WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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II. Theil: Integral-Rechnung.

Von

Dr. Ludwig Kiepert,

Professor der Mathematik an der technischen Hochschule zu Hannover.

Sechste vollständig umgearbeitete und vermehrte Auflage des gleichnamigen Leitfadens von

weil. Dr. Max Stegemann.

Mit 139 Figuren im Texte.

Hannover 1896.

Helwing’sche Verlagsbuchhandlung.

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Alle Rechte Vorbehalten.

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In ähnlicher Weise wie bei der Differential-Rechnung- habe ich hei der Bearbeitung- des vorliegenden, die Integral-Rechnung behandelnden Bandes die didaktische Seite besonders berücksichtigt. Ich bin deshalb bei der Anordnung des Stoffes zuweilen von dem gewöhnlichen Lehrgänge abgewichen ; so z. B. habe ich zu Anfang das Integral als eine reine Umkehrung des Differentials detinirt und erst später den Begriff desselben erweitert.

Nach dieser höchst einfachen und leicht fasslichen Definition habe ich unmittelbar die Methoden vorgetragen, die zur Bestimmung des allgemeinen Integrals füliren. Die zahlreichen Uebungs-Beispiele, welche hierbei eingeschaltet sind, dürften um so mehr am Platze sein, weil es erfahrungsmässig feststeht, dass zum weiteren Eindringen in diesen subtilen Theil der Mathematik grosse Gewandtheit in den arithmetischen Operationen und klare Uebersicht über dieselben durchaus nothwendig ist, und dass dem Anfänger an einem Beispiele oft Manches klar wird, was ihm in der allgemeinen Theorie nur halb verständlich geworden oder ganz unverständlich geblieben ist.

Es liegt in der Natur des Menschen, dass er nur selten eine allgemeine Theorie auf einmal erfasst; in der Regel steigt er von speciellen Fällen zur allgemeinen Theorie hinauf. Die Geschichte der Wissenschaft giebt hierfür viele Belege ; so z. B. waren die Gesetze des freien Falles, des Pendels und der Planeten-Bewegungen schon lange bekannt, als sie in ein allgemeines Gesetz, das Gravitations- Gesetz, zusammengefasst wurden.

An die Behandlung des allgemeinen Integrals (Seite 1—134) hätte ich die Behandlung des bestimmten Integrals und der dahin gehörigen Untersuchungen (Seite 162—242) unmittelbar anreihen können. Ich habe jedoch das Capitel über die Quadratur der Curven (Seite 135—161) dazwischen eingeschaltet, theils um hieran die Bedeutung der Integrations - Constanten und die Ermittelung des Werthes derselben zu erläutern; besonders aber, um mir hierdurch ein ausgezeichnetes Mittel zur Behandlung der bestimmten Integrale, der Doppel-Integrale u. s. w. zu verschaffen. Diese Anordnung dürfte schon durch die Paragraphen 45—50 allein gerechtfertigt werden. Die Differential-Gleichungen sind nur soweit behandelt, als sie dem wissenschaftlichen Techniker unentbehrlich sind. Ich konnte mich zu dieser Einschränkung um so eher entschliessen, weil ich hoffe, dass den beiden erschienenen Bänden (welche übrigens für sich ein Ganzes bilden sollen), später noch zwei andere Bände über Differential- und Integral-Rechnung folgen werden.

Hannover, d. 16. August 1863.

M. Stegemann.

Der ungewöhnlich starke Absatz, welchen die Integral-Rechnung von Stegemann gefunden hat, ist ein Zeichen dafür, dass die darin angewendete Methode für den Lernenden durchaus angemessen ist.

Daneben kann indessen nicht geläugnet werden, dass die drei bisherigen Auflagen eine grosse Zahl von Ungenauigkeiten und Druckfehlern enthielten, und dass ausserdem manche Untersuchungen und Sätze fehlten, welche auch für den Techniker unentbehrlich sind.

Deshalb erschien eine vollständige Umarbeitung und eine durchgreifende Ergänzung des Buches erforderlich. Dies ist nun in der vorliegenden Auflage geschehen; die zahlreich bemerkten Fehler sind verbessert, viele Beweise strenger gefasst und die wesentlichsten Lücken ausgefüllt worden. Trotzdem hat der Umfang des Buches nur eine Erweiterung von wenigen Bogen erfahren, da es möglich war, viele Entwickelungen kürzer zu fassen.

Für die Abgrenzung des Stoffes waren dem Herausgeber die Anforderungen massgebend, welche von einem billig denkenden Examinator bei der ersten Staats-Prüfung (Bauführer-Prüfung) m Integral-Rechnung gestellt werden dürften.

Es soll jedoch ausdrücklich hervorgehoben werden, dass das Buch auch für solche Leser geeignet ist, welche an der Universität Mathematik studiren.

Im Ganzen ist die von Stegemann gewählte Anordnung imd Behandlung des Stoffes so viel wie möglich beibehalten. Besondere Sorgfalt ist darauf verwendet, das Buch durchweg leicht verständlich zu fassen, so dass es bei voller Berücksichtigung der wissenschaftlichen Strenge doch für den Lernenden, nicht für den Gelehrten berechnet ist.

Hinzugefügt ist auch eine Tabelle der hergeleiteten For in ein, welche einerseits die Anwendungen sehr erleichtert, andererseits aber ein erprobtes Hülfsmittel bei Repetitionen bietet.

Hannover, d. 11. August 1885.

L. Kiepert.

Als es im Kreise meiner Fachgenossen bekannt wurde, dass ich eine neue Auflage der Differential- und Integral-Rechnung von Stegemann herausgegeben hätte, erhielt ich von hoch-geschätzter Seite den dringenden Rath, doch lieber ein eigenes Lehrbuch zu schreiben. Dieser Aufforderung bin ich dadurch nachgekommen, dass ich die kürzlich erschienene 6te Auflage der Differential-Rechnung und ebenso die hier vorliegende 5te Auflage der Integral - Rechnung fast im vollen Umfange neu ab gefasst habe. Von dem Texte des Stegemann¹ sehen Leitfadens habe ich nur wenige Stellen und von den Aufgaben nur eine kleine Zahl beibehalten; dagegen habe ich mich in einem Pmikte eng an das ursprüngliche Werk angeschlossen, nämlich in dem Bestreben, die Darstellung und Anordnung so zu wählen, dass der Anfänger dem Lehrgänge ohne Schwierigkeit folgen kann. Ich habe deshalb eine möglichst elementare Fassung gewählt und zur Erlau ter üng zahlreiche Üebungs-Beispiele hinzugefügt. Die Reihenfolge ist so getroffen, dass das Neue an Bekanntes angeknüpft wird, damit der Lernende von leichten Aufgaben allmählich zu schwierigeren aufsteigt.

Aus diesem Grunde ist auch die Eintlieilung des Stoffes in der Weise erfolgt, dass in dem ersten Theile von der Integration der gebrochenen rationalen, der irrationalen und der trans-cendenten Functionen nur die einfacheren Fälle behandelt sind, und dass dann sogleich die Anwendungen der Integral-Rechnung auf die Quadratur und Rectification der Curven, auf die Kubatur

der Rotationskörper und auf die Complanation der Rotationsflächen folgen. Wenn der Lernende möglichst früh erkennt, welche Vortheile die Integral-Rechnung bei den Anwendungen auf die Geometrie bietet, wird er mit grösserem Interesse und reiferem Verständnisse an die ausführliche Behandlung der Partialbruch-Zerlegung und an die mühsameren Methoden, welche bei der Integration irrationaler und transcendenter Functionen zu erfassen sind, herantreten. Dagegen würde er leicht ermüden, wenn er die ganze Theorie vor den Anwendungen, welche ausserdem zur Einübung und Befestigung der bis dahin erklärten Formeln und Sätze dienen, durcharbeiten müsste.

Den theoretischen Erörterungen des zweiten Theiles sind gleichfalls zahlreiche Aufgaben aus der Geometrie beigefügt. Leider mussten die interessanten und äusserst lehrreichen Anwendungen auf die Mechanik ausgeschlossen werden, weil sonst der Umfang des Lehrbuches über Gebühr gewachsen wäre.

Obgleich die früheren Auflagen in erster Linie für die Studirenden an den technischen Hochschulen bestimmt waren, hat das Buch doch auch bei den Lehrern und Studirenden der Mathematik an den Universitäten freundliche Aufnahme und Verbreitung gefunden. Diesem höchst erfreulichen Umstande habe ich Rechnung getragen, indem ich die meisten Erklärungen und Beweise noch strenger gefasst und den Inhalt wesentlich bereichert habe. Freilich darf man in dieser Beziehung bei einem Buche, mit dessen Hülfe sich der Anfänger vor allen Dingen tüchtige Fertigkeit im Differentiiren und Integriren aneignen soll, nicht gar zu hohe Anforderungen stellen.

Die Citate aus der Differential-Rechnung beziehen sich auf die 6te Auflage, welche im November 1892 erschienen, zur Zeit aber bereits vergriffen ist. In der alsbald folgenden 7ten Auflage der Differential-Rechnung soll daher dieselbe Anordnung der Abschnitte und Paragraphen beibehalten werden, damit die Citate auch dafür noch zutreffende sind.

Den Herren Lampe, von Mangoldt, Franz Meyer, Runge und Voss, die mir auch bei der Umarbeitung der Integral-Rechnung werthvolle Rathschläge ertheilt haben, bin ich zu aufrichtigem Danke verpflichtet; ganz besonders Herrn Voss für die ausführlichen Mittheilungen über kritische Stellen des Buches. Ausserdem muss ich mit dem besten Danke die freundliche Mitwirkung des Herrn Pelzold beim Lesen der Correctur hervorheben.

Die Verlagsbuchhandlung ist allen meinen Wünschen auf das Bereitwilligte entgegengekommen, wofür ich auch an dieser Stelle meinen verbindlichsten Dank ausspreche.

Hannover, den 23. April 1894

L. Kiepert.

Die vorliegende sechste Auflage unterscheidet sich weder dem Umfange noch dem Inhalte nach wesentlich von der fünften Auflage, seit deren Erscheinen ein so kurzer Zeitraum verstrichen ist, dass sich inzwischen nur an wenigen Stellen das Bedürfniss, Veränderungen vorzunehmen, ergeben hatte. Doch habe ich auch bei der Integral-Rechnung die Verbesserungsvorschläge, welche mir von befreundeter Seite zugegangen sind, und für die ich hierdurch meinen aufrichtigen Dank ausspreche, nach Möglichkeit berücksichtigt. Der mir mehrfach ertheilte Rath, die Differential-Rechnung und die Integral-Rechnung nicht getrennt zu behandeln, sondern mit der Integral-Rechnung zu beginnen, sobald die ersten Abschnitte der Differential-Rechnung erledigt sind, konnte aus rein ausserlichen Gründen nicht befolgt werden. Es bleibt aber jedem Leser überlassen, die Anordnung des Unterrichtsstoffes in dem angedeuteten Sinne zu ändern. Davon mache ich auch in meinen eigenen Vorträgen an der hiesigen technischen Hochschule, welche im October eines jeden Jahres ihren Anfang nehmen, Gebrauch, um bis zu Weihnachten diejenigen Abschnitte durchzunehmen, welche in den zu Neujahr einsetzenden Vorträgen über Mechanik als bekannt vorausgesetzt werden. Ich lasse deshalb den Abschnitten I bis IV, VIII bis XI der Differential-Rechnung unmittelbar den ganzen ersten Theil der Integral-Rechnung folgen und kehre erst dann wieder zur Differential-Rechnung zurück.

Wie schon in der Vorrede zur fünften Auflage hervorgehoben wurde, enthält der Leitfaden in seiner jetzigen Form nur wenig von dem Stegemanrisohva Werke, so dass ich nunmehr selbst als Verfasser in der neuen Auflage aufgeführt bin.

Beim Lesen der Correctur hat mich Herr Petzold wieder in freundlicher Weise unterstützt und dadurch zu herzlichem Danke verpflichtet. Ebenso danke ich der Verlagsbuchhandlung bestens für die liebenswürdige Bereitwilligkeit, mit der sie bei der Drucklegung allen meinen Wünschen entgegengekommen ist.

Hannover, d. 12. September 1896.

L. Kiepert

Inhalts -Verzeichniss.

Erster Theil.

I. Abschnitt.

Allgemeine Begriffe und Eundamentalsätze der Integral-Rechnung.

§    1. Begriff und geometrische Deutung des Integrals . . .

§ 2. Einführung der Integrationsgrenzen........

Seite

. . 17

21

24

25

43

52

Anwendungen der Integral-Rechnung.

II. Abschnitt.

Quadratur der Curven.

9

§ 11.    Quadratur    der    Curven    bei    Anwendung rechtwinkliger

81

Coordinaten...................

§ 12.    Quadratur    der    Curven    bei    Anwendung schiefwinkliger

97

Coordinaten...................

§ 13. Quadratur von Figuren, welche oben und unten durch eine

Seite

100

Curve begrenzt sind......

§ 14. Quadratur der Curven bei Anwendung von Polarcoordinaten 108 § 15. Uebergang von rechtwinkligen Coordinaten zu Polarcoordinaten 114

III. Abschnitt.

Kubatur der Rotationskörper.

122

§ 16. Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers .... 119 § 17. Uebungs -Aufgaben

§ 18.

C<95

05 Ö rH (N

§ 21.

IY. Abschnitt.

Rectification der ebenen Curven.

Rectification ebener Curven, deren Gleichung auf ein rechtwinkliges Coordinaten-System bezogen ist.......

Uebungs-Aufgaben................

Rectification ebener Curven, deren Gleichung auf Polar-

coordinaten bezogen ist............ . .

Uebungs-Aufgaben............... .

137

139

148

149

Y. Abschnitt.

Complanation der Rotationsflächen.

155

Berechnung des Flächenelementes bei einer Rotationsfläche. 154 Uebungs - Aufgaben

VI. Abschnitt.

Rectification der Raumcurven.

in

<M <M

Berechnung des Bogenelementes einer Raumcurve ....    166

167

Uebungs - Aufgaben

Zweiter Theil.

VII. Abschnitt.

Integration der gebrochenen rationalen Functionen.

§ 26. Aecht gebrochne und unächt gebrochene rationale Functionen 170 § 27. Zerlegung der acht gebrochenen rationalen Functionen in Partialbrüche, wenn die Wurzeln der Gleichung f(x) = 0 sämmtlich von einander verschieden sind

VIII. Abschnitt.

Integration der irrationalen Functionen.

214

§ 28. Zerlegung der acht gebrochenen rationalen Functionen in Partialbrüche, wenn die Gleichung f(x) = 0 auch gleiche Wurzeln besitzt......

§ 29. Integration der Functionen —

x— a

dx und

(x — a )n

Seite

188

dx . . . 197

§ 30. Integration der Functionen

dx

und

dx

[(X—g) 2+*²]n

(*—gP+h²

§ 31. Integration der Functionen ^X- ~b. Q)dx un(j (Px-j- Q)dx~

{x—gp+h?    [(x—g)²+h²]n

204

207

§ 32. Uebungs-Aufgaben

208

§ 33. Allgemeine Bemerkungen...........

§ 34. Integration rationaler Functionen der Argumente

a + bx

)H

a-\-bx A + Bx

A-\- Bx

§ 35. Uebungs-Aufgaben................

§ 36. Zurückführung der Differential-Functionen von der Form

. . 214

216

F(x, y Ax² -\-2Bx-\- C)dx auf Differential - Functionen von der Form f(y, yy²—a²)dy, f(y, y^-\-y²)dg, f(y, ya²—y²)dy 221

§ 37. Uebungs-Aufgaben................

§ 38. Integration der Differential-Function F(x, yÄx²-\-2Bx-\-C)dx,

wenn A positiv ist................

§ 39. Integration der Differential-Function F(r, y A x²-j-2 Bx-j-C) dx,

wenn C positiv ist .... ............

§ 40. Integration der Differential-Function F(x, ]/Ax'¹ -f- 2Bx -\-C)dx,

wenn B²—AC positiv ist . .............

§ 41. Integration der Differential-Function F(x, y Ax² -\-2Bx-\-C)dx,

wenn die drei Grössen A, C und B²—AC negativ sind . . 250

§ 42. Normalintegrale von der Form J'l\x, yAx2jr 2Bx -f- C)dx . 251

224

227

235

244

IX. Abschnitt.

Integration transcendenter Functionen.

§ 43. Herleitung einiger Recursionsformeln.........

§ 44. Integration trigonometrischer Functionen durch Anwendung der Moivre'sehen Formeln .............

257

X. Abschnitt.

Seite

§ 45. § 46.

§ 47.

§ 58. § 59. § 60.

Theorie der bestimmten Integrale.

Integration bei unendlichen Grenzen....... .

Integration von Differential-Functionen, die an den Grenzen des Integrals unstetig werden Integration von Differential - Functionen, die zwischen den

Grenzen unendlich werden ............•

Näherungsmethoden durch Einführung einfacherer Functionen

Mittel werth Sätze..................

Neuer Beweis des Taylor'schen Lehrsatzes.......

Gliedweise Integration unendlicher Reihen.......

Berechnung der elliptischen Normalintegrale erster und zweiter

Gattung....................

Differentiation der Integrale............

Berechnung der Werthe von einigen bestimmten Integralen Berechnung bestimmter Integrale durch Differentiation .    .

Darstellung der Coefficienten einer trigonometrischen Reihe Berechnung bestimmter Integrale bei Anwendung mehrdeutiger Substitutionen..............

Messungsmethoden zur Berechnung bestimmter Integrale

Simpson'sehe Regel............... .

Uebungs-Beispiele................

267

. 270

274

278

281

284

286

292

306

309

314

316

320

326

330

335

XI. Abschnitt.

Kubatur der Körper und Complanation der krummen Oberflächen. Mehrfache Integrale.

61.    Kubatur der Körper durch Anwendung einfacher Integrale . 342

62.    Uebungs-Beispiele ......

63.    Einführung mehrfacher Integrale .

64.    Theorie der mehrfachen Integrale

65.    Einführung von neuen Integrations-Veränderlich en .... 365

66.    Complanation der Flächen.....

67.    Uebungs-Beispiele........

68.    Einführung zweier variablen Parameter

69.    Einführung räumlicher Polarcoordinaten

. . 345

347

361

372

375

384

386

XII. Abschnitt.

Integration der Differentiale der Functionen von mehreren Veränderlichen.

§70. Vollständige Differentiale der Functionen von zwei Veränderlichen .....................

§ 71. Uebungs-Beispiele................

§ 72. Vollständige Differentiale der Functionen von drei Veränderlichen .....................

§ 73. Uebungs-Beispiele................

Seite

393

398

403

XIII. Abschnitt.

§ 74. § 75.

§ 76.

§ 77.

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zcn cöc zcr.    cen W

cr> cc cc    gcccqogcgcgoccco

o P GO ^ C C« ^ po fco h-i ©

Theorie der gewöhnlichen Differential-Gleichungen erster Ordnung.

Begriff und Eintheilung der Differential-Gleichungen .    . . 407

Auflösbarkeit der Differential-Gleichungen. Integrations-Con-

stanten.......... ...

Untersuchung der Convergenz-Bedingungen Trennung der Variabein.......

dy    / y \

Integration der Gleichungen von der Form ^ — /l ) • •

Einige weitere Fälle, in denen man die Trennung der Variabein ausführen kann...............

Lineare Differential-Gleichungen erster Ordnung.....

Gleichung von Bernoulli.......^.......

Erklärung des integrirenden Factors.........

Beispiele zur Erläuterung.............

Bestimmung des integrirenden Factors........

Differential-Gleichungen erster Ordnung höheren Grades .    . 479

Integration durch Differentiation...........

Die singulären Auf lösungen der Differential-Gleichungen erster

Ordnung ....................

Uebungs-Beispiele.......*........

Isogonale Trajectorien...............

Uebungs -Aufgaben........ . . •.....

409

. 422 . 434

441

447

451

461

464

467

469

483

492

496

502

504

XIV. Abschnitt.

Gewöhnliche Differential-Gleichungen höherer Ordnung.

§ 91. Allgemeine Bemerkungen . . . .

§ 92. Integration der Differential-Gleichung

520

dmy

.... 520

§ 93. Differential-Gleichungen von der Form F    ~

dxm

0 524

dm— ²?/\

’ dx’“—‘V

§ 95. Fälle, in denen sich die Ordnung der Differential-Gleichung erniedrigen lässt.................

Seite

532

XY. Abschnitt.

Lineare Differential-Gleichungen mteT Ordnung.

544

§ 96. Allgemeine Bemerkungen.............

§ 97. Homogene lineare Differential-Gleichungen »der Ordnung . 545 § 98. Nicht homogene lineare Differential-Gleichungen ?»ter Ordnung 554

Tabelle der wichtigsten Formeln aus der Integral-Rechnung . .    . 564

Erster Tlieil.

N    I. Abschnitt.

Allgemeine Begriffe und Fundamentalsätze der Integral-Rechnung.

*//.

1.

Begriff und geometrische Deutung des Integrals.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 1 und 2)*)

Die Aufgabe der Integralrechnung bestellt darin, dass eine Function fix) gesucht icird, deren Ableitung

(!•)

f‘ O) = ⁽fix)

gegeben ist.

(2.)

Da das Differential einer Function fix) gleich ist ihrer Ableitung fix), multiplicirt mit dem Differential von x, da also df(x) = f‘(x)dx — (p(x)dx,

so kann man die gestellte Aufgabe auch so fassen: „Von einer Function ist das Differential gegeben, man soll die Function selbst auf suchen.“

Die Operation, durch welche dies geschieht, nennt man die „ Integration des vorliegenden Differentials“ und die Wissenschaft, welche von den Integrationen handelt, nennt man „Integral-RechnungDas Operationszeichen für das Integral von f\x)dx ist f (ein langgezogenes S), **) also

*) Die wichtigsten Formeln sind im Anhänge zu einer Tabelle zusammengestellt.

Es wird später gezeigt werden, dass man ein (bestimmtes) Integral auch als Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen auffassen kann. Dieser Auffassung entspricht das Operationszeichen j (erster Buchstabe des Wortes Summa), das von Leibniz eingeführt fft.

Kiepert, Integral-Rechnung.

(3.)

Jf\x)dx =/(*)•

Beispiele.

1) Ist

so wird

f\x) = 3a:², also /Sx²dx = æ³.

2) Ist

so wird

/(ff) = sina*,

f‘(x) = cos X, also J cos xdx = sina-.

3) Ist

/(*) = arc tg a-,

so wird

Jl x²

Ans der vorstehenden Erklärung folgt, dass Integration und Differentiation entgegengesetzte Operationen sind, die sich gegenseitig aufheben. Setzt man nämlich aus Gleichung (2.) den Werth von f‘ix)dx in die Gleichung (3.) ein, so erhält man

/'(ff) =

1 + x² ‘

also

dx

= arctga-.

(4.)

fdf(x) =fix)\

und wenn man die Gleichung (3.) differentiirt,

(5.)

dff‘{x)dx — df{x) — f‘(x)d

x.

Darin liegt ein Mittel, um das durch die Integration sich ergebende Resultat zu prüfen. Differentiirt man nämlich dieses Resultat, so muss man den Ausdruck erhalten, der unter dem Integralzeichen steht.

Weil f‘(x)dx nicht nur das Differential von fix), sondern auch das Differential von fix) + C ist, wo C eine beliebige Constante bedeutet, so wird ganz allgemein

(6.)

Jf‘(x)dx =f{x) + C.

Das Integral von f\x)dx hat daher unendlich viele Werthe. Dabei nennt man die Grösse C die Integrations- Constante“.

Dies ist aber die einzige Willkür, welche béi der Bestimmung des Integrals auftritt, denn es gelten die folgenden Sätze:

Satz 1. Ist die Ableitung einer Function F{x) für alle Werihe von x zwischen a und b gleich 0, so ist der Werth von F (x) in diesem Intervalle constant.

Beweis. Nach dem Taylor'sehen Lehrsate (D.-R.¹), Formel Nr. 49a der Tabelle) ist

(7.)

F(a + h) = F(a) + hF\a + 0h), wo 0 zwischen 0 und 1 liegt. Nach Voraussetzung ist F‘{x) für alle Werthe von x zwischen a und b gleich 0, folglich wird F(a -f- 0h) = 0,

so lange a + h = x in dem angegebenen Intervalle bleibt. Da nun h eine endliche Grösse ist, so wird

(8.)

Fia -f- h) = F if), oder F if) — F(a), d. h. F(x) behält den constanten Werth F if).

Hieraus folgt

Satz 2. Haben die beiden Functionełi f{x) und g(x) in dem betrachteten Intervalle dieselbe Ableitung, so unterscheiden sie sich von einander nur durch eine Constante.

Beweis. Setzt man

(9.)

F{x) = g{x) —f{x),

<j(f) =ff) 4- c.

so ist die Ableitung von F(x) in dem Intervalle beständig gleich Null, also ist F(x) nach Satz 1 eine Constante C. Dies giebt (10.)

Satz 3. Sind die beiden Functionen fix) und gif) Integrale derselben Function (f{x), so können sie sich nur durch eine Constante con einander unterscheiden.

(11.)

sein, d. h. es muss

Beweis. Nach der Erklärung des Integrals muss f‘(f) = (ff) und auch g‘(f) = tp{x)

/'(*) = 9‘ (*)

(12.)

gf)    + C.

sein, folglich ist nach dem vorigen Satze (13.)

Satz 4. Zu jeder stetigen Function y — (pf), die sich durch eine Cur ce geometrisch dar stellen lässt, giebt es ein Integral, während es nicht zu jeder stetigen Function eine Ableitung giebt.

Beweis. Es möge zunächst die Voraussetzung gemacht werden, dass die Curven. so weit ihr Bogen hier in Betracht kommt, oberhalb der X-Axe liegen. Ist AP ein solcher Curven-bogen (Fig. 1) mit der Gleichung (14.)

. Fi*. 1.

p.

so ist der Flächeninhalt F der Figur AiAPQ eine Function ff) von x, denn er ändert sich zugleich mit x. Es ist also

A,

(15.) F = AiAPQ = ff,

und wenn man QQi mit Ax, QiP\ — (f{x + Ax') mit yi bezeichnet,

(16.)

-

AiAPMi = f{x + Ar) = F-f AF,

folglich wird

(17.)

QPPiQi = AF= A ff) = fix + Ax) —ff).

Legt man durch P die Gerade PR parallel zur X-Axe, so wird unter der Voraussetzung, dass die Curve von P bis P\ steigt,

(18.)

QPRQi = y . Ax < Aff) =■ QPP\Qt ; und legt man durch Pt die Gerade PiS parallel zur X-Axe, so wird

(19.)

QPPxQi = A fix) < QSPiQx = yx . Ax.

Dies giebt

(20.)

A ff)

y — v ⁹ Ax

Syi,

oder, weil lim yx — y für lim Ax = 0 wird,

(21.)

df{x)

oder

Deshalb erhält man (22.) F = J'f‘(x)dx =J'fp{x)dx.

Dieselben Schlüsse gelten auch noch, wenn die Curve vom Punkte P bis zürn Punkte Px fällt (vergl. Fig. 2), nur erhalten dann die Ungleichheitszeichen die entgegengesetzte Richtung. Es wird nämlich in diesem Falle

Fig. 2.

y_a

öl 17

Q (l, X

oder

F= AiAPQ =/(*),

AUPiQi — fix + Ax) = F + A F, QPPxQv — AF= Af{x) =f(x -f Ax) —fix), - QPRQ! ^ A fix) ^ QSPi Qi,

(23.)

y . y/z ^ Af[x) ft yi . Ax

(24.)    .

also, da auch hier limyi = y wird für lim Ax = 0,

(25.)

₌ df(x)

dx

oder

<p(x) =/'(*)•

Das Resultat bleibt sogar auch dann noch richtig, wenn die Curve zwischen P und P{ abwechselnd steigt und fällt (Fig. 3). Man legt dann durch den höchsten Punkt FL mit der Ordinate y‘ und durch den tiefsten Punkt T mit der Ordinate y“ Parallele GGy und KKy zu der X-Axe. Dadurch erhält man die beiden Rechtecke

öl Tt

Fig 3.

G_i

M—

K

fC

à Ti Ht Qt X

QGGiQr = y‘. Jx und QKKXQX = y“ . Ax,

(26.)

und zwar wird

(27.)

y‘. Ax QPPiQi = Af(x) ^ y“. /Ix,

oder

also, da limy‘ = lim y“ = y für lim^/r = 0,

oder (f{x) = f\x).

(28.)

(29.)

df(x)

y — ~î—“ ’

^    f/.T

Man findet daher in allen Fällen

(30.)

F = AXAPQ = J(f{x)dx + C.

Bei dieser geometrischen Deutung des Integrals erkennt man auch, weshalb zu dem Integral noch eine willkürliche Integrations-Constante hinzutreten muss. Die Anfangs-Ordinate AXA, durch welche die ebene Figur F auf der einen Seite begrenzt wird, ist noch beliebig. Einer Verschiebung dieser Anfangs-Ordinate entspricht eine Veränderung der Integrations-Const anten C.

§ 2.

Einführung der Integrationsgrenzen.

Uebungs-Aufgaben.

|/l — y

(59.) Jcos7# . dx = /(I — 3 sin2# + 3 sin4# — sin6

§ io.

= jydx

Quadratur der Curven bei Anwendung von Polarcoordinaten.

(40 folglich wird

/57a \ «fe _ y> + 2» .

=Tr‘+&_2e

/,(«) = ä ,

x — u, x b, x — c,.. . x — 7b, x — l

 z_f_ dt

= (az + /?)2 + <7— /?2

(41 ) f dx = _J_! + Vl+jg\

Normalintegrale von der Form [Fix, yAx2+2Bx+C)dx

X. Abschnitt.

Neuer Beweis des Taylor9sehen Lehrsatzes.

7 ]/i — x2

Berechnung bestimmter Integrale durch Differentiation.

Simpson’sehe Regel.

Einführung mehrfacher Integrale.

Durch Einführung von Polarcoordinaten wird nach Gl

m.) 0 =fßxdy-jl +(U +(sjjj=ffdudeVA'

Uebungs-Beispiele.

(«o % =f‘(a) +^rf(* - °> +f-w} (* ~

Trennung der Variabein.

Einige weitere Fälle, in denen man die Trennung der Variabein ausführen kann.

Gleichung von Bernoulli.

Differential-Gleichungen erster Ordnung höheren Grades.

§ 88.

p ~ y(pi + i)

(12.)

1«+'C-Tï)=lc’

y — C\yi -J- C2y2 + • • • + Cnyn.

143.) Ist für alle Werthe von x zwischen a und b f

KRAKOW

¹

) Die Citate, welche sich auf die siebente Auflage der Differentialrechnung beziehen, sollen durch die Vorgesetzten Buchstaben: „D.-R.“ hervorgehoben werden.

Einführung der Integrationsgrenzen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 3 bis 6.)

Die unbestimmte Integrations - Constante wird gewöhnlich dadurch ermittelt, dass man den Werth von x aufsucht, für welchen das Integral in der vorgelegten Aufgabe verschwindet.

Ist a dieser besondere Werth von x, so nennt man a „die untere Grenze“ des Integrals und schreibt

(1.)

F — ff\x)dx —f{x) + C.

Da nach Voraussetzung das Integral für x — a verschwindet, so findet man hieraus

(2.)

0 = f{d) -f C\ oder C — — f{a),

also

Dieses Verfahren kommt auch bei der geometrischen Deutung des Integrals in Betracht. In den Figuren 1, 2 und 3 z. B. verschwindet der Flächeninhalt der ebenen Figur A^A PQ, wenn die Ordinate QP mit der Anfangs-Ordinate AXA zusammenfällt, wenn also

x = a = OA₁.

In vielen Fällen braucht man den Werth von F nur für einen bestimmten Werth von x, z. B. für x = b; man nennt dann b „die obere Grenze“ und schreibt

(4.)

F heisst in diesem Falle ein ,,bestimmtes Integral“, während man fix) das „unbestimmte Integral“ von f\x)dx nennt.

Um anzudeuten, in welcher Weise das bestimmte Integral aus dem unbestimmten hergeleitet wird, schreibt man

(5.)

F=Jf\x)ix = [/(*)/ =f{b) -f(a).

a    a

Satz 1. Das bestimmte Integral kann betrachtet werden als Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen.

Beweis. Der Flächeninhalt der ebenen Figur AXABBX (Fig. 4) war

(6.)

F = ff=/(&) —/(«)>

wenn diese Figur oben durch die Curve

y =/'(*)

Fig. 4.

begrenzt wird. Andererseits kann man aber auch den Flächeninhalt dieser Figur dadurch berechnen, dass man sie durch Parallele zur U-Axe in n Streifen zerlegt, die alle verschwindend klein werden, wenn n in’s Unbegrenzte wächst. Ist nun QPPxQt einer der Streifen, und zieht man durch P eine Parallele

P,

p/~-

■U-

-»i x

Wächst n in’s Unbegrenzte, so wird Jx verschwindend klein, und man erhält

(8.)

limF' = lim2/y(^) .Jx = F, weil die Dreiecke PRP\ verschwindend kleine G-rössen höherer Ordnung werden, die neben den verschwindend kleinen Grössen erster Ordnung vernachlässigt werden dürfen.

Von der Richtigkeit dieses Resultates kann man sich auch auf folgende Weise überzeugen.

Der Flächeninhalt des Dreiecks PRPx (Fig. 4) ist kleiner als der Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Grundlinie PR — Jx und der Höhe RPX = hx, also

A PRP\ < hx . Jx.

Dieselbe Ungleichung gilt für die sämmtlichen Dreiecke, welche in Figur 4 von den Streifen abgeschnitten sind. Bezeichnet man also die Summe dieser Dreiecke mit 2 PRPX und die grösste unter den Höhen hx mit h, so wird

2 PRPX <2 hx.Jx< hlEiJx,

oder, da 2 Jx, d. h. die Summe aller Grundlinien gleich AXBX

ist,

PR zur X-Axe, so wird dieser Streifen zerlegt in ein Rechteck QPRQX mit dem Flächeninhalte y. Jx und in das Dreieck PRPi, wobei mit Jx die Breite des Streifens bezeichnet ist. Die Summe der Rechtecke QPRQt ist daher

x=b—Jz

(7.) F‘ = 2 y . Jx — 2 <p(x) . ^ = 2 /'(#) •

x=b—Jx

X—b—Jx,

x—a

x=a

x=a

2 PRPi < h . AiBi = h{b — a).

Nach Voraussetzung ist die Function f\x) für die betrachteten Werthe von x stetig, deshalb werden die Grössen hx, also auch h mit Jx zugleich verschwindend klein, folglich auch 2 PRPi.

In Figur 4 steigt die Curve von A bis B. Das Rechteck QPRQi ist deshalb um das Dreieck PRPX kleiner als der Streifen QPPXQX. Dasselbe gilt für alle anderen Streifen, in welche die Figur zerlegt ist. Fällt dagegen die Curve von A bis B (vergl. Fig. 5), so sind die Rechtecke um die kleinen

Fig. 5.

Fig. 6.

At

B,

-6-

A,

B, X

Dreiecke grösser als die Streifen der Figur. Es können auch (wie in Figur 6) die Rechtecke theilweise grösser und theilweise kleiner als die Streifen sein. Die in Gleichung (8.) ausgesprochene Schlussfolgerung bleibt aber auch dann noch richtig, weil die Summe der vernachlässigten oder hinzugefügten Dreiecke zugleich mit Jx verschwindend klein wird.

Statt lim 2 schreibt man S und fügt die Grenzen der Summation, nämlich a und lim (6 — Jx) = b unten und oben dem Summenzeichen S', aus welchem das Zeichen / entstanden ist, hinzu. Dadurch erhält die Gleichung (8.) die Form

(8 a.)

F —Jydx —Jf\x)dx =f(b) —f(a),

welche mit Gleichung (6.) übereinstimmt.

Bisher war die Voraussetzung festgehalten worden, dass der betrachtete Curvenbogen oberhalb der A-Axe liegt, d. h. es sollte y — (f{x) ^ 0 sein für alle in Betracht kommenden Werthe von x. Die vorstehenden Schlüsse gelten aber in gleicher Weise auch dann noch, wenn der Bogen AB unterhalb der X-Axe liegt, wenn also y = (p{x) ^ 0 ist für die betrachteten Werthe von x. In diesem Falle hat aber selbstverständlich

(f{x). Jx = f\x). Jx und deshalb auch 2/'(F). Jx einen negativen Werth.

Es ist auch nicht nothwendig, dass b>a ist; setzt man nämlich für Jx negative Werthe ein, so muss b < a werden.

Bemerkung.¹)

Die vorstehenden Untersuchungen gingen von der Voraussetzung aus, dass die Function fix), deren Ableitung f‘(x) = (fix) gegeben ist, existirt, oder dass sich wenigstens die stetige Function y — (fix) durch eine Curve geometrisch darstellen lässt. Man kann aber die Untersuchung auch unabhängig von der geometrischen Darstellung durchführen.

Um zu beweisen, dass es immer eine eindeutige, stetige Function f{x) giebt, deren Ableitung/'(x) einer gegebenen stetigen Function <p ( x) gleich ist, wobei /(x) noch für x — a einen beliebigen Werth /(«) annehmen darf, beachte man die nach dem Taylor’’sehen Satze für jede stetige Function geltende Gleichung (D.-R., Formel Nr. 49a der Tabelle)

(9.)

/O + h) —f{x) = h ./‘(x + Sh).

/O + h) —f{x) = h . (fix + Sh).

Theilt man das Intervall von a bis b in n gleiche oder ungleiche Theile und nennt die Theilwerthe

Da nun in dem vorliegenden Falle /‘(x) — q>{x) sein soll, so würde die Gleichung (9.), nachdem man die Existenz der Function fix) nachgewiesen hat, übergehen in (9a.)

a, x\, x₂, ... xn—l, b,

so würde man aus Gleichung (9a.) das folgende System von Gleichungen erhalten /Ol) —/O) = Oi — «M« + ®iOi — «)],

(10.)

/O2) — /Oi) = O2 — Xi)(p[Xi -f @2(^2 — ^1)], /O3) — /O2) = O3 — x.₂)(p[x₂ + G₃(x₃ — x₂)],

f{b) —/0»-l) = {b — xn-l)<f'[xn-l + Sn(b — xn—1)].

Dem entsprechend möge jetzt die Grösse /(&) durch die Gleichung

(11.) f(P) —fia) = Oi — a)T[a + ®iOi — «)] + O2 — ¹ iM¹i + G2O2 — x„)]

+ O3 —    + g₃(x₃ — x₂)\ 4—

-j- (b —Xn—l)(f[xn—l -f- Sn(b — Xn-l)],

oder

a—n

(11a.)

f(b) —fia) — 2 O« — Xa—l)(/>[xa—1 4- ©a(xa — Xa-l)] a=1

erklärt werden, wobei x₀ = a, x» = b sein möge, und wobei die Grössen Su 0₂,... Sn sämmtlich zwischen 0 und -f 1 liegen, im Uebrigen aber noch unbestimmt sind.

Bezeichnet man jetzt mit Ga den grössten und mit Ka den kleinsten Werth, welchen <f(x) erhält, wenn x das Intervall von xa-1 bis xa durchläuft, so ist (12)

so wird

Da nun aber ip(x) nach Voraussetzung eine stetige Function ist,

(13.)

Ga — Ka = d«

beliebig klein, wenn man nur n hinreichend gross macht. Wählt man unter den Differenzen d), Jo, • • • dn die grösste aus und bezeichnet sie mit d', so wird

(Xa — Xa-1) (Ga — Ka) ^ (xa — Xa-l)d ,

oder

(14.)

und

(Xa — Xa— l) Ga — (Xa — Xa — l) ( A a 4“ d)

a—n

a=n

2! [Xa — Xa—l) Ga — ^' (xa — Xa — l) Ka 4“ (b — (l)d.

1    a—l

Deshalb wird mit Rücksicht auf Gleichung (11a.) und Ungleichung (12.)

(15.)

a~n

a—n

l) Ka ^f(b) —/(«) 44 2 (xa — Xa—l) Ga , a=1

oder, wenn man der Kürze wegen 2 (xa—xa-i)Ku mit S bezeichnet und die Ungleichung (15.) beachtet, '

S^m —f(a) S S 4- (6 - a)ä.

Da aber b — a eine endliche Grösse ist, und d beliebig klein wird für hinreichend grosse Werthe von n, so nähert sich f(b) — f(a) dem Grenzwerthe

(16.)

(17.)

2 (xa

— Xa-

a—1

a=.?i

lim S = lim 2 (xa — xa-\) Ka.

a=1

Diese Summe hat auch, weil <f(x) in dem Intervall von a bis b stetig ist, einen endlichen Werth. Bezeichnet man nämlich mit G die grösste unter den Grössen G\, G₂,... Gn und mit K die kleinste unter den Grössen K, K%,... Kn, so wird

21 (Xa — Xa—l) Ka 2 1 (Xa — Xa—l) K = (b — <l) K,

2 (Xa — Xa-1) Ga <2 (Xa — Xa — l) G = {b — a) G.

(18.)

Die Ungleichung (16.) wird also noch verstärkt, indem man schreibt (b - a) K </(&) -f(a) <{b — a) G.

Da (b — u) K und (b — d)G endliche Grössen sind, so ist auch f[b) —f(a) eine endliche Grösse.

In gleicherweise wie die Ungleichungen (16.) und (17.) kann man auch die Ungleichungen

—\)Ku 4)) 2 (Xa — Xa-l)<f(Xa - l) = 2 (Xa — Xa—l) Ga

— Xa

(13.) 2 (Xa

und 20.)

ableiten und daraus schliessen, dass

CC—U

(21.)

f(b) —f(a) = lim 2 (*« — Xa-i)<f>(xa—l)

a—1

ist. Vertauscht man noch der Kürze wegen xa mit x und die verschwindend kleine Differenz xa — xa-i mit dx, bezeichnet man ferner die Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen nicht mehr mit lim.2" sondern mit L so geht die Gleichung (21.) über in

b

(22.)

/(*>) — /(«) =f<f(x)dx,

wobei die beiden Grenzen u und b bei dem Summenzeichen J angeben, dass x alle Werthe von a bis b durchlaufen soll.

Bisher war b unveränderlich gedacht, man darf aber für b auch die Veränderliche x setzen und erhält dadurch

(23.)

f(x) —f(a) =fp{x)dx.

Um nun noch zu zeigen, dass die Ableitung von fx) mit <f>(x\ übereinstimmt, beachte man Gleichung (Ha.), nach welcher man

a=n

(24.)

erhält. Ebenso ist

f{xn) —f{a) = 2 {Xa — Xa—l)<f>[xcc—1 + ®u(Xu — Xa-1)] a—i

(25.) f(xn-l) —f(a) ■— 2 (x<* — Xa—l)if)[xa—i + ®a(Xa — Xa-1)] ,

a—i

folglich wird

26.)

f(xn)—f(xn—l) = (xn — xa-l)<f[xn-l + ®n{Xn — Xn- l)],

oder

(27.)

Ifi[xn—1 -f- ®n(xn — r«-i)]

f(xn) — f(xn-l)

Xn — Xn-1 und für lim xn = limm-i = x

(28.)

Aus den Gleichungen

Jf\x)dx =f{b) —f{a) und jf\x)dx =f(a) —f(b)

folgt

(29.)

Satz 2. Man darf die obere und die untere Grenze eines bestimmten Integrals mit einander vertauschen, trenn man gleichzeitig das Vorzeichen des Integrals umkehrt.

Hierbei ist in dem einen Integral die untere Grenze grösser als die obere und in Folge dessen dx negativ.

Aus den Gleichungen

jf‘{x)dx =f{c) —f{a) und Jf\x)dx =f{b) —f{c)

folgt

(30.)

beb

fft{x)dx — ff‘{x)dx -j- ff‘(x)dx

oder in Worten:

Satz 3. Man kann ein bestimmtes Integral in zwei andere zerlegen, indem man zwischen den Grenzen a und b eine beliebige Grösse c einschaltet und das erste Integral zwischen den Grenzen a und c, das zweite Integral zwischen den Grenzen c und b berechnet.

Am anschaulichsten wird der Sinn des Satzes durch die geometrische Deutung des bestimmten Integrals. Ist nämlich

y = (f{x) =f\x)

die Gleichung einer Curve, so wird

Fig. 1 .

F =Jyd* =./f‘(z)dz

OA\ = a, OC, = c, OB\ = b.

Ai

Ci

der Flächeninhalt der ebenen Figur Ai AB BY. Liegt nun c zwischen a und b, so wird die Figur durch die Gerade C\C, welche im Abstande c parallel zur Y-Axe gezogen ist (vergl. Fig. 7), in zwei Theile zerlegt, nämlich in

c    b

AiACCy =Jf\x)dx und    =Jfl(x)dx.

Der Satz bleibt aber auch dann noch richtig, wenn c nicht

Fig. 8

zwischen a und b liegt. Es sei zunächst (vergl. Fig. 8) a < b< c, so ist unter Beibehaltung der bisherigen Bezeichnungen

C

AiACCi = [f'(x)dx:

TTX

OAi—a, OB\ = b, OCi — c.

A,

B,BCC\ = Jf‘(x)dx

b

c    c

AlABBl = AyACCi—ByBCCi =Jf\x)dx—/f‘(x)dx

a    b

oder nach Satz 2

also

b    ü    1)

AiABB\ — ff‘(x)dx = Jf‘(x)dx -\-Jf\x)dx.

Fig. 9.

Ist endlich (vergl. Fig. 9) c <a<b, so ist unter Beibehaltung der bisherigen Bezeichnungen

CyCBBi — jf‘(x)dx,

A₁

*?Y

OC\ = c, OA\ = a, OB\ = b.

alsq.

AiABBi = CiCBBi oder mit Rücksicht auf Satz 2

CiCAAi =Jf‘{x)dx,

C

b    a

— CiCAAi = Jf‘(x)dx— Jf‘(x)dx

beb

Jf‘{x)dx — ff \x)dx +/f‘(x)dx.

a    a    c

Der Satz lässt sich noch in der Weise verallgemeinern, dass man zwischen den Grenzen a und b nicht eine, sondern beliebig viele Grenzen einschaltet. Dadurch erhält man z. B.

h    erleb

(S1-)/f\X)dx =~-Jf'(X)dx +Jf\X)dx +.Jf‘iX)dx +.ff‘{x)dx

a    a    c    de

wobei c, d und e ganz beliebige Zahlen sind.

Voraussetzung ist dabei, dass die einzelnen bestimmten Integrale, welche in Gleichung (31.) auftreten, eindeutig und endlich sind.

Fig. 10.

-BTX

Bei der geometrischen Deutung des bestimmten Integrals war bisher vorausgesetzt worden, dass der Bogen AB der Curve, welche der Gleichung y — f‘(x) entspricht, entweder seiner ganzen Länge nach oberhalb, oder seiner ganzen Länge nach unterhalb der X-Axe liegt. Jetzt kann man aber die geometrische Deutung auch auf den Fall übertragen, wo der Bogen AB theilweise über, theilweise unter der X-Axe liegt. Schneidet der Bogen die X-Axe z. B. in den Punkten C und D (Fig. 10), und setzt man

(32.)

So lange in dem unbestimmten Integral

Jf‘(x)dx =f(x) + C

die Integrations - Constante einen beliebigen Werth hat, nennt

man das Integral ein „allgemeines IntegralWenn dagegen der Werth der Integrations-Constanten bestimmt ist, so heisst das Integral ein „particulares Integral''¹'.

VA

3.

Einige Hülfssätze für die Ausführung der Integration.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 7 und 8.)

d. h.

Satz 1. Ist die Differential-Function unter dem Integralzeichen mit einem constanten Factor multiplicirt. so darf man diesen constanten Factor vor das Integralzeichen setzen es ist

fAf‘[x)dx — Aj'f‘(x)dx.

Beweis. Es ist

(1.)

Af\x)dx = d[Af(x) + C]

hieraus folgt

(2.)

fAf‘(x)dx = Af(x) 4- C.

Ferner ist

(3.)

Jf\x)dx =/(*) + C",

also

Ajf‘{x)dx = Af(x) 4- A . C‘.

Da nun die Werthe der Integrations - Constanten ganz beliebig sind, so darf man A . C‘ = G setzen und erhält demnach aus den Gleichungen (2.) und (4.)

(4-)

(5.)

JAf‘(x)dx — Ajf‘(x)dx.

Das Integral einer Summe von Differential-Functionen ist gleich der Summe der Integrale dieser einzelnen Differential-Functionen ; es ist also

Satz 2.

(6.)

J[f‘(x)dx -f g‘(x)dx\ — ff‘(x)dx -\-Jg‘(x)dx.

Beweis. Weil

f‘(x)dx 4- g‘{x)dx = d[f(x) 4- g(x) + (7],

so ist

(7.)

j\f‘{x)dx 4 g\x)dx] =fix) 4- g(x) + C.

Ferner ist

CO 00

(10.)

Jf‘(x)dx — fix) -f c,

Jg\x)dx = gif) + c‘.

Durch Addition der Gleichungen (8.) und (9.) erhält

Jf‘(x)dx -\- fg‘(x)dx —fix) + g(x) + c + c\

man

Die Integrations-Constanten C, c, c‘ haben auch hier ganz beliebige Werth e, so dass man c -f- c‘~— C setzen darf. Man erhält demnach aus den Gleichungen (7.) und (10.)

f[f‘(x)dx + g‘(x)dx] =f[f(x) + g\xj)dx —Jflf)dx + fg‘(r)dx.

Dieser Satz lässt sich unmittelbar erweitern auf Summen von beliebig vielen Gliedern, so dass man erhält

f[f‘(x) + g\x) + h\x) H----)dx

— Jf‘(x)dx -\-fg\x)dx -\- fh‘(x)dx

sodann lässt er sich auch übertragen auf das Integral einer Differenz, so dass man erhält

(11.)

(12.)

(13.)

X.

(!•)

Unmittelbare Integration einiger Functionen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 9—18.)

Aus der Erklärung des Integrals, nämlich aus der Formel Jf\x)dx —fix) -f C

ergiebt sich ganz von selbst, wie man eine grosse Anzahl von Differential-Functionen integriren kann. Denn, nimmt man die Function f(x) beliebig an und bildet f‘{x), so erhält man durch Einsetzen in Gleichung (1.) sofort ff\x)dx.

Indem man für fix) besonders oft vorkommende Functionen einsetzt, findet man ohne Weiteres die folgenden Formeln:

XmJr¹

(2.)

xmdx =

m-fl

+ C.

Kiepert, Integral-Rechnung.

Hierbei darf m jeden beliebigen positiven oder negativen, ganzzahligen oder gebrochenen Werth haben. Eine scheinbare Ausnahme bildet nur der Werth m — — 1, von welchem nachher noch ausführlich die Rede sein wird.

Besonders hervorgehoben sei noch der Fall m = 0, nämlich

fdx = x -f- C,

(2a.)

ein Resultat, das sich auch aus Formel Nr. 1 der Tabelle ergiebt.

Mit Hülfe von Gleichung (2.) ist jetzt die Integration jeder ganzen rationalen Function ausführbar, denn nach den Sätzen des vorhergehenden Paragraphen wird

f(axn +

= afxndx + ai Jxn~ ¹dx + ö₂/x'^^dx + • • • + an_tJxdx-\-anfdx xn    x

—- + a₂ —

n    n

ayx

n—1

n—2

+ ■ • .* -f- an_ ix -f- an)dx

xn+¹

~a n+ 1

+ ai

x¹

^ + * * ' + an—\ 2 + anx 4" 0.

(3.)

jaxdx = y—H G.

(3a.)

ex dx = ex + C.

(4.)

J"dx _

\x + C.

Diese Formel bildet die scheinbare Ausnahme von Gleichung (2.), aus der man für m = — 1

hdx=px=

fd^⁼ï+c=x,+c

erhält. Das Integral selbst braucht deshalb aber nicht unendlich gross zu werden, weil man die Integrations-Constante gleich — oo setzen kann. Dadurch bringt man das Integral auf die unbestimmte Form oo — oo, zu deren Ermittelung man in Gleichung (2.)

(5.)

oder

(6.)

x_1+¹

+ C,

(7.)

C= —

m + 1

setzen kann. Dadurch erhält man

¹r-7 + C⁴

(8.)

xmdx --

- + C‘.

Für lim m = — 1 wird

xm+¹ — 1 _ 0 m + 1    0 ’

und wenn man Zähler und Nenner einzeln nach m differentiirt (vergl. D.-R. § 58),

(9.)

lim

(10.)

lim

¹ = lim

xm+1\x

m + 1

also in Uebereinstimmung mit Gleichnng (4.)

(11.)

fr-

Ix + C\

(12.)

Jcosxdx = sin.r -f- C.

(13.)

sin xdx =.— cos r A- C.

(14.)

j dx

J «

cos²#

= tg# + C.

(15.)

f dx

(16.)

(17.)

f dx

Jyi^²

f dx

J1 + x²

Es erscheint auffallend, dass man für /

J

— arcsine + C = — arccos# + C".

= arctg# + C = — arc ctg# -f- C‘.

dx

nämlich

Vl—x²

zwei Werthe,

arcsim# + C und — arccos# + C‘

findet. Die Richtigkeit beider Resultate kann man zunächst durch Differentiation prüfen, wobei sich

2*

und

(19.)

also

<7(arcsin# + C) =

d{— arc cos # + C") =

Fig. 11.

dx

y l — x²

dx

Vl — x²

ergiebt. Nach Satz 3 in § 1 können sich daher die Functionen arc sina; und —arccos# nur durch eine Constante von einander unterscheiden. In der That, ist in einem Kreise mit dem Halbmesser 1

(18.)

OF= El) = x (vergl. Fig. 11), so wird CD — arcsin#, DA — arccos#,

(20.)

arcsin# + arccos# = CD -f DA —

oder

(21.)

n

arcsm# = — — arccos#.

Dies kann man auch unabhängig von der Figur zeigen, indem man

(22.)

arcsin# = t, also x — sin t.

setzt; dann wird

(23.)

# = cos

(-')

oder arccos# = — — t,

LJ

folglich ist

(24.)

n

= arcsin# = — — arccos#.

LJ

Ebenso findet man

(25.)

arctg# = ^ — arcctg#,

LJ

wodurch man erkennt, dass Gleichung (17.) richtig ist.

5.

¹

Diese Bemerkung darf, wenn ihr Inhalt für den Anfänger schwer verständlich sein sollte, übergangen werden.

VA

Uebungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll x³dx integriren.

Auflösung. Setzt man in Formel Nr. 9 der Tabelle m — 3, so folgt ohne Weiteres

x3+l

+ c.

j'x³dx —

Aufgabe 2. Man soll 7x³dx integriren.

Auflösung. Nach Formel Nr. 7 und 9 der Tabelle erhält man

jlx³dx = 7 J'x³ dx =

⁷t + c.

Aufgabe 3. Man soll y/ledx integriren.

Auflösung. Es ist

v~~    1.

y x = x° ;

hieraus ergiebt sich, dass

Jy/xdx =Jx³ dx —

Hi

x*

+ C = -r- + C,

oder

j'y/ xdx — \y/ X* + C.

Aufgabe 4. Man soll folgende Differential-Functionen integriren.

dx ₃/ -₅ , dx y x* dx

x³ ’

4y/x dx

4 dx

Auflösung. Es wird

I.

/?-/•

x~³dx =

Æ_3+1

—3 + 1

X ^

+ C=?H+C

2x²

II

x, dx =

f-H

xd

1 + 1

+ C = T+ C=if*+ c.

V. f-^=dx

Jfä

= 4fx

III.

m -r

±~i+i

-f + 1

+ C’

x~ 5

h* + C’

oder

Ç dx

Jwz

2-^?

IV.

f    /"I    sy

= 4 æc/æ = 4Jx^dz = 4 t ^ ^ -f- C,

4

ß-^xdx — 4 ~ + C = 3    + 6y.

ftv

xdx

J y z

Aufgabe 5. Man soil die Differential-Function

^r⁴ -j- 7 x

11

⁺ ^)

dx

integriren.

Auflösung. Nach Formel Nr. 8 der Tabelle ergiebt sich

y^+v^-_ił+D*

—r dx

=yźr⁴dx -f-jl^fxdx —J~=-dx + j

=Jz⁴dx + 7Jx^dx — 11 jx ^dx + 5 jx~^dx.

Wenn man die Integrationen, welche auf der rechten Seite dieser Gleichung angedeutet sind, nach Formel Nr. 9 der Tabelle ausführt und dabei die vier auftretenden Integrations-Constanten in eine einzige Constante zusammenfasst, so findet man

berechnen.

/(ï-⁷+⁹ + r⁴_S?)ffe

Auflösung. Man erhält zunächst

a+c/a: — g jx-'-dx

y(*⁴ + ij/x

ii

xi+t 4 + 1

yf Xb

x^+i

+ 7wi-n

^dx

-l+i

x *

2--6+1

— 11

aT*

—I + 1

/v*—5

+ 5 ——r + C — 5

K+c.

= + +⁷-3

O ^

a;⁵    14,/    33

= 5⁺Ty7 + ₂T7?

Aufgabe 6. Man soll den Ausdruck

-f

= ^ jxzdx — 7 jx ':> dx + J'ä

1 a:³⁺¹

43 + 1

⁷9

I+¹

a:⁵

4 ++¹

4 a;_2+1

|+l⁺74+l    3—2+1

+ C.

Dies giebt

a:⁴

l^⁺é-⁺é+a

Aufgabe 7. Man soll den Ausdruck

/(«sina: + ècosa; + ce*)dx

berechnen.

— a cosa; + isina; + cex + C.

Auflösung. Durch Anwendung der Formeln Nr. 11, 13 und 14 der Tabelle erhält man /(«sina: + ècosa; + cex)d.

Aufgabe 8. Man soll den Ausdruck

f(ma’dx + ni?+pJk)

berechnen.

Auflösung. Durch Anwendung- der Formeln Nr. 11, 12 und 15 der Tabelle erhält man

J(ma^ + n^+p^) =

ax

Ya + nix + ptgx + C.

Aufgabe 9. Man soll den Ausdruck

dx

dx

sin²#

1 -f- x-

berechnen.

Auflösung. Durch Anwendung der Formeln Nr. 16, 17 und 18 der Tabelle erhält man

1 + #²

dx

dx

sin²#

yi —#²

^ = arctg# — « ctg # -f-arc sin x -f C.

Bemerkung.

Das vorstehende Resultat kann man auch auf die Form bringen

— arc ctgx — a ctgx — arccosa; -f- C‘.

dx

dx \

y 1 —x²/

l-(- x2 a sin²x

Von der Richtigkeit dieser beiden Resultate kann man sich leicht durch Differentiation überzeugen, wobei man in beiden Fällen den Ausdruck unter dem Integralzeichen erhält.

§ 6.

Integration durch Substitution.

Im Allgemeinen wird bei Anwendung der Formel

(1.)

Jf‘(x)dx =/(#) + C

nicht fix), sondern f‘(x) = <p(x) gegeben sein. Dann wird man f(x) meistens nicht unmittelbar bestimmen können. Dagegen kommt man häufig dadurch zum Ziele, dass man statt der Veränderlichen x eine andere Grösse t als Integrations-Veränderliche einführt, indem man

(2.)

x = ip(t),    also dx — ip\t)dt

setzt. Dadurch erhält man

(3.)

/ cp(x)dx —J(f    . xp‘{t)dt — J F(t)dt.

In vielen Fällen wird man die Function ip(t) passend so wählen können, dass

(4.)

und deshalb

F(t) = ®\t)

J(f{x)dx = f®‘(t)dt — ®(f) + C wird. Drückt man nun in diesem Resultate die Grösse t, der Gleichung (2.) entsprechend, durch x aus, so ist die Integration vollzogen.

Dieses Verfahren, welches man „Integration durch Substitution“ nennt, wird am besten durch Beispiele erläutert.

(5.)

§ 7.

Beispiele für die Substitutions-Methode.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 19 bis 52.)

Aufgabe 1.

dx

Auflösung. Setzt man

x -|- a — t, also x — t — a, dx — dt, so wird nach Formel Nr. 12 der Tabelle

(10

(2-)

+“>•*>

In ähnlicher Weise findet man

(3.)

f dx J x — a

= \(x — a).

Aufgabe 2.

/cos(a: + a)dx — ?

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei Aufgabe 1 findet man nach Formel Nr. 13 der Tabelle

(4.)

f30S (x + a)dx = sin(^ + d).

*) Die Integrations-Constante möge hier und bei den folgenden Aufgaben der Kürze wegen fortgelassen werden.

sin tdt = —

/' dx __ p J cos²( 4 — Sx) ~ ‘

Aufgabe 3.

Auflösung. Setzt man

/sin(a 4- bx)dx = ?

t — a ₇

-j- 5 Cfe =

0

so erhält man nach Formel Nr. 14 der Tabelle

(5.)

a + bx — t, also x

(6.) Jlm(a 4- bx)dx =

Aufgabe 4.

^-COSć = — ^ COs(a 4- bx).

Auflösung. Indem man

4 — 3 x — t, also — Sdx = dt setzt, erhält man nach Formel Nr. 15 der Tabelle /q\ f dx _    1 f dt

^ J cos²(4 — Sx) ~~ SjcosH

Aufgabe 5.

(7.)

rH CO

t gt = —

CC H-¹

tg(4—Sx).

.h

dx — ?

Auflösung. Indem man

(9.)

x — 2t, also dx = 2 dt

setzt, erhält man

(10.)

/cos(f)«fe = 2'Je

cost dt = 2sinć = 2 sin

In ähnlicher Weise gelangt man zu den folgenden Resul

taten:

(11.)

jeaJ<~hxclx = ~fea+hx . d(a + bx) = ^ eö+ix.

(12.)

je-dx

(13.)

Z"'

= ap d(f) = af*.

/* X s    v

“je~H a) =

— a<?

.'S

(14.)

sin²

sin²

_1 Ç d(a -f- bx)

1 -f (a -f bxf bj 1 + (a -f bx)²

(15.) /j

(16.) f(a 4- bxfdx = ^ fia -f bxfd(a -f 5.r)

(i7.) Jy (a+^)³ «te = \j^a    ^)⁵ ^(a    ^x)

(i8o

dx

Y(a + 5a;)⁴

Aufgabe 6.

^arctgfa -f- 5a;). _(« + 5a:)⁴

— ^(a + bx) ¹ d(a + 5a;)

j dx

Ja

45

_ 5-j/(a -f 5a:)8 “    85

_ 7y^i(a 4- 5a;)³

85

Auflösung. Setzt man

X

x — at, also dx — a dt, t = — •>

a

so erhält man nach Formel Nr. 18 der Tabelle

1 f dt

d² -|- a²t² aj 1 + t²

(19.)

a dt

= ~ arc tg t — ~ arc tg|

Aufgabe 7.

dx

Yd¹—x-

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man

« fvêh-h

a dt

Yd²—a²t²

Yi—t²

arc sin = arc sinI

Aufgabe 8.

h*

a² + a:²

Auflösung. Hier wird man setzen

(22.) t — x + Yß2 + x², also dt oder

dx,

dt —

x + Y d¹ + x²

Va² -f a;²

dx —

tdx

YcP Ą- x²

daraus folgt

ïj = U = l(x+ Y a* + x«).

(23.)

I' dx

Jya²~t-x² .

Durch Vertauschung von + a² mit — d¹ erhält man aus Gleichung (23.)

(24.)

dx = Uz + y*»—a*).

yx²—a²

Aufgabe 9.

f.

xdx

a² + æ²

Auflösung. Setzt man

(25.)

a² -f- x² = t, also    2xdx = eft.

so findet man

(26.)

Durch Vertauschung von + «² mit — «² erhält man aus Gleichung (26.)

(27.)

xdx

2² — a²

1(#² — a²).

xdr

Aufgabe 10.

jy<i² — x²

Auflösung. Setzt man

(28.)

so wird

]/a² — #² =    also a² — x² = Ż²,

— xdx = tdt,

und

(29,\fya²—x²

-y-

— t = — y a² — x².

Aufgabe 11.

r xdx

J y dl -f- x²

(30.)

so wird

Auflösung. Setzt man

Yd¹ + x¹ = t, also a² x² — t²,

xdx = tdt

und

(31.)

f xdx _ ft dt f _

t = 4■ Y a² -j- x².

Durch Vertauschung von +■ a² mit — a² findet man aus Gleichung (31.)

— -j- yx²—a².

(32.)

xdx

y x² — a²

Die in den Gleichungen (29.), (31.) und (32.) enthaltenen Resultate hätte man auch leicht durch unmittelbare Integration finden können, wenn man von den Formeln Nr. 30 bis 32 der Tabelle für die Differential-Rechnung ausgegangen wäre.

' dx x\x

Aufgabe 12.

Auflösung. Setzt man

(33.)

dx

= Irr, also dt = —,

X

so erhält man

(34.)

fdx fdt _

Jx\x J t ~

Aufgabe 13.

(8^ — l)dx 4x² — 7 a: + 11

(35.)

Auflösung. Setzt man

4a:² — Ix + 11 = t, also (8x — 7 )dx = dt,

so erhält man

(36.)

(8a: — l)dx

4a:²—7a:+ 11

Aufgabe 14.

,j'dl = \t = l(4a:² — 7a: + 11).

/(12a:³ -f- 15a:² — 4a: -f- 8)dx_^

J 3a:⁴ + 5a:³ — 2a:² + 8a: — 7

Auflösung. Setzt man

(37.)

3a:⁴ +- 5a:³ — 2a:² + 8a: — 7 = t,

also

(12a:³ + 15.r² — 4a; +- 8)dx = dt,

so erhält man

= l(3z⁴ + 5z³ — 2z² + 8z — 7). Die in den letzten Aufgaben angewendete Methode bestand

,OR x f(12x³ + 15z² — 4z + 8)dx _ Cdt _ ■ ’ J 3z⁴ + 5z⁸ — 2z² + 8z —7 Jt~

Cdt

darin, dass man das Integral auf die Form j — brachte. Dieses

Verfahren ist immer anwendbar, wenn unter dem Integralzeichen ein Bruch steht, dessen Zähler das Differential des Nenners ist. Setzt man nämlich

(39.)

fix) = /, also f\x)dx = dt,

Cf\x)dx_ Cdt,_

J )\x) J t ~

1* = ![/(*)]

so erhält man (40.)

und damit den

Satz. Steht unter dem Integralzeichen ein Bruch, dessen Zähler das Differential des Nenners ist, so ist das Integral gleich dem natürlichen Logarithmus des Nenners.

Bei den Anwendungen dieses Satzes wird man allerdings häufig mit der Function unter dem Integralzeichen erst eine Umformung vornehmen müssen, um sie auf die beschriebene Form zu bringen, wie man aus den hier folgenden Aufgaben ersehen kann.

Jtgxdx == ? Auflösung. Bekanntlich ist tgz =

Aufgabe 15.

sinz

(41.)

jtgxdx = —J

COSZ — sinz dz

so dass man erhält

COSZ

Jetzt steht unter dem Integralzeichen ein Bruch, dessen Zähler das Differential des Nenners ist, folglich ist das Integral der natürliche Logarithmus des Nenners, und man erhält

(42.)

(43.)

jtgxdx — — l(cosz). In ähnlicher Weise findet man

'coszdz sinz

I ctg xdx — j

= l(sinz).

l' dx

Aufgabe 16.

J sin «cos«

Auflösung. Dividirt man Zähler und Nenner des Bruches unter dem Integralzeichen durch cos²«, so erhält man

(44.)

dx

sin «cos«

/*ax

_ I cos²« _ /

J J

</(tg«) ( tg«

folglich wird

(45.)

f_dx

J t-

sin« cos«

Aufgabe 17.

dx

sin«

Auflösung. Diese Aufgabe lässt sich leicht auf die vorhergehende zurückführen, indem man (46.) setzt und die bekannte Formel

sin« = sin(2/) = 2 sin/) cos/

beachtet. Dadurch erhält man

(47.) f*L=L* J sm« J s

Aufgabe 18.

sin / cos/

= i(tg/)=i

«(0

KD]-

/.

<7«

COS«

Auflösung. Diese Aufgabe wird auf die vorhergehende zurückgeführt, indem man

(48.)

n>I a

— /, also cos« = sin/, dx = — dt

setzt; dann erhält man

oder

(49.) f

dx

COS«

r dx r dt

J cos« — Ji

sin/

(n x

.*©] ’

Ctg(

1 + e~*

dx — ?

Aufgabe 19.

1 + xe~x

Auflösung. Multiplicirt man Zähler und Nenner des Bruches unter dem Integralzeichen mit e*, so wird der Zähler, nämlich (ex-j-1 )dx, das Differential des Nenners eß + x, folglich wird das Integral gleich dem Logarithmus des Nenners ; d. h. es wird

(50.)

'l+e~x

1 -f- xe~x

dx

(ex -f- 1 )dx

ex -f- x

l(ex -f- x).

Aufgabe 20. J (sin⁴a; — 3sin³a- + 4sin²a; + 11 sinx)cosa- dx = ?

Auflösung. Setzt man

(51.)

sina; = t, also cos a;<£r = dt,

so erhält man

(52.) y(sin⁴.r — 3sin³a; + 4sin²v, -f 11 sina-)cos.x dx —

CO

ß*-St* + 4£² + 11    =    t* + ~ t* + ~

sin²a;.

~ sin⁵a; — ; sin⁴a; + ~ sin³a; +

5    4    3    2

Man erkennt sofort, dass diese Substitution immer eine Vereinfachung herbeiführt, wenn unter dem Integralzeichen eine Function von sina; steht, welche mit cosxdx multiplicirt ist denn man erhält dann

(53.)

//(sin x) cos xdx = ff it) d t.

Aufgabe 21.

cos xdx

sin³a;

Auflösung. Indem man die soeben angegebene Substitution benutzt, findet man

. N fw&xdx

(54.) I

sin³a;

ß-f

t-²

t ^    —2    2sin²a;

(55.)

Steht unter dem Integralzeichen eine Function von cosa; multiplicirt mit sinawa;, so wird man durch die Substitution cosa; = t, also —sin xdx —dt

§ 7. Beispiele für die Substitutions-Methode, eine Vereinfachung herbeiführen; denn es wird //(COS«) . shl«<7« = —

(56.)

Hieraus ergiebt sich ohne Weiteres die Lösung der beiden folgenden Aufgaben.

Aufgabe 22. /(cos³«— 2cos²« + 3cosx — 4)sin«ć/« =

— i COS⁴« + ~ COS³« —~ COS²« -j- 4 COS«.

4    3    2

Aufgabe 23.

sin x dx

cos⁴«

3 cos³«

Häufig wird man die Function unter dem Integralzeichen erst umformen müssen, ehe man die in den Gleichungen (53.) und (56.) angedeuteten Substitutionen an wenden kann. Wie dies geschieht, mögen die folgenden Aufgaben zeigen.

/ COS³« dx = ?

Aufgabe 24.

(57.)

Auflösung. Durch Anwendung der bekannten Formel cos²« =1 — sin²«

erhält man

(58.) fzo&xdx =y(l — sin V) cos x dx = f(1 — sin²«) d(sin«)

= sin« —

~ sin³«.

O

Jsin⁵« dx = ?

Aufgabe 25.

Auflösung. Durch Anwendung der bekannten Formel

sin²« =1 — cos²«

(59.)

erhält man

(60.) /vdxdx = /(l — cos²«)². mixdx = —/( 1 — cos²«)²^(cos«)

= —/(I -    + tf)dt = - (t — ! e +| 7

= — COS« -f- ~ COS³« — - COS⁵«.

man hier

fcos2n+¹ x dx = ?

Aufgabe 26.

Auflösung. In gleicher Weise wie bei Aufgabe 24 findet

(61.) Jcos2n+lxdx=/(I—smix)n.cosxdx=f(l — sin²«)M.c7(sin«).

Durch den Factor e?(sin«) soll angedeutet werden, dass sin « zur neuen Integrations-Veränderlichen gewählt wird. Dadurch erhält man

(62.) fCOS2w+1 xdx — f{\ — t²)ndt

tQ +----

t2n~² H= t2n dt

C)?+G)ś-G)

+----

fin—1    fin-\-\

2n — 1 2n + 1

Aufgabe 27.

ysin2n+'xdx ?

Auflösung. In gleicher Weise wie bei Aufgabe 25 findet

man hier

(63.) Jsm2n+lxdx —/( 1—cos²«)“. sin«</« =—/{!— cos²«)“. e?(cos «).

Auch hier soll durch den Factor d(cosx) angedeutet werden, dass cos« zur neuen Integrations-Veränderlichen gewählt wird. Dadurch erhält man

(64.)

/sin2u+1« dx = —•/(! — t²)ndt,

also, abgesehen vom Vorzeichen und von der Bedeutung der Veränderlichen t, dasselbe Integral wie bei der vorhergehenden Aufgabe.

Aufgabe 28.

/sin’”« cos2h+1«<7« = ?

man hier

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei Aufgabe 26 findet

(65.) ysin’”« cos2n+lxdx = /sinm«(l — sin²«)“ . d(sin«),

wo durch den Factor e?(sin«) angedeutet werden soll, dass sin« zur Integrations-Veränderlichen gewählt wird. Hierdurch erhält man z. ß.

(66.)

COS¹« dx

sin²«

-ß.

— t~-)dt

—    f~¹ i    _    ¹    ,    1

3    '    1 —    3 sin¹« "r sin«

Aufgabe 29.

/cos-« sin2,i+1«(/« = ?

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei Aufgabe 27 findet

man hier

(67.) /cos-« sin2n+1«c/« = —/cos™«(l — cos²«)'V/ (cos «),

wo durch den Factor (/(cos«) angedeutet werden soll, dass cos« zur Integrations-Veränderlichen gewählt wird. Hierdurch erhält man z. B.

(68.) /cos²« sin¹« dx = —-/²( 1 — ź²)c^ = —/ż² — Z²)^

cos¹« cos³«

~3~~    5~ *

(69.)

Auflösung. Setzt man

tg« = t, also

dx

dt

so erhält man

₍70.)^tg¹« — 8tg²« + 5tg« — 7)

cos²«

=‘-ßt* — 8t² + bt — 7)dt 7 tg«.

cos²«

tg²« 8 tg¹« , 5 tg²« 3    ⁴    2

8ć¹    5£²

- ---r⁺"2“

Dieselbe Substitution kann man immer anwenden, wemi unter dem Integralzeichen eine Function von tg«, multiplicirt

mit

dx

cos²«

steht, d. h. es wird ganz allgemein

(71.)

~s- = ffttgz) . ditgx),

wo durch den Factor d(tgx) angedeutet werden soll, dass tg« zirr Integrations-Yeränderlichen gewählt wird.

sin⁵«

Aufgabe 31.    /(ctg⁴« — 3 ctg⁴ 5« + 5)

(72.)

Auflösung. Setzt man

ctg« = t, also

dx

sin⁵«

= dt

so erhält man

(73.) ^ctg⁴«— 3 ctg⁵« + 5)

dx

sin⁵«

31?

+ ctg⁶« — 5 ctg«.

O

Dieselbe Substitution kann man immer anwenden, wenn unter dem Integralzeichen eine Function von ctg«, multiplicirt

steht, d. h. es wird ganz allgemein

mit

dx

sin⁵« ’

(74.)

//(ctg«)

dx

= — //(ctg«). <*(ctg«).

sin⁵«

wo durch den Factor c/(ctg«) angedeutet werden soll, dass ctg« zur Integrations-Yeränderlichen gewählt wird.

Häufig wird man erst eine Umformung vornehmen müssen, ehe man auf die in den Aufgaben 30 und 31 vorausgesetzte Form der Differential - Functionen geführt wird. Wie dies geschieht, mögen die folgenden Aufgaben zeigen.

Aufgabe 32.    /(tg⁶«— 7tg⁵« + 2tg« -f- 9)dx — ?

Auflösung. Damit die Function unter dem Integralzeichen

wird, muss man

cl/OC

cos⁵« ’

sie durch cos⁵« dividiren und deshalb auch mit

eine Function von tg«, multiplicirt mit

(75.)

COS⁵« =

(76.) j(tg³x—7tg²x + 2 tgx + 9)dx

dx

COS²#

tg'h: — 7tg-x -f 2tgx + 9

tg²x + 1

'J—

— 7t² + 2t + 9

dt.

Nun ist, wie man durch Division findet,

(77.)

t³ — 7 t² + 2t + 9 = {f + l)(ż— 7) + t + 16, folglich wird mit Rücksicht auf die Formeln Nr. 9, 24 und 18 der Tabelle

(78.)/

V — It- + 21 + y

t² + 1

tdt

7T~

dt=ßt—7)dt+ß = 2 — 71 + ^-1(<² + 1) + 16 arctg/',

t² + 1

+ 16

1+ t²

oder, wenn man beachtet, dass t = tgx, 1 + t² =

(79.)

cos²#

j x = arctgć

ist,

(80.) ßtg³x —7 tg²x+2tgx+9)dx

t g²x

--7tg#— 1(C0S#) + 16#.

mm

Dieses Verfahren führt zu der allgemeinen Formel

(81.)

jntgx). d*=F x

•<f(tgr).

Aufgabe 33.

f 'tgux . dx — ?

Auflösung. Nach Gleichung (81.) erhält man, indem man tgx zur Integrations-Veränderlichen macht und mit t bezeichnet

tndt

(82.)

ßgnx dx =ß

t gnx

t g²X + 1

• d(tgx)

Bei der weiteren Behandlung des Integrals muss mau zwei Fälle unterscheiden, jenachdem n gerade oder ungerade ist.

Aufgabe 34. J(ctg⁴« + 3 ctg²« — 7)dx = ?

Auflösung. Damit die Function unter dem Integralzeichen eine Function von ctg«, multiplicirt mit    wird, muss man

sie durch sin²« diyidiren und deshalb auch mit

(87.)

sin²« =

tg2m« tg2m~²

- H-----

2

|1(1 + tg²*) = -|1 (^) = — 1 (cos*)

setzen darf. Es ist z. B.

2m

2m —

wobei man noch

(86.)

jtg⁷x

. dx

) dt

±^î=Fil(l + tg^):

tg⁶« tg⁴« tg²«    ,

= ---£ h g—I" l(cos^).

(84.)

dt

I. Fall, n — 2m.

(83.) Jt g2mx

. dx —

₌ tg

2m—1

X tg-m~³x 2m—1 2m —

ihr

— -| • • • i tg# -t- x.

±1 +

Es ist z. B.

jtgexdx =    _(_ tg« — x%

II. Fall, n — 2m -|- 1

(85.) Jtg-m+lx . dx =j^

sin²«

sin²« -f- cos²« 1 + ctg²«

multipliciren. Dadurch erhält man mit Rücksicht auf die Gleichungen (72.)

(88.) /(ctg⁴# + 3 ctg²#

— 7)e/#

/y+8<s-7

J <² + i

= -/" + 2

oder, da ctg# = t und arc ctgt = # ist,

—~ — 2 ctg# — 9#.

Dieses Verfahren führt zu der allgemeinen Formel

y (ctg#)

ctg²# -F 1

(89.) J{ctg⁴# 4- 3 ctg²#

— 7 )dx = —

(90.)

/f(ctgx) . iix = —y

• (/(ctg#).

Jctgnx .(/# = ?

Auflösung. Nach Gleichung (90.) erhält man, indem man ctg# zur Integrations-Veränderlichen macht und mit t bezeichnet,

'tndt

Aufgabe 35.

(91.)

/ctg

n# . (/#

-y

/²+ 1

Die weitere Behandlung dieser Aufgabe ergiebt sich sodann aus Aufgabe 33.

Aufgabe 36.

' dx

cos⁴#

Auflösung. Bekanntlich ist

Ä⁼i + t^ nnd Ä=rf(tgx)’

(92.)

folglich wird

(93.)

C dx _ fl _

J cos⁴# J cos²# cos²#

.    . tg³#

= tg* + -y- •

Dasselbe Verfahren führt zu der allgemeinen Formel

dx

=ßl + tg²#)(/(tg#)

(94.)

+tg»*)—'««(tg*),

wo durch den Factor (/(tg#) angedeutet werden soll, dass tg# zur Integrations-Veränderlichen gewählt wird.

Aufgabe 37.

Auflösung. Bekanntlich ist

A =1 + ctg²* und sin²*

folglich wird

(95.)

sin²*

— / ctg«),

(96.)

₌ ff¹

J sin⁶* /\sin²*/

f/*

sin²*

-Jl 1 4 ctg²*)²/ctg*)

= — ctg# —

2 ctg³* ctg⁵*

Dasselbe Verfahren führt zu der allgemeinen Formel

(97.)

Ti

<7*

= — J( 1 4 Ctg²*)m_1/ctg*).

sin²"'*

wo durch den Factor /ctg*) angedeutet werden soll, dass ctg * zur Integrations-Veränderlichen gewählt wird.

In ähnlicher Weise bildet man die folgenden Formeln, welche zur Vereinfachung der Integrale von transcendenten Functionen dienen.

(98.) ff{a (99.) ff(f)

(100.)    jf(\x)-d^=j'n\x)

(101.)    /(; arcsin*) •

(102.) arccos*)-(103.) jf\arc tg*) • dx

i    der

(104.) l/iarc ctg*) •

x'

) . axdx

. e?dx

. d{ex)

. /I*)

dx

//(arc sina;). /arc sina;),

: —//(arc cos x)

!    = //(arc tg*). /arc tg*),

— —// (arc ctg*). /arc ctg*).

y i—*² .

V1 — *²

. /arc cos*),

14 a-²

Hierbei soll durch die Factoren d(ax), d(ex),    d(\x),

c?(arc sin«), c/farc cosx), c/(arc tg«), c/(arc ctg«) angedeutet werden, dass bezw. die Grössen ax, ex, \x, arcsin«, arccos«, arc tg x, arc ctg« zu Integrations-Veränderlichen gewählt werden.

Zur Einübung dieser Formeln mögen die folgenden Aufgaben gelöst werden.

Aufgabe 38.    J\au -(- 3ax — l)dx = ?

Auflösung. Bezeichnet man ax mit t, so wird (105.) f yx + 3ax — l)dx =/(ax + 3 — 70 . axdx

= Taft + a-lt^dt = Ta($+it-lU

=    a?x + 3a* — 7«la)-

cos (1 x) . dx

Aufgabe 39.

Auflösung. Bezeichnet man Ix mit t, so wird

(106.)

Jeos(l.r)_.    _ ycos t(jf __    _ sin(l;r).

Aufgabe 40.

arc sin x. dx

¹

' 5

²

r    dx

³

Aufgabe 30.    /(tg¹« — 8tg²« + 5tg« — 7) — ^ = ?

⁴

os⁵« _

⁵

cos⁵« + sin⁵« — 1 -j- tg⁵« multipliciren. Dadurch erhält man mit Rücksicht auf die

⁶

Gleichungen (69.)

|/l — y

Auflösung. Bezeichnet man arcsin« mit t, so wird

(107.)

arcsin«. dx

y i—«²

= jtdt =

«*l

— ~ arc sin²«.

J ( 1 + «²)arc tg«

Auflösung. Bezeichnet man arctg« mit t, so wird

Aufgabe 41.

dx

(108.)

J ( 1 + «²)arc tg«

dx

— I y — \t = l(arctg«).

Steht unter dem Integralzeichen irgend eine rationale Function von sin«, cos«, tg«, ctg«, so kann man diese transcendenten Functionen durch die Substitution

(109.)

tg (I)

fortschaffen, so dass man unter dem Integralzeichen nur noch eine rationale Function von t behält. Es folgt nämlich aus Gleichung (109.)

sin.r = 2 sin

©•»©

2 sin

IM!)

COS²

cos^ = cos²

©-*■■©

cos²

cos²

©+*•©

(!)-■•©

ffl+*KÖ

oder, wenn man Zähler und Nenner dieser Brüche durch

cos²

(J) dividirt,

2tg

(110.)

sin x —

to. «

2t

¹ + tg2(l)

(111.)

cos 2; =

¹—tg2(l) i-i*

1 -M²

(112.)

— e-

■2t    ,    1

=?’ ^x = -2t

tg.r = -

Aus Gleichung (109.) findet man sodann noch

(113.)

x — 2 arctg t, also dx —

2 dt

und erhält dadurch die Formel (114.)

Jf(smx, cos x, tgx, ctg x) dx —

1 — t²

T+f- ’ 1 + J² ’ I — t² ’

Mit Hülfe dieser Formel kann man z. B. die folgende Aufgabe lösen:

K2<

2t

1— *²\ 2t )

2 dt

1 + t²

Aufgabe 42.

f (1 + ń\\x)dx _ p

J sina;(l + cosF) — ’

Auflösung. Nach Gleichung (114.) wird f(l+ sina")ćfa ./small + cos*)

_    \ 2 dt 2t /    1 —1²\

1 + T+f-J T+T² ' i + t* v ⁺ 1+ f)

■ —-J+ 2 + t~v)dt,

2/

— *²) 2

also

Bei der Integration durch Substitution ist die neue Integrations-Veränderliche t im Allgemeinen so zu wählen, dass jedem Werthe von x innerhalb der Integrationsgrenzen nur ein Werth von t zugeordnet ist, und umgekehrt darf jedem Werthe von t innerhalb der Integrationsgrenzen nur ein Werth von x entsprechen. Wenn diese Regel nicht beachtet wird, so können leicht Fehler entstehen. In einem späteren Abschnitte soll dieser Fall noch besonders untersucht werden.

v /.

8.

Integration durch Zerlegung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 53 bis 60.)

In vielen Fällen kann man die Differential-Function F(z)dx unter dem Integralzeichen in zwei oder mehrere Summanden zerlegen, die dann einzeln sehr leicht integrirt werden können. Wie dies geschieht, mögen die folgenden Aufgaben zeigen.

Aufgabe 1.

dx

x² — a²

Auflösung. Bringt man die beiden Brüche ¹ - und

— - ]_-■ auf gleichen Nenner, so erhält man x -f- (l

(10

deshalb wird

dx

(2.)

x¹ — a¹

= ¹ [(

2aJ \x

— a x -f- aj

dx

= SK*

Aufgabe 2.

dx

rc² -j- IO# + 16

Auflösung. Diese Aufgabe kann man auf die vorhergehende zurückführen. Ergänzt man nämlich die beiden ersten Glieder des Nenners zu einem vollständigen Quadrate, indem man 25 addirt und dann wieder subtrahirt, so erhält man (3.)    x²-{-10x-\-16 = (x²+lOx + 2o) + (16 — 25) = (.r+5)² — 9.

Setzt man jetzt noch

(40

x -f- 5 = t, also dx — dt,

so wird

dx

^ Jx² + 10x+16 oder nach Gleichung (2.), wenn man x mit t und a mit 2 vertauscht,

-k

dx

(x + 5)² —

9 jt²

dt

— 3²’

^ Jx² + lOx + 16

Aufgabe 3.

dx

l](t — 3\₌l](x + 2\ 6 V 4- S/ 6 V + 8/

dx

x² + 6x -f 13

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe wird man hier den Nenner auf die Form

(7.) x² + 6x + 13 = (x² + Qx -f 9) + (13 — 9) = (x + 3j² + 4 bringen und

(8.)

setzen; dadurch erhält man

x + 3 = t, also dx = dt

dx

f dx _I

x² + 6* + 13 J(x + 3)² + 4 ⁼J t² + 22 Wollte man jetzt die Integration nach der in Aufgabe 1 gefundenen Formel ausführen, so müsste man

(9.)

dt

a- = — 4, also a = 2 |/— 1 = 2?' setzen, so dass man für das Resultat eine complexe Form erhalten würde. Dies kann man vermeiden, indem man Formel Nr. 20 der Tabelle, nämlich dt

¥+ a²

für a — 2 an wendet. Dadurch findet man

>■»•) /—

Aufgabe 4.

z² + Qx + 13

arc tg

Iaic tg (1)= I arc tg (^-³) •

dx

Æ² -f- 2&z -(- c

Auflösung. Wie man schon aus den beiden vorhergehenden Aufgaben erkennt, muss man bei dieser Aufgabe drei Fälle unterscheiden, jenachdem b- — c positiv, negativ oder gleich Null ist.

I. Fall.

b² — c> 0.

Setzt man in diesem Falle der Kürze wegen b- — c = 4- a², also Yb'² — c = 4- a, so wird a eine reelle Grösse, und man erhält

x² 4- 2bx 4- c = (z² 4- 2bx -f- b²) 4* (c — £²)

= (x 4- b)² — a².

Dies giebt, wenn man x 4- b mit t bezeichnet, nach Auf-

(ii.)

(12.)

gäbe 1

dx

f dt

₌ ¹

2a v 4~ a/

Jx² 4- 2 bx -f- c

j' dx

Jx² 4- 2bx 4- c — 2]/ó²

Man erkennt ohne Weiteres den Zusammenhang dieses Verfahrens mit der Auflösung der quadratischen Gleichungen. Um nämlich die quadratische Gleichung

x² 4~ 2 bx 4- c — 0

aufzulösen, bringt man die Gleichung auf die Form

— a²

oder

(13.)

l=\(-

J² — c \x

’)■

rr² 4“ %bx 4" b² = £²

und zieht dann auf beiden Seiten dieser letzten Gleichung- die Quadratwurzel aus. Dadurch erhält man x -f- b = ± J/ó² — c,

oder

(14.)

Xy = —

b + Y b² — c, x-2 — — b — Yb² — c,

(15.)

Xy -X*2 — 2 Yb² - C,

Xy + ^2 = - 2b, Xy . X₂ — C

a:² + 20a: + ß = a;² — (a*i + a:₂)a; + XyX% = (x — a-i) (x — a:₂),

wo xy und x=i die beiden Wurzeln der quadratischen Gleichungsind. Setzt man diese Werthe in die Gleichung (13.) ein, so nimmt dieselbe die Form an

dx

(13a.)

¹ } (x — .

(x — xy) (x — a-₂) Xy — a:₂ \a: — a-₂/

Von der Richtigkeit dieses Resultates kann man sich in folgender Weise überzeugen. Es ist

oder

X — Xy

Xy - a"2

X - a-2 (x-Xy) (x-Xi)

—-—). x -Xi/

------_    -—(—-

(x — Xy) (x — Xi) Xy — X₂ \X — Xy

also wird in Uebereinstimmung mit Gleichung (13 a.)

dx

(x-Xy) [x--Xi)

-—/(-

Xy a-2J \x

— Xy

II. Fall.

(16.)

b² — c < 0.

Setzt man in diesem Falle der Kürze wegen

oder Y c — 0² = a,

b² — c = — a2 so wird a eine reelle Grösse, und man erhält x² + 2 bx + c — {x² + 2 bx + b²) + (c — b²) — (x + b)² -f- a². Dies giebt, wenn man wieder x + b mit t bezeichnet,

also

/ ix _ f    ₌ fjt

Jx²-{-2bxĄ-c J {x -f- b)² -f- a² Jt C_da:

J x² -(- 2 bx + c~~ y c _ fr 2

= «arCt«(ï)'

arctg(^=y-

t²+ a²

Es ist noch hervorzuheben, dass die Gleichungen (13.) und (17.) richtig bleiben, gleichviel ob b² — c positiv oder negativ ist, die rechte Seite von Gleichung (13.) erhält aber eine complexe Form, wenn b² — c < 0 ist, und auf der rechten Seite von Gleichung (17.) wird die Grösse ]/c—b² imaginär b² — c > 0 ist. Der Zusammenhang beider Gleichungen ergiebt sich aus D.-R., Formel Nr. 182 der Tabelle, nämlich aus

wenn

(18.)

¹(iVp)=²*'aretgv-

Setzt man nämlich

so folgt aus Gleichung (18.)

a 4" xi

1 4* <{ i

(fl

a — xi

. ) — 2i arc tg /

oder

1(— 1) = 2* arc tg0) •

ai

x -f- ait

Dies giebt, wenn man beide Seiten der Gleichung durch 2 ai dividirt und beachtet, dass nach D.-R., Formel Nr. 181 der Tabelle 1(— 1) den Werth (2 h + 1 )ni hat,

i(^)₌iarctg(G

\x ai/ a    \a /

(19.)

(2 h + 1 )n

2 ai

wobei h noch eine beliebige, positive oder negative ganze Zahl ist.

_ 1 J /x — a\

2 a Ve + a)

Vertauscht man also in der Formel dx

x²—a²

die Grösse a mit ai, so erhält man

s-arctg(î)+

Jx- o?

Setzt man noch

a = Yc — b'², also ai = i\c — b² = ]/ó² — und vertauscht x mit x 4- b, so geht Gleichung (19.) über in

(20.)

dx

(2h 4- 1 )n

ill. Fall.

b² — c — 0, oder c = b‘².

(21.)

=i(-

2 y 6 ² — c Va:

x -j- b — \b²—c

+ b -j- J/b² — cf

= v=üarc,g(

(2h + 1 )n . ₂y^Tè2 ’

die beiden Werthe, welche man in den Gleichungen (13.) und

Vc — b²

(i?,) ttof* + 2ir+-e

von einander nur durch die Constante

dx

gefunden hat, unterscheiden sich also

(2h 4- 1)tt

2 yv^b²

Hier wird, wenn man wieder x + b mit t bezeichnet,

f dx _ Ç dx Jx²-\-2bx-\-c Jx²-\- 2bx 4- b2 oder

dx

(x+bf

rat r

jf-f

t~²dt = —

w. I H-¹

(22.)

r dx    i

Jx² + 2 bx -f- b²

Beispiele.

I. Fall.

J(x + 3) (x + 4)

dx

-<3i>

II. Fall.

dx

III. Fall.

x² 4x -\- 20

dx

J arc tg (—j--)’

x²    8 x    16

x -f 4

Aufgabe 5.

/'( Px + Q)dx _

J x² + 2b x -f- c

Auflösung. Wäre bei dem Bruche unter dem Integralzeichen der Zähler dem Differential des Nenners proportional, so könnte die Integration nach Formel Nr. 28 der Tabelle ausgeführt werden, nämlich nach der Formel

J‘(x)dx

f(x)

= y/o)]-

In dem vorliegenden Falle ist

f‘(x) = 2x + 2b,

deshalb nimmt man mit dem gesuchten Integrale die folgende Umformung vor. Es ist

Px + Q = (Px + Pb) + (Q — Pb) = folglich wird

Ü© S;

(2z -f- 2b) -f- (Q — Pb),

(Px 4- 0)dx

also

(28.)/]

~\P(2x + 2b) + (Q — Pb) dx X² + 2 bx + c

=|k^+2 ix+c)+{Q-p<>)f-

x² + 2 bx + c

_P f(2x + 2 b)dx

2 J x¹ -f- 2 bx + c

dx

P + 2&r+c

Das Integral, welches auf der rechten Seite dieser Gleichung stehen geblieben ist, findet man nach Aufgabe 4. So ist z. B. für b² — c >0

(23 a.)

(Px -f- Q)dx

x- + 2 bx + c

Q— Pb

= 1(-

c \x

x + b — Yb² —

2'KÂ² —

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (14.) und (15.)

=>

cJ

(Pa; + Q)dx

— Xi) (x — X₂)

= J X[(^ — *»)(* — «2)] +

2Q 4- P(#i d⁻ z₂)

2(«i — ar₂)

/£=£*V

V» — ar₂/

Aus den bekannten Formeln

1[(* ~ «1) (* — a*₂)] = 1(« — «i) 4- 1(« — z₂),

/"    + Q)<fe _ /-P , 2Q + i>(*i + ^)\irr r x

J (x — x\)(x — x₂)    \2 2(xi —x₂)    )    ¹

^l(ar — ar₂)

ergiebt sich daher

oder

/P 2Ö 4- P(z\ + z₂) V2

2(«i — x₂)

Kiepert, Integral-Rechnung.

f {Px + Q)dx _

V J    J(x — Xy)(x—X ₂)

a-i — x₂

\{Px i + Q) 1 [x — xy) — (Px 2 -f- Q) 1 (x — .r₂)].

Die Richtigkeit dieses Resultates kann man in folgender Weise bestätigen. Es ist Pxt + Q

Px2 -j- Q _ {Px -f- Q) (Xy — a;₂)

X X-2    (X Xi) (X — xj)

woraus sich durch Integration Gleichung (24.) unmittelbar ergiebt.

(25.)

X-Xy

Beispiele.

I.

(2x + 43) dx x- + x — 12

(2x + 1 )dx

J x- + x — 12

+ 42\j-

dx

= 1^ + *-12)+ 61^-1)

= 7l(a? — 3) — 5l(a: + 4).

Dasselbe Resultat findet man aus Gleichung (24.), denn es ist in diesem Falle

Xy = + 3, x₂ — - 4, Xy - X-2 ~ 7,

P— 2, Q = 43, Pxy + Q = 49, Px₂ + Q — 35.

II.

(2a; — 3 )dx

a:² — 4a; + 20

=/

x² — 4a: + 20 :)/(.r — 2)² + 4²

' (2« — 4) t/a;

III.

— l(a;² — 4a; + 20) + \ arc tg^--^—^ ^ •

/‘(4a; — 7)dx j\4a;+12)—19    _ ± f

Jx²-\-6z-\-9 J (a;+3)²    J x-\- 3

= 4l(a; + 3) +

— 19

dx

'/(x+sy-

19

Die vorhergehenden Aufgaben behandeln nur die einfachsten Fälle der Zerlegung in Partialbrüche. In einem späteren Abschnitte wird gezeigt werden, wie man jede gebrochene rationale Function durch Zerlegung in Partialbrüche integriren kann.

r dx J sin'²a: eos²a-

Auflösung. Mit Rücksicht auf die bekannte Formel

sin²a: + COS²a; = 1

Aufgabe 6.

erhält man

f_ffe

J !

sin².? cos²a:

=/

sin²a: + cos²a;

sin²x cos'br

dx =

Ç dx    /' dx

Jcos-x J sin².?’

folglich wird nach Formel Nr. 15 und 16 der Tabelle

cos%’ — sin²a:

s r dx <²⁶-) /—

sin²a; cos²a:

t gx — ctga: — —

2 cos(2x) _ sin (2a;)

sina: cos .r

— 2 ctg (2 a:).

f_dx

Js'

Auflösung. Dieses Integral ist bereits durch Formel Nr. 31 der Tabelle berechnet. Damals wurde die Function unter dem Integralzeichen so umgeformt, dass der Zähler des Bruches das Differential des Nenners wurde.

Aufgabe 7.

sina: cos a:

Man kann aber die Inte

gration auch durch Zerlegung ausführen. Mit Rücksicht auf die Formeln Nr. 29 und 30 der Tabelle erhält man nämlich

W\\xdx

~COS²a; + sin²?;

sin x cosa;

'o,0$xdx sin a:

= l(sina:) — l(cosa;) — l(tga:).

sin x cos x

dx —

+/

cosa;

J a sina: + ôcosa: -f- c Auflösung. Zunächst wird man hier die in Formel Nr. 52 der Tabelle angegebene Substitution benutzen und

Aufgabe 8.

dz

tg

(28.)

to ' «

= also r/a; =

2 dt

sin x —

2*

cosa; =

1 -M ² ’ 1 —/2 I + *²

setzen, dann erhält man

J asmx + 6 COS# + c ^at+b^l— t²) + c(l + t²)

2 dt

-k

2 dt

— b^t² -f- 2 ut -J- (b -f- c) oder, wenn man die Grössen bx und cx durch die Gleichungen

(30.)

a — by{c — b), b -\- c =■ Ci(c — b)

erklärt,

(31.)

f.

dx

asm# + 6 cos# + c

_*_£_

c — bj t² -f- 2b\t -j- C\

dt

Für bd — et > 0 erhält man daher nach Aufgabe 4 (Formel Nr. 54 der Tabelle)

(32.) J-

dx

asin# -j-ôcos# +c

t-\-b\ —Y bi²—cA t-\-bi-{-y b²—Ci) 1    \(^c—b)-\-a—ya² -f b²—c²\

y^-\-b² — c² \t(c — b) + a -f- Y a² -f- b² — c²/

b /—i=!( c— b 2]/ôi² —Ci V

und für bd — ct < 0 erhält man nach Aufgabe 4 (Formel Nr. 56 der Tabelle)

(33.) f-

dx

«sm# + ôcos#+c

«-» i«?arctg(

arc tg ^

t + b\

Vc,-b 1« t(c— 5) -f- u

yc² —a²—b²

y c² — u²—b²

VA

9.

Partielle Integration.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 61 bis 86a.)

Sind u und v zwei beliebige Functionen von x, welche eine Ableitung besitzen, so ist bekanntlich (vergl. D.-R., Formel Nr. 28 der Tabelle)

(1.)

d(uv) = vdu + udc,

oder

(la.)

udv — d(uv) — vdu, oder, wenn man beide Seiten dieser Gleichung integrirt,

Jude = uv —Jvdu.

(2.)

Mit Hülfe dieser Formel ist die Integration der Differential-Function udv zurückgeführt auf die Integration von vdu, wobei es durch passende Wahl der Factoren u und de häufig erreicht werden kann, dass fvdu leichter zu ermitteln ist als Jude.

Wie dieses Verfahren, welches man „partielle Integration'''' nennt¹), angewendet wird, mögen die folgenden Aufgaben zeigen.

Aufgabe 1.

J\x .dx = ‘ł

Auflösung. Setzt man

(3.)

u = \x, also dv = dx,

so wird

(4.)

du —

dx

folglich erhält man nach Gleichung (2.) f\x.dx = x.lx-

oder

j T . ~ = x . \x — j'dx

(5.)

J\x . dx = x{\.x — 1).

(6.)

fxmlx .dx = ? Auflösung. Setzt man wieder

u = \x, also dv = xmdx

Aufgabe 2.

so wird

(7.)

du —

dx

xm^~l

m -f-1

folglich erhält man nach Gleichung (2.)

(8.)

xm\x. dx —

xm+l

m -1- 1

%m+l

\x

—h

m+1 J

xm dx

L\.

m + 1/

Für m = 0 .geht diese Aufgabe in die vorhergehende über.

m+1

(\x

(9.)

Aufgabe 3.

Auflösung. Setzt man

wo;

. dx — ?

so wird

(10.)

du = dx,

mx

(11.)

jx. e

7    x

. dx — — • e

mx

ul

-le

mj

mx

. dx

2 • emx (mx —f 1).

Jx sin x .dx — ?

Aufgabe 4.

Auflösung. Setzt man

(12.)

u = x, also dv = sin x . dx,

so wird

— x cos x = — «cos# + sina:.

du = dx fxsmx. dx =

v — — cos x,

+ /cosa; . dx

Aufgabe 5.

fx² cos x . dx = ?

Auflösung. Setzt man

(15.)

u — x-, also dv — cosa;. dx

so wii’d

(16.)

v = sin.r,

du — 2 xdx,

J x¹ cos x . dx — x² sin x — 2\fx sin x .dx, folglich erhält man mit Rücksicht auf Gleichung (14.) /z²cos x . dx — a:²sina: + 2 a; cosa: — 2 sina:.

(17.)

(18.)

Aufgabe 6.

/arc sina:. dx = ?

Auflösung. Setzt man

(19.) so wird

u = arc sina:, also dv = dx,

(20.)

dx

]/l—x²

arc sin x . dx — x arc sin x —

v — .r,

xdx

Jyi — x² ’

folglich erhält man aus Formel Nr. 25 der Tabelle /arc sina;. dx = .rare sina; -f |/l —x¹.

(21.)

Aufgabe 7.

/arc tgx . dx = ?

Auflösung. Setzt man

(22.) so wird

u = arc t gx, also do = c/.r,

(23.)

du =

1 + .r² ’

ü = .r,

. dx =

a: arc tg x —yj

a;c/a;

1 + a;²

folglich erhält man nach Formel Nr. 24 der Tabelle /arc tg x . c/a; = a; arc t gx*— -|1(1 + x¹).

(24.)

Aufgabe 8.

/(la;)"¹. dx = ?

Auflösung. Setzt man

(25.) so wird

u — (la;)”¹, also do = dx

(26.)

du = rn (1 x)m

-i .

dx

(27.)

. dx.

/(la;)”¹. dx = x(\x)m — m/lx)‘

Das gesuchte Integral ist durch diese Gleichung auf ein ähnliches zurückgeführt, das aus dem gesuchten hervorgeht, indem man m mit m — 1 vertauscht, und das deshalb einfacher ist. Durch wiederholte Anwendung der Gleichung (27.) findet man firn jeden positiven ganzzahligen Werth von m das gesuchte Integral. Ist z. B. m = 4, so erhält man

./'(I«)⁴ . dx — «(l«)⁴ — 4/(l«)³ • dx, f(lx)³. dx = «(1«)³ — 3/(l«)². dx,

J'(\xf . dx = «(l«)² — 2 f\x . dx,

J\x . dx = x\x — x.

Indem-man Gleichung (29.) mit —4, Gleichung (30.) mit + 4.3, Gleichung (31.) mit — 4.3.2 multiplicirt und sodann die Gleichungen (28.) bis (31.) addirt, erhält man

(28.)

(29.)

(30.)

(31.)

(32.)    /(I«)⁴ • dx = «[(l«)⁴ — 4(1«)³

+ 4.3(1 «)² — 4.3.2(1«) + 4.3.2.1].

In ähnlicher Weise findet man

(33.)    J(l«)m. dx = x [(1 «)*"— m{l«)”*⁻¹ + rn(m— 1 ) (1 x)

• • • dz m(m — 1)... 3.2 . \x    m*.J.

Je? . xm . dx = ?

Aufgabe 9.

Auflösung. Setzt man

(34.)

u = xm,

also

de — e? . dx,

SO wird

(3 )    du = mxm~l. dx,

(3 )    fex . xmdx = xm . ex — in

Auch hier ist das gesuchte Integral auf ein einfacheres zurückgeführt, das aus dem gesuchten hervorgeht, indem man m mit m — 1 vertauscht. Deshalb findet man durch das gleiche Verfahren wie bei der vorhergehenden Aufgabe

(37.) fex . xmdx — e?\xm — mxm~l + m(m — 1)^

• • • ± m(m — 1) ... 3.2 . x + m!]. /cos²« . dx = ?

Ol Üi

v = ex,

Jex . x

in—1

. dx.

in—2

(38.)

so wird

Aufgabe 10.

Auflösung. Setzt man

u — cos«, also dv = cos« . dx,

«

(39.)

v = sin«,

du = — sin« . dx,

/cos²«. dx = cos «sin« +/sin²« dx.

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist nicht einfacher als das gesuchte Integral; beachtet man aber, dass sin²« = 1 — cos²«

ist, so geht Gleichung (40.) über in

/cos²«. dx = cos« sin« -f /ć/« —:/cos²«. dx.

Dies giebt, wenn man das zweite Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung auf die linke Seite bringt und die ganze Gleichung durch 2 dividirt,

cos²« .dx—^ sin« cos« + ~ _

(41.)

Aufgabe 11.

/sin²«. clx = ?

(42.)

Auflösung. Setzt man

u = sinx,    also dv = sina:. dx,

so wird

— cos*«,

ć/m = cos« . dx, f sin²« . dx = — sin« cos« -f /cos²« . dx.

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist nicht einfacher als das gesuchte Integral; beachtet man aber, dass cos²« =1 — sin²«

ist, so geht Gleichung (44.) über in J sin²«. dx

Dies giebt, wenn man das zweite Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung auf die linke Seite bringt und die ganze Gleichung durch 2 dividirt,

— sin« cos« -\- fdx —/sin²« . dx.

y sin²«

1 . , «

- sm« cos« + — •

Li    Li

Man erkennt ohne Weiteres den Zusammenhang zwischen den beiden letzten Aufgaben. Die Gleichungen (40.) und (44.) stimmen mit einander überein, und durch Addition der Gleichungen (41.) und (45.) erhält man

(46.)    Jcos²« . dx -f /sin²« . dx = /(cos²« + sin²«)<r/« — «.

(45.)

.dx — —

Die Aufgaben 10 und II lassen eine wichtige Verallgemeinerung zu, die in den beiden folgenden Aufgaben untersucht werden soll.

(47.)

so wird

^/cOS'“# . dx — ?

Aufgabe 12.

Auflösung. Setzt man

u = cos”¹⁻¹#, also do = cos#. dx

(48.)

du = — (m — 1) cos"¹⁻²# sin#<7#, v = sin#,

(49.) /cos”¹# . dx = cos”¹⁻¹#sin# + (m— l)/cos”i_2#sin²#«:/#.

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist nicht einfacher als das gesuchte Integral; beachtet man aber, dass (50.) sin²# =1 — cos²#, also cos'"⁻²# sin²# = cos"'⁻²# — cos'"# ist, so erhält man (51.) Jcos’"# . dx = cos"'⁻¹#sin# + (

l)/cos”¹⁻²#. dx — (m — l)/cos'"# . dx,

oder, wenn man das zweite Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung, welches mit dem gesuchten Integral identisch ist, auf die linke Seite bringt und die ganze Gleichung durch dividirt,

« m.

(52.) Je

cos”'⁻¹#sin# -f

Für m = 2 geht diese Gleichung in Gleichung (41.) über. Das Integral auf der rechten Seite von Gleichung (52.) geht aus dem gesuchten Integral hervor, indem man m mit m — 2 vertauscht, und wird daher einfacher, wenn rn ^ 2 ist. Es sei z. B. m = 8, dann wird

COS'"# . dx —

(53.)

jcos⁸#

(54.)

(55.)

(56.)

. dx — —

Gleichung (55.) mit

Indem man Gleichung (54.) mit

7.5.3

Gleichung (56.) mit Gleichungen (53.) bis (56.) addirt, erhält man

8.6’

8.6.4

multiplicirt und sodann die

(57.) Je

cos⁸# . dx — sin #

/I    7

f - cos⁷# + —- cos⁵# +

• iß

8.6.4

8.6.r³2cos*)+

cos³#

7 . 5.3.1

8.6.4.2 X'

In ähnlicher Weise findet man

(58.) Je

cos⁷# . dx — sin #

Q- COS⁶# + COS⁴# +

7.5.3

cos²#

II +

6.4.2

)•

7.5.3 . 1

2 n + 1 eine

Man wird jedoch in allen Fällen, wo m ungerade Zahl ist, Jeosmxdx lieber mit Hülfe von Formel Nr. 36 der Tabelle, nämlich mit Hülfe der Formel

/cos2M+¹#. dx =J(l — sin²#)” . c/(sin #) berechnen. Für m — 1 findet man dann z. B.

¹

Die häufig gebrauchte Bezeichnung „theilweise Integration“ ist sprachhch nicht zulässig.

(59.) Jcos⁷# . dx = /(I — 3 sin²# + 3 sin⁴# — sin⁶#)e?(sin#)

= sin# —

3    1

sin³# + — sin⁵# — — sin⁷#.

O    (

Man kann die Uebereinstimmung der beiden Resultate in Gleichung (58.) und (59.) leicht nachweisen.

Ist dagegen m eine gerade Zahl und positiv, so ist man auf die in Gleichung (52.) enthaltene Recursionsformel angewiesen. Dabei findet man ähnlich wie in Gleichung (57.)

(60.) Je

cos2m# . dx = sin# — cos²”⁻¹# +

2 n — 1    ₀ „

2n(2n — 2) C°S *

(2n — 1) (2n — 3)

2n . (2n — 2) (2n — 4)

cos#

(2n — 1) (2n — 3) ... 5.3 2n(2n — 2) (2n — 4)... 4.2 (2n — 1) (2n — 3) ... 5.3.1 2n(2n — 2) (2n — 4)... 4.2 Xm

Die Richtigkeit dieser Formel kann man mit Rücksicht auf Gleichung (52.) durch den Schluss von n auf n + 1 beweisen.

Aufgabe 13.

Auflösung. Setzt man

u = sin”»⁻¹#, also dc = sina;. dx,

/sin”»# . dx = ?

(61.) so wird

(62.)

du = (m — l)sinm-2#cos#(/#, v = — cos#,

(63.) /sin”¹# .dx = — sin”¹⁻¹# cos# + (m — l)/sin”»⁻²# cos²#c/#.

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist nicht einfacher als das gesuchte Integral; beachtet man aber, dass (64.) cos²# =1 — sin²#, also sin“¹⁻²# cos²# = sin”¹⁻²# — sin”¹# ist, so geht Gleichung (63.) über in

/sin”¹# . dx = — sin”*⁻G cos# -j- {m — l)/sin”»⁻²# . dx

— (m — l)/sin”‘# . dx.

Dies giebt, wenn man das zweite Integral auf der rechten Seite, welches mit dem gesuchten Integral identisch ist, auf die linke Seite bringt und die ganze Gleichung durch m dividirt,

(65.) jńnmx .dx = — — sin”ł

-jsin'”⁻²#. dx.

[#cos# -f

Für m — 2 geht diese Gleichung in Gleichung (45.) über. Das Integral auf der rechten Seite von Gleichung (65.) geht aus dem gesuchten hervor, indem man m mit m — 2 vertauscht, und wird daher einfacher für m 2. Es sei z. B. m — 8, dann erhält man

(66.)

(67.)

(68.)

sin⁸# . dx = —

sin⁶# .dx — —

rH I CO

(69.) js

sin²# . dx = —

Dies g'iebt ähnlich wie bei /cos⁸# . dx

Q sin⁷# + sin⁵# 4

7.5.3 ⁺ 8.6.4.2 ln ähnlicher Weise findet man für m = 1

(70.) /sin⁸#

. dx = — cos#

sin³#

sin #^ +

8.6.4 7.5.3.1 8.6.4."2*’

sin⁷# .dx — — cos#

Ç. sin⁶# 4

6    . .    6.4

— sm⁴# 4- =-

02 Qi

02

sin²#

7.5.3. l)

Man wird jedoch in allen Fällen, wo m — 2n 4- 1 eine gerade Zahl ist, /sinm#. dx lieber mit Hülfe von Formel Nr. 37 der Tabelle, nämlich mit Hülfe der Formel

/sin2w+1# . dx = —/(I — cos²#)Mc?(cos #) berechnen. Für m = 7 findet man dann z. B.

(72.) /sin⁷#. dx = —/(I — 3 cos²# + 3 cos⁴# — eos⁶#)c/(cos#)

= — cos# 4- cos³# — cos⁵# 4- J cos⁷#.

un

Wenn dagegen m eine gerade Zahl ist, so ist man auf die

in Gleichung (65.) enthaltene Recursionsformel angewiesen.

Dabei findet man ähnlich wie in Gleichung (70.)

2n — 1    . 2n ,

----— sm2M~³#

2n[2n — 2)

sin2w_5# + • • •

(73.) /sin2w#

.dx — — cos x

l"Y sin2M_1# 4-L2 n

(2n — 1) (2n — 3)

2n(2n — 2) (2n — 4)

(2» — 1) (2» — 3) ... 5.3

2n(2n — 2) (2n — 4).. .

02

-sin#]

(2n — 1) (2n — 3)... 5 .    .1

2n(2n — 2) (2n — 4). .. 4.2 X‘

Aufgabe 14.

' dx

cosM#

Auflösung. Die Gleichung (52.) bleibt auch dann noch richtig, wenn m eine negative Zahl ist. Setzt man z. B.

also

— (n — 2) = — n + 2

m — 1 = — n + 1 = — (n — 1), m — 2 = — n, so geht Gleichung’ (52.) über in sin*

— (» — !)/* dx

cos“⁻²*    — [n — 2)cos”⁻¹* ' — (n — 2)J cos”*

In diesem Falle ist aber das Integral auf der linken Seite der Gleichung einfacher als das auf der rechten Seite. Deshalb bringt man die Gleichung (74.) auf die Form

sina-

n — 1 r dx

n — 2J cos»* ~~ (n — 2)COS”

- +h-dX-

X Je.

cos”⁻²*

oder

(75.)

dx

dx _ sin* , n — 2 f cos”* — {n — l)cos”⁻¹* n — lj cos”⁻²*

Es ist z. B. mit Rücksicht auf Formel Nr. 33 der Tabelle

(76.)

(77.)

(78.)

dx

’ dx _ sin*

cos⁵* ~ 4 cos⁴* dx _ sin*

cos³* 2 cos²* 2 / cos * ' dx cos*

⁺y

4 / COS³*

^*

also, wenn man Gleichung (77.) mit

! co

Gleichung (78.) mit

multiplicirt und die Gleichungen (76.) bis (78.) addirt, , /'d* _ sm* 3sin*

4 ..2

' Yy cos⁵* ""7 4 cos⁴* 4.2 cos²*

Für n = 4 erhält man

(80.)

/,

dx

c?* _ sin*    2 f

cos⁴* 3cos³*    3J COS-X

sin*

~ 3 cos³*

. 2 ,

+ ₃ tg*.

Man wird aber, wenn n eine gerade Zahl ist, zur Berecli-

nung von

cos”*

anwenden, nach welcher

zweckmässiger die Formel Nr. 44 der Tabelle

<h =/l + tg²«) wird. In dem vorliegenden Falle ist z. B.

= tg a: + - tg³«.

(81.)

(82.)

COS²'”«

Aufgabe 15.

/:

dx

sin"«

Auflösung. Auch Gleichung (65.) bleibt noch richtig, wenn m eine negative Zahl ist. Setzt man daher wieder m — — (n — 2) = — n + 2,

also

m — 1 = — n -f- 1 = — {n.— 1), so geht Gleichung (65.) über in

cos«

— (n — 2) sin"⁻¹«

m — 2 = — n,

(83 .)J-f (84.) I

dx

sm”⁻²«

—-(n-—1) Ç dx

— (n — 2)J sin”«

Daraus folgt in ähnlicher Weise wie vorhin

' dx

cos«

n — 2 /'

n — 1/ sin”⁻²«

dx:

(n — l)sin”⁻¹«

Es ist z. B. mit Rücksicht auf Formel Nr. 32 der Tabelle

sin”«

(85.)

' dx

cos«

(86.)

(87.)

sin⁵«

f dx

J : ‘

’ dx

4 sin⁴«

3    r dx

4    J sin³« ’

sm³«

cos« 2 sin²«

+ 2^/sin« ’

dx

sm«

Kl)]

also

(88.)/

dx

sin⁵«

cos«

3 cos«

4 sin⁴« 4.2sin²«

Ist n eine gerade Zahl, so wird die Formel Nr. 45 der Tabelle nämlich durch die Formel

dx

zweckmässiger durch

dx

sin²”¹#

— —ßl + ctg²x)

. d(ctgx)

ermittelt. Es ist z. B.

(89.) f.

dx

sin⁴#

-ßi + ctg⁸«y(ctg«) = — ctg« — t ctg⁸«.

Aufgabe 16.

r xmdx _C)

J y a²—x²

Auflösung. Setzt man

(90.)

also dv —

xdx

Y a²—x²

so wii’d nach Formel Nr. 25 der Tabelle

T-l (M

du = (m — l)#m ²dx, v = — Ya2 — 2 = — xm~l Y0/2—x<2 + (m —

xmdx

Ya²—x²

l)Jxm~²dx ]/a²—a².

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist nicht einfacher als das gesuchte Integral; beachtet man aber, dass

a²xm~² — xm

Ya²—x²

d² — x²

Ya²—x²

ist, so geht Gleichung (92.) über in

also dass xm~² ]/a² — x² =

Ya²—x²

xmdx

Y a²—x²

Dies giebt

xmdx

= — xm 1 Ya² — x2 “I“ (m

»f-

\a²xm ~² — xm)dx

Ya² —x²

j/o²-—X²

= — xm~l Y a²—x2 + (tn — l)a²J ^

— (m —

xm~²dx

Ya² — x2 xmdx

Y a² — x²

Das zweite Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist mit dem gesuchten Integrale identisch. Bringt man dasselbe auf die linke Seite und dividirt die ganze Gleichung durch m, so findet man

rnf

xmdx

Y a² — x²

~.m—l    _

-Ya²—x² 4

m

(;m — 1 )a² Ç xm~²dx J Va² — x²

In dieser Formel geht das Integral auf der rechten Seite der Gleichung aus dem gesuchten Integral hervor, indem man m mit m—<ß vertauscht. Es ist daher, wenn die ganze Zahl m^. 2 ist, einfacher als das gesuchte Integral.

Für m = 6 erhält man z. B. mit Rücksicht auf Formel Nr. 21 der Tabelle r x^dx

J Ya⁹- — .?

« !wh

(96.) f- ***

V J]

(94.)

! Hs 05 I **

yd¹ — x²

toi to

]/a²—x² + ~ f ___

b J YaF^x²

1/-Ę--2 , 3a2 f X^dx

Va-x+^Jy^’

xidx

dx

(97.)

dr

ya²—x²

arc sin

har

5.3a⁴

Indem man Gleichung (95.) mit — ? Gleichung (96.) mit

5.3.1 . a6 6.4.2

Gleichung (97.) mit /

Gleichungen (94.) bis (97.) addirt, erhält man x^dx

(98.) j

ya²—x²

Ol CÏ

+ 7T-

multiplicirt und die

5.3aG

co

6.4.2

_    . ^4 a⁶arc smY-Y

6.4.2    \a)

In ähnlicher Weise findet man für m = 7 mit Rücksicht auf Formel Nr. 25 der Tabelle

(09.) /L£L

’ Jyœ—x²

Man wird aber die in Gleichung (93.) enthaltene Recursions-formel nur anwenden, wenn m eine gerade Zahl ist. Für ungerades m, also für m = 2n + 1 führt die Substitution

6.4atr²

6.4.2a⁶

7.5.3

7.5.3.1

)•

Y a²—x² = t schneller zum Ziele. Es wird dann nämlich

a² — x² — t², x² = a² — l², xdx — — tdt,

(100.)

also

r x'2n+ldx

J ]/a² —x¹

so dass man nur eine ganze rationale Function zu integriren hat. Es ist z. B.

(101.)

-/

(a² — t²)ntdt

-L² — t²)ndt,

J]/ a²—#²

x~dx

-f(a? — 3aH² + 3aH* — f)dt

= — ^aGt — aHs +    a²£⁵ — ^ l⁷^

= —    — dt² + jr

a²i⁴ —

v¹'⁶)’

oder, wenn man für t den Werth aus Gleichung (100.) einsetzt,

6.4a⁴#2 7.5.3 6.4.2a⁶

(102.)

x'dx

ya²—x²

- ya²—x²    +

6 a²#⁴

)•

Das in Gleichung (98.) enthaltene Resultat kann man sogleich verallgemeinern. Setzt man nämlich

G\{x) =    ?

G^(x) =

Gz{x) =

3 a²x 4.2 5 a²#³

671

5.3a⁴#

6.42 ’

2n—l

(103.)

°4‘> = ~2n

(2 a — l)a²#2n—3

2 n (2 a — 2)

... ₊

(2a — 1) (2a — 3) . .. 3a2n~²x 2a(2a — 2)... 4.2

(104.) Gn+l(x) =

#2w+i

(2a + l)a²#

(2a -f 2) . 2a

(105.)

... ₊

_ (2a — 1) (2a — 3)..

°n ~    2a(2a — 2) ... 4.2

(2a 4- l) (2a — 1)... 3a²'¹# [2n 4- 2). 2a . (2a — 2)... 4.2

.3.1

so wird

3a²

G-ix) = j + 4- * G,{x)

/r»5

Gz(x)=*- + ^.G>{x)

(106.)

Gn+i(x) =

X^n+l

(2n -f- l)a²

2n-\-2

* Gn(x),

(107.)

Cn.

Nach Einführung dieser Bezeichnungen erhält man (108.)

J ]/a²—z¹

= cn . a²'¹ arc sin

o,(x).

Die Richtigkeit dieser Formel kann man durch den Schluss von n auf n 4- 1 beweisen. Es ist nämlich nach Gleichung (93.) für m = 2/i 4- 2

r x2n+²dx

J yd¹—x²

oder, wenn man voraussetzt, dass Gleichung (108.) richtig ist,

/g2n+l

2 n 4- 2

^.2w+l

2/t 4-’2

y<i²~xi -h

(2n 4- l)«² i' xlndx 2 n 4-2 y

Va²—-x²

JYa²—x²

x2n+2dx

y a²—x² 4-

(2n 4- l)a²

2 n 4- 2

c„a²"arc sin

(2n 4- l)«²

2u 4- 2

y "cP—x². Gn(x),

also mit Rücksicht auf die Gleichungen (106.) und (107.)

'x2n+²dx

cn+la2,l+² arc sin    — ]/«²—x². Gn+i(x).

Ist also die Gleichung (108.) richtig, so bleibt sie auch richtig, wenn man n mit n 4-1 vertauscht. Aus den Gleichungen (91.) bis (98.) erkennt man, dass die Gleichung (108.) für n = 1, 2 und 3 richtig ist, folglich bleibt sie auch richtig für u = 4, 5, 6,..., d. h. für alle ganzzahligen, positiven Werthe von n.

Aufgabe 17.    Jxm dx j/o²—x² — ?

Auflösung. Es ist

(110.)

folglich wird

xm j/a²—x¹ —

a²xm—xm+²

Ya²—x²

xmdx

J xmdx Y a²—x² = 0,2J -

'xm+2dx

Y a² — x² J y a² — x2 Nun erhält man aus Gleichung (93.) durch Vertauschung von m mit m + 2

(Hl.)

(112.) j

'xm+2dx

%m-\-1

]/a²—x² -f-

(m 4- 1 )a²

xmdx

"h ^ J Y a² — x²

. Ya²—x²

Subtrahirt man diese Gleichung von der vorigen, so ergiebt

sich

(113.) Jxmdx Y a²

—x²

xm+l

Y a²—•x² -f-

m -f 2

/’ xmdx

UV

d¹—x²

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung kann man dann weiter durch die in Gleichung (93.) enthaltene Recur-sionsformel reduciren. Man findet z. B. für m = 0 mit Rücksicht auf Formel Nr. 21 der Tabelle

J dx y a²

— r² =

I y«?—*¹ + j

arc sin

©■

(114.)

und für m = 1 mit Rücksicht auf Formel Nr. 25 der Tabelle

(115.)

j'xdx Yd²

x²

a²

— yd²—x²—— yd²—x²

o    o

1-1 CO

= — - (a² — x^y d²—x².

Auch hier wird in dem Falle, wo der Exponent m eine ungerade Zahl ist, die Substitution

yd² — x² — t, x² = a² — t², xdx — — tdt schneller zum Ziele führen. So ist z. B.

t²dt = —    ?

woraus sich wieder das in Gleichung (115.) gefundene Resultat ergiebt.

J'xdx ya²—x²

-/■

Ya? — x²

r dx

J xn

Aufgabe 18.

Auflösung. Gleichung- (93.) bleibt auch dann noch richtig, wenn m eine negative Zahl ist. Setzt man z. B.

m = — {n — 2) = — n -f- 2,

also

m — 1 = — n -f- 1 = — (n — 1), m — 2 — — n,

so geht Gleichung (93.) über in Y a²—x²

r dx

J xn~²Ya²

— x²

(n — 2)x

n— 1

[f_dx

ip 2)y xnyy?~—x²

— (n—1 )a²

In dieser Gleichung ist das Integral auf der linken Seite einfacher als das auf der rechten. Deshalb vertauscht man beide

Seiten der Gleichung und findet durch Multiplication mit dem

FactorçbïK

(116.)/' *

J xn

ya²—x²

Ya²—x²

Es ist z. B. für n = 2

(:n — 1 )a²x

n— 1

n — 2 i dx (n—1 )alf xn~²y a²—x²

(117.)

r dx

J x²ya² — x²

yd² — x²

d²x

/*    dop

Auf dieses Integral kann man'/ —

J «

durch wieder-

yd²—x²

holte Anwendung der gefundenen Recursionsformel immer zurückführen. Dagegen gelangt man für ungerade Werthe von n zu dem in der folgenden Aufgabe gesuchten Integral.

dx

Aufgabe 19.

J'xY a² — x²

Auflösung. Für n = l ist die in Gleichung (116.) enthaltene Formel nicht mehr anwendbar, weil die rechte Seite die Form — oo + oo erhält. In diesem Falle führt aber eine sein- einfache Substitution zum Ziele. Es sei dann wird

1 f dt

äj y w-—\

— adt .t.t

(118.)

? also dx = —

adt

r²

ya‘²—x'² = y

a² —

ö I*»

/* ^    _r

J xj/a²— x² J t². a . a]/t² — 1 also mit Rücksicht auf Formel Nr, 23 der Tabelle

f dx

ais-)/—=

J t

xy a²—x²

K< + yïcr₁₎ = _|i(î±î^)

Aufgabe 20.

xmdx

y a² + x²

Auflösung. Setzt man

(120.)

u = xv,-y

also do =

xdx

]/a² -f- x¹

so erhält man (121.)

du = (m — 1 )xm~²dx, v = ]/a²+x²,

. F a:”!ć£r

“ *

?»—i

]/a² -|- a;² —• (m — 1 ) jxm~²dx j/a² + æ'².

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist nicht einfacher als das gesuchte Integral ; beachtet man aber, dass

a²xm 2 -f- xm

]/a² F x²

a² + x²

Ÿ a² + x²

x»‘-²yd² -f- x² =

ist, so geht Gleichung (122.) über in ' xmdx

xm 2dx

(123.)

y a² -j- x²

— xm-1 ya² x² — (m — l)a² f- n .___

J y a² + x²

f xmdx

y Va?T®*’

Bringt man das zweite Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung, da es mit dem gesuchten identisch ist, auf die linke Seite und dividirt die ganze Gleichung durch m, so erhält man

14__

J j/o² -f- x¹

Es ist z. B. für m = 6 mit Rücksicht auf Formel Nr. 22

(124.) I

xmdx

Tm — \    ___

Va² + x2 m

(m— l)a²

m~~²dx

der Tabelle

(125.)    y

f 126.)

(12L)    /i

(128.)

x{'dx Y a² + Ä2 xddx

]/a² + ic2 x²dx

y a² x2 Ç_dx_

J 1

Dies giebt

y«² -j-x²

S1/a' + xl    6 7

** ,

”2    "J/a² + Æ²

1(# + ]/â² + (T²).

x^dx

(129.)

x⁶dx

y a² + z²

5a²xs 5.3a*x

. 4 ⁺ 6.4.2

CD

co

6.4.2

aH(x 4- y a² + x²).

In ähnlicher Weise findet man

man wird aber, wenn m eine ungerade Zahl ist, schneller zum Ziele kommen, indem man die Substitution

x¹dx

V«s + *²(y

6 a²xi    6.4aix² 6.4.2a⁶

7.5.3

7.5.3.1

y«² 4- x² = t, x² —■ t² — a²,

xdx

y a²    x²

= dt

anwendet. So findet man z. B.

x?dx

(130a.)

J y a² 4- x²

=j x⁶ dt = j (tP — 3a²4 4- 3(dt² — cd)dt

Die vorstehenden Formeln bleiben sämmtlich noch richtig, wenn man 4- «² mit — a² vertauscht. Dadurch findet man z. B. 3us Gleichung (124.)

(131.)

xmdx

g"⁻¹ y^ï—i (m—!)gł m    m Jyx2—a²

~²dx

y x² — a²

und aus den Gleichungen (127.) und (128.)

x²dx

d²

y x² — a² + — \(x + y x² — a²).

fi

Aufgabe 21. Auflösung. Es ist

fxVldx Y a² -f- z² = ?

(l33.)

folglich wird

(134.)

xm y a² + x² =

a²zm + zm+²

J'xmdx ydr -f æ² = (>±j

xmdx

xm+2dx

ya² + x²

Nun erhält man aus Gleichung (124.) durch Vertauschung von m mit m -f 2

(135.)

' xm+²dx

xm+l

(m + l)a² i' xmdx

m + 2 J y a²    x²

y a² + x²    ixi 2

Addirt man diese Gleichung zu der vorigen, so ergiebt sich

xndx

m+1

(136.) ( xmdxVd² + x² = —    „

J    m -f- 2

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung kann man dann weiter durch die in Gleichung (124.) enthaltene Recursionsformel reduciren. Man findet z. B. für m = 0 mit Rücksicht auf Formel Nr. 22 der Tabelle

(137.) Jdx Ya?+ x² = ~ yd² + x² + ^ \{x + V«² + x²).

und für m = 1 mit Rücksicht auf Formel Nr. 26 der Tabelle

(13&.)Jxdzya² + x²=^~yd²-j-x² -\--^yd² -j- x²— (a²-\-x²)y d² -|- x².

CO ' h-A.

Auch hier wird man in dem Falle, wo der Exponent m eine ungerade Zahl ist, besser die Substitution

y a² -f- x² — t

benutzen.

Durch Vertauschung von ~\-a- mit —a² gehen die G-leichungen (136.) bis (138.) über in

(139.)

j'xmdx j/x^

— a² =

%m+1

m -V 2

Yx² — a² —

m "b    y x¹ — ar

a²

xmdx

(140.)

— a² =

(141.) y Yx²

— a² =

I ]/*2 —«² — ^1(^+ y^²-«²)

(x²—a²)]/^² — a².

O

Aufgabe 22.

Ç dx _ p

y a;w y a² + rc²

Auflösung. Gleichung (124.) bleibt auch dann noch richtig, wenn m eine negative Zahl ist. Setzt man z. B.

m — — (n — 2) = — n -{- 2,

also

m — 2 = —n,

m — 1 = — n + 1 = — {n — 1), so geht Gleichung (124.) über in

(142.)/-

J X

w—2

Y a² -j- x²

Y a² 4- x²

(n — 2)#M

-i

% — l)a² Ç    dx

n — Zj:

*«y«² «²

Vertauscht man beide Seiten dieser Gleichung mit einander

so erhält man

TZ

(n—l)a²

und multiplicirt mit dem Factor — —

dx

^143,)XnVa² + tf²

Es ist z. B. für n = 2

y a² -j-x²

(u — l)a²xn'

n — 2 d (n—1 )ay xn~²Va² 4- x²

dx

(144.)

Y cd x²

x²Yd² + x²

a²x

Auf dieses Integral kann /-—---

J x2m Y a² + x²

durch wiederholte

Anwendung der in Gleichung (143.) enthaltenen Recursionsformel immer zurückgeführt werden. Dagegen gelangt man in dem Falle, wo n eine ungerade Zahl ist, zu dem in der folgenden Aufgabe gesuchten Integral.

Auflösung. Für n — 1 ist die in Gleichung (143.) enthaltene Formel nicht mehr anwendbar, weil die rechte Seite die Form co

annimmt. Setzt man aber

- CO

Aufgabe 23.

/ dx

Jx

Y a² -f- x²

(145.)

'fs. i a

also dx —

adt

Ya²+x²=y

d² +

cd

t=

so erhält man

dx

— adt .t.t

Y dl -f- x²

i f dt aJ Yi + t² ’

t² . a . «Z 1 -j- t2 also mit Rücksicht auf Formel Nr. 22 der Tabelle

Va² -f x²

₌ _lip + |/l+<!) ₌

U(a-

Vertauscht man 4- a² mit — a², so gehen die Gleichungen (143.) und (144.) über in

dx

(148.) P-Ä

Yxd-—a²

Y xd— a²

(n—l)a²xn

-i

n — 2 f__dx

! — l)a² J xn-2

Yx²—a²

Yx²—a²

a²x

x²Y x² — a²

f* dx

Auf dieses Integral lässt sich /

durch wieder-

yb²—a²

holte Anwendung der in Gleichung (147.) enthaltenen Recur-sionsformel immer zurückführen. Dagegen gelangt man in dem Falle, wo n eine ungerade Zahl ist, zu dem in der folgenden Aufgabe gesuchten Integral.

Aufgabe 24.

dx

xYx²—cd

Auflösung. Für n = 1 ist die in Gleichung (147.) enthaltene Recursionsformel wieder nicht anwendbar. Setzt man aber

(149.

go

go!

go

go

Ok I 55

I rH

*&l

to

so erhält man r dx

J X

}/x²—a²

-,

— adt .t.t

i r at ajyr-v

l² .a . ay 1—t2 also mit Rücksicht auf Formel Nr. 17 der Tabelle

(150.) f- dx

J X

y^²—a²

1 . , 1 --arc sm t =--arc sm

§ io.

Integration durch Einführung trigonometrischer Functionen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 87 bis 89.) Integrale von der Form

J'fix, I/o² — x²) dx werden häufig durch die Substitution

(1.)

x = «sin t

(2.)

auf einfachere zurückgeführt. Es wird dann nämlich dx = «cos£c^, Ya²—x² = acost,

also

(3.)

Jf(x, Y a²—x²) dx =Jf(a sin t, a COS t). a COS t dt,

wobei

(4.) sin t = — ?

a

cos t

Ya²—x¹

t gt =

Ya²—x²

ctg

Ya²—x²

Hebungs-Beispiele.

J .r-V'/-—y² “V Sin'²< d‘ ⁸

1) f—

./ a

Ycd—x²

a²x

(Yergl. Formel Nr. 77 der Tabelle.)

2)

x?dx

Ya²—z²

= a-Ji=

— (t — sin t cos t)

A

a² f . /x\ ~ 2 |_arC Sm \« /

(Vergl. Formel Nr. 71 der Tabelle.; a COS t dt

(b² + a²smY)acos*' —

Ç dx    _j

J{b²-\- x²)Ya²—Æ² J *

f dt *

J b² + a²sin‘Y

t

Indem man Zähler und Nenner dieser Differential-Function durch cos²*: dividirt und die bekannten Formeln

3)

COS²Ć

beachtet, findet man

* =d^ Ä=1+t^

(5.)

f dx    ₌ f

J(b² -f- x²)Ya² — x² J b² + [a² -\- b²)tg²t

d(tgt)

Setzt man jetzt

(6.)

t gt

b²

a² + b²

c²,

Ya²—x²

so erhält man mit Rücksicht auf Formel Nr. 20 der Tabelle

dx

J (b² + x²)Ya²—x2 oder

1 f dz _

a² -f b²J c² -j- z² a² -f- b²

arctg

(7.)

f,

dx

(b² + x²) Ya²—x²    b Y a¹ + b²

arc tg ( —

Bei Integralen von der Form

Jf{x, Y a² -f x²) dx

kann man häufig die Substitution

x = atgt

mit gutem Erfolge anwenden. Man erhält dabei

ya² -f x² = -a— ?

cosć

(8.)

(9.)

dx =

adt

cos H

also

wobei

ff(x, y<i² + x²)dx= jf(atgt,

adt

COS²/

(11.) sin/ =

y a²-\-x²

cos / —

l/g² -f- x²

t gt =

j ctg/ —

1)

r xzdx _ç

J y a² -+- x² J

Uebungs-Beispiele.

a³sin³/. adt. cos /

cos³/. cos²/. g

= g³

sin³/ dt cos H

oder, wenn man

cos / =

y cd -f- x²

also sin / dt =— dz

setzt.

("•>/

= — g³

(1 — z²)dz

y a² -\-x²

£⁴

= — g³

-4

—z~²)dz

/z~³ z ⁴ \_ g³ / 1    3\

\— 3 ~ — i / ⁼ T V^3 — 7/

Indem man schliesslich noch z als Function von x ausdrückt, findet man

(13.)

f xzdx    /

J Y a² + x²    \

% <»

(]/g² +x²f

g³

3 y à² + x- ^

=    Y a² -j- x² {x² — 2g²).

O

2)

1 Ladt. COS⁴/ . COSj/ _ z⁴ i/a2 + x% ~ a\J cos²/. sin⁴/. g —

cos Hdt

sin H

= U

g⁴ V

3 sin³/

sin/)

Nun ist

(14.)

sin / =

ya² -f- x²    sin/

ya² -j- x²

folglich wird

, N r dx (i5-} /—

(]/ a² +A²)³

a;⁴ ]/a² + a;²

3a;³

Vo² + ^

3a⁴a;³

(2a;² — a²).

3)

/*    dx    T dx _ /

y (a² -(- a;²)"[/a² + æ² J ( V^M" a;²)³    ./

adt. cos H

COS²£ . a³

?/■

cos if ^ =

sinź

a²

a;

a²]/a² + a;²

4)

/ '    cfo;    _ T

J (b² + x²)]/a² -\- X² J

adt. COS^

COS²/(À² + a² tg²/) . a

cos tdt

cos t dt

P + (a²—b²)&m²1 Auf dieses Integral kann man die in Formel Nr. 34 der Tabelle angegebene Regel anwenden, indem man sinż = z, also cos tdt = dz Dies giebt, wenn man die Grösse ± c- durch die

o² cos²ć -f a²sm²/

(16.) setzt. Gleichung

(17.)

b² = ± (a²— 6²)c²

erklärt,

m.)f₍

dx

r dz    i r dz

b² + (a² — b²)z² = a² — b²Jz² ± c²

(b²x²)y a²-\-x2 Gilt das obere Zeichen, ist also a² > b², so erhält man nach Formel Nr. 20 der Tabelle

dx

(b² -f- x²)y a² + x²

a’-hv' Gl-Ctg

arc tg

^x]/ a²— ó²\ \6 ya² + x²/

by a²—b²

Gilt das untere Zeichen, ist also d¹ < b², so erhält man nach Formel Nr. 53 der Tabelle

r dx J(b²x²)Ya²x²

a² — b² 2 c \z + c)

2 bY b² — a²

\(x

\x

xyb²—a² — bY^+x²

Y b²— a² + é]/a² -f- x²

)'

Bei Integralen von der Form

ff(x, Yx² — dr)dx

kann man häufig die Substitution

cos t

(21.)

mit gutem Erfolge anwenden. Dabei wird

(22.) dx —

a sin t dt cos ²t ’

also

(23.)

fx*, V*

— d²) dx

a sin t dt,

COS²^

wobei

sin t =

yy—d²

cosć =

(24.)

t gt =

y^—a²

? Ct gt =

]/.r² — d²

r dx

J x⁴Yx²—d²

Uebungs-Beispiele.

'asintdt. cosH . cost

cosH . a⁴. a silić

COS ³tdt

also

^ß¹ — sin²ć)c?(sint) = ^ (silit

sin³ć\

3 )'

(25.)

dx

3 Yx² — d²    (j/x² — a²)³

x⁴yx² — a²

(2x² -f- d¹).

Y x²—a²

3 a%³

2)

dx

dx

asmtdt. cos³ć

(.x² — a²)\ x² — a²

( yx² —— d²)

cos²t. a³sin³ć

1 fcostdt_

~ d²J sin²ć ~~

a²sin t

also

(26.)

dx

J (x²— a²)]/#² — a²

a²yx²—~d²

3)

dx

(x² + d²)yx²-—a²

■f-

J cosH

asmtdt. cost!

(cÄ ⁺ “!)

. a sin t

_ i r cos^öft _ i r U-J 1 4- cos²;! a²J 2

</(sin t)

— sin H

Auf dieses Integral kann man wieder die in Formel Nr. 34 der Tabelle angegebene Regel anwenden, indem man

sin;! =

Yx² — a²

— = z

setzt; dann wird mit Rücksicht auf Formel Nr. 53 der Tabelle

dx

(x² + a²) yx² — a²

1 r dz    1    1    /z—]/2\

—    a²J z²—2~~    a² 2]/i \2+]/2/’

oder

⁽²⁷°A

dx

yx²—a² 4- %y 2

(x² + cdyyx² — a²    2a² y 2    —a² — x\/ 2

Anwendungen der Integral-Rechnung.

II. Abschnitt.

Quadratur der Curyen.

§ u.

Quadratur der Curven bei Anwendung rechtwinkliger Coordinaten.

Nach Formel Nr. 4 der Tabelle ist der Flächeninhalt einer ebenen Figur, welche begrenzt wird

1)    von der Curve y = <p{x),

2)    von der X-Axe,

3)    von den beiden Ordinaten x — a und x = b,

gleich

(1-)

F=ff(z)dx = [/0)f =f(b) —/(«),

a    a

wobei f‘{x) — (fix) sein soll.

Die Berechnung des Flächeninhaltes von solchen ebenen Figuren nennt man: „Quadratur der CurvenMan kann die dafür angegebene Formel sofort zur Lösung der folgenden Aufgaben benutzen.

(2.)

Aufgabe 1. Es sei eine Curve durch die Gleichung Sy = x¹

gegeben (Fig. 12); man soll die Fläche AXABBt berechnen, welche durch die beiden Ordinaten

x = a — 2 und x = b = 7

begrenzt wird.

Kiepeit, Integral-Rechnung.

Auflösung. Nach Gleichung (1.) wird

Fig. 12.

(3.) F

oo h-¹

x~ dx =

ŁH

24 F“⁸?

343 — 8    335

24

24

Aufgabe 2. Die Gleichung einer Parabel OP (Fig. 13) sei

(4.) y¹ = 2p.r, oder y = V2/w; man soll den Flächeninhalt der Figur OQP berechnen.

Auflösung. Da in diesem Falle der Punkt 0 die Abscisse 0 und der Punkt P die Abscisse OQ gleich * hat, so erhält man nach Gleichung (1.)

A,

«Tx

Fig, 13.

x    x

(5.) F — Jydx — jY2px . dx

■■

X I

= y2p f x¹ dx o

_3

oder

(6.)

00 ?S!

In diesem Resultate ist der Satz enthalten:

Die von der Parabel OP, der X-Axe und einer beliebigen Ordinate QP begrenzte ebene Figur verhält sieh zur Fläche des Pechtecks OQPP mit den Seiten OQ = x und QP=y wie 2:3.

Aufgabe 3. Die Gleichung einer Parabel (Fig. 14) sei y² = Qx, oder y = 3|/^; man soll die Fläche AiABB{ berechnen, wenn OAx = 4, OBt = 25

(7.)

ist.

Auflösung. Nach Gleichung (1.) wird in diesem Falle

25    25t

(8.) F =fydx — x*dx

4    4

Fig. 14.

JB

T9 3

o * S

= 3 — X

_3

25 25

=²M ’

4 4

also

(9.) F = 2(125 — 8) = 234.

-X

(10.

Aufgabe 4. In einer Ellipse mit der Gleichung IPx² + o-y² — a²b² = 0,

oder

— Va¹ —x2 a

(10 a.).

sind die Ordinaten QtPi und Q₂ A gezogen (Fig. 15); man soll den Flächeninhalt der Figur QyPyP^Q-z berechnen.

Auflösung. Aus Gleichung (10a.) folgt, da man nur das obere Vorzeichen zu beachten braucht,

Fig. 15.

ß Pt

(11.)    F = J'ydx

al

= IfizV«*

A'l

-P,*)

folglich wird nach Formel Nr. 74 der Tabelle und mit Rücksicht auf Gleichung (10 a.)

*) ln gleicher Weise wie bei den geometrischen Anwendungen der Differential-Rechnung sollen auch hier die Coordinaten eines Curven-punktes P immer x und y, die eines Curvenpunktes Pt immer xx und yx, allgemein die eines Curvenpunktes Pn immer xn und yn heissen.

(12.)

—    \% y0,2—+ arc sin

.T,

= [lf ⁺ ¥ arc sin

oder

(13.) F=

rH ! (M

(^y₂ — a-iyi) + y [arc sin(^

— arc sin

Es sei z. B.

a — 6, Z> — 4,    — 1, X2 — 5,

also

2/1 =

1^36^-1=    ]/35, ÿs = |y36-25 = |l/ll;

(M ! CO

dann wird

= i (by 11 —1/35) + 12 [arc sin

— arc sin

1-H 50

Nun ist

by II = y27 5 = 16,583 123 Y3b = 5,916 080 byïl — ]/3b = 10,667 043,

rH CO

(5]/ïï — ]/35)= 3,555 681

12 arc sin

(I)

= 11,821 327

t-H i co

(by11 — ]/35) + 12arc sin (-) = 15,377 008

12 arc sin

2,009 377

jF = 13,367 631.

Aufgabe 4a. Man soll die ganze Fläche der Ellipse mit den Halbaxen a und b berechnen (Fig. 15).

Auflösung. Man erhält den Quadranten der Ellipse, wenn man in der vorhergehenden Aufgabe

#i = 0 und #2 = «

also

yi — b und 3/2 = 0

setzt. Dies giebt

(14.)

ab

ab

— arc sin 1 = — •

folglich wird der Flächeninhalt der ganzen Ellipse

E = 4P = ab Tr.

(15.)

Aufgabe 5. In einer Hyperbel mit der Gleichung

116.)

b²x² — a²y² — a²b²,

Fig. 16.

oder

(16a.) y — ± — yx¹—a2 a

Pi,

sind die Ordinaten QtP, und QvP* gezogen (Fig.

Ą Qt O^TX

16); man soll den Flächeninhalt der Figur Q₁P₁P₂Q2 berechnen.

Auflösung. Aus Gleichung (16a.) folgt, da man nur das obere Vorzeichen zu berücksichtigen braucht,

(17.)

==Jydx =    ix]/x'¹

xi    xi

— a².

Deshalb wird nach Formel Nr. 82a der Tabelle

(18.)

P=

*C> e

|y#²—«²—~i(# + y#²-«²)

X-,

oder mit Rücksicht auf Gleichung (16a.)

(19.)

-[f-ïK'+î)]"

x1

bx 2 + ay-i bx i + ayi

(22.)

(23.)

Setzt man xx gleich 1 und x₂ gleich x, so erhält man F= Ix,

so dass der Flächeninhalt der ebenen Figur AXAPQ, in welcher OA1 gleich 1 sein möge, die geometrische Deutung für die Function \x giebt.

Aufgabe 7. Die verallgemeinerte Parabel ist durch die Gleichung

(24.)

bx^ 4* alh

Dabei ist 1 entstanden.

Für den besonderen Fall, wo xx gleich a und x₂ gleich x ist, wo also die gesuchte Fläche A QP im Scheitel der Hyperbel beginnt, wird

bxi + ayx

(20.)

_ xJL_-aL\(- +

2    2 \a

Aufgabe 6. Die gleichseitige Hyperbel ist durch die Gleichung

(21.) xy = 1, oder y = ~

gegeben; man soll den Flächeninhalt der Figur Qi P1P2Q2 berechnen (Fig. 17).

Auflösung. Aus Gleichung (21.) folgt nach Formel Nr. 12 'x der Tabelle

Eig. 17

ja p

di

a₂a

also

X%    OC‘2

Xi    Xi

K>

yn = 2pxm, oder y = -}/2p . xn

gegeben; man soll den Flächeninhalt der ebenen Figur QXPXP₂Q2 berechnen (Fig. 18).

Auflösung. Aus Gleichung (24.) folgt nach Formel Nr. 9 der Tabelle

(25.) F

dx

py

Fig. 18.

P*

F-

r-    m —

—— x^2 p.xn

m + n L r J ’

ÖT

Qi

U₂ a

oder

r    [xyT~ — —7—    — *iyi).

m + n L    m-\- nK y y

Für den besonderen Fall, wo xx gleich 0 und x*. gleich x ist, wo also die Figur im Scheitel 0 beginnt, wird

(26.)

F=--

77

—— OQPli. m -f- n

Dies giebt den Satz: Die von der Parabel OP, der X-Axe und einer beliebigen Ordinate QP begrenzte Figur OQP verhält sich zu dem Rechtecke OQPR mit den Seiten OQ gleich x und QP gleich y wie n zu m -|- n.

Aufgabe 8. Die verallgemeinerte Hyperbel ist durch die Gleichung

(27.)

F= OQP = vxy_ — m -f- n

(28.)

oder y=y2p.x H

xmyn = 2p

gegeben; man soll den Flächeninhalt der ebenen Figur Q^P^P^Q* (Fig. 19 und 20) berechnen.

Fig. 19.

Y\

Fig. 20.

pi

fl

Auflösung. Es darf hier vorausgesetzt werden, dass die positiven ganzen Zahlen m und n von einander verschieden sind, weil der Fall, wo m gleich n, bereits durch Aufgabe 6 erledigt ist. Unter dieser Voraussetzung folgt aus Gleichung (28.) nach Formel Nr. 9 der Tabelle

n—m

(29.) F

OC±    X.± m

==jydx = -j/2 pjx

Xi    *1

n/-^- / n~m

=nyMx₂*

n—m \

n j

ax =

r n

n /— r

-Xi

n—m^

")

oder mit Rücksicht auf Gleichung (28.)

(30.)

—    \xV2P . xy~\ = -2— [xyf

—    m L    J n—mL

xx

_ njxjyi — Xi])i) ' n — m

Bei dieser Aufgabe tritt ein bemerkenswerter Umstand ein, von dem später noch ausführlicher die Rede sein wird, wenn sich die Ordinate Q\P\ der Y-Axe immer mehr nähert, wenn also

lim^i = 0

wird. Die Y-Axe ist nämlich eine Asymptote der Curve, so dass sich in diesem Grenzfalle der Flächenstreifen in der Richtung der Y-Axe bis in’s Unendliche erstreckt. Damit ist aber noch nicht gesagt, dass dann auch der Flächeninhalt der Figur unendlich gross wird; es wird sich vielmehr ergeben, dass derselbe einen endlichen Werth erhält, wenn n > m ist (Fig. 19).

Yi_jYi

Dann wird nämlich in Gleichung (29.) der Exponent —— positiv, und deshalb

(31.)

Xi = 0

sodass Gleichung (29.) in

(32.)

jp nV2p

F = ——-~x% n — m

übergeht.

Ist dagegen n<m (Fig. 20), so wird ~—~m dass man Grleichung (29.) besser auf die Form

F_ zp / j

m—n (

\ n

\Xi

negativ, so

(33.)

—

m—n I

-rTj

bringen wird. Jetzt ist

m—n

(34.)

also

\imxr n = 0

iC!=0

(35.)

lim J>’=

OO.

a-,=0

Eine ähnliche Betrachtung stellt sich ein, wenn man x-> in’s Unbegrenzte wachsen lässt. Dann erstreckt sich der Flächenstreifen in der Richtung der X-Axe bis in’s Unendliche, und man erhält in dem ersten Falle, wo

n —m

n> m

n—m    i * n

- >0, lim ^2

ft    ä;₂=00

= oo

ist, aus Grleichung (29.)

(86.)

lim F = oo.

0*2=00

In dem zweiten Falle, wo

m—n    1

— > °» i™ -if

n    x_=oo —

ist, findet man aus Grleichung (33.) lim F = —

(37.)

X.£=00

m—n

ftZiVi m—n

Xi

Bei der in Aufgabe 6 behandelten gewöhnlichen gleichseitigen Hyperbel wird der Flächeninhalt der Figur unendlich gross, wenn die Ordinate Qd\ mit der F-Axe zusammenfällt, und ebenso auch, wenn die Ordinate Q₂Pi in’s Unendliche rückt, weil in Grleichung (22.)

lim\xi — — oo und lim lx₂ = oo.

#1=0

x>=co

Aufgabe 9. Die Kettenlinie ist durch die Gleichung

(38.)

e -j⁻ 6

»)

gegeben; man soll den Flächeninhalt der Figur Q\FA\Q> (Fig. 21) berechnen.

Auflösung. Aus Gleichung (38.) folgt nach Formel Nr. 11 der Tabelle

Fig. 21.

Pz

*2

(39.) F

= jydx

x-, x

a C( a

.Ti

^)dx

ö/

ÖFX

«²r «

*2

Nun ergiebt sich aber, wie auf Seite 337 und 338 der D.-R. gezeigt wurde, aus Gleichung (38.) (40.) wobei das obere oder das untere Vorzeichen gilt, jenachdem x positiv oder negativ ist. Sind also xi und x₂ beide positiv, so geht Gleichung (39.) über in

______________ #2 . _ _______

(41.) F=a\\y² — a²\ = a(]/y₂² — cd — Y yd—ft²).

x\

Wäre xx negativ, so würde man erhalten

(42.)

F— a{Yyd — ft²    Y yd — ß2) •

Wird xi gleich 0 und x₂ gleich x (Fig. 22), so ist der Flächeninhalt der Figur OAPQ gleich

(43.)

F = aYY—

und lässt sich auch sehr leicht als Rechteck darstellen. Beschreibt man nämlich um den Punkt A mit dem Halbmesser y einen Kreisbogen, welcher die X-Axe im Punkte B schneidet, so ist nach dem pythagoreischen Lehrsätze

(45.)

Aufgabe 10. Die Cyldoide ist durch die Gleichungen x = a(t — sin t), y = a( 1 — cosć) gegeben ; man soll den Flächeninhalt der Figur berechnen, welche von einem ganzen Bogen QHA der Cykloide und von der X-Axe begrenzt wird (Fig. 23).

Fig. 23.

ft

(46.)

Auflösung. Sind x und y als Functionen einer dritten Veränderlichen t gegeben, so wird es bei der Quadratur der Curven (und ebenso bei den übrigen Anwendungen der Integral-Rechnung auf die Geometrie) im Allgemeinen zweckmässig sein, diese Grösse t als neue Integrations-Veränderliche einzuführen. In der vorliegenden Aufgabe bildet man daher zunächst dx — a(l — cos t)dt, also, da OA gleich dem Umfange 2an des rollenden Kreises ist,

2 an

(44.) OB — Y?/ — a² , also Rechteck

OACB = a~\/y²-—a².

Daraus erkennt man auch, wie man die Figur (Fig. 21) in ein Rechteck verwandeln kann, hei dem wieder OA = a die eine Seite und Yy 2² — a — Y y i¹—ä² die andere Seite ist.

Fig. 22.

P,

if

J/.

ft /ß

(2 an)

F—f ydx = a²J^1 — COS t) (1 — COS t)dt.

5    (0)

Bei Einführung einer neuen Integrations-Veränderlichen muss man sorgfältig darauf achten, dass dabei auch andere Integrations-Grenzen einzuführen sind. Deshalb sind auch in Gleichung (47.) bei dem letzten Integral die Grenzen in Klammern eingeschlossen, um dadurch anzudeuten, dass sich dieselben noch auf die ursprüngliche Integrations -Veränderliche x beziehen, und dass man dafür die entsprechenden Werthe von t nachträglich einsetzen soll. Nun ist

x = 0 für t — 0, x = 2an „ t = 2n folglich geht Gleichung (47.) über in

2 71

F = a?J[(1 — 2cos£ + cos ?t)dt. o

(48.)

(49.)

Nach den Formeln Nr. 10, 13 und 62 der Tabelle ist Jdt — t,    /cos tdt = sin t.

f w&Hdt = \ snD cosć -f-

so dass man erhält

(50.)

2 jt

F = a²[t — 2sint -|- sint cos t -f | £]’

=    [31 — sin t (4 — cos t)]~* = Sa²TT.

von

Die Fläche eines Kreises mit dem Halbmesser a ist bekanntlich gleich dln, folglich ist nach Gleichung (50.) die der Cykloide und der iX.-A.xe begrenzte Fläche dreimal so gross wie die Fläche des erzeugenden Kreises (Fig. 23).

Fig. 24.

\A

öl ä

Aufgabe 11. Die Astroide sei durch die Gleichungen (51.) x = a cos H, y — ańKt gegeben (Fig. 24); man soll die von ihr eingeschlossene Fläche berechnen.

Auflösung. Um zunächst den Flächeninhalt des Quadranten OB A zu berechnen, muss man in

der allgemeinen Formel für x die Grenzen 0 und a einsetzen. Da nun    r

to¹ S3

x — 0 für t =

7T

wird, so sind — und 0 die entsprechenden Grenzen bei Ein-

Li

(52.)

führung der Integrations-Veränderlichen t. Deshalb erhält man dx = — 3 a cosH sin tdt,

n    0

(53.)

F = J jdx = — 3 a²/sin³i. cos²i sinicii

0    71

= -f 3a²/sin⁴i cosHdt. o

Zur Ermittelung des unbestimmten Integrals von sin⁴i coûtât beachte man zunächst, dass

'(54.)

/ńn⁴1 cos’tdt = Jsin Hdt — jsin⁶idi

ist, und bilde nach Formel Nr. 63 und 66 der Tabelle die Gleichungen

(55.)

fsin Hdt — — ^sin⁵i cos t + |/sin⁴ie?i,

(56.)

JsinH dt — — \ sin³i cos t -f- \f sinH dt,

(57.)

JsmHdt = — -1 sin i cosi + -\t.

Indem man Gleichung (55.) mit — 1, Gleichung (56.) mit + Gleichung (57.) mit + multiplicirt und dann alle drei Gleichungen addirt, findet man

(58.) ß

sin⁴i dt —ßmH dt = i sinQ cos t—~ sin³i cos t J    6    24

folglich ist

F — [cos t (8 sin⁵ć — 2 sin³jÇ — 3 sin t) + 31\ “

71

(59.)

a² 3 re 3a²7r

16 * ~2~    32

Der Flächeninhalt der ganzen Astroide ist daher

(60.)

4 F=~

3a² it

Dies giebt den Satz: Der Flächeninhalt der Astroide verhält sich zu dem Flächeninhalte des umschriebenen Kreises wie 3 zu 8.

Aufgabe 12. Die

Gleichungen

Cissoide des Diokles ist durch die

Fig. 25.

C-

sin ³y

COS (f

gegeben (D.-R., Seite 367); man soli den Flächeninhalt der Figur OQP (Fig. 25) berechnen.

Auflösung. Aus den Gleichungen (61.) folgt

(61.) x — 2asin²y, y = 2a

Q~M

Ar

x = 0 für y =

x = 2 a „

(62.) dx = 4a sin y cos y d(p, oder

cp =

X    (p

(63.) F=fiydx — 8a?f 3in⁴y dtp, o    o

folglich wird nach Formel Nr. 67 der Tabelle, wenn man n gleich 2 setzt, (64.) F= 8a²£— cosy Q sin³y

%sin?p)

= a²[3y

cosy(2sin³y + 3 siny)].

Da die Gerade AB eine Asymptote der Curve ist, so erstreckt sich der Flächenstreifen bis in’s Unendliche, wenn die Ordinate QP der Asymptote immer näher rückt und schliesslich mit ihr zusammenfällt, wenn also

oder lim y — —

Li

wird. Der Flächeninhalt der Figur bleibt aber endlich, da man aus Gleichung (64.)

(65.)

limz = 2 a

(66.)

3a² n

lim F = ——-

7t    A

⁽P=Y

erhält. Die Curve liegt zur X-Axe symmetrisch; deshalb wird der Flächeninhalt der Figur, welche von der ganzen Cissoide und der Asymptote begrenzt ist, gleich

3a²7r.

Aufgabe 13. Es ist die Gleichung

(67.)

IC

p(z³ — 9 z² + 23z— 15)

h

gegeben; man soll Jydx berechnen.

Auflösung. Nach Formel Nr. 9 der Tabelle wird

(68.) i

— 9z² + 23z — 15 )dx

— 15z

= — (6⁴ — 12Ô³ + 46Ô² — 606 — a⁴ -f 12a³ — 46a² + 60a). •±8

Will man sich über die Bedeutung dieses Resultates Rechenschaft gehen, so muss man beachten, dass die der Gleichung (67.), oder der Gleichung

~ (z — 1) (z — 3) (z — 5)

(67 a.)

Fig. 26.

Hl

0//Ä

entsprechende Curve die X-Axe in den Punkten A, B, C mit den Abscissen

OA = l, OB = 3, OC= 5

schneidet. Setzt man daher

b — + I?

a = — 2 so erhält man

+1

(69.) DiAD = fydx —2

= i(—2⁵-«6)

147

16

Der Ausdruck ist negativ, weil die Figur D\AE> unterhalb der X-Axe liegt. Ferner wird der Flächeninhalt der Figur

^(-9 + 25)=    .

und zwar ist dieser Ausdruck positiv, weil die Figur AHB oberhalb der X-Axe liegt. Indem man a gleich 3 und b gleich 5 setzt, findet man den Flächeninhalt der Figur

(70.)

AHB

+3

=jydx =

+i

co

(71.)

BTC =

-.Jydx = ~(— 25 + 9) =

3

h ! co

und zwar ist dieser Ausdruck wieder negativ, weil die Figur unterhalb der X-Axe liegt. Endlich ist der Flächeninhalt der Figur

7

=Jydx —

5

^(119 + 25)= + 3.

Dieser Ausdruck ist positiv, weil die Figur oberhalb der X-Axe liegt. Demnach ist

(72.)

CEyE

18

+7

(73.)

jydx = — (ii⁹ — 416) = —2

05 CO

und kann geometrisch gedeutet werden durch die Summe der Figuren

D,AD, AHB, BTC und CEtE, wobei aber die erste und dritte mit negativem, die zweite und vierte mit positivem Vorzeichen zu nehmen ist.

Dies giebt in Uebereinstimmung mit der auf Seite 15 ausgeführten Untersuchung den Satz : Wenn man den Flächeninhalt einer ebenen Figur zwischen einer Curve y — f{x)₇ der Abscissen-Axe und zwei beliebigen Ordinaten durch Integration berechnet, so sind die Flächenstüche über der Abscissen-Axe mit positivem, und die Flächenstücke unter der Abscissen-Axe mit negativem Vorzeichen berücksichtigt.

§ 12.

Quadratur der Curven bei Anwendung schiefwinkliger Coordinaten.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 90.)

Ist die Gleichung einer Curve für schiefwinklige Coordinaten gegeben, und bezeichnet man den Winkel, welchen die positiven Richtungen der Coordinaten-Axen mit einander bilden, durch y, so wird der Flächeninhalt eines Streifens Q PPX Qi (Fig.

27), wenn man ihn unter Vernachlässigung der unendlich

kleinen Grössen höherer Ord- , x ,

/y \l

nung als Parallelogramm be- ₀f Ąt trachtet,

Fig 27.

P Pj

Bl

(10

fiPPiQi = ydx . sin?',

also

6

= sin y Jydx.

a

Kiepert, Integral-Rechnung.

Uebungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Die Gleichung

(8.)

_ i

y¹ — 2pr, oder y = y 2p . x ¹ stellt auch für schiefwinklige Coordinaten eine Parabel dar, wobei die Y-Axe eine beliebige Tangente ist, und die A-Axe

Fig. 28.

Ml

durch den Berührungspunkt parallel zur Axe der Parabel läuft (Fig. 28); man soll den Flächeninhalt der Figur OQP berechnen.

Auflösung. Hier ist nach Gleichung (2.)

(4.)    P = sin^ . Ÿ2p f x¹ dx

oi

X    b

_ro r2

= sin Y • K2/^₃

öj

Aufgabe 2. Macht man in der Ellipse zwei conjugirte Durchmesser, deren Länge 2r und 2s sein möge, zu Coordinaten Axen, so hat die Ellipse (Eig. 29) die !R Gleichung

Oj

•Lin»

oder

man soll den Flächeninhalt der Ellipse berechnen.

Auflösung. Hier ist nach Gleichung (2.) mit Rücksicht auf Formel Nr. 74 der Tabelle

j'ydx =

is-f

o

— z²

oder

(6.)

JF¹ = Ts7t sin?'.

Da der Flächeninhalt der Ellipse mit den Halbaxen a und b, wie schon in Aufgabe 4 a des vorhergehenden Paragraphen gezeigt wurde, gleich ahn ist, so folgt hieraus die wichtige Formel

(7-)

rs . sin/ = ab.

Aufgabe 3. Die Gleichung einer Hyperbel ist, wenn man die Asymptoten zu Coordinaten-Axen macht,

(8.)

\.xy = e², oder y =    •

man soll den Flächeninhalt der ebenen Figur Q1P1P2Q2 (Fig. 30) berechnen.

Fig. 30.

Auflösung. Aus Gleichung (2.) folgt in diesem Falle mit Rücksicht auf Formel Nr. 12 der Tabelle

(9.) F

— sin y j'y dx

\pi

e²sin/ fdx

J x

Xi

__ e²sin / y (x<*\ 4    \a*i/

0/

<Y

ÛJ

LZ-*

0,2

§ 13.

Quadratur von Figuren, welche oben und unten durch eine Curve begrenzt sind.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 91.)

(10

Eine Figur sei oben begrenzt durch die Curve (Fig. 31)

y' =/(*),

unten durch die Curve

(2.)

y“ =9 (x)

Fig. 31.

Y Jt

P[P[

P"

Q Q, B X

rechts und links durch die Or-dinaten B“B' und A“A‘ mit Bi den Gleichungen

(3.) x — b und x = a.

Man kann dann den Flächeninhalt der Figur A“A‘B‘B" jb" berechnen, indem man zuerst den Flächeninhalt der Figur

(4-)

AA'B'B = fy'dx

a

berechnet und davon den Flächeninhalt der Figur

b

5.)

AA“B“B — fyl,dx

abzieht. Dadurch erhält man

b    b    b

(6.) F

— yu)dx.

= A“A‘B‘B" = fy'dx —Jy“dx = J{y‘

a    a    a

Dasselbe Resultat findet man auch, indem man durch zwei benachbarte Punkte Q und der X-Axe Parallele zur F-Axe legt, welche die beiden Curven bezw. in den Punkten P', P\ und P“, P“\ treffen. Den Streifen F“PlPy‘Pt" darf man unter Vernachlässigung von unendlich kleinen Grössen höherer Ordnung als ein Rechteck mit den Seiten

und QQi — dx

P"P = y'—y"

betrachten, wenn QQt verschwindend klein wird. Dadurch erhält man für den Flächeninhalt des Streifens

P“P‘P\P‘\ = (y‘ — y“)dx,

so dass die Summe aller dieser Streifen, nämlich

y“)dx

f=Av‘ -

den Flächeninhalt der ganzen Figur A“A‘B‘BU giebt.

Dabei ist zunächst stillschweigend die Voraussetzung gemacht worden, dass dieCurvenbögen-4'ß' und A“B“ beide über derX-Axe

Fig. 32.

liegen. Das Resultat bleibt aber auch dann noch richtig, wenn diese Voraussetzung nicht erfüllt ist. Liegt z. B. der eine Bogen A“BU unter der X-Axe (Fig. 32), so hat, wie _ schon früher hervorgehoben ⁰

b

wurde, fy“dx einen negativ

JL

A'

B~X

en

A*

A"

Werth, so dass

b    b    b

fy'dx J y“dx -f{y‘ — ÿ*)dx

a    a    a

die Summe der beiden Flächenstücke AA‘B‘B und A“ABB‘ giebt.

zu

In ähnlicher Weise kann man zeigen, dass Gleichung (6.) noch richtig bleibt, wenn beide Curvenbögen A‘B‘ und A“B“ unter der X-Axe liegen, und schliesslich auch, wenn die X-Axe von den Begrenzungscurven geschnitten wird. Den letzten Fall kann man dadurch auf die vorhergehenden Fälle zurückführen, dass man die Figur in mehrere Theile zerlegt, indem man durch die Schnittpunkte der beiden Curven mit der X-Axe Parallele der Y-Axe zieht. Für jeden einzelnen Theil gelten dann die früheren Voraussetzungen.

Uebungs -Aufgaben.

Aufgabe 1. Von einer Parabel mit der Gleichung

i

(7.)

y¹ = 2px, oder y = ± \2p . æ

Fig. 33.

Pi

ist durch die Sehne 01\ (Fig. 33) das Segment über OPi abgesclmitten; man soll den Flächeninhalt dieses Segmentes berechnen.

Auflösung. Die Gleichungen der beiden begrenzenden Curven sind in diesem Falle

trx

folglich erhält man nach Gleichung (6.)

(8.) y‘ — y2p . x¹ und y“ — —

XX

■r;

(9.)

— y“)dx

xx

=f(y*ï> •x

0

4_yi

Xi

x\dx

= [V²? • 1

Io

oder

(10.)

00 ! to

siyi.

zi y\ — 2XlVl

Das Segment über OI\ ist also dreimal kleiner als das zugehörige Dreieck OQ\l\.

Dasselbe Resultat ergiebt sich, wenn man von der Fläche OQiPi, deren Inhalt nach Aufgabe 2 in § 11 gleich ist, den Flächeninhalt des Dreiecks OQiPi, nämlich abzieht.

Aufgabe 2. Von der Parabel mit der Gleichung y² = 2px, oder ÿ

ist durch eine Gerade P\ P₂ mit der Gleichung

y“ = mx + P

(11.)

/- 4

= ± y 2p • x

Dabei ist aber bekanntlich

m _ y*—y‘i_y*+yt

(15.)

ein Segment l\‘OP₂ abgeschnitten (Fig. 34); man soll den Flächeninhalt des Segmentes berechnen.

Auflösung. In dem vorliegenden Falle, wo der Punkt P\ unter der X-Axe liegen möge, muss man die Figur durch die Gerade P\Pi, welche der Y-Axe parallel ist, in zwei Theile zerlegen und erhält

P,

/I

ai

pi

Fig. 34.

'S

02

to

Ol

IO

Vo

o,

02

(14.)

P‘,P,P,

*2

=ßy

— y“) dx —

*2

JiVßp . X¹

x₁

— mx — ij)dx

2a;²

mx²

~2--Px

T

xx

(M 1 CO

Ol

Ol

to| §

IO

IO

'S

X₂-Xi

_ szy'i —xvy₂ _xty₂ + %nyi

^    Xz X\    X2 X\

folglich wird₇ wenn man noch die Gleichungen (13.) und (14.) addirt,

(16.) 1 = -§(a*iyi -f- x-iy%) — ^{xi + #2) (yi + y2) + X\y2 +

= K-ri 2/1 +    + Hw + w)-

104 § 13. Quadratur der Curven bei rechtwinkligen Coordinaten. Es sei z. B.

also

xv — 4, x₂ = 16, 2p = 9,

y 1 = 6, y-2 = 12,

dann wird

(17.)

F= £(24 + 192) + |-(48 + 96) = 108.

Fig. 35.

Pf B

?2

Ql 0

«i.

Aufgabe 3. Die Gerade (18.)    3/<y = wa: -f- y

schneide von der Ellipse

(19.) y‘ = ^ "[/a²— æ²

ein Segment P^BP₂ (Fig. 35) ab; man soll den Flächeninhalt des Segmentes berechnen.

Auflösung. Nach Gleichung (6.) wird in diesem Falle

fi\dx

(20.) F =

r

J(y‘

— iy“)dx

-kvi'

*i

-X² —

mx —

K v*-*+ai

arc sin

mx²

2--lxx

]■

*i

to i i-¹ to ! i—¹

xy — mx² —

2;xx -f a/aarc sin

{x₂y₂ — xxyt) — m(x ₂² — xd) — 2[x(x₂ — xi)

+ a b arc sin

— ab arc sin

(21.)

Nun ist aber bekanntlich ₌ y* — yi,

x₂ — Xi

x₂yi — Xj y₂

x₂ — Xi

folglich wird

{22.) m(x₂²—xd)+ 2/u(x₂ — xt) = (y₂ —yi) (t₂-j-xd) + 2{x₂yt — zi*/₂)

= ipx₂y₂ — a^yi) + Or₂yt — ^ty₂).

Dies giebt

(23.) F=\ Oi^2 — or₂yy) + °^r Es sei z. B.

arc sin

— arc sin

(24.)

a = 6,    5 = 4, cry = — 1, x₂ = -f 5,

also

CM I CO

CM IcO

1/35,    y₂= yil

dann geht Gleichung (23.) über in (26.) F= 12 arcsin

(25.)

+ arc sin    ™ (V11 + 5y 35).

Dabei ist

12 arc sin

= 11,821 327

Ÿ11 = 3,327 708

12 arc "sin

(!)=

2,009 377,    5]/35 = 29,580 399

also

(27.)

F= 13,830 704 — 4.32,908 107 = 2,861 335.

Verbindet man den Nullpunkt 0 mit den Punkten Pi und P₂ (Fig. 35), so erhält man ein Dreieck Ol\I\ mit dem Flächeninhalte \(x₂yy— ^1^2). Wenn man daher dieses Dreieck zu dem Segmente über der Sehne PtP₂ hinzufügt, so ergiebt sich nach Gleichung (23.) für den Sector PiOP₂ der Flächeninhalt

(28.)

Sector = ~ arc sin

Li L

a U?

— arc sin

(29.)

Aufgabe 4. Eine Ellipse sei durch die Gleichung anx² + 2 al2xy + a₂₂y² + «33 = 0 gegeben; man soll den Flächeninhalt derselben berechnen.

Auflösung. Der Anfangspunkt der Coordinaten liegt im Mittelpunkte der Curve, aber die Coordinaten-Axen fällen nicht

Fig. 36.

mit den Axen der Ellipse zusammen (Fig. 36). Damit die Gleichung eine reelle Ellipse darstellt, müssen die jp₂ Ungleichungen

Pi

V"

\ «11 «22 — «12² > 0, l «22 «33 < 0

befriedigt werden. Aus Gleichung (29.) folgt dann

²    (30.)

also

a^y‘ —-«12« + y (('ii¹-«11 a^XŁ-«22 «33 ,

«22y —    «12'£ 1^(«12_> -«11 «22)^ - «22 «33j

I K)

y'— y“ = - -V(«i2² — «u «₂₂)^2 2

Nach den in den Ungleichungen (30.) ausgesprochenen Voraussetzungen kann man zwei positive Grössen e² und k² durch die Gleichungen

(32.)

erklären, so dass Gleichung (31.) übergeht in

(33.) y‘ — y“ = - -]/— c²P +W = — YId — x~ ;

2    «22

folglich wird

(31.)

— «22 «33 •

c~ — «11 «22 - «12², ^² —

«22 «33

6²

,3- to

X-i

(34.)

-ft

Xi

— y“)dx

— dx V/c²

-X¹.

x\

Zur Bestimmung der Integrationsgrenzen beachte man, dass (y‘—y“)clx einer der Streifen ist, in welche man sich die ganze Fläche zerlegt denken muss. Die durch die Integration ausgeführte Summation aller dieser Streifen beginnt in demjenigen Punkte Pi und endigt in demjenigen Punkte P₂, in welchem der Punkt P‘ mit dem Punkte P“ zusammenfällt, so dass die Tangenten in den Punkten Pi und P₂ zur Y-Axe parallel sind. Die Werthe von xx und x₂ findet man daher, indem man

2c

.r²

y‘ — y“ =

gleich 0 setzt. Daraus ergiebt sich

X\ -— — k und X2==: “I⁻ k,

a 22

(35.)

(36.)

-2² ,

-Ä

also nach Formel Nr. 74 der Tabelle

(37.) F = —-

\~ Yk²—W T-    arc sin

l_ z    z

«22

Wo

Wen

[arc sin 1 — arc sin (— 1)] = oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (32.)

«33?*

Y ana 22 — «i2²

(38.)

«22

«22

2? =

«22«337r

(122e'

Dasselbe Resultat findet man, wenn man die Halbaxen a und b bestimmt und in die Formel

F = ahn

einsetzt, denn es ist bekanntlich

(89.)

«=y

- 2 «33

«11 T" «22 — ]/(«ii - «22)“ + 4<7₁₂²

— 2 «33

«11 + «22 H⁻ ]/(«!! - «22)² + 4ai2²

also

(40.)    «6 =

2(?33

V («11 + «22)² - («11 - «22)²-4l/₁₂²

__ «33___

]/«ll«₂2-«12²

§ 14.

¹

xu .

= ~y su1d

Der Flächeninhalt des Parallelogramms OQPR ist gleich xy sin y, folglich bleibt der auf Seite 82 angeführte Satz auch in diesem Falle noch richtig.

Fig. 29.

Quadratur der Curven bei Anwendung von Polarcoordinaten.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 92.)

Fig. 37.

Q.J

Bei Anwendung von Polarcoordinaten mögen die Coordinaten eines Punktes P immer mit r und (p, die eines Punktes Pi mit rx und (fi, allgemein die eines Punktes P„ mit rn und rpn bezeichnet werden. Nennt man den Flächeninhalt einer Figur AOP, welche durch zwei beliebige Radii vectores OA, OP und durch den Curvenbogen AP begrenzt wird (Fig. 37), S {Sector), so ist S eine Function von cp. Den unendlich kleinen Zuwachs

(1-)

dS = POPi,

>x welchen diese Function S erleidet, wenn der Winkel XOP gleich <p um d<p zunimmt, findet man, indem man POPi als ein geradliniges Dreieck ansieht. Dadurch erhält man nach bekannten Formeln

(2.) dS = \OP, OPi sin{d(p) = \r{r -f dr)

sin (d(p)

d(p

oder, weil für einen verschwindend kleinen Werth von drp

sin {d(p) _

(3.)

lim (r -f dr) = r und lim

d(f

ist.

(4.)

also

dS == \r²d(p

(5.)

S = \fr²d<p

a

wobei ^CXOA = a und ^CXOP = <p gesetzt ist.

Gewöhnlich wird bei den Anwendungen auch die obere Grenze cp einen constanten Werth ß haben, welcher dem Radius vector OB (Fig. 38) entspricht.

Auch dieses Integral kann als eine Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen betrachtet werden. Theilt man nämlich den Winkel A OB in n (gleiche oder ungleiche) Theile, so wird auch der Sector AOB in n Theile zerlegt (Fig. 38), von denen man jeden einzelnen POPx unter Vernachlässigung

unendlich kleiner Grössen höherer

Fig. 38.

Ordnung, nämlich unter Vernachlässigung der Dreiecke PQPi, als einen Kreissector mit dem Flächeninhalte \r²d<p betrachten kann. Dabei ist die Voraussetzung gemacht, dass die Anzahl n der Sectoren unendlich gross wird, und dass die einzelnen Sectoren dabei sämmtlich unendlich klein werden.

Durch Summirung aller dieser unendlich kleinen Sectoren findet man für den Flächeninhalt des ganzen Sectors

(6.)

s = \Ir%d(P

Uebungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll den Flächeninhalt des Sectors P\OP% bei der Archimedischen Spirale

(7.)

r = a(p

berechnen (Fig. 39).

Auflösung. Nach Gleichung (6.) ist in diesem Falle

Fig. 39.

Pl

(8.) S

<pi    <p>

= ^Jr*dcp = jßp²d(p

<Pi    <pi

Ti

<3*1

p}

(9.)

_ ra‘ — rt³ .

Aufgabe 2. Man soll den Flächeninhalt des Sectors PlOP2 bei der allgemeinen Spirale

r — a(fn

also

(10.)

berechnen.

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe erhält man hier

(11.)

<P i    ₉ <p *

S=Z\f> 2d(f = 2 ff2nd(f

<p i

<p i

Fig 40.

Pz

^_a²(<p₂2w+1— </)i2w+l)

⁼ 2(2« 4- 1)

Aufgabe 3. Man soll den Flächeninhalt des Sectors PiOP₂ bei der logarithmischen Spirale

2 [_2« + lj

2m+1 -

<p i

(12.)

r --— ea<P berechnen (Fig. 40).

Auflösung. Aus Gleichung (6.) erhält man in diesem Falle

(13.)

«Pi    <Pa

= Pdrp — ^ Je2afP d(f

<Pi    <Pi

(<Pd

=    <2ar/)) = ~ [e2av ] ,

also

(14.)

F=

r₂² — rf²

Aufgabe 4. Die Gleichung

(15.)

-ł

/■

cos

oder

(-)

Fig. 41.

/r

COS²

stellt eine Parabel dar (Fig. 41); man soll das Segment BAC berechnen.

Auflösung. Aus Gleichung (15.) folgt in diesem Falle

+ ■?

(16.) S = \lrH,f = a^f

Jn    A cos*

d(f

l-O¹^

oder, wenn man

(f = 2t

setzt und Formel Nr. 44 der Tabelle berücksichtigt,

(17.)

S = o?

TI

= e²[tg^ + |tg:V]

8«²

Aufgabe 5. Man soll den Flächeninhalt der Cardioide mit der Gleichung

i

(18.) r* oder

Fig. 42.

-•o—

= a COS

Sv

r = a cos²

berechnen (Fig. 42).

Auflösung. Setzt man

cp = 2^

so wird zunächst mit Rücksicht auf Formel Nr. 65 der Tabelle

(19.)

w    cp    t

s = \yr2d(f = \jcos4 (I) d(f = aß

0 0 0

COS Hdt

= a²[-\ cosH sin t -f § cos t sin t + f ^

also

(20.) S = ~ 2 cos³

(f)sin(i)+ 3coä(i)sin(f)

+ 3? •

21

Lässt man (f bis n, also ~ bis

wachsen, so wird

(21.)

3 «²7T

16

die Hälfte des gesuchten Flächeninhalts, für welchen man daher

3a²7r

(22.)

erhält. Der Flächeninhalt der Cardioide verhält sich also zum Flächeninhalt des Kreises mit dem Halbmesser a wie 3 zu 8.

Fig. 43.

-r

Aufgabe 6. Man soll den Flächeninhalt der Lemniscate berechnen (Fig. 43).

Auflösung. Die Gleichung der Lemniscate ist

(23.)

r² = a²cos(2<^>),

folglich wird

<p

(24.)

rH ;

i'²d(f

<p

a² C

= — / cos (2 (f)d(f

o

= j[sm(2sp)]J = jsin(2y).

Den vierten Theil (Quadranten) der' Lemniscate erhält man,

wenn cp von 0 bis

7t

i also 2(p von 0 bis — wächst, folglich £

wird der Flächeninhalt der ganzen Lemniscate

(25.)

F= a²sin

©-

a².

Aufgabe 7. Die Gleichung des Folium Cartesii war für rechtwinklige Coordinaten

(26.)

x³ -f- y³ — 3 axy = 0 ; man soll den Flächeninhalt der Schleife berechnen (Fig. 44).

Auflösung. Bei Anwendung rechtwinkliger Coordinaten müsste man die kubische Gleichung (26.) nach y auflösen und erhielte einen Ausdruck für y‘—y", dessen Integration grosse Schwierigkeiten bereiten würde. Führt man dagegen durch die Gleichungen (27.) x = rcos</>, y = rsin<p Polarcoordinaten ein, so geht Gleichung (26.) über in

Fig. 44.

-X

_ 3asin</) coscp .

cos³(f + sin³«/) ’

deshalb findet man für den gesuchten Flächeninhalt

(28.)

(29.)

. f . ₇    9a- f sin²«/) cos²cp dtp

y ⁷ V ~~ 2 J (cos³</> + sin³</>)²

0 0

Indem man Zähler und Nenner des Bruches, der unter dem Integralzeichen steht, durch cos⁶«/ dividirt und beachtet, dass

= d(tgcp)

COS²(f    v 6 *

ist, ergiebt sich

(?)

(?)

(30.)

t²dt

9a² ftg²cpd(tg cp)_9a² /

⁼ TJ (1 + tgV)² ~ 27 (i + (0) (0)

wobei tgcp mit t bezeichnet ist. Setzt man noch

1 +    = z, also M²dt = dz,

so wird

(31.)

(1 + *³)²

=/

z~^dz — —

folglich ist

(32.)

3a² T 11

(?)

3a² T

3a²

1 + tgfyjo

Der Flächeninhalt der Schleife ist daher dreimal so gross wie der Flächeninhalt des Dreiecks AOB.

z_

(0)

§ 15.

Uebergang von rechtwinkligen Coordinaten zu Polarcoordinaten.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 93.)

Ist eine Curve durch die Gleichungen

(1.)

* = 9>(*)> y = W) gegeben, so führt man zur Berechnung des von ihr eingeschlossenen Flächeninhalts häufig mit gutem Erfolge Polarcoordinaten ein. Aus den Gleichungen

(2.)

x — rcoS(p, y — rsinr/)

findet man nämlich

(3.)

tg V = - ’

(4.)

d(p

xdy — ydx

cos'² <7^

und wenn man diese Gleichung mit

r² cos²^ — xl

x¹

multiplicirt,

(5.)

r²d<f = xdy — ydx = (*    — V )))

dt.

Dadurch geht Formel Nr. 92 der Tabelle über in

(6.) S = r²d(f = \j(xdy — ydx)

(a)

(ß)

-i/(- S-rx)

(«)

dt.

Uehungs -Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll den Sector der Kreisevolvente mit den Gleichungen

f x = a(cos t -\- t sin t),

\ y = a(sin£ — twst) berechnen (Fig. 45).

Auflösung. Aus den Gleichungen (7.) findet man

f dx = at COS t dt,

I dy = at sin t dt,

Fig. 45.

(7-)

(8.)

Öl

ax

folglich wird

(9.)

xdy — ydx =■ a²t²dt,

(10.)

S = jj'f-dt = 0

Bf)

Fig. 46.

Aufgabe 2. Man soll den Flächeninhalt der Astroide mit den Gleichungen (11.) x = «cos% y = asin³ć berechnen (Fig. 46).

Auflösung. Aus den Gleichungen (11.) findet man

J dx = — SacosHsmt dt,

\ dy = + 3asin²^cosî5^ folglich wird

(13.) xdy — ydx — 3a²(sin²żcos⁴ź + sin^cos²/)'^ = 3«²sin²£cos²^,

(12.)

0'

JP

(14.)

t

\a2 r

S — ----- / sin²ć cosV dt — AOP, o

oder

(15.)

4 sin²^ cos²^. dt

(t)

(0)

Dies giebt nach Formel Nr. 63 der Tabelle

3tf²    t    Q/Ï 2

(16.) S = — [— £sin(21) cos{2t) 4 t]Q = — [t — |sin(40].

erhält man den Sector A OB, d. h. den vierten

Theil der Astroide, folglich ist der Flächeninhalt der ganzen Astroide in Uebereinstimmung mit Aufgabe 11 in § 11

3 a²7T

Für t =

(17.)

Fig. 47.

Ss

Aufgabe 3. Man soll den Flächeninhalt der Epi-p cykloiden mit den Glei-\ chungen

fx = a\rn COS t— cos(mtf)] \y = «[msin^—sin(m/)J

berechnen (Fig. 47).

(18.)

Auflösung. Aus den

Gleichungen (18.) folgt

f dx = ma\—sin* 4- sin(m£)]<#,

\ dy — ma[w&t — COS(mt)]dt,

also, wenn man beachtet, dass hier m = n + 1 zu setzen ist,

(20.) xdy — ydx = mai² [(m + 1) — (m 4- 1) COS(nt)]dt — m(m 4- 1)«²[1 — COS (nt)) dt.

(19.)

(21.)

Dies giebt für den Sector AGP _ m(ni + l)«²

/>■

o

— cos {nt)\ dt

_ m (m + l)«² f

L

— sin (.nt) • n    '

Wenn der Sector durch einmaliges Abrollen des rollenden Kreises entstanden ist, wenn es sich also um den Sector AOBC handelt, so hat man den Wälzungswinkel des rollenden Kreises

nt = 2rr, also t = —

n

zu setzen und erhält

m(m -f- l)a²7r

(22.) S =

(n + 1) (n + 2)a²7r

= AOBC.

Ist n eine ganze Zahl, so schliesst sich die Curve und die ganze Fläche besteht genau aus n solchen Sectoren; in diesem Falle wird also der Flächeninhalt der Epicykloide

(23.)

(24.)

F = n . AOBC = {n + 1) (n + 2)a²7r.

Ist z. B. n — 6, wie es in Figur 47 der Fall ist, so wird F= 56a²/r.

Für n = 1 ist die Epicykloide eine Cardioide, deren Flächeninhalt demnach

(25.)

F — 6a²n

ist. Dieses Resultat stimmt mit dem in § 14 Aufgabe 5 gefundenen überein; nur war damals der Halbmesser a viermal grösser als in den hier benutzten Gleichungen.

Aufgabe 4. Man soll den Flächeninhalt der Hypocykloiden mit den Gleichungen

(26.) x = a [m cos t + cos {mt)}, y = a [m SÜD — sin {mt)\ berechnen (Fig. 48).

Auflösung. Aus den Gleichungen (26.) folgt j dx — ma[— sin?' — sin(mt)\dt,

\ dy = ma [cos t — COS (mt)]dt, also, wenn man beachtet, dass hier m — n — 1 zu setzen ist,

(28.)

folglich wird

xdV — ydx = ma- [(m — 1) — {m — 1) cos (nt)\dt = m{m — l)a²[l — cos (?«:)](#,

(29.)

C1 mim — l)a² /'

■1

--J[1

o

’■H SS

_ m(m —1 )a² |~

-    - yt-

sin (ni) = A OP.

ff

-E—

\

Fig. 48.

O/

Wenn der Sector durch einmaliges Abrollen des rollenden Kreises entstanden ist, so hat man den Wälzungswinkel dieses Kreises

nt = 2 n. also t — — n

zu setzen; dann wird

m{m — l)a²Tz

(30.) S =

_ (n—1 )(n—2)a²7T = AOBD.

(31.)

Ist n eine ganze Zahl, so schliesst sich die Curve, und man erhält für den Flächeninhalt der ganzen Hypocykloide F= n . AOBD — {n — 1) (n — 2) a²n.

(32.)

Für den in Figur 48 berücksichtigten Fall ist n = 3 und F = 2 a²yr, also doppelt so gross wie der rollende Kreis, oder wie der durch die Punkte DEF gelegte Kreis.

Bei der Astroide hat man n — 4 zu setzen und erhält in Uebereinstimmung mit Aufgabe 11 in § 11 und Aufgabe 2 in diesem Paragraphen

(33.)

F — 6 a²n,

III. Abschnitt.

§ 16.

Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 94—96.)

Eine Curve (Fig¹. 49) mit der Gleichung

(1.)

y =/0)

Fig. 49.

rotire um die X-Axe, dann beschreibt jeder Punkt der Curve einen Kreis. Um das Volumen V des Körpers zu berechnen, welcher bei der Rotation von der Figur AYAPQ beschrieben wird, beachte man zunächst, dass V eine Function von x ist. Wenn nämlich OQ = x um die Grösse QQl = Ax wächst, so wächst ^—-L auch V um den von dem Viereck QPPiQi beschriebenen Rotationskörper A V.

Dabei ist A V grösser als der von dem Rechteck QPRQi bei der Rotation beschriebene Cylinder if-n. Ax und kleiner als der von dem Rechteck Q7?₁P₁Qt bei der Rotation beschriebene Cylinder y?n .Ax; es ist daher

(2.)

y^Tt. Ax 'ïV A F    y i*⁷¹ • Ax.

Dies gilt nur, wenn die Curve (wie in Figur 49) vom Punkte Pbis zum Punkte 1\ steigt; wenn sie dagegen in diesem Intervalle fällt, so wird

(3.)

y²rr . Jx 1 V Vi y^n . Jx.

Steigt und fällt die Curve in dem Intervalle von P bis Pt abwechselnd (vergl. Fig. 3), so sei y‘ die Ordinate des höchsten Punktes H und y“ die Ordinate des tiefsten Punktes T, dann wird

(4.)

y,2rc . Jx f- JV^ y“²n . Jx.

In dieser Ungleichung sind die beiden vorhergehenden Ungleichungen (2.) und (3.) als besondere Fälle inbegriffen. Indem man die Ungleichung (4.) durch Jx dividirt, erhält man

JV

(5.)

y‘²n fl

Jx

fl y“²n.

Da nun für lim Jx = 0

lim y‘ = lim y“ — y

wird, so folgt hieraus

(6.)

dV

dx

y²7r, oder dV = y²ndx;

dies giebt

X

(7.)

nfifdx,

a

wobei die untere Grenze a die Abscisse OAi des Curvenpunktes A ist, denn für x gleich a wird das Volumen des Körpers gleich Null.

Gewöhnlich wird man auch für die obere Grenze einen constanten Werth b einsetzen müssen, so dass man erhält

b

(8.)

V = re fy²dx.

Auch dieses Integral kann man als eine Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen ansehen. Zerlegt man nämlich die ebene Figur Ai AB Bi durch Parallele zur F-Axe in n Streifen, die alle verschwindend klein werden, wenn n in’s Unbegrenzte wächst (Fig. 50), so darf man diese Streifen als

Fig. 51.

/y

In ähnlicher Weise findet man auch das Volumen eines Rotationskörpers, bei welchem die Y-Axe die Rotations-Axe ist ; nur muss man in diesem Falle x und y mit einander vertauschen, so dass man

d

(9.)

re fx²dy

c

■X

Rechtecke betrachten, denn die kleinen Dreiecke PRPy, welche dabei vernachlässigt werden, beschreiben bei der Rotation ringförmige Körper, deren Volumina unendlich kleine Grössen höherer Ordnung sind.

Das Volumen des Cylinders, welcher bei der Rotation von dem Rechteck QPRQi beschrieben wird, ist aber y-rc. dx,

wenn man die Höhe dx des    _

Cylinders sogleich verschwin-    ⁰

dend klein annimmt. Die Summe aller dieser unendlich vielen, unendlich Hachen Cylinder giebt dann das gesuchte Volumen des Rotationskörpers, nämlich in Uebereinstimmung mit Gleichung (8.)

b

n.f\y²dx.

Fig. 50.

p/

4,

a Qi

IV

t~x

erhält. Es ist dabei zu beachten, dass hier y die Integrations-Veränderliche ist, und dass man deshalb erst integriren kann, nachdem man in Gleichung (9.) xl als Function von y dargestellt hat, während in Gleichung (8.) x die Integrations-Veränderliche war.

Um dies anzudeuten, mögen die Integrationsgrenzen a und h, da sie besondere Werthe von x sind, in Gleichung (8.) mit xi und x2 bezeichnet werden; und ebenso mögen in Gleichung (9.) die Integrationsgrenzen c und d, da sie besondere Werthe von y sind, mit yY und yi bezeichnet werden.

Man erhält daher

(10.)

f²

n jy²dx,

*1 wenn die X-Axe die Rotations-Axe ist, und

(11.)

— nfx²dy y\

wenn die Y-Axe die Rotations-Axe ist.

Durch Verlegung der CoordinatesAxen kann man es immer erreichen, dass die X-Axe oder die Y-Axe mit der Rotations-

Fig. 52.

Bi

Axe zusammenfällt. Ist z. B. in Figur 52 die Gerade C\A mit der Gleichung

x = a

Rotations-Axe, so verschiebe man die Y-Axe parallel mit sich um die Strecke OA gleich a, indem man

x = x‘ -j- a, oder x‘ — x — a ~x setzt, dann wird

3/2    Vi

(12.)

= nj x‘²dy = nj (x — dfdy. y\    yi

Die Berechnung des Volumens der Körper nennt man „Kubatur der Körper“.

§ 17.

Uebungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Ein gerader Kreiskegel, dessen Grundkreis den Halbmesser a hat, und dessen Höhe gleich h ist, entsteht, indem ein rechtwinkliges Dreieck OCA (Fig. 53) um die X-Axe rotirt; man soll das Volumen des Kegels berechnen.

y ~ h'

ax

(1.)

In dem kecht-

Auflösung.

winkligen Dreieck OCA ist die Kathete OG gleich h, und die andere Kathete CA gleich a, folglich hat die Hypotenuse OA die Gleichung

Fig. 53.

■X

Das Volumen des Kegels wird daher nach Formel Nr. 94 der Tabelle

(2.)

also

= njtfdx = h2

a²rc

h

l/‘

0

x²dx

(3.)

r=

dłnłi

cdn pz³’

Ä²“ ¥    ~ ~3

Fig. 54.

Äß

a₂

Aufgabe 2. Ein abgestumpfter gerader Kreiskegel habe die Höhe h und sei begrenzt durch die beiden Kreise mit den Halbmessern ar und a₂; man soll das Volumen des Kegelstumpfes berechnen.

-x

Auflösung. Der Kegelstumpf T entsteht durch Rotation des Pa- TT ralleltrapezes OAxA₂A um die y X-Axe (Fig. 54), wobei OA gleich h mit der X-Axe und OAt gleich «i mit der Y-Axe zusammenfällt.

Die Gleichung der Geraden AtA2 ist daher

(40 folglich wird

also

//7T

(6.) V —— [ad + ata₂ + a₂²).

Aufgabe 3. Der Halbmesser einer Kugel sei a; man soll das Volumen einer Kugelschicht berechnen, welche oben und

Fig. 55.

unten von zwei Kreisen mit den Halbmessern xt und x2 begrenzt ist und die Höhe h hat.

Auflösung. Die Kugel-jj Schicht entsteht (Fig. 55) durch I Rotation der Figur r um die F-Axe, wobei Pi P2 der Bogen eines Kreises mit der Gleichung

(7.)

(5.) V

h    h

— nj'\f-dx — nj o    o

(a₂ — ciifx² 2 (a-2—adja^x

h²

+ ad dx

r(a₂—ad)²xB -n[ SÏd~~

JlTZ

= -g- [(«2 — ai)² + 3(a₂ — at)a! + 3 ad]

2(a₂ — ai)«!«²

2Ä

+ at²^

x- + y¹ — a², oder x¹ — a² — yl ist. Nach Formel Nr. 95 der Tabelle erhält man daher

(8.) V

also

Vi    y-i

= nf^dy = nj («’

3/i    3/i

— y²)dy — n a²y —

05^

,-Vi

?/i

(9.) F =

[3a%₂ — yi) — (y₂³ — yd)\ _ (ya — yQyg

[3a² — yd — 2/12/2 — 2/i²]

= lJi    [3(a²— y₂²) + 3(a²— yd) +[ył—2yxy₂+yd)].

Nun ist aber

(10.)

y* — yi = k, ył — Zyw + yî² = k²,

und nach Gleichung (7.)

d¹ — yd = xd, a² — yd = xd,

folglich wird

hn

(no

— (3xi² + 3xd + h²).

Setzt man in Gleichung (8.) yi gleich 0 und y₂ gleich a, so geht die Kugelschicht in die Halbkugel über, so dass man für das Volumen der ganzen Kugel

(12.)

erhält.

Ä 0

y³1

4

4a³7r

(13.)

Aufgabe 4. Die Parabel OP mit der Gleichung y² = 2 px

rotire um die X-Axe (Fig. 56); man soll das Volumen des von der Figur OQP beschriebenen Rotations-Paraboloids berechnen.

Fig. 56.

Auflösung. Nach Formel Nr. 94 der Tabelle ist

X    X

(14.) V

— n fyhlx = 2pnj xdx o    o

to I »

x . 2px . n

ä.

xy²n

■1

Dies giebt den Satz : Das Volum en des Rotations-Paraboloids

ist halb so gross wie der von dem entsprechenden Rechteck OQPR mit den Seiten x und y bei der Rotation beschriebene Cylinder.

Für x gleich y wird

Beschreibt man über einem Kreise mit dem Halbmesser x einen Cylinder mit der Höhe x, eine Halbkugel, ei ^Rotations- Paraboloid und einen Kegel mit der Höhe x (Fig. 57), so sind die Volumina dieser vier Körper bezw.

Fig. 57.

n_

Af

X³7T,

2 x³tc xAn x³n

3 ’ ir’ 3

und verhalten sich daher zu einander wie

6 : 4 : 3 : 2.

Aufgabe 5. Rotirt eine Ellipse mit der Gleichung

Fig. 58.

(16.)

x²

R.

„,.a

airto

--1- —

a² ^ b²

1,

oder

b²

yt

(a² — x²)

02

.k

a um die grosse Axe (Fig. 58), so heisst der dabei beschriebene Rotationskörper „längliches Rotations-Ellipsoid,“ ; man soll das Volumen der Schicht berechnen, welche bei der Rotation von

der Figur Q1P1P2Q2 beschrieben wird.

Falle

Auflösung. Nach Formel Nr. 94 der Tabelle wird in diesem

(17.) V

= nß*.

b²7T

a²

r>²

*1

b² TT,

a²x —

05 Io

b²n

= Ja² t3a2(^ — «0 — (^2³ — ^i³)]

b²n(x2 — Xi)

Sa²

(Sa² — X2² — X1X2 — xd),

-£(*• + * + ?)■

(18.)

Für yi gleich 0 ; y₂ gleich 0, h gleich 2 a erhält man das Volumen des ganzen Rotations-Ellipsoids, nämlich

(19.)

(17 a.) V =

7t(x2 #1) J3Ô²

30²

a²

(a² — ä-2²) 4--5- («² — «i²)

.0

tÀÎi., ^2

’+    (#2-*l)²

oder, wenn man die Höhe x₂ — xx der Schicht wieder mit h bezeichnet und Gleichung (16.) beachtet,

4 ab²n

Aufgabe 6. Rotirt eine Ellipse mit der Gleichung

(20.)

d²

IO I t

Fig. 59.

i\„

oder

d²

z² =

Xj

p (v-y²)

um die kleine Axe, so heisst der dabei beschriebene Rotationskörper „Sphäroid“ (Fig. 59); man soll das Volumen der Schicht berechnen , welche bei der Rotation durch die Figur RXPXP₂R₂ beschrieben wird.

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man hier

(21.) F

V\

zd¹

Î/1

wobei die Höhe y₂— yx mit h bezeichnet ist.

Für xi gleich 0, x₂ gleich 0, h gleich 2 b erhält man das Volumen des ganzen Sphäroids, nämlich

^dbrr

Aufgabe 7. Rotirt eine Hyperbel mit der Gleichung

£² y² _ ,

um die X-Axe, so entsteht das „zweischaliye notations- Hyperboloid1,1 (Fig. 60); man soll das Volumen einer Schicht dieses Körpers berechnen.

(23.)

oder

f = —i (** — ®!)

Fisr. 00.

A.2

Am

Auflösung. Hier ist

(24.) V

X₁    X₁

— a²)dx =

b²n [xz ~a²

b²TC

3a²

[x₂z — xf — 3 a²(x₂ — #i)]

_ b²n(x₂—xi)

3a²

{x₂² + X1X2 + Xi² — 3a²)

7i(x₂ — Xi) [3b² ,

= —g—h?⁽*!    “) +

3 b²

a²

(xi² — a²)

b²

oder, wenn man x₂ — xl mit h bezeichnet und Gleichung (23.) berücksichtigt,

(25.)

-tO*¹+ *-?)•

Für

xi = a, yi = 0; x₂ = x,y₂ = y; h = x —a erhält man das Volumen des Körpers, der bei der Rotation von der Figur AXQP beschrieben wird, nämlich

oder

a²

(26.)

b\x—a)²l b²(x—dfn

a²

3a²

('x -f- 2(i).

(27.)

Aufgabe 8. Rotirt eine Hyperbel mit der Gleichung

_yl-1

b²    '

X?

Fig. 61.

(27a.)    *² = b,

um die Y-Axe, so entsteht das „einschalige Rotations - Hyperboloid'“ (Fig. 61); man soll das Volumen einer Schicht dieses Körpers berechnen.

Auflösung. Hier ist

y2

(28.) V = nix?dy

Vi

a²n(y₂ — yx)

a²n

Jif + b²)dy

Vi

alTC

Vi

Sb²

oder

(29.) V= ÔÏ_J(Ü* ^    + b^)+~ (y.» + 4«)

d²

—-&(y*—yO* •

Bezeichnet man die Höhe y₂ — der Schicht wieder mit A, so wird mit Rücksicht auf die Gleichungen (27 a.)

a²h²

(30.)

= ~ (Sx? + Sx²

b²

Für

xx = a, yx — 0 ; x₂ — x, y₂ = y, h — y erhält man das Volumen des Körpers, der bei der Rotation der Figur OAPR um die Y-Axe beschrieben wird, nämlich

(31.) F =

Gy² + 3^²).

a²yn

3 b²

Aufgabe 9. Man soll das Volumen des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Kettenlinie um die A-Axe entsteht (Fig. 62).

Auflösung. Die Gleichung der Kettenlinie ist

Fig. 62.

/

(32.) y = ~\ea + e “ ,

oder ±yy»-o* = |(^

folglich wird

<*2,

(33.) V

= nffdx

a-n

2x

e“ + 2 + e

2x\

a )dx

xi

2x

a S’

₌ “A[“v +2*-

Unter der Voraussetzung, dass xA und x₂ beide positiv sind, erhält man

to; a

(34.) V =

an

X..

2 (_2

to; s

+ ax

X₁

= [y^Yył — a¹ — y I Y y? — aï + a(x₂ — a*)].

Wird dagegen negativ, wie es in Figur 62 der Fall ist,

so wird

(34a.) V = ^ [y2Vs/2² — «² + y\Vy\—«² + o(«2 — *0]* Für an = 0, yi = a \ x₂ — x, y₂ — y erhält man

^-(yYy² — a2 + ax\

Aufgabe 10, Man soll das Volumen des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Cykloide um die X-Axe entsteht (Fig. 63).

Fig. 63.

Auflösung. Die Gleichungen der Cykloide sind

(36.) ) * = “(<- «in t), l y — «G — cosż); d. h. x und y sind beide als Functionen einer dritten Veränderlichen t dar- 0 gestellt; deshalb wird es zweckmässig sein, t als Integrations - Veränderliche einzuführen.

Dies giebt

(37.)

dx = a(l — o,ost)dt, also, wenn der Körper durch Rotation der Figur OPQ entsteht,

(38.)

V — n Jy'²dx = azn J (1 — cos t)zdt

b    o

t

= a?n /(I — 3COSŻ + 3C0S²< — CO$H)dt, o

folglich wird nach den Formeln Nr. 10, 13, 62 und 36 der Tabelle

(39.) V = azn{t— 3snD -f fsüDcos^ -f \t — siiR -f -|-sin^)

= az7i [| t -f snR(— 4 + -fcos^ + ^sin²^)].

Für t = 27t erhält man das Volumen des Körpers, welcher durch Rotation der ganzen Cykloide OPHA entsteht, nämlich

(40.)

V — 5a³77².

Aufgabe 11. Man soll das Volumen des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Astroide um die X-Axe entsteht (Fig. 64).

Fig. 64.

\\

(43.)

Auflösung. Die Gleichungen der Astroide sind

(41.) x — acos³/, y = asin³/,

folglich ist, wenn man wieder t zur Integrations-Veränderlichen I macht und zunächst den Körper berechnet, welcher durch Rotation der Figur OQPB entsteht,

(42.) dx ——3a cos²/ sin tdt,

t

— 3a³ nfsin⁶/ cos²/ sin tdt

—    n frfdx —

ó

t

—    3a³nf '1 — cos²/)³ cos²/. d(cos/).

7t

7t

Setzt man also

cos / = z,

so wird, wenn man beachtet, dass cos^Qgleich 0 ist.

(44.)

V = 3a³nf[z- — 3z⁴ 4* 3z⁶ — z⁸)dz o

= 3 a³n

/z³ 3 z⁵ 3 z¹    \

\3    5”⁺ ~i y

a³ TT

105

(105 cos³/ — 189 cos⁵/ + 135 cos⁷/ — 35 cos⁹/).

Für / gleich O erhält man das Volumen des Körpers, welcher bei der Rotation von dem Quadranten A OB beschrieben wird, folglich ist das Volumen des ganzen Rotationskörpers 2 a³n

(45.)

105

(105—189 + 135 — 35)

32 a³n

105

Aufgabe 12. Man soll das Volumen des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Cissoicle um die X-Axe entsteht (Fig. 65).

§ 17. Kubatur der Rotationskörper; Uebungs-Aufgaben.

i

Fig. 65.

Auflösung. Die Gleichungen der Cis-soide sind

_ 2asin³y y ~~ cosy

(46.)    #= 2a sin² y

folglich wird

(47.)

dx = 4asiny cosy t/y,

(48.) V — n j'y-dx —

16a³7r

<P

¹f

0

sinly d(f

COS (f>

Setzt man also

(49.) cos (f = t, sin² y = 1 — t-, siny dcf = — dt

so wird

t — 1 für ff = 0,

und man erhält

(i — tydi

(50.) V = — 16a³/r

= — 16a:i7i

= — 16a³ TT |\ t —

31²

2’ ⁺ "4 “

4tt^7T

= —5—(— ¹²¹^ + 18/² — 9^⁴ + 2^ — 11)

O

4a³ 7T

-    [— 6l(£²) — 2(1 — t*y— 3(1 — Ć²)²— 6(1 —1²)\.

Nun ist

(51.) t² = cos²y = 1 —sin²y =    ^

folglich wil’d V —

I to

2a

(52.)

|^24a³l^^a ^ — æ³— 3a(r²— ,12a²«].

Aufgabe 13. Man soll das Volumen des Körpers berechnen, der durch Rotation der Cissoide um die Asymptote mit der Gleichung x = 2a entsteht (Fig. 66).

Auflösung. Zunächst möge das Volumen des Körpers berechnet werden, welcher bei der Rotation von der Figur OA SP beschrieben wird. Nach Formel Nr. 96 der Tabelle findet man in diesem Falle

Füg. 66.

■pk^ś.

y

(53.) V — Tif(x — 2 a)² dt/.

Dabei folgt aus den Gleichungen (46.)

(54.)

( x — 2a — — 2a C0S²r/>, J    ,    2a

dy =

cos ²r/>

(3 cos²</> -f- sin ²<y>) sm²(pd(p,

also

(55.)

<p

V = 8azn/sin²f/> C0S²f/)(3C0S²f/’ -f sin²<p)dcp. 0

Nun ist

(56.)

4sin²(p cos²r/> = sin²(2(p),

3cos ²r/> + sin ²(p = 1 + 2cos²fp = 2 + cos(2 (p), so dass man erhält

V = a³n /sin²(2r/>)[2 + cos(2rp)]d(2<p).

(0)

Dies giebt nach Formel Nr. 63 und 34 der Tabelle V = «³Tt[—sin(2<jp) cos(2r/)) + 2<p + £sin⁸(2(jp)].

Wenn 9 bis

(</>)

(57.) (58.) wächst, so wird y unendlich gross. Gleichzeitig erstreckt sich auch der Rotationskörper bis in’s Unendliche; trotzdem bleibt aber sein Volumen endlich, denn man erhält

lim V = a³7r².

7t

V=T

Aufgabe 14. Man soll das Volumen des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Ellipse

(60.) y — c ± — f/®²—^²

um die X-Axe entsteht (Fig. 67).

Auflösung. Man kann / das gesuchte Volumen V als die Differenz zweier Volumina V‘ und V“ betrachten, von denen V‘ bei der Rotation von der Figur QvPv‘Pi Q2 und V“ von der Figur Qi Pd'Pi " Qo beschrieben wird. Dabei ist

Fig. 67.

Ei

NS?

P2

Aj

O ÏÏj Ö Qz Bj X

(61.)

V‘

= 7t Jyt2dx,    V“ =.

xx

also

x-l

nfy“²dx,

xx

(62.)

V — V‘_V“

»2

= **/iy²

xx

— y"²)dx.

Bei der vorliegenden Aufgabe ist

y‘

Ya²—x²,

also

y' 4- yl> — 2c,

2b

y‘ — y“ = •— V«²—^²,

folglich wii'd

(63.)

(y‘ + y") (y' - y") = y'² - y"² = ^ y«²-*²

(64.)

—x².

Will man das Volumen des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der ganzen Ellipse entsteht, so hat man

x ] — — a, X2 = + a

zu setzen und erhält nach Formel Nr. 74 der Tabelle

(65.)

\bcn

a²

Ya²—x¹ + -\bcnVa² . , ,    .

⁼ ~H2arCSln(+

arc sin

arc sin(— 1)

= ‘laben².

IV. Abschnitt.

§ 18.

Rectification ebener Curven, deren Gleichung auf ein rechtwinkliges Coordinaten-System bezogen ist.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 97.)

Ist

(1-)

y =/0)

Fig. 68.

die Gleichung einer Curve (Fig. 68), so wird der Bogen AP gleich s ebenfalls eine Function von x.

Q Q, X

A,

Wächst nämlich x um die Grösse QQx gleich Jx, so wächst auch der Bogen s um die Grösse PPi gleich Js. Betrachtet man zunächst Js als die Sehne PPi, so ist Js die Hypotenuse in dem rechtwinkligen Dreieck PR1\, so dass man erhält

(2.)

PA² = PR² + PPf², oder Js² = Jx² + Jy²,

(2 a.)

Js — J/Jx² + Jy^-

Lässt man die beiden Punkte P und J\ einander unendlich nahe rücken, so gehen Jx, Jy, Js bezw. in die Differentiale dx, dy, ds über, und der unendlich kleine Bogen PPt fällt mit der unendlich kleinen Sehne PPi gleich ds zusammen. Deshalb erhält man für den unendlich kleinen Zuwachs ds des Bogens s aus Gleichung (2 a.)

ds — Y dx² + dy² = dx "J/ 1 +    '

(3.)

Daraus folgt durch Integration für den Bogen AP selbst

(4.)

Man wird hierbei die Integrationsgrenzen zweckmässiger Weise mit und x₂ bezeichnen, um anzudeuten, dass x die Integrations-Veränderliche ist. Dadurch geht Gleichung (4.) über in

(4 a.)

s=ß*ii+(S

Man kann nämlich auch y zur Integrations-Veränderlichen machen, denn aus Gleichung (3.) folgt

(5.)

also

(6.)

"»IMS'

y-i ___

s=/*/]A+(|j"-

ds =

Sind x und y als Functionen einer dritten Veränderlichen t gegeben, so wird man in den meisten Fällen mit gutem Erfolge t zur Integrations-Veränderlichen machen und schreiben

y CMS'-

-MShW

h

(7.)

ds = dt

(8.)

In dieser Formel sind die Gleichungen (4 a.) und (6.) als besondere Fälle enthalten, welche sich ergeben, wenn man t = x bezw. t = y setzt.

Auch hier kann man das bestimmte Integral als eine Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen betrachten.

Zerlegt man nämlich den Abschnitt QtQ₂ auf der X-Axe (Fig. 69) in n (gleiche oder ungleiche) Theile und legt durch die Schnittpunkte Parallele zur Y-Axe, so wird auch der Bogen PtP₂ gleich s in n Theile zerlegt.

Fig. 69.

pA

Qz X

Indem man die auf einander folgenden Schnittpunkte des Bogens durch gerade Linien mit einander verbindet, erhält man zwischen Pt und P₂ ein Polygon von n Seiten. Wird nun n unendlich ô gross, und werden die einzelnen Seiten des Polygons unendlich klein, so fallen sie mit den Bögen, deren Sehnen ds sie sind, zusammen.

Der ganze Bogen PtP₂ oder s wird daher die Summe von diesen unendlich vielen, unendlich kleinen Sehnen ds, so dass man wieder erhält

Xo

s = jds — Iydx¹ -f dy² = j'dx l/l    '

Xi

§ 19.

Uebungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll die Länge des Bogens OP der Parabel mit der Gleichung

(1.)

y² = 2 px

berechnen (Fig. 70).

Auflösung. Aus Gleichung (1.)

Fig. 70.

folgt

(2.) ydy = pdx, oder

dx

dy~ p

Man wird hier nämlich y zur Integrations -Verände rlichen machen

weil sich x und

dx

dy

rational durch y ~ö

irx

darstellen lassen. Dadurch erhält man nach Formel Nr. 97 der Tabelle

(3.)

5 ⁼Jdyi¹⁺d)! ⁼}/dyVp'

+ y²

und dies giebt nach Formel Nr. 82 der Tabelle

* = ~ IVp² + y² +^Ky + Vp² + y²)j

y 4- Vp² + y¹

■>

Aufgabe 2. Man soll die Länge des Bogens PtjP₂ der Ellipse mit der Gleichung

(5.)

b²x² + a²y² = a²£²

berechnen (Fig. 71).

Auflösung. Aus Gleichung (5.) folgt

Fig. 71.

(6.) y = ^ Vaï—x²,

dy ₌

— bx dx    a Y a'²—x²

öT¹⁻

«Tr

(7.)

a⁴ — e²a:2 a²(a² — a:²) ?

wobei

e² — a² — b²

ist. Daraus ergiebt sich

X-2

Cdx\ cP

(    (a* — e²x²)dx

J Y (a² — a:²) (a⁴ — e²x²)

Dieses Integral, das ein „elliptisches Integral zweiter Gattung“ genannt wird, kann erst an einer späteren Stelle ermittelt werden, da es sich weder durch algebraische Functionen noch durch die bisher bekannten tanscendenten Functionen ausdrücken lässt.

(8.) s =

— e²x²

rH

Man erkennt daher aus dieser Aufgabe, wie die Anwendungen der Integral-Rechnung auf neue transcendente Functionen führen.

Aufgabe 3. Man

soll die Länge des Bogens der Hyperbel mit der Gleichung (9.) b²x²—a%y% = cPh'1 berechnen (Fig. 72).

Auflösung. Man findet hier in ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe

Fig. 72.

Pl

A\    Ö2Ü

-JL

(10.)

s= /

Xz

(7/⁴ — e'-x’-^dx

l/(c²-.î²)(«⁴-e¥)

nur

ist bei der Hyperbel e- gleich a¹ + Ir.

Aufgabe 4. Man soll die Länge des Bogens PXP₂ der Keüenlinie mit der Gleichung

IC : a

(il.) y =

berechnen (Fig. 73).

Auf I os u n g. Aus den Gleichungen (11.) folgt

), oder ±Yf—=

Fig. 73.

„«I.,(•

Pz

2x

2x

^    I    0    r»    0

= 1+ e — 2 -f- e

oder

2*

= |(®* + -2 + e

V,

Or

(13 a.)

-V ds

a )

’ dx

tu.)

s = ij{e- + e

*:1

/ X    % \

—    + e a),

Vi*²

•r ) --u-y ■'••f

?/l

= ]/y₂² — a² — y?/i² — a².

Für gleich 0, gleich # wird der Bogen AP = ]/y² — a²

und kann sehr leicht construirt werden. Beschreibt man nämlich um A (Fig. 74) mit dem Halbmesser y einen Kreisbogen,

welcher die X-Axe im Punkte B trifft, und vervollständigt das Bechteck OACB, so ist

(16.) A C = Yy'¹ — a² = AP.

In ähnlicher Weise könnte man die Bögen APt und Al\ als gerade Linien AC\ und AC\ dar-c stellen, deren Differenz

(17.) AC₂ — AC₁= CtC₂ = PTp2 sein würde.

(15.)

Fig. 74.

P,

ÎT

Aufgabe 5. Man soll die Länge des Bogens OP bei der CyJiloide mit den Gleichungen

x — a(t — shD), y = a(l — cosć)

(18.)

berechnen (Fig. 75).

Auflösung. Aus den Gleichungen (18.) folgt dx = a(l — cos t)dt, dy = a&mtdt,

Fig. 75.

(19.)

(20.) ds² = dx² + dy² = a\ 1 — 2C0SĆ + C0S²£ + sin² £) eft²

= 2a²(l —c,o$t)dt² = 4a²sin²^^cft²,

(21.) ds = 2a sin folglich ist

dt = 4 a sin

GKO

(22.)

*0    t

s = 4aj sin (0 d (|) = 4« [- cos(|)]

(01 0

= 4a £l — COS

G)]=

Sasin²

Wird der Wälzungswinkel t gleich 2/r, so rollt der die Curve erzeugende Kreis einmal ab. Dadurch erhält man für den Bogen der ganzen Cykloide

(23.)

s = 8a,

ein Resultat, das schon hei der Krümmung der Curven (D.-R., Seite 411 und 412) ermittelt wurde.

Aufgabe 6. Man soll die Länge des Bogens BP bei der Astroide mit den Gleichungen x = acos³£

(24.)

y = a sin³ć

berechnen (Fig. 76).

Auflösung. Aus den Gleichungen (24.) folgt

I dx — — 3acos²^sin^, dy — + 3 a sin² £ cos tdt,

(25.) j

(26.) ds² = dx² + dy²

= 9a²sin²ćcos²ć(cos²ć

+ sin ²t)dt²

= 9a² sin'²/cos‘WC,

Tig. 76.

Öl ß

Li

also

(27.) ds = ± 3asintcostdt.

Hierbei ist das untere Zeichen zu nehmen, weil s zunimmt, wenn t abnimmt. Dies giebt

to

0°

CO

'53

to

to

^bO

Für t gleich 0 wird s dem Quadranten BA der Astroide gleich, nämlich

(29.)

Aufgabe 7. Man soll die Länge des Bogens AP der Kreisevolvente mit den Gleichungen

Fig. 77.

J x — a(cos t + ćsinć),

\ y — a(sinć — ćcosć) berechnen (Fig. 77).

Auflösung. Aus den Gleichungen (30.) folgt

dx = at cos tdt, dy = aćsin tdt,

(32.)    ds² = Ix¹ -f- dy² = a²ć²(cos²ć -f sin²ć)t/ć² = aH²dt²,

ds = at dt,

f,u    at²

s = a I tdt —--

./    2

o

(30.)

öl

(33.)

(34.)

X (31.)

Aufgabe 8. Man soll die Länge des Bogens AP bei den Epicykloiden mit den Gleichungen

(35.) x = a[mcosć — cos(mć)], y = a[msinć — sin(rać)] berechnen (Fig. 78).

Auflösung. Aus den Gleichungen (35.) folgt (36.) dx —    — silić + sin(mt)\dt, dy = ma[cosć — cos(mć)Jc/ć;

dies giebt, wenn man wieder m — 1 mit n bezeichnet,

(37.)

(38.)

§ 19. Rectification ebener Curven; Uebungs-Aufgaben. (/s² = dx² -f- dy² = 2m²a²[l — cos(w^)]^2 = 4m²a²sin² Ç0 dt²,

ds — 2ma sin

dt =

4 ma

sin

©■<©

(39.)

«)

“/■'■©O-

(5)

4ma

hcos(?)]

0

ma I" » L

— cos

(!)]

Sma

sin²

Wird der Wälzungswinkel nt des rollenden Kreises gleich '2 n, so erhält man für den vollständigen Bogen ACB (Fig. 78) _ 8ma_8(n 4- 1)«

Fig. 78.

,C

(40.) s

.1!

Ist n eine ganze Zahl, so schliesst sich die Curve ; ihr Umfang U besteht aus n solchen Bögen, so dass man erhält

(41.) U= 8 (n + l)a.

Auch dieses Resultat ergab sich bereits bei der Krümmung der Curven (D.-R., Seite 415).

hür den Fall n = 6, welcher durch die Figur dargestellt ist, erhält man also

(42.)

U= 56 a.

In dem Falle, wo n = 1 ist, wird die Curve eine Cardioide, deren Umfang also

(43.)

U= 16a

ist.

Aufgabe 9. Man soll die Länge des Bogens AP bei den Hypocykloiden mit den Gleichungen (44.)

berechnen (Fig. 79).

x = a\m cos t -f- cos(m^)], y — a[msnU — sin(mć)]

Auflösung. Aus den Gleichungen (44.) folgt (45.) dx — ma\— sintf — sin(mt)\dt, dy = ma[cos£— COS(mt)\dt\

Fig. 79.

dies giebt, wenn man (in Ueber-einstimmung mit der früher gebrauchten Bezeichnung) m+1 gleich n setzt,

U/

(46.) ds² = dx² + dy¹

= 2m²a²[l—COS (nt)\dt²

-E-

= 4ra²a²sin²^^cft²,

(48.)    5

(47.) ds = 2masinf

4»ia

/?

SS.

)dt

-©/kïH0-©[-”©i

(0)

4ma “

w L

Wird der Wälzungswinkel wż des rollenden Kreises gleich 2Tr, so erhält man für den vollständigen Bogen ADB (Fig. 79)

8ma _ 8(» — 1)« .

— cos

(49.)

schliesst sich die Curve; ihr

Ist n eine ganze Zahl, so Umfang U besteht dann aus n solchen Bögen, so dass man

erhält

TJ — 8(w — l)a.

Für den in Figur 79 gewählten Fall, in welchem n gleich 8 ist, erhält man z. B.

(50.)

(51.)

U = 16a.

Bei der Astroide hat man n gleich 4 zu setzen und erhält U = 24 a.

Aufgabe 10. Man soll die Bogenlänge bei der Neil¹ sehen Parabel berechnen (Fig. 80).

Auflösung. Die Evolute der

Fig. 80.

Parabel

(53.)

y² = 2px

ist bekanntlich (vergl. D. - R., Seite 406)

F(x, y) =

21 py- — 8(# —pf = 0, eine Curve, welche man auch die „Neil'sehe Parabel“ nennt. Zur Berechnung der Bogenlänge bei dieser Curve bilde man zunächst

(54.)

fl“¹

(55.)

Fi = — 24(.r — pf, jR> = 54py,

folglich wird

(56.)

dx

also mit Rücksicht auf Gleichung (54.)

4(# — p)²

9py

l§{x — pY _

81 p~y²

2(x — p) _P ~h 2x 3p ' 3p ’

/57a \ «fe _ y> + 2» .

(    0 <fe⁻' ys^

Setzt man daher

(58.)

|/p + 2# = also p + 2æ = f², dx — tdt,

so erhält man

(59.) s =

;=— Jix yp + 2x

t V

(*)

—- f Pdt —

ys4

3]/3p    J(P)

oder

(60.)

⁶    3]/3»

[(2x + p)Y^x 4-p — 3pV3p].

10*

§ 20.

Rectification ebener Curven, deren Gleichung auf Polarcoordinaten bezogen ist.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 98.)

Bei Anwendung von Polarcoordinaten sei die Gleichung einer Curve AP (Fig. 81)

(1.)

r = F(fp),

dann ist auch die Länge s des Bogens AP eine Function von (f, denn der Bogen wächst gleichzeitig mit dem Winkel tp.

Nimmt man sogleich an, dass der Zuwachs POPl von </> unendlich klein ist, und bezeichnet denselben dem entsprechend mit dtp, so wird auch der Zuwachs PPi oder ds

Fig. 81.

Q,

jp

des Bogens unendlich klein. Beschreibt man daher um 0 mit dem Halbmesser OP gleich r einen Kreisbogen PQ, so kann man das rechtwinklige Dreieck PQP\ als ein geradliniges Dreieck betrachten und findet nach dem Pythagoräischen Lehrsätze, wie auch schon früher gezeigt wurde,

PPi¹ = QP¹ + PU\

oder (vergl. D.-R., Formel Nr. 108 der Tabelle)

ds- = dr~ -)- r²d(f-.

(2.)

Dies giebt

+ r²,

also, wenn man die Grenzen sogleich mit (pY und (p₂ bezeichnet,

(3.)

<P.!

(4.)

+ r².

<p i

Man kann natürlich statt tp auch andere Integrations-Veränderliche einführen. Sind z. B. r und rp beide Functionen von t, so folgt aus Gleichung (3.)

(5.)

ch = Y dr* + r'-cUf = dt |/(^)² + r2 ds = dr^l + r²(^j ;

⁵ =.A y©’+r2 ©" =A y¹+r²(f)’-

und für t gleich r

(6.)

dies giebt

(7.)

§ 21.

Uebungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll die Länge des Bogens bei der Archimedischen Spirale mit der Gleichung

r = acf

(10

berechnen (Fig. 82).

Auflösung. Aus Gleichung (1.) folgt

(2.) dr = adcp,

ds² = dr² + r²dcp2 = a²(l -|- (p²)dcp²,

Fig. 82.

Pl

folglich wird

(3.) efo = «c/^]/l + (fr

Ti\

(4.)

Vi__

s — a fd(f Y1 + (f².

Dies giebt nach Formel Nr. 82 der Tabelle

(5.)

oder

r__1    __

* = « l/l + y² + g KV + Vi"-!- ^²)J 5

9>i '

tO|8?

(5 a.)

= [fft 1/1+y ¹ yi+⁺¹ (^7+fït§)]

to Ö

r₂|/a² -j- r₂² — rj]/a²+ rt²

2«

to a

?*2+y,«²+

Aufgabe 2. Man soll die Länge des Bogens bei der hyperbolischen Spirale mit der Gleichung

Fig. 83.

(6.)

Pi

rep == a berechnen (Fig. 83).

Auflösung. Aus Gleichung (6.)

folgt

P2t

Vi

(7.)

(8.)

(9.)

dr — — a(f~^d(f, ds² = dr² -f- r²d(p2 = a\cp~⁴ +

^ yr+ <p². dtp,

ds =

(10.)

dtp

i+y

<iy

dtp

Dies giebt nach den Formeln Nr. 85 und 22 der Tabelle

(ii.)

also

(12.)

.--------------- (p.À

» = a T—tL±ź. + i(V + yi+(ÿ)]

^    <Pi

= £—]/ a² + r² + al^

« + y a² + r²

)f

'•i

Aufgabe 3. Man soll die Länge des Bogens bei der loga-rithmischen Spirale mit der Gleichung

Fig. 84.

P₂

(13.)

r = ea,f‘

berechnen (Fig. 84).

Auflösung. Aus Gleichung (13.)

Z.

\ folgt

>i (W.)

oder

JAx (14a.)

dr = ea(P . ad(p = ardtp

d(p —

dr

ar

(15.)

(16.)

ds- — dr²    r²d(f² = dr-(^ \ -(-

= — J/a* + T ;

a

ds = c/r

dies giebt

(17.)

s=.V*+lfdr=r_,

a J

ri

=^V«² + i.

a

Aufgabe 4. Man soll die Länge des Bogens AP bei der Parabel mit der Gleichung

(18.) r

-k (    \

cos 1 —    )

to 'S

oder r

COS²

tO l*S

berechnen (Fig. 85).

Auflösung. Aus Gleichung (18.) folgt

a sin

Fig. 85.

(19.)

dr =

CD*'

cos³

to 'S

(20.) ds² = dr² + r-d(f - ■=

a²d(f'²

cos⁶

to 'S

(21.)

ds —

ad(f

COS³

(!)

also, wenn man </> = 21 setzt und die Formeln Nr. 68 und 33 der Tabelle beachtet

f dt

-“h

o

lP

to 'S

COS³

LO 'S

cos ³t

= 2a £

2cos²£

—I <N

Wt-2 )}],'

oder

a sin i

(23.)

toi 85

cos²

tO ; 85

₊ al[ctg(^)]-

Aufgabe 5. Man soll die Länge des Bogens AP bei der Cardioide mit der Gleichung

r '² = a'² cos[

(24.) oder (24a.) berechnen (Fig. 86).

Fig. 86.

S- Ol

r = a cos²

= a² COS²

©Hl)

+ COS²

Auflösung. Aus Gleichung (24 a.) folgt

(25.) dr = — a cos^Q sin (26.) ds² = dr² + r²dfp2 )] d(f² — a²COS²(^2^dff ’,

t©'*®

(27.)

ds = a cos

tob®

d(p = 2acos^-^c?0>~^ ’

(28.)

.s = 2«/cos(|)rf(f0 = 0

2 a sin

(!)•

Für (p gleich n erhält man die Länge des Bogens A PO,

nämlich

(29.)

s = 2a,

d. h. der Bogen APO ist dem Durchmesser des der Cardioide umschriebenen Kreises gleich.

Aufgabe 6. Man soll die Länge des Bogens OP bei der Cissoide mit der Gleichung

__ 2«sin²c/-COS (f

(30.)

berechnen (Fig. 87).

(81.)

(32.)

also

Auflösung. Aus Gleichung- (30.) folgt dr _ 2asin<jp(l -f cos²pp)dcp

COS ²(f

_ 4a²sin²y(l + 3 cos?(p)d(p2 cos *(p

ds² = dr² + r²d(p²

(33.) ds =

2a sin (pd<pY 1 + 3cos²<p

Fig. 87.

COS ²(f

Setzt man

p.

(34.)

]/3. cos (f = t,

also

— Y 3 sin (p d(p = dt

so wird

(35.) ds =

2a Y 3 .dt y 14- t²

t²

up)

(36.)

s — — 2a

(0)

Up)

(<p)

Hfwh-,

folglich erhält man mit Rücksicht auf die Formeln Nr. 85 und 22 der Tabelle

= — 2a

J y i +1²/

(0)

(37.)

Vs[-

Yi + e-

Up)

oder

(38.) s

+ i(< + rr+?)| ,

J(0)

₌ JV1+3C0SV ₂    -,/g YÇV3. cos Cf + 1/T+ 3cos²y\1

*"1-    cos (f    Y ' V 2 + ]/3    '2

V. Abschnitt.

Complaiiation der Rotationsflächen.

§ 22.

Berechnung des Flächenelementes bei einer Rotationsfläche.

(Vergl die Formel-Tabelle Nr 99 und 100.)

Rohrt eine Curve mit der Gleichung

y =/0)

um die X-Axe, so beschreibt der Bogen AP (Fig. 88) eine Rotationsfläche, deren Oberfläche 0 eine Function von x ist.

Wächst nämlich x um die Grösse QQX gleich Az, so wächst auch die Oberfläche um denjenigen Theil AO der Rotationsfläche, welcher bei der Rotation von dem Bogen PPX beschrieben wird.

Zur Berechnung von AO betrachte man zunächst den Mantel des Kegelstumpfes, welcher bei der Rotation von der Sehne PPX gleich As beschrieben wird. Der Mantel dieses Kegelstumpfes ist nach bekannten Sätzen aus der Stereometrie

(1.)

di

Fig. 88.

_Pl

P,

M = n(QP + QiPi) . PPX = ™(y + yi) •Js-

Rückt nun der Punkt I\ dem Punkte P unendlich nahe, so fällt der Bogen PPi mit der Sehne PPi zusammen; dabei geht Js über in ds und limyi wird gleich y\ folglich findet man für das Oberflächenelement dO aus Gleichung (2.)

(3.)

dO = 2nyds.

Daraus ergiebt sich durch Integration

(4.)

0 = 2 nj yds,

wobei die Grenzen mit xi und x₂ bezeichnet sind, weil man x als die Integrations-Veränderliche betrachtet.

Auch hier kann man das bestimmte Integral als eine Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen betrachten, und zwar sind die einzelnen Summanden Mäntel von Kegelstumpfen mit der Seitenkante ds, begrenzt von zwei Kreisen mit den Halbmessern y und y -f dy.

Rotirt die Curve um die Y-Axe, so erhält man in ähnlicher Weise für den Flächeninhalt der Rotationsoberfläche durch Vertauschung von x mit y

y-i

(5.)

0 = 2nj xds.

Vi

Die auf diese Weise ausgeführte Berechnung der Oberfläche nennt man: „Complanation der Rotątionsfl ächenu.

§ 23.

Uebungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll den Flächeninhalt einer Kugelzone berechnen (Fig. 89).

Auflösung. Rotirt der Bogen PiP₂ des Kreises mit der Gleichung

(1.)

x² + y² — oder x = |/«²—y1 um die Y-Axe, so beschreibt er eine Kugelzone, deren Oberfläche nach Formel Nr. 100 der Tabelle

Vt

Fig. 89.

(2.)    0 — xds

Vi

»,

-xi

wird. Dabei folgt aus Gleichung (1.)

(3.) dx =

f

■ A (4.) ds* =

ydy

ya² — y²

(:y² + a² — y²)dy²

a² — y²

a²dy2 a² —

(5.)

c/.s =

ac/y

ac?y

(6.)

]/a²— y2 xds — ady,

a:

(7-)

y-i

O = 2anJ dy — 2an(tf% — yt) = 2a7rA

î/i

wenn man die Höhe y₂ — yt der Kugelzone wieder mit h bezeichnet.

Setzt man y₂ gleich -f- a, yt gleich — a, also A gleich 2a so erhält man für die Oberfläche der ganzen Kugel

0 = 4a²7r.

(8.)

Aufgabe 2. Man soll die Oberfläche des Rotationsparaboloids berechnen (Fig. 90).

Fig. 90.

Auflösung. Die Gleichung der Parabel ist

(9.)

y² = 2px ;

daraus folgt

dy P

(10.)

dx

/ds V²_p^-Vy¹_p²Ą-2px

\dx) ~~ y²    y²

(u.)

| = iy^+2^,

(12.)

yds = dzyP² + 2px.

Aufgabe 3. Man soll die Oberfläche des Rotationsellipsoids berechnen (Fig. 91).

Fg. 91.

Auflösung. Die Gleichung der Ellipse ist

B P,

Setzt man

(13.)    Yp² + 2px = t, also p² + 2px = t², pdx = tdt,

so wird nach Formel Nr. 99 der Tabelle

yds =

(t)

o = — fe-M=~ p J    8p

(0)

Dies giebt mit Rücksicht auf Gleichung (9.)

O 'Tr    __

o = ~[(p² + y²)Vp² + y²-p*]-

(14.)

(15.)

(16.)

t²dt

[(Pp²+si pxj]^ ■

(17.) b²x² + a²y² — a²b² = 0; daraus folgt

(18.)

dy_ b²x

yt

y\2

dx    a²y ’

aiy² + b*x²

Ml

a*y²

b²(a* — e²x²)

«V

(20.)

ds

y ai — e²x²

/ v ₇ b. dx (21.) yds = —p-

(22.)

dx a²y

Va* —e²x² = <^eX^ Vai — ß2^² ■>

: f ,_

j d{ex) ]/a⁴

2b n

a²e

—e²x².

(*i)

^ Va*—e²x² + j arc sin    •

(23.)

Dies giebt nach Formel Nr. 74 der Tabelle, wenn man a2 mit a* und x mit ex vertauscht 2bn rex

a²e

Für z-2 gleich a wird

j/a⁴ — e²x<i = a ]/ a² — e² = ab]

deshalb erhält man, wenn man Gleichung (23.) mit 2 multiplicirt und Xi gleich 0 setzt, für die ganze Oberfläche des Rotationsellipsoids

(24.)

2bn

a²e

\^a²be -j- a⁴ arc sin

2d²bn

arc sin

= 2b²n -f-

Man kann sich davon überzeugen, dass der gefundene Ausdruck die Oberfläche der Kugel liefert, wenn die rotirende Ellipse in einen Kreis übergeht, wenn man also a gleich b und e gleich 0 macht. Allerdings nimmt dann das zweite Glied die Form $ an; setzt man aber

e — az,

so findet man nach der Regel, welche für die Berechnung von solchen unbestimmten Ausdrücken in D.-R., Seite 274 angegeben ist,

(25.) lim

• arc sin

= lim

arc sin 2

= lim

yi-*ł

e—0

und

(26.)

lim 0 = 2a²n -f- 2 cdn = 4a²ic.

l)—(l

Aufgabe 4. Man soll die Oberfläche des Sphäroids berechnen (Fig. 92).

Auflösung. Aus der Gleichung (17.) der Ellipse folgt

Fig. 92.

Ą--Xj

s,

27.)

dx

a²y

b²x

b^x2 b^x² + aiu²

~lYx²

o²(b⁴ + e²y²)

b*x²

— -——;—¹— >

(:y-2)

(31.)

O = ^fd(ey)VW+ *y.

(î/l)

Dies giebt nach Formel Nr. 82 der Tabelle, wenn man «2 mit />⁴ und # mit ey vertauscht,

__/4 __20

eV + ₂ l(e2/ + ]/ä⁴+ elf) .

(32.)

Für y-2 gleich b wird

Vb' + e²y₂² = b Yb² + e² = ab ;

(33.)

deshalb erhält man, wenn man Gleichung (32.) mit 2 multiplicirt und yi gleich 0 setzt, für die ganze Oberfläche des Sphäroids 2 an '

b²e

= 2a²rc -f-

(29.)

ds

ć/y ô²æ

(30.)

xds -----

a . dy

h r>+«y.

a . d(ey)

y» + ey = -

b²e

2ab²7T /a + e\

r [\ b )

Nun ist

(a + e)²_(a + e)²

b²

a² — e²

folglich kann man den Ausdruck für 0 auch auf die Form bringen

(34.)

0 = 2 a²7T +

b²n /a + e\ e \a — e)

Auch hier kann man sich davon überzeugen, dass der gefundene Ausdruck die Oberfläche der Kugel liefert, wenn die rotirende Ellipse in den Kreis übergeht, wenn man also a gleich b und e gleich 0 macht. Allerdings nimmt das zweite Glied wieder die unbestimmte Form -§ an; setzt man aber

e — az.

so findet man nach der Regel, welche für die Berechnung von

solchen unbestimmten Formen in D.-R. geben ist,

Seite 274 ange-

(35.)

e=0 e \a- eJ z—0

lim

<E-:)

= lim

= lim

---f —¹—

1+2 1 — 2

1(1 + z)—1(1 — z)

und

(36.)

lim 0 = 2a²7r + a²7r . 2 = 4«²tt.

b—a

Aufgabe 5. Man soll die Oberfläche des zweischaligen Rotationshyperboloids berechnen (Fig. 93).

Fig. 93.

Py

\ Az

Ail

(37.)

Auflösung. Die Gleichung der Hyperbel ist

b²x² — a²y² — a²b² = 0 ;

dy_b²x

dx a²y

cdy² + b^x² _b²(e²x² — a⁴)

aiy²    cdy²

daraus folgt

(38.)

(39.)

(ds \2 \dx)

(40.)

ds

(41.)

Ô . ć/.£

(42.)

— a* =    5*

(IS

(*2)

0 = ^efI(eX^

a²

— a⁴.

(*l)

Dies giebt nach Formel Nr. 82 a der Tabelle, wenn man a² mit a* und x mit ex vertauscht,

O³') ° = a²e

— a⁴ —

a⁴

1 (ex + y e²x² — a⁴)

A

*1

Setzt man xi gleich a und .r₂ gleich x, so wird Ye²x² — a⁴ = a]/e² — a² = ab.

und man erhält für die von dem Bogen AP bei der Rotation beschriebene Fläche

(44.) O =

Y e²x² — a⁴ — b²n

a²b/r j /ex -f- V d²x²— a⁴

e \

a(e -j- b)

Aufgabe 6. Man soll die Oberfläche des einschaligen Rotationshyperboloids berechnen (Fig. 94).

Fig. 94.

(45.)

Auflösung. Aus der Gleichung (37.) der Hyperbel folgt dx a²y dy b²x

b*x²

(46.) (|)!=

U.

a²(&⁴ + e²y²)

(47.)

(48.)

a dy

xds —

]/6⁴ + e²y²

a_-_d{ey)

b²e

y b* + e²y²

(2/d

(49.)

O = ²-“£jd(ey)y (,<■-+éf.

(2/d

Dies giebt nach Formel Nr. 82 der Tabelle, wenn man a2 mit b⁴ und x mit ey vertauscht,

Vi

Y Vbi + eY + 1 (ev + V&r+ eYŸ\ •

2/i

(50.) 0 =

Für y{ gleich 0, y-i gleich y erhält man daher (51.) 0 = ^2 J/ÏÎ+lÿ +    1 (*» +

6²

Aufgabe 7. Man soll die Oberfläche des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Kettenlinie mit der Gleichung

(52.)

to: e

ea fl- e

oder (52 a.)

um die X-Axe entsteht (Fig. 95).

Fig. 95.

Auflösung. Aus Gleichung (52.) folgt

V,

⁵⁸-)

IO] t—

ea fl- e

x₂

(54.) 0

IQ*

= 2/0?6 *1

•Cg

a7t [( ~ t

= T.Ae“ + e

*\2

a)dx

»/

\

r/

e“ +2 fl- e

*•1

.-    2a:

«7T f« — , „

=Tr‘+&_2e

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (52.) und (52a.)

X.,

toi Ö

a fl- ax

(55.) 0 = 7i ~ e fl- e

¹² \

= 7r[y]/y²—a² fl- axf²= n[y^ył — a² =F 2/il/yi² —

fl- a((C2 — #i)].

Hierbei gilt das obere oder das untere Vorzeichen, jenach-dem Xi positiv oder negativ ist.

Aufgabe 8. Man soll die Oberfläche des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Cykloide

(56.)

x = a(t — sinż), y = a(l — cos0 um die X-Axe entsteht (Fig. 96).

Fig. 96.

Auflösung. Aus den

Gleichungen (56.) folgt

P,

dt,

(57.) ds = 2asin (58.) yds =

2a² (1 — cos t) sir

— 4a² sin³

G)

dt.

0 — 16 a² TT

Dies giebt

(59.)

rA³GH0

0

Iti

= — 16 a² re

— COS²

G)]*os(0

(0)

= - 16 OrTT

[cos (0~ ^cos3

tO cs*

_ 16a²7T r

L

3 cos

(0 ⁺ “KD] •

Für t gleich 2n erhält man die Oberfläche, welche bei der Rotation von dem ganzen Cykloidenbogen OHA beschrieben wird, nämlich

(60.)

16 a² n

(2 + 3-1)

64 a?n

Aufgabe 9. Man soll die Oberfläche des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Astroide

(61.)

x = acos³0 y — asin³ż nm die X-Axe entsteht (Fig. 97).

11*

Auflösung. Aus den Gleichungen (61.) folgt

Fig. 97.

ß '

(62.) ds = — 3a sin / cos t dt (63.) yds = — 3a²sin⁴/cos/(//.

Dies giebt für die ganze Oberfläche

o

(64.) 0 = — 12 o*ttJsin⁴/COS/(//,

oder

(65.) 0 = + 12a²Tr/sin⁴/. (/(sin/) ö

12a²Tr r .    ,    12a²7r

= —[sin^]o

Aufgabe 10. Man soll die Oberfläche des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Kreisevolvente

(66.)

x = a(cos/ + /sin/), y — a(sin/— /cos/) um die X-Axe entsteht.

Auflösung. Aus den Gleichungen (66.) folgt

7. )    ds = atdt,

8. )    yds = a-{t sin / — /² cos t)dt,

t

(69.)

ii

0 =    J (t sin / — /² cos t)dt.

Setzt man

(70.) u = f-, dv = costdt, also du = 2t dt, v = sin/ in die Formel Nr. 61 der Tabelle, nämlich in die Gleichung

fv du

(71.)

J udv —

uv —

ein, so erhält man

(72.)

J /² cos/o'/ = /²sin/ — 2 / /sin/(//.

Setzt man dagegen (73.) u = /, dv = sin / dt, also du = dt, v = —cos/ in die Gleichung (71.) ein, so ergiebt sich f 74.)    J /sin/(Z/ — —/cos/ + f cos tdt — —/cos/ + sin/.

Indem man Gleichung (72.) mit —1, Gleichung (74.) mit + 3 multiplicirt und dann beide Gleichungen addirt, findet man

(75.)    J tsmtdt —f t² cos t dt — — /²sin/ — 3t cost + 3 sin t.

Deshalb wird

(76.)

0 = 2a²n(3 sin t — 31 cos t — t² sin t).

Aufgabe 11. Man soll die Oberfläche des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Cardioide

(77.)

x = a[2cost — cos (2/)], y = [2 sin/ — sin(2/)] um die X-Axe entsteht.

Auflösung. Aus den Gleichungen (77.) folgt

dt,

(78.) dx = 2a[— sin/ + sin(2/)]e?/ == 4asin cos (79.)    dy = 2«[cos t — cos(2/)]c?/ = 4a sin sin ^

also

(80.)

du² = 16a² sin²

!<m

dt²,

da = 4a sin

dt

(81.)

yds = 4a²[2 sin/ — sin(2/)] sin ^ dt

= 8a²sin/(I — cos/)sin (i^)dt

Q)cosQ)dt=

= 32a² sin⁴

6 4a² sin⁴

Dies giebt

(82.)

O = 128a²7T

(n)

rfsin'Q)dsmQ)

0

128a²77:

71

Lsin5(l)j =

o

128a²7T

VI. Abschnitt.

§ 24.

Berechnung des Bogenelementes einer Raumcurve.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr 101.)

Der Durchschnitt zweier krummen Flächen mit den Glei

chungen

(1-)

F(x, y, 2) = 0 und G(x, y, z) = 0 ist im Allgemeinen eine Raumcurve (vergl. § 112 der D.-R.). Indem man aus den beiden Gleichungen (1.) die Veränderliche 2 eliminirt, erhält man

(2.)

H(x, y) — 0, oder y =f{x).

Dies ist die Gleichung eines Cylinders, welcher die Sclmitt-curve in die XY- Ebene projicirt. Ebenso findet man durch Elimination der Veränderlichen y aus den Gleichungen (l.)

(3.)

K(x, z) = 0, oder 2 = g(x).

Dies ist die Gleichung eines Cylinders, welcher die Schnitt-curve in die XZ-Ebene projicirt.

Setzt man noch für x irgend eine Function von einer vierten Veränderlichen t, so werden mit Rücksicht auf die Gleichungen (2.) und (3.) auch y und 2 Functionen von t, so dass man die Raumcurve auch durch die drei Gleichungen

0.)

« =/i(0; y =/s(0f ² =Mt) darstellen kann. Umgekehrt lassen sich drei solche Gleichungen auch immer als Raumcurve geometrisch deuten.

Um nun die Länge s des Curvenbogens AP zu bestimmen, nehme man auf der Curve zwei benachbarte Punkte P und Px an und lege durch dieselben Ebenen, parallel zu den Coordinaten-Ebenen (Fig. 98).

Fig. 98.

Dann erhält man ein

rechtwinkliges Parallelepipedon mit den Kanten

p.

«i — y\ — y, zi —z und mit der Diagonale (5.) PPi = y(Xi-X)²+(yt -yf-f(zx~zf.

Rücken die Punkte P und Px einander unendlich nahe, so fällt der Bogen PPX mit der Sehne PPX zusammen, die Grössen

PP\, Xy -X

y\—y, zi — z

gehen bezw. über in

ds, dx, dy, dz und aus der Gleichung (5.) ergiebt sich

(6.)

ds² — dx² dy² -f- dz². Daraus folgt für die Länge des Bogens AP

(7.)

fl

Für x gleich t wird z. B.

(8.)

X,

§ 25.

Uebungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll die Bogenlänge bei der oylindrischen Schraubenlinie (vergl. D.-R., Seite 494)

(1.)

x² y² = a², y = xtg( )

berechnen.

Auflösung. In dem vorliegenden Falle wird es zweckmässig sein, x, y und 2 als Functionen einer einzigen Veränderlichen cp auszudrücken, indem man

(2-)

x = a cos cp

setzt; dann folgt aus den Gleichungen (1.)

(3.)

y = a sin cp, z — ccp,

und man erhält

(4.)

(5.)

(6.)

dx = — asmcpdcp, dy = a COS cp dcp, dz = cdcp ds² = dx² + dy² + dz² = (a² + c²)dcp², ds = dcpY a² + c²,

(7.)

_ <Pi    ____

s = Ya² -j- c²/dcp — (cp^ — cpij Yd¹ + c². <p\

Dieses Resultat ergiebt sich auch daraus, dass die Schraubenlinie entsteht, indem man ein rechtwinkliges Dreieck mit den

Katheten acp>, ccp und der Hypotenuse <f V«² 4-c² auf den Kreis-cylinder

x² + y² = a²

so aufwickelt, dass die Kathete acp mit der Basiscurve (d. h. mit dem Kreise) zusammenfällt. Die Hypotenuse bildet dann die Schraubenlinie.

Spirale

Aufgabe 2. Man soll die Bogenlänge bei der conischen

(8.)

x — ea,P cos cp, y = eatP sin cp,    2 =

berechnen.

Auflösung. Die Projection der Curve in die X Y-Ebene ist eine Curve, bei welcher cp der Winkel zwischen der X-Axe und dem Radius vector ist, denn aus den Gleichungen (8.) folgt

(9.)

= tgy.

Die Projection hat daher die Gleichung

(10.)

x² + y ² = r² = e2a(P, oder r = ea<r, d. h. die conische Spirale liegt auf einem Cylinder, welcher aut der X Y - Ebene senkrecht steht und die logarithmische Spirale zur Basiscurve hat. Ausserdem folgt aus den Gleichungen (8.)

die conisdie Spirale liegt also auch auf einem Kreiskegel, dessen Spitze mit dem Anfangspunkte der Coordinaten, und dessen Axe mit der Z-Axe zusammenfällt.

Aus den Gleichungen (8.) findet man

j dx = e"f{ac0S(p — sin <p)d(p,

(12.)

I •    ,    • ' !

dy = eair(asm(f) + COS (f)d(f,

\ dz — ea(P . acd(f.

Dies giebt

(13.) ds'² = dz² -f dy² -f dz² = e2a<P(a² + 1 + a²c²)d(p², (14.) ds = ea<f . dfpY 1 -+- a²-{- «²c²,

i> '    •    »! •!    :

___Vi    fi

= Y1 + a² + a²c²f ea,P . dcp = 1/ ■    + 1 + c²

</>i    f u~

(u.)

c²

X² + y---ï = 0;

c-

(15.) s

oder

(16.) s

+ l+c² = --— y~l + a² + a²c².

ac

Für einen ganzen Umgang wird

ian

(f o = Wi -f- 2 Tr, z=i — ce⁰^¹ + 2n) — Zi . e

(18.)

ac

(e2an — 1) Y1 -f a² + «V².

Zweiter Theil.

VII. Abschnitt.

Integration der gebrochenen rationalen Functionen.

§ 26.

Aecht gebrochene und unächt gebrochene rationale Functionen.

Wie schon in der Differential-Rechnung (Seite 10) gezeigt wurde, lässt sich jede gebrochene rationale Function als Quotient zweier ganzen rationalen Functionen darstellen, d. h. sie lässt sich auf die Form

(1.)

F(x)

Axm A\xm

-1

+ A-lX

tu —2

-h • * * + zim-lX + Am

/(*)

axn -+- a^“⁻¹ -f- a₂xn~'² + • • • -f- an-\X +an bringen. Hierbei sind die Coefflcienten A, At, A₂,... a, ah a₂,... beliebige constante Zahlen, und die Exponenten m und n sind beliebige positioe ganze Zahlen. Den Coefflcienten a der höchsten Potenz von x im Nenner kann man immer gleich 1 machen, weil man, wenn a von 1 verschieden ist, Zähler und Nenner des Bruches durch a dividiren kann. Der Nenner f(x) soll daher in dem Folgenden immer die Form (2.) f{x) = xn -f- alxn~¹ 4- a₂xn~² + • • • + \X + an haben.

Man theilt die gebrochenen rationalen Functionen in acht gebrochene und unächt gebrochene rationale Functionen ein, und zwar heisst eine gebrochene rationale Function „acht gebrochen“,

wenn der Grad den Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners; sie heisst dagegen „unächt gebrochen“, wenn der Grad des Zählers grösser oder mindestens ebenso gross ist icie der Grad des Nenners.

Hiernach ist die durch Gleichung (1.) erklärte Function

Fix)

acht gebrochen, wenn m < n, und sie ist unächt gebrochen, wenn m Ar n ist.

Satz. Jede unächt gebrochene rationale Function lässt sich als die Summe einer ganzen und einer acht gebrochenen rationalen Function darstellen. Es ist also

(3.)

F(x) _

Ax)

⁽j{x) +

<Ąx)

fi?) ’

wo g(x) eine ganze rationale Function und der Grad von <p(x) kleiner ist als der von fix).

Der Beweis des Satzes ergiebt sich einfach durch Division. Ist nämlich bei der Division von F{x) durch fix) der Quotient gleich g{x) und der Rest gleich (p(x), so ist

(4-)

F(x) =Ax)g{x) + (f{x),

wobei der Grad des Restes (fix) kleiner gemacht werden kann als der Grad des Divisors f{x). Aus Gleichung (4.) ergiebt sich sofort

(5.)

F(x)

/(*)

= fx) ■+

<p{x)

f(x)

Am besten erkennt man das Verfahren aus einem Beispiele.

Es sei

F{pc)_x³ + 9^'² + 12a: — 16

x² + 2x — 3

Ax)

dann erhält man durch Division

z³ _|_ 9a;2 + 12x _ 16 = (x² -f- 2x — 3) (x + 7) + (x + 5),

x³ + 2#² — 3x + 7x² + 15z —16

+ 7x2 + Uz — 21 x + 5

oder

§ 27.

Zerlegung der acht gebrochenen rationalen Functionen in Partialbrüche, wenn die Wurzeln der Gleichung f(x) = 0 sämmtlich von einander verschieden sind.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 102.)

Nach dem im vorhergehenden Paragraphen bewiesenen Satze kommt es hei der Integration der gebrochenen rationalen Functionen nur auf die Integration der acht gebrochenen rationalen Functionen an; denn, wäre die vorgelegte Function unächt gebrochen, so könnte man sie in eine ganze und in eine acht gebrochene rationale Function zerlegen. Die Integration der ganzen rationalen Functionen ist aber bereits auf Seite 18 in § 4 erledigt.

Die Integration der acht gebrochenen rationalen Functionen kann man durch Zerlegung in Partialbrüche ausführen, wobei der Generalnenner der einzelnen Partialbrüche f(x) sein muss. Deshalb muss man hier die Zerlegung der ganzen rationalen Function fix) in lineare Factoren benutzen. In § 82 der Differential-Rechnung (Seite 351) war nämlich der Satz bewiesen worden: Jede ganze rationale Function nten Grades lässt sich in n lineare Factoren zerlegen. Es ist also

(1).

f(x) = xn + aixn~¹ + a₂xn~² + • • • + an~ix + an = (x — xt) (x — x₂) (x — x₃) f • • (x — xn), und Xf, x₂, x₃, ... xn sind die Wurzeln der Gleichung

(2.)

(6.)

.r³ + 9x² + 12#-—16 z² + 2x — 3 In ähnlicher Weise findet man

=    + 7) +

x + 5 x² + 2x — 3

(7-)

2a:⁴ — 3a:³— 6x² + 34a:— 9

x² — 3a: + 4

(2a:² + 3a: —5)4

7a:+11

x² — 3a: + 4

f{x) = 0.

Für das Folgende muss man zwei Fälle unterscheiden, jenachdem diese Wurzeln xt, x₂, x₃... xn sämmtlich von einander verschieden sind oder nicht.

Hier möge zunächst der erste Fall behandelt werden, wo die Wurzeln der Gleichung (2.) sämmtlich von einander verschieden sind. Um die vielen Indices zu vermeiden, mögen dabei diese Wurzeln mit a, b, c, ... k, l bezeichnet werden, so dass die Gleichung (1.) übergeht in

(3.)

fix) — (x — à) (x — b) (x — c) ... (x — k) (x — l).

/(*)

Es soll dann gezeigt werden, dass die acht gebrochene rationale Function—^ auf die Form

(4.)

(f (x) _

---1--

x — k x — l

gebracht werden kann, wobei die Zähler A, B. C,... K, L der Partialbrüche constante Grössen sind.

f\x) X

Beweis. Es sei

(5.) fx{x) =    = {x — b) (x — c) .. . (x — h) (x — l),

Cß- d

dann ist fi(x) nur noch eine ganze Function (n— l)ten Grades; ferner sei

<K«)

(6.)

fi(a)

Nach diesen Festsetzungen wird

(7.)

(f{x) — Af\(x) =

/i(«)

gleich 0 für x = a, so dass nach Satz 2 in § 82 der D.-E. (Seite 350) (f(x) — Afi(x) durch x — a theilbar sein muss. Man erhält also

(8.)

(f{x) — Affa) = (x — a)ff₁(x),

oder

(f(x) = Af\(x) + (x — a)(fi(x),

wo (fi(x) eine ganze rationale Function von x ist, deren Grad höchstens gleich n — 2 sein kann. Hieraus folgt

(9.)

(f (x) _ Afi(x) + (x — a)(f i(x) ■ (x— a) f\(x)

/(«)

A i. yiQ⁸)

x — a f{{x)

Dabei ist

yi(ap

./K-G

nach den gemachten Angaben wieder eine acht

denn fix) ist nur noch vom Grade n — 1, und (fi{x) ist höchstens vom Grade n — 2.

gebrochene rationale Function, welche aber einfacher ist als (fix)

A*)'

(10.)

In derselben Weise kann man jetzt zeigen, dass (fix) __ B , (fi(x) fix) ~ x — b ⁺ f₂(x) ’ wo f₂{x) vom Grade n — 2 und cpfx) höchstens vom Grade n — 3 ist. So kann man fortfahren und findet die Gleichungen

<fjx)    _C___tp»(x) _

fix)    x — c    fix) '

_    (pn-\{x) _

X — k ^ fn-lix) ’

(11.)

(fn-j(x) _    K

fn—if)

(fn-ijx) _ fn—i(x) ~ X — l

Addirt man die Gleichungen (9.), (10.) und (11.) und lässt die Glieder fort, welche auf beiden Seiten der Gleichung stehen, so erhält man

(12.)

(p[x)^_

_____ —--J--

f{x) x — a x —

1 + ——

Dieser Beweis liefert sogleich den Werth von A; es ist

nämlich

(13.) A

_ y(a) ₌_______

fi(a)    (a — b)(a — <?)...(« — k) (a — l)

<p(a)

In derselben Weise, wie A aus

(p[x)

man jetzt B aus

(pjx)

fix) ’

C aus

(fjx)

fix)

f(x)

berechnet ist, könnte

• • berechnen. Dazu würde

(pjx) (pjx)

/iO)’ Mx) ‘

■ • • erforderlich sein,

und zweitens könnte man leicht glauben, dass die durch Gleichung (12.) erfolgte Zerlegung in Partialbrüche verschiedene

aber erstens die Bildung von

Resultate liefere, jenachdem man zuerst das Glied    oder ein anderes absondert. Dies ist aber nicht der Fall, es gilt vielmehr der Satz: Die Zerlegung in Partialbrüche ist eindeutig; d. h. die Werthe von A, B, C,... K, L sind unabhängig von der Reihenfolge, in der man sie herleitet. Multiplicirt man nämlich Gleichung (12.) mit

f{x) — (x — a) [x — b) (x — c) ... (x — k) (x — l),

so erhält man

(14.)

(p(x) = A(x — b) (x — c) .. . (x — k) (x — l) + B{x — a) (x — c) ... (x — k){x — l) + C(x — a)(x — b) ... (x — k) (x — l)

+ K(x — a) (x — b) ... (x — i) (x — l) + L(x — a) (x — b)... (x — i) (x — k). Setzt man in dieser Gleichung der Reihe nach x — a, x — b, x = c,...x = k, x = l,

so wird

c) ... (a — k) (a — /),

(15.)

(p(d) = A(a — b) (a (f)(b) — B(b — a) (b — c) . .. (b — k) (b — l), (f (c) = C(c — a) (c — b) ... (c — k) (c — l),

, (p(l) = L{1 — a) {l — b) ... {I — i) l — k).

Dies giebt

(f(a)

(a — b)(a — c) ... (a — k) (a — l) ⁷

<f(b)

(16.)

(b — a) (b — c)... (b — k) (b — l)

⁽f(c)

(c — a) (c — b) ... (c — k) (c — l) *

cp(l)

(l — a) {I — b) .. .{I — i) (l — k)

Man erhält also für die Zähler der Partialbrüche genau dieselben Werthe, gleichviel ob man mit der Absonderung des betreffenden Partialbruches anfängt oder nicht.

Die Gleichungen (16.) lassen sich noch etwas einfacher schreiben. Es war nämlich

_?(<*)

/i(«J

wobei nach Gleichung (5.)

/,(«) = ä ,

' .r — a

oder, da f(a) = 0 ist,

(17.)

/iO)

₌/(g) — /(«).

Hieraus folgt (vergl. D.-R., Formel Nr. 15 oder 81 der Tabelle)

, r f{x)—f(a)    f‘(x)    .

fi(a) = lim*^-^——— = lim'^Y^ =./(«);

also

(18.)

und ebenso

, _

/X«)

9>(ä) /r_y(⁶')

/w .a«)’ ;

— y(*) / __

/w’    /'.(*)'

Für die Ausführung der numerischen Berechnung ist dasselbe Verfahren wie bei dem oben gegebenen Beweise am meisten geeignet; man schaffe also in Gleichung (12.) durch Multiplication mit

(18a.) B

•• K

fix) — (x — a) (x — b) (x —c) . . .{x — k) (x — l)

die Nenner fort, um die Gleichung (14.) zu erhalten, aus der sich dann die Werthe von A, B, C, ... K, L unmittelbar ergeben, indem man bezw.

x = a, x — b, x = c, e . . x = k, x — l

einsetzt.

Man kann allerdings zur Berechnung der Grössen A, B, C, ... K, L auch das folgende Verfahren anwenden, das später in dem allgemeineren Falle noch in Betracht kommen wird, wo die Wurzeln von f{x) nicht alle von einander verschieden sind.

In Gleichung (14.) ist die linke Seite höchstens vom Grade n — 1 ; ebenso ist die rechte Seite eine Function vom Grade n — 1, die man sich nach Potenzen von x geordnet denken kann.

Da die Gleichung- für alle Werthe von * gilt, so müssen die einzelnen Coefficienten der linken Seite gleich sein den gleichstelligen Coefficienten auf der rechten Seite, welche lineare Functionen (d. h. Functionen ersten Grades) der gesuchten Grössen A, B, C, .. . ÜT, L sind. Nun hat aber eine Function (n — l)ten Grades im Ganzen n Coefficienten. Man erhält also n lineare Gleichungen mit n Unbekannten, welche sich in diesem Falle stets auflösen lassen.

Am besten wird man dieses Verfahren durch die Behandlung einiger Aufgaben verstehen.

Aufgabe 1. Man soll den Bruch

15*² — 70* — 95

*³ —6 z²— 13* + 42

in

Partialbrüche zerlegen.

Auflösung. Man setzt den Nenner gleich Null und erhält dadurch die Gleichung

(19.)

*³ — 6z² — 13* + 42 = 0.

Wurzeln

Löst man diese Gleichung auf, so ergeben sich folgende

(20.)

a = 7, b = — 3, c = 2,

deshalb wird

(21.)    *³ — 6a:² — 13* + 42 = (* — 7) (x + 3) (* — 2).

Hieraus folgt

15*² — 70* — 95

15*² — 70* — 95

xä — 6*² — 13* + 42    (* — 7) (* + 3)(x — 2)

x — 7    *-j-3    * — 2

Um die Werthe von A, B und C zu ermitteln, schaffe man die Nenner fort, indem man Gleichung (22.) mit

*³ — 6*² — 13* -f 42 = (* — 7) (* 4- 3) (* — 2) multiplicirt. Dadurch erhält man

15*² — 70* — 95 = A(x 4- 3) (* — 2)

4- B(x — 7) (* — 2) 4- 0(x — 7) (* + 3).

Da diese Gleichung für alle Werthe von * gilt, so findet man daraus für * = 7

(22.)

(23.)

§ 27. Partialbruch-Zerlegung (erster Fall). 150 = 5OG, oder .4 = 8,

178

für x = — 3

250 = 50 B, oder B = 5

und für x = 2

— 175 = — 25 C, oder C— 7,

folglich wird

(24.)

15a:² — 70a: — 95

x³ — 6a;² — 13a: + 42    x—7^x+S

a; — 2

Man kann auch die rechte Seite von Gleichung’ (23.) nach fallenden Potenzen von x ordnen und erhält dann 15a;² — 70a; — 95

= x\A+B+C)+x(A— 9B—4 C) + (— 6^4 + 14i? — 21(7).

(25.)

Diese Gleichung gilt für jeden Werth von x, folglich müssen die Coefficienten gleicher Potenzen von x auf beiden Seiten dieser Gleichung einander gleich sein, d. h. es muss A + B + C = 15,

A — 9B — 4 (7 = — 70,

— GA + 14# — 21(7 = — 95 sein. Löst man diese Gleichungen für A, B und C auf, so ergiebt sich wieder

(26.)

(27.)

(28.)

(29.)

A = 3, B = 5,    0—1.

Zu demselben Resultate kommt man natürlich auch durch Anwendung der Gleichungen (18.) und (18a.), indem man

(30.)

/'(«) ’

__/r_.y(c)

/'(*) Sie)

setzt. In dem vorliegenden Falle ist

(31.)

a — 7, b = — 3, c = 2

und

(32.)

fix) = 3a;² — 12a; — 13;

dies giebt

(34.)

9>(7)

15.49 — 70. 7 — 95

rH

fX 7)

(33.)

3.49 —12.7 —13 R ₌ fP(— ³) ₌ 15. 9 + 70.3 — 95 /'(— 3)    3 . 9 + 12.3 — 13

y(2)    15. 4 — 70.2 — 95

/'(2)

250

50

175

3,

5,

3. 4 — 12.2 — 13

25

7.

Aufgabe 2. Man soll die Function

zerlegen.

£- + 1

Æ³— X

in Partialbrüche

Auflösung. Hier ist

f(x) = X³-X = x{x — 1) (x -j- 1),

also

(35.)

(f(x)_x- + 1_A

x³ — x

/(*)

x + 1

Um die Grössen A, B, C zu bestimmen, multiplicirt man die Gleichung (35.) mit z³ — z und erhält

(36.)

a;² + 1 = A(x² — 1) + B(x² + x) + C(x² — x).

Diese Gleichung gilt für alle Werthe von x, deshalb findet man für x = 0

(37.)

1 = — A, oder A = — l,

für x = 1

(38.)

2 = 2 B,

oder B = -f 1

und für x — — 1

(39.)

2 = 2 C,

oder GY= + 1;

folglich wird

(40.)

= — - H-----1--— .

Ordnet man die rechte Seite von Gleichung (36.) nach fallenden Potenzen von x, so erhält man

(36a.) X² + 1 = x\A + B + C) + x{B — C) — A.

Da die gleichstelligen Coefficienten auf beiden Seiten dieser Gleichung einander gleich sein müssen, so zerfällt die Gleichung (36 a.) in die Gleichungen

(41.)

(42.)

A -j- B -j- 0 — 1,

B — C = 0, K — A = 1.

Die Auflösung- dieser Gleichungen giebt wieder A = — l, B = l, (7=1. Dasselbe Resultat erhält man auch, indem man , _ <P<»    « _ <Kè) _ <p(c)

A~m' m’ m’

ci = 0, b = 1, c =    1,

f‘(x) = 3a'² — 1, (fix) = x² + 1

setzt, denn es wird

(f(0)

(46.)

_0 + 1 /(0)    0 — 1

y(i) _ i -M _ . i

/'( 1)    3 — 1    ’

Aufgabe 3. Man soll die acht gebrochene rationale Function 4a² — 15a; + 19 (x — 1) (a — 2) (x — 3)

Auflösung. Hier ist .    4a² — 15a + 19    _

* (a — 1) (a — 2) (a — 3) a — 1 oder, wenn man beide Seiten der Gleichung mit

in Partialbrüche zerlegen.

(a — 1) (a — 2) (a — 3)

multiplicirt,

(48.) 4a² — 15a + 19 = A(x — 2) (a — 3) + B{x — 1) (a — 3)

+ C(x — 1) (a— 2).

Dies giebt für a = 1

für a = 2

8 = 2 A, oder A = 4,

5 = — B, oder B = — 5

und für a = 3

10 = 2(7, oder (7=5,

4x² — 15# + 19_____

(49.)

{x — 1) {x — 2) (x — 3) — a; — 1 x — 2~rx — 3

Aufgabe 4. Man soll die acht gebrochene rationale Function

in Partialbrüche zerlegen.

Auflösung. Hier muss man erst Zähler und Nenner des Bruches mit — 1 multipliciren, damit der Coefficient von x² im Nenner gleich + 1 wird. Dadurch erhält man

(fix)

(50.)

__ —1

f (x) x² — x — 1 Die beiden Wurzeln der Gleichung

(51.)

also.

fix) = x² — x — 1 = 0

sind (52.)

Deshalb ist

(53.)

x² — x — 1

S—Kl + Vö) X — 1(1 —1/5)

oder

(54.)

x² — x — 1

2x — 1 + y 5

2x — 1 — ]/5 Multiplicirt man diese Gleichung mit

(2x — 1 — )/5 ) (2x — 1 + Y5 ) = 4(ic² — x — 1),

so erhält man

— 4 = 2A(2x — 1 + Vö) + 2B(2x — 1 — |/ö),

oder

(55.) — 2 = 2 x(A + B) + A(— 1 + Y5) + B(— 1 — ]/5); daraus folgt

(56.)

A + B = 0,

A( 1 — l/ó) + ^(1 + ]/5) = 2,

oder

(57.)

V5

B=+-^-

Dies giebt

(58.)

IC

Y5 \ 2z — 1

Aufgabe 5. Man soll die gebrochene rationale Function 2x³ — Ix¹ —■ 6x + 8 x² — 6x +_7

2x — 1 — Y 5

in Partialbrüche zerlegen.

Auflösung. Die vorgelegte Function ist eine un'ächt gebrochene; deshalb muss man sie zunächst durch Division in eine ganze und eine acht gebrochene rationale Function zerlegen. Dadurch erhält man

(59.)

2x³ — Ix² —- 6a: + 8 x² — 6x+7

= 2z + 5 +

10a: — 27

x² — 6z + 7

Die Wurzeln der Gleichung

f{x) = x² — 6a: + 7 = 0

sind

(60.)

« = 3 + 1/2, b = 3 — y 2

folglich wird

(61.)

(62.)

(63.)

f{x) = (a: — 3 — y2) (a: — 3 + ]/2)

10a: — 27 + — 6a: + 7

10a: — 27 = A(x — 3 + ]/2) + 2?(a: — 3 — ]/2).

a: — 3 — y 2 x — 3 + y2 ’

Für a: = 3 + ]/2 erhält man daher (64.) 3+10 y2 = 2A y2, oder + = —(3 + 10 ]/2),

und für x = 3 — y 2

(- 3 + 10]/2),

2]/2

(65.} 3 — 10 ]/2 = — 22? ]/2, oder 5

also

2a;³ — 7x² — 6a: + 8 a:² — 6a: + 7 ~

)■

2^ + 5+ +=(-2]/2 Va:

3 + 10 y 2    t — 3 + 10 ~|/2

— 3— y 2    x— 3 + 1/2

und wenn man diese Gleichung mit z³ — 11z² + 43z — 65 mul-tiplicirt,

13z² — 68z + 95 = A(x — 3 — 2*') (z — 3 + 2i) + B{x — 5) (z — 3 + 2t)

+ C{x — 5) (z — 3 — 2t).

Die angegebene Methode für die Zerlegung in Partialbrüche bleibt richtig, gleichviel ob die Wurzeln der Gleichung fix) = 0 reelle oder complexe Grössen*) sind.

Im letzteren Falle werden aber die Partialbrüche selbst

eine complexe Form annehmen, die man vermeiden kann, wenn die Coefficienten von <p{x) und fix) reell sind.

Wie dies geschieht, möge zunächst die folgende Aufgabe

lehren.

Aufgabe 6. Man soll die acht gebrochene rationale Function 13z² — 68z + 95 z³ — 11z² + 43z — 65

Auflösung. Indem man den Nenner gleich Null setzt, erhält man die Gleichung

in Partialbrüche zerlegen.

(67.)

z³ — 11z² + 43z — 65 = 0

mit den Wurzeln

(68.)

oder, wenn man 1 mit i bezeichnet, (68 a.)

a =5,    6 = 3 + 2]/— 1, c = 3 — 2 Y~-1

a— 5,    6 = 3 + 2*, c = 3 — 2*.

Demnach ist der Nenner der gebrochenen Function (69.) z³ — 11z² + 43z — 65 = (z — 5) (z — 3 — 2i) (z — 3 + 2*'). Dies giebt

(70.)

13z²—68z+95

z³—11z² + 43z—65

z—3 + 2 i

(71.)

(72.)

Dies giebt für z = 5

80 = A(2 — 2i) (2 + 2i) = 8A

oder A = 10,

für z = 3 + 2 i

*) Vergl. D.-R., § 131—140.

q_q«

(73.) — 44 + 20* = (— 2 + 2t)4* . B, oder B =

Li

und für x — 3 — 2i

(74.) — 44 — 20* = — (— 2 — 2t)4t. C, oder C = ~ 8? folglich ist

(75.)

13a:² —68a:+ 95

10

3 — 8*

3 + 8*

a:³ —lla:²+43a:—65

x—b 2(x—3 — 2*')    2(ar—3 + 21)

Da die beiden letzten Glieder conjugirt complexe Grössen sind, so muss ihre Summe reell sein.*) In der That, es ist

3z + 7

2(z — 3 — 2*)    2+— 3 + 2i) ~~ x² — Gx -+13 ’

3 — 8*

3 + 8t

also

13a:² — 68a: + 95 a:³ — 11a:² + 43a: — 65

Ganz allgemein gilt nun Folgendes. Sind in f(x) die Co-efflcienten reell, so treten die complexen Wurzeln in f{x) = 0 bekanntlich paarweise auf.**) Ist z. B. b gleich g + hi, so ist eine andere Wurzel, sie heisse c, gleich g — hi, also

b — g + hi, c = g — hi.

Sind nun auch in (fix) die Coefflcienten reell, so wird

j) _ ?(è) _ <P(9 + hi) f‘(b) f\g + hi)

(76.)

(77.)

(78.)

folglich erhält man

(79.) -B ' C

x

oder

(80.)

WO

(81.)

10    3a: + 7 _

x — 5    x² — 6a: + 13

r = ¥& —    ~~ hi⁾ -

f\c) f‘{g — ä»)

G + Hi,

G —Hi,

G + Hi G — Hi _ 2 G{x—g)—2Hh — b v x—c — x—g—hi x—g + hi

Px + Q

c ~~ {z — gf + h²

P —2G, Q = — 2Gg — 2 Hh

reelle Grössen sind.

*) Vergl. D.-R., Seite 589, Satz 1. **) Vergl. D.-R., § 140.

(x—gf + h²

Durch Anwendung der Gleichung (80.) kann man also bei der Partialbruchzerlegung die complexen Grössen ganz vermeiden.

In Aufgabe 6 hätte man z. B. setzen können 13z² — 68 z + 95 z³ — 11z² + 43z — 65

(82.

Px + Q

z² — 6* + 13

x — 5

Multiplicirt man diese Gleichung mit

x³ — 11z² + 43z — 65 = (z — 5) (z² — 6z + 13), so erhält man

(83.) 13z² —68z+95 = +(z²—6z+13) + P(z²—5z)+Q(z —5)

= z²(4 + ?)+z(- 6A — 5P+Q) + (13+— 5Q).

Daraus folgen die Gleichungen

13,

A + P =

(84.)

— 6A — 5P+ Q = — 68,

13+ — 5Q =    95.

(85.)

Durch Auflösung dieser Gleichungen ergiebt sich + = 10, P= 3, Q = 7,

10    3z + 7

z — 5 z² — 6z + 13

und wenn man diese Werthe in Gleichung (82.) einsetzt, 13z² — 68z + 95 z³ — 11z² + 43z —~6~5 Dieses Resultat stimmt natürlich mit dem früheren überein.

Noch einfacher gestaltet sich die Rechnung durch die folgenden Ueberlegungen. Aus Gleichung (83.), nämlich aus der Gleichung

13z² —68z + 95 = +(z²—6z+13) +P(z² —5z) + Q(z—5) ergiebt sich für

(86.)

(87.)

z² — 6z + 13 = 0, oder z² = 6z — 13 10z —74 = (P+ Q)z — 13P— 5Q.

Da Gleichung (86.) für zwei Werthe von z befriedigt wird, nämlich für

#=3 + 2 i und z = 3 — 2 i,

so wird auch Gleichung (87.) für diese beiden Werthe von z befriedigt. Nun ist aber Gleichung (87.) nur vom ersten Grade,

folglich müssen (nach D.-B., § 82, Satz 5 auf Seite 351) die gleichstelligen Coefficienten auf beiden Seiten der Gleichung einander gleich sein, d. h. es wird

(88.)P+Q=10,    13P + 5Q = 74, also P = 3, Q = 7.

Wie sich dieses Verfahren allgemein durchführen lässt, mögen die folgenden Aufgaben zeigen.

in Partialbrüche zerlegen.

Aufgabe 7. Man soll die acht gebrochene rationale Function 6«² — 25z + 89 ä* — 7«² + 32« — 60

Auflösung. Indem man den Nenner

(89.)

x³ — 7x² + 32« — 60 = 0

• (90.)

setzt, erhält man für die Wurzeln dieser Gleichung a — 3,    6 = 2 + 4*, c = 2 — 4*.

Deshalb ist

(91.) xs—7x² + 32«—60 = («— 3) («—2 — 4*) («—2 + 4*)

= (*—3) («² —4a:+ 20),

Px + Q

x³ — 7«² + 32« — 60 x — 3 "T~ x² — 4x + 20 Multiplicirt man diese Gleichung mit (x — 3) (x² — 4« + 20), so ergiebt sich

(93.) 6«²—25«+89 = Aix²— 4«+ 20) + P(«² — 3«)+ Q(x — 3). Daraus folgt für x = 3

68 = 17 A, oder A = 4,

(92.)

6«² — 25« + 89

(94.)

und für (95.)

x² — 4« + 20 = 0, oder x² = 4« — 20 — x — 31 = (P+ Q)« — 20 P — 3 Q.

Indem man die gleichstelligen Coefficienten auf.beiden Seiten dieser Gleichung einander gleichsetzt, findet man P + Q — — 1, 20 P + 3 Q, — 31,

P= 2, Q = — 3; und wenn man diese Werthe in Gleichung (92.) einsetzt,

6«² — 25« + 89 «³ — 7«² + 32« — 60

(96.)

(97.)

(98.)

2« — 3

«² — 4« + 20

Aufgabe 8. Mail soll die acht gebrochene rationale Function Ix³ — 6z² + 9ff + 108 (x-² — 4x + 13) (x² + 2x + 5)

in Partialbrüche zerlegen.

Auflösung. Indem man den Nenner

f(x) = (x² — 4x + 13) (x² + 2x + 5) = 0

(100.)

setzt, erhält man die vier complexen Wurzeln

(101.) a = 2 + 3«, b = 2 — Si, c — — 1 + 2«, d = ~ 1 — 2i,

deshalb wird man den vorgelegten Bruch auf die Form 7 £³ — Sx² + 9ff + 108

(ff²—4ff + 13)(ff² +2ff + 5) ff²—4ff+13 ^ ff² -f 2ff + 5 bringen. Hieraus erhält man durch Fortschaffung der Nenner (103.) 7ff³ — 6ff² + 9ff + 108 = (Px + Q) {x² + 2ff + 5)

+ (Bz + S) (ff² — 4ff + 13).

(102.)

Px + Q

Rx + S

(104.)

Dies giebt für

ff² — 4ff + 13 = 0, oder ff² = 4ff — 13, P = Sx — 52 6ff — 178 =• P(16ff — 78) + Q(6ff — 8).

Da die gleichstelligen Coefffcienten auf beiden Seiten dieser Gleichung einander gleich sein müssen, so gelten die Gleichungen 8P -j- 3Q = 3,    39P + 4G = 89,

(105.)

folglich wird (106.)

P= 3, Q = — 7.

Setzt man in Gleichung (103.). ff² + 2ff + 5 = 0, oder x² — — 2ff — 5, ff³ = — x -f 10, so findet man in ähnlicher Weise die Gleichungen

14ff + 208 = P(20ff + 30) + S(— Sx + 8),

10P — SS =7,    15P + 4N=104,

P = 4, S= 11, und wenn man diese Werthe in die Gleichung (102.) einsetzt, 7ff³ — 6ff²+9ff+108    _ 3ff—7

(ff²—4ff + 13)(ff² + 2ff+5) ~ ff²—4ff+13 ⁺ ff² + 2ff + 5

(107.)

(108.)

(109.)

(110.)

4ff + 11

§ 28.

Zerlegung der acht gebrochenen rationalen Functionen in Partialbrüche, wenn die Gleichung fix) = 0 auch gleiche Wurzeln besitzt.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 108.)

Hat die Gleichung f(x) — 0 auch gleiche Wurzeln, so kann man diese gleichen Wurzeln zusammenfassen und fix) auf die Form

(1.) fif) = (z — a)a(x — bf (,x — c)y . . . [x — k)*{x — l)x bringen, wobei die Grössen a, b, c,... k, l sämmtlich von einander verschieden sind, und

(2.)

a + y+ •••-}- x-j-i = n ist. Man erkennt sogleich, dass in diesem Falle die Gleichung

(fix)_ A

x — c

nicht mehr bestehen kann, weil der Generalnenner auf der rechten Seite nicht mehr gleich fix) ist.

Hier sei

fix) ~ x — a

(3.) /iO) =

fif

und

ix — a)a

= ix — by ix — c)y... ix — k)y\x — iy

(4.)

ffO)

/i(«)

dann wird die ganze Function

(5.)

Ma)

Cf{x) — Aif^x)

gleich 0 für x = a, folglich ist sie tlieilbar durch x — a. Man erhält also

(6.)

(fix) — Aifi(x) — ix — a)(ffx),

oder

(6 a.)

(f{x) = Aifiix) + ix — a)(f iix), wo (f\{x) eine ganze Function und höchstens vom Grade n — 2 ist. Nach diesen Angaben wird also

(7.)

(fjx) _ Aifx(x)+(x— a)(fxjx)

(ffx)

/(«)

[x — a)a fi(.r)

ix—a)

ix-aY'ffx)

Man hat also von

(f(x)

Ax)

ein Glied

(x — a)

so dass nur noch eine acht gebrochene Function

- abgesondert.

yifc)

(x— a)a~xf\{x)

übrig bleibt, bei welcher der Grad des Nenners nicht mehr n, sondern nur noch n — 1 ist.

Ist «>1, so kann man dieses Verfahren wiederholen und erhält ebenso

(8.)

yiQe)

<fi(x)

(x — a)a~lfr{x)    (x—a)

a- 1

(x —

also

(9.)

Ai

{x — a)

(x — a)

a—ï +

<fA)

(x — a)a~²fi(x)

wo jetzt in der acht gebrochenen Function Grad des Nenners wieder um 1 kleiner ist.

<rA)

(x — af-²f\{x)

der

Wendet man dieses Verfahren «-mal an, so ergiebt sich

(10.)

Ay

A<2

Aa

ffa(x)

(x — a)

a—1

a fr(x)

(x) \x — a)

In dieser Weise kann man fortfahren und findet schliesslich

die Gleichung

(11.)

(f(x)

A\

A₂

Aa

f[x) {x~ay yx — a)

a—l

Br

B₂

{x — by^tx—by-¹

Bj_

L,

/.-i

(x—iy    (x—i)

Die Zähler At, A₂,.. • Aa, Br, B₂,... B^ ... Llt L₂,... Lx dieser Partialbrüche berechnet man, indem man die Gleichung (11.) mit dem Generalnenner f(x) multiplicirt, nach Potenzen von x ordnet und die gleichstelligen Coefficienten auf beiden Seiten der Gleichung einander gleich setzt. Dies giebt dann, wie man leicht bestätigen kann, n lineare Gleichungen mit den n Unbekannten

Ai, A2,... Aa, Bi, Bi,.. . Bp,... U, Li,... L\, und zwar sind diese Gleichungen immer lösbar.

Aus dem Umstande, dass diese n linearen Gleichungen mit n Unbekannten nur eine Lösung besitzen, kann man wieder schliessen, dass auch in diesem Falle die Partialbruchzerlegung nur auf eine Weise geschehen kann, d. h. dass man dasselbe Resultat erhält, gleichviel ob man zuerst die Partialbrüche

Aa

(x — a )a

Tï + --- +

(x—a)a

absondert, oder ob man mit der Absonderung der Partialbrüche in einer späteren Zeile von Gleichung (11.) anfängt.

Die Rechnung wird ziemlich umständlich, wenn n eine grosse Zahl ist; dann kommt man schneller zum Ziele, indem man, der Gleichung (4.) entsprechend, zunächst

Ai

(f(a)

berechnet und das gleiche Verfahren auf die Ermittelung von Bi, C\, ... Ki, Li anwendet. Dies geschieht am einfachsten, indem man in Gleichung (11.) durch Multiplication mit fif) = (x — a)a(x — b)?(x — c'y . .. (x — k)*(x — l)x die Nenner fortschafft und dann der Reihe nach

x — u, x    b, x — c,.. . x — 7b, x — l

setzt. Die Berechnung der übrigen Zähler der Partialbrüche geschieht dann nach dem zuerst beschriebenen Verfahren, ist aber viel leichter geworden, weil man nur noch n — m lineare Gleichungen mit n — m Unbekannten hat, wobei m die Anzahl der von einander verschiedenen Wurzeln a, b, c.. .k, l der Gleichung fix) = 0 ist.

Einige Beispiele mögen zur Erläuterung dieser Angaben

dienen.

in Partialbrüche zerlegen.

Aufgabe 1. Man soll die gebrochene rationale Function 4a;³ — 63a;² + 33&r — 619 (x — 7) ix — 5)³

Auflösung. In diesem Falle muss man

(12.)

4#³ — 63z² + 338# — 619 (# — 7) (# — 5)³

Bx

(13.)

⁼ x — 7 ⁺ {x — hf + (x _5^2 setzen. Dies giebt, wenn man mit (# — 7) (x — 5)³ multiplicirt, 4#³ — 63#² + 338x — 619

= A(x—5)³ + Bi(x—7 ) + B₂(x—7) (x—5) -f B₃(x—7 ) (x—5)²,

oder

(14.)

4z³ — 63#² + 338# — 619 = x³(A + B ₃)

+ #²(— 15A + B₂ — 17jB₃) + cc(7hA. + By — 12Bi + 955g) + (— 125A — 7 Bl + 35i?₂ — 1755₃).

Daraus folgen die Gleichungen

(15.)

(16.)

r    A -f- B₃ — 4.

— 15A -f B-2 — 17i?₃ = -75A + Bi — 12B₂ + 95B₃ = 338, k — 125A. — 7 Bi + 35B₂ — 175 B₃ = — 619. Durch Auflösung dieser Gleichungen ergiebt sich ^4 = 4, Bi = 2, B₂ — — 3, B₃ = 0,

63,

so dass man erhält

4#³— 63#² + 338# — 619 (# — 7) (# — 5j³

(17.)

x— 7^(x — 5)⁸ (x—bf

(18.)

Wendet man das andere Verfahren an, indem man in Gleichung (13.) zuerst # = 7 setzt, so findet man 32 = 8 A, oder A = 4; und für # = 5 findet man aus Gleichung (13.)

(19.)

— 4 = — 2Bi, oder Bx = 2.

Zur Ermittelung von i?₂ und Z?₃ braucht man jetzt nur noch zwei Gleichungen. Deshalb wählt man von den vier Gleichungen (15.), welche zur Verfügung stehen, diejenigen aus, welche sich am leichtesten herleiten lassen; d. h. man braucht jetzt gar nicht mehr die Gleichung (14.) vollständig zu bilden, sondern berechnet von der rechten Seite dieser Gleichung nur

den Coefficienten von x³ und das constante Glied. Daraus ergeben sich in Uebereinstimmung mit den Gleichungen (15.) die Gleichungen

4 + B₃ = 4,

— 125.4 — 7 Bi + 35-02 — 175 B₃ = — 619, die sich aber mit Hülfe der Gleichungen (18.) und (19.) auf (20 a.)

(21 a.)

(20.)

(21.)

B₃ — 0,

35B₂ — 175#3 = — 105, oder i?₂ = — 3 reduciren. Auf diese Weise wird man wieder zu dem in Gleichung (17.) angegebenen Resultate geführt.

Aufgabe 2. Man soll den Bruch briiche zerlegen.

3x³ + 10x² —

(x² — l)²

— in Partial-

Auflösung. Hier muss man

(22.)

3x³ + lO.r² — x

Aj___.    -4-2    , B\ i

(x—l)² X — 1 (x + l)²

B,

(x² — l)²

setzen und erhält durch Multiplication mit

(x² — l)² = (x — l)² (x + l)²

(23.)    3.r³ + 10-c² — x = Ai (x + l)² + A₂(x + l)² (x — 1)

+ Bi(x — l)² + B₂(x + 1) (x — l)².

Hieraus ergiebt sich für x 1

(24.)

12 = 44i, oder Ai = 3,

und für x = — 1

(25.)

8 = 4-Bi, oder By — 2.

Zur Ermittelung von AU und B₂ suche man auf der rechten Seite von Gleichung (23.) den Coefficienten von x³ und das constante Glied auf und setze die gefundenen Grössen den gleichstelligen Coefficienten auf der linken Seite gleich. Dadurch erhält man die beiden Gleichungen

( 6.)    4.2 -f- B₂ — 3,

(7.)    Ai — -4₂ + Bi -f- B₂ = 0,

(27 a.)

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (24.) und (25.) — A₂ + B₂ = — 5,

-4.2 — 4, jE?2 — - 1

(28.)

(x-l)² X-1    (x-\-\)² X -f- 1

(29.)

also

so dass Gleichung (22.) übergeht in 3^³ 4- 10x² — x (x² — l)²

Dieses Verfahren gilt auch hier noch, wenn die Wurzeln a, b, c,... /c, l sämmtlich oder theilweise complex sind. Man kann aber, wenn in f{x) und q>{x) die Coefficienten sämmtlich reell sind, das Resultat gleichfalls auf eine reelle Form bringen. Ist z. B. b gleich g + hi, so wird eine andere Wurzel, sie heisse c, gleich g — hi, und es wird ß gleich y sein, wie in der Algebra bewiesen wird (Vergl. D.-R., § 140). Nun folgt aber aus der Bildung der Grössen Bu B>,... Bp und Cy, C₂,... C\, dass man die letzteren durch Vertauschung von + i mit —i aus den ersteren erhält. Ist also

(30.) By = Gy Hyi, B₂ = G₂ 4~ i,... Bp — Gp 4- H^i, so wird

(31.) Cy = Gy —Hyt, C₂ ⁼ G₂ — H%iy... Gy = Cp = Gp — Hpi. Deshalb werden die Summen

By

(x — by

Cy

(x — cy

(32.)

b₂

c₂

(x — by

-i

(x — c'y

9l

——j    +

x — b

sämmtlich reell.

Man kann auch hier in der Zwischenrechnung die com-plexen Grössen ganz vermeiden. Wenn man nämlich die Ausdrücke (32.) auf gleichen Nenner bringt und addirt, so erhält

F(x)

man

[(* — fff + h²f ’ aber höchstens vom Grade 2ß — 1 ist. Jetzt findet man durch Division

wo der Nenner vom Grade 2ß, der Zähler

F(x) = Ux — gf + h?} Ft(x) + Ptx + Q

(33.)

also

₍oa i F(x) — PlX + Ql J_ -ftO*)

K ’ [(* - fff +    L(* — 9f + ^    [(* — fff + h²f~' ‘

Ebenso findet man

(35.)

K(x)

Pix -f- Q₂

[{x—fff + W ]P

[{x—fff-\-h²f-

F₂(x)

In derselben Weise kann man fortfaliren und erhält schliesslich

(36.)

Bt

Bi

C\

Ci

{x-bf^ix-bf-

P\x-\- Qi

~ [(x—gf+ÏÏÿ T [(x-yf+tif-

x—b

PiX-\- Qi

(z—c)?' (x—cf-¹

!+••• +

I-----1——

x-c

PßX-\- Qp (x—gf + h²

Die Berechnung der Grössen Pi, Qi, P₂, Qi,... Pp, Qp erfolgt jetzt wieder wie früher, indem man den Ausdruck, welcher

(f(x)

sich für

/ 0*0

durch Partialbruchzerlegung ergiebt, vorläufig aber

noch die unbestimmten Grössen Pt, Qu Pi, Q₂,... Pp, Qp u. s. w. enthält, mit f(x) multiplicirt, nach Potenzen von x ordnet und die einzelnen Coefficienten den gleichstelligen Coefficienten von (p(x) gleichsetzt. Dadurch erhält man n lineare Gleichungen mit n Unbekannten, deren Auflösung nach diesen Unbekannten immer möglich ist.

Man kann aber auch hier die Rechnung wesentlich abkürzen, indem man

(x — ff)² -f h² = 0, oder x² = 2gx — g² — h2 setzt. Dadurch kann man die eben beschriebene Gleichung auf den ersten Grad bringen und durch Gleichsetzung der gleichstelligen Coefficienten die beiden darin verbliebenen Unbekannten Pi und Qi berechnen.

Am besten wird dieses Verfahren durch Beispiele erläutert.

Aufgabe 3. Man soll die acht gebrochene rationale Function x -f- 1

(x — 1) (x² + l)

2 in Partialbrüche zerlegen.

Auflösung. Nach dem Gesagten muss man hier

/o7 \    x + 1    _ A PjX + Qi

^    ' (x — 1) (X² + l)² X — 1    (x² + l)²

P%x -f- Q2 x² + 1

setzen. Wenn man diese Gleichung mit (x—l)(x² + l)² mul-tiplicirt, erhält man

(38.) x+1 —Aip^ + lf-^-^PixA Qi)(a:-l)+(^+Q2)(^-l)(^² + l), oder, wenn man die rechte Seite dieser Gleichung nach fallenden Potenzen von x ordnet,

(39.) x-\-1 = x^(A + P%)+x^{— P%-\- Qi)+x²(2A+Pi pP₂— Q2)

■p x{—■ P\ -p Qi — P2 P Q2) ~P (A — Qi — Q2).

Durch Gleichsetzung der gleichstelligen Coefficienten ergiebt sich hieraus

A -p P2 = 0,

(40.)

Löst man diese Gleichungen auf, so findet man (41.) A = |,    1\ =    1, Qi — 0, Pi— -j, Q2 =

also

(42.)

x+1

2x

= (-1

\x 1    (X² -p l)² X² + 1

)•

(x — 1) (X² + l)²

Die Rechnung wird wesentlich abgekürzt, wenn man in Gleichung (38.)'zunächst x = 1 setzt. Dadurch erhält man (43.)

oder A — \.

Für x² = — 1 geht sodann Gleichung (38.) über in (44.) x + 1 — {P\X -p Qi) (x — 1) = (— Pi -p Q,\)x — P\ — Qi, und daraus folgt

Qi = 0.

- Pi + Qi = 1, — Pi — Qt = 1, Pi — — l,

Um noch die beiden Grössen P₂ und Q₂ zu berechnen, braucht man auf der rechten Seite von Gleichung (38.) nur diejenigen beiden Coefficienten zu berechnen, welche sich am leich-

Aufgabe 4. Man soll die acht gebrochene rationale Function

3.r⁵ + 2x⁴ + 6x* — lire² — 12:r — 8 (x — 2)² (x + 2x + 2)¹

Auflösung. Hier ist zu setzen

in Partialbrüche zerlegen.

(40 ) <7⁾('r)_    . Aj , P\x + Qi . Pix + Qi

' ’ f{x)    (x — 2)²    x — 2    (x² + 2x -f- 2)²    x²-j-2x-j-2

folglich wird

(50.) (f (x) = 3n⁵ + 2#⁴ + 6.r³ — llx² — 12.r — 8

= Ax(x² -f- 2x + 2)² + A₂(x — 2) (x² -f- 2x + 2)2 + (Pix-j- Qi) (x — 2)²-j-(I⁾2X-{- Q-₂) (x — 2)²(x²-j-2x+ 2). Dies giebt für x = 2

(51.)

testen ermitteln lassen, nämlich die Coeflicienten von x⁴ und x°. Wenn man diese Grössen den gleichstem gen Coefficienten auf der linken Seite von Gleichung (38.) gleichsetzt, erhält man A -j- P2 ⁼ 0, A — Qi — Qo — 1, oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (43.) und (46.)

_1

(47.)

(48.)

P2 = ~h Q₂ =

Daraus ergiebt sich wieder Gleichung (42.).

100 = lOOHt, oder Ax — l und für x² -f 2x -f- 2 = 0, oder x² — — 2x — 2 lOrr + 30 = (Pxx+Qx) (—Qx+2) = (14P — 6Qi)a:+(12Pi + 2Qi), also

(52.)

(53.)

7Pi — 3Q, = 5,    6P, + Qi = 15,

Pi = 2, Qi = 3.

Setzt man jetzt noch die Coefficienten von xb, x⁴ und x° auf beiden Seiten von Gleichung (50.) einander gleich, so erhält man

A₂ -f- P2 — 3, A\ -f- 2Ao — 2P₂ -f- Q2 — 2, 4Hi — 8H2 —4 Qi —f— 8Q2 = — 8, oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (51.) und (53.)

(54.) A-2 -j- P-2 — 3,    2A2 — 2P₂ -j- Q₂ — 1

A₂ — Qo — 3,

also

{x — a)n

Indem man diese Werthe in die Gleichung (49.) einsetzt, erhält man

(56.)

(a:—2;

3#⁵ + 2^⁴ -j- 6^³ — 11a:² — 12x — 8 (x — 2)² (x² + 2x + 2)2 2x + 3

x — 2 ¹ (x² + 2x + 2)

x² -f- 2x + 2

(x)

Bei der Zerlegung von in Partialbrüche ist voraus-

A’j

gesetzt, dass man die Wurzeln der Gleichung f{x) — 0 ermittelt hat.

Weitere ITebungs-Aufgaben kann sich der Anfänger sehr leicht selbst stellen, indem er beliebig gewählte Partialbrüche auf den gemeinsamen Generalnenner bringt und dadurch die

Function

(f{x)

/oo

bildet.

§ 29.

A

Integration der Functionen---dx und

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 19, 53, 54, 55, 57, 59 und 104.)

Die Zerlegung in Partialbrüche macht es möglich, jede gebrochene rationale Function zu integriren, denn man kann sie nach den Ausführungen der vorhergehenden Paragraphen stets (nöthigenfalls nach Absonderung einer ganzen rationalen Function) in eine Summe verwandeln, deren einzelne Glieder

A

entweder die Form -

x — a

drücke kann man aber sehr leicht integriren.

Setzt man nämlich

(x — a)

ndx'

oder

{x— a)

- haben. Diese Aus-

n

x — a = t, also dx = dt, so wird nach Formel Nr. 12 der Tabelle

(i.)

A\t

[x — a)n

oder in Uebereinstimmung mit Formel Nr. 19 der Tabelle

(2.)

I-

J x — a

dx — A\(x — a).

Ferner wird, wenn n von 1 verschieden ist, nach Formel Nr. 9 der Tabelle, indem man m — — n setzt,

t~ndt — A -

f A dx

J (x — a)n

-444

t~n+¹

oder

(3.)

f———

J {x — aJH

dx =

(n — 1) (x — a):

nämlich

Für n,— 2 ergiebt sich hieraus Formel Nr. 57 der Tabelle

(3 a.)

f.

dx

_ f_dx_

J

x -j- b

Wendet man dies auf die in § 27 und 28 behandelten Beispiele an, so findet man ohne Weiteres die Lösung der folgenden Aufgaben.

(x + bf

Aufgabe 1.

15z² — 70z — 95

dx — '?

z³ — 6z² — 13z + 42

Auflösung. Nach Aufgabe 1 in § 27 ist 15z² — 70z — 95

________________    ₌ ³_ + -⁵ + _L. -

z³ — 6z² — 13z + 42 z — 7 ^ z + 3 z — 2

folglich wird ’ 15z² —70z —95

z³ — 6z² — 13z + 42

dx

= 3^(z — 7) + 5 l{x + 3) + 7 l{x — 2) = l[(x — 7)³ (z + 3)⁵ (z — 2)⁷].

Aufgabe 2. j Auflösung. Nach Aufgabe 2 in § 27 ist

zd — z

dx = ?

z² 4- 1    1 [    1    ₊ _1

z³ — z    z z — 1 z 4“ 1

folglich wird

§ 29. Integration der Functionen —und

X — a

Adx

199

(x — a)n

dx = ~f\dx +/i=ldx +fli i

dx

= — Ix + l(x — 1) + Kx + 1)

Aufgabe 3.

f;

4a:² — 15a: + 19

(x — 1) (x — 2) (x — 3)

dx = ?

Auflösung. Nach Aufgabe 3 in § 27 ist

4a:² — 15a: + 19

(x — 1) (x — 2) (x — 3) x — 1 folglich wird

4a:² — 15a: -j- 19

5,5 x — 2 x — 3 ’

J (# — 1) (a- — 2) (x — 3)

= 4 l(x — 1) — 5 l(x — 2) -f- 5 l(x — 3).

r dx

J

Auflösung. Nach Aufgabe 4 in § 27 ist

Aufgabe 4.

1 + x — a;²

1 x — x²

— (

Y 5 \2x — 1 -j- Y 5 2x — l — y ~5

folglich wird

1 + x — x² ]/5

¥■

2 dx

2 dx

2a: — 1 -f- Y5 J 2a: — 1 — ]/5 = 4=P( 2a: —1 + ]/5) — /(2a: — 1 — |/5)]

ys V

2a: •— 1 + y5\ # 2 a: — 1 — V 5/

Aufgabe 5.

'2a:³ — 7a:² — 6a: + 8

x² — 6a: + 7

dx = ?

Auflösung Nach Aufgabe 5 in § 27 ist

2a:³— 7a:² — 6a:+8

a:² — 6a: -f- 7

Ł (³ + 1°V2    —3+10y2\?

2y2 Va:—3—]/2 ⁺ a: —3 +

Adz (x—a)n

folglich wird

2x³ — 7a;² — 6a; + 8 x² — 6 a: + 7

dx = 2 j'xdx    b fdx

r A3 + 10}/2)flfe    A—3 + 10V2)<fe

Ly a; — 3 — y-2 y rr —3H-]/2

= a² + 5a; + —7=t(3 + 10 ]/2) 7(a: — 3 —]/2)

2]/2

:i

2]/2

+ (—3 + lO]/!)^

3+V2)] ) + l«]/2/(V²—f).r + 7)

⁼ ■*2 + 5" ⁺ sk    B)+ 51 ("! _ 6* + 7)-

Aufgabe 6.

= x² + 5a; +

— 3 —1/2

2]/2

— 3+]/2

"(13a;² — 68a; + 95 )dx

(a— 5) (a;²—6a; +13)

Auflösung. Nach Aufgabe Nr. 6 in § 27 ist 13a;² —68a;+ 95    10    3 — 8*    3 + 8*

(x—b)(x² — Gx + 13) ” x— 5 ⁺ 2(*—-3—2i) ⁺ 2(a; — 3 +2*) ’

folglich wird

3 — 8* /' dx

2 J x—B-

— 2*

Ç (13a;² — 68a-+ 95)dx C dx

J (x — 5) (a.² — 6a;+13)    Jx—5

3 + 8* C dx

—3 + 2*

2 ~Jx

Q _ Ö«

= 10 l(x—5) -}---— l{x — 3 — 2*)

a

+    l(x — 3 + 2*).

Li

Dieses Resultat befriedigt deshalb nicht, weil es complexe Grössen enthält, obgleich man es, wie später gezeigt werden soll, auf eine reelle Form bringen kann.

'4xs — 63a;² + 338a; — 619 (x — 7) (x — 5)3 Auflösung. Nach Aufgabe 1 in § 28 ist 4a;³ — 63a;² + 338a; — 619 (x— 7) (x — 5)³

Aufgabe 7.

./

dx — ?

: CO

X— a

Adx (x — a)n

folglich wird '4 a:³ — 63a:² + 338a- — 619 (x—7) (a- — 5)³

c/a

. C dx    f clx

_3 /■_*

(a — 5)² x — 5 3a:— 16 (x — 5 f

= 4/(a — 7) —

= 4 /(a — 7 ) +

'3a:³ + 10a:² — x ,■

(a²—l)²    * ~

Auflösung. Nach Aufgabe 2 in § 28 ist

3a;³ + 10 a² — x

"~(ä² — ÏF

folglich wird

'3a:³ + 10a²—

(a² — l)²

Aufgabe 8.

(a

(a— !)²

(a + l)² a + 1 ’

—³ + 4Z(a-l)--|

a — 1    a + 1

(a + l)²

f dx

J x-Y

— ^(a + 1)

5a + 1

a² — 1

Die einfachsten Fälle der Partialbruchzerlegung sind schon im ersten Theile (§ 8) berücksichtigt worden. So ergiebt sich z. B. Formel Nr. 53 der Tabelle, nämlich

dx

a² —

_ 1 j/a — a\ d² 2 a \a -f- a) ’

ohne Weiteres durch Partialbruchzerlegung, denn es ist

(4.)

--,

a + a

oder, wenn man beide Seiten der Gleichung mit (a — a) (a -f- d) = a² — a² multiplicirt,

a² — d²

(x— a)n

Dies giebt für x = a

1 = 2 Aa, oder A —

2 a

und für x = — a

1 = — 2 Ba, oder B — —

Setzt man diese Werthe von A und B in die Gleichung (4.) ein, so erhält man

x¹ 2 — a²

l(A___LJ)

a\x — a x + aj

IC

also

z v f dx

(R-) rrÿ

= 4fl (x — a) — l(* + a)l = — l(---')■

2aL v 7    * 2a \x + a)

In gleicher Weise ergeben sich auch die Formeln Nr. 54 und 55 der Tabelle, denn es ist

(7.)

(x-Xi) (x-3*2) X-Xi

X — x₂

oder

(8.)

1 = A(x — x₂) + B(x — xt).

(9.)

Dies giebt für x = xy

1 = A(xi — x₂), oder A — -

xt — x₂

und für x — x₂

(10.)

1 = B(x2 — xi), oder B -- ——

X₂-X\

Dadurch erhält man in Uebereinstimmung mit Formel Nr. 55 der Tabelle

(11.)

-_—-— (—

(x — Xi) (X X₂) Xi — x₂ \x

-Xi

——)

x — x₂/

x² 4- 20a; 4~ c — 0

(13.)

(x — a)n

mit Xi und x₂, so wird

— b 4- ]/b²—c, x₂ = — b—YW—~c, Xi — x₂ = 2 yb²—c,

(x — xi) (x — x₂) = x² 4- 2bx 4~ Ci so dass Gleichung (12.) übergeht in dx

x² 4- 2bx 4- c 2 j/è²

(14.)

(15.)

(16.)

a*i =

l=ifî

>²—c \x

x 4~ b —]/è² — c

+ b+ Vb² —

=)•

¹

Xi —x₂ \x — x₂)

(12.)

Ebenso findet man auch Formel Nr. 59 der Tabelle am einfachsten durch Partialbruchzerlegung, denn es ist

QO

H    —¹

-X\ X-3*2

₍ N    Px + Q_₌ _

^ '    (x Xi) (x — X₂)    X

(    .)    Px 4- Q — Aix — x₂) + B(x— xi).

Dies giebt für x — xy

(19.)    Px i + Q = A(x i — x₂), oder A = —

Xi

und für x — x₂

(20.)    Px 2 + Q = B(x 2 — xi), oder B = —

x₂

Pxi -f- Q

— x%

Px 2 T" Q

Daraus folgt in Uebereinstimmung mit Formel Nr. 59 der

Tabelle

(21.)

1    / Px i -f' Q

(a; — Xi) (x — x₂) Xi — x₂\ x

Px 4- Q

-Xi

Px2 -f Q\

a; —x₂ )

r (Px -f- Q)dx _

J (X-Xi) (x — x₂)

---[(Pxi + Q) \(x — Xi) — (Px₂ 4- Q)l(a; — x₂)].

Xi — x₂

{{x-gf+W\n

§ 30.

Integration der Functionen

dx

und

dx

[(* — fff + Ä²]H

(x — ff)² + h2 (Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 105 bis 107.)

Nach Formel Nr. 20 der Tabelle war

= ïarCt*(a)'

j

Auf den Zusammenhang dieser Formel mit Nr. 53 der Tabelle, nämlich mit

il-)

a² -j- x²

ist bereits auf Seite 47 hingewiesen worden.

(2.)

x² — a²

_ 1 j /x — a\

2 a \;r + a)

nämlich

Aus Formel Nr. 20 der Tabelle ergiebt sich Formel Nr. 56,

(8.)

dx

x² -j- %bx -f- c j/^ indem man das Integral auf die Form

bparctg(

x -f- b

J{x + if + c — !r bringt und c — b² gleich a² setzt. Dieses Integral geht in

d(x + b)

(4,) /(*-«’)*+*’

über, wenn man

d(x — ff)

(x

g)²+h²

b = — ff. c — b² = h2 setzt. Noch unmittelbarer erhält man dieses Resultat durch die Substitution

(5.)

x — g = ht, dx = hdt, dann wird nämlich in Uebereinstimmung mit Gleichung (5.)

(6.)

(7.)

f(x —ff)²+ h²

dx

f hdt 1 /' dt 1

-J h\fi + 1) “ hj r+? - h arctg' = r"et*(£7r):

(z—ff)²+ h*

[[x—gy+h*]"

dx

Dieselbe Substitution kann man an wenden, um / r.-NO ,

' J [(x — fff+h²}"

zu berechnen für den Fall, wo n >1 ist ; dann erhält man nämlich

(8.)

fl

dx

hdt

[{x — ff)² + A²]u fh2n[l t²)n

Nun ist

t²

(i +

1 4 t² — t²

(1 + f)H (1 + t²)n (1 4- P)

folglich wird

(10.)

/(!+«*)* J

dt

t²dt

(i + fi)

n—1

(i + fi)*

Setzt man jetzt in Formel Nr. 61 der Tabelle, nämlich in Judo = uv —Jvdu 2tdt

toi

? do

_ d{ 1 4 t*)

(1 + t?)n (1 + t²)n ’

also

du — \dt,

(n — 1) (1 4 t²)n

so erhält man

(U-}A

t²dt

-1 ’

2(n — 1)(1 H- t²)

und wenn man diese Gleichung von Gleichung (10.) subtrahirt,

(1 + t²)n

¹

x

²

(x-Xi) {x —x₂)

Daraus ergiebt sich dann auch Formel Nr. 54 der Tabelle, denn bezeichnet man die Wurzeln der Gleichung

2u —

_z_f_ dt

(2n — 2) (1 4 t²)n~l ^ 2n — 2 J (1 + t²)

Durch diese Formel ist das gesuchte Integral auf ein einfacheres zurückgeführt. Durch wiederholte Anwendung kommt man schliesslich auf

.1

dt

1 + t²

= arc tg t.

also

Beispiel für n — 3.

(x—gp+h'¹

[{x-gf+W]n

f dt -    ¹ i ³ f dt

J (i + ty 4(i +    ^ (i + îî²)²

/(rf^⁼2ö^) ⁺ ^ctg*’

3

(1 ₊ ^)3-₄(i ₊ ^2    -    8(1 + *²) ⁺ 8 arCtg'^

t{Sf + 5) , 3    . .

8F+T?⁺8arct^

Man kann das gesuchte Integral auch auf Formel Nr. 65 der Tabelle zurückführen, indem man

t— tgz, also z = arc tgć, dz =

(13.)

dt

1 + t²

setzt, dann wird mit Rücksicht auf Formel Nr. 65 der Tabelle cos²z’ i + ^~C0S2:’

(14.) l + *² = l+tg²z /    \ /' dt

⁽¹⁵-} Jt—

(1 + *²)

=J cos²”

~~zdz

(1T t*)n

-1

COS

2w—2

= sinz

2 n—2 (2n—3) (2n—5) ...5.3 {2n—2) (2n—4)... 6.4.2

C0S2n-3Z +

cosz H

(2 n —2)(2 n— 4)

cos2w-5z

(2»—3)(2w—5) ...5.3.1

(2»—2)(2»—4)...6.4.2

z.

Dabei ist

(16.) cosz =

sinz =■

sin z cosz =

yi + ?

Für n = 3 erhält man z. B. wieder

J (TTl⁵? = silu(ï cos’z + rhcosz) ⁺

r+ l)+larct^'-

1 + t²

3.1

4.2 ~

1 + t² \4(1 + t²)

(Ps-f Q)cfa 207 [(x—ß)²fA²Jn '

{Px-f- Qdx (x—g) ²+ä²

§ 81.

Integration der Functionen

(Px + Q)dx [(x — gf + h² ]n (Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 108 und 109.)

(Px + Q)dx

(x — gf + h²

und

Setzt man in Formel Nr. 58 der Tabelle, nämlich in

\Px -j- Q)dx _

x² + 2 bx + c

(io;

b — — g, c — b² == Ji²,

so geht sie über in

oder nach Formel Nr. 105 der Tabelle

In ähnlicher Weise kann man

r (Px -f- Q)dx

J¥

—.gf + v]

wenn rc >1 vorausgesetzt wird. Es ist nämlich

- auffinden,

P{x — g) + Pg + Q d [{x — gf + h²f

- + {Pg + Q)f—

f (Px + Q)dx r

' ./[(*-?)* +A!]" J

-g?+h²]n

Pf 2{x— g)dx ⁼ 2 J[[x—g)²+h²]

Setzt man jetzt

(5.)

(x — gf + h² = y, also 2(x — g)dx = dy.

und

(6.)

x — g = ht, also dx = hdt,

so geht Gleichung (4.) über in

{Px + Q)dx \{x — g)² + h² ]n

_p Pg+Q

2./ yn

h2n~Y

(1 + t²)n ’

oder

( Px + Q)dx

[(r — gY+'f?

(2 n — 2) [(a; — y f +A²] Py + Q / dt

j(T+W

n—i

A²«-¹

wobei das Integral auf der rechten Seite nach Formel Nr. 106 oder 107 der Tabelle berechnet werden kann.

(IO

§ 32.

Uebungs-Aufgaben.

(13a² — 68.r + 9h)dx _

(x — 5) (x² — 6a; + 13)

Auflösung. Nach Aufgabe 6 in § 27 ist 13a;² - 68a: + 95

(x— 5) (x²— 6a; + 13) x — 5 ' x² — 6a; + 13

Nun ist nach Formel Nr. 19 der Tabelle

Aufgabe 1.

10

3a; + 7

(2.)

flOdx

J x — h

= 10l(ar —5)

und nach Formel Nr. 108 der Tabelle

x + l)dx _Ç

— 6a; + 13 (x — 3)² + 2²

=    l(a;² — 6a: + 13) + 8 arc tg^-^--^ ’

(3.)

A3

Jx²

to oo

(3a; + 7 )dx

folglich wird

(13a-² — 68 + 95)dx (x—b)(x²— 6 a; + 13)

. = 10l(a; — 5) + ^ l(a;² — 6a; 4- 13 )

> ) 2

+ 8 arc tg (^ ³) •

Aufgabe 2.

+(6a² — 25.r + 89)dx _ 0 J (x — 3) (x² — 4a; + 20) “ '

Auflösung. Nach Aufgabe 7 in § 27 ist

6a;² — 25a; + 89

(x — 3) (x² — 4 a; + 20)

2a- — 3 x — 3 x² — 4 a +10

Nun ist nach Formel Nr. 19 der Tabelle

(6.)

4 dx

-=410 — 3)

und nach Formel Nr. 108 der Tabelle

(2x — 3 )dx 0 — 2)² +¥

(7.)

./

’ (2x — 3)dx

x² — 4x + 20

■h

= 1 (x² — 4#

folglich wird

+ 20) + \ arc tg (pp)’

(8.)

f (6a:² — 25a: + 89) dx

J 0 — 3)0²— 4# + 20)

= 410 — 3) + IO² — 4« + 20)

(9.)

r o H⁻ i)<fe

./ 0—i)0²+i)2 Auflösung. Nach Aufgabe 3 in § 28 ist x + 1

0 — i) O² +1)²

Nun ist nach Formel Nr. 19 der Tabelle

Aufgabe 3.

2x

+ iarct g(pp)-

x T* 1

— i ~ 0²+i)² ~~    + i

(io)

fér

nach Formel Nr. 109 der Tabelle ist

(11.)

j' 2xdx

J 0² + i)²

x² + 1

und nach Formel Nr. 108 der Tabelle ist

(12.)

0 + l)dx

= -|10² + 1) + arctgz.

Dieses letzte Resultat hätte man auch mit Hülfe der Formeln Nr. 24 und 18 der Tabelle finden können. Aus den Gleichungen (9.) bis (12.) ergiebt sich daher

Mal f (x + ¹)dx _

K }J 0-l)(^+l)2_

_ ii/lizziZ.

"4 U² + 1

—10²+1)—arctg^r

Li

^ arctgic.

20² + 1) 2

Aufgabe 4.

/*(3    + 2a⁻⁴ + 6a;³ — 11a;² — 12a: — 8 )dx    y

J (x — 2)² (x² + 2a;    2)²

(14.)

Auflösung. Nach Aufgabe 4 in § 28 ist 3a;⁵ + 2a;⁴ + 6a;³—11a;² —12a;—8 (x — 2)² (x² + 2a; + 2)²

_

(*— 2)²    z —2

2a; + 3

(x² + 2a; + 2) x² + 2x + 2

Nun ist nach den Formeln Nr. 104, 19, 108 und 109 der

Tabelle

<“■> fiér,-

f (2x + 3)dx __ f

K' ⁾J(x² + 2x + 2)²~J[

1    f_2dx

x — 2 J x

2 = 21 (x —2),

(x — 1 )dx

x² + 2x +2

_ Ç (x — 1 )dx J (x + l)² + 1

= ^l(a;² + 2a; + 2) — 2arctg(a; + 1), (2a; + 3 )dx [{x + l)² + l]²

r dt

V (i + *²)² ’

a;² + 2a; + 2

wobei x -f l gleich t gesetzt ist. Dies giebt nach Formel Nr. 106 der Tabelle

(18.)

+i/ dt

(1 +    2(1 + <³) T 2 J

1 + /²

⁼ 2ä+?) ⁺ ^ctg<

2(a;² + 2a; + 2)    2

4- warc tg(a; + 1)

folglich wird

(19.)

(3a;⁵ + 2a;⁴ + 6a;³ — 11a:² — 12a; — 8 )dx

(x —- 2)² (x² + 2a; + 2)²

^A_ + 2l(*-2H

2(a;² + 2a; + 2) + -|-l(a:² + 2a; + 2) — f arctg(a; + 1).

Ç (x + 3)dx J (a:² + a;-|-l)²

Aufgabe 5.

Auflösung. Da in diesem Falle

(20.)

X- + X + 1 = (x + -I)² + I ist, so erhält man nach Formel Nr. 109 der Tabelle, indem man (21.) P= 1, Q = 3, g = — %, A = -|]/3, rc = 2 setzt,

122    /'_(«+_3)^_ _

¹ V (a:² + ^ + l)²~

2(x² + x+i)^ ₃y₃J (1 + ff

20

wobei

(23.)

2x + 1 = *1/3

gesetzt ist. Dies giebt nach Formel Nr. 106 der Tabelle

(24.)

f dt

J (1 + ff — 2(1 + f) ' 2

I- ^ arc tg*

also

_&+i)Vä i /

- 8(a;² + a;+l) ⁺ 2    H

2x + 1

)’

10

f (x+ 3)dx _ ¹ V («² + a: + l)²

5a; + 1

3(**+*+i) ^ ₃yf

(26.)

Aufgabe 6. ^ Auflösung. Hier ist

' (5a:² — 8a: — 4) c/a:

X³ + 1

5a:² — 8a; — 4

Px + Q

x³ -f 1

X²-X -f- 1

a: + 1

oder, wenn man beide Seiten der Gleichung mit (a;+l)(a:2—a:+l) multiplicirt,

(27.)    5a;²—8a:—4 = A(x²—x + 1) + (Px + Q) (x + 1).

Dies giebt für x = — 1

(28.)

9 = 3 A, oder A = 3 und für x² — x -f 1 = 0, oder x² — x — 1

also

— 3a: — 9 = (2P -f- Q)x + (— P+ Q),

(29.)

2P + Q = — 3, — P+Q = —9,

P= 2, Q = — 7,

(30.)

(31.)

5z² — 8 a: — 4

2x — l

x + 1,    a:² — a: + 1

a:³ -f- 1

Nun ist nach Formel Nr. 19 der Tabelle 3 (Jî.

Jx + 1

und nach Formel Nr. 108 der Tabelle

(32.)

= 3l(x + 1)

(33.)

”(2x — 7 )dx

-/■

(2x — l)dx

folglich findet man

,34.)/'

X² — X + 1 J (x — -|-)² + I

= l(a² — x + 1) — 4 Y 3 arc t    ^

3l(a; +1)+1 (x²—x4-1 )—■4]/3arctg(~ÿ

(5a:²—8a:—4)cfcr

a:³ -f-1

Dem Anfänger wird die Prüfung der vorstehenden Auflösungen durch Differentiation empfohlen.

In manchen Fällen, wo die Integration durch Partialbruchzerlegung sehr umständlich oder in Folge von algebraischen Schwierigkeiten gar nicht durchführbar sein würde, gelingt die Integration durch zweckmässige Umformungen und Substitutionen, wie durch einige Beispiele zur Erläuterung gezeigt werden möge.

Aufgabe 7.

f dx _

J x(x³ + 1)

Auflösung. Setzt man in diesem Falle

(35.)

T—I i -łO

also dx = —

so wird

(36.)

dx

oder

x{x³ + 1)

-,

t²dt

x(x³ -f- 1)

-KÄ)-'(pn)-

Man kann dieses Resultat auch in folgender Weise finden.

Es ist

also

1    _ (x³ -f- 1) X³ 1    X²

x{x³ + 1) x{x³ +1) X X³ -f- 1 ?

f dx

J x

_ fdx /

x³ + 1) J x J

' xldx

x³ + 1

= \x —

(38.) so wird

Aufgabe 8.

Auflösung. Setzt man in diesem Falle wieder also dx = — ^

t² ’

(39.)

oder

f dx

J x{x⁴ -F 1)

’ t³clt

fl +1

40.)

r dx _

J *0⁴ +1) —

— 11

x* + 1

x⁴

= 41

Auch hier findet man dasselbe Resultat aus der Gleichung

(X⁴ + 1) X⁴ 1

x(x⁴ -f- 1)

X³

x{x⁴ +1)

aus der dann unmittelbar folgt

x x⁴ 4- 1 ’

r dx

Jx(x⁴ +1)

x³dx

/dx r

Ix IX⁴ + 1

— Ix —

VIII. Abschnitt.

Integration der irrationalen Functionen.

§ 33.

Allgemeine Bemerkungen.

Im ersten Theile der Integral-Bechnung sind bereits irrationale Differential-Functionen in grösserer Anzahl integrirt und in die Formel-Tabelle aufgenommen worden. (Man vergleiche die Formel-Tabelle Nr. 17, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 70 bis 89).

In Betreff der übrigen irrationalen Differential-Functionen ist zu bemerken, dass es verhältnissmässig nur wenige Fälle giebt, bei denen sich die Integration durch Anwendung algebraischer Functionen oder der bisher bekannten transcendenten Functionen ausführen lässt. In den meisten Fällen werden durch die Integrale algebraischer Differential-Functionen neue (d. h. bisher noch unbekannte) transcendente Functionen erklärt.

Hier mögen zunächst solche irrationale Differential-Functionen in Betracht gezogen werden, welche sich durch eine Substitution auf Functionen zurückführen lassen, deren Integral bereits bekannt ist, oder in rationale Differential-Functionen umgewandelt werden können, und zwar sollen nur die einfacheren Fälle berücksichtigt werden.

§ 34.

Integration rationaler Functionen der Argumente

m

J’ (

a + bx A + Bx

x>

a + bx V"

A -F Bx) ’ ' ' ‘ '

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 110 und 111.)

Kommen in der Function unter dem Integralzeichen keine anderen Irrationalitäten vor als Wurzeln aus x selbst, so lässt sich die Differential-Function durch die Substitution x — ty-

(1.)

sehr leicht rational machen, wenn man den Exponenten * so wählt, dass x durch alle auftretenden Wurzel-Exponenten theil-bar ist.

Wie dies gemeint ist, möge zunächst ein Beispiel zeigen.

Aufgabe 1.

Auflösung. Das kleinste gemeinsame Vielfache der Wurzel-Exponenten 2, 3, 4 und 6 ist 12, folglich muss man

(2.)

x = t¹², oder i/x — t

setzen und erhält

(3.) y/x³ = tQ,    -j/x² = ts,    y x = fi,    yx = ż⁴, j/x = t².

Dies giebt

(4-) /

Xyx³—7 -f/x² +12 Yx)dx __ ₀ r(tQ—7t* + 121⁶) tildt

_17    i¹²

x('y/x —y^z)

(t* — 7t⁵ + 12 fl) dt

=“/

t² — 1

Nun ist

(5.) *⁶ — 7^-f 12^³ = {t² —l)(ż⁴— 7*³ 4- *² + ht+ 1)4- 5<+ 1,

also

(6.)    ^-^_+^ ₌ ,₄_₇^ + <i + 5,+ 1+|±_l

= <.^w + <. ₊ «₊i ₊ _|_ + 7Si

folglich ist

⁽⁷⁰/

(-^£³—7 -j/a;² + 12 ]/a; )c?a; _

* (y/x — x)

+ 3l(jf — 1) -f 21(< + 1)

wobei nach Gleichung (2.)

t=lÿx

ist.

Daraus erkennt man schon, dass die oben angegebene Regel ganz allgemein anwendbar ist, denn aus Gleichung (1.) er-giebt sich

SS

xm y.p

.. ,)dx — ff{i*, t “, t v.. ,)xt*~ldt,

(8.)    ff(%, x , X«

wobei die Exponenten^ >    • • • sämmtlich ganze Zahlen wer

den, wenn * das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen n. q,..

. ist.

Auf diesen Fall kann man den allgemeineren zurückführen, wo unter dem Integralzeichen eine rationale Function der Argumente

m    p

/a + bx\^ ( a + bx \ \A+Bx) ’ \A + Bx) ’ ’ "

steht. Setzt man nämlich

(9.)

a -f- bx A -f- Bx

so wird

(10.)

_ Ay — a X~ b —By ’

^_{Ab-Bd)dy ip By)² ’

so dass man erhält

(11.)

J f[x' (

a -f- bx

A -f- Bx

m

)M

a + bx \f

A + Bx)

• •] dx —

(Ab — Ba)dy

Ay a yn b-By’    ’

Ist jetzt y. das kleinste gemeinsame Vielfache der Wurzelexponenten n, q, ..., so wird die Differential-Function rational durch die Substitution

(b-By?

y = F-

§ 35.

Uebungs-Aufgaben.

Aufgabe 1.

dx = ?

- zu ermitteln, wende man Partialbruchzerlegung

Um 3

Auflösung. Um die vorliegende Differential-Function rational zu machen, muss man

(10

y x — t, also x = i²,    dx — 2tdt

setzen und erhält

V-dt

„ i'X — 1 + 1 )dt 1 = -./-¥=l-’

also mit Kücksicht auf Formel Nr. 53 der Tabelle

(3.)

= 2]/S+l(U--)

\Vz + 1/

Aufgabe 2.

dx = ?

(4.)

Auflösung. In diesem Falle muss man

^ x — t, x = t³, dx = 3 t²dt

setzen und erhält

(5.)

/Mi'-fySc

(t³— 1 + 1 )dt

*/ä-/

ć³ —1

cc *

an und setze

, Pt Q .

1 ⁺ P + t + 1 ’ dies giebt durch Fortschaffung der Nenner

3 = A(P + t + l) + (Pt + Q)(t — 1),

(6.)

P—l t —

(7.)

also für t — 1

(8.)

3 = SA, oder ^4=1

und für t² -f f -f 1 = 0

(9.)

3 = (— 2P + Q)t + (— P — Q),

also (10.) —2P + Q = Q, P+Q — —S, oder P=—1, Q = —2.

Dadurch erhält man nach Formel Nr. 19 und 108 der

Tabelle

'(t + 2 )dt

.    . f dt 1' dt /

flL) Vw=i=jT=l~J

— 1    — 1) — -^1 (^² + t + 1)— }/3arctg^-yt^,

also

— ^l(ÿx² +-y/x + l)

(12.)//^ ^ dx — 3 -y/x + 1 (yfx— l)

— VS-àTCtg^y^y

Aufgabe 3. fxdx^a -f- x = ?

Auflösung. Hier ist zu setzen

(13.) y a + x — t, also a -f- x — t², x = t² — a, dx = 2tdt,

dann wird

(14.) fxdx Y a -f- x = f2(t²— a)t²dt

2 at³

0/5

= 2j t*dt — 2 aft²dt = —

oder

(lb.) fxdxy a + x = fatz(3t²— ba) — ^$(a Ą- x)ya-\-x (3x—2a).

Man hätte auch die Integration in folgender Weise ausführen können. Man setze

(16.) xya + x — (a -f x — a)ya -f x = (a -f- x)% — a(a -f- x)^, also nach Formel Nr. 9 der Tabelle

(17.) fxdxya -f x =J(a -f- xf-d(a + x) — a f [a + xfd(a -f- x) = 1 (a + x)%— a(a + x)%

= -fe (a + x)ya -f- x(3x — 2a).

Aufgabe 4. f(a — x)dx y/(b—x)² = ?

Auflösung. Es sei

(18.) -y/b — x = t, also b — x — f?: x — b — t³, dx = — 8 ft dt, dann wird

(19.) J(a — x)dxy/ (b — x)² —f(a — b    t³) (— 3 f²dt). t²

= — 3f\[a — b)t⁴ + f]dt \(a — b)fi

⁼    3 -ö⁻

31⁵

=    [— ⁸ (« — *) — ⁵*³]

(hx — 8a+36).

_3 {b — x)j/(b — xf

10

Aufgabe 5.

r_dx

x]/x 4- a

Auflösung. Es sei

(20.) \x + a— t, also x a = t², x — t² — a, dx — 2tdt,

dann wird

(21.)

r_dx

J i

₂/'AL_

Jt?-a

_ /' 2tdt

— d)t

Dies giebt nach Formel Nr. 53 der Tabelle

t — I/ a t -f- y a

("]/x + a — Y a)

(22.)«

xYx 4- a

x\x + a

-r.'(

= -£=l(

yä V

x    2a — 2ya(a-{- x)

)•

dx — ?

Aufgabe 6.

ft/a + x

J I a —x

(23.)

Auflösung. Es sei

Tta —— — t, also ¹¹

] a — x    a

= t², x =

t²— 1 a^² + l’

(24.)

j    4 atdt

d*=w+?r

dann wird

(25.)

ff.j±-'*

(t² +1 — 1)<& (t²+l)²

= 4a

G² + 1)²J

Nun ist nach Formel Nr. 18 und 106 der Tabelle

(26.)

f dt

Jï+T>-

arc tg t

(1 + t²f 2(1 + *²)

—+ ¹/ H²) ^ 2J

2/T+Ć²    2(1+ +

F ^arctgF

folglich wird

(28.)

ffä+x

dx — 4 a

ri

L2

arctg/

2(1 + t²\

oder, da

1 + * = 1-i

a Ą- x

a — x a — (T

_ y a²—x²

’ r+1² “    2a

ist,

(29.)

S ft?'

dx =

r.    -t IU -\~ X

2aarctg F —

— x

Einfacher kann man in diesem Falle die Integration ausführen,- indem man

(30.)

(« + +)² _

(a— +)(« + +)    ]/a² — +

setzt; dadurch erhält man nach Formel Nr. 21 und 25 der Tabelle

ff+x

= af-,_

J Y a² — x2 = a arcsin

Dieses Resultat weicht allerdings in der Form von dem in Gleichung (29.) enthaltenen ab; setzt man aber

(81.)

dx

dx

fv

xdx

a² — x²

— x².

(32.)

arctg

W‘

- — z. oder tgz

x

__1 ja + z

) a — x

so ist

, , a -f x

t g²z = -

a — x

? also x

t g²z — 1

= a~-

tg²z + 1

oder

(33.)

sin²*—cos²*    ,    ₉    . « v    v

x = a g.^    =—«(cos²*—Sin²*) = —a cos(2*)

Deshalb wird

(34.)

arc sin

2* —

n ^    , -i la

2 ⁼ 2arctgy -

a -f- x

7T

so dass die beiden in den Gleichungen (29.) und (31.) angegebenen Resultate sich nur durch eine Integrations-Constante von einander unterscheiden.

§ 36.

Zurückführung der Differential-Functionen von der Form F{x, Vax*+2Bx+C)dx auf Differential-Functionen von der Form f(y, Yf=iï)dy, f(y, y^+f)dy, fiy, V«²—f)dy.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 112—115.)

Es sei F(x, ŸAx² -f- 2Bx -f C) eine rationale Function von x und YAx² -f- 2Bx FC, dann mögen 4 Fälle unterschieden werden.

I. Fall. Setzt man

A>0, B² — AC> 0.

Y A = a,

(1.)

B    B    ₀ VB*—AC

-7=:=— = ß,--- = a,

Ya    “    y A

so sind die Grössen a, ß und a reell, und man erhält

Ax² -j- 2 Bx + C = «²#² + 2«/fo + C

= (az + /?)² + <7— /?²

i?² — AC

oder

(2-)

Ax² -f- %Bx + C — (ax -f- ß)² — a².

Deshalb setzt man

(3.)

y = ccx -f- ß =

Ax -f- B

und findet daraus

- ₌    ■B

(4.)

]/^4a:² -f- 2 Bx + C= j/y²—a²

(5.)

y jp(ar, y^la;² + 2 Bx -f- C) dx = yf/H—ff

./'(

Yy² — a²^ dy

VA

II. Fall. Hier sei

(6.)

Ya =

A> 0, B² — AC<0.

s ' be

=.A

Yac—b²

yn

= «1

dann werden die Grössen a, ß und a wieder reell, und man erhält

= (aar + /¥)² +

Ax² + 2Bx -j- C = a²x² -f- 2aßx + C = (aa: + ß)² + C— ß2 AC—B²

oder

(7.)

Ax² + 2 Bx + C = (ax + ß)² + a².

Deshalb setzt man

(8.)

y — ax + ß =

Ax -J- B

und findet

VA

(9.)

yVÂ-B

__ dy

Va’

Y Ax² -\-2Bx-\- C=Yy² + a²,

also

10.) j F(x, VAx'- a-2Bx -f- Cylx =Jf(

yVÄ-B

III. Fall.

A < 0, B² — AC > 0.

Hier sei

(11.)    Y—A = Cf,

I?

— AC

= d,

Y—A    «

dann sind die drei Grössen «, ß, a wieder reell, und man erhält

Y~A

Ax² + 2Bx + C — — a²x² + 2 aßx 4- C

— — ( a²x² — 2aßx + ß²) + C 4- ß²,

oder

(12.) Ax² + 2Bx 4- C — — (ax — ßf 4-

B² — AC

—A

= a²—(ax—ß)².

Setzt man also

(13.)

y — ax — ß = —

Ax + B

V-a ’

so wird (14.) x

yY-A+B ⁼    -A"'

dx —

dy

Y-A

Y Ax² + 2Bx + C = ]/a²-y²,

(15.)

J i\x, Y Ax²A-2Bx-{-C)dx =

, ya²—yA -dy

jr(>y

—A + B

Y-A

IV. Fall.

A< 0, B² — AC< 0.

Hier sei

(16.)

V-A = «,

__ = - = ß,

Y—A «

YAC—B² _

V=Ä

a,

dann sind die Grössen a, ß, a wieder reell, und man erhält

Ax² -f- 2Bx -f- C = — a²x² -f- 2ußx -f- C

= — (ccx — ß)² —

= — (a²x² — 2 aßx + ß²) -f- C + ß2 AC—B²

-=T~' oder

(17.) Ax²-j-2Bx-j-C= — (ax— ß)²—a² = —[(ccx—ß)²-{-a²],

(18.)

J/Ax² + 2 Bx + Ü = ij/fax — ß)² + à².

Da (ax — ß)² + a² unter den gemachten Voraussetzungen beständig positiv ist, so wird \Ax²-\-2Bx-\-G für alle Werthe von x imaginär, so dass in diesem Falle F(x, ]/Ax²-\-2Bx+C) eine complexe Grösse ist. Deshalb lassen sich auch bei Ermittelung des gesuchten Integrals complexe Grössen nicht vermeiden. Man wird deshalb in diesem Falle am besten

(19.)

Y Ax² -f- 2 Bx -f- C = *’]/■— (Ax² + 2 Bx -f- C) setzen und erhält dadurch eine Wurzelgrösse, auf welche die im Falle II gemachten Voraussetzungen zutreffen. Man kann aber auch — und das kommt auf dasselbe hinaus —

(20.)

Ax -f- B

y — ax — ß =

setzen und erhält dadurch

x =    + ? , dx

—A

y Àx² + 2 Bx + C = i y a² -f y²,

y-A

dy_

(21.)

y-A

(22.)

I F(x, y Ax² -f 2 Bx -f- C)dx — i iya² + y²\

jF(yV-A+B

dy

y-A

§ 37.

Uebungs-Aufgaben.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 116 und 117.)

Aufgabe 1.

f    dx    _ p

J ÿAx² + 2 Bx + C

Auflösung. Im Falle I erhält man nach Formel Nr. 112 der Tabelle

dy

(!) f_*_= 1___

J y Ax² + 2 Bx+c jy a y y*— a¹ y A

_ 1    / Ax -f B

Vâ

yA

=—% +    <«²)

+ yAx² + 2 Bx + c).

(Vf

Beispiel. A = 4, B = 2, C= — 3, B² — AC = 16.

^ 1(2« + 1 + yéx² + 4z— 3).

dx

y 4 x² + 4x — 3

Im Falle II erhält man das Endresultat in derselben Form wie in Gleichung (1.).

Beispiel. -4 = 1, B =

H iCM

-, C = 1, B² — AC = —

dx

(8.) /

⁽⁴'’ j YÄz*+2Bz+C

Im Falle III erhält man nach Formel Nr. 114 der Tabelle

dir

,_ ,_= ,¹ arcsin

y—a y a²—y² y—A

Ax + B

y B²—AC

» I⁵«

y-A

- arcsin

(•

)•

(5.)

►Mt»

Beispiel. A — — 1, B = ^

J

F_dx^

J y rx—.r²

Der Fall IY wird auf Fall II zurückgeführt, indem man

0=0, B² —AC =

arcsin

(^>

(e°/

dx

yAx² + 2 Bx + C

i J yAix² -f- 2Bix + (7i -f"

iVÄ\ \

yA,

y A^x² -f 2B,x + Ci^

setzt. Dabei ist

(7.)

A, = —A,

B, = — B, C, = —C.

Kiepert, Integral-RechnuDg.

15

Aufgabe 2. f dx\Ax% -f- 2/^rr -t- Cy = ?

Auflösung. Im Falle I und II erhält man nach den Formeln Nr. 112 und 113 der Tabelle

(8.)

I dx Y Ax² +2 Bx -j- C = ^— j dy    a²

also mit Rücksicht auf die Formeln Nr. 82 und 82a der Tabelle

(9.)

jdxy2F¹ + 2S + C = A    =p?=i=|-l(y+ (/.v"=pa-)

y Ax² + 2 Bx + C

1 r Ax + B

2 y a L y A

AC—B²l(Ax + B

+ y Ax² A- -2Bx + 6')] • Beispiel 1. A = 4, B = 2, 6Y = — 3, R² — AC =16.

(10.)    /da;]/ 4a:² + 4a: — 3 = -|[(2a: + l)]/4a:²+ 4a: —3

— 41 (2a- + 1 + J/4a;²+4a: —3)].

(11.)

Beispiel 2. A — 1, B = C =1, R² — AC = — f.

+ i(?£ip + VW*+^)l-

jdxY?² -f-

CO

Im Falle III wird nach Formel Nr. 114 der Tabelle

(12.)

j dxy Ax² -f- 2 B

yyjdyva^

also nach Formel Nr. 74 der Tabelle

(13.) j dx y Ax² + 2 Bx + C = ~

d¹

y—Ä L2

Ax A~ B

2 y—A i y^Ä

B² —AC

r-

^-]/a²—t/²+“ arcsin y Ax² +2Bx + C

—A

arcsin^

Ax -f- B

yB²—AC

)]■

Beispiel 3. A — — 1, B =

» 0=0, B² —AC =

IdzY

rx—x¹ —

io h-

arcsin

PF)]-

Diese Beispiele mögen zeigen, wie durch das in § 36 angegebene Verfahren Integrale von der Form jF(x. Y Az² -f 2Bx -f C)dx mitunter auf bereits bekannte Integrale zurückgeführt werden können.

§ 38.

Integration der Differential-Function f(z, VAz²+2Bx+c)dx, wenn A positiv ist.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 118 und 119.)

Aufgabe 1. ff{y, Yy² — a²)dy= ?

Auflösung. Wenn das gesuchte Integral mit keinem bisher entwickelten übereinstimmt, so setze man

Y>f zb a² — t — y, oder t = y + Y y² zb a²,

f

y² zb a² = t² — 2ty -f- y², oder y = —

ćjŁ

t² ± a²

(1.)

also

(2.)

=F a<1

(3.)

]/y²±a² = * —    2j5

2t

(40

_0² zb a²)^

2/²

folglich wird

(5.) jf{y, Yy2±a2)dy = jf(ç- 2f

q- a²

t² zb a²\ (t² zb a²) dt ’ 2t )    2t?

Wenn/(y, ]/y² ±a²) eine rationale Function von y und Yy¹ — 0/2 ist? so hat man es durch die angegebene Substitution erreicht, dass die Function unter dem Integralzeichen auf der rechten Seite von Gleichung (5.) eine rationale Function der einzigen Veränderlichen t geworden ist. Diese Substitution wurde bereits zur Herleitung der Formeln Nr. 22 und 23 der Tabelle benutzt.

Nach Gleichung (5.) wird nämlich

dy

_ Ht² dr a²)dt. 21,

yy² ± a²

J 2 t² [t² ± a²)

= 1 (y + y«/² ± a²).

Aufgabe 2. /F(æ, yAz² 4- 22fa +    = ?

Auflösung. In § 36 wurde gezeigt, wie man das gesuchte Integral in dem Falle, wo A > 0 ist, auf ein Integral von der Form Jf(y, Yy² ± a²) zurückführen kann (vgl. Formel Nr. 112 und 113 der Tabelle). Ist diese Umformung erfolgt, so gelangt man durch die in Aufgabe 1 angegebene Substitution zum Ziele. Man kann aber auch die Umwandlung der vorgelegten irrationalen Differential - Function in eine rationale unmittelbar ausführen, indem man

(6.)

YAx²-{-2Bx -}- C = t — x\A

setzt. Dadurch erhält man

Ax² -f 2Bx + C — t² — 2txyA + Ax²,

2 x{tYÄ + B) = t² — C,

₇ n²VA + 2 Bf + CVÄ)dt

dx = ---— ----— i

2(tVA + B)²

{t²—C)VÄ _ t²VA + 2Bt+CVA ' 2(tVA+B) ~

(7.)

oder

(8.) x =

t²— C

2(tVA + B)

(9.) yAx²-\-2Bx-\- G = t Dies giebt

2(t VA -F B )

(10.)

fF( t²—c

J \2{tVA-\-B)'

JFix, y Ax¹ + 2 Bx + C) dx =

t²yÄ+2Bt+cyA\ ' (t²yÄ+2Bt+cyÄ)dt 2{tyÄ + B) )

2{tVÄ + Bf

wobei nach Gleichung (6.)

(11.)

t = x-VÄ + y Ax¹ + 2 Bx + C ist. Wenn F{x, VAx² + 2Bx + C) eine rationale Function von x und y Ax² + 2Bx -f C ist, so steht unter dem Integralzeichen auf der rechten Seite von Gleichung (10.) jetzt nur noch eine rationale Function von t, welche nach den Regeln des vorhergehenden Abschnittes integrirt werden kann.

Man erkennt, dass die Aufgabe 1 nur ein besonderer Fall der Aufgabe 2 ist, welchen man erhält, indem man die Integrations-Veränderliche mit y bezeichnet und A = 1, B = 0, C=Aza² setzt.

Uebungs-Beispiele.

Aufgabe 3. Jdy^y¹ ± a² = ?

(12.) j'dyYfäzd'- =j

Auflösung. Nach Gleichung (5.) erhält man (ft ± dft)dt ft ± a²

2t

'2 ft

_ 1 f(ft ± cftfdt _ "V

ft

± 2a²£_1 + aH~³)dt

=    a=-

rfi» I—

8£²

Dabei ist

also

<² rp a²

2«

ft ± a²

’ y^/²±«²= 2t

yVy²± «² = -

— a⁴

folglich erhält man in Uebereinstimmung mit den Formeln Nr. 82 und 82 a der Tabelle

(13.)

(14.) jdi/Vy

² ± d¹

= |W±«²±f Ky + Mu’ ±«²).

Aufgabe 4. J

xdx

|/a:² +a:+l Auflösung. In diesem Falle ist

A = l, VA = 1, B = \, C= 1,

also

(15.)

ć = x + y*² + x +1, x =

₇ _ 2(<* +1 + 1)Ä (2*+l)²

ż² —1

2* + 1

*² + t + 1 2t + 1    ’

(!«.)/

xdx

_ f2(t³— 1) (<» + < + l)<ft _ f

J (21 + Ifyfi + < + i) J\

(2* + l)²

y x² + x +1

Nun ist, wie man durch Division findet,

2t? — 2 =(2<+!)(* — *) — f = *(2f + l)s— (2< + 1) —1,

also

(17.)

2^ — 2 1

3    1

(2t + l)2 — 2    2* + 1 “~ 2 (2« + l)² '

folglich wird

(18.)

xdx

l1(2< + o + ï • W+Ï

— |l(2<+l)

Dies giebt mit Eücksicht auf die Gleichungen (15.)

./

y x¹ -\-x +1

to|

+ 2t + 3 4(2 < + 1) *²+* + l

2« + 1

(19.) f ^dX - = >4:²+^+l—i—il(2^+l + 2]/a:²+a:-f 1). /ya;²+:r+l

Bedeutend leichter findet man dieses Resultat durch Anwendung von Formel Nr. 113 der Tabelle, indem man

2y ₂ ¹ I ]/z² + x + 1 = ]/^²-F a²

(20.) x

setzt; dann wird

xdx

dy

X2y —    __ f ydy __¹ f

2 y a? + y²    J ]/aa+y² 2y ya2_|_^2

also nach den Formeln Nr. 26 und 22 der Tabelle

xdx

ya? + y² —\\{y + yd* + y¹)

= V* + Ï+î-il^¹

Dieses Resultat unterscheidet sich von dem vorhin gefundenen nur durch eine Integrations-Const ante.

y^² + x +1

+ y^+x+iy

xrdx

y%² + # + 1

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man hier

(23.) / . -' J \x² + x + 1

Aufgabe 5.

= :/

'{t² — ifdt, (2 / + l)³

- j[

rH QO

L2

2t —

³    2Ï+ 1 ⁺ (2t + l)²

= ['

r-1 QO

(2t + 1)³J

-“-Ï-!(“+!) “»TI

dt

9    1

4(2« + l)² J ’

7

wobei die Integrations-Constante ——r so gewählt ist, dass das

32

Endresultat einfacher wird. Es ist nämlich

44 — 81³ —18t² — 221—10

4 2t + 1    4(2* + l)²

Deshalb wird

{2t + l)²

_ 44—12*—10 4 + *+l “ 2t + 1 /4(P-1)    \

V 2« + 1    v

= (4x — Q)}/x² + x + 1.

2t + 1 t² + * + 1

2t + 1

x²dx

2x — 3 ,/-s-

--|/z²+£ + l

— -Jl(2* +14- 2 V«² + x + 1).

Auch hier ergiebt sich das Resultat leichter durch Anwendung der in den Gleichungen (20.) angegebenen Substitution; dann wird

(24.)/

y.r² + x +1

(25.)

x?dx

|/a² 4 y²

)/++ # +1

also nach Formel Nr. 80, 26 und 22 der Tabelle

(28.) J-

x'-dx

y++ a; +1

^~2~~ yd‘² + y¹—§-P(y + Va2 + y² +¹²1

— ]/a^+ x + 1

— -§1(2* +1 + 2 yV²+;r +1).

o

2« —

4-

In ähnlicher Weise kann man die Aufgaben xzdx

V+* + a; +1 behandeln.

=?y

xidx

y x¹ + x + i

/* xndx _ p

y y++£+1

Aufgabe 6. /-

»/ a:

</a;

y + x +1

Auflösung. Aus den Gleichungen (15.) ergiebt sich hier

J+|/X² + 37+1 also nach Formel Nr. 53 der Tabelle

(27.)

dx

(28.) f

Ja

dx

— i + y x* + x +1

xy x² + x + 1

Aufgabe 7.

_i^y#² + x + 1

i'__________ p

J+—+)y+± +

+ 2)\

(29.)

Auflösung. Aus Gleichung (5.) findet man

=*/, '

f(x — k) y x² dz a²

Dies giebt nach Formel Nr. 54 der Tabelle, indem man b = — k, c—zç.a²

setzt,

dx

— 2kt zp a²

/t — k — Yk²± a2 (;x — k) Yx² dz a² Yk² dz a² V — k + y^²±a²

Gilt das untere Zeichen, und ist d¹ > k², so erhält der gefundene Ausdruck imaginäre Form, dann wird nach Formel Nr. 56 der Tabelle

(31.)

f dx    2    /

J {x,—    ~    ai C g\

LY

ya²—kv

t—

Zum Schluss muss man noch

t — x + y X¹ dz a²

einsetzen.

dx

Ii—x²)yi +

Auflösung. Nach Gleichung (5.) ist in diesem Falle

b yr+* = t+l

Aufgabe 8.

2t

2t

dx =

{t² + 1 )dt

2t²

1 —x² =    —x) =

also

t² + 2t—1 —ż²+2ż+l

2t

2t

ti—6t²+l -—; ?

4r

dx

-■4

tdt

(1—x²)J/l-j-x2 wenn man t² mit u bezeichnet, der Tabelle

= _ ²JU* _ QU + 1

F—U² -F 1

Nun ist nach Formel Nr. 55

■a

du

(u-Ui)(u-W₂j Ul-

-d—--Y

Uo \U — M₂/

wobei

«i = 3 + 2]/2, w₂ = 3 —21/2, Mt —w₂ = 4]/2 ist. Dies giebt

¹ j /m — 3 — 2Ÿ2\ V 2    — 3 + 21/2/

(34.) f-    ,_

.7(1 — x²)yi + x²

₌    1    ! /*² —₁3 + 21/2 \

21/2 V² — 3 — 2 V 2/

Um das Endresultat als Function von æ darzustellen, beachte man, dass

t² — 1

2/

—2+2y2 _ —i +y2 a: + y 1 + x²

2/

=(—i+y2)(i/i+^²—*),

also

(35.) t-:\+2}/Si = (2-l/2> + (- 1 +)/2)VÏ + ^

= (]/2 — l)(Vi + x² + x.y-2 )

ist. Ebenso findet man

(36.)

** /    =( -V2 -1) (Kl + ** - *V2).

folglich wird

o/a;

⁽³⁷-⁾./(l — z²)]/l + a:²    21/2

1 f (1/2 — I)(Vi '+"*»+*1/2)

(_ y₂ _ i) ₍y i+x² —a?y 2 ) J

■f y 2—D\yi + x¹+xy2)²1

21/2

a² — 1

y i + x² + x]/2

y x² — i

Schneller kommt man zum Ziele durch Anwendung von Formel Nr. 88 der Tabelle, indem man

x = tg/, also dx =    ^

setzt. Dadurch erhält man

(38.)

dx

— a+y 1 + x²

oder, wenn man

K‘2

COS²/ ’

cos tdt

cos H — sin²/

)+i(K2-0-

Ki + ^= ¹

-h

COS/

cos tdt

— 2 sin²/

y2sin/ = z, also y2cos/c// = dz setzt und Formel Nr. 53 der Tabelle beachtet,

dz

z² — 1

(⁴°.)/

dx

(1 — x²)]/l + a²

rJ

S&C-A>-

dabei ist

z = y2 sin/ =

.ry2

y 1 + a: ² ’

folglich wird

(₄₁ ) f dx    ₌ _J_!    + Vl+jg\

' ‘    7(1— z²)]/T+ ^²    2]/2 U]/2— ]/l + z²/

=Ä>(

)•

]/l + rc² + FJ/2 ]/æ² — 1

Dieses Resultat stimmt, abgesehen von der Integrations-Constanten, mit dem früher gefundenen überein.

§ 39.

Integration der Differential-Function

F(z, y Ax* + 2 Bx + c)dx, wenn c positiv ist.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 120 und 121.)

Aufgabe 1. .//V, ]/a² ± y^dy = ?

Auflösung. Wenn das gesuchte Integral mit keinem bisher entwickelten übereinstimmt, so setze man

(1.)

]/a² ±y* = ly — a, oder t = a    ,

also

(2-)

dl ± y¹ = Py¹ — 'laty -f- «², oder y

2 at

<² + l

(3.)

y a¹ ± y¹ —

lat¹

a(£² -4- 1)

— a —    -?

P=pl

(?!² + l)²

(4.)

folglich wird

2a(t² ± 1)<&

(3.) y/(y, ]/ö²±y²)% =jf(

)•

lat a{t²±l)

t²-Fl’ *² + 1

— 2a(t? ± 1 )dt (f l)² “

Wenn /(y, ]/a² ± t/²) eine rationale Function von y und ya-± y² ist, so hat man es durch die angegebene Substitution erreicht, dass die Function unter dem Integralzeichen auf der rechten Seite von Gleichung (5.) eine rationale Function der einzigen Veränderlichen t geworden ist. Hiernach wird z. B.

» = -! ii = _

.    /' dx

(6.) /---

y æ

.rl/a² — rr²

?!

¹ ₁/a + Va² —

a \ Æ /

ein Resultat, welches mit Formel Nr. 78 der Tabelle übereinstimmt.

Aufgabe 2. f F(x, YAx² -f 2Bx + C)dx = ?

Auflösung. In § 36 wurde bereits gezeigt, wie man das gesuchte Integral auf ein Integral von der Form Jf(y, Ya²±y²)dy zurückführen kann (vergl. Formel Nr 113 und 114 der Tabelle). Ist diese Umformung erfolgt, so gelangt man durch die in Aufgabe 1 angegebene Substitution zum Ziele. Man kann aber auch die Umwandlung der vorgelegten irrationalen Differential-Function in eine rationale unmittelbar ausführen, indem man

(7.)

Y Ax² + 2 Bx -j- C = tx—Y U

setzt. Dadurch erhält man

Ax² -f 2Bx -f- C = t²x² — 2tx YC C,

oder

(8.)

Ax + 2B = t²x — 2tYC,

also

(9.)

2 (tYC + B) t² —A

2(t² ]/C-F 2Bt + aYÖ)dt

{f—Af

(10.)

Yxix-    2Bx + C =

t² Y6'+ 2Bt + AYC

t²—A

Dies giebt

(11.) fF{x, Y Az² + %Bx + C)dx =

f (2{t/C+B) pyG-\-2Bt+AYC\ —2{t²YC+2Bt+AYÖ)dt J \ t?—A ’ t²—A )'    (t² — A)²

wobei

(12.)

Man erkennt, dass auch hier die Aufgabe 1 nur ein besonderer Fall der Aufgabe 2 ist, den man erhält, indem man die Integrations-Veränderliche mit y bezeichnet und A = ± 1, B = 0, C= + ct² setzt.

Uebungs-Beispiele.

Aufgabe 3. /__dx    = ?

J yAxl + 2Bx + C

(13.)

Auflösung. Nach Gleichung (11.) erhält man

r dt

dx

Y Ax² + 2 Bx + C

Ist A positiv, so folgt hieraus nach Formel Nr. 53 der

Tabelle

yA

(14.) [, t ■ = J yAx² + 2 Bx + c

yC + yAx² + 2Bx + C + xYÄ \

y a \yc+yAx² + 2 bx + 0—

xYa)

Dieses Kesultat stimmt, abgesehen von einer Integrations-Constanten, mit dem in § 37, Gleichung (1.) gegebenen (vergl. Formel Nr. 116 der Tabelle) überein, denn es ist

(VC + YAx² + 2B -f- C — z]/g)(Ax+B+YÄYAx² +2Bx +C)

= (b + yicyyc+yAx²+2 bx+c + xyÄ\

folglich wird

(15.)

yv + y AB + 2 Bx +C + xy A

Yc + yAx² -F 2Bx + C—xYÄ

Ax + B -\~yA y Ax² -|- 2 Bx + C

also

B + yAC

mfp

dx

Ax² -f- 2 Bx -f C Ax + B

yl'{

YÄ

+ Ya*+2Bz+ü)- y2l(

B+yA

YÂ

1st A negativ, so erhält man aus Gleichung (13.) nach Formel Nr. 20 der Tabelle

(17.) f. t

J yAx² + 2 Bx + C

JLz=z arc tg    \

Y—A    &\Y—A J

]^zarctg(

Yc + YAx¹ + 2Bx -I- c

xY—A

Auch in diesem Falle kann man die Uebereinstimmung mit dem in § 37 Gleichung (4.) gefundenen Resultate (vergl. Formel Nr. 116 der Tabelle) nachweisen. Setzt man nämlich

also

(18.) so wird

o

2tg

(19.)

siny =

to 'S

*+*■(!)' '

2t Y—A

=T’

(20.)

COS Cp =

x-<)

i² +A

1 + tg²

t² —A

(21.)

Ist der Bogen a erklärt durch die Gleichungen

y'⁼3c

l/B¹— AC

sin« =

YB² —AC

? cos« = —

so erhält man

(22.) sin(«—g) — sin«cos(p — cos«sin r/>

-Bit² +A)

Y—AC • 2^]/—A (t² —A)YB²—AC ¹ (t² —A) YB^ÄC' _ —2 A{t-Yc + B)

— (t²—A)YB²—A c YB²—AC Ax + B

~ YBl—AU ’

Fügt man also in Gleichung (17.) die Integrations-Constante

CC

===== hinzu, so erhält man in Uebereinstimmung mit Formel

Y~-a

Nr. 116 der Tabelle

(23.)/-

dx

u — w    1    . /

__ = arcsin (

VAJ + 2BZ + C V—A V^A V

Aufgabe 4. j

Ax+B

]/ B²—AG

xdx

Vl -j- X -j- X²

Auflösung. Hier ist

(24.)

A = 1, B = \, C= 1,

also

(25.)

t² — 1

dx =

2 (t² + t + 1 )dt (f — l)²

I t _ i +Vi+^+^²

*² + *+l

t² — 1

Dies giebt in Uebereinstimmung mit Aufgabe 4 in § 38, wenn man die Integrations-Constante 1 + ^13 hinzufügt,

'(2t + 1 )dt (t²— l)²

_ __§__i__-—i---

(t-lf^t—l^(t-\-lf t + 1J

4i+2+l(M)

1    /3/,² + 6/ + 3\

2    V t² — 1 )

=y 1 +.r+tf²—£ 1 (2x + 1 + 2 yi+ « + x²). xdx

y i + x—x²

mf

xdx

y i + x+x²

Aufgabe 5.

/ï

= - \i

-\f[

2 lt — l

t² + t + 1

t²— 1

Auflösung. Hier ist

(27.)

A = — 1, 2* = 4, C=l,

— 13

dt

also

(28.)

, 2t+1

\x=fi+ï

} t = ¹ + V¹ + X

dx —

-X-

2{l² +t— 1 )dt

if +1)!

5 l/l + X-X² =

t²+t—1 *²+l

(29.)

J y i + x—x²

xdx

(21 + 1 )dt

f + l)²

₌___₂f &

r- + .i 7(i+ ff

Nun wird nach Formel Nr. 106 der Tabelle

(1+t²)²    2(1+ ^2) + 2

(30.)

f dt

folglich ist, wenn man die Integrations-Constante gleich — 1 setzt,

(81.)

xdx

_l_arctg<

1 + Æ X²    t² + 1

1 +]/T+a:—x

= —yi + x — x² — arctg ^

Bedeutend leichter wird die Lösung durch Anwendung der Formel Nr. 114 der Tabelle, indem man

I 2x — 2y + 1, also dx = dy,

\ Yl + x — x² — ya² — y2,    2a = ]/ö

setzt; dann erhält man nach Formel Nr. 25 und 20 der Tabelle

xdx

Y1 + x — x²

(32.)

(33.)

. F(²^ + l)dv

J 2\a² — y²

₌ —y a 2—y 2    arcsin

a i««

=—yi + *—z²+\ arcsin(“^/ir")'

Um die Uebereinstimmung dieses Resultats mit dem früheren nachzuweisen, setze man

(l+yi+»-»»), also tgm₌i

(34.) y = 2arctg dann wird

(35.)

siny —

2(2x — l+YT+ x — x²)

1 +tg2(f)

(36.)

1-tg²

cosy =

(37.)

1+tg2(f)

Erklärt man sodann den Bogen « durch die Gleichungen sin« = -4

j/5 ’

COS« =

so wird

1/5 ’

(38.)

sin (« — y) = sin « cos y — cos « sin y =

2x —

I-¹

]/5

Fügt man also in Gleichung (31.) die Integrations-Constante

— hinzu, so erhält man £

/,

(39.)

xdx

y i+x—x²

=— y 1 + x — x² + ^arcsin^/p—

Aufgabe 6.

dx

xy 1 -j- x — x²

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei der vorhergehenden Aufgabe, also durch die Gleichungen (28.), erhält man

(40.) /-

dx

xy i + x — x²

>(A

x + 2 + 2]/T+x — x²

21+ 1

= —1(21 -f 1)

16

Kiepert, Integral-Rechnung.

Aufgabe 7.

dx

(x — Æ)"j/l—X²

- =?

Auflösung. Hier ist

a = 1, H = — 1

B- 0, (7=1,

folglich erhält man nach Formel Nr. 120 oder 121 der Tabelle

2{t² — 1 )dt (t² + l)² ’

(4L)

(42.) x —

2<

t² + 1 ’

T/l x² = -_- ,

K *² + 1

dx =

(43.)

dx

dt

(x —k)Yl — x²

kt² — 2t + k

oder, wenn man k mit — bezeichnet und die Formeln Nr. 54

r

und 55 der Tabelle berücksichtigt,

{u,f

dx

(x—kjY 1 — x²

„ r dt

=2 rh

— 2rt + l

r    j/1 — r

j/r'²—1 \t — r

J/r²— 1

+ y?² —

Î)

wenn r² > 1 ist, und

(45.)

/,

dx

(x—k)y l — x² y 1

iy* 2

arc tg^

tJ)

y 1 — r²/

wenn r² < 1 ist. Zum Schluss muss man noch i +yi — x²

(46.)

a:

und r —

I-¹

einsetzen.

Aufgabe 8.

(i + x²)yi — x²

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei der vorhergehenden Aufgabe, also durch die Gleichungen (42.), erhält man

₌ _o

J t* + 6*²+l

(47.)

(48.)

J ( i + x²) yi—x²

Da die quadratische Gleichung

V + 6ć² + 1 = 0

dx

die beiden Wurzeln

I ti* = — 3 + 21/2 = — (1/2 — l)²,

\ /₂2 = — 3 _ 2y2 = — C|/2 + l)²

hat, so findet man durch Partialbruchzerlegung

_2/²_2 _ 1 /1—1/2    1 +V2\

/⁴ + 6/² + 1 _ y2 \/2 + a²    t² + b²J

(49.)

(50.)

wobei

a — 1/2 — 1,    6 = 1/2 + 1

gesetzt ist. Dies giebt nach Formel Nr. 20 der Tabelle

(52.) I    ,

J (l+a:²)l/l — x²

Setzt man noch

(51.)

dx

1/2 L

arCt/a) + arC/0]'

(53.)

arc tg

= (f, arc tg

so wird

(54.)

tg ff « y2—1

tgip =

1/2 + 1 ’

also

(55.) tg (rp + iff) =

tg ff + t gip _ 2/1/2 _ 1 — tgcptgip    1—/²

xV2

folglich wird

(56.)/

dx

yi-z²’

y<cf>+ip,=y arctg(Ä)

(i + x²)yi—x²

Einfacher findet man dieses Resultat durch Einführung trigonometrischer Functionen, also durch die Substitution

x = sin/, J/! — x² = cos/.

Vergl. § 10, Gleichung (7.).

(57.)

§ 40.

Integration der Differential-Function F[x^A^+2Bx+ C)dx, wenn b² — ac positiv ist.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 122.)

Die Wurzeln der quadratischen Gleichung

(!•)

Ax² + 2ßx + C = 0

sind bekanntlich

B+Vß² -AC

— B — ÿ&'—AC

(2.) Xi =

Unter der Voraussetzung, dass B²—AC> 0 ist, werden beide Wurzeln xx und x.₂ reell. Setzt man in diesem Falle

x₂ =

(3.)

xi = —

x₂ = —

wobei ay — A

sein möge, so wird

(4.) Ax² + 2Bx -f- C = A(x — Xy) (x — x₂)

= ay(x + Q (x + -) = (ax + ß) (yx + d).

Jetzt möge die neue Integrations-Veränderliche t durch die Gleichung

(5.)

Y Ax² -f- 2 Bx +6’ = t (ax + ß)

eingeführt werden. Dadurch erhält man

Ax² -f- 2Bx + C = (ax -f- ß) (yx -f- d) = t² (ax -f- ß)²,

oder

(6.)

(7.)

(8.) t

-v

yx -f- d = t²(ax -f- ß),

2 (ßy — aö)tdt (y — at²)²    ’

y a* + 2 bXTc = ArzAl.

y — at¹

y — at²

yx + d ax + ß

Dies giebt

(y — at²)²

JF(x, y Ax² + 2 Bx + C)dx — ßt² — d (ßy — ad)A 2(ßy—- ad)tdt y — air )

§ 40. Integration von F(x, y Ax²-\-2Bx-\-C)dx, wenn B-—AC >0. 245

wobei

(10.) t

-1

yx -f- d ax + ß

Y Ax² + 2Bx-\- C = y (ax + ß) (yx + d).

Uebungs-Beispiele.

Aufgabe 1.

f    dx

J y (ax

+ ßj (y* + à)

Auflösung. Aus Gleichung (9.) folgt

(u.)

dx

dt

— at¹

V(ux + ß)(yx + ä)

Setzt man hierbei ^ = ± k², jenachdem ^ positiv oder

negativ ist, so erhält man für das obere Vorzeichen nach Formel Nr. 53 der Tabelle

⁽¹²'} /

dx

dt

Y(ax +ß) iyx+ö)

t² — k²

¹ if'“ \

ah \t + kJ

Va(yx + ö) + Vy(<xx-\-ß)

)•

= ~J= 1 f /-_r___

Y ay \y a(yx -f- d) — y y (ax -f- ß)

Für das untere Vorzeichen wird nach Formel Nr. 20 der

Tabelle

(13.) / _

J Y(uz +ß)(yx+ö)

dx

2 f dt aj t² + h²

äarcO

arc tgl/

]/ — ay    F

a(yx -f ó)

y(ccx + ß)

xdx

Aufgabe 2. / _

J Yrx—x²

(14.)

Auflösung. In diesem Falle kann man setzen

ax + ß — x, yx -T ö = r — x, also (15.) a = 1, ß — 0, y — — 1, ö = r, ßy — ad — — r, 2rtdt

-f-r

clx = —

(16.)

*-T+ï’

\rx — x¹ =

t¹ 4- i

(*¹ + l)¹

folglich erhält man mit Rücksicht auf Formel Nr. 106 der Tabelle

ml

xdx

J^rx—x¹

r dt

jW+rp

2(i+fi)⁺hvctgt

= —yW —x¹

rarc tg|/

In ähnlicher Weise kann man

berechnen.

/* x¹dx r

J y rx—x¹ J y

xAdx

dx

Aufgabe 3. I- __

J x y rx —- x¹

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei der vorhergehenden Aufgabe, also durch die Gleichungen (16.), erhält man hier

(18.)

r__dx

J :

x^ rx — x¹

'S ( to

dt = —

Dies giebt

LO

(19.)

Aufgabe 4. j

dx

(x + l)]/l -x¹

Auflösung. Hier sei

ax -f ß = 1 x, also yx + ô = 1 — x,

0=1, ßy — ad = — 2, 4 tdt

(^n?’

(20.) « = 1, /? = 1,

(21.) « =

Ć¹ —

2Ź

ü¹ 1 ’

dx —

(22.)

? x -f- 1

t¹ + 1

§ 40. Integration von F(x, y Ax²-\-2Bx-\-C)dx, wenn B²—AC> 0. 247 (23.) j--

Aufgabe 5.

dx

(# + l)]/l —

dt =

1\

dx

i) ]/1 —

In ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man

[x

(24.)

K-W-«

dx

Aufgabe 6.

/    c/.r

y («+1) i/«²—i

Auflösung. Hier sei

vcx ß — x + 1, also yx + ô = x — 1,

ô = — 1, ßy — ad — 2,

(25.) (c

cc — 1, ß = 1, V + 1

(26.)

Y = 1,

?• ^ = r^r-? # -(- 1

=y:⁼₊₁

dx =

(1 — ^)²

Dies giebt

(27.)

J (x + l)j/x² — 1

Aufgabe 7. /-    ,__

J (x—1)Yx² — 1

In ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe

dx

dir

■/*—yi+l

findet man

(28.)

dx

=-i/:⁼⁺¹

dx

Aufgabe 8. I    ____

./ (x — k)\ rx—x²

Auflösung. Auch hier findet die durch die Gleichungen (16.) angegebene Substitution Anwendung, und zwar erhält man, wenn man

(29.)

setzt,

(30.) f-

J[x

dx

— k) y rx—x²

F(x,y Ax‘i-\-‘ZBx-\-C)dx, wenn JS²—AC>0. r = kg

-2/1 dt J r

₂f_dl

J kg—vfc(ć²+l)

dt

= ²-f

kj t² — g + 1

Dies giebt für g > 1 nach Formel Nr. 53 der Tabelle

^ J (x— k) Y rx — x²    &V g—1 ^

Dieses Résultat kann man noch auf die Form (32.) f-

J (x

bringen. Ist g < 1, so findet man nach Formel Nr. 20 der Tabelle

t—yy — t + Vy —

!)■

dx

yk{r—x)

yx(r — k)

— K\y~rx— x²    Yk(r — k) (y k(r—x) + yx(r—k)

(33.) I-dx----— —-ß=. arctg ( - i-,

J (x — k)yrx—x² kyi—g    V]/l— g)

^    \l (x — k) y rx— x²    y k (k — r)

Aufgabe 9. j Auflösung. Hier sei

(XX + ß = 1 — x, yx + ô = 1 -f- x.

also

dx

dx

(i+x²)y i—x²

arc tg ^

yk(r — x) yx(k — r)

)•

(35.)

also

(36.)    « = — 1, ß = 1

t²— 1 X “ t² + 1

y i—x²

ö = 1, ßy — ad = 2,

(37.)

» dx —

4 tdt

(*² + l)²’

(38.)

fi +1 ’

1 + x²

_ 2(^⁴ +1) (*² + l)²’

Daraus folgt

(39.)

dx

/( l+x^Yl—x²

(^² -(- Ÿ)dt

tl + 1

Die Wurzeln der Gleichung¹

(40.)

tA + 1 = (t² — i) (? + i) = 0,

nämlich

(4i.)    = L+i, <₂=i

y-2

]/2

IC

sind sämmtlich complex. Indern man je zwei complexe Factoren von ć⁴ + 1 mit einander multiplicirt, erhält man die reellen Producte (42.)

(43.)

{t—tx) (t—h) = i²—y 2 +1,

—4) —^) = p + y 2 +1

und die Partialbruchzerlegung t² + 1 _ Pt + Q /⁴-f 1

(44.)

Rt + S

t- — y 2 + 1 t* + ty 2 +1

₌ ¹(

•2 \t2 —1]/2 +1 t² + ty 2 + 1

Deshalb findet man nach Formel Nr. 56 der Tabelle

/    /7/y    1    _

⁽⁴⁵⁻⁾ 7(1 +    [äTCtg(«r2-l)+arctg(<V2+ 1)].

Dieser Ausdruck lässt sich noch wesentlich vereinfachen. Setzt man nämlich

(46.) so wird

arctgG]/2 — 1) = I, arctgp Y 2 + 1) = rj,

)•

(47.)

(48.)

tgS = *V2 —1, tgn = f\/2 +1,

tgg + tgtj __ 2t\2    y2

— tg ? tg r\~~ 2 —2t²~~ i² — 1

tg(S+?) = x

Nun ist nach den Gleichungen (37.) und (38.)

Y i — X-

t²—

*=w+i' v⁴-*²

folglich wird

2t

t² + 1

also

f— 1 ’

(49.) tg($ + r/) = -

#1/2

S + , = -«etg(£-^)

250

§ 41. /F(x, j/Ax²-j- 2Bx-\-C)dx, wenn A <0, C <0, B-—AC -<0. ,    . /' dx    £ + V

⁽⁵⁰v(i + x²)Yi—^~ y~2

In § 39, Aufgabe 8 hatte sich ergeben

Larct g(p~*

IC

1/2

xy 2

J(T+~Afr^⁼Ffa,'ctg(

Die Uebereinstimmung dieser beiden Resultate findet man leicht, indem man

(51.)

y i—*²

)•

(52.) arc tg ^

y i—x²

xV2

^ = (f, also tg(f —

y i—x²

x]/2

setzt; dann wird

(53.) ctg(p =

x\2

yi—z²

=tg( (fy

8 <*»

toi y

</> = arctg^

x.y2    '

y i—x²

Fügt man also in Gleichung (50.) die Integrations-Constante

7t

hinzu, so erhält man in Uebereinstimmung mit Gleichung (51.)

mj

dx

(ld-x²)yi — x²

=è&_arctg(JUi£l ⁼ ^(f-y)⁼^arctg(

xy 2

y i—x²

Es war schon damals hervorgehoben worden, dass eine einfachere Lösung dieser Aufgabe durch die in § 10 angegebene Methode, nämlich durch Einführung trigonometrischer Functionen, gefunden wird.

)•

VA

41.

Integration der Differential-Function F(x, yÄ^+2Bx-\-c)dr, wenn die drei Grössen a, c und b²—ac negativ sind.

Es sei jetzt

B²—AC< 0, also A C >'B² > 0 ; die beiden Grössen A und C haben also dasselbe Vorzeichen, so dass die weitere Voraussetzung

11.)

§ 42. Normaliiitegrale von der Form fF(x, 1/Ax'¹ + 2Bx + C)dz.

(2.)

A<0

die andere

(3.)

C< 0

noth wendiger Weise herbeiführt. Nun wird

(4.) Ax² + 2 Bx + C =    [A²x² + 2 ABx + B² + AC— B²\

[{Ax + Bf + {AC — B²)]-

folglich ist in diesem Falle der Ausdruck in der eckigen Klammer beständig positiv, was auch x sein mag, also Ax¹ + 2Bx -f C beständig negativ, denn A ist negativ. Deshalb wird die Function F(x, y~Ax²-\-2Bx-{-C) selbst eine complexe Grösse, wenn die Ungleichungen (1.), (2.) und (3.) gelten, weil ]/Ax²-\-'2Bx-\-C stets imaginär sein muss. Es ist daher nicht möglich, f Fix, ]/Ax²-j- 2Bx -f- C)dx in reeller Form darzustellen. Unter diesen Umständen wird man, wie schon in § 36 hervorgehoben wurde, am besten »

(5.) JF(x, yAx²-\-2Bx-\- C)dx =JF{x, ' Ayx² -j- 2Bxx-\- C\)dx setzen, wobei

(6.)

Bx = — B, C\ = —C

A\ — —A,

ist. Man kann dann das in § 38 und § 39 angegebene Verfahren benutzen.

§ 42.

¹

y rx — x¹

rx

Normalintegrale von der Form [Fix, yAx²+2Bx+C)dx

Ist F(x, y x) eine ganze rationale Function von x und Yx, wobei man der Kürze wegen Ax² -j- 2Bx -f- C mit X bezeichnet hat, so kann man F(x, y ~X) immer auf die Form

f(x, yx) =

a-)

g{x) -f h{x) .yx (f{x)+ip{x). yx

bringen, so dass g(x), /i(x), (f{x), ip(x) ganze rationale Functionen von x sind. Daraus folgt

wenn man

(3.)

f ⁽Ax) <f(x) — Kx) *P(x) • -X = G(x),

\ h(x) (f(x) — g(x) xp{x) = H(x)

Bezeichnet man noch den Nenner <p{xf — ip(x)². X mit

setzt.

N(x), so ergiebt sich

0.)    f(3,rx₎₌||₊fM.rx

G(x) H{x)X

u(x) ⁺ js\x) yx

Die gebrochene rationale Function

G(x)

N{x)

kann man nach

den Angaben des vorhergehenden Abschnittes durch Partial-

bruchzerlegung integriren. Ebenso kann man

H(x), X

(nöthigen-

falls nach Absonderung einer ganzen rationalen Function) in Partialbrüche von der Form

Nix)

Px + Q

V, ™d

[(3 — gf + A²]“

zerlegen. Deshalb kommt es im Wesentlichen nur auf die Berechnung der folgenden Normalintegrale an:

xmdx

(x — k)

Ji

(5)

yx

-f

yx

-A

dx

[x — k)nÿx

[Px + Q) dx

(2.) F(x,VX) =

\g(x) + h(x) ,yx). [v(x) — 1/1(3) ■ yx]

l'/fa) + 1/1(3) • I''.V]. l<p(x) — 1/1(3) . V' -V]

G(x) i    _

y (.r)² —- xfj (x)‘- . X

[(z—gf + ldyyX

Diese Betrachtung bleibt auch noch richtig, wenn X eine ganze rationale Function beliebig hohen Grades ist. Bei den ganzen rationalen Functionen zweiten Grades wird es im Allgemeinen zweckmässig sein, die in § 36 angegebene Umformung vorzunehmen, so dass es bei dem Normalintegral Jy nur auf die in den Formeln Nr. 21, 22 und 23 der Tabelle berechneten Integrale

« (rJZ

= arcsin

(x) und Ut

W Jl

= \(x -j- y.T² ± a²)

]/a²—a;²

ankommt. In gleicher Weise geben nach dieser Umformung die Formeln Nr. 25, 26, 27, 70, 79 und 79a der Tabelle an, wie das Normalintegral Ą, nämlich

yx² ± a²

J Ya² — a:²

berechnet wird. Auch J₃ kann man in dem Falle, wo k — 0 ist, mit Anwendung der Formeln Nr. 76, 77, 78, 84, 84a, 85 85 a, 86 und 86 a der Tabelle berechnen. Ist aber k ^ 0, so setze

xmdx

und

a:me£r

yx² ± a²

man zur Berechnung von

§{x — k)nya²-\- x²

dx

(7.)

kz + a²

also x

k² -j- a²

(8.)

(9.)

(k² -j- a²)dz (z — k)²    ’

kx + f, ysr+p

# — k

z — k

__ y+ cd) (a² + x²) x — k

Dies giebt

dx

f(z — k)n~ldz (k² + (dy^yid+aV    ya² -j-z²

k)nya² + erd

Das Normalintegral Ą ist also auf die Normalintegrale Ą und Ą zurückgeführt.

In ähnlicher Weise setze man zur Berechnung von

dx

J (x — 1c)nyx²— a²

(11.)

kz — a²

also x — k =

k² — a²

(12.)

dx —

(k² — a²)dz

(,z — k)²

(13.)

y^k²— a²)(z²— a²) z — k

_ y{k²— a²) {x²— a²) x — k

, yx²—a²

k--f- , yz²—a²

x — k

§ 42. Normalintegrale von der Form f F(x: y Ax²-\-2Bx -)- C)dx.

254

Ist k- > 0, so wird daher

k)n~ldz

dx

/e)n yx²— d2 und für k² < a² wird

dx

ky y x²— a²

(k²^a²)n-iya²—k²f yd²

\

(z—k)n~ldz

-z²

Die in den Gleichungen (11.), (12.) und (13.) angegebene

= ; es s»

Substitution führt auch zur Umformung von /—

4/ (X

dx

wird nämlich

(16.)

— z²

also für k² > a²

⁽¹⁷-}k

dx

U)ny a¹—x²

Ç(z—ky~ldz

(k² — a²y-¹ yk²—üV fcJ^z²

und für k² < a-

dx

\z—ky-'dz

(k² — a²y~l ya²—kj yz² — a²

''    ^ J'(x—kyya² — x²

Das Normalintegral ./₄ kann bei Anwendung complexer Grössen durch Integrale von der Form Ą dargestellt werden. Will man aber complexe Grössen ganz vermeiden, so wird man entweder die in § 38, 39 und 40 angegebenen Methoden anwenden, oder man wird im Allgemeinen noch zweckmässiger nach den Angaben in § 10 (vergl. Formel Nr. 87, 88 und 89 der Tabelle) trigonometrische Functionen einführen, nachdem man durch die lineare Substitution

(19.)

az ß x —-

1

flPx + Q)dz

J 0² + fryz

zurückgefuhrt hat, wobei Z einen der drei Werthe a² + z-, z² — a² oder a² — z¹ haben soll. Durch die Substitution

(20.)

z — atgt, dz =

adt

COS²/! ’

COS t

erhält man dann

' {Pa sin t-\- Q cos^cos²"⁻²/. dt (a² sin²tf + p² cos H)n

=/

n (Pz + Q)dz (2:² + p²)n y a² -f- z-

= —Pa

f /'    C0S2,,“²/!^(C0S<)

7 [«² + (f*

— a²)cos²ć]”

n 1 — sin²?!)w-1</(sin?!) ⁺ 7 [(«² — P²)sin²ć + p²jn

Durch die Substitution

(22.)

COS^ ’

dz —

asin?!c&

COS²?!

»    ]/2²— a² = atgt

erhält man

⁽²³⁾/i

(z² + p²)nYz²—a²

"(Pa + Q COS ÓCOS2w~²t. (a² -f p² COS² t)n

-Pi

d(t gt)

[(a² + p²) -f a²tg²t)n

, ₀ Al — sin²^)n~¹_

J [(a² -f- jo²) — />² sin²/]M

. </(sin?!)

(24.)

Durch die Substitution

2 = a sin t, dz — acostdt, ]/a²—z² = acost

findet man

(25.)/

(Pz + Q)ü?Z

"(Pasin?!4- Q)öft

{z² +p²)n Ya²—z²    .

(a² sin²?! +jo²)m

= — Pa

r d(cost)    /

j [(«² +J0²) — a²cos²ty,~¹~ yj

Kl+tg*<)»-W(tgO [(a² +/>²) tg²ź-t-/)²]n

Ausserdem kann man auch Recursionsformeln herleiten von der Form

mJl

\Pz+Q)dz __ (Rz+syyz j'(Ptz + Qi)dz , j'P₂z -f Q₂)dz

(zi+f-yyz~~    V(Ä2+f)^\z j(ż*+p*)*-*yz

wobei man die unbestimmten Coefficienten P, S, l\, Qx, P>, Q>

(Rz+S)YZ

durch Differentiation von

O² + p²)

n— 1

findet.

IX. Abschnitt.

Integration transcendenter Functionen.

§ 43.

Herleitung einiger Recursionsformeln.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 128 bis 128.)

Schon im ersten Theile ist die Integration zahlreicher transcendenter Functionen ausgeführt worden, wobei sich die Formeln Nr. 13 bis 16, 29 bis 52, 60, 62 bis 69 der Tabelle ergaben.

Diesen Formeln mögen noch einige weitere durch die Lösung der folgenden Aufgaben hinzugefügt werden.

Aufgabe 1. fsmmxc,osnxdx— ?

Auflösung. Ist n eine ungerade Zahl, so findet man die einfachste Lösung der Aufgabe mit Hülfe von Formel Nr. 38 der Tabelle ; und ist m eine ungerade Zahl, so kann man Formel Nr. 39 der Tabelle mit gutem Erfolge anwenden. Sind aber m und n beide gerade Zahlen, so wird man durch 'partielle Integration zum Ziele kommen. Nach Formel Nr. 61 der Tabelle ist nämlich

(1.)

Jude — uv —je du ; setzt man also in dieser Formel

(2.)

u = sin”¹⁻¹#, do = ao^xsmxdx,

und deshalb

(3.)

du = (m — 1) sin'"⁻'²æ cos xdx, v =

COSM+1:r

n 4-1 ’

so erhält man

(4.)

sinm« COSw« dx — —

sin“⁻¹# cosn+1«

YYi _ 2.    /*

——- / sinm-2«cosw+2«c?«.

n + 1J

Ist m positiv und n negativ, so ist diese Formel sehr brauchbar. Ist z. B.

n — — m,

so geht Gleichung (4.) über in

sin’"⁻¹«    m — 1 /

(—m+l)cosm_V ^ —m + 1J

' sin’"« cosm«

- dx

sin”’⁻²«

COS”¹⁻²«

dx.

oder

(5.)

j tgmxdx =

x —j tgm~²xdx.

-—- tg

m — 1 ⁶

Ist aber n gleichfalls positiv, so benutze man die Bezie-

in — 1

hungen

cos²« =1 — sin²«,

sinm 2« cosw+2« = sin"¹⁻²«cosn« — sin”¹«cosM«.

/•

Dadurch geht Gleichung (4.) über in sinm-1«cosM+1«

sin’"« cosnxdz =

n -f- 1

y-

sin”¹⁻²« cos"«c/«

——- / sin’”« cosM« dx, n + 1J

oder

m 4- n C.    ,

/sin"’« cos"« a« =

sin”’⁻¹« cosn+1«

Daraus folgt

—;—7 / sin'”⁻²« cos"«^«.

n + 1J

• (6.)

j sin”’« cosnxdx

sin”’⁻¹«cos"⁺¹«

—— /sin'"⁻²« cos"« dx. m 4- nj

Durch diese Formel kann man den Exponenten m reduciren, wenn m positiv ist.

§ 43. Herleitung einiger Eecursionsformeln.

259

Einen besonderen Fall dieser Gleichung- enthält bereits Formel Nr. 66 der Tabelle.

Vertauscht man in Gleichung (6.) m mit —m + 2, also m—1 mit —m -f 1, m—2 mit —m, so erhält man

COS”#

sin’"-²#

dx —

cos”⁺¹#

(n — m + 2)sinm-¹#

-f

n — m -f 2/ sin’"#

COS”#

dx,

oder

COS”#

sin*"-#

dx =

cos"⁺¹#

(m — Dsin’"⁻¹#

n — m + 2 f

r/i

cos”#

sin"¹⁻²#

dx.

Einen besonderen Fall dieser Gleichung enthält bereits Formel Nr. 69 der Tabelle.

In ähnlicher Weise kann man den Exponenten n reduciren. Setzt man nämlich

(8.)

u = cos”⁻¹#, de = sinm# cos# dx.

also

(9.)

du — — (n — l)cos”_2#sin#<i#,

sinm+1#

1

so wird nach Gleichung (1.)

(10.) ß

sin”'# cosM# dx =

sin^+Gcos”⁻¹#

m -f- 1

n_i r

—— /sinm+²#cos”-²#d#.

m+lj

Ist n positiv und m negativ, so ist diese Formel sehr brauchbar, ist z. B.

m — — n,

so geht die Gleichung (10.) über in

(11.)

I ctg”# dx

—2# dx.

Ist aber m gleiclifalls positiv, so benutze man die Beziehungen

sin²# = 1 — cos²#,

sin”i+2#cosw—2# = sin⁷"# cos”⁻²# — sin’"# cos”#. Dadurch geht Gleichung (10.) über in

sin*“# cos”# dx

sinm+1# cos“⁻¹#

n — i r.

-i—1 /Sm

m -f- 1/

mx COS“⁻²#»#

^ + *Jdn'”# cos“# dx,

oder m-\-n m-fl

daraus folgt

sinw#cosn#c£#

sinm+1#cos“⁻’#

m Ą- 1

n — 1 /'

m+1J'

sin”¹# cos“⁻²# d#;

(12.) /

1 ßmmx cosn_ -x dx.

sinm# cos“# dx

sinm+1# cos”⁻¹# n —

m -|- n

Durch diese Formel kann man den Exponenten n reduciren, wenn n positiv ist.

Einen besonderen Fall dieser Gleichung enthält bereits Formel Nr. 64 der Tabelle.

Vertauscht man in Gleichung (12.) n mit —n-f-2, also n — 1, mit — n + 1, n — 2 mit — n, so erhält man

sinm#

COS“⁻²#

dx =

sinm+1#

(m — n + 2) cos”⁻¹#

' sinm# cos“#

dx,

oder

03.)/-

sin”'#

sinw+1#

rn — n -f 2 f sin'“# n — i / cos”⁻²#

dx =

dx.

(n — 1) cos“⁻¹#

Einen besonderen Fall dieser Gleichung enthält bereits Formel Nr. 68 der Tabelle.

Die hergeleiteten Formeln bleiben richtig, gleichviel, ob m und n gerade oder ungerade sind.

cos“#

§ 44.

Integration trigonometrischer Functionen durch Anwendung der Moivre’sehen Formeln.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 129 bis 134.)

Die Integration von cosmcpd(p und von sinmą>dcp, welche bereits durch die Formeln Nr. 36, 37, 64—67 der Tabelle gegeben

ist, kann auch mit Hülfe der Moivrdsdmw Formeln ausgeführt werden. Nach D.-R., Formel Nr. 176 der Tabelle ist

(1). 22rt(cos^)2re = 2cos(2«r/>) + f^i') 2 COS(2w (^‘2') 2cos(^w —    + • •

2)<f +

(»-i)2cos(2y) +Q;

indem man beide Seiten dieser Gleichung mit dtp multiplicirt lind dann integrirt, erhält man

(2.) 2Wcos²> dg> = ^ sin(2«f/>) +    sin(2/z — 2)$p +

+ ' • ' +G-l)sin^) ⁺(²n)f-

Beispiel.

(3.) 6±fcosG(pd(p — ^sin(6<p) + 3 sin (4</>) + 15 sin (2^) + 20 (p.

Nach D.-R., Formel Nr. 177 der Tabelle ist (4.) 2²"+¹(cos</>)2n+1 = 2cos(2n+ \)tp    ¹^2cos(2»—1 )cp +

* * • + (²^ 1)2 COs(3y) + Qn + ^2 cos cp ;

indem man beide Seiten dieser Grleichung mit dy multiplicirt und dann integrirt, erhält man

(5.) 2-+*jcaP+W = ^    — sin(2re + 1 )cp +

. f î ¹)iw—isin(2K-¹^ + • • • +C-1¹ )f +■■

Beispiel.

(6.) 128ycos⁷ (pd(f

" sin(7^>) +~sin(5y) + 14sin(3<p) + 70sin<p.

#    O

Nach D.-R., Formel Nr. 178 der Tabelle ist —I J2cos(2w — 2 )</> -f-(— 1)w-‘^²^₁^2cos(2^)

(7.)    (—l)w22w(sin</>)2M = 2cos(2wr/>)

+<-»0

indem man beide Seiten dieser Gleichung mit d<p multiplicirt und dann integrirt, erhält man

/*    O    /9/^\ O

(8.) (—'l)n22njsin2n(pd(f) = -- sin(2nq>) —    j ——^ sin(2w—2)y

+ ■ * • +

y-

Beispiel.

(9.) — 64/sinfV/c/r/; = |sin(6r/)—3sin(4</>) + 15 sin(2 (p) — *20 cp.

Endlich ist nach Formel Nr. 179 der Tabelle (10.) (—l)"22w+1(srny)2n+1= 2sin(2rc + l)y

+ (—1)*(²“ j” ^Ssiny;

(2n + ^^2sin(2w— 1 )<p +

indem man beide Seiten dieser Gleichung mit d<p multiplicirt und dann integrirt, erhält man

₂Ą^C°S(2» + Dg, +

(11.) (—l)n22w+ysin2w+V^ =

C t ₁^(2»-1)?-+ • •

Beispiel.

r    14

(12.) 128 Ism’rpdtp = cos(7 cp)—— cos(59>) + 14cos(3</>)—70cosy.

In ähnlicher Weise kann man auch Jsinm(p cosn(p dcp berechnen, wenn man die Formeln

2i sin (f = e⁽(,i —    2 COS (f = e*?* + e~q>i

(13.)

berücksichtigt. Es ist z. B. nach den Gleichungen (13.), wenn man

(14.) e'?' = cos</> i sirup = u, er~v* = cos cp — «sin <p = v setzt und beachtet, dass uv — 1 ist,

— 64sin²</)C0S⁴</) = (e¹?'— e-9>»)²(ev» -f- e-f/>*)4 = (« — v)\u + v)⁴

— u^    2u^v — u⁴v² — 4usv³ — u²v⁴ -j- 2uvö -j- «j⁶

= (m⁶ + ^⁶) + 2(m⁴ -j- v⁴) — (u² + v²) — 4 = 2cos(6</>) 4- 4cos(4</>) — 2cos(2y) — 4,

also — 64^in²ycos⁴(fd(f — ^sin(6<jp) sin(4r/) — sin(2y) — 4cp.

Zur Berechnung- von J eaxws>(bx)dx und feaxsin(è.r)dx kann man Formel Nr. 61 der Tabelle, nämlich die Gleichung

(15.)

fudv — uv —fvdu

verwenden, indem man

(16.)

u = eax.

de — COS {bx)dx,

also

(17.)

du = ae"xdx}

V = ^ sin(ö.r)

setzt; dann findet man

(18.)

J'eaxcos(bx)dx = ^ enxüx\(bx) — ^ j'eax$m(bx)dx.

Setzt man dagegen in Gleichung (15.)

(19.)

also

u — eax, dv — sin(bx)dx,

(20.)

du = aeaxdx, v =

cos (bx),

so erhält man

(21.) I enxsin (bx) dx =

^ eax ees(bx) + e

COS (bx)dx.

Dies giebt. wenn man Gleichung (21.) mit

zu Gleichung (18.) addirt und das Resultat durch dividirt,

multiplicirt,

a² + b²

b-

(22.)

feax cos(bx)dx —

nr a COS (bx) -f- b sin {bx) e“    a² 4 b²

Ci

Multiplicirt man dagegen Gleichung (18.) mit T

a² 4 b²

addirt

dann Gleichung (21.) und dividirt durch

ar a sin (bx) — b cos (bx)

~e

(28.)

I eax sin (bx)dx

b²

so erhält man

Noch einfacher findet man diese Resultate durch Anwendung der Moivre'sehen Formeln. Es ist nämlich nach D.-R., Formel Nr. 173 der Tabelle

(24.)

eax[cos (bx) 4 *sin(&r)] = eax . ehxi = e{a+bi'x.

Erklärt man also das Integral einer complexen Grösse A 4 Bi durch die Gleichung

f(A 4 Bi)dx =jAdx 4 i) Bdx, so ergiebt sich aus Gleichung (24.)*)

feaxCOS (bx) dx 4 if&axAn(bx)dx =fed+hi)xdx

(25.)

(26.)

a 4 bi a — bi a² 4 b²

. gia-\-bi)x

• eax [cos (bx) 4 i sin (bx)\

d² 4 b²

• eax\aeos(bx) 4 èsin (bx))

a² 4 b²

• eax[asm(bx) — 5 COS (kr)].

*) Die Zulässigkeit des hier folgenden Verfahrens ergiebt sich aus D.-R, § 186.

Sind aber zwei complexe Grössen einander gleich, so müssen die reellen Theile und ebenso auch die Factoren der imaginären Theile einander gleich sein, folglich findet man aus Gleichung (26.) in Uebereinstimmung mit den Gleichungen (22.) und (23.)

Jeax COS (bx) dx = e j'eax sin (bx) dx =

ax .

a cos {bx) + è sin (kr)

«² + P

ar a sin (bx) — b cos (bx) P + P

Eine weitere Anwendung dieser Methode liefert die Berechnung von Jcos(ai# -f èt)cos(a₂£ -f b₂)... cos(aM« + bn)dx.

Setzt man der Kürze wegen

(27.) ayx + bt = (fi, a₂x + b₂ = (p₂, . . . anx + bn — <pn, so ergiebt sich aus der bekannten Formel

(28.)

2 COS (fi COS (f₂ = COS ((fl + (f₂) + COS ((fl — (po)

ohne Weiteres

(29.) ICOS (aix+bi) COS(a₂x+b₂)dx (bi + bi)] -f

2(«! -f «a) sin [(«i — a₂)x -f- (bi — 62)]«

: sin[(ai + a₂)x +

2(«i — a₂)

Beachtet man, dass sich Gleichung (28.) mit Hülfe der Moivre'sehen Formeln herleiten lässt, indem man 4cosr/>iCOS</>₂ = (efPd -f e“W) (ew -f e-V*)

= e(<pi+<Pi)* -}-    _|_ e— (<pi—<p*)* -Ą- e~ (vi+vJ*

= 2 COS ((f l + (f₂) + 2C0S(^1 — (f₂)

setzt, so erkennt man sofort, in welcher Weise sich das in Gleichung (29.) gefundene Resultat verallgemeinern lässt. Es wird nämlich

(30.) 4 COS (fi COS(f₂COS(f3 — COS((jPi -j- (f₂ -f- (fs) -j~ COS(yi -J- (f₂ — <^3) + COS ((fl — (f₂ -\- (f3) + COS(<jPi — (f-2 — (fz),

also

_sin(<-/u + (f s -f- y3) J sin(yi + ff2—rPa)

(31.) ICOSffi COSy₂ cosy 3 dx

4 (ßi -j- «2 + 03)    4 (öi + 02 — 03)

sin(yi—y₂+y₃) ^ sin(yi—y₂—ya) _

Dieses Verfahren kann man auf beliebig viele Factoren aus dehnen und dadurch

fcos(ciiX + öt)cos(ö₂a; + h) .. . COs(ö„;r + bn)dx

bestimmen.

X. Abschnitt.

Theorie der bestimmten Integrale.

§ 45.

Integration bei unendlichen Grenzen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 135 und 136.)

Bei der Erklärung des bestimmten Integrals durch Formel Nr. 4 der Tabelle, nämlich durch die Gleichung

(1.)

Jf\x)dx =f(b) — f(a),

a

war bisher vorausgesetzt worden, dass die Grenzen a und b endliche, constante Grössen seien. Jetzt kann man sich aber vorstellen, dass die obere Grenze b nicht mehr eine constante, sondern eine veränderliche Grösse sei, welche schliesslich bis

in’s Unbegrenzte wächst. Demgemäss 'würde ff‘{x)dx durch

a

die Gleichung

(20

oo    b

Jf{x)dx — lim Jf\x)dx =

b=*oo a

b— oo

erklärt werden.

Auch die geometrische Deutung des bestimmten Integrals als Flächeninhalt einer ebenen Figur bleibt m diesem Grenzfalle noch bestehen, die ebene Figur aber, deren Flächeninhalt durch das Integral ausgedrückt wird, erstreckt sich längs der X-Axe bis in’s Unendliche. Es war schon früher (§11, Aufgabe 8) gezeigt worden, dass der Flächeninhalt der Figur trotzdem einen endlichen Werth haben kann.

In gleicher Weise kann auch die untere Grenze a sich

ändern und bis in’s Unbegrenzte abnehmen. Dann möge

>,

ff‘{x)dx durch die Gleichung

—OO

(3.)

h    b

J'f‘{x)dx = lim ff‘(x)dx

— oo

a——oo a

=/(*) —lim ./(«)

a=—oo

erklärt werden.

Aus den folgenden Beispielen kann man ersehen, dass hierbei drei Fälle zu unterscheiden sind:

I.    Das Integral mit unendlichen Grenzen wird selbst unendlich gross ;

II.    Das Integral behält einen endlichen Werth;

III.    das Integral wird unbestimmt.

Beispiele.

oo

1.)

lim eb — 1 = oo.

b=oo

/ exdx = lim [    =

J 6=ooL J0

0

oo

2.)

Ie~xdx — o

— lim [e~xl\ = 1

6=ooL Jo

— lim

6=oo

&)-

1.

OO

y:

0

3.)

dx _1    .

d² + x- a

+oo

4.)

/ dx

Ja² -f- x¹

— oo

= lim

c=+ oo 6=—oo 6

dx

a² + x²

¹ lim arc tg

O' c=+oo _ b=— oo

lim

c=-\- oo

ar c    0—, arc    C )]

- (Ï+Î)- •

man die letzte Aufgabe auch durch Zerlegung des Integrals auf die vorhergehende Aufgabe zurückführen. Es ist nämlich, wenn man y = — x setzt,

5.)

6.)

7.

8.)

-f oo    0

f dX - f J a²+ x²    i

dx

a² -f- x²

— OO

—OO

-f oo

Ï,

dx

a² + x²

0    -f OO

= “/iiĄyi⁺f,

+oo    0

dx

a² + x²

OO

Ja² + x² a o

/ dp — lim [2]/a;f = 2 lim ]/b — 2 = oo. J y x 6=oo ¹ 6=oo

oo

OO

r dx J x]/ X

— 2 lim

6=oo

i\/x-

= 2 — 2 lim

6=oo

co

'dx

OO

— lim ILrf

6=oo a

lim 1

6=00

a , CT-

1= oo.

/ cosxdx = lim [smaY

J    6=oo L J0

O

= lim sin A

6=oo

Dieser Ausdruck nähert sich keiner bestimmten Grenze ; in diesem Falle wird also das Integral unbestimmt, wenn man die obere (oder untere) Grenze unendlich gross werden lässt.

Auch hei der Kubatur der Rotationskörper war ein derartiges Integral bereits aufgetreten. In § 17, Aufgabe 13 erhielt man für das Volumen des Körpers, welcher durch Rotation der Cissoide um die Asymptote x = 2a entsteht, einen Werth, der auch dann noch endlich bleibt, wenn y unendlich gross wird. Es war nämlich

y

V=nf{x—2cifdy — azn [—sin(2(f)cos(2<p) + 2cp + ^-sin³(2^)].

o '

? also

Für lim y = oo wird cp =

OO

— 2 afdy = a?ri².

V=7T,f(x 0

§ ⁴6.

Integration von Differential-Functionen, die an den Grenzen des Integrals unstetig werden.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 137—139.)

Bei der Erklärung des bestimmten Integrals durch Formel Nr. 4 der Tabelle, nämlich durch die Gleichung

(1.)

Jf‘{x)dx = [/(»]* =f{b) —f{a)

war bisher auch die Voraussetzung gemacht worden, dass f‘(x) in dem Intervalle von a bis b stetig sei. Jetzt möge aber f‘(x) stetig sein für

während

(2-)

x == 2asin²<p, y — 2a

sin³<p cos (f ’ X

2a = — 2acos²</;,

f‘(b) = ± oo

ist. Bezeichnet man dann mit ß eine beliebig kleine positive Grösse, so gilt für

b-ß

ff‘(x)dx —f (b — ß) —f(a)

noch die frühere Erklärung des bestimmten Integrals, wie klein

b

ß auch sein mag. Dem entsprechend möge j'f‘ (x) dx erklärt

a

werden durch die Gleichung

b—ß

(3.)

Jf‘(x)dx = lim Jf\x)dx = limf(b — (i) —/(«).

ß=0 a

fi—Ü

Es sei z. B.

i also f‘(b) = ± oo

f‘(x) = vh=x

dann wird.

jfl(x)dx =J-

a    a

= — 2 ^lim Yß — y b —    — 2)/b — a.

Bleibt/'(V) stetig für

dx

yb—x

= — 2lim[j/é — x]b 11

|S=0    a

a<x^b,

während

(4.)

f\d) = =b oo

ist, so bezeichne man mit a eine beliebig kleine positive Grösse, dann gilt für

Jf\x)dx —f(b) —f(a + a)

a-\-a

noch die frühere Erklärung des bestimmten Integrals, wie klein

b

Dem entsprechend möge Jf\x)dx erklärt

auch a sein mag. werden durch die Gleichung

6 6

(5.) Jf\x)dx — lim ff,{x)dx = f(b') — lim f[a + a).

«=° a+a

a=0

Es kann auch Vorkommen, dass beide Fälle vereinigt sind,

dass also

(6.)

f‘{p) = ± oo und f‘(b) = ± oo, dass f\x) aber stetig ist für

a <# <6;

dann wird Jf‘{x)dx erklärt durch die Gleichung

a

b    b—ß

(7.) Jf‘{x)dx — lim ff\x)dx = lim f(b — ß) — limf(a + u). a    0 â-f a

a=0

|î=0

Beispiele von derartigen Integralen waren bei der Quadratur der Curven mehrfach aufgetreten. So ergab sich bei Aufgabe 8 in § 11 für den Flächeninhalt der ebenen Figur, welche oben von der verallgemeinerten Hyperbel

gjc

y = -}/2p . x

begrenzt wird,

(8.)

x\

Ist n > m, so wird lim M — 0, und man erhält für

(9.)

F=

xi

jydx

o

SJ.

n—m Xi n

__ nxiyi

n—m

einen endlichen Werth, obgleich y unendlich gross wird für x — 0, so dass sich der Flächenstreifen längs der Y-Axe in’s Unendliche erstreckt.

Ferner fand man bei Aufgabe 12 in § 11 für den Flächeninhalt der ebenen Figur, welche von der Cissoide mit den Gleichungen

(10.)

x — 2asin²y, y = 2 a

sin ³y

COS y

begrenzt wird,

(11.)

X    (p

F = fydx = 8a² /sin⁴ y dep

o    b

= a²[ 3y— cosy(2sin³y + 3 siny)].

Für x = 2a oder y =

wird y unendlich gross, so dass

sich der Flächenstreifen längs der Asymptote x = 2a in’s Unendliche erstreckt. Trotzdem bleibt

(12.)., F

endlich.

2«

= j'ydx = 0

Q//2 Jr-

a² lim [3y — cos y ( 2 sin³y + 3 sin y)] = — —-

7t    2

V=2

Man erkennt aus den angeführten Beispielen, dass bei dieser Erklärung das bestimmte Integral auch dann noch als der Flächeninhalt einer ebenen Figur betrachtet werden kann, wenn die Function unter dem Integralzeichen an den Grenzen unendlich gross wird.

Uebungs-Beispiele.

1.)

b

f_

J y/(x—a)~

b

= lim f(x — a) *dx — 3 lim [-j/,x

a=0j    a= 0

a+a

-ih

a-\-a

= 3 Ą/ b — a — 3 lim j/a — 3 j/b — a.

a=0

2.)

f_dx

Jv

Yx² — a²

= lim

«=0

aĄ-a

dx

y*²—a²

= lim [1 [x -f Yx² — a²)]

u—0

a-\-a

= l(ô +Vó² — a²) — liml(a + a Ą-YZaaĄ- a²)

i + yw—d²

a=0

= \(b +Ÿb² — a²) — 1 a = 1^_

)•

3.)

• b

fy(z — a) (b — x)

Cl

dx

6—a

lim

a—0 [i=0 a-\-a

dx

Y(:v— a) {b — x)

Nun ist

J Y (x — a) (b—x)

dx

dx

Y— ab -f (a -j- b) x — x²

dx

a+r1

—ab—

[Gy)- la+byr+Ą

oder, wenn man

x--

also

ab —

dx — dt. 2c = b— a setzt,

f___ dx

JV(i

dt

—a)(b—x) yö*^t2 = arc sin

arc sin

/2x — a — b\

V b — a )'

Deshalb wird

/;

dx

b-ß

J y(x—d) (b — x)

a

T . (2x — a — b\\ |_arcsm( h _ - )j

= lim arc sin (-—ß---)— limt

ß=o    \ b (i /    «=o \

= lim

a=0

ß=0

a+a

a + 2ce — b \

a )

= are sin (+1) — arcsin (—1) = 2 arcsin 1 = n.

4.)

fr¹

0

x²—b²

= lim r^Y lfx3~N)l = K; lim 1    —

ß=o\_2b \b -J- x)\ 2bß—o \2b — ß)

oo.

§ 47.

Integration von Differential-Functionen, die zwischen den Grenzen unendlich werden.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 140.)

Wird die Function f‘(x) für x = c unendlich gross, wobei c zwischen den Grenzen a und b liegen möge, während f\x) stetig bleibt für

a^x <c und für c <x^b,

b

dann soll Jf‘(z)dx erklärt werden durch die Gleichung

b    c—y    b

(1.)

Jf\x)dx = lim Jf‘(x)dx -f lim Jf\x)dx

¹    y=o a    ^=o c-j-rS

cJ=G⁻

=/(*)-/(«) + lim/(c—Y)—lim/ (c+d),

y—0

wobei y und d beliebig kleine positive Grössen sind.

Uebungs-Beispiele.

Aufgabe 1. Der Gleichung

(2.)

entspricht eine Curve (Fig.99), welche die F-Axe zur Asymptote und ausserdem zur Symmetrie -Axe hat ; man soll den Flächeninhalt der Figur berechnen, welche oben durch diese Curve, unten durch die X-Axe, links durch die Ordinate x — — 1 und rechts durch die Ordinate x = + 2 begrenzt wird.

Fig. 99.

li

A,

Auflösung. Längs der F-Axe erstreckt sich die Figur in’s Unendliche, denn für x = 0 wird y — oo, folglich ist in diesem Falle

(3.)

also

(4.)

F = 3 [1 — lim y y + y'i— lim y/d ] = 3 (1 + -^2).

+2

+4’

7=0

4=o

Man erhält also für den Flächeninhalt der Figur, die sich längs der F-Axe bis in’s Unendliche erstreckt, einen endlichen Werth.

Aufgabe 2. Der Gleichung

rig. too.

(5.)

Bi

entspricht eine Curve (Fig⁻. 100), welche gleichfalls die F-Axe zur Asymptote und zur Symmetrie-Axe hat; man soll den Flächeninhalt der ebenen Figur berechnen, welche oben durch diese Curve, unten durch die X-Axe, links durch die Ordinate x = — 1 und rechts durch die Ordinate x — + 2 begrenzt wird.

Auflösung. Längs der F-Axe erstreckt sich die Figur bis in’s Unendliche, denn für x = 0 wird y = oo, folglich wird auch in diesem Falle

-y

+2

(6.)

F= lim

fdx , .. fdx

h+îsy f

r—-i + Hm r——i

y—0 L *^J    (5=0 L & J

y—0

= lim

= lim —

y=o Y

Man hätte einen Fehler gemacht, wenn man geschrieben

oo.

hätte

+2

+²

CO i<M

-1

Wie man sieht, bleibt die geometrische Deutung des bestimmten Integrals, wie sie früher unter Ausschluss von Unstetigkeiten gegeben wurde, bei der Erklärung des bestimmten Integrals durch Gleichung (1.) auch dann noch bestehen, wenn f'(x) für einzelne Werthe von x zwischen den Grenzen a und b unstetig wird. In dem Falle nämlich, wo f‘(x) für n ver-scliiedene Werthe von x zwischen den Grenzen a und b un-

b

stetig wird, muss man Jf‘(x)dx in n -f 1 Integrale zerlegen und

a

bei jedem einzelnen das in Gleichung (1.) angedeutete Grenzverfahren an wenden.

+ö

Aufgabe 3.

fr-

Auflösung. Da die Function unter dem Integralzeichen für x = 0 unendlich gross wird, so muss man das Integral wieder in zwei andere zerlegen. Man setzt also

+b

(7.)

fr

= lim

y=0

fr

+’>

+ lim

tf=o

J'dx

+Ô

= lim 1

In diesem Falle hängt der Werth des bestimmten Integrals

von

dem Verhältnisse ~ ab. Da dieses Verhältniss unendlich o

viele Werthe haben darf, so hat auch das Integral unendlich viele Werthe. Für y = â wird

+b

(8.)

Dieser Werth heisst nach Cauchy „der Hauptwerth“ des bestimmten Integrals.

dx

= ? wenn a < c< b.

Aufgabe 4.

J -y/[x—c)⁴

a

Auflösung. Indem man wieder die Zerlegung des Integrals ausführt, findet man

= lim f (,x—c) ³ dx    lim J (x — c) hdx

c+(5

(9.)

6

f_dx

J j/{x c)⁴

a    a

b

-fi

(x — c) ⁵ dx

7=0 J    J=0

ê]c"y+ 5 lim\Vx — cf «    j=o    c

= 5 lim [y/x

y—0

= 5 [ lim -y/— y—^— c -f-    ô

c-f <5

c—lim-j/d'J

y=0

ü—0

= 5 (-^b — c -f y/c — a).

§ 48.

Näherungsmethoden durch Einführung einfacherer Functionen.

In vielen Fällen, wo das unbestimmte Integral einer Differential-Function schwer zu ermitteln ist, kann man den Werth des bestimmten Integrals durch andere Hiilfsmittel genau, oder r doch mit grosser Annäherung berechnen.

Von diesen Hülfsmitteln sollen hier einige angeführt werden. Aus der geometrischen Deutung eines bestimmten Integrals

b

Jf\x)dx als Flächeninhalt einer ebenen Figur, welche oben

begrenzt ist durch die Curve y — f‘{f), rechts und links durch die Ordinaten x = b, bezw. x — a und unten durch die X-Axe (vergl. Formel Nr. 4 der Tabelle), ergiebt sich sofort der folgende

Satz 1. Sind y y = (fix) und y —f‘{x) zwei Functionen, v:eiche zwischen den Grenzen x = a und x — b sich durch Curcen geometrisch darstellen lassen, und bleibt in diesem Intervalle (fix) beständig gleich oder kleiner als fix), so ist auch

b    b

f(f(x)dx<Jf\x)dx\

denn die von der Curve y = f‘(x) begrenzte Figur hat einen grösseren Flächeninhalt als die von der anderen Curve yv — cp(x) begrenzte Figur. Dabei ist zunächst vorausgesetzt, dass die Curven beide über der X-Axe liegen; der Satz bleibt aber auch dann noch richtig, wenn diese Voraussetzung nicht erfüllt ist.

(2.)

Man kann den Beweis auch unabhängig von der geometrischen Deutung des bestimmten Integrals füliren, indem man dasselbe als eine Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen (f{x)dx, bezw. f\x)dx betrachtet. Aus cf(x)dx f‘(x)dx folgt dann auch die Ungleichheit der Summen, also

b    b

J(f(x)dx < Jf‘{x)dx.

a    a

Satz 2. Liegt die Function f\x) f ür alle Werthe von x innerhalb des Intervalles von a bis b der Grösse nach beständig zwischen (fix) und ip(x), ist also

(3.)

<p(*) S/'(*) S <K*).

so ist auch

b    b    b

(4.)

J(fi(x)dx < ff\x)dx <Jip(x)dx.

Dieser Satz ergiebt sich unmittelbar aus Satz 1.

Uebungs-Beispiele.

dx

0,5

Aufgabe 1.

In—xi

0

Auflösung. Da x beständig ein positiver achter Bruch ist, so gelten die folgenden Ungleichungen:

0^x<l,

0 x³ ^ x²,

1 > 1 -Xs > 1 - X²,

i ^ y i—#³    i/i—x²,

-c----------- -C------.

y i—xs    y i—#²

folglich wird auch

(5.)

oder

(6.)

0,5    0,5    0,5

J J y l—x* J Vl—x²

o    o    o

0,5

^ f dx

’ j y i—x*

0

< arc sin =

= 0,5 235 988.

Am häuligsten wird der Satz zur Anwendung kommen in dem Falle, wo für die Werthe eines bestimmten Integrals, welches einen „variablen Parameter“ enthält, eine Tabelle bereits berechnet ist. In dieser Tabelle sind natürlich nur einzelne Werthe des Parameters berücksichtigt; will man dann den Werth des Integrals auch für andere Werthe des Parameters ermitteln, so muss man zunächst den angegebenen Satz benutzen, um einen angenäherten Werth zu erhalten. Wie dies gemeint ist, möge die folgende Aufgabe zeigen.

dx

Aufgabe 2. f—____

J y 1 — sin² a sin²#

o

Auflösung. Liegt der Winkel «, welcher in diesem Beispiele der „variable Parameter1,1 ist, zwischen den beiden spitzen Winkeln «t und «₂, ist also

so wird

sin²«, < sin²« < sin²«₂, sin²«t sin²# ^ sin²« sin²# ^ sin²«₂ sin²#,

y 1 — sin²«i sin²# ]/1 — sin²« sin²# ^ y 1 — sin²«₂ sin²#,

----fÇ—    —..........— ,

y 1—sin²«isin²# ]/1 — sin² « sin²#    ]/1— sin²«₂sin²#

also

Tl

Tl

Tl

'T

dx

Y1 —sin²«, sin²«

, f‘² dx

jvi

dx

— sin²« sin²«

sin² «9 sin²«

Es sei z. B.

a, = 88°,    « = 38° 30',    «2 = 39°,

dann ist, wie man den Tafeln von Legendre entnehmen kann,

7t

Tt

■T

dx

y 1 — sin²«, sin²«

= 1,7633,    _

J Y1 — sin²«2 sin²«

o

dx

= 1,7748,

also

71

(9.)

1,7633 < P-__

J y 1 — sin²« sin²«

o

Der genaue Werth des Integrals wird 1,7690.

dx

< 1,7748.

§ 49.

Mittelwerthsätze.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 141, 141a und 142.) Es sei jetzt

(1.)

/'(«) = <Ax) • h(x)

wobei die stetige Function h(x) in dem Intervalle von a bis b zunächst beständig positiv sein möge. Ferner erreiche die in diesem Intervalle stetige Function g{x) ihren kleinsten Werth K für « = «i und ihren grössten Werth G für « = «₂, wobei «t und «₂ noch zwischen den Grenzen a und b liegen oder mit diesen Grenzen zusammenfallen sollen; es sei also

(2.)

g(xi) = K und g(x₂) = G,

dann wird (3.) und deshalb auch

(4.)

K. h(x)dx ^ g(x). h{x)dx = f‘{x)dx ^ G . h(x)dx ;

§ 49. Mittelwerthsätze, folglich wird nach Satz 2 in § 48

282

6    b    b

(5.)

(6.)

Kjh (x')dx < /g(x). h{x)dx < G) h(x)dx.

Erklärt man also die Grösse M durch die Gleichung

b    b    b

ff‘(x)dx — Jg ix) . h{x)dx = M fh (x)dx, so folgt aus Gleichung (5.)

(7.)

K = g(xy) s d/ 'S G = g(x₂).

Nach einem bekannten Satze über stetige Functionen muss es daher zwischen xl und x₂ einen Werth von x geben — er heisse £ —, für welchen

(8.)

M = g{\0

wird. Da § zwischen xv und x₂ liegt, so muss § auch zwischen a und b liegen; es ist also

(9.)

a SS b.

Erklärt man also eine Grösse © durch die Gleichung

(10.)

I — «

b — a ’

so liegt © zwischen 0 und 1, und man erhält

(11.)

§ = a 4- ©(6 — «)> M = g\a + G(b — a)].

Deshalb geht Gleichung (6.) über in

b    b

(12.)

f g{x) . h (x) dx = g \a + © (b — «)J f h(x)dx.

Der Satz, welcher in dieser Gleichung enthalten ist, heisst „der erste Mittelwerthsatz“ ¹) und bleibt auch dann noch richtig^ wenn h(x) in dem Intervalle von a bis b beständig negativ ist. In diesem Falle kehren sich beim Beweise nur einige Ungleichheitszeichen um. Es genügt also für die Gültigkeit des in Gleichung (12.) enthaltenen Satzes die Voraussetzung, dass h{x) zwischen den Grenzen a und b dass Vorzeichen nicht wechselt.

. Aus Gleichung (12.) folgen noch unmittelbar die Formeln

X    X

(13.)

(14.)

f g(x) . h{x)dx = giGx) Jh(x)dx,

0 ” 0

a-t-c    «+c

Jgix) . h{x)dx = g{a + Gc)f h{x)dx.

Setzt man

h(x)

b    b

= 1, also Jh{x)dx = Jdx = b

— a,

so geht Gleichung (12.) über in b

(15.)

fg{x)dx = (b — d)g [a + Gib — a)],

oder

(15a.)

Jf‘(x)dx = {b

— a)f‘ [o + ®(ä — «)]•

Für diesen besonderen Fall des ersten Mittelwerthsatzes ergiebt sich unmittelbar die folgende geometrische Deutung. Der Gleichung y = f\x) entspreche die Curve AB ₁ dann ist der Flächeninhalt der ebenen Figur

b

(16.) A^ABBy — Jf‘(x)dx.

Tig. 101.

\B

Jt

A.

Ai

Da nun der Curvenbogen AB stetig ist, so giebt es zwischen A und B mindestens einen Punkt

P. welcher die Eigenschaft besitzt, dass die Gerade RS, welche durch P zur X-Axe parallel gezogen ist, ein Eechteck A^RSB bestimmt, welches mit A^ABB^ gleichen Flächeninhalt besitzt. Macht man nämlich

OQ = a + Gib — d),

so wird in diesem Rechteck

A^B^ = b — a, QP =f‘\a -f- Q(b — a)]

also (17.) AyABB\ = ff‘(x)dx = A^RSBi — (b—«)/'[«+ ©(ö —a)].

fl

§ 50.

¹

Der zweite Mittelwerthsatz möge hier übergangen werden.

Neuer Beweis des Taylor⁹sehen Lehrsatzes.

Aus den Sätzen, welche in den vorhergehenden Paragraphen hergeleitet worden sind, ergiebt sich ein äusserst einfacher Beweis des Taylor'sehen Lehrsatzes.

Die Function f(x) sei mit ihren n -p 1 ersten Ableitungen stetig für alle Werthe von x zwischen a und « + h, dann findet man durch partielle Integration, nämlich nach der Formel

(!•)

f ude — uv —fvdu,

indem man

u =/'(« + h — t), de = dt,

also

setzt,

(2.)

du = — f“(a + h — t)dt, v — t

t    t

ff\a -f- h — t)dt = tf‘(a + h — t) + ff“{a -f- h — t)tdt.

ft    o

Für

u =f“(a + h — t), dv = tdt

erhält man

du = —f“\a + à — t)dt, o = t

—t)tdt =

f“(a+h —

(B.) jf“(a+h o

Wenn man in dieser Weise fortfährt, findet man die G-lei-

chungen

Durch Addition der Gleichungen (2.) bis (5.) ergiebt sich

daher

f'“{a + h—

—t)

dt,

(5.) fß"Ka+h

O

■o

tn-¹

(n—1)!

^ — ri\f(n)^aJrh

t

fß«M)(a+h-t)

0

i ss

dt.

tn

+ ••• + 7T!/(w)('l+Ä

t

t) +Jf(n+i)(a + ä—t)

fn

-r dt.

n\

Beachtet man, dass

(7.)

Jf‘[a + h — t)dt = — f{a + h — t) +f(a + h)

o

ist, so geht Gleichung (6.) für t = h über in

(8.) /(a+Ä)=/(a) +

./'(«) h , f“(a)

l!

2!

h² +

+ ••

r»h 3

n\

wobei

+n

(9.)

ist. Nach dem Mittelwerthsatz (Formel Nr. 141a der Tabelle) ist daher, wenn man 1 — & mit ©i bezeichnet,

(10.) R=ßn+"(a + h-

mfi

0

'tndt _f{n+'\a + @xh)

(n + 1)!

An+l.

Da © zwischen 0 mid 1 liegt, muss in diesem Ausdrucke auch ©i zwischen 0 und 1 liegen. Setzt man zum Schlüsse noch a — x und schreibt © statt ©x, so erhält Gleichung (8.) die Form

/'(*)

1!

Ä-1

2!

3!

hn + R,

WO

(12.)

h"+l

_/(«+!)(* ©/*)

(» + 1) !

ist. Dieses Resultat stimmt genau mit D.-R., Formel Nr. 49 der Tabelle überein.

§ 51.

Gliedweise Integration unendlicher Reihen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 143.)

Die Glieder u₀, uu u₂, w₃,... der unendlichen Reihe

(1.)

f‘(x) = W₀ + U\ 4" U₂ -f- M3 -(- • • •

seien Functionen von x, welche in dem Intervalle von a bis b stetig sind. Lässt sich dann eine hinreichend grosse Zahl m so bestimmen, dass für n^m der absolute Betrag des Unterschiedes Rn zwischen der Summe

Sn — Uq -f- U\ -j- U₂ • • • -j- W»1—1

der ersten n Glieder und der bestimmten, endlichen Grenze f‘(x) stets kleiner bleibt als eine vorgeschriebene, beliebig kleine Grösse s, welchen Werth x auch in dem Intervalle von a bis b haben mag, so heisst die Reihe „gleichmässig convergent“. Da hierbei Rn eine Function von x ist, so möge diese Grösse bei der folgenden Untersuchung mit Rn(x) bezeichnet werden. Demgemäss sei

(2-)

Rn(f) —f‘{%) (u0 + Mi -f- «2 + * ’ ' 4* WH_t),

oder (2 a.)

f‘{f) — Wo + Wl + ^2 + • • • + Wn—i -j- Rn(x). Daraus folgt

Da sich aus Gleichung (2.) ergiebt, dass auch Rn(x) für die betrachteten Werthe von x eine stetige Function ist, so kann

b

man

für die Berechnung von fRn(x)dx den in Formel Nr. 142

a

der Tabelle ausgesprochenen Mittelwerthsatz an wenden, nach welchem b

(4.)

fRn(x)dx — (b — a) Rn[a    0{b — d) ]

1

ist. Nach Voraussetzung wird aber RJx) für alle Werthe von x zwischen a und b beliebig klein, wenn n (gleich oder) grösser als m ist, folglich wird auch Rn[a + Q(b — «)], und da b — a

b

Man

eine endliche Grösse ist, auch /Rn(x) dx beliebig klein.

a b

findet also Jf\x)dx, indem man die einzelnen Glieder der Reihe

b

man

Wo, Wi, W2, .

bei Berücksichtigung von n Gliedern vernachlässigt, wird für hinreichend grosse Werthe von n beliebig klein. Dadurch erhält man den folgenden

Satz. Sind die Functionen w₀, wt, w₂, w₃,.. . für alle Werthe von x zwischen a und b stetig, und ist die Reihe

f‘{x) = Uq -f Ul + W*J -j- W3 -f- • • •

.. integrirt, denn der Rest / Rfx) dx, welchen

in dem betrachteten Intervalle gleichmässig convergent, so ist auch die Reihe

0    b    b

)uödx -\- f u^dx -f- Ju₂dx -p • • •

in diesem Intervalle gleichmässig convergent, und ihre Summe ist

h

gleich Jf\x)dx.

Dabei darf man noch die obere Grenze mit x bezeichnen, so dass sich ergiebt

X    XXX

(5.)

Jf‘(x)dx —J u§dx +fuydx Ą- fu₂dx + • • • .

Dieser Satz hat schon in der Differential-Rechnung bei der Methode der unbestimmten Coefficient en Anwendung gefunden (D.-R., § 41).

Damals setzte man

(6.)

f (x) = A    A\x    A₂xl -j- A3X³ -f- • • • -f- Anxn -f- R}

also

dR

(7.)    f‘{x) = Ai -j- 2A₂x -f- 3A3X? -(-•••-}- nAnxn~~l -j- ^

Wie die Gleichung (7.) aus Gleichung (6.) hervorgeht durch Differentiation der einzelnen Glieder, so findet man umgekehrt die Gleichung (6.) aus Gleichung (7.) durch Integration der einzelnen Glieder zwischen den Grenzen 0 und x, und zwar erhält man dadurch f(x) —/(0), woraus sich für A der Werth ,/(0) ergiebt. Dabei erhielt man den Satz: Ist für hinreichend

dH

grosse Werthe von n die Grösse—j— beliebig klein, so gilt dasselbe auch von R.

Man erkennt, dass dieser Satz nur ein besonderer Fall des eben bewiesenen Satzes ist, denn, während es sich damals nur um Potenzreihen von x handelte, sind jetzt w₀, ui, u₂,... beliebige stetige Functionen von x.

Die Beispiele, welche bei der Methode der unbestimmten Coefficienten in der Differential-Rechnung gegeben wurden, nämlich die Entwickelung von x¹ xa x*

(8.) 1(1+*) =

(9.)    arct gx =

(10.) arc sina: = - +

2    ' 3

• • • für — 1 S a; ^ + 1,

xz xh x¹

3    "o y⁺

xz 1.3 a:⁵    1.3.5a:⁷

3 ⁺ 274 5 ⁺ 2.4.6 7 '^

für — 1 ^a:^ + 1

nach steigenden Potenzen von x, eignen sich daher auch als Beispiele für den vorliegenden Satz.

Aufgabe 1. Man soll die Länge des Bogens bei der Lem-

niscate

(11.) r² = a²cos(2(f) berechnen (Fig. 102).

Auflösung. Aus Gleichung (11.) folgt

rdr = — a²siü(2(p)d(f,

Fig. 102.

(1

oder

(12.)

d(p

dr

a²sin(29)

i-i

r⁴

=i +

^•4

a*

(14.)

ds =

a²dr

Y a⁴ — r⁴

«⁴sin²(2<p)

/I

«⁴-r4 a4-rA ’

y a⁴—r⁴

Setzt man

r — at, also dr — adt,

so wird

(15.)

/ dt

"Jn

— t⁴

(16.)

Da t² Sk 1 ist, so wird nach dem binomischen Lehrsätze

1.3.5

^ = (1-^ = 1 +1*4

^⁸4

2.4.6

Ü¹²H----,

also

Cc

^ I iO

th In

CO

to

\d

CO

ÎD

CO

1.3.5 r¹³

fr 1 r⁵ 1.3 r⁹

2 5a⁵ "~2.4 9a⁹ ' 2.4.6 13a¹³

->

Aufgabe 2.

/_dx

J 1 “

j y i -\- xz

0,5

(18.)

Auflösung. Nach dem binomischen Lehrsätze ist

⁼¹-7’⁺

(1+«⁸)

1.3.5

—-rXi] -|-----

]/l -j- x³

so lange—1 <x <+1 ist. Deshalb kann man diese Entwickelung nur benutzen, um

2.4

2.4.6

1—y

I dx _ y r_dx

J Vl -f x³ y=o J yi + *3

0,5 f    0,5

zu berechnen; dabei findet man aus Gleichung (18.) Ç dx _

J y i + x³

0,5

(19.)

U⁴ 1.3a:⁷    1.3.5 z¹⁰

2 4 ⁺ 2.4 7    2.4.6 10

Da die Reihe in der eckigen Klammer auch noch für x — 1 convergent bleibt, so erhält man

lim

y=0

-jl-y

Jo,5

«/é-‘

0,5

-1+ ¹

1.3

2.4.

1.3.5

2747 7lÖ

1.3.5

--1----.

2.4.2⁴

Die Entwickelung in Gleichung (18.) gilt nicht mehr, wenn x >1 ist. Nach dem binomischen Lehrsätze wird aber, wenn I à I > I a I ist,

2.4.7.2⁷

2.4.6.10.2¹⁰

(21.) (a+b)m = bm +    + Ç^a²bm~² +

a³bm~³-\----.

Setzt man also in dem Falle, wo x > 1 ist, a — 1

b = x³,

so wird die Bedingung-, dass j b | > | a sein soll, erfüllt, und man erhält

(2-2.)

(23.) (1 +£⁸)m=;B3m + G^.r³"‘⁻⁸-f-t^\p

3m—6

+ ('>

also für m = —

(24.)

yi+x* j/x³

Dies giebt

(25.) frJt

= lim

y i + x³ <i=o

LnS I I-¹

1    ,1.3    1

yô? 2.4 yxt5

1.3.5    1

2.4.6

oder

r r dx i ç c

U y x³ 2/ i/

C dx

J i

i+i

i+i

dx 1.3 dx

Yx» %-V Vzß

1.3.

lO CO

l+l

Y%²

v21

-]

1AÏ 2

lYx¹ 2.4i ayp

?=+

rH I (M

= lim

1=0 _

1.3*.

2.4.6 i9y^ïo

Da die Keihe in der eckigen Klammer auch noch für x=l convergent bleibt, so erhält man

(27.)

J Yi + x³

YY+x³

Yx

tO :

i+l

(\ —ł _ł--1_

V 2 7.4³ '

1.3    1

2.4 13.4⁶

1.3.

2.    .    19.4° ⁺    ■")

__^^+-

2.4.13    2.4.6.19 ~

+ 2(1_2+ ⁺

Durch Addition der Gleichungen (20.) und (27.) erhält man schliesslich das gesuchte Integral

(28.)

r dx _r

Jyr+nß~J]

dx

dx

0,5

0,5

y i -f- x³

y i -f- x³

§ 52.

Berechnung der elliptischen Normalintegrale erster und zweiter Gattung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 144 bis 151.)

Das in dem vorhergehenden Paragraphen angegebene Verfahren kann man auch zur Berechnung der elliptischen Normal-integrale erster und zweiter Gattung benutzen. Das elliptische Normalintegral erster Gattung, auf welches sehr viele Aufgaben der Geometrie, Physik und Mechanik führen, hat die Form

dx

Y ( 1 —x²) (l — k²x²)

wobei k² < 1 und x ^ 1 sein mögen. Dann erhält man zunächst nach dem binomischen Lehrsätze

= 1 + ^ k²x² 4-

Li

(1.)

y\—k²x²

oder, wenn man der Kürze wegen

2.4

1.3 . 2.4.6

(2.)

Ci =

rH Ol

• • • Cfi —

1.3.5 ... (2n — 1) 2.4.6 .77(2in)

setzt,

(3.)

y i—k²x²

= 1 + C\k²x² -f- c-i&x* -f- czk*x* -(-•••,

(4.)

]/( 1—#²)(1—k²x²)    y 1—x²

-\-C\k²

X²

y î—x²

y î—x²

+ csk⁶

y i—x²

Da diese Reihe zwischen den Grenzen 0 und x gleich-massig convergent ist, so wird

n=co    /'

x2ndx

a⁴ć/a

xedx

(5.)    f-___

J 1/(1— a²) (1 — k?x²)

ć/a

/' r/a

7‘

]/l—a;²

x²dx

+ c₂^⁴ / - ________

■ J y i—x²

0

+    j -

J yi—x²

0

⁺ £ CJHy^

0

Nun ist aber nach Formel Nr. 72 der Tabelle

(6.)

* x'2ndx

1/1 — a²

= e„arcsina:— Gn{x). ]/l — a²,

wobei

CiX,

G ,(a)

G₂(x)

x³ . 3 .X

C₂

/ 1 X³ x\

V*1 a ⁺ l)

G₃(x)

6.4

6.4.2

/la:⁵,    1 X³ X\

C3U 5 +Ą3 ⁺Ï7’

allgemem

₍₇ N r /r\ — x2n'¹ I (2w~¹>2n~³ ,

2ra (2n)(2n—2)

(2 n—l)(2w—3)... 3. a

(2n) (2n — 2) ...4.2

1    ™2n—3

- + ———-

1    cM_2 2« —3

1 a³ a\

cs+rb

/    1    a²“-¹

2n—

Deshalb erhält man

(8.)

c/a

/v(l—a²)(l —£V)

/    «=oo    \

= ( 1 -f- 2 c²ä2m J arcsina y 1-a:² 2 CnkinGn{x).

Von besonderem Interesse ist der Werth dieses Integrals, den man für x = 1 erhält und mit K bezeichnet. Es wird nämlich

(90 & =J:

dx

y(l — x¹) (1— Tclx²)

i-J

dx

= lim /________

i*=oJ l/(i—Ą( 1—Æ²#²)

= 2"(¹ + 1^”)

oder

Noch häufiger wird man durch Aufgaben aus der Geometrie, Physik und Mechanik auf elliptische Integrale zweiter Gattung geführt, die man auf die Normalform

J Vl—x²

0

bringen kann. Hier wird nach dem binomischen Lehrsätze

k*x*

/fix®— • •

2.4.6

2 .4

(11.) Vl — k²x² = 1 —\k²x² —

£

k²x²

kixi

C'~l--C2~3~

k⁶xe

c* T

oder

(12.)

n=oo L2nT'2 n

2n— 1

Y1 — k²X² = 1 — £ Cn

n=l

also

Yi — k²x² ___i

|/i—y i—x²

Da diese Eeihe zwischen den Grenzen 0 und x gleichmässig convergent ist, so erhält man

(13.)

n=

-2

oo n V2n

- Csfi/is

x2n

11—1

2n—l yi — x²

Vl — k²x²

yi—x²

0 '

_ r dx

J y i—x²

_?° cnk2n i' x2ndx

ài 2n—\)yyz^xi 0

n=

also nach Formel Nr. 72 der Tabelle, nämlich nach Gleichung (6.),

(15.)

_ A _”g°

V »—i 2w—

i)

arcsine

“    r„J?"

H— 1

2rc—

, G„0).

Für a; = 1 ergiebt sich hieraus der Werth des Integrals, den man mit E bezeichnet, nämlich

(15a.)

yi — k²x² 7 dx

I Vl—x²

0

S3

n=

o° c lc2,1

w=l

l)

05 h->

— Ci²/;² -

c₂²^⁴ —

Auf ein solches Integral wird man z. B. bei der Rectification der Ellipse

(16.)

b²x² -f- a²y² — a²b² = 0 geführt (vgl. Aufgabe 2 in § 19). Aus Gleichung (16.) folgt nämlich dy

(17.)

bx

dx

«]/ a²-— a;²

\dx)

a⁴ — e²#2 a\a² -— X²) ’

also

(18.)

1 ydx\/ai — e²x²

⁶ ~ aJ T/a² — xl

o

Setzt man jetzt

(19.)

a; = a^,

so wird

(20.)

<&y 1 — /t;²^²

yr=T²“ ’

wobei die Bedingungen

(21.)

t 1 und £< 1 wirklich erfüllt sind. Der Bogen s wird also, vom Factor a abgesehen, dem in Gleichung (15.) berechneten elliptischen

§ 52. Berechnung der elliptischen Normalintegrale. Normalintegral zweiter Gattung- gleich, nur muss man die Integrations-Veränderliche x mit t = vertauschen.

296

Die in den Gleichungen (8.), (10.), (15.) und (15a.) angegebenen Reihen convergiren nur langsam. Für die numerische Berechnung sind daher die folgenden Entwickelungen geeigneter. Es ist bekanntlich

also

oder

(22.)

(I) + 2cos»(|)Sirf (“) + sin‘ (f) = 1,

(!)+sin4(D=i“4sin2“-

[cos²(f) + sin-^0 •    • [cos²(|) + sin²^ •

(f)+ sin‘ (2)+cos’(f)sin,(f) • ^e

cos²

cos⁴

cos⁴

Daraus folgt

= cos⁴

-2

</>«')

= 1 + ^sin²a(e²vJ — 2 + e-2f/>') — 1 —sin²« sin²«/;,

oder

(23.)    1 — sin²« sin²«/’ =

cos⁴

Wenn « zwischen 0 und ^ liegt, so ist tj

dem ist der absolute Betrag von

e±2<pi — cos(2«/>) dz isin(2(p)

cos²(2</>) -f ńni(2(f ) = 1 ; folglich kann man

<1 ; ausser-

. g+2(pi

und

1+tg2(i)’

Indem man diese beiden Gleichungen mit einander multi-plicirt und dabei die Regeln anwendet, welche (in D.-R., § 49 und 135, vergl. auch D.-R., Formel Nr. 75 der Tabelle) für die Multiplication zweier unbedingt convergenten Reihen ^0 + u\ + ui + * • • und üo + ®i + *2 + • • *

gegeben worden sind, so erhält man, weil

eto* + er-W = 2 eos(/Uf)

ist, die Gleichung

(1 + e²e²⁽P,yn( 1 -f t²e~2,i>i)m =

(24.)

1 +(T)£2 ’ 2cos(²^)+£4[(2)2cos(4y) +(7)]

[(;)2cos(M+(7)(;)2cos(2y)]

+ 4(7)²cos(8,) +(7)(7>2cos(4*) +(;)²]

¹⁰ [^) 2 c°s(¹⁰^) + C^) (^) 2 c°s(⁶^) + Q)(g)²cos(2yj]

oder, wenn man die Glieder vereinigt, welche mit cos(2/^) multi-plicirt sind, und Gleichung (23.) beachtet,

(25.) (1 — sin²« sin²^)w = A₀ + 2^4iC0s(2</>) -f- 2^4₂ cos(4</>)

-f 2-4₃cos(6y) -j- • • •.

— 1 setzt.

nach dem binomischen Lehrsätze entwickeln und erhält, wenn

mit e bezeichnet,

man der Kürze wegen tg

Li| £

(1 + éW»')”* = i +^)«W+ (?2 ) eiei<pi + (”&)

2<pi    ć⁴e—⁴<p«    ć⁶e_6v‘ -(-•••.

(1+    = 1 -f

t¹e~

ć⁶⁶<p*-\----,

Dabei wird, wenn man

«.M..    ₊C)-+0-+G)

"(i) £(;)’••

= COS

•]

(»o a —‘■(iXCy⁺(")(’)•■+G)G)

(2) „?₀ w(»+i)

"©[(")•'⁺(T)Ö‘‘⁺G)G)

\2/ â wv*+2y

(§)[©--K7X,«)

£¹⁰-f • • •

= COS

^2 +4*1

(28.) A-2 = cos

ć12₊...

= COS

£⁴+4h₅

allgemein (29.) Av — cos

4 nt

ć2r+4

©c«)

€2v+8    ----

,.©v7*V “ \

\2/ Ćo V»A"+»/

g2v+4w

= COS

Wenn e = tg hinreichend klein ist, so sind die Grössen

A durch stark convergente Reihen ausgedrückt.

Die durch Gleichung (25.) dargestellte Reihe ist gleichet!

massig convergent, so dass man / (1—sin²« sin²<p)md(p erhält,

ö

indem man die einzelnen Glieder der Reihe integrirt. Dies giebt

<p

(80.)/(I —sin²« sin²</>)"‘f/</) —

ö

A₀fp + y sin(²<p) + A> sin(4cp) + — sin(⁶9P) H----•

In dieser Formel sind auch die elliptischen Normalintegrale erster und zweiter Gattung als besondere Fälle enthalten. Setzt man nämlich

(31.)

x = siny, >I = sin«,

also

(32.)

dx — cos (pd(f: ]/1 — x² = cos (f,

so wird

(33.)    f/d*= f-_

J ]/(l — x²) (1 —k²z²) J y 1 — sin²« sin²y

dy

F{k, y)

und

;__________________

= ly 1 —sin²«sin²r/-. dy = -E(Æ, y).

o

(34.)

M-w,.

7 ]/i — x²

o

Zur Entwickelung des elliptischen Normalintegrals erster Gattung F{k, y) hat man daher in den Gleichungen (24.) bis (30.) m = — zu setzen und erhält

T“I I Ol

— — Ci

t—¹

— + c₂, . . .

O-

1.3... (2»— 1) _ 2.4... (2w)

=c er

setzt man in diesem Falle -4o = a0; so geht Gleichung (3.) über in

</>

/j/l — sin²« sin²f/)

Y sin(2<jp) + j sin(4y) — j sin(6y>) +----,

wobei nach Gleichung (26.) bis (29.), wenn man c₀ = 1 setzt,

(36.) F(k, y)

= a₀y —

(37.) «o =

cos²i

dy

(1 + Ci²ć⁴ + C₂²6⁸ + C₃²£¹² H----)

71= OO

= (1 + *²) 2

M=0

(38.) «i =

COS'

tsSI R

(Ct£² + Oy C₂ £⁶ + C2C3Ć¹⁰ + • • •)

71=00

= (1 + <*!) 2 c„c„₊₁e²⁺¹”,

»=0

= (1 + fi¹) 2 cncn+2e*+*n,

w=0

Allgemein ist

w=oo

(40.)

(39.) «₂ =

(C₂é⁴ -f CtC₃6⁸ -f- C0C4Ć¹² • • •)

C0S¹|

ar = (1 + e¹) 2 cncv+na2v+in.

n—0

Man braucht aber nur a₀ und at durch diese Reihen zu berechnen, denn aus der Gleichung

(41.)

Y1 — sin¹« sin¹y

folgt durch Differentiation sin¹« siny cos<p V(l—sin¹« sin¹r//);

(42.)

a₀ — 2alCOS{2(p) -f- 2a₂COS(4</>)

— 2a₃cos(6y) H-----

= 4a₁sin(2<jp) — 8a₂sin(4^)

-f- 12«3 sin(6<p) —

Wenn man beide Seiten dieser Gleichung mit

(43.)

2(1 — sin¹« sin¹r/>) _ 2 — sin¹« -f- sin¹«cos(2y) sin¹«    sin¹«

+ cos(2y)

(44.)

l/T

multiplicirt und der Kürze wegen 2 — sin¹«

sin¹«

(45.)

= — (— 4«x£ + 4a₂)sin(2y)

+ (2at — 8«^ + 6a₃)sin(4y)

—    (4a₂ — 12 a₃£ + 8a₄) sin(6<jp) (6a₃ — 16«4Ü -f- 10^5) sin(8^p)

—    +.........

setzt, so erhält man, weil 2sin(2/f/>)cos(2r/>) bekanntlich gleich sin(2A -f 2)(p -j- sin(2A — 2)<p ist, sin (2 cp)

Y1 — sin¹« sin¹ cp

Andererseits ergiebt sich, indem man Gleichung (41.) mit sin(2(/>) multiplicirt und die bekannte Formel

2sin(2</>) cos(2/r/>) = sin(2/ + 2)(p — sin(2/ — 2)y

anwendet,

(46.)

sin(2<£>)

Y1 — sin²« sin'² y

= — (a? — tf₀)sin(2<p) + (a₃ — a₁)sin(4^) —(a₄—a₂)sin(6y) + (a₅—a₃)sin(8f/)— -\ .

Aus der Vergleichung der Coefficienten in diesen beiden sin(2</0

Y1 — sin²« sin² ff

Entwickelungen von

findet man

a₂ — a₀ —

«3 — «1 = 2«i

«4 — «2 = 4a2 «5 — «3 = 6a₃

—    ’ 4at£ -f- 4a₂ 5

—    8ö₂s +    6a₃,

—    12a₃£ -f- 8a₄, - 16c?4Ç ~(- 10«5,

folglich wird

«o,

(47.)

5a₃ = 8a₂£ — 3ay, 7a₄ = 12a₃£

5a₂,

9a₅ = 16 a₄£ — 7o₃,

allgemein erhält man also für n ^ 2

(48.)

(2ra — l)aM = 4 (n — l)a„_i£ — (2 n — 3 )a„_₂.

Zur Entwickelung des elliptischen Normalintegrals zweiter Gattung muss man, wie aus Gleichung (34.) hervorgeht, in den

Gleichungen (24.) bis (30.) m = +

to I I-¹

setzen und erhält

,, ^ , /m\    1    / m\

m-> (x)=2’(₂) =

2 .4

§ co

2.4.6

allgemein

(50.)

1)

11 — 1

2 71

Setzt man in diesem Falle

(51.) A₀— A\ — + ^t, A-2 — — b<i, A%— + Ó3, ...An—(    1)M lbn,

so gehen die Gleichungen (25.) bis (30.) über in (52.) ]/l—sin²«sin²<p = b₀ + 2ötcos(2y) — 2ö₂cos(4y)

+ 26₃cos(6^>)--b • • - ,

<p______

(53.) E(k, (p) — f ]/l — sin²«sin²</>. dy

0

= b₀(f + ysin(2^) —^sin(4^)) + ^sin(6y)--1----.

Dabei ist nach Gleichung (26.) b₀ = cos²

(54.)

é⁴

ci²

2²

42

£⁸ +

C-2² ,, . -£¹² + •

6²

-)

■>

i /    m=oo A rin

⁼ l + £² (¹ + £⁴M?a(2^+2)

Man kann aber die Grösse b₀ auch durch a₀ und av aus-

drücken. Es ist nämlich nach den Gleichungen (37.) und (38.)

(37 a.)

«o

= (1 + «*) 2 ei«⁴" = (1 + s²)(l + «‘ 2 4+i«‘" )

\    n—0    /

n=0

n=oo

(38 a.)

«1 = (1 + É²) «² 2 c*Cn+ i£4w;

ti=0

ferner ist

(55.)

k¹ = sin²« ==

4tg²

4«²

(1-h*²)²’

(56.)

_ 2(1 + ć⁴) (1 + £²)² '

Daraus folgt

(57.)

(2-^)0. = ^

1 + £⁴ 2 (cn+1 + Cn)£⁴ ‘

(58.)

k²ai

2ć4 M=°°

1+ £²

2 2cMcn+1£4n,

n=0

also

(59.)    (2 — tf)a₀ — ä²«i =

O r    n=oo

i+pb + ^S^-^⁴“]-

Nun ist aber

2w + 1 2w + 2

deshalb geht Gleichung (59.) über in (61.) (2 — k²)ao — k²ai =    1 + £⁴ 2

(60.)

^n+1 —

Cn

2» +2 ’

n=oo

w=0

(2 n + 2)2 £

-ln

— 2Z»₀.

Auch die anderen Coefficienten bu b₂, b₃,... kann man sehr einfach durch die Grössen a₀, ah a₂,... ausdrücken. Durch Differentiation der Gleichung (52.) findet man nämlich

— 4è!sin(2<p) + 86₂sin(4<p)

(62.)

sin² u siny cosy

Y1 — sin²« sin²y

— 12ö₃sin(6y) + -----;

ausserdem folgt aus Gleichung (46.)

sin «smycos^ _ * ^ __ ^ gin( 2(p)—(a₃—at) sin(4y ) y 1 — sm²« sm²y    *

+ (ai — a2) sin(6y)--f- * * •] >

(63.)

folglich erhält man

8bi = k²(d₀ — a₂),    16ö₂ = k²{av — a₃),    24è₃ == Æ²(a₂ — 0-4),. .

allgemein

(64.)

Setzt man also

«0 — «2 = 2². Bi,

allgemein (65.) so wird

«i — a₃ = 4². B₂,

a-2 — ö₄ == 6². B₃,..

dn— 1    ®m-|- 1 — (2ä)²-Z?h>

X;²

Äs    w Ô3

T-Y,jB2,T ⁼

• B₃ > • •

• Bn »

(66.) &t = -

folglich geht Gleichung (53.) über in

f _

(67.) Ifyfc, (?) =J]/l — sin²«sin²y . d<?

0

k²

= ko (? + — [2?isin(2y) — Æ₂sin(4y) + #₃sin(6y)--1----].

Von besonderem Interesse sind die Werthe der beiden Integrale jF(k, </>) und E(k, (f) für tp = ™

die man bezw. mit IT und

E bezeichnet. Nach den Gleichungen (36.), (53.) und (61 ) wird

(68.) K

drp

J'y 1 sin²« siirfy

a₀7T

⁼ ~2~ ’

(69.) E

= J'y 1 —sin²« sin²y . d(f = ~~

0

= ~[(2—i⁸)«*—**«,].

Beispiel.

Die angeführten Reihen convergiren um so schlechter, je mehr sich k = sin« dem Werthe 1 nähert. Wenn also in dem folgenden Beispiele

(70.)

k = 0,8, £ =

= 0,5

gesetzt wird, so möge hervorgehoben werden, dass die Rechnung für kleinere Werthe von k noch einfacher wird. Hier erhält man

1 + ć² = 1,25 (1 + £2)fi2 — 0,3125 £⁴ = 0,0625 ć8 = 0,0039 0625

£¹² = 0,0002 4414 e¹⁶ = 0,0000 1526 £2o ₌ 0,0000 0095 ć24 = 0,0000 0006;

ferner ist

er = 0,25 c₂² = 0,1406 25 c₃² = 0,0976 5625 c₄² = 0,0747 6807 c₅² = 0,0605 6214

c,c₂ = 0,1875 c₂c₃ = 0,1171 875 c₃c₄ = 0,0854 4922 e₄c₅ = 0,0672 9126 e₅c₆ = 0,0555 1529 e₆c₇ = 0,0472 5409.

Daraus folgt

(71.) a₀ = (1 + £²) (1 + ct²£⁴ + e₂²£⁸ -I----) = 1,2702 4920,

(72.)    «! = (! + *²)a\ci + cie₂£⁴ + c₂c₃£⁸ H----) = 0,1600 6202.

Aus den Gleichungen (47.), nämlich aus den Formeln (73.)    3a₂ = 4«i£ — «₀, 5a₃ = 8a₂£— 3at, 7a₄=12a₃£— 5a₂,..

_ 2 — k²_2 — 0,64_17

0,64

wobei (74.)

ist, lindet man

(75.)

a-2 = 0,0300 9265 «₃ = 0,0062 7780 ß₄ = 0,0013 7439 «5 = 0,0003 0941 a₆ = 0,0000 7093 a-t = 0,0000 1647

a₈ = 0,0000 0386 «₉ = 0,0000 0091

a₁₀ = 0,0000 0021

an = 0,0000 0005 an = 0,0000 0001.

Es darf nicht verschwiegen werden, dass man diese Werthe aus den Gleichungen (47.) nur dann findet, wenn man noch einige Decimalstellen mehr berücksichtigt. Bei derartigen recur-rirenden Formeln werden nämlich die Fehler, welche durch die Vernachlässigung der folgenden Decimalstellen entstehen, im Allgemeinen bei jedem späteren Gliede grösser. Wenn z. B. die letzte Decimalstelle in a₀ und ay auch nur um 2 Einheiten unsicher ist, so wird in der Gleichung

3a₂ = 4    — a₀

ax (und deshalb auch der Fehler von at) mit 4£ = 8,5 multiplient, so dass 3a₂ um 19 Einheiten, a₂ selbst um j Einheiten in der letzten Decimalstelle unsicher ist. Die Grösse a₃ wird um etwa 23, a₄ um etwa 172 Einheiten unsicher. So steigert sich die Unsicherheit mit jedem späteren Gliede ausserordentlich schnell, weshalb die vorstehenden (Resultate nach Gleichung (40.), nämlich nach der Formel

31=00

av = (1 + £²) 2 cncy+ne2v+in

n=0

berechnet sind. Sodann findet man aus den Gleichungen 2b₀ = (2 — k²)a₀ — k²ay = 1,36 . a₀ — 0,64ßi,

4i?i = ßo — ß₂?    16R₂ ⁼ ü\ — ß₃,    36 Z?₃ = ß₂ — ß₄,...

bo = 0,8125 4961 B\ = 0,3100 3914 , i?₂= 0,0096 1151 R₃ = 0,0007 9773 l = 0,0000 9326 Daraus folgt dann

i?₅ = 0,0000 1303 BG = 0,0000 0203 R- = 0,0000 0034 Bs = 0,0000 0006 B₉ = 0,0000 0001.

(76.

(77.)

(78.)

— F (k,    ) = ^ = 1,9953 0278,

E = £ (X

ü:

= 1,2763 4994.

Li

Soll z. B. bei der Rectification der Ellipse mit den Halb-

axen

a = 10, ô = 6

der Quadrant q berechnet werden, so erhält man e = 8, also

ß

k = — = 0,8 und nach Gleichung (20.)

(k,    )= 12,7634994.

«>Oi 3

(79.)

dtVT^W

—--...............— =aE

Vi—p

Zur Prüfung dieses Resultates beachte man, dass der Quadrant des Kreises mit dem Halbmesser a gleich 15,7079 633, und der Quadrant des Kreises mit dem Halbmesser b gleich 9,4247 780 ist.

§ 53.

Differentiation der Integrale.

( Vergl. die Formei-Tabelle Nr. 152—154.)

Nach Formel Nr. 4 der Tabelle war ein bestimmtes Integral durch die Gleichung

(1.)

F=ff‘(x)dx =/(*) — /(«)

erklärt worden. Man kann daher F als eine Function von a und b betrachten und erhält

(2.)

dF

ÖF

da ~~    db

=/m

also

(3.)

b

dF — dff‘(x)dx — — f‘(a)da -f f\b)db.

a

Ist die Function unter dem Integralzeichen ausser von x noch abhängig von einem variablen Parameter t, ist also

(*0

b

f‘(x) = (p(x, i), F—J(f(x, t)dx,

so ist auch das bestimmte Integral F eine Function von i. Die Integrationsgrenzen a und b seien. zunächst unabhängig von t, dann wird F übergehen in F + JF, wenn t um Jt wächst, wobei

(5.)

F -f- JF=f<p(x, t -j- Jt)dx

ist. Aus den Gleichungen (4.) und (5.) folgt daher

b    b

JF—J (p(x, t -f- Jt)dx— f (p(x, t)dx,

(6.)

b

— f [(p(z, t + Jt) — (p(x, l)]dx,

(?•)

JF

Jt

b

-/

(f{x, t Jt)- (f(x, t)

Jt

dx ;

folglich erhält man, wenn Jt verschwindend klein wird,

(8.)

dF

dt

t)dx

b

rd<p(x, t)

7 dt

dx.

Sind die Integrationsgrenzen a und b gleichfalls Functionen von t, so wird nach D.-R., Formel Nr. 136 der Tabelle

dF _dF da dFdb dF dt da dt db dt dt

(9.)

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (2.) und (4.)

dF

<¹⁰-) nt

=47

\x

,    . da ,₇    . db /

= -<p(a,1).Tt+<p(b,t).Tt+ j

b

'd(p(x, t)

dt

dx.

Ist F das unbestimmte Integral einer Diflerential-Function (f(x, t)dx, welche noch einen variablen Parameter t enthält, so kann die Integrations-Constante C gleichfalls noch von dem Parameter t abhängig sein, so dass man erhält

(11.)

F=/(f{x, t)dx + \p(t),

wobei i/7*D eiRe banz beliebige Function von t ist. Wächst t um 4 t, so geht F über in

(12.)

F -(- JF = f (f(x, t + 4t)dx + ip(t F 41) ;

folglich wird

(13.) 4F — f [(p(x, t + Jt) — (f(x, t)]dx + \p(t -f Jt) — ip(t),

also

(14.)

dF

JF

'd<p(x, t)

=7

lim

Jt=o

Da xp(t) eine ganz beliebige Function von t ist, so gilt dasselbe von    d. h. 770 spielt auch in Gleichung (14.) die

Rolle einer beliebigen Integrations-Constanten, so dass in Gleichung (14.) der Satz ausgesprochen ist: Ein unbestimmtes Integral wird nach einem variablen Parameter differentiirt, indem man die Function unter dem Integralzeichen nach diesem Parameter differ entiirt.

Jt

§ 54.

Berechnung der Werthe von einigen bestimmten Integralen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 155, 155a und 156.)

Zur Berechnung eines bestimmten Integrals ist es nicht immer erforderlich, vorher das unbestimmte Integral zu ermitteln; es sind dabei vielmehr häufig Vereinfachungen möglich, wie man aus den folgenden Beispielen ersehen karni.

Nach Formel Nr. 65 der Tabelle ist

(1.) I cos2nxdx = sinz ^ cos2n-1.r -f

2n(2n — 2)

r COS2,i_3iC + • • *

(2n—1) (2n—3).. . 5.3

2n(2n— 2) ...6.4.2

cos iS +

(2n—l)(2w —3) ...5.3.1 2n(2n— 2) ...6.4.2

da nun

(2.)

sin 0 = 0, cos

ist, so wird

_ (2» — 1) (2n — 3) ... 5.3.1 ~    2n(2n — 2)... 6.4.2

In ähnlicher Weise ergiebt sich aus Formel Nr. 67 der Tabelle, nämlich aus

(3.)

cos 2nxdz

(4.) ß

sin2na:cfe =— COS:s

[ß- sin2w-1;r4 L2 n

2n{2n — 2)

sin2H_3;r + • • •

sina:J

2n{2n — 2) ... 6.4.2

(2n — 1) (2n    3)... 5.3

2n(2n — 2)... 6.4.2

(2n—1) (2n—3) ...5.3.1

das bestimmte Integral

(5.)

sin2nzdx

_ (2n — 1) (2n — 3).. . 5.3.1 _ 2n (2n — 2) ... 6.4.2

Ins 5)

Integrale; man findet vielmehr weit einfacher aus Formel Nr. 64 der Tabelle, nämlich aus

- / cos-n~²xdx.

¹ cos2w_!-rsin.r -f

(6.) J20S2nxdx = ~2n

das bestimmte Integral

(7.)

y

J'c,OS2nxdz = o

2 n — 2«

7t

■/

0

cos

‘ln—2

xdx,

weil das erste Glied auf der rechten Seite von Gleichung (6.) an der oberen und an der unteren Grenze verschwindet. Indem man n mit n — 1 vertauscht, geht Gleichung (7.) über in

7t

7t

(8.)

cos ïn~-xdx =

2

If

0

co$-n~⁴xdz.

Formeln

In dieser Weise kann man fortfahren, bis man endlich die

7t

(9.)

j COS⁴ xdx

o

71

y

=    j30S ²xdx,

o

7t

7t

(10.)

COS² xdx

=    Jiix =

o

ts i 1--

erhält. Aus diesen Gleichungen ergiebt sich dann wieder dasselbe Resultat wie in Gleichung (3.).

Ebenso liefert die Formel Nr. 66 der Tabelle die Glei

chungen

71

7t

(11.)

si n2nxdx —

- J sin2n-²xdx, 0

7t

7t

(12.)

sin2»-2 xdx =

2

^ jsin2n~*xdx, 0

71

Rin

(13.)

j sin*xdx = J sin²xdx, 0 0

71

7t

(14.)

sin²xdx

= \fdx =

0

toi I-¹

Aus diesen Gleichungen ergiebt sich wieder dasselbe Resultat wie in Gleichung (5.).

betzt man in Formel Nr. 64 der Tabelle m = 2n + 1, so erhält man

(15.)

/ cos in+lxdx =—- cos2M;csin# +

J    2n+ 1

I co$?n~lxdx, J

also

71

71

(16.)

cos2,i+G<fo =

2n + 1

COS2M~Grfo.

Ebenso wird

71

7t

(17.)

cos 2n~lxdx =

2rc —

2/ï —

2 /'

— / cos²”⁻³xdx,

71

(18.)

cos ^xdx

(N ICO

COS xdx —

I PK =

osi to

folglich wird

7t

/cos 2n+ïxdx

(19.)

2n (2n — 2)... 4.2

~ (2n + 1) (2n — l)7. .5.3.1 Ebenso findet man aus Formel Nr. 66 der Tabelle

(20.)

sm-nrlzdr =

2n(2n — 2) ... 4.2 (2n + 1) {2n — 1)... 5.3.1

In ähnlicher Weise liefern die Formeln Nr. 124 und 127 der Tabelle, nämlich die Gleichungen

(21.) j sin'^cos’Wa;

—-— sin,,J_Gcosw+¹a: mĄ-n

m - / sinm_2^cosMic^,

m -f- nj

(22.) j'$mmxç,OSnxdx =

m -j- n

sinm+G cosn_G

n_i f

---— / sinm:rcosM-²2<£r,

m -f- nj

rt

ein einfaches Verfahren für die Berechnung von sinw.r cosnxdx.

0

Aus Gleichung (21.) folgt nämlich, wenn m > 1 ist,

7t

7t

(23.)

/■

o

sinm£ cos nxdx —

Y

/ sinm~%COSH:räfe.

V

0

Jenachdem m gerade oder ungerade ist, wird durch wiederholte Anwendung dieser Vereinfachung das gesuchte Integral

7t

schliesslich entweder auf das bereits ermittelte f cosnxdx,

o

oder auf

7t

(24.)

cos”# sin xdx — —

~COS”+¹;r I _    1

_ n + 1 Jo n + 1

zurückgeführt.

Aus Gleichung (22.) folgt, wenn n > 1 ist,

71

71

(25.)

sin’"« cos"« dx = -

-h

m + nj

o

sin'"« cos"⁻²«^«.

Jenachdem w gerade oder ungerade ist, wird durch wiederholte Anwendung dieser Gleichung das gesuchte Integral schliess-

71

~2

lieh entweder aut das bereits ermittelte f sin”'«c/«, oder auf

(26.)

2

j\sin”'« cos«rf« =

0

sinH1+1«

**1 a

1 =

Jo m-i

zurückgeführt.

Diese Resultate kann man auch zur Berechnung⁻ der Zahl

Tt

n benutzen. Es ist nämlich für 0 ^    —

Li

sin²"⁺¹« ^ sin²”« S sin²"⁻¹«, also nach den in § 48 ausgeführten Sätzen

(27.)

(28.)

2 2 J sin2M+1«c?«< j'sin2nzdx < 0 0

I sin 2n-1«</«,

0

oder

(29.)

2n{2n — 2) ... 4.2

(2» +1) (2» — 1)... 5.3

(2w—1)(2»—3) ...5.3.1 n 2n(2n — 2) ... 6.4.2

und

(30.)

(2n—\){2n—3) ...5.3.1 n ^(2n— 2)(2n—4)... 4.2 2»(2» —2) . . . 6.4.2 ’ 2 <(2n— l) (2n—3) ...5.3

Daraus folgt

04 ICO

TH I CO

O'l

CO liO

co |e-

2 n — 2 2n — 1 2 n — 1 2n -f- 1

und

§ 55.

¹

— sin¹«

sin¹«

Berechnung bestimmter Integrale durch Differentiation.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 157 und 158.)

Aus Formel Nr. 20 der Tabelle, nämlich aus

=^arCtS©’

(1-)

f dx

a²+x²

folgt durch Vertauschung von a² mit t

J

oo

to,

(32.) f< .§• -Î

2 n — 2    2 n

2 n — 1 2 n — 1

Die rechten Seiten dieser beiden Ungleichungen unterscheiden

2n    ,    . . „..

der sich rar

unbegrenzt wachsendes n der Grenze 1 nähert, folglich ist

4    6 6    2n — 2    2 n

— 1 2 n — 1

Diese Formel rührt von Wallis her und ist bereits vor Entdeckung der Differential- und Integral-Rechnung gefunden worden.

Ol I r—t

■rłf CO

ou 05

-U 05

sich von einander nur durch den Factor

2» + 1 ’

(33.)

n .. ö = lim

&    n=oo

Ol I rH

Ol I CO

to

(2.)

Indem man beide Seiten dieser Gleichung nach dem Parameter t differentiirt und mit — 1 multiplicirt, erhält man nach Formel Nr. 153 der Tabelle

oo

(3.)

r dz

Jw+w

o

H ICO

tyi

Wenn man beide Seiten dieser Gleichung nochmals nach t differentiirt und durch — 2 dividirt, so ergiebt sich

OO

dx

1.3    1

(x² tf 2.4' t²]/!    2

(5.)

§ 55. Berechnung bestimmter Integrale durch Differentiation. 315 Durch Fortsetzung dieses Verfahrens findet man

1.3.5

2.4.6    ' *3 y 7 ' 2 ’

OO

(6.)

f dx

J(

0

oo

f dx

J (*² + tf

o

(a:² -ff tf

1 • 3.5 ... (2» — 3) _

2.4.6... (2n — 2)    iy7 2 ’

oder

oo

(6a.)

dx

{cd -ff x²)n

1.3.5    ... (2» — 3)

2.4.6    ... (2» — 2} ’ a

ln— 1

‘V

Aus

(7.)

e~txdx = —

folgt fiir positive Werthe von t

oo

(8.)

e~txdx =

«•*> 1m

Indem man beide Seiten dieser Gleichung nach dem Parameter t differentiirt und mit — 1 multiplicirt, erhält man nach Formel Nr. 153 der Tabelle

oo

(9.)

. xdx = 4r-

t² ’

und wenn man dieses Verfahren wiederholt,

1.2

oo

(10.)

Ie'“

o

. x²dx =

OO

(11.)

e~tx . xzdx =

1.2.3

OO

(12.)

e—ix #

ft!

tn+¹

§ 56.

Darstellung der Ooeffieienten einer trigonometrischen

Reihe.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 159.)

Sind die beiden positiven ganzen Zahlen m und n von einander verschieden, so wird

j"cos(m

-[sinfm — ri)xf —

m—nL x    Jo

—— |sin(m + n)x] — 0. m -f- n L

Beachtet man die beiden bekannten Formeln j cos (a — b) = cos a cosö + sina sin b,

\ cos(a + b) — cos a cosb — sina sinô, so findet man durch Addition und Subtraction der Gleichungen (1.) und (2.) für m^n

(1.)

(2.)

(3.)

(4.)

(5.)

J cos(

0

— n)x . dx —

+ ri)x . dx —

I cos(mx) cos(nx)dx =

7t

J sin(w^) sin(nx)dx = 0. 0

0,

0,

Dagegen geht Gleichung (1.) für m = n über in

(la.)

f cos( 0

m — n)x . dx

7t

=./* =

o

TT,

während Gleichung (2.) auch noch für m = n richtig bleibt; folglich wird für m — n > 1

(6.)

nx)dx =

j'cos(mx) cos(nx)dx ==J cos² (

Weiss man nun, dass sich fix) in eine gleichmässig convergente Reihe von der Form

(8.) fix) = ^a₀+ai COSxfa₂ C0S(2^)+ • • • + an cos(wrc) + • • • entwickeln lässt, so lange x zwischen 0 und n liegt, so kann man die Coefficienten a₀, au a.₂,... in folgender Weise bestimmen.

Multiplicirt man Gleichung (8.) mit dx und integrirt auf beiden Seiten zwischen den Grenzen 0 und n, so erhält man, da die Reihe gleichmässig convergent ist und deshalb gliedweise integrirt werden darf,

= §ffix)dx, 0

Jf(x)dx — ^c/qJ dx —

0 0 71

denn f cos[nx)dx verschwindet für n > 0. Multiplicirt man beide

o

(9.)

|a₀7r, oder a₀

Seiten der Gleichung (8.) mit cos(nx)dz und integrirt zwischen den Grenzen 0 und tt , so erhält man mit Rücksicht auf die Gleichungen (4.) und (6.)

(10.)

jfix) cos (nx) dx =

0

oder

(10a.)

an

ij'cos ‘l{nx)dx — o

= Jfix) cos(nx)dx. o

an

an

Hierbei ist fix) eine periodische gerade Function, die sich gar nicht ändert, we nn man x mit — x, oder mit 2rc — x vertauscht, d. h. es ist

(11.)

/(2tt — x) —f{— x) =f(x) ;

deshalb findet man aus Gleichung (9.) und (10a.), indem man die Integrations-Veränderliche y nennt und dann y—'lvc — x setzt,

(12.) a₀

CM !

‘ln

— x)dx

ln

= ~jf(x)dx,

( 13.) a

= ^Jf(y)<x>s(ny)dy =

o

'2n

2 /

= — / f{x) cos{nx)dx ;

'fifn — x) cos(nx)dx

folglich ergiebt sich durch Addition der Gleichungen (9.) und (12.), bezw. der Gleichungen (10a.) und (13.)

(14.) a₀

2 7t

= ff(x)dx, an

ïn

— Jf(x)cos(nx)dx. o

Weiss man, dass sieh f(x) in eine gleichmässig convergente Reihe von der Form

(15.) f{x) — bi sina: + b<i sin(2a:) + • • • + bn sin(rca:) + • • •

entwickeln lässt, so lange x zwischen den Grenzen 0 und n liegt, so darf die Reihe gliedweise integrirt werden, und man erhält mit Rücksicht auf die Gleichungen (5.) und (7.)

(16.)

oder

(16a.)

I fix) sin(nx)dx = bnJ'sin²(

0

n

bn= f(x) sin (»#)<£ o

nx)dx = bn •

x.

In diesem Falle ist fix) eine periodische ungerade Function, die nur ihr Zeichen wechselt, wenn man x mit —x, oder mit 2n—x vertauscht, d. h. es ist

(17.)

f(27t — x) =/(— x) =

-/(*)•

Deshalb findet man aus Gleichung (16a.), indem man die Integrations -Veränderliche y nennt und dann y = 2n — x setzt,

also durch Addition zu Gleichung (16a.)

in

(19.)

bn

= yJf(x) SHl(nx)dx.

0

fix) = |a₀ + «l COSa; + a₂ cos(2a;) + • • •

Weiss man endlich, dass sich fix) in eine gleichmässig convergente Reihe von der Form (20.)

+ £1 sina: + b-i sin(2a;) + • • •

entwickeln lässt, so lange x zwischen den Grenzen 0 und 2u liegt, so wird mit Rücksicht darauf, dass

'ln

(18.) bn

= jf{y) »in(ny)dy =

0

ln

= Jff) sin(nx)dx.

in

jf{x) Ü\fnx)dx

2 7t

(21 .)\f [sin(m-f n)x-\- sin(m—n)x]dx ~J'$m{mx)(LO${nx)dx — 0 o    o

ist, gleichviel ob m und n von einander verschieden sind oder nicht,

(22.) an =

in

jf{x)

0

COS(nx)dx, bn

in

= \ jfix) sin(

0

nx)dx.

Dies giebt den Satz : In jeder trigonometrischen Heike

n=oo

f[x) —    + 2 [«nCOS(wa;) + bn sin(wa:)],

n= 1

icelche in dem Intervalle von 0 bis 2n gleichmässig convergent ist, haben die Coefßcienten an und bn die Wertlie

an

in

=■ y jfif) cos(nx)dx,

o

bn

in

= jff) sin(

0

nx)dx.

§ 57.

Berechnung bestimmter Integrale bei Anwendung mehrdeutiger Substitutionen.

b

Führt man in ein bestimmtes Integral f <f\x)dx durch die

a

Substitution

UO

y = y{z)

eine neue Integrations-Veränderliche y ein, so muss man auch die Integrationsgrenzen ändern, und zwar ist in dem vorliegenden Falle die untere Grenze ifj(d) und die obere xp{b). Bei der Ausrechnung ist aber noch besondere Vorsicht erforderlich, wenn die Gleichung (1.) in Bezug auf x mehrdeutig ist. Ein einfaches Beispiel möge zeigen, wie bei solchen mehrdeutigen Substitutionen leicht Fehler entstehen.

Es ist

(*•)

7.    7

J (x² — 6x + 13) dx — [^-æ³ — 2>x² + 13^ = 48.

Wendet man dagegen die Substitution y — x² — Qx + 13 an, so wird y = 8 für x = 1 und y — 20 für x = 7. Da nun

x = 3 ± y y— 4, also dx = ±

(3.)

(4.)

dy

21/y — 4

ist, so wird man geneigt sein, entweder

20

(5.)

— Qx -j- 13)dx —

ydy

•J Vv •'

oder

20

ł f

v y,, — 4

8 V

zu setzen. Thatsächlich sind aber die Gleichungen (5.) und (6.) leide unrichtiy, wie man schon daraus erkennt, dass

(6.)

I (x² — Qx + 13 )dx =

ydy

ydy

20

[(y + 8) y y — 4]*°= ±|

(7.) ±

= ±ł

ist, während das gesuchte Integral nach Gleichung (2.) den Werth 48 hat.

Zur Lösung des Widerspruches beachte man, dass nach Gleichung (4.) zu jedem Werthe von y zwei Werthe von x gehören, von denen der eine, nämlich

(8.)

(9.)

« = 34- Vy— 4 immer grösser als 3 ist, während der andere, nämlich x = 3 — y y — 4 immer Heiner als 3 ist. Diesen beiden verschiedenen Werthen von x, welche zu demselben Werthe von y gehören, entsprechen die beiden verschiedenen Werthe von dx, und zwar erkennt man aus den Gleichungen (4.), dass den Werthen von x, welche grösser als 3 sind,

(10.)

2 Vy — i

zugeordnet werden muss, während den Werthen von x, welche kleiner als 3 sind, der Werth

(11.)

dx =

dy

2]/y — 4

entspricht. Dieses Verhalten muss bei der Umformung des gesuchten Integrals berücksichtigt werden, weil der Werth x = 3 zwischen den Grenzen 1 und 7 liegt. Es kommen deshalb bei der Berechnung des gesuchten Integrals Werthe von x vor, welche kleiner als 3 sind, und ausserdem auch solche, welche grösser als 3 sind, so dass man nicht durchweg denselben Werth von dx benutzen darf. Man muss vielmehr das gesuchte Integral in zwei andere Integrale zerlegen, indem man

7    3    7

(12.) J{x²—6x+13 )dx = /{x²—&X+ lS)dx +J(x²—ßx+13 )dx setzt. Bei dem ersten Integrale auf der rechten Seite dieser Gleichung ist x ^ 3, folglich muss man bei diesem

dx =

dy

2Vy — 4

setzen. Bei dem zweiten Integrale ist x 3, folglich muss man dabei

vVy — 4

setzen. Da nun noch ?/ — 4 wird für x = 3, so erhält man

yV -    +is,*=-ij jJäu =    .

20

f yfy .

/ Vy —4

Durch Addition dieser beiden Gleichungen ergiebt sich

⁽¹⁵-}

Nun ist nach den Ausführungen in § 47

(13.)

(14.)

/⁽*³

3

— 6a; + 13)«fe = +

rH <M

20

«/“y

ydy

(16.)

rH l Ol

(17.)

y<y

Ky — 4

i    __ ₈    _ ₈ qo

3 ta [(y + 8)Vy- 4]t+o = [(y + 8)1Vy- 4], = 3 ydy

Vy —4

20

20

y%

=ilim /

rH i CO

/ Vy —4

= I Um [(y + 8)    = [(y + 8)Vy — 4]“ = iy •

man erhält also in Uebereinstimmung mit Gleichung (2.)

4-fa

rH I CO

(18.)

= 48.

Um die vorstehende Untersuchung auf graphischem Wege zu veranschaulichen, sei in Figur 103 die Curve gezeichnet, welche der Substitutions-Gleichung (19.) y = x² — 6a: -f- 13 entspricht. Für alle Werthe von x, welche kleiner als 3 sind, \ fällt die Curve, folglich ist IJ \

für diese Werthe von x dx

negativ. Für alle Werthe von x dagegen, welche grösser als 3 sind, steigt die Curve, folg-

für diese Werthe

von x positiv. Deshalb darf man nicht in dem ganzen Intervalle von .r=l bis x — 7 die Grösse

Fig. 103.¹)

lieh ist

dy

dx

n₁ o a,

Tj G

dy

dx = ±2 W—⁴

mit demselben Vorzeichen nehmen; es gilt vielmehr für alle Werthe von x = 1 bis x = 3 das twfere Zeichen und für alle Werthe von x — 3 bis x = 7 das obere Zeichen.

Aus Figur 103 erkennt man auch leicht, weshalb die Gleichungen (5.) und (6.) fehlerhaft sind.

Das gesuchte Integral giebt nämlich den Flächeninhalt der

Figur

(20.)

während

7    7

§x + Yà)dx,

AiABBi J y dx =/(² —

20

(21.)

C y dv    _

U |/y — 4

8 F ^    5

7    7

y ydx = y (z²

— 63; + 13)c?a: = C^CBBy

und

20

122.) j

~ ydy _

J Y y — 4 j s'"    i

= — y (x² — 6a; + 13)e?a; =

— DiDAA

sein würde. Die ganze Fläche AXABBX erhält man aus z~. nur dadurch, dass man y von AXA =

Jvj=

abnehmen und dann von Tt T = 4 bis BXB = 20 zunehmen lässt.

ydy

8 bis T, T = 4

Um den allgemeinen Fall zu behandeln, nehme man an,

b

dass in dem Integral f(p\ip(z)]dx statt der Integrations-Ver-

a

and erlichen x durch die Gleichung

y = Hx)

die neue Integrations-Veränderliche y substituirt werde. Ist nun die Curve, welche der Gleichung (23.) entspricht, durch die Figur 104 dargestellt, so hat y zwischen den Grenzen a und b für

(23.)

(24.)

x = y — OGi, x — h — OH], x — h = OK\

Maxima bezw. Minima. Es werden also zwischen den Grenzen x — g und x = h diejenigen Werthe von y, welche zwischen ,b den Grenzen x = a = OAt \ und x = y Vorkommen,

I wenigstens theilweise wie-

______j_ derkehren. Ebenso wer-

D, E, h i rt k₁ Jt ß] den zwischen den Grenzen

x = h und x = h diejenigen Werthe, welche zwischen den Grenzen x = y und x — h Vorkommen, wenigstens theilweise wiederkehren. U. s. w. Es haben z. B. die 4 Punkte D, E, F und J, welche in den 4 von ein-

Fig. 104.

O A₁D₁

ander unterschiedenen Intervallen liegen, gleiche Ordinaten y, obgleich die zugehörigen Abscissen x von einander verschieden sind; d. h. die Gleichung (23.) hat, wenn man sie nach x auflöst, für die betrachteten Werthe von y mehrere Wurzeln. In Figur 104 ist z. B. die Zahl dieser Wurzeln gleich 4. Bezeichnet man diese Wurzeln mit /₂(y), /₃(y), /₄(y), ist also (25.) x = fi(y) zwischen den Grenzen x = a und x =

(26.) x —fi(y)

(27.)    *=/a(y)

(28.) x =/₄(y)

so muss man dem entsprechend das gesuchte Integral in 4 Integrale zerlegen, indem man

11

11

11

11

11

11

(29.) /(f[ip(x)]dx = J(f[ip(x)]dx -f- Jg>[ip(x)]dx -f

a    a    g

fy[xp{x)]dx + f<f[(p{x)]dx

h    k

Dadurch erhält man nach Einführung der neuen Inte-

set.zt.

grations -Veränderlichen y

(30.) /ff[ip(x)]dx = J(p{y) 'f\(y)dy,

[nach Gl. (25.)]

cp(a)

>p(h)

(31.) f<p[xp{x)]dx =/(f(y) ./Ąy)dy,

[nach Gl. (26.)]

V(9)

yj(k)

(32.) fff[ip(x)]dx =/<p(y) .fz\y)dy,

[nach Gl. (27.)]

cph)

cp(b)

(33.) Jcp[ip{x)\dx = fcp{y) .fĄy)dy ;

k    \fj(k)

[nach’ Gl. 28.)]

das gesuchte Integral wird daher

V(9)

(34.) f<p\xp(x)\dx =fcp(y) .fi‘(y)dy +fy{y) .fi‘(y)dy

W9)

xp(k)

■ip(b)

+ .My) •fAy)dy +f<p{y) -fi{y)dy.

§ 58.

Messungsmethoden zur Berechnung bestimmter Integrale.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 160 und 161.)

Soll der Flächeninhalt F= A^ABBy einer ebenen Figur berechnet werden, welche oben wieder durch den Curvenbögen AB (Fig. 105) mit der Gleichung

Fig. 105.

fl.

/I

unten von der X-Axe, links und rechts von den Ordinaten x = a und x — b begrenzt wird, so kann man

6

(2.) F=AlABBl=jff\x)dx

N,Bi

Ol Ci Df Ej F-j Gj Man braucht dann die Function

näherungsweise auch durch lineare Messungen linden.

(3.)

/(*) =JfXx)dx

gar nicht zu bestimmen, ja es braucht nicht einmal die Function y = f‘(x) bekannt zu sein.

Theilt man nämlich die Strecke A{B{ in n gleiche Theile h und legt durch die Theilpunkte Parallele zur Y-Axe, so wird die Figur in n schmale Streifen zerlegt. Diese Streifen kann man näherungsweise als Parallel trapeze betrachten, indem man die einzelnen Curvenbögen durch gerade Linien ersetzt. Dies giebt, wenn man

(4.)

/'(«) = y₀, f‘(a + h) = yu f\a + 2h) = y₂,.. • f\a + nh) =f‘{b) = yn

setzt.

(yo + yi), CiCDDi — g (yi + y*) ViDEEi = ^ (y₂ + y»), •

(5.) AlACCl =

tO-

~2 (y»-i + y»):

also

2 {yo +    -f 2y₂ d----+    -f- yn)

b

(6.) Ax A BB, =/f\x)dx =

— ~2    “ł" %f\a d~ 2A) d-----f 2/'(£—h) +/'(&)].

Je grösser die Anzahl n der Streifen wird, um so genauer wird das Kesultat; wächst n in’s Unendliche, so wird der gefundene Ausdruck dem gesuchten Integral, bezw. dem gesuchten Flächeninhalt sogar genau gleich.

Beispiel.

Es sei

(7.)

dx

— [arc tg#]* = arctg 1 = Für n — 8, h wird in diesem Falle

1 -f- x¹

►M a

= ~ [/'(O) + v (}) + Wf) +■■■ +2/' ({) +/'(!)] ,

oder, da f‘(x)

m?ist

128 128 65 ⁺ 68

128

128

128

78

80

89

CO IO CO © r—I rH

d-

128

113

=4+

©I CO

Ol to

17

CO t-

co i co

+ -+Ö

© i to

32

25

113

rH I GO

Nun ist

= 0,25

32 : 65 = 0,4923 0769 8:17 = 0,4705 8824 32 : 73 = 0,4383 5616 — 0,4

32 : 89 = 0,3595 5056 8:25 = 0,32 32 : 113 = 0,2831 8584 = 0,125; folglich erhält man näherungsweise

*

n = 3,1389 8849.

Der gefundene Werth ist also um 0,0026 0416 kleiner als der wahre Werth der Zahl

n = 3,1415 9265.

Bei dem angegebenen Verfahren ist an die Stelle des Curvenbogens AB ein der Curve eingeschriebenes Polygon getreten. Man kann mit gleichem Rechte auch ein der Curve umschriebenes Polygon in Betracht ziehen, indem man in den Punkten C, E, G... (Fig. 105) an die Curve Tangenten legt und z. B. die beiden Streifen AyACCi und C^CDDi durch das Paralleltrapez AXA‘D‘DX (Fig. 106) ersetzt. Dabei wird

Fig. 106.

(8.) AiÄ+DJ)' = 2ClC=2f‘(a+h),

Dl

also

AL

(9.) AiA'ITDt = 2h .f\a + h).

Ebenso findet man für die beiden folgenden Streifen den Näherungswerth 2h .f‘(a Sh),

u. s. w.

Unter der Voraussetzung, dass die Anzahl der Streifen eine gerade ist — sie heisse jetzt 2n —, findet man daher für den Flächeninhalt der ganzen Figur den Näherungswerth (11.) F— 2h[f\a + h) -fjC(a + Sh) + • • • -hjfé(à — /<)]

= 2Ä(yi + yz + Vö • • ’ + y-2n-\),

wo wieder

f‘(a + h) — yu f(a + SK) =yz, f\a + 5Ä) = y₅,... f‘[a + (2 n — 1 )/*] —f‘(b —h) = y2M_t

gesetzt ist.

Zu bemerken ist dabei, dass die Tangenten in den Punkten C und E (Fig. 105) die Ordinate DJ) im Allgemeinen nicht genau in demselben Punkte D‘ treffen werden, so dass die Figur, deren Flächeninhalt durch Gleichung (11.) berechnet worden ist, von dem umschriebenen Polygon sich um eine kleine Grösse unterscheidet.

Beispiel.

Es möge auch diese letzte Formel auf die Berechnung der Zahl n angewendet werden, wenn man wieder von Gleichung (7.) ausgeht. In diesem Falle sei die Anzahl der Streifen

2 n — 16, also h =

dann wird

0

128 , 128 128 128 128 257 ' 265 ⁺ 281 ⁺ 305 ⁺ 337

1 + X¹

GO

KeMö)

+ ' • * + /'

rH ¹ CO

to

128 128 ⁺ 425 ⁺ 481 ‘

Nun ist

128 : 257 = 0,4980 5447 128 : 265 = 0,4830 1887 128 : 281 = 0,4555 1601 128 : 305 = 0,4196 7213 128 : 337 = 0,3798 2196 128 : 377 = 0,3395 2255 128 : 425 = 0,3011 7647 128 : 481 = 0,2661 1227;

folglich erhält man näherungsweise

n = 3,1428 9473.

Der gefundene Werth ist also um 0,0013 0208 grösser als der wahre Werth der Zahl

n — 3,1415 9265.

Der Fehler ist in diesem Falle etwa halb so gross wie bei der vorhergehenden Methode.

Diese zweite Methode wird auch hei anderen Anwendungen in der Eegel genauere Resultate liefern als die erste, ohne dass man mehr einzelne Glieder zu berechnen braucht, weil sich im Allgemeinen die Tangenten einer Curve enger anschmiegen als die Sehnen. Von diesem Umstande wird in dem folgenden Paragraphen Vortheil gezogen werden.

§ 59.

¹

Um Platz zu sparen, sind in der Figur alle Ordinaten um die Hälfte verkürzt, d. h. die gezeichnete Curve entspricht der Gleichung

²

2y = x¹ — ßx + 13.

Simpson’sehe Regel.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 162.)

Es möge wieder eine Figur begrenzt sein oben durch den Curvenbogen AB mit der Gleichung

(1.)

y =/'(*),

unten durch die X-Axe, links und rechts durch die Ordinaten x = a und x = b (vergl. Figur 105); die Strecke AtBt sei in 2n gleiche Theile von der Länge h, und die Figur selbst sei durch die Ordinaten yx, y₂, y₃,... y2n-1 in 2n Streifen zerlegt. Vereinigt man zunächst je 2 benachbarte Streifen, so dass man thatsächlich nur noch n Doppelstreifen hat, und ersetzt die begrenzenden Curvenbogen durch die zugehörigen Sehnen, so findet man aus Formel Nr. 160 der Tabelle für den gesuchten Flächeninhalt, indem man h mit 2h vertauscht, den angenäherten Werth (2.) l\=h[ f\a) -{-    + 2h) + 2f‘(a + 4K) -f- ••• -j- 2f\b—2h) -\-.f (6)].

Ersetzt man dagegen bei den Doppelstreifen die Curvenbogen bezw. durch die Tangenten, welche in den Endpunkten der Ordinaten yx, y₃, y₅,.. . y2n-1 an die Curve gelegt sind, so erhält man nach Formel Nr. 161 der Tabelle den angenäherten Werth

(3.) F₂ = 2h[J~‘(ci -f- h) A-f\a -f- 3À)    f\a + 5h) + • • •    —^)]*

Ist der begrenzende Curvenbogen AB zwischen A und B nach oben convex, so ist 1\ kleiner als der gesuchte Flächeninhalt

(4.)

F — ff\x)dxt

und F-2 ist grösser als F; es ist also

(5.)

Ft < F< F₂.

Ist dagegen der begrenzende Curvenbogen AB zwischen A und B nach oben concav, so wird

Ft > F> F₂.

In beiden Fällen ist F ein Mittelwerth zwischen Fi und F₂, so dass die Grösse v, welche durch die Gleichung

(7.)

F— Fx F₂ — F

erklärt wird, immer positiv ist, und zwar wird v für hinreichend grosse Werthe von n in der Regel grösser als 1 sein, weil sich die Tangenten enger an die Curve anschmiegen als die Sehnen. Aus Gleichung (7.) ergiebt sich sodann

(8)

Fx + cF, _

1 + v

Bei der angenäherten Berechnung der Zahl n im vorhergehenden Paragraphen war z. B. F— Fx etwa doppelt so gross wie F₂ — F. Setzt man daher in den Gleichungen (7.) und (8.) v = 2, so erhält man durch die Formel

(9.)

F=

F\ + vF, _Fi + 2F

i + v

eine noch stärkere Annäherung an den wirklichen Werth des bestimmten Integrals. Dies giebt, wenn man die Werthe von Fi und F\ in Gleichung (9.) einsetzt,

(10.)f=|[/(«)+4/(a+Ä)+2/(a+2*)+4/(o+8Ä)+2/(o+4Ä) + • • • + 2f‘(b - 2h) + 4f\b - h) +/'(4)],

oder

»—2

' (11 •) F——(«/,, + %i + 2y₂+\yz + 2y₄ -}-----f 2y₂

Für die Zahl n erhält man daher unter Benutzung der im vorigen Paragraphen gefundenen Resultate

71 —

~ (3,1389 8849 -f 6,2857 8946) = 3,1415 9265.

ü

Der gefundene Werth stimmt also bis auf 8 Decimalstellen genau mit dem wahren Werthe von n überein.

Die in den Gleichungen (10.) und (11.) enthaltene Formel, welche unter dem Namen „Simpson'sehe Regel“ bekannt ist, giebt nicht nur für die Berechnung der Zahl n sehr genaue

Wertlie, sondern auch für die Berechnung von anderen bestimmten Integralen, wenn man nur die Zahl n gross genug macht. Der Grund davon liegt darin, dass man dieselbe Formel auch findet, wenn man bei der Berechnung der Doppelstreifen die einzelnen Curvenbögen durch passend gewählte Parabelbögen ersetzt, welche sich der Curve sehr eng anschliessen. Dies geschieht in folgender Weise.

Die Gleichung

Fig. 107.

(12.)

y = ax'- -j- bx -f- c

stellt, was auch die constanten Coefficien-ten a, b, c sein mögen, eine Parabel dar, deren Axe zur Y-Axe parallel ist. Ueber die Coefficienten a, b, c kann man nun so verfügen, dass die Parabel durch die drei Punkte A, 6', D (Fig. 107) mit den Coordinaten (— h, y₀), (0, yt), (+ h, y₂) hindurchgeht, indem man die Gleichungen y₀ — ab² — bh    c,

y\ — g

y₂ = ah² + bh -f- c befriedigt. Daraus ergiebt sich

(14.) a =    (y₀ — 2yt + y₂), b = ~ (— y₀ + y₂), c = yt,

so dass Gleichung (12.) übergeht in

(15.) y = ^ [(yo — 2 y y + y₂)x² + h{— iy₀ + y₂)x + 2%,j.

Der Flächeninhalt der Figur AXADDX wird daher

4.

Ai

Oj x

(13.)

+h

(16.) AXAI)1)

— flVdx

—h

2^2 [(y° 2yi + y₂) g + H;—yo + y2) ₉ + 2/<²yi^J f

1 r    /,3    1 h

— l(yo — 2yt Y y₂) — + 2 h²yji — — (y₀ -j- 4yi + y₂).

Da bei einer beliebigen Parallelverschiebung der ' Y-Axe sich weder die Länge der Ordinalen y₀, yt, y₂,... y2n noch die

Grösse h ändert, so kann man in ähnlicher Weise den Flächeninhalt der sämmtlichen Doppelstreifen (in Figur 105) berechnen und findet dafür bezw.

-g(yo+4yi+ y-l), -g 0/2+ 4 i/3+ ^4), • • • — («/2»-2 + 42/2n-l+2/2»);

dabei hat man die einzelnen Curvenbögen durch Parahelbögen ersetzt, welche durch je 3 auf einander folgende Punkte der begrenzenden Curve AB hindurchgehen. Für den Flächeninhalt der ganzen Figur erhält man dann den angenäherten Werth

(17.) F=—(y₀ -f- ly y + 2i/2 + 4i/3 + 2 -f-----f 2y₂n-₂ + 4y₂«-i + yzn),

ein Ausdruck, welcher mit Gleichung (11.), d. h. mit der Simp-sorc’schen Pegel genau übereinstimmt.

Um sich darüber Rechenschaft zu geben, wie genau die durch Anwendung der Simpson? sohen. Pegel gefundenen Resultate sind, diene die folgende Betrachtung. Entwickelt man *

(48.) — (yo + 4i/i + y2) — -g    + 4/'(a + h) + /'(« + 2h)]

nach steigenden Potenzen von h, so erhält man durch Anwendung der Taylor'sohm Reihe

(¹⁹-) I (y« + lu< + yi) — 2/1 •/'(«) + 2/i² ■/"(“) +

CO i

CO

/'"(«) +

ä/i⁵

3“/'1)(a)+l8_/l5l(a) + '"-Andererseits ist nach der Taylor’sehen Reihe

0+2 h

(20.) Jf\x)dx =/(« + 2h) — /(«)

a

2h

1h?

8h³

16h⁴

=n f» + fr/»+>

32Ä⁵

⁺ TT/(5)^ ⁺ ---

folglich wird

/    a+2Ä    7,5

■5 (yo + 4yi + ys) —Jf(x)dx = —/<⁵»(a) H----.

Man erkennt daraus, dass der Unterschied zwischen dein

Näherungswerth, den die Simpson'sehe Regel liefert, und dem wahren Werthe des Integrals mit h zugleich unendlich klein wird von der fünften Ordnung.

Für n Doppelstreifen ist daher der Unterschied etwa w-mal so gross, folglich wird der gesammte Fehler, da 2nh = b — a ist,

gleich einem Mittelwerthe von f^\x), multiplicirt mit

(b — a)A⁴

180

Es war bei Herleitung der Näherungsform ein in diesem und dem vorhergehenden Paragraphen bisher die Voraussetzung gemacht worden, dass der begrenzende Curvenbogen AB über der X-Axe liegt; es gelten aber noch dieselben Schlüsse auch dann, wenn der Bogen AB unter der X-Axe liegt, es wird dann aber der Werth des bestimmten Integrals negativ. Die Formeln bleiben sogar noch richtig, wenn die Curve tlieilweise über, theil-weise unter der X-Axe liegt, wie aus der Zerlegung des bestimmten Integrals hervorgeht.

Ebenso ist es nicht nothwendig, dass der Bogen AB in seiner ganzen Ausdehnung nach oben convex oder nach oben concav ist. Es wird aber zweckmässig sein, durch die Ordinaten der Wendepunkte, welche zwischen A und B möglicher Weise vorhanden sind, die Figur (bezw. das bestimmte Integral) zu zerlegen.

Das Verfahren, durch welches die Simpsoti¹ sehe Regel zuletzt hergeleitet worden ist, lässt sich noch verallgemeinern, indem man die Figur in 3n Streifen von gleicher Breite h zerlegt und in der Gleichung

(22.)

y —- ax³ -f- bxl + cx -f- d die 4 constanten Coefficienten a, b, c, d so bestimmt, dass die neue Curve mit dem Curvenbogen AB (Fig. 105) 4 auf einander folgende Punkte, z. B. die 4 Punkte A, C, I), E, gemeinschaftlich hat. Auf diese Weise erhält man eine Curve, welche sich der gegebenen Curve längs des Bogens ACDE im Allgemeinen noch enger anscliliesst. Deshalb findet man dann auch bei der Berechnung des Inhaltes der Fläche ArAEEi noch genauere Resultate als durch die bisherigen Methoden, wenn man die ge-

gegebene Curve durch die der Gleichung (22.) entsprechende ersetzt.

In dieser Weise kann man fortfahren und die einzelnen Tlieile des gegebenen Curvenbogens AB durch Curvenbögen mit der Gleichung

y = auxm -j- ciyx

-f- eux

(23.)

ersetzen, welche durch je m -f 1 auf einander folgende Punkte der gegebenen Curve hindurchgehen.

§ 60.

Uebungs-Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll mit Anwendung der Simpson'nahen

Regel

(i.)

12

jdx

! x

berechnen.

Auflösung. Es sei 2n = 10, also h = ^

(2.) 12 = ~ [/'( 1) + 4/'(l,l) + 2/'(l,2) + ■ • • + 4/'{l,9) +/'(2)] 40    20    40    20 , 40 , 20    40    20    40    10\

n⁺Ï2⁺l3't I4+Ï5+Ï6+Ï7+T8+T9+20/

-M1 +

10

daim wird

Nun ist

1:30 = 0,0333 3333 4:33 = 0,1212 1212 2:36 = 0,0555 5556 4 : 39 = 0,1025 6410 2 : 42 = 0,0476 1905 4:45 = 0,0888 8889 2 : 48 = 0,0416 6667 4:51 = 0,0784 3137 2:54 = 0,0370 3704 4:57 = 0,0701 7544 1 : 60 = 0,0166 6667;

folglich findet man für 12 den Näherungswerth 0,6931 5024, der sich von dem wahren Wertlie, nämlich von 12 = 0,6931 4718

nur um 0,0000 0306 unterscheidet.

Aufgabe 2. Man soll die Zahl n durch Anwendung der Simpson'schm Regel aus der Gleichung

0,5

(3.)

dx

0,5

J Vi — x2 0 ¹

= [arcsin#] =

berechnen.

16

Auflösung. Für 2n = 8, also h — ^- erhält man

(4.) 7T =

f [/,(0) + 4/1 (jż) ⁺ " '+ if‘ QÙ +f‘ (Ś)]

r-H GO

(h ⁶⁴

32

64    ,    32

64

32

Y 255 Y 252 ]/247 y240 y 231 y220

64    16 \

oder

y 207 y 192/

(5.)

00

y16320 , yïl2 , y15808 , yi5

255

42

247

15

yi4784 y 220    y 1472    VS

231

55

69

12

Nun ist

1:8 — 0,125

y 16320 : 255 = 0,5009 7943 yiÏ2 : 42 = 0,2519 7631 y 15808 : 247 = 0,5090 2781 yï5 : 15 = 0,2581 9889 yi4784 : 231 = 0,5263 6135 ]/22Ô : 55 = 0,2696 7995 yï472 : 69 = 0,5560 3844 yi : 12 = 0,1443 3757;

folglich erhält man für die Zahl n den Näherungswerth 3,1415 9975, der sich von dem wahren Werthe, nämlich von

n = 3,1415 9265

nur um die Grösse 0,000 0710 unterscheidet.

Aufgabe 3. Von einer Ellipse b²x² + a²y² = a²b² mit den Halbaxen a — 6, b — 4 soll man das Flächenstück Qi P^P^Qï berechnen (Fig. 108), wenn OQx = — 1 und OQ₂ = + 5 ist.

Fig. 108.

Auflösung. Aus der Gleichung der Ellipse folgt

(6.) y=ły^rr^₌|j/₃₆_^2,

' a    3

«Tr

so dass man für den gesuchten Flächeninhalt

+5

-X²

(7.) F = ~j dx y 36

erhält. Nach der Simpson'sehen Regel wird daher für 2n = 12, h = 4

(M ico

(8.) F— • =-(]/35 + 4]/35,75 + 2J/36 + 4]/35,75

+ 2]/35 + 4]/33,75 + 21/32 + 4]/29,75 + 2]/27 + 4]/23,75 + 2V2Ö + 4]/l5,75 + ]/ïl).

Nun ist

2) /36 = 2.6    = 12,0000 000

8 y 35/7 5 .= ]/2288 = 47,8330 430

3] /35 = ]/315 = 17,7482 393 41/33/75 = 1/540 = 23,2379 001

2]/32 = ]/128 = 11,3137 085 4y29,75 = j/476 = 21,8174 242 21/27 = yiÔ8 = 10,3923 048

22

Kiepert, Integral-Rechnung-.

man erhält daher für F den Näherung sw erth

(9.)

191,9716 132:9 = 21,3301 7924. Den wahren Werth yon F findet man aus

(10.) F

—x² -fl 8 arcsin

CO

1+5

I-1

= (syn +I/35) + 12 arcsin (^)

t-H ICO

—12 arcsin

(->

cî i⁻¹

Dabei ist (vergl. Aufgabe 4 in § 11)

5,527 708

l^ =

1,972 027

iyä5 =

also

= 11,821 327

12 arc sin 12 arcsin (!) = 2,009 377

(11.)

F— 21,330 439.

Der durch die Anwendung der Sm^ow’schen Regel gefundene Werth ist also um 0,000 260 zu klein.

Aufgabe 4. In einer Ellipse (Fig. 109) mit der Gleichung

(12.) b²x² -f a²y² = a²b2 seien die beiden Halbaxen (13.) a = 10 und b = 6; man soll die Länge des Bogens BP bestimmen, wenn OQ gleich 8 ist.

Auflösung. Aus Gleichung (12.) folgt

Fig. 109.

dy_

è²z

/ds Y    a⁴«/² -f- o⁴#²

\â?z/    a⁴y²

^¹⁴*^ dx

In dem vorliegenden Falle ist also

a²y

a⁴ — e²z2 a²(a² — a:²)

(15.)

s = BP = / dx

10000 — 64z²

100(100 — z²)

Deshalb erhält man durch Anwendung der Simpson’sehen Regel für 2n = 8, h = 1

(16.) s

A , .t/9936,1/9744,1/

_ v1 + y9900 ⁺"V9600⁺ y

1/8976,    -|/84ÖÖ    -«/7696    ,1/6864, -,/5904\

y 8400⁺ y 750Ö ⁺ ^ 6400 + 4y 5100 ⁺ y 3600/

00

9424

9100

Nun ist

1 = 1,0000 0000 J/48576 : 55 = 4,0072 6612 V406 : 10 = 2,0149 4417

4|/9936 : "|/9900 =

2]/9744 : f/9600 =

4]/9424 : ^9100 =    ]/ 3430336 : 455 = 4,0705 8600

2]/8976 :1/84ÖÖ =

4^8400: 1/750Ö =

2]/7696 : ]/64ÖÖ =

I/20944 : 70 = 2,0674 3457 ]/448 :    5 = 4,2332 0210

j/481 : 10 = 2,1931 7122 4]/6864 : 1/5100 =    \ 155584 : 85 = 4,6404 8678

VI.L: 5 = 1,2806 2485; folglich findet man für die Bogenlänge BP den Näherungswerth

1/5904 : V3600 =

(17.)

s = 25,5077 1581 : 3 = 8,5025 7194.

Soll der Quadrant der Ellipse, nämlich

io

q -M

10000—64z2 100(100 —z²)

berechnet werden, so würde die Rechnung auf Schwierigkeiten stossen, weil

(18.)

10000 — 64^²

-v

.m

100(100 —z²)

für x = 10 unendlich gross wird. Um auch in diesem Falle die

10

angenäherte Berechnung von Jf\x)dx auszuführen, mache man

8

y zur Integrations-Veränderlichen, indem man

n _ i a

—]/l00—x², oder x = —]/36—y²

setzt. Dies giebt (Fig. 109)

Zydy

3 y 36 — y*

(19.)

(20.)

dx —

? ds = —

dy\

1296+64^2 36(36—y²)

(21.) PA

10

=jf\x)dx

—M

3,6    ^

324 + 16//2 9(36    y²)

3,6

=+/*y

0 '

324 + 16y²

9(36—^j

Wendet man auf die Berechnung dieses Integrals die Simp--sWsche Regel an, indem man 2rc = 4, also h = 0,9 setzt, so erhält man

(22.) PA = 0,3 Nun ist

Ys,69 :    4 = 0,4802 3432 ;

(23.)

folglich erhält man für PA den Näherungswerth PA = 4,2624 8453, so dass man mit Rücksicht auf Gleichung (17.) für den ganzen Ellipsenquadranten

BP A — q = 12,7650 5647 erhält. Durch wirkliche Berechnung- des elliptischen Integrals hatte man auf Seite 306 in § 53 für denselben Ellipsenquadranten q = 12,763 4994

(24.)

(25.)

gefunden, so dass das durch Anwendung der *SVra/)sow’schen Regel berechnete Resultat um 0,0015 571 d. h. um 0,0001 2200 der Bogenlänge zu gross ist.

Wenn man für die Zahl n noch grössere Werthe wählt, so werden die Resultate natürlich genauer.

XL Abschnitt.

Kubatur der Körper und Complanation der krummen Oberflächen. Mehrfache Integrale.

§ 61.

Kubatur der Körper durch Anwendung einfacher Integrale.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 163.)

Es war bereits in Abschnitt III gezeigt worden, wie man das Volumen eines Rotationskörpers berechnen kann. Es wurde damals der Körper durch Schnitte, senkrecht zur Rotations-Axe in unendlich viele, unendlich dünne Schichten zerlegt, die man unter Vernachlässigung unendlich kleiner Grössen höherer Ordnung als Kreiscylinder betrachten darf. Ist z. B. die den Körper begrenzende Fläche durch Rotation der Curve

(1-)

y =/(*)

um die X-Axe entstanden, so ist die Grundfläche eines solchen • Cylinders ein Kreis mit dem Halbmesser y und dem Flächeninhalte    Da 'der Cylinder die Höhe dx hat, so wird das

Volumen einer solchen unendlich dünnen Schicht

(2.)

dV = ißndx, also das Volumen des ganzen Rotationskörpers

(3.)

V = nfy^dx,

Xl

wie bereits in Formel Nr. 94 der Tabelle angegeben ist.

Ein ähnliches Verfahren kann man auch für die Berechnung des Volumens bei andern Körpern an wenden. Man theilt dieselben in unendlich viele, unendlich dünne Schichten durch Schnitte, welche zur X-Axe senkrecht stehen, und summirt die Volumina dieser einzelnen Schichten.

Zur Berechnung des Volumens der einzelnen Schichten muss zunächst der Flächeninhalt der einzelnen Schnitte als stetige Function von x bekannt sein, wobei x = OQ der Abstand des betreffenden Schnittes von der YZ-Ebene ist (Fig. 110). Es sei also F(x) der Flächeninhalt eines solchen Schnittes, welcher in

F(x-\-Jx) übergeht, wenn x um Jx = QQ\ wächst, d. h. wenn der Schnitt

Fig. uo.

durch den Punkt Qi der X-Axe gelegt wird.

Zieht man durch die Umgrenzungen der beiden SchnitteF(z)und-F(:r+Jx)

Fig. Ul.

LE

cc,

A\

Parallele zur X-Axe, so werden die beiden Um-grenzungscurven der Schnitte in die YZ-Ebene projicirt. In Figur 111 sei z. B. die Curve ABCJEFGK die Projection von Fix), und die Curve A LCDE MGH die Projection von F(x-\-Jx). Die beiden Figuren haben das Stück AL CJEMGK gemeinschaftlich ; dieses Stück muss man um (4.) «i =ABCL\m&a₂ —EFGM vermehren, damit man Fix) er- h\V hält, während man    x

(4a.)

ßi = GFLAK und ß₂ = CDEJ hinzufügen muss, damit man Fix -f Jx) erhält.

Denselben Schluss wird man auch allgemein ausführen können. Die Projectionen der beiden Schnitte werden ein Flächenstück

(5.)

F(x) — « = F(x -f- Jx) — ß gemeinschaftlich haben, wenn man mit a und ß die Summe der kleinen Flächenstücke bezeichnet, welche das gemeinsame Stück bezw. zu F{x) und F(x-\-Jx) ergänzen. In Figur 111 ist z. B.

a =    + «2 und ß — ßi + ß'2‘

Dabei sind a und ß kleine Grössen, welche mit Ax zugleich verschwindend klein werden, weil F(x) als eine stetige Function von x vorausgesetzt worden ist.

Bezeichnet man das Volumen der dünnen Schicht mit AV, so wird AV im Allgemeinen grösser sein als ein Cylinder, welcher F(x) — a zur Grundfläche und Ax zur Höhe hat. Dagegen wird AV im Allgemeinen kleiner sein als ein Cylinder, welcher Fix) -f- ß = F(x + Ax) + a zur Grundfläche und Ax zur Höhe hat; d. h. es wird im Allgemeinen

(6.)

\F\x) — a\Ax ^ AV^ [Fix) + ß]Ax

sein. Dies giebt

(7-)

AV

Fix) — a ^    ^ F{x) + ß,

oder, wenn man Ax verschwindend klein werden lässt.

(8.)

Fix) ^

dV

dx

^F(x),

also

(9.)

dV

=J F{x)dx.

xx

Wie bereits hervorgehoben wurde, gelten die Schlüsse nur im Allgemeinen. Die krumme Fläche, welche die betrachtete Schicht begrenzt, kann möglicher Weise zwischen den beiden Schnitten F ix) und F(x -f Ax) solche Einbiegungen oder Ausbiegungen haben, dass der Cylinder mit der Grundfläche F(x) — a und der Höhe Ax nicht ganz innerhalb der Schicht A V liegt, oder dass der Cylinder’ mit der Grundfläche Fix) + ß und der Höhe Ax die Schicht AV nicht vollständig einscliliesst.

In diesem Falle lege man durch eine Gerade g, welche zur X-Axe vi parallel ist und die Schicht durchbohrt, eine beliebige Ebene QPPiQi (Fig. 112). Diese Ebene sei auf der einen Seite durch die Gerade g begrenzt und schneide die Figuren F{x) und Fix + Ax) bezw. in den Geraden QF und QiFy. Die be-

Fig. 112.

P9

grenzende Fläche schneide sie in dem Curvenbogen PPh welcher in den Punkten Pk und Pg bezw. den kleinsten und den grössten Abstand von der Geraden g haben möge. Dreht sich nun die Ebene QPP1Q1 um die Gerade g, so beschreiben die Punkte Pk und Pg auf der begrenzenden krummen Fläche zwei Curven, deren Projectionen in die YZ- Ebene jetzt mit Fix) — a und F(x) -j- ß bezeichnet werden mögen. Darni wird wieder \F(x) — a] Jx    /iV\F(x) + ß]z/x,

F{x) — a S    F(x) + ßi

also, weil für verschwindend kleine Werthe von Jx die Punkte Pk und Pg mit P zusammenfallen, so dass a und ß verschwindend klein werden,

dV

F®;

dies giebt wieder

dV

xi

w = ^), F

—J F(x)dx.

*1

In dieser strengeren Herleitung ist der zuerst behandelte, am häufigsten vorkommende Fall eingeschlossen.

Die Berechnung des Volumens der Körper nennt man y Kubatur der Körper“.

§ 62.

Uebungs-Beispiele.

Fig. 113.

(1.)

Aufgabe 1. Man soll das Volumen des Körpers berechnen, welcher von dem elliptischen Paraboloid mit der Gleichung y² + a²z² = 2 px

mid von der Ebene mit der Gleichung x = c eingeschlossen ist (Fig. 113).

Ö.

• Auflösung. Jeder Schnitt senkrecht zur X-Axe schneidet aus der Fläche eine Ellipse mit der Gleichnng

(2-)

y²    a²z²

—--1--= 1

2px    2px und mit den Halbaxen

Aufgabe 2. Man soll das Volumen des dreiaxigen Ellipsoids

(5.)

aus. Der Flächeninhalt, dieser Ellipse ist bekanntlich

2 px

—    n,

a

folglich findet man für das Volumen des Körpers

(3.)

F(x) — a\byix

(⁴ •)    V = f F(x) dx = ~~fxdx = P~

0 0

_ c²pn

ai = Y 2 px,

bx = — Y 2px a

yl nfl

£L _l L i _

a2~ fr2~ c2 berechnen.

Auflösung. Auch hier ist jeder Schnitt, senkrecht zur X-Axe, eine Ellipse mit der Gleichung

oder

a²y²

7y2    £>2    fjL_rp 2

(6-) 1 + ? = “^--

und mit den Halbaxen

a²z²

b\a²—x²)    c²{a²—x²)

(7.)

ct\ = — y a² — x2 a

b,=~y O² — x2 a

folglich ist der Flächeninhalt dieser Ellipse F(x) — ayb^n =

(8.)

(a² — x²)n.

Das Volumen des Ellipsoids wird daher

+«

+«

(9.) V = j F{x) dx = hc^J{a² — x²)dx

—a

bcn

a²

— a

P -    æ³]+° bcn /2a³    2a³ \ 4aöc7r

LÄ-sJ_=^(-3-⁺^) = -3

Aufgabe 3. Man soll das Volumen des Körpers berechnen, welcher von der Fläche 4ten Grades

a²y² -f- x ²z² = b²x²

(10.)

und den beiden Ebenen

(11.)

x — 0 und x == a eingeschlossen wird. Die durch Gleichung (10.) dargestellte Fläche heisst: „Conocuneus von Wallis“.

Auflösung. Die Schnitte, senkrecht zur X-Axe, sind wieder Ellipsen mit der Gleichung

(12.)

a²y2 b²x‘²

und mit den Halbaxen

(13.)

Cm

’    — b,

folglich wird der Flächeninhalt eines solchen Schnittes F{x) = axbxn =    -

Das Volumen des oben beschriebenen Körpers wird daher

(14.)

(15.) V

=jF(X)dx = ^j]

0 0

binVx²'\a ab-

« L2J₀ 2

Gleichzeitig gewinnt man aus dieser Untersuchung Auskunft über die Gestalt der Fläche.

Aus Gleichung (10.) ergiebt sich zunächst, dass die Coor-dinaten-Ebenen Symmetrie-Ebenen der Fläche sind, und aus Gleichung (12.) erkennt man, dass die Schnitte, senkrecht zur X-Axe, Ellipsen sind, welche alle dieselbe Halbaxe bx = b haben, während die andere Halbaxe ax = - mit x proportional zunimmt. Die XY- Ebene (mit der Gleichung 2 = 0) schneidet die Fläche in zwei geraden Linien mit den Gleichungen

(16.)

ay — ± bx,

und die ZX-Ebene (mit der Gleichung y = 0) schneidet die Fläche in der Doppel-Geraden

(17.)

x = 0,

(18.)

welche mit der Z-Axe zusammenfällt, und in den beiden Geraden z= -f i, z = — b.

§ 63.

Einführung mehrfacher Integrale.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 164.)

In den soeben behandelten Aufgaben war F(x) der Flächeninhalt einer ebenen Figur, der nach den Ausführungen in Abschnitt II selbst wieder durch Integration ermittelt wird, und zwar war in allen drei Aufgaben

(1.)

F(x) = aybyn

der Flächeninhalt einer Ellipse

(2.)

bty* + atz* = «i²ii², oder z — dz —y at — y².

Nach Formel Nr. 91 der Tabelle findet man daher F(x) aus der Gleichung

+«i

3.)

F(x) —J —z“)dy = ^jdyV

-«i

«l I

—fll

y² +

at — y²

aybyn.

Dabei war in den Aufgaben 1, 2 und 3 bezw.

ay = ]/2/>a*

by = ^f/2px;

CI

(4.)

a y = —)/a² — a

a;²,

by    —a:²;

by = b.

üy = - :

Daraus erkennt man auch, dass in der Gleichung (3.) die Integrationsgrenzen — ax und + at noch Functionen von x sind.

In ähnlicher Weise wird auch die Aufgabe, das Volumen eines Körpers zu berechnen, ganz allgemein zu behandeln sein. Den Schnitt, welcher senkrecht auf der A-Axe steht, und dessen Flächeninhalt mit F{x) bezeichnet worden ist, erhält man, indem man in den Gleichungen der den Körper oben und unten begrenzenden Flächen

(5.)

*' =    y) und z" = h(x, y)

die Grösse x als Constante betrachtet. Setzt man

(6.)

—*" =    y) — Kx» y) y),

so ist der Flächeninhalt dieses Schnittes

wobei im Allgemeinen, je nach den Bedingungen der Aufgabe, Vi =    2/2 = rp{x)

(8.)

noch Functionen von x sein werden. Da nun nach Formel Nr. 163 der Tabelle das Volumen des Körpers

(9.)

y-i

(7.)

F(x) =/(*'

Vi

z“)dy    y)dy,

2/i

V — fF(x)dx

ist, so erhält man mit Rücksicht auf Gleichung (7.)

2/2

*2

V(X)

(10.)

V = fdxf(z‘ — z“)dy =fdxff(x, y)dy.

xi 2/i    xi <f(x)

Besondere Aufmerksamkeit ist dabei auf die richtige Bestimmung der Grenzen y\ — tp(x) und y₂ = 4>(%) zu verwenden. Den Ausdruck auf der rechten Seite von Gleichung (10.) nennt man „ein Doppelinteyral“.

Am besten wird man das angedeutete Verfahren durch die Behandlung einiger Aufgaben verstehen.

Aufgabe 1. Die Gleichung

(11.)

p(z — z₀) — xy

stellt ein gleichseitiges hyperbolisches Paraboloid dar; man soll das Volumen des Körpers berechnen, welcher oben von dieser Fläche, unten von der XY- Ebene, vom und rückwärts von den Ebenen y = c und y — d, links und rechts von den Ebenen x — a und x — b begrenzt wird. Dabei ist z₀ so gross gewählt, dass das durch die angegebenen Grenzen eingeschlossene Stück der Fläche oberhalb der XF-Ebene liegt.

Auflösung. In diesem Falle ist

(12.)

z‘ — z₀ + — , z“ = 0;

die Grenzen der Integrations-Veränderlichen y sind constant, denn es ist

Man erhält daher

b d

(14.)

(z' — z“)dy =

dx I (pz₀ + xy)dy

= /*[*# +

- c) -j- (û?² — c²)x\

- \jpz$x + (d + c)^J J

also

(15.)

J7 _ (b — a) (d — c)

[4pz₀ + (a + ô) (c + d)].

Aufgabe 2. Die Gleichung

(16.)

2jp(2 — zq) — y¹ — m²x2 stellt ein hyperbolisches Paraboloid dar; man soll das Volumen des Körpers berechnen, welcher oben durch diese Fläche, unten durch die XY-Ebene und seitlich durch den Cylinder

(17.)

x² + y² = a²

begrenzt wird. Dabei sei z₀ wieder so gross gewählt, dass das von dem Cylinder eingeschlossene Stück des Paraboloids oberhalb der XY-Ebene liegt.

Auflösung. Auch hier ist z" = 0, also

(18.) F

x-£ y2    xo

=J dxJ zdv = 2pjdxf2pz

*i Vi    *i ?/i

= ijdx[^z«y + j

o + y² — m²x²)dy

y-i

— m²x²y

Vi

In diesem Falle sind aber yt und y₂ Functionen von x, demi der Schnitt, welchen man durch den Punkt Q der X-Axe

zur X-Axe senkrecht legt, schneidet den begrenzenden Cylinder in zwei Geraden, welche auf der XF - Ebene in den Punkten 1\ und P₂ senkrecht stehen (Fig. 114). Deshalb wird

Fig. 114.

a.

(19.)

/ yi -- • F«²    **,

\ y, = —F“² — x¹

», '

und

(20.) V

**

⁼ è/2&^

—x² [2^o — mlxl + | (a² — x²)\

6 pzo+a²

Z*

-jdxYa²

— x²

3w² + l

X-i

^ Jx²dx y a²

xl

— x².

Nun ist nach Formel Nr. 73, 71 und 74 der Tabelle

4    4J y^x2

= ^|#(2#²— a²)]/a²—#² + a⁴arcsin?

= ~Yd²—x² + y arcsin^

(21.) Ix²dx Ya²

(22.) jdxyd²

—x²

Dabei muss der Punkt Q den ganzen Kreisdurchmesser BA durchlaufen, d. h. xi ist gleich —a und x₂ gleich + a. Dies giebt

(2 la.)

J x²dx y a¹

—Z² =

arcsin 1 =

(Att

-f«

(22a.)

J dxj/td

—x²

= d² arcsin 1 =    »

•J

also

352

(23.)

§ 63. Einführung mehrfacher Integrale. (6/jzo + a²)a²n

(3m² -f- 1 )a*7T

24/?

rfi jt

= ——■ [8/>2₀ + (1 — m²)a²\

8/?

Aufgabe 3. Die Gleichung

(24.)

2pz = y² — m²x²

stellt wieder ein hyperbolisches Paraboloid dar, welches die XY- Ebene in den beiden Geraden AC und BT) mit den Gleichungen

y — -f- mx und y = — mx

schneidet (Fig. 115); man soll das Volumen des Körpers berechnen, der oben von der Fläche, unten von der X Y-Ebene und seitlich von dem Cylinder

(25.)

(26.)

x² -f- y² = a²

begrenzt wird.

Auflösung. Wenn die Constante p positiv ist, so liegt nur derjenige Theil der Fläche über der XY-Ebene, für welchen y²> m²x² ist; das Körperstück, welches berechnet werden soll, liegt also ausschliesslich über dem schraffirten Theile der Figur. Da die XZ- Ebene und die YZ-Ebene Symmetrie-Ebenen sind, so genügt es, das Volumen des’Körpers zu berechnen, welcher über dem Kreissector COE liegt, wenn man das gefundene Resultat noch mit 4 multiplicirt. Es wird also

t-x

(27.)

wobei

y-i    x-t y%

4j'dxJzdy = ^jdxJ(y²

*i Vi    x₁ «/i

— m²x²)dy,

(28.)

(29.)

yi = QP\ = mx, y₂ = QP₂ = \ a²—x2 X\ = 0, x-i = OF =

Y1 -f- m²

= = a COS«

ist, wenn man den Winkel XOC mit « bezeichnet. Es ist nämlich x₂ die Abscisse des Punktes 0, für den die beiden Gleichungen

y = Y a² — x² und y gemeinschaftlich gelten, für den also o² — x² = m²x², wird. Deshalb findet man aus Gleichung (27.)

= mx

oder x²(l + m²) — a²

(30.) V

⁼ fy |jî — mVy\

a²—x²

= ^Jdx[Ya2—x2(a2

— x² — 3m²x²) -f- 2 m³x³)

x-l

«1

-X² -

(1 + 3m²)fx² dx Y a²

*i

-X²

+ 2m³

i³Jx³dxJ •

Xl

Nun ist nach Gleichung (22.) und (29.)

(31.)

x₂

j'dxYä?

— X²

ifl COS a

[sina cos a + arc sin (cos a)]

₌ a²r

2 Ll + m

nach Gleichung (21.) ist ferner

(32.) Jx²dxyd²

— x²=

i r    _ /:z YlaC08a

x(2x²— a²) yd² — x² -j-a⁴arcsin^—J

001 oo| © oc]

[sin a cos a(2cos²a — 1) + arc sin(cos «)]

m( 1—m²)

^(1 + m²)

«];

und endlich ist

m³

2(l-f??î²)²J ’

oder

(33.)

J'x^dx =

*1

-^.4-iacosa^4

a*

= — COS⁴« = -rji—;-?ŸF ’

4    4(1 + m²y

folglich wird nach Gleichung (30.)

2 a*

V = —

r-i ! Ol

3p L \1 + m

.+Ï-)

1 -f- 3m² /m(l—m²)    n \

+ J-a)

(1 + m²)‘

(34.)

«⁴

V = — [2m + (1 — m²) (n — 2«)J.

8p

Aufgabe 4. Aus einer Kugel mit der Gleichung x² -{- y² z² — a² = 0 bohren die beiden Kreiscylinder mit den Gleichungen x² -f y² — ax — 0 und x² -f- y² + ax = 0 Oefihungen heraus; wie gross ist das Volumen des übrig gebliebenen Theiles der Kugel?

Fig. 116.

(35.)

(36.)

Auflösung. Die XY-

Ebene schneidet die Kugel in einem Kreise mit dem Halbmesser a und die beiden Kreiscylinder in Kreisen mit

den Halbmessern

■Ö-\X

(Fig. 116). Legt man durch den Punkt Q der X-Axe einen Schnitt senkrecht zur X - Axe, so schneidet derselbe aus der Kugel einen Kreis mit dem Halbmesser

(37.) QS = Ya²—xl und aus dem einen Cylinder die beiden Geraden P‘P“ und N‘N“, deren Abstand

OQ — x, QS=ya?—x², Q R]— yax — x².

QR — Yax—x²

vom Mittelpunkt Q des Kreises sich aus der Gleichung (38.) x² + y² — ax = 0, oder

Fig. 117.

y = y ax—X¹

(38a.)

ergiebt (Figur 117). Da der Kreis um Q auf der Kugelfläche liegt, so genügen die Coordinaten der « Punkte P⁴ und P“ der Gleichung \ (35.), die man auf die Form    \

(39.)

z‘ = -h]/a² — x² — y²,

z“ = —ya² — x² — y2 bringen kann. Man erhält daher für den Flächeninhalt des Schnittes F (x), welcher aus den beiden Kreissegmenten P‘ SP“ und N‘UN“ besteht,

(40.)

Vs    y-i

F(x) = 2 f(z‘—z“)dy = 4fdy ]/ a² —x² —~y²,

tti    ¹ V\

wobei

yi — QR = yax—x², y% — QS =ya²—x2 ist. Nun wird nach Formel Nr. 74 der Tabelle

(41.)

(42.)

!dyyc²—y² — ^ yc²—y² + arcsin

folglich ist, wenn man c² = a² —x² setzt,

—r    a²—x²

y² + —2~

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (41.)

(43.) *W = 4[fya’

—x² —■

arcsin

F(x) = 2 (o² — #²)^arcsinl

— arcsin

-| I ax — x² ^ ! a² — x²)

— 2 y ax—x²y a²—ax,

also

(44.) F(x) = 2(a²—z²)^-— arcsin

— 2 {a — x)yax.

Setzt man noch

(45.)

arcsin

VH.

à““’

so wird

X

(46.) sin²/ = —:— = cos²w, cos² / = x    a + x

(47.) tg %t — ctg²w =

(48.)

toj

]/4-r=arCCt^’

? t = arcsin

— arcsin

folglich geht Gleichung (44.) über in

(49.)

F(x) — 2(a² — x²) arc ctg^ — 2(a — x)]/ax.

Da die YZ-Ebene den Körper in zwei symmetrische Theile zerlegt, so erhält man

n    a    /

(50.) V = 'if F(x)dx — 4 /(a² — æ²)arc ctg]/— • dx 0    o    ! a

— 4 j/ä f [a — x) yxdx. o

Setzt man in Uebereinstimmung mit Gleichung (48.)

(51.) x = aie², u — arcctg "j/^- = arc ctg w, de = (a? — x-)dx.

also

(52.)

du = —

dw

v = a*x — ~=    (3 w² — w%

so wird nach Formel Nr. 61 der Tabelle durch partielle Integration

(53.)

J{a² — xr) arc ctg    • dx = ^

a²x —

f)arcct^

dw.

a³ Ç-— we -j- 3î£²

⁺ 37    ^ + 1

--2 w — 2 u

z/'³

Nun ist

(54.)

Cw

J >

⁶ — 3 w²

w² -j- 1

dw

=/(

to* — w² — 2 -f-

1 + w²/

dw

3

-R(

#²

5 a²

(— 3z² + hax + 30a²)

tD

folglich geht Gleichung (53.) über in (55.) J (a²—;r²)arcctg "j/^- • dx

2a³+3a²a:—xz

arcctg/I

(56.) J (a² —z²) arc ctg j/^-

o

• dx —

32a³    4a³

45

2a³    32a³

— arc ctg 1--— arc ctg 0 = —

Ferner ist

(57.)

r2a^ I (a — x) y xax = —-

2^1°

"M,

4a²]/rä

15

folglich ist nach Gleichung (50.)

(58.)

128a³    16a³    16a³

15

45

Man hätte auch das Volumen Fi der beiden Cylinder berechnen können, soweit sie in der Kugel liegen. Zieht man dann das gefundene Resultat von dem Volumen der ganzen-Kugel, nämlich von    ab, so ist die Aufgabe gelöst. Nach Figur 116

O

und 117 wird bei dieser Behandlung

Vi

(59.)

Fi (x) — 4_/*dy Y a² — z² — y², o

wobei wieder

yi = QR ax ist. Dies giebt nach Formel Nr. 74 der Tabelle

(60.)

(61.) Fix) = 2 yy<t!—X¹—y* + (a²—^)arcsin(-pJ==)J*

= 2(a —r- #) y ax + 2 (a² — æ²) arc sin l/ —

f a x

folglich findet man

a    cl

(62.) Fi = 2\JF\ (x) dx — 4}/ a /{a — xtfxdx o    o

dx.

+ 4/(a² — z²)arc sin ]/a ^ x

Indem man dieselben Bezeichnungen anwendet wie in den Gleichungen (45.) bis (48.), erhält man mit Rücksicht auf Gleichung (56.)

■ dx

(63.) J(a² — z²)arcsin j/^-^

o

=    J~a²x

dx =J(a² — x¹)    dx

o

— y —J («* — *²>rc ctgj/|

dAn

32a³

45

also

(64.)

it „|"2aa:

F = 4]/a —

_ 16a³    4a³7r    128a³

⁼ IsT 3

45

4a³/r

4a³7r

128a³

45

16a³

9~’

folglich wird wieder

(65.)

y_ 4a³5T

—    3

Ft

16a³

Mit demselben Rechte, mit welchem man bisher die Schnitte senkrecht zur X-Axe legte, darf man natürlich auch zunächst Schnitte senkrecht zur Y-Axe oder senkrecht zur Z-Axe legen.

Wenn man z. B. in der letzten Aufgabe den Körper, dessen Volumen berechnet werden soll, durch Schnitte, senkrecht zur Z-Axe, in Schichten zerlegt, so stellt Figur 118 einen solchen Schnitt dar, wobei OS = z der Abstand dieses Schnittes von der X Y-Ebene ist. Die Kugel wird in einem Kreise mit dem Halbmesser

(66.) SL = ]/a² — z², und die beiden Cylinder werden in Kreisen mit dem Halbmesser

^ geschnitten. Da die Axen

SL und SM die Figur in 4 symmetrische Theile zerlegen, so ist der Flächeninhalt dieses Schnittes

Fig. 118.

P¹

0 dj LI

(67.)

F(z) = 4 SP,M = 4/V — y")*’,

wobei P‘ ein Punkt der Kugel und P“ ein Punkt des Cylinders

ist, so dass    _ _

(68.)

y‘    fta²—z²—x², y“ — Yax — X<L

wird, folglich erhält man

*i

(69.)

F(z) — 4/(|/a²—z² — x² — Yax—x²)dx.

Im Punkte Px werden y‘ und y“ einander gleich; man findet daher den Werth von x1} indem man

yl = y‘\ oder o² — z² — x² = ax — x²

(70.) setzt; dies giebt

(71.)

Xi =

a² —- z²

Nun wird nach Formel Nr. 74 der Tabelle

fl

(72.) ft

O

a²—z~    . / x XT¹

-—arcsin ( —--— Il

2    K]/ a?—z¹)Jo

a²—z²—æ² . dx=£ y a²—z²— æ² 4

_ (a²—z²)2]/a²—z²    a²—z² rlrCcjI]/^/a2 —'^\ .

2 a2    1    2 arcsmV a )

to «

setzt,

4Jdx\

o

to)

— x² = [dt, Y a² — ż²

(0)

(73.)

Ferner wird, wenn man

2x — t    a, also 2a — 2x = a — l

= ^Va²—ż² + ^-arcsin

also

(7 4c.)4oj'dxy

o

ax — x- =

(a!—2z²>l/«J—2² |_toarcsin( a2

cd — 2z²

a²

+ arcsin ll •

■y«²—z²'

Deshalb ist nach Gleichung- (69.) (75.) F(z) — z ]/a² —z² -f- 2(a² — z²) ar

£ arcsin^

a² — 2z²

u²

)+? ■

Setzt man hierbei

(76.) arcsm(-t?E?) ₌

t, also sin²f=

a² —

a²

z²

— , COS-t =

so wird

(77.) z — acost, ]/a² — z² = asÜD, dz = — agmftft,

a! — 2z² = a²(l — 2COS²0 = — a²cos(2ć) = a²cos(?r — 21)

= a² sin

folglich ist

(78.)

arcsin

a² — 2z²

a²

)=

2t—

und deshalb

Dies giebt

a    0

(80.) V = 2 f F(z) dz = 2«³ /(-—sin²1cost — 2ćsin³£ + ćsin£)cft

o

71

= 2a³

fsin²£ zostdt —f;(sin t — 2sin³ź)efój.

L-0    0    J

Dabei ist

7t

7t

(81.)

rH I CO

f sin²ć cos tdt = \ [sin³^JQ² =    ?

/1 (sin t — 2 sin³/)^ = ft {2 cos²«! — 1) sin tdt

— t(cost — fcos³0 —f^cosź — f cos H)dt = t (cos t — I cos³/!) — 4- sin«; — f sin%

also

ft (sin t — 2 sin³«;)cft = —

0

folglich wird nach Gleichung (80.) wieder

=K + )=T

(82.)

(83.)

r—I I CO

CO J Cn

§ 64.

Theorie der mehrfachen Integrale.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 165.)

Wie aus dem vorhergehenden Paragraphen zu ersehen ist. wird man durch die Kubatur der Körper auf Doppelintegrale geführt, und zwar in folgender Weise. Es war

(i.)

F(x) =ffA y¥y,

<p(x)

wobei

(2.)

f(x, y) = z‘ — z“ = g(x, y) — h(z, y)

und

** = 'JH, J),    2" = Hx, y)

(3.)

die Gleichungen der beiden, den Körper oben und unten begrenzenden Flächen sind. Bei dem in Gleichung (1.) aufgestellten Integrale ist y die Integrations - Veränderliche, während x als Constante betrachtet werden muss. Deshalb dürfen auch die Grenzen

(4.)

yi = y2 = V(z) dieses Integrals noch Functionen von x sein, wobei die Gleichungen (4.) auf der XY-Ebene senkrecht stehende Cylinder darstellen, welche den Körper vorn und rückwärts begrenzen. Das Volumen des Körpers wird dann

(5.)

b    b tp(x)

V — fF(x)dx =fdxff{x, y)dy.

ip{x)

Aus dem Vorstehenden folgt gleichzeitig, dass auch umgekehrt ein solches Doppelintegral stets als das Volumen eines Körpers betrachtet werden kann, der oben von der Fläche

² =/(*, y),

(6.)

unten von der XY-Ebene, vorn und rückwärts durch die Cylinder

(70

Fig. 119.

y i = y(«), Vi =

links und rechts von den Ebenen

J)

P (8-)

Y pr

begrenzt wird. Die Richtigkeit dieser Behauptung folgt aus Figur 119 ; dabei entspricht der Gleichung (6.) die Fläche CD FE, den Glei-chungen (7.) entsprechen die Cylin-** der CC\EtE und DD CEF. und

den Gleichungen (8.) entsprechen die Ebenen CCXDVD und EEXF₁F. X Für einen constanten Werth von x, z. B. für x = OR erhält man eine Ebene, senkrecht zur X-Axe, welche aus dem Körper die ebene Figur

Ci W~rG\

xp(x)

(9.)

GGiHJl = Fix) =Jf{x, y)dy

(p(a)

ausschneidet.

Aus dieser geometrischen Deutung des Doppelintegrals folgt auch, dass es als eine Summe von zweifach unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen aufgefasst werden kann. Der betrachtete Körper wird nämlich durch die Schnitte, senkrecht zur X-Axe, in unendlich viele, unendlich dünne Schichten zerlegt, und jede solche Schicht wird wieder durch Schnitte,

5/

senkrecht zur F-Axe, in unendlich viele, unendlich dünne Säulchen (Fig. 120) zerlegt, deren Höhe (10.) QP=z=f(x,y), und deren Grundfläche ein unendlich kleines Rechteck QQ\Q>,Q-i mit den Seiten dx, dy und dem Flächeninhalte dxdy ist.

Da bei der Integration in Bezug auf y die Grössen x und dx constant bleiben, so kann man natürlich die Gleichung (5.) auch in der Form

Fig. 120.

/Y

R Ri

fl

-X

6    i//(x)

V =f Jf(x, y)dxdy

a ip(x)

fix, y)dxdy = zdxdy das Volumen eines solchen unendlich dünnen Säulchens QQiQäQ2 PPiP3P2 ist.

(11.)

schreiben, wobei

(12.)

Auch die Ordnung der Integration darf man ändern, denn man kann die unendlich dünnen Säulchen, welche zu demselben Werthe von y gehören, durch Summation zu einer unendlich dünnen Schicht vereinigen, welche zur XZ-Ebene parallel ist, und dann durch Summation aller dieser Schichten den ganzen Körper erhalten. Zu beachten ist aber, dass hierbei im Allgemeinen auch eine Aenderung der Integrationsgrenzen stattfindet.

Fig. 121.

4-/

/'/ / V \M ^3

zzrz¹

/v AtfAt

Nur in dem Falle, wo die Integrationsgrenzen (p(x) und ip(x) von x unabhängig sind, werden die Cylinder F

(13.) y = ((Ax) und y .= ip(x) in Ebenen

F] (14.) y = c und y = d

übergehen (Fig. 121). Dann folgt aus der geometrischen Deutung des Doppelintegrals ohne Weiteres

b d    rł    b

(15.)

f dx/fx, y)dy =/dy/f(x, y)dx

(16.)

denn in diesem Falle ist der Körper begrenzt von der krummen Fläche z=f(x,y), von der XY-Ebene und den 4 Ebenen CiCDI)u EiEFFi, C^CEEX, 71,1)F1\ mit den Gleichungen x = a, x= b, y = c, y — d.

Dies giebt den Satz:

Sind die Grenzen eines Doppelintegrals in Bezug auf x und y constante Grössen, so wird der Werth des Foppeiintegrals nicht geändert, wenn man die Ordnung der Integration in Bezug auf die beiden Veränderlichen x und y umkehrt, während die Integrationsgrenzen unverändert bleiben.

Jetzt ergiebt sich von selbst, was man unter einem dreifachen Integrale

b Mx) 9(x, y) fdxfdy ff{x,y,z)dz

a (p(x) h{x, y)

zu verstehen hat. In ähnlicher Weise kann man auch ein nf aches Integral erklären und als eine Summe von n - fach unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen deuten.

Es ist möglich, das Volumen eines Körpers auch als ein dreifaches Integral darzustellen, denn es ist

*'    0(x, y)

z' — z“ =fdz =/dz,

hix, y)

b ip(x) g{z,y)    b xfj(x) g(x,y)

V = f dx j'dy f dz — J J Jdxdydz.

a <p(x) h{x, y) a <p(x) h(x,y)

Hierbei ist dxdydz ein unendlich kleines rechtwinkliges Parallelepipedon (Fig. 122), welches das Volumenelement genannt wird. Die angegebenen Integrationsgrenzen deuten darauf hin, dass man zuerst in Bezug auf 2, dann in Bezug auf y und zuletzt in Bezug auf x integriren soll. Man darf aber auch die Reihenfolge der Integrationen ändern, nur muss man dabei beachten, dass sich dann im Allgemeinen auch die Integrationsgrenzen ändern. Wenn man z. B. zuerst in Bezug auf x integrirt, so sind die Grenzen xi und x₂ im Allgemeinen noch Functionen von y und 2, welche durch die Gleichungen der begrenzenden Flächen bestimmt sind.

also

(17.)

2"

Fig. 122.

dx

dy

§ 65.

Einführung von neuen Integrations-Veränderlichen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 166—168.)

Wie man bei den einfachen Integralen durch Substitution eine neue Integrations-Veränderliche zur leichteren Ermittelung des gesuchten Integrals einführte, so kann man auch bei den rc-fachen Integralen durch Substitution n neue Veränderliche einführen und dadurch möglicher Weise die Berechnung des mehrfachen Integrals wesentlich erleichtern. Bei einem Doppelintegrale

(1.)

h xp(x)

V =/ fßx, y)dxdy

a (p(x)

setze man z. B.

und mache u und v zu Integrations-Veränderlichen. Während aber bei der Darstellung von V durch Gleichung (1.) constante Werthe von x Schnitte, senkrecht zur X-Axe, lieferten, erhält man für u = c aus den Gleichungen (2.) die Gleichungen x =/i(c, «), y =/₂(c, v), welche für jeden Werth von c einer Curve in der X Y-Ebene oder einer Cy linderfläche im Raume entsprechen. Ebenso erhält man für constante Werthe von v aus den Gleichungen (2.) wieder Cy linderflächen, welche auf der X Y-Ebene senkrecht stehen. Setzt man z. B.

(3.)

(4.)

x = rc,0Scf, y — rsuuf, indem man die beiden neuen Integrations-Veränderlichen mit r und (f bezeichnet, so erhält man für constante Werthe von r

Fig. 123.

Mp,

concentrische Kreise (Fig. 123), bezw. coaxiale Kreiscylinder, und für constante Werthe von </> gerade Linien durch den Nullpunkt, bezw. Ebenen durch die Z-Axe.

So lange x und y die Integrations - V eränderlichen    waren,

musste man sich den Körper in zweifach unendlich viele, unendlich dünne Säulchen zerlegt denken, deren Höhe 2 =f{x, y), und deren Grundfläche ein Rechteck mit den Seiten dx, dy und dem Flächeninhalte dxdy ist. Jetzt wird der Körper auch in zweifach unendlich viele, unendlich dünne Säulchen mit der Höhe

(5.)

Fig. 124.

zerlegt, aber die Grundflächen PPd\l\ (Fig. 124) sind nicht mehr Rechtecke mit dem Flächeninhalte dxdy, sondern kleine Vierecke mit den Ecken P, Pt, P₃, P2. Die Coordinaten dieser Punkte entsprechen nach den vorhergehenden Ausführungen bezw. den Werthen (u, v), {u-(-du, v), (u-j-du, v-j-dv), (u, o-\-dv), d. h. es wird

(6.)

dx

x^x+^du,

yr = y+

dy

dudUl

(7.)

dx

(8.)

dy

y* = y+üdo’

xz=x+^du+^dß> y3 =    du+%dv-

x₂ = x-}-~ de dv

Nun ist der Flächeninhalt des Vierecks PPXP₃P₂, da man die Seiten als gerade Linien betrachten kann,

G = i[%i — y2) + xÂy* — y) + xA{y₂ — yx) + x₂(y — yA)\

= ł[(^3 — x) (y₂ — yx) — (x₂ — xx) (y₃ — y)\

oder

(90

xA — x, x₂ — xx

y* — y, y* — yi

Dies giebt mit Rücksicht auf die Gleichungen (6.) bis (8.)

r)cr

du+ ~dv

Oj Qj

dv

dv —

dx

du

du

dy

dy

dy

dy

- du-\-—dv, ~-dv—'—-du du dv dv    du

oder, wenn man die Elemente der zweiten Colonne von denen der ersten Colonne subtrahirt, dx dx du ’ dv

de —

dx

(10.) 2G = 2du

du

du

dx dx

, %dv-eJ-du dv

du

=2dudv

du

dv

dy dy

du ’ dv

also

dy\

~~d^du)

_ /dx dy dx \du dv

Deshalb ist das Volumen eines solchen Säulchens . /dx dy dx

st* *)•(&&

und das Volumen des ganzen Körpers

(10a.)

dudv.

(HO

_öy\

dv du)

dudv,

(12.)

p M«)

wobei man für x und y noch die in Gleichung (2.) angegebenen Werthe einsetzen und die Integrationsgrenzen passend bestimmen muss.

Den Ausdruck

(13.)

öx dy öx öy _ du de öv du ~

dx öx du öv

dy dy

du ’ do

nennt man „die Functionaldeterminante“.

Aus den Gleichungen (1.) und (12.) folgt ganz allgemein für die Doppelintegrale die Formel

b ip(x)    ß A(u)

(¹⁴0 J jffa y)dxdy =J jf(x, y). (

a <p(x)    a g(u)

öx dy öx dy\ du öv öv du)

dudv.

Für den Fall, dass man durch die Gleichungen x = rco$(p, y>= rsiri(p ebene Polarcoordinaten einführt, wird z. B.

dy

(15.)

(16.)

(17.)

dy

& = sin7>>

die Functionaldeterminante ist daher öx dy    dx dy

ör ö(f    ö(f ör

folglich geht Gleichung (14.) über in

fi H<f)

(19.) f Jf(x,y)dxdy =J Jf(rcoS(p, rsin tp) . rd<pdr.

a (p(x)

Hierbei ist vorausgesetzt, dass man zuerst in Bezug auf r mid dann in Bezug auf cp integrirt; man kann aber auch zuerst in Bezug auf (p und dann in Bezug auf r integriren, nur muss man dann die Grenzen anders bestimmen.

Das in Gleichung (19.) enthaltene Resultat findet man noch leichter, wenn man beachtet, dass die Grundflächen PP1P3P2

(18.)

b    %p(x)

Ö(p

-f rcosop;

= rcos²(p + rsin²</) = r,

in diesem Falle kleine Rechtecke mit den Seiten rdrp und dr sind (Fig. 123).

Wie nützlich die Einführung von neuen Integrations-Veränderlichen mitunter hei der |Ermittelung von Doppelintegralen ist, kann man z. B. aus den in § 63 behandelten Aufgaben ersehen. So war in Aufgabe 2

(20.)

*2 y-i

=    ! f ßpzo + y² — m²x²)dxdy.

£1-

Führt man in diesem Falle für die rechtwinkligen Coordi-naten x und y ebene Polarcoordinaten durch die G-leichungen (15.) ein, so erhält man nach Gleichung (19.)

(21.) V

2n a

=    r2^n2(f - m2

0 0 2 n

= YPfdĄpz^ ⁺

0

2 n

= ^~ld(p [4pz₀ + a²(sin²^)

o

r*

COS ²(f>)]rdr

— (sin²r/ — m- cos ²cp)

— m² cos² 75)]

und dies giebt nach Formel Nr. 62 und 63 der Tabelle in Ueber-einstimmung mit dem früher gefundenen Resultate

(22.) V =

"

8 p. a²ir

£pzo<f

1 + m² . .    , 1 — m² . l2n

—-cfSUUp COS75 -1----a²rp J

[8pz₀ + (1 — m²)«²].

In Aufgabe 3 (vgl. Fig. 115) sollte

*2 y-i

(23.)

= J (y² — m²x²)dxdy

berechnet werden, wobei

m = tg«, y 1 = mx, y₂ = V«²—x², Xi = 0, x₂

Kiepert, Integral-Rechnung.

SU

«cos«

war. Durch Einführung von Polarcoordinaten wird nach Gleichung (19.)

71

(24.)

V = ~Jd<f J r²(sin²</> — m² cos²(f)rdr

a 5

71

a⁴ r

= —J(sm²(p — m² cos² (f)d(f,

also nach Formel Nr. 62 und 63 der Tabelle

(25.) F =

a*

4jp

[— (1 -f- m²)sin<£> cos (f + (1 — ?n²)(f]

a⁴ r

7T

(1 — m²) — + (1 + m²)sin«cos « — (1 — m²) «],

oder, da l + m² — 1 -f tg²w =

cos² a

ist,

(26.)

[2m -f- (1 — m²) (n — 2«)].

In Aufgabe 4 war nach den Gleichungen (40.) und (50.)

in § 63

n ~y/ a? — x²

(27.)

sJfv

⁰ ~ÿax—:t²

a²—x²—y² . dxdy.

Durch Einführung von Polarcoordinaten wird nach Gleichung (19.)

71

(28.)

-r2

= 8j~d(f I rdr ]/ a²

0 a COS cp

also nach Formel Nr. 75 der Tabelle

oo

(31.)

Dies giebt wieder 8 a³

3 cos^p

Mitunter wird man sogar bei Anwendung derartiger Substitutionen einfache Integrale dadurch ermitteln, dass man sie auf Doppelintegrale zurückführt. Es sei z. B.

(30.)

71

X , T« 16c

8®°**J = 9

0

SA

o

71

(29.) V

= 8 Jdff £

o

i-i ; CO

(a²—r²) y«² —r²

J«cos<p

7Ï

⁼ ~^J s*n3<^^ ⁼

o

— C0S²^y(C0Sf/>).

= jer~x2dx

zu berechnen; dann ist auch, wenn man x mit y vertauscht,

OO

(32.)

=J e-y*dy.

Indem man die Gleichungen (31.) und (32.) mit einander multiplicirt, erhält man

OO

oo

oo oo

(33.)

J¹

=Je—^dx Je~~y²dy =J Je 0 0 0 0

—^*+y*)dxdy.

Fig. 125.

(34.)

Dieses Integral stellt das Volumen eines Körpers dar, welcher oben durch die Rotationsfläche 2 = e-

unten durch die X Y-Ebene und L seitlich durch die XZ-Ebene und die YZ-Ebene begrenzt wird (Fig. 125).

Durch Einführung von Polarcoordinaten findet man daher nach Gleichung (19.)

Dies giebt, indem man

(36.)

oo

(35.)

-ff,

0 0

~r*rd(pdr.

r² = — t, also 2 rdr — — dt

setzt

-OO

(37.) P = —

rH |(M

d(f / etdt = —

fd<p[eX⁰° =

o

tO

®,N>| I-

¥

/ dff =

folglich wird

OO

(38.)

e~xidx =

Dieses Integral spielt eine wichtige Rolle in der höheren V erm essnngskunde.

§ 66-

Complanation der Flächen.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 169.)

Wie man sich den Bogen einer Curve zusammengesetzt denken kann aus unendlich vielen, unendlich kleinen Sehnen ds, d. h. wie man den Bogen einer Curve als ein Polygon mit unendlich vielen, unendlich kleinen Seiten betrachten kann, so kann man sich auch eine gekrümmte Fläche

(1.)

F(x, y, z) = 0, oder 2 =/(*, y) aus zweifach unendlich vielen, unendlich kleinen ebenen Stücken zusammengesetzt denken, d. h. man kann die gekrümmte Fläche als ein Polyeder mit zweifach unendlich vielen, unendlich kleinen Seitenflächen betrachten.

Verbindet man nämlich einen beliebigen Punkt P der Fläche mit allen unendlich nahen Punkten durch gerade Linien, so sind diese geraden Linien Tangenten der Fläche im Punkte P

und liegen im Allgemeinen sämmtlich in einer Ebene, welche die Tangentialebene der Fläche im Punkte P genannt wird und die Gleichung

P\{x* — x) + P₂(y' — y) + Fz(z‘ — z) = 0,

(2.)

oder

dz

(y‘ — y)

dz

(2 a.)

dy

z‘-* = 8iSx‘-x) +

hat. (Vergl. D.-R., Formel Nr. 145 der Tabelle.)

Fig. 126.

Legt man also wieder unendlich viele Schnitte, senkrecht zur X-Axe und senkrecht zur Y-Axe, so zertheilen diese die Fläche in unendlich viele, unendlich kleine Vierecke PPiP₃P₂, deren Eckpunkte sämmtlich in der Tangentialebene des Punktes P liegen (Fig. 126). Man kann also das Viereck PP1P3P2 als eben betrachten und findet den Flächeninhalt dO desselben aus der Gleichung

■2

(3.) PPiP3P2. cos?' = dO . cosr

■i

= QQ1Q3Q2 = dxdy,

wobei QQiQsQ-2 die Projection von PPiP₃P2 auf die X Y-Ebene und y der Winkel ist, welchen die Tangentialebene des Punktes P mit der X Y-Ebene bildet.*)

- Fig. 127.

*) Der hierbei angewendete Satz er-giebt sich unmittelbar aus Figur 127.

Wird nämlich das beliebige Viereck PP,P₃P₂ in der Ebene « auf die Ebene projicirt, so liegen die Lothe QP, QtPi,

Q₂ Po, welche man bezw. von den Punkten P, Pi, P₃. P₂ auf die Ebene fällt, in den Ebenen PSQ, Pi-SjQi, P3S3Q3, P₂-S'₂ Q-2, welche durch die Eckpunkte des Vierecks PPtP₂P₃ hin-

'Pi

SA

s>

Dabei ist nach Gleichung' (2.) und (2 a.) in diesem Falle

(11.)

COS Y =

F3

1/Ff+Ff+F?

MÏMS)'

folglich wird

(12.)

dü

= dxiy = yFtt+Ft*+Ąt.

COS Y    P3

oder

(12a.)

dü

durchgehen und auf der Schnittlinie AB der Ebenen f und *| senkrecht stehen. Die Winkel PSQ, PiSiQi, P3S3Qs, 1\>% Qo sind alle dem Neigungswinkel y gleich, so dass

GO

»SQ = SP. COs y,    Qj — SiPt . cos y, S3 Q₃ = S3P3. cos y,

S0Q2 = &2P2 • c°s y

ist. Da nun das Paralleltrapez

SQQlSl = ^(SQ + Sl QO . SSl,

und das Paralleltrapez

SPPpS\ = i(SP-f -Si PO . ÄS,, so folgt mit Rücksicht auf die Gleichungen (4.), dass . SQ QiSi = SPPßi. cos y.

(5.)

Ebenso findet man

(6.)

(7.)

(8.)

-Si Qi Q3S3 = SiPM . cos y, -S₃Q3Q%S-> = S3P3P2S0 . cosy, -SoQ-2Q-S = -S2P2PS . cosy.

Dies gieht

Q Qi Q3 Q2 — Ą Qi Q3Ä3 -j- -S3 Q3 Q2-S2 — -S2 Q2 Q-S — <SQ Qi-S’i

= (Ä1P1P3-S3 + S3P3P2S2 — -S2P2P-S - -SPP, SO cos y = PP1P3P2 cosy.

In ähnlicher Weise kann man zeigen, dass die Projection Pi eines beliebigen Polygons F in der Ebene f auf eine andere Ebene gleich F. cosy wird, wenn y der Neigungswinkel zwischen den beiden Ebenen ist. Da man eine krummlinig begrenzte Figur als ein Polygon mit unendlich vielen Seiten betrachten kann, so gilt die Formel

(10.)

Fi — P’cosy

auch für jede beliebige ebene Figur F und deren Projection 1\.

Die Integration dieses Ausdruckes in Bezug aus y bedeutet, dass man alle diese unendlich kleinen Vierecke summirt, welche zu demselben Werthe von x gehören. Die erste Integration giebt also einen unendlich dünnen Flächenstreifen.

Integrirt man dann noch in Bezug auf x, so erhält man die ganze Oberfläche

b 1p(x)    b \p(x) _

</>(*)

(13.) 0 =frrßyW + W + ** =/*/*]/1 '+(1)+©•

(f(x)

Die Berechnung des Inhalts einer krummen Oberfläche nennt man: „Complanation der Flächen

§ 67.

Uebungs-Beispiele.

Aufgabe 1. Die Gleichung

(1.)

pz = xy

Stellt ein gleichseitiges hyperbolisches Paraboloid dar; man soll den Inhalt der Oberfläche zwischen den Ębenen

(2.)

x = 0 und x = a, y = 0 und y = b

berechnen.

Auflösung. Das hyperbolische Paraboloid wird von den begrenzenden Ebenen in geraden Linien geschnitten, so dass die gesuchte Fläche die Seiten eines räumlichen Vierecks mit einander verbindet. Aus Gleichung (1.) folgt dabei

(3.)

y    dz    x

— — ’ — — 5 P    Oy    p

(*•)

deshalb wird

a b

O = j'dxfdy Y pi -f- x¹ -f- y'².

o o

Dies giebt nach Formel Nr. 82 der Tabelle

=-^pJdx\yVp‘i + z² +y* +0² + «²)K> + V/*+ *+*>]

(6.) 0

0

= ^Jdx^bYp²-\~b²-{-x²-\-(p²-\-x²)\Ç

o

b -f- Vp²+ &M-V2 Vp² ~h -r2

)'

Setzt man

(7.)

so wird

yp²+x²

de — (p² -f- x²)dx.

(8.)

ü = p²# -f-

»|

« co

(3p² + «²)

xdx

(9.)

xdx

(ô + ]/p²+F+ ^²))/ p² + è² + a:² P² + *²

_ (Vp² + b² -f- x² — b)xdx

xdx

{p²x'²)yp² -|- b² + x² p² + x2 bxüx

(p² + #²) Vp² + b² + æ²

folglich erhält man nach der Formel

fude = uv — fvdu für die partielle Integration

ao.)/(^₎₁(t+>g+g+^

₌    (₃„2 ₊ a-2) 1 /é +Vp²+^² + ^²\ b j' (3p²x²+x*)dx

\ yj~+ x² ) sj (p2+x²) y p²+b²+x²

Nun ist nach Formel Nr. 80 und 22 der Tabelle

UM f (x*^P2xi)dx

J (x² + p²) )/p² + Ó² + X²

4 /    äfo

p J(p²+^²) Vp²+^²+^²

— Vp²+^²+^²+~ ~2~~ - ifo + Vp²+ö²+^²)

4^_^

y (p²+ ,r²))/p²

__ ^(^2 + 2p²)dx

J yp² -j-b²-j-x²

-j- 6² + £²

Setzt man noch

(12.)

Yp² + b² = c und x — c.tgt

so wird

(13.)

dx — —

c. dt,

cos²#

also

V/>² -f- b² + x² = —C-— ?

cos t

(14.) f-    ,__________

J (p² + x²) ]/p² + b² -f- x²

Wenn man ferner

dx

f c. dt. cos t _f cos t. dt J(//-cos²#-f e²sin²#). c j p²+b²sm²t

(15.)

einfülirt, so findet man aus Gleichung (14.)

b sin t = pw, also b cos t. dt — pdw

mf

dx

1 r dw _ 1    /ó sin t \

(p²+x²) Yp²-{-b²-\-x² pbjl + w²~~pb&lC p )

- ''arctgf

folglich geht Gleichung (11.) über in

(17 ) /    (3p²x²+x*)dx

./(;p²-\-X²) Yp² + b² + X²

pb

bx

pYp² + b² +

X²)'

=|y?+F+p+

b + Yf + b² + x1 Yp² + x²

\(x + Yp¹ + b² + x²) —\pz arctg (—-3    \

Da nun noch nach Formel Nr. 82 der Tabelle

« Ico

/)]/ p²-\- b²-\- x²,

)■

imd Gleichung (10.) ergiebt

b -\~Yp¹b²x2 Yp² + x²

=    (3/>!+z²)l(

(3jP² — b²)b

2-l(x +Ypi + b²+x²)

pa ,    / bx

^-arctgf

dx

-)+ ^Yf+b²+x²

bx

pY P2jrb²-\- x²

(19.) !bdxYp² + b² + x² = ~Ypi+b²+z²

Y~l—¹ (x + Yp^+^+x²)

(p² + b²)b

ist, so folgt aus Gleichung (6.)

(3p²-\-x²)x j/ö -\-yp² + b--\- x²

V Yf + &

(20.) O =

(3p² + b²)b

l(.r -f- ~ÿp²-\-b²x²)

) — arctg^

hx

p Yp² &² -f- rcOl/

also

ab

(21.) 0 = ——

3p

(3y»²-f-a²)a j Sb -f- V/?² + a² + ö²

\ y^+ «²

6p

(3p² + b²)b

6p

>(•

a + yV² + d¹ + b²

)—^arctg(

ab

Yf + b²

Da bei dieser Aufgabe die Integrationsgrenzen constant sind, so hätte man auch die Reihenfolge der Integrationen umkehren können, ohne die Grenzen zu ändern.

PyP² + a² + bi

Aufgabe 2. Die Gleichung

(22.)

2\pz = x² — y²

Stellt wieder ein gleichseitiges hyperbolisches Paraboloid dar; man soll den Inhalt der Oberfläche innerhalb des Cylinders

x² -f- y² — a²

(23.)

berechnen.

Auflösung. Aus Gleichung (22.) folgt

dz _ y

dx~ dy ~~ p’

(24.)

dz

(25.)

deshalb wird

(26.)

i¹+(l?)⁺(S‘)²⁼pi/p!+:52+y2;

a ~ÿaz—x*

O — ^ Jdxjdy yp¹ -j- x² Yy².

o o

Durch Einfülirmig von ebenen Polarcoordinaten erhält man nach Formel Nr. 167 der Tabelle

(27.)

0 = —JdffJrdr Yp² -f- r²

o o

und daraus nach Formel Nr. 83 der Tabelle

71

(28.)

0 = ipfd(p ( p~+r2)Vp*

0

= ^ [(^² +    a'² — F⁵] /#

o

-f- r²

= ^ [(jo² + a²) ]//>² + a² — jp³].

3»

Auch hier hätte man die Reihenfolge bei den Integrationen ändern und die Gleichung (27.) auf die Form

(29.) 0

= —Jrdryp² + r'² Jd(p = ^-JrdrYp²

0 0 0

-f- r2

= — \(p² + r²)Yp² -f- r²~] = ^ \{p² + a²)V/^ -f- a² — p3 °p L    Jo 3p L

bringen können.

Aufgabe 3. Man soll denjenigen Theil der Kugeloberfläche mit der Gleichung

(30.) x² -j- y² -j- z² — a² = 0, oder z = ± yä²—a:²—y2 berechnen, der von den beiden Cylindern

(31.)

a:² -f y- — aa: und a:² + y² = — aa: herausgebohrt wird. (Vergl. die Figuren 116 und 117.)

(32.)

Auflösung. Aus den Gleichungen (30.) folgt Fx — 2x, F₂ = 2 y, F₃ = 2z,

Ya²— x² — y²

(33.) ~VW+ Ff +    y‘ +

jT3    Z

Da die gesuchte Oberfläche durch die Coordinaten-Ebenen in 8 symmetrische Theile zerlegt wird, so braucht man nur einen solchen Theil zu berechnen und mit 8 zu multipliciren. Dadurch erhält man nach den Formeln Nr. 169 und 21 der Tabelle

u ax—sca

(34.)

= 8« (dx\-____

J y I/o²—x- — y²

0 0

dy

= Sa jdx arc sin ^

~y ax—x-

Y a² — x²

)l

also

(35.)

= Sa Jdx. arc sin

o

V—

\ a + X

Setzt man

(36.)

u = arc sin

l/—

} a + x

, do — dx,

so wird

(87.)

tgu

= f’

! « ! es

v = x — otg'²m, folglich findet man durch partielle Integration

(38.) Jc

dx. arc sin

= x arc sin

1/CE

! a-\- x

aJ t g²udu.

und wenn man

(39.)

tgu = f, also u = arc tg t, du

dt

1 + t²

setzt.

(40.)

/*•*-]

' t²dt

A'-ïh>

— t — arc tg t — t gu — u

t² + 1

— 1/ — — arc sin

I a

y*-

Dies giebt

= S Ja

o

8 aldx . arc sin

i/-i

) a -f x

= Sa

{x+o)arc sin "j/— Y axj,

O = 8a(2a . arcsin — a) = 4a²/r — 8a².

(41.)

(42.)

Da die ganze Kugel die Oberfläche K = 4 a²7r

hat, so bleibt für den ausserhalb der beiden Cylinder liegenden Theil der Kugeloberfläche

(43.)

Oi = 8a²

übrig.

Die Lösung der Aufgabe wird bedeutend einfacher, wenn man ebene Polarcoordinaten einführt; dadurch geht nach Formel Nr. 167 der Tabelle Gleichung (34.) über in

(44.) 0 = 8a

2 c

afd<fJya* — r2 0 0

a COS (p

rar

Y

/' r --“lrt cos (p

= 8 a jdcf — J/ dl—r²

o

= 8 aJd.cp[a o

— a sin <p\ = 8 a² [y Ą- cosy]

folglich erhält man wieder

(45.)

0 = 4a²7r — 8a².

Aufgabe 4. Man soll die Oberfläche der beiden Kreiscylinder X² + y² — ax = 0 und x² + y² + ax = 0 berechnen, so weit dieselbe innerhalb der Kugel x² + y² + z² — d² — 0 liegt. (Vergl. die Figuren 116 und 117.)

Auflösung. Die gesuchte Oberfläche wird durch die Coor-dinaten-Ebenen in 8 symmetrische Theile zerlegt; man braucht daher wieder nur einen dieser Theile zu berechnen und das gefundene Kesultat mit 8 zu multipliciren. Die Gleichung der Fläche ist

(46.)

(47.)

(46 a.)

F(x, y, z) — x² + y'² — ax — 0 und enthält die Veränderliche z gar nicht. Damit die gegebene Methode anwendbar wird, muss man die Coordinaten in Formel

Nr. 169 der Tabelle mit einander vertauschen. Indem man z. B. y als Function von x und z ansieht, geht diese Formel für die Berechnung der krummen Oberfläche über in

(48.)

b

°=M%vw

+f₂² +fs*.

</>(*)

Aus Gleichung (46 a.) findet man

Fi = 2x — a, F₂ = 2 y, Fz — 0,

Fi² + F>² -f Fs² = 4lX² — 4:(ix + a² + 4 y'², oder mit Rücksicht auf Gleichung (46 a.)

F? + Ff + FJ = a\ YW+W+Ff = a,

(49.)

(50.)

(51.)

folglich wil’d

(52.)

J J J Vax-— x²J

oo    o    o

Da zi, der Grenzwerth von z, zu einem Punkte gehört, welcher auf der Kugel und auf dem Kreiscylinder liegt, so wird

zy = ya²—x² — y²,

wobei aber noch nach Gleichung (46 a.)

x² y² = ax

ist, folglich erhält man

(53.)

zi — y a² — ax .

Dies giebt

(54.) O

a² — ax

ax — x²

*St.

0

8 aya\yx\,

also

(55.)

0 = 8a².

Die Fläche der beiden Kreiscylinder, so weit sie von der Kugel eingeschlossen wird, ist also gerade so gross wie derjenige Theil der Kugeloberfläche, welcher ausserhalb der beiden Cylinder liegt.

§ 67. „Complanation der Flächen; Uebungs-Aufgaben. Aufgabe 5. Aus der Schraubenfläche

(56.)    -,

(57.)

schneiden die beiden coaxialen Kreiscylinder x² -f- y² = a², x¹ -)- y² = b²

und die beiden Ebenen

(58.)

C7T

r;r

einen Theil der Oberfläche heraus^ man soll den Flächeninhalt dieses Theiles berechnen.

Auflösung. Aus Gleichung- (56.) folgt

(59.) Fi=— tg

F₂

= 1; F₃ = -f[l₊tg>(i)]

X² + y²

cx

(60.) Fi² + F₂²-fF₃²

(ei.) - 4vw+w+w

__ cl{x1<-\-y‘¹)Jr{x²-\-y²')²_x²-\-y²

C~X-

C²Xl

(c²+x²+y ),

__, -i/c² + X² + y²

~ I X² + y²

also, da hier nur das obere Zeichen in Betracht kommt,

-hM-

(62.)

c² + x² 4- y2 x² + y²

Die Bestimmung der Integrationsgrenzen ist unterblieben, weil durch die Gleichungen

(63.)

x = rcos (f, y = rsiny neue Integrations-Veränderliche eingeführt werden sollen. Dadurch erhält man nach Formel Nr. 167 der Tabelle

(64.)

⁺T b _ b    ⁺1

0 ==jdtpjrdrl/C    =jdr ]/c² + r²Jd(f.

na    a    n

~2

~T

Tt    7X

Die Grenzen^ =— —und <p =+—bestimmen sich daraus,

A    Z

dass nach Gleichung (56.)

(65.)

wird.

Z = C(f

Nach Formel Nr. 82 der Tabelle erhält man daher

(66.)

b    h

O = JT fdr Yc² -f- r²—~ c² -(- r²+c^l^r+j/c² + r²)J

a    a

= [b    — a Ya?Tc² + c²l(-

b + Vb² +c²

-j- Y a² + c²

)]'

§ 68.

Einführung zweier variablen Parameter.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 170.)

Ist die Gleichung einer Fläche in der Form

* =/(*, y)

gegeben, so kann man, wie es auch bereits in § 65 bei der Einführung von neuen Integrations-Veränderlichen geschehen war, x und y als Functionen von 2 neuen, von einander unabhängigen Veränderlichen u und v darstellen, indem man x=fl(u,v), y=f₂(u,v) setzt, wo /i(m, v) und /₂(w, v) für den jedesmaligen Zweck passend gewählte Functionen sind. Trägt man diese Werthe von x und y in die Gleichung (1.) ein, so erhält man

* =/[/i(w> v), Mu, *0] =/*(«, »)•

Man kann also eine Fläche durch die drei Gleichungen X = f\ (u, v), y =/a (u, v), z =f₃ (u, v) darstellen; und umgekehrt: Sind die drei Gleichungen (4.) beliebig gegeben, so stellen sie eine Fläche dar, deren Gleichung man durch Elimination von u und v aus den Gleichungen (4.) erhält.

(10

(2.)

(3.)

(4.)

Aus den Gleichungen (1.) und (2.) folgt sodann

(5.)

dz dz dx    dz dy

du    dx du    dy du ¹

dz_dz dx dz dy

, dv dx dv dy dv ?

(6.)

(7.)

(8.)

/dx dy    dx dy\dz dz dy    dz dy

\du dv    dvdujdx du dv    dv du

/dx dy    dx dy\ z _

\dudv    dv du) y

Setzt man also

dy dz dy dz_

du dc dc du ’

QjI Qj

dx dz dx dz du dv dv du

dz dx    dz dx

du dv    dv du

dx dy dx dy _ du dv de du

C,

so wird

(9.)

dz

dx

(10.)

■f+©+(!)=+£!+c*-

Deshalb erhält man nach Formel Nr. 166 der Tabelle, da die Functionaldeterminante gleich C ist,

+ B²+C².

m.) 0 =fßxdy-jl +(U +(sjjj=ffdudeVA'

Wie diese Formel verwendet werden kann, möge das folgende Beispiel zeigen.

Aufgabe. Durch die Gleichungen (12.) x — u³—3uv² — Su, y — 3u²—Sv², z = vz—3u²v—Sv wird eine Fläche dargestellt, auf welcher man für constante Werthe von u und v zwei Schaaren von ebenen Curven dritten Grades erhält, die einander rechtwinklig schneiden.*) Man soll auf der Fläche den Inhalt eines Vierecks berechnen, welches durch die Curven

(13.)

u= a, u — b,

c, v = d

begrenzt wird.

*) Diese Linien sind die Krümmungslinien der Fläche, welche die „Knneper¹ sehe Minimalfläche“ genannt wird. Davon soll aber bei dieser Aufgabe kein Gebrauch gemacht werden, weil in diesem Lehrbuche wegen der Beschränkung des Stoffes eine Erklärung der Krümmungslinien nicht gegeben werden konnte.

25

Kiepert, Integral-Rechnung.

(14.)

Auflösung. Aus den Gleichungen (12.) folgt

dz

= 6 UV,

du

dx

dy

du = 3(w² îî² 1), ^=6u,

dx

g-= — 6»,

dy

— 6ü,

Cb Cb

= 3(ü² — w² — 1),

deshalb wird

A = — 18w(w² + v² + 1),

B — 9(«² + ü² -j- 1) (w² -j- v² — 1), C= + 18ü(w² + ü² -f 1),

X² + P² + C² = 81 (w² + £² + l)⁴. Dies giebt nach Gleichung (11.)

ft d

(17.)    0 = 9 JduJI(w² + v² + 1)²<7ü

(15.)

(16.)

&

= 9fduf(w⁴ + 2w'V² -f- o* + 2w² + 2ü² + 1 )dv

a c b

= 9\fdu\[ud+2w² + l)(o?—c) + f (w² +1 )(#— c³) -j-1- (d⁵— c⁵)],

also

(18.) 0 = 9[|(i⁵—«⁵)(^-c)+i-(#—r;5)(è—a)+|(5³-a³)(#—c³) -f- 4(ö³—cd)(d—c) + f(c/³—c³)(ó— a)-f-(£—a)(d—c) 1.

(1.)

§ 69.

Einführung räumlicher Polarcoordinaten.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 171.)

Führt man räumliche Polarcoordinaten ein, indem man æ = ?-cosÂ cos<7>, y — rcosżsin</>, z = rsinżl

setzt, so ist (Fig. 128) OP gleich r der Radius vector, / der Neigungswinkel QOP von OP gegen die X Y-Ebene, und ff derWinkel XO Q, welchen die Projection OQ des . Radius vectors OPaufdieXY-Ebene mit der positiven Richtung der X-Axe bildet. Indem man dabei X und ff als die beiden unabhängigen Veränderlichen betrachtet, erhält man

Fig. 128.

'SP

-X

§ 69. Einführung räumlicher Polarcoordinaten. dx dv

^ = qtcos2 cos(p — r sin/ cos(p, öv dv

^ = ^jCOsA sirup — r sin / sinrp,

dz ör . , ,    ,

~r- = -5TT- sin/ + r cos/,

(2.)

< <9/    <9/

cos X cos (p — v cos / sin tp,

dx __ dr

dtp d(f’

du dv

~    ^ cos/l sin cp + rcosźtcosy,

sinÄ;

(3.)

B = — r sinil cosÂ sin<p + v ^cos<p — v²cos²A sin<p, c)v

C = -\- v ~ cos²/l — r² sin/ cosX,

(4-)

A> + ir- + C> = r“(?0co*‘X + r² (

= r2[rJ+(l)]COsU + ,'²©!’

+ r⁴cosU

also

(5.)

0 = j'jy Ä² + B² + C²dudv

Constanten Werthen von tp entsprechen Ebenen durch die Z- Axe, und constanten Werthen von X Kegelflächen, welche die Z-Axe zur Axe haben. Durch diese Ebenen und Kegel wird die Fläche in unendlich viele, unendlich kleine Vierecke zerlegt. Indem man in Bezug auf <p integrirt, erhält man die Summe von diesen Vierecken auf einem ringförmigen, unendlich schmalen

25*

Streifen zwischen zwei benachbarten Kegelflächen. Alle diese unendlich schmalen Streifen werden sodann durch Integration in Bezug auf X summirt. Daraus ergiebt sich für jeden einzelnen Fall die Bestimmung der Grenzen.

Wie dies geschieht, möge die folgende Aufgabe zeigen.

(6.)

Aufgabe. Die gegebene Fläche habe die Gleichung (x² -f- y² + z²)² = a²(x² — y²), oder bei Einführung räumlicher Polarcoordinaten durch die Gleichungen (1.)

(7.)

r² = a² cos²X cos (2cp) ; man soll die gesammte Oberfläche berechnen.

Auflösung. Um sich eine Vorstellung von der Fläche zu machen, beachte man, dass r^a sein muss, dass die Fläche also ganz innerhalb einer Kugel mit dem Halbmesser a liegt. Die X Y-Ebene schneidet sie in einer Lemniscate mit der Gleichung

(8.)

(.x² + y²)² — a\x² — y²), oder r² = a²cos(2<p), und die Ebenen durch die Z-Axe in zwei Kreisen mit den Gleichungen

(9.)

x² -\- y² = ± aYx, oder r = ± atcosA,

wobei

(10.)

= ày cos (2(f)

ist. Die Fläche entsteht also aus der Lemniscate in der XY-Ebene (Fig. 129), indem man sämmtliche Radii vectores OP zu

Fig. 129.

Durchmessern von Kreisen macht, deren Ebenen auf der X Y-Ebene ^ senkrecht stehen.

Da die Coordinaten-Ebenen die Fläche in 8 symmetrische Theile zerlegen, so braucht man nur die Oberfläche eines solchen Theiles zu berechnen und das gefundene Resultat mit 8 zu multipliciren. Die Grenzen von ą sind dabei

to' s

die von X sind 0 und

~    i n

0 und —

4

Aus Gleichung (7.) folgt dabei

(11.)

dr

(12.)

r -q^ = — «²cos/ sin/ cos(2<p), — a² cos²/l sin(2œ);

dr

r =

Ö(f

/ dr^

(13.) r² Ißl) ⁼ a4cos2^ cos²(2^>) = aV²sin²A cos(2<p), (14.) r² ^ = «⁴ cos⁴/ sin²(2<p) =

(15.) [r² + (|0J cos²A +    = a² cos(2</>) cos²/

deshalb wird

a²r² cos²/ • -

sin²(2 (f)

cos(2</>)

+ a²cos²2

_ a² cos²/_ r²

~ cos(2<p) — cos²(2y) ’

sin² (2 (p)

cos(2g>)

Dies giebt nach Gleichung (5.)

71

(16.) 0

r²d(f

COS (2(f)

= 8 a²

²ßos²Ä(R j'dcp

o    Ô

2

/*    r    “2    q2j

= 2a²7r #cos²Ac?/ = a²7r sin/ cos^, 4- /    = ——

/    L    J₀ 2

XII. Abschnitt.

Integration der Differentiale der Functionen yon mehreren Veränderlichen.

§ 70.

Vollständige Differentiale der Functionen von zwei Veränderlichen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 172.)

Ist

(10

« =/0> y)

eine Function von zwei von einander unabhängigen Veränderlichen, so ist nach D.-E., Formel Nr. 134 der Tabelle das vollständige oder totale Differential von u

du=d£dx + d£ dg,

(2.)

dy

wobei

(3.)

du

du

gZ = M(x, Vh g~ = N(x> V)

noch Functionen von x und y sind, so dass Gleichung (2.) übergeht in

(2 a.)

du = M(x, y)dx + N(x, y)dy.

Wie in dem Vorstehenden die Gleichung (2 a.) aus Gleichung (1.) abgeleitet ist, so könnte man sich jetzt auch die Aufgabe stellen: „Man soll u als Function der beiden Veränderlichen x und y bestimmen, wenn du durch die Gleichungen (2a.)

gegeben ist, oder, was auf dasselbe hinauskommt, wenn óu

du

und -tę durch die Gleichungen (3.) gegeben sind.“

Dabei erkennt man aber sogleich, dass die Functionen M(x, y) und i\,T(.r, y) nicht ganz beliebig gegeben sein dürfen; es müssen vielmehr M und N die partiellen Ableitungen ein und derselben Function u=f(x,y) sein. Wenn diese Bedingung erfüllt ist, muss nach D.-R., Formel Nr. 137 der Tabelle

(4-)

oder

(4 a.)

Kl) KM)

dy

Öx ’

öM{x, y) _ dN(x, y)

öy

öx

(5.)

sein. Diese Bedingung ist nothwendig, wenn du = M(z, y)dx -f N(x, y)dy ein vollständiges Differential sein soll ; sie ist aber auch, wie sogleich gezeigt werden soll, hinreichend, um die Function

(8.)

u =/(*, y)

zu bestimmen, deren vollständiges Differential mit Mdx+Ndy übereinstimmt.

Beweis. Wie die Gleichung

(7.)

du    .

Ei=M(-x’y)

aus Gleichung (6.) hervorgeht, indem man y als eine Constante betrachtet und nach x differentiirt, so wird Gleichung (6.) aus Gleichung (7.) hervorgehen, indem man y wieder als constant ansieht und in Bezug auf x integrirt. Dies giebt

(8.)

u — /M(x, y)dx + Y.

Hierbei ist die Integrations-Constante mit Y bezeichnet worden, um anzudeuten, dass sie noch eine Function von y sein darf, weil bei der in Gleichung (8.) angedeuteten Operation x als die einzige Veränderliche angesehen wurde. Setzt man

(9.)

J'M(x, y)dx = V,

so geht Gleichung- (8.) über in

u — v + r.

Aus dieser Gleichung folgt mit Rücksicht auf die Gleichungen (3.)

(10.)

(11.)

du

also

(12.)

dY

öv

N(x,y)-    .

In dieser Gleichung ist die linke Seite eine Function der einzigen Veränderlichen y. Damit die Aufgabe lösbar ist, muss auch die rechte Seite der Gleichung von x unabhängig sein. Das ist auch nach der in Gleichung (4 a.) festgestellten Voraussetzung der Fall, denn es ist mit Rücksicht auf Gleichung (9.)

(13.)

ÖN

ö-v

ÖN

<È)

öy

öx öx öy dx _dN ÖM ~~ öx öy

Dieser Ausdruck ist aber nach Gleichung (4a.) gleich 0,

öv

folglich muss N— ^ von x unabhängig sein. Die Gleichung

(12.) enthält also keinen Widerspruch, so dass man daraus ohne Weiteres durch Integration

=/(a'-£k⁺⁶'

(14.)

ermitteln kann. Setzt man diesen Werth von Y in die Gleichung (10.) ein, so findet man

u = v +/(v-|yy + C,

(15.)

wobei

(16.)

v —JM(x, y)dx

ist. Damit ist die Aufgabe gelöst, denn nach den Gleichungen (15.) und (16.) ist in der That

(17.)

(18.)

du dv ,,, dx~d~x~ M^X’ y)’

du_dv__,

dy dy '

N(x, y).

Man nennt den Ausdruck

M(x, y)dx + N(x, y)dy

„ein vollständiges oder totales Differential“, wenn die Bedingung 8M(x, y) _ dN(x, y)

(19.)

dy

dx

erfüllt ist. Man muss daher, wenn man sicher gehen will, ehe man integrirt, untersuchen, ob Gleichung (19.) befriedigt wird. Man kann aber auch mit der Berechnung von

v — JM(x, y)dx

dv

beginnen und dann untersuchen, ob IV — unabhängig von x

(20.)

dy

ist. Wenn dies zutrifft, so wird ja, wie schon in Gleichung (13.) gezeigt wurde,

(21.)

dN dM

dx dy

d. h. die in Gleichung (19.) angegebene Bedingung wird befriedigt.

§ 71.

Uebungs-Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll u als Function von x und y bestimmen,

wenn

(10

du — (3a;² + 8xy)dx + (4a;² -f- 3y²)dy

gegeben ist.

Auflösung. Um zunächst zu untersuchen, ob die rechte Seite von Gleichung (1.) ein vollständiges Differential ist, bilde man

ist, dass also in diesem Falle Mdx-\-Ndy ein vollständiges Differential ist. Man darf daher ohne Weiteres das in § 70 angegebene Integrations-Verfahren an wenden und erhält

(5.)

(2-)

(3.)

(4.)

dM(x, y)_ö(Sx² -f- 8xy)

dy ~ dy öN(x, y) _ ö(4:X² + Sy'²) __

r>    ““    r»

öx    öx

Aus den Gleichungen (2.) und (3.) folgt, dass ÖM(x, y)_öN(x, y)

= 8.r,

dy

öx

v — JM{x, y)dx =J[ßx² -f 8xy)dx = x³ -f- 4x²y*

Ferner wird

(6.)

öv

N — -T— = 4;r² + 3 y² — 4 x² — 3 y²

öy

und deshalb

(7.)

=/(

dlJ =y%²% = ys + C.

öy

Dies giebt

(8.)

v -f- Y — x³ + 4x²y -)- y³ -f- C.

Die Dichtigkeit dieses Resultates kann man sehr leicht durch Differentiation prüfen.

Man kann selbstverständlich die Aufgabe auch so lösen, dass man zunächst

(9.)

u = jNdy -f- X = w + X bildet, wobei X eine Function der einzigen Veränderlichen x ist, und dass man dann X aus der Gleichung

(10.)

=/(

M—

Öv:

öx

dx

berechnet.

Aufgabe 2. Man soll u als Function von x und y bestimmen,

wenn

(11.) du = (20z³ — 2lx²y + 2 y)dx + (— 7 a:³ + 2a: + 3 )dy

gegeben ist.

Auflösung. Man kann zunächst durch Bildung von

ÖM

ÖN .

zeigen, dass

öy

und

ÖM ÖN ^ n ~^r~ = -5— = — 21a:² + 2 öy öx

wird, und dass deshalb die rechte Seite in Gleichung (11.) ein vollständiges Differential ist. Dann erhält man

v = fMdx =f(20 x³ — 21 x²y + 2y)dx — 5a:⁴ — 7 x³y + 2 xy, do

(14.)    N—- - (— Ir' + 2z + 3) — (— 7z³ -f- 2z) = 3,

(12.)

(13.)

Sy

(15.)

⁼⁼f(N~ Wy)diJ =ßdy = % + C'

(16.)

Dies giebt

u = v + Y = 5a:⁴ — lx³y + 2xy 4- 3y    C.

Aufgabe 3. Man soll u als Function von x und y bestimmen,

wenn

(17.) du = (2aa; + by -j- c)dx + (bx + 2my + n)dy gegeben ist.

Auflösung. Hier wird z ÖN ~b’ öx ~

ÖM

ÖM ÖN öx ’

folglich ist die rechte Seite von Gleichung (17.) ein vollständiges Differential; man erhält daher

= fMdx — f2 ax + by + c)d.

(18.)

öy

b, also

öy

(19.)

ax² + bxy + cx,

(20.)

öv

(21.) Y

N — v— = (bx + 2 my + n) — bx — 2 my + n,

= my² 4- wy + C.

(22.)

Dies giebt

u = v 4- Y = ax² 4~ bxy 4~ cx 4~ my¹ 4- ny C.

Aufgabe 4. Man soll u als Function von x und y bestimmen,

wenn

(23.)

y xdy — ydx

*=-?+{r

gegeben ist.

Auflösung. Die Gleichung (23.) kann man auch in der

Form

(23a.)

du =

ydx

xdy

x¹ + y²    x² -f- y¹

schreiben, aus der man leichter erkennt, dass

(24.)

ist. Daraus folgt.

M=---—

x* + y*

x² + y²

(25.)

dM    y²— x²    ÖN y² — x²

öy    (x²-sr,y²)²'> öx {x²-\-y²)²

Da diese beiden Ausdrücke einander gleich sind, so ist die rechte Seite von Gleichung (23.) ein vollständiges Differential; man erhält daher nach Formel Nr. 20 der Tabelle

(26.)

v=/Mdx = -yffî**

=-arctKi)

(27.)

dv

^ öy x² -f- y² x² -f- y²

0,

(28.)

Dies giebt

(29.)

Y=f(N-S>=a

-arctg(p-

Aufgabe 5. Man soll u als Function von x und y bestimmen, wenn

(30.)

du

=(

(x-yf)ix + (

x²

(x—y)²

f)*

gegeben ist.

Auflösung. Den Nachweis, dass die rechte Seite von Gleichung (30.) ein vollständiges Differential ist, kann man führen, indem man

(31.)

ÖM _ ÖN öy ~~ öx

2 xy

(*— y)s

bildet. Man darf aber auch ohne Weiteres

(32.)

(x—yfj

= 1I+A_

£— y

berechnen und erhält daraus, dass

(33.)

Öy

(x—yf

x¹ — 2:xy + y²

(x — yf

2 xy — y2 (x — yf

eine Function der einzigen Veränderlichen y ist, diesen Nachweis. Da nun noch

(34.)

ist, so ergiebt sich

(35.)

oder

L + a — y

Aufgabe 6. Man soll u als Function von x und y bestimmen, wenn

(35a.)

(36.) du =    + y — b)dx + (

2 xy'²

x⁴—

~i + x — 2y—7^dy

gegeben ist.

Auflösung. Den Nachweis, dass die rechte Seite von Gleichung (36.) ein vollständiges Differential ist, kann man auch hier führen, indem man zeigt, dass

ÖM ÖN 6x⁴y² + 2y⁶

öy    öx    {x⁴ — y⁴f

ist. Man kann sich aber diese etwas umständliche Differentiation auch ersparen und ohne Weiteres

(37.)

2y³

Y + y—b)dx

X* —

berechnen. Dadurch erhält man

ydx

J x²—y² Jx²+y oder nach den Formeln Nr. 53 und 20 der Tabelle

₂ -f xy — hx,

(38.)

c=Kfrf)_arctg(i)+:ry

— hx.

Daraus folgt

,lxt » g.

x⁴—y4 = — 2y — 7.

Da dieser Ausdruck von x unabhängig ist, so ist die rechte Seite von Gleichung (36.) ein vollständiges Differential,- und man erhält

(40.)    Y =J{N —p^dy = —J2 y +l)dy = — y² — ly+C,

=    Y=$\(^y^—arctgÇ^+ry—hx—y² -7y+ C.

(39.)

(41.) u

dv

öy

=(

2y-7)-(

2 xy²

xi—

- +*) y /

§ 72.

Vollständige Differentiale der Functionen von drei Veränderlichen.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr 173.)

Ist

(10

u =Ax, y,s)

eine Function von drei von einander unabhängigen Veränderlichen, so wird nach D.-R., Formel Nr. 136 der Tabelle das vollständige oder totate Differential von u

(2-)

j du du du du=Wxdx+wdy ₊ -Eidz,

wobei

z N du    .du    .du TT,    .

dx    y^ ^7 — ®\xi yi z)i flZ H(x, y, z)

noch Functionen von x, y, z sind, so dass Gleichung (2.) übergeht in

du — Fdx -f Gdy + FLdz,

(2 a.) *

wenn man bezw. F, G, H statt F(x, y, z), G (x, y, z), H(x, y, z) schreibt. Wie in dem Vorstehenden die Gleichung (2 a.) aus Gleichung (1.) abgeleitet ist, so könnte man sich jetzt auch die Aufgabe stellen: Man soll u als Function der drei Veränderlichen x, y, z bestimmen, wenn du durch die Gleichung (2a.)

du

gegeben ist, oder, was auf dasselbe hinauskommt, wenn >

^ und ^ durch die Gleichungen (3.) gegeben sind.

Dabei erkennt man aber wieder sogleich, dass die drei Functionen F, G, H nicht ganz beliebig gegeben sein dürfen; sie müssen vielmehr die partiellen Ableitungen ein und derselben Function u = f(x, y, z) sein. Wenn diese Bedingung erfüllt ist, so ergiebt sich aus D.-R., Formel Nr. 137 der Tabelle

(4.)

oder

0 0 0 0 0 0

dy~öx'    ‘    ’

dz

dx

dz

dy

dF dG dF_ dH dG _ dH dx ’ dz dx ⁵ dz dy , m Diese Bedingungen sind nothwendig, wenn die rechte Seite von Gleichung (2a.) ein vollständiges Differential sein soll; sie sind aber auch, wie sogleich gezeigt werden soll, hinreichend', um eine Function

(4 a.)

dy

(5.)

zu bestimmen, deren vollständiges Differential mit Fdx 4- Gdy -j- Hdz

übereinstimmt.

Beweis. Wie die Gleichung

du

(6.)

Wx = F{x’y'Z)

aus Gleichung (5.) hervorgeht, indem man y und z als (konstanten betrachtet und die Function u nach x differentiirt, so

wird Gleichung (5.) aus Gleichung (6.) hervorgehen, indem man y und z wieder als constant ansieht und die Function F(x, y, z) in Bezug auf x integrirt. Dies giebt

u —/F{x, y, z)dx + g>(y, z).

Hierbei ist die Integrations-Constante mit y{y, z) bezeichnet worden, um anzudeuten, dass sie noch eine Function von y und z sein darf, weil bei der in Gleichung (7.) ausgeführten Integration x als die einzige Veränderliche angesehen wurde. Setzt man

f F(x, y, z)dx = v,

(7-)

(8.)

so geht Gleichung (7.) über in

o + (f(y, z).

Aus dieser Gleichung folgt mit Rücksicht auf die Gleichungen (3.)

(9.)

(10.)

(11.)

oder

(12.)

dęiy, z) __ de ^ dcpjy, z)

dz

d<p(y, z)

I Qj Qd Qj

8 *8 I 8

dy

dy

dy{y, z)

dv

= H- -r—

dz

von der Veränder-

und

Hierbei sollen

liehen x unabhängig sein, folglich muss auch die rechte Seite dieser Gleichungen (12.) von x unabhängig sein, wenn die Aufgabe lösbar sein soll. Das ist auch nach den in den Gleichungen (4a.) aufgestellten Voraussetzungen der Fall, denn es ist mit Rücksicht auf Gleichung (8.)

L(

eA

(13.)

dv

G — tt-

dy

dy

dz

dG

d²c

dG d fdv\

\&)

dy

(14.)

UH-m)

dx dxdy dx _ dG dF — dx dy

dH • dH dH d /dv\

~~ dx dxdz — dx dz \dx)

_ (FH_dF _

dx dz

= 0,

Die Gleichungen (12.) enthalten daher keinen Widerspruch, so dass man die Function <p{y, z) aus der Gleichung

de

)*+(*-£)*

(15.)

da

d(p = (^G

bestimmen kann. Auch die Bedingung, dass hierbei der Ausdruck auf der rechten Seite von Gleichung (15.) ein vollständiges Differential ist, wird erfüllt, denn man erhält nach den Gleichungen (4 a.)

dG

___₌___

dz \ dy) dz    dy dz    dy dz dy

=~(n—|?.y

dy\ dz)

Man kann daher die Gleichung (15.) nach dem in § 70 angegebenen Verfahren integriren, wie folgt. Es sei

(16.)

d²v

dH

d²v

(17.)

w=/(G~ëH

dann ist mit Rücksicht auf Gleichung: (15.)

(18.)

<f(y, z) = w + v(z),

(19.)

oder

dz

dv dw

H dz ~ dz

dip(z)

dz

(20.)

dip(z)

dz

H- -rr-

dv dw

dz dz

Dass auf der rechten Seite dieser Gleichung eine Function der einzigen Veränderlichen 2 steht, folgt schon aus den Erläuterungen in § 70, lässt sich aber auek zeigen, indem man den Ausdruck nach y differentiirt. Dann erhält man nämlich mit Rücksicht auf die Gleichungen (17.) und (4a.) de    dw \

dz    dz )    dy dydz dydz

dH dH

(21.)

-(

ey\

dH dH

d²iv

dy

dH

Cb Or

z dz \

dv

dy

dy dz

= 0.

Aus Gleichung (20.) folgt daher

(22.)

W) =/(

dv dw

^ dz dz

^dz -j- (7,

also nach den Gleichungen (9.) und (18.)

(23.)

u = v + w + ip(z), wobei sich die Werthe von v, w und ip(z) aus den Gleichungen (8.), (17.) und (22.) ergeben.

Man ist natürlich nicht an eine bestimmte Reihenfolge der Integrationen gebunden, d. h. man ist nicht gezwungen, zuerst

Jf(xi Vi z)dx, sodannund endlich j(^H—^

dv dw

dz dz

^dz

zu bilden, sondern man kann auch mit f G(x, y, z)dy oder

fH(x, y, z)dz beginnen und dann die Rechnung in ähnlicher Weise fortsetzen wie bei dem angegebenen Verfahren.

Man erkennt auch, wie sich die angegebene Methode auf Functionen von n Veränderlichen übertragen lässt. Dabei kann die rechte Seite von der Gleichung

(24.)

(25.)

du — Midx! -J~ M%dx% -f- • • • -j- Mndxn nur dann ein vollständiges Differential einer Function u =/(*!, xz,... xn)

n(n — 1)

sein, wenn die

LJ

(26.)

Bedingungen

dMa _ dMp dxp dxa

befriedigt sind. Indem man

=fMidxi und u — setzt, hat man den vorliegenden Fall einer Function von n Veränderlichen auf den einfacheren Fall einer Function von n — 1 Veränderlichen zurückgeführt, da dann noch die Function (p{x2, x₃, • • • xn) aus der Gleichung

(27.)

+    xa,.. . x„)

(28.)

dtp —    dx* F Çm₃

dc

dx 3

^dx3 -ff • • •

+ (i¥«

dv

dxn

zu berechnen ist.

§ 73.

Uebungs-Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll u als Function von x, y, z bestimmen,

wenn

(IO

du —-

adx ax -f- bz

bdz

y-

dy+~y

gegeben ist.

(2.)

Auflösung. In diesem Falle ist

ax -ff bz

also

yi

II =

ÔF _ dG _ _ dy x    y² ’

(3.)

dF _ H_ dz " dx ~ °’ dG _ dH . dz    dy    y²

Die rechte Seite von Gleichung (1.) ist daher ein vollständiges Differential, und man erhält

(4.)

v = (Fdx = f— =

J J y y

ax

(5.)

dv

ax -ff bz

ax

bz

dy

y¹

4 2 --2 ’

y    y²

(6.)

w=f(G~ wßy=-ßfdy =

(7.)

N C;

— 0,

dz

H—

dz * 0}

(8.)

dv dw

dz dz

^dz = C,

folglich wird

(9.)

ax + bz

f C.

Aufgabe 2. Man soll u als Function von x, y, z bestimmen,

wenn

(10.) du = (y³-\-yz²)dx-\-{3xy²-\-xz²-\-3y²z)dy-\-(±z³-\-2xyz-\-y³')dz

gegeben ist.

Auflösung. Hier ist

(11.) F—y³-\-yz², G — 3xy²+xz²+3y²z, H = kz³-\-2xyz-\-y³,

also

dF dG

dy

^ = w + z’-’

(12.)

dF dH

dz - dx - 2yz'

G__dH z ~~ dy

Die rechte Seite von Gleichung (10.) ist daher ein vollständiges Differential, und man erhält

v =jFdx — f {y³    yz²)dx = xy³ 4- xyz²,

dv

(14.) G —    = (3xy² 4- xz² 4- 3y²z)— (3xy² 4- xz²) = 3y²z,

(13.)

dy

Or Qj

= 2xz 4- 3y².

(15.)

y³z,

(16.) H —

dv dw dz dz

= (4a:³ 4- 2xyz 4- y³) — 2xyz — y³ = 4s³,

(17.) ip(z)=jÇ

H—~

dv dw

dz dz

^dz =ji:Z³dz = z* -\-C,

folglich wird

§ 73. Integration vollständiger Differentiale; Uebungs-Beispiele. u = xy^ + xyz² + yzz -f- z* -f C.

(18.)

Aufgabe 3. Man soll u als Function von x, y und 2 bestimmen, wenn

(19.) du =

lü _________

L r{z + r) Y z² — x²y²

\—l___„

L K² + r) y z² — x²y²

X

X —

+ [i +

xy

zYz² — x²y²

-f • ez~^dx

- smyjdy

- COSzJöfe:

gegeben ist, wobei

(20.)

r = yxl -j- y² + z²

sein soll.

Auflösung. Die Untersuchung, ob die rechte Seite von Gleichung (19.) ein vollständiges Differential ist, kann übergangen

öv

ör

ist,

dx

werden, da sich ergeben wird, dass G — ^ von x unabhängig ist, und dass H—nur noch die einzige Veränderliche z enthält. Es wird nämlich, da

(21.)

= f Fdx = /T -^—— , y •    +

J    Jlr(z + r)    yz*—x y

i-l I «t

/ \ X

— 1 (z -fr) — arc sin (yj + e² >

(22.)

öv

(23.)

(24.)

dy r(z + r) y~2 _ xy ’ öv

G-^=-smy,

IC =:ßo —    = —fsmydy = cos y.

(25.)

(26.)

de_ zĄ-r    xy

dz ~~ r(z + r) ⁺ zyzi—xy

de dw dz dz

dw

*■>=/(

^jdz = —-JcOSzdz — — sin 2 +C,

folglich wird

(27.) u = l(z + r) — arc sin + ßZ + cosy — sinz + C.

XIII. Abschnitt.

Theorie der gewöhnlichen Differential-Gleichungen erster Ordnung.

§ 74.

Begriff und Eintheiiung der Differential-Gleichungen.

Jede Gleichung, in der mehrere Veränderliche und ausserdem noch Differentiale oder Differential-Quotienten beliebig hoher Ordnung enthalten sind, heisst eine Differential-Gleichung.

Da die veränderlichen Grössen x, y, z . . . selbst endliche, die Differentiale aber unendlich kleine Grössen sind, die neben den endlichen Grössen vernachlässigt werden dürfen, so müssen beide Seiten einer Differential-Gleichung homogene Functionen der Differentiale sein, d. h. sie dürfen sich gar nicht ändern, wenn man

dx, dy, dz, ... mit t, d²x, d²y, d²z, . . . mit t², dnx, dny, dnz, . . . mit tn

multiplicirt und dann beide Seiten der Gleichung durch eine passend gewählte Potenz von t dividirt.

Dies gilt auch noch, wenn in der Differential-Gleichung partielle Differentiale und Differential-Quotienten auftreten.

Man unterscheidet gewöhnliche und partielle Differential-Gleichungen, jenachdem dieselben Functionen von einer einzigen oder Functionen von mehreren unabhängigen Veränderlichen enthalten. Hier soll nur von den geicöhnlichen Differential-Gleichungen die Rede sein.

Man theilt die gewöhnlichen Differential-Gleichungen in verschiedene Ordnungen ein nach der Ordnung des höchsten darin enthaltenen Differentials, bezw. des höchsten Differential-Quotienten. Es giebt also Differential-Gleichungen erster Ordnung, ziceiter Ordnung, u. s. w. allgemein nUr Ordnung. Beschränkt man sich zunächst auf den Fall, wo nur zwei Veränderliche x und y mit ihren Differentialen Vorkommen, so sind z. B. die Gleichungen

(1.)

(Sy- -ff 7x²)dy -ff (12xy — 8x²)dx — 0,

oder

(la.)

dy

(Sy² -ff 7z²) ^ -ff 12xy — 8z² = 0,

(2-)

y² — ax

(!)=o,

(3.)

./i+(i)⁵

(4.)

dy

^ + y •/(*) = 9>C*0

Differential-Gleichung en erster Ordnung, die Gleichungen

(5.)

d²y

dx²    a²

(6.)

(7.)

d²y

cy

dx²

sind Differential-Gleichung en ziceiter Ordnung, und die Gleichung dn~ly

dy

1-----ff Fn-i(x)ff^ -ff Fn(x) . y = 0(x)

ist eine Differential-Gleichung nter Ordnung, und zwar heisst diese Gleichung eine Differential-Gleichung nter Ordnung und ersten Grades oder eine lineare Differential-Gleichung wter Ordnung, weil sie in Bezug auf die Grössen

dxn~l

dy d-y dny dx¹ dx¹ ’ dxn

vom ersten Gfrade ist.

§ 75.

Auflösbarkeit der Differential-Gleichungen.

I ntegrations - Constanten.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 174—177.)

* Die einfachste Form einer gewöhnlichen Differential-Gleichung zwischen zwei Veränderlichen x und y tritt bei der Ermittelung eines jeden Integrals auf, wo die Gleichung

dy

(i-)

gegeben und die Gleichung

(2.)

y =/(*) + o

so zu bestimmen ist, dass Gleichung (1.) daraus durch Differentiation abgeleitet werden kann. Man nennt dann

(2 a.)

V -Jflif)d^ =/0) + 0

das allgemeine Integral der vorgelegten Differential - Gleichung. Dabei tritt noch eine beliebige Integrations-Constante C auf, welche man so bestimmen kann, dass y den Werth b annimmt, wenn x gleich a wird. Setzt man nämlich

C—b —./(«),

so wird

(2 b.)

y— b +f(x) —fia) = F(x, a, b).

Will man das angegebene Verfahren auf eine beliebige Differential-Gleichung erster Ordnung (3.) übertragen, so heisst auch dabei die gesuchte Function

(4.)

y = F(x, a, ö),

welche für x = a den Werth b annimmt, das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung, wenn Gleichung (3.) durch Einsetzen dieses Werthes von y befriedigt wird, wenn also

dass Gleichung (6.) für jeden Werth von x die Richtung der

Fig. 130.

(9.)

Curventangente angiebt; denn « ist in Gleichung (8.) der Winkel, welchen die Tangente mit der positiven Richtung der X-Axe bildet. Ist also A der Anfangspunkt der Curve (Fig. 130) mit denCoordinaten a und b, so kann man die Tangente im Punkte A construiren, weil man aus der Gleichung tg« = 9>(«, V)

den Winkel a berechnen kann.

Auf dieser Tangente liegt aber noch ein unendlich naher Curvenpunkt Ay mit den Coordinaten av, bt. Auch für diesen Punkt findet man aus der Gleichung

(10.)

(5.)

G[x, F(x, a, b), F'(x, a, £)] = 0 wird, was auch x, a und b sein mögen.

Man kann sich zunächst durch ein graphisches Verfahren davon überzeugen, dass ein solches allgemeines Integral immer existirt, bei welchem man den Anfangswerth b von y noch beliebig annehmen kann.

Bringt man nämlich die Gleichung (3.) auf die Form

fx =

und beachtet man, dass der gesuchten Gleichung

y = F(x, a, b)

eine Curve in der XY-Ebene entspricht, so erkennt man aus der geometrischen Deutung des Differential-Quotienten (vergl. D.-R., Formel Nr. 16 der Tabelle), nämlich aus der Gleichung

(6.)

(7.)

(8.)

dy

tg«i = 9>(ai, Ät) die Richtung der nächsten Tangente AtA₂, wobei der Punkt A2 dem Punkte At unendlich nahe liegen möge, so dass auch A.2 noch ein Punkt der Curve ist. Jetzt findet man aus der Gleichung

tg «2 = y («2, 62)

(11.)

die Richtung der Tangente im Punkte A₂. Indem man so weiter fortfährt, findet man beliebig viele Punkte und Tangenten der gesuchten Curve, welche der vorgelegten Differential-Gleichung genügt.

Da man in Wirklichkeit die Punkte A, A1} A₂,... einander nicht unendlich nahe legen kann, so liefert dieses Verfahren bei der praktischen Ausführung zwar nur ein angenähertes Resultat ; in der Vorstellung ist man aber dieser Beschränkung nicht unterworfen, so dass man damit bewiesen hat, dass die vor gelegte Differential-Gleichung immer ein Integral besitzt.

Fig. 131.

Weil nämlich

Gleichzeitig erkennt man aus diesem graphischen Verfahren, dass die Differential-Gleichung nicht ein Integral, sondern unendlich viele Integrale besitzt.

Gleichung (6.) nur die Richtung der Tangente angiebt, so kann man für die Abscisse x = a die Ordinate

y = b noch beliebig wählen, d. h. q es wird nicht eine Curve geben, welche der vorgelegten Differential-Gleichung genügt, sondern unendlich viele.

Dieses graphische Verfahren kann man auch benutzen, um die auf einander folgenden Werthe b, bi, b₂,... von y zu berechnen, denn aus Gleichung (6.) findet man zunächst

- = (f(a, b), oder br = b + {ax — a)(f{a, à)

CI

(12-) hi~

«i

und ebenso

(13.)

b₂ = bt + (o₂ — ai)(f(ai, bi),

n. s. w.

Dabei sind allerdings bi, b₂,... nur Näherungswerte, die um so weniger von den wahren Werthen ab weichen, je kleiner man die Differenzen aA — a, a₂ — au . .. nimmt.

Wesentlich ist dabei die Erkenntniss, dass, so lange die Function <p(z, y) für die betrachteten Werthe von x und y eindeutig und stetig bleibt, einer stetigen Aufeinanderfolge der

Werthe von x auch eine stetige Aufeinanderfolge der zugehörigen Werthe der y entspricht. Macht man daher die Voraussetzung, dass die Differential -Gleichung (6.) ein Integral von der Form

(14.)

y = F(x, a, b)

besitzt, so kann man diese Integral-Function, welche der Kürze wegen mit fix) bezeichnet werden möge, mit Hülfe des Tayfor’schen Lehrsatzes nach steigenden Potenzen von x—a entwickeln, wobei noch der Anfangswerth a ganz beliebig ist. Dies giebt (vergl. D.-R., Formeln Nr. 50 der Tabelle)

/»

(x — a)² H----

fH(a)

(15.) f{x) =/(«) +’^y> {x — a) + —j

(x — a)n + -ß.

Bezeichnet man den willkürlichen Werth von y, welcher dem Anfangs werthe x—a zugeordnet ist, mit b, so wird

(16.)

b =/(«).

Nur diejenigen Werthe von a und b sollen ausgeschlossen werden, für welche die Function (fix, y) unstetig wird.

Aus Gleichung (6.), nämlich aus der vorgelegten Differential-

Gleichung

folgt dann zunächst

(17.)

£=*<*.

/,(a)=(*Lr *•>⁶⁾-

Hierbei ist mit

(SL)

\dx/ä

dy

der Werth von bezeichnet, welchen man erhält, wenn man x = a und y — b setzt. Ebenso möge

x=a

(18.)

aus

d"y

hervorgehen, indem man x — a, y = b setzt.

Aus

dxn

Gleichimg (6.) folgt dann weiter (vergl. D.-R., Formel Nr. 87 der Tabelle)

(19.)

d²y _ d(f (x, y) , d(f(x, y) dy _

dx

dy

dx

dy

(20.)

d%y_d²(f

dx³    dx²

d²(f dy dxdy dx dy

dhf /(lySr ² \dx)

f' + f'² n'

d(f d²y d y dx² ’

Daraus findet man

(21.)

x=a

d. h. man kann sämmtliche Coefficient en auf der rechten Seite von Gleichung (15.) berechnen.

Die Bedingungen dafür, dass der Rest R für hinreichend grosse Werthe von n beliebig klein wird, sollen erst an einer späteren Stelle aufgesucht werden, erstens, damit die vorliegende Darstellung nicht unterbrochen wird, und zweitens, weil die Herleitung dieser Bedingungen für den Anfänger möglicher Weise noch zu schwer ist. Deshalb möge die Untersuchung der Con-vergenz in einem besonderen Paragraphen ausgeführt werden, den der Anfänger nöthigenfalls übergehen kann, ohne das Verständnis für das Folgende zu verlieren.

Es möge hier also vorausgesetzt werden, dass die durch das beschriebene Verfahren aufgefiuidene unendliche Reihe

(22.) f{x) =f(a) +

/'(«)

/"(«)

1!

(* _ a) -ff

(x — a)² H----

convergent sei, dann kann man auch beweisen, dass

(23.)

y =/(*)

das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung ist, wobei nach Gleichung (16.)

fia) = b

sein soll. Setzt man nämlich den gefundenen Werth von y in die Function (f ix, y) ein und entwickelt dieselbe nach steigenden Potenzen von x—a, so wird

ix — a)²

2!

Andererseits erhält man aus Gleichung (15.), da die rechte Seite dieser Gleichung eine Potenzreihe ist, die man differentiirt, indem man die einzelnen Glieder differentiirt,

2 =/'(«> +/-(“)x-=^+/"(«)

Nun ist aber nach den Gleichungen (17.) und (21.)

(25.)

(z—a)²

2!

d. li. die rechte Seite von Gleichung (25.) stimmt Glied für Glied mit der rechten Seite von Gleichung (24.) überein, folglich müssen auch die linken Seiten einander gleich sein, es ist also

dy

(26.)

Tnr = <P(xi y)>

was zu beweisen war. Man kann also

y =./0) = F(x, a, V)

so als Function von x bestimmen, dass einem gegebenen An-fangswerthe x — a ein beliebiger Anfangswerth y — b zugeordnet ist, und dass diese Function der vorgelegten Differential-Gleichung genügt.

Das angegebene Verfahren kann in allen Fällen, wo tp(x, y) eine eindeutige, stetige Function ist, angewendet werden und wird meist sehr brauchbare Resultate liefern. In vielen Fällen wird es aber möglich sein, das allgemeine Integral in geschlossener Form, d. h. ohne Reihen-Entwickelung durch eine Gleichung

(27.)

W(x, y,C) = 0

darzustellen. Aus dieser Gleichung, welche man die „Integral-Gleichung“ nennt, kann man im Allgemeinen die Integrations-Constante C so bestimmen, dass für x — a die abhängige Veränderliche y gleich b wird; man braucht ja nur die Gleichung

(28.)

®(a, b, C) = 0

nach C aufzulösen. Setzt man einen der gefundenen Werthe von C in die Gleichung (27.) ein und entwickelt wieder y nach steigenden Potenzen von x—a, so muss man genau dasselbe Resultat wie vorher erhalten, weil in beiden Entwickelungen das erste Glied gleich b wird, und weil sich die Coefficient en der folgenden Glieder schon aus der vorgelegten Differential-Gleichung

(29.)

%=•**,*)

ergeben, welche aus der Integral-Gleichung (27.) durch Differentiation hervorgeht. Rechnet man nämlich aus Gleichung (27.)

die Grössen y und ^ aus und setzt dieselben in Gleichung (29.)

ein, so muss die Gleichung identisch befriedigt werden, sie muss für alle Werthe von x und C gelten. Deshalb kann man auch die Differential-Gleichung (29.) aus den Gleichungen

(30.)

. .    .    - dÜ> . ÖO dy

y’ C) -⁰ ^    + dy

durch Elimination von C herleiten.

Wie man also auch die Integral-Gleichung aufgefunden haben mag, man erhält in allen Fällen dasselbe allgemeine Integral, so lange (f(x, y) für die betrachteten Werthe von x und y eine eindeutige, stetige Function ist.

Sollen zwei veränderliche Grössen y und 2 als Functionen der unabhängigen Veränderlichen x erklärt werden, so würde

dazu nicht

eine Gleichung zwischen den Grössen x, y, z,

dy dz dx dx

ausreichen. Es müssen also mindestens zwei solche Gleichungen gegeben sein, die man „ein System simultaner Differential-Gleichungen“ nennt, weil sie gleichzeitig gelten. Der Einfachheit wegen kann man sich diese Gleichungen auf die Form

dy_

(31.)

dz

dx

<p(x> //> *),    -) -= <P<z, y,*)

gebracht denken.

Auch hier ergiebt sich ohne Weiteres die geometrische Deutung und damit die Auflösbarkeit dieser Differential-Gleichungen. Beachtet man nämlich, dass zwei Gleichungen F(x, y, z) = 0 und G(x, y, z) = 0 zwischen x, y, z im Allgemeinen einer Raumcurve entsprechen, und dass nach D.-R., Formel Nr. 142 der Tabelle die Tangente an die Raumcurve im Punkte P die Gleichungen

(32.)

y‘ —

hat, so erkennt man, dass die Gleichungen (31.) für jeden beliebigen Punkt der Raumcurve die Richtung der Tangente angeben. Den Anfangspunkt A mit den Coordinaten a, b, c kann man noch beliebig annehmen und findet dann aus den Gleichungen (32.) die Gleichungen

(33.)    — b = (cii —    b, c), cx — c = (at — a)\p(a, b, c)

die Coordinaten ax, bx, cx eines benachbarten Punktes Ax auf dieser Tangente, wobei man noch den Werth von ax so nahe an a annehmen darf, wie man will, damit der Punkt Ax auch noch auf der Raumcurve liegt. Ebenso findet man aus den Gleichungen

(34.) b₂—bx — (a₂—a₁)^(a₁, bx, ct), c₂ — cx = (ö₂—«i)^(«i, bx, cx)

die Coordinaten eines dritten Curvenpunktes A₂ und kann in dieser Weise beliebig fortfahren.

In Wirklichkeit kann man auch hier die Punkte A, A A₂, . . . einander nicht unendlich nahe legen und erhält daher bei der praktischen Ausführung dieses Verfahrens nur ein angenähertes Resultat ; in der Vorstellung ist man aber dieser Beschränkung nicht unterworfen.

Gleichzeitig erkennt man aus dieser Betrachtung, dass die Anfangswerthe b und c von y und z, welche dem Anfangswertlie x — a entsprechen, noch ganz beliebig sind, so dass das System simultaner Differential-Gleichungen noch zweifach unendlich viele Lösungen besitzt.

Dieses Resultat ergiebt sich auch aus der analytischen Behandlung der Aufgabe. Setzt man nämlich

(35.)

y —f{x)    * = £(*)>

(36.)

f(a) = b und g{a) = c,

wobei die Anfangswerthe b und c noch ganz beliebig gewählt werden dürfen, so wird nach dem Taylor'sehen Lehrsätze

(37.) y =/(*)=/(«)+'

/'(«)

/"(«)

1!

(x — a)+    ₂,

(x—af-\----

(x — d)n 4- R, u !

Ebenso lindet man

iO    CD

/(n)(«) ⁼(^^1=„⁼ ^(M_1)(a’ c)’ d(H)(«) ⁼(^=r)^ß⁼ ^(n_1)(a’ c>

Wenn y(«, y, 2), t//(a;, y, 2) und die partiellen Ableitungen dieser Functionen für die betrachteten Werthe von x, y, z stetig und eindeutig sind, so lässt sich wieder durch functionentheoretische Untersuchungen zeigen, dass die Restglieder R und R\ für hinreichend kleine Werthe von [ x — a\ mit unbegrenzt wachsendem n verschwindend klein werden. Dann sind die Gleichungen (37.) und (38.) die allgemeinen Integral- Gleichungen der gegebenen Differential-Gleichungen, denn man kann zeigen, dass die gefundenen Werthe von y und z den Gleichungen (31.) genügen, wie man auch die Anfangs werthe b und c wählen mag. Setzt man nämlich die gefundenen Werthe von

27

und man erhält nach den Gleichungen (31.)

(p(a, b, c),

(39.)

(40.)

©_-•«--**"•*'⁴

<py ₌    dydy    .

da;² dx dx dy dx dz dx ™ ^ y’ d^z__dxp__dip äipdy dipdz = dx² dx dx dy dx dz dx    ’ ’

^“SL r ⁹‘{a’b’c)’ ^e)=(sL⁼

Ferner wird

(41.)

(42.)

also

(43.)

. (44.)

V*(a, h, c)-

(38.) 2 = g(x) — g{a) +

{x — a) + 2l

{x — afĄ----

(a: — a)M -j- R\

Kiepert, Integral-Rechnung.

y und 2 in y(x, y, z) und ip(x, y, z) ein und entwickelt diese Functionen nach steigenden Potenzen von x — a, so wird

(47.)    <p(x, y, z) = <p(a, b, c) +    - (x — a)

<p“(a, b, c)

21

(48.) ip{x, y, 2) = i/^(a, £, c) +

ip\a, b, c)

1!

(x—a)

2!

(* — «)² H----•

Andererseits findet man aus den Gleichungen (37.) und (38.) durch Differentiation

(«o % =f‘(a) +^rf(* - °> +f-w} (* ~

dz

Aus den Gleichungen (43.) bis (46.) erkennt man aber, dass die rechten Seiten von Gleichung (47.) und (49.), desgleichen auch von Gleichung (48.) und (50.) Glied für Glied mit einander übereinstimmen, folglich sind auch die linken Seiten einander gleich, d. h. es wird

(51.)

dy

*)»’

dz

(52.)

S = W, y, *)•

Besonders zu beachten ist dabei der Umstand, dass man über zwei willkürliche Integrations-Constante verfügt, indem man die Anfangswerthe b und c von y und 2 noch beliebig wählen darf.

Man kann dieses Verfahren ohne Weiteres auf ein System von m simultanen Differential-Gleichungen erster Ordnung mit m Functionen yu y₂, • . • ym der einzigen unabhängigen Veränderlichen x übertragen.

= tpmfa J/l, 2/2, • • • 2/»»)

c?a;

gebracht, so kann man noch, die dem Anfangswerthe a: = a zugeordneten Anfangswerthe , i₂, . . . bm von 2/1, y₂, . . . ym beliebig annehmen und dann diese Functionen y\, y₂, • . • 2/»» nach steigenden Potenzen von x — a entwickeln. Dies giebt

/i"(a)

(a:    a)² -|----

Denkt man sich nämlich die Gleichungen auf die Form

dy±

dx

9>iO; yu 2/2, • • • y»»)»

(53.)

dy1 =

c/a;

<P&\ 2/1, 2/2, . • • 2/m),

2/1 =fi(*) =/i(o)    (« — a) 4    ₂,

(54.)

2/2    “/2(a) 4-

/s'(a)

1!

(« — «)² 4----

2/w —fm(%) —fni(a) 4"

/«(«)

/«"(«)

l!

(ä —C)+    j

(* — «)² 4----,

wobei für a = 1, 2,... m

«/•»

bi, b₂, . . . öm),

^ay(a; Ät, Ó2, . . . Äm),

allgemein

(57.)/<»)«(a) =(^)_ =(£^)U⁼    »1. »«. ' • • *■)>

und zwar findet man nach D.-R., Formel Nr. 136 der Tabelle d(fa

(fa(x ; yl} 2/2, .. . 2/«) aus der Gleichung

w w=tr+

c/a:

dcpady^ dcpadyï dyi dx dy<i dx

wobei man noch aus den Gleichungen (53.) die Werthe von

4----4-

d(pg dym dym dx

27*

Gelingt es, das System simultaner Differential-Gleichungen in geschlossener Form zu integriren, so ist es natürlich nicht immer nöthig, dass die m Integrations - Constanten gerade die Anfangswerthe bh b₂, . . . bm von yt, y₂, . . . ym sind. Die Lösung kann auch durch das Gleichungssystem

d)(x, ÿi, y₂i • • • ym i Ci, c₂ . . . ctr) — 0,

(60.)

420

§ 75. Auflösbarkeit der Differential-Gleichungen.

5 ^ , • • • einsetzen muss. Ebenso findet man aus Glei

ch

dx

dx

chung (58.)

(59.)

dn(fa

= <p«(w)(«yi> ^2,... y»),

dxn

indem man <pa mit 0 vertauscht.

Aus dieser Lösung ergiebt sich, dass man bei der Integration noch über m willkürliche Integrations-Constanten bh b₂, .. . bm verfügt.

F₂(x\ yi, yi,... y»; c₂. . . em) = 0,

yi» ya, •. • y*.; ci, c₂,... cm) = o

gegeben sein. Ob diese Gleichungen wirklich ein System von Integral-Gleichungen sind, kann man ermitteln, indem man aus den m Gleichungen (60.) und aus den m Gleichungen

Ä o

(61.)

dF\

dx

= 0,

dF₂

dx    dx

die m Grössen cif c₂, . . . cm eliminirt und dann untersucht, ob das sich daraus ergebende System von m Gleichungen mit den Gleichungen (53.) gleichbedeutend ist. Sollen die Gleichungen (60.) das System der allgemeinen (oder vollständigen) Integral-Gleichungen sein, so muss es möglich sein, die Constanten c{, c₂, . . . cm so zu bestimmen, dass yt, y₂, . . . ym für x = a die beliebig vorgeschriebenen Anfangswerthe bt, b₂, . . . bm annehmen.

Auf den soeben erläuterten Fall lässt sich auch die Integration der Differential - Gleichungen höherer Ordnung zurückführen. Ist z. B. die Gleichung

-SQ-»

(62.)

y,

äy d'ly

dx ’ dxï ?

oder

(63.)

_

dxm

/ dy d²y

n*’ * s*

dm~ ly

dxm~l

gegeben, so setze man

(64.)

dy

dx=yu

ddy_dyi_    ' dm~ly_dy

dx² = dx —

dxm~l

dx

ym—1«

Dadurch kann man die gegebene Differential-Gleichung auf

die Form

(65.)

dym-1 __

dx

<p(x\ y, y>-. y-h ■ ■ • y»-0

bringen, d. h. man hat die Differential-Gleichung mter Ordnmig durch ein System von m Differential-Gleichungen erster Ordnung ersetzt, welche durch die Gleichungen (64.) und (65.) gegeben sind.

Bei der Lösung kann man noch dem Anfangswerthe x — a die willkürlichen Anfangswerthe b, bi, b₂, . . . bm_t von y, yt y₂, . . . ym-1 zuordnen.

Daraus ergiebt sich für y die Reihen-Entwickelung

(66.) y =f(x) —f(a) +

/V)

/»

1!

-21

{x—d)²-1----

wobei

(67.) f{a) — b, f\d) = bi., /"(«) = b₂,.. .ßm~\a) = b ganz beliebige Grössen sind. Die höheren Ableitungen findet man aus den Gleichungen ßm\a) = (f{a, b, bh . . . btn-i),

(68.)

) = ^>'(a, ô, öi, . . . ö»_i),

Die hier angedeutete Methode hat den Nachtheil, dass sie die Integral-Gleichungen nicht in endlicher, geschlossener Form liefert, aber sie giebt den Nachweis, dass bei der Integration einer Differential-Gleichung tnter Ordnung m beliebige Integrations-Constanten auftreten.

Die Anzahl der Fälle, wo man die Integral-Gleichungen in endlicher, geschlossener Form auffindet, ist verhältnissmässig klein; in den meisten Fällen führt die Integration der Différai-tial-Gleichungen durch unendliche Reihen auf bisher unbekannte Functionen.

In den späteren Paragraphen sollen nur einige Aufgaben hervorgehoben werden, bei denen die Lösung in endlicher Form möglich ist.

Zunächst aber soll noch die Untersuchung nachgeholt werden, unter welchen Bedingungen die Integration der Differential-Gleichung

dx    y)

durch eine convergente Reihe von der Form

y =/(«) =/(«) +

1!

f»

{x — a) + — ,

möglich ist. Da aber die dazu erforderlichen Beweise etwas schwierig sind, so darf der Anfänger, wie schon oben bemerkt worden ist, den folgenden Paragraphen ohne Nachtheil für das Verständnis der späteren Paragraphen übergehen.

§ 76.

Untersuchung der Convergenz-Bedingungen.

Die Integration eines vollständigen Differentials von zwei unabhängigen Veränderlichen

(10

du = M(x, y)dx + N(x, y)dy kann noch in einer etwas anderen Form ausgeführt werden, als es in § 70 geschehen ist. Bezeichnet man nämlich mit a und b diejenigen Werthe von * und y, für welche u gleich Null wird, so erhält man aus Gleichung (1.)

(2.)

u —f.Mix, y)dx + (f(y),

wobei (f(y) noch eine passend zu bestimmende Function der einzigen Veränderlichen y ist.

Zur Ermittelung dieser Function beachte man zunächst, dass

(3.)

d3I(x, y) _dN(x, y)

dy

dx

sein muss, damit du ein vollständiges Differential ist. Deshalb findet man, indem man die Gleichung (2.) partiell nach y differen-tiirt und dabei auf der rechten Seite die Differentiation unter dem Integralzeichen ausführt,

(4.)

du

öM(x, y)

dy

dy

dx

₌ fdN{x, y)

dx + <p\y),

oder mit Rücksicht auf Gleichung (1.)

f)?/    x

dy

= N{x, y) = [N(x, y)]a + <p‘{y)

= N(x, y) — N(a, y) + (p'(y),

oder

(5.)

Dies giebt

(6.)

y

(p‘(y) = N(a,y),    <p(y) =/N(a, y)dy.

b

x    y

u =-f M(x, y)dx + J N(a, y)dy.

a    b

Ebenso findet man

(7.)

Diese Gleichung gilt für zwei beliebige Functionen M(x, y) und N(x, y), welche der einzigen durch die Gleichung (3.) aufgestellten Bedingung unterworfen sind.

Jetzt sei f{z) eine Function, welche für die betrachteten Werthe der complexen Veränderlichen

(9.)

z = x + yi = r(cos t -f- * sin «?) = r . eu*) eindeutig und stetig sein und eine bestimmte, stetige Ableitung f\z) besitzen möge; dann wird

(10.)

(11.)

dz = eudr -f- ir . eudt, f(z)dz = M(r, t)dr + N(r, t)dt,

wobei

(12.)

(13.)

M(r, t) = /(r. ««). iV(r, £) —f{r . eu) . ir . eu.

Zunächst erkennt man, dass die rechte Seite von Gleichung (11.) ein vollständiges Differential ist, denn es wird ÖM ÖN

(14.)

ieu [_f(r . eu) + r . etlf‘{r . etl)\.

Setzt man die Werthe von M und N aus den Gleichungen (12.) und (13.) in die Gleichung (8.) ein, indem man x mit r und y mit t vertaucht, so erhält man

dt dr

r    t

(15.) J\M{r, t) — M(r, b)\dr — J[iV(r, t) — N(a, t)\dt.

a    1>

Da die Grenzen a und r, b und t noch ganz beliebig sind, so setze man

a = 0, ó = 0, t = 2n, also ebi = e° = 1,    — é*ni = 1,

während r vorläufig noch einen beliebigen Werth haben soll. Da f(z) für die betrachteten Werthe von z nach Voraussetzung eindeutig und stetig ist, so wird nach Gleichung (12.)

(16.)

M(r, t) — M(r, i) =f(r) —f(r) = 0,

und nach Gleichung (13.)

(17.)

N(r, t) — N(a, t) = ir . etl .f{r . etl), folglich geht Gleichung (15.) über in

*) Das Argument ist hier mit t und nicht, wie gewöhnlich, mit <p bezeichnet, damit der Buchstabe <p in dem Folgenden noch als Functionszeichen verwendet werden kann.

oder

(18.)

0,

wo bei der Integration r einen constanten Werth hat. Für

(19.)

/(*)

_ F (z) — F(a)

erhält man daher

2 n

Jz[F(z)-Fja)]

o

dt= 0,

oder

(20.)

2 n

;zF(z)dt

2 n

* = F(a) f*L a    'J z — a

o

satze

(21.)

Nun wird, wenn \a\<\z \ ist, nach dem binomischen Lehr-

a² a³

+ ?⁺? ⁺ '“

also

2 n    2 n    2 n

f sdt f,    fdt

hzza = M + 2 W

J z a /    m=l U 2

0 0 0

folglich geht Gleichung (20.) über in

27T,

(23.)

ln

jz F (z)dt

o

— = 2tt . f(o) a

oder

(24.)

F(a)

2 n

_ 1 CzF (z)dt

~~    z

o

Diese wichtige Formel rührt von Cauchy her und kann noch in folgender Weise verallgemeinert werden. Differentiirt man beide Seiten der Gleichung (24.) nach a, so erhält man, indem man auf der rechten Seite die Differentiation unter dem Integralzeichen ausführt, der Reihe nach die Gleichungen

F'(a)

2n

_ 1 fzF(z)dt

— 2 nj (z o

— a)²

F“(a)

F‘“(a)

2 71

_1.2 CzF(z)dt

~ J 0 —«)³ ’

0

2 n

1.2.3jzF{z)dt

o

2 TC

(z — af

allgemein

(25.)

-FM(a)

2 n

m ! C

2nJ (z — a)m+1

o

zF(z)dt

Der absolute Betrag von 2 bleibt bei der Integration constant und möge deshalb mit R bezeichnet werden, so dass z — R. etl wird. Dadurch geht Gleichung (25.) für a = 0 über in

27t

(26.)

mj e

0

—mti

F(R . eu)dt.

Wenn man schliesslich noch

F(z) = (f{a + z) setzt, so ergiebt sich hieraus die Formel

2n

(27.)

—mti

2 n . Rm

cf (a + R . eu)dt.

Da man ein bestimmtes Integral als Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen auffassen kann, und da der absolute Betrag einer Summe (gleich oder) kleiner ist als die Summe der absoluten Beträge (vgl. D.-R., § 134), so erhält man aus Gleichung (27.) die folgende Ungleichung

I (pW(fl) J

oder, da j e~mti | = l ist,

ml

2 n . Rm o*

2rt

f |.

—mti

I . I (p{à + R . etl) I dt,

în

(28.)

I (plmXa) I <

Bezeichnet man nun mit G den grössten Werth des absoluten Betrages von (f{x), wenn r in x = a + r. eu alle Werthe von 0 bis R und t alle Werthe von 0 bis 2n durchläuft, so ist auch

(29.)

<p(a + R . eu) I ^ G, und die Ungleichung (28.) wird noch verstärkt, wenn man (f{a + R. eu) I mit G vertauscht; folglich findet man

2 n . Rm

2 7t

■/<

o

Gilt =

R"'

Damit ist der folgende Satz bewiesen:

Satz 1. Ist (f;(x) eine emdeutige Function der complexen Veränderlichen x =. a + r . eu, welche mit ihrer ersten Ableitung stetig ist, so lange r 'AR bleibt, und ist G der grösste Werth des absoluten Betrages von (p{x), xcenn r alle Werthe von 0 bis R und t alle Werthe von 0 bis 2n durchläuft, so ist

(30.)

</)(”*)(a) I ^

m ! G

Rm

Diesen Satz kann man sogleich auf Functionen von zwei oder mehr Veränderlichen übertragen. Aus Gleichung (27.) folgt, wenn man y zunächst als Constante und q>(x, y) als Function , der einzigen Veränderlichen x betrachtet,

2rt

o

dm<r(g, y) _

öam

wobei (p(x, y) als Function von x denselben Bedingungen unterworfen ist wie vorher (fix). Differentiirt man beide Seiten dieser Gleichung ra-mal partiell nach y, so geschieht das auf der rechten Seite der Gleichung wieder, indem man unter dem Integralzeichen differentiirt. Dadurch erhält man

dm+n(f>(a, y) damdyn

(81.)

(32.)

ml

2n . Rm

ml

2u. Rm

+ R . eu, y)dt*),

2n

*

0

—mit

dn(f{a -f jR . eu, y)

dyn

dt.

Nun ist aber wieder nach Gleichung (27.), wemi man x mit y, a mit b, t mit u, m mit n und R mit S vertauscht,

dn(p(a-\-R . ełi, b) _

(33.)

n\

Öbn

2 n . Sn

2 n

4e’

0

—nui

(f{a-\-R .etl, b + S.em)du,

wobei man voraussetzt, dass die Function (fix, y) auch in Bezug auf y mit ihrer ersten Ableitung eindeutig und stetig ist, und wo y gleich b-\-S.eui gesetzt ist. Für y gleich b geht daher Gleichung (32.) über in

(34.)

dm+n(p(a, b)

damöbn

ml nl

ïn ln

4:7l².Rm. S*

Ist G der grösste Werth des absoluten Betrages von (fix, y), wenn r = | x | alle Werthe von 0 bis R, s = | y | alle Werthe von 0 bis S, t und u alle Werthe von 0 bis 2 n durchlaufen, und wendet man jetzt wieder den Satz an, dass der absolute

'    Öm<p(x, y)

*) Hierbei ist der Werth von—— für x—a der Kürze wegen mit

Ox

y)

dam

bezeichnet. In ähnlicher Weise möge in dem Folgenden der

Werth von

y)

j)

dxmdyn

für x—a, y = b der Kürze wegen mit

Öamdbn

bezeichnet werden.

Betrag einer Summe (gleich oder) kleiner ist als die Summe der absoluten Beträge, so findet man aus der Gleichung (34.) die Ungleichung

ln 2 n

dm+n(f(a, b)

öamdbn

<r

mini

= 4tt² . Rm. S>

a -j- R . etl, b -j- S. eui) | dt d u

ml nl

‘ln 2n

— 4/r². Rm.

J'J G dt du,

oder

(35.)

ömJrnrf>(a, b) I ^_ml ni G dam dbn = Rm . Sn

Damit ist der folgende Satz bewiesen:

Satz 2. Ist (f{x, y) eine eindeutige Function der beiden complexen Veränderlichen

x = a + r . eu, y — b + s. eui,

welche mit den beiden ersten partiellen Ableitungen d(f(x, y)

öcp(x, y)

--5

öx

öy

stetig ist, so lange rS^JR, s^S bleibt, und ist G der

grösste Werth des absoluten Betrages von (f(x, y), wenn r alle Werthe von 0 bis R, s alle Werthe von 0 bis S, t und u alle Werthe von 0 bis 2tt durchlaufen, so ist der absolute Betrag

für x = a, y — b kleiner als

von

dm+n(p(z, y)

ml ni G

dxmöyn

Rm. Sn

Es sei

Diesem Satze kann man noch eine andere Fassung geben.

(36.)

y) =

dann wird

(37.)

dm+n®(x, y)

ml ni G

dxwdyn

Rm . S"(l —

a\m+V. y — b\n+l

-) 0-V)

also für x = a, y — b

dm+nti>(a, b)_m ! n ! G

(38.)

öamdbn — RmSn ’

folglich geht Ungleichung (35.) über in

(39.)

dm+n(p(a, b)

damdbn

dm+nQ)(a< b)

öamdbn

Nun lässt sich die Differential-Gleichung

(40.)

dy

dx

sehr leicht integriren, wenn man Gleichung (40.) auf die Form

(41.)

(i-Li)rfy=_

Gdx

bringt und beide Seiten der Gleichung integrirt. Beachtet man dabei noch, dass y = b sein soll für x = a, so findet man

(42.)

oder

j/s² + 2G

y — b — S dz

Aus dieser Gleichung erhält man für x — a y — b=S±S,

folglich muss das untere Zeichen gelten; es ist also

(43.) y = b+ S — j/s²+ 2G . R . S. \(l —    = F(x).

Diese Function ist eindeutig und stetig, so lange

(44.)

2 G.R’

denn die Quadratwurzel wechselt nur dann ihr Vorzeichen, wenn der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen verschwindet, wenn also

/    /£ _ Fi\    S

111--ji) glöicl¹ —% g    un^ auc^ ^er Werth von

l(l——^—) ist in diesem Falle eindeutig bestimmt, weil er für x = a verschwinden soll. Setzt man

(45.) und beschränkt x auf solche Werthe, für welche

(46.)

x — a\ <g

ist, so wird mit Rücksicht darauf, dass der absolute Betrag- einer Differenz (gleich oder) grösser ist als die Differenz der absoluten Beträge,

(47.)

20. U.

1 — X--

R

Nun ist der absolute Betrag des Logarithmus einer com-plexen Grösse r. ev* (gleich oder) grösser als der Logarithmus des absoluten Betrages dieser Grösse, denn es ist allgemein

I l(r . e'f') \ — \ \r + cpi \ =]/(lr)² + (f² ^ 1 r,

folglich ist auch

2 G.R

Wenn also die Ungleichung (46.) gilt, so gilt erst recht die Ungleichung (44.). Dann wird aber y — F(x) eine eindeutige, stetige Function, die man mit Hülfe des Taylor'sehm Lehrsatzes nach steigenden Potenzen von x—a entwickeln kann; und zwar findet man die Coefficienten der Reihe

F‘“{a)

f-'(*-«)+^2!    ₈,

aus Gleichung (40.). Es ist nämlich [F\a) = 0(a, b) = G,

(49.) y=b-f

F\a)

(x—«)³+ • • •

(50.)

"(«)=[

Öy dx)x—u y=b

F‘

dx²

b*2

d²(D dy d²O dxdy dx dy²

/dy'? dO d²y~I \dx) dy dx²J

x=a, y—b

Die Bildung dieser Ausdrücke wird dadurch erleichtert, dass nach Gleichung (38.)

x=a, y—b

/ dm+nd>\ \dxm dyn)

m\ n\ G

Rm. Sn

ist. Gleichzeitig erkennt man hieraus, dass die partiellen Ableitungen von &(x, y) für x — a, y = b sämmtlich reell und positiv sind. Deshalb sind auch die Grössen F‘(a), F“{d), F‘“(a),... sämmtlich reell und positiv.

Bezeichnet man mit A den grössten Werth des absoluten Betrages von y, wenn in

x — a -f- r . etl

r alle Werthe von 0 bis g und t alle Werthe von 0 bis durchläuft, so wird nach Ungleichung (30.)

(51.)

-TM \, \ —ra\ A

folglich ist die Reihe auf der rechten Seite von Gleichung (49.) convergent, da die einzelnen Glieder derselben (gleich oder) kleiner sind als die Glieder der geometrischen Progression

A(x — a) A(x — a)² ₍ A(x — a)³

(52.) A +

Ag

9'

g—{x-d)

Vergleicht man nun mit der soeben gelösten Difterential-Gleichung erster Ordnung die allgemeinere

I =?(*,!/),

so ergiebt sich Folgendes. Es sei wieder y{x, y) eine eindeutige Function der beiden complexen Veränderlichen « = a + r . eu, y = b + s . eu\

welche den in Satz 2 angegebenen Bedingungen genügen möge, dann kann man jetzt beweisen, dass die schon in Gleichung (22.) des vorhergehenden Paragraphen aufgestellte Reihe

(54.) y = b+f-^{x—a)+

(53.)

/»

{x— a)²+

/'»

₃j -■(*— «)³+***

convergent ist für alle Werthe von x, bei denen der absolute Betrag von x — a kleiner als g ist.

Nach Ungleichung (39.) war nämlich

dm+n(p(a, b)

dam dbn

-c

dm+nd)(a, b)

öamöbn

folglich wird auch der absolute Betrag von

x=a, y=b

(gleich oder) kleiner als

x =a, y=b

wie aus der mehrfach erwähnten Bildung der Grössen /'(«), f“{a), /"'(a),... und F\a), F“(a), F*“(a),... hervorgeht. Unter der Voraussetzung, dass die Reihe auf der rechten Seite von Gleichung (54.) convergent ist, war aber schon in dem vorhergehenden Paragraphen nachgewiesen worden, dass die Gleichung (54.) das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung ist.

Damit ist bewiesen:

Satz 3. Wenn (p(x, y) eine eindeutige Function der beiden complexen Veränderlichen

x = a -f- r . eu, y = b -f- s . eui ist und mit ihren beiden ersten partiellen Ableitungen

6ff(x. y)

dx

d(f{x, y)

stetig bleibt, so lange r F, s ^ 8 bleibt, so existirt

eine (analytische) Function y =f(x), welche eindeutig und stetig bleibt, so lange der absolute Betrag von x — a kleiner als eine bestimmte reelle, positive Grösse g bleibt, für x = a den Werth b annimmt und der Differential-Gleichung

dy

genügt.

Die Grösse g ist dabei durch die Gleichung (45.) erklärt.

In ähnlicher Weise kann man auch die Existenz allgemeiner Integral-Gleichungen nachweisen, wenn ein System von m simultanen Differential-Gleichungen erster Ordnung, also m Gleichungen

*e«:eben sind-

Auf diesen Fall lässt sich dann auch, wie schon angedeutet wurde, die Integration der Differential-Gleichungen höherer Ordnung zurückführen.

zwischen x, yl: y₂, . . . ym,

Kiepert, Integral-Rechnung.

28

§ 77.

Trennung der Variabein.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 178.) Ist die Differential-Gleichung erster Ordnung

(10.

dy

gegeben, so löse man sie in Bezug auf ~ auf, d. h. man bringe sie auf die Form

(2.)

dy

ii=^y) =

y)

N[x, y)

oder

(2 a.)

Mix, y)dx -f N(x, y)dy == U.

Ist nun hierbei M(x, y) eine Function X der einzigen Veränderlichen x und N(x, y) eine Function F der einzigen Veränderlichen y, ist also

(3.)

M(x, y) = X, N(x, y) = Y, so kann man sofort das allgemeine Integral

(4.)

Jx dx    j Yd, y = C

bilden. Hat die Differential - Gleichung diese Form noch nicht, so wird man sie auf diese Form zu bringen suchen. Das Verfahren, welches man dabei ausführt, nennt man „Integration durch Trennung der Variabein“. Ist z. B. die Differential-Gleichung

(5.)

Xi Yidx -f- X₂ Y₂dy — 0 gegeben, wo Xt und X₂ Functionen der einzigen Veränderlichen x, Yx und F₂ Functionen der einzigen Veränderlichen y sind, so dividirt man die linke Seite'von Gleichung (5.) durch X₂ Yt und erhält

(6.)

dx + \r⁽ly = 0,

X₂

Fi

also

(7.)

Mdx+fTdy=c-

Da ein Integral von der Form fXdx als der Flächeninhalt einer ebenen Figur betrachtet werden kann, (deren Begrenzung in Formel Nr. 4 der Tabelle angegeben ist), so nennt man hier, wo von der Integration der Differential-Gleichungen die Rede ist, die Ermittelung eines solchen Integrals eine „Quadratur“.

(8.)

Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung ydx — xdy = 0

integriren.

Auflösung. Indem man die linke Seite von Gleichung (8.) durch — xy dividirt, erhält man dy dx _

(9.)

0,

10,

(10.)

y = Ox.

Die Integrations-Constante ist in diesem Falle mit 1(7 bezeichnet worden, damit der Uebergang von den Logarithmen zu den Numeri erleichtert wird.

(11.)

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung (x² — a²)dy — ydx = 0

integriren.

Auflösung. Indem man die linke Seite von Gleichung (11.) durch ix² — dr)y dividirt, erhält man

(12.)

dy

dx

y    x² — a²

also nach Formel Nr. 53 der Tabelle

2af^-2af-^

x² — a²

— o,

(13.)

ÿla =

= ²alÿ-¹(v+^) = lc’

⁽'~T~ ' x + a

(14.)

Aufgabe 3. Man soll die Differential-Gleichung x²dy + (y — d)dx = 0

integriren.

Auflösung. Indem man die linke Seite von Gleichung (14.) durch x\y— a) dividirt, erhält man

* +$=«-

'%    \(y-a)-\ = ic;

\<y — a) = 1C + 1 = 1C 4- \-V~e),

y — a — G.-j/ e.

(15.)

f^-+f

Jy—a J

(16.)

(17.)

Aufgabe 4. Man soll die Differential-Gleichung xydx — (a + x) (b + y)dy = 0

integriren.

Auflösung. Indem man die linke Seite von Gleichung (17.) durch y(a + x) dividirt, erhält man

(18.)

xdx

/■

(b + y)dy /₁

a + x    y    \ a-i

h)dx-Ji¹⁺lh=x

ah)dX-(1 + ÿ)dy =

O,

— a\(a-\-x) — y — b\y = C,

oder

(Iff.)

(20.)

x — y=C+\[(a + x)a. yh ]. Aufgabe 5. Man soll die Differential-Gleichung x³ydx + ydx + xy~dy — xdy — 0

integriren.

Auflösung. Man kann die vorgelegte Differential-Gleichung zunächst auf die Form

(21.)

0,

(x³ + 1 )ydx + x(y² — 1 )dy = 0 bringen und dann durch xy dividiren. Dadurch erhält man (x³ + 1 )dx (y- — 1 )dy _

oder

(22.)

f + n + f-I y=0.

(23.)

Aufgabe 6. Man soll die Differential-Gleichung (1 x²)dy — Y1 — y²dx — 0

integriren.

Auflösung. Indem man die linke Seite von Gleichung (23.) durch (1 + x²)Y l—if dividirt, erhält man

(24.)

dij

dx

also

yi—if

1 + X²

— 0,

(25.)

(26.)

__f dx

y² J

Aufgabe 7. Man soll die Differential-Gleichung xdy — ydx = dyYI + x² -f- dxY 1 + y²

dy

y i-

1 + X²

arc siny — arc tg a; = C.

integriren.

Auflösung. Man bringt die Differential-Gleichung zunächst auf die Form

(x—Y 1 + x²)dy — (y + ]/l +y²)dx = 0 und dividirt die linke Seite dieser Gleichung durch (x—]/1 -)- x²) und durch (y-j-|/l + y²); dies giebt

(27.)

(28.)

dy

dx

= 0,

y+Vl+y- x—Yl + x

(|/l + y² — y)dy + Q/l + X² + x)dx = 0, folglich findet man nach Formel Nr. 82 der Tabelle

vir?+\kv+n+f)-|2 +|vrT?+|i(*+vr+^)+ = o,

oder

(29.)

toi'«

% <N

to! h-*

oder

(30.) x² — y² + xY 1 + x² + yY 1 + y²

+ 1 [{x -\~Y 1 + x²) (y *f Y¹ + 2/²)] = 0.

(31.)

Aufgabe 8. Man soll die Differential-Gleichung sina; sin ydy = cosa; cos ydx

integriren.

Auflösung. Indem man Gleichung⁻ (31.) durch —sina; cosy dividirt, erhält man

(32.)

cos xdx

sina:

sin ydy _ cos y

0,

also durch Integration

oder

l(sina;) + l(cosy) = IC,

sina: cosy = C.

Aufgabe 9. Man soll alle Curven bestimmen, bei denen die Subtangente eine constante Länge a hat.

Auflösung. Da die Subtangente einer Curve St = so erhält man der Reihe nach die Gleichungen

(33.)

dx

ÿdy

ist,

(34.)

dx

(35.)

yTy=“' dx =

ady

(36.)

oder

x — ao = aly,

ft—a~o

(37.)

y —e

Dies ist die Gleichung der lo gar Mimischen Linie.

Aufgabe 10. Man soll alle Curven bestimmen, bei denen die Subtangente rc-mal so gross ist wie die zugehörige Abscisse. Auflösung. Für die gesuchten Curven wird

(38.)

dx

(39.)

y-ag=nx’

dx _ndy

(40.)

\x + 1(2p) = »ly, wobei man die Integrations-Constante mit 1(2//) bezeichnet hat. Dies giebt

(41.)

yn = 2px,

also die Gleichung der verallgemeinerten Parahel.

Für n = 2 stellt die Gleichung die gewöhnliche Parabel dar, für welche die Subtangente doppelt so gross ist wie die Abscisse.

Aufgabe 11. Man soll alle Curven bestimmen, bei denen die Polar-Subnormale eine constante Länge a hat.

Auflösung. Die Polar-Subnormale ist Sn = für die gesuchten Curven

dr

dtp

folglich wird

dr

= a, oder dr = a . d(p, r = a((f — (f₀).

Die gesuchten Curven sind also Archimedische Spiralen.

Aufgabe 12. Man soll alle Curven bestimmen, bei denen die Polar-Subtangente eine constante Länge a hat,

Auflösung. Die Polar-Subtangente ist St = wird für die gesuchten Curven r²drp

co to

dtp

folglich

(44.)

adr

= a, oder dtp =

^ > oder r((p — </>₀) =

Die gesuchten Curven sind also hyperbolische Spiralen.

Aufgabe 13. Man soll alle Curven bestimmen, welche mit der X-Axe, vom Nullpunkte an gerechnet, und mit der Ordinate QP ein Flächenstück OQP begrenzen, dessen Inhalt der nte Theil des Rechtecks xy ist.

Auflösung. Da das von der Curve begrenzte Flächenstück den Inhalt

(45.)

clr

tpl

(p — (fo — —

— a.

F =Jvdx

o

hat, so erhält man für die gesuchten Curven die Gleichung

x

xy = n j'ydx, oder xd y -|- ydx = nydx,

ći

xdy = (n — 1 )ydx,

dy , H.dx — = (w — 1)— »

y    x

(46.)

(47.)

1 y = (n— l)\x + 1(7 = 1 (Cxtl~l), y — Cxn~l.

Die gesuchten Curven sind wieder verallgemeinerte Parabeln.

Aufgabe 14. Man soll eine Curve bestimmen, deren Tangente die constante Länge a hat.

ds

Auflösung. Die Tangente einer Curve ist T=y~? folglich erhält man

(49.)

(50.)

ds

= a, oder y\dx² + dy²) = a²dy²,

— ydx = Va- — g² . dg,

ydy_____

yY~a² — y²    ]/a² — y²

Indem man beide Seiten dieser Gleichung integrirt, findet man nach den Formeln Nr. 78 und 25 der Tabelle

a + Y a²—y²\

y )

V dy

y²dx² = (a² — y²)dy'²

(51.)

(52.)

_ yaa—yä

dz (.r — æ₀) = V«²— */² — «1 ^

Die Curve, welche dieser Gleichung entspricht, wird „ Trac-trix von Huyghens“ genannt.

Aufgabe 15. Man soll alle Curven bestimmen, bei denen der Flächeninhalt eines jeden Sectors zu der Differenz der Quadrate der den Sector begrenzenden Leitstrahlen proportional ist.

Auflösung. Nennt man die begrenzenden Leitstrahlen rt und r und die zugehörigen Argumente (pi und (p, so wird nach Formel Nr. 92 der Tabelle der Flächeninhalt des Sectors

fp

(53.)

S = \fr² dtp,

~Pi

so dass für die gesuchten Curven die Gleichung

(54.)

⁽P

I²) = \fr²d(p

<pi

7i{r² — i

gilt. Betrachtet man dabei r und rp als veränderlich, während

r\ und (fi constant sind, so folgt aus Gleichung (54.) durch Differentiation

(55.)

(56.)

(57.)

4 nrdr = r²d(f,

4 n — = dtp, r

ff — <fo = 4wlr,

<p—(po

f'in — e'P—Vo^ y e ,

oder, wem man

(58.)

e-(UPo _ Q

setzt,

(59.)

oder r =C. eacf.

Dies ist die Gleichung einer logarifhmischen Spirale.

§ 78.

Integration der Gleichungen von der Form ^ =/

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 179.)

In den meisten Fällen wird die Trennung der Variabeln bei der Differential-Gleichung

(10

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

durch einfache Multiplication oder Division nicht möglich sein. Mitunter wird aber die Differential-Gleichung durch passende Substitution so umgeformt werden können, dass dann die Trennung der Variabeln durchführbar ist.

Sind z. B. M{x, y) und N(x, y) beide homogene Functionen mten Grades, wird also

(2.) M(tx, ty) = tm . M(x, y), N{tx, ty) = tm . N(x, y),

so kann man die Trennmig der Variabeln in folgender Weise

ermöglichen.

Aus den Gleichungen (2.) findet man für t =

so wird

(7.)

(3.)

(4.)

oder

(5.)

(6.)

§ 78.- Integration der Gleichungen von der Form —.

dx

_ M(x, y)

xm

Dividirt man also Gleichung (1.) durch xm und bezeichnet

-/©•

so erhält man

m(i, dx + Nh, y-)dy = 0

Setzt man jetzt

also y = xz,

dy = zdx + xdz, und Gleichung (5.) geht über in

(8.)

dz

' ⁺ *5=™>

oder

(9.)

dz

dx

/(*) — ²    * ’

die Trennung der Variabein ist also durchgeführt.

Man hätte natürlich auch mit demselben Rechte x — yz setzen können und dadurch eine Differential- Gleichung zwischen y und «erhalten, bei der sich ebenfalls die Trennung der Variabein ohne Weiteres ausführen lässt.

Beispiele.

In den folgenden Aufgaben ist das angegebene Verfahren anwendbar, weil M(x,y) und N(x,y) jedes Mal homogene Functionen gleich hohen Grades sind.

§ 78. Integration der Gleichungen von der Form _

dx

(10.)

Aufgabe 1. Man soll die Differential - Gleichung (x -f y)dx + xdy — 0

integriren.

Auflösung. Indem man y = xz setzt, findet man (x + xz)dx + x{zdx + xdz) — 0, oder, wenn man durch x dividirt und ordnet,

(11.)

(1 + 2 z)dx + xdz = 0.

Jetzt ergiebt sich durch Trennung der Variabein

(12.)

dx

--f~

dz

1 + 22

und durch Integration

21# + 1(1 -f- 22) — IG,

also

(13.)

(14.)

#²(1 + 2 2) = G, oder x{x + 2 y) — G. Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung (# + y)dx + (y — x)dy = 0

integriren.

Auflösung. Indem man y = xz setzt, findet man (x + xz)dx + (xz — x) (zdx + xdz) — 0, oder, wenn man durch x dividirt und ordnet,

(1 + z^dx + (2 — 1 )xdz = 0.

Jetzt ergiebt sich durch Trennung der Variabein dx ₍ (2 — 1 )dz 1 + 2²

(15.)

(16.

und durch Integration

oder

\x + ^1(1 + 2²) — arctg2 = IG,

(17.)

+ „etg(l).

Aufgabe 3. Man soll die Differential-Gleichung xdy — ydx = dx j/#²-}-y²

(18.) integriren.

§ 78. Integration der Gleichungen von der Form — f

444

Auflösung. Indem man y = xz setzt, findet man x{zdx + xdz) — x zdx = x²dz — dx\x* -)- a²z², oder, wenn man durch x dividirt,

(19.)

xdz = dx Y1 -f- z-,

also durch Trennung der Variabein

(20.)

dz

dx

y i + z² *

und durch Integration

i (z + yr+^²) = i* + ic,

z +y 1 + 2² = C'a:,

y + J/x^-j-y² = Cx², oder yx² -f- y² — Cx² — y. Dies giebt

x- -f- y'² = C²xi — 2 Cx²y + y²,

oder

(21.)

1 + 2 Cy — C²x² = 0.

(22.)

Aufgabe 4. Man soll die Differential-Gleichung

(2a:³ — I2>hyz)dx + 81 xy²dy — 0 integriren.

Auflösung. Indem man y = xz setzt, findet man

(2a;³ — 135a;³z³)c?a: + 81 xzz²(xdz -f zdx) = 0,

oder, wenn man durch xz dividirt,

(2 — 135z³)ö?a; + 81z²(a:ö?z -j- zdx) = 0,

(23.)

(2 — Mzz)dx + 81 z²xdz = 0.

Durch Trennung der Variabein erhält man daher

(24.)

2 dx    81 z²dz

27z³ — 1

und durch Integration

l(a;²) = l(27z³ — 1) — \C,

also

(25.)

Cx² = 27z³— 1

oder C'a⁵ = 27a/³ — a³.

Aufgabe 5. Man soll die Differential-Gleichung (8y + 10 x)dx -ff (5 y -ff lx)dy = 0

(26.)

integriren.

Auflösung. Indem man y — xz setzt, erhält man (8xz -ff 10x)dx -f- (5xz -ff Ix) (xdz -ff zdx) = 0, oder, wenn man durch x dividirt und ordnet,

(5z² -ff 15z -f- 10)dx -ff (5z -f 7)xdz = 0. Jetzt ergiebt sich durch Trennung der Variahein (5z -ff 7 )dz z² -ff 3z -ff 2

(27.)

(28.)

5 dx

2 dz

8 dz

und durch Integration

also

51* = \C— 2l(z -ff 1) — 3l(z -ff 2),

(30.)

(29.) x⁵(z + l)²(z -ff 2)³ = C, oder (x -ff y)²(2x -ff y)³ =C. Aufgabe 6. Man soll die Differential-Gleichung (aj/x² -ff y² — cx)dx -ff (pyx² -\-y² — cy)dy = 0

integriren.

Auflösung. Indem man y = xz setzt, erhält man (ayx² ff x²z²—cx)dx -ff (byx² -ff x²z² — cxz) (xdz -ff zdx) = 0, oder, wenn man durch x dividirt und ordnet,

(31.) [(o + bz)yi -ff z² — c(l -ff z²)\dx -ff x(py\ -ff z² — cz)dz — 0. Jetzt ergiebt sich durch Trennung der Variabein

(32.)

dx

--h.

x

(by 1 -ff z² — cz)dz

yl -ff z² (a -ff bz — c|/l -ff z²)

= 0,

oder

dx

-JL=)dz

(32 a.)

-+_h±äL=₀.

x a -ff bz— cy 1 -ff z²

Da in dem zweiten Gliede der Zähler gerade das Differential des Nenners ist, so erhält man durch Integration

\x -ff l(a -ff bz — cyi -ff z²) = IG,

also

§78. Integration der Gleichungen von der Form —

dx

x(a + bz — c}/J + z²) = C,

oder

(33.)

ax

+ by — cYx² -f- y² = C.

Weit leichter wird die Lösung dieser Aufgabe durch die Substitution

(34.)

x² + y² = r², xdx + ydy = rdr, denn dadurch geht Gleichung (30.) über in ardx -\- brdy — crdr — 0,

oder

(35.)

adx + bdy — cdr = 0, woraus man wieder in Uebereinstimmung mit Gleichung (33.) ax + by — er = C

lindet.

Aufgabe 7. Man soll alle Curven bestimmen, bei denen die Summe der Abscisse x und des Radiusvector r gleich der Subtangente ist.

Auflösung. Die Subtangente einer Cmwe ist bekanntlich y — •> folglich gilt für die gesuchten Curven die Differential-Gleichung

dx

ydy

— x + r,

oder

(36.)

ydx = {x + V*² + y²)dy.

Hier wird man zweckmässiger Weise x = yz setzen, wodurch Gleichung (36.) übergeht in

yiydz + zdy) — {yz +    + y*)dy,

(37.)

oder, wenn man durch y dividirt und ordnet, y dz =y 1 -f- z² dy.

Jetzt ergiebt sich durch Trennung der Variabeln

(38.)

dz

dy

und durch Integration

\{z -f ]/l + z²) = 1 y — Ip,

p{z +Y1 + z²) = y, oder p(x -j-j/x² + y²) = y², p]/x² + y¹ — y² —px, p²x² -(- p²y² = yi — 2pxy² + p²x², y² = 2px + p².

wobei die Integrations-Constante mit 1 p bezeichnet ist. Daraus folgt (39.)

(40.)

Die gesuchten Curven sind also Parabeln, deren Brennpunkt zum Anfangspunkt der Coordinaten gewählt ist. Dabei wird

' (41.)

r = x -f- p, St = x + r — 2z + p.

§ 79.

Einige weitere Fälle, in denen man die Trennung der Variabein ausführen kann.

Mitunter kann man die Functionen M(x, y) und N(x, y) in der Differential-Gleichung

(1.)

M(x, y)dx -{- N{x, y)dy = 0, auch wenn sie nicht homogen sind, durch eine Parallelverschiebung der Coordinaten, also indem man

(2.)

x — x‘ + g, y — y‘ + rj setzt und die Constanten S und i\ passend wählt, homogen machen. Wie dies geschieht, mögen die folgenden Aufgaben zeigen.

(3.)

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung 2(x — 2 y — 5 )dx + (5x — y — 7 )dy = 0

integriren.

Auflösung. Indem man die Werthe von x und y aus der Gleichung (2.) in die Gleichung (3.) einsetzt, erhält man (4.)    2(sc⁴ — 2y'+S — 2iy—5)<&'+ (5*'—y'4-5§ — y— l)dy‘ = 0.

Damit die Factoren von dx‘ und dy‘ in dieser Gleichung homogene Functionen ersten Grades von x‘ und y‘ werden, muss man § und y so bestimmen, dass

£ — 2>/ — 5 = 0 und 5£ — r\ — 7 = 0

(5.)

wird. Dies giebt

(6.)

1 = 1, T = — 2,

also

x = z‘ + l, y — y‘ — 2.

Dadurch geht Gleichung (4.) über in

2(x‘ — 2 y‘)dx⁴ + (5x‘ — y‘)dy‘ = 0.

Indem man y⁴ = x⁴z setzt, erhält man

2(x⁴ — 2x⁴z)dx⁴ + (5x⁴ — x⁴z) (x‘dz -j- zdx⁴) = 0. oder, wenn man durch x⁴ dividirt und ordnet,

(2 + z — z²)dx⁴ + (5 — z)x‘dz = 0.

(7.)

(8.) -

(9.)

(10.)

Jetzt ergiebt sich durch Trennung der Yariabeln dx‘    (—z + 5)dz

z² — 0 — 2

2 dz

dz

x‘

und durch Integration

\x⁴ = — 21 (z + 1) -f l(z — 2) + 1(7,

oder

(11.)

(12.)

x‘{z + l)² = C(z — 2),

(y‘ + x⁴)² = C(y‘ — 2x⁴).

Daraus folgt mit Rücksicht auf die Gleichungen (7.) (z + y + l)² = C(y — 2x + 4).

In ähnlicher Weise kann man ganz allgemein die Differential-Gleichung

(ax -ff by -ff c)dx -ff (ayx -ff b^y -ff C\)dy = 0 integriren. Setzt man nämlich wieder

x — x⁴ -ff I, y = y⁴ -ff T],

(13.)

(14.)

so geht Gleichung (13.) über in

(15.) (ax‘-\-by‘-\-aś-\-briĄ-ć)dx‘-\-{aiX⁴-\-biy‘-\-a^-)rb\ri-\-C'L)dy‘=0. Jetzt kann man die Constanten § und rj so bestimmen, dass a§ + brj -j- c = 0 und    -ff b^r\ -ff Ci = 0

(16.)

wird, indem man

Beispiel.

(2d.)

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung (x — 2y + 9 )dx — (Sx — 6y    19)dy = 0

integriren.

Auflösung. In diesem Falle ist also

29

bCy - b\C

abi — ad) ’    ^ ab\ — ad

setzt. Dadurch werden in Gleichung (15.) die Factoren von dx‘ und dy‘, nämlich

(18.) M(x‘, y‘) = ax' + by' und N(x‘, y‘) = a^cf -f- biy‘, homogene Functionen, und die Differential-Gleichung erhält die Gestalt

(17.)

CUy--C\CL

(ax‘ + by‘)dx‘ + (a^x' + biy*)dÿ = 0, so dass man sofort das im vorhergehenden Paragraphen angegebene Verfahren an wenden kann.

(19.)

Bei dieser Umformung ist allerdings stillschweigend die Voraussetzung gemacht worden, dass die Determinante abi — ad von Null verschieden ist. Wenn

ab\ — ad = 0, oder a : at = b : bi = m

(20.)

ist, so wird

ax -f by — m{ci\x + b\y).

Das weist darauf hin, dass man hier

aix + b\y = z, also aYdx + bidy — dz setzt; dann geht die gegebene Differential - Gleichung (13.) über in

(21.)

(22.)

(mz + c)dx + (z -j- Cijdy = 0,

oder

bi{mz -f- c)dx 4* (z -f- Ci) (dz — a^dx) — 0, [(^im — at)z -f- (byc — aiCi)\dx + (2 + Ci)dz = 0,

(23.)

dx

(z -j- Ci)dz

(bim — ai)z -f- (byc — ciiCi)

Kiepert, Integral-Rechnung.

z — — 3x    3y, m — — bym — a^ — 1, b^c —    = — 3,

folglich wird nach Gleichung (23.)

(z — 19)gIz _

2—3    ~~

(25.)

— dz + 16

dz

z — 3’

also

x = — z+ 161(2 — 3) 4- 2 C,

oder

(26.)

x — 3y + 81(62/ — Bx — 3) + C = 0.

Unter der Voraussetzung, dass abt — avb von Null verschieden ist, kann man die Differential-Gleichung

(ax + by -f- c)dx + (a%x + b^y cx)dy = 0

auch dadurch integriren, dass man

(27.) M(x, y) = ax -f- by + c = u, N(x, y) = a^x + b^y -f = v setzt und die Grössen u und v zu Integrations-Veränderlichen macht; dann wird

(28.)

du = adx + bdy, do = axdx + b\dy,

also

(29.)

oder

( (aby — a^b)dx = b\du — bdv,

\ (abi — aib)dy = — atdu -f adv.

Deshalb geht die vorgelegte Differential-Gleichung über in u(bydu — bdd) + v(— a^du -f adv) = 0,

(30.)

(b\U — a^o)du + (— bu -f av)dv = 0.

In dieser Gleichung sind die Factoren von du und dv homoyene Functionen ersten Grades von u und v.

(31.)

Beispiel.

Aufgabe 3. Man soll die Differential-Gleichung

(3y — Ix + l)dx + (7y — 3x    3)dy = 0

integriren.

Auflösung. Hier setze man

(32.)

3y — Ix + 7 = u, ly — 3x -}- 3 = v,

dann wird

Sdy — Idx — du, Idy — 3 dx = dv,

(33.)

40dx — — 7du -ff 3dv, 40dy = — 3du -ff 7do, folglich geht Gleichung (31.) über in

m(— 7du -ff 3dv) -ff V (— 3g?m -ff 7de) = 0,

oder

(34.)

(7m -ff 3v)c/m -ff (— 3m — 7ü)cfo = 0. Für ü = M2 erhält man hier aus

(7 u -ff 3uz)du -ff (— 3m — 7uz) (udz -ff zdu) = 0, oder, wenn man diese Gleichung durch u dividirt und ordnet, 7(1 — z²)du = (3 -ff 7z)udz,

7 du (3 -ff 7 z)dz /    5    .    2    \ ₇

v~ ⁼    =-{7=i + 7+î)dz’

71m -ff 51 (z — l) -ff 21 (z -ff l) = lGr,

(35.)

(36.)

(37.)

oder

(38.)

Dies gieht

m⁷(c — F)⁵(z -ff l)² = C.

oder

(ü - m)⁵ (ü -ff u)² = C,

(39.)

4⁵(# -ff y — l)⁵.10²(# — y — l)² = C,

(* + y—1)⁵(*—y —1)! = Ci,

wobei

(40.)

C = 4⁵.10². Ci

gesetzt worden ist.

§ 80.

Lineare Differential-Gleichungen erster Ordnung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 180.)

Die Deferential - Gleichungen erster Ordnung kann man

weiter eintheilen nach dem Grade, den sie in Bezug auf

und y haben. Demnach versteht man unter einer Differential-Gleichung erster Ordnung und ersten Grades eine Gleichung von der Form

dy

dx

% +y •/(*) =

(1.)

wobei f(x) und <p(x) noch beliebige stetige Functionen von x sind. Gewöhnlich nennt man eine solche Gleichung „eine lineare Differential-Gleichung erster Ordnung“ und kann zu ihrer Integration die folgenden Methoden anwenden.

1. Methode von Bernoulli. Man setze

(2.)

y = uz, also ^ dann geht Gleichung (1.) über in

dy _ dz

du

u~r + z;r ’

dx dx

(3.)

a% + z[is + u-f(~x>] = <f(d

Von den beiden Functionen u und z kann man die eine noch ganz beliebig annehmen; deshalb werde u so bestimmt, dass in Gleichung (3.) der Factor von 2 verschwindet, dass also

(4.)

^ + « -/O) = 0

wird. Dies giebt

du

(5.)

also durch Integration lu —

Durch diese Bestimmung von u reducirt sich Gleichung (3.)

(6.)

—ff(x)dx,    oder u = e    .

auf

(7.)

dz

= (f'(x), oder dz — (f ix).

Jf(x)dx

. dx,

Jf{x)dx

folglich wird

(8.)

z — j'ffix) . e

. dx -j- C,

also

Jf(x)dx

y = uz —

[fix). e

. dx + G’J .

Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung

(10.)

dy 2 y dx x + 1

(x + l)³

integriren.

Auflösung. Indem man y — uz setzt, findet man aus Gleichung (10.)

(11.)

dz

du

u7x + z

\dx

)=(* + i)³-

X + 1

Damit der Factor von z in dieser Gleichung verschwindet, bestimmt man u so, dass

(12.)

du    2 u

dx x + 1

du

2 dx

wird. Dies giebt

(13.)

1 u = 2\{x + 1), oder u — (x -f- l)².

Für diesen Werth von u reducirt sich Gleichung (11.) auf

(14.)

dz

oder dz = (x + 1 )dx.

05 an

uTx ⁼ ^ + 1)3

Hieraus findet man durch Integration 2z = (x + l)² + C,

2y = 2 uz = (x -f- l)⁴ + C(x + l)².

Da es bei der Bestimmung von u nui’ darauf ankommt, dass in Gleichung (3.) der Factor von z verschwindet, so braucht man in Gleichung (6.) keine Integrations-Constante hinzuzufügen. Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung du

7x~ay=x

(17.)

integriren.

Auflösung. Indem man y — uz setzt, findet man aus Gleichung (17.)

(18.)

dz

/du    \

\dx~~aU) “

x⁴.

udi + z

Damit der Factor von 2 in dieser Gleichung verschwindet, bestimmt man u so, dass

(19.)

du

du

— — au — 0, oder — = adx dx

wird. Dies giebt

(20.)

(21.)

lu = ax, oder u = enx.

Für diesen Werth von u redncirt sich Gleichung (18.) auf

dz . u-r = xą, dx

Aus dieser Gleichung erhält man durch partielle Integration • e—ax{cdx* + 4a³#³ -f-12 a²x² + 24 ax + 24) + C,

oder dz — e ax. x*dx.

(22.)- 2 =

folglich wird

(23.)    a⁵( Cenx — y) = ßG⁴ + 4a³ar³ + 12a²a;² -f- 24ax -f- 24.

Aufgabe 3. Man soll die Differential-Gleichung

dy

(24.)

x +yT+ x²

dx |/i-f-a;²    ]/i—x2 integriren.

Auflösung. Indem man y = uz setzt, erhält man der Reihe nach die folgenden Gleichungen

x -f- y i + x²

yi—x²

(25.)

dz /'du    u \ __

U dx    ~ \dx    y i _)_ x-)

du

du

dx

(26.)

dx yi + o* lu — l(a; -j-]/l + x²), u — x -f- ]/l -j- x².

Yi + x²

Deshalb geht Gleichung (25.) über in dz x-\-V\Ą- x2 ~ a ]/l - X¹

udx

oder

dz

dx y i—x²

also

(27.)

dz =

adx

.    ---5    2

yi — a:²

= a . arc sina; + C,

(28.)

y = uz = (x -}- Y1 + x²) (a . arc sin x + C).

2. Methode von Lagrange f Variation der ConstantenJ. Man ersetze zunächst die Differential-Gleichung

(29.)

dy

■jx + y •/(*) = ?(*)

durch die Gleichung

welche in Bezug auf y und ^ homogen ist, und hei der ohne

dy

Weiteres die Trennung der Variabein ausgeführt werden kann. Dadurch erhält man

(31.)

(30.)

dy

dx + y -f(x) = °-

= —f{z)dx

und durch Integration (32.) oder (33.)

Versucht man jetzt, ob die Gleichung (33.) auch ein Integral der Gleichung (29.) ist, so erkennt man, dass dies nur möglich ist, wenn mhn c nicht als eine Constante, sondern als eine Function von x betrachtet. Aus Gleichung (33.) oder (32.) findet man sodann durch Differentiation

rH I

dy

dx +f{x) -

1 de c dx

oder

(34.)

dy

_ y àc,

c dx

dx + V

folglich wird nach Gleichung (29.) und (33.)

(35.)

oder

dc    . . f/(x)dx

Tx = 9(x)-e    ,

= j'f (*)

.e/Mi’.dx+C, also in Uebereinstimmung mit Gleichung (9.)

—f/{x)dx

y — e

(36.)

(37.)

ff{x)dx

. dx + C'J .

Beispiele.

Aufgabe 4. Man soll die Differential-Gleichung

(38.)

il ą. ay = b . emx dx v

integriren.

Auflösung. Integrirt man zunächst die lineare, homogene Differential-Gleichung

dy

(39.)

7x + ay = %

so findet man durch Trennung der Variabein

(4 )    — — — adx, also 1 y = — ax -f- lc,

(4 )    y = c . e-ax.

Wenn man hierbei c als eine Function von x betrachtet, so ergiebt sich durch Differentiation

1 de c dx

— — a -j--

oder

(42.)

dy

Tx+ay= a-

Dies giebt mit Rücksicht auf die Gleichungen (38.) und (41.)

cs

de

de

— = b . emx, oder e~ax — = b . emx, dx    dx

also

(43.)

de

— b . e(a+m)x,

dx

(44.)

c — b je(“+w)* . dx =

-—[$(«+»")* + c]

a -\-mL    J

(45.)

>mx

+ Ce~ax).

(46.)

a -\- m

Aufgabe 5. Man soll die Differential-Gleichung

?+-=“ dx x

integriren.

Auflösung. Durch Integration der linearen, homogenen Differential- Gleichung

(47.)

dl ₌ _l

dx

oder -- =

dx

erhält man

(48.)

1 y — 1 c — Ix, oder xy = c.

Betrachtet man jetzt c als veränderlich, so erhält man aus dieser Gleichung durch Differentiation 1 dy 1 de

c dx

Deshalb geht Gleichung (46.) über in

(49.)

y dx

- 5 oder

dy    y    y dc 1 dc

dx    x    c dx    x dx

(50.)

1 de

— — a, also dc = axdx, xdx

folglich wird mit Rücksicht auf Gleichung (48.)

2c = ax² -f- C, also 2xy = ax² -f- C. Aufgabe 6. Man soll die Differential-Gleichung

(51.)

(52.)

du

integriren.

Auflösung. Durch Integration der linearen, homogenen Differential-Gleichung

(53.)

dy

oder 2

dy

2 xdx

1 — x²

erhält man

(54.)

l(y²) = 1(1 — Æ²)    1 c, oder y² = c(l — x²).

Betrachtet man jetzt c als veränderlich, so erhält man aus dieser Gleichung durch Differentiation

1 de c dx

<M I

\x

—    t-

1 — x²

oder

Deshalb geht Gleichung (52.) über in

(i-**) Ł.%.

J 2 c dx

dies giebt mit Rücksicht auf Gleichung (54.)

(56.)

/c_s(l — #²)"|/l—x² de    _1    3

(57.)-—---j- — a, oder c ^dc = (1—x²) ?.2adxf

2 y c    ax

also für x — sin t

2aj'(l — x²) ^dx = 2aj'- ^

cos²1

= 2a tg t + 26',

(58.)

Vc

ax

■ff 6'.

Vl — x²

Deshalb findet man aus Gleichung (54.)

(59.)

y = ax Ą- 6]/l — x¹.

3. Methode des integrirenden Factors.

Man multiplicire die Differential-Gleichung

(60.)

dy

dx + V •/(*) = ⁽fix)

mit dem Factor ip(x)dx, man bilde also

ip(x)dy + ip(x) [y .f(x) — ą(x)\dx — 0 und bestimme die Function ip(x) so, dass die linke Seite von Gleichung (61.) ein vollständiges Differential wird, d. h. so, dass die Bedingung

(61.)

(62.)

dM(x, y)    öN(x, y)

dy

dx

erfüllt wird, wobei in dem vorliegenden Falle

(63.) M{x, y) — xp{x) [y .f(x) — <p(z)\ N(x, y) = xp{x) ist. Dies giebt also die Gleichung

(64.) ip(x) .f{x) = xp\x)

oder

ff(x)

ip(x)

l[ip(x)] = Jf (x)dx, oder ip(x) Deshalb geht Gleichung (61.) über in

(66.) du = e^ . \y .f{x)— (f (#)] dx -j-

(65.)

dx = f(x)dx,

_ fĄx)dx

ff(x) fix

.dy — 0,

folglich wird nach dem in § 70 angegebenen Verfahren

(67.)

U = J'N(x, y)dy + O = y . e ^A )d*

+ ”,

wobei o nur noch eine Function der einzigen Veränderlichen x ist. Dabei wird mit Rücksicht auf Gleichung (66.)

du

m = y-e

also

do

(⁶⁸‘) £ =

?(*)].

. rf (x), v — —J / (rrj . e

Cf(x)dx

. dx\

man findet daher in Uebereinstimmung mit den Gleichungen (9.) und (37.)

(69.)

oder

(70.)

-fax) • e'

y — e ^f{X)dX. [f-p(x) . e

u — y . e-

ff(x)dx

ff(x)dx

fj(x)dx

. dx = C,

(71.)

Beispiele.

Aufgabe 7. Man soll die Differential-Gleichung

_ arctg#

~T

dv , y

dx ¹

i—*

integriren.

Auflösung. Durch Multiplication mit* ip(x)dx geht Gleichung (71.) über in

(72.)

ip(x) C

arctgx

1 + x²

^dx + ip(x)dy = 0.

1 -f- x²

Damit die linke Seite dieser Gleichung ein vollständiges Differential wird, muss

(73.)

lp(x)

1 + x²

= ip\x), oder

V‘(x)

dx

dx

1+x²

sein. Daraus folgt, wenn man arc tg x mit t bezeichnet, 1 [</;(£)] = arc tg x = t, oder ip(x') — ê. Gleichung (72.) geht daher über in

(74.)

(75.)

du = e\y — t)

dx

1-t x²

+ ddy = 0,

oder

du = d{y — t)dt + ehly = 0.

Dies giebt durch Integration

u — y . é v = C, wobei v eine Function der einzigen Veränderlichen t ist,

dt y ^ dt

(75 a.)

(76.)

do

also

— e*(1— 1),

u = y . e* — é(t — 1) = C,

(79.) y = t — 1 + C. er* = axctgx — 1 + Ce~™cts*. Aufgabe 8. Man soll die Differential-Gleichung

sina:

(77.)

(78.)

(80.)

dv = — t.

! xv

dx^ i + x² ynrp

integriren.

Auflösung. Indem man Gleichung (80.) mit xp(x)dx multiplient, erhält man

(81.)

*w(

sina:

==ÿ dx + ip(x)dy = 0.

l + £² yi'-f

Damit die linke Seite dieser Gleichung ein vollständiges Differential ist, muss xxp{x)

1+ X¹ ~~

sein. Daraus folgt

(83.)    \[ip(x)] = ^1(1 + x²), oder ip(x) =]/I + x².

Gleichung (81.) geht daher über in

*=( xy

(82.)

(84.)

sina:

Vl+x²

Dies giebt durch Integration

xp‘(x)dx

ip(x)

xdx

1+ x²

^dx +1/1 -f- x²

. dy = 0.

u = yf/l + x² + v — C, wobei v eine Fmiction der einzigen Veränderlichen x ist, also mit Rücksicht auf Gleichung (84.)

_ XV i _    __

dx ]/T+ x¹ dx y x + a?

(85.)

(86.)

du

dv

xy

sill*.

do = — sin xdx, v = cos a-, u = yY 1 -j- x² -j- COSa: = C.

t'~ oo

Aufgabe 9. Man soll die Differential-Gleichung

(89.)

^—ytga; = 2cos²a:

integriren.

ip{x) (— ytga: — 2c.0Srx)dx + ip(x)dy = 0.

Auflösung. Indem man Gleichung (89.) mit ip(x)dx multi-plicirt, erhält man (90.)

Damit die linke Seite dieser Gleichung ein vollständiges Differential ist, muss

(91.)    — ip(x)tgx — xp‘{x)

oder

ip‘(x)dx

— sin xdx

xp(x)

cos#

sein. Daraus folgt

(92.)

= l(cos^), oder ip(x) = cosa*.

Gleichung (90.) geht daher über in

(93.)

du = — («/sina: -f- 2cos³x)dx + cosa: .dy — 0.

Dies giebt durch Integration

(94.)

u = y cosa: 4- v = C, wobei v eine Function der einzigen Veränderlichen x ist, also mit Rücksicht auf Gleichung (93.)

(95.)

du

de

= — y sina: — 2cos³a;,

(96.)

(97.)

Tx=-ysmx + dx

dv — — 2cos³a:dx = — 2(1 — sin²a:) 0,0^ xdx, v = — 2 (sina: — ^sin³a:),

3 u — 3y cosa:— 6 sina: + 2sin³a: = 3(7.

§ 81.

Gleichung von Bernoulli.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 181.)

In manchen Fällen lässt sich eine Differential-Gleichung erster Ordnung, welche nicht linear ist, durch eine passend gewählte

Substitution zu einer linearen machen. Es sei z. B. nach Bernoulli

(1)

dy

yP dx + yP+l ‘SW = yq '(f>^

wobei p und q beliebige positive oder negative, ganze oder gebrochene Zahlen sind. Setzt man dann q—p = n, so kann man die Gleichung auf die Form

+ y •/(*) = yn • <f(x), Oder

y" dx ⁺ y" ¹    *' ¹

bringen. Daraus ergiebt sich durch die Substitution

1 dz_n — 1 dy

dx yn dx

die lineare Differential-Gleichung erster Ordnung

(2.)

(3.)

(4.)

dy

dx

yn

-i

dz

^ — (» —    •/(*) = {n —

Man kann auch die Differential - Gleichung (2.) unmittelbar integriren, indem man wieder

(5.)

y = uz

setzt. Daraus ergiebt sich

(6.)

dz /du    -, N\

Udx + 2 \dx + U mf^) ⁼

unzn . (p(x).

Wenn man die Function u so bestimmt, dass der Factor von z verschwindet, erhält man

^ + « •/(*) = oder ~    .f(x)dx,

—Jf{x)d'xi odor u — e * .

Dadurch geht Gleichung (6.) über in dz

l⁹-)    u-^ = unzn .<p{x), oder ^

dz    — (n — 1) fj{x)dx

~ = e    . (f'[x)dx.

Macht man die Voraussetzung, dass n ^ 1 ist, so folgt aus Gleichung (10.)

(7.)

(8.)

(io.)

dz

— = zn .

e y . <f(x\

(u.)

zl-n

= (1 — n)Je

(12.) y‘

iß

. (f(x)dx + (7(1 — n),

—(n—l)ff(x)dx

— (1 — w)e

Dagegen erhält man für n = 1 aus Gleichung (2.)

. (f(x)dx + C .

dy

dx + y•/(*) = y • y(«),

oder

(13.)

dy

(14.)

- = \<P(X) —f{x)]dx,

y

i y =J hK*) —/(*)]*•

Aufgabe 1.

(15.)

Beispiele.

Man soll die Diiferential-Gleichung

%⁺l=a^lx

integriren.

Auflösung.

chung (15.)

Indem man y — uz setzt, erhält man aus Glei-

(16.)

dz

/du u\

⁺ \dx + x) ⁼

au²z² \x.

U dx

Damit in dieser Gleichung der Factor von z verschwindet, bestimmt man die Function u so, dass

du

du

oder

wird. Dies giebt durch Integration

1 u — — \x, oder u =

Hierdurch geht Gleichung (16.) über in

\d±~^\x

J    1*^1

x dx    x¹

folglich wird durch Integration

(17.)

(18.)

(19.)

(20.)

oder

dx

dx

z‘

to; &

also

dz

dx

z²

a\x . —

(1 x)²+C, also — —

y

(Ix)² + C

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung¹

(22.)

'j-x +

integriren.

Auflösung. Indem man y — uz setzt, erhält man aus Gleichung (22.)

(23.)

dz

^ ~ au'z^Q'^x'

u —|- z dx

Damit in dieser Gleichung der Factor von z verschwindet, bestimmt man die Function u so, dass

du    , du n sin xdx

dx    u    COS#

wird. Dies giebt durch Integration

1 u — 21 (cos#), oder u = cos²#.

Hierdurch geht Gleichung (23.) über in dz

COS²# • — = a cos⁴# . Z²ctg#,

(24.)

(25.)

oder

dz _a cos³ xdx

z2 —    sin#

folglich wird durch Integration

(26.)

( 1

= a I —7-\sin

sin#^(/(sin#).

(27.)

i = a[l(sin#) — ^sin2;r] + C =

oder

(28.)

ay [21 (sin #) — sin²#] + 2 C'y + 2 cos²# = 0.

§ 82.

Erklärung des integrirenden Factors.

(1.)

Es war schon früher gezeigt worden, dass jede Differential-Gleichung erster Ordnung sich auf die Form M(x, y)dx -J- N(x, y)dy = 0 bringen lässt und ein allgemeines Integral

y,C) = 0

besitzt. Löst man diese Gleichung (2.) nach der Constant en C auf, so erhält man

(8.)

y),

wobei f(x, y) eine Function von x und y ist, die mit u bezeichnet werden möge. Dann folgt aus Gleichung (3.)

(4.)

du =

du

du

dx

dx + dy — 0.

dy

Aus dieser Gleichung findet man

(5.)

dy

Qj! Qj

d/(s, y)

dx

dx

du

dy

d/(G y)

dy

während sich aus Gleichung (1.)

dy _ _ M(x> y)

dx iV(a*, y) ergiebt. Da diese beiden Werthe yon einstimmen müssen, so wird

(6.)

dl

dx

mit einander über-

du

(7.)

dx_M (x, y)

N(x, y)

du

dy

Bestimmt man daher eine Function v von x und y durch die Gleichung

du

(8.)

dx

* y) '

so ergiebt sich aus Gleichung (7.) und (8.)

,N du . M(x, y),

du

= v . N(x, y).

Es wird deshalb mit Rücksicht auf Gleichung (4.)

du = v . M(x, y)dx -j- v . N(x, y)dy.

Damit ist der Satz bewiesen: Es yiebt stets eine Function v ion x und y, welche die Eigenschaft hat, dass v[M(x, y)dx + N(x, y)dy]

(9.)

(10.)

dx

By

ein vollständiges Differential wird. Die Auflösung der Differential- Gleichung

Mix, y)dx + N(x, y)dg = 0

ist dann

(11.)

u = C.

Hierbei heisst die Function v „der integrirende Factor1,1. Die vorgelegte Differential-Gleichung besitzt unendlich viele integrirende Factor en. Multiplicirt man nämlich Gleichung (10.) mit einer beliebigen Function ffu) von u, so erhält man

(12.) (f{u)du = dj(p{u)du = v.(p(u) M{x,y)dx-\-v. if(u) N(x,y)dy.

Die rechte Seite dieser Gleichung ist das vollständige Differential von J(p{u)du. Dies giebt den zweiten Satz: Ist o ein integrirender Factor der Differential-Gleichung M(x, y)dx + N(x, y)dy — 0,

welcher das Integral u = C liefert, so ist auch v. <f (u) ein integrirender Factor.

Damit sind aber alle integrirenden Factoren erschöpft, denn es gilt auch der folgende dritte Satz: Sind V und v zwei integrirende Factoren der Differential-Gleichung M{x, y)dx + N(x, y)dy — 0,

und ist der Quotient von V und v keine Constante, so ist das vollständige Integral der vor gelegten Differential-Gleichung

(13.)

- = Ci

wobei C\ eine willkürliche Constante bedeutet.

Beweis. Nach Voraussetzung sind (14.) du = v(Mdx + Ndy) und dU = V{Mdx -j- Fdy) vollständige Differentiale, folglich wird

„. wrr V    dU. eu

(lo.) dU = — du, oder -^—dx +

also

dy

‘,y=^£dx+%dv)

dU V du

dx    o dx

Da diese Gleichung für unendlich viele Werthe von dx und dy gelten soll, so muss

(16.)

Qj

dy

sein. Setzt man nun

(18.)

« = <f(x, U =    y),

(19.)

(17.)

dU

V du

dx v dx

T— und

Vdu

v dy

so kann man y aus der ersten dieser beiden Gleichungen ausrechnen und in die zweite einsetzen. Dadurch erhält man y = ip(x, u), U = d>[x, xfj(x} u)] = F(x, u).

Dies giebt

(20.)

(21.)

dU _ Vdu __dF dFdu dx v dx dx du dx dFdu

dU Vdu _

v dy    du dy

dy

folglich ist

(22.)

V_ d_F v du

und

— 0,

V dF

d. h. U = Fix, u) und deshalb auch = sind Functionen

'    v du

der einzigen Veränderlichen u, so dass

(23.)

- = (fi (uj — C i

v

das allgemeine Integral der vorgelegten Ditferential-Grleicliung ist.

§ 83.

(IO

Beispiele zur Erläuterung.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung ydx — (x + y)dy = 0

integriren.

Auflösung. Da die vorgelegte Differential-Gleichung homogen ist, so setze man y = xz\ dann ergiebt sich

oder

zdx — (1 -f z) (xdz + zdx) = 0,

dx

(2.)

z’-dx -f- (1 + z)xdz = 0,--b (z⁻¹ + z~²)dz 0,

= C, oder 1 y — — = C.

\x -f lz —

M ; H-¹

§ 83. Beispiele zur Erläuterung des integrirenden Factors. In diesem Falle ist also

468

u = 1 y — — = C,

J y

dx (x + y)dy

--1--~ö~- - 0.

(3.)

(4.)

y'¹

du = —

Damit Gleichung (1.) diese Form erhält, muss man sie mit — \ multipliciren. Der integrirende Factor ist daher in diesem Beispiele

//

(5.)

(6.)

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung xd y — ydx = 0

integriren.

Auflösung. Durch Trennung der Variabein findet man aus dieser Gleichung ohne Weiteres

^-^=0,    \y-\x = \ C,

oder

= C.

(7.)

Bezeichnet man also die Function - mit u, so wird

x

(8.)

= 0.

^ _ xdy — ydx

x¹

Damit Gleichung (6.) diese Form erhält, muss man sie mit dem integrirenden Factor (9.) multipliciren.

Aufgabe 3. Man soll die Differential-Gleichung

(10.)

[y(x — yf — x>/]dx + [x³y — x(x — yf]dy = 0

integriren.

Auflösung. Die vorgelegte Differential-Gleichung kann durch keine der bisher angegebenen Methoden integrirt werden. Multi-plicirt man sie aber mit dem Factor

(HO

h xy(x y'f

so geht sie über in

(12.)

ri

X¹

i ~\    ♦

- dy = 0.

V J

2- dx +

.{x — yf

Die linke Seite dieser Gleichung ist das vollständige Differential der Function

(x y)² _

(13.)

« = l(*)₊-2-₊CL

\y J x —y

wie bereits in § 71, Aufgabe 5 ermittelt worden ist.

Weitere Beispiele für die Bestimmung des integrirenden Factors wurden bereits bei der Integration der linearen Differential-Gleichungen erster Ordnung in § 80 (Aufgabe 7, 8 und 9) ausgeführt.

§ 84.

Bestimmung des integrirenden Factors.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 182 bis 187.)

Die Bedingung, dass v{Mdx + Ndy) ein vollständiges Differential wird, ist nach Formel Nr. 172 der Tabelle ö(vM) _ d(vN) > dy ~ öx ’

dies giebt

dM

V dy

do

ÔN

dv

dy

öx

dx ’

oder

dv

ÖN dM

dx dy

Diese Bedingung ist nothwendig, aber auch hinreichend dafür, dass o ein integrirender Factor ist, und zwar ist Gleichung (1.) eine partielle Differential-Gleichung für v, denn sie enthält

(!•)

dy

do

— N~-

dx

dv

dv

die partiellen Ableitungen

entnehmen, dass die Integration dieser partiellen Differential-Gleichung im Allgemeinen schwieriger sein wird als die Integration der ursprünglich gegebenen Differential-Gleichung Mdx -f- Ncly — 0.

Es giebt aber mehrere Fälle, wo die Bestimmung von v ausführbar ist. Von diesen Fällen sollen hier einige hervorgehoben werden.

I. Fall. Der integrirende Factor v sei eine Function von x allein, es sei also

öx

und

dg

• Man kann schon daraus

(2-)

dv _ de _de

dg ’ d.x dx

Unter dieser Voraussetzung geht Gleichung (1.) über in

dN dM

oder

dv /

dx    \ dx

dg

(3.)

1 dv    1 /dN dM'

v clx    N\dx

dy

Die linke Seite dieser Gleichung ist eine Function der einzigen Veränderlichen x, folglich muss es auch die rechte Seite

1 /dN dM

sein. Ist also der Ausdruck —r(

N\dx

so findet man einen integrirenden Factor v aus Gleichung (3); es wird nämlich

dg

^ von g unabhängig,

(4.)

\v

-A

dN dM\dx dx dy ) N

e-ft

dN àil \ dx dx dy / N

(5.)

Beispiel.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung (x²y + y + 1 )dx + (x -ff x³)dy = 0

integriren.

Auflösung. Hier ist 1 /dN dM N\dx

folglich wird nach Gleichung (3.)

(»•)

dy

( 1 + 3i²) — (;X² + 1) _ 2x

X + X³    1 + Z¹

(7.)

de

2 xdx

1 v = — 1 (1 + x<1) ? ®

1 + #²

Indem man Gleichung (5.) mit diesem integrirenden Factor v multiplicirt, erhält man

du

(8.)

also

(9.)

u = Jxdy + r/(;r) = ocy (p{x) = C,

wobei (f(x) eine Function der einzigen Veränderlichen x ist, die man aus der Gleichung

(10.)

Qj; Qi

= 2/ +

findet, und zwar wird

d<f(x) = dx

(11.)

1 -f- x¹

ff'(x) = arc tg T,

folglich ist

(12.)

u = xy -f- arctg# = C.

II. Fall. Der inlegrirende Factor v sei eine Function von y allein, es sei also

oder

de

dx

= 0,

Unter dieser Voraussetzung geht Gleichung (1.) über in

/dN dM\

-VKd^—dy)'

de

dy

folglich wird nach Gleichung (14.)

(17.)

\v =

(14.)

\v

-)\dx    6u)m’ °-e

dN_ ö JA dy djc dy / M

Beispiel.

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung (xy² ■— y³)dx + (1 — xy²)dy — 0

(15.) integriren.

Auflösung. Hier ist 1 /6N ÖM M\dx

(16.)

— y² — 2 xy + 3y²

dy

y\x — y)

— ²¹V, v = ^-

Indem man Gleichung (15.) mit diesem integrirenden Factor v multiplicirt, erhält man

(18.)

also

(19.)

du — (x — y)dx +    — x^ dy = 0,

c    X²

U=f(x — y)dx + (f{y) = ~ — xy-f rp(y) = C,

wobei <f (y) eine Function der einzigen Veränderlichen y ist, die man aus der Gleichung

(20.)

du

dy

findet, und zwar wird

* + <p‘(.y) = à

y

(21.)

dy

folglich ist

(22.)

<p‘(y)dy = ÿ , (f (y) = —

x²    ¹ n

2-Xy~-y=°'

oder (22 a.)

x²y — 2 xy² — 2 Cy — 2 = 0.

(13.)

dy

von x unabhängig, so

dy

III. Fall. Der integrirende Factor sei eine Function der einzigen Veränderlichen z — xy\ es sei also

dv dv

dx ^ dz’ dy X dz

Unter dieser Voraussetzung geht Gleichung (1.) über in

dv

dv

oder

(23.)

1 dv

v clz    xM—yN\dx

dN dM

dy

)•

Die linke Seite dieser Gleichung ist eine Function der einzigen Veränderlichen z, folglich muss es auch die rechte Seite

dN äM

--(

xM—yN\ dx

so findet man einen integrirenden Factor v aus Gleichung (23.) ; es wird nämlich

sein. Ist also

dy

^ nur abhängig

von xy = z,

(24.)

(25.)

- f(dN dM\ dz J \ dx    dy ) xM — y N ’

dz

ç —1 gd \ dx dy ' xM —yN *

Beispiel.

Aufgabe 3. Man soll die Differential-Gleichung (;y + xy²)dx + {x — x²y)dy — 0

(26.)

integriren.

Auflösung. Hier ist dN dM

(27.)

dx dy

(1 — 2 xy) — (1 + 2 xy) = — 4 xy,

(28.) xM — yN = {xy + x²y²) — {xy — F-y¹') = 2 x²y², folglich wird

(29.)

dN dM'

dy

xM— yN\dx

eine Function von z — xy allein, so dass man aus den Gleichungen (24.) und (25.)

xy

(30.)

1ü = —

— 2D, oder v =

z² x²y²

findet. Multiplicirt man Gleichung (26.) mit diesem integrirenden Factor v, so ergiebt sich

(31.)

du

=(£+;)*+GW)*“

0,

(32.)

~ + 1* + <p(y) = C

xy

wobei (f (y) eine Fmiction der einzigen Veränderlichen y ist, die man aus der Gleichung

(33.)

du

Öy xy findet; und zwar wird

^y²

▼H I

(34.)

^y

y'(yMy = — -f » v(y) = — ly»

folglich ist

u =i\x — 1 y--— = C,

xy

oder

(35.)

](X\--- = C.

xy/ xy

IV. Fall. Der integrirende Factor sei eine Function der einzigen Veränderlichen z = ^ ; es sei also

y de

öx    x² dz öy x dz

Unter dieser Voraussetzung geht Gleichung (1.) über in xM + yN de /dN dM\ x'¹ dz \dx Öy /

1 de x- / dN

o dz    xM-\-yN \dx

(36.)

oder

(37.)

de

de 1 de

dM

dy

Die linke Seite dieser Gleichung ist eine Function der ein-zigen Veränderlichen z, folglich muss es auch die rechte sein. dN dM

Ist also

/

xM-\-yJS V

dx dy

^ nur abhängig von = z, so findet

man einen integrirenden Factor v aus Gleichung (37); es wird nämlich

(38.)

\c

(39.)

_ f(öN_ ÖM\ x²dz J\dx    öy )xM + yN

'O — (>d    üy '

X'dz

xM yN

(40.)

Beispiel.

Aufgabe 4. Man soll die Differential-Gleichung

dx — x cos

[s*“n®+ycos(9]

integriren.

Auflösung. Bezeichnet man ^ mit «, so wird in diesem

Falle

x²

X²

xM -f- yN (3a;²sm« + xyzosz) — xycosz 3sm« ÖN ÖM

Öx

also ist

öy

=(—cos«—«sin«)—(3cos«+cos«—«sin«)= — 5 cos«,

(41.)

x¹

öN ÖM

5 cos«

xM -f- yN \ dx eine Function von « = - allein

Öy

3 sin«

so dass man aus den Glei-

chungen (38.) und (39.)

5 fcos zdz

3J:

(42.)

\v = —

sin«

l(sin«), v =

(sin«)^

findet. Multiplicirt man Gleichung (40.) mit diesem integrirenden Factor v, so ergiebt sich

_ r 3x

^(sin«)³

(43.)

du

y cos« (sin «)

-1

⁵

:> J

dx

ÆCOS zdy _

(sin «)T

Daraus folgt

(44.) u

irCOSzd^ q>{x) = — x²J}$mz) ^COSzdz + (f{x)

(sin«)T

3a:²

-2.

3a:²

—(sin«) ;i + <f{x) = I sin

nf

4- (j{x) = C,

wobei ę(x) eine Function der einzigen Veränderlichen x ist, die man aus der Gleichung

(45.)

Qj

2    5

= 3x (sin z)~^ -f y(sinz) ? cosz + cp‘{x)

_ 2    _ 5

= 3x (sin z) sr ■+ y (sin z) t cosz

findet. Es wird also (46.)

<f>‘(x) — 0,    (f{x) = c.

Dabei kann man die Integrations - Constante c gleich Null setzen, weil man auf der rechten Seite von Gleichung (44.) bereits eine Integrations-Constante C hinzugefiigt hat. Man erhält daher

« = ~ (sin!

= 0,

oder

(47.)

3x²

Setzt man noch 80³= 27 C\², so kann man diese Gleichung auf die Form

(48.)

x⁶

= C'i² sin²

oder x³

= ± C'i sin

bringen.

V. Fall. Der integrirende Factor sei eine Function der einzigen Veränderlichen z = x² y² ; es sei also dv _ dv    dv de

dx~~2xdz’ öy    ^ dz'

Unter dieser Voraussetzung geht Gleichung (1.) über in 2 (ÿit-xN)^ = »(

(49.)

ÖN ÖM

öx

Öy

oder

(50.)

1 clc v dz

ÖN ÖM

öy

2 (yM — xN) \ öx Die linke Seite dieser Gleichung ist eine Function der einzigen Veränderlichen z, folglich muss es auch die rechte sein.

Ist also

/ÖN

ÖM

ÖIJ

^ nur abhängig von x²+y²

yM — xN

so findet man einen integrirenden Factor v aus Gleichung (50.); es wird nämlich

(51.)

lü

(52.)

- f(dN dM\_dz

J\ dx öy ) 2(yM

f(àN _dM\ dz ™ __ ęJ \<h; dy) 2(yM—xN)'

— xN)

Beispiel.

Aufgabe 5. Man soll die Differential-Gleichung

(a]/x² + y² — cx)dx -f- (ö]/x² -j- y² — cy)dy = 0

(53.) integriren.

Auflösung. Bezeichnet mana;²-f-?/² mit z, so ist in diesem Falle (54.) yM—xN — (ciyyz— cxy) — (bxYz— cxy) — (ay—b.r)Y~z,

(55.)

folglich ist

ÖN ÖM _ bx

öx

ay

f/z

ay — bx

NT"

(56.)

/ÖN ÖM\_1_

\öx öy ) yM — xN

eine Function der einzigen Veränderlichen z. Deshalb findet man aus den Gleichungen (51.) und (52.)

(57.)

\v — —

rH ;(N

ls,

yx² -f- y²

Multiplicirt man Gleichung (53.) mit diesem integrirenden Factor v, so ergiebt sich

(58.) du = Ça

(59.) u =ßa — yJ^L=^dx+<p(y) = ax — cYx²+y² + (f(y)=C,

cx

Yx- + y

₂) dx + (b

cy

Yx² + y

l)chJ = °>

wobei (p{y) eine Function der einzigen Veränderlichen y ist, die man aus der Gleichung

(60.)

öu

öy

findet. Es wird also

(61.)

= b, <f{y) = f>y,

(62.)

u = ax

-f by — cYx² 3 + y³ = C.

In ähnlicher Weise kann man noch eine ganze Reihe von besonderen Fällen behandeln, bei denen der integrirende Factor eine Function einer einzigen Veränderlichen z ist, die selbst wieder eine passend gewählte Function von x und y sein darf. In allen diesen Fällen ist zuerst der Ausdruck

ÖN dM '    dx dy

zu bilden. Ist dieser Ausdruck gleich Null, so ist schon

Mdx + Ndy

eine Function von x allein,

dy

selbst ein vollständiges Differential, ist er aber von Null verschieden, so kann man der Reihe nach versuchen, ob 1 (dN dM N\dx

oder ob

dy

1 fdN dM

⁺ MV dx

dN dM

n ii

xM— yN V dx

dy

ii

dN dM

dy

xM -j- yN V dx

» %³+y³ „

dN dM

dy

” ”    yM—xN \ dx

ist. Trifft einer dieser 5 Fälle ein, so kann man nach den angegebenen Regeln den integrirenden Factor leicht bestimmen.

Erwähnt möge noch werden, dass der häutig vorkommende Ausdruck xdy — ydx die integrirenden Factoren

1 1

x² ? y³

(63.) dui

xdy—ydx

x³

dug =

xdy—ydx

y³

? duz

_ xdy—ydx

— £³+y³

(64.)

Ul =

Uz

Der Ansdruck xdx + ydy hat den integrirenden Factor —2 ! und zwar folgt aus

(65.)

(66.)

₇ _ xdx + ydy

U ~~    *² -ff y~

\(x² + y²).

§ 85.

¹

   __1_(dN    dM

v M \ dx

Die linke Seite dieser Gleichung ist eine Function der einzigen Veränderlichen y, folglich muss es auch die rechte sein.

1 /dN dM'

Ist also der Ausdruck — (

M \ öx

findet man einen integrirenden Factor e aus Gleichung (13) ; es wird nämlich

²

³-\-y³

³

besitzt. Es folgt dabei aus den Gleichungen

Differential-Gleichungen erster Ordnung höheren Grades.

Eine Differential-Gleichung erster Ordnung und nten Grades hat die Form

dy

+ ---+Tś + cr=°-

<*•> (î)‘+ '■(© + «©

Hierbei bedeuten die Coefficienten P, Q,... T, ü beliebige Functionen von x und y oder constante Grössen.

dy

Denkt man sich nun Gleichung (1.) in Bezug auf ^ auf

gelöst, so erhält man n verschiedene Differential - Gleichungen erster Ordnung und ersten Grades, nämlich

dy

..Tx = F,(r,y),

⁽²-}    %=F'{x’y)’ Tx⁼Px’y^-

wobei Fi(x,y), F₂(x, y),... Fn(x, y) Functionen von x und y oder constante Grössen sind.

Durch Integration der Gleichungen (2.) erhält man dann (3.) (fi(x, y, cx)— 0,    (f₂{x, y, c₂) = 0,...    , y, cn) = 0.

Jede dieser Gleichungen ist ein Integral der Differential-Gleichung (1.). Man kann alle diese Lösungen zusammenfassen, indem man die Gleichungen (3.) mit einander multiplicirt. Dies giebt

(4.)

</hOG y, c0 •    y, c₂). . . (pn{x, y, cn) = 0.

Da dieses Product gleich 0 wird, wenn man einen der Factoren gleich 0 setzt, so wird die Allgemeinheit der Lösung nicht beschränkt, wenn man die Integrations - Constanten cx,

c₂,... cn alle einander gleich setzt. Dadurch geht Gleichung (4.) über in

ÇPifo y, c) • îfaCa-, 2/, c) ... y„(ar, 2/, c) = 0.

Sind z. B. in Gleichung (1.) die Coefficienten P, Q,... T, U constante Grössen, so gehen die Gleichungen (1.) und (2.) über

(4 a.)

in

dy

+ --- + TÊ+U

dy

dx

«,)(

dy

dy

dx

a0"‘(s

0.

(5.)

Daraus folgen die n Differential-Gleichungen

dji_

dy

dy

a 1,    — = a₂, •

«»

dx

wobei at, a₂,... an auch constante Grössen sind. Deshalb wird in diesem Falle

dx

(6.) ffi=y—alx-\-c=0,(f2=y — a₂x+c= 0, ...(fn=y — anx+c=0, oder

(₆a.)^±f_ai

X

Gleichung (4 a.) geht daher in diesem Falle über in

— 0,

^-a₂

y 4- c

----an

= 0.

Q"n \ — 0,

oder mit Bticksicht auf Gleichung (la.) in

fl— 2

+ --- + T

y+c

\-u= 0.

In diesem Falle ist also die Auflösung der Gleichung (1.) dy

nach ~ ) welche mitunter bedeutende algebraische Schwierigkeiten verursachen würde, nicht einmal erforderlich.

Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung

— d² = 0

(8.)

integriren.

.    (9.)

Auflösung. Aus Gleichung (8.) folgt zunächst

dy

dx

+ a und

dy

dx

und daraus durch Integration

y + c = ax und y + c = — ax,

oder

(10.) (y + c — ax) (y + c -f- ax) == (y + cf — a²x² = 0. Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung

7^+ 6 = 0

(H.)

(dy\*

\dxj

dx

integriren.

Auflösung. Gleichung (11.) lässt sich auf die Form

(11a.) bringen, folglich erhält man für das allgemeine Integral

(12.)

(y + c — «) {y + c — 2x) (y + c -f 3«) = 0,

oder

(12a.)

(13.)

(y + cf — 7x²(y + c) -f- §x³ = 0. Aufgabe 3. Man soll die Differential-Gleichung

M/Y

\dx)

ax

integriren.

Auflösung. Aus Gleichung (13.) folgt

(14.)

dy = -f-yaxdx und dy = —)/~äxdx

lind durch Integration

^iCc    2*^

(15.) y + c — —}/ ax — 0 und y + c +    V¹ax — 0.

o    o

Jede dieser beiden Gleichungen kann als Integral der vorgelegten Differential-Gleichung angesehen werden. Indem man die beiden Gleichungen (15.) mit einander multiplicirt, vereinigt man beide Lösungen und erhält

oder

[3(y + c) — 2xYax] [3(y -f- c) + 2xj/äx] = 0,

(16.)

9 (y + cf — 4 ax³ = 0.

integriren.

Auflösung. Durch Auflösung von Gleichung (17.) nach

(J.r

(17.)

Aufgabe 4. Man soll die Differential-Gleichung

$-1=0

©■

^ findet man die beiden Werthe

ö⁸-) *

oder

dy_— x -f- yx¹ + y²

und

dy — x —Yx'¹ + y-

dx

xdx + ydy _ _ dx yx% + y²

(19.)

Xdx+£ÿ_= x und

V^+tf .

also durch Integration (20.)    y x¹ -f- y² = x + c und ]/a:²+^²=:—x — c,

oder, wenn man beide Lösungen vereinigt,

(21.) (]/G²4- y² — x — c) (j/x^-f- y² + x + c) = y² — 2cx — ć² = 0.

Aufgabe 5. Man soll die Differential-Gleichung

integriren.

dy

Auflösung. Durch Auflösung der Gleichung (22.) nach erhält man die drei Differential-Gleichungen

dy_

dy ₌

— bx,

<²³-> *

und findet daraus durch Integration

dx

dy

y d² — x²    dx

yd²—x²

(24.) y + c = —    , y+c = arcsin^

y+c = — arcsin^ j •

Indem man diese drei Lösungen vereinigt, ergiebt sich die Gleichung

(y +c + df)[y +c

— arcsinl

y + c -f arcsin

= 0,

oder

(25.) (y + cf + ~ (.'/ + cf — [arcsin (y + c)

T [arcsin(ï)Î= °-

§ 86.

Integration durch Differentiation.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 188 bis 191a.)

Es war schon in dem vorhergehenden Paragraphen erwähnt worden, dass die Auflösung der Differential-Gleichungen erster

Ordnung höheren Grades nach

dy

dx

häufig auf grosse algebraische

Schwierigkeiten stösst. Es sollen deshalb hier noch einige Fälle untersucht werden, bei denen man die Integration durch andere Mittel ausführen kann.

Der Kürze wegen möge hierbei

(1.)

^ also dy ⁼ Vdx

gesetzt werden.

I. Fall. Die Differential-Gleichung enthalte y gar nicht und sei auflösbar nach x; die Gleichung habe also die Form

(2.)

« = y(^);

dann findet man durch Differentiation

(3.)

dx = (p\p)dp, oder mit Rücksicht auf Gleichung (1.)

(4.)

pdx = dy = (f\p) .pdp,

(5.)

y =/yO) -PdP + c-

Indem man aus den Gleichungen (2.) und (5.) die Grösse p eliminirt, erhält man die gesuchte Gleichung zwischen x und y.

Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung x = 4/>³ — 6j9² + 12p — 15

’(6.)

integriren.

Auflösung. Indem man Gleichung (6.) differentiirt, erhält man die Gleichungen y = 3p* — 4p³ + 6p² + C.

(9.)

(7.)

(8.)

dx = (12p² — 12 p + 12 )dp, dg = (12pi'

12jö² + 12p)dp,

also

Durch Elimination der Grösse p aus den Gleichungen (6.) und (9.) findet man dann die gesuchte Gleichung zwischen x und y.

(10.)

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung x = arc sin p — ]/1 — p-

integriren.

Auflösung. Indem man Gleichung (10.) differentiirt, erhält man die Gleichungen

(11.)

dx

(yi_y ⁺ yi

ß=)dp,

y i ~pv

also mit Rücksicht auf die Formeln Nr. 25 und 71 der Tabelle

(12.)

(13.)

Y1 —p² — ~y 1 —p² + \ arcsin/? + C,

oder

(14.)

2y — x = 2 C -— (1 -j- p)y 1 —p².

II. Fall. Die Differential- Gleichung enthalte x gar nicht und sei auflösbar nach y ; die Gleichung habe also die Form

y = <p(p)\

(15.)

dann findet man durch Differentiation mit Rücksicht auf Gleichung (1.)

(16.)

(17.)

dy — pdx = (ff p)dp,

dx=t\(pyp

also

(18.)

x _ j¥(p)dP

J P

+ C.

Indem man aus den Gleichungen (15.) und (18.) die Grösse p eliminirt, findet man die gesuchte Gleichung zwischen x und y.

Beispiele.

Aufgabe 3. Man soll die Differential-Gleichung

(19.)

i +p²

integriren.

Auflösung. Durch Differentiation findet man aus Gleichung

05 Ö

cly = pdx =

4 apdp

(1 + p²)‘

(21.)

dx

4ia dp

(1 + p²f

Dies giebt nach Formel Nr. 106 der Tabelle

(22.) x -- — 4a

,/ dp -7(i+i>²)²

(j+f ⁺ aretg:p) + C'.

Setzt man

also

C — an = x₀, p

= ctg(0 = t<V)

, = 2sin²(^= 1—cos t,

1+p²    \2/

so gehen die Gleichungen (19.) und (22.) über in y = a(l — cos tf),

■x = a(t — n — sin£) + C,

sin^, n—1= 2arctg^,

(19 a.)

oder (22 a.)

dar.

# — x₀ = a{t — sin<).

Das allgemeine Integral stellt also eine Schaar von Cykloiden,

Aufgabe 4. Man soll die Differential-Gleichung

(23.)

1/a²—ff²

cdp

y = --

integriren.

Auflösung. Durch Differentiation folgt aus Gleichung (23.)

(24.)

dy — pdx =

dp

p²y a?—p-

(25.)

dx =

dp

/?³]/a² —p²

also nach Formel Nr. 76 und 78 der Tabelle

(26.) .

i/a² —ff x~x« = ~2dy-

dp

_ y a² — p²

a²—p1 a -f- y a² — p²

2 a²/?²

+ 2?

Da noch aus Gleichung' (23.) folgt, dass

(27.)

yd²—p²

<-dy

P = —F==

ydÿ² + 1

ist, so findet man aus Gleichung (26.)

(28.) 2 a³(x — Xo) — cdyydy² + 1 + l(a²y +]/a⁴</² + 1).

Vay + 1

III. Fall. Die Differential- Gleichung enthalte alle drei Grössen x, y und p, sei aber nach x auflösbar ; die Gleichung habe also die Form

(29.)

x =f(y, p).

Indem man diese Gleichung differentiirt und Gleichung (1.) beachtet, erhält man

dx

oder

_ dy _ öf p dy

dy +

df

dp

dp,

(30.)

df

)dy

df

dp

dp = 0.

P Sy

Dies ist eine Differential-Gleichung erster Ordnung zwischen y und p, die in Bezug auf ~

sich in vielen Fällen leichter integriren lässt als die vorgelegte Differential-Gleichung (29.). Hat man die Integral-Gleichung

<p(y, P,C) = 0

gefunden, so folgt durch Elimination von p aus den Gleichungen (29.) und (31.) die gesuchte Gleichung zwischen x und y.

nur vom ersten Grade ist und

(31.)

Beispiel.

Aufgabe 5. Man soll die Differential-Gleichung

__ y(i + f)

yp² — 2 xp + y = 0, oder x

(32.) integriren.

Auflösung. Durch Differentiation folgt aus Gleichung (32.)

2p

dx = dl₌ K¹ + p*)dy — y(l —p*)dp

oder

2p¹

(33.) /?(! —P²)dy + y{ 1 —p²)dp — (1 —p²)(pdy -f ydp) = 0.

(34.)

oder

(35.)

Diese Gleichung wird befriedigt, indem man enhceder

_ ty

1 — p² = o, also p £

±1,

pdy +ydp = 0 setzt. Aus Gleichung (34.) folgt durch Integration

y = dz x -f C.

Dasselbe Besultat findet man aber auch ohne Integration, indem man p = ± 1 in die Gleichung (32.) einsetzt, woraus man auch erkennt, dass in Gleichung (36.) der Werth der Integrations-Constanten C gleich 0 sein muss, dass also Gleichung (36.) in (36 a.)

(36.)

übergeht.

Aus Gleichung (35.) findet man dagegen durch Trennung der Variabein

±₊±=0:

y p

c

ly + \p = 1(7, oder py = C, also p = — •

Trägt man diesen Werth von in Gleichung (32.) ein, so findet man

(37.)

(38.)

(39.)

y² — 2Üx + C² = 0.

Diese Gleichung ist das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung und stellt eine Schaar ton Parabeln dar,

welche sämmtlich die beiden durch Gleichung¹ (36 a.) dargestellten geraden Linien in den Punkten mit den Coordinaten x — C, y = ± C berühren.

IV. Fall.

Die Differential-Gleichung enthalte alle drei Grössen x, y und p, sei aber auflösbar nach y; die Gleichung habe also die Form

(40.)

y =/(*./>)•

Indem man diese Gleichung differentiirt und Gleichung (1.) beachtet, erhält man

dy = pdx

öf , . df ,

= dxdx + didP’

oder

(41.)

dfclp dp dx

df

dx p) ~ °-

Dies ist eine Differential-Gleichung erster Ordnung zwischen

dp

x und p, die in Bezug auf nur vom ersten Grade ist und

sich in vielen Fällen leichter integriren lässt als die vorgelegte Differential-Gleichung (40.). Hat man die Integral-Gleichung

(42.)

(f(x, p, C) = 0

gefunden, so folgt durch Elimination von p aus den Gleichungen (40.) und (42.) die gesuchte Gleichung zwischen x und y.

(43.)

Hat die Differential-Gleichung z. B. die Form y — x ./(p) + q>{p\ so wird mit Rücksicht auf Gleichung (1.)

(44.)

% = P =f(P) + [*•/'(?) +

oder

(45.)

dx

dp

Dies ist aber eine lineare Differential - Gleichung erster Ordnung, die man nach den Angaben in § 80 integriren kann. (Yergl. auch Formel Nr. 180 der Tabelle.)

Von besonderem Interesse ist der Fall, wo in der vorhergehenden Entwickelung /(p) gleich p ist, wo also die Differential-Gleichung die Form

(46.)

y —px + <p(p) hat. Dann erhält man durch Differentiation

dy = pdx — pdx + xdp -f <f‘(p)dp,

oder

(47.)

(48.)

[x + <p‘{p)\dp = 0.

Diese Gleichung wird befriedigt, indem man entweder dp = 0,

oder

(49.)

« + <p‘(p) = 0 setzt. Aus Gleichung (48.) folgt durch Integration

P = <dx⁼⁼⁽''■    a^S° y = ^ + Ci,

(50.)

wobei die zweite Integrations-Constante ermittelt wird, indem man den gefundenen Werth von p in die Gleichung (46.) einsetzt. Dies giebt

(51.)

y = Cx + </)((?), also Ci — <p{C).

Da hierbei die Integrations-Constante C unendlich viele Werthe hat, so ist Gleichung (51.) das allgemeine Integral der vorgelegten Differential - Gleichung.

Ganz verschieden davon ist die Lösung, welche man findet, indem man aus den Gleichungen (46.) und (49.) die Grösse p eliminirt. Dass man auf diese Weise wirklich eine Lösung erhält, kann man in folgender Weise zeigen. Denkt man sich aus Gleichung (49.) p als Function von x ausgerechnet und in Gleichung (46.) eingesetzt, so findet man, indem man diese Gleichung nach x differentiirt,

dJL = p + [x + ,r’(p)]±

also mit Rücksicht auf Gleichung (49.)

(52.)

dy

dx~P*

Beispiel.

Aufgabe 6. Man soll eine Curve bestimmen, bei welcher der Abschnitt der Tangente zwischen den beiden Coordinaten-Axen eine constante Länge c hat.

Auflösung. Damit die Gerade AB (Fig. 132) eine Tangente der Curve im Punkte P ist, muss

Fig. 132.

JP

't

dy

(53.)

(52.) y‘ = ^x⁴ -j- fi, oder y‘ — pxl + fi

sein, wobei die laufenden Coordinaten der Geraden mit x‘ und y‘ bezeichnet worden sind. Die Abschnitte OA = a und OB = b, welche diese Gerade auf den Coordinaten-Axen abschneidet, sind dann

P

b = fi.

(54.)

Da nach der Forderung der Aufgabe

a? -j- b'² = c-

sein soll, so findet man

(55.)

= c²,

cp

oder a = ± .

Vi+p-

f +l“

Nimmt man hierbei das obere Zeichen, so geht Gleichung (52.) über in

.    .    cp

y =px +Wt?'

Da die Gerade durch den Punkt P hindurchgehen soll, so erhält man die Differential-Gleichung

(58.)

(57.)

y =px +

cp

V i + p¹

Aus dieser Gleichung folgt durch Differentiation

oder

(58.)

£=p=P+{

(«+—A=—)^=o-

V (l+/>²)]/l+joV^

x -1

dp

Cc

(60.)

(59.)

Diese Gleichung wird zunächst befriedigt, indem man dp _

dy

,    0, also p — ~- — C

clx    (Ix

setzt und diesen Werth von p in Gleichung (57.) einträgt, woraus man

yi + C²

findet. Diese Gleichung enthält die willkürliche Constante 0 und ist daher das allgem eine Integral der vorgelegten Differential -Gleichung. Jede Curve der gefundenen Curvenschaar ist eine gerade Linie, welche mit ihrer Tangente zusammenfällt und auf den Coordinaten-Axen die Abschnitte

(61.)

yi+o²

b= +

cC

yi+c²

bestimmt. Da hieraus

a² -f b² — c²

folgt, so wird der Forderung der Aufgabe genügt.

Gleichung (58.) wird aber auch befriedigt, wenn man

0, oder x —

(62.) x +

(i + p²)yi + p²

(i + p²)V i + p-setzt. Bezeichnet man den Winkel BAO mit t, so wird

(63.) p = — tgt,

+ sinC

— —C0SĆ,

yv+ p²

dadurch gehen die Gleichungen (62.) und (57.) über in x — ccos³l, y = csin³/.

Durch Elimination von t findet man aus diesen Gleichungen

» 2 2 2 x⁵ + y³ = cT.

Die gesuchte Curve ist also eine Astroide. Für einen beliebigen Punkt P der Astroide wird

y i + p²

(64.)

(65.)

(66.)

p = — t gt,

so dass man für die zugehörige Tangente die Gleichung

y‘ — y = pW — *)>

oder y‘ — c sin³ć = — tgt(x' — c cosV), y‘ = — tgt ,x‘ -f csinć findet. Deshalb sind die Abschnitte, welche diese Tangente auf den Coordinaten-Axen abschneidet,

(67.)

(68.)

a = ccost, b = csinć, also a² -f- b² = c².

Hätte man in Gleichung (55.) das untere Zeichen genommen, so hätte sich in den folgenden Gleichungen nur das Vorzeichen von c geändert.

Setzt man in Gleichung (67.) —tgt gleich C, so geht sie in Gleichung (60.) über, welche das allgemeine Integral der Differential-Gleichung darstellte; d. h. die Astroide, welche man als eine besondere Lösung der Differential-Gleichung gefunden hat, berührt alle geraden Linien, die der allgemeinen Lösung entsprechen.

§ 87.

Die singulären Auflösungen der Differential-Gleichungen erster Ordnung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 192.)

Bei den Aufgaben 5 und 6 des vorhergehenden Paragraphen und ebenso bei der Differential-Gleichung

(!•)

y=px+ (f{p)

fand man zwei Lösungen, von denen die eine noch eine willkürliche Integrations - Constante enthält, die zweite aber nicht. Auch erkennt man bei diesen Aufgaben sofort, dass diese zweite Lösung, welche ohne Ausführung einer Integration gefunden werden konnte, kein particular es Integral ist, d. h. die zweite Lösung geht nicht aus der ersten hervor, indem man der Integrations - Constanten einen besonderen Werth giebt.

Man nennt daher eine solche besondere Lösung „me singuläre Lösung der vor gelegten Differential- Gleichung''''.

Der Zusammenhang zwischen der allgemeinen und einer solchen singulären Lösung ergiebt sich aus folgender Betrachtung. Es sei

oder

(2 a.)

M (x, y)dx -f N(x, y)dy = 0 die gegebene Differential - Gleichung, und

(3.)

G(x, y, C) = 0

sei das allgemeine Integral. Die Gleichung (3.) stellt eine ganze Schaar von Curven dar, weil die Integrations-Constante C unendlich viele Werthe annehmen darf. C ist also in Gleichung (3.) ein variabler Parameter. Für die Coordinaten der Schnittpunkte zweier benachbarten Curven der Schaar, welche den variablen Parametern C und C + 4C entsprechen, gelten die Gleichungen

(4.)

G(x, y, C) = 0 und G(x, y, C + 4C) = 0

gemeinschaftlich; deshalb gelten für die Coordinaten der Schnittpunkte auch die beiden Gleichungen

(5.)    <?(., y, ü) = o und g(«.y,c + 'CQ-g(*,y,Q = 0.

Wird JC verschwindend klein, so gehen diese Gleichungen

über in

(2.)

(*■ y's) =

0,

(6.)

G(x, y, C) = 0 und

ÖG(r, y C)

dC

0.

Wenn man aus diesen beiden Gleichungen den variablen Parameter C eliminirt, so erhält man den geometrischen Ort aller dieser Schnittpunkte, d. h. die Umhüllungscurve der gegebenen Curvenschaar. (Vergl. D.-K., § 117 und Formel Nr. 146 der Tabelle.) Giebt es eine solche Umhüllungscurve oder Enveloppe mit der Gleichung

(7.)

S(x, y) = o,

so ist diese Gleichung eine singuläre Lösung der gegebenen Differential - Gleichung. Es galt nämlich der Satz: „Die Um-hüllungs-Curve (Enveloppe) hat in den Punkten, welche sie mit einer der Curven der gegebenen Curvenschaar

G(x, y, C) = Q

gemein hat, auch die Tangente mit dieser Curve gemein1,1. (D.-R., §117.) Im Punkte P mit den Coordinaten x und y hat daher

dy

denselben Werth, gleichviel ob man annimmt, dass der Punkt P ein Punkt auf einer Curve der durch Gleichung (3.) dargestellten Curvenschaar ist, oder ob man den Punkt P als einen Punkt der Umhüllungscurve mit der Gleichung (7.) ansieht.

Umgekehrt lässt sich auch zeigen, dass zwischen der allgemeinen Lösung

(8.)

G(x, y,C) = 0

und der singulären Lösung

(9.)

S(x, y) = 0

einer Differential-Gleichung erster Ordnung immer dieser Zusammenhang besteht. Durch Differentiation der Gleichung (8.) erhält man nämlich

(10.)

dG

also

_ ÖG ÖG dy    dy _

~&-dï⁺eïdi-Gl + G*--

dx

0,

dy

_ ffiQg, y, Q) _

dx G%(x, y, C)

Der Ausdruck auf der rechten Seite dieser Gleichung wird im Allgemeinen noch die Constante C enthalten. Damit dieser

Werth von ^ in den durch Gleichung (2 a.) vorgeschriebenen,

(11.)

dx

M(x, y)

N(x, y) ’

C aus Gleichung (8.) ausrechnen und in Gleichung (11.) ein-setzen. Bringt man z. B. Gleichung (8.) auf die Form

C = (f(x, y),

nämlich in

(8 b.)

übergeht, muss man also den Werth von

so geht Gleichung (11.) über in

Gi [x, y, (p(x, y)]

(12.)

dy

M(x, y)

dx

G*[x, y, (f(x, y)]

N{x, y)

Es ist nun die Frage, wie ist es möglich, dass man aus irgend einer anderen Gleichung

(20.)

(13.)

S(x, y) — 0 dy

denselben Werth von -r- erhält?

clx

Bestimmt man zur Beantwortung dieser Frage jetzt die Grösse (? so, dass für alle Werthe von x und y

y, O) = S(x, y) wird, so ergiebt sich hieraus die Gleichung

C =    y).

(14.)

(15.)

Dabei sind die Functionen <p(x, y) und xp{x, y) möglicher Weise zunächst von einander verschiede?r, da aber nur solche Werthe von x und y in Betracht kommen, für welche S{x, y) und deshalb nach Gleichung (14.) auch G(x, y, (?) verschwindet, so werden die Werthe von (fix. y) und ip(x, y) für die betrachteten Werthe von x und y einander gleich, so dass man C = ip{x, y) = (f{x, y)

und

G{x, y, C) = G[x, y, (f{x, y)\ = 0 erhält. Durch Differentiation findet man hieraus, indem man y und C als Functionen von x betrachtet,

ÖG    dG dy    dG dC _

dx dx    dy clx    ÖC dx

Damit nun diese Gleichung denselben, durch Gleichung (2 a.) vorgeschriebenen Werth liefert wie Gleichung (12.), muss

dG dC d ö dx

sein. Dies ist aber nur möglich, wenn entweder

(16.)

(17.)

(18.)

(19.)

clG

dC

dx

ist, wenn also C wirklich eine Constante ist, oder wenn dGjx, y, (?) _ dC

wird. Gilt Gleichung (19.), so erhält man das allgemeine Integral, gilt dagegen Gleichung (20.), so braucht C keine Constante zu sein; man findet dann durch Elimination von C aus den

S(x, y) = 0

Gleichungen (16.) und (20.) eine Gleichung, welche mit der Gleichung

gleichbedeutend ist, d. h. man findet die singuläre Lösung. Die allgemeine Lösung stellt daher immer eine Schaar von Curven dar, welche die der singulären Lösung

S(x, y) — 0

entsprechende Curve zur Umhüllungscurve haben.

§ 88.

Uebungs-Beispiele.

Schon in § 86 sind zwei Differential-Gleichungen integrirt worden, die eine singuläre Lösung zulassen. In Aufgabe 5 hatte man für die Differential-Gleichung

(!•)

yp² — 2 xp + y — 0

das allgemeine Integral

(2.)

G(x, y, C) = y- — 2Cx -j- C² = 0

gefunden. Die Umhiülungscurve (Enveloppe) erhält man durch Elimination von C aus Gleichung (2.) und aus der Gleichung dG(x, y,C) _

(3.)

dC

— 2x + 2C = 0, oder C = x.

Dies giebt

(4.)

y² — x² = 0, oder y = ± x.

Die Gleichung der Enveloppe stimmt also überein mit der singulären Lösung der Differential-Gleichung.

(5.)

In Aufgabe 6 hatte man für die Differential-Gleichung

y —px +

cp

das allgemeine Integral

(6.)

G(x, y, C) = y— Cx —

cC

y i + c²

gefunden. Die Gleichung der Curve, welche von diesen geraden

x = c cos% y = csin³^,

(9-) • oder

(10.)

Xs + Vs = cT.

Die Gleichung der Enveloppe, nämlich die Gleichung der Astroide, giebt also die singuläre Lösung der Differential-Gleichung.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung y² — 2xyp + (1 -f x²)p² = 1

(11.)

integriren.

Auflösung. Indem man Gleichung (11.) nach y auflöst, erhält man

(12.)

Linien eingehüllt wird, erhält man, indem man C aus der Gleichung (6.) und aus der Gleichung dG(x, y, (?) _

(7.)

öc

eliminirt. Setzt man dabei wieder

QT - -₋-- - f)

(i + c²)Y i + c²

.    (8.) C = — tgtf,

— cos t,

VT+ c²

so folgt aus den Gleichungen (6.) und (7.)

]/l + C²

= sin;',

y = xp ± Y1 — p2 daraus folgt durch Differentiation

(13.)

dp

p dp

Vi —P dx ’

oder (13 a.)

(•

Ź_\dl = 0

y i — p¹) dx

Diese Gleichung wird befriedigt, wenn man entweder

(14.)

oder

(15.)

V\-f

0, also ±y i — pl =

setzt. Gleichung' (14.) giebt das allgemeine Intégral; indem man nämlich den getändenen Werth von p in Gleichung (11.) einsetzt, erhält man

(16.) G(x, y, C) = y² — 2Cxy + C’²( 1 + x²) — 1 = 0.

Aus Gleichung (15.) dagegen ergiebt sich die singuläre Lösung, und zwar erhält man mit Rücksicht auf Gleichung (12.)

V = xp ⁺ f ⁼ f(X + p

(17.)

.77/

1 + rz² ’

oder, wenn man diesen Weith von p in Gleichung (11.) einsetzt, 2 x²y2 1 + x

y²

z²y²

oder

1 + z²

(18.)

y- — x¹ — 1.

Dieselbe Gleichung findet man aber auch, wie man ohne Weiteres erkennt, wenn man die Enveloppe der durch die allgemeine Lösung in Gleichung (16.) dargestellten Curvenschaar bestimmt. Dies geschieht durch Elimination von C aus Gleichung (16.) und aus dG(z, y, C)

(19.)

dC

— 2xy + 2(7(1 -f- x²) = 0, oder C =

xy

l-\-x²

Dieses Beispiel führte Taylor auf die Entdeckung der singulären Lösungen.

(20.)

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung ydx — xdy ± a ]/dz¹ -f- dy² = 0

integriren.

Auflösung. Die gegebene Differential - Gleichung kann man auf die Form

(21.)

y = px Zj= af/l -f p¹

bringen, aus der durch Differentiation

dP-r„ P dp. Vl + P² dz

p = p -j- x

dx

oder

(22.)

(23.)

folgt. Diese Gleichung wird befriedigt, wenn man | = °, also P = %=C

setzt. Trägt man diesen Werth von p in die Gleichung (21.) ein, so erhält man

ij = Cx q= a Y1 + C-,

oder

(24.) G{x, y, C) = y² — 2 Cxy + C²x² — a²( 1 + C²) = 0.

Dies ist die allgemeine Lösung der gegebenen Differential-Gleichung. Die singuläre Lösung findet man aus Gleichung (22.), indem man

(25.)

ap

oder ± yi -\-p² = —

x

Vl + p² °

setzt. Dies giebt in Verbindung mit Gleichung (21.)

alp

^ (x² — a²^ j oder p =

Bringt man Gleichung (21.) noch auf die Form y² — 2xyp    x²p² = a²(l + p²),

(26.) y=px-

oder

(27.)

(28.)

y² — 2xyp -)- (x² — a²)p² — a² = 0 und setzt den eben gefundenen Werth von p ein, so erhält man x² + y² — a² — 0.

Dieselbe Gleichung findet man aber auch, wie man ohne Weiteres erkennt, wenn man die Enveloppe der durch die allgemeine Lösung in Gleichung (24.) dargestellten Schaar gerader Linien bestimmt. Dies geschieht durch Elimination von C aus Gleichung (24.) und aus dG(x, y,C)

(29.)

ÖC

— 2xy+2C(x²—a²) — 0, oder C

xy

x² — ai¹

(30.)

Aufgabe 3. Man soll die Differential-Gleichung (xp — y)(x— yp) = 2p

integriren.

Auflösung. Setzt man

(31.) x =\z + u, y =Yz—-u, also 2z — x²-\-y-, 2u = x²—y-, so wird

(32.) dx =

dz + du 2 Yz + u

dy

dz — du

2]/ 2—u

(dz — diijYz 4- u

(dz + du)Yz — u

2du~Ÿ~zu

₍₃₃.) q,-y= .**-p=

(dz + du) yz— u Trägt man diese Werthe in Gleichung (30.) ein, so erhält

x — yp —

dz + du

man

4(udz — zdu)du Yz u_2(dz — du) ]/ 2 + u

(dz + duf ]/z — u    (dz + du) Yz — u

oder

(34.)

dz² — 2 udzdu + (2z — 1 )du- — 0.

dz

Bezeichnet man der Kürze wegen — mit px, so erhält Gleichung (34.) die Form (35.) pp — 2upi 4* 22 — 1=0

oder u =

pp + 22 — 1

2p Y

Indem man diese Gleichung nach u differentiirt, findet man

Pr

2pp

oder

(K-2z+ 1)^=0.

Hieraus folgt das allgemeine Integral, indem man

= 0, also py= C

setzt und in die Gleichung (35.) einträgt. Dies giebt 2 2 — 2 Cu — 1 — C², also mit Rücksicht auf die Gleichungen (31.)

(39.) G(x, y, C) = x² + y¹ — C(x² — y²) — 1 + C² = 0, oder

(36.)

(37.)

(38.)

dpi

du

(40.)

z²

y²

⁺ r-

= 1.

1 + C

Dieser Gleichung entspricht eine Schaar concentrischer Ellipsen und Hyperbeln.

Die singuläre Lösung findet man, wenn man in Gleichung (36.) den Factor

Pi² — 2z + 1 = 0, also pi — dzj/2z—1 setzt und in die Gleichung (35.) einträgt. Dies giebt (42.)    2(2z — 1) =p 2uŸ2z—1 = 0, oder u = ±]/2z—1,

wobei der Fall ± Y 2z — ]_ = pl = o, welcher ein particular es Integral (C = 0) liefert, ausgeschlossen ist. Daraus folgt

u² — 2z — 1, oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (31.)

x⁴ — 2 x'-y¹ + yi — 4ar — 4 y² + 4 = 0,

(41.)

(43.)

(44.)

oder

(44a.) {x + y+Y2) (x + y—Y2) (x—y+Y^) (x—y~Y2) = 0.

Dieselbe Gleichung findet man, wenn man die Enveloppe der durch Gleichung (39.) dargestellten Curvenschaar bestimmt, indem man aus dieser Gleichung und aus

(45.) —= — (z² — y²) + 26’ = 0, oder C

Fig. 133.

X²-y²

den variablen Parameter C eli-minirt.

Der Gleichung (44.) oder (44a.) entspricht ein System von 4 geraden Linien (Fig. 133), die sämmtliche Curven der durch Gleichung (40.) gegebenen \ Curvenschaar berühren. Gleich- / zeitig stellt jede dieser geraden Linien eine singuläre Lösung der vorgelegten Differential-Gleichung dar. Setzt man z. B

A\

(46.)

also

x — y +]/2 = 0, oder y — x+y2

(47.)

P — 1»

und trägt diese Werthe in die Gleichung (30.) ein. so erhält man

(x — x —Y 2 ) (x

x — ]/'2) = (— Y 2 f = 2

und erkennt, dass Gleichung (30.) durch diesen Werth von y befriedigt wird.

§ 89.

Isogonale Trajectorien.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 193 und 194.) Wenn eine Schaar von Curven durch die Gleichung

F(x, y, u) — 0

mit dem variablen Parameter u gegeben ist, und wenn die sämmtlichen Curven dieser Curvenschaar von einer anderen Curve nach einem bestimmten Gesetze geschnitten werden, so nennt man diese schneidende Curve „eine Trajectories der gegebenen Curvenschaar.

Unter den Trajectorien sind besonders bemerkenswerth die isogonalen Trajectorien, welche die sämmtlichen Curven einer Curvenschaar unter einem gegebenen Winkel 0 schneiden. Ist dieser Winkel /> ein rechter Winkel, so nennt man die schneidende Curve „eine orthogonale Trajectories.

Um die Differential-Gleichung zu finden, welcher die isogonalen Trajectorien genügen müssen, gebe man dem variablen

Fig. 134

(1.)

Parameter u in Gleichung (1.) zunächst einen bestimmten

Werth, d. h. man greife aus der gegebenen Schaar eine bestimmte Curve heraus. Der Winkel, welchen die Tangente dieser Curve (Fig. 134) im sji \r Punkte P mit der positiven Richtung der X-Axe bildet, sei «, dann ist nach D.-R., Formel Nr. 16 und 88 der Tabelle

cc

P.

(2.)

dy _ _ Fx(x, y, u) _ F₂(x, y, u) ’

wobei die partiellen Ableitungen von F(x, y, u) nach x und y bezw. mit Ft(x, y, u) und F₂(x, y, u) bezeichnet worden sind. Nennt man nun die laufenden Coordinaten der isogonalen Tra-jectorie x⁴, y‘ und den Winkel, welchen die Tangente dieser Trajectorie im Punkte P‘ mit der positiven Richtung der X-Axe bildet, so ist

(3.)

tg«'

dy‘.

clx'

Damit nun diese beiden Tangenten den Winkel # mit einander bilden, muss

(4.)

sein. Dies giebt

tg« + tg#

1—-tg«tg#

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (2.) und (3.)

,(5.)

tga' = tgf« + #) =

_Gw)

dy⁴ __ Fj(x, y, u)

Fi (x , y, u )

Fo(x, y, u)

wobei der Kürze wegen F, und F₂ statt Fi(x,y,u) und F>(x,y,u) gesetzt ist. Multiplicirt man auf der rechten Seite dieser Gleichung noch Zähler und Nenner mit cos #, so erhält man

F₂ sin# — Ftcos# dx‘ F₂ cos !) + Fi sin #

Jetzt wird aber verlangt, dass die Tangenten an die beiden Curven in einem Schnittpunkte derselben gelegt sind, d. h. die Punkte P und P‘ müssen zusammenfallen, wie es in Figur 134 bereits angenommen worden ist; es wird also

z* = x, y‘ = y,

so dass Gleichung (7.) übergeht in die Gleichung (8.) (Ft cos & — F₂ sin #) dx-\-(Fr sin # + F₂ cos #) dy = 0.

Im Allgemeinen werden hierbei Ft und F₂ noch Functionen von u sein, so dass die Curve, für welche die Differential-

(6.)

(?•)

F₂ tg # — Jti

(Ix⁴

1 -+

dy⁴

F₂ -f Fi tg,'/

Gleichung (8.) gilt, nur diese eine, dem bestimmten Wertlie von u entsprechende Curve unter dem Winkel # schneidet.

Damit sämmtliche Curven der gegebenen Curvenschaar unter dem Winkel # geschnitten werden, muss man Gleichung (1.) in Bezug auf u auf lösen und den gefundenen Werth von u in Gleichung (8) einsetzen, oder man muss, was auf dasselbe hinauskommt, aus den Gleichungen (1.) und (8.) die Grösse u eliminiren. Dadurch erhält man eine Gleichung

dy

)=°,

(9.)

GC’s',s

welche die Differential-Gleichung der gesuchten isogonalen Tra-jectorie ist.

Bei der Integration dieser Differential-Gleichung erster Ordnung tritt eine Integrations-Constante C auf, die man noch willkürlich bestimmen kann. Deshalb giebt es zu der Curvenschaar

F(x, y,u) = 0

eine ganze Schaar isogonaler Trajectorien.

Bei den orthogonalen Trajectorien ist D- ein rechter Winkel, dann wird also

(10.)

sin# = 1, cos# = 0, so dass Gleichung (8.) übergeht in

(11.)

— F^dx -j- Fidy = 0.

Die Differential - Gleichung der orthogonalen Trajectorien findet man also, indem man aus den Gleichungen (1.) und (11.) den variablen Parameter u eliminirt.

§ 90.

Uebungs-Aufgaben.

(Vergl. die Formel - Tabelle 195—199.)

Aufgabe 1. Durch die Gleichung

ao

F(x, y, u) — y — ux = 0 ist eine Schaar von geraden Linien gegeben, welche sämmtlich

durch den Nullpunkt hindurchgehen ; man soll die Gleichung der Trajec-torien aufsuchen, welche alle diese Geraden unter dem Winkel # schneiden.

Fig. 135.

XP

(2.)

Auflösung. Aus Gleichung (1.) folgt durch partielle Differentiation ï\ = — u, F₂ = 1, deshalb findet man aus Formel ^ Nr. 193 der Tabelle für die isogonalen Trajectorien die Differential-Gleichung

(3.)

(—u cos#— sin &)dx -f (—wsin# + cos &)dy = 0, wobei aber noch nach Gleichung (1.)

(4.) zu setzen ist. Dies giebt

(5.)    (—«/cos# — #sm#)ć£z + (—«/sin# + ^cos tï)dy = 0,

oder, wenn man durch —sin# dividirt,

(5 a.)

{xdx ydy) + ctg ßydx— xdy) = 0.

Die linke Seite dieser Gleichung wird ein vollständiges Differential, wie aus den Bemerkungen in § 84, Seite 478 und 479 hervorgeht, wenn man durch den integrirenden Factor x² + y² dividirt, und zwar erhält man aus

(6.)

nach den damals angegebenen Regeln

(7.)

1 (]/x²-+- y²) — ctg#. arctg = 1C.

Diese Gleichung wird noch wesentlich einfacher durch Einführung von Polarcoordinaten, indem man

x = rcos</>, y —■ r sirup, also Yx² -f-y² = r, arctg == (f

setzt und den constanten Factor ctg# mit a bezeichnet. Dadurch geht Gleichung (7.) über in

(8.)

\r = IC -f- acp = 1 (C. ea,P),

oder

(9.)

r = C. en,P.

Dies ist die Gleichung der lo gar ithmischen Spirale, welche für die verschiedenen Wertlie der Integrations-Constanten C verschiedene Lagen einnimmt.

In dem Falle, wo # gleich 90° ist, wird ctg# = 0, so dass dann Gleichung (7.) übergeht in

1 ("J/æ² -j- y²) = 1C, oder x- -j- y² = C².

Dies ist die Gleichung einer Schaar concentrischer Kreise. Aufgabe 2. Durch die Gleichung

F (x, y, u) = z² — 2u(y — xf/3) = 0 ist eine Schaar von Parabeln gegeben; man soll diejenigen Curven aufsuchen, welche alle diese Parabeln unter einem Winkel von ± 60° schneiden.

Auflösung. Hier ist

(12.)    #■ = ± 60°, also sin# = ±^)/3, cos# =

(13.)    Fi — 2x + 2uYs , F\ = — 2a,

folglich findet man nach Formel Fr. 193 der Tabelle für die isogonalen Trajectorien die Differential-Gleichung

(14.) (x + u}/3 ± uY3)dx 4- [— (x 4- UY3 ) ]/3 — u\dy — 0.

Für das obere Zeichen erhält man daher

(x -j- 2aY^)dx 4- (xY'S 4* 2u)dy = 0, wobei aber nach Gleichung (11.)

2 u —

(10.)

(11.)

(15.)

(16.)

einzusetzen ist. Dies giebt

x² yi$

(x -f

y—xV 3

\ix + f xY 3 H— / V    y

x²

yy = 0,

multiplicirt,

—xY 3

w_~\/ ß

oder, wenn man diese Gleichungen mit -—— r ydx (yY 3 — 2x)dy = 0.

Da in dieser Gleichung die Coefficienten von dx und dy homogene Functionen gleichen Grades sind, so setze man

(17.)

y = xz, cly — xdz -j- zclx.

(18.)

Dadurch erhält man, wenn man Gleichung (17.) noch durch x dividirt,

zdx -+- (zj/ 3 — 2) (xdz -J- zdx) = 0,

oder

(19.)

(20.)

(z² j/3 — z)dx -j- (2Y3 — 2)xdz = 0,

dx_ (z Y 3 — 2)dz

x    z(z\3 — 1)

2dz

Y 3 dz

z]/ 3 — 1

also

(21.)

\x = l(z]/3 — 1) — 21 z + IG,

oder

(22.)

xz^ = C(zY 3 — 1).

Dies giebt mit Rücksicht auf die Gleichungen (18.)

(23.)

y² = G(y yi — x).

Diese Gleichung stellt ebenfalls eine Schaar von Parabeln dar, und zwar geht Gleichung (11.) in Gleichung (23.) über, wenn man x mit y und 2u mit —C vertauscht.

Wenn man dagegen in Gleichung (14.) das untere Zeichen beachtet, so erhält man

(24.)

xdx — (æ]/3 + 4 u)dy — 0, oder mit Rücksicht auf Gleichung (16.)

2æ²

(^3 +

y

Jdy = 0,

also, wenn man diese Gleichung mit -—

xdx —

—xY 3

multiplicirt,

(25.)

(y — xY 3 )dx — (yY 3 — x)dy = 0.

Auch hier sind die Coefficienten von dx und dy homogene Functionen gleichen Grades, folglich wendet man wieder die in den Gleichungen (18.) angegebene Substitution an und erhält

(z — yh>)dx — (zY 3 — 1) (xdz + zdx) — 0,

(.x¹ + 2/¹))/ 3 — 2 xy = (7.

(28.)

Dies ist die Gleichung einer Schaar von ähnlichen und ähnlich liegenden Ellipsen, deren Axen die Winkel zwischen den Coordinaten-Axen halbiren.

Aufgabe 3. Durch die Gleichung

(29.)

jF(x, y, u) = y¹ — ux — 0

ist eine Schaar von Parahein mit gleichem Scheitel und gleicher Axe gegeben (Fig. 136); man soll die rechtwinkligen {orthogonalen) Trajectorien ermitteln.

Auflösung. Hier ist (30.) Fi — — u, F₂ = 2 y,

folglich findet man nach Formel Nr. 194 der Tabelle

Fig. 136.

(31.)

(26.)

dx

(27.) — = -x

folglich wird

(z¹Y 3 — 2z -f yifydx -f- (zj/ 3 — 1 )xdz = 0,

¹    WVB-2Z +]/3) _

2    z*y3 — 2z + yä’

(zj/ 3 — 1) dz

z¹Ys — 2z+Ys

\{x¹) + l(z¹]/3 — 2^ +]/3) = 1(7, oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (18.)

/    / /    zu setzen ist. Dies giebt

2ydx +    dy = 0, oder 2xdx + ydy = 0.

Daraus folgt durch Integration

2x¹ + y¹ — C.

Dies ist die Gleichung einer Schaar von ähnlichen und ähnlich liegenden Ellipsen.

Aufgabe 4. Durch die Gleichung

F (x, y, u) —

(33.)

(34.)

(35.)

y¹

a¹ 4- u

Ô'¹ 4- u

ist eine Schaar confocaler Ellipsen gegeben, wobei der variable Parameter u alle Wertlie von —b² bis +oo durchläuft. Wenn dagegen u alle Werthe von — a² bis — b² durchläuft, so stellt Gleichung (35.) eine Schaar confocaler Hyperbeln dar. Man soll für beide Fälle die rechtwinkligen (orthogonalen) Trajectorien bestimmen.

(36.)

Auflösung. Hier ist

F =    ²*

Ft =__—

² b² -f u

ar + u ’

folglich findet man nach Formel Nr. 194 der Tabelle für die orthogonalen Trajectorien die Differential-Gleichung

(37.)

ydx b² + u

xdy a² + u

0,

wobei man noch den variablen Parameter u aus den Gleichungen (35.) und (37.) in folgender Weise eliminiren kann. Aus Gleichung (37.) findet man

xyp

(38.)

b² + u d² + u setzt man diesen Werth in Gleichung (35.) ein und bezeichnet man a² — b² mit e², so erhält man (39.) a² -f u = x{x + yp), b² + u = x{x + yp) — e², und wenn man diese Werthe in Gleichung (35.) emsetzt,

oder

x +yp

x(x + yp) — e²

(40.)

+ yp) (y — *p) = — «'>•

Diese Differential-Gleichung für die orthogonalen Trajec-' torien lässt sich ähnlich behandeln wie die in § 88, Aufgabe 3. Man setze nämlich

(41.) x² = z-\-f, y² =z—t, also 2z=x²-\-y², 2t — x² — «/², dann wird

(42.)

dz — (x -f- yp)dx, dt = (x — yp)dx,

d/X

also, wenn man ~ mit pi bezeichnet,

x(pi — 1)

¹

ydx + udy = 0, wobei aber nach Gleichung (29.) (32.)

— yp

p ~ y(pi + i)

(44.)

i

~ + 1

Deshalb geht Gleichung (40.) über in

.-r + yp

y — xp

_ 2(g — tpi) _

y(p i +1)

kxpx (z — tpi) _ e²x{ px — 1) y(pi +1)²    ~ y(pi +1) ’

oder

(45.)

4pi(z — tpi) = — e²(pi² — 1).

(46.)

Diese Gleichung kann man auf die Form

e²(pi² — 1)

« = tpi

bringen und erhält daraus durch Differentiation nach t

e\pi² + 1)1 dpx _

4^² J dt

Diese Gleichung wird befriedigt, wenn man

(47.)

(48.)

dp

4;?i

-- — o, also pi = C

setzt. Indem man diesen Werth von pi in Gleichung (45.) ein* trägt, erhält man

4G(s — tC) = e\l — G²), oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (41.)

oder

2 6V( 1 — G) + 2 Gy²(l + G) = e²(l — G²),

2 C'y'²

e²(l + G) “h ?(1 — G)

Führt man jetzt statt der Integrations-Constanten G einen variablen Parameter z ein, indem man

(49.)

2 Gr²

= 1.

(50.)

also

e\l + C)

e²

fl _____

d² + b² + 2z ’ e²(l — G)

2 C =a? + ^ setzt, so geht Gleichung (49.) über in

= b² -f- z

(51.)

x²

b² -j- z

= 1.

a² -j-x

Diese Gleichung stellt wieder eine Schaar confocaler Ellipsen und Hyperbeln dar, welche mit der gegebenen Curvenschaar

identisch ist. Dabei schneiden, wie bereits bekannt ist, in der That die sännntlichen Hyperbeln die sämmtlichen Ellipsen rechtwinklig.

Hätte man in Gleichung¹ (47.), um die singuläre Lösung zu erhalten, den Factor

(52.)

e\p{² + 1)

4p{²

= 0, oder    — e~) = e²

gesetzt, so würde man mit Rücksicht darauf, dass nach Gleichung (46.)

(53.)

4/?i2 = pi²(4:t — e²) -f- e-

ist, die Gleichungen

4/>i2 = 2e², oder ^p²z² — e⁴, also 4z² = <?²(4£ — e²)

gefunden haben. Dies giebt, wenn man die Werthe von z und / aus den Gleichungen (4L) einsetzt,

(x² + y²)² = e²(2x² — 2 y² — e²),

oder

(x² — <?²)² = — y²(2z² + y² + 2e²).

Die singuläre Lösung liefert also eine imaginäre Curve, denn Gleichung (54.) kann durch reelle Werthe von x und y nicht befriedigt werden.

(54.)

Im Allgemeinen wird die Integration der für die orthogonalen Trajectorien gefundenen Differential-Gleichungen in geschlossener Form nicht ausführbar sein; deshalb ist es von Interesse, einige Fälle hervorzuheben, wo die Integration durch Trennung der Variabein unmittelbar bewirkt werden kann. Die gegebene Curvenschaar habe die Gleichung

F(x, y, u) =f(x) + g{y) — u = 0, wobei f(x) eine Function der einzigen Veränderlichen x und g(y) eine Function der einzigen Veränderlichen y sein möge; dann wird

(55.)

(56.)

K=f\x), F₂ = g\y), so dass die Differential-Gleichung der orthogonalen Trajectorien (vergl. Formel Nr. 194 der Tabelle) in

— g\y)dx +f\x)dy = 0,

(57.)

dx

dy

f\x) 9‘(y)

übergeht. Danach kann man ohne Weiteres die folgenden Aufgaben behandeln.

Aufgabe 5. Man soll die orthogonalen Trajectorien der Curven mit der Gleichung (58.) bestimmen.

Auflösung. Hier ist

(59.)

also

(60.)

/(O = (0‘> 9(9) = (|J>

=f(ir

a—1

9‘W)

folglich findet man nach Gleichung (57.) für die orthogonalen Trajectorien die Differential-Gleichung

dx b? dy

⁼ J V

Die Fälle, wo a — 2 oder ß = 2 ist", muss man besonders untersuchen. Ist z. B. « = 2 und ß — 2, so geht Gleichung (61.) über in

(61.)

a“

a xa~l

n-i

(62.)

dx

a2. zz ₌ &. ty.

folglich wird

(63.)

b²\y = a²\x + 1(7, oder ybb = Cxaa.

Dagegen findet man unter der Voraussetzung, dass «<2, ß ^ 2 ist, aus Gleichung (61.) durch Integration

(64.)

a“/Sf(|ff — 2)x²~a = bßa{a — 2 )y²~? + C.

Ist z. B.

a = 1, 5 = 1

(M ICO

Ol Ico

und vertauscht man u mit us, so geht Gleichung (58.) über in

2 2 2 xT.+ yT =

(65.)

d. h. die gegebene Curvenschaar ist eine Schaar ähnlicher und ähnlich liegender Astroiden.

Für die orthogonalen Trajectorien findet man dann aus Gleichung (64.)

(66.)

Xs — y³ = v³.

Man kann das angegebene Verfahren auch dann noch anwenden, wenn die Gleichung der gegebenen Curvenschaar die Form

(67.)

/ 0) • g{y) — « = o

hat, weil man sie durch die Gleichung

(68.)

F(x, y, u) = 1 [fix)] + \{y{y)] — lu = 0 ersetzen kann. Dann wird

(69.)

I\ =

/'(*)

f{X) ’

R ₌ SM

9{y) ’

so dass man aus Formel Nr. 194 der Tabelle für die orthogonalen Trajectorien die Differential-Gleichung

oder

y(y)

dx +

/'(*)

fix)

dy = 0,

(70.)

dx =

!/<!/)

erhält.

Aufgabe 6. Man soll die orthogonalen Trajectorien für die veridlgemeinenden gleichseitigen Hyperbeln mit der Gleichung

(71.)

xmyn = u

bestimmen.

Auflösung. Hier ist

(72.) f{x) = xm, g{y) = yn, f‘{x) =

//IX

g\y) = nyn~\

folglich ergiebt sich aus Gleichung (70.) für die orthogonalen Trajectorien die Differential-Gleichung

(73.)

2 mydy = 2 nxdx ; die orthogonalen Trajectorien selbst haben daher die Gleichung my² = nx¹ -f- C.

(74.)

Ist die Gleichung der gegebenen Curvenschaar in Polar-coordinaten ausgedrückt, geht man also von der Gleichung

F(r, cp,u) = Q

aus, so ist der Winkel y, welchen die Tangente im Curven-punkte P mit dem zugehörigen Radiusvector bildet, durch die Gleichung (vergl. D.-R., Formel Nr. 109 der Tabelle)

*»* = dr

gegeben. Bezeichnet man vorläufig die Coordinator einer orthogonalen Trajectorie mit r‘, cp‘ und den Winkel, welchen die Tangente dieser Curve mit dem zugehörigen Radiusvector bildet, mit so ist _ r‘dcp‘

(75.)

(76.)

rdcp

Fig. 137.

(77.)

tg/T

dr‘

(78.)

Nun soll y¹ — ^ = 90° sein, deshalb wird

g^    W 1 + tgfitgp/

-X

°°,

oder

(79.)

1 + tg/jtg/i' = 1 +

rdcp r‘dcp‘ ^

dr‘

(80.)

Setzt man hierbei der Kürze wegen ÖF (r, cp, u)

dr

= FV

dF(r, cp, u) _

öcp

so folgt aus Gleichung (75.)

__ _ F {r, cp, u)

dr    F₂ (r, cp, u)

folglich geht Gleichung (79.) über in

(81.)

dcp

rFi r'dcp⁴ _

F₂ ’ dr‘ ~~ ’

da aber die Berührungspunkte P und P‘ zusammenfallen müssen, so wird

(82.)

(83.)

F% — Fi r² •

dcp

dr

= 0.

Im Allgemeinen werden hierbei F{ und F> noch den Parameter u enthalten; indem man u aus den Gleichungen (75.) und (83.) eliminirt, erhält man die Differential-Gleichung der orthogonalen Trajectorien.

Aufgabe 7. Die Gleichung

F(r: (p, u) = r²cos(2cp + 2u) — a²cos(2w) = 0 stellt eine Schaar von gleichseitigen Hyperbeln dar, welche den Nullpunkt zum gemeinsamen Mittelpunkte haben und sämmtlich durch den Punkt A mit den Coordinaten r — a, cp = 0 hindurchgehen; man soll die orthogonalen Trajectorien bestimmen.

Auflösung, In diesem Falle ist (85.) Fi = 2rcos(2cp -j- 2u), F₂ = —2r²sm(2cp + 2u), folglich geht Gleichung (83.) über in

— 2r²sin(2cp + 2u) — 2r³cos(2cp + 2u) ^ = 0;

dcp

r —:— •

(84.)

daraus findet man

(86.)

oder

tg(2 (f + 2 ») = —

Nun kann man Gleichung (84.) auf die Form

r² cos (2cp) cos (2u) — r² sin (2 cp) sin (2m) — a²cos(2w) = 0,

dr

(87.)

tg(2 u) =

r² cos (2 cp) — a²

r² sin (2 cp)

bringen, folglich wird

r² sm(2cp)tg (2cp) -f- r²cos(2y) — a²

r² sin (2cp) — tg (2cp) [r² cos [2cp) — a²] r² — a² cos (2 cp)

d² sin (2 cp)

Dies giebt mit Rücksicht auf Gleichung (86.)

(89.)

r² — a² COS (2 (f)_ rd(f

a² sin (2 g)    — dr ’

oder, wenn man

(90.)

a² cos (2g) = t, also — 2a² sin (2g) c/g = dt

setzt,

(91.)

dt, 2t dr r

— 2r.

Weil dies eine lineare Differential-Gleichung erster Ordnung ist, setze man

(92.)

t = vz, also dt — vdz -f- zdv,

wodurch man

(93.)

dz

V dr

erhält. Indem man die Function v so bestimmt, dass in dieser Gleichung der Coefficient von z verschwindet, erhält man

? also \v — —l(r²), oder v= ¹

(94.)

dv

2 dr

r- ’

deshalb geht Gleichung (93.) über in

(95.)

~~= 2 r, oder dz = 2 r³dr. dv

Dies giebt, wenn man die Integrations - Constante mit ^ (a⁴ — £⁴) bezeichnet,

a⁴ — £⁴

= 2t

(96.) 2z — r⁴ + a⁴ — b⁴, also 2 vz = r² +

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (90.)

(97.)

r⁴ — 2«V²cos(2g) + a⁴ = b⁴, wobei b der variable Parameter ist.

Diese Gleichung stellt eine Schaar von Curven dar, welche unter dem Namen „ Cassini’sehe Curven“ bekannt sind und die Eigenschaft besitzen, dass das Product der Abstände eines jeden Curvenpunktes von zwei festen Punkten mit den Coordinaten x = ± a, y = 0 den constanten Werth b- besitzt. Sind nämlich

Fig. 138.

T\ und F₂ die beiden festen Punkte, die „Brennpunkte“ genannt werden, und Qi, q₂ die nach einem beliebigen Curvenpunkte P gezogenen „Brennstrahlen“, so wird nach dem Cosinussatze

(98.) (>i² = r² + a² — 2racoscp, q₂² = r² + a² -f- 2raC0Scp, also

⁴2~Ch

ip.

Qi² Qi² = (r² + a²)² — 4a²r² COS ²cp = 5⁴, woraus sich ohne Weiteres Gleichung (97.) ergiebt.

Für b — a reducirt sich die Gleichung der Camm’schen Curve auf (100.)

und stellt eine Lemniscate dar.

(99.)

r² — 2«²C0S(2r/>)

Auch bei Anwendung von Polarcoordinaten kann man Fälle hervorheben, in denen die Integration durch Trennung der Variabein ohne Weiteres ausführbar ist. Hat nämlich die Gleichung der gegebenen Curvenschaar die Form (101.)

wobei f(r) eine Function der einzigen Veränderlichen r und g((p) eine Function der einzigen Veränderlichen cp sein möge, so wird (102.)

so dass Gleichung (83.) übergeht in

(103.) oder (103 a.)

F(r, cp, u) =f(r) + g (cp) — u = 0,

Fv =f\r), F₂ — g‘(cp),

dcp

9\<P) —fV) •    = °,

dr

dcp

r'² -f\r)    9\<P)

Hat die Gleichung der gegebenen Curvenschaar die Form

f(r).g(cp) = u,

(104.)

oder, wenn man 1 u mit uy bezeichnet, (104a.) so wird

F(r, cp, ui) = l[/(r)] + 1 [g(<p)\ —uv = 0,

‘(r

9{<P)

folglich geht Gleichung (83.) über in

(105.) daraus ergiebt sich (105 a.)

9⁴(<P)    f\r) . r²d<p _

g(<f)    f(r) ' dr

f{r)dr _ g{(f)dcp

r².f‘(r)    g\<p)

Beispiele.

Aufgabe 8. Durch die Gleichung

(106.)

rn cos {m(f) — u = 0 ist eine Curvenschaar gegeben; man soll die orthogonalen Trajectorien bestimmen.

Auflösung. Hier ist

(107.)

f(r) = rn,    = cos (mcf),

also

f‘(f) — nrn~l, g‘{ip) = — m sin ([mcp), folglich geht Gleichung (105 a.) über in

dr

nr

COS (m(f)d(p

m sin (pup) ’

daraus ergiebt sich (108.)

m²

= — mn

COS (nup)d(p

sin(mf/i)

also

m²\r — — 1 [sin(m^)] -f- IG, rmmsinM (mcfi) = C.

Für m = n wird die Gleichung der gegebenen Curvenschaar rm cos'(vup) = u und die der orthogonalen Trajectorien

rmsm(nufi) = v.

Man erkennt unmittelbar die Gleichartigkeit der beiden Curvenschaaren.

Für m — — n wird die Gleichung der gegebenen Curvenschaar, wenn man — mit u‘ bezeichnet, u

(109.)

(110.)

(111.)

(112.)

rm = u‘ COS (mrp)

und die der orthogonalen Trajectorien

rm _ v sin (m(p).

(113.)

Für m = 1 geht z. B. die Gleichung (112.) über in

(114.)

und stellt eine Schaar von Kreisen dar, welche sämmtlich durch den Nullpunkt hindurch- ( gehen und ihren Mittelpunkt in f der X-Axe haben, während der Durchmesser u‘ verschiedene Werthe annimmt (Fig. 139). Die orthogonalen Trajectorien haben dann die Gleichung

Fig. 139.

r = u‘ cos (p

(115.)

r — v sin (f

und sind Kreise mit dem veränderlichen Durchmesser v, die gleichfalls durch den Nullpunkt hindurchgehen, ihren Mittelpunkt aber in der Y-Axe haben.

XIV. Abschnitt.

Gewöhnliche Differential-Gleichungen höherer Ordnung.

§ 91.

Allgemeine Bemerkungen.

Die Differential - Gleichungen höherer Ordnung bieten im Allgemeinen bei der Integration noch weit grössere Schwierigkeiten als die von der ersten Ordnung. Man kennt bisher nur eine geringe Anzahl von besonderen Fällen, in denen sich die Integration von Differential-Gleichungen höherer Ordnung in endlicher, geschlossener Form ausführen lässt. Einige von diesen Fällen mögen hier hervorgehoben werden.

§ 92.

dmy _

dxm

Integration der Differential-Gleichung

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 200.)

Ist die mte Ableitung von y als Function von x gegeben; gilt also die Gleichung

(1.)

dmy

dxm

wobei <fj(x) eine bekannte Function der einzigen Veränderlichen x sein möge, so kann man das allgemeine Integral sofort bestimmen. Es wird dann nämlich

(2.)

dm~ly

dxm~r

zj'(f(x)dx + C\ = <fi(x) C\

dxm

- j(fy(x)dx -j- C\x + C₂ = (fi(x) + C'i£ + C-2,

(⁴-) +

(3.)

dm- -y

Gfom~²

C'^²

i ^-x i n

2T+-JT+C3

= %(*) + ^'r +

C’a#

IT

(5.) y — L

(pm-\(x)dx-}

C\xm~x

C₂xm~'²

Cm—\X

(m—1)!    (m—2)!

1!

F Cm-

Die m Integrations-Constanten Cj, C₂,... Cn kann man noch so bestimmen, dass die m Grössen

dm~xy    dm~²y    dy

dxm~~¹⁵    dxm~²' dx 5 d

für x = x₀ die beliebig vorgeschriebenen Werthe yo(m~l), yo(in^\ ... yo, yo

annehmen.

Dabei geht J<fm^{x)dx aus (p{x) durch m-malige Integration hervor und ist deshalb ein m-faches Integral

(6.)

ff mix) = J<fm-\{x)dx ==Jdxfdx . . .Jff(x)dx.

Diesen Ausdruck kann man aber noch vereinfachen durch partielle Integration, also durch die Formel

Judo —

Bezeichnet man nämlich in den Gleichungen (2.) bis (5.) die Integrationsgrenzen mit x₍₎ und x, die Integrations-Veränderliche aber mit z, so wird

(7.)

= uv —fvdu.

(8.) ffi(x) =J(p(z)dz, (f.₂{x) — fcpx(z)dz,    <p₃(z) —Jrf₂(z)dz,

«0 X0 «0

Setzt man jetzt

(9.)

u — (fi{x), dv — dx, also mit Rücksicht auf Formel Nr. 152 der Tabelle du — <p(x)dx, v = x, so erhält man nach Gleichung (7.)

(10.)

folglich wird

(H.)

dmy

dxm

= x f<p{z) dz —fz(f(z)dz,

*0 *0

X

(f‘2,(x) =J(x — z)rp (z)dz.

In ähnlicher Weise findet man

(12.)

(13.)

<P*(X) = 2 \ f(x

X₀

X

94(3) = h.fx

zf(p (z)dz,

z)³(fi(z)dz,

(14.)

Xq

-2yn^Cp (z)dz.

Die Richtigkeit dieser Formeln folgt durch den Schluss von n auf n + 1. Ist nämlich

(15.)

(»-1 vJ{x

*0

— z)n^(p{z)dz,

oder

(15 a.) <fn{x) =

{n — 1) !

+ (-l)

X

l)k^ ^ ^ xn~k~lJ'zk(p(z)dz

x0

h=n—1

(n — 1) !

k—0

dxm

so wird, da

—k—l

lJzk(p{z)dz.

xo

Setzt man nun in Gleichung⁻ (7.)

(17.)

u = fzk(p (z)dz, dv — (n — k)x x-o

n—k—

ldz

(18.)

also mit Rücksicht auf Formel Nr. 152 der Tabelle du = xk<p (x)dx, v — zn~k, so erhält man durch partielle Integration

(19.)

f1(n — Jc)xn~k~idxj'zk(p (z)dz

Dies giebt

(20.) (pn+l(x)

=fVn(x)d* =

Xo

1 k—n—l

n'. £ ⁽-

Xo

xn~k jzk(p (z)dz

Xo

Da nun

= (i — i)w — (— i)w = — (— iy

ist, so geht die Gleichung (20.) über in

X

1 Ä=n

(21.)

— z)n(f (z)dz.

= ^/⁽*

Dies ist aber eine Gleichung-, welche aus Gleichung- (15.) entsteht, indem man n mit n + 1 vertauscht.

Man kann daher das allgemeine Integral von Gleichung (1.) auf die Form

(22.) y =

(m — 1) !

i/o

*0

—z)m~l(f(z)dz -f-

(m—1)! (m—2)!

l!

bringen.

§ 93.

Differential-Gleichungen von der Form

(dry dm-'y\ \dxm ’ dx'"-¹)

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 201 und 202.)

Hat die gegebene Differential-Gleichung zunächst die Form

(1.)

®y_ ₌ f(dv\

dx¹ J \dx)

dy

so bezeichne man wieder ~ mit p, also erhält Gleichung (1.) die Form

dx=f O)’ oder dx

d-y

dx¹

mit

dp

dx

• Dadurch

(2.)

dp

folglich ist

dp

~f{p)

(3.)

dp

x -J/(p.)+ Cl•

Ferner ist nach Gleichung (2.)

(4.)

dy = pdx =

pdp

also

f(p)

§93. Differential-Gleichungen von der Form    -V. — 0.

\dxm dxm—¹

(5.)

y=/;

pdp

f\P)

+ C2.

Durch die Gleichungen (3.) und (5.) sind x und y als Functionen von p dargestellt. Durch Elimination von p findet man daraus die gesuchte Gleichung zwischen x und y.

Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung

(6.)

<Py

dz²

integriren.

- ⁺Gl)

Auflösung. Aus Gleichung (6.) folgt (⁷0 ^=VT + ^, oder dx =

dp

(8.)

x =/

dp

(9.) y =J

]/l +p2 pdp

y .1 + p2 = 1 (p + y 1 + p²) + Ci

dy =

pdp

yr+p²

yi+p²+ C2.

y 1 + p¹

Dies giebt, wenn man die Integrations-Constanten Ci und C'₂ bezw. mit ar₀ und y₀ bezeichnet,

(10.)

(11.)

also

l/l +p² = y — yo, p = ±y(y — yo)² — i, x — x₀ — \[y — y₀±]/{y — y₀)² — 1],

(12.)

y—yo-i-V(y—y₀)²—1.

(13.)    (*—*•)

y—y₀ ±]/(y—y₀ ²—1 Indem man die Gleichungen (12.) und (13.) addirt, erhält man schliesslich

(14.)

2 (y — y₀) =    + e-G-³'»).

Aufgabe 2. Man soll die Gleichung derjenigen Curven bestimmen, bei denen der Krümmungshalbmesser die constante Länge a hat.

dmy dm~ly dxm' dxm—i

Auflösung. Nach D.-R,., Formel Nr. 107 der Tabelle ist

fds^

\dx)

dx¹

deshalb müssen die gesuchten Cnrven der Differential-Gleichung

oder ± (]/l + jFf — a ^

(15.)

/ cfo\3 \dx) ⁼

d²y

a-A

dx¹

genügen. Daraus folgt

(16.)

a dp

(i + p²) y i + p¹

oder, wenn man

(17.)

p = tgt, also YÏ+ p² = -1 ^

dp —

dt

cos²^

setzt,

(18.)

dx = dz a COS t. dt, dy — pdx = ± a sin/'. dt.

Dies giebt, wenn man die beiden Integrations-Constanten wieder mit x₀ und y₀ bezeichnet,

(19.)

x — .r₀ = ± a sin/' — ±

ap

]/l + p²

(20.)

y — 2/0 = q= «COS/5 = -t-

V1 + 7>2

Indem man die Gleichungen (19.) und (20.) in’s Quadrat erhebt und addirt, erhält man

(21.)

{x — a"o)² + (y — yo)² = «².

Die gesuchten Curven sind demnach Kreise mit dem Halbmesser a; ihr Mittelpunkt hat die Coordinaten x₀, y₀, die als willkürliche Integrations-Constanten eingeführt worden sind. Der Kreis ist daher die einzige Curve, deren Krümmungshalbmesser eine constante Länge hat.

(22.)

Ist eine Gleichung zwischen

dy    , d²y

und & = ?

dp

dx

dxm ' dxm~~l

gegeben, welche nicht nach q, sondern nur nach p auflösbar ist, hat also die Differential- Gleichung die Form

(23.)

p = <p(q),

so findet man durch Differentiation nach x

dq

(25.)

dx —

<1

(26.)

x =J⁽f‘{q)dq

dy = pdx ~

'(p(q)ą‘{q)dq

+ Ci, y —

+ Co.

Indem man aus diesen beiden Gleichungen die Grösse q eliminirt, ergiebt sich die gesuchte Gleichung zwischen x und y.

Das angegebene Verfahren kann man auch auf die Integration von Differential-Gleichungen höherer Ordnung übertragen. Es sei

dm~iii    dmu

u = —-- > v = -~-

dzm~l    dxm

und die gegebene Differential-Gleichung habe die Form

(27.)

du

also - = v,

(28.)

du

V =/(«)> öder -J =f(u),

dann wird

(29.)

dx

du

/(«)

*=/:

du

Au)

Lässt sich diese Gleichung in Bezug auf u auflösen, so findet man

(30.)

(x)

dxm~l    * v '

und kann das in § 92 angegebene Verfahren anwenden.

(31.)

Hat die gegebene Differential-Gleichung die Form u = <p(v),

so findet man durch Differentiation nach x

d/n—ly ’ lixm~ 2

(32.)

dv

(33.)

w'*’

frp'(v)dv

X=J—

oder dx —

(f‘ (v)dv

+ Cu

Lässt sich diese Gleichung- in Bezug auf o auflösen, so kann man wieder das in § 92 angegebene Verfahren an wenden, nachdem man den gefundenen Werth von v in Gleichung (31.) eingesetzt hat.

§ 94.

Differential-Gleichungen von der Form

(dmy dM~*y\ _

\dxm ’ dxm~ï)

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 203—206.)

Hat die gegebene Differential-Gleichung die Form

(1.)

~Ä

so setze man wieder

iL = p

dx

dann geht Gleichung (1.) über in

dx ⁼/(y)’ oder dp =f(y)dx

(2.)

(3.)

dp

folglich wird

(4.)

d²y_dp

dx²

dx

also

(ly _

dx,

_f(y)dy ₅

2pdp = 2f{y)dy,

f = 2ff{y)dy + C\. Aus dieser Gleichung folgt dann

⁽⁶-}

(5.)

oder dx

dy

y Gl + 2 ff{y) dy

also

(7.)

"f?

dy

c'i + vff(y)dy

Beispiele.

(8.)

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung d²y _ y

dx² a-

integriren.

Auflösung. Bringt man diese Gleichung auf die Form dp _ Vdx _ VdV

(9.)

a²p ’

so erhält man durch Integration

a²

oder 2a²pdp = 2 ydy,

(10.)

oder

a²p² = y² + C\.

(11.)

ady — ±]/y² + C'i. dx,

(12.)

dx = ±

ady

+ Gt

also nach Formel Nr. 22 der Tabelle

(13.)

x—± al(y + Yy² + C\) + C₂.

Setzt man hierbei die Integrations-Constante O2 =z ~h a 1(2-4),

so geht Gleichung (13.) über in

(14.)

y + Yy² + C'i

oder

2 A.e a = y-\-Yf + Ci.

Multiplicirt man beide Seiten dieser Gleichung mit y—]A/² + C'i, so erhält man

(15.)

(16.)

±— __

“ {y — W + GO =

-Gl5

und wenn man die Integrations-Constante Ci gleich — 4AB setzt,

± — ______

2 A.e a (y—Yy² + Gt) = 4AB,

2 A.e

oder

(17.)

=F —

2 B .e a — y ~Yy² + Gi.

dm y dm—²?/\ q

dxm ’ dxm~²)

Durch Addition der Gleichungen (15.) und (17.) ergiebt sich schliesslich

(18.)

y=A.e

Dabei sind A und B zwei beliebige Constanten, welche die Integrations-Constanten ersetzen.

(19.)

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung

<Py ₌ y

dx²

d²

integriren.

Auflösung. Bringt man diese Gleichung auf die Form

oder 2 a²pdp = — 2 ydy,

ydx

ydy

(20.) dp

so erhält man durch Integration

dtp² = C\ — y².

Da hierbei C\ nur positive Werthe haben kann, möge G'i mit ć² vertauscht werden. Dadurch erhält man

(22.) ap =    = ± }/c² — y², oder

folglich findet man durch Integration nach Formel Nr. 21 der Tabelle

(21.)

(23.)

oder

d²

cdp

dy

dx

Y c² — y²

arcsin

« l*s£

= Cidb-1

(24.) y = c sin^62 ± c sin C\ cos

zt c cos 6 2 sin

Setzt man noch

(25.)

± c cos C\=A, c sin C₂ = B, so geht Gleichung (24.) über in

(26.)

y =^tsm0) +ÜCOS0)-

Dabei sind A und B wieder zwei beliebige Constanten, welche die Integrations-Constanten ersetzen.

Ist allgemein die Gleichung

(dry dm~²y\ _

\dxm 5 dxm~²)

(27.)

gegeben, so setze man

dm~²y dxrn~- ~~

und bringe die gegebene Differential-Gleichung durch Auflösung nach w auf die Form

(28.)

w,

dm~~ly du dxm~l dx

(29.)

=/(w)

oder

de

dx

=/(«)•

du

Indem man beide Seiten dieser Gleichung mit 2ü=2 ^ multi-plicirt, erhält man

(30.)

do

du

²⁸s=²^“)&

und durch Integration

(31.)

c- = 2ff(u)du + C'i.

Dies giebt

du

(³²-) S=s

= dz "j/Ci+2ff{u)du, oder efo =

du

(33.)

ii

du

(- g₂.

^ Ct+‘>Jf(u)du

Gi+2Jf(u)du

Lässt sich diese Gleichung nach u auf lösen, so dass sie die

Form

dm—ïy

u = d^-²

erhält, so kann man zur Ausführung der weiteren Integration das in § 92 angegebene Verfahren anwenden.

Lässt sich aber u nicht explicite als Function von x darstellen, so folgt aus Gleichung (32.)

(34.)

tf{x)

(35.)

udx

udu

also

j/ Gi-j-2Jf(u) du

(36.)

dm~³y

udu

dxm~³

6'i + 2 [f{u)du

+ Os-

Multiplicirt man diese Gleichung mit dx — ±

du

und integrirt auf beiden Seiten, so erhält man dm-*y dxm—4

(37.)

fi

du

udu

i/ Ci + 2ff(u)du

- + Os\ + Cr4 .

U

C\ + 2ff(u)du

In dieser Weise kann man fortfahren und schliesslich auch y als Function von u darstellen.

Oi+2jf{u)d

§ 95.

Fälle, in denen sich die Ordnung der Differential-Gleichung erniedrigen lässt.

(Vergl. die Eormel-Tabelle Nr. 207 bis 209.)

Enthält die Differential-Gleichung mter Ordnung die Function y und die n — 1 ersten Ableitungen gar nicht, hat also die Differential-Gleichung die Form

dxn U' dxn+x dx ’ einführt. Die vorgelegte Differential-Gleichung wird dadurch auf die Form

(1.)

(2.)

(3.)

gebracht.

F(x,

dxm

dm~nu

dxm^n

Fyx, u,

dm~nu

du d-u dx dx¹ ’ dxm~

*)=°

Beispiel.

Aufgabe 1. Man soll diejenigen Curven bestimmen, bei denen der Krümmungshalbmesser im umgekehrten Verhältnisse zu der zugehörigen Abscisse steht.

dy

Auflösung. Bezeichnet man wieder^— mit p, so müssen die

gesuchten Curven der Differential-Gleichung

(1 Ą-p²)^ _ d²

2 x ⁵

(4.)

dp

oder ±(1+*>)*=

dx

genügen. Daraus folgt, wenn man P — tg t, dp — dt

(5.)

cos²£ ’

setzt.

(6.)

± 2xdx =

d²dp

(1 +^²)]/ 1+i?²

= a²C0St. dt,

also durch Integration

(7.)

± x- C\ = d² sirC =

a²p

yr+F²

oder

(8.)

dx

daraus folgt

]/a⁴ — (Cidra:²)²

(9.)

l⁺°²-

± f (°i ±

y J V«⁴—(Cliz²)

Die Curve, welche dieser Gleichung entspricht, heisst „die elastische Linie“, weil ein elastischer Stab, der an dem einen Ende befestigt und an dem anderen Ende belastet ist, diese Form annimmt.

Enthält die Differential-Gleichung mteT Ordnung die unabhängige Veränderliche x gar nicht, hat also die Differential-Gleichung die Form

(10.)

0,

dy d²y    d"y\__

FV’ dx d:?’    d&)-

so kann man die Ordnung wieder um eine Einheit herabdrücken,

wemi man ^ = p setzt und y als unabhängige Veränderliche einführt. Man erhält dann

*3L = [(&+„ *E\P

(12.)

(HO

d‘ly _dp_dp dy_

dp

dx*

dx dy dx

dy

dx³ \\dyj ^ P dy²}P'

Dadurch geht die vorgelegte Differential-Gleichung über in

(13.)

G(y> p,

dp

dm~¹p

in—1

)=o.

Beispiele.

Aufgabe 2. Man soll diejenigen Curven bestimmen, bei denen der Krümmungshalbmesser ebenso lang ist wie die zugehörige Normale.

Auflösung. Nach D.-R., Formel Nr. 100 und 107 der Tabelle sind die Ausdrücke für die Normale und für den Krümmungshalbmesser

(14.)

ds

y7x »nd t

/du \³

_ \dx) _

cPy

dx¹

chung

Die gesuchten Curven müssen daher der Differential-Glei

(15.)

M\³

\dx)

ds

±~ll = yTx'

oder ±

(dsV_ <Py

\dx) J dx*

dx²

genügen. Indem man

dx P' setzt, erhält man

(16.)

also

/ds \²    „

y=i+^

fl _ - dp

dx²    ‘ dy

(17.)

±(1+^) = «P-|- oder    =

Daraus findet man durch Integration

± [l(y!) + IC,] = 1(1 + f).

Berücksichtigt man in Gleichung (18.) zuerst das obere Zeichen, so wird

(19.)    1 -f- p¹ — C\ y¹, oder p = C-~ = ±Y Cxy² — 1.

Da hierbei Ci nur positive Wertlie haben kann, so setze

man

c‘=^’

dann geht Gleichung (19.) über in (21.) P = ^ = ± ~Vy* — a², oder ± dx

Dies giebt durch Integration (22.) ±5=^ = l(ÿ +V?-^) - la = 1 ( wobei auf der linken Seite der Gleichung die Integrations-Con-stante — hinzugefügt ist. Daraus folgt

_J_ X— Xp

a.e °    =y+)/y‘i—a‘¹,

und wenn man beide Seiten der Gleichung mit y — Y y-—a2 multiplicirt,

(20.)

(23.)

±X— *0

dy

a    Yy²—a²

y +Vy²—a²

(y — y y²—O = «²,

oder

(24.)

= y —Vy²—“²-

Durch Addition der Gleichungen (23.) und (24.) erhält man

(25.)

to s

Dies ist die Gleichung der Kettenlinie, bei der, wie schon in D.-R., § 89, Aufgabe 4 gezeigt wurde, der Krümmungshalbmesser ebenso lang ist wie die zugehörige Normale; der Krümmungshalbmesser hat dabei aber die entgegengesetzte Richtung wie die Normale. Die willkürlichen Integrations-Con-

stanten sind in Gleichung (25.) durch die beliebigen Grössen a nnd %o vertreten.

Berücksichtigt man in Gleichung (18.) das untere Zeichen,

so wird

(26.)

C,f

Da-

Auch hier möge die Integrations-Constante Ci, da sie nur positive Werthe haben kann, mit ~ vertauscht werden, durch erhält man

d²

(27.)    1 +P--i

oder

p=%=±1yVa*-y*-

(28.)

-4— dx,

Va* — y²

(29.) zb (x — ^o) = —V«² — y¹, oder (x — x₀)² + y² — d².

Dies ist die Gleichung eines Kreises mit dem Halbmesser a, dessen Mittelpunkt in der X-Axe liegt. Der Krümmungshalbmesser ist gleich a und hat dieselbe Länge und dieselbe Richtung wie die Normale. Auch hier vertreten die beliebigen Grössen a und xq die beiden Integrations-Constanten.

Die gestellte Aufgabe hat zwei verschiedene Lösungen, die man erhält, jenachdem der Krümmungshalbmesser dieselbe oder die entgegengesetzte Richtung hat wie die Normale.

Aufgabe 3. Man soll diejenigen Curven bestimmen, bei denen der Krümmungshalbmesser doppelt so lang ist wie die zugehörige Normale.

Auflösung. Mit Rücksicht auf die Gleichungen (14.) müssen die gesuchten Curven der Differential-Gleichung

(30.) dz

/dsS²

\dr)

ds

d‘y

= 2^e

oder dz

(ds \²    dry

\dx) - 2y Jx²

dx²

genügen. Indem man wieder

(31.)

dy    i    / ds Y

S = * also \Jx)⁼'L+p'

<p'j _

setzt, findet man

(32.)

±(1 -f p¹) — 2yp •

dp

dy ’

oder ±

dy 2pdp V ~ 1 + p²

(33.)

(34.)

Daraus folgt durch Integration

±ly + lC, = l(l-|- p²).

Berücksichtigt man zunächst das obere Zeichen, so wird 1 P² = Oy, oder p — ^ = ±YCy— 1,

'd{Cy-1)

]/(7y —1

also ±C'(«'—xo)=J'iT-C²(x — ^o)² = 4:Cy — 4,

2

oder, wenn man die Integrations-Constante C mit — vertauscht

Vcy-i

= 2 y Gy—1

(36.)

(x — xoy — 2ay — a².

Dies ist die Gleichung einer Parabel mit dem willkürlichen Parameter a, deren Leitlinie zur X-Axe gemacht ist. Die F-Axe liegt noch ganz beliebig, weil x₍₎ die zweite willkürliche Integrations-Constante ist.

Hierbei hat der Krümmungshalbmesser die entgegengesetzte Richtung wie die Normale.

so wird

Berücksichtigt man in Gleichung (33.) das untere Zeichen,

(37.)    1 + ? =

oder p

=^=±i/5=3'=±t/^-i

dx ] y    ] y

(38.)

± dx

= dy 1 / —U.--

F C-y

Da hierbei

— 1 > 0, oder 0 < ^ < 1 sein muss, wenn die Wurzelgrösse reell sein soll, so setze man

(39.)

y = Csin² (j,)=    — co st).

also

y = G cos² (0 = % (! + cos

(40.)

(41.)

]/<£*=<*(£)> dv

=- sin t. dt = C'sin

Tu

(IM£K

folglich wird

(42.)

rfc dx — Csin²

(43.)

Vertauscht man t mit —t, so ändert sich Gleichung (39.) gar nicht, während in Gleichung (43.) sich nur das Vorzeichen der rechten Seite umkehrt. Man erhält daher dieselbe Curve, gleichviel ob man in den Gleichungen (37.), (38.) und (43.) das obere oder das untere Vorzeichen nimmt; deshalb kann man das doppelte Vorzeichen fortlassen. Indem man schliesslich noch C mit 2a vertauscht, gehen die Gleichungen (43.) und (39.) über in x — xo = a(t — sinQ, y — a(l—cos£).

Dies sind die Gleichungen der Oykloide, für welche schon in D.-R, § 83, Aufgabe 5 gezeigt wurde, dass der Krümmungshalbmesser die doppelte Länge und dieselbe Richtung besitzt wie die Normale.

Auch diese Aufgabe hat zwei verschiedene Lösungen, die sich ergeben, jenachdem der Krümmungshalbmesser dieselbe oder die entgegengesetzte Richtung hat wie die Normale.

X-Xq =

44.

Aufgabe 4. Man soll diejenigen Curven bestimmen, bei denen der Krümmungshalbmesser dem Quadrate der zugehörigen Ordinate proportional ist.

Auflösung. Mit Rücksicht auf die Gleichungen (14.) und (16.) müssen die gesuchten Curven der Differential-Gleichung

(45.)

/ c?s\³

\dx)

dPy dz?

genügen. Dies giebt

= ay², oder ± (]/1 -f- />²)³ = ay- . p

(46.)

dy __ t apdp __ f d{\ + p²)

y2 _ _(yi+?)³

also durch Integration

+ (7, oder

I/I + p²

Cy + 1

folglich wird

)/(a2 _ c^y2 _ 2Cy — i

dy

P = T* =

oder, wenn man der Kürze wegen

a2_C2 = ±A-z

(48.)

Cy + 1

(49.)

setzt,

(50.)

±dx =

(Cy + 1 )dy

(51.)

Ÿ±A²y² — 2 Cy—1 Gilt in Gleichung (49.) das obere Zeichen, so setze man A²y = t + C, also t = A²y — G,

dann wird

Gt + cd 7 — 2—, dy =

folglich geht Gleichung (50.) über in

(Ct + a²)dt " A³ yW— a² *

(52.) Gy + 1

(53.)

±dx

^4²’

y^V-2 Gy—1=

Nun ist nach Formel Nr. 27 und 23 der Tabelle

deshalb findet man aus Gleichung (53.) durch Integration (55.)    ±A³(x — C₂) = ACfÿAy — 2 Cy — 1

+ a²l(^4²y — G + A yA²y²— 2 Gy — 1).

(54.)

(-1

JVf-

tdt

— a²

Eine besonders einfache Form erhält die Lösung, wenn man die Integrations-Constante

(56.)

G = 0, also A = a setzt, dann geht Gleichung (55.) über in

± a(x — C2) = 1 {a²y -|- aVu²y² — 1),

oder (57.)

Indem man beide Seiten dieser Gleichung mit ay—\ dry² — 1 multiplicirt, erhält man

a =    C'a). (ay — j/a²y² — 1) ,•

oder

(58.)

a(ay — ]/a²y² — 1) = a². e*a(x~ą).

Durch Addition der Gleichungen (57.) und (58.) erhält man

(59.)

2a²y = e±o0—C'a) -|_ a². eAa[x~Gi\

Setzt man jetzt noch

so wird

(60.)

C%)    g±a(a:—:r₀)-|-la    ^ # ß±a(x—xo)

— Cg)

• <?

folglich geht Gleichung (59.) über in

(61.)

2ay = gi®!*—*«) -f- g-F'd*—*o).

Dies giebt, wenn man a mit ^ vertauscht,

X—Xq

(62.)

y= (« "

töl Cł

_ X-X„

Das ist die Gleichung der Kettenlinie.

Wird die Integrations-Constante C so bestimmt, dass in Gleichung (49.) das untere Zeichen gilt, ist also

(63.)

a? — C* = — A\ oder A =yc°-—a²,

so setze man

(64.)

A²y — t — C', also t — A²y + C,

dann wird folglich geht Gleichung (50.) über in

± dx =

(66.)

Cy+1

Ct— a²

dt

(65.)

A²

I V-AY —* 2Cy — 1 = Va²— £²,

(Ct — a²)dt A³~/a²—l² *

Nun ist nach Formel Nr. 25 und 21 der Tabelle

ya²— t²

=    LAI

71

= arcsin

]/a²— t²

deshalb findet man aus Gleichung (66.) durch Integration

(68.) ±A\x—Æo)=—AC]/—A²y²—2Cy—1—a²arcsin^—

Aufgabe 5. Man soll die Differential-Gleichung

(69.)

a-MS

integriren.

Auflösung. Setzt man wieder

(70.)

dy

*=* also so erhält man aus Gleichung (69.)

Ą =/(ÿ) •p²-

(71.)

(72.)

(73.)

d²y _dp

dx² dx P

oder

dp

y =fWdV-

Daraus folgt durch Integration

1P =ff(y¥y + IC\,

ff(v)dy

*dy

(74.)

C\dx —

•dy,

also

(75.)

=/

-Jf(y)dy

• dy + Ga.

Grössen

Ist die vorgelegte Differential - Gleichung in Bezug auf die

. . dmy

. . y(m) =--

J dxm

homogen von der ntea Ordnung, hat sie also die Form (77.) F(x, y, y\ y“,.

(78.)    . y,y‘ =

dJL, y =

dx y dx¹

y{m)\

•• —)= 0, y /

so führe man eine neue Function u durch die Gleichung oder ly —fudx, y =

(78.)

y‘ = yu,

ein, dann wird

(79.)

y“ = y‘« + yTx

(80.)

y,“

du    /du    \

dhi    u„

= ÿ'(s ⁺ “!)+ÿ(

du

dx

(dP-u du \

⁼y\-d?- + SuTx+u)

Setzt man diese Werthe in Gleichung (77.) ein, so erhält man eine Differential-Gleichung von der Form

dm~xu dxm~l

du

G(*’

die nur noch von der (m — l)ten Ordnung ist.

(81.)

) = 0,

Beispiel.

Aufgabe 6. Man soll die Differential-Gleichung

(82.)

& y , i y_ ₌ 0

dx²    x dx x²

integriren.

Auflösung. Mit Rücksicht auf die Gleichungen (78.) und (79.) kann man die vorgelegte Differential-Gleichung auf die Form

__JL ₌

oder

(x²u² + xu — 1 )dx + x²du = 0 bringen. Diese Differential -Gleichung ist nur noch von der ersten Ordnung und enthält u nur in der Verbindung xu\ deshalb setze man

(83.)

(84.)

xu = z, oder u =

? du =

xdz — zdx

Dadurch geht Gleichung (83.) über in

(z² + 2 — l)dx + xdz — zdx = 0,

oder

(85.)

(z² — 1 )dx + xdz = 0, “ +    ~

folglich erhält man durch Integration

(86.)

¹«+'C-Tï)=lc’

(87.) x²(z — 1) = C(z + 1), oder x\xu — 1) = C{xu + 1). Dies giebt

(88.)

dy x² + C

ydx    x(x² — C)

Hieraus findet man durch Partialbruchzerlegung

(89.)

y \x-Vc x+y~c

I dx

und durch Integration

(90.)

(91.)

\y = 1 {x² — C) — \x + 1 Ci, z² — C

Setzt man hierbei noch

(92.)

Ci = A,

so geht Gleichung (91.) über in

— CC\ = B,

XV. Abschnitt.

Lineare Differential-Gleichungen Ordnung.

§ 96.

Allgemeine Bemerkungen.

Eine Differential-Gleichung von der Form

(L) %+Ä(x)

dm~xy

dxm~¹ dm~²y dxm~² ₊ ...

dy

+ /«-1(*) ^ +/«(*) . y = 9>0),

in welcher ff(x), ff(«),.. ./,»(#) und <jp(a;) gegebene Functionen von x sind, heisst „eine lineare Differential-Gleichung mter Ordnung¹''. Dabei soll es auch zulässig sein, dass sich die Functionen ff{x)i ff(x),.. ./mix) auf Constante reduciren, die dann mit ff, ff,.. ,fm bezeichnet werden mögen. In diesem Falle erhält Gleichung (1.) die Form

(2.)

dmy

dxm

+ /l

dm~ly

+ /2

dm~²y

dxm~²

dy

+----1-/«-. -£ +f,,y = ę(x).

Wird die Function <jp(a;) identisch gleich Null, hat also die lineare Differential-Gleichung die Form dm-xy

(3.) ^+/•(«)

dxm~x

+ /2<»

dm~%y

₊ ...

dy

+ fm—vix) gx ~b fm{x) • y — 0,

so heisst sie „homogen“. Es wird später gezeigt werden, dass die Integration der nicht homogenen Differential-Gleichung (1.) immer zurückgeführt werden kann auf die Integration der homogenen linearen Differential-Gleichung (3.), welche aus Gleichung

(1.) hervorgellt, indem man das Glied y{x) auf der rechten Seite der Gleichung gleich Null setzt.

Es sollen deshalb zunächst die homogenen linearen Differential-Gleichungen mter Ordnung behandelt werden.

§ 97.

Homogene lineare Differential-Gleichungen ł»“" Ordnung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr 210 bis 212.)

Satz 1. Hat die gegeben3 homogene Imeare Differential-Gleichung dmy dxm

n ’particulare Integrale y₂,.. . y„, so ist auch y —    + C₂y₂ + • • • + Cnyn

ein Integral dieser Gleichung, welche Werthe die Constanten C\, Co, .. . Cn auch annehmen mögen.

(i0

(2.)

(3.)

+ /l(*0

dm~ly

dxm~l

+ ' • * +/m-iff) ~ + /»»(#) . y — 0

Beweis. Aus Gleichung (2.) folgt

dy — c\dyi i g d]h

dx    7    7

dyn

dx

d-y _ ri d2yi , r &y2 dx² ~ Cl dx2 + °² dxi

7    + • • ’ + Gn—)— )

dx    dx

+ • • * + Cn

dhyn

dx²

dmy

dmy₂

= ci££ + ft

dmyn

¹ dxm

Addirt man die Gleichungen (2.) und (3.), nachdem man sie bezw. mit fn(x\ t(x),.. .f₂(x),f^(x) und 1 multiplicirt hat, so erhält man

dxm

dxm

(4.)

dmy

dxm

+.A(x)

dm~'y

dy

= Ci

dmy i

dxm~l dm~hjy dx"¹-¹

~b G2

f d"‘y₂

dx,n

+Aff)

dx¹"-¹

~b G«

r +/>(*)

dm-¹y

dxm-

dxm

Kiepert, Integral-Rechnung.

H-----bfm-l{x) -Z +fjx). y

dx    ■yi]

b----b fm—iff)    +f™ff) . y₂]

+ fmff) .    = 0.

dyi

35

Satz 2. Kennt man m particuläre Integrale y^ y₂, . .. ym und kann man in

(5.)

y — CiVi + G₂y₂ + • * * -f* Cmym die Constanten Ci, C₂, ... Cm so bestimmen, dass

(6.)

y, y‘

= d-f, y“ dx J

d-y

dz²

. . y(m~x)

_ dm~‘ly dxm 1

für x = xo die beliebig vor geschriebenen Anfangswerthe y0} y₀‘, yf -, . • • ydm~^ annehmen, so ist y das allgemeine Integral der vor gelegten Differential- Gleichung.

Dass y ein Integral der vorgelegten Differential-Gleichung ist, folgt schon ans Satz 1, und da man die Anfangswerthe yo, yd, yd‘, • • • ydm~l\ welche dem Werthe x = x₀ entsprechen, nach Voraussetzung noch beliebig annehmen kann, so ist y auch das allgemeine Integral.

Es ist nur noch zu erklären, weshalb diese Voraussetzung hinzugefügt werden muss, obwohl in Gleichung (5.) scheinbar bereits m willkürliche Constanten <7i, C₂, ... Cm enthalten sind. Die Grössen yh y^ ... ym sind möglicher Weise nicht von einander unabhängig, es kann z. B. zwischen yl: y₂ und yz die lineare Gleichung

(7.)

yz — kyi -f ly2 bestehen. Dann ist aber Gleichung (5.), nämlich (8.) y = (Ci -f- kCd)yi + ( C₂ -f- lCd)y₂ + 0₄y₄ -f- . • • + Cmym, kein allgemeines Integral, da in diesem Ausdrucke nur rn — 1 willkürliche Constanten enthalten sind. Umgekehrt kann man auch zeigen, dass die Grössen y-,, y₂, .. ,ym durch eine lineare Gleichung verbunden sind, wenn jene Voraussetzung nicht erfüllt ist; der Beweis dieser Behauptung möge hier aber übergangen werden.

Nach Formel Nr. 209 der Tabelle kann man die Ordnung einer Differential-Gleichung, welche in Bezug auf y, y‘, y“. ... y'm) homogen ist, um eine Einheit erniedrigen, indem man

d-u

y‘    yu du , „

— — u. —— = ——[- u²

y    y

setzt. Dies giebt

(9.)

y,u

du

d.r

dx²

dx + U3’-"

Satz 3. Die Ordnung einer homogenen linearen Differential-Gleichung kann stets um eine Einheit erniedrigt werden.

Durch die angegebene Substitution erhält also Gleichung (1.)

die Form

Qttl — lir

(10-)    -----^ [um+fy(x)Um-yĄ-----\-fm-Y{x)uJrfm{xj\ = 0.

Diese Gleichung ist im Allgemeinen nicht mehr homogen und im Allgemeinen auch nicht mehr linear, aber sie kann doch zu particulären Integralen führen. Hat z. B. die Gleichung

in—2

Wurzeln r,, r₂,... rn, die von x unabhängig sind, so werden u = ri, u — r₂,... u = rn particuläre Integrale der Gleichung (10.) sein, weil

drn

(11.) F(u) = um -ff\(x)um~x +f,(x)u

(12.)

(13.)

dr\

dr2

dx

dx

dx

Judx

sind dann

ist. Die zugehörigen Wertlie von y =

(14.)

y i — er'x, y2 = er'**,... yn = ernx.

Dieser Fall tritt namentlich dann ein, wenn die Grössen fi(x) =/i,/₂(rr) =/₂,.. .fm(x) = fm sämmtlich von x unabhängig sind. Die Gleichung

(15.) F{u) = Um 4-/lUm~l +f2Um~² 4- • • • +fm-lU +fm = 0 hat dann lauter constante Wurzeln r1} r₂, ... rm. Sind diese Wurzeln zunächst sämmtlich von einander verschieden, so findet man aus den m particulären Integralen

y y = erix, y 2 — er>x,. . . ym = ermx

der vorgelegten Differential-Gleichung (1.) ohne Weiteres das allgemeine Integral (17.)

(16.)

y = Cl ew 4- 6'₂. er*x 4-----h Cm . erm*.

Der gefundene Ausdruck ist in der That das allgemeine Integral, denn man kann beweisen, dass durch passende Wahl der Constanten C,, C₂,... Cm die m Grössen «/, y‘, y“,... y(m—b für x = xq beliebig vorgeschriebene Anfangswerthe y₀, yd, yd¹, ... y₀(m-1) annehmen. Aus Gleichung (17.) folgen nämlich die Gleichungen

35*

.    + C₂ . er** H-----f Cm. erm\

(18.)

y‘ = CiTi. er'x -f- C₂v2. er*x + • • • + Cmrm . ermx, y“ = CVi²- + C₂r₂².^*x +•••-(- Cmrm². eV,

y(»-i) =    . eri*+ C₂r₂m~l.    4-----

welche zunächst für z = 0 in * = C\

yo‘ — CiTi + C₂r₂ -f- • • • + Cmrm, yo“ = CiVi² + C₂r₂² H----+ Cmrm²,

+ C₂

+ * * • + Cm,

(19.)

y₀(—t) = Ctri»-¹ + Car**-¹-f----+ Cmrmf

übergehen sollen. Bildet man die Function

= (r — r₂) (r — r₃)... (r — r«) = Fi(r),

(20.)

F(r)

r — r*

so hat Fi(r) die Form (20a.)

_j_ k\im -    km_₂r -f- km—i.

Multiplicirt man nun die Gleichungen (19.) bezw. mit km_h .. kh 1, so erhält man durch Addition

(21.) km—\yo-\-km-iyo Fkm—syo“Ą-    kiy^m—²)-{-y₀ m~l)=C₁Fi(r₁),

denn die Glieder

Fi(r) = r

G₂Fi(r₂), C₃Fi(rz), ... CmFv(rm) werden sämmtlich gleich Null. Dabei ist bekanntlich

F(r) — F(r,) r — ri

In ähnlicher Weise, wie sich der Werth von C\ aus Gleichung (21.) ergiebt, findet man auch die Werthe von C₂, C\, ... Cm. Vertauscht man x mit x — x₀, so kann man in gleicher Weise die Const anten Cl, C₂, ... Cm so bestimmen, dass dem Werthe x = x₀ beliebige Anfangswerthe der m Grössen y, y‘, y“, .. .y(?n-o zugeordnet sind. Deshalb ist Gleichung (17.) das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung.

(22.)

Fj(rt) = lim

r=i\

Beispiel.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung

Kr = 0

(23.)

d²y

dxl ar

integriren.

Auflösung. Hier ist

© i I-¹

= 0, also ri — folglich wird in Uehereinstimmung mit Aufgabe 1 in § 94

(24.) F(u) = u² —

? r₂ = —

(25.)

y = C\,ea -{- C₂e a.

(26.)

Hat die Gleichung F(u) = 0 auch complexe Wurzeln, so bleibt die gegebene Lösung noch richtig, sie nimmt aber eine complexe Form an. Dem Endresultate kann man jedoch leicht wieder eine reelle Form geben, wenn man beachtet, dass die complexen Wurzeln paarweise conjugirt auftreten. Ist z. B. ri = a + bi, r₂ = a — bi,

so wird

C\ . eri* + C₂. er>x — Ci. enx+hix + C₂. eax-hix

= eax [((7i + C₂) cos(&e)+*( Ci— C₂) sin(fo)],

oder, wenn man

(27.)

Ci + c.₂ = a, i{Ci —c₂) = b

setzt.

(28.)

(29.)

Ci . er'x + C₂. er* — eax[A cos(bx) + Bsin(fo)].

Beispiele.

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung

d%y — _ y

dx²

d¹

integriren.

Auflösung. Hier ist

also ri = — j r₂ — —

(30.) F{u) = w² + — = 0 folglich wird in Uebereinstimmung mit Aufgabe 2 in § 94

xi

xi

(31.) y— C\.eaĄ-Cz.e

“=((71 + ft) cos Q -H «(Ci — ft) sin Q)

= Mcos

0)+Bsin(a)'

(32.)

Aufgabe 3. Man soll die Differential-Gleichung

dxz

integriren.

Auflösung. Hier ist

(33.) F{u) = uz — lu + 6 = 0, also = 1, r₂ = 2, r₃ — — 3, folglich wird

(34.)

(35.)

y = Ci . ex -f- C₂ . e2x + C₃. e~Zx. Aufgabe 4. Man soll die Differential-Gleichung

d?y

dx³

integriren.

Auflösung. Hier ist

(36.)

F{u) — uz — 6m² + 13m — 10 = 0,

also

Vi = 2;

r₂ = 2 + *, r₃ = 2 — i,

folglich wird

(37.)

2x—ix

y = Gi. e²* + C₂. e2x+ix + C₃. e = e2x(Ci -}- M cos/z -f- Bsinx).

Bisher war vorausgesetzt worden, dass die Wurzeln ru r₂, ... rm der Gleichung F(u) = 0 alle von einander verschieden sind. Hat aber F(u) = 0 auch gleiche Wurzeln, so erhält man durch Gleichung (17.) nicht mehr das allgemeine Integral. Ist z. B. rx = r₂, so kann man in Gleichung (17.) die Glieder C\ . eri* + C₂. er*x in (Ci + C₂). er'x znsammenfassen, so dass der Ausdruck für y nur noch m — 1 Integrations-Constanten enthält.

Aber auch hier kann man das allgemeine Integral durch eine Grenzbetrachtung aus der bisher angegebenen Form finden. Es sei zunächst

§ 97. Homogene lineare Differential-Gleichungen mter Ordnung. 551 r₂ = rt + A,

(38.)

also

(39.) y = Ci. er'x + Ci. er^+te + C₃ . er«* -|-----f- CmeV

= (Ct + Ci . eÄX) + Cz .er*x Ą----+ Cm . eV.

Nun ist aber

h'T

(40.) Ci + Cz . ehx = C\ + Ci + Ci jj- + Ci •

Setzt man in dieser Gleichung

Ci + Ci = C, Cih = c\ so sind auch C und C‘ noch zwei beliebige Constanten; Gleichung (40.) erhält dadurch die Form

Ci + Ci. ehx = C + CG + C

Lässt man jetzt h sich der Grenze Null nähern, so erhält

(«•)

(42.)

2!.

h²x²

¥r

+ C' •

₊ ... .

3!

man

(43.)

lim r₂ = rt, lim (C\ + C₂. ehx) = C + CG,

h=0

folglich geht Gleichung (39.) in diesem Falle über in

y = (C -f CG). eri* + Cz.f* Ą-----\- Cm . ermx.

In dieser Formel treten wieder m willkürliche Integrations-Constanten auf, wenn rl} r₃,... rm sämmtlich von einander verschieden sind.

1.44.)

h=0

Setzt man jetzt in Gleichung- (44.)

**3 = ri + h,

(46.) y = (C+ CG). er^+G₃. eri*+A*-f C₄ . er*æ H----+ Cm . eV

= (C+ CG + C₃. eÄ*).    + C₄ . er<* H-----f Cm . eV,

so wird

(47.) C + CG + C₃ .    = C + CG + C₃ + C₃

hx

+ C₃

h²x²

2!

_j_ ...

oder, wenn man

(48.)

C + C₃ = Alf C‘ + C₃Ä = A₃, C₃h² = 2^₃

setzt.

C-\- C‘x-\- C₃ . 6hx —    A%X-{- AzX²-\-2A$ -yy + • • •,

hxz

(49.)

wobei At, A₂, A₃ wieder drei willkürliche Constanten sind. Lässt man jetzt h sich der Grenze Null nähern, so erhält man (50.) limr₃ = rx, lim((7 + C‘x + C₃. ehx) == Ax -f- A₂x + A₃x²,

Ä=0    Ä = 0

folglich geht Gleichung (46.) in diesem Falle, wo rt = r₂ = r3 ist, über in

(51.) y = (Ax + A₂x+ A₃x²) .    + C₄.    -----b Cm . eV.

Dieser Ausdruck enthält wieder m willkürliche Constanten, wenn rx, r₄,... rm von einander verschieden sind.

In gleicher Weise kann man alle Fälle erledigen, in denen F(u) == 0 mehrfache Wurzeln hat.

Dieselben Resultate findet man auch auf einem anderen

Wege. Nach D.-R., Formel Nr. 48 der Tabelle ist

/n\d-u dn~²o \2 )dx- dxn~~²

(52.)

dn(uo) _ dxn

dn v ,

ii~i--\-

dxn

C)

du dn—l v ¹ dx dxn~y du~lu do dxn~l dx

dnu

dzn

V.

Führt man also in die Gleichung

dxJ-i +/* sA+• • • +/—* % +/- • y=⁰

c/my

e&c”¹

+/l

g?ot— 1

für y das Product ein, so erhält man

.    , /dmc dm~lv dm--v

(53>)

do

LO I t—^    I-¹

[»»

dm t© dxm~l

\^m(m—1)

fjm—2,,

+ (m-l)/, gs-^+O—2)/s 5+0»— 1)0»—21/i

dm~-v

dxm~

+fm . Am

----f-2.1/m_2.ü

d,n~zo

dx"‘~

₃d

dm~zo

dxm 3

~ d²u dx¹

dmu

dx™

4--r mim — 1) (m — 2)... 3.2.1 v •

m\

oder

<⁵⁴-> r”⁺hv't⁺kr*

wobei

d²u

dx²

+ --+^F«S=⁰>

dmo

V — fam +/l

dm~~io

dxm~l

+ /2

d"‘~²ß

(55.)

Vx — m

dm~'v

+ 0— l)/i

dm~-o

dxm~

₂ + (m—2)/₂

d'n 3 y

dxm 3 + /«-! • G

F₂ =    — 1)    + (m — 1) (m — 2)/t

dx"‘~³

Von den beiden Functionen u und v kann man die eine, z. B. v, noch willkürlich bestimmen. Setzt man daher

. - — /y» 2 çX X

(56.)

de

v — erx, also

dx

—- = r . e",

d²c

dx¹

so gehen die Gleichungen (55.) über in F =    Ą-fr

Fi — er./-[wr»ł—i (m—l)/i?

m—2

.m—2

(57.) J

-I-----f/m-ir +/»,) = er*. F(r),

4-----Vfw-l]

_ erx < .p(r),

4“ "’4* 2.1/m—2]

_ erx # F“(r),

+ (tw—2)/a»

■?n—3

Fj = erj'[m(m—l)rm—2 + (m—!)(»*—2)j\r

Deshalb erhält Gleichung (54.), wenn man den allen Gliedern gemeinsamen Factor erx fortlässt, die Form

F(f) du    Fu(r) d²u

1 ! dx 2 ! dx¹

(58.) F(r). u -f

4. ... 4_

i)(r) fltn—X u

{m — 1) ! dxm~~l

= 0.

dmu

dxm

Jetzt sei r 1 eine einfache Wurzel von F(r') — 0, dann wird Gleichung (58.) befriedigt, wenn man

u = C\, also y — Cy. e'^x

setzt. Ist dagegen eine a-fache Wurzel von F(r) = 0, so wird

(59.)

r — T\

F(rx) = 0, F‘(rx) — 0, F“(rx) = 0,... F^a~l\rx) = 0,

so dass Gleichung (58.) befriedigt wird, wenn man

(60.)

r = rx,

u = Cx + C₂x + C₃x² + • • • -f- Caxa

also

(61.)

y = (Gl + C-₂X + CZX² + • • • + CaXa~l). eO* setzt. Auf diese Weise kann man immer einen Ausdruck finden, der m willkürliche Constanten enthält und deshalb das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung ist.

Beispiel.

Aufgabe 5. Man soll die Differential-Gleichung

(62.)

d-y

^_Æ + 1o

ote⁴ dxA    dx¹

dy

integriren.

Auflösung. Hier ist

(63.) F(r)=r⁴—4r³+1 Or²—12r+5=(r²—2r +1 )(r²—2r + 5)=0, also

(64.)

rx = r₂ = 1, r₃ = 1 + 2t, r₄ = 1 — 2

folglich wird (65.)

= (Ci + C₂z)ex + e% [A cos (2a:) + G sin (2a;)] = ex[C\ -f C'₂^ -f A cos(2z) + 2?sm(2æ)].

§ 98.

Nicht homogene lineare Differential-Gleichungen mter Ordnung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 213—215.)

In der Differential-Gleichung

(1-)

dmy

+ /i

dm~xy

dxm~l

+ /*

dm--y

dy

dxm~²

dxm

mögen die Coefficienten fx, f₂, .. .fm zunächst constante Grössen sein, dann setze man

z — C\. eri(*—0 -1- c₂.    +----1- Cm. erm(x-V,

wobei rx, r₂, ... rm wieder die m Wurzeln der Gleichung

(2.)

(3.) F(r) = rm +/₁r“-¹ +/₂r—² + ••• +/m_₁r + /,„ = 0 sind. Durch Gleichung (2.) ist z als eine Function der beiden Veränderlichen x und t erklärt, wobei t vorläufig als eine Constante betrachtet werden möge. Unter der Voraussetzung, dass ri, r₂, ... rm sämmtlich von einander verschieden sind, kann man nach den Ausführungen in § 97 die Constanten Ci, C₂, .. .Cm so bestimmen, dass die Grössen z, z‘, z“, .. . z(m-ł> für x = t beliebig vorgeschriebene Anfangswerthe z₀, z₀', z₀", ... z₀(m-1) annehmen. Für den vorliegenden Zweck setze man (4.) Zq = 0, z₀' = 0, z₀" = 0, ... z₀(m-2) = 0, z₀(m“b = g>(t), d. h. es mögen die Constanten Ci, C₂, ... Cm so bestimmt werden, dass

Ci + C₂

+ — + Cm

CiTi

(5.)

CivS

CiTi™-² + C₂r₂m“² +----h Cmrmm~- =

1 ₊ (72r2»»-l _j----_|_ CrnTm™-¹ —

wird. Wie in § 97, Gleichung (21.) und (22.) gezeigt wurde, findet man aus diesen Gleichungen

_ y(<)

(6)

Ci =

(p(t)

-F'M

Die Function

c₂

(f(t)

^(r.)

■n ^    (p(t) . eri(x—b    <jp(tf) . erü(x-b

( } 2 =    P(r,)    ⁺    ï\r,)

hat also die Eigenschaft, dass sie mit ihren m — 2 ersten Ableitungen für x = t verschwindet, während die (m — l)te Ableitung gleich <p(t) wird.

Jetzt mögen mit

(s)~ (dx‘\z

. . zM

diejenigen Werthe bezeichnet werden, welche z, z‘, z“ für t — x annehmen. Dabei ergiebt sich aus den Gleichungen (5.), dass

(8.) (z)t=x = 0, (z‘)t=x = 0, {z“)t=x = 0, ... (z(m~V)t=x = 0

wird, während

(9.)

(z(m-¹))(==x = <f{x)

ist. Setzt man also

(io.)

X

Y — Jzdt

o

so findet man nach Formel Nr. 154 der Tabelle

(11.)

dY

-Si«-

o

(12.)

WY

Wz

dz²

dz²

-f.

o

Wz

dz²

dt,

(13.)

d*Y

dH

dz³

dxà

dt + (zu)t=x

Wz

dz³

dt,

(14.)

dm~lY

'dm~lz

dz

dzm~l

dl + (*(m-²))

t=x

-f-

o

dm~¹z dzm_1 ⁽^'

(15.)

dzm

dmz

cft + </)(#).

Indem man diese Werthe von Y, —.

(XdO Cx/dß

dzm

in

Gleichung (1.) für y/^, lisich (f(x) weghebt,

• • einsetzt, erhält man, da

^ +/», . z)dt = 0.

Diese Gleichung wird aber in der That befriedigt, denn nach Formel Nr. 210 der Tabelle ist 2 ein particular es Integral der homogenen linearen Differential-Gleichung drz

dzm 'Jl

(17.)

dmz

Ix™

+fi

dm~lz

dxm~A

dm—xz

dzm~l

dz

+ * * • + fm-l jSf +fm -Z — 0,

folglich ist Y ein particular es Integral der Differential-Gleichung (1.) Aus dem particulären Integral findet man sofort das allgemeine, indem man

(18.)

in die Gleichung (1.) einsetzt; dann wird nämlich

dm~xv

(lmv

⁽¹⁹-) +/l

de

dxm~x

also

(20.)

v = ci. er'x + c₂. er-x -f • • • -f cm . e V und nach den Gleichungen (7.) und (10.)

(21.)

F\n)

+ C\ . erix

. er^-t)dt

+ Co.

■f- cm . ermx

'(f{t). erm(x~t)dt

ł '(r„)

oder, wenn man

(22.) C\ . F‘(r^) = C'i, c₂. -F'(r*) = G₂, ...    . -F'(rm) = Cm

setzt,

(23.) 2/ =

er'x

ermx

⁺ " ■ ⁺ W(r.)

L

[Cm +/(fit).

0

. e~r*dt

Dasselbe Kesultat kann man auch durch die Methode des

integrirenden Factors oder durch Variation der Constanten finden.

(24.)

Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung

</y_ _.jl

dx² d²

lf(x)

integriren.

Auflösung. Hier ist

5 r₂ = —

a I f—¹

(25.)

I<7(r) = 2r, F‘(r^ — folglich wird nach Gleichung (23.)

(26.) y = I [Ci +• e

o

■» I «

a to

^9 +J(p(t)eadt -o

Ist z. B.

(27.)

<p(#) = e

so wird

=j ea dt = §(V-l)

o

so dass Gleichung (26.) übergeht in

(29.) y

»    OJ

= e“(Ci + *)—

= [(ft+.y

to; a

to a

to i a

— C%e a

►H °»

2a;

g-¹)]

(A

e~ï).

(30.)

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung —    + 20y = 4000^²

(T-y

dx²

integriren.

Auflösung. Hier ist

f F(r)—r² — 9r-f20 = 0, F‘(r) = 2r—9, </>G) = 4000 2², ⁽⁸¹^ \ r, = 5, r, = 4,    J"(r,) = 1, J'(r,) = — 1,

folglich wird nach Gleichung (23.)

(32.) y = e⁵* [Ci + 4000/ć²e-5i.    — eix[G₂ + 4000f'^e~udt\

o    o

§ 98. Nicht homogene lineare Diff.-Gleichungen mter Ordnung. 559 Nun findet man durch partielle Integration

(33.)

so dass Gleichung (32.) übergeht in (34.) y = e⁵*

Gi + 4000 e~~5x^— ^

2x

25

_2_\ 80001 125/ ⁺ 125 J

— eix G₂ + 4000e-

₄/ z²    2*    2\    80001

V    4    16    64/ ⁺ 64 J

= (Ci + 64)eto — 32(25«² + 10a: + 2)

(35.)

— (G₂ + 125)e⁴* + 125(8a:² + 4a: + 1), oder, wenn man Gi + 64 mit A, G₂ + 125 mit —B bezeichnet, y — Ae5x + Beix + 200a:² + 180a: + 61.

Die angegebene Lösung gilt nur, wenn die Coefficienten /i, f₂, . . .fm constante Grössen sind. Ist diese Voraussetzung nicht erfüllt, so gelingt es doch in vielen Fällen, die Differential-Gleichung

(36.)

dm~¹y

dxm~y

+----VfJx) ■ y = '/tej

von der mten Ordnung auf eine niedrigere Ordnung zu reduciren. Ist z. B. y = yi ein particular es Integral der homogenen Differential-Gleichung

(37.)

dmy

~dä™

+Mx)

dm~ly

dxm~¹

so setze man

(38.)

Y= Cyi,

wo aber G noch eine Function von x sein muss, wenn dieser Werth von y der Gleichung (36.) genügen soll. Nun ist

(39.)

dy

dC

d[h

-y'dï + cdï’

_ v d2° _i_ odVy dC _1_ c

-y'dJ⁺²-üï dï + t

d²y i

da?

dmy — =

dxm

dmC dx»

/m\dyi dm~lC

\1 ) dx dxm~y

dmy i

dxm

Aus dem allgemeinen Integral u dieser Differential-Gleichung, die nur noch von der (m — l)ten Ordnung ist, findet man das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung (36.) durch die Gleichung

(43.)

!/=!/, (fudx + Af.

Ebenso kann man die Ordnung der Differential-Gleichung (36.) um zwei Einheiten erniedrigen, wenn man zwei particuläre Integrale yi und y-₂ der homogenen Differential-Gleichung (37.) kennt. Man setze dann

(44.)

y — Ciÿi + Ci’ji

und betrachte C\ und C\ als Functionen von x, welche der Bedingung

dCt .    d CJ₂    p. -1

*ar ⁺ *^- = 0> oder dx

(45.)

Setzt man diese Werthe in Gleichung- (86.) ein und beachtet, dass der Factor von C verschwindet, so bleibt eine Gleichung von der Form

fjm r*

(⁴⁰•) yi + 9t(x)

dm~lC

dC

+ ' • • + ff«*-iW -fa = 9>(4

Führt man also die Function u durch die Gleichungen

dxm~l

(41.)

dC

^ = u, oder C — J udx + A

ein, so erhält man aus Gleichung (40.)

+ ffl(x)    + ' • • + ffm-1(*) • « = 5P(*)-

(42.)    2/,

dm~lu

dxm—^

dC₂ _ yi dC\

y -2 dx

genügen. Bezeichnet man dabei —— mit (fi(x), so folgt aus

2/2

den Gleichungen (44.) und (45.)

(46.)

dC-i

dC,

dx

(47.)

dx    dx

d²H 2

dx

d'²y __ ₍ , (Pyi

dx} ¹ dx²

+ C~2

dC\

dx²

d*C\

dx²

■ / \

+ «**> ’ *•

wobei y₂(*)» <ps(x),... leicht zu ermittelnde Functionen von # sind. Setzt man diese Werthe in Gleichung (36.) ein, so verschwinden nach Voraussetzung die Factoren von Ci und C₂, und es bleibt

(48.) Cr₀(æ)

dm~lC\

rf*TO-

r + Gi(^)

dm~²C\

dxm~²

Wenn man jetzt noch (49.)    alS° ^ ⁼    • *’

Gi —Jzdx Ai, C₂— f(pi(x) . zdx -f- A₂

setzt, so geht Gleichung (48.) über in dm~²z

(50.) G₀(x)

dm~zz

+ Gm-₂(x). z = (p{x).

Aus dem allgemeinen Integral 2 dieser Gleichung, welche nur noch von der (m— 2)ten Ordnung ist, findet man nach den Gleichungen (44.) und (49.) das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung (36.) durch die Formel

y = y y U zdx + Ai) + y₂{/(fi{x). zdx + A₂).

dxm~²

+ Gi{x)

dxm~

(51.)

Dieses Verfahren kann man fortsetzen und den Satz be

weisen :

Kennt man ti verschiedene particuläre Integrale yi} y₂,. .. yn der homogenen Differential-Gleichung dmy dffn

so lässt sich die nicht homogene lineare Differential- Gleichung

Kiepert, Integral-Rechnung

(52.)

H-----i~ßn{x).y — 0,

36

(53.)

p + /,(«)

dxm J v ’

dxm~l

-\-----. y = Ç)(*)

auf eine andere nicht homogene lineare Differential-Gleichung von der Ordnung m — n reduciren.

Beweis. Sind yi, y₂,... yn die bekannten particulären Integrale von Gleichung (52.), so setze man

y ⁼⁼ Ciyi ~ł~ ^2^2 + • • • + Cnyn

(54.)

dC₂ dCz

und bestimme ? -=— ? • •

dx dx

• ^?n als Functionen von durch

dx

dx

die n — 1 linearen Gleichungen

dCt

dC2

d,Cn

(55.)

y'Hn + y*nn ⁺ '" + y" dx

dyi dCi    dy% dCf ____j

dx dx    dx dx

= 0,

(56.)

dyn dOn dx dx

d>l~²yn dCn_ ' ⁺ dxn-² dx -

Durch Auflösung dieser Gleichungen erhält man

/ V dCi dCs . .

Hx ⁼ Hx' di    dH'

dn~~²yldCi .dn~²y<i dC\ dxn~² dx dxn~~² dx

dC<i

dCi

dCn

o,

wobei die Functionen <fX(x), fffx), ... q>n^{x) leicht zu ermittehi sind. Nach diesen Festsetzungen wird

^ ₌ cr ^ + C₂ ^

ć£r    ⁷    ⁷

(57.)

dx

i . , p dy*

dx⁺ + c*~dx'

(58.)

d²y,

C&C²

(59.)

dn~ly _

dxn—¹

Gi

dxH~l

+ 0‘2

dn~ly₂

dn~lyn

dxn~l

dxn~l

(60.)

dny

dxn

= Gi

dny i

c/æh

+ G2

dffi

dxn

dnyn

dCi

dxn

(61.)

dn+ly

dxn+l

rér= 0,

dn+lyt

dxn+l

+ Ci

+ Cn

dn+ly₂

dxtl+

dn+iyn

dxn+l

d² Ci

dx*

Setzt man diese Werthe in die Gleichung (53.) ein, so verschwinden nach Voraussetzung die Coefficienten von C\, C₂, . . . Cn, so dass sich die Gleichung auf

d<n-n-\-lCi

(62.) L₀(x)

dm~nCi

dC\

\-Lv{x)

+ ’ ’ • +    = <p(x)

reducirt. Indem man noch die Function v durch die Gleichung

dzm-„+l

dxm~n

(63.)

dC\

dx

einführt, erhält man daher dm~nv dxm~

Dabei ist nach den Gleichungen (54.), (56.) und (63.)

(65.) Ci —fcdx -j- Ai, C₂ =f<pi{x) . vdx -f- A₂, ...

Cn —f<fn-i{x). vdx -f- An,

(64.) L₀(x)

n + L\(x)

dxm-n-1

V

T H-----f- Lm~n(z). V = (fix).

(66.)

y — C\yi -J- C₂y₂ + • • • + Cnyn.

Diese Betrachtungen gelten auch dann noch, wenn n = m ist. Für n — m — 1 kann man durch das angegebene Verfahren die vorgelegte Differential-Gleichung auf eine lineare Differential-Gleichung erster Ordnung von der Form

(67.)

Lq{x) ^ + Li{x). v = (fix)

zurückführen, deren Integration in § 80 behandelt worden ist. (Vergl. auch Formel Nr. 180 der Tabelle.)

36*

Tabelle

der wichtigsten Formeln aus der Integral-Rechnung.*)

1-) ßff) —Jf\x)dx -f{x). 2.) dff\x)dx — f‘(x)dx.

[§ 1, Gl. (3.) und (4.)]

[§ 1, Gl. (5.)]

3.) Ist a der Werth von x, für welchen das Integral von f\x)dx verschwindet, so ist

[§ 2, Gl. (3.)]

Jf\x)dx =f(x) —f{a).

4.) Der Flächeninhalt einer ebenen Figur, welche begrenzt wird

1. ) von der Curve y = <j>{x),

2. ) von der X-Axe,

3. ) von den beiden Ordinaten x = a und x = b.

ist gleich

F—fydx =ff\x)dx = [fix)¹) =f(b) —/(«),

a    a    a

wobei f\x) = (f(x) sein soll.

5.) Jfix)dx — j'f‘ix)dx.

a    b

[§ 2, Gl. (5.) und (8 a.)] [§ 2, GL (29.)]

*) Die Integrations-Constante ist überall der Kürze wegen fort

gelassen.

⁶-) Jf\x)dx = ff‘(z)dx +/f‘(x)dx.

a    a    c

7.) J'Af\x)dx = Ajf‘(x)dx.

[§ 2, Gl. (30.)]

[§ 3, Gl. (5.)]

⁸-)    ± g‘(x))dx =Jf\x)dx ± f g‘(x)dx.

[§ 3, Gl. (11.) und (13.)]

9.) Jx

xmdx —

xm+l

[§ 4, Gl. (2.)]

10.) Jdx — x.

[§ 4, Gl. (2a.)]

“>/

ax

axdx — Y~a >

e’dx = ex.

[§ 4, Gl. (3.) und (3 a.)]

\x.

[§ 4, Gl. (4.)]

13. ) fcos xdx = sina:.

14. ) fsmxdx — — cosa-.

[§ 4, Gl. (12.)]

[§ 4, Gl. (13.)]

15.) /

' dx

cos²a;

tgx.

[§ 4, Gl. (14.)]

¹⁶-> J=

. r dx

n.) jÿ=

. x f dx

¹⁸-) J—

Y1 — a:²

1 + a:²

[§ 4, Gl. (15.)] = TO sina: = ^ — arc COS x. [§ 4, Gl. (16.) und (21.)]

19.) j

c?a:

x Az o

= arc tg a: = ^ — arc Ctg a:.    [§ 4, Gl. (17.) und (25.)]

A

— 1 (a: ± «)•

[§ 1, Gl. (2.), (3.) und § 29, Gl. (2.)]

. f dx

2°.) y—

”•) ./-22.) f *

«² + a:²

⁼ o arCtg(a)'

L§ 7, Gl. (20)]

]/a²—a:²

= arc sin

©■

[§ 7, Gl. (21.)]

yx² — a²

= \{x -f- y x¹—a²).

[§ 7, Gl. (24.)]

24.) /-

xdx

x² dz a²

tO t—

l(x² dz a²).

[§ 7, Gl. (26 ) und (27.)]

²⁵-} f

xdx

²⁶⁾/

\a²— x2 xdx

= — Ya² — ^².

[§ 7, Gl. (29.)]

²⁷⁰ J

j/a² + x2 xdx

Yx²—a²

= + ]/a2 + #²-

[§ 7, Gl. (31.)]

[§ 7, Gl. (32.)]

28.)

f‘(x)dx

/(*)

= ![/(*)]•

[§ 7, Gl. (40.)]

29. ) fig xdx = — l(cos#).

30. ) fctg xdx — -f- l(sin^).

“•> fr*

[§ 7, Gl. (42.)] [§ '7, Gl. (43.)]

sm^cos.r

:l(tg^) = —l(ctga:). [§ 7, Gl. (45.) und § 8, Gl. (27.)]

[§ 7, Gl. (47.)]

[§ 7, Gl. (49.)] [§ 7, Gl. (53.)]

34.) Jf{smx)c,o$xdx = Jf(t) dt, wo t = sin^r.

35. ) //(cosx). sinrzcfe = —Jf{t)dt, W0t = C0Sx. [§ 7, Gl. (56.)]

[§ 7, GL (61.)]

36. ) Jc,os2n+lxdx =/(l—sin²#)“. c?(sin^).

[§ 7, Gl. (63.)]

37. ) Jsm2n+1xdx = —f(l—cos²#)w. ^(cosx).

38. ) Jsm,nx cos2n+ixdx —ysinmz(l — sin²^)w . c?(sin^)

[§ 7, Gl. (65.)]

39.) Jc,osmx sin2n+ixdx = — jcosmx(l — cos²£)n . f/(cosz).

[§ 7, Gl. (67.)]

40.) y>(tg*).dx

) ff(tigx)dx

42.) jf(tgx) . dx =/j

COS²#

41.

sin²#

42a.)jtgnxdx =/

=//(tg/ • /tg#).

= —Jf{Ctgx) . /ctg#). • /tg#).

• /tg#).

[§ 7, Gl. (71.)]

[§ 7, Gl. (74.)]

./(tg/

tg²# -f 1

t gnx

tg²# + 1

[§ 7, Gl. (81.)]

[§ 7, Gl. (82.)]

43.) //(Ctg#)

. G?#

__    //(ctg#)

y ctg²# +1

• /ctg#).

[§ 7, Gl. (90.)]

43a.)/ctg”# . <i# = —j₍

ctg”#

ctg²# +1

• /ctg#).

[§ 7, Gl. (91.)]

COS²”¹#

=/( 1 4- tg²#)'“⁻¹

/tg#).

[§ 7, Gl. (94.)]

fdx

J i

16.) //(

46a.)y/(ea;) . e?dx = /f(ex) . d(ex).

47. ) //(I*).f=/(l*M(l*).

48. ) //(arcsin#)-

45.)

sin2m#

ax ). a*G?#

/(I + ctg²#)

= A//(«a') •/«*)•

TO— 1

. /ctg#).

[§ 7, Gl. (97.)]

[§ 7, Gl. (98.)]

[§ 7, Gl. (99.)]

[§ 7, Gl. (100.)]

dx

Y1—#²

49. ) //(arc cos#) •

50. ) //(arctg#)

) //(arcctg#)-

G?#

l/l -#²

ü(#

■ 1 + #²

51.

dx

1+x²

://(arc sin#). /arc sin#).

//(arc cos#). /arc cos#).

=//(arc tg#). /arc tg#). [§ 7, Gl. (103.)] = —//(arc ctg#). /arc ctg#).

[§ 7, Gl. (101.)]

[§ 7, Gl. (102.)]

52.)    cosa:, tgx, ctgx)dx =

H ”

2^

1 — t²

i + n ’ i + J² ’ l — t² ’

-)■

1 + t²

wobei

t = tg\

toi s*

[§ 7, Gl. (109.) und (114.)]

58.)

x²—a²    2a

/x — a\ \x + a)

54.) /

c/a:

a;² + 2b x + c

[§ 8, Gl. (2.) und § 29, Gl. (6.)] 1    ₁ /x + b — Y b² —

2yw^rc \x +b +yv —

[§ 8, Gl. (13.) und § 29, Gl (16 )]

=)•

fr

⁵⁵-) h

t/a:

(X Xi) (x — x₂)

Xi-X-2

1

\a: — a;₂/

[§ 8, Gl. (13a.) und § 29, Gl. (12.)]

56.)

dx

arct<7=i)

• [§ 8, Gl. (17.)]

⁵⁷-} (.

dx

x² -f 2 bx -f- b²

⁵⁸-} ß

(PxĄ- Q)dx

a;² + 2öa;-|-c

(.Px + Q)dx

J (x — xt) (x — xz)

J *(x + by    z -f- b

[§ 8, Gl. (22.) und § 29, Gl. (3a.)]

|₁₍^₊₂te+C)+(Q_P,y__^_.

[§ 8, Gl. (23.)]

dx

Xi — X₂

“■>/ *

61.) Jude —

sm²a; C0S²a:

[(Px i + Q)\(x — xy) — (Px₂ + Q)l(x — x₂)].

f§ 8, Gl. (24.) und § 29, Gl. (22.)]

= tgx — ctga: = — 2 Ctg (2 a:).    [§ 8, Gl. (26.)]

uv

62.) J<

C0S²a;. dx =

—fvdu.

[§ 9, Gl. (2.)

[§ 9, Gl. (41.)]

64.) /«

COSmx . dx —

COSw-1a;sina: -f

-- /cos’"⁻²« . dx.

m J

65.) ji

cos2wa: . dx — sina: |j^ cos2n_1a: +

2n{2n — 2)

[§ 9, Gl. (52.)] COS2w~³a:

(2n — 1) (2n — 3)

2n(2n — 2) (2n — 4)

gin²»-⁵^ _j_ ...

(2n — 1) (2n — 3) ...5.3

2n(2n — 2) (2n — 4) ... 4.2

COSa:

66.) ji

sin"'a:. dx = —

(2n — 1) (2n — 3)... 5 . 3.1 2n (2n — 2) (2n — 4) ... 4.2 X'

— sin"l_¹a:cosa: 4

[§ 9, Gl. (60.)]

///

-jsmm-'²x. da:.

[§ 9, Gl. (65.)]

67.)

I sin2wa:

. dx — — cos.r

sin²«-^ +

2n —

2n(2n — 2)

v sin2w_3.r

(2n — 1) (2n — 3)

2n{2n — 2) (2n — 4)

(2n — 1) \2n — 3) ... 5.3 2n{2n — 2) (2n — 4) ... 4.2 (2w — 1) (2» — 3) ... 5.3.1 2n(2n — 2) (2n — 4)... 4.2 * ’

sin2M-5^ -)----

sina-

[§ 9, Gl. (73.)]

68.) /

da:

COSMa;

-= +

_ i ” —²/* <fa

(w — 1) C0Sw_1a; w — 1J C0Sn~²a:

sina:

• [§ 9, Gl. (75.)]

69.) I

' dx

COSa:

sinwa:

(n — l)sinn~ła:

7°.) /

xmdx

]/a²-x²

i n~² f dx n — 1J sinw_2a:

(:m — 1 )a² f xm~²dx

J

•    [§ 9, Gl. (84.)]

ya²—x²

[§ 9, Gl. (93.)]

n.) /

x²dx

i/o² — X²

+ | arcsm(i)-

[§ 9, Gl- (96.) und (97.)]

12.) I

x2ndx

Y a² — x²

= cn . a²“ arc sin

Gn(x) =

x2n~¹

(2 n—1 )a²Æ2n—3

(2n—1) (2n — 3)... 3a2n~ ²x

ctl —

2n(2n — 2)

(2n — 1) (2n — 3) ... 3.1

2n(2n — 2)... 4.2

2n(2n — 2)... 4.2

■    [§ 9, Gl- (103.), (105.) und (108.)}

x’"+¹

73. ) Jxmdx Va?

74. ) JdxYa²—x² =    ~ arc sin

Jxdx Ya?—x² = — -g- (a² — x²)Ya²—x². . r dx

^ h—

—x²

Y a²—x² + —f-_₌ .

™ + 2j y a2—x2

[§ 9, Gl. (113.)] ( )•    [§ 9, Gl. (114.)]

xmdx

75.)

Ya²—x²

[§ 9, Gl. (115.)}

xn Y a²—x²

(n — 1 )a²xn~l

77.)

Ya²—x²

x²Y a²—x²

a²x

n —2 r dx (rc—l)a²Jxn-²ya²—x² ' [§ 9, Gl. (116.)]

[§ 9, Gl. (117.)]

78.) f-M

a +]/a²—x²

78.) /

x^d¹ — x2 x,ndx

[§ 9, Gl. (119.)]

Ya² -\-x²

^.m— 1    _

= -l/a² + x²

m

(m — l)a²

79a.)j

xmdx

(m —l)a²

¹ Cx

J Y d¹ -f x²

[§ 9, Gl. (124.)]

xm~²dx

Yx² — a²

[§ 9, Gl. (131.)}

in-

²dx

--Yx²—a² +

m

⁸⁰-} fvSt7 ⁼    - TK* + V*+*>-

Y x² — a²

[§ 9, Gl. (127.) und (128.)]

80a.)f

x²dx

Yx² — a²

81.) JxmdxYa² + x² —

81a.) jxmdx YX<1

— a²

[§ 9, (Gl. (132.)] ry-—2 , d² f xmdx

y5rF*, + s+i Iw+ź'

[§ 9, Gl. (136.)] a² C xmdx

m + yx²— a²

[§ 9, Gl. (139.)]

Yx² — a²

82. ) Jdx ]/a² + x² = — j/a² + x² +    +T/ß2 + £²)-

[§ 9, GL (137.)]

82a.)JdxY^— a² = -|]/x²— a² — ^-l(x +]/z² — a²).[§ 9, Gl. (140.)]

83. ) I vdx ]/a‘² + x² = i- (a² + x²)]/a² + x².

83a.) f icdx Yx² — a² = -^ (x²—a²) Yx²— a².

[§ 9, Gl. (138.)]

[§ 9, Gl. (141.)]

Y a² + x²

Ya² + x²

(n — 1 )a²xn~l

Yx²—a²

xnYx² — a²

(n — 1) a²xtl'

(n—l)a²Jx

[§ 9, Gl. (143.)]

xn~~²Y x² — a²

[§ 9, Gl. (147.)]

Y a² 4- z²

x²Ya² + x²

a²x

[§ 9, Gl. (144.)]

85a.) f—t

J :

Yx²—a²

x²yx² — a²

a²x

[§ 9, Gl. (148.)]

86.) (-*

J ä

x\ dr Ą-t?

-K

a + l/a² 4-z²

[§ 9, Gl. (146.)]

86a .)/■*_, y a:]/#²— a²

87.) ff{x, Y a²—x²)dx =    a cost) . a cos tdt,

wobei

— — arc sin

[§ 9, Gl. (150.)]

sin?! =

nr    *l/ //2_/y.2

-, COSĆ = —-J tgt

Ya²—x² ’

88.) Jf(x, Y^~+x²)dx=Jf(atgt,

ctgt

yä?—x²

[§ 10, Gl. (3.) und (4.)|

adt

COS² i!

sin< =

]/«² -f- x²

cosć =

Y a² 4- x²

tg* =

, , a

c*⁸

[§ 10, Gl. (10.) und (11.)] asmtdt cos H

a.| s*

89.) Jf(x, yx²—a'i)dx=jf(j^t' atgt)-

wobei

sinć

cosż =

» tgt =

y x¹—a²

[§ 10, Gl. (23.) und (24.)]

90.) Bilden die Coordinaten-Axen den Winkel y mit einander, so ist

b

F = sin y Jydx

der Flächeninhalt der ebenen Figur AXABBX, welche oben von der Curve AB mit der Gleichung y — f‘(x), unten von dem Abschnitte AXBV auf der X-Axe und links und rechts von den

Ordinaten AXA und BXB mit den Gleichungen x —a und x — b begrenzt wird.

[§ 12, Gl. (2.)]

91.) Der Flächeninhalt einer ebenen, von zwei Curvenbögen

V‘ =/(*) und y“ = y{x)

und von den beiden Ordinaten mit den Gleichungen x = a und x = b

begrenzten Figur ist für rechtwinklige Coordinate!!

F=Ây‘

[§ 13, Gl (6.)]

— y“)dx.

92.) Der Flächeninhalt eines Sectors AOB, welcher von zwei beliebigen Radii vectores OA und OB und von einer Curve mit der Gleichung r — /($>) begrenzt wird, ist

[§ 14, GL (6.)]

S =

a

93.) Ist die begrenzende Curve durch die Gleichungen

* = 9>(0» y = V'O)

gegeben, so wird der Flächeninhalt des Sectors AOB

»a

[§ 16, Gl. (10.)]

= nf/ßdx.

Xx

95.) Das Volumen eines Rotationskörpers, welcher die Y-Axe zur Rotations-Axe hat, ist

Vt

[§ 16, Gl. (11.)]

(fl    (fl

S = \f{xdy-ydx)=\f(xdt

dy

(«)

(“)

dx\

**)

dt.

[§ 15, Gl. (6.)]

94.) Das Volumen eines Rotationskörpers, welcher die X-Axe zur Rotations-Axe hat, ist

— n fx'-dy.

2/i

96.) Das Volumen eines Rotationskörpers, welcher die Gerade x a zur Rotations-Axe hat, ist

1/2

= nf(x — afdy.

2/i

[§ 16, GL (12.)]

97.) Die Länge eines Curvenbogens ist bei Anwendung rechtwinkliger Coordinaten

^    __Va__

s =jvdz>+df =/* |/i+(ij =/*y i+(~j

[§ 18, Gl. (4a.), (6.) und (8.)]

-H(Sh(S

h

98.) Die Länge eines Curvenbogens ist bei Anwendung von Polarcoordinaten

<P-2    __ r2__

.=fy*> + w=)*p-1/(0+    + r*(fy.

ipx    '    rx    '

[§ 20, Gl. (3.), (4.) und (7.)]

99.) Die Oberfläche eines Rotationskörpers, welcher die X-Axe zur Rotations-Axe hat, ist

0 = Zn fyds.

100.) Die Oberfläche eines Rotationskörpers, welcher die Y-Axe zur Rotations-Axe hat, ist

2/2

0 = Zn fxds.

2/i

[§ 22, Gl. (5.)]

101.) Die Länge des Bogens einer Raumcurve ist

[§ 24, Gl. (7.) und (8.)]

102.)

_ A

f{x)~x — a wenn in

f{x) = {x — d){x — b)... (x — k) (x — l)

die Wurzeln a, b,...k, l sämmtlich von einander verschieden sind, und wenn der Grad von q(x) niedriger ist als der von f(x). Dabei ist

_ Vit) T _ ¥J)_

_<?(*) fW -

“/(«)

Am einfachsten findet man die Zähler A, B,.. .K, L der Partialbrüche, indem man in der Gleichung

(f{x)^Am.+Bm.₊...+Km. + LL

x — a x — b    x — k    x

der Reihe nach x = a, x = b,... x — k, x — l setzt.

Ist

b — g -f- hi, c — g — hi,

und sind die Coefficienten in cp(x) und f(x) sämmtlich reell, so wird

Px+ Q

c (x — gf -f- hl [§ 27, Gl. (3.), (4.), (15.), (16.), (18.), (18a.) und (80.)]

103.)

(f{x)

Ai

Aa

f{x) (x— a)a [x—u)a

-i

Bi

Bt

{x—by^f—by-

ÊL

Li    Lï

Tx—if ⁺ Iff—ïfA +    +

wenn in

fix) = (x — a)af — by... ix — Vf-

die Wurzeln a, b,.. .1 sämmtlich von einander verschieden sind, und wenn der Grad von (ff) niedriger ist als der von ff). Ist b — g + hi, c = g — hi,

und sind die Coefficienten von ff) und (ff) sämmtlich reell, so wird ß gleich y, und man kann setzen

Bi

B₂

f — by ^ (x — by-

B?

Cl

Cï

f — c)P

f — c)P~

PïX-h Qï

Pix+ Q

[f—gf+h²]P ¹ [f—gf+hf-

x — b

Gp _

x — c

Ppx-{- Qfi

(z-ffY+J? '

[§ 28, Gl. (11.) und (36.)]

¹⁰⁴ •)/

Adx

wenn n> 1. [§ 29, Gl. (3.)]

f — a)n    (n — 1) (x—a)

105.)J— \ arctg(~X^) ’ (Vergl- Formel Nr-⁵⁶ d-T-)

[§ 30, Gl. (5.) und (7.)]

1Qa\ f dt _    t    2n — Sf dt

V (1 + t²)"    (2n — 2) (1 + t²)n~l ^ 2n — 2J (1 + l²)

[§ 30, Gl. (12.)]

₁ nR x f_dx__ 1 f dt

a’v If — 9? + hi]n — A²M-y( 1 + t²)

-•)/—

wobei

- » wobei x — g — ht.

[§ 30, Gl. (8.)]

(i + t²y

-f

cos2n~ ²zdz,

cos z =

VT+ P ’

tgz = t, z = arctgć.

Vl + t>

t+t²’

[§ 30, Gl. (13.), (15.) und (18.)]

(Px-\- Q)dx (z-gJ+lP -

tO| ^3

![(*—0)² + Ä*H

^±®arctg('^).

[§ 31, Gl. (3.)]

¹⁰⁹-}i

i P.r -f- Qylx [(* — «?+*>]"

(2 n — 2) [(x — gf +Ä²]"'¹

Pg + Q

wobei

f dt

J V

x — g — ht und rc>l.

tfn-l

(l + P)n

[§ 81, Gl. (7.)]

tn

110.) ff(x, xn, x

►Ci I Ti

y.m

HŁ

wobei x das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen n, q, . . . ist.

[(§ 34, Gl. (8.)]

111.

tn    p

« m

a. w

(Ab — Ba)dg

(b-Byf

[§ 34, Gl. (11.)]

112.)Jf(x, J/Ax² + 2Bx + C)dx =^

’ Vy²—<ß.

dy

VA

wobei

Ax -f- B

' YB²— AC

a = ¹-—— •

Ya

[§ 36, Gl. (1.), (3.), (4.) und (5.)]

113.) F(x, YAx² + 2Bx+C)dx    , ]/a² + y²^

y A C—B2 VÄ

[§ 36, Gl. (6.), (8.), (0.) und (10.)]

wobei

YA

Ax-j- B

VA

Yy¹— a~ — YAx²-\- 2Bx-\-C,

Ya²+y²— YAx²+2Bx-t-C, a =

dy

Ya

114.)Jf(z, VAz‘>+2Bx+C)dx=fF(

yfAAä+B

V-A

wobei

Ax-\~B

V-A

y a²— y² = J/'Ax²-j-2Bx-i- C,

1/B²—AC

« = -—_____ ♦

V^-A

[§ 36, Gl. (11.), (13.), (14.) und (15.)]

115.)J lit, YAx² -f- 2Bx + C)dx

=l'Ajv-A+B -

wobei

dy

V-d

Ax +jB

y-ï

iVa² -f- y² = VAxl-\-2Bx-\-C, a

Vac—b²

V-A

[§ 36, Gl. (16.), (20.), (21.) und (22.)]

+ l/*4r² + 2Bï +6')

oder

JyAx* + 2 Bx 4- C V — A

117.) jdx V Ax² + 2 Bx + C 1 fAx+B

~ 2 Va I- y~X

dx

arc sin

yiß——Äc)

[§ 37, Gl. (1.) und (4.)J

V Ax² + 2 Bx 4- C

AC—B², ( Ax 4- B

oder

VA

4- y Ax² -\-2Bx 4- G')J

jdx VAx¹ A-2Bx 4- C

* r.

2V^A L

Ax 4-B

AC—B²

arc sin

(■

y-a

Ax 4- B

y Ax² 4- 2Bx 4- C

yw^Ac

[§ 37, Gl. (9.) und (13.)]

ii⁸oJax>

± a²)dx

wobei

frf h«²    ^²±«²\

⁼JfK~¥t---2T y

(t~±a²)dt

2t²

578

Tabelle der wichtigsten Formeln. 1, — x -j- Yx²zb a².

[§ 38, Gl. (5.) und (1.)]

119.)JF(x, Y Az² + 2 Bx + G)dx

=ß(—~

J \2 (tVA+B)

t²VÄ+2Bt+CYA\ (t²yA + 2Bt+cyA)dt 2 (t/~Ä + B) )    2 {tYÄ + B)²

wobei

t = xYA -\~YAx² + 2Bx + C.

120.)jf(x, Ya²± z²)dx = jfÇ wobei

[§ 38, Gl. (10.) und (11.)]

2 at    a(t²± 1)

&Ę-Ï ’ t²-Fl

)•

— 2a(£²₌bl)cfr

(^²⁼Fl)²

[§ 39, Gl. (5.) und (1.)]

121.

))Jf(x, Y Ax² + 2.Ö.r -\-C)dz —

f /2(tYC+B) t²Yü+2Bt + AYO\ —2(t²VC+2Bt+AYC)dt J*\ t² — A ’ t?—A )'    (t²—Af

wobei

rH I «

t = (YÖ + Y Az²+2 Bx + C). 122.) Jf(x, Y(ax-\-ß)(yx-j-öj)dx

[§ 39, Gl. (11.) und (12.)]

=K

ßt² — ô    (jßy — ad)t\ 2(ßy — ad)tdt

y — at²

— at²

{y — at²)²

wobei

yx + r)

ax + ß

123.) ftg,,lx dx — —tg ^    m — 1

[§ 40, Gl. (9.) und (10.)]

x —ftgm~²z dx.

124.)ß

sirT^cos'Wa- =

sinw_1a:cos,i+%

m Ą- n

[§ 43, Gl. (5.)] - (ńiim~²x cosnxdx.

J

[§ 43, Gl. (6.)]

125.) J

COS”« dx

sinm«

COS”⁺¹«

(m—l)sin“⁻¹«

n — m -f- 2 f ÏOSnxdx

1 J sin”⁴⁻²«

[§ 43, Gl. (7.)]

mxdx —

sin"'« cos”«^« =

'sin“«c?«

COS”«

--rCtg m — 1

sin’^+^cos”⁻¹« . n —

« —Jetgm~²xdx. [§ 43, Gl. (11.)]

-f

m + nj

—n + 2r

n— 1 J

126.)I/ctg

127.)\ß

128.) /

in — 1

sin“⁺¹«

{n — 1)C0S”_1«

sin“« cos n~²xdx.

[§ 43, Gl. (12.)]

sin“«d«

cos”⁻²«

[§ 43, Gl. (13.)]

129.) 2²Jcos2n(pd(p = ^sin(2n(f)-\- ^²^ —‘^ sin(2rc— 2)(p + (²2’i)^Sin(2”⁻^ ⁺ -‘

[§ 44, Gl. (2.)]

130.) 2²”+IJeos2n+l(fd(f

sin(2rc + l)cp

+ (²"i⁺¹)2^rTin(2,,-1)y + "

(²K+¹)2Sm<,.

Cä¹)!-*»

[§ 44, Gl. (5.)]

r    9    /2n\    2

131.) (—l)n22nJsm2n(fd(p = — sin(2»9>)—    2)y

+ (Ï)₂~₄ sin(2»—4)$p—+ • • •+(—i)*‘-i(^i)sin(2y)

(f.

[§ 44, Gl. (8.)]

132.) (—l)”2²”+ysin2n+l<pd(p =

/2n +1 \    2

V 1 )2n-

cos(2 n—1 )(p--f-

2 n—1

ÇUn O2C0Sy'

[§ 44, Gl. (11.)]

a cos(fo-) + èsin(&r)

133. )jeaxcos(bx)dx = e

134. ) Jeaxsm(bz)dx =

oo    b

135. ) Jf‘(x)dx = lim ff\x)dx — lim f(b) —f{a).    [§ 45, Gl. (2.)]

a    5=oo a

b    b

136. )Jf‘{x)dx= lim ff‘{x)dx =

ax .

a² + b²

ßU f a sin(Âæ) — b cos(ôæ)

a² -j- b²

1=00

[§ 44, Gl. (23.)]

— oo

a=—oo a

f(p)- lim /(«).

a——oo

[§ 45, Gl. (3.)]

137. ) 1st f\b) — ± °°, f\x) aber stetig für a ^£x<b, so ist

b    b—fi

Jf\x)dx = lim Jf\x)dx =

»    ß=0 a    {3=0

138. ) 1st /'(a) = ±00, f‘(x) aber stetig für a<x^b, so ist

b    b

Jf\x)dx — lim Jf‘(x)dx = f(b) — lim fia + a).    [§ 46, Gl. (5.)]

lim/(ô - ft) —fia).

[§ 46, Gl. (3.)]

o=0

o-|-a

o=0

139.) 1st f\d) — ± 00, f‘(b)=-b 00, f\x) aber stetig für a<x<b, so ist

6    b~ß

ff‘{x)dx — lim ff\x)dx =

lim f[b — ft) — lim f{a + «).

[§ 46, Gl. (7.)]

140.) Ist f\c) — ± 00, f‘{x) aber stetig für a :§ x < c und c<x%b, so ist

) jgif). h{x)dx = g\a + @{b — a)]\Jh(x)dx,

141.

a=0

|î=0

a-\~u

[i=0

d=0

c-\-ä

o=0

[§ 47, Gl. (1.)]

wenn h[x) in dem Intervalle von a bis b das Vorzeichen nicht wechselt.

[§ 49, Gl. (12.)]

X    X

141a.) f g ix) • h(x)dx — g(Qx)fh(x)dx. o    o

b

142.) fg{x)dx —

[§ 49, Gl. (13.)]

(b — d)g[a + 0{b — a)].

[§ 49, Gl. (15.)]

143.) Ist für alle Werthe von x zwischen a und b f‘(x) = U₀ + Ul + U% + M3 4" • • • eine gleichmässig convergente Reihe, deren Glieder u₀, uy, «2, •.. in dem betrachteten Intervalle stetige Functionen von x sind, so ist auch

b    b    b

Ju^dx -j- Juidx + JutfLx + • • •

(l    CI    CI

eine gleichmässig convergente Reihe, deren Summe gleich

f(b) —■/(«) =ff\x)dx

ist. Dabei darf man noch die obere Grenze mit x bezeichnen.

[§ 51, Gl. (3.) bis (5.)]

U4.)/

dx

/    n=oo    \

= (i+2 'ĄP" )

\    n=i    /

__n—00

— j/l — x² 2 Cnk*nGn{x),

arcsin#

wobei

n—1

Cn —

1.3.5

(2 n — 1)

2.4.6... (2»)

G“⁽-X)=-2T ⁺

(2 n—I)#²’¹”³

(2 n) (2 n—2)

(2n—l)(2rc—3)... 3.#

(2») (2» —2)... 4.2

Cn—1

145.) K

1

~fv( 1—#²) (1—k²x²)

dx

i-⁸-⁵)>+-].

2.4.6

[§ 52, Gl. (9.) und (10.)]

146.) f __

/ Vl— z²

— k²z²

dz

/    m=oo ^2^.2«

\    n=i 2n—

arcsine

147.)

oo r 7,2 n

+ Vi — *² 2 2^_zï    [§ ⁵²> G1- (¹⁵-)]

y Vi— ^

0

= (l — c^/t² — l<-₂!/Ł‘ — i-c«*«----)•

[§ 52, Gl. (15a.)]

n—

/    W=C

= (!- 2

\    n—1

.A

dtp

J Y( 1—z²) (1 — k²z²)    J Y1 — sin²« sin²y

= «o? — y sin (2y) + J sin (4y) — y sin (6çp) 4--

wobei

z = sin<p, k = sin« =

2s

1+6²

£ — tg|

tO K

i—Vi—k²

n—oo

n=oo

«o = (1 + £²) 2 c»² • «4nj «1 = (1 + £²) 2 CnCn+l . «2+4n, . .

n=0

n=0

71=00

av = (1 + £²) 2 G»C«+v . £2v+4m, n=0

oder, wenn man —

— sin²« 1 + £⁴

mit l bezeichnet,

(2tï l)«n — 4(fi    1)«^—i c, (2/î — 3)«m—-2«

[§ 52, Gl. (31.), (33.), (36.), (37.), (38.), (40.), (44.) und (48.)]

sin²«

2f²

149.) E(k, (f)

-PĘS-f*

o    o

—sin²« sin²</). dcp

k²

= t>o(p + j [i^isin(29)) — -B₂sin(49>) + Æ₃sin(6y)--(-•••],

wobei

2b₀ = (2 — k²)a₀ — k²au 4    = a₀ —    16 Z?₂ = «i — a ₃,

36^3 — cio a^,... (2rifBn — o,n—^    dn-i-i*

[§ 52, Gl. (34.), (61.), (65.) und (67.)]

71

dtp

150.) ÜT = f(k, [f) = f-___

V 2/ y ]/1— sin²« sin²«/--

7t ¥

= £(*,f)=/Wr

o

«0^

— • [§ 52, Gl. (68.)]

151.) E

—sin²«sin²<y

= j [(2 — k²)a₀ — k²ai\.

b

152.) djf\x)dx =

—f\d)da +f\b)db.

[§ 52, Gl. (69.)]

[§ 53, Gl. (3.)]

153.)

b

elffx

t)dx

_ f d<p(x, t) "/ dt

dx.

[§ 53, Gl. (8.)]

¹⁵⁴-) dt

b

f

-1 (f(x, t)dx =

da

db

-cp(a,t)--ft+cp(b,t)- dt

b

'ö(p(x, t)

J et

dx.

[§ 53, Gl. (10.)]

|<m r

155.) I cos2nxdx

-y;

0

sin2w^^

7t

_(2» —1)(2»—3)...5.3.1 n _ 2n (2n — 2).. . 6.4.2

[§ 54, Gl. (3.) und (5.)]

2

155a.)jcos2n+lxdx

o

=Jlm2n+l xdx — 0

2rc(2w — 2)... 4.2

(2» + l) (2»—1)... 5.3.1

156.)

= lim

w=oo

h-¹ I tO

(N I CO

00

Ü'l

CD »O

[§ 54, Gl. (19.) und (20.)] 2 n — 2

2w — Ï 2n — 1 [Formel von Wallis, § 54, Gl. (33.)]

oo

(,r² + «²)w

1.3.5 ... (2n — 3) 2.4.6... {2n — 2) * a

2n—1

OO

[§ 55, Gl. (6 a.)]

158.)J

o

e—«X > xndx =

n!

p+i

[§ 55, Gl. (12.)]

159.) In jeder trigonometrischen Reihe

n=oo

f(x) = -|a₀ + 2 [«wCOS(wa;) + ôMsin(w^)]

«= 1

welche in dem Intervalle von 0 bis 2n gleichmässig convergent ist, haben die Coefflcienten an und bn die Werthe

Un

= Jf(x) COS{nx)dx, o

bn

2 7t

= ff(*) sin(

0

nx)dx.

[§ 56, Gl. (22.

160. ) Der Flächeninhalt einer ebenen Figur, welche oben (oder unten) begrenzt ist durch die Curve y = f‘(x), unten (oder oben) durch die X-Axe, links und rechts durch die Ordinaten x = a und x — b, ist näherungsweise

F~ff{x)dx =

a

— 2    + 2/'(a+h)+2f‘[a + 2A) H-----f 2/'(^—+ ,/'(£)],

wobei

nh=b — a, y₀ =/'(«)> yi=/'(«+Ä),... y^-x—fib—h), yn=f(b)

[§ 58, Gl. (4.) und (6.)]

161. ) Der Flächeninhalt der in Formel Nr. 160 beschriebenen Figur ist näherungsweise

F —Jf‘{x)dx — 2A[jC(a + Ä) +,/'(a + 3Ä) + • • • +./'(£ — ^)]

a

= 2A (yi -+• yz + • • • + yin—1)> wobei aber

2nh — b — a, «/!=/'(«+Ä), y₃ =/'(« + 8Ä),... y₂»-i —f\b— h)

[§ 58, Gl. (11.)]

2 (2/0 +    + 2y₂ + •

• • +    1 + yn)

ist.

ist.

162.) Der Flächeninhalt der in Formel Nr. 160 beschriebenen Figur ist näherungsweise

F=ff (x)dx =

§ [/'(«) + 4/'(« + A) + 2/'(a + 2A) + 4/'(a +3A) + 2^(ö + 4Ä) + * * * + 2/'(ö — 2Ä) + ^'(ö — h)

• + 2y2n—2 + 4t/2n—1 + 2/2») ?

= |(yo + 4yi + 2î/2+4t/3 + 2y₄ + • •

wobei

2nh = b — a, 2/0 =/'0), J/i =/'0 +    J/2 =/'(» + 2Ä),...

y3 =/'(« + 3ä), ... y₂»-1 =/'(£ — ä), 2/2» =/'(ô)

ist. (xS'm/jscw’sche Regel.)

163.) Das Volumen eines Körpers ist

[§ 59, Gl. (10.) und (11.)]

x-1

V = jF{x)dx,

xl

wrobei -F(a;) der Flächeninhalt eines Schnittes, senkrecht zur X-Axe, im Abstande x von der YZ-Ebene ist.

[§ 61, Gl. (9.)] 164.) Ist der Körper oben begrenzt durch die Fläche

* = 9(x, y\

unten durch die Fläche

= Kxi y)»

vorn und rückwärts durch die Cylinder

2/i = sp(*), y* = ip(z) links und rechts durch die Ebenen

so ist das Volumen

X = Xi, X — X2,

wobei

Xi y-i    Xi yjj(x)

V = fdxf(z‘ — z“)dy =fdx ff \x, y)dy,

Xl Vi    xx <p(x)

f(x, y) = z‘ — 2" = g(x, y) — h(x, y)

b d    d b

Jdx/fix, y)dy =fdyff(x, y)«fo,

a c    ca

[§ 63, Gl. (10.)]

165.)

wenn die Integrationsgrenzen a und b, c und d constant sind.

[§ 64, Gl. (15.)]

169.) Der Flächeninhalt einer krummen Oberfläche ist

b ip(x)    b yj(x) _

<■/>(*)

O =fd*fiyw+w+w =/*/*]/1+(I)²+(gj •

a <p( x)

[§ 66, Gl. (13.)]

170.) Der Flächeninhalt einer krummen Oberfläche ist

+ B² + Ü²,

O+(gj+(gj =jjdudv y.4²

wobei

ß M»)

166-)/ Jffa y)dxdy —j Jf(x, y). (

b ip(x)

dx dy dxdy dudo do du

^ du de,

a <p{x)

« ?(«)

wobei

ist.

«=/i («,»)• y=/s(«,®)

[§ 65, Gl. (2.) und (14.)]

/* H‘p)

167.) J Jf{x,y)dxdy=JJf{rcosy, rsiny). rdądr.

a (f(x)

168.)

b >P(x)

a g((p)

OO

Je

o

[§ 65, Gl. (19.)]

[§ 65, Gl. (38.)]

« =/i(«, ®), y =/*(“» ü), - =/a(«, ®),

_ Ö?/ Ö* ö«/ dz

dudo dodu’

du do do du ’

_ö# ö*/    ö# öy

du do    dv du

[§ 63, Gl. (4.), (8.) und (11.)]

171.) Führt man räumliche Polarcoordinaten durch die Gleichungen

x = rcos/cos^, y = rcosÂsiny, s = rsinź

ein, so wird

Fdx

[§ 72, Gl. (4a.), (8 ), (17.), (22.) und (23.)]

174.) Die Differential-Gleichung erster Ordnung

dy

kann integrirt werden durch die Keihe

f»

y =/(*) =/(«) +

lt (*— ß)+ 2!

Oj

dw

dz dz

^dz -f C,

v =JM (x, y)dx.

[§ 70, Gl. (4a.), (15.) und (16.)] 173.) du = F(x, y, z)dx -j- G(x, y, z)dy -f- H(x, y, z)dz ist ein vollständiges Differential, wenn

F _ dG dF _dH dG __ dH y~dx' dz ~ dx ’ dz ~ dy

■AN-4)dy+c’

wobei

Qi Oj

du — M(x, y)dx -f- N(x, y)dy

172.)

ist ein vollständiges Differential, wenn

öM(x, y ) _ dN(x, y)

dy

dx

ist. Man erhält dann

ist. Man erhält dann

wobei

(x-d)²-\----,

wobei f{d) = b eine ganz beliebige Grösse ist. Die Coefficienten findet man für x = a aus den Gleichungen f‘(x) = <p(z, y),

es wird also

/'(«) = 9>(«, b\ /"(«) = 9>Xai b\ f“Xa) =    *)» • • • •

[§ 75, Gl. (17.) bis (22.)]

175.) Die simultanen Differential-Gleichungen erster Ordnung

dz

dy

r/a:

können integrirt werden durch die Reihen

2/ =/(*) =/(a) +

/'(«)

/»

1!

0 — «)² H----

l!

0 — «) +

<?"(«)

wobei /(a) = & und (7(a) = c ganz beliebige Grössen sind. Die Coefficienten findet man für x = o, y = b aus den Gleichungen f\x) = (fix, y, z),

/■w-K + gï+K

d(p‘ dy d(f‘ dz

/-(*) = % +

öy    dz dx

= y, *)»

g\x) = iy, z),

y"C*0

g“\x)

_    dt// cd/    dt// e?z _

cta dy tdc    dz cfo;

_ dt//'    dt//' dy    dip‘ dz

dx    dy dx    dz dx

lp\x, y, z),

= y> *0»

es wird also f\a) = y(a, c), /"(«) = $p'(a, 6, c), f“\d) = 5p"(a, Ä, c),...

y'(«) =    4 <?» = *PXa,b,c), y"'(«) = */>"(«, M > • • •

[§ 75, Gl. (31.), (37.) bis (46.)]

176.) Die m simultanen Differential-Gleichungen erster Ordnung

*P i(x > y i? y^i • • • y»),

dyy_

dx

dJh_

dx

yt,y2,...y»),

dym ,    v

yi> y*> • • • y»)

können integrirt werden durch die Reihen

wobei

TO—1

177.) Die Differential-Gleichung m = <P (x, y,

kann integrirt werden durch die Eeihe

dmy dx™

Ordnung dy    d^y    dm~ly\

dx ’ dx¹ ’    dxm~l)

ter

y =f(x) =/(<*) + 'Ajy (« — a) + j

/»

(« — «)² d----

(*—> ⁺

wo a = 1, 2,... m zu setzen ist, und wo

/l(o) = ÔJ, /₂(o) = 6₂,    /to(«) = Ä«,

noch ganz beliebige Grössen sind. Dabei ist

faix) = ?>«(:£ ; yi, y₂,... y«),

- ^JLa _|_ clV± ^⁽la dVj

dx dy^ dx öy-2 dx

= <f'aix\ y\, y2,. • • y»),

dtp¹ g ö(pJa dyv d<p‘ady% dx ⁺ dyi dx ⁺ öy₂ dx

= v"«0; yi,y2,...y»),

y« =/«(*) =/«(») +

/«"(*)

/'«(«)

öcpa dym dy,n dx

_i_____|_ dym

öym dx

also

fd{a) — Veda', ^i, b₂,.. . bm), f»\a) = (fa\a\ blf b₂,... bm), /«"(«) = <pa“{a ; bu b₂,... öm),

[§ 75, Gl. (53.) bis (59.)]

/(«)=*, /'(«) = bl,...f^\a) = b ganz beliebige Grössen sind. Die höheren Ableitungen findet man aus den Gleichungen

ßm\d) = y(a; ä, ö|, — ö»_i),

/(m+9(a) = 9>'(a; ö, it,. .. £*_i),

[§ 75, Gl. (63.) bis (68.)]

178.) Sind M(x, y) = XiY, N(x,y) — X₂Y₂, wo Xt und X2 Functionen der einzigen Veränderlichen *, Yi und V₂ Functionen der einzigen Veränderlichen y sind, so kann die Differential-Gleichung erster Ordnung

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 durch Trennung der Variabein auf die Form

dx +

Y₂

Fi

dy = o

gebracht und ohne Weiteres integrirt werden.

[§ 77, Gl. (2a.) bis (7.)]

179.) Sind M(z, y) und N(x, y) homogene Functionen m Grades, so führt die Substitution y = xz, oder x = yz in der Differential -Gleichung

ten

Mix, y)dx + Nx, y)dy — 0

zur Trennung der Variabein.

[§ 78, Gl. (1.) bis (9.)]

180.) Die lineare Differential-Gleichung erster Ordnung

dy

-dx + y •/(*) = v(x)

wird integrirt

a)    nach Bernoulli, indem man y — uz setzt und u so bestimmt, dass in der dadurch sich ergebenden Differential-Gleichung der Factor von 2 verschwindet;

b)    nach Lagrange durch Variation der Constanten, indem man bei dem Integral der linearen, homogenen Differential-Gleichung

dg

Tx+y.f(x) = 0

die Integrations-Constante als eine Function von x betrachtet; c) durch den inte g rir enden Factor

fA*)äx

xp{x) =

Durch jede dieser drei Methoden findet man

Jf(x)dx

— ff (x)dx y — eJ

[/«*) • e

dx -f- C .

181.) Ebenso kann man die Differential-Gleichung

gleichfalls eine Function der einzigen Veränderlichen y.

[§ 84, Gl. (14.)]

dy

dx

+ y -/O) = yn • <p(?)

integriren, indem man y — uz setzt und u so bestimmt, dass in der sich daraus ergebenden Differential-Gleichung der Factor von z verschwindet.

[§ 81, Gl. (1.) bis (12.)]

182.) Die Function v heisst ein integrirender Factor der Differential-Gleichung

Mdx + Ndy = 0,

wenn c (Mdx + Ndy) ein vollständiges Differential ist. Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür ist

at<9ü /dN dM\

dM\

Qy J eine Function der einzigen Veränder

dv

dy

[§ 84, Gl. (1.)]

iSS.) Ist

liehen x, so ist der integrirende Factor

('( dN dM\dx .Q — g J \ dx dy ' N

gleichfalls eine Function der einzigen Veränderlichen x.

[§ 84, Gl. (4.)]

IQ. x T +    ¹ (^N    <9ü/

184.) Ist •s( liehen y, so ist der integrirende Factor

dx

dy

^ eine Function der einzigen Veränder

_1_/dN

— yN \ dx

dM

^ eine Function der einzigen

185.) Ist

Veränderlichen z — xy, so ist der integrirende Factor

xM

dy

/(-

v = e J ' à*

dM

dz

dij) xM—yN

gleichfalls eine Function der einzigen Veeränderlichen z.

p'àN ôM\ dz y = eJ\dx    dy ) 2(yJf—xN)

gleichfalls eine Function der einzigen Veränderlichen z.

[§ 84, Gl. (52.)]

188.) Bezeichnet man ^ der Kürze wegen mit p, so wird die Integration der Differential-Gleichung

x = <p{p)

durch die Ermittelung von

y =/<p\p) -pdp + C

[§ 86, Gl. (2.) und (5.)]

186.) Ist

xM -f- yN C öx

ÔN dM

öy

^ eine Function der einzigen

Veränderlichen z —

so ist der integrirende Factor

Ç/bN bM\_

V ■=. (>J\dx dy)xM+yN

x‘²dz

gleichfalls eine Function der einzigen Veränderlichen z.

[§ 84, Gl. (39.)]

187.) Ist

dN ÖM

dy

^ eine Function der einzigen

yM — xN \ dx Veränderlichen z = x¹ + y‘\ so ist der integrirende Factor

ausgeführt.

189.) Die Integration der Differential-Gleichung

y — <p(p)

wird durch die Ermittelung von

ausgeführt.

x= [<p\P)dP

J P

[§ 86, Gl. (15.) und (18.)]

190.) Die Integration der Differential-Gleichung

*=f(y,p)

wird auf die Integration der Differential-Gleichung

191.) Die Integration der Differential-Gleichung

y =/(*, P)

wird auf die Integration der Differential-Gleichung

df

dp

äp⁺(%-f)dx=<>

zurückgeführt.

191a.) So kann man z. B. die Differential-Gleichung y = x .f(p) + <p(p)

auf die Integration der linearen Differential-Gleichung erster Ordnung

[§ 86, Gl. (40.) und (41.)]

dx

[p —Ap)] -jz —x •f\p) = <p'(p)

zurückführen.

dp

[§ 86, Gl. (43.) und (45.)]

192.) Aus der allgemeinen Lösung

G(x, y,C) = 0

einer Differential - Gleichung findet man die singuläre durch Elimination von C aus den beiden Gleichungen

G(x, y, C) = 0 und

dG(x, y, (?)

dC

[§ 87, Gl. (3.) und (6.)]

193.) Die Differential-Gleichung der isogonalen Trajetorien, welche die sämmtlichen Curven der Curvenschaar

F(x, y,u) = o

unter dem constanten Winkel d- schneiden, findet man durch Elimination von u aus den Gleichungen

F{x, y,u) = 0

und

(ücos# — F₂$md)dx + (Alsin^ + F₂ cos &)dy = 0.

[§ 89, Gl. (1.) und (8.)]

194.) Die Differential - Gleichung der orthogonalen Trajectorien, welche die sämmtlichen Curven der Curvenschaar

F(x, y,u) = 0

unter rechtem Winkel schneiden, findet man durch Elimination von u aus den Gleichungen

F(x, y, u) = 0 und — F₂dx + F^dy = 0.

38

Kiepert, Integral-Rechnung.

195.) Die orthogonalen Trajectorien der Curvenschaar F(x, y, u) —f{x) + g(y) — u = 0 genügen der Differential-Gleichung

dx

dy

/'(*) m

[§ 90, Gl. (55.) und (57.)]

196.) Die orthogonalen Trajectorien der Curvenschaar

fix) • ⁽Ay) = u

genügen der Differential-Gleichung

f{x)dx g(y)dy .

/'(*) £%)

[§ 90, Gl. (67.) und (70.)]

197.) Die orthogonalen Trajectorien der Curvenschaar

F(r, (f, u) = 0

genügen einer Differential-Gleichung, die man durch Elimination von u aus den Gleichungen

F(r, (p, u) = 0 und

dF dF

öcp dr

$? = 0

dr

findet.

198.) Die orthogonalen Trajectorien der Curvenschaar F(r, (f, u) =/(r) + g(<p) — u = 0 genügen der Differential-Gleichung

[§ 90, Gl. (75.), (80.) und (83.)]

dr

r ,,, , _    • K 90, GL. (101.) und (103a.)]

199.) Die orthogonalen Trajectorien der Curvenschaar fix) • 9{<P) = u

genügen der Differential-Gleichung

f{r)dr _g(cp)d(p

'VW g‘(cp)

[§ 90, Gl. (104.) und (105a.)]

200.) Das allgemeine Integral der Differential-Gleichung mtex Ordnung

(fix)

dmy dxm ~~

kann auf die Form

y = j^ß

a'o

C\Xm—¹

(m—1)!    (m—2)!

1!

gebracht werden.

[§ 92, Gl. (1.) und (22.)] 201.) Das allgemeine Integral der Differential-Gleichung

oder q =f(p)

findet man durch Elimination von p aus den Gleichungen

pdp

_ AP)

[§ 93, Gl. (1.), (3.) und (5.)]

d²y _

dx²

K=J:

f©

dp

Ap)

f

4- C\ und y = / -

4- C₂.

202.) Das allgemeine Integral der Differential-Gleichung dy fd²y\

oder p — (p{q)

findet man durch Elimination von q aus den Gleichungen

X = f&î + Cl und y ₌J¥a).fim

+ C₂.

[§ 93, Gl. (23.) und (26.)]

203.) Das allgemeine Integral der Differential-Gleichung

9.

<Py

dx-²

=f{y)

ist

dy

4" G2.

[§ 94, Gl. (1.) und (7.)]

204.) Die Differential-Gleichung

d²y _ y

dx²

d¹

hat die Lösung

205.) Die Differential-Gleichung

dhy

dz²

a²

hat die Lösung

y = A sin (*) + .Beos (~) •

[§ 94, Gl. (19.) und (26.)]

206.) Das allgemeine Integral der Differential-Gleichung

_ dm~~²'y

U - -ń 5

dxm ²

d²u

dz²

findet man, indem man die Gleichung

du

+ t/2

C\ -f 2ff(u)du

nach u auflöst und das in Formel Nr. 200 angegebene Verfahren anwendet.

207.) Die Differential-Gleichung

[§ 94, Gl. (29.), (33.) und (34.))

/ dny dn+ly    (Fy\ _

\ ’ dzn ’ dzn+l ’ * * dzm)

reducirt sich auf die Form

du d²u

dm~nu

X’ W’ dz’ dz²’"

dzm~n

)=°,

wenn man

dnV

mit u bezeichnet.

[§ 95, Gl. (1.) bis (3.)]

dzn

208. ) Die Ordnung der Differential-Gleichung

F/ dy cPy '"d™y\_

V’ dz ’ dz² ’ dzm)

wird um eine Einheit erniedrigt, wenn man ^ = p setzt und

y zur unabhängigen Veränderlichen macht. [§ 95, Gl. (10.) bis (13.)]

209. ) Die Ordnung der Differential-Gleichung

.£*)=o

dzm )

wird um eine Einheit erniedrigt, wenn die Gleichung in Bezug

F(x’ y’ dz’

dy d²y

dz²

auf die Grössen y, durch die Gleichung

dy <Py dx da²

dmy

dxm

homogen ist, indem man

dy

Tx=yu

u als abhängige Veränderliche einführt. [§ 95, Gl. (76.) bis (81.)] 210.) Das allgemeine Integral der homogenen linearen Differential-Gleichung

dmy

+ /i

dm~xy

dm~²y

dy

-V fmy = 0,

+ft

dxm

in welcher die Coefficienten fx, f₂, .../,„ constante Grössen sind,

dxm~x

dxm~²

ist

y = Ci. erix + Go. er*x -j- • • • + Cm . e*»*, wobei ru r₂,... rm die Wurzeln der Gleichung

F(u) = um +    +f₂um~² +----Vfm-\U +fm = 0

sind, vorausgesetzt, dass rv, r₂, ...rm sämmtlich von einander

verschieden sind.

[§ 97, Gl. (1.), (15.) und (17.)]

211.) Ist

rx = a -f- bi, r₂ = a — bi, so kann man C\ . er& -f- G₂. er*x ersetzen durch

eax[Aws{bx) + B sin(èa:)].

[§ 97, Gl. (26.) bis (28.)]

. rm der Gleichung

212.) Sind unter den Wurzeln rx, r2 F(u) = 0 gleiche vorhanden, ist z. B.

ri = r₂ = ... = ra so giebt Formel Nr. 210 nicht mehr das allgemeine Integral; dieses hat in diesem Falle vielmehr die Form

y — (Gi + C₂x -f- G3Æ² + • • • + Caxa I)eri* -J- Ga+1 • era+ix -f-• • • + Gm . e v.

[§ 97, GL (44.), (51.) und (61.)] . 213.) Das allgemeine Integral der nicht homogenen linearen Differential-Gleichung

dmy

dxm

+/i

dm~ly

dxm~x

H-----f/m-i %+f™y = 9>(?)

ist, wenn die Wurzeln der Gleichung F{u) = 0 sämmtlich von einander verschieden sind,

y = -j^~₎ [Oi    • e-^dt] +    [Ci +/cp(t). e-rm]

ermx

X

⁺ "' ⁺ F-(r„)

[Cm +    . e-^dt}.    [§ 98, Gl. (1.) und (23.)]

o

214.) Ist yi ein particuläres Integral der homogenen Differential-Gleichung

dm~ly

dy

+/*(«) • y — 0,

i +----^ /«‘-i (x) dx

so lässt sich die nicht homogene Differential-Gleichung

dxm-

dmy

dxm

dm~

dxm-\ + ' " +/m-1(«)    + /«.(?) • V = Çp(*)

durch die Substitution

y = yi(fudx +A), oder w = ^(^)

+/iO)

auf eine nicht homogene Differential-Gleichung (m — l)ter Ordnung von der Form dm~xu >Ji dxm~l zurückführen.

+ 9i(?)

dm~²u

dxm 2

F----1" ffm-1(«) . U = (f{x)

[§ 98, Gl. (36.) bis (43.)]

215.) Sind n particuläre Integrale yi} y₂, ... yn der homogenen Differential-Gleichung

dmy

dxm

+/iO)

dm~xy

1----+/mO). y = 0

bekannt, so lässt sich die nicht homogene Differential-Gleichung

dm~xy

ï + —f-/»W • y = 9>(«)

S

auf eine andere nicht homogene Differential-Gleichung (m—n)teT Ordnung von der Form

dm~nv dxm~

zurückführen, wobei

X₀(a:)

-» + Ll(x)

dxm-n~¹

F * • * + Lm-n(x) • ü = ç>(^)

y — @iyi + c₂y₂ + • • • + cnyn

und

C\ ==fodx + Ai, C₂ — Mx). vdx + A₂, ...

Ca =f(pn-l{x).vdx + An.

Die Functionen <f>i(z), y>2{x), ... (pn-i(x) sind durch die Gleichungen

dCi , dC2 2/1 ~dx ~dx dyi dCi    dy₂ dC₂

dx dx    dx dx

dCn

F • • • + yn

,    , dyn dCn n

¹    ^ dx dx ’

dx

= 0,

dn~²yn dCn __ n dxn~² dx ’

dn~²yi dC\ dn~²y₂ dC2 dx¹¹ ² dx    dxn—² dx

oder

dC₂

dx =    ■

erklärt.

dC\ dCs dx dx

, n dCi

dCn

dCi

dx -V—•(*)• dx [§ 98, Gl. (52.) bis (66.)]

■%:L

KRAKOW

^//fechniejS; ■

8-96

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a*

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mm

^¥^@11

/A

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Ppps^äOlK|K|f»^{

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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