

(7) J - ahJ2 _ bhj2 - chJ2,

wo ha,hb, hc die Höhen bezeichnen; diese sind also vermöge (6) aus s, sa, sb, sc zu berechnen.

b.

Fig. 120.

Auch mit dem Radius des Um-kreises 0 stehen die Seiten in einer / leicht angebbaren Größenbeziehung (siehe Fig. 120). Ist D der andere Endpunkt \ des Durchmessers OC, so ist DAC ein ^ rechter Winkel und ^CADC — ABC als Peripheriewinkel über der Sehne AC. Daher sind die Dreiecke CA D und CHcB ähnlich (Hc ist der Fußpunkt der Höhe hc), und es ist:

(8)

2r : b == a : lia, 2r = ab : ha = abc : chc = abc : 2J oder 4 r == abc/J.

3. Eine fruchtbare Umformung der Ahnlichkeitssätze ist der Sehnen- und Sekantensatz. Wenn zwei Sehnen AB' und BÄ eines Kreises sich in einem Punkte V schneiden (Fig. 121), so heißen die Strecken VA, VB' die Abschnitte der Sehne ABebenso sind UA, UÄ die Abschnitte, die U auf der Sehne AÄ bewirkt, und zwar auch in dem Falle, daß U außerhalb des Kreises liegt. Dann lautet der

Satz 6. Wenn durch einen Punkt P zwei Sehnen oder Sekanten eines Kreises gehen, so ist das Produkt der Abschnitte, die der Punkt P auf der einen Geraden bestimmt, gleich dem Produkt der Abschnitte auf

der anderen; findet umgekehrt die Gleichheit jener Produkte statt, so liegen die Endpunkte der vier Abschnitte (außer dem Punkte P) auf einem Kreise.

Beweis. Liegt der gegebene Punkt U außerhalb des Kreises auf den Sekanten AÄ und BB', so folgt aus der Ähnlichkeit der

Der Beweis

Dreiecke AB' U und BA'U (siehe Fig. 121): UA : UB' = ÜB : UA oder UA • UA' = UB • UB'.

Fig. 121.

,u bleibt noch richtig, wenn Ä und A in einem Punkte T zusammenfallen und UA zur Tangente in T wird: UT% = UA • UA'. — Liegt der gegebene Punkt V innerhalb des Kreises (Fig. 121), so folgt aus der Ähnlichkeit der Dreiecke AVA' und BVB' ebenso VA ■ VB' = VB • VA. — Die Umkehrung des Satzes wird indirekt bewiesen.

Auf diesen einen Satz gründet sich der ganze Inhalt des § 9, dessen planimetrischen Teil man nun herübernehmen kann; das ist also die Lehre von der Potenz, von der Inversion und von den Kreisbüscheln.

4.    Von den Sätzen über die Inversion heben wir noch einmal hervor, daß zu einem Kreise x stets wieder ein Kreis x invers ist, der auch in eine Gerade ausarten kann. Die Tangenten aus dem Inversionszentrum 0 an den Kreis x müssen auch x berühren; das Inversionszentrum ist daher ein Ähnlichkeitspunkt der beiden inversen Kreise.

Sind umgekehrt zwei Kreise x, x gegeben, und legt man aus einem der Ähnlichkeitspunkte 0 an beide Kreise die Tangenten a, b} die von x in A, B, von x in A, B’ berührt werden mögen, so ist OA • OA = OB • OB' die Potenz einer Inversion mit dem Mittelpunkte ö, die x in x verwandelt. Es folgt:

Satz 7. Zwei Kreise x und x bestimmen immer zwei Inversionen, durch welche sie ineinander übergeführt werden. Zentra der Inversion sind der innere und der äußere Ähnlichkeitspunkt. Invers sind immer zwei auf nicht parallelen Radien gelegene Punkte eines ^„Ahnlichkeitsstrahls“ (so heißt jede Gerade durch einen Ähnlichkeitspunkt).

5.    Satz 8. Zwei Kreise werden von einem dritten Kreise immer in zwei inversen Punkten (einer der in Satz 7 genannten Inversionen) berührt.

Seien x, x die gegebenen Kreise (siehe Fig. 122 und 123) und X (oder (?) der Berührungskreis; M, N, L (S) seien die Mittelpunkte von x, x, X (<?) und A, A' die Berührungspunkte von X mit x, x (ebenso B, Bx die Berührungspunkte von 6 mit x, x'). Die Berührungspunkte liegen immer auf der Zentrale, also A auf ML, Ä auf NL (B auf MS, Bx auf NS). Nun ist ALA' (BSBX) ein gleichschenkliges Dreieck, daher «)C LAA! — LA'A-, wir wollen diese Winkel mit a bezeichnen. Die Gerade AA' treffe x noch in 51; dann ist auch M% = MA, also M%A = MA% = «, daher MK\\NÄ, d. h. die Punkte 51, A! sind entsprechende Punkte bei der Ähnlichkeitsbeziehung, welche die Punkte M und N einander zuordnet; AA' geht also durch einen der Ähnlichkeitspunkte von x und x, und da 51. Ä

¹

   Bei Eisenlohr: Ra-ä-us.

²

   Bei Eisenlohr: Ra-en-mat.

³

   Bei Eisenlohr: Ahmes. Die Eisenlohrschen Transkriptionen, die sich

⁴

auch in der mathematisch-historischen Literatur festgesetzt haben, beruhen auf

⁵

der seither als unrichtig erkannten Lesung einiger Hieroglyphen als Yokalzeichen oder als Silben mit inhärierendem Vokal sowie bei 1) und 2) auf Verkennung einer Regel des höflichen Schreibstils. — Die ägyptische Schrift ist, wie man jetzt weiß, eine reine Konsonantenschrift; die Vokale kann man nur mittels des Kopti

⁶

schen, sowie der assyrischen, hebräischen und griechischen Transkriptionen von Eigennamen einigermaßen rekonstruieren. Der Name 1) dürfte *(‘)A(3)-wüsi-ré(c)

⁷

zu lesen sein, 2) etwa *Na-ma(3‘et)-ré(t), 3) *eJ(')ah-möse(w) mit Abschleifung

⁸

der eingeklammerten Laute; 2) ist der ylafiagig des Manetho, mit dem Ruf

⁹

namen A(>)men-em-hêt III, dem    der Griechen (18. Jahrh. v. Chr.);

¹⁰

3) lautet bei den Griechen stark abgeschliffen kfimaiç.

¹¹

Vergl. die Anm. zu § 134 im ersten Baad.

Weber u. Welletein: Enzyklopädie. II. S. Aufi.

¹²

F. ltudio: „Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. Deutsch herausgegeben und mit einer Übersicht über die Geschichte des Problems von der Quadratur des Zirkels . . . versehen. Leipzig 1892.“ Dieses schöne Buch ist bei der Abfassung der obigen historischen Skizze außer M. Cantor und Hankel vielfach benutzt worden.

tty

U-,

oc.

N/

6ê'

Fig. 122.

zugeordnete Punkte sind, A der Beipunkt von 51 ist, so sind A und A' invers (ebenso B und B'). — In Fig. 122 liegt Ähnlichkeit mit äußerem, in Fig. 123 Ähnlichkeit mit innerem Ähnlichkeitspunkte vor.

Nach Satz 2, § 8, ist jeder gemeinschaftliche Berührungspunkt zweier Kreise x, x zu sich selbst invers bei einer der zwei Inversionen, die x in x verwandeln.

6. Nach Satz 8. geht die Verb indungsgerade der Punkte, in denen zwei Kreise xlf x₂ von einem dritten X berührt werden, immer durch den inneren oder äußeren Ähnlichkeitspunkt von x₁, x₂, und die Berührungspunkte sind invers in einer Inversion, die den Ähnlichkeitspunkt zum Zentrum 0 hat, wie wir in Satz 7. gesehen haben. Alle Kreise aber, welche in 0 die für jene Inversion charakteristische Potenz haben, gehören einem Bündel an, durch dessen Angabe die Inversion mitgegeben ist. Dieses Bündel wollen wir das „Bündel des

Ahnlichkeitspunktes 0“ oder auch das „Ahnlichkeitsbündel 0“

Wir können dann sagen:

Satz 9. Die Kreise, welche zwei Kreise xx, x₂ berühren, gehören einem der beiden Ahnlichkeitsbündel von xl} x₂ an.

Satz 10. Jeder Kreis X eines der Ahnlichkeitsbündel zweier Kreise xlf x₂, der einen dieser Kreise und dann auch den anderen schneidet, schneidet sie unter gleichen Winkeln.

Denn da X zu sich selbst invers ist (im Bündel) und xx in x₂

nennen.

•Ci,

x'

o.

Fig. 123.

ist der Winkel (x1? X) invers zu (x₂, X), also gleich

übergeht, dem Winkel (x₂, A).

Der Satz 10. ist umkehrbar und enthält dann den Satz 9. als

so

besonderen Fall.

Satz 11. Jeder Kreis X, der zwei Kreise x1; x₂ unter gleichen Winkeln schneidet, gehört einem der Ahnlichkeitsbündel xt, %2 an.

Der Satz kann direkt durch eine Figur bewiesen werden, welche Fig. 122 oder 123 als speziellen Fall mit dem Schnittwinkel (p = 0 enthält. Man kann auch folgendermaßen schließen: Durch jede Inversion J, deren Zentrum C auf X liegt, geht X in eine Gerade X' über, welche die zu xXJ x₂ inversen Kreise x₂' gleichwinklig schneidet und daher durch einen Ahnlichkeitspunkt S' von x/ und x₂' geht. Das Bündel der Inversion, die x/ in x₂' und X' in sich selbst

verwandelt, geht durch die Inversion J über in das Bündel einer Inversion, die xx in x₂ und X in sich selbst verwandelt, also in eine der zwei Inversionen, die den Ahnlichkeitsbündeln entsprechen, und X gehört einem Ahnlichkeitsbündel

an.

7. Jetzt folgt:

Satz 12. Alle Kreise, die drei nicht einem Büschel angehörige Kreise x1} x₂, x₃ unter gleichen Winkeln schneiden, bilden zusammen vier Kreisbüschel.

am

Alle Kreise, die xx und x₂, sowie x₂ und x₃ gleichwinklig schneiden, treffen auch x₃ und xi unter gleichen Winkeln; daraus folgt, daß jeder Kreis, welcher einem Ahnlichkeitsbündel S₁₂ von xx und x₂ sowie einem Ahnlichkeitsbündel S₂₃ von x₂ und h₃ angehört und einen dieser Kreise schneidet, auch einem Ähnlichkeitsbündel S3l von x₃ und xx angehört. Die gemeinsamen Kreise zweier Bündel S₁₂, S₂₃ bilden aber ein Büschel; dieses muß auch dem Bündel S3X angehören. Da alle Kreise des Büschels in den Zentren Sx, S₂, S₃ von S₂₃, S₃₎, S₁₂ gleiche Potenz haben, so liegen diese drei Punkte auf der Potenzlinie des Büschels. Die sechs Ahn-lichkeitspunkte von drei Kreisen liegen also zu dreien auf einer Geraden, einer „Ahnlichkeitsachse“. Jetzt wird jeder Kreis, der den Bündeln SX2 und S₂₃ angehört, auch zu <S₃₁ gehören, selbst wenn er keinen der Kreise xx, x2j x₃ schneidet, denn er gehört dem Büschel an, und alle Kreise des Büschels gehören auch zu S₃₁. Da es nun zwei Bündel SX2 und zwei Bündel S₂₃ gibt, so gibt es vier Büschel, deren Kreise (nach Satz 10.) die Kreise xx, x₂, x₃ gleichwinklig schneiden. — Den vier Büscheln entsprechen vier Ähnlichkeitsachsen als Potenzlinien. Sind K1} K₂, Ks die Mittelpunkte von xlf x₂, x₃, so findet man die Ahnlichkeitspunkte einfachsten, indem man parallele Radien KXAX K₂A₂ K₃A₃ zieht und die Verbindungsgeraden homologer Punktepaare mit der Zentrale zum Durchschnitt bringt. Haben die Strecken KXAX und K₂A₂ entgegengesetzten Sinn, ebenso K₂A₂ und K₃A₃, so haben KXAX und K₃A₃ gleichen Sinn, d. h. zu zwei inneren Ahnlichkeitspunkten gehört als dritter immer ein äußerer, der mit ihnen in gerader Linie liegt; das ist der Satz von Desargues, angewandt auf die Dreiecke Kx, K₂, K₃ und Ax, A₂, A3.¹) Ist also Jhk der innere, Ahk der äußere Ahnlichkeitspunkt von Kh, Kk, so liegen je auf einer Geraden:

^12    ^23    “^-31 *

Daß keine zwei äußere Ahnlichkeitspunkte mit einem inneren in gerader Linie liegen können, folgt daraus, daß, wenn K₁Al und K₂A2 sowie K₂A₂ und KZAS gleichsinnig sind, auch K₁Al und KZA& gleichen Sinn haben.

8. Unter den Kreisen der vier Büschel, die der Satz 12. nennt, befinden sich auch die Berührungskreise von xt, jc₂, xs, falls solche

Pr

B"

je'

'e"

cc

Pig. 124.

existieren. Da man die vier Büschel leicht finden kann, so käme es zur Lösung des Apollonischen Berührungsproblems nur darauf an, in einem Kreisbüschel diejenigen Kreise zu finden, die einen gegebenen Kreis (oder x₂ oder jc₃) berühren. Diese auch für die Kegelschnittlehre wichtige Aufgabe ist jetzt leicht zu lösen: Sind a, ß, yf . . . Kreise des gegebenen Büschels, Je der Kreis, welcher von einem Kreise s des Büschels berührt werden soll, und konstruiert man die Potenzlinie pak von a und &, so trifft diese die Potenzlinie p des Büschels in einem Punkte S, in dem erstens die Kreise des Büschels und zweitens auch a und lc gleiche Potenz haben; folglich haben auch ß und Je, y und 7c, ... in $ diese Potenz, so daß also auch die Potenzlinien p?k, pyk, . . ., peki . . . durch S gehen. Die Potenzlinie p^k ist aber die gemeinschaftliche Tangente von s und Je im Berührungspunkte, diese geht also durch S, und da man S leicht finden kann, so ist die Aufgabe im Prinzip gelöst. Die einfachste praktische Lösung wird nun die sein (siehe Fig. 124): Man sucht die Potenzlinie p des Büschels, wählt einen Kreis y desselben, der 7c schneidet, und zieht die gemeinsame Sehne, die zugleich die Potenzlinie Pyk von y und Je ist, bestimmt den Schnittpunkt S beider Potenzlinien, legt von S an einen der Kreise des Büschels*) (oder an Je) die Tangente, wozu im Falle eines hyperbolischen Büschels einfach die von S zu einem der Punktkreise gehende Strecke dienen kann, und schlägt um S mit der zum Berührungspunkte reichenden Strecke den Kreis; dieser trifft Je in den Berührungspunkten B', B". Die Geraden KB', KB", wo K das Zentrum von Je, treffen dann die Zentrale des Büschels in den Mittelpunkten JE', E" der zwei gesuchten Berührungskreise S, e".² 3) — Damit S existiert, darf pyk nicht mit p identisch sein, d. h. Je darf nicht dem Büschel angehören.

9. Die Lösung des Apollonischen Problems⁴) ist nach diesen Vorbereitungen sehr leicht. Die Mittelpunkte der drei gegebenen Kreise Jex, Je₂, 7c₃ seien Kx, K₂, K₃ (siehe Fig. 125). Mittels dreier paralleler Radien KXLX, K₂L₂, K₃L₃ konstruieren wir die vier Ähnlichkeitsachsen. Eine derselben sei p, die darauf liegenden Ähnlichkeitspunkte Sx2, S₂₃, S3l. Es gilt nun, das zugehörige Büschel zu bestimmen. Ein beliebiger Strahl durch SX2 treffe Jcx, Jc₂ in Cx, C₂, und der Strahl S₂₃C₂ treffe Je₃ in C₃] dann sind Cx, C₂ inverse Punkte in dem Ähnlichkeitsbündel (SX2), das zu Sx2 gehört, ebenso C₂, C₃ inverse Punkte im Bündel (S₂₃). Folglich gehört der Kreis y, der durch Cx, C₂, C₃ geht, zum Bündel Sx2 und S₂₃, also zum Büschel, das der Ähnlichkeitsachse p entspricht; p ist die Potenzlinie dieses Büschels, und nun haben wir die Kreise s', s" des Büschels zu suchen, die etwa Jex und damit Je₂, Je₃ berühren. Zu dem Zwecke hat man etwa tex mit dem Kreise Je der Fig. 124, die Potenzlinie p mit der gleichbenannten dieser Figur, den Kreis y mit dem Kreis y der Figur zu identifizieren und erhält dann leicht die Berührungskreise s', s".

Den vier Ähnlichkeitsachsen entsprechen vier Paar Berührungskreise. Durch Grenzübergang der gegebenen Kreise in Punkte und

19

Geraden entstehen zahlreiche Einzelfälle, in denen die obige Konstruktion im wesentlichen bestehen bleibt. Gehören die gegebenen Kreise einem Büschel an, so versagt die Konstruktion, wie oben am Schlüsse von Art. 8 bemerkt wurde. Dann gibt es aber auch keinen Berübrungskreis £, weil ein Kreis x nur von zwei Kreisen eines Büschels berührt wird.

%A

\ \S>

c.

\$M

Fig. 125.

10. Auf die Lösung des Apollonischen Problems fällt ein überraschend helles Licht, wenn man zu den drei Kreisen fc₂, k₃ den Orthogonalkreis oder Diametralkreis 0 konstruiert und in dem zugehörigen Büschel 0 die in § 10 gegebene Umdeutung der inversen Punkte als Scheinpunkte, der Kreise des Büchels als Scheingeraden vomimmt. Die Kreise ku fc₂, k₃ werden dann zu Scheingeraden einer hyperbolischen oder elliptischen Geometrie, je nachdem das Bündel 0 einen Orthogonalkreis oder einen Diametralkreis hat. In dieser Scheingeometrie bestehen aber die Scheinkreise aus zwei wirklichen Kreisen, die im Bündel 0 zueinander invers sind. Die Apollonische Aufgabe lautet jetzt: Die vier Scheinkreise zu konstruieren, die drei Scheingeraden ß₂, k₃ berühren. Das ist die Aufgabe des Art. 1, den Inkreis und die drei Ankreise eines Dreiecks zu finden. Nur müssen wir, wenn ein hyperbolisches Bündel vorliegt, in Aussicht nehmen, daß die Seiten fc₂, k₃ des Dreiecks keine reellen Schnittpunkte zu haben brauchen. Die Ecken sind dann ideal. Die in Art. 1 gegebene Konstruktion wird aber auch auf diesen Fall anwendbar, wenn man nicht von Winkelhalbierenden, sondern von Symmetrieachsen der drei Seitenpaare des Dreiecks spricht. Der Satz 8. dieses Paragraphen, wonach zu zwei Kreisen immer zwei Inversionen bestehen, die sie ineinander überführen, deutet sich in unserer Scheingeometrie um in den Satz, daß zwei Scheingeraden immer durch zwei Scheinsymmetrien ineinander übergeführt werden können, ganz wie in der Euklidischen Geometrie. Beschränken wir uns auf den anschaulichsten Fall, daß die Ahnlichkeitsbündel S₁₂, $₂₃, S₃₁ je einen reellen Orthogonalkreis co₁₂, o₂₃, ö₃₁ haben, so sind in unserer Scheingeometrie g>₁₂, o>₂₃, cj31 die scheinbaren Symmetrieachsen oder „Winkelhalbierenden“ der Geradenpaare k₂, k₃ und schneiden sich im Scheinzentrum eines Ä₂, /t₃ berührenden Scheinkreises e, der sich aus den wirklichen Kreisen é', s" zusammensetzt. Von den „Abschnitten“, die die scheinbaren Berührungspunkte auf den „Seiten“ des Scheindreiecks klt lc₃, k3 begrenzen, gelten dieselben Sätze wie in Art. 1. In der Sprache der gewöhnlichen Geometrie zurückübersetzt gibt das eine Reihe schöner trigonometrischer Formeln, deren Ableitung aber zu weit führen würde. Alle Akte der in Art. 9 gegebenen Konstruktion finden in unserer Scheingeometrie eine einfache Deutung. Hier zeigt sich von neuem der große denkökonomische Wert der begrifflichen Geometrie. Wer die vier Berührungskreise eines Dreiecks konstruieren kann und die wenigen Sätze weiß, die nötig sind, um die Geometrie des Kreisbündels als Nichteuklidische Geometrie umzudeuten, kann das Apollonische Problem ohne neue Denkarbeit lösen, und zwar in der einfachsten Weise. Auch das viel einfachere Problem, die Kreise zu finden, die drei Kreise ft₂, li₃ unter gegebenen Winkeln alt a₂, a3 schneiden, läßt sich als einfache Dreiecksaufgabe umdeuten und dann leicht lösen.

§ 25. Elementargeometrische Behandlung der Kegelschnitte.

1. Die Apollonische Berührungsaufgabe ist eines der fruchtbarsten Probleme der Elementargeometrie; ihre Lösung beruht einerseits auf der Lehre von den Potenzlinien und Ahnlichkeitspunkten der Kreise, den Kreisbüscheln und Kreisbündeln; sie hängt andererseits mit den beiden Nichteuklidischen Geometrien zusammen, indem es gelingt, das Apollonische Problem in das einfachere überzuleiten, in einer der beiden Nichteuklidischen Geometrien den Inkreis und die drei Ankreise eines Dreiecks zu konstruieren. Wir wollen nun zeigen, daß unser Problem auch mitten in die Kegelschnittslehre führt. Es liegt nämlich nahe, die Lösung der Apollonischen Aufgabe in der Weise zu versuchen, daß man zunächst nach dem Ort der Mittel-

punkte der Kreise x fragt, die zwei gegebene Kreise t/>1; berühren. Dieser Ort kann etwas einfacher definiert werden. Sind nämlich Fv F2 die Mittelpunkte, rx, r₂ die Radien der gegebenen Kreise, P der Mittelpunkt, r der Radius von x, so wird P auch das Zentrum eines Kreises x sein, der durch Ft geht und einen mit konzentrischen Kreis <p2 berührt, dessen Radius je nach der Art der Berührung gleich rx -f r₂

<P₂

ft %

x'\

y——

Fz

<p

\X w

Fig. 126.

Fig. 128.

ft

ft

ht

ix'

{p

Ix

x'J

ft %

Fig. 129.

Fig. 127.

den Kreis ^₂ in

man

oder rx — r₂ ist (siehe Fig. 126 und 127). Läßt eine Gerade ausarten, so wird <p₂ eine dazu parallele Gerade im Abstande rx, die je nach der Art der Berührung auf der einen oder anderen Seite von ^₂ liegt (siehe Fig. 128 und 129). Es kommt also darauf an, den Ort der Mittelpunkte aller Kreise x' zu untersuchen, die durch einen festen Punkt Fx gehen, und einen festen Kreis <p₂ berühren, der auch in eine Gerade ausarten kann. Diesen Ort bezeichnen wir definitionsweise als Kegel-

schnitt, und zwar als Ellipse oder Hyperbel, je nachdem Fx innerhalb oder außerhalb des Kreises gp₂ liegt, und als Parabel, wenn <p2 eine Gerade ist. Wenn Fx auf cp₂ liegt, artet der Kegelschnitt in die Gerade aus, die in Fx auf <p₃ senkrecht steht. Es wird dann später

(M

**

Fig. 131.

Fig. 130.

zu beweisen sein, daß die so definierten Kegelschnitte mit den ebenen Schnitten des Kreiskegels identisch sind.

2. Auf Grund unserer Definition ist es leicht, Punkte eines Kegelschnittes in beliebiger Menge zu konstruieren, wenn Fx und <p₂

-••**■**'

RS

•Jt

il

[p

Fm

.....*

Fig. 133.

Fig. 132.

gegeben sind; falls <p₂ ein Kreis, sei 2a sein Radius, F₂ sein Zentrum. Schreibt man auf <p₂ den Berührungspunkt Q eines Kreises a vor, der durch Fx gehen und <p₂ berühren soll, so liegt sein Mittelpunkt P einerseits auf dem Mittellote von Fx Q, andererseits, wenn cp₂ ein Kreis ist, auf dem Radius F₂Q (siehe Fig. 130 und 131), oder, falls <p₂ in eine Gerade ausgeartet ist, auf der Geraden, die in Q auf (p₂ senkrecht steht (siehe Fig. 132).

Legt man im Falle der Ellipse oder der Hyperbel um P als Zentrum einen Kreis X, der durch P₂ geht (Fig. 133 und 134), so trifft die Gerade FXP diesen Kreis immer in einem Punkte R von der Art, daß RFX = QF% gleich dem Radius 2 a des Kreises qp₂ ist. Der Kreis X geht also durch P₂ und berührt einen festen Kreis <p₁ mit dem Mittelpunkte Fx und dem Radius 2a. Die Ellipse oder Hyperbel ist daher der Ort der Mittelpunkte sowohl der Kreise, die durch F₂ gehen und (px berühren, als auch der Kreise, die durch Fx gehen und <p₂ berühren. Da die Bestimmungsstücke Fx und <p₂ des Kegelschnittes durch Spiegelung an dem Mittellote von FxF₂ in die Bestimmungsstücke F₂ und cpx übergehen, so liegen alle

pp

7S

/ / \

t /

CA

........

......

'Pr/

TI/

/

£-

Fig. 134.

seine Punkte zu diesem Mittellote symmetrisch; und da diese Stücke durch Spiegelung an der Geraden FXF₂ in sich selbst übergehen, so teilt auch FXF₂ den Kegelschnitt in zwei symmetrisch gleiche Teile: Die Ellipse und die Hyperbel haben also zwei zueinander senkrechte Symmetrieachsen; auf einer derselben liegen die Punkte Fx, F₂, die „Brennpunkte“ des Kegelschnittes, von denen nach dem Yorangehenden keiner vor dem anderen bevorzugt ist, wie es nach der Definition hätte scheinen können. Auch übersieht man jetzt sofort eine andere Definition dieser zwei Arten von Kegelschnitten, die beide Brennpunkte gleichmäßig benutzt. Im Falle der Ellipse ist nämlich nach Fig. 130: PFX + PF₂ = F₂Q = 2a, und im Falle der Hyperbel nach Fig. 131 entweder PF₁ — PF₂ oder PF₂ — PFx = 2a. Es folgt: Die Ellipse bzw. Hyperbel ist der Ort eines Punktes, dessen Abstände von zwei festen Punkten Fx und F₂, den Brennpunkten, eine konstante Summe bzw. Differenz bilden. Hingegen ist die Parabel der Ort aller Punkte, die

von einem festen Punkte Fx, dem „Brennpunkte“, und einer festen Geraden, der „Leitlinie“, denselben Abstand haben, wie aus der Konstruktion des Parabelpunktes P in Fig. 132 unmittelbar zu ersehen ist. Es ist klar, daß diese Abstandseigenschaften zur Definition der Kegelschnitte dienen können, indem jedesmal die von der ursprünglichen Definition geforderte Linie cp₂ sofort angegeben werden kann. Auf Grund der neuen Definition ist aber unter Benutzung der Dandelinschen Kugeln, wie wir in der darstellenden Geometrie zeigen werden, leicht der Nachweis zu führen, daß die durch sie bestimmten Kegelschnitte als ebene Schnitte von Rotationskegeln, also als Kreisprojektionen und damit als Erzeugnisse projektiver Strahlenbüschel herstellbar sind.

3. Zu unserer ersten Definition in Art. 1 zurückkehrend wollen wir jetzt die Aufgabe lösen, einen Kegelschnitt, der durch Brennpunkt und Leitlinie F1} <jp₂ gegeben ist, mit einer Geraden u zum Schnitt bringen (Fig. 135, 136, 137); das heißt vermöge dieser Definition, man soll auf u die Mittelpunkte der Kreise % finden, die durch Fx gehen und cp₂ berühren. Alle durch Fx gehenden Kreise aber, deren Mittelpunkte auf u liegen, gehen noch durch einen zweiten Punkt Gx, der zu Fx bezüglich u symmetrisch liegt, bilden also ein Kreisbüschel, und unsere Aufgabe ist damit auf die schon früher gelöste zurückgeführt, diejenigen Kreise eines Kreisbüschels zu konstruieren, die einen gegebenen Kreis <p₂ berühren. Daher ergibt sich folgende Lösung für Ellipse und Hyperbel: Man legt durch Fx und Gx irgend einen Hilfskreis rj, der qp₂ in zwei Punkten A und B trifft und legt vom Schnittpunkte S der Geraden F₁G₁ und AB aus an cp₂ die Tangenten. Die nach den Berührungspunkten Tx und Ta gehenden Radien F₂TX und F₂T₂ des Kreises <p₂ treffen dann u in den gesuchten Px und P₂*). Eine Gerade u hat also mit einer Ellipse oder Hyperbel höchstens zwei Punkte gemeinsam. Damit diese zwei Punkte P1; P₂ in einen zusammenfallen und die Gerade u zur Tangente des Kegelschnittes wird, muß Tx und T₂ zusammenfallen, was nur möglich ist, wenn in denselben Punkt auch S fällt, also Gx auf <p₂ liegt. Eine Gerade u ist also Tangente einer Ellipse

zu

! 3t

rs

'u

Fig. 135.

1) Wenn u durch Fi geht, werden Tx und Tt einfach durch den Schnitt von u mit qp„ bestimmt, indem AB F. G, wird.

oder Hyperbel, wenn der bezüglich u zn einem Brennpunkte Fx symmmetrisch gelegene Punkt Q auf dem Kreise cp₂ liegi

In Fig. 130 und 13i sind also die Geraden

MP Tangenten, P ist jedesmal der Be-r ührungspunkt; Ist 0 der Mittelpunkt von

Fx F₂ (siehê Fig. 130 und 131), Mdie Mitte von FXQ, so ist OM\\F₂ Q, also OM= \F₂ Q=a.Die Fußpunkte M der Lote, die aus den Brennpunkten einer Ellipse oder Hyperbel auf die Tangenten derselben gefällt den können, liegen also auf dem Kreise, der den „Mittelpunkt“ 0 der Ellipse zum Zentrum und a zum Radius hat. Die Tangente der Hyperbel oder Ellipse in einem ihrer Punkte P halbiert den von den

Strahlen PFX und PF₂ gebildeten Winkel PXPF₂, bzw. den Nebenwinkel.

Bk

Fig. 136.

ii

s\

wer-

9>2

4. Mit geringen Änderungen gelten alle diese Sätze von der Parabel. Modifiziert man die in Fig. 135 und 136 gegebene Konstruktion so, daß von S aus nicht an <p₂, sondern an den Hilfskreis rj die Tangenten gelegt werden, und ist C einer der Berührungspunkte, so liegt er mitsamt Tx, T₂ auf einem Kreise, der S zum Zentrum hat. In dieser Modifikation ist die in Fig. 135 und 136 gegebene Konstruktion auch auf die Parabel anwendbar (Fig. 137), bei der ja <p₂ in eine Gerade ausgeartet ist. Um eine Gerade u mit einer Parabel zum Schnitt zu bringen, die durch Brennpunkt und Leitlinie Fx und cp₂ festgelegt ist, fällt

X<X"

\\

Fig. 137.

man von Fx auf u das Lot, bringt es (in S) mit der Leitlinie zum Schnitt, legt um einen Punkt von u als Zentrum den Kreis rj,⁵) der durch Fx geht, und zieht an diesen Kreis von S aus eine Tangente SCV Der Kreis um S als Zentrum, der durch Ct geht, schneidet dann qp2 in zwei Punkten T1} T₂ derart, daß die Lote in Tt und T₂ auf cp2 die Gerade u in den Punkten P1} P₂ schneiden, die die Gerade u etwa mit der Parabel gemeinsam hat.

Die Gerade u wird zur Tangente der Parabel, wenn Fx mit P2; also Tx mit T₂ in einen Punkt Q auf <p₂ zusammenfällt (siehe Pig. 132). Der Ort des Fußpunktes M des vom Brennpunkt Ft auf eine Tangente der Parabel gefällten Lotes ist eine Parallele zur Leitlinie cp₂, die den Abstand derselben vom Brennpunkte halbiert. Diese Parallele ist selber eine Tangente, die Scheiteltangente, da sie die Parabel in ihrem Schnittpunkte mit der Symmetrieachse, dem Scheitel, berührt.

5. Wie ein Kegelschnitt mit einer Geraden höchstens zwei Punkte gemein hat, so gehen durch einen Punkt A höchstens zwei Tangenten des Kegelschnittes, wie wir jetzt zeigen können. Bezeichnet nämlich Q (Fig. 138) den bezüglich der Ge-

\(Z

Q,

\<œ

ÄY\

Fx

i/

Fig. 139.

Fig. 138.

raden u zu Fx symmetrisch gelegenen Punkt, der sich, wenn u Tangente ist, auf cp₂ befindet, so ist AQ = AF±. Daher liegt Q auf dem Kreise a um A als Zentrum, der durch Ft geht. Andererseits liegt Q auf cp₂. Folglich gibt es zwei Punkte Qt und Q₂ von der Art, daß die Mittellote von FxQt und FXQ₂ Tangenten sind, die, als Radien des Kreises a, durch A gehen. Die Konstruktion hält auch im Falle der Parabel Stich (Fig. 139).

Wenn F₁ mit F₂ zusammenfällt und gp₂ ein Kreis mit dem Kadius 2a bleibt, ist der Kegelschnitt ein Kreis mit dem Radius a. Die obige Tangentenkonstruktion geht dann über in die alte, schon von Euklid angegebene Konstruktion der Kreistangente, die auch in den beiden Nichteuklidischen Geometrien gilt.

Auch die andere Konstruktion der Kreistangente, die darauf beruht, daß der Berührungsradius auf der Tangente senkrecht steht, läßt sich auf die Kegelschnitte übertragen (Fig. 140 und 141). Der Fuß-

t,.

N,

er

Fig. 140.

Fig. 141.

punkt M des Lotes, das man yon F₁ auf die Kegelschnittstangente u fällen kann, liegt, wie wir gesehen haben, bei Ellipse und Hyperbel auf einem Kreise 6 mit dem Radius a, der den Mittelpunkt des Kegelschnitts zum Zentrum hat. Im Falle der Parabel geht dieser Kreis in die Scheiteltangente über. Ein zweiter Ort für M ist der Kreis, der AF₁ als Durchmesser faßt. Durch beide Kreise sind zwei Lagen von M bestimmt und damit ist die Aufgabe gelöst. — Fällt wiederum F₁ mit F₂ in einem Punkte 0 zusammen, so daß der Kegelschnitt in einen Kreis übergeht, so fällt der erste Ort für M mit diesem Kreise zusammen, der zweite Ort wird zum Kreise, der AO zum Durchmesser hat.

Mit diesen metrischen Konstruktionen und Lehrsätzen möge es sein Bewenden haben; weitere Einzelheiten findet man in den Speziallehrbüchern, von denen wir das von Zeuthen⁶) deshalb empfehlen, weil es auf der auch von uns benutzten Definition der Kegelschnitte beruht.

ZWEITES BÜCH.

TRIGONOMETRIE.

Fünfter Abschnitt.

Ebene Trigonometrie und Polygonometrie.

§ 26. Der Sinus.

1. Die Aufgabe der ebenen Trigonometrie besteht darin, den Zusammenhang zwischen den Strecken und Winkeln geradliniger ebener Figuren aufzufinden. Da diese Figuren stets in Dreiecke, und diese mittels der Höhen in rechtwinklige Dreiecke zerlegt werden können, so wird es im wesentlichen darauf ankommen, beim rechtwinkligen Dreieck die Abhängigkeit zwischen Seiten und Winkeln zu bestimmen. Die Winkel denken wir uns zunächst in altherkömmlicher Weise nach Graden, Minuten und Sekunden gemessen, also in einem Maße, dessen Einheiten selbst Winkel sind, ygl. § 23, 4. Durch Angabe eines spitzen Winkels cp = <~CPOQ ist ein bei Q rechtwinkliges Dreieck OQP, wenn nicht seiner Größe, so doch seiner Gestalt nach vollkommen bekannt, indem alle rechtwinkligen Dreiecke OQP, O'QfP', 0” Q"P", .. . mit diesem Winkel einander ähnlich sind. Sie stimmen daher im Verhältnis der Seiten überein:

OQ: QP:PO = ö Q' : Q' F : P' O' = O" Q'' : Q" P" : P" O" = • • -.

O Q'

Fig. 142.

2. Definition. Wir greifen nun eines dieser Verhältnisse heraus: PQ: OP= P'Q' : O'P' = P"Q" : P"0" = • • •. Es ist, wie gesagt, durch Angabe von cp eindeutig festgelegt, umgekehrt legt aber auch das Verhältnis PQ : OP zweier beliebiger Strecken PQ, OP, welche Kathete und Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks sein können(OP> P0, einen spitzenWinkel cp eindeutig fest (3. Ahnlichkeitssatz), d. h. der spitze Winkel ist eine eindeutige Funktion von PQ : OP, und PQ : OP eine eindeutige Funktion des Winkels. Diese wird der Sinus¹) vongp genannt. Man definiert also, siehe Fig. 142,

(i)

PQ gegenüberliegende Kathete

Hypotenuse

1) Ursprung und Bedeutung des Wortes sind nicht ganz sicher; die Sache ist uns durch Vermittelung der Araber zugekommen und seit dem 12. Jahrhun-

3. Verlauf des Sinus. Als Streckenverhältnis ist der Sinus von cp eine unbenannte Zahl, und zwar ein positiver echter Bruch, weil die Hypotenuse größer ist als die Katheten. Läßt man den Winkel, ohne Änderung der Länge von OP, abnehmen, so wird auch PQ und damit der Sinus immer kleiner. Man definiert daher, den Sinusbegriff auf den Grenzfall cp = 0° ausdehnend,

(2)

sin 0° = 0,

und ebenso

(3)

sin 90° = 1,

da PQ im Falle cp = 90° mit P O zur Deckung kommt. Am gleichseitigen und am gleichschenklig - rechtwinkligen Dreieck berechnet man leicht die Sinus von 30°, 45°, 60° und merkt sie nach dem Schema

sin 0”-*1/0 = 0, sin 30» = *yi = *,

(4)

sin 45° = if/2 = £)/2, bei positiv zu ziehenden Wurzeln.

sin 60° = £]/3 = £]/3,

sin 90° = %yi = 1,

Nach § 23 besteht ferner zwischen der Seite s₁₀ des regelmäßigen Zehnecks und seinem Umkreisradius r der Zusammenhang

⁵io

daher gibt das Bestimmungsdreieck dieses Vielecks zu erkennen:

łfio

(5)

sin 18° =

4. Der trigonometrische Peripheriewinkelsatz. Der Umfang eines Kreises wird durch jede Sehne UV in zwei Teile zerlegt, die zu verschiedenen Seiten der Geraden UV liegen. Ordnet man die auf UV stehenden Peripheriewinkel in zwei Gruppen je nach der Lage ihres Scheitels auf dem einen oder anderen Teile des Umfanges,

dert im Abendlande bekannt. Zur Geschichte der Trigonometrie vgl. Cantor, Gesch. d. Mathematik, Bd. I, S. 693; Bd. II, S. 604. v. Braunmühl, Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie. Neuere Begründungen der Trigonometrie findet man in den Lehrbüchern der Elementarmathematik. Erwähnt sei Hübner, Ebene und räumliche Geometrie des Maßes (Leipzig, Teubner 1895); Hessenberg, Ebene und sphärische Trigonometrie (Sammlung Göschen) und die Aufgabensammlungen von Reidt und von Lieber und Lühmann. Haentz-schel, Über die verschiedenen Grundlegungen in der Trigonometrie, Programm des Köllnischen Gymnasiums zu Berlin.

so sind die Winkel der einen Gruppe einander gleich, ebenso die der anderen. Ist UV kein Durchmesser, so sind auf der Seite der Geraden U V, die den Mittelpunkt 0 des Kreises enthält, alle Peripheriewinkel spitz. Sei nun UWV einer der beiden Peripheriewinkel, deren einer Schenkel durch 0 geht; dann U zeigt sich am Dreieck UVW' unmittelbar: sin cp = UV : UW — UV :2r, wenn r den Halbmesser bezeichnet. Die Sehne s = UV ergibt sich also aus r und cp vermöge der Formel

cp

cp

Fig. 143.

(6)

s = 2r sin cp,

die daher als trigonometrische Einkleidung des Peripheriewinkelsatzes anzusehen ist; sie gilt, wie man hinterher bemerkt, auch für cp = 90°.

5. Erweiterung des Sinusbegriffes. Auf der Sehne UV stehen aber auch stumpfe Peripherie winkel cp, welche cp zu 180° ergänzen. Winkel, die einander zu 180° ergänzen, werden supplementäre oder Supplementwinkel genannt. Auch die stumpfen Winkel cp sind einander gleich. Für stumpfe Winkel ist der Sinus begriff nicht definiert. Wir erhalten eine Definition, wenn wir verlangen, daß die Formel (6) sowohl für die spitzen als auch für die stumpfen Peripheriewinkel über der Sehne s=UV gelten soll. Das gibt

(?)

sin ip = sin cp, wenn cp -f cp = 180°,

und man wird wegen (7) und (2) an der Grenze cp = 180° konsequenter Weise

(8)

sin 180° = 0

setzen. Winkel zwischen 0° und 180°, wie sie an Dreiecken Vorkommen können, wollen wir Dreieckswinkel nennen, jedoch einschließlich der Winkel von 0° und 180°. Supplementäre Dreieckswinkel haben hiernach gleiche Sinus. Umgekehrt ist jetzt zu beachten, daß jeder Zahlenwert eines Sinus, wenn er nicht, gleich 1 ist, außer einem spitzen auch einen stumpfen Dreieckswinkel bestimmt.

Das Ergebnis dieser Festsetzungen ist die allgemeine Gültigkeit des trigonometrischen Peripheriewinkelsatzes: Ist s eine Sehne eines Kreises vom Radius r, und cp einer der auf s stehenden Peripheriewinkel, so ist

(9)

s = 2r sin cp.

(ii)

a : b : c : = sin a : sin ß : sin y,

d. h.

Sinussatz. Die Seiten eines Dreiecks verhalten sich wie die Sinus der gegenüberliegenden Winkel.

Wir fällen im Dreieck

7. Höhen und Flächeninhalt.

ABC die Höhe hc = CD. Je nachdem der Winkel ß spitz ist (Fig. 145)

ß/ß'

Fig. 146

Fig. 145.

oder stumpf (Fig. 146), hat man an dem Dreieck BDC, wenn ß' in Fig. 146 den Supplementwinkel von ß bezeichnet,

hc: a = sin ß, bzw.: he: a — sin ß'.

Hier bewährt sich wiederum die Festsetzung (7), die beide Fälle zusammenzufassen gestattet:

(12)

'A

o^r"r

Fig. 144.

(10)

und

6. Der Sinnssatz. Diesen Satz wenden wir jetzt auf das Dreieck ABC mit den Seiten a, b, c, den Winkeln cc, ß, y und dem Umkreisradius r an, eine Bezeichnung, die im ganzen Abschnitte durchgeführt werden soll (Fig. 144). Nach (9) ist, gleichgültig ob unter den Winkeln ein stumpfer yorkommt oder nicht:

a = 2r sin cc, b = 2r sin ß, c = 2r sin y,

ha = a sin ß.

Da ebenso auch hc = b sin a allgemein gilt, so erhält man durch Grleichsetzen beider Ausdrücke einen neuen Beweis von (11). Aus (12) folgt, wenn für a der Wert aus (10) eingesetzt wird,

hc = 2r sin a sin ß.

Der Inhalt A yon ABC ist daher, ebenfalls mit Hilfe von (10), A = \che — 2r² sin a sin ß sin y.

Wir haben also die Formelgrnppen

(13)

und

ha = 2r sin ß sin y, hb = 2r sin y sin a, hc = 2r sin a sin ß,

(14)

(15)

A = 2r² sin a sin ß sin y,

A = sin y = Ą be sin a = Ą ca sin ß =

8. Aufgaben. Von allen diesen Formeln sind primär nur diejenigen, welche die Dreiecksstücke durch r und die Winkel ausdrücken, also (10), (13), (14). Mit ihrer Hilfe sind die anderen abgeleitet; sie lösen u. a. die Aufgabe, die in (10), (13), (14) yorkommenden Stücke des Dreiecks zu berechnen:

At): aus a, ß, r; A₃): aus a, a, 6;

A.₂): aus cc, ß, a-Aé) : aus a, ß, A ;

A₅): aus a, a, hb.

beachten, daß der größeren der Seiten a, b auch der

zu

Bei A₃) ist

größere der Winkel a, ß gegenüberliegt. Wie die zur Berechnung des Sinus dienende Tabelle zustande kommt, kann erst später gezeigt werden. Vorläufig mag man sich solche - Tabellen von 10° zu 10° durch Ausmessen von hinreichend großen Dreiecken herstellen.

¹

Die Gleichsinnigkeit von Streckeneinteilungen derselben Geraden kann nach § 15 definiert werden; die Gleichsinnigkeit paralleler Geraden durch Orthogonalprojektion der einen auf die andere.

²

   Bei dieser Modifikation bleibt die Lösung auch in dem Spezialfalle gichtig, daß Je eine Gerade ist.

³

   Die Fig. 124 ist dem hyperbolischen Büschel gewidmet, wo die Konstruktion am umständlichsten ist; beim elliptischen Büschel hat man p sofort.

⁴

   Nach Maßfeiler.,. Archiv d. Math. u. Phys. (3) 3, 189.

Web.er u. Wöllstein: Enzyklopädie. II. 3. Aufl.

⁵

Hier braucht r\ die Linie qp₂ nicht zu treffen.

⁶

Grundriß einer elementargeometrischen Kegelschnittslehre.

§ 27. Der Kosinus.

1. Definition. Zum rechtwinkligen Dreieck OQP der Fig. 142 zurückkehrend, siehe Fig. 147, definieren wir das Verhältnis OQ : OP, in seiner Abhängigkeit von dem spitzen Winkel cp, als Kosinus von cp, in Zeichen:

(1)

OQ

anliegende Kathete

COS (p — Qp

Auch diese Größe ist durch den spitzen Winkel cp eindeutig bestimmt, und umgekehrt legt das Verhältnis OQ: OP, dessen Nenner als Hypotenuse aber den Zähler als Kathete an Größe übertreffen muß, den Winkel cp eindeutig fest, wiederum, wie beim Sinus, nach dem dritten Ahnlichkeitssatze. In

Weber u. Well st ein: Enzyklopädie. II. 3. Aufl.

Hypotenuse

<P

0 Q'

Fig. 147.

20

bezug auf den Winkel ip = ^COPQ ist OQ:OP das Verhältnis der gegenüberliegenden Kathete zur Hypotenuse, also der Sinus, daher:

(2)

cos cp — sin iß, wenn cp + i/j = 90°.

Zwei spitze Winkel, die sich zu einem rechten ergänzen, werden komplementäre oder Komplementwinkel genannt, jeder heißt das Komplement des anderen. Der Kosinus eines spitzen Winkels ist also der Sinus seines Komplementwinkels. Das will auch das Wort Kosinus besagen, als alte, dem 17. Jahrhundert entstammende Abkürzung für complementi sinus.

2. Der Verlauf des Kosinus ergibt sich aus (2) und §26,3. Dehnt man (1) oder (2) in stetigem Übergang auf die Grenzlagen cp = 0° und cp — 90° aus,

(3)

cos 0° = 1, cos 90° = 0,

so können wir sagen: der Kosinus eines spitzen Winkels ist eine unbenannte positive Zahl, die mit wachsendem Winkel von cos 0° = 1 bis cos 90° = 0 abnimmt. Nach (2) kennt man mit Rücksicht auf § 26, (4) und (5) die Zahlen werte:

(3)

cos 30° = i|/3, cos 45° = ^Ÿ~2, cos 60° =

y 5 — i

cos 72° =

3. Der Projektionssatz. In den Fig. 145 und 146 erscheint die Grundlinie c des Dreiecks ABC als Summe bzw. als Differenz der Projektionen AD, BD der Seiten b, a. Dem Dreieck BDC entnimmt man

bei Figur 145: BD=a cos/3, „    „    146: BD = a cos/3',

beidemal ist: AD = b cos«, daher

bei Figur 145: c = b cos a + a cos ß, „    „    146: c = b cos a — acos/3'.

Um nun dieser Fallunterscheidung enthoben zu sein, fordern wir die Gültigkeit der Formel

c = a cos ß -f b cos cc

auch für Fig. 146; das bedeutet die Definition:

cos ß' = — cos ß,

a = beos y -f- ccos ß, b = c cos cc -j- cl cos y, c = a cos ß 4- b cos a,

wenn ft der Supplementwinkel des stumpfen Winkels ß ist. Wir haben somit den

Projektionssatz:

(5)

der, wie man nachträglich sieht, auch in den Grenzlagen cc — 0°, 90°, 180° einen guten Sinn behält, wenn man, übereinstimmend mit (4),

(6)

cos 180° = — 1

setzt.

4. Stumpfe Dreieckswinkel. Die Festsetzung (4) besagt: Supplementäre Dreieckswinkel haben entgegengesetzt gleiche Kosinus,

(7)

cos cf) = — cos (180° — qp),

Der Pythagoreische Lehrsatz ergibt für das Dreieck OQP der Fig. 147 unmittelbar: (sinqp)² -f (cosqp)² == 1. Ist dagegen cp ein stumpfer Winkel und cp' sein spitzer Supplementwinkel, so ist wiederum

(sinqp')² -f- (cos <p')² = 1,

sodaß also auch in diesem Falle, mit Rücksicht auf (7) und § 26, (7), die Identität (sin qp)² + (cos qp)² = 1 besteht, die zur Ersparung der Klammern, da ein Mißverständnis nicht zu befürchten ist,

(8) sin <p² -j- cos qp² = 1, sin² qp -f cos² qp = 1, geschrieben wird. Es ist daher für alle Dreieckswinkel

sin qp = ]/l — cos qp²,

0^^180°.

0° £ cp £ 180°

(9)

wenn 0° qp 90°, „ 90° <cp£ 180°.

cos qp = + y 1 — sin qp cos qp = — yl — sin qp²,

5. Der Kosinussatz. Der Projektionssatz ist der Hauptsatz der ebenen Trigonometrie, aus dem sich alle anderen Sätze rein rechnerisch ahleiten lassen. Auf diesem Wege ist schon in § 12, 7. der Sinussatz gewonnen worden, wobei vom Sinus nur die Eigenschaft (8) benutzt ist, und so beweist man nun auch den

ft² = &²-fc²-26c cos a,

&² = c² -f- a² — 2ca cos ß, c² = a² -f b² — 2ab cos y,

indem man in der dritten Formel (5) die aus den beiden ersten für cos ß und cos cc sich ergebenden Werte einsetzt. Für y = 90° erhält man aus der dritten Formel (11) als Sonderfall den Pythagoreischen Lehrsatz.

(10)

Kosinussatz:

(H)

20*

während '(12) mittels des Sinussatzes c : a — sin y : sin a oder § 26,

(10) in

(14)

6. Zweiteilung des Winkels. Wendet man den Projektionssatz in Gestalt der dritten Formel von (5) und (7) auf das gleichschenklige Dreieck ABC mit a = b, a = ß an, so folgt

c = 2 a cos cc,

oder, wenn man den Wert für c aus (12) in (12') einträgt:

2 cos a² = 1 — cos y,

(12)

(12') c² = 2a²( 1 — cosy)

(13)

sin y = 2 sin a cos a

übergeht. Da aber jetzt y zu 2a supplementär ist, so hat man nach (13) und (14) die Formeln

(15)

(16)

2 cos a² = 1 -f- cos 2a, sin 2 a == 2 sin a cos a,

zu

denen wegen (8) noch

(15')

2 sin a² = 1 — cos 2 a

kommt; sie sind bewiesen für 0 2a <1 180°. Da die Hälfte eines Dreieckswinkels y nicht über 90° geht, so ist nach (15), (15'):

(16)

;in y,2 -

cos

r/2=yi_±^lt

mit positiver Wurzel.

(17)

7. Umformung des Kosinussatzes. Durch Einführung von cos y = 2 cos² y/2 — 1 = 1 — 2 sin² y/2 (nach (15) und (15')) setzt sich die dritte Formel (11) in c² = (o• -f- 6)² — Aal) cos² y/2

und

(17')

c² = (a — by -f- 4ab sin² y/2

um; hieraus folgt:

4ab sin² y/2 = c² — (a- — &)² = (c — a + b)(c -f a — b), 4a&'cos² y/2 = (a + b)² — c² = (a + b — c)(a + b + c),

also, wenn man, wie in § 24, (1) und (2), den halben Umfang

(18)

a -)- b + c

zur Hilfe nimmt,

(19)

— a)(s — b)

cos

— C)

die Wurzeln sind positiv zu ziehen. Diese Formeln dienen hauptsächlich zur Berechnung von y aus a, b, c- sie bestimmen je den spitzen Winkel yj2 eindeutig. Die dritte Formel (11) wäre für diesen Zweck offenbar weniger geeignet, weil ihr „die logarithmische Form" eines Produktes oder Quotienten fehlt.

§ 28. Vermischte Anwendungen des Sinus und Kosinns.

1. Die Kongruenzsätze. Den vier Kongruenzsätzen (§ 20, 6.) entsprechen die vier Aufgaben, ein Dreieck zu bestimmen

II. aus c, a, /3 ; IV. aus «,&,«.

I. aus a, b, y ;

III. aus a, b, c ;

Die erste Aufgabe wird durch den Kosinus gelöst: man findet zuerst

(i)

c = ]/a²-f- &² — 2ab cos y,

worauf der Sinussatz anwendbar wird und r bekannt ist. Für c werden wir später eine der logarithmischen Rechnung zugänglichere Formel finden. Bei H. führt der Sinussatz zum Ziel; ferner ist mit c und y = 180°— a — ß auch r bekannt, nach § 26, (10). Die Aufgabe III. ist in § 27, 7. erledigt worden. Zur Lösung von IV. hat man nach dem Sinussatze

(2)

sin ß = ~ sin a,

wodurch, wenn nicht gerade sin ß = 1 ist, ein spitzer und ein stumpfer Dreieckswinkel ß festgelegt sind; von diesen ist der spitze wegen

(2) kleiner als a oder größer als a, je nachdem b < a oder b > a. Andererseits liegt der kleineren Seite auch stets der kleinere Winkel gegenüber. Im Falle b > a ist also neben dem spitzen auch der stumpfe Winkel eine Lösung, im Falle b < a dagegen nur der spitze, da sein Supplementwinkel größer als a ist. Damit ist die Hauptaufgabe der Trigonometrie, den Zusammenhang zwischen den Seiten und Winkeln des Dreiecks anzugeben, im wesentlichen gelöst. Alles Weitere dient nur dem Ausbau der Theorie.

2. Der Inkreis und die Ankreise des Dreiecks. Die Mittelpunkte dieser Kreise seien J,

an

.7

ßl

Fig. 148.

J₆, J”c, s. Fig. 148. Dann ist dem Dreieck AJB nach dem Sinussatze

a-f

AJ:AB= sin/3/2:sin ^180°

und

== sin ß/2 : sin (90° — y/2) = sin ß/2 : cos y/2,

AJ = c sin ß/2 : cos y/2, oder, da

c=-=2rsiny = 4r sin y/2 cos y/2

ist,

(3)    </ == 4r sin /3/2 sin y/2 .

Das Lot p aus Jauf A B ist der Inkreisradius ; daher ist : sin a/2 == p : A J, also

(4)

p = 4r sin a/2 sin ß/2 sin y/2 .

Ebenso verfährt man mit dem Dreieck AJCB, dessen durch Jc gehende Höhe pc der Radius des Ankreises Jc ist:

(5)

AJC : AB = sin(90° — ß/2) : sin(90° — y/2) = cos/3/2 : cos y/2, pe : AJC = cos a/2, pc = AB cos a/2 cos ß/2 : cos y/2. pc= 4r cos a/2 cos /3/2 sin y/2.

Wir haben demnach, ausgedrückt durch r und die Winkel,

pa = 4r sin a/2 cos ß/2 cos y/2,

(6) p = 4r sina/2 sin ß/2 sin y/2 ; pö = 4r cos a/2 sin/3/2 cos y/2,

p = 4r cosa/2 cos ß/2 sin y/2.

3. Der Umfang. In§ 24,(5) war gefunden worden:

A = sq = (s - a)Qa = (s - b)çb =(s-c)Qg,

während nach § 26, (14):

A = 2r* sin« sin ß siny = 16r²sina/2 cos a/2 sin/3/2 cos/3/2 sin y/2 cosy/2 ist; daher die Formelgruppe:

s — a = 4r cos a/2 sin /3/2 sin y/2,

(8) s = 4r cosa/2 cos /3/2 cos y/2; s — & = 4r sin a/2 cos /3/2 sin y/2,

s — c == 4r sin a/2 sin /3/2 cos y/2 .

4. Das (r, cc, ß,, y)-Verfahren. Es ist jetzt nicht mehr schwer und eine nützliche Übung, die wichtigsten am Dreieck verkommenden Strecken durch r und die Winkel darzustellen. Auf diese Formeln läßt sich dann ein sicher zum Ziel führendes Verfahren gründen, um aus drei Stücken eines Dreieckes, falls sie dies bestimmen, die übrigen zu berechnen. Es genügt, wenn wir das Verfahren für den Fall skizzieren, daß die gegebenen Stücke drei Strecken sind. Werden diese durch r, a, ß, y ausgedrückt, so erhält man durch Elimination von r zwei Gleichungen für die Winkel, woraus diese wegen a -j- ß + y = 180°, wenn überhaupt, so durch Elimination berechnet werden können. Darauf findet man r und alle anderen Stücke. Nur wird die Elimination eines Winkels aus zwei trigonometrischen Formeln vorläufig noch Umstände bereiten. Wir müssen daher die Methodik des Rechnens mit Sinus und Kosinus noch etwas vervollkommnen. Dazu wird uns wiederum der Projektionssatz verhelfen.

§ 29. Additionstheoreme des Sinus und Kosinus.

1. Zusammenhang zwischen dem Sinus und Kosinus der drei Dreieckswinkel. Durch Einsetzen von a = 2r sin cc, ö=2rsin/3, ć = 2rsiny in die Formeln des Projektionssatzes erhält man:

(U

sin a = sin ß cos y -f- cos ß sin y, sin ß — sin y cos cc + cos y sin a, sin y = sin cc cos ß + cos a sin ß.

Wird der Wert von siny aus der dritten Formel in die zweite eingesetzt, so kommt

sin ß = sin a cos a cos ß -f cos cc² sin ß -f cos y sin a, sin ß(l — cos cc²) = sin cc (cos cc cos ß -f- cos y), sin ß sin a = cos a cos ß + cos y.

Die Division durch sin a wäre nur im Falle sin a — 0 unerlaubt, man sieht aber hinterher, daß die Schlußformel auch für a — 0° und a == 180° zutrifft. Es ist also

(2)

cos y = sin a sin ß — cos a cos ß,

gültig für alle ebenen Dreiecke, auch im Falle ihrer Ausartung in einen auf einer Geraden liegenden Streckenzug. Durch zyklische Vertauschung von cc, ß, y erhält man noch zwei Formeln.

2. Additions- und Subtraktionstheoreme. Da y zu cc -j- ß supplementär ist, so folgt aus (2) und der dritten Formel (1):

cos (cc -f- ß) = cos a cos ß — sin cc sin ß,    ^    ^ ^ „

. :    :    0°£a +    180°:

sin (a -f ß) = cos a sin ß -f- sin a cos ß •

der Inhalt dieser Formeln heißt das Additionstheorem des Sinus und Kosinus. — Sind, wie immer, a, ß, y die Winkel eines Dreiecks und ist ß a, so können auch ß und ô = a — ß Winkel eines Dreieckes sein. Daher ist nach (3):

cos a = cos (d -f- ß) =" cos ô cos ß — sin d sin ß, sin a = sin (d + ß) = cos d sin ß -f- sin d cos ß.

Indem man entweder die erste Gleichung mit cos/3, die zweite mit sin/3; oder die erste mit — sin/3, die zweite mit cos ß multipliziert und die Summe bildet, resultieren wegen sin /3² -f- cos ß² = 1 die Formeln des Subtraktionstheorems:

cos (a — ß) = cos a cos ß -f sin a sin ß , sin (a — ß) = sin a cos ß — cos a sin ß .

3. Verwandlung von Summen in Produkte. Mit Hilfe der Bezeichnungen a + ß = cp,

(5)

y + ^

schließt man aus (3) und (4) durch Addition und Subtraktion:

sin cp -f- sin cp =    2 sin y ^ cos ^    --

(6)

sin cp — sin cp —

~ qp 4- ih

COS qp -f COS Cp =    2 COS '

COS

cp < cp < 180°.

Cp — 'lp

cos <p

— cos^> = — 2 sin    sin^-—-

a    J

Die Gültigkeit dieser Formeln¹) ist vorläufig ihrer Ableitung nach an die beigefügte Einschränkung 1p cp 180° geknüpft, die aber immerhin weniger eng ist, als wenn verlangt wäre, daß <p, cp Winkel desselben Dreiecks sein müssen; jetzt ist wenigstens nicht ausgeschlossen, daß 95 und cp beide stumpf sind. Mit Hilfe dieser Formeln ist man in der Lage, Ausdrücke wie s, s — a, s — b, s — c aus § 26, (10) rein rechnerisch abzuleiten; ferner beherrscht man die Ausdrücke q — Qa, ± Qb und dergleichen, es wird so ein reicher Übungsstoff zugänglich. Die Sammlung der (r, <x, ß, y) Formeln bereichere man durch Darstellung der Winkelhalbierenden und Höhenabschnitte.

4. Zweiteilung und Dreiteilung des Winkels. Aus (3) gehen für ß — a wieder die Formeln

sin 2a = 2 sina cos a,

cos 2 a = cos a² — sin a² = 2 cos a² — 1 = 1 — 2 sin a²

von 8 27, 6. hervor, aus denen vermöge (3) dann weiter folgt, wenn 3a <1 180° beträgt:

sin 3a = sin (2a + a) = sin 2a cos a -j- cos 2a sin a,

= 2 sin a cos a cos a + (2 cos a² — 1) sin a,

= sin a [4 cos a² — 1],

cos 3 a = cos (2 a -f a) = cos 2 a cos a — sin 2 a sin a ,

= (2 cos a² — 1) cos a — 2 sin a cos a sin a,

= 2 cos a [4 cos a² — 3] ,

(8)

wo x = 2 cos qp, (p < 60°.

also, mit Wechsel der Bezeichnung, sin 3(p = sin gp[#² — 1], cos 3 cp = x [x* — 3],

5. Sinus- und Kosinustafeln. Wir werden auf diese Formeln, die sich offenbar fortsetzen lassen, später zurückkommen; jetzt aber wollen wir zeigen, wie sich allenfalls darauf eine Berechnung der Sinus- und Kosinustabellen gründen ließe. Nach § 26, (4) und § 27, (3) ist:

(9)

sin 30° = £, cos 30° = f ]/3,

also nach § 27, (16)

(10)

Sinl5» = ]/i=f8301 C0815« = |/i±fs30''

-jV2-V3,

~~Ÿ2+ÿÏÏ.

Ferner ist nach § 26, (5):

yi—i

sin 18° =

also

cos 18° = ]/l - (sinl8⁰)² = \    + 2 j/5 .

Daher kennt man auch sin 3°= sin (18° — 15°) und cos 3°. Durch wiederholte Anwendung des Additionstheorems wäre es also möglich, für den Sinus und den Kosinus eine von 3° zu 3° fortschreitende

(H)

Tabelle zu berechnen; algebraisch wäre dazu nur fortgesetztes Ziehen von Quadratwurzeln erforderlich. Um eine von Grad zu Grad steigende Tabelle zu erhalten, müßte man aus cos 3° die Größen cos 1° und sin 1° berechnen; das leistet Formel (8). Vorteilhafter und einfacher ist es aber, zu diesem Zwecke von 3 qp = 60° auszugehen und zuerst x — 2 cos 20° zu berechnen. Nach der zweiten Formel (8) hat man, da cos3qp = cos 60°= \ ist, für x die Gleichung

(12)

1 = xs— 3x,

die im casus irreducibilis stehend natürlich nicht trigonometrisch, sondern durch eine Näherungsmethode zu lösen wäre. Bildet man

(13)

f(x) — x³ — 3x — 1,

so zeigt die Zusammenstellung:

f(- 2)-—3, /■(— i) — i, a°) - -¹, m-u

daß die Gleichung zwei negative und eine positive Wurzel hat. Nur die letzte kann für x = 2 cos 20° in Betracht kommen. Diese ist:

x= 1,8793852... .

Aus cos20°=ic/2 ergibt sich dann sin 20° zwar mittels der ersten Formel (8), doch wird diese rechnerisch vor sin20° = y,l — (cos20⁰)* kaum einen Vorzug haben. Jedenfalls kennt man nun sin2°= sin(20°—18°) und cos 2°, und schließlich sin 1° und cos 1° (nach § 27, (16)). Darauf steigt man mittels der Additionstheoreme gradweise auf. Diese Arbeit wird wesentlich verkürzt, wenn man beachtet, daß wegen des Zahlenwertes sin 30° = nach der ersten und vierten Formel (6)

sin (30° -f- qp) 4- sin (30° — qp) = cos qp,

cos (30° -j- qp) — cos (30° — qp) = — sin qp,

also

(14)

sin (30° -f- qp) = cos qp — sin (30° — qp), cos (30° -f- qp) = cos (30° — qp) — sin qp

ist. Sind also sinqp und cosqp nach dem auseinandergesetzten Verfahren für qp = 0° bis qp = 30° berechnet, so kommt man mittels (14) bis 60° durch einfache Substraktionen; man braucht aber wegen der Gleichung cos qp = sin (90° — qp) nur bis 45° zu gehen.

Methoden der geschilderten Art haben tatsächlich vor den Entdeckungen der Analysis zur Berechnung von Tabellen gedient.

§ 30. Die Funktionen Tangens und Kotangens.

/]

1. Definition. Yon den sechs Verhältnissen, die sich aus den drei Seiten des rechtwinkeligen Dreiecks OQP, Fig. 142, des § 26 bilden lassen, sind nunmehr der Sinus und der Kosinus ausführlich besprochen. Bei den übrigen können wir uns kürzer fassen und uns, unter Übergehung der wenig gebrauchten Funktionen (Fig. 149)

(o

secans cp — sec cp =

OP

OQ

= 1 : cos cp,

i/v !

OP .    .    0

cosecans cp = cosec cp = ^ = 1 : sin cp,

¹ Q

Q'

Fig. 149.

die im Unterricht jedenfalls ganz entbehrlich sind, auf die Funktionen tangens cp = tg cp =

gegenüberliegende Kathete

(2)

OQ

anliegende Kathete

cotangens cp = ctg cp = ^ beschränken. Hiernach ist

anliegende Kathete

gegenüberliegende Kathete

(3)

ctg cp = 1 : tg cp, tg cp = 1 : ctg cp, tg cp ■ ctg cp = 1-,

es wird also wesentlich nur auf die Untersuchung des Tangens ankommen. Zwischen tg cp und ctg cp besteht ein ähnlicher Zusammenhang, wie zwischen sin cp und cos cp, nämlich, wie die Figur unmittelbar zeigt,

ctg cp = tg (90° — cp), cp < 90°,

und das soll auch wieder der Name Tangens = complements tangens ausdrücken. Mit sin cp und cos cp steht tg cp in dem Zusammenhang

, _PQ_PQ:OP sin cp ë(p ~ OQ~ OQ: OP ~~ cos cp

(4)

(5)

1 ctg cp

COS qp sin qp ’

der den Charakter des Tangens als einer Hilfsfunktion deutlich erkennen läßt, und da der Kosinus des spitzen Winkels cp als sin (90°— cp) nur eine andere Phase von sin cp ist, so ist der Sinus-Kosinus die einzige fundamentale Funktion der Trigonometrie.

Aus der Formel (5) oder dem Dreieck OQP bei festgehaltener Kathete OQ und wachsender Kathete QP ergibt sich folgender

2. Verlauf von tg cp: Die Funktion tg cp des spitzen Winkes cp ist eine positive, unbenannte Zahl, die mit dem Winkel ununterbrochen

wächst, und zwar, wenn man die Formel (5) auch für die Grenzfälle cp — 0°, cp = 90° vorsehreibt, von tg 0° = 0 ausgehend, über

tg 30° -

]/S

tg 45° = 1

tg 60° - Y3,

zu immer höheren Werten, so daß tg 90° = -f oo wird.

Auf dieser unbegrenzten Wertskala beruht ein großer praktischer Vorzug des Tangens gegenüber dem Sinus und dem Kosinus; auch liefert die Funktion Tangens aus diesem Grunde stets genauere Rechenergehnisse als der Sinus und Kosinus. Im übrigen ist natürlich nicht nur tg <p durch den Winkel cp eindeutig bestimmt, sondern es gibt auch umgekehrt einen und nur einen spitzen Winkel, dessen Tangens einen vorgeschriebenen Zahlenwert x hat, denn alle rechtwinkeligen Dreiecke mit PQ : OQ = t stimmen in dem von PQ, OQ eingeschlossenen rechten Winkel überein und sind daher ähnlich.

3. Begriffserweiterung. Der Begriff tg cp wird auf stumpfe Dreieckswinkel ausgedehnt, indem man auch für diese die Gültigkeit von (5) verlangt; das heißt aber, da zu supplementären Winkeln gleiche Sinus und entgegengesetzt gleiche Kosinus gehören:

tg V + tg cp' = 0,

(6)

wenn

cp -j- cp' = 180°,

oder

(7) tg(180° — <jp) = — tgcp, ctg (180° — cp) = — ctg qo, 0<^<p<^ 180°. In denselben Grenzen gilt in seiner trigonometrischen Einkleidung der

4. Satz des Pythagoras:

(8)

sin cp² + cos cp² — 1.

Dividiert man durch sin cp² oder cos cp², so folgt jetzt wegen (5):

(9)

1 + tg cp² =

1 + ctg cp² =

-

cos cp²

Hiernach ist jede der Funktionen sin cp, cos cp, tg cp, ctg cp durch die übrigen mit Hilfe von Quadratwurzeln darstellbar. Rational werden dagegen die Ausdrücke, die sin cp, cos cp, tg cp durch tg qp/2 darstellen ; nach (9) ist nämlich, unter Beschränkung auf spitze Winkel,

sin qp*

]/T+tgv’

mit positiver Wurzel, andererseits ist nach § 27, (15) und (16):

sin 2cp — 2 sin cp cos cp,

cos cp =

V¹ + tg <p*’

sin cp =

0 £ cp £ 90°,

also

cos 2 cp = 2 cos cp² — 1,

cos ²<p = ï+w’ BÜ1 ^ ~ iw?

Setzt man also 2 cp = x und

(10)

tg xj2 = t,

so erhält man die in der Integralrechnung viel gebrauchten Formeln:

1 —i2 1 4- <**

(H) sin x —

COS X =

0£x< 180°.

5. Mollweidesche Gleichungen und Tangentensatz. Wir hätten schon in § 29, 3. mittels der Dreiecksformeln

a — 2r sin a, b = 2r sin ß,

c — 2r sin y

für a > b die Ausdrücke

(12)

I -w    1    • CC -f- ß

a + b = 4r sm —

■JA    “f" ß

a — b = 4r cos —

cos

. u —

sm

cc — ß A

—-    = 4r cos

= 4r sin -- sin

&    i

a —

cos —

"OCJ

-ß

bilden können, die dann auch a + b dem (r, a, ß, y) -Verfahren zuführen. Fügt man noch

(13)

c — 2r sin y — 4r sin yj2 cos yj2

hinzu, so erscheinen die sogenannten Mollweideschen Gleichungen²)

. u —

81n 2

(14)

a -f- b

cos

cc-ß

sin —

cos

und der Tangentensatz:

(15)

a -j- b a — b

tg    ctg

to jv>

a—ß tg~2

cc — tg — s 2

-ß’

(12) und (13). Die Formel (15) ermöglicht die

als Folgerungen von Berechnung von cc — ß aus a, b, y (u > b) auf logarithmischem Wege, worauf c durch (14) gefunden wird. Damit ist eine im § 28, 1. bemerkte Lücke ausgefüllt.

6. Additionstheoreme. Aus den Additionstheoremen des Sinus und Kosinus schließt man:

USW.,

,    ,    _ sin cc COS ß -j- cos cc sin ß_ tg cc -j- tg ß

ö \a "T P) cos a c08 ß — gin cc sin ß 1 — tg cc tg ß ’

und erhält so die Additions- und Subtraktionstheoreme:

tg a -r- tg /?

1 -ftgcctgß’ ctg « ctg ß -f-1 ctg a — ctg ß *

(16)

frr („    _ *g “ + *8 ß

g (    ^    1 — tgatgß’

ctg et ctg ß — 1 ctg cc —J- ctg ß ’

ctg (a + ß) =

tg (a — ß) = ctg (a - ß) =

Infolge der Festsetzung (6) ist ferner tg (u -f- ß) = — tg y, also

-W- tg“+tgj_,

° ' i — tg a tg e

und

(17)    tg a + tg ß + tg y = tg a tg ß tg y,

Da auch ^90° —    ^90° —    (90° — -Çj die drei Winkel eines Drei

ecks, z. B. von JaJbJe, sind, so gilt für sie die Formel (17), daher:

(18)    ctg | +ctg |-f ctg | = ctg I ctg I ctg ; « + ß -I- y = 180°.

a -f- ß -j- y = 180°.

to

Die Summe ctg a -j- ctg ß -f- ctg y läßt ebenfalls eine merkwürdige Darstellung zu, die wir zum Abschluß noch bringen wollen.

7. Die Brocardschen Punkte. Diese ausgezeichneten Punkte R und R' des Dreiecks ARC sind durch die Forderung:

^RAC=^RCB=3: RR A

(19)

und

<£ R'AR = <£ R'RC - R’CA

definiert. Bezeichnet man den Winkel in (19) mit co, so ist, wie die Fig. 150 zeigt, <)C RCA = y — o, also ^ CRA = 180° — y. In der

Figur ist diese Angabe der Kürze wegen in Bogenmaß eingetragen, wonach dem gestreckten Winkel die Maßzahl % zukommt, vgl. § 31,2. Man hat demnach

(20)

"A

c/h

(21) <£ ARC - ^ CRR = ^ RR A.

oh

"st-ß

Fig. 150.

Hierdurch ist R nach dem Peripheriewinkelsatze festgelegt, und zwar wird der Mittelpunkt Cx des Kreises durch A und C, der den Peripheriewinkel ARC = 180° — y faßt, einfach als Schnittpunkt des Mittellotes von AC mit dem Lote in C auf RC gefunden. Entsprechend die anderen Mittelpunkte Rt, Aj.

Zur Bestimmung des Winkels »

wenden wir auf die beiden Dreiecke CRA, CRB den Sinussatz an und erbalten

_ _ sin (ß — ca) sin ß ’

, sin cd

0--

sin y

RC =

und hieraus abermals nach dem Sinussatze: sin cd sin y

sin ß

= sin a

sin (ß — cd)

daraus

sin ß

= a { cos ra — ctg j(3 sin co },

oder, da

ist:

sin ß

sin y sin a sin ß = sin a cos y cos a sin y

= ctg « - ctg ß,

(22)

ctg a + ctg ß + ctg y = ctg co.

Wenn man denselben Winkel co in den Punkten A, B, G an den Seiten c, a, b statt an b, c, a anträgt, so erhält man den zweiten Bro-cardschen Punkt R'. Der Winkel co ist also durch die Forderung (19) oder (20) eindeutig bestimmt.

8. Rückblick. Hiermit schließen wir den niederen Teil der Trigonometrie, die Dreiecksberechnung im engeren Sinne. Sie ist im Grunde nichts anderes als ein mehr ausgebauter Abschnitt der Ahn-lichkeitslehre. Wie sich die trigonometrischen Funktionen sin <jp, cos cp, tg cp aus dem Winkel berechnen und wie man umgekehrt aus sin cp, cos cp, tg cp den Winkel findet, darüber geben unsere Sätze keine oder nur notdürftige Auskunft § 29, 5. Um diese funktionentheoretischen Fragen der Lösung zuzuführen, wird zunächst eine Erweiterung der Grundformeln nötig sein.

¹

Über die merkwürdige Rolle, welche diese Formeln vor Erfindung der Logarithmen gespielt haben, vgl. Bd. I, 3. Aufl., § 42.

²

Mollweide, geb. 1774 zn Wolfenbüttel, Mathematiker und Astronom in Leipzig 1825.

§ 31. Goniometrie.

1. Ziel der Goniometrie. Die im vorangehenden entwickelten Hilfsmittel reichen im Grunde für praktische Messungen am ebenen Dreieck und Vieleck vollkommen aus, würden aber bei Vielecken, je nachdem sie einfach oder überschlagen sind, einspringende Ecken haben oder nicht, zur Unterscheidung zahlreicher Fälle nötigen, weil die trigonometrischen Funktionen zunächst nur für Winkel bis zu 180° erklärt sind. Darüber hinausgehende Winkel kommen aber überall vor, wo man die Winkel, unabhängig von einer anzuschauenden Figur, an der man im einzelnen Fall immer eine passende Wahl treffen könnte, systematisch als Maß von Drehungen definiert, wie z. B. in der analytischen Geometrie und in der Mechanik; wir müssen daher zu einer neuen, dann aber definitiven Erweiterung der Grundbegriffe schreiten. Zu diesem Zwecke sollen diejenigen Formeln, welche, wie die Addi-

tionstheoreme, sich nur auf trigonometrische Funktionen, nicht auch auf Streckengrößen, beziehen, als einheitliches Ganzes, die Goniometrie, zusammengefaßt und auf ausreichend breiter Grundlage ohne überflüssige Einschränkungen ihrer Gültigkeit entwickelt werden.

2. Absolutes Winkelmaß. Dabei soll, um an die Bezeichnungsweise der Analysis Anschluß zu gewinnen, die auch die numerische Abhängigkeit der trigonometrischen Funktionen vom Winkel festzustellen hat, die althistorische Winkelmessung nach Graden, Minuten und Sekunden durch die absolute ersetzt werden, die wir schon in § 23,13. vorweggenommen hatten. An einem Kreise vom Radius r verhält sich ein Bogen arcus AB zu dem ganzen Umfang 2 Ttr wie der zugehörige Zentriwinkel von cp° zu 360°, wobei es aber nicht nötig ist, daß der Winkel in Grad gemessen eine ganze Maßzahl qp° erhält. Es ist also (Fig. 151) arc A' B'

⁼ 360° ⁼    2 nr' ’

B'

■<r

r'

>/

Fig. 151.

oder

arc AB 2 nr

cpO

arc AB

arc A' B'

wenn A'B den Bogen über demselben Zentriwinkel auf einem Kreise vom Radius r bedeutet. Dieses nur vom Winkel, nicht vom Radius abhängige Verhältnis wird nun als absolutes Maß

arc AB

(1)

(p — 2%.

<P°

360°

bezeichnet, oder auch als Bogenmaß, da in ihm sich der Bogen durch

(2)

arc^lJ? - rep

ausdrückt und qp sich für r = 1 als Maßzahl des Bogens zum Zentriwinkel ep auf dem Kreise vom Radius r= 1, dem sogenannten Einheitskreise, erweist. Im Bogenmaß entspricht dem

t-s a

rechten Winkel die Maßzahl , dem gestreckten 7t.

3. Orientierte Winkel. Die Drehung des Radius r eines Kreises um seinen Mittelpunkt soll negativ oder positiv heißen, je nachdem sie der Bewegung des Uhrzeigers folgt oder entgegenläuft. Diese Festsetzung ist an sich willkürlich, aber von den beiden möglichen die zweckmäßigste, da sie die Bewegungsregeln der Physik in einer dem Gedächtnis sich bequem einprägenden

Form auszusprechen gestattet. Je nachdem nun der Drehsinn negativ oder positiv ist, soll auch der vom Radius üherstrichene Winkel ein negatives oder positives Vorzeichen erhalten. Was man unter Addition und Subtraktion derartiger mit Vorzeichen gemessener oder orientierter Winkel zu verstehen hat, bedarf keiner näheren Ausführung. Von den entsprechenden Operationen mit Strecken der Zahlenachse unterscheidet sich das Operieren mit Drehungen dadurch, daß nach Umlauf des Kreises die alten Lagen wiederkehren; der Radius r kann also aus derselben Anfangslage in dieselbe Endlage übergehen durch unbegrenzt viele Drehungen, die sich sowohl im Vorzeichen als auch in der Anzahl der vollen Umläufe des Kreises unterscheiden. Solche Drehungen und auch ihre Winkel werden äquivalent genannt. Zwei Drehungen, die derselben dritten äquivalent sind, sind auch einander äquivalent. Äquivalente Winkel unterscheiden sich um ganze Vielfache von 2 7t.

4.    Orientierte Geraden. Eine Gerade heißt orientiert oder ein Speer, wenn auf ihr eine Fortschreitungsrichtung, etwa durch Ansetzen eines Pfeiles, festgelegt ist; unter dem Winkel (a, b) zweier orientierter Geraden a, b verstehen wir von § 33 an den Winkel der kleinsten positiven Drehung, die nötig ist, um den Strahl a um einen seiner Punkte parallel und in die Fortschreitungsrichtung von b zu drehen; vorläufig seien aber auch alle zu diesem Winkel äquivalenten zugelassen, nur ist daran festzuhalten, daß a nach der Drehung die Richtung und den Sinn von b haben soll. Es ist demnach

(3)

(<*, ö) +    (b, a) = 2ji

oder ein anderes ganzes Vielfaches von 2?t.

man

6P

yP

Bei den Geraden einer Ebene ist noch eine zweite Orientierung zu beachten: Jede Gerade zerlegt die Ebene in zwei Teile, die, wie man sich ausdrückt, zu beiden Seiten der Geraden liegen. Ist übereingekommen, die Ebene selbst immer von demselben Standpunkt aus zu betrachten, von dem man auf sie zeichnet und schreibt, so soll der Teil der Ebene, der in der Richtung der orientierten Geraden a blickend links von a liegt, als positive Seite des Speeres a gelten, der andere Teil als negative Seite. Ein Punkt P hat zu a positive oder negative Lage und von a positiven oder negativen Abstand, je nachdem P auf der positiven oder negativen Seite des Speeres liegt; der so mit Vorzeichen gemessene Abstand wird orientierter Abstand genannt.

5.    Koordinaten. Auf diesen Fest

er

Setzungen beruht der Koordinatenbegriff.

Fig. 152.

Wir nehmen in der Ebene (Fig. 152) eine

21

Weber u. Well a tein: Enzyklopädie. II. 8. Aufl.

orientierte Gerade x, die Abszissen- oder x-Ach.se, und auf ihr einen Punkt 0, den Nullpunkt, an und tragen von diesem aus in der Fortschreitungsrichtung von x die Skala der positiven, in der entgegengesetzten Richtung die der negativen Zahl ab, und zwar in beliebigem Maßstab. In bezug auf diese Achse x und den Punkt 0 ist dann ein beliebiger Punkt P der Ebene durch zwei Angaben festgelegt, nämlich, wenn noch von P auf x das Lot PQ gefällt wird,

1.    durch Angabe der auf den Fußpunkt Q des Lotes fallenden positiven oder negativen Zahl xp, welche die Abszisse von P genannt wird, und

2.    durch Angabe des orientierten Abstandes yp des Punktes von der x-Achse, der sogenannten Ordinate von P.

Abszisse und Ordinate von P werden die Koordinaten von P genannt, das Verfahren heißt ein Koordinatensystem.

Es ist üblich, auch die Ordinaten auf einer Achse y zu messen, die auf x senkrecht steht und auf die man P lotet; ist P der Fußpunkt, so wird O R = yp, falls man die y-Achse so orientiert und graduiert, daß sie die rr-Achse von deren Minusseite zur Plusseite überschreitet. Ein ästhetischer Mangel dieses Verfahrens ist, daß die yp links von x, die xp aber rechts von y positiv ausfallen. Für unsere Zwecke ist das erste Verfahren anschaulicher.

-4-

Pa

Pig. 153.

6. Definitionen. Der Punkt P bewege sich gleichsinnig auf einem Kreise mit dem Mittelpunkt 0 und dem Radius OP = r aus einer Anfangslage A auf der positiven #-Achse nach einer Endlage, die ebenfalls P heiße (Fig. 153). Dann beschreibt der Radius OA eine Drehung, deren orientierte nach 3. bis auf Vielfache von 2jt bestimmte Maßzahl (p sei. Wir definieren nun:

(4)

y p    Ordinate

“"S’⁻ —- 1SHr>

xp Abszisse Radius >

tg <P =

COS (p = ~y

mit der Folgerung: (sin (p)² -f- (cos <p)² = 1.

V p sin (p

COS (p ’

ctgSP =

tg(p

Diese Definition stützt sich nur auf die Anfangslage OA und die Endlage OP des Radius, läßt also den Sinn der Drehung ganz unberücksichtigt, d. h.:

äquivalente Winkel haben dieselben trigonometrischen Funktionen.

Das heißt aber:

Die trigonometrischen Funktionen sinqp, coscp, tgcp, ctgcp haben die Periode 2n:

(5) sin (<p 4- 2jt) = sin <p, cos (<p + 23t) = cos <p, tg (<p + 2;r) = tg <p.

Es ist, indem wir vorläufig tgcp und ctgtp bei Seite lassen,

(6)

sin (— (f) — — sin <p, cos (— (p) — + cos (p.

Denn — <p bedeutet die Drehung des Radius r aus der Anfangslage OA in dem der vorigen Drehung entgegengesetzten Sinne*, verfolgt man aber OP in zwei durch denselben absoluten Wert von + <p gekennzeichneten Phasen beider Drehungen, so sind diese zueinander symmetrisch bezüglich OA als Symmetrieachse, haben also dieselben Abszissen und entgegengesetzt gleiche Ordinaten. Das gilt auch in den Endlagen der beiden Drehungen, daher (6).

Für spitze Winkel ist die allgemeine Definition von sin <p, cos <p mit denen von § 26 und § 27 identisch; man überzeugt sich auch an der Lage OP₁ von OP in Fig. 153, daß die in § 26 und § 27 für stumpfe Winkel bis 180° getroffenen Festsetzungen mit (4) im Einklang sind, abgesehen von der jetzigen Gebundenheit an einen bestimmten Drehsinn als des positiven. Die Figur illustriert dann auch noch das Verhalten des Sinus und des Kosinus für Winkel von 180° bis 270° und . 270° bis 360°.

7. Der Projektionssatz des § 27, 3. läßt sich jetzt auf seinen Ursprung zurückführen; zunächst ist in Fig. 155 nach der Definition (4)

(7) xp — r cos (p, yp = r sin cp.

Diese Formeln werden zweimal verallgemeinert:

1. Wir verschieben OP 4 parallel mit sich in eine neue Lage CqC (Fig. 154), mit dern Worten: Wir nehmen außer der x-Achse noch einen beliebig zu ihr geneigten Speer t an und auf ihm zwei Punkte C₀, Cf die zunächst einander im

an-

Co

xc

xc

Fig. 154.

21*

Sinne von t folgen mögen; ^C(x, t) im Sinne der erweiterten Festsetzung 4. sei cp. Dann ist

(8)

xc — xc = C₀C cos (x, t), j yc — yc = C₀Csin(x, t)

nur eine andere Darstellung der Aussage (7).

2. Von einem beliebigen Punkte des Speeres t aus tragen wir nun auch auf t eine Zahlenskala auf, und zwar die positive im Sinne von t, die negative im entgegengesetzten, und mit demselben Maßstabe wie auf der ac-Achse. Sind tc, tv die so auf t gemessenen Abszissen von C, C₀, so ist, solange der Sinn C₀C mit dem von t übereinstimmt, C₀C = tc — tc positiv, und aus (8) folgen die Gleichungen (9), (10). Bezeichnet Sinn Z)₀Z) dem von t zuwider; es ist aber

—    xc = — C₀Ccos (x, t) = — (tc — tc) cos (x, t)

—    tp) COS (X, t),

XD XD₀

also

-(*

a.

man

jetzt C₀ mit D, C mit D₀, so läuft der

XD XD₀ ft I) ^/>₀) C0S iX’

yn y/?,,⁼ {t d    s*n (x> t)’

d. h. es gilt ohne Einschränkung des Sinnes von C₀C der Projektionssatz: Werden auf die Punkte C₀, G eines Speeres t mittels einer Abszissenmessung auf t durch die Abszissen t tv festgelegt, die im Sinne von t wachsen, so ist

xc - xc₀ = (*c - łc₀) cos Ob *)>

yc - yc₀ = (fc - tc₀) sin Ob *)>

und ebenso

(9)

(10)

c,>

falls der Winkel (x, t) im Sinne der erweiterten Festsetzung 4. gemessen wird.

Inwiefern dieser Satz dem Projektionssatz des § 27 entspricht, wird sich im § 33 zeigen. Jetzt soll uns der Satz zu einer allgemeingültigen und dennoch nur auf eine Figur gestützten Ableitung der

8. Additionstheoreme des Sinus und des Kosinus dienen. Wir kehren zu diesem Zwecke zu der Fig. 153 zurück und erinnern uns, daß, wenn r den positiv genommenen Abstand OP und cp den Winkel (x, OP) bezeichnet, nach (7) oder dem Projektionssatze die Beziehungen

(U)

xp = r cos cp, y= r sin cp bestehen. Die ganze Figur werde nun, unter Festhaltung des Punktes

Andererseits ist identisch:

(13)

x p,    Xq, (Xp,    y p,    y q, -b (y p,    l/^)-

Auf x' findet aber eine von 0 ausgehende Abszissenzählung statt, die im Sinne x positive Werte hat, während der Sinn von OQ', wie in der Figur, mit dem von x übereinstimmen oder auch entgegengesetzt sein kann, ebenso wie bei OQ und x. Hier ist also der Projektionssatz anwendbar, und da (X, x') = tp ist,

xQ, = O Q' cos if?, yLy = OQ' sin tp

oder, da OQ' = OQ = xp ist, nach (11):

(14)

xfy = r cos <p cos tp,    y^, = reos<psintp.

Ebenso findet auf Q' P' oder vielmehr auf der j/'-Achse eine Abszissenzählung statt, die im Sinne der Achse y positive Werte hat; da aber zur Drehung von X in die Lage X ein Winkel tp erforderlich war und x' im positiven Sinne um einen rechten Winkel weiter gedreht werden muß, um die Lage y zu erreichen, so ist

y) = tp +

also nach dem Projektionssatze:

X p,

oder wegen (11):

0, um einen beliebigen orientierten Winkel tp in eine neue Lage gedreht (Fig. 155), in welcher die Speere x, y, OQy QJPy OP mit y, OQ', QP'y OP' bezeichnet seien. Dann ist

0», x) = tp -f (p, also entsprechend zu(ll)

(12)Xp'=rC0B ^ ⁺ ^ ^    V p'^r sin (y+ip).

p'

l\

:'Q

y?

xp'

XQ

Fig. 155.

XW = ypcos + y) ’ yP ~~ yQ = yPsin (^ + t) *

(15)

xQI = r sin (p cos ^tp -f > yp ~~ yQ = r siü siû (y + y) •

Xp, —

Setzt man die Werte (14) und (15) in (13) ein, so ergibt sich, wenn die linken Seiten der Formeln (13) nach (12) ausgedrückt werden:

(16)

(cp + ty) = cos (p cos    -j- sin cp cos ^ + —'jt

sin {cp + ip) = cos (p sin tp + sin (p sin    + y) ‘

cos

Hiernach ist für tfi =    , da cos ^- = 0, sin 1 ist,

(<p -+- y) = sin y

sin (<p + -§r) = cos (p sin ■— = + cos (p,

für jeden Winkel cp, daher nach (16):

cos (<p -f ty) — cos <p cos tf? — sin (p sin . sin (cp + ty) = cos <p sin ip -f- sin <p cos tp .

Damit ist die Gültigkeit der Additionstheoreme für positive und negative Winkel, die beliebig oft über 2 jr hinausgehen dürfen, bewiesen. Setzt man ip = — x> wo aber x selber durchaus nicht positiv zu sein braucht, da ip positiv und negativ sein kann, so folgt aus (17) mit Rücksicht auf (6):

(17)

cos

cos Jt = — sin cp

cos {<p — x) = cos <p cos x + sin (p sin x, sin (<p — x) ~ — cos <p sin x + sin <p cos x •

Die Formeln des Subtraktionstheorems sagen also bei unseren allgemeinen Definitionen des Sinus und Kosinus gegenüber (17) nichts Neues aus.

(18)

9. Folgerungen aus den Additionstheoremen. Auf Grund der Additionstheoreme gelten nun auch die Formeln (6) und (7) des § 29, sowie die Additionstheoreme von Tangens und Kotangens § 30, 6. für alle Winkel. Ebenso ergibt sich unmittelbar aus (4) wegen der allgemeinen Gültigkeit der pythagoreischen Formel

sin cp² -f cos <p² = 1,

2 cos qp² = 1 — cos 2 cp,    2 sin <jp² = 1 -f- cos 2 cp

(19)

für alle Winkel.

§ 32. Vierecke.

1. Die Anwendung der trigonometrischen Formeln auf die Berechnung von Vielecken wird dadurch ermöglicht, daß man das Vieleck in Dreiecke zerlegt. Im Viereck z. B. ist die Winkelsumme vier Rechte, und das Viereck ist durch fünf Stücke bestimmt. Denn

nimmt man z. B. die vier Seiten und einen Winkel als gegeben an, so erhält man zunächst ein Dreieck aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel, dessen dritte Seite eine Diagonale des Vierecks ist. Aus dieser und den beiden noch nicht benutzten Viereckseiten erhält man dann ein zweites Dreieck, wodurch das erste Dreieck zum Viereck ergänzt wird.

Wir wollen hier die vier Seiten und die Summe zweier gegenüberliegender Winkel als die gegebenen Größen annehmen. Wir bezeichnen die Seiten des Vierecks AB CD (Fig. 156) mit a, b, c, d, die Winkel mit a, ß, y, d, so daß a, b den Winkel a und c, d den Winkel y einschließen; der Winkelbegriff ist hier noch im Sinne der Elemente zu nehmen, doch wird der Kosinus der Summe zweier stumpfer Winkel gebraucht werden, wo § 29 versagen würde. Bezeichnen wir mit R die Diagonale BD, so gibt uns der Kosinussatz, angewandt auf die beiden Dreiecke ABD und BCD, die beiden Ausdrücke für jR²

A\ccj

(1)    R² = a²-\-b²—2 ab cos cc = c2jr d²— 2 cd cosy, und daraus die erste Relation:

r\ ly

(2)    * (a² -f- b² — c² — d²) = a b cos a — cd cos y.

Wenn man den Flächeninhalt & des Vierecks zusammensetzt aus den Flächeninhalten der beiden Dreiecke, so ergibt sich

Fig. 156.

(3)

2 © = ab sin a + cd sin y,

und wenn man (2) und (3) ins Quadrat erhebt und addiert, (§ 31, (19) und (16)):

4©² -f- i(a² -f b² —■ c² — d²)² = a²b² -f c²d² — 2abcd cos (a -f y). Hierin setzen wir

a²b² -f- c²d² = (ab + cd)² — 2abcd

und erhalten (§31, (20)):

« + ry

cos

16 &² = 4(ab + cd)² - (a² + b² - c² - d²)² - 16abcd( Es ist aber

(a² + b²-c²- d²)² - 4(ab + cd)2 = ((a + b)² — {c — df)({a — b)² — (c + d)²)

(a -f b -f- c — d)(a -f b — c + d)(a — b + c + d)(a — b — c — d) und wenn wir also mit s den halben Umfang bezeichnen:

s = (a -f- b -j⁻ c -(- d).

so wird das Produkt gleich

— 16(s — d)(s — b)(s — c)(s — d).

Es wird also schließlich das Quadrat des Inhalts des Vierecks

<*+ry

(4)

®² = (s — a)(s — b)(s — c)(s — d) — abcd^

cos

und hierin kann a -f- y durch ß -f- d ersetzt werden.

Dieser Ausdruck für ®² nimmt hei gegebenen a, b, c, d seinen größten Wert an, wenn cos -f- y) = 0, also a -f- y = % ist. Daß die Summe zweier gegenüberliegender Winkel zwei Rechte beträgt, ist aber das Kennzeichen des Kreisvierecks (Sehnenvierecks).

Wir haben also den Satz:

Unter allen Vierecken mit den gleichen Seiten hat das Kreisviereck den größten Flächeninhalt.

2. Relationen zwischen den sechs Verbindungsstrecken von vier Punkten. Ein Viereck ist auch vollständig bestimmt, wenn seine Seiten und eine Diagonale gegeben sind. Denn aus je

zwei Seiten und der gegebenen Diagonale kann man zwei Dreiecke konstruieren, die zusammen das Viereck ergeben. Das Viereck ist aber nur dann eindeutig bestimmt, wenn gleichzeitig bestimmt ist, welche Seiten sich auf der gegebenen Diagonale schneiden sollen, und auf welcher Seite der Diagonale jede Seite liegen soll. Da hierdurch zugleich die zweite Diagonale bestimmt ist, so ergibt sich, daß zwischen den sechs Strecken, die je zwei von vier gegebenen Punkten der Ebene miteinander verbinden, eine Relation bestehen muß. Diese Relation soll aufgestellt werden.

Es seien (Fig. 157) 0, 1, 2, 3 die vier gegebenen Punkte und (01), (02), (03), (12), (13), (23) ihre Verbindungsstrecken. Durch Anwendung des Kosinussatzes auf die Dreiecke (023), (031), (012) ergibt sich

(23)² = (02)² + (03)² - 2(02) (03)

(31)² = (03)² + (01)² — 2(03) (01) cos(a + ß),

(12)²= (01)²+ (02)²— 2(01)(02) cos/3.

Setzt man zur Abkürzung a = (01)²,

b = W,

C-(03)’,

Vig. 157.

cos a

(5)

(6)

A = (02)* + (03)² — (23)², B = (03)² + (Ol)² — (31)², C = (Ol)² -f- (02)² — (12)²,

so folgt aus (5)

2]/bc cos a = A,

2]/ca cos (a -f ß) = B,

2 Y ab cos ß = G,

8abc cos a cos ß cos (a -f ß) = ABC.

Durch Quadrieren der Additionsformel für cos (ct + ß) entsteht aber: cos (u -f- ßy = cos a² cos ß² + sin a² sin ß² — 2 cos a cos ß sin a sin ß = cos a² cos ß² -f- (1 — cos a²) (1 — cos ß²)

+ 2 cos a cos ß (cos {a + ß) — cos cc cos ß), = 1 — cos a² — cos ß² -f 2 cos a cos ß cos (a -j- ß), und daraus durch Einsetzen der Ausdrücke (7)

(?)

(8)

aA²+ bB²+ cC² = ABC A ±abc.

Das ist nach (6) die gesuchte Relation.¹) Bei dieser Ableitung und auch noch in der Endformel (8) ist dem Punkte 0 ein gewisser Vorzug vor den übrigen eingeräumt. Diese Unsymmetrie in der Formel fällt weg, wenn man in (8) die Ausdrücke (6) substituiert. Die Formel wird aber dann etwas lang. Nimmt man die vier Punkte im Raume, nicht in einer Ebene an, so besteht zwischen ihren Abständen keine solche Relation. Man kann aber den kubischen Inhalt des Tetraeders, dessen Ecken diese vier Punkte sind, durch die Abstände ausdrücken und erhält die Bedingung, daß die Punkte in einer Ebene liegen, wenn man diesen kubischen Inhalt gleich Null setzt.

3. Der Satz des Ptolemäus.²) Wenn die Lage der vier Punkte nicht ganz willkürlich ist, so treten zwischen den sechs Strecken noch weitere Beziehungen ein: Wenn zunächst die vier Punkte auf einem Kreise liegen, so gilt der Satz des L Ptolemäus, den wir jetzt ableiten:    \

Es seien a, a und b, b' die zwei Paare gegenüberliegender Seiten eines y3 dem Kreise eingeschriebenen Vierecks, \ c, c seine Diagonalen. Zwischen diesen 1 Stücken besteht eine Abhängigkeit, die sich leicht aus dem Kosinussatz ableiten läßt.

Aus den beiden Dreiecken abc, a'b'c (Fig. 158) erhalten wir, wenn

1)    Gauß’ Werke Bd. IX, S. 248.

2)    Vgl. Franz Meyer, Archiv der Math. u. Physik (3) Bd. 7, S. 1.

\N

CL.

/C

cF

\\

Fig. 158.

wir den Winkel zwischen a und b mit (ab), den zwischen a und b' mit (ab') bezeichnen,

c² = a² 4- b² — 2ab cos (ab), c² == a² + b'² — 2a b' cos (ab'),

und da nun (ab) und (ab') Supplementwinkel sind, so ist cos (ab) 4- cos (ab') = 0. Also ergibt sich aus vorstehenden Relationen:

(9)

(10)

c²(ab + ab') = (a² 4- b²)a'b' -f- (a² 4- b'²)ab = (aa 4* bb') (ab' 4- ba), und ebenso erhalten wir aus den Dreiecken ab'c, a'bc c'²(ab' 4* ba) = (aa' 4- bb') (ab -f- ab').

Multipliziert man diese beiden Relationen und hebt den Faktor (ab 4- a'b')(ab' +ba') beiderseits heraus, so erhält man cV²=(aa'4-&&')², oder indem man die Wurzel zieht:

cc =» aa 4- bb',

und dies ist der Satz des Ptolemäus, der sich in Worten so aus-drücken läßt:

In einem Kreisviereck ist das Rechteck aus den beiden

Diagonalen gleich der Summe der Rechtecke aus je zwei Gegenseiten.

Dividiert man die Gleichungen (9) und (10) und zieht die Wurzel, so erhält man

_ a b' 4" b a c ab 4- a'b'

Durch die Seiten a, b, a, b' sind also die Diagonalen des Sehnenvierecks, und damit dieses selbst, eindeutig bestimmt.

4. Der Satz von Stewart.¹) Eine andere Spezialisierung der Lage der vier Punkte tritt dann ein, wenn drei von ihnen in einer Geraden liegen. Wir erhalten dann die Fig. 159, und es handelt sich um die sechs Strecken

ÀB, AC, AD, BC, BD, CD, zwischen denen die Relation BC — BD 4- CD statt hat. Es besteht aber noch eine zweite Relation zwischen diesen Strecken, die wir gleichfalls aus dem Kosinussatz erhalten. Bezeichnen wir den Winkel ADC mit a, so haben wir nachdem Kosinussatz:

I)

Fig. 159.

AB² = AD² 4- Bl? 4- 2AD ■ BD cosa, AC² = AD² -f- UD² — 2ÄD • CZ> cos cc,

1) Mathew Stewart, Theolog und Mathematiker, lebte 1717—1786 in

Schottland.

und daraus, wenn wir a eliminieren, indem wir die erste Gleichung mit CD, die zweite mit DD multiplizieren,

ÄD². CD + ÄC² • DD = ÄD²(DD + CD) + DD² • CD + CD² ■ DD.

Setzen wir darin

DD + CD = DC,

DD² CD+CD²-BD = BD- Ud(DD + CD) = BC DD CD,

so ergibt sich

AJł • CD + AĆ • DD - AD² ■ DC = DC • DD • CD,

und dies ist der Stewartsche Satz.

§ 33. Yielecke.

1. Erweiterter Projektion ssatz. Es sei ein ebener Streckenzug A₀A₁A₂ . . . An gegeben (Fig. 160), dessen Seiten die Längen av — Av_lAv und die Orientierung av = Av_₁Av haben mögen. Sind xv, yv Abszisse und Ordinate von Av in bezug auf ein nach §31,5. angelegtes Koordinatensystem, so ist nach demProjektionssatze§31,7. :

Xv “ Xr-1 = av C0S 0*5 O ; i

Vv - Vy-1 = av sin 0*5 ar) 5 °l ^

A.

(1)

daher:

Ao,

Ai\

' z-z

Fig. 160.

£„-^0

(2)

Wird die erste Formel (2) auf ein Dreieck ABC angewandt und AD als x-Achse benutzt, so erhält man die Formel c = b cos a -f a cos ß des in § 27 so genannten Projektionssatzes5 das Formelpaar (2) ist also eine Verallgemeinerung dieses Satzes. Die Formel (2) wird in der Mechanik gebraucht, um auf Grund der Angaben av und <£ (x,

(v = 1, 2, . . ., w) zu entscheiden, ob das Polygon A₀ AXA₂ . . . An sich schließt, d. h. ob An mit A₀ zusammenfällt; die notwendige und hinreichende Bedingung hierfür ist die, daß A₀ und An dieselben Koordinaten haben, xn = x₀, yn = t/₀; d. h. aber nach (2): daß

(3)

cos (x, a ) = 0, ^>av sin (x, a ) — 0

i    i ist.

2. Erweiterter Kosinussatz. Die Parallele durch A₀ zur a>Achse und durch An zur t/-Achse bestimmen mit A₀An als Hypotenuse ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten die Absolutwerte von xn — x₀ und yn — y₀ zur Länge haben. Daher ist:

AA¹ = A - *o)² + iün - y₀Y =

2% cos (x,av) j + j2<*rsin (x, av)

=    cos (x, avY + sin (pc, av)²}

i

+    {cos (x, a ) cos (#, aw) + sin (x, a ) sin (a?, «J}

ft<V

= Ä.² +    cos {(ac, av) - (x, a )}.

1    fl<V

Da cos(—(p) = cos(p, so ist es gleichgültig, ob man den Winkel (x, av) — (X, a ) oder (x, a ) — (X, ay) setzt; es ist nun weiter (x, av) — (x, aj = (a t, cT), wenn (a^, aj nach § 31, 4. als Maß der (kleinsten) positiven Drehung definiert wird, die a^ mit av gleichsinnig parallel macht. Also ist:

(4) AAJ

= J5V + 2    cos (a , av);

1    n<v

fi, v= 1,2

., n.

Für n = 2 ist das offenbar der Kosinussatz, jedoch mit anders gemessenen Winkeln.

liegt. Begegnet man den Ecken des Parallelogramms (Fig. 161) dem Umlaufssinn entsprechend in der Reihenfolge A, B, C, B, und macht man eine der Seiten, etwa AB zur x-Achse eines Koordinatensystems mit der Orientierung AB, so ist der orientierte Abstand yc der nächstfolgenden /a    I —>. /?

Ecke C von AB nach § 31, 4. positiv — oder negativ, je nach dem Vorzeichen des Umlaufssinnes, weil man eben bei positivem Umlaufssinn die Ecke C auf der linken Seite des Speeres AB, der Plusseite von x, hat. Nach der Definition ist daher

!J

fjL yc

Fig. 161.

yc = B G • sin (AB, BC)

die Höhe des Parallelogramms auf AB als Grundlinie und versehen mit dem Vorzeichen des Umlaufssinnes, d. h.:

Der orientierte Inhalt des Parallelogramms ABCB ist:

ABCB = AB • BC • sin (AB, BC).

Die Begriffe der Addition und Subtraktion orientierter Parallelogramme sollen nun so definiert werden, daß sie die Addition und Subtraktion der nach dieser Formel bestimmten Inhalte nach sich ziehen. Liegen also zwei gleichsinnig orientierte und in einer Seite AB übereinstimmende Parallelogramme ABCI), ABEF vor, so ist

ABCB + ABEF = AB{BCsin(AB, BC) + BE An (AB, BE)).

In der Klammer steht aber die Summe der (gleichorientierten) Höhen beider Parallelogramme über AB als Grundlinie. Macht man also das Parallelogramm A!B'E'F' zu ABEF kongruent, indem man A' mit D, B' mit C zusammenfallen läßt, so stellt ABE'F' die Summe beider Parallelogramme nach Größe und Orientierung dar (Fig. 162), daher

(6) ABCB + ABEF = ABE' F'.

Daraus ergibt sich auch rückwärts die Bedeutung und Konstruktion von

ABE'F' - ABEF= ABCB.

Es liegt nun auf der Hand, daß \ AB BC sin (AB, BC) den orientierten Inhalt des Drei-

(5)

F'

e'

\\\

//

AL

'D

Fig. 162.

ecks ABC darstellen wird, wenn man diesen Begriff so definiert, daß man bei positiver Umfahrung des Umfanges das Dreieck stets zur

ÏA

y’

■B

.o'

Pig. 164.

Pig. 163.

Linken hat. Ist dann Q ein Punkt im Innern (Fig. 163) oder Äußern (Fig. 164) des Dreiecks, so gilt die Inhaltsformel

ABC = ABQ + BCQ + CAQ

uneingeschränkt, falls man die auf den Seiten von ABC gegebene Orientierung auf die Umfänge der Dreiecke ABQ, BCQ, CAQ ausdehnt, vgl. Bd. III₂, § 29, 2. Durch wiederholte Anwendung dieses einfachen und doch weittragenden Satzes ergibt sich, daß jedem mit einem Umlaufssinn versehenen Vieleck A₀ A₁ . . . An ein bestimmter Flächeninhalt

(8) A,At... An = A₀AtO + AtA,,0 + ■■■ + An_tAnO

(7)

zukommt, der von dem Hilfspunkte 0 unabhängig ist. Das muß nun auch die Rechnung ergeben.

Bezeichnet av die orientierte Strecke Av lAv und av ihre (positiv genommene) Länge, so ist zunächst

Al

As

(9) 2 A₀ At A₂ = ax a₂ sin (al a₂).

Kommt nun die Ecke As hinzu, so vermehrt sich der Inhalt um A₀A₂As. Macht man aber die Strecken A₀A₀', A₁A₁' kongruent und gleichsinnig parallel zu A₂Ag, was wir durch die (vek-' torieile) Schreibweise

Ao

Fig. 165.

A₀A₀' = A₁A^ = A₂A ausdrücken wollen, Fig. 165, so ist A₀A₂AgA₀' = A₀A₁Al'A₀' -f- A₁A₂A₃A₁,

= a₁awsin(a₁, aj + a₂ansm(a₂, aj H----

aj>

n — 1’

+ an_₁an sin (a

wie in (11) behauptet war.

4. Linienpotenz des Kreises. Ein in weiteren Kreisen noch ziemlich unbekanntes Anwendungsgebiet der Trigonometrie orientierter Winkel ist durch eine kleine Abhandlung von Paul Epstein, „Die dualistische Ergänzung des Potenzbegriffs in der Geometrie des Kreises“ Zeitschr. f. math. u. nat. Unterr. XXXVII, S. 499 — 520, erschlossen worden; es handelt sich zugleich um eine wertvolle Bereicherung der Elementargeometrie mit Anschlüssen an die höhere Mathematik. Aus Raummangel müssen wir uns hier mit diesem Hinweis begnügen. — Übungsmaterial findet man ferner in Band III₂, § 29 und § 30.

§ 34. Multiplikation und Teilung des Winkels.

1. In § 29,4. hatten wir gefunden, daß mit Hilfe der Bezeichnung

(1)

also:

(10)

2 • A₀A₁A₂A₃ = sin (av a₂) + atas sin (av a₃) + a₂a₃ sin (a₂, a₃).

Man erwartet jetzt allgemein:

(11) 2A₀AX . An= 2ana*sin av) ;

A*0

Der Beweis dieser Formel kann durch vollkommene Induktion geführt werden: Ist der Satz für A₀A₁...An l richtig, so vermehrt sich der Inhalt durch Anfügung von An um A₀An lAn. Zieht man aber

A₀A₀' = AXA; = a₂a; - • • • = A

so erweist sich

2A₀AnlAn = A₀AftlAnA₀' = A₀A₁A₁'A₀' + A₁A₂A₂A₁' H----

- 2    -1

/i, V = 1, 2,..n.

4 '

n-2ti-2

#4 — 1

An,

-2

x = 2 cos a

die Funktionen des doppelten und dreifachen Winkels folgende Darstellung zulassen:

2 cos 2 a = x² — 2,

2 cos 3a = xs — 3x, sin 3a = (x² — 1) sina.

Diese Formeln waren damals nur für Dreieckswinkel bewiesen; sie gelten jetzt aber auf Grund des § 31 als Folgerungen aus den Additionstheoremen allgemein.

(2)

(3)

sin 2 a = x • sin a

2. Diese Formeln lassen sich in die allgemeinen zusammenfassen: 2 cos wcc = An(x), sin na = sin aBn(x),

(4)

worin w = 2 und n = 3 und An(x) und Bn(x) ganze Funktionen von x von den Graden n und n — 1 sind mit ganzzahligen Koeffizienten. Daß dieses Gesetz allgemein gilt, läßt sich durch vollständige Induktion beweisen. Denn es ist nach den Additionstheoremen cos (a -f- ß) + cos (« — ß) = 2 cos a cos ß, sin (a ß) — sin (a — ß) = 2 cos a sin ß ,

also, wenn man ß = na setzt:

cos (n -f- 1)« = 2 cos a cos na — cos (n — l)a, sin (n -f- 1)« = 2 cos a sin na — sin (w — l)a,

(5)

oder durch die Substitution (4)

(6)

{x) ^ xAn{x) - An_x{x), Sn + lO*D. = xBn{x) - Bn_l(x).

Wird also als schon bewiesen angenommen, daß An(x), An_J^x), Bn(x), Bn_l{oc) ganze Funktionen von x mit ganzzahligen Koeffizienten sind, so folgt aus diesen Formeln das Gleiche für An + 1(x) Bn + 1(x)', auch die Grade n und n — 1 für An und Bn ergehen sich allgemein, und wir schließen ferner daraus, daß An bei geraden n nur die geraden, Bn nur die ungeraden Potenzen von x enthält, und bei ungeradem n umgekehrt.

Die Formeln (6) gestatten die sukzessive Berechnung der Funktionen An, Bn. Man erhält für die ersten Fälle:

A₂ = x³ — 2,

A- = x⁵ — 5a;³ 4- hx,

B₂ = x

= a:⁴ - 3z² + 1

(?)

A₃ = x³ — Sx, B₃ = x²-1

A₆ = x⁶ — 6a:⁴ + 9a;² — 2 Bq = xh — 4a;³ + 3%

A₄ = x⁴ — 4a:² + 2 Bi = x³ — 2x

A₇ = x⁷ — 7 x⁵ -f- 14a:³ — 7x,

B₇ = x⁶ — 5a4 -f 6a;² — 1.

Die Darstellung der trigonometrischen Funktionen der Vielfachen «ines Winkels durch die gleichen Funktionen des einfachen Winkels heißt die Multiplikation des Winkels, und diese Aufgabe ist also durch die Formeln (4), (5), (6), (7) allgemein gelöst.¹)

1) Man kann leicht durch vollständige Induktion die allgemeinen Formeln

beweisen :

(n — v — 1) !

v ! (n — 2 v — 1) !

3. Die umgekehrte Aufgabe ist die Teilung des Winkels. Man versteht darunter die Bestimmung von cos cp/n, sin cp/n, wenn cos <p und sin cp gegeben sind. Diese Aufgabe ist aber nicht so einfach zu lösen, sondern erfordert die Auflösung einer algebraischen Gleichung. Setzt man cp = na, x = 2 cos a, so ergeben die Gleichungen (5)

sin 9

BJpïj’

(8)

2 cos cp = An(x), sin a =

und die erste dieser Formeln gibt uns eine Gleichung wten Grades zur Bestimmung von x. Nimmt man eine Wurzel dieser Gleichung, so gibt die zweite Formel den zugehörigen Wert von sina.

4. Die Gleichung n

ten

Grades

Än(x) = 2 cos cp

hat aber n Wurzeln. Die folgende Überlegung zeigt, welche Bedeutung diese n Wurzeln haben: Es ist, wenn k eine beliebige ganze Zahl ist,

cos (go + 2 kn) = cosgp, sin(gp -j- 2kn) = singp,

.und wenn also

xn = 2 cos — = 2 cos a ⁰    n

den Gleichungen (8) genügt, so genügt

xk=> 2 cos (a -f —p)

denselben Gleichungen. Wenn aber k um ein Vielfaches von n wächst, so wächst 2nk/n um ein Vielfaches von 2jt und xk bleibt ungeändert. Demnach gibt es nur die folgenden n verschiedenen Werte von xk:

x₀₎ x1} x₂, . . ., xn_₁,

und diese sind auch alle voneinander verschieden, wenigstens solange cp nicht einen besonderen Wert hat.¹)

Grades, von der die Teilung des Winkels

ten

5. Die Gleichung n abhängt, hat aber eine besondere Natur; sie gehört nämlich für jedes n zu den Gleichungen, die durch Radikale lösbar sind, was wir für

1) Ist z. B. cp = n, n = 3, so erhält man nur die beiden verschiedenen Werte

Xl = — 2 .

x₀ = 2 cos | = 1,

Auch der Pall, daß Bn(x) — 0 wird, wo die zweite der Gleichungen (8) ihren Sinn verliert, kann nur bei besonderen Werten von 9 Vorkommen, nämlich wenn sin 9 = 0, also 9 ein Vielfaches von n ist. Diese besonderen Fälle führen immer auf die Teilung der ganzen Kreisperipherie, die wir im ersten Bande behandelt haben.

22

Weber u. Wellstein: Enzyklopädie. II. 3. Aufl.

den Fall, daß es sich um die Teilung der ganzen Kreisperipherie handelt, schon im ersten Bande nachgewiesen haben. Ohne auf die allgemeine Theorie dieser Gleichungen einzugehen, erhält man das Resultat aus der Moivreschen Formel (Bd. I, § 47, 8. der ersten, § 51, 8. der zweiten und dritten Auflage), wonach

(cos a + i sin a)* = cos na -f i sin na

ist. Daraus ergibt sich:

cos a + i sin a = l/cos cp * sin cp, cos a — i sin a = ^cos cp — i sin cp,

also

1 = ycos cp + i sin cp f^cos cp — i sin cp ,

(9)

x = f/cos (p + i sin cp -f Vcos cp — i sin cp,

worin die beiden wten Wurzeln in der Weise voneinander abhängen, daß die eine der reziproke Wert der anderen ist; die n verschiedenen Werte von x ergeben sich, wenn man der nten Wurzel ihre n verschiedenen Werte erteilt. Die Werte von x sind alle reell.

Im Falle n = 3 ist (9) nichts anderes als die Cardanische Formel für den irreduziblen Fall der kubischen Gleichung, und wir haben in der Tat im ersten Bande bereits einen Gewinn darin gesehen, daß wir diesen Fall auf die Dreiteilung des Winkels zurückgeführt haben. Ebensowenig wie dort läßt sich im allgemeinen Fall die Lösung auf reelle Radikale zurückführen. Dies ist nur möglich, wenn w-eine Potenz von 2 ist, und es ergibt sich z. B. für n = 2 und n = 4

"j/cos if i sin <f =    ^

y'cos if + i sin y = y % + "j/

1 -f- COS qp

vT-v

1 -j- COS qp

§ 35. Ziisammenhang mit der Analysis.

1.    Wir werden nun auch Zusammenhänge kennen lernen, bei denen das in § 31, 2. eingeführte absolute Winkelmaß zu spezifischer Geltung kommt. Nach § 31, (2) gehört im Kreise vom Radius r zum Zentriwinkel vom absoluten Maße cp der Bogen rep. Der Flächeninhalt S des zugehörigen Sektors verhält sich zur Gesamtfläche r²jr wie der Bogen rep zum Umfang 2m, also

S = r²jt ■

rqp 1 «

2 rn

= j rV-

2.    Zu einem Zentriwinkel cp = 2 a, der kleiner als n ist, gehört also ein Bogen von der Länge 2ra und ein Sektor von der Fläche

4. Wir betrachten noch unter derselben Voraussetzung « > ß die

Differenz

S=*r²a. Die Sehne 2 s hat die Länge 2r Bina, und der Flächeninhalt S ist gleich r² tga (Fig. 166). Da die Sehne'kürzer ist als der Bogen und der Flächeninhalt des Dreiecks größer als der des Sektors, so ist

(1)

sin a < a < tg a.

3. Es seien nun a und ß zwei Winkel des ersten Quadranten und es sei

(2)

a> ß.

Es ergibt sich dann sin ß sin a a sin ß — ß sin a

B'

./I

und wenn man hierin

sin a = sin (ß -f- a — ß)

= sin ß cos (a — ß) + cos ß sin (a — ß) j setzt, so folgt: a sin ß — ß sin a

= (ß + a — ß) sin ß — ß sin ß cos (a — ß)

— ß cos ß sin (a — ß)

Ct\

cd

= ß sin ß (1 — cos (a — ß)) + ß (a — ß) cos ß (

Fig. 166.

tgß

sin (a — ß)

c'

Dieser Ausdruck ist aber nach (1) immer positiv, weil cos (a — ß) < 1,

und es ist also die Differenz (2) gleichfalls positiv. Wir haben also:

So lange a zwischen 0 und Jt/2 liegt, nimmt der Bruch sina: a ab, wenn a wächst.

¥>i,

sin (cc — ß)

cc-ß

<1,

tga

tgß

ß sin cc cos ß — cc sin ß cos cc

ccß cos a cos ß

wofür man auch schreiben kann:

(a -(- ß) sin (a — ß)—(a — ß) sin (a -f- ß)

a* — ß8 2aß cos« cos/Î

und da a -f- ß größer ist als a — ß, so ist diese Differenz nach (2) positiv. Wir haben damit den Satz:

So lange a zwischen 0 und jr/2 liegt, wächst der Bruch tga : a mit a.

2aßcosacosß

/sin (a — ß) \ cc

sin(a-j-ß)

a+ß

)’

22*

5. Nehmen wir jetzt den Winkel 2 a gleich dem wten Teil von vier Rechten, also = 2jtn, an, so werden die Strecken BC und B'C' die Seiten von regelmäßigen w-Ecken und die Sektoren ABC, AB'C' die nten Teile der Flächeninhalte dieser Polygone. Das erste von ihnen ist dem Kreise mit dem Radius r eingeschrieben, das zweite umgeschrieben.

Bezeichnen wir mit ün, Un' die Umfänge, mit Fn, Ün' die Flächeninhalte der beiden Polygone, so ist

'S

FJi = nr² tg--

Der Kreisumfang liegt zwischen TJn und Un' und die Kreisfläche zwischen Fn und Fn'. Je mehr n wächst, um so näher kommen Un und TJn' einerseits,* Fn und Fn' andererseits einander, und man erhält als gemeinschaftliche Grenze von TJn und Un' die Kreisperipherie 2 m und von Fn und F ' die Kreisfläche

6. Wir können den Flächeninhalt des w-Ecks auch durch seinen Umfang ausdrücken, wenn wir r aus Un und Fn (oder aus ün' und Fn') eliminieren. Man erhält so

4 n tg

Bleibt der Umfang S unverändert und lassen wir n wachsen, so nimmt nigTt/n nach 4. ab, und der Ausdruck für F nimmt zu. Daraus ergibt sich der wichtige Satz:

Ein einfaches reguläres w-Eck von gegebenem Umfang hat um so größeren Flächeninhalt, je größer die Anzahl n seiner Ecken ist.

Die obere Grenze der Werte Fn ist Un²/4:jt, d. h. gleich dem Inhalt eines Kreises vom Radius Un: 2jt (Bd. I, § 127).

analy-

zur

7. Die Artikel 3., 4., 5. enthalten die Grundlagen tischen Darstellung von sin a, cos a als Funktionen von a, vgl. Bd. 1,

3. Aufl., § 127 ff. Neben der exakten Berechnung des Bogens aus Sinus und Kosinus ist die angenäherte von praktischer Bedeutung; vgl. hierüber die Aufsätze von P. Stäckel und E. Lampe im Arch, d. Math. u. Phys. (3) 11 (1907). Auf den Artikeln 3., 4., 5. beruht endlich im folgenden der § 51 über die Schärfe trigonometrischer Rechnungen, der natürlich auch in der ebenen Trigonometrie zu beachten ist.

Sechster Abschnitt.

Sphärik und sphärische Trigonometrie.

A. Orientierung auf der Kugel.

§ 36. Einleitung. — Der Eulersche Dreiecksbegriff.

1.    In der ebenen Trigonometrie ist gelehrt worden, aus drei unabhängigen Stücken eines Dreiecks die übrigen zu berechnen. Die praktische Bedeutung solcher Berechnungen liegt in der Möglichkeit, auf der Erdoberfläche nach einmaliger Festlegung einer „Standlinie“ durch bloße Winkelaufnahmen Vermessungen auszuführen.

Es leuchtet aber ein, daß derartige Aufnahmen auf Genauigkeit nur Anspruch machen können, so lange wir uns auf kleine Teile der Erdoberfläche beschränken, genauer gesagt — so lange die Krümmung der Erdoberfläche vernachlässigt werden darf. Haben wir es dagegen mit der Vermessung größerer Gebiete zu tun, so sind die Flächen der Dreiecke nicht mehr eben, sondern gekrümmt; an Stelle der ebenen Dreiecke treten „sphärische Dreiecke“, an Stelle der ebenen die „sphärische Trigonometrie“.

Historisch verdankt die sphärische Trigonometrie ihren Ursprung nicht der Vermessung der Erde, sondern der des Himmels. Ja sie ist sogar zeitlich die ältere Schwester der ebenen Trigonometrie. Von alters her haben die Geheimnisse des gestirnten Himmels einen unwiderstehlichen Reiz auf die Menschen ausgeübt. Ihrer Erforschung galten die ältesten mathematischen Bemühungen. Aus diesen Bemühungen ist die sphärische Trigonometrie hervorgegangen.

Und bis heute ist sie dem Astronomen eine unentbehrliche und treue Helferin geblieben.

2.    Wie in der ebenen Trigonometrie die wichtigsten Lehren der ebenen Geometrie als bekannt vorausgesetzt werden müssen, so erfordert die sphärische Trigonometrie die Kenntnis der geometrischen Verhältnisse auf der Kugel. Man pflegt diesen Teil der Geometrie als Sphärik zu bezeichnen.

Es scheint aber nicht empfehlenswert, eine scharfe Trennung zwischen Sphärik und sphärischer Trigonometrie durchzuführen. Beide durchdringen und befruchten sich gegenseitig.

Wir werden uns im ersten Teil zwar ausschließlich mit reiner Sphärik beschäftigen, im zweiten mit reiner sphärischer Trigonometrie, aber im dritten werden uns gewisse merkwürdige Erscheinungen an Formeln der sphärischen Trigonometrie zu wesentlichen und weit-tragenden Erweiterungen im Gebiete der reinen Sphärik führen. Der vierte Teil beschäftigt sich mit praktischen Anwendungen der sphärischen Trigonometrie; endlich werden wir später, wenn uns auch die Lehren der analytischen Geometrie zur Verfügung stehen, eine Verbindung von Sphärik, sphärischer Trigonometrie und analytischer Geometrie kennen lernen: die „analytische Sphärik“.

3.    Denkt man sich auf der Kugelfläche drei Punkte A, JB, C angenommen, so können diese auf mannigfache Weise zu je zwei durch Kurven verbunden werden. Wie man nun in der Ebene unter einem Dreieck ein System von drei Punkten mit ihren kürzesten Verbindungslinien — Geraden — versteht, so definiert man auch ein sphärisches Dreieck als ein System von drei Punkten mit ihren kürzesten, auf der Kugel verlaufenden Verbindungslinien; diese sind, wie sich zeigen läßt, Stücke von Hauptkreisen, die die Länge eines Halbkreises nicht übersteigen.

Anschaulich lassen sich solche Dreiecke aus Stücken von Apfelsinenschalen herstellen.

4.    Das nächstliegende wäre jetzt, unter einer „Seite“ eines sphärischen Dreiecks die absolute Länge s des betreffenden Hauptkreisbogens

<x

Fig. 167.

zu verstehen. Denkt man sich aber zu der Kugel und dem sphärischen Dreieck eine Schar konzentrischer Kugeln und ähnlicher Dreiecke hinzu, so unterscheiden sich alle diese nur durch den Maßstab, nicht aber ihrem Wesen nach. Man wird daher als Dreiecksseiten Größen einzuführen suchen, die von der Veränderung des Kugelradius r unabhängig sind; solche erhält man am einfachsten, wenn man als Seiten statt der Bogenlängen selbst ihr Verhältnis zum Kugelradius r einführt. Ist also B die Länge des zwischen A und B ver-

laufenden Hauptkreisbogens, und bezeichnet man wie in der Ebene die Seiten nach ihren gegenüberliegenden Ecken, so sind die Seiten durch folgende Gleichungen definiert (Fig. 167):

s AB

a = BC = ⁸-—f b = CA = S-~, c = AB =

Die Größe sSc/r ist aber nichts anderes als der in Bogenmaß gemessene Winkel BOG, wo 0 den Mittelpunkt der Kugel bezeichnet (§ 31, 2). Wir können daher sagen:

Die Seiten eines sphärischen Dreiecks sind die Kantenwinkel des Dreikants, das das sphärische Dreieck aus dem Kugelmittelpunkt projiziert.

Es ist damit die Sphärik in engste Verbindung mit der Geometrie des „projizierenden Dreikants“ gebracht. Jedem Satz über das eine Gebilde entspricht ein solcher über das andere.

5.    Als Winkel des sphärischen Dreiecks werden wir die zwischen 0 und 7t liegenden Winkel anzusehen haben, die die Hauptkreisbogen miteinander bilden. Da aber die Winkel zwischen krummen Linien durch die Winkel ihrer Tangenten gemessen werden, und diese Tangenten bei der Kugel auf den Radien nach den Berührungspunkten senkrecht stehen, so können wir sagen:

Die Winkel eines sphärischen Dreiecks sind die Flächenwinkel des projizierenden Dreikants.

Bezeichnet werden die Winkel durch griechische Buchstaben nach den Ecken, zu denen sie gehören.

6.    Der bisher entwickelte Dreiecksbegriff möge der Euler sehe heißen. Es soll damit in Erinnerung gebracht werden, daß Euler als der Vater der modernen sphärischen Trigonometrie anzusehen ist.¹)

Es ist dies der Dreiecksbegriff, der in der Wissenschaft bis zum Anfang des 19. Jahrhunderts, in den Schulen bis heute der allein herrschende war.

Die charakteristischen Eigenschaften der Eulerschen Dreiecke sind

(vgl- § 38, 7.):

a)    Seiten und Winkel eines Eulerschen Dreiecks liegen zwischen 0 und tc.

b)    Durch drei Punkte der Kugeloberfläche ist ein und nur ein Eulersches Dreieck bestimmt, wenn keine von den drei Punkten zueinander diametral sind.

1) Principes de la Trigonométrie sphérique, tirés de la méthode des plus grands et plus petits. Mém. de l’Acad. de Berlin t. IV, 1753. — Trigonometria sphaerica universa, ex primis principiis breviter et dilucide derivata. Act. Petrop. 1779. — Beide Abhandlungen (von denen die erste nicht elementar ist, indem sie von der Differentialgleichung der geodätischen Linien ausgeht) sind deutsch erschienen in Ostwalds Klassikern Nr. 75.

7. Aus den geometrischen Eigenschaften des Dreikants folgen einige Sätze über das Eulersche Dreieck, die uns im vierten Teil häufig von Nutzen sein werden:

1.    Die Summe der Seiten eines Eulerschen Dreiecks liegen zwischen 0 und 2jt.

2.    Die Summe der Winkel eines Eulerschen Dreiecks liegt zwischen 7t und 3 7t.

3.    Dem größeren Winkel eines Eulerschen Dreiecks liegt die größere Seite, gleichen Seiten liegen auch gleiche Winkel gegenüber.

§ 37. Die stenographische Projektion.

1.    Um den Schwierigkeiten perspektivischer Zeichnungen, die sich für uns bei den Dreiecksformen der nächsten Paragraphen noch wesentlich steigern, zu entgehen, ist es wünschenswert, eine „Abbildung“ der sphärischen Figuren auf die Ebene zu besitzen, die gleichwohl die ursprünglichen räumlichen Verhältnisse klar erkennen läßt.

Dies leistet uns die Abbildung, die in der Kartographie unter dem Namen der „stereographischen Projektion“ bekannt ist.

Bei der stereographischen Projektion werden die Punkte der Kugel von einem auf der Kugel gelegenen Projektionszentrum auf eine Ebene projiziert, die den Durchmesser nach dem Projektionszentrum senkrecht schneidet.

Zur Vereinfachung des Ausdrucks denken wir uns die Kugel als Erdkugel und reden demgemäß von Nord- und Südpol, Äquator usw.

Wir wählen als Projektionszentrum den Südpol, als Bildebene die Ebene s des Äquators.

Jedem Punkt P der Kugel entspricht dann ein Punkt P' von s. Die Punkte des Äquators entsprechen sich selbst. Die Punkte der nördlichen Halbkugel haben ihre Bilder innerhalb, die der südlichen Halbkugel außerhalb des Äquators. Dem Südpol entspricht als Bild jeder unendlich ferne Punkt der Ebene e. Der Eindeutigkeit wegen ist es zweckmäßig, als unendlich fernes Gebilde der Ebene nicht eine „unendlich ferne Gerade“, sondern einen „unendlich fernen Punkt“ anzunehmen, wie in der Inversionsgeometrie (§ 9).

Die Abbildung ist dann eine eindeutige.

2.    Der weiteren Betrachtung legen wir vorübergehend ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit dem Anfangspunkt 0 zugrunde, dessen x- und y-Achse in der Äquatorebene liegen, wrährend die positive z-Achse vom Anfangspunkt nach dem Nordpol geht.¹)

Irgend ein Punkt P der Kugel habe die Koordinaten x, y, z. Welches sind dann die Koordinaten x', y' des Bildpunktes P'?

1) Vgl. den Abschnitt „ABfüytische Geometrie des Baumes“ (§ 98).

<p' = v-

(i)

Fig. 168.

Bei festgelegtem Kugelradius r ist P durch zwei Angaben, etwa cp und z, bestimmt. Wegen (1), und da p' nur von z, nicht aber von cp abhängig ist, bleibt nur noch die Aufgabe, p' durch z (und r) auszudrücken. Zu dem Ende können wir wegen der Unabhängigkeit des z von cp den Punkt P in der Zeichenebene annehmen (Fig. 168). Es ist:

A SOP'~SQP~PQN.

Zur Beantwortung dieser Frage führen wir neben den rechtwinkligen Koordinaten noch Polarkoordinaten P habe die Polarkoordinaten

ein:

cp, p, z, wo cp den Winkel bezeichnet, den die durch P gelegte Meridianebene mit der Ebene des Nullmeridians bildet, p aber den Abstand des Punktes P von der Erdachse angibt-, _ P' habe die Koordinaten cp' und p'. £ Es ist offenbar:

Q,

z\

Q'

Daher :

(2)

q'

q r -f z

CO

Q/

mithin:

(4)

'2

r — z

—i—: 2 r 4- z

r² — p'²

We'²

Satz: Der Übergang von den Punkten P der Kugel zu den entsprechenden P' der Ebene wird vermittelt durch die Gleichungen:

p'² = r2 r-

— z

—7-7

r-j-z

der Übergang von der Ebene zur Kugel aber durch:

cp = (f',

P-q'²

y___.!- .

V + e'*

Unter Benutzung von (2) und (1) ist aber: p' cos cp' = Q

= p — = x—j—} ' 9 r + z

’1 ₌

pf sin cp — p'

daher geht (5) über in:

(6)

Arx -f Br y + (O — r²)z 4* r(G -f- r²) = 0.

Dies ist die Gleichung einer Ebene; eine solche hat mit der Kugel einen Kreis gemein. Da aber (6) eine ganz allgemeine Ebenengleichung ist, kann umgekehrt jeder Kreis auf der Kugel als Schnitt einer Ebene (6) mit der Kugel aufgefaßt werden, und wir haben den Satz:

Jeder Kreis auf der Kugel wird bei stereographischer Projektion als Kreis auf der Ebene abgebildet, und umgekehrt jeder Kreis auf der Ebene als Kreis auf der Kugel.

Nur wenn A, JB und C unendlich werden, geht der Kreis (5) in eine Gerade über, wie man nach Division durch C sieht, während (6) als Bild nach wie vor einen Kreis (der durch den Südpol geht) liefert — was auch die unmittelbare geometrische Anschauung lehrt. Es ist daher wie in der Planimetrie zweckmäßig, die Gerade als ausgearteten Kreis aufzufassen.

4.    Zwei durch den Südpol gehende Kreise mit dem zweiten Schnittpunkt P bilden sich auf e nach 3. als zwei Geraden mit dem Schnittpunkt P' ab. Der Winkel, den die Kreise bei P miteinander bilden, ist aus Symmetriegründen derselbe wie der bei S. Der letztere aber wird, wie leicht ersichtlich, erhalten, wenn man die Ebene-j.der beiden Kreise mit der Tangentialebene in S zum Schnitt bringt. Da aber diese Tangentialebene der Äquatorebene s parallel ist, so folgt:

Zwei durch S gehende Kreise schneiden sich unter demselben Winkel wie die sie abbildenden Geraden.

Zwei unendlich benachbarten Punkten der Kugel entsprechen auch zwei unendlich benachbarte Punkte der Ebene. Daher folgt aus dem letzten Satz sofort:

Zwei beliebige Kurven der Kugel schneiden sich unter demselben Winkel wie ihre stereographischen Bilder.

Man nennt eine Abbildung, bei der die Winkel erhalten bleiben, eine konforme oder winkeltreue Abbildung.

Die stereographische Projektion ist also eine konforme Abbildung.

5.    Für uns sind am wichtigsten die Abbildungen von Hauptkreisen. Da jeder Hauptkreis den Äquator halbiert, der Äquator aber sein eigenes Bild ist, folgt aus Art. 3:

Jeder Hauptkreis der Kugel und nur ein solcher wird durch einen Kreis abgebildet, der den Äquator halbiert, oder, wie wir uns in § 9 ausdrückten, das Bild eines Hauptkreises schneidet den Äquator diametral.

Ein sphärisches Dreieck hat also als Bild ein Kreisbogendreieck, dessen Seiten den Äquator halbieren. Beide Dreiecke stimmen in den Winkeln überein, nicht aber in den Seiten.

Indessen können auch die Seiten durch geometrische Konstruktion leicht gefunden werden (§ 39, 15.).

Umgekehrt kann man zu drei beliebigen Kreisen einer Ebene, zu denen ein Diametralkreis s existiert, sofort eine Kugel bestimmen, auf der dem von jenen Kreisen gebildeten Kreisbogendreieck ein sphärisches Dreieck stereographisch entspricht. Der Äquator dieser Kugel ist nämlich e.

6. Denken wir uns in N an die Kugel die Tangentialebene gelegt, und trifft SP diese in P", so ist nach dem Pythagoreischen Lehrsätze:

SP - SF' = 4r²’

da aber SP" = 2SP' ist wegen Ähnlichkeit der Dreiecke SOP' und SNP", so folgt:

SP- SP' = 2r².

Mithin ergibt sich der Satz:

Die stereographische Projektion ist eine Inversion mit dem Zentrum S und der Potenz 2r² (vgl. §§ 9, 11, 24).

¹

Orientierte Flächeninhalte. In der Statik und in der Vektorgeometrie werden statische Momente durch die Flächeninhalte von Parallelogrammen veranschaulicht, vgl. Bd. III₂, § 25, 8. Es liegt dann der Anlaß vor, dem Inhalte des Parallelogramms das Pluszeichen oder Minuszeichen beizulegen, jenachdem das Parallelogramm positiven oder negativen Umlaufssinn hat; positiv ist aber der Umlauf um ein Parallelogramm, wenn man dabei die Fläche stets zur Linken hat, wie auch nach § 31, 4. ein Punkt zu einer orientierten Geraden positive Lage haben sollte, wenn er links zur Richtung der Geraden

²

Wir wollen nun untersuchen, wie Kreise in der Ebene sich auf der Kugel abbilden.

Ein beliebiger Kreis der Ebene bat in Polarkoordinaten die

Gleichung:

«

§ 38. Der Moebiussche Dreiecksbegriff.

1. Während in der Ebene zwischen zwei Punkten nur eine geradlinige Verbindungsstrecke existiert, können wir auf der Kugel zwei Verbindungen durch Hauptkreisbogen herstellen, die sich zu 2% ergänzen. Von diesen ist freilich nur der eine, zwischen 0 und 7t liegende, zugleich kürzeste Verbindungslinie zwischen den beiden Punkten. Läßt man aber diese Forderung fallen, so gelangt man zu allgemeineren sphärischen Dreiecken, deren Seiten nicht wie bisher zwischen 0 und n, sondern zwischen 0 und 2tc liegen. Es liegt nahe, mit dieser Verallgemeinerung zugleich die weitere einzuführen, daß man auch überstumpfe Winkel zuläßt.

Diese Erweiterung des Dreiecksbegriffs verdanken wir Moebius, und wir werden ihn daher fortan als „Moebiusschen Dreiecksbegriff“ bezeichnen.¹)

1) Moebius, Über eine neue Behandlungsweise der analytischen Sphärik, 1846. — Entwicklung der Grundformeln der Trigonometrie in größtmöglicher Allgemeinheit, 1860. Ygl. Ges. Werke II.

2. Uber die Notwendigkeit einer solchen Erweiterung spricht sich Moebius selbst folgendermaßen aus

(Ges. Werke II, p. 74f.):

„In der Tat wird erst dadurch, daß man den Begriff eines sphärischen Dreiecks in möglichster Allgemeinheit auffaßt, eine vollkommene Übereinstimmung zwischen den Formeln einerseits und der Konstruktion andererseits zuwege gebracht. Denn wenn von den drei Seiten und den drei Winkeln eines Dreiecks irgend drei Stücke gegeben sind und ein viertes gesucht wird, so ergeben sich für das gesuchte mittels der zugehörigen Formel stets zwei im allgemeinen verschiedene Werte: und, übereinstimmend hiermit, kann man unter Zulassung auch überstumpfer Seiten und Winkel mit den drei gegebenen Stücken immer zwei verschiedene Dreiecke konstruieren, in deren einem der eine, im anderen der andere der zwei durch die Formel gefundenen Werte dem gesuchten Stücke zukommt, während, wenn noch die an sich willkürliche Bedingung hinzugefügt wird, daß keine Seite und kein Winkel 2t überschreiten soll, in der Mehrzahl der Fälle nur der eine der zwei aus der Formel für das vierte Stück folgenden Werte statthaft ist.

Sind z. B. von einem sphärischen Dreieck ABC zwei Seiten a, b und der von ihnen eingeschlossene Winkel y gegeben, und soll die dritte Seite c gefunden werden, so ist diese von dem durch A zu legenden Hauptkreise entweder der eine oder der andere der zwei Teile, in welche dieser Kreis durch A und B zerlegt wird, und hat daher zwei einander zu 2 % ergänzende Werte. Andererseits wird c aus a, b und y durch die Formel:

cos c — cos a cos b + sin a sin b cos y

gefunden, wonach dem durch seinen Kosinus gefundenen Bogen c ebenfalls zwei Werte zukommen, deren Summe gleich 2% ist.

Oder, soll aus denselben drei Stücken a, b, y der Winkel a gefunden werden, so ergeben sich, je nachdem man für die dritte Seite c, als den einen Schenkel des Winkels a, entweder den einen oder den anderen der zwei einen ganzen Kreis bildenden Bogen AB nimmt, zwei um 7t verschiedene Winkel, indem sie beide den Schenkel AC gemeinsam haben, der andere Schenkel des einen aber und der andere des anderen Winkels in dem durch A und B zu legenden Hauptkreise von A aus nach entgegengesetzten Richtungen fortgehen, und die zwei Winkel selbst von AC aus nach einerlei Sinn zu rechnen sind. — Übereinstimmend hiermit findet sich mittelst der Formel:

sin b cotg a—sin y cotg a = cos b cos y

zwischen a, b, y und cc, der Winkel a durch seine Tangente; und man weiß, daß jeder Tangente zwei Winkel zukommen, deren Differenz gleich 7t ist.“

3.    So weit Moebius. Wir fügen als für uns späterhin besonders wichtig hinzu:

Läßt man Seiten und Winkel von beliebiger Größe zu, so bekommt man im wesentlichen den Moebiusschen Dreiecksbegriff, wenn man Seiten und Winkel, die sich um ganze Vielfache von 2n unterscheiden, die also „modulo 2% congruent“ sind, als gleich ansieht: es hat dies seinen berechtigten Grund darin, daß die trigonometrischen Funktionen solcher Seiten und Winkel, auf die es uns letzten Endes allein ankommt, tatsächlich gleich sind.

4.    Um bei unserer jetzigen Auffassung Bogen und Winkel eindeutig bestimmen zu können, müssen wir gewisse Festsetzungen treffen.

Auf jedem Hauptkreisbogen denken wir uns fortan einen bestimmten Richtungssinn festgelegt, den wir als positiven bezeichnen- der entgegengesetzte heißt dann negativ. Ein mit Richtungssinn versehener Hauptkreis heißt „orientierter Hauptkreis“.

Dies vorausgesetzt, sollen die Seiten a, b, c eines Dreiecks so definiert sein, daß wir immer im positiven Sinn von B nach C, von C nach A, von A nach B gehen. (Taf. I.)¹)

Sind A, B, G, . . ., P, Q Punkte eines orientierten Hauptkreises, so ist jederzeit, welches auch die Reihenfolge dieser Punkte sein mag:

AB -f- BC + • • • + P Q = A Q (mod. 2jt),

ÄB + BA = 2it.

Bei der Moebiusschen Auffassung können diese allgemeinen Gleichungen durch die besonderen ersetzt werden:

AB -f- BC + ••• -j- P Q = ÀQ, AB = — BA.

5. Hat man zwei Hauptkreise a,b und will ihren Winkel definieren, so setze man zuerst fest, welchen ihrer beiden Schnittpunkte man als Scheitel ansehen will. (Der andere heißt dann „Gegenscheitel“.) Ferner setze man auf der Kugel einen Drehungssinn fest, den man als positiven bezeichne; der entgegengesetzte heißt dann negativ.

Dies vorausgesetzt, wollen wir unter dem Winkel (ab) den verstehen, um den man, unter Festhaltung des Scheitels, die positive Richtung von a im positiven Drehungssinn drehen muß, bis sie mit der positiven Richtung von b zusammenfällt.

Tafel la.

Die Moebiusschen Dreiecke.

CL

TCO) M 00

rf{k)

10

Tafel Ib.

Die Moebiusschen Dreiecke.

jr(k)

^ oo

Tm

Der Drehungssinn heißt Rechtssinn, wenn dabei die positive Drehung im Sinne des Uhrzeigers erfolgt, im entgegengesetzten Falle Linkssinn.

Gehen die Hauptkreise a, b, c, . . .,p, q alle durch dieselben beiden Punkte, von denen man einen als Scheitelpunkt auffaßt, so ist jederzeit, wie auch die Kreise aufeinander folgen mögen:

(ab) + (bc) H-----1- (pq) =s (aq) (mod. 2st),

(ab) + (ba) = 2%.

Bei der Moebius sehen Auffassung können diese allgemeinen Gleichungen durch die besonderen ersetzt werden:

(ab) + (be) H----+ (pq) = (aq),

(ab) = — (ba).

Verwandelt man den Richtungssinn auf einem der beiden Hauptkreise in den entgegengesetzten, so gebt (ab) in st + (ab) über. Gleichzeitige Änderung beider Richtungssinne läßt daher den Winkel unverändert.

Dagegen verwandelt sich (ab) in 2st — (ab), wenn entweder der Drehungssinn in den entgegengesetzten verwandelt oder Scheitel und Gegenscheitel miteinander vertauscht werden.

a = (bc), ß = (ca), y = (ab).

6. Die Winkel eines sphärischen Dreiecks ABC definieren wir durch die Scheitelpunkte A, B, C und die Gleichungen:

Drei Punkte der Kugel bestimmen jetzt 16 verschiedene Moebiussche Dreiecke. Denn da auf jedem der drei Hauptkreisbogen die positive Richtung, und ferner der Drehungssinn auf der Kugel beliebig angenommen werden kann, ergeben sich 2 • 2 • 2 • 2 = 16 Möglichkeiten.

Von diesen 16 Dreiecken sind 8 auf Tafel I in stereographischer Projektion abgebildet. Die übrigen 8 entstehen dem „Typus“ nach (Art. 7) aus den vier mittleren Bildern durch zyklische Vertauschung der Ecken. Das zweite, dritte, vierte Dreieck jeder Zeile entsteht aus dem ersten, indem man an einer, zwei, drei Seiten den Richtungssinn umkehrt.

Die obere Zeile enthält die Dreiecke mit Linkssinn, die untere die mit Rechtssinn.

Das erste Dreieck der ersten Zeile ist ein Eulersches, wenn man als Dreieckswinkel die Nebenwinkel der in der Figur vorkommenden Winkel ansieht; es ist aber zu beachten, daß bei unserer jetzigen Art der Winkelmessung niemals wirklich ein Eulersches Dreieck zustande kommt.

7. Um jede der 16 Dreiecksformen bequem bezeichnen zu können, fuhren wir gewisse Symbole ein. Es bedeute, wenn den Seiten a, b, c beziehungsweise der Index Ti = 1, 2, 3 zugeordnet wird:

$₀⁽°) ein Dreieck, dessen Seiten sämtlich zwischen 0 und je liegen;

»    r>    »    >} i* „    2 JE „    ;

bei dem nur die Tite Seite zwischen 0 und je liegt;

JE „ 2je , 1) möge

i: i;

jSjW

V

£iw „    »    „    „ „    „ Ue „

ent-

Das Symbol TU/) (» = 0, 1, 2, 3; d = sprechenden Bedeutungen für die Winkel haben.

Der Anblick der Tafel I lehrt nun, daß nur solche Kombinationen $/) W™ (i, Ti = 0,1, 2, 3 ; d, s = 0,1) Vorkommen, für die i = /i ist, daß dagegen den Fällen i=^h keine Dreiecksformen entsprechen.

Sämtliche möglichen 16 Moebiusschen Dreiecksformen sind also in dem Symbol Sô(i) W® (i=0,1,2,3; d,£ = 0,l) enthalten.

Wir führen für dieses Symbol künftig das kürzere Tj*] ein und nennen dies den „Typus“, die Marke i aber den „Index“ eines Dreiecks.

Die folgende Tabelle, in der zu jedem Typus die Grenzen der Seiten und Winkel angegeben sind, wird uns häufig von Nutzen sein.

Ti«)

T<°)

01

T< o)

10

T(0)

TW

00

T( 1) -*■ 10

TW

T(²)

""

TW

01

TW

io

T⁽³⁾

Tif

TW

10

T<;,

1 ypus:

fS

TR»

0, 7t

71, 27t    7t, 27t

7t, 2 7t \ 0, 7t

7t, 2jE 7t, 2 7t 7t, 27t

0, 7t 0, 7t

0, 7t

0, 7t

0, 7t 7t, 2ti 0, 7t

7t, 2ti

0, 7t

0, 7t

7t, 2jE 7t, 2 7t 7t, 2 7t    0, 7t

7t, 27t    0, 7t

7t, 2JE    0, JE

7t, 2JE    0, JE

0, JE 0, JE

JE, 2JE

JE, 2je

71, 2ti 7t, 2 JE

0, 7t

0, JE

JE, 2je je, 2je 0, JE 0, JE

JE,    2JE    JE,    2JE    0,    JE

JE,    2JE    JE,    2JE    0,    JE

0,    JE    0,    JE    JE,    2JE

0,    JE    0,    JE    JE,    2JE

Weber u. Wellstein: Enzyklopädie. II. 3. Aufi.

0,    7t    7t,    2jE    7t,    2tt

JE, 2je 0, JE JE, 2je 0, JE

0, JE JE; 2 JE

0; JE

JE; 2jE

je, 2je 0, JE JE, 2je 0, JE

je, 2je

0, JE

je, 2je

0, JE

je, 2je 0, JE 0, JE

JE, 2je JE, 2je 0, JE

0, JE

je, 2je

23

Die beiden charakteristischen Eigenschaften der Moebiusschen Dreiecke sind (vgl. § 36, 6.):

a)    Seiten und Winkel eines Moebiusschen Dreiecks liegen zwischen 0 und 2n.

b)    Durch drei Punkte der Kugeloberfläche sind 16 Moe-biussche Dreiecke bestimmt, wenn keine von den drei Punkten diametral sind.

S. Um auch für den Moebiusschen Dreiecksbegriff den Zu-zammenhang zwischen Dreieck und projizierendem Dreikant aufrecht zu erhalten, bedarf es weiterer Festsetzungen, die die Winkel zwischen Geraden und zwischen Ebenen betreffen.

Auf jeder Geraden denken wir uns eine bestimmte Richtung festgelegt, die wir als die positive bezeichnen, die entgegengesetzte heißt dann negativ. Eine solche Gerade heißt „orientierte Gerade“ oder mit Study „Speer“. Liegen auf einem Speer Punkte A, B, C, . . ., P, Q, so ist jederzeit, welches auch die Reihenfolge dieser Punkte sein mag:

AB -f- BC + ••• -j- P Q — AQ,

45-f Ri = 0.

Es werden ferner jede Ebene mit einer positiven und einer negativen Seite versehen: hierdurch wird sie orientiert.

Unter dem Winkel (gX) g₂) zweier sich schneidender Speere g₁ und g₂ soll nun der verstanden werden, um den man, auf der positiven Seite der durch gx und g₂ bestimmten Ebene stehend, die positive Richtung von gx im entgegengesetzten Sinn des Uhrzeigers drehen muß, bis sie mit der positiven Richtung von g₂ zusammenfällt.

Gehen mehrere Speere gx, . . ., gn durch denselben Punkt einer Ebene, so ist jederzeit:

(ßl9t) + (ß»9s) + • • • + (9n-l9n) = (019n) (m°d- ²*),

(0i9») + (9i9i) = ⁰ (mod-

wobei wieder für trigonometrische Funktionen der ganzen Winkel die Kongruenzen durch Gleichungen ersetzt werden können.

Liegen gx und g₂ nicht in derselben Ebene, so denken wir uns durch einen Punkt von g% eine Parallele g[ zu gx gezogen und setzen (0i9i) - (0i 9^

Verwandelt man die Richtung auf einer der beiden Speere in die entgegengesetzte, so geht (gxg^) in % + (0x9%) über.

Vertauscht man die positive und die negative Seite der durch gx und g₂ (bez. gx und g₂) bestimmten Ebene miteinander, so geht (0i9i) in 2n - (gxg₂) über.

Um den Winkel zweier orientierten Ebenen sx und £₂ zu definieren, legen wir zunächst auf ihrer Schnittgeraden eine positive Richtung fest und bezeichnen die in einem Punkte der Schnittgeraden errichteten positiven Normalen der Ebenen mit n₁ und n₂.

Unter dem Winkel    der orientierten Ebenen £t und

£₂ soll dann der Winkel (ntna) ihrer positiven Normalen verstanden werden. Dabei ist als positive Seite der durch Wj und n₂ bestimmten Ebene die anzusehen, für die die auf der Schnittkante zuvor festgelegte Richtung positive Normale wird.

9. Die Zuordnung des Dreikants und Dreiecks erledigt sich nun in folgender Weise. Es bezeichne

Daher wird

ra>rb>rc die Radien OA, OB, OG; sa die    durch    rb und    rc bestimmte    Ebene,

»    ro »    ra

»    Ta „    rb

£c

55 a

= (Vc), h = (rcra), C = irjb) = (£₀£c);    ß=(,£o£a),    r=(£a£b)

unter folgenden Voraussetzungen:

Wenn auf der Kugel Linkssinn angenommen ist, sind als positive Richtungen von ra, rb, r₀ die Richtungen 0-> A, 0-> B, 0-> G zu wählen; umgekehrt bei Rechtssinn.¹)

Nennt man ferner die dem Inneren des Tetraeders OABC zugewandten Flächen der Ebenen sa, sb, ec „innere“ Seiten dieser Ebenen, die anderen „äußere“, so ist zu wählen als positive Seite von ea die innere, wenn 0 < a < jr; die äußere, wenn % < a < 2it ist, und entsprechend für sb und sc bez. b und c.

Bei einem E ul ersehen Dreieck sind also bei allen drei Ebenen die inneren Seiten als positive zu wählen.

Als positive Richtungen von ra, rb, rc sind 0->A, O-ïB, O'-yG zu wählen, falls, von 0 aus gesehen, die Punkte A, B, C im Sinn des Uhrzeigers aufeinander folgen (wie bei unseren Figuren — vgl. insbesondere Fig. 175, S. 366); im anderen Falle die entgegengesetzten. Im ersten Falle sagen wir, die Punkte OABC bilden ein „Rechtssystem“, im zweiten, sie bilden ein „Linkssystem“ (vgl. § 84, 3.). Bei unseren Festsetzungen entspricht für ein Eulersches Dreieck dem Rechtssinn auf der Kugel ein Linkssystem OABC und umgekehrt.

1) Unsere Festsetzungen sind den in der Mechanik üblichen — vgl. Bd. III, S. 77f. — nicht genau analog. Wenn man nämlich die dort erwähnte „positive Drehachse“ mit unserer „positiven Richtung von ra“ identifizieren wollte, so würde sowohl das, was wir hier Rechtssinn, als auch das, was wir hier Linkssinn genannt haben, im Sinne der Mechanik als Rechtssinn anzusprechen sein.

23*

10. Das Tetraeder OABC heiße das projizierende des sphärischen Dreiecks ABC. Wir wollen 0 als seine Spitze, A, B, C als seine Ecken betrachten. Sein Inhalt gelte als positiv, wenn die positiven Richtungen der Kanten 0-> A, 0->-B, 0->C sind und zugleich die Punkte 0, A, B, C ein Rechtssystem bilden, oder wenn bei umgekehrten Kantenrichtungen die Eckpunkte ein Linkssystem bilden. In den beiden übrigen Fällen gelte der Inhalt als negativ.

§ 39. Pol und Polare.

1. Die Hauptkreise, die einen gegebenen Hauptkreis senkrecht schneiden, gehen alle durch denselben Punkt und seinen Gegenpunkt. Diese Punkte heißen „Pole“ des gegebenen Hauptkreises.

Sobald auf dem Hauptkreise ein Richtungssinn nach § 38 festgelegt ist, erscheint einem auf dem Hauptkreise im positiven Sinne sich bewegenden Beobachter der eine Pol zur Linken, der andere zur Rechten.

Es soll nun „positiver Pol“ des Hauptkreises der Pol zur Linken oder der zur Rechten heißen, je nachdem auf der Kugel Linkssinn oder Rechtssinn festgelegt ist. Der andere Pol heiße „negativer Pol“ oder „Gegenpol“.

2.    Die Bogen, die die Punkte eines Hauptkreises mit seinem Pole verbinden, sind Quadranten. Man findet daher zu einem gegebenen Hauptkreise die Pole entweder, indem man zu den Hauptkreisen senkrechte Hauptkreise zieht und ihre Schnittpunkte bestimmt, oder indem man einen Hauptkreis zieht und auf ihm nach beiden Seiten einen Quadranten ab trägt. Die Festsetzung des positiven und negativen Pols geschieht dann nach Art. 1.

3.    Die Quadranten, die von einem gegebenen Punkte der Kugel ausgehen, endigen alle auf einem und demselben Hauptkreise. Wird diesem Hauptkreise ein solcher Richtungssinn beigelegt, daß der gegebene Punkt als sein positiver Pol erscheint, so heiße er „Polare“ des gegebenen Punktes.

4.    Die durch den Pol gezogenen Hauptkreise schneiden die Polare senkrecht. Man findet daher zu einem gegebenen Punkte die Polare entweder, indem man von ihm aus zwei Quadranten zieht und deren Endpunkte durch einen Hauptkreis verbindet; oder indem man einen Quadranten zieht und durch dessen Endpunkt senkrecht zu ihm den Hauptkreis legt. Der Richtungssinn auf den Polaren ist nach Art. 3 festzusetzen.

5. Seien (Fig. 169)¹) a und b zwei mit positivem Richtungssinn versehene Hauptkreise, die den Winkel (ab) mit dem Scheitel C bilden (§ 38, 5.); trägt man auf a und b von C aus im positiven Sinne die Quadranten CM und CN ab und legt durch M und N einen neuen Hauptkreis c, dessen Sinn so bestimmt wird, daß C sein positiver Pol ist, so ist

und

ss

(ab) = MN

(»0- f

6. Die letzten Gleichungen lassen sich auch so aussprechen:

Jf

Fig. 169.

Ist C der positive Pol von c, a ein durch C und einen beliebigen Punkt M von c gelegter Hauptkreis, und wird

a)    die Richtung auf a so fixiert, daß CM=it/2 ist, so ist auch <£ (ac) = jr/2 (Fig. 170a);

b)    die Richtung auf a so fixiert, daß CM = 3jt/2 ist, so ist auch (ac') = 3x/2 (Fig. 170b).

-tr

c'

Fig. 17 0 a.

c'

Fig. 170b.

In beiden Fällen ist also (ac) = CM.

Satz: Ist C der positive Pol des Hauptkreises c, und M ein beliebiger Punkt von c, so ist, welches auch der Richtungssinn auf dem durch C und M gehenden Hauptkreise a

sein möge, jederzeit (ac) = CM.

7. Sind also C und A' die positiven Pole zweier sich in M rechtwinklig schneidender Hauptkreise c und a, so ist (Fig. 171)

(ac) = 031, (ca) = Ä~M, und folglich, da (ac) + (ca) = 2n, auch

CM + A'M = 2tc-

1) Die Figuren dieses Paragraphen sind schematisch gezeichnet.

und da auch so folgt:

CM = MA'.

Satz: Sind C und Ä die positiven Pole zweier sich in M rechtwinklig schneidender Hauptkreise, so ist stets:

CM = MA'.

IM

c'

c'

:A '

Fig. 171.

Ji

Fig. 172.

3'

8. Der Satz 7. führt nun zu dem wichtigsten Satze der Polaren-theorie. Sind a, b zwei Hauptkreise, Ä und TZ die positiven Pole von a und &, C der positive Pol von c (s. Fig. 172), so ist

CM = MA', CN = NB',

und da CM == ĆŃ = jr/2 ist, so folgt;

MA' = NB',

oder

MN + NA' = NA' + A'B’, MN - A^B'.

Wegen 5. folgt hieraus:

3Z (ab) = A'B'.

Damit haben wir den

Hauptsatz der Polarentheorie:

Sind A' und B' die positiven Pole zweier Hauptkreise a und b, und G einer ihrer Schnittpunkte, also zugleich einer der Pole des durch A' und B' gehenden Hauptkreises c, und wird die Richtung auf c so gewählt, daß C der positive Pol von c ist, so ist jederzeit:

(afe) = ÄB'.

9. Aus 8. folgt der Doppelsatz:

Dreht sich ein Hauptkreis im positiven Drehungssinn um einen Punkt der Kugel, so bewegt sich sein positiver Pol im positiven Richtungssinn auf der Polare dieses Punktes.

Bewegt sich ein Punkt im positiven Richtungssinn auf einem Hauptkreise, so dreht sich seine Polare im positiven Drehungssinn um den positiven Pol dieses Hauptkreises.

Der Form nach decken sich diese Sätze mit den ganz anders abgeleiteten Sätzen über Pol und Polare der Kegelschnitte.

10. Diese Analogie läßt sich noch weiter durchführen.

Wie

nämlich in der Planimetrie zwei aufeinander fallende Ebenen rj und v\ polar zueinander heißen, wenn jedem Punkte P von rj eine Gerade p von r[ entspricht, und jeder durch P gehenden Geraden g von rj ein in p liegender Punkt 6r' von r[, so können wir uns auch die Kugel doppelt überdeckt denken und sagen:

Zwei (zusammenfallende) Kugeln K und K' heißen „polar aufeinander bezogen“, wenn jedem Punkte P von K ein Hauptkreis p' in K' entspricht, und jedem durch P gehenden Hauptkreis h ein in p liegender Punkt H von K'.

Eine solche Beziehung ist also hergestellt, sobald man jedem Punkte der Kugel (aufgefaßt als zu K gehörig) seine Polare (aufgefaßt als zu K' gehörig) zuordnet.

Hiermit ist das in der Planimetrie so fruchtbare Prinzip der Dualität auf die Kugel übertragen.

Es ist zweckmäßig, auf der Kugel durch zwei Punkte zwei Hauptkreise als bestimmt anzusehen, die sich durch ihre Richtung unterscheiden. Dann stehen sich polar gegenüber die Sätze:

Zwei Hauptkreise der Kugel

durch die sie gehen.

Zwei Punkte der Kugel bestimmen zwei Hauptkreise, auf bestimmen zwei Schnittpunkte, denen sie liegen.

Jeder der Hauptkreise links hat als reziprokes Gebilde rechts einen ganz bestimmten Punkt, nämlich seinen positiven Pol, und entsprechend umgekehrt.

Richtungsänderung auf einem Hauptkreise und Vertauschung von Pol und Gegenpol sind also zueinander polare Vorgänge. Da aber Vertauschung von Pol und Gegenpol dieselbe Wirkung hat, wie

Umkehrung des Drehungssinnes auf der Kugel (§ 38, 5.), so kann man, was später für uns von Bedeutung sein wird, sagen:

Umkehrung des Richtungssinnes und Umkehrung des Drehungssinnes sind zueinander polare Vorgänge.

11.    Sind K und K' zwei zusammenfallende polar aufeinander bezogene Kugeln, und läßt man einen Punkt P yon K eine beliebige Kurve s auf der Kugelfläche durchlaufen, so beschreibt p auf IC eine stetige Folge von Hauptkreisen, die „eine zu s polare Kurve S umhüllen“. Bezeichnet Q einen festen Punkt von s und läßt man P unbegrenzt nahe an Q heranrücken, so wird der Hauptkreis PQ zur sphärischen Tangente von s in Q. Ihr entspricht ein bestimmter Punkt von S (Richtung!), der „Berührungspunkt“ des dem Punkte Q entsprechenden Hauptkreises q.

Hat ein Hauptkreis mit s n Punkte gemein, so entsprechen diesen n Tangenten von S. Dabei ist immer festzuhalten, daß zwei zusammenfallende Hauptkreise von entgegengesetzten Richtungen als voneinander verschieden gelten (10.).

Auf diese Weise kann jeder Figur auf der Kugel eine Polarfigur zugeordnet werden — jedem Satze auf der Kugel entspricht auch ein zweiter, der Polarfigur zugehöriger.

12.    Bezeichnet k irgend einen Kleinkreis der Kugel, m den zu ihm parallelen Hauptkreis, so heißt derjenige Pol M von m, der innerhalb der kleinen Kalotte liegt, „sphärisches Zentrum“ von k. Verbindet man die Punkte von k durch Hauptkreisbogen mit M, so sind diese, wie leicht zu beweisen, einander gleich und heißen daher „sphärische Radien“ von k.

Dem Leser mag der Beweis folgender Sätze überlassen bleiben:

Jedem Kleinkreise auf der Kugel entspricht polar wieder ein Kleinkreis, dessen Ebene zu der des ursprünglichen parallel ist.

jr/2.

Die sphärischen Radien zweier zueinander polaren Kleinkreise ergänzen sich zu

13.    Besonderes Interesse verdienen die Figuren, die durch Bogen von Hauptkreisen begrenzt werden, die sogenannten sphärischen Polygone.

Man sieht leicht ein, daß den Ecken eines sphärischen Polygons in der Polarfigur die Polaren jener Ecken, den Seiten aber deren Pole entsprechen. Aus 8. folgt der wichtige Satz:

Die Seiten eines sphärischen Polygons sind gleich den Winkeln des Polarpolygons und die Winkel des Polygons gleich den Seiten des Polarpolygons.

Es ergibt sich hier also eine Eigenschaft der Dualität zwischen Seiten und Winkeln, die vor der aus der Planimetrie bekannten dadurch ausgezeichnet ist, daß sie metrischer Natur ist: jeder metrischen Beziehung zwischen Seiten und Winkeln eines sphärischen Polygons tritt eine zweite zur Seite, in der Seiten und Winkel ihre Stelle getauscht haben.

Wir werden der Kürze halber in der Folge von zwei zueinander polaren Figuren oder Formeln sagen, sie seien durch „Polarisation“ auseinander hervorgegangen.

14. Für uns wird die Polarisation des sphärischen Dreiecks eine Hauptrolle spielen. Von zwei zueinander polaren Dreiecken heißt jedesmal das eine Polardreieck des anderen. Die Seiten und Winkel zweier solcher Dreiecke ABC und A'B'C' stehen in den Beziehungen:

Ci

a, b —    ,

« = «', 0= Y = '•

Aus 12. folgt leicht der Satz:

jr/2.

Der eingeschriebene (umgeschriebene) Kreis eines sphärischen Dreiecks geht durch Polarisation in den umgeschriebenen (eingeschriebenen) des Polardreiecks über. Die sphärischen Radien beider ergänzen sich zu

15. Denkt man sich die stereographische Projektion eines Hauptkreises gegeben, so kann man nach 2. und wegen § 37, 4. und 5. die Projektionen seiner Pole finden, indem man zwei Hilfskreise konstruiert, deren jeder den Äquator halbiert und den gegebenen Kreis rechtwinklig schneidet und deren Schnittpunkte aufsucht. Am besten nimmt man für den einen dieser Hilfskreise die Verbindungsgerade der Mittelpunkte des Äquators und des gegebenen Kreises, und verlegt den Mittelpunkt des zweiten Hilfskreises auf diese Gerade.

Man kann mithin zu der stereographischen Projektion eines sphärischen Dreiecks die stereographische Projektion des Polardreiecks finden. Da dieses aber als Winkel die Seiten des ursprünglichen Dreiecks hat und die stereographische Projektion eine konforme Abbildung ist, so folgt:

Durch die angegebene geometrische Konstruktion kann man zu einem in stereographischer Projektion gezeichneten sphärischen Dreieck die wirkliche Größe seiner Seiten finden (vgl. § 37, 5.).

B. Die Formeln erster Ordnung.

§ 40. Einleitung. — Der Projektionssatz.

1. Während unsere bisherigen Betrachtungen vorwiegend topographischer Natur waren und daher der Sphärik angehörten, betreten wir nun, indem wir uns der eigentlichen sphärischen Trigonometrie zu wenden, das Gebiet der Rechnung.

2. Aus jeder trigonometrischen Formel lassen sich weitere durch zyklische Vertauschung und durch Polarisation ableiten.

Die zyklische Vertauschung besteht darin, daß man von den Seiten a, b, c und gleichzeitig von den Winkeln a} ß, y jedes Element mit dem folgenden, das letzte aber mit dem ersten vertauscht, ein Vorgang, auf den wir durch die Abkürzung „u. zykl. w.“ für „und zyklisch weiter“ öfter hinzuweisen haben. Aus einer sphärisch-trigonometrischen Formel gehen im allgemeinen durch zyklische Vertauschung zwei weitere hervor. Es können aber auch alle drei in eine zusammenfallen.

Durch Polarisation (§ 39, 14.) tritt jeder sphärisch-trigonometrischen Formel eine zweite zur Seite, in der Seiten und Winkel miteinander vertauscht sind. Es kann aber auch eine Formel mit ihrer Polarformel zusammenfallen.

3. Als Fundamentalsatz der sphärischen Trigonometrie ist der sogenannte sphärische Kosinussatz anzusehen, und zwar deshalb, weil aus ihm, wie schon Lagrange²) gesehen hat, sämtliche Formeln 4er sphärischen Trigonometrie im wesentlichen auf dem Wege der Rechnung abgeleitet werden können, allerdings nicht restlos, sondern bis auf gewisse Vorzeichen, die rein algebraisch betrachtet willkürlich bleiben.

Bei den so abgeleiteten Formeln wird sich aber ein tiefgreifender Unterschied heraussteilen. Während nämlich für einen Teil dieser Formeln der bisher entwickelte Moebiussche Dreiecksbegriff ausreicht, werden wir durch andere gezwungen werden, den Dreiecksbegriff nochmals wesentlich zu erweitern.

Wir unterscheiden daher Formeln erster Ordnung — das sind die, denen der Moebiussche Dreiecksbegriff zugrunde liegt; und Formeln zweiter Ordnung — das sind die, für die der Moebiussche Dreiecksbegriff nicht mehr ausreicht (vgl. §§ 44 ff.).

Jene werden in dem gegenwärtigen zweiten, diese im dritten Teil behandelt.

4. Wie in der ebenen Trigonometrie der Kosinussatz eine rationale Relation zwischen den drei Seiten und dem Kosinus eines Winkels darstellt, so ist der sphärische Kosinussatz eine rationale Relation zwischen trigonometrischen Funktionen der drei Seiten und dem Kosinus eines Winkels. Es handelt sich also darum, etwa cos y rational durch trigonometrische Funktionen von a, b, c darzustellen.

Es erscheint auf den ersten Blick unter Voraussetzung eines Eulerschen Dreiecks als das Ungezwungenste, dieses Problem dadurch auf eines der ebenen Trigonometrie zurückzuführen, daß man in C Tangenten an die Seiten a und b legt, die die Geraden O A und OB in Ä und B schneiden mögen. Das so entstehende Tetraeder OCÄB hat dann als Kantenwinkel die Seiten a, b, c, der Winkel ÄCB ist y, die Kante OG ist gleich r, und man wird so die gesuchte Relation leicht zu finden erwarten.

5. In der Tat hat Euler 1. c. diesen Weg eingeschlagen. Aber man erkennt leicht, daß diese Ableitung nur für den Eulerschen Dreiecksbegriff Gültigkeit hat. Dagegen würde ihre Gültigkeit für den Moebius sehen Dreiecksbegriff eines besonderen und umständlichen Nachweises bedürfen.

Wir ziehen daher einen Beweis vor, der sofort in voller Allgemeinheit für den Moebius sehen Dreiecksbegriff gilt.³)

Ein dritter, aber nur für Euler sehe Dreiecke gültiger Beweis wird sich als Nebenresultat in §54, 2. unter Voraussetzung der Formeln des rechtwinkligen Dreiecks ergeben.

6. Wir stellen nun zunächst einige Hilfssätze zusammen, wobei die Festsetzungen in § 38, 8. maßgebend sind.

a) Sind l und g₁ zwei mit positivem Richtungssinn versehene Geraden, und liegt auf gx eine Strecke AAt = sl} so soll nach Größe und Vorzeichen unter der Projektion der Strecke sx auf l da3 Produkt

Pi = «i cos (lgt)

verstanden werden (§ 31, 7.).

b) Denken wir uns von A und Ax auf l Lote mit den Fußpunkten Ä und Ax gefällt, so zeigt eine leichte geometrische Betrachtung:

Pt = V = A' a;.

Die Projektion von AA₁ ist nacli Vorzeichen und Größe gleich A'AX; in Formel:

c) Denken wir uns eine aus den Stücken sl} s₂, . . ., sn bestehende gebrochene Linie AAX . . . An, so ist die Projektion p dieser Linie gleich der Projektion s der Strecke s = AAn.

Denn es ist mit Rücksicht auf § 38, 8.:

p = st cos (lgx) + s₂ cos (lg₂) 4-----h sn cos (lgn)

= A'A' + A'A' + • •. + A;_XA; = A'An' = s.

ßs

Ai

Fig. 173.

Fig. 174.

d)    Läßt man A mit An zusammenfallen, so folgt (Fig. 173):

Der Projektionssatz: Die Projektion jedes geschlossenen Linienzuges ist gleich Null: 2Jsn cos (lgn) = 0.

e)    Insbesondere ist für ein ebenes Dreieck StS₂S₃ (Fig. 174):

COS (lsx) + s₂ C0S + S₃ cos (ls₃) = 0.

Nach dem Sinussatz der ebenen Trigonometrie ist aber sx : s₂ : s₃ = sin (s₂s₃) : sin (s3si) : sin (ßisi)-Daher geht für ein ebenes Dreieck die letzte Formel über in: sin (s₂s₃) cos (Zsx) -f- sin (s^) cos (ls₂) -f sin (s^) cos (ls₃) = 0.

¹

Die Dreiecke der Tafeln I — III sind in stenographischer Projektion (§ 37) gezeichnet.

²

J. L. Lagrange, Solutions de quelques problèmes relatifs aux triangles sphériques, Journ. de l’Ec. polyt. t. 2. Vom Standpunkte der Kröneckersehen Algebra in verschiedenen Arbeiten von W. Fr. Meyer, die man, nebst anderer wichtiger Literatur, in dem soeben erschienenen Artikel von Sommer in der Enzyklop. d. Math. Wiss. III AB 8 findet.

³

Moebius, Über eine neue Behandlungsweise der analytischen Sphärik. Ges. Werke II, p. 22 ff.

§ 41. Die Kosiuussätze und der Sinussatz.

1. Das allgemeine Moebius sehe Dreieck ABC sei nach den Festsetzungen und Bezeichnungen von § 38, 8. dem Dreikant zugeordnet.

Wir tragen¹) nun von C aus auf a und b im positiven Sinn die Quadranten CM und ON ab und legen durch M und N einen neuen

Hauptkreis, dessen Sinn so bestimmt wird, daß C sein positiver Pol ist, dann ist nach § 39, 5.:

mn= y,

CM=CN=f-

Es sei ferner OM = rm und ON = rn gesetzt und der positive Sinn auf diesen Strahlen wie bei ra, rb, rc bestimmt.

Wir ziehen nun erstens in seiner zur Ebene des Hauptkreises BGM parallelen Ebene irgend drei ein Dreieck bestimmende Parallelen zu rb, rc, rm. Identifizieren wir dieses Dreieck mit dem Dreieck S₁S₂Ss des vorigen Paragraphen, die Gerade l aber mit ra, so ist:

f(Vs) - (rr) -CM-f

(!)

Oi) - (rjt) - AB —e, (%*,) “ (rmrb) - MB - MC + GB (ls,) - (r.rc) -AC--b,

'■(stsa)-(rire)-BC -a,

Zweitens ziehen wir in einer zur Ebene des Hauptkreises CAN parallelen Ebene irgend drei ein Dreieck bestimmende Parallelen zu re, ra, rn. Identifizieren wir dieses Dreieck mit dem Dreieck S₁S₂S₃, die Gerade l aber mit rm, so ist:

\M = (rar„) - AN= AG + CN, (ls,) = (rmre) = MG = \,

{ls₃) = (rarm) - AM.

(2)

(s₃Si) = (rnrc) = NC = -

(Js ₂) = (rmra) = MA,

KMs) = (rcra) = GA = b,

Qh )-(rmrJ-MN-y.

Indem man nun (1) und (2) in die letzte Gleichung von § 40 einsetzt, erhält man die Gleichungen:

⁷    O

cos c — cos a cos b -f sin a cos AM — 0,

— cos MA -f sin b cos y = 0,

woraus unter Beachtung, daß cos AM = cos MA ist, die für jedes Moebiussche Dreieck gültige Formel folgt:

cos c = cos a cos b — sin a sin b cos y.

Wir haben also mit Rücksicht auf § 40, 2. den ersten sphärischen Kosinussatz:

(I)

(I')

cos c = cos a cos b — sin a sin b cos y,

2. Durch Polarisation folgt sofort der zweite sphärische Kosinussatz:

cos y = cos a cos ß — sin a sin ß cos c,

u. zykl. w.

u. zykl. w.

3. Indem man (I) nach cos y auf löst, ; findet man nach kurzer Rechnung sin²y = 1 — cos²y = P² : sin²« sin²&, wo

(3)

P² = 1 — cos²« — cos²& — cos²c -f 2 cos « cos b cos c.

Daher ist

(4) sin² b sin² c sin² a = sin² c sin² « sin² ß = sin² « sin² b sin² y = P².

Den Gleichungen (3) und (4) treten durch Polarisation die folgenden an die Seite:

(3')

77² = 1 — cos² a — cos² ß — cos² y + 2 cos a cos ß cos y ;

(4') sin² ß sin² y sin² « = sin² y sin² a sin² b = sin² a sin² ß sin² c = II².

Nach der Tabelle S. 353 haben die drei Produkte sin & sine sina, sincsin«sinß, sin«sin&siny einerseits und sinß sin/sin«, siny sina sin&, sina sin/3 sine andererseits gleiche Vorzeichen. Man darf daher wegen (4) und (4') setzen:

(5)

P = sin b sin c sin a = sin c sin « sin ß = sin « sin b sin y,

(&')

II == sin/3 siny sin « = sin y sin a sin b — sin a sin ß sin c,

wodurch gleichzeitig die Vorzeichen von P und TI definiert werden. Hieraus erhält man:

P“ = sin² « sin b sin c sin ß sin y,

P n = sin « sin b sin c sin a sin ß sin y,

und daraus

sin a sina

(II)

sin b sin c sin ß sin y

Damit haben wir den sphärischen Sinussatz:

sin a    sin b    sin c    P

sin a    sin ß    sin y    II ’

P = sin b sin    c sin a    =    sin c    sin « sin ß    = sin    « sin b sin y,

. II = sin ß sin    y    sin a    =    sin y    sin a sin b    = sin    a sin ß sin c.

und ebenso

4. Die Analogie zum Sinussatze der ebenen Trigonometrie leuchtet ein. An Stelle des dort auftretenden Durchmessers des Umkreises (§ 26, 6.) ist hier das Verhältnis P/JT getreten.

Wir werden naturgemäß auch hier nach einer geometrischen Deutung fragen. Eine solche Deutung verdanken wir v. Staudt, der die Größen P und 17 als „Eckensinusse“ bezeichnet.

Sei nämlich das Dreieck zunächst ein Eulersches. Wir wollen den Inhalt des das Dreieck projizierenden Tetraeders OABC (§ 38, 10.) berechnen. Es ist — auch dem Vorzeichen nach —

OAB —■ 4 OA • OP - sine = 4r³sin²c.

so findet man aus (6):

P² = 1 — cos² a — cos² b — cos² c -f 2 cos a cos b cos c

= (1 — cos²a) (1 — cos²&) — cos²acos²b — cos²c + 2cosacos6 cosc = sin² a sin² b — cos² a cos² b — cos² c -f cos c • 2 cos a cos b

= — cos (a -f b) cos (a — b) — cos² c -f- cos c [cos (a — b) -j- cos (a + &)] == [— cos (a -f- b) -f- cos c] • [cos (a — b) — cos c]

a-\-b— c . a -j- c — b . c -j- b — a

sin

sm

= 4 sin

Mit Benutzung von (7) haben wir damit die gesuchte Umformung:

(8) P² = 4sins₀ sinsx sins₂ sins₃, 12² = 4 sin <?₀ sin sin a₂ sin <j₃.

§ 42. Über den algebraischen Zusammenhang zwischen den beiden Kosinussätzen und dem Sinussatz.

1. Zur Ableitung der Formelgruppen (F) und (II) aus der Formelgruppe (I) haben wir uns wiederholt auf geometrische Überlegungen gestützt, und zwar auf das Verfahren der Polarisation und auf die Tabelle S. 353; in § 40, 3., war aber schon gesagt worden, daß man vom ersten Kosinussatze aus im wesentlichen auf dem Wege der Rechnung zum zweiten Kosinussatze und zum Sinussatze gelangen könne. Um dieses Ziel zu erreichen und das hier vorliegende algebraische Problem besser hervorzuheben, bezeichnen wir

a b c aß y

cos

sin

SS S3

y'

Ui

5 V S

I' V £'•

Dann lauten die Formeln des ersten Kosinussatzes

(i)

x = y2 — ye'%, y = zx — zx'y, z = xy — x’y%

mit den Zusätzen

(2)

x² -f x² = i/² + t/'² — ü² + /² = 1,

i² + r² = ^² + v² = =² + r²=i.

Hier denken wir uns (a, fr, c also) x, y, z und x', y', z gegeben, insbesondere also die Vorzeichen der Wurzeln, welche x, y, z nach

(2) durch x, y, z ausdrücken, in bestimmter Weise gedeutet; dann sind durch (1) (von den Winkeln a, ß, y) zwar die Größen £, y, £ eindeutig festgelegt, nicht aber (die Sinus) y, £'; denn die Vorzeichen der Wurzeln, die £', y, £' nach (2) durch g, y, £ ausdrücken, erleiden durch (1) und (2) keinerlei Einschränkung. Dazu müßte man sich eben auf die Figur berufen, was aber vorläufig unterbleiben soll.

Die Höhe ergibt sich aus Fig. 175 zu CF sin (jr — a) = r sin b sina. Das Volumen ist also V= j r³ sin b sin c sin a, oder

QV = r³P.

(6)

Ni

Für ein allgemeines Moe-biussches Dreieck fragt es sich noch, ob (6) auch das Vorzeichen des Volumens richtig bestimmt.

Indem man aber die verschiedenen Vorzeichen von P aus (II) und der Tabelle S. 353 entnimmt und jedesmal mit dem Vorzeichen des Tetraedervolumens, wie es sich aus den Festsetzungen § 38, 9. und 10. ergibt, vergleicht, erkennt man:

Fig. 175.

⁷B

Die Formel (3) liefert den Inhalt des einlMoebiussches Dreieck projizierenden Tetraeders auch dem "V orzeichen nach richtig.

Als Inhalt Y des zugehörigen Polartetraeders ergibt sich:

(6')

6Y = r³II.

5. Eine bemerkenswerte Umformung von P und J7 möge hier noch Platz finden.

Setzt man mit Study:²)

(7)

2<?₀ = 2% — (a + ß + y), 2öl =

2o₂ =

2<5₃ =

— a + ß + y, + a — ß + y, + a Y ß — y,

haben

2. Wohl aber findet man aus (1), wie wir in § 41, 3. gesehen

xy —

p*

xy'

x iy'i z’

wo

(3)

P² = 1 — x² — iß — z² — 2 xyz.

Daher ist

(4)

p*

(5)

t/'*    7¹    «'V**'*’

Hiernach ist der rational ausgesprochene Sinussatz

sin²«    sin*ß    sin²/

sin²«    sin²fe    sin*c

unter Voraussetzung der drei Formeln (1) des ersten Kosinussatzes eine rationale Identität.

3. Das Irrationale kommt erst herein, wenn aus gezogen werden soll: Man findet so den irrationalen Sinussatz

_T _ _Z__

z’ xyz' ’

(4) die Wurzel

(6)

= £₂ -

² y

wo P die irgendwie gedeutete Wurzel P = j/P² bezeichnet und .£j, £₂, f₃ je die Werte + 1 annehmen dürfen, die durch (1) und (2) allein nicht weiter beschränkt werden. Nun ist nach (4)

g'²#'²«/'² = P² = {xy — z) z -f- 1 — x² — y² -f- xyz, g'VY ²* = {xy — z){ 1 - *'²) + (1 - z² - \f + xyz) z,

= - (æy — *) z'* -f {yz — x) {zx - y),

also auf Grund von (1)

Setzt man hier nach (6) die Werte

r _ n

— £1 £ 3    ~ £ 2 f S ÿ⁷

ein, so folgt

£i£>SV* = — § + 5^-

Man hat demnach durch zyklische Vertauschung

(7) £ = ??£ — e₃str)'Çx} rj = ££ —    g =    — MiêV*

als vollständige irrationale Fassung des zweiten Kosinusweber u. Wells tein : Enzyklopädie. II. 3 Aufl.

24

satzes, insoweit er eine Folge von (1), (2) ist³) nach eindeutiger Festlegung von x', y', z.

Der zweite Kosinussatz nach § 41, 2. lautet in unseren Bezeichnungen

(7')

£ = rj'Çx, v] = të — Çè,'y, £=£?? — UV*, unterscheidet sich also von dem vollständigen Satze (7) durch die einengende Festsetzung £₂ = s₃ =• s₃ = 1, die auf = s₂ = s₃ = s, s = + 1 führt. Das ist also der algebraische Ertrag der Berufung auf die Polarisation zum Beweise des zweiten Kosinussatzes (§ 41, 2.). Man kann auch sagen: Die Festsetzung = £₂ = £₂ = s = 4; 1 ist das algebraische Äquivalent für die Existenz des Poldreiecks.

r ₌ y ₌ r ___

x y z x y'z ’

eP

4. Diese Festsetzung nicht rein algebraischer Herkunft hat endlich nach (6) den Sinussatz in seiner gewöhnlichen Fassung

(8) zur Folge, und umgekehrt zieht die Annahme des Sinussatzes (8) vermöge (6) die Festsetzung ^ = £₂ ⁼ also nach

(7) den zweiten Kosinussatz nach sich.³)

Statt sP darf in (8) einfach P stehen, wenn man P als zweiwertig, P = + YP⁴ auffaßt.

5. Wenn die Tragweite der Zweideutigkeit von P (und der durch Polarisation entsprechenden von II) nicht schon in § 41, 3. gebührend hervorgetreten ist, so liegt das daran, daß dort der Standpunkt, von dem wir ausgingen, ein anderer war: Damals dachten wir die Seiten und Winkel als gegeben und nur die zwischen ihnen bestehenden Zusammenhänge als gesucht, P und II waren nur durch § 41, (5), (5') definierte Hilfsgrößen, über deren Yorzeichen die Sinus und Kosinus der bekannten Winkel entschieden. Im vorliegenden Paragraphen liegt die Sache ganz anders. Da nehmen wir nur a, b, c und damit x, y, z, x', y, z als gegeben an, |, rj, £ sind durch (1) definiert, £', r[ gesucht. Jetzt kommt es also darauf an, für welches Yorzeichen s man sich in (8) nach eindeutiger Festlegung von P (und polarentsprechend von 77) entscheidet. Erst nach Bestimmung von |, rj, £, rj', £' sind a, ß, y bis auf Vielfache von 2% festgelegt. Wechselt man das Vorzeichen s, so erhält man drei Winkel, die, bis auf Vielfache von 2 jr, den vorigen entgegengesetzt gleich sind. Geht man von dem hierzu polaren Standpunkt aus, wonach a, ß, y gegeben, a, b, c gesucht werden, so gelten analoge Bemerkungen für 77.

6. Weitere interessante und leicht zu erreichende Zusammenhänge ergeben sich, wenn man, die algebraische Auffassung noch entschiedener durchführend, zwar von (1) und (2) ausgeht, aber nur x, y, z als gegeben betrachtet. Dann werden auch x, y, z zweideutig, die Winkel a, b, c also abgesehen von Vielfachen von 27t nur bis auf den Drehsinn bestimmt, oder, zwar dasselbe ist, es treten außer einem Dreieck noch alle die auf, die daraus hervorgehen, wenn man eine oder die andere Seite durch den sie zu einem Vollkreis ergänzenden Kreisbogen ersetzt. Jeder dieser Fälle kombiniert sich dann, nachdem so x, y, z, x', y, z bestimmt sind, mit den aus £ = + 1 entspringenden Möglichkeiten für a, ß, y. Das Gesamtergebnis wäre nur mit Hilfe der später entwickelten Sätze aus der Gruppentheorie bequem zu übersehen.

§ 43. Weitere Formeln erster Ordnung. — Anwendung auf das rechtwinklige Dreieck.

1. Es werden jetzt eine Reihe von Formeln abgeleitet, die teils an sich interessant sind, teils im Teil D. wichtige Anwendungen finden. Nach dem sphärischen Kosinussatz ist:

und

cos b — cos c cos a -|- sin c sin a cos ß = 0 cos a «= cos b cos c — sin b sin c cos a ;

oder:

durch Einsetzen der zweiten Gleichung in die erste findet man: cos & (1 — cos² c) + sin b sin c cos c cos a -f sin c sin a cos ß = 0 cos b sin c -j- sin b cos c cos a -f sin a cos ß = 0.

Man hat somit ein erstes Formelpaar

(i)

sin a cos ß    +    cos b    sin c    -f- sin b cos c cos a = 0,

sin a cos y    +    cos c    sin b sin c cos b cos a = 0;    u.    zykl.    w.

(!')

Hieraus folgt unmittelbar durch Polarisation ein zweites: sin a cos b    -j-    cos ß    sin y    -f sin ß cos y cos a = 0,

sin a cos c    -f    cos y    sin ß    + sin y cos ß cos a = 0;    u.    zykl.    w.

24*

Indem man in der ersten Gleichung von (1) nach dem Sinussatz sin a = sin b • sin a/sin ß setzt und durch sin b dividiert, und bei den anderen Gleichungen entsprechend verfährt, erhält man:

(2)

u. zykl. w.

sin cc cotg ß -f- cotg b sin c -f- cos c cos a = 0, sin a cotg y -f- cotg c sin b + cos b cos cc = 0;

Hierzu ist polar:

(2')

sin a cotg b + cotg ß sin y -j- cos y cos a = ,

sin a cotg c + cotg y sin ß + cos ß cos a =    ,    u.    zykl. w.

2. Multipliziert man die Gleichungen yon (I) und (F) mit cos y und cos c, so erhält man durch Gleichsetzung der beiden Ausdrücke für cosc cosy und unter Anwendung der Formel cos²x =1 — sin²#:

cos a cos b cos y — sin a sin b -f sin a sin b sin² y = cos cc cos ß cos c — sin a sin ß sin ß sin ß sin² c.

(II) ist:

Die letzten Glieder sind aber auf beiden Seiten gleich, denn nach

sin a sin b • sin² y

p² n²

sin cc sin ß • sin* c

n² P²

mithin erhalten wir das Formelsystem:

(3)    cos a cos b cos y — sin a sin b = cos a cos ß cos c — sin a sin ß, u. zykl. w.

Diese Formeln sind dadurch ausgezeichnet, daß sie zu sich selbst polar sind; bezeichnen also a, c, cc, ß', y die Seiten und Winkel des Polardreiecks, so ist:

(4)    cos a cos b' cos y ' — sin a sin b' — cos a cos b cos y — sin a sin b

(5)    cos a' cos ß' cos c — sin cc' sin ß' = cos a cos ß cos c — sin a sin ß.

Man pflegt dies so auszudrücken: Die rechten und linken Seiten der Gleichung (3) für sich genommen sind Invarianten für den Übergang von einem Dreieck zu seinem Polardreieck.

3. Die Neperschen Analogien. Zur Ableitung der folgenden Formeln benutzen wir die erst im nächsten Teil abgeleiteten Delambre-schen Formeln (§ 45, III). Während aber diese, wie sich zeigen wird, Formeln zweiter Ordnung sind, ergeben sich durch Division aus ihnen Formeln erster Ordnung. Es sind dies die sogenannten Neperschen⁵) Analogien (vgl. § 45, 5.):

(6)

cos

cc

tg~2

tgO+J

° 2

b— c

cos—-—

, «

*«T

Die übrigen acht Neperschen Analogien folgen aus den gegebenen durch zyklische Vertauschung.

Zwei nebeneinander stehende gehen auch durch Polarisation auseinander hervor.

« |<M

cos

cos

an-

Zwei untereinander stehende gehen auch auseinander hervor durch Anwendung der in § 48 zu besprechenden Substitution Es.

Aus einer einzigen Neperschen Formel folgen also alle elf übrigen durch Anwendung der Polarisation, der Substitution E₃ und der zyklischen Vertauschung.

4. Der Tangentensatz ergibt sich aus zwei untereinander stehenden Neperschen Analogien durch Division:

tg

ë 2

(?)

b -j- e

<M :

tg r

⁶ 2

5. Eine sehr bemerkenswerte Form hat Study¹) den Neperschen Analogien gegeben, die wir in etwas anderer Weise jetzt ableiten wollen. Wendet man auf die dritte Formel (6) die Additionstheoreme des Tangens und Kosinus an, und führt statt der Tangenten die Ko-tangenten ein, so erhält man:

COtg y + COtg y ¹ — COtg y COtg y

oder unter Vertauschung von rechter und linker Seite: ß y

COtg -Ç- COtg y + 1 COtg COtg y — 1

• COtg y =

cos

cos —■ -j- sin sin — 2 2 ¹ 2 2

COS -r- COS

x_sinlsinx

2 2 2

COtg y COtg y + COtg y COtg y ¹ — COtg g COtg -|-

Hieraus ergibt sich unmittelbar durch korrespondierende Addition und Subtraktion:

COtg y COtg y

¹ — COtg y COtg y -|- COtg y COtg y + COtgy COtg

1 + COtg y COtg y -f COtg y COtg y -f COtgy COtg y

1) 1. c. p. 136f. — Die gewöhnliche direkte Ableitung der Neperschen Analogien (wie z. B bei Euler 1. c.) gibt über die Vorzeichen keinen Aufschluß.

Man hat also mittels zyklischer Vertauschung und Polarisation, wenn man noch mit Study

COtgy = lu

cotgy = Ax,

cotg 2 ⁼ 4,

cotg I = A₂,

cotg l = Z₃, cotg J = A₃

setzt.

(8)

(8')

I Ma ~l~ 4 4 ~f~ 4 4 — ¹ + 4 4 “I⁻ 4 + 4 4 7 ¹ — 4 4 + 44 + 4 4 -1 + 44 + 44 + 44⁷

6. Aus (8) und (8') folgert Study den interessanten Satz:¹) „Die vier Quotienten

¹ d~ 4 4 4 4 *t" 4 4

44

u. zykl. w.

u. zykl. w.

44+44 1+44

und die acht übrigen, die aus ihnen durch zyklische Vertauschung der Indizes 1, 2, 3 hervorgehen, haben alle denselben Wert.“

_ 4    4 4

i-44’

7. Der Fall des rechtwinkligen Dreiecks. Wir wenden den sphärischen Sinus- und Kosinussatz auf das rechtwinklige

Dreieck an.

Setzen wir y — jr/2 voraus (Fig. 176), liefern (I), (F) und (II) unmittelbar die Formeln:

JLAr

2jUr-

SO

(9)

(10)

Aj

cos c = cos a cos b, cos c — cotg a cotg ß,

cos b =

<u

Tb

/ -i h \    COS cc

__ (11)0080--^,

(12) sina = $^, v J    sine

Fig. 176.

Aus (11) und (12) folgt unter Benutzung von

sin ß =

cosß sina ⁷

sin b sin c

(9):

cos a = —

cos a sin b

cos c sin b

sin c

cos b sin c ’

daher:

(13)

tgö

von

(14)

tga

cos ß = —

Endlich durch Division von (12) und (13) und unter Benutzung

cos a = — r— j tgc

tgc

(9):

tg a

tg a =--F-r }

°    sin o

1) Vgl. hierzu Eckhardt, a. a. 0. S. 143f.

sin a

Die Formeln (12) bis (14) sind analog den entsprechenden in der ebenen Trigonometrie gebaut, nur daß an Stelle der Seiten a, b, c selbst hier trigonometrische Funktionen derselben treten. Die abweichenden Vorzeichen entspringen aus unserer Bezeichnung.

Die Formeln (9) bis (11) haben kein Analogon in der ebenen Trigonometrie.

8. Die Formeln des Eulerschen rechtwinkligen Dreiecks folgen nach § 38, 6. aus den angegebenen, indem man die Winkel durch ihre Supplemente ersetzt; man erhält so die in der Praxis vielgebrauchten¹) Formeln für das gewöhnliche rechtwinklige Dreieck (Fig. 177):

.7

(9*)

cosc == cos a cos b, cos c — cotg a cotg ß cos a sin ß7 sin a sin c 7 tg b tgc 7 ,    tg a

‘8“ = KV

9. Diese Formeln werden zusammengefaßt durch die „Nepersehe Regel“, deren tiefer liegende Begründung erst später (S. 407) gegeben werden kann. Man schreibe, indem man den rechten Winkel wegläßt, die Katheten aber durch ihre Komplemente ersetzt, die fünf Dreieckstücke in unveränderter Reihenfolge an die Peripherie eines Kreises (Fig. 178). Dann heißt die Nep ersehe Regel:

1.    Der Kosinus irgend eines Stückes ist gleich dem Produkte der Kotangenten der beiden benachbarten Stücke.

2.    Der Kosinus irgend eines Stückes ist gleich dem Produkte der Sinus der beiden nichtbe-nachbarten Stücke.

Die Anwendung dieser Formeln auf die praktische Auflösung des rechtwinkligen sphärischen Dreiecks s. § 52.

(10*)

(11*)

(12*)

(13*)

(14*)

cos a =

cos b =

I CU

sin a =

cos a =

COS ß =

Alf

Fig. 177.

f-%

<x

'ß

Fig. 178.

1) Vgl. § 52.

co

CO

C. Die Grundformeln zweiter Ordnung.

§ 44. Einleitendes.

1. Wir gehen jetzt zu Formelgruppen über, die ihrer innersten Natur nach von den bisher betrachteten verschieden sind. Während die Formeln des vorigen Abschnittes für alle 16 Dreieckstypen in gleicher Weise galten, tritt jetzt eine Scheidung ein. Die neuen Formeln enthalten nämlich eine Quadratwurzel, und damit die Wahl zwischen zwei Vorzeichen. Es erweist sich nun, daß dem einen Vorzeichen von den 16 Typen in bestimmter Weise 8 zugeordnet werden, während das andere für die übrigen 8 gilt. Unsere Dreiecke zerfallen also jetzt in zwei Klassen, für die je ein bestimmtes Vorzeichen maßgebend ist.

Aber noch mehr: fragt man nach der Gesamtheit aller Dreiecke, die zu einem bestimmten Vorzeichen gehören, so erweist sich der Moebiussche Dreiecksbegriff nicht mehr als ausreichend. Wir werden wiederum zu einer Erweiterung des Dreiecksbegriffs geführt, bei dem Seiten und Winkel, die sich um Vielfache von 2jt unterscheiden, als verschieden angesehen werden.

Zu drei Punkten gehören dann nicht mehr, wie bei Moebius, 16, sondern unendlich viele Dreiecke, die sich aber durch 32 „Repräsentanten“ veranschaulichen lassen; von diesen Repräsentanten gehören dann 16 in die eine, 16 in die andere Klasse.

Diese Scheidung der Dreiecke in zwei Klassen und die damit verbundene Verallgemeinerung des Dreiecksbegriffs stand schon Gauß vor Augen, in dessen Theoria motus sich in Nr. 54 folgende Stelle findet: „Quodsi quidem idea Trianguli sphaerici in maxima generalitate concipitur, ut nec latera nec anguli ullis limitibus restringantur, casus existere possunt, ubi in cunctis aequationibus praeeedentibus signum mutare oportet.“

Indessen ist die ganze Tragweite dieser Verallgemeinerung erst von Study⁶) erkannt und verarbeitet worden. Namentlich über die letzte Wurzel dieser Erscheinungen scheint sich bei Gauß keine Andeutung zu finden. Sie ist geometrischer Natur und findet ihren Ausdruck in dem „Studyschen Satz“ (§ 47).

§ 45. Die Delambreschen Formeln.

1. Für das Folgende grundlegend sind die sogenannten Delambreschen Formeln.¹) Sie bilden ein System von 3*4=12 Formeln, von denen wir nur die ersten vier ableiten, die übrigen aber durch zyklische Vertauschung erhalten.

Zu dem Ende schlagen wir genau denselben Weg ein, wie in der ebenen Trigonometrie (§ 27, 7.), indem wir in die goniometrischen Formeln

cos² y =

. <» a 1 — cos a

sm T = —2

1 -f- cos a

für cos a den Wert aus § 41, 1. einsetzen. Wir erhalten nach einfachen Umformungen:

sin* -J -

(1)

sins₀ sins, sin b sin c ’

„;„2 P    sinso sins*

bill _    —    •    •    7

2 sm c Bin a

sins₀ sins3 sin a sin b ’

cos' “ -cos² = COS² l =

sin s₂ sinss

sin b sin c ’

sins₃ sins,

• ~    • y

sm c sin a

sins, sinsg

sin a sin b

worin die s{ dieselbe Bedeutung wie auf b. 367, (7) haben.

Wir setzen, da sich dies hier am ungezwungensten macht, diesen Formeln gleich die polaren gegenüber, die wir zwar nicht für den Augenblick, wohl aber im Teil D. brauchen:

sin ß₀ sin ff, sin ß sin y ’

(!')

sin 6₀ sin ß₂

siny sina

sin tfg sin ßs sin ß sin y ’

sin tf₈ sin <rx

—-:- 1

sm y sin cc

sin ff, sin a₂

sin e₀ sin ßs sina sinß

Aus (1) und (1') folgt durch Division: sins₀ sins, sins₂ sin s₈ *

Beiläufig sei bemerkt, daß von den Formeln (1) und (1') aus auch leicht der Sinussatz gewonnen werden kann; die Multiplikation je zweier nebeneinander stehender Formeln ergibt:

4 sin s₀ sin sin s₂ sin s₃

= sin²6 sin²c sin²«, = sin²c sin²« sin²ß, = sin²a sin²b sin² y,

4 sin <?₀ sin <?, sin sin o₃

= sin²ß sin²y sin²«, = sin²/sin²a sin²b, = sin²cc sin²ß sin²c.

sin a sin ß

(2)

tg;

tg²

sin e₀ sin <>,

sin ß₂ sin ßs

, u. zykl. w.

1) Die Delambresclien Formeln sind 1807 von Delambre und bald darauf unabhängig von Gauß und Moll weide gefunden worden; sie werden daher auch häufig nach diesen beiden Mathematikern benannt. — Ygl. auch § 31, 6.

Die linken Seiten dieser Gleichungen sind nichts anderes als die früher — S. 366, (II) — gewonnenen Formen für P² und H². Das Andere folgt wie früher.

2. Wir kehren zur Ableitung der Delambreschen Formeln zurück. Aus (1) folgt:

sin

(3)

sin

-t.y

sin²s sin*a ⁵

cos — sin ~ 2 2

sin

2    -j / sin²s₃

- V sin²¹« ‘

Wir beweisen nun, daß hier beide Wurzeln gleichzeitig entweder positiv oder negativ zu ziehen sind. Setzt man nämlich

, sin ss ® sin a ’

-i /sinäs₂

V sin²«

sin si Q sin « >

sin² a

WO

p, p = + 1,

so wird

sin ß sin y

4 sin² —

= QQ

, sins₂ sins, sin²«

Unter Anwendung von (1), ferner § 41, (8) und (II) folgt:

pp' • sin s₀ sin sin s₂ sin s₃ = sin² a sin ß sin y sin 6 sin c,

oder

sin b sin c sin ß sin y

also pp' = + 1, was zu beweisen war. Die Relationen (3) heißen also jetzt

sin cos —

pp'.P² =

• sin² ß sin² y sin² a —    ■ H² = P²,

(3 a)

sin

2    sin s₂

^ sin«

cos ~~ sin ' 2 2

. <x sin —

sin s,

= p ——— ? s sin «

wobei gleichzeitig entweder p = -f- 1 oder p = — 1 zu wählen ist.

Das Gleiche gilt für die hieraus durch Addition und Subtraktion folgenden beiden Delambreschen Formeln:

.Int“?

(4)

■ ß + 7 sln 2

cos

. b — c sin

sin

a <N

cos —

cc

sm —

. « sin —

Die anderen beiden erhalten wir, indem wir den Sinussatz zunächst in die Form setzen:

sin a

sin ß -}- sin y sin b -f- sin c sin «

die oberen Zeichen liefern dann nach S. 312, (6) und 313, (7):

b -j- c

sin tzl 2

cos

£2.

cos

sin

ci R

cos —

sin

cos —

die unteren:

sin to 2

cos

cos

b — c . b 4- c

- sm —⁵—

sin

cos

Ci R

cos —

. a

smY

Hieraus folgt durch Vergleichung mit (4):

ß ~\- Y cos —

cos

b -\-c

cos

(4a)

. fc-fc sm —

cos

cos

Ö (N

= Q

cc    s

cos —

sin

u>! a

Indem wir nun (4) mit (4a) und den zyklisch sich daraus ergebenden Formeln zusammenstellen, erhalten wir folgende drei

a)

Systeme der Delambreschen Formeln:

cos

sin

(HIO

U' R

cos

et a

b)

sin tzl 2

. b — c

sm —-—

2

sin

u> o

cos

cos

b -f c

cos

. a

smT

. b -f- c sin

c)

d)

cos —

cos —-

cos

u> »

sin

und zyklisch weiter (III₂), (HIS); (p = 4- 1.)

3. Diese Systeme sind vollständig in sich abgeschlossen und können auch durch Polarisation nicht erweitert werden; denn die Formeln (b) und (c) sind jedesmal zu sich selbst polar, während (a) und (b) gegenseitig zueinander polar sind.

Innerhalb jeden Systems (HI,) (i = 1, 2, 3) gehören die Werte p = + 1 und p = — 1 zusammen. Wir fragen:

1. Wann ist innerhalb eines Systems p positiv, wann negativ zu

wählen?

2. Welcher Zusammenhang besteht zwischen den p der verschiedenen Systeme (III,)?

Beide Fragen erledigen sich gleichzeitig.¹) Wir beginnen die Untersuchung an einem speziellen Beispiel, indem wir fragen: Welche Vorzeichen müssen wir in den Delambreschen Gleichungen z. B. dem

1) Eine andere und einfachere Darstellung siehe § 50, 4. Die hier gegebene ist umständlicher, aber natürlicher.

Dreieckstypus T$ geben? Aus der Tabelle S. 353 entnehmen wir für diesen Typus folgende Grenzwerte der Seiten und Winkel:

CC

0, 3t

3t, 2 7t

3t, 23t

0. 3t

3t, 2 3t 3t, 2 3t

Wollen wir nun für diesen Typus etwa das Vorzeichen der Formel (III,) (a) bestimmen, so finden wir folgende Grenzen:

cc

b — c

3t, 23t

°> T

Es ist also

negativ,

5 c    ■ i •

cos —— positiv,

sin

toi R

positiv,

cos ₂ positiv,

so daß in diesem Falle für q der Wert — 1 gewählt werden muß. Symbolisch schreiben wir jetzt, wo es nur um die Vorzeichen geht, die behandelte Delambresche Formel (IIIj) (a) so :

¹

Ygl. Fig. 169.

²

Study, „Sphärische Trigonometrie, orthogonale Substitutionen und elliptische Funktionen“. Leipzig 1893. — Dieses Werk ist als durchaus grundlegend für die moderne sphärische Trigonometrie anzusehen. Der Einführung in die Study sehe Anschauungsweise ist in der vorliegenden Darstellung namentlich Teil C. gewidmet. Ich möchte ferner nicht unterlassen, auf das inhaltreiche Buch von Eckhardt, „Zurückführung der sphärischen Trigonometrie auf die Geometrie des ebenen Kreisvierecks“ Leipzig 1909 hinzuweisen. Durch „Abbildung“ der sphärischen Dreiecke auf Kreisvierecke der Ebene — ein Gedanke, der in allerdings weniger einfacher Form auf Study 1. c. zurückgeht, — gelingt hier eine insbesonders auch nach der konstruktiven Seite bemerkenswerte Behandlung der sphärischen Trigonometrie.

³

Über diese, wie gesagt, schon von Lagrange bemerkten Zusammenhänge finden sich in dem S. 367 zitierten schätzenswerten Buch von Eckardt merkwürdige Irrtümer. Was Eckardt in Wahrheit bietet, ist eine Parameter

⁴

darstellung der Kosinus der 6 Stücke eines sphärischen Dreiecks, aus der durch Elimination der Parameter die beiden Kosinussätze hervorgehen; das hätte sich auch durch Koordinatendarstellung dieser Kosinus erreichen lassen, beweist aber nicht, daß diese Sätze auch ohne diese Parameterdarstellung Identitäten sind.

⁵

John Neper oder Napier, Baron von Merchiston, ein Schotte, lebte von 1550 bis 1617.

⁶

Vgl. die Fußnote S. 367.

= eT;

in unserem Falle ist also q = — 1.

Damit ist aber nach 2. schon bewiesen, daß für das ganze System (IIIJ der Typus T\^ die unteren Vorzeichen fordert. Um weiter zu einer Entscheidung über das System (III₂) zu gelangen, versagt der angegebene Weg, wenn man anwendet; es ergeben sich nämlich die Grenzwerte:

c — a

ihn auf die Formel (III₂) (a)

«ŁUN

tO O'*

to H.

7 3t

A    ⁷¹

0, 3t — > ⁷¹

Es ist also in bezug auf das Vorzeichen:

oszillierend,

cos

c oszillierend, cos y negativ.

positiv,

Bezeichnen wir eine oszillierende Größe als „unbestimmt“ und deuten dies durch ein Fragezeichen (?) an, so nimmt die Delambre-sche Formel (III₂) (a) die Gestalt

sin

an:

woraus wir keinen Schluß auf p ziehen können. Dagegen erhält die Formel (III₂) (b) symbolisch die Form:

+- +-

= — 9    -,

also ist für (III₂) (b) ebenfalls p = — 1. Da aber, wie bewiesen, innerhalb eines Systems die Vorzeichen zusammengehören, so gilt für das ganze System (III₂): p = — 1. Ebenso kann man beweisen, daß für das ganze System (III₃) p = — 1 zu nehmen ist. Damit hat man das Resultat gewonnen: Für den Dreieckstypus T₀⁽¹⁾ ist in den gesamten Delambreschen Formeln p — — 1. In dieser Weise fortfahrend kann man für alle 16 Typen die Vorzeichen ermitteln.

4. Schneller und übersichtlicher kommt man zum Ziele durch folgende Tabelle¹), die mit Hilfe der Tabelle S. 353 hergestellt wird, und zwar durch einige leichte Überlegungen rein mechanisch, sobald nur gewisse wenige Felder auf die bereits angegebene Weise ausgefüllt sind:

89

HH⁻ °

Pi

89

cä

So

+1+

Of

-O

Q/

+1+

Q/

+1+

O-

+1+

Of

'D

+1+

-O

/D II

+ 1+11

0)

ii +

9 ~r

e+ +

11+1+1+

'O

'o

*-o

+11 +!+

Q/

Of

cn

+11 +1+

Q/

9 ~r

•>5

o.

+1 + 1 I i +

Q/

Q/

da b

>D

+1+

•-o

•o

Q/

10/

'Dl

Q-r ?

Q/

+1+

•-o

O/

-O

+1+

IO/

/Ql

cv.

-o

11 +

IQ/

|Q/

•-o

4-    _ — I— —I 4-    + —    _    —

—    = p —! —= p—? ? — = p — — = ê — ?

-    + i +    -!    +    y    +

Die zum Index 2 und 3 gehörigen Tabellen erhält man aus Tabelle (5) durch zyklische Vertauschung der Spalten (III*), (III₂), (III₃).

Bezeichnen h, l, m die Zahlen 1, 2, 3 in irgend einer Reihenfolge, so ergeben sich die Formeln, deren Vorzeichen durch die Tabelle ohne weiteres bestimmt und die Formeln, die unbestimmt sind, aus dem Schema :

Typus

bestimmt

unbestimmt

TU

(6)

(III, a) (III, d) (HIj a) (III, d) (HI», a) (nim d)

(III, b) (in, c) (ln, b) (III, c)

(inM b) (inm c)

(III, a)    (III, d)

(III, b)    (HI, c)

(IIImb)    (IIIm c)

(III, b) (III, c)

(ffl,a) (HI, d)

â, e = 0, 1

(IUm a) (fflmd)

Dieses Schema zeigt, daß für jeden Dreieckstjpus zur Bestimmung von Vorzeichen innerhalb eines Systems (QIf) (i = 1,2,3) zwei Formeln der Tabelle (5) zur Verfügung stehen, womit dann das Vorzeichen des ganzen Systems bestimmt ist. Die beiden in Art. 3. aufgeworfenen Fragen finden jetzt ihre Erledigung in dem aus der Tabelle (5) und den Formeln (III,) abzuleitenden

Satz: In sämtlichen Delambreschen Formeln ist gleichzeitig entweder q = -j- 1 oder p = — 1. Es ist p = -j- 1 für die Typen:

jw y(«)    j(*) T$

Es ist p = — 1 für die Typen:

Ti o) Ti⁰⁾ TW TW J 01 M10 ^ 00 11

Insbesondere ist also für die Eulerschen Dreiecke p = -f 1.

(i = 1, 2, 3).

(* = 1. 2, »)•

5. Es mag nochmals hervorgehoben werden, daß dieser Satz von fundamentaler Bedeutung ist. Er zeigt uns, daß man nicht vom „sphärischen Dreieck“ schlechthin sprechen darf, sondern daß es zwei Arten von sphärischen Dreiecken gibt, die derart voneinander verschieden sind, daß für sie ganz verschiedene Formelsysteme gelten.²) Diese tiefgehende Verschiedenheit macht es wünschenswert, die beiden Klassen von Dreiecken durch besondere Namen zu kennzeichnen. Ein Dreieck heißt nachStudy „eigentliches“Dreieck, wenn p = -fl dagegen „uneigentliches“ Dreieck, wenn p = — 1 ist.

Von den 16 Moebiusschen Dreieckstypen repräsentieren die 8 Typen:

T( o) TW TW TW -*00 -*11 -*01 -*10

eigentliche, die 8 Typen:

TW TW TW TW -*oi -* io * oo -* 11

uneigentliche Dreiecke.

In der Tafel I (S. 350f.) sind links die eigentlichen, rechts die uneigentlichen Typen verzeichnet. In der Tabelle (5) sind eigentliche und uneigentliche Typen durch Doppelstriche getrennt.

Formeln, die für eigentliche und uneigentliche Dreiecke gleichzeitig gelten, heißen Formeln erster Ordnung. Formeln, die sich entweder nur auf eigentliche oder nur auf uneigentliche beziehen, heißen Formeln zweiter Ordnung.

Diese Definition der Formeln 1. und 2. Ordnung weicht scheinbar von der in § 40, 3 gegebenen ab; da aber, wie sich im nächsten Paragraphen zeigen wird, die Einführung der eigentlichen und uneigentlichen Dreiecke notwendig über Moebius hinaus zu einem neuen Dreiecksbegriff führt, so sind in Wahrheit beide Definitionen identisch.

Bemerkenswert ist, daß durch Division der Delambreschen Formeln Formeln erster Ordnung entstehen; es sind dies die in § 43 mitgeteilten Neperschen Analogien.

Gauß glaubte in den Delambreschen Formeln gegenüber den Neperschen Analogien rechnerische Vorteile zu erblicken, Delambre bestritt diese Ansicht.³) Vom theoretischen Standpunkte aus stehen nach dem Vorgetragenen zweifellos die Delambreschen Formeln höher: sie zeigen uns die Existenz der zwei Dreiecksklassen, während jene für beide Klassen gelten.

§ 46. Der Gauß-Studysche Dreiecksbegriff.

1. Irgend ein eigentliches und ein uneigentliches Dreieck vom selben Index (S. 353) mögen konträr zueinander heißen. Zu einem Dreieck Tjf\ (i = 0, 1, 2, 3) wird ein konträres erhalten, indem man entweder dem d oder dem s den anderen möglichen Wert gibt. Geometrisch gesprochen: indem man entweder den Richtungssinn aller drei Seiten oder den Drehungssinn auf der Kugel in den entgegengesetzten verwandelt — zwei Vorgänge, die nach § 39, 10. zueinander polar sind. Mit diesen Vorgängen ist — was dasselbe in anderen Worten sagt — ein Vorzeichen Wechsel von p verbunden.

2. Es ist dies aber nicht die einzige Weise, auf die ein Vorzeichenwechsel hervorgerufen werden kann. Vermehren wir nämlich eine Seite oder einen Winkel um 2x, so wird der halbe Winkel dadurch um % vermehrt, und man sieht leicht, daß hiermit ein Vorzeichenwechsel in den Formeln verknüpft ist.

Dies zwingt uns dazu, auch solche Dreiecke als verschieden anzusehen, deren Seiten oderWinkel sich um Vielfache von 2x unterscheiden. Aus einem Moebiusschen Dreieck gehen also jetzt durch unbeschränkte Veränderlichkeit der Seiten und Winkel unendlich viele Dreiecke hervor. Der so gewonnene Dreiecksbegriff heiße der „Gauß-Studysche“.

C\

EW

-*-/oo

Fig. 179.

77(1) u oo

Rechnerisch vollzieht sich der Übergang vom Moebiusschen zum Gauß-Studyschen Dreiecksbegriff dadurch, daß man bei einem Moebiusschen Dreieck Seiten und Winkel durch neue ersetzt gemäß den Gleichungen:

a' = a + 2nan} a = a -f- 2vaic b' = b -}- 2nb7t} ß' = ß + 2vß7t* c = c -f- 2nc7t, y' = y -f- 2vyx

In diesen „linearen Substitutionen“ bedeuten n, v positive oder negative ganze Zahlen oder Null.

Wir erweitern den Begriff des „Typus“ (S. 353) dahin, daß wir Dreiecken, die sich nur durch eine Substitution (3JÎ) unterscheiden, denselben Typus zuschreiben.

Geometrisch kann man sich eine gute Vorstellung von einem Gauß-Studyschen Dreieck machen, indem man sich die Seiten durch Fäden hergestellt, zwischen den Schenkeln der Winkel aber Federn ausgespannt denkt; der Faden kann dann die Kugel mehrfach umschlingen, die Feder mehrere Spiralwindungen haben. In den Figuren 179

1) Die den Figuren beigedruckten Symbole finden weiter unten ihre Erläuterung.

a = a, entspricht.

sind zwei Gauß-Study sehe Dreiecke des Typus T$ gezeichnet, von denen das erste der Substitution

a = a, V = b, c' — c, a' = a -f- 2jt, ß' — ß, y' = y, das zweite aber der Substitution

6' = 6 -f- 2jt, c' = c, a = a -f- 2jt, ß' — ß} y' — y

3.    Welche von den Gauß-Study sehen Dreiecken sind nun eigentlich, welche uneigentlich? Da die Vermehrung einer Seite oder eines Winkels um 2^r den Wert von q in den entgegengesetzten verwandelt, müssen wir die Substitutionen (TR) trennen, bei denen na-\-nb-\-nG -f- va -f- v{i + vy eine gerade oder eine ungerade Zahl ist; bei den ersteren behält q sein Zeichen, bei den letzteren nicht.

(97)

Lehrsatz: Die Substitution (997), für die die Kongruenz 2Jn -f- 2Jv = 0 (mod. 2)

erfüllt ist, führen ein eigentliches Dreieck in ein eigentliches, ein uneigentliches in ein uneigentliches über; dagegen wird beim Bestehen der Kongruenz

(97')

2Jn -f- Uv = 1 (mod. 2)

ein eigentliches Dreieck in ein uneigentliches übergeführt, und umgekehrt.

Kennen wir Dreiecke, die sich bei gleichem Typus nur durch eine Substitution (ßl) unterscheiden, „äquivalent“, dagegen Dreiecke die sich durch eine Substitution (SR') unterscheiden, „wesentlich verschieden“, so sind äquivalente Dreiecke stets gleichzeitig eigentlich oder uneigentlich, während von zwei wesentlich verschiedenen Dreiecken stets das eine ein eigentliches, das andere ein uneigentliches ist. Unser letzter Satz kann daher auch so ausgesprochen werden:

Lehrsatz: Ein sphärisches Dreieck wird durch eine Substitution (ßl) in ein äquivalentes, durch eine Substitution (ßl') aber in ein wesentlich verschiedenes übergeführt.

4.    Wir ziehen hieraus die wichtige Folgerung, daß die Eigenschaft eines Dreiecks, eigentlich oder uneigentlich zu sein, nicht mehr wie bei Moebius an bestimmte Typen Tjf] gebunden ist (siehe § 45, 5). Wir haben vielmehr von jedem Typus eine Schar eigentlicher und eine Schar uneigentlicher Dreiecke. So ist in Figur 179 das erste Dreieck ein eigentliches, das zweite ein uneigentliches des Typus T₀⁽Jl Aus den 8 Moebiusschen eigentlichen Typen gehen 8 Scharen eigentlicher Dreiecke durch Anwendung von (97), 8 Scharen

Weber u. Wellstein: Enzyklopädie. II. 3. Aufl.

uneigentlicher Dreiecke durch Anwendung von (SR') hervor. Das Entsprechende gilt für die 8 Moebiusschen uneigentlichen Typen. Wir haben also jetzt 16 Scharen eigentlicher und 16 Scharen uneigentlicher Dreiecke-, jene bezeichnen wir durch das Symbol Eßl,

diese durch das Symbol C/j’i ^

Y Jede Schar kann durch irgend

i = 0,1,2,3 6=0,1

eines ihrer Dreiecke repräsentiert werden: alle übrigen der Schar sind dann zu diesem „Repräsentanten“ äquivalent und gehen durch Substitutionen SR aus ihm hervor. Als Repräsentanten eignen sich namentlich die Formen, die auf Tafel II und III verzeichnet sind. Wir nennen sie „reduzierte“ Dreiecke. Ihre Zweckmäßigkeit wird sich erst später (S. 395) erweisen.

5. Wir stellen die gefundenen Resultate in folgender Weise einander gegenüber:

Moebiusscher Dreieckshegriff.

a)    Die Seiten und Winkel liegen zwischen 0 und 2 7t. Modulo 2 7t kongruente Seiten oder Winkel gelten als identisch.

b)    Zu gegebenen 3 Punkten auf der Kugeloberfläche gehören 16 verschiedene Dreiecke.

Gauß-Studyscher Dreiecksbegriff.

a)    Die Seiten und Winkel sind unbeschränkt veränderlich. Modulo 2 7t kongruente Seiten oder Winkel gelten als verschieden.

b)    Zu gegebenen 3 Punkten auf der Kugeloberfläche gehören unendlich viele verschiedene Dreiecke, die aber in 32 Scharen äquivalenter Dreiecke zerfallen.

c) Von diesen sind 8 eigentliche und 8 uneigentliche Dreiecke.

c)    Von diesen 32 Scharen enthalten 16 äquivalente eigentliche und 16 äquivalente uneigentliche Dreiecke. Jede Schar kann durch einen Repräsentanten, z. B. ein „reduziertes“ Dreieck, vertreten werden.

6. Es könnte scheinen, als sei die Gauß-Studysche Verallgemeinerung des Moebiusschen Dreiecksbegriffs überflüssig weitgehend. Wir haben Seiten und Winkel, die sich modulo 27t unterscheiden, als verschieden angesehen. Da aber ein Hinzufügen von 47t, 87t, . . . keine Zeichenänderung hervorruft, hätten wir anscheinend genügend durch folgende Festsetzung verallgemeinert: Dreiecke, deren Seiten (oder Winkel) sich modulo 4jr unterscheiden, gelten als identisch. Bei dieser Festsetzung würde man die Anzahl sämtlicher Dreiecke, die aus einem Moebiusschen hervorgehen, aus der Gleichung (3R) erhalten, wenn man die n und v nur die Werte 0 und 1 annehmen

läßt: dies sind aber 2⁶==64 Dreiecke. Und da 3 Punkte zu 16 Moebius-schen Dreiecken Anlaß geben, würden wir von diesem Standpunkte sagen müssen:

Drei Punkte der Kugel bestimmen 16 • 64 = 1024 verschiedene Dreiecke, von denen die eine Hälfte eigentliche, die andere Hälfte uneigentliche Dreiecke sind.

In der Tat würde dieser Dreiecksbegriff für die Delambreschen Formeln allein ausreichen. Aber aus zwei Gründen haben wir gleich in weiter gehender Weise verallgemeinert.

Wie nämlich die Delambreschen Formeln halbe Winkel enthalten, so kann man auch Formeln ableiten, die drittel, viertel, • •-, A;tel Winkel enthalten. Und dies würde jedesmal zur Einführung eines neuen Dreiecksbegriffs nötigen; wir würden dann offenbar Dreiecke, deren Seiten und Winkel sich modulo 6jt, 8jt, •••, 2k% unterscheiden, als identisch anzusehen haben.

Von diesem Standpunkte aus würden wir also eine Reihe von Dreiecksbegriffen erhalten, indem wir nacheinander Seiten und Winkel, die sich

mod 2Jc7C

mod 2jt, mod 4jr, mod 6jt, •

unterscheiden, als identisch ansehen.⁴)

Die Gesamtheit aller Dreiecke gliedert sich dann in Dreiecke 1., 2., • • -, ktei „Stufe“. Drei Punkte bestimmten 16 • Æ⁶ Dreiecke ktei Stufe.

Der Gauß-Study sehe Dreiecksbegriff hat also den praktischen Vorteil, alle diese Erweiterungen mit einem Schlage zu vollziehen und somit für die Gesamtheit aller denkbaren Formeln auszureichen.

Viel tiefer liegend ist aber der zweite Grund. Dieser ist geometrischer Natur und findet seinen Ausdruck in dem „Studyschen Satz“.

§ 47. Der Satz von Study.

1. Bezeichnet man die Gesamtheit aller Dreiecke, die aus irgend einem Dreieck durch stetige Deformation auf der Kugel (d. h. durch Verschiebung, Zerrung oder Dehnung) hervorgehen, als „Kontinuum“, so gilt folgender

Satz von Study: Die Gesamtheit aller eigentlichen Dreiecke und die Gesamtheit aller uneigentlichen Dreiecke bilden jedes für sich ein Kontinuum.

Tafel Ha.

Die reduzierten eigentlichen Dreiecke.

Cl

E⁽3

00

10

Ch

Tafel Ilb.

Die reduzierten eigentlichen Dreiecke.

00

2£(o)

-^10

Eg)

RIO)

J 01

Tafel Ilia.

Die reduzierten uneigentliclien Dreiecke.

Ci

jjm

^ JO

TjP)

^ 00

u'S

u's

Tafeln III b.

Die reduzierten uneigentlichen Dreiecke.

7/(0) ^ 00

Go

57

Dagegen ist kein stetiger Übergang von einem eigentlichen zu einem uneigentlichen Dreieck möglich.⁵)

2.    Dieser Satz zeigt, daß die in Nr. 6 des vorigen Paragraphen besprochene Einteilung in Dreiecke verschiedener „Stufen“ eine unnatürliche Schranke aufrichtet zwischen Dreiecken, die durch eine wichtige geometrische Eigenschaft verbunden sind, nämlich die, stetig ineinander deformierbar zu sein-, sobald man irgend ein Dreieck, etwa erster Stufe hat, kann man durch stetige Deformation stets zu Dreiecken jeder beliebigen Stufe gelangen. Yon diesem Standpunkte aus erweist sich also eine Trennung der Dreiecke verschiedener Stufen als undurchführbar. Dagegen ist die Einteilung in eigentliche und uneigentliche Dreiecke eine natürliche Schranke. Sobald man sich also überhaupt von der Notwendigkeit überzeugt, Winkel, die sich um Vielfache von 2 % unterscheiden, als verschieden anzusehen, wird man zweckmäßig den Gauß-Study sehen Dreiecksbegriff in seiner vollen Allgemeinheit zugrunde legen.⁶) Um jedem Mißverständnisse vorzubeugen, sei noch folgendes bemerkt: die Definition der Formeln 1. und 2. Ordnung bleibt auch unter Zugrundelegung des Gauß-Studyschen Dreiecksbegriffs wörtlich, wie § 45, 5. angegeben, bestehen.

Die Formeln der ersten Ordnung haben ihre Wurzel im Kosinus-und Sinussatze, die der zweiten in den Delambreschen Gleichungen.⁷)

3.    Beweis des Satzes von Study. Daß zunächst Moebius-sche Dreiecke desselben Typus stetig ineinander überführbar sind, ist. unmittelbar anschaulich und bedarf keines Beweises.

Des Weiteren verfahren wir beim Beweise für den ersten, positiven Teil des Satzes stufenweise. Wir zeigen:

1)    alle äquivalenten Dreiecke (§ 46, 3.) sind stetig ineinander deformierbar.

Damit können wir jedes Dreieck stetig in ein reduziertes (§ 46,4.) überführen, und haben daher nur noch zu zeigen:

2)    die 16 reduzierten eigentlichen und ebenso die 16 reduzierten uneigentlichen Typen sind stetig ineinander deformierbar.

immer möglich ist — in

was

ad 1) Wir führen das Dreieck eine solche Gestalt über, daß etwa a~7t (mod. 2jt) wird. Die Fig. 180 zeigt dies für ein Eulersches Dreieck: wir brauchen nur die Ecke C auf der positiven Richtung a bis zum Punkte G' wandern zu lassen. Das Dreieck hat dann die in Fig. 181 gezeichnete Gestalt. Lassen wir

dann unter Festhaltung von B und C die Seite a ft-mal rotieren, so wachsen bei jeder rollen Umdrehung die Winkel ß und y um 2jt; endlich führen wir den Punkt C wieder in seine alte Lage zurück, wobei jene Änderungen der Winkel erhalten bleiben. Wir haben also durch stetige Deformation eine Substitution

b c a b c a

erreicht; zu diesen treten analog die durch zyklische Vertauschung daraus hervorgehenden.

(“

\a

r \

y -f- 2JcnJ

h\c

,v

1)

b,

Ja

\C

Fig. 181.

Fig. 180.

Lassen wir weiter bei dem Dreieck ABC die Ecke C den Bogen BC im positiven Sinne durchlaufen, so wird bei jedem vollen Umlauf a um 2tc wachsen, a aber je nach dem festgesetzten Drehungssinn um 2n wachsen oder abnehmen. Bei /c-maligen Umlauf erhalten wir also die Substitution:

O' O'

+1

und ebenso die beiden analogen. Endlich kann man, indem man die eben beschriebenen Vorgänge am Polardreieck verfolgt und bedenkt, daß einer stetigen Operation am ursprünglichen Dreieck eine ebensolche am Polardreieck entsprechen muß, noch die Substitutionen her-stellen, die aus den angegebenen durch Vertauschung der Seiten und Winkel hervorgehen. Aus den so erhaltenen 12 Substitutionen läßt sich aber, wie man sich leicht überzeugt, jede Substitution (SR) her-stellen. Äquivalente Dreiecke können also stetig ineinander übergeführt werden.

ad 2) Wir teilen den Beweis in zwei Teile.

a)    Wir zeigen erstlich, daß solche eigentliche reduzierte Typen, die sich nur durch den Richtungssinn der Seiten, nicht aber durch den Drehungssinn auf der Kugel unterscheiden, stetig ineinander deformierbar sind. Damit sind einerseits die auf Tafel II in der oberen Zeile, andererseits die in der unteren Zeile stehenden Typen ineinander deformierbar. Genau entsprechendes gilt für die uneigentlichen Dreiecke der Tafel III.

b)    Zweitens zeigen wir dann, daß zwischen den Typen der oberen und denen der unteren Zeilen sowohl auf Tafel II als auf Tafel III ebenfalls ein stetiger Übergang möglich ist. Die oberen Zeilen unserer Tafeln mögen mit (a), die unteren mit (ß) bezeichnet werden.

a) Wir gehen aus von dem reduzierten Dreieck E$ und führen es, genau wie vorher, in eine solche Gestalt über, daß a = % wird (Figg. 180, 181). Hierauf lassen wir a unter Festhaltung von B und C eine halbe Umdrehung machen, wobei die Winkel ß und y je um % (bei richtig gewähltem Drehungssinn) wachsen; bei dem so erhaltenen Dreieck (Fig. 182) wird Seite a im entgegengesetzten Sinn wie vorher durchlaufen, oder a ist in 2 7t — a übergegangen. Endlich führen wir C wieder in seine alte Lage zurück, wodurch nun das Dreieck E$ in ein Dreieck E⁽£j mit den Seiten und Winkeln 2% — a, b, c; a, 7t -j- ß, 7t -f y übergeführt ist. Diesen ganzen Prozeß bezeichnen wir mit Ev die durch zyklische Vertauschung daraus hervorgehenden mit E₂ und E₃.

Fig. 182.

Durch den Prozeß Ek wird ein Dreieck E$ stetig in ein Dreieck E$ üb er geführt und umgekehrt (Jz = 1, 2, 3).

Vom zweiten Teil der Behauptung kann man sich leicht überzeugen.

Wendet man ferner auf Effl den Prozeß E₂ an, so erhält man jE7t2). übt man auf dieses Dreieck aber den Prozeß Es aus, so lehrt dieselbe Betrachtung, wie vorhin, daß man zu dem Dreieck E§₀ gelangt. Die Seiten und Winkel dieses Dreiecks sind a, 2 7t — b, 2 7t — c, 2 7t + u} 7t -f ß, 7t Ą- y. Man bemerke, daß durch die Hinzufügung des 2ti zu a bewirkt wird, daß wir den eigentlichen Typus E§} erhalten. Wir sagen, wir hätten die Prozesse E₂ und Es „komponiert“ und bezeichnen diese Komposition durch das symbolische Produkt E₂E₃. Es ist dies dieselbe Ausdrucks weise, die uns schon aus der Theorie der Permutationsgruppen (s. Bd. I, § 56) geläufig ist. Bezeichnen also i, lt, l die Zahlen 1, 2, 3 in irgend einer Reihenfolge, so können wir sagen: Durch den Prozeß EiEk wird Effi stetig in E$ übergeführt.

Ebenso läßt sich einsehen: Durch den Prozeß ExE₂Eä wird das Dreieck E$j stetig in das Dreieck E$j übergeführt. Die Seiten und Winkel dieses Dreiecks sind 2n — a, 2 7t — b, 2% — c, 2sr -j- a, 2n -f- ß, 2n -\- y, wobei die Hinzufügung der 2n zu den Winkeln bewirkt, daß das Dreieck ein eigentliches bleibt.

Damit ist die Behauptung a) für die Reihe (a) erwiesen. Analoges gilt aber für die Reihe (ß) und für die entsprechenden Reihen uneigentlicher Dreiecke.

Jetzt wird auch klar, warum wir die „reduzierten“ Dreiecke gerade in der auf unseren Tafeln yerzeichneten Weise gewählt haben: die Wahl ist so getroffen, daß die Dreiecke einer Zeile unmittelbar durch i?-Prozesse auseinander hervorgehen.

b) Der Beweis, daß nun auch die Reihen (a) und (ß) stetig in einander überführbar sind, wird leicht durch Polarisation erbracht. Der Prozeß E₁EiE₃ bewirkt (außer der Hinzufügung von 2 7t zu den Winkeln, wodurch das Dreieck ein eigentliches bleibt) eine Umkehrung sämtlicher Seitenrichtungen. Nach § 39, 10. bewirkt dieser Prozeß also am Polardreieck die Umkehrung des Drehungssinnes, wobei gleichzeitig durch die Hinzufügung von 2% zu den drei Seiten des Polardreiecks erreicht wird, daß das Dreieck ein eigentliches bleibt. Dieses Dreieck ist noch kein reduziertes, aber durch eine Substitution (N) stetig in ein reduziertes überführbar. Damit ist aber der Übergang von (a) zu (ß) bewirkt, und wir können sagen:

Durch den zu EXE₂E₃ polaren Prozeß wird die Reihe (cc) stetig in die Reihe (ß) übergeführt.

Damit ist der positive Teil des Satzes bewiesen.

4. Zum Beweise des negativen Teils, daß nämlich kein stetiger Übergang von einem eigentlichen zu einem uneigentlichen Dreieck möglich ist, bemerke man, daß es wegen des ersten Teils genügt, auch nur einen Fall sphärischer Dreiecke nachzuweisen, die nicht ineinander deformierbar sind. Wir betrachten irgend ein eigentliches Dreieck, für das weder sin-^a noch cos^a verschwinden, und das uneigentliche Dreieck, das durch Addition von 2 7t zu a daraus erhalten wird. Wären nun diese Dreiecke stetig ineinander deformierbar, so müßten die Gleichungen (IIIJ gleichzeitig für p = 1 und für p = — 1 bestehen können, und daraus würde durch Addition der entsprechenden Gleichungen das gleichzeitige Bestehen der Gleichungen folgen:

sm

• ß 4- y

cos

cos

dies ist aber offenbar Widersinn.

Damit ist auch der negative Teil des Satzes bewiesen.

5. Der Studysche Satz führt zu einer neuen Definition der eigentlichen und uneigentlichen Dreiecke:

Eigentliche Dreiecke heißen alle Dreiecke, die sich aus einem Eulerschen Dreieck durch stetige Deformation ableiten lassen. Alle übrigen Dreiecke heißen uneigentliche Dreiecke.

§ 48. Analytische Darstellung. Stammverwandte Dreiei ke. Der Studysche Dreiecksbegriff.

1. Es hat keine Schwierigkeit, die im vorigen Paragraphen benutzten Prozesse Ek (Je = 1, 2, 3) analytisch darzustellen. Wie aus

S. 394f. unmittelbar hervorgeht, haben diese Prozesse die Wirkung der Substitutionen

7    \

n + ß 7i -f 7/

ii    /    ce b c

¹    \2jr — a b c

Ą-(

2tc — b c %

⁷ )

a ß 7t -f- y) ’

E = (    b

•>    \    b 27t- c

7)

7t «    7t-\-ß yj ’

und sollen deshalb des weiteren mit diesen Substitutionen identifiziert werden. Übersichtlicher schreiben wir die Substitutionen in folgender Tabelle an, in der die neuen Seiten und Winkel durch Akzente bezeichnet sind:

ß'

cc

iß)

2tc — b

7t -f- a

Tl Ą- ß

7t + y

27t — C\ 7t -\- a 7t + ß

Die Wirkung einer Substitution Et besteht darin, irgend einen Typus der Reihe (a) und ebenso der Reihe (ß) in den nächstfolgenden überzuführen, vorausgesetzt, daß Je von l verschieden ist. Für Je — l wird jedes Dreieck in ein zu sich selbst äquivalentes übergeführt.

a 2it — b 2%— c 2x-\-a 2«-j-/3    27t-)-y

(4)

)•

Bezeichnet man nämlich die Äquivalenz (§ 46, 3.) durch das Zeichen und die identische Substitution mit J (vgl. Bd. I, § 56), so folgt:

E*

(a b c cc \a b c ec

oa. +

also allgemein

(1)

El~J,

eine Formel, deren geometrische Bedeutung, ebenso wie die der folgenden, bereits dargelegt wurde. Ferner erhält man:

(* = 1,2,3),

(2)

E₂EZ

EsEt

2tc — a

2 a — b 2n — c

2 7t + Ci

7t + ß

it -j- 7

2 7t — c

jr -j- cc

2tc + ß

2 7t — a 2 7t — b

7t Ą- Ci

2tt -f y

(3)

EkEi — EtEk,

(k, / — 1,2,3 ; A; =(=?),

— c

2. Wir hatten ferner auf S. 395 den zu E₁ E%E₃ polaren Prozeß benutzt, um von der Reihe (a) zur Reihe (ß) zu gelangen. Unser allgemeiner Grundsatz, daß jede Operation auf der Kugel polarisierbar ist, verlangt aber, daß wir auch schon die polaren Prozesse der Ek (Je = 1, 2, 3) einführen. Dies ergibt, rein formell ausgeführt, folgende Formeln:

eć

(E)

Er

7t J-b

2tz — a

e₂

7t -f- a

71 -P C

2 7t — ß

E₃

7t E a

(!')

7t -j- b

E\~J (*-1,2,3).

2ti — y

b’

cc

ß'

(2')

e₂e₃

2tc + a

7t -f b

7t -f C

Ci

27t -ß

2 7t — y

e₃e,

7t -j-Ci

27t 4- b

2ti — a

(*, 1=1, 2, 3).

(5)

(3')

EÆ- EjE,,

(Ä, Z — !» 2, S ; A: =f= î),

-RO

(4')

EEE=^a    ®    c    a    O' \

¹²³    \27i —j— en 27t-\-b 2n c 2« — a 2n — ß 2n — y/

Ci ci

“CO

ß —y,

Daß

Beispiel:

iO

cP

H- •

O

g;

O

• rH

p-

et

h—■ .

fch

er

bD

ct-

a.

bçj m

bçj

fc©

CS

Ci

CS

LS

CO

Ci

-Co "Co ”5» -Cö

es unterscheiden sich also beide Substitutionen durch eine Substitution (ift).

3. Fragt man nach der geometrischen Bedeutung der E^, so* erkennt man, daß sich unter den bisher betrachteten Dreiecken keines vorfindet, das einer Substitution Ek entspricht. Dies leuchtet geometrisch ein. Der Prozeß Et bewirkte ja im wesentlichen eine Umkehrung des Richtungssinnes der Seite und nur der Seite a; der polare Prozeß wäre die Änderung des Drehungssinnes für den Winkel a und nur für diesen, oder, was dasselbe, der Übergang von cc zu 2it — a, während ß und y unverändert bleiben. Diese Änderung ergibt sich, wenn die Ecke A durch ihren Gegenpol A' ersetzt wird (§ 38,5.). Die Substitution führt also unser Dreieck ABC in.

\ï

ein Dreieck A' B C über, dessen eine Ecke A' nicht unter den bisher als festen Ausgangspunkten benutzten Ecken vorkommt (Fig. 183).

le

Fig. 183.

4. Es ist aber wichtig zu bemerken, daß damit zwar neue Dreiecke, aber keine neuen Dreieckstypen geschaffen sind. So wird z. B. ein Dreieck vom Typus E$ durch E₁ in eines vom Typus E$ übergeführt (Fig. 183). Seinen allgemeinen Ausdruck findet dies Verhalten in dem leicht einzusehenden Satze : Bedeutet E irgend eine aus den Ek und E die entsprechende aus den E* komponierte Substitution, und wird ein Typus Tfä (Ä=0,1,2,3:,

d,£ = 0, 1) durch. E in übergeführt, so wird er durch E in T⁽^\r übergeführt*, eigentliche Typen gehen dabei stets wieder in eigentliche^ uneigentliche Typen in uneigentliche über.

Es folgt daraus, daß wir, um zu allen möglichen Dreiecken zu gelangen, statt der Ek ebenso gut, wenn auch weniger anschaulich, die Ej als „Erzeugende“ hätten wählen können. Als reduzierte Dreieckstypen hätte man dann zweckmäßig andere, yon der Art der zweiten Figur auf S. 384 eingeführt.

5. Wie wir sehen, nötigt das Auftreten der Substitutionen EÄ zur Zuziehung der Gegenpole A', B', G'. Es tritt damit in den Vordergrund nicht mehr, wie bisher, das Punktetripel A, B, C, sondern das projizierende Dreikant (rarbrc).

Es ist für den Augenblick zweckmäßig, äquivalente Dreiecke geradezu als identisch zu betrachten*, dann bestimmt ein Punktetripel auf der Kugeloberfläche 16 eigentliche und 16 uneigentliche Dreiecke (§ 46, 4.).

Sei nun ein Dreikant (rarbrc) gegeben, das auf der Kugeloberfläche die Punkte A, B, G\ A', B', G' ausschneidet. Es lassen sich dann aus diesen Punkten 8 Punktetripel bilden, wenn, wie natürlich, Gegenpole wie A und A' nicht in demselben Tripel Vorkommen dürfen.

Wir erhalten somit in dem eben angegebenen Sinne 8 • 16 = 128 eigentliche und 128 uneigentliche Dreiecke, die alle demselben Dreikant zugehören.

Wir wollen daher das Dreikant mit einem einleuchtenden Bilde als „Stamm“, die Dreiecke selbst aber als „stammverwandt“ bezeichnen.

Gehen wir andererseits auf die analytische Darstellung zurück, so erkennen wir, daß wegen der Gleichungen (1), (1'), (3), (3'), (5) und immer unter Beachtung, daß jetzt äquivalente Dreiecke als identisch gelten, die allgemeinste Substitution S darstellbar ist in der Form

S ~ E? E£ E?; E/¹ E* E₃s‘

(eV e2i ea ? £V £3 ⁼ 0, 1).

Es sind dies im Ganzen 64 verschiedene Substitutionen. Bei der analytischen Darstellung gehen also aus einem Dreieck des Stammes 64 eigentliche oder 64 uneigentliche Dreiecke hervor, je nachdem das Urdreieck eigentlich oder uneigentlich war.

Bei der geometrischen Betrachtung erhalten wir demnach von einem Stamm zunächst doppelt soviel Dreiecke als bei der analytischen. Dies hat seinen einfachen Grund darin, daß zwei symme-tris ch gelegene Dreiecke, wie ABC und A'B'C', die dieselben Seiten und Winkel haben, wohl geometrisch, nicht aber analytisch verschieden sind; unsere analytischen Ausdrücke liefern uns ja lediglich die Größe der Seiten und Winkel.

6. Um hier Einheitlichkeit zu erreichen, führen wrir eine letzte Erweiterung des Dreiecksbegriffs ein, und gelangen so zu dem „Studyschen Dreiecksbegriff“:

Unter einem Dreieck verstehen wir den Inbegriff der Seiten a, b, c und der Winkel a, ß, y, unbekümmert um ihre zufällige Lage auf der Kugel.

Darnach sind also alle zu einem Dreieck kongruenten und symmetrischen Dreiecke, sofern sie nur dieselben Seiten und Winkel haben, als ein und dasselbe Dreieck aufzufassen.

7. Indem wir nun äquivalente Dreiecke wieder als verschieden anseh en, können wir unseren Resultaten folgende Fassung geben:

Die Gesamtheit aller zu einem Stamm gehöriger Dreiecke zerfällt in 64 Scharen eigentlicher und 64 Scharen uneigentlicher Dreiecke. Man kann diese Dreiecke sämtlich erhalten, indem man auf irgendein Dreieck des Stammes zunächst die 64 in

S = E[l E°* E^ Ejfl E/² E₃îj (ev e₂, e₃ ; sv £₂, £s — 0, 1)

enthaltenen Substitutionen anwendet. Aus den so entstehenden 64 Dreiecken erhält man dann durch Anwendung der Substitutionen (9t) und (9t') sämtliche stammverwandte Dreiecke, und zwar sind die durch (9t) entstehenden Dreiecke zugleich mit dem Urdreieck eigentlich oder uneigentlich, während es sich mit den durch (9t') entstehenden entgegengesetzt verhält.

Ist das Urdreieck ein Eulersches, und läßt man die Seiten zwischen 0 und % variieren, so liefert (ß9t) alle überhaupt existierenden eigentlichen, ($9t') alle überhaupt existierenden uneigentlichen Dreiecke.

Daß dabei dem Typus nach dasselbe Dreieck mehrfach auftritt, insofern die EA. nichts wesentlich neues liefern, wurde schon bemerkt.

8. Es möge hier noch eine Bemerkung über die Möglichkeit noch anderer Erweiterungen des Dreiecksbegriffs Platz finden. Bei dem Studyschen Dreiecksbegriffs bildet immer noch das geometrische Gebilde den Ausgangspunkt, und es wird dann freilich als wesentlich etwas analytisches angesehen, nämlich die Größen der

Stücke a, b, c, a, ß, y. Yon hier aus liegt ein Schritt sehr nahe, nämlich zunächst vom geometrischen Gebilde ganz abzusehen und rein analytisch zu definieren:

„Unter einem sphärischen Dreieck versteht man ein System von Größen a, b, c, a, ß, y, das den sphärischen Kosinussätzen genügte Diese Erweiterung gibt die Möglichkeit, auch Dreiecke mit komplexen Seiten und Winkeln einzuführen. Es ist Schilling⁸) gelungen, selbst für solche „komplexe Dreiecke“ durch Einführung einer Nichteuklidischen Maßbestimmung, deren absolute Fläche die Kugel ist (§ 11, 18.), eine geometrische Deutung zu finden. Die Kanten des projizierenden Dreikants gehen dabei nicht mehr durch den Mittelpunkt der Kugel, sondern kreuzen sich.

Ihren Wert gewinnen diese Betrachtungen aber erst in der Funktionentheorie, und sie werden deshalb hier, wo es sich um Elementarmathematik handelt, ausgeschlossen.

¹

Des bequemeren Drucks wegen ist in der Tabelle (5) überall — p durch

p ersetzt.

²

Die Delambreschen Formeln sind je nach der Wahl von q als zwei Formelgruppen aufzufassen, die nichts miteinander zu tun haben. Wir werden aber noch Formeln zweiter Ordnung kennen lernen, bei denen der Unterschied zwischen eigentlichen und uneigentlichen Dreiecken noch schärfer hervortritt; sie enthalten für eigentliche und uneigentliche Dreiecke nicht nur verschiedene Vorzeichen, sondern ganz verschiedene Funktionen (§ 50, (H) und (IV).

³

v. Braunmühl, Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie, zweiter Band, S. 193.

⁴

Vgl. F. Klein, Autogr. Vorlesungslieft „Über die hypergeometriseke Funktion“ 1894, p. 312 ff.

⁵

   Beweis folgt unter Nr. 3.

⁶

   Damit soll nicht gesagt sein, daß nicht für gewisse algebraische Untersuchungen die Beibehaltung der „Stufen“ zweckmäßig sein könnte.

⁷

   Study 1. c. S. 130.

⁸

Schilling, Beiträge z. geom. Theorie der Schwarzschen s-Funktion, Math. Ann. Bd. 44. — Ygl. übrigens auch Schoenflies, Über Kreisbogen-üreiecke usw., ebenda.

Weber u. Wellstein: Enzyklopädie. II. 3. Aufl.

§ 49. Gruppentlieoretisclie Betrachtungen.

1. Die bisherigen Resultate gewinnen an Übersicht durch Zuziehung des Gruppenbegriffs — oder vielmehr, wir haben tatsächlich fortwährend von diesem fundamentalen Begriffe Gebrauch gemacht.

Wie wir im 1. Bande (§ 56 ff.) Gruppen betrachtet haben, deren „Elemente“ Permutationen waren — Permutationsgruppen — so untersuchen wir hier noch Gruppen, deren Elemente lineare Substitutionen sind — „Substitutionsgruppen“. Permutationsgruppen sind offenbar ein spezieller Fall von Substitutionsgruppen.

2. Die von uns bisher betrachteten Substitutionen hatten die speziellen Formen:

Y>

a' =Paa + <la> V=pbb+qb, ć = pcc -\- qc cc'=paa + qa, ß’-Ppß + qp / = PyY + 2 die wir zusammenfassen in

(i)

x' =px + q

und durch S, ausführlicher durch [p, q\ bezeichnen. Dabei sei p von Null verschieden vorausgesetzt; im übrigen seien zunächst p und q beliebige Zahlen.

Aus

<2)

x =p x -f- q, x"=p'x'+q'

folgt für die „Komposition“ zweier Substitutionen (vgl. Bd. I,

§ 54 ff.)

//    ff i //

x = p x + q , was symbolisch durch

(3)

p" = pp\

ff    r x r

q =p q + q,

(4) bezeichnet wird.

3. Die Substitution [1, 0] = <7 ist die identische Substitution; durch Zusammensetzung mit ihr wird keine Substitution geändert:

(5)

SJ = JS = s.

4. Zu jeder Substitution S gibt es eine und nur eine S~¹, die der Bedingung genügt. Man braucht in (3) nur p' = l/p, q = — qlp zu setzen,, um dies einzusehen.

Die Substitution S~¹ heißt zu S entgegengesetzt oder reziprok.

Für die reziproken Substitutionen und für Substitutionen mit negativen Exponenten gilt jetzt das Gleiche wie in Band I, § 54f.

Sind die p und q nicht beliebige Zahlen, sondern irgendwie auf bestimmte (z. B. ganze) Zahlen beschränkt, so braucht zu einer gegebenen Substitution, wie die letzten Gleichungen lehren, nicht notwendig die reziproke zu existieren.

von

5. Im allgemeinen gilt für zwei Substitutionen nicht das kommutative Gesetz, wie schon aus der Zugehörigkeit der Permu-tationen zu den Substitutionen hervorgeht; es kann also ShSt SkSh verschieden sein.

Dagegen gilt jederzeit das assoziative Gesetz:

Ą0W = OWĄ,

wovon man sich durch Rechnung leicht überzeugt.

6. Genau wie bei den Permutationsgruppen sagen wir nun: Ein System von Substitutionen

S1} S₂, S₃, ...

bildet eine Substitutionsgruppe @, wenn es den folgenden Bedingungen genügt:

ĄĄ-Ą

1) Sind Sh, Sk irgend zwei Substitutionen des Systems, oder auch zweimal dieselbe, so’gehört die durch Komposition gebildete

ebenfalls zum System ©.

2) Zu jeder Substitution Sk kommt innerhalb des Systems © auch die reziproke Sj'

vor.

Die Bedingung 2) ist nach 4. nicht selbstverständlich, sondern muß ausdrücklich gefordert werden.

Bei den von uns zu betrachtenden Substitutionen ist p = 4- 1, und zu jedem q kommt auch die entgegengesetzte Größe — q vor. Die Bedingung 2) wird daher für unsere Substitutionen erfüllt sein.

Aus der Bedingung 2) folgt mit Rücksicht auf die Definition der reziproken Substitutionen:

Jede Gruppe enthält die identische Substitution J.

Ein Teil der Substitutionen von © kann wieder für sich eine Gruppe bilden und heißt dann ein „Teiler“ oder eine „Untergruppe“ von ©.

7. Als wesentlicher Unterschied gegen die Permutationsgruppen sei hervorgehoben, daß eine Substitutionsgruppe aus unendlich vielen Substitutionen bestehen kann.

Wir unterscheiden daher unendliche Gruppen und endliche Gruppen, je nachdem die Anzahl der in ihnen enthaltenen Substitutionen unendlich oder endlich ist.

Von beiden werden wir Beispiele kennen lernen.

Ist eine (endliche oder unendliche) Gruppe so beschaffen, daß für alle ihre Substitutionen das kommutative Gesetz gilt, daß also allgemein

£jA“ sksh

ist, so heißt sie eine „Abelsche“ oder „kommutative“ Gruppe.

8. Ist die Gruppe © endlich, so heißt die Anzahl g ihrer Substitutionen ihr Grad.

Für endliche Substitutionsgruppen lassen sich alle Schlüsse aus § 56 des ersten Bandes wiederholen. Insbesondere:

Für jede Substitution S gibt es einen kleinsten Exponenten 5, für den

(6) ist; s heißt „Grad“ der Substitution S.

Die Gruppe heißt „involutorisch“, wenn jede ihrer Substitutionen vom zweiten Grade ist; sie ist dann zugleich kommutativ.

Wenn in einer endlichen Gruppe © vom Grade g eine andere Gruppe X vom Grade h als Untergruppe enthalten ist, so ist h ein Teiler von g.

9. Wenn von drei Substitutionen Sh, Sk, Sj einer endlichen oder unendlichen Gruppe © beliebig zwei gegeben sind, so kann man die dritte auf eine und nur eine Weise so bestimmen, daß

CO

Sk8t-S₁

wird.

Ist etwa Sk die gesuchte Substitution, so bilde man aus (7) durch Komposition mit 5”¹:

S-\ShSk) = S-'Sn

woraus dann nach Nr. 5 folgt:

sk-s£'st.

Ähnlich findet man, wenn Sh gesucht wird:

Sh-StSkK

10. Wir gehen zu den Anwendungen auf die sphärische Trigonometrie über.

Zunächst betrachten wir einige Permutationsgruppen.

Grade 2,

Als erstes Beispiel diene die Polarisation.

vom

Wir können sie darstellen durch eine Gruppe iß. bestehend aus den Substitutionen

Cr- "Co

Ci

), -ps=j,

und sagen:

Die Gesamtheit der Formeln der sphärischen Trigonometrie ist gegenüber der Gruppe $ß₂ invariant, d. h. sie bleibt bestehen, wenn die Permutationen dieser Gruppe auf sie angewendet werden.

Eine Gruppe ß₃ vom Grade 3 bilden ferner die zyklischen Vertauschungen. Bezeichnet man den Doppelzyklus

ca.

) = 0,    c)0, ß, y)

mit C, so ist die Gruppe G₃ dargestellt durch

C, G\ C³=J.

Auch der Gruppe (S₃ gegenüber sind die Formeln der sphärischen Trigonometrie invariant.

Die Gruppe (S₃ ist aber nur ein Teiler der Gruppe aller Permutationen der Größenpaare a, a; &, ß; c, y. Auch dieser Gruppe vom Grade 6 gegenüber ist unser Formelsystem invariant, wovon wir aber keinen Gebrauch gemacht haben.

11. Wir kommen nun zu den eigentlichen Substitutionsgruppen.

Von Substitutionen haben wir bisher betrachtet:

1.    Die Substitutionen M des Systems 2JÎ (§ 46, 2);

2.    die Substitutionen N und N' der Systeme SR und SR' (§ 46, 3);

3.    die Substitutionen, die aus den „Erzeugenden“ Ex, Et, E₃, Et, E₂, E₃ durch beliebig wiederholte Komposition entstehen, und deren Gesamtheit wir jetzt mit © bezeichnen.

Wegen § 48, Nrr. 1. und 2. können wir die allgemeinste Substitution von © in die Form setzen:

EexEe*E₃ Ej¹ E*¹ E*¹ • N

Auf Grund der Definition 6. können wir nun sagen:

Die Systeme SIR, SR, © bilden je eine unendliche Gruppe. Dagegen ist SR' keine Gruppe im Sinne der Definition Nr. 6. Bezeichnet N' eine feste Substitution von 91', so kann man das System SR' in der Form SR A' schreiben. Man nennt dann nach Weber¹) SR' eine „Nebengruppe“ zu SR, und schreibt:

S1R = SR + SRA'.

Auf ein bestimmtes „Ausgangsdreieck“ angewandt, liefert

die Gruppe 9R die Gesamtheit aller — eigentlichen und uneigentlichen — Dreiecke, die mit dem Ausgangsdreieck von gleichem Typus sind;

die Gruppe SR die Gesamtheit aller zum Ausgangsdreieck äquivalenter Dreiecke;

die zu SR gehörige Nebengruppe SR' die Gesamtheit aller der Dreiecke, die mit dem Ausgangsdreick vom gleichen Typus, aber nicht zu ihm äquivalent sind;

die Gruppe © die Gesamtheit aller eigentlichen oder aller uneigentlichen stammverwandten Dreiecke, je nachdem das Ausgangsdreieck eigentlich oder uneigentlich ist.

Ist das Ausgangsdreieck ein eigentliches, und bezeichnet N' wieder eine feste Substitution aus •SR', so kann man sagen:

Die Gruppe © und die Nebengruppe ©A' umfassen die Gesamtheit aller stammverwandten Dreiecke, und zwar umfaßt © die eigentlichen, ©A' die uneigentlichen Dreiecke.

12. Weiterhin ergibt sich geometrisch wie analytisch einleuchtend: Es ist

enthalten.

SR in ©,

SR' in ©A',

SR und SR' in SÜR

Es haben also © und 9)1 als „gemeinschaftlichen Teiler“ die Gruppe 91, ©AT und 9J1 aber 91'.

13. Die Resultate gewinnen an Eleganz, wenn man äquivalente Dreiecke als nicht verschieden ansieht, analytisch gesprochen, wenn man die Substitutionen N der Gruppe 91 der identischen Substitution als gleich betrachtet (vgl. § 48, 5.).

Die unendliche Gruppe © geht dann in eine endliche Gruppe ©₆₄ von 64 Substitutionen über, deren sämtliche Substitutionen in der Form

enthalten sind.

Auf ein Dreieck des Stammes angewandt, liefert ©₆₄ je nachdem das Ausgangsdreieck ein eigentliches oder uneigentliches ist, 64 eigentliche oder uneigentliche „Stammrepräsentanten“, aus denen dann wieder leicht durch 91 und 91' alle stammverwandten Dreiecke erhalten werden (vgl. § 48, 7.). Analytisch ausgedrückt:

(8)

© = ©₆₄-91

© N' = ©₆₄ • 91'.

Es lassen sich leicht Untergruppen von ©₆₄ aufstellen, deren Grade nach 8. Teiler von 64 sein müssen.

Setzt man, wenn i, Je, l die Zahlen 1, 2, 3 in irgend welcher Reihenfolge bezeichnen :

ĘE*=A|,

A Eo Ey = T,

so erhält man folgende bemerkenswerte Untergruppen vom Grade 4:

(9)

EtEt~D A A A = T,

A    A    A

A₄    A₂    A₃

T    T    TT

J (®J, J (ßD> J (&),

A A, Ą A₂, ĄA

J.

zusehen.

Die geometrische Bedeutung dieser Gruppen ist leicht ein

daß sie sämtlich in voluto rische

Bemerkenswert ist Gruppen sind (Nr. 8).

Die Substitutionen Ex, E₂, E₃, J selbst bilden ebensowenig wie die zu ihnen polaren eine Gruppe, was auch geometrisch einleuchtet.

(10)

14. Aus § 48, Nrr. 1. 2. folgt:

DkT~Ek, A^T r>

(*-l, 2, 3).

Da mithin die Substitutionen T)k, Ak, T, T ausreichen, um die Ek und herzustellen, kann man sie auch als Erzeugende benutzen ; für die Gruppe © heißt dies:

Die Gruppe @ ist die Gesamtheit aller der Substitutionen, die durch unbegrenzte Wiederholung der Substitutionen

Ą, Ai; T, T

entstehen. Identifiziert man die Äquivalenz mit der Identität, so erhält man wieder die Gruppe ©₆₄.

Vom gruppentheoretischen Standpunkt aus ist diese Erzeugung der bisher benutzten vorzuziehen, da ihre Erzeugenden selbst Gruppen bilden. Des weiteren folgt leicht:

Die aus den T)k und A,. gebildeten Gruppen ©₄ und ($/ erzeugen eine Gruppe ($₁₆, die ebenfalls Untergruppe von ($₆₄ ist: durch Komposition von @₁₆ mit §₄ erhält man die gesamte Gruppe @₆₄.

15. Als letzte Anwendung der Gruppentheorie diene die Begründung der Neperschen Regel (§ 43, 9).¹)

A'

15'

Wir haben diese Regel als rein empirische Zusammenfassung der Formeln für das rechtwinklige Dreieck kennen gelernt. Aber schon Neper (1614j selbst und deutlicher noch Lambert suchten nach einem tieferen Grunde für diese Regel; namentlich Lamberts²) (1765) Beweis „operiert unbewußt mit dem Begriffe der Gruppe“.³)

Fig. 184.

Konstruiert man zu der Kathete a und der Hypotenuse c eines rechtwinkligen sphärischen Dreiecks ABC die Pole Ä und P (Fig. 184), und legt durch sie einen

1) Vgl. Pund in den „Mitteilungen d. math. G-esellsch. in Hamburg.“ Bd. III, Nr. 4, 1897; auch Engel und Stäckel, Urkunden zur Geschichte der nichteuklidischen Geometrie. Leipzig 1899, Bd. I, p. 150 und 326, und Gauß, Werke II, p. 401 ff.

vierten Hauptkreis, so entsteht, wenn man A auch mit B bezeichnet, ein ebenfalls rechtwinkliges Dreieck A'B' C', dessen Stücke mit denen des alten durch die Gleichungen verbunden sind:

c =

— c,

~ß,

is a

-a,

Zu jedem rechtwinkligen sphärischen Dreieck mit dem rechten Winkel y existiert also ein anderes A'B'C', das mit jenem durch die Substitution

A- *

~ß

ty a

-b

to a

verknüpft ist.

Diese Substitution läßt sich, indem man y durch seinen Wert it/2 ersetzt, als Zyklus schreiben (vgl. Bd. I, § 55):

c,

2~a’

Dieser Zyklus ist vom Grade 5, so daß die Substitutionen A A² As Ai A⁵ = J

eine Per mutationsgruppe g₅ vom Grade 5 bilden. Als „Erzeugende“ dieser Gruppe kann jede ihrer Substitutionen benutzt werden. Benutzt man A² und setzt A² = B, also

S=(cc, c, ß,

to! a

mi a

so besteht g₅ aus den Substitutionen:

(S3)

B B² B³ R⁴ R⁵ = J\

Die in (S3) vorkommenden Stücke — dieselben, die wir S. 375 auf der Peripherie eines Kreises angeordnet hatten—heißen „zirkuläre Stücke“..

Die geometrische Deutung unserer Gruppe g₅ führt jetzt zu dem Satz:

Zu jedem rechtwinkligen sphärischen Dreieck ABC mit dem rechten Winkel y existieren noch vier andere, die durch fortgesetzte zyklische Vertauschung der in (S3) enthaltenen „zirkulären Stücke“ aus dem ursprünglichen hervorgehen.

Jede Relation zwischen zirkulären Stücken ist diesen zyklischen Vertauschungen gegenüber invariant.

Solcher Relationen folgen aber zwei unmittelbar aus den sphärischen Kosinussätzen, nämlich:

cos c —    • sin — bj , cos c = cotg a • cotg ß.

Die Anwendung unseres Satzes auf diese beiden Formeln ergibt unmittelbar die Neper sehe Regel.

. b — c    a

sillto + sin 2

0 : (M

§ 50. Die L’Huilier-Serretschen Formeln.

1. Aus der ersten Delambreschen Formel (S. 379, (III₁ a)) folgt durch korrespondierende Subtraktion:

»in ttl

— sin

cos

---o cos

2 v

sm--h o cos —

2 “v 2

wobei

für

eigentliche

uneigentliche

Dreiecke ist.

Die Anwendung der Additionstheoreme ergibt:

a-\-b — c .

—--sm

4    4 i

« + & —cc + a —&|

»i„f; ;

cos

c -j- a — b \ q

2 !

4

Indem man mit den übrigen Delambreschen Formeln entsprechend verfährt und zugleich die Bezeichnungen von § 42, Gleichungen (4) einführt, erhält man folgendes

Erstes System der L’Huilier-Serretschen Formeln.¹)

cos

cos

cos

(H.)

‘8 Y *8 Y - (te y te y)' te Y cote Y - (cot8 Y *8 y)

te Y cote Y = (cote Y te y)e te Y te Y “ (te y te 2 )’

und zyklisch weiter (H₂), (H₃).

Es verdient hervorgehoben zu werden, daß die Formeln für eigentliche und uneigentliche Dreiecke wesentlich verschiedene Struktur haben, insofern für die Tangenten der sv die Kotangenten und umgekehrt eintreten (vgl. Fußnote S. 382).

2. Die Formeln (H) lassen sich in eine einzige zusammenfassen. Man findet nämlich aus (H₁) oder (H₂) oder (H₃)

(1)

Dann ergibt sich weiter

(2)

te y y • (tg ■y % Y Y = M2 (*» h = °’    ²> ³)-

Man kann wegen (2), indem man i = Tt wählt, das Vorzeichen der Wurzel dadurch definieren, daß man

(3)

(»’"O, 1,2,3)

1) Simon L Huilier lebte 1750—1840 als Professor der Mathematik in Genf. — Joseph Alfred Serret, 1819—1885, war Professor am Collège de France und Mitglied der Akademie zu Paris.

setzt. Indem man in (3) den Wert von M aus (1) einsetzt, erhält man ein dem ersten äquivalentes

Zweites System der L’Huilier-Serretschen Formeln:

(IV)

* (W) “lÆ‘gi - (y IJ‘« ï)

' /    y = 0    ^ V — 0 '

(i - 0, 1, 2, 3).

Das Vorzeichen der Wurzel hat hier natürlich nichts mit der Einteilung in eigentliche und uneigentliche Dreiecke zu tun. Für Euler-sche Dreiecke ist die Wurzel in (IV) stets positiv zu ziehen.

Die Formeln (IV) gestatten, bei gegebenen Seiten die Winkel und bei gegebenen Winkeln die Seiten auf mehrere Arten zu berechnen; hierüber näheres in Teil D.

3. Zur Geschichte der L’Huilier-Serretschen Formeln¹) sei bemerkt, daß von LTIuilier die aus (IV) für q — + 1 und % = 0 folgende Formel stammt, während die Fälle q =    1, i = 1, 2, 3 zuerst

von Serret in seinem Traité de Trigonométrie gegeben wurden. Die außerordentlich elegante Zusammenfassung (IV) der L’Huilierschen und Serretschen Formeln rührt von Study (1. c. S. 130) her, der übrigens nur die Fälle q = -f 1 behandelt hat. Die vollkommen symmetrische Gestalt der Formel (IV) in bezug auf die Indizes i = 0, 1, 2, 3 beruht auf dem Umstande, daß Study mit 2s₀ nicht wie üblich die Größe a + 6 + c, sondern die Größe 2tc — (a-\-b-\-c), und entsprechend mit 6₀ die Größe 2jt — (a -f- ß + y) bezeichnet.

Die Ableitung der L’Huilierschen und Serretschen Formeln aus den Delambreschen durch korrespondierende Subtraktion und Addition stammt nach v. Braunmühl von Lobatto her.

4. Die Formel (1) führt zu einem sehr einfachen Beweise für den uns aus § 45 schon bekannten Satz, daß in den drei Delambre-schen Systemen (III*) (k = 1, 2, 3) gleichzeitig q = -f 1 oder q = — 1 gewählt werden muß. Da nämlich einem System (IIIÄ) ein System (H*) entspricht, und da, wie schon erwähnt, aus jedem System (H*) die Formel (1) abgeleitet werden kann, so findet man, wenn man das zu (III*) gehörige q mit p* bezeichnet:

³    \ e₃

JT^t)

r = 0    /

woraus unmittelbar folgt.

1) v. Braunmühl, Geschichte der Trigonometrie II, S. 195f.

D, Angewandte sphärische Trigonometrie.

§51. Hilfssätze über die Schärfe trigonometrischer Rechnungen. —

„Übergangsformeln“.

1. Während für uns bisher theoretische Fragen im Vordergründe standen, handelt es sich in diesem Abschnitt um Fragen der Praxis.⁴) Wir wollen aus gegebenen Dreiecksstücken die fehlenden berechnen; dabei kommen für den Praktiker in erster Linie zwei Dinge in Betracht:

a)    bequemes logarithmisches Rechnen;

b)    möglichste Schärfe der Rechnung.

2. Um der Forderung a) zu genügen, werden wir in unseren Formeln Produkte und Quotienten den Summen und Differenzen vorziehen. Wo dies nicht angeht, werden wir uns durch Einführung von Hilfswinkeln zu helfen suchen.

3. Die zweite Forderung bedarf etwas genauerer Erörterung. Da wir mit begrenzter Stellenzahl zu rechnen gezwungen sind, so wird eine trigonometrische Funktion um so „schärfere“ Resultate liefern, je größer ihr „Gefälle“ ist, d. h. je größer der (positive oder negative) Zuwachs der Funktion im Verhältnis zu demselben kleinen Zuwachs d des Winkels ausfällt.

Um über die Brauchbarkeit der trigonometrischen Funktionen in dieser Beziehung zu entscheiden, knüpfen wir an § 127 des ersten Bandes an. Aus den dort stehenden Reiben (9) folgt in erster Annäherung

cos x = 1 —

(i)

sin x = x —

Diese Formeln gelten um so genauer, je kleiner x ist. Man ersieht aus ihnen, daß für Werte von x, die nahe an Null liegen — bei denen also x⁵ klein gegen x ist — der Kosinus nahezu konstant gleich 1, mithin unbrauchbar zur Rechnung wird, während dagegen der Sinus annähernd dem Winkel proportional, mithin sehr wohl ge eignet zur Rechnung wird. Indem man bedenkt, daß sina? = cos (jr/2 — %) ist, findet man, daß in der Nähe von %f2 umgekehrt der Sinus unbrauchbar, der Kosinus brauchbar ist.

Es sei ferner d eine so kleine Größe, daß d² gegen d vernachlässigt werden darf⁶) ; wir können dann cos d — 1 und sin d = d setzen. Erteilen wir nun dem x den Zuwachs d, so ergibt sich für die entsprechenden Zuwächse von sin x und cos x, die wir mit A sin x und A cos x bezeichnen:

A sin x = sin (x -+- d) — sin x = sin x cos d -f cos x sin d — sin x = d cos x, A cos x = cos (x + d) — cos x = cos x cos d — sin x sin d — cos x = — d sin x. Für das Gefälle G folgt daraus:

cos x,

„ , . N J sin x

(2)

G (sm x) = —g—

si ,    \ A cos a:

G (cos x) = —g— = — sm x.

Indem wir uns zunächst auf den ersten Quadranten beschränken und beachten, daß uns nur der absolute Wert des Gefälles interessiert,, finden wir:

Es ist

|6r(sin#)|>jCr (cos#) |, so lange cos#> sing:, d. h. von x = 0 bis x = ~y

|6r(cos:r)j>j 6r(sinæ)|, so lange sin#>cos:r, d. h. von #= * bis# =y •

Da sich nun den absoluten Werten nach diese Verhältnisse im zweiten Quadranten wiederholen, so können wir, indem wir gleichzeitig noch die Winkelmessung in Graden einführen (vgl. Art. 5), zusammenfassend den Satz aussprechen:

Der Sinus übertrifft den Kosinus an Schärfe in den Intervallen von 0° bis 45° und von 135° bis 180°. Dagegen, übertrifft umgekehrt der Kosinus den Sinus an Schärfe in dem Intervall von 45° bis 135°.

In der Nähe von 0° und 180° liefert der Kosinus, in der Nähe von 90° der Sinus praktisch unbrauchbare Resultate:

4. Was die Tangente und Kotangente betrifft, so bemerke man fürs erste, daß sie als zueinander reziprok von gleicher Schärfe sind. Da ferner sowohl tg 0 = 0 als sin 0 = 0, im übrigen aber nach § 35, (1):

(3)

sin a < tg a,

cos cc < ctg a

ist, muß das Gefälle der Tangente größer als das des Sinus, das der Kotangente größer als das des Kosinus sein. Es folgt:

Durch die Tangente oder Kotangente ist der Winkel jederzeit schärfer als durch Sinus und Kosinus bestimmt. Aus den Gleichungen (2) Band I § 127 :

tga

(3)

lim

a = 0

sin u

lim

a = 0

ergibt sich:

In unmittelbarer Nähe von 0° und 180° wird der Winkel annähernd gleich gut durch Sinus und Tangente (oder Kotangente), in unmittelbarer Nähe von 90° annähernd gleich gut durch Kosinus und Tangente (oder Kotangente) bestimmt.

Die angeführten Sätze lassen sich leicht durch einen Blick in eine trigonometrische Tafel bestätigen.

Wie weitMessungsfehlerEin-fluß auf die Schärfe der Resultate haben, liegt außerhalb unserer Betrachtung.

5. Da der Praktiker nicht in A die Lage kommt, mit Dreiecken zu arbeiten, deren Seiten und Winkel n übersteigen, und da ihm aus Gründen der Anschauung die alte Eulersche Bezeichnung der Winkel bequemer ist (§§ 38, 6.), so setzen wir fest:

Die von uns jetzt zu betrachtenden Dreiecke sind „gewöhnliche“, d. h. Eulersche Dreiecke in Eulerscher Bezeichnung (Fig. 185).

Ferner messen wir in diesem Abschnitt die Winkel und

b,

P)B

Fig. 185.

Seiten nicht in Bogenmaß, sondern nach Graden.

Da unsere Seiten und Winkel jetzt 180° nicht übersteigen, so

sind sie

eindeutig bestimmt durch Kosinus, Tangente, Kotangente; zweideutig bestimmt durch Sinus.

Aber auch der Sinus wird oft zur eindeutigen Bestimmung verwendbar durch die in § 36, 7. zusammengestellten Sätze über das Eulersche Dreieck, die uns in diesem Abschnitt häufig von Nutzen sein werden.

6. Unterscheiden wir für den Augenblick unsere bisherige (Moebiussche) Bezeichnung von der jetzt anzuwendenden „gewöhnlichen“, indem wir der letzteren einen Akzent geben, und führen die

für diesen ganzen Abschnitt gültigen Abkürzungen ein (Winkel in Graden):

*— ß' + r', «' + ß' — y,

(4)

s    —    a    -f-    ß' -f- y — 180°

so bestehen für den Übergang von der Moebiusschen zur „gewöhnlichen“ Bezeichnungsweise folgende „Übergangsformeln“:

a = 180° — a? ß = 180° - ß', y = 180° - y,

(5)

2 s₀ = 360° — 2 s₀',

2 s, = 2 s/,

2 s₂ = 2 s₂',

2 s₃ = 2 s₃',

Hat man mit Hilfe der Formeln (5) den Übergang zu einem „gewöhnlichen“ Formelsystem vollzogen, so läßt man nachträglich überall die Akzente weg.

2 <?₀ = 26₀' — 180° -2(7, = 180° -2ö₁' = 2(/-f,

2 o₂ = 180° —- 2 <?/ = 2 ß' — £,

2 (7S = 180° - 2 ^ = 2 /

§ 52. Die Auflösung des rechtwinkligen sphärischen Dreiecks.

1. Es sei y = 90° (Fig. 186). Es gelten dann die S. 375, (9*) bis (14*) bereits zusammengestellten und durch die Neper sehe Regel miteinander verbundenen Formeln:

i Cb

A if

Fig. 186.

(1)

(2)

(3)

(4)

(6)

cos c — cos a cos b,

cos c = cotg cc cotg ß

eo sa sin ßr

sin a sin c⁷

tg& tgc ⁷

tga sin b ⁷

cos a =

cos b =

sin a =

cos a =

cos ß =

tg a =

2. Erster Fall: Gegeben a, b. Gesucht a, ß, c. cotg a = cotg a sin b, cotg ß = cotg b sin a ; cos c = cos a cos b.

(6)

(1)

Liegen a, b oder c nabe an 0°, so versagt Formel (1); man rechnet dann nach der Formel:

(5)

tg c =

tgö

tga cos ß

cos a

Die Lösung ist stets reell und eindeutig.

3.    Zweiter Fall: Gegeben a, c. Gesucht b, a, ß.

cos c cos a sin a sin c

tg « . tgc

Die Lösung ist eindeutig; nachdem nämlich b gefunden, ergibt sich von den beiden .Werten, die aus since folgen, der zu wählende aus dem Satze, daß dem größeren Winkel die größere Seite gegenüberliegt (§ 36, 7.).

Realitätsbedingung: cos c < cos a.

4.    Dritter Fall: Gegeben a, a. Gesucht b, c, ß. sin & = tg a • cotg a.

sin a sin a

(1)

(4)

(5)

(6)

(4)

(3)

cos b =

sin a —

cos ß =

sm c =

sin ß =

cos a

cos a

Realitätsbedingung:

1)    sin a sin a.

2)    tga und tga gleichzeitig positiv oder gleichzeitig negativ, weil sonst sin b negativ würde. Geometrisch gesprochen: a und a müssen gleichzeitig spitze, stumpfe (oder im Grenzfall rechte) Winkel sein.

!a.

Die Lösung ist im allgemeinen zweideutig, wenn nicht gerade a = a. Ist a < a, so erhalten wir als Lösungen zwei Nebendreiecke (siehe Fig. 187).

Fig. 187.

Die Gleichungen liefern zunächst für b, c, ß je zwei Werte. Sind b

und 180 — b diese beiden Werte, so gehört wegen (6) und (1) zu b ein ganz bestimmtes ß und c; zu 180 — b gehören dann 180 — ß und 180 — c.

Im Fall a = cc erhalten wir ein zweireehtwinkliges Dreieck.

5. Vierter Fall: Gegeben a, ß. Gesucht b, c, a.

)    tg b = sin a tg ß.

( )    cotg c = cotg a cos ß.

( )    cos a = cos a sin ß.

Die Lösungen sind jederzeit reell und eindeutig.

Liegt a in der Nähe von 0°, so rechne man nach Bestimmung von c nach der Formel:

(4)

(4)

sin a sin c

6. Fünfter Fall: Gegeben c, a. Gesucht a, b, ß.

sin a = sin c sin a.

sin a =

(&)

(2)

tg b = tg c cos a. cotg ß = cos c tg a.

Die Lösung ist eindeutig; von den beiden sich für a ergebenden Werten ist der zu wählen, der dem Satz § 36, 7. entspricht. Liegt a nahe an 90°, so berechne man zuerst b und ß und dann a nach der Formel

(5)

tg a = tg c cos ß

oder auch

(1)

cos a =

cos c cos b

(3)

7. Sechster Fall: Gegeben a, ß. Gesucht a, b, c.

cos ß sin a

cos a ==

(2)

cos cc sinß’

cos c = cotg a • cotg ß.

cos b =

Realitätsbedingung:

Ist diese Bedingung erfüllt, so ist die Lösung eindeutig.

§ 53. Die „gewöhnlichen“ Formeln für das schiefwinklige Dreieck.

Es werden in diesem Paragraphen die für die Dreiecksberechnung wichtigen Formeln der früheren Abschnitte mittels der Übergangsformeln S. 414, (5) in der „gewöhnlichen“ Form dargestellt. Daß die auftretenden Wurzeln sämtlich positiv zu ziehen sind, ist leicht einzusehen, teilweise unter Benutzung der Sätze über die Winkelsummen in § 36, 7. Bei allen Formeln 2. Ordnung ist natürlich p = + 1 zu setzen.

Sinussatz (§ 41, II und (8):

r    sin a sin b sin e P

sin u sin ß sin y i7 ’

P = sin b sin c sin a = sin c sin a sin ß = sin a sin b sin y

(!)

= ]/ 4 sin s₀ sin Sj sin s₂ sin s₃,

+

II = sin ß sin y sin a = sin y sin a sin b = sin a sin ß sin c

= Y4 sin 6₀ sin 6₁ sin sin .

+

ai)

(ni)

(IV)

(V)

(VI)

(VII)

Kosinussätze (§41,1 und F):

cos c == cos a cos b -j- sin a sin b cos y,

cos y = — cos a cos ß -f sin a sin ß cos c, u. zykl. w.

Es folgen die Formeln (1), (1'), (2), (2') des §43: sin a cos ß = cos b sin c — sin b cos c cos a, sin a cos y = cos c sin b — sin c cos b cos a ; u. zykl. w.

sin a cos b = cos ß sin y + sin ß cos y cos a, sin a cos c == cos y sin ß -f sin y cos ß cos a ; u. zykl. w.

[ sin a cotg ß = cotg b sin c — cos c cos u,

\ sin a cotg y = çotg c sin b — cos b cos a ; u. zykl. w.

sin a cotg & = cotg/3 siny + cosy cos a, sin a cotg c = cotg y sin ß -f cos ß cos a ; u. zykl. w.

u. zykl. w.

Die Neperschen Analogien (S. 373, (6)):

tg^

ë 2

COB

tg

⁼ ß + r’

cos r

tg

(VIII)

*£±2

⁸ 2

cos

cotgy

COG

b + c*

cotg

u. zykl. w.

Die Delambrescben Formeln (S. 379, III):

. b — c sin —i-—-

sin (Lll

•    & + C

8m 2 cos 2

(IX)

. a

“mY

b + c cos-'-

sin

a kn

sin

cc

cos —

cos

cos

sin£±Z

COS

cc

BinT

cos

cos

u. zykl. w.

Die Formeln (1), (1') und kürzung gesetzt wird:

(2) des § 45 ergeben, wenn zur Ab-

X,

T /sin sl sin s₂ sin s% -,    ~\/cos c₁ cos ß₂ cos ßs

V sin s₀    V — cos ß₀

folgende Formelgruppen:

(X)    sin--_y

+

(XI)    sini-]/

sins₂ sinss sin b sin c ’

— cosß₀ COSß, sin ß sin y

oos J5L _ l/Bingo 8ingi ■

2 V sin 6 sin c ’

+

a _T /cos ö₂ cos es

C0S 2 V sin ß sin y

, cc k

ö 2    sin s, ’

. a cos ß.

; ‘8 2---r¹-

u. zykl. w.

Die L’Huiliersche Formel ergibt sieb aus § 50, (IV) für q = -f 1, i — 0 unter Benutzung des zweiten Produktes:

¹

H. Weber, Lehrbuch der Algebra, 2. Aufl. Braunschweig 1899. Zweiter Band § 1 ff. — In diesem Werke ist die Theorie der endlichen Gruppen in ihrer allgemeinsten Form behandelt.

²

   Johann Heinrich Lambert, hervorragender Mathematiker, aber auch als Philosoph bedeutend, war geboren zu Mülhausen im Elsaß 1728 und starb in Berlin als Oberbaurat und Mitglied der Akademie 1777.

³

   v. Braunmühl, Gesch. d. Trigonometrie II, p. 131.

⁴

Wer sich über die Praxis der Trigonometrie, über zweckmäßige Anlage der Rechnungen, Rechnungsvorteile usw. näher unterrichten will, dem sei das inhaltreiche Werk: Hammer, Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie, Stuttgart 1897, empfohlen. — Von älteren Lehrbüchern sei Serret, Traité

⁵

de Trigonometrie hervorgehoben.

⁶

Bei fünfstelligen Tafeln wäre das der Fall bis zu etwa 20 Sekunden. Übrigens muß 8 hier selbstverständlich in Bogenmaß, nicht nach Graden gemessen werden.

(XII)

tgi-ytgftgftgftgf-

+

Die Serretscben Formeln (§ 50, (IV) für ç = -f 1, i== 1,2,3):

(XIII)

*8 (I

tg y tg ^

tgf

u. zykl. w.

Benutzt man in § 50, (IV) das erste Produkt, so treten an Stelle von (XII) und (XIII) die ebenfalls von Serret stammenden Formeln:

*8 Y“

tgT

y tg(i

1)tg (f~ ~ I")tg (sT — t)

‘g-ï-l/

/tgTtg(l

tg(ł-ł)

-, u. zykl. w_

Die Formeln (XIV) vertreten die zu Formeln; um diese zu erhalten, wäre die zu s polare Größe

(XII) und (XIII) polaren

e = 360° — (a + b -f- c)

einzufüliren. Man würde dann z. B. aus (XII) erhalten:

tg y =]/-    (⁴⁵° + y) tg (45° — tg (45° — tg (45° — *s ) •

Man nennt s den „sphärischen Exzeß“, e den „sphärischen Defekt“ des sphärischen Dreiecks.

§ 54. Die Auflösung des schiefwinkligen Dreiecks.

Wir haben sechs Fälle zu unterscheiden, von denen aber je zwei polar gegenüberstehen: je zwei Polarfälle werden daher gleichzeitig behandelt.

Erster und zweiter Fall.

Gegeben a, b, y. Gesucht a, ß, c. j Gegeben a, ß, c. Gesucht a, b, y.

TJl

'a

1. Die vom mathematischen Standpunkte aus nächstliegende Methode: durch Spaltung des Dreiecks in zwei rechtwinklige die uns bereits bekannten Formeln des rechtwinkligen Dreiecks anwendbar zu machen, führt zu einem rechnerisch sehr befriedigenden Resultate.

Wir fällen zu dem Ende die Höhe BD = li (Fig. 188, schematisch) und finden aus den so entstehenden

rechtwinkligen Dreiecken sofort unter Anwendung der Formeln § 52, (1),

Fig. 188.

(Ö), (3), (2):

dient:

dient:

(1) cos c = cos h cos (b — m).

Zur Bestimmung von m und h

(1) cos y = cos h sin (ß — v).

Zur Bestimmung von v und h

(2)

(3)

tg m = tg a cos y, cos a cos m

(2)

cos h =

(3)

cotg v = tg a cos c, cos a sin v

cos ii =

so

Setzt man (3) in (1) ein, findet man zur Berechnung von c die Regel:

Man berechne m aus der Glei-

Setzt man (3) in (1) ein, so findet man zur Berechnung von y die Regel:

Man berechne v aus der Glei-

chung:

chung:

tg m = tg a cos y

cotg v == tg a cos c 27*

und darauf y aus (4) cos y =

Die Berechnung von a und b — m -j- n aus den beiden rechtwinkligen Dreiecken hat nach Kenntnis von y keine Schwierigkeit mehr.

2.    Aus den Formeln (4) läßt sich eine bemerkenswerte Folge ziehen. Wendet man nämlich das Additionstheorem und darauf die Formeln (2) an, so findet man:

cos c = cos a cos b F cos a sin btgm cos y = cos a sin ß ctg v — cos a cos/3

== — cos a cos ß + sin a sin ß cos c.

Diese Formeln sind aber nichts anderes als die beiden sphärischen Kosinussätze. Setzt man, wie dies ja in den meisten elementaren Lehrbüchern geschieht, die Formeln des rechtwinkligen Dreiecks als die zuerst bekannten voraus, so kann man sagen:

Das erste Aufgabenpaar über das schiefwinklige Dreieck führt, wenn man vom rechtwinkligen ausgeht, von selbst und mit Notwendigkeit auf die sphärischen Kosinussätze. Selbstverständlich gilt dieser Beweis nur für Euler sehe Dreiecke.

3.    Yon unserem Standpunkt erscheint der Kosinussatz: cos c == cos a cos b

F sin a sin b cos y

als ursprüngliche Lösung unserer Aufgabe, und wir werden umgekehrt fragen: Wie kann man ihn in die Form (4) bringen, die sich ja durch ihre logarithmische Brauchbarkeit empfiehlt?

Dies geschieht durch Einführung eines Hilfswinkels (vgl. § 51, Art. 2). Wir setzen in (5), wenn p, m, v Hilfsgrößen bezeichnen:

und darauf c aus

cos a cos (b — m) cos TO

Die Berechnung von a und ß — p + v aus den vorhandenen rechtwinkligen Dreiecken hat nach Kenntnis von c keine Schwierigkeit mehr.

COS c =

cos cc sin (ß — v)

sin v

= cos a cos b F sin a sin b cos y.

(5)

(5)

cos y = — cos a cos ß F sin a sin ß cos c

cos a = p cos m, sin a cos y — p sin m,

Dann sind, falls man 0    < 180°

festsetzt, p und m eindeutig bestimmt aus:

(6)

cos a = p sinv, sina cosc = p cosv.

Dann sind, falls man 0<F<180° festsetzt, p und v eindeutig bestimmt aus:

(6)

(?)

(8)

tg m = tg a cos y,

cos a sin a cos y cos to

cotg v = tg a cos c cos a

sin a cos c

sin m

sin v

cos v

Unter Anwendung von (8) geht (5) über in

cos y = p sin (/3 — v)

(7) und

Unter Anwendung von (7) und (8) geht (5) über in

cos c = p cos (b — m) cos a cos (5 — m) cos m ⁷

wobei m aus (7) zu entnehmen ist. wobei v aus (7) zu entnehmen ist. Es ist also, geometrisch gedeutet,^) identisch mit dem früheren cos A

cos a sin (ß — v)

sin v

sin y

sm a =

sin a =

sin c

4. Um die Winkel a, ß zu berechnen, kann man, wenn man c als berechnet voraussetzt, den Sinussatz anwenden:

sina sin c

und entsprechend für ß.

Setzt man c nicht als bekannt voraus, so kombiniere man den Sinussatz mit (IV):

sin c sin a = sin a sin y,

(9) sine cos a = cos a sin b

— sin a cos b cos y,

4. Um die Seiten a, b zu berechnen, kann man, wenn man y als berechnet voraussetzt, den Sinussatz anwenden:

sin a sin y

und entsprechend für b.

Setzt man y nicht als bekannt voraus, so kombiniere man den Sinussatz mit (Y):

sin y sin a — sin a sin c,

(9) sin y cos a = cos a sin/3

4- sina cos/3 cosc,

woraus durch Division eine Formel für tg a folgt.

Diese läßt sich zur logarith-mischen Rechnung geeignet machen wieder durch Einführung der Größen m und p. Man findet (6) und (9):

sin c sin a == sin a sin y} sin c cos a = p sin (b — m),

aus

also

woraus durch Division eine Formel für tg a folgt.

Diese läßt sich zur logarith-mischen Rechnung geeignet machen wieder durch Einführung der Größen v und p. Man findet (6) und (9):

sin y sin a = sin a sin c, sin y cosa = p cos (ß — v),

aus

sin a sin y p sin (b — m)

Die Anwendung des zweiten Ausdrucks (8) liefert:

tg« =

also

sina sine p cos (ß — v)

Die Anwendung des zweiten Ausdrucks (8) liefert:

t g« =

tg a =

sin m tg y sin (b — m)

wobei m aus (7) zu entnehmen ist. Entsprechendes gilt für ß.

cosi> t ge cos(ß — v) ’

wobei v aus (7) zu entnehmen ist. Entsprechendes gilt für b.

5. Eine andere logarithmisch brauchbare Berechnung der Winkel liefern die Neper sehen Analogien (VIII):

5. Eine andere logarithmisch brauchbare Berechnung der Seiten liefern die Neper sehen Analogien

(VIII):

— cotg

a 4- b

*8^

cos

cos

cos

cc + ß’

tg—₂—“cotef •

sin

. a — sin -

aa.

sin

a —J— b

. <x + ß 8m 2

a-\-b

Will man c erst nach den Winkeln berechnen, so geschieht dies zweckmäßig durch die Delambresehen Gleichungen, z.B.:

sin Ï.

cos — = cos

Will man y erst nach den Seiten berechnen, so geschieht dies zweckmäßig durch die Delam-breschen Gleichungen, z. B.:

c

COS —

cos

COS-=-

COS

oder

oder

c . a 4- b sin¥-sm-|~--

cos

. c sin —

sin | = 008    ₂

. a -j- b sm 2

Von diesen Gleichungen wird man die wählen, die das schärfste Resultat liefern (§ 51).

Dritter und vierter Fall.

Gegeben a, b, c. Gesucht cc, ß, y.

6. Erste Auflösung.

Nach (III) ist:

cos

cc-ß

Gegeben cc, ß, y. Gesucht a, b, c.

Erste Auflösung.

Nach (III) ist:

cos cc =

cos a — cos& cosc

sin& sine

usw.

cos a =

cos a -f- cos ß cosy

sin ß sin y

usw.

Da diese Lösungen logarithmisch nicht bequem sind, wird man die folgenden vorziehen.

7. Zweite Auflösung:

Man rechnet nach den Formeln (X) und (XI). Von diesen sind wegen der größten „Schärfe“ (§ 51) die Tangentenformeln am empfehlenswertesten. Also

, OC

*8?

sins₁

k

—, u.zykl.w.

a cos o.

*8 Ï--T

u.zykl.w.

1ç_T / sinst sins₂ sinss

V sins₀

*-y

cos COS 6t COS 6S

— COS ff₀

8. Dritte Auflösung:

Setzt man (Formel (1) des § 50):

tg 2 tg2 tgï

t® R

«H fn

tg

so liefern (XII), (XIII), und (XIV):

tgj-jf-tg ,

t8(I-ï)-Jlf-00t8|'

Hieraus folgen a, ß, y, resp. a,

Diese Methode ist besonders wertvoll durch die Möglichkeit scharfer Rechnungsproben:

+ (I “ ï) + ('I “ t)

+ (i ~ t) = 90°-

Fünfter und sechster Fall.

Gegeben c, a, y. Gesucht a, ß, b.

t® 0e0

»©io⁰⁹

t gl ° 4

»,

tg|- Jf-cotg(f- j)

tg|- 3f-ootg(|-i),

tg|-Jf-ootg (!•-{)• c durch einfache Additionen.

l + l + l + l-o.

9. Erste Auflösung.

Nach dem Sinussatz ist:

sina sin c

Nach Berechnung von a liefern Formeln (VIII):

(10)

sin a =

sin y.

Gegeben yf a, c. Gesucht a, b, ß.

9. Erste Auflösung.

Nach dem Sinussatz ist:

sina siny

Nach Berechnung von a liefern Formeln (VIII):

(10)

sin« ==

sin c.

COtg ^ =

c -j— a sin 2

(H)

sin—2““

i- h

y -f- a

sin—2

(H)

. r— sin 2

cotg £ =

sin—g“

. c + a sin—₂

sin”₂”

(12) cos ( b — m) =

woraus

mittelst cos ß = y 1 — sin² ß eine quadratische Gleichung für sin ß folgt.

cos

(12) sin (/3 — v) =

woraus

mittelst cos b — ]/l — sin² b eiQe quadratische Gleichung; für sin b folgt.

10. Zweite Auflösung.

Soll b allein oder zuerst berechnet werden, so liefert der Kosinussatz:

cos c = cos a cos b -+- sin a sin b cos y

eine quadratische Gleichung für sin b, nachdem man

cos b = Y 1 — sin²&

eingesetzt hat.

Weit einfacher rechnet man wieder unter Einführung von Hilfsgrößen. Setzt man nämlich nach (7)

tg m — tg a cos y, 0° m < 180°, so liefert (9) unmittelbar:

cosc cosm

cos a

Soll ß allein oder zuerst berechnet werden, so liefern der Sinussatz und die zweite Gleichung (Y):

sin « sin c — sin y sin a, sin a cosc = cosy sin ß

-f- sin y cos ß cos a, durch Division und ver-

10. Zweite Auflösung.

Soll ß allein oder zuerst berechnet werden, so liefert der Kosinussatz:

cos y=— cos« cos/3-|-sin« sin/3 cosc

eine quadratische Gleichung für sin ß, nachdem man ß = Y 1 - sin²/3 eingesetzt hat.

Weit einfacher rechnet man wieder unter Einführung von Hilfsgrößen. Setzt man nämlich nach (7)

cot v = tg « cos c, so liefert (9) unmittelbar:

cos y sin v

cos a

Soll b allein oder zuerst berechnet werden, so liefern der Sinussatz und die zweite Gleichung (IV):

sin a sin y = sin c sin «, sin a cos y = cosc sin b

— sin c cos b cos «, durch Division und ver-

Um hier zur bequemen Rechnung Hilfswinkel einzuführeu, gehe man wieder auf die Figur 188, S. 419 zurück und setze (wobei p = cos h):

cos y = p sin p, sin y cos a = p cos«.

Dann sind p und p bestimmt aus

(13)

(13)

(14)

(15)

cotg p = cos a tg y, siny cos a

(14)

cos c = p cos n, sin c cos a — p sin n.

Dann sind p und n bestimmt aus tg n = cos « tg c,

cos g

(15)

sine cos a

sin«

Man hat dann:

sin « sin c = sin y sin a, sin « cosc = p cos (/3 — p),

Man hat dann:

sin a sin y = sin c sin «, sin a cos y = p sin ( b — w),

also durch Division und Anwen- also durch Division und Anwendung von (15):

*g V =

oder endlich:

(16) cos (ß — (i) = tg a cotg c cos g, (16) sin (6 — n) = tg a cotg y sin n, wobei aus (14) zu entnehmen ist. wobei n aus (14) zu entnehmen ist.

11. Diskussion der Lösungen. Die etwa verwickelte Diskussion führen wir nur für den fünften Fall, da sich das Resultat ohne weiteres auf den sechsten übertragen läßt.

Aus (10) ergehen sich drei Hauptfälle.

keine reelle Lösung.

dung von (15):

tgc =

oder endlich:

COS fl tg CI COS (ß — fl)'

sinn tga sin (b — n)⁷

1.

sin a sin y

sin c

>1

₀ sin a sin y

.    I

sin c

c. sin a sin y O.    ;

sin c

<i

eine reelle Lösung: das Dreieck wird rechtwinklig mit dem rechten Winkel cc.

Liier liefert (10) zwar zwei Werte von a, es bedarf aber einer weiteren Überlegung ob und welche Werte von a zulässig sind.

Wir bezeichnen, um diese Untersuchung zu führen, von den sich aus (10) ergebenden Winkeln a den spitzen mit a, den stumpfen mit a", so daß

«"=180°-^

wird. Damit dann unsere Aufgabe entweder eine oder zwei Lösungen habe, ist erforderlich, daß entweder eine der beiden Größen a' und a" oder beide in (11) eingesetzt, positive Werte für cotg ß/2 und tg b/2 liefern. Das heißt aber:

für jede reelle Lösung müssen y — a und c — a von gleichem Vorzeichen sein.

Die Zusammenstellung der sich hieraus ergebenden Fälle geben wir in Tabellenform. Um das Zustandekommen der Tabelle zu erläutern, mag hier der erste in ihr aufgeführte Fall näher betrachtet werden. Es sei also vorausgesetzt:

c < 90°, a < 90°, c < a.

Da also c — a < 0 ist, muß auch y — a < 0 werden. Nun ist bei unseren Voraussetzungen sin c< sin«, also nach (10) sin a > sin y. Da aber, wie gezeigt, y < a werden muß, haben wir keine Lösung, sobald y > 90°, zwei Lösungen, sobald y < 90°. Setzen wir:

c = 90° + <p°,

a = 90° +

cp <i{k c liegt näher an 90° als a; cp > x{j: b liegt näher an 90° als c.

dann bedeutet

Nach diesen Vorbereitungen wird das Verständnis der nun folgenden Tabelle keine Schwierigkeit mehr haben.

c < 90°, a < 90°,

c <a

zwei Lösungen keine Lösung s. unten

je nachdem

y < 90° y >90°

c > a eine Lösung: a = a', c > 90° a < 90°,

zwei Lösungen keine Lösung

je nachdem

<p > t

eine Lösung: a    — a'    )    .

= ib    >    je    nachdem

keine Lösung    J

cp < ^ eine Lösung: a — a'

c< 90°, a > 90°,

y > 90° y <90° y > 90° y < 90°

zwei Lösungen keine Lösung eine Lösung: a — a"

= ÿ

keine Lösung

cp <C4> eine Lösung: a = cc", o > 90°, a >90°;

cp>ÿ

<P

je nachdem

je nachdem

y <90° y > 90° ^<90° y > 90°

y > 90° y < 90°

je nachdem

zwei Lösungen keine Lösung s. unten

eine Lösung: a = a".

Besonders behandelt muß noch werden der Fall c = a. Dann ist auch a = y (§ 36, 7.), und aus der Formel (VIII) folgt:

tg \ = tg c cos y.

cotg - = tgy cos c;

Damit also tg/3/2 und tg5/2 positiv seien, ist hinreichend und notwendig, daß c und y entweder beide spitz oder beide stumpf sind.

Es gibt nur eine Lösung — außer wenn a = c = y — 90°. In diesem Falle haben wir wie leicht ersichtlich unendlich viele Lösungen.

j, = 90° T cp0 a = 90° + i’°

12. Die Diskussion der sechsten Aufgabe (y, a, c) fällt genau ebenso aus, nur sind überall Seiten und Winkel zu vertauschen. Unter Einführung folgender Bezeichnungen: c = 90° + (p° a = 90° TV

-f- 1 wenn x, y gleichartige¹) Winkel sind,

0 wenn x, y ungleichartige Winkel sind 5 = Anzahl der Lösungen

kommt man auf Grund unserer Tabelle zu dem abschließenden Resultate:

sin a sin y

sin c

>1: 5 = 0

/{n sin a sin y \*3

sin c

= 1: 5 = 1

sin a sin y

i⁶)--

sin c

<1:

/1A sin «sine l¹'    siny

sin « sin c ^    Siny

sin « sin c

(3)

siny

> 1: 3 = 0

= 1: 3 = 1

<1:

a)    (p <    3 =    1

b)    (p = tp

c)    <p>y.    3 =    2    6

5 = (f

cyy

<faa = 1

cy

Ausnahmefall:

Ausnahmefall:

y = c = 90°: 3 = 00.

a = c = y = 90°: 3 == 00

Hierzu treten noch einige ausgeartete Fälle, auf die Eckhardt a. a. O. S. 107 ff. aufmerksam gemacht hat. Wir geben sie nur für den fünften Fall, da die Übertragung auf den sechsten ohne weiteres klar ist.

a)    Ist a = c, y = y, so kann man als eine zweite ausgeartete Lösung eine solche aufstellen, bei der ß = 0, « = 180 — y, 6 = 0 ist. Man kann sie sich so entstanden denken, daß man ein gewöhnliches sphärisches Dreieck dadurch ausarten läßt, daß die Ecke A längs der Seite b gegen C konvergiert.

b)    Ist a + c = 180°, y = y, so liegt Fall (3) vor, und es ist: <p = ip. Dann ist noch als ausgeartete Lösung ein Zweieck möglich in der Art, daß die eine Zweiecksseite AC ist, während auf der anderen J3 liegt.

Es ist alsdann « = y, ß = 180°, b = a + c = 180°.

c) Im Fall a = c sind noch folgende Ausartungen möglich:

b = 0.

a = y, ß = 180°, b = 180°.

a = 90°, c = 90°, y = 90°; « = 90°, ß = 0, a = 90°, c = 90°, y = y,

Der letzte Fall ist wieder ein Zweieck.

1) Zwei Winkel heißen „gleichartig“, wenn sie gleichzeitig spitz oder gleichzeitig stumpf sind, sonst „ungleichartig“.

13. In den Fällen, in denen zwei Lösungen vorhanden sind, erhält man die beiden Werte von b und ß, indem man in (11) einmal a = a (bez. a = a'), das andere Mal a = a" (bez. a = a") setzt.

Etwas anders verhält es sich bei der Anwendung der Hilfswinkel

(S. 424).

Fig. 189.

Cz

Fig. 190.

Hier wird b — m durch seinen Kosinus bestimmt. Ist der eine Wert davon n, so ist der andere — n, und

b' = m -f n, b" = m — n.

Ebenso wird ß — fi durch seinen Kosinus bestimmt. Aus ß — fi = + v folgt dann

ß' = fi + v,

ß" = fl — V.

Dies wird durch Betrachtung der (schematischen) Figur 189 bestätigt, in der

Hier wird ß — v durch seinen Sinus bestimmt. Ist der eine Wert davon u, so ist der andere 180° — fi, und

ß' = v -f- fi

ß" = v -f- 180° — fi.

Ebenso wird b — n durch seinen Sinus bestimmt. Aus b — n = + m folgt dann

V = n + m,

b" — n -f- 180° — m.

Dies wird durch Betrachtung der Figur 190 bestätigt, in der

]JA₁ = DA₂ = n,

A AXBD = A- A₂BD — v, CD = m,

A. CBD = fi

DCi=180°—m,

^CtBD=fi, ^C₂BD=m°-(ir A~DCx=m, A₁BD=A-A₂BD=v, DA₁=DA₂ = u

§ 55. Berechnung anderer wichtiger Dreiecksstücke.

1. Radius p des Inkreises.

Der sphärische Radius des eingeschriebenen Kreises sei p, ja sein Mittelpunkt, D, E, F seine Berührungspunkte (Fig. 191, schematisch). Man erkennt wie in der Ebene, daß

AE = AF = s1}

BF = BE = s2;

CD = CE = s₃

ist. Aus dem rechtwinkligen Dreieck AF[i ergibt sich

*!-

J>

E,

(1)

tgp sin s, ’ tgg sin s₂ ’

(2)

*8 2 ⁼

**2 “sH"’

Der Vergleich mit § 53, (X) ergibt:

top -1Ah.»» 8ins» silü» _ k.

V    sin s₀

Fig. 191.

Die Gleichungen (1) lassen sich auch schreiben: sin sx tg C ’

COtg “ =

hieraus folgt durch Addition:

cotg I

ß sin s2 _ % Q ’

cotg I + cotg I =

2 sin

*1 + «2    «i — «8

—--cos-

oder

cotg p

sin —

a — 6 .

2 cos —g— sin -g sin -g sin

Die letzte Del ambr esche Gleichung (§ 53, IX) gestaltet dies

um in

cos

cotg p =

4 cos -g- cos g- cos

2 cos

c . c . a . ß — Bin — • sin — sin ~ 2 2 2 2

sin c sin a sin ß

(3)

Unter Benutzung von § 53, (I) folgt hieraus:

cotg 9 = jj ’ cos cos cos *

2. Radien der Ankreise q1} q₂, p₃.

Ist der Radius des der Seite a angescbriebenen Ankreises, so bedenke man, daß dieser Kreis zugleich Inkreis des an a anstoßenden Nebendreiecks mit den Seiten a, 180° — b, 180° — c ist. Die Formeln (1) bis (3) liefern daher sofort:

‘Y-sv

tg

(4)

+n. ß _ tg Qi tg 2 — sinYö ’

tg e» sin s₀ ⁷

(5)

‘8T-

<    ^ __ I /Sin S0 8in Sin

to V sin s* J

tg =]/sinS° *inS'>

o

ct-

O

GQ

t© R

B'

c°tg 92 = JJ cos I sin 2 sin T ? cotg Qs = ^

(6)

cos I sin Y sin | *

Aus (5) folgen durch Multiplikation die bemerkenswerten Rela-

tionen:

(7)

tg 9i tg 92 = sin «o sin s₃, tg 92 9s = sin s₀ sin s15 tg 9s tg 9i = sin s₀ sin s₂.

3. Jede der Formeln (1) bis (7) bat ein Gegenstück in der Ebene (vgl. § 28 und § 24). Die zu (3) analoge und aus § 28, (6) und § 26, (14) abzuleitende Formel beißt

tH ■ Q/

= —r COS — COS

tsj-C5

cos

wo A der Inhalt und r der Radius des Umkreises des ebenen Dreiecks ist. An die Stelle von TL ist also hier A : r getreten. Dasselbe gilt für Gl. (6).

Es mag bemerkt werden, daß auch die Ableitung dieser Formeln in der Ebene genau analog geführt werden kann.

4. Radius B des Umkreises.

(1) bis (3):

Nach § 39, 14. ist der Radius B des Umkreises polar und komplementär zu q. Unter Beachtung, daß bei unserer jetzigen Bezeichnung die Seiten des Dreiecks die Supplemente der Winkel des Polardreiecks sind — nicht mehr gleich den Winkeln selbst — ergibt sich aus

(8)

cotg I =

cotg B

COS G, *

cotg I =

cotg B cos g₂ ’

cotg I =

cotg B

COS Gj f

5. Inhalt eines sphärischen Dreiecks.

a) Um einer Fläche auf der Kugel eine „Inhaltszahl“ oder kurz einen „Inhalt“ zuzuschreiben, verlangen wir ebenso wie in § 22 für ebene Flächen:

a)    Werden zwei Flächen zu einer neuen vereinigt, so addieren sich ihre Inhaltszahlen;

ß) kongruente Flächen sind inhaltsgleich;

y) werden zwei Flächen durch ein und dieselbe dritte Fläche zu inhaltsgleichen Flächen ergänzt, so sind sie selbst inhaltsgleich (Ergänzungsgleichheit).

Aus a) folgt:

d) Lassen sich zwei Flächen in inhaltsgleiche zerlegen, so sind sie selbst inhaltsgleich (Zerlegungsgleichheit).

b)    Für das Weitere bedürfen wir noch eines Satzes von Moebius. Umschreitet man ein sphärisches Dreieck, so hat man seine Ecken entweder stets zur Linken oder stets zur Rechten, ganz wie beim ebenen Dreieck; es gelte nun im ersten Falle der Inhalt als positiv, im zweiten als negativ. Dies vorausgesetzt, lautet der Satz von Moebius:

Ist A₁A₂A₃ ein sphärisches Dreieck, und P ein beliebiger Punkt der Kugel, so ist:

AtA₂A₃ = A₁A₂JP -F A₂A₃P + A₃AXP.

c) Wir behaupten nun:

Ein sphärisches Dreieck ABC ist seinem Gegendreieck A'B'C' inhaltsgleich.

Der Satz ist leicht einzusehen für ein gleichschenkliges Dreieck ABC. Denn dieses ist seinem Gegendreieck A'B’C' kongruent, indem sich ABC und A'B'C', falls etwa CA = CB ist, so aufeinander legen lassen, daß C auf C', A auf B', B auf A' fällt.

Sei nun ABC ein beliebiges sphärisches Dreieck, A'B'C' sein Gegendreieck. Das Lot vom Kugelmittelpunkt 0 auf die Ebene des Dreiecks ABC treffe diese in Q, und 0—► Q treffe die Kugeloberfläche in P; der Gegenpunkt zu P sei P'.

Dann ist zunächst:

(H)

AB = JAP', BP = IBP', CP = C"P'. Ferner aber ist: A OQA^ OQB ~ OQC,

mithin

(9)

(10)

cotg B ₌yc0BVC08ff»C0°K _ *

r    — COS 6q

it}    ^    •    • b • c

tg ii = -p • sin sin — sin — •

t« s

OQA = <$c OQB = «£: OQC,

und daher:

AP = PP = CP,

und mithin nach (11):

AP' — B'P' = C'P'.

Daher sind die sphärischen Dreiecke:

APP, PCP, CAP

und ebenso ihre Gegendreiecke:

A'P'P', P'C'P', C'A'P'

gleichschenklig, und daher nach dem Vorigen jedes dieser Dreiecke seinem Gegendreieck kongruent. Nun gilt aber nach dem Satz von Moebius, wie auch P und P' fallen mögen, für die sphärischen Dreiecke APC und A'P'C':

APC = APP + PCP + CAP,

A'P'C' = A'P'P' + P'C'P' + C'A'P',

und damit ist die Behauptung erwiesen.

d) Zwei Hauptkreise der Kugel begrenzen vier „Zweiecke“. Zwei Zweiecke sind kongruent, wenn sie im Winkel £ zwischen ihren Hauptkreisen übereinstimmen. Legt man durch die Endpunkte eines Durchmessers aneinander n Zweiecke von gleichem Winkel, sodaß sie die Kugel gerade bedecken, und ist Zx der Inhalt eines solchen Zweiecks, so ist die Kugelfläche F = nZv Ein Zweieck Z mit dem

1 ^

cp-fachen Winkel des Zweiecks Zt hat den Inhalt Z(p = — F] bezeichnet den Winkel von Z(p in Bogenmaß, so ist cp : n = q> : 2nr, also

— 4 7T9'2 2 7t r

Z,P = <P •

2 7t r

= <P

— 2 F cp .

■\x

c\

c:}

Das gilt zunächst, wenn y eine ganze Zahl ist. Da aber n jede ganze Anzahl sein kann, so bleibt die Formel auch für jeden rationalen positiven Bruch y richtig und gilt dann unter Heranziehung eines naheliegenden Stetigkeitsaxioms für jedes reelle y.

e) Hat man nun auf der Kugel ein sphärisches Dreieck ABC (in Eulerscher Bezeichnung), und sind A', B', C' die Gegenpunkte von A, B, C (Fig. 193), so übertrifft die Summe der sphärischen Zweiecke

ABA'C, BAB'C, CB'C'A'

die in der Figur vordere Halbkugel um das Dreieck ABC und sein Gegendreieck A'B'C'. Die Winkel der Zweiecke (in Bogenmaß) sind aber a, ß, y, und die Dreiecke ABC und A'B'C' sind nach c) inhaltsgleich. Also ist:

2 r²(a + ß + y) — 2i = 2rsit;

und daher, wenn man wieder setzt:

(12)

i — r² • £.

6. Man erkennt aus dieser Ableitung, daß stets e > 0, oder daß die Winkelsumme eines sphärischen Dreiecks stets größer als 180° ist (§ 36, 7.).

Der Inhalt eines sphärischen Dreiecks ist für einen bestimmten Kugelradius nach (12) nur abhängig von der Winkelsumme des Dreiecks. Da mit einem größeren Inhalt notwendig eine größere Winkelsumme verknüpft ist, folgt der Satz:

Ähnliche Dreiecke im Sinne der Planimetrie sind im Gebiete der Sphärik nicht möglich. Dagegen gibt es ähnliche sphärische Dreiecke auf Kugeln von verschiedenen Radien, und ihre Inhalte verhalten sich dann wie die Quadrate dieser Radien.

7. Wie wir in § 36, 4. die Seiten unabhängig vom Kugelradius in reinen, dimensionslosen Zahlen gemessen haben, so ist es auch für den Inhalt zweckmäßig, eine dimensionslose Zahl zu haben. Wir bezeichnen daher als „rationellen Inhalt“ eines sphärischen Dreiecks die Größe:

= £.

(13)

Es gilt dann der Satz:

Der rationelle Inhalt eines sphärischen Dreiecks ist unabhängig vom Kugelradius, abhängig dagegen von den Winkeln, und zwar ist er gleich dem sphärischen Exzeß.

28

Weber u. Wellstein: Enzyklopädie. II. 3. Aufl.

8. Zur Berechnung des Inhalts bei gegebenen Seiten dient die L’Huilier sehe Formel (§ 53, XII):

(14)

tgi=y *g| *g| tg| tg

w «?

in Verbindung mit (12).

Den „rationellen“ Inhalt liefert diese Formel direkt.

9. Eine Verallgemeinerung des Inhaltsbegriffs, die dem allgemeinen Moebius sehen Dreiecke angepaßt ist, hatte ursprünglich zu funktionentheoretischen Zwecken F. Klein gegeben.¹) Das Wesentliche ist dabei, daß das Dreieck als eine sich unter Umständen mehrfach deckende jedoch zusammenhängende „Membran“, die zwischen die Seiten mit passenden Winkeln eingehängt ist, angesehen wird. Man hat alsdann nach der Moebius sehen Vorzeichenregel (5. b) positive und negative Stücke dieser Membran zu unterscheiden.

Wir können hier auf diese Fragen nicht im einzelnen eingehen.

§ 56. Beziehungen zwischen sphärischer und ebener Trigonometrie. „Kleine“ Dreiecke: Satz von Legendre.

1. Halten wir die Ecken A, B, C eines sphärischen Dreiecks fest und lassen den Kugelradius r unbegrenzt wachsen, so geht nach der gewöhnlichen Vorstellung der Euklidischen Geometrie die Kugel in die durch A, B, C bestimmte Ebene, das sphärische Dreieck in ein ebenes über.

Die Seiten a, b, c, konvergieren dabei gegen 0, nicht aber die Bogenlängen zwischen den Ecken. Wir setzen in Übereinstimmung mit § 36, 4.:

IrO 1 V.

(i)

a=r’ b~ ’

wo ä, b, c, die absoluten Bogenlängen bezeichnen.

Unsere Absicht ist, die Formeln der ebenen Trigonometrie durch Grenzübergang aus den sphärischen herzuleiten.

2. Aus Formel (12) von § 55:

r*

ir =

folgt 's = 0 für r = oc.

Der Satz von der Winkelsumme im Dreieck ist also in der Planimetrie das Analogon zu dem Satze des § 55, 7. über den rationellen Inhalt in der Sphärik.

Ferner ergibt jetzt Formel (11) des § 55 den Satz:

Für die Planimetrie erscheint der absolute Inhalt in der Form i — 0 • oo; hieraus erklärt sich, daß bei einem ebenen Dreieck der Inhalt nicht durch die Winkel bestimmt wird, da ja 0 • oo unbestimmt ist.

3. Um für die eigentlichen trigonometrischen Formeln den Grenzübergang zu vollziehen, benutzen wir die für unendlich kleine Winkel, d. h. für unendlich großes r mit unendlich großer Genauigkeit geltenden Formeln (Bd. I, S. 440, (9)):

sin x = x —

in ! -

xs

6 rs’

cos X = 1 —

ar x*

2r*    24 r* '

Der sphärische Sinussatz geht dann ohne weiteres in den ebenen über.

4. Der Kosinussatz:

cos a = cos b cos c -j- sin b sin c cos a

nimmt die Form an:

ä* ä*

2r² ' 24r⁴

2r* ^ 24r⁴/ \    2r² ^

Durch Ausmultiplizieren und Multiplizieren mit — 2r² erhält man unter Vernachlässigung höherer als vierter Potenzen von 1/r:

ä² = 5² + c² -f 2be cos a

-(i

c*

24r

_1 + Æ_Hl

V ~ \r Gr⁹) \r 6r³)

cos a.

(2)

— [fr⁴ + 6&²c² -f c⁴ — a⁴ — 46c(b² -f c²) cos«].

Für r = oo folgt:

Auch der sphärische Kosinussatz geht in den ebenen über.

5. Es ist auf diese Weise möglich, zu jeder sphärischen Formel die analoge ebene aufzusuchen. Wir heben als besonders bemerkenswert noch Formel (13) des § 55 hervor. Da s gegen 0 geht, können wir tgf/4 durch g/4 ersetzen; ferner ist si = sjr. Daher liefert (13) für das ebene Dreieck

]/s₀ • Sj • s₂ • s₃ = lim r²s = ,

die bekannte Inhaltsformel des Heron von Alexandria (§24, (6)).

«“•i

28*

6. Wir haben soeben das ebene Dreieck als Grenzfall des sphärischen aufgefaßt.

Für den praktischen Geodäten ungleich wichtiger ist die Frage: Kann man, und unter welchen Umständen, ein sphärisches Dreieck rechnerisch wie ein ebenes behandeln?

Hierüber existiert ein Satz von Legendre, der in der Praxis ausgedehnte Anwendung findet:

Hat ein sphärisches Dreieck kleine Seiten und infolge dessen kleinen Exzeß, so ist seine Fläche nahezu gleich der Fläche eines ebenen Dreiecks mit denselben absoluten Seitenlangen, während jeder Winkel des sphärischen Dreiecks um ein Drittel des Exzesses größer ist, als der entsprechende des ebenen Dreiecks.

Der Begriff „kleines“ Dreieck ist etwas unbestimmt. Die Geodäten haben praktische Regeln über die Gültigkeitsgrenzen des Satzes. Für uns genügt es zu sagen: Sind die Seiten des sphärischen Dreiecks gegeben durch so sollen ä, b, c klein gegen r sein, und zwar sollen-jedenfalls Glieder von der Größenordnung (ä/r)⁴ usw. als Null gelten. Der Exzeß soll so klein sein, daß mit demselben Annäherungsgrad £ = tg e = sin s und cos e = 1 gesetzt werden darf. Das sphärische Dreieck ABC mit den in Längenmaß gemessenen Seiten ä, b, c und den Winkeln cc, ß, y wird durch den Satz von Legendre in Beziehung gesetzt mit einem ebenen Dreieck AlB₁C₁ von ebenfalls den Seiten ä, b, c, aber den Winkeln cc₁ = a — e/3, ß₁ = ß — e/3, y₁ = y — «/3.

Unter unseren Voraussetzungen folgt genau wie unter 5. für den

Inhalt

i V £    4Y    Ys₀-s₁-81t-8i

womit der erste Teil des Satzes bewiesen ist.

7. Zum Beweise des zweiten Teiles bilde man aus (2) unter Vernachlässigung vierter und höherer Potenzen von 1 jr:

ä⁴ = (b² + c² — 2bc cos a)² +

wobei K eine von r unabhängige Größe ist. Setzt man diesen Wert von ä⁴ in die eckige Klammer von (2) ein, so geht, wieder unter Vernachlässigung höherer als vierter Potenzen von 1/r, (2) über in:

ä² = b² + c² - 2bc

cos a---

sin²a 3t²

Man kann hier beide Seiten als erste Glieder von Reihenentwicklungen nach Potenzen von s betrachten; und da nur die erste Potenz beizubehalten ist, so kann man in den Koeffizienten von s ohne weiteres die Regeln der ebenen Trigonometrie zur Anwendung bringen. Wir setzen dementsprechend links:

und rechts:

und erhalten:

2i = bc sin a, 2i = äc sin ß,

^sin cc —    = a ^sin ß

s a 3~ c

)>

oder, wenn wir links:

rechts :

setzen:

b = c cos a + a cos y, ä = c cos ß -f- b cos y

b j^sin cc — y ^cos a -f    cos yjJ = a j^sin ß — ^ (cos ß + Ł cos •

Hier hebt sich auf beiden Seiten die Größe — — ^ bleibt:

sina — j cos aj — a (sinß — ^ cos ßj l)=Ssin(^—Î),

cos y, und es

oder:

(S1

b sin

und dies ist der Satz von Legendre.

DRITTES BUCH.

ANALYTISCHE GEOMETRIE UND STEREOMETRIE.

Hier kann, immer unter unseren Voraussetzungen, \bc sin a = i

gesetzt werden:

a² = b² + c² — 2bc cos a —    bc sin «.

Da aber nach § 55, (12) ijr² = e ist, so folgt:

a² = b² -f c² — 2bc (cos « -f |-sina), cos « cos ~ + sin « sin

O

ist und coss/3 = 1, sins/3 = e/3 gesetzt werden kann:

ä² = b² + c² — 2bc cos (a — -|-) •

Nimmt man die beiden durch zyklische Vertauschung folgenden Formeln noch hinzu, so ist der Legendresche Satz auch in seinem zweiten Teile bewiesen.

oder, da

cos

Ui I CO

(3)

8. Einen anderen sehr eleganten Beweis des Legendreschen Satzes, der im Gegensatz zu dem soeben angeführten vom Sinussatz ausgeht, hat Epstein gegeben.²)

Wir schreiben den Sinussatz in der Form:

. b • o • a sin « sin - = sm p sin--r    r r

Hieraus folgt durch Reihenentwicklung:

Sin“(?-6ÏS

6s

oder, wenn man beiderseits mit r multipliziert und in der Entwicklung nicht über r² hinausgeht:

CHI

Aus

(sin a —

b²

6 r²

sin «) = « (sin ß

ä²

6r²

sin/3).

r² i

folgt dann:

IrO

(sin«

fc²sino:\    _ / . o s a² sinß\

ŚT    smß-J--JL).

-    •• X

Siebenter Abschnitt.

Analytische Geometrie der Ebene.

§ 57. Das Koordinatensystem.

1.    Eigenart der analytischen Geometrie. Die Elementargeometrie und die neuere synthetische Geometrie gleichen sich darin, daß sie die Rechnung entweder ganz vermeiden oder nur gelegentlich in freier Weise an wenden; die analytische Geometrie dagegen beruht auf der vollkommenen Abbildung der Raumelemente auf den Zahlenbereich, derart, daß jeder Raumeigenschaft eine Eigenschaft des analytischen Ausdruckes entspricht und umgekehrt. Verwirklicht wird diese Abbildung durch das Koordinatensystem; den Begriff haben wir in § 31 kennen gelernt. Man versteht danach unter den Koordinaten eines Punktes der Ebene seine orientierten Abstände von zwei festen, aufeinander senkrechten Speeren der Ebene, den Koordinatenachsen. Die Anfänge des Koordinatenbegriffs finden sich schon hei Apollonius; als wissenschaftliche Methode ist aber die analytische Geometrie erst von Descartes ausgebildet worden, dem zu Ehren man das rechtwinkelige Koordinatensystem als kartesisches bezeichnet. Seine „Geometrie“ erschien 1637. Gleichzeitig und unabhängig davon hatte sich auch Fermat mit ähnlichen Gedanken getragen (Brief an Roberval von 1636), und seine später veröffentlichten Arbeiten gehen noch über Descartes hinaus.

2.    Orientierung. Wo die Elementargeometrie zum Zwecke der Messung einmal den Zahlbegriff benutzt, z. B. in den Sätzen der Ahnliehkeitslehre, da ist es stets der Begriff der positiven Zahl. Bedenkt man aber, wie sehr die Arithmetik an Einfachheit und Beweglichkeit gewinnt, wenn außer den positiven Zahlen auch die negativen eingeführt werden, so wird man begreifen, daß es für die analytische Geometrie geradezu eine Lebensfrage sein muß, die Gegensätzlichkeit der positiven und negativen Zahlen unmittelbar den Raumgebilden aufprägen zu können. Das geschieht durch die verschiedenen Arten der Orientierung, d. h. durch die Herausarbeitung der Gegensätze, die wir durch vorwärts-rückwärts, oben-unten, rechts-links u. dgl. auszudrücken pflegen. Nach der rein erkenntnistheoretischen Seite sei bemerkt, daß alle diese Begriffe sich aus dem Grundbegriffe „zwischen“ ableiten lassen, dessen geometrischer Gehalt in den Axiomen der Anordnung festgelegt ist. Eine vollständige Darstellung dieses Gegenstandes ist noch nicht gegeben worden, man überzeugt sich leicht, daß man dazu ziemlich weit ausholen muß. Wie man rein praktisch Vorgehen kann, ist in § 31 gezeigt worden. Der Kürze wegen wurde damals der Sinn der Uhrzeigerdrehung „negativ“, die Lage links der orientierten Geraden als „positiv“, usw. definiert. Diese Bindungen sollen im folgenden wieder aufgehoben werden.

3.    Koordinatenachsen. Durch einen beliebigen Punkt 0 der Ebene als Anfangspunkt legen wir zwei aufeinander senkrechte Geraden, die Koordinatenachsen, und tragen auf ihnen in demselben Maßstabe die Skala der reellen Zahlen auf, jedesmal mit 0 als Nullpunkt. Eine der Achsen bevorzugen wir als erste oder Abszissenachse, die andere heißt Ordinatenachse. Beide werden im Sinne der wachsenden Zahlen orientiert. Dann gibt es eine und nur eine Drehung von 90 Grad um den Anfangspunkt, die die Abszissenachse nach Lage und Orientierung auf die Ordinatenachse fallen läßt. Der Sinn dieser Drehung heißt der positive; entgegengesetzt läuft der negative.

4.    Winkel. Der Winkel einer Drehung wird jetzt positiv oder negativ genommen, je nachdem er positiven oder negativen Drehsinn hat. Als Neigungswinkel einer orientierten Geraden oder eines Speeres (vgl. § 31,4) bezeichnen wir den positiven oder negativen Winkel der Drehung um den Anfangspunkt, welche die orientierte Abszissenachse zu dem Speere gleichsinnig parallel macht.

5.    Die Geraden. Eine Gerade teilt die Ebene in zwei Halbebenen. Um diese zu unterscheiden, wird die Gerade orientiert, und die Abszissenachse durch Verschiebung des Koordinatensystems innerhalb der Ebene nach Lage und Orientierung mit der Geraden zur Deckung gebracht. Dann weist die Ordinatenachse mit ihrem positiven Teil in die Halbebene, welche als positive gelten soll; die negative Hälfte der Ordinatenachse liegt in der negativen Halbebene. Ein Punkt habe von der orientierten Geraden positiven oder negativen Abstand, jenachdem er in der positiven oder negativen Halbebene liegt; die Punkte positiven Abstandes haben zur Geraden positive Lage.

6.    Vielecke. Der Umfang eines Vieleckes werde orientiert, indem man ihn in einem Zuge durchläuft, was in zwei Richtungssinnen geschehen kann. Das Beispiel des Dreiecks zeigt, daß es ebene Viel-

ecke gibt, die dadurch ausgezeichnet sind, daß nach erfolgter Orientierung des Umfanges die Ecken zu den Seiten entweder sämtlich positive oder sämtlich negative Lage haben. Ein solches Vieleck heißt konvex. Der Inhalt eines konvexen Vielecks wird positiv oder negativ genommen, je nachdem sein Umlaufssinn es ist.

7. Rückkehr zu den Festsetzungen des § 31. Will man jetzt zu den Festsetzungen des § 31 wieder zurückkehren, die bei physikalischen Anwendungen verschiedene mnemotechnische Vorteile gewähren, so hat man nur zu beachten, daß unsere vorangehenden Definitionen ganz unabhängig davon sind, von welcher Seite aus die Ebene des Koordinatensystems betrachtet wird. Von einer bestimmten Seite aus gesehen, läuft aber der in 4. als positiv definierte Drehsinn der Uhrzeigerdrehung zuwider. Betrachtet man die Ebene von dieser Seite, so fallen die jetzigen Definitionen mit den früheren zusammen.

§ 58. Der Punkt.

nennen, so daß durch Nennung des Punktes allein schon

zu

1.    Bezeichnungen. Um einen Punkt durch Koordinaten festzulegen, fällt man aus ihm nach § 31 auf die Abszissenachse das Lot; seine Abszisse ist dann die positive oder negative Zahl der Abszissenskala, die auf den Fußpunkt des Lotes fällt, und die Ordinate ist das orientierte Lot selber. In der älteren Literatur ist es üblich, die Abszisse mit x, die Ordinate mit y zu bezeichnen. Führt der Punkt selber den Namen P, so sind zu einem Punkte drei Buchstaben erforderlich. Schöner und zweckmäßiger ist es, wenn der Punkt x, oder a oder b heißt, die Abszissen xl, aX7 b₁, die Ordinaten *^21 ^2 > ^2

die Namen seiner Koordinaten bekannt sind und umgekehrt. Diese Bezeichnungsweise ist besonders in der Vektoranalysis üblich geworden.

2.    Der Vektor. Eine „orientierte“, d. h. mit bestimmtem Sinne der Durchlaufung versehene Gerade haben wir in § 31 als Speer definiert; eine orientierte Strecke heißt ein Vektor. Zwei verschiedene Punkte a, b bestimmen eine Strecke ab von der Länge

(1)

ab

= V(ai-biy+ (a₂ - b₂y

und einen von a nach b gerichteten Vektor ab mit dem Anfangspunkt a und dem Endpunkt b. Gilt als Neigungswinkel qp des Vektors der Neigungswinkel seiner im gleichen Sinne orientierten Geraden, so ist qp durch die Projektionen (vgl. § 31, (9), (10))

(2)

bx — ax = ab • cos qp, b₂ — a₂ = ab • sin qp

des Vektors auf die Koordinatenachsen bestimmt, und zwar eindeutig bis auf ganze Vielfache von 2jr, wie ein Blick auf das Spiel der Vorzeichen des Sinus und des Kosinus in den vier Quadranten zeigt:

0°- 90°

90°— 180° 1180°- 270° 270°-360°

sin cos

Die aus (2) hervorgehende Formel

(3)

t g<P

₌

— ax

legt den Winkel cp nur bis auf Vielfache von % fest; sie gehört daher sozusagen nicht zum Vektor selber, sondern nur zu seiner Geraden, da sie zwar die Richtung, nicht aber die Orientierung derselben erkennen läßt.

3. Zentrische Symmetrie. Der Mittelpunkt m der Strecke ab hat die Koordinaten

ai +A

2 ’

<*i + \

mi 2

Daher ist 2mi — aif (i = 1, 2), und allgemein

Vi= 2 nii — xif

(4)

(5)

mx —

(*=1,2)

der zu x zentrisch symmetrische Punkt bezüglich m als Symmetriezentrum.

4. Parameterdarstellung der Punkte einer G eraden. Nächst dem Mittelpunkt einer Strecke werden die Punkte beachtenswert sein, die sie in irgend einem Verhältnis teilen. Ehe wir an diese Aufgabe gehen, soll die Darstellung aller Punkte einer Geraden mittels einer auf der Geraden aufgetragenen Hilfsskala abgeleitet werden. Zu diesem Zwecke verwandeln wir die Gerade durch Orientierung in einen Speer s, bezeichnen seinen Neigungswinkel mit cp und tragen auf dem Speere, von einem beliebigen Punkte c desselben aus, die Skala der positiven und negativen Zahlen ab, und zwar so, daß die Zahlen im Sinne des Speeres wachsen; die Einheitsstrecke sei dieselbe wie auf der Abszissenachse. Sind dann tx, ty, tz, ... die auf beliebige Punkte x,y,z, .., des Speeres fallenden Skalenwerte, so ist nach (2)

xx = cx+ tx cos 9, æ₂ = c₂ + tx sin cp,

(6)

Vi = C1 + ty cos cp, 1J₂= c₂+ ty sin cp,

^ — Cx + t, cos cp, z₂ = c₂ + tz sin cp,....

Die Hilfsgröße tx heißt der Parameter des Punktes x, das Verfahren

(6) eine Parameterdarstellung der Punkte unserer Geraden.

(7)

Mit Rücksicht auf (2) ist hiernach beispielsweise

ct+ t (&,• — at)

(*' = 1, 2)

der Punkt, den man erhält, wenn durch den Punkt c zu dem Vektor ab die Parallele gezogen und auf dieser yon c aus das |£|-fache der Strecke ab abgetragen wird, und zwar im Sinne des Vektors oder im entgegengesetzten, je nachdem die reelle Zahl t mit dem Absolutwert \t\ positiv oder negativ ist.

5. Das Teilverhältnis. Die Differenz tz — ty stellt bis auf das Vorzeichen die Länge der Strecke i/5 dar; das Vorzeichen aber ist positiv oder negativ, je nachdem der Vektor ÿfz den Sinn des Speeres s hat oder nicht. Entsprechendes gilt von den Differenzen tx— ty, tz — tx. Wir betrachten nun das Verhältnis

— h.

sein absoluter Wert ist gleich dem Verhältnis der Strecken yx, x~z,

(8)

(9)

das Vorzeichen von r ist positiv oder negativ, je nachdem Zähler und Nenner in (8) gleiches oder entgegengesetztes Vorzeichen haben. Sind die Vorzeichen gleich, so ist entweder tz~> tx~> t oder tz < tx < £ ; beidemal liegt x zwischen y und z. Sind die Vorzeichen ungleich, so liegt x außerhalb der Strecke yh. Definiert man daher t als das Verhältnis der Vektoren ~yx und xz, so können wir sagen:

Der Punkt x teilt den Vektor yz in zwei Vektoren yx und xz, deren Teilverhältnis t = yx : xz — (tx — ty) : (tz — tx) seinem absoluten Werte nach gleich dem Verhältnis yx:xz der Strecken yx, xz ist und positives oder negatives Vorzeichen hat, je nachdem der Teilpunkt x auf oder außerhalb der Strecke y~z liegt.

Sind y, z und x gegeben, so berechnet sich tx aus

(8)

zu

(10)

und aus (6) folgt:

1 +T

*i

x₂ ==

Vi + ^2 1 +T

Das heißt aber:

Das Teilverhältnis x — yx : xz wird nicht nur durch den Teilpunkt x des Vektors yz eindeutig bestimmt, sondern es legt auch umgekehrt, wenn sein Wert vorgeschrieben wird, den Punkt x vermöge (11) eindeutig fest; und zwar ist, wie (11) zeigt, dieser Punkt nur von

y, z und dem Teilverhältnis r, nicht aber von der Orientierung des Vektors yz abhängig.

6. Harmonische Teilung. In dieser wechselseitig eindeutigen Abhängigkeit zwischen Teilpunkt und Teilverhältnis, die sich in der Formel (11) äußert, liegt nun offenbar der Vorzug des orientierten Teilverhältnisses r gegenüber dem absoluten ]t|, das in der Elementargeometrie älterer Richtung üblich ist. Dort beweist man, daß von zwei harmonischen Punktepaaren jedes die Strecke zwischen dem anderen „innen“ und „außen“ in „demselben“ Verhältnis teilt. Wir müssen jetzt sagen, wenn ß die geteilte Strecke, x und x das teilende Paar ist, daß nur die Absolutwerte der Teilverhältnisse dieselben sind, die Vorzeichen aber, da sie nach dem Schlüsse von (5) nicht dieselben sein können, entgegengesetzt sein müssen.

Damit ist bewiesen:

Der Punkt x mit den Koordinaten

(12)

Vi + xzi l + r

wird von y und z harmonisch getrennt durch den Punkt x' mit den Koordinaten

(13)

» = 1, 2.

*    1 — r

7. Unendlich ferne Punkte. Für x = -f- 1 findet man aus

(11) nach dem Schlüsse von 6. die Koordinaten des Mittelpunktes von y~z, übereinstimmend mit (4). Der harmonisch zugeordnete Punkt x erhält dann nach (13) unendlich große Koordinaten. Und so muß es auch sein, denn ein auf yz im Endlichen liegender Punkt kann nicht das Teilverhältnis — 1 hervorrufen.

Der Bequemlichkeit des Ausdrucks halber werden wir im folgenden unter einem Punkte stets einen mit endlichen und reellen Koordinaten verstehen, falls nicht das Gegenteil ausdrücklich zugelassen wird.

§ 59. Fläche des Dreiecks.

xyz

1. Der orientierte Flächeninhalt. Sind x, y, z die Ecken eines mit dem Umlaufssinn x, y, z versehenen Dreiecks, und ist A sein orientierter Flächeninhalt, so ist

(1)

Atyz = \xy + A»j,z + A

wo o den Anfangspunkt der Koordinaten bedeutet. Ist nun der Umlaufssinn o, x, y zunächst positiv, so liegt y zu dem von o nach x gerichteten Vektor ox positiv, und der Neigungswinkel ß des Vektors oy ist größer als der Neigungswinkel a von ox. Daher ist:

oxy

= ~öx • öy • sin (ß — a) = öx ■ o~y (sin ß cos a — cos ß sin a) worin nach § 58,(2):

xx — ox • cos a, x₂ = öx • sin a,

2/1 = oy ’ cos ß, y₂ = oy ■ sin/3,

oxy

allemal mit positiv genommenen ox, oy einzusetzen ist; daher = 2/2^1 - 2/1^2 = xiy2 - WA,

falls die Reihenfolge 0, x, y der Ecken positivem Umlaufssinne von entspricht; entspricht diese Reihenfolge aber negativem Umlaufssinne, so ist der von Aoyx positiv, also 2 Aoyx = ytx₂ — y₂xlf und = x,y₂ — x₂yx: die Formel 2A₀

oxy

2 A oxy — — 2A

A 2/2

gibt also den doppelten Inhalt bei beiden Orientierungen an; daher ist nach (1):

oyx

xy_

(2) 2A

= (xty₂ — x₂yx) + (yxz₂ - y₂zx) + (zxx₂ — z₂xt)

xyz

der orientierte zweifache Inhalt des im Sinne x, y, z umlaufenen Dreiecks A

2. Darstellung des Inhalts durch eine Determinante. Auf Grund der Formel (2) wird Axyt durch die Determinante

xyz’

(3)

2 Axyz —

rH

dargestellt. Wir wollen jedoch die Theorie der Determinanten in diesem Abschnitte nicht als bekannt voraussetzen, sondern umgekehrt einige Haupteigenschaften dieser Gebilde, die wir durch (3) definiert denken, auf geometrischem Wege ableiten. Das Symbol rechts in (3) hat drei Zeilen, das Wort im Sinne unserer Schrift genommen, und drei Spalten, diese senkrecht zu den Zeilen. Wir behaupten nun:

I. Durch Vertauschung zweier Spalten ändert die Determinante ihr Vorzeichen,

Ayxz Axyi, Axzy Axyt, Azyx A

xyz’

denn dieser Vertauschung der Spalten entspricht jedesmal eine Vertauschung der Reihenfolge zweier Ecken, also eine Umkehrung des Sinnes des Flächeninhaltes.

II. Durch Vertauschung der beiden ersten Zeilen ändert die Determinante ihr Vorzeichen, denn dies entspricht einer Spiegelung des Dreiecks an der Geraden durch 0 die den Neigungswinkel 45° hat; durch diese Spiegelung

geht der Punkt x mit den Koordinaten xx, x₂ in den Punkt x mit den Koordinaten x[ = x₂, x₂ — xx über, und der Umlaufssinn A ist dem von Axy2 entgegengesetzt.

x'y'z

III. Die Determinante Axyz ändert ihren Wert nicht, wenn man zu den Elementen der ersten oder zweiten Zeile je das £-fache des homologen Elementes der dritten Zeile, also je die Zahl t, addiert.

Sie ändert also auch den Wert nicht, wenn man xt, #₂; yu y2l z1} z₂ durch

x[ — xx + s cos 6, y[ = yx -f- s cos 6, z\ = zx -f- s cos 6,

x'₂ = x₂ -j- s sin 6, y₂ = y₂ -j- s sin 6, z₂ = z₂ + s sin 6

das aus A

x' y' z' 7

xyz

ersetzt. Dann bilden aber x, y, z ein Dreieck A durch Verschiebung in der Richtung 6 um die Strecke t hervorgeht, und dadurch wird in der Tat der Inhalt des Dreiecks nicht geändert; für 0 = 0 oder 6 = a/4 erhält man die in III vorausgesetzten Änderungen der Koordinaten.

3. Affinität ohne Inhaltsänderung. Lohnender ist die geometrische Ausbeute des Determinantensatzes

IV. Die Determinante A

ändert den Wert nicht, man zu den Elementen der ersten (oder zweiten) Zeile das £-fache der homologen Elemente der zweiten (oder ersten) Zeile addiert,

xyz

wenn

d. h. es ist:

(4)

A„. = A

x' y' z' 1

WO

x[ = xx -t- tx₂ ;

Ą = ^2 ;

y\ = Vx + ty* ; y 2 ~ Vi ?

Ą = 2t+ tz₂ ;

z₂ = z₂.

Zum Beweise dieses Satzes müssen wir erst die durch (5) bewirkte Abbildung genauer untersuchen. Diese Formel ordnet nämlich jedem Punkte x in eindeutiger Weise einen Punkt x' zu, wodurch jede aus Punkten x, y, z, ... bestehende Figur auf eine Figur von Punkten x, y, z, ... eindeutig abgebildet wird. Wir wollen zeigen, wie man die Bildpunkte xr, y, z,... aus den Originalpunkten x, y, z, . . . finden kann und beginnen mit dem Punkte e der Ordinaten-achse, dessen Koordinaten ex = 0, e₂ = 1 sind (Fig. 194); ihm ist nach (5) zugeordnet der Punkt e mit

e\ = ei + tes = t,

^2 = e2

(5)

= 1.

Um jetzt zu beliebigem x das zugehörige x' zu konstruieren, zieht man durch x die Parallele zur Abszissenachse und durch den Fußpunkt xt des auf diese Achse aus x gefällten Lotes die Parallele

Ci

mV—

Fig. 194.

u'

izu ö~e\ beide Parallelen trefFen sich in x'. Diese Konstruktion ist in der Figar noch für einen zweiten Punkt m wiederholt. Aus dem Verfahren folgt:

Beschreibt x eine Parallele zur Abszissenachse, so liegt auch x auf dieser Parallelen; durchläuft x aber eine andere ■Gerade u, welche die Abszissenachse in einem Punkte c schneidet, so beschreibt auch x eine durch c gehende Gerade u] jeder Punkt der Abszissenachse entspricht sich selbst.

Eine Abbildung mit diesen Eigenschaften wird eine Affinität genannt; die Gerade, deren Punkte je sich selbst entsprechen, also •die Abszissenachse, heißt die Affinitätsachse; die Verbindungsgeraden je zweier affiner Punkte, wie x und xr, y und y, haben dieselbe Richtung, die Affinitätsrichtung (vgl. Bd. III₂, § 3). Es ist eine Besonderheit unserer Abbildung (5), daß die Affinitätsachse zugleich auch die Affinitätsrichtung angibt.

Zu unseren Dreiecken A nun, daß sie durch folgende Eigenschaften ausgezeichnet sind:

1) Die Verbindungsgeraden homologer Ecken x und x, y und y', z und z sind parallel zur Abszissenachse (Fig. 194); daraus folgt auf Grund des Satzes von Desargues, daß sich die homologen Seiten in drei Punkten einer Geraden treffen; ohne uns aber

Weber u. Wellstein: Enzyklopädie. II. 3. Aufl.

xy z y

zurückkehrend, sehen wir

■>

29

auf diesen Satz zu berufen, können wir auf Grund der Bemerkungen zu Fig. 194 sagen:

2) Die Schnittpunkte a, b, c homologer Seiten yg und y'z', Jx

und z x, xÿ und x'y liegen auf der Abszissenachse.

Als Dreiecke über derselben Grundlinie öc und mit derselben Höhe sind aber Aocx und A gleich, daher ist auch

ocx’}

ocy

und A

ocy’

paarweise inhalts-

oxy

ox'y' y

ebenso

A„... = A

oyt

o y' z' y

A„„ - A

oz'x¹ y

und da (1) auch für A

x’y' z'

gilt, so ist

^xyz    ^x'y'z”

Damit ist Satz IV geometrisch bewiesen mit dem Nebenergebnist Es kann bei den zwei Perspektiven Dreiecken des Satzes von Desargues der Fall Vorkommen, daß das Zentrum der Perspektivität auf der Achse liegt; liegt es überdies im Unendlichen, so sind die beiden Dreiecke inhaltsgleich.

Die besondere Affinität, mit der wir es hier zu tun haben, spielt in der Invariantentheorie als „Schiebung“ eine bedeutende Rolle, ferner,, auf den Raum erweitert, in der Elastizitätstheorie.

4. Dreiecke von gleicher Grundlinie und Höhe. Noch ist eine wichtige Eigenschaft des Dreiecks in die Sprache der Determinantenlehre zu übersetzen, nämlich daß der Inhalt sich nicht ändert, wenn man eine Ecke parallel zur gegenüberliegenden Seite verschiebt. Wir wollen etwa x und y festhalten, z aber parallel zu xÿ in eine Lage z verschieben. Nach § 58 (7) ist dann z von der Form

es wird also behauptet und mittels (2) leicht bestätigt:

xyz' y

d. h. die Determinante ändert den Wert nicht, wenn man zu einer Spalte (der dritten) das £-fache einer anderen (der zweiten) und das (— £)-fache der übrig bleibenden fügt.

Die Determinantentheorie zerlegt diesen Satz in zwei Sätze, die weiter tragen; wir wollen uns mit dem Vorangehenden begnügen. Dagegen soll zum Schluß noch bestätigt werden, daß der Inhalt sich nicht ändert, wenn das Dreieck um irgendeinen Punkt, z. B. um den. Anfangspunkt der Koordinaten, gedreht wird.

5. Koordinatendrehung. Wird das Koordinatensystem unter Festhaltung des Anfangspunktes (Fig. 195) gedreht, wodurch x vom ursprünglichen Koordinatensystem aus beurteilt in x übergehen möge, und ist r der Abstand des Punktes x von o, a der Neigungswinkel des Vektors Wöc, so ist nach §58, (1), (2):

v,

um

einen WTinkel

<P

x₂

X1 \

•V

(6)

xx = r cos a,

x₂ = r sin a

x\ = r cos (qp F a), x₂ = r sin (qp F a),

aber

Fig. 195.

xx = r cos (qp F a — qp) = r cos (qp F a) cos qp F r sin (qp F «) sin qp, X₂ = r sin (qp F a — qp) = r sin (qp F a) cos qp — r cos (qp F «) sin qp, also nach (6):

(?)

Xx cos qp + x'.₂ sin qp,

F =

x₂ = — x'x sin cp F x₂ cos cp.

Diese Formel stellt also den Zusammenhang zwischen dem Punkte x und seiner durch Drehung erreichten neuen Lage x dar; derselbe Zusammenhang besteht zwischen y und y, z und z.

Nun ist:

oxy

= xxy₂ — x₂yx = {xx cos cp + x₂ sin qp) (— y'x sin qp F y\ cos qp) — (— xx sin cp F x₂ cos qp) (yx cos qp F ^ sin qp)

= x[ y — x'y'₁ = l2A

ox' y¹1

also vermöge (1):

^x’y'z’    ^

xyz •

Daß hier die Formeln (7) der Koordinatendrehung aus den Additionstheoremen des Sinus und des Kosinus entspringen, kann nicht Wunder nehmen, da wir in § 31, 8 den umgekehrten Weg gegangen sind, um die Additionstheoreme zu gewinnen.

§ 60. Die Gerade.

1. Der orientierte Abstand eines Punktes von einer Geraden (vgl. §57, 5). Zwei verschiedene Punkte y, z legen eine Gerade eindeutig fest. Bezeichnet s die positiv genommene Strecke von y bis z, die, von y nach z gerichtet, den Neigungswinkel qp haben

29*

möge, und Dx den orientierten Abstand eines Punktes x von der im Sinne y, z orientierten Geraden, so ist sDx — 2 A

xyzl

also

xyz

- 7 { - *1 0t - Vt) + xa Ol - y,i + ViH - 2/2«, ),

wie sich aus § 59, (2), durch Umordnung der Glieder ergibt. Nach § 58, (2) ist aber

z₁ — yt = s cos cp,

(2)

^2 —    = s sin cp,

und nach (1)

rH ! CC

A> = (2/1

der orientierte Abstand des Anfangspunktes von dem Speere, daher: Dx = — xx sin cp -f- x₂ cos <P + D₀ •

Da der Speer durch den Punkt y geht, so ist ⁰ = - Vi sin + V2 cos cp + D₀.

Durch Subtraktion dieser Gleichung von (4) kommt:

-D« — — Oi — 2/i) sin <p + i>, - y,) cos <jp

(3)

(4)

(5)

als dritte Darstellungsform für Dx.

Nach (4) ist der Abstand Dx und damit der Speer selber bekannt, wenn cp und D₀ gegeben sind. Das sieht man auch geometrisch ein: um den Speer aus cp und D₀ zu konstruieren, legt man zunächst durch 0 den Speer 6 von der Neigung cp und zieht zu ihm im absoluten Abstand | D₀1 den gleichförmig parallelen Speer auf der Seite von <7, nach welcher die orientierte Ordinatenachse gerade nicht hinweist, wenn die Abszissenachse durch Drehung um 0 nach Lage und und Sinn mit dem Speere 6 zusammenfällt. Sind |₂ die Koordinaten des Punktes in Bezug auf das (um den Winkel cp) gedrehte Koordi-natensystem, so ist einfach

Dx = £2 + D

H CK-

\f/

■t

(6)

aber nach § 59, (7):

|₂ = — xx sin cp x₂ cos qp, also übereinstimmend mit (4):

Dx = — x₁ sin cp + x₂ cos cp -f- D₀.

Fig. 196.

Für die orientierte Abszissenachse ist z. B. der Neigungswinkel cp = 0, für die Ordinatenachse cp = 90°; der orientierte Abstand des Punktes x von der ersten ist Dx = x₂, von der zweiten Dx = — xx] es zeigt sich hier die schon in § 31 hervorgehobene Verschiedenheit der beiden Achsen.

2. Gleichung der Geraden. Die hinreichende und notwendige Bedingung dafür, daß der Punkt x auf dem Speere liegt, ist Dx = 0, d. h.: der Punkt x liegt wenn die Koordinaten x₁ und x₂ des Punktes so beschränkt werden, daß der orientierte Abstand Dx, wie er in (1), (4) oder (5) dargestellt ist, verschwindet; da dies für die beiden Unbekannten xXJ x₂ nur eine Gleichung ist, so gibt es unendlich viele Wertepaare xx, x₂, welche die Gleichung Dx = 0 erfüllen, und diese Wertepaare bestimmen eben die Punkte des Speeres. Während also die Gleichungen (1), (4), (5) als Darstellungsformeln des orientierten Abstandes aufzufassen sind, die für alle Punkte (im Endlichen) ohne Einschränkung zutreffen, wird den Koordinaten xx, x₂ eine Bedingung auferlegt, wenn man verlangt, daß Dx = 0 oder gleich einem anderen bestimmten Werte sein soll. Um nun Bedingungsgleichungen von unbeschränkt in x gültigen wenigstens für den Anfang auch äußerlich zu unterscheiden, werden wir bei jenen das Gleichheitszeichen, bei diesen das Identitätszeichen = an wenden. Wir wissen jetzt:

dann auf dem Speere,

nur

Je nachdem ein Speer festgelegt wird

a)    durch zwei Punkte y, z und durch die von y nach z weisende Orientierung, oder

¹

Autographierte Vorlesungshefte: „Über die hypergeometrische Funktion“ S. 384 ff; „Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus“ I, S. 404ff.

²

Epstein, Zeitschr. f. Yermessungswesen, Bd. 36, 1907.

b)    durch einen Punkty und den Neigungswinkel qp, oder

c)    durch die Neigung cp und den orientierten Abstand D0 vom Anfangspunkt,

können wir den orientierten Abstand Dx eines beliebigen Punktes x von dem Speere darstellen durch

xyz 7

(7 a) Dx=-{-xx (z₂ - y₂) + :r₂ (*, - yx) + (yx 0₂ — y₂e₁)} — |A

wo s = V(et — yxy~\- (^₂ — 2/₂)² die Strecke yz\

(7 b) Dx = -{xx — yx) sin cp -f (x₂ - y₂) cos y ;

(7 c) Dx = — xx sin cp -f x₂ cos cp + D₀;

und die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß z auf dem Speere liegt, lautet jedesmal:

(8)

Ist die Orientierung der Geraden nur zu dem Zweck erfolgt, um eine eindeutige, jede Fallunterscheidung vermeidende Definition von Dx zu erlangen — in der Vektoranalysis haben die Speere eine mehr selbständige Existenz — so wird (8) einfach die Gleichung der Geraden genannt, weil alle die Gleichung (8) befriedigenden Punkte auf der Geraden liegen. Denselben Zweck, den Punkt x auf die Gerade zu bannen, erfüllt aber auch die Gleichung cDx = 0, wenn c eine von Null verschiedene Konstante bedeutet. Da nun csinqp, c cos cp

in (7 c) bei gehöriger Bestimmung von cp und c jedes Paar reeller Zahlen darstellen können, die nicht beide verschwinden, so ist an der Gleichung der Geraden nur wesentlich, daß sie die in x₁, x₂ „lineare“ Form xx + u₂x₂ + us = 0 hat (von x unabhängige) Konstanten sind, von denen ux, u₂ nicht zugleich verschwinden. In der Tat kann jeder Ausdruck

(9)

(u ! x) = ulxl -(- u₂x₂ + w₃

dieser Art in die Form cDx gebracht werden, man hat nur

(10)

ux— — c sin cp, u₂ = -f- c cos cp, u₃ = cD₀,

also

c = 1/u\ + u\, (u I x) = c(— xx sin cp -f æ₂ cos cp -f- D₀),

zu setzen. Hier kommt nun alles darauf an, ob man die Wurzel positiv oder negativ zieht; beides ist zulässig; hat man die Wahl getroffen, so ist cp bis auf Vielfache von 2 7t eindeutig festgelegt. Den zwei Werten der Wurzel entsprechen zwei Werte von cp, die sich um Vielfache von 7t unterscheiden. Man sieht: der geometrischen Alternative, vor der man bei der Orientierung einer Geraden steht, entspricht die algebraische Alternative, die Quadratwurzel einer positiven Zahl positiv oder negativ zu ziehen. Die Normalformen (7a), (7b), (7 c) der Gleichung der Geraden haben nun ersichtlich den Vorzug, für die Vorzeichen eine geometrisch wie formal einfachste Entscheidung zu treffen. Das Auftreten der transzendenten Funktionen Sinus und Kosinus in der Gleichung der Geraden wird nicht befremden, wenn man bedenkt, daß hier die trigonometrischen Funktionen nicht als Funktionen, sondern sozusagen als erstarrte Verhältniszahlen in Betracht kommen; die Form (7b) wird nach dem Mathematiker Hesse als Hessesche Normalform bezeichnet.

Aus (7 b) ergibt sich noch eine vierte Gleichungsform der Geraden :

(ii)

= tg cp oder x₂ — x₁ tg cp -f l, l = const,

auf die ebenfalls jede lineare Gleichung (u\x) = 0, abgesehen vom Falle {u\x) = uxxx -f «₃, gebracht werden kann. Der Winkel cp ist dabei durch

(12)

tg<p = -!;

bis auf Vielfache von 7t eindeutig bestimmt, da tg {cp 4- %) = tg cp ; so genügt denn die Gleichungsform (11) genau dem Bedürfnis, eine nicht orientierte Gerade durch cp und einen Punkt festzulegen.

3. Die Gerade als Symmetrieachse. Zur Gleichung der Geraden muß man auch gelangen, wenn man nach allen Punkten x der Ebene fragt, die von zwei festen Punkten a, b gleichen Abstand haben. Dann sind auch die Quadrate der Abstände gleich, daher nach § 58, (1):

- axy + (x₂ - a₂y = (xx —    + (x₂ — b₂)²

woraus sich folgende

Gleichung der Symmetrieachse von a und b ergibt: 13) xxQ>x — ax) -f x₂{\ — a₂) — i(b{ + b\ — a\ - a|) = 0.

Um den allgemeinen linearen Ausdruck (w|æ) = ulx₁ + u₂x₂ -f- u₃ in diese Form zu bringen, wird man daran denken, daß die Gerade von unendlich viel Punktepaaren die Symmetrieachse ist und daß daher einer der beiden Punkte, etwa a, beliebig außerhalb der Geraden angenommen werden kann; um den andern, b, zu finden, wird man den Ansatz

(14)

— 4cow₃ = a\ -f- a\ — b\ — b\

—    2 co ux = bx — «j,

—    2caw₂ = b₂ — a₂,

machen, mit einem Proportionalitätsfaktor, der zur Vereinfachung der Endformel —2 ca genannt ist. Setzt man in die dritte Formel (14) die aus den beiden ersten entnommenen Werte

{15)

A = ai — 2 ca u{

ein, so findet sich, da co — 0 nicht brauchbar ist,

_alu₁-f- a, u,₂ -f- u₃ (u a) a    u\-\-u\    ~~ u\Ą-u\

(* = 1, 2)

(16)

Wir können also sagen:

Bezüglich der Geraden (u\x) = uxxx -f- u₂x₂ + uz = 0 ist zu einem beliebigen Punkte a symmetrisch der Punkt b mit den Koordinaten

(17)

,    2 (u I a)

hi = ^ — u\ + u\Ui’

der Fußpunkt des Lotes aus a auf die Gerade ist

und es ist identisch

(18)

= ai

(u\ a)

(19) -

2 (u I a)

(** Ix) = (⁶i - ai) + x2 (h - «2) - I (PI + - Ą - ai).

Hier ist, wie schon öfters, die Voraussetzung wesentlich, daß ult u2 reell sein sollen, weil sonst der Nenner u\ + u\ in (19) unter Umständen verschwinden könnte.

u\ -j- ul

§ 61. Das Strahlenbüschel.

1. Schnittpunkt zweier Geraden. Wenn zwei Linearfunk

tionen

(1)

(«|») = V1X1 + V2X2 + V3

(u\x) = u±xt + u₂x₂ u₃,

gegeben sind, so hängt alles, was sich über die Lage des Schnittpunktes der Geraden (u x) = 0, (v x) = 0 sagen läßt, von den drei Verbindungen

(2)    (u, v\ = u₂v₃ - u₃v₂,    (u, v)₂ = u₃vx -uxv₃, (u, v\ = uxv₂ — u₂vt

ab, die sich bei der Auflösung der Gleichungen (u\x) = 0, (y\x) = 0 von selbst einstellen. Wir beweisen:

Satz 1. Hinreichende und notwendige Bedingung für

a)    einen bestimmten Schnittpunkt im Endlichen ist

(u, r)₃ =j= 0 5

Koordinaten des Schnittpunktes:

i = 1,2;

= 0, v\/(u, v)₃,

b)    parallele Lage der Geraden, ohne daß sie zusammenfallen:

(u,v)₃ = 0, aber (u,v\ und (u,v)₂ nicht beide gleich Null;

es gibt dann zwei nicht verschwindende Konstanten o, l, derart, daß identisch

(v\x) == co(u\x) -j- A;

c) Zusammenfallen der Geraden:

(u, v\ = 0,    (u, v)₂ = 0,    (m, v)₃ = 0;

es ist dann

03 =j= 0.

(v\x) = œ(u\x),

Das ist nur die geometrische Deutung der Lösungsmöglichkeiten zweier Lineargleichungen mit zwei Unbekannten, vgl. Bd. I, § 43.

Der Beweis beruht auf einer aus (n, v)₃ = 0 folgenden Identität. Bezeichnet nämlich p eine und v die andere der Zahlen 1, 2, so besagt (u, v)₃ = 0 so viel als u^vv = uvvfl. Da nun nach dem Begriff der Linearfunktion ux und u₂, vx und v₂ nicht je zugleich verschwinden, so muß mindestens für einen Index fi die Ungleichung uu 4= 0 mit vft 4= 0 Zusammentreffen. Dann ist co = vu :    4= 0, also

v^ — ca, was vermöge u^v^, =    , da 4= 0 ist, auch vv = cour

zur Folge hat. Also gilt der

Hilfssatz. Bei (u, v)₃ = 0 sind vlf v₂ stets von der Form vx = œu1} v₂ = cou₂, wo œ 4= 0,

und es ist daher

(4)

(y\x) = ca(u\x) + k,

wo

X — v₃ — œu₃

und

(5)

(w, v\ = u₂X, (u, v\ = — Ux'jI.

Ist nun, der Annahme a) entsprechend (u, v)₃ =+= 0, so können die Gleichungen (u\z) = 0, (v\z) = 0 ohne weiteres nach den Koordinaten zx, z₂ des Schnittpunktes z aufgelöst werden; man findet zx = (u, v\ : (u, v)₃, z₂ = (w, v)₂ : (u, v)₃. Daß aber für (u,v)₃ = 0 eine endliche Lösung zx, z₂ unmöglich ist und nicht etwa durch Verschwinden von (u, v)Xf (u, v\ zustande kommt, zeigt der Hilfssatz. Denn eine endliche Lösung zx, z₂ würde in (4) das Verschwinden von X und damit die Identität (v | x) = a (u \ x) mit «4=0 nach sich ziehen, die aussagt, daß jeder Punkt der einen Geraden auch auf der anderen liegt. Damit ist a) bewiesen.

An das Fehlen endlicher Lösungen, also an den Parallelismus der Geraden, darf man hiernach nur im Falle (u, v)₃ = 0 denken. Es besteht dann die Identität (4). Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß nicht jede Lösung der einen Gleichung auch die andere Gleichung erfüllt, ist nach (4) einfach X 4= 0. Daher gilt b) und mit Rücksicht auf (5) auch c).

Da im Falle b) die Konstante X nicht verschwindet, muß a> von selbst schon von Null verschieden sein. Die Sätze b) und c) lassen sich daher, mehr symmetrisch, auch so aussprechen:

Satz 2. Zwei lineare Gleichungen (u\x) == 0, (vj#) = 0 stellen stets und nur dann dieselbe Gerade dar, wenn zwei nicht (zugleich) verschwindende Konstanten a, ß nachweisbar sind, derart, daß für alle Punkte x im Endlichen der Ebene

(6)

cc(u\x) + ß(v\x) = 0

ist.

Satz 3. Zwei Geraden (u\x) — 0, (v\x) = 0 sind nur dann parallel (und voneinander verschieden), wenn sich drei Konstanten a, ß, y finden lassen, derart, daß für alle Punkte x im Endlichen der Ebene

(7)

a(u'x) -f ß(v\x) -j- y = 0 mit    y=|= 0

gilt.

Da zum Beispiel (u\x) — {(u\x) -|- y) -j- y = 0, so ist (w|a;)-f-y = 0 zu (wja:) = 0 parallel. Diese Parallele geht durch einen nicht auf (u\x) = 0 gelegenen Punkt y, wenn (u\y) -f- y — 0 ist. Daher ist y bekannt und (u |a?) — (u \y) = 0 die Parallele zu (u\x) — 0 durch ?/; also:

(il, v')t = s(u, v)

(H)

(u, v \ = s(u, v)₂, mit s = ad — ßy. 0', v\ = s(u,v\,

Sind die Geraden (u\x) = 0, (v\x) = 0 voneinander verschieden, also nach Satz 1 nicht alle (u, v){ gleich Null, so gilt nach (11) das Gleiche von (u |#) = 0, (v’ [a;) = 0 unter der ausschließlichen Bedingung, daß s 4= 0 ist. Sei nun s 4= 0.

Parallelismus von (w j x) = 0, (v \ x) — 0 zieht dann aus (w, v)₃ = 0 vermöge (11) auch (u,v)s—0, also Parallelismus von (u | #) = 0, (v I x) = 0 nach sich; haben (u\x) = 0, (v \ x) — 0 dagegen einen Schnittpunkt z im Endlichen, so ist nach Satz la) zunächst (u,v')₃ 4=0 und Z- == (u, v')i : (u , v \ = (u,v)i : (u, v\, d. h., da nach (11) auch (u, v)₃ nicht verschwindet: der Schnittpunkt z fällt mit dem von (u j x) — 0, (w j x) = 0 zusammen, der ebenfalls im Endlichen liegt. Daher können wir sagen:

Satz 5. Wenn die Geraden (u \x) = 0, (i?|^)=0 voneinander verschieden sind, so stellt die Gleichung

(12)

Satz 4. Durch

(w|aO + y — 0

werden bei passender Bestimmung von y alle Parallelen zu (u'x) = 0 dargestellt. Die Parallele durch einen nicht auf (u'x) = 0 liegenden Punkt y ist

(u I x) — (u I y) = 0.

(8)

(9)

(6

2. Strahlenbüschel. Es liegt nahe, im Anschluß an fragen, was die Gesamtheit der Geraden cc(u\x) -f- ß(v\x) = 0 auszeichnet, die man aus zwei verschiedenen Geraden (u\x) = 0, (v|#) = 0 erhält, wenn a, ß alle reellen Zahlenpaare durchläuft. Unbeschadet der Allgemeinheit dürfte man die Gleichung a(u'\x) + ß(v\x) = 0 durch Division nach a in die Form (u\ x) + je (fl | x) = 0 bringen, es müßte denn cc = 0 sein, was auf ([v\x) == 0 führt; um diesen Fall

zu erhalten, muß man diese Gleichung durch

zu

(u\x) -f- x(v \ x) = 0

aus

x dividieren und dann x unendlich werden lassen. Nun ergibt für die linearen Ausdrücke

(u I x) = a (u j x) -j- ß (v ! x) eine kurze Rechnung

(10)

(v J x) = y (u ! x) -f d (v I x)

a(u J x) -f- ß (v I x) = 0

bei konstanten u, ß ausschließlich Strahlen des durch (m I x) = 0, (v I x) = 0 bestimmten Büschels dar, d. h. der Gesamtheit von Strahlen, die mit (u [ x) — 0, (v | x) == 0 denselben Punkt im Endlichen oder Unendlichen gemein haben. Zwei Strahlen

(13)

cc (u I x) + ß (v J x) = 0, y (u I x) + ö (v | x) = 0

des Büschels sind immer nur dann voneinander verschieden, wenn ad — ßy nicht verschwindet. Der durch einen Punkt y außerhalb (u x) = 0, (tf|#) = 0 gehende Strahl des Büschels hat, wie man leicht sieht, die Gleichung

(14)

(u\x)(v\y) — (v I x)(u ! y) = 0.

Sie hat wiederum die Form (12), womit denn zugleich bewiesen ist, daß diese Form jeden Strahl des Büschels darzustellen vermag. Ist also (w x) = 0 ein Strahl des Büschels und y(u \ x) -f- v(v | x) = 0 seine nach (14) mögliche Darstellung, so sind nach Satz 2 zwei nicht verschwindende Konstanten p, 6 nachweisbar, so daß

q(w I x) -f ö{y(u ' x) + v(v ! æ) } =0

ist. Das heißt in mehr symmetrischer Fassung und unter Ausschluß der Fälle y = 0 oder v = 0 ausgesprochen:

Satz 6. Drei verschiedene Geraden iu'x) — 0, (y\x) = 0, (w x) = 0 gehören immer nur dann demselben Büschel an, wenn drei von Null verschiedene Konstanten a, ß, y sich angeben lassen, so daß für alle Punkte x (imEndlichen) der Ebene

(15)

ist.

cc (u \x) + ß(v\x) Ą- y (w \x) = O

3. Winkel.

Wir verwandeln jetzt die Geraden ([u \x) = 0; (v j x) = 0 durch willkürliche Festlegung der Wurzelwerte

(16)

r === ]/m* + u\,    s=yv\-\-v §

in zwei Speere w, v von den nach § 60, 10 zu berechnenden Neigungswinkeln cc, ß:

+ cos cc

S 4- cos ß r    r

und bestimmen bis auf Vielfache von 2jt den Winkel Q der kleinsten positiven Drehung, die den Speer u mit dem Speere v nach Lage und Sinn zur Deckung bringt, vermöge 6 = ß — cc aus:

sin 6 == sin ß cos cc — cos ß sin cc — — —— -f >

1    1    sr sr

cos 6 — cos ß cos a -f- sin ß sin a =

w» .    >

sr ‘ sr ’

wobei sich wieder, übereinstimmend mit Satz 1, b), das Verschwinden von (u, v\ als notwendige und hinreichende Bedingung des Parallelismus ergibt, jedoch ohne Gewähr, ob die Geraden zusammenfallen oder nicht. Die Bedingung für 0 = jt / 2 lautet, unabhängig von der Orientierung, -f- u₂v₂ = 0, und es läßt Formel (18), da sin jr/2 = 1 ist, übereinstimmend mit Satz 1., a) erkennen, daß die beiden Geraden, wie geometrisch selbstverständlich, einen Schnittpunkt im Endlichen haben.

Satz 7. Zwei Geraden (u\x) = 0, (v ] x) = 0 stehen aufeinander senkrecht stets und nur dann, wenn u₁vl -f- u₂v₂ — 0 ist. Alle Lote auf (m|æ) = 0 sind also in der Form

(19)

(v I x) = u₂x₁ — uyx₂ +    = 0

darstellbar, und es ist

(20)

hiernach ist:

(18)

sin 0 —

(u, v)s

rs

cos 0

U1 V1 + U2 V‘i

rs ’

- 0i) — ux (xs - Vu) = 0 das Lot aus y auf (w|#) = 0,

denn für das (v \x) in (19) ist u₁i\-\-u₂v₂ in der Tat gleich Null, and die Gleichung (20) ergibt sich aus (19) durch Subtraktion von (,v I y) = 0.

Um für den Satz 7. einen vom Orientierungsverfahren unabhängigen Beweis zu erhalten, kann man u. a. davon ausgehen, daß nach § 60, (17) zu dem Punkte y der Punkt

(21)

2 (u\y)

⁰i⁼y<~ûïT^ft

(i = 1,2)

symmetrisch liegt bezüglich (u\x) = 0 als Symmetrieachse. Wir werden nun eine neue viel gebrauchte Gleichungsform für die Verbindungsgerade zweier Punkte y, z erhalten, indem wir zuerst allgemein ansetzen

w₁x₁ -f- w₂x₂ -j- w₃ = 0,

dann aber zum Ausdruck bringen, daß die Punkte y, z auf der Geraden liegen sollen:

Daher:

««hyi + w₂y₂ + w₃ = 0,

«Mi + w₂z₂ w₃ = 0.

wi(xi — 0i) + «0₂(% - 0S) =    - 0i) + «0*(** — 0a) = ⁰

und durch Elimination von wl} iv₂:

Xi — Vi ₌ h — Vx. æï Vi zi Vi

Das ist die Gerade durch y, z\ daraus vermöge (21):

ro

CO

s I s

t« I»-

'S

o_

es

cs

>-+5

übereinstimmend mit (20). — Auch durch Überführung von (u |#)=0 in die Form x₂ = xx tg cp -f- l gelangt man leicht zum Lote aus y auf diese Gerade.

Hiermit ist das wesentliche Rüstzeug der analytischen Geometrie der Ebene bereit gestellt; was nun folgt, sind Anwendungen. Es liegt in der Natur der Sache, daß die Anwendungen zuerst weniger zur Gewinnung geometrischer Ergebnisse als zur Entwicklung der analytischen Methode dienen werden. Erst bei der zusammenhängenden, vollständigen Untersuchung einer hinreichend allgemeinen Frage entfaltet die analytische Geometrie ihre volle Kraft.

§ 62. Geometrie des Dreiecks.

®-i >    An

laufen der Seiten in ihrem Sinne das Dreieck positiv umläuft. Dann haben alle inneren Punkte des Dreiecks von den Seiten positiven Abstand. Die orientierten Abstände eines Punktes x von den Seiten

1. Bezeichnungen. Drei im Endlichen und nicht auf einer Geraden gelegene Punkte a, a", d" bestimmen ein Dreieck. Die Seiten seien alf a₂, a₃, die Winkel in herkömmlicher Weise positiv gemessen Wir orientieren die Seiten derart, daß man beim Durch-

at> a2> a3 bezeichnen wir durch die Frakturbuchstaben £₂, £₃. Dem entsprechend seien ai, ai, a₃ die orientierten Seitenabstände des Punktes d, also ai die Höhe durch a und ai = a₃ = 0. Nach § 60 (7,a) ist

(1)

£i =

X xa" a'"

xa'"

«i

a2

sL, ₌    «t«".

2. Satz des Ceva. Sind drei Punkte z, z", z" je auf ax, a₂, a₃ so gelegen, daß

(2)

a z" a” z a" z"

z" a" d'z"

rr f

z a

= + 1,

so treffen sich die drei Ecktransversalen za', z'a", z"d" in einem Punkte z. Umgekehrt treffen die drei Ecktransversalen za',

eines Punktes z die Gegenseiten in drei Punkten z, z", z", derart, daß die Teilverhältnisse der Bedingung (2) genügen.

ff    fft

za. za

Diese Verhältnisse sind nach § 58,5 zu bilden. Zum Beweise ersetzen wir die Gleichung (2) durch das System

dz" : z"d' = kx : Jc₂,

(3)

d' z : z d" = k₂ : 7>₃,

. d"z" : z'd = k₃ : kx,

\äl\nacl1

dessen erste und zweite Gleichung nach willkürlicher Annahme von kx die Zahlen k₂, lc₃ eindeutig bestimmen, während die dritte Gleichung infolge von (2) von selbst erfüllt ist. Nun sind die orientierten Abstände g₂" des Punktes z” von den Seiten ax, a₂ ihren Absolutwerten l"

(4)

1\ = z"'d" ■ sin cc₂

F Tr

= a z • sin ccx,

und das Vorzeichen von : Î" ist infolge der Festsetzungen 1. positiv oder negativ, je nachdem z" auf oder außerhalb der Strecke a'd' liegt-, dasselbe gilt aber nach § 58,5 auch von dem Teilverhältnis z" a" : dz". Daher folgt aus (4) mit Rücksicht auf (3) einfach

kt sin d:2 kx ‘ sin a, ?

(5)

b'"

à* d z”

a" sin ofj sin

und da für jeden Punkt x der Ecktransversale a!" z" die Gleichung £i : h = à'i": à'*" Silt> so ist wegen (5):

(6)

JA sin ctx = £₂It, sin a₂.

Unter Voraussetzung von (3) genügen daher die Ecktransversalen a' x', d'x", a'"x" den Gleichungen

(?)

l₂k₂ sin a₂ — %₃Jc₃ sin a₃ — 0,    j₃7,"₃ sin a₃ — jA sin ax = 0,

£A sin ax — jA sin cc₂ = 0.

Es ist aber für alle Punkte x der Ebene:

(8)

(ïA sin a2 — hh sin «3) + GA sin as — ïA sin <*l)

+ GA sin ax — hh sin ««) = 0.

Das besagt nach § 61, Satz 6, daß die drei Geraden (7) durch einen Punkt z gehen, wie der Satz des Ce va es behauptet, vorausgesetzt, daß die Geraden (8) voneinander verschieden sind; fallen aber zwei Eck transversalen zusammen, so werden sie mit einer Seite des Dreiecks identisch und die dritte Ecktransversale geht durch die der Seite gegenüberliegende Ecke, trifft also diese Seite ebenfalls in einem bestimmten Punkte z.

Weiß man umgekehrt, daß die Ecktransversalen dz, a"z", d" z" durch einen Punkt z gehen, so ist ^ : g₂ = \ ” also unter Benutzung der Gleichung (5):

g, z” a" sin

sin a,

32

Solcher Formeln erhält man noch zwei für §₂:§₃, h: ln und ihr Produkt ergibt die Gleichung (2), w. z. b. w.

3. Satz des Menelaos. Zu den Punkten z, z", z" fügen wir nun noch die Punkte y', y", y", welche die ersten Punkte je von den Eckpunkten des Dreiecks harmonisch treunen; nach § 58, 5 ist daher:

d y”

(9)

d'y

K    d” y"

k₃

also

V"a"

y d"

yd

(10)

—y?—r

a y

Ff ff

y

y'd

und die Ecktransversalen der Punkte y, y", y" haben analog zu (7), die Gleichungen

(11)    £₂ä-₂ sin «₂ + £₃ft₃ sin a₃ = 0,    J₃£₃ sin a₃ + r,kx sin aŁ = 0,

die aus

(12)

fff ff

sin ccx + £₂ä:₂ sin a₂ = 0

(u\x) = %xkx sin ccx -f- £₂7i₂ sin cc₂ + £₃ä;₃ sin a₃ = 0 je durch Streichen eines Gliedes hervorgehen. Da nun z. B.

(u I x) — j₃7% sin cc₃ — (&&J sin ax -f hh sin «2) = 0,

so gehen die Geraden (u | x) = 0, £₃ = 0 und y" d" durch einen Punkt (§61, Satz 6). Das ist aber, da £₃ = 0 die Gerade a₃ darstellt,, der Schnittpunkt von <x₃ mit der Ecktransversale y" d", also der Punkt y" selber, und dieser liegt zudem noch auf (u | x) = 0. Mithin liegen y, y", y"' auf (u j x) — 0. Damit ist in seiner ersten Hälfte bewiesen der

Satz des Menelaos. Wenn auf den Seiten eines Dreiecks da'd" drei Punkte y, y", y" so liegen, daß

d y"

y"d' yd" y'd

so gehören die Punkte einer Geraden (u ; x) = 0 an. Umgekehrt trifft jede Gerade die Seiten des Dreiecks in drei Punkten, so daß (14) erfüllt ist.

Von diesen Schnittpunkten sind nämlich mindestens zwei, etwa y, y" auf a1} a₂, voneinander verschieden. Diese teilen die Seiten

(13)

(14)

d'y

d" y"

in gewissen Verhältnissen, die sich immer auf die Form der zweiten und dritten Gleichung (9) bringen lassen. Nimmt man nun noch einen Hilfspunkt y" auf a₃ so an, daß auch die erste Gleichung (9) erfüllt ist, was nach § 58, 5. nur auf eine Weise möglich ist, so liegen die drei Punkte y, y", y"' nach der ersten Hälfte des Satzes, da (9) die Gleichung (14) nach sich zieht, auf einer Geraden. Diese ist aber bereits durch y', y" eindeutig bestimmt, fällt also mit der gegebenen zusammen.

4. Dreieckspolare. Auch das Produkt des zweiten und dritten Teilverhältnisses (3) mit dem ersten Teilverhältnis (9) ist gleich (— 1); daher liegen nach dem Satze des Menelaos z\ z", y"' in einer Geraden. Es folgt:

Die Eck trans versai en eines Punktes z treffen die

Gegenseiten in drei Punkten z, z", z'", deren Verbindungs

geraden z”z"\ z"z, z z" die Gegenseiten in drei Punkten y, y", y" einer Geraden treffen. Die Gerade heißt die Dreieckspolare von

Um von der Geraden zum Punkte z, ihrem Dreieckspol, zurückzugelangen, hat man z, z", z" nach dem zu Beginn von 3. Gesagten als die Punkte zu konstruieren, welche y, y", y"' von den Ecken harmonisch trennen.

5.    Anwendungen beider Sätze. Berechnet man die Verhältnisse, in denen die Seiten durch die Winkelhalbierenden, Höhen, Schwerlinien usw. geteilt werden, so bestätigt sich, daß diese Transversalen je einen Schnittpunkt haben. Ferner beweist man jetzt die Sätze über die Ähnlichkeitspunkte von drei Kreisen, deren Mittelpunkte ein Dreieck bilden. Weitere Anwendungen findet man in Band 1II₂, §§ 29 und 30.

6.    Satz von Desargues. Es seien (u'x) = 0,    — 0, (w'x) = 0

drei verschiedene Geraden, die sich in einem im Endlichen oder unendlich fern gelegenen Punkte s schneiden. Dann gibt es nach § 61, Satz 6 drei von Null verschiedene Konstanten a, ß, y derart, daß a(u : x) + ß(v\x) + y(w x) = 0 ist. Nimmt man die Faktoren cc, ß, y in die Bezeichnungen (u | x), (v \ x), (w j x) auf, so lautet diese Identität einfach:

(15)

(u \ x) + (y I x) + (w x) = 0.

Nun nehmen wir ein Dreieck an, dessen Ecken je auf diesen Geraden liegen. Die Seiten dieses Dreiecks mögen die Gleichungen (a\x) = 0, (b\x) = 0, (c(a;) = 0 haben. Da sich (&jæ) = 0, (c x) = Q auf (m|#) = 0

schneiden sollen, so gibt es nach § 61, Satz 6 zwei von Null verschiedene Konstanten m₁, nx sodaß

(16)

(u x) = (b I x) mx — (c \ x) nx

ist: ebenso hat man

(16')

(v\x) =(c \ x) m₂ — {a \ x) w₂, (w\x) = (a\ x) ms — (b | x) nz.

Da hiernach vermöge (15)

(a I x)(m₃ — n₂) -f (b | x)(mx — n₃) + (c | x)(m₂ — ny) = 0

ist, die Geraden (a \ x) = 0, (b | x) = 0, (c \ x) = 0 aber nicht durch einen Punkt gehen, so müssen, um die Anwendbarkeit von § 6.1, Satz 6 auszuschließen, die Paktoren von (a\x), (b \x), (c \ x) verschwinden. Läßt man jetzt diese Faktoren m₃ = w₂, m₁= n₃,    = in die Be

zeichnungen (o \x), (b\x), {c\x) eingehen, so lauten die Identitäten

(16) , (16') kürzer

(17)    (u\x) = (b\x) — (c x), (v\x) = (c\x) — (a\x), {w\x) = (a\x) — (b\x).

ZU

Hiernach darf man die Gleichungen (a |æ) = 0, (b'\x) = 0, (c\x) = 0 der Seiten eines zweiten Dreiecks, dessen Ecken je auf (u | x) = 0, (v I x) = 0, (w I x) = 0 liegen, so normiert annehmen, daß entsprechend (17) auch

(18)    (u\x) = (b'\x) — (c\x), (v\x) = (c\x) — (d\x), (w\x) = (a\x) — (6'jx) ist. Vermöge (17), (18) ist dann

(19)

(a|ic) — (a'\x) = (jb\x) — (b'\x) = (c\x) — (c\x) = (t\x),

d. h. auf der Geraden (ź|;r) = 0 schneiden sich («|a:) = 0 und (a'\x) = 0; (b\x) = 0 und (&'\x) = 0; (c[ir) = 0 und (c'\x) = 0 (nach § 61, Satz 6). Das ist aber der

Satz von Desargues: Wenn die Verbindungsgeraden homologer Ecken zweier aufeinander bezogener Dreiecke durch einen Punkt gehen, so schneiden die homologen Seiten einander paarweise in drei Punkten einer Geraden, und umgekehrt.

Um die Umkehrung zu beweisen, hat man nur die Gleichungen der drei einander paarweise in Punkten einer Geraden (t | x) = 0 schneidenden Seitenpaare so zu normieren, daß (19) erfüllt ist. Definiert man dann (u | x), (v \ x), (w | x) durch (17), so gilt wegen (19) auch (18), und es ist (15) erfüllt.

30

Weber u. Weliste in: Enzyklopädie. II. 3. Aufl.

§ 63. Der Kreis.

1. Gleichung des Kreises. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß der Punkt y auf dem Kreise JT mit dem Mittelpunkt m und dem Radius r liegt, ist nach

§ 58, (1)

(jh - »<,)* + (»/. - may — r².

(1)

Diese Gleichung wird daher die Gleichung des Kreises genannt, und wenn

(2)

Kyy = (Vl - mi)² + (ft - ^₂)² - r²

bedeutet, so heißt

(3)

A*“⁰

die Normalform der Kreisgleichung.

2.    Potenz. Wie nun die Normalform Dx — 0 der Gleichung

einer Geraden dadurch ausgezeichnet ist, daß Dx auch für einen ortsfremden, d. h. der Geraden nicht angehörigen, Punkt eine anschauliche Bedeutung hat, nämlich die des orientierten Abstandes des Punktes x von der Geraden, so stellt auch Kyy für einen ortsfremden Punkt eine geometrische Größe dar. Es ist nämlich ym² = (yt —    + (y₂ — w₂)²

das Quadrat des Abstandes des Punktes y vom Mittelpunkte m, daher

Kyy = y™? - r 2

nach § 9, 1 die Potenz des Kreises in dem Punkte y.

3.    Der Sehnen- und Tangentensatz. Um diese Bedeutung des Ausdruckes Kyy unabhängig von § 9, 1 zu erfassen, legen wir durch den festen Punkt y den Speer s von der Neigung cp und suchen auf dem Speere, im Abstande t von y, den Punkt x so zu bestimmen, daß er auf dem Kreise liegt (Fig. 197). Auf dem Speere wird x durch

xi = Vi + ^ cos >    #2 ⁼ ft + ^ sin <P

bestimmt, wenn t im Sinne des Speeres positiv, im entgegengesetzten negativ genommen wird. Nun ist vermöge (5) und (2)

Kxx = & +    {(ft — mt) cos cp + (ft — m₂) sin cp} -f- Kyy.

Zur Bestimmung von t haben wir daher die quadratische Gleichung

t² 4*    Kyy = 0 ,

(4)

(5)

(6)

(^)

wo

(8)

ft '■= (ft — mi) cos <P + (ft - ma) sin 9» •

Fügt man hierzu noch

so ist

(10)

vï + vl = (Vi - %)² + (y₉ —    = vm\

oder mit Hilfe von (4):

(ii)

vl + nl — K„ + r²-

Die Gleichung (7) hat daher die beiden Lösungen

t'= — Vi +Vr²~ Vl, t" — — Vi —Vr² - vl bei beliebig zu ziehender Wurzel. Diese ist

a)    reell und von Null verschieden, wenn

b)    gleich Null, wenn r = + rja

c)    imaginär, wenn r < |    1.

Nun bedeutet aber rj₂ nach § 60, (7 b) den orientierten Abstand

des Punktes y von dem durch m mit dem Neigungswinkel cp zu legenden Speere, der also zu s parallel ist, und so sind denn die Bedingungen a), b), c) geometrisch vollkommen in Ordnung. In den Fällen a) und b) erhält man durch Einsetzen von t' oder t" in (5) zwei Punkte x', x" als Schnittpunkte des Speeres s mit dem Kreise, die im Falle b) sich zu einem Berührungspunkte vereinigen.

In den Fällen a), b) sowohl als auch unerwarteter Weise im F alle c), wo der Speer s den Kreis gar nicht trifft, ist

t't"= Ky y •

(12)

\x

<)P \

r>\%\

y.

X"

Fig. 197.

hierin sind t'} t" die mit Vorzeichen gemessenen Strecken yx'} yx", und zwar ist das Vorzeichen positiv oder negativ, je nachdem die Vektoren yx, yx" gleichen oder entgegengesetzten Sinn haben. Das Produkt t't" nun erweist sich vermöge (13) als unabhängig von cp, hat also für alle Strahlen durch y denselben Wert, und dieser ist die in § 9 definierte Potenz des Kreises in y:

Der Ausdruck KtJy stellt die Potenz des Kreises K im Punkte y dar.

Die Punkte des Kreises selbst haben die Potenz Null, und so erweist sich Kyy — 0 auch geometrisch als Gleichung des Kreises.

Damit ist der Sehnen- und Tangentensatz § 24, 3 in einer später für die Kegelschnitte vorbildlichen Weise rein analytisch bewiesen.

4. Komplexe Punkte. Überraschend war uns in der vorangehenden Untersuchung nur der Fall c), der für t', t" zwei konjugiert komplexe

(13)

30*

Werte liefert. Setzt man diese in (5) ein, so erhält man zwei konjugiert komplexe Wertepaare xx und xx', x₂ und x₂", derart, daß K Kx„x,, = 0 ist. Rein formell verhalten sich also die komplexen Werte xx, x₂ wie die Koordinaten eines Punktes x', der auf dem Kreise liegt, ebenso xx", x₂ . Die analytische Geometrie trägt kein Bedenken, hier von zwei komplexen Punkten x, x" zu sprechen, und zwar von zwei konjugiert komplexen, weil dies von xx und xxi x₂ und x₂ gilt. Ein „Punkt“ ist dann eben nicht mehr ein geometrisch anschauliches Ding, sondern rein analytisch ein Koordinatenpaar xx, x₂. Mit diesen rein analytisch definierten „Punkten“ baut sich dann die Geometrie rein abstrakt nach dem in § 12 gleich für den Raum entwickelten Verfahren auf. Der Einbau der komplexen Punkte und Geraden ist nicht schwer, erfordert aber doch ziemlich weit ausholende Vorbereitungen, die erst verständlich werden, wenn man die Formeln der Geometrie der reellen Punkte beherrscht. Auf diese werden wir uns im wesentlichen beschränken.

= 0,

x’ x’

Zu der Sekante des Kreises zurückkehrend dürfen wir jetzt sagen, daß jede Gerade in der Ebene des Kreises den Kreis entweder berührt oder schneidet, und zwar entweder in zwei reellen oder in zwei konjugiert komplexen Punkten.

5. Potenzachse zweier Kreise. Auf komplexe Punkte führt auch die Frage nach den Schnittpunkten zweier Kreise Axx = 0, Bxx = 0,

WO

(14)

Ax = Oi - ai7 + 0* - «*)* - r\,

Bxx=Oi - &iy + O2 - y² - i •

Da in einem Schnittpunkte x mit Axx und Bxx auch

(15)

(u\x)~Axx-Bxx

= — 2{ax — bl)x₁ — 2 (a₂ — b₂)x₂ + (af + a\ — rf) — (6J + b\ — r|) verschwinden muß, so sind folgende Fälle zu unterscheiden:

Erster Fall: In (u\x) fallen xlf x₂ heraus, d. h. es ist a₁ = b₁, a₂=b₂ oder geometrisch: die Kreise sind konzentrisch. Dann ist einfach (u I x) = r\ —r\. Dieser Ausdruck kann nur verschwinden, wenn beide Radien gleich sind, d. h. konzentrische Kreise mit verschiedenen Radien haben (im Endlichen) keinen Schnittpunkt.

Zweiter Fall: In (u x) fehlen xx, x₂ nicht beide. Dann stellt (u j x) — 0 eine Gerade dar, deren Gleichung die Form (cc ; x) — (ß | x) = 0 hat, wo

(oc \x) = — 2a₁x₁ — 2a₂x₂ + a® -f al~ r[, (ß\x) = — 2bxxx — 2b₂x₂ 4- b{ + b\ — r\.

Auf dieser Geraden sind also die gemeinschaftlichen Punkte beider Kreise ebenfalls zu suchen. Es können also derer nicht mehr als zwei sein; diese sind reell oder konjugiert komplex oder fallen in einen Berührungspunkt zusammen. Die Gleichung der Geraden unterscheidet sich nach Division durch — 2 von der Gleichung des Mittellotes von ab in § 60, (13) nur im konstanten Glied, die Gerade ist also zu jenem Lote parallel und steht folglich ebenfalls auf ab senkrecht. Das alles ist geometrisch ohne weiteres klar, unerwartet kommt uns das Dasein der Geraden (u | x) = 0 nur im Falle, daß die Kreise bei verschiedenen Mittelpunkten einander in Wahrheit gar nicht schneiden. Wir sind jetzt also genötigt, ihnen auch in diesem Falle zwei Schnittpunkte zuzuschreiben, die aber konjugiert komplex ausfallen.

Nun stellt sich die Gerade (wj#) = 0 offenbar auch ein, wenn nach den Punkten x gefragt wird, in denen beide Kreise gleiche Potenz Axx = Bxx haben, und so ist bewiesen:

Die Potenzachse

(17)

Äxx~ Bxx = («I®) - 00) = ⁰

zweier nicht konzentrischer Kreise Axx — 0, Bxx = 0 ist stets als die Gerade aufzufassen, welche die Kreise nur in ihren gemeinschaftlichen Schnittpunkten (im Endlichen) trifft, mögen die Punkte reell oder komplex sein.

6. Die Schnittpunkte zweier Kreise mit ihrer Potenzachse. Wir wollen jetzt die Richtigkeit des vorangehenden Satzes bestätigen, indem wir die Schnittpunkte der Potenzachse mit beiden Kreisen wirklich einmal berechnen. Zu diesem Zwecke verlegen wir das Koordinatensystem so, daß sein Anfangspunkt mit a zusammenfällt und b auf die positive Abszissenachse zu liegen kommt; bezeichnet c = ab den Abstand beider Mittelpunkte, so lauten die Gleichungen der Kreise einfach A'xx — 0, Bxx = 0, wo

(18)

r .r

= x\ + x\ — r\,

Bxx=Oi - °y + 4 - ri, und es ist

(u\x) = Ä

Bxx = 2cxi -c²-rl + r²₂.

Die Potenzachse (u\x) — 0 ist daher das Lot auf der Abszissenachse im Punkte

119)

xl =

c² + r\ — r\

Dieses trifft den ersten Kreis in zwei Punkten mit derselben Abszisse xx — (c² -\- r\ — r|) : 2c, deren Ordinaten sich aus

)* + x\ — r\ = 0

(20)

c² + rf — r\

berechnen, den zweiten Kreis in zwei Punkten wiederum mit dieser Abszisse und den aus

(21)

c² -f r\ — r\

2c

C)² + *2 — rl = ⁰

zu berechnenden Ordinaten. Aus (20) findet man

C,±^A) (n

c² -f — r\

)’

(c -f rt)² — r\ r?, — (c — r,)²

2c

2c

(c + n + *») (fi + n — *») (r, + c — rt) (r, — c + rt)

4 c²

aus

(21) ebenso

*1 - i - (

-c^ + rl-rl

2c

2c

)(r*

— c²-\-rl — rf

2c

)•

r\ — {c — rt)* (c -f- r₈)² — r\

2c

2c

(Ti + c — *«) fo — c + ra) (c + r₈ + rt) (c + r, — rt)

4c²

Das sind in der Tat beidemal dieselben Ordinaten. Setzt

a -f b -f- c

man rx = a, r₂ = b, und s —

, so ist:

X\C = ± Vs (s — a) {s - b) (s - c) .

Die Richtigkeit dieser Formel liegt im Falle reeller Schnittpunkte x, x" auf der Hand: die Ausdrücke rechts und links in (22) stellen bis auf das Vorzeichen den Inhalt des Dreiecks abx oder abx" dar.

(22)

7. Potenzzentrum dreier Kreise. Fügt man zu A (14) und (a\x), (ß\x) in (16) noch

Cxx = Oi - cj² + (x₉ — e₂)² — r\, (y\x) == - 2cxxx - 2 %x₂ + c² + cf - r\,

so bestimmen die drei Kreise Axx = 0, JBXX = 0, Cxx = 0, wenn kein Paar konzentrischer dabei ist, die Potenzachsen (cc\x) — (ß\x) = 0, (ß\x) — (y\x) — 0, (y\x) — (cc\x) = 0. Die Summe der linken Seiten verschwindet für alle x1} #₂; die drei Geraden gehen daher (§ 61,2) durch einen Punkt, vorausgesetzt, daß sie voneinander verschieden sind; da diese Voraussetzung das Vorkommen konzentrischer Kreise ausschließt, so können wir sagen:

Haben drei Kreise drei verschiedene Potenzachsen, so sind diese entweder parallel, oder sie gehen durch einen Punkt (im Endlichen), das Potenzzentrum der drei Kreise (vgl. § 9).

§ 64. Definierende Eigenschaften der Kegelschnitte.

1. Anlage der Kegelschnitte. Der gerade Kreiskegel ent' steht durch Rotation des einen beiderseits unbegrenzt gedachten Schenkels eines unveränderlichen Winkels um den anderen Schenkel. Auf dem Kegel liegen daher unendlich viele Geraden; sie heißen seine Erzeugenden. Die Kegelfläche besteht aus zwei Halbkegeln, die im Scheitel S des Winkels, der Spitze des Kegels, aneinander stoßen.

Gegenstand unserer analytischen Untersuchung werden die Kurven sein, welche von einer beliebigen, zunächst aber nicht durch die Spitze gehenden, Ebene aus dem Kegel geschnitten werden; man nennt sie schlechthin Kegelschnitte, und zwar Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln, je nachdem die zur Kegelschnittebene parallele Ebene durch die Spitze S außerhalb des Kegels verläuft, ihn längs einer Erzeugenden berührt oder in zwei Geraden schneidet. Ihre Identität mit den in § 25 behandelten Kurven wird sich alsbald feststellen lassen. Jetzt aber wird es darauf ankommen, eine geometrische Eigenschaft der Kegelschnitte zu finden, aus der ihre Gleichung leicht zu gewinnen ist.

2. Hauptachse und Scheitel. Jeder Kegelschnitt x liegt symmetrisch zu der durch die Rotationsachse gehenden Ebene d, welche auf der Ebene von x senkrecht steht, und folglich auch symmetrisch zur Schnittgeraden beider Ebenen, der Hauptachse des Kegelschnittes. Die beiden Erzeugenden n, n des Kegels, die in der Ebene d liegen, schneiden die Hauptachse in zwei Punkten A, A', den Hauptscheiteln der Kurve x. Einer von ihnen kann unendlich fern liegen — wir denken die Bezeichnungen so getroffen, daß es A' auf der Erzeugenden n ist —, die Kurve ist dann eine Parabel und n die Erzeugende, längs welcher der Kegel von der Parallelebene zur Kegelschnittebene durch S berührt wird. Die Ellipse verläuft ganz auf einem Halbkegel, und auf diesem liegen auch ihre Hauptscheitel, während die Hyperbel auf beiden Halbkegeln liegt.

Fällt man aus einem Kurvenpunkt P auf die Hauptachse das Lot PH und verlängert es über H hinaus um sich selbst, so erhält

man wegen der Symmetrie der Kurve zur Hauptachse einen zweiten Kurvenpunkt Q, und mehr Kurvenpunkte gibt es auf der Geraden PQ nicht; denn sie kann den Kegel nur in den Punkten treffen, die sie in der Ebene SPQ mit den Geraden SP, SQ gemein hat. Es gilt nun

3. Der Sekantensatz des Apollonius.

Satz 1. Bei der Ellipse und bei der Hyperbel hat der (mit positiven Streckenlängen gebildete) Quotient

(1)

(2)

HP² : HA • HA', bei der Parabel der Quotient HP² : HA

für alle Lagen des Punktes P auf der Kurve denselben Wert.

Zum Beweise (s. Fig. 198, 199, 200) legt man durch die auf d senkrechte Halbsebne PH die Normalebene zur Drehachse des Kegels;

Qi

.4.

/:n

s,

8.

n,

H,

P/jr-

Kl

(A

4-

/ii

«i

Kg. 199.

// ; n\ >

y Hy_____V

// y' J?"

Fig. 198.

Fig. 200.

die Normalebene trifft d in einer durch H gehenden Geraden, die n und n in zwei im Endlichen gelegenen Punkten N und N' schneidet, und diese liegen, samt P und Q, auf dem Schnittkreise K des Kegels mit der Normalebene. An diesem ist nach dem Sehnensatze

HP² = HN - HN'.

Ein zweiter Normalschnitt zur Drehachse gibt ebenso hxp\ = hxn, HxN\.

(3)

Daher ist

HP“ _ HN HN _ HA HA' H~P\ “ HiN₁ ' Bi iVi — Ą J. ' J,/’

wenn bei der Parabel wegen der unendlich fernen Lage des Scheitels Ä der Wert von HN' : HXN[ = HÄ : HXÄ = 1 gesetzt wird, übereinstimmend mit Figur 199. Mithin ist bei der Ellipse und bei der Hyperbel

HP² : HA • AL4' = HXP\ :    • Ę4',

bei der Parabel

HP² : HA = HXP\ :

von der Lage des Punktes P auf jc ganz unabhängig, wie der Satz des Apollonius es behauptet.

4, Der Satz über die Brennpunkte verlangt außer dem Kegel mit der Scbnittkurve jc noch die Konstruktion der D andelin sehen¹) Kugeln, welche den Kegel längs eines Kreises und die Ebene von je in einem Punkt berühren (Fig. 201,

202, 203). Bei der Ellipse und bei der Hyperbel gibt es zwei solcher Kugeln, ihre Berührungspunkte L _______

F, F' werden die Brennpunkte    i

der betreffenden Kurve genannt, die Berührungskreise seien K und K'-bei der Parabel ist nur eine Be-

:àJ

8,

Li.

hl

rührungskugel und ein Brennpunkt möglich. Verbindet man einen Kurvenpunkt P der Ellipse oder Hyperbel einerseits mit F und F, andererseits mit der Spitze S des Kegels, und sind J, J' die Schnittpunkte von SP mit K, K', so ist, da alle Tangenten aus einem Punkte P an eine Kugel, gemessen von P bis zum Berührungspunkt, gleich lang sind,

t.

-Y

:j

Fig. 201.

PF' = PJ',

PF = PJ,

daher bei der Ellipse: PF+PF' = JJ'; bei der Hyperbel PF' — PF = JJ', wenn P mit F zu demselben Halbkegel gehört, andernfalls ist PF—PF' = JJ'. Da JJ', der auf dem Kegelmantel gemessene Abstand der Kreise K, K', eine von P unabhängige Länge hat, so ist bewiesen:

Satz 2: Bei der Ellipse hat die Summe, bei der Hyperbel die absolute Differenz der Abstände eines Kurven-

punktes P von den beiden Brennpunkten für alle Kurvenpunkte denselben Wert.

Wenn die Schnittebene von x auf der Drehachse des Kegels senkrecht steht, und nur in diesem Falle, ist der Brennpunkt F mit F identisch, die Ellipse also ein Kreis, und der Satz 2 spricht die definierende Eigenschaft des Kreises aus.

5. Der Satz über das Abstandsverhältnis von Brennpunkt und Leitlinie. Wir brauchen jetzt nur eine der Dandelin-schen Kugeln, ziehen also auch die Parabel wieder in den Kreis un-

ff

lP_

sj

r/4

\y

"N

F'

Fig. 202.

Fig. 203.

serer Betrachtung, und wollen etwa annehmen, es sei bei den drei Kegelschnitten immer die Kugel mit dem Berührungskreis K nach dem Brennpunkt F. Die Schnittgerade l von K mit der Ebene der Kurve x wird die Leitlinie des Brennpunktes F genannt. Sie steht auf der Hauptachse senkrecht und liegt nur dann im Unendlichen, wenn die Ebene von x zu der von K parallel, also auch x ein Kreis ist (s. Figuren 201, 202, 203). Abgesehen von diesem ohnehin erledigten Falle trifft daher die Parallele durch S zu der Hauptachse von x die Ebene des Kreises K in einem Punkt Z, der im Endlichen liegt, und es ist x eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel, je nachdem Z außerhalb K, auf K oder in K liegt. Fällt man aus einem Punkte P der Kurve x auf l das Lot PII, so ist dieses, als Parallele zur Hauptachse, auch zu SZ parallel und bestimmt mit SZ eine den

Kegel in der Geraden SP schneidende Ebene. Da PF = PJ₇ so ist wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke PIIJ und SJZ das Verhältnis

v = PF: Pn^PJ: Pn' = SJ:SZ

für alle Lagen yon P auf x dasselbe, und zwar v < 1 bei der Ellipse, v = 1 bei der Parabel, v > 1 bei der Hyperbel, also:

Satz 3. Das Verhältnis v = PF:PlI der (positiv genommenen) Abstände PF, PTl von Brennpunkt und Leitlinie bat für alle Punkte P eines Kegelschnittes denselben Wert, und zwar ist v<l, v=l, v>l, jenacbdem die Kurve eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel ist.

Für die Konstante v findet man mittels des Sinussatzes leicht den Wert

COS Cp

cos o ⁷

hierin bedeutet <? den Winkel, durch dessen Rotation um einen Schenkel der Kegel erzeugt worden ist und cp den kleinsten, also nicht über jr/2 gehenden Neigungswinkel der Rotationsachse gegen die Ebene des Kegelschnittes.

§ 65. Die Normalformen der Kegelscknittsgleichungen.

1.    Ziel der Untersuchung. Die analytische Geometrie wird es uns ermöglichen, die Untersuchung eines Kegelschnittes ganz in seiner Ebene durchzuführen. Nimmt man in dieser ein rechtwinkliges Koordinatensystem an, so wird ein Punkt x mit den Koordinaten x17 x₂, um auf der Kurve zu liegen, eine Bedingung erfüllen müssen, und diese wird, wie bei der Geraden und bei dem Kreise, die Gestalt einer algebraischen Gleichung haben. Das ist dann die Gleichung des Kegelschnittes. Das Ziel wird sein, die Eigenschaften der Kurve aus dieser Gleichung bei beliebiger Lage des Koordinatensystems ablesen zu können. Vorerst liegt es aber näher, das Koordinatensystem in engere, ausgezeichnete Verbindung mit der Kurve zu bringen, damit die Gleichung in eine vereinfachte Form, eine Normalform, übergeht.

2.    Die Scheitelgleichung. Wir stellen nun den Satz 3 des § 64 an die Spitze und suchen danach einen Punkt P so zu bestimmen, daß seine positiv gemessenen Abstände PF und Pn von einem festen Punkt, dem Brennpunkte F, und

(4)

einer festen Geraden, der Leitlinie Udieses Brennpunktes, in einem festen Verhältnisse

(1)

v = PF : PIT

stehen. Mehr brauchen wir von den Kegelschnitten nicht zu wissen.

Die Kurve liegt auf Grund von (1) symmetrisch zu dem aus F auf l gefällten Lote FL, der Hauptachse. Diese machen wir zur Abszissenachse mit dem Durchlaufungssinne von L nach F (Fig. 204).

Der zwischen L und F liegende Xp Kurvenpunkt oder Hauptscheitel A, welcher FL im Verhältnis AF:AL = v teilt, sei der Anfangs-* punkt der Koordinaten. Bezeichnet man die Länge der Strecke LF

__^ mit p/v, indem der Wert v = 0

-'K vorläufig ausgeschlossen wird, so liegt der Punkt C, dessen Ordinate FC — p in F auf der Hauptachse senkrecht steht, auf der Kurve. Die Strecke p = FG heißt der Parameter des Kegelschnittes. Im Verein mit der — wenigstens bei der Ellipse so genannten — numerischen Exzentrizität v legt er die Kurve eindeutig fest.

Wir orientieren die Leitlinie l derart, daß F bei p =4= 0 auf die negative Seite des Speeres l zu liegen kommt. Der orientierte Abstand des Punktes P von l ist dann —(|x -f p/{\ + v)v), der absolute

Pn = ± (it +

(2)

pjv

Kg. 304.

(1 -j- v) vj ’

wo das Pluszeichen für die Punkte der positiven, das Minuszeichen für die Punkte der negativen Seite von l gilt. Ferner ist

(3)

r — PF

-V(«.

V+ii-

1 -J- V

Wenn man diese Werte von PiT und PF in (1) einsetzt, ergibt sich durch Quadrieren nach kurzer Rechnung

die Normalform der Scheitelgleiclmng: $śś = 0, wo

2*^+ (1-*■)§».

Unter der Voraussetzung p 4= 0 ist die Kurve eine Ellipse für v < 1, eine Parabel für v = 1, eine Hyperbel für v > 1. Für p — 0 erhält man die ausgearteten Schnitte des geraden Kreiskegels, mit denen wir uns erst später zu beschäftigen haben. Heißt nun S^ = 0 die Gleichung des durch p und v bestimmten Kegelschnittes, so besagt das zunächst, daß jeder Punkt P von der Eigenschaft PF:PII=v mit seinen Koordinaten die Gleichung S^ = 0 erfüllt; umgekehrt kommt aber auchjedem Punkte P, dessen Koordinaten der Gleichung = 0 genügen, die Eigenschaft des konstanten Ab stands Verhältnisses PF:PII=v zu; denn durch Einsetzen des aus S^ = 0 folgenden Wertes von in den Ausdruck (3) wird die Quadratwurzel ausführbar: r — + (v%x -f p/A + vj) und liefert nach gehöriger Bestimmung des Vorzeichens das v- fache des in (2) berechneten Abstandes PI1.

3. Symmetrieeigenschaften. Für £₂ = 0 berechnet sich aus = 0 die Lage des zweiten Hauptscheitels Ä in = 2_p/(l — v²)-er fällt also bei der Parabel ins Unendliche. Bei der Ellipse und der Hyperbel hat die positiv gemessene Strecke a = ~AA' die Länge

(5)

wo

£ = + 1 bei der Ellipse,

— 1 bei der Hyperbel.

Da die Scheitel A, A' die Strecke FL innen und außen in demselben Verhältnis v teilen, so trennen sie F und L harmonisch, d. h. Die beiden Hauptscheitel werden durch einen Brennpunkt und seine Leitlinie harmonisch getrennt.

Da mit |x, £₂ auch £x, —1₂ die Gleichung S^ = 0 erfüllen, so liegt die Kurve, wie wir vorhergesehen hatten, zur Hauptachse symmetrisch. Dies rührt also daher, daß £₂ in der Kurvengleichung nur als Quadrat vorkommt. Um weitere Symmetrien zum Vorschein zu bringen, versuchen wir durch eine Substitution £x = xx + m, |₂ = x2 bei passender Bestimmung von m zu erreichen, daß die neuen Variabein überhaupt nur im Quadrate Vorkommen. Es ist

% = x\ — 2 p{xx + m) + (3 — v*)(xx + m)²

= x\ + 2xx {(1 — v²)m—p] -f- (1 — v²)x\ -f- m{ (1 — v²)m — p) — mp.

Die Bedingung, der m zu genügen hat, lautet somit (1 — v²)m — p = 0f oder m=p/{ 1 — r²), ist also bei der Parabel nicht erfüllbar. Bei der Ellipse und der Hyperbel dagegen besagt dieser Wert von m nach (4), daß der neue Anfangspunkt xx=0, x₂ = 0 der Koordinaten nach der Mitte von AA', dem Mittelpunkte des Kegelschnittes, verlegt werden muß. Für beide Kurven ist jetzt:

WO

(6) SH^xl + (l-v*)x{-p*/(l-v*)t

und es zeigt sich: Die Ellipse und die Hyperbel sind nicht nur zur Hauptachse AA', sondern auch zu ihrem Mittellote, der Nebenachse symmetrisch; sie sind daher zum Mittelpunkte zentrisch symmetrisch. Die nächste Folge hiervon ist, daß beide Kurven je noch einen zweiten Brennpunkt

F' und eine zweite Leitlinie V haben, die ebenfalls die Hauptscheitel harmonisch trennen.

v -c /

+-<>

Die aus den Werten v < 1, v = 1, v > 1 sich ergebende Anordnung der Brennpunkte und Leitlinien ist aus Figur 205 ersichtlich; sie wird von nun an bis zum Schlüsse dieses Abschnittes beibehalten werden.

Pig. 205.

:F

-o=-

v >1

4. Mittelpunktsgleichung. In den neuen, auf die beiden Achsen der Ellipse oder der Hyperbel bezogenen Koordinaten lautet die Gleichung nach (6)

CO

x* + (1 - v²)x{-p²/( 1 - V²) = 0 oder mit Hilfe der Bezeichnungen (5):

nieren

x\

a²

£X*

-1=0.

p²/s( 1 —v²)

Die Größe _p²/£(l — v*) ^ stets positiv, wir dürfen daher defi

(8)

_P_

Ye( i — v*)

und erhalten

die Normalform der Mittelpunktsgleichung der Ellipse und der Hyperbel: Af/x. = 0, wo

(9)

x\

xï

-1.

Bei der Ableitung der Scheitelgleichung mußte p = 0 ausgeschlossen werden. Davon können wir uns jetzt freimachen. Der Ausdruck Sçç gestattet auf alle Fälle auch den Wert v = 0. Nach

(6) ist aber für diesen Wert S^ = x\-x\ — _p², also stellt S^ = 0 einen Kreis mit dem Radius p dar. Sein Mittelpunkt erweist sich zugleich als Brennpunkt, und die Leitlinie liegt im Unendlichen.

5. Die Konstanten der Kegelschnitte. Bei der Ellipse erweist sich b für xx = 0 als Länge der halben Sehne auf der Nebenachse; bei der Hyperbel bleibt b vorerst ungedeutet. Der positive Abstand c der Brennpunkte vom Mittelpunkt heißt die lineare Exzentrizität, wenigstens bei der Ellipse. In dem Koordinatensystem der Scheitelgleichung hatte F die Abszisse p/( 1-f-v), der Mittel-

punkt p/( 1 — v²). Daher ist c der Absolutwert von — p/(l -f v) = pv/(I — v²), also

(10)

pv

8(1 — **)

Zwischen den Konstanten der Scheitelgleichung und der Mittelpunktsgleichung besteht nach (6), (8), (10) der Zusammenhang:

(a =

8 (1 — V ®) ’

(U)

|/f(l — Vs) ’

s = + 1 bei der Ellipse,

pv

s = — 1 bei der Hyperbel.

§ 66. Analytischer Beweis der Sätze des § 64.

1. Der Satz des Apollonius. Zur allseitigen Durcharbeitung der Kegelschnittsgleichungen wollen wir die Sätze 1 und 2 des § 64 analytisch beweisen.

Aus $££ = 0 folgt, falls v =f= 1 ist:

II = 2pï₁- (1 - v’-)Ę - *(1 - «->)|I(2a - tS,),

also

(i)

II

fdr    if = 2i> für K -

Das ist aber nichts anderes als der Satz des Apollonius § 64. Dieser Satz kann hiernach geradezu als geometrisches Äquivalent der Scheitelgleichung betrachtet werden.

2. Die Namen der Kegelschnitte. Wird der Satz des Apollonius nach § 64 bewiesen, so liegt es auf der Hand, daß umgekehrt der Ansatz (1) sofort zu den Scheitelgleichungen führt. Das ist der Weg, den Apollonius selber eingeschlagen hat. Er besaß zwar nicht in unserer Begriffsbildung und Ausdrucksweise, aber der Sache nach die drei Scheitelgleichungen

II = 2p|t - f g Ę = 2p&

= 2pI* der Hyperbel,

und er ist es, der auf Grund dieser Gleichungen den Kegelschnitten die Namen gegeben hat:

Die erste Kurve (2) wird Ellipse genannt, weil sie es nach Aussage ihrer Gleichuug gegenüber dem vollen Rechteck 2p • |x an

(2)

der Ellipse, der Parabel,

etwas fehlen läßt; die dritte Kurve heißt Hyperbel, weil sie über dieses Ziel hinausschießt, die zweite Parabel, weil sie an das Vergleichsmaß 2p • gerade heranreicht. Die Begriffe, deren Apollonius sich bedient, erklären die drei Namen etymologisch noch vollständiger. Uns aber fällt auf, daß auch die Charakterisierung der Ellipse, Parabel und Hyperbel durch v<l, v = 1, v>l sehr schön den Namen der drei Kurven entspricht.

3. Der Satz über die konstante Summe oder Differenz der Brennpunktsabstände bei der Ellipse und der Hyperbel folgt aus der Grundeigenschaft PF — v • P 77, von der wir in § 65 ausgegangen sind. Infolge der Symmetrie zur Nebenachse ist nämlich auch PF' — v ■ Pli', wenn II, II' die Fußpunkte der Lote aus P auf die beiden Leitlinien l, V bedeuten. Da nun P bei der Ellipse zwischen, bei der Hyperbel außerhalb II, II' liegt, so ist

PF F PF' = v (PJT 4- PIT') = v • IUI' = 2a,

(3)

bei der Ellipse

bei der Hyperbel j PF— PF' \ = v\ PII — Pli' { = v • Till' = 2a,

wie der Satz 2 des § 64 es behauptet. Der Beweis läßt sich auch durch wirkliche Berechnung dieser Abstände r, r führen:

Die Quadratwurzeln

'-Vk-Ï

«< +

r)+H>

,/+ «

werden nämlich, wie schon in § 65, 2 hinsichtlich r bemerkt wurde, durch Einträgen des aus = 0 folgenden Wertes von Ę ausführbar. Bestimmt man die Vorzeichen so, daß r, r positiv ausfallen, so ergeben sich

die Brennpunktsabstände:

_ t , P_    /__& i P für alle Punkte der

r~vSi + ₁ + v> r ~    Ellipse,

+    r--(—V& +j-~)

r ri),    »ix+r!v)

r = — (v|L

Ul"⁰

für die Hyperbelpunkte mit für die Hyperbelpunkte mit 2a,

bei der Parabel.

Bei der Ellipse ist also in der Tat r + / = 2p / (1 — v²), bei der Hyperbel ausführlicher

r — r = 2p/(y² — 1), r — r — 2p j (y² — 1).

für die Punkte des Astes    0:

v »    » v r>    =    2a.

Die Formeln für r konnten wegen r = v • P11 auch einfach aus § 65 (2) entnommen werden.

4. Ableitung der Mittelpunktsgleichungen aus Satz 2, § 64. Will man, den Gedankengang des Artikels 3 umkehrend, die Mittelpunktsgleichungen der Ellipse und der Hyperbel aus dem Satz über die Summe oder Differenz der Brennpunktsabstände ableiten, so ist bei der in § 65 eingeführten, durch die Werte von v bedingten Anordnung der Brennpunkte beider Kurven, die wir der Einheitlichkeit wegen beibehalten wollen,

f = Y(c — exxy -j- x\, +

(5)

r —~/(c 4- sxx)² + x\,

wo E = -f- 1 die Ellipse, e = — 1 die Hyperbel kennzeichnet.

Diese Abstände sollen nun, damit der Punkt x auf der Ellipse bzw. auf der Hyperbel liegt, Bedingungen von der Form

(6)

pr -j- q r — 2 a

erfüllen; bei der Ellipse ist p = p' = 1, bei der Hyperbel p = — p = ± 1 zu nehmen. Aus (6) folgt:

r'² = (2a - pr)² = 4a²— 4apr -j- r²,

4 apr — 4a² = r² — r'² = 4 ecx₁ , «pr == a² + ecxx,

und hieraus ergibt sich durch abermaliges Quadrieren

(7)

x\

x\

vorausgesetzt, daß a² — c² nicht verschwindet. Da aber in einem Dreieck F PF' eine Seite FF' stets größer als die Summe und kleiner als die Differenz der beiden anderen Seiten r, r ist, so muß bei der Ellipse a > c, bei der Hyperbel a < c vorausgesetzt werden. Wir dürfen also u²— c²= sb² bei positivem b setzen, dann geht (8) in die gewünschte Gestalt der Mittelpunktsgleichung der Ellipse oder Hyperbel über.

Wie in den Scheitelkoordinaten, so werden auch in den Mittelpunktskoordinaten die Wurzeln r, r ausführbar, wenn man x\ durch seinen aus Mxx= 0 folgenden Wert ersetzt. Man erhält so

Die Brennpunktsabstände in Mittelpunktskoordinaten: bei der Ellipse: r = a + vxt, r' = a — vx1:

(8) bei der Hyperbel: r = — (a — vxt)} r = + (a + vxt) für xx -f- a, r — -f (a — vxx), r = — (a + vxx) für xt ^ — a.

5. Polarkoordinaten. Zur Anwendung dieser Formeln führen wir die Neigungswinkel ip' der Strecken r = FF, r = F' P ein, die wir mit dem von F bzw. F' nach P hinweisenden Sinne versehen denken. Durch Angabe von r und tp ist der Punkt P offenbar ein-

31

Weber u. Wellstein: Enzyklopädie. II. 3. Aufl.

deutig festgelegt; man nennt r und die Polarkoordinaten yon P; der Punkt F heißt der Pol, die Richtung der Abszissenachse die Anfangsrichtung der Polarkoordinaten. Mit diesen tritt ein zweites System von Polarkoordinaten ins Spiel, das seinen Pol in F' hat. In beiden Systemen soll nun die Bedingung angegeben werden, die r und ^ oder r und if>' erfüllen müssen, damit der Punkt P auf der Kurve liegt. Dazu verhelfen uns die Formeln (8) (oder auch (4)), wenn man sich an zwei einfachen Figuren klar macht, daß für die Ellipse und die Hyperbel

xx — r cos if> — ec — r cos ip' -)- ec

ist. Werden diese Ausdrücke in (8) eingesetzt, so ergibt sich mit Rücksicht auf a — vc = p/e(1 — v²) —pv² / e( 1 — v²) = sp:

(9)

(10)

bei der Ellipse: r = -bei der Hyperbel : r = -——    ,

J r    1—VCOSlp⁷

— p

f — -£.-

1 4“ V COS 'Ip ⁷

Aus (4) findet man ebenso

— v cos ip

/=

r'=

________________ für den um F ge-

l —vcosip' henden Ast,

für den um F' ge-l + vcos'i|)/ henden Ast.

(H)

bei der Parabel r =

V COS 1p

Die Formeln für r stellen, wie beabsichtigt, die drei Kurven in Polarkoordinaten dar.

Verzichtet man auf die Formeln für r, so kann die ganze Ableitung schon im Anschluß an § 65, (1), (2), (3) gegeben werden.

6. Ausblick. Damit sind die Sätze des § 64 analytisch bewiesen, wenn man einen unter ihnen als Definition der Kegelschnitte zu Grunde legt. Wir dürfen nun vor allem den Inhalt des § 25 hier herübernehmen, der an der Stelle, wo er steht, den Gedankenkreis der Apollonischen Berührungsaufgaben zu einem natürlichen Abschluß bringt, jetzt aber die Definitionen der Kegelschnitte verallgemeinert und so zur Anwendung geschmeidiger macht.

¹

Vgl. Band III 2, § 4, 6.

§ 67. Konstruktion der Kegelschnitte.

1. Konstruktionen auf Grund des konstanten Abstandsverhältnisses von Brennpunkt und Leitlinie. Aus den Sätzen, die wir bewiesen haben, ergeben sich wertvolle Verfahren zur Konstruktion der Kegelschnitte. Schon die Definition, auf die sich der § 65 aufbaut, läßt sich unmittelbar in einem Erzeugungsmechanismus verwirklichen, wenn ein Brennpunkt F, seine Leitlinie l und das Ab-

Standsverhältnis v gegeben sind. Man fällt aus F auf l das Lot FL und bestimmt auf diesem zunächst den Scheitelpunkt A vermöge A F : AL = v (Fig. 206). Kennt man aber F, I und einen beliebigen Kurvenpunkt C, der nicht notwendig ein Scheitel zu sein braucht, so findet man auf einer beliebigen Geraden G G durch C den zweiten Kurvenpunkt D, indem man um G mit dem Radius CF den Kreis schlägt, diesen mit G F in O zum Schnitt bringt und FD || OC zieht: , es ist dann DF : DA = CO : CT = CF : CT = v. Der Punkt C fällt mit D zusammen, wenn O sich ( mit F vereinigt, also F C auf F G senkrecht steht, d. h.:

Fig. 206.

Auf jeder Tangente be- £< grenzen der Berührungspunkt ( und der Schnittpunkt mit einer Leitlinie eine Strecke, die vom zugehörigen Brennpunkt aus unter einem rechten Winkel erscheint.

Um also die Tangente in C zu erhalten, verbindet man C mit dem Punkte C' der Leitlinie, dessen Verbindungslinie C'F mit F auf FC senkrecht steht. Die Tangente C'C teilt also den Winkel FC'Fin dem konstanten Sinusverhältnis sinFC'C: sin CC'r= v. Das ist ersichtlich für die Kegelschnittangenten das Gegenstück zum Satze vom konstanten Abstandsverhältnis der Kegelschnittpunkte. Der Satz macht zahlreiche Tangenteneigenschaften bequem zugänglich.

2. Konstruktionen der Ellipse und der Hyperbel mittels der konstanten Summe oder Differenz der Brennpunktsabstände. Die definierende Eigenschaft FF -f FF' = 2a der Ellipse wird durch die bekannte Fadenkonstruktion verwirklicht, die darin besteht, daß ein in den Brennpunkten befestigter unausdehnbarer Faden von der Länge 2 a mittels des bewegten Zeichenstiftes immer gespannt gehalten wird.

Um eine Ellipse aus F, F' und 2 a mit Zirkel und Lineal zu konstruieren (Fig. 207), wird man zur Erleichterung des wiederholten Abtragens der Strecke F'Q = 2 a zunächst um den Brennpunkt F' den Leitkreis X mit dem Radius 2 a legen, und auf diesem dem Hilfspunkte Q etwa 8 bis 12 regelmäßig verteilte Lagen an weisen. Verbindet man jedesmal Q mit F und F', so trifft das Mittellot von QF die Gerade QF' in einem Punkte P, so daß FF -f- FF' = FF -f- PQ = 2a ist. Da die Strecke MT, die den Mittelpunkt T von QF mit dem

31*

Mittelpunkte M des Kegelschnittes verbindet, gleich der Hälfte von QF'₇ also gleich a ist, so bewegt sich der Punkt T auf dem Kreise mit dem Radius a um M als Mittelpunkt, dem Haupt-scheitelkreise. Die Gerade PT erweist sich daher nach § 25,3. als Tangente der Kurve in P. Daß auf PT kein weiterer Kurvenpunkt P' liegen kann, ist leicht auch indirekt zu beweisen; denn für jeden von P verschiedenen Punkt P' auf PT ist P'F+ P'F' = P’F' + P'Q> F'Q, wo F'Q = 2a.

TL

/,

F’

Fig. 207.

Am Dreiecke F PF' betrachtet ist 2 a = PF -f PF' größer als 2c = FF’, bei der Ellipse also stets a > c, wie wir in §65 rein analytisch gefunden hatten. Führt man die Konstruktion mit a < c

T\\

Fig. 208.

aus (Fig. 208), so erhält man einen Ast der Hyperbel, denn nun trifft das Mittellot von QF nicht den Radius F'Q des Leitkreises selber, sondern seine Verlängerung in dem Punkte P, und es ist daher PF' — PF = PF'- PQ = F' Q = 2a. Wiederum liegt T auf dem Hauptscheitelkreise mit dem Radius a und dem Mittelpunkte M, und PT erweist sich als Tangente der Kurve in P. Auch dies ist leicht indirekt zu beweisen. Um die vollständige Hyperbel zu erhalten, muß man mit beiden Leitkreisen arbeiten oder die Symmetrie zur Neben-achse verwerten.

(0

Xx Xj,

a ,

in die Gleichung x² -j- x'₂² = or des Hauptscheitelkreises a über, durch die Substitution

00

3. Parabelkonstruktion. Hält man in Figur 207 die Punkte F, A und den im Abstand AA = A F davon linksliegenden Schnittpunkt A mit dem Leitkreise X fest, und läßt F' auf der Hauptachse nach rechts ins Unendliche rücken, so geht die Ellipse in die Parabel mit dem Scheitel A und dem Brennpunkte F über, während X zur Leitlinie l wird. Es entsteht so die Konstruktion Figur 209. Ihre Richtigkeit bestätigt sich hinterher auch unabhängig von diesem Grenz-übergange. Die Gerade TP berührt die Kurve nach § 25 in P. In der Tat könnte auf Q TP kein von P verschiedener Kurvenpunkt P' liegen, da P F = P' Q, also der Abstand des Punktes P' von l kleiner *— als P' Q wäre.

y/

t1

P\

p/z

///

Mg. 209.

4. Die Ellipse als affines Bild des Kreises. Die Mittelpunktsgleichung der Ellipse ;r²/a²-f x%/b² = 1 geht durch die Substitution

xl(i xv

in die Gleichung x[² + x'%² = b² des Nebenscheitelkreises ß. Diese Substitutionen ordnen jedem Punkte P der Ellipse je einen Punkt P', P" der Kreise a und ß zu und bewirken zwei in Band III₂, § 4,5 ff., ausführlich untersuchte Affinitäten, auf deren Zusammenspiel die vielgebrauchte

(3) Parameterdarstellung der Ellipse xx = avosO, x₂=b sin 0

beruht. Man beachte, daß die Tangenten der Ellipse und des Kreises a in den Punkten P und P' durch denselben Punkt der Hauptachse gehen, da diese bei der Affinität (1) dadurch ausgezeichnet ist, daß jeder ihrer Punkte in sich selbst übergeht; ebenso gehen die Tangenten der Ellipse in P und des Kreises ß in P" durch denselben Punkt der Nebenachse. Durch die Schnittpunkte mit den Achsen ist die Tangente der Ellipse in P aber festgelegt. — Die Ergebnisse von Band III₂, § 4 und § 5 können jetzt analytisch bewiesen und hier eingereiht werden.

5. Stechzirkelkonstruktion der Hyperbel. Bei der Hyperbel x{/a² — x\fb² = 1 würden die Substitutionen (1), (2) zu zwei Hyperbeln x² — x² = a² und x''² — x₂² = b² führen; bei der ersten wären beide Achsen gleich a, bei der zweiten gleich &; solche Hyperbeln werden gleichseitig genannt; sie sind nach der Tabelle § 65,(11) auch durch den Wert v² = 2 gekennzeichnet. Statt jedoch diese Hyperbeln wirklich zur Konstruktion heranzuziehen, ist es einfacher, daran zu denken, daß

(4)

x\ = a² -f #₂², xl — fr² + xi²

ist und die Strecken x'₂, x'x mit Hilfe der Asymptoten zu konstruieren; es sind das die beiden Geraden MC, MC' durch den Mittelpunkt M, die auf dem im Hauptscheitel A auf der Hauptachse errichteten Lot die Strecken AC — AG'=b abschneiden. Legt man nun durch den Hyperbelpunkt P mit den Koordinaten xx, x₂ die Parallelen zu der Hauptachse und zur Nebenachse, so treffen diese die Halbgerade MC in zwei Punkten P', P ", die Achsen in K und H, so daß

KP' : KM = a : b, also KP' = z₂ “ = x\ HP ' : HM = b : a, also HP" = xx h = x[

ist. Zur Konstruktion (Fig. 210) der Hyperbel aus a und b wird man danach zuerst die Asymptoten MC, MC' festlegen. Dann zieht man

p'

xi

Fig. 210.

Parallelen zur Hauptachse, etwa in gleichen Abständen, nimmt auf jeder derselben die Strecke KP' = x₂ zwischen der Nebenachse und der Halbgeraden MC in den Zirkel und trägt diese Strecke von M aus auf der Nebenachse als M^ß = KP' durch Einstechen des Zirkels ab. Darauf faßt man, den einen Zirkelfuß in^ß stecken lassend, die Strecke    die

nach (4) gleich xt ist, in den Zirkel, und trägt diese Strecke auf KP' von K aus ab: KP =

Mit Parallelen zur Nebenachse kann man unter Benutzung von x\ = b + x"² entsprechend verfahren. Die ganze Konstruktion geht nur durch Abgreifen mit dem Stechzirkel vor sich. Sie liefert auch die entfernteren Hyperbelpunkte mit beliebiger Genauigkeit und vereinfacht sich sehr bei der gleichseitigen Hyperbel. Sind die Asym-

ptoten und ein Punkt P der Hyperbel gegeben, und macht man = KP', so legt der Kreis um den Mittelpunkt mit dem Radius KP auf der ihrer Lage nach bekannten Hauptachse die Hauptscheitelpunkte A, A' fest.

6. Sekanten und Tangenten. Wie die Kegelschnitte selber, so können auch ihre Schnittpunkte mit einer Geraden mittels des Zirkels und des Lineals konstruiert werden, desgleichen die von einem Punkte P an die Kurve gehenden Tangenten: das Verfahren ist in § 25 dargestellt. Diesen Aufgaben wollen wir nun auch analytisch näher treten. Um die Schnittpunkte einer Geraden

(4)

— sin 6 + |₂ cos 6 -j- d = 0

mit der Kurve

(5)

U - 2p£x + (1 - v¹)tl = 0 zu berechnen, hat man einfach die gemeinschaftlichen Lösungen beider Gleichungen aufzusuchen; zu dem Zwecke wird man etwa (4) nach auflösen und den Ausdruck für |₂ in (5) einsetzen. Es entsteht dann eine quadratische Gleichung für Das Verfahren bevorzugt eine der Koordinaten. Von diesem Mangel ist die Untersuchung, die wir nun durch mehrere Paragraphen führen werden, frei und verschafft daher mehr Einsicht in die geometrischen Zusammenhänge.

§ 68. Eigenschaften ausgezeichneter Sekanten auf Grund der

t-Gleichung.

1.    Vorbereitung. Zur analytischen Behandlung des Sekantenproblems würde die Scheitelgleichung vollkommen ausreichen. Bei der Ellipse und der Hyperbel läßt aber die Mittelpunktsgleichung manche Eigenschaften besser hervortreten und wird daher in den Anwendungen auf Physik und Astronomie viel benutzt. Wir müssen daher beide Gleichungsformen berücksichtigen. Zu diesem Zwecke werden wir öfter die Druckseite spalten und die linke Hälfte der Scheitelgleichung, die rechte der Mittelpunktsgleichung einräumen. Die der Scheitel gleichung zugrunde liegenden Koordinaten wollen wir Scheitelkoordinaten nennen und mit griechischen Buchstaben bezeichnen. Die Koordinaten der Mittelpunktsgleichung mögen Mittelpunktskoordinaten heißen und mit lateinischen Buchstaben bezeichnet werden, und zwar so, daß £ und x, rj und y usw. immer je demselben Punkte zukommen. Die Formeln der linken Hälfte gelten immer auch mit v = 1 für die Parabel.

den Punkt auf t, der von g (bzw. x) den Abstand t hat. Wird dieser Abstand von seinem Ausgangspunkte g (bzw. x) im Sinne des Speeres positiv, im entgegengesetzten negativ gemessen, so ist

(1)

(10

ti = k + t cos e, £₂ = k +tsind.

zx — x\ + ^ cos &i z₂ = x₂ + t sin 6.

Für

(2) %^-2i>g₁ + (l-P)g²

ist daher

Für

(2)    = %: + 4~²

ist daher

sin²0

(3)    $£,u=tf²(l — v² cos² 0) + 2^ {(1 — v²)%tcosd -\-%₂sind —p cos 0} +S^, (3')

an-

Soll nun der Punkt £ (bzw. 2) der Kurve Sg = 0 (bzw. Mzz = 0) gehören, so muß der Parameter t der Gleichung genügen, die man erhält, wenn der Ausdruck (3) oder (3') gleich Null gesetzt wird.

Das ist jedesmal die Parametergleichung, ausführlicher die t-Glei-chung des Sekantenproblems:

(4)    t² (1 — v- cos'² 6) + 21 {(1 — v’²) cos d + §₂ sin 6 — p cos 0}

+ #śś = °,

cos'²0

(4')

0.

siu²d\    /sc* COS 0 a?<,sin0

a²

⁺ ^) + 2<-V + f-iP

Eine vollständige Diskussion dieser ^-Gleichung und einer ähnlich gebildeten r-Gleichung wird uns fast alle elementaren Eigenschaften der Kegelschnitte zugänglich machen. Mögen andere, dem einzelnen Fall besonders angepaßte Ableitungen manchmal schneller zum Ziele führen, so hat der Weg, den wir einschlagen wollen, den Vorzug der einheitlichen, auf höhere Kurven übertragbaren Methode.

3.    Die Schnittpunkte. Die Parametergleichung ist in beiden Darstellungsformen vom zweiten Grade. Sind t', t" jedesmal ihre Wurzeln, und g', gj; g", g" (bzw. x\, x₂, x'[, x₂) die Werte, die g1? £2 in (1) (bzw. zlt z₂ in (1')) für t = t', t = t" annehmen, so sind g', g" (bzw. V, #") die einzigen Schnittpunkte des Speeres t mit der Kurve. Es sind deren also nicht mehr als zwei.

4.    Asymptotische Richtungen. Einen einzigen Schnittpunkt erhält man entweder, wenn die Wurzeln t', t" einander gleich werden — Fall der Tangente —, oder, wenn in (4) bzw. (4') der Faktor von t² verschwindet — asymptotische Richtung. In diesem letzten Falle muß die Bedingung

sin

cos²0

(5')

(5)

erfüllt sein. Auf Grund der Formeln § 65 (11) ist (5') für v ^ 1 mit (5) identisch. Wir dürfen beschränken und scheiden diese in die drei Fälle v = 1, < 1, > 1.

1. Für v = 1 ergibt (5) die Gleichung sin²0 = 0; ihr entsprechen die zwei Neigungen 6 ===== 0 und 6 = it. Die zugehörigen Speere liegen also auf Geraden, die zur Achse der Parabel parallel sind. Unbeschadet der Allgemeinheit darf 0 = 0 gewählt werden. Die Gleichung (4) ergibt dann

uns

also auf die Untersuchung von (5)

oo

t—

% _ i§ — ²p£i

2p

Eine zur Achse parallele Gerade trifft die Parabel stets nur in einem Punkte. Die projektive Geometrie zeigt, daß auch der unendlich ferne Punkt dieser Parallelen ein Schnittpunkt mit der Parabel ist.

2.    Für v < 1 ist der Fall v = 0 vorwegzunehmen, wo die Gleichung (5) überhaupt nicht erfüllbar ist. Aber auch für 0 < v < 1 gibt es keinen reellen Winkel 0, der cos²0 = 1/v² macht, d. h.:

Bei der Ellipse und insbesondere beim Kreise (y = 0) ist die ^-Gleichung stets vom zweiten Grade.

3.    Für v > 1 dagegen legt die Forderung (5), wenn wir bei den Speeren nur auf die sie tragende Gerade achten, zwei Büschel von Parallelen mit den Neigungen 6 = ± %, den sogenannten asymptotischen Richtungen, fest, wo

cos 2 = 1/v = a/c, sin % = 6/c (vgl. § 65, (11)).

Mit den Werten 0 = p%, p = + 1 vereinfachen sich aber (4), (4') zu

tg i {|₈ cos i — p(|t + p ctg² x) sin %} + % — 0,

2t(— a^psin^ + oc₂gos %) = QabMxx.

Hieraus ist t eindeutig zu berechnen, es müßte denn

— (»(Hl + V ctg²1) sinl + £₂ c°s l = o

— a^psin^ + tf₂cos% = 0

sein. Da x und £ denselben Punkt bedeuten, so ist

x₂ = |₂, xt = a + di =p/(v² — 1) -P §! =i?ctg²2 +

Daher stellen (9) und (9') dieselbe Gerade von der asymptotischen Richtung p^ dar. Sie geht durch den Mittelpunkt. Für p = + 1 erhält man so zwei Geraden, die Asymptoten. Ihre Konstruktion auf Grund von (7) ist aus der Fig. 211 zu ersehen. Bei ihnen könnte man von einem unendlich großen t sprechen. Die projektive Geo-

(7)

(8)

(8')

(9)

(9')

metrie faßt in der Tat die Asymptoten als die Geraden auf, die die Hyperbel in ihren unendlich fernen Punkten berühren. Abgesehen von den Asymptoten selber haben wir

FJ

■c*

Fig. 311.

bewiesen, daß jede Gerade von asymptotischer Richtung die Kurve nur in einem Punkte (mit endlichen Koordinaten) trifft. Der unendlich ferne Punkt dieser Geraden liegt ebenfalls auf der Hyperbel. Das läßt sich analytisch nur mittels eines Grenzüberganges bestätigen, da in unseren Koordinaten nicht unmittelbar ausgedrückt werden kann, daß ein unendlich ferner Punkt auf der Kurve liegt. Die Gleichung einer Geraden von der asymptotischen Richtung + % hat die Form {x₂ — d)/xx = + b/a, und die Gleichung der Hyperbel x\/cfl — x\!b² = 1 kann geschrieben werden:

(ï-^)(ï+*sfdH +

{x₃ — d)d

, x₉ d + TT;

oder auch:

(b xa [a - -

X« — d'

x₁

)(    + x,

xf

xi — d d

x₁ x₁

X\

Läßt man nun den Punkt x auf einer der Geraden (x₂ — d)/xi = + b/a ins Unendliche rücken, so bleibt die linke Seite der Kurvengleichung gleich Null, die rechte wird gleich Null, d. h.: der unendlich ferne Punkt der Geraden gehört der Kurve an, wenn man die umgeformte Gleichung überhaupt noch als Kurvengleichung gelten läßt. Für ^=0 hat man übrigens die Asymptoten selber.

5. Durchmesser der Ellipse und der Hyperbel. Die Geraden durch den Mittelpunkt

(10')

X\ —    = 0

der Ellipse oder der Hyperbel nennt man Durchmesser. Für sie vereinfachen sich die Parametergleichungen und liefern übereinstimmend

(H)

sb²

(1 — v*)(l — v² cosa0)

1 — v² cos² 6

Im Falle der Ellipse hat mit v² auch v² cos² 6 einen unter 1 liegenden Wert, fl ist daher nie kleiner als sb² = &² und stets positiv, d. h.:

Satz 1. Jeder Durchmesser der Ellipse schneidet die Kurve in zwei zum Mittelpunkt zentrisch symmetrisch gelegenen Punkten, und die zwischen diesen Punkten gemessene Durchmesserlänge 2\t\ ist bei der Nebenachse (0 = 7t/2) am kleinsten, bei der Hauptachse (0 = 0) am größten.

Die Ellipse ist hiernach eine vollständig geschlossene Kurve. Bei der Hyperbel dagegen fällt die Möglichkeit unendlich großer Durchmesserlängen ins Auge: es sind die Asymptoten mit 1 — v²cos² 0 = 0. Vermeidet 0 die asymptotischen Richtungen + l (und + r + n), so ist ? in (11) endlich. Aber Vorzeichen von t² aufgeworfen werden: Da bei der Hyperbel « = — 1, so ist t² nur dann positiv, wenn v²cos²0 > 1, also — % < 0 < + ^ ist, wobei die Winkel 0 unbeschadet der Allgemeinheit überhaupt nur in den Grenzen — n/2 <i 0 <i + n/2 betrachtet werden. Es folgt:

Satz 2. Die Durchmesser der Hyperbel werden durch die Asymptoten in zwei Gruppen geschieden: in „innere“ Durchmesser von den Neigungen — % < 0 < -+- % und „freie“ Durchmesser von den Neigungen ^ < 0i<jt/2. Die inneren Durchmesser treffen die Kurve in zwei reellen Punkten, die freien in zwei konjugiert komplexen.

6. Die Sehnenmittelpunkte. Wir stellen uns jetzt die Aufgabe, entweder dem durch | (hzw. x) gehenden Speere t eine solche Neigung 0 zu erteilen, daß % (bzw. x) in die Mitte zwischen die Schnittpunkte fällt, oder bei vorgeschriebener Neigung 0 den Punkt x in die Mitte zwischen die Schnittpunkte zu verlegen. Der analytische Ausdruck hierfür ist beidemal t" = — t\ Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung haben aber nur dann eine verschwindende Summe, wenn das mittlere Glied der Gleichung fehlt. Sorgen wir also durch Ausschluß der Werte von 0, die 1 — v²cos²0 = 0 machen, dafür, daß die Gleichung wirklich vom zweiten Grade ist, so werden unsere beiden Aufgaben durch dieselbe Bedingung

((1 — vs) ^ — p) cos 0 -f- |₂ sin 0 = 0 x₂ sin 6

(12)

(120

nun

muß ersichtlich die Frage nach dem

a?, cos 6

łr

gelöst. Da für 0 im Falle v= 1 der Parabel Neigungen 0 mit sin 0 = 0 ausgeschlossen worden sind, so enthält jede dieser Gleichungen mindestens eine der Koordinaten £ oder x, legt also dem Punkte die Bedingung auf, einer Geraden anzugehören. Diese erweist sich in (120 als Durchmesser, in (12) für v^l, wenn man beachtet, daß der

Mittelpunkt die Koordinaten ^ = pj{ 1 — v²), |₂ = 0 hat; bei der Parabel v = 1 stellt (12) eine Parallele zur Achse, einen sogenannten Durchmesser dar. Damit ist bewiesen:

Satz 3. Die Mittelpunkte paralleler Sehnen eines Kegelschnittes liegen auf einem Durchmesser (wobei aber im Falle der Parabel die Sehnen parallel zur Achse, bei der Hyperbel die Sehnen parallel zu einer Asymptote auszuschließen sind).

Zur Lösung der zweiten Aufgabe kann tgö aus (12) oder (12') eindeutig berechnet werden.

Bei der Parabel läßt sich der Durchmesser, auf dem die Mittelpunkte der parallelen Sehnen von der Neigung 6 liegen, ohne Benutzung der Kurvenpunkte unmittelbar auf Grund der Gleichung (12) konstruieren, wonach

|₂ = p ctg 0

wird. Bei der Ellipse und der Hyperbel wird man unter den parallelen Speeren von der Neigung 6 den durch den Mittelpunkt gehenden

(&i ~ \ — v*) sm 0 + &

— x₁ sin 0 -{- x% cos 6 = 0,

(13)

(13')

cos 6 = 0

aussuchen und sich fragen, wie man zu diesem Durchmesser den nach

(12) oder (12') konjugierten Durchmesser

(14)

(14')

((1 — v²)lx — p) cos 6 -t- |₃ sin 6 = 0, cos 0

a²

x₂ sin 0 T £2

mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

7. Konjugierte Durchmesser der Ellipse und der Hyperbel. Wird auch der Durchmesser (14), (14') orientiert und seine Neigung mit 6' bezeichnet, so muß er einer Gleichung von der Form (13) oder (13') mit dem Winkel 6' genügen. Durch Vergleichung mit (14) ergibt sich:

tg 6 tg 0' + (1 — v²) = 0.

(15)

Diese Formel besagt:

Satz 4. Wie die Mittelpunkte der parallelen Sehnen von der Neigung 6 auf dem Durchmesser von der Neigung 6' liegen, die nach (15) bis auf ganze Vielfache von n zu berechnen ist, so befinden sich umgekehrt die Mittelpunkte der Sehnen von der Neigung 6' auf dem Durchmesser von der Neigung 6.

Die Lagebeziehung zwischen konjugierten Durchmessern ist also eine wechselseitige. Beim Kreise (y — 0) stehen sie nach (15) aufeinander senkrecht, wie es sein muß. Nach § 65, (11) ist 1 — v = s¥ : a². Ist also D ein Punkt eines Durchmessers, so kann der konjugierte MD'mjp hei der Hyperbel oder MD'eii hei der Ellipse nach Fig. 212 gefunden werden, wenn die Hauptscheitel Alf A₂ und der Nehenscheitel D bekannt sind. Ygl. auch Bd. III₂, § 4.

Satz 5. Man sieht rechnerisch wie konstruktiv, daß bei der Hyperbel die Asymptoten MEX, ME₂ in Fig. 212 je sich selbst konjugiert sind und daß sie je zwei andere konjugierte Durchmesser harmonisch trennen,

da MEX und ME₂, MD und MD'nyp die Gerade

im unendlich E, fernen Punkt und drei äquidistanten Punkten treffen; mittels (7) geht

(15)    in    <

(16)    tg0tg0' = tg²* über.

■Pllyp

Pem__

Hyp

MD',

■'v

Az

Fig. 212.

Durch (15) ist 0'

nur bis auf ganze Vielfache von tc bestimmt, wie denn die Eigenschaft zweier Durchmesser, konjugiert zu sein, mit ihrer Orientierung nichts zu tun hat. Wir wollen nun 0 als Neigung des Speeres MD der Fig. 212 und ff als Neigung von MD', definieren. Die Neigung 0' einer Geraden (u |#) = 0 berechnet man nach § 60, (10) mittels

sin 0' = -    -,

1/«? + Ą

cos ff =

y u\ -j- u\

Für die Gerade (14) ist ut = (1 — v²) cos 0, u₂ = sin0 und die stets positive Größe

u\ + u\ = 1 — v²(2 — r²) cos² 0,

wobei das ausgezeichnete Verhalten des Kreises (v = 0) und der gleichseitigen Hyperbel (v² = 2) auffällt. Die Wurzel muß auf Grund unserer Festsetzungen bei der Ellipse negativ, bei der Hyperbel positiv gezogen werden, daher ist:

(17)

sin0' =

f(l — vs) cos 0 j/l — v\2 — vT) cos*0

cos 0' = —

— s sin 0

y 1 — v²(2 — v*) coss0

also

(18)

sin (0' — ff) =

e(l — v²) cos² 0 -j- s sin² 0

y 1 — i>²(2 — i>²)cos² 0 +

s(l — v² cos² 0)

yi — v²(2 — i»²) cos²0

Wir kehren nun zu der Formel (11) zurück und stellen ihr die entsprechende für den konjugierten Durchmesser t' zur Seite:

*'s“r

s&²

<S“T

Mittels (15) oder (17) findet

'•-i

(19)

(20)

Daher ist

— Vs cos² 6 ’

— Vs COS² 0'

man

£&²    1 — v²(2— i>²)cos²0

—h/²

1 — cos² 6

t² + f* = p*(2 - *,²)/(l - V²)² = a² + £&², f£²£'² sin² (0' - 0) = £&V(1 - r²) = a²b².

Diese beiden Formeln enthalten zwei Lehrsätze, die in Band I1I₂ § 4 nur für die Ellipse ausgesprochen sind. Um sie für die Hyperbel zu deuten, ohne den Begriff imaginärer Strecken aufzustellen, ordnet man der Hyperbel

(21)

(22)

x\ x%

a² ” P

die konjugierte Hyperbel

(23)

zu, die nach Lage und Größe die Hauptachse von (22) zur Nebenachse, die Nebenachse zur Hauptachse hat und aus x'^/b² — x²/a² = 1 durch

Spiegelung an der Winkelhalbierenden x₁ = x₂ hervorgeht. Beide Hyperbeln haben dieselben Asymptoten, siehe Fig. 213, und daher der Lage nach dieselben Paare konjugierter Durchmesser (Satz 5).

Unterscheidet man also die Konstanten der Hyperbel (23) von denen der Hyperbel (22) durch ein Sternchen, so ist

(24) v — c/a», vt = c/b] v~² + v~² = 1, (v²— 1) (v² — 1) = 1.

In einem neuen Koordinatensystem, das die beiden Achsen des alten ihre Rolle, aber nicht ihre Orientierung vertauschen läßt, hat (23) die Gleichung

FÎ

(25)

l<f>

-X

Fig. 213

Sï

F² a²

die Drehsinne beider Systeme sind einander entgegengesetzt, so daß der Speer t von der Neigung 6 im neuen System die Neigung 0* = jt/2 — 0 hat. Der Asymptotenwinkel von (25) ist = x/2 — 1.

Bringt man nun t³ in (19) für s = — 1 mit Hilfe yon 1/v = cos % auf die Form

(26)

*² =

_ _a²b²____

v² (cos² x — cos²0) c² cos²0— cos²j; a² b²

-b²

c²

: sin (x + e) sin (% —

so ist für denselben Speer bei der konjugierten Hyperbel:

: sin {n — i — d) sin (0 — %) = — t²,    t’³ = — t'³.

Da nach unseren Festsetzungen t stets reell, t' aber rein imaginär ausfällt, so ist t'³ = — t'³, also t\ reell. Aus (21) wird daher für £ = •— 1 :

(27)

tl-

b² a²

c²

(28)

t² — t'³ — a³ — b³, U\ sin (0' — 0) = ab.

Das Ergebnis dieser Untersuchung ist:

Satz 6. Zwei konjugierte Durchmesser einer Hyperbel sind immer auch bezüglich der anderen Hyperbel konjugiert; ein innerer Durchmesser der einen ist aber ein freier der anderen, und umgekehrt. Ist 2t eine innere Durchmesserstrecke der einen Hyperbel, 2tf' die konjugierte der anderen, so ist t² — t'³ = a³ — b³, und das Parallelogramm, dessen Seiten die Hyperbeln in den Endpunkten von 2t, 2ïm berühren, hat den konstanten Flächeninhalt 4ab.

¹

   Die ^-Gleichung. Durch einen beliebigen Punkt | (bzw. x) legen wir den Speer t von der Neigung 9 und bezeichnen mit £ (bzw. z)

²

— v² cos² 6 = 0

§ 69. Allgemeine Sekanteneigenschaften anf Grund der f-Gleiehung.

1. Berechnung der Diskriminante. Indem wir immer noch an den Voraussetzungen des § 68,2 festhalten, können wir jetzt an die Hauptaufgabe herantreten, analytisch zu entscheiden, unter welchen geometrischen Bedingungen der Speer t die Kurve schneidet, berührt oder nicht (reell) schneidet. Die Entscheidung hängt algebraisch von der Diskriminante

— J# = (1 - V² cos² 0) (£² — 2plx -F (1 - V³) £²)

— ((1 — v²) cos 6 -f- £₂ sin 6 — p cos 0)3 = (1 — v³) (— .§! sin d -F |s cos 0)²

+ 2p sin 6 (— sin 6 + |₂ cos $) — P2 cos2 0 der Parametergleichung § 68,(4) ab, bzw. von der Diskriminante

x₉ sin 0\2 b²    )

(i)

= «{(— xx sin 6 + x₂ cos ff)³ — (a²sin²0 -p £&²cos²0)} : a³b³

cos 0

a²

der Parametergleichung § 68,(4'). Das ist jedesmal der Ausdruck bzw. Dxx, der bei der Auflösung der Parametergleicbung unter das Wurzelzeichen tritt. Man bat demnach, wenn die Richtungen 1 — v² cos² 0 = 0 ausgeschlossen werden,

zwei reelle Schnittpunkte:

Berührung:

zwei konjugiert komplexe Schnittpunkte :

2. Tangentengleichungen. Ein veränderlicher Punkt £ (bzw. z) des Speeres t, der unter der Neigung 6 durch den festen Punkt £ (bzw. x) gelegt ist, erfüllt die Gleichung

-    (£i — ii)sin e + (Ç, — y cos 0 = 0,

—    (zx — xx) sin 0 + (22    ^2) cos 0 = 0-

Identifiziert man damit die allgemeine Gleichung einer Geraden

(4) (ra|£) = k>i £1 +    + C3₃ = 0 I (4 ). (u'x) = ulxx-\- u₂x₂ -f- u₃ = 0,

so erweist sich

(2)

(3)

(3')

V«? + “i

sin0,

co₂

bei > 0, bzw. Dxx > 0,

„ A^ = 0,

= 0,

“s

y®j+«i

und es wird

V ®* + °>*

£x sin 0 — £2 cos 0

COS0,

ux

]/«! -f wi

Ms

—= CO s 0.

Vu\ + ul

xx sin 0 — x₂ cos 0,

sin0,

(1—v²) <u§ -f 2_p ffls <0j — p*col

a²u\ -j- sbiul — u\

+ “i

M? + Mi

Hieraus folgt wegen (2):

Eine Gerade (<o|Ç) = 0 bzw. (ii\x) — 0 berührt den Kegelschnitt, wenn

(6)

(6')

(1 — v²) o>² + 2 p (o.j ojj — p vĄ = 0 ,

aru\ + sb^ul — wj = 0.

Wendet man das z. B. auf den Speer von der Neigung 0 an

(7)    — %x sin 0 -f- £₂ cos 0 -f- se = 0 ! (7') — zt sin 0 -f z₂ cos 0 + me = 0,

zur Berechnung des orientierten Abstandes se des Scheitelpunktes A bzw. des Mittelpunktes von dem berührenden Speere mit der Neigung 0 die Bedingungsgleichung:

(8)    (1 — v²) s| — 2p se sin 0

= p² cos² 0

so liefert (6), (6')

I (8')    = a² sin² 0 + £&² cos² 0

= a² (1 — v² cos² 0).

Die Gleichung Dxx = 0 drückt nach (2) die Bedingung aus, welche die Koordinaten des Punktes x erfüllen müssen, damit der durch x ge-

legte Speer von der Neigung 6 die Kurve berührt. Da hierbei der Punkt x nur auf einer Tangente von dieser Neigung liegen kann, so kann der geometrische Ort, den T)xx = 0 darstellt, nur Punkte solcher Tangenten enthalten. Nun ist mit Hilfe von

(8')

(⁹') Dxx = -    (- *i sin 0 + ^ cos e — tn₉)

• (— xx sin 6 -f- x₂ cos 6 -f- me),

und die Klammerausdrücke auf der rechten Seite stellen in der Tat gleich Null gesetzt nach (7') eine Tangente von der Neigung 6 dar. Es gibt deren also zwei; sie liegen zum Mittelpunkt symmetrisch. Ebenso gestattet die Zerfällung

z/śś = — (1 — v²) (— jjj sin 0 + cos 6 — s₀)

(9)

für v — 1.

(— sin 0 + £2 cos 6 -f se) für v ^ 1, z/^ = — 2p sin 6 (— sin 0 -f |₃ cos 0 — jp cos² 0/ sin 0)

Berechnet man also se,'me nach (8), (8'), so sind

(10) — g₁siii0 + g₂cos0 + se=sO I (10') — XjSinö + ^cosö + messO

für v ^ 1 die Bleichungen der berührenden Speere von der Neigung 0, und

(10")

— gj sin 0 + g₂ cos 0 — cos² ö/sin 0 = 0

ist hei der Parahel v = 1 die Bleichung des einzigen Tangen-tialspeeres von dieser Neigung.

Hierbei ist freilich auf die Realität der Tangente keine Rücksicht genommen. Die Gleichung (8) ergibt aber für v = 1 und sin 0 =j= 0 ersichtlich eine reelle Wurzel se. Löst man ferner für v ^ 1 die Gleichungen (8), (8') nach se bzw. me auf, so tritt unter das Wurzelzeichen jedesmal dieselbe Grösse 1 — v² cos²0. Diese ist für ?/< 1 stets positiv, für v > 1 nur dann, wenn in § 68, (11) der Ausdruck t² = — &²/( 1 — v² cos²0) negativ wird, d. h. für die Neigungen 0 der freien Durchmesser der vorgelegten Hyperbel. Damit ist bewiesen:

Satz 1. In jedem Büschel von reellen Parallelstrahlen befinden sich:

a)    zwei Tangenten jeder Ellipse;

b)    eine Tangente einer gegebenen Parabel; nur zur Achse der Parabel läuft keine Tangente parallel;

c)    zwei Tangenten einer Hyperbel aber nur, wenn dem Büschel auch ein freier Durchmesser derselben angehört; zu den inneren Durchmessern laufen keine reellen Tangenten parallel.

32

Weber u. Wellstein: Enzyklopädie. II. 3. Aufl.

3. Erste Deutung der Diskriminante. Mit Rücksicht auf

(10), (10'), (10") sehen wir in (9) und (9') die Diskriminanten z/^und Dxx unmittelbar durch die orientierten Abstände des Punktes | bzw. x von den Tangenten mit der Neigung 0 ausgedrückt. Beachtet man nun noch die Vorzeichen der übrigen Faktoren in diesen Ausdrücken, so gewinnt man für (2) folgende geometrische Deutung:

Satz 2. Eine Gerade schneidet die Ellipse in zwei reellen oder in zwei konjugiert komplexen Punkten, je nachdem sie zwischen den zu ihr parallelen Tangenten liegt oder nicht.

Damit ist die wichtige Grundeigenschaft der Ellipse algebraisch bewiesen, ganz auf der einen Seite jeder ihrer Tangente zu verlaufen und ein endliches geschlossenes Oval zu bilden. Satz 3. Bei der Hyperbel muß man zwei Arten von Sekan ten unterscheiden:

1.    die zu einem freien Durchmesser parallelen Geraden schneiden in zwei reellen oder in zwei konjugiert komplexen Punkten, je nachdem die Gerade außerhalb oder innerhalb des Streifens der zu ihr parallelen Tangenten liegt; die reellen Schnittpunkte gehören demselben Hyperbelaste an;

2.    die zu einem inneren Durchmesser parallelen Geraden dringen dagegen stets in die beiden inneren Asymptotengebiete ein und treffen beide Äste der Kurve in je einem reellen Punkte.

Ein Hyperbelast verläuft also ganz auf einer Seite jeder seiner Tangenten.

Die Deutung von z/g g für v = 1 ist, von der in § 65 vorgenommenen Anlage der Scheitelkoordinaten unabhängig ausgesprochen: Satz 4. Auch die Parabel verläuft ganz auf der einen Seite jeder Tangente; eine zu dieser parallele Gerade trifft die Kurve nur dann in zwei reellen Punkten, wenn sie auf der Parabelseite liegt.

Nach (10') sind

— xt sin 6 -f x% cos 9 = me, — xi cos 6 — t/₂ sin 6 = me + n/2 = m'e die Gleichungen zweier aufeinander senkrechter Tangenten der Ellipse oder der Hyperbel. Ihr Schnittpunkt x erfüllt daher die Gleichung

x\ + xl = ml + m'e = a² -f- £&², d. h.:

Satz 5. Die Scheitel der rechten Winkel, deren Schenkel eine Ellipse oder eine Hyperbel berühren, liegen auf einem mit der Kurve konzentrischen Kreise,

wobei aber im Falle der Hyperbel a > b vorausgesetzt werden muß. Ebenso sind nach (10")

sin² 0

2cos0

— %x cos 6 — i*₂ sin 6 = p

zwei zueinander senkrechte Parabeltangenten. Ihr Schnittpunkt

Si = — jP, l₂=Pctg²⁰

liegt auf der Leitlinie, also:

Satz 6. Die Scheitel der rechten Winkel, deren Schenkel eine Parabel berühren, liegen auf der Leitlinie.

Das folgt auch aus Figur 209.

4. Berechnung von Axx. Werden aus dem Mittelpunkte 0 und den Brennpunkten F, F' einer Ellipse oder einer Hyperbel auf eine Gerade (uz) = 0 die Lote gefällt, so liegt der Fußpunkt des ersten Lotes in der Mitte zwischen den Fußpunkten y, y' der beiden anderen Lote. Die Punkte y, y liegen daher zugleich innerhalb oder außerhalb des Hauptscheitelkreises z\ + z\ = a².

Aus den in § 25,3 und 4 synthetisch bewiesenen Sätzen wollen wir die Anregung entnehmen, für die Ellipse den Ausdruck A = y\ + y\ — a² zu bilden, wenn (u\z) = — (zx — xx) sin Q -f (z₂ — x₂) cos 6 den Speer durch x von der Neigung 6 festlegt.

einem Punkte f auf

aus

Nach § 60, (18) hat der Fußpunkt y des die Gerade (u\z) = 0 gefällten Lotes die Koordinaten

v =f ■ W u u -f - W u ' ¹    u\~\- u\ ¹ ’    ‘² u\ -j- u\ ²’

Nun ist aber

% = — sin d, u₂ — cos 0, u\ -|- u\ = 1.

Je nachdem man unter f den einen oder anderen Brennpunkt F, F' versteht, ist f₂ = 0 und fx — qc für p = + 1. Daher ist

A = y\ + y\ — a* = (qc + (u\f) sin 6)² -(- (u f)² coss0 — a²

= c² — a² -f 2pc (u\f) sin 6 + (u\f)²,

mit (u\f) = — (pc — iCj) sin ö — cos 0. Dadurch wird A von x abhängig, A = Axx. Man findet

(11) Axx = (— xx sin 0 Ą- x₂ cos 6)² — (a² sin² 6 + eb² cos² 6).

5. Zweite Deutung der Diskriminanten. Aus (11) und (!') folgt

d. h.:

(12).

32*

Satz 7. Eine Gerade liât mit einer Ellipse zwei reelle Schnittpunkte, einen Berührungspunkt oder zwei konjugiert komplexe Punkte gemein, je nachdem der Fußpunkt y des aus einem Brennpunkte auf die Gerade gefällten Lotes innerhalb des Hauptscheitelkreises, auf oder in diesem Kreise liegt. Bei der Hyperbel ist es gerade umgekehrt, nur müssen die Geraden asymptotischer Richtung ausgenommen werden,

da für sie die Parametergleichung nicht quadratisch ist. Damit sind die Sätze des § 25 analytisch bewiesen. Die Parabel verlangt noch einen Nachtrag. Das Lot aus dem Brennpunkte £x = p/2, £₂ = 0 der Parabel auf den Speer von der Neigung 6 durch den festen Punkt £ hat den Fußpunkt

cos 0.

Vi~ ^ cosa 0 +*li sin² 0 — £ ₂ sin 6 cos 6, = j (f — ii) sin d + |₂ cos 0}

Es zeigt sich nach (9):

(13)

= 2prix für v = 1.

In Anwendung dieses Ergebnisses auf (2) kann man sagen:

Satz 8. Eine Parabel hat mit einer nicht zur Achse parallelen Geraden zwei reelle Schnittpunkte, einen Berührungspunkt oder zwei konjugiert komplexe Punkte gemein, je nachdem der Fußpunkt r\ des aus dem Brennpunkte auf die Gerade gefällten Lotes mit der Parabel auf derselben Seite der Scheiteltangente 7]₁ = 0, auf dieser Tangente oder auf ihrer anderen Seite liegt.

§ 70. Potenz der Kegelschnitte.

1. Die erste symmetrische Elementarfunktion (f + t") der Wurzeln der t- Gleichung

(1) t* (1 — v² cos² 6) -f- 2t {(1 — v²) gj cos 0 + g₂ sin 9 — p cos 0} + $££ =

+ *TÎî) + «(

(1") <*(

l OS⁸ 0

xx cos 0

-f- £

xg sin 0

b*

ist in § 68,6 auf ihr Verschwinden hin ausführlich untersucht. Sie kann dazu dienen, den Mittelpunkt £ bzw. z der Sehne £'£" bzw. x x"

darzustellen, welche der unter der Neigung 9 durch den Punkt £ bzw. x gelegte Speer mit der Kurve gemein hat. Da

£'x = il + t' cos 0, l"x =    + t" COS 0

è's — £2 + t' sin e,

£'2 = £2 + sin 0,

(2)

(2')

x[ = xt + t' cos 0, = ^1 + cos 9,

X2 = X2 + ^ sin

#2 = #₂ -f- t" sin 0

und

so würde sich durch Einsetzung von

t' + r

(3)

(1 — **) cos 0 -|- £₂ sin 9 — p cos 0

1 — V² cos² 0

(3')

t" + r

«L

cos 0

xt sin 0

5²

cos²0 sin²0 a2 +

der gesuchte Wert von £f oder £f ergeben. Zu demselben Ziele muß man auch gelangen, wenn der Speer mit dem zum Durchmesser von der Neigung 6 konjugierten Durchmesser zum Schnitt gebracht wird.

2. Die zweite symmetrische Elementarfunktion t't" ist bekanntlich gleich dem Absolutgliede, nachdem der Faktor von t2 durch Division gleich 1 gemacht ist; vorausgesetzt ist also, daß 1 — v² cos² 9 nicht verschwindet. Man erhält so die Formelgruppe A. Im Ausnahmefalle 1 — v² cos 9 — 0 ziehen wir die Formeln § 68, (6), (8) bis (9') heran und erhalten durch Auflösen nach S^, Mxx die Formelgruppe B:

die Formeln der Kegelschnittpotenz A. Für 1 — v² cos² 9 4= 0: zwei Wnrzeln t', t" der Parametergleichung und

(4)    % = (1 - v² cos² 9) f t"

(4') M,

XX

1 — V² cos² 0

fb ²

ft".

B. Für 1— n² cos² 0 = 0: eine Wurzel t der Parametergleichung;

a) Parabel, v = 1 ;

(5)

(6)

% = %Pt,

ß) Hyperbel, v>l; Neigung der Asymptote: x> und ⁰ = ± X = 9X-

% = - 2 Qt tg x {cos x - Q (§1 + p ctg² x) sin x}

(6')

7MT —

XZM-xx —

21 (— xx sin x + ^2 cos X)

gab

Hier ist ersichtlich eine geometrische Deutung der Gleichungspolynome Mxx selber geglückt. Werden auf dem Speere, der unter der Neigung 9 durch | bzw. x gelegt ist, die orientierten Sekantenabschnitte, gleichgültig ob sie reell oder imaginär sind durch

c/u

cm

Jts

(7') Ï = xx', t” = æ æ"

definiert, so ist im Hauptfalle A:

l — v² cos² 0

Beim Kreise v = 0 erweist sich 8^ als Potenz im Punkte |, und so sei $££ allgemein als Potenz des Kegelschnittes im Punkte £ definiert. Bei v > 0 bemerkt man, im Unterschiede zum Kreise, das Auftreten eines Richtungsfaktors.

(8) %=(1-*² cos²0)śś'.§f,

(8') Mxx

xx'-xx".

3. Sekantensätze. Es ist sehr leicht, Formeln aufzustellen, aus denen sich dieser Faktor heraushebt. So wird z. B. die Kurve von zwei gleichsinnig parallelen Speeren durch £ und 77 (bzw. x und y) in den Punktepaaren £', und 77', 77" (bzw. x,x'\ y',y") getroffen, so daß, wenn man die Richtungen mit 1 — v²cos²9 = 0 vermieden hat,

(9)

•sr

77 77'*7377"

(9')

Mxx =

Myy

XX' • XX '

yy-yy”

ist. Sei ferner de bei v ^ 1 die positive Länge des halben Durchmessers von der Neigung 6 oder, falls dieser bei v > 1 im Freien verläuft, dl die Länge des auf derselben Geraden liegenden Durchmessers der konjugierten Hyperbel. Im Mittelpunkte ist S^==—p², Mxx = — 1, f + t" = 0, also hat man nach (8), (8') :

1 — v² cos² 0

— (1 — v² cos² 9) dl,

die letzte Formel übereinstimmend mit § 68, (11). Aus (8), (8 ) wird daher

(10') Mxx = xx" • xx": dl, v ^ 1,

(io) %-^ir-lr, *51,

wo im Falle der Hyperbel nach Bedarf d?₀ durch — d*² ersetzt werden kann.

Insbesondere folgt hieraus: Die von einem Punkte | an eine Ellipse oder an eine Hyperbel gehenden Tangenten, gemessen zwischen | und den Berührungspunkten, verhalten sich zueinander wie die parallelen Durchmesser.

Die Sekantensätze des Apollonius gestatten jetzt, auf konjugierte Durchmesser bezogen, folgende Verallgemeinerung:

Seien rj'rj" parallele Sehnen eines Kegelschnittes und £, rj ihre Mittelpunkte; der Durchmesser möge die Kurve in a, und im Falle v ^ 1 noch in a" treffen. Dann ist

ijifz

bei der Parabel:

"i*

(ff*

ST

dl)

bei der Ellipse und bei der Hyperbel:

(In

im

'2

7] a • rja’

Denn bei v = 1 ist nach (5) und (9)

§a : na =    = §S'² : nn²,

bei v ^ 1 nach (9):

§«' • §°" •    = §§'²: nn'*-

Daß man von hier aus nach dem Vorbilde von § 66, 1. die Kegelschnittsgleichungen in schief winkeligen Parallelkoordinaten sofort ableiten kann, liegt auf der Hand. —

Durch Bildung des Produktes

8as S-¹ • SVY S-¹- Saa S-¹ = 1

pp y y    y y <*<* aa pp

beweist man ferner den

Satz von Carnot: Die Seiten ßy, ya, aß eines Dreiecks a, ß, y treffen einen Kegelschnitt in drei Punktepaaren n n,    6", sodaß

(12)

Ufr

YV •

ff

ist.

Verbindet man die sechs Punkte in der Reihenfolge % rf q" so entsteht ein der Kurve eingeschriebenes Sechseck, dessen

n’n", rr

Seiten :

mit den Gegenseiten: 17" g',    £"17'

É,

die Schnittpunkte

gemein haben mögen. Durch Anwendung des Satzes von Menelaos (§ 62, 3.), auf die drei Schnittgeraden 77" £'|, £"£'77, £"77'£ des Dreiecks aßy ergeben sich drei Gleichungen, aus deren Produkt mit dem Werte (— l)⁸ = — 1 sich mit Rücksicht auf §17 = — 77g usw. die Faktoren

(12) mit dem Werte 1 herausheben. Übrig bleibt ein dreigliedriges Produkt von Teilverbältnissen mit dem Werte — 1, das nach dem Satze von Menelaos die Lage von |, 17, £ auf einer Geraden beweist. Damit ist der Satz von Pascal § 17 analytisch bewiesen, wobei allerdings für die ausgeschlossenen Richtungen mit 1 —v²cos²0 = O noch leichte Ergänzungen nachzutragen sind.

z'

q\

».

\xr

Wi.r

4. Hyperbelkonstruktionen, die hiermit berührten Ergänzungsformeln (6) einmal anzuwenden, legen wir (Fig. 214) durch einen beliebigen Punkt der Ebene die Speere von den Neigungen -f- % und — % der Asymptoten

(u\x) = — xt sin x + ^2 cos X ⁼ 0?

(®W = + xx sin x + cos % ⁼ 0 einer Hyperbel Mxx = 0, v > 1. Die Schnittpunkte der Speere mit der Hyperbel seien x', x", mit den Asymptoten dagegen p', p". Dann ist nach (6)

Um

yr

'x‘

P’

Eine hinsichtlich des Vorzeichens schon in § 31 gemachte Bemerkung verallgemeinert sich dahin, daß (v\x) : (u\x) = — xp : xp" ist. Daher ist:

Fig. 214.

(13) xx' : xx" = — (i?|æ) : (u\x) = xp' : xp".

Die Geraden xx", pp" sind daher parallel. Sind also cf, q" die Schnittpunkte der Geraden x x" mit den Asymptoten, so folgt aus der Kongruenz der ähnlichen Dreiecke p'x'q und p"q"x" infolge p"q" == p x, daß x"q = x q ist, eine Tatsache, die auch leicht aus den Sätzen über die Sehnenmittelpunkte abgeleitet werden kann. Diese Formel x'q" = x q sowohl als auch die Figur der beiden Parallelen x x", pp" ergeben zwei einfache Konstruktionen der Hyperbel aus den Asymptoten und einem Punkte x". Läßt man x auf der dabei zu ziehenden festen Hülfsgeraden p"x"\\v nach x" rücken, so vereinigt sich auch x mit x", und unsere Konstruktion liefert unmittelbar die Tangente mit dem Nebenergebnis, daß der Berührungspunkt die Strecke zwischen den Asymptoten hälftet. Aus dem Parallelismus von x x" und pp" folgt x'p' : xp' = x"p" : xp", also x'p' • xp" = x" p" ■ Xp' oder: x'p' -x'z" = x"p" • x" z, wenn z", z die Schnittpunkte der durch x\ x' zu v und u gezogenen Parallelen bedeuten. Werden also die Vektoren

z"x'=h, px=lz

positiv oder negativ gemessen, je nachdem ihr Sinn mit dem der orientierten Asymptoten übereinstimmt oder nicht, so ist

(14)

Ï1Ï2 = COnst

für jeden Punkt x der Hyperbel, d. h. wenn £1? j₂ als Parallelkoordinaten bezeichnet werden, so ist (14) die Gleichung der Hyperbel in Parallelkoordinaten, bezogen auf die Asymptoten als Achsen.

5. Homothetische Kegelschnitte. Ehe man es unternimmt, bei den Kegelschnitten nach dem Analogon der Potenzachse und des Potenszentrums der Kreise zu suchen, muß man sich darüber klar sein, daß zu diesem Zwecke aus der Gesamtheit aller Kegelschnitte der Ebene erst ein Teilsystem © ausgeschieden werden muß, das dieselbe Mannigfaltigkeit hat wie das System der Kreise der Ebene. Der Radius und die Koordinaten des Mittelpunktes, die zusammen einen Kreis in der Ebene eindeutig festlegen, sind drei Bestimmungsstücke, die unabhängig voneinander je unendlich viele Werte annehmen können. Man sagt daher: Es gibt oc³ oder dreifach unendlich viel Kreise in der Ebene. Eine Ellipse oder eine Hyperbel ist bestimmt durch die beiden Koordinaten des Mittelpunktes, die Längen der beiden Achsen und die Richtung einer derselben, d. h. es gibt je oo⁵ Ellipsen oder Hyperbeln in der Ebene. Wie nun die Kreise der Ebene sämtlich zu einem von ihnen ähnlich und ähnlich gelegen sind, so gibt es überhaupt zu jeder ebenen Figur oo³ ähnliche und ähnlich gelegene, oder, wie wir kürzer sagen wollen, homothetische Figuren. Und so bilden denn auch die zu = 0 homo-thetischen Kegelschnitte ein System © von oo⁸ Kegelschnitten derselben Art wie — 0. Da aber bei ähnlichen Figuren entsprechende Streckenpaare in demselben Verhältnis stehen, so stimmen die zu Sçç = 0 homothetischen Kegelschnitte mit S^ = 0 im Abstandsverhältnisse v und damit nach § 68, (15) bei v ^ 1 in den Paaren konjugierter Richtungen 6, 6' überein. Sie können sich also nur noch im Parameter p und in der Lage des Haupts cheitel-punktes A unterscheiden. Sind also a1} cc₂ die Koordinaten des neuen Scheitelpunktes, so werden die Kegelschnitte des Systems © = ©(v) bei festem v, aber veränderlichem aX} cc₂ und pa dargestellt durch S^(cc>pa) = 0, wo

%Ob«) = & - a2)² - ² Pa(§1 — «l) + (1 - v2)(£l ■— «l)*

(15)

= £! + (! —    - 2 {((1 - î/Vi + Pa)l 1 + a*i₂}

+ «f 4- ²Paai + (1 — V²)a*.

6. Potenzachsen. In diesem Systeme @(v) ist nun offenbar unsere Hauptabsicht erreicht, daß der Ort der Punkte | von gleicher Potenz für zwei Kurven S^(a\pa) = 0, S^(ß\p^) = 0 des Systems linear ausfällt; denn es ist für diese Punkte S^(a\pa) — S^(ß \pp) = 0, aber

%(«l Pa) - Stt(ß\ Pfi) =— ² I ((1 -    &) + Pa Pß)%>\ + 0₂ -ß₂)h }

+ («| + 2Pa*! + (1 — ^Vf) — (ßl + ²Pßßl + (1 - V^ßl).

Dieser Ausdruck ist in der Tat in %lf £₂ linear, es müßten denn die Koeffizienten von |1; ç₂ verschwinden. Dieser Ausnahmefall tritt ein:

1.    bei v = 1, wenn pa —Pp — 0, cc₂ ~ ß% — 0? d. h. für zwei Parabeln mit gleichen Parametern und derselben Achse,

2.    bei v ^ 1, wenn cc₂ = ß₂ und ax — ß₁ = (pa — p^) : (1 — v²) = s(acc — a(i), wenn aa, die halben Hauptachsen sind, d. h. aber für zwei konzentrische Ellipsen oder Hyperbeln des Systems.

Es folgt:

Der Ort gleicher Potenz zweier homothetischer aber nicht konzentrischer Ellipsen oder Hyperbeln ist eine Gerade, die Potenzachse, die durch die gemeinschaftlichen Schnittpunkte dieser Kurven im Endlichen geht.

Der Ort gleicher Potenz, zweier homothetischer Parabeln, die nicht zugleich denselben Parameter und dieselbe Achse haben, ist eine Gerade, die Potenzachse, die durch die gemeinschaftlichen Schnittpunkte dieser Kurven im Endlichen geht.

Eine beliebige Gerade durch einen Punkt % der Potenzachse trifft beide Kurven in zwei Punktepaaren £', r[, rf', sodaß

falls die Geraden mit unendlich fernem Schnittpunkt ausgenommen werden.

7. Potenzzentrum. Wie in der Kreisgeometrie zeigt man:

Haben drei homothetische Kegelschnitte paarweise drei verschiedene Potenzachsen, so sind diese parallel oder gehen durch einen Punkt im Endlichen, das Potenzzentrum der Kurven.

Ein Speer von der Neigung 6 durch das Potenzzentrum n trifft, wenn 1 — v² cos² 0 =f= 0 ist, die drei Kurven in drei Punktepaaren

r, r's v, n\ r, r, sodaß

und

f    S**(*\Pa) = SnÄß\Pß) = Sxit(r\Py) = Snn

\ Snn : (1 — v² cos² 6) =    • jrg" = str{ • Jtrf' = stÇ • JtÇ".

Um das Potenzzentrum tc dreier Kreise läßt sich, wenn von % an einen und damit an alle eine reelle Tangente geht, mit dieser als Radius der Orthogonalkreis schlagen. Erblickt man das Wesen dieses Kreises darin, daß auf jedem seiner Durchmesser das Quadrat des Radius gleich dem Produkt der Sekantenabschnitte des getroffenen Kreises ist, so wird man yon dem Analogon des Potenzkreises verlangen, daß jeder Punkt £ der gesuchten Kurve auf dem betrachteten Speere die Bedingung Tt%² =    • jiĘ' erfüllt. Verlangt wird also:

Snn

(17) *I* = r

— i/²cos² 6

oder:

7t 7t ’

- V²^ -    = 8

Das Gegenstück des Potenzkreises ist demnach

(18)

(1 - **)& - TtJ² + (|₂ - tc₂)² = Snn = snn(a pa),

man

und das ist zugleich das Gegenstück zu dem Kreise um das Zentrum tc, der S^(a\pa) = 0 für v = 0 orthogonal schneidet. Setzt — 7t₁ — Jj, £₂ — jr₂ = j₂, so nimmt (17) die einfache Gestalt

(19)

(1 - v²)l\ + = Sn7t{a\pa) = q²

an. Bei positivem Snn ist das im Falle v = 1 ein Geradenpaar £₂ = ± q parallel zur Achse der Parabel. Es folgt:

Liegt der Punkt tc außerhalb der Parabel, und bestimmt man auf jeder durch tc gehenden Sekante zu den Schnittpunkten £', £" den Punkt £, sodaß Jt%² =    • JtĘ,",

so liegt £ auf einer der beiden Parallelen zur Hauptachse durch die Berührungspunkte der aus tc an die Parabel gelegten Tangenten.

Konstruiert man dagegen den Punkt £ bei einer Ellipse oder einer Hyperbel, so erhält man als Ort für £ einen homothetischen Kegelschnitt (19).

Zu einer eingehenderen Untersuchung dieser Verhältnisse fehlt es hier an Raum; die Anregung muß genügen.

Zur Vermeidung imaginärer Kurven empfiehlt es sich, bei der definierenden Formel (17) auf orientierte Strecken zu verzichten. Das läuft darauf hinaus, daß Snn in (18) und (19) mit den beiden Vorzeichen + 1 genommen werden kann.

8. Ausblick. Was dabei zu erreichen ist, läßt sich für v < 1 im Voraus übersehen. Durch Affinität gehen parallele Geraden und damit ähnliche Figuren wieder in solche über. Hat man also eine Affinität, die eine Kurve des Systems @(v) bei v < 1 in einen Kreis

verwandelt, so gehen durch diese Affinität die anderen Kurven des Systems von selbst in Kreise über. Damit beherrscht man den Fall v < 1 vollkommen. Insbesondere sieht man, daß im System ©(v), v < 1, an die Stelle der rechten Winkel überall Speerpaare mit konjugierten Neigungen 6, 0' treten werden. Für v > 1 gibt es keine reelle Transformation des ©(v) in das ©(0); doch wird man, wie hei dem Übergang von der Ellipse zur Hyperbel, durch Vertauschung von b² mit — 6² meistens zu jedem Satz des Systems ©(v), v < 1 einen für v > 1 ableiten können. Das System ©(1) dagegen hat seine eigenen Gesetze, wie ja schon das Analogon des Orthogonalkreises aus ©(1) herausführte. Der tiefere Grund für dieses unterschiedliche Vei'halten ist der, daß das ©(1) eine Mannigfaltigkeit von Kegelschnitten mit gemeinschaftlicher (unendlich ferner) Tangente und gemeinschaftlichem Berührungspunkt ist, während das @(v), v^l aus Kegelschnitten mit zwei gemeinschaftlichen Punkten auf der unendlich fernen Geraden besteht.

§71. Sekanteneigenschaften auf Grund der r-Gleichung.

1. Die x-Gleichung. Auf der Geraden des Vektors (oder xy) sei ein Punkt £ (oder z) festgelegt durch das Verhältnis x = tjg : £§ (oder T = yz : zx), in welchem er den Vektor teilt. Dann ist nach § 58,5

(* = 1,2) (1')

— yi + zxi

l + T ’

(1)

Daher ist

₌ Vi±jJi

l+T

(2)

(2')

(1 + t)²*% =

(1 + xfMzz = M + 2 xMyx + x*M

XX 1

worin

(8)

Stf =    - p(vi + ii) + (1 -

(3')

Myx S55 yixja* + sy₂xjb* - 1.

Die Ausdrücke = und Myx = Mxy sind so gebildet, daß sie in Mxx übergehen, wenn rj mit |, y mit x zusammenfällt.

Soll nun der Teilpunkt £ (oder z) auf der Kurve = 0 (oder Mzz = 0) liegen, so muß das Teilverhältnis x

die t- Gleichung

= 0,

(4) t*Sss + 2tS<, + S„ = 0, |(4')    +    +

das Gegenstück der t-Gleichung, erfüllen.

Diese neue Parametergleichung für das Sekantenproblem läßt sich ganz nach dem Vorbilde der ^-Gleichung bearbeiten. Sie zeigt ein-

Das Produkt x x" führt ohne neue Aufschlüsse zu der Kegelschnittspotenz zurück. Die Summe x -f- x" dagegen macht uns mit dem wichtigsten Gebilde der Kegelschnittslehre, der Polare bekannt.

2. Pol und Polare. Wenn nämlich SV = 0 (oder Mxy = 0) und damit x" = — x ist, so werden die zwei Punkte | und r\ (oder x und y) durch die Schnittpunkte Ç, £" (oder /, z") der Geraden mit der Kurve harmonisch getrennt (§ 58, 5). Man sagt dann kürzer: Die Punkte | und rj (oder x und y) werden durch den Kegelschnitt selber harmonisch getrennt. Alle Punkte £ (oder x), die von dem festen Punkte x\ (oder y) durch die Kurve harmonisch getrennt werden, und nur diese Punkte, erfüllen hiernach die Bedingung:

(6)

(6')

Abgesehen vom Falle rj₁ = p/(l — v²), rj₂ = 0 oder yi = y^= 0, wo der Punkt rj (oder y) für v =(= 1 in den Mittelpunkt zu liegen kommt, enthält diese Gleichung die Veränderlichen £₂ (bzw. x1} x%) linear, verweist also den Punkt £ (oder x) auf eine Gerade. Es folgt:

Satz 1. Die Punkte § (oder oc), welche durch die Kurve von eiuem festen Punkte y (oder y) harmonisch getrennt werden, bilden eine Gerade, die Polare von <n (oder y). Sie hat die Gleichung 8 =0 bzw. M =0.

Ś1J    xy

Daß bei v 4= 1 der Mittelpunkt yx = y% = 0 keine Ausnahme macht, wird sich bald zeigen.

Der Punkt rj heißt der Pol der Geraden = 0. Eine beliebige

Gerade

fâcher wie jene, wenn | (oder x) nicht auf der Kurve angenommen wird, die ausnahmslose Gültigkeit des Satzes, daß jede nicht berührende Gerade die Kurve in zwei Punkten trifft; denn bei S^=J= 0 (oder Mxx =j= 0) tritt keine Graderniedrigung ein.

Die symmetrischen Elementarfunktionen der Wurzeln r, x" sind unter dieser Voraussetzung

T -j- *"

(5)

sJa

X 4- t"

y r fr    M y y

T r = M.

./■

(u I x) = U₁x₁ + U₂xJ + m₃=0

hat daher den Pol rj (bzw. y), wenn sie mit der Geraden $g,;=0 (bzw. ilf =0) zusammenfällt; das heißt aber nach § 61,1, wenn eine von

Null verschiedene Konstante X sich bestimmen läßt, sodaß X(coj !) = $£ , bzw. X(u I x) = M wird. Man erhält so die Gleichungen:

= (1 —    p,

œ₂X = %, o,₃A = —PVi,

die zunächst für X die Bedingung (7)    ^(^^ + (1— v²)G3₃) = — p²

M — y Ja?, u₂X = syjb¹, u₃ X = — 1,

u₃X = — 1 ergeben. Damit A =f= 0 ausfällt, muß in (7) die Klammergröße von Null verschieden sein; auszuschließen ist also:

1.    bei v=l der Fall 0^ = 0, (co | £) = co₂|₂ -+- oo₃ einer Parallelen zur Parabelachse, also eines Durchmessers;

2.    bei v 4= 1 der Fall pal -j- (1 — v*)co₃ = 0,

(ca I) = ^1 — ¹ ^ co₃ -f- |₂co₂ eines Durchmessers, übereinstimmend

mit (7'). Ist also die vorgelegte Gerade kein Durchmesser, so kann X =4= 0 bestimmt werden, worauf man für rjlf t]₂ (bzw. yx, yj die Werte (8), (8') findet:

Satz 2. Die Gerade (co 11) == 0 (oder (u \ x) = 0) hat den Pol

(8)

Vi =

(8')

__________P<* 8

2»®1 + G — 0®S

V\ =

— JP*®*

⁷‘² P«h + 0- — **)®b

2/2 = - «

L?

hierbei sind die Durchmesser nicht mehr ausgenommen, weil sich die Formeln (8), (8') hinterher auch für diese als zutreffend erweisen. Der unendlich ferne Punkt paralleler Kegelschnittsehnen wird nämlich von den Punkten des sie hälftenden Durchmessers durch die Kurve harmonisch getrennt, und so ist jeder Durchmesser die Polare des unendlich fernen Punktes der Sehnen, die er hälftet, der Mittelpunkt also der Pol der unendlich fernen Geraden. In der Tat ergibt nun (8) oder (8') für einen Durchmesser unendlich große Koordinaten, deren Verhältnis aber endlich ist und unsere geometrische Überlegung bestätigt.

Satz 4. Wenn eine Gerade durch den Pol einer zweiten geht, so geht die zweite auch durch den Pol der ersten, und beide Geraden heißen konjugiert. Es sind (m 11) = 0 und (cd* | £) = 0 oder (u \ x) — 0 und (u* \ x) = 0 konjugiert, wenn

Satz 3. Wenn ein Punkt auf der Polare eines zweiten liegt, so liegt der zweite auch auf der Polare des ersten, und beide Punkte heißen konjugiert. Es sind | und rj, oder x und y konjugiert, wenn

St =0

(9)

1(9')

(10)

(10')

+ Os⁰*) — p²(0gGjf + (1 — v²)C0₃ Gig = 0 a²MjMf 4    — u₅u* = 0

ist.

Nach dem Schlüsse von 2. deckt sich diese Definition im be

sonderen Falle konjugierter Durchmesser mit der des § 68,7. Ein Vergleich der Formeln (10), (10') mit § 69, (6), (6') zeigt, daß die Tangenten der Kurve je als zu sich selbst konjugiert angesehen werden müssen; in der Tat ist ja der Pol einer Tangente ihr Berührungspunkt.

Wendet man die Formeln (10), (10') auf zwei Speere {p |S) = — (il — £i) sin 0 + (ia — §a) cos 9,

(co* I i) = — (ix — £j sin 0* -f (i₂ — £g) cos 0*,

(u j x) = — (xx — zx) sin 9 -f (#₂ — z₂) cos 9,

(m* x) = — (x₁ — zj sin 9* -f- (x₂ — 4) cos 9*

an, die unter den Neigungen 9, 9* durch denselben Punkt £ bzw. z gehen, so ergibt sich nach kurzer Rechnung

(ii) tg0tg0*(— 2pg,+(i—v²)g) + (tg» + tg0»)(j>—(i — i»*)f,)

+ (l-./!)g-j>a-0,

(11')

tg 9 tg 9* (a² — #²) 4 (tg 9 4 tg 9*) ztz₂ 4 £&² — Ą = 0.

In dem Büschel der Speere, die durch den Punkt £ (oder F) gehen, sind also je zwei Speere konjugiert, wenn zwischen ihren Neigungswinkeln der Zusammenhang (11) (oder (11')) besteht.

Für den Mittelpunkt z₁ = z₂ = 0 der Ellipse oder der Hyperbel erhält man z. B. wieder die Formeln (15) des § 68.

Sollen die Speere aufeinander senkrecht stehen, so muß tg0tgö* = — 1 sein. Zur Bestimmung von tg 9 ergibt sich dann folgende quadratische Gleichung:

(i2) (tgö-i/tgöXpk-a-^La+a-v'xg-ffi+ai^-jp’-o,

( 12') (tg6 — l/tg$)e₁z₁ = Ą — Ą + a- — i Ir = Ą — Ą + e².

Diese ist für jedes 6 erfüllt, wenn

(13)

pt* - (i - *²) Ç. e₂ = Up - a - *U) = o,

(1 - v²) (£§ - £f) +    P²=0, bzw.

(13')

zx zi= 0 > z\ — z\ + c² = 0 ist. Für die Parabel v=l ist (13) einfacher: p£s = 0, 2pÇ₁ —p² = 0, und gibt £₂=0, £₁ = _p/2, als den Brennpunkt. Die Gleichung (13') verlangt: Entwed er z% = 0, zx = ± c oder zx = 0, z₂ = ± c]/— 1. Es folgt:

Satz 5. Je zwei konjugierte Strahlen durch einen Brennpunkt stehen aufeinander senkrecht.

Läßt man diese Eigenschaft als projektive Definition der Brennpunkte gelten, so haben die Ellipse und die Hyperbel auf der Nebenachse noch ein zweites Paar von Brennpunkten zx = 0, zs=dzcY—1, die aber konjugiert imaginär sind.

Zu dem Satze 5. führt auch eine rein geometrische Überlegung: Jede Leitlinie l ist die Polare ihres Brennpunktes F. Wenn also eine Gerade t die Kurve in C berührt und l in C schneidet (Fig. 206), so muß die Polare von C durch G und durch F gehen. Daher sind nach Satz 4. die Geraden FC, FC konjugiert. Daß sie nun, wie Satz 5. behauptet, aufeinander senkrecht stehen, war schon in § 67,1 zu Tage getreten.

4. Die Sehnenmitten. Die Mittelpunkte | aller durch einen festen Punkt r\ gehenden Sehnen eines Kreises jc um den Mittelpunkt O liegen auf einem Kreise mit dem Durchmesser öy ; der Kreis bleibt, wenn % durch einen konzentrischen Kreis ersetzt wird.

Um diesen Satz auf die Kegelschnitte zu übertragen, suchen wir bei festgehaltenem rj den Punkt | so zu bestimmen, daß er in die

Mitte der durch rj gehenden Sehne £'£" fällt. Wenn etwa £' auf der

Strecke ij£ selber, £" auf ihrer Verlängerung liegt, so ist r'= 17 £':£'£ positiv, x" = — 17 £" : £"£ = — (77 £' + 2£'£) :£'£ = — (r + 2) negativ. Die gewünschte Lagebeziehung erfordert somit t' + t" -f 2 = 0 oder Sg— — 0, in den Mittelpunktskoordinaten entsprechend Mxx— Mxy= 0.

Das wird durch die Bemerkung bestätigt, daß die Sehne, um £ zum Mittelpunkt zu haben, zur Polare S^— 0 von £ parallel sein muß; ihre Gleichung hat daher, mit £ als veränderlichem Punkt, die Gestalt Sçç + X = 0, und da die Sehne durch £ geht, ist -f- X = 0.

Daher ist

(14)

1(140

bei veränderlichem £ (oder z) die Gleichung der Sehne, die durch I (bzw. x) gehälftet wird.

Soll diese Sehne durch rj gehen, so folgt wieder S% —    = 0; also:

Die Mittelpunkte | (oder x) der durch rj bzw. y gehenden Sehnen liegen auf der Kurve

(15)

(15')

5. Deutung von Mxx— Mxy= 0. Unter Parallelverschiebung

(16)

ï₂=^2- h-2

der Koordinaten ist:

yy ’

(17)    - jf/o! + ttl/V-iH'

Satz 6. Die Mittelpunkte x der durch y gehenden Sehnen von Mxx = 0 liegen auf der Kurve (Kegelschnitt)

(18)

£i/a² + sfjb² = ±Hyy-,

diese ändert sich nicht, wenn Mxx= 0 ersetzt wird:

a)    entweder durch den konzentrischen und homo-thetischen Kegelschnitt

(19)

m positiv,

x\/{maf -{■ sx\(mby — 1 = 0,

b)    oder auch bei £ =—1 durch den dazu konjugierten

(20)

xl/(mby~ x\(ma)² — 1 = 0.

Denn b) ordnet sich dem Falle a) unter, wenn m in (19) durch m Y— 1 ersetzt wird; dieser Proportionalitätsfaktor hebt sich aber aus (18) wieder heraus.

Dieser Satz ist offenbar das Gegenstück zu dem vorausgeschickten Kreissatze. Es ist nur noch die Kurve (18) genauer zu deuten.

Im Falle £ = -f-1 gibt es immer in der Schar (19) eine Ellipse, die durch y geht, man braucht die positive Zahl m nur aus m² = yl/a2 -j- yl/b² = Hyy zu bestimmen, was nur bei y₁ = y%= 0 unmöglich ist.

Im Falle 6 = — 1 kommt es darauf an, wie y zu den Asymptoten von Mxx = 0 liegt:

a)    Liegt y im inneren Gebiete, so geht durch y eine bestimmte Kurve der Schar (19), denn m² = Hyy ist positiv;

b)    liegt y im äußeren Gebiete, so geht durch y eine bestimmte Kurve der Schar (20), denn m² = — Hyy ist negativ.

Mit Ausnahme des Falles Hyy = 0, wo y im Mittelpunkt oder bei £ = —1 auf einer Asymptote vonMxx=0 liegt, gibt es also für £ = -f 1 wie für £ = — 1 stets eine bestimmte Kurve x der Schar (19) oder (20), die durch y geht. Wir stehen dann vor der einfacheren Aufgabe:

Den Ort der Mittelpunkte aller Sehnen einer Ellipse oder einer Hyperbel x zu bestimmen, die durch einen Punkt y dieser Kurve gehen.

Weber u. Wellstein: Enzyklopädie. II. 3. Aufl.

Die Antwort gibt jetzt allein die Ähnlicbkeitslebre, ohne daß man irgendeine Eigenschaft der Kurve s« zu kennen braucht:

Die gesuchten Sehnenmitten befinden sich auf einer zu K ähnlichen und bezüglich y als äußerem Ähnlichkeitspunkt ähnlich gelegenen Kurve, deren Achsen nur halb so groß sind; sie berührt % in y.

Diese Kurve schrumpft, wenn y in den Mittelpunkt von Mxx=*(y rückt, in diesen Punkt zusammen; liegt ?/bei £ = — 1 auf einer Asymptote, so ist der Ort der Sehnen mitten eine Parallele zu der anderen Asymptote.

Die Nachbildung dieser Sätze bei der Parabel ist leicht. Verbindet man die ganze Satzgruppe mit den Potenzsätzen des § 70, so übersieht man ein abgeschlossenes, durch seine Ähnlichkeit mit der Kreisgeometrie leicht zugängliches und durch seine Besonderheiten reizvolles Gebiet der leichteren Kegelschnittgeometrie.

§72. Tangenteneigenschaften auf Grund der r-Gleichung«

1. Die Tangente in einem Kurvenpunkte rj oder y ist nach der Polarentheorie einfach die Polare dieses Punktes und hat daher die Gleichung

(1)

I (1')

Myx=0.

Sie ist auch die Sehne, die durch diesen Punkt gehälftet wird, und hat daher nach § 71, (14), (14') die Gleichung

(2)

I (20

die mit (1), (P) identisch ist, da r\ (oder y) auf der Kurve liegt.. Es ist

Mym~Myy= 0,

(3)

- s,,,, = (i₈ - V»)Va + (il - Vi) (fl -    - P)

Mvx~ Mvv = {Xl~yi)yi yx    y y

Die Gleichung der Normale, in r) oder y, als des Lotes in diesem Punkte auf der Tangente, ist folglich

(ii - Vi)Va — (ii ~Va) (fl — v*)Vi — P) = °, fa — yùvt _ fa — yJvi

sb²

Fragt man, um sich von der Polarentheorie unabhängig zu machen, allgemein nach der Bedingung, unter der die Gerade $ g = 0 oder Myx= 0 die Kurve berührt, so erhält man aus § 69, (6), (6') nach kurzer Rechnung einfach St]tI=0, Myy= 0.

2. Infinitesimale Ableitung der Tangente. Um die Tangente auch analytisch aus der Verbindungssehne tqt, oder yz zweier

(3')

(4)

(4')

a⁸

a⁸

= 0.

Kuryenpunkte y, £ oder y, z entstehen zu lassen, wodurch das Wesen des Tangentenbegriffes besser zum Ausdruck kommt, muß man zuerst die Gleichung der Sehne 17 £ (bzw. ÿz), nämlich

(il - Vi) ■ (5* - Va) = (£i — Vi) ■ (Sa - Va),

fa - Vi) ■ fa - y%) = fa - vù: fa - y a) y

in eine für den Grenzübergang brauchbare Form bringen. Aus Sçç — 0, Sy y = 0 (oder aus il^a = 0,    = 0) folgt durch Subtraktion:

(£2 “ %) (£2 + Va) + (£1 ~ Vi) ((1 — v²) (£1 +%) ~ 2p) = 0

(*i — y») (*« + y»)

(*1 — 3/1) («i + 3/1)

a²

6²

= 0.

Berechnet man hieraus das Verhältnis (£₂ — ^₈) : (£t —oder (^2 — 2/2) : (^1 — 2/i) und se^zt es in die vorige Gleichung ein, so ergibt sich

(5)

(il — Vi) ((1 — ^²)(£i + Vi) — ²P) + (i₂ — Va) (£2 + Va) “ °>

(50

fa ~ 3/1)^"T”¹ + £fa — y2)= o

als Gleichung der Sehne oder Tÿ.

Rückt £ oder £ auf der Kurve nach rj oder y, so erhält man wieder (2), (2').

3. Die Tangenten aus einem Punkte £ oder z an einen Kegelschnitt können nach § 25 mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Analytisch führen mehrere Wege zu den Gleichungen der Tangenten. Die Bedingungsgleichung für das Berühren findet sich in § 69, (6), (6'). Soll der Speer

fa I I) = — fa — £j) sin 0 + fa — £a) cos 0 = 0 fa I x) = — (xx — sin 0 -j- fag — #₂) cos 0 = 0

die Kurve berühren, so ergeben diese Formeln zur Bestimmung des Neigungswinkels 0 die quadratische Gleichung

(«)

tg² 0 (- 2p £t + (1 - 0£²) + 2 tg 0 (p£₂ - (1 - V²fa£₂)

(60

+ (1 — v²)£! — p² = 0, fa² — O tg²0 + 2ztzs tg0 + stf-z\ = 0,

im Einklang mit § 71, (11), (11'), wenn man daran denkt, daß die Tangente zu sich selbst konjugiert ist. Die Diskriminante

(7) ® = (p£₂ — (1 - v²)£i£₂)²— (- 2p£* + G - ^²)£1)((1 - v*)g -2>²)

von (6) bestätigt die geometrisch selbstverständliche Tatsache, daß nur aus den Punkten positiver Potenz zwei reelle Tangenten an die

(9)

so erhält man durch Einsetzen von (8), (80 unter Benutzung von {(1 - vs)+ §*) — 2p£t-p²}² tg²y — 4p²%=0,

(90

{z\ -j- z\ — (a² + £&²)}² sa²b² tg² y — 4= 0 .

Diese Formeln bestätigen für y = jr/2, wenn man sie vorher durch tg² y dividiert hat, eine in § 69, 3 gemachte Bemerkung. Sieht man ferner von dem inhaltsarmen Falle y == 0 ab, so ist die Gleichung

(9) oder (90 bei v =J= 1 vom vierten Grade, stellt also eine Kurve „vierter Ordnung“ dar, deren Punkte die Scheitel der mit ihren Schenkeln den Kegelschnitt berührenden Winkel y sind.

Bei der Parabel (v = 1) dagegen ist der gesuchte geometrische Ort ein Kegelschnitt

(10)

Kurve gehen. Sind 9', 9" ihre bis auf Vielfache von n definierten Neigungen, so ist nach (6), (6')

(8) tg e-+ tg 9"—    tg ff tg e" -

tg9' + tgr--2^Ii!, tg9'tg9"-î^=|-

Zur Anwendung dieser Formeln wollen wir den Ort der Punkte £ oder z bestimmen, deren Tangenten miteinander den festen Winkel y = 9" — 9' bilden. Da

tgV = (

(S')

tgö"— tgö' i +tgö'tgö"

)!=

(l-OS-P* -2Ki + (l-0£T

(tgö' + tgö'V— 4: tg0' tgö" (î + tge'tgO*

(2^ + pf tg²y = 4(£² — 2p^),

der sich nach geeigneter Verschiebung des Koordinatenanfanges auf der Abszissenachse als Hyperbel herausstellt.

Während bei der Potenz eines Kegelschnittes in einem Punkte z zu dem Produkte der von z ausgehenden orientierten Sekantenabschnitte immer noch ein Richtungsfaktor tritt, der nur beim Kreise gleich 1 ist, ist die linke Seite von (90 einfach gleich dem Produkt der Sekantenabschnitte, und dieses ändert sich also nicht, wenn die Sekante um z gedreht wird. Es liegt das daran, daß die Glieder vierten Grades (zf + zl)² sind. Zum Beweise hat man nur die ^-Gleichung für die Kurve dem § 68, 2 nachzubilden.

4. Die Konstruktion der Normalen aus einem Punkte £ oder z an einen Kegelschnitt ist ein altes Problem, dessen Lösung schon Apollonius kannte. Den Punkt, in dem die Normale auf der Kurve senkrecht steht, bezeichnen wir mit £ oder x. Dann hat man zur Bestimmung von | oder x : m₂ =

Sie stellt eine gleichseitige Hyperbel mit dem Mittelpunkte m₁ = a²z₁/c²’ — eb²z₂/c² dar, deren Asymptoten zu den Achsen von Mxx = 0

parallel sind.    ę

Die Fußpunkte der aus z an Mxx— 0 gehenden Normalen liegen auf einer gleichseitigen Hyperbel.

Sie sind folglich die Schnittpunkte dieser Hyperbel mit Mxx = 0, vgl. Fig. 215. Ihre Koordinaten xx, x₂ werden berechnet, indem man (11') nach einer der Yariabeln xx, x₂ auf löst und diese in Mxx = 0 einsetzt. Man erhält so für die

andere Variable eine Gleichung vierten Grades. Zu jeder Lösung derselben liefert (11') die andere Koordinate eindeutig:

Es gibt also vier Fußpunkte und damit vier Normalen.

Fig. 215.

Von diesen ist aber eine ausgezeichnet: die Hyperbel (11') ändert sich nämlich nicht, wenn a, b mit einem positiven oder rein imaginären Faktor n multipliziert werden; das heißt aber, wie in § 71:

Die Kurve Mxx darf ersetzt werden: entweder durch eine konzentrische und homothetische

(13)

erstens nach (4), (4') die Gleichung

«. - yi₂- fe- y «i - »u - j>) = o,

(Z. — Xi)X₁

sb²

a²

= o,

oder geordnet:

(in

1,!5,M + (1 — »,a)life+ S₂(P — 5i) — iiP — 0, c²^j^₂ + eb²xxz₂ — a²x₂zx = 0,

und zweitens die Gleichung S^=0 bzw. Mxx=0, die £ oder x auf der Kurve liegen läßt.

Die Gleichung (ID) kann geschrieben werden:

(xx — a²zxJc²)(xa -f- eb²z₂/c²) -f £zxz₂a²b²/c² = 0 .

(HO

(12)

x\j{na)²-(- ex²/(nb)²= 1,

oder bei s = — 1 auch durch die zu x\/(na)²—x\/{nb)²= 1 konjugierte Hyperbel

(14)

— x\l(na)² + x\/(nb)² = 1.

Wählt man nun n in (13) oder nach Bedarf in (14), wie in § 71, derart, daß die Kurve (13) oder (14) durch den Punkt z geht, so kann

n>0

die in z auf dieser Kurve senkrechte Normale sofort konstruiert werden. Sie tritt damit in Gegensatz zu den drei anderen, die zwar auch durch z gehen, aber den Fußpunkt x nicht in z haben. Die Bestimmung dieser drei Fußpunkte ist also offenbar ein kubisches Problem.

Die analytische Durchführung dieses Gedankens verlangt, x1} x2 zu bestimmen aus

+ s(nb)²x₁z₂ — (na)²x₂zx = 0, x\/a² + sx\/b² = n², n² = z\ja² + Ez\/b².

Die erste Gleichung gibt x₂ = sb²xxz₂ : (a²zx — c²xx), also: a i ia*zx— c*xx

x₂ z₂ — z₂

a²zx -J- (2s5²— ai)x1 a*zx —c² xx

und damit:

a²zx -f- (2s&²— a²)#, («X — cX)²

Die anderen zwei Gleichungen haben zur Folge:

x\ — z\

x\ — z\

a²

= 0,

oder, wenn man den vorigen Ausdruck einsetzt und ausdrücklich annimmt, daß x der Fußpunkt einer nicht durch z gehenden Normalen, *i+*i, sei,

«i + gi «    +

a² t-    (cä^ — aX)²

Nach Beseitigung der Nenner ist das in der Tat für xx eine kubische Gleichung.

Im Falle der Parabel, v = 1, den wir hier nicht durchführen wollen, ist die entsprechende Gleichung von vornherein kubisch.

Der algebraischen Vollständigkeit halber müßten wir nun noch

(15)

= 0.

5. Die Diskriminante der t-Gleichung berechnen, um auch von dieser Seite das Tangentenproblem zu lösen. Diese Diskriminante ist

(16)    JmSl,-SKS„,

oder, wenn man nach Potenzenprodukten von p und (1 — v²), bzw. von 1/a², 1/b² ordnet:

(17)    z/ = p²(ii- 7?i)² - 2p(i₂- rj₂) (g^,— i₂rjx) - (1 - v²)(^rj₂ - £₂^)², (17') B = {xx — yx)²/a² + (x₂ — y₂)²/sb² - (pcxy₂ - x₂yx)²/sa²b².

Mit Rücksicht auf die in § 71, 1. gemachten Voraussetzungen kann man sagen:

(16') D = 30,-M„Mn,

Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Gerade £17 (oder xy) den Kegelschnitt S^= 0 (oder Mxx = 0) berührt, ist A = 0 (oder D = 0).

Mit £ oder z als unveränderlichem Punkt hat diese Gerade aber die Gleichung (eo j £) = 0 oder (u \ z) = 0, wo

(® U) = £1 (ia - %) - £2 (Si - %) + (Si% - ^i),

(u z) = zx(x₂ - y₂) - z₂ (xx - yx) + [xx y₂ - x₂yx).

Unsere Behauptung wird also durch § 69, (6), (6') bestätigt.

Hält man 17 oder y fest, so stellt A = 0 hzw. D — 0 den Ort dar, dem £ hzw. x angehören muß, damit 77£ oder xÿ die Kurve berührt. Dieser Ort kann aber nur die eine oder andere Tangente selbst sein, und so wird man nach dem Vorbild von 69, (9), (9) erwarten dürfen, daß A oder D sich in das Produkt der Gleichungspolynome der beiden Tangenten aus rj(y) zerlegen läßt. Dem ist in der Tat so; die etwas umständliche Rechnung muß hier unterdrückt werden, man kann sie mit Hilfe von (8), (8') übrigens vorbereiten und erleichtern.

Damit wollen wir den Gedankreis des Sekantenproblems abschließen.

In (12) ist uns die gleichseitige Hyperbel nicht in der Normal -form ihrer Gleichung entgegengetreten, und so waren wir schon öfter genötigt, Verlegungen des Koordinatensystems vorzunehmen, um aus einer in xx, x₂ quadratischen Gleichung die Gestalt des Kegelschnittes zu erkennen, den sie darstellt. Die hiermit berührte Aufgabe soll nun in voller Allgemeinheit gestellt und gelöst werden.

¹

Konjugierte Punkte und Geraden. So oft | der Polare von rj angehört, liegt wegen der Symmetrieeigenschaft Sç = S % auch rj auf der Polare von g.

Der Pol rj der Geraden (co 11) = 0 liegt auf einer vorgegebenen Geraden (eo*|£) = 0 (und ebenso der Pol y von (u\x) = 0 auf (te¹⁵⁵[a?) = 0), wenn (co* | rj) bzw. (u* \ y) mit den Werten (8), (8') gebildet gleich Null ist. Das gibt die in co und co* (oder u und u*) symmetrische Gleichung (10) oder (10'), und so ist bewiesen:

§ 73. Grundeigenschaften der Kurven zweiter Ordnung.

1. Die quadratische Punktion f. Mit reellen, von xx, x2 unabhängigen Koeffizienten

(i)

(^ = 1,2,3; v = l,2,3)

sei die quadratische Punktion

(2)

fanxl ~P ^22^2 "P ®33 ~P ^a₁₂xxx₂ -f- 2a₂₃x₂ -f- 2ct3lxx = («u^i + 2al2xxx₂ + a₂₂xl) + (2aläxx + 2a₂₃x₂ + a₃₃) gebildet, die für x₃= 1 aus der quadratischen Form

fxx = anXl + «22^2 + «33 ^3 + 2ai2XlX2 + ~ «23X2X3 + 2a31X3Xl

hervorgeht.

I. Es soll in einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensysteme die Kurve fxx= 0 gedeutet und vor allen Dingen festgestellt werden, unter welchen Bedingungen für die Koeffizienten sie eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel ist.

A2S = a₂₁ a₃₁    «₂₃ «n,

Die wichtigsten Verbindungen der Koeffizienten, die sich im folgenden nach und nach darbieten werden, seien zur größeren Übersichtlichkeit hier zusammengestellt:

An = «₂ 2 n₃₃    «j₃,

(3)

-^22 ⁼ ^33^11 a31’ -^81 = a32ai2 ^31^22 7 -^33 “ ail a22 au> ^12 “ ai3a23 ^12^33 7

mit der zur Hervorhebung von Bildungsgesetzen dienenden Erweiterung

(4)

.4    - A

Uv

1747

(^ — 1,2, 3 ; v — 1, 2, 3).

Dazu kommt die Determinante

ai2 %3

(5)H= «21 ^22 ^23 — «33(«u«22    ^12) («n «23    2 «i₂^23 ^*31 "P ^22 ^Sl)

«₃₁    «32    «33

von der übrigens nur die zweite Darstellung als Definition gebraucht werden soll. Es ist

(6)

A «₃₁H₃₁ -f- «32 ^32 4“ ^SS^SS’

Endlich

CO

® = an + «₂₂, $ = ©²- 4 J₃₃ = («u - «₂₂)² + 4«*₂.

Damit fxx — 0 nicht einfach eine gerade Linie darstellt, müssen wir voraussetzen, daß die Koeffizienten an, «₁₂, a₂₂ der „quadratischen Glieder“ nicht sämtlich gleich Null sind.

II. Diese Annahme können und wollen wir mittels der Forderung durchsetzen, daß @ und $ nicht zugleich verschwinden;

denn wegen der Realität der Koeffizienten hätte $ = 0 für sich schon «u= «227 ß]2⁼0 zur Folge, und dazu käme infolge @ = 0 noch ⁼ ^22 ⁼

2. Ausgeartete Kegelschnitte. Unter den Kurven fxx = 0 werden wir natürlich auch die Kegelschnitte wiederfinden, wir müssen aber darauf gefaßt sein, noch andere Kurven anzutreffen, z. B. ein Geradenpaar (u I x) (v \ x) = 0. In der Gleichung    — 2p + (1 — v²) = 0r

welche Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln darstellen kann, hatten wir bisher nach § 65, 2. den Abstand p/v des Brennpunktes von seiner Leitlinie positiv angenommen. Ein negatives p böte nichts Neues, da das Vorzeichen durch Umkehrung des Sinnes der Abszissenachse geändert werden könnte. Dagegen ist noch der Fall p = 0 zu betrachten. Er definiert uns die ausgearteten ebenen Schnitte Ę + (1 — v²)    = 0

des geraden Kreiskegels. Die Schnittebene geht hier durch die Spitze und trifft, je nachdem v > 1 oder v < 1 ist, den Kegel in zwei reellen oder imaginären Erzeugenden. In der Tat zerfällt die Kurve bei v>l

in die reellen Geraden |₂ + £₁]A'² — 1=0, bei v < 1 in die konjugiert komplexen |₂ +    "|/l — v²== 0, i = }/— 1. Das reelle Paar ver

wirklicht immer noch die Eigenschaft des konstanten Abstandsverhältnisses von Brennpunkt und Leitlinie.

Den Schlüssel zu den geometrischen Eigenschaften der Kurve fxx= 0 bildet, wie in den besonderen Fällen S^ = 0, Mxx=0,

3. Die Parametergleichung des Schnittes mit einer Geraden. Für die Punkte dieser Geraden gelte die Parameterdarstellung

xi = y₁-\-1 cos 0 + t sin 0

(8)

xi = {Vi + **0/(1 + *)> X2 = (^2 + + *) •

Mit der Abkürzung

(9)

Vi = anVi +    + cia, St = aa²i + atie₉ -f ai3

für i = 1, 2, 3 ist

(10)

fxx =fyy + ² 1 Vi cos e + % sin 0} t

+ {an cos² 0 + 2 a₁₂ cos 0 sin 0 + «₂₂ sin² 0}

(1 -f- t)²fxx = fyy + 2fyix + fzzr²,

worin

(H)

fyz = Vl^l + %*2 + % ⁼ £l Vl + £2 2^2 + £3 = fzy

so gebaut ist, daß es für z₁ = yl} z₂ = y₂ in fyy übergeht. Der Punkt # liegt nur dann auf der Kurve fxx= 0, wenn der Parameter t oder x je die Parametergleichimg

{an cos" 0 + 2ć*₁₂ cos 0 sin 0 + «₂₂ sin" 6}t²

4- 2 {łjj cos 0 + tj₂ sin 0} t + fyy = 0,

/* t + 2/ t -p y*

Die Gleichung (13) liefert, wenn nicht schon z auf der Kurve angenommen ist, zwei Wurzeln x'} x" und damit auch zwei Schnittpunkte x, x". Die durch fxx = 0 dargestellte Kurve wird daher allgemein eine Kurve zweiter Ordnung genannt. Ein Schnittpunkt mit x = — 1 würde freilich im Unendlichen liegen. Die Wurzeln x', x" sind entgegengesetzt gleich, x" = — x, also x, x" nach § 58, 6. zu y, z harmonisch, wenn fys = 0. Es folgt:

III. Die Punkte y, welche von z „durch die Kurve“, d. h. durch ihre Schnittpunkte x, x" mit der Geraden yz, harmonisch getrennt werden, liegen auf einer Geraden, der „Polare“ f = 0 oder (Ç ! «/) = 0 von z.

(12)

(13)

.*///

erfüllt.

Das gilt nun auch, wenn fxx — 0 ein Geradenpaar darstellt; die Polare geht dann durch den Schnittpunkt s der beiden Geraden und trennt diese yon sz harmonisch.

Da

so ist

*1 = Vi -t- y²•cos o, *2 = 2/2 + yz-sin

fyz'yZ=fyy- V * + Vl C0S Ö + % sin d-Läßt man also z auf der Geraden (8) in unendliche Ferne rücken, wodurch fyy : yz zum Verschwinden gebracht wird, so geht fyc = 0 über in cos 6 + rj₂ sin 6 = 0. Die linke Seite ist das Mittelglied von (12).

IV. Die Gleichung cos 6 + r]₂ sin 0 = 0 stellt, in y als veränderlichem Punkt gedeutet, die Polare des unendlich fernen Punktes der Richtung 6 dar, im Falle fxx = Mxx also einen Durchmesser.

Das Verschwinden des Anfangsgliedes von (12) erweist sich nach Division der Gleichung durch t² bei * unbegrenzt wachsendem t als Bedingung für einen unendlich fernen Schnittpunkt. Die Gerade hat dann asymptotische Richtung.

(14)

V. Die asymptotischen Richtungen sind also durch «u cos2 X + 2«i2 sin i cos 1 + a₂₂ sin² % = 0

definiert,

allerdings ohne Rücksicht auf ihre Realität. Verschwinden an, a22 nicht beide, so ist das für tg 1 oder ctg 1 eine quadratische Gleichung mit der Diskriminante a\₂ — ana₂₂ = — A3?, und die Richtungen sind in diesem Falle reell für A₃₃ < 0.

Der Satz IV gewährt einen ersten Zugang zum Mittelpunkte, falls fxx = 0 eine Ellipse oder Hyperbel darstellt. Erblickt man das Wesen eines Mittelpunktes darin, daß er alle durch ihn gehenden Sehnen hälftet, so wird yt =    y₂= m₂ ein Mittelpunkt sein, wenn

(12)

für alle Neigungswinkel 6 die Abstände t', t" der Kurvenpunkte x'x' von y entgegengesetzt gleich sind, d. h. wenn das Mittelglied von für alle 6 verschwindet. Es muß dann einzeln ^ = 0, y₂ = 0 sein.

VI. Ein Punkt m ist Mittelpunkt, wenn

(15) an m₁ + a₁₂m₂ + a₁₃ = 0, a2i + a₂₂m₂ +%=0

ist. Nur bei£'=r=0, also nach (12) für fmm = 0 kann das Hälften der durch m gehenden Sehnen in der Weise nichtssagend werden, daß die Schnittpunkte immer mit m zusammenfallen — der Mittelpunkt wird dann zum Doppelpunkt und liegt auf der Kurve.

Für A₃₃ =j= 0 gibt es einen einzigen Mittelpunkt

mi = AJÄ

(16)

33 y

7yi₂ AJA₃₃ .

Eine gründliche Diskussion der Gleichungen (14), (15), (16) würde mühelos die Kennzeichen der durch fxx = 0 dargestellten Kurven ergeben, wenn man wüßte, was für Kurven durch fxx— 0 überhaupt dargestellt werden können. Ein Doppelpunkt tritt z. B. ein, wenn fxx — 0 in zwei Geraden zerfällt, die sich in einem Punkt m im Endlichen schneiden. Wir wissen aber nicht, ob das die einzige Möglichkeit ist. Ein „Mittelpunkt wird, wenn fxx = 0 aus zwei parallelen Geraden besteht, jeder Punkt der ihren Abstand hälftenden Parallelen sein. So sind wir immer wieder auf die Fragestellung I zurückverwiesen.

Unsere Ausführungen sollten nur zeigen, mit wie einfachen Mitteln die geometrische Deutung von fxx = 0 durchgeführt werden kann, und so möge es damit sein Bewenden haben. Auf ihre Ergebnisse werden wir uns im folgenden nicht stützen.

Die Lösung der Aufgabe I wird nun in der Weise vor sich gehen, daß wir durch geeignete Verlegung des Koordinatensystems die Gleichung fxx= 0 auf eine Normalform mit möglichst wenig Gliedern zu bringen suchen.

Zu diesem Zwecke untersuchen wir zunächst, wie eine

4. Drehung des Koordinatensystems auf fxx wirkt. Der Koordinatenanfang wird festgehalten, das Koordinatenkreuz aber um einen Winkel cp gedreht. Ein Punkt x, der vorher die Koordinaten xx, x₂ hatte, habe vom neuen System aus beurteilt die Koordinaten x'x, x₂. Es ist dann nach §59,(7), wo aber die Bezeichnungen genau die umgekehrten sind,

xx = xx cos cp + x₂ sin cp, x₂ = — xx sin cp -f- x₂ cos cp.

in eine qua-

(17)

xj = xx cos cp — x₂ sin cp, x₂ = x[ sin cp + x₂ cos cp,

Setzt man diese Ausdrücke in f

ein, so geht f, dratische Funktion der neuen Koordinaten über:

(1®) fxx—fx'x’— «11*^1    2 ü₁₂XxX₂ -f- $22^2    ^«13^1 "1“ ^«23^2 4” «33-

Hierin ist:

(19)

axx = axx cos² cp 2 aX2 sin cp cos cp -f a₂₂ sin² cp, a₂₂ = axx sin² cp — 2aX2 sin cp cos cp + a₂₂ cos² cp, a'X2⁼ («22 — aii) s^n *P cos 9 + «i₂ (cos² cp — sin² cp),

a₂₃ = — a₁₃ sin cp -f- a₂₃ cos cp,

«« = + «13 C0S <P + «23 sin «33 ⁼ «33 *

Ganz ebenso transformieren sieb die Ausdrücke A'u=a₂₂a₃₃ — a\₂, usw. A'n = An cos² cp -f 2A₁₂ sin <p cos cp -f A₂₂ sin² cp,

(20)

Ä₂₂ = An sin² cp — 2A₁₂ sin cp cos cp -f- A₂₂ cos² cp,

A'₁₂ = (A₂2 — An) sin cp cos cp -f A₁₂ (cos² <)p — sin² cp),

a:

23

— A1S sin cp -f- A₂₃ cos cp,

(20')

A'₁₃ = + An cos cp + A₂s sin cp,

A$s ⁼ A3S.

Bei der Berechnung von A'u, A'₂₂, A'₁₂ ordnet man einfach nach den trigonometrischen Funktionen; A₂₃= a'₂₁a₃₁ ■— a',₃a'n wird nach (19') zuerst:

Ä₂₃ = a'n {«^ cos cp -}- a₂₃ sin gp} — an {— «₁₃ sin cp -f a₂₃ cos cp}, = «₁₃ {a[₂ cos cp + «'n sin cp} -j- «₂₃ {<h₂ s^n ^ — a'u cos *P} > worauf man nach Herstellung der Klammerausdrücke sofort zum Ziel kommt. Ebenso bei A':3. Dann sichert man sich zuerst

(21)

©' = au + a'₂ = Ob, (an — a₂₂)² + 4«'² = $t,

wie ($ und die sich

letzteres unter Einführung von sin 2cp, cos 2cp, und findet darauf A'm = A₃₃ nach (7).

Funktionen der sechs Koeffizienten « , nicht ändern, wenn die «J(V durch die auv ersetzt werden, nennt man Invarianten der Drehung.

VII. Als Drehinvarianten erkennt man sofort:

©, Ä, A₃g, Ati A₂g, A.

(19), (19') und (20), (20') läßt

Wegen der Übereinstimmung von sich jeder in den auv gebildeten Drehinvariante eine zweite, ebenso in den A gebildete zur Seite stellen; A entspricht sich selbst.

5. Ausblick. Die Kenntnis dieser Invarianten hat folgenden Wert: Sieht man genauer zu, welche Eigenschaften der Figuren es sind, die dem Geometer als wissenswert erscheinen, so sind es immer solche, die sich gegenüber gewissen Umgestaltungen oder Transformationen der Ebene oder des Raumes als unzerstörbar, als invariant erweisen. Die Kongruenzsätze betreffen das bei der Bewegung der Körper Unveränderliche, also ihre Größenabmessungen, die Ahnlich-keitssätze der Planimetrie das bei Zentralprojektion der Ebene auf eine Parallelebene sich Erhaltende. Die projektive Geometrie der Ebene lehrt die Eigenschaften kennen, die so tief gegründet sind, daß sie in jeder Zentralprojektion der Ebene wiederkehren, wie harmonische Lage, das Verhältnis von Pol und Polare u. dgl. Felix Klein hat in seiner Erlanger Programmschrift (Abgedruckt in den Math. Ann. 43)

diese Gedankenreihe in die Tiefe und in die Breite fortgesetzt und so nicht nur der geometrischen Forschung überhaupt erst ein klares Ziel gesteckt, sondern nach schärferer Umgrenzung der in Betracht kommenden Transformationen durch den Gruppenbegriff den Weg gewiesen, der uns mit Sicherheit und nach einem klaren Ordnungsprinzip die Eigenschaften der Figuren zugänglich machen wird.

Hiernach dürfen wir, wenn fxx == 0 eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel darstellt, bei den Drehinvarianten einen Zusammenhang mit dem Parameter p, dem Verhältnis v oder den Achsenlängen 2 a, 2b erwarten. Diese Erwartung wird sich am unmittelbarsten in § 75 erfüllen. Vorher müssen wir noch

6. Die Parallelverschiebung des Koordinatensystems in Betracht ziehen. Wir verschieben das Koordinatenkreuz parallel zu sich selbst in eine neue Lage, in der sein Anfangspunkt, vom alten System aus beurteilt, die Koordinaten mlf m₂ hat; sind xf, x* die Koordinaten eines Punktes im neuen System, so hat derselbe vom alten System aus gemessen die Koordinaten

(22)

x\ = mi +    X2 “ m2 + %*•

Mit diesen Koordinaten gebildet ist

(23) fxx = «* xf+2 a* xfz* + «* xf² + 2 a* xf +2 a*₃ xf + a* ,

«fl = «11 ; «?3 = «11 m\ + «12 m2 + «13 ?

(24)

«22 ⁼ «22? «28 ⁼ «21^1 "P «22^2 "P «23?

«12 ⁼ «12?    «33 ~ fmm'

VIII. Hier fällt nun sofort die Unveränderlichkeit von au, «12? «22 aßf? Ußd es erweisen sich damit ©, $ und A33 auch als Invarianten der Parallelverschiebung: ©* = ©, &'* = Ê, A*₃= A₃₃. Da aber jede in der Ebene bleibende Verlegung des Koordinatensystems aus einer Parallelverschiebung und einer Drehung zusammengesetzt werden kann, so sind ($,    A₃₃ Invarianten jeder Ko

ordinatenverlegung in der Ebene.

Nicht so der Ausdruck An + A₂₂ des Satzes VII bei beliebigem m. Um A auf Grund der Definition (6) auf seine Invarianz zu prüfen, berechnen wir erst

(25)

Afg A₁₃ mt A

S3?

■^-23    ^23    m2^33

und zerlegen

«3S = fmm= («11% + «12 w2 + «13) mi + («2i    + a₂₂m% + a₂₃)m₂

4* «31WÎ1 + «32 m2 "P «33 = «13mi + «f₃W₂ + «31W1 + a32m2 + «33 *

Dann ist wegen Mf₃ =■ A₃₃, indem zunächst nur (26) eingesetzt wird, A* — ćtfi^fi -f- a₃₂A₃₂ -j- a₃₃Af₃

= a* {M* + m₁As3} + a* {A*₂ + m₂A₃₃} + (a₃₁m₁ + a₃₂ m₂ + o₃₃)A

und mit Rücksicht auf (25):

A* = afxA₃₁ + a*₂A₃₂ + («3!% + a₃₂m₂ + a₃₃)A33 = vnx {alx A₃₁ -f- a^A^Ą- aX3 A₃₃} vn₂ {a₂₁A₃₁-{- ci₂₂ ^4₃₂-f- (i₂₃-4₃₃}

33?

4~ a%\-^31 4" «32 -4-32 4" «33 A und da die beiden ersten Klammern gleich Null sind, A* = A. Als Invariante der Drehung und Parallelverschiebung ist daher A eine Invariante jeder Koordinatenverlegung in der Ebene.

IX. Die Ausdrücke ($,    M33, A sind Invarianten jeder in

der Ebene vor sich gehenden Koordinatenverlegung. Ist M₃₃4=0 und m der in (15), (16) definierte Mittelpunkt, so ist nach (15) und (26): fmm = a₃₁m₁ + a₃₂m₂ + a₃₃, und wenn man die Werte (16) einsetzt, mit Rücksicht auf (6):

(27)

fmm ⁼⁼ A : A₃₃, A₃₃ 4= 0.

Nach (15) sind a*₃ = 0, a*₃ = 0, und (23) vereinfacht sich zu

(²⁸) fxx -fmm= «11 («1 -    + ² «12 («1 - %) («8 - <) + «22 («8 ~ ™₂)*

Auf diese Identität werden wir im Falle M33+O die Lösung der Aufgabe I gründen.

§ 74. Die Arten und Kennzeichen der Kurven zweiter Ordnung.

Die Untersuchung zerfällt, je nachdem A₃₃ 4= 0 oder M₃₃ = 0 ist, in zwei Abschnitte.

Erster Abschnitt: A₃₃ =j= 0.

Unser nächstes Ziel ist, die Gleichung fxx — 0 so weit zu transformieren, daß sich alle Möglichkeiten übersehen lassen. Bei A₃₃ 4= 0 gibt es nach § 73, VI einen einzigen Punkt m, so daß mittels der Parallel verschie bung

(1)

X\ — m\ = x*,

nach § 73, (27) und (28)

fxx = «n4² 4- 2a₁₂x*x* 4- «₂2^² 4- fm wird. Eine Drehung

x* = x[ cos cp — x₂ sin cp, führt hierauf nach § 73, 4. zu

fxx = anx7 4- ²«12^144- «224² + f

(²)

A : Agg

(3)

x* = x[ sin cp 4- 4 cos 9

(4)

mm?

fmm A . A₃₃ ,

mit

a'u = «ii cos²(p + 2a₁₂ sin cp cos cp + a₂₂ sin² cp, «22⁼ «u sio² — 2«i2 sin <P cos V + «22 cos2 9b

ft — m'23 y

(5)

«13 ⁼ t

tt12⁼⁼(a22-«u)sin^COS9? + «12(COSV —sinV), «33 = fmm ‘

(6)

Über den Drebwinkel cp wird nun so verfügt, daß a'₁₂ verschwindet: (a₂₂ — au) sin 2 cp +.2a₁₂ cos 2<p = 0.

Diese Gleichung läßt den Winkel nur dann unbestimmt und damit beliebig, wenn an = a₂₂, a₁₂ = 0, also für $ = 0. Bei ® =4=0 dagegen wird tg2cp oder ctg2qp eindeutig festgelegt. Wegen tg(2<p + n) = tg2cp ist dann der Winkel cp selber bis auf ein ganzes Vielfache von jr/2 oder 90° bestimmt. Die Forderung aX2 = 0 ist somit stets erfüllbar. In den Bezeichnungen des § 73, 4. ist jetzt:

(7)    ^₃3⁼⁼^-33 = ail«22, ® = ®'=«U + «22, ® ===£' = (ö^ - «J²,

und die Kurvengleichung lautet:

(8)

cin xx~ + ci₂₂ x₂ +    = 0, A/A^ = fmm •

Hier kann die Diskussion sofort ansetzen. Die Entscheidung wird öfter von Vorzeichen abhängen. Unter „siga;“, als Abkürzung für „signum xu, (Vorzeichen von x) wollen wir den Wert +1 oder — 1 verstehen, je nachdem x positiv oder negativ ist.

Erster Hauptfall: Am negativ.

Wegen A₃₃ < 0 ist nach (7)

(9)

sig«;₂ = - sig an.

Vermehrt man in (5) den Winkel cp um n/2, so vertauschen sich a'u und a₂₂. Wir können und wollen daher das bei der Berechnung von cp verfügbar gebliebene Vielfache von jr/2 dazu verwenden, um

(10) Falls A.=j=0 ist, siga'₁ = sigA, falls A = 0 ist, sigaj₁=l zu machen. Nach § 73, (7) wird $ = ©²—4A₃₃ niemals Null.

Fall I.: A=f=0. In (8) sind a² = — a'nA₃₃/A, b² = + a₂₂A₃₃/A positiv und die Quadratwurzeln a, b selber positiv ziehbar.

Endgestalt der Kurvengleichung: H= x² ja²— x^/b² —1 = 0. Deutung: eine Hyperbel; sie wird gleichseitig, a² = b², für @ = 0, nach (7).

Fall II.: ^1 = 0, also fmm = 0 und m auf der Kurve gelegen. Nach (10) und (9) sind u\ = an, u\ = — a₂₂ positiv, % und u₂ ebenfalls so wählbar.

Endgestalt der Kurvengleichung: H' = u\x² — u\x₂ = 0. Deutung: zwei reelle, verschiedene Geraden mit Schnittpunkt m im Endlichen; aufeinander senkrecht, u\ = u\, für © = 0.

Zweiter Hauptfall: Am positiv.

Nach (7) ist a'n a₂₂ positiv, und damit

(H)

sig an = sig a₂₂ = sig (an + a₂₂) = sig @,    & 4= 0.

Fall I. : A 4= 0. Es ist entweder sig A @ = + 1 oder sig A © = — 1. Ix : sig AQb = + 1. In (8) sind a² = an A₃₃/A, &² = a₂₂A₃₃/A positiv und die Quadratwurzeln a, b positiv ziehbar.

Endgestalt der Kurvengleichung: Ei = x² ja² + x'₂/b² +1=0. Deutung: „imaginäre Ellipsesie wird zum „imaginären Kreis“, b² = a², für = 0 (nach (7)).

1₂ : sig A(& = — 1. In (8) sind a² = — a'nA₃₃/A, b²— — a'2i>A₃₃/A positiv und die Quadratwurzeln a, b positiv ziehbar.

Endgestalt der Kurvengleichung: Er = xf/a² + x₂/b² — 1 = 0. Deutung: reelle Ellipse; sie wird zum reellen Kreis, b² = a², für & = 0 (nach (7)).

Fall II. : A = 0, also f

= 0 und m auf der Kurve gelegen. Wegen (11) darf man a'n = qu\, a'₂₂ = qu\, q = sig © bei positiven ulf w₂ setzen.

Endgestalt der Kurvengleichung: E' = u\xf + u\x₂ = 0. Deutung: zwei verschiedene, konjugiert imaginäre Geraden durch den Punkt m im Endlichen; u\ = u\ für ist = 0 (nach (7)).

Zweiter Abschnitt: A₃₃ = 0.

Man führt die in § 73, 4. vorgesehene Koordinatendrehung aus und bestimmt den Winkel cp so, daß

(12)

a'n = alx cos² cp + 2a₁₂ sin qp cos cp + a₂₂ sin² cp = 0

wird. Da bei A₃₃ = 0 nach § 73, II nicht an, «₂₂ gleichzeitig verschwinden, so ist diese Gleichung für tg cp oder ctg cp quadratisch mit der Diskriminante a\₂— an a₂₂ = — A₃₃ = 0. Es wird also qp bis auf ein ganzes Vielfache von n festgelegt. Über dieses wird die Verfügung Vorbehalten.

aus

Nachdem nun an = 0 erreicht ist, folgt’ nach § 73, (20)

A₃₃ = A₃₃ = 0, daß auch a'₁₂ = 0 ist, während andererseits nach § 73, (7) und II die Invariante Ë = &² von Null verschieden bleibt:

(13)

an = 0, a₁₂ = 0, a₂₂ = ®' — an = &r = @5; $ = ©²4=0.

Daher hat man

(14)

fxx = ® 4² + ² «13 X\ + ² «23    + «S3 ; mit

«i3 ⁼ «i3 cos 9° "h «23 S^a 9G «₂ß = — an sin qp + a₂₃ cos cp .

Vermehrt man cp um n, so wechseln sinqp und cos qp das Vorzeichen, und damit auch die Konstante a[₃, falls sie nicht gleich Null ist. Das zur Verfügung gehaltene Vielfache von % werde nun so gewählt, daß

sig a'₃ = — sig ®, wenn

Jetzt ist:

<16)

®fxx = (©^2 + a2₃)² + 2an®X'l + © «33 - «23-

Nach (14) ist aber einerseits a^ -f a₂₃ = a\z -f a\₃, und

© «33 — «28 = © «33 - «13 “ «23 + «13 = Al + ^22 + «13 •

Wegen a'ix = a'₂ = 0 zieht sich andererseits Ä nach § 73, (5) in A — A'= — «22 «3i = — ®«3i zusammen, und es wird

©«33 — «M = Al + ^22 - A® •

Also:

f..:«-(* + $) +3

Nach einer Parallelverschiebung des Koordinatensystems in der Richtung der Ordinatenachse,

(Au-M2ä)@-A

©³

, a'u = y-A/&.

= z?, Ą + «23/© = xt

nimmt die Kurvengleichung folgende der Diskussion unmittelbar zugängliche Gestalt an:

(17) xf = 2px\ - {{An + A₂₂)® - A) /<&s, p — — «'₁₃/©, worin nach (15) stets p~j> 0 ist.

Dritter Hauptfall: Ass =0.

Es ist $ = ©² 4= 0? nach (13); p — — a'₃/©, a'² = — A/Ob.

Fall I. : A 4= 0, also p 4= 0, p > 0. Eine Parallelverschiebung in der Richtung der Abszissenachse

x[ — ((Au + A₂₂) © — A)/2 ®³p = x*, x₂ = x*

bewirkt folgende

Endgestalt der Kurvengleichung: P ^ x$²— 2pxf=0. Deutung: eine Parabel.

Fall II. : A ass 0, also p = 0, x*² = — (An + A₂₂)/©².

Ux : sig(An + ^22)⁼ + 1, (An + A₂₂)/(&²= d², und d>0 gesetzt.

Endgestalt der Kurvengleichung: P! = #*² 4- d²= 0.

Deutung: zwei verschiedene, konjugiert komplexe Parallelen.

11₂    : sig (An+ A₂₂) = — 1, — (And- A₂₂)/©²= d², und d> 0 gesetzt. Endgestalt der Kurvengleichung: Pj=x*²—d*= 0.

Deutung: zwei verschiedene, reelle Parallelen.

11₃    : An -f- A₂ 2 = 0.

Endgestalt der Kurvengleichung: P₀' = æ*² = 0.

Deutung: eine doppelt zählende Gerade.

34

Weber u. Wellstein: Enzyklopädie. II. 3. Aufl.

§75. Die Arten und Kennzeichen der Kurven zweiter Ordnung durch Transformation in die Scheitelgleichung.

Ein zweiter Weg zur Lösung der in § 73,1 gestellten Aufgabe führt über die Scheitelgleichung: man versucht, die Funktion fxx durch Koordinatenverlegung in die Funktion der Scheitelgleichung zu transformieren. Ist das möglich, so gelingt auch umgekehrt die Umwandlung von in fxx} und diese Wegrichtung hat den Vorzug, die Rechenarbeit möglichst zu vermindern. Wir nehmen aus § 73 nur die in § 73, 1. eingeführten Bezeichnungen und Voraussetzungen herüber, verzichten aber auf alle dort getroffenen Vorbereitungen wie auch auf den Inhalt von § 74. Ausgehend vom Koordinatensystem |₂ der Scheitelgleichung $£g= 0 möge der Drehwinkel cp und die neue Lage cc2 des Scheitelpunktes A so bestimmt werden, daß vermöge

— ai + cos cp -j- x₂ sin cp, g₂ = a₂ — xx sin cp + x₂ cos cp und eines geeigneten Proportionalitätsfaktors a identisch

/•„ = ..) (il- 2j>6x + (1 — *-*)!!} wird. Ob und unter welchen Bedingungen für die Koeffizienten von fxx das geht* muß sich zcigen- Setzt man (1) in (2) ein, so ergibt, sich durch Koeffizientenvergleichung:

au = -f- £o(l — v² cos² cp), a₂₂=-}-cj(l — v²sin²gp), ax2 = — av² sin cp cos cp, a₂₃ = (a {(1 — v²) sin <p + a₂ cos cp — p sin cp}, a₃₁ = a { «i (1 — v²) cos cp — a₂ sin cp — p cos qp},

. «33 = ⁰³ { al — %PK1 + (1 — V²)«! } •

Folgerungen aus (3).

1. Berechnung von co. Hierzu entnimmt man aus (3) die quadratische Gleichung

(a — «n)(c3 — «22) = ai2> oder 0,2— <u© + H₃₃ = 0.

Ihre Diskriminante

(1)

(2)

(3)

(3')

(4)

@² - 4H₃₃ = Ä = (an — a₂₂)² 4- 4n²₂

ist nie negativ, die Wurzeln sind daher immer reell. Da© und A₃₃ nach § 73, II nie zugleich verschwinden, ist stets mindestens eine der Wurzeln c/, co" von Null verschieden und damit für unsere Zwecke brauchbar.

2. Berechnung von v. Hierzu liefert (3) die Gleichungen

As = «²(! — v²)-

Die Realitätsverhältnisse sollen erst später erörtert werden.

(6)    © = co (2 — v²), Ä = o²vi und (7)

3.    Berechnung von cp. Der Winkel cp wird vermöge (3) aus a₂₂—an= cov² cos 2 cp, 2an =— cov²sin2<]p

(8)

bis auf ganze    Vielfache von    ?t    eindeutig    berechnet, es    müßte denn

zugleich «22—    °n ⁼ 0, «₁₂ —    0,    also ^ =    0 sein. Der    Fall $ = 0

zieht wegen (6) auch v = 0 nach sich, so daß auch die dritte Formel (3) nicht herangezogen werden kann. Für ® = 0 bleibt also der Winkel cp beliebig.

4.    Umformung von A. Durch Einsetzen der Werte (3) in A, §73, (5) ergibt sich

(9) A = «33^33 — œ(l — v²)(«²3 + «§₃) — cov²(an cos cp + «23 sin cp)². Folgerungen aus (3').

5.    Die Berechnung von cc₁, cc₂ wird nach (3') mittelst

(10)

(    — «]3 sin cp + «23 cos cp — co a₂,

+ «₁₃ cos cp + «23 sin cp = co ((1 — v²)    <xt — p)

auf die von p    zurückgeführt,    wenn v =4= 1    ist. Bei v =    1 fügt man

zur ersten Formel (10) die dritte    von (3'), die dann in ax    linear wird.

6.    Berechnung von p. Aus (10) folgt

«îs + als = ^ {al + ((1 — vVi — pY } •

Setzt    man    dies    und die zweite Formel (10) in (9)    ein, so    heben    sich

«!, «g    heraus,    und es bleibt, zur Berechnung von    p, unter    Aufschub

der Frage nach den Realitätsbedingungen,

(11)

A = — o²p².

Erster Hauptfall: Am negativ.

Wenn auch © verschwinden sollte, ist doch ® =    — 4aL₃₃ positiv,

33

also keine der Wurzeln co', co" von (4) gleich Null und, da co co" = A negativ ist,

(12)

Aus (7) folgt

sig co' = — sig co".

v² > 1 : also Hyperbeltypus.

Der Winkel cp wird wegen $ =f= 0 bis auf Vielfache von n eindeutig bestimmt. Die Koordinaten u1} <x₂ sind nach 5. mit endlichen Werten eindeutig festgelegt sich die Fälle.

wenn

man p kennt. Bei p scheiden

Fall L; AL 4=0* Nach (11) ist p² = — A : oos =j= 0, also keine Ausartung der Kurve. Man wählt für co diejenige Wurzel o' oder co",

34*

welche p² positiv macht und damit die Berechnung von p selber mit positivem Werte ermöglicht.

Ergebnis: Hyperbel; bei v = ]/2, also bei © = 0 nach § 67, 5, gleichseitig.

Fall IL: A — 0. Nach (11) ist p = 0, also Ausartung der Kurve. Ergebnis: In zwei reelle Geraden mit den Neigungen + %, cos i = 1/v zerfallende Hyperbel: Ę — (v²— 1)|² = 0; bei v = ]/2, oder © = 0 aufeinander senkrecht.

Zweiter Hauptfall: Am positiv.

Da nach (5) stets ®    0, so kann © nicht verschwinden. Die

Wurzeln co', <o" von (4) sind mit A₃₃ =4= 0 von Null verschieden, und aus co'co''=A₃₃ ist zu entnehmen, daß sie gleiches Vorzeichen haben. Es ist der Fall ® = 0 nicht ausgeschlossen und damit oo' = co" möglich. Aus (7) folgt:

0<^îA<1: also Ellipsentypus.

Der Winkel cp wird, wenn $ 4= 0, bis auf Vielfache von % festgelegt, bleibt dagegen bei $ = 0 beliebig. Der Punkt a wird nach 5. im Endlichen eindeutig bestimmt, wenn man p kennt. Da ® = 0 nach (6) die Folge v = 0 hat, so erweist sich ® = 0 als Bedingung für den Kreistypus. Nach (6) und (11) ist

©4=0.

(13)

wo

A® = — eo⁴(2 — v²)p²,

Fall I.: AĄ= 0, also jp + 0: keine Ausartung der Kurve.

It : sig A® = + 1, also p² nach (13) negativ, p rein imaginär.

Ergebnis: Imaginäre Ellipse S^ = 0 mit v² < 1, p² negativ. J₂ : sig A® = — 1, also^)² nach (13) positiv, p positiv bestimmbar.

Ergebnis: Reelle Ellipse; Kreis für Ä = 0.

Fall IL: A = 0, also p = 0: ausgeartete Kurve.

Ergebnis: |² + (1 — v²)%\ = 0, v < 1. Zwei verschiedene, konjugiert imaginäre Geraden mit reellem Schnittpunkt im Endlichen.

Dritter Hauptfall: Am = 0.

Nach § 73, II ist $ = ®² 4= 0. Die Gleichung (4) hat nur eine von Null verschiedene Wurzel co = @. Nach (7) ist

v = 1: also Parabeltypus.

Der Winkel cp ist nach 3. bis auf Vielfache von % bestimmt. Zur Berechnung von a ist der in 5. angegebene Nebenweg einzuschlagen.

(14)

also

(15)

Aus (11) und (9) wird:

A = — (&ap², A = — ($(«₁₃ cos cp + a₂₃ sin cp)², Qö 4= 0

P‘

a₁₃ cos cp -j- a2S sin cp

r-

Fall L: A 4= 0, also p =4= 0: keine Ausartung.

Ergebnis: Parabel.

Fall IL? A = 0, also p = 0, und

fxx = ®Ę = © («₂ — xx sin cp + xg cos qp)²-

Daher ist:

«₁₂ = © cos² 9?,

«₁₂ = — @ sin cp cos cp

an ⁼ ® sin² 9 ?

al3 = — @ «2 Sin <P }    a23 — ® a2 C0S <P )    a33 ⁼ ® a2 *

Die Annahme M₃₃ — 0, A = 0 hat also, wenn fxx in transformierbar ist, u. a. auch An + A₂₂ = 0 zur Folge. Nun zeigt das Beispiel fxx = x² -f- 1 mit An + A₂₂ = 1, daß dies nicht bei jeder Funktion f zutrifft. Wenn also fxx in transformierhar sein soll, muß im Falle AS3 =0, A = 0 mindestens noch An -f- A₂₂ = 0 sein. Ob das ausreicht, wollen wir jetzt nicht weiter untersuchen, sondern in der folgenden

Ergänzung

einen Weg einschlagen, der schneller zum Ziele führt. Da an, a₂₂, a12 nicht zugleich verschwinden, so kann aus M₃₃ = 0 allein schon geschlossen werden, daß entweder a₁₂ 4= 0, also sig an = sig a₂₂ = sig (an + «22) ⁼ sig ®? w0 ® =H 0, oder daß mit ax2 = 0 nur noch einer der Koeffizienten an, a₂₂ verschwindet. Daher ist in beiden Fällen an : ©, «₂2 : © nie negativ und seinem absoluten Werte nach nicht größer als 1. Man darf daher mittels eines reellen Winkels cp den Ansatz

(16)

an = & sin² cp,    a₂₂ = @ cos² cp

ai2 = — ($ sin cp cos cp

machen, wodurch cp bis auf Vielfache von % eindeutig bestimmt ist. Kommt hierzu noch A = 0 oder («u«²₃ — 2«₁₂a₂₃a3X + a₂₂a₃₁) ^ 0, so zeigt sich wegen (16):

(17)

a₁₃ cos cp -f «₂₃ sin cp = 0.

Mittels eines Proportionalitätsfaktors 9t hat man daher a₁₃ = — 9t sin cp, a₂₃ = -j- 9t cos cp .

Aus (16) und (18) setzt sich fxx = ® (— xi sin <P + %2 cos <P? + 29t (— x₁ sin cp + xs cos cp) + «₃₃,

(18)

zusammen:

oder nach einer Koordinatendrehung

x\ = x₁ cos cp + x₂ sin <p >    sin cp + cos :

(19)

fxx = ^>x^-\-2^x; + a3S.

Die in x₂ allein quadratische Gleichung fxx = 0 hat die Diskri-rainante =    aS3@. Nun ist aber nach (16) und (18)

A-u ~f“ A₂₂ = ct₃₃@ tq₃    a₂₃ = ß₃₃@    9v²;

und schließlich

(20)

® — C^n -f ^22) •

Damit ist die Diskussion von (19) vorbereitet. Sie liefert ersichtlich wieder die Fälle P[, P'r, P' des § 74 mit dem Nebenergebnis, daß für die Transformierbarkeit von fxx in die Normalform im Falle A₃₃ = 0, A=0 in der Tat die Zusatzforderung An -f A₂₂ = 0 ausreicht. Die Normalform kann daher die imaginäre Ellipse nicht mit reellen Koeffizienten, das reelle oder konjugiert komplexe Parallelenpaar überhaupt nicht darstellen.

§ 76. Der Krümmungskreis.

1. Festlegung eines Kegelschnittes durch Punkte.

Satz 1. Ein Kegelschnitt ist eindeutig bestimmt

a)    durch fünf Punkte, oder

b)    durch vier Punkte und die Tangente in einem derselben, oder

c)    durch drei Punkte und die Tangenten in zwei derselben.

Soll der Kegelschnitt ein eigentlicher sein (p 4=0)? so dürfen keine drei der Punkte in einer Geraden liegen, und keine Tangente darf noch durch einen anderen der Punkte gehen. Das ist eine einfache Folge des Carnot sch en (oder auch des Pascalschen) Satzes, indem zwei in diesen Stücken übereinstimmende Kegelschnitte auf Grund dieses Satzes auch jeden weiteren Punkt gemeinschaftlich haben.

2. Schnittpunkte zweier Kegelschnitte. Aus Satz 1. folgt Satz 2. Zwei Kegelschnitte cpxx = 0, ÿxx = 0 treffen sich höchstens in vier Punkten. Vgl. Bd. I, §99.

Durch diese gehen bei konstantem l auch alle Kegelschnitte des „Büschels“

(i)

f VX    fxx tyxx    XX •

Haben die Kurven <pxx = 0, i>xx = 0 in einem gemeinschaftlichen Punkte y eine gemeinschaftliche Tangente, so berührt diese in y auch alle Kurven des Büschels. Für die

Polare von fxx in y haben wir nämlich in § 73, III das einfache Bildungsgesetz fyx = 0 gefunden, und nach (1) ist fyx = cpyx + X^yx. Wenn nun y auf (pxx = 0, txx = 0 liegt, so werden die Polaren zu Tangenten, und wenn diese zusammenfallen, so gibt es eine Konstante 03 =f= 0; so daß in x identisch r/;yx= acpyx, also fyx= (1 -j- X(o) cpyx ist; jetzt ist f = 0 und die Tangente fyx= 0 fällt mit <pyx = 0 zusammen, wie behauptet war.

3. Dreipunktige Berührung. Man wird erwarten, daß dieser Fall eines gemeinschaftlichen Berührungspunktes durch Zusammen-TÜcken zweier der vier Schnittpunkte zustande kommt, mit anderen Worten, daß bei einem gemeinschaftlichen Berührungspunkt y von ^xx== 0 nur noch höchstens 2 von y verschiedene Schnittpunkte da sein werden, und daß, wenn sich nur noch einer, z, findet, die Berührung in y eine noch innigere, durch das Zusammenfallen dreier Schnittpunkte ausgezeichnete sein wird. Man spricht dann von dreipunktiger Berührung oder Oskulation. Dem ist nun in der Tat so, die Differentialrechnung kann den Grenzübergang ausführen. Wir dürfen also das Wesen dreipunktiger Berührung in y darin erblicken, daß der durch einen geeigneten Wert X = X* von X mittels der Forderung A = 0 (§73, (5)) zum Zerfallen gebrachte Kegelschnitt fxx = 0 sich in die Tangente cpyx = Q der Kurven cpxx= 0, ipxx = 0 und in die gemeinschaftliche echte Sehne yz spalten wird, die y mit dem „vierten“ Schnittpunkte z verbindet. Ist X± (xt — yt) -{- X₂ (x₂ — y₂) = 0 die Gleichung von yz, so muß es nach zweimaliger Anwendung des Satzes 2. § 61 eine Konstante cr> =4= 0 geben, so daß

<Pxx + ^xx= a (*1 (*1 - Vl) + h («* - yff) <Pyx wird. Wenn also Xlf X₂ je den Faktor — 03 in sich aufnehmen, wird, in x identisch,

-    = <Pxz + (A1    - Vf + h - 2/2)) 9V

Bei nicht zerfallendem cpxx = 0 kann X* nicht Null sein. Damit ist bewiesen:

Satz 3. Alle Kegelschnitte, welche einen nicht zerfallenden Kegelschnitt <pxx= 0 in einem seiner Punkte y drei-punktig berühren, lassen sich bei geeigneter Bestimmung zweier Konstanten Xlf X₂ in der Form

(2)

fxx — yxx H⁻ (^1 (^1    yf "t~ ^2 (^2 y<pyx ~ o

darstellen. Die Gerade

(3)

kK - yf) + h - 2/2) = ⁰

verbindet y mit dem vierten Schnittpunkt der beiden Kurven.

4. Begriff des Krümmungskreises. Unter den Kegelschnitten,, welche rpxx — 0 in y dreipunktig berühren, ist von besonderer Wichtigkeit der Kreis, weil er sich in y der Kurve so eng anschmiegt, daß er sie zeichnerisch in der Umgebung von y ersetzen kann. Denkt man einen Kreis durch drei Punkte y, y, y" von cpxx = 0 gelegt, und bewegen sich y, y" auf der Kurve allmählich nach y hin, so wird man erwarten, daß der Kreis, unter fortwährender Änderung seines Mittelpunktes und seines Halbmessers, einer Endlage zustrebt, in der er die Kurve dreipunktig berührt, sie also nur noch in einem von y verschiedenen Punkte z ohne Berührung trifft. Die Infinitesimalrechnung kann diesen Grenzübergang wirklich vollziehen. Algebraisch ist nur das Endergebnis zugänglich, indem wir unter den dreipunktig berührenden Kegelschnitten nur einen Kreis nach weisen werden.

Man nennt diesen Kreis den Krümmungskreis des Kegelschnittes 9^=0 im Punkte y und schreibt dem Kegelschnitte in y dieselbe Krümmung zu wie dem Kreise. Da nun die Krümmung, auch im noch unscharfen Sinne des Wortes, als um so stärker gefunden wird, je kleiner der Radius ist, so läßt sich dieser Begriff zu einem exakten Maßbegriff erheben, wenn man als Maß der Krümmung der Kurve cpxx= 0 in ihrem Punkte y den reziproken Wert des Radius des Krümmungskreises gelten läßt. Dieser Radius heißt darum auch der Krümmungsradius, der Mittelpunkt des Kreises der Krümmungsmittelpunkt der Kurve cpxx= 0 im Punkte y.

In besonderen Punkten (den Scheiteln) kann der Krümmungskreis mit der Kurve eine vierpunktige Berührung eingehen.

5. Ansatz zur Berechnung. Die Kurve (2) ist nach § 63,1. ein Kreis, wenn unter den Bezeichnungen des § 73, 1. für fxx, der Koeffizient an von xtx₂ verschwindet und die Koeffizienten an, a₂₂ von xl, x\ einander gleich sind, ohne zu verschwinden; dabei könnte allerdings noch der Radius imaginär ausfallen. Daß der Kreis aber im vorliegenden Falle reell ist, liegt auf der Hand, da er durch einen reellen Punkt y geht. Auf an= a₂₂, a₁₂= 0 führt übrigens auch das Kreiskriterium $ — 0 der §§74 und 75.

Wir beschränken uns jetzt auf den Fall (pxx = Mxx und geben der Formel (2) durch Einschub des verschwindenden Gliedes Myy die für die Rechnung bequemere Gestalt:

fxx = Mxx + (*i OH - Vf) + h (*> -.%)) (M - Myy) = 0.

Hierin ist al2= X^/sb² + X₂yja?. Aus a₁₂=0 folgt, wenn X einen noch zu bestimmenden Faktor bedeutet, X₁ = Ä^/a², X₂ = — Xy₂/sb%. Daher das vorläufige Ergebnis

—y»)

ab²

j (ih Oh -Vi ) ₊ y* (n—.

Die Gleichungen der Tangente in y und der Sehne \ß unterscheiden sich demnach, wenn ylf y₂ von Null verschieden sind, nur im Vorzeichen des Faktors von y₂, d. h.:

Diese beiden Geraden liegen, wenn y kein Scheitel ist, zueinander symmetrisch bezüglich der durch y zu den Achsen gezogenen Parallelen, Fig. 216.

Der Krümmungsmittelpunkt kann also jetzt schon als Schnitt der Normale und des Mittellotes von yz gefunden werden. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal sind in Band III₂, § 12 angegeben.

6. Durchführung. Nach(4)ist:

✓v»2    /y»2    /

Fig. 216.

i —2/i)²    ylte—&)*

a⁴

Wenn man nach Potenzen von x1} x% ordnet und

2/i/<x⁴ — 2/I/&⁴ = (yl/a² — yljsl*) (y\/a² + yl/sb²) — yl/a,² — yl/sb2 beachtet, folgt hieraus:

Hier ist noch an = a₂₂ oder

durchzuführen. Man findet

mit e~$+$’

und wenn dies in etn eingesetzt wird, wegen î/î/a² + yljsl² = 1:

c²

fa²&²ff>

»11 “ »22 ^    c² "

Die Gleichung fxx= 0 lautet also, nach Beseitigung des Faktors X:

sa²b²6 = 0.

Sie läßt folgende Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes y* erkennen:

c*ysi a4 2

(5) xl+xl-2^+ 2^₂y| +    ^- S/i^r

(6)

yf =

und daraus berechnet sich das Quadrat des Krümmungsradius:

(8)

Daher ist

(7)

yi — yf = yi + y-2 - yt = y2 (|i +

yl

s^-c-^) = £hiy^

+    = a²y₂6,

yl

Q² = a⁴i⁴<?³.

Die Gleichungen (6) zeigen durch ihr Vorzeichen, daß der Krümmungsmittelpunkt im vierten Quadranten liegt, wenn der Punkt y im ersten Quadranten liegt.

7. Konstruktion. Es ist jetzt leicht, bei der Ellipse die Krümmungsmittelpunkte für die Scheitel, die wir vorhin ausschließen mußten, konstruieren (Fig. 217). Nach (6) haben diese Punkte 2t, 23 die

Koordinaten y*=c²/a,

y* = °;    =

y% = — c²/b. Man konstruiere also das Rechteck OACB mit den Seiten a, b, und fälle (72t 23 senkrecht auf A 2?; dann schneidet diese Senkrechte auf den Achsen die gesuchten Punkte 2123 ab. Denn es ist z. B. für den Punkt 21, wenn 02t = y* gesetzt wird, aus den ähnlichen Dreiecken 2tCA und ABC: (a — y*) : b = b : a, woraus y*= (a²— b²)/a = c²/a, und auf gleiche Weise ergibt sich t/*= 023.

zu

—0-

/a

B'

Als?

Fig. 217.

7!

Vi _    y₂ _ _ (by$\i

a ~\ct) ’ b ~ \csJ’

8. Evolute. Aus den Gleichungen (6) kann man bei e = 1 die folgenden ableiten:

i: i-

und wenn man quadriert und addiert, so folgt, da ylf y.₂ der Ellipsen-gleichung genügen:

i.

(9)

Diese Gleichung ist unabhängig von ylf y₂, und es genügen ihr also alle Krümmungsmittelpunkte der Ellipse-, betrachtet man yf, y*

als Koordinaten eines veränderlichen Punktes, so stellt (9) die Gleichung einer Kurve dar, die die Evolute der Ellipse genannt wird. Die Fig. 218 zeigt ihre ungefähre Gestalt.

Fig. 218.

Die Gleichung (9) enthält, wie man sieht, Kubikwurzeln, ist also irrational; will man sie davon befreien, so muß man zunächst beide Seiten in die dritte Potenz erheben und erhält:

. fyj»

c⁴

C⁴

Es ist aber nach (9):

i ^ylîy±Ÿ== yhy*y*Sy (^y*y \    ₌ (

abyXyt

c⁴

■)'»

folglich wird unsere Gleichung:

g ybylyl'y ^ _

a²y\² b²yt²

Tc*    ¹

und wenn man nochmals in die dritte Potenz erhebt:

(10)

a²y\² , b²yl²    ^3 27a²b²y\²yl²    ₀

c⁴    V + c⁸

c⁴

Diese Gleichung ist von Wurzelzeichen frei. Durch Entwicklung des Kubus kann man sie nach yf und y* ordnen, was wir hier nicht ausführen wollen.

§ 77. Analytische Spliärik. (Anhang.)

1. Die Untersuchungen des ersten und vierten Teiles der sphärischen Trigonometrie haben wiederholt die weitgehende Analogie zwischen Sphärik und Planimetrie hervortreten lassen. Die Frage liegt nahe, ob sich diese Analogie auch analytisch durchführen läßt.

Und da ergibt sich in der Tat bei geschickter Wahl des Koordinatensystems eine überraschende Übereinstimmung zwischen den Formeln der analytischen Geometrie der Ebene und denen der „analytischen Sphärik“.

Der Kugelradius sei im folgenden gleich Eins gesetzt. Ein Hauptkreis werde auch als „Kugelgerade“ bezeichnet, da er das sphärische Analogon der Geraden ist.

Die Winkel zwischen zwei Kugelgeraden bezeichnen wir hier in der allgemein üblichen Weise, also nicht nach den Festsetzungen von § 38, 8. Wir brauchen uns daher auch nicht jeden Hauptkreis als mit Richtungssinn versehen vorzustellen.

Als „Koordinatenachsen“ wählen wir zwei zueinander normale Kugelgeraden und bezeichnen einen ihrer Schnittpunkte als „Anfangspunkt“ 0. Von 0 aus legen wir eine positive Abszissenrichtung OX und eine positive Ordinaten-richtung 0 Y fest, wobei die Punkte X und Y um je einen Quadranten von 0 entfernt seien (Fig. 219).

Sei nun P ein Punkt der Kugel. Wir fällen von P die sphärischen Lote PQ = rj' und PP = £' auf die „Koordinatenachsen“ und setzen unter Beachtung der Vorzeichen die Bogen: 0Q = %, 0B = rj.

Unter den „sphärischen Koordinaten“ x, y des Punktes P verstehen wir nun die trigonometrischen Tangenten der Bogen rj und §, so daß also

^ = tg|, y = tgi?

~x

*!

n'

f,

0 IQ

-Y

Fig. 219.

n( Ix

wird.

Dann ist nach der Figur | = ^Z.0YQ, r\ = ^iOXIi.

Damit die Beziehung zwischen Koordinaten und Punkten eindeutig werde, müssen wir uns wegen tg<p =    auf das Intervall —    beschränken, oder geometrisch gesprochen:

Wir treiben Geometrie der Halbkugel. In unserer Figur kommt für uns nur die vordere Halbkugel in Betracht.

Dann entspricht jedem Wertepaar x, y zwischen —oo und -f- oo ein und nur ein Punkt der Halbkugel und umgekehrt.

Der Hauptkreis X, Y; — X, — Y bildet die Grenze unseres Gebietes, und vertritt daher die Stelle der unendlich fernen Geraden. Der Zusammenhang zwischen | und einerseits, rj und r( andererseits wird vermittelt durch die Formeln (§ 52, 1.):

2. Eine Kugelgerade möge mit der sphärischen x-Achse den Winkel cp bilden und auf den „Koordinatenachsen“ die Strecken a und ß abschneiden. Für einen Punkt P der Kugelgeraden mit den Koordinaten x, y ist

'S

rs

r l"e»

tg u

sin (cc — g)

tg r\ cos I

sina cos g — cos a sing

oder:

sin cc sin cc __ cos cc tg g t gn    tg ?i

tg/?

CfQ &

& (Trr

2P\

r+-

aq

.3

■os.

Mit tg a = a, tg/3 = b, ist die Gleichung der Kugelgeraden:

a 6

Geht die Kugelgerade durch einen festen Punkt Pt mit den Koordinaten xv yv so wird ihre Gleichung:

a    o

Die Gleichung (G) ist linear in x und y. Umgekehrt stellt jede in x und y lineare Gleichung eine Kugelgerade dar. Denn aus der allgemeinen linearen Gleichung px + qy — r = 0 geht durch p/r = a und q/r — b sofort die Form (G) hervor.

Die Gleichung einer Kugelgeraden durch zwei Punkte Px und P2 wird daher genau wie in der Ebene:

(6)

(Gi)

(Gä)

3. Die sphärische Ellipse (Hyperbel) ist der Ort der Punkte, deren sphärische Abstände q und q von zwei festen Punkten f und f\ den „Brennpunkten“, die konstante Summe (Differenz) 2a haben.

Um die Gleichung dieser Kurven aufzustellen, nehmen wir die Brennpunkte auf der sphärischen x-Achse äquidistant von 0 an (Fig. 220). Es sei dann Of — Of' = s gesetzt. Wir betrachten zunächst die sphärische Ellipse. Einen ausgezeichneten Punkt S auf ihr erhalten wir sofort, indem wir über ff das sphärische gleichschenklige Dreieck mit den Schenkeln p = p' — a errichten.

Seine Höhe SO soll mit ß bezeichnet

a/>f ^

S '''

Fig. 220.

werden. Man nennt 2a die „große Achse“, 2/3 die „kleine Achse“ der sphärischen Ellipse.

Nach § 52, 1. ist

cos CC

COS £ ’

(2)

cos ß =

also, wenn man quadriert und die Kosinusquadrate nach §30,(11) durch die Tangenten ausdrückt:

(3)

tg²S =

tg² a — tg*ß

Ferner:

i + tgsß

cos p = cos r[ cos (s + £).

Mit den Bezeichnungen p -f p'= 2 a, p — p' = 2d folgt nun nach (4)

COS £ COS I

(4)

cos p' = cos rj' cos (e — |),

cos a cos d = \ (cos p + cos p') = cos rj' cos s cos | =

V l + tgał2

also nach (1) und (2): cos ß cos d =

cos £

]/l + COS* £ tg* T] ’ COS² ß COS² Ô

— 1 + tg² £ + tg² rj ,

(5)

(1 -f tg² ß) (1 -F tg² d) = 1 -T tg² I + tg² rj.

Wir drücken jetzt d durch a und £ aus. Zu dem Ende bilden

wir aus

(4) nach § 29, (6):

(6)

cos p — cos p' = — 2 sin a sin d = — 2 cos rj' sin s sin |, cos p -f cos p' =

Durch Division folgt:

2 cos« cosd =

2 cos r[ cos b cos£ .

tgd =

tg £ tg I

tg«

und hieraus nach (3):

tg²d =

tg²| tg²a tg²/?

tg²« 1+tg²/?

tg’ßtgH

tg²«

Daher wird die linke Seite von (5):

(1 + tg² ß) (1 + tg² d) — 1 + tg² /3 + tg² g — und es ergibt sich jetzt aus (5)

tg*ß tg²§ tg²| tg² r\ tg²« tg²ß

also endlich die Gleichung der sphärischen Ellipse

*² , y² -,

tg²7j = tg²ß -

tg²a ’

“1,

(E)

wobei tg a = a, tg ß = 6 gesetzt ist.

Ebenso erhält man als Gleichung der sphärischen Hyperbel

(H)

x² y2 ä* ~ b²

4. Die Diskussion der Gleichung (E) kann sich ganz und gar nach dem Yorbilde der ebenen Kegelschnitte richten. Insbesondere übertragen sich die Symmetrieverhältnisse. Wir wollen nun die Unterschiede herausarbeiten.

Läßt man die Beschränkung — jr/2<[£, q -f æ/2 fallen, so erkennt man, daß der Gleichung (E) auch noch Punkte genügen, die den bisher untersuchten diametral gegenüberliegen. Die ganze Kurve (E) besteht dann aus zwei diametral gegenüberliegenden, übrigens geschlossenen und zu den Koordinatenachsen symmetrischen Stücken JE und Ex.

Dabei ist aber für den Teil Ex nicht mehr q -j- q' = 2 a, sondern, wie geometrisch einleuchtet, q-\-q'=2ji — 2a. Es liegt dies daran, daß wir bei Aufstellung der Gleichung nicht 2 a, sondern cos 2 a als konstant betrachtet haben. Eine einheitliche Definition könnten wir auch jetzt noch erhalten, wenn wir cos (p -j- p') = const, in die Definition aufnähmen.

5. Der Teil Ex kann auch als ursprünglich angesehen werden und hat dann seine Brennpunkte fx und fx und seinen Mittelpunkt Ox. Dabei soll fx diametral gegenüber f, und f' gegenüber f angenommen sein.

Es sei nun A ein Punkt auf Ex (Fig. 221). Wir ziehen nach A die Brennstrahlen f A = q und f[A =

Da f und fx diametral gegenüberliegen, so geht jeder durch A und f gelegte Hauptkreis auch durch fx. Daher ist:

\A

r;

* = ffi = fA + Afx = q + Afx.

/E

Aber Afx = 2a — Afx = 2 a — mithin

Fig. 221.

q' — qx = 7t — 2a = 2a = const.

Dreht man also die Kugel der Figur 221 derart, daß f' und f auf die vordere Halbkugel kommen, und beschränkt sich wieder auf die neue vordere Halbkugel, so haben wir jetzt als Kurve zwei getrennte Aste, nämlich die Hälften der früheren E und E1} als Brennpunkte f und f'x. Und diese Kurve ist der Ort der Punkte, deren Abstände von f und f[ die konstante Differenz 2a haben.

Die sphärische Ellipse läßt sich also auch als sphärische Hyperbel mit den Brennpunkten f und f' auffassen. Die großen Achsen ergänzen sich zu 2it.

Da der die Halbkugel begrenzende Kreis nach dem Schlußsätze vom 1. die unendlich ferne Gerade vertritt, so ist die sphärische Hyperbel auch darin der ebenen analog, daß sie sich gleichsam bis ins Unendliche erstreckt.

6. Für sehr kleine Werte von | und rj kann man tg |    | und

tg V = V setzen und zugleich die Bogen £ und rj als geradlinige, in der Tangentialebene von 0 verlaufende Strecken ansehen. Wendet man dies auf die Gleichungen (E) und (H) an, so gelangt man zu dem Satze, daß sphärische Kegelschnitte, die im Verhältnis zur Kugeloberfläche sehr klein sind, als ebene Kegelschnitte aufgefaßt werden können. Dieser Fall ist insbesondere realisiert, wenn die Kugel einen unendlich großen Radius erhält, d. h. zur Ebene wird. Wir haben dann den Satz:

Die ebenen Kegelschnitte sind ein Grenzfall der sphärischen für unendlich großen Kugelradius.¹)

¹

Ausführlicheres über die analytische Sphärik findet man bei Hübner, Ebene und räumliche Geometrie des Maßes usw. (Teubner 1895).

Achter Abschnitt.

Punkte, Ebenen und Gerade im Räume.

§ 78. Die Grundgebilde der Geometrie des Raumes.

Wir setzen in der Geometrie des Raumes die Axiome der Planimetrie einschließlich des Parallelenaxioms voraus, wollen aber zeigen, daß man ohne Zuziehung neuer axiomatischer Annahmen zu den Maßbestimmungen und den Kongruenzsätzen im Raume gelangen kann. Hierauf hat bereits Hilbert in seinen „Grundlagen der Geometrie“ (§ 6) hingewiesen.

1. Die Grundgebilde der Geometrie des Raumes sind: der Punkt, die Gerade und die Ebene.

a)    Zwei Punkte bestimmen ausnahmslos eine Gerade, ihre Verbindungslinie.

b)    Eine Gerade und ein Punkt, der nicht in der Geraden liegt, bestimmen eine Ebene.

c)    Drei Punkte, die nicht in einer Geraden liegen, bestimmen eine Ebene.

d)    Zwei Geraden, die einen Punkt gemein haben, bestimmen eine Ebene, in der beide Geraden enthalten sind.

e)    Zwei Geraden, die in einer Ebene liegen, haben entweder einen Punkt (im Endlichen) gemein, oder sie sind zueinander parallel.

Zwei Geraden, die weder einen Punkt gemein haben, noch zueinander parallel sind, also nicht in einer Ebene liegen, heißen „einander kreuzend“ oder „windschief“.

f)    Zwei Ebenen, die einen Punkt miteinander gemein haben, bestimmen eine Gerade, ihre Schnittlinie.

g)    Zwei Ebenen, die keinen Punkt miteinander gemein haben, heißen parallel.

h)    Eine Ebene hat mit einer Geraden, die nicht in ihr liegt, höchstens einen Punkt gemein. Haben die Ebene und die Gerade keinen Punkt (im Endlichen) gemein, so heißen sie parallel.

35

Web er u. Wellstein: Enzyklopädie. II. 3.Aufl.

2. Sätze:

a)    Zwei parallele Ebenen a, ß werden von einer Ebene yy die durch je einen Punkt von a und von ß geht, in zwei parallelen Geraden a, b geschnitten.

Denn wenn die in der Ebene y liegenden Geraden a, b nicht parallel wären, so müßten sie einen Schnittpunkt haben, und dieser müßte zugleich auf a und auf ß liegen.

b)    Durch einen Punkt A kann man zu einer diesen Punkt nicht enthaltenden Ebene a nicht mehr als

eine parallele Ebene legen.

Denn hätte man zwei solcher Ebenen ß, y, so könnte man durch A und einen beliebigen Punkt B von a eine Ebene e legen. Sind a, b, c die Schnittlinien von s mit a, ß, y, so wären a und b parallel mit c. Es gäbe also in der Ebene s durch den Punkt A zwei Parallelen zu einer Geraden c, was dem Axiom in der Ebene widerspricht.

Durch einen Punkt A kann man zu einer ihn nicht enthaltenden

Ebene a beliebig viele parallele Geraden ziehen. Denn verbindet man A mit einem beliebigen Punkte B von a durch eine Ebene s, die die Ebene a in der Geraden a schneidet, so kann man durch A in s eine Parallele zu a legen, die dann auch parallel zu a ist.

c)    Zwei durch A gehende, zu a parallele Geraden a, b bestimmen eine zu a parallele Ebene.

Denn angenommen, die Ebene (a, b) wäre nicht parallel zu a, so hätte sie mit a eine Schnittlinie e. Diese müßte wenigstens die eine der beiden Geraden a, b schneiden, und diese wäre nicht parallel zu cc.

Ist dann c eine dritte Parallele zu a durch den Punkt A, so muß diese in der Ebene (a, b) liegen, weil sonst mehr als eine parallele Ebene zu a durch A gehen würde.

Wir können also den Satz b) so ergänzen:

d)    Durch einen Punkt A kann man immer eine und nur eine parallele Ebene ß zu einer den Punkt A nicht enthaltenden Ebene a legen. Jede in der Ebene ß gelegene Gerade ist parallel zu a, und jede durch irgend einen Punkt von ß gehende zu a parallele Gerade ist in ß enthalten.

e)    Sind a und b zwei parallele Geraden in der Ebene a, und ist A ein nicht auf a gelegener Punkt, so schneiden sich die beiden Ebenen Aa, Ab in einer Geraden cr die sowohl zu a als zu b parallel ist.

Denn wenn die Schnittlinie von Aa und Ab die Ebene a in einem Punkte träfe, so müßte dieser Punkt sowohl auf a als auf b liegen, während doch diese beiden Geraden keinen gemeinschaftlichen Punkt haben. Etwas anders ausgedrückt besagt dieser Satz:

f)    Wenn zwei Geraden zu einer dritten parallel sind, so sind sie auch untereinander parallel.

Denn nach dem Parallelenaxiom kann man durch einen Punkt A eine und nur eine Parallele zu a legen. Dann ist a j b und a\\c und nach e) auch b c.

g)    Wenn zwei Ebenen a und ß zu einer dritten y parallel sind, so ist auch a mit ß parallel. •

Denn sollten sich a und ß in einer Geraden e schneiden, so lege man durch einen Punkt von e eine die Ebene y schneidende Ebene s. Die Ebenen a, ß, y werden dann in drei Geraden a, b, c geschnitten, die nach a) miteinander parallel sein müssen, während sich doch a, b auf e schneiden.

Bei drei Ebenen sind folgende Fälle möglich:

a) Die drei Ebenen gehen durch eine Gerade; sie haben unendlich viele Schnittpunkte.

ß) Die drei Ebenen sind parallel; sie haben keinen Schnittpunkt.

y) Zwei von ihnen sind parallel; sie werden von der dritten in parallelen Geraden geschnitten, und die drei Ebenen haben keinen Schnittpunkt.

ô) Die dritte Ebene ist parallel zu der Schnittlinie der beiden ersten. In diesem Falle sind die drei Schnittlinien je zweier der Ebenen parallel. Die drei Ebenen haben keinen Schnittpunkt.

f) Die dritte Ebene schneidet die Schnittlinie der beiden ersten in einem Punkte. Dieser Punkt gehört allen drei Ebenen an und ist ihr Schnittpunkt. Die drei Schnittlinien je zweier der Ebenen gehen durch diesen Punkt und liegen nicht in einer Ebene. Die drei Ebenen bilden ein Dreiflach oder Trieder.

3. Der Gegensatz zwischen rechts und links, der auf einer Geraden und in der Ebene durch Veränderung des Standpunktes aufgehoben werden kann, läßt sich im Raume nicht mehr ausgleichen, und er spielt darum im Raume eine viel wichtigere Rolle. Denken wir uns drei von einem Punkte auslaufende geradlinige Strecken in bestimmter Reihenfolge mit den Ziffern 1, 2, 3 bezeichnet, und denken uns dieses „Dreibein“ beweglich, jedoch mit der Beschränkung, daß bei der stetigen Verschiebung niemals die eine Strecke durch die Ebene der beiden anderen hindurchgehen darf, so müssen wir zwei Arten dieser Dreibeine (oder der Numerierung) unterscheiden, so daß jedes dieser

35*

Systeme mit einem System derselben Art, niemals aber mit einem der anderen Art zur Deckung gebracht werden kann. Man unterscheidet demnach Rechtssysteme und Linkssysteme, die am besten durch die drei zwanglos ausgestreckten Finger, Daumen (1), Zeigefinger (2), Mittelfinger (3), der rechten und linken Hand veranschaulicht und erklärt werden.

Man kann die vier Seiten oder die vier Ecken eines regelmäßigen Tetraeders auf zwei Arten mit den Ziffern 1, 2, 3, 4 bezeichnen, und zwei Bezeichnungen der gleichen Art können durch Drehung und Verschiebung des Tetraeders zur Deckung gebracht werden, zwei von verschiedener Art nicht.

Man kann die Ecken 1, 2, 3 mit den Ecken 1', 2', 3' eines kongruenten Tetraeders zur Deckung bringen, und dann kann die Ecke 4' entweder mit 4 zusammenfallen, oder es ist 4' das Spiegelbild von 4.

Die Chemie hat diese Vorstellungen benutzt (in der Stereochemie), um gewisse Erscheinungen, die einen Gegensatz zwischen rechts und links zeigen, wie die Drehung der Polarisationsebene des Lichtes im einen oder im anderen Sinne, zu erklären.

Eine Bewegung eines Körpers, die aus einer Fortbewegung in einer bestimmten Richtung und einer Drehung um eine zu dieser Richtung parallele Achse zusammengesetzt ist, heißt eine Schraubenbewegung oder Schraubung.

Der Raum, den irgend ein Teil des bewegten Körpers (z. B. ein nicht in der Achse liegender Punkt), überstreicht heißt eine Schraube (im geometrischen Sinne). Man unterscheidet Rechtsschraubungen und Linksschraubungen. Eine Rechtsschraubung ist eine solche, bei der die Drehung für einen in der Richtung der Achse stehenden menschlichen Körper vor den Augen von rechts nach links geschieht.

Eine Rechtsschraubung ist jede ungezwungene Bewegung des rechten Armes, z. B. wenn ich einem Freunde die Hand entgegenstrecke; die entsprechende Bewegung der linken Hand wäre eine Linksschraubung. Rechts gewunden sind die meisten im täglichen Leben gebrauchten Schrauben, die Korkzieher, die meisten Schneckenhäuser (doch gibt es auch links gewundene Arten), die meisten Schlingpflanzen.

Ein linearer elektrischer Strom erzeugt in seiner Umgebung ein die Strombahn umkreisendes Magnetfeld, dessen Drehung in Verbindung mit der Stromrichtung eine Rechtsschraubung gibt (Ampèresche Schwimmerregel) (Bd. III, § 40).

§ 79. Winkel.

1. Um den Winkel zweier windschiefer Geraden a, b zu erklären, ziehe man durch irgend einen Punkt C zwei Parallelen CA, CB zu

a und b. Dei* (ebene) Winkel ^C.ACB wird dann als der Winkel zwischen den beiden Geraden a, b bezeichnet. Daß diese .

C”

Fig. 222.

Definition von der Wahl des Punktes G unabhängig ist, ergibt die folgende einfache Betrachtung (Fig. 222):

Man nehme einen zweiten Punkt C an und verbinde ihn mit C durch eine gerade Linie. Dann mache man

C'A' parallel und gleich CA, C'B' parallel und gleich CB

und ziehe AA', BB. Diese Geraden sind dann parallel zu CC', und folglich (nach § 78, 2. f.) auch untereinander parallel. Da überdies beide gleich CC' sind, so sind sie auch untereinander gleich, und

AA'B’B ist ein Parallelogramm. Folglich AB^A'B' und A ABC kongruent A A'B'C', also auch

^ACB^A'C'B'.

2. Zwei Ebenen a, ß, die sich in einer Geraden c schneiden, teilen den Raum in vier Fächer ein, die man Flächenwinkel nennt.

Um ein Maß für die Flächenwinkel zu gewinnen, errichtet man in einem Punkte C der Schnittlinie c von a und ß in diesen Ebenen Lote auf c (CÄ und CB in Fig. 223) und bezeichnet den ebenen Winkel ACB als Maß für den Flächenwinkel der Ebenen a, ß.

Daß dieses Maß von der Wahl des Punktes C unabhängig ist ergibt sich wie in 1. Ist ^ZACB ein rechter, so sagt man, die beiden Ebenen a, ß stehen aufeinander senkrecht.

3. Normale und Normalebene. Ziehen wir in der Ebene ABC (Fig. 223), die wir mit s bezeichnen wollen, eine beliebige Gerade CB, so steht auch diese senkrecht auf c. Um dies einzusehen, nehme man in c zwei Punkte P und Q in gleicher Entfernung von C und verbinde A mit B. Dann ist

-e*

AACP^ACQ

ABCP^BCQ

Fig 223.

weil die Dreiecke in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (dem rechten Winkel bei C) übereinstimmen (Iter Kongruenzsatz). Folglich ist AP = AQ, BP = BQ, AB = AB, und mithin ist

A ABP ^ AB Q (IIIter Kongruenzsatz).

Folglich ist

also

PAB ~ QAB, A PAB^ QAD,

PB ^ QB, APDC ^ QDC (IIIter Kongruenzsatz), ^BCP^BCQ,

folglich

und daher jeder dieser Winkel ein Rechter.

Aus diesem Grunde heißt die Ebene e rechtwinklig oder normal zu c. Jede in dieser Ebene gelegene Gerade, auch wenn sie nicht durch C geht, steht auf c senkrecht.

Da c jede beliebige Gerade sein kann, so haben wir den Satz:

a)    Durch jeden Punkt einer gegebenen Geraden läßt sich eine und nur eine Normalebene legen.

Die Gerade c heißt die Normale der Ebene s im Punkte G, und es gilt der Satz:

b)    In jedem Punkte C einer gegebenen Ebene e läßt sich eine und nur eine Normale errichten.

Daß es nicht zwei Normalen e, e in G geben kann, ist unmittelbar ersichtlich, denn sonst würden ja die beiden Geraden e, e auf der Schnittlinie ihrer Ebene mit s senkrecht stehen.

Um also die Normale e zu erhalten, ziehe man durch C zwei beliebige Geraden a, b in s und nehme zu diesen in C (nach a)) die Normalebenen a, ß. Die Schnittlinie dieser Ebenen ist dann die gesuchte Normale e, weil auf ihr zwei Geraden a, b der Ebene s senkrecht stehen. Nach diesen Festsetzungen ergibt sich noch:

c)    Der Flächenwinkel zweier Ebenen ist auch gleich einem der Winkel, die die Normalen der Ebenen einschließen.

d)    Yon einem außerhalb der Ebene s gelegenen Punkte P kann man eine und nur eine Normale (Perpendikel) auf s fällen, und zu jeder Geraden e läßt sich durch einen gegebenen Punkt P eine und nur eine Normalebene legen.

Man hat nur zu einer beliebigen Normalen der Ebene s oder Normalebene zu e eine parallele Gerade oder Ebene durch P zu legen.

e)    Steht eine Gerade a senkrecht auf einer Ebene a, so steht jede durch a gehende Ebene senkrecht auf a. Ist aber a nicht normal zu a, so kann man durch a eine und nur eine Ebene legen, die auf a senkrecht steht.

Um diese Ebene zu erhalten, fälle man von einem beliebigen Punkte von a das Lot d auf a. Die Ebene der beiden Geraden a und d ist dann die gesuchte Normalebene.

Das gilt auch noch, wenn a zu a parallel ist oder wenn a in a liegt.

f) Den kleinsten Winkel, den eine Gerade a mit einer Geraden der Ebene a bildet, erhält man, wenn man durch a eine auf a senkrechte Ebene legt, die die Ebene a in einer Geraden e schneidet. Der ebene Winkel zwischen a und e wird dann als der Winkel zwischen a und a definiert.

Der Winkel zwischen einer Ebene und ihrer Normalen ist ein rechter.

§ 80. Kürzester Abstand zweier windschiefer Geraden.

1. Sind a, b zwei Geraden, die nicht in einer Ebene liegen, so kann man einen Punkt A auf a und einen PunktB auf b roń der Art finden, daß die Verbindungsstrecke AB auf a und auf b senkrecht steht (Fig. 224).'

VBy

b^

Um diese Punkte zu erhalten, lege man durch einen beliebigen Punkt X der Geraden a die Normal-ebenen zu a und b. Diese schneiden sich in einer Geraden x, die auf a und b senkrecht steht und die Gerade a trifft, im allgemeinen aber die Gerade b nicht treffen wird.

Fig. 224.

Die Ebene ax kann aber auch nicht zu b parallel sein, weil sonst eine durch X gelegte parallele Gerade zu b auf x senkrecht stehen und folglich mit a zusammenfallen müßte; es wären also, gegen die Voraussetzung, a und b parallel. Die Ebene ax schneidet daher die Gerade b in einem Punkte B, und wenn man durch diesen eine Parallele d zu x zieht, so wird a von dieser in einem Punkte A geschnitten, und zugleich steht d auf a und b senkrecht.

2. Es gibt nur eine solche Strecke d, und diese ist die kürzeste Entfernung, die irgendzwei Punkte der Geraden a und b haben können, also der kürzeste Abstand der beiden Geraden.

Daß es keine zweite solche Gerade geben kann, die durch einen der beiden Punkte A, B geht, ist unmittelbar daraus zu ersehen, daß es sonst von diesem Punkte, etwa -von B, zwei Lote auf a gäbe. Zugleich erhellt, daß jede Entfernung des Punktes B von einem von A verschiedenen Punkte der Geraden a größer als d ist.

Betrachten wir also eine Gerade, die durch zwei von A, B verschiedene Punkte C, D geht. Wir fällen von C aus ein Lot CE auf die Ebene BAD. Fällt E nicht mit B zusammen, so steht dieses Lot senkrecht auf BE und auf BE, und EBC ist die Normalebene zu d, weil d auf zwei Geraden dieser Ebene, nämlich auf b und auf CE, senkrecht steht. Aus dem rechtwinkligen Dreieck CED folgt

CD > ED,

und wenn man durch E eine Parallele EF zu AB zieht, so folgt (da F auch mit D zusammenfallen könnte) ED EF = d, mithin

CD > d,

und dies gilt auch noch, wie die Figur unmittelbar zeigt, wenn E mit B zusammenfällt.

Damit ist die Minimumeigenschaft von d erwiesen. Sollte aber CD gleichfalls auf a und b senkrecht stehen, so würde ja ebenso d > CD folgen; es ist also auch dies unmöglich.

§ 81. Körperliche Ecken.

1. Wenn drei Ebenen a, b, c durch einen Punkt P gehen und keine Gerade gemein haben, so schneiden sie sich zu zweien in drei Geraden A = (be), B = (ca), C = (ab). Die drei Ebenen teilen den Raum in acht Teile, die man körperliche Ecken oder Trieder nennt. (Auf einer Kugelfläche, deren Mittelpunkt in P liegt, werden diese Trieder als sphärische Dreiecke projiziert, wie wir in der sphärischen Trigonometrie gesehen haben). Je zwei dieser Trieder, die nur in dem Punkte P Zusammenstößen, heißen Scheitelecken.

Man hat bei einer solchen Ecke drei „Seiten“, nämlich Teile der Ebenen a, b, c und drei Kanten, nämlich die die Seiten begrenzenden Teile der Geraden A, B, C.

Die körperliche Ecke hat drei Flächenwinkel und drei Kantenwinkel, die ersteren bezeichnen wir mit a, ß, y, die zweiten mit a,b, c (a,b, c sind die Seiten, a, ß, y die Winkel des entsprechenden sphärischen Dreiecks).

Zwei Trieder ABC und A'B'C' heißen kongruent, wenn sich ihre Seiten und Flächen so aufeinander beziehen lassen, daß entsprechende Seitenwinkel und entsprechende Flächenwinkel gleich sind, und wenn ABC und A'B'C' zwei gleichartige Systeme (beide Rechtssysteme oder beide Linkssysteme, § 78, 3.) bilden.

Bilden aber ABC und A'B'C' bei Gleichheit entsprechender

Winkel entgegengesetzte Systeme, so sind beide Ecken spiegelbildlich gleich.

Zwei Scheitelecken sind spiegelbildlich gleich.

Wenn man durch einen beliebigen Punkt Q parallele Ebenen zu a, b, c legt, so entstehen kongruente Ecken um Q.

2. Zwei Trieder sind kongruent, wenn sie bei gleichartiger Bezeichnung übereinstimmen

I. in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel,

II. in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln,

III.    in drei Seiten.

Diese drei Kongruenzsätze sind ganz analog den drei ersten Kongruenzsätzen für ebene Dreiecke und werden ebenso bewiesen. Es kommt aber ein vierter hinzu:

IV.    Zwei Trieder sind kongruent, wenn sie bei gleichartiger Bezeichnung in den drei Winkeln übereinstimmen.

Diesen Satz leitet man aus dem dritten in folgender Weise her:

Wenn man in drei Punkten A, B, G auf den Kanten eines Tri-eders P drei zu diesen Kanten normale Ebenen errichtet, so schneiden sich diese in einem Punkte Q} in dem sie wieder eine dreiseitige Ecke bilden, die wir die Gegenecke zuP nennen wollen (Fig. 225).

Kongruente Ecken haben ko ngruenteG egeneck en.

Jede Kante der Gegenecke mündet in eine Seitenfläche der gegebenen Ecke. Bei entsprechender Zählung der Kanten der Ecke und Gegenecke sind diese beiden nicht gleichartig, sondern die eine ist ein Rechtssystem, die andere ein Linkssystem.

Die Kantenwinkel der Ecke P ergänzen die entsprechenden Flächenwinkel von Q zu zwei Rechten, z. B. :

<£ CB'A + CP A - 2P (Fig. 225),

J><~...........

iS

Fig. 225.

¹C'

yl

weil die beiden Winkel bei A und C in dem Viereck PAB'C Rechte sind; und die Flächen winkel von P ergänzen die Kantenwinkel von Q zu zwei Rechten, z. B.:

^:A'CB' + A'QB' = 2B.

Die Gegenecke von der Gegenecke ist wieder die ursprüngliche Ecke. Wenn also zwei Ecken in den Winkeln übereinstimmen, so stimmen die Gegenecken in den Seiten überein und sind also, wenn sie gleichartig sind, miteinander kongruent. Demnach sind auch die gegebenen Ecken kongruent.

Dem vierten Kongruenzsatze bei ebenen Dreiecken entsprechend würden noch zwei weitere Fragen entstehen, nämlich: Wann findet Kongruenz statt, wenn zwei Ecken in zwei Seiten und einem anliegenden Winkel oder in zwei Winkeln und einer anliegenden Seite üb ereinstimm en ?

Eine deutliche räumliche Anschauung in diesen Fällen zu gewinnen, ist nicht so leicht. Indessen geben die Formeln der sphärischen Trigonometrie noch die beiden folgenden Theoreme:

V. Stimmen zwei gleichartige Ecken in den Stücken ß,y,b überein, so sind sie kongruent, wenn

ß + y<7t, ß>y,

oder wenn

ß + y> a, ß <y.

VI. Stimmen die beiden Ecken in den Stücken b, c, ß überein, so sind sie kongruent, wenn

b -f- c < <x,    &>c,

oder

6 -f c > 3T,    b<c>)

Wir beweisen noch folgende auf die körperliche Ecke bezüglichen Sätze:

1) Setzt man

im Falle V. t = tg

e in

im Falle VI. t = tg —,

so erhält man aus den Formeln der sphärischen Trigonometrie (§ 43, (2), (2')), wenn man sina und cos a, sina und cos a nach § 30, (11) durch t ausdrückt, für t die quadratischen Gleichungen:

£s sin (ß -f- y) — 21 cotg b sin ß — sin (ß — y) — 0 , t² sin (b — c) -f- 2t cotg ß sin b — sin (b -j- c) = 0 .

Diese Gleichungen haben nur je eine positive Wurzel, wenn

oder

V.

VI.

sin (ß — y)

sin (b -f- c)

sin (ß + y)

sin (6 — c)

positiv sind. Dann müssen also zwei körperliche Ecken, die in ß, y, b oder in b, c, ß übereinstimmen, auch in a oder a übereinstimmen, und mithin kongruent sein.

3. Es sei ASB (Fig. 226) ein Dreieck, in dem die Winkel bei A und B spitz seien, und AS'B seine Projektion auf die Ebene ABC (also SS' _L ABC). Man lege die Ebene SS'L senkrecht AB, dann ist SL > S'L, weil das Dreieck LS'S bei S' rechtwinklig ist. Wird also das Dreieck ASB durch Drehung um AB in die Ebene A CB geklappt, und fällt S dabei auf LC nach S₀, so ist S₀L>S'L, daher, an AS₀B beurteilt,

zu

(1)    <£ ASB < AS'B,

und

(2)    «$£ LBS > LBS'.

Fig. 226.

4. Wenn wir eine körperliche Ecke SA BC haben mit den Kantenwinkeln a, b, c, so lege man durch S eine beliebige Gerade SS', die das sphärische Dreieck ABC im Innern trifft, und lege eine zu dieser Geraden senkrechten Ebene ABC, dann erhält man durch dreimalige Anwendung von 3. (wie Fig. 226 zeigt):

0 <d öt —I— & —I— c <C o> -j⁻ b -j- c = 2 7t,

und wir haben damit den Satz:

Die Summe der Kantenwinkel eines Trieders ist immer, kleiner als vier Rechte.

5. Sind a, ß, y die Flächenwinkel unserer Ecke, so sind n — a % — ß, n — y die Kantenwinkel der Gegenecke, und die Anwendung von 4. auf diese gibt

0 < jr — u — ß 7C — y <i 2 it, 7t<a-\-ß + y< 3jt,

also den Satz:

Die Summe der Flächenwinkel einer dreiseitigen Ecke (die Summe der Winkel eines sphärischen Dreiecks) liegt zwischen zwei Rechten und sechs Rechten.

6. Wenn wir in einer dreiseitigen Ecke SABC durch eine Kante SC eine Ebene SCC' senkrecht auf die Ebene SAB legen (Fig. 227), so ist nach (2)

CA> C'A

^ a = CB > C'B.

Fällt SC zwischen SA und SB, so ist C'A + C'B = AB = c,

folglich

Fällt aber C außerhalb AB, so ist schon der eine der beiden Winkel a, b, etwa a, größer als c. Wir haben also den Satz:

In einer dreiseitigen Ecke ist die Summe zweier Kantenwinkel größer als der dritte.

(4)

Durch Übergang zur Gegenecke folgt für die Flächenwinkel: je -f- a > ß -f- y.

7. Wenn in einem Trieder zwei Kantenwinkel einander gleich sind, so sind auch die gegenüberliegenden Flächenwinkel einander gleich und umgekehrt.

Der Beweis ergibt sich, wie beim gleichschenkligen Dreieck, in der Ebene:

Es sei zunächst in dem Trieder SAB G (Fig. 227) a — b.

Man halbiere den Winkel c durch den Strahl SC' und lege die Ebene SCCman erhält dann zwei Trieder, die in den Kanten-

kr

Fig. 228.

Fig. 227.

winkeln übereinstimmen, und die daher nach dem dritten Kongruenzsatz spiegelbildlich gleich sind. Sie stimmen daher auch in den Winkeln überein, d. h. es ist a — ß.

Die Umkehrung folgt durch Übergang zur Gegenecke.

8. In einem Trieder liegt dem größeren Flächenwinkel der größere Kantenwinkel gegenüber.

Es sei (in Fig. 228) ß > a.

Man lege durch SB eine Ebene SBC' unter dem Winkel C' B A = a. Dann fällt der Strahl G' zwischen A und C. Nach 7. ist BC'= ACf und nach 6.:

AC = BC'+C'C>BC,

also:

b > a.

Der entsprechende Satz für das ebene Dreieck findet sich bei Euklid Buch I, Nr. 18, von wo auch der hier gegebene Beweis übertragen ist.

Neunter Abschnitt.

Rauminhalt und Flächeninhalt.

§ 82. Inhaltsmaß.

1. Für die Bestimmung der Rauminhaltsgröße eines begrenzten Raumteils oder eines Volumens gelten zunächst dieselben Grundsätze wie für den Flächeninhalt ebener Figuren.

Man nennt zwei Körper zerlegungsgleich, wenn sie in wechselseitig kongruente Teile zerlegbar sind, und inhaltsgleich, wenn sie durch Hinzufügung kongruenter Körper in solche übergehen, die in kongruente Teile zerlegbar sind (ygl. § 22).

Hilbert hat in seiner Programmrede beim zweiten internationalen Mathematikerkongreß in Paris (Göttinger Nachrichten 1900) die Frage angeregt, ob sich dieser Begriff der Inhaltsgleichheit allgemein mit dem deckt, was die Stereometrie sonst immer unter inhaltsgleichen Polyedern verstand, und die analoge Frage für die Ebene ist, wie wir oben gesehen haben, zu bejahen.¹)

Um so merkwürdiger war es aber, daß dies, wie Dehn (Mathematische Annalen Bd. 55) nachgewiesen hat, für den Raum nicht mehr zutrifft-, daß die Raumgleichheit von Polyedern im allgemeinen nur geschlossen werden kann aus der Übereinstimmung von Inhaltszahlen (Volumen, Kubikinhalt), die durch einen unendlichen Prozeß gewonnen werden müssen.

Es ist das eine Aufgabe der Integralrechnung, über deren allgemeine Hilfsmittel wir hier nicht verfügen. Indessen ist die Schlußweise der Integralrechnung, wenn auch unter anderem Namen, bereits im Altertum (Archimedes) bekannt gewesen und ist auch stets, wenn auch nur stillschweigend, von der Elementarmathematik angewandt worden.

Hier wollen wir uns die Aufgabe stellen, die Lehre vom Rauminhalt zunächst von Polyedern, dann aber auch von Körpern mit

krummen Grenzflächen einfacher Art, wie Kegel, Zylinder, Kugel, unter Voraussetzung der Euklidischen Geometrie abzuleiten.

2. Wir wollen einem Körper, der sich nirgends ins Unendliche erstreckt, also z. B. ganz in eine Kugel von endlichem Radius eingeschlossen werden kann, eine bestimmte Zahl als Inhaltsmaß oder Rauminhalt zuordnen, wobei folgende Bedingungen eingehalten werden sollen:

1) Wenn ein Körper B Teil eines Körpers A ist, so soll die Inhaltszahl a von A größer sein als die Inhaltszahl b von B.

2)    Ist ein Körper A aus mehreren, Ax, A₂, ..., zusammengesetzt, so ist die Inhaltszahl von A die Summe der Inhaltszahlen von A₂,..., also

a — ax -f a₂ -f- • • •.

3)    Wird von A ein Teil B weggenommen, so bleibt ein Körper G, und es ist die Inhaltszahl von C:

c = a — b.

4) Kongruente Körper haben gleiche Inhaltszahlen, woraus folgt, daß auch zerlegungsgleiche und inhaltsgleiche Körper gleiche Inhaltszahlen haben. Ebenso sollen spiegelbildlich gleiche Körper dieselbe Inhaltszahl haben.

Inwieweit durch diese Forderungen die Inhaltszahlen bestimmt sind, werden wir später sehen. Einstweilen beschränken wir die Betrachtung auf Körper mit ebenen Grenzflächen, die wir allgemein als Polyeder bezeichnen.

3. Wir legen den Würfeln, deren Kante die Längeneinheit ist (z. B. dem Kubikdezimeter, Liter), die Zahl 1 als Inhaltsmaß bei.

Teilen wir die Kante des Würfels in eine beliebige Anzahl n gleicher Teile, so können wir durch drei Systeme paralleler Ebenen den Einheitswürfel in w⁸ kongruente Würfel teilen. Nach der Forderung 2) muß also jeder dieser Teilwürfel den Inhalt 1/w³ haben.

Maßzahlen

Nehmen wir ferner ein rechtwinkliges Prisma, dessen Seiten a, ß, y mit der Längeneinheit kommensurabel sind, also rationale cc = a/n, ß — b/n, y = c/n

haben, so können wir das ganze Prisma in abc Würfel von der Seite 1/n teilen, und folglich ist der Rauminhalt dieses Prismas nach 2) gleich dem Produkte aßy.

Sind nun cc, ß, y alle oder zum Teil irrational, so kann doch der Rauminhalt des Prismas keinen anderen Wert haben als das Produkt aßy. Nehmen wir nämlich an, die Maßzahl sei g, und etwa

aßy < g.

Es gibt dann (vgl. Bd. I, § 24) rationale Zahlen a/n, b/n} cjn von der Art, daß

a < ajn, ß < b/n, y < cjn,

und daß doch noch

“ßy<^r<V,

es würde dann das rationale Prisma ganz in dem Prisma aß y enthalten sein, und doch wäre die Maßzahl des letzteren größer als die des ersteren. Ebenso kann die Annahme fi < aßy als unstatthaft nachgewiesen werden.

I. Wir sind also gezwungen, einem rechtwinkligen Prisma als Rauminhalt das Produkt aus den Maßzahlen seiner Seiten zuzuweisen.

Daß diese Bestimmung des Rauminhalts den Forderungen von Nr. 2 entspricht, ergibt sich dann aus den Rechenregeln mit Irrationalzahlen.

Man kann ein gerades Prisma mit rechteckiger Basis durch eine Ebene, die zwei parallele Diagonalen der Endflächen enthält, in zwei kongruente dreiseitige Säulen zerlegen, deren jede als Rauminhalt die Hälfte des vorigen, also das Produkt der Grundfläche und Höhe hat.

Da man Polygone in rechtwinklige Dreiecke zerlegen kann, so ergibt sich die Verallgemeinerung des vorigen Satzes:

II. Der Rauminhalt einer geraden Säule ist gleich dem Produkt aus der Grundfläche und der Höhe.

Diese Festsetzung der Inhaltszahlen gerader Säulen ist, nachdem der Einheitswürfel festgesetzt ist, nach den Forderungen 1) bis 4) notwendig, und sie genügt auch umgekehrt, wenn das Rechnen mit Irrationalzahlen erklärt ist, diesen Forderungen.

Von hier an greift ein neues Prinzip der Integralrechnung eim Wir werden nun zunächst voraussetzen, daß für die betrachteten Körper Inhaltszahlen existieren und unter dieser Voraussetzung die Zahlen bestimmen. Auf die Berechtigung zu dieser Voraussetzung kommen wir dann später (in § 86) zurück.

§ 83. Rauminhalt von Pyramiden.

1. Wir betrachten eine Pyramide von beliebiger polygonaler Basis, und nehmen zunächst an, daß die Projektion der Spitze (der Fußpunkt der Höhe) in das Innere oder an die Grenze des Basispolygons fällt, und daß dieses Polygon keine einspringenden Ecken habe.

Wenn wir die Höhe der Pyramide mit h bezeichnen, und in dem Abstande x von der Spitze eine zur Grundfläche parallele Ebene legen, so schneidet diese die Oberfläche der Pyramide in einem Polygon, das dem Basispolygon ähnlich ist, und das Verhältnis entsprechender Längen ist x : h. Sind also Ax und A die Flächeninhalte der beiden Polygone, so ist (§ 22, Satz 13)

Ax : A = x² : h².

Wir teilen die Höhe der Pyramide in eine beliebige Anzahl, w, gleicher Teile und legen durch die Teilpunkte parallele Ebenen zur Grundfläche, die die Pyramiden in den Flächen A1} A₂, ..., An = A

At: A =

schneiden, Fig. 229. Es ist dann h* 79 n»:Ä>

A A    72

n-

Aa \ A = —s- : Jr....

..r

und folglich:

4

J,n².

n*

Fig. 229.

Wir errichten nun auf allen diesen Flächen Ai als Grundflächen prismatische Körper von der Höhe Ji/n, und zwar sowohl nach oben solche, die aus der Pyramide hervorragen, als nach unten solche, die in der Pyramide enthalten sind. Wir bekommen so zwei staffelförmige Körper, von denen der eine die Pyramide enthält, der andere in ihr enthalten ist.

Nennen wir Slf S₂ das Volumen dieser beiden Körper, so muß die Zahl TI für das Volumen der Pyramide, wenn sie existiert, der Bedingung genügen:

¹

Auch für sphärische Polygone, wie Dehn in einer neuen Arbeit gezeigt hat (Math. Ann. Bd. 60). Ygl. zu diesem Abschnitt ferner: Kagan, Über die Transformation der Polyeder; Minkowski, Volumen und Oberfläche; Schatu-novsky, Über den Rauminhalt der Polyeder; (alles Math. Ann. 57).

(i)

und nach § 82, 2) ist

S₂ =

llJ

n³

-(12₊₂2₊3*+ ••• + (** -l)²).

Wir haben aber im § 62 des ersten Bandes für die Summe der n ersten Quadratzahlen die Formeln erhalten:

12 ₊ 2² + • • • + n² = --(łł + 1)(8w±i),

und hiernach ist

h J n(n + 1)(2 n + 1) - V (l + \) (l + ^) ,

»(*■-i)(²*-1) -¥(i—i-) il-L)-

6 n³

Sl =

6ns

Diese beiden Ausdrücke unterscheiden sich, wenn man n groß genug annimmt, beliebig wenig von |Az/, und sie beweisen also den Satz:

III. Das Volumen einer Pyramide mit beliebiger polygonaler Basis ist gleich dem dritten Teile des Produktes aus Grundfläche und Höhe.

Die beschränkende Voraussetzung, die wir über das Basispolygon und über die Projektion der Spitze gemacht haben, hat zur Folge, daß jeder Strahl, der von der Spitze nach einem Punkte des Basispolygons läuft, bei orthogonaler Projektion auf die Basis ganz in das Innere dieses Polygons oder in seine Grenze projiziert wird, und dadurch ist die Ungleichung (1) gesichert. Dies ist der Grund der gemachten Beschränkung, von der wir uns jetzt leicht befreien können. Betrachten wir zunächst eine dreieckige Basis; die Spitze soll aber senkrecht über einem Punkte außerhalb der Dreiecksfläche liegen. Dann kann man immer durch Hinzufügung von Pyramiden, die der beschränkenden Voraussetzung genügen, eine größere Pyramide hersteilen, die ebenfalls diesen Bedingungen genügt. Für beide gilt dann der Satz III. und folglich auch für ihre Differenz, die die gegebene Pyramide ist. Und da man jedes einfache Polygon in Dreiecke zerlegen kann, so ist damit der Satz allgemein erwiesen.

2. Es hängt also der Rauminhalt der Pyramide nur von dem Flächeninhalt der Grundfläche und von der Höhe, nicht von der Gestalt der Grundfläche ab.

Man kann danach auch leicht den Rauminhalt eines Pyramidenstumpfes berechnen. Schneidet man nämlich die Pyramide durch eine zur Grundfläche parallele Ebene, so erhält man einen Stumpf, der durch zwei ähnliche Polygone z/j, z/₂ begrenzt ist und eine Höhe \ — \=h hat, und es ist a/j : z/₂ = h* :    Danach ergibt sich:

i,    h']/d₁    ?    7t]/z?a _

¹ V~Ä-VA' ² VÄ-VÄ’

und für das Volumen des Stumpfes:

S==---8-

Es ist also S gleich dem Volumen eines Prismas von der Höhe h und der Grundfläche    + z/₂ -(- j/z^z/J.

(2)

VA V^i __ ~h ~\~ VA ^2 Kvä-Va)    ³

Bezeichnet man mit Am den Flächeninhalt des Mittelschnittes,.

so ist

: z/m : z/₂ = hl :\(\+ A₂)¹ : Af = Ax : ^ft/z^ + V^₂)¹ : ^/₈, und folglich

=    + ]/    ⁼ i(^l + ^2 + ^J/z/j^/g).

Eliminiert man ]/z/jz/₂ aus (2), so ergibt sich:

(3)

(Ax +    + 4z/ ).

§ 84. Das Cavalierische Prinzip.

1.    Eine strenge Begründung der Inhaltsbestimmung von Körpern, bei denen auch gekrümmte Grenzflächen zugelassen werden, läßt sich mit elementaren Hilfsmitteln nicht geben, und sie macht selbst in der Integralrechnung noch Schwierigkeiten, die in der Übertragung des Zahlenreiches auf die Raumanschauung ihren Grund haben. Begnügen wir uns aber mit dem, was uns die naive Raumanschauung gibt, so haben wir ein reiches Material von einfach lösbaren Aufgaben der Inhaltsbestimmung.

3. Wir betrachten jetzt einen Körper K, der zwischen zwei parallelen Ebenen eingeschlossen ist und in diesen Ebenen mit zwei Flächen endigt, die wir die Endflächen nennen wollen. Die Endflächen können sich auch auf Punkte oder Linien zusammenziehen.

Die Fläche, die aus einer zwischen den Endflächen gelegenen, zu dieser parallelen Ebene ausgeschnitten wird, wollen wir einen Querschnitt nennen. Die Endflächen sollen als untere und als obere unterschieden werden. Die senkrechte Entfernung der Endflächen heißt die Höhe des Körpers; wir bezeichnen sie mit h.

von

Die Höhe eines beliebigen Querschnittes über der unteren Endfläche soll mit x bezeichnet werden, und wir nehmen 'an, daß der Flächeninhalt Q eines Querschnittes als eine stetige Funktion Q{x) x bekannt sei. Die Flächeninhalte der Endflächen sind Q(0) und Q(h).

Wir teilen die Höhe Ji in n gleiche Teile, deren jeder also die Länge d = h/n hat, und legen durch die Teilpunkte Querschnitte Qi, Q%, • • -, Qn-ii Qo un(^ Qn bedeuten die Endflächen selbst.

Diese Querschnitte zerlegen den Körper K in n Scheiben St, $₂, . . ., Sn und die Inhaltszahl K des Körpers ist gleich der Summe der Inhaltszahlen S1} S₂ . . ., Sn dieser Scheiben:

(1)

Diese S werden um so dünner, je mehr die Zahl n wächst, und zugleich werden sie sich, je größer n wird, um so weniger von säulenförmigen Tafeln unterscheiden, deren Grundfläche eine der Endflächen von St (etwa die obere) ist. Der Inhalt einer solchen Tafel ist aber gleich Q{d, und wir erhalten also

(2) für ein unendlich großes n.

4. Dieser Schluß würde sich strenger begründen lassen bei der Annahme über den Körper K, daß jeder höhere Querschnitt, in die Ebene eines jeden tieferen projiziert, ganz in diesem enthalten ist oder ihn ganz umschließt.

Dann würden sich für K, ähnlich wie in § 83 für die Pyramide, die beiden Grenzen

“(#0 + Ql H-----b Qn-1) ?

angeben lassen, zwischen denen sein Volumen liegt, und die einander unbegrenzt genähert werden können. Dies gilt auch dann noch, wenn K in eine endliche Anzahl von Teilen zerlegt werden kann, die dieser Forderung genügen. Im allgemeinen ist es aber schwer, wenn nicht unmöglich, die genauen Bedingungen anzugeben, unter denen die Formel (2) gilt.

5.    In der Formel (2) ist das sogenannte Cavalierische Prinzip¹) -enthalten, das man auch in der Form aussprechen kann:

Wenn zwei Körper zwischen denselben parallelen Ebenen die Eigenschaft haben, daß je zwei in derselben Höhe liegende Querschnitte gleichen Flächeninhalt haben, so haben die beiden Körper gleiches Volumen.

6.    Eine große Zahl von Anwendungen sind in der Voraussetzung enthalten, daß die Funktion Q(x), die den Flächeninhalt eines Querschnittes ausdrückt, eine ganze Funktion sei. Ist diese Funktion vom nteri Grade, so setzen wir:

(3)

woraus

(4)

Q(x) = cQ + cxx + c^x* -\-----b cmxm

Ql = C0 + Cl^ + C2 + ' • ‘ + Cm-n ,

also wenn wir zur Abkürzung

Sv(n) = V + 2” + • • • + w*

setzen, also mit Sr(n) die Summe der vteQ Potenzen der n ersten natürlichen Zahlen bezeichnen, nach (2):

(5)

• T Cm

hni +¹

nm ⁺¹

Die vten Potenzen der aufeinander folgenden Zahlen 1, 2, 3, . . . bilden eine arithmetische Reihe vten Grades, und ihre Summe karm also nach Bd. I, § 62 gefunden werden. Wir setzen, indem wir mit

(v) = w! : v\ (n — v) ! die Binomialkoeffizienten bezeichnen,

Sr{n) = «0+ °h(l) + «2(2) + • • • + + l) J

(6)

worin die a₀, a1} . . ., av+1 aus der Annahme n = 0, 1, 2, . der Reihe nach gefunden werden.

Der Wert von

• •)

v -J- 1

°Wi

läßt sich leicht bestimmen. Denn es ist

Sv(n) - Sv(n - 1) = nv =

«•((i) - r t *))+«.(©- r 7 b)+•■ ■+«-«((.+i) - c?d) -

1) Cavalieri, Jesuit, Professor in Bologna 1591 (oder 1598)—1647.

Diese Gleichung muß für jedes n befriedigt sein, und da eine Gleichung vten Grades nicht mehr als v Wurzeln haben kann, so muß sie in bezug auf n identisch sein. Die Binomialkoeffizienten

^"ö”¹)’    ••• s^nc^ a^er a^e bezuo au^ n von niedrigerem

als dem vten Grade, und nur ~ ¹ j = (w — 1)(n — 2) • • • (n — v) : v\

erreicht den nten Grad, und nv hat den Koeffizienten \/v\

Hiernach folgt aus (7):

(8)

also nach Band I, § 57, (7):

0)

nv

= ttl (H 0 ^ + a2 (n 1 X) H-----f “y + l (n v ¹)‘

B»+i —

Für die Bestimmung von K kommt es nach (5) nur an auf den Grenzwert des Verhältnisses Sv(n)/nv + 1 für ein unendliches n. Es ist aber

n(n — !)•••(% — fi -f-1)

nr + 1

nr + 1fi!

nv-'i + 1fi!

und dies wird gleich Null, wenn fi < v + 1 ist, und gleich l/(v -f- 1)! für [i = v -f- 1.

Daher ist nach (6) und (8):

(9)

Sv(n)

lim

n = oonv + 1

V -j- 1

Aus (5) ergibt sich demnach für K:

(10)

K= c₀h +    H-----b

cmkm + 1

m -f 1

Ist z. B. m = 2, also

(H)

Q{pc) = c₀+ cxx -f- c₂x²,

so erhält man

(12)

K=c₀h + ^ + V,

und man kann nun die c₀, ct, ca eliminieren, wenn man drei Querschnittsflächen kennt. Nimmt man die beiden Endquerschnitte und den mittleren, die man wie in § 83 mit /dx, z/₂, /tm bezeichnet, so ist

C0 + C1 2 1" C*T>

z/₂ = Cq -f- cxh -f- c₂h²

und man kann c₀, c^h, c^h? aus (12) eliminieren und erhält:

(13)

K =    + 4z/m),

wie in dem speziellen Falle § 83, (3).

Ebenso kann man aus der allgemeinen Formel (10) mittels der Ausdrücke für m + 1 spezielle, z. B. äquidistante, Querschnitte die Konstanten c₀,    . . ., cm eliminieren.¹)

Die Formel (13) gilt auch noch, wenn Q(x) eine Funktion dritten Grades ist, wie sich aus (10) und (3) leicht ergibt.

§ 85. Beispiele.

1. Auf die Formel (11) und damit auf (12) und (13) des § 84 kommen viele spezielle Inhaltsbestimmungen zurück, von denen hier einige der wichtigsten angeführt werden sollen; zunächst das Pris-matoid.

Unter einem Prismatoid wollen wir allgemein einen Körper mit nur geradlinigen Kanten verstehen, dessen Ecken auf zwei parallelen Ebenen rj, r[ liegen und der von rj, r[ und allen zu iq parallelen Ebenen

YJ

s/'J

zwischen rj, rf in geradlinig begrenzten Vielecken geschnitten wird; gesucht wird das Volumen des zwischen rj und r[ liegenden Körpers. Je nachdem die Grenzflächen des Prismatoids ausschließlich eben sind oder nicht, möge es gerade oder windschief genannt werden.

Fig. 230.

Das windschiefe Prismatoid hat ebene Endflächen und neben ebenen auch krumme Seitenflächen (Fig. 230), auf denen unbegrenzt viele gerade Linien liegen, sogenannte (windschiefe) Regel flächen, wie sie bei Uferbauten und Dachkonstruktionen Vorkommen. Zu den geraden Prismatoiden gehören u. a.: a) das Prisma und die Pyramide (eine der Grenzebenen geht durch die Spitze);

h) das Tetraeder in der speziellen Lage, daß rj und r[ durch zwei gegenüberliegende Kanten gehen;

c) der sogenannte Körperstumpf, der mit rj, r{ wirkliche Vielecke (nicht degenerierte) gemein hat.

Die Volumina aller Prismatoide sind nach den Formeln

(11), (12), (13) des § 84 zu berechnen.

1) Vgl. die Mitteilung von Finsterbusch in den Verhandlungen des dritten internationalen Mathematikerkongresses (Leipzig, Teubner 1905), S. 687.

Es läßt sich nämlich zeigen, daß der Querschnitt Q(x) in der Höhe x über der Grundfläche r\ eine quadratische Funktion von x ist. Zu dem Zwecke projizieren wir Q(x) orthogonal auf die Ebene «7 und erhalten so ein Vieleck BXB₂... BhBh + l... (Fig. 231), das aus dem in rj selbst liegenden Vieleck Q(0) oder Al A₂... AhA

vh+1

A +1 ' ‘ ’

-durch Hinzufügung der Vierecke Ax A₂ Bp Bx, A₂ ä₃ Bs B₂,... hervorgeht. Ändert sich x, so bewegen sich die Punkte J8lf B₂, ... auf gewissen durchA^,^,... gehenden Geradenglyg₂,---, den Projektionen der Kanten des Prismatoids. Die

Fig. 231.

Ebene rj abhängen. Ist Sh der

Strecken AxBlf A₂B₂, . ergeben sich in der Form cxx, c₂x, . . ., chx, wo die Faktoren clf c₂, . . ., ch nicht von x, sondern nur von der Neigung der Kanten zur Schnittpunkt von gh und gh+1, so ist die Fläche

-BASABA+1 — y ShAh • Sh Ah+1 sin {ghgh+x),

A^h-^-h+i

⁼ KShÄh + xch) (ShA+1 + ®e*+i) sin(ghgh+1)

also eine quadratische Funktion von x, und diese Formel definiert

auch den Inhalt, den man dem Viereck beilegen muß seiner Seiten sich überschneiden-, nun ist

wenn zwei

Q(x)~Q(0)+^AhBhBt + 1At + 1,

also Q(x) eine quadratische Funktion von x, was zu beweisen war.

2.    Die Volumina von Zylindern und Kegeln können wir erhalten, wenn wir sie als Grenzfälle von Prismen und Pyramiden betrachten. Ist r der Radius der Basis und h die Höhe, so ist

Volumen des Zylinders — nr²h,

= j *r²h,

„ Kegels

und diese Formeln gelten auch für schiefe Zylinder und Kegel.

3.    Eine Kugel vom Radius r wird von einer Ebene, die vom Mittelpunkte den Abstand# hat, in einem Kreise vom Radius q =]/r²—x2 geschnitten. Die Fläche dieses Kreises ist jt(r²— x²) und folglich eine

Funktion zweiten Grades von x. Demnach läßt sich die Formel (13), § 84, anwenden Man erhält aus ihr:

Volumen der Kugel =^rJ,

und das Volumen einer Kugelhaube von der Höhe z = r — x:

^(3r — z).

4. Zwei kongruente Zylinder mit kreisförmigem Querschnitt und dem Radius r sollen sich so durchdringen, daß sich ihre Achsen unter rechtem Winkel schneiden (Fig. 232). Das gemeinschaftliche

y’

Stück dieser beiden Zylinder ist ein kissenförmiger Körper, der von vier aus den Zylinderflächen ausgeschnittenen Zweiecken begrenzt ist, dessen Kanten ! Ellipsen sind. Von einer Ebene, die in 11    der Entfernung x mit der Ebene der

4    beiden Achsen parallel läuft, wird aus

I..-'’ \

Fig. 232.

H diesem Körper ein Quadrat geschnitten, dessen Seite gleich 2]/r² — x² und dessen ^ Fläche 4(r²—x²), also ebenfalls eine Funktion zweiten Grades ist. Wir können also auch hier die Formel § 84, (13) anwenden. Die Höhe des Körpers ist 2r und die Fläche des Mittelquerschnittes z/TO==4r², während die Endquerschnitte verschwunden sind.

Demnach ist das Volumen dieses Körpers 16r³/3, also -| von dem Volumen des um geschriebenen Würfels.

Es ist beachtenswert, daß dieses Volumen, obwohl die Grenzflächen aus dem Kreise abgeleitete krumme Flächen sind, die Zahl % nicht enthält, sondern zum Würfelvolumen in rationalem Verhältnis steht.

§ 86. Existenz von Inhaltszahlen.

Die allgemeine Begründung der Existenz von Volumenzahlen gehört zu den schwierigsten Problemen der Infinitesimalrechnung und fällt daher aus dem Rahmen unserer Betrachtungen heraus. Immerhin müssen wir einiges darüber beibringen, was wenigstens in den einfachsten Fällen Licht verbreiten kann.

Wir denken uns, nachdem die Längeneinheit festgesetzt und eine beliebige ganze Zahl n angenommen ist, Würfel von der Kantenlänge 1 /n, also vom Volumen 1/w³; diese Würfel sollen Elementarwürfel heißen. Jeder Körper, der aus Elementarwürfeln aufgebaut ist, hat dann eine rationale Inhaltszahl, deren Nenner n³ und deren Zähler gleich der Anzahl der verwendeten Würfel ist.

■An> An+1, An+2,    Bn, B

Ist nun irgend ein Körper K gegeben, so können wir aus Elementarwürfeln zwei Körper An, Bn auf bauen, von denen der erste ganz in K enthalten ist, der zweite K ganz enthält, und die Volumenzahl muß, wenn sie existiert, zwischen An und Bn liegen. Zugleich ist An<C Bn. Können wir durch Vergrößerung von n den Unterschied zwischen An und Bn beliebig klein machen, so erzeugen die Volumenzahlen

n + 17

einen Dedekindschen Schnitt und damit eine (rationale oder irrationale) Zahl, und diese ist das Inhaltsmaß von K. Daß durch diese Definition die Forderungen des § 82, 2. erfüllt sind, ergibt sich aus den Rechenregeln mit Irrationalzahlen (Bd. I, § 26).

Alles weitere kommt also auf die Frage hinaus, ob es möglich ist, die Volumenzahlen An, Z?;t einander beliebig nahe zu bringen.

Denken wir uns zunächst, was immer möglich ist, einen Körper M aus Elementarwürfeln aufgebaut, der den Körper K ganz enthält. Dieser Körper M wird eine gewisse Anzahl von Würfeln enthalten, die ganz in K stecken; deren Gesamtheit und zugleich die Volumenzahl bezeichnen wir mit A. Dann wird es eine gewisse Anzahl von Würfeln in M geben, die nur zum Teil in K enthalten sind. Deren Gesamtheit und Volumenzahl sei a. Die übrigen in M enthaltenen Würfel liegen ganz außerhalb K und können weggelassen werden. Wir können dann B = A -j- a setzen, und der Körper B enthält den Körper K ganz in seinem Innern.

Eine Volumenzahl für K muß, wenn sie existiert, zwischen A und B liegen, und sie wird existieren, wenn die Zahl a für unendlich wachsendes n unendlich klein wird.

Daß diese Bedingung immer befriedigt ist, wenn der Körper K von ebenen Flächen begrenzt ist, sieht man leicht. Denn denkt man sich die Grenzflächen von K durch Wände von der Dicke der Diagonale des Elementarwürfels ersetzt, so sind alle Würfel a in diesen Wänden verborgen, das Volumen ist kleiner als das Volumen einer endlichen Anzahl von prismatischen Räumen von der Höhe der W ürfeldiagonale.

Es ergibt sich daraus dann weiter, daß die Bedingung erfüllt ist bei allen Körpern, für die sich ein enthaltenes und ein enthaltendes Polyeder konstruieren läßt, die einander beliebig nahe gebracht werden können. Dies trifft für die Zylinder, Kegel und Kugeln zu.

Wenn die Körper A, K, B und der Einheitswürfel durch ähnliche Körper ersetzt werden, bei denen das Verhältnis s entsprechender

Längen dasselbe ist, so werden die Zablenyerhältnisse nicht geändert, der Rauminhalt des Würfels aber im Verhältnis 1 : £³ vergrößert (§ 82, 3.). Daraus ergibt sich der Satz:

Die Inhaltszahlen ähnlicher Körper, bei denen sich entsprechende Längen wie 1 zu £ verhalten, verhalten sich wie 1 zu £³.

§ 87. Flächeninhalt gekrümmter Flächen.

1.    Noch größere Schwierigkeiten als die Volumenzahl bietet die Bestimmung des Flächeninhaltes gekrümmter Flächen, weil sich eine gekrümmte Fläche nicht unmittelbar mit einer ebenen Fläche vergleichen läßt. Wir sind hier von vornherein auf einen Grenzübergang angewiesen.

Wenn in der niederen Geodäsie ein Grundstück auf der Erde gemessen und sein Flächeninhalt etwa in Quadratmetern ausgedrückt wird, so behandelt man diese Fläche, als ob sie in einer Ebene läge, und man begeht damit bei der schwachen Krümmung der Erdoberfläche keinen merklichen Fehler. Dehnt man dies Verfahren auf eine große Zahl von Grundstücken aus, die in ihrer Gesamtheit einen erheblichen Teil der Erdoberfläche bedecken, so erhält man eine Zahl von Quadratmetern, die man mit einer um so größeren Annäherung als ein Flächenmaß für den betreffenden Teil der Erdoberfläche betrachten wird, je kleiner die einzelnen gemessenen Grundstücke und je größer ihre Zahl ist. Anders aber wird sich schon die Sache verhalten, wenn unter den gemessenen Grundstücken solche Vorkommen, die an steilen Abhängen liegen, auch wenn die Höhe dieser Abhänge im Vergleich zur Gesamtfläche verschwindend klein ist. Man wird dann für den Flächeninhalt eine zu große Zahl erhalten. Schon hieraus ersieht man, welche Umstände bei einer exakten Definition der Flächenzahlen zu berücksichtigen sind und welche Schwierigkeiten daraus erwachsen können. Wir beschränken uns im folgenden auf die einfachsten Fälle und stützen uns dabei auf die Anschauung.

2.    Zylinder.

Wie wir einen Kreis als ein Polygon mit unendlich vielen Seiten betrachten können, ebenso können wir einen Zylinder als ein Prisma mit unendlich vielen rechteckigen Seitenflächen auffassen. Wir bekommen dann für die Oberfläche des Zylindermantels (d. h. die Oberfläche des Zylinders ohne die Endflächen) das Produkt aus der Höhe und dem Umfange der Grundfläche, also, wenn h die Höhe, r der Radius der Grundfläche ist:

Zylindermantel = 2itrh.

3. Ebenso können die Flächen des geraden Kegels als Pyramidenflächen mit unendlich vielen dreieckigen Seitenflächen betrachtet werden. Die Gesamtgröße der Grundlinien dieser Dreiecke ist dann gleich dem Umfang der Grundfläche, und die Höhe ist gleich der Länge s der Erzeugenden, oder, wenn h die Höhe des Kegels und r der Radius der Basis ist, gleich Yh² -f- r².

Demnach ist die Oberfläche des Kegelmantels (ohne die Grundfläche) gleich

nrs = irrYh² r².

4.    Die Mantelfläche eines Kegelstumpfes, dessen beide Radien rX) ra sind, erhält man, wenn st, s₂ die Seitenlangen der Kegel sind, deren Differenz der Kegelstumpf ist, gleich Jt(r₁s₁—rass). Es ist aber ri ; si = r₂ : s₂ und daher ergibt sich hierfür auch 7t(r₁ -f- r₂) (s₁ -f- s₂), oder wenn man mit r den mittleren Radius -{- r₂), mit s die Seitenlange des Kegelmantels sx — s₂ bezeichnet:

Mantelfläche des Kegelstumpfes = 2itrs}

also gleich einem Rechteck, dessen eine Seite die Seitenlange des Kegelmantels, dessen andere der Umfang des Mittelkreises, 2itr ist.

5.    Man kann diese Resultate der Anschauung noch näher bringen, wenn man sich die Mantelflächen von Zylinder, Kegel und Kegelstumpf etwa aus Papier hergestellt und dann in die Ebene aufgerollt denkt. Der Zylindermantel gibt dann ein Rechteck, der Kegel einen Kreissektor und der Kegelstumpf ein Stück einer ringförmigen Fläche, die von zwei Radien begrenzt ist.

6.    Diese Flächen, die zu den sogenannten abwickelbaren gehören, gestatten durch die Ausbreitung in die Ebene noch einen unmittelbar anschaulichen Vergleich mit ebenen Flächen. Anders aber verhält es sich bei der Kugel.

Die Bestimmung der Kugeloberfläche gehört zu den glänzendsten Errungenschaften des Altertums, und mit Recht hat in ihr Archimedes seinen größten Ruhmestitel erblickt, so daß er nach Ciceros Bericht verordnete, daß die Figur der Kugel mit dem Zylinder auf seinem Grabmale dargestellt werde.

Man bestimmt den Flächeninhalt der Kugeloberfläche dadurch, daß man sie durch Parallelkreise in unendlich viele Zonen zerlegt, und eine solche unendlich schmale Zone als Oberfläche eines Kegelstumpfes betrachtet.

7. Wir schneiden die Kugel durch zwei parallele Ebenen AGr, BE (Fig. 233), und nehmen die in der Mitte zwischen beiden verlaufende

Ebene PQ. In P legen wir eine Tangente AB = s an den Meridiankreis in der Ebene CAB. Wir haben dann die ähnlichen Dreiecke ABH, CPQ, und wenn also r den Kugelradius, p den des Parallel-

Pt,

<ź

ft

Tn

Pig. 233.

Pig. 234.

kreises P Q und ln die Höhe der Zone bedeutet, so ist p : r = ln : s oder QS = hr, und es ergibt sich für die Mantelfläche des Kegelstumpfes, der zwischen den Parallelebenen der Kugel umgeschrieben ist, nach 4.:

2%qs = 2%rh.

Es ist aber 27trh eine Zylinderfläche, deren Höhe h und deren Basis ein Hauptkreis der Kugel ist.

8. Wir umschreiben nun dem Quadranten CB A (Fig. 234) ein Quadrat (CBDA) und ein Polygon BP₁P₂P₃ ... A, dessen erste Seite BPX mit AC parallel ist. Denken wir uns diese Figur um die Achse BC gedreht, so beschreibt der Kreisquadrant AB die Halbkugel, die Strecke AB einen der Halbkugel umschriebenen Zylinder, und das Polygon P₁P₂P₃ ... A eine Fläche, die sich aus abgestumpften Kegelflächen zusammensetzt, und deren Gesamtinhalt nach 7. dem Inhalte des Zylindermantels AB gleich ist. Der Inhalt dieser Fläche ist also von der Anzahl der Punkte Plf P₂, P₃, ... nicht abhängig und bleibt derselbe, wenn die Zahl dieser Punkte unbegrenzt vermehrt wird. Dadurch nähert sich aber diese Fläche immer mehr der Halbkugelfläche an, und wenn wir dieselbe Betrachtung auf die andere Halbkugel anwenden, so folgt der Satz:

Die Oberfläche der Kugel ist gleich der Mantelfläche des umgeschriebenen Zylinders.

Die Kugelfläche hat also, da der umgeschriebene Zylinder die Höhe 2r hat, das Inhaltsmaß 4;rr², was wir auch so ausdrücken können, daß die Kugelfläche viermal so groß ist als ein Hauptkreis.

Die Fläche einer Kugelzone ist gleich dem von den Endflächen der Zone ausgeschnittenen Teile der Zylinderfläche.

9. Wenn man das Volumen V der Kugel kennt, so kann man die Oberfläche S auch auf folgende Weise bestimmen: Man zerlege die Oberfläche in unendlich viele unendlich kleine Flächenteile, z. B. durch ein Netz von Parallelkreisen und Meridianen, und verbinde die Peripheriepunkte eines solchen Flächenelementes mit dem Kugelmittelpunkte; es entsteht dann eine Pyramide, deren Grundfläche zwar gekrümmt ist, aber um so mehr als eben betrachtet werden kann, je kleiner die Elemente sind. Die Höhe dieser Pyramiden ist gleich dem Radius r der Kugel, und folglich ist ihr Gesamtvolumen gleich ihrer gesamten Oberfläche, multipliziert mit r, d. h.

V= }rS.

Nach § 85, 3. ist aber V = 4jrr³ 3 und folglich S = 4;tr².

10. Denkt man sich eine krumme Oberfläche, z. B. eine Kugel oder einen Zylinder von einem Netz von Punkten überzogen, und je drei dieser Punkte zu einem ebenen Dreieck verbunden, so erhält man ein der gegebenen Fläche eingeschriebenes Polyeder, und es könnte scheinen, daß die Oberfläche dieses Polyeders, wenn man die Punkte auf der Fläche unendlich dicht nimmt, die gegebene Oberfläche zur Grenze habe.

'■äisph »-sw* A

Daß dies aber nicht allgemein richtig ist, hat zuerst H. A. Schwarz bemerkt, und wird durch das folgende Beispiel bewiesen.

Wir wollen eine Zylinderfläche vom Radius r und der    Höhe h betrachten (Fig. 235).

Wir teilen die    Höhe in n Teile, deren jeder

Fig. 235.

die Höhe h/n hat, und die Peripherie eines jeden Teilkreises in m Teile, deren jeder den Winkel 2n/m faßt; wir verschieben aber die Teilpunkte auf jedem folgenden Kreise um n/m, wie die Figur zeigt. So entstehen die Dreiecke (123), (234), (345), .... Wir wollen den Flächeninhalt eines dieser (kongruenten) Dreiecke bestimmen.

Die    Grundlinie    13 eines solchen    Dreiecks ist gleich 2r smit/m.

Die Höhe    ist    aber    nicht gleich h/n,    sondern gleich der Hypotenuse

des rechtwinkligen Dreiecks 2AB, dessen eine Kathete h/n und dessen andere Kathete gleich dem „Pfeil“ AB ist. Dieser Pfeil ist aber gleich

r — r cos

(8inïs)²-

und folglich ist der Flächeninhalt des besagten Dreiecks:

rsinSl//^ + ⁴’'s(sin^)⁴-

so

Da wir nun auf dem Zylinder 2m» solche Dreiecke haben ergibt sich für die Gesamtoberfläche des Polyeders

2rmn sinW + 4r‘(Sin 2«)⁴’

oder, indem man für unendlich kleine Winkel den Sinus durch den Winkel ersetzt (Bd. I, § 127),

Lassen wir n und m unabhängig voneinander ins Unendliche wachsen, so ist dieser Ausdruck ganz unbestimmt. Er erhält aber den Grenzwert 2nrh, wenn n : m in einem endlichen Verhältnisse bleibt. Er kann auch ins Unendliche wachsen, z. B. wenn man n — m⁸ setzt. Es ist aber immer die Fläche des Zylinders nrh die untere Grenze aller der Werte, deren der obige Ausdruck fähig ist.

Zehnter Abschnitt.

Drehungsgruppen und reguläre Körper.

§ 88. Drehungen und ihre Zusammensetzung.

1.    Wir wollen einen starren Körper K von beliebiger Gestalt betrachten, der einen im Räume festen Punkt 0 hat, um diesen Punkt aber frei beweglich ist. Der Körper kann hiernach noch unendlich viele Stellungen annehmen, und er kann aus jeder Stellung A in eine andere Stellung B auf unendlich viele Arten gebracht werden.

Unter den verschiedenen möglichen Bewegungen des Körpers sind besonders ausgezeichnet und verständlich die Drehungen um eine Achse. Die Größe einer solchen Drehung wird gemessen durch den Winkel, den eine mit dem Körper fest verbundene, durch die Achse gehende Ebene in ihrer anfänglichen Lage mit ihrer Endlage bildet, und man unterscheidet entgegengesetzte Drehungen durch das Vorzeichen dieses Winkels. Darnach ist das Maß des Drehungswinkels unbegrenzt, wenn auch zur Bestimmung der Stellungen ein Intervall von der Größe 2n genügt. Wir bezeichnen die eine der beiden Richtungen der Achse als die positive, und rechnen die Drehungen positiv, wenn sie für den in der positiven Achse aufrecht Stehenden dem Uhrzeiger entgegengesetzt erfolgen.

2.    Satz. Der Körper K kann aus einer gegebenen Stellung A in eine beliebige gegebene Stellung B immer durch Drehung um eine bestimmte Achse a gebracht werden.

Der Beweis ergibt sich, wenn man bedenkt, daß die Stellung des Körpers durch die Stellung von irgend zweien seiner durch 0 gehenden Geraden bestimmt ist. Sind a1} a₂ diese Geraden in der Stellung Ar nnd b1} b₂ dieselben Geraden in der Stellung B, so müssen die Winkel (at a₂), (fe₁&₂) einander gleich sein. Legt man zwei Ebenen, die auf den Ebenen axbx und a₂b₂ senkrecht stehen und die Winkel (axbx) und (a₂b₂) halbieren, so schneiden sich diese in einer Geraden a, und die körperlichen Ecken aaxa₂, abxb₂ sind kongruent, weil sie in den drei Kantenwinkeln übereinstimmen. Dreht man also den Körper um die Achse a, bis a₁ nach bx kommt, so fällt auch a₂ nach b2} und damit ist die Stellung A in die Stellung B übergeführt.

3. Gehen wir yon einer bestimmten Grundstellung A aus, so ist eine zweite Stellung B eindeutig bestimmt, wenn die Achse a und der zugehörige Drehungswinkel & gegeben sind. Den Inbegriff beider wollen wir eine Drehung nennen, die wir auch durch einen griechischen Buchstaben, etwa a, bezeichnen. Ist A und a gegeben, so ist dadurch die Stellung B eindeutig bestimmt.

Sind aber umgekehrt A und B gegeben, so ist zwar die Achse der entsprechenden Drehung eindeutig bestimmt, der Drehungswinkel aber nur bis auf Vielfache von 2tc. Wir werden aber im folgenden Drehungen, die sich um Vielfache von 2n unterscheiden, als dieselbe Drehung betrachten, und danach können wir eine Drehung eindeutig durch die beiden Stellungen A und B, also etwa durch (A, B) bezeichnen.

Drehen wir um die gleiche Achse a die Stellung B nach A zurück, so nennen wir dies die zu a entgegengesetzte Drehung, und wir bezeichnen sie mit oder auch mit (B, A).

Jede Drehung des Körpers hat also ihre entgegengesetzte, und die entgegengesetzte von der entgegengesetzten ist wieder die ursprüngliche Drehung.

4. Wir denken uns die Drehungsachse in fester Verbindung mit dem Körper (etwa durch einen mit dem Körper fest verbundenen Stab gekennzeichnet). Dann können wir eine Drehung a bei jeder beliebigen Lage des Körpers vollziehen. Die Drehungen, wie wir sie hier verstehen, haften also dem Körper an, nicht seiner Stellung im Raume. Ist cc = (A} B), und vollziehen wir eine zweite Drehung ß von B aus, so können wir ß = (B, C) bezeichnen, wenn C die Stellung ist, in die der Körper aus B durch ß übergeführt wird. Die Stellung C ist aber von A aus gleichfalls durch eine Drehung y erreichbar, und wir nennen diese Drehung {A, G) aus a und (3 zusammengesetzt. Wir deuten dies durch eine symbolische Multiplikation an, und setzen

(1)

y = aß oder (A, G) = (A, B) (B, C).

Dabei sei aber von vornherein betont, daß aß im allgemeinen von ßa verschieden ist.

Es gilt also bei dieser Multiplikation nicht das kommutative Gesetz. Dagegen gilt das assoziative Gesetz, das sich in folgender evidenten Formel ausspricht:

(Ä, B) (B, C) (G, V) = (A, C) (C, B) - (A, B) (B, B) = (A, B).

5. Die Komposition der Drehungen wird erst dann allgemein erklärt sein, wenn wir die Nulldrehung a°, d. h. die unveränderte

Stellung (A, A) = {B, B), ... hinzunehmen. Denn nur dann erhält die Zusammensetzung entgegengesetzter Drehungen einen Sinn:

(2)

aa~l = a~¹cc = cc°.

Die Zusammensetzung einer Drehung mit a° ändert nichts, und diese spielt daher in der symbolischen Multiplikation die Rolle der Einheit.

6. Eine Drehung œ = (A, Ä)₇ die von der Stellung A zu A' führt, kann auch von der Stellung B aus vollzogen werden und möge von B nach B' führen, und es ist

(3) .

(o = (A,A') = (B, B'), ca⁻¹ = (A', A) = (B, B ).

Es liegt jetzt B' zu B ebenso wie Ä zu A, und wenn wir uns also Ä mit A zu einem starren System \AÄJ verbunden denken, so geht dieses durch die Drehung a, von B aus vollzogen, in die Lage [BB'] über.

Ist nun a die Drehung (A, B), so ist

œ-'ccco = (A', A) (A, B) (B, B') = (AB'),

und es ist also

(4)

a = œ~¹aco

die Drehung, die Ä in B' überführt.

Die Drehung a heißt mit a konjugiert (durch ci). Es ist zu-

gleich

a — cm'co⁻¹,

also a mit a durch ci”¹ konjugiert.

7. Ist ß' mit ß und y mit y konjugiert, so ist ß'y' mit ßy konjugiert.

Denn es ist

(5)

ß'y' ==> co~¹ßcoc3~¹ya = a~¹ßyco (nach 5.).

-2

or³

8. Die Wiederholung einer Drehung a, wobei also die Achse ungeändert bleibt, bezeichnen wir durch Potenzen a², a³, . . ., und die Wiederholung der entgegengesetzten Drehung mit ar¹, cc

Ist © der Drehungswinkel von a, so sind 2©, 3©, ... di Drehungswinkel von a², a³, ... und — ©, — 2©, — 30, ... die von •or¹, or², or³, ... . Die Komposition dieser Potenzen geschieht, wie bei der Multiplikation von Zahlenpotenzen, durch Addition der Exponenten:

I    ccu av = au +v.

37

Web er u. Wellstein: Enzyklopädie. II. 3. Aufl.

9.    Ist a = œ~¹cc(o, so ist nach 7.:

(i~¹ =    ¹£0?

und für jeden positiven und negativen Exponenten v:

(7)

av = C3~¹avœ.

10.    Wenn der Drehungswinkel & zu in einem rationalen Verhältnis steht, so heißt die Drehung zyklisch. Es gibt dann gewisse-Exponenten h, für die ah = a°, d. h. gleich der Nulldrehung ist. Ist (jt der kleinste positive unter diesen Exponenten, so sind die Drehungen

(8)

a°, a¹, a², . . ., a“ ~¹

alle voneinander verschieden. Jede andere Potenz von a ist mit einer aus der Reihe (8) identisch, und es ist a,t + ^=ah. Ein ah ist dann und nur dann gleich a°, wenn h durch ja teilbar ist. Denn durch Division kann man jedes h in die Form bringen: h = qp -f p, worin 0^ju/<ja ist, und es ist ah = cc^'. Soll nun ah = a° sein, so muß ja',, da es kleiner als [i ist, gleich Null sein.

Der Exponent ja heißt der Grad der zyklischen Drehung cc und die Reihe (8) die Periode von a.

Nach (7) gilt der Satz:

Konjugierte Drehungen haben denselben Grad.

11.    Ist a nicht zyklisch, so kommt unter der Reihe der Potenzen

¹

   Unter einer Zylinderfläche versteht man die Fläche, die von allen Geraden, den Erzeugenden der Zylinderfläche, erfüllt wird, die man in allen Punkten einer ebenen Kurve senkrecht auf der Ebene der Kurve errichtet. Ist die ebene Kurve ein Kreis, so entsteht die Fläche, die im engeren Sinne Zylinderfläche genannt wird. Wenn man eine Zylinderfläche durch zwei auf den Erzeugenden senkrechte Ebenen schneidet, so erhält man eine Säule, und unter diesen Begriff fällt auch als spezieller Fall die im § 82 betrachtete prismatische Säule.

Wenn man den Flächeninhalt der Grundfläche der Säule angeben kann, so gilt auch hier noch der Satz: daß der Rauminhalt einer Säule gleich dem Produkt aus der Grundfläche und der Höhe ist.

Denn man kann in der Grundfläche zwei [Polygone annehmen, von denen das eine einen kleineren, das andere einen größeren Flächeninhalt hat als die Grundfläche, deren Maßzahlen einander beliebig nahe kommen. Errichtet man über diesen Polygonen prismatische Säulen von gleicher Höhe wie die gegebene Säule, so liegt der Rauminhalt dieser letzteren zwischen den Rauminhalten der beiden ersteren. Der Rauminhalt der gegebenen Säule kann also keinen anderen Wert haben als das Produkt aus Grundfläche und Höhe.

²

Aus der Definition ergibt sich, daß, wenn a eine Drehung in S ist, alle Potenzen von a gleichfalls in S enthalten sind, und

. . ., a~¹, a⁻¹, a⁰; a, a¹, a², ...

dasselbe Element nicht zweimal vor.

Denn ist ah == ak, so ist h® = k& -\-2nm, also & = 2nm/(Ji — &)-

§ 89. Endliche Drehungsgruppen.

1. Ein aus einer endlichen Anzahl n von Drehungen bestehendes System

(1)

S = a, ß, y, ...

heißt eine Gruppe von Drehungen, wenn jede aus zwei Elementen von S zusammengesetzte Drehung gleichfalls in S: enthalten ist.

Die Anzahl n der in S enthaltenen Drehungen heißt der Grad der Gruppe.

Wir werden sehen, daß es nur eine sehr beschränkte Anzahl vont Arten solcher Gruppen gibt.

so wäre die Anzahl der Drehungen nach § 88, 11. nicht endlich. Ist fi der Grad von a, so sind

a, a², a³, . . ., afx~¹ = a_1, aß — a°

in S enthalten.

I. Es enthält also S immer die Nulldrehung und außerdem zu jeder ihrer Drehungen die entgegengesetzte.

3. Wir gehen von einer Grundstellung E aus und setzen die Drehungen von S in die Form

(2)

* = {E,Ä), ß = (E, B), y-(E,C), ... .

Es sind dann A, B, C, ... Stellungen des Körpers K, und man kann durch Drehungen aus S jede dieser Stellungen, zu denen wir noch E hinzunehmen, in jede andere überführen, denn es ist z. B.

A, B, C, ..

4. Wir denken uns jetzt das ganze System der Stellungen E, . zu einem einzigen starren Körper M verbunden. Führen wir dann an dem Körper M eine der Drehungen fr = (E, T) von S aus, indem A, B, C,. . . dabei das E begleiten, so gehen durch diese Drehung die Stellungen A, B, C, ... in bestimmte andere Stellungen A', B', C' über, die nach § 88, 6. bestimmt sind durch

& = (E, T) = (A, Ä) = (B, B') = (C, C) = ... .

Daraus folgt:

afr = (E, Ä), ß» = (E, B’),    = (E, C), ....

und die Drehungen a fr, ßfr, y fr, ... stimmen in ihrer Gesamtheit (von der Reihenfolge abgesehen) mit S überein. Denn sie sind alle in S enthalten, es sind keine zwei von ihnen identisch, und ihre Anzahl ist n. Es stimmt also auch die Gesamtheit der Stellungen A', B!, C', ... mit der Gesamtheit A, B, G, . . . überein, und es folgt:

Der Körper M hat die Eigenschaft, daß er durch jede der Drehungen S mit sich selbst zur Deckung kommt.

5. Jede Drehung in S, mit Ausnahme der Nulldrehung, hat eine bestimmte Achse. Es können aber mehrere Drehungen dieselbe Achse haben. Durch jede Drehung in S geht das System dieser Achsen in sich selbst über, und auf der Betrachtung dieser Achsen beruht die Bestimmung aller möglichen endlichen Drehungsgruppen.

Eine Achse a heißt von der ersten Art, wenn es in S eine Drehung co gibt, die a umkehrt (holoedrische Achsen), von der zweiten Art, wenn es in S keine Drehung gibt, die a umkehrt (hemiëdrische Achsen).

37*

Eine Achse a heißt v-zählig, wenn es, mit Einschluß der Nulldrehung, v Drehungen in S gibt, die a ungeändert lassen. Diese Drehungen

(3)

Q = a°, a¹, a², . . . , uv~¹

kann man als Potenzen von einer unter ihnen, die den kleinsten positiven Drehungswinkel hat, darstellen.

Ist a von der ersten Art, und sind co, œ zwei Drehungen, die die Achse umkehren, so sind o'eo⁻¹ und œ~¹œ' Drehungen, die a ungeändert lassen, also G>'ca⁻¹=a*, a = ayco, und cj⁻¹«' = o⁻¹«*« läßt a ungeändert. Daraus folgt:

II. Die Gesamtheit der Drehungen von S, die eine Achse erster Art umkehren, ist in dem System

(4)

av~¹co

Qco — co, uco, a²a, . . enthalten, und das System a~¹Qco ist mit Q identisch.

Wenn die Achse a durch zwei verschiedene Drehungen und in dieselbe Lage ax übergeht, so bleibt a durch    ungeändert,

und es ist also    demnach ist die Gesamtheit der Drehungen,

die a in ax überführen, in der Form

Q&! = acc²d-1} . . . , ar~¹d-l

enthalten; und wenn a von der ersten Art ist, geht a durch in die zu at entgegengesetzte Richtung über, und al ist also auch von der ersten Art, und wir erhalten den Satz:

III. Die Anzahl der Drehungen in S, die a in ax oder (bei den Achsen der ersten Art) in die mit ax entgegengesetzte Richtung überführen, ist gleich 2v bei den Achsen erster Art, und gleich v bei den Achsen zweiter Art.

Die Drehung führt ax in a über, a* bedeutet eine Drehung um a, und ^ führt wieder a in ax über; daher bedeutet eine Drehung um ax, und in dieser Form sind auch alle Drehungen um ax enthalten, weil, wenn ax eine Drehung um ax ist, <9’₁a₁'9’₁-1 eine Drehung um a, also ein ay und ax = ftx~xayftx ist.

IY. Demnach ist ax ebenfalls v-zählig wie a, und die Anzahl der in S enthaltenen Drehungen um ax (ohne die Nulldrehung) ist gleich v — 1.

Durch die Gesamtheit der Drehungen S möge nun a in die [i verschiedenen Lagen

(5)

a, ax, <z₂, •. ., #,{<-1

übergehen. Diese sind alle gleichzeitig v-zählig und alle von der ersten oder alle von der zweiten Art.

Wir nennen (5) ein System konjugierter Achsen, und fi soll der Grad dieses Systems heißen.

Da jede Drehung in S die Achse a in eine der Achsen des Systems (5) überführt, und n die Anzahl der Drehungen in S ist, so ist

n = 2 fiv oder = fiv,

je nachdem a von der ersten oder zweiten Art ist, und da v mindestens gleich 2 ist, so folgt:

V. Ist ein System von \i konjugierten v-zähligen Achsen von der ersten Art, so ist

liv = jn, fi <: n,

fi<\n.

und ist es von der zweiten Art, so ist uv = n,

Aus IV. und V. folgt noch, da hier die Nulldrehung nicht mitzählt:

VI. Die Anzahl der in S enthaltenen Drehungen um eine der Achsen eines Systems von g konjugierten v-zäh-ligen Achsen ist gleich fi(v— 1), also

= jn — fi bei Systemen erster Art,

zweiter Art.

= n — g

6. Mit Hilfe dieser Sätze lassen sich jetzt alle Möglichkeiten für die Drehungsgruppen festsetzen.

Die Anzahl der in S enthaltenen Drehungen ist, wenn wir von der Nulldrehung absehen, gleich n — 1. Wenn also nur ein System konjugierter Achsen vorhanden ist, so ist nach VI.

rH

'S

oder n — 1 == n — u.

Die erste Annahme ist aber unmöglich, da sich daraus ein negatives oder verschwindendes fi ergeben würde; die zweite Annahme gibt fi = 1, während v beliebig bleibt. Wir erhalten daraus den ersten Fall:

I. Pyramidendrehung.

Es existiert eine einzige Achse zweiter Art. Es ist v = n, und für n ergibt sich keine Beschränkung.

7. Es seien zwei Systeme konjugierter Achsen vorhanden. Es ergeben sich dann zunächst drei Möglichkeiten: entweder es sind beide Achsensysteme von der ersten Art, oder es sind beide von der zweiten Art oder es ist das eine von der ersten, das andere von der zweiten Art. Diese Fälle sind so charakterisiert, wenn v die Zählig-keit, [i den Grad der betreffenden Systeme bedeutet:

1)    n ~ 1 =    — 1) + PiO'i — !) = n — ^i —

2)    w — 1 = ^(v₂— 1) + <a'(v' — 1) = 2w — ku₂ -

3

3) n — 1 =    — 1) + f*₂(v₈ - 1) = -₂- — ^ — ft₂.

Der erste Fall ist unmöglich, weil dann -f [i[ = 1 sein müßte, während doch jede der Zahlen [i1}    mindestens gleich 1 ist. Im

zweiten Falle würde sich ergeben

u₂ — n 1,

was aber auch unmöglich ist, datu₂ und /i' nach Y. < n/2 sein müßten. Es bleibt also nur der dritte Fall übrig, in dem

fG + .u2 = y + *

ist. In diesem Falle kann v₂ nicht größer als 3 sein, denn ist v₂ ÿ 4, so ist nach Y.    4, und es ergibt sich aus 3):

to £

f*i =

+ +¹*

Dies ist aber nach Y. unmöglich.

Ist v₂ = 2,    so muß = 1, v₁=jn sein. Dieser Fall

ist möglich, wie wir sehen werden, und führt zur

II. Doppelpyramidendrehung oder Diederdrehung (mit ungeradzähliger Basis).

Ist aber v₂ = 3, also tu₂ = «/3, so ergibt sich

- + 1

6 ^ >

Da (fij —    ein echter Bruch ist, so muß ^<3, also vx = 2

sein, und es folgt:

^i = 3,    vx=2; u₂ = 4, v₂=3; n = 12:

III. Tetraederdrehung.

8. Wenn drei Systeme konjugierter Achsen vorhanden sind, so müssen alle von der ersten Art sein; denn wären eine, zwei oder drei von der zweiten Art darunter, so würde wie in 5. folgen

+ fi'+ fi"= n + 1 n,

= ?₂-+l?T'

was unmöglich ist.

Es seien also die drei Systeme von der ersten Art. Dann ist n — 1 = [i(y — 1) + p(v — 1) +    1),

und folglich:

g + g'-tV'=| + i.

Daraus folgt, daß von den drei Zahlen v, v, v" mindestens eine gleich 2 sein muß; denn sind sie alle ^3, so sind u', g"<^w/6 und ihre Summe gleich oder kleiner als \n, während sie doch nach {6) gleich \n -f- 1 sein muß. Ist also v" = 2, g/'=w/4, so folgt:

+ ^,== T + ¹-

<6)

<?)

Hiernach können wieder nicht v und v ;> 4, g, und ,u' < w/8 sein, da sonst fi + #*'<w/4 wäre, und wir haben zwei Fälle:

Erstens: v'—2, g' = w/4, u = 1, v = w/2:

IV. Doppelpyramidendrehung, Diederdrehung (mit geradzahliger Basis):

g = 1,

g'=^w,    v'=2;

iw eine beliebige durch 4 teilbare Zahl. Zweitens: v'=3,    ku'=w/6:

V = 4-w:

rr

w, r"=2,

n 4-12’

also ist v < 6, und da v — 2 durch IV. schon erledigt ist, bleibt v — 3, 4, 5.

Der Fall v = 3 kann aber nicht Vorkommen, denn es wäre in diesem Falle:

w = 12,

CO Ol

= 3,

*"-2,

= 2, n" = 3.

Sind also a und die beiden zu v = 3, g = 2 gehörigen konjugierten Achsen, so müßte es eine Drehung H in $ geben, durch die « in übergeht, und durch Wiederholung dieser Drehung würde in die entgegengesetzte Richtung von a übergehen. Es müßte also # mindestens vierzählig sein. Eine vier- oder höherzählige Drehung kommt aber in 8 nicht vor.

Für v = 4 ergibt sich:

v — 4, v — 3 ft = 3, a' = 4, u" == 6: V. Oktaederdrehung oder Würfeldrehung,

i/' = 2

w = 24

und für v = 5:

i/' = 2,

=10, ft" =15:

n = 60, v = 5, v = 3,

= 6

YI. Ikosaederdrehung oder Dodekaederdrehung.

9. Mehr als drei Systeme von konjugierten Achsen können überhaupt nicht Vorkommen. Denn es ist

für Systeme erster Art: fi(w — l) = y— fi    ?

„    „ zweiter Art: fi(v — 1) = w — g

also in jedem Falle fi(v — 1) ;> w/4. Wenn daher auf der rechten Seite der Formel

n — 1 = fi(v — 1) +    — 1) -f fi"(v" — 1) H----

mehr als drei Summanden vorkämen, so würde sich der Widerspruch n — 1 >w ergeben.

Wir haben damit ein beschränktes System von Möglichkeiten für die Drehungsgruppen bestimmt. Daß diese Fälle alle Vorkommen, wird die folgende geometrische Betrachtung zeigen.

Schon die Namen, durch die wir die Drehungsgruppen bezeichnet haben, weisen darauf hin, auf welchem Gebiete ihre Realisierung zu suchen ist.

So erhalten wir die Gruppe der Pyramidendrehung (I.), wenn wir uns über einem regulären m-Eck eine gerade Pyramide errichten. Es gibt dann nur eine Achse, nämlich das von der Spitze auf die Grundfläche gefällte Lot, und es gibt m Drehungen, die diesen Körper mit sich selbst zur Deckung bringen.

Nehmen wir eine Doppelpyramide, d. h. über einem regulären m-Eck zwei symmetrisch gleiche Pyramiden, so kommen zu den m Drehungen um die Verbindungslinie der Spitze noch weitere Drehungen hinzu. Ist m eine ungerade Zahl, so sind die Verbindungslinien der Ecken des Grundpolygons mit den Mitten der gegenüberliegenden Seiten ein System konjugierter zweizähliger Achsen zweiter Art, und wir erhalten den Fall II. Ist m gerade, so erhalten wir in den Verbindungslinien gegenüberliegender Ecken und der Mitten gegenüberliegender Seiten zwei Systeme von je m konjugierten Achsen erster Art, und wir erhalten den Fall IV.

Statt der Doppelpyramide.kann man auch ein Dieder nehmen, d. h. eine körperlich gedachte reguläre Polygonfläche, deren beide Seiten als unterschiedene Flächen angesehen werden.

§ 90. Der Eulersche Polyedersatz.

1. Unter einem Polyeder wollen wir hier einen Körper verstehen, der rings von ebenen Vielecken begrenzt ist, die einander nirgends durchdringen (Eulersches Polyeder). Die sogenannten Sternpolyeder, deren Seitenflächen sich gegenseitig durchdringen, schließen wir aus. Für die Eulerschen Polyeder gilt die berühmte Eulersche Formel, die zwischen der Anzahl der Flächen F, der Kanten K und der Ecken E die Relation gibt:³)

(1)

E + F-K=2.

Wir wollen den Beweis hier auf die folgende Betrachtung gründen.

2. Ein in der Ebene ausgebreitetes, die Ebene einfach bedeckendes Flächenstück (ein Blatt), das von einer in sich zurücklaufenden Linie begrenzt ist, zerfällt durch jeden Schnitt, der einen Begrenzungspunkt mit einem anderen verbindet, in zwei getrennte Stücke, und heißt darum einfach zusammenhängend; diese Eigenschaft bleibt erhalten, wenn das Flächenstück aus der Ebene herausgenommen und ohne Zerreißung beliebig verbogen wird.

Flächenstücke, bei denen es Schnitte gibt, die die Fläche nicht zerstücken, heißen mehrfach zusammenhängend. Dahin gehören

z. B. die ringförmigen ebenen Flächen

(Fig. 236), die zweifach

zusammenhängend sind, weil man einen Schnitt legen kann, der die Fläche nicht zer-stückt.

Fig. 236.

Wir nehmen an, es sei eine solche (einfach oder mehrfach zusammenhängende) Fläche durch ein Netz von Linien irgend welcher Art in einfach zusammenhängende Flächenstücke (Maschen) zerlegt. Die Anzahl dieser Maschen sei f.

Punkte, von denen drei oder mehr Schnitte auslaufen, heißen Knotenpunkte. Ihre Anzahl sei e, wobei jedoch solche, die etwa an der Grenze selbst liegen, nicht mitzählen.

Die Verbindungsstrecken zweier Knotenpunkte, die keinen dritten zwischen sich enthalten, oder eines Knotenpunktes mit einem Randpunkte oder zweier Randpunkte, heißen Fäden. Ihre Anzahl sei Je. Wenn die Fäden zwei Punkte des Randes miteinander verbinden, so enthalten sie gar keinen Knoten.

In Fig. 237 ist (ohne die punktierten Linien) f== 8, e = b, Je = 12. Durch Hinzufügung eines Fadens zu den schon vorhandenen geht f in f Ą- 1 über (weil die Flächen einfach zusammenhängend sind). Der neue Faden hat zwei Enden, und jedes dieser Enden kann entweder in einem schon vorhandenen Knoten liegen; er vermehrt dann die Anzahl der Knoten nicht und läßt auch die schon vorhandenen Fäden ungeändert, oder er liegt am Rande, und dann gilt dasselbe, oder er liegt im Innern eines schon vorhandenen Fadens und teilt diesen in zwei Fäden, während gleichzeitig die Zahl der Knoten um 1 vermehrt wird. In allen Fällen bleibt also durch einen solchen Endpunkt die Differenz e — Je ungeändert; es tritt aber noch der neu hinzugefügte Faden zu Je hinzu, und es bleibt also e + f — Je durch den neu hinzugefügten Schnitt ungeändert. Die punktierten Linien in der Fig. 237 veranschaulichen diese Möglichkeiten.

c)

Fig. 237.

Nimmt man die ursprüngliche Fläche S schon einfach zusammenhängend an, so ist vor jeder Zerschneidung e = 0, f= 1, Je = 0, folglich allgemein

(2)

e + f-Jc= l.⁴)

3. Daraus ergibt sich der Eulersche Polyedersatz auf folgende Weise: Wenn man aus der Polyederfläche von F Flächen, E Ecken und K Seiten eine m-eckige Polyederfläche herausnimmt, so bleibt eine Fläche S, die von der Peripherie des weggenommenen m-Ecks begrenzt wird, und die durch die übrigen Polyederkanten in einfach zusammenhängende Stücke (Polygone) zerlegt ist. In dieser Zerlegung ist:

(2)-

e = E — m, Je = K — m, f = F — 1, und hiernach ergibt sich die Formel (1) aus

§ 91. Die regulären Polyeder.

1. Mit Hilfe der Eulerschen Formel können wir zunächst die Frage beantworten, ob es Polyeder gibt, in denen alle Seitenflächen gleichviel Ecken und alle Ecken gleichviel Kanten haben.

Fläche S.

Es sei also ein Polyeder von lauter p-Ecken begrenzt, und in jeder Ecke mögen q Kanten Zusammenstößen.

Da in jeder Kante zwei Flächen zusammenstoßen und jede Fläche p Kanten enthält, so ist

(1)

pF= 2 K,

und ebenso

(2)

qE = 2K,

mithin nach der Eulerschen Formel (§ 90, (1)):

k(- + ~- l) = 2.

\p 2    /

} + }>!,

und weil p und q mindestens gleich 3 sein müssen, so ist

* >i

q"3 ’

und ebenso q < 6. Es bleiben also für p und q nur die drei Zahlen 3, 4, 5 übrig, und es ergeben sich aus Möglichkeiten :

(3)

(4)

Hieraus folgt zunächst, daß

to

> 1-

(1) bis (4) die folgenden

JE

Tetraeder Oktaeder Ikosaeder Hexaeder Dodekaeder

2. Nimmt man außerdem noch an, daß die Flächen und Ecken aller dieser Polyeder regulär und untereinander kongruent sind, so ■erhält man die fünf regulären (sogenannten Platonischen) Körper.

Die Ecken dieser Polyeder liegen auf einer Kugel, und wenn man durch den Mittelpunkt dieser Kugel und die Kanten Ebenen legt, so erhält man die regelmäßigen Kugelnetze, aus denen man umgekehrt wieder diese regelmäßigen Körper ableitet, indem man die regelmäßigen sphärischen Polygone durch ebene Polygone mit denselben Ecken ersetzt.¹)

CO CO ^

CO    »O CO SO

12

30

12

30

CO

12

20

20

12

1) Reiches Material hierüber findet man in den Werken von Edmund Heß: Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung, Leipzig, Teubner, 1883, und Max Brückner: Vielecke und Vielflache, woselbst viele schöne Abbildungen (ebenda 1900); dazu Nachtrag in dem Berichte über den Heidelberger Kongreß, S. 707.

Der in räumlicher Anschauung noch Ungeübte wird den Gebrauch von Modellen nicht gut entbehren können.

3. Diese Körper geben uns Beispiele für die drei noch übrigen in § 89 abgeleiteten Drebungsgruppen und die Systeme konjugierter Achsen.

Das Tetraeder gibt uns die Gruppe III n = 12 mit den zwei Systemen konjugierter Achsen, nämlich den vier Höhen (zweiter Art, = 4, v = 3) und den drei Verbindungslinien der Mitten gegenüberliegender Kanten (erster Art, p = 3, v — 2).

Würfel und Oktaeder geben die Gruppe V (n = 24) mit den drei Systemen konjugierter Achsen erster Art ^ = 3, v — 4 (Verbindungslinien der Mitten der Würfelflächen), p, = 6, v = 2 (Verbindungslinien der Mitten gegenüberliegender Kanten) p = 4, v — 3 (Würfeldiagonalen). Für das Oktaeder erhält man dieselbe Drehungs-

gruppe.

Ikosaeder und Dodekaeder geben die Gruppe VI (n = 60), und die Systeme konjugierter Achsen sind für das Ikosaeder: p = 15, v — 2 (Verbindung der Mitten gegenüberliegender Kanten), ^ = 6, v = 5 (Hauptdiagonalen), [i — 10, v = 3 (Verbindungen der Mitten gegenüberliegender Flächen), und dasselbe erhält man beim Dodekaeder.

Selbstverständlich kann man dieselben Gruppen noch auf unendlich viele andere Arten realisieren.

So erhält man z. B. das Rhombendodekaeder (Granatoeder der Mineralogen) durch Abstumpfung der Würfelkanten, oder auch der Oktaederkanten, und dieser Körper hat daher dieselbe Drehungsgruppe wie Würfel und Oktaeder.

Durch Abstumpfung der Kanten des Ikosaeders oder Pentagondodekaeders erhält man einen Rhombendreißigflächner, der die Ikosaedergruppe zeigt.

Druckfehler.

Seite 96, Zeile 10 v. o.: statt „Diese . . . bringen“ lies „Dies wird ausgeschlossen durch die Bedingung“.

„    150,    Fußnote: statt 133 lies 132.

„ 239, Überschrift lies § 21.

„    257,    in der Figur sind a und ß bei    As,    Bs    zu    vertauschen.

„    315,    Zeile 11 v. u.: statt „Tangens“    lies    „Kotangens“.

,, 344, Fußnote streichen.

„ 507, Zeile 7 und 12 v. o.: statt „Potenzkreis“ lies „Orthogonalkreis“.

Alphabetisches Register.

Die Zahlen geben die Seiten an.

d. Kongruenz 14 ff. 227.

Leibniz 229.

Parallelen 6 ff. 57 ff. 94. 226. projekt. Geom. 152. Verknüpfung 34. 56. 152 ff.

Abbildung siehe Inversion, Kollineation. Axiome —, konforme oder winkeltreue 64. 346.

Abelsche Gruppe 403.

Abstand, kürzester, zweier Geraden 551.

—, orientierter 321.

Abszissen 322. 442.

Babylonier 266.

Beltrami 8. 61

Berührung von Kegelschnitten 534 ff.

— — Kreisen 288. 469. Berührungspunkt, projektiv definiert 182. Bewegung 14 ff. 133. 140. Bewegungsinvarianten der Kegelschnitte 524 ff.

Bibel 271.

Bogenmaß (des Winkels) 320.

Bolyai 8. 60. 136. v. Braunmühl 302. 383. 407.

Brennpunkt 294. 473 ff. 480. 512. Brianchon, Satz des 184.

Brocardsche Punkte 318.

Brückner 572.

Achsen, der Drehungen 575. 579.

—, — Kegelschnitte 471. 476.

Additionstheoreme der trig. Funktionen 311 ff. 317 ff. 324 ff.

Adrianus Metius, — Romanus 273.

Affinität 65. 119. 448. 507.

Ägypter 5.

Ähnlichkeit 126. 239 ff.

—    bei ähnlicher Lage 240.

Ähnlichkeitsachsen 287.

Ähnlichkeitspunkt 240.

—    zweier Kreise 284.

Ähnlichkeitssätze 245.

Analysis situs 32. 585 f. analytische Geometrie der Ebene 441 ff.

—    Sphärik 539 ff.

—    Urteile 134.

Cantor, M. 258. 266. 302.

Cardanische Formel 338.

Carnotscher Satz 503.

Cartesische Koordinaten 441. Cavalierisches Prinzip 562 ff.

Cayleysche Maßbestimmung 71.150.213 ff. Ceva, Satz des 461.

Clebsch, A. 151.

Clifford 115.

Cohen 135. 147.

Analogien, Nepersche 372. 383.

Anordnung 35. 56. 87. 153. 547 f.

Anschauung 123 ff. 225. 251.

Apollonius 7. 248. 441. 468. 516.

—, Problem des 289.

—, Satz des 472. 479.

Approximationsgeometrie 31 ff. 127. a priori 134 f.

Äquatorialebene 577. äquavilante sphärische Dreiecke 385.

Araber 7.

Archimedes 7. 12. 63. 270. 272. 557.

Dandelinsche Kugeln 473.

Davis 138.

Dedekind 168. 209.

Defekt, sphärischer 419.

Definitionen bei Euklid 6. 13. 22. 130. — — Hilbert 116.

Dehn 63. 557.

Delambresche Formeln 377 ff. 418 Desargues, Satz von 55. 103.113. 159. 464. Descartes 252. 441. 585. diametrales Schneiden bei Kreisen 41. 46. Diametralkreis 52.

Dieder 569.

Art einer Achse 579 Aryabhatta 273.

assoziierte Punkte einer F² 108.

Asymptote 489 ff.

asymptotische Parallelen in der hyp.

Geometrie 59.

—    Richtung 489 ff. 522.

Auflösung des sphär. Dreiecks 414 ff. ausgeartete Kegelschnitte 476. 520.

Axiome

d. Anordnung 35. 56. 150 ff. 228.

—    Archimedes 63. 78.

—    Euklid 6.

Dieder-Drehung 582 ff.

Direktrix s. Leitlinie.

Dodekaeder 588.

—    -Drehung 584. Doppelpyramidendrehung 582 ff. Doppelverhältnis 79. 211. Drehinvarianten der Kegelschnitte 524. Drehungen, Gruppen von —, 575. 578. Drehungssinn 349.

Dreibein 547.

Dreiecksgeometrie, anal. 461 ff. Dreiecksbegriff in der sphär. Trig, nach

—    Euler 343.

—    Möbius 347 ff. 383 ff.

—    Gauß-Study 383 ff.

—    Study 400.

—    Schilling 401.

Dreiecksberechnung

—    ebenes Dr. 280 ff. 304 ff. 310 ff.

—    sphärisches Dr. 414 ff. 419 ff. Dreieckspolare 464.

Dreikant, projizierendes 343. dreipunktige Berührung 535.

Dualität 170 ff.

Durchmesser d. Ellipse od. Hyperbel 490.

Ebene

—    empirisch 12. 23.

—    projektiv 152.

—    im Raume 545 ff. ebene Trigonometrie 301.

Ecken, körperliche 552.

Eckensinus 366.

eigentliche sphär. Dr. 382. 385. 396. einfach geschlossen 252.

—    und mehrfach zusammenhängend 585. Ellipse 294 ff. 471. 479.

—    sphärische 541.

Empirismus 9 ff. 124 ff. 219 ff. enantiothetisch 154.

„Enden“ einer hyperb. Geraden 72. 79. endliche Drehungsgruppen 578 ff. Enriques 169.

Epstein 258. 335. 437.

Erkenntnistheorie 109 ff.

Euklid (s. auch Geometrie) 6. 132. 236. Euklidausgaben 7.

Euler 275. 343

Eulerscher Polyedersatz 585 ff.

Evolute 538. existent 14.

Existenz von Inhaltszahlen 568 ff. Exzentrizität, lineare u. numer. 476. 478. Exzeß, sphärischer 419.

Fermat 441.

Fläche, empirisch 10 ff.

— II. Ordnung (Grades) 107 ff.

Flächeninhalt, allgemein 252 ff.

—    des ebenen Dreiecks 283. 305. 446 ff.

—    — sphär. Dr. 431.

—    — Vierecks 328.

—    — Vielecks (trigonometrisch) 335.340.

—    gekrümmter Flächen 570 ff.

—    orientierter s. Orientierung. Flächenvergleichung 252 ff. Flächenwinkel eines Dreikants 343. 552. Formeln, trigonometrische

erster Ordnung 362 ff. 383. zweiter Ordnung 362 371 ff. 383. i Fundamentalsatz d. projekt. Geom. 176.

209 (Anm.).

Funktionale 106.

Funktionen, trigonom. 301. 340.

Galoissche Gruppen 114.

Gauß 8. 62. 111. 123. 266. 329. 377. 383. 407.

Gegenecke 553.

Geminus 7.

Geometrie

—    analytische 83 ff. (formal) 441 ff.

—    der Lage 195.

—    des Dreiecks 461 ff.

—    elliptische 57 ff. 60. 99.

—    Euklidische = parabolische 33 ff. 60.

—    hyperbolische 8. 57 ff. 60.

—    natürliche 22 ff. 28 ff.

—    Nichteuklidische 60.

—    projektive 150 ff. geordnete Beziehung 173.

Gerade

—    empirisch 11. 23. 26.

—    ihre Gleichung 453 ff.

—    Parameterdarstellung 444. 446.

—    im Raume 545.

Geschichte der Geometrie 5—7. 270—278» geschlossen 252.

Gleichheit s. Kongruenz.

Gleichung der sphär. Ellipse u. Hyperbel 523.

—    — Geraden 453.

—    — Kegelschnitte 476. 478. 519.

—    des Kreises 466.

—    der Kugelgeraden 541. goldener Schnitt 264.

Goniometrie 319 ff. goniometrische Formeln 319 ff.

Grad einer Achse 581.

Gradeinteilung des Winkels 266. Grenzprozeß 9 ff. 131.

Griechen 5.

Großmann 215.

Grundbegriffe :

—    Kritik des Empirismus § 2. § 3.

—    idealistisch § 14.

—    nominalistisch 28.

Grundbegriffe :

—    Zulässigkeit § 13.

Grundpunkte eines eil. Kreisbüschels 48. Gruppen 401 ff. 578 ff.

Harmonische Teilung 165. 446. Hauptachsen der Kegelschnitte 471. 476. Hauptscheitel 471. 476.

Helmholtz 8. 223. hemiedrische Achsen 579.

Hermite 276.

Heron 7. 272.

Heronische Inhaltsformel 283. 435. Hesse 454.

Hexaeder 572.

Hilbert 15. 72. 111. 116. 147. 227 ff. 557. Höhenpunkt 249. holoedrische Achsen 579. homothetische Kegelschnitte 505 ff. Hübner 302. 527.

Huygens 33. 274. 277.

Hyperbel 294. 471. 479.

—, gleichseitige 486.

—, sphärische 541. hyperbolische Geometrie 8. 57 ff. 60. Hypothese 147.

Hypsikles 266.

Ideale Punkte in der hyp. Geom. 58. ideales Zentrum eines hyp. Kreises 70. Idealismus 16. 22. § 14.

Ikosaeder 588.

—    -Drehung 584.

Inder 273.

Index eines sphär. Dreiecks 353.

Inhalt s. Flächen-, Rauminhalt.

—    eines sphär. Dreiecks 431.

—, rationeller 433. inhaltsgleich 253. inhaltsgleiche Körper 542.

Inhaltsmaß, Inhaltszahl 558 ff. 568 ff. Inkommensurabilität 242.

Invarianz d. Doppelverhältnisses 79. 211. Inversion 37 ff. 54. 64. 284. 347. Inversor 65. involutorisch 403.

Inzidenz 116. 121. 152. isothetisch 154.

Kagan 557.

Kant 111 ff. 132 ff. 146. 252. Kantenwinkel eines Dreikants 343. 552. Kegel, Fläche des 571.

Kegelinhalt 567.

Kegelmantel 571.

Kegelschnitte 109.

—, analytisch 471 ff.

—, elementar 291 ff.

—, projektiv 179 ff

Kegelschnitte, sphärische 541. Kegelschnittbüsehel 534.

Kegelstumpf 561. 571.

Kennzeichen der Kegelschnitte 526 ff. 530 ff.

Kewitsch, G. 267.

Klein, F. 8. 31. 33. 142. 387.

Kneser 251.

Köhler 196.

Kollineation 64. 119.

Kommensurabilität 242. kommutative Gruppe 403.

Komplement 306. komplexe Punkte 467.

Komposition s. Zusammensetzung. Konfiguration 103. konform 346.

Kongruenz

in der Ebene

—    analytisch (formal) 93.

—    empirisch 15 ff. 122 ff.

—    idealistisch 16. 36. 122 ff.

—    durch Symmetrie erzeugt 65.

—    projektiv 196 ff.

—    im Raume 552 ff.

—    von Kreisbogen 238.

Kongruenzsätze 239. 309. 553 ff. konjugierte Drehungen 577.

—    Durchmesser 492 ff.

—    Punkte und Geraden 510. Koordinaten

—, polare, in der Ebene 482.

—, rechtwinklige, in der Ebene 321 ff., —, schiefwinklige 503. Koordinatendrehung 451.

Körper, von Zahlen 209. körperliche Ecke 552 ff.

Körperstumpf 566.

Kosekante 315.

Kosinus 305. 411.

Kosinussatz, ebener 92. 307. 332. 435-—, sphärischer 364 ff. 368 ff. 435. Kotangente 315.

Kreis 37 ff. 150. 267 ff. 280 ff. 291 ff.

—, analytisch 466 ff.

—    der nichteukl. Geom. 67 ff. Kreisbogenpolygone 63. 360.

Kreisbündel 51.

Kreisbüschel 48.

Kreismessung 267. 338.

Kreisviereck 328. 330.

Krümmung 534 ff.

Kugelbündel 53.

Kugelbüschel 53.

Kugelfläche 572.

Kugelgebüsch 42 ff.

Kugelinhalt 568. 573.

Kurven zweiter Ordnung 519-

Lagrange 147. 362. 370.

Lambert 8. 275. 407.

Lampe 278. 340.

Länge einer Strecke 82. 89.

Legendre 63.

—, Satz von 436.

Leibniz 33. 150. 228. 238 252. 274. Leitlinie 295. 474.

Leonardo Pisano 273.

L’Huiliersche Formeln 418. L’Huilier-Serretsche Formeln 409 ff. 418. Lie 8.

Liesche Gruppen 71. 114.

Lindemann 151. 276. Linealkonstruktionen 18 ff. lineare Gleichung 454.

— Zahlenmenge 83 ff.

Linearität 102.

Linie 10 ff.

Linienpaar 494.

Linienpotenz 335.

Linkssinn, Linkssystem 355, 547 f. Liouville 276.

Lobatschefski 8. 60.

Ludolf van Ceulen 273.

Mach 102.

Magener 83.

Mannigfaltigkeit, lineare 100. 106 f. Maßbestimmung s. Metrik.

Maßfeiler 289.

math. Handbuch d. Ägypter 5. 272. Menelaos, Satz des 89. 463. Meridianebene 577.

Metageometrie 8. 28 ff.

Metrik 62. 73.

—, hyperbolische 78 ff. 214 ff.

—, parabolische 215 ff.

—, projektive 196 ff.

— der Ähnlichkeitslehre 239 ff.

Meyer, Fr. 329.

Milinowski 54.

Minkowski 557.

Mitte, Definition der 73.

Mittelpunkt der Ellipse oder der Hyperbel 477. 522.

Mittelpunktsgleichung der Kegelschnitte 478. 481. 487 ff.

Möbius 347. 362.

Möbiussche Fläche 10.

Moivresche Formel 338.

Mollerup 229. 251.

Mollweide 317. 377.

Multiplikation des Winkels 335 ff.

Näherungsmathematik 31 ff. 129 ff. Natorp 132. 135. 150. 221.

Nebenachse der Ellipse und der Hyperbel

Nebengruppen 405.

Nepersche Analogien 372 ff. 383. 417.

—    Regel 373. 407.

Newton 132. 134. 228. nichteukl. Geometrie 60.

—    Mechanik 138. 142.

Nikolaus von Cues 273.

Nikomachus 7.

Nitz, K. 127.

Nominalismus 28 ff.

Normale der Kegelschnitte 514 ff. Normale, Normalebene 549.

Normalform der Gleichung einer Geraden 454.

—    — — eines Kreises 466. Nulidrehung 576.

Ökonomie des Denkens 102.

Oktaeder 588.

—    -Drehung 583.

Ordinate 322. 443.

Ordnung trigon. Formeln 362. 368 ff. Orientierung 441 ff.

—    der Ebene 321.

—    der Geraden 321. 354.

—    der Kugelkreise 349.

—    des Abstandes 451 ff.

—    des Dreiecks 446 ff.

—    des Flächeninhaltes 442.

—    des Winkels 320. 349. orthogonal. Schneiden b. Kreisen 41.46.49. Orthogonalkreis 51. 507.

Oskulation 535.

Pappus 7.

Parabel 293 ff. 471. 479.

Parallelen s. auch Parallelismus.

—, asymptotische 59.

--Axiom 6 ff. 57 ff. 94. 226.

—    -Begriff 12. 13. 226 ff. Parallelenwinkel 59.

Parallelismus 99. 219. 226. 456 ff. Parallelogramm 255. Parallelogrammgesetz 138.

Parameter der Kegelschnitte 476 f. Parameterdarstellung der Ellipse 485.

—    der Geraden 444. Parametergleichung d. Sekante 488. 508.

521.

Pascal, Satz des 184. 504.

Pasch 25. 55. 111.

Peano 229.

Peripheriewinkel 238. 302.

Periodizität der trig. Funktionen 323. perspektiv 172.

physiologische Seite d. Raumprobl. 148 f. pi, Zahl n 270 ff.

Planimetrie: Vierter Abschnitt 225 f. Plato 11. 23. 110. 125. 147. 225. 252.

Pol, Polare hei Kegelschnitten 191 f.

Rechtssinn, Rechtssystem 355. 547. rechtwinkl. sphär. Dr. 371. 414 ff

—    Schneiden bei Kreisen 41. 46. 49. Regelflächen 566.

reguläre Körper 586 ff.

—    Vielecke (Polyeder) 262 ff. 340. Rektifikation 267. 277 f.

Réthy 253.

Reye, Th. 54. 108. 184. 190. 196. Richtungssinn 349.

Riemann 8. 33. 61. 114.

Radio 274.

509. 521.

—    auf der Kugel 356 f.

Polardreieck, sphär. 361.

Polarisation, sphärische 361.

Polarkoordinaten, ebene 482.

Poldreieck 217.

Polyedersatz von Euler 585.

Polygon s Vieleck.

Postulat s. Axiom.

Potenz einer Inversion 37.

—    eines Kegelschnittes 500 ft'. 506 ff.

Potenz eines Kreises 42. 466.

Saccheri 8.

Säule 559.

Schärfe trigonom. Rechnungen 411 ff. Schatunovsky 557.

Scheinebenen, Scheingeraden, Scheinpunkte 34. 54 ff. 107 ff.

Scheitel der Kegelschnitte 471. 487. Scheitelecken 552.

Scheitelgleichung d. Kegelschnitte 475 ff. Schilling 401.

Schnitt, Dedekindscher 168.

—, goldener 264.

Schnittpunkte zweier Geraden 456.

—    — Kegelschnitte 534.

—    — Kreise 469.

Schnittwinkel zweier Kreise 40 Schönemann 253.

Schönflies 401.

Schopenhauer 144.

Schraubung 548.

Schur, Fr. 72. 114. 251.

Schweikart 8.

Sehnen- und Tangentensatz 283. 466. Seitenmessung in der sphär. Trigonom. nach Euler 343.

--Möbius 347.

Sekante 315.

Sektor 338.

Serretsche Formeln 418. Sexagesimalsystem 266 f. 273.

Simon, M. 149.

Sinus 301 ff. 411 ff.

Sinussatz der ebenen Trig. 92. 304.

—    — sphär. Trig. 364 ff. 368 ff.

Skala, projektive 199 ff.

Snellius 274.

Speer 321. 354. 442.

Sphärik 341.

, analytische 539.

—    einer Kugel 43.

Potenzachse 44. 46. 468 ff. 506.

Potenzebene 45.

Potenzzentrum 45. 46. 470. 506.

Prisma 559. 566.

Prismatoid 566.

Projektion, stereographische 344 ff.

Projektionssatz der ebenen Trig. 306.

323. 331.

—, sphär. 364. projektiv 173.

projektive Auffassung des Parallelismus 98 ff. 217. 226.

—    Geometrie 150 ff.

—    Metrik 196 ff Proklus 7.

psychologische Seite des Raumproblems 148 f.

Ptolemäus 273.

—, Satz des 329.

Punkt 9 ff. 26. 129 f.

Punktepaare eines Kreisbündels 51.

—    — eines Kugelgebüsches 54.

Punktkreis 50.

Punktkugel 47.

Pyramiden, Rauminhalt der 559 ff'. 566.

—    -Drehung 581.

Pyramidenstumpf 561.

Pythagoras 257.

Pythagoreischer Lehrsatz 247; 257. 307.

uadranten 444. uadratur 267 ff.

Querschnitt 32. 585.

Radius des Ankreises u. Inkreises 282. 310.

—    — Umkreises 283. 311.

—    — — beim sphär. Dr. 430 ft'.

Rauminhalt 557 ff

—    des Kegels 567.

—    des Körpers vom Querschnitt Q(x) 564 sphär. Ellipse, Hyperbel 541.

—    der Kugel 567.

—    des Prismas 559.

—    des Prismatoids 556 ff.

—    der Pyramide 559 ff.

—    des Zylinders 567. Realität 139 f.

— Koordinaten 540.

— Mittelpunkt, Radius 360. sphär. Trigonometrie 341 ff. Spiegelung 63. 64.

Stäckel 8. 136. 142. 147. 278. 340. stammverwandt 399.

Steiner 18. 109. stereograph. Projektion 344 ff. Stereometrie 545.

Stewartscher Satz 330.

Strahlenbüschel 456.

Strecke 88 158.

Streckenmessung, der Ähnlichkeitslehre 239 ff,

—, hyperbolische 78 ff.

—, projektive 196 ff.

Streckenrechnung s. Streckenmessung. Streckensysteme 242 ff'.

Study 115. 367. 373.

Study, Satz von 387.

Stufe 100.

Substitutionen, lineare 384. 393 ff. Substitutionsgruppen 401.

Supplement 303. symbolische Multiplikation der Drehungen 576.

—    von Substitutionen 394.

Symmetrie 24. 64. 229. 444. 454. synthet. Geometrie 441.

—    Urteile 134.

Tangente, an Kegelschnitte 181. 496 ff. 514 ff

—, trigonometrische 315 ff. 412 ff. Tangentensatz, ebener 317.

—, sphärischer 373.

Teiler einer Gruppe 403.

Teilung des Kreises 262 ft‘. 335 ft'. Teilverhältnis 445.

Tetraeder 572 —, projizierendes 356.

—    -Drehung 582.

—    -Volumen 583 ft.

Thaies von Milet 238.

Theon 7.

Transzendenz von n 276.

Trieder 552.

Trigonometrie, ebene 301 ff.

—, sphärische 341 ff.

Tripelverhältnis 86/

Typus eines sphär. Dreiecks nach Gauß-Study 383.

— Möbius 353.

Übergangsformeln der sphär. Trig. 414. Umfang des Dreiecks 282. 310.

—    regulärer Vielecke 338 ff. uneigentliche Elemente 29. 95. 98.

—    sphär. Dreiecke 382. 385. 396.

unendlich fern 123. 200. 440. Untergruppen 403

Vektor 443.

Verknüpfung, Axiome der 34. 56. 150 ff. Verknüpfungsgesetze der vier Spezies 202.

Versinnlichung der hyperb. und ellipt. Geometrie 54 ff.

--parabolischen Geometrie 53 ff.

Vieleck, Berechnung 331 ff. 338 ft'.

—, reguläres 262. 338 ff.

—, sphärisches 360. 364.

Viereck, Vierseit 56. 160 ff. Vierecksberechnung 326 ff. vierpunktige Berührung 536.

Vieta 274. 279.

Volumen s. Rauminhalt.

Wallis 274.

Weber, H. 106. 128. 405.

Weierstraß 9.

Widerspruchslosigkeit d. Axiome 98. 126. windschiefe Gerade 545.

—    —, kürzester Abstand von 551. Winkel 90. 219. 320. 442. 548.

—    in der sphär. Trig. 343. 349. 352. 384.

—    sich schneidender Kreise 40.

—    zwischen Ebenen u. Geraden 548 ff. Winkelmessung 260. 301. 313 f. 320. Winkelsumme im ebenen Dreieck 01) ff

93. 231.

—    im sphärischen Dreieck 433 f. 556. Winkelteilung 335 ff.

Winkeltreue der Inversion 40. 344 ff. Würfeldrehung 583.

Zahl * 270 ff.

Zahlbegriff 228.

Zahlenmenge 83.

Zahlensystem 266.

Zähligkeit einer Achse 580.

Zahlkörper 209.

Zahlwörter 267.

zerfallende Kegelschnitte 476. 520. zerlegungsgleiche Körper 542. Zerlegungsgleichheit der Flächen 253. Zeuthen 298.

Zusammenhang 33. 252. 585. Zusammensetzung von Drehungen 576.

--Substitutionen 394. 402.

Zweiteilung 308. zwischen 26. 35. 87. zyklische Drehung 578.

Zylinder 567. 570. 573.

¹

Aus der Definition ergibt sich, daß, wenn a eine Drehung in S ist, alle Potenzen von a gleichfalls in S enthalten sind, und

²

daraus folgt, daß a zyklisch sein muß. Denn wäre a nicht zyklisch,.

³

Baltzer vermutet, daß die Formel schon dem Altertum bekannt gewesen sei und stellt fest, daß sie Descartes besaß. Wiedergefunden und publiziert wurde sie von Euler 1752.

⁴

Im allgemeinen ist k— e — f-f-2 die Ordnung des Zusammenhangs der

Enzyklopädie

der Elementar-Mathematik

Ein Handbuch für Lehrer und Studierende von

H. Weber und J. Wellstein

Professoren an der Universität Straßburg

In drei Bänden, gr. 8. In Leinwand geb.

I. Elementare Algebra und Analysis. Bearbeitet von H. Weber. 3. Aufl. Mit 40 Figuren. [XVIII u. 532 S.]    1909. JC 10.—

II. Elemente der Geometrie. Bearbeitet von H. Weber, J. W eilst ein und W. Jacobsthal. 3. Aufl. Mit 237 Figuren. [XII u. 596 S.]    1915.

III. Angewandte Elementar-Mathematik. 2. Aufl. In 2 Teilen. I. Teil: Mathematik und Physik. Mit einem Buch über Maxima und Minima von H. Weber und J. Wellstein Bearbeitet von Rudolf H. Weber, Professor in Rostock. Mit 254 Figuren. [XII u. 536 S.] 1910. JC 12.— II. Teil: Darstellende Geometrie, graphische Statik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, politische Arithmetik und Astronomie. Bearbeitet von J. Wellstein, H. Weber, H. Bleicher und J. Bauschinger. Mit 271 Figuren. [X u. 271 S.] gr. 8.    1912. JC 14.—

Das Werk verfolgt das Ziel, den künftigen Lehrer auf einen wissenschaftlichen Standpunkt zu stellen, von dem aus er imstande ist, das, was er später zu lehren hat, tiefer zu erkennen und zu erfassen und damit den Wert dieser Lehren für die allgemeine Geistesbildung zu erhöhen. — Das Ziel dieser Arbeit ist nicht in der Vergrößerung des Umfanges der Elementar-Mathematik zu ersehen oder in der Einkleidung höherer Probleme in ein elementares Gewand, sondern in einer strengen Begründung und leicht faßlichen Darlegung der Elemente. Das Werk ist nicht sowohl für den Schüler selbst als für den Lehrer und Studierenden bestimmt, die neben jenen fundamentalen Betrachtungen auch eine für den praktischen Gebrauch nützliche, wohlgeordnete Zusammenstellung der wichtigsten Algorithmen und Probleme darin finden werden.

• Zwei Momente müssen hervorgehoben werden, die dem Buche das Gepräge verleihen. Das eine liegt darin, daß die grundlegenden Fragen der Geometrie eine eingehende Behandlung erfahren, in einem Umfange, wie er in zusammenfassenden Werken sonst nicht anzutreffen ist. ...Das zweite Moment ist in dem Umstande zu erblicken, daß die Verfasser es nicht darauf angelegt haben, eine pragmatische Vorführung des üblichen Vorrats an geometrischen Sätzen, Konstruktionen und Kechnungen zu geben, sondern daß es ihnen mehr darum zu tun war, an ausgewähltem Material die wissenschaftlichen Methoden der Geometrie zur Geltung zu bringen und überall auf die Grundfragen einzugehen. Ist so die theoretische Seite, namentlich in einigen Abschnitten, stark zum Ausdruck gekommen, so ist doch auch auf die praktischen Bedürfnisse Rücksicht genommen, die freilich erst mit dem dritten Bande ihre endgültige Befriedigung finden sollen; doch ist dafür an verschiedenen Stellen, so in der Trigonometrie und in der analytischen Geometrie, schon vorgearbeitet worden... . So darf der Inhalt des zweiten Bandes der ,Enzyklopädie der Elementar-Mathematik* als ein sehr reichhaltiger bezeichnet werden, der über die Grenzen dessen, was an der Schule geboten werden kann, erheblich hinaus-führt, der aber auch — und das ist noch wichtiger und offenkundig der Hauptzweck des Werkes — eine Vertiefung des geometrischen Wissens vermittelt. Jüngere Lehrer der Mathematik werden das Buch gewiß oft und mit Nutzen zu Rate ziehen, namentlich wenn sie im Unterrichte zu prinzipiell wichtigen Fragen kommen, um sich über die leitenden Gedanken zu orientieren.“    (Zeitschrift für das Realschulwesen.)

„... Der Kenntnisnahme von den wissenschaftlichen Ergebnissen über die Grundlagen der Geometrie und die damit zusammenhängenden nicht-euklidischen Geometrien wird sich der Mittelschulmathematiker, der auf der Höhe seiner Aufgabe stehen will, nicht mehr entziehen können.. .. Ganz leicht ist es ja auch in diesem Buche nicht, sich einen Gesamtüberblick zu verschaffen, da derAutor gleich in die dreidimensionale Geometrie einführt; aber, wenn jemand den von Wellstein bearbeiteten Abschnitt über natürliche Geometrie zu lesen beginnt, lasse er sich nicht abschrecken durch das Kugelgebüsch, das dem Eingänge wehrt. Ich habe selten eine so reine Freude genossen wie bei der Lektüre der darauffolgenden glänzend geschriebenem Ausführungen.. ..“    (Zeitschrift für den mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht.)

,,. . . Die Enzyklopädie will kein Schulbuch im gewöhnlichen Sinne des Wortes sein, ist aber zur Vorbereitung auf den Unterricht, namentlich in den oberen Klassen, den Lehrern der Mathematik dringend zu empfehlen, welche die bezüglichen Originalarbeiten nicht alle selbst studiert haben, sich aber doch orientieren wollen, wie vom Standpunkte der modernen Wissenschaft die Begriffsbildungen, Methoden und Entwicklungen der Elementar-Mathematik zu gestalten sind.“    (C. Färber im Archiv der Mathematik und Physik.)

Elemente der Mathematik. Von E.Borel. Deutsch vonP. Stäckel In 2 Bänden, gr. 8. In Leinwand gebunden.

I. Band: Arithmetik und Algebra. Mit 57 Figuren und 3 Tafeln. 1908. M 8.60.

II. Band: Geometrie. Mit 403 Figuren. 1909. M 6.40.

Lösungen hierzu von P. Stackel und E(. Beck. I. Heft: Aufgaben aus der Arithmetik und Algebra. 1913. „#1.50. II. Heft: Aufgaben aus der Geometrie. 1913. M. 1.50.

„...Das Erscheinen dieses Buches ist ein Ereignis für den mathematischen Unterricht unserer höheren Schulen. Emile Borei ist einer der hervorragendsten Funktionentheoretiker der Gegenwart und hat, so hoch die von ihm sonst bearbeiteten Teile der Analysis über den hier in Frage kommenden einfachsten Elementen auch stehen, es nicht für zu gering erachtet, Schulbücher zu verfassen und in diese die von der modernen Reformbewegung geforderten Elemente (Koordinatenbegriff und graphische Darstellung, Begriff der veränderlichen Größe und der Funktion) aufzunehmen.“

(Frankfurter Zeitung.)

Elemente der Mäthemätik, Von J. Tannery. Deutsch von P. Klaeß. Mit einem Einfiihrungswort von Felix Klein und 184 Fig. 1909. Geh. JC 7.—, in Leinw. geh. JC 8.—

ma

„Mir scheint aber, nicht nur der Laie, sondern auch der Lehrer, selbst der mit den Grundgedanken der thematischen Reformbestrebungen durchaus vertraute, kann aus diesem Buche lernen. Man merkt überall,

doch dabei

wie der Verfasser in steter Fühlung mit der modernen wissenschaftlichen Auffassung bleibt und allgemeinverständlich zu sein versteht.. . . Und hierin kann er für den Lehrer in seiner Methode vorbildlich sein, mit seiner Stoffwahl anregend wirken.“    (Monatsschrift für höhere Schulen.)

Vorträge über den mathematischen Unterricht an höheren Schulen.

Von F. Klein. I. Teil: Von der Organisation des mathematischen Unterrichts. Bearbeitet von R. Schimmack. Mit 8 Figuren. 1907. In Leinwand geb. JC 5.—

Eine Übersicht über die Aufgaben des mathematischen Unterrichts auf seinen verschiedenen Stufen, von der Volksschule beginnend bis hin zur Universität und technischen Hochschule. Der mathematische Betrieb an den höheren Knabenschulen — sein Werdegang, sein augenblicklicher Bestand, seine fernere Ausgestaltung — bilden das Mittelstück.

Die beiden in der Vorrede in Aussicht gestellten weiteren Teile der Vorträge über den mathematischen Unterricht an den höheren Schulen sind vorläufig in autographierter Form erschienen unter dem Titel:

Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus. von f. Klein.

Ausgearbeitet von E. Hellinger.

I. Teil: Arithmetik, Algebra, Analysis. 2. Auflage 1911. Geh. M. 7.50.

II. Teil: Geometrie. 2. Auflage. 1913. Geh. M 7.50.

Indem der in Betracht kommende Stoff vom Standpunkte der Hochschule aus unter zusammenfassenden Gesichtspunkten dargelegt ist, will der Verfasser die Lehrer an unseren höheren Schulen veranlassen, über die Auswahl und zweckmäßige Darbietung der von ihnen zu betrachtenden Gegenstände in neuer Weise selbständig nachzudenken.

Handbuch des mathematischen Unterrichts, von w. Killing und h. Hovestadt.

2 Bände. I. Band. Mit 32 Figuren. 1910. II. Band. Mit 9 Figuren. 1913. Geh. je 10. —, in Leinwand geb. je JC 11.—

Die Verfasser sind der Ansicht, daß der Unterricht leide, wenn seine Beziehungen zur Wissenschaft sich lockern. Dagegen liefert eine genaue Kenntnis der Grundlagen der elementaren Mathematik wesentliche Gesichtspunkte für den Unterricht. Außerdem will das Buch zum Nachdenken über den Unterricht anregen. Es wägt die Vorteile und Mängel verschiedener Methoden gegeneinander ab, damit der Lehrer mit klarer Erkenntnis auswähle, was seiner Persönlichkeit und dem Standpunkt der Schüler am besten entspricht.

Handbuch der Elementar-Mathematik für Lehrer. von k. schwermg. Mit

139 Figuren. 1907. In Leinwand geb. JC 8.—

„...Um unser Urteil über das vorliegende Werk gleich vorauszunehmen, so halten wir es in der Tat für ein ausgezeichnetes Hilfsbuch für den Lehrer der Mathematik, der in ihm nicht nur eine wissenschaftlich einwandfreie Darstellung der Prinzipien und Theorien findet, sondern sicher auch viele Anregung, gewissen Fragen zu eigener Untersuchung näher zn treten, sowie endlich seinen Unterricht zu beleben und tiefen.“

zu ver-

(Zeitschrift für den mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrioht.)

Grundlehren der Mathematik. Für Studierende und Lehrer. In 2 Teilen. Mit

vielen Figuren, gr. 8. In Leinwand geb.

I. Teil: Die Grundlehren der Arithmetik und Algebra. Bearbeitet von E. Netto und C. Färber. 2 Bände.

I. Band: Arithmetik. Von Prof. Dr. C. Färber in Berlin. Mit 9 Fig. gr. 8. 1911. M. 9.—

Algebra. Von Professor E. Netto in Gießen. 1915. „#.7.20.

II. Teil: Die Grundlehren der Geometrie. Bearbeitet von W. Fr. Meyer und H. Thieme. 2 Bände.

I. Band: Die Elemente der Geometrie. Bearbeitet von Prof. Dr. H. Thieme, Direktor des Realgymnasiums zu Bromberg. Mit 323 Figuren. 1909. M 9.—

Die geometrischen Gebilde vom Standpunkte der Verwandtschaften. Von W. Frz. Meyer. [InVorb.] „...Das Buch, das dem Lehrer zur Vorbereitung auf den Unterricht dienen will, ohne den Stoff methodisch zu gestalten, sucht wissenschaftliche Strenge und Verwendbarkeit beim Unterrichte zu vereinigen. Die Darlegungen, die mit einem reichen Literaturnachweis versehen sind, erregen überall lebhaftes Interesse und können auch von solchen Lehrern mit Erfolg studiert werden, denen mathematische Vorkenntnisse fehlen, die aber eine gewisse Fähigkeit und Neigung zum abstrakten Denken haben.“

II.

II.

(Mittelschule.)

Mathematische Bibliothek

Gemeinverständliche Darstellungen aus der Elementar-Mathematik für Schule und Leben

Unter Mitwirkung von Fachgenossen herausgegeben von Direktor Dr. W. Lietzmann und Prof. Dr. A. Witting

in Jena

in Dresden

Mit zahlreichen Figuren, kl. 8. In kartonierten Bändchen zu je 80 Pf.

Die Sammlung, die in einzeln käuflichen Heften in zwangloser Folge herausgegeben wird, bezweckt, allen denen, die Interesse an der Mathematik im weitesten Sinne des Wortes haben, es in angenehmer Form zu ermöglichen, sich über das gemeinhin in den Schulen Gebotene hinaus zu belehren und zu unterrichten. Die Bändchen geben also teils eine Vertiefung und eingehendere Bearbeitung solcher elementarer Probleme, die allgemeinere kulturelle Bedeutung oder besonderes mathematisches Gewicht haben, teils sollen sie Dinge behandeln, die den Leser — ohne zu große Anforderungen an seine mathematischen Kenntnisse zu stellen — in neue Gebiete der Mathematik einführen. Die bis jetzt in Aussicht genommenen Bände verteilen sich auf 4 Gruppen: 1. eine biographisch-historische, 2. eine für Arithmetik, Algebra und Analysis, 3. eine für Geometrie, 4. eine für angewandte Mathematik.

Bisher erschienene Bändchen:

1.    Ziffern und Ziffernsysteme der Kulturvölker in alter und neuer Zeit. Von E. Löffler. 1912.

2.    Der Begriff der Zahl in seiner logischen und historischen Entwicklung. Von H. Wieleitner. 1911.

3.    Der pythagoreische Lehrsatz mit einem Ausblick auf das Fermatsehe Problem. Von W. Lietzmann. 1912.

4.    Wahrscheinlichkeitsrechnung nebst Anwendungen. Von 0. Meißner. 1912.

5.    Die Fallgesetze, ihre Geschichte und ihre Bedeutung. Von y. E. Timerding. 1912.

6.    Einführung in die projektive Geometrie. Von M. Zacharias. 1912.

7.    Die 7 Rechnungsarten mit allgemeinen Zahlen. Von H. Wieleitner. 1912.

8.    Theorie der Planetenbewegungen. Von P. M e t h. 1912.

9. Einführung in die Infinitesimalrechnung. Von A. Witting. Mit 2 Porträttafeln, 130 Beispielen und Aufgaben. 1912.

10.    Wo steckt der Fehler? Trugschlüsse und Schülerfehler. Von W. Lietzmann und V.Trier. 1913.

11.    Konstruktionen in begrenzter Ebene. Von P. Zühlke. 1913.

12.    Quadratur des Kreises. Von E. Beutel. 1913.

13.    Geheimnisse der Rechenkünstler. Von P. Maenn-chen. 1913.

14.    Darstellende Geometrie des Geländes. Von R. Rothe. 1913.

15.    Beispiele zur Geschichte der Mathematik. Ein mathematisch - historisches Lesebuch. Von A. Witting und M. Gebhardt. II. 1913.

16.    Die Anfertigung mathematischer Modelle. (Für Schüler mittlerer Klassen.) Von K.Giebel. 1915.

17.    Dreht sich die Erde? Von W. Brunner. 1915.

Unter der Presse * bzw. in Vorbereitung sind:

‘Mathematiker-Anekdoten. Von W. Ahrens.

‘Die Eigenschaften der periodischen Dezimalbrüche, eine Einführung in die Zahlentheorie. Von A.Leraan.

Soldaten-Mathematik. Von A. Witting. ‘Mathematik und Malerei. Von G. Wolff.

(Süddeutsche Monatshefte.)

„Die Darstellung ist überall lebhaft, plastisch und anregend, dabei durchaus wissenschaftlich exakt. Auch der nicht mathematische Leser wird sich bei der Lektüre lebhaft gefesselt fühlen.“

Form dargestellt werden kann.“

„Durch diese Sammlung ist der Beweis erbracht, daß auch der scheinbar so spröde Stoff, den die Mathematik zu bieten hat, in angenehmer, allgemein verständlicher

(Germania.)

„Die Bändchen regen allenthalben zu eigenem Nachdenken an und sind überdies in einem so angenehmen Plauderton geschrieben, daß man ihnen den Ernst, der dahinter steht, gar nicht anmerkt. Wir können diese Bändchen angelegentlich den weitesten Kreisen empfehlen. Sie bieten den Schülern höherer Anstalten einen längst entbehrten Lesestoff, der nicht nur fesselt, sondern auch fördert; sie

sind aber auch weiterhin für das breitere Publikum bestimmt.“

(Dresdner Anzeiger.)

„Diese Sammlung mathematischer Einzeldarstellungen bildet eine wirkliche Bereicherung unserer mathematischen Literatur. Der Inhalt der bisher erschienenen Bändchen kann Anspruch auf allgemeines mathematisches Interesse erheben, denn es werden tatsächlich nur Fragen ,von allgemeiner kultureller Bedeutung oder von besonderem mathematischem Gewicht* in ansprechender, dabei knapper Form behandelt. Zur Anschaffung für die Lehrer- und Schülerbibliothek der oberen Klassen kann die Sammlung angelegentlichst empfohlen werden.“    (Monatsschrift für höhere Schulen.)

VERLAG VON B. G. TEUBNER IN LEIPZIG UND BERLIN

3c6cs Bänbdjen geheftet Htarï î. —, in £eim»anfc gebunden Utarł î.25

aus

bas

Don Dr. d.

(Sübtoeftbeutfße Sßulblätter.)

Die graphifche Darftellung. (Eine all* gemeinoerftänölidje, burd) 3al)Ireid)e Beifpiele aus allen ©ebieten öer Praxis erläuterte, (Ein* füljrung in Öen Sinn unö öen ©ebraud) öer metl)oöe. Don Prof. Dr. Sdiï Auerbad). mit 100 Siguren im deçt. (Bö. 437.)

An ber fjanb 3aßlreißer Figuren roirb bie Rtetßobe ber grapßifßen Darftellung naß allen Rißtungen gemein« oerftänbliß beßanbelt, ber Sinn ber Rletßobe im allge» meinen, ißre Bebeutung für £eßre unb Sorfßung, bie befte Art unb IDeife, roie man fie in einem beftimmten Solle anroenbet, erörtert. Die erläuternben Beifpiele finb aus ben oerfßiebenften ffiebieten entnommen, aus allen 3roei» gen ber Raturroiffenfßaft, aus ber Statiftiï, Dolfsroirt« fßaft, ©eßnif, btn ffieiftesroiffenfßaften unb bem all» täglißen £eben.

ttatimüiffenfchaften un6 îîïathematiï im ïlaffifchett Altertum. Don Prof. Dr. 3- £. 1) ei b er g. lîtit 2 5iguren. (Bb. 370.)

„(Es ift feßr 3U begrüben, bag burd) eine in großen 3ügen gehaltene Darftellung einem roeiteren £eferfreife oor Augen geführt roirb, weiß roiffenfßaftlißer £eiftungen fiß bas Haffifße Altertum auf bem ffiebiete ber Rtatße» matit, Pßqfif, Aftronomie, ffieograpßie, ber Raturroiffen« feßaften unb ber Htebi3fn 3U rühmen oermag. Dem Büß» lein roirb hierbei baburß nod) befonberer tDert oerließen, baß fein Derfaffer gegenwärtig rooßl ber grunblid)fte Ken» ner ber einfßlägigen Derßältniffe ift."

(Rtonatsßefte für Rtatßematilt unb ptjtjfiü.)

AritĄmetU unb Algebra 3um Selbfts unterricht. Don prof. Paul (Erantf. 2Böe.

I.    ©eil: Die Rechnungsarten, ffileißuttgen erften ffirabes mit einem, mehreren Unbefannten. ffileißungen 3roeiten ©rabes. 2. Auflage. Htit 9 Figuren. (Bb. 120.)

II.    ©eil: ©Ieidiungen. Arithmetifd)e unb geometrifd)e Rei» hen. 3infes3ins= unbRentenreßnung. Komplexe 3ahlen. Bmomifßer £eßrfaß. 3. Aufl. TTttt 23 5ig- (Bb. 205.)

UHU in leißt faßlietjer unb für bas Selbftftubium geeigneter Darftellung über bie Anfangsgrünbe ber Arttß» metif unb Algebra unterrid)ten. 3m erften Banbe wer» ben bie fieben Rechnungsarten, bie ©Ieidiungen erften ©rabes mit einer unb mehreren Unbefannten unb bie ffileidjungen 3meit«n ffirabes mit einer Unbefannten unb fßließliß bie £ogaritßmen beßanbelt, im 3 to ei ten wer» ben bie ffileißungen höheren ffirabes, bie arithmetifd(eu unb geometrifd)eu Reihen, bie 3infes3ins» unb Renten, reßnung, bie fomplejen 3af)Ien unb ber binomifdie £eßr» faß beßanbelt, toobei überall bic grapf)if<he Darftellung eingehenbe Berüdffid)tigung erfährt unb zahlreiche in ausfüßrlidier Ausrechnung eingefügte Beifpiele bas Der» ftänbnis erleichtern.

(Einführung in Me 3nfirtitefimalved}= nung mit einer l)iftorifd)en Überfielt. 2. Auf* läge. Don Prof. Dr. ©. Kotoaletosü. ITTit 22 Stguren. (Bö. 197.)

Das oorliegenbe Bänbßen führt hier febermann ohne große Dorfenntniffe in bie moberne Behanölungstoeife ber 3nfinitefimalred)nung ein, bie bie ©runblage ber gefam» ten matßematifßen XDiffenfdjaft bilbet. Die oorliegenbe rroeite Auflage hat eine burdigreifenbe Deränberung er» fahren unb manches ift aufgenommen, was an fiä| hätte fehlen fönnen, jeöod) beim ffiebraud) für Stubierenbe oon großem Dorteil ift.

Differential* unb Integralrechnung

mit Berüdfid)tigung öer praïtifdjen Antoen» öung in öer ded)nif. Don Dr. ÎÏÏ. £inöoro. mit 42 Abbitbungen. (Bö. 387.)

ffiibt unter burchgängiger Benußung ber anfd)aulid)en geometrifßen RIetßobe an ber ffanb praftifd) oerroenb* barer Beifpiele unter möglichfter Dermeibung rein tßco» retifßer (Erörterungen eine Darftellung ber ffirunb3üge ber Differential» unb Jntegralreßnung.

„... Der Derfaffer hat es oerftanben, in fur3 ge» brängtem Raume uns ein überaus flares Bilb oon bem tDefen ber Differential» unb 3ntegralrecßnung 3U geben unb bringt oor allem aud) eine große IRenge Beifpiele ben oerfßiebenften ffiebieten ber ©eßnif, rooburß Bud) befonbers für ben praftifer toertooll roirb." (©eeßnifeße tUittcilungen unb Raßrißten.)

analptifche ©eometrie 3um Selbft* unterricht. Don prof. p. drantj. (Bö.504.)

Das Bud) unterrid)tet roie bie übrigen oon bem Der» faffer für bie Sammlung bearbeiteten Bänbdjen über (Elementarmatßematif in leicßt oerftänblicßer, febod) ftreng njiffenfcßaftlidier IDeife über ben Stoff. 3aßlreiße, aus« füßrliß gelöfte Aufgaben füllen bas Derftänbnis erleid)» tern unb 3ur felbftänbigen töfung oon Aufgaben anleiten.

Trigonometrie 3um Selbftunterridjt.

Don prof.p. drantf. RlitSiguren. (Bö.431.)

tDill roie bie in biefer Sammlung erfdjienenen Bänb» ßen über Aritßmetif unb Algebra unb bie planimetrie in leicßt oerftänblicßer IDeife mit ben ffirunbleßren ber ©rigonometrie befannt maßen. Dolljtänbig gelöfte Aufgaben unbpraftifße Anro enb un g en finb 3ur ©rläuterung eingefügt.

Planimetrie 3um Selbftunterricht. Don

Prof. p. drantp mit 99 Sigmon. (Bö. 340.)

©ntßält bie planimetrie bis 3ur Äßnlißfeitslcßre unb ber Berechnung bes Kreifes. Das Bud) oerfolgt bie« felben 3iele roie bie in öer gleißen Sammlung erfßienene „Aritßmetif unb Algebra 3um Selbftunterrißt". 3n mög» Iißft einfaßer unb oerftänblißer Art maßt es mit ben ffirunbleßren ber planimetrie oertraut, oßne habet ber roiffenfßaftlißen Strenge 3U entbehren. IDert ift barauf gelegt, ben 3ufammenßang ber etn3elnen Säße unb ben Rußen berfelben ßeroo^ußeben. Diefem 3roecfe bienen bie überall gegebenen praftifßen Anroenbungen. Auß rein geometrifße Aufgaben finb in größerer 3aßl oor» ßanben, beren £öfung teils ausfüßrliß befproßen, teils fur3 angebcutet ift. ffiftorifße Bemerfungen finb, roo es anging, cingefügt. ©in ausfüßrlißes Regifter ift bem Buße 3ur leißteren Orientierung beigegeben.

praïtifehe ïîîathematit.

neuenöorff. mit 69 Sig. u. 1 daf. (Bö. 341.)

3nßalt: I. ffirapßifße Darftellungen. II. Släßen» meffung. III. Körpermeffung. IV. Derfür3tes Reßnen. V. Das Reßnen mit ©abellen. VI. Rteßanifße Reßen» ßilfsmittel.

Die Kechenmafchinen unh 6 as Uta= fchinenrechnen. Don Regierungsrat Dipl.» 3ng. K. Cen3. mit 43 Abbilöungen. (Bö.490.)

Das Bänbßen. gibt, oßne teßnifße Saßfenntnis oor» aus3ufeßen, einen Uberblid über bic roißtigften Dertreter ber ßeute auf bem RTarft befinblißen Reßenmafßinen» fpfteme, bie roißtigften Beftanbteile ber fjauptarten : ber Abbitions«, Rlultiplifations» unb Sßreibreßenmafßine roerben unter Deranfßaulißuttg burß fßematifße Sfßften erläutert unb bie oerfßiebenen in Abbilbungen roieber» gegebenen Sabrifate im ffinblicf auf ißre ©ignung für bie oerfßiebenen Arten ber Reßnung unter Durßfüßrung praftifßer Amoenbungsbeifpiele befßrieben.

tttathematifche Spiele. Don Dr. tD. A h-rens. 2. Auflage, mit einem ditelbilb unö 69 Siguren. (Bö. 170.)

„Das Stubium bes ßübjßen Bußes ift ein ßoßer ffienuß. RTan lieft nißt nur, nein, man oerfußt auß bie eht3elnen Spiele unb freut fiß, oon bem Derfaffer in bie ßößeren ffießeimniffe ißrer ©eßnif unb ©ßeorie etngeroeißt 3U fein.... IDer in bas fleine Bänbßen einmal hinein» gefßaut hat, legt es nißt meßr aus ber ffanb, oßne oon bem gebotenen Stoffe ent3Ücft 3U fein."

xeljrbüdier für l)öt)ere Spulen aus bem Berlage non B. (5. Œeubner in £etp3ig unb Berlin

ntatfyematUi

Æ tîrtvXrtM . Aritljmetifdie uttb algebraifdie Aufgabenfammlung. Alte u. neue Ausgabe, Bearbeitungen VL. ÜUIUU|. für uerfctjiebene Sdjulgattungen. Ausgabe für Barjern 6310. fflfterreid). Reformausgabe oon UXEieftmann unb p.3üt)lte.

®. Betirenbfen unb Œ. ©ötting: f®T\X Ä'lÄ'Ä

je einer Unter» unb einer (Dberftufe.

(Trrtttłł 11 -C VflltthV • Utatljemattf^es Unterrtdjtstnerh für £tj3eeitr ®berlt)3een u. Stubien-r* VLVUllg U. O* vVUllvl. anftalten. 3n brei ©eilen mit brei getrennten Aufgabensammlungen.

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UTlifTivr« tttatljematifdjes Unterriditsroerft mit Ausgaben für alle ©attungen böserer unb mittlerer *7* ♦IHlU-v* • Knaben« unbmäbd)enfd)ulen, £el)rerbilbungsanftatten, unb Aufgabenfammiungen non lïïüller» Kutnemsfi), Redjenbudi oon RIüller»pie^!er ufro.

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(Eljemie

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CE £ÖU)Cnl)Ür6t* £elirI>uct) £*13een Uttb böUere Utâbdjenfdiulen, befcmbers 3um gleidßeitigen ©e«

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Biologie

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ausführliche Profpelite unb Urteile

Verlag von B. 6. Teubner in Leipzig und Berlin

DIDAKTISCHE HANDBÜCHER

für den realistischen Unterricht an höheren Schulen

Dr. Â. Höfler

Herausgegeben von

Dr. F. Poske

Professor an der Universität Wien

Professor am Askauischen Gymnasium zu Berlin

In 10 Bänden, gr. 8. In Leinwand geb.

Einheit dieser Fächer durch möglichst zahlreiche und innige Verknüpfungen zwischen ihnen herzustellen suchen.

Für den realistischen Unterricht an den höheren Schulen hat bisher keine feste Tradition wie für den Sprachunterricht bestanden, aber doch sind die prinzipiellen Fragen heute so weit geklärt, daß es möglich sein wird, konkrete Beispiele der Stoffgestaltung zu geben, die als Grundlage weiteren Fortgehreitens dienen können. Die „didaktischen Handbücher“ sollen demnach den praktischen Bedürfnissen des Lehrers entgegenkommen, der durchdrungen ist von der Größe der Aufgaben, die durch einen allseitigen Sachunterricht und nur durch ihn zu lösen sind, der sich aber auch der Schwierigkeiten bewußt ist, die mit diesen Aufgaben verknüpft sind. Zugleich sollen die „didaktischen Handbücher“ der Zersplitterung entgegenwirken, die bei der wachsenden Zahl realistischer Unterrichtsfächer zu fürchten ist, und vielmehr die

Zunächst Bind erschienen:

I Band.

Didaktik des mathematischen Unterrichts

und 147 Figuren. 1910. Geb. M 12.—

von Dr. A. Höfler in Wien. Mit 2 Taf.

„...Ein vornehmes und tiefgründiges Werk eines Mannes, der wie wenige zugleich Gelehrter und Praktiker des physikalischen, mathematischen und philosophischen Unterrichtes ist....So sind seine Bemerkungen zu dem einführenden geometrischen Unterricht eine Perle der didaktischen Literatur. Aber nicht nur der Anfänger im Lehramte kommt heim Studium dieses Buches auf seine Bechnung, auch der erfahrene Lehrer wird dankbar manche Anregung daraus nehmen.. . Das Hauptverdienst dieser Didaktik aber ist, daß sie in vorbildlicher Weise zeigt, wie die Beform durchgeführt werden kann und muß. Die ausgezeichnet feine und abgeklärte Art der Darstellung wird viel dazu beitragen, einer harmonischen Umgestaltung des mathematischen Unterrichtes weiter die Wege zu ebnen.“

(Neue Jahrbiioher für Pädagogik.)

Didaktik der Himmeiskunde u. der astronom. Geographie.

II. Band.

Mit Beiträgen von W. Fo er s ter (Berlin) ; K. Haas (Wien); M. Koppe (Berlin); S. Oppenheim (Wien); A.Schülke (Tilsit). Verfaßt v.Dr.A. Höfler in Wien. Mit 2 Taf. u. 80 Fig. 1913. Geb..Ä12.—

„Es ist ein großes Verdienst des Verfassers, daß er mit seiner großzügig angelegten ,Didaktik der Astronomie¹ dem Lehrer eine mustergültige Anleitung zur methodischen Behandlung dieses Unterrichtszweiges an die Hand gibt. Eine Beihe namhafter Persönlichkeiten haben sich mit wertvollen Beiträgen eingestellt und den Verfasser bei seiner großen Arbeit unterstützt. So konnte denn ein Werk entstehen, dessen Erscheinen alle Lehrer und Freunde der Astronomie und astronomischen Geographie freudigst begrüßen werden und das ein grundlegender Unterrichtsbehelf sein wird. Die vielen Abbildungen des Buches sind durchweg sehr gut. Das Werk entspricht in jeder Hinsicht den gehegten Erwartungen und gehört zu jenen Büchern, über deren Erscheinen man aufrichtig erfreut ist.“ (Vierteljahrsber. d. Wiener Vereins z. Förderung d. physik. u. ohem. Unterr.)

von Dr. F. Poske in Berlin. Mit 33 Figuren.

Didaktik des physikalischen Unterrichts

IV. Band.

1915. Geh. M. 12.—

Dieser 4. Band der Didaktischen Handbücher für den realistischen Unterricht bringt in seinem allgemeinen Teil Darlegungen über die Methode der physikalischen Forschung und baut auf dieser die Methode des physikalischen Unterrichts auf; im Anschluß daran werden einzelne didaktische Fragen, so besonders die der physikalischen Schülerübungen, behandelt. Im speziellen Teil wird der gesamte Unterrichtsstoff einer eingehenden Besprechung und Sichtung unterzogen, wobei der Gesichtspunkt der „Problemphysik“ als maßgebend festgehalten ist. Den Schluß bilden Auseinandersetzungen über die Organisation des physikalischen Unterrichts und seine Eingliederung in den gesamten Unterrichtsplan.

vu. Band. Didaktik des botanischen Unterrichts

von weil. Dr. B. Landabe r g in Königsberg i. Pr.

Mit 19 Figuren. 1910. Geh. M 8.—

„Die Fülle des Stoffes, in möglichster Kürze zusammengedrängt, bringt so viel des Wissenswerten und Interessanten, daß der Leser Arbeit genug hat, desselben Herr zu werden; ein Literaturverzeichnis, das dem Werke am Schluß beigegeben ist — die Fußnoten, die fast auf jeder Seite zu finden sind, vervollständigen letzteres — gibt dem Leser eine Vorstellung, welohes wissenschaftliche Material vom Verf. verwertet worden ist. Das Wichtigste ist aber alles das, was Landsberg aus eigener Praxis und Erfahrung im Buche gibt.“ (Naturwissensoh. Wochenschrift.)

„Das Werk bildet in der Hand der Fachlehrer geradezu eine Grundlage für die botanischen Lehrbücher.“    (Zeitschrift für das ßymnasialwesen.)

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin

Wissenschaft und Hypothese

Sammlung von Einzeldarstellungen aus dem Gesamtgebiete der Wissenschaften mit besonderer Berücksichtigung ihrer Grundlagen und Methoden, ihrer Endziele und Anwendungen

Wissenschaft und Hypothese. Von Henri Poincaré - Paris. Deutsch von F. u. L. Lindemann-München. 3. Aufl. 1914. Geb. Jt 4.80. [Band L]

Dies Buch behandelt in den Hauptstücken : Zahl und Größe, Raum, Kraft, Natur, Mathematik, Geometrie, Mechanik und einige Kapitel der Physik. Zahlreiche Anmerkungen des Herausgebers kommen dem allgemeinen Verständnis noch mehr entgegen und geben dem Leser wertvolle literarische Angaben zu weiterem Studium. Die dritte Auflage ist durch einige Bemerkungen des Verfassers über die nichtarchimedische Geometrie und über die neueren elektrodynamischen Theorien erweitert.

Der Wert der Wissenschaft. Von Henri Poincaré - Paris. Deutsch von E. und H. Web er-Straßburg. Mit einem Bildnis des Verfassers. 2. Aufl. 1910. Geb. Jt 3.60. [Band II.]

Der geistvolle Verfasser gibt einen Überblick über den heutigen Standpunkt der Wissenschaft und über ihre allmähliche Entwicklung, wie sie sowohl bis jetzt vor sich gegangen ist, als wie er sich ihre zukünftigen Fortschritte denkt. Das Werk ist für den Gelehrten zweifellos von größtem Interesse ; durch seine zahlreichen Beispiele und Erläuterungen wird es aber auch jedem modernen Gebildeten zugänglich gemacht.

Wissenschaft und Methode. Von H. Poincaré-Paris. Deutsch von

F. und L. Lindemann-München. 1914. Geb. Jt$.—. [BandXVII.]

Eine summarische und getreue Darstellung des gegenwärtigen Zustandes der Wissenschaften, ihrer Methoden und Tendenzen, der einige historische Bemerkungen vorangehen, läßt vielleicht besser als abstrakte Abhandlungen verstehen, was die Gelehrten suchen, welche Vorstellung man sich von der Wissenschaft machen soll, und was man füglich von ihr erwarten darf.

Das Wissen der Gegenwart in Mathematik und Naturwissenschaft. VonÉ.Picard-Paris. Deutsch vonF.undL.Lindemann-

München. 1913. Geb. Jt 6.—. [Band XVI.]

Der Varfasser hat versucht, in diesem Buche eine zusammenfassende Übersicht über den Stand unseres Wissens in Mathematik, Physik und Naturwissenschaften in den ersten Jahren des 20. Jahrhunderts zu geben. Man findet die verschiedenen Gesichtspunkte, unter denen man heute den Begriff der wissenschaftlichen Erklärung betrachtet, ebenso wie die Rolle, die hierbei die Theorien bilden, eingehend erörtert.

Probleme der Wissenschaft. Von F.Enriques-Bologna. Deutsch von K. Greiling-München. 2 Teile. 1910. [Band XI, 1 u. 2.]

I. Teil: Wirklichkeit und Logik. Geb. M. 4.—.

H. — Die Grundbegriffe der Wissenschaft. Geb. M. 5.—.

Der Verfasser entwickelt durch eine Analyse der Fragen der Logik und Psychologie eine neue Theorie der Erkenntnis, dabei die verschiedenen Zweige der Wissenschaft, von der Mathematik bis zur Biologie, Wirtschaftslehre und Geschichte, berührend.

Die logischen Grundlagen der exakten Wissenschaften. Von

P. Natorp-Marburg. 1910. Geb. Jt 6.60. [Band XII.]

Das Buch, das gleichsam eine nach modernen Begriffen reformierte „Kritik der reinen Vernunft“ darstellt, versucht eine in den Hauptzügen vollständige, geschlossene Philosophie der exakten Wissenschaften zu bieten, wobei ein strenger Systemzusammenhang angestrebt ist.

Erkenntnistheoretische Grundzüge der Naturwissenschaften und ihre Beziehungen zum Geistesleben der Gegenwart.

Von P. Volkmann-Königsberg i. Pr. 2. Auflage. 1910. Geb. c,1t 6.—. [Band IX.]

Die sichtliche Zunahme der erkenntnistheoretischen Interessen auf allen Gebieten der Naturwissenschaften veranlaßt den Verfasser, seine späteren erkenntnistheoretischen Untersuchungen in die Grundzüge einzuarbeiten und damit eine weitere Durcharbeitung des gesamten für ihn in Betracht kommenden Gegenstandes zu versuchen.

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin

Wissenschaft und Wirklichkeit. Von M. Frischeisen-Köhler-

Berlin. 1912. Geb. Jt 8.—. [Band XV.]

Das Buch, das aus umfassenderen Studien Uber die philosophischen Grundlagen der Natur- und Geisteswissenschaften hervorgegangen ist, gibt eine neue Grundlage des kritischen Realismus. Es zerfällt in zwei Teile. Der erste begründet in Auseinandersetzung mit dem transzendentalen Idealismus, insbesondere in seiner Durchbildung durch die Marburger.Schule einerseits, die Freiburger Schule andererseits, das Recht, über die immanente Erkenntnisanalyse hinaus für die Neubestimmung des Begriffes von Wirklichkeit auf Erlebnisgrundlagen und hier vor allem auf unsere Willenserfahrungen zurückzugehen. Der zweite Teil entwickelt dann den so ableitbaren Begriff des Wirklichen und verfolgt, wie in den ErfahrungsWissenschaften sich für uns der Aufbau einer Wirklichkeit als Natur und Geschichte vollzieht.

Das Weltproblem vom Standpunkte des relativistischen Positivismus aus. Historisch-kritisch dargestellt von J. Petzoldt-Charlot-tenburg. 2., vermehrte Auflage. 1912. Geb. Jt 3.-—. [Band XIV.]

Vom Standpunkte des relativistischen Positivismus sucht der Verfasser auf neuen Wegen und zum Teil mit neuen Hilfsmitteln die Geschichte der Philosophie als eine sinnvolle Geschichte eines vorwissenschaftlichen, ursprünglich unvermeidlich gewesenen Irrtums des menschlichen Denkens verständlich zu machen. Auf Grund der von Schuppe, Mach und Avenarius vertretenen Anschauungen wird dieser lrrtum Schritt für Schritt verfolgt und endlich vollständig aufgelöst.

Wissenschaft und Religion in der Philosophie unserer Zeit. Von É. B outroux-Paris. Deutsch von E. Web er-Straßburg i. E-1910. Geb. Jt 6.—. [Band X.]

Boutroux zeigt uns in klarer und anschaulicher Weise die Ideen einiger der größten Denker über die Beziehungen zwischen Wissenschaft und Religion. Er übt aber auch strenge Kritik und verhehlt uns nicht alle die Schwierigkeiten und Einwendungen, die sich gegen jedes dieser Systeme erheben lassen.

Mythenbildung und Erkenntnis. Eine Abhandlung über die Grundlagen der Philosophie. Von G. F. Lipps-Leipzig. 1907. Geb. Jt 5.—. [Band III.]

I Der Verfasser zeigt, daß erst durch die Widersprüche, die mit dem naiven, zur Mythenbildung führenden Verhalten unvermeidlich verknüpft sind, der Mensch auf die Tatsache aufmerksam wird, daß sein Denken die Quelle der Erkenntnis ist — er wird kritisch und gelangt zu der kritischen Weltbetrachtung. Die Entwicklung der kritischen Weltbetrachtung stellt die Geschichte der Philosophie dar.

Ethik als Kritik der Weltgeschichte. Von A. Görland-Hamburg. 1914. Geb. Jt 7.—. [Band XIX.]

Dieses Buch ist keine systematisierte Tugendlehre, sondern es baut unmittelbar auf den praktischen; Konsequenzen auf, die sich aus der Kritik der Weltgeschichte und des gesellschaftlichen Lebens der Gegenwart ergeben. Eine starke unmittelbare Einwirkung auf die Gestaltung aller praktischen Lebensprobleme der Gegenwart wird ihm darum gesichert sein.

Geschichte der Psychologie. Von O. Klemm-Leipzig. 1911. Geb. Jt 8.—. [Band VIII.]

In der gegenwärtigen Zeit, wo die Psychologie als eine selbständige Erfahrungswissenschaft auftritt, dürfte ein geschichtlicher Ausweis geeignet sein, zahlreichen Mißverständnissen vorzubeugen. Daß dabei die Grenzfragen der Psychologie stärker in den Vordergrund treten, wird um so weniger als Fehler empfunden werden können, da sich ja nach'einem Ausspruch Poincares das Wachstum einer Wissenschaft gerade auf ihren Grenzgebieten vollzieht.

Grundlagen der Psychologie. Von Th. Ziehen-Wiesbaden. 1915. Geh. je Jt 4.40, geb. je Jt 5.—. [Band XX/XXI.]

Verf. behandelt im 2. Teil die erkenntnistheoretischen Grundlagen der Psychologie, insbesondere also das Problem der Abgrenzung des Psychischen vom Materiellen und der Zusammenfassung des Psychischen im Begriff des Ichs oder der Seele (im Sinn des Subjekts). Im 2. Teil werden die psychischen Grundbegriffe dargestellt. Vor allem sei hier auf die vom Verfasser neu entwickelten Theorien der Introspektion, der Begriffsbildung, der Gefühle und Affekte und der Willensvorgänge hingewiesen.

Probleme der Sozialphilosophie. Von R. Mich eis-Basel. 1914. Geb. JC 4.80. [Band XVIII.]

Bezweckt eine eindringliche Untersuchung der im Mittelpunkt der soziologischen Forschung stehenden Probleme, wie: Cooperation, Solidarität, Kastenbildung. Der Verfasser bietet allenthalben nicht so sehr Lösungen als vielmehr neue Gesichtspunkte für die behandelten Probleme.

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin

Grundlagen der Geometrie. Von D.Hilbert-Göttingen. 4. Auflage. 1913. Geb. Ji 6.— [Band VII.]

Ein Versuch, für die Geometrie ein Vollständiges und möglichst einfaches System von Axiomen aufzustellen und aus denselben die wichtigsten geometrischen Sätze in der Weise abzuleiten, daß dabei die Bedeutung der verschiedenen Axiomgruppen und die Tragweite der aus den einzelnen Axiomen zu ziehenden Folgerungen möglichst klar zutage tritt.

Die nichteuklidische Geometrie. Historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung. Von R. B o n o 1 a-Bologna. Deutsch von H. L i e b -mann-München. 1908. Geb. Ji 5.—

Will in möglichst elementar gehaltener Darstellung Ziele und Methoden der nichteuklidischen Geometrie auch denen verständlich machen, die mit nur elementaren mathematischen Vorkenntnissen ausgestattet sind.

Das Prinzip der Erhaltung'der Energie.*.Von Max Planck-Berlin. 3. Auflage. 1913. Geb. Ji 6.—. [Band VI.]

Behandelt die historische Entwicklung des Prinzips von seinen Uranfängen bis zu seiner allgemeinen Durchführung in den Arbeiten von Mayer, Joule, Helmholtz, Clausius Thomson: die allgemeine Definition des Energiebegriffs, die Formulierung des Erhaltungsprinzips nebst einer Übersicht und Kritik über die. versuchten Beweise.

Ebbe und Flut sowie verwandte Erscheinungen im Sonnensystem. Von G. H. D ar w i n-Cambridge. Deutsch von A. P o c k e 1 s-Braunschweig. 2. Aufl. Mit einem Einführungswort von G. v. Neu mayer und 52 Illustrationen. 1911. Geb. Ji 8.—. [Band V.]

Nach einer Übersicht über die Erscheinungen der Ebbe und Flut, der Seeschwankungen, der besonderen Flutphänomene sowie der Beobachtungsmethoden werden in sehr anschaulicher, durch Figuren erläuterter Weise die fluterzeugenden Kräfte, die Theorien der Gezeiten sowie die Herstellung von Gezeitentafeln erklärt. Die folgenden Kapitel sind geophysikalischen und astronomischen Fragen, die mit der Einwirkung der Gezeitenkräfte auf die Weltkörper Zusammenhängen, gewidmet.

Pflanzengeographische Wandlungen der deutschen Landschaft. Von H. Hausrath-Karlsruhe. 1911. Geb. Ji 5.—

Das Aussehen der deutschen Landschaft hat im Laufe der Zeiten große Änderungen zum Teil unter dem Einfluß des Menschen erfahren. Ebenfalls bildet die künftige Gestaltung dieser Verhältnisse, die zweckmäßige Verteilung von Wald und Feld, die Nutzbarmachung der Heiden und Moore eine viel erörterte Frage. Ausgehend von den natürlichen Bedingungen der Vegetationsformen sucht der Verfasser diese Fragen aufzuklären, indem er vom Ende der Eiszeiten an dem Wechsel in der Verteilung und in dem Zustand von Wald, Feld, Wiese und Moor nachgeht und seine wahrscheinlichen Gründe feststellt.

Unter der Presse* bzw. in Vorbereitung befinden sich:

Prinzipien der vergleichenden Anatomie. Von H. Braus.

*Die Erde als Wohnsitz d. Menschen.

Von K. Dove.

Das Gesellschafts- und Staatenleben im Tierreich. Von K.Escherich. Relativitätstheorie. Von Ph. Frank. Erdbeben u .Gebirgsbau.V on F.F rech. Probleme der Morphologie des Festlandes. Von A. Hettner. Vererbungslehre.VoriW.Johannsen. *Die Materie im Kolloidalzustand.

Von V. Kohlschütter. Grundlagen der Pädagogik. Von R. Lehmann.

Die wichtigsten Probleme d. Mineralogie u.Petrographie. Von G.L i n c k.

Die moderne Eiweißchemie, ihre Errungenschaften und Ziele. Von P. Pfeiffer.

Anthropologie und Rassenkunde. Von O. Schlaginhaufen.

Methoden der geographischen Forschung. Von O. Schlüter.

Grundfragen der Astronomie, der Mechanik u. Physik der Himmelskörper. Von H. v. Seeliger.

Meteorologische Zeit- und Streitfragen. Von R. Sfiring.

Deszendenzlehre. VonS.Tschulok. Die Wärmeverteilung auf der Erde und das Gesetz der Gegensätze. Von A. Woeikof.

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