rÿ’ .■

L: *

V'

rïEBrES

WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRi (ÓW

OT

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

£V

_‘V]

II

pT?.

ff

L. in w.

Aß 43

SaS^Stt-. .

*v

tn

'•‘Vf

V*

pj

’afcgy:» «*

•4*.^

*r - SffläK]

&v; : *

£! ■: TOpflKj^raĘ

Ml,>; ä w#:ä

•r

r⁴

’ ni

,*r

.-•E

Łj

•;4

{rr

pfc.* -.łg-

2*fm

,v

îâ&Æ

tm,

Wm

' > fr” mtyĘsm

*>;■ fa

w| 5JI

jyfegfc

■h$'i

PSwgyü-ü?

Ir^sa

J#‘ &SB

:'-ś vV-i ?

iv‘i

*-

Lv

.*

jgjfl

•JNff

Jk

Mrj

»*

y-ąg

Ml

pfc*

fe-Vbi

’n

Sas» :    '^ir

JKfgN*?f- 3<$* ■' - jbqaaifl

*Pp$p*P --

‘»iifffiyffc i Sf

mŁ«MŁ&ń

- *£

£

v:

iA

■'

»V

mm

Ly» '

in

&ÉÊ&

4™4à'Æh‘l

»4

X-¹

ST;

*»■

r<

pBr< -Ę *-

r?l

IcSi

SH

Jt*l

re*?

~9~-

if

P$?

V. ’' Y

*V

3fc

■ia

r*

u;

r;

EmhiImS

tvX⁴.l

Ä-5L

Ri

î » »_

!Cm

r*.

71

Biblioteka Politechniki Krakowskie)

100000299023

-

v

*

'

GRUNDRISS der

I. Theil: Differential-Rechnung.

Von

Dr. M. Stegemann, weil. Professor an der technischen Hochschule zu Hannover.

Sechste vollständig umgearbeitete und vermehrte Auflage mit 154 Figuren im Texte, herausgegeben von

Dr. Ludwig Kiepert,

Professor der Mathematik an der technischen Hochschule zu Hannover.

Hannover 1892.

Hehving’sche Verlagsbuchhandlung.

#* K-

&M0 ' -

1- 'bSAÜ&H

Alle Rechte Vorbehalten.

tjq%

In Betreff der speciellen Ausführung bemerke ich, dass ich mich bemüht habe, die Einsicht in den Gang der analytischen Untersuchung durch graphische Darstellungen zu erleichtern, und ferner, dass ich bei schwierigen oder wichtigen Stellen die Entwickelung der allgemeinen Theorie durch Erörterung eines speciellen Falles eingeleitet habe.

Bei der Bearbeitung der vorliegenden Schrift habe ich gesucht, neben der Forderung wissenschaftlicher Strenge vor allen Dingen der didaktischen Forderung möglichster Fasslichkeit zu genügen.

Die grosse Anzahl von Beispielen und Anwendungen in jedem Capitel, sowie die gelegentlichen Bemerkungen sind zunächst für solche Leser bestimmt, welche durch Selbst-Studium sich in der Wissenschaft weiter ausbilden und mehr befestigen wollen; indess dürften sie auch dem Lehrer ein Mittel bieten, um seine Schüler zur freien Selbstthätigkeit anzuregen.

In Betreff der äusseren Ausstattung ist die Verlagshandlung sowohl wie die Druckerei allen meinen Wünschen bereitwillig entgegengekommen.

Hannover, den 1. August 1862.

M. Stegemann.

Als dem Unterzeichneten der Auftrag ertheilt wurde, die neue Auflage dieses Werkes herauszugehen, ahnte er noch nicht, dass Aenderungen in so weitem Umfange nothwendig sein würden. Erst hei der Bearbeitung überzeugte er sich davon, dass sehr viele Lücken auszufüllen und zahlreiche Irrthümer, die sich in den früheren Auflagen befinden, richtig zu stellen waren.

Neben den angedeuteten Mängeln besass aber das Buch von Stegemann doch auch grosse Vorzüge, welche namentlich in der leicht fasslichen Darstellung liegen, und welche durch den verliältnissmässig schnell erfolgten Absatz von vier Auflagen bestätigt werden.

mag er nun an der Universität,

Der Herausgeber hat sich bemüht, diese Vorzüge nach Möglichkeit beizubehalten, ohne die wissenschaftliche Strenge und Gründlichkeit ausser Acht zu lassen. Das Buch hat demnach den Zweck, den Anfänger, an der technischen Hochschule oder an irgend einer anderen Bildungs-Anstalt studiren, an der höhere Mathematik getrieben wird, — auf möglichst bequeme Weise mit den wichtigsten Sätzen und Aufgaben der Differential-Rechnung vertraut zu machen. Auch zum Selbst-Studium ist das Buch seiner ganzen Anlage nach geeignet.

Für die Abgrenzung des Stofles waren dem Herausgeber im Grossen und Ganzen seine eigenen Vorträge an der technischen Hochschule in Hannover massgebend. Da die für diese Vorträge verfügbare Zeit eine beschränkte ist, so war dadurch auch für den Umfang des Buches ein Rahmen gegeben, so dass

der Inhalt nicht so erschöpfend sein konnte wie z. B. bei Lehrbüchern der Differential-Rechnung hervorragender französischer Mathematiker.

Aber diese Beschränkung ist vielleicht gerade ein wesentlicher Vorzug, weil die Fülle des Stoffes den Anfänger häufig mehr verwirrt und abschreckt als fördert. Der vorliegende Leitfaden soll daher eine feste und sichere Grundlage bieten, welche dem Techniker genügen, dem Mathematiker aber eine nützliche Vorbereitung zu weitergehenden Studien sein wird.

Als Anhang ist eine Tabelle der wichtigsten Formeln hinzugefügt, welche einerseits die Anwendungen sehr erleichtert, andererseits aber ein durch langjährige Erfahrung erprobtes Hülfsmittel bei Repetitionen ist.

Dem Herrn Verleger spricht der Herausgeber hierdurch seinen verbindlichsten Dank aus für das liebenswürdige Entgegenkommen, das allen seinen Wünschen entgegengebracht worden ist.

Hannover, im Juli 1887.

L. Kiepert.

Die freundliche Aufnahme, welche die fünfte Auflage in weiten Kreisen gefunden hat, war für den Herausgeber ein Antrieb, bei der Bearbeitung der neuen Auflage mit grösster Sorgfalt die hervorgetretenen Mängel zu beseitigen und die vorhandenen Lücken auszufüllen. Den Herren Lampe, von Man-goldt, Franz Meyer, Runge und Voss, welche dabei den Herausgeber durch werthvolle Winke unterstützt haben, sei hierdurch der verbindlichste Dank ausgesprochen.

Durch die angedeuteten Verbesserungen hat das Buch an Umfang und Inhalt wesentlich zugenommen ; namentlich sind die geometrischen Anwendungen vermehrt worden, auch hat eine kurzgefasste Darstellung der Determinanten-Theorie Aufnahme gefunden. Die Figuren sind sämmtlich neu gezeichnet worden, ihre Zahl ist von 66 auf 154 gewachsen.

Mit Rücksicht darauf, dass das Buch auch vielfach von Studirenden der Mathematik benutzt worden ist, schien es zweckmässig, noch mehr Gewicht auf wissenschaftliche Strenge zu legen, als es in den früheren Auflagen geschehen war. Da aber die elementare Art der Behandlung darunter nicht leiden sollte, so war es nicht immer ganz leicht, den richtigen Mittelweg zu finden.

Durch die mühsame Umarbeitung und die erhebliche Erweiterung des Buches ist die Drucklegung etwas verzögert worden. Der Herausgeber ist der Verlagsbuchhandlung für die

Nachsicht, die ihm dabei gewählt worden, und für das bereitwillige Entgegenkommen, das er bei allen seinen Wünschen gefunden hat, zu aufrichtigem Danke verpflichtet.

Schliesslich sei noch mit bestem Danke die gütige Mitwirkung des Herrn Petz old bei dem Lesen der Correctur hervorgehoben.

Hannover, den 15. November 1892.

L. Kiepert.

Inhalts - Verzeichniss.

H <M CO VO CO l>‘ GO «JO «30 «30 «30 «30 «30 «JO «30

Einleitung.

Begriff und Eintlieilung der Functionen . . .

Geometrische Darstellung der Functionen . . .

Functionen von mehreren Veränderlichen . . .

Begriff¹ der Grenze............

Das unendlich Kleine und das unendlich Grosse Ueber die Rechnung mit unendlich kleinen Grössen .... 25 Verschiedene Ordnungen der unendlich kleinen Grössen... 27 Begriff der Stetigkeit

Seite

12

15

16

21

36

® d ri

I—I T—I

«30

«JO «30

Hülfssätze aus der algebraischen Analysis.

Der binomische Lehrsatz für positive ganzzahlige Exponenten 51 Geometrische Progressionen Erklärung der Zahl e . .

58

60

Differential-Rechnung.

Erster Theil.

Functionen von einer unabhängigen Veränderlichen.

I. Abschnitt.

Erklärung und Bildung der Differential-Quotienten.

§ 12. Bildung des Differential - Quotienten einer stetigen Function

y =f(x)......... .........

§ 13. Geometrische Deutung des Differential-Quotienten.....73

§ 14. Einige Lehrsätze über Differential-Quotienten......

§ 15. Differentiation der ganzen rationalen Functionen.....

§16. Uebungs-Beispiele.................

§ 17. Differentiation einer Potenz mit negativem ganzzahligen

Exponenten...................

§ 18. Differentiation der logarithmischen Function f{x) = log x . .

69

76

78

81

82

ci ö

H (N IM X O0O OÛO O00

Inhalts-V erzeichniss.

Seite

Differentiation der trigonometrischen Functionen sin x und cosa: 85 Differentiation der trigonometrischen Functionen tga: und ctga; 86 Differentiation der Producte und Quotienten

88

ci co

<M CN CM

odo ooo eoo

§ 25.

II. Abschnitt.

Functionen von Functionen.

Differentiation einer Function von der Form f(u) . . .

Uebungs-Aufgaben...............

Differentiation inverser Functionen, insbesondere der cyklo

metrischen Functionen und der Function ax.....

Uebungs-Beispiele...............

CM    ^    CO

OÎ    o    o    o

y—i    H    H

W OT> tsS tsS

as

III. Abschnitt.

Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung.

Ermittelungen von /M (x)........

Uebungs-Beispiele...........

•TP Ip⁻

tH y-i tH tH

IV. Abschnitt.

Herleitung und Anwendungen der Taylor’schen und der Mac-Laurin’schen Reihe.

§ 28. Entwickelung einer ganzen rationalen Function fix -(- A)'nach

steigenden Potenzen von h............. 3

§ 29. Anwendung auf den binomischen Lehrsatz für positive ganzzahlige Exponenten................ 7

30.    Verallgemeinerung der gegebenen Entwickelungs-Methode . 128

31.    Bestimmung des Restgliedes der Taylor’schen Reihe nach

Lagrange ................

32.    Die Mac-Laurin’sche oder Stirling'¹ sehe Reihe . .

33.    Entwickelung der Functionen ex und ax ... .

34.    Entwickelung der Functionen sina: und cosa: . .

35.    Berechnung von Tafeln für die Functionen sina: und cosa: . 147

36.    Andere Formen des Restgliedes ....

37.    Der allgemeine binomische Lehrsatz . .

38.    Der Logarithmus..........

39.    Berechnung der natürlichen Logarithmen

40.    Partes proportionales........

41.    Methode der unbestimmten Coefficienten .

42.    Entwickelung der Function arctga; nach steigenden Potenzen von x

§ 43. Berechnung der Zahl n durch Anwendung der Entwickelung von arctga;

Entwickelung der Function arcsina; nach steigenden Potenzen von x

CM    CM

tH    rH

000

132

. . 141

141

. . 144

150

157

167

. 170

177

179

. 181

. 182

§ 44.

lÓCDt-oÓoidri ■'# tH    O iO

GOO OOO GOO O0O O0O GOO 000

§ 52.

co ■># «g ifl >o    uo »o

G00 0Û0    GOO GOO

Y. Abschnitt.

Convergenz der Reihen.

Erklärungen und vorbereitende Beispiele........

Reihen mit lauter positiven Gliedern.........

Reihen mit positiven und negativen Gliedern......

Bedingte und unbedingte Convergenz.........

Multiplication der Reihen.............

Convergenz der Potenzreihen.......... . .

Convergenz der periodischen Reihen..........

VI. Abschnitt.

Maxima und Minima von entwickelten Functionen einer Veränderlichen.

Bedingungen, unter denen ein Maximum oder Minimum ein-

treten kann...................

Aufgaben....................

Entscheidung über das Eintreten eines Maximums oder Minimums durch Untersuchung der höheren Ableitungen . . .

Anwendungen..................

Vereinfachungen der Rechnung, wenn f'(x) eine gebrochene Function ist...................

Seite

189

192

206

210

214

216

218

CO 05 CM CM CM CM

v* o

CO

(01 CM

4-

VII. Abschnitt.

Bestimmung von Ausdrücken, welche an der Grenze eine der unbestimmten Formen

—, “    0. oo, oo — oo, 0°, «J⁰, Ie0 haben.

0 ⁰⁰

Ausdrücke von der Form.....

Uebungs-Beispiele........

Ausdrücke von der Form §§-    . . , .

Uebungs-Beispiele ........

Ausdrücke von der Form 0 . so . . .

Uebungs-Beispiele........

Ausdrücke von der Form co — cc . . .

Uebungs-Beispiele........

Ausdrücke von der Form 0°, co°, 1* .

Uebungs-Beispiele........

Zusammentreffen unbestimmter Formen

CÄO GÛO CÛ0 w CÛ0 000 lOi ÛÛO W ^ w

QQ d O ri (N CO* 41 id ÎÛ    CO

i6 O ^ cc ^ ^ 0 îû cü    ^

269

272

275

278

280

281

283

284

. 286

286

290

c/30 C//J

© ß

VHI. Abschnitt.

Differentiation der nicht entwickelten Functionen.

Differentiation einer Function von der Form F{u, v )    . . . 293

Herleitung der allgemeinen Hegel für die Differentiation der nicht entwickelten Functionen

Seite

§ 71. Uebungs-Beispiele................

§72. Ableitungen höherer Ordnung............

§ 73. Uebungs-Beispiele................

§ 74, Anwendung auf die Theorie der Maxima und Minima von

nicht entwickelten Functionen einer Veränderlichen .... 306 § 75. Uebungs-Beispiele

301

303

303

308

IX. Abschnitt.

Vertauschung der Abhängigkeit der veränderlichen Grössen.

§ 76. Bildung der Grössen p und q, wenn x und y Functionen von

t sind.....................

§ 77. Uebungs-Beispiele................

§ 78. Behandlung des Falles, in welchem y die unabhängige Veränderliche wird.................

§ 79. Uebungs-Beispiele................

T—< t-H    T—I H

CO CO    CO co

X. Abschnitt.

Untersuchung von Curven, die auf ein rechtwinkliges Coordinaten - System bezogen sind.

W W W W W W t/yz 'S/Ï zrrj w -JJ2

S % $ 88 2S 8? $ SS ß ß fS g

Tangenten und Normalen......

Anwendung auf einzelne Curven ....

Asymptoten einer Curve.......

Krümmung der Curven.......

Anwendungen auf einzelne Curven . . .

Die Krümmungsmittelpunkts-Curven oder Evoluten .... 394 Anwendungen auf einzelne Curven

321

323

343

353

362

367

373

375

381

384

399

Zffi C//D Cj/2 Zfjl

XI Abschnitt.

Untersuchung von Curven, die auf ein Polarcoordinaten-System bezogen sind.

92.    Tangenten und Normalen.............

93.    Anwendungen auf einzelne Curven..........

94.    Krümmungskreis und Krümmungsmittelpunkts-Curven . . 422

95.    Anwendungen auf einzelne Curven

410

414

423

XII. Abschnitt.

Theorie der Determinanten.

w cm

CD CD

^1 C*

Einleitung

Bildung einer Determinante nter Ordnung aus n- Elementen 431

429

Inhalts-V erzeichniss.

Xlll

Seite

ztf. C/T.

CO O) o H

Oi O O ©    OOOO

ł—ł i—I tH rH

rH tH

432

Einige Sätze aus der Permutationslehre........

Eigenschaften der Determinanten .    .........

Zerlegung der Determinanten............

Anwendung auf die Auflösung von n linearen Gleichungen

mit n Unbekannten...............

Vereinfachungen bei Ausrechnung der Determinanten. .    . 447

Multiplication der Determinanten Homogene, lineare Gleichungen mit n Unbekannten . . . 453 Anwendungen auf einzelne Aufgaben

436

440

445

450

454

Zweiter Theil.

Functionen von mehreren unabhängigen Veränderlichen.

XIII. Abschnitt.

Differentiation der Functionen von mehreren von einander unabhängigen Veränderlichen.

§ 106. Differentiation einer Function von zwei von einander unabhängigen Veränderlichen............

§ 107. Aufgaben...................

§ 108. Differentiation der Functionen von mehreren von einander

unabhängigen Veränderlichen............

§ 109. Wiederholte Differentiation einer Function von mehreren

Veränderlichen.................

11 Uebungs-Aufgaben................

11 Vollständige Differentiale höherer Ordnung......

11 Nicht entwickelte Functionen einer Veränderlichen, gegeben durch simultane Gleichungen............

H5*    >£*

CÏ 05 05 Hi* o

£*    Hi*    Hi*

CO    — i    —1    C5.

©    05    K)    50

zm <ur. <xr.

§ 113.

VA VA

114.

115.

VA «/A zrn VA VA VA va

116.

117.

118.

119.

120.

121.

122.

XIV. Abschnitt.

Anwendungen auf die analytische Geometrie der Ebene und des Raumes.

Bestimmung der Tangenten und der Normalebenen bei einer

Curve im Raume.............. .    .

Uebungs-Aufgaben................

Tangenten und Tangential-Ebenen an eine beliebige krumme

Fläche ....................

Uebungs-Aufgaben...... ......... .

Theorie der Enveloppen..............

Uebungs-Aufgaben................

Doppelpunkte und isolirte Punkte..........

Uebungs-Aufgaben................

Mehrfache Punkte................

Spitzen oder Rückkehrpunkte............

488

486

489

493

495

499

506

511

515

517

XV. Abschnitt.

Herleitung und Anwendungen der Taylor’schen Reihe für Functionen von mehreren

Veränderlichen.

§ 123. Die Taylor'sehe Reihe für Functionen von mehreren Veränderlichen ...................

§ 124. Homogene Functionen..............

§ 125. Maxima und Minima der Functionen von zwei Veränderlichen 532 § 126. Geometrische Deutung der vorhergehenden Untersuchungen 539 § 127. Maxima und Minima der Functionen von drei oder mehr unabhängigen Veränderlichen.........

128.    Aufgaben................

129.    Maxima und Minima mit Nebenbedingungen . . .

130.    Aufgaben................

000 C//7 w

OQO C<00 OQO OQO OQO Z/J2 OGO 077 000 O0O

rH    CM    CO    Ttî    lO    0O    U-

CO    CO    CO    CO    CO    CO    CO

rH    rH    tH    r-t    rH    rH    rH

cd ci Ö

CO CO

rH < tH

Seite

522

525

. . 543

548

. . 554 , . 558

XVI. Abschnitt.

Theorie der complexen Grössen.

Erklärung der complexen Grössen- . . .

Einige Sätze über complexe Grössen. Moivre'sche, Formeln 571 Geometrische Darstellung der complexen Grössen .... 574

Vier Sätze über die absoluten Beträge........

Unendliche Reiben mit complexen Gbedern.....• .

Functionen einer complexen Veränderlichen......

Zusammenhang der Exponential-Function mit den trigonometrischen Functionen...........

Logarithmen der complexen Grössen......

Zusammenhang der Functionen \x und arctgr . .

Auftreten complexer Wurzeln einer Gleichung . .

568

579

581

583

585

590

591

. . 592

Tabelle der wichtigsten Formeln aus der Differential-Rechnung. . 594

Einleitung'.

§ i-

Begriff und Einteilung der Functionen.

Erklärung. Eine Grösse heisst variabel oder veränderlich,

sie im Verlaufe derselben

wenn

wenn sie im Verlaufe derselben Untersuchung nach und nach verschiedene Werthe annehmen darf; eine Grösse heisst dagegen constant oder unveränderlich

Untersuchung denselben Werth beibehält.

Die unveränderlichen Grössen werden gewöhnlich mit den ersten Buchstaben des Alphabets, also mit

a, b, c, . .

oder mit

A, B, C, . .

oder mit

ßi Y i • • •

bezeichnet. Zum Unterschiede davon werden die veränderlichen Grössen gewöhnlich mit den letzten Buchstaben des Alphabets, also mit

y, 2,

oder mit

U, V, w,

oder mit den x, g, z entsprechenden griechischen Buchstaben

n, l

bezeichnet.

Man kann den Werth einer (veränderlichen oder unveränderlichen) Grösse auch durch die Lage von Punkten auf einer geraden Linie geometrisch darstellen, wenn auf derselben ein

OA = a, OP = x, OB = b, so entsprechen die Punkte A, P, B den Wertlien a, x, b. Die Massein-lieit, durch welche dabei die Strecken gemessen sind, ist beliebig; dagegen muss man festsetzen, dass die Punkte auf der einen Seite des Anfangspunktes O, z. B. auf der rechten Seite von 0, positiven Zahlwerthen entsprechen; dann müssen alle Punkte, welche negativen Zahlwerthen entsprechen, auf der anderen Seite von 0 liegen.

fester Punkt 0 als Anfangspunkt gegeben ist. Sind z. B. in Figur 1 die Strecken

Fig. 1.

Gewöhnlich denkt man sich x in der Weise veränderlich, dass x alle Werthe zwischen zwei constanten Werthen a und b

annehmen kann. Der Punkt P, welcher x entspricht, durchläuft dann in Figur 1 die Strecke von A bis B. Deshalb sagt man in diesem Falle: x durchläuft das Intervall von a bis b. Wenn a gleich — co und b = + oo wird, so darf die Veränderliche x alle Werthe zwischen — oo und + oo annehmen, und der Punkt P durchläuft die ganze unbegrenzte gerade Linie.

Wenn man zwischen zwei veränderlichen Grössen x und y eine Gleichung aufstellt, so sind diese beiden Grössen dadurch in eine gegenseitige Abhängigkeit gebracht, und zwar so, dass die eine Grösse, z. B. y, nur einen oder mehrere ganz bestimmte Werthe haben kann, sobald der Werth der anderen veränderlichen Grösse x gegeben ist. Es sei z. B.

(i-)

dann wird

JO H-¹ O h-* JO OO 4^ cn

Hätte man in der Gleichung (1.) beliebige Werthe für y angenommen, so wären dadurch die entsprechenden Werthe von x ebenfalls bestimmt gewesen. Weil aber die Gleichung (1.) in Bezug auf x vom zweiten Grade ist. so entsprechen jedem beliebigen Werthe von y zwei Werthe von x. So sind z. B. dem Werthe die beiden Werthe

X = -j- 1, X — — 4

zugeordnet. Die veränderliche Grösse x, deren Werthe man beliebig annimmt, nennt man die unabhängige Veränderliche oder das Argument ; die andere veränderliche Grösse y dagegen nennt man die abhängige Veränderliche oder die Function der ersteren.

In der Gleichung (1.) wurde also zuerst x als die unabhängige Veränderliche und y als eine von x abhängige Veränderliche, d. h. als eine Function von x betrachtet.

Gewöhnlich ist das Gesetz der Abhängigkeit zwischen einer Function y und der unabhängigen Veränderlichen x durch eine Gleichung zwischen x und y gegeben. Ganz allgemein kann man aber den Begriff der Function in folgender Weise erklären:

Eine veränderliche Grösse y heisst eine Function einer anderen veränderlichen Grösse x in dem Intervalle von x = a bis x = b, wenn jedem Werthe von x in diesem Intervalle ein Werth (öder mehrere Werthe) von y nach einem bestimmten Gesetze zugeordnet sind.

So ist z. B. der Umfang eines Kreises eine Function von dem Halbmesser des Kreises. Dasselbe gilt vom Flächeninhalt des Kreises. Diese Functionen können auch durch die Gleichungen

y = x'-n

y = 2x7r,

dargestellt werden.

Ebenso sind Oberfläche und Volumen einer Kugel Functionen von dem Halbmesser der Kugel, welche bezw. durch die* Gleichungen

y = 4.t’²7T,

4F³7r

v⁼~r dargestellt werden.

Bei diesen Beispielen war der Halbmesser als eine veränderliche Grösse betrachtet worden. Lässt man aber den Halbmesser unveränderlich, so kann man die Sehne, das Segment und den Sector des Kreises als Functionen des zugehörigen Centri-winkels ansehen.

Ferner ist die Intensität des Lichtes eine Function von der Entfernung des leuchtenden Punktes ; die Spannkraft des Dampfes ist eine Function seiner Temperatur; die Geschwindigkeit eines fallenden Körpers ist eine Function der Fallzeit; die Schwingungsdauer bei einem Pendel ist eine Function seiner Länge, u. s. w.

Wie schon oben erwähnt wurde, kann man die Abhängigkeit der Function von der unabhängigen Veränderlichen häufig durch eine Gleichung ausdrücken. Demnach sind z. B. folgende Ausdrücke Functionen von «:

y = 4«³ — Ix¹ 4-2« — 11, 3« + 4 «² 4- «’

« 4- V^«² — «2 « — y^a² — «² ’

y — COS«, y = ctg«, y — log (sin«),

y = hx 4- 1>~X,

y = x¹ 4- 3« — 2,

2x— 1 x + 3 ’

V    = V*,

y = sin x,

y — tg«,

V    = log«,

y = ax,

y = ax -j- h COS« — cxm.

Ist die Abhängigkeit zwischen x und y durch eine nach y aufgelöste Gleichung gegeben, wie das in den soeben erwähnten Beispielen geschehen ist, so nennt man y eine entwickelte (oder explicité) Function von x.

Ist dagegen die Gleichung zwischen x und y nicht nach y aufgelöst, so nennt man y eine unentwickelte (oder implicite) Function von x. Durch die Gleichungen

«y³ — 3xhß -f (2«² — 5) y — «³ = 0, iß — 4 xy + 4«² — 7« + 3 = 0, yx — cos x -f- xn 4-7 = 0

ist z. B. y als unentwickelte Function von x gegeben.

In vielen Fällen ist es möglich, y als eine entwickelte Function von x darzustellen, obgleich y als eine unentwickelte Function von x gegeben ist. Aus

folgt z. B.

y² — 4xy -f 4#² — Ix + 3 = 0

y = 2x + y 7x — 3 ;

und aus

folgt

yx — cos# + xn -f 7 = 0

y = y cosx — xn — 7.

Will man andeuten, dass y eine entwickelte Function von x ist, so schreibt man gewöhnlich

y =/(#), oder y = F(x), oder y = <f>{x), oder y = ®(x).

Hat man es mit mehreren Functionen zu tliun, die man von einander unterscheiden will, so geschieht dies durch Indices, indem man schreibt

/iO), Mx) , Â 0), • • •/*(«)•

Will man andeuten, dass y eine unentwickelte Function von x ist, so schreibt man gewöhnlich

f(x, y) — 0, oder F(x, y) — 0, oder q>(x, y) = 0.

Man denkt sich dabei die Gleichung zwischen x und y so umgeformt, dass auf der rechten Seite nur 0 stehen bleibt.

Aus den angeführten Beispielen erkennt man auch, dass jedem Wertlie der unabhängigen Veränderlichen x nicht immer nur ein Werth der Function y entspricht, sondern dass häufig jedem Werthe von x mehrere Werthe von y zugeordnet sind. Demnach muss man eindeutige und mehrdeutige Functionen unterscheiden.

In einer Gleichung zwischen x und y wurde bisher x als diejenige Veränderliche angesehen, deren Werth man beliebig annehmen durfte. Mit demselben Rechte kann man aber auch y als die unabhängige und x als die abhängige Veränderliche betrachten. Das giebt den Satz:

Wenn y durch eine Gleichung als eine entwickelte oder unentwickelte Function von x gegeben ist, so ist auch x eine Function von y, oder mit anderen Worten: Die durch eine Gleichung gegebene Abhängigkeit zwischen zwei veränderlichen Grössen x und y ist eine gegenseitige.

Daraus ergiebt sieli auch die Erklärung solcher Functionen, welche aus bereits bekannten Functionen durch Vertauschung der abhängigen mit der unabhängigen Veränderlichen, d. h. „durch Umkehrung der Functionen^ hervorgehen.

Es sei

(20

y = bx,

dann kann auch x als eine Function von y betrachtet werden, und zwar wird diese Function der ,,Logarithmus¹¹ von y mit der Basis b genannt. Dies giebt die Gleichung

b

(2 a.)

X = log y\

gleichzeitig folgt hieraus die Erklärung: Der Logarithmus einer Zahl y ist der Exponent, zu dem die Basis b erhoben teer den muss, damit man y erhält.

(3.)

Die Gleichungen (2.) u. (2 a.) sagen also genau dasselbe aus. Ein zweites Beispiel liefert die Gleichung y = sin#.

Es sei aber hier zunächst darauf hingewiesen, dass man in der Differentialrechnung bei den trigonometrischen Functionen sin#, cos#, tg#, ctg#

unter # nicht einen Winkel, sondern das Verliältniss des dem Centriwinkel entsprechenden Kreisbogens zum Halbmesser des Kreises versteht. Macht man den Halbmesser der Einheit gleich, so ist # die Länge des Kreisbogens. Einem Winkel von 360° entspricht also der Bogen 2 rr, nämlich der Umfang des ganzen Kreises mit dem Radius 1, einem Winkel von 1° entspricht daher der Bogen

271

36« - IW = °’017 453 29’ und einem Winkel von «° entspricht der Bogen

(V JT

— *= «. 0,017 453 29. loO

In Figur 2 sei deshalb MA = MB = 1,

Fig. 2.

dann entspricht dem Centriwinkel A MB oder a der Bogen

AB = x

an

180*

-I£

Dies vorausgeschickt, ist der Sinn der Gleichung (3.) der, dass x der Bogen (arcus) ist, dessen Sinus (CB) gleich y wird. Dasselbe soll auch die Gleichung

(3 a.)

x = arc sin y

(sprich: x gleich Arcus Sinus y) aussagen, nämlich x ist gleich dem Arcus, dessen Sinus gleich y ist.

(4.)

(5.)

(6.)

In ähnlicher Weise sind die Gleichungen

und (4 a.) und (5 a.) und (6 a.)

y = cos x y— tgx y = ctg x

x = arc cos y, x — arc tg y, x = arc ctg y

gleichbedeutend.

Diese Functionen

arc sin x, arc cosx, arc tg.?, arc ctg«, welche durch Umkehrung aus den trigonometrischen Functionen abgeleitet werden, heissen cyklometrische Functionen.

Die entwickelten Functionen tlieilt man nun wieder ein m algebraische und transcendente Functionen, und zwar ist y eine algebraische Function von x, wenn y einem Ausdrucke gleich ist, welcher aus x und aus constanten Grössen nur durch die gewöhnlichen algebraischen Operationen, nämlich nur durch Addition, Subtraction, Multiplication, Division und Wurzelausziehung gebildet ist.

'óc -i

Ist dieses nicht der Fall, so ist y eine transcendente Function von x. Durch jede der Gleichungen )    y — 2«³ -f 3 yx — x¹ y/x

11

lSx + 9,

.    Sx² -f- 7x —

)    y =-2Ï+5“

i Vx — i

1 /2x² + 3;z — 8 ^ _ ' « + 1

(9.)

J/ Y x + 2

wird daher y als eine algebraische Function von x erklärt; durch jede der Gleichungen

(10.) y = sin.r, y = zosx, y — tgx, y — ctgx,

y — log;r,

(H.)    y = ax

(12.)    y = 3sin;z + 4cosz (13.) y — ax + 2]/^4-£³ — c

dagegen wird y als eine trancendente Function von x erklärt.

Die algebraischen Functionen werden wieder eingetheilt in rationale und irrationale, und die rationalen Functionen werden weiter eingetheilt in ganze rationale und in gebrochene rationale Functionen.

1) Die ganzen rationalen Functionen werden aus der unabhängigen Veränderlichen x und aus constanten Grössen nur durch die Operationen des Addirens, des Subtrahirens und des Multi-plicirens gebildet.

(Die Division und die Wurzelausziehung sind also hierbei ausgeschlossen.)

Es ist z. B.

y = 3z* — %X* + p² — 11z + I

eine ganze rationale Function von x, denn sie ist aus x und den constanten Grössen 3, f, 11, | nur durch Addition, Subtrac-tion und Multiplication zusammengesetzt.

Bemerkung.

Da hierbei die Brüche jb ¥ Vorkommen, so könnte man glauben, die Bildung dieser Function widerspräche der soeben angegebenen Regel, indem diese Brüche durch Division entstanden seien.

Dieser Einwand ist aber deshalb unbegründet, weil die Resultate dieser Division selbst wieder constante Grössen sind, die man bei der Bildung einer ganzen rationalen Function beliebig verwenden darf. Ferner ist zu beachten, dass die Potenzen von x, also

^2 — CC»C    ■ ■ gfcgtgPj    ^4 • - — gfigçgçgç

Die Function

y = ax -f- ax

heisst eine ganze rationale Function ersten Grades, weil x (ohne dass Klammern auftreten) nur in der ersten Potenz vorkommt. Ebenso heisst

y — ax² + axx -f a,

eine ganze rationale Function zweiten Grades, y = ax³ + axx² -f- <-hx + ai eine ganze rationale Function dritten Grades,

y = axn -f axxn~x + a₁xn~‘¹ +    1 x + an

eine ganze rationale Function nten Grades, weil (ohne dass Klammern auftreten) die höchste Potenz von z, welche vorkommt, xn ist.

Die Gleichung

y z= axn -f- axxn~x -f a₂xn~² -f ... -f an-\x + «n giebt auch diejenige Form an, auf welche jede ganze rationale Function gebracht werden kann, wenn man sämmtliche Klammern auflöst. Ist z. B.

y = (2x²—Sx -j-11) (3z—5)+x [(2z-+ 3) (x + 2)+(x—1) (x +1 ) — 7], so findet man, indem man alle Klammern auflösst' und die Glieder mit gleichen Potenzen von x vereinigt, y — 6-r³ — 19x* + A8x — 55 + x [(2x² + 7x + 6) + (.x² — 1) — 7] = 9«³ — 12.r² + 46a: — 55.

Dieses Verfahren führt immer zum Ziele, wie auch die Function durch Addition, Subtraction und Multiplication gebildet sein mag, wenn nur die Anzahl der angewendeten Operationen eine endliche ist. Unter dieser Voraussetzung kann man nämlich zunächst die innersten Klammern auflösen, d. h. diejenigen Klammerausdrücke, in denen keine weiteren Klammern stehen, und in den gefundenen Kesultaten die Glieder vereinigen, welche mit gleichen Potenzen von z multiplicirt sind. Indem man dieses Verfahren fortsetzt, kann man nach und nach alle Klammern auflösen, die Glieder mit gleichen Potenzen von x vereinigen und nach fällenden Potenzen von x ordnen.

y = g(x), oder y — G(x).

2) Die gebrochenen rationalen Functionen werden aus der unabhängigen Veränderlichen x und aus constanten Grössen gebildet durch Addition, Subtraction. Multiplication und Division. So sind z. B.

axd — b

Ix 2x — 3 ’

2x² —

hx+ 2

1 2x + 9 v Sx — 4

Sx¹

2x

2x J- h

gebrochene rationale Functionen von x. Hier tritt also zu den Operationen, welche bei der Bildung von ganzen rationalen Functionen zulässig waren, noch die Division hinzu. Wie oft aber auch die Division bei der Bildung einer gebrochenen rationalen Function verwendet sein mag, es lässt sich die Function immer so umformen, dass bei ihrer Bildung nur eine einzige Division vorkommt. Es gilt nämlich der Satz:

Jede gebrochene rationale Function lässt sich dar stellen als Quotient von zwei ganzen rationalen Functionen, d. h. es lässt sich jede gebrochene rationale Function auf die Form

axn -f- axxn~[ + ... -f ati_\x + an

V ~ bzm+ bxxm~' + ... -f- bm-xx + bm

bringen.

Der Beweis dieses Satzes folgt daraus, dass man Brüche addirt oder subtrahirt, indem man sie auf gleichen Nenner bringt und die Zähler addirt oder subtrahirt, dass man ferner Brüche mit einander multiplicirt, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplicirt, und dass man endlich Brüche durch einander dividirt, indem man den Divisor umkehrt und dann multiplicirt. Alle diese Operationen liefern, wenn sie auf Quotienten von ganzen rationalen Functionen angewendet werden, als Endresultat wieder den Quotienten von zwei ganzen rationalen Functionen.

Divisionen in der gehörigen Reihenfolge wirklich aus, indem man immer nur mit Brüchen operirt, welche schon die vorgeschriebene Form haben, so kann man schliesslich die Function selbst auf diese vorgeschriebene Form bringen.

Es ist z. B.

2x —

3.r — 2

+ Ix

ox² — §x — 1

xl — 1

+ Ix

hx¹ — 6x — 1 x —

x- — 1

öxA—lQx² -F llx + 2

XA-X

4- 7x

7xl + 5xA — 2Sx'² + llx + 2

Bekanntlich ist

x~n —

xn ’

deshalb sind Potenzen von x mit negativen ganzzahligen Exponenten auch gebrochene rationale Functionen von x.

Um anzudeuten, dass g eine (ganze oder gebrochene) rationale Function von x ist, schreibt man gewöhnlich

V = R(x)-

3) Die irrationalen Functionen werden aus der unabhängigen Veränderlichen x und aus constanten Grössen gebildet durch Addition, Subtraction, Multiplication, Division und Wurzelausziehung-Hier tritt also noch die Wurzelausziehung hinzu.

Durch die Gleichungen

y = yx = x'² ?

V— ]/ 2x> — 7 = (2x² — 7)3 , y —    3# — ]/" 4x² -(- 5,

1/7—3 , i/2x* — 3x + 5

y = ¹-₇=--H r-5-;-

J Yx + S    — 1

werden also irrationale Functionen erklärt. Man erkennt aus diesen Beispielen, dass Potenzen von x mit gebrochenen (positiven oder negativen) Exponenten irrationale Functionen von x sind, denn es ist

+1 nr

X n = \ X ,

Bemerkung.

Bel dieser Eintheilung der Functionen handelt es sich nur um entwickelte Functionen; nimmt man aber die unentwickelten Functionen hinzu, so erweitert sich der Begriff der algebraischen Functionen, und zwar heisst dann y eine algebraische Function von x, wenn y die Wurzel einer Gleichung von der Form

—|— ... —t⁻ Gn—\{x) • y -J- Gn{x) — 0 ist, wobei G₀(x), Gi{x)₎ ... Gn—\{x), Gn{x) sämmtlich ganze rationale Functionen von x sind. Vorläufig können aber solche algebraische Functionen übergangen werden.

öo (*)-yn+Gi(x)-y

n— 1

Geometrische Darstellung der Functionen.

Von dem Verlaufe einer Function kann man sich auf zweifache Weise eine Vorstellung machen, erstens durch eine Tabelle und zweitens durch eine Figur.

Solche Tabellen sind z. B. für die Functionen log.r, log (sinx), log (cosx), . . . hergestellt und zwar in der Weise, dass in der einen Colonne die verschiedenen Werthe von x und in der anderen Colonne die zugehörigen Werthe von y stehen,

z. B.

0,301030 0 0,477 1213 0,602 060 0

Das andere Mittel bietet die analytische Geometrie. Sind nämlich in einer Ebene zwei sich schneidende gerade Linien OX und OY gegeben (Fig. 3), und legt man durch einen beliebigen Punkt P die Gerade UP parallel zu OX und die Gerade QP parallel zu O Y, so erhält man ein Parallelogramm 0 Q PU, in welchem OQ — UP =

OU = QP =

die Coordinaten des Punktes P heissen, und zwar nennt man x die Abscisse und y die Ordinate des Punktes P. Die gegebenen Geraden OX und O Y heissen die Coordinaten-Axen, und zwar heisst

OX die Abscissen-Axe oder X-Axe, OY heisst die Ordinaten-Axe oder Y-Axe, und ihre Zusammenstellung heisst ein Parallel-Coordinatensystem. Dabei nennt man 0 den Nullpunkt oder den Anfangspunkt des Coordinatensystems.

Durch die Lage des Punktes P sind also seine Coordinaten x und y bestimmt ; umgekehrt ist aber auch die Lage des Punktes P bestimmt, wenn seine Coordinaten x und y gegeben sind. Schneidet man nämlich OQ = x von 0 aus auf der X-Axe und 011 = y von 0 aus auf der Y - Axe ab, so schneiden sich die Geraden, welche man bezw. durch U parallel zur X-Axe und durch Q parallel zur Y-Axe legt, im Punkte P.

Allerdings ist diese Construction nur dann eindeutig, wenn man die eine Seite der X-Axe, z. B. die rechts von 0 als die positive und deshalb die andere Seite als die negative festsetzt, so dass OQ = x auf der positiven oder negativen Seite abzutragen ist, je nachdem x einen positiven oder negativen Werth

Fig. 3.

r.'

hf

ty

io

-x

hat. Ebenso muss man auf der Y-Axe die eine Seite, z. B. die über der X-Axe als die positive und deshalb die andere als die negative festsetzen.

Für viele Untersuchungen ist es am bequemsten, ein rechtwinkligesu Coordinatensystem zu Grunde zu legen, bei welchem die Coordinaten-Axen sich rechtwinklig schneiden. Das Parallelogramm OQPR wird dann ein Rechteck.

Betrachtet man nun x und y als die rechtwinkligen Coor-dinaten eines Punktes, so entspricht jedem Wertliepaare der eben beschriebenen Tabelle ein Punkt. Da man den Unterschied

Fig. 4.

zwischen je zwei auf einander folgenden Werthen von x beliebig klein machen kann, so wird die Anzahl dieser Punkte beliebig gross; auch werden im Allgemeinen die auf einander folgenden Punkte einander beliebig nahe liegen und dadurch eine stetig verlaufende Curve bestimmen, welche der Gleichung

y=f(x)

entspricht. Ist z. B.

y — x²    3# — 2,

so ergiebt sich die Tabelle

(B)

Fig. 5.

-o

m-

O <-( (M

und daraus die in Figur 4 dargestellte Curve.

8.

(0-

§ 12.

(6.)

§ 22.

s-/-«-

-er (~r

— = 0,000'01177, yy = 0,00000002.

fi , Cm\ b , , Cm\

§ ±4.

Q2 = (U'2m W2?n+l) j

(4,-4,) coS(|) + (42-63)cos(^) + (43-S4) cos(^)

= L/(M)(^) + *],

/"(*) = —4 <0.

\iv

(10.)

Vertauscht man jetzt v mit y. so wird

ty_„__Ÿ®=

ds Ayr+75;

(20.) ist. Wird i? = 0, so ist die Gerade parallel zur Y-Axe und hat die Gleichung

(8.)

+ i(y+y -2,) = o.

Da man die Gleichung der Kettenlinie auf die Form

5# = 5ÿsin’, + 2^co^-mn^

Colonne identisch sind. Deshalb wird Ji nach Satz

(z, — Ï)2 + (’jt — + (z. — £)2 = <?'-•

§ ui.

§ US.

(2.) es wird also für jedes Werthepaar x, y die Eichtungstangente

In dieser Weise kann man fortfahren und findet

(12.)

F\ (x, V) = Vi — V2 + 2Â62# = 0,

B — + b2 + ..

= «o«! + «J»0,

^1+Ä(iy=°> <s+f w=o>

und daraus die in Figur 4 dargestellte Curve.

(2 a.)

ij — ±Y^—xk

Die Curve, welche dieser Gleichung entspricht, ist in Figur 5 dargestellt.

Liegt die einer Gleichung zwischen x und y entsprechende Cnrve gezeichnet vor, so kann man zu jedem Werthe von x einen zugehörigen Werth von y finden, indem man im Abstande x eine Parallele zur V-Axe zieht, welche die Curve in einem oder in mehreren Punkten P schneidet. Der Abstand eines solchen Punktes P von der X-Axe ist dann ein zugehöriger Werth von y.

Möglicher Weise wird diese Parallele die Curve in gar keinem Punkte schneiden. Dies tritt in dem zweiten Beispiele ein. wenn x¹ > 25 ist; dann wird nämlich y imaginär.

Functionen von mehreren Veränderlichen.

Besteht eine Gleichung zwischen drei Veränderlichen x, y, z, ist z. B.

0 =    — Ixy + 11 y²,

so heisst s eine Function der beiden Veränderlichen x und y, weil jedem Werthepaare x, y ein Werth (oder mehrere Werthe) von 2 nach einem bestimmten Gesetze zugeordnet ist.

eine

So ist z. B. der Flächeninhalt eines Dreiecks

Function der Grundlinie g und der Höhe // ; das Volumen eines

ist eine Function vom Halbmesser r des

(2.)

oder

Ein zweites Beispiel liefert die Gleichung’

F² + yl — 25 = 0,

Kreiskegels ()

Grundkreises und von der Höhe h.

Ebenso giebt es Functionen von drei oder mehr Veränderlichen. Das Volumen eines Kegelstumpfes

~ (rx ² -f i\ r₂ + r./)

ist eine Function der Höhe h und der Halbmesser rx und r₂ der beiden begrenzenden Kreise.

Die Scliwingungszahl einer gespannten Saite ist eine Function ihrer Länge, ihrer Dicke und der spannenden Gewichte.

Die Zinsen, welche ein ausgeliehenes Capital bringt, sind eine Function des Capitals, der Zeit und des Zinsfusses.

Um anzudeuten, dass y eine Function von n Veränderlichen xx, x-u ... xn ist, schreibt man

V =/Oi> *2, • • • O,

oder

y — F Ol, X2x . . . Xn) ,

oder

y — ff Ol, xl, • . . Zn).

Die Functionen von mehreren Veränderlichen kann man in derselben Weise eintheilen wie die Functionen von einer Veränderlichen ; es giebt also auch hier eindeutige und mehrdeutige, entwickelte und unentwickelte Functionen.

Die entwickelten Functionen werden eingetheilt in algebraische und transcendente. Dabei unterscheidet man unter den algebraischen Functionen je nach ihrer Bildung aus den unabhängigen Veränderlichen und constanten Grössen gerade so wie bei den Functionen mit einer Veränderlichen

1)    ganze rationale Functionen,

2)    gebrochene rationale Functionen,

3)    irrationale Functionen.

Alle übrigen Functionen heissen transcendent.

COQ

4.

Begriff der Grenze.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 1.)*)

Wenn eine veränderliche Grösse X (oder eine Heike von Grössen X,, X₂, X₃, .. .J sich einer consfanten Grösse A immer mehr nähert, so dass schliesslich der Unterschied zwischen X und

'*) Die wichtigsten Formeln sind im Anhänge zu einer Tabelle zusammengestellt.

A [bezie, zwischen Xn und A für hinreichend grosses n) beliebig klein wird, so heisst A die Grenze [limes) von X, bezw. von Xn.

Dabei kann es Vorkommen, dass X immer kleiner bleibt als die Grenze A, oder dass X immer grösser bleibt als die Grenze A ; es kann aber auch Vorkommen, dass diese veränderliche Grösse X bald grösser ist, bald kleiner als die Grenze A, der sie sich nähert. Es kann auch Vorkommen, dass für gewisse Werthe von n der Unterschied zwischen X« und A kleiner ist als der Unterschied zwischen X«₊₁ und A, wenn nur für hinreichend grosse Werthe von n dieser Unterschied beliebig klein gemacht werden kann.

Um auszudrücken, dass A die Grenze von X ist, schreibt

man

A = lim A.

Beispiele.

1) Der Umfang eines Kreises ist die Grenze vom Umfange des dem Kreise einbeschriebenen regelmässigen w-Ecks, wenn die Anzahl der Seiten immer grösser und grösser wird, demi der Unterschied zwischen beiden wird beliebig klein, wenn man n hinreichend gross macht.

Ebenso kann der Umfang des Kreises als Grenze des dem Kreise umschriebenen regelmässigen n - Ecks angesehen werden.

2)    Auch die Fläche des Kreises ist die Grenze vom Flächeninhalt des dem Kreise einbeschriebenen und ebenso des umschriebenen w-Ecks, wenn n immer grösser und grösser wird.

3)    Es ist 0,7777 . . . = lim

2-+... + id .

300 ^    ^ 10"/

n — 30

(ï5 ⁺ Tôô ⁺

Hierbei bedeutet das Zeichen lim (sprich : limes für n gleich

n = oo

/ 7    7

1000

unendlich), dass der Werth der Summe f — + ——

+ gesucht wird, wenn n über jedes Mass hinaus wächst.

7

Dieser gesuchte Grenzwerth ist in der That —, denn es wird

CO

10

90

© -3

o|

05

100

900 ’

«Ol

a+j-

Vio T loo

1000

900    1000    9000

_ / JL . _L _l _L_ .    + _L\ ₌ _Z_    •

\10    100 ^ 1000 ^ "■ ^ 10V    9.10n’

7

Der Unterschied zwischen — und 0,7777 ... wird also beliebig

y

klein, wenn man eine hmreichend grosse Anzahl von Decimal-stellen berücksichtigt.

Aehnliches gilt ganz allgemein, wenn man einen gewöhnlichen Bruch, dessen Nenner von 2 und 5 verschiedene Factoren enthält, in einen periodischen Decimalbruch verwandelt.

4) Es ist

CO|

lim

n = oo

(1 +

I-¹

rH ICO

+ ..

•⁺¥) -²*

In der That, es wird

²-(¹ + l)= -

² - (x +    +i)=    >

TH I Ol

2 — (l +    +

to| i-*

rH I (M r—i I

2 — (l +    +    +

Der Unterschied zwischen 1 + ^- + t- + 7t + ... + 4~ und

2    4    8    2*

2 wird also beliebig klein, wenn man n hinreichend (/ross macht.

tO h-

rH

H I QO

+ - + è)~

2« *

VS = 1,73205

5) Die Gleichung

ist nicht genau, denn es wird

1,73205² = 2,999997 2025,

ein Ausdruck, der von 3 um eine kleine Grösse verschieden ist • nimmt man aber mehr Decimalstellen, so kann man den Unterschied zwischen dem Quadrat des Decimalbruches und 3 immer kleiner machen. Es ist also V3 die Grenze, welcher sich der Decimal-bruch nähert, d. h. der Untei-schied zwischen dem Decimalbruch und V3 wird beliebig klein, wenn man die Anzahl der Stellen hinreichend gross macht.

6)

sinz

lim -= l.

z — 0

Hierbei bedeutet das Zeichen lim (sprich: limes fiir z 2 — 0

gleich 0), dass der Werth von sinz

-— bestimmt werden soll, wenn z

sich der Werth des Bogens z der Null beliebig nähert.

Fig. o.

D/

Zum Beweise beachte man, dass für alle Bogen z, welche

Tt

kleiner als — (d. h. kleiner als 90°) sind, in Figur 6

Ju

(1.)

AOCB^ Sector AOB g AOBD wird. Macht man den Halbmesser des Kreises um 0 gleich 1, so ist

2 aOCB — CB . CO = sinz cosz, 2 Sector AOB = AB . AO = z,

2 A OBI) = OB . BD = tgz = —

ö COSZ

folglich gehen die Ungleichungen (1.) über in

(la.)

__ sin z sinz cosz "Az -.

—    —COSZ

Indem man durch sin z dividirt, erhält man

(2-)

oder

z    1

cosz — <-—- ,

— sinz —: cosz

(3.)

1 . sinz.

> -> cosz;

d. h.

(4.)

COSZ

sili x

-—- liegt immer zwischen cosz und -. Da nun aber

Z °    COSZ

1 und lim —¹—

2 = 0 COSZ

lim cosz = 2=0

wird, so muss auch

(5.)

.. sinz

lim -— 1

a = 0 z

sein.

Der Sinn dieses Resultates lässt sich folgendermassen aus

sprechen :

Der Unterschied zwischen dem Sinus eines Rogens z und dem Bogen selbst wird im Verhältniss zu diesem Bogen z beliebig klein, wenn man den Bogen hinreichend klein macht. So ist

sin 4U = 0,069 756 47, sin 2° = 0,034899 42, sin 1° = 0,017 45241,

arcus 4° = 0,06981317, arcus 2° = 0,03490658, arcus 1° = 0,017 453 29,

arcus 30' = 0,008 726 64, sin 30' = 0,008 726 54, arcus 15' = 0,00436332, sin 15' = 0,004363 31, arcus 1\‘ = 0,00218166, sin7|' = 0,00218166,

also

arcus 4° — sin 4°

5670

arcus 4°

arcus 2° — sin 2°

69 81317

= 0,00081217,

716

arcus 2°

arcus 1° — sin 1°

34906 58

= 0,00020512,

88

arcus 1°

arcus 30' — sin 30'

17 453 29

= 0,00005042,

10

arcus 30'

872664

= 0,000 01146,

5.

Das unendlich Kleine und das unendlich Grosse.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 2—4.)

Nähert sich eine veränderliche Grösse der Grenze 0, so sagt man, sie wird unendlich klein.

Nach den Auseinandersetzungen des vorhergehenden Paragraphen könnte man die Erklärung des unendlich Kleinen daher auch so fassen:

TVenn eine veränderliche Grösse immer kleinere und kleinere Werthe annimmt, so dass sie kleiner werden kann als jede gegebene Grösse, so sagt man, sie wird unendlich klein, oder noch besser, sie wird verschwindend klein.

Wenn man also von „iverschwindend kleinen“ oder von „unendlich kleinen Grössen“ spricht, so muss man sich stets dessen bewusst bleiben, dass man zunächst mit kleinen veränderlichen Grössen rechnet, die sich dann der Grenze 0 beliebig nähern sollen.

Es ist sehr bequem, diese vereinfachte Bezeichnung zu benutzen, damit man es nicht nöthig hat, in jedem einzelnen Falle die Auseinandersetzung des hier angedeuteten Grenz Verfahrens zu wiederholen.

Wenn eine veränderliche Grösse immer grössere und grössere Werthe annimmt, so dass sie jede gegebene Grösse übersteigen kann, so sagt man. sie wird unendlich gross, oder noch besser, sie ist eine unbegrenzt wachsende Grösse.

Das Zeichen für unendlich gross ist x.

Wenn man also von „unbegrenzt wachsendenu oder von „unendlich grossen Grössen“ spricht, so will man wiederum ein Grenzverfahren andeuten, welches darin besteht, dass man zunächst mit endlichen, veränderlichen Grössen rechnet, die dann aber grösser werden dürfen als jede angebbare Grösse.

So wird z. B. tg a erklärt als das Verhältniss der beiden Katheten im rechtwinkligen Dreieck, von denen die erste dem spitzen Winkel a gegenüberliegt. Wächst der Winkel «, so wächst auch tg«. Für a = 90° hat diese Erklärung keinen Sinn mehr, weil es kein geradliniges Dreieck giebt, das zwei rechte Winkel enthält; trotzdem sagt man

tg90° = x

und will damit ausdrücken, dass tg a über jede angebbare Grösse hinaus wächst, wenn sich a dem Werthe 90° beliebig nähert.

Eine Grösse heisst. „endlichu, wenn sie weder unendlich klein noch unendlich gross ist.

Satz 1. Neben einer endlichen Grösse darf eine verschwindend kleine Grösse vernachlässigt werden, oder mit anderen Worten: eine endliche Grösse bleibt unverändert, wenn man sie um eine unendlich kleine Grösse vermehrt oder vermindert.

Die Richtigkeit folgt aus der Erklärung der unendlich kleinen oder verschwindend kleinen Grössen.

Von diesem Satze kann man sofort einige Anwendungen machen. Es sei

lim Y — B,

Y — B + ß,

lim X = A, also X = A -f- a, wobei a und ß beim Uebergange zur Grenze verschwindend kleine Grössen sind. Dann werden aber auch a + ß und « — ß-verschwindend klein, folglich wird

lim (X ± Y) = lim [(A ± B) + (o ± ß)] = A ± B.

oder

(1.)

lim (X + Y) = lim X + lim Y.

Ferner ist

X . Y= (A + «) (B-f- ß) = AB + uB + ßA + aß.

Da A und B endliche Grössen sind, so werden beim Uebergange zur Grenze uB und ßA verschwindend klein, und da auch aß verschwindend klein wird, so erhält man lim (X . Y) — A . B

oder

(2.)

lim (X . Y) = lim X . lim Y.

Schliesslich ist

ßA — uB

Y^B+ ß ₌ B _

X A + a A A(A + a) '

Beim Uebergang zur Grenze werden ßA und uB verschwindend klein, während unter der Voraussetzung, dass A S 0 ist, A(A + «) den endlichen Werth A² erhält, foglich wird

oder

(3.)

lim

lim

©-

lim Y

lim X ’

wenn limX§0 ist.

Aus der Erklärung der unbegrenzt wachsenden Grössen

folgt :

Satz 2. Eine unbegrenzt wachsende Grösse wächst auch dann noch unbegrenzt, wenn man sie um eine endliche Grösse vermehrt oder vermindert, oder mit anderen Worten : eine Grösse bleibt unendlich gross, auch wenn man eine endliche Grösse zu ihr addirt oder von ihr subtrahirt.

Manche scheinbar elementare Untersuchungen setzen bereits den Begriff des Grenzwerthes, bezw. den Begriff der unendlich kleinen Grössen voraus, wie die beiden folgenden Aufgaben aus der Geometrie und Mechanik zeigen mögen.

1. Es sei

Fig. 7.

p.

p/JL

(4.)

y =/(*)

die Gleichung einer Curve PPX ( Fig. 7), in welcher die Punkte P und Px durch eine Secante verbunden sind. Der Winkel

__i._Â

^ S T

ß, den diese Secante mit der positiven Richtung der X - Axe bildet, ist dann bestimmt durch die Gleichung

_ BPX ~ PB *

Bezeichnet man nun die Coordinaten des Punktes P mit x und y, die des Punktes Px mit xx und yx *), so wird OQ = x, QP = yJ OQx = xu Qx P| = yx,

(5.)

<)\

-X

tgß = t gBPPx

*) In dem Folgenden sollen die Coordinaten eines Punktes P immer mit x, y, die eines Punktes P, mit xx, yx, allgemein die eines Punktes Pn mit xn, yn bezeichnet werden.

also

PR = QQi = 0QX - OQ =    — x,

RPX = Q,P, — QP — yx — y,

folglich wird

(6.)

tg'A' = -

-?/

— «

Die Differenzen xx — x und yx — y bezeichnet man gewöhnlich mit Jx und Jy. Die Gleichung’ (6.) nimmt dadurch die

Form

(6a.)

Jy

tsli = Ti

an. Nähert sich jetzt der Punkt P, dem Punkte P, so werden auch Jx und Jy immer kleiner. Wird schliesslich der Abstand des Punktes P, von P verschuldend klein, so werden auch Jx und Jy verschwindend kleine Grössen, welche man dann Differentiale nennt und mit clx und dy bezeichnet. Gleichzeitig geht die Secante PP, in die Tangente TP über, welche mit der positiven Richtung der X-Axe den Winkel a bildet. Die Tangente im Cure enp unkte P ist nämlich eine Secante, bei der zwei Schnittpunkte P und P, in einen Punkt, den Berührungspunkt P zusammengefallen sind.

Die Gleichung (6a.) geht daher über in

dy _

lim .

Jx

Den Quotienten der beiden Differentiale dy und dx nennt man einen Differential- Quotienten.

(7.)

tg«

dx

2. Unter der Geschwindigkeit c eines (z. B. in gerader Linie) gleichförmig fortbewegten Massenpunktes versteht man die Länge des Weges, der in der Zeiteinheit (Secunde) zurückgelegt wird. In t Secunden ist daher die Länge des zurückgelegten Weges

(8.)

s — ct.

Dies giebt für die Geschwindigkeit bei gleichförmiger Bewegung den Werth

C5

Ci

Hierbei ist es ganz gleichgültig, wie gross, bezw. wie klein t ist, weil s in demselben Verhältnisse wächst und abnimmt wie t.

Wenn die Bewegung nicht mehr gleichförmig ist, d. h. wenn der bewegte Massenpunkt in gleichen Zeiten nicht mehr gleiche Strecken zurücklegt, so kann man doch noch von der mittleren Geschwindigkeit im Zeitintervall von t bis t{ sprechen und diese wieder erklären als das Verhältniss der in der Zeit tx — t zu-rtiekgelegten Strecke sx — s zu diesem Zeitintervall tx — t. Bezeichnet man diese Differenzen sx — s und tx — t bezw. mit ds und dt. so ist also die mittlere Geschwindigkeit

— s

dt tx — t '

Wird das Zeitintervall dt immer kleiner und schliesslich verschwindend klein, so wird auch ds verschwindend klein. Diese verschwindend kleinen Grössen bezeichnet man bezw. mit dt und ds und nennt

cA

ds

(io.)

die Geschwindigkeit der ungleichförmigen Bewegung zur Zeit t.

Auch hier nennt man die verschwindend kleinen Grössen ds und dt Differentiale und ihren Quotienten einen Differential-Quotienten.

v = — — lim —

dt

dt

VA

6.

Ueber die Rechnung mit unendlich kleinen Grössen.

Nach den Erklärungen des vorhergehenden Paragraphen wird eine Grösse dann unendlich klein (oder verschwindend klein), wenn man sie kleiner machen kann als jede gegebene Grösse. Wie gross auch die Genauigkeit sein mag, mit der man rechnen will, man kann die verschwindend kleinen Grössen so klein machen, dass sie neben einer endlichen Grösse nicht mehr in Betracht kommen.

Verlangt man z. B., dass eine Zahl bis auf n Decimalstellen genau berechnet wird, so kann man jede unendlich kleine Grösse kleiner machen als

10n

wie gross auch n sein mag. Man kann daher die unendlich kleinen Grössen nicht mit endlichen, sondern nur mit unendlich, hieinen Grössen vergleichen; das VerhäÜniss zweier unendlich kleinen Grössen kann nämlich sehr wohl einen endlichen Werth haben, wie schon die Beispiele

‘S“ - ta

in § 5 gezeigt haben. Mit solchen Differentialen und Differential-Quotienten hat man es hauptsächlich in der Differential-Rechnung zu tliun.

Man kann aber auch in anderer Weise mit verschwindend kleinen Grössen rechnen.

Tlieilt man nämlich eine endliche Grösse J in n Theile (die übrigens nicht gleich zu sein brauchen), so ist J gleich der Summe aller dieser Theile. Wenn nun die Zahl n, d. h. die Anzahl der Theile in's Unbegrenzte wächst, so dass die einzelnen Theile immer kleiner und schliesslich unendlich klein werden, so erkennt man, dass auch die Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen sehr wohl einen endlichen Werth J haben kann.

Solche Summen von unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen treten in der Integral-Rechnung auf.

Beispiele davon kommen schon in der Planimetrie und Stereometrie vor.

So berechnet man die Fläche eines Kreises mit dem Halbmesser r, indem man sie in unendlich viele, unendlich schmale Sectoren zerlegt. Jeder solche Sector wird dann als ein Dreieck betrachtet, dessen Spitze der Mittelpunkt des Kreises ist, und dessen Grundlinie in der Peripherie des Kreises liegt. Da diese Dreiecke alle dieselbe Höhe r haben, so braucht man nur ihre Grundlinien zu addiren und erhält als ihre Summe den Umfang des Kreises, nämlich

u = 2 rrr.

Der Flächeninhalt des Kreises ist daher

F = ^ = rV.

2

In ähnlicher Weise berechnet man die Oberfläche einer Kugel, indem man sie in unendlich viele, unendlich schmale Zonen zerlegt, welche man als Mäntel von Kegelstumpfen betrachtet.

Ferner findet man das Volumen V einer Kugel, indem man die Kugeloberfläche in unendlich kleine Dreiecke zerlegt und diese Dreiecke als die Grundflächen von Pyramiden betrachtet, die alle ihre Spitze im Mittelpunkte der Kugel haben. Die Höhe ist bei allen diesen Pyramiden gleich dem Halbmesser r der Kugel, folglich ist die Summe ihrer Volumina gleich der

V

Summe ihrer Grundflächen, multiplicirt mit —. Da die Summe

o

der Volumina gleich dem Volumen der Kugel und die Summe der Grundflächen gleich der Kugeloberfläche (Ir²/r) ist, so findet man

4 r%7v

Bei der Rechnung mit unendlich kleinen Grössen kommen daher hauptsächlich nur zwei Aufgaben in Betracht:

1)    Es ist der Werth zu bestim?nen, welchen das Verhältniss von zwei unendlich kleinen Grössen annimmt.

2)    Es ist die Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen zu bestimmen.

In dem Folgenden wird daher auch nur auf diese beiden Aufgaben Rücksicht genommen werden.

VA

7.

Verschiedene Ordnungen der unendlich kleinen Grössen.

Die verschwindend kleinen Grössen, welche in einer Rechnung Vorkommen, können noch sehr verschiedenartig sein. Zerlegt man z. B. einen Würfel durch Schnitte, senkrecht zu einer Seitenkante, in n gleiche Schichten, so werden die einzelnen Schichten verschwindend kleine Grössen, wenn n in’s Unbegrenzte wächst.

Legt man jetzt noch Schnitte, senkrecht zu einer zweiten Kante, so kann man jede dieser Schichten in n gleiche Säulen zerlegen. Wenn jetzt n wieder in’s Unbegrenzte wächst, so werden diese Säulen verschwindend kleine Grössen, und zwar sind sie auch noch verschuldend klein im Verhältniss zu jeder einzelnen Schicht, weil erst unendlich viele Säulen eine solche Schicht ausmachen.

Schliesslich kann man noch durch Schnitte, senkrecht zu einer dritten Kante des Würfels jede Säule in n AViirfel zerlegen. Wächst n wieder in’s Unbegrenzte, so werden diese AViirfel noch verschwindend klein im Verhältniss zu den verschwindend kleinen Säulen, weil erst unendlich viele AViirfel eine solche Säule ausmachen.

Dieses Beispiel zeigt, dass man die unendlich kleinen Grössen noch in verschiedene Ordnungen eintheilen muss.

Kommen also in einer Rechnung verschiedene unendlich kleine Grössen vor, so kann man eine, z. B. «, nach Belieben auswählen und festsetzen, dass a eine unendlich kleine Grösse erster Ordnung heisse.

Ist dann ß eine andere unendlich kleine Grösse, und wird eine endliche Grösse, so heisst ß gleichfalls eine unendlich, kleine Grösse erster Ordnung.

Die unendlich kleinen Grössen erster Ordnung haben daher nach dieser Festsetzung alle die Form ap.

Wenn dagegen — selbst wieder eine unendlich kleine Grösse a

auf die Form ap gebracht

erster Ordnung ist, wenn also ^ werden kann, so ist

eine endliche Grösse. Man sagt dann, ß sei eine unendlich kleine Grösse zweiter Ordnung.

Die unendlich kleinen Grössen zweiter Ordnung haben daher alle die Form u-p.

ß

Ist auch noch ~ eine unendlich kleine Grösse erster Ord-

nung, lässt sich also

SJ-ct

auf die Form up bringen, so ist

a* P

eine endliche Grösse, und ß heisst eine unendlich Heine Grösse dritter Ordnung.

So kann man fortfahren; es heisst dann ß eine unendlich kleine Grösse nUr Ordnung, wenn

ß

eine endliche Grösse ist, wenn also

ß — unp.

Dabei ist n nicht nothwendiger Weise eine ganze Zahl, sondern n darf auch eine gebrochene positive Zahl sein.

Auch wenn man für n gebrochene Werthe zulässt, so sind in der Form unp noch nicht alle unendlich kleinen Grössen erschöpft, wie später gezeigt werden soll. Deshalb möge die gegebene Erklärung dahin erweitert werden, dass y Vergleich zu a eine unendlich kleine Grösse höherer Ordnung heissen möge,

wenn noch — unendlich klein wird, a

Dies vorausgeschickt, gelten die folgenden Sätze.

Satz 1. Unterscheiden sich die unendlich kleinen Grössen u und u‘ von einander nur durch eine unendlich kleine Grösse höherer Ordnung y, so ist der Grenzwerth ihres Verhältnisses gleich 1.

Beweis. Nach Voraussetzung ist

(1.)

a‘ — a — y, oder a‘ = a + y, wobei y eine unendlich kleine Grösse höherer Ordnung ist, so

dass — = s selbst noch unendlich klein wird. Deshalb folgt

a

aus Gleichung (1.)

(2.)

U¹

u‘

— — 1 “t* £, oder lim — = 1, cc    cc

denn die unendlich kleine Grösse e darf neben der endlichen Grösse 1 vernachlässigt werden (nach Satz 1 in § 5).

Von diesem Satze gilt auch die Umkehrung :

Ist der Grenzwert/), dem sich das Verhaltniss zweier unendlich Meinen Grössen u und u‘ nähert, gleich 1, so können sich u und a‘ nur durch eine unendlich kleine Grösse höherer Ordnung von einander unterscheidet).

Beweis. Ist nämlich wieder

u‘ — « = y, oder u‘ — u + y,

also

als

-1 + Ł

a‘

1, dass — unendlich klein sein muss. u

so folgt aus lim — u

Beispiel. Es war (vergl. Formel Nr. 1 der Tabelle)

v sin« lim — = 1,

z = 0    £

folglich wird z — sins unendlich klein von höherer Ordnung, wenn 2 unendlich klein von der ersten Ordnung wird.

Satz 2.

Hat das Verhaltniss zweier unendlich kleinen Grössen a und ß einen endlichen Grenzwerth (oder den Grenzwerth l)J, so ändert sich dieser Grenzwerth nicht, wenn man u und ß um unendlich kleine Grössen höherer Ordnung vermehrt oder vermindert.

Man soll also zeigen, dass ß± ô

a ±y

wobei u und ß unendlich ldeine Grössen von beliebiger Ordnung sind, während y und â unendlich kleine Grössen höherer Ordnung sein sollen, so dasss

lim

— lim —

y ,    , d

~ — y‘ und -T a    ß

= ö‘

selbst noch unendlich kleine Grössen sind.

Beweis. Es ist

(3.)

ß±*₌₌ß(l± *) — ß(₁ ,

« + r «(i ± r’) w \

± & + Y‘ i ±r‘

,£ + S‘ + r‘

Da

lim (1 ± y‘) = 1, lim (± d‘ + r‘) = 0,

ti

(40

= 0,

und da — einen endlichen Werth hat, so wird Um

«    1 + y

d h

« i ± r'

/J

der endlichen Grösse vernachlässigt werden, daher

wird verschwindend klein und darf neben

Man erhält

(5.)

lim

ß±S

= lim —.

a + y

Da sich die verschwindend kleinen Grössen a und ß von

a‘ — a ± y und ß‘ = ß + ô

nur durch verschwindend kleine Grössen höherer Ordnung unterscheiden, so kann man die Gleichung (5.) auf die Form

ß‘ = lim —

(5a.)

lim — a

bringen und dem Satze 2 die folgende Fassung geben.

o

wenn

Satz 2 a. Der Grenzwerth von — bleibt imgeändert

man die verschwindend kleinen Grössen a und ß durch andere «' und ß* ersetzt, welche sich von den ersteren nur durch ver- * schwindend kleine Grössen höherer Ordnung unterscheiden.

Beispiel. Nach Formel Nr. 1 der Tabelle ist, wenn man

für z das eine Mal 3x und das andere Mal 4x setzt,

lim

sin (3^)    ,. sin (4«)

—5-—- = 1, lim —= 1,

x = o OX    x =s 0    4^

folglich unterscheiden sich lim sin (3z) und lim sin(4.r) von lim (3x)

und lim (4z) nur durch verschwindend kleine Grössen höherer Ordnung' und man erhält

lim — —

.. sin (Sz)

4x

Inn ——Tr— =

* = o sm (4z)

Salz 3. Sind a₁, a₂, ... an verschwindend kleine Grössen, deren Anzahl n in’s Unbegrenzte wächst, und weiss man, dass die Summe dieser unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen einen endlichen Grenzwerth S besitzt, dass also >S — lim (wj -f* a₂ -f- ... vi,i)

M = oo

ist, 60 bleibt dieser Grenzwerth unverändert, tccom wem e/te verschwindend kleinen Grössen «,, «₂,... an um verschwindend kleine Grössen höherer Ordnung yt y₂, • • • Yn vermehrt oder vermindert.

Dem Beweise dieses Satzes möge ein Beispiel zur Erläuterung vorangestellt werden.

Fig. ».

Es sei eine ebene Figur Ai AB Bi (Fig. 8), oben begrenzt durch einen Curvenbogen AB, links und rechts von den Ordi-naten AXA, BX B und unten durch den Abschnitt AXBX der X-Axe. Indem man AXB^ in n (gleiche oder ungleiche) Theile zerlegt und lfq₁ WL * durch die Theilpunkte Parallele zu der Y-Axe zieht, kann man den Flächeninhalt F der Figur in n Streifen au a₂, legen. Dadurch wird

r?

PA

B/

«„ zer-

(8.)

B — Mj -j- U₂ -}- . . . -)- Cl,i — —CC.

Ist nun QPPi Q, ein solcher Streifen, und zieht man durch P eine Parallele PR zur X-Axe, so zerfällt der Streifen « in das Rechteck QPRQX = a‘ und das Dreieck PRP, = y, folglich wird, wenn man dieselbe Construction für sämmtliche Streifen ausführt,

(7.)

«1 = «' 1 + y 1, «₂ = U\ + Yï, • • • Un = ««' + Yn,

oder

(7a.)    = ax — yu a₂‘ = a₂ — y₂, ... «»/ = «,i —

F— Sa = A(V + y) = AV + A>.

In Figur 8 sind die Streifen a sämmtlich grösser als die Rechtecke so dass in den Gleichungen (7.) und (8.) die Grössen y sämmtlich positiv sind. Es können aber auch (wie in Figur 9) die Streifen a sämmtlich kleiner sein als die Rechtecke oder es können (wie in Figur 10) die Streifen Theil grösser, zum Theil kleiner sein als die Rechtecke a‘. Die Gleichungen (7.) und (8.) bleiben auch in diesen Fällen noch richtig, wenn man unter den Grössen y auch negative zulässt.

a zum

Fig. 10.

Fig. 9.

(9.)

F = lim 2a = lim 2a¹.

Wird jetzt die Anzahl n der Streifen immer grösser, werden also die Streifen selbst immer schmaler, so werden die Dreiecke y nicht nur selbst immer kleiner, sondern auch ihre Summe wird immer kleiner. Selbst wenn man die Dreiecke y alle positiv nimmt, so ist ihre Summe kleiner als ein Rechteck, das die Seite A^B^ zur Grundlinie und die grösste Höhe der Dreiecke y zur Höhe hat. Da nun aber diese Höhe mit wachsendem n immer kleiner wird, so wird auch der Flächeninhalt des Rechtecks und deshalb erst recht 2 y beliebig klein. Man erhält daher lim 2y = 0,

Nach diesem Beispiele möge der oben ausgesprochene Satz zunächst für den Fall bewiesen werden, dass die Grössen a und y sämmtlich positiv sind. Es wird dann

(io.)

= «l + «2 + • • * + «n,

S₂ = («1 + Y\) + (a2 + Y‘i) + • • • + (aM + Yn) ^

Nach Voraussetzung sind y1} y₂,... y„ verschwindend kleine Grössen höherer Ordnung, d. h. es sind

Stegemaxm - Kiepert, Differential-Rechnung.

L=*„n.=

«1    C£₂

selbst wieder verschwindend kleine Grössen, die man also kleiner machen kann als jede gegebene Grösse. Man kann sie z. B. kleiner machen als

(11.)

Yn

^2 j • • •    —

«n

(12.)

10*

wobei man den Exponenten x noch so gross machen kann, wie man will. Dies giebt

*i

(13.)

e₂ ^ e, ... sn^s.

Deshalb wird

S₂ — («t -f a^t) + («₂ + «2*2) + • • • + (an + «n«n)

= «1 (1 -f Si) + a2 (1 + S₂) + • • • + 0fM (1 + S„),

oder

(14.) S₂ «j (1 + s) + «2 (1 -f- s) + .. . -f- an (1 -f- e), (14a.) S₂ ^ («i + «2 + • • • 4- an) (1 + e) = St (1 -f- «), oder mit Rücksicht auf die Ungleichung (10.)

St -f eSv

(15.)

Wächst jetzt n in’s Unbegrenzte, so wird nach Voraussetzung Inn St = S eine bestimmte, endliche Grösse, und e wird beliebig klein; folglich wird auch lim eSx beliebig klein, d. h. verschwindend klein, so dass die Ungleichung (15.) übergeht in die Gleichung

(16.)

lim = lim = S.

Sind die Grössen a und y theilweise positiv und theilweise negativ, so möge der Satz nur unter der Voraussetzung bewiesen werden, dass

S = lim^ + «₂ -f ... + «„) == lim 2a

n = oo

n = ao

auch dann noch einen endlichen Werth behält, wenn man die Grössen « alle positiv nimmt. Bezeichnet man also den absoluten Betrag von a mit | a | und den absoluten Betrag von y mit | y J, so kann man jetzt in derselben Weise wie vorhin zeigen, dass

lim J21 y I = 0

n = 30

wird. Folglich ist erst recht

und deshalb

lim 2y = 0

n = <x

lim 2a — lim 2(a + y).

n =s x>

n = oo

Setzt man

V = «1 ± r1>    = «2 ± f2> • • • «» =a«± r«,

so unterscheiden sich die verschwindend kleinen Grössen a und a‘ von einander nur durch verschwindend kleine Grössen höherer Ordnung, und es wird nach dem eben bewiesenen Satze 3 lim («J ' -f- «2' + • • • + aj) = lim + «2 + • • • «»).

Man kann daher diesem Satze auch die folgende Fassung geben:

Satz 3 a. Der Grenzwerth von + a₂ + . .. + an bleibt unverändert, wenn die verschwindend kleinen Grössen a₂,... un durch andere at    ersetzt werden, die steh

von ihnen nur durch verschwindend kleine Grössen höherer Ordnung unterscheiden.

Eine Anwendung dieses Satzes macht man schon bei der Berechnung der Kreisfläche, denn man betrachtet dabei die unendlich vielen Kreissectoren, in welche die Kreissfläche zerlegt werden kann, als geradlinige Dreiecke. Ein solches Dreieck unterscheidet sich von dem entsprechenden Seetor durch ein Kreissegment; da aber diese Segmente unendlich kleine Grössen höherer Ordnung werden, so darf man sie nach dem vorigen Satze in der That vernachlässigen.

Ebenso darf man bei der Berechnung der Kugeloberfläche die Kugelzonen nur deshalb durch die Mäntel adgestumpfter Kegel ersetzen, weil sie sich von den letzteren nur durch verschwindend kleine Grössen höherer Ordnung unterscheiden.

Schliesslich sind auch bei der Berechnung des Volumens einer Kugel die in § 6 angegebenen Theile, streng genommen, keine dreiseitigen Pyramiden, sondern sie unterscheiden sich von diesen durch verschwindend kleine Grössen höherer Ordnung.

8.

US.

Begriff der Stetigkeit.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 5.)

Wenn durch die Gleichung

(1.)

y =/(*)

irgend eine Function von x erklärt ist, so werden im Allgemeinen unendlich kleine Aenderungen von x auch unendlich kleine Aenderungen von y nach sich ziehen. Für alle Werthe von x, hei welchen dies der Fall ist, heisst die Function stetig oder continuirlich.

Diese Bezeichnung ist der in § 1 angedeuteten geometrischen Darstellung einer Veränderlichen entnommen. Durchläuft nämlich der Punkt Q, welcher auf der X-Axe den Werthen der unabhängigen Veränderlichen x entspricht, stetig eine Strecke

Fig. 11.

- r₂

Qx Q₂, so wird im Allgemeinen der Punkt jß, welcher den zugeordneten Werthen von y entspricht, auf der F-Axe eine Strecke RXR₂ stetig durchlaufen, wobei auch einzelne Theile der F-Axe (innerhalb oder ausserhalb der Strecke ĄĄ) mehrfach durchlaufen _x werden können. (Vergl. Fig. 11.)

Nur in Ausnahmefällen werden Functionen unstetig (oder discontinuir-licli), d. h. nur ausnahmsweise wird der Fall eintreten, dass die Function y für endliche Werthe von x unendlich gross wird, oder dass sie sich sprungweise (um endliche oder unendlich grosse Beträge) ändert, während die Aenderung von x unendlich klein ist.

Es sei z. B.

(2.)

x — a

dann wird y, so lange x kleiner als a bleibt, negativ und stetig sein. Wird aber x gleich a, so wird

y — —cc

und springt dann von — oo bis + co, wenn x den Werth a passirt. (Vergl. Fig. 12.)

Fig. 12.

Ein anderes Beispiel liefert die Function y = tg+.

(3.)

A-

-äf

Wenn x von 0 bis

wächst, so wächst y gleichzeitig von 0 bis + co, wenn aber x noch etwas grösser wird, so erhält y einen sehr grossen negativen Werth, so dass der Werth von y von + oo bis zu — oo springt,

7t

wenn x den Werth — passirt.

—i

(Vergl. Fig. 13.)

OA

a.

Fig. 13.

Ist

(*■)

» = ■?> so bleibt y immer positiv und wird um so grösser, je kleiner x ist. Für unendlich kleine (positive oder negative) Werthe von x wird y unendlich gross, d. h. y wird für diesen Werth von x unstetig. (Vergl. Fig. 14.)

oe = |,

OR — 71,

Ist

(5.)

Fig. 14.

0\

(5a.)

und beschränkt man x zunächst auf positive Werthe, so wird

lim a = ~ = 0,

2=0 —

also

lim y = 1.

x = 0

Um auszudrücken, dass x negative Werthe annimmt, setze man x — — z, dann wird

a -j- 1

Nähert sich jetzt z dem Werthe 0, so wird

lim a — oo, also lim y = 0.

2=0

Fig. IB.

Öl

OR = 1.

Daraus erkennt man, dass sich y sprungweise ändert, wenn x den Werth 0 passirt, und zwar springt y von 0 bis 1. (Vergl. Fig. 15.)

Fig. 16.

Pt

Sind x und y die rechtwinklichen Coordinaten eines Punktes P, so stellt die Gleichung (1.) eine Curve dar. Die Punkte P und Pu welche den Werthen x und xx entsprechen, werden einander beliebig nahe liegen, wenn die Function für den betreffenden Werth von x stetig ist, und wenn xx—x hinreichend

klein wird. Nach Voraussetzung wird nämlich yx — y mit xx — x zugleich verschwindend klein, folglich auch

(6.)

PP\ — VOi — W + (ÿï — y)²-

(Vergl. Fig. 16.)

Der Verlauf der Curve, welche die Gleichung

y =/(*)

hat, ist also im Punkte P ein stetiger (continuirlicherJ. Wird aber yx—y nicht mit xx—x zugleich verschwindend klein, so ist die Curve im Punkte P unstetig, wie die Figuren 12, 13, 14 und 15 zeigen, welche den oben angeführten Beispielen entsprechen.

Bemerkung.

Eine Unstetigkeit der Function kann scheinbar auch dadurch ein-treten, dass die Werthe von y imaginär werden, wenn x das Intervall von xx bis x% durchläuft. Ist z. B.

Fig. 17.

t/ = —j— ]/a;2 — a²

so ist y nur reell, so lange x² ^ o² ist, y wird dagegen imaginär, wenn x² < a² ist, wenn also

— a <£ < + a.

■X

jA 2

Für die Werthe von x = — a bis x = + a wird also die Curve unterbrochen, wie man aus Figur 17 ersieht. Trotzdem darf man diesen Fall nicht als eine Unstetigkeit betrachten, wie bei der Theorie der com-plexen Grössen gezeigt werden wird. Vorläufig kommt übrigens dieser Fall nicht in Betracht, weil nur reelle Werthe der Functionen berücksichtigt werden sollen, wenn nicht ausdrücklich das Gegentheil gesagt wird.

Man kann den Begriff der Stetigkeit, ganz unabhängig von der geometiischen Anschauung, in folgender Weise erklären:

Eine Function

y =/(*)

heisst für solche Werthe von x stetig, für welche die Differenz

J —f(x + g) —f(x — d)

mit den positiven Grössen d und e zugleich verschwindend klein wird.

Ist z. B.

so wird

x -j- e—a

___ _— (d + f)_

x—d—a (x— a)² + («—d)(x—a) — dg

Dieser Ausdruck wird mit d und e zugleich verschwindend klein, so lange x von a verschieden ist. Wird aber x gleich a, so ist

— (d -f- g)_

— de

ein Ausdruck, der für imendlich kleine Werthe von d und e sogar unendlich gross wird. Die Function ist deshalb für x gleich a unstetig.

O, I-*

Ist

so wird

y = t gx,

J — tg(x + g) — tgO — ó) =

sin(d + e)

COS (a; + g) cos (a:— d)

Dieser Ausdruck wird mit d und g zugleich unendlich klein,

wenn

7t    ^ ,    71

~2<'x<" + 2 ’

denn dann ist cosa; von 0 verschieden. Wird aber x gleich n .

-, so ist

jU

cosi

coi a

— sing

cos

k>\a

⁶>

sind

also

oder

— sin(d + g) __ — sin d cos g — cos d sing sind sing —    sind sine

J — — ctgd — ctge,

ein Ausdruck, welcher für unendlich kleine Werthe von d und s gleich — co wird. Die Function tgx ist daher für x gleich

^ unstetig.

Ist

so wird

>__L_

0 + a)²

_— 2x (d + a) + d² — £²

(x — d)²    (x + a')² (x — d)²

Für alle Werthe von x, welche von 0 verschieden sind, wird dieser Ausdruck mit d und a zugleich verschwindend klein; ist aber x — 0, so wird

a² d²

imd nimmt beliebig grosse Werthe an, wenn d und a hinreichend klein und von einander verschieden sind; d. h. y wird für x — 0 unstetig.

Ist so wird

x—d

also für x = 0 wird

1 -J⁻ u

x-\- e

x—d

~T

“7

1 CL

- = ß, so werden u

Setzt man der Kürze wegen i = «, —

und ß unendlich gross, wenn d imd e unendlich klein werden, und man erhält

a¹

— Ct

—cc

1 -f- a

Nun ist aber

~ß

ii ~a

1H- ct

— a    1

lima = lim— = O, lima

-ß

= limi

a s=ao

aa

ß = 30

aß

== 0

folglich wird

MmJ = 1;

d. h. y wird für x = 0 unstetig.

Satz 1.¹) aSVwc? die Functionen f (x) und g (x) in dem Intervall von xx bis 2¹2 endlich und stetig, so sme? awcA efo’e Functionen f{x) -j- g (z) und f(x)—g{x) in diesem Intervalle endlich und stetig.

Beweis. Nach Voraussetzung werden

(7.) =f{z + «) —/0 — d), ^2 — 90 + «) — <?0 — <¹) mit d und e zugleich verschwindend klein, folglich auch 4 — [/(¹ + «) ± S'O + «)] — [fix — d) ± g{x — d)] = 4X ±

Satz 2. Sind die Functionen fix) und g{x) in dem Intervall von xt bis x₂ endlich und stetig, so ist auch die Function F{x) —f{x) . g(x) in diesem Intervalle endlich und stetig.

Beweis. Wendet man dieselben Bezeichnungen an wie in den Gleichungen (7.), so erhält man

J = F{x+e)—F(x—d) =/(«+«) . g(x+e)—f(x—8). g(x— d) —fix + «) . g(x + e) —f{x — d).gix + e)

+fix — d) . g(z -f e) —fix — ô).gix — ô)

—    . g ix + e) + J₂ .fix — d).

Nach Voraussetzung sind fix — d), g (x -f «) endliche Grössen, und Jx, J₂ werden verschwindend klein zugleich mit d und e, folglich auch J.

Satz 3. Jede ganze rationale Function von x ist stetig für alle endliche Werthe von x.

Der Beweis folgt daraus, dass die ganzen rationalen Functionen aus der Veränderlichen x und aus constanten Grössen nur durch Addition, Subtraction und Multiplication gebildet werden.

Satz 4. Sind die Functionen f{x) und g (x) in dem Intervall von xi bis x₂ endlich und stetig, und bleibt fix) in diesem Intervalle entweder beständig positiv oder beständig negativ, so ist auch die

in diesem Intervalle endlich und stetig.

— ff!*)

Function F(x)

Beweis. Hier ist

/(*)

'=** + •>- *■* - *>    I

_f(x —d).g(x + e) —fix + e). gjx — ä) f(x + e) .fix — ö)

f(* — ô) • ff(? + e) —fix — d). g(x — d) f{x + e) .f[x — ö)

fjx + e) . gjx — ä) —fix — d) , gjx — ä)

fix + «) .fix — d)

oder, weim man dieselben Bezeichnungen anwendet wie in den Gleichimgen (7.),

J₂ .fjx — Ô) —    . gjx—ö)

fix + e) .fix — Ö)

Nach Voraussetzung sind fix — <3'), g ix — d) endliche Grössen, und 4₂ werden mit ô und e zugleich verschwindend klein, folglich auch J, da fix — d) und fix + e) nach Voraussetzung von 0 verschieden sind.

Satz 5. Der Quotient 'fff zweier ganzen rationalen Functionen g ix) und fix) wird nur für diejenigen Werthe von x unstetig, für welche fix) gleich 0 wird.

Der Beweis folgt unmittelbar aus Satz 4.

Da man jede gebrochene rationale Function als Quotienten zweier ganzen rationalen Functionen darstellen kann, so findet man aus Satz 5, für welche Werthe von x die gebrochenen rationalen Functionen stetig sind oder nicht.

Satz 6. Die nte Wurzel aus einer endlichen stetigen Func-tion f{x) ist wieder endlich und stetig.²)

Beweis. Nach Voraussetzung wird

=/0 + «) —/(« — à)

mit â und e zugleich verschwindend klein. Setzt man nun

n_ n_

y fix + e) = u, yf{x — d) = v

so ist nachzuweisen, dass auch

verschwindend klein wird.

Ist zunächst f{x) o, so kann man ö und £ so klein machen, dass f(x + e) und f(x — ö) dasselbe Zeichen haben wie/(a;); dann muss man auch den Grössen u und v das gleiche Zeichen gehen. Deshalb sind in

un — vn — (w — v) (ww_1 -f- un~² © -f- . . . + uvn~² + vn~l)

die Grössen wn_1, un~²v,... u vn~², alle von 0 verschieden und haben sämmtlich dasselbe Vorzeichen, folglich ist

8 = un~l + Un~²0 -f- . . . + UVn~² + 2Ś 0,

und

un — vn

S ~ S

wird mit ô und £ zugleich verschwindend klein.

Ist f{x) = 0, so sind fix + s) und f(x — ä) einzeln beliebig klein für hinreichend kleine Werthe von ô und £, folghch auch u, v und J, wobei vorausgesetzt wird, dass u und v beide noch reelle Grössen sind.

Dieser Satz giebt Aufschluss über die Stetigkeit der irrationalen Functionen.

Die Functionen sina: und cosa: sind für alle

Satz 7.

Werthe von x stetig.

J — sin (a: + e) — sin (a; — â) = 2sin^ ^ cos^

Beweis. Für y = sina: wird

Dabei liegt cos^

wird nach Formel Nr. 1 der Tabelle mit d und e

zugleich verschwindend klein, folglich auch J.

Für y — cos x wird

J = cos (5: + e) — cos(a; — d) = — 2sm(^ + sin ^ liegt sin^a: +

und sin^ wird mit d und £ verschwindend klein, folglich auch J.

Satz 8. Die Function tga: =

zwischen — 1 und + 1, und

sin

Auch hier

zwischen — 1 und -f 1

sina:

wird nur für diejeni-

CCSx

gen Werthe von x unstetig, für welche cosa; gleich 0 wird, also für x = ±

wird nur für diejenigen Werthe von x unstetig, für welche sinx — 0 wird, also für x = 0, + tt, + 2 7t,....

Der Beweis folgt ohne Weiteres aus Satz 5.

±    ..., und die Function ctga: =

U    A

COS a:

sina:

Die Function ax ist stetig für alle endlichen

Satz 9.

Werthe von x.

Beweis. Für y — ax ist

ax

J = ax+* — ax~d = ax . ae--r

aä

Nun ist

lima£ = 1, t = o

folglich wird J mit d und £ zugleich verschwindend klein.

Satz 10. Die Functionen arc sina: und arc cosa: sind stetig, wenn — 1 < x < -f 1 ist.

lim aô = 1,

cT = 0

Beweis. Ist y — arc sina:, so wird

4 = arc sin(a: + £) — arc sin(a: — d) — u — v,

indem man

u = arc sin(a: + £), v — arc sin(a: — d)

setzt. Dabei kann man d und e so klein machen, dass auch — 1 < « — d < « + e < + 1 ist. Dies giebt sin u = « + e, sin v — x — d, wobei u und v so gewählt werden müssen, dass

7t    .. . 7t    Tt    Tt

~2<u<+r ~2<V<+2’

also

^ ,    -1    7t U 4- V    , 71

— Tt <u + v < + 7t, oder — - < —2— < + 2 ' Nun wird

sin

sinw — sin« = d + e = 2sin^ ₉ ^cos,

m "⁼“

fu — v\

V 2 )

d-f «

2 cos

—v = 2 arc sin

/ Qi- « (2cos(ï±î

da cos

<Ć¥>

von 0 verschieden ist, so wird

2 cos

mit d und e zugleich verschwindend klein, also auch 4.

Dadurch ist die Stetigkeit der Function arc sin« bewiesen, aus der sich auch die Stetigkeit von arc cos# in folgender Weise ergiebt. Es sei

y — arc sina;, z — arc cos«,

dann wird

Hieraus folgt

x = siny = cos z.

z — ^ — y, oder arc cos« = ^ — arc sin«,

2 2

und zwar durchläuft 2 alle Werthe von tt, bis 0, wenn y alle

Werthe von

— ^ bis + ^ durchläuft.

2 2

Satz 11. Die Functionen arctg« und arc ctg« sind für alle endlichen Werthe von x stetig.

Beweis- Ist y — arctg«, so wird

4 — arc tg(« + e) — arc tg (« — d) = u — v,

indem man

u = arc tg(# + «), v — arc tg(# — d) setzt. Dabei kann man u und v so wählen, dass

und —

n .    ^ i n

-2<M<+ 2

ist. Dies giebt

tg u = # + e, tgv = x — d, tgu — t gv = d + s

_ sin (u — v)

COS U COS fl

sin(« — p) = (d -f e). cosw cosa,

J = u — a = arc sin[(d + e). cosw cosa], folglich wird J mit d und £ zugleich verschwindend klein.

Aus der Stetigkeit von arc tgx ergiebt sich dann auch die Stetigkeit von arc ctg# in folgender Weise. Es sei y = arc tgx, z — arc ctg#,

dann wird

x — tgy — ctg«.

Hieraus folgt

z = ^ — y, oder arc ctg# = ^ — arc tg#,

Li    Li

und zwar durchläuft z alle Werthe von n bis 0, wenn y alle Werthe von —? bis + -? durchläuft.

2i    Li

Satz 12. Die Function log# ist stetig für alle endlichen, positiven Werthe von x.

Beweis. Ist y — log#, so wird

^ = log(# + £)—log(# — d) = log    = log(l +

Da nun

lim

ô = 0, s = 0

ist, so wird J mit d und £ zugleich verschwindend klein.

Bei den folgenden Betrachtungen ist es von grosser Wichtigkeit, ob die Functionen, mit denen man operirt, stetig sind oder nicht, weil die meisten Sätze, die hergeleitet werden sollen, nur für stetige Functionen gelten.

Satz 13. Ist die Function fix) für alle Werthe zwischen x₁ und x₂ reell und stetig, und ist

/Oi) < 0, /O2) > o,

so giebt es zwischen Xy und x₂ mindestens einen Werth von x, für welchen fix) gleich 0 wird.

Beweis. Am leichtesten erkennt man die Richtigkeit des Satzes aus der geometrischen Darstellung. Setzt man nämlich

/Oi) = Vu /O2) = 2/2,

so entspricht den Coordinaten xy, yx ein Punkt Py auf der negativen Seite, und den Coordinaten x₂, y₂ entspricht ein Punkt P₂

auf der positiven Seite der X-Axe (vergl. Fig. 18). Da nun die Curve, welche der Gleichung y = fix) entspricht, zwischen den Pimkten Py und P₂ stetig verläuft, so muss sie die X-Axe zwischen den Punkten mid Q, mindestens in einem Punkte Q schneiden, um von der negativen Seite der X-Axe auf die positive zu gelangen. OQ = x ist dann der Werth von x, für welchen fix) — 0 wird.

Man kann aber den Beweis auch unabhängig von der geometrischen Darstellung führen.

Es sei x₂> xy, und es werde die Differenz x₂ — xt in zwei gleiche Theile h getheilt, so dass

x₂ — Xy — 2h, oder h = -*²-n —,

von x

Fig. 18.

Tz

e,

<*2 *

wird. Ist f{xy -f h) = 0, so ist der Satz schon bewiesen ; ist dagegen f{xx + h) > 0, so setze man

Xy = X₃, Xy + h = Xy,

und ist f(xy -f h) < 0, so setze man

Xy + h — £3, Xy 4-2 h — X₂ — Xy.

In beiden Fällen ist

/Os) < 0, /O4) > °>

wobei aber das Intervall von x% bis x₄ halb so gross ist wie das zwischen xx und x₂. Setzt man jetzt

x₄ — .r₃ = 2 A

10

oder A, = —-—,

0 wird. Ist da-

so ist der Satz bewiesen, wenn f{x₃ + At) gegen f(xz + hx) > 0, so setze man

x₃—x₅, x:x -f Aj = x₆, und ist f(x₃ + hx ) < 0, so setze man

x₃ + K = x₅, x₃ -f- 2 A, — x₄ = x₆. In beiden Fällen ist

fM < °> /Oe) > 0,

wobei aber das Intervall zwischen xb und xe viermal kleiner ist als das Intervall zwischen xx und x₂.

f{x2n-\

In dieser Weise kann man fortfahren und findet entweder -f A„_i) = 0, oder

f(xin + t) < 0, f(x-ln + 2) > 0, wobei das Intervall zwischen x2n + \ und xin + 2 (2n)teH mal kleiner ist als das zwischen xx und x₂. Da aber die Function für die betrachteten Werthe von x stetig ist, so wird der Unterschied zwischen f{xïn + \) und fix 2,1 + 2) beliebig klein, wenn man nur n hinreichend gross macht, folglich ist erst recht der Unterschied zwischen 0 und f(x2n +1), oder zwischen 0 und f(x2n + 2) beliebig klein, d. h.

lim/02» +1) = lim/O2» + 2) = 0. n = go    n = qo

Der Satz gilt auch noch, wenn

./Oi)>° imd /O2) < ⁰

ist. Der Beweis wird dann in ganz ähnlicher Weise geführt wie vorhin.

Hieraus erhält man unmittelbar noch folgenden allgemeineren

Satz 14. Ist die Function f (x) für alle Werthe von x zwischen xx und x₂ reell und stetig, so wird f(x) jeden Werth zwischen f{xx) und f{xj) mindestens einmal annehmen, wenn x alle Werthe zwischen xx und x₂ durchläuft.

Stegemann - Kiepert, Differential-Rechnung.

Beweis. Ist b irgend ein Wertli zwischen f{xx) und f(x₂), ist also entweder

oder

/Oi) < à <f{x₂)

so bilde man die Function

f{xx) > b >/0₂)

F{x) = fix) — b,

welche zwischen xx und x₂ stetig ist, und welche zwischen xx und x₂ sicher das Zeichen wechselt.

Für F{x) gelten daher genau dieselben Voraussetzungen wie in dem vorigen Satze für f(x). Deshalb gieht es in dem Intervall von xx bis x₂ mindestens einen Werth von x, für welchen F(x) gleich 0 wird. Dieser Werth sei a, dann ist

also

F(a) =/(«) ~b = 0.

/(«) =

was zu beweisen war.

Hiilfssätze aus der algebraischen Analysis.

ctr.

9.

Der binomische Lehrsatz für positive ganzzahlige Exponenten.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 6—10.)

Es sei

(1.)

o-

n (n — 1) (n — 2) . . . (n — k + 1)

wo k eine positive ganze Zahl sein möge, während n auch negativ und gebrochen sein darf, dann gelten folgende Sätze:

Satz 1.

(2.)

gm.-,)-er)

Der Beweis möge zunächst für einige besondere Fälle durchgeführt werden.

1. Beispiel. Es ist

O - (Ï)-

10.9.8.7

1.2.3.4

10.9.8

1.2.3

10.9.8.7

10.9.8.4

1.2.3.4

1.2.3.4

10.9.8(7 +4)_ 11.10.9.8 “    1 .2.3.4“

2. Beispiel. Es ist

9.8.7.6.5.4.3

1.2.3.4.5.6.7

9.8.7.6.5.4.3

9.8.7.6.5.4.7

1.2.3.4.5.6.7

10.9.8.7.6.5.4

1.2.3.4.5.6.7

9.8.7.6.5.4 (3 + 7)

1.2.3.4.5.6.7

¹

Sollten die hier folgenden Sätze 1 bis 14 dem Anfänger noch zu schwer sein, so können sie vorläufig übergangen werden¹, der Leser muss aber bei den späteren Untersuchungen beachten, dass die Stetigkeit der Functionen für die in Betracht kommenden Werthe von x vorausgesetzt wird, wenn nicht ausdrücklich das Gegentheil gesagt ist.

²

Ist n gerade, so möge bei diesem Satze x auf solche Werthe beschränkt werden, für welche f(x) > 0 ist.

(0-

Allgemeiner Beweis. Es ist

n{n — 1). . . [n — k + 2) (n — k -f 1)

G)+G-.)-

1.2 . .. (k — 1) k

1.2 . . . {k — 1)

n (n — 1). . . (n — k + 2) (n — k -f- 1)

~    1.2 . . . [k — 1) k

n (n — 1).. . (n — k + 2) k 1 . 2 . .. (k — 1) k

_ n(n — 1) . . . {n — k + 2) (n — k -j- 1 + k)

~~    1.2.3 . . . (Je — 1) k

_ (n-\-\)n{n—l)...(w+l—^+1) ïn L\

~    1.2.3...(k— l)k    “V /'

Ist n eine positive, ganze Zahl, so folgt aus Gleichung (1.) unmittelbar noch der folgende Satz 2:

(3.)

Auch hier möge der Beweis des Satzes zunächst durch ein Zahlenbeispiel erläutert werden. Es ist 8.7.6.5.4

©«

8.7.6.5.4

3.2.1

1.2.    .4.5

8.7.

os es

1.2.3

5.4.3.2.1

8.7.6

1.2.3

1.2.3

00 cc

Allgemeiner Beweis. Es ist

5s

n (n — 1) (n — 2) ... (n — k + 1)

~    1.2.3 ...k

_ n{n — l)(ra— 2)...(n—k -f 1) (n — k)(n—k — 1)...3.2.1

1.2.3 ...k

1.2.3 ...(n — k) n(n— 1) (n — 2) ... (k -f 1) k (k — 1) . . . 3.2.1

1.2.3 . ..(k— 1) k

1.2.3 .. . (n — k)

_n(n — 1) {n — 2).. . {k -j- 1)

—    1.2.3 ...(»—■ A)

oder, da k + 1 gleich n — (n — k) + 1 ist,

GM.-,)

Der Gleichung (3) entsprechend, setze man

i;

G) - O-

dann gilt die Gleichung (2.) auch noch für k — 1, d. h. es wird

+ 1 =

(2 a.)

G) + G) -

"V-C ')

Satz 3. Wenn m eine positive, ganze Zahl ist, so toird

(4.)

(1 + x)m = 1 + (^x -f (^)x* + (™)*³ + ■ •

xm.

Beweis. Der Satz ist sicher richtig für m = 1, 2, 3, denn man erhält der Beihe nach (1 -f- *)* = 1 + *,

(1 -f x)² = 1 -f 2z + x² = 1 + Q) x -f (1 + *)³ = 1 + Sx + 3*2 + *3 = 1 + Q* + Q*2 4- Q

X²,

X³.

Dass die Gleichung (4.) allgemein richtig ist, findet man durch den Schluss von n auf n -f 1. Es werde nämlich vorausgesetzt, dass sie für einen bestimmten Werth von m, nämlich

für m gleich », richtig sei, dann kann bewiesen werden, dass sie auch für m gleich n + 1 richtig ist.

Aus der Gleichung

(1 + x)n = 1 + (^x + (^x² +

(5.)

folgt durch Multiplication mit 1 -(- x (1 + x)n + x —

(")*⁺GV⁺-⁺G-i)*‘-,+( * )**+

0—:

nun ist aber nach Gleichung (2.) und (2 a.)

o + o - er).

4-

1-* 8

-f-

rH

or.*,)-er).

a+L-,)-(•:')■

o -er)-

folglich erhält man dadurch, dass man auf der rechten Seite in Gleichung (5.) die unter einanderstehenden Glieder vereinigt.

(5a.)    (1 + x)n+x = 1 + (^ "i X) ^    9 x2 + • • •

xK+{.

err-r::!)

Gilt also der vorstehende Satz, welcher der binomische Lehrsatz genannt wird, für m — 3, so gilt er auch für m = 4, und daraus folgt wieder, dass er auch für m = 5 gilt. So kami man fortfahren und die Gültigkeit des Satzes für alle Fälle beweisen, in denen m eine positive, ganze Zahl ist.

Bemerkungen.

1. Es wird später gezeigt werden, dass die Gleichung

unter der Voraussetzung

— !<*<+!

auch noch richtig bleibt, wenn m keine positive, ganze Zahl ist. In dem Falle aber, wo m eine positive, gebrochene, oder eine negative (ganze oder gebrochene) Zahl ist, hat die rechte Seite eine unendliche Anzahl von Gliedern und ist ein besonderer Fall der Taylor’sehen Reihe.

2. Die Coefficienten in der Entwickelung von (l + a;)w, also die

Grössen

werden Binomial- Coefficienten genannt.

3. Das Product aller ganzen Zahlen von 1 bis k wird Facilitât genannt und mit Æ! bezeichnet. Es ist daher

und da

A!«l.2.8...(*-!)*,

(* —1)! = 1.2.3... (*-—1)

ist, so besteht die Gleichung

ä! = (ä — 1)! *.

Durch Anwendung der Formel [vergl. Gleichung (3.)]

/m\ __ / m \

\k J    — kJ

kann man, immer unter der Voraussetzung, dass m eine positive, ganze Zahl ist, die Gleichung (4.) noch auf eine einfachere Form bringen; es wird nämlich

/m\ _    / m \    / m \ _ /m\

\m) ~~ ’ \m —    V1 / ’    — 2/ V 2 / ;

und deshalb

(6.)

(1 + x)m —

¹⁺(T>+(">'+■

/m\    „    /m\

(₂)-—²+(i )*■

+ xm.

Es sind also je zwei Coefficienten in der Entwickelung nach dem binomischen Lehrsätze einander gleich, wenn sie zu Gliedern gehören, von denen das eine ebenso weit vom Anfänge wie das andere vom Ende absteht.

Beispiele.

(14-    —    1    4-    ±x    4-    6a;² 4- 4a;³ + xx.

(1 4-    #)⁵    =    1    4-    5a;    4-    10a;² 4-    10a;³ 4- 5a;⁴ 4-

(1 4*    ^)c    =    1    +    6«    4-    15a:² 4-    20a;³ 4" 15a:⁴ 4-    6a;⁵    4"

(1 4-    xy    =    14-    7a:    +    21a;² 4-    35a:³ 4- 35a:⁴ +    21a:⁵    + 7a-e + x\

Setzt man in Gleichung (6.)

und multiplicirt beide Seiten der Gleichung mit um, so erhält man

am

/m\b /mxb'¹

uh ⁺ \2

V2A*™³²

4-

/m\bm~~¹ bm I Ki)^¹ + Ö™Y

oder

(7.) (a + b)m = am +

am~¹ b +

ns §

am — 2 £2 _J_

abm~¹ + 6m.

’+(T)

Satz 4. Die Potenz eines unächten Bruches wird beliebig gross, wenn man den Exponenten hinreichend gross macht.

Beweis. Es sei

b > a >0. also b — a = c > 0, b = a + c,

mit x, so

.    1)    c

dann ist — ein unächter Bruch. Bezeichnet man —

ist x gleichfalls positiv, und man erhält a + c

*«> I e

w⁼<¹⁺*>“=¹⁺

folglich ist

- 1~|--- l-f-^5

a

m(m — 1 )(m — 2)

m(m—1)

.r²4

1.2.3

x*+... ,

/b\m

(«) >¹ + m*’

m im — 1)

m {m — 1) (m — 2)

1.2.3

alle positiv, wenn m eine positive ganze Zahl ist.

Da man nun aber durch passende Wahl von m den Aus-

/J) \w

druck 1 + mx beliebig gross machen kann, so wird ( — )

hinreichend grosse Wertlie von m erst recht beliebig gross, oder mit anderen Worten:

/b\m

Wird m unendlich gross, so toird auch \ ~J unendlich g

Satz 5. Die Potenz eines ächten Bruches wird beliebig klein, wenn man den Exponenten hinreichend gross macht.

Beweis. Es sei jetzt

a > b > 0, also a — b = d > 0, a — b -J- d₁

b    d

dann ist — ein achter Bruch. Bezeichnet man -r mit x. so ist a    b

x gleichfalls positiv, und man erhält

denn die Glieder

x~.

.-r³, ... sind

für

ross.

- »    ' i    - ~

b -f- d

i+f

b

1+x’

= (rhï =

( 1 + x)m'

Nun ist wieder, wie vorhin

also

(1 -f* x)m > 1 + mx,

CJ =

(1 + x)m

Da man nun aber durch passende Wahl von m den Aus-

druck 14-^2: beliebig gross, also fb \m

kann, so wird l — ) für hinreichend grosse Werthe von m erst

recht beliebig klein, oder mit anderen Worten:

/b\m

Wird m unendlich gross, so wird 1 — 1 unendlich klein.

1 + mx

beliebig klein machen

Die Sätze 4 und 5 sind zunächst unter der Voraussetzung bewiesen worden, dass

— positiv ist, weil aber

wird, so gelten sie auch noch, wenn ^ negativ ist.

§ 10.

Geometrische Progressionen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 11, 11a und 12.)

Die Reihe der Zahlen

A, Ap, Ap², . . . Apn nennt man eine geometrische Reihe oder geometrische Progression. Die Anzahl ihrer Glieder beträgt n, und die Summe derselben ist leicht zu bilden. Setzt man nämlich

(1.)

S = A + Ap -f Ap² -{-••. + Apn ~~¹,

so wird

also

(2.)

pS =

Ap + Ap² -f- . • • 4* Apn~i -f- Apn,

S — pS = *!?(1 — p) = A — Apn, A(l—pn)

\—p.

Beispiel. Es sei

(3.) S = xyn + xxxn~~² + x²xtn~³ + ... + xtl~²x₁ -f- a?*⁻dann wird

xtn

A — xxn

-1

, s=

rp 7t

— £i_

— xn

i-i.

X\

Noch leichter findet man dieses Resultat in folgender Weise.

Es ist

Sxx = xxn + xxin~i + x²xin~² + ... Ą- xn Sx —

xx

xx*n

-1

4- x²X]n~² -f • ■ • 4- xn~xx* 4- xn.

Sxx - Sx = S(xx — x) — Xxn-Xn,

oder

(4.)

also

✓y» W _____ /yi H

**'

xx — X

Bisher war stillschweigend vorausgesetzt worden, dass n eine endliche (positive, ganze) Zahl ist. Wenn aber p ein ächtet Bruch ist, so behält S auch noch eine bestimmte Bedeutung, wenn n unendlich gross wird. Es ist dann nämlich nach Satz 5 des vorhergehenden Paragraphen

— 0,

folglich wild (5.)

Beispiele. 1) Es ist

h-*

tO| i-¹

rH |

4-

tO| I—

rH | Ol

to

rH |<M

wächst n ins Unbegrenzte, so wird lim (--) =0, also

« = ac V ^ J

tO|

rH | TS

rH |go

IO

2) Es ist

rH

rH | CO

CO| H-¹

3n ~¹

(i)"

co loa

trf-

.5

er

N_

gq

3-

ji

r-H | CO

0. also

rH

rH |cO

IO

tO| CO

3) Es ist

7,7    ,7

- —i---"j— . . . —-

^^100 ~ 10m

g*

et

SS

ja

Ul

PS

10

u.

(ns)

10

.a

P-

C- |05

-q

S t" I CT.

PS §

5 u

0, also

Bemerkung.

Die Summe

S' == A -f- Ap 4- Ap² 4 ... in inf.

hat unendlich viele Glieder, aber trotzdem einen endlichen Werth. Man nennt eine solche Summe mit unendlich vielen Gliedern, welche trotzdem einen bestimmten, endlichen Werth hat, eine convergente (unendliche) Reihe. Später wird noch ausführlich von der Convergenz der Reihen die Rede sein.

VA

11.

Erklärung der Zahl e.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 13 und 14.)

Setzt man in

(l + z)n=l + jx +

” (” — 1) (» — 2). .. (n — £ 4- 1) ^ ₊

n(n — 1)

w(» — 1) (n—2)

1.2.3

a;³ 4-...

1.2.3.../:

* gleich so erhält man

w('+V-

n 1    »(»—!) J_ , »(»—!)(»—2) 1

1.2 rc²

¹⁺r4

1.2.3

w(» — 1) (w — 2) . . . (n — k 4- 1)    1

1.2.3 ...k

O-i) O-i)

1.2.3

k — 1\

n )

1.2.3 ...k

Es soll nun der Wertli von ^1 + ^ bestimmt werden,

wenn n unendlich gross wird, wobei aber n zunächst auf ganzzahlige Werthe beschränkt sein möge.

Bezeichnet man den gesuchten Grenzwert h mit e, so ist also

(-1)"

(2.)

e = lim

Zur Berechnung dieses Grenzwerthes trenne man auf der rechten Seite von Gleichung (1.) die ersten k -f- 1 Glieder ab und nenne ihre Summe Sk, während die Summe aller übrigen Glieder Sk heissen möge; es ist dann

(3.) Sk — 1 -j- -—f-

1-1 (,_!)(!_*) n V nj V nj

1.2.3

k—l\

n )

-?

O-DO-D-O

1.2.3 ...k

(4.) Sk‘ =

und

(5.)

k—) (i-k) n J \ nj

1.2.3... k{k + 1)

e = lim Sk -f- lim Sk.

71 — GO

n = oo

Unter der Voraussetzung, dass k eine endliche Zahl ist, werden die Grössen

8 I Cö

sämmtlich unendlich klein, wenn n unendlich gross wird; die Factoren

werden deshalb alle gleich 1, und man erhält

- —-—f 11.2

lim Sk = 1 4-

1.2.3

1.2.3 ...k

oder

(6.)

kl

Denselben Schluss darf man aber mcht bei den sämmtlichen Gliedern von Sk‘ machen, denn in den späteren Gliedern von *Sy hat der Zähler auch Factoren von der Form

///

1--

bei denen nicht nur n unendlich gross wird, sondern auch m. Ist z. B. m gleich \n, so wird stets, wie gross auch n werden mag, ₁_m

= 1 — i =s — •

n    2    2’

und ist m > so wird sogar lim — > also

Ł    Yl JL

lim

u m\ i \ ~rä7 < 2 '

Wollte man daher auch bei den sämmtlichen Gliedern von Sk die Factoren der Zähler alle gleich 1 setzen, so würde man die Zähler zu gross machen. Setzt man trotzdem die Factoren der Zähler alle gleich 1, so wird aus der Gleichung (4.) eine Ungleichung, nämlich

lim Sk‘ <

(7.)

oder, weil

(k + 1)! ^ (k + 2)! ^ (Je + 3)!

(k -j- 2) ! — (Je 4- 1) ! (k + 2),

(k + 3)! = (Je + 1)! (k + 2) (k + 3)

ist,

(7 a.) lim SJ <

(* + !)!

1 + k + 2 ⁺ (k + 2) (k 4- 3)

Nun ist aber

k + 2 ^ k + l’ (k + 2) (>fc + 3) < (Æ + l)² ’ ' ' folglich wird die Ungleichung (7 a.) noch verstärkt, wenn man

statt

statt

k + 2 ' {k + 1)2 setzt. Dadurch erhält man

k -4- 1

(k +2) (k + 3)

(8.) limSP <

Der Ausdruck in der eckigen Klammer ist hierbei eine geometrische Progression

1 -j- p -j- p¹ -f- j»³ + . • die sich bis ins Unendliche erstreckt , deren Summe sich aber leicht bilden lässt, weil

ist; und zwar wird nach Formel Nr. 11a der Tabelle diese Summe gleich

(9.)

k 4~ 1

k 4- 1

Daraus folgt

k 4~ 1 (k 4- 1)! ’ ~k~’ oder, da (k 4- 1)! gleich k\ (k 4- 1) ist,

lim Sk <

(10.)

lim &v < WÏ

Nach Gleichung (5.) ist daher

(u.)

lim < c- < Hin .S'* + jyj

n= jo

n—x>

Nun wird aber für hinreichend grosse Werthe von k die Grösse beliebig klein, so dass man e zwischen zwei Grenzen gebracht hat, die einander beliebig nahe liegen, ja diese Grenzen

fallen sogar zusammen, wenn man jetzt auch k unendlich gross werden lässt. Es ist daher

(12.) 0 =Jüm(l + )"= 1 +    +

Kommt es nur darauf an, die Zahl e bis auf eine bestimmte Anzahl von Decimalstellen genau zu berechnen, so genügen schon verhältnissmässig wenige Glieder der Reihe auf der rechten Seite von Gleichung (12.). Will man z. B. e bis auf 10 Decimalstellen genau finden, so genügen schon die ersten 16 Glieder der Reihe. Es ist nämlich, wenn man zunächst 12 Decimalstellen berücksichtigt,

8 [ i-¹

2!

Iw

-f ... in inf.

1!

-2, =0,5

jY = 0,166 666 666667

jY = 0.041666 666 667

— = 0,008 333 333333

-gj- = 0,001388 888 889 1

Yl = 0,000198 412 698

= 0,000024 801587

7jy = 0,000 002 755 732

10!

= 0,000 000275 573

jjj = 0,000 000025 052 ~ - 0,000000 002088

= 0,000 000 000161 = 0,000 000 000011 = 0,000 000 000 001

also

(13.)

e = 2,718281828459.

Hierdurch ist e ohne Zweifel auf 10 Decimalstellen genau berechnet, denn der Unterschied zwischen e und der Summe

r-H

h-L

Sl

’-H lO

ist, (unter Berücksichtigung von 14 Decimalstellen) lim S\ ₅ < --gj— = 0,000 000 000 000 05

und kommt daher bei den ersten 12 Decimalstellen nicht in Betracht. Dagegen können die llte und die 12te Decimalstelle dadurch fehlerhaft geworden sein, dass bei Summirung der 16 Glieder die auf die 12te Decimalstelle folgenden Stellen vernachlässigt worden sind. Dieser Fehler ist aber bei jedem der Glieder in der 12ten Decimalstelle kleiner als so dass der Gesammtfehler kleiner als

CO

bS | i-»

CO

sein muss. Im Allgemeinen wird der gesammte Fehler, welcher bei solchen Rechnungen durch Fortlassung der späteren Decimal-stellen begangen wird, noch viel kleiner sein, als das hier angedeutete Verfahren ergeben würde, weil die einzelnen Fehler verschiedenes Zeichen haben und sich in Folge dessen wenigstens theilweise gegen einander fortheben.

In der soeben ausgeführten Berechnung der Zahl e ist z. B. der gesammte Fehler bei der 12ten Decimalstelle nicht 8 sondern 0, wie sich aus der Berücksichtigung der späteren Decimalstellen ergiebt. Die Gleichung (13.) enthält daher die Zahl e bis auf 12 Decimalstellen genau.

Stegemann - Kiepert, Differential-Kechivung

Es war vorhin angenommen worden, dass n eine positive ganze Zahl sei. Von dieser Voraussetzung kann man sich noch frei machen. Liegt nämlich n zwischen den positiven ganzen Zahlen m und m + 1, ist also

ni < n < m 4- .1

so wird

///

m 4- 1

und

m + 1

Da die Potenz eines unächten Bruches mit dem Exponenten zugleich wächst, so wird

(14.)

Nun ist

lim

/ 1 \m +¹

(1 + -)

V my

— lim ( 1 4- V lim (l +    =

w*=od V / i«=æ V my

¹⁻¹1 5

lim (i + ■ t~t)W =

m = ao V    W “I“ 1 /    i

lim

m — x>

• lim ( 1 -1--

V m + 1 /

m -f- 1

(14a)

oder

folglich gehen die Ungleichungen (14.) über in e > lim

n — or.

(15.)

lim (l + -Y* = c. « = «A    nj

Die Zahl e spielt eine sehr wichtige Dolle in der höheren Mathematik; sie ist die Basis der sogenannten natürlichen Logarithmen. Welche Vorzüge das Logarithmen-System mit dieser Basis besitzt, soll an einer späteren Stelle gezeigt werden.

Man hätte übrigens die Zahl e auch durch die Gleichung

H = JC V fl J

erklären können. Es ist nämlich oder, wenn man n — 1 gleich m setzt,

Wird n unendlich gross, so gilt dasselbe von m, folglich ist

lim (l — ) W=limfl + -N)(l +

ii z= x V    /    m = <x>\    mj \

i— i ?

= c.

Satz. Uie Zahl e ist keine rationale Zahl, d. h. es ist nicht möglich, e auf die Form ~ zu bringen, so dass k und l ganze Zahlen sind.

Beweis. Wäre

l _ l(k — 1)! _ l(k—1)! - (k—i)\k ~ kl so wäre nach dem Vorhergehenden

¹ + r.⁺ Fi + • • •⁺ ii

e-k

kl

¹ 4- ¹

ri⁺“2!

, 1 . JL

^ *! ^ X-! ^ ’

oder, wenn man diese doppelte Ungleichung mit kl multiplicirt und die ganze Zahl

kl +

kl

(Je — 1)!

£>!

mit A bezeichnet,

A l[k — 1) ! A -f- -j.

oder

0 < l(k — 1) ! — Ä<\’

Es müsste also zwischen 0 und ~ noch eine positive ganze Zahl l(k—1)! — A liegen, und das ist unmöglich.

Differential-Rechnung.

Erster Theil.

Functionen von einer

SS

SS

i-.

CÏS*

SS

I. Abschnitt.

Erklärung und Bildung der Differential-Quotienten.

§ 12.

Bildung des Differential-Quotienten einer stetigen Function

V =/(*>•

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 15.)

Es sei die Function

(1-)

y =/(*)

für die betrachteten Werthe der unabhängigen Veränderlichen x (des Argumentes) stetig. Setzt man also

(2-)

SO =/(*i)>

so sollen die Differenzen

(3.)

xx — x — /ix und yx — y = /iy gleichzeitig verschwindend klein werden. Den Quotienten dieser Differenzen Jx und Jy, nämlich

(*•)

^y_ __ V\—y

/i    X, —-X nennt man Differenzen-Quotient. Werden jetzt dx und dy schwindend klein, so nennt man sie Differentiale und bezeichnet sie mit dx und dy. Es ist also

ver-

dx — lim dx, dy = lim dy.

Jx = 0    4x — 0

Dabei geht der Differenzen-Quotient über in den Differential-Quotienten, nämlich in

(5.)

^ = lim ~ — lim —--•

dx jx=o dx

Xi — X X\

Beispiel 1. Es sei

dann wird

y — x², also yv = xt²

V\—y __ V

iCj -X

% = Hm 4 s) =

Cf ,/y    Xi—X

— a;

=    + a:,

2«.

Beispiel 2. Es sei

y — x³, also y, --V»

dann wird

dx

— = «j² + x\x 4- x¹1 lim (xx ² 4- ä'] « 4 ff — 3a;².

In den meisten Fällen, in denen y eine stetige Function von x ist, wird es möglich sein, d. h. den Grenzwerth von

—--- zu bestimmen. Es giebt aber auch Functionen, die für

xx — x

einzelne oder für unendlich viele Werthe von x nicht differen-tiirbar sind, d. h. es giebt Fälle, in denen ~ keinen bestimmten, endlichen Werth hat. Ist z. B. y — x sin , so wird,

wie sich zeigen lässt, ~ für x = 0 unbestimmt, obgleich die Function selbst für diesen Werth von x noch stetig ist.

In den liier folgenden Untersuchungen werden aber nur Functionen in Betracht kommen, welche differentiirbar sind.

Die Gleichungen (4.) und (5.), durch welche der Differenzen-Quotient und der Differential-Quotient erklärt werden, kann man noch auf eine etwas andere Form bringen. Mit Rücksicht auf die Gleichungen (1.) und (2.) erhält man zunächst

(4 a.)

Jy_ Jf(x) f(xx ) — fix)

/ix

/Ix

xx-X

(5 a.)

dy df( x )

dx

clx

lim

■/Ol) —/O)

xx — X

Aus den Gleichungen (3.) folgt ferner

xx — x -j- /ix.

dies giebt (4b.)

./Oi) =/0 + /ixf

(5 b.)

/ty /if(x) f{x -f- /ix) —f(x)

/ix    ’

f{x + /ix) —f{x)

/ix

/ix

fl _ df(x) _

dx

dx

lim

/x = 0

/ix

Bemerkungen.

Der Anfänger möge noch besonders darauf aufmerksam gemacht werden, dass in den Ausdrücken dx und dy das Zeichen d nicht von x oder von y getrennt werden darf, denn dx und dy sind nicht etwa Producte von d und x oder von d und y, sondern sie sind Symbole, welche die gleichzeitigen Zunahmen von x und y bezeichnen.

Aehnliches gilt auch von den Differentialen dx und dy. Dabei ist noch zu beachten, dass die Differentiale dx und dy immer mit einem geraden d (nicht mit einem geschwungenen d) geschrieben werden, wreil die Symbole dx und 6y später noch in einer etwas anderen Bedeutung benutzt werden sollen. Ebenso haben die Bezeichnungen öx und äy eine andere Bedeutung wie dx und dy.

dy

Der Differential-Quotient ~ einer entwickelten Function

dx

y — f(x) ist also der Grenzte er th, welchem sich der Bruch

fjx + dx) —fjx)

/ix

nähert, tcenn /ix unendlich klein wird.

dy

Um anzudeuten, dass gleichfalls eine Function von x ist, bezeichnet man sie gewöhnlich mit ffx); es ist daher

(6.)

Die Function ff) nennt man im Gegensatz zu der ursprünglichen Function ff) die abgeleitete Function oder die Ableitung von fix).

In derselben Weise wie fix) erklärt ist durch die Gleichung

/»(«) = Bm/⁽«⁺^⁾-/(»).,

J    J.T=0    Jx

werden auch die Ableitungen der Functionen Ff), <p f) u. s. w. erklärt. Es ist daher

(7.)

(8.)

F‘(x) = lim PJ+JfÆÈ ,

Ar — n    ff X

(f (x + Jx) — (f f)

fff) = lim

Jx = 0

Jx

u. s. w.

Hervorzuheben ist noch, dass bei dieser Erklärung des Differential-Quotienten die Grösse Jx nach Belieben positiv oder negativ vorausgesetzt werden darf. Man hätte also mit demselben Rechte ff) durch die Gleichung

f'{x) = lim*

f{x — Jx) —fix)

— Jx

erklären können. Im Allgemeinen wird man auch beide Male für ff) denselben Ausdruck erhalten. Setzt man nämlich in diesem Falle x — Jx — xx, so wird x = xi + Jx, also fix — Jx) —fix) _ fff)—ffx + Jx) _ fjxy + Jx) —fff)

— Jx

— Jx Dies giebt

Jx

lim-Zfo + Jx)—JXx i) ₌

Jx =0    Jx

Man erhält daher, wenn die Function f fr) stetig ist, denselben Werth von fix), gleichviel ob man Jx positiv oder negativ wählt.

lim/^j) — fix).

xx—x

§ 13.

Geometrische Deutung des Differential-Quotienten.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 16.)

Für viele Untersuchungen ist die Bildung des Diff'erenzen-Quotienten und des Differential- Quotienten von grosser Bedeutung, um zu beurtheilen, in welchem Verhältnisse die Aenderung der Function zu der Aenderung des Argumentes x steht». Ist z. B.

(!•)

V — /(*)

die Gleichung einer Curve (Fig. 19), und legt man durch die benachbarten Punkte P und P, eine Secante, welche mit der positiven Richtung der X-Axe den Winkel ß bildet, dann wird, wie schon auf Seite 24 gezeigt wurde,

PR — QQ{ = OQi — OQ — xx—x,

RPX = QtP₁-QP=y₁-y,

also

RP\ __ V\ — y.

PR x₁ — x

Fig. 19.

(2.)

tyß — tgBPP\ =

Dabei giebt der Differenzen-

Ouotient —-- ein Mass für y

¹    xx — x

vßlL

-X

die Steigung der Curve vom Punkte P bis zum Punkte P,, d. h. dieser Ausdruck giebt an, in welchem Verhältnisse die Zunahme der Ordinate y zur Zunahme der Abscisse x steht. A.~/ä.

Unter der Voraussetzung, dass die Function y =f{x) für den betrachteten Werth von x differentiirbar ist, nähert sich die Secante PP, einer bestimmten Grenzlage TP, wenn der Punkt Px dem Punkte P immer näher rückt und schliesslich mit diesem Punkte zusammenfällt. Eine solche Secante, bei der zwei Schnittpunkte in einen Punkt P zusammenfallen, heisst Tangente und der Punkt P ihr Berührungspunkt. Bei diesem Grenzübergange werden die Strecken

PR — xx — x und PP, = yi — y

verschwindend klein, der Winkel ß geht in den Winkel « über, und man erhält aus Gleichung (2.) die wichtige Formel

(3.)

tg« = lim —-- == — = fix)

x-L—x.X\ X dx

in welcher der folgende Satz enthalten ist:

Der Differential-Quotient ist gleich der trigonometrischen

Tangente desjenigen Winkels a, welchen die geometrische Tangente

im Curvenpunkte P mit der positiven Richtung der X-Axe

bildet, wenn y — f(x) die Gleichung der Curve ist, und der

Punkt P die Coordinaten x und y hat.

Wenn die Curve im Punkte P steigt, so ist a ein spitzer

AVinkel (vergl. Fig. 20), also

= ^>o-dx^ ’

(4.)

tga

Fig. 20.

//

und wenn die Curve im Punkte P‘ fällt, so ist a* ein stumpfer AVinkel (vergl. Fig. 20), also

(5.)

fr“* = s <= °-

(Dabei sind allerdings nur die AVinkel zwischen 0° und 180° berücksichtigt, weil auch nur solche AVinkel hier in Betracht kommen können.)

In der vorstehenden Figur 20 ist also im Punkte P der Differential-Quotient ^ positiv, im Punkte P‘ dagegen negativ.

Dies giebt den Satz:

Wenn eine Function y —f(x) gleichzeitig mit x zunimmt, so ist die Ableitung für den betrachteten Werth positiv ; wenn aber die Function abnimmt, während x zunimmt, so ist die Ableitung für den betrachteten Werth von x negativ.

Der Beweis dieses Satzes kann auch unabhängig⁻ von der geometrischen Deutung des 1 )ifferential - Quotienten geführt werden.

Nimmt nämlich y mit x gleichzeitig zu. so wird

x> 0,

X\

V\ -y> o,

also auch

2^>0.

Xi -X

x werden mag, folglich wird

Dies gilt, wie klein auch xi

auch

(4 a.)

ą = lim *

dx

?>«.

x₁—x

Hierbei ist das Gleichheitszeichen dem Ungleichlieitszeicheii hinzugefügt, weil möglicher Weise der Zuwachs von y im Vergleich zu dem Zuwachse von x eine verschwindend kleine Grösse höherer Ordnung ist.

Nimmt y ab, während x zunimmt, so wird

V

xx — x > 0,

V\

also

’àszl<0.

Xx -X

Dies gilt gleichfalls, wie klein xx folglich ist

x auch werden mag,

(5 a.)

~ — lim —-- < 0.

dx

Von dem angegebenen Satze gilt auch die Umkehrung: Eine Function nimmt gleichzeitig mH x zu für alle Werihe

dy

von x, für welche ~ positiv ist, und die Function nimmt ab,

CtX'

dy

während x zunimmt, für alle Werthe von x, für welche ~-negatio ist.

Der Beweis folgt aus dem Satze selbst ohne Weiteres.

§ ¹⁴-

Einige Lehrsätze über Differential-Quotienten.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 17—20.)

Satz 1. Zwei Functionen, welche sich von einander nur durch eine additive Constante unterscheiden, haben dieselbe Ableitung, d. h. ist

⁽fix) =/(*) + C,

so wird

fix) =/'(«)•

Beweis. Ist

(fix) —fix) -f C

so wird

(f (x 4- Ax) — fix -f Ax) + C,

also

(f[x + Ax) — (fix) — fix 4- Ax) —fix),

(fix 4- Ax) — (fix)_fix 4- Ax) —fix)

Ax    Ax

(1.) p>(«) = lim    =    = m

Bezeichnet man fix) mit y, so wird (fix) = y 4- C,

(1 a.)

und die Gleichung (1.) nimmt die Form an djy 4- C) dy_.

dx

dx

Satz 2. Ist eine Function y — fix) mit einem constanten Factor A multiplicirt, so ist die Ableitung dieses Productes gleich der Ableitung der Function y, multiplicirt mit dem constanten Factor A, d. h. es ist

clx

Beweis. Setzt man

(fix) — Afix),

so wird

(f ix 4- Ax) = Afix 4- Ax)

also

(p (x + 4 x) — (p (x) = Af{x + Jx) — Af(x) = A[f(x + Jx) —fix)] <p(? 4 Jx)-(fjx) _ fix + Jx) —f{x)

Jx

Jx

oder, wenn man Jx unendlich klein werden lässt, ¥ (*) = Af' (*)•

(2-)

Bezeichnet man nun wieder fix) mit y, so wird cp. if) = A fix) = 4«/, und die Gleichung¹ (2.) geht über in

d(Ay) __

(2 a.)

Satz 3. Die Ableitung einer Summe von zwei {oder von mehreren) Functionen ist gleich der Summe der Ableitungen der einzelnen Functionen; d. h. es ist

d(u + v)_du ...

dx dx

dx

de

Beweis. Es seien

ip{x)

u = (p ix) und v — zwei beliebige Functionen von x, und es sei

y =/0) = u + ⁰ = SP 0*0 + lP (x)-

Es wird dann

f(x 4 Jx) = (f (x 4 Jx) 4 ip (x 4 Jx),

J y —fix 4 Jx) —f(x) — (p{x 4 Jx) — (fix) 4 ip {x 4 Jx) — ip {x),

Jy_cp (x 4 Jx) — ff (x) _j_ *Pix 4 J%) — lP ix)

Jx    Jx

Jx

~ = lim

dx Jx—ü

oder

(p{x-\-Jx) — (f\x)

Jx

4 lim

Jx — 0

ip{x-\- J x)—Ip(x)

Jx

■=(p'(x)+lp‘{x),

(8.)

d{u 4 v) _ du do

dx

dx

dx

In derselben Weise lässt sich zeigen, dass der angegebene Satz auch für eine Summe von beliebig vielen Functionen gilt.

Vertauscht man u + v mit u gleichen Schlüsse die Gleichung

v, so findet man durch die

(4.)

d(u — v)_du dv

dx

dx dx

und damit den

Satz 4. Die Ableitung der Differenz von zwei Functionen ist gleich der Differenz der Ableitunge7i der einzelnen Functionen.

§ 15.

Differentiation der ganzen rationalen Functionen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 21.)

Aufgabe 1. Man soll die Ableitung von

(1.)

y — xm

bilden, wenn m eine positive ganze Zahl ist.

(2.)

Auflösung. Aus Gleichung (1.) folgt V\ =

(8.)

yl—y = Xlm — Xm,

also nach Formel Nr. 12 der Tabelle

(4.) ldl-U — fl-f- ₌    -j- xff^x + xxm~³x² -f . . .

00I    00    00

-f xxxm~² + xm-] ;

dies giebt

(5.)

— lim ——- = lim (xAl~x + xx dx X    Xi—X

m—1

+ XxXm-² 4- Xm~X),

oder

(6.)

dx

mxm~x.

Dasselbe Resultat kann man auch in folgender Weise er

halten.

Aus Gleichung (1.) folgt

y -j- A y — (x 4- Ax)m

.Jx^Ar ...,

»»—2

, m .    m(m— 1)

= xm 4- -~xm~x. Jx 4-    lx

J y = mxm ¹ • z/;/; -f-

m(m— 1)

also

m(m — 1) ï , g......a

Geht jetzt /ix in dx über, d. h. wird Jx unendlich klein, so werden die Glieder auf der rechten Seite von Gleichung’ (8.) alle bis auf das erste unendlich klein, weil sie den Factor dx enthalten. Die Gleichung (8.) geht daher über in

du

~ — mx

(8.)

Jy

—r- = mx

m— 2

Jx

(9.)

m—1

dx

Der Werth m gleich 0 möge besonders berücksichtigt werden; man findet dann aus der allgemeinen Formel

<*(«♦) _ rf(i) _ ₀

dx

dx

Durch Anwendung der Formel

djÄy) = Adi

dx

dx

ergiebt sich hieraus, indem man ij gleich 1 setzt, dass

dA dx

wird, d. h. dass die Ableitung einer Gonstanten immer gleich 0 ist, ein Satz, den man natürlich auch direct beweisen kann.

Aufgabe 2. Man soll die Ableitung von y = x* + xi + x

bilden.

Auflösung. Nach Formel Nr. 19 der Tabelle ist ^₌*l) ₊ lö ₊ $ ₌ 4*» + te» + l.

dx dx dx dx

Aufgabe 3. Man soll die Ableitung von y — 3^^ + 1 \x- — Ix -b 8

bilden.

Auflösung. Hier ist nach den Formeln Nr. 19 und 20 der

Tabelle

dy _ d{2>xx)    d( ll«²)    d(lx) ^ d{8)

dx    dx    dx    dx dx

Ferner wird nach Formel Nr. 18 der Tabelle

folglich ist

c/(3«⁴) _    d(x*) __

dx    dx

d{llx²) _ ^ d(x²)

3.4 «³ = 12«³

dx

dx

= 11.2.«= 22«,

d{lx)

dx

dx

dx

⁷S = ⁷'1 = 7-

0,

dy_

dx

12«³ + 22« — 7.

In welcher Weise sich dieses Verfahren verallgemeinern lässt, soll die folgende Aufgabe zeigen.

Aufgabe 4. Man soll die Ableitung von

y = axn -f a{xn~l -f cf₂xn~² -f- . . . + «9i_i« -f- an

bilden.

Auflösung. Nach Formel Nr. 19 der Tabelle ist

dy_d(axn) ^ d(axxn~l) d{a<Lxn~²)

dx

dx dx

dx

d{an-\x) d[an)

dx

dx

und nach den Formeln Nr. 18 und 21 der Tabelle wird

d(xn)

d(axn)

dx

dx

= anxn~l

d(aixn~') d{xn~x )

dx

d(xn~²)

dx

«i

ax (n — 1) xn~²

d(a<lxn-‘¹) ___

dx    ² dx

= a₂ (n — 2) «w~³,

dx

dn—\ » — dn— 1 dx

d(an^\x) dx

d(On.) _ A dx ^

folglich erhält man

^ = naxn~~x + [n— 1 )ayx

+ (n — 2) a₂xn~i 4 ... 4- a,n-

Da sich jede ganze rationale Function auf die Form y — axn + axxn~x 4- Ü2xn~² 4- • • • 4- «n-4- an bringen lässt, so ist damit gezeigt, wie man jede beliebige ganze rationale Function differentiiren kann.

n—2

1) y = 6a;⁵ 4 4.

2) y = 6a:⁵ — 4,

§ 16.

Uebungs- Beispiele.

^ = 30,r⁴. dx

dx

30a:⁴.

3) y = fa;¹⁰,

dx

4a:⁹.

4) y = 3a:² — Ix + 9.

= 6a: — 7.

5)    y — (2x — 5) (x² + 1 la:

Hier findet man das Resultat, indem man zunächst die Klammern auflöst und dadurch y auf die Form bringt y— 2a:³ 4 17a:² — 61x 4 15.

6)    y = 5a:⁴—~z³ + 4a:² — 3a: + 7, ^ = 20a:³— 11a:² + 8a:— 3.

7)    y = a:⁴+12a:³—29a;²— 61a: —134,    = 4a;³+36a;² — 58a:— 61.

8)    y = a:³ — 5a:² -f 8a- — 4,

9)    y — 3a:⁵ — 7a:³ + 13a',

10) y = 5a:⁸ — 3a:⁶ + 2a;⁴ — 4a:² -\- 7,    = 40a;⁷— 18a:⁵ 4* 8a:³—8a;.

6)j

= 6a:² + 34a; — 61.

-4 = 3a;² — 10a: -f 8.

dx

dy

dx

15a:⁴ — 21a;² + 13.

Stegemann - Kiepert, Differential-Rechnung.

. 17.

VA

Differentiation einer Potenz mit negativem ganzzahligen

Exponenten.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 21.)

(i-)

Aufgabe. Man soll die Ableitung- von

y = xm

bilden, wenn

(2-) eine negative ganze Zahl ist.

Auflösung. In diesem Falle ist

(3.)

(4.)

V\ — xi n =

-i. H •r1

also

(5.)

Vi —y =-ZU x\

xn

xi n — xn xnxxn

also nach Formel Nr. 12 der Tabelle

1 Xin — xn

xnxtn X\ -X

(6.) y-^ry

v ' xK-X

H—‘2

xnx₁

+ • • • + Xn-²Xj + xn~l).

Dies giebt

(7.)

dy

V\ — V

dx

lim

= X    &

—    • nxM~¹

xln

oder

(8.)

du

—■ nx:

dx

Die Formel Nr. 21 der Tabelle bleibt also noch richtig, auch wenn m eine negative ganze Zahl ist,

18.

VA

Differentiation der logarithmischen Function

fix) \ogx.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 22 und 28).

Aufgabe. Man soll die Ableitung der logaritlimischen

Function

(1.)

V —fix) = log*

bilden.

Auflösung. In dem vorliegenden Falle ist

(2.)    /(.r) == log.r, f{x + Jx) = log(r + Jx), fix + Jx) —ff) = log(x + Jx) — log.r = log

oder

(3.) f{x + Jx) —fix) = log(l +    ,

(4.)

fix + Jx) —fjx) _ Jfjx) _ J_ loo. A    Jx\ '

Jx    Jx Jx ° V X J

Setzt man

(5.)

Jx

x ri

-, also Jx —

so ist

(6.)

jf = |log (l + 1) = |log [(l + I)” .

Nun wird aber n unendlich gross, wenn Jx unendlich klein wird; deshalb ist

à fix) ₌ dy ₌

dx dx

(7.)

— lim log

Xn = ao

Diesen Grenzwerth kann man leicht angeben, denn nach Formel Nr. 13 der Tabelle ist

(8.)

lim

n — oo

folglich wird

(9.)

dy __ c?(logr) _ loge

dx

dx

loge = 1,

Dabei ist die Basis des Logarithmen-Systems noch eine ganz beliebige, wählt man aber die Zahl e selbst zur Basis des Logarithmen-Systems, so ist

so dass die Gleichung (9.) eine noch einfachere Form anniimnt.

Die Logarithmen mit der Basis e heissen die natürlichen Logarithmen und mögen in dem Folgenden nur durch den Buchstaben 1 bezeichnet werden.

Demnach ergiebt sieli aus Gleichung (9.)

(9 a.)

d(\x)_1

dx

Bemerkung.

In der höheren Mathematik benutzt man fast ausschliesslich die natürlichen Logarithmen mit der Basis e; es ist aber sehr leicht, von dem einen Logarithmen-System zu dem anderen überzugehen.

y = loga; gleichbedeutend mit 10y = x

Es bezeichne z. B. loga: den Briggs’schen Logarithmus von x mit der Basis 10, und \x den natürlichen Logarithmus mit der Basis e\ dann ist (10.) und

(11.)

z — \x ist

e“ — x.

Daraus folgt

(12.)

10y =es.

Nimmt man auf beiden Seiten dieser Gleichung den natürlichen Logarithmus, so erhält man

(13.)

\x

yllO = z, oder loga: = —

Nimmt man dagegen auf beiden Seiten der Gleichung (12.) den Briggs’schen Logarithmus, so erhält man

(14.)

y = zloge, oder loga: = \x . loge.

Aus den Gleichungen (13.) und (14.) folgt zunächst

110

—- = log e ;

ferner geht aus ihnen hervor, dass man die natürlichen Logarithmen sämmtlich mit dem constanten Factor

loge

0,4342944819

110    2,3025850930

zu multipliciren hat, um aus ihnen die entsprechenden Briggs'sehen zu erhalten. Man nennt diesen Factor loge gewöhnlich „den Modul der Briggs'sehen Logarithmen.“

§ 19.

Differentiation der trigonometrischen Functionen

sinæ und cosse.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 24 und 25.)

Aufgabe 1. Man soll die Ableitung von

(1.)

y — fix) — sin «

bilden.

(N CO

Auflösung. Aus Gleichung (1.) folgt fix + «/«) = sin (« -f Jx).

fix + Jx) — -/(«) = Jfix) — sin(« + Jx) — sin«. Nun ist bekanntlich

sin« sin b — 2 sin

/ a — b\ ( a + b\

(—)cos (—)

folglich wird

(4.)

fix) = 2 sin (~yJ

cos

oder, wenn man der Kürze wegen

(5.)

Jx — 2z

setzt

Jfix) — 2 sin« cos (« + 21.

Jx

(6.)

(7.)

dfi f __

dx

d.i' s — o

lim cos(« + «) z

.. sm 2 = cos« lim---

0 Z

Nach Formel Nr. 1 der Tabelle ist aber

v sin«

Inn-= 1,

z=0    **

folglich ist

(8.)

dy _ «ffsin«)

dx

dx

cos«.

(9.)

Aufgabe 2. Man soll die Ableitung von y = /(«) = cos«

Auflösung. Aus Gleichung (9.) folgt /(# -f Jx) = C0S(# + /Ix),

fix + /ix) — fix) = Jf{x) = COS (x + Jx) — COS#. Nun ist bekanntlich

cos« — cosZ» == — 2 sin

folglich wird

(12.)

4f(?) = — 2 sin (jf)sin (f + ff) »

oder, wenn man wieder

Jx = 2 z

setzt, (12 a.)

(13.)

(14.)

Jfix) = — 2 sinz sin (# + z),

4f{x) _

Jx

dfix) _    _

dx dx

oder

(15.)

dy _ (/(cos#) _

dx

dx

— sin#.

Bemerkung.

Es wird hier nochmals darauf aufmerksam gemacht, dass in sinz und cos# die Grösse x kein Winkel, sondern die Länge eines Kreisbogens ist. (Yergl. § 1, Seite 6.)

§ 20.

Differentiation der trigonometrischen Functionen tgsc und ctga?.

(Yergl. die Formel-Tabelle Xr. 2G und 27.)

Aufgabe 1. Man soll die Ableitung von

(i-)

y =/(«) = tg#

Auflösung. Aus Gleichung (l.) folgt f{x + Jx) — tg(« + Jx),

f{x + Jx) —fix) — 4f{X) — tg(‘r + J:r) — tg^-Nun ist bekanntlich

,    , ₇ sin (a — b)

& — cosacos£

folglich wird

(4.)

Jf(x) =

sin (Jx)

cos (x + Jx) cos«’

(5.)

Jf(x)

Jx

_ sin (Jx)

cos (x + Jx) cos« Jx

und da nach Formel Nr. 1 der Tabelle

$m{Jx)

hm —^—- = 1

Jx=0 JX

wil d, so ist

(6.)

(7.)

df(x) dy d(tg«) _

dx    dx dx    COS²«

Aufgabe 2. Man soll die Ableitung von

y =/(«) = ctg«

^ = 1 + tg²«.

bilden.

Auflösung. Aus Gleichung (7.) folgt

(8.)

f(x -}- Jx) = Ctg(« + Jx),

(9.)    ,/(« + Jx) —f(x) = Jf(x) = çtg (« ■+• Jx) — ctg«.

sin(a — b) sin a sin b

Nun ist aber bekanntlich ctg a— ctg 6 =

folglich wird

(10.)

(11.)

Jf(x) — 4f(x)

_sin ( Jx)

sin(« + Jx) sin«

Jx

(12.1

df(x) _ dy _ c/(Ctg«) __ dx dx dx

______ sin Jx

sin(« + xtx) sin« Jx

ä4=-'(1 + ctg%)-

. § 2 1 •

Differentiation der Producte und Quotienten.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 28—33.)

Aufgabe 1. Es sei

u — ę{x),

man soll die Ableitung des Productes

(1.) •

® = ^0);

(2.)

y =Ax) =    = <p(x) *Pix)

bilden.

Auflösung. Aus Gleichung (2.) folgt

(8.)

fix i- Jx) — rp{x-\-Jx) lfj(x-\-Jx), fixfJx)—fix) — Jfif) = (p(x-\-Jx) l/j(x-{-Jx) (f ix) lp{x),

oder

(4.)

Jfi X) — ff ix + Jx) lfj(x -f- Jx) (f ix) lfj{x + Jx)

+ (f ix) ip(xfjr) — (fix) fix),

also

(5.)

Jfix)

Jx

= lpix-\-Jx)

(fix -\-Jx)-(fix)

Jx

(fix)

lp(x-\-Jx)— lp(x)

Jx

Nun ist

lim ip ix -f- Jx) — ip ix)

4x— 0

Umy.i£--L^-y(») = y.(ig)

rr-o    fix

tpf + Jx) — ip (x) _

lim

Jx

ipfx),

folglich wird

(6.)

dx

dx 'P 0) ⁽f‘ 0*0 + ⁽p f ) f (x),

oder

(6 a.)

diuv) _

du

dv

dx

" dx + U dx'

Dies giebt den Satz:

Ein Product von zwei Factor en wird clifferentiirt, indem man jeden der beiden Factoren einzeln clifferentiirt, mit dem andern multiplicirt und die Summe dieser beiden Producte bildet.

Beispiele.

1)    y = (3 + te) (2 - Ix),

13 —56 a;.

= 4(2-7*)-7(3+ ér) =

Von der Richtigkeit dieses Resultates kann man sich auch dadurch überzeugen, dass man nach Auflösung der Klammern y — 6 — 13a; — 28a;²

erhält, woraus sich unmittelbar derselbe Werth von <~ ergiebt.

2)    y — (a;⁴ — 3a;² +11) sin x ;

^ = (4a:³ — 6a;) sina; + (a;⁴ —- 3.?² + 11) cosa;.

3) y — COSa; tga;;

dy__

COSa;

— sina: tga; +

sin²a; 1    1 — sin²a;

COSa; ' COSa;

Dieses Resultat hätte man noch einfacher finden können, indem man berücksichtigt, dass

tg* =

dx

cos² X

cosa;

— COSa;.

sina;

cosa;

ist, denn dadurch ivird

y — cosa; tga; = sina; und nach Formel Ar. 24 der Tabelle

dy

dx

cosa;.

Aufgabe 2. Es sei

(7.)

u = <p(x), v = xp (x), w = *(*),

man soll die Ableitung von

(8.)

y = WWW

bilden.

Auflösung. Indem man

(9.)

VIV — V,

setzt, erhält man

V = «®1,

(10.)

so dass nach der vorhergehenden Aufgabe

du du , de.

~d~x ~~ ~dx + U ~&r. wird. Nun ist aber gleichfalls nach der vorhergehenden Aufgabe

dv ,

wdx + VTX

(li.)

(12.)

folglich wird

dv

dx

dw

(13.)

dy d (•uvw) du

dv

div

dx

dx

VW ——J- uw -—\- uv — •

dx

dx

dx

Dies giebt den Satz:

Ein Product von drei Factor en wird differeniiirt, indem man jeden dieser Factoren einzeln dijferentiirt, mit den beiden anderen Factoren multiplicirt und die Summe dieser Producte bildet.

Man erkennt leicht, dass sich diese Regel auch auf Producte mit beliebig vielen Factoren übertragen lässt. Zum Beweise mögen die Gleichungen (6a.) und (13.), indem man sie beziehungsweise durch uv und uvw dividirt, auf die Form

1 d(uv)

(61).)

_1 du    1 de

uv dx

u dx    v dx

(13a.)

J d(uvw)    1 du

1 dv . 1 dw

uvw dx u dx~^ v dx w dx

gebracht »werden.

Dem entsprechend kann jetzt durch den Schluss von m auf m-f 1 die Richtigkeit der Gleichung

d(uy u-i... um) 1 dux

u, dx

(14.)

1 du₂

1 duin

dx

u₂ dx

um dx

2 • • •

nachgewiesen werden.

Ist nämlich um wiederum aus zwei Factoren zusammen-gesetzt, ist z. B.

um — uv,

so wird nach Gleicliung (6 b.)

1 du m L du + i d v

um dx    u dx v dx

(15.)

Deshalb geht die Gleichung (14.) über in

d{uy u%. ..um~\uv) _

UyU₂ .. • Um-\UV 1 dux 1 du₂    ^

Uy dx Ui dx

dx

1 dum-1 ^ 1 du ^ 1 de .

u dx v dx

u^j—\ dx

daraus folgt, wenn man um statt u, um+\ statt v schreibt,

d(u\Ui... umum^.\ j_

(15 a.)

UyU₂... UmUmĄ.\

dx

1 dux    1 dui ^    -L- — —— -f-

uv dx    Ui dx    ¹ um dx um+1 dx

1 du

»»+i

Damit ist die allgemeine Gültigkeit der Gleichung (14.) nachgewiesen. Durch Multiplication mit uY u₂... um erhält man aus ihr die Formel

(16.)

d {Uy U.₂ . . . Uffj) _

dx

du y    du» t    dum

dx

W₂ W₃ ...    — + Uy u., . .. Um ~~ + ... + UyU₂ ... Um-\ —ÿ;

und damit den Satz:

Ein Product von beliebig vielen Factoren wird dijferentiirt, indem man jeden dieser Factoren einzeln dijferentiirt, mit allen übrigen Factoren multiplicirt und die Summe dieser Producte bildet.

Sind die m Factoren alle einander gleich, ist also

Uy — Ui — U<i — ... — Um — U.

so folgt aus Gleichung (16.)

d (um)

(17.)

du

dx

mum~i -7-* dx

Für den besonderen Fall, wo

U = X

ist, geht diese Gleichung in Formel Nr. 21 der Tabelle über, nämlich in

d{xm) _

dx

mxm~x

Die Gleichung (17.) gilt vorläufig nur, wenn m eme positive • ganze Zahl ist, sie bleibt aber, wie sogleich gezeigt werden soll, auch noch richtig, wenn m eine positive gebrochene Zahl ist.

Wird nämlich

(18.)

wo a und b positive ganze Zahlen sind, so folgt aus

m = 7-.

oder mb = a,

(19.)

y = W»j = U\

indem man beide Seiten der Gleichung in die bte Potenz erhebt,

(20.)

yl — ua.

Differentiirt man beide Seiten dieser Gleichung- mit Anwendung der in Gleichung (17.) ausgesprochenen Regel, so erhält man

(21.)

byb~⁴    — aua~x ^ = mbumh~~x

dx    dx    dx

Da aber aus Gleichung (19.) folgt, dass

yb~x = umh~m

ist, so geht Gleichung (21.) über in

dx

bumb~m^L — mbumb~x , ax

oder, wenn man diese Gleichung durch bumb~m dividirt, in

dy

(22.)

du

dx

mum~x —

dx

ein Resultat, das mit Gleichung (17.) genau übereinstimmt. Es gilt daher auch die Gleichung

(22 a)

d (xm) _

dx

mxm~¹

noch, wenn m eine positive gebrochene Zahl ist.

m — — n

eine negative ganze oder gebrochene Zahl ist. Es wird dann

Man kann sogar die Richtigkeit dieser Formeln noch zeigen, wenn (23.)

(24.)

y — um — u~n — —5

'    1ln also

(25.)

uny — 1.

Differentiirt man beide Seiten dieser Gleichung, so findet man nach der Regel rar die Differentiation eines Productes

also

(26.)

dy

du

du

dx

— »w_w—1— = mum~l —•

dx

dx

Damit ist bewiesen, dass die Gleichung (17.) und deshalb auch die Formel Nr. 21 der Tabelle gilt, gleichviel ob m eine ganze oder eine gebrochene, eine positive oder negative Zahl ist.

Beispiele.

1)    y — (2x¹ — 7ä² + Sx + ll)⁴;

^ = 4 (2z¹ — Ix¹ + Sx + 11)» (6^2 __ i±x + 3^

2)    y = YaL + x² — (a² + z²)² •

Setzt man

a² + z² — u,

so wird

V = u dy

— —u dx 2

oder

(27.)

dx

]/ a² -f- x²

Ebenso findet man

(27 a.)

dY z² — al

dx

Y x¹ — a²

Setzt man hier

d¹ — a;² = v

so wird wieder

dx 2 rfe ~ 2

-4

(— -*)■

oder

(28.)

— a;

t/a;

y"a² — a;²

4) y = |/(2a; — 5)⁴ = (2a: — 5)³ :

dy 4

•r

tZr

|(2^-5)T.2=||/2rr - 5.

Ü'

VS

&-I4-

21«

7    «

CO |tO    <N

MM

OTOD

rH

t—H

t4»C

«

th l'M

Hs

ÎO

ve

a;-⁴-

dy

dx

— 4a;⁻⁵.

iL = Lr~%= —

11)    y = 12]/a;³ — 7j/a;⁴ -f- lia;

i.

7)    y — \fx

8)    y = 4-=*~l

4-j/a;³

4j/a;⁵

31/a;²

35a;⁴.

_.i

-i

y^³

12a;⁴ — 7a;⁷ + lia; — 8a;

-i

_3

dz

— ix ⁷ + 11 + 12a: '² =

Vx Ÿ7*

4    12

— +11+1T—

V*

12) y — (2a:² — 3a: + 4) Y— 3)³. Setzt man

2a;² -—• 3a; + 4 = w.

so wird

du

— — 4x — 3, dz

dy_ __

dv

Ć&T

Y (Ax — 3)³ = (4z — 3)"® = v, = uv,

I (4z — 3)*. 4 = 6 Y4z —3. £

= (4a: — 3)² (4a: — 3) + (2a:² — 3:r + 4). 6Y4% — 3 = Y4a: — 3 [(4a; — 3)² + 6 (2a:² — 3a: + 4)]

= ]Aa: — 3 (28a:² — 42a: +33).

13) y = sina; — -f sin³a; + sin⁵a;;

=

G?a:

dz

(1 — 2 sin²a- + sin⁴a:) cosa; = cos⁵a\

14)    y = cos a: — COS³a: + -§ COS⁵a; — ⁴ C0S⁷a;;

^ = (1 —3 C0S²a; + 3 COS⁴a;—COS⁶a:) (—sina:) =

15)    y = 3tg⁵a; — 2 tg⁴a; — 5tg³.a: + 4tg²a*;

~ — (lötglr — 8tg³a; — 15tg²a: + Btga:) (1 + tg²a;)

= 15tg⁶a: — 8tg⁵a;— 15tg²a: + 8tga:.

Aufgabe 3. Es sei

—sin⁷a;.

u — <p(x), v — ip(x)-man soll die Ableitung des Quotienten

(29.)

(30.)

bilden.

= £- oder/(*)=2g

Auflösung. Aus Gleichung- (30.) folgt

(31.)

f(x H~ Jx)—f{x) = Jf{x)

_ <p{x-\-Jx)    (p (x)

ip{x-\-Jx)    tb (x)

_ fP {x-\-Jx ) Lp (x) —- ip (x -j- xix) (p (x)

ip (x -f- Jx) ip ix)

Dies giebt

4f(x) _

<³²-> A

xp{xĄ- Jx) xp{x)

(f{x-\-Jx) lp(x)-Xp{x-\-Jx) cp[x)

/ix

oder, wenn man in dem Zähler auf der rechten Seite dieser Gleichung die Grösse ą>[x)xp{x) subtrahirt und wieder addirt,

//(%)

(33.)

ip (x -f Jx) ip {x) • fp{X-j-Jx) lp{x)-(p{x) lp(%)-lp{x-\-/lx) (p(x) + (p{x) ip{x)

Jx

Jx

= V>(?)

(p (x -j- Jx) — rp (x)

Jx

— <f{x)

ip (x -j- Jx) —• ip (X)

Jx

Geht man zur Grenze über, indem man Jx unendlich klein werden lässt, so erhält man

rp(x -f Jx) — <p(x) _

lim

/x = 0

Jx

q>'(x), lim

Jx = 0

lp(x-\- Jx)-lp(x) _

Jx

xp\x)

und deshalb

lp(x)lp{x)

df (x)_

dx

ip(x) (f‘(x) — (fix) lp‘(x),

(34.)

#0) ₌₌^y₌ v (*) <p‘ (x) — v 0*0 0*0,

dx dx    ip (x) xp (x)

oder

(34 a.)

I ss

ss

ej

Dies giebt den Satz:

Die Ableitung eines Bruches ist gleich dem Nenner, mulli-plicirt mit der Ableitung des Zählers, weniger dem Zähler, multi-plicirt mit der Ableitung des Nenners, das Ganze dividirt durch das Quadrat des Nenners.

Beispiele.

1)

_ sin x dg _

^ cos x ’ dx

cos cos.r — sin x (— sin.r)

COS²ff

cos²ff + sin²ff

COS²ff

COS²ff

Dieses Resultat stimmt mit Formel Nr. 26 der Tabelle überein, denn es ist

sniff

-= tgff.

COS ff    ö

1 dg_xn . 0 — nx

n— 1

dx

ff²”

= — nx

Dieses Resultat stimmt mit Formel Nr. 21 der Tabelle

überein.

s) y =

ff² — a²

ff² -f- dl

Hier ist

u = ff² — a².

o — x² -f- a²

also

du

dx—    ■

de

Tx = 2x'

dg_ (ff² -f- a²)2ff — (ff² — a²)2ff_

(ff² -J- a²)²

dx

4a²ff

(ff² + a²)²*

x + ai¹ + ff²

4) y —

Hier ist

u = x -f y0/1 +    ^ = 1 +

ff _ y a2 + ;r2

ff -f- >/a² + ^2 /a² + ff² ~ V"a² + ff²^ ’

ff

v — x —- y d¹ -f- x², ~ =

CLX

also

x — ya¹ +

y a² + x²

dy (x—y a²-\-x²) (#+]/" a²-{-x²)-\-(x-Ą-y a²-\-x²) (x—y a² + x²)

dx

(x—y a²-j-x²)²ya²-{-x²

— 2a²

(x — y a²-j-x²)²y a² + x²

a²y a² + x²

II. Abschnitt.

Functionen von Functionen.

¹

y — Y aï — x"¹ — (a² — x²) "².

§ 22.

Differentiation einer Function von der Form f(u).

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 34 und 35.)

Es sei y irgend eine stetige Function von u, also

(1.)

y =/(«),

und u sei wieder irgend eine stetige Function von x, also

(2.)

u — <p(x)i

dann ist y auch eine Function von x, nämlich

(3.)

y =/[>(*)] = F{x).

Beispiele solcher „Functionen von Functionen“ sind $__

y = y 4F² — Ix + 11, y — sin(3#), y — (sin^)⁴,

y = log (sin x),

y = (log.«)w, y = arc sin

|/l + x

Es ist die Frage, in welcher Weise solche Functionen von Functionen differentiirt werden können.

Vermehrt man x und dx, so gehen die Grössen x, u und y bezw. über in

x -j- dx, u + du — tp (x + dx), y + dy = f(u + du), folghch ist

(4.) du — (f{x + dx) — (f (x), dy =f(u + du) ~f(u), d F (x) _ dy _f(u + du) —f{u) ^ dx dx

Dies giebt den Satz:

Die Ableitung einer Function von einer Function ist gleich dem Producte der Ableitungen beider Functionen.

Die Richtigkeit dieses Satzes erkennt man ohne Weiteres, wenn man beachtet, dass man mit den verschwindend kleinen Grössen dx, dy, du, ... ebenso rechnen darf, als wären sie

dy

oder, wenn man auf der rechten Seite dieser Gleichung Zähler und Nenner mit du gleich cp ff -f dx)— <pff) multiplicirt,

dy_fiu + du) —fff) (p ff -f- dx) — (p (x).

dx

du

dx

folglich ist

(6.)

i-*-™-ii

bestimmte Zahlen. Dann erhält man nämlich ~ ~r aus

du dx

indem man Zähler und Nenner mit du multiplicirt.

Eine etwas einfachere Form, erhält dieser Satz, wenn man statt der Ableitungen oder Differential-Quotienten die Differentiale einführt.

Aus der Erklärung des Differential-Quotienten einer Function y — fff), nämlich aus dg dfff)

,    ,    fff) = hm

dx    dx    J v J

fjx + d x) —fff)

dx

folgt unmittelbar

• dx,

dx

(7.) dy — dfff) — f ff)dx — lim

d. h. das Differential einer Function von einer unabhängigen Veränderlichen x ist gleich der Ableitung, multiplicirt mit dem Differential dieser Veränderlichen.

Aus Gleichung (6.) folgt daher

(6a.) da aber

dy —f (u) ff ff) dx ;

du = ff ff) dx

ist, so findet man hieraus

d. h. man findet das Differential von y, indem man die Function u als die unabhängige Veränderliche ansieht.

Beispiele.

1 ) y = u³ und u = sin.r.

Hier ist

dy = Su² du und du = COSxdx,

also

3 sin²# cos./-.

dy — 3 sin²# cos xdx, oder —

2) y = 1 (1 — x²) = lu, wo u — 1 — x². dy = — du = —±— (— 2x) dx = = 2xdx

XL    1 -X¹    1

Ist y eine Function von u eine Function von x, ist also

u eine Function von v und v

y =/(«)» u =    ⁰ —

(9.)

so wird auch y eine Function von v und deshalb auch eine Function von x; daher findet man nach dem vorhergehenden Satze dy—fi(u)du, du = (p‘{c)dv, do — ip‘(x)dx,

oder

(10.)

dy = f‘{u)du = f‘iu) (ff(v)dc =f‘(xi)(p\v)ip‘(x)dx.

In dieser Weise kann man fortfahren und das Differential von y auch dann noch finden, wenn die Reihe der veränderlichen Grössen, von denen jede eine Function der folgenden ist, noch länger wird.

Es sei z. ß.

oder

dann wird

also

= sin«, u — vm, v = a³ + x³, y = sin [(a³ + x³)m\, dy = cos u du, du = mvm~x dv, dv = 3x²dx,

dy = cosm . mvm~] dv = cosm . mvm~l. 3x²dx

— — 3mx² {a³ -f- x³'yn 1 cos[(a³ + x³)m\.

3) y = cos(a.r³ -f- bx⁴). Man setze

ax'⁴ + bx⁴ = u

dann wird

y = cos u,

dy — — sin udu, du = (3a.r² -j- 4£.r³) dx, dy — — sin (ax'⁴ + bx⁴). (3ax² -j- 4bx‘A) dx, oder

~ — — (3ax¹ -f- 4bx³) sin(a.r³ -j- bx⁴).

4) y = tg Hier ist

to s

1)

§ 23.

Uebungs-Aufgaben.

ày

du

mu,n~⁴ -T-*

y⁼ dx

Dieses Resultat stimmt mit Formel Nr. 29 a der Tabelle überein. Daraus erkennt man, dass diese Formel nur ein besonderer Fall von Formel Nr. 35 ist.

2) y = sin(m.r).

Man setze

dx

dann wird

mx = u,

oder

y =■ sinw, dy — cosudu, du — mdx, dy = mcos{mx)dx,

dy^

dx

m COS [rn

y = tg«, wo

dx

also

dx

dy

2 cos²

Ins ’s

£&•

2 COS²

_ v    5---—- dy    3 (cos « — sin x)

5) v — i/fsin« 4- cos^r)³: — = -4¹--—

6) y — 1 (sin x). Hier ist

dx Sy^sin* + cos*)*

y = \u

wo

du

u — sin«, du = COS« dx,

cos« dx sin« ’

= ctg«.

= — tg«.

8) y = l(tg«);

sin« cos«

9) y = l(ctg«);

10) y = l(cos« + sin«); ^

sin« cos«

dy_— sin« 4- cos«

cos« 4- sin«

11) y = 1(]/V² -f «² 4- ]/a²— «²). Man setze

dann wird

y = Iw,

u — yd¹ 4- «² + j/"a² — «²

dy — — du,

XL

c/« =

x(yr d¹—«² — y a²-f-«²)c?«

]/a⁴ — «⁴

dy — oder

«(]/ a² — «² — d¹ + «²) dx

y cp -j- «² -j- y d~—«²) y «⁴ —~x*

«(]/" a² — «² — ]/^a² -j- «²)

dx

(y^a¹ -f- «²    y a² — «²) y«⁴ — «⁴

Indem man noch Zähler und Nenner auf der rechten Seite dieser Gleichung mit ]/" d¹ -f «² — y a² — «² multiplicirt, erhält man

dy _

«(2a² — 2yAa⁴ — «⁴) _

d¹ 4- ya⁴ — «⁴

dx

2x²y cd — «⁴

«1/ a⁴ — «⁴

Hier ist

wo u —

dy =

du —

« l.r ’

§ 24. .

Differentiation inverser Functionen, insbesondere der cyklometrischen Functionen und der Function ax.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 36—43.)

Wie schon früher (§ 1) hervorgehoben wurde, kann aus der Gleichung

y —fix)

durch Auflösung nach x eine Gleichung

x = (p{y)

hergeleitet werden; man nennt dabei die eine Function die inverse der anderen, weil die eine aus der anderen durch Umkehrung entsteht.

(10

(20

dy

Es ist nun häufig nothwendig, ~ zu bilden, wenn nicht

y—f{x) gegeben ist, sondern die inverse Function x — fp(y). Dies geschieht, indem man beide Seiten der Gleichung (2.) nach x differentiirt; dabei muss man aber beachten, dass auf der rechten Seite der Gleichung eine Function von y steht, und dass y wieder eine Function von x ist. Es kommt dabei also Formel Nr. 35 der Tabelle zur Anwendung, wobei man erhält i _ dff(y ) dy __

(3.)

dy

dy

dx

oder

dx

Beispiele.

1) Es sei

(5.)

y = arc sina-, dann findet man durch Umkehrung der Function

(6.)

x — siny

und durch Differentiation dieser Gleichung⁻ nach x

(7.)

dy

1 = C0S^’

(8.)

dy

dx

oder

cos y    Y1 — sin²y

(8 a.)

c?( arc sina;)

dx

Y i—x²

Für alle Werthe von x zwischen — 1 und + 1 giebt es

7t    7t

einen Werth von y zwischen —— und +—• Da cos y für alle

u    £

diese Werthe von y positiv ist, so muss in Gleichung (8.) die Quadratwurzel mit dem positiven Vorzeichen genommen werden.

2) Es sei

(9.)

y = arc cos a-, dann wird in ähnlicher Weise wie vorhin

(10.)

(12.)

x — cos y,

¹ = — siny • ^ i dy_ ___i__ _

dx siny

dy

oder

(12a.)

d{ arc cosa;)

dx

Y1 — cos²y

Y 1 — a;²

Für alle Werthe von x zwischen — 1 und + 1 giebt es einen Werth von y wischen 0 und n. Da siny für alle diese Werthe von y positiv ist, so ist in Gleichung (12.) das Vorzeichen der Quadratwurzel richtig bestimmt.

3) Es sei

dann wird

(14.)

.r = tg y,

(15.)

du

(16.)

i = (i + Wy)-fx’

dy _    1

dx 1 + tg²y ’

oder

(16a.)

<7(arc tg./')

dx

4) Es sei

(17.)

dann wird

y = arc ctg .r,

(18.)

* = ctg y,

(19.)

dy

(20.)

l=_(l + Ctty)-Tx,

dx

1 + ctg²// ’

oder (20 a.)

d{arc ctg.r) _

dx

1 + x¹

5) Es sei

(21.)

dann wird

y = arc sec.r

(22.)

x — sec y =-• cos // =

J cos y v

Si    ł—¹

(23.)

(24.)

i ₌ ńY[y - dy

cos² y dx

dy _ cos² y __ coshy dx siny y 1 — cos²y 1 — x

x~²

oder

(24 a.)

//(arc secaQ _

dx

./'

Yxi — i

6) Es sei

(25.)

dann wird

y = arc cosec./'

(26.)

s 11-¹

(27.)

(28.)

x — cosec ?/ = ——, sin y —    =

⁹ sin y ,    9

cos?/ dy sin²?/ dx ⁵

dy _ sin²?/ _ dx cosy

sin²?/

x~²

y 1 — sin ²y

VT=

x~²

oder (28 a.)

d(arc cosec x) _

dr

x~yx²—i

(29.)

7) Es sei

y — ax,

dann wird, wenn man auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus nimmt,

xl a = ly,

(30.)

(31.)

T—<

dy

' dx

(32.)

ch[_

dx yla>

oder

(32 a.)

d(ax)

dx

= ax\a.

Für den besonderen Fall, wo a gleich e (der Basis der natürlichen Logarithmen) wird, erhält man

la = le = 1,

so dass die Gleichung (32 a) übergeht in

d(ex)_

(33.)

dx

(f.

Oex.

(34.)

Ist C eine beliebige Constante, so ist auch d(Cex)

dx

Dieses Resultat ist deshalb bemerkenswerth, weil Cex, wie später gezeigt werden soll, die einzige Function ist, welche mit ihrer Ableitung übereinstimmt. Man nennt ex die Exponential-Function.

§ 25.

Uebungs-Beispiele.

1)    d(axz — bx² + c) = x(Sax — 2 b)dx.

2)    d (^xA — \x² -f- 4x — 5) = (x² — 3./' -j- 4 )dx.

3)    d(

2x² — Ix —

⁵⁺^)⁼(

4x — 7 —

!>•

* -S + =)-(

__

a¹ x¹)

3x²

dir.

5) d

(j

3ä;³

— Ix

dr.

39 4 , 7

T"*    +3 *

6) d[(ax2n — bxn + c)m] =

mn(axln —    -j- c)w_1 (2«.rn — b)xn~xdx.

(4.x—5 )dx (2x²—öx+§)²

7)    </(

« -m

9) d\(a-\-x)Y~a — x]—

2x²—5x-{- 9

¹    ^—d[[2x²— ö^+O)-¹]

_ (i — d) dx (b + x)²

( a — 3,r) dx

2 y a — x

10)    d[(a² + x²)Y a² — z*\ =

11)    d[(2ö² + Sx²) Y (a² — .r²)³] = — 15x³Y a² — x² . dx.

12) d(-₇=L=) =

\]/^ a — bx²)

dx.

Y~(ä — bx²Y

13)    d(ax -f = d(ax + arx) = (ax —

14)    d[(x — 1)«*] = «*[1 + (x— 1)1 a\dx.

15)    d(ex . xm) — ex . xm~x (x + m)dx.

16)    d(ec(xi — 3x² + 6^ — 6)] = ex . x^dx.

a'x)\a dx.

i7>

ex(2 — x²)dx

(1 — x)Y~ 1 —~x²

dx

18)    d\(x -f ]/ a:² + d-ÿ =

19)    d\\x + y".?'² — a²^ =

²°) di7+1    -¹ (*+j/t^]

dx    dx

~ x Yi + x*

²¹⁾ ‘KVfrrù =4i¹⁽⁸"-⁴⁾-^1(te + 4)'

12 e/a:

;r² -f- a'¹

dx

Y x¹ — a²

=-(-

2 \3a: — 4

TV* =

9.r² — 16

3x + 4

22) </l(j/£Î^f!)    = d [i- l(a» - *») -1 1 (o» -t- *»)

=(

a:

a² — ar²

ïiTp-)* =

2 adxdx

a⁴ — x⁴

23)    c/l^a+.r+y" 2aa: + a'²^

¹ +

S J    3    3 _

i —yV 3 (i — y^²) y"«²

"[/" 2aa; + a:²

24) c/l

2c/a?

25) d\

a'² + a;² + \ a¹ — a^\_^/«\

V a² + xl~-~y a² — a-v ~ f x²⁵/

wobei

u = j/a² + a1 2-f    «² —a;², «j = "jA«² + x² —]/ a² — a;²,

c/m

a;

c/r y^ M²-f-a;²

a- _x (Va<1—^² — y^M²)

]/■ a²—a:²

]A«⁴—a:⁴

do

«■(y^a²—a;² -f-    d¹ -f- x²)

dx    y a²+.r²    Yal—X?1

Y cd—X

oder

du

XV

do

dx    Y cd—x

xu

dx

ist. Dies giebt

\V/    ' U V

xv dx

Nun ist

xudx    x (v² 4- u²) dx

v~Yai—«⁴    uvj/'a⁴ — «⁴

uv = d¹ -f x¹ — (a² — x²) = 2 «², w² -f- v² — a² + x¹ + 2 y a⁴—«⁴ -J- a² — x2 + a² -j- -"E² — 2 }/"ax—x⁴ + a² — x2 = 4 a²,

folglich wird

4c a²xdx

2 a²dx

2^² y a*—x⁴

26) rfl

]A (« + 2)²/(« + 4)3 y^«—i)5 = i[|-l(*+2)+-|-l(*+ 4)

-In*-!)

(    ² i ³___L\

V3 (« + 2)    5 (« + 4)    4(«—1)/

27)    J sin (2 « + 5) = 2 COS (2 x + 5) dx.

28)    cl cos (mx) = — m sin imx) dx.

29)    d (sin ²«) = 2 sin x cos x dx.

30)    d (sin³x cos x) — sin²« (3 — 4 sin²«) dx.

dx.

31)    d(~.

;    \sm²« sni«

LW.__‘Li _LA

n«/    \ sin³« sin²«/

cos xdx

(5sin« — 6) cos xdx

sm³«

1 + cos«

— cos«

)-

2 sin xdx (1—cos«)²

dx.

34) d ctg (3 «) = — 3 [1 + ctg ² (3 «)] dx.

_ mtg™-¹ x ~ COS ² X

36) d( 4tg³«—3tg²«+ 6tg«) = (12 tg²«—6tg«+ 6) (1-ftg²«) dx — 6 (2tg⁴« — tg ³« + 3 tg²« — tg x + 1) dx.

35) d (tg mx)

dx — m tg

m—1

x (1 + tg²«) dx.

37) d (e x cos «) = e x (cos « — sin «) dx.

_ cos (1«)

38) d sin (1«) = cos (!«). d (1«)

dx.

^(/f) = cos (Vf) <*/§ = ~x cos

⁴⁰⁾- M^)4 + tg^rl)K^f)

4+*^)]

39)

(VD

dx.

4 dx

(« + 2)²

41) rfl(VW) = rfftlcos*) = d-^- = - |tg.r dx.

42) dlQ

1 + cos«

— cos«

\

\ = (/[1(1 + COS«) —1(1 — cos«)]

_ r/(l + cos«) d(l — cos«)_    2dx

~ sin«

1 + cos«

1 — cos«

«) 44)] ⁼

dtg\

<g|

tel S*

4) coKf)

dx

dx

²sK!Mf)

sin «

dx

44)    dl ctg

45)    dl ('Y"sin³« cos³«) = d jj 1 (sin«) +1-1 (cos «)

sin«

_3/cos«    sin«\,

—    4 \sin « cos«/ x

3(cos²«—sin²«)e?«    3 , /~\ \j

—    ———7--— ⁼ — ctg ("2x)dx.

4sm«cos« 2

46)    d(esinx) = <?sin* . e?(sin«) = esinx . COS xdx.

47)    d(xeC0SX)

48)    d(eax . cos (mx)] = eax [« cos (mx) — m sin (m«)] dx.

COS Z

(1 — «sin x)dx.

49)

a]xla

d(alx) = aXx\a . d(\x) = -—

x

dx.

50)

c/arc sin

.1

y> -©■

d\

dx

Y aï — xi

51)

adx aï + xL

52)

r/arc tg y—7— =

’ CL -f" X

1 + rA

a -f- x •

1    i/a -f x

2    ' x

a x a -f- 2x 2

(■a + x) Ya + x

(—)

\a + x>

adx

adx

2(a -f- 2x) Y%    (a + x)²    2(a-\-2x) Yx(aJrx)

53) d a . arc cos(^“~“) — ]/~2

ax — x²

d( 2 ax — x²)

2 Y 2a.£ — x²

(a — x) dx _

Y %ax — x‘l    Y ^ax — x‘l    V ^ax — x‘l

54) y = xx, \y = x\x,

adx

iffy _

y dx

d(xx) — xx(l + 1 x)dx. 55) y = x*™x,

1 y — sin.£ . \x

.    , sin«;

cos#. \x 4--

d (#8ina5) —    -f- COS#. 1#^

X

— Y^

X    X

dYX = Yx ■

56) y

y dx

dx.

1 dy_ 1 — \x

y dx

1 — \x

xï

dx.

y clx x

57) y = (**)* = xW\

\y = x¹ . \x,

d\[xx)x\ — x^ . .r(l + 21 ./•) c£r = .r*²⁺¹ (1 + 2l.r)(/:r.

58)

(.*)

Yit —

y dx

nach Aufgabe 54, folglich wird

ly = xx . \ x ,

xx

Xx(\ -j- 1 x) 1X + —-

,r («’)i    (**)

dix J = x

. xx | ( l + l.r)l.r -f x~x] dx

= x +x|(l + 1#) l.r -f* x~^\dx.

59) y = (cos^)8inx,

sin²./:

COS#

1// = sillicl(cos^), —    — COS.X'l(COS.r) —

y ctx

^[(c0Srr)sina:] = (C0Srr)—1+sin* [cos²#l(cosa:)—sin²#].

60) y = arc sin [tgf ~j~)l ’

sin;// = tg«, wo u — dy_    1 du _

C0S*^ //# cos²« dx COS²« [a + #)²

cos²« — sin²« cos (2u) cos²«

— 2«

Y cos (2 m) (a + #)²

cos²// — 1 — tg²« — dy^

f/.r

COS«

2«

cos²«

f/arc sin

— 2adx

(« -f #)² cos

(?^)JcüEEzjä)

\a -f- ./•/ '    \ « + x /

111. Abschnitt.

Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung.

§ 26.

Ermittelung von /(M) (x).

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 44—46.)

(1.)

dx dx ^

Wie schon früher gezeigt wurde, ist die Ableitung einer Function f(x) im Allgemeinen wieder eine Function von x. Es wurde deshalb auch das Zeichen f‘(x) eingeführt, so dass dy_df(x)

war.

Man kann daher f'(x) ebenso behandeln wie f(x) selbst und untersuchen, ob f‘(x) eine Ableitung besitzt. Ist dies der Fall, so bezeichnet man die Ableitung von f'(x) mit f“(x) und nennt sie die „zweite Ableitung“ von f{x). Es ist also

(2.)

df‘{x)

In dieser Weise kann man fortfahren und erhält durch wiederholte Differentiation der Reihe nach die Gleichungen

df“{x) _

dx -

(3.)

Dabei heisst f[U)(x) die ntc Ableitung der Function f(x).

selbst gebildet werden können, ohne dass man die dazwischen liegenden Ableitungen benutzt.

Der erste Differenzen-Quotient war

(4.)

Jf (x) f (x + Jx) —f(x)

Jx

Jx

(fix).

cp(x + Jx).

(5.)

Vertauscht man in diesem Ausdrucke x mit x + Jx, wobei sich natürlich Jx gar nicht ändert, so erhält man f(x -f 2 Jx) —f\x + Jx)

Jx

Indem man die Gleichung (I.) von der Gleichung (5.) sub-trahirt und die Differenz durch Jx dividirt, ergiebt, sich

(6.)

(fix -j- Jx) — (f(x)_Jff(x)

Jx

Jx

Czr)

Jx

_fix -j- 'ÏJx) - -fix + Jx) + fix)

Jx²

Lässt man jetzt Jx verschwindend klein werden, so wird lim (fix) — folglich ist

dfjx)

dx

f‘[x:), lim

J(f{x) df'(x) _    ₍

~jt - -fr ~f ^

(7.)    f\x) = lim

fjx + 2 Jx) — 2f(x + Jx) + fix)

Jx = 0

Jx*

In ähnlicher Weise findet man

(8.) f“(x) = lim

f{x+3 Jx)—3\f{x+2 J x)f 3ff+Jx) —f(x)

Jx — U

Jx³

(9.) ,f n\x) =^lim ^ jff + nJx)—(^f\x + (» — 1 )Jx] + (?)/[« + in — 2)Jx\--f • •. ±    + 4x) +f(z)}•

Der Beweis dieser Formel kann durch den Schluss von n auf n + 1 geführt werden, möge aber hier übergangen werden, weil für das Folgende nur der Fall, wo n — 2 ist, in Betracht kommen wird.

Man kann auch von dem Differentiale dy — fix) dx ausgehen und das Differential von dy bilden.

(10.)

dry — d(dy) — d\f‘(x)dx] = d\f\x)\dx:

Dann bezeichnet man dieses neue Differential d[dy) mit d‘ly imd nennt es das zweite Differential von y. Bei der Bildung von dhy muss man aber beachten, dass in Gleichung (10.) die unendlich kleine Grösse dx einen von x unabhängigen Werth hat und deshalb bei der nochmaligen Differentiation als eine Constante anzusehen ist. Deshalb wird (11.)

nach Formel Nr. 34 der Tabelle ist aber

d\/'(*)] =f“{fdx,

folglich erhält man

(12.)

dry —f“{x)dxr.

Hierbei soll dx¹ immer mit (dx)² gleichbedeutend sein und ist wohl zu unterscheiden von d(x²) = 2xdx.

Aus Gleichung (12.) folgt jetzt auch, dass

(12 a.)

s-/-«-

ist.

Unter dem dritten Differential von y versteht man das Differential von dhy. also d(d²y) und bezeichnet es mit dhy. Deshalb wird

dhf — d(dfi) — d\f“(x)dx²] — d\f“(x)\dx²

oder

(13.)

dhy ~ f‘“(x)dD.

Hier ist dx* gleichbedeutend mit (dx)³ und wohl zu unterscheiden von d(x³) = Sx²dx.

Aus Gleichung (13.) folgt wieder

(13 a.)

(14.)

In dieser Weise kann man fortfahren und bildet dny = d (dn~^y) — /|n) ix) dxn,

dy ₌

dxn

wobei dxn immer mit (dx)n gleichbedeutend ist.

(14a.)

/>*'(*)>

27.

bilden.

Uebungs-Beispiele.

(Vergl. die Forrael-Tabelle Nr. 47 und 48.) Aufgabe 1. Man soll die höheren Ableitungen von

V =/0) =

Auflösung.

= f< (x) — 4«³,

= f“{x) = 4.3 .r² = 12«²,

= fti)(x) = 4.3.2 . 1 = 24.

= = 0.

bilden.

Aufgabe 2. Man soll die höheren Ableitungen von y — f(x) = 3.r⁵— Ix* + 8.r³ + ll«² ■— 6« + 9

Auflösung.

ÿL —    (V) = 15.-C⁴ — 28.r³ + 24«² + 22x — 6,

= f“{x) = 60«³— 84«² + 48« + 22,

= /'"(«) = 180«² — 168« + 48.

=    (x) = 360x — 168

— ßb)(x) = 360,

■rii eil

= f&Hx) = 0.

Aufgabe 3. Man soli die höheren Differentiale von

y =/(*) = **

bilden.

Auflösung.

dy —f‘{x) dx — ^jx*dr, d²y — f“(x) dx² = —• ^x² dx²,

dĄy =fii} (x) d:tA =

to| o<

tO| Ol

r—I

IO | Oi

tO| Oi

1.01 o<

IO I (-*

Li,—

tO| oa

tO| !—' tO|

fi

eu

*1

to I Ol

to

tO| Ol

rH

lO'O!

Aufgabe 4. Man soll die höheren Differentiale von

y — ,f(x) =

bilden.

Auflösung.

= ß (x) dx = mxm~x dx, d²y — f“ (x) dx² = m (m — 1) xm~² dx², dhy = f“‘ (#) da.³ = m (:m — 1) [m — 2) xm~³ dx³,

d" y z=zf^ (x) dxn = m (w— 1) (m—2). . . (in—n + 1) xm ~~n dxtl.

Ist hierbei m eine positive ganze Zahl, so ist also ßm)(x) eine Constante und die höheren Ableitungen werden alle gleich 0; in allen übrigen Fällen aber kann man die Differentiation bis in's Unendliche fortsetzen.

bilden.

Aufgabe 5. Man soll die höheren Ableitungen von / (x) — e*

Auflösung.

J'n\x) = ex.

Die Ableitungen der Exponential-Function ex sind also sämmtlich wieder gleich ex.

bilden.

Aufgabe 6. Man soll die höheren Ableitungen von

V =/<» =

bilden.

Auflösung.

f‘(x) = ax .\a, fu(x) — ax.([ a)², . . . f^{x) — ax.(la)w.

Für a — e geht diese Aufgabe in die vorhergehende über.

Aufgabe 7. Man soll die höheren Ableitungen von

V — /(*) = lff

Auflösung.

./'(ff) =

/" (ff) = — 1 • ff⁻², /"' (x) = -f- 1.2 . x~:î,

/w(F) = (— l/*“¹). (»—1) !    .

Die Richtigkeit der letzten Formel wird durch den Schluss von n auf n + 1 bewiesen.

bilden.

Aufgabe 8. Man soll die höheren Ableitungen von y =/(ff) = sin x

Auflösung.

f‘{x) = cos x = sin ^ , f“{x) = — sin .r = sin (x +    .

f“\x) = — cos .r = sin ^.r + ~y^i f(k\x) — -f sin x — sin (x -f —fix).

Durch den Schluss von n auf n -f 1 findet man, dass ganz allgemein

f[n){x) — sm(x +

Aufgabe 9. Man soll die höheren Ableitungen von y —fif) —cos x

bilden.

Auflösung.

f\x) — — sin x

= cos ^x +

f“{z) = — cos X = cos (x +    ,

f“\x) = + sin x = cos (x + f'%x) — -f cos x = cos (z -f    =z f(x),

pl\x) — cos (x +    .

Aufgabe 10. Man soll die höheren Ableitungen von fix) = ex sin./-

bilden.

Auflösung.

f\x) = ex (sin# -j- cos.r) = Yïïex sin (x +

/"(.r) = y? e* jYn^.r i    cos (x + —^jj= 2eæsin^a: +

f‘“(x) = 2c*|Yn ^.r +    + COS (Y -f- ~^-^j = 2]/2c* Slll Çr -f-

/t») (*) = (]/2)m <?*sin (Y + —Y

Aufgabe 11. Es sei u — <f\x), v = ip(x); man soll die höheren Ableitungen von

V =/(*) = u ± v = (f ix) + ifj(x)

bilden.

Auflösung. Aus den Formeln Nr. 19 und 20 der Tabelle, nämlich aus

d (u + v) du de

dx

dx

dx

folgt durch wiederholte Differentiation

dn{u +v) dnu    dnc

dxn    dxn    dxn

Beispiel. Es ist

f{x) = folglich ist

f\x) — — 0 + 1)~² + (* + 2)“² =

= (—l)"w! (*+ 1) = (—l)ww!

—n—1

(*+l)²

— (— l)nn\ix+2)

(* + 2)*

—w—1

(.r + 2)w+¹— (ar+l)"*¹

(,A+ :l.r+ 2)n+'

Aufgabe 12. Es sei wieder w = r/>(F), e = *//(#); man soll die höheren Ableitungen von

ÿ =f[x) = uv == r/>(æ). ipix)

bilden.

Auflösung. Nach Formel Nr. 28 der Tabelle ist /'(*) = ?(*) 'P\x) + 9>'0*0

folglich wird

f“(x) — (fix) xp“(x) + 2 (f\x) lp‘(:r) -f cp“(x) lp(x) , f‘“{x) = r/(.r) g/"(.r) + 3 r//(,r) ipiJ(x) + 3<fu(x) ip\x) -f (f‘“{x) ifj(x), fW(x) — fp(x) ip(n) (x) -f- (^lS\⁽p‘{x)xp(n~^ (.?•) + ypJ/(x) (x)

+ .. .    lp‘(x) -f r/;(n)(.r) ip{x).

Die Eichtigkeit dieser letzten Formel wird durch den Schluss von n auf n + 1 bewiesen.

IV. Abschnitt.

Herleitung und Anwendungen der Taylor’sclien und der Mac-Laurin’schen Keilie.

§ 28.

Entwickelung einer ganzen rationalen Function f(x + h) nach steigenden Potenzen von h.

Ehe die Taylor'sche Reihe in ihrer allgemeinen Form hergeleitet wird/ möge ein besonderer Fall behandelt werden, welcher dazu dienen soll, die später angewendeten Methoden zu erläutern.

Es sei

(10

fix) = axi + axx² -j- «2^² + a$x + a₄, also, wenn man mit h eine beliebige zweite Veränderliche bezeichnet,

(2.) f(xf- h) = a(x-\-hf a^ (x-\~hf -j- a., (x~\~h)²-\- a^ (x-\-h) -j- a₄, dann folgt aus Gleichung x(2.) durch Auflösung der Klammern und durch Vereinigung aller Glieder, die mit gleichen Potenzen von h multiplicirt sind,

(3.)

f(x -f- li) — (ax⁴ + a\T'' + ai'rï + a^x + a₄)

-f- (4a.«³ + Sa^x² + 2 a-₂x -j-4- (6ax² + 3axx -f- a₂)Ä2 + (fax -f afhd -f- ah⁴.

Dieses Resultat hätte man schneller auf folgendem Wege Anden können.

/«(*)= 1.2.3.4X₄, „ Xl=f^=a.

Setzt man diese Werthe von X, X

Man weiss, /(« -f- fr) lässt sich auf die Form /(« + h) - X + Xyh + X₂A² + X₃ä³ + Xf* bringen, wo die Coefficienten X, X1} X>, X₃, X₄ Functionen von « sind. Um diese zu bestimmen, betrachte man h als einzige Veränderliche und differentiire beide Seiten der Gleichung (4.). Dabei ist zu beachten, dass

df(x + h) __ dfjx + h) d (x -f- fr) _ d(x + fr)

(U)

dh

dh

f\x + fr)

ist. Man erhält daher

fix + fr) = 1. Xx fr 2 X₂h + 3X₃A² + 4 Xfrifr und hieraus durch wiederholte Differentiation

)    f“ 0» + h) —    1.2X₂ + 2.3X3h + 3.4X₄ä² .

)    f“(x fr h) =    1.2.3X3 + 2.3.4X₄/*,

)    ß*>(x fr fr) =    1.2.3.4Xt.

(5.)

Setzt man in den Gleichungen (4.) bis (8.) die Veränderliche h gleich 0, so findet man

oder X ==/(«) = ax⁴+a, x ³+a₂«²+a₃ «+a₄,

f(x) = i.xy

* Xi

₌JM₌₌

1!

4 ax² + 3a, x² + 2ö₂^+«3 ,

(9.)

f“ {x) = 1.2X₂,

» X,

^y- = 6a«² fr 3 a₄« + a₂,

/"'(«) = 1.2.3 X₃,

3!

4a« + a₄,

X₂, X₃, X₄ in die Gleichung (4.) ein, so erhält man in der Tliat genau dasselbe Resultat wie in Gleichung (3.).

Es wird also

(3 a.) fxfrh) =/(«) -ff

1!

2!

/'*>(*)

4!

hfr

Diese Entwickelungs-Methode, welche hier nur für eine ganze rationale Function 4ten Grades ausgeführt wurde, lässt

§28. Entwickelung einer ganzen rationalen Function f(x 4 h).    125

sich ohne Weiteres auf jede ganze rationale Function übertragen. Es sei jetzt also ganz allgemein

(10.) f {x) = axn + axxn~x -f- a₁xn~'¹ 4 ... 4 an-\x 4 an und deshalb

(11.) fix 4 h) = a(x 4 h)n + öj (x 4 A)w_1 4 a<i{% 4 ä)b-24 • • . 4 an-1 (x 4 A) 4 an 5

dann weiss man, dass sich fix 4 A) durch Auflösung der Klammern und durch Vereinigung aller Glieder, welche mit derselben Potenz von h multiplicirt sind, auf die Form

(12.) fix 4 A) ⁼⁼ A 4 X₄A 4 X2A² 4 X3A³ 4 X₄A⁴ 4 • • •

4    4 XnÄ»

bringen lässt, wobei die Coefficienten

X, Xl5 x₂,... xH-i, xn

noch Functionen von x sind. Um diese zu bestimmen, betrachte man wieder h als einzige Veränderliche und differentiire beide Seiten der Gleichung (12.) zu wiederholten Malen nach h. Dadurch erhält man der Reihe nach die Gleichungen

' f(x 4 A) = 1 . X, 4 2X₂Ä 4 3X₃ä² 4 4X,A³ 4 ... f in — 1) X„_iAn-² 4 nXnhn~x, f“ (x 4 A) = 1.2 X₂ 4 2.3 X₃ä 4 3.4X₄ä² 4 ...

4 (n — 2) (n — 1) Xm_iAb_s 4 (n — 1 ) nXnhn~l.

/'" («4A)=1.2.3Xj42.3.4X₄A 4 . ..

(13.)

4 in — 3) in — 2) in — 1) X„_iA”_4 4 (w — 2) (n — 1) nXnhn~-i. f^(x 4 A) = 1.2.8.4X₄ 4 ...

4 (n — 4) (n — 3)(n — 2) (n — 1) Xn-\hn~b 4 (w — 3) in — 2) (n — 1) raXwA”⁻⁴,

f(n~i) (#4 h)= 1 .2.3...(»-— 1) Xn-142.3.4 ...in — 1) nXJi, f‘(») ix 4 h) — 1 . 2.3 . . . (n — 1) nXn.

Dasselbe Resultat erhält man auch auf folgendem Wege. Es ist nach Formel Nr. 35 der Tabelle

i£k+Jü ₌ Wę+JH =f(X + h\

dx    dh    J v '

Man wird also mit einander übereinstimmende Ausdrücke erhalten, gleichviel ob man die rechte Seite von Gleichung (12.) nach x oder nach A differentiirt. Dies giebt

dx

dx

(14.) ,

/(*) = X,

f‘(x) = 1 .X1}

/"(*) = 1 • 2X

/'"(*) =1.2.3XS

/⁽⁴⁾(rr) = 1 .2.3.4X₄,

fvn—\) (xj _    -X)! X«_t,

/w(*) = »IX»,

oder

x =/(*), x. =f-M

1! ’

x₂

X₃

2!

_oö

~    3!

₌/⁽⁴⁾Q) .

«    X^j—1

x„

Die Gleichung (12.) geht daher über in

(15.) f{x+h) =f(x) 4

1!

2!

4!

(w—l) ! ’ __/(n) (x)

w!

f(H\x)

w!

^r~ + -y-¹ A + Î^A² + ^A³ + ...

cfe    dx

(15.) :

dXfi—1

dx

An“i + ^A" =

dx

Wenn man jetzt in Gleichung (15.) gegen 1. Xi fort-

(IX

(17.)

dX

S =l'X'

__ df(x)

TET =/'W-

hebt und beide Seiten der Gleichung durch h dividirt, so erhält man

j dX! dX>2 ^ ^ ^X4 (15 a.) / dx dx dx

A2+... + ^5=!ä»-2h dX,t

dx

2X₂ + 3X₃Ä + -1X₄/G + ... + nXnh“~².

dx

hn~¹ —

Hieraus folgt, wenn man wieder h = 0 setzt

rfX,

=    =/"(*)> oder X₂

2!

Indem man dieses Verfahren fortsetzt, findet mail der Reihe nach

f/X₂

Tb'-3X-

oder

*3

3!

dx

(16.)

dx

—~ ?iX-n,

x„

₌ßn\x)

§ 29.

Anwendung auf den binomischen Lehrsatz für positive ganzzahlige Exponenten.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 10.)

Wie wichtig die oben angegebene Entwickelung ist, kann man schon aus einem sehr einfachen Falle ersehen. Es sei nämlich

(1.)

fix) — xn

also

(16.)

3 28    § 30. Verallgemeinerung der gegebenen Entwickelungs-Methode.

wobei n eme positive ganze Zahl sein soll. Nun ist nach Gleichung (15.) des vorhergehenden Paragraphen

/'(*) 7,    , /"(*) 7.9 , /'“GO

1!

3!

Ä³+...d

fln){X)

hu.

In diesem Falle ist aber

fix) — xn, f‘ (x) — nxn~x, f“ (x) = n(n — 1) xu~²,

/"' («) — n(n — 1) {n— 2)xn~³,.. .,/(n> (x) = n(n — 3 )... 3.2.1 = n ! folglich geht Gleichung (3.) über in

(x -f- h)n — xn -j-    ^ 4

n (n — 1) (n — 2)

(40

n(n—1)

2!

xn~°-h²

3!

>ra-3^3    ...4- —1A».

xn~²h²

Setzt man noch

x = a, h — b, n = m,

so erhält man den binomischen Lehrsatz, nämlich (5.) (a+b)m=am 4- (^^am-xb+(^am~²b²+^¹^am-‘ib*+... + bm, eine Formel, welche schon in § 9, aber auf andere Weise hergeleitet wurde.

ocr.

30.

Verallgemeinerung der gegebenen Entwickelungs-Methode.

Es ist nun die Frage, ob und m welcher Weise die hergeleitete Entwickelung einer ganzen rationalen Function f{x-\-h) nach steigenden Potenzen von h auch auf andere Functionen übertragen werden kann.

Eine solche Verallgemeinerung liegt sehr nahe, denn man kann dieselben Schlüsse, welche in § 28 richtig waren, auch bei jeder anderen Function f(x 4- h) anwenden, von der man

§30. Verallgemeinerung der gegebenen Entwickelungs-Methode. 129

weiss, dass sie sich nach steigenden Potenzen von h entwickeln lässt, dass sie sich also auf die Form (1.) fix + h) = X + Xfi + Xfi² + X₃Ä³ + X₄/P +... bringen lässt. Man findet dann nämlich, indem man beide Séiten der Gleichung (1.) zu wiederholten Malen nach h differentiirt⁴), der Reihe nach die Gleichungen

(2.)

f [x + h) = 1 . X, + 2X4 + 3Xfi² + 4X₄Ä3 +.. f“ (x + h) = 1 . 2X₂ + 2 . SXfi + 3.4X₄A² + ...,

/"'(x + h) = 1.2.3X3 + 2.3.4X+ + ...,

Setzt man dann in den Gleichungen (1.) und (2.) die Veränderliche h gleich 0, so findet man genau so wie damals

, X₂

(3.) X—f (x), Xj

f[x)

2!

X₃

_f“(x)

3! ’

so dass Gleichung (1.) übergeht in

(4.)/4+Ä)=/(4 +

2!

3!

Ist nun aber f{x) keine ganze rationale Function, so kann fix + h) unmöglich gleich

fix) +'

2r⁴, + -+

fn) jx)

n!

hn

sein, weil dieser Ausdruck eine ganze rationale Function nten Grades von h ist. Es muss daher fix + h) von dieser ganzen rationalen Function verschieden sein, und zwar um eine Grösse, die mit II bezeichnet werden möge. R ist daher erklärt durch die Gleichung

(5.) R=f(x + h)-f{x)

fix) rix)

1!

2!

h² —...

ßn\x)

n!

hn,

oder

Än -F 77.

(5a.) f(x+ h) —fix) -f

Wird nun 77 für hinreichend grosse Werthe von n beliebig klein, so darf man 77 vernachlässigen, so dass dann die Gleichung (5a.) auch noch in dem Falle, wo f{x) keine ganze rationale Function ist, sehr brauchbare Resultate liefert.

Man nennt die Summe auf der rechten Seite von Gleichung (5a.) die Taylor'sehe Reihe und R das Restglied der Taylor-schen Reihe.

Wie nothwendig die Untersuchung dieses Restgliedes R ist, soll zunächst bei einem einfachen Beispiele gezeigt werden.

Es sei

(6.)

f(x) — — X

= x~¹

also

(7.)

fix + h)

und

f“ (x) = 1 . 2x~³,

| /'(#) = — 1 . X“²,

I/- (ar) = — i . 2 . ar-⁴,.. .    /«(*) = (— l)"w! .r

Setzt man diese Werthe in die Gleichung- (5a.) ein, so erhält man

(8.)

(9.)

h , k¹ h? ,    ,    /,»

X -f* /i

Für x — 2, 7/ = — j giebt dies z. B.

1    -j. - + — -j- —

2    4    8 ~ 16

Hier wird, wie man ohne Weiteres erkennt.

2—1

+----b

2»*+i

7? =

2»+i’

also beliebig klein für hinreichend grosse Werthe von w.

In diesem Falle würde daher die 7a///or’sche Reihe anwendbar sein. Setzt man aber

x = 2, h — — 4,

§30. Verallgemeinerung der gegebenen Entwickelungs-Methode. 131 so findet man aus Gleichung (9.)

|=|+l+2+4+-+ 2»-¹ + R.

Jetzt ist

R = — 2"

und wird, vom Vorzeichen abgesehen, sogar beliebig gross, wenn n hinreichend gross ist. Man darf also R nicht vernachlässigen, d. h. man darf in diesem Falle die Entwickelung nach der Taijlor'sehen Reihe nicht anwenden.

Man kann in dem vorliegenden Beispiel das Restglied R auch für beliebige Werthe von x und h sehr leicht bestimmen. Aus Gleichung (9.) folgt nämlich

hn

1    h    h²    h‘A

----ö--3 ~ł--T--h----(-1)M

X    X¹    XA    X⁴    '    '

xn+l

00.) * =

x + h

Der Ausdruck in der eckigen Klammer ist eine geometrische Progression, deren Summe man sehr leicht nach Formel Nr. 11 der Tabelle bilden kann. Es wird nämlich

1 -pn-*r 1

1 + P + P² + P* + * • * + PH — und da in diesem Falle p gleich —— ist, so erhält man

(no

i-(=r *

1 —p

./■

Daraus folgt

¹

. Xt + 2X₂ä -f 3X₃A² + 4X₃A³ + ... + nXJin~K

²

Für A = 0 findet man aus Gleichung (12.)

* =/(*)

³

und aus Gleichung (15.)

⁴

Dabei ist allerdings die Voraussetzung gemacht, dass die Summe auf der rechten Seite differentiirt wird, indem man jedes Glied einzeln differentiirt. Enthielte die Summe nur eine endliche Anzahl von Gliedern, so wäre diese Voraussetzung ohne Weiteres richtig; enthält die Summe aber unendlich viele Glieder, so muss man erst beweisen, dass diese Voraussetzung gilt.

Stegemann - Kiepert, Differential - Rechnung.

(12.)

-er (~r

x + h

Nun wird nach früheren Sätzen (vergl. § 9) die Potenz eines ächten Bruches beliebig klein und die eines unächten Bruches beliebig gross, wenn man den Exponenten hinreichend

gross macht, folglich wird hier R nur dann beliebig klein, wenn, abgesehen vom Vorzeichen, h kleiner als x ist.

Bei diesem Beispiele wird also die Taylor'sehe Reihe nur anwendbar sein, wenn

\h\<\x\,

wobei man unter ]h| und \x\ die absoluten Beträge (d. h. die Zahlen wer the, abgesehen vom Vorzeichen) von h und x versteht.

So leicht wie in diesem Beispiele ist im Allgemeinen die Berechnung des Restgliedes R nicht. Man braucht aber den wirklichen Werth von R auch gar nicht, sondern braucht nur zu wissen, ob R für hinreichend grosse Werthe von n beliebig klein wird.

Diese Untersuchung soll nun in dem folgenden Paragraphen ausgeführt werden.

7/.

31.

Bestimmung des Restgliedes der Taylorschen Reihe nach Lagrange.

(Yergl. die Formel-Tabelle Xr. 49 und 50.)

Es war

(1.) fix + h) —fix) +

/'(*)

1!

h -j-

f“(v)

Ä2+...+

n\

hn+R,

oder

(2.) R=fix+h)—f(x)

/'(*)* /"(*)

1!

2!

/t2----

ßn\x)

n\

hn.

Setzt man hierbei

(3.)

x -\- h = z, also h = z — x,

so geht Gleichung (2.) über in

(4.) R —f{z)—f{x\

1!

/"(*)

iz~X)--2!

ßn\x)

n\

{z—x)n.

(4a.)

Aus dieser Darstellung erkennt man, dass R eine Function yon x und ~ ist, welche für x — z verschwindet, also R = 0 für x — z.

Bei den zunächst folgenden Untersuchungen soll 2 einen constanten Werth behalten und x als die einzige Veränderliche betrachtet werden. Wenn man unter dieser Voraussetzung beide Seiten der Gleichung (4.) differentiirt, so erhält man

dB

clx

/"(*)

1!

(« — x) +f‘(xj

f“(x)

2!

(*

N₂ ,    /"(«)/    .

x) +—r)

1!

xf +

2!

(z X)²

n\

xf +

(»—!)!

oder

(5.)

dB

/(W+¹)(G) .

dx

n\

(z—x)n.

Nun war in § 13 der Satz bewiesen worden: Eine Function nimmt gleichzeitig mit x zu für alle lVerthe von x, für welche

positiv ist, und die Function nimmt ab. während x zunimmt.

dg

für alle Werthe von x} für iceiche ~ negativ ist.

Dieser Satz möge hier zunächst unter der Voraussetzung angewendet werden, dass x kleiner als 2 ist imd alle Werthe von einem Anfangswerthe a bis zu dem Endwerthe 2 durchläuft, so dass

a x SS 2

ist. Ferner möge vorausgesetzt werden, dass die Functionen in diesem Intervalle sämmtlicli stetig sind.

Der kleinste Werth, welchen /(”+’) (x) in diesem Intervalle wirklich annimmt, heisse K, und der grösste heisse G: es sei

also

134

(6.)

§. 31. Das Restglied der Taylor'sehen Reihe. ßn+[)(xx) = K lind /(M+1)(rr₂) = G,

wobei

dgæ, ^ z und a TŹk x.₂ ^ z

ist. K und G sind dann constante Grössen, und es wird für alle hier in Betracht kommenden Werthe von x

(7.)

K—ßn+V(x)^ O, G —ßn+i)(x) ü? 0.

Deshalb ist

(z — x)n

(8.)

(n + 1)!

K—ß*+D(ar)

SO,*)

[Ä

(g — x),l+x

(»+!)!

(g — x)¹¹

n\

G—ß«+\)(x)

Wächst also x von a bis g, so muss nach dem oben angeführten Satze

P _ {z ~~ X)W+1

(» + 1)1

^)w+¹

K beständig abnehmen,

(z

(n + 1)!

G beständig sunehmen;

d. h. die Differenz R

(z

x)n+1

(» + 1)!

K erhält für x — z ihren

(g — x)n+1

> + 1)!

ihren grössten Werth, wenn x das Intervall von a bis g durch-

(g — x)n+i (n + 1)!

nach Gleichung (4 a.) gleich 0, folglich müssen die übrigen Werthe grösser als 0 sein, so dass man erhält

kleinsten, und die Differenz R

läuft. Dieser kleinste Werth von R

(9.) R

(g.— x)nJrX

(»+!)!

0, oder R ß

G erhält für x — z

K ist aber

(g — x)n+1

(n + 1)!

K.

*) Um Platz zu sparen, schreibt man liier und in ähnlichen Fällen

7i[

(z—x)n+l

(n -f- 1)!

K statt

■<[*-

(z — x)n+s

(» + !)!

-K

dx

(z — -r)n+¹-(» + 1)!

nach Gleichung- (4 a.) gleich 0, folglich müssen die übrigen Werthe kleiner als 0 sein, so dass man erhält

(10.) R

Ebenso ist dieser grösste Werth von R

(z — .r)M+1

(n + 1)!

Cr^O, oder R

(.z — ^)M+1

~~ (n + 1)!

G.

Die beiden Ungleichungen (9.) und (10.) kann man vereinigen, indem man schreibt

(11.)

(.z — x)n+i

(n + 1) !

= (n + 1)!

G.

so wird

Erklärt man jetzt die Grösse M durch die Gleichung

(» + f)! r,

(z — x)”+l    ’

(13.)

_ (*—*)“+• „ Vn + iT: M

und die Ungleichungen (11.) gehen über in

G.

(14.)

d. h. M ist ein Mitbelwerth zwischen K und G.

Aehnliehe Schlüsse gelten, wenn

Z ^ X ^ o

ist, nur muss man dann zwei Fälle unterscheiden, jenachdem n gerade oder ungerade ist.

Weil für gerades n auch hier (z — x)n positiv ist, so gelten in gleicher Weise wie vorhin die Ungleichungen (8), nämlich

d V (z — x)n+x ~| (z — x)n

dx L ~ >+ 1)! d Tf    (z — #)”+l p

sr'(* + i)i .

Wächst also z von z bis a, so muss

(g—x)n+'

(»+1)!

(2-.r)n+¹

(»+!)!

K beständig abnehmen,

Cr beständig zunehmen ;

d. h. wenn x das Intervall von 2 bis a durchläuft, so erhält die

K für x = 2 ihren grössten Werth,

Differenz R

(2—x)n+ 1

(»+!)!

nämlich den Werth 0, und die Differenz R

(2—

(»+!)!

G erhält

ihren kleinsten Werth, der ebenfalls gleich 0 ist. Daraus folgt

(15.)

(z—x)n+i

(»+!)!

K ^ 0, oder R 'S

(2—x)n+x

(»+!)!

K.

(2—x)n+x

(»+!)!

G S; 0. oder R Rr

{z—x)n+x

(»+!)!

also

(16.)

(2—S)”+l

(2—x)n+i

(»+!)!

⁼ (n+1)!

G.

Setzt man wieder wie in Gleichung (13.) (2—z)n+x f (»+!)! ' ’

so findet man auch hier

G.

Ist dagegen n ungerade, so wird (2—x)n negativ \ die Ungleichungen (8.) gelten dann nicht mehr, es wird vielmehr

SL [ 7? _ 0—a0"⁺¹ K~    (£

(»+!)! J

a?)w "

K—ß*+'\x) ^0.

i. T-ß - (*—ap«*¹ G -1 (z—xYï _ ,(n+1),^

<fe|_    (»+!)! J »! L j WJ ⁼

Wächst also x von 2 bis a, so muss jetzt

K beständig zunehmen,

(»+1)!

(2—s)”+ł

C»+l)!

d. h. wenn « das Intervall von 2 bis a durchläuft, so erhält die

G beständig abnehmen;

Differenz R

(2—x)n+x

(»+!)!

K für x = 2 ihren kleinsten Werth,

nämlich den Werth 0, und die Differenz R

(2—x)n+1

(»+!)!

G erhält

(w+1) !

so tindet man auch in diesem Falle

Kfl M g G,

d. h. die Gleichung (13.) und die Ungleichungen (14.) gelten, gleichviel ob

aH xü z, oder ob zH xH a

ist.

(14a.)

Wenn man für K und G ihre Wertlie einsetzt, so kann man die Ungleichungen (14.) auch auf die Form Z^+D^i) ^ M^ßn+V(x₂)

bringen.

Nun war in § 8 der Satz bewiesen worden: Ist die Function fix) für alle Wert he von x zwischen x₁ und xt stetig, so wird fix) jeden Werth zicischen fixj) und f{x-j) mindestens einmal annehmen, wenn x alle Wertlie zicischen xt und x₂ durchläuft.

Dieser Satz möge auf den vorliegenden Fall angewendet werden, wo aber die Function nicht f{x) sondern /(,l+¹⁾(F) heisst. Da der Mittelwerth M zwischen f(n+i)(xi) und f(n+v (x₂) liegt, so muss es zwischen xx und x₂ mindestens einen Werth von x geben, er heisse §, für welchen f(n+^(x) gleich M wird. Dies giebt

(19.)

ihren (/rossten Werth, der ebenfalls gleich 0 ist. Daraus folgt

/f^O, oder 11

(17.)

₇,    (z—x)n+l

*'    (»+1)!

(z—ar)n+l

(z—x)n+l

(»+!)!

also

(» + !)!

G ;U 0, oder li fl —

(z—x)n+^

(w+iyr

..G

(z—x)n+'

(z—x)n+[

(»+1)!

Setzt man in den Ungleichungen (18.) wieder in Ueberein-stimmung mit Gleichung (13.)

(18.)

O+l)!

/rsiîg

f(n+1)(i) - M.

Ist zunächst a < 2 und xx < x.₂, so erhält man a fi x.    H x-> H z ;

ist a < z und xA > x₂, so erhält man in beiden Fällen wird also (20.)

Ist dagegen z < a und < x₂, so erhält man

² = ^1 = > = 'r2 a ; ist z <a und xi > x₂, so erhält man

in diesen beiden Fällen wird also

(21.)

In allen vier Fällen liegt ; zwischen a und z. Deshalb wird die Grösse

(22.)

Fig. 21.

JT

Fig. 22.

immer zwischen 0 und 1 liegen, weil in diesem Bruche Zähler und Nenner gleiches Vorzeichen haben, und der Zähler, abgesehen vom Vorzeichen, kleiner ist als der Nenner. Am besten kann man sich von der Richtigkeit dieser Behauptung durch die geometrische Darstellung der Werthe a, $ und z durch die Punkte A. 11, Z überzeugen,

indem man

OA = a, OZ — z, OJ1 — §

macht; dann entspricht Figur 21 den Ungleichungen (20.) und Figur 22 den Ungleichungen (21.). In beiden Fällen ist

ATI. a A 7j ’

? — «

und zwar sind im ersten Falle Zähler und Nenner beide positiv^ im zweiten Falle sind Zähler und Nenner beide negativ. Deshalb wird in beiden Fällen

(23.)

OS0g+l.

Aus Gleichung- (22.) folgt

oder

§ — a— f)(z — u),

i = a 4- © (z — a).

Hierdurch erhält Gleichung (19.) die Form M =yó‘+') [a -f- (-) G —-a)], und Gleichung (13.) geht über in

R = ^jyr/(’+l)[a + ® ⁽*_a)]-

Diese Gleichung gilt, wenn x alle Werthe zwischen a und z durchläuft, sie gilt also auch für x — a. Dann gehen die Gleichungen (4.) und (26.) über in

/'(«)

(24.)

(25.)

(26.)

(27.) /(*)=/(«) +

1!

(~ — «) +

/"(«)

«)² + • • •

a)n + R,

wobei

(28.) Æ

_/*•+»[« + © (2— a)| ⁼ \n + 1)!

«)"+!,    O^öS+1.

Nachdem man auf diese Weise den Werth von R ermittelt hat, darf man die Grösse a auch als veränderlich betrachten und wird sie dann am besten wieder mit x bezeichnen. Dadurch gehen die Gleichungen (27.) und (28.) über in

(29.) f(z) — fix) +

f‘{%)

l!

(z — x) p (z — xf- 4- . . .

fffx)

n\

(z — x)n + R,

(30.) R

_./( n+l)[x + Q(z — x)\

~    (n+ 1)!

Setzt man jetzt wieder, den Gleichungen (3.) entsprechend, z — x -f h, also z — x — h,

so erhält man hieraus

(31.) fix + h) —fix) +

f(x)

1!

h+f-^)w +...+

f"\x)

n\

Ä» + jß,

__/|W+>)(> + Oh) +1 ¹ (»+!)!

(32.)

Diese Gleichungen geben an, in welcher JVeise man fix -f- h) nach steigenden Potenzen von h entwickeln kann.

Bemerkung.

Um sich die Form des Restes R leichter zu behalten, merke man

sich, dass R aus dem letzten Gliede mit n-\-1 und x mit x + 9h vertauscht.

entsteht, indem man n

f(n\x)hn

Man kann in den Gleichungen (27.) und (28.) die Grösse a auch als constant und die Grösse 2 als veränderlich betrachten, wobei es zweckmässig sein wird, den Buchstaben s mit dem Buchstaben x zu vertauschen. Dann ist

(33.) fix) =f(a) +

/'(«)

1!

(x — a) +

/"(«)

2!

(x — a)² -f-

/(”>(«)

n\

(x — a)n + dl,

(x — a)w+1.

(34.)

j, /,(»+0 [a -f- 0 (x — a)]

(» + 1)!

Diese Gleichungen geben an, in welcher JVeise man fix) nach steigenden Potenzen von x — a entwickeln kann.

Lässt sich nun zeigen, dass dt beliebig klein wird für hinreichend grosse Werthe von n, so darf man di für unbegrenzt wachsende Werthe von n vernachlässigen und schreiben

(31a.) fix+h) = f(x)+

1!

2!

3!

Iw + . .

(33 a.)    fix) = /(«)+

/'(«)

/"(«)

1! ■

ix—o)+    ₂,

ix—af

f“(à)

3!

(x — «)³ -f- . .

wo die Punkte andeuten sollen, dass die Keilten bis in’s Unendliche fortzusetzen sind.

§ 32.

Die Mac-Laurin’sche oder Stirling'sche Reihe.

(Vergl. die Formel-Tabelle Kr. 51.)

Die Mac - Laurin'sche oder Stirling¹ sehe Reihe ist nur ein besonderer Fall der Taylor'sehen Reihe, den man erhält, indem man in den Gleichungen (33.) und (34.) des vorhergehenden Paragraphen a gleich 0 setzt. Dies giebt

o.) f(x) =/<o) +T⁽p * +-Q21

2!

/“»( 0)

n\

xn + R,

wobei

_/(»+n(0F) ' (» + 1)!

§ 33.

Entwickelung der Functionen ex und ax.

(Vergl. die Formel-Tabelle Kr. 52 und 53.)

Aufgabe 1. Man soll die Function ex nach steigenden Potenzen von x entwickeln.

Auflösung. Hier ist

f(x) = ex, also f‘(x)=ex,

f“(x) = ex, »

(1.)

/(0) = 1, /'(<>) = 1, /"( o) = i,

, fw+x)(x) = ex,

Setzt man diese Werthe in die 3/ac-Lauririsohe, Reihe

/(*) = /(0) +

/'( 0)

1!

»    /(M)(0) = D

„ /(”+i >(©*) = e⁰*.

w!

.rw4- Æ

ein, so erhält man

(2.)

;£²

TTT + .

2!

,-v>H

wobei

f(n + \)

(n + 1)!

__e⁽->*

{n + 1) !    *

Bezeichnet man nun den absoluten Betrag von x (d. h. den Werth von x, abgesehen vom Vorzeichen ) mit | x |, und genügt die ganze Zahl g der Ungleichung

9 =. \x\<9 + 1»

(3.)

xn+\ _

so zerlege man

xn+l

F =-•-¹ 1 2

Es ist dann

positiv ist,

(n + 1)!

•••— und F₂

9

in die Factoren

g+1 g + 2 rc + 1 wenn man vorläufig voraussetzt, dass x

(4.)

x ₌/. 9+ 1

ein achter Bruch, und es wird

Daraus folgt

x , ÿ+~â< *> ■

’ ' n -f- 1

F-2 = -—v

(,5.)

. —--< fcn+i-g

<7 + 1 <7 + 2 <7 + 3 n+ 1^

11 = F . F₂. F₅, wobei F₃ =

ist. Die Factoren

Fl = ^ und F₃ = e⁰*

sind endliche Grössen, während man Æw+1_0 und folglich erst recht den Factor F, für hinreichend grosse Werthe von n beliebig klein machen kann; deshalb wird auch R beliebig klein für hinreichend grosses n.

Vertauscht man x mit —x, so ändert der Factor

(n + 1)'

höchstens sein Vorzeichen, und Ft = e9x geht über in

e 9x — ^+r, bleibt also eine endliche Grösse. Deshalb wird

R auch dann beliebig klein für hinreichend grosses n, wenn x eine negative Grösse ist.

Man kann daher in allen Fällen das Restglied bei dieser Entwickelung vernachlässigen, wenn man die Reihe bis in’s Unendliche fortsetzt, und erhält

(6.)

7*    o* 2    7*0    7*4

1 + X! ⁺ 2! ⁺ 3! ⁺ 4! ⁺ "

. in inf.

Für x = 1 stimmt diese Gleichung mit Formel Nr. 14 der Tabelle überein.

also

Aufgabe 2. Man soll die Potenzen von x entwickeln.

Auflösung. Hier ist

f{x) — ax, f‘(x) — ax 1 a, f“(x) — ax (l af.

(7.)

Function ax nach steigenden

/( 0) = 1, f\0) = \a, /'TO) = (la)²,

/⁽M,(0) = (1 «)n,

ßn+^ (&x) — aSx(\a)n+K

Daraus folgt durch Anwendung der Mac-Laurin'sehen

Reihe

ßn)(x) — ax(\a)n,

■ ßn+U (x) — ax (1 a)n+¹,

, n rt/ \    „    , , xla , ;r²(la)² ,

(8.) ßx) = a — 1 -j- -yr H--2\~ + • • • +

xn (1 a)n

n\ + ¹¹

wobei man in ähnlicher Weise wie vorhin zeigen kann, dass R beliebig klein wird für hinreichend grosse Werthe von n. Dies giebt

(9.)

a* = 1 +

x²(l a)²    .r³(la)³

~

+ ....

Dasselbe Resultat hätte man auch aus Gleichung (6.) in folgender Weise finden können. Es sei

V — ax,

dann wird

ly — 1 (ax) = xla,

folglich ist

y — exln}

also nacli Gleichung (6.), indem man x mit x\a vertauscht.

= e*ia==1 +    + x²(la)² _L s³fl«)³

2!

3!

§ 34.

Entwickelung der Functionen smx und cosx.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr 54 und 55.)

Aufgabe 1. Man soll die Function sina; nach steigenden Potenzen von x entwickeln.

Auflösung. Hier ist

also

/( 0) = 0, /'(0)=1, /"( 0) = 0,

„    /"'(0) = —1,

„    /<⁴)(0) = 0,

(1.)

fix) = sin ./■, f‘(x) = cosa;, f“ (x) = — sina;, f‘“(x) = — COSa;,

/(⁴⁾ (x) — sina;,

Unter der Voraussetzung, dass n eine ungerade Zahl ist, wird daher ₂ ■ | ßn\%) = ± COSa;, also /W(0) = ± 1,

\f(n+i)(x) = + sina;, „ ßn+V(Gx) = + sin(©a;). Dies giebt mit Hülfe der Mac-Lauriri sehen Eeihe

(3.)

rpo    /y*ö    /p'H

Sini = ü~3! ⁺5!-+-±^T+iJ’

wobei

(4-)

li= +

xn+l

sin(©.r).

in + 1)!

Nun wurde bereits im vorigen Paragraphen bei Entwicke-

x1l+l (n -j- 1)!

kann, wenn man nur n hinreichend gross wählt. Ausserdem liegt sin (Sr) zwischen —1 und +1, folglich kann R vernach-

lung von ex gezeigt, dass man

beliebig klein machen

lässigt werden, wenn man die Reihe bis in’s Unendliche fortsetzt. Dadurch erhält man

(5.)

/y»    o¹ O    sy¹ 5    sy» 7

•    it/    »As    »As    »As

sinz = r--! + ^-yj+

Heisst das letzte Glied, welches man für die Berechnung von sin# benutzt hat, ± ^y, und ist \x\ <n -j- 1, so ist der Rest, welcher vernachlässigt wird, nämlich

xn

M= + -r-

»!

vom Vorzeichen abgesehen, immer nur ein Bruchtheil dieses ' letzten Gliedes, so dass man für die Genauigkeit der Rechnung ein sicheres Mass erhält.

Aufgabe 2. Man soll nach dieser Formel sinl5°25'20" berechnen.

Auflösung. Die Länge des Bogens, welcher dem Centri-winkel von 15°25'20" in einem Kreise mit dem Radius 1 entspricht, ist

76

2776.3,14159265

32400

= 0,269168 56.

Deshalb ist

Q

= 0,269168 56, fr = 0,00325029

1!

3!

¹

lo 180 ‘ 180

xh

— = 0,000'01177,    yy = 0,00000002.

Die folgenden Glieder haben in den ersten 8 Decimalstellen keine geltenden Ziffern mehr. Es wird daher

sin^ = 0,269180 33 — 0,003 250 31,

oder

sinl5°25'20" = 0,265 930 02.

Aufgabe 3. Man soll die Function cos« nach steigenden Potenzen von x entwickeln.

10

Stegemann - Kiepert, Differential-Rechnung.

Aufgabe 4. Man soll nach dieser Formel cos 15° 25" 20" berechnen.

Auflösung. Da in diesem Falle

« = 0,269168 56

ist, so findet man

(6.)

Auflösung. Hier ist

/(«) = cos«,

/' (x) = — sin«, „

/"(«) — — cos«,

/"'(«) = sin«,

_/⁽⁴⁾ («) = cos«,

also /(0) = 1,

/'(*>) = <>,

» /*'(<>) =-1, „ /"'(0)=0,

„ /w(0) = l,

daher

Unter der Voraussetzung, dass n eine gerade Zahl ist, wird

(7.)

(8.)

/(M>(«) = ± cos«, also /(M)(0) = ± 1, f(n+X)(x) = + sin«, „ /(M+1>(0«) = + sin(0«). Dies giebt mit Hülfe der Mac-Laurin'sehen Reihe

L    /y»4    /yb    rt/M

-t    tAs    .    tAs    T-j

= l- _ ₊ ___ + _...±_ ₊ Ä

wobei

(9.)

-ß= +

«n+1

sin(0«).

(w + 1)!

Der Rest hat hier dieselbe Form wie in Aufgabe 1, nur war dort n eine ungerade Zahl, während hier n eine gerade Zahl ist. Man findet daher ebenso wie in Aufgabe 1, dass li beliebig klein wird für hinreichend grosse Werthe von n, und erhält

rpL    /y4    <7*0

c°⁸*=¹—äT⁺ ÏT—6!+-""

Auch hier ist der vernachlässigte Rest nur ein Bruchtheil des letzten von der Reihe beibehaltenen Gliedes.

(10)

«²

1 = 1,00000000,    ^ = 0,036 22586

2!

«⁴

«⁶

—,- = 0,00021872,    = 0,00000053.

4!

6!

Die folgenden Glieder haben in den ersten 8 Decimalstellen keine geltenden Ziffern mehr. Es wird daher

COSrr = 1,00021872 — 0,03622639,

oder

cosl5°25'20“ = 0,963 992 33.

§ 85.-

Berechnung von Tafeln für die Functionen sina? und cosa?.

Es war für alle endlichen Werthe von x

(1-)

(2.)

7*    7*3 -y 5    7» 7

Sm* = TT-3!⁺5!-7!⁺--

,    X¹ , X¹    X⁶ ,

C°SX- i

Dabei ist x die Länge des zugehörigen Kreisbogens,

nämlich

an

(3.)

_ n a

X = Î80    2 ‘ 9Ö ’

wenn der entsprechende Centriwinkel gleich «° ist. Da man nun für den Gebrauch zweckmässiger Weise die trigonometrischen Functionen der Winkel in Tafeln zusammenstellen wird, so wird man den in Gleichung (3.) angegebenen Werth von x in die Gleichungen (1.) und (2.) einsetzen. Dadurch erhält man

1 /5T\³ / « N³ ,    1 /7T\⁵ / « Y

“ 3!\2/ VW ⁺ öT \2/ ‘ W

©'©'⁺ASHä>‘

<⁴-> sin““ = f-55

(5.) COS<*° = 1—

6!

wobei man die numerischen Coeffieienten

tel a

W™V J_/^Y 1-f-X

’ 2!\2/ ’ 3!\2/ ’ 4 ! \ 2 / ’*** ein für alle Mal ausrechnen kann, und zwar wird

10*

11!

4!

^    = 1,570796'33,

i /*y

2TV2/ ⁼

1,23370055,

¥T0)³ = °>⁶⁴⁵⁹⁶⁴¹⁰’

ir(l)J = 0,°79692;63, 7j~(j) =0,00468175,

1    / 7r\ ⁹

örb) = ⁰>⁰⁰⁰¹⁶⁰⁴⁴>

/ 7r\ ¹¹

j — 0,00000360,

1    / 7T\ ^ ^

Ï3TV2) = 0>⁰⁰⁰⁰⁰⁰⁰⁶>

(f)⁴ = 0,25366951,

ir(f)⁶ = °>⁰²⁰⁸⁶³⁴⁸’

1    /7r\ ⁸

= 0,00091926,

1    / 77-\ Î ®

101(2) = ⁰’⁰⁰⁰⁰²⁵²⁰>

iIt (f) ’2 = °’000 000 47 ’

14!(f)¹⁴=°.⁰⁰⁰⁰⁰⁰⁰¹-

Bezeichnet man also ~ mit t, so wird

(4a.) sin«⁰ = 1,570 796 33 . t — 0,64596410 . P + 0,079 69263 . P — 0,004 68175 . V + 0,00016044 . t⁹ — 0,00000360 . t"

+ 0,00000006 . £¹³,

(5 a.) cos a° = 1,000 000 00    — 1,233 700 55 . P

+ 0,253 669 51 . P — 0,02086348 . P + 0,000 919 26 . P — 0,000 025 20 . P°

+ 0,00000047.P²— 0,00000001 . P\

Da man nur die Winkel zu berücksichtigen braucht, welche zwischen 0° und 45° liegen, so ist t immer kleiner als 0,5, so dass man bei der Berechnung nicht einmal die angeführten Glieder alle brauchen wird. Dabei ist es für die Genauigkeit des Endresultates von grosser Bedeutung, dass t, P, P, ... sämmtlich ächte Brüche sind, weil deshalb die Fehler, welche bei den Coefficienten durch Vernachlässigung der späteren Deci-malstellen entstehen, durch die Multiplication mit t, P, P, ... nicht vergrössert werden.

Ist z. B. « = 18, so wird t = 18 : 90 = 0,2, also sin 18° = 0,31415927 — 0,005167 71 + 0,00002550 — 0,00000006 = 0,31418477 — 0,00516777,

oder

oder

sin 18° = 0,30901700.

cos 18°= 1,00000000 — 0,04934802 + 0,00040587 — 0,00000134 = 1,00040587 — 0,04934936

COS 18° = 0,95105651.

Aufgabe. Man soll eine Tafel berechnen, welche die Sinusse und Cosinusse aller Winkel von 10' zu 10' bis auf 6 Decimal-stellen genau berechnet enthält.

Auflösung. Bekanntlich ist

(6.)

(7.)

sin(« + ß) = sin« cos/2 ± cos« sin/5?, cos(« + ß) = cos« cos/2 + sin« sin/2.

Ist dabei /2 = 10% so ist der zugehörige Werth von t gleich und man erhält aus G-leichung (4 a.)

(8.)

sin 10' = 0,00290888, wobei man nur das erste Glied zu berücksichtigen braucht, und aus Gleichung (5 a.)

(9.)

cos 10' = 1 — 0,00000423 = 0,99999577, wobei man ausser der 1 wieder nur ein einziges Glied zu berücksichtigen braucht. Indem man diese Werthe in die Gleichungen (6.) und (7.) einsetzt, findet man (10.) sin(« ± 10') = 0,99999577 sin« ± 0,00290888 cos«,

(11.) cos(« ± 10') = 0,99999577 cos« + 0,00290888 sin«.

In ähnlicher Weise kann man sin(« + 20') und cos(« ± 20'), sin(« ± 30') und cos(« + 30') berechnen, wenn sin« und cos« bekannt sind.

Es genügt also nach dieser Methode, sin« und cos« für « = 1°, 2°, 3°, ... 45° unter Anwendung der Gleichungen (4 a.) und (5 a.) auszurechnen. Die dazwischen liegenden Werthe findet man dann in der angedeuteten Weise mit Hülfe der Formeln (6.) und (7.).

Die Rechnung wurde auf 8 Decimalstellen ausgeführt, damit in den Endresultaten die ersten 6 Decimalstellen sicher richtig sind.

In welcher Weise man diese Methode auch auf den Fall übertragen kann, wo es sich um eine Tabelle von Minute zu Minute oder von zehn zu zehn Secunden handelt, erkennt man ohne Weiteres.

§ 36.

Andere Formen des Restgliedes.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 49—51.)

Dem Restgliede kann man noch andere Formen geben, die gleichfalls hergeleitet werden mögen, weil sie für spätere Anwendungen erforderlich sind.

Nach Gleichung (31.) in § 31 war

f‘(.x) i- , /"O)

2!

(1.) f(x+h) =/(«)-+

ßnKx)

1!

n\

hn + R.

Setzt man in dieser Gleichung für R den Werth ein, wie er dort in Gleichung (32.) angegeben ist, und vertauscht dann n mit n — 1, so erhält man

(2.) f{x 4 h) =/(*) +

/'(*)

IM

2!

hP + ...

ßn~1}(x)

(n — 1) !

Indem man diese beiden Gleichungen von einander sub-trahirt, findet man

hn~' +

fW(x + ®h)

n\

hn.

oder

(3.)

₀₌-gOĄ.+ R_.f^L+m

n\

[fn\x 4- eh) —finKxj] hn.

n\

hn,

Diese Form des Restes ist der früheren z. ß. dann vorzuziehen, wenn man nicht weiss, ob die (n -j- l)te Ableitung von f(x) in dem betrachteten Intervalle stetig ist.

Auch hier ist © eine Zahl, welche zwischen 0 und 1 liegt ; sie ist aber selbstverständlich verschieden von der Grösse ©, welche bei der anderen Form des Restes auftrat. Es möge dies dadurch zum Ausdruck gebracht werden, dass man zu den beiden Grössen © die Indices 1 und 2 hinzufügt.

Es ist also

Setzt man in Gleichung (1.) x gleich a, so geht sie über in

hn + R,

/0 + h) =f(a) +

mh+fMhi+...+

f-nKa)

. n\

wobei jetzt nach Gleichung (3a.)

-R = ^[/‘”’(“ + ©₂0 -/*'(«)] ä”

wird. Vertauscht man sodann noch h mit x — a, so erhält man die andere Form der Taylor’sehen Reihe, nämlich

(4.) f{x) =/(«) +

/'(«)

(*-«)+~2!

(x — a) H----

(x — a)n -f- R,

wobei

(5.)

= ^{/(n)[«+⁰2(^

«)] —f[nKa)) — «)*•

Indem man endlich in den Gleichungen (4.) und (5.) a gleich 0 setzt, findet man für die Mac Laur irische Reihe

(6.)    f(X)=f(ö)+£@)x+£$>

x² H-----h

/«(O)

-r-Xn+ R n\

das Restglied in der Form

(?■)

0)]*».

Weise.

Setzt man in Gleichung (1.)

(8.)

x + h = z, also h = z — X,

so wird

(9-) /(*) =/(*) +

/'(*)

/"(*)

1!

(z — x) + —!

(z — x)² + • • •

(z —z)w + Ä,

oder

(10.) R=f(z)—f(x) —

/'(*)

1!

/'(*)

(z — #) ² — •

f(nKx)

nr{z-x)n-

Hiernach ist R eine Function von x und 2. Wenn man aber wieder festsetzt, dass z in der hier folgenden Betrachtung constant bleibt, so ist R als eine Function von x allein zu betrachten, und man kann setzen

(11.)

(12.)

Dies giebt, wie schon in § 31 Gleichung (5.) gezeigt wurde,

ßn+»(z)

dR

(z — x)n.

^ =?'(*) =

Wenn nun f(x) mit seinen n + 1 ersten Ableitungen in dem betrachteten Intervalle stetig ist, so gilt dasselbe auch von den Functionen (p(x) und <p*(x). Man kann also auf rp(x) die Entwickelung nach der Taylor'sehen Reihe für n — 0 anwenden und findet

rp{x + h) = tp(x) +    h,

der mit Rücksicht auf die Gleichungen (8.)

(p‘ \x + ©(z — x)]

(13.)

<*>(z) = tp(x) +

1!

(z — X).

Nun folgt aber aus Gleichung (10.), dass R = 0 wird für x — z, dass also

(p{z) = 0

ist. Feiner folgt aus Gleichung (12.), indem man x mit x -f 0(z — x) vertauscht,

n\

<r‘ 0 + ©(« — *)] =

[z—x—(D{z—x)]n

f(n+1} \x + 0(z — #)]

n\

(1 — G)n(z — x)n;

deshalb geht die Gleichung (13.) über in

__f{n+^\x + © (z — #)]

(14.)

(fix) — R

n\

(1 — ©)M (z —2)n+l.

Auch liier ist 0 eine Grösse zwischen 0 und 1, die aber zum Unterschiede von 0t und 0₂ mit 0₃ bezeichnet werden möge. Berücksichtigt man noch die Gleichungen (8.), so wird

(15.)

f(n+\)(x + 0₃ h)

n\

(1 — ©₃)mä"+¹.

Vertauscht man jetzt wieder x mit a und h mit x—a, so erhält man die zweite Form der Taylor'scken Reihe, nämlich

(16.)

f{x) =/(«) +Lf{x-a) +f-jf (« _ «)« + • • •

(x — a)n -f- R;

wobei

(17.)

₌/^>[a + oa («-«)] ₍₁ __ @j)„ (< _ o)n+.

Indem man in diesen Gleichungen (16.) und (17.) a gleich 0 setzt, findet man für die Mac Laurin'sehe Reihe

(18.) f{x) =/( 0) +

fWx /”(0)

1!

f*KO)

*2+...₊_

xn+R

das Restglied in der Form

(19.)

R    (1 — ©,)»**+>.

Bemerkung*).

Diese Form des Restes ist nur ein besonderer Fall einer viel allgemeineren Form, die man auf folgende Weise findet.

Sind und xp(x) zwei Functionen, welche mit ihren Ableitungen (f>\x) und xp\x) in dem Intervalle von a bis z stetig und endlich bleiben, und nimmt xp‘(x) innerhalb dieses Intervalles nur positive Werthe an, so bleibt der Quotient

(20.)

QO)

y' O)

ip‘ (*)

in diesem Intervalle gleichfalls stetig und endlich, und die Function xp{x) nimmt mit x zugleich zu.

Wenn nun x das Intervall von a bis z durchläuft, so möge Q(x) für x — xi seinen kleinsten Werth K und für x — x₂ seinen grössten Werth G erreichen. Es sei also

(21.)

Q(*0

K, Q(*₂)

1p\x₂)

wobei und x₂ zwischen a und z liegen. Dies.giebt für a    z

oder

(22.)

y'fo)

xp\x)

0,

xp\x)

<p‘(x) — K xp\x) 0, ip‘(x) — G xp‘(x) ^ 0.

Diese Ausdrücke sind aber bezw. die Ableitungen von J u = <f(x) — <p(a) — K[ip{x) — y(«)], l v = <p(af) — cp{a) — G [xp(x) — ip(a)\.

Da nach den Ungleichungen (22.)

ist, so muss m beständig zunehmen und v beständig abnehmen, wenn x zunimmt. Für x = a werden u und v beide gleich 0, folglich ist 0 der kleinste Werth von w, und 0 der grösste Werth von v, wenn x das Intervall von a bis z durchläuft; d. h.

u — (f{x) — <p(a) — K{\p(x) — xp(a)] 0, v — <p(x) — (p(a) — G [ip(x) — xp(a)] 0, oder, da \p(x) — ip{a) > 0 für x > «,

tsf~*!se.

— xp{x) — X p(a) —

*) Der Anfänger darf diese Bemerkung übergehen, da von der darin enthaltenen Untersuchung nur selten Gebrauch gemacht werden wird.

(23.)

(24.)

dv

T* S«

• xp‘[a -f- 0(z — «)].

<KZ) — 7'(«)

(28.)

Bezeichnet man

xp(x) — xp(a)

mit M, so wird also

(24a.)

y*(g)

V>'(«)

in § 8 bewiesenen Satze 14 zwischen x\ und x₂ einen Werth von er heisse £, für welchen

Nun ist aber

eine stetige Function, folglich giebt es nach dem

(25.)

M~

wird. Da £ zwischen x\ und x% liegt, so liegt es auch zwischen a und z, und man kann wieder

£ — a -f- & (z — a)

setzen, wobei 0 ^ S ^ 1 ist. Dies giebt

_ <p(x) — y(a) _ y*[a + ®(z —o)]} i/d«) — xp{a) xp‘[a -j- 0(z — a)] ’

(25a.)

und für x — z

(26.)

<p(z) — (p(a) _ <f>‘[a -f- 0(z — a)] ifj[z) — xp(a) xp‘[a -f- 0(z — a)]

Setzt man z. B.

xp(x) = bx — (b — x)x, also xp'(x) — x(b — x)x ^ wobei b > z und x > 0 sein möge, so sind die für \p(x) und xfj\x) festgestellten Bedingungen erfüllt, und man erhält <p(z) — <p(a)

(p‘[a -|- 0(z — «)]

oder

(b — a)x — (b — z)x

x[6 — « — 0(z — o)]

(27.)    7>(z) — </>(«)

(.b — a)x — (b — z)x

-l

• (f‘[a -f 0(z — o)].

x[6 — a — 0(z — o)]x Dies gilt, wie nahe auch b dem Werthe von z liegen mag, folglich erhält man für lim b — z

x( 1 — 0)*-i

Für z ^ a gelten ähnliche Schlüsse. Aus den Ungleichungen (22.) folgt dann wieder, dass u beständig zunimmt und » beständig abnimmt, wenn x zunimmt. Da jetzt aber x < a, so ist

0 der grösste Werth von u und 0 der kleinste Werth von »,

wenn x das Intervall von z bis a durchläuft. Dies giebt == <p\x) — <p(a) — K[xp(x) — xfj[a)] g 0,

= tf(x) — (f{a) — G[xp{x) — »//(«)] ^ 0.

Da jetzt x-^a, so ist — »//(«)< 0; deshalb folgt aus diesen Ungleichungen wieder

(f(x) — </>(«)

— \fj{x) — xp(a) —

und

(p{z) — (p(a) (p‘[a    0(z — a)]

\p{z) — \p{a)    xp‘[a -|- 0( z — a)]

Setzt man in diesem Falle

ip(x) = (x — b)x — bx, also t/»'(«) = x(x — 6)x—1i wobei b < z und x > 0 sein möge, so sind die für ip(x) und ip‘{x) festgestellten Bedingungen wieder erfüllt, und man erhält

y(z) — rpja)

x-l ’

</>'[« 4-0(2— a)]

(z — b)x — (a — b)x x[a — 6 4“ ®(z — «)]

oder

(z — b)x — (a — b)x

<p‘[a 4“ @(2 — «)],

<p (z) — <p(o)

also für lim 6 = z findet man in Uebereinstimmung mit Gleichung (28.)

x [a — b 4" 0(z — o)]x 1

<Kz) — ¥ß) =

X (1 — 0)* Für a — x findet man hieraus

-1

(p‘[a 4“ 0(z — «)].

(29.)

v(«) — «/>(*) =

z — ar

x (1 — 0)* gleichviel ob z<z oder z < ar ist.

-l

+ @(z — *)],

Setzt man jetzt wieder

/"(*)

(30.) cp(x) = R = f[z) -f{x) - TT ( * - *)

so wird

(n+1)

(31.)

<P(») = °>    0*0 ⁼ ~dx =

(«)

(32.)

<p‘[x 4- 0(z — as)]

n\

folglich findet man aus Gleichung (29.)

(1 — 9)n~x+x (z — x)n+i,

(33.)

fn+\) [x + ß(g _ g)] x . n!

Für x = 1 erhält man hieraus die dritte Form des Restes.

§ 37.

Der allgemeine binomische Lehrsatz.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 56—58.)

Aufgabe. Man soll (1 + x)m nach steigenden Potenzen von x entwickeln, gleichviel ob m eine positive ganze Zahl ist oder nicht.

Auflösung. Hier ist

(1.)

fix) — (1 + x)m, f‘(x) = m(l -f- x)m~x, f“(x) — m{m — 1) (1 + x)m~², f‘“(x) — mim. — 1) (m — 2) (1 -f- x)m~³,

also

ßn\x) = m(m — 1) . . . (m — n -f- 1) (1 + x)m~n f(n+x\x) = m{m — 1) . .. (m—n-\-ï)(m—n)(l-\-x)

m—n—\

/(O) = 1,

f“ (0) = m{m — 1),

(la.)

/"'(O) — m(m — 1) (m — 2),

m—n—1

f(n) (0) = m (m — 1)... [ m — n-\-1), ßn+')(Ox) = m{m — 1    —n-\-l)(m—n)(l-{-Ox)

Dies giebt mit Hülfe der Mac-Laurin'sehen Reihe m(m — 1)

(2.) (1+®)« = 1+-3H

x² 4

mim—l)(m—2)

1.2.3

m(m — 1) . . . (m — n + 1)

\xn + R,

wobei

(3.)R =

1.2... n(n + 1)

xn+i,

oder

(4.)

m(m—1). . . (m—n-j-1) (m—n) (l-j-©₃æ)

m—n— 1

• (1-0-i)nXnJr'‘

1.2 . .. n

jenachdem man die erste oder die dritte Form des Restes benutzt.

Erster Fall. Zunächst möge gezeigt werden, dass R beliebig klein wird für hinreichend grosse Werthe von n, wenn

(5.)

0^x< + 1.

Bezeichnet man mit g eine beliebige positive ganze Zahl, so kann man das Restglied nach Gleichung (3.) in drei Haupt-factoren

(6.)

m(m

(7.)

1.2 ...ff

~9r    r

9+1    9+2

n -f- 1

(1 + 0x)m — (1 + ©*)w+l zerlegen, wobei der Einfachheit wegen © statt ©, schrieben ist.

(8.)

Fz - a +

ge-

Der erste Hauptfactor Fx enthält n gar nicht und bleibt endlich, wie gross auch <7 sein mag. Der dritte Hauptfactor Fl wird gleich 1, wenn von den beiden Grössen © und x wenigstens die eine gleich 0 wird; F₃ wird aber sogar beliebig klein für hinreichend grosse Werthe von n, wenn ©>0 und z>0.

Setzt man m + 1 = p, und ist

g >m^ — 1, also m + 1 = p ^ 0

so wird

— 9r_ 9 + 1— P ~~    9 + 1

_ 9 + 2 — p 9 + 2

9+ 1

x^x

m — q — 1

-— x

<7 + 2

x*S^x

n -fl —p n + 1

folglich ist

(9.)

(— i)«-*+i F₂ ^ xn~g+{.

Da nun x < -f 1 ist, so wird für hinreichend grosse Werthe von n die Grösse xn~g+¹ beliebig klein, folglich erst recht F₂.

Ist dagegen

also m + 1 < 0

so erhält man, indem man m + 1 = —p setzt,

— 9    9 + 1 + V . ■ P

9+ 1

9+ 1    '

m — 9 — 1 __ 9 + 2 + p _    p

9 + 2    9 + 2    ^9 + 2 '

Alle diese Brüche sind grösser als 1, da p > 0 ist, aber sie nähern sich dem Werthe 1 beliebig. Da x< 1 ist, so kann man es daher erreichen, wenn man nur g hinreichend gross macht, dass

wird, dass also

9 + 1<X

m — q 7 — x = k<i

ist. Dies giebt dann

— n .

——; X<k.

n + 1

Deshalb wird

(10.)

(—    j^₂ < kn~9+x,

also auch hier wird F, für hinreichend grosse Werthe von n beliebig klein, da k ein achter Bruch ist.

Daraus folgt, dass auch

r = ą.f₂.f„

ist, beliebig klein wird für hinreichend grosse Werthe von n.

wenn

0^x< + 1

Zweiter Fall. Liegt x zwischen — 1 und 0, ist also — 1 <x % 0,

so wendet man die dritte Form des Restgliedes an, um zu zeigen, dass R beliebig klein wird. Aus Gleichung (4.) folgt dann, wenn man der Einfachheit wegen G statt ©₃ schreibt und x — — z setzt.

(12.) R

_ m(m— l)...(m—n+l)(m—n){ 1—©2)m-1(l—©)”(—z)n+i ~~    1.2 . . . n(l — Gz)n

(1—m)(z—Gz) (2—m)(z—Gz)

1 .(1 — 0z)    2 . (1 — 02)

(n — m) (z — Gz) n(l — Gz) ’

= — mz(l — Gz)

wobei

(11a.)

(13.)

0    < + l.

Auch hier zerlegt man R in drei Hauptfactoren Fx = — mz(l —[Gz) z—Gz 2—m z—Gz 1 — Gz '    2    * 1 — Gz

m—1

(14.) Ą = (15.) Ą

Z — Gz

g—m__

g 1—Gz

g + 1 — m z — Gz <7+2 — m z — Gz ~ ₁ _ &z ~

9+ 1

<7 + 2

1 — Gz

n — m z — Gz

1 — Gz

Der erste Hauptfactor JF] ist eine endliche Grösse, ebenso der zweite Hauptfactor Fx. Ferner ist nach der Ungleichung (11a.)

0 z(l — G) = z — Gz + z(l — Gz),

folglich wird (16.)

OST

Ist nun m +; 0, so wird

— 0z

^z<l.

<7+1

<1

<7 + 2 — m

<7 + 2

Sl, ...

-WS1

also

(17.)

^ Zn~9.

Da ^ ein achter Bruch ist, so wird zn~a beliebig klein für hinreichend grosse Werthe von », also erst recht F>.

Ist dagegen m < 0, also — m > 0, so wird, wenn man hier — m — p setzt,

g + 2 — m _    />

<7 + 2    ^<7 + 2

<7+1

>1

= 1 + ->1.

Diese Brüche sind zwar alle grösser als 1, da p > 0 ist, nähern sich aber dem Werthe 1 beliebig. Macht man daher g so gross, dass

<7+1

= 1 + -^

1 — Gz

<7+1 z —0 z

oder

z — 0Z

<7+1

1 — 0z

ist, so wird

<7 + 2 — m z — 0z g + 2    1 — 0z

<k

1 — 0z

<k.

Stegemann-Kiepert, Differential-Rechnung.

11

(18.)

Dies giebt

F% < kn~v.

Da k ein achter Bruch ist, so wird kn~g beliebig klein für hinreichend grosse Werthe von n, folglich erst recht F.A.

Damit ist bewiesen, dass auch R beliebig klein wird für hinreichend grosse Werthe von n, gleichviel ob in positiv oder negativ ist.

Durch Vereinigung des ersten und des zweiten Falles erhält man daher für

(19.)

— lCx<+ 1

die Entwickelung

(20.)

a+^+O+O-K”)

Bemerkung. *)

Liegt m zwischen —1 und +00, so lässt sich zeigen, dass diese Reihe auch noch für x = -\-l gilt; liegt m zwischen 0 und + oo, so gilt sie auch noch für x = — 1.

Beweis. Ist

(21.)    —l<m-<-bco, oder 0< m -|- 1 < + 00, x — F 1,

so gehen die Gleichungen (6.), (7.) und (8.) über in m {in — 1 )... (m — g + 1)

1.2...<7 '    ’

m — q in — q — 1

ą“7+T‘ ~7+2~ W+i’

(1 + ©)m

(1+ ©f⁺¹‘

Der erste Hauptfactor Fi bleibt wieder endlich, der dritte Hauptfactor wird gleich 1 für © = 0 und beliebig klein für © > 0. Ferner folgt aus Gleichung (7a.), wenn man die positive Grösse    setzt,

g + 1 — p g -f 2 — p n -f 1 — p !/ +1    *    9 + 2    ” ' n +1

Nun ist nach dem Ta^or’schen Lehrsätze

f(x 4- h) =f{x) + hf‘{x + 9 h),

(6 a.)

(7 a.)

(8 a.)

Fz =

(21.)    (— l)n_ÿ+1 F₂

tn — n

also für

erhält man

(22.)

und für x = l

f(x) = XP+\ f\x) — (p + ï)XP (x 4 h)p+i = Xp+' 4 (p 4 1) h {x + 0/0 p,

(23.)

(1 + h)p+1 = l4(p4 l)h(14 &h)p.

Wenn nun h und p beide positiv sind, so ist (1 4 @h)p ^(14 h)p ,

und die Gleichung (23.) geht über in die Ungleichung

(14 A)p+1 ^ 14 (p 4 1)Ä (1 4 h)*,

folglich ist

(24.)

g + f(

Dies giebt für h

-'Si,

oder

(25.)

y — v

?4ß    —

Indem man für « nach einsetzt, erhält man

?4i

9 4 «

9 4 K 4 1

nach die Werthe 1, 2, ... n — <7 4 1

(9 4 iy V742J ’

•=4

</ 4 2 — p

{9 4 2y V<743; ’

«41 —P n 41

/» 4 l'V \» 4 2J ’

Daraus folgt, wenn man alle diese Ungleichungen mit einander mul-tiplicirt, nach Gleichung (21.) (26.) d. h. |-F₂| wird beliebig klein für hinreichend grosse Werthe von », also auch JŻ selbst.

Im zweiten Falle, wo

0 < m < 4 co, x = — 1

ist, erhält man aus Gleichung (33.) in § 36, wenn man x mit 0 und z — x mit x = — 1 vertauscht,

(27.)

22 = (— l)n+1

m (m — 1)... (m — n)

(1

also für x =

(28.)

fei

(1 — m) (2 — »n). ..(n — m)

wobei für

(29.)

Fr

(1 — hî) (2 — m)...((/ — tn)

1.2...g

eine endliche Grösse ist. Dagegen wird unter Anwendung der im ersten Falle ausgeführten Untersuchung, wenn man p mit m vertauscht,

(g±l\m V« + iy ’

(30.)

7? _ .9 + ² — m 9 + 2 — m g+1    • g + 2

d. h. Fi wird beliebig klein für hinreichend grosse Werthe von n, folglich auch R.

Da m unendlich viele Werthe haben darf, so sind in dem binomischen Lehrsätze unendlich viele Reihenentwickelungen enthalten. Ist m eine positive ganze Zahl, so geht die Reihe nicht bis in’s Unendliche, sondern sie bricht nach dem m -f lten Gliede ab.

Beispiele.

(1 + x)-i

1+ X

1 - X + X²-X³ + Z⁴--1-----

2) m

+i-

-i

{l + Z)'²

x 1 x* . 1.3 x³ 1.3.5a:⁴

1 + 2    2 4 ⁺2.4 6    2.4.6 8

_₊-----

3)

(1+*) *

y i+x

1 . 3.5.7

t-h I rx

2.4

x²

1.3.5

2.4.6

x³

x⁴--

Man kann den allgemeinen binomischen Lehrsatz auch auf die Entwickelung von (a + b)m anwenden.

Ist nämlich | a | > ] b |, so wird ^

ein achter Bruch, und

man erhält

(a + b)m=am(l+ J

¹

9 = 9+1

²

m — — 1.

a⁶

fi , Cm\ b ,    , Cm\

~ a'n L1 +(l)ä⁺ (2) «2 + (3/

oder

(31.) (a+b)m = am +

CI

Ist dagegen | a | < | b |, so wird — ein achter Bruch, und

man erhält

/ a \m

(a + b)m = £'"(l +

7 L /m\a , /m\ a- /m\a‘i ,

= ^[¹+(i)?+(₂)j₅+(₃)j₅ + --

oder

(32.) (a+ b)m = bm -f Ç^abm~i +Ç^a²bm~²+ Ç^a*bm~*~1-----

Der binomische Lehrsatz kann auch benutzt werden zur Ausziehung von Wurzeln mit beliebig hohem Wurzel-Exponenten.

Beispiele.

1) yjsö = (125 + 5)^ = 5^1 + ^ = 5 (1 + 0,04f •

Nach dem binomischen Lehrsätze wird aber

(l+*)ł =

i+r

3.6

3.6. 9

■x³-

2.5.8

3.6.9.12

x⁴-j---

also hier ist

(1 +    0,04)t=    1,013 333    333 3 —    0,000 177    777 8

+    0,000 003    950 6 —    0,000 000    105 3

+    0,000 000    003 1 —    0,000 000    000 1,

oder

(1 + 0,04) = 1,013 159 403 8,

ClSV<*

3 _ t

]/l30 = 5 (1 + 0,04)³ = 5,065 797 019 0.

Wegen Vernachlässigung der späteren Decimalstellen ist in diesem Resultate die letzte Decimalstelle um 15 Einheiten unsicher.

2)

]/l000 = (1024 — 24p = 4 ^1

3 \¥ 128/ '

Nach dem binomischen Lehrsätze ist nun

(i + xy = i +

(i — xY ⁼⁼¹~\x

folglich wird

-^f-r«² +

o. 10 ⁴ xi

5.10

4.9

5.10.15

5.10.15

x³--

128,

oder

= 1 — 0,004 687 500 0

—    0,000 043 945 3

—    0,000 000 618 0 — 0,000 000 010 1 — 0,000 000 000 2,

y1000 = 4.0,995 267 926 4 = 3,981071705 6.

Die Unsicherheit in der letzten Decimalstelle beträgt

hierbei 8.

In ähnlicher Weise werden die folgenden Aufgaben gelöst:

3    i

3) ]/22Ö = (216 + 4)^ = 6 (l + ^ = 6.1,006 135 122 799

= 6,036 810 736 794.

Die Unsicherheit in der letzten Decimalstelle beträgt hierbei 18.

4) V2106 = (2187 — 81p = 3^1 —    >

__ ₁ , 1 6 ⁺ 7‘r    7.14

7 . 14.21.28

6.13

7 . 14.21

6.13.20

X⁴ -j---

JL

(-è) =

6 . 13

7 . 14.27²

7 . 14.21.27:i

7 . 27 = 0,994 623 032 493,

1/2106 = 2,983 869 097 479.

Die Unsicherheit in der letzten Decimalstelle beträgt hierbei 10^.

§ 38.

Der Logarithmus.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 59—64.)

Setzt man

f(x) = l.r,

so kann man die Mac Laurin'sehe Reihe nicht anwenden, weil f(x) und alle Ableitungen davon für x = 0 unendlich gross werden. Deshalb setzt man

/(*) = 1(1 + «), f‘(x) — (1 + x)~\

/"(*) = — 1 • (1 +

/'"(*) = 1 • 2 (1 + *)~³,

/⁽⁴⁾0) = — 1.2.3 (1 + x)~⁴,

(10

also ,/(0) = 0,

»    /'(°)    = + 1j

„    /"(0)    = -l,

n /"'(0) =+1.2,

» /(4,(0) = - 1 • 2 • 3,

f(n) (x) = (—l)n_i(«—l)!(l+«)-H /(-+!)(*) = (— 1)»»!(1 + *)

/<">( 0) = (-l)w-¹ (»-!)!,

—n—1

also

i la.) y(»+¹)(©a:) = (—l)Mw! (1 -f- ©#)

Durch Anwendung der J/ac-jLawrm’schen Reihe erhält man

X² XZ X⁴

2"+3    4" ^

Auch hier kann man zeigen, dass R beliebig klein wird für hinreichend grosse Werthe von n, wenn x zwischen — 1 und + 1 liegt.

Ist zunächst

(2.)    1(1 -f- x) —

... ±

— + R.

(3.)

+ 1,

so wendet man die erste Form des Restes an und erhält /(*+DQSte)

(n + 1)!

Für z = 1 wird also

(4.)

w+l

. (-1)" _

n + 1    (1 -f @x)n+'

xn+l

{n + 1) (1 + S)n+l beliebig klein, selbst wenn S gleich 0 sein sollte, denn^ wird beliebig klein für hinreichend grosse Werthe von n. Ist

aber x ein achter Bruch, so ist sicher auch

ein achter

1 + Sx

Bruch; dann wird R erst recht beliebig klein, da die Factoren

n + 1

beide beliebig klein werden.

und

( *.....i

\1 + Sx)

«+1

Ist

(5.)

— 1 < x ^ 0,

so wendet man wieder die dritte Form des Restes an und erhält, indem man x mit —z vertauscht,

(6.)

i Jl ₌Ü¹1^QX) (l-Q^n+l ₌ (_1)»(1 + Sx)

—n—1

(l—S)nxn^

£__(z — SzV\

1 — Sz \1 — Sz)

(7.)

Nun folgt aus der Ungleichung (5.), dass 0^s<l

und deshalb

0 L4 z(l — Q) — z — Sz RL z(l — Sz)

ist, folglich wird

z — 0z

(z — 0g y

Vl — 0z)

^z, und

wird beliebig klein für hinreichend grosse Werthe von n. Dasselbe gilt daher auch für R.

Somit erhält man für

1 — 0z

die Entwickelung

— l<x^ + 1

(8.)

1(1 + x)

H |i-H

Es ist z. B.

co

eë

rH |co

Für die numerische Berechnung der Logarithmen ist diese Reihe noch nicht sehr geeignet, weil man sie nur für die Berechnung der Logarithmen zwischen 0 und 2 benutzen kann, und weil man sehr viele Glieder der Reihe braucht, um den Logarithmus auf einige Decimalstellen genau zu erhalten.

Man kann aber aus dieser Reihe einige andere, für die numerische Berechnung weit geeignetere Reihen ableiten. Setzt

man z. B. in Gleichung (8.) x — so erhält man

— L—Hl _l li

a    2 a²    3 a³

oder

4a⁴ '

(9.)    1(. + ,) = !. + £-£ + £

wenn ^ ein achter Bruch ist. Für y = 1 folgt hieraus (9a.) l(o+l) = lo + l-L+L_ił. ₊ _....

Eine noch brauchbarere Reihe erhält man auf folgende Weise. Nach Gleichung (8.) ist

/V»    /v* Z    /i’O    y-4    /v* D

i(i + *) = ⁺ r-! + ii-i ⁺ !

1(1 -X) = -J

Oil

Setzt man jetzt (11.) = so wird

X 2 y+z'

und Gleichung (10.) geht über in

(12.) %+z) = h/+2

Z³

Z³

_2y + « ' 3(2y+z)³    5(2y+z)

Sind y und z positive Zahlen, so wird x ein achter Bruch, und es gilt also die durch Gleichung (12.) gegebene Entwickelung.

Diese Reihe wird besonders häufig angewendet für den Fall, wo z = 1 ist; dann wird nämlich

(12a.) l(y+l) = ly+2

l_2y+l ^ 3(2y+l):

5(2y+l)

5 + ••

•i

§ 39.

Berechnung der natürlichen Logarithmen.

Aufgabe. Man soll die natürlichen Logarithmen der Zahlen 1 bis 10 auf 8 Decimalstellen genau berechnen.

Auflösung. Um in dem Resultate eine Genauigkeit von 8 Decimalstellen zu erzielen, wird es gut sein, die Rechnung bis auf 10 Decimalstellen durchzuführen.

(1.)

§ 39. Berechnung der natürlichen Logarithmen. Zunächst ist

11 = 0.

Ferner setze man in der Keihe

(2.) l(y+l)-ly+2[₁ph_ + ^₊₁y + 5(2^1): y — 1, dann wird

•]

¹2 = 2(±-+jL.+

•)

Nun ist

1:3 = 0,3333333333,

1:3 = 0,3333333333, 1 : 3³ = 0,037 037 037 0,    1 : 3.3³ = 0,012 345 679 0,

1 : 3⁵ = 0,004 115 226 3,    1 : 5.3⁵ = 0,0008230453,

1 : 3⁷ = 0,000 457 247 4,    1 : 7.3⁷ = 0,000 065 3211,

1:3° = 0,000 050 8053,    1:9.3° = 0,000 005 645 0,

1 : 3¹¹ = 0,000005 6450, 1 : 11.3¹¹ = 0,0000005132, 1 : 3¹ 2 3 = 0,000 000 627 2, 1 : 13.3² = 0,000000048 2, 1 : 3⁴ 5 = 0,0000000697, 1 : 15.3⁴ = 0,0000000046, 1 : 3⁶ = 0,000 000 007 7, 1 : 17.3⁶ = 0,0000000005,

folglich ist

i-12 = 0,346 573 5902

und

1 +03 + 05+- = ⁰-2027825542>

...) = 0,405465108 4, 12 = 0,6931471804.

Dies giebt

(4.)

folglich ist

13 = 1.0986122888.

Ferner wird

(5.)

14 = 2.12 = 1,3862943608. Für y = 4 folgt aus Gleichung (2.)

----1--1--

3.9³ ~ 5.9’

15

= U + 2(i +

-)•

Nun ist

1:9 = 0,1111111111, 1: 9³ = 0,0013717421, 1 : 9⁵ = 0,000 016 9351, 1 : 9⁷ = 0,000000 2091, 1:9° = 0,0000000026,

1:9 = 0,1111111111, 1 :3.9³= 0,000457 2474, 1 : 5.9⁵ = 0,000003 387 0, 1 : 7.9⁷ = 0,0000000299, 1:9.9° = 0,0000000003,

folglich ist

dies giebt

(6.)

CD H-*

3.93 1 5.9’

3.9³    5.9’

15 = 1,6094379122.

+ .. . = 0,111571775 7,

+ ...)= 0,223143 5514, 14 = 1,386294 3608;

Ferner ist 16 = 12 + 13 = 0,6931471804 + 1,0986122888

oder

16 = 1,7917594692.

Für y = 6 folgt aus Gleichung (2.)

(3.)

-f~ • •

3.5³ ' 5.5⁵

1:5 = 0,2000000000, 1: 3.5³ = 0,002 666 666 7, 1 : 5.5⁵ = 0,0000640000, 1 : 7.5⁷ = 0,000001828 6, 1:9.5° = 0,0000000569,

Nun ist

1 : 13 = 0,076923 076 9,

1:13 = 0,0769230769,

1 : 13³ = 0,0004551661, 1:3.13³'= 0,0001517220, 1 : 13⁵ = 0,000002 6933, 1:5.13⁵ = 0,0000005387,

1 :13⁷ = 0,000 000015 9, 1 : 7 . 13⁷ = 0,000 0000023,

folglich ist

— -]---

¹    ^ 3.13³

13

5.13⁵

+ . . . = 0,077 075 339 9,

<è+

3.13³ ‘ 5.13⁵

= 0,1541506798,

dies giebt

16 = 1,791759469 2;

(8.)

17    = 1,9459101490;

18    = 3.12 = 3.0,693147180 4,

also

(9.)

also

18    = 2,0794415412;

19    = 2.13 = 2.1,0986122888

(10.)

19 = 2,197 224577 6;

110 = 12 + 15 = 0,693 1471804 + 1,609 4379122

also

en.)

110 = 2,3025850926.

Berücksichtigt man nun, dass die beiden letzten Decimal-stellen in den vorstehenden Rechnungen nicht mehr ganz zuverlässig sind, und behält man deshalb nur 8 Stellen bei, so ergiebt sich als Resultat der Rechnung die folgende Tabelle

11 = 0,

12    = 0,69314718,

13    = 1,09861229,

14    = 1,386294 36,

15    = 1,609437 91,

16    = 1,79175947,

17    = 1,94591015,

18    = 2,07944154,

19    = 2,197 22458,

110 = 2,30258509.

Will man hieraus die Logarithmen mit der Basis 10 berechnen, so hat man nach den Ausführungen in § 18 die gefundenen Werthe mit dem Modul des Briggs'sehen Logarithmensystems, nämlich mit

(13.)

l0^ = iTÖ=P02k5F9=°>434 29448

zu multipliciren.

Bezeichnet man also loge mit M, so erhält man für die Logarithmen mit der Basis 10 folgende Tabelle:

log 2 = Jf. 12 = 0,301029 99,

. log 3 = Af. 13 = 0,47712125, log 4 = 31.14 = 0,602 059 99, log 5 = 3/. 15 = 0,698 97000,

(14.)

« log6 = Jf.l6 = 0,77815125, log 7 = MAI = 0,845 098 04, log 8 = 3/. 18 = 0,903089 98, log 9 = AT. 19 = 0,95424251,

. log 10 = M. 110 = 1,00000000.

Für die Berechnung der Logarithmen aller übrigen Zahlen mit der Basis 10 findet man aus Gleichung (2.) durch Multiplication mit M

(15.) log(y+l) = logi,₊2Jf[iAT+ 3(2y+1)

Dabei braucht man von der Reihe höchstens nur noch die drei ersten Glieder, wenn man auf 8 Decimalstellen genau rechnen will. Bei etwas [grösseren Zahlen werden sogar schon die beiden ersten Glieder ausreichen. So ist z. B.

•)

153 = 152 + 2^+

= 0,009523 809 5,

3.105⁵

153 = 152 + 2.0,009524097 4 = 152 + 0,0190481948.

folglich ist

Hier hat schon das dritte Glied der Reihe in den ersten 8 Decimalstellen keine geltende Ziffer mehr.

Allerdings darf man es sich nicht verhehlen, dass die Fehler, welche man durch Vernachlässigung der späteren Decimalstellen begeht, bei diesem Verfahren um so grösser werden, je weiter man es fortsetzt. Zu dem Fehler, der schon bei der Bildung von ly begangen ist, tritt ein neuer Fehler bei der Bildung von 1 (y + 1) hinzu. Ist ferner die Zahl n, deren Logarithmus man bilden will, eine zusammengesetzte, ist z. B.

n — abc..

so wird

\n = \a + \b -f- lc + .. so dass der Fehler bei ln gleich der algebraischen Summe der Fehler bei la, 1 b, lc,... ist.

Man muss daher die Logarithmen der Primzahlen 2, 3 und 5, die am häufigsten bei der Bildung zusammengesetzter Zahlen Vorkommen, ganz besonders genau berechnen und kann das in folgender Weise. Es ist

(16.)

/16 x¹¹ /25\⁸    /81V

' “ \15/ ' \24/ ' \80/ ' r /16\¹⁶ /25\ ¹² /81V . ° “ \15/ ' \24/ ' V80/

Daraus folgt

12 = 71

GD

IC

«O 1^ ou

05

rH I O

GO |CC

¹³ -¹¹¹ (G) + ⁸¹ (S) +⁵¹ (§) ’

15

+ »>(«) +łIQ-

Nun ist aber nach Gleichung’ (2.), wenn man für y die Werthe 15, 24 und 80 einsetzt und mit 20 Decimalstellen rechnet,

¹(i) = ²(è⁺3J3ü+-)

= 0,064 588 521137 57117170,

(18.)

(!)=²Gd

3.49³

= 0,040 821994520255129 56,

Q = <à⁺

3.161³

= 0,012 422 519 998 557 153 30.

Bei der Berechnung von l(jp0 und l^j^ braucht man hierbei nur 6 Glieder der Entwickelung, bei der Berechnung von l(J^) sogar nur 4. Dadurch findet man

12    = 0,693147180 559 945 309 60,

13    = 1,098 612288 668109 69168,

15 = 1,60943791243410037502,

110 = 2,302585 092 994045 68462.

Es ist nicht zu verlangen, dass in diesen Besultaten die beiden letzten Decimalstellen noch genau richtig sind ; und zwar ist

bei

12,

13,

15,,

110,

die obere Fehlergrenze + 48, ± 67, + 112, + 160, und der wirkliche Fehler + 18, + 28, + 42,    -f- 60;

d. h. die hier angeführten Werthe von 12, 13, 15, 110,. sind in den letzten beiden Decimalstellen bezw. um 18, 28, 42, 60 zu gross.

Es ist dem Anfänger sehr zu empfehlen, die hier angedeutete Bechnung wirklich durchzuführen.

Jetzt ist es auch möglich, 17 sehr genau auszurechnen, denn es ist

49

also

217 = 12 + 215 —I (II). Dabei ist nach Gleichung (2.) für y = 49

+ -)

/50\ _ o / ¹    1

\49/ w V99 ⁺ 3.99³ ^ 5.99⁵

= 0,02020270731751944840, und wenn man die hier gefundenen Werthe zu Grunde legt, 12 + 215 = 3,912 02300542814605964,

also

217 = 3,89182029811062661124,

17 = 1,945910149055313 305 62, ein Werth, der in den beiden letzten Decimalstellen um 51 zu gross ist.

also

§ 40.

Partes proportionales.

Nach Gleichung (4.) in § 38 ist für n = 2

1(1 + x) = j-

X² 1 / X \³

¥ ⁺ 3 U + ®x)

t-M

x²

rH CO

(_£_y

Vl — ®xx)

rH CO

co '(S)=**+* ™ * = [(rfe) + Gdy³;-

Nun wird für 0 < x < -f 1

x    x    x

1 + 0X X> 1 — 0xx < 1 -x ’

folglich ist

Æ < r(x + ra) = I    [(1- *)³ + !]

oder

(2.)

-<Kiy)³-

Setzt man wieder

2 y + z’

1 -j- x

also

2 y + 2z ~ 2y+ z’

l + x_ y + ~ <

1 -X

so wird

(3.)

1 (y + z) = ly +

2z

2y + z

+ i?.

wo

(4-)

R<

z³

12 y³

Ist also y > 10000, 2    1, so wird

(5.)

R<

12.10¹²

d. k. Ii hat in den ersten 13 Decimalstellen keine geltende Ziffer mehr.

Darauf gründet sich hei dem Gebrauche der Logarithmentafeln die Berechtigung für die Interpolation durch die partes proportionales.

Sind z. B. in einer solchen Tafel die Logarithmen für alle fünfstelligen Zahlen angegeben, so kann man daraus doch noch den Logarithmus einer siebenstelligen Zahl n bis auf 7 oder 8 Decimalstellen genau finden, wie folgi.

Da es nur auf die Mantisse des Logarithmus ankommt, so setze man das Décimal-Komma hinter die fünfte Ziffer, nenne die Ganzen y und den übrig bleibenden Decimalbrucli 2, dann ist n = y + z, wobei y > 10000 und 2 < 1.

Jetzt ist

(6.)

1 n = l(y + z) = ly +

22

+ JRZ,

2 y+z

l(y + 1) = 1 y + 2^71 + M

wobei man aber die beiden Reste JRZ und Rx vernachlässigen darf, da beide in den ersten 13 Decimalstellen keine geltende Ziffer haben. Setzt man daher

(7-)

1?

(2y + z) (2y + i)

2. KD

(8.)

so wird

^ = l(y+l)-ly = i^FT

(9.)

ln == ly -f

2 y + ^

= bj + z.J +

2c

2c

= ly + z.J

2y + c 2y + 1 2c (1 — c)

(2y + *) (2y + l)

Dabei ist aber

2c (1 — c)

2c (1 — c)

ly²

Setzt man also

ln = ly + z.J,

so ist der Fehler so klein, dass er in den ersten 8 Decimalstellen keine geltende Ziffer hat.

Man braucht also nur, um ln zu erhalten, in den Tafeln l y aufzuschlagen und den Ausdruck

z.J — c[l(y + 1) —1 y\

zu addiren, welcher unter dem Namen „partes proportionales“ bekannt ist.

Das Gesagte gilt zunächst für natürliche Logarithmen, da aber die Briggs'sehen Logarithmen aus diesen entstehen, indem man sie sämmtlicli mit M = loge multiplicirt, so gilt es in ähnlicher Weise auch für Briggs'sehe Logarithmen und ebenso für jedes andere Logarithmen-System.

§ 41.

Methode der unbestimmten Coefficienten.

Bei manchen Functionen ist die Bildung der höheren Ableitungen sehr umständlich; deshalb wählt man zur Entwickelung nach Potenzen von x einen etwas anderen Weg.

Man weiss nämlich, es ist nach der Mac-Laurin’sehen Reihe (1.) f{x) — A + A\X + A₂x² + Asx³ + ... -f- Anxn -f- B,

12*

wobei

(2.) A =/( 0),    A

/'(0)

1!

wird. Aus Gleichung (1.) folgt aber

(3.) f‘{x) — At + 2A₂x + 3A₃x² + ... + nAnxn~l -f- — •

Ist also die Entwickelung von f‘(x) bekannt, und kann man zeigen, dass R beliebig klein wird für hinreichend grosse Werthe von n, so findet man die Werthe der Coefficienten Aj, A₂, A₃,... aus Gleichung (3.) Deshalb soll der folgende Satz bewiesen werden:

(IR

Ist für hinreichend grosse Werthe von n die Grösse — beliebig klein, so gilt dasselbe auch von R.

Beweis. Ist £ eine beliebig kleine Zahl, so gilt die Voraus

setzung

(4.)

dH

also

du

clR

d^~s<0’

S + £>0’

oder

(4 a.)

d(R — ex)

dx

<0,

d(R + ex)

clx

(5.)

deshalb nimmt R-lex mit x beständig zu, während R — ex beständig abnimmt, so lange x zunimmt. Für x = 0 sind aber beide Functionen gleich 0, folglich ist für positive Werthe von x R-\-ex> 0 und R — £.r<0,

oder

(5a.)

(6.)

— ex < R < -f- ex.

Für negative Werthe von x findet man ebenso -f- ex < R < —ex.

In beiden Fällen wird R beliebig klein, denn £ ist beliebig

klein.

dR

Dabei ist zu beachten, dass das Restglied in der

Entwickelung von /' (x) nach steigenden Potenzen von x ist. Man kann daher dem eben bewiesenen Satze auch die Fassung geben :

Lässt sich f‘ (z) nach steigenden Potenzen von x entwickeln, so gilt dasselbe auch von f(x).

Mit Hülfe dieses Satzes findet man z. B. sehr leicht die

Entwickelung von

fix) 1(1 -b x) = A -f- A^x -f- A->x² -f- A^x^ —(— ... —j— Anxn -j- R} denn es wird nach dem binomischen Lehrsätze für

(?•)/'(0

dB

l-\-x

= 1 X-\-xï X? •+•... + (—1)”    ,

folglich ist

A=f{0) = 11 = 0, A{ = 1.    2A-,= — 1,    3M₃ = +1, ..

und deshalb in Uebereinstimmung mit Formel Nr. 59 der Tabelle

(8.)

— -J-----b — ....

2    3    4

Wenn — 1 < x < -f 1 ist, so wird dabei R beliebig klehi, weil das Restglied ^ in der Entwickelung von f‘{x) beliebig klein ist.

1(1 + x) = j

§ 42.

Entwickelung der Function arctga? nach steigenden Potenzen von x.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 65.)

Aufgabe. Man soll die Function arctg# nach steigenden Potenzen von x entwickeln.

Auflösung. Hier ist

(1.)    arctgxA-f*A^xAA^x²-)-A§x^-\-Anxn-{-R,

dR

— A^ -j- 2A.)X -b 3A^x~ -j- ... -f-nAnxu ^-|—j—•

(2-)/'W = T4j₅

Nun wird aber nach dem binomischen Lehrsätze, wenn x2 ein achter Bruch ist,

.r⁶ H--..

(3.)

folglich ist

A = /( 0) = arctgO =0,

A\ — 1,    — 0, 3 A:i —    1, 4A₄ = 0, 5A₅ — + 1, • • •

uud deshalb

(4.)

arctg.r ==

x³

X''

x~l

“"3 ⁺ ~h für— 1 <x < + 1.

R wird dabei beliebig klein für hinreichend grosse Werthe

dR

von n, weil das Restglied -j- in der Entwickelung von /' (x) beliebig klein ist.

§ 43.

Berechnung der Zahl ir

durch Anwendung der Entwickelung von arctg.x.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 66—68.)

Die Entwickelung von arctg# nach Potenzen von x ist sicher richtig, so lange x zwischen —1 und + 1 liegt. Es lässt sich auch beweisen, dass sie noch für x — + 1 richtig bleibt*). Wenn dies der Fall ist, so findet man daraus unmittelbar den Werth von weil tg gleich 1 ist. Denn die Reihe giebt für x = 1

Diese Reihe heisst die Reihe von Leibniz.

(1.)

Aus Gleichung (1.) folgt weiter

K-D+G-łMHi)

*) Der Beweis kann an dieser Stelle übergangen werden, weil die Folgerungen des Satzes hier nur geschichtliches Interesse haben. In den Beispielen auf Seite 209 (§ 47) wird der Beweis nachgeholt.

oder

(2.)

r—I I CO

— + — +.. .y

35 ' 99 ^    ) ’

und

4-1 a

= 1A_iWł_łW

\3    5/    \7    9/ VH

*)-•

oder

² (ï5⁺ à ⁺ iiä ⁺ • ' ') •

Berücksichtigt man in Gleichung (2.) die ersten n Glieder imd ebenso in Gleichung (3.), so findet man zwei Zahlen,

7t

zwischen denen — liegt. Man erkennt aber auch, dass die

Rechnung sehr langwierig werden würde, wenn man nach einer

dieser Reihen den Werth von ~ nur auf 6 Decimalstellen genau

berechnen wollte. Man kann aus den Gleichungen (2.) und (3.) noch andere ableiten, die zur Berechnung von n geeigneter sind. Durch Addition der Gleichungen

= 2 (— + — +

VI . 3 ^ 5.7 ^

² Gt5 +

(3.)

4-1 a

4-1 a

►+-I a

erhält man nämlich

also

(4.)

ud a

9 .11 + • • )

7.9 ⁺ 11 . 13

•)

1 + 2(l.3    3.5 ⁺ 5 7

H-----

'9.11    11.13

= 1 + 2.4

( —---i---

VI.3.5    5.7.9

9.11.13

+ -•)

-)

oder

(5.)

ud a

- 1 + ÏT3~²-⁴

(3.5.7

7.9.11

11.13.15

o + 2-⁴(

1.3.5

3.5.7

5.7.9

7.9.11

-)•

also

(6.) n = 2+    + 2.4.6 (

(7.)    * = 2+-^ +

1.3.5.7

5.7.9.11

-)•

oder

2.4

1.3.5

— 2.4.6

7.9.11.13

3.5.7.9

In dieser Weise kann man fortfahren, wobei man immer stärker convergirende Reihen erhält.

Noch schneller füliren die folgenden Methoden zum Ziele. Setzt man

(8.)

tgU =

ih bi

oder u — arctg

(9.)

C"r

<s

H | CO

arctg

dann wird

(10.)

tg (« + e) = !

tg« + tgö

LO| 1-*

T—I |cO

-tgwtgü

tO| H-¹

I CO

oder

HO

u + v = arctgl

Dies giebt

(12.)

eo

I-,

rH |01

pp

—I IcO

oder

3.2³ ' 5.2⁵

rH i CO

h-*

CO

h

CO

iO

CO

oder

rH

1-1 loi

05 | 1-*

00 | i—¹

LSI

ICC

|co

rH |

t—i

LOI

CJi I

c*|

V»

Diese Reihe heisst die Reihe von Euler. Sie ist zur Berechnung von n schon weit geeigneter als die Reihe von Leibniz.

Machin hat eine Reihe zur Berechnung von n aufgestellt, welche für die numerische Berechnung noch zweckmässiger ist. Er setzte zunächst

tg« =

Hieraus folgt

(15.)

also

M = aretg(-)-

(16.)

12’

25

(17.)

'    1—tg²(2w)

120

25

119

144

Es ist demnach

tg(4w) > 1

also 4u > ~ • 4

Der Unterschied zwischen 4u und klein; bezeichnet man ihn mit v, so wird

-f- v, oder 4 u — v =

ist offenbar sehr

(18.)

4« —

und

(19.)

. n v — 4 u--- •

Deshalb erhält man

tg® = tg (4 w —=

tg(4«)— tg(f)

+ tg(4«)tg(0

oder

120

(20.)

tg® =

119

120

¹ +ÏÏ9'¹

239

Dies giebt

(21.)

und mit Rücksicht auf die Gleichungen (18.) und (15.)

(22.)

■H 4

4 arc tg(^) arctg (2^9) ’

oder

(²³-)^⁴G

")    (-239    3.239³

4- • •

•>

3.5³~5.5⁵

Will man also den Werth von n bis auf 8 Decimalstellen genau berechnen, so findet man 1:5 = 0,2000000000,

1 :5.5⁵= 0,000064 0000,

1:9.5®= 0,0000000569,

1: 13.5¹³ = 0,000 0000001, also

_ 1 : 3.5³ = — 0,002 6666667, — 1 : 7.5⁷ = — 0,000001 828 6, — 1 : 11.5¹¹ = — 0,0000000019,

arctg-= 0,200064057 0 — 0,0026684972 = 0,1973955598.

Ferner ist

also

1 : 239 = + 0,0041841004 — 1:3.239³ = — 0,0000000244,

arc tg    = 0,004184076 0.

Daraus folgt

oder

= farctg(i)-arctg (~h)

= 0,7895822392 — 0,0041840760

= 0,7853981632,

n — 3,1415926528.

Hierbei sind die beiden letzten Decimalstellen nicht mehr sicher, weil schon bei Berechnung von arctg durch Ver-

nachlässigung der folgenden Decimalstellen ein kleiner Fehler begangen ist, der in der 10ten Decimalstelle kleiner als ist. Dieser kleine Fehler wird aber bei der Bildung von n mit 16 multiplicirt, weil

,-T = 16 arctg (l)-łarctg(^)

herrührt

ist. Dazu tritt noch ein Fehler, der von 4 arctg

und der in der letzten Decimalstelle kleiner ist als 4. Der Gesammtfeliler ist also kleiner als

44 101U

Durch eine Kechnung auf mehr, z. B. auf 20 Decimalstellen findet man dies bestätigt; es wird dann nämlich Ti = 3,14159265358979323846.

Daraus erhält man ohne Weiteres noch die folgenden Zahlen, welche in der Vermessungskunde häufig angewendet werden:

arc 1⁰ =    = 0,017 453 292 519 943,

180

180

arc V =

arc 1" =

— = 57,295 779 5131;

71

18(T6Ö = 0>000290888208666>

1 QA

= 3437,746770784 9;

TZ

= 0,000004848136 811

7t

Q“

180.60.60

180.60.60

TT

= 206264,806247 0964.

¹

= 0,6931471804.

Setzt man in Gleichung (2.) y = 2, so erhält man

²

= 12 + 2Q- +

Nun ist 1:5 = 0,2,

³

1: 5³ = 0,008,

⁴

1 : 5⁵ = 0,00032,

⁵

1 : 5⁷ = 0,0000128,

⁶

1 : 5⁹ = 0,000000512,

1 : 5¹¹ = 0,0000000205, 1 : 11.5¹¹ = 0,0000000019, 1 : 5² = 0,0000000008, 1 : 13.5⁷³ = 0,0000000001.

§ ±4.

Entwickelung der Function arcsin^ nach steigenden Potenzen von x.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 69.)

Aufgabe. Man soll die Function arcsin# nach steigenden Potenzen von x entwickeln.

Auflösung. Setzt man hier

(1.) f{x) = arcsina; = A + A^x + A₂x² + ... + Anxn + R, so wird nach dem hinomischen Lehrsätze

= (1 — x²) “

(2.)

y i — x¹

=    + 2 A.-,x -f- — + nAnxn~x + --

dx

dll

= 1 + 2 '"’² + 271* +

1.3.5

2.4.6

dll

Wenn x¹ kleiner ist als 1, so wird --- beliebig- klein für

hinreichend grosse Werthe von n, folglich gilt auch dasselbe für R, und man erhält A = /( 0) = arcsin 0 = 0,

2^₂ = 0,

A, = 1

äAs - 2’

AAi = 0

5A₅ =

2.4-"

folglich ist

(3.) arcsina: = j- + ||-4-

1.3 .r⁵

1.3.

2.4.6

2.45 für — 1 <x< -f- 1.

Auch diese Reihe kann man zur Berechnung von n benutzen. Es ist nämlich

sin

cd y

also

cr.l 53

arcsin ;

folglich wird

" = i + • 6 2 '

r-H 'M

—— -f Lié . —ł—j_

3.2* ^ 2.4 5.2⁵ ‘ 2.4.6 7.2'

1.3.5    1

V. Abschnitt.

Convergenz der Reihen.

§ 45.

Erklärungen und vorbereitende Beispiele.

Ist

Um =f(m)

eine gegebene Function der positiven ganzen Zahl m, so bilden die einzelnen Functionswerthe

(1.)

f(% /( 1)₅ /(2), • • • /(»—!),

oder

u2, • • • Un—1,

w₀, Wi

eine endliche Reihe, welche aus wGliedern bestellt, und deren Summe mit Sn bezeichnet werden möge. Es sei also Sn = u{) + U\ -f- w₂ + . .. + un—\.

Wächst die positive ganze Zahl n in"s Unbegrenzte, so wird aus der endlichen Reihe eine unendliche Reihe. Dabei kann es Vorkommen, dass sich Sn mit unbegrenzt wachsendem n einer bestimmten, endlichen Grenze S nähert, dass also

lim Sn = S

(2.)

(3.)

wird. In diesem Falle heisst die unendliche Reihe (oder kürzer : die Reihe) convergent. Die Grenze S heisst dabei die Summe der Reihe.

Wird aber Sn mit n zugleich unendlich gross oder gar unbestimmt, so heisst die Reihe divergent. Dies giebt die

Erklärung. Eine Reihe ist convergent, wenn Sn, die Summe der n ersten Glieder, sich mit unbegrenzt wachsendem n einer bestimmten, endlichen Grenze S nähert.

Zahlreiche Beispiele für solche Reihen liefert der vorhergehende Abschnitt, in dem die Taylor sehe Reihe behandelt worden ist. Dort wurde die Convergenz der gebildeten Reihen dadurch geprüft, dass man untersuchte, ob der Rest li für hinreichend grosse Werthe von n beliebig klein wird. Ist dies der Fall, so ist die Reihe in der That convergent, denn der Unterschied zwischen der Function fix + h) und Sn wird beliebig klein, d. h. Sn nähert sich der endlichen Grenze fix -f h) beliebig.

Ein anderes Beispiel liefern die geometrischen Progressionen

(4.) Sn = A + Ap + Ap² + ... + Ap

n—1

Ail —pn)

~    1 —p’

wenn p ein achter Bruch ist, denn dann wird sich nach Formel Nr. 11a der Tabelle Sn der Grenze

(5.)

1 —P

nähern, wenn n unbegrenzt wächst.

Auch hier wird die Differenz

S- Sn

Apn ~~ 1 —P

beliebig klein für hinreichend grosse Werthe von n.

Soll sich Sn mit wachsendem n einer bestimmten, endlichen Grenze S nähern, so müssen die Grössen

S — Sn. S — An+i und deshalb auch A„₊i — Sn = un für hinreichend grosse Werthe von n beliebig klein werden; d. h. die Glieder einer convergenten Reihe müssen von einer bestimmten Stelle ab immer kleiner und schliesslich unendlich klein werden. Damit ist nicht gesagt, dass un+\ stets kleiner als un sein muss; es ist vielmehr sehr wohl denkbar, dass ab und zu auch grössere Glieder auf kleinere folgen; wenn aber n in’s Unbegrenzte wächst, so muss un verschwindend klein werden, es muss also

(6.)

lim un = 0

sein.

Diese Bedingung ist eine nothwendige aber durchaus noch keine hinreichende, wie das folgende Beispiel zeigen soll.

In der Reihe

bS|

r—l I CO

[+ + +

werden die Glieder immer kleiner und schliesslich unendlich klein; trotzdem kann man zeigen, dass S„ beliebig gross wird, wenn man nur n hinreichend gross macht, dass also die Reihe divergent ist.

Man setze zu diesem Zwecke

n — 2 + 2 + 4 +8 + ... + 2”*-', oder n = 2m,

dann wird

oder

S,t — 1 +

to

r—1 CO

rH [CO

-f

r-i ; l'.

2m~¹

i-S 00

r-i ! Ol

2““¹ + 1

Ł+..

i-l 100

-f-    ’

r-l 100

2m

• 2m

also

H |(M

h>

- ¹ +¥'

Da man jetzt m beliebig gross machen kann, so wird auch Sn beliebig gross, d. h. die Reihe

j +    +    +    +    + • • •

H (M

r—i I CO

UH i-*

ist divergent.

In der Reihe

a — a + a— a H--...

wird Sn zwar nicht unendlich gross, aber Sn nähert sich mit wachsendem n keiner bestimmten Grenze, denn für gerade Werthe von n wird Sn gleich Null und für ungerade Werthe von n wird Sn gleich a. Deshalb ist auch diese Reihe divergent.

Bei der Taylor'sehen Reihe hatte man, wie schon hervorgehoben wurde, die Convergenz dadurch nachgewiesen, dass man untersuchte, ob der Unterschied R zwischen dem Grenzwerthe fix + h) und den n -f 1 ersten Gliedern der Reihe mit wachsendem n beliebig klein werde. In ähnlicher Weise kann man die Convergenz der Reihen ganz allgemein prüfen. Kann man nämlich eine Grösse S so bestimmen, dass

(7.)

S— Sn— Rn, und (8.) lim Rn — 0

n = oo

wird, so ist nach der angegebenen Erklärung die Reihe convergent ; und umgekehrt muss Rn für hinreichend grosse Werthe von n beliebig klein sein, wenn die Reihe convergent ist.

Man kann bei einer convergent.en Reihe die Grösse Rn, welche man den Rest der Reihe nennt, auch noch in folgender Weise erklären. Es ist

'S    = Rn-\-\i S >Sw-(-2 ⁼⁼ Rn-1-2} ... 'S    Sn-\-q Z=1 Rn-\-qi

also

Rn    Rn-\-\    — 'Sn-j-i    Sn —    Unj

(9.)

Rn    Rn-\-2    ⁼ *$»-(-2    Rn ⁼    U,n 4"    ,

Rn R)i-\-q — Rn-\-q    *Sn    Un 4 UnJr\ -(— . .. -p Un-\~q — 1 •

Da nun bei einer convergenten Reihe Rn+q mit unbegrenzt wachsendem q verschwindend klein wird, so ist

(10.)

Rn — lim (un 4* Un-\-1 + • • • 4- Un+q—\)

q = oo

= un 4 un+1 4 un+2 4- ... in infinitum.

§ ⁴⁶*

Reihen mit lauter positiven Gliedern.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 70 und 71).

Zunächst möge die Voraussetzung gemacht werden, dass alle Glieder der Reihe endlich und positiv sind. Dann gelten die folgenden Sätze:

Satz 1. Ist

vo + G 4- »2 + •. •

von

eine convergente Reihe mit lauter positiven Gliedern, und ist einer bestimmten Stelle ah

un ^ vn

so ist auch die Reihe

-j- u^    u.) -(- ..

(die lauter positive Glieder enthalten möge) convergent.

Beweis. Setzt man

Sn — w0 "f" U\ 4" • • • 4“ un—1

so wird

Sn‘ — ©o 4" ©1 + • • • 4" ©w—1

£n+ç = Un + Un-fl + • . . + Wn+g—1

S*n+q S‘n — Vn + ©h+1 + • • • + Vn+q—\

und nach Voraussetzung wird

SH+q — Sn^S\+q— S\.

Auserdem nähert sich nach Voraussetzung S'n+q — S'n mit wachsendem n der Grenze 0, wie gross auch q sein mag, folglich erst recht Sn+q — Sn, d. h. Sn und Sn+q nähern sich derselben endlichen Grenze.

Satz 2. Ist

©0 + ©1 + ©2 + • • •

eine divergente Reihe mit lauter' positiven Gliedern, und ist von einer bestimmten Stelle ab

Un — V n

so ist auch die Reihe

Uq 4" Ux -f- ut -j- . . .

divergent.

Beweis. Wäre die Reihe w₀ + ^ 4- w₂ 4- • • • convergent, so müsste nach dem ersten Satze auch ©₀ 4- ©i 4- ©₂ 4- • • • convergent sein, und das widerstreitet der Voraussetzung.

Satz 3. Eine Reihe

% + Ux + U-2 -f- . . .

mit lauter positiven Gliedern convergirt, wenn von einer bestimmten Stelle ab

(!•)

^7c<l

Un .

tst, wobei k eine von n unabhängige Constante ist.

13

Stegemann - Kiepert, Differential-Rechnung.

Beweis. Nach Voraussetzung wird für hinreichend grosse Werthe von n ; z. B. für n Fs m

Un-\-\    Unk ,

also

Mm —— Um^

Um-\-\ — Umk^

(2-)

Um-\-2 — MmĄ.\ k ÜSÜ Umk², ^w(+3 — MmJr2 k ^ Um k \

d. h. von einer bestimmten Stelle ab sind die Glieder der betrachteten Reihe gleich oder kleiner als die der Reihe Um d“ Umk d⁻ umk² -)- umki -f • • • 5 diese Reihe ist aber convergent, denn sie ist eine geometrische Progression, bei welcher der Quotient k kleiner als 1 ist, und deren Summe daher nach Formel Nr. 11a der Tabelle gleich

Um 1 —k

wird. Deshalb ist nach Satz 1 auch die Reihe wo + Mi + M2 d • • ■

convergent.

Beispiele.

1)

Sn= 1

1!

2!

xn-\

(n — 1)!

Hier ist

xn

Un — p n\

Un-\-1

also wird

(» + 1)!’

Un-\-1 _

Un

—7~T ^ ^ < ¹5

»fl

wenn man »d- 1 grösser als x wählt, folglich ist die Reihe

x‘A

1! ¹ 2! ¹ 3!

für alle endlichen Werthe von x convergent.

2) &=i + || +

1.3 xb

2.4 5

1.3.. . (2« — 3) x2n~l

2.4.. . (2n — 2) 2n — 1

Hier ist

M» —

folglich wird

1.3 ... (2» — 3) (2» — 1) z²"+l 2.4... (2n — 2) . (2n)    2n + 1:

1.3... (2n — 1) (2n + 1) x-n+3 2.4... (2n) . (2w + 2) 2w -j- 3

(2 n -j- l)²x2 (2» + 2) (2* + 3) ~~

(⁴ + t ⁺ à)

X¹

4 + — + -4

Ist a? gleich 1, so nähert sich dieser Ausdruck mit wachsendem n dem Werthe 1 beliebig, dann ist also die Bedingung

<1

Un

nicht erfüllt, denn h muss um eine endliche Grösse von 1 verschieden sein. Damit ist noch nicht gesagt, dass in diesem Falle die Reihe divergent ist; es lässt sich vielmehr ihre Con-vergenz auf einem anderen Wege (vergl. Seite 204) sehr wohl beweisen.

Ist dagegen

so wird auch

x¹ — h <C 1,

—±iS/L<l; un

in diesem Falle ist also die Reihe

1-1 MN

1. 3x5 2.45

sicher convergent.

T¹ T¹*    /y*3

3) ^n=l+^+|F + |F+...4

xn~¹

O — îy

wobei p > 0 sein möge. Hier ist

nP

W»+l =

xn+\

(n -f 1)*

folglich wird

Un -f 1

un

= (-Z-\p.x =

\w + 1/

0+èï

gleich oder kleiner als ein achter Bruch k, wenn x gleich k ist. Die Reihe

ist also convergent, wenn x kleiner als 1 ist.

Satz 4. Eine Reihe mit lauter positiven Gliedern ist divergent, wenn von einer bestimmten Stelle ab

Un+1    ^

(3.)

un

ist.

Beweis.

(4.)

Um — Um,

Um-\-1 — Um,

Um+Î ^ Um+1 ^ U Um+3 ^ Um 4-2 ^ U

Da nun die Reihe

Um + Um -j- Um + . . .

divergent ist, so ist die Reihe

M0 ■+* wl + U-l -f- . . .

nach Satz 2 erst recht divergent.

Die Reihen

x    1 xz    1.3 a:⁵

1    2 3    ^45

und

-7*    /yZ    ny o

1 4- _ 4- —__L ___L

' P ' 2P ' 3P ' ’ ‘ welche vorhin in den Beispielen 2 und 3 untersucht wurden, sind daher divergent, wenn x> 1 ist; denn man kann dann n

so gross wählen, dass auch die Grössen —-

un

nämlich

(⁴ + T ⁺ ï?)

x-

.    .    10 . 6

4 _j---f- t

bezw.

ri¹

tH

gleich oder grösser als 1 werden.

Satz 5. Eine Reihe mit lauter positiven Gliedern ist convergent, wenn von einer bestimmten Stelle ab

n .—

y un ^ k <1

ist.

(6.)

Beweis. Nach Voraussetzung ist für n m un '% kn,

folghch wird

(7.)

um S km, um+1 S km+\ «»+2 S km+²,

d. h. von einer bestimmten Stelle ab sind die Glieder der betrachteten Reihe gleich oder kleiner als die der Reihe 1 + k + k² + & + ....

Diese Reihe ist aber convergent, denn sie ist eine geometrische Progression, bei welcher der Quotient k kleiner als 1 ist, und deren Summe daher nach Formel Nr. 11a der Tabelle gleich

1 — k

wird. Deshalb ist nach Satz 1 auch die Reihe w0 "b W1 + M2 + • • •

convergent.

Beispiel.

Es sei

also

und

Un - 77 5

nL

u, i-fl =

(n + l)²

*)

Un+\

Un

/ n \² _

“ \n + l) ~~

Dieser Ausdruck nähert sich dem Werthe 1 beliebig mit wachsendem n, wird also grösser als jeder beliebige ächte Bruch Je. Der Satz 3 reicht hier deshalb zum Beweise der Convergenz nicht aus.

Ebenso nähert sich

»7T

V*>= Vj?=»

dem Werthe 1 beliebig, denn es ist

log (yün) — log G w) =

— logw. n

Dieser Ausdruck wird aber mit wachsendem n beliebig klein. Nimmt man z. B. die Zahl 10 als Basis des Logarithmens}-stems und setzt

n = 10”*,

so wird

log Yün =

10”*’

folglich nähert sich log Yün mit wachsendem m dem Werthe 0

*) Da in der Summe Sn = uQ ul -f m₂ + ... + un—i das nte Glied mit un-i bezeichnet worden war, so müsste man, streng genommen,

Un

(»* + B² ’

Un+1

setzen-, man kann aber auch das erste Glied w₀ = 0 setzen, dann wird in dem vorliegenden Beispiele

&» = 0 +p- + p-+ ... + -çn-__ 1J2, also «« = ^2, u»+1 = (n +'Y)2'

§ 46. Reihen mit lauter positiven Gliedern, n

und deshalb ]/un dem Werthe 1 beliebig.*) Daher ist auch der Satz 5 nicht unmittelbar verwendbar.

Setzt man aber

wo —    ’

_ ¹ , ¹

U1 —    + ^2’

_ ¹ , ¹ , ¹ , ¹

w2 — |7 + 5T + 02 + 72:’

Um —

so wird

—-__1--

(2”¹)²    (2m+l)²

(2m + 2m — l)²

ti₀ — 1

“j <ê■

2²

1011-1

^11-¹

1-1

Um

—---1--

(2m)² (2m)

-__f . -j--— = ¹

m\'l '    ‘ (2m)²

2>n

Es ist also

Vw2 < |

und deshalb die Reihe

5²

JL i J_ 4. J_ , JL . i_ ,

p2 2'² ' 3² ' 42 “1“ "⁰ ‘ • * •

convergent.

Satz 6. Eine Eeihe mit lauter positiven Gliedern ist divergent, wenn von einer bestimmten Stelle ab

n rr

*) Ein vollständig strenger Nachweis dafür, das lim 1/— — 1 ist,

n = cc f n¹

wird an einer späteren Stelle gegeben werden.

Beweis. Für hinreichend grosse Wertlie von m ist in diesem

Falle

(8.)

ist.

ÿu„ x

da nun die Reihe

divergent ist, so ist die Reihe

M0 ~!" W1 ~ł~ u2 -f- . . . nach Satz 2 erst recht divergent.

Das zu Satz 5 gegebene Beispiel kann man sogleich verallgemeinern und den folgenden Satz beweisen:

Satz 7. Die Reihe

TT +

SP

4!'

ist convergent für p> 1. Beweis. Setzt man

wo — Jf'

_    1    ,    ¹

U\    —    +    gj’

(9.)

_    1    ,    1    , 1 , ¹

^2    I    2^

Um

dann wird

— —--j--i--|_ -f ¹-

(2m)^ (2TO + 1)^ ’ (2m+1 — 1)^

Ui <

W2 < 4J + 4F

j_ , j_ viv⁻¹

4^ ' 4^ V4/

_L-4--±-4-    4—l_₌f-LY⁻¹

(2OT)^ ‘ (2W)*    ' (2my    \2"7

folglich ist

(u.) und da nach Voraussetzung p — 1 positiv sein soll

= k<i.

G-r

Deshalb ist die Reihe

TT- +

2P

Sp

4 + ...

41»

(12.)

convergent, wenn > 1 ist. Satz 8. Die Reihe

1? T 2îj T 3^ T 4^ T ‘ " «stf divergent für p ^ 1.

Beweis. Setzt man in diesem Falle

“0 = 77= ¹

_    ¹ I ¹

U<1    4^ ’

₌iii±i₊i

5/J "1" ßi' 72' gli

dann wird

(33.)

—--- _i_-

(2W_1 + 1)^ (2m_1 + 2)p

± + 4 = 1.4.-,

4.P    4^    2

₌

^3    g p 1 g p i~ g p i g p g p

Um

(2 my

u-i >

= |.8W

um

oder

(2m)

(14.)

Y2u₂>2¹

3    m_

yiüj >    ... F2m„> 2'-!'.

i_ + 4

' ^2m)^ 1 1 (2m)p

—p

Es wird also, da^^l und deshalb 1—^^0 ist,

m-

y2umz> 1,

folglich ist nach Satz 6 die Reihe

2 Wq -f- 2 Uy -f- 2w₂ -j- . . .

und deshalb auch die Reihe

w0 + wi + w2 + • • •

divergent.

Satz 9. Ist

v() + v\ + ü2 + + • • •

eine convergente Reihe mit lauter positiven Gliedern, und ist von einer bestimmten Stelle ah

(15.)

Un-\-1

un

Vn

so ist auch die Reihe

uo + u\ + ^2 ~f" u,i ■ •

(welche gleichfalls lauter positive Glieder enthalten möge), convergent.

setzung

Beweis. Ist m hinreichend gross, so wird nach Voraus

W/n+t

Vm-\-1

Um

Vm

U

oder, wenn man — mit A bezeichnet,

— Vm-\-\ . A.

Vm

(16.)

Ferner wird

um+ï Vi

Vm-\-2

Vm-fl

(17.)

Vm+2

•    — ^m+3 ' j

Daraus folgt, dass von einer bestimmten Stelle ab die Glieder der Reihe w₀ + % -+- w₂ + .. • kleiner sind als die entsprechenden Glieder der Reihe Av₀ + A vt + Av₂ + ... ; da

aber v₀ + vi + v₂ + ... nach Voraussetzung eine convergente Reihe ist, so gilt dasselbe von

(18.)

Av₀ + Avt + Av2 + ... ; deshalb ist auch nach Satz 1 die Keihe

w0 "h U\ + w2 + • • •

convergent.

Satz 10. Eine Reihe mit lauter 'positiven Gliedern

^0 + «1 + «2 + Ui + . . •

ist convergent, wenn von einer bestimmten Stelle ab

Un-\-\

(19.)

Un

ist.

Beweis. Aus der Voraussetzung folgt

Un-\- ^

n —p Aï n

Un

oder

(20.)

Un-\-1    n p

Zlnyi    tt

Setzt man jetzt v₀ = 0 und für n > 0

(21.)

in np

so ist die Reihe

= 0 + 4 + 4 + ...

üo + vi + vi + • • •

nach Satz 7 convergent, weil p> 1 ist. Dabei wird

Gi+l

lp

2P

(22.)

₌ ( n Y

4 + iy

Nun ist nach der Mac-Laurin¹ sehen Reihe

(1 + xY+l = 1 + (p + 1) (1 + Qx)p . x.

Da 0 AS 0 AI + 1 ist, so ist für positive Werthe von x 1 + x 1 + Ox,

also

(1 + x)p+l AS 1 + (px + x) (1 + x)P,

Es gilt deshalb in diesem Falle der Satz 9, d. h. die Reihe

Uq + «i + U₂ + w₃ -f- . . .

ist convergent.

Beispiel.

Es sei

oder

(23.)

(1 + x)p (1 —px)    1

1 —px fS

(xh)'

Setzt man in dieser Ungleichung x =

t-H g

so erhält man

(24.)

U—P^/ n V_

w — \» + 1/ "

«’w+l

®»

oder mit Rücksicht auf Ungleichung (20.)

Un-\-1    Gt-fl

(25.)

î>»

rH |(M

co i-*

1.3

2.4

1.3. ..(2/i—3) _

2.4... (2 n — 2) 2 n — 1

dann wird

un =

1,3 ... (2n — 3) (2n — 1)

2.4 ... (2» — 2) . (2»)

2n + 1

Un-\-\ —

Un

1.3...(2»—1) (2» + 1)

2.4... (2n) . (2n + 2) 2n -f 3

(2 n + l)2 (2n + 2) (2n + 3) — 4n¹ + lOn + 6

4 + A + -1

4 n² + 4w + 1

n¹

4 + —+ 4-

Dieser Ausdruck nähert sich mit wachsendem n der Grenze 1 beliebig; deshalb ist Satz 3 nicht anwendbar. Dagegen wird

also

»^1

Un-\-1

oder

n(l

4 ?i² + 4« + 1

4»² + 10» + 6

6 ri¹ + 5 n

4»² + 10» + 6

6»² + 5» — 6 __ (2» + 3) (3» — 2) _ 3» — 2 4»² + 10» + 6 ~ (2» + 3) (2» + 2) ~ 2n + 2

)>¹⁺lr+i2-lim^¹

^ ist für » As 4 ein unächter Bruch, der sich dem Grenzwerth f beliebig nähert, folglich ist die Reihe

1 _j_ i . I hl. i _j_

2    3    2 4 5

d. h.

»^1

«n+1

»w+t

Un

«»

)-

CO IO!

^n+l

Wn

1.3.5

2.4.6

convergent.

Satz 11. Eine Reihe mit lauter positiven Gliedern ist divergent, ivenn von eine)' bestimmten Stelle ab

(26.)

n(l—

V /

ist.

(27.)

Beweis. Aus der Voraussetzung folgt

Ufi-\-1    »

» — 1 AS n

«m+1

Un

oder

Un

Setzt man also

(28.)

(m — 1) um = A so ist für hinreichend grosse Werthe von m

Um —

Um-\-1 —

m — 1 (m — 1) um_A

um+2 As

mU,n-j-1

m -\-l m + 1

um+3 As

(m + 1) um+2 ;; A m + 2    ⁼ t» + 2 ’

§ 47. Reihen mit positiven und negativen Gliedern. Da nun die Reihe

206

Jj +

tH |(N

+ g |,h    ⁵⁰    +

'S r-H | CO

•pH

o    +

02

rH |<M

cd' +

>—1 I tJH

+ ^

I    cp

h Iw P3

Hk

divergent, folglich ist nach Satz 2

U₀ -f- U₁ -{- w₂ + w3 + • • •

erst recht divergent.

§ 47.

Reihen mit positiven und negativen Gliedern.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 72 und 78.)

Die Bedingungen, welche in dem vorhergehenden Paragraphen für die Convergenz einer Reihe aufgestellt wurden, bezogen sich immer nur auf ihre Glieder von einer bestimmten Stelle ab. Die ersten Glieder der Reihe, d. h. die Glieder bis zu einer bestimmten Stelle, die noch im Endlichen liegt, sind nur der einen Bedingung unterworfen, dass keines von ihnen unendlich gross wird.

Für Reihen mit positiven und negativen Gliedern gilt zunächst der folgende Satz:

Eine Reihe mit positiven und negativen Gliedern convergirt, wenn die Summe der absoluten Beträge convergirt.

Beweis. Es sei

(1.)

Sn — Wp -j- ux -f- «2 + . . • +    1 ;

hierbei seien die Glieder alle positiv und die Glieder

— V', — w₂",... — uv“

alle negativ. Setzt man also

(2.) Wj' -f- U-2 + . . . + Uu‘ — Sn, Wj" -f- uĘ -j- . . . + Up“ = Sn“, so wird

(3.)

o _ & i çy Jé

•

Aus der gegebenen Reihe kann man aber eine andere bilden, indem man sämmtliche Glieder mit dem positiven Vorzeichen nimmt. Diese Reihe ist nach Voraussetzung convergent, d. h. die Summe SnJ + Sn“ nähert sich mit wachsendem n einer bestimmten, endlichen Grenze. Dies ist aber nur möglich, wenn sich Sn und Sn“ einzeln einer bestimmten, endlichen Grenze nähern, und daraus folgt, dass dasselbe auch für

gilt.

Eine Reihe mit positiven und negativen Gliedern kann aber auch dann noch convergiren, wenn die Summe der absoluten Beträge divergirt.

Versteht man unter einer alternirenden Reihe eine Reihe, deren Glieder abwechselnd positiv und negativ sind, so gilt z. B. der Satz:

Eine alternirende Reihe conoergirt, ivenn der absolute Betrag der Glieder immer Meiner und schliesslich unendlich Mein wird.

Beweis. Es sei

(4.) S-2m — U₀ -U± -f- U-2 -- «3 d--• • • + u2m—2-1^2m—\ ,

Ql —— Wojnj

(5.)

Q3 = U'2m    (^2»i+1    ^2m+2) 5

Q5 —— U2m    (^2m+l    ^2m-\-2)    (^2m+3    ^2m-\-\) j

Qlcc-\ — Uflm (W2m+1 ^2«,+2) ... (W2»n+2«-3 —«2m+2«-2) 5

Q₂ = (U'2m    W2?n+l) j

Ql = (W2m W2m+l) + (^2m+2 — ^2w-|-3) 5

(6.) <

Qla — (u2m-U-2m+\) + (U2m+2-U2m+:i) + . . .

+ (w2m+2«—2 W2,»+2k-i).

Da nach Voraussetzung die Glieder ihrem absoluten Betrage nach immer kleiner werden, da also für hinreichend grosse Werthe von m

^2m, ^ w2m+l ^2m+2 ^    ^ ^2m+2a—1    0,

so sind in den Gleichungen (5.) und (6.) die Klammergrössen sämmtlich positiv, und man erhält

j Wïm — Ql ^ Q;l U⁵⁻ Q5 ^ Qirt — 1

(7-)

also

l 0 < Q₂ < Qx < Qß < ... < Q2«.

Ausserdem ist

Q-2k = Qiu-l -^2m+2«—1 < Qiu—1

(8.)

0 <C Q₂«    Q2«—1 ^ ^2m ,

wie gross auch « sein mag. Nach Voraussetzung ist lim (Q₂«-i— Q₂«) = lim «2m+2«-i — 0,

w+ K — 00

mĄ-ci = ao

deshalb wird

(9.)

lim Q-iu-\ = lim Q

ttlĄ-Cl = ao

und zwar liegt die gemeinsame Grenze dieser beiden Grössen nach den Ungleichungen (8.) zwischen 0 und u2m. Da aber u2m mit wachsendem m beliebig klein wird, so ist damit bewiesen, dass der Unterschied zwischen

= ao

2« >

&2m Ulld *S,2m+2«-l — S'Im + Q'2(C -1

und ebenso zwischen

S-im und N2w_|_2f! = N₂m + Qïa

beliebig klein gemacht werden kann, welchen Werth a auch haben mag, wenn man nur m hinreichend gross macht. Sn nähert sich daher mit wachsendem n einer bestimmten, endlichen Grenze S, d. h. die Reihe ist convergent.

Aus der Gleichung

S — iS2m -f- lim Q-ia — S2m—\ — u-2m-1 + lim Q₂«

a = 20

ft = oo

und der Ungleichung

(8 a.)

folgt hierbei

S'lm < S < S2m-\ ,

0 - S₂m—\    & <C. U₂m—1, 0 ^ S $2m U'2m ,

oder nach Gleichung (7.) in § 45

O -Zs>2m $ n^m ,

-U-2m—1    Ui 0.

(10.)

(11.)

(12.)

(13.)

1) Die Reihe

Beispiele.

~1+

ist convergent, und zwar ist nach Formel Nr. 60 der Tabelle ihre Summe gleich 12, obwohl die Reihe

Y+l+1+Î

divergent ist, wie schon in § 45 gezeigt wurde.

2) Die Reihe

rH rH

rH I CO

T—I

- + -3    5

ist convergent, und zwar ist nach Formel Nr. 66 der Tabelle

7t

ihre Summe gleich — • Hierdurch ist auch der Nachweis geführt, dass die Formel Nr. 65 der Tabelle noch richtig bleibt für x = + 1. Die Reihe

1+    +| + y+...

ist dagegen divergent. Dies folgt schon daraus, dass

14-    -f- — +    — + — + — + — +

-L-r t₅t T,,,/2T4r6T8T

r-i J CO

oder

rH I CO

rH | 1-0

i—l co

ist.

Bei alternirenden Reihen kann ein eigenthümlicher Umstand eintreten. Werden nämlich die absoluten Beträge der Glieder schliesslich nicht beliebig klein, sondern nähern sie sich einer bestimmten, endlichen Grenze o, so werden sich die Differenzen

Um    U)n-\-\

der Grenze Null nähern. Es kann also sehr wohl eintreten dass sich mit wachsendem n

Sin — (w0    u\)    (w2 u'i) + • - • + (w-2m—2 W₂n—l)

einer bestimmten, endlichen Grenze nähert. Dasselbe ist dann bei

$271+1 ⁼⁼ Sin + u'ln — +    (W1 ul) +3 W₄) . . . (uin—\ ^1n) der Fall; trotzdem ist die Reihe divergent, denn es ist nach Voraussetzung

Ihn ($2n+i — Sin) — lim uin — o,

n = so

n =3 co

d. h. die Summe der Reihe

-XL^ “j“ Zl-~) -XC^ -• • •

nähert sich zwei endlichen, um o von einander verschiedenen Grenzen, jenachdem man eine gerade oder eine ungerade Anzahl von Gliedern addirt. Eine solche Reihe wird eine oscillirende Reihe genannt.

Beispiele.

1) Bei der Reihe

ist

a — a + a — a -|--...

Sin — O,

$2w+l = a-

2) Bei der Reihe

-1 +

Ol rH

+H CO

O MH

CO Io

ist

(r~ł)+(ł~i)⁺(ł_ ?)+• • ■• +(âr=ï

-s₂«+i=(i-|)+(|-|)+... +(^1 - è)+

S~2n =

±-)

2 n)

2?ï + 2

2n + 1

also

lim S2n = 12,

lim $j»+i = 1 + 12.

n = cc

§ 48.

Bedingte und unbedingte Convergenz.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 74.)

Bisher wurde stillschweigend die Annahme gemacht, dass hei den Gliedern einer Reihe eine bestimmte Ordnung festgehalten werde.

Bei einer Summe mit einer endlichen Anzahl von Gliedern ändert sich der Werth der Summe gar nicht, wenn man die Aufeinanderfolge der Glieder ändert; bei Summen mit unendlich vielen Gliedern aber, d. h. also bei unendlichen Reihen kann sich möglicher Weise der Werth der Summe mit der Reihenfolge der Glieder ändern. Ist z. B.

ł + ł_i\₊...

6^7    8/

Sn

= (l_ł ₊ i_łWł_

\1    2^3 i)T V5

(-1

\in — 3

■in)

i__+    ¹

in — 2 T

und

Sn

l') ⁺ (l⁺7“ï)⁺- ⁺ (î^-3 ¹ in—}

+ ( —i--f —---

• V in — 2    4 n 2 n)

=(H)+(I-I)

- ra-4)+ft-D

; =(-+-Vl 3

’2n)

so wird

oder

Sn — Sn

LOI ł—¹

Nun wird aber

lim Sn = 12,

Il =

rH |00

Ï)

in—2    in

)]•

folglich ist

lim Sn —

tOI 05

lim (Sn — Sn) = “-12,

n = ao

12 = lim Sn.

£

Die Reihen

und

rH I rH

rH | rH

tH | CO

t-H I CO    r—I | Ol

r—I 1 40

th |co

rH | 40

t-H I t>*

Mn | I—¹

sind also beide convergent und jede von ihnen enthält , wenn man sie nur weit genug fortsetzt, sämmtliche Glieder, welche die andere enthält, aber ihre Summen haben verschiedene Werthe, weil die Aufeinanderfolge der Glieder in den beiden Reihen eine verschiedene ist.

Eine Reihe, bei der sich die Summe der n ersten Glieder mit ivachsendem n nur unter der Bedingung derselben endlichen Grenze nähert, dass die Aufeinanderfolge der Glieder eine bestimmte ist, heisst bedingt convergent. Bleibt aber dieser Grenzwerth derselbe, wie man auch die Glieder der Reihe anordnen mag₁ so heisst die Reihe unbedingt convergent.

Dabei gilt nun der folgende Satz:

Eine Reihe ist unbedingt convergent, wenn nach Absonderung von Sn die Summe von beliebig vielen Gliedern, welche aus den noch folgenden Gliedern willkürlich ausgewählt sind, beliebig klein ivircl für hinreichend grosse Werthe von n.

Beweis. Um zu zeigen, dass sich dann (1.) Sn — wo~i~wi H⁻ ••• H- un-\, und Sp = w₀' + wt' -f-... -f- u'p—\ derselben endlichen Grenze nähern, kann man p so gross wählen, dass die Glieder

Wg, Wj, . . . U,

sämmtlich unter den Gliedern

w₀', u^, ... u‘p-1

enthalten sind. Ausserdem kommen in Sp noch beliebig viele andere Glieder vor, so dass

(2-)

Sp' — Sn -j- ur -f- us -j- Ut + ... wird. Nach Voraussetzung ist aber

(3.)

lim (w,. -f* us -f- Ut . .. ) = 0,

n = co

folglich wird

(4.)

lim Sp = lim Sn ; d. h. unter der gemachten Voraussetzung nähert sich die Summe Sn mit wachsendem n derselben Grenze, wie man auch die Reihenfolge der Glieder bestimmen mag.

Diese Voraussetzung-, unter welcher der eben bewiesene Satz gilt, wird offenbar erfüllt, wenn die Summe der absoluten Beträge convergirt. Bezeichnet man nämlich mit \u\ den absoluten Betrag von u, und nähert sich

(5.)

■*-» — Kl + |Ml| + K2I + • • • + \un—1|

mit wachsendem n einer bestimmten endlichen Grenze -, so wird für hinreichend grosse Werthe von n

(6.)

—')i+rt    ~~ \ttn\ ~b |^n+l| “b • • • “b |^n+K—1 |

beliebig klein, folglich erst recht

Ur “b Us -f- Ut + . .

wobei ur, us,    aus den Gliedern un, un+l, ... un+K-1

willkürlich ausgewählt sind.

Hiervon gilt aber auch die Umkehrung:

Wird bei willkürlicher Auswahl der Glieder ur, us, ut,. .. aus den Gliedern un, un+],... ww+«_i die Summe ur -f- us -f* Ut -(- ...

für hinreichend grosse Werthe von n beliebig klein, so ist in der Reihe w₀ + u\ + % + ••• die Summe der absoluten Beträge eine convergente Reihe.

Beweis. Setzt man

K)

$n+«- $n — un ~b Un+\ ~b • • • “b un-\-«—1 ⁼ Dn

und bezeichnet die Summe aller positiven Glieder, welche in J)n enthalten sind, mit Da‘ und die Summe aller in Da enthaltenen negativen Glieder mit — Df, so ist

(8.)

Da = Da, — Df.

Nach Voraussetzung müssen Dn‘ und Du‘¹ einzeln beliebig klein werden, folglich wird auch

(9.)

2n+u — D« + k)a‘‘

beliebig klein für hinreichend grosse Werthe von n. 2n und Zn+a nähern sich daher mit wachsendem n demselben Grenz-werthe -, d. h. die Summe der absoluten Beträge ist convergent.

Der vorhin ausgesprochene Satz deckt sich daher mit dem folgenden Satze:

Eine Reihe ist unbedingt convergent, wenn die Summe der absoluten Beträge convergirt; und umgekehrt.

§ 49.

Multiplication der Reihen.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 75.)

Sind

und

TJ Ufy -J- Uy 4" u.~, -j⁻ . . .

V= V₀ + Vy -f V₂ + . . .

zwei unbedingt convergente Reihen, und ist

w{) = w₀ü₀,

Wy = W₀ üj -f- 2^ ü₀ ,

W₂ = W₀ V₂ + Uy Vy 4- U₂ Vq w n = U₀vn -f- uy t'n—1 4" • • • 4* Un-\Vy + UnV§

so ist auch die Reihe

Wo + w\ + w₂ + ...

unbedingt convergent, und ihre Summe W ist gleich dem Producte UV der Summe der beiden ersten Reihen.

Beweis. Es sei

U2n = W₀ + Uy + U-2 + . . . + u‘ln—15

V2n —    4“    + ®2 4" • • • 4" ^'2w—1 j

W2n —W₀ + Wy 4- w₂ 4- . . . 4- W-2n-1, und es mögen zunächst die Glieder w₀, uu u₂,..., vü, Vy. v₂,... alle positiv sein, dann ist

U2n • V2n = TVln + (U\ V2n—\ 4~ U₂ V2n—₂ 4" • • • 4~ M2n—2 v2 4" Win—1 #l) 4- ... 4- (W2n-2f2n—1 4“ W2w—1 ^2n-₂) 4" W2w—t ®2n-l,

also

Un • V2n > JV2n.

Dagegen ist

W2n = Un . Vn + (u₀Vn + Un VQ) 4~ (w₀ Vn+y + Uy Vn+ UnVy 4~ Un+2Vo)

4- ... 4“ (w₀t5₂n—1 4* u\ v2n—2 4“ ... 4" W2ra—2*4 4* W2w_it?₀),

also

TV2n )> Un . Vn.

Ebenso kann man zeigen, dass

CŚtn+l • E₂n+1 > JV₂ M+l > Un . Vn

ist. Lässt man aber n immer grösser werden, so nähern sich die Producte ün. Vn und Uln. F2w, bezw. V2n+i. V2n+i nach Voraussetzung derselben endlichen Grenze U. V, folglich nähern sich auch die dazwischen liegenden Werthe W2n bezw. 1P«+i einer bestimmten, endlichen Grenze W, und es wird

TV = U. V.

Enthalten die Reihen U und V positive und negative Glieder, sind sie aber, wie vorausgesetzt wurde, unbedingt convergent., d. h. sind auch noch die Summen der absoluten Beträge convergent, so nähert sich der Ausdruck

U,i . Vn    Vn = Un_\ Vn—\ -j- (un—2 Vn_X -f- Un—\ Vn—₂) + • • •

4~    1 + W₂üw_₂ + . . . + Un—₂V₂ + Un—1^),

wie vorhin gezeigt wurde, mit wachsendem n dem Werthe 0, wenn man die Grössen ux, u₂,... un_x, vx, v₂,... üm_i sämmt-lich durch ihre absoluten Beträge ersetzt; er nähert sich also dem Werthe 0 erst recht, wenn diese Grössen theilweise negativ sind. Es wird daher auch in diesem Falle

lim Wn = lim Un . Vn = U. V.

n = 00

n = 00

Dabei ist auch

W0 } U11 U2 5 • • • 5 ü0 5

eine unbedingt convergente Reihe, denn ersetzt man die Grössen , v₂,... in

u 0 V0 1

Wj

ubv\ + ux ©₀

w0 ü2 ~t~ W1 + w2 ü0

durch ihre absoluten Beträge, so verwandeln sich die Grössen w₀, wl5 w₂,... in w₀', io x‘ w₂,.... Bezeichnet man nun den absoluten Betrag von w₀ mit | w₀1, den von wx mit | wx |,.. so wird

Kl = «V>

| wx | S V) Jetzt enthält aber die Reihe

K| S W-2,

lauter positive Glieder und ist convergent, folglich gilt dasselbe auch für

d. h. die Reihe

I I + I w\ I + I w-i I + • •

ist unbedingt convergent.

Beispiel.

ry    ry L    ry «>

U= 1 4- —- 4- ------U

1 + JL + VL -i. SL +

sind zwei unbedingt convergente Reihen, folglich ist

/'£ ₊ lUl'- + -3L + Ö

U! ⁺ l!/ ⁺ V2! ⁺ 1! 1! ⁺ 2 ’.)

% + y , 0 + y)² | (x + yf

■*"    3!

setzt man für U und V nach Formel Nr. 52 der Tabelle ihre Werthe ein, so ergiebt sich hieraus die bekannte Formel

ex ey _ ex+yt

u. r= i +

l!~ ⁺

2!

§ 50.

Convergenz der Potenzreihen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 76.)

Unter einer Potenzreihe versteht man eine Reihe von der

Form

«o + «i« + a₂x² -f- a₃æ³ + . . ..

Von einer solchen Reihe gelten die folgenden Sätze:

Satz 1. Eine Potenzreihe convergirt imbedingt, wenn von einer bestimmten Stelle ab

an+\x

k< 1

ist, d. h. für alle Werthe von x, deren absoluter Betrag kleiner ist als

an

a-n

an+1

Der Beweis folgt unmittelbar aus Satz 3 in § 46.

Satz 2.

Eine Potenzreihe convergirt unbedingt für alle Werthe von x, deren absoluter Betrag kleiner ist als die positive Grösse x₀, wenn von einer bestimmten Stelle ab

I «n | V* ^ 9

ist, wobei g eine bestimmte endliche Grösse bedeutet.

Beweis. Nach Voraussetzung ist für hinreichend grosse Werthe von m

| Om | 0Cdn S g » I «»+1 I ^0W+1    9, I «m+2 | S {/, . •

folglich ist, wenn x vorläufig positiv genommen wird,

m-fl

\amxm \%g . (0 , | am+l xm+l \^g. (0

/ x \ ,W_F-

\<*m+2Xm+~\^9-(—)

da nun — nach Voraussetzung ein achter Bruch ist, so wird

</*

©'+'■©'+»■©

© [¹⁺i⁺©

m-\- 2

eme convergente Reihe, folglich erst recht

hl + h^l +1 a2*²l + • •

d. h. die Reihe

ist unbedingt convergent.

In der Reihe wird nur das Vorzeichen der Glieder ayx, a^, a₅.r⁵,... geändert, wenn man x mit —x vertauscht. Der Satz gilt also für positive und negative Werthe von x, wenn nur der absolute Betrag von x kleiner ist als x₀.

§ 51.

Convergenz der periodischen Reihen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 77 und 78.)

Die Reihen von der Form

(1.)

-|a₀ -f- «1 COS.Z + «2cos(2«) + «3 COS(Sx) + . . .

+ ôjSinæ -f b₂ sin(2z) + b₃ sin (3a;) + ... nennt man periodische Reihen, weil die Glieder sämmtlich denselben Wertli behalten, wenn man x um ein Vielfaches von 2n vermehrt oder vermindert.

Zunächst möge der einfache Fall betrachtet werden, wo die Coeßicienten a₀, ax, a₂, a₃,... alle einander gleich und die Coeßicienten 6,, b₂, b₃,... sämmtlich gleich 0 sind; es sei also

— -f COSa: + COS(2.r) -f cos(3z) + ... + COs(w — l)x

(2.) Sn= aQ

/a — b\    /a -f- b\

{—) cos(—)

2 sin0-^ cos (mx) = sin Ç~m 1 ^ — sin (^>n ~ ¹ x^ •

Aus der bekannten Formel sin a — sin b = 2 sin

folgt

(3.)

Multiplicirt man Gleichung (2) mit 2 sin

to| «

so erhält man

daher

(4.)    2 Sn sin

= a₀ sin

(l) + {sin(ï)-sin(l)|

₊ jsin(^)_sin(|)l

, [ . (2n—1 \ . (2n—3 \R .+jsm^ | xj sm^ - xji

. /2n — 1 \ = aosm y-—^—x),

oder

(5.)

Vn =

. (2n—l \ ao sm (—g—x\

2 sin

Wächst n ins Unbegrenzte, so schwankt der Werth von

sin

/9/^ _ 1 \

( 7_l_—x \ zwischen —1 und + 1, nähert sich aber keiner bestimmten Grenze, folglich ist die Reihe divergent.

Jetzt seien die Coefncienten b

Z>₂, b

.. alle einander gleich, und die Coefficienten a₀, ax, a₂, a:,, ... seien sämmtlich gleich 0; es sei also

(6.)

Sn = \ [sin.r + sin(2r) + ... + sin(W)].

Aus der bekannten Formel

(7.) 2 sin 00 sin (tmx) — cos—-0 — cos 0ni-T ¹0.

cos b — cos« = 2 sin

folgt

, so erhält

Multiplicirt man Gleichung (6.) mit 2 sin man daher

(8.)

2 SV sin

KJ &

©-“(¥)!

(in — 1 \    (in + 1 \|'

\ 2    / C0 \ 2

= h\ [C⁰S(f)— C0S^~>/^--.rJ|,

= »,

cos

-f- - cos

4- ■ cos

oder

(9.)

Sn‘ =

tC Lf*

X

ctg-

cos

(^«)

sin

eine Grösse, die sich ebenfalls keiner bestimmten Grenze nähert, wenn n in!s Unbegrenzte wächst, folglich ist auch diese Reihe divergent.

Bilden die Coefficienten «₀, ax, a₂, a₃,... oder bu b₂, b₃, ... eine steigende Reihe, so können sich Sn und Sn‘ noch weniger einer bestimmten, endlichen Grenze nähern; deshalb kann nur dann Convergenz eintreten, wenn die Coefficienten a₀, ax, a₂, .. und bx, b₂, b₃,... fallende Reihen bilden. Ob aber die periodischen Reihen unter dieser Voraussetzung wirklich convergent sind, muss noch untersucht werden. Es sei jetzt also (10.) Sn = ^a₀ + cos# -f a₂cos(2z) + • • • + an-\COS(?i—l)x, wobei

(11.)

a₀ > ai > a2 > • • • > o«-i > 0 und limaM = 0 sein möge; dann wird nach Gleichung (3.)

n — qo

2'S'„sin (0 = a₀ sin (0 + Oj sin(0 — sin(0j

+ % [sin (f)-sin (f)]

■ . (2n — 1 \    . /2w — 3 \j

SlnC—2—^ — Sm C—2—VJ

oder

(12.)

to| «

2 Vwsin

. /2n— 1 \

Om-i sm (---# j = (a₀ — oj) sin(0 + (a, — a₂) sin(0) + (a₂—a₃) sin (0 + ...

+ (an-2 — aM_i)sin^ ” ₂ ³#\

In der Reihe

(13.) (a₀—a₁) + (o₁—a₂)-f(ö₂—«3)+ ••• + (o*-î—«*-i)= o₀—.a„_i sind sämmtliche Glieder positiv, und die Summe der ersten n Glieder nähert sich mit wachsendem n der bestimmten, endlichen Grenze «₀, d. h. die in Gleichung (13.) angegebene Reihe ist unbedingt convergent. Deshalb ist auch die in Gleichung (12.) angegebene Reihe unbedingt convergent, da der absolute Betrag der einzelnen Glieder kleiner ist als die entsprechenden Glieder in der Reihe

ist, so nähert sich 2Sn sin^-^ mit wachsendem n einer bestimmten, endlichen Grenze. Dasselbe gilt auch für Sn selbst, wenn man die Werthe von x ausnimmt, für welche sin gleich 0 wird. Dies giebt den Satz:

Die Heike

-|a₀ + c^cosa; + «2 cos (2x) -f a₃ cos (3«) + ... ist convergent für alle Werthe von x, welche von 0, + 2 tt, + 47t,... verschieden sind, wenn die Coefßcienten a₀, a₁, a₂, «3 , ... positiv sind und eine bis irüs unendlich Kleine abnehmende Heike bilden.

Indem man x mit x -f n vertauscht, findet man, dass die

Reihe

+ i ao — ai COSa; + ai COS (2x) — «₃ COS (3a;) --...

unter denselben Bedingungen für alle Werthe von x convergirt, die von ± ar, ± 3/r, + 5ar,... verschieden sind.

Ebenso findet man, wenn die Coefficienten \, b₂, b positiv sind und eine bis in’s unendlich Kleine abnehmende Reihe bilden, wenn also

(14.)

Da noch

lim aH_isinf

n=z<x>    \

2n — l \

bx > b.L > bx > ... >    > 0 und lim bn — 0,

aus

(15.)

indem man mit wendet,

Sn‘ = bx sina; + ö.₂sin(2a;) + . .. -f ö»sin(»a;),

und Gleichung (7.) an-

2sin^^ multiplicirt

= b₁COS

(l)“(Jl-^)C0s(f)-(J₂-Js)C0s(f)

. v /2n—l \    ,    /2n + 1 \

bn) COSf---x\— COS(---x\-

Nun ist aber mit Rücksicht auf die jetzt geltenden "Voraussetzungen die Reihe

(17.)

(A — ^2 ) + (A — ^3) + (^3 — ^4) + • • • —

unbedingt convergent, folglich erst recht die Reihe

(4,-4,) coS(|) + (4₂-6₃)cos(^) + (4₃-S₄) cos(^)

bei welcher die absoluten Beträge der einzelnen Glieder noch kleiner sind. Da hierbei noch sin.-r, sin (2a;), sin (Sx),... särnrnt-

ver

lich gleich 0 sind für alle Wertlie von x, für welche sin

schwindet, so bleibt die Reihe

Zosina; 4- Z>₂ sin (2a;) + Z>₃ sin (3a;) 4 ... auch noch für diese Werthe von x convergent, und man erhält den Satz:

Die Reihe

A ^2? *3,.

bx sina; 4 Z>₂sin(2a;) 4 Z>₃sin(3a;) + ... ist für alle Werthe von x convergent, wenn die Coefßcienten .. positiv sind und eine bis in's unendlich Kleine abnehmende Reihe bilden.

Indem man x mit x 4 n vertauscht, findet man, dass die

Reihe

Zosina;— Z>₂sin(2a;) 4 Z»₃sin(3a;)--f- ...

unter denselben Bedingungen für alle Werthe von x convergirt.

Beispiele.

1) Die Reihe

cos (2#) , cos (3a;)

T~ “*    2

COSa:

ist convergent, wenn x von 0, 4 2/r, 4 4/r,... verschieden ist. 2) Die Reihe

sina:

sin (2x) ₍ sin (Sx)

VT Va

ys

4 ...

ist convergent für alle Werthe von x.

VI. Abschnitt.

Maxima und Minima von entwickelten Functionen einer Veränderlichen.

§ 52.

Bedingungen, unter denen ein Maximum oder Minimum eintreten kann.

Wenn sich die unabhängige Veränderliche 2, von der eine stetige Function

y —f 0)

(i-)

abhängt, um eine sehr kleine positive oder negative Grösse ± a ändert, so sollen die zugehörigen Werthe der Function, nämlich

f (x — a) und f(x-\- a),

die zu f(x) benachbarten Werthe genannt werden, und zwar ist fix—a) ein unmittelbar vorhergehender, fix + a) ein unmittelbar folgender benachbarter Werth der Function.

Wenn nun fix) grösser ist als alle unmittelbar vorhergehenden und folgenden Werthe der Function, so heisst f (x) ein Maximum ; und wenn f ix) kleiner ist als alle unmittelbar vorhergehenden und folgenden Werthe der Function, so heisst fix) ein Minimum.

Im ersten Falle ist also

fix — a) —fix) < 0 lind auch fix + a) —fix) < 0 ; im zweiten Falle ist

fix, — a) — fix) > 0 lind auch fix + a) —f(x) > 0.

Am besten wird man sich diese Beziehung klar machen durch die geometrische Deutung der Gleichung (1.) als eine

Curve. Dieser geometrischen Deutung sind auch die oben eingeführten Bezeichnungen entnommen.

Wenn z. B. der Gleichung (1.) die Curve in Figur 23 oder in Figur 24 entspricht, so hat die Function für

x = Xy — OQ\

ein Maximum und für

x — X-2 = OQ-2

ein Minimum, d. h. die Ordinate Q, J\ des Punktes I\ ist grösser als die Ordinaten aller benachbarten Punkte, und die Ordinate CÇP₂ ist kleiner als die Ordinaten aller benachbarten Punkte

Fig. 23.

Fig. 24.

ir

Pt

\P»

■O-

Ti

-3E

-ą-

Q,₂

Damit nun die Curve einen solchen höchsten Punkt Px erreicht, muss sie vorher steigen und nachher fallen ; und damit sie einen solchen tiefsten Punkt erreicht, muss sie vorher fallen und nachher steigen.

Aus diesen Erwägungen kann man die Bedingungen ableiten, unter denen fix) ein Maximum oder Minimum wird.

In § 13 (Seite 74) war nämlich gezeigt worden, dass du

~ — fix) positiv sein muss, wenn die Curve mit der Gleichung y = f(x) in dem zugehörigen Punkte steigt, und dass    (x) negativ sein muss, wenn die Curve in dem zugehörigen Punkte fallt. Unabhängig von der geometrischen Darstellung gab dies den Satz:

Wenn eine Function y =f(x) gleichzeitig mit x zunimmt, so ist die Ableitung für den betrachteten Werth positiv ; wenn

aber die Function abnimmt, während x zunimmt, so ist die Ableitung für den betrachteten Werth von x negativ; und umgekehrt.

Eine Function fix) nimmt gleichzeitig mit x zu für alle Werthe von x, für ivelche f‘(x) positiv ist, und die Function nimmt ab, während x zunimmt, für alle Werthe von x, für welche f‘ (x) negativ ist.

Wenn also fix) ein Maximum werden soll, so muss f‘(x) aus dem Positiven in das Negative übergehen; wenn dagegen f*{x) ein Minimum werden soll, so muss/' (x) aus dem Negativen in das Positive übergehen.

Hieraus folgt, dass fix) nur für diejenigen Werthe von x ein Maximum oder ein Minimum werden kann, für welche die Ableitung f‘{x) einen Zeichenwechsel erleidet. Ein solcher Zeichenwechsel tritt aber nur dann ein, wenn f‘(x) entweder gleich Null oder unendlich gross wird.

Dies giebt den Satz:

Die Function fix) kann nur für diejenigen Werthe von x ein Maximum oder Minimum werden, für welche f*(x) gleich Null oder unendlich gross wird.

Aus der geometrischen Deutung der Ableitung, nämlich aus der Formel (Nr. 16 der Tabelle)

tg“ = s=/,(a:)

folgt, wie auch aus den Figuren zu ersehen ist, dass in den Curvenpunkten, welche einem Maximum oder Minimum entsprechen, die Tangente zur X-Axe oder zur Y-Axe parallel sein muss.

Ist f‘ix) = 0, ist also die Tangente in dem zugehörigen Curvenpunkte P parallel zur X-Axe, so liegen die dem Punkte P benachbarten Punkte sämmtlich unterhalb oder sämmtlich oberhalb dieser Tangente, jenachdem der Punkt P einem Maximum oder Minimum entspricht (vergl. Fig. 23).

Ist f‘{x) = oo, ist also die Tangente parallel zur Y-Axe, so hat die Curve in dem zugehörigen Punkte P eine nach oben oder nach unten gerichtete Spitze, jenachdem der Punkt P einem Maximum oder einem Minimum entspricht (vergl. Fig. 24).

15

Stegemann - Kiepert, Differential-Rechnung.

Bemerkungen.

1)    In dem Vorstehenden ist stillschweigend die Voraussetzung gemacht worden, dass fix) wohl unendlich gross werden darf, dass aber alle übrigen Fälle der Unstetigkeit ausgeschlossen sind.

2)    Wird f‘(x) gleich Null oder unendlich gross, so ist es möglich, aber nicht immer nothwendig, dass f{x) ein Maximum oder Minimum wird.

Fig. 26.

Fig. 25.

•JP

-âf

-è-

In Figur 25 wird z. B.

f‘(x) = 0 für x = OQ,

und in Figur 26 wird

f'(x) — co für a:=OQ;

trotzdem findet in beiden Fällen weder ein Maximum noch ein Minimum statt. Die Punkte P in Figur 25 und 26 sind vielmehr Wendepunkte, von denen an einer späteren Stelle noch ausführlich die Rede sein wird.

Die Regel, welche sich aus den vorhergehenden Betrachtungen für die Aufsuchung der Maxima und Minima ergiebt, ist daher die folgende:

Man ermittele diejenigen Werthe von x, für welche f\x) gleich Null oder unendlich gross wird, und untersuche dann für die dadurch gefundenen Werthe von x noch das Vorzeichen von /' {x — a) und /' (x + a).

Wird für hinreichend kleine Werthe von a

f‘(x —a) < 0

und

f‘(x + a) > 0,

so ist f{x) ein Minimum, wie man aus den Figuren 27 und 28 erkennt, in denen

OQj = x — a und OQ, = x + a

sein möge.

Fig. 27.

Fig. 28.

\Px

jP

■0-

Qt Qz

und

Q, Q Q₂

Wird dagegen für hinreichend kleine Werthe von a f‘(x — a)> 0

f (x + a) < 0,

so ist f{x) em Maximum, wie man aus den Figuren 29 und 30 erkennt, in denen wieder

sein möge.

OQ₁ — x — a und OQ₂ = x + a

Fig. 29.

Fig 30.

/7TT¹"\

JR

■ę-

--I_X.

Mt

o-

Qj Q Qs

-Jt

Bemerkungen.

15*

1) Es kann Vorkommen, dass /' {x — a) und f‘{x + a) für hinreichend kleine Werthe von a beide positiv sind, obgleich f'{x) = 0 (vergl. Fig. 31), oder obgleich /'(*) = <» wird (vergl. Fig. 32). Ebenso kann es Vorkommen, dass f‘(x — d) und /'(« + «) für hinreichend kleine Werthe von a beide negativ sind, obgleich /' (x) = 0 (vergl. Fig. 33), oder /' (x) — co wird (vergl. Fig. 34). In diesen Fällen ist f(x) weder ein Maximum noch ein Minimum. Die Curven haben vielmehr in den zugehörigen Punkten einen Wendepunkt.

2) Wenn man für einen bestimmten Werth von x die Vorzeichen von /' (x — a) und f‘ {x -f- o) untersuchen will, so ist es nothwendig, die

Fig. 35.

Grösse a hinreichend klein zu wählen, um sichere Schlüsse über das Auftreten eines Maximums oder Minimums ziehen zu können.

Wäre z. B. die Curve, welche der Function

</=/(*)

entspricht, durch die Figur 35 dargestellt, so würde f{x) für x — OQ ein Maximum. Trotzdem erhielte man, wenn a so gross gewählt würde, wie es in der Figur geschehen ist,

f‘(x — o) <0 und /' (x + et) > 0.

Aus diesen Ungleichungen würde man also den falschen Schluss ziehen, dass f{x) ein Minimum sei.

Wenn man aber a hinreichend klein wählt, so ist auch in diesem Falle, wie man von vornherein erwarten konnte, die angegebene Regel bestätigt, d. h. es wird

f‘(x — a)> 0 und f‘(x + a) <0, dem Umstande entsprechend, dass f{x) ein Maximum ist.

Fig 31.

Fig. 32.

~Pr

y⁷

Pr

G, Ü Q₂ X" Fig. 33.

Q, Q Qâ

Fig. 34.

NS

P.

~x

Q, Q Qs

-x

und

/' (5 — a) = 4(5 — a — 1) (5 — a — 5) = — | (4 — a) f (5 + a) = 4(5 + a — 1) (5 + a — 5) = + (4 + a).

Für hinreichend kleine Werthe von a ist daher /' (5 — a)< 0 und f‘ (5 + a) > 0,

(6.)

§ 53.

Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll untersuchen, für welche Werthe von x die Function

(1.)

y —    — 9x² + 15x + 30) = f(x)

ein Maximum oder Minimum wird.

Auflösung. Aus Gleichung (1.) folgt

/' 0*0 = 4(«² —    + 5) = %(x — 1) (a: — 5).

Die beiden Werthe von x, für welche f‘(x) gleich Null wird, sind also

(2.)

(3.)

x—\ und x = 5.

Für diese Werthe kann möglicher Weise ein Maximum oder Minimum eintreten. Um zu entscheiden, ob das eine oder das andere wirklich stattfindet, bilde man nach Anleitung des vorigen Paragraphen

/'(l— «) = i(l — ö — 1) (1— a — 5) = |(« + 4)

und

daher

/'( 1 + ö) =4(1 + a — 1) (1 + a — 5) = |- (a — 4).

Für hinreichend kleine Werthe der positiven Grösse a ist

(4.)

folglich ist

(5.)

/'( 1 —«)>0, ./'(l + a)<0,

/( 1) = i(l — 9 + 15 + 30) = f = 6,1666 ...

ein Maximum.

Ebenso bilde man

folglich wird

(7.)    /(5) = 4(125 — 225 + 75 + 30) = f = 0,8333 ...

ein Minimum.

Man könnte jetzt noch fragen, für welche Werthe die erste Ableitung f‘(x) unendlich gross wird. Diese Frage beantwortet sich aber nach Gleichung (2.) dahin, dass es keinen endlichen Werth von x giebt, für welchen fix) unendlich gross wird.

von x

Demnach sind x = 1 und x = 5 die einzigen Werthe von x, für welche die Function ein Maximum oder Minimum werden kann.

Bemerkung.

Die Richtigkeit des gefundenen Resultates kann man durch die geometrische Deutung der Gleichung (1.) anschaulich machen. Aus dieser Gleichung findet man nämlich

Kg. 36.

y = — 7,333... für x — — 2,

V    —    0,833 ... „

y — 4- 0,833 ... „ 2 = 4-5, y = 4-2 y = 4- 6,166...

Wenn man nach diesen Angaben die Curve zeichnet, welche der Gleichung (1.) entspricht, so findet man in der That, dass dem Werthe 2j = OQt = l ein Maximum und dem Werthe 2₂= OQ.₂ — 5 ein Minimum entspricht.

Der Anblick der Figur lehrt ferner, dass die Maximal- Werthe durchaus nicht immer die grössten Functions-Werthe sind, und dass die Minimal-Werthe ebenso wenig die kleinsten Functions-Werthe zu sein brauchen. Die Maximal-Werthe sind nur grösser und die Minimal-Werthe sind nur kleiner als die benachbarten Werthe der Function.

2 = —1,

0,

» 2 = 4-3,

„ 2 — 4-6,

n x = + 7.

Qa

Aufgabe 2. Man soll untersuchen, für welche Werthe von x die Function

(8.)

V —    — 8ä:² 4* 12x 4- 18) = f(x)

ein Maximum oder Minimum wird.

Auflösung. Aus Gleichung (8.) folgt

f (x) = !(3;r² — 12* -f 12) = f (* — 2)².

Der einzige Werth von x, für welchen /' (x) gleich Null

wird, ist

während/'(+) für keinen endlichen Werth von x unendlich gross wird.

Um zu entscheiden, ob für x gleich 1 ein Maximum oder ein Minimum eintritt, bilde man

ocjw

f‘{ 2 — a) = -f(2 — a — 2)² = a²

und

/'(2 + a) =    (2 + « — 2)² = | a\

Es wird also

(10.)

/' (2 — a) > 0 und /'(2 + a) > 0, folglich ist /(2) weder ein Maximum noch ein Minimum.

Da x —2 der einzige Werth von x war, für welchen möglicher Weise ein Maximum oder Minimum eintreten konnte, so besitzt die Function überhaupt weder ein Maximum noch ein Minimum.

Bemerkung.

Die Gleichung (8.) giebt

y= — 1

V = + 3,625 „ x = -l, y = + 6

y = + 6,875 „ x = + 1, y = + ?

y = + 7,125    „ z = + 3,

y = + 8 y = + 10,375 „ y = + 15

Construirt man hiernach die Curve, welche der Gleichung (8.) entspricht (Fig. 37), so findet man es bestätigt, dass f(x) für keinen Werth von x ein Maximum oder ein Minimum wird. Man sieht vielmehr, daBS die Curve für x gleich 1 einen Wendepunkt besitzt.

Fig. 37.

für x — — 2,

0,

n « = + 2,

« x = + 4, * = + 5, „ x = + 6.

-0-

-X

Aufgabe 3. Man soll die Werthe von x bestimmen, für welche

m — b\/(x — c)² —f{x)

(11.)

y =

ein Maximum oder Minimum wird.

Auflösung. Die Gleichung (11.) kann man auf die Form

f{x) = m — b(x — cy

(11a.)

bringen und erhält daraus

(12.)

— 2b

5]/ (x — c)³

Fig. 38.

Hieraus folgt, dass f‘(x) für keinen endlichen Werth von x gleich Null werden kann. Dagegen wird (13.)    /'(#) = Qo für x

= c.

von x

Weise ein Maximum oder Minimum

Dies ist also der einzige Werth für welchen f(x) möglicher

wird. Um darüber zu entscheiden, "A bilde man

und

f‘(x - a) =

— 2b

+ 2b

5 y {c — a—c)³

f{c+d) =

'—2b

-2b

5]/(c + a—cf

Unter der Voraussetzung, dass b eine positive Zahl ist, erhält man also

(14.)

f‘ (c — a) > 0 und f‘{c + d) < 0,

folglich wird

f(c) = m

ein Maximum. (Vergl. Fig. 38.)

(15.)

Aufgabe 4. Von einem Rechteck ist der Umfang gleich 2c; wie gross muss man die Seiten machen, damit der Flächeninhalt ein Maximum wird?

wird

Auflösung. Bezeichnet man die eine Seite AB mit x, so

(16.)

Fig. 39.

BC = c — x, und der Flächeninhalt wird (17.) F — f(x) = x(c — x) — cx — x2 f‘(x) = c — 2x = 0, x = \c.

Um zu entscheiden, ob für diesen Werth von x wirklich ein Maximum eintritt, bilde man

(18.)

(19.)

und

a) =f‘ (j — a) = c — {c — 2a) = f‘(x + a) —f‘    + a) = c — (c + 2a) =

/'(*-

-1- 2a

— 2a.

Da f‘(x — a) >0 und f‘ (x -f- a) <0 ist, so wird f(x) ein Maximum. Dies giebt den Satz:

Unter allen Rechtecken mit gleichem Umfange hat das Quadrat den grössten Flächeninhalt.

Aufgabe 5. Von einem Dreieck ABC sind zwei Seiten h und c gegeben; wie gross muss der eingeschlossene Winkel sein, wenn der Flächeninhalt ein Maximum werden soll?

Auflösung. Nennt man den eingeschlossenen Winkel x, so wird der doppelte Flächeninhalt des Dreiecks 2 F—bc sina: = fix)

(20.)

(21.)    /' (x) = hc cosa; = 0 für x = n

Fig. 40.

c,

/«-)-

/'(!+■)-

hc cos

(f-)

hc cos

(j + a)

<0

I,

.a_

J r

TT

folglich wird f(x) ein Maximum für x = — 5 d. h. der Flächen-

inhalt des Dreiecks wird am grössten, wenn der von den gegebenen Seiten h und c eingeschlossene Winkel ein rechter ist.

§ 54.

Entscheidung über das Eintreten eines Maximums oder Minimums durch Untersuchung der höheren Ableitungen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 79.)

Die Fälle, wo f‘(x) unendlich gross wird, mögen in den folgenden Untersuchungen ausgeschlossen sein. Es soll vielmehr vorausgesetzt werden, dass die Function f(x) mit ihren n ersten Ableitungen f‘ (V), f“{x),.. ../<n) (x) stetig und endlich sei, wobei über die Zahl n später noch passend verfügt werden soll. Dann ist nach Formel Nr. 49 der Tabelle

(2-)

(1.) f{x + h)=f(x)+f-^-h+f-^W+...+ öä hn + Bt wobei unter Anwendung der zweiten Form des Restes JR =

ist. Setzt man in dieser Entwickelung das eine Mal

h = — a

und das andere Mal

h — + a,

so kann man sie benutzen, um das Vorzeichen von (3.) Jl —f{x — a) — f(x) und von — f(x + a) — f(x) zu bestimmen. Sind nmi diese Differenzen für hinreichend kleine Werthe von a beide negativ, so wird f{x) offenbar ein Maximum; sind aber diese Differenzen beide positiv, so wird f{x) ein Minimum; haben endlich diese beiden Differenzen verschiedenes Zeichen, so tritt weder ein Maximum noch ein Minimum ein.

Für n — 1 erhält man aus den Gleichungen (1.) und (2.)

(4.) f(x+ h)-f{z)

₌ /‘0)

i; h + [/'0 + ®h) —/'0)]h.

Hierbei werde

(.5.)

gesetzt, dann erhält man

f{x + h) —f{x) = ^ [ffx) + ct]

(4 a.)

wobei wegen der Stetigkeit der Funktion f‘{x) die Grösse a mit h zugleich beliebig klein wird. Ist also

(6.)

/'0)>o,

so kann man h so klein wählen, dass cc, vom Vorzeichen abgesehen, kleiner wird als f‘ ix). Das Vorzeichen der Klammergrösse f‘(x)-\-a wird deshalb mit dem Vorzeichen von f‘ ix) übereinstimmen. Ist « gleich ax für h = — a und a gleich a.2 für ä= + a, so folgt hieraus, dass

A =f(x — a) —fix) = — «[/' O) + «J

und

=/(« + a) —fi*) = + a[f i*) + «J

entgegengesetztes Vorzeichen haben, dass also weder ein Maximum noch ein Minimum eintreten kann, so lange die Ungleichung (6.) besteht.

Ein Maximum oder Minimum von fix) kann vielmehr nur eintreten, wenn

(7.)

f‘(x) = 0

ist. Die geometrische Deutung dieses Resultates giebt wieder den Satz:

Die Tangente in einem Curvenpunhte, welcher einem Maximum oder Minimum entspricht, ist der X-Axe parallel.

Ist die Gleichung (7.) befriedigt, so füge man noch die Voraussetzung hinzu, dass auch fix) für die betrachteten Werthe von x stetig sei, und dass

(8.)

f“ix) EËs 0.

Nach den Gleichungen (1.) und (2.) wird dann für n gleich 2 ßx+h)-f(x) oder mit Rücksicht auf Gleichung (7.)

(9.)

fix + h) —fix) =    [/" ix) + ß),

wobei

(10.) gesetzt worden ist, Wegen der Stetigkeit von /"(«) wird diese Grösse ß mit h zugleich beliebig klein. Man kann also h immer so klein wählen, dass ß, vom Vorzeichen abgesehen, kleiner wird als fix), dass also das Vorzeichen von fix) über das Vorzeichen der Klammergrösse f“ (x) + ß entscheidet. Ist ß gleich ßx für h = — a, und ß gleich ß₂ für h = + a, so folgt hieraus, dass

=/(* — a) —/(«) = 2Ï [/“(*) + ßi]

und

= f(x + a) —fi*) — 2Ï \f“ (?) + ßi]

gleiches Vorzeichen haben, dass also ein Maximum eintritt, weim f“(x) negativ ist, während ein Minimum eintritt, wenn f‘'(x) positiv ist.

Dies giebt die folgende Regel:

Ist

f‘(x) = 0 und fu(x) < 0 so wird fix) ein Maximum; ist dagegen

fix) = 0 und fu{x) > 0

so wird f{x) ein Minimum.

Es bleibt nur der Fall übrig, wo

(11.)

fix) = 0 und /"{x) — 0.

Fügt man dann die Voraussetzung hinzu, dass f“‘ix) für die betrachteten Werthe von x stetig sei, und dass

(12.)

/"'(*)< o,

so folgt aus den Gleichungen (1.) und (2.) für n — 3

fix + h) —fix) =

/'(*)

1!

2!

3!

h* +

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (11.)

(13.)

A³

wobei

(14.)

/"' (x + 0h) —(x) — y gesetzt worden ist. Wegen der Stetigkeit von f‘“(x) wird diese Grösse y mit h zugleich beliebig klein. Man kann also h immer so klein wählen, dass y, vom Vorzeichen abgesehen, kleiner wird als f‘“(x), dass also das Vorzeichen von    über    das

Vorzeichen der Klammergrösse (x) + y entscheidet. Ist nun y gleich yx für h — — a, und y gleich y₂ für h = -f a, so folgt hieraus, dass

a’

A = f(x — a) ~f(x) = — 3T [/'" (æ) + Vil

und

a³

—f(x + a) —/O) = + 3y [ /"' 0) + rii

entgegengesetztes Vorzeichen haben, dass also weder ein Maximum noch ein Minimum eintreten kann, so lange neben den Gleichungen (11.) die Ungleichung (12.) besteht.

Ist dagegen auch f‘“{x) gleich Null, ist also

(15.)

/'(*) = 0, /"(*) = 0, /"' (x) = 0,

so füge man die Voraussetzung hinzu, dass /⁽⁴⁾ (x) für die betrachteten Werthe von x stetig sei, und dass

(16.)

/⁽⁴⁾(*)^o

wird. Jetzt folgt aus den Gleichungen (1.) und (2.) für n = 4, wenn man die Gleichungen (15.) berücksichtigt,

(17.) f(x + A) -/(*)    h* +    [/<*>(*+ 0h)-/W(x)]h*

= j|[/⁽⁴⁾W + <ï]-wobei

(18.)

fW (x + 0h) —— ö gesetzt worden ist. Wegen der Stetigkeit von /⁽⁴⁾ (x) wird diese Grösse ô mit h zugleich beliebig klein. Man kann also h immer

so klein wählen, dass ä, vom Vorzeichen abgesehen, kleiner wird als/⁽⁴⁾(V), dass also das Vorzeichen von fw(x) über das Vorzeichen der Klammergrösse /⁽⁴⁾ {x) + ô entscheidet. Ist nun S gleich dj für h = — a, und d gleich d₂ für h = + a, so folgt hieraus, dass

ai

und

^2 =/(* + ®) ~/O) = 4J    + öi\

gleiches Vorzeichen haben, dass also f(x) ein Maximum wird, wenn /⁽⁴⁾ (x) negativ ist, während f{x) ein Minimum wird, wenn f{i)(x) positiv wird.

In dieser Weise kann man fortfahren. Ganz allgemein findet man das folgende Resultat:

Es sei für einen bestimmten Werth von x (19.) /'(*) = 0, /"(*) = 0, /'"(*) = 0,... /(«-»(*) = 0,

dagegen sei von Null verschieden und für die betrachteten Werthe der Veränderlichen stetig; dann folgt aus den Gleichungen (1.) und (2.) mit Rücksicht auf die Gleichungen (19.)

(20.) f(x + h) —f{x)    hn + ~[f^ix+Oh) —ßn\x)]hn

=    L/(M)(^) + *],

wobei

(21.)

y (n) (^ _J_ 0/^ —./(*»)    ₌ J,

gesetzt worden ist. Wegen der Stetigkeit von f(n) (x) wird diese Grösse v mit h zugleich beliebig klein. Man kann also h immer so klein wählen, dass v, abgesehen vom Vorzeichen, kleiner wird als fin) (x), dass also das Vorzeichen von f(n)(x) über das Vorzeichen der Klammergrösse f(n) (x) -f v entscheidet. Ist nun v gleich p₁ für h = — a und v gleich v₂ für h == + a, so er-giebt sich hieraus, dass

nn

J \ =/0 — a) — /(*) = (— ¹)nrr [/(w)0) + "i]

und

aw

^2 =/0 + a) —/(*) = ^j- [/(M)<» + ^2]

gleiches oder entgegengesetztes Zeichen haben, jenachdem n gerade oder ungerade ist.

Es tritt daher weder ein Maximum noch ein Minimum ein, wenn n ungerade ist; dagegen wird f(x) ein Maximum, wenn n gerade und/(M) (#) negativ ist; f{x) wird ein Minimum, wenn n gerade und f^n) (x) positiv ist.

Dies gieht die allgemeine Eegel:

Um die Werthe von x zu bestimmen, für welche f(x) ein Maximum oder Minimum wird, bestimme man die Werthe von x, für welche f‘ (x) gleich Null wird. Ein solcher Werth sei x, und fW(z) sei die erste spätere Ableitung, welche für diesen Werth von x nicht verschwindet ; dann ist fix) ein Maximum, wenn n gerade und f^ix) negativ ist ; fix) ist ein Minimum, wenn n gerade und fW (x) positiv ist. Dagegen tritt weder ein Maximum noch ein Minimum ein, wenn n ungerade ist.

Bemerkungen.

1) Gewöhnlich wird n gleich 2, nur ausnahmsweise kommen auch grössere Werthe von n in Betracht.

Fig. 42.

Fig. 41.

■©-

*    % os; zX

2) Aus dem Vorhergehenden folgt, dass vier wesentlich verschiedene Fälle eintreten können, wenn für irgend einen Werth von i

/'(*) = <>

wird.

I.    Ist unter dieser Voraussetzung entweder f“{x) negativ, oder /" (x) gleich Null, und ist die erste höhere Ableitung, welche von Null verschieden ist, von gerader Ordnung und negativ, so wird der entsprechende Werth der Function ein Maximum (vergl. Fig. 41).

II.    Ist unter der Voraussetzung, dass//#) = 0 wird, entweder/" (#) positiv, oder /" (x) gleich Null, und ist die erste höhere Ableitung, welche von Null verschieden ist, von gerader Ordnung und positiv, so wird der entsprechende Werth der Function ein Minimum (vergl. Fig. 42).

III.    Ist für einen Werth von x, für welchen f(x) = 0 wird, auch /"(#) = 0, und ist entweder /'"(#) positiv, oder/"/#) gleich Null und die erste höhere Ableitung, welche von Null verschieden ist, von ungerader Ordnung und positiv, so ist der entsprechende Werth der Function weder ein Maximum noch ein Minimum (vergl. Fig. 43).

Fig. 44.

Fig. 48.

P,

Pt

p

Qj Q Q₂ ä

at a q₂ x

IV. Ist für einen Werth von x, für welchen /'(#) = 0 wird, auch /"(#) = 0, und ist entweder/"/#) negativ, oder/"/#) gleich Null und die erste höhere Ableitung, welche von Null verschieden ist, von ungerader Ordnung und negativ, so ist der entsprechende Werth der Function weder ein Maximum noch ein Minimum (vergl. Fig. 44).

3) In den Figuren 43 und 44 ist der Punkt P ein Wendepunkt, und zwar steigt die Curve in Figur 43 bis zum Punkte P und fährt unmittelbar hinter ihm fort zu steigen. Im Punkte P selbst ist die Richtung der Curve parallel zur X-Axe.

In Figur 44 dagegen fällt die Curve bis zum Punkte P und fährt unmittelbar hinter ihm fort zu fallen. Auch hier ist P ein Wendepunkt, in welchem die Richtung der Curve zur X-Axe parallel ist.

§ 55.

Anwendungen.

Es möge diese Methode zunächst auf die Aufgaben angewendet werden, welche schon in § 53 behandelt worden sind; Aufgabe 3 daselbst kommt hier aber nicht in Betracht; weil

hier nur die Fälle berücksichtigt werden, in denen fix) stetig und endlich bleibt.

(1.)

Aufgabe 1. Für welche Werthe von x wird die Function y = i. (pfî — 9«² + 15« + 30) = f(x) ein Maximum oder ein Minimum?

Auflösung. Man bilde

(2.)

(3.)

/'(«) = -|(«² — 6« + 5) = ! (« — 1) (« — 5), f“ {x) = x — Z

und bestimme die Werthe von x, für welche /'(«) gleich 0 wird. Dadurch findet man

(4.)

x — 1 und x = 5.

(5.)

Für diese Werthe kann möglicher Weise ein Maximum oder Minimum eintreten. Um darüber zu entscheiden, bilde man /"(!) = — 2 und f“ (5) =-{-2,

folglich wird

(6.)

(7.)

/(1) = 6,1666... ein Maximum, weil f“ (1) negativ ist, und /(5) = 0,8333 ... ein Minimum, weil fu (5) positiv ist.

(Yergl. Fig. 36 auf Seite 230.)

(8.)

Aufgabe 2. Für welche Werthe von x wird die Function y = l(^³ — 6«² + 12« + 48) =y(«) ein Maximum oder Minimum?

Auflösung. Man bilde

(9.)

(10.)

f‘(x) = IO² — 4« + 4) = fO — 2) ², f“(x) = \(x—2) und bestimme die Werthe von «, für welche /' («) gleich 0 wird. Dadurch findet man nur den einzigen Werth

(11.)

x == 2,

für den möglicher Weise ein Maximum oder Minimum eintreten kann. Um darüber zu entscheiden, bildet man /“{2) und findet

16

/"( 2)=0.

Stegemann-Kiepert, Differential-Ileclmung.

Auflösung. Man bilde

(19.)

(20.)

f‘{x) — bc COS X, f“ (x) = — bc sin x und bestimme den Werth von x, für welchen f‘(x) gleich 0 wird. Dadurch findet man, weil hier x kleiner als n sein muss, den einzigen Werth

(21.)

und

Um zu entscheiden, ob für diesen Werth von x wirklich ein Maximum oder Minimum eintritt, bildet man /"Qr) findet

(22.)

Deshalb muss man noch die dritte Ableitung

(13.)

/'"(*) = I

bilden. Da diese Ableitung- sogar für jeden Werth von x von 0 verschieden ist, so tritt weder ein Maximum noch ein Minimum

ein.

(Vergl. Fig. 37 auf Seite 231.)

(14.)

Aufgabe 3. Für welche Werthe von x wird

f(x) = x{c — x) = cx — X¹

ein Maximum oder Minimum?

Auflösung. Man bilde

(15.)

(16.)

/'(*) = c— 2x. /"(*) = — ²

und bestimme den Werth von x, für welchen f⁴(x) gleich 0 wird. Dadurch findet man nur den einzigen Werth

x = ^c.

Da f“ (x) für jeden Werth von x negativ ist, so wird fix) für x — \c ein Maximum.

(17.)

(18.)

Aufgabe 4. Für welche Werthe von x wird fix) = öcsinz

ein Maximum oder Minimum?

— — bc.

Aufgabe 5. Die Function

f (x) — x¹ — 2 ax + b²

wird ein Minimum für x = a, und zwar wird /(«) = V- — a².

Aufgabe 6. Die Function

f(x) = «³ — 18 «² + 96« — 20

wird ein Maximum für x = 4 und ein Minimum für x = 8 ; dabei ist

/(4) = 140 und /(8) = 108.

Aufgabe 7. Die Function

/(«) = a + (« — c)⁴

wird ein Minimum für x = c, und zwar ist

/(c) = a.

Aufgabe 8. Die Function

f(x) = a + (x — c)⁵

hat weder ein Maximum noch ein Minimum.

Aufgabe 9. Die Function

f(x) = a + (x — c)n

wird ein Minimum für x = c, wenn n eine gerade Zahl ist; sie ist dagegen weder ein Maximum noch ein Minimum, wenn n ungerade ist.

Aufgabe 10. Die Function

y(«) = «²(a — «)³ = a³«² — 3 a²«³ + 3 a«⁴ — «5 wird unter der Voraussetzung, dass a positiv ist, für « = 0 ein

Minimum, für « =

Da dieser Wertli negativ ist, so wird

toi a

ein Maximum.

— ein Maximum und für « = a weder ein 5

Maximum noch ein Minimum, obgleich f‘ (a) = 0 ist.

Aufgabe 11. Die Function

f[x) = (« — 1)⁴(« + 2)³

§ 56. Vereinfachungen der Rechnung, u. s. w. wird für x = 1 ein Minimum,

244

— ein Maximum 7

und für x = — 2 weder ein Maximum noch ein Minimum, obgleich /' ( — 2) = 0 ist.

Aufgabe 12. Die Function

wird für x = — ein Maximum.

Aufgabe 13. Die Function

■«*> = É

wird für x — e ein Minimum. Aufgabe 14. Die Function

» 2_ fix) = y^—xx

wird für x = e ein Maximum.

Aufgabe 15. Die Function

fix) — Xx

wird für x = — ein Minimum.

§ 56.

Vereinfachungen der Rechnung, wenn/'(cc) eine gebrochene Function ist.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 80.)

Hat ffx) die Form

(!•)

/'(*)

₌ P(z)

Q(x)

so wird im Allgemeinen f (x) zugleich mit P(x) gleich Null. Will man nun entscheiden, ob f{x) für einen Werth von x, für welchen P(x) gleich Null ist, ein Maximum oder Minimum wird, so muss man das Vorzeichen von

(2.)

Q (x) P‘ (x) — P(x) Q‘ (x)

Q(V)²

bestimmen. Nun ist aber für den betrachteten Werth von x die Function P(x) gleich Null, folglich wird

(3.)

/"(*)

Q(x)

Das Vorzeichen dieses Bruches kann man aber verhältniss-mässig leicht bestimmen.

§ 57.

Aufgaben.

Aufgabe 1. Für welchen Werth von x wird die Function

o-)

/(*> = rf?

ein Maximum oder Minimum?

Auflösung. Man bilde

(1 — x) (1 + x) _ P 0)

(1+^)2    - Q(x)

(2.) /'(*)

1 — x²

(1 + «2)2 “

Daraus folgt, dass P(a;) und deshalb auch f‘(x) nur verschwindet für

(3.)

ä = 1 und x = — 1.

(!•)

also

und

Für diese Werthe von x wird aber

— 2x

Deshalb ist

/"(*) =

(1 + X²)²

und /"(—1)=+|* /(l) = ~ ein Maximum /(-1)=-

tO|

ein Minimum.

Aufgabe 2. Für welche Werthe von x wird die Function

/O) =

2 — 3x + x2 2 + 3x + x²

ein Maximum oder Minimum?

und /(— Ÿ2)    „

Auflösung. /(]/2) wird ein Minimum „ Maximum.

Aufgabe 3. Für welche Werthe von x wird die Function

/(*) =

Æ³ -f- X

X⁴ — x²-j- 1

ein Maximum oder Minimum?

Auflösung. /(I) wird ein Maximum und /(— 1)    „    „ Minimum.

Aufgabe 4. Für welche Werthe von x wird die Function

/(*) =

x³—x

a;⁴—x²-j- 1

ein Maximum oder Minimum?

Auflösung.

— i + Yb

und

/^-—werden Maxima,

und

— 1 — T/5

werden Minima.

Aufgabe 5. Für welche Werthe von a; wird die Function jf(a;) = ex + 2C0Sa: + e~x

ein Minimum?

Auflösung. Hier wird

f‘ (x) — ex — 2 sin x — e~x = 0 für x — 0, f“ (x) = e* — 2cosa; + e~x — 0 für x = 0, y*"' (a;) = e* + 2 sin# — e~x — 0 für x = 0, y*C4) (f) — e* -f- 2 cosa; + e⁻* — fix) = 4 > 0 für a; = 0 ; folghch tritt für x = 0 ein Minimum ein.

Aufgabe 6. Man soll eine positive Zahl c so in zwei Theile zerlegen, dass das Product aus der vierten Potenz des einen Theiles und der siebenten Potenz des anderen Theiles ein Maximum wird.

Auflösung. Bezeichnet man die beiden Theile von c mit x und c— x, so wird

(5.)

/O) = X⁴(c — x)⁷,

folglich ist

(6.)

f'(x) = a:³(c— a;)⁶(4 c— 11a:).

Die beiden Werthe x = o und x = c, für welche f‘(x) verschwindet , kommen hier nicht in Betracht, denn x = 0 liefert ein Minimum, weil f‘ (x) aus dem Negativen in’s Positive übergeht, wenn x den Werth 0 passirt, und für x = c tritt weder ein Maximum noch ein Minimum ein, weil für hinreichend kleine Werthe von a

f‘(c — a) = (c — a)³a⁶(— 7c + 11a) < 0,

und auch

f‘(c + a) = (c + a)³a⁶(— 7c— 11a) < 0 ist. Dagegen tritt wirklich ein Maximum ein, wenn

(7.)

4

4c — 11a: = 0, oder x = — c

ist, weil f*{x) für diesen Werth von x verschwindet, und weil

43.76.c9

<0

ll⁸

(8.) fu(x) — x²(c — a:)⁵(l2c² — 80ca:+110a:²) =

ist. Hier ergiebt sich auch aus der Natur der Aufgabe, dass zwischen a: = 0 und x — c em Werth von x liegen muss, für welchen /(*) ein Maximum wird, denn die stetige Function f(x) wird für x = 0 und für x—c selbst gleich 0 imd ist für die dazwischen liegenden Werthe von x positiv.

Aufgabe 7. Man soll die Zahl c so in zwei Theile zerlegen, dass das Product aus der mten Potenz des einen Theiles und aus der nt™ Potenz des anderen Theiles ein Maximum wird.

Auflösung. Aehnlich wie bei der vorigen Aufgabe ist hier

(9.)

f(x) = xm{c — x)n

Bemerkun g.

Man erkennt, dass die vorhergehende Aufgabe, und ebenso Aufgabe 3 in § 55 nur besondere Fälle dieser Aufgabe sind.

Aufgabe 8. In einen Kreis (Fig. 45) mit dem Radius r soll ein Rechteck mit möglichst grossem Flächeninhalt eingeschrieben werden.

Fig. 45

Auflösung. Bezeichnet man die eine Seite des Rechtecks AB mit x, so wird die andere Seite

B/

(13.)

— 1 y£n — 1 £,m+n — 2

(m + n)

m -j- « — 3

<0.

die Function, welche für x = es wird

ein Maximum wird, denn

BC •= y Ar² — x², also der Flächeninhalt (11.) F= AB .BC—xY 4r²—x², (12.) F² = x²(4r²—x²) = 4r²x²—x⁴.

Soll F ein Maximum werden, dann muss auch F² ein Maximum werden, so dass man f(x) = 4r².r² — xi

setzen kann. Dies giebt

(14.)

(15.)

(16.)

f‘{x) = 8r²# — 4a:³ = 4x(2 r² — x²), f“(x) = 8r² — 12a:²,

= 0, f"(rV2) = — 16r2 < 0,

folglich tritt für

(17.)

AB = BC — rY2 ein Maximum ein. Es gilt also der Satz:

Unter allen Rechtecken, welche einem Kreise eingeschrieben werden können, hat das Quadrat den grössten Flächeninhalt.

Aufgabe 9. In einen Kreis (Fig. 45) mit dem Radius r soll ein Rechteck mit möglichst grossem Umfange eingeschrieben werden.

Auflösung. Benutzt man dieselben Bezeichnungen wie in der vorhergehenden Aufgabe, so wird der halbe Umfang

(18.)

\ u = x -f- |/4r² — àJl = f(x),

1--=

y 4 r² — x²

Y4r² — x² — x _ P (x)

Y 4r² — x¹

Q(x)

Hier wird P(x) = 0, wenn

yir² — x² — x = r]/2 ist; für diesen Werth von « wird

P‘(x) — x — y<£r² — x² — 2r|/2    }/2

4 r² — x²

folglich tritt ein Maximum ein. Dies giebt den Satz:

Unter allen Rechtecken, icelche einem Kreise ei?igeschrieben werden können, /W Quadrat den grössten Umfang.

Bemerkung.

Die Lösung der beiden vorhergehenden Aufgaben wird noch etwas kürzer, wenn man den Winkel CAB als Veränderliche einführt-, es sollten aber an dieser Stelle trigonometrische Functionen vermieden werden.

(20.)

Q(x)

2 r²

r<°-

Aufgabe 10. Von einem Dreieck ABC (Fig. 46) ist die Grundlinie AB gleich c und die Höhe HC = h gegeben ; man soll in dieses Dreieck ein Rechteck mit möglichst grossem Flächeninhalte einzeichnen, so dass die eine Seite DE in der Basis AB liegt.

Auflösung. Bezeichnet man die Höhe DG eines solchen Rechtecks mit x, so wird JC: HC = GF: AB,

Fig. 46.

Gl.

J-.

1) H AB — c, HC = li.

oder

(Ji — x) : h

DE : c

also

(22.)

BE =

c(h — x)

(23.)

Mithin ist der Flächeninhalt des Rechtecks DEFG

F xc(h — x)

j {hx — x²).

Daher ist in dieser Aufgabe

(24.) f(x) = hx — x², f‘ (x) — h — 2x, f“ (x) = — 2 ; daraus folgt, dass fix) ein Maximum wird für x —    •

Das grösste unter allen Rechtecken, welche sich in der angegebenen Weise in das Dreieck ABC einschreiben lassen, ist also dasjenige, dessen Höhe und Grundlinie halb so gross sind wie die Höhe und die Grundlinie des gegebenen Dreiecks. Der Flächeninhalt von diesem Rechteck ist

(25.)

ch

F= T’

also halb so gross wie der Flächeninhalt des gegebenen Dreiecks.

Bemerkung.

In vielen Fällen erkennt man schon aus der Natur der Aufgabe, ob für die Werthe von x} für welche f‘(x) verschwindet, ein Maximum oder Minimum eintritt. In das Dreieck ABC (Fig 47) lassen sich z. B. unendlich viele Rechtecke einschreiben. Denkt man sie sich alle gezeichnet

Fig. 47.

w/X

und fängt man bei demjenigen an, dessen Höhe gleich h und dessen Grundlinie gleich Null ist (Fig. 46), das also mit der Höhe h des Dreiecks selbst zusammenfällt, so wird bei diesem Rechteck auch der Flächeninhalt gleich Null. Wenn dann die Höhe des Rechtecks

kleiner wird, so wird die Basis grösser. Auf diese Weisse gelangt man zu den Rechtecken KLMN, DEFG

II

ixB

F

OPQR und endlich zu einem Rechteck, dessen Höhe gleich Null, und dessen Grundlinie gleich c ist, so dass auch bei diesem Rechteck der Flächeninhalt gleich Null wird.

Daraus folgt, dass der Flächeninhalt dieser Rechtecke zuerst zunehmen und dann wieder abnehmen muss. Deshalb muss es wenigstens ein Rechteck in dieser Reihe von Rechtecken geben, dessen Flächeninhalt ein Maximum ist.

Da man aber aus Gleichung (24.) nur einen einzigen Werth von x,

7

nämlich # = — findet, fiir den ein Maximum oder Minimum eintreten kann,

so folgt, dass dieser Werth wirklich das Maximum liefert.

Durch derartige Ueberlegungen kann man in vielen Fällen die Bildung und Berechnung von f“ {x) ersparen. So würden z. B. in der Aufgabe 8 ganz ähnliche Erwägungen zum Ziele geführt haben.

Fig. 48.

Aufgabe 11. Von einem Kreissector (Fig. 48) ist der ge-sammte Umfang u gegeben; wie gross muss man den Halbmesser machen, damit der Flächeninhalt ein Maximum wird?

Auflösung. Bezeichnet man den Halbmesser MA mit x, so wird der gesammte Umfang des Sectors

(26.)

u — 2x + AB, also AB — u — 2x. Der doppelte Flächeninhalt des Sectors ist daher

(27.)

2F = AB . x — (u — 2x) x — ux — 2x² —f{x)

folglich wird

(28.)

/'(*) = « — 4* = 0 für *=    .

(29.)

/"(*) = —4 <0.

Der Flächeninhalt wird daher ein Maximum, wenn der Bogen des Sectors die Hälfte des ganzen Umfangs ist.

Aufgabe 12. Man soll das kleinste unter allen Quadraten bestimmen, welche sich in ein gegebenes Quadrat AB CB (Fig. 49) einschreiben lassen.

Auflösung. Es sei EFGH eines der Quadrate, welche sich in das gegebene Quadrat einschreiben lassen. Bezeichnet man AB mit a und AE mit x, so wird

EB = AH — a — x,

HE² = #² + {a — #)².

also

Fig.. 49.

Dieser Ausdruck ist gleichzeitig auch der Flächeninhalt des Quadrates EFGH; die Function, welche ein Minimum werden soll, ist daher

(30.) f{x) — 2x² — 2 ax + «²-Daraus folgt

(31.) f(x) — ix — 2a, f‘(x) = 4; die Ableitung /'(#) verschwindet also

nur für # = ^- • Da nun /"(#) für alle

Werthe von x den positiven Werth 4 hat, so wird

to a

B (32.)

Die Punkte E, F, G, II müssen daher in der

ein Minimum.

Mitte von den Seiten des gegebenen Quadrates liegen, damit das eingeschriebene Quadrat EFGH möglichst Mein wird.

Fig. 50.

Aufgabe 13. Von einem Dreieck ABC (Fig. 50) ist die Grundlinie AB = c und der Winkel y an der Spitze gegeben; wie gross müssen die anderen Winkel sein, damit der Flächeninhalt des Dreiecks ein Maximum wird?

Auflösung. Bezeichnet man den n Dreieckswinkel u mit x, so wird der dritte Winkel ß gleich 180 — (j + #)

und der Flächeninhalt wird

(33.)

F _ c²sin «sin/S __ c²sin #sin(/ + x) 2sin^    2sin^

In dieser Aufgabe ist daher (34.) f{x) = sin# sin(/ + x),

(35.) f‘ (x) = cos# sin (y + #) + cos (y + x) sin# = sin (y + 2#), (36.) f‘{x) — 2 COS (y + 2#).

Y -h 2 x — 7t-=za-\-ß-\-Y

oder, da x gleich « ist, firn

(37.)

x — a — ß

verschwindet f‘ {x), und f“ (x) wird gleich —2<0. Deshalb wird der Flächeninhalt ein Maximum, wenn das Dreieck ein

(jleichschenkeliges ist.

Fig. 51.

Aufgabe 14. Von einem Dreieck ABC (Fig. 51) ist die Grundlinie c und die Höhe h gegeben; wie gross müssen die anderen Seiten sein, damit der Winkel y, welcher c gegenüberliegt, ein Maximum wird?

AH — x, HB — c — x.

Für

Auflösung. Die Höhe des Dreiecks theile die Grundlinie c in die Abschnitte x und c—x, und den A Vinkel y theile sie in die Winkel § und y — £, dann ist

(38.)

MD

SH «

tg (r — S)

also

tgr = tg[§ + (r — Ç)] =

tg§ + tg(y —g)

oder

î — tgStgO' — g)

(39.)

t gy =

C--X

h __

x(c — x) h² — x[c — x)

lie

h²

Da die Ableitung von tg.r, nämlich 1 + \g²x (vergl. Formel Nr. 26 der Tabelle) beständig positiv ist, so nimmt tgx mit x gleichzeitig zu, und zwar für alle Wertlie von x. Deshalb wird t g y mit y zugleich ein Maximum oder Minimum. In der vorliegenden Aufgabe kommt es daher nur darauf an, x so zu bestimmen, dass

hc h² — x{c — x)

ein Maximum wird. Dieser Ausdruck ist aber ein Bruch, dessen Zähler eine positive Constante ist. Deshalb wird der Bruch ein Maximum, wenn der Nenner ein Minimum ist. Man hat also zu setzen

(40.)

(41.)

f{x) = h² — x(c — x) —h² — cx + x²,

/' (*) = — « + 2*i    /" (*) = 2.

Daraus folgt, dass fix) für x = — ein Minimum wird.

Li

Für diesen Werth von x werden tg y und y ein Maximum und das Dreieck wird wieder ein gleichschenkeliges.

Aufgabe 15. Von einem Dreieck ist gegeben die Summe zweier Seiten, nämlich a-\-b gleich s, und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel y; wie gross müssen die Seiten a und b selbst sein, damit der Flächeninhalt des Dreiecks ein Maximum wird?

Auflösung. Bezeichnet man die Seite a mit x, so wird b gleich s — x, und man erhält für den doppelten Flächeninhalt des Dreiecks

(42.)

2jF— x(s — a;)sin^.

Deshalb hat man in diesem Falle zu setzen (43.) f(x) — sx — x², f‘{x) = s — 2x,    — — 2,

x — der Flächeninhalt ein Maximum.

folglich wird für

Aufgabe 16. Von einem Dreieck ist gegeben die Summe zweier Seiten, nämlich a + b gleich s, und der anliegende Winkel a ; wie gross müssen die beiden anderen Winkel sein, damit der Flächeninhalt des Dreiecks ein Maximum wird?

Auflösung. Bezeichnet man den Dreieckswinkel ß mit x, so ■wird y gleich 180° — (« + x) und

(44.)

F__ c² sin« sinß

~ 2sinr ’ oder, weil nach dem Sinnssatz

__ sina; sin (ce + x) __ „ . s²since—' (since -f sina;)²

(45.)

Hieraus folgt nach einigen Umformungen

(46.) f‘ (x)

_ sin ce [sin(ce + 2a:) — sina;] __ P(x) (sin ce + sina;)3 — Q(x)

Damit f‘ (x) verschwindet, muss

(47.) sin (ce + 2a;) — sina; = 2sin^-^ cos    = ⁰

= ^, oder a-\-3x = rc — a-\-ß-\-y

Lj

ist,

(44 a.)

also

§ 57. Aufgaben, s siny

Q - -:-

sińce -f smß

s²since sinff sin^ 2 (sin ce + sin/?)²

sein. Da ce + x grösser als 0 und kleiner als n sein muss, so kann Gleichung (47.) nur befriedigt werden, wenn ce + 3a;

ist. Dies giebt

(48.)    2a; = 2ß — y — f {n — ce), x — ß — % (tt — ce).

Ob für diesen Werth von x wirklich ein Maximum von f{x) eintritt, findet man aus dem Vorzeichen von /"(#), wobei nach Formel Nr. 80 der Tabelle

(49.)

/"O)

₌ P‘ (*)

Q(x)

ist. Nim wird, weil ce + 2a; gleich n — x ist,

(50.)

P‘ (x) = sin ce [2 COS (ce -f- 2a:) — COSa;] = — 3since cosa; < 0,

(51.)

Q(x) = (since + sina;)³ > O, folglich ist f“(x) < 0, und f{x) ein Maximum.

Aufgabe 17. Es ist eine Gerade AM gegeben (Fig. 52) und ausserhalb derselben ein Punkt B ; man soll auf der Geraden AM einen Punkt C bestimmen, so dass

Fig. 52.

(52.) S = p. AC+ q. CB

ein Minimum wird, wobei p < q vorausgesetzt werden soll.

A'

7F

-M

I)

Auflösung. Es sei der

Winkel, den CB mit dem von B auf AM gefällten Lothe BF bildet, gleich «, und es sei

AF — a, FB = b,

(53.)

(54.) /'(«)

dann wird S = /(«) = p(AF— CF) + q. CB

= p(a-btg*) + î. A-,

ç'isin« _ 6(^sin«—p) _ F(x)

cos²«

pb

cos²«

cos²«

QM

P{x) wird gleich 0, wenn

sin« =

(55.)

ist; für diesen Werth von « wird

(56.)

/"(*)

₌ P'jx)

bq COS«

bq

Q{x) cos²«

cos«

>0

folglich tritt ein Minimum ein.

Legt man AE unter dem aus Gleichung (55.) gefundenen Winkel « im Punkte A an die Gerade AM an und verlängert BC bis zum Schnittpunkte D mit der Geraden AE, so steht BD senkrecht auf AE, und es wird

S = p. AC + q . CB — <?sin« . AC + q . CB = q(ACńnx + CB) = q(DC + CB) — q . DB.

Aufgabe 18. Es ist eine Gerade AM gegeben (Fig. 53) und auf verschiedenen Seiten derselben zwei Punkte B und 0; man soll auf AM einen Punkt 1) bestimmen, so dass

S — p . AD -f q . BD -J- r . CD

(58.)

ein Minimum wird.

Fig. 53.

Auflösung. Es seien BB^ und CCV die Lothe, die man von B und C auf AM fällen kann, und es sei

ABy = b, ACj =c,

BlB = b₁, C'₁(7=cl, AD — x,

(59.) |

dann wird

N

JB

-M

(60.) S =f(x) =px + qyjp

f(x)—p —

x)² + 6,² + r ]/(c"— x)² + cx²

r(c — x)

<lih — g)    _

Y(6 — x)² -\- bv²    yjc — x)² + ct²

oder, wenn man den Winkel BXDB mit v und den Winkel C\DC mit p bezeichnet,

(61a.)

(61.)

= 0,

p — ÿcosv — r cos^i = 0.

Ist diese Bedingung erfüllt, so tritt wirklich ein Minimum ein, denn es ist

f“(x) =

qbi²

m²

>0.

[(b — x)² +    T [(c — x)² + c²]A

Der Werth von x und die Lage des Punktes D lassen sich aus der Gleichung (61.) oder (61a.) noch nicht in einfacher Weise ermitteln, dagegen werden diese Gleichungen benutzt werden können zur Lösung der folgenden Aufgabe.

Aufgabe 19. Es sind drei Punkte A, B, C gegeben (Fig. 54); man soll einen Punkt D bestimmen, so dass

£ = p . AD + q . BD + r . CD

(62.)

ein Minimum wird.

Auflösung. Die Gerade AD habe bereits die verlangte Kichtung, dann ergiebt sich, wenn man Winkel

Fig. 54.

BDG = CDF mit A,

CD JE = ADG mit ft,

ADF — BDE mit v

FFF ' V'F

bezeichnet, aus Gleichung (61a.) der vorhergehenden Aufgabe

(63.) p — ^cosr — rcosft = 0.

In derselben Weise findet man

(64.)

(65.)

q — rcosA —j?cosv = 0, r — p cos ft — <?cosA = 0.

(66.) oder, weil

Eliminirt man aus diesen beiden Gleichungen p, so erhält man (cos ft + cos A cos v) — r(cosv -f cos A cos,«),

ist.

(66 a.) oder

(67.)

cos ft = — cos(A + v) — — cosA cost' -f sin A siny, cosy = — cos(A -j- p) = — cosA cos ft -f- sinA sinft

^sinA siny = rsinA sin,«,

q : sinft = r : siny.

Ebenso findet man

(68.)

p : sinA = q : sinft.

BC\ : C\A : AB = sin/ : sin/* : sinr,

Beschreibt man um das Dreieck ADB den umschriebenen Kreis (Fig. 55) und verlängert CD bis zum zweiten Schnittpunkte C, mit diesem Kreise, so sind in dem Dreieck ABC\ die Winkel bei A, B und Ci bezw. A, ft und y, so dass man erhält (69.)

oder mit Kücksicht auf die Gleichungen (67.) und (68.)

(70.

BCX : CyA : AB — p:q:r.

Daraus ergiebt sich die folgende Construction:

Man errichte über AB auf der zu C entgegengesetzten Seite ein Dreieck AB Ci, dessen Seiten in Uebereinstimmung

mit Gleichung (70.) sich verhalten wie p:q:r, und beschreibe dieses Dreieck den umschriebenen Kreis, dann schneidet die Gerade CC\ diesen Kreis in dem gesuchten Punkte D.

Fig. 56.

um

Fig. 55.

ll

Bi

FAX

AAX

Cl

Cl

Man kann natürlich auch über der Seite BC ein Dreieck BCAX und über der Seite CA ein Dreieck CABX construiren (Fig. 56), so dass (71.)

BC: CAX : AXB = BXC: CA : ABX =p:q:r ist. Durch den gesuchten Punkt D gehen dann auch die Geraden AAX imd BBX und die Kreise, welche diesen Dreiecken BCAX und CABX umschrieben sind. Gleichzeitig erhält man für S eine geometrische Darstellung. Nach dem Ptohmaeischen Lehrsätze ist nämlich (Fig. 55)

AD . BCX + BD . ACX - CXD . AB-nun ist aber nach Construction

(72.)

BC, =    CA

r

_ q . AB

folglich geht Gleichung (72.) über in AB

— (p.AD + q, BD) = CXD. AB.

Dies giebt

(73.) S = p.AD+q .BD + r . CD — r(CD + DCx) = r . CCX. In derselben Weise findet man

(73 a.)

S = p . AAX — q . BBX — r . CCX.

Ein besonderer Fall ist der, wo

p = q = r = l, also /S' = HZ) -f -f- CD wird, ein Fall, der auch in Figur 56 berücksichtigt ist. Dann sind die Dreiecke B CAx, CABX, AB Cx gleichseitige Dreiecke, die Winkel /, g, v sind alle drei gleich 60°, so dass Winkel BD C = CDA = A 1)B = 120⁰

S=A.Al = BBX = CC i.

wird, und endlich ist (73 b.)

Bemerkung.

1) Der gefundene Punkt D hat nur dann die Eigenschaft des Minimums, wenn von den Eckpunkten des Dreiecks keiner innerhalb der um die Dreiecke BCAlt CABU ABCX beschriebenen Kreise liegt. Läge z. B. C innerhalb des Kreises um ABCX, so wäre, wie man leicht nachweisen kann,

p.AC+q . BC . AD + q . BD -f- r . CD.

2) Die letzten drei Aufgaben haben ganz besondere Bedeutung für die Lehre vom Trassiren und bilden den Ausgangspunkt für eine ganze Reihe von Aufgaben, deren Besprechung hier aber zu weit führen würde. (Man vergleiche Launhardt, Theorie des Trassirens, Hannover 1887.)

Aufgabe 20. Man soll unter allen Cylindern, die sich in einen geraden Kegel einschreiben lassen, den grössten bestimmen.

Fig. 57.

A\

Auflösung. Die Höhe des gegebenen Kegels (Fig. 57) CS sei h, der Halbmesser CB der Grundfläche sei r, die Höhe CE des eingeschriebenen Cylinders sei y, und der Halbmesser CD seiner Grundfläche sei x. Dadurch findet man für das Volumen des Cylinders

(74.)

V — xlny.

Aus der Aehnlichkeit der Dreiecke SCB und FDB folgt CS: CB — DF : DB,

oder h:r = y :r — x,

folglich wird

(75.)

^ (r — x) und V — ^ x²{r — x).

Die Function, welche ein Maximum werden soll, ist daher

^abgesehen von dem positiven constanten Factor

(76.)

fix) — x¹ (r — a;) = ra;² — x³.

Dies giebt

(77.) y' (a;) = 2ra; — 3a;² = a;(2r — 3a-), f“ (x) — 2r — 6 a;.

Die Ableitung f‘ (x) verschwindet erstens für x = 0 und

zweitens für x — — • Nun ist

O

/"(0) = 2r> 0,

folglich erhält man für x — 0 ein Minimum. In der That, der entsprechende Cylinder ist zu einer geraden Linie zusammengeschrumpft, und sein Volumen ist gleich Null. Dagegen wird

folglich wirdein Maximum. Die Höhe y des zugehörigen

Cylinders ist nach Gleichung (75.) gleich wird nach Gleichung (74.)

und das Volumen

(78.)

V=

4 rVm

27

T^JlTt

Da das Volumen des gegebenen Kegels gleich ——- ist,

O

so ist das Volumen des grössten Cylinders, der sich in einen

von dem Volumen

4

geraden Kreiskegel einschreiben lässt, gleich —

9

des Kegels.

Aufgabe 21. Man soll unter allen Cylindern, welche sich einem geraden Kreiskegel einschreiben lassen (Fig. 57), denjenigen bestimmen, dessen Mantelfläche ein Maximum ist.

Auflösung. Wendet man wieder dieselben Bezeichnungen an wie in der vorhergehenden Aufgabe, so erhält man für die Mantelfläche des Cylinders

(79.)

M = 2xn .y.

Nach Gleichung (75.) ist aber

folglich wird

2 Im

— (rx — X²). r

(80.)

Die Function, welche ein Maximum werden soll, ist daher f (x) — rx — x²,

und es wird

(81.)

f‘ (x) — r — 2x, f“ (x) = — 2.

Daraus findet man, dass die Mantelfläche für x = j ein Maximum wird.

Aufgabe 22. Ein cylindrisch.es Gefäss (Fig. 58) soll so geformt werden, dass es bei gegebenem Volumen eine möglichst kleine Gesammt-oberfläche besitzt. In welchem Verhältnisse stehen dann die Höhe und der Halbmesser der Grundfläche?

Auflösung. Bezeichnet man den Halbmesser CB der Grundfläche mit x, die Höhe CD mit y, die Oberfläche mit I und das Volumen mit V, so wird V

V = x²rcy, oder y =    ?

F = 2xny -f- 2x²n — 2Vx~i + 2xP-n — fix),

Fig 58.

A¹—-C—x

(82.)

(83.)

also

(84.) f‘(x) — — 2 Vx~² -f 4xn — 2.r_2(2.r³?r — V) = 0.

Dies giebt

1 2 TT

(85.)

2 x³tt — V, y — 2x

Für diesen Werth von x tritt wirklich ein Minimum ein. denn es wird dann

(86.)

f“(x) = 4Vx~³ -f- 4re = 8re -j- 4Tr = 12tt > 0.

Die Gesammtoberßäche wird daher möglichst klein, wenn der Durchmesser des Grundkreises und die Höhe einander gleich sind.

Aufgabe 23. Ein cylindrisches Gelass (Fig. 58) soll so geformt wrerden, dass hei gegebenem Volumen (nicht die Gesammt-oberfläche, sondern nur) der Mantel und die eine Grundfläche zusammen ein Minimum werden.

Auflösung. In diesem Falle ist

00

f(x) — 2xny -f- x²tt — 2 Vx ~¹ -f- x²tt , f‘(x) — — 2 Vx~² -j- 2xn = 0 für x³tt — V.

Dies giebt

(89.)

\iv

und zwar tritt für diesen Werth von x wirklich ein Minimum ein, weil

f“ (x) = 4Vx~³ + 2tt = 6tt > 0

(90.)

Fig. 59.

wird. Hier muss also der Halbmesser der Grundfläche der Höhe gleich sein.

Aufgabe 24. Man soll einer Kugel einen geraden Kegel (Fig.

59) einschreiben, dessen Mantelfläche ein Maximum ist.

Bezeichnet man

Auflösung.

den Halbmesser BO der Kugel mit r, den Halbmesser AC von der Grundfläche des Kegels mit y, die Seitenkante AS mit s und dis Höhe CS mit x, so wird die Mantelfläche des Kegels

Nun ist aber nach bekannten Sätzen aus der Planimetrie y"² ■=. x(2r— x), s² — 2rx\

(92.)

deshalb wird

(93.)

M² — 2rx²(2r — x) rr².

Ist M ein Maximum, so gilt dasselbe von M², folglich hat man hier zu setzen

(94.)

fix) = x²(2 r — x) — 2 rx² — x'Ä;

dies giebt

(95.)

[    — 4r# — §x² — xifr — 3x),

\ f“(x) = 4r — Qx.

Für x = 0 wird f{x) ein Minimum, dagegen wird

32r³

(96.)

ein Maximum.

/(-) =

J \ 3 /    27

Aufgabe 25. Man soll aus einem Baumstämme mit kreisförmigem Querschnitt (Fig. 60) einen Balken mit rechteckigem

Fig. 60.

Querschnitte so ausschneiden, dass seine Tragfähigkeit ein Maximum wird.

Auflösung. Da die Tragfähigkeit T proportional zu der Breite x des Querschnitts und proportional zum Quadrate der Höhe y desselben ist, so wird T — cxy²,

wobei

y² = d² — X²,

wenn man mit d den Durchmesser AC des Kreises bezeichnet. Dies giebt

(97.)

(98.)

T — cx {d² — x~) — c {d²x — xd), f(x) = d²x — .t³, f‘ (x) — d² — Sx²

Für diesen Werth von x tritt ein Maximum ein, denn es ist f“(x) — — 6z<0.

(100.)

Die Tragfähigkeit des Balkens ist daher ein Maximum,

wenn (101.) x¹ : y¹ : d- — 1: 2 : 3, oder x : y : d — 1 : ]/2 : ]/3.

Fig. 61.

Aufgabe 26. Auf derselben Seite einer geraden Linie MN (Fig. 61) seien zwei Punkte A und B gegeben; man soll die Lage des Punktes C auf der Geraden MN so bestimmen, dass A C'² + ~CB² ein Minimum wird.

Auflösung. Fällt man von A und B auf MN die Lothe A A und BBX, dann sei AaA — a

Ji

BXB = h,

i\

AXBX = l;

Ui

C l-x Bj

setzt man also

AXC — x, so wird CBX = l — x.

Dies giebt

(102.) ÄC² + CB² = a°- + *2 ₊ J2 ₊    _ xy. =f(x),

(103.)    f‘ (x) = 2x — 2(1 — x) = 4x — 21, fu(x) — 4,

folglich wird f(x) em Minimum für x—¹—, d. li., wenn der Punkt C in der Mitte zwischen Ax und Bx liegt.

Aufgabe 27. Auf derselben Seite einer geraden Linie MN (Fig. 61) seien zwei Punkte A und B gegeben; man soll die Lage des Punktes C auf der Geraden MN so bestimmen, dass A C + CB ein Minimum wird.

Auflösung. Die Function, welche hier ein Minimum werden

soll, ist

(«² -j- rc²) y a¹ -j- x¹    [è²+(/— .r)²] ]/ &² -j- (/—#)²

(106.) /"(*) =

Dies giebt

(105.)

/'(*) =

|/«² -f- x¹

y b'¹ + (i—x)²

Um die Werthe von x zu bestimmen, für welche /'(.r) verschwindet, beachte man. dass aus Gleichung (105.) folgt

.. = cos A CAX — cosBCBy.

LB

Dieser Ausdruck verschwindet, wenn der Winkel ACAt = BCB{.

= AC

A<C CB

(107.)

Die beiden Dreiecke A C'A, und B CB, sind deshalb ähnlich, und es wird

= (/ — .-r) : b,

oder

(108.)

al

bl

X = —T

« -t- b

Da bei dieser Bestimmung von x die zweite Ableitung nach Gleichung (106.), nämlich

(109.)

/"(*) =

A,A²    BB¹

~ÄC'    ~BC'

positiv ist, so wird A C -f CB ein Minimum.

Wegen Gleichheit der Winkel ACA} und BCB^ ist die gebrochene Linie ACB der Weg, den ein Lichtstrahl nehmen würde, der von dem Punkte A ausgeht und von der Geraden MN nach B reflectirt werden soll.

Dieser Weg ist demnach ein Minimum.

Aufgabe 28. Die Gerade MN (Fig. 62) trenne das Medium, in welchem das Licht sich mit der Geschwindigkeit c fortbewegt, von dem Medium, in welchem die Geschwindigkeit des Lichtes gleich d ist; in welchem Punkte C trifft der Lichtstrahl die Gerade MN, damit er in der kürzesten Zeit vom Punkte A in

dem ersten Medium zum Punkte B in dem anderen Medium gelangt, und nach welchem Gesetze wird er gebrochen?

Auflösung. Unter Benutzung derselben Bezeichnungen wie bei den beiden vorhergehenden Aufgaben wird in diesem Falle die Zeit tx, welche der Strahl braucht, um von A nach C A C

zu gelangen, — , und die

Zeit t.,, welche er braucht, um von C nach B zu ge-CB

langen,    Setzt man also

(110.)

so erhält man

(111.) f{x) = tx + t₂ = pYat+x² + qYb² + (/—x)'²

q(l—x)

Y a¹ + x* yiA + {[ — xf

Fig. 62

rH

= P,

r-H BÖ

(112.) /'(*)= —^

oder

(112 a.) f (x)

Ai

li

= o,

_ p . AXC_ q . CBX

AC

CB

p COS« — qcosß — 0.

wobei die Winkel At CA und BXCB mit a und ß bezeichnet

sind. Nennt man die Winkel, welche das Einfallsloth im Punkte

C mit den Strahlen A C und BC bildet, y und d, so wird

. *    , sin y

psiny — qsmo, oder    =

sind

also

(113.)

sin/ sind ~~

In dieser Gleichung ist das Gesetz ausgesprochen, nach welchem der Strahl im Punkte C gebrochen wird.

Aus

(114.) /"(*) =

pdl

(a² + x¹) Y d¹ +    |7>²+{l— #)²] V^²+(l—.r)²

BG³

folgt wieder, dass M 6’ + <?. 0,0 ein Minimum wird.

p. Ax A

>0

VII. Abschnitt.

Bestimmung yoii Ausdrücken, welche an der

Grenze eine der unbestimmten Formen

0 ao 0

Ö’ ÖD5 U

. 0(0 ,

QC — GO , 0°,

qo°, 1* haben.

§ 58.

Ausdrücke von der Form

©| o

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 81.)

Werden in dem Brache

<f (*)

/O)

Zähler und Nenner gleich 0.

wenn man x gleich a setzt, so erhält dieser Bruch für x gleich

a die unbestimmte Form —■ Beispiele dafür kommen in der

Differential-Rechnung sehr häufig vor. Schon die Erklärung des Differential-Quotienten (vergl. Formel Nr. 15 der Tabelle)

(1.)

f‘ ix) = hm

fM—fix)

liefert den Grenzwertli eines Ausdruckes von der Form ~ •

Indem man x mit a und x₁ mit x vertauscht, geht Gleichung (1.) über in

(2.)

/'(«) = lim/W~/(a)-

sc=a X-a

ebenso ist

(3.)

₉‘(a) =

x—a X — U

Aus diesen Gleichungen folgt schon die Lösung der vorgelegten Aufgabe. Weil nämlich nach Voraussetzung (p{a) = 0 und f(a) — 0

ist, so erhält man

(5).

_ v(g) —y(a) ___

/O)    f(x) — /(«)

ff — a

also

lim

(6.)

lim

# — q _ *P'(a) /<» —/(«) ~~ /'(«)

ff — a

jfcfcm ßndet daher den icuhren Werth von lim

y (ff)

/(■*)

indem

wem Zähler und Nenner einzeln diß'erentiirt und in den Quotienten der Ableitungen x gleich a einsetzt.

Um dieses Verfahren anzudeuten, bringt man die Gleichung (6.) auf die Form

tö a.)

lim

ff * (ff)

/' 0)

Hieraus findet man dann auch sogleich, dass man das angegebene Verfahren noch zum zweiten Male anwenden muss, wenn auch

(7-)

fp‘(a) = 0 und f‘ia) — 0

ist. In diesem Falle wird also

18.)

lim

y 0*0 __

Ax)

lim

ff“ (x)

x = af“{f)

Wird auch noch

19.)

r/>"(a) = 0 und f“(a)=. 0,

so wendet man dasselbe Verfahren auf lim

ff“ (ff)

/"(*)

an, indem

man Zähler und Nenner einzeln differentiirt, und erhält

<10.)

i;m ïfe) -

v ff'“ ix)

Unter der Voraussetzung, dass die Functionen <p(x) und fix) mit ihren ersten n Ableitungen stetig und endlich bleiben für alle Werthe von x, deren Unterschied von a beliebig klein ist, kann man dieses Resultat auch durch Anwendung der Taylor'-sehen Reihe finden. Nach Formel Nr. 50 der Tabelle ist, wenn man n + 1 mit n vertauscht,

/"(«)

Dieses Verfahren kann man so lange fortsetzen, bis man endlich auf einen Bruch kommt, der für x — a nicht mein- die

— hat. Dies giebt die allgemeine Regel: Ist

I (p{a) = 0, </>'(«) = 0, <p“(a) = 0,.. .    = o,

1 /(«) = 0, f (a) = 0, /"(«) = 0,.../"-0(a) = 0,

Form

(11.)

60

(12.)

lim

rp,n)(a) /<")(£) ~ /(«>(a)

(13.) fix) =/(«) +^jy (x — a) +

/■"-»(a)

(n — 1) !

(x — «)n—1 +

+ © {x — «)]

n\

(# — a)n;

ebenso findet man

(11.)    (p{x) — <p(a) +

(ffd)

1!

¹¹ (a)

(»—!)!

(x — «)² + ... cp(w \a + &fx — «)]

(*-«) + -2T

(« — a)”_1

w!

(.r—u)n.

Wenn aber die in den Gleichungen (11.) angegebenen Voraussetzungen gelten, so reduciren sich diese Gleichungen (13.) und (14.) auf

(13a.)

/(*)

(14a.) folglich ist

(p{x)

_/(w [q + QQe —fl)]r

»!

y(wl[q+ ®i(g —fl)]

»!

(x — «)M

(15.)

und

ff (x) <p,w) [a    0, (rr — o)]

/(*) ~ /"’[« + ®(* — a)j

(16.)

lim

ein Resultat, das mit Gleichung (12.) übereinstimmt.

1) lim —

x=-d

— a¹¹

2) lim —

2 = 0

lim —

— sina:

a:³

§ 59.

Uebungs-Beispiele.

Y) rfll—1

ut/    1 •    »As

— = lllll-Z-

a    -L

lim -—-

= wan_1.

COS a:

3a:²

— COS a;

3a:²

Sina:

= lim ——

6a:

.. sina: lnn -7—

6a:

lim

cos a:

tH I©

3)    lim

2 = 0

4)    lim y

2=1 ¹

ax — bx

= lim

ax\a — bx\b

== la—lô = L

a:

e Uc>

— xm

— xn

= lim

—mx

OT—1

— nxn

=T

ex-e-x

5) lim —7— ' æ=0 sma:

lim

ex -f- e x

COS a:

2.

6) lim

'    2 = 0 a:

tga: — sina:

— sina:

= lim cos²a:

— COS a:

i — COSa:

Nun ist aber

C0S²a:

folglich wird

COSa:

1 — C0S³a: __ (1 —COSaQ (l + COS.-g + COS²aQ COS²a:

COS²a:

lim

2 = o a:

tga: — sina: — sina:

lim

1 + COSa: + COS²a: __ ^ COS²a:

— an

lim

nxn~[

lima:“ = a“.

arcsin.«

= lim

V¹ — ^² _ , 1 -

8) lim

Die Aufgabe 8 findet folgende geometrische Anwendung. In der Integral-Rechnung erhält man für die Oberfläche des Körpers, welcher durch Rotation der Ellipse um die grosse Axe entsteht, den Ausdruck

(!•)

F=2b*7T +

2a²l>7T

arc sin

ß

oder, wenn man — = x setzt, a

F — 2 b‘ln + 2 a bn •

(la.)

arc sina;

Wenn mm die Ellipse in einen Kreis übergeht, wenn also

=    _ £2 _ o

wird, so geht das Rotations-Ellipsoid in eine Kugel über, und

das zweite Glied in dem Ausdruck für F erhält die Form jj-.

Benutzt man aber das soeben gefundene Resultat, so ergiebt sich für die Oberfläche der Kugel aus Gleichung (la.) der bekannte Ausdruck

a = b, e

F — 4 a¹7t.

1(1+*) — 1(1 — *) = li 1+JT1-x

ił) lim * = 0

Auch dieses Resultat findet eine geometrische Anwendung, ln der Integral-Rechnung erhält man für die Oberfläche des Körpers, welcher durch Rotation der Ellipse um die kleine Axe entsteht, und welcher Sphäroid genannt wird, den Ausdruck

1(1+«)—1(1—x)

2.

(2.) F= 2 a% +    1    = 2«% + Wn

ß

wenn man wieder — mit x bezeichnet.

Geht nun die Ellipse

in einen Kreis über, wird also a —

Stegemann - Kiepert, Differential-Rechnung.

à,

x = 0,

18

so geht das Sphäroid in eine Kugel über, und das zweite Glied in dem Ausdrucke für F erhält die Form ^

Benutzt man aber

das soeben gefundene Resultat, so ergiebt sich für die Oberfläche der Kugel aus Gleichung (2.) der bekannte Ausdruck

F= 4 a²n.

10) lim— , 1 x — 1

..    nxtl~¹

= lim —-—

= n.

11) lim

(X — l)²

— lim

nx

n—1

2(^-1)

— lim n^n — 0e"⁻²_n(n — 1 t

Die beiden letzten Aufgaben 10 und 11 finden Anwendung in der Rentenrechnung. Bezeichnet man nämlich mit Ry den Baarwerth einer Leibrente, die einer Person im Alter von y Jahren am Anfänge eines jeden Jahres ausgezahlt wird, und

den Baarwerth einer Leibrente von gleichem Betrage,

mit Ry

die derselben Person aber in n Quoten am Anfänge eines jeden ntel des Jahres ausgezahlt wird, so ist

(B.) Ry

n    n_

Yr r — »yV + »-

(Vr- l)³

wobei der Zinsfactor r durch die Gleichung

(4.)

100 r — 100 -f- Procente erklärt wird. Der in Gleichung (3.) gegebene Ausdruck für

(5)

ist für die numerischen Berechnungen sehr unbequem; deshalb benutzt man gewöhnlich einen Näherungswerth, den man erhält, indem man den Zinsfactor r, welcher so wie so von 1 wenig verschieden ist, gleich 1 werden lässt. Setzt man dann noch

Ry

(5.)

xn, also yr —

x,

so wird

lim Ry

lim

x— 1

i /*■—iy

,.    x xn — nx -f- n —-1

— lim-7*

* = t«²

(x — l)²

oder mit Rücksicht auf die in den Aufgaben 10 und 11 gefundenen Resultate

(6.)

lim Ry

7?    ?-~A.

My    2 »

Eine genauere Untersuchiuig zeigt, dass dieser Näherungswerth von dem wahren Werthe sehr wenig verschieden ist.

12) lim

X—\

xx — x

lim

1 — # -f- 1#

(1 4" 1#)#* — 1 — 1 4- *

13) lim

= ]imą±M£-i ₌ 0 — 1 4- #_1 0 (14-l#)² x* + x?~x _ — #⁻²

—- 4--——

2 ]/#    2]/# —a

= lim

— 2.

y#"—j/a 4- Yx

Yx² — a²

= lim

Yx² — a²

= lim

Yx¹ — a² 4- Yx(x 4- 0)_ ]/2Ö2 _ 1

2#]/#

2 «]/ a    Y%a

cos#

14) lim A— . .. ₀cos#sm²#

Nun ist aber

lim

sin#

— sin³# 4- 2 sin# cos²# 0

§ 60.

00 •

Ausdrücke von der Form —

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 81.)

folglich wird

lim -

x ==

— cos# _ _ ocos# sin²# ~~ 2

Werden die Functionen y (#) und /(#) beide für # gleich a unendlich gross, so wird    ?■

lim

x sa,

ff (#) __ GO /(#) « '

18*

276

v(x)

fix)

§ 60. Ausdrücke von der Form 7*7.

Um den Grenzwerth zu ermitteln, dem sich in diesem Falle nähert, setze man

(!■)

(2.)

also fx {x) —

/(*) ’

dann folgt, aus <p(a) = qo und /(«) = co

9>i(«) = 0 und /j (a) = 0,

(3.)

und man erhält

/(*)    %,(*)“ o⁵

d. h. man hat diese Aufgabe auf die in § 58 behandelte Aufgabe zurückgeführt. Bezeichnet man also den gesuchten Grenzwerth mit A, so wird nach der damals gefundenen Kegel

(4.)

lim

(5.)

A = lim

Nun ist aber

f\(x) = —

/'(*)

/(*)

9>'i0*0 =

folglich wird (6.)    .4 = lim

/' 0*0. y(»²

/0*0² 9>'0*0

oder mit Rücksicht auf Gleichung (5.)

= lim

/'(*)

SP'0*0

• lim

>0)Y

/(*)-

(6 a.)

A — A². lim

/'O*0

9»'0*0

Unter der Voraussetzung, dass ^4 von 0 vei*scliieden ist, kann man beide Seiten dieser Gleichung durch A² dividiren imd erhält dadurch

(7.) .

kl t“¹

= lim

oder

(8.)

A — lim

»00 = lim 9>'0*0

/(*)

/'0*0

Es gilt liier also dieselbe Regel wie bei den Ausdrücken, welche an der Grenze die Form ^ annehmen, d. h. man findet

den Werth von lim

fl*)

-, indem man Zähler und Nenner einzeln

differentiirt und in den Quotienten der Ableitungen x gleich à einsetzt.

Diese Regel bleibt auch dann noch richtig, wenn A den Werth 0 hat. Denn, wenn man in diesem Falle den Ausdruck

(9.)

fl*) + y 0*0

/O)

fl*)

betrachtet, so erkennt man, dass er für x gleich a wohl die Fonu annimmt, aber einen Werth hat, der von 0 verschieden ist. Man darf daher die eben ausgesprochene Regel anwenden und erhält

¹

sin#___

— sin³# -f 2sin#cos²# — — sin²# 4- 2cos²#’

/0*0

(10.)

oder

1 + lim

9(*) _

/(*)

1 + lim

<P\*)

n*y

folglich ist auch in diesem Falle

(ii.)

lim

y(g)_

/<»

lim

y'w.

/'(*)

Werden /'(«) und y ' (a) beide gleich 0, oder werden sie beide unendlich gross, so findet man durch nochmalige Anwendung derselben Regel

(12.)

und kann so fortfahren, bis sich ein bestimmter Werth ergiebt.

Bei diesen Untersuchungen ist die Voraussetzung gemacht, dass man die Ableitungen von <p(x) und f(x) bilden kann, namentlich aber, dass a ein endlicher Werth ist. Diese zweite Voraussetzung darf auch wegfallen; denn wird a unendlich gross, so setze man

(13.)

also t = — j

dann wird

(14.)

lim

X—X>

Si««

= lim

(z)

~'G)

Da nun aber

d(f

dx

dx

ist, so findet man, auch wenn man £ als die unabhängige Veränderliche betrachtet, nach der angegebenen Regel

(15.)

lim

X = G£>

§ 61.

Uebungs-Beispiele.

lim

1) lim

X=T

5 cos²a? COS² (5a:)

tg(5s)

71 tgÄ^

= lim

= lim

cos² (5a;)

= lim

5C0S²a; _0

cos² (5#) — 0 ?

lim

sin (2 a;)

sin (10 a:)

COS².r

— lOcosa: sina;

— 10 cos (5 x) sin (5 x)

2cos(2a:) __ —2    1

10 COS (10 ar) ~~ — 10 ~ 5

= lim

= lim

sin (2 s) _ 0 sin(10#) ~ 0 ’

= 0.

2) lim Ą: = Ihn \

= 0.

/ydfi

4)    lim^ = g-

Ï = CC c

/»»W    /y>?ł—t

00 ’

lim = lim - = —

wenn w > 1 ist ;

lim

tu'

n—1

= lim

ex

Dieser Ausdruck wird entweder gleich

»(» — 1)

oo

= 0, oder f-,

jenachdem n gleich 2 oder grösser als 2 ist. Um die Aufgabe allgemein zu lösen, muss man Zähler und Nenner n Mal differen-tiiren und erhält dadurch

xn

lim —

ex

r »!    »!

= lim — = ■=• = 0.

ex    00

Dasselbe Resultat findet man auch, wenn n eine positive gebrochene Zahl ist; denn in diesem Falle liegt n zwischen zwei ganzen Zahlen k — 1 und k, so dass

k — 1 < n < k

wird, folglich ist

oder

/>■•    —1c

lim — = lim —-— = lim

ex    ex

xk . xn~k

ex

lim —

ex

xk

— lim — •

ex

xh~n

Nun ist nach dem Vorhergehenden lim —

= lim• lim •

^2/    Ä*”W

ex

und, da k — n positiv ist,

= 0,

folglich ist auch

= 0.

xH

lim¹— ex

Der Sinn dieses Resultates ist der, dass für hinreichend grosse Werthe von x die Exponential-Function e* noch grösser wird als jede beliebig hohe Potenz von x.

= lim — ==    = 0 ;

nxu 00

dabei ist nur vorausgesetzt, dass n positiv ist, im Uebrigen darf n beliebig klein sein. Der Sinn dieses Resultates ist dann der, dass \x für hinreichend grosse Werthe von x zwar selbst beliebig gross wird, aber doch noch kleiner bleibt als jede beliebig niedrige Potenz von x.

Setzt man n = —, so nimmt für positive Werthe von m m

das soeben gefundene Resultat die Form an

1 X

m

X = *> l/

y x

Um — = 0.

6j lim j—

* = ol[tg(3.r)]

- GC

— oc

= lim

sina: COS x

sin (3a:) cos (3a:)

_ sin(3a;)cos(3a:) _ sin(6a:)    0

~~ im 3sina:cosa: ~ im 3sin(2a;) — 0

lim

sin (6a:) 3 sin (2a:)

= lim

6 COS (6a:) _ 6 6 cos (2a:)    6    '

7) lim

la:

-GC

x — 0 Ctg' X

OC

= lim

= lim

— sin‘²a*

o Io

lim

— sin²a;

= lim

sin²a; — 2 sina- cos a:

= 0.

§ 62.

Ausdrücke von der Form 0. oo.

Bei den Ausdrücken, welche an der Grenze die Form 0. oo haben, kann man die Bestimmung auf einen der beiden vorhergehenden Fälle zurückführen. Wird nämlich

(1.)

rp(a) = 0, f{a) = 00,

so setze man wieder

(2.)

(f(x) =

, also <p\(x) —

?(*}

(3.)

dann ist

(4.)

'/i (<*)=«, /i («) = 0.

Deshalb wird

⁽f (x) fi (x)

ein Ausdruck, der für z — a die Form ^

<p(z).f(x)

wird ein Ausdruck, der für x = a die Fonu annimmt. Daraus ergiebt sich die Regel: Man bringe den Ausdruck auf

die Form jj- oder auf die Form -55- und behandle ihn, wie in § 58, bezw. in § 60 angegeben worden ist.

(5.)

(6.)

lim

rp(z).f(x)

₌ f(x)

<Pi 0)

§ 63.

Üebungs-Beispieie.

1) lim (x. ctg#) = lim f— = lim —)

x — O    tg#    1

annimmt; und

— = 1.

COS²#

2) lim (# — a) [1(# — a j]² = 0.00

[1(# — a)]²

lim (# — a) [1(# — a)]² = lim

2l(#—a) —

v 7 x — a

[1(# — a)]² __ ^

(# — a)

00 »

(# — «)_1

= lim

— (#—a)

—i

= — 2 lim

IQ — g) _ CO

(# —a)

— 1 00 ’

— 2 lim

1 (# — a)

(# — a)

— 2 lim

—(#—a)⁻²

= -f 2 lim (# — a) = 0.

3) lim (x— 1) tg = O . oo = lim —

•Ht)

o Io

2 sin²

-,. X

lim —

•Ht)

= lim

— 7t

— lim

/X7t\

vT/

7t

03 £

2 sin²

/X7t\

\T/

Noch etwas einfacher hätte man diese Aufgabe in folgender Weise behandeln können. Es ist

M(ar—!)tg(^) =

hin

(*—1) siü(ir)

cos

/XTt\

\T/

= Um

cos

/X7t\

\T/

o Io

cos

7t .    /XTt \

-2sm(ir)

Um —

/XTt \

\T/

= lim

4) lim 2X tg =

Æ = 30    /

oo . 0.

Die Lösung dieser Aufgabe wird einfacher, wenn man

als Veränderliche einführt. Dadurch wird

2X =

und Um y = 0

also

to2>tg(^)=lü^tgy = lim ^ =

lim Î*SÏ = lim * cos²?/

= «.

o Io

5) lim .r (J/V — 1) = Um

X = ce

O Io

wo t =

i gesetzt ist,

lim

ri-X

.. r*lr = lim —

= lr.

Von diesem Resultate kann man wieder eine Anwendungmachen. Nach Gleichung (3.) in § 59 war

n_    n ,_

j/r r—w]/r + w—

(f>T-1)2

(“)

—

n²]/ rn 1 \]/r — 1 /

oder, wenn man n mit x vertauscht,

(1.) Ry

11²

(la.)

{-) _ Vr fr —1 )2Jiy Vr [r—1— * (fr — 1)]

r[#(j/r — l)]²

Wird nun die Zahl x immer grösser und schliesslich unendlich gross, so erhält man mit Rücksicht darauf, dass

wird.

lim x (]/r — 1) = lr

(2-)

(~Tr)s*

rH |

r — 1 — lr

(lr)²

§ 64.

Ausdrücke von der Form oo — oo.

Wird

(1-)

cf (a) — cc und f(a) = oo

so nimmt der Ausdruck

0>fr) —/fr)

für x = a die unbestimmte Form oo — oo an. Der wahre Werth dieses Ausdruckes kann wieder dadurch ermittelt werden, dass man

(2.)

<p\(zy

<p(x)

(3.)

setzt. Dann wird

/lfr)’

/fr)

(4.)

und man erhält

<P\ fr) = 0, fx fr) = 0,

('S*) v(x) /(ic) “»,(*)

Dies ist aber ein Bruch, welcher für x = a die Form |j-

annimmt und nach der in § 58 angegebenen Regel bestimmt werden kann.

Mitunter gestaltet sich die Umformung noch etwas einfacher, wie es die folgenden Beispiele zeigen werden.

Uebungs-Beispiele.

1) lim ( —-

* = 1\

x²—1

ï)=

co — oc = lim

x² — 1

lim

-X -f- 1

x² — 1

= lim —— =

2,r

I (M

2) lim (——

⁷    *= i \# — 1

x\x — x -f- 1

è)

oo — co = lim

x\x—x -f- 1 _ (x—1)1#

l.r

© I©

(x—1)1#

1# -j- 1—.r⁻¹

l#-f 1 —.r⁻¹    0

= lim

#_1

#_1 + #⁻²

x

= Umî+X-2

3) lim (

x = 0 \

sina;

i)=x

xJ

.. x oo = lim —

— sin#

#sin#

Ô I®

». x lim —

— sin#

r sin.r

= lim

= lim

1—cos x    _ 0

sin.r + #cos# ~ 0

sin.r __ 2cos.r — .r sin.r

= 0.

4) lim (-rK---y

⁷ I=o\sm%    x²

)=

00-

oo = lim

x² — sin²# _ #²sin²#

lim

x² — sin²#

#²sin²#

= lim

2x — 2 sin x cos x 2# sin²# -f- 2#² sill x cos x ~

© I®

oder, wenn man 2# gleich y setzt.

lim

x¹ — sin²*

4 y — 4 sin//

ar = 0

*²sin²*

yïo 2 y (1 — cosy) + y² siny

= lim

= lim

= lim

_4(1 -COSy)_ _

2(1 — cosy) + 4y siny + y²cosy 0

_4 siny__

6 siny -f 6 y cos y — y² siny ~ 0

_4cosy__

12cosy — 8y siny — y²cosy ~ 12

Häutig wild man bei Behandlung der Ausdrücke, welche

für x — a die unbestimmte Form

annehmen, am schnellsten zum Ziele kommen, indem man sie so

umformt, dass sie für x — a die Form ^ erhalten, dann Zähler

und Nenner mit Hülfe der Tay/or’schen Reihe nach steigenden Potenzen von *— a entwickelt und durch eine möglichst hohe Potenz von *— a dividirt.

Für die letzte Aufgabe erhält man z. B.

*²—sin²*= (* — sin*) (* + sin*)

-p~T! ⁺ 3T⁻5T⁺ ~"'K ⁺ TI

0.x, oder x — x

*³

3!

-)

= **(sr

*²

5!

->

*²sin²*

Dies giebt

*²—sin²* _ *'²sin²*

-■ił,

(eT 5!

*²

*³

3!

-)=4

-X²

*²

3!

*²

3!

C-ŚT + -

-y

also

lim

x¹ — sin²* 2

*²sin²*

3! ~~

286

Formen

§ 66. Ausdrücke von der Form 0°, oo°, 1r .

§ 66.

Ausdrücke von der Form 0°, œ*, 1*.

Nimmt der Ausdruck ['f (zj]J{x) für x gleich a eine der

an, so setze man

0°, oo», l"

(i.)

dann wird

\<p(x)yw = u.

(2.)

lw — fix) . l<jp(x),

also

(8.)

Ist nun

so wird

/(<*) = 0,    (p(d) = 0,

lim fix).\rp(x) = 0 . ( — oo ) ;

ist

so wird

/(«) = 0, ff (a) = co

lim /'(.r). \(p{x) = 0 . oo ;

und ist

so wird

lim fix). 1 «/> (^) = oo .0.

x = a

Um den Werth von lim u zu ermitteln, braucht man nur den Werth von lim (lw) zu berechnen, der zunächst die imbestimmte Form 0.(± oo) hat und sich deshalb nach den Angaben der vorhergehenden Paragraplien behandeln lässt.

§ 67.

Uebungs- Beispiele.

1) lim {xx) — 0°.

a> = 0

lim 1 u = limlfa;*) = lim (x\x) — lim —r — —*

'    v '    X ¹    C»

T X

—lim - = 0,

= lim —=

—x~l

folglich ist

lim« = lim (#x) = e° = 1.

2) lim (xsinx) = 0°.

lim I m = liml(#sinx) = lim (sin #1#) = lim

1#

00

(sina?)

00

= lim

cos#

= —lim

sin²#

#cos#

— — lim

= 0°.

sin²#

2 sin# cos# cos# — #sin# folglich ist

limw = lim (#sinx) = e° = 1.

3) lim(#4+21a!)

x = 0

lim 1 u = lim

31#

-00

4 4* 21#

4 + 21#

— 00

va

H | *=>| H | 05

va

tO| 05

CO 101

lima = lim

e* = Y&.

4)

X SS 00

= ¹im(i^)=

lim Im

1#

lim — =

00

= lim ~ — lim — = 0. 1    x

folglich ist

(-*)

lim« = lim

= e'> = l.

⁵)

n — (x

lim n .n ^ ao

lim Im = — 2lim — = — 2lim—

folglich ist

lim u —

Die Bestimmung dieses Ausdruckes war in § 46 (Seite 198) erforderlich.

6) lim [(ctg#)⁶¹“*] =

x = 0

00

lim 1 u = lim [ sin ?1 (ctg?)] = lim

lcos?— lsin?

(sin?)

__ oo

-1

sin? cos?

= lim

cos?

sin?

— (sin?)⁻² cos?

= lim

sin?

cos²?

O I r—i

folglich ist

lim« = lim[(ctg?)sinit] = <?° = 1.

7) lim(l + ?)* == 1*.

lim 1«

= lim -1(1 + ?) = lim    = 2

? ⁷ ? 0

= lim

1 -J- ?

folglich ist

lim « = lim (1 -j- ?)* = <?¹ = e.

8) limfi + -Y= r.

*=<A    ?/

Diese Aufgabe wird auf die vorhergehende zurückgeführt, indem man ? mit — vertauscht.

Man beachte, dass nach Formel Nr. 13 der Tabelle die Zahl e durch die Gleichung

= lim(l + !Y

n = <x\    fl/

•> S.L(!-ï) _r‘

erklärt worden ist.

lim 1 u

lim

l(2a — x) — \a _ 0

Mg)

= lim

2a — x

= — lim

sin²

/xn\

vW

- 71

TC

2a — x

2osin2(l0

folglich ist

limw = lim

Bemerkungen.

1. In vielen Fällen kann man Grenz-Ausdrücke von der Form ^oder

dadurch ermitteln, dass man Zähler und Nenner de3 Bruches , bevor man den Grenzwerth von # einsetzt, durch einen passenden Factor dividirt. So ist z. B.

1 — cos# 1 — cos#

1 — cos#

sin²#

1 — cos²#    (l-f-cos#)(l—cos#) ’

folglich wird

lim

1 — cos#

sin²#

lim

1-f cos#

rH |(M

2. Zu demselben Resultate hätte man auch, wie schon obe n hervorgehoben ist, durch Entwickelung nach steigenden Potenzen von # gelangen können. Nach den Formeln Nr. 54 und 55 der Tabelle ist nämlich

1 — COS#

r+_-"“*²(è~îT+⁻-)’

Stegemann -Kiepert Differential-Rechnung.

§ 68.

Zusammentreffen unbestimmter Formen.

Die Grenz-Ausdrücke, welche eine unbestimmte Form haben, sind durch die behandelten Fälle noch nicht erschöpft; die angegebenen Regeln reichen aber zur Erledigung der noch übrigen Fälle aus, die im Wesentlichen nur Combinationen der bereits besprochenen Grenz-Ausdrücke sind, wie die noch folgenden Beispiele zeigen sollen.

« a(Sr-®r-

Nun ist aber

folglich ist

sin²#

-Gr-&+-X£-Ä+--*

dies giebt

1 — COS X

1    x²

2f —ÄT-¹-----

sin²#

folglich ist

lim

1 — COS X

sin²#

tH

.. Sina:    COSa;

lim-= lim -— = 1,

x—0 X    1

^siii x'j² _

und

lim Im = lim

lim u = lim lsina: — la; 0

x-

lim

ctga; — x

-t

2a:

= lim

a:COSa: — sina;

2a:² sina:

= lim

= lim

—a:Sina:

4a; sina: + 2a;² COS x

— sina:

4sina: -j- 2xCOSx 0

= lim

— COSa; _ ßCOSa: — 2a:sina: ~

rH J CO

dies giebt

lim« = lim

/sin£j²

6^_

V7

2) lim    =(£)».

X — X L X J

Hier ist

.. l(aa-) lim ———

lim y = O,

folglich ist

lim u — lim

pMj* .

0°,

lim 1 u = lim

l[l(«:r)] — \x_

—* oo

oo

= lim

1

1 (ax) x

« 11-*

= iim    =

x\(ax)

- 00

oo

= lim

1 +1 (ax)

lim

oo

= o;

dies giebt

limw = lim

fl (ax)Y_ e0

L x

1.

3) lim

(1 +x)x

x =0

Nun ist aber nach Aufgabe 7 in § 67

lim (1 + x)x — e,

x=0

folglich ist

lim

(1 + x)x — e

= lim

(1+Æ)‘[rqb~¹⁽¹⁺*}]

X

— lim (1 + x) lim

x¹

© Io

= e lim

2x

— elim

2x(l +xY

— e lim

2(1 + xf-

to «I

VIII. Abschnitt.

Differentiation der nicht entwickelten Functionen.

§ 69.

Differentiation einer Function von der Form F(u,v)„

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 82—86.)

(1.)

Ist z eine Function von zwei Veränderlichen, ist z. B. z = 3 w³ — 7 uh) + 11 uv¹ + 2 t³, so wird sieli z im Allgemeinen schon verändern, wenn sich nur u verändert, während v constant bleibt, oder wenn sich nur v verändert, während u constant bleibt. Man kann also, wenn z in Bezug auf u eine stetige Function ist, in derselben Weise wie bei Functionen mit einer Veränderlichen den Differenzm-Quotienten bilden, dessen Grenzwerth dann für verschwindend kleine Werthe von du den Differential- Quotienten oder die Ableitung liefert.

In diesem Falle bezeichnet man aber die Ableitung nicht clz    óz

mit —, sondern mit ^ und nennt sie die partielle Ableitung

von z nach u, weil man bei dieser Operation nur u als Veränderliche betrachtet und dadurch die Veränderlichkeit der Function z beschränkt. In dem vorliegenden Falle wird also

(2.)

dz

du

= 9w² — 14 uv + 11t².

Mit demselben Rechte kann man z so difterentiiren, dass man v als die einzige Veränderliche und u als eine Constante betrachtet. In dem vorliegenden Beispiele wird daher

dz

(8.)

— 7w² + 22 uv + 6 t².

Wie man also nach Formel Nr. 15 der Tabelle die Ableitung einer Function y =/(«) von einer Veränderlichen durch die Gleichung

(4.)

__    + Jx) —f(x)

dx

/ix

/x—()

erklären kann, so kann man die partiellen Ableitungen von einer Function von zwei Veränderlichen durch die Gleichungen

(5.)

dz

= lim

OU    ju = 0

F(u -f- -du, v) — F(u, v)

/iu

(6.)

dz

dv

— lim

F(u, v + /io) — F(u, v)

Jv = 0

/io

erklären.

Beispiele.

1) z = uv ;

dz

dz

dt=u-

2) z —

dz __ 1    dz _

du    o    dv    v¹

3) 2 = 1

— \u — 1ü;

dz

l-H

dz

du ’ dv

4) z =

dz

]/u — yö ’

du 2\u (j/u — |/ü")²

dz

de 2"jA? (Yu — Y'V)²

Ausführlicher wird von den partiellen Ableitungen im zweiten Theile dieses Bandes die Rede sein¹, der über die Functionen von mehreren Veränderlichen handelt.

Hier soll nur der Fall in Betracht gezogen werden, wo u und v beide Functionen von x sind, wo also

(7.)

U = (fi (x), v — xp (x)

ist, so dass z als eine Function der einzigen Veränderlichen x angesehen werden kann.

Jetzt sind zwar die Veränderlichen u und v nicht mehr von einander imabhängig, man könnte vielmehr aus den Gleichungen (7.) durch Elimination von x eine Gleichung zwischen u und v, nämlich

(8.)

f(u, v) = 0

Öz

herleiten, man kann aber trotzdem die Ausdrücke und

OU    OV

bilden, genau so, wie sie durch die Gleichungen (5.) und (6.) erklärt sind, und für das Folgende verwenden.

Vermehrt man nämlich æ um dx, so gehen die Grössen u, v, 2 bezw. über in

(9.)

j u 4~ du = (f (x + 4x), v + dv = ip (x + 4x), z 4- dz — F(u + v -f

daraus folgt

(10.)

J du — (f (x + dx) — tp (x), dv — ip (x 4- dx) — ip (x),

| dz — F(u 4-    , v 4- 4o) — F(u, v),

oder, wenn man v 4- dv mit v, bezeichnet,

10a.) dz — F(u 4* du, vx)—F(u, vx) 4- F{u, v 4- do) — F(u, v),

dz F(u-\-du, «,) — F{u, v^)    F(u, v+dv) — F(u, v)

dx    dx    dx

oder

dz_F(u-\-du, üj) — F(u, üj) du

dx

du

4-

F(u, v-\-dv) — F(u, v) dv

dv

dx

Geht man jetzt zur Grenze über, indem man dx verschwindend klein werden lässt, so werden auch, wenn (fix) und \p{x) stetige Functionen sind, nach den Gleichungen (9.) die Grössen du und dv verschwindend klein, und man erhält

lim él — lim V(x + 4x) — <fix) _ du,

Jxz=0 dx

.. dv .. lim — = lim dx

und da lim v₁ — v ist,

(12.)

Jx = 0

(13.)

Jx =0

dx

ip (x -f dx) — ip(x)_dv

'    '    ~~dx'

dx

dx

(14.) lim

F(u-\-Ju, ot)—F(u, vx ) _

du

lim

^« = 0,^=0

du

_ dF(u, v) dz

du

du

(15.) lim

F(u, v-j-dv) — F(u, v) _

lim

F(u, v-j-dv) — F(u, v)

Jx = \\

Jv — 0

dv

_ dF(u, o) $2

Deshalb folgt aus Gleichung (11.)

dz dz du    dz du

dx    du dx    du dx

oder auch, wenn man beide Seiten dieser Gleichung mit dx multiplient,

(16 a.)

(16.)

dz

dz

dz —    — du -j- du.

du

dv

In Gleichung (16.) sind mehrere Formeln, die schon früher hergeleitet wurden, als besondere Fälle enthalten.

Beispiele.

(17.)

1) Es sei

. z = u + V,

dann wird

dz

du

= 1,

dz

dv

folglich ist in Uebereinstimmung mit den Formeln Nr. 19 und 20 der Tabelle

(18.)

dz_d(u + 0)_du ...

dx ~~ dx

dx

dx

dv

2) Es sei

(19.)

dann wird

dz

dz

du ~ v’ du ~ U:

folglich ist in Uebereinstimmung mit Formel Nr. 28 der Tabelle

(20.)

dz _d(uv) _ du

dx dx

dv

3) Es sei

(21.)

dann wird

dz

dz

d v    v'² ’

folglich ist in Uebereinstimmung mit Formel Nr. 33 der Tabelle

du

du

dv

(22.)

dz

_ 1 du    u dv

dx dx v dx    v¹ dx

4) Es sei

V dx U dx

(23.)

z — 1 (uv) = Xu + li.'.

dann wird

dz

du

dz

(24.)

dz

dx dx

dv v '

d\{uv)_1 du

u dx

1 dv

5) Es sei

(25.)

= Xu — Le,

dann wil d

dz

dz

du    dv

<S t—¹

(26.)

dz

dX

dx

_ 1 du    dv

dx u dx    dx

(27.)    .

6) Es sei

z — uv

dann wird

dz

dz

du

= VUv~\ *rr~

’ dv

iï’.\u,

(28.)

dz

diu¹’)

dx

dx

= VUv

-l

du

dv

J- + Uv . 1U —z— •

dx    dx

Von dieser letzten Formel mögen noch einige Anwendungen gegeben werden.

7) Es sei

Z = Xx,

also

da

do

U — X, V = X, -y- = 1 ,    ,

dx    dx

dz

— — x . #*⁻¹ + xx . \x — xx(l + 1«).

Dasselbe Resultat ergab sich auf anderem Wege in § 25, Aufgabe 54.

X_ _L

Z = j/x — Xx

8) Es sei

also

du

do

r/z 1    — t+-r

_—__ ^ *

Auch dieses Resultat ergab sich auf anderem Wege in § 25, Aufgabe 56.

9)

2 = (Lc)***,

also

u = \x, V = tgx,

du 1    do 1

dx    x    dx    cos²#

= (i*).E*r& ₊ !Mi.

' I #1# cos²#J

§ 70.

Herleitung der allgemeinen Regel für die Differentiation der nicht entwickelten Functionen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 87 und 88.)

Es sei wieder

und es seien u und e beide Functionen von x, die eine Ableitung besitzen, dann wird nach Formel Nr. 83 der Tabelle

(2.)

dz dz du    dz de

dx    du dx    de dx oder

(2 a.)

dz dF(u, e) du ^ dF(u, e) de

dx    du    dx    de    dx

(3.)

Hierbei ist u eine beliebige Function von x, folglich darf u auch gleich x sein. Dann geht Gleichung (2.) über in dz __ dz ^ dz de dx dx de dx

Vertauscht man jetzt v mit y. so wird

(4.)

F(z, y),

wobei y noch eine Function von x, also

(5.)

y =/(*)

ist, und man erhält

dz __ dz dz dy dx dx dy dx

dF{x, y ) _ dF(x, y) dF(x, y) dy.

dy dx

In diesem Falle ist also 2 erstens unmittelbar abhängig von x und ausserdem auch noch mittelbar abhängig von x, indem z auch eine Function von y und y wieder eine Function von x ist. Aus den Gleichungen (6.) und (6a.) ersieht man auch, wie

(6.)

dx

dx

dz

nothwendig es ist, die partielle Ableitung ^ von der totalen Ab-dz

leitung zu unterscheiden, dadurch,, dass man das eine Mal ein (rundes) d, das andere Mal ein (gerades) d schreibt.

Beispiele.

1) z — x¹* — xy, wo y = la:.

Hier wird

dz

dz

BE”**'“’’ Ty = XnX’ dx

dy __

dz d(xlx)    ,    , 1

folglich ist

-7- = \ — = y#*-¹ + xv\x‘-dxdx    X

— \x . xXx~~\ + xXx~¹ . 1# = 2 xXx~x . 1#.

2) z — (igx)x — yx, wo y — tg#.

Hier wird

dz

dz

di=yHy’ d-y=xy

x-\

dy

dx cos²#⁵

folglich ist

dz d\(tgx)x\ .    x

X—\

= (tg#)*l(tg#) +

#(tg#)g~t

cos²#

Der Kürze wegen bezeichnet man die partielle Ableitung von F(x, y) nach der ersten Veränderlichen, also

dF(x,y)

dT~’ ^

1\ (#, y) und die partielle Ableitung von F(x, y) nach der zwei-

m^y)

ten Veränderlichen, also

dy

mit F₂ (#, y).

(7-)

Dadurch erhält die Gleichung (6 a.) die Form dF(x,y)

dy

dx

F\ (#, y) + F, (#, y)-±.

Diese Formel kann man jetzt auch benutzen zur Differentiation von nicht entwickelten Functionen. Ist z. B. y als Function von # durch die Gleichung

(8.)

F(x, y) — 0

gegeben, so kann man sich vorstellen, diese Gleichung sei nach y aufgelöst und dadurch auf die Form

(9.)

y =/0*0

gebracht. Man erhält daher nach Gleichung (7.) dF{x, y)

(10.)

dy

Fx{x, y) + F₂ (#, y) •

Setzt man den Werth von y, welchen die Gleichung (9.) liefert, in die Function F(x, y) ein, so muss nach Voraussetzung

F(#, y) = 0

dx

§ 71.

Uebungs-Beispiele.

1) b²x² + «²y² — «² b² = 0.

Hier ist

F(x, y) = &²;r² 4- a² y² — a² b² = 0,

= 15 (*, y) = 26%,    = F,(x, y) = 2a=y

folglich wird

b²x

_ Jifay)____

fa y) a2y

2) J’(a:,î/)=rt₁₁rr²+2a,₂a:y+a22y²+2a₁₃^+2a₂3 2/+a33=0.

dx

Setzt man hierbei noch fest, dass a₂₁ gleich an ist, so wird Fi fa y)—2(anx+any+ai3\ F₂(x,y)=2(a2ix+aXLy + a2i), dy ₌ _ aux + ai2y + «i3 «21 X + «22 y + «23

3) F(X) y) — x⁵ 4- y³

3<&n/ = 0,

Ft fa y) — 3*² — 3ay, F₂ (x, y) = 3y² — 3aar,

üfiy    3a:² — 3 ay ay — x²

yl — ax

werden, deshalb wird erst recht

dF(x, y)

dx

0,

so dass aus Gleichung (10.) folgt

F\ (*, y) + F₂(x, y) ^ = 0,

(11.)

oder

(11a.)

(12.)

Fi (ar, y)dx -f F₂ (x, y)dy = 0.

Aus Gleichung (11.) findet man jetzt unmittelbar dy __ __ Fj (x, y) ' dx F₂ (x, y)

dx 3 y² — 3aa:

4) F(x, y) = (.x² + y²)² — a² (a:² — y²) = 0. i^i (a;, y) = 2 (a;² + y²) •    — 2a²a\

F₂(x, y) = 2(a:² + y²). 2y + 2a²y,

dy    a* 2 (a:² -j- y²) — a²

dz —    y 2 (a:² + y²) -f a¹

5)    i^(a:, y) = a;²y³ + COSa; — sina; tgy — siny,

Fi (x, y) = 2 a-y³ — sina- — cos a; tgy, sina-

Ąfay) = 3a:²y²

— cos y.

cos² y

dy _ — 2a;y³ + sina; + cosa^tgy sina:

dx

Sx^y²

cos y

cos²y

_ (— 2 ary³ + sina;)cos²y -f cos a; siny cos y 3a:²y²cos²y — sina; — C0S³y

6) F(x, y) = a;² y⁴ + siny,

(®, y) = 2zy⁴,    0> y) = 4a;²y³ + cos y,

2xyA

4a;²y³ + cos y

dy_

dx

7)    F(a;, y) = sina; siny -f sina; cos y — y,

(a;, y) = COS a; (siny + COS y),

F₂(x, y) = sina; (cosy — siny) — 1,

dy __ cosa;(cosy + siny) sina;(cosy — siny) — 1 In ähnlicher Weise findet man die Lösungen der folgenden Aufgaben.

8)    ey — ex xy —

dx

dy _ e* — y ’ dx    ¹

ey + x

,) - <„) -    —, - | -    ‘~T »)■

10)    a;² + y² — a² =

₀. ^

’ dx y

(1.)

§ 72.

Ableitungen höherer Ordnung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 89 und 90.) Der Kürze wegen setzt man häufig

dx P ’ dx¹

---dx~~

d³y d 'lp dq

dx³    dx-    dx

Aus der Gleichung

«-ŚL-

P - dx -

F\ <>> y)

F₂(x, y)

folgt dann, dass p wieder eine Function von x und y ist, die man ebenso differentiiren kann wie in § 70 die Function z\ man erhält daher, indem man in Formel Nr. 87 der Tabelle, nämlich in

^ =    + dy,

dx dx dy dx

z mit p vertauscht,

dp dp    dp dy

dx    dx    dy dx

&V _ . _ dp , §P dx²    * dx dy

In derselben Weise findet man aus q auch die dritte Ableitung von y nach x, denn es ist wieder nach Formel Nr. 87 der Tabelle, indem man z mit q vertauscht,

dq öy    dq dy

dx    dx    d y dx

dx³    dx dyP

Dies kann man beliebig fortsetzen.

(2.)

oder

(2 a.)

(3.)

oder

(3 a.)

P-

§ 73.

Uebungs-Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll die Ableitungen p und q bestimmen, wenn gegeben ist

304

(1.)

§ 73. Uebungs-Beispiele. x² — xy + y² — a².

Hier ist

(2.)

(3.)

also

(4.)

F(x, y) = x² — xy + y'² — a²,

Fi (*, y) = 2x — y, F₂ (x,y) — —x + 2y,

_dy_2x — y

x — 2 y

P dx

Daraus folgt

(5.)

(6.)

oder

dp — %

dx    (x—2 y)²'

dp_    3«

dy ~ (x—2yf _ dp    dp __ —3 y    Sx    2 x — y

$ dx    dy”    (x—2y)²    (x—2y)² x — 2y'

(7-)

_d²y 6 (x² — xy -f- y²)

^ dx²    (x — 2 y)'A

Berücksichtigt man noch Gleichung (1.), so erhält man

(8.)

6a²

¹ (x—2yf

Aufgabe 2. Es ist gegeben

(x —1)2 + (y — */)² — a² = 0, man soll die Werthe von p und q ermitteln.

Auflösung 1. Hier ist

F(x, y) — {x — §)² + (y — tj)² — a², pi(*>y) = ² (* —Ï), Fi(x,y) = 2(y — y),

(9.)

(10.)

(11.)

also

(12.)

P dx

Daraus folgt

(13.)

dp

dx

dp_, x — % dy ^ (y — y)²

dx²

_    (a; — §)² -t- (y — y)² _

(y-#

oder (16.) ?

___ff— 5 > ff— g

y —y (y — y)²’ y —y

a²

(y — y)³

Auflösung 2. Dasselbe Resultat kann man hier auch durch Auflösung der Gleichung (9.) nach y finden. Es wird nämlich

(17.)

y = y ± V«² — (* — §)²,

also

dy

(18,) p = Tx=±

— 0 — §) Va² — (ff — |)²

¹ dx²

]/a2 _ (3 _ 1)2 — (x — I)

ya2 _(*_ g)2

— fr—S)

yg2 — (^ — g)2

d² — (x — §)²

a²

[a² — (x — £)²]

oder

(19.)

a²

(y — y)³

ein Resultat, das mit Gleichung (16.) übereinstimmt.

Aufgabe 3. Man soll p, g und r bestimmen, wenn gegeben

ist

(20.)

F(x, y) = y² — 2ax — 0.

Auflösung. Hier ist

(21.)

(22.)

(*> y) = — 2a> fo y) = 2y,

= 0 ^ =

’ Öy

⁼ °’

y²’

a²

?    y3 ’

dg __

3a²

öy

~\--T

y⁴

(23.)

3a³

y⁵

20

Stegemann-Kiepert, Differential-Rechnung.

Aufgabe 4. Man soll p, q und r bestimmen, wenn gegeben ist b²x² + a²y² — oPb² = 0

(24.)

(25.)

Auflösung. Hier ist

2b²x

b²x

2 a²y

a\

b²

b²x

^    a²y a²y²

b²(a²y² + b²x²)_    a²5⁴

— «V —    «v’

oder

(26.)

5⁴ Öq_ dq_

«V ’ dx~~ ’ dy~

a²y⁴

Daraus folgt

(27.)

3&⁴

r — —-—

aY

/    5²æ\_

V *y)-

35^

a⁴y⁵

§ 74.

Anwendung auf die Theorie der Maxima und Minima von nicht entwickelten Functionen einer Veränderlichen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 91.)

(1.)

Es sei y als Function von x gegeben durch die Gleichung F(x, y) = 0,

es sollen die Werthe von x bestimmt werden, für welche y ein Maximum oder Minimum wird.

Beachtet man, dass man die Gleichung (1.) auf die Form

(2.)

y =/(*)

bringen kann, indem man sie sich nach y aufgelöst denkt, so erkennt man, dass hier dieselben Regeln anwendbar sind, welche im YI. Abschnitt für die Aufsuchung der Maxima und Minima von entwickelten Functionen gegeben worden sind; d. h. man bestimmt diejenigen Werthe von x, für welche

dy

§ 74. Anwendung auf die Theorie der Maxima und Minima u. s. w. 307 verschwindet. Wird dann ^ = f“{x) für einen solchen Werth

von x negativ, so tritt ein Maximum ein, und wird f“(x) für einen solchen Werth von x positiv, so tritt ein Minimum ein.

Dabei ist es aber in dem vorliegendem Fall gar nicht nöthig, die Gleichung (2.) wirklich zu bilden, denn nach Formel Nr. 88 der Tabelle wird

Fj(x,y)

F₂ (x, y )

Schliesst man den Fall aus, wo F₂(x,y) unendlich gross wird, so kann f‘(x) nur dann verschwinden, wenn

Fi(z, V) — 0

ist. Aus den beiden Gleichungen (1.) und (4.) findet man dann die Werthe von x und y, für welche y möglicher Weise ein Maximum oder Minimum wird.

Um zu entscheiden, ob für einen der gefundenen Werthe von x wirklich ein Maximum oder Minimum eintritt, bilde man nach Formel Nr. 89 der Tabelle

(3.)

(4.)

(5.)

(6.)

so mrd

dy__

dx-n*) =

= P.

c!hL - f"(~\ — ^ ŚL.

dx² J ^ dx dy dx

Setzt man der Kürze wegen

Fi(x,t/) = F₁, F,(x, y) = F,,

SĘ _ p _ m _    8Ą_

dx — Jl1’ dy ¹²’ dx — dy — X22

(⁷-) dx

d p _F-) I\ x    ^ dp

F₂Fi2 — FtFn

Fł

dy

F}

also

(8.)

FjFXi FxF₂

F₂Fn — FiF₂₂ Ft

F,²

f₂²

f₂

Dieser allgemein gültige Ausdruck vereinfacht sich in dem vorhegenden Falle, wo nur solche Werthe von x und y in Betracht kommen, für welche

Fi (x, y) = Fi = 0

ist. Deshalb wird hier

q =/"(s) = —

F,

(8 a.)

Haben also Fn und F₂ für das betrachtete Werthepaar x, y gleiches Zeichen, so ist f“(x) negativ, und y wird ein Maximum. Haben dagegen Fn und F₂ entgegengesetztes Zeichen, so ist f“ (x) positiv, und y wird ein Minimum. Dies giebt die Regel :

wenn

Ist F{x, y) = 0, so wird y ein Maximum oder Minimum, Fi(x,y) = 0

ist, und wenn F₂ mit jFJ t gleiches, bezw. entgegengesetztes Zeichen hat.

Indem man x und y, und dem entsprechend die Indices 1 und 2 mit einander vertauscht, findet man hieraus auch die folgende Regel :

wenn

Ist F(x, y) = 0, so wird x ein Maximum oder Minimum, F₂ (x,y) = 0

ist, und wenn Fx mit F₂₂ gleiches, bezw. entgegengesetztes Zeichen hat.

§ 75.

Uebungs-Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll auf der Curve (Fig. 63)

(1.)

F{x, y) — x³ + y³ — 3axy = 0 einen Punkt P bestimmen, der höher liegt als die benachbarten Punkte.

Auflösung. Hier ist

(2.)

F\{x, y) — 3a;² — 3ay — 0 für y =

Setzt man diesen Werth in die Gleichung (1.) ein, so wird (3.) xz -f-    — 3a;³ = 0, oder a;⁶ — 2a³a;³ = a;³(a;³ — 2a³) = 0.

Diese Gleichung wird zunächst befriedigt für x — 0, dann ist aber, wie später gezeigt werden soll, der zugehörige Werth von y ein Minimum. Ein Maximum kann also nur eintreten, wenn x³ — 2a³ = 0,

Fig. 63.

(4.)

oder

³/-

x — ay2.

= ap4.

Es wird nämlich für diese

Werthe

Q Qj

V) = %² ~ ax)

= 3«²]/2>0,

Fn(x,y)-= ®x = 6aj/2>0;

da F₂ und Fn gleiches Vorzeichen haben, so ist y — aj/4 ein Maximum.

Das Maximum von x, dem ein ausser ster Punkt Px der Curve entspricht, findet man in ähnlicher Weise, und zwar sind die Coordinaten dieses Punktes

(5.)

(6.)

3 _

Xi — dy 4,

y\

= ap2.

Die hier behandelte Cmwe hat den Namen „ Folium Cartesii“.

Aufgabe 2. Man soll den höchsten, bezw. den tiefsten Punkt der Ellipse (Fig. 64)

F(x, y) = «n^² + 2anxy + «22 2/² + ß₃₃ = 0

(7.)

bestimmen.

Auflösung. Hier ist (8.) Fi(x, y) = 2{aux+any) — 0

Fig. 64.

für

(9.)

a u

— x.

«12

Hl

Dies giebt mit Rücksicht auf Gleichung (7.)

(10.) «i 1 («i!«22 ®²1    — — «²12«33?

oder

«11«33

x= W, wobei W =V «h r

(11.)

«11 «22 «²12

ist. Die Grösse W wird sicher reell, denn Gleichung (7.) stellt bekanntlich nur dann eine reelle Ellipse dar, wenn

«11 «22    «²12 ^ 0 Und öjj «33    0

ist. Aus den Gleichungen (9.) und (11.) folgt dann

(12.)

y r= zp w.

Ferner ist

«n

(13.) Fn = 2an, F₂ = 2{anx + a₂₂y) = + ²(g»a22—« n)w,

also

(14.)

F]\F₂ — +4 («11«22    «²12)    •

Für das obere Vorzeichen wird daher y ein Minimum, weil dann Fu und F₂ ungleiches Vorzeichen haben; für das untere Vorzeichen dagegen wird y ein Maximum, weil dann Fn und F₂ gleiches Vorzeichen haben.

Dieses Resultat wird durch Figur 64 bestätigt.

IX. Abschnitt.

Vertauschung der Abhängigkeit der veränderlichen Grössen.

§ 76.

Bildung der Grössen p und q, wenn x und y Functionen von t sind.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 92.)

Ist y eine (entwickelte oder nicht entwickelte) Function von x, so ist es häufig von Vortheil, x als eine Function einer dritten Veränderlichen t auszudrücken. Dann wird nämlich auch y eine Function von t.

Beim Kreise ist z. B.

(1.)

x² + y² — a² — 0, oder y — Ya2 — x².

Setzt man nun

(2.)

x = a cos t, so wird y = asinż.

Bei der Ellipse ist

(3.)

b²x² + a²y² — a²b² — 0, oder y = — Y a² — x²; setzt man hier wieder

(4.)

x = a cos t, so wird y — bsmt.

Sind die Gleichungen

(5.)

x = g>(t), y =

gegeben, so kann man umgekehrt durch Elimination von t eine Gleichung zwischen x imd y herleiten, aus der man erkennt, dass man auch in diesem Falle y als eine Function von x betrachten darf.

Es sei z. B.

(6.)

x = a(t — sinO, y = a( 1 — cosż),

dann wird

(7.)

acost = a— y, «sin£ = ]/2ay— y²,

(8.)

t = arc cos

c-^)

folglich ist

(9.)

x — «arccos

Es ist nun die Frage, in welcher Weise man die Grössen p und q bilden kann, wenn die Abhängigkeit zwischen x und y durch die Gleichungen (5.) gegeben ist.

Hier wird

(10.) Jx = (f (t + Jt) — (p (t), J y = ip(t -f- Jt) — xp (t),

also

xp{t + Jt) — ip(t)

Jy __ ip(t + Jt) — xp (t) _

Jx cp{t + Jt) — (fit) (f{t -f- Jt) — <p(t)

Jt

Jt

oder, wenn Jt und deshalb auch Jx und J y unendlich klein werden,

Sri §-1

(11.)

ty_„__Ÿ®₌

dx ¹ cp\t)

Dieses Resultat hätte man auch aus Formel Nr. 35 der Tabelle finden können. Danach ist nämlich, wenn man u mit t vertauscht,

dy ₌ dy M ₌    _ _J_ ₌

dx dt dx ^ '    (p¹ (t)    <jp'(£)

In derselben Weise kann man jetzt auch

dp

q~Tx

finden, denn es ist, wenn man in Gleichung (11.) y mit p vertauscht,

dp _

dx

oder

(12.)

(f‘ {t) tf>“ (t) — ip‘ (t) (p“ {t) __

q ~    *(ty

dx d²y dy d²x dt dt² dt dt²

(dx\3 \dt)

Diesen Ausdruck schreibt man noch bequemer in der Form

_ d²y dxd²y— dyd²x

^ dx²    dx³    ’

wobei man sich aber bewusst bleiben muss, dass auf der rechten Seite dieser Gleichung x und y als Functionen von t zu betrachten sind, dass also

(12 a.)

ist.

dx — tp' (t) dt, d²x — <p" (t) dt², dy = ifjJ (t) dt, d²y — ip“ (t) dt²

Dieses Verfahren kann man noch fortsetzen, um die höheren Ableitungen von y nach x zu ermitteln. So ist z. B.

(13.)

_ d %y dq __

dx³ dx

U. s. w.

§ 77.

Uebungs-Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll die Grössen p und q bilden, wenn gegeben ist

(1.)

7 + t², y = S + t² — Si\ Auflösung. Aus den Gleichungen (1.) folgt dx — 2 t dt, dy — (2 t — 12£³) dt, d²x = 2 dt², cPy = (2 — 36 t²) dt² ;

deshalb wird

(4.)

(5.)

^ ₌ 2£(l--_y)₌₁_6ft

dx    21

_dxdhj—dycP-z _

^    dx%

— 48£³<ft³ _ 8 Pdfi ~

Aufgabe 2. Man soll die Grössen p und q bilden, wenn gegeben ist

(6.)

x = a(t—sinć),

y — «(1 — cos f).

Auflösung. Ans den Gleichungen (6.) folgt

(7-)

(8.)

dx — a(l — cos t)dt, dy — a&mtdt, d²x = a sin t dt²,    d²y = a cos t dt² ;

deshalb wird

oder

(9 a.)

Ferner ist

oder

(10.)

sin£

1 — cos t

2 sin

(i)cos(l) cos(f) (D

2 sin²

»=ct<!>

_dxdhf — dyd²x a²(COS#— l)cft³

^    dx2,    a³(l— cosż)³</ź³

a( 1 — cosż)²

4 a sin⁴

(?)

Dieses Resultat hätte man auch durch Differentiation von Gleichung (9 a.) finden können. Es ist nämlich dp_dp_ ffr j

a dx dt dx

dp    ^(0

2 sin²

(I)

dt    dt

und nach Gleichung (7.)

dt

dx    a( 1—COStf)

2a sin²

folglich ist

4asin⁴Q^

Aufgabe 3. Man soll die Grössen p und q bilden, wenn gegeben ist

(11.)

x — ctg t, y = sin³t Auflösung. Aus den Gleichungen (11.) folgt

(12.)

dx —

dt

also

sin²£

dy — 3 sin²^ cosć dt,

(13.)

P dx

— 3sin⁴ć cost.

Ferner ist

_dp dp dt

^ dx    dt dx

oder

(14.) q — 3 sin⁵ż(4 cos²£ — sin²ć) = 3 sin⁵ć(4 — 5sin²£).

= (— 12sin³£ cos²£ + 3 sin⁵£) (— sin²ć),

Aufgabe 4. Man soll die Grössen p und q bilden, wenn gegeben ist

(15.) x — a(mcos£— cosmt), y = a(m$mt—sinmź).

Auflösung. Aus den Gleichungen (15.) folgt (16.) dx — ma{— sin 2 + sin mt) dt, dy = ma (cos t — COS mt) dt, oder, wenn man

(17.)

setzt,

(16 a.)

(f)«*©*

dy — 2ma sin sin dt,

dx = 2ma sin

Aufgabe 5. Man soll die Grössen p und q büden, wenn gegeben ist

20.)

(19.)

also

(18.)

= dJL = tg#-Y

dx    ^\2 )

Ferner ist dp_ l

dx

dt

2 cos²

(XI)

_ dp dp dt

^ dx    dt dx

4 musinG^cos’G)

x = a (cos # + #sin#), y = a (sin# — #cos#).

Auflösung. Hier wird

dx — at COS t dt, dy = a#sin#c##,

p = % =

(23.)

dt

^ cos²#

a#C0S³#

Aufgabe 6. In der Gleichung

(24.)

dy_    _ ₀

dx y - °

ist x die unabhängige Veränderliche. Im Verlaufe einer analytischen Untersuchung wird es nothwendig, durch die Gleichung

(25.)

x — d

die Grösse # als unabhängige Veränderliche einzuführen. Welche Form nimmt dadurch die Gleichung (24.) an?

Auflösung. Zunächst ist

dx

dt

-t- = d und ~r — e~\ dt    dx

folglich wird

(26.)

dy dy dt dy

dx    dt dx    dt

so dass die Gleichung (24.) übergeht in

§ 78. Vertauschung der Function mit dem Argument,

317

oder

(27.)

(28.)

dJ-e

ft -—

dt

dy

— ay = 0,

Aufgabe 7. In der Gleichung

d2i + xv^y +

dx 2 + V dx ⁺

COS²#

wird die Grösse t als unabhängige Veränderliche eingefiihrt durch die Gleichung

(29.)

x = arct gl.

Welche Form nimmt dadurch die Gleichung (28.) an? Auflösung. Aus Gleichung (29.) folgt

(30.)

tg# = t,

#

jAj = 1 + tg2.r = 1 + t\

(31.)

dx

(32.) p =

=rh’ s=1 + *²-= 1(1 + ^).

Setzt man diese Werthe in die Gleichung (28.) ein, so er

hält man

^ (1 + *‘²) +    (1+1²)+arctgt.y-— (1 + ź²) + (1 +t²) — 0,

oder, wenn man die Gleichung durch 1 -f t² dividirt,

(34.)

(1 + P) + (2* + 2/arctg*)^| +1 = 0.

§ 78.

Behandlung des Falles, in welchem y die unabhängige Veränderliche wird.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 93 und 94).

wird, d. h. wo die Grösse y zur unabhängigen Veränderlichen gemacht wird.

Dieser Fall kommt z. B. vor, wenn man bei Curven die Ordinate y als imabhängige Veränderliche ansehen will.

Nach Formel Nr. 92 der Tabelle ist

öJ

SW

und

dx dH)    dy dh:

d²y dt dP-    dt dP

dx¹

(dxy \dt)

(2.)

Diese Gleichungen bleiben auch noch richtig, wenn man y = t

setzt; dann wird aber

(3.)

dx

d²x dlx dt ⁵ dP dy¹

Die Gleichungen (1.) gehen daher über in

dy ___ A

dt ~ ’

^ = 0 dP

d²x

(4.)

dy 1

» = -r- = -y- und dx dx

dy¹

dy

/ofcy

W

mit y

Dem entsprechend findet man durch Vertauschung von x

dh)

(5.)

- J__ 1

~ dy~ p: dy¹

dx¹

dx

\dx)

<1

pi

Aus dem Werthe von q kann man durch Differentiation auch den Werth von r finden. Es ist nämlich

(6.)

_ dq_dq dy

dx dy dx

dx d'X dq_ dy dy³

dy

(dxy

\dy)

³ (ST

d_/__ J_,

dx dx

dy

folglich wird

(7.)

§ 79. Uebungs-Beispiele. dx d%x

_dzy_ dy dy %

\dyV

(dx\⁵

w

und dem entsprechend

(8.)

d%x

pr — 3 q¹

dy³

jt?⁵

In dieser Weise kann man mit der Bildung der höheren Ableitungen fortfahren.

§ 79.

Uebungs-Beispiele.

Aufgabe 1. In der Gleichung

(1.)

«■+■»£3+*©-—

ist x die imabhängige Veränderliche; man soll die Gleichung so umformen, dass y die unabhängige Veränderliche wird.

Auflösung. Setzt man in die Gleichung (1.) die Werthe von ^ und nach den Gleichungen (4.) des vorhergehenden Paragraphen ein, so erhält man

cfix

oder

(2.)

-JÊ +x._±__x

__ /dxy    /dxy

dy \dy/    \dyj

/    .    \ d²x dx (dx Y »

-(. + .)9â+*af-(aÿ) =0.

(z + a)s‘

= 0,

Aufgabe 2. Ia der Gleichung

(8.) ist « die unabhängige Veränderliche ; man soll die Gleichung so umformen, dass y die unabhängige Veränderliche wird.

Auflösung. Setzt man wieder für ^ und — ihre Werthe ein, so erhält man

d²x

+ _

\dij) \dy)

oder

(4.)

0.

d²x dx

xW~²Ty

Aufgabe 3. Man soll die ersten drei Ableitungen von x = arc sin y bilden.

Auflösung. Hier ist

(5.) y = sina:, p = COSa;, q = — sina;, r = — COSa;, folglich wird nach den Formeln Nr. 94 der Tabelle

dx __    1    d²x    _ sina:    d^x    _ cos²a; + 3sin²a;

dy    COSa;’    dy² COS^’    dy%    C0S⁵a;

X. Abschnitt.

Untersuchung yon Curven, die auf ein rechtwinkliges Coordinaten-System bezogen sind.

§ 80.

Tangenten und Normalen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 95—101.)

Es sei

(1.)

V =/0)

die Gleichung einer Curve (Fig. 65), auf welcher der beliebige Punkt P die Coordinaten x und y haben möge.

Fig. 65.

TT*

Legt man nun in diesem Punkte eine Tangente TP an die Curve und bezeichnet man den Winkel, welchen diese Tangente mit der positiven Richtung der X-Axe bildet, wieder mit a, so ist nach Formel Nr. 16 der Tabelle

(²-) = =/'(*)•

(3.)

Ist nun die Gleichung der Tangente V⁴ =    + y,

wobei die laufenden Coordinaten mit x‘ und y‘ bezeichnet sind, weil x und y die Coordinaten des Berührungspunktes P sein sollen, so ist auch, da die Tangente durch den Punkt P gehen muss,

21

Stegemann - Kiepert, Differential-Rechnung.

\f — y — mix¹ — x).

folglich wird

(4.)

y = mx -j- fl,

Ausserdem ist bekanntlich

m = iSa~dx

folglich wird

*-y=%&-*)■

Die gerade Linie PN, welche im Berührungspunkte auf der Tangente senkrecht steht, heisst Normale. Deshalb ist ihre Gleichung

(5.)

(6.)

dx

y‘ — y = — i:. 0' — *).

dy

Die Abschnitte der Tangente und der Normale, welche zwischen der Abscissen-Axe und dem Berührungspunkte P liegen, also die Strecken TP und PN, heissen auch kurzweg Tangente, beziehungsweise Normale. Man bezeichnet sie durch T und N. Die Projectionen TQ und QN dieser Abschnitte auf die Abscissen-Axe nennt man Subtangente und Subnormale und bezeichnet sie durch St und Sn.

Es ist daher

GO

(9.)

T — TP, N = PN, St = TQ, Sn = QN. Hieraus findet man ohne Weiteres

Sn = ytga = y^,

(10.)

St = y ctg cf =

dx

ydy

(11.)

(12.)

Die beiden letzten Gleichungen kann man noch etwas einfacher schreiben. Haben die benachbarten Curvenpunkte P und P₁ (vergl. Fig. 19 auf Seite 73) bezw. die Coordinaten x, y und x + Jx, y + Jy, so ist nach dem pythagoräischen Lehrsätze

PÎŸ² = PR¹ + RP\ =    + Jy¹,

oder, wenn die Punkte P und Px einander unendlich nahe rücken, und wenn man die unendlich kleine Sehne PPX durch ds bezeichnet,

(13.)

ds² = dx² -f- diß

(13 a.)

(*)’-+(!)'•

Setzt man diese Werthe in die Gleichungen (11.) und (12.) ein, so erhält man

(14.)

N=

ds

ds

V d’y

§ 81.

Anwendung auf einzelne Curven.

(1-)

Aufgabe 1. Die Gleichung einer Parabel (Fig. 66) sei y¹ — dx;

man soll für den Punkt P, der die Abcissse

Fig. 66.

p,

x — 4

hat, die Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente berechnen.

Auflösung. Aus Gleichung

T\

|.V

(1.) folgt

2 ydy = 9 dx,

oder

(2.)

dy_ 9_'

py

dx

21*

(3.)

y² = 36,    3/ = 6,

CO

(4.)

/dsy \dx)

1 + T7T

25

as

16    16 ’ dx 4

<§•18

CO| CI

folglich wird

Ol

CO

•tJ    o

5;    ^

8-18" 8I<§

05 Im rH

St

TQ

in

to|

T = TP

•8I8 <§*!§■

ocT

(7.)

Aufgabe 2. Ein Kreis (Fig. 67) ist durch die Gleichung x¹ + y² = 25

Fig. 67.

gegeben; man soll für den Punkt P mit der Abscisse

x = — 3

die Grössen Sn, St, N und T berechnen.

Q>

Auflösung. Aus Gleichung

(7.) folgt

2,x dx + 2y dy — 0,

oder

(8.)

dy __

dx    y

Für x gleich — 3 erhält man also, da die Ordinate von P positiv ist,

(9.)

y²= 25 — 9= 16,

dy

(10.) (I)² = 1 + | = ²⁵ *

folglich wird

16 ’

CO I io |co

(11.)

(12.)

4-*.

Sn =

£*18- <§-!§■

16

20

Die Normale muss, wie auch aus Sn = QN = 3 folgt, durch den Mittelpunkt 0 des Kreises hindurchgehen, d. h. der Punkt N fällt mit 0 zusammen.

Aufgabe 3. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente für die Parabel

(13.)

y¹ = 2px

berechnen. (Yergl. Fig. 66.)

Auflösung. Aus Gleichung (13.) folgt 2 ydy — 2p dx,

oder

(14.)

dy_ __

p² + y²

yl

also

(15.)

^-=-V»2 ₊ yl

dx y V r ^ V •>

_ ds dx dx dy p

r Vp² + y²-

Dies giebt

Sn =

(16.)

QN=ydTx=p

<fc_ y² _ 2gz_ y dy p p    ’

_

JV=PiV = y- = 'Kp² + y²,

*S=F>^²-

In den Gleichungen (16.) sind die folgenden Sätze ausgesprochen:

Satz 1. Die Subnormale ist bei der Parabel constant.

St = TQ =

(17.)

T= TP =

Satz 2. Die Subtangente ist bei der Parabel doppelt so gross wie die zugehörige Abscisse.

Diese beiden Sätze führen zu einer sehr einfachen Construction beliebig vieler Punkte der Parabel. Beschreibt man nämlich um den Brennpunkt F (vergl. Fig. 66) einen Kreis mit dem beliebigen Halbmesser TF— FN = x + und macht OQ — TO,

Li

so schneidet die Gerade, welche durch Q parallel zur Y-Axe gezogen wird, den Kreis in zwei Punkten P und P‘ der Parabel. Dabei sind TP und TP' die Tangenten und PN und PN die Normalen in den Punkten P und P.

Auch die Gleichungen von Tangente und Normale lassen sich jetzt ohne Weiteres angeben. Allgemein ist die Gleichung der Tangente

y‘ — y — x), y

y⁴ —

also hier oder

(18.)

yy‘ — y² =    — *)•

yy‘ — p{x‘ + *).

Berücksichtigt man noch, dass nach Gleichung (13.) y² gleich 2px ist, so geht Gleichung (18.) über in (18 a.)

Die Gleichung der Normale ist allgemein

,    dx , . N

dy

also hier

y‘ — y = - -(z‘ — «)i

oder

(19.)

y{x‘ — x) + p(y* — y) = 0.

Aufgabe 4. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente für die Ellipse

(20.)

Ifix¹ + a²y² — a²b² = 0

berechnen. (Vergl. Fig. 68.)

Auflösung. Aus Gleichung (20.) folgt durch Differentiation 2 b²xdx + 2 a²ydy = 0,

^ &■ folglich ist

(25.) Sn=QN=y^t=z—h-^,

ds ya⁴ — e²x²    ds ds dx     ]/a⁴—ehd²

aya²—x²

dy    dx dy    bx

dx

St = TQ =

oder

Pig. 68.

»■i i—S'

~"isVP/

Löst man noch die Gleichung (20.) nach y auf, so erhält man

(22.) y— ±^Va²— x²,

folglich wird man nur das obere Vorzeichen sichtigt,

wenn

beriick-

(23.)

M\² _

\dx)

dy___

dx

(dy\²_

\dx) ~

•c> | e

yd¹—x²

a⁴ — a²x² + b²x²

a⁴ — e²x2 a²[a²— x²)’

a²(a² — x²)

wobei die Excentricität der Ellipse, nämlich die Grösse ]/a²—b2 mit e bezeichnet worden ist. Dies giebt.

a²—x²

V dy

In der letzten Gleichung ist der folgende Satz enthalten:

Bei allen Ellipsen mit derselben grossen Axe 2a gehören zu gleichen Abscissen gleiche Subtangenten.

Diesen Satz kann man an wenden, um in dem Punkte P einer Ellipse, auch wenn sie nicht gezeichnet vorliegt, wenn nur die grosse Axe bekannt ist, die Tangente zu construiren.

Auflösung. Man beschreibe über der grossen Axe als Durchmesser einen Kreis, welcher von der Ordinate des Punktes P in einem Punkte P getroffen wird. Legt man nun im Punkte P‘ an den Kreis eine Tangente, welche die grosse Axe im Punkte T schneiden möge, dann ist TP die gesuchte Tangente, weil der Kreis und die Ellipse für die Punkte P‘ und P dieselbe Subtangente TQ haben müssen.

Ferner ist

(26.)

ds bya⁴—éhï1 ydx~~ ö² ’

= TP=y

= — ~ Y (a² — X¹) (a⁴ — e²z²).

Die Gleichung der Tangente wird mit Rücksicht auf Gleichung (21.)

b*x

oder

aPyy' — aPy² -f- b^xx* — b^x¹ = 0. Nun ist aber nach Gleichung (20.)

ö²#² -f- aPy² = aPb²;

Fig. 69.

Ty

daher erhält man durch Addition der beiden letzten Gleichungen b²xx' + aPyy‘ = a²J²,

oder

/o₇^4.yyL-

N I²⁷*) ^ + Jyl

Die Gleichung der Normale wird

y‘ ~~y=wx^ ~ *)>

i.

oder

oder

b²xy¹ — b²xy — aPyx* -f- aPxy — 0,

(28.)

aPyx¹ — b^xy¹ — elxy = 0.

(29.)

In ähnlicher Weise findet man für die Hyperbel (Fig. 69)

x² — aP

b²x

Sn = QN —

a²

St= TQ =

N = PN = ^ Ye²x² — a⁴,

(30.)

T= TP — — Vix² — a²)(e²x² — a⁴). ax

Die Gleichung der Tangente ist bei der Hyperbel

(31.)

xx‘

yy‘

a² b²

und die Gleichung der Normale

(32.)

a²yx‘ + Wxy¹ — e²xy = 0.

Aufgabe 5. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente für die Sinuslinie

(33.)

berechnen. (Vergl. Fig. 70.)

y — sina:

Fig. 70.

[77

■x

Auflösung. Aus Gleichung (33.) folgt

34.)

du

= cosar.

dx

Dies giebt

^ (ly=¹+(iy=¹+coä’ t

— y 14- cos%,

COSa;

ds

dy

— = y 14-cos²a).

deshalb wird

(36.) Sn — y ^ = sina; cos a),

(37.) N=y~ — sinarVl + COS²a-, T — y^- = tga;]/l+COS²a>

St —

c/a;

VTy

= tg x

ds

Aufgabe 6. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente für die Exponentiallinie

(38.)

y = e*

berechnen. (Yergl. Fig. 71.)

Fig. 71.

Auflösung. Aus Gleichung (38.) folgt

w    i=vr+3=,

dy

ds Ayr+75;

T OQ

wx

dies giebt

(40.) Sn = y= eïx = y²

St =

dx

(41.)

l/.V

r=ÿ^=f1+eÂ==1/1+^

Aus den Gleichungen (40.) folgt der Satz:

Die Subtangente ist bei der Exponentiallinie constant.

Aufgabe 7. Man soll Subnomale, Subtangente, Normale und Tangente für die gemeine Kettenlinie

(42.)

y = ö

berechnen. (Yergl. Fig. 72.)

Fig. 72.

"O

Auflösung. Man kann zunächst die Gleichung der gemeinen Ketten-/ linie noch auf eine andere Form p bringen. Es ist nämlich

.i

S)

'cc

cc

y² — a² =

/ —

\ea +2 + e

— a²

r)

0\ T OA — a.

(ß

= tV

_ j*\2

a I

e /

±W~~«).

(43.)

Durch Addition der Gleichungen (42.) und (43.) erhält man

oder

(44.)

also

y ± yy² — a- = ae

x = ai (y±Vy*-A).

Hierbei gilt das obere oder das untere Zeichen, jenachdem x positiv oder negativ ist.

Der Kürze wegen möge in dem Folgenden vorausgesetzt werden, dass x positiv ist, dann findet man aus Gleichung (42.) durch Differentiation

(45.)

dx

/ A

I ü

\e

tga

/

I a

\e

t-h !

1-*

/ —

=    \ea+2 + e

*)- (.* ₊ .

also

OS

tO 1-*

^ 5=

Dies giebt

(.* + .

*)«

Ö |'C

ds

dy yy* — a²

(47.)

Sn = QiV = yCĘt- = - Vy² — «2 y    a r *

St = TQ —y ^ = - a;y

^2/    |A/² — a²

?y2

^ |/y2_₀2'

Aus Gleichung (45.) ergiebt sich die Construction der Tangente in einem Curvenpunkte P, auch wenn die Curve nicht gezeichnet vorliegt, in folgender Weise.

(48.) N=PN= y~ = ^~, T=TP =

(ICC CL

Man beschreibe über QP als Durchmesser einen Kreis (Fig. 72) und trage von Q aus die Sehne QS gleich a ab, dann ist die Gerade PS, welche die X-Axe im Punkte T schneiden möge, die Tangente im Punkte P, denn es wird

tg QTP = tgSQP

= tgu.

_ sp _ y^—a*

SQ    a

Aufgabe 9. Man soll die Gleichungen der gemeinen Cycloide aufstellen. (Vergl. Fig. 73.)

Auflösung. Wenn ein Kreis auf einer geraden Linie rollt, ohne zu gleiten, so beschreibt jeder Punkt der Peripherie dieses Kreises eine gemeine Cycloide.

Fig. 73.

JI

0' x

T O Q

Um ihre Gleichungen zu bestimmen, mache man die Gerade OX (Fig. 73), auf welcher der Kreis rollt, zur X-Axe und lege die Y-Axe durch denjenigen Punkt 0, in welchen der die Cycloide erzeugende Punkt fällt, wenn der rollende Kreis in diesem Punkte die X-Axe berührt.

(49.)

Rollt der Kreis, von dieser Anfangslage ausgehend, fort, bis sein Mittelpunkt nach M und der erzeugende Punkt nach P gelangt, so ist P ein Punkt der Cycloide mit den Coordinaten OQ — x und QP—y.

Ist ferner B der Berührungspunkt des Kreises um M, so nennt man den Centriwinkel PMB den Walzungswinkel; er wird gemessen durch die Länge t des Kreisbogens, der in einem Kreise mit dem Halbmesser 1 demselben Centriwinkel entspricht. Wenn man also den Halbmesser des rollenden Kreises a nennt, so ist der Bogen

Bei der Untersuchung der Cycloide ist es aber bequemer, von den beiden Gleichungen

x — a(t — SÜG), y = a(l — C0S<)

auszugehen.

Aufgabe 10. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente für die Cycloide

(55.)

x — a{t — SÜD), y = a(l — cosż) berechnen. (Yergl. Fig. 73.)

Auflösung. Aus den Gleichungen (55.) folgt durch Differen-

tiation

(56.)

(50.)

PB = at.

Dieser Bogen muss aber der Strecke OB gleich sein, auf welcher der Kreis fortgerollt ist, um aus der Anfangslage in die neue Lage zu kommen. Es ist also auch OB = at\

(51.)

ferner ist

QB = Bl) = asinć,

und deshalb

(52.)

x = OQ = OB — QB = a{t — sin t).

Da ausserdem

BM = a und DM = acost

ist, so wird

(53.)

y = QP = BD = BM— DM = a( 1 — cosż).

Aus den Gleichungen (52.) und (53.) kann man noch die Grösse t eliminiren. Man erhält dadurch, wie in § 76 (Gleichung (9.)) gezeigt wurde,

(54.)

x = a arccos

(-~ä—) ~ V2a,J—y²-

dx — a(1 — COS t) dt, dy = asmt dt,

und daraus durch Division

2 sin²

dy _ sint dx 1 — cos t

2Sin(|)c°S(|)

(I) ’

(59.)

Sn — asinć = PD — QB.

Die Nonnale geht also durch den Punkt B, in dem der Kreis um M die X-Axe berührt.

Dieses Resultat ist 'schon eine Folge des vorhergehenden, weil der Winkel CPB als Peripherie Winkel im Halbkreise ein rechter ist, und die Normale auf der Tangente im Berührungspunkte senkrecht steht.

st =

(60.)

= 2 a sin²

oder

dy_

dx

Ctg(l)= tgW’

wo a der Winkel ist, welchen die Tangente im Punkte P mit der positiven Richtung der X-Axe bildet.

Aus Gleichung (57.) ergiebt sich zunächst, dass

a — 90° —

LJ

ist. Nun ist der Winkel PCB (Fig. 73.) als Peripheriewinkel halb so gross wie der Centriwinkel PMB, folglich ist

21 P CB — ~

LJ

(57.)

(58.)

und

2iPTB = 90° — PCB= 90° — 4

LJ

Verbindet man also den höchsten Punkt C des Kreises um M mit dem erzeugenden Punkte P, so erhält man die Tangente der Cycloide im Punkte P.

Ferner ist

= cc.

Sn —

yi⁼⁸(¹-cos<)ctg(D

— 2a sin²

= 2a sin

G>

oder

G)*G>

also

rH

sin²

(0

SHS-

#i§-

cos

(0’

dies giebt

(61.)

ds

N=PB=yTx

a{ 1 — cosż) _

sin

(0

2 a sin

(0’

(62.) T

TP

ds ail

So

COS

C-*

2 a sin

(s)*G)

Aufgabe 11. Man soll die Gleichungen der gemeinen Epi-cycloiden und Hypocycloiden herleiten.

Auflösung. Wenn ein Kreis mit dem Halbmesser a auf einem festen Kreise mit dem Halbmesser na rollt, ohne zu gleiten, so beschreibt jeder Punkt auf dem Umfange des rollenden Kreises eine gemeine Epicycloide oder Hypocycloide, jenachdem die Berührung von Aussen oder von Innen stattfindet.

Fig. 74.

jy

Findet die Berührung zunächst von Aussen statt (Fig. 74) so mache man den Mittelpunkt O des festen Kreises zum Nullpunkt und lege die X-Axe durch denjenigen Punkt A, in welchem der die Curve erzeugende Punkt der Berührungspunkt der beiden Kreise wird.

ÂTtïï

Liegt dann beim Weiterrollen des beweglichen Kreises um M der Berührungspunkt in B, so nennt man Winkel AOB — t

den Wälzungswinkel des festen und PMB den Wälzungswinkel des rollenden Kreises, wobei P ein Punkt der Curve ist. Dann wird

AB — PB,

oder, weil AB zum Centriwinkel t und zum Halbmesser na gehört,

PB = AB = na . t — a.. nt.

Daraus folgt, dass Winkel

nt

PMB — nt und PCB =

ist. Verbindet man noch O mit P und bezeichnet die Strecke OP mit r, den Winkel AOP mit cp, so folgt aus dem Dreieck OPM durch Anwendung des Sinussatzes,

OP : MP = sin OMP : sin MOP,

OP : OM — sin OMP : sin OPM,

(63.)

(64.)

oder (63 a.) (64 a.)

r \ a — sin {nt) : sin(£ — cp), r : (n + 1) a = sin (nt) : sin (nt + t — cp).

Dies giebt, wenn man n -f 1 mit m bezeichnet,

(65.) r sin (t — cp) = a sin (nt),

(66.) rsin(mź — cp) = ma sin (nt), oder

(65a.) rsinżcosę) — rcosćsin<p = asin(rci!),

(66 a.) r sin (mt) cos cp — r cos (mt) sin cp = ma sin (nt).

Die rechtwinkeligen Coordinaten des Punktes P sind

OQ = x = rcoscp und QP — y = rsincp, folglich gehen die Gleichungen (65 a.) und (66 a.) über in Æsini! —ycost = asin(nt), zsin(mt) — y cos (mt) = masin(^),

(67.)

(68.)

also

x [sin (mt) cos t — cos (mt) sin t) — asin (nt) [m cos t — cos (mt)\, y [sin (mt) cos t — cos (mt) sin?¹] = a sin(/^) [msin^ — sin(m^)],

oder, weil

ist,

sin (mt) cos t — cos (mt) sin t — sin (mt — t) ■= sin(wf)

x = a \m cos t — cos(mź)], i    y = a[msin£ — sin (mt)\.

Dies sind die Gleichungen der Epicycloiden.

(71.)

In ähnlicher Weise findet man die Gleichungen der Hypo-cycloiden. Wendet man nämlich in Figur 75 die entsprechenden Bezeichnungen an wie in Figur 74, so findet man wieder aus dem Dreieck OPM durch Anwendung des Sinussatzes OP : MP = sin OMP : sin MOP,

(72.)

OP : OM = sin OMP : sin OPM.

Fig. 75.

In dem vorliegenden Falle ist wieder

AB = PB.

oder

PB — na . t — a . nt, wenn man den Wälzungswinkel AOB des festen Kreises mit t bezeichnet. Der Wälzungswinkel PMB des rollenden Kreises ist daher nt. Indem

man wieder OP mit r und —

Winkel A OP mit (p bezeichnet, gehen daher die Gleichungen (71.) und (72.) über in (71a.)

(72 a.)

IvQl

r\a — sin(^) : sin(t — (p),

r:(n — 1) a = sin (raź) : sin (nt — t -f ).

zeichnet,

Dies giebt, wenn man in diesem Falle n — 1 mit m be

(73.)

(74.)

rsin(ź — (f) = asin(nt), r sin (mt -f <p) = masin(nt),

oder

(73a.) rsinź cos(p — rcosź siny = asin(rcź),

(74 a.)    r sin (mt) cos <p + r cos (mt) sin tp = ma sin (nt),

22

einführt,

(75.)

(76.)

also

x — r cosy, y — r sin<p

ÆTSinîf — y cos t — asin {nt),

^sin(m^) + ycos(mż) = ma$m(nt),

#[sin(mź)cosż + cos(mć)sin£] = asin(«ź)[mcos£-f cos(mż)], y [sin (imt) cos t + cos (mt) sin i\ — a sin (nt) [msin t — sin (mt)\ oder weil

ist,

(77.)

(78.)

sin (mt) cos t + cos (mt) sin t == sin (m + 1) t — sin (nt)

= a[wcosć + cos (/»£)],

= a [m sin t — sin (mt)\

Ein besonderer Fall der Epicy doiden ist die Cardioide (vergl. Fig. 76), deren Gleichungen man aus den Gleichungen (69.) und (70.) erhält, indem man n = 1, also m = 2 setzt. Dies giebt

(9.)    x— [2eos£— cos(2£)],

( 0.)    y = [2sin£— sin(2tf)].

Der feste und der rollende Kreis haben in diesem Falle denselben Halbmesser a.

00

Fig. 76.

Fig. 77.

Fs

-.4-!

Ein besonderer Fall der Hypocycloiden ist die Astroide (vergl. Fig. 77), deren Gleichungen man aus den Gleichungen (77.) und (78.) erhält, indem man n = 4, also m = 3 setzt. Dies giebt

oo oo

rA <M

X = a [3 cos t + cos(3t) J y — a[3sinć — sin(3£)].

Da bekanntlich

cos(3£) = 4cos³ć— 3cos£, sin(31) = 3 sin£ — 4sin³£

ist, so gehen die Gleichungen (81.) und (82.) über in (81a.)

x — 4acos³ź,

(82 a.) y = 4asin³£

Aufgabe 12. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente für die Epicycloide (83.) x = a[mcos£ — cos(?rc£)], y = a[msinć— sin(m^)] berechnen. (Yergl. Fig. 74.)

Auflösung. Aus den Gleichungen (83.) erhält man durch Differentiation, wenn man m + 1 = n + 2 mit l bezeichnet,

(84.) dx = ma[— sin«; + sin{mt)]dt = 2masincosdt, (85.) dy — ma [costf—cos {mt)] dt—2 ma sin^^ sin    dt,

und daraus durch Division

(86.)

!=tg«=tg(f)=tg(f+<)

oder, wenn man mit h eine ganze Zahl bezeichnet,

(86 a.)

nt

— + t±hn.

Daraus folgt, dass die Gerade PC, welche die X-Axe im Punkte T schneiden möge, Tangente der Curve im Punkte P ist, denn Winkel NTC ist als Aussenwinkel des Dreiecks TCO gleich Winkel

nt

TCO + COT — — + t,

À

also gleich a. Da der Winkel CPB als Winkel im Halbkreise ein rechter ist, so muss PB die Normale im Punkte P sein. Dies giebt den Satz:

Die Tangente im Curvenpunkte P schneidet den rollenden Kreis zum zweiten Male in einem Punkte C, welcher mit dem

22*

Berührungspunkte B auf einem Durchmesser liegt; oder die Normale des Punktes P geht durch den Punkt B, in welchem der rollende Kreis den festen Kreis berührt.

(87.) Sn = y£ = y tg(|) = 1 +

MV

W

y = s/cts(§);

(I) =1+tg2(l)=c-^g’

st =

dx

COS

(!)

folglich wird

(89.)

ds    y

Vlx~    /

2/

cos

(I)

sin

to

Aufgabe 13. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente für die Hypocycloiden (90.) x — a [m cos t + cos {mt)\ y — a[mńnt — sin (mt)] berechnen. (Vergl. Fig. 75.)

Auflösung. Aus den Gleichungen (90.) erhält man durch Differentiation, wenn man hier m — 1 = n — 2 mit l bezeichnet,

(91.) dx = ma [—sinź—sin (mt)] dt = —2 ma sin ^0 cos    dt.

(92.) dy — ma [cosź — cos (mt)] dt = 2 ma sin (^^sin^^cfó,

mid daraus durch Division

fl

=-tg(f)=

oder, abgesehen von einem Vielfachen von n,

nt    , nt

— + t, oder — — t — u — u.

Jj    A

Daraus folgt, dass die Gerade PC, welche die X-Axe im Punkte T schneiden möge, Tangente der Curve im Punkte P

(93.)

(93 a.)

dx - *8“

ce = n —

<->

ist, denn der Dreieckswinkel CTO ist gleich dem Aussenwinkel ^oder weniger dem anderen Dreieckswinkel COT (oder t), also

TCB

nt

CTO = —--t—n — a.

Da der Winkel CPB als Winkel im Halbkreis ein rechter ist, so muss PB die Normale im Punkte P sein.

Man erhält daher hier denselben Satz wie bei der Epi-

cycloide.

(94.) Sn — y^- — ytg(|)

St — y

=-yc tg(f)'

cos

©'

also

(95.)

ds

dx

cos

sin

(I)

wobei das Vorzeichen dadurch bestimmt ist, dass s für kleine

Werthe von t zunimmt, während x abnimmt, dass also dx und

ds entgegengesetztes Zeichen haben. Dies giebt

,T ds    y    ds    y

N = y— =--^—5 T — y-r-——⁹

dx    (-)    dy sin

(96.)

COS

(I)

Für die Astroide wird

n — 4, m — 3,    1—2

also

(97.)

dx

— tgt, Sn = — ytgt, St — —yctgt

sinż

cosż

Aufgabe 14. Man soll die Gleichungen der Kreisevolvente herleiten. (Vergl. Fig. 78.)

Auflösung. Die Kreisevolvente entsteht durch Abwickelung eines Fadens von einem Kreise, wobei der Endpunkt des gespannten Fadens die Curve durchläuft. Es sei B der Punkt,

Fig. 78.

/p

ai r q

in welchem der Faden den Kreis verlässt, dann ist der gespannte Faden BP die Tangente des Kreises im Punkte B, und es wird die Gerade BP = BA — at, wenn A der Endpunkt des aufgewickelten Fadens, a der Halbmesser des Kreises und t der Winkel AOB ist. Diesen Winkel nennt man auch hier den Wälzungswinkel.

Macht man den Mittelpunkt 0 des Kreises zum Anfangspunkt der Coordinaten, legt die X-Axe durch den Punkt A und zieht durch B die Gerade BC parallel zur Y- Axe und durch P die Gerade PB parallel zur X-Axe, so wird OQ = x= OC+CQ= OC + BP,

QP — y — CB — BB, oder, weil auch Winkel BBP gleich t ist,

(98.)

x — a(costf -f- £sin£), y = a (sin t — żcosź).

Aufgabe 15. Man soll die Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente der Kreisevolvente berechnen. (Vergl. Fig. 78.)

Auflösung. Aus den Gleichungen der Kreisevolvente, nämlich aus den Gleichungen (98.) folgt

(99.)

dx — atcostdt, dy — atsmtdt,

und daraus durch Division (100.)

den Kreis im Punkte B berührende Faden BP ist Normale der Kreisevolvente. Ferner wird

MV _    , ₂    1 ds_ _    1

\dx)    g COS²t’ dx COSŻ

_ ds dx _

dy dx dy ~ cos£ sin £ ~ sin ć7 Sn — QN = y tgż, St = TQ = yctgż,

N = PN =

(101.)

(102.)

(103.)

(104.)

1 cos*

cos *’

sin*

§ 82.

Asymptoten einer Curve.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 102.)

Erklärung. Eine Tangente, deren Berührungspunkt unendlich fern hegt, heisst eine Asymptote der Curve.

In diesem Falle ist die Formel Nr. 95 der Tabelle, welche die Gleichung der Tangente angiebt, nämlich

y‘ ~ y = % (x‘—x),

nicht mehr anwendbar, weil die Differentiation dann nicht mehr ausgeführt werden kann, denn x und y (oder wenigstens die eine von diesen beiden Grössen) werden unendlich gross. Dagegen führen die folgenden algebraischen Untersuchungen zum Ziele.

Es sei

(1.) f{x) = axn + a₁a:M_1 + a₂xn~² + ... + a„_ix + an, dann wird in der Algebra gezeigt, dass es einen (reellen oder complexen*)) Werth von x geben muss — er heisse xx —, für welchen f(x) = 0 wird, wobei man x₁ eine Wurzel der Gleichung fix) — o nennt. Es gilt also

Satz 1. Jede algebraische Gleichung besitzt eine Wurzel.

*) Unter einer complexen Grösse versteht man eine Zahl von der Form a -f- b j/ — 1.

Ist xx eine Wurzel der Gleichung f(x) = 0, so wird (2.) f{xx) = axxn + axxxn~⁴ + a₂xxn~² +. .. + anlxxx + an — 0.

Subtrahirt man die Gleichungen (1.) und (2.) von einander, so erhält man

(3.) fix) = a(xn — xxn) + ax (#n_1 — xxn~⁴) + afxn~²—^i”⁻²) +

... + an-i(x — xx), oder nach Formel Nr. 12 der Tabelle

(3a.) f(x) — (x — xx)\a{xn~⁴ + xxxn~² + xx²xn~³ +... + xxn-)

+ ax (xn~² + xxxn~³ + xx²xn~⁴ + •>. + xxn~²) + ®n—ï(x + Xx) + d'n—l].

Bezeichnet man die ganze rationale Function (n — 1)ten Grades in der eckigen Klammer mit fx(x), so wird daher (4.)/0) = (x—xx)fx {x) = {x—xx) {axn~⁴ + bx xn~² + ...+ ön-i), wobei

bx = axx + aif b₂ = axx² -f- axxx + a₂,... .

Damit ist der folgende Satz bewiesen:

Satz 2. Ist xx eine Wurzel der Gleichung fix) — 0, so ist fix) durch den Factor x — xx ohne Rest theilbar.

ten

Nach Satz 1 hat jetzt auch die Gleichung (n — 1) Grades fx(x) = 0 eine Wurzel, die x₂ heissen möge; dann ist nach Satz 2

(5.)

wobei

Grades ist. Ebenso

ten

ffx) = axn~² + cxxn~³ + c₂xn~⁴ + ... + cn—2 eine ganze rationale Function {n — 2) findet man die Gleichungen (6.) /₂{x) = (x—x₃)f₃(x) = {x — x₃)(axn~³-}-dixn~i + ... + <4-₃), (7.) /₃ (x) = (x—xx)fx (x) = (x—xx) (axn~⁴ + exxn~⁵ + ... + e„_ ₄),

(8.) fn-l{x) = (x-Xn—\)fn—\ (x) — (x-Zn-l) (ax + h)

(9.) fn-l(x) = a(x — xn), wobei Xn = ist. Multiplicirt man die Gleichungen (4.) bis (9.) mit einander und hebt die Factoren

auf beiden Seiten fort, so erhält man (10.) f(x) = a(x — xx) (x — x₂) (x — x₃) . .. (x — xn). Daraus folgen die Sätze:

Grades lässt

Satz 3. Jede ganze rationale Function n sich in n lineare Factoren (d. h. Factoren ersten Grades) zerlegen.

ten

Grades hat genau n Wurzeln.

Satz 4. Jede Gleichung n Aus Gleichung (10.) ersieht man nämlich, dass f{x) = 0 wird für die n Werthe

ten

X = xx, x = x₂, x = x₃, ... x = xn, und dass f{x) für keinen anderen Werth von x verschwinden kann. Denn wäre f(x) = 0 für x — xn+x, wobei xn+\ von xx, x₂, x₃,...xn verschieden sein soll, so würde aus Gleichung (10.) folgen

(11.) a{xn+1 Xj) (xn+x — x₂) (xn+1 — x₃)... (xn+i — xn) = 0.

Dies ist aber ein Widerspruch, denn nach Voraussetzung sind sämmtliche Factoren dieses Productes von 0 verschieden.

Lässt man die Voraussetzung a<0 fort, so folgt aus der Gleichung (11.), dass a — 0 sein muss, und dass sich f(x) auf eine rationale ganze Function (n — l)ten Grades axxn~x + a₂x

reducirt, welche für mehr als n — 1 Werthe von x verschwindet. Daraus würde man wieder schliessen, dass auch ax — 0 sein muss. Indem man diesen Schluss wiederholt, findet man

Satz 5.

Verschwindet die ganze rationale Function nten

Grades

f(x) — axn + axxn~x + .. . + an-\% + «n für mehr als n verschiedene Werthe von x, so müssen sämmtliche Coefßcienten a, a1} a₂, ... aw_i, an gleich 0 sein.

Es ist nicht ausgeschlossen, dass unter den nWurzeln x1} x₂,... xn einer Gleichung ntm Grades auch etliche einander gleich sind. Ist z. B. x₂ — xx, so wird nach dem Vorstehenden

(12.) f(x) — (x — xrffî (ar),

(13.) /' (x) = 2 (x — x₁ )/₂ (x) + (x — xtff\ (x)

= (x — xj) [2/₂ (x) + (x — ^)/;₂(^)] = («—Xi)(p(x), d. h. xx ist dann auch eine Wurzel der Gleichung

/'(*) = 0.

Dieses Resultat kann man noch verallgemeinern. Ist xx eine a-fache Wurzel von fix) = 0, ist also

—— #2 —" #3 —- • • . —- X(cj

so wird nach dem Vorstehenden (14.) f(x) = (x — xxYfa (x),

(15.) f* (x) — uix — xx y~xfa (x) + (x — xx) af‘u if) = (x — Xx)a~X \af₍₍ (x) -\-(x — Xx )f‘a(x)]

— (x — xxy~x <p (x).

Dies giebt

Satz 6. Ist xx eine a-fache Wurzel der Gleichung f(x) = 0, so ist xt eine (ce — 1)-fache Wurzel der Gleichung f‘ (x) = 0, eine (a — 2)-fache Wurzel der Gleichung f“(x) — 0, ... und eine einfache Wurzel der Gleichung f(K~V (x) — 0.

Ein besonderer Fall hiervon ist der, dass

(16.)

ati — 0, an—i — 0, an—₂ —— 0,. •. an—«4-1 —— 0 wird, dann reducirt sich die Gleichung nten Grades auf f(x) = axn + axxn~x + .. . + an-ttxa = 0 und hat die a-fache Wurzel x — 0.

Setzt man x — ^, so geht die Gleichung f(x) — 0 über in

+ an = 0,

- + . +

fn *    -^n—1    ¹    •    •

(17.)

oder, wenn man die ganze Gleichung mit tn multiplicirt, in antn -f- an-.xtn~x -J- .. . -f af -f a = 0.

Jeder Wurzel ta dieser Gleichung entspricht eine Wurzel

xa —

7- der Gleichung f(x) — 0. Wenn nun

ta

a — 0, ax — 0,    «2 = 0,... a«_i = 0

ist, so reducirt sich Gleichung (17.) auf (17 a.)

On f¹ + an-1 tn~x + ... + aata — 0

und hat die «-fache Wurzel t = 0, folglich werden in diesem Falle «Wurzeln der Gleichung /(+) = 0 unendlich gross.

Die Bestimmung der Asymptoten einer Curve mit der Gleichung

(18.)

Fix, y) = 0

möge nun auf den Fall beschränkt werden, wo F(x, y) eine ganze rationale Function n zunächst, dass die Asymptote eine gerade Linie ist, deren Gleichung die Form

ten

Grades ist. Dann beachte man

(19.)

Ax‘ + By‘ +(7=0 haben muss. Ist B < 0, so erhält man hieraus (19 a.)

imd ist X>0, so erhält man (19b.) wobei

y‘ — mx‘ + y,

x‘ — ly‘ + 2,

(20.) ist. Wird i? = 0, so ist die Gerade parallel zur Y-Axe und hat die Gleichung

x‘ = À,

während die Gleichung (19 a.) nicht benutzt werden kann. Wird A — 0, so ist die Gerade parallel zur X-Axe und hat die Gleichung

y‘ = +

während die Gleichung (19 b.) nicht benutzt werden kann.

Damit die Gerade (19 a.) oder (19 b.) durch den Curven-punkt P mit den Coordinaten x und y hindurchgeht, muss y = mx (x und x = ly + X,

oder

(21.)

m = ~ — — und l —

sein, wobei zunächst angenommen ist, dass der Punkt P im Endlichen liegt. Rückt aber P in’s Unendliche, so wird

m = lim (- — —^ = lim

X — 00    / X — GO /

y=Ay    y/ y=Ay/

(21a.)

(2lh.)

Um nun

die Grössen lim(j0

bezw.

lim0^ zu berechnen,

beachte man, das x und y die Coordinaten eines Uwr^ewpunktes sind, dass man diese Grössen also aus der Gleichung der Curve, nämlich aus

F(x, y) — 0

berechnen muss. Zu diesem Zwecke ordne man F{x, y) so, dass

(22.) wird, wobei

Un = ayn + axxyn~x + a₂x⁷yn~² + . . . + an^xn-xy + anxn alle Glieder der nten Dimension,

Un-i — byn~l + b^xy*¹-² + ... + bn-\xn~x alle Glieder der (n — l)tm Dimension,

Ux = ky + k^x

die Glieder der ersten Dimension enthält, und £7₀ eine Constante ist. Dividirt man jetzt die Gleichung (22.) durch xn, so wird

w-2

+ • • • + d'n—1

(23.) ^ = “(f) + %(f)    + “2(I)

nur noch von - abhängig sein. Dagegen wird

Lässt man jetzt x unendlich gross werden, so ist

lim

und wenn w eine endliche Grösse ist,

lim

^1 = 0.

Un-2

Xn ’ *

.. lim . lim —

Ebenso werden die Grössen lim

gleich 0, so dass sich die Gleichung (22.) hei der Ausführung der angegebenen Operationen auf

(25.) lim ^ — amn + a₁mn~] -f- a₂mn~² -f- ... + an-\ m + an = 0

xn

xn

reducirt.

Die n Wurzeln dieser Gleichung entsprechen n Dichtungen, in denen unendlich ferne Punkte der Curve liegen.

Eine Curve nten Grades hat daher n unendlich ferne Punkte und deshalb auch n Asymptoten, von denen aber einige imaginär sein können, dem Umstande entsprechend, dass die Gleichung (25.) imaginäre Wurzeln haben kann.

Wenn in Gleichung (25.) der Coefficient von mn, nämlich a, gleich 0 wird, so reducirt sich der Grad d'er Gleichung (25.) und somit auch die Anzahl ihrer Wurzeln, nicht aber die Anzahl der Asymptoten. Es wurde ja schon vorher darauf hingewiesen, dass die Gleichungsform

y‘ — mx‘ + g

für die Asymptote nicht immer verwendbar sei. Dieser Fall tritt ein, wenn a gleich 0 ist.

Dividirt man nämlich die Gleichung (22.) durch yn, lässt

dann y unendlich gross werden und beachtet, dass lim = l

ist, so erhält man

(26.) lim = anP -f aM_i ln~¹ + a„_₂ ln~² +... + % Z a = 0. y=a> y

Wird jetzt a gleich 0, so hat diese Gleichung die Wurzel

3 = 0,

und die entsprechende Asymptote steht auf der X-Axe senkrecht. Ist auch ax gleich 0, so lässt sich in Gleichung (26.) auf der linken Seite der Factor P abtrennen, d. h. die Gleichung hat die Wurzel

zwei Mal, so dass zwei Asymptoten auf der X-Axe senkrecht stehen. U. s. w.

Nachdem man aus der Gleichung (25.) einen Werth von m (oder aus der Gleichung (26.) einen Werth von l) bestimmt hat, kennt man erst die Richtung der Asymptote

y‘ = mx‘ + g',

um ihre Lage vollständig zu erhalten, muss man noch den zugehörigen Werth von g (bezw. A) aufsuchen.

Zu diesem Zwecke bestimme man die Punkte, in denen die Curve von der Geraden geschnitten wird. Für die Coordinaten eines solchen Punktes gelten die Gleichungen

(27.)

F(x, y) = 0 und y — mx g gemeinschaftlich, also auch die Gleichung F(x, mx + g) = 0.

Diese Gleichung enthält nur noch die eine Unbekannte x und lässt sich, da sie höchstens vom nten Grade ist, auf die Form

n—2

+ . . .

+ F„_i x + Vn = 0

(27 a.) F(x,mx -f- g) = Vxn -f- V₁xn~¹ + V₂x

bringen. Wie die Coefficienten V, Fj, V₂,... gebildet sind, ergiebt sich aus der Betrachtung der Ausdrücke

Un{x, mx + g), Un—\(x, mx + g),    £7W_i(x, mx + g),..

in welche die Grössen Un, Un-h Z7M_₂,... übergehen, wenn man y gleich mx + g einsetzt. Es ist nämlich Un (x, mx + g) =

n—1

a {mx + g)n + atx (mx + |u)M_1 + ... -f- an-\xn~~¹ (mx + g) -f- anxn = (amn + a^mn~x + ... + an^m + an)xn + g [»ömn_1 -f (n — 1) axmn~² +...-{- 2a„_2W -f- an_\\x +..................

Un-\(x, mx + g) =

b(mx + g)n~l + bxx(mx -f- g)n~² + ... + bn-ixn~²(mx + g)

+ bn-\xn-x

= (bmn~l -f- bgmn~² -f- ... + bn^m -f- &„_i)2w_1 + ... . Daraus folgt

(28.) V = amn + axmn~x + ... + an_\m + an,

(29.) Fi = [x\nam*-y + (n — l)aimn~² +•••■+• «w-i] + (bmn-¹ + \mn~² + ... + J„_₂m + 6W-1),

Da nun der Werth von m bereits so bestimmt ist, dass Gleichung (25.) befriedigt wird, so ist schon deshalb

F=0,

d. h. die Gleichung (27 a.), nämlich die Gleichung

Vxn -f Fi«”⁻¹ + V₂xn~² + ... + Vn-ix + F„ = 0, hat bereits eine Wurzel

x = co ,

oder mit anderen Worten, die Gerade

y‘ = mx‘ + [x

geht bereits durch einen unendlich fernen Punkt der Curve, welchen Werth auch y haben mag.

Damit sie aber die Curve in diesem Punkte berührt, muss man [x so bestimmen, dass auch noch eine zweite Wurzel der Gleichung (27 a.) unendlich gross wird. Dies geschieht, wenn man

(30.)

F1 = ü

macht, indem man

(31.) fx = setzt.

bmn~l +    + .. . + bn^₂m + K-i

namn~i + (n — 1 )almn-² + ... + an-1

Die Regel, welche sich aus dieser Untersuchung für die Behandlung von Beispielen ergiebt, ist daher folgende:

Man dividirt ün durch xn und erhält dadurch, dass man

setzt, die Gleichung (25.), nämlich

lim gleich

Un

lim— = am* + ax mn_1 + a₂m

n—2

Ist m eine Wurzel dieser Gleichung, so setzt man y—mx-\-[x in die Gleichung

F(x, y) = 0

ein, von der man aber nur die Glieder Un + Fn_i braucht, dividirt durch xM_1 und lässt dann x unendlich gross werden.

Dies giebt eine Gleichung ersten Grades für die Bestimmung von fi.

Man hätte auch x mit y und in Folge dessen m mit l und fi mit 1 vertauschen können, um die Gleichung der Asymptoten in der Form

y‘ = lxJ + X

zu erhalten. Diese Vertauschung ist sogar nothwendig, wenn eine oder mehrere Asymptoten der Y-Axe parallel sind, d. h. wenn a — 0, ax — 0,....

Eine Modification der gegebenen Regel tritt nur ein, wenn die Gleichung (25.), nämlich

f(m) = amn + axmn~x + a₂mn~² -f- ... + an_x m -f an — 0, gleiche Wurzeln hat, d. h. wenn unter den Asymptoten etliche zu einander parallel sind; dann wird nach den vorstehenden Sätzen aus der Algebra auch

f‘{m) = namn-{-\-{n—1 )aimn~²-\-(n— 2)ö₂^m_3 + ... + «m-i= 0.

Der Werth von fi ist deshalb entweder nach Gleichung (31.) unendlich, d. h. die zugehörigen Asymptoten rücken in’s Unendliche, oder es wird auch

bmn~x + bxmn~² + b₂mn~³ + ... + 5rt_₂m + t = 0.

In diesem Falle wird Vx gleich 0 für jeden beliebigen Werth von fi, so dass man den Werth (oder vielmehr die beiden Werthe) von fi erhält, indem man

V₂ = 0

setzt. Ist auch V₂ für jeden Werth von fi gleich 0, und gilt dasselbe ftm V₃,... Va-\ (nicht aber für F«), beginnt also die Entwickelung von Fix, mx + fi) nach fallenden Potenzen von x mit Vaxn~a, so bestimme man fi so, dass auch

Fk = 0

wii’d. Dies ist dann eine Gleichung aten Grades von fi, dem Umstande entsprechend, dass a Werthe von m einander gleich sind, die aber zu u verschiedenen (zu einander parallelen) Asymptoten gehören.

Am besten wird der Anfänger diese Angaben durch die Ausführung an einigen hier folgenden Beispielen verstehen.

§ 83.

Anwendungen auf einzelne Curven.

Aufgabe 1. Man soll die Asymptoten der Hyperbel

(1.)

bestimmen. (Vergl. Fig. 79.)

b²x² — a²y² — a²b² — 0

(2.)

Auflösung. Hier ist n gleich 2 und U₂ __ b²x² — a²y² _

(2 a.)

lim ~ = b² — a²m² = 0

X &

also

Fig. 79.

= ±*.

a

Die Gleichung der einen Asymptote ist daher

— xl + u.

a

Um auch noch den Werth von y zu bestimmen, setze man y

gleich    in die Gleichung (1.) ein.

b²x² — b²x² — 2 ab [ix — a²p² — a²b² — 0, und wenn man durch x dividirt,

— 2 aby

(3.)

aj\

-X

(4.)

y' =

Dadurch erhält man

(5.)

a²p² -f a²b²

(6.)

Lässt man jetzt * unendlich gross werden, so folgt hieraus — 2abp = 0, oder p — 0.

Die Gleichung der ersten Asymptote ist daher

(70

y‘ =

a

ebenso findet man für die zweite Asymptote die Gleichung

(8.)

y‘ = — — x‘. v    a

(9.)

Aufgabe 2. Man soll die Asymptoten der Parabel y² — 2px = 0

bestimmen.

Auflösung. Hier ist wieder n = 2 und

E>=yi,

X²    X²

(10.)

lim-2 =

00

m² == 0,

also

(11.)

Form

mi = 0, m₂ = 0.

Für beide Asymptoten findet man eine Gleichung von der

(12.)

y ==f*i

Um die zugehörigen Werthe von p zu finden, setzt man y — p in die Gleichung (9.) ein und erhält

(13.)

fi² = 2px, px — + Y2px, P2 = — ]/2px.

Lässt man jetzt x in’s Unbegrenzte wachsen, so wachsen auch px und p₂ in’s Unbegrenzte, d. h. die beiden Asymptoten rücken in’s Unendliche.

Aufgabe 3. Man soll die Asymptoten der Curve

(14.)

bestimmen. (Vergl. Fig. 80.)

£³ + y³ — 3 axy — 0

Auflösung. Bei dieser Curve, welche man Folium Cartesii nennt, ist n gleich 3 und

(15.)

Uz _ æ³ + y³ _

(15 a.)

lim = 1 + m³ = (1 + m) (1 — m -f m²) — 0,

£ = oo

also

1 + iVs    1— iV3

--- } Ÿïlo = ----

2 ³ 2

Die beiden imaginären Werthe von m brauchen nicht berücksichtigt zu werden; die einzige reelle Asymptote erhält man, wenn man m gleich — 1 setzt. Dadurch wird

y = —x + p,

und die Gleichung (14.) geht für diesen Werth von y über in 3yx² — 3 y²x + i^³ + 3 ax² — 3 ayx = 0.

(16.)

Indem man diese Gleichung durch x¹ dividirt, findet man

-^ + g = o.

3[i -f 3 cl

3 fi²

Wenn jetzt x unendlich gross wird, so erhält man

3fi + 3a = 0,

Fig. 80.

(17.)

oder

y — — a.

Die Gleichung der reellen Asymptote ist daher

y¹ — — x‘ — a,

(18.)

oder

(18 a.) x* -f- y¹ -f- a = 0.

-X

Aufgabe 4. Man soll die Asymptoten der Curve

(19.)

bestimmen. (Vergl. Fig. 81.)

x³ — 3 xy² — a³ — 0

Auflösung. Hier ist n gleich 3 und

Z7₃ æ³ — 3xy² _    _

X³

H I '«

also

(20.)

lim —| = 1 — 3m² = 0, m = + -j=*

x³    j/g

Da m die Tangente des Winkels a ist, den die Gerade y — mx + y

mit der positiven Richtung der X-Axe bildet, und da

tg30°

ist, so bilden die beiden Asymptoten, welche den gefundenen Werthen von m entsprechen, bezw. die Winkel +30° und —30° mit der positiven Richtung der X-Axe.

Setzt man nun

y y^xJr V

in die Gleichung (19.) ein, so findet man

x% — Æ³ — 2x²y ]/3 — 3xy² — a³ = 0,

(21.)

oder

— 2/*]/3

3^²

ö³

(22.)

(23.)

(24.)

Wenn jetzt x unendlich gross wird, so folgt hieraus — 2^]/3 = 0, oder y = 0.

Die erste Asymptote hat daher die Gleichung y ‘ j/3 = x‘.

Ebenso findet man für die zweite Asymptote die Gleichung

y y3 =—x¹.

Um noch die dritte Asymptote zu erhalten, bilde man x³ — 3xy²

y³

y³

Dies giebt

(25.)

lim —³ = /³ — 3/ = 0.

(26.)

Die drei Wurzeln dieser Gleichung sind

/= + ]/3,    / s= — ]/3,    / = 0.

Fig. 81.

bJ

t\

Wie man ohne Weiteres erkennt, führen die beiden ersten Werthe auf die schon bekannten Asymptoten; dagegen liefert / = 0 eine dritte Asymptote. Man muss daher x = X

in die Gleichung (19.) einsetzen und erhält dadurch

l³ — 3foj² — a³ = 0,

oder

Â³

— 31 —

CO IC*

— 0.

Lässt man jetzt y unendlich gross werden, so folgt hieraus,

dass

(27.)

= o

wird, und dass die dritte Asymptote die Gleichung

(28.)

x' — 0

hat. Dies ist aber die Gleichung der Y-Axe.

(29.)

Aufgabe 5. Man soll die Asymptoten der Curve x(x² — a²) — 2 y{y² — a²) — 3 xy² — a³ = 0 bestimmen. (Vergl. Fig. 82.)

Auflösung. Hier ist wieder n gleich 3 und

TJ% æ³ — 2y³ — Sxy² _

x³

x³

also

(30.) lim = 1 — 3m² — 2m³ = (1 + m) (1 + m) (1 — 2m) — 0. Die 3 Wurzeln dieser Gleichung sind daher

(31.)

my= — 1

Bei dieser Curve findet man zwei parallele Asymptoten, weil zwei Werthe von m einander gleich sind. Um die zugehörigen Werthe von p zu finden, setze man

y — —x + P

in die Gleichung (29.) ein. Dadurch erhält man x(x² - a²) + 2(x—p) (x² - 2px+ p²— a²) - 3x{x² — 2px+p²) - a³ = 0, oder

(32.)

(— 3a² + 3p²) x — 2^³ + 2 a²p — a³ = 0.

Indem man diese Gleichung durch x dividirt und x dann unendlich gross werden lässt, findet man

(33.)

— 3a² + 3p² = 0, oder p = ± a.

Die beiden entsprechenden Asymptoten haben daher die Gleichungen

(34.)

y‘ = — x‘ + a und y¹ — — x¹ — a.

Für die dritte Asymptote hat man

\x + P

in die Gleichung (29.) einzusetzen. Dadurch erhält man

— —■ [ix² — 6fi²x — 2 |U/³ + 2a²fi — a³ = 0.

A

(35.)

Fig. 82.

Indem man diese Gleichung durch x¹ dividirt und dann x unendlich gross werden lässt, findet man

(36.)

^ = 0)

so dass die dritte Asymptote die Gleichung

(37.)

2 y¹ = x‘

besitzt.

Aufgabe 6. Man soll die Asymptoten der Curve

(38.)

xy¹ — x + 2y — 1 = 0

bestimmen. (Vergl. Fig. 83.)

Auflösung. Hier ist wieder n — 3 und

v £4 lim — =

Fig. 83.

m² = 0,    m₁=0, m₂ — 0,    = oo .

Die Gleichungen der drei Asymptoten haben daher die Fom

(39.) ÿ = [ii, y‘ — [*2, x' — X.

Dabei findet man ~x und indem man y = [* in die Gleichung (38.) einsetzt. Dies giebt xii² — x + 2fi — 1 = 0, oder

/*² — 1 +

2y — 1

= 0,

und für lim x — ao

(40.)

y² = h

(41.)

jJLi m "J“' lj

t*2 — - 1*

Ebenso findet man X, indem man x — X in die Gleichung der Curve einsetzt. Dadurch erhält man

(42.) Xy² — X + 2y — 1 = 0, oder X + ^ und für lim y = oo

2+1

= 0,

(43.)

(44.)

X — 0.

Die Gleichungen der drei Asymptoten sind daher y‘ = + l, y‘ = — 1,    = o.

Fig, 84.

Aufgabe 7. Man soll die Asymptoten der Curve (45.) xy² + 2% — «³ = 0 bestimmen. (Vergl. Fig. 84.)

-X

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei den vorhergehenden Aufgaben findet man hier drei Asymptoten mit den Gleichungen

CO

II

II ö

X¹

Aufgabe 8. Man soll die Asymptoten der Curve

x³ + xy² — ax² + ay² = 0

(47.)

bestimmen. (Vergl. Fig. 85.)

Auflösung. Hier werden zwei Asymptoten imaginär, weil aus der Gleichung

Iim§ = lim(¹ + g) =

folgt, dass

mi = + i, m₂ — — i. m₃ = oo

Fig. 85.

wird. Die dritte Asymptote ist reell und steht auf der X-Axe senkrecht. Dabei findet man aus Gleichung (47.), indem man x — X setzt,

Â³ + Xy*¹ — a/² + «y² = 0,

oder

y²

= 0.

(48.)

X = — a\

Dies giebt für lim y = oo

die einzige reelle Asymptote hat daher die Gleichung

x‘ + a — o.

Die Gleichung (47.) kann man auf die Form

xY a² — x2 a + x

bringen, woraus man erkennt, dass die X-Axe eine Symmetrie-Axe der Curve ist, und dass die Curve zwischen der Asymptote x‘ — — a und der Geraden x‘ = + a liegt. Aus

d¹ — ax — x2 (a -f- x) Y dl — dl folgt, indem man « = 0 setzt, dass die beiden Tangenten im Nullpmikte die Winkel + 45⁰ und — 45⁰ mit der positiven Richtung der X-Axe bilden.

(49.)

(50.)

(51.)

dx

y= ±

= tg«

Aufgabe 9. Man soll die Gleichung der Cissoide des Biokies bestimmen. (Vergl. Fig. 86.)

Auflösung. Die Cissoide des Diokles entsteht, indem man an einen Kreis mit dem Halbmesser a zwei parallele Tangenten mit den Berührungspunkten 0 und A legt, von 0 aus eine beliebige Secante zieht, welche den Kreis zum zweiten Male im Punkte C und die andere Tangente im Punkte B schneiden möge, und von B aus die Sehne OC rückwärts auf der Secante abträgt, so dass

PB = OC

wird, dann ist P ein Punkt der Cissoide.

Bezeichnet man den Winkel AOP mit (p und die Strecke OP mit r, so findet man aus den rechtwinkligen Dreiecken OAB und OCA

Fig. 86.

(52.) OB =

also

cos (p

OC — 2acos^>

(53.) OP=r=OB—OC

a-

oder (53 a.)

COS tp

(1 — COS ²<p),

2a$m²<p

COS (p

\P

■t......-U.

Q M

ist

Daraus folgt, da OQ = rcos<p, QP = rsiny

(54.) x — 2asin²y, y =

Indem man aus diesen beiden Gleichungen cp eliminirt, erhält man x³ + xy² — 2 ay² = 0.

Aufgabe 10. Man soll die Asymptoten der Cissoide bestimmen.

Auflösung. Schon aus der Entstehung der Cissoide ergiebt sich, dass die Kreistangente AB (vergl. Fig. 86) eine Asymptote der Cissoide sein muss. Dasselbe Resultat findet man auch aus der Rechnung. Es ist nämlich

(55.)

(56.)

lim —

-(‘+0

= 1 + m² = 0,

also

(57.)

i, m₂ = — i,

d. h. zwei Asymptoten sind imaginär, nur die dritte ist reell und steht auf der X-Axe senkrecht. Dabei findet man, indem man x — l in die Gleichung (55.) einsetzt,

yl³

A³ + Xy² — 2ay² = 0, oder X — 2a Ą—^ = 0.

§ 84.

Concavität, Convexität, Wendepunkte.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 103 und 104.)

Erklärung. Legt man in einem Punkte P an eine Curve die Tangente, so heisst die Curve in diesem Punkte P nach oben concav, wenn die dem Berührungspunkte P benachbarten Curvenpunkte oberhalb der Tangente liegen. (Yergl. Fig. 87.)

Fig. 87.

Fig. 88.

in

v.

Tt

/I

öl

Qi

ö Q,f Qr Qjj

Dagegen ist die Curve im Punkte P nach oben convex (vergl. Fig. 88), wenn die dem Berührungspunkte P benachbarten Punkte unterhalb der Tangente liegen.

Wenn endlich die Curve im Punkte P von der Concavität in die Convexität übergeht (vergl. Fig. 89), oder wenn die Curve

Fig. 90.

Dies giebt für lim y = co

2 = 2«;

folglich hat die reelle Asymptote die Gleichung

x‘ = 2 a.

(58.)

(59.)

Fig. 89.

T\ im Punkte P aus der Convexität in die Concavität übergeht (vergl. Fig. 90), so heisst der Punkt P ein Wendepunkt. Die Tangente in einem solchen Punkte heisst Wendetangente. Bei einer Wendetangente muss daher die Curve auf der einen Seite des Berührungspunktes oberhalb, auf der anderen Seite des Berührungspunktes unterhalb der Tangente liegen, wobei natürlich nur die benachbarten Theile der Curve in Frage kommen.

Die Gleichung einer Curve (Fig. 87) sei

(1.)

y =/(*),

und die Curve sei in der Nähe des Punktes P nach oben concav, dann ist nach der vorstehenden Erklärung T₂P₂ = Q₂P2 — Q₂ P₂ > 0

und auch

P1P1 = QlP₁ — Q₁Ti >0,

wobei Pv und P₂ die dem Berührungspunkte P benachbarten Punkte mit den Abscissen x— a und x + a sind, und wo die Schnittpunkte der Ordinaten Q\PX und Q₂P₂ mit der Tangente Tx und T₂ heissen.

Nun ist nach Formel Nr. 49 der Tabelle

(2.) Q₂P₂ —fix + a) =f(x) +

/'O) a +f“0 + ©«)

1!

2!

a²;

ausserdem wird

(3.) Q₂Ti = QP+S₁Tt=f(x)+£&a,

weil in dem rechtwinklichen Dreieck PS₂T₂

S₂T₂ = PS₂ . tgS₂PT₂ — atga = af‘(x) ist. Durch Subtraction der Gleichungen (2.) imd (3.) von einander erhält man daher

(40

T₂ P-2 — Q2P2 - $2^2 —    "4"

In ähnlicher Weise findet man

/'(*)

(5.) Qx Px = f{x — a) =f{x)

1!

f“{x—exa)

2!

(7.) rtPt = QXPX -QXTX = -f“{x - 0xa).

Damit die Curve nach oben concav ist, müssen für hinreichend kleine Werthe von a die Strecken T₂P₂ und TXPX positive Richtung haben. Das ist nur möglich, wenn f“{x-\-0a) und f“(x — 0xd) beide positiv sind.

Unter der Voraussetzung, dass f“(x) für die betrachteten Werthe von x stetig ist, muss deshalb auch f“{x) positiv sein, und umgekehrt: ist f“(x) positiv, so werden auch f“(x + 0 a) und /" (x—0xa) für hinreichend kleine Werthe von a positiv sein.

Die Curve ist daher im Punkte P nach oben concav, wenn

(8.)

Die Gleichung einer Curve (Fig. 88) sei wieder

V =/(4

die Curve sei jetzt aber in der Nähe des Punktes P nach oben convex, dann ist nach der vorstehenden Erklärung PïP2 ⁼ Q^P2 — Q₂2₂< 0

und auch

TXPX = QXPX — QXTX <0,

wobei dieselben Bezeichnungen angewendet sind wie in Fig. 87. Daraus ergiebt sich genau ebenso wie vorhin

a²

(9.)

T2P2 — + Gü)

(6.) Qx Tx — QP— TXSX == /(*)

oą«,

1!

TxPx=-f“(x-0xa).

Damit die Curve nach oben convex ist, müssen für hinreichend kleine Werthe von a die Strecken T₂P₂ und TXPX negative Richtung haben. Das ist nur möglich, wenn f“{x+0a) und f“(x — 0xa) beide negativ sind.

Unter der Voraussetzung, dass f“{x) für die betrachteten Werthe von x stetig ist, muss deshalb auch f“(x) negativ sein, und umgekehrt: ist f“(x) negativ, so werden auch f“(x+0a) und f“{x—0xa) für hinreichend kleine Werthe von a negativ sein.

Die Curve ist daher im Punkte P nach oben convex, wenn

(10.)

In dem Vorhergehenden sind die Fälle, wo f " (x) = 0 oder f“ (x) = oo

wird, ausgeschlossen worden. Beide Fälle können im Allgemeinen nur für einzelne Werthe von x eintreten. Ist x ein solcher Werth, so hat man noch die Vorzeichen von f“{x—a) und f“(x + a) für hinreichend kleine Werthe von a zu untersuchen und danach die folgenden 8 Fälle zu unterscheiden:

I. /" (x) = 0, f“ {x — a) > 0, f“ (x + d) < 0.

In diesem Falle geht die Curve im Punkte P (vergl. Fig. 89) von der Concavität zur Convexität über. Dasselbe gilt auch, wenn

II. f“ (x) = oo, f“(x — a) > 0, f“ (x + «) < 0 (vergl. Fig. 89).

Wird dagegen

III.    f'{x) = 0, f“(x — a) < 0, f“(x+a) > 0 (vergl. Fig. 90), oder

IV.    /" (x) — oo , f“ (x — a)< 0, J¹‘(x+ a) > 0 (vergl. Fig. 90), so geht die Curve von der Convexität zur Concavität über.

In allen diesen Fällen heisst der Punkt P ein Wendepunkt, weil sich die Curve von der Concavität zur Convexität oder von der Convexität zur Concavität wendet.

Ist aber

Fig. 91.

V.

\ f“0*0 = 0, f“{x — d)> 0, l f“{* + «) > 0, (vergl. Fig. 91),

j>

oder

yj \ /"O) = ⁰⁰ , (x — a) > 0, l f“{x + d) > 0 (vergl. Fig. 91),

-x

so ist die Curve unmittelbar vor dem 0 Punkte P und ebenso unmittelbar nach dem Punkte P nach oben concav; sie hat daher im Punkte P keinen Wendepunkt.

Ist endlich

vn./"0) = 0, f“(x — a)<0, f“(x+a) < 0 (yergl. Fig. 92), oder

Vffl. rix) == 00 , f“(x — d) < 0, f“ (z+a) < 0 (vergl. Fig. 92), so ist die Curve unmittelbar vor dem Punkte P und ebenso

Fig. 92.

Y]

unmittelbar nach dem Punkte P nach oben convex, so dass auch hier der Punkt P kein Wendepunkt ist.

Daraus ergiebt sich jetzt die allgemeine Regel für die Aufsuchung der etwaigen Wendepunkte einer Curve

-v

y =/(*)■

Man ermittele die Werihe von x, für welche f“(x) gleich Null oder unendlich gross wird. Ist x ein solcher Werth, so untersuche man das Vorzeichen von ftl (x — a) und von f“ (x + a) für hinreichend Meine Werthe V07i a. Man erhält dann einen Wende-punht, wenn entweder

f“ (x — a) > 0 und fu {x -f- a) < 0,

oder wenn

f“ {x — d) < 0 und fu(x + a) >0;

und zwar geht die Curve im ersten Falle in diesem Wendepunkte von der Concavität zur Convexität und im zweiten Falle von der Convexität zur Concavität über.

Haben dagegen f“{x — d) und f“ (x + a) für hinreichend kleine Werthe von a dasselbe Zeichen, so ist der Punkt kein Wendepunkt.

Bemerkung.

Ea möge hierbei noch besonders hervorgehoben werden, dass sich die vorstehenden Betrachtungen nur auf Punkte der Curve beziehen, welche im Endlichen liegen.

§ 85.

Anwendungen auf einzelne Curven.

(1.)

Aufgabe 1. Man soll die etwaigen Wendepunkte der Curve y — b + (c — xy —fix)

bestimmen. (Yergl. Fig. 93.)

Fig. 93.

Auflösung. Aus der Gleichung (1.) folgt ( )    /'(*) = — 3 {c — x)\

( ) /"(*)= + «(«■-*)•

\«

Aus Gleichung (3.) erkennt man, dass es keinen endlichen Werth von x giebt, für den f“(x) — oo wird.

(40

Dagegen wird f“(x) = 0 für x — c.

Der Punkt P, dessen Abscisse gleich c ist, kann also möglicher Weise ein Wendepunkt sein. Um darüber zu entscheiden, beachte man, dass

(5.)    /"(<?—a)= + 6a>0, flt{c-\-d) — — 6a<0

ist. Es findet also im Punkte P ein Uebergang von der Con-cavität zur Convexität statt. Folglich ist P ein Wendepunkt. (Yergl. Fig. 93.)

Aufgabe 2. Man soll die etwaigen Wendepunkte der Curve

(6.)

bestimmen. (Yergl. Fig. 94.)

y = b + {x — c)⁴ —fix)

folgt

Auflösung. Aus Gleichung (6.)

Fig. 94.

( )    /'0) = 4(z — cy,

( )    /"(*) = 12 (x — c)².

Auch hier giebt es keinen endlichen Werth von x, für welchen f“(x) = oo wird. Dagegen wird/"(z) = 0 für x — c.

oo

-Oh

Qf-Qïï; ~x

Für diesen Werth von x kann man möglicher Weise einen Wendepunkt erhalten. Um darüber zu entscheiden, bilde man

(10.) f“(c — a) — + 12a² > 0 und f“{c + a) = + 12a² > 0,

folglich ist die Curve auf beiden Seiten des betrachteten Punktes P nach oben concav, so dass dieser Punkt kein Wendepunkt sein kami. (Vergl. Fig. 94.)

Aufgabe 3. Man soll die etwaigen Wendepunkte der Curve

(u.)

y = m

bestimmen. (Vergl. Fig. 95.)

Auflösung. Aus Gleichung (11.) folgt

(12.)

(13.)

25|/ (x — c)⁸

Hieraus erkennt man, dass f“{x) für keinen endlichen Werth von x gleich Null wird, dagegen wird

(14.)

fu{x)= oo für x — c.

Fig. 95.

Dieser Werth von x kann also möglicher Weise einen Wendepunkt liefern. Um darüber zu entscheiden, bilde man

-ö-

(!5.) fu(c — o) =

und

25^ä⁸

>0

(15 a.)/"(c -f a) =

>0

25>/ó⁸

~x wobei man b als positiv vorausgesetzt hat. Die Curve ist also zu beiden

Seiten des betrachteten Punktes P nach oben concav; der Punkt P ist daher kein Wendepunkt der Curve, sondern, wie man aus Figur 95 ersieht, eine Spitze.

(16.)

Aufgabe 4. Man soll die etwaigen Wendepunkte der Curve y — m — by(x—c)³ =_/(#)

bestimmen.

Auflösung. Aus Gleichung (16.) folgt

(17.)

to

(18.)

f‘(x) = — —(x — c) ,

(Kh    _ 7

/"(*)=*=

65

2 öV (x — c)⁷

Auch hier wird f“(x) für keinen endlichen Werth von x gleich Null, dagegen wird

f“(x) = oo für x = c.

Um zu entscheiden, ob dieser Werth von x wirklich einen Wendepunkt liefert, bilde man

(19.)

Fig. 96.

NB

f“ (c a) =

— 6b

25J/Ö7 + 6b 25 V a⁷

Daraus erkennt man, dass im Punkte P mit den Coordinaten x = c, y — m

eine Wendung von der Convexität zur Concavität stattfindet, dass also der Punkt P ein Wendepunkt ist. (Yergl. Fig. 96.)

Aufgabe 5. Man soll die etwaigen Wendepunkte der Curve

und

(20.)

(21.)

f“(c + a) =

> 0.

-x

b\b—x) „ ,

y =    =/(*)

bestimmen.

Auflösung. Durch Differentiation folgt aus Gleichung (21.) _ i²(a:² — 2bx — è²)

-    (a;2 ₊ J2)2    ’

— 2b²(x^ — 3bx² ■— 3b²x + J³)

(22.)    /' (x)

(23.)    /"(*) =

(x* + by

Hier kann f“(x) für keinen endlichen, reellen Werth von x unendlich gross werden. Dagegen wird fl,{x) gleich Null, wenn (24.) xz — 3bx² — 3b²x + ö³ = (x + b) (x² — 4bx -f- b²) = 0 wird. Die Werthe von x, für welche möglicher Weise ein Wendepunkt eintritt, sind daher

(25.)    xl — — b, x₂ — b( 2 — yÜ), x₃ — b(2 + V3),

welche beziehungsweise den Werthen

(26.)    yt = + i, y-2 = |-(i + yä), y„=j(i—yä)

entsprechen.

Fig. 97.

2'

Da a;² + ö² für reelle Werthe von x immer positiv ist, so braucht man nur zu untersuchen, ob

(27.) (x² +    = — 2b²(x + b) (x² — Ux + b²) == F(x)

(28.)

für die angegebenen Werthe von x das Vorzeichen wechselt. Zunächst ist für hinreichend kleine Werthe von a F(— b — a) = + 2 ab² (6 b² -{- 6 ab -f a²) > 0,

F (— b + à) — — 2 ab² (6 b² — 6 ab + a²) < 0 ; deshalb ist der Punkt mit den Coordinaten x1} yi ein Wendepunkt, in welchem die Curve von der Concavität zur Convexität übergeht.

Ferner ist für hinreichend kleine Werthe von a

(29.)

F(2b — &]/¥—a) = — 2ab²(Sb — 5]/3 — a) (!2&J/3+«) <0, F(2b — bY3+a)= + 2ab²(3b—bY3 + a) (26]/3—a)> 0, folglich ist auch der Punkt P₂ mit den Coordinaten x₂, y₂ ein Wendepunkt, in welchem die Curve von der Convexität zur Concavität übergeht.

Endlich ist noch für hinreichend kleine Werthe von a j F(Zb-\-by%—a) = + 2ab²(ßb -f b^S — a)(2i)/3—«)> 0,

(30.)

^ F(2ô-j-b}/3-J-a) =—2ab²(Sb -f- ô"j/3"-f- æ) (25^3"-f- (?) <C0, folglich ist der Punkt P₃ mit den Coordinaten #₃, y₃ gleichfalls ein Wendepunkt, in welchem die Curve von der Concavität zur Convexität übergeht.

Es ist dabei noch zu beachten, dass die drei Wendepunkte P1} P₂, P₃ in einer geraden Linie liegen, weil

(31.)

(y-i — y3) + ^2 (2/3 — 2/1) +    (2/1 — 2/2) = g

wird. (Yergl. Fig. 97.)

Aufgabe 6. Man soll untersuchen, in welchen Punkten die Parabel nach oben concav, und in welchen Punkten sie nach oben convex ist.

(82.)

Auflösung. Die Gleichung der Parabel ist y² = 2px-

Fig. 98.

daraus folgt <³³-) dr

d²y p²

dz²    y³

(Jly Q

Für positive Werthe von y wird

dy_

-X

negativ, und für negative Werthe von y wird

positiv. Die obere Hälfte der Curve ist

daher nach oben convex, und die untere Hälfte ist nach oben concav. Einen Wendepunkt besitzt die

($2y

Curve nicht, da für endliche Werthe von y niemals verschwinden kann.

Aufgabe 7. Man soll untersuchen, in welchen Punkten die Ellipse und die Hyperbel nach oben concav, und in welchen Punkten sie nach oben convex sind.

(34.)

Auflösung. Die Gleichung der Ellipse ist b²x² + a²y² — a²b² = 0 ;

daraus folgt

(35.)

dx

Fig. 99.

[B

b²x d²y _ bi

a²yz

Auch hier wird negativ

für positive Werthe von y und positiv für negative Werthe von y. Die obere Hälfte der Curve ist daher nach oben convex und die untere Hälfte der Curve ist nach oben concav. Einen Wendepunkt

besitzt die Curve nicht, da

für endliche Werthe von x und

a²y

dx²

y niemals verschwinden kann.

In älmlicher Weise erhält man bei der Hyperbel die Gleichungen

(36.)

(37.)

b²x² — a²y² — a²b² — 0,

b²x

b*

--2~’

a²y

und kann daraus dieselben Schlüsse ziehen wie bei der Ellipse.

dx

dx²

a²y³

Aufgabe 8. Man soll die Wendepunkte der Sinuslinie bestimmen. (Vergl. Fig. 100.)

Auflösung. Die Sinuslinie hat die Gleichung

y — sina;;

Fig. 100.

(38.)

IL

daraus folgt

(39.)

dy_

dx

COS a-,

ijL — — sina-.

dx²

Die Curve ist daher nach oben convex, wenn Q <x <tt, 2tt<x<37T,... allgemein, wenn

2n n < x < (2 n -f- 1) n

ist; und die Curve ist nach oben concav, wenn (2n + 1)tt< x < (2n + 2)n

ist, wobei n eine positive oder negative ganze Zahl bedeuten soll. Ein Wendepunkt tritt ein, wenn

x = 0, n, 27t, 37t, ...

ist; die zugehörigen Werthe von y sind sämmtlich gleich 0, d. h. die Wendepunkte liegen alle in der X-Axe.

§ 86.

Berührung (oder Osculation) n,er Ordnung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 105.)

Erklärung. Zwei Curven VW und RS (Fig. 101) mit den Gleichungen

(1.)

y—f{x) und y = g{x), haben in dem ihnen gemeinschaftlichen Punkte P eine Berührung (oder Osculation) nUr Ordnung, wenn für den zugehörigen Werth von x nicht nur

(2.)

f(x) = g{x)

ist, sondern ausserdem auch noch

(3.) f 0) = g‘ 0), f“ (x) = g“ (x),... ßn\x) = g™ (x).

Mit welchem Rechte diese Erklärung aufgestellt worden ist, er- y sieht man aus dem folgenden Satze:

Zwei Curven

V =/0) und y = g{x), welche im Punkte P eine Berührung nur Ordnung haben, schmiegen sich in diesem Punkte enger an einander an als an jede andere Curve, mit der sie im Punkte P keine Berührung 0 von gleich hoher Ordnung haben.

Fig. 101.

dl

Pi

Beweis. Nach Formel Nr. 49 der Tabelle ist

(4.)

=f(x 4 h) =f(z) 4

fn)ix)

fix)

1!

Ä +-^Ä²+ ...

f(n+l)(x + 0h)

(n 4 1) !

gleichviel ob h positiv oder negativ ist. Ebenso wird

9‘ 0)

hn+\

(5.) Q^P\ — g(x 4 h) = g{x) 4

9{n){x)

1!

2!

7rrA“ +

g(n+\)(x 4- Oxh)

(« + !)!

hn+\

folglich ist, weil nach Voraussetzung die Gleichungen (2.) und (3.) gelten,

pip\ = 9\x + Ä) — f(x + Ä)

= çqrjyt    + ®>A)    (* + &h)\

Da h eine beliebig kleine, positive oder negative Grösse ist, so wird P, P\ eine behebig kleine Grösse von der (n 4 1)

(6-) {

ten

Ordnung.

Wenn man nun mit diesen beiden Curven noch eine dritte

Curve

V = <p{x)

zusammenstellt, welche mit der Curve

V =f(x)

im Punkte P nur eine Berührung von der mUn Ordnung hat, wobei m <n vorausgesetzt wird, so ist für den betrachteten Werth von x

(7.) f(x) = (p {x), f‘ {x) — (f‘ (*),.. . /(m) (x) — yW (x),

aber

y(m+i) (%) >

so dass für hinreichend kleine Werthe von h auch f(m+V(x + ©2^) <    + ©3^)

ist. Man findet dann in ähnlicher Weise wie vorhin

(8.)

(9.)

(p(x + h) —f{x + h) hm+x

~ (m 4 1) !

[fm+')(x 4 ©3A)-fm+V(x 4 ©2^)]*

Diese Differenz wird nur beliebig klein von der (m + l)ten Ordnung, weil der Ausdruck in der eckigen Klammer eine endliche (von Null verschiedene) Grösse ist. Deshalb wird (10.) PiP\ — g{x + h) —f{x -f- h) < (fix + h) —fix + h), d. h. die Curven y=f(f) und y — g ix) schmiegen sich im Punkte P enger an einander an als die Curven y = fix) und y = (fix).

§ 87.

Anwendungen auf einzelne Curven.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr 106 und 107.)

Aufgabe 1. Man soll durch den Punkt P einer Curve mit der Gleichung

(1.)

y =/(*)

eine gerade Linie legen, welche mit der Curve eine Berührung von möglichst hoher Ordnung hat.

Auflösung. Die Gleichung der geraden Linie sei y‘ = mx‘ + g,

wobei die laufenden Coordinaten mit x‘ und y‘ bezeichnet sind, weil die Coordinaten des Berühnmgspunktes x imd y heissen sollen. Damit nun die Gerade durch den Punkt P geht, muss

V —fix) = mx + g sein. In diesem Falle ist also g ix) gleich mx + g, so dass die Gleichung f‘ ix) = g‘ (x) hier die Form hat

dy ₌

(2.)

(3.)

(4.)

dx

m.

Man hat hier nur über die beiden Grössen m und g zu verfügen, und zwar sind diese Grössen schon durch die Gleichungen (3.) und (4.) vollständig bestimmt, denn es wird

(5.)

dy

X —r- 5

^ und g — y — mx — y — ~ ^ so dass die Gleichung (2.) übergeht in

y=^x‘~x)-

(6.)

y‘ —

Dies ist aber die Gleichung der Tangente.

Die Tangente ist daher diejenige Gerade, welche sich im Punkte P der Curve am engsten anschmiegt. Da ausserdem jede Gerade in allen ihren Punkten dieselbe Richtung hat, so giebt die Tangente in dem betrachteten Punkte die Richtung der Curve an.

Aus dem Vorstehenden erkennt man auch, dass die Tangente mit der Curve im Allgemeinen nur eine Berührung erstem' Ordnung hat. Man kann aber sogleich die Bedingung angeben, unter welcher die Berührung eine Berührung von der zweiten Ordnung wird. Es ist hier nämlich

(7.)

g(x) = mx + g, g‘ (x) = m, g“{$) — 0,

folglich muss auch

(8.)

/"(*) = 0

sein, damit die Berührung höher als von der ersten Ordnung ist.

Diese Bedingung ist nur für einzelne Punkte der Curve erfüllt, und zwar sind diese Punkte (nach Formel Nr. 104 der Tabelle) Wendepunkte, wenn f“(x) für den betrachteten Werth von x das Vorzeichen wechselt.

Aufgabe 2. Man soll die Gleichung eines Kreises bestimmen, der im Punkte P mit der Curve

(9.)

y =/(*)

eine Berührung von möglichst hoher Ordnung besitzt.

Auflösung. Ein Kreis mit dem Radius q hat bekanntlich die Gleichung

(10.)

(x — §)² + (y — v)² ~ Q¹ = 0, wobei £ und die Coordinaten seines Mittelpunktes sind. Löst man die Gleichung in Bezug auf y auf, so erhält man

(10 a.)

V — V ± W — (x — §)² = g(x).

In der Gleichung des Kreises kommen also drei willkürliche Constante £, rj und q vor, über die man so verfügen kann, dass drei Bedingungen erfüllt sind. Deshalb ist es möglich, die drei Gleichungen durch passende Bestimmung von £, t\ und ^ zu befriedigen. Dabei sind # und 2/ die Coordinaten des Berührungspunktes. Aus den Gleichungen (12.) und (10.) findet man

(14.)

^    — (y — n)f‘(x),

(15.)

g² = (x — £)² + (y — n)² = (y — î?)²[i +/'(s)²L so dass Gleichung (13.) übergeht in

1 +/'(¹ P

(13.) /"(¹) = £"(¹)= =F

g²

[g²-(¹-?)²]^

g² ¹) (y — ¹7)³

/0) = g(?) = v ± Vg² — (« — £)² = y,

x — ?

(11.)

(12.) f(x) = g'(x) = +

___x — §

Vg²— (« — §)² y — v

/"(¹) = -

Deshalb ist

(16.)

y — rj —

1 +/'(¹)²

/"(»

(17.)

_ [1 +/'Qg)²]/'Qc)

/"(¹)

(18.)

g²

₌ [L±ZMÎ;

f“{xy

folglich wird

(19.)

[1 +/'fc)²]/'(s) /"(¹) ’ ’

i +/-(¹)» /"(¹)

(20.)

[i +/'(¹0²]^

/"(¹)

Wenn man

P = % statt f{x) und q = ^ statt /"(¹)

schreibt, so erhält man mit Rücksicht auf Formel Nr. 99 der Tabelle

(1 +PL)P

/ds\²

\di)P

(21.)

(ds_\²

\dx) ->

I 1+jP²    , V

n — y-1—~ —y-\—-(i + p²)%

MV

\dx)

Hierbei wird man für q das obere oder das untere Vor-

ds

Zeichen wählen, jenachdem q mit — gleiches oder entgegengesetztes Vorzeichen hat, damit q selbst positiv wird.

Da x und y die Coordinaten des Berührungspunktes sind, so mögen die laufenden Coordinaten des Kreises mit x‘ und y‘ bezeichnet werden, so dass er die Gleichung

(22.)

(x' — |)² + <y — rjy — q² = 0

hat. Man nennt diesen Kreis den Osculationskreis oder den Krümmung skr eis ; er hat, wie aus dem Vorhergehenden folgt, im Allgemeinen nur eine Berührung von der zweiten Ordnung mit der Curve. In besonderen Punkten der Curve kann aber auch eine Berührung höherer Ordnung mit dem Krümmungskreise stattfinden. Die Bedingung dafür ist

(23.)

3 q\x — g)

(y — ny>

Sind x und y Functionen einer dritten Veränderlichen t,

also

(24.)

z = y = V>(f),

so gehen, mit Rücksicht auf die Formeln Nr. 92 der Tabelle, die Gleichungen (21.) über in

_    ds²dy

/ dsX¹ dy \dt) dt

dx d²y dy d²x X dx d²y — dy d²x dt dt² dt dt²

(25.)

=^y +

/ds\² dx \dt) dt

dx d²y    dy d²x

dt dt²    dt dt²

ds²dx

dx d²y — dy d²x?

ds3

dx d²y    dy d²x

dt dt²    dt dt²

dx d²y — dy d²x

Aufgabe 3. Man soll eine Parabel bestimmen, deren Axe zur Y-Axe parallel ist, und welche im Punkte P mit den Coordi-naten x — a, y — a mit der Curve

(26.)

a²y = x³

eine Berührung von möglichst hoher Ordnung hat.

Auflösung. Hier ist

6x    d\y 6

a² , dx³    a²

(27.)    , = *    =    %

v    ^ aL dx    a² dx²

Die Gleichung einer Parabel, deren Axe zur Y-Axe parallel ist, hat die Form

(28.)

Ax² -f 2By‘ + 2 Cx + D = 0.

Jß (J D

Man kann hier also über die drei Grössen —•> — > — pas-

jĄ. JA.

send verfügen, so dass für x — a

d~y‘_d-y

dx² dx¹

m *-s-,

wird. Dies giebt zunächst (30.) Aa¹ + 2 Ba + 2 Ca + D = 0,

(31.) A (x² — a²-) + 2 B (y‘ — a) + 2 C{x — d) = 0, (32.) Ax + B~ -f C = 0, oder Aa + SB + C— 0,

(33.) A +    — o, oder A + —

dx¹    a

Daraus folgt

= 0.

(34.)

(35.)

6 B — — Aa, 2 C =— Aa,

3 (x² — a²) — a (y‘ — a) — 3 a(x — a) — 0,

oder (35 a.)

3x(x — a) — a(y‘ — a).

Nach Gleichung (6.) in § 86 war

fyi+X

(n + 1)!

Ist also n gerade, so wechselt P₁P\ mit h sein Zeichen, und ist n ungerade, so bleibt das Zeichen von P\P\ unverändert, wemi auch h sein Zeichen wechselt; d. h. die beiden Curven schneiden sich, wenn die Ordnung der Berührung gerade ist, und die beiden Curven schliessen einander ein, wenn die Ordnung der Berührung ungerade ist.

Ein Beispiel hierfür liefert bereits die Tangente einer Curve. Im Allgemeinen ist die Berührung nur von der ersten Ordnung, dann liegen alle dem Berührungspunkt benachbarten Curven-punkte auf derselben Seite der Tangente. Ist aber die Berührung von der zweiten Ordnung, so ist der Berührungspunkt ein Wendepunkt der Curve und die Tangente ist eine Wendetangente, welche die Curve im Berührungspunkte schneidet. (Yergl. Fig. 89 und 90 auf Seite 362.)

Ein zweites Beispiel liefert der Osculationskreis oder

Krümmungskreis, der sich einer Curve im Punkte P möglichst eng anscliliesst. Im Allgemeinen wird die Berührung (nach Aufgabe 2) rrfL NX von der zweiten Ordnung sein. /    \ Dann wird, wie Figur 102

im Punkte P zeigt, der Kreis die Curve schneiden. Nur ausnahmsweise ist die Berüh-

PtP'i =

Fig. 102.

iU.

[^(w+1) (x _j_ Q^h) — (x + ©7i)].

Ml

rang von der dritten Ordnung. So ist z. B. in den Scheiteln der Ellipse, wie später gezeigt werden soll, die Berührung zwischen Krümmungskreis und Curve von der dritten Ordnung; deshalb schliessen Kreis und Curve in diesen Punkten einander ein.

§ 88.

Krümmung der Curven.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 106 und 107.)

Der Kreis hat in allen seinen Punkten dieselbe Krümmung, und zwar ist die Krümmung um so grösser, je kleiner der Radius q des Kreises ist. Man setzt daher die Krümmung eines Kreises gleich dem reciproken Werthe des Radius, also

gleich •

Bei anderen Curven ist die Krümmung in verschiedenen Punkten eine verschiedene. Um sie zu messen, wird man die Curve mit demjenigen Kreise vergleichen, welcher sich in dem betrachteten Punkte unter allen Kreisen am nächsten an die Curve anschmiegt.

Es giebt nämlich für jeden Punkt P einer beliebigen Curve unendlich viele Kreise, welche die Curve im Punkte P berühren. Unter diesen Kreisen giebt es jedoch, wie in § 86 gezeigt wurde, einen, der sich an die Curve näher anschmiegt als alle anderen. Diesen Kreis, der den Radius q haben möge, nennt man den

Krümmungskreis und — nennt man die Krümmung der Curve

in dem betrachteten Punkte.

Der Werth von q und ebenso die Werthe der Coordinaten £ und rj des Krümmungsmittelpunktes wurden bereits in § 87 berechnet. (Vergl. die Formeln Nr. 106 und 107 der Tabelle.)

Der Krümmungskreis kann aber auch in folgender Weise erklärt werden. Die Gleichung des Kreises

(1.)

0 —§)² + (y — nY — Q² = 0 enthält drei willkürliche Constante §, rj, q, welche man so bestimmen kann, dass der Kreis durch drei gegebene Punkte P, P1? P₂ hindurchgeht. Dies giebt die drei Bedingungsgleichungen

(la.)

x² —    + S² + y² — 2yy 4- f² — q² — o,

V — 2Çxi + £² + yf — 2 m + n² — Q² = 0,

^2² — 2    + §² + 2/2²— 2q/y₂ +    —    ?² = o.

Indem man die Gleichungen (la.) und (2.) bezw. von den Gleichungen (2.) und (3.) subtrahirt, findet man hieraus (4.) V — x¹ — 2£(#₁ — x) + yf- — y² — 2^ — y) = 0,

(5.) z₂² — zr — 2§(ar₂ — a?t) + y₂² — 2/i² — 2^(y₂ — y₁) = 0, oder, wenn man Gleichung (4.) durch Xy — x und Gleichung (5.) durch x₂— xy dividirt,

+ * - 2S + (y, + y — 2„)    = 0,

JL>

^2 + ^1 — 2£ + (2/2 + 24 — 2^) ^^ = 0.

Aus diesen Gleichungen folgt durch Subtraction

f + (2/2 + 2/i~ 2ri)

(2.)

(3.)

(4 a.)

(5 a.)

2/1 —

3/2 ~

(6.) z₂ — * — (yt + 2/ — 2^) oder, wemi man

(2/2 + 24 — 217) —— (2/2 + 2/1 — 2?)    = ⁰

Vl~^Hy-2+yi-^)C

addirt,

(6 a.) x₂—x + {y₂—y)

Xy —

x₂ —

fi=o,

Xy

x)

2/2-2/1    2/1—2/

24 —

Diese Gleichungen gelten, wo auch die Punkte P, Py, P2 liegen mögen. Nimmt man sie auf der Curve an und setzt

Xy~

X₂—Xy

(7.)

Xy — x +    :r₂ = x + 2Jx,

so gelten die Gleichungen

y =/(*)» 2/i =/(* + ^0, 2/2 =/(* + 2 Jx), und die Gleichungen (4 a.) und (6 a.) gehen über in

(8.)

(9.) 2x + Jx — 2£ + (t/y + y — 2tj) -&LŹ.    —f^Ù. ₌ 0,

fix + Jx) —f(x)

2 Jx + [fix + 2 Jx) —fix) J

+fe+yt ■-toj/Jz+W-mt+^+A*)=0[

Jx

oder, wenn man die letzte Gleichung durch Zdx dividirt, in (10a.) 1 +

f{x+2Jx)—f(x) fjx+dx) —fjx)

2dx

dx

¹

Ueber die Bildung dieser Ableitungen vergleiche man § 73, Aufgabe 2.

+ i(y+y -2,)    = o.

Nun ist aber für lim dx = 0

lim y2 = lim yx =y;

sodann ist nach Formel Nr. 15 der Tabelle und ebenso, wenn man Jx mit 2dx vertauscht,

lim    ₌ f =r{x)

%dx    dx J K n

endlich ist nach Formel Nr. 44 a der Tabelle

lim

f{x + 2 dx) — 2 f{x + dx) -\-f(x)_d²y

dx²

dx²

Deshalb erhält man aus den Gleichungen (9.) und (10a.), wenn die Punkte P, Px und P₂ einander unendlich nahe rücken, so dass sich dx dem Grenzwerthe 0 nähert,

rA 01

(i )    (* — I) + iy — i)f\x) — o,

(1 )    1 +/' (a0² + iy — n)f“(x) = o.

Aus diesen Gleichungen findet man wieder in Ueberein-stimmung mit den Gleichungen (16.), (17.) und (18.) in § 87

_ i+/ {xf    _ [i +f‘(xy\f‘(x)

rix) ’    /«(*)

(13.) y rj =

(i#

[!+/'(*)*!*

/“(*)

Der Krümmung skr eis kann also auch erklärt werden als der Kreis, welcher durch drei unendlich nahe Punkte der Curve hindurchgeht.

Dieser Satz ist nur ein besonderer Fall des allgemeinen Satzes, dass zwei Curven n + 1 unendlich nahe Punkte gemeinschaftlich haben, wenn sie eine Berührung nUr Ordnung besitzen.

§ ⁸⁹-

Anwendungen auf einzelne Curven.

(1.)

Aufgabe 1. Mail soll den Krümmungskreis für die Parabel y² — 2 ax

bestimmen.*)

Auflösung. Aus Gleichung (1.) folgt ¹    dx ²

(2.)

dy a r dx y

a dy a²

y¹ dx    y%

(3.)

Setzt man diese Werthe in die Formeln Nr. 106 und 107 der Tabelle ein, so findet man

a: +

x_ «² + y² _ a/ f\_

y \ «7

oder

(4.)

a² + 2a#

a + 3#;

^_±xY_ yi\ _

*/² V

(a² + y²)y

a²

oder

(5.)

(6.)

a²y — a²y — y³    ?/³.

, =-P-⁼ ~P’

(a² + tß)i

Q= ±

y³

(-9=

a²

Für den Scheitel der Parabel wird y gleich 0, folglich ist in diesem Punkte

(7.)

Q = + a, g = a, y = 0.

In dem Scheitel hat auch der Krümmungskreis mit der Parabel eine Berührung von der dritten Ordnung. Es wird hier nämlich

*) In dieser Aufgabe ist der Parameter der Parabel mit a bezeichnet, während p hier und in den folgenden Aufgaben gleich ^ sein soll.

₌ dhJ _3a2 dv _3a3 J ^ dx%    y⁴ dx yb

(8.)

3g²(a;—g) _ 3(a² + y²)³ (a² + y²) • a10 (y — y)⁵    a⁴. a . (a² + y²)⁵«/⁵

und nach Gleichung (23.) in § 87 9“‘{x) = —

oder

(9.)    £"'(*0 =

3a⁵

(a² + y²) y⁵

Daraus folgt

(10.)

ftn{x) __ 3a³ (a² + y²) y⁵ a² + y².

~gn:{x)'~-yb    3Ö5    ~~    d>~~ ’

deshalb wird für lima: =0, limy = 0

(11.) linr^, = 1, oder lim/'"(a;) = limy"'(a:).

9 \x)

Die Parabel hat daher im Scheitel mit dem zugehörigen Krümmungskreise eine Berührung von der dritten Ordnung.

(12.)

Aufgabe 2. Man soll den Krümmungskreis für die Ellipse b²x² + a²y² — a²b² = 0

bestimmen.

Auflösung. Aus Gleichung (12.) findet man

(13.)

b²x

dx

a²y

(14.)

(ds_ Y _ \<fo/ ~~

1 + P²

dhf

b^x¹ + <z⁴y²

Ô⁴

a²y%

Setzt man diese Werthe in die Formeln 106 und 107 der Tabelle ein, so erhält man

b*x² -j- a⁴y² /    b²x\/    a²y³\

«V \ a<1y) \ b* ) ~~x

x(bix² + a⁴y²)

aĄb²

Mit Kücksicht auf Gleichung (12.) ist aber

(IS.)

5⁴a;² 4- a⁴y² = i²(a⁴ — e²x²) = a²(5⁴ + e²^²),

folglich wird

25

Stegemann-Kiepert, Differential-Rechnung.

Daraus folgt

(21.)

(16.) g =

x (a⁴ — e²x²)    e²#³.

x 7 “

e²y³.

(-¥)-*

a⁴

6⁴#² + a⁴y2 a⁴y²

oder nach Gleichung (15.)

y(b⁴ + e²y²)

(17.) y — y ~    ~ =

(£⁴:z² + a⁴y²)^

y(b⁴x² + a⁴y²)

a²b⁴

(18.) ç = 4 Ferner ist

(5⁴æ² 4 afy²)^

Ö5⁶«/³

a⁴6⁴

(19.)    /'"(*) =

(20.) *"'(*) =

3 b%x a*yb'

3q²(x—g) __

ly — #

35¹⁰£

a²y⁵(5⁴ic²4«V²)

fu,(x) 3bßx a²yb(b⁴x² 4 a*y²) b⁴x² 4 «V²

gut(x) a⁴yb    3 b^x    a²b⁴

also für æ = 4 a, y = 0 wird

(22.)

/“'(s) _

/"(*)

1, oder fll/(x) = gi“(z).

Auch für # = 0, y — ± b wird

(22 a.)

/'"(*) = £'"(*) = o.

In den vier Scheitelpunkten der Ellipse findet daher eine Berührung von der dritten Ordnung mit dem zugehörigen Krümmungskreise statt. (Yergl. Fig. 102.)

Dabei wird

(23.)

q — 4 für x — 0

und

(24.)

b²

Q — ±— für y — 0.

(25.)

Aufgabe 3. Man soll den Krümmungskreis für die Hyperbel b²x² — a²y² — a²b² = 0

bestimmen.

Auflösung. Die Rechnungen gestalten sich hier genau ebenso wie in der vorhergehenden Aufgabe, man hat nur + b2 mit —b² zu vertauschen. Dadurch erhält man wieder

z>2r3

(26.) S = -y.

_(bxx²-{-a*y²)

e²ifi

a⁴5⁴

V —--rr

o⁴

genau so wie bei der Ellipse, hier ist aber e² gleich a² + b², während bei der Ellipse e² gleich a² — b² war.

linie

Aufgabe 4. Man soll den Krümmungskreis für die Ketten

(27.)

y = (« “ + «

t«l a

bestimmen.

Auflösung. Aus Gleichung (27.) folgt mit Rücksicht auf die Formeln, welche in § 81, Aufgabe 7 entwickelt worden sind,

(28.)

(29.)

dy 1 ( T

f = * = 2V<

* cfe² 2a'

£\

y.

' ~ a²

(30.)

to| h-¹

/ -

I a

\e

dx

Setzt man diese Werthe in die Formeln Nr. 106 und 107 der Tabelle ein, so erhält man

x_v2_, ]/y²—a² ^

(31.)

yVy² — a²

a²

(32.)

(33.)

Ç—+ O

a⁶ y

y² a²

y’

t.. f! ₌ + yl.

Es war aber auch die Normale

(34.)

ds _ y²

yTx-~i

(vergl. Gleichung (48.) auf Seite 331), folglich ist der Krümmungsradius bei der Kettenlinie der zugehörigen Normale gleich; er hat aber die entgegengesetzte Richtung, wie man schon aus Gleichung (32.) erkennt.

(35.)

Aufgabe 5. Man soll den Krümmungskreis für die CyMoide x — a(t — sintf), y — a(l — cosż)

bestimmen.

Auflösung. Aus den Gleichungen (35.) folgt durch Differen

tiation

(36.) dx — a(l — M&t)dt, dy = asintf dt,

(37.) d²x — asin£. dt²,

— dx² + dy² = 2a² (1 — cos t)dt² = 4a²sin²^-^ dfi, (38 a.) ds = 2a sin    dt,

(39.) dxd²y — dyd²x — — a²(l — COS^) dt³ = — 2a²sin² dt³. Dies giebt nach Formel Nr. 106 und 107 der Tabelle 4 a² sin² ^-0 • asin£

d²y = acost. dt²

(38.) ds²

— 2a² sin²

(0

= a(t — sinż) + 2a sin t,

oder

(40.)

? = a(t + sinć);

4a² sin²

— 2a² sin²

(0

= a(l — cos£) — 2a(l — cosż),

oder

(41.)

q — — «(1 — costf) = — y;

(42.)

8a³ sin³ ^0

2a² sin² ^0

= + 4a sind)

(43.)

§ 89. Anwendungen auf einzelne Curven.

Nun war aber (nach Gleichung (61.) in § 81) die Normale N — *

2asin(l)i

V dx~

folglich ist der Krümmungshalbmesser doppelt so gross wie die Normale.

Noch etwas schneller kommt man auf folgende Weise zum Ziele. Aus den Gleichungen (36.) findet man

dx

_ d-ij dp dt

^ dx¹    dt dx

sinć

1 — COSĆ

“ ctg(0’

2 sin²

(0 2<isin2(0 4asK0

/*y

\dx)

= l+p²

cos

(0

• 4a sin⁴

(0

sin2(0sin(0

= a(t -f- sin0,

4a sin⁴

(0

sin²

(0

= — a(l — cos0,

— 4a sin⁴

(0

sin3(0

+ 4a sin (0-

Fig. 10B.

Resultate Y

Diese

werden durch Figur 103 bestätigt.

Ist nämlich M der Mittelpunkt des Krüm-mungskreises für den Y Punkt P, so wird

PM = 2 PB

oder

PB = BM.

Daraus folgt

A BKMsi BQP,

und deshalb

also

t] = KM = — MK — — QP — — y\ BK = QB = PD — a sin t,

£ = OQ + 2 QB — a(t— sinć) + 2asinć = a(t + sin^).

(44.)

Aufgabe 6. Man soll den Krümmungskreis der Astroide x — acos% y — asin³i5

bestimmen.

Auflösung. Aus den Gleichungen (44.) folgt durch Differen

tiation

dx — — 3acos²ć sinć. dt, dy = 3asin²tf cosć. dt,

d²y

i=ä* = -

ds _ dx

Dies giebt nach den Formeln Nr. 106 und 107 der Tabelle (49.) %-x

(50.) r\—y +    • 3acos⁴£ sin£ = 3«cos²jf sin?: + asin³?:;

(51.) q— ± —• 3acos⁴ć sinć = + 3asinż cos?:. cos°r

(45.)

(46.)

(47.)

(48.)

(48 a.)

cos?:

1 dt

cos²tf ’ dx ~~ 3a cossinć

~2*( —    )3a cos4^ sin t—

)s²/\ cos t;

a cos³£ -f 3 a costf sin²£ ;

Aufgabe 7. Man soll den Krümmungskreis für die Curve x — 3it², y — St — fi

(52.) bestimmen.

Auflösung. Aus den Gleichimgen (52.) folgt durch Differen

tiation

(53.)

dy — 3(1 — t²)dt, d²x — 6 dt², d²y = — 6 tdt²,

(55.) ds² — dx² + dy² — 9(1 + 21² + V) dt² =9(1 + t²)²dt2 (55 a.)

dx = 6 tdt.

(54.)

(56.)

ds = 3(1 + Pj dt,

dxd²y — dyd²x — — 18(1 + t²)dß.

Setzt man diese Werthe in die Formeln Nr. 106 und 107 der Tabelle ein, so erhält man

oder

(57.)

oder

s = |(i + 2 p-py,

9(1 + t²)².Qt — 18(1 + t²)

(58.)

H — — 4£³;

(59.)

27(1 + t²Y    3

— 18(l + ^)~ ⁺ 2⁽¹⁺

Aufgabe 8. Man soll den Krümmungskreis der Epicykloide (60.) x = a(mcosć— cos mt), y = a(msmt— sinm£) bestimmen.

Auflösung. Aus den Gleichungen (60.) folgt durch Differentiation, wenn man wieder m — 1 = n, m + 1 = 1 setzt,

(61.) dx — ma (— sin t + sin mt) dt = 2 ma sin cos dt, (62.) dy = ma (cos ć—cos mt) dt = 2 ma sin    sin dt,

4 ma sin ^0 cos3 (0

Setzt man diese Werthe in die Formeln Nr. 106 und 107 der Tabelle ein, so erhält man

4 ma . /lt\ . /nf\

= a(mcosź — cosmć) + (cosmź — cos£),

L

oder, wenn man

(65.)

da

(⁶³-) ^=l=tg(f)’

C641    „-^.-±.±-1    ¹

^    ; q dx² dt dx 2

dx~

cos

(!)

² cos² (0 2 ma sin ^0 cos (0

2a na

°-T ⁼ T = a‘

setzt,

(66.)

§ = a, (mcosż + COS mt) ;

4 ma

sin

©”©

— a(msin£— sinmć) +

2 ma

(sinm# — sin£)

oder

(67.)

rj — ai (msinć + sinmć).

Endlich wird

(68.)

ma . /nf\

rsm(j)

(69.)

Q = +

Aus Figur 74 auf Seite 335 erkennt man, dass PB = 2asin

wird, folglich ist

(70.)

2m

Q — -y- • PB =

2^ + 2 n + 2

• PB.

Aufgabe 9. Man soll den Kriimmungskreis der HypocyJcloide x — a(mo,o$t + cosmż), y = a(msinć — sinm()

(71.)

bestimmen.

Auflösung. Wenn man liier m + 1 mit n und m — 1 mit l bezeichnet, so wird in ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe

(72.)

(73.)

(f)cos(f)<*’

dy= + 2 m a sin    sin (^)^>

dx = — 2 ma sin

(74.)

2—0

ds

dx

cos

(I)’

(75.)

d²y

dx¹

4 ma sin

TIO/

dies giebt, wenn man — mit ax bezeichnet.

§ = ox (mcos£ — cos mt),

7] — ax (insinć + sinmć),

_ 4 ma ? = + —

(76.)

(77.)

(78.)

sin

(j)=T"PB- (Vgl.Fig.75.)

Aufgabe 10. Man soll den Kriimmungskreis der Kreis

evolvente

(79.)

x = a (cost + ćsinć), y = a(sinć — żcosż)

bestimmen.

Auflösung. Durch Differentiation der Gleichungen (79.) er

hält man

(80.)

(81.)

dx = atCOSt. dt, dy = a£sin£. dt ? = % =

__ d²y __ dp    _____

^ dxï dt dx    cosH atCOSt atcosH

ds

dx COSt'

so dass die Kxümmungsmittelpunkts- Curve

(4.) £ = x

ds²dy

Setzt man diese Werthe in die Formeln Nr. 106 und 107 der Formel-Tabelle ein, so wird (3.)    £ = x — aćsin^ = acost,

(4.)    t\ — y + atcost = asintf,

(5.)    Q = ± at.

Daraus ergiebt sieb, dass der Punkt B, in welchem der abgewickelte Faden den Kreis verlässt (Fig. 78), der Krümmungsmittelpunkt ist.

00 00 00

§ 90.

Die KrUmmungsmittelpunkts-Curven oder Evoluten.

Wenn man sich die Krümmungskreise zu sämmtlichen Punkten P, Pt, P₂,... einer Curve construirt denkt, so wird durch die zugehörigen Krümmungs-Mittelpunkte M, Mu Jf₂,... eine neue Curve bestimmt, welche man die Krümmungsmittelpunkts-Curve der gegebenen Curve nennt. Durchläuft also ein Punkt die ursprüngliche Curve, so durchläuft sein Krümmungsmittelpunkt die Krümmungsmittelpunkts-Curve. Um die Gleichung derselben zu finden, braucht man nur aus den drei Gleichungen y =/0) oder F(x, y) — 0,

__    (1 + P*)P

(1.)

(20

.'Af)

(3.)

1 +P²

die Grössen x und y zu ehminiren, dann erhält man die gesuchte Gleichung zwischen £ und y.

Sind x und y als Functionen einer dritten Veränderlichen t gegeben, so werden auch

dxd'²y — dy d²x

und — y +

ds²dx

dx d²y — dy d¹x

Functionen von t schon durch diese beiden Gleichungen in zweckmässiger Form gegeben ist, da man zu jedem Werthe von t die zugehörigen Werthe von £ und n findet.

Um die Beziehungen leichter zu erkennen, welche zwischen der ursprünglichen Curve und der Krümmungsmittelpunkts-Curve bestehen, ersetze man die Curve zunächst durch ein Polygon PPlP₂P₃... mit lauter gleichen, beliebig kleinen Seiten (vergl. Fig. 104), dessen Ecken P, Pl5P₂,... auf der Curve liegen. Dann kann man die Mittelpunkte M, Mu M₂,... der Kreise finden, die durch je drei auf einander folgende Pimkte P gehen, indem man die Seiten des Polygons halbirt und in den Mittelpunkten R, Rx,

Fig. 104.

PJl

P₂,... Lothe RM, RXMX,

R₂M₂,... auf den Seiten des Polygons errichtet.

'm₄

Rücken die Punkte P, Px, P₂,... einander immer näher, so geht das Polygon PPtP₂... in die ursprüngliche Curve und das Polygon M Mx M₂... in die Krümmungs-mittelpunkts - Curve über. Dabei werden die Geraden PP1} P₁P₂, P₂P₃,... Tangenten der ursprünlichen Curve, weil sie zwei imendlich nahe Curvenpunkte mit einander verbinden, und die darauf senkrecht stehenden Geraden RM, RXMX, R₂M₂,... werden Normalen der ursprünglichen Curve. Die Gerade Rx Mx geht aber auch durch M, die Gerade R₂M₂ geht auch durch Mx, u. s. w. Da mm auch die Punkte M, Mx, M₂,... einander imendlich nahe rücken, so sind die Geraden RM, RXMX, R₂M₂,... gleichzeitig Tangenten der Krümmimgsmittelpunkts-Curve, imd man erhält

Satz 1. Die Normalen der ursprünglichen Curce sind Tangenten der Krümmungsmittelpunkts-Curce.

Dabei folgt aus der Congruenz der Dreiecke RMPX und RXMPX, dass

RM = Il M

ist. Ebenso wird

RXMX = R₂MX, R₂M₂ — R₂M₂, R₂M₂ = RXM:], ....

Daraus ergeben sich die folgenden Gleichungen Rx Mi — RM = RXMX — RXM = MMX,

R₂M₂ — RXMX = R₂M₂ — R₂MX = MXM₂,

(5-) R₃M?j — R₂M₂ = R₃M₃ — RaM₂ = M%M₃,

RaM.fr Ra—lüfß-1—RaMa RctM.$j—j —

Aus diesen Gleichungen folgt durch Addition (6.) RaMtt—RM'= MMX + MiM₂+M₂ JW₃+ ...+ J4_i Ma.

und das Polygon    geht in den Bogen a

Rücken die Punkte P, P1} P₂,... einander unendlich nahe, so gehen P3f, P, , R₂M₂, ... in die Krümmungshalbmesser q, qx, (?2> • •

der Krümmungsmittelpunkts-Curve über. Bezeichnet man daher den Unterschied zweier benachbarten Krümmungshalbmesser mit dq und die entsprechende unendlich kleine Seite des Polygons MMiM₂M₃... mit der, so wird da der unendlich kleine Zuwachs des Bogens a, und die Gleichungen (5.) und (6.) erhalten die Form

IQ CO

( a.)    dq = da,

( a.)    qa — q —

wobei a der Bogen der Krümmungsmittelpunkts-Curve ist, welcher zwischen den beiden Krümmungsradien q und qa liegt. Darin sind die folgenden Sätze ausgesprochen:

Satz 2. Die unendlich Meine Grösse, um welche sich der Krümmungshalbmesser einer Curve ändert, ist gleich der entsprechenden Aenderung des Bogens der Krümmungsmittelp unkts-Cur ce.

Satz 3. Die Differenz zweier Krümmungshalbmesser qa und q giebt die Länge des Bogens a der Krümmungsmittelpunhts-Curce zwischen q und qa.

Aus diesen beiden Sätzen folgt, dass die ursprüngliche Curve aus der Krümmungsmittelpunkts-Curve durch Abwickelung (oder Aufwickelung) eines Fadens entsteht. Denkt man sich nämlich zunächst um das Polygon MMXM₂M₃...Ma einen vollkommen biegsamen, aber nicht dehnbaren Faden gelegt, dessen Endpunkt sich in R befindet, so beschreibt der Endpunkt des Fadens zunächst einen Kreisbogen RRX, weil MR und MRX gleich lang sind, und aus der gebrochenen Linie MXMR wird die gerade Linie MXRX. Dann beschreibt der Endpunkt des Fadens einen Kreisbogen ĄĄ, und aus der gebrochenen Linie M₂MXRX wird die gerade Linie M₂R₂; u. s. w.

Rücken die Punkte P, Px, P₂,... einander unendlich nahe, so fallen die kleinen Kreisbögen RRX, RXR₂,... mit der ursprünglichen Curve zusammen, und man erhält

Satz 4. Die ursprüngliche Curve entsteht durch Abwickelung der Krümmungsmittelpunkts- Curve.

Man nennt deshalb auch die Krümmiingsmittelpunkts-Curve gewöhnlich die Evolute und die ursprüngliche Curve die Evolvente.

Da die Länge des Fadens noch beliebig ist, so folgt hieraus, dass bei der Abwickelung des Fadens unendlich viele Curven entstehen. (Yergl. Fig. 105.) Dies giebt

Satz 5. Jede Curve hat eine einzige Evolute, aber zu jeder als Evolute angenommenen Curve gehören unendlich viele Evolventen.

Diese Sätze ergeben sieb auch durch Rechnung aus den Gleichungen

(7.)

g _ j. C¹ +P²)P

9.

Da y durch die Gleichung

V =/(*)

als Function von x erklärt ist, so sind auch die Grössen

P =/' 0)> 2 =/" 0), r =/"' (x),

und deshalb auch £ und rj Functionen von x. Durch Differentiation nach x findet man daher aus den Gleichungen (7.)

_ ^    ^(l-f 3j»²) —p(l+p²)r _ —3p²ql-\-p(l-\-pT)r

(8.)

(9)

ÊM-t¹

2¹

2pq² — (1 + P²)r 3pq² — (1 + p²)r

Î²

Î²

Indem man diese beiden Gleichungen durch einander dividirt, findet man

d. h. die beiden Tangenten TP und MN bilden (hinreichend verlängert) einen rechten Winkel mit einander.

Die Gerade PM steht aber als Krümmungshalbmesser ebenfalls senkrecht auf der Tangente TP, sie muss daher mit MN zusammenfallen, da es durch den Punkt M nur eine Gerade giebt, welche auf TP senkrecht steht. Dies giebt wieder

Satz 1. Die Normalen der ursprünglichen Curve sind zugleich Tangenten der Krümmungsmittelpunkts-Curve.

Indem man die Gleichungen (8.) und (9.) in’s Quadrat erhebt und addirt, findet man

(12.)

diĘ¹ -j- drß_(1 + p²) [Spq¹ — (1 4- jt?²)r]²

dxl

(10.)

drj

dx

d§ p ~~ dy Ist also wie gewöhnlich u der Winkel, den die Tangente TP in irgend einem Punkte P der Curve y = fix) mit der positiven Richtung der X-Axe bildet, und ß der Winkel, welchen die Tangente MN der Kriim-mungsmittelpunkts - Curve in dem zugehörigenPunkte M mit der positiven Richtung der X-Axe bildet, so ist (Fig. 105)

Fig. 105.

Fi

Jn,

P/

'4

drj

| = tg«, ^ =

und deshalb nach Gleichung (10.)

Mo

Mq

(11.)

tgß =

— = tg(90° +«)

tgcc

und wenn man die Gleichung

differentiirt, erhält man

dq__[3pq¹ — (1 + pT) r] V1 + p¹

(13.)

dx

cLl

Setzt man jetzt wieder das Bogenelement der Krümmungs-mittelpunkts-Curve

+ drp. ₌ da,

so findet man aus den Gleichungen (12.) und (13.)

(14.)

(15.)

da == + dq.

Dies giebt

Satz 2. Die unendlich kleine Grösse, um welche sich der Krümmungshalbmesser einer Curve ändertest gleich der entsprechenden Aenderung des Bogens der Krümmungsmittelpunkts- Curve.

Aus diesen Sätzen ergeben sich dann ohne Weiteres auch die Sätze 3, 4 und 5 in derselben Weise wie oben.

§ 91.

Anwendungen auf einzelne Curven.

(1.)

Aufgabe 1. Man soll die Evolute der Parabel

y¹ = 2 ax

aufsuchen.

Auflösung. Nach den Gleichungen (4.) und (5.) in § 89 wird für die Parabel

(2.)

y%

£ = a + 3#, y — ab/² = y⁶ = 8a³#³ = ^ ^    —- >

ó i

oder

(3.) 27 a?/² = 8(§ — a)³, oder r\ — +    —— ]/6a(§— d).

ud

Da i] nur reelle Werthe haben kann, wenn £ — a ^ 0, also £ ^ a

ist, so beginnt die Curve in einem Punkte S auf der X-Axe, welcher den Abstand a vom Scheitel hat. Sie erstreckt sich

folglich ist

“55

von da in zwei zur X-Axe symmetrisch gelegenen Zweigen bis ins Unendliche. (Vergl. Fig. 106.)

Aus Gleichung (3.) folgt durch Differentiation

O-)

% = i{%ana? =±ia ^ ~ a) =

Fig. 106.

Fl

P,

TL

■X

Für l = a wird also der Winkel a gleich 0, d. h. die beiden Zweige berühren im Punkte S die X-Axe, so dass die Curve im Punkte S eine Spitze hat.

Im Uebrigen hat dasselbe

Vorzeichen wie vj, der Curven-zweig über der X-Axe steigt daher und der unter der X-Axe fällt beständig.

Ferner findet man aus Gleichung (4.) durch nochmalige Differentiation

d²rj _

4    — a) — (£ —

9arj²

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (3.) und (4.)

/K X d²g 72arp-(§ — a) — 16 (£ — a)⁴    2 (g — a)

₍₅.j    — _-—    -

Also auch

d²r\

81 a²^

9 aij

dl ²

hat dasselbe Vorzeichen wie y, d. h. der

obere Zweig der Curve ist nach oben concav, und der untere Zweig der Curve ist nach oben convex.

Für x — 4a wird y² = 8a², und für l = 4a wird rj² = 8a²,

folglich wird die Parabel in den Punkten mit den Coordinaten x — 4a, y = ± 2a Y~2 von ihrer Evolute geschnitten.

Aufgabe 2. Man soll die Evolute der Ellipse

(6.)

x²

b²x² -j- a²?/² — a²b² = 0, oder ^ aufsuchen. (Vergl. Fig. 107.)

y- = \

Auflösung. Nach den Gleichungen (16.) und (17.) in § 89 wird für die Ellipse

(7.)

Mil

<?²æ³    -

—— und n — a⁴    '

e2yZ

b⁴ ’

oder

MD

a³ e² ’

brj

6³    e² ’

also

fr;

y. _

& _    V²/

(8.)

a \e².

Setzt man diese Werthe in die Gleichung (6.) ein, so erhält man

Da die Ellipse die beiden Coordinaten-Axen zu Symmetrie-Axen hat, so gilt dasselbe auch von ihrer Evolute.

Für v = 0 wird '§ = + —,

— a

c²

und für £ = 0    „

Dadurch erhält man die vier Schnittpunkte Su S₂, S₃, Si der Evolute mit den Coordinaten-Axen, und zwar sind diese Punkte wieder Spitzenfder Curve, weil

e⁴

e⁴

Pig. 107.

und

Ą‘3

und weil die

* sein muss Curvenzweige in den angegebenen Punkten die X-Axe, bezw. die Y-Axe berühren.

JP,

Man kann übrigens diese Punkte auch leicht construi-ren, indem man von dem Punkte C mit den Coordi-naten (Fig. 107)

x = a, y — b Stegemann - Kiepert, Differential-Rechnun g.

M,

26

402

§ 91. Anwendungen auf einzelne Curven. auf die Gerade AB mit der Gleichung¹

, t.

a ' b

welche durch die beiden Scheitel A und B der Ellipse hindurchgeht, ein Loth fällt. Dieses Loth, welches die Gleichung

b(y‘ — b) — a[x‘ — a) hat, schneidet die X-Axe in einem Punkte Si mit den Coordinaten

= 0

und die Y-Axe in einem Punkte    mit den Coordinaten

, ^ y =—•

(9.)

s' =

x‘ - 0

Aufgabe 3. Man soll die Evolute der Hyperbel

Fig. 108.

(10.) b²x²—a²y²—a²b²=0, oder

Py

x² y²

Y²~T²~l

$2 l'hAz

(0

aufsuchen.

TA

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man hier

(11.)

1.

Curve.

Man untersuche die Eigenschaften mid die Gestalt dieser

Aufgabe 4. Man soll die Evolute der Kettenlinie

oder Yy² — a² = |(e⁷ — e~ “)

(12.) t/ =

aufsuehen.

to| a

Auflösung. Nach den Gleichungen (31.) und (32.) in § 89 wird für die Kettenlinie

CO

yVy² — «²

2y,

oder mit Kücksicht auf die Gleichungen (12.)

(14.)    ? = x —

/ ïx    2x\

al ~ “TJ 4 Ve ~ e /

Fig. 109.

Somit sind § und rj als Functionen einer dritten Veränderlichen v m x dargestellt, so dass man die Curve\ ^ punktweise construiren und ihre \ Eigenschaften untersuchen kann. \ (Vergl. Fig. 109.)    \

Da man die Gleichung der Kettenlinie auf die Form

-v

x = al(z±ÏÈ=L^)

bringen kami, so ergiebt sich aus den Gleichungen (13.) auch eine Gleichung zwischen £ und ij, nämlich

s = «i(

V ± Vy² — 4a²

yY yl — 4a²

(15.)

Aufgabe 5. Man soll die Evolute der Cykloide x — a(t — simÇ), y — a( 1 — cos^)

aufsuchen.

Auflösung. Nach den Gleichungen (40.) und (41.) in § 89 wird für die Cykloide

(16.)

£ = a(t -j- SÜD), rj == — a( 1 — COS£).

Diese Gleichungen, welche zur Construction und Untersuchung der Evolute wohl geeignet sind, haben einige Aehn-lichkeit mit den Gleichungen der Cykloide selbst, ja man kann sogar zeigen, dass die Evolute gleichfalls eine Cykloide ist. Dies geschieht, indem man ein neues Coordinaten-System ein-

26*

führt, dessen Abscissen-Axe 0‘X‘ parallel ist'zur X-Axe, und dessen Ordinaten-Axe 0‘Y‘ parallel ist zur Y-Axe (Fig. 110). Dabei soll der neue Anfangspunkt 0‘ eine solche Lage haben, dass

(17.)

(18.)

= an -f- rf — 2a r\ wird. Dadurch gehen die Gleichungen (16.) über in §' = a(n + t + sinź), r\‘ — a( 1 + COSż).

Fig. HO.

Il

Y'

r.

Ur

\I

JL’

Setzt man jetzt noch

(19.)

t = t* — n, also t‘ — n t,

so wird

(20.)

sinć = — sinć', cos t — — cosć', und die Gleichungen (18.) gehen über in

(21.)

— a(t‘ — sintf')> y‘ — «(1 — cos ^).

Diese Gleichungen stimmen genau überein mit den Gleichungen (16.); es sind nur die Buchstaben x, y, t bezw. vertauscht mit I', rf, t‘, d. h. die gemeine Cykloide ist ihrer Evolute congruent.

Nach dem Vorstehenden ist also die Cykloide OPEL A (Fig. 110) eine Evolvente der beiden halben Cykloiden OB und BÄ. Befestigt man in B einen biegsamen, aber nicht dehnbaren Faden und legt ihn um die halbe Cykloide BMO, so wird das Ende 0 die Cykloide OPEL A beschreiben, wenn man zunächst den Faden von dem Bogen BMO abwickelt und dann auf den Bogen BA aufwickelt, bis das Ende des Fadens in dem Punkte A anlangt.

Daraus findet man auch leicht die Länge des Cykloiden-bogens OB, denn die Länge des Fadens, der auf diesen Bogen aufgewickelt werden kann, ist

(22.)

OB = HB = 4 a.

Der Bogen OB ist aber congruent dem Bogen HA, und HA ist die Hälfte der ganzen Cykloide, folglich ist

(23.)

OPHA = 8 a.

Der Bogen der ganzen Cykloide ist daher 8-mal so lang wie der Halbmesser des die Cykloide erzeugenden Kreises.

In der Integral - Bechnung wird die Länge des Cykloiden-bogens durch eine andere, allgemein verwendbare Methode ermittelt werden.

(24.)

Aufgabe 6. Man soll die Evolute der Astroide x = acos³ź, y = asin³ć

aufsuchen.

Auflösung. Nach den Gleichungen (49.) und (50.) in § 89 wird fiir die Astroide

(25.)

£ = acos³^ + 3a cos£ sinH, y = 3a cosH sinć + asin³ć.

Diese Gleichungen stellen, wie sogleich gezeigt werden soll, wieder eine Astroide dar, die aus der gegebenen entsteht, indem man a mit 2 a vertauscht und die Coordinaten-Axen um einen Winkel von 45° dreht. Zwischen den neuen und den alten Coordinaten eines Punktes bestehen bei einer solchen Drehung der Axen bekanntlich die Gleichungen

F/

Fig. 111.

4f

J/

kl-

J £' = £ cos 45° + ^ sin 45°, i V = — £sin 45° + ^cos45°,

oder, weil cos45° und sin45° beide gleich ~= sind,

(26a.)    V2.S' = S + ï, V2 ■ v‘ = — S + V-

(27.)

In diesem Falle erhält man deshalb / Ÿ2 . §' == a (cos³# + 3 cos²# sin# + 3 cos# sin²# + sin³#) = a(cos# + sin#)³,

(28.)

Ÿ2. rf — a (sin³/ — 3 sin²# cos?; + 3 sin?; cos²?; — cos³?;) = a (sin#— cos?;)³.

Da aber

cos(# — 45°) = cos?; cos 45° + sin?; sin 45°

cos# + sin?;

V2

sin(# — 45°) = sin# cos45° — cos# sin 45° = ist, so wird

sin#— cos?;

(cos# + sin#)³ = 2 Ÿ2 . cos³(# — 45°),

(sin# — cos#)³ = 2 ]/2 . sin³(# — 45°).

Bezeichnet man noch # — 45° mit #', so gehen die Gleichungen (27.) und (28.) über in

§' = 2a cos³#', rf — 2a sin³#'.

Hieraus erkennt man die Richtigkeit der oben ausgesprochenen Behauptung.

(29.)

(30.)

(31.)

Aufgabe 7. Man soll die Evolute der Epicykloide x — a im cos # — cos m#), y = a {m sin # — sinm#)

aufsuchen.

Auflösung. Nach den Gleichungen (66.) und (67.) in § 89 wird für die Epicykloide

(32.) £ = «i (mcos# + cosm#), y — ax (wsin# + sinm#), wobei

(33.)

na

«, = -— = ——— a ¹ l n + 2

ist. Diese Gleichungen sind den Gleichungen der ursprünglichen

Curve so ähnlich, dass die Vermuthung nahe liegt, die Evolute

sei eine den Epicykloiden verwandte Curve. Durch Transformation der Coordinaten kann man diese Vermuthung bestätigen. Dreht man nämlich die Coordinaten-Axen um den Winkel v, so sind die neuen Coordinaten eines Pimktes bekanntlich durch die Gleichungen

(34.)

§' = §cos© -j- yswv, rj‘ — — §sin© -f- i/cos© gegeben. In dem vorliegenden Falle erhält man daher £' = ax\m(costcosv + sinćsin©) + (cosw^cosü + sümtfsin©)], rf = ax \m (— cos t sinv -j- sin t cos v) + (— cosm^sin«? -f- sinmt cos ©)], oder

(35.)

§' = ax [mcos(ć — v) -f cos {mt — ©)], = ax [msin(ć — v) + sin(mć — ©)].

Setzt man nun

(36.)

— imd t — v — l,

mt — v — ml + Ti,

Fig. 112.

so wird, da m — n -f 1 ist t = l + —,

also

cos (mt — v) = — cosml, sin (mt — v) = — sinmć'.

Deshalb gehen die Glei- ,/x chungen (35.) über in    /

(37.)

-9

— gedreht.

^oder

= ax (mcosć'—cos ml), rf = ax (m sin l — smml).

Die Evolute ist also wieder \\ eine Epicy kloide derselben Art,    V *

nur die Dimension hat sich in \ dem Verhältniss von n + 2 zu n verkleinert, und die Dichtung

der Axen hat sich um den Winkel (Vergl. Fig. 112.)

Jetzt kann man auch leicht die Länge des Epicykloiden-Bogens berechnen. In Figur 112 entsteht der Bogen AB durch Abwickelung des Bogens A C, folglich muss der Bogen A C dieselbe Länge haben wie die Gerade CB. Nun ist aber

2

CB — OB — OC = (n + 2) a--—- a

n -f 2

_ 4(n + 1 )a 4(n -j- 1 )ax

n + 2

Deshalb wird

(38.)

^c=⁴⁽” + 1)g,,

AB = ⁴⁽" + l)a.

Ist n eine ganze Zahl, so besteht die Curve aus 2n Bögen, welche AB congruent sind; der Umfang Uder ganzen Epicykloide wird dann 8 (n + 1) a.

Ist z. B., der Figur 112 entsprechend, n — 3, so wird

U = 32 a.

(38 a.)

16a

(39.)

Aufgabe 8. Man soll die Evolute der Hypocykloide x — «(wîcostf + cosmt), y = a(msüU — sinm£)

aufsuchen.

Auflösung. Nach den Gleichungen (76.) und (77.) in § 89 wird für die Hypocykloide

(40.) § = a, (mcost — cos mt), tj = (jwsinż + sinraż), wobei

(41.)

na

°‘ = T

na

n — 2

ist. Durch Drehung der Coordinaten- Axen um den Winkel v findet man in diesem Falle

j §' = ax [mcos(£ — v) — cos {mt + ©)],

\    — ax [msin(£ — v) + sin(?rc£ -f •<?)].

Setzt man jetzt wieder

(42.)

(43.)

— und t — v — V

so wird, da hier m = n — 1 ist

mt + v = mt' -f- n

cos (mt + v) = — cosm^, sin (mt + v) — — sinmż'. Deshalb gehen die Gleichungen (42.) über in (44.) §' = ax (mcost' -f cosmt¹), r( = ax(msmt'— snm£').

Die Evolute ist also wieder eine Hypocykloide derselben Art, nur die Dimension hat sich in dem Verhältniss von n — 2 zu n vergrössert, und die Richtung der Axen hat sich um den 'Winkel

— gedreht, n J

Auch hier kann man sehr leicht die Länge des Bogens berechnen imd findet, ähnlich wie bei der vorigen Aufgabe, wenn n eine ganze Zahl ist, dass der Umfang der ganzen Hypocykloide

U= 8(»— l)a

(45.)

ist.

Als Beispiel kami hier die Astroide dienen, welche man für den Fall n = 4 erhält. (Vergl. Fig. 111.)

(46.)

Aufgabe 9. Man soll die Evolute der Kreisevolvente x — a(cost + ćsinć), y = a(sinć — żcosć) aufsuchen. (Vergl. Fig. 78 auf Seite 342.)

Auflösung. Schon aus der Entstehung der Kreisevolvente durch Abwickelung eines Kreises kann man schliessen, dass dieser Kreis die Evolute sein muss. (Vergl. Satz 4 in § 90.)

Dieser Schluss wird auch durch die Rechnung bestätigt, denn nach den Gleichungen (83.) und (84.) in § 89 wird für die Kreisevolvente

(47.)

| = acost,

t) = «sin«,

also

(48.)

§2 _J_ ^2 — a2?

und dies ist die Gleichung des Kreises, durch dessen Abwickelung die Kreisevolvente entstanden ist.

XI. Abschnitt.

Untersuchung von Curven, welche auf ein Polarcoordinaten-System bezogen sind.

§ 92.

Tangenten und Normalen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 108—113.)

Bei der Bestimmung- der Lage eines Punktes durch Polar-coordinaten ist eine Gerade OX gegeben und auf dieser Geraden

Fig. 113.

-X

ein Punkt 0; den Punkt O nennt man den Nullpunkt oder den Po/, und die Gerade OX nennt man die Anfangsrichtung oder die Polar -Axe des Coordinaten-Systems.

öl

Q,

Ist nun ein Punkt P beliebig gegeben, so nennt man die positive Strecke OP = r den Radius vector und den Winkel (f, welchen OP mit der Anfangsrichtung bildet, das Argument des Punktes P. (Yergl. Fig. 113.)

Durch die Lage des Punktes P sind daher die beiden Coordinaten r und ff gegeben, und umgekehrt: Durch die beiden Coordinaten r und ff ist die Lage des Punktes P gegeben.

Macht man 0 zum Anfangspunkte eines rechtwinkeligen Coordinaten-Systems und die Anfangsrichtung OX zur X-Axe, so ist der Uebergang von rechtwinkeligen Coordinaten zu Polar-coordinaten, wie man ohne Weiteres aus der Figur erkennt, gegeben durch die Gleichungen

§ 92. Tangenten und Normalen. Daraus folgen dann die Gleichungen r — }/z² + y² und

(p = arctg(j0₅

welche den Uebergang von Polarcoordinaten zu rechtwinkeligen Coordinaten vermitteln.

(2.)

Ist nun zwischen r und <p eine Gleichung von der Form F(r, (f) = 0, oder r = f(y>) gegeben, so entspricht dieser Gleichung eine Curve.

Auf einer solchen Curve (Fig. 114) seien P und Pl zwei benachbarte Punkte, deren Coordinaten mit r, (p, bezw. mit r + dr, (p + d(p bezeichnet werden mögen, wobei durch die Bezeichnung sogleich ausgedrückt werden soll, dass die beiden Punkte einander beliebig nahe rücken dürfen. Beschreibt man dann um 0 mit dem Halbmesser OP gleich r einen Kreisbogen, welcher den Radius vector OPx im Punkte Q treffen möge, dann ist OPx = r + dr,

(3.)

Fig. 114.

also

OQ — r,

QPX = dr,

QP _ r(ly

Wenn die Punkte P und Px einander unendlich nahe rücken, so darf man das kleine rechtwinkelige Dreieck PQPX als geradlinig betrachten und erhält nach dem pythagoräischen Lehrsätze

PPl² = PQ² + QPX²,

(5.)

oder, wenn man den unendlich kleinen Bogen PPt wieder mit ds bezeichnet,

(6.)

ds² = dr² + r²d(p².

Ferner ist

QP _rd(p

QPy dr

Der Winkel QPXP ist der Winkel, den die Gerade PXP mit dem Radius vector OPx bildet; rücken aber die Punkte P

(7.)

tg QPXP —

und Px einander unendlich nahe, so wird 1\P die Tangente der Curve im Punkte P (oder Px), und der Radius vector OPt fällt mit OP zusammen. Bezeichnet man also den Winkel, welchen die Tangente im Punkte P mit dem Radius vector OP bildet, mit g, so wird nach Gleichung (7.)

(7 a.)

_

dr

Nennt man den Winkel, den

Fig. 115.

■a

-X

die Tangente mit der positiven Richtung der X-Axe bildet, wieder a, so ist, wie man ohne Weiteres aus Fig. 115 erkennt,

= <p + g,

tgu = tg (pp + i*)

tgy 4- tgg

1 —tg^ptg^ rd(f

tg<p +

dr

(8.)

tg«

oder, wemi man Zähler und Nenner mit cos^. dr multiplicirt, _ sin(p . dr + rcos<p . dtp cosrp .dr — rsm^p . dtp

Durch den Uebergang von rechtwinkehgen Coordinaten zu Polarcoordinaten werden die in den Gleichungen (6.) und (8.) enthaltenen Resultate bestätigt. Da r durch Gleichung (3.) als Function von (p erklärt ist, so muss man auch

x = rcoscp,

als Functionen von (p betrachten und erhält durch Differentiation

y = rsinçp

oder

dx dr

= -j— cos (p — r sm <p

dtp

d(p

dy _ dr

d<p dtp

3— sinçp + rcosy

dx == COS95. dr — r sin(p . d(p, dy — sin 95. dr + rC0S<p . dtp.

Erhebt man diese beiden Gleichungen in’s Quadrat und ad-dirt sie, so findet man wieder wie in Gleichung (6.)|

dx² + dy² = ds² = dr² -f- r²d(p² ;

durch Division erhält man in Uebereinstimmung mit Gleichung (8.) dy _

dx-^a

_ sin<p. dr + rcos<p . dq> *cos (f .dr — r sin </>. dtp

In einem beliebigen Punkte P der Curve seien die Tangente und die Normale gezogen (Fig. 115), welche die im Punkte 0 auf dem Radius vector OP errichtete Senkrechte bezw. in den Punkten T und N treffen mögen. Man nennt dann

NP die Polar-Normale (IV),

NO die Polar-Subnormale (Sn),

PT die Polar-Tan g ente (T),

OT die Polar-Subtangente (St).

Bezeichnet man den Complementwinkel von g mit v, so erkennt man aus Figur 115, dass v auch der Complementwinkel von ONP ist. Deshalb wird

2$. ONP — g,

OP

und man erhält mit Rücksicht auf Gleichung (7 a.) = tg02W> = ^

(10.)

dr .

NO — Sn = -j— >

d(p

OT OT

tgp = t gOPT = -~p

OT — St = rtgg —

r²d <p.

dr

Np> = N0> + 01* = (0 + r» = (gy.

§ 93.

Anwendungen auf einzelne Curven.

Aufgabe 1. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente für die Archimedische Spirale

(1.)

r — a rf

berechnen.

Auflösung. Die Archimedische Spirale entsteht, indem eine gerade Linie sich um einen ihrer Punkte 0 dreht, während ein

Fig. 116.

ZPT

(12.)

NP

as ,

d(f ’

tgp — tgPAT

PT

(13.)

PT

T = iVtg/A

II ’S

iVP’

rd(f rds

f/r

anderer Punkt P auf ihr mit gleichmässiger Geschwindigkeit fortrückt. Dadurch ist es auch leicht, die Curve punktweise zu construiren. (Vergl. Fig. 116.) Aus Gleichung (1.) folgt nun

MX

(2.)

dr

Sn = — — a d(p

d. h. die Subnormale ist in allen Punkten der Curve constant; deshalb kann man in jedem beliebigen Punkte der Curve sehr leicht Tangente und Normale construiren, auch wenn die Curve nicht gezeichnet vorliegt. Ferner ist

(3.)

_ rdcp_r _

a

Für (p gleich 0 wird auch r gleich 0 und p gleich 0, d. li. die Curve geht durch den Anfangspunkt des Coordinaten-Systems und die Tangente in diesem Punkte der Curve fällt mit der Anfangsrichtung zusammen.

punkte, wie man aus x Gleichung (7.) erkennt, eine hyperbolische Spirale. (Yergl. Fig. 117.)

Aus Gleichung (7.) folgt

(7 a.)

r = ap

(4.)

§ 98. Anwendungen auf einzelne Curven. r²dp r²

St = -ï- = -5

dr

(0 = (0 + *'² = “² + = a,(¹ +

also

(5.)

ds

N = —z— = a]/l + y²;

(6.)

r=^ ₌ ^?.*=ryï+ü?.

ar dr dp

Aufgabe 2. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente für die hyperbolische Spirale

rp — a

(70

berechnen.

Auflösung. Beschreibt man um den Anfangspunkt 0 eine Schaar von Kreisen und schneidet auf ihnen Anfangsrichtung (Polar-Axe) an gerechnet, Bögen von gleicher Länge a ab, so ist der geometrische Ort der End-

von der

Fig. 117.

Q/'N

-K

also

(8.)

Sn

dr

dtp

—2

^»2

=--?

(9.)

tgn

rdp

dr

'S I »

<p,

(10.)

st-Aw

dr

— a.

Bei der hyperbolischen Spirale ist also die Subtangente constant ; deshalb kann man für jeden beliebigen Punkt der Curve sehr leicht Tangente und Normale construiren.

Ferner ist

also

(ii.)

N=~ = r~ya 2 + r2 dtp a

(12.)

dr dr dtp

rds

Für p gleich 0 ist r unendlich gross ; man kann aber auch dann noch die Tangente an den zugehörigen Curvenpunkt legen, obgleich er unendlich fern ist. Eine Tangente, deren Berührungspunkt unendlich fern liegt, heisst bekanntlich Asymptote. Die Asymptote der hyperbolischen Spirale ist die Gerade, welche man im Abstande a parallel zur Anfangsrichtung legen kann. Denn r fällt für rp gleich 0 in die Anfangsrichtung, die Subtangente also in die Gerade, welche im Anfangspunkte auf der Anfangsrichtung senkrecht steht, und ihre Länge ist nach Gleichung (10.) gleich —a.

Aufgabe. 3. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente der parabolischen Spirale

(13.)

r² = a²p, oder r = af/ip = ap¹

aufsuchen.

Auflösung. Aus Gleichung (13.) folgt dr a —4 a2 2 T    2 r

rdp 2r²

tgj* = -^r = ai — 2(p ;

(14.)

(15.)

Sn = —

dp

deshalb wird ebenso wie bei der Archimedischen Spirale r = 0, p — 0 für p = 0.

st =^

(16.)

2r³

dr

Hx = 2rV’

Aufgabe 4. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente der allgemeinen Spirale

(19.)

(17.)

(18.)

4 ⁼ è Va' + 4r‘ = fVi,f +

T — Ntgp — Va* + 4r⁴ = a ]/<£>(! -f- 4</>²).

r = a(f)n

aufsuchen.

Auflösung. Aus Gleichung (19.) folgt

dr

(20.) Sn = — = nay (21.) tgp =    ’

(22.) St =

H—1

r²d(p

S 'S

CUß

M-fl

(/r    n

(23.)

ds

N = — = yn²a²(p2n~² -f- a²(f2n =    -f- <£>²,

d(p

(24.)

T = Ntgp = Cl~- Yn² -f- cp² = i}4² + </>².

Fig. 118.

Man erkennt, dass in dieser Aufgabe die ersten drei Aufgaben als besondere Fälle enthalten sind, wenn man bezw. n = + 1

setzt.

Aufgabe 5. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente für einen beliebigen Punkt der lo-garitkmischen Spirale (25.) r = ea,V berechnen.

Stegemann - Kiepert, Differential-Itechnung

Auflösung. Aus Gleichung (25.) folgt

(26.)

Sn — ~ = aea(f — ar. dg

Die Subnormale ist also dem Radius vector proportional, deshalb beschreibt der Endpunkt N der Subnormale eine Curve, welche der ursprünglichen Curve ähnlich ist. (Vergl. Fig. 118.) Ferner ist

=    = M = arctg(i)

(27.)

der Winkel g, den eine beliebige Tangente mit dem zugehörigen Radius vector bildet, ist also constant.

(28.)

St =

r² d(p    r

dr    a?

folglich ist auch die Subtangente dem Radius vector proportional, so dass auch der Endpunkt T der Subtangente eine Curve beschreibt, welche der ursprünglichen Curve ähnlich ist. (Vergl. Fig. 118.)

also

(29.)

ds

N = -j- — r]/l + a²

dtp

_ rd(p ds dr d(p

Es sind daher auch Normale und Tangente selbst dem Radius vector proportional.

(30.)

T — Ntgp

-yTT^.

a

Aufgabe 6. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente der Curve

rm = am cos (mg))

(31.)

aufsuchen.

Auflösung. Da in Gleichung (31.) die Grösse m noch unendlich viele Werthe haben darf, so sind in dieser Gleichung unendlich viele Curven inbegriffen, von denen einzelne hervorgehoben werden mögen.

I. m— 1. Die Gleichung der Curve ist

(32.)

r — acosy, oder r² — arcosg, also, wenn man zu rechtwinkeligen Coordinaten übergeht,

r cos</) = a,

also, wenn man zu rechtwinkeligen Coordinaten übergeht,

(33 a.)

x — a.    _

Dies ist die Gleichung einer Geraden, welche im Abstande a parallel zur Y-Axe gezogen ist. (Vergl. Fig. 119.)

HI. m — 2. Die Gleichung der Curve ist (34.) r² = a² cos(2<p), oder r⁴ = «²(r²cos²^ — r²sin²^), also, wenn man zu rechtwinkeligen Coordinaten übergeht,

(34 a.)

(x² + y²)² = a²(x² — y²).

Fig. 120.

x¹ + y¹ — ax,

(32 a.)

und dies ist die Gleichung eines Kreises mit dem Halbmesser

to a

dessen Mittelpunkt die Coordinaten

5 rj = 0

hat. (Vergl. Fig. 119.)

H. m — — 1. Die Gleichung der Curve ist

Fig. 119.

(33.)

r~v = a⁻¹cosy/

oder

Dies ist die Gleichung der Lemniscate, einer Curve, deren Gestalt man sehr leicht aus den Gleichungen (34.) und (34 a.) erkennen kann. Zunächst folgt aus Gleichung (34.), dass die Curve innerhalb eines Kreises mit dem Halbmesser a liegen muss, denn es ist r ^ a. (Vergl. Fig.

120.) Aus Gleichung (34 a.) erkennt man sodann, dass die Coordinaten-Axen Sym-metrie-Axen der Curve sind, weil nur die Quadrate von x und y in der Gleichung Vorkommen.

Für (f — 0 wird r = a; wächst q, so wird r kleiner und nimmt ah bis zu r = 0, wenn der Winkel q = 45° geworden ist. Liegt (p zwischen 45⁰ und 90 °, so wird r² negativ, r selbst also imaginär ; deshalb liegt kein reeller Punkt der Curve zwischen der Geraden OB mit der Gleichung y = x und der Y-Axe.

(35.)

IY. m — — 2. Die Gleichung der Curve ist r~² — a~² cos(2y), oder r²cos(2<p) = a²,

also

(35 a.) r²cos²q — /²sin²<p = a², oder x² — y² — a².

Dies ist die Gleichung der gleichseitigen Hyperbel. (Vergl. Fig. 120.)

y. m = + Die Gleichung der Curve ist

(36.)

JL

r — a¹ cos

b oder r = a cos²

(?>

daraus folgt

2 r² — 2ar cos²

ar (* + cos 0>) =

ar + arvosq

(37.)

2r² — ax — ar,

4 r⁴ — 4 axr² -f- a²x² = a²r² = a²x² -f- a²y²

oder (36 a.)

4 (x² + y²) (x² -f- y² — ax) — a²y².

Dies ist die Gleichung der Cardioide. Um die Ueberein-stimmung dieser Curve mit der bei den Epicykloiden als Cardioide bezeichneten Curve nachzuweisen, setze man 2r = a(l — COS 2),

(38.)

dann folgt aus Gleichung (37.)

2x = — aeosć(l — cost),

2 y — y \r² — 4.r² = asintf(l — cosź). Transformirt man noch die Coordinaten, indem man

(39.)

(40.)

4x' = a — 4x

setzt, so erhält man

j 4x‘ — a(l + 2 cos t — 2cos²ć) = a(2eos£— cos 2t), ( 4y — a(2snU— 2sintfcosż) = «(2sin£— sin2<).

Diese Gleichungen gehen in die damals aufgestellten Gleichungen der Cardioide über, wenn man a mit 4a vertauscht. (Vergl. Fig. 76 auf Seite 338.)

VI. m — — |. Die Gleichung der Curve ist

r “ = a - cos(0,

(42.)

oder rcos²

2 r cos²

= r + r COS (f

= 2a, oder r — 2a — x,

also

r² = x² + y¹ = 4a² — 4 ax -j- x²,

(42 a.)

y¹ — 4^2 —    — 4 a(a — x).

Dies ist die Gleichung einer Parabel, deren Axe die X-Axe ist, und deren Scheitel die Coordinaten x = a, y = 0 hat.

also

Allgemein folgt aus der Gleichung (31.)

— — mam sin(my).

mr

(43.)

dr

oder (43 a.)

Sn — —— = d(f

am sin imtp) _

ry*V(i—1

y a2m — r2m

dr

amrsm(m(p)

(44.)

dcf

= ctg (tt — m

= — rtg(ni(p);

folglich ist

(45.)

fl +

(2A -f 1) n _

m<p

wobei h eine ganze Zahl ist, auf deren Werth es nicht ankommt. Dies giebt den Satz:

Der Winkel, den der Radius vector mit der Normale bildet, ist m-mal so gross wie der Winkel, den er mit der Anfangsrichtung bildet.

§ 94.

Krümmungskreis und Krümmungsmittelpunkts-Curven.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 114.)

a.)

2.)

Ist die Gleichung einer Curve in Polarcoordinaten gegeben, so kann man immer den Radius vector r als eine Function vom Argumente y betrachten; deshalb sind auch x =rcos(p und y = rsincp Functionen von (p, so dass man durch Differentiation die folgenden Gleichungen erhält dx dr

5ÿ = ^cos^-rsm^’

(3.)

(46.)

f±)²₌(±)²

\d(f) \d(fj

st=1^Ér =—rctg(m<p)

-j- r² =

q? m_yïm

+ r² =

a2m

(47.)

du

am

(48.)

^ d(f rm~x    cos (my)

T = iVtg/^ =

sm(m<p)

dy dr .

(4.)

d²x

dhr

dtp ² — dcp2 C0S<f>

dr

2-7- sin (p> — rcoscp,

dtp

(5.)

(6.)

d²y d²r    . _ dr

5# = 5ÿsin’, + 2^co^-mn^

0*0-0-0'

dx d²y dy d²x _ ₂    /<^’\²

dtp dtp² d(p d(p²    \d(p)

-f- r²

(7.)

d²r

r dtp²'

Vertauscht man in den Formeln 106 und 107 der Tabelle t mit (p, setzt die hier gefundenen Werthe ein und multiplicirt in den Brüchen Zähler und Nenner mit d(p"\ so erhält man

| = rcoS(f>

(8.)

r\ = rsiny +

ds²(r cos (p d(f + dr . siiup)

(r²d<p² + 2 dr² — rd²r) dcp ’

ds² (— r sin<pcfy> +    . C0S<jp)

(r²d(p² + 2dr² — rd²r) d(p

(9.)

<&³

(r²d(p² -f- 2dr² — re?²r) d(p

Wenn man in diesen Gleichungen den Werth von r als Function von (p einsetzt, so sind £ und i\ als Functionen der dritten Veränderlichen <p dargestellt, was für die Untersuchung der Krümmungsmittelpunkts-Curve oder Evolute ausreicht. Man kann aber auch noch <p aus den beiden Gleichungen (8.) eliminiren und erhält dadurch eine Gleichung zwischen g und r\.

Will man noch die Evolute in Polarcoordinaten darstellen, so hat man in dieser Gleichung zu setzen

§ = r‘ cos <p‘, n — r‘ sin (p‘.

(10.)

§ 85.

Anwendungen auf einzelne Curven.

Aufgabe 1. Man soll den Krümmungskreis der Archimedischen Spirale

(1.)

r — acp

bestimmen. (Vergl. Fig. 116 auf Seite 414.) Auflösung. Aus Gleichung (1.) folgt dr = ad<p, d²r — 0,

(2.)

also

(3.)

ds² = r²d(p² + dr² = a²(l + (p²)d(p², r²d(p² -j- 2dr² — rd²r — a²(2 + (p²)d(p².

Setzt man diese Werthe in die Formeln 114 der Tabelle ein, so erhält man

(4.)

«²(1 + y²) • fl(ycos(jp + siny)

| = a(pco$(p

a²{ 2 + (p²)

t] = aą sin (p +

a²(l + (p²). a{— (psiny + cos y)

a²(2 + (p²)

oder

(5.)

M/ł

2 + <p²

(6.)

a[ysin</> + (1 + <jp²)cos (f\

2 + (f²

(7.)

Q—±~

(i + y²)¹

2 + ff²

Aufgabe 2. Man soll den Krümmungskreis der allgemeinen

Spirale

(8.)

r = a(fn

bestimmen.

Auflösung. Aus Gleichung (8.) folgt durch Differentiation

(9.)

dr

-&=naf

fl-1

d²r

— =    l)a5P”-²,

deshalb ist

ds² = r²d<p² -f- dr¹ = a²(p2n~²(n² -f- (f²)d(p²,

(11.) r²d(f² + 2dr² — rd²r = a²(p2n~² [n(n -f- 1) -f- cp²] g?</>².

Setzt man diese Werthe in die Formeln Nr. 114 der Tabelle ein, so erhält man

(10.)

j. _ n\ro,o&(p — (n² + ^²)a^n_1sin^J

rc(rc -f- 1) + <jp²

_ w[rsin^ + (n² -f <f>²) a(pn~x cos</>]

^    rc(rc + 1) + <p²

ag>n~x(n² + (p2)^ rc(rc + 1) + cp²

Aufgabe 3. Man soll den Kümmungskreis und die Evolute der logarithmischen Spirale.

(12.)

(13.)

(14.)

e= ±

(15.)

U(f>

e T

r —

bestimmen. (Yergl. Fig. 118 auf Seite 417.)

(16.)

Auflösung. Aus Gleichung (15.) folgt durch Differentiation dr d(p

a<t)

e . a

— ar.

d²r

dr

-j—7 = a—— a-r d(fl    d(f

deshalb ist

(17.)

ds² = r²d<p² + dr<l — ?'²(1 + a²)d(f>²,

(18.) r²d(p²-\-2dr²—rd%r = r²(l-\-2a²—a²)d(p²-= r²(l-j-a²)d<p².

Setzt man diese Werthe in die Formeln Nr. 114 der Tabelle ein, so erhält man

£ = rcoSf/ —

r²(l + a²). r(cosy + asiny)

r²(l + a²)

= rsiiif/ 4-

r²( 1 + a²). r(— siny 4- acos<p)

r²(l 4"

oder

(19.)    § = — ar sinr/ ,    7/ = 4- arcosq.

r³(l + a²) r²(l 4- ß²)

Es war aber (nach § 93, Gleichung (29.)) auch die Normale

folglich ist der Krümmungshalbmesser gleich der Polar-Normale. Der Krümmungsmittelpunkt fällt daher in Figur 118 mit N zusammen.

(20.) ? = ±

(21.)

(22.)

LCW

= ± r |/1 4- a².

Nach den Gleichungen (19.) wird ï = — ay

i\ — ax.

Hieraus erkennt man schon, dass die Evolute wieder eine lo garithmische Spirale ist, bei der aber die Dimensionen a-mal so gross sind wie bei der gegebenen. Gleichzeitig sind auch noch die Coordinaten-Axen um einen Winkel von 90° gedreht. Durch Einführung von Polarcoordinaten kann man sogar zeigen, dass die Evolute der gegebenen Curve ähnlich und ausserdem auch congruent ist.

Bezeichnet man die Polarcoordinaten der Evolute mit r‘ und (f ‘, so ist bekanntlich

(23.)

r¹² — |² 4- rj², tgcp‘ =

426

§ 95. Anwendungen auf einzelne Curven. folglich wird in diesem Falle r‘² = a²r², t g(fJ =

(24.)

oder (24 a.)

r‘ — ar, cp' = cp + ^

Lt

— ctgf/ = tg^+0 ⁽f = <f‘ —    ’

toi a

also

(25.)

r‘ = ar = ae

cup

= ae

O'-f)

toi a

lr' = la + a(p‘ — «    ’

oder, wenn man la mit a bezeichnet,

i    i    a7t

cc -j- a>p--2~

(26.)

r‘ = e

(Z

Dreht man die Polar-Axe um den Winkel--

toi a

so dass

9" = 9‘ + l-

wird, so geht Gleichung (26.) über in

acp“

e .

toi a

(27.)

r‘ —

Aufgabe 4. Man soll den Krümmungskreis und die Evolute der Lemniscate

(28.)

bestimmen. (Yergl. Fig. 121.)

r² = a² cos (2<jp)

Auflösung. Durch Differentiation folgt aus Gleichung (28.)

(29.)

dr

— — a²sin(2r/>) = — r²tg(2<p), und wenn man diese Gleichung nochmals differentiirt,

(30.)

/ /A« \ 2    /72/ł»

(rfÿ) + r 3ÿï = “ 2^003(2^) = - 2r*.

Deshalb wird

r²ds² = r²(r²d<p² -f- dr²) = r^dcp² + r²dr² — ^dcp²,

oder

(31.)

a⁴

Z2 d(f^'

§ 95. Anwendungen auf einzelne Curven. Ferner findet man aus Gleichung (30.)

/«a-y

\d(f)

dPr

=<IH©²

d%r

d(f²

²©

+ 2r² =

²©

folglich ist bei der Lemniscate

(32.)

Setzt man diese Werthe in die Formeln Nr. 114 der Tabelle ein, so erhält man

£ = rcos<p — -|-^rcos<£> rj = rshup +    — rsirup + ~ • cos^>

t2cos(²^)c°ssp + sin(2</))sinçp] =

^ [2 cos (2^p) sin cf — sin(2</>)cosçp] = — ²-/-S”-^

(34.) e = + ł—= ± —•

oder

(33.)

d(p

dr

+ -r-

d(f

• sin<p^?

Fig. 121.

IT

folgt

Aus den Gleichungen (33.)

COS (p

/3r£\3 ~ \2a²/ ’

cos²^ -j- sin²<p ==

cos ²<p — sin ²(p

= (lÿ(?*-^)=cos^ ⁼

ipL

a²’

I /2r2\f

(36.) s*+»*=(!£

9(?*+,*)s

folglich ist

/)=

(37.)

4a².

Den beiden Scheiteln At und A₂ der Lemniscate entsprechen die Spitzen und S₂ der Evolute, wobei S₂0 = OSi = \a.

XII. Abschnitt.

Theorie der Determinanten.

§ 96.

Einleitung.

Für viele Untersuchungen in der höheren Mathematik gewährt die Anwendung der Determinanten eine wesentliche Erleichterung, einerseits dadurch, dass die Rechnungen kürzer werden, andererseits dadurch, dass die Resultate eine übersichtlichere und leichter zu merkende Form erhalten.

Deshalb soll hier ein kurzer Abriss der Determinanten-Theorie eingeschaltet werden.

Auf die Ausdrücke, welche man Determinanten nennt, ist man durch die Auflösung von n linearen Gleichungen mit n Unbekannten geführt worden. Sind z. ß. die beiden Gleichungen

(1.)

<*H#1 -j- 0^12^2 r=

Cl^yXy -|- U22X2 ⁼ C2

mit den beiden Unbekannten xy und x₂ gegeben, so findet man bekanntlich durch Elimination

(2.)

X\ —

<?1<*22-<?2<*12

X2 =

- <?1<*21 -f- <?2<*11

<*11022 - <*12<*21

<*11<*22 - <*12<*21

Den gemeinschaftlichen Nenner dieser beiden Ausdrücke, nämlich die Grösse

(3.)

— <*11<*22- <*12<*21 —

«11 <*12 <*21 <*22

auch so geschrieben, dass man die Coefficienten in derselben Reihenfolge wie in den gegebenen Gleichungen aufschreibt und zwischen zwei senkrechte Striche einschliesst.

Sind drei lineare Gleichungen

«11#1 "I" «12^2 4 «13^3 — c\ ,

(4.)

«21#1 4" «22#2 + «23#3 ⁼⁼ <?2 ,

, «31#1 H⁻ «32#2 4" «33^3 — CS

gegeben, so findet man bei der Auflösung für die drei Unbekannten Xi, xn, x₃ Werthe, welche den gemeinschaftlichen Nenner

(5.)

4 = «n(«22«33- «23«32) + «12 («23«31 - «21«33)

4- ®13 («21^32- «22«3i)

haben. Diesen Nenner schreibt man wieder in der Form

«ii«!2«i3

(5 a.)

«21 «22 «23    5

«31 «32 «33

wobei die Coefficienten der gegebenen Gleichungen zwischen zwei senkrechte Striche eingeschlossen sind. Aus Gleichung (5.) erkennt man, dass

J = 2(— 1)* ama2ßa3y

ist, wobei sich die Summation über alle Permutationsformen a ß y der Zahlen 12 3 erstreckt, und wobei das Vorzeichen (—1)A gleich + 1 oder —1 ist, jenachdem die Permutationsform a ß y aus 12 3 durch eine gerade oder ungerade Anzahl von Vertauschungen von je 2 Zahlen hervorgeht. Demnach sind die Glieder

«11«22«33

«12«23«31 j «13«21«32

mit dem Vorzeichen 4- zu nehmen, weil die Reihenfolge der zweiten Indices

12 3

3 12

bezw. durch

solche Vertauschungen von je 2 Zahlen aus der Permutationsform 12 3 hervorgehen. Vertauscht man nämlich in 12 3 die Zahlen 1 und 2 mit einander, so erhält man 2 13, und vertauscht man dann die Zahlen 1 und 3 mit einander, so erhält man 2 3 1.

Vertauscht man in 1 2 3 die Zahlen 1 und 3, so erhält man 3 2 1, und vertauscht man dann die Zahlen 1 und 2, so erhält man 3 12.

Die Glieder

<^12<^21<3⁵33 )    ^13^22^31

«11023^32

dagegen sind mit dem Vorzeichen — zu nehmen, weil die Permutationsformen

32 1

13 2

2 13

aus 123 durch eine einzige solche Vertauschung hervorgehen; vertauscht man nämlich in 12 3 die Zahlen 2 und 3, so erhält man 13 2, vertauscht man in 1 2 3 die Zahlen 1 und 2, so erhält man 2 13, und vertauscht man in 12 3 die Zahlen 1 und 3, so erhält man 3 2 1.

§ 97.

Bildung einer Determinante nter Ordnung aus n-Elementen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 115).

In ähnlicher Weise möge jetzt

(1.)

$11 $12 • • • $1 n $21 $22 • • • $2n

=    lfal((a2ßa3y . .

• Uny

ttn\ ®«2 • • • ®nn

erklärt werden. Die n² Grössen «n, ai2,... ann heissen Elemente der Determinante; die Determinante J selbst ist eine Summe, bei der jedes Glied das Product von nElementen ist. Dabei enthält ein solches Product aus jeder Zeile (Horizontalreihe) und aus jeder Colonne (Verticalreihe) ein und nur ein Element.

Für das Vorzeichen (—1'/ gelte folgende Regel: Heissen die ersten Indices

12 3...»

und die zweiten so ist aß y ...v eine Pemntationsform der Zahlen 12 3...». Ist dann a von 1 verschieden, so vertausche man a mit 1. Ist in der dadurch entstandenen Permutationsform die zweite Zahl von 2'verschieden, so vertausche man sie mit 2 und fahre so fort, bis die Reihenfolge der Zahlen die natürliche ist. Wenn nun X die Anzahl dieser Vertauschungen ist, so wird das Vorzeichen des zugehörigen Gliedes (— 1);‘.

So ist z. B. für die Permutationsform 3 14 2 diese Zahl X gleich 3, und zwar erhält man nach einander die Formen

1243

3 14 2

13 4 2

Für die Permutationsform 3 2 5 1 4 ist X wieder gleich 3, und zwar erhält man nach einander die Formen

1 2 34.

32 5 1 4,    1 2534,    1 23 54,    1 2 3 4 5.

Die Summation erstreckt sich über alle Permutationsformen aß y .. .v der Zahlen 1 2 3 ... », folglich ist die Anzahl der Glieder gleich »! = 1.2.3...».

Dies kann man auch so zeigen. Nimmt man ein beliebiges Element der ersten Zeile altt, so giebt es » mögliche Fälle, weil a dabei »Werthe haben darf. Da ß von a verschieden sein muss, so giebt es bei der Auswahl von #2j3 aus den Elementen der zweiten Zeile nur noch » — 1 mögliche Fälle. Deshalb giebt es bei der Auswahl von aui a₂ß im Ganzen »(» — l) mögliche Fälle. Ebenso erkennt man, dass für die Auswahl von aus den Elementen der dritten Zeile nur » — 2 mögliche Fälle und deshalb für die Auswahl von alaa₂ßaZy im Ganzen nin—1) (»—2) mögliche Fälle vorhanden sind.

Indem man so weiter fortfährt, findet man das oben angegebene Resultat.

§ 98.

Einige Sätze aus der Permutationslehre.

Erklärung. Das Permutiren besteht in dem Aufsuchen aller Stellungen, welche »Elemente a,b, c,... k,l einnehmen können. Jede solche Stellung nennt man eine Per mutationsform.

Die Anzahl der Permutationsformen bei 2 Elementen a und b ist 1.2 = 2!, nämlich a b und b a. Tritt ein drittes Element

c hinzu, so kann man aus jeder dieser beiden Permutationsformen drei bilden, z. B. aus b a die drei Formen cb a,

bac,

indem man c an die erste, die zweite und die dritte Stelle setzt. Die Anzahl der Permutationsformen bei 3 Elementen a, b, c ist daher gleich 1.2.3 = 3 !.

Tritt ein viertes Element d hinzu, so kann man aus jeder dieser 3! Permutationsformen vier bilden, z. B. aus b ac die vier Formen

dbać

bade,

b d a c,

indem man d an die erste, zweite, dritte und vierte Stelle setzt. Die Anzahl der Permutationsformen bei 4 Elementen ist daher gleich 1.2.3.4 = 41.

Indem man so fortfährt, findet man

Satz 1.

Die Anzahl der Permutationsformen bei n Elementen ist n ! = 1.2.3 ... n.

Vertauscht man nur zwei Elemente mit einander, so nennt man diese Vertauschung eine Transposition.

Satz 2. Von zwei beliebigen Permutationsformen Px und P2 kann die eine aus der anderen durch fortgesetzte Transposition her geleitet werden.

Beispiele. Die Permutationsform eabdc kann durch 3 Transpositionen in die Form abede übergefiihrt werden, und zwar erhält man der Beihe nach die Formen

eabdc, aebdc, abede, abede.

Die Permutationsform fgacdeb kann durch 5 Transpositionen in die Form abedefg übergefiihrt werden, und zwar erhält man der Eeihe nach die Formen

abfedeg, abedefg.

fgacdeb

abefdeg

agfedeb, abcdfe g,

Aus diesen Beispielen erkennt man das Verfaliren, das ganz allgemein zum Ziele führt. Es ist aber zu beachten, dass man eine Permutationsform P^ in eine andere P₂ iß mannigfacher Weise durch Transpositionen überführen kann, und dass die Anzahl der verwendeten Transpositionen noch unendlich viele Werthe besitzt. Dabei gilt aber der folgende

Satz 3. Kann man Px in P₂ überführen, das eine Mal durch X, das andere Mal durch p Transpositionen, so ist X—p stets eine gerade Zahl.

Beweis. Es sei

(1.)

F= (b — d) (c — a) (d — a)... (k — a) (l — a) mal {c — b) (d— b)... (k — b) (l — b) mal {d — c)... (Je — c) (l — c)

mal (l — k).

Bei der Bildung dieses Productes hat man jedes Element von allen folgenden subtrahirt und die so entstandenen Differenzen mit einander multiplicirt. Es soll nun untersucht werden, wie sich die Grösse F ändert, wenn man zwei Elemente, z. B. q und s mit einander vertauscht. Alle Differenzen, in denen q und s gar nicht Vorkommen, bleiben unverändert. Ist ferner p irgend ein Element, das den beiden Elementen q und s vorangeht, so geht bei der Vertauschung von q mit s das Product (q—p) (s—p) in (s—p) (q—p) über und behält denselben Werth. Steht das Element r zwischen q und s, so geht das Product (r — q) (s — r) in (r — s) (q — r) über und behält gleichfalls denselben Werth. Folgt endlich das Element t den beiden Elementen q und s, so geht das Product (t — q) (t — s) in (t — s) (t — q) über und behält auch denselben Werth. Nur durch den Factor s — q, welcher bei der Vertauschung von q mit s in q — s übergeht, wird das Vorzeichen von F geändert, während der absolute Betrag von F derselbe bleibt.

Die Grösse F ändert daher nur das Vorzeichen, wenn man zwei Elemente mit einander vertauscht.

Ebenso kann man zeigen, dass F bei jeder weiteren Transposition zweier Elemente nur das Vorzeichen ändert. Entsteht F^ aus F durch X Transpositionen, so ist daher

(2.)

Ą = (- i)*-E

Bezeichnet man also die Werthe von P, welche den Permutationsformen Px und P₂ entsprechen, mit Fx und F₂, und geht 1\ in P₂ über, das eine Mal durch X, das andere Mal durch P Transpositionen, so gelten die beiden Gleichungen P₂ = (-1/3 und J5 = (—1 y*J5;

(8.)

daraus folgt

(4.)

(— 1)* = (— 1Y, oder X — p + 2 w, wobei 2 w eine beliebige gerade Zahl ist.

Um zu bezeichnen, dass die Permutationsform P (z. B. 1 2 3 ... a) in Px (oder a ß y ... v) durch X Transpositionen übergeführt wird, schreibt man

(5.)

Hp) = (

123. aßy..

.. n\ • • v)

Satz 4. Geht P in Px über durch X, und geht Px in P2 über durch g Transpositionen, so geht Pin P₂ durch X-{-p + 2w Transpositionen über. Ist also

(6.)

Hp)

ha ha

so wird

(p₂) = (p₁) ⁺ (p‘)±2w = A + '‘±2w-

Der Beweis folgt unmittelbar daraus, dass P in P₂ übergeht, wenn man zuerst P in Px und dann Px in P₂ überführt. Der Satz lässt sich ohne Weiteres verallgemeinern; es

ist z. B.

(8.)

+ 2w.

Satz 5. Die n ! Permutationsformen von n Elementen lassen sich durch die Transposition zweier Elemente paarweise grup-piren.

Beweis. Durch die Transposition zweier Elemente, z. B. der beiden Elemente a und b, geht die beliebige Permutationsform Px in P₂ über, wobei Px und P₂ von einander verschieden sind. Ist nun die Permutationsform Qx von Px und P₂ verschieden, so geht Qx durch die Vertauschung von a mit b in Q₂ über, wobei Q₂ von Qx und auch von Px und P₂ verschieden ist. Wäre nämlich Q, identisch mit Px (bezw. mit P₂), so müsste Qx identisch sein mit P₂ (bezw. mit Px). Ist ferner die Permutationsform Rx von Pl5 P₂, Qx, Q₂ verschieden, so geht Rx durch die Vertauschung von a mit b in P₂ über, wobei P₂ von Rx und auch von P1? P₂, Qx, Q₂ verschieden ist.

So kann man fortfahren, bis die sämmtlichen Permutationsformen erschöpft sind.

§ 99-

Eigenschaften der Determinanten.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 116—119.) Satz 1. Zwei Glieder (oder Terme)

(1.)

und

T\ = (— l)*¹ «i«! a2ß, «3yi • • • «W,

(2-)

haben gleiches oder entgegengesetztes Zeichen; jenachdem die Transpositionszahl

(3.)

?=(

«i ßiYi" <%2 ßi Yi • •

gerade oder ungerade ist.

Beweis. Es ist

Xi

<*i ßi Yi • • • *T\

1 2 3 ...» j

CCißzYz - - ■ ^2\ __ / 1 2 3 .. .n ) ~ V

folglich ist

(3 a.)

q =    + ^2 + 2w.

Sind Xi und Ä₂ beide gerade oder beide ungerade, haben also Tx und T₂ gleiches Zeichen, so ist q gerade. Wenn dagegen von den beiden Zahlen Xi und l₂ die eine gerade und die andere ungerade ist, wenn also Tx und P₂ entgegengesetztes Zeichen haben, so ist o ungerade.

Satz 2. Die Determinante J hat ebenso viele positive icie negative Glieder.

Beweis. Wenn die beiden Permutationsformen ax ß{ ft... ft und «₂ ßi Y2 • • • Vci durch eine einzige Transposition in einander übergehen, wenn also X = 1 ist, so haben nach Satz 1 die Glieder Tx imd T₂ entgegengesetztes Vorzeichen. Da man nun durch eine Transposition alle Permutationsformen paarweise gruppiren kann, so kann man auch die sämmtlichen Glieder der Determinante paarweise gruppiren, so dass bei jedem solchen Paare das eine Glied positiv und das andere negativ ist.

Ordnet man in

T — (— 1)A ala a2ß a3y ... a

die Factoren anders, so geht T über in

T=(— 1 )*»/«! Vi ahn • ‘ • a»v

(4.)

(4 a.)

nv

Dabei folgt aus

_ /aicc a2ß °3y • • • anv\ X«/«! agßl ahyl • • • alvJ

dass auch

(5.)

_ /1 2 3 ... «\_/

V/V

a ß y ■■

«l ßx ft • •

ist. Ausserdem ist

(6.)

aß y . 12 3.

f g h ...l\ 12 3...«/

Deshalb erhält man

f g h ...l

<*ißi Yf-Vi

oder

(7 a.)

(8.)

(jyi%" \ + ^

\1 2 3...«/^\

12 3.

«/* r • •

:: M

a ß y .

«i ft ft ..

• • vj

+ 2 w,

q = ^ -f A -j- g + 2w = l + 2v, (-1)?=

Dies giebt

Satz 3. Sind in dem Gliede T die Factoren beliebig geordnet, so ist das Vorzeichen von T gleich (— l)p, wobei q die Transpositionszahl zwischen den ersten und den zweiten Indices ist.

Jetzt möge die Determinante aus

(9.)

«ii «i2 «i3 • • • <*i« «21 «22 <*23 • • • <*2n <*31 <*32 <*33 • • • <*3n

«n 1 <*m2 <*n3 • • • <*tw

hervorgehen, indem man die Zeilen beliebig mit einander und ebenso die Colonnen beliebig mit einander vertauscht, so wird

(10.)

afa afß afy • • • afv aga agß agy * • • agv aha ahß ahy • •• ahv ’

aicc aiß aiy • • • alv

wobei f g h.. .1 und a ß y .. .v irgend zwei Permutationsformen der Zahlen 1 2 3 ... n sind.

Die beiden Determinanten 4 und enthalten dann, abgesehen vom Vorzeichen, genau dieselben Glieder; denn ein beliebiges Glied von Jx ist

(u.)

T< = (— i)'“ «/«, «»ft °»ri • • • “‘ft’

wobei

«i ßi n • • • *i\ aß y . . . v )

ist. Das entsprechende Glied in 4 heisst

T = (    1)? «/Ki agßi ahyi ... alVi

(12.)

(13.)

wobei nach Satz 3

/i=(

*    \«l ßl ÏI • • •

die Transpositionszahl zwischen den ersten und zweiten Indices ist. Bezeichnet man jetzt

(14.)

0

vj

f g h ... a ß y ..

mit À, so wird

' ’ * ^ + 2w — q + l + 2w,

⁽¹⁵⁾ ^01' )+(«

folglich wird

(16.)

imd da diese Gleichung für alle Glieder der Determinanten Ai und A gilt, so erhält man

(17.)

In dieser Gleichung ist der folgende Satz enthalten:

Satz 4. Vertauscht man in einer Determinante A die Zeilen beliebig mit einander und die Golonnen beliebig mit einander, so geht die Determinante in sich selbst über, multiplient mit (— 1)*, wobei 1 die Transpositionszahl zwischen der neuen Aufeinanderfolge f g h... I der Zeilen und der neuen Aufeinanderfolge a ß y .. .v der Colonnen ist.

Hieraus ergiebt sich als besonderer Fall

Satz 5. Dine Determinante ändert nur ihr Vorzeichen, wenn man zwei Zeilen oder zwei Golonnen mit einander vertauscht.

Hat eine Determinante A zwei identische Zeilen oder zwei identische Colonnen, so ändert sich A nicht, wenn man diese beiden identischen Reihen mit einander vertauscht. Andererseits erhält aber nach Satz 5 die Determinante bei dieser Vertauschung das entgegengesetzte Vorzeichen, folglich wird

(18.)

A — — A,

oder 2 A — 0.

Dies giebt

Satz 6. Dine Determinante mit zwei identischen Zeilen oder mit zwei identischen Golonnen ist gleich Null.

Satz 7. Dine Determinante ändert ihren Werth gar nicht, wenn man die Zeilen zu Colonnen und die Golonnen zu Zeilen macht.

Beweis. Die Vertauschung der Zeilen mit den Colonnen entspricht einer Vertauschung der ersten Indices mit den zweiten, so dass die Determinante

(19.)

^ = 2(— 1)A aiu a₂ß a3y ... anv bei dieser Vertauschung übergeht in

(20.)

VH*

A = -(— !)A °«i aß2 «y3 • •

Die beiden Determinanten J und Jl enthalten aber genau dieselben Glieder, nur sind die Factoren der einzelnen Glieder in J nach den ersten und in Jl nach den zweiten Indices geordnet.

Aus diesem letzten Satze erkennt man, dass jeder Satz, welcher sich auf die Zeilen einer Determinante bezieht, in gleicher Weise auch von den Colonnen einer Determinante gilt. Um beide Fälle zusammenzufassen, möge in den folgenden Paragraphen der Ausdruck „Reihen“ ebenso für die Zeilen wie für die Colonnen gebraucht werden.

§ 100.

Zerlegung der Determinanten.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 120—124.) Zieht man aus der Determinante

= 2(— 1 )lala a2ß a3y ... anv

ö^ll #12 #13 • • • #1« #21 #22 #23 • • • #2n #31 #32 #33 • • • #3n

#nl #w2#«3 • • • #nra

• ^nvi

alle Glieder heraus, die mit an multiplicirt sind, so erhält man (2.)    2(— 1)1 an a2ß #3y .. . anv — an 2(— 1)* a2ß #3y ..

wo sich die Summation auf alle Permutationsformen ß y ... v der Zahlen 2 3 ... n erstreckt, während l die zugehörige Transpositionszahl ist. Der Factor von an in Gleichung (2.) — er heisse an — ist daher

(3.)

«ii =

#22 #23 • • • #2n #32 #33 • • • #3n

#«2 #«3 • • • #nw

er ist also eine Determinante (» — l)ter Ordnung, die aus J entstellt, indem man die erste Zeile und die erste Colonne fortlässt.

so wird

Vertauscht man in J die erste Zeile mit der zweiten,

(4.)

#21 #22 #23 • • • #2n «11 «i2 #13 • • • #1» #31 #32 #33 • • • #3n

#(ll #w2 #W3 • • • #MM

Bei dieser Determinante wird in gleicher Weise wie vorhin der Factor von «₂i eine Determinante (n — l)ter Ordnung, welche durch Fortlassen der ersten Zeile und ersten Colonne aus der vorstehenden Determinante hervorgeht; folglich ist der Factor «2i von «2i in der ursprünglichen Determinante J

#12 #13 • • • #ln #32 #33 • • • #3n

(5.)

.«21 = -

#w2 #«3 • • • #ww

und geht aus J hervor, indem man die zweite Zeile und die erste Colonne fortlässt und das Zeichen

— 1 = (— 1)8+1

(6.)

davorsetzt.

In ähnlicher Weise findet man den Factor von «₃i, «₄₁, ... allgemein den Factor afl von afl. Vertauscht man nämhch die fte Zeile mit der (/— l)ten, dann mit der (/— 2)ten und so weiter, bis die Reihenfolge der Zeilen (bezw. der ersten Indices)

/, 1, 2, 1, ... n geworden ist, so geht bei diesen f— 1 Vertauschungen J in (—1 y~lJ über, und das Element afl steht an erster Stelle. Daraus folgt, dass der Factor von afl m J, nämhch

«13    • • • «ln

«12

(7-)

«/—1,2 «/—1,3 • • • «/—1 ,n «/+!, 2 «/+1,3 • • • «/+l,n

«n2    «»3    • • • «nn

aus // hervorgeht, indem man die fte Zeile und die erste Colonne fortlässt und das Zeichen

(— îy-¹ = (— iy+i

(8.)

hinzufügt.

Vertauscht man jetzt in J die rte Colonne mit der (r—l)ten, dami mit der (r — 2)tm und so weiter, bis die Reihenfolge der Colonnen (bezw. der zweiten Indices)

r, 1, 2, ...r— 1, r + 1, ...n

geworden ist, so geht J in (—l)r_1 J über; jetzt kann man den Factor afr von afr in gleicher Weise finden, wie vorhin den Factor afl von an. Daraus folgt dann, dass

«11 . . . Cl\,r—1    «1, r+1 • • • «lw

(9.)    a,r = (— 1 y+'

«/—1, 1 • • • «/— 1, r—1 «/— 1, r+1 • • • «/— 1, n «/+1, 1 • • • «/+l,r-l «/+1, r+1 • • • «/+1, n

«» 1    • • •    «w, r—1 «ra, r+1    • • • «nn

aus J entsteht, indem man die fte Zeile und rte Colonne fortlässt und den Factor (— l)/+r hinzufügt.

Diese Factoren atr heissen „ Unterdeterminanten (n — l)ter Ordnung von 4“ und können auch noch auf die folgende Form gebracht werden. Durch f— 1 Vertauschungen können die Zeilen (bezw. die ersten Indices)

1, 2, 3.../— !,/+!,/+ 2,... »

in die Reihenfolge

/+!, 1, 2, 3,.../—l,/+2,...» gebracht werden. Durch weitere /—1 Vertauschungen erhält man die Reihenfolge

/+!,/+2, 1, 2,.../—l,/+3,...*».

So kann man fort,fahren, bis man durch (n—/) (/—1) Vertauschungen die „cyMische“ Reihenfolge /+l,/+2,...nf 1, 2

Ebenso gelangt man durch (w — r) (r — 1) Ver-

erhält.

tauschungen der Colonnen (bezw. der zweiten Indices) zu der cyclischen Reihenfolge

r + 1, r + 2,... n, 1, 2, ... r — 1.

Durch diese Vertauschungen ist afr mit

( !)(«—/) (/-I) + (w—r) (r—1) _ ( ]_)» (/+r) — 2n —/ (/—1) —r (r—1)

= (_ 1)» (f+r)

mnltiplicirt, denn 2n, /(/— 1) und r (r— l) sind gerade Zahlen. Deshalb wird das Vorzeichen von afr

(- !)»(/+»•)+/+»• — (—    (f+r\

Dies giebt

r—1

(10.) «/r = (— !)&»+!) (/+r)

Ö/+1, r+1 af+l, r+2 • • • «/+1,

«/+ 2, r+1 ß/+2, r+2 • • • «/+2, r—1

®/—1, r+1 ö/—1, r+2 • • •    1, r—1

Ist n ungerade, also w + 1 gerade, so sind daher alle diese Unterdeterminanten mit dem positiven Vorzeichen zu nehmen.

Beachtet man, dass jedes Glied der Determinante z/ ein und nur ein Element der ersten Colonne enthält, so findet man, dass

(no

J — an ce 11 -j- «21^21 + ö31w31 + • • • + anl Mnl

sein muss; denn es sind erstens alle Glieder von J durch die Summe auf der rechten Seite von Gleichung (11.) erschöpft, weil jedes Glied ein Element der ersten Colonne als Factor enthalten muss, und zweitens kommt in dieser Summe jedes Glied nur einmal vor, weil kein Glied zwei Elemente der ersten Colonne als Factoren enthalten kann.

Ebenso kann man die Determinante J nach den Elementen der rten Colonne zerlegen und erhält

(12.)

/t — alr 0£lr -j- «2r <*2r + ^3r w3r “f* . . • 4* #«r Mnr-

Beispiel.

Es sei n = 3, also

«11 «i2 «13 «21 «22 «23 «31 «32 «33

dann ist

«12 «13 «22 «23    ’

«22 «23 «32 «33

«12 «13 «32 «33

oder, wenn man die cy/clische Anordnung der Unterdeterminanten benutzt

Z/ - «11

- «21

+ #31

«12 «13 «22 «23

«32 «33 «12 «13

= «11 («22«33-«23 «32) “l⁻ «21 («32 «13-#33 #12) + #31 (#12 #23-#13#22)-

Da sich 4 nicht ändert, wenn man die Zeilen mit den Colonnen vertauscht, so findet man in gleicher Weise eine Zerlegung von J nach den Elementen einer beliebigen Zeile mid zwar wird

z/ — «ii

«22 «23 «32 «33

+ «21

+ #31

(13.)

J = ö/i «yi -f- «y₂ «/2 + «/3 «/3 + . . . + dfn CC/n-

Ordnet man z. B. für n — 3 die Determinante nach den Elementen der zweiten Zeile, so erhält man

«12 «13 «32 «33

oder bei cyklischer Anordnung

«32 «33

«12 #13

z/ = - «₂i

+ #22

+ #22

«11 «13 «31 #33

- #23

#11 #12 #31 #32    ’

«33 #31 #13 #11

+ #23

#31 #32 #11 #12

Ist s von r verschieden, und vertauscht man in Gleichung (12.) die Elemente alr, «2r,... anr mit «l5, «₂,,... aus, so erhält man

(14.)

— #is«lr 4" ß₂,ß₂r + «3i«3r + «MS «rar

wo Ji gleichfalls eine Determinante ist, welche aus J hervorgeht, indem man die Elemente der rten Colonne durch die Elemente der sten Colonne ersetzt. Dadurch wird aber Ji eine Determinante, in welcher die Elemente der rten und der sten

Colonne identisch sind. Deshalb wird Ji nach Satz 6 in § 99 gleich Null, und Gleichung (14.) geht über in (14a.) wenn r^s ist.

(tu Mlr 4* #2s«2r *4" «3s «3r 4“ «ws «nr — O5

Ist ferner g von / verschieden, und vertauscht man in Gleichung (13.) die Elemente aA, «/2,... afn mit agi, %>, . • • agn, so erhält man

(15.)

agl Mji 4- ag2 «/2 4” agZ «/3 4~ • • • 4~ agn Mfn — 0,

ttglCtfi 4“ «p2«/2 4" UgzMjZ 4" • • • 4“ wo J₂ gleichfalls eine Determinante ist, welche aus J hervorgeht, indem man die Elemente der ften Zeile durch die Elemente der gUn Zeile ersetzt. Dadurch wird aber J₂ eine Determinante, in welcher die Elemente der ften und der gten Zeile identisch sind. Deshalb wird J₂ nach Satz 6 in § 99 gleich Null, und Gleichung (15.) geht über in (15 a.)

wenn / < g ist.

§ 101.

Anwendung auf die Auflösung von n linearen Gleichungen mit n Unbekannten.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 125.)

Sind n lineare Gleichungen mit n Unbekannten:

Mn %l 4“ «12^2 4" • • • 4* aln Xn ⁼ c 1,

(IO

«21 %l 4- «22 #2 4" • • • 4" ainxn — c2)

, «nl^l 4- «w2 %2 4~ • • • 4* Mnnxn — Gi

gegeben, so findet man xu indem man die erste Gleichung mit «n, die zweite Gleichung mit a₂i,... die nte Gleichung mit «M1 multiplicirt und alle Gleichungen addirt. Der Coefficient von Xi wird dann nach Formel Nr. 121 der Tabelle (für r = 1)

(2.)

«11 «11 4- «21 «21 4" • • • 4- «nl «nl = d5 während der Coefficient von xs, wenn s von 1 verschieden ist, nach Formel Nr. 123 der Tabelle (für r — 1) gleich

0U«U 4“ «2s <^21 4"* • *4~ «ns^ni = 0 ist. Man erhält daher hei der Addition

(3.)

(4.)

/! . Xi = Cl «u + C-2 «21 +• . . 4* Cn «Ml ,

eine Gleichung-, aus der sich unndttelbar ergiebt, wenn man auf beiden Seiten durch J dividirt.

Ebenso leicht findet man den Werth von xr, indem man die Gleichungen (1.) bezw. mit

j (%2r 5 • • • Wnr

multiplicirt und dann addirt. Ist s von r verschieden, so wird bei der Addition der Coefficient von xs nach Formel Nr. 123 der Tabelle

(5.)

«ls^lr -f- «2s ^2r 4“ • • «H⁻ «ns ^nr — 0;

nur der Coefficient von xr wird nach Formel Nr. 121 der Tabelle

(6.)

«Ir «lr 4* CL^r^ïr 4" • • •4“ «nr Wnr — z/< folglich erhält man bei der Addition

(7.)

z/. Xr — Ci«i^ 4- C₂ «2r 4“ • • • 4~ cn <^nr •

Wenn man in der Determinante

xd = (l\r «ir 4- «2r«2r 4“ • • •4“ «nr «nr die Elemente der rten Colonne ayr, a2r,... anr durch die Grössen Ci, c₂, ... cn ersetzt, so erhält man

Ci dir 4~ «2«2r 4“* • »4* Cnanr\

deshalb kami man Gleichung (7.) auch schreiben, wie folgt:

«11 . . . «i)f-_i «i «l, «—J-i . . . «in «21 ... «2, r—1 «2 «2, r-f-l • * • «2n

(7a.)

«11 «12 . . • «ln «2i «22 • • . «2n

.Xr =

«nl «»2 • • • «nn

«ni . . . «n, r—1 «n «n, r+1 • • • «nn

Um xr selbst zu finden, muss man noch die beiden Seiten der Gleichung (7.) oder (7a.) durch /t dividiren, was nur unter der Voraussetzung geschehen darf, dass z/ von Null verschieden ist. Was geschieht, wenn J — 0 ist, möge einer späteren Untersuchung Vorbehalten bleiben.

§ 102.

Vereinfachungen bei Ausrechnung der Determinanten.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 126—132.)

Satz 1. Wenn alle Elemente einer Reihe bis auf eines ayr verschwinden, so ist die Determinante diesem einen Elemente a}r gleich, multiplicirt mit der zugehörigen Unter déterminante (n—l)ter Ordnung ctjr.

So ist z. B.

Ay Cy As Cs

A i 0 Cy

= B2

■A.2 j?2 C%

As 0 Cs

Der Beweis des allgemeinen Satzes ergiebt sieb unmittelbar aus der Zerlegung der Determinante nach den Elementen der betreffenden Reihe.

Satz 2. Eine Determinante kann auf den nächst höheren Grad gebracht werden, wenn man eine Zeile und eine Colonne einschiebt, das den beiden eingeschobenen Reihen gemeinschaftliche Element + 1 setzt und die übrigen Elemente der einen eingeschobenen Reihe gleich 0 macht. Die übrigen Elemente der anderen eingeschobenen Reihe sind ganz beliebig.

Es ist z. B.

(1.)

a u ßi2 • • • ayn $21 #22 • . . #2w

Ui h •-■In

0 Uyy Uy2 ...

0 $21 #22 • • • #2n

0 Ct'nl

wobei die Grössen §1, £₂, • • • I» noch ganz beliebig sind.

Der Beweis des Satzes folgt unmittelbar aus der Anwendung von Satz 1. Stehen die beiden eingeschobenen Reihen am Rande der Determinante, wie in dem angegebenen Beispiele, so nennt man das Verfahren ,,Rändern der Determinante.“

Satz 3. Verschwinden alle Elemente auf der einen Seite einer Diagonale, so reducirt sich die Determinante auf das erste bezw. auf das letzte Glied.

Es ist z. B.

(2.)

Ai Ei Gi Di

0 E% Ć4 D%

0    0 (?3 D3

0 0 0 Z>₄

— Ai E2 Cs Dt.

Satz 1.

Der Beweis folgt aus der wiederholten Anwendung von

Satz 4. Haben sämmtliche Elemente einer Reihe eitlen gemeinsamen Factor, so kann man denselben vor die Determinante setzen.

(3.)

Es ist also z. B.

an • • • 7Ytd\f . • • öi

Ö/21 • • • TYld^if . • • d^Yh

dn . . • d\r . . . d\n ^21 • • • #2r • • • ^2w

an\ • • • O'nr • • • 0/nn

a^ii... manr ... Cun Der Beweis folgt aus der Zerlegung der Determinante nach den Elementen der betreffenden Reihe.

Durch die Anwendung dieses Satzes kann man in vielen Fällen eine Determinante auf eine andere mit kleineren Zahlen reduciren. So ist z. B.

H-¹ t—*

GO Ci tO

r—

to O

rH rH CM

3.4.5

CO N CO

Satz 5. Sind die Elemente einer Reihe denen einer parallelen Reihe proportional, so ist die Determinante gleich Null.

Es ist z. B.

(4.)

Ai mAi Ci

A2 mA2 C2

As mAs Cs

Ai Ai Ci A2 A2 Cg As A3 Cs

= 0.

Satz 6. Sind die Elemente einer Reihe Aggregate von gleich viel Gliedern y so ist die Determinante gleich der Summe mehrerer Determinanten, welche man aus der ursprünglichen erhält, indem man die einzelnen Theilreihen einsetzt.

Es ist z. B.

(5.)

AyCyDy... -d-2 "f" -®25 ^2j B₂, • • • _ ^2 ^2 -^2 • • *

By Cy Dy ...

B₂ C₂ D₂ ...

An “b Bn, Gn, Dn,. . .

An Gn Bn • • •

Bn CnDn ...

Der Beweis des Satzes folgt aus der Zerlegung der Determinante nacli den Elementen der betreifenden Keihe.

Satz 7. Eine Determinante ändert sich nicht y wenn man zu den Elementen einer Reihe ein beliebiges Vielfache von den Elementen einer parallelen Reihe addirt.

Es ist also z. B.

(6.)

ttyy ay₂ . . . 0\n

a₂y 022 . . . a2n

ayy -j- mayry ü\2 . , . ayn

a₂y -f- ma2r, a₂₂. .. a2n

an\ “f- manri • • • Onn

Oni On2 . . . ünn

Der Beweis folgt aus der Verbindung der Sätze 5 und 6.

In welcher Weise die vorstehenden Sätze benutzt werden können, mögen die folgenden Beispiele zeigen.

1) Es ist

Xy — X₂, %)y - ])₂

l*i — *3: V\ — y.3

1 Xy 0 Xy O Xy

1 Xy yy

1 x₂    y 2

1 —^3 —y:i

1 V\ 1 x₂ y2 1 *3 2/3

Stegemann-Kiepert, Differential-Rechnung.

29

2) Es ist

Vi

rH rH rH rH

y—< <N CO ^ ** ^ ^ **

«5* J»

,r « <r «

s£ ;§* öS

*r « *r

r—i rH tH tH

§ 103.

Multiplication der Determinanten.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 133.)

Es sei

(10

#11 «i2

#21 #22

^11 ^12 &21 ^22

(7 =

Cu C12

C21 C22

wobei

(2.)

Cu — #11 ^11 + #12^12? C12 = #11^21 + #12&22j C21 = #21^11 + «22^12, C22 — #21^21 + #22^22?

dann soll gezeigt werden, dass

(3.)

A.B = C

ist. Es wird nämlich nach den Sätzen der vorhergehenden Paragraphen

#11^11 ~f- #12 ^12^ #11 621 ”f- #12^22

0^21 ^11 “t" #22^12} #21 &21 “l⁻ #22^22

_ ÔU^ll) #11^21    #11^11 j #12^22 _j_ #12^12? #11^21

#21^Uj #21^21 #2iÖu} #22^22    #22^12) #21^21

(7 =

#12^12? #12^22 C?22^12j #22^22 012 012 022 #22

Da nun aber die Determinanten mit zwei identischen Colomien gleich Null sind, so wird

- ÖU ^21

#u #11

#21 #21

-j- ^11^22

#u #12

#21 #22

+ &12&21

#12 #u

#22 #21

+ ^12^22

(4.) C = in &22

«u «i2

«21 «22

+ by₂b₂y

«12 «Il

«22 ^21

«U «12

«21 «22

(èii J22—by₂b₂y)

= A. B.

Beispiel.

Es ist

(5.)

c, — d    ac + bd, ad — bc

bc — ad, bd -f- «c

d, c

oder

(5a.)

(«² -f- b²) (c² -j- d²) = (ac-\-bd)² + (ad — bc)².

Dies giebt den Satz: Multiplicirt man die Summe ziveier Quadrate wieder mit der Summe zweier Quadrate, so lässt sich das Product gleichfalls als die Summe zweier Quadrate darstellen.

In ähnlicher Weise, wie vorhin Determinanten 2ter Ordnung mit einander multiplicirt worden sind, kann man auch Determinanten nter Ordnung mit einander multipliciren. Es sei jetzt

^11^12 • • • bm boy b

(6.) A =

«11 ^12 • • • ®ln «21 «^22 • • « ^2n

,B =

22 •

«11 «12 •••«!»( «21 «22 • • . «2 n

bnlbnZ • • • bnn

Cn\ Cn<2 • • • Cnn

wobei

(7.)

Cfr = af\ br 1 + «/2 ^r2 + • • • + «/n

sein möge. Der Kürze wegen soll Gleichung (7.) in der Form

(7a.) Cfr — Ufa bra, oder Cfr — 2ßafßbrß,... oder cfr — 2* afvbrv

geschrieben werden, wobei die Summationsbuchstaben «, ß,.. .v die Werthe 1 bis w durchlaufen. Dadurch erhält man

(8.)

2««la ha, ²?aiß hß 1 • • • ^vaiv h

q_ ^aa2a bla, 2ßa₂ßb₂ß, ... 2l'a2vb

nv

nv

nv

**aana ^icc 5 ^anßb-2ß : • • • ^Vanv^

oder, wenn man die Determinante nach den Theilcolonnen zerlegt,

ölK^ial aiß^2ßl • • • ayyb

v a2« ^ia 5 a2ß b₂ß 5 • • • «₂r

• '

ny

an((byca anß b₂ ,,... anvb

wobei a, ß,... v alle Werthe von 1 bis n durchlaufen, so dass die Summe im Ganzen nn Glieder enthält. Die Gleichung (9.) kann jetzt aber auch in der Form

a\aa\ß • • • °\v a2a aiß • • ' °2V

(9a.) 0 — ^2jS • • • ^nv

(f'n(ittnß . . . dnv

geschrieben werden, wobei das Summenzeichen verlangt, dass a, ß,... v einzeln alle Werthe von 1 bis n annehmen. Man darf sich aber darauf beschränken, dass ce, ß,... v lauter verschiedene Werthe haben, weil in Gleichung (9a.) die Determinante der a verschwindet, sobald von den Indices a, ß ... v zwei einander gleich sind. Man braucht daher in Gleichung (9 a.) die Summation nur über die n\ Permutationsformen aß ... v der Zahlen 12 . ..n zu erstrecken. Nun ist aber, wenn aß ... v eine Permutationsform der Zahlen 12 ... n ist,

an a₁₂. .. am a2l a22 • • * a2n

(10.)

aiaaiß • • • aiv a2Ct a2ß ' * * a2V

anaanß•••anv

®w2 • • *

wobei

(li.)

/Cf . . . V \

*=(i ...»)

ist, folghch geht Gleichung (9 a.) über in C^A.2(r-l)Hu,b2ß...t

(12.)

nv

= A.B.

Dies giebt den Satz:

Zwei Determinanten nter Ordnung werden mit einander multiplient, indem man die Elemente der ften Zeile der ersten Determinante mit den Elementen der rten Zeile der zweiten Determinante multiplient, diese n Producte addirt und aus den so erhaltenen ril Summen eine neue Determinante bildet.

Da man in jeder der beiden Determinanten A und B die Zeilen mit den Colonnen vertauschen darf, so kann cfr auch die folgenden Werthe erhalten:

§ 104. Homogene, lineare Gleichungen mit n Unbekannten. Cfr — cifi bvr + ß/2^2r + . • • 4* aßi bnr j

(13.)

oder

(14.)

Cfr = Cli/bri + Uofbro + . . . + dnjbrni

oder

(15.)

Cfr — Cifb\r -f- a-ifb=ir + • • • H“ <*>nfbnr•

§ 104.

Homogene, lineare Gleichungen mit n Unbekannten.

Sind n lineare Gleichungen mit n Unbekannten

«11^1 + ^12^2 + • • • + «1*4 — Ci,

(1.)

«21^1 + ^22^2 + . . . + «2nXn = C₂,

Mnlxi + an2x2 + . . . + (Innxn — cn

(2.)

gegeben, so wird nach Formel Nr. 125 der Tabelle . Xr C\iX\r “f" ®2®2r “f“ • • • “j“ CnWnr <

Lässt man jetzt die Grössen c1? c₂,... cn immer kleiner werden und schliesslich ganz verschwinden, so erhält man die Gleichungen (l\\X\ 4“ ®12x2 4~ • • • 4“ alnxn — 0,

(3.)

$21 xl 4" d>22x2 + • • • + a2nxn — 0,

anixi -|- an0X2 4* • • • 4“ Clnnxn — 0.

Diese linearen Gleichungen heissen homogen. Aus den Gleichungen (3.) findet man in diesem Falle

(4.)

J . xr — 0 für r — 1, 2, 3, . .. n.

Wenn man nun weiss, dass die Gleichungen (3.) auch für solche Werthe von xi: x₂,... xn gelten, die nicht sämmtlich gleich Null sind, so folgt aus den Gleichungen (4.), dass

J — 0

sein muss. Dies giebt den Satz:

n lineare, homogene Gleichungen mit n Unbekannten können für nicht verschwindende Werthe der Unbekannten nur dann gleichzeitig bestehen, wenn die Determinante J der Coefßcienten gleich 0 ist.

§ 105.

Anwendungen auf einzelne Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll die Bedingung finden, dass drei Gerade gx, g₂, g₃ durch einen Punkt gehen.

Auflösung. Man kann die Gleichungen (1.) AyX+Byg+Cy = 0, A₂x+B₂y+ C₂ = 0, A₃x+B₃y+ C₃ = 0 der drei Geraden g y, g₂, g₃ homogen machen, indem man

(2.)

cS*-

£ LS*

einsetzt und dann die Gleichungen mit x₃ multiplicirt. Dadurch gehen die drei Gleichungen (1.) über in

Axxy -j- Bxx2 + Cxx₃ — 0,

(3.) < Ä₂Xy + B₂x₂ -f C₂x3 = 0,

. -^3^1 “h B₃x₂ -j- C₃x3 = 0.

Dabei darf man noch für x₃ jeden beliebigen Werth setzen. Ist z. B. x₃ = 1, so wird

Xy = x, x₂= y.

Da also die drei linearen, homogenen Gleichungen (3.) gleichzeitig gelten sollen für Werthe von xu x₂, x₃, die nicht alle drei gleich Null sind, so muss die Determinante der Coeffi-cienten verschwinden. Die Bedingung dafür, dass die drei Geraden durch einen Punkt gehen, ist daher

AyByCy

(4.)

A₂B₂C₂ — 0.

-^3-^3 G₃

Aufgabe 2. Man soll die Bedingung finden, unter welcher vier Ebenen e1} e₂, e₃, «₄ durch einen Punkt gehen.

Auflösung. Man kann die Gleichungen

A\X + Bxy + Gxz -f-    = 0,

(5.)

A₂x -f B₂y + C₂z + P₂ = 0,

A₃x + B₃y + C₃z + Z>₃ = 0,

, Axx -f- Bxy G\Z -j- Dx — 0 der vier Ebenen sx, e₂, s₃, £₄ homogen machen, indem man

(6.)

_ x$

Xi

einsetzt und dann die Gleichungen mit xx multiplicirt. Dadurch gehen die Gleichungen (5.) über in

Axxx + Bxx₂ + Gxx₃ + Dxx ₄ = 0,

(7-)

A₂xx -f- B₂x₂ -j~ C₂x₃ -j⁻ P₂xx — 0,

A₃xx + B₃x₂ + G₃x₃ + D₃xx — 0,

A₄X 4 -}- B₄x 2 + Cxx₃ + D,x₄ — 0.

Da diese linearen, homogenen Gleichungen gleichzeitig gelten sollen für Werthe der Unbekannten xx, x₂, x₃, xx, die nicht alle vier gleich Null sind, so muss die Determinante der Coefficienten verschwinden. Die Bedingung dafür, dass die vier Ebenen durch einen Punkt gehen, ist daher

(8.)

= 0.

Ax Bx Gx Dx -^2 -^2 G₂ D₂

^3 -®3 ^3 -®3

a₄ Ba Cx I)x

Aufgabe 3. Man soll die Bedingung finden, imter welcher drei Punkte Px, P₂, P₃ in einer Geraden liegen.

(9.)

Auflösung. Hat die Gerade die Gleichung Ax -f- By -f- C = 0, so liegen die drei Punkte P₄, P₂, P₃ auf dieser Graden, wenn Ax 4 + Byx -j- G — 0,

Ax₂ -f* By₂ + C — 0,

Ax₃ + By₃ -}-(?= 0

ist. Hierbei sind xu yx ; x₂, y₂, x:i, ys die gegebenen Coordinaten der Punkte Pl5 P₂ P₃, während die drei Grössen A, B, C noch unbekannt sind. Man hat also drei lineare, homogene Gleichungen mit den drei Unbekannten A, B, C. Da diese Unbekannten nicht alle drei gleich Null sein dürfen, so können die Gleichungen (10.) nur dann gleichzeitig gelten, wenn die Determinante der Coefflcienten verschwindet. Die Bedingung, unter welcher die drei Punkte in gerader Linie liegen, ist daher

(11.)

*i V\ 1 x₂ y₂ l = 0.

«3 2/3 1

Aufgabe 4. Man soll die Bedingung finden, unter welcher vier Punkte Pl5 P₂, P₃, P₄ in einer Ebene liegen.

(12.)

Auflösung. Hat die Ebene s die Gleichung Ax -f By + Cz + I) = 0, so liegen die vier Punkte P₄, P₂, P₃, P₄ in dieser Ebene, wenn Axx -f- Byx -f- Czx + D = 0,

(13.)

Ax ₂ + By₂ + Cz₂ + D = 0,

Ax₃ + By₄ -f- Cz-₄ + D = 0, i Ax₄ -{- By₄ -f- Cz₄ -}- D = 0

ist. Hierbei sind xt, yx zx ; x₂, y₂ z₂, x₂, y₃, z₃; x₄, y₄ z₄ die gegebenen Coordinaten der Punkte Pl5 P₂, P₃, P₄, während die vier Grössen A, B, C, D noch unbekannt sind. Man hat also vier lineare, homogene Gleichungen mit den Unbekannten A, B, C, D. Da diese Unbekannten nicht alle vier gleich Null sein dürfen, so können die Gleichungen (13.) nur dann gleichzeitig gelten, wenn die Determinante der Coefflcienten verschwindet. Die Bedingung, unter welcher die vier Punkte in einer Ebene liegen, ist daher

tH r—i rH rH

•rH CS CO    ^

**    **

-rH    „CO    ^

«r    «?

(22.)

*1 — ^ 2/l — 2/3

Aufgabe 5. Man soll den Kreis bestimmen, der durch drei gegebene Punkte Pl5 P₂, P₃ hindurchgeht.

Auflösung. Hat der gesuchte Kreis die Gleichung {x — 5)¹ + {y — y)¹ — Q¹ = °j so geht der Kreis durch die drei gegebenen Punkte, wrenn

«i¹ — 2$^ + £¹ +    +    y¹ — ç2 ₌ o,

a*2¹ — 2^2 + £¹ 4- 2/2¹ — ¹ W2 + 1?¹ — ç¹ = 0,

^3 ² — 2^3 + §² + 2/3² — ²Ws +    — (>² = 0

ist. Diese drei Gleichungen mit den drei Unbekannten £, y und (> sind nicht linearer. Zieht man aber die Gleichungen (17.) und (18.) von Gleichung (16.) ab, so erhält man zwei lineare Gleichungen

(15.)

(16.)

(17.)

(18.)

2(*i — *₂)S + 2(yi — y₂)y = V — ^2¹ + 2/1¹ — 2/2¹?

2(«i — «₃) ? + 2(2/1 — 2/3)2/ = V — ^3¹ + 2/1¹ — 2/s¹ mit den beiden Unbekannten £ und j?. Indem man noch der Kürze wegen

(20.) xj + yx ² = rf '2, z2¹ + y2¹ = »2¹> *3² + 2/3¹ = ^3¹ setzt, findet man durch Auflösung der Gleichungen (19.)

(19.)

(21.) 2

*\ —    2/i — 2/2

«1 — »3, 2/l — 2/3

W/i

Kl h3

«? I? ^to

r-*    H*-

(21 a.)

£ s &

«r *r 5?

tH rH rH

M/i

H-¹ h-¹ h-¹

^ ^

W W

to k> to ^ ^ ^

<N

■*-(    CS CO

T-t    cs co

« « H

tH tH r—I

SÏ-

1—^ I—^ I—1 £ £

0? »? ►?

to k> to

Wird

*i 2/i ²

y₂ 1

^3 2/3 i

= 0,

1 xx y4 1 x2 */2 1 ^3 2/3

so werden | und v\ unendlich gross, d. h. der Mittelpimkt des Kreises rückt in’s Unendliche, und die drei Punkte P₄, P₂, P3 liegen in gerader Linie, wie schon in Aufgabe 3 gezeigt wurde.

Der Werth von q³ 4 ergiebt sich aus Gleichung (16.), oder (17.), oder (18.), indem man die gefundenen Werthe von £ und rj einsetzt.

Aufgabe 6. Man soll die Kugelfläche bestimmen, welche durch vier gegebene Punkte P₄, P₂, P₃, P₄ hindurchgeht.

(23.)

Auflösung. Hat die Kugelfläche die Gleichung (x — £)⁵ 6 + (y — rj)² + (z — £)² — Q⁴ = 0,

so findet man die Werthe von £, y, t in ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe die Werthe von £ und y, und zwar erhält man, wenn man der Kürze wegen

(24.)

V + y i⁵ + zi² — rł, xł + ył + z2² = r2⁴>

xł + ył + zł = rł, x4⁵ + ył + z₄² = r²

setzt.

(25.)

t-h CS ęO -f

M ^ M W

£ £ £ £ CS O rf ** « **

rH rH rH rH

*r «r 4*

£ £ & £ CS CS CS CS

*r *r ś⁹ c

rH rH rH rH

1 x₄ r4⁴ z₄

(26.)

1 x₄ y₄ r4⁴

1 «2 2/2 rł

1 *3 2/3 xł 1 xx y₄ r⁴

Wird

cf* £ 4»

^

n M ^ ^

W K> *-» ł—¹    h-¹ t—¹

= 0,

1 xx yx zx

1 ^2 y2 *2

1 ^3 2/3 *3 1 £₄ y₄ z₄

so werden    unendlich gross, d. h. der Mittelpunkt der

Kugel rückt in’s Unendliche, und die vier Punkte I\, P₂, I\, P4 hegen, wie schon in Aufgabe 4 gezeigt wurde, in einer Ebene. Den Werth von q findet man schliesslich aus der Gleichung

¹

*1 ~ *2> 2/l ~ 2/2 'V= Xi — *2> V — *2¹ .

x₁ — Xa, rf — r3¹

Die Determinanten, welche hier auftreten, kann man, wie schon in § 102, Seite 449 gezeigt wurde, uniformen und erhält dadurch

²

x₄ y₄ z4 1 x2 2/2 ⁴2 1 % 2/3 z3 1 x₄ y₄ z₄

³

x₄ yx z₄

⁴

1 X2 y₂ z2 _ 1 X2 rł z2

⁵

1 *3 2/3 % '    1 rł z3

⁶

1 x₄ 2/₄ z₄    1 x₄ r4⁴ z₄

(28.)

(z, — Ï)² + (’jt —    + (z. — £)² = <?'-•

Zweiter Theił.

Functionen von mehreren unabhängigen Veränderlichen.

XIII. Abschnitt.

Differentiation der Functionen von mehreren von einander unabhängigen Veränderlichen.

§ 106.

Differentiation einer Function von zwei von einander unabhängigen Veränderlichen.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 134.)

In derselben Weise, wie in § 1 (Seite 3) Functionen von einer Veränderlichen erklärt wurden, kann man auch Functionen von zwei (oder mehr) Veränderlichen erklären.

Demnach heisst eine veränderliche Grösse z eine Function der beiden Veränderlichen x und y für ai < x < a₂, bi < y < J₂, wenn jedem Werthsysteme x, y in den angegebenen Intervallen ein oder mehrere Werthe von z nach einem bestimmten Gesetze zugeordnet sind.

Hier möge nur der Fall in Betracht gezogen werden, wo dieses Gesetz durch eine Gleichung zwischen x, y, z gegeben ist.

Besteht nämlich zwischen drei veränderlichen Grössen x, y, 2 eine Gleichung, so wird man zweien von ihnen, z. B. x mid y, beliebige Werthe beilegen können; dadurch wird dann 2 die Wurzel einer Gleichung mit constanten Coefficienten, so dass 2 nur noch eine Anzahl ganz bestimmter Werthe haben darf.

Bei dieser Anschauungsweise sind also x und y die unabhängigen Veränderlichen, während 2 eine von x und y abhängige Veränderliche oder eine Function von x und y ist.

Man kann sich die Gleichung zwischen x, y und 2 deshalb auf die Form

(!•)

* =/0) y)

gebracht denken imd erkennt, dass die Veränderungen von 2 auf dreifache Art hervorgerufen werden können, nämlich

1)    indem sich x allein ändert,

2)    „

8) „

11 V 11    n

„ x und y gleichzeitig ändern.

Den Unterschied zwischen diesen drei Fällen kann man sich am leichtesten durch die geometrische Deutung der Gleichung (1.) als eine Fläche im Raume klar machen. Bleibt y constant, so liegen die Flächenpunkte mit den Coordinaten x, y, z alle in einer Ebene, welche zur ZX- Ebene parallel ist und die Fläche in einer Curve schneidet. Auf dieser Curve kann daher der Flächenpunkt P nur fortschreiten, wenn x als die einzige Veränderliche und y als Constante betrachtet wird.

Ebenso kann der Flächenpunkt P nur auf einer Curve fortschreiten, welche in einer zur FZ-Ebene parallelen Ebene hegt, wenn man y als einzige Veränderliche und x als Constante betrachtet.

Sind aber x und y beide veränderlich, so kann der Flächenpunkt auf der Fläche nach allen beliebigen Richtungen fortschreiten.

Betrachtet man zunächst nur x als veränderlich und y als constant, so kann man 2 wie eine Function der einzigen Veränderlichen x behandeln und auch ebenso differentiiren. Man bezeichnet dann aber, wie schon in § 69, Seite 293 hervorgehoben

dz

wurde, den Differential-Quotienten nicht mit ? sondern mit

dz

dx ⁵

so dass man erhält

dz

-7Ś— = lim dx jx—0

fix + dx,y)—f(x, y)

Diese Grössen werden die 'partiellen Ableitungen von z nach x und nach y genamit.

Dem entsprechend nennt man die Aenderung, welche z dadurch erleidet, dass sich nur x um die Grösse Jx ändert, die partielle Zunahme von z in Bezug auf x und bezeichnet sie mit Jxz. Es ist also

(4.)

3 + Jxz — f(x + 4x, y), oder, wemi man hiervon die Gleichung (1.) subtrahirt,

(5.) Jxz =f(x + Jx,y) —f{x,y) -^x + Jx’^.....-    ^ Jx.

Ebenso nennt man die Aenderimg, welche 2 dadurch erleidet, dass sich nur y um die Grösse Jy ändert, die partielle Zunahme von z in Bezug auf y und bezeichnet sie mit Jyz. Es ist also

(6.)

« + J& =/0, y + Jy),

oder, wenn man hiervon die Gleichung (1.) subtrahirt,

Jy

Betrachtet man sodami nur y als veränderlich und x als constant, so findet man in derselben Weise

f{x, y + 4 y) —fjx, y)

(3.)

dz

— = lim

dy

Jy

(7.) Jyz =f(x,y + Jy)-f(x,y) ₌/(*.ÿ + ^    A*,y) j

Lässt man jetzt die Grössen Jx und Jy unendlich klein werden, indem man sie durch ihre Differentiale dx und dy ersetzt, so werden auch die entsprechenden Aenderungen von 2, nämlich Jxz und Jyz, unendlich klein und heissen dann die partiellen Differentiale dxz und dyz von z. Dabei folgt aus den Gleichungen (5.) und (7.)

öxz = lim

Jx = 0

(9.) öyz = lim

Jy=0

(8.)

f{x + Jx, y) —f{x,y)

Jx

fix,y + Jy) —fix,y)

Jy

dz

Jx — -77— dx

dx

dz

Jy — ä- dy.

dy

vollständige oder totale Zunahme von z und bezeichnet sie mit Jz. Es wird also

(10.)

Z + Jz =/(x + Jx, y + Jy), oder, wenn man hiervon die Gleichung (1.) subtrahirt,

(11.)

Jz —f{x + Jx, y + Jy) —fix, y), wobei Jx und Jy von einander unabhängige Grössen sind. Aus Gleichung (11.) folgt nun weiter

Jz —fix + Jx, y + Jy) —fix, y + Jy)

+fix, V + Jy) —fix, y),

oder, wenn man y + Jy der Kürze wegen mit yl bezeichnet,

' Jz =f(x + Jx,yi) —fix,yx) +fix,y + Jy) —fix,y)

(12.)

__fix + Jx,yx)—fix,yx) ^ , f(x,y+Jy)-f(x,y)

_    _    ₊    ^    jy.

Lässt man jetzt wieder Jx und Jy unendlich klein werden, so wird auch Jz imendlich klein und geht in das vollständige oder totale Differential von z über, welches man mit dz bezeiclmet. Da nun

lim f(x + Jxi Vy> —/0e» vù _ dfjx,yi)

Jx

dx

Jy

dy

und lim yx = y wird, so geht die Gleichung (12.) über in

M*..?) dy,

(13.)

*-W*-»)

dx

oder

dy

(14.)

dz

dz

dz = dx + ^ *%•

Es gilt also der Satz:

Das totale Differential ist gleich der Summe der 'partiellen Differentiale.

Derselbe Satz ist auch in § 69, Gleichung (16 a.) ausgesprochen; damals handelte es sich aber um eine Function

V =fiu, ®)

von zwei veränderlichen Grössen u und v, die nicht von einander unabhängig, sondern beide wieder Functionen von einer Veränderlichen x waren.

§107.

Aufgaben.

óz dz

Aufgabe 1. Man soll die Werthe von    und dz er

mitteln für

(1.)

2 = xAy².

Auflösung. Die partielle Ableitung nach x bildet man, indem man x als veränderlich und y als constant betrachtet; und die partielle Ableitung nach y bildet man, indem man y als veränderlich und x als constant betrachtet. Deshalb ist

(2-)

dz

dx

= 3 x²y²,

dz

= 2xAy,

dy

r)rr    dz

dz — ^ dxĄ- dy — 3x²y²dx-\- 2x³ydy.

dz dz

Aufgabe 2. Man soll die Werthe von -«-»

dx öy

mitteln für

(3.)

und dz er-

(4-)

z = y² sin x.

Auflösung. Hier findet man in ähnlicher Weise wie vorhin

(5.)

dz

(6.)

dz

= ?/²cos#,

-g-y = %sin*> dz = y²o.o$xdx + 2ysmxdy,

dx

dz dz

Aufgabe 3. Man soll die Werthe von ^ mid dz ermitteln für

(7.)

2 — -f 4z²?/ + 2xA.

Auflösung.

CD 00

dz

dz

— = 3y² + 4:X²,

= 8 xy + 6x², dy dz = (8xy -j- 6x²)dx + (3y² + 4x²)dy.

dx

§108.

Differentiation der Functionen von mehreren von einander unabhängigen Veränderlichen.

(Vergl. die Formel-Tab eile Nr. 135 und 136.)

Das in § 106 angedeutete Verfahren lässt sich ohne Weiteres auf Functionen von drei oder von mehr von einander unabhängigen Veränderlichen übertragen. Ist z. B. z eine Function von drei Veränderlichen, ist also

(1.)

Aufgabe 4. Man soll die Werthe von mittein für

dz dz

-«-J -sr— und dz er-ox oy

(10.)

z — ev arcsin« + «².1y. e*    ,    dz    .

& = ÿT^p + 2a:-lÿ’    ^ = <*arcSm* + -,

+ 2z . 1 y)dx + (e»arcsmæ + ^-)dy.

Auflösung.

(11.)

dz

(12.)    dz=(-₇JL..

Xl/l — x*

*=/("» «» «0,

so kann man zunächst die partiellen Ableitungen bilden, indem man setzt

(2.)

(3.)

(4.)

Qj OjI Oj Qj| Qi N «I»    8 *»

= lim

Ju=0

f (u + Ju, v, w) —f (u, V, w)

Jv—0

Ju

Jv

f{u, V, w + Jw) —f{u, V, w)

-s?— = lim

OW jui-0

Aus den drei partiellen Zunahmen von z, nämlich aus Juz = f(u + Ju, V, W) -y (U, ü, w),

=/(m, ü + w) —y («, ü, «?),

JwZ=f{u, V, W +    -y (w, ü, w)

erhält man sodann, indem man Ju, Jv, Jw durch die Differentiale du, dv, dw ersetzt, die drei partiellen Differentiale von z, nämlich

(5.)

Jw

Stegemann-Kiepert, Differential-Bechmmg.

30

Ist endlich Jz die Aenderung' von 2, wenn sich gleichzeitig u um Ju, v um Jv, w um Jw ändern, ist also

z 4- Jz =f(u-\- Ju, v 4* Jv, w 4- Jw),

so wird

(7.)

Jz = f(u + Ju, v + Jv, w -f Jw) — /(«, v, w),

oder

Jz —f(u-\-Ju, v-j-Jv, w+Jw) —f(u, v+Jv, w-\-Jw)

(7 a.)

4 f(u, V-\-Jv, W-\-Jw)-f{u, v, w-\-Jw)

4- f («, V, w 4 Jw) f {u, V, w).

Bezeichnet man der Kürze wegen v + Jv mit vx und w + Jw mit wx, so kann man diese Gleichung auf die Form ■ f(u + Ju, vu m,) —f{u, v„ w,)

Ju

(6.)

dz

dz

dz

duZ — Qu'u'⁾ d”2, — 7)v dv’ ^wZ — ßw ^w'

(7b.)

f(u,v + Jv, wx) —f{u, V, wx) ^

Jo

4-

f(u, V, w + Jw) —f{u, V, w)

Jw

Jw

bringen. Geht man jetzt zur Grenze über, indem man Ju, Jv und Jw durch die entsprechenden Differentiale du, dv, dw ersetzt, so wird

lim «4 = v, lim wx — w,

und Jz geht über in das vollständige (oder totale) Differential von z, nämlich in

₍₈.)

oder

df(u, v, w)

dv

dv 4

df{u, v, w)

dw

dw,

(8 a.)

dz    dz    dz

dz — 4- du -|—dv 4" -7— dw. du    dv    dw

Auch hier gilt also der Satz:

Das totale Differential ist gleich der Summe der ‘partiellen Differentiale.

Es sei

Beispiel.

(9.)

z — v²w sin u -f ew Au •,

dann wird

(10.)

«iS «p m I S <■£> |‘t> ^    KO

ew

= fl²WCOSW -j--

= 2»wsinw,

= «²sin u -f- ew. 1 u,

also

(11.) dz = cos u -f- —\lu + 2vw sin udv -f (v² sin u + ew. 1 u) dw.

In derselben Weise kann man

Z = f {ux U2x • • • Wn)

nach jeder der n Veränderlichen einzeln differentiiren, indem man die anderen Veränderlichen als constant betrachtet. So erhält man die partiellen Ableitungen. Multiplicirt man dann noch mit dem Differential der betreffenden Veränderlichen, so sind die Producte die partiellen Differentiale von z, nämlich

(13.) du- =    0«:~

(12.)

dz

dz

du-₂,... dUnz

dun.

dun

Das vollständige (oder totale') Differential ist dann wieder gleich der Summe der partiellen Differentiale, also

du₂

(14.)

dz

dz

dz

dz

du₂+. • • + -Q^dun.

dux

du<2

Dabei ist zunächst die Voraussetzung gemacht, dass die n Veränderlichen uu u₂... un von einander unabhängig sind. Der Beweis für die Dichtigkeit der Formel (14.) lässt sich aber auch leicht auf den Fall übertragen, wo uu u₂,...un sämmtlich Functionen von einer Veränderlichen t sind.

In diesem Falle sind jedoch, wie für n = 2 schon in § 69 gezeigt wurde, die Differentiale duu du₂,...dun nicht mehr von einander unabhängige Grössen; es folgt vielmehr aus den Gleichungen

dut

(15.) dass

u\ — çpi(0> w2= sp2(0> • • • w»»= 5p»(4

(16.)    = <Pi(t)dt, du₂ — (p₂(t)dt,... ć/mw = (fn’{t)dt

wird. Deshalb darf man in diesem Falle die beiden Seiten der Gleichung (14.) durch dt dividiren und erhält auf diese Weise

(17.)

dz dz dux    dz du₂

dt    dux dt    du₂ dt

dz dun

dun dt

Die Formel (14.) bleibt sogar noch richtig, wenn uu u₂, ... un wiederum Functionen von m Veränderlichen 4,4,... tm sind, wenn also u\— SPi(*i, h, • • • tm),

(18.)

U₂ — ÇP2(^l5 ^2? • • • ^j») 5

Un— (fn(t15 4? • • • 4»)*

Setzt man nämlich diese Werthe in die Gleichung (12.) ein,

so wird

(19.)

Z —    5 4? * * * 4»)

eine Function von 4, 4,... tm und deshalb, der Formel (14.) entsprechend,

(20.)

dz

dz

dz

dz — -Qj- dtx + 37- dt₂ -f- . •. -f- -57- dtm.

dt₂

dtm

(21.)

Ebenso folgt aus den Gleichungen (18.) dua

dua =

dtx

dt₂

für a = 1,2, 3,... n. Nun ist aber nach Gleichung (17.), wenn man zuerst 4, dann t₂,... endlich tm als die einzige Veränderliche betrachtet,

dz

dz

dtx    dtc^

dz _ dz

(22.)    <    ÖMj

03 ^ Oj Ol

0*

du₂ dtx    ^

dz dun dun dtt ’

dz dun

jkduz    ,

du₂ dt₂    dun dt₂

dz du₂

du₂ dtm

dz _ dz dut

dtm — dux dtm

d^dun

^ ” dun dtm

§ 109.

Wiederholte Differentiation einer Function von mehreren Veränderlichen.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 137.)

Der Kürze wegen bezeichnet man gewöhnlich die partiellen Ableitungen durch Indices. Ist z. B.

(10

z =/(«, », w),

so setzt man

dz    dz    dz

(20    q-v=Mu,v,w), ^=/₃(w, »,«»).

Nun sind /t (m, c, w) , /₂ (m, ü, w) , /} (m, t), w) im Allgemeinen wieder Functionen von u, », w, die man nochmals nach den einzelnen Veränderlichen differentiiren kann. Dadurch erhält man, wenn man die Ableitungen wieder durch Indices andeutet,

=/lS (“, ®> »):

Es giebt also im Ganzen 9 zweite partielle Ableitungen einer Function von 3 Veränderlichen.

Die Werthe dieser Ableitungen sind aber nicht sämmtlich von einander verschieden, sondern es soll sogleich bewiesen werden, dass

fn(u, v,w) = /₂₁ (w, », w),

(3.)

Multiplicirt man diese Gleichungen bezw. mit dt^, dt₂,.. .dtm und addirt sie, so erhält man mit Rücksicht auf die Gleichungen (20.) und (21.)

(23.)

dz

dz

dz

* ⁼ Kï*' ⁺

/l3 («, V, w) = /₃₁ («, », «»),

/₂₃(m, »,«o)=/₃₂ (m, », t») wird. Zum Beweise genügt es, dass man sich zunächst auf eine Function mit zwei Veränderlichen beschränkt. Es sei jetzt also

<p(y + fy =f(? + h,y + k) —/O®, y + *).

(6.)

Nun ist nach dem Taylor'sehen Lehrsätze

(7-)

(4.)

und

(5.)

<p (y) =/<> + y) —■/(*» y)

also

<p(y + *) — <p (y) = <p'(y + ©*) • A oder, wenn man die Werthe aus den Gleichungen (5.) und (6.) einsetzt,

(7 a.) f(x + h,y + fc) —f{x, y + fc) —fix + h, y) +f(x, y) = [ffx + h, y + Gfc) —f₂ix, y +

Setzt man dagegen

(8.)

also

^ O) = / 0> y + A —    y),

(9.)

xp(x + fi) —fix + ä, y + fc) —f{x + h, y), so folgt aus dem Taylor'sehen Lehrsätze

(10.)

ifj(x -f- h) — tp{x) = ip‘{x + ®\h) • ft, oder, wenn man die Werthe aus den Gleichungen (8.) und (9.) einsetzt,

(10a.) fix + h, y + k) —fix + h, y) —fix, y + k) +f(x, y) — [/, ix + 0,1, y + k) —/, ix + (■),/,, j)\ . h.

Durch Zusammenstellung dieser Gleichung mit Gleichung (7 a.) erhält man

(11.)

[/i (* + ©iA y + A —A 0 +    y)]-à =

[ffx + fl, y + Gfc) —f₂ (x, y + Gfc)]. fc, oder, wenn man auf die beiden Grössen in den eckigen Klammem nochmals den Taylor'sehen Lehrsatz anwendet,

(12.) fl2(x + Gxh, y + G₂fc) • hk =f2i(x + G^fi, y + Gfc) . hfc.

Dabei sind h und fc hinreichend kleine, aber sonst beliebige Grössen. Deshalb ist auch

(13.)    f₁₂ (x + GJi, y + ©₂fc) =/₂₁ (x + G^h, y + Gfc).

Lässt man jetzt h und fc gleich Null werden, so erhält

man

(14.)    fn (x, y) - /₂₁ (x, y), oder

<1L<1)

dy    dx

Dies giebt den Satz: Wenn man eine Function

*=/(*> y)

zuerst 'partiell nach x und dann partiell nach y differentiirt, so findet man dasselbe Resultat, welches man finden würde, wenn man zuerst partiell nach y und dann partiell nach x differentiirt; oder mit anderen Worten: Die Reihenfolge, in welcher man die partiellen Differentiationen ausführt, ist gleichgültig.

Dieser Satz lässt sich natürlich verallgemeinern, nicht nur auf die zweiten partiellen Ableitungen von Functionen mit beliebig vielen Veränderlichen, sondern auch auf höhere partielle Ableitungen. Setzt man nämlich

fi {x,y) =

dz

dy

(15.)

/h (*> y) =

<£)

_ _ d*z

dx dx² '

fn ix,y) =

dy dx dy

d²z

Ö(dy) _ d²x dx dy dx

so erhält der eben ausgesprochene Satz die Fassung

fn (z, y) =

ifn{x,y) =

dy dy²⁵

(16.)

!©, ‘M

dy    dx

Bezeichnet man in entsprechender Weise mit

oder

d²z

d²z

dx dy dy dx

dm+nz dxm dyn

Ausdruck, welchen man erhält, indem man 2 zuerst m-mal partiell nach x und dann rc-mal partiell nach y differentiirt, so gilt die Gleichung

den

(17.)

d'Az

d^z

d³z

dx² dy dx dy dx dy dx² 5

und wenn man in ähnlicher Weise fortfährt,

dm+nz

(18.)

dm+nz

dxmdyn dyn dxm

Ebenso wird für

gezeigt, dass

* =/(«> V, w)

ßm-\-n+pz

QmĄ-nĄ-pz

(19.)

ßm+n+pz

dum dvn dwp    dvn dum dwp    dwp dum dvn

Qm+n+pz

dum dwp dvn    dvn dwp dum    dwp dvn dum

ßm+n+pz

Qm+n+pz

§ HO.

Uebungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll die Werthe von

d² z

d²z d²z d²z dx²’ dxdy’ dydx

dy²

ermitteln für

(1.)

z = x²yz — 3 x*y -f- xy*.

Auflösung. Durch Differentiation erhält man

dz

dz

(2.)    ^ = 2xy* — 12 x*y + y⁴, q- = 3 x²y² — 3a;⁴ + 4 xy*,

— 6 xy² — 12a)³ + 4 y\

d²z

(3-)

g-5 = 2y³ —36 xh/,

d²z

dxdy

d²z

= 6 xy² — 12z³ + 4 y³,

d²z

dydx

Hierdurch wird auch bestätigt, dass

-Qy2 = 6 x²y + 12 xy².

d²z

d²z

dx dy dy dx

d²z d²z d²z

Aufgabe 2. Man soll die Werthe von -5-=» n a -v- >

³    dx² dxdy dydx

Ö^Z

dy²

ermitteln für

d²z

d²z

dx dy dy dx

§ ui.

Vollständige Differentiale höherer Ordnung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 138.)

Es sei wieder

(1-)

(5.)

(6-)

Auflösung.

dz    . e*

gj = cos*.ly + -,

ey

— sina:. hj---

d²z

dx²

2£-!Éî + e!, i*

dy y +e AX’

_ cosz    ey

x¹' dxdy y

d²z

d²z

COS 2

+ e-

d²z

dydx y Auch hier wird wieder

— ~ sina:    i

dÿi = — ~f+e -U-

* =/0> V)

eine Function von zwei unabhängigen Veränderlichen, dann wird nach Formel Nr. 134 der Tabelle

(2.)

dz

dz

dz = Tdx+Tdy

das erste vollständige Differential von 2. Dabei sind dx und dy zwei von einander und auch von x und y unabhängige, unendlich kleine Grössen.

Unter dem zweiten vollständigen Differential von 2 versteht man nun das vollständige Differential des ersten vollständigen Differentials und bezeichnet es mit d²z.

Um d²z zu bilden, braucht man also nur in Gleichung (2.) 2 mit dz zu vertauschen. Dadurch erhält man

d²z = d(dz) —    dx +

Weil nun aber dx und dy von x und y unabhängig sind, so findet man

(3.)

dy.

d (dz)

dy

474

(4.)

§ 111. Vollständige Differentiale höherer Ordnung. d(dz)    d²z j    d²z

= Mdx+ dïdïdv’

dx -f-

d²z

d (dz) _ d²z

dy dx dy

Multiplicirt man diese Gleichungen bezw. mit dx und dy und addirt sie dann, so erhält man

d²z =    dx² + 2

öy²

dy.

(5.)

d²z

d²z

dxdy + Wdy'

dx dy

Wenn man auf der rechten Seite dieser Gleichung überall d²z mit dz² vertauscht, so wird die rechte Seite ein vollständiges Quadrat, nämlich

(«•) (l)w+²

dz dz dx dy

+ %dy)-

Diesen Umstand benutzt man, um die Gleichung (5.) aut eine einfachere Form zu bringen; man schreibt nämlich

(5 a.)

d²z

(dz    dz \P)

⁼ (didX + d-ydV '■

wobei der eingeklammerte Exponent (2) bedeutet, dass man den

Öz öz

Ausdruck -^dx -\--^dy wirklich in’s Quadrat erheben, dann

aber überall dz² mit d²z vertauschen soll.

Man sagt bei der Ausführung dieses Verfahrens, dass öz    öz

-r- dx + ~ dy symbolisch in’s Quadrat erhoben werde.

Ebenso versteht man unter dem dritten vollständigen Differential von 2, nämlich unter dH das erste vollständige Differential des zweiten vollständigen Differentials. Es ist also

d(d²z)

(7.)

dH = d(d²z)

dx dx +

d(d²z)

dy

dy.

(8.)

Nun ist aber nach Gleichung (5.)

( ⁵(^) dx- — dx*+2 — dx*dv + dx ~ dxs + dx*äy 1 J +

dx²dy + 2

d(d²z)

dy

dy —

dH

dH

dH

dxdy²,

dx²dy

dx dy²

dxdy²

dxdyl + up dy³’

dH

folglich ist

(9.) dH — -^dx³+3

dh

dh

dzz

dx² dy + 3

dxdy¹ + Qjjidy*,

oder, wenn man wieder die symbolische Bezeichnungsweise benutzt.

dx²dy

dx dy²

(9 a.)

d^z

(dz , dz V³>

=Kmdx + d-ydV ■

Auch hier bedeutet der eingeklammerte Exponent (3), dass öz    dz

man -^ dx ~dy zuerst wirklich in die dritte Potenz erheben

und dann überall dz³ mit dh vertauschen soll.

So kann man fortfahren und findet für das mte vollständige Differential

(10.)

dmz

(dz dz \W

= {didx + d-ydy) ’

dz

dz

wobei man also dx -f- dy in die mu Potenz erheben und dx dy

dann dzm mit dmz vertauschen soll.

Die Dichtigkeit dieser Formel für einen beliebigen Werth von m wird durch den Schluss von n auf n + 1 bewiesen. Gilt nämlich die Gleichung (10.) für m = n, so wird nach dem binomischen Lehrsätze

(11.)

k=n

dnz = 2

k= 0

SS

dnz

dxhdy

Y dxh dyk.

Dabei ist h = n — k und das Summenzeichen 2 deutet an, dass k alle Werthe von 0 bis n durchlaufen soll. Es wird dann

(12.)

d(dnz)

k=n

dx &=²

dn+iz

tsO

d(dnz)

k—ïi

du

dy=S,

k=0

SS

dxh+xdy

dn+1z

dxhdyk+

-k dxh+ldyk,

dxhdyk+l.

Ersetzt man die Glieder auf der rechten Seite dieser beiden Gleichungen durch die entsprechenden in der symbolischen Darstellung, so erhält man

(13.)

s©

ç)zn+i

dx h+ldyk =

dxh+idyk

âî⁰*SG) (dxhdy*)d^dyk = 5xdx(ßxdx + Sÿ dy)

und

dzn+¹

dxhdyk+l =

(14.)

<9z

Ö2"

dxhdyk

dxhdyk+l

dxtdyk=%dy(%:dx+%dy)-

Indem man die Gleichungen (12.) addirt, erhält man auf der linken Seite

(15.)

d{dnz)J ( d{dnz) ~äTdx+

dy — dn+'z,

auf der rechten Seite dagegen, wenn man dn+iz mit dzn+l vertauscht, mit Rücksicht auf die Gleichungen (13.) und (14.)

⁽¹⁶-⁾ (%dx+% dy)(%dx+w/yJ=(pxdz+mj dyT'

folglich ist unter Anwendung der symbolischen Bezeichnungsweise

(dz    dz Yw+«

~ \&c dx + d~y dy)

Gilt also die Gleichung (10.) für für m — n + 1.

(17.)

dn+xz

Sy

n, so gilt sie auch

Was in dem Vorhergehenden für eine Function von zwei unabhängigen Veränderlichen gezeigt worden ist, kann man in ähnlicher Weise auch für Functionen mit n unabhängigen Veränderlichen zeigen. Dadurch findet man für

(18.)

² =/K>w2, ••.«»)

zunächst in Uebereinstimmung mit Formel Nr. 136 der Tabelle

⁽¹⁹-} dz=Ê;du'+dUi+ ■ ■ ■+ dUn

und durch wiederholte Differentiation

(dz , .dz

=\^du'⁺

=(ê *>+£rf“²+• • •+£ *”)*•

Bei dem    vollständigen Differential von 2 war es

gleichgültig, oh die Veränderlichen «l5 w₂,... un von einander unabhängig sind oder nicht, denn man erhielt, auch wenn uu «₂,... un sämmtlich Functionen von einer Veränderlichen t oder von mehreren Veränderlichen tu t₂,.. tm waren,

(20.)

<Pz

dmz

dz

dz

dz

- dun)i2)

n /

dz

dz = W™'⁺d^du* ⁺ --- ⁺ W„du"-

Bei den höheren vollständigen Differentialen aber bleiben die Gleichungen (20.) nur dann richtig, wenn «t, u₂,... un von einander unabhängig, oder wenn sie lineare Functionen von neuen unabhängigen Veränderlichen tu t₂... tm sind. Ist z. B. wieder

(21.) und sind

<f (<), y = ^ (<)

beide Functionen einer neuen Veränderlichen t, so erhält man zunächst

(22.)

dz

dz

dz = Txdx + (Txd'J-

Hierbei sind aber dx und dy nicht mehr von einander unabhängige Grössen, sondern es ist

dx — (f\t)dt, dy = tyfydt.

(23.)

(24.)

Deshalb kann man auch die Gleichung (22.) auf die Form

dz dz dx    dz dy

dt    dx dt    dy dt

bringen. Da 2 und —,

.. als Functionen der einzigen

dt' dx dy

Veränderlichen t anzusehen sind, so erhält man durch nochmalige Differentiation nach t

dx    d^\dy) dy    dz d²x    dz d²y

dt dt dt dt    dx dt²    dy dt²

Nun ist aber nach Gleichung (24.), indem man z bezw. mit öz

oder mit ^ vertauscht,

(25.)

dh

dt²

dz

dy

Kl)

(26.)

_ d²z dx    d²z dy

dt dx² dt    dxdy dt

(I)

d²z dx d²z dy dt dxdy dt dy² dt

folglich geht die Gleichung (25.), wenn man wieder die symbolische Bezeichnungsweise anwendet, über in

/dz dx    dy\

\dx dt    dt )

Indem man beide Seiten der Gleichung mit dt² multiplicirt, giebt dies

(27a.)

(27.)

d²z

d²z

Qjl Qj

⁽²⁾ dz d²x    dz d²y

dx dt²    dy dt

Diese Gleichung unterscheidet sich also von der Gleichung (5 a.) auch äusserlich dadurch, dass auf der rechten Seite noch öz    dz

die Glieder d²x + ^ d²^ hinzugetreten sind.

Ist

(28.)

2 = f(ui,u2: • • • «»),

und sind

ui = <pi(t), u₂ — (p₂(f), ...Un— (pn (t)

sämmtlich Functionen einer neuen Veränderlichen t, so findet man in ähnlicher Weise

(29.)

(30.)

dz

dz

dz

* - w,du'⁺ m *2 + • • •⁺ w/Uu'

d²z

_/ dz    dz

\dux Ul du₂

du 2 + ... +

dz

Ötlfi

d/Uyi

y)

dz

dz

dz

wobei

(32.)

dux = (fi (t)dt, du₂= (f i {£)dt,. .. dun — (pn‘(t)dt, dhi^— tfi'tydt², d‘²u₂=(f2t(ß)dt², ... d²un— (fn“{t)dt².

Man erkennt aus den letzten Gleichungen leicht, unter welcher Bedingung die Grössen

d²ux, d²u₂,... d²un,

oder

d²ul d²u₂

d²U/yi

dt²' dt²'"

dt²

verschwinden. Dies geschieht, wenn

ux = axt -f u₂ = a₂t + J₂j • • • un— ant -j- bn lineare Functionen von t sind. Dann wird nämlich

du₂

(33.)

(34.)

dux

HSt=a"

dun

TT =z Un

dt

und

(35.)

d²ux

dt²

0,

d²u₂

dt²

0,...

d²un

dt²

0.

In diesem Falle ist also wieder

(36.)

d²z =

dz

/ Qz    Qz

*> + %zdu* + -~ + Är/a*

j)

oder

(37.)

d²z

dz dux

dz du₂

dt²

dux dt du₂ dt

i dz dun^ d un dt )

Gerade dieser Fall wird aber in dem Folgenden in Betracht

kommen.

Gelten die Gleichungen (33.), so findet man jetzt auch ebenso wie früher

(38.)

dPz

dP

=(

dz dux

dux dt

dz du₂    dz dunV³)

’" ⁺ d^n~dt)

du₂ dt

§112.

Nicht entwickelte Functionen einer Veränderlichen, gegeben durch simultane Gleichungen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 139.)

(1.)

Es kommt häufig vor, dass y und z als Functionen der einen Veränderlichen x gegeben sind durch zwei Gleichungen jF(x, y, z) = 0 und G (x, y, z) = 0, welche gleichzeitig bestehen und deshalb simultan genannt werden.

Jede der beiden Gleichungen für sich allein würde, geometrisch gedeutet, einer Fläche entsprechen; gelten sie aber gleichzeitig, so können ihnen nur die Coordinaten derjenigen Punkte genügen, welche auf beiden Flächen liegen, d. h. die Gleichungen (1.) stellen zusammen die Schnittcurve der beiden Flächen dar.

Eliminirt man aus den Gleichungen (1.) die Veränderliche z, so erhält man die Gleichung

(2.)

H 0, y) = 0, oder y =/ (x).

(3.)

dmz

(39.)

dtr

__/ dz dut dz du2 Vöwj dt du₂ dt /dz    dz

=U?“> ⁺

Gz ffenV"0 dun dt )

dz

g-a₂+... + ₀ a„

Dies ist die Gleichung eines Cylinders, welcher die Schnittcurve in die X Y-Ebene projicirt. Eliminirt man aber aus den Gleichungen (1.) die Veränderliche y, so erhält man die Gleichung K (x, z) = 0, oder z = g (x).

Dies ist die Gleichung eines Cylinders, welcher die Schnittcurve in die XZ-Ebene projicirt. Da die Raumcurve, welche durch die beiden Gleichungen (1.) erklärt wird, auf diesen beiden Cylindern liegt, so ist sie auch die Schnittcurve dieser beiden Cylinder oder wenigstens ein Theil davon, denn die Cylinder können möglicher Weise auch noch Punkte gemeinsam haben, die nicht auf der gegebenen Curve liegen.

Es kommt hier gar nicht auf diese geometrische Deutung an, es sollte vielmehr die vorstehende Untersuchung nur zeigen,

dass man y und 2 als Functionen der einzigen unabhängigen Veränderlichen x betrachten darf. Deshalb ist es auch möglich, y und z als Functionen von x zu differentiiren, und zwar kann

man ^ und ^ auch berechnen, ohne die Gleichungen (2.) und

(3.) wirklich zu bilden.

Dies geschieht, indem man auf die Gleichungen (1.) die Regeln anwendet, welche in Formel Nr. 136 der Tabelle ausgesprochen sind, wobei man aber in diesem Falle die drei Veränderlichen m₁₅ w₂, ui bezw. mit x, y, z und die unabhängige Veränderliche t, von der uuu₂,u$ abhängig sind, mit x vertauschen muss. Dadurch erhält man

0,

dF_ öFdx öFdy ₊ öFdz _ dx dx dx dy dx dz dx

ÖF

ÖF

ÖF

oder, wenn man wieder mit Fi, mit F₂, mit F₃ be

zeichnet.

0.)

dy

dz

Ę +F2di+Ądi-°-

Ebenso findet man

(5.)

dy

dz

öi+G2s+Gs* = oS

Aus diesen beiden Gleichungen ergiebt sich jetzt sehr leicht durch Elimination

dy FyGy — Fy G y

dx F₂ Gy Fy G₂

— — ^1^2 — ^2 dx    F₂ 6t₃—F$G₂

Mit demselben Rechte, mit welchem in dem Vorstehenden x als die unabhängige Veränderliche betrachtet wurde, kann man auch y als die unabhängige Veränderliche ansehen. Dadurch werden x und 2 Functionen von y, und man erhält in Uebereinstimmung mit den Gleichungen (6.) dx F₂ 6r₃ — F% G2 -F3G1 -Fy Gy

Stegemann - Kiepert, Differential-Rechnung.

(6.)

(7.)

dy

und

und

dz _ Fy G₂ — F₂ Gy

dy — Ę. &■}

31

man

Macht man z zur unabhängigen Veränderlichen, so erhält

/R\ — — FtG-s—F₃G2 K ’ dz ~ FxG₂—F₂Gx

Man kann die Gleichungen (6.), (7.) und (8.) zusammenfassen in der Formel

(9.) dx : dy : dz = F₂G₃ — F\ G₂ : F₃GX — Fx G₃ : Fx G₂ — F₂Gx,

und

dy_ __ F₃ Gx — Fx G3 Fx G₂ — F₂ Gx

dz

oder

F₂ Ę F₃ F,

G₂G₃ : GiGi

Uebungs-Beispiele für diese Formeln finden sich bei den geometrischen Anwendungen der folgenden Paragraphen.

(9 a.)

dx : dy : dz —

. fxf₂

Gx G₂

XIV. Abschnitt.

Anwendungen auf die analytische Geometrie der Ebene und des Raumes.

§ 113.

Bestimmung der Tangenten und der Normalebenen bei einer Curve im Raume.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 140—143.)

Aufgabe 1. Man soll das Bogenelement ds einer Curve im Raume bestimmen und die Cosinusse der Winkel a, ß, y berechnen, welche ds mit den positiven Richtungen der Coordinaten-Axen bildet.

Auflösung. Es seien P und Px zwei benachbarte Punkte auf der Curve mit den Coordinaten x, y, z bezw.

(1.)

Fig. 122.

dz

xx = x + dx, yx — y + dy, zx = z + dz, wo wieder die Bezeichnungen dx, dy, dz andeuten sollen, dass die Punkte P und Px einander unendlich nahe rücken dürfen.

p /_/cj

Z dx

Legt man jetzt durch die Punkte P und Px Ebenen parallel zu den drei Coordinaten-Ebenen (vergl. Fig. 122), so erhält man ein rechtwinkeliges Parallel-epipedon mit den Seitenkanten dx, dy, dz und der Diagonale

(2.)

PPX = ds.

so

Da die Gerade PPX mit dem Bogen PPX zusammenfällt, wenn die Punkte P und Px einander unendlich nahe rücken,

31*

nennt man ds das Bogenelement und erhält nach bekannten Sätzen aus der Stereometrie

(3.)

ds¹ — dx² + dy² -f- dz¹.

(4.)

Ferner ergiebt sich ohne Weiteres aus der Figur, dass

_

dx

cos« = — »

** C0S/"

dz

ds ' C0S/ " ds ist, wobei «, ß, y die Winkel sind, welche ds mit den positiven Eichtungen der Coordinaten-Axen bildet.

Aufgabe 2. Eine Eaumcurve sei durch die Gleichungen F(x, y, z) — O, G 0, y, z) = O gegeben ; man soll im Curvenpunkte P mit den Coordinaten x, y, z ihre Tangente bestimmen.

Auflösung. Die Gleichungen einer geraden Linie im Eaume schreibt man gewöhnlich in der Form

x‘ = mz‘ -\- fi, yl — nz> + v•

Dies seien also auch die Gleichungen der gesuchten Tangente, wobei die laufenden Coordinaten mit x\ y‘, z‘ bezeichnet werden mögen, weil x, y, z die Coordinaten des Berührungspunktes P sind. Damit die Tangente durch diesen Punkt P geht, müssen die Gleichungen

(5.)

(6.)

(7.)

x = mz g, y = nz + v gelten, folglich erhält man für die Tangente die Gleichungen xl — x — m(z⁴ — z), y‘ — y = n (z' — z).

Um auch noch die Coefficienten m und n zu bestimmen, beachte man, dass die Tangente auch durch den Curvenpunkt P‘ hindurchgehen muss, welcher dem Punkte P unendlich nahe liegt und deshalb die Coordinaten

x‘ — x + dx, y‘ — y + dy, z‘ = z + dz hat. Setzt man diese Werthe in die Gleichungen (8.) ein, so erhält man

(8.)

(9.)

(10.)

dx — mdz, dy = ndz, oder, indem man durch dz dividirt und Formel Nr. 139 der Tabelle berücksichtigt,

— ty. —

dz G₂—F₂ Gi

(H) m-dx    *3^2

dl.J m dz-FiQ₂_ ĄGi’

Die Tangente im Punkte P hat daher die Gleichungen

(12.)

x‘ — x =

oder

(12a.)æ' x — gglgg (•'—). y‘- y =

(13.)

Gewöhnlich schreibt man diese Gleichungen in der Form

y‘—y

x¹—X

dx

dy

dz

oder

(13a.)

x‘-X

zl — z

___ y‘ — y __

F₂ G₃-F,G₂- F3 G\ - Ą G3    Fx G₂ -F₂GL ’

Aufgabe 3. Man soll die Ebene bestimmen, welche im Curvenpunkte P mit den Coordinaten x, y, z auf der Curve senkrecht steht.

Auflösung. Die Gleichung einer Ebene, welche durch den Punkt P hindurchgeht, ist

(14.)

A(x‘ — x) + l3(y‘ — y)+ C(z‘ — z) = 0.

Damit diese Ebene auf einer Geraden

x‘ = mz' + fi,

y‘ — nzl -v

senkrecht steht, muss nach [bekannten Sätzen aus der analytischen Geometrie des Raumes

Olk

(15.)

sein. In dem vorliegenden Fall ist aber die Tangente die Gerade, welche auf der gesuchten Ebene senkrecht stehen soll, folglich gehen die Gleichungen (15.) mit Rücksicht auf die Gleichungen (11.) über in

(15 a.)

dx

dy_ __

Ol bä

dz C

so dass man für die gesuchte Ebene die Gleichung

dz

oder

(16.)

(,x' — x)dx + {yl — y) dy -f (z‘ — z)dz — 0,

(16a.) (.ĄG, - JF,G₂) (x‘ — x) + (ĘG, -Ft Gt) (y‘ - y) + (J?Ga —FjCf.) (*• — *) = 0

erhalt. Diese Ebene heisst die Normalebene der Kamncurve im Punkte P.

§ 114.

Uebungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Der Kegel

x¹ y²

z²

dl

b² c²

schneidet die Kugel

x¹ Ą- y¹ z² — r² = 0

in einer Raumcurve; man soll die Tangente und die Normalebene dieser Curve im Punkte P bestimmen.

Auflösung. Hier ist

folglich wird

z²

c²’

G = x² -f y² + z² — r²,

2x

(2.)

also

F' =F’

Gx — 2x,

-p _ ty

F*-w

&2 = ty,

F, = -

2z

c² ’

6r₃ = 2 z

F₂G% —F:]G₂— ₆₂

3.)

-Ę G\ — Ęćr3 = —

4 xz    4 xz

4 zx

c²

c²a²

(c² + a²),

FiG₂ — F₂G₁ = ~^2

4^y    4#?/

Ô²

Dies giebt nach Formel Nr. 142 der Tabelle für die Tangente die Gleichungen

c²a² (y‘ — y) a²b² (z' — z)

zx(c² -f- a²)    xy(a² — b²) ’

b²c²{x‘ — x)_

yz(b² + c²)

oder

c²(a² — b²)x{x‘ — x) = — a²(b² -f c²)z(z‘ — z), c²(a² — b²)y(y‘ — y) — + £²(c² 4- a²)z(2' — z).

Aus den Gleichungen (8.) folgt sodann nach Formel Nr. 143 der Tabelle für die Normalebene die Gleichung 4 zx c² a²

(5.)

^(b²+c²)(x⁴-x)

(c²+a²)(y‘ —y)

4 xy

ß²J²

(a²—è²)(^—£)=0,

oder

(6.) alyz(b²-\-c²)(x‘—x)—b²zx(c²-\-a¹'){y⁴—y)—c²xy(a²—b²)(z*—2)=0, oder

(6a.) a²(b² + c²)yzx‘ — b²(c² + a²)zxy‘ — c²{a² — b²)xyz‘ — 0.

(7-)

Aufgabe 2. Die Schraubenlinie hat die Gleichungen x² + y² — a² — 0 und y — a:tg^^=0;

man soll die Tangente und die Normalebene im Curvenpunkte P bestimmen.

Auflösung. Hier ist

(8.)

G — y — x tg

F = x² + y² — a²,

folglich wird

Fi = 2 a:,

(10.) G, = - tg(£), G2 oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (7.)

(10 a.) Gt = -|, Gj= 1, Gs = -|( 1 + Ç) Dies giebt

(9.)

F₂ = 2y, F₃ = 0; = 1, G* = —

a²

Ca:

-^2^3 -ĄG₂ =

2a²y

ca:

(11.)

2a²a;_2a²

ca:

ĄG.-ĄG^ 2x + ^ = ?f

2a²c

cx

oder

(12.)

cx{xà — x) cx(y‘— y) cx (z* — z)

2 a²y    2 a²x    2 a²c

x‘ -X —

—f(²'—z)<    =

Die Gleichung der Normalebene wii'd nach Formel Nr. 143 der Tabelle

2 a²c

oder

cx

(*' —z) = o,

(13.)

oder (13 a.)

y{x‘ — x) — x(y‘ ~y)~ c(z* — z) = 0,

yx' — xy‘ — c(z‘ — z) = 0.

Aufgabe 3. Die Kugel

x² 4- y¹ + z² — r² = 0

wird von dem Cylinder

x² — rx + y² — 0

durchbohrt; man soll die Tangente und Normalebene der Schnitt-curve im Punkte P mit den Coordinaten x, y, z bestimmen.

(14.)

Auflösung. Hier ist

F — x² + y² -f- z² — r², G — x² — rx + y²,

folglich wird

(15.)

also

P*“

I <?! =

Fi = 2 y,    Fa = 2z,

2 x—r, G₂ = 2y, G₃ = 0,

2x,

F₂G^ — -ĘG₂ = — 4yz,

F% G{ — Fi G₃ = 4^2 — 2rz,

Fi G~i — F₂Gi = 4 xy — 4 xy + 2yr = 2 ry; dies giebt nach Formel Nr. 142 der Tabelle fïir die Tangente die Gleichungen

(16.)

(17.)

X¹-X

z‘ — z

oder

__ y‘ — y

— 2 yz    z(2x — r)

r{xl — x) — — 2 z(z‘ — z), ry(y‘ —y) — (2x — r)z{z‘ — z).

ry

Die Gleichung der Normalebene wird nach Formel Nr. 143 der Tabelle

(19.)    2 yz(x‘ — x) — (2% — r)z(y‘ — y) — ry (z< — z) = o,

2 yzx‘ — (2x — r) zy‘ — ryz‘ = 0.

oder (19a.)

§ US.

Tangenten und Tangential-Ebenen an eine beliebige krumme Fläche.

(1.)

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 144 und 145.) jEine gerade Linie heisst eine Tangente der Fläche F(x, y,z) = 0 oder 2 =f(x, y), wenn sie durch zwei unendlich nahe Funkte der Fläche hindurchgeht.

(2.)

Aufgabe 1. Man soll die Bedingung finden, dass die Gerade x‘ — mz‘ -F g, y‘ = nz* + v

die Fläche

* =/(*> y)

im Flächenpunkte P mit den Coordinaten x, y, z berührt.

(3.)

Auflösung. Die laufenden Coordinaten der geraden Linie sind mit x‘, y‘, 2' bezeichnet worden, weil x, y, z die Coordinaten des Berührungspunktes P sind. Damit nun die Gerade durch diesen Berührungspunkt P hindurchgeht, müssen die Gleichungen x = mz -f- g, y = nz + v

gelten. Daraus folgt

(4.)

x‘ — x = m(z‘ — 2), y‘ — y — n [zl — 2).

Irgend ein Flächenpunkt P‘, welcher dem Punkte P benachbart ist, hat die Coordinaten

(5.) x‘ = x+4x, y‘ = y+Jy, 2' = 2+^/2 =/(a:+Jx,y+Jy), wobei noch Jx und Jy ganz beliebig und von einander unabhängig sind. Damit nun die Gerade auch durch diesen Punkt P‘ hindurchgeht, müssen die Gleichungen

(6.)

Jx — mJz und Jy — nJz

befriedigt werden.

Lässt man jetzt Jx und Jy unendlich klein werden, indem man sie bezw. durch dx und dy ersetzt, so rückt der Punkt P‘ dem Punkte P unendlich nahe. Dann wird auch Jz unendlich klein, und zwar geht Jz über in

(7.)

dz = d£dx+^dy.

Dadurch nehmen die Gleichungen (6.) die Form an

dx

= m(lidx + %dy} dy=n(mdx + %dy)

Dies giebt

(8.)

/ dz \md~x~

(9.)

1^ dx + m ^ dy — 0,

dz dx+(n⁸*l)dy = 0.

dz

Multiplicirt man Gleichung (8.) mit n~^ Gleichung (9.)

n dx

mit 1 — m

dz

dx’

des Factors dy

so erhält man durch Addition und Fortlassung

dz    dz

m-*r- + n-:--1 = 0.

dx    dy

Ist diese Bedingung erfüllt, so geht die Gerade durch zwei unendlich nahe Punkte der Fläche, d. h. sie ist eine Tangente derselben.

Wenn die Gleichung der Fläche in der Form F(x, y,z) = 0

gegeben ist, so erhält man, indem man y als constant ansieht,

(10.)

(11.)

dF dF dz    i? , t?dz _

dx ⁺ dz' dx~ °’ °der Fi + ** dx ~ °:

und indem man x als constant ansieht,

dF dF dz    ,    dz

dÿ ⁺ !k ' dÿ ~ °’ °der F* ⁺ dÿ ~ °’

(12.)

also

dz

dz

Deshalb geht die Gleichung (10.) über in Fxm + F₂n -j- F$ — 0.

(14.)

(15.)

Aufgabe 2. Die Gleichung einer krummen Fläche sei wieder F (x, y, z) = 0, oder z—f{x,y) ; man soll durch den Punkt P mit den Coordinaten x, y, z eine Tangentialebene legen.

Auflösung. Da in Aufgabe 1 die Grössen dx und dy von einander unabhängig sind, so giebt es unendlich viele Tangenten der Fläche im Punkte P. Davon kann man sich auch dadurch überzeugen, dass man in den Gleichungen (10.) und (14.) den Werth von m noch beliebig annehmen darf, während man dann den Werth von n aus dieser Gleichung berechnen kann. Es wird nämlich

dz

1 — rn -7—

(16.)

dz

dx__ Fxm + F%

dy

Setzt man diesen Werth von n in die Gleichungen (4.) ein, so erhält man

(17.) x*—x — m{z‘—z),

dz

dy

(</' — y) = (i

dz

- m -TT-

dx

)(**-*)

oder

(17a.) x‘ — x~m(z‘ — z), F₂(ÿ — y) = — (Fim+Fi)(zt — z).

Diese Gleichungen stellen also eine Tangente im Flächenpunkte P dar, welchen Werth auch m haben mag. Eliminirt man jetzt aus diesen beiden Gleichungen m, so erhält man

T^-^ + TyW-y),

(18.)

oder (18 a.)

Ą — F) + F₂(y‘ — y) + F^zJ — s) = 0.

Dies sind zwei verschiedene Formen für die Gleichung einer Ebene, in welcher alle Tangenten liegen, die im Punkte P an die Fläche möglich sind. Man nennt diese Ebene daher die Tangentialebene der Fläche im Punkte P.

Die Gleichung der Tangentialebene findet man auch in folgender Weise. Der Flächenpunkt P habe wieder die Coor-dinaten x, y, z. Lässt man jetzt x um Jx wachsen, während

Fig. 123.

p₂

y unverändert bleibt, so gelangt man vom Pmikte P zu einem benachbarten Flächenpunkte Pt (Fig. 123), dessen Coordinaten

li

Xi — x + Jx, y r = y

Yj

und

•Qa

Zy=z + Jxz =f(x + Jx, y)

-x

sind. Lässt man dagegen y um J y wachsen, während x constant bleibt, so gelangt man vom Punkte P zu einem dritten Flächenpunkte P₂ mit den Coordinaten

x<i = x, Vï — V + 4y, z₂ = z + Jyz =/(x, y + Jy).

Durch diese drei Punkte P, P,, P₂ ist eine Ebene bestimmt, deren Gleichung

(19.)

(20.)

Ax‘ + By‘ -f- Cz‘ + I) = 0 heissen möge. Auch hier sind die laufenden Coordinaten der Ebene mit x', y\ z‘ bezeichnet worden, weil x, y, z die Coordinaten des Punktes P sind. Die Gleichung dieser Ebene kann man noch, indem man durch C dividirt, auf die Form z‘ = ax‘ -j- by‘ c bringen. Damit nun die Ebene durch den Punkt P geht, muss die Gleichung

(21.)

z — ax + by -f- c

gelten, folglich wird

(22.)

z‘ — z — a{x‘ — x) + b {y‘ — y).

Damit die Ebene durch die Punkte Px und P₂ hindurck-geht, muss die Gleichung (22.) auch für die Coordinaten dieser Punkte befriedigt werden. Dadurch erhält man die beiden Gleichungen

Jxz = aJx und Jyz — bJy

oder

(23.)

Jxz a — —— ?

/ix

b = Af.

Lässt man jetzt xtx und Jy unendlich klein werden, indem man sie durch ihre Differentiale dx und dy ersetzt, so rücken die Punkte I\ und P₂ dem Punkte P unendlich nahe, und die Gleichungen (23.) gehen über in

(24.)

dz

dz

b = - ) dy

so dass die Gleichung (22.) die Form

+g <*-*>

annimmt, welche mit Gleichung (18.) übereinstimmt.

Der Sinn dieser zweiten Herleitung ist folgender:

Die geraden Linien PPt und PP₂ werden Tangenten der Fläche, wenn die Punkte Px und P₂ dem Punkte P unendlich nahe rücken. Die Ebene PPXP₂ ist also, wenn man Jx und Jy unendlich klein werden lässt, durch zwei Tangenten des Punktes P hindurchgelegt. Da aber alle Tangenten eines Flächenpunktes P in derselben Ebene, nämlich in der Tangentialebene, liegen, so ist diese Ebene die Tangentialebene.

a — ^r~1 dx

(25.)

Die Gleichung der Tangentialebene wird illusorisch, wenn •Ę = 0, F₂ = 0, F₃ = 0.

In diesem Falle, welcher allerdings nur ausnahmsweise ein-treten kann, liegen die Tangenten des Flächenpunktes P nicht mehr sämmtlich in derselben Ebene.

(26.)

.(!•)

§ 116.

Uebungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Ein Ellipsoid ist durch die Gleichung x¹ y¹

J2 + e2 ¹ — ⁰

gegeben; man soll im Flächenpunkte P mit den Coordinaten x, y, z die Tangentialebene bestimmen.

a²

Auflösung. Hier ist

also

(2.)

F{x,y,z) = ^ + ^

77    ² y

-^2 — -p-’

z²

c²

2x

Fl a² ’

c² ’

deshalb wird nach Formel Nr. 145 der Tabelle die Gleichung der Tangentialebene

(3.)

x{x‘—x) , y(y‘—y) z{z⁴ — z)

a²

+—b²

c²

0,

oder, wemi man die Gleichungen (1.) und (3.) addirt,

(4.)

xx‘

— + yjL .    _ i ₌ o

«2 + b² + C²

Aufgabe 2. Ein elliptisches Paraboloid ist durch die Gleichung x² + a²y² — 2jt>z = 0 gegeben; man soll im Flächenpunkte P mit den Coordinaten x, y, z die Tangentialebene bestimmen.

(5.)

Auflösung. Hier ist

F(x, y, z) — x¹ + a²y² — 2pz,

also

(6.)

Fl = 2x, F₂ == 2a²y, jF₃ = — 2p, deshalb wird nach Formel Nr. 145 der Tabelle die Gleichung der Tangentialebene

(7.)

x(xl — x) + a²y{yl — y) —p[zl — z) = 0, oder, wenn man die Gleichungen (5.) und (7.) addirt, xx‘ + a²yyl —p{z⁴ + z) = 0.

(8.)

Ist z. B.

x — 3, y — 4, also 2pz = 9 + 16a², so geht die Gleichung (8.) über in

Qx⁴ + 8aY = 2pzf + 9 + 16 a².

(8 a.)

§ 117.

Theorie der Enveloppen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 146.)

(10

Ist eine Gleichung' zwischen x, y und u, nämlich F(x, y,u) = 0

gegeben, so stellt diese Gleichung für jeden constanten Werth von u eine Curve dar. Da es aber unendlich viele Werthe von u giebt, so entspricht der Gleichung (1.) eine ganze Schaar von Curven. So entspricht z. B. der Gleichung x¹ + y² — u² — 0

eine ganze Schaar von concentrischen Kreisen, da der Halbmesser u noch unendlich viele Werthe haben darf. Der Gleichung

—--= 1

b² -f- u

x²

a² -f- u

entspricht eine Schaar confocaler Ellipsen und Hyperbeln.

Der Gleichung

F(x, y, u) = (x — u)² + (y — Yb² — u²)² — a² — 0 entspricht eine ganze Schaar von Kreisen (vergl. Fig. 124), denn für jeden Werth von u erhält man einen Kreis, dessen Mittelpunkt die Coordinaten

§ = w, tj = Yb² — u2 hat. Zwischen $ und i\ besteht daher die Gleichung

l² + rj² — b² — 0, d. h. der Mittelpunkt M des Kreises durchläuft selbst wieder einen Kreis, welcher mit dem Halbmesser b um den Anfangspunkt 0 der Coordinaten beschrieben ist.

Die Grösse u nennt man dabei den (variablen) Parameter.

Sind nun u und ux von u, so giebt die Zusammenstellung der beiden Gleichungen

Fig. 124.

M,

Qj) N O X

OM — b, ON — NM— t].

-f Ju zwei benachbarte Werthe

Gleichungen, welche die Schnittpunkte der Curve F{x, y, u) = 0 mit einer unendhch nahen Curve geben.

Durch Elimination von u aus diesen beiden Gleichungen erhält man eine Gleichung zwischen x und y allein, nämlich

(5.)

$ixi y)⁼ o,

welche den geometrischen Ort aller Schnittpunkte von je zwei unendlich nahen Curven der gegebenen Curvenschaar darstellt.

Die Curve wird die einhüllende Curve oder die Enveloppe genannt, da sie die sämmtlichen Curven der gegebenen Curvenschaar einhüllt. Es gilt nämlich folgender Satz :

Die Enveloppe hat in den Funkten, welche sie mit einer der Curven

F(x, y, u) = 0

gemein hat, auch die Tangente mit dieser Curve gemein.

Fig. 125.

Pi

’i Cs

(2-)

F(z, y,u) = 0 und F(z, y, ux) = 0

die Schnittpunkte der beiden entsprechenden Curven.

Die Coordinaten dieser Schnittpunkte genügen daher auch den beiden Gleichungen

(3.) F(x, y, u) = 0 und

Fix, y, u + 4u) — F(x, y, u) _

Ju

Lässt man jetzt Ju unendlich klein werden, so gehen diese Gleichungen über in

(4.)

Fix, y, u) = 0 und

ÔF(x, y, u)

du

0,

Zum Beweise dieses Satzes betrachte man drei benachbarte Curven C, Cx, C> des gegebenen Curvensystems (vergl. Fig. 125), welche den Werthen u, ulf u₂ des Parameters entsprechen. Ein Schnittpunkt der Curven C und Cx heisse P. Dieser-Schnittpunkt gehe in den Punkt Px über, wenn die Curve C in Cx und die Curve C\ in C2 übergeht. Die Punkte Pund Px liegen also beide auf der Curve Cx und rücken einander unendlich nahe, wenn die Werthe u, ux, u₂

unendlich wenig von einander verschieden sind, d. h. wenn die Curven C, C\, C\ einander unendlich nahe rücken. Gleichzeitig rücken die Punkte P und Px auf die Curve mit der Gleichung

S(x, y) = 0,

weil sie Schnittpunkte von je zwei unendlich nahen Curven der gegebenen Curvenschaar sind. Deshalb ist die Verbindungslinie dieser unendlich nahen Punkte P und P, eine Tangente der Curve C\ und gleichzeitig auch der Curve

S(x, y) = 0.

Damit ist bewiesen, dass die beiden Curven im Punkte P (oder in dem unendlich nahen Punkte PA) eine gemeinsame Tangente haben, dass sie sich also im Punkte P berühren.

Was von C\ gilt, gilt ebenso von jeder beliebigen Curve der gegebenen Curvenschaar. Es ist also hiermit bewiesen, dass die Curve

S(x, y) = 0

sämmtliche Curven des gegebenen Curvensystems berührt; sie ist daher die Umhüllungscurve oder Enveloppe.

Dasselbe Resultat findet man auch durch Rechnung. Die Gleichung

y) = 0

kann man nämlich aus den Gleichungen (4.) dadurch herleiten, dass man den Parameter u als Function von x und y darstellt, indem man die Gleichung

dF(x,y,u)

du

= 0 auf die Form u = q> (x, y)

bringt, und dass man sodann diesen Werth von u in die Gleichung

F{x, y,u) = 0

einsetzt. Dies giebt also

(6.)

(7.)

S (x, y) = F(x, y,u) für u = <p (x, y), dS_dF dF du dx dx ' du dx⁵

™ = eF.eu

dy dy du dy

Stegemann - Kiepert. Differential-Reehnnng.

32

Da nun aber für den betrachteten Punkt P mit den Coor-dinaten x. y

dF

du

ist, so gehen die Gleichungen (7.) über in

dS_ dF dy ~ dy

folglich hat nach Formel Nr. 88 der Tabelle

(7 a.)

dS __ dF dx dx '

öS

dF

(8.)

dx

dy_ dx

Tx ~~dS ~ ~dF

dy

dy

in dem betrachteten Punkte P für beide Curven denselben Werth, d. h. die beiden Curven haben in diesem Punkte dieselbe Tangente.

Es ist allerdings noch hervorzuheben, dass die Elimmation von u aus den Gleichungen (4.) durchaus nicht immer die Gleichung einer reellen Curve liefert.

Dies folgt schon daraus, dass nicht jede Schaar von gleichartigen Curven eine Umhüllungs- Curve besitzt. Bei den con-centrischen Kreisen

x² + y² — u² = 0

z. B. schneidet kein Kreis den anderen in einem reellen Punkte, folglich giebt es für diese Curvenschaar auch keine Umhüllungs-Curve.

Ellipsen

Ebensowenig haben die einander benachbarten confocalen

x²

1,    (—b²<u<-f oo)

a² u b² -j- u oder die einander benachbarten confocalen Hyperbeln

= 1    (— a² < u < — b²)

x¹ ,    y²

a² -J- u b² Ą- u reelle Schnittpunkte mit einander gemein, folglich giebt es auch bei dieser Curvenschaar keine Umhüllungs-Curve.

Dagegen schneidet jeder der Kreise (9.) F(x, y, u) = (x — u)² + (y — Y b² — w²)² — a² — O den folgenden in zwei reellen Punkten. Deshalb giebt es in diesem Falle eine Umhüllungs-Curve. Dabei wird

—, = 0. j///² — w²

(10.) 8F(l’uy’U) =-2(z-«)+2<3,-Vb*-*t)

Aus den Gleichungen (9.) und (10.) folgt y — Yb² — u² =    Yb* — u² = £]/^² — u² — Yb'¹ — w²

oder

(u.)

a;²

- y w—up-

ii

_ u²(b + a)²

,    a?² (i² — W²)    (Ô² — M²) (b ± ö)²

V — u2    _    6²

folglich ist

(12.)

x² + y² = (Ô + a)².

Nimmt man in diesen Gleichungen das obere Zeichen, so erhält man einen Kreis mit dem Halbmesser b + a, und nimmt man das untere Zeichen, so erhält man einen Kreis mit dem Halbmesser b — a. Die Umhiillungscurve zerfällt also bei diesem Beispiele in zwei concentrische Kreise. (Vergl. Fig. 124.)

§ US.

Uebungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Ein System von geraden Linien (Fig. 126) sei durch die Bedingung bestimmt, dass die zwischen den Coordi-naten-Axen liegenden Abschnitte derselben die constante Länge c haben. Man soll die Gleichung ihrer Umhüllungs-Curve aufstellen.

Auflösung. Es seien OA = a imd OB — b die Abschnitte, welche die Gerade auf den Coordinaten-Axen abschneidet, dann ist bekanntlich ihre Gleichung

- + |-i = o,

(1.)

a b

oder

bx + ay — ab = 0.

Der Abschnitt AB der Geraden zwischen den beiden Coor-dinaten-Axen ist daher gleich f/a² + b². Hat also dieser Abschnitt die constante Länge c, und setzt man

Sfr

(2.)

a — — ccosw,

so wird

(3.)

(*■)

b = csinw.

Die Gleichung der Geraden AB geht dadurch über in F(x, y, u) = Æsinw — ycosu + csinw cosw = 0.

Fig. 126.

Fig. 127.

^2

■St

\\\/

ß-1

Wie man ohne Weiteres sieht, ist dabei u gleich dem Winkel «, welchen die Gerade AB mit der positiven Richtung der X-Axe bildet.

Um die Enveloppe dieser Schaar gerader Linien zu finden, bilde man

(5.)

~ ^cosw + ysin« -f- c(cos²m — sin²w) = 0.

Multiplicirt man die Gleichungen (4.) und (5.) bezw. mit sin u und cosw, so erhält mau durch Addition

x — — c cos³w.

Multiplient man sie dagegen bezw. mit —cosm und sin«, so findet man durch Addition

(7.)

y = csin³«.

Die Gleichungen (6.) und (7.) geben die Coordinaten des Schnittpunktes der dem Werthe u entsprechenden Geraden mit der unendlich nahen. Dieser Punkt ist daher auch ein Punkt der Umhüllungs-Curve. Die Gleichungen

(8.)

x = — ccos³m, y = csin³« stellen also die Umhüllungs-Curve dar, wenn « alle Werthe von 0 bis 2 Ti durchläuft. Man kann aber aus diesen Gleichungen auch den Parameter u eliminiren. Erhebt man sie nämlich zur 2

Potenz —5 so erhält man

O

x³ = 4- c³ cos²«, y³ = -f- c³ sin²«,

und wenn man diese Gleichungen addirt,

(9.)

2. 2. 2.

^³ + y³ = c³.

Dies ist die Gleichung der Umhüllungs-Curve, und zwar ist diese Curve unter dem Namen „Astroide“ bekannt. (Vergl. Fig. 127.)

Aufgabe 2. Es ist durch die Gleichung (10.) F(x, y, u) — x cos (3«) + y,sin (Su) — «cos« = 0 eine Schaar von geraden Linien gegeben; man soll die von ihnen eingehüllte Curve bestimmen. (Vergl. Fig. 129.)

(11.)

Auflösung. Hier wird dF(x, y, u)

du

— Sx sin (3m) + 3jtcos(3m) -f- a sin« = 0.

Eliminirt man aus diesen Gleichungen y, bezw. x, so er

hält man

J 3x = a[3 cosucos (3m) + sin« sin(3m)], l Sy — a[3cosmsin(3m) — sin« cos(3m)].

Nun ist aber

cosm cos(3m) + sinMsin(3M) = cos(2m), 2cosm cos (3m) — cos (4m) + cos (2m);

ferner ist

cosm sin (3 m) — sinw cos (3m) = sin (2m), 2cosm sin (3m) = sin (4m) + sin (2m),

folglich wird

(13.)

Sx = a [cos (4m) + 2 cos (2m)], Sy — a [sin (4m) + 2 sin (2m)].

(14.)

Setzt man a = 3m, und 2m = t + n, so wird cos (2m) = — cos t,    sin (2m) = — sin t,

cos(4m) = -f cos(2<), sin(4m) = + sin(2ż), und die Gleichungen (13.) gehen über in (15.) x — — a₁(2cos^ —cos2^), y = — a₁(2sin< — sin2£).

Dies sind bekanntlich die Gleichungen der Cardioide. Die Cardioide war ein besonderer Fall der Epicykloiden, welchen man erhält, wenn der Halbmesser des festen Kreises dem Halbmesser des rollenden Kreises gleich ist. Durch die vorliegende Aufgabe findet man also eine andere Erzeugungsweise der Cardioide, die sich dann auch so verallgemeinern lässt, dass man jede beliebige Epicykloide (oder Hypocykloide) erhält.

Die Gleichung (10.) stellt nämlich eine Gerade dar (vergl. Figur 128), welche durch die beiden Punkte P, und P₂ mit den Coordinaten xy = a cos (2m), y y = a sin (2m)

Fig. 128.

Jy

Pa

(h

«TT

und

(10.). Nun wird aber

x₂ = a cos (4m), y₂ = msÜi(4m) hindurchgeht, denn diese Werthepaare von x imd y befriedigen die Gleichung

(16.)

Xy² -f 2Ą² = a² und xf + y₂² = m²,

d. h. die Punkte Py und P₂ liegen beide auf einem Kreise, der mit dem Halbmesser a um den Anfangspunkt 0 der Coordinaten beschrieben ist. Dabei sind die Winkel, welche die Halbmesser OPy und OP₂ mit der X-Axe bilden, nämlich

4 XOPy = 2«, 4 XOP₂ = 4w = 2 4 XOPy.

Wenn sich also der Parameter u verändert, so bewegen sich die Punkte Py und P₂ beide auf diesem Kreise fort, der Punkt P₂ aber doppelt so schnell wie der Punkt Py.

Dies giebt folgende Erzeugung der Cardioide:

Bewegen sich auf einem, Kreis zwei Punkte Py und P₂ so, dass P₂ doppelt so schnell läuft wie Py, so umhüllt die Gerade PyP₂ eine Cardioide. (Vergl. Fig. 129.)

In ähnlicher Weise können auch die anderen Epicykloiden erzeugt werden, wenn der Punkt P₂ auf dem Kreise m- mal so schnell fortschreitet wie der Punkt P,.

Fig. 129.

CL

Dabei war bisher vorausgesetzt, dass die Pimkte Py und P₂ den Kreis in gleicher Kichtung durchlaufen. Wenn sie aber den Kreis in entgegengesetzter Richtung durchlaufen, so umhüllt die Gerade P,P₂ eine „Hgpocykloide“.

Man kann sich in folgender Weise von dem Vorstehenden durch Zeichnung überzeugen. Man theile den Umfang eines Kreises in eine Anzahl gleicher Theile. (Vergl. Fig. 129.) Es sei z. B. diese Anzahl gleich 48. Dann bezeichne man die Theilpunkte der Reihe nach durch die Nummern

0, 1, 2, 3, 4,... 47, 48,

wobei der Punkt 48 mit dem Punkte 0 zusammenfällt. Jetzt Verbinde man die Punkte

1 und 2,    2 und 4, 3 und 6,...

allgemein k und 2k durch gerade Linien. Auf diese Weise erhält man 48 Tangenten der Cardioide, und zwar wird man daraus die Gestalt der Cardioide sicherer gewinnen, als wenn man die Curve punktweise construirt hätte.

Verbindet man dagegen die Punkte k und mk durch Gerade, so erhält man eine andere Epicykloide, welche der Zahl m entspricht, mit grosser Genauigkeit als die Enveloppe ihrer Tangenten.

In ähnlicher Weise kann man auch die Hypocykloiden als Enveloppe ihrer Tangenten zeichnen. In diesem Falle wird es zweckmässig sein, die Anzahl der Theilpunkte auf dem Kreise etwas grösser anzunehmen.

Aufgabe 3. Es ist eine Schaar concentrischer Ellipsen gegeben, deren Halbaxen mit den Coordinaten-Axen zusammenfallen mid die constante Summe c haben; man soll die Gleichung der Enveloppe bestimmen. (Vergl. Fig. 130.)

Auflösung. Die Gleichung einer Ellipse mit den Halbaxen a und b ist

Fig. 130.

b²x² -f- «²y² — a²^² = 0.

8g

Da aber die Axen veränderliche Länge und die constante Summe c haben sollen, so setze man a — u und b — c — u.

Dadurch wird die ■jHt Gleichung der gegebenen Curvenschaar (17.) F(x,y,u) = (c—u)²x2 -\-u²y²—u²{c—u)² = 0.

84

Hieraus folgt durch partielle Differentiation nach u

(18.)    — 2(e — u)x² + 2uy² — 2u{c — v) (c — 2«) = 0,

XJL

oder, wenn man mit —^ multiplicirt,

(18 a.) (c — u)ux² — u²y² + w²(c — u) (c — 2u) = 0.

man

oder

(19.)

Indem man die Gleichungen (17.) und (18a.) addirt, findet

(c — u)cz2 — (c — u)uS = 0,

„ W³ 1 u X¹ — i X⁶ — --

3._

Vc

Setzt man diesen Werth von x² in die Gleichung (17.) ein,

so folgt

(20.)

„ (c — w)³    4

y² = -    r =

Deshalb wird

(21.)

x* + y* = *T,

d. h. die Enveloppe ist wieder eine Astroide.

Aufgabe 4. Es ist eine Schaar von Parabeln durch die Gleichung

(22.)

F(x, y, u) — 4cc(y — ux) -f (1 -f ul)xl — 0 gegeben; man soll ihre Enveloppe bestimmen. (Yergl. Fig. 131.)

(23.)

Auflösung. Hier ist

8F(x, y, u)

du

— 4 cx -j- 2 ux² = 0.

Dies giebt x = 0, oder

Fig. 131.

2c

(24.) u — — x

a’

u'z

Ji

-X

Setzt man diesen Werth von u in die Gleichung (22.) ein, so erhält man für die /

Enveloppe die Glei- / chung    II /

(25.) ^+4e(y-c)=0.

Die Enveloppe ist ' also wieder eine Parabel. Ausserdem sclmeiden sich alle Parabeln der gegebenen Schaar im Punkte 0, welcher als ein Theil der Enveloppe zu betrachten ist.

C/

,c

\ \\

W\

Aufgabe 5. Es ist eine Schaar von Kreisen durch die G-leichung

F(x: y, u) = (x — w)² + y² — 2up -f p² = 0 gegeben; man soll die Enveloppe bestimmen. (Vergl. Fig. 132.)

(26.)

(27.)

Auflösung. Hier ist

dF(x, y, u) __

du

— 2{x — u) — 2p = 0

oder

(28.)

X — u —p.

Fig. 132.

o-

-X

Setzt man diesen Werth von x in die Gleichung (26.) ein, so wird

(29.) y— ±y2p(u— p).

Die Gleichungen (28.) und (29.) geben die Schnittpunkte des Kreises, der dem Parameter u entspricht, mit dem unendlich nahen. Diese Schnittpunkte werden erst reell, wenn

(30.)

die Kreise selbst dagegen werden schon reell, wenn

(31.)

2u }==:p.

Indem man schliesslich noch u aus den Gleichungen (26.) und (28.) eliminirt, erhält man die Gleichung der Enveloppe, nämlich

(32.)

y² — 2px.

Dies ist die Gleichung einer Parabel.

§ 119.

Doppelpunkte und isolirte Punkte.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 147.)

(1.)

Wenn eine Curve, deren Gleichung F(x, y) = 0

sein möge, 2-mal durch denselben Punkt hindurchgeht, so nennt man diesen Punkt einen Doppelpunkt der Curve. So hat z. B. das Folium Cartesii mit der Gleichung

x-i y'i — 3axy = 0

im Nullpunkte einen Doppelpunkt. (Vergl. Fig. 80 auf Seite 355.) Ebenso hat die Lemniscate mit der Gleichung

r² = a² cos(2<p),

oder

(’x² -f- y²)² — a² (.x² — y²) = 0

im Nullpunkte einen Doppelpunkt. (Vergl. Fig. 120 und 121 auf Seite 419 und 427.)

Fig. 133.

Um nun zu untersuchen, für welche Werthe von x und y eine Curve einen Doppelpunkt hat, braucht man nur zu beachten, dass in einem Doppelpunkte nicht eine, sondern zwei Tangenten an die Curve möglich sind, denn man kann an jeden der beiden Curvenzweige, welche durch den Doppelpunkt hindurchgehen, eine Tangente legen. (Vergl. Fig. 133.)

//

Ol 2] \

Streng genommen giebt es sogar in einem Doppelpunkte unendlich viele Tangenten, wenn man von der Erklärung ausgeht, dass jede Gerade, welche zwei unendlich nahe Punkte der Curve mit einander verbindet, eine Tangente der Curve ist. Danach würde jede Gerade, welche man durch den Doppelpunkt legt, als eine Tangente aufgefasst werden können. Hier soll aber nur die Verbindungslinie von zwei unendlich nahen Punkten, welche auf demselben Zweige der Curve liegen, als eine Tangente angesehen werden.

so

Ist nun F(x, y) eine eindeutige Function von x und y gilt dasselbe von

(2.) es wird also für jedes Werthepaar x, y die Eichtungstangente

_ dv _ Fi y)

(3.)

g dx~    F₂(x,y)

im Allgemeinen nur einen einzigen Wertli haben, so dass der zugehörige Curvenpunkt nur ein einfacher Pimkt sein kann.

Nur in dem besonderen Falle, wo Fl (x, y) und F₂(x, y) beide gleich 0 sind, erhält der Ausdruck für tg« die unbestimmte

Form ^ ; danp kann also tg« möglicher Weise mehr als einen

Werth haben. Die Methode, welche in § 58 zur Berechnung von Ausdrücken angegeben wurde, welche an der Grenze die

Form ^ annehmen, führt hierbei in folgender Weise zum Ziele.

Bezeichnet man wieder die zweiten partiellen Ableitungen durch Indices, so folgt aus Gleichung (3.), indem man Zähler und Nenner einzeln differentiirt,

dy

F»+F*±

dy

dx

für

lim Ę (x, y) = 0, F₂ (x, y) = 0,

also, wenn man nach Einsetzung der in Betracht kommenden Werthe von x und y das Zeichen limes fortlässt, oder (4-)

oder

(4 a.)

dx

F22

Dasselbe Resultat findet man auch, indem man die Gleichung

dFix, y)

= F\(*> y) +    —

nochmals nach x differentiirt’; dann erhält man nämlich

(5.)

dx

oder

(6 a.)

F" + 2F»% + F4%y + FS = 0-

Aus dieser Gleichung bestimmt man im Allgemeinen ~ ; gilt aber die Voraussetzung

(7.)

(6.)

dFx (x, y) dl\ (x,y) dy dx    dy dx

*1 = 0, *2 = 0,

so erhält man wieder

(8.)

oder

(8 a.)

dx

*22

Hieraus erkeimt man, dass unter der gemachten Voraussetzung ^ zwei Werthe erhält, dass es also in dem betrachteten

Punkte zwei Tangenten an die Curve giebt, deren Richtungen durch die Gleichung (8 a.) bestimmt sind.

Diese Untersuchung giebt daher den Satz:

Ist der Punkt D mit den Coordinaten x, y ein Poppelpunkt der Gurte, so müssen die drei Gleichungen

(9.)

F(x, y) — 0,    *; (x, y) = 0, F₂ (x, y) — 0

gleichzeitig befriedigt werden.

Die beiden Werthe von

dx

tischen Gleichung (8.) erhält, sind reell, wenn

*12² *11 *22 ^ 0; sie sind dagegen imaginär, wenn

*12² -*11 *22 < 0.

welche man aus der quadra-

(10.)

(11.)

In dem ersten Falle erhält man einen eigentlichen Doppelpunkt mit zwei reellen Tangenten, in dem zweiten Falle aber sind die Tangenten imaginär.

Ein Beispiel möge zeigen, wie die Curve in dem Doppelpunkte beschaffen ist, jenachdem der erste oder der zweite Fall eintritt. Es sei nämlich

F(z, y) — y¹ — (* — «)⁵(* — V) = o,

(12.)

oder

(12 a.) F(x, y) = y¹ — x% •+- (2a + 5) x¹ — (a² -f- 2ah) x + a²b = 0, dann wird

(13.)

(14.)

Fi (x, y) = — Sx² -f (4a + 2b)x — (a² + 2ab) = (x — a) (— Sx -f- a -f 2b),

F₂ (x,y) — 2 y,

Fn = — 6x -f- (4a -f- 25), Fn = 0, i^₂ = 2.

Für x — a, y — 0 werden also die drei Gleichungen F(x, y) — 0, Fx (x, y) = 0, F₂ (x, y) = 0 befriedigt, und man erhält

F\\ =    2 (a 5), FJ₂ = 0, F₂₂ — 2.

Deshalb wird nach Gleichung (8 a.)

(15.)

dy

dx

+ "[/ a — b.

Fig. 134.

0-

-X

Kl.

Ist a > 5, so wird ]/a — b reell; man kann in diesem Falle nicht nur die Tangenten in dem Doppelpunkte D mit den Coordi-naten x — a, y — 0 zeichnen, sondern es ergiebt sich auch aus der Gleichung (12.), oder aus der Gleichung

(12 5.) y — + (x — d) yx — b leicht die Gestalt der Curve. Sie ist symmetrisch zur X-Axe, und y wird für Werthe von x, die kleiner als b sind, imaginär, d. h. die Curve liegt rechts von der Geraden, welche man durch den

Punkt B mit den Coordinaten x — b. y — 0 parallel zur Y-Axe ziehen kann. Diese Gerade wird von der Curve im Punkte B berührt ; und zwar gehen von B aus zwei symmetrische Zweige der Curve, welche sich im Doppelpunkte D schneiden, so dass die Curve zwischen B und D eine Schleife bildet. (Yergl. Fig. 134.)

Ist dagegen a < b, so folgt aus der Gleichung y = + 0 — a) Yx — b,

Fig. 135.

dass der Punkt D mit den Coordinaten x = a, y = 0 wieder ein Punkt der Curve ist. Für alle Werthe von x aber, die entweder kleiner als a sind, oder die zwar grösser als a, aber kleiner als b sind, wird y imaginär, so dass auch hier die Curve eigentlich erst mit dem Punkte B beginnt, dessen Coordinaten x = b, y = 0 sind. Der Punkt D ist daher in diesem Falle ein isolirter    Y

-X

Punkt oder „Einsiedler“. Ein solcher isolirter Punkt ist daher auch als ein Doppelpunkt anzusehen, in dem sich zwei imaginäre Curvenzweige schneiden. Deshalb werden in diesem Falle auch die beiden Tangenten imaginär.    ⁰

(Yergl. Fig. 135.)

Für

4 (b—a) -yfb—a 3 f 3

4 b—a

-r-’y=± hat die Curve zwei Wendepunkte Wt und W₂, wie man durch die früher angegebenen Methoden leicht bestätigen kann.

§ 120.

Uebungs-Aufgaben.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 147.)

Aufgabe 1. Man soll beweisen, dass beim Folium Cartesii der Nullpunkt ein Doppelpunkt ist, und soll die Richtung der beiden Tangenten in diesem Punkte bestimmen. (Yergl. Fig. 136.)

Nimmt man dagegen das untere Zeichen, so erhält tg« zunächst die unbestimmte Form Um den Grenzwerth dieses

unbestimmten Ausdrucks zu erhalten, multiplicire man Zähler und Nenner des Bruches mit a + |/a² — Axy. Dadurch erhält man

2x

lim

a -f- )/«²— 4 xy

(4b.) tg«₂ = lim-— =

oder

(5.)

Auflösung. Hier ist

(1.)

F(x, y) — x³ + y³ — 3axy — 0,

Fig. 136.

also

(2-)

(3.)

-X

| Fi y) — &£² 3ay,

I F2&y) — zy² — 3ax, Fn = 6.r, i^₁₂ = — 3 », i^22 = 6y.

Für x = 0, ?/ = 0 werden die drei Gleichungen F(x, y) = 0,

Fx(x, y) = 0, F₂(x, y) = 0 gleichzeitig befriedigt, folglich ist der Nullpunkt ein Doppelpunkt. Um in diesem Doppelpunkte die Richtung der Tangenten zu bestimmen, setzt man die Werthe von Flu Fvl, Fn in die Formel Nr. 147 der Tabelle ein. Dies giebt

dy

(4.)

dx ~ tg“ =

-Fn ±VFn*-FuFn

fti

3a Hr |/9ff² — 36xy

= lim

,    * = o

Nimmt man in dieser Gleichung das obere Zeichen und setzt x — 0, y = 0, so erhält man

tg ce₁ = oo .

(4 a.)

«j = 90°, «₂ = 0°,

d. h. die beiden Coordinaten- Axen sind Tangenten in dem Doppelpunkte der Curve.

Aufgabe 2. Man soll beweisen, dass bei der Lemniscate der Nullpunkt ein Doppelpunkt ist, und soll die Richtung der beiden Tangenten in diesem Punkte bestimmen. (Yergl. Fig. 137.)

Auflösung. Hier ist

(6.)

F(x, y) — x* + 2x²y² -f y⁴ — a²x² -f- a²y² = 0,

also

(7.) F[(x,y) = 4cxzF-ixy²— 2a²x, F₂(x,y) = 4cX²y-\-^yi-\-2a²y, (8.) Fn = 12«²+4y²—2a², Fn — 8xy, F₂₂ = 4«²+ 12y²-f-2a².

Fig. 137.

Für x = 0, y = 0 werden die drei Gleichungen

F(x, y) = o, F\ (*, y) — o,

Aj

-*2 0*i y) =⁰

gleichzeitig befriedigt, folglich ist der Nullpunkt ein Doppelpunkt. Um die Richtung der beiden Tangenten in diesem Punkte zu bestimmen, beachte man, dass für x — 0, y = 0

(9.)

Fu = — 2a², Fn = 0,    F₂₂ = + 2 a²

wird. Dies giebt nach Formel Nr. 147 der Tabelle

dy_

(10.)

dx «“ =

-Fi2±VFn²-FuFy _

also

FT1

± 1,

(11.)

Uj — + 45 °, a₂ — — 45 °, d. h. die beiden Tangenten im Nullpunkte halbiren die Winkel, welche die Coordinaten-Axen mit einander bilden.

Durch fortgesetzte Differentiation der Gleichung

F(*, y) = o

erhält man der Reihe nach unter Anwendung der symbolischen Bezeichnungsweise die Gleichungen

(12.)

dF ,dFdy_ dx ' öy dx ’

33

Stegemann-Kiepert, Différent] al-Rechnnng.

₍₁₃.)(f+fÿf + *?& =

0,

v \ox öy dx} öy dx²

/ÖF , 8Fdyf>    /fflF    dFcßy

' ' \öx dy dx)    \öx öy    öy² dx) dx² dy dx*

Bei einfachen Curvenpunkten findet man

dy

aus Gleichung- (12.) die Grösse -j-t

CLOfy

(13.) „

d²y

dx²

»    "    (ll*) «

ist aber der Punkt ein Doppelpunkt, so wird

d*y. ” dB*’

ÖF

dF

qx    (xi y)    ^5 Qy — -^2 ixi y) — o ;

dann reduciren sich die Gleichungen (13.) und (14.) auf

«'*•■> ("+ f§)"■

... (Sf . dFdyt»    . yr-F.h.æ-, .

\<9« dy dx)    \öx öy öy² dx) dx² ’

oder (14b.)

Fln + 3F>j£ + SFm(^)\Fm(ÿ$

( F 4-F dy\ d%y -

v^2 + ^Txjdf²-

0.

dy

Da die Gleichung (12.) zur Berechnung von -f- illusorisch

CvtXs

wird, liefert die Gleichung (13a.) die beiden Werthe dieser Grösse, und aus der Gleichung (14 a.) findet man dann die zu-

dP-ti

gehörigen Werthe von

Für die Lemniscate wird z. B.

(15.)    24«,    -^112 ⁼ 8y,    -^122 ⁼⁼ 3«,    -^222 ⁼ 24 y,

Ausdrücke, welche für « = 0, y — 0 sämmtlich verschwinden. Mit Rücksicht auf die Gleichungen (9.) und (10.) geht daher in diesem Falle die Gleichung (14 b.) über in

(16.)

dx²

0, oder + 3a² ^ — 0* ’    ~ dx²

Die Werthe von sind also beide g-leicli Null. Daraus

folgt, dass die beiden Curcenzweige der Lemniscate, welche sich in ihrem Doppelpunkte schneiden, qleichzeitiq Wendepunkte sind. (Vergl. Fig. 137.)

§ 121-

Mehrfache Punkte.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 148.)

Wenn für ein Werthepaar x, y nicht nur die Gleichungen Fix, y) = 0, Fx ix, y) = 0, F₂ ix, y) = 0 befriedigt werden, sondern ausserdem auch noch die Gleichungen Fn 0, y) = 0, Fn ix, y) = 0,    F₂₂ (x, y) = 0,

so ist es nicht mehr möglich, die Werthe von ^ nach den An

gaben der Formel Nr. 147 der Tabelle zu berechnen; dann reducirt sich aber die allgemein "geltende Gleichung

(dF    dFdy\W    ( d²F    d²F    dy\ d²y    dFd*y

\öx    dy dx)    \dxdy    dy²    dx) dx¹    dy dx%

(dF dFdy^—a

W ⁺ dy dx) ~ ’

auf

(2.)

oder

(2 a.)

^„ + 3^| ₊ 3f;₂₂(|y₊^(|):! = o.

dy

Diese Gleichung ist in Bezug auf ~ vom dritten Grade

und liefert daher drei Werthe dieser Grösse. In dem zugehörigen Curvenpunkte giebt es daher drei Tangenten der Curve, woraus man schliessen kann, dass drei Aeste der Curve durch diesen Punkt hindurchgehen.

Ein solcher Curvenpunkt heisst daher ein dreifacher Punkt er Curve.

33*

Sind auch die dritten partiellen Ableitungen von F(x, y sämratlich gleich Null, so kann man auch aus der Gleichung

(2a.) noch nicht die Grösse ~ berechnen; dann gilt aber, wie

man durch nochmalige Differentiation der Gleichung (1.) erkennt, die Gleichung

(dF dFdy\F) _ \&c ^ dy dx) ~

0,

(3.)

dy

welche vier Werthe von -f liefert. Der betrachtete Punkt ist

dx

dann ein vierfacher Funkt der Curve, denn es giebt in diesem Punkte vier Tangenten an die vier verschiedenen Zweige der Curve, welche durch diesen Punkt hindurchgehen.

In dieser Weise kann man fortfahren und kommt schliesslich zu dem folgenden Resultate:

Sind die nten partiellen Ableitungen von F(xJ y) die ersten, welche nicht sämmtlich veh'schwinden, so findet man aus der Gleichung

(*•)

(dF dFdySn)_ ⁺ dy dx)

dy

n Werthe von -j-i denen n Tangenten in dem betrachteten Punkte

an n verschiedene Ziceige der Curve entsprechen. Der Funkt heisst dann ein n-fâcher Punkt der Curve.

Beispiel.

Es sei

(5.)

F(x, y) — (x² -f- y²Y — y(y² — 3x²) = 0 die Gleichung der Curve, dann wird

F(x, y) — x⁶    3x⁴y² -f- 3x²yA -f- yG — y:i + 3.«2y,

(6.)

J F₁ = 6xb -f- 12 xfi² -f- 3xy^ + 6 xy,

I F₂ = Qx*y + 12 x²y* + 6yb — 3 y² + 3x², Fn — 30a:⁴ -f- 3Qx²y‘i + 6y⁴ + 6y,

Ft ₂ = 24 xfi + 24 xyb + 6x,

F22 = 6a:⁴ -f- 3 &x²y² + 30y⁴ — 6y,

I Fnï = 120x* + 72xy², Fn2 = 72x²y + 24y³ + 6.

I ^22 = 24^3 ₊ 72xy\    F₂₂₂ = 72x*y + 120y* — 6.

Für x = 0, y = 0 werden die 6 Gleichungen F— 0,    Fi = 0,    Fi- = 0,

Fji =0, F] 2 = 0, F₂₂ — 0 befriedigt, folglich ist der Nullpunkt ein dreifacher Punkt, in welchem man die Richtung der drei Tangenten aus Gleichung (2.) findet, indem man

-^iii — 0, F₁₁₂ = 6,

■^122 — 0? -^222 ⁼ 6 einsetzt. Dies giebt

(8.)

B\

(8 a.)

-É-«(I)'-«-

Fig. 138.

A

rv

//

7\

oder, wenn man die drei Wurzeln dieser Gleichung mit tg«t tg«₂. tg«₃ bezeichnet,

(9.)

tg«i=0, tg«, =z + ]/3, tgcf₃ = —]/3,

«3 = 120°.

«i = 0°,

(Vergl. Fig. 138.)

(10.)

a₂ — 60°,

(1-)

§ 122.

Spitzen oder Rückkehrpunkte.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 149.)

In Formel Nr. 147 der Tabelle, nämlich in der Gleichung dy -Fn±VFni-FnF2i

dx

-^22

welche die Richtung der beiden Tangenten in einem Doppelpunkte lieferte, kann es Vorkommen, dass

^i2² — F\\    ⁼ ö

(2.)

d. h. die beiden Tangenten fallen in eine zusammen. Durch den betrachteten Punkt gehen daher zwei Zweige der Curve, die sich gegenseitig berühren. Hierbei werden im Allgemeinen die beiden Curvenzweige nur auf der einen Seite des betrachteten Punktes reell sein, während sie auf der anderen Seite imaginär werden. Ist z. B.

(3.)

wobei cp(x) und ip(x) rationale Functionen sein mögen, die für x — a nicht unendlich gross werden, so ist

₌

oo

dx

2 ip(x) + (x — a) ip‘(x)

2 y'ip (x)

Aus Gleichung (3.) findet man andererseits durch Fortschaffung des Wurzelzeichens

F(x, y)=[y — (f («)J2 — (x — afxp (x) = 0,

\Fx{x, y) = —2[y — cp(x)]cp\x) — 2 (x — a) ip(x)—(x—a)*xp‘(x), \ F₂(x, y) — + 2 \y— cp (ä?)],

Fn = + 2cp>(xf — 2 [y — cp(x)]cp“(x) — 2xp{x)

,    — 4 {x — a)ip‘ (x) — (x — a)² xp“ (x),

(5.)

(6.)

(7.)

Fn = — 2cp‘ (x),    F₂₂ = + 2.

Deshalb erhält man für x = a

(8.) y = cp (a), F(x, y) = 0, Fi (x, y) — 0,    F₂(x, y) = 0;

(9.) Fn == 2 cp‘(ay — 2xp(a), Fl2 = — 2cp\a), F₂₂ = + 2.

Aus den Gleichungen (8.) folgt, dass der Punkt mit den Coordinaten x — a, y — cp(a) ein Doppelpunkt ist, und aus den Gleichungen (9.) ergiebt sich, dass für diesen Doppelpunkt

dy —F\2 + VFn²—FnF₁₂ __

F>2

Dasselbe Resultat findet man noch leichter aus Gleichung (4.).

Wemi sich nun der Factor x — a von der Function ip(x) absondern lässt, so dass für x = a

F[ 2² F} i F₂₂ = 4xp(a) — 0 mrd, so fallen die beiden Tangenten im Doppelpunkte der Curve in eine zusammen, und die Curve selbst hat in dem Doppelpunkte

(no

eine Spitze, wenn ip(x) mit x — a zugleich das Vorzeichen wechselt. Wird z. B.

xp(x)> 0 für x<a und \p(x)< 0 für x>a, wobei (vom Vorzeichen abgesehen) nur hinreichend kleine Werthe von x — a in Betracht kommen sollen, so sind die beiden Werthe

von y und von ^ nur dann reell, wenn xS^a ist; sie werden

imaginär, wenn x > a ist. Wird dagegen

ty(x)< 0 für x<a und ip (x) > 0 für x> a,

dy

so sind die beiden Werthe von y und von -F nur dann reell,

wenn x ^ a ist ; sie werden imaginär für x<a.

Die beiden Curvenzweige haben daher in dem Doppelpunkte dieselbe Tangente und endigen in diesem Punkte, so dass der eine Curvenzweig als die Fortsetzung des anderen betrachtet werden muss. Ein solcher Punkt heisst demgemäss eine Spitze oder ein Rückkehrpunkt der Curve, und die zugehörige Tangente heisst Rückkehrtangente.

Eine Spitze ist gewissermassen der Uebergang von einem eigentlichen Doppelpunkte zu einem isolirten Punkte, ebenso wie eine quadratische Gleichung mit zwei gleichen Wurzeln den Uebergang bildet von einer quadratischen Gleichung mit zwei reellen Wurzeln zu einer mit zwei imaginären Wurzeln.

So liefert das in § 119 gewählte Beispiel

F(x, yj = y^ — (x — a)² (x — b) = 0 einen eigentlichen Doppelpunkt, wenn a> h, einen isolirten Punkt, wenn a<b, und eine Spitze, wenn a = h ist. In der That, dann wird

(12.)

F(z, y) = y² — — «)³,

F\ (z, y) = — s(x — af, Ą (x, y) = 2y,

Fn —    a\ F12 ~ Oj F22 —

folglich ist für x = a, y — 0

F(x, y) = 0, Fi (x, y) = 0, F₂ (x, y) — 0

(13.)

(14.)

(15.)

und

Hier kann die Gleichung der Curve auch in der Form y—±{x — d)\x — a

geschrieben werden; dies giebt dann

* = ±I1/J

und man erkennt, dass y nur reell ist, wenn xl^a, und dass für x = a die beiden Tangenten der Curve mit der X-Axe zusammenfallen. Der Punkt S mit den Coordinaten x = a. y = 0 ist daher eine Spitze der Curve. (Yergl. Fig. 139.)

Andere Beispiele für das Auftreten von Spitzen liefern die Epicykloiden und Hypocykloiden, insbesondere die Cardioide und die Astr ende ; ferner die Evoluten oder Krümmungsmittel-punkts-Curven.

Gewöhnlich wird von den beiden Zweigen einer Curve, welche in einer Spitze Zusammentreffen, der eine nach oben concav und der andere nach oben convex sein, so dass die gemeinsame Tangente zwischen beiden liegt, wie z. B. bei der Evolute der Parabel (Fig. 106 auf Seite 400), der Ellipse (Fig. 107 auf Seite 401) und der Hyperbel (Fig. 108 auf Seite 402). Diese Spitzen nennt man Spitzen erster Art. Es können aber auch die beiden Zweige, welche in einer Spitze Zusammentreffen, auf derselben Seite der gemeinsamen Tangente liegen. Es sei z. B.

(17.)

Fig 139.

ri

-x

(18.)

dy

— «,

(19.)

y = x¹ + X '²,

oder

(19a.)

F{x, y) = yl — 2x²y + xi — xh = 0.

Hier wird

(20.) Fx (x, y) = — 4xy + 4a;³ — 5a;⁴, F₂(x, y) = 2y — 2x²,

(21.) Fn = — 4y+ 12a;² — 20a;³, Fn = — 4a;,    F₂₂ = 2.

«“ - dx

dy _-Fti±VFti*-FttFa

*22

d. h. die Tangenten an die beiden Curvenzweige in diesem Doppelpunkte fallen mit der X-Axe zusammen. Deshalb hat die Curve in diesem Doppelpunkte eme Spitze. Dass der Nullpunkt wirklich eine Spitze ist, erkennt man aus Gleichung (19.), weil y imaginär ist, sobald x negativ wird.

Ferner folgt aus Gleichung (19.)

ft - 2 + M Vz dx*-2± 4 yX'

dy

5 ä

— 2a; + —x¹', dx    — 2

Das doppelte Vorzeichen in den Gleichungen (19.) und (23.) entspricht dem Umstande, dass jedem Werthe von x zwei Werthe von y, also auch zwei Punkte der Curve zugeordnet sind.

Im Nullpunkte fallen diese beiden Punkte zusammen und

Y

gleichzeitig auch die beiden Tangenten. So lange x<l ist, liegen auch beide Zweige der Curve über dieser gemeinsamen Tangente, nämlich über der X-Axe, weil beide Werthe von y positiv sind.

Für kleine Werthe von x, d. h.

(23.)

Fig. 140.

-X

(»1

für x < r werden sogar beide

d'ly

Werthe von -jĄ positiv, d. h. beide Zweige der Curve sind in

dx¹

der Nähe der Spitze nach oben concav ; erst für A wirrt *=2

dx¹

225

“V£«o,

d. h. der untere Curvenzweig hat in dem zugehörigen Punkte einen Wendepunkt W. in dem er sich von der Concavität zur Convexität wendet.

Eine solche Spitze nennt man eine Spitze zweiter Art oder Schnabel- Spitze. (Vergl. Fig. 140.)

XV. Abschnitt.

Herleitung und Anwendungen der Taylor’schen Reihe für Functionen von mehreren Veränderlichen.

§ 123.

Die Taylor’sche Reihe für Functionen von mehreren Veränderlichen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 150.)

Es sei

(1-)

* =/0> y)

eine Function von zwei Veränderlichen, dann kann man fix -f- h, y + k) in ähnlicher Weise nach Potenzen von h und k entwickeln, wie früher (§ 30 und 31) fix + h) nach Potenzen von h entwickelt wurde.

Man findet diese Entwickelung sehr leicht, indem man zunächst ht statt h, kt statt k

schreibt und fix + ht, y + kt) nach Potenzen von t entwickelt. Dies geschieht nach der Mac - Laurin'sehen Reijie in folgender Weise. Man setze

(2.)

x + ht = u, y + kt — v, fiu, v) = F{t), dami wird nach Formel Nr. 51 der Tabelle, wenn man f mit F und x mit t vertauscht,

(8.) m = J*0) + Yf F'(0) +F" (0) +... +    fï»>(0) + B.

Bei der Bildung von F‘ (t), F“ (t),... muss man beachten, dass für diese Rechnung t die einzige Veränderliche ist, während x, y, h, k constant bleiben, dass also

(4.)

du

de

— k

dt    ,

wird. Dadurch erhält man nach Formel Nr. 138 der Tabelle

dt

' F(t)=f(u,e),

Fj(A _ dfA v) __ df du df de _ df ₇ df 7 V [ ) ~ dt    ~~ du dt ⁺ de dt “ du ⁺ de

(5,

dt;n

FW(t) =

dnf(u, e)

Die Formel Nr. 138 der Tabelle ist liier anwendbar, weil und v lineare Functionen von t sind. Für t = 0 wird

(6.) u — x, e — y, folglich ist

<3/0, v) __ <9/0, y) <9/0, ü) __ 0/0, y)

jr- - Tr- J    ^    !

du

<9w

dy

(7.)

^'(°) =/0> y),

ł-(o) = 2^* + S^0*, (0)=(

_p»l(0) =(

Jpin+1)(@<) ₌

3/0» y)

ö/0>y)

d/0>y) /c J}

dy

d/Q,y)Aw;

dy

ö/0+©Atf, y+7    ö/0+©Aż, y-f-©Ætf)

Ä-j

dx

dy

\(»+i)

*) •

hält man

Setzt man diese Werthe in die Gleichung (3.) ein, so er-F(t) —fix + ht, y + kt) —

f{*’+ Tï(Uh + %*) ⁺ k^ïïïh + §£*)

⁺ h(^A + %*) +B'

wobei

(9.)

P+i

^l+l

in + 1) !

df(x-\-Oht, y-\-Qkt)

(n + 1)!

dx

jF(«+i)(©£) =

df{x-\- Qht, y-\-Qkt)

A4

dy

\(w+l) *) •

Setzt man schliesslich t gleich 1, so geht diese Gleichung

über in

(8 a.)

[f(x+h,y+k)-f{X,y)+(Wh+^₊l^.h+Ę^ +...

+ 2. (e£h + ty/cV

⁺ »! W ⁺ dy k)

+ Ri

wobei

(9 a.) R =

df(x -f- Q/i, y-f-Q/i)    df(x+Qh, y+Q/i)

h -f-

dx

dy

k) '

(»+1)1

In den vorstehenden Gleichungen ist wieder von der symbolischen Bezeichnungsweise Gebrauch gemacht, nach welcher z. B.

= fn(x, y)h² + 2fn(x, y)h/c +/22O, y)k* wird. Die Grösse © liegt dabei immer zwischen 0 und + 1-

(10.)

aj

dxdy

hk -f-

dy*

Diese Art der Entwickelung lässt sich ohne Weiteres auf Functionen von drei oder von mehr Veränderlichen übertragen. So ist z. B.

f(x+h,y+k,z+t) =f(x,y,z)    +    + % Z)

(11.)

2)\i%h + %k+%!)

(w)

+ R.

⁺ h.i%h+%k+%¹)

Aus der T'ay/or’schen Reihe für Functionen mit mehreren Veränderlichen lässt sich dann auch die Jfac-Ztwrm’sche Reihe herleiten. So braucht man z. B. bei Functionen mit drei Veränderlichen nur

x = 0, y — 0, z — 0

zu setzen und dann

x statt h, y statt k, z statt l zu schreiben, um die Function nach steigenden Potenzen von x, y und 2 zu entwickeln.

§ 124.

Homogene Functionen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 151.)

Eine Function

(1.)

z =f(xi, x₂, . . . Xn) mit n Veränderlichen xx, x₂, . . . xn heisst eine homogene Function mten Grades, wenn sie sich durch Multiplication der sämmtlichen Veränderlichen mit ein und demselben Factor t in sich selbst ver-wandelt, multiplicirt mit der mten Potenz dieses Factors.

Eine homogene Funtion mten Grades wird daher erklärt durch die Gleichung

(2.)

fitXy, tX-₂, . . . txn) = tmf(x 1, Xh. .. Xn).

So ist z. B.

f{x, y, z) = x³ — 2x²y + 4yz² — Ixyz eine homogene Function dritten Grades von x, y, z-,

f(x, y, z) = x² + 3xy + -

2x⁴ + z⁴

und

fix, y, z) = ]/x⁴ + y⁴

3 xyz

j/x² — z²

sind homogene Functionen zweiten Grades von x, y, z;

•g + y

/(ftj z)

z + X

Yx² + y² Yy² + z²    Yz2 4*

ist eme homogene Function nullten Grades von x, y, z.

Satz 1. Dividirt man eine homoge?ie Function mten Grades durch die mte Potenz einer ihrer Veränderlichen, z. B. durch

xnm, so wird der Quotient nur von den n — 1 Verhältnissen der übrigen Veränderlichen zu dieser einen abhäng en, d. h. der Quotient ist noch eine Function von n — 1 Veränderlichen

Xfi—1

X\ x₂

— , — ? • •

Xfi Xfi

Beweis. Nach Voraussetzung ist

rf‘{txj « tx... tXn—1, txn) — t J'( .7*j. .^'2, • « • Xfi—t« Xn) j

setzt man in dieser Gleichung t — — ? so erhält man

xn

f O^t 7 ^2 5 • • • Xn—1) Xn) _

Xn

(3.)

Xf X₂

rp m

Usfl

Xn—1

-7 -5 • • • -5

Xn Xn

Xn

0-

Satz 2. Aus einer nicht homogenen Function mit n — 1 Veränderlichen </>(%, w₂,... un—\) kann man eine homogene Function mten Grades mit n Veränderlichen machen, indem man

x₂

= —— 7 • • * Un—1 —

xx

ux — ■    ? u₂

Xn

Xn

Xn

setzt und die Function mit xnm multiplicirt.

Beweis. Vertauscht man in

\Xn Xn

x.> mit tx₂,...xn mit txn, so geht Gleichung (4.)

(4.)

Xn

)=/Oi

X₂i . . . Xfij

mit tx über in

Xi

tmXnm(f(

\

Xi x₂

-,    -7 • •

Xn Xn

Xn—1

Xn

^ —f(lx 1, tx2, . . . txn).

folglich wird

f{txi, tx₂, . . . tXn) = tmf(xi, x₂, . . . Xn).

Dabei ist der Grad m noch beliebig. Man kann diesen Satz benutzen, um Gleichungen zwischen x, y oder zwischen x, y, z homogen zu machen, wodurch ihre Behandlung für viele Zwecke bequemer wird. Ist z. B. die Gleichung (5.) anx² + 2 anxy + a₂₂y² + 2anx + 2 a₂₃y + a₃₃ = 0 gegeben, so setze man

Xi

X = — 5

X<)

v = -r

und multiplicire mit xf¹. Dadurch erhält man eine homogene Gleichung zweiten Grades mit drei Veränderlichen xu x₂, ar₃, nämlich

(6.) aii.'Ti²+2ai2a;ia:2+ß22^22_f'2öi3a?₁ x%-j-20:235:2x%-f-033^3² — 0.

Indem man

#₃ = 1, also xl = x, x-2 — y

setzt, kann man dann jederzeit von den homogenen Gleichungen zu den nicht homogenen zurückkehren.

Satz 3. Die ersten partiellen Ableitungen einer homogenen Function mten Grades sind sämmtlich homogene Functionen (m — l)ten Grades.

Beweis. Bezeichnet man, wie gewöhnlich, df Ql, X₂, • • -xn)

dxft

mit fa (X], x2j... xf.

so folgt aus der Voraussetzung, nämlich aus der Gleichung

f (tx^ , tx2, ... tXn) — t f(x^ X₂, ... Xu j,

durch partielle Differentiation nach xa

fa (G\, tx₂, . . . tXn) . t — trfaixy, X₂, . . . Xn),

oder

(7.)

fa {tx 1, tx2, . . . tXn) — f \/‘a (X\ , X₂ • ... xf,

d. h. fa{xi, x₂,... xn) ist eine homogene Function (m — l)ten Grades, wobei « die Werthe 1, 2,... n haben darf.

ten

In derselben Weise kann man zeigen, dass jede zweite partielle Ableitung von einer homogenen Function mten Grades eine homogene Function (m — 2)ten Grades, allgemein, dass jede partielle Ableitung rten Grades eine homogene Function [m—r) Grades ist.

Setzt man

(8.)

tx1 —    tx2 — «2, • • • txn — Un,

so geht die Gleichung (2.) über in

,f(u 1, U2: . . . uf) = tm f[X{y X2: . . . Xti).

Differentiirt man diese Gleichung’, indem man t als die einzige Veränderliche ansieht, so erhält man nach Formel Nr. 138 der Tabelle

f\ (wl> m25 • • • Un) *    “b J^2 (W11 uïî • • • un) •    • • •

+ /«(«!, «2, • • • «n) • #» = mtm~'f{xu X₂, . . . 3?n),

oder für ź = 1

,f\ (^"l5 ^2J • ' • ^n) ’ *^"1 "T .^2 (*^1 ? ^25 • • * •En) • *^2 "f~ • • • + /»(#!} .r₂, . . . *»). Xn = mf(xu x₂,. . . £«).

Dies kann man noch einfacher schreiben, indem man /(#i, ar₂» • • • #«) = 2 setzt; dann erhält man nämlich

(10.)

xx

dz

ÖS

dz

dxx

Beispiel.

Es sei

(11.) z — <^\\X\¹-\-sL(ix2x\X₂-\-a=i₂x^-\-'ila\^X\X-i-\-:2₁ai-iX‘iJXz-{-a%<Axi¹^

und

«12 — «21)    «13 - «31,    «23 — «32)

dann findet man

dz

dx 1

— 2(«h:£i + «12^2 + «13^3)

(12.)

dz

— 2 («21^1 + «22X‘2 -f- «23^3))

dz

— 2 («31^1 -f «32 X₂ -J- «33^3);

dz

Xi dx,

dz

dz

dx 2

+ %3    — 2.ri(«n;ri + «12^2 + «13^3)

+ 2x% («2+ «22^2 + «23^3) + 2^3 («31 Xi -J- «32 Xo + «33 ^3)

= 2 z.

(10.), indem man 0 mit und m mit m— 1 vertauscht,

dz

Wenn man beachtet, dass -t-¹¹

dz dz

dz

• • «— wieder homo-

C/Xfi

gene Functionen (m — l)ter Ordnung sind, so folgt aus Gleichung

dxx⁵ dx₂ ’

xx

d²z

X₂

d²z

dxx dx₂

xn

d²z

dz

dxx dxn

xx

dxx dx₂

+ x₂

d²z

d²z

dx₂²

dx2 dxn

= (m—1) dz

dx₂

xx

d²z

dxx dxn

f x₂

d²z

+ . . . -f- xn

d²z

dz

dx2dxn

Multiplicirt man diese Gleichungen bezw. mit xx, x₂,...xn und addirt sie, so erhält man unter Anwendung der symbolischen Bezeichnungsweise und mit Rücksicht auf Gleichung (10.)

dz V²⁾

dxj

(14.) (    &

dz

x' dx, ⁺ dx₂ ⁺ ' • ‘ + Xn

dxn²

In dieser Weise kann man fortfahren und findet

dx₂

(¹⁵-) (^1^ + ^2 GZ

Durch diese Formeln kann man die Gleichung der Tangente einer ebenen Curve und die Gleichung der Tangentialebene einer Fläche vereinfachen.

Es sei z. B.

(16.)

V =/(«)> oder F(x, y) — 0

Grades, so erhält man nach

die Gleichung einer Curve n Formel Nr. 95 der Tabelle für die Tangente die Gleichung

ten

‘f —

oder

(17.)

1\ (x, y) (x‘ — x) + F₂ (x, y) (y‘ — y) = 0.

Macht man jetzt aber die Gleichungen (16.) und (17.) homogen, indem man

Stegemann - Kiepert, Differential - Rechnung.

(18.)

a: = —5

x‘

x¹ —

y‘ ⁼ T,

setzt und beide Gleichungen mit x₃n multiplicirt, so gehen dieselben über in

X₃

x₃

(19.)

•r3

nF(^, £2)=    *₂, x₃) = 0,

\#3    *^3 /

(x\ — XJ + G^{x\ — x₂) = 0.

Nmi ist aber nach Gleichung (10.)

G\ + G₂x₂ + G₃x₃ = nG(xu x₂, x₃) = 0, folglich erhält man durch Addition der Gleichungen (20.) und (21.) für die Tangente die Gleichung

Gt x\ + G₂x‘₂ + G₃x% — 0.

(20.)

(21.)

(22.)

Indem man zum Schlüsse

x₃ — 1, also xt = x, x₂ — y, x\ = x', x‘₂ — y‘

setzt, gehen

G(x^x2, a^), G^, G₂

über. Diese Form für die Gleichung der Tangente ist einfacher als die bisher benutzte, denn die Gleichung (17.) ist in Bezug auf x und y vom nten Grade, während die Gleichung (22.) nur vom (n — l)ten Grade ist.

bezw. in

F(x, y),

Beispiel.

Macht man die Gleichung der Ellipse homogen, so er

hält man

(23.)

G(xt, x₂, x₃) — b²xx² + a²£₂² — a²b²x₃² = 0,

folglich wird

(24.)

Gx = 2b²xx, G₂ — 2a²x₂,    G₃ — — Za²b²x₃

so dass man für die Tangente die Gleichung b²xxx\ -j- a²x₂x‘₂ — a²b²x₃² = 0

(25.)

findet, die für x₃ = 1 in (25 a.) übergeht.

Man erkennt, dass das hier allgemein erläuterte Verfahren bei den in § 81 behandelten Aufgaben bereits Anwendung gefunden hat.

Ist

(26.)

F(x, y,z) = 0

die Gleichung einer Fläche nUn Grades, so hat nach Formel Nr. 145 die Tangentialebene im Flächenpunkte P die Gleichung Fx (x‘ — x) + F₂(y‘ — y) + Fx (z‘ — z) — 0.

Macht man die Gleichungen (26.) und (27.) homogen, indem man

X\    X-)    Xo

x — —1 y = — ? z = —

x₄    x₄    x₄    x₄    x₄    x₄

setzt und beide Gleichungen mit x₄n nuütiplicirt, so gehen dieselben über in

(26 a.)

(27a.) Gx (x\ — xx) + G₂ {x‘₂ — x₂) + G%(x\ — x$) = 0.

Nun ist aber nach Gleichung (10.)

(28.) Gxxx + G₂x₂ + G$x3 + Gxxx = nG(xx, x₂, x^ x₄) = 0, folglich erhält man durch Addition der Gleichungen (27 a.) und (28.) für die Tangentialebene die Gleichung

Gxx\ + G₂x‘2 -f G$x‘3 + Gxx4 = 0.

(27.)

x‘ —

y‘ =

x‘₂

x\”F(^~, ÿ’    = G(xu x2, x3, xi) = 0,

*^4    «^4/

(29.)

= *»

__•

3 — ²

Indem man zum Schlüsse x₄ — 1, also Xi — x, x₂ =

x\ — x‘, x\ =    ,

setzt, gehen

bezw. m

G(xXj X2x #3, £4), GX: G"2, G-j

F(x, y: 2),

Fu Ą, Ą

über. Diese Form für die Gleichung der Tangentialebene ist einfacher als die bisher benutzte, denn die Gleichung (27.) ist in Bezug auf x, y, z vom ntm Grade, während die Gleichung (29.) nur noch vom (n — l)ten Grade ist.

Beispiel.

Macht man die Gleichung des Ellipsoids

*2 „2 .2

ü² ^ b² ^ C2

homogen , so erhält man

(30.) G(xu ar₂, z₃, xx) =    — *₄² = 0,

folglich wird

(31.) G* =

2^

2æ’₂

a² ’

^2 = -p~’

&s = ^T G, = -2*₄

so dass man für die Tangentialebene die Gleichung

xlx\ t x₂x\ x%x\

b² ^

(32.)

«2 +

findet, die für x₄ = 1 in (32 a.)

xx‘

c²

zz‘

xx² = 0

— + ^: ₊ z__i ₌ o

a²^ b²^ C²

übergeht.

Man erkennt, dass auch diese Vereinfachung bereits in § 116 zur Anwendung gekommen ist.

§ 125.

Maxima und Minima der Functionen von zwei Veränderlichen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 152.)

Es sei

(1.)

* =/(*» y)

eine stetige Function der beiden von einander unabhängigen Veränderlichen x und y; man nennt dann z ein Maximum, wenn

f(x, y) >fix + h, y + &)

wird für hinreichend kleine, im Uebrigen aber beliebige, positive oder negative Werthe von h und k. Dagegen nennt man z ein Minimum, wenn

/(■g y) <f(x + ]h lJ + k)

wird. Um die Werthe von x und y zu bestimmen, für welche 2 ein Maximum oder Minimum wird, muss man also untersuchen, für welche Werthe von x und y die Differenz

z/ —fix + h, y + k) —ff, y) beständig negativ, bezw. beständig positiv ist.

(2.)

Zu diesem Zwecke entwickelt man 4 mit Hülfe des Taylor -sehen Lehrsatzes nach steigenden Potenzen von h und h, wobei vorausgesetzt wird, dass ff, y) und die vorkommenden Ableitungen davon für die betrachteten Werthe von x und y stetig und endlich sind. Dann erhält man nach Formel Nr. 150 der Tabelle.

(3.) fix + h, y + k) =ff, y) +    *) + R wobei

C4 ) B=z—    , dff+0h,y+@&) A,2)

^ ■'    2! \    dx    öy    ) mit h und k zugleich unendlich klein wird von der zweiten Ordnung und deshalb mit \h, /fc]₂ bezeichnet werden möge. Aus Gleichung (3.) folgt daher

(5.)

J — ff +/f -f- \h, k\

Ist f von Null verschieden, so kann man k — 0 und h so klein machen, dass die Glieder der zweiten Dimension [/>, h]2 ihrem absoluten Betrage nach kleiner werden als ff, so dass J dasselbe Vorzeichen hat wie ff. Deshalb wechselt aber J mit h zugleich das Zeichen, ist also weder beständig negativ, noch beständig positiv. Daraus folgt, dass fix, y) nur dann ein Maximum oder Minimum werden kann, wenn

(6.)

,/t O, y) = o

ist. Die Notliwendigkeit dieser Bedingung erkennt man schon daraus, dass fix, y) ein Maximum bezw. ein Minimum bleiben muss, wenn man y als unveränderlich, also x als die einzige Veränderliche betrachtet. Wie nun f(x) mir für Werthe von x ein Maximum oder Minimum werden konnte, für welche f‘ f) = 0 wurde (vergl. Formel Nr. 79 der Tabelle), so kann hier fix, y) nur für Werthe von x und y ein Maximum oder Minimum werden, für welche die Gleichung (6.) befriedigt ist.

Ebenso kann man jetzt aber auch zeigen, dass sein muss. Aus den Gleichungen (6.) und (7.) findet man dann die Werthe von x und y, für welche möglicher Weise ein Maximum oder Minimum von fix, y) eintritt.

Ob für die so gefundenen Werthepaare von x und y wirklich ein Maximum oder Minimum eintritt, darüber entscheidet in vielen Fällen schon der Charakter der Aufgabe, wie das folgende Beispiel zeigen möge.

Aufgabe. In der Ebene seien beliebig viele Punkte Pt, P₂,... Pn mit den Coordinaten xu y,\ x₂, y₂,... xn, yn gegeben; ihre Massen seien bezw. Mi, M₂,... Mn \ man soll die Coordinaten eines Punktes P finden, so dass die Summe

Mx . pp,² + M₂. PP₂ + . . . + Mn . PPn

ein Minimum wird.

Auflösung. Hier ist die Function, welche ein Minimum werden soll,

(8.)

f(x, y) = My [(x — xy )²+(y—yy )²]+M₂ [(x—x₂)²+(y—y₂)²] + M„ [(x — xn)² -f- {y — y»)²],

also

(9.)

fi (*»y) = 2My {x—Xy) + 2M₂(x—x₂) + ... + 2Mn(x — xn), A&y) = 2My(y—yy)+2M₂(y — y₂) + ... + 23/n(y—yn).

Indem man

f 0, y) — o und ,/₂ (x, y) = 0

setzt, findet man

__ MyXy + M₂X₂ + . . . + MnXn

(10.)

x~ M, +    + ... + M. ’

_ M,y\ + M₂y₂ + ... + Mnyn

'J- Mi + m₂ + ... + M,

Da bei dieser Aufgabe sicher ein Punkt vorhanden ist, welcher die Eigenschaft des Minimums besitzt, und da man nur ein einziges Werthepaar von x und y findet, für welches die beiden nothwendigen Bedingungen erfüllt sind, so muss dieses Werthepaar das Minimum liefern.

So einfach ist aber die Entscheidung im Allgemeinen nicht. Dagegen findet man für alle Fälle die folgenden Regeln.

Sind die Bedingungsgleichungen (6.) und (7.) befriedigt, so findet man durch die Entwickelung nach der Taylor'sehen Reihe

(11.)

2y (/nA² + 2/₁₂M +/₂₂A²j + [A, >^]₃,

wobei der Rest

df(x+®h, y+@k)

\(3)

*)

öy

(12.) a = ff(y(,+ye*)*₊

(13.)

mit [A, A]₃ bezeichnet worden ist, weil er mit h und k zugleich unendlich klein von der dritten Ordnung wird. Setzt man ,/hA² 4* 2/’i₂M Ą- fïïkï = çp(A, A), so ist die Entscheidung darüber, ob f(x,y) für die gefundenen Werthe von x und y ein Maximum oder Minimum wird, darauf zurückgeführt, ob die homogene Function zweiten Grades <p{h,k) beständig negativ, oder ob sie beständig positiv ist. Wenn nämlich y (A, k) beständig positiv oder beständig negativ ist, so kann man die Werthe von A und k so klein machen, dass in dem Ausdrucke für J die Summe der Glieder zweiter Dimension, d. h. \ <p (A, k), grösser ist als die Summe der Glieder dritter Dimension [A, A]₃. Ist also (p (A, k) beständig negativ, so ist dann auch J beständig negativ, und f(x,y) wird ein Maximum; ist dagegen y (A, k) beständig positiv, so ist auch z/ für hinreichend kleine Werthe von A und k beständig positiv, und f{x₁ y) wird ein Minimum. Kann aber <p (A, k) positive und negative Werthe annehmen, so wird f(x, y) weder ein Maximum noch ein Minimum.

Die homogene Function zweiten Grades y> (A, k) heisst eine definite Form, wenn sie für alle Werthe von A und k, die nicht beide gleich Null sind, entweder beständig positiv oder beständig negativ ist.

Um darüber zu entscheiden, ob cp(A, k) eine definite Form ist, bilde man

(p(h,k) ./u —,/u²A² + 2fu fi‘>hk +/i2²A²+ (fwfïï—,/i₂²) A² ;

dies giebt fnf-n f\ 2² — 0

(19.)

(15.)

Damit dieser Ausdruck für A = 0 positiv ist, muss zunächst

fn> 0

sein; damit ferner </• (A, A) auch positiv ist. wenn man

fnh

fnA -f- /₁₂A — 0, oder h — —

fn

setzt, muss ausserdem

(16.)

/u/m —fn² > 0 sein. Diese beiden Bedingungen (15.) und (16.) sind nothwendig, sie sind aber auch hinreichend; denn wie man auch A und A bestimmen mag, (p (h, A) ist dann immer positiv, so lange A und A nicht beide gleich Null sind. In diesem Falle wird fix. y) ein Minimum. Ebenso findet man, dass (p(A, A) beständig negativ ist, wenn

(17.)

fn < 0 und fufii—,/i-2² > 0 ist, mid zwar sind auch hier dies die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen. In diesem Falle wird fix. y) ein Maximum.

(18.)

Ist dagegen

fnfm —fi 2² < 0,

so ist (p (A, k) keine definite Form, und f(x, y) wird nieder ein Maximum noch ein Minimum, denn für h — 0 hat cp (A, k)

fnh

gleiches Vorzeichen mit fn, für k = — Zeichen von (p(h,k) und fn ungleich.

Ist endlich

/«

aber sind die Vor-

so wird nach Gleichung (14.)

<P (A, A) = -p- (,/i i A +/)2 A)2 / u

immer dasselbe Vorzeichen haben wie /u; nur m dem Falle, wo

fnh

(20.)

(21.)

fnh -f- fnk = 0, oder A — —

fl2

von k muss also noch das Vorzeichen von J untersucht werden, indem man

nach steigenden Potenzen von h entwickelt. Da man es hierbei nur mit einer einzigen Veränderlichen h zu thun hat, so ist diese Entwickelung verhältnissmässig einfach und beginnt mit Ch³ + DA⁴ + Eä⁵ + .. denn unter den gemachten Voraussetzungen verschwinden die Glieder erster und zweiter Dimension.

Der weitere Verlauf der Untersuchung ist dann in ähnlicher Weise zu führen wie bei Functionen mit einer Veränderlichen. Ist nämlich 6'< 0. so wechselt J mit h das Vorzeichen, so dass weder ein Maximum noch ein Minimum eintreten kann. Ist aber C — 0, so tritt ein Minimum ein, wenn fn und D beide positiv sind, ein Maximum, wenn /, t und D beide negativ sind. Haben aber fn und 1) verschiedenes Vorzeichen, so tritt weder ein Maximum noch ein Minimum ein.

Ist endlich auch D gleich Null, so muss man in ähnlicher Weise die folgenden Glieder der Reihenentwickelung untersuchen.

Die vorstehenden Umformungen sind unter der Voraussetzung durchgeführt worden, dass fn < 0 ist. Fällt diese Voraussetzung fort, so wird im Allgemeinen weder ein Maximum noch ein Minimum eintreten.

Ist nämlich

(22.)

fn — 0, Jy2 < 0, ,/22<0,

so wird

(f{h,    — 2fnhk -\-fnk¹

(23.)

= jk(/.^+/^)²-/is²n

J 22

Für h — 0 hat daher y (h, k) mit f><> gleiches Vorzeichen für h — —dagegen sind die Vorzeichen von y(A. k) und f-2 ungleich.

so wechselt

(25.)

(24.)

Ist ferner

/il — O, /l2?Ś0,    />2 = 0,

(f (Ä, Æ) = 2/1-2 ÂÆ mit A (und ebenso mit k) das Vorzeichen. Wenn also die Voraussetzungen (22.) oder (24.) gelten, kann weder ein Maximum noch ein Minimum eintreten.

Der Fall

/ll ^ 0,    /l2 — 0, f-22 — 0,

’ü'

/11/22 —/12² = 0

und ist schon oben ausführlich behandelt worden.

In ähnlicher Weise, indem man nämlich die Indices 1 und 2 mit einander vertauscht, kann man den Fall

fu — 0, /12 = 0, fn ^ 0

(27.)

untersuchen.

(28.)

Es bleibt daher nur noch der Fall übrig, wo fn — 0? /12 = 0, y‘22 = 0

ist. Dann wird

OjOj ^ l'-f.

‘ \⁽³>

kj + I/5    4 ?

oder

(29. ) 6^/ =yitl/2³ -f" 3/ii2^²^ "f" 3/122“l“/s22^² “j" 6[A, ^]₄.

(30.)

Damit z/ beständig dasselbe Vorzeichen hat, muss zunächst /in =    /112 — 0, /122 = 0, /222 = 0

sein. Sind diese 4 Bedingungen mcAć alle erfüllt, so tritt also weder ein Maximum noch ein Minimum ein.

hat. Diese Unter-

Sind sie aber erfüllt, so muss man noch untersuchen, ob /df df V⁴)

W# ^ k) beständig dasselbe Vorzeichen

suchung, die übrigens nur in äusserst seltenen Fällen erforderlich sein wird, ist so schwierig, dass sie hier übergangen werden muss.

Im Allgemeinen wird man schon mit der folgenden Regel auskommen:

z =f(x, y) wird ein Minimum, wenn (31.) /i (x, y) = 0, /₂ (x, y) = 0, /„ > 0, /n/₂₂ —/12² > 0 ;

«me? 2 = f{x, y) wird ein Maximum, wenn

(32.) fi (x, y) = 0, /₂ (x, y) = 0, /u < 0, /u/₂₂ —/₁₂² > 0 ; dagegen wird z —f(x, y) weder ein Maximum noch ein Minimum, wenn zwar

(33.) f(x, y) = 0, /₂(ar, y) = 0, aber fnf₂₂ —/₁₂² < 0.

Die Voraussetzungen, dass f(x, y) mit den liier auftretenden partiellen Ableitungen stetig und endlich sei, hätte man noch etwas einschränken können, indem man für den Rest der Taylor'sehen Reihe (in ähnlicher Weise wie bei den Functionen von einer Veränderlichen) eine andere Form eingeführt hätte.

§ 126.

Geometrische Deutung der vorhergehenden Untersuchungen.¹)

Die vorstehenden Untersuchungen werden anschaulich, wenn

man

(10

^ =f(x» y)

als Gleichung einer Fläche auffasst. Nach Formel Nr. 145 der Tabelle hat dann die Tangentialebene im Flächenpunkte P mit den Coordinaten x, y, z die Gleichung

(2-)

(3.)

Sind nun die Bedingungen d~

dz

-q-x=Mx, y) = 0

erfüllt, so reducirt sich die Gleichung (2.) auf

z‘ — 2 = 0,

Öx

(4.)

d. li. die Tangentialebene im Punkte P wird ‘parallel zur X Y-Ebene. Setzt man jetzt noch (5.) x⁴

+ h, y⁴ = y -j- k, also h — x⁴ — x, k = y⁴ — y,

so kann man die Gleichung der Fläche auf die Form

(6.) z‘ —f(x', y‘) — z + — (/nA² + 2fiîhk +/₂₂Æ²) + \h, k\

bringen. Deshalb wird z⁴— 2 mit h und k zugleich unendlich klein von der zweiten Ordnung. Sind nun h und k wirklich beliebig klein und so bestimmt, dass z⁴ — 2 einen constanten Werth l beibehält, so ist

(7-)

z‘ — z — l

die Gleichung einer Ebene, welche der Tangentialebene im Punkte P parallel ist und ihr beliebig nahe liegt. Für den Durchschnitt dieser Ebene mit der Fläche findet man aus Gleichung (6.), unter Vernachlässigung der beliebig kleinen Grössen dritter Ordnung,

(8.)

fn k‘l + 2/"i ■_> kk -\-fnk² — 21.

oder

(8 a.) fn {x⁴ — x)² + 2/12 [x⁴ — x) (1X)⁴ — y) +/₂₂ (;y' — y)² = 21.

Diese Gleichung stellt einen kleinen Kegelschnitt dar, welcher die dem Flächenpunkte P entsprechende ,,Indicatrix“ genannt wird; und zwar ist bekanntlich die Curve eine Ellipse, wenn

(9.)

/11/22-,/l2² >0

wird. Damit aber diese Ellipse reell ist, müssen fn (nnd ebenso /₂₂) mit l gleiches Zeichen haben.

Dies entspricht ganz und gar der Anschauung. Ist nämlich der Pimkt ein tiefster Punkt, dann muss in Gleichung (7.) die Grösse l einen positiven Werth haben, weil die Tangentialebene nur bei einer kleinen Parallelverschiebung nach oben die Fläche in einer kleinen ellipsenartigen Curve schneiden kann, d. h. es müssen die Bedingungen

(10.) befriedigt sein.

Ist der Punkt P ein höchster Punkt, so muss in Gleichung (7.) die Grösse l einen negativen Werth haben, weil die Tangentialebene nur bei einer kleinen Parallelverschiebung nach unten die Fläche in einer kleinen ellipsenartigen Curve schneiden kann, d. h. es müssen die Bedingungen

(11.)

/n < 0 und /ii/₂₂ —/12² > 0

befriedigt werden. In beiden Fällen nennt man den Punkt P elliptisch.

Die Gleichung (8 a.) stellt dagegen eine Hyperbel dar, wenn

(12.)

y 11/22 —/12² < 0, gleichviel, ob l positiv oder negativ ist. Die Schnittcurve der Fläche mit jeder Ebene, welche zur Tangentialebene parallel ist und ihr sehr nahe liegt, hat dann in der Nähe des Flächenpunktes P die Gestalt einer kleinen Hyperbel, was nur dadurch möglich wird, dass die Fläche im Punkte P sattelförmig ist. In diesem Falle nennt man den Punkt P hyperbolisch und erkennt, dass P weder ein höchster noch ein tiefster Punkt der Fläche sein kann.

Die dem Flächenpunkte P entsprechende Indicatrix ist also eine Ellipse, wenn

y u/22 —/2²> 0,

sie ist eine Hyperbel, wenn

y 11/22 —y 12² < 0.

Von besonderem Interesse ist der Fall, wo

(13.

/11/22 —/12² = o, oder /11/22 —f 122 wird; dann kann man die Gleichung (8a.) auf die Form /n²(*' — x? + 2/i,/₁₂(^ — x) (/ — y) +/i2²(y< — yf — 2/n/ bringen und erhält, indem man auf beiden Seiten dieser Gleichung die Quadratwurzel auszieht,

(11.)

fn{x‘ — x) +/12(/ — y) = ± VWÜJ-Die Indicatrix zerfällt daher in diesem Falle in zwei parallele Gerade. Ein solcher Flächenpunkt entspricht im Allgemeinen weder einem Maximum noch einem Minimum von z, wie folgendes Beispiel zeigen möge.

(r — a)²

(18.)

(15.)

Es rotire eine Parabel mit der Gleichung

2 p (z — c) = (x — a)²

die Z- Axe (Fig. 141), dann hat die Rotationsfläche die Gleichung

um

(16.)

2 p(z — c) = (yx2 + y2 __ a)².

Fig. 141.

Z_

zzt

(j

JA

Y.

~pp

/F

-X

Bezeichnet man der Kürze wegen yx¹ + y² mit r, so wird

(17.)

ör

dx r ’

Um einen höchsten oder tiefsten Punkt P der Fläche aufzufinden, muss man seine Coordinaten x, y, z so bestimmen, dass ausser der Gleichung (18.) noch die beiden Gleichungen

(19.) /i (x,y)

pr

pr

befriedigt werden. Dies geschieht, indem man

(20.) x = acosv, y = asint>, also r = a und z = c

setzt, wobei der Winkel v noch beliebig ist. Nun ist aber

r³ — ay²

./‘2 - ^3 »

oder für die Coordinaten des Punktes P

pr'i

f‘22 =

r³ — ax²

pT^

(22.)

.. sin²«

,/ 22 = ->

P

sin t- cos«

cos²«

/l2 —

/n/22-/l2² = 0.

Der Punkt P ist hier kein tiefster Punkt, denn er liegt auf dem Kreise, welchen der Scheitel der Parabel bei der Rotation beschreibt, so dass es allerdings Punkte in semer unmittelbaren Nachbarschaft giebt, welche dieselbe Coordinate z haben und deshalb mit P in gleicher Höhe liegen. Aus dem vorstehenden Beispiele erkennt man auch, dass ein Flächenpunkt P durchaus nicht immer ein tiefster Punkt ist, wenn seine Tangentialebene zur XY-Ebene parallel ist, und wenn die Schnittcurven der Fläche mit allen durch P gelegten verticalen Ebenen nach oben concav sind.

Verschiebt man die Tangentialebene im Punkte P um die kleine Grösse l nach oben, indem man

z — c 1

setzt, so schneidet diese Ebene aus der Fläche zwei concen-trische Kreise mit den Gleichungen

(25.) x² + y² = {a + y%pl)² und x² + y² = [a — ]/2p/)2 aus. Die Indicatrix besteht in diesem Falle also aus zwei parallelen Linien, da in hinreichender Nähe des Punktes P die beiden Kreise mit ihren Tangenten zusammenfallen.

(23.)

(24.)

/11

§ 127.

Maxima und Minima der Functionen von drei oder mehr unabhängigen Veränderlichen.

(Vergl. die Formel -Tabelle Nr. 153 und 154.)

Bei Functionen von drei oder mehr unabhängigen Veränderlichen gestaltet sich die Untersuchung ganz ähnlich wie bei Functionen von zwei Veränderlichen. Soll z. B.

u =/(«, y, z) ein Maximum oder Minimum werden, so muss

(1.)

(2-)

(3.)

4 =/0 + h, y + A, z + /) —f(x, y, z) für alle hinreichend kleinen, positiven oder negativen Werthe von h, A, l bei einem Minimum beständiy positiv und bei einem Maximum beständig negativ sein. Aus der Entwickelung nach der Taylor sehen Reihe findet man, dass dies nur möglich ist, wenn f\ Ol y, «) = 0, fl (x, y, z) = 0, /₃ (x, y, z) = 0 ist. Sind diese drei Bedingungen erfüllt, so folgt weiter aus der Entwickelung nach der Taylor'scheu Reihe, dass für hinreichend kleine Werthe von A, k, l die Differenz J dasselbe Zeichen hat wie

(4.) (f (A, k, /)    -f- 2/12 hk -\- fiik¹ -f- '2f\-\hl + 2/03kl +/33 Tl,

es sei denn, dass diese Function cp (A, k, l) gleich Null wird für Werthe von A, k, l, die von Null verschieden sind. Die Entscheidung, unter welchen Bedingungen cp (A, k, 1) eine definite Form ist, d. h. die Entscheidung darüber, ob cp (A, A, l) beständig positiv bezw. beständig negativ ist, ergiebt sich durch eine Umformung von cp (A, k, 1) unter Anwendung der Determinantentheorie.

Es seien die Grössen I),, 1)₂, l)s, «₃₁, «₃₂, «₃₃, h‘, k‘, h“ durch die folgenden Gleichungen erklärt:

(5.) Dx —fn, D2—

/11/12

/21/22

(6.) «31 =

12/13

«32

yn/i₂/.3 D% — /21/22/23 f*1/32/33

/ll 12 y 21 22

«33

2}

h“ = A' +‘^ A' 7 yn

dann wird nach den Formeln Nr. 122 und 124 der Tabelle

D% =/31 «31 +/32 «32 +/33 «33j

./ll «31 +/l2 «32 +/l3 «33 — 0,

(7.) A' = A —

(8.)

(9.)

«31

«33

.r-

A' ₌

«33

if) (Ä, k^ /) —

so erhält man

Bringt man also die Gleichung (4.) auf die Form

<p(h-, k, i) — h(fnh -\rfnk Ą- fnt)

+ k^f^h -\-fïïk Ą- fat)

+    +fz*k

und setzt, den Gleichimgen (7.) entsprechend,

;, ₌ A' + —    ^ ₌ ^ ₊

(4 a.)

«33

«33

hl

h(f\\h‘ -\-fnk‘^) 4--(/u«3i 4-/i2«32 4"/i3«33)

«33

kl

-f- k{ f^h‘ -\-f<nk') -j--(/₂1«31 4”J^22«32 4~J^23«33)

«33

p.

4" l (fz\k‘ + /)₂ k‘^) -|--(/u «31 +J^32«32 4“/33«33).

«33

(10.)

Dies gieht mit Eücksicht auf die Gleichungen (8.), (9.) und (f (Ä, k, /) =

DzP

Kfnh‘+fnk‘) + k(/21 k‘ -f fvik¹') + l(fz\h‘ 4-/32k¹ )4

oder

(f (A, k. t)

—    -\-f\%k +^131) + k‘{Jîih + /22A 4-/32O 4~

h‘l

— k'ifwh¹ + /,2 k‘ ) -|--(fn «31 +./l2«32 +/l3«3s)

«33

k‘l

4- kf (f<nh‘ -\-f‘nk‘^) -]--(/>i«3i 4-/22 «32 4"/2s «33) 4

DzP-

«33

also

(11.)

D /2

f (h, k, t) =ftlÄ‘* + 2ft2h‘ k‘ +fnk* + -£-■

Jetzt ist noch, wie schon in § 125 gezeigt wurde,

/11/22 —/12²

/hA'2+2/i2^^+/₂₂^² —Mh‘ 4-7- k*y -f

/ h

folglich wird

/ii

k‘ 2,

¹

Der Leser, welcher mit der analytischen Geometrie des Raumes noch nicht vertraut ist, kann diesen Paragraphen überschlagen, ohne dass der Zusammenhang gestört wird.

(12.)

35

Stegemann- Kiepert, Differential-Rechnung.

Damit dieser Ausdruck beständig positiv ist, damit also f(x,y,z) ein Minimum wird, müssen die drei Bedingungen

(13.)

A >o, A>o, A>°

erfüllt sein; und damit (h, k, t) beständig negativ ist, damit also fix, y, z) ein Maximum wird, müssen die drei Bedingungen

(14.)

A<o, A>o, A<o

erfüllt sein.

(15.)

In ähnlicher Weise findet man, dass u =f(zu x₂,... xn) ein Minimum wird, wenn die ersten partiellen Ableitungen fi (xv xn • • • xn)i fï (xn x2(?u x2i • • • xn) sämmtlich gleich Null sind, und wenn

(16.)

A > 0, A > 0, A > o,... Dn > 0.

Dabei ist

(17.)

A< =

fnfn • • ./i« /21/22 • • •/iß

««

/ßl/ß2.../

für a = 1, 2,...

Dagegen wird u ein Maximum, wenn die ersten partiellen Ableitungen von f{xx,x₂,...#») wieder sämmtlich gleich Null, und wenn die Determinanten Da mit geradem Index sämmtlich positiv und die mit ungeradem Index sämmtlich negativ sind.

Sind nämlich für ein Werthsystem xx, x₂,... xn die ersten partiellen Ableitungen /1}/₂,.. ./„ sämmtlich gleich Null, so wird

(18.) J =/(« 1 +hx, x₂-\-h₂,.. . xn+hn) —f{xx, x₂,... xn)

hx, h₂, .

⁼ \<p (hx, h₂,. .. hn) -}- \hx, h₂, .. . hnJ₃, wobei die Bezeichnungen den früheren entsprechend gewählt sind. Die Differenz A wird für hinreichend kleine Werthe von . . hn beständig positiv oder beständig negativ sein, wenn die homogene Function zweiter Ordnung

(19.) (f{h\, h%, . . . Zin) = Ai (fn/li +/«Ä2 + • • • +/i«An)

+ ^2(^/2!^! fyjlï + • • •    f•in/l n)

+ 7ln(Jni/li Ą-fni/li + • • • ~{-Jnn/ln)

eine definite Form ist. Bezeichnet man wieder die Unterdeter-minanten von 1)H mit «h,... ann, so erhält man nach den Formeln Nr. 122 und 124 der Tabelle

(20.) Dn —fini Uni F. fni (Uni + • • • + finn^nn,

fri «nl +fr2 «n2 + • • • +/rn «nn = 0 fÖT /* < ».

Daraus folgt, wenn man

A₁ = Ah + —ÄM, A₂ = A'₂4

dnn

(21.)

ü£M2

(22.)

Clnn

An, . . .

/iw.—i — A

w—1

n— 1

Clnn

An

setzt.

0>(Äi, A2, . . . Aw) —

Äi(/ii Ah +/12 Ah + • • • +/l, »—1 A'n—l)

"I--—C/ii «wl +,/l2 «w2 + • • • +/ln <*nn)

Clnn

+ Zlfifii Zl‘ 1 +/22 Zl\ + • • . 4" fi, n—1 Zl'n—i)

H--(/21 «»1 ffii dni + • • • -\~ fin Clnn)

Clnn

4" Zln{fni Zl‘l F fini Zl‘i + • • • ~\~fn, n— 1 fl*n-l)

H (/wl fini CCni + • • • "T^/ww dnn)i

dnn

oder, wenn man nach den Grössen Ah, Ah,... A'„-i ordnet und die Gleichungen (17.), (20.) und (21.) berücksichtigt,

(23.) cp (A,, A₂,... Am) = Ah(/nAi +/₁₂A₂ + • • • +,/inAw)

4" Zl‘i{fii/li +/22A2 + • • • 4" fin/ln) 4" Zltn-i{fn— 1, l Zl\ +fn-i,i/li 4" • • 'fn—l,n/ln)

Dnhn2 F)n-i

Indem man die Substitutionen (22.) noch einmal anwendet, findet man

<p (hi, h^,... hn) —

Wnn

h‘n-i)

+ h\(f₂ lA + ./22A + • • • +./2,

(j^21 «nl +y*22«»2 + • • • + t/2n «nn)

A-l)

h n—l

hn

CCfin

C/w—-\- fn—1, 2«w2 + • • • +/»-l,H«rm)

DM A-t ’

⁰⁾⁺ n

oder mit Eücksicht auf die Gleichungen (21.) (24.) (f (hi, h₂,. .. hn) = (f (h\, h‘₂,. .. h‘

n—l

Da nun hierbei die homogene Function zweiten Grades (f(h‘i, h\,... ä'm-i, 0) nur noch n — 1 Veränderliche enthält, so kann man diese Function in ähnlicher Weise auf die Form

ä\ ... A"„-₂, 0, 0) + ^ (A'„_,)²

Un—2

(25.)

bringen und so fortfahren, bis man erhält (f (hi, h₂,.. . hn) =

(hr⁾y+^,r,y+...

/)

D—(h‘n-OH ■Un—2    Un—1

Aus dieser Darstellung ergeben sich dann ohne Weiteres die oben aufgeführten Sätze.

K\

§ 128.

Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll die Werthe von x und y bestimmen, für welche

(1.)

^ =/(>, y) — «² + xy + y² — 5z — fy + 10

ein Maximum oder Minimum wird.

Auflösung. Hier ist

CD IO

( )    =    + y — 5, f{x, y) — x + 2y — 4,

( )    /ll = fn = D /22 = 2.

Die beiden ersten partiellen Ableitungen /i (x, y) und f\(x, y) verschwinden nur für

(4.)

x—2, y— 1,

(5.)

und zwar wird z für diese Werthe von x und y em Minimum, weil /n = 2 > 0, /n/22 —/i2² = 3 > 0.

Aufgabe 2. Man soll die Zahl a so in drei Theile theilen, dass ihr Product ein Maximum wird.

Auflösung. Bezeichnet man zwei von diesen Theilen mit x und y, so wird der dritte a — x — y, und das Product, welches ein Maximum werden soll, ist

(6.)    =/(«, y) = xy(a — x — y) = axy — x*y — xy².

Daraus folgt

(8.)

(7.) fl (z, y) = ay — 2xy — y², f₂ (x, y) = ax — x¹ — 2xy, fu = — 2y, fv2 — a — 2x — 2y, f₂₂ = — 2x.

Da die Werthe x = 0, oder y = 0 hier nicht in Betracht kommen können, wie schon aus der Natur der Aufgabe hervorgeht, so erhält man, indem man j\ (x, y) und f₂ (x, y) gleich Null setzt, die Gleichungen

(9.)

a — 2x — y — 0, a — x — 2y = 0,

welche nur für

« |co

(10.)

X —— 5

3 y =

befriedigt werden. Da für dieses Werthepaar

8 ICO

--,/i2 == -    1 f%2 =--

so tritt ein Maximum, ein.

Dieser Aufgabe kann man auch die folgende Fassung geben: Von einem rechtwinkligen Parallelepipedon ist die Summe aller Kanten gleich 4«; wie gross müssen die einzelnen Kanten sein, damit das Volumen ein Maximum wird?

Aus der vorstehenden Lösung sieht man, dass das rechtwinklige Parallelepipedon mit möglichst grossem Volumen ein Würfel ist.

Aufgabe 3. Man soll unter allen' Dreiecken mit gegebenem Umfange dasjenige ermitteln, welches den grössten Flächeninhalt hat.

Auflösung. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist bekanntlich F= Yu (u a)(u b) (u c), wenn man die Seiten mit a, b, c und den Umfang mit 2 u bezeichnet. Setzt man aber

u — 3m, a = x, b = y,

(12.)

(13.)

so wird

(14.)

c = 6m — x — y, u — c ■=- x y — 3m, F² = 3m (3m — ar) (3m — y) (« + y — 3m),

F²

(16.)

==■ Æ²«/ + £2/² — 3m (x² + 3a:y -f- y²)

+ 18m² (æ + y) — 27m³.

Da F mit fix, y) zugleich ein Maximum wird, so bilde man J fi (x: y) — %XV + y² — 3m (2a; + 3y) + 18m2 = (3m — y) (6m — 2x — y), f₂(x, y) = x² + 2xy — 3m(3a; + 2y) + 18m2 = (3m — x) (6m — x — 2y).

Da die Summe aller drei Seiten gleich 6m ist, und da jede Seite kleiner sein muss als die Summe der beiden anderen Seiten, so muss jede der Seiten kleiner sein als 3m. Deshalb dürfen in f (x, y) und f₂ (xi y) die Factoren 3m — y bezw. 3m — x nicht gleich 0 sein, so dass man vielmehr

6m — 2z — y = 0, 6m — x — 2y — 0,

(17.)

(18.)

(19.)

oder

(20.)

x = 2m, y — 2m setzen muss. Für diese Werthe von x und y tritt auch wirklich ein Maximum ein, denn es ist

(21.)

_/'u = 2y — 6m = — 2m < 0,

(22.) /i2 = 2x + 2y — 9m — — m, f₂2 = 2x — 6m = — 2m, /11/22 —/12² = 3m² > 0.

Unter allen Dreiecken mit gleichem Umfange hat also das gleichseitige den grössten Inhalt.

(23.)

Aufgabe 4. Von einem Dreieck sind die Coordinaten der Eckpunkte Pu P>, P₃, nämlich xu yi ; x₂, y> ; #₃, y₃ gegeben; man soll die Coordinaten eines Punktes P finden, dessen Abstände von den Ecken eine 7 möglichst kleine Summe haben.

(Vergl. Fig. 142.)

Auflösung. Die Abstände des Punktes P von den Ecken seien sus₂,si} und die Winkel, _ welche diese Linien mit der 0 81 positiven Kichtung der X-Axe bilden, seien

Fig. 142.

[p

4X5',p=ÿl,    4:x5jP=%, 4XĄP=fc

dann wird

(24.)

/ «i = V(* —*W+W— Vi)\ s2 = V(« — x-if +(v —

«s =    —*₈)² + (y — ft)*,

und es ist

f(x, y) = sx + s₂ + s₃

die Function, welche ein Minimum werden soll. Nun ist für a = 1, 2, 3

(25.)

_ « —

dx Y(x — xay + (y — yaf

y—y*

¹. dy Y(x — ^ß)² + (y — y«)²

folglich muss man setzen

(26.)

ösa

« —

—— = COS <fa,

öß

= sin «po,

sa

fx (x, y) = cos (fi + cosy₂ + cos y₃ — O, fJx, y) = sinyt + sin y₂ + siny₃ = 0.

Aus diesen Gleichungen findet man

sin — y₂) = sin(y₂ — sp₃) = sin(y₃ — Vi )•

Aus der Figur erkennt man, dass

(fi — ^Pi = 4 P\PP<i, <pi — 9>₃ = 4 (180° — P₂PP₂),

<Ps — (Pi= 2t (180° — P₃PPj) ist, folglich wird Gleichung (29.) befriedigt, wenn man 4 Pt PP₂ = 4 P₂PP₃ = 4    = 120°

macht, was nur in dem Falle geschehen kann, wo die Dreieckswinkel alle drei kleiner als 120° sind. Dieses Resultat stimmt mit der Lösung überein, welche in § 57 (Seite 257—260) von dieser Aulgabe gegeben wurde. Dort sind auch ausser der Construction des Punktes P bereits die Bedingungen erläutert worden, unter welchen der Punkt P die verlangte Eigenschaft des Minimums besitzt. Um aber die in § 125 aufgefundene Methode einzuüben, beachte man, dass <9 cos (fa _ sin²yß Öx ~    ’

(9 sin y K __miffg cos y«

(29.)

(30.)

Sn

ofrosy«_ sin y « cosy«

dy

Sn

dx

ö sin y « _ cos²y«

sn

dy

Sn

wird. Deshalb ist (31.) s₁s2«3/ii = S2S3sin²yi+s₃sisin²y2+Si<S2sin²y3> °?

(32.) S1S2S3/12 = — sis₃ smyi cosyi—5₃«i siny₂ cosy₂—0^2 siny ₃ cosy₃, (33.) sisis₃f₂2 = 5₂s₃cos²yi+s₃Si cos²y₂-MiS₂ cos²y₃,

W3(/ll/₂₂-/l2²) =

«1 sin² (y ₂ — y 3) ■+ «2 sin² (y ₃ — y 1) + ä₃ sin² (y 1 — y 2),

oder

.    —)>0,

£3 6']    S\S₂/

(34.)    /n/22 —/12² = sin²120° (~ '    ¹

V2Ä3

folglich wird f(x, y) ein Minimum.

Aufgabe 5. In einen Kreis mit dem Radius r soll ein Viereck eingeschrieben werden, welches den gegebenen Winkel ce

enthält; wie gross sind die Seiten des Vierecks, wenn der Flächeninhalt ein Maximum wird? (Vergl. Fig. 143.)

Fig. 143.

Auflösung. Bezeichnet man die Winkel ADB und BBC bezw. mit x und y, und die Winkel BAD und BCD bezw. mit a und y, so ist bekanntlich

y = 180°

also

AB = 2rsina:,

BC = 2rsiny,

CD = 2rsin (y+y),

DA — 2r sin («+«); » folglich wird der doppelte Flächeninhalt des Vierecks

2 F— 4r² sina: sin(a: -f- a) sin« -f 4r²siny sin(y + yjsiny, also, da man den constanten positiven Factor 4r²sin a fortlassen darf,

(37.)

(35.)

(36.) |

fix, y) = sina: sin (a: + a) + siny sin (y -|- y).

Dies giebt

(38.) fx (x, y) = sin(a; + «)cosa; + cos(a: -f- «jsina: = sin (2a; -f «), (39.) ffx, y) = sin(y + y)cosy + cos(y + r) sin y = sin(2y + y).

Deshalb wird

(40.)

fx (x, y) — 0 für 2x + « — 180°, /*(*,y) = 0 für 2y + r=180°,

x = 90° —    =

toi s

Die Diagonale AC muss daher die Winkel a und y in den Eckpunkten A und C halbiren; dabei gehen die Gleichungen (35.) und (36.) über in

AB

y

= 2rsin^~

u

BC

== 2rsin^--

Lt

CD — 2 r sin ^    = 2 r sin ^

DA = 2 r sin^|- + = 2/-sin ^

folglich wird

(41.)

AB = AD, CD = CD.

Der Flächeninhalt wird für die angegebenen Werthe von x und y wirklich ein Maximum, denn es ist

fn(x, y) = 2cos(2# + a) — — 2 < 0,

/i2 = 0, /₂₂ = 2cos(2y + y) = — 2,

/11/22 —/₁₂² = 4* 4 > 0.

§ 129.

Maxima und Minima mit Nebenbedingungen.

Bisher war immer die Voraussetzung gemacht worden, dass in der Function

(1.)

U =f(*i, *2, • • • xn),

welche ein Maximum oder Minimum werden soll, die n Veränderlichen von einander unabhängig sind. Das wird aber bei den wenigsten Aufgaben der Fall sein. Soll man z. B. die Zahl a so in drei Theile theilen, dass das Product dieser Theile ein Maximum wird, so ist die Function, welche ein Maximum werden soll,

(2.)

u = xyz,

wo zwischen den drei Veränderlichen die Bedingungsgleichung

(3.)

x + y + z = a

besteht. Diese Aufgabe wurde in dem vorhergehenden Paragraphen so gelöst, dass man aus Gleichung (3.) den Werth von z berechnete und in die Gleichung (2.) einsetzte.

Dadurch erhält man

(4.)

u = xy(a—x — y) =f(x, y),

also eine Function, welche nur noch die beiden imabhängigen Veränderlichen x und y enthält.

In ähnlicher Weise kann man häufig zum Ziele kommen. Soll z. B. in die Ellipse

b²x² + «²y² — a²b² — o

ein Dreieck PtP₂P₃ mit möglichst grossem Flächeninhalte einbeschrieben werden, so hängt die Function

(5.)

2F— Xi [y, — y₃) + *₂ {y-t ~ V\) + *3 Oi — Vi), welche ein Maximum werden soll, von sechs Veränderlichen Xi, yx ; x₂, y₂; x₂, yiX ab. Diese sind aber nicht von einander unabhängig, sondern sie müssen den drei Gleichungen (6.) b²Xi²-\-a²yi² = a²b², b²x₂²-\-dly.^ = a²b², b²x%² + a²yd² = a²b2 genügen, damit die drei Punkte Pl5 P₂, P₃ auf der Ellipse liegen. Jetzt kann man aber aus den Gleichungen (6.) die Werthe von yx, yt, y₃ bezw. als Functionen von xx, x₂, x% ausrechnen und in den Ausdruck für 2F einsetzen. Dann hat man nur noch eine Function von drei unabhängigen Veränderlichen xx, x₂, x₃, welche ein Maxünum werden soll.

In den meisten Fällen wird aber eine derartige Elimination viel zu umständlich sein, als dass man an ihre Ausführung denken könnte. Dagegen führt die folgende Methode im Allgemeinen viel leichter zum Ziele.

Es sei wieder

(7.)

u =f(xx, x₂,... xn)

die Function, welche ein Maximum oder Minimum werden soll. Dabei seien die n Veränderlichen xx, x₂,... xn den m Bedingungsgleichungen

I (fi (xx,x₂, ...#„) = 0,

(8.)

j <f l 0*1» ^25 • • • xn) — 0,

<pm (XX, X₂, . . . Xn) = 0

unterworfen, wobei aber m<n sein muss. Da nur solche Werthe von xx, x₂,... xn in Betracht kommen, für welche diese Gleichungen (8.) befriedigt werden, so ist es gleichgültig, ob man das Maximum bezw. das Minimum der Function f(xx, x₂,... xn) oder der Function

F(xx, 22< • . • %n) —f (,ZX 5 Z₂ • • • Zn) “I⁻ k\ d\ (Zf • Z₂, • • • Zn)

(9.)

"P k₂(f)₂ (*^1j *^2 • • • Zn) "p • • • ~p km(pm(Xx, X₂, . . . Xn)

aufsucht, wenn man auch für kx, k₂, • • • noch ganz beliebige Grössen einsetzt. Um nun die Werthe von xx, x₂,... xn zu finden, für welche F(xx, x₂,... xn) ein Maximum oder Minimum wird, muss man wieder

(10.) J = F(xi + A1} X₂ + Ä₂, • ••#» + ^n)--^(^1 X₂, . . . Xn)

nach Potenzen von hx ,h₂... hn entwickeln. Dies geschieht nach der Taylor'sehen Reihe, und zwar erhält man (11.) J — Fxhx -f- F₂h₂ + . . . + Fnhn -f- \hx, h₂> • • • ^»]2> wobei die ersten partiellen Ableitungen von F(xx, x₂,... xn) nach xt, x₂,... xn bezw. mit Fx,F₂,...Fn und der Rest mit \hx,h₂,...hn]2 bezeichnet sind. Damit nun F(xx, x₂,... xn) ein Minimum wird, muss J für alle zulässigen, hinreichend kleinen Werthe der Grössen hx, h₂,... hn beständig positiv sein, und damit F(xx, x₂,... xn) ein Maximum wird, muss J für alle zulässigen, hinreichend kleinen Werthe der Grössen hx, h₂... hn beständig negativ sein. Hierbei muss man aber beachten, dass nur solche Werthe von hx, h₂,... hn zulässig sind, für welche die Gleichungen (xi *P hx ? z₂ + h₂,... xn -f- hn) — 0,

(12.)

₍ T'l (*^1 "P Z₂ “f" h₂, • • • Xn “f" hn) — 0,

⁽fm(x\ -p x₂ + h₂, . .. xn -f- hn) — 0 befriedigt sind. Von den n Grössen hx, h₂,... hn sind daher nur n — m, z. B. hm+1, hm+₂,...hn willkürlich, während sich die Werthe der m übrigen {hx, h₂,... hm) aus den m Gleichungen (12.) ergeben. Bezeichnet man jetzt

mit

<faß

Ö(pa{xx, X₂, . . . Xn)

dxß

wobei a alle Werthe von 1 bis m und ß alle Werthe von 1 bis n annehmen darf, so kann man die m Grössen kx, k₂,... km so bestimmen, dass die m linearen Gleichungen

Fx ——fl + kx<fu -j“ k₂ (f)₂l + • • • *P km (pml — 0,

F₂ =fi + ki (f 12 + k₂(f ₂-2 + • • • 4* km (fm2 = 0,

mm

Fm —fm ~P kX (film + k₂(f-2m + • • • “P km(f

befriedigt werden. Dadurch geht die Gleichung (11.) über in (14.) 4 — Fm+1 h,n+1 + Fm+^hm+i-}-... + Fnhn + [A1} A₂,... Än]₂. Da nun hm+1, hm+2,... Ai willkürlich sind, so kann man hm-\-2 —— 0, . . .    ⁼ 0

setzen, so dass sich die Grösse J auf

(15.)

/t ⁼ FmĄ.\hmĄ.\ -f- \hi, A₂, • • ■    1, 0, . . . 0]₂

reducirt. Macht man jetzt hm+i hinreichend klein, so werden auch kuh₂... hm beliebig klein. Wäre also Fm+i von Null verschieden, so könnte man hm+i so klein machen, dass, vom Vorzeichen abgesehen, Fm+i hm+i grösser würde als [hu h₂,... hm+t, 0,... 0]₂, dass also 4 dasselbe Vorzeichen hat wie Fm+i hm+i. Diese Grösse wechselt aber das Vorzeichen zugleich mit hm+1, folglich kann nur dann ein Maximum oder Minimum eintreten, wenn

Fm+1 = 0

ist. In derselben Weise kann man zeigen, dass auch Fm.(-2 = 0,... Fn = 0

*r₂> • • • Gleichimgen

sein muss. Dies giebt zur Bestimmung der n Grössen xu ausser den m Gleichungen (8.) noch die n — m

Fm+1 =/Hi+1 + /l₁ 9>l₍j»+l + ^₂ÿ2,m+lH--.    +1 — 0,

(16.)

irn+2—./w+2 + ^1 9⁾l,»i+2 + ^2 ÇP2,m+2+- • • +    w+2 = 0,

= 0.

Fn — fn + ^1 <fin + ^₂(fïn + • • • + hm(f

Bei der Herleitung wurden allerdings die m Gleichimgen (13.) zur Berechnung der m Grössen Ät, 2₂,... Xm und die n Gleichungen (8.) und (16.) zur Berechnung der n Grössen xi, x-2,...xn benutzt. Man ist aber natürlich an diese Reihenfolge in der Ausführung der Rechnungen nicht gebunden, sondern hat nach dem Vorhergehenden im Ganzen m 4- n Gleichungen, nämlich die Gleichimgen

(pl (Xl, Ba, • • • B») — 0,

(17.)

(fm{x1,    . . . %n)    0,

fl 4~ ^1^11 4" ^2^P21 • • • 4" Xm(pmi — 0,

' fn 4" ^l^Pl» 4“ ^2^P2« + • • • + Xm(fmn — 0, die gerade zur Berechnung der m + n Unbekannten Xu X₂,... Xm, ari, Xi,... xn ausreichen.

Auf diese Weise findet man alle Werthsysteine der n Veränderlichen, für welche möglicher Weise ein Maximum oder Minimum eintreten kann. Oh dann für ein so gefundenes Werthsystem wirklich ein Maximum oder Minimum eintritt, geht in vielen Fällen schon aus der Natur der Aufgabe hervor. Deshalb möge hier die etwas weitläufige Entwickelung eines allgemein gültigen Kriteriums übergangen werden.

§ 130.

Aufgaben.

Aufgabe 1. Es 'soll das grösste rechtwinklige Parallelepi-pedon gefunden werden, das einer Kugel mit dem Radius r einbeschrieben werden kann.

Auflösung. Da der Mittelpunkt des Parallelepipedons zugleich auch der Mittelpunkt der Kugel sein muss, so ist der Durchmesser der Kugel, nämlich 2r, eine Diagonale des Parallelepipedons. Nennt man also drei an einander stossende Kanten x, g, z, so wird

(1.)

(20

v =f(z, y, *) = xyz die Function, welche ein Maximum werden soll, und <p (x, y, z) = x² + y² + z² — 4r² = 0 ist die Bedingung, welche zwischen den drei Veränderlichen stattfindet. In diesem Falle wird deshalb (3.)    F(x, y, z) =/ + X<p — xyz -f- X(x² + y² + z² — 4r²),

(4.) Fl = yz -f- 2Xx = 0, F₂=zx -f = 0, F% — xy 4- 2Xz — 0.

Dies giebt

(5.)

also mit Rücksicht auf Gleichung (2.)

4r2

oder x = y — z —

fys.

Der Würfel ist daher das grösste rechtwinklige Parallelepi-pedon, welches der Kugel einbeschrieben werden kann.

(6.)

Aufgabe 2. Es soll das grösste rechtwinklige Parallelepi-pedon gefunden werden, welches dem Ellipsoid

7/2    <r2

^ + f2 + ^2-1 = 0

(7.)

X²

einbeschrieben werden kann.

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei der vorigen Aufgabe findet man hier für die Seitenkanten die Werthe

f J/3, y = ! 1/3,    , = |ys.

(8.)

Aufgabe 3. Unter allen Kegeln mit gleichem Volumen V denjenigen zu finden, welcher die kleinste Oberfläche hat.

Auflösung. Der Radius der Grundfläche sei x, die Höhe sei y, und die Seitenkante sei 2 (vergl.

Fig. 144) ; dann wird die Gesammt-oberfläche

Fig. 144.

I f{xi Vi z) — x<ln + XZTT

= 7t{x² -f- XZ).

Dies ist die Function, welche ein Minimum werden soll. Zwischen x, y und z bestehen dabei noch die Bedingungsgleichungen

y __ x*¹ ny

(9.)

A(

x² -\- y² = z²,

oder

(10.)

<Pi 0> y, *) = 3 V— x¹ny — 0, y>2(x, y, z) = x¹ + y¹ — z¹ = 0.

Dies giebt

(11.) F(x, y,z) = n(;x¹+a»)■-f Xx (3 F— a;%y)+X₂ (x¹+y¹—z¹)

(12.)

F₂ (ar, y, z) =

(*> y, *) =

Fi (x, y, z) = 7t(2x + z) — 2Xxnxy -j- 2X₂x = 0, — Xl7tx¹ + 2 X₂y = 0, — 2^₂2 = 0.

(13.)

Durch Auflösung dieser Gleichungen findet man

L = y~,

. Tra:

X2= 27’

x¹ + 2a*z + 2¹ = 2 y¹,

oder

(14.)

oder

(15.)

« + * = y]/2.

Mit Rücksicht auf die Gleichungen (10.) erhält man daher z¹ = x¹ -(- y2, — 2y¹ — 2]/2xy + x¹,

y — 2x]/2,    3 F= 2a:²7r]/2,

also

(16.)

= 2lÆV ,1/2 = 3*1/2 = 3}/—

' 7T    r n

(17.)

Die Gesammtoberfläche dieses Kegels ist dann 0 = \x¹n = 2]/9 F¹7r.

Aufgabe 4. Von einem Viereck sind die vier Seiten «, b, c, d gegeben, wie gross müssen die Winkel sein, damit der Flächeninhalt ein Maximum wird? (Vergl. Fig. 145.)

Auflösung. Ist AB CD das gesuchte Viereck und setzt man ^ABC=x, 2$. ABC = y,

so wird

A Ć¹ — a² + b² — 2ab cos#, A & — c² -f d² — 2cdcosy,

also

grösser machen, ohne die Länge der Seiten zu ändern. Deshalb können, wenn F ein Maximum werden soll, einspringende Winkel nicht Vorkommen, so dass man erhält

(18.) 2F=f(x, y)=ab sin#+<?<r/siny.

Dies ist die Function, welche ein Maximum werden soll; dabei sind aber # und y nicht von einander unabhängig, denn nach dem Cosinussatz wird

Fig 146.

Pi b

A'

(19.) cp (x, y) = a² -j- b² — 2ab COS# — c² — d² -j- 2cdcosy = 0. Setzt man daher

Fix, y) —fix, y) + lep (#, y)

so erhält man

(20.)

oder

Ffx, y) — a&cos# + 2aöA,sin# = 0, F₂ (#, y) = cc/cosy — 2cdl siny = 0,

(21.)

cos# + 2/lsin# = 0, cosy — 2/lsiny == 0, und wenn man X eliminirt,

(22.)

siny cos# + sin# cosy = sin(# + y) = 0.

Da die Winkel # und y beide grösser als 0° und beide kleiner als 180° sein müssen, so kann diese Gleichung nur befriedigt werden für

(23.)

# + y = 180°.

Wenn von einem Viereck die vier Seiten gegeben sind, so ist also der Flächeninhalt dann ein Maximum, wenn das Viereck einem Kreise einbeschrieben ist.

Stegemann - Kiepert, Differential-Rechnung.

Dies ist die Function, welche ein Maximum werden soll. Zwischen den beiden Veränderlichen # und y besteht dabei noch die Gleichung (25.), da der Punkt P auf der Ellipse liegen soll. Deshalb ist hier

(27.)

P(#, y) — x {yx — y₂) + y (#₂— *\) + #, y₂ — #₂yx + À (b²x² + a²y²— a²b²),

¹

A ABC — aôsina?, 2 A ABC = cdsiny.

²

Hätte das Viereck einen einspringenden Winkel, z. B. bei Bx, so könnte man seinen Flächeninhalt F um das Stück ADi CD

(28.)

F\ (x, V) = Vi — V2 + 2Â6²# = 0,

(#, y) — x₂ — #t -f- 2Xa²y — 0.

Dies giebt durch Elimination von 1

(29.)

Den Werth von # findet man jetzt ohne Weiteres Gleichung (19.), weil cosy gleich —cos# ist. Dies giebt

d² -f b² _ c2 _ &

aus

(24.)

cos# =

2 (ab + cd)

Aufgabe 5. Auf einer Ellipse mit der Gleichung <p (#, y) = b²x² -f- a² y² — a²b² — 0 sind zwei Punkte P, und P₂ gegeben ; man soll auf der Ellipse

einen dritten Punkt P bestimmen, so dass der Flächeninhalt des Dreiecks Pj P₂ P möglichst gross wird. (Vergl. Fig. 146.)

Auflösung. Bezeichnet man die Coordina-ten der Punkte P,, P₂, P bezw. mit x1} yx; x2, Vïi x, V, so wird bekanntlich der dop-

(25.)

Fig. 146.

P,

P'

Pz

pelte Flächeninhalt des Dreiecks P, P₂P

(26.)    2F= x {yt—y₂) + y (#₂ — #t) + xx y₂ — #₂yl = /(#, y).

b² (#t — #₂)# + a² {yx —y₂)y = 0.

Da die Punkte Px und P₂ auch auf der Ellipse liegen, so gelten die Gleichungen

b²xx² + a²yx² — a²b² — 0 und b²x₂² -f- «²*/2² — «²^² = 0,

folglich ist auch

(30.)

è² (V— ^2²) + a<l (s/i² —s/2²) = o ; d. h. die Gleichung (29.) wird befriedigt für

(31.)

__^1+^2    ___Vi + y-i

X 2 ’ V--2_ und stellt deshalb einen Durchmesser dar, welcher die Sehne Px P₂ halbirt. Nennt man die Endpunkte dieses Durchmessers P und i*, so haben diese beiden Punkte die verlangte Eigenschaft des Maximums, denn nach der Lehre von den conjugirten Durchmessern sind die Tangenten in P und P‘ zu PXP₂ parallel. In dem Dreieck Pt P₂P (und ebenso in dem Dreieck PiP₂P‘) ist deshalb die Höhe grösser als in einem jedem Dreiecke P,P₂P", welches dieselbe Grundlinie P,P₂ hat, dessen Spitze P“ aber auf der Ellipse dem Punkte P (bezw. dem Pimkte P‘) benachbart liegt.

Aufgabe 6. In eine Ellipse soll ein möglichst grosses Dreieck P[P₂P₃ einbeschrieben werden. (Vergl. Fig. 147.)

Fig. 147.

0/

Auflösung. Diese Aufgabe lässt sich unmittelbar auf die vorhergehende zurückführen, indem man z. B. die Punkte Px und P2 als gegeben ansieht und den Punkt P₃ sucht.

P₃ muss dann auf der Verlängerung des Halbmessers OP₃ liegen, welcher P, P₂ halbirt.

Ebenso muss die Verlängerung von OPx die Gerade P₂P₃, und die Verlängerung von OP₂ die Gerade P₃P, halbiren, d. h. der Mittelpunkt 0 der Ellipse ist gleichzeitig der Schiverpunkt des gesuchten Dreiecks P,P₂P₃.

Da in jedem Dreieck der Schwerpunkt die drei Halbirungs-transversalen im Verhältniss von 1 : 2 theilt, so kann man ein

solches Dreieck PXP₂P% construiren, indem man auf der Ellipse einen Punkt Px beliebig annimmt, den Halbmesser OPx über 0 bis Nx verlängert, so dass

(32.)

PxO = 2 ONx

wird, und durch Nx eine Parallele zu der Tangente im Pimkte Px zieht; dann schneidet diese Parallele die Ellipse in zwei Punkten P₂ und P₃, so dass das Dreieck PXP₂PX seinen Schwerpunkt in 0 hat. Dabei sind nach der Lehre von den conjugirten Durchmessern die Coordinaten des Punktes Nx

x\ x2 + x?>

V\ V2 + y*,

folglich gelten die Gleichungen

(33.)

+ x₂ + x₃ = 0 und yt + y₂ + y₃ = 0.

Da bei dieser Construction der Punkt Px noch ganz beliebig auf der Ellipse angenommen werden durfte, so findet man hierdurch unendlich viele Dreiecke, von denen aber sogleich gezeigt werden soll, dass sie alle gleichen Flächeninhalt haben. Der doppelte Flächeninhalt des Dreiecks Px P₂ P₃ wird nämlich mit Rücksicht auf die Gleichungen (33.)

(34.)

| 2F= 3-, (jh — y») + ä'2 (y-i — Vs) + % ly, — y,)

I = » (3-, y-i — z-dth

Da die Punkte Px und P₂ auf der Ellipse liegen, gelten die Gleichungen

b²xx² + «Vi² — d²b²^ b²x₂² -f- a²y₂² — a2b²,

(35.) bxxx²x₂² + «⁴^i²^2² + cfib² (xx²y₂² -f- x₂²yx²) = a⁴£⁴.

Ferner hat die Tangente im Punkte Px die Gleichung b²xxx‘ + ahjxy‘ — a²b² = 0,

folglich ist die Gleichung der Geraden, welche man durch JVj parallel zu dieser Tangente legt,

(36.)

2 b²xxx‘ + 2a²yxy‘ + a²b² = 0.

Da diese Gerade durch den Punkt P₂ hindurchgeht, so "wird 2b²xyx₂ -f- 2a²yxy₂ -J- a²b² = 0,

4bxxx²x₂² -f- 8a²b²xxx₂yxy₂ + 4a⁴y₁²y₂² = a⁴Z>⁴,

oder (45 a.)

oder mit Rücksicht auf Gleichung (35.)

4a⁴Z>⁴— 4a²b² (x^y^² + x2²Vi²) + 8a²    — a^¹,

oder

(38.)    4 (a?,y₂ — a-₂yt)² = 3«²£²,    2 (xxy₂ — x₂yx) = ab Y 3.

Dies giebt

4P= 3ab Y3.

Der Flächeninhalt ist also unabhängig von der Lage des Punktes Px, so dass es unendlich viele Dreiecke P₁P₂P₃ giebt, welche gleichen Inhalt besitzen, und welche grösser sind als alle übrigen der Ellipse einbeschriebenen Dreiecke.

(39.)

Aufgabe 7. In eine Kugel mit dem Halbmesser a soll ein Cylinder mit möglichst grosser Oberfläche einbeschrieben werden. (Vergl. Fig. 148.)

Auflösung. Bezeichnet man die Halbmesser der Grundkreise mit x und die Höhe des Cylin-ders mit y, so wird die Oberfläche

Fig. 148.

I)/—

(40.) F = 2x²rr -j- 2xny,

also

(41.) f(x, y) = x² + xy, wobei noch zwischen x und y die Gleichung

JE_X_

(42.)

cf (x, y) = 4a;² + y² — 4a² = 0

besteht. Daraus folgt

(43.)

(44.)

Fix, y) =f{x, y) + l<f (x, y), Fx (x, y) — 2x y -\- 8hx = 0,

Ą (*, y) =

(45.)

x + 2 Xy = 0, 2 xy + y'² — 4a;² = 0,

(x + y)² = 5a;², y = x (— 1 dz Y~5) x‘‘ (10 + 21/5) = 4a².

Aufgabe 8. Durch den Mittelpunkt 0 eines Ellipsoids

(49.)

x\y±₊zl

^ b² ^ c²

ist eine Ebene

(50.)

ff 2 0*5 y,z) = Ax + By + Cz = 0 gelegt; man soll die Axen der von dieser Ebene ausgeschnittenen Ellipse bestimmen.

Auflösung. Verbindet man einen beliebigen Punkt P der Schnittcurve mit 0, so wird

(51.)

*= yx±wy

,,2 _

/0> y) = x(x + y) = x²j/K = — (|/5 ± 1).

Um den grösseren Werth von fix, y) zu [erhalten, muss man also in den vorstehenden Gleichungen das obere Zeichen nehmen.

(47.)

(48.)

to| a

aVl + 4,

VV

O-P² =/i'.i'. y, z) = z² + y¹ + z\ wobei die Veränderlichen x, y, z den Gleichungen (49.) und (50.) genügen müssen. Unter diesen Halbmessern OP ist die grosse Halbaxe ein Maximum und die kleine Halbaxe ein Minimum. Man findet daher die beiden Axen, indem man die Werthe von x, y, z bestimmt, für welche / [x, y, z) ein Maximum oder Minimum wird. Hierbei ist

(52.)

(53.)

2Xxx

+ AÄ₂ — 0,

(54.)

(55.)

F,=2z+ a2

•*i = 2y + ^ß-

F.=2z + ^hl ₊ Cl, = 0,

c²

also

(56.) 2x =

AX₂a²

, >J =

BX.₂b²

2z =

CX₂c²

hieraus

Mit Rücksicht auf die Gleichungen (50.) und (49.) folgt

B²b²

C²c²

A²a2 a² -j- A1 A²a²

(«² + ^)² ' (é² + /tt)² ‘ (c²+Ai)²_

Aus Gleichung (57.) findet man die beiden Werthe von Ax und aus Gleichung (58.) die zugehörigen Werthe von /t₂. Indem man diese Werthe von Ax und in die Gleichimgen (56.) einsetzt, erhält man schliesshch die gesuchten Werthe von x, y, z.

(57.)

(58.)

v[

B²b²

c² -j- Ax

= 0,

C²c²

= 4.

XVI. Abschnitt.

Theorie der complexen Grössen.

§ 131.

Erklärung der complexen Grössen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 155—163.)

Bekanntlich führt schon die Auflösung der quadratischen Gleichungen häufig auf imaginäre Wurzeln. Ist z. B. x² + Gz + 13 = 0,

so wird

(1.)

— 3 ± Y—4 = — 3 ± 2i, wobei Y — 1 mit i bezeichnet worden ist. Aus ]/ — 1 —i folgt i² = — 1, iz = — i, iA = + 1, ib = +

Es ist nicht nur von grossem Vortheil, imaginäre Grössen in die Rechnung einzuführen, sondern es stellt sich sogar bei vielen Untersuchungen die Nothwendigkeit heraus, mit solchen Grössen zu rechnen. Da die Bezeichnung „imaginär“ leicht die falsche Vorstellung erwecken könnte, dass die Rechnung mit imaginären Grössen unzulässig sei, nennt man dieselben gewöhnlich zum Unterschiede von den reellen Grössen complexe Grössen und kann zeigen, dass sich alle Rechnungen mit ihnen in derselben Weise ausführen lassen wie mit reellen Grössen. Ihre allgemeine Form ist

a -f- by — 1 oder a + bi,

wobei a und b reelle Grössen sind, a heisst der reelle Theil und b der Factor des imaginären Theils. Ist der reelle Theil einer complexen Grösse gleich 0, so heisst sie rein imaginär.

Wie die reellen Grössen ans den beiden Einheiten 4-1 und — 1 gebildet sind, so werden die complexen Grössen aus den vier Einheiten

+ 1? — 1)    + h

gebildet. Auf die so erklärten Grössen kann man ohne Weiteres die Regeln der Addition, Subtraction, Multiplication und Division, wie sie für reelle Grössen gelten, an wenden. Das Resultat dieser Operationen ist, wie sogleich gezeigt werden soll, wieder eine Grösse von der Form A + Bi. Daraus folgt dann die Berechtigung, mit complexen Grössen ebenso zu rechnen, wie mit reellen.

I.    Addition. Complexe Grössen werden addirt, indem man die reellen Theile zu den reellen und die Factoren der imaginären Theile zu den F'actoren der imaginären Theile addirt, also

(2.)

(a + bi) 4- {c 4- di) — (a + c) + (b -f d)i.

Das Resultat hat wieder die Form A -f Bi.

II.    Sllbtraction. Zivei complexe Grössen werden von einander subtrahirt, indem man die reellen Theile und die Factoren der imaginären Theile von einander subtrahirt, also

(3.)

(a 4- bi) — (c 4" di) = (a — c) 4- (b — d) i.

Das Resultat hat wieder die Form A 4- Bi.

III.    Multiplication. Zwei complexe Grössen werden mit einander multiplicirt, indem man jeden Theil des einen Factors mit jedem Theile des anderen Factors multiplicirt, also

(4.)

(a 4- bi) (c 4- di) = ac -f- bei 4- adi -f bdi2 — (ac — bd) 4- (ad 4- bc)i.

Auch hier hat das Resultat die Form A 4- Bi.

(5.)

In dem besonderen Falle, wo c = a, d—— b ist, erhält man (a 4- bi) (a — bi) = a² -j- b².

Hier ist das Resultat sogar eine positive reelle Grösse.

Zwei solche complexe Grössen, die sich nur durch das Vorzeichen des imaginären Theiles von einander unterscheiden, heissen conjugirt; es gelten für sie die folgenden Sätze:

1) Die Summe zweier conjugirt complexen Grössen ist reell: (a + bi) + (a — bi) = 2a.

(6.)

2) Die Differenz zweier conjugirt complexen Grössen ist rein imaginär:

(70

(a -f- bi) — (a — bi) = 2bi.

3) Das Product zweier conjugirt complexen Grössen ist reell und positiv:

(a + bi) (a — bi) — a² -f* b².

Dieses Product heist nach Gauss die Norm von a + bi und ebenso die Norm von a — bi. Um die Norm einer complexen Grösse zu bezeichnen, setzt man ein N vor dieselbe; es ist also

(8.)

N(a + bi) = N(a — bi) = a² + b\

Die Quadratwurzel aus der Norm, mit positivem Vorzeichen genommen, heisst der Modul oder (nach Weierstrass) der absolute Betrag der complexen Grösse. Das Zeichen dafür ist ein vorgesetztes M oder zwei senkrechte Striche, von denen die complexe Grösse eingeschlossen wird, also

M (a + bi) = | a -f- bi ( = + ]/a² + b²,

M(a — bi) = \a — bi | = + Y a² + b\

(9.)

Aus der Gleichung

(10.)

_    a — bi

a -f- bi (a + bi) (a — bi) a² + b²

a — bi

folgt der Satz:

4) Der reciproke Wertli einer complexen Grösse ist gleich ihrer conjugirten, dividirt durch die Norm.

IV. Division. Bei der Division complexer Grössen multi-plicirt man Zähler und Nenner mit der zum Nenner conjugirten Grösse, dann hat man nur noch durch eine reelle Grösse, nämlich nur durch die Norm des Nenners zu dividiren. Dies giebt

.    . c + di (c + di) (a — bi) ac + bd

’■ a + bi    (a + bi) (a — bi)    d¹ -f- b² r a² + b²

Auch hier hat das Resultat die Form A + Bi.

Da eine Potenz mit ganzzahligem Exponenten ein Product ist, so kann man auch eine complexe Grösse potenziren. Es wird also

ad— bc

i.

(12.)

(a + bi)n = ja” ~Q^n~²h² +

an-4J4--p #

-]

an-\ b —

8 CO

an-3J3 _|--

§ 132.

Einige Sätze über complexe Grössen. Moivre’sche

Formeln.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 164—169.)

Da eine rein imaginäre Grösse die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist, so kann eine reelle Grösse, welche von 0 verschieden ist, niemals einer rein imaginären Grösse gleich sein. Ist also

(1-)

a + bi — 0,

so müssen a und b einzeln gleich 0 sein. Dies giebt

Satz 1. Sind zivei complexe Grössen einander gleich, so müssen die reellen Theile und ebenso auch die Factoren der imaginären Theile einander gleich sein.

Beweis. Aus

(2.)

a + bi = c + di

folgt

(a + hi) — (c + di) — (a — c) + (b — d)i = 0.

Dies giebt aber

a — c = 0, b — d = 0, oder a = c, b = d.

Jede Gleichung zwischen complexen Grössen umfasst daher zwei Gleichungen zwischen reellen Grössen.

(3.)

(40

Die complexen Grössen lassen sich auch noch in einer etwas anderen Form darstellen. Setzt man nämlich

| a -f bi | = -f ]/a² + b² = r, so wird r^a und r ^ b, folglich kann man zwischen 0 und 2 n (bezw. zwischen 0° und 360°) einen Winkel cp so bestimmen, dass

(5.)

(6.)

COS ff =

sin 7 = —

r

wird. Dabei liegt der Winkel 7

zwischen 0°    und    90°,    wenn    a >0,    b >0,

„    90°    „    180°,    „    a < 0,    5 > 0,

„    180°    „    270°,    „    a<0,    b<0,

„    270°    „    360°,    „    a > 0,    & < 0.

(7.)

Dieser Winkel ff heisst das Argument der complexen Grösse a + bi. Durch Einführung dieser Bezeichnungen wird a + bi — r (cos ff + i sin ff).

Multiplicirt man jetzt die complexen Grössen rx (cos ffx +i$i\\ffx) mid r₂ (cos tp₂ + i smr/₂) mit einander, so erhält man

(    rx (cos ffx + i sin . r₂ (cos tp₂ + i sin 7₂) =

(8.) J rx r₂ [(cos tpx cos7₂— sin tpx siny₂)+i (sin^ cos^₂+cos <px sin^)] \    — rxr₂ [cos [ffx + tf₂) + i sin (ffx + çp₂)].

Diese nach Moivre genannte Formel giebt

Satz 2. Complexe Grössen werden mit einander multiplicirt, indem man ihre absoluten Beträge mit einander multiplicirt und ihre Argumente addirt.

Dieser Satz lässt sich ohne Weiteres auf Producte von drei oder mehr Factoren übertragen; es ist also

(9.)

^(cos^ +ï'sin7>₁). r₂(cos7>₂ -f- i sin«p₂). r₃ (cos 7)3 + «sin7)3) = r₁r₂r₃ [cos(7)} + fp₂+fpz)-j-i sm(fpx + ff₂ + ^P₃)]*

(10.)

Sind die Factoren alle einander gleich, so erhält man [r(cos7> + i sin 7))]^ = rn [cos (ntf) + « sin (ntp)]

und damit

Satz 3. Eine complexe Grösse wird potenzirt, indem man den absoluten Betrag potenzirt und das Argument mit dem Potenzexponenten multiplicirt.

Für r — 1 geht die Gleichung (10.) über in

cos (ntf) + i sin (ntf) — (cos 7; + i sin fff =

^cosnr/5— ^^cos"~²</>sin²r/> +QC°S“-V sin⁴f/'--f- ...

4- i    cos-* sin (p —    cosiw-3* sin³* -j--... .

Dies giebt mit Rücksicht auf Satz 1

--h • -,

(11.) cos(«*)=cosw*—Q^cos—*sin²*+Q^cos—*sin⁴*

(12.) sin (mp) =    cos— <p sin * —    cos—V/ sin³ *-}--... .

Durch diese Formeln, in denen das Multiplicationstheorem der trigonometrischen Functionen ausgesprochen ist, lassen sich cos (mp) und sin(rc*) als rationale Functionen von cos (p und sin (p darstellen.

Es wird z. B. für n = 5, wenn man noch die Relation cos ²* + sin ²* = 1 anwendet,

cos (5*) = cos⁵* — 10 cos³* sin²* + 5 cos (p sin⁴«/;

= 16 cos⁵* — 20 cos³* + 5 cos *, sin (b<p) = 5 cos⁴* sin* — 10 cos²* sin³* + sin⁵*

= 16 sin⁵* — 20 sin³* + 5 sin (p.

Für die Division zweier complexen Grössen erhält man jetzt rx (cos *t i sin *t)    \ (cos <px + * sin *j) (cos *₂ — * sin*₂)

r₂ (cos *₂ + * sin *₂)    ri (cos*₂^-|- * sin*₂) (cos *₂ — i sin *₂)

_ rx (cos *t cos*₂+sin *t sin*₂) + i (sin (px cos <p₂— cos*t sin*₂)

r2

cos² (p ₂ + sin² (p ₂

oder

(13.)

^cosyl+V^j = 7, tC0S <* ~ ^ S“ <*~ **

Daraus folgt

Satz 4. Complexe Grössen werden durch einander dividirt, indem man die absoluten Beträge durch einander dividirt und die Argumente von einander subtrahirt.

Der Satz 3 macht es jetzt auch möglich, aus einer complexen

n    _

Grösse die nte Wurzel auszuziehen. Unter ]/r (cos cp -f- i sin <p) versteht man nämlich eine Grösse, deren nte Potenz gleich r (cos (p + i sin (p) ist. Diese Eigenschaft besitzt für ganzzahlige Werthe von h die complexe Grösse (14.) denn es wird nach Gleichung (10.)

An = r [cos (<-p + 2im) + i sin (pp + 2hn)\

oder, weil

cos (pp + 2hri) — cos (p und sin (pp + 2hn) = sin|y

ist,

(15.)

An = r (cos(p + » siny).

Dies giebt

(16.) ]/r (cos rp +ismy) = ]/r j^cos    +* sin    ^j.

Dabei erhält man für die nte Wurzel aus einer complexen Grösse im Ganzen n von einander verschiedene Werthe, wenn man der ganzen Zahl h die Werthe 0, 1, 2,... n—1 beilegt.

Damit ist bewiesen:

Satz 5. Aus einer complexen Grösse wird die Wurzel gezogen, indem man sie aus dem absoluten Betrage zieht und das Argument durch den Wurzel-Exponenten dividirt.

Gleichzeitig sind hiermit auch die Potenzen, deren Exponent eine gebrochene Zahl ist, ebenso für complexe Grössen erklärt wie für reelle, indem man

(17.)

Ł q _ q_

Ai

1 = Yap= (VA)

findet.

§ 133.

Geometrische Darstellung der complexen Grössen.

Wie man die reellen Grössen durch Punkte oder Strecken in einer geraden Linie geometrisch darstellen kann, so kann man die complexen Grössen durch Punkte oder Strecken in einer Ebene darstellen. Dabei soll der folgende Grundsatz gelten:

Zwei Strecken sind einander gleich, wenn sie gleiche Länge und gleiche Richtung haben.

Dann bezeichne man mit + 1 eine Strecke, deren Länge gleich 1 ist, und deren Richtung parallel ist zur positiven Richtung der X-Axe. Mit + i dagegen bezeichne man eine Strecke, deren Länge auch gleich 1 ist, deren Richtung aber parallel ist zur positiven Richtung der Y-Axe. (Vergl. Fig. 149.)

Fig. 149.

-J

+1

Damit ist natürlich noch nicht gesagt, dass + i dieselbe Bedeutung habe wie in den vorhergehenden Paragraphen, dass nämlich i gleich ]/ — 1 sei ; es sollen vielmehr die hier folgenden Untersuchungen zunächst ganz unabhängig von den vorhergehenden geführt werden.

Fig. 150.

-X

Demnach werde hier die complexe Grösse a -f bi durch eine Strecke OP erklärt, welche den Anfangspunkt der Coordinaten 0 und einen Punkt P mit den Coordinaten OQ—a, QP=b verbindet. (Yergl. Fig. 150.) Man gelangt nämlich vom Punkte 0 aus zum Punkte P, indem man a Einheiten in der Richtung der Y X-Axe und b Einheiten in der Richtung der Y-Axe durchläuft, oder indem man zuerst b Einheiten in der Richtung der Y-Axe und dann a Einheiten in der 0 Richtung der X-Axe durchläuft.

So entspricht jeder complexen Grösse a + bi ein Punkt P in der Ebene und jedem Punkte P eine complexe Grösse a + bi. Durch die Gleichungen

(1.) a = rcosç>, ô = rsin<p, a + bi = r(cos<jp + isincp) kann man auch Polarcoordinaten einführen. Dabei heisst r der absolute Betrag der Strecke OP, weil ihre Länge gleich r ist, und der Winkel cp heisst das Argument der complexen Grösse.

Die so erklärten complexen Grössen kann man nun durch Addition, Subtraction, Multiplication und Division mit einander verbinden, indem man dieselben Regeln an wendet, welche für reelle Grössen gebräuchlich sind; und zwar geschieht das in folgender Weise:

I. Addition. Will man die Addition zweier reellen Grössen geometrisch ausführen, so trägt man auf einer Geraden, z. B. auf der X-Axe vom Anfangspunkte 0 aus eine Strecke OP ab,

Fig. 151.

welche der einen Grösse entspricht, imd darauf vom Punkte P aus eine p    B zweite Strecke PP, welche der an-

⁴    *” deren Grösse entspricht. Dadurch

erhält man eine Strecke OP, welche die Summe der beiden gegebenen Grössen geometrisch darstellt. In welcher Reihenfolge man die beiden Strecken auf einander folgen lässt, ist dabei gleichgültig.

Genau ebenso kann man zwei complexe Grössen ai + byi imd a₂ + b₂i, welche durch die Strecken OP, und OP₂ geometrisch dargestellt sind, addiren (vergl. Fig. 152). Man macht

Fig. 152.

P₃

Fi,

zu diesem Zwecke den Punkt P, zum Anfangspunkte einer Strecke P, R, welche der Strecke OP₂ gleich ist, d. h. welche mit OP₂ gleiche Länge und gleiche Richtung hat. Dadurch erhält man ein Parallelogramm ÖP,PP₂, in welchem x der Punkt R, bezw. die Diagonale OP die Summe der beiden

gegebenen Strecken OP, und OP₂ ist.

Da die Seite P,P der Seite OP, gleich und parallel ist, so hätte man auch P₂ zum Anfangspunkte einer Strecke P₂P machen können, welche der Strecke OP, gleich ist, und wäre zu demselben Punkte P gekommen.

Wie man sehr leicht aus Figur 152 nachweisen kann, sind dabei die Coordinaten des Punktes R gleich a,-f-a₂ und bx +b₂, so dass er in der That der complexen Grösse

(2.)

(a, -j- b^i) -J- (a₂ -{- b₂i) — (a, -f- ß₂) + (pi + ^2)®

entspricht.

In dieser Construction ist der Satz vom Parallelogramm der Kräfte enthalten. Versteht man nämlich unter OP, und OP₂

zwei Kräfte mit demselben Angriffspunkte 0, so haben sie mit der Diagonale OB des Parallelogramms OPxBP₂ gleiche Wirkling. Dabei sind ax und bx

(l2 »

a\ 4~ a2 s? \ 4* b₂ „

Die Componenten der resultirenden Kraft findet man also, indem man die Einzelkräfte in ihre Componenten zerlegt und die gleichgerichteten Componenten addirt.

b₂

die Componenten von 0PX, „ 0P₂, » OB.

II.    Subtraction. Da eine Grösse von der anderen subtrahirt wird, indem man die entgegengesetzte Grösse addirt, so kann man die Subtraction auf die Addition zurückführen und findet (3.) (ax + bxi) — (a₂ -|- b₂i) = (ax + bxi) -j- (— a₂ — b₂i)

= («l — «2) + (*1 — *2)»"-

III.    Multiplication. Für reelle Grössen gilt die Regel: Das Product A . B entsteht aus B wie A aus der Einheit. Dieselbe Regel kann man auch bei der Multiplication zweier complexen Grössen rx (cos r/^ + ^sin (pt) und r₂ (cos q>₂ + «sin^₂), welche den Strecken 0PX und 0P₂ entsprechen, anwenden.

Hat der Punkt E (Fig. 153) die Coordinaten a — 1 und 5 = 0, so entsteht die Strecke 0PX aus der Einheit OE, indem man durch 0 eine Gerade legt, welche mit OE den Winkel (px bildet, und auf dieser Geraden die Länge der Einheit (OE) r>\ -mal abträgt.

Ebenso findet man das Product der beiden Strecken 0PX und OP,, indem man durch den Anfangs- _ punkt O eine Gerade legt, welche mit der Geraden 0P₂ den Winkel (px bildet, und auf dieser Geraden die Länge von 0P₂ (also r₂) rj-mal abträgt. Dadurch erhält man einen Punkt B, welcher dem Producte der beiden complexen Grössen entspricht.

Stegemann- Kiepert, Differential-Rechnung.

Fig. 163.

J?

t₂

-X

37

578 : § 133. Geometrische Darstellung der complexen Grössen.

Durch den Umstand, dass die beiden Dreiecke OEPx und OPfR einander ähnlich sind, wird auch die Construction des Punktes R verhältnissmässig einfach. Man mache zu diesem Zwecke das Dreieck OE‘P\ dem Dreieck OEPx congruent mid ziehe P₂R parallel zu E‘P\. Dabei hat die Strecke OR nach Construction die Länge rxr₂ und bildet mit der positiven Dichtung der X-Axe den Winkel <px + y>₂, so dass man erhält

(4.)

rx (cos<f>x + «sin9h). r₂(cos9>₂ + «sin9>₂)

= «h r₂[cos(?h + 9>₂) + «sin(9h + 9h)].

Es gilt also auch hier der Satz: Complexe Grössen Vierden mit einander multiplient, indem man die absoluten Beträge mit einander multiplient und die Argumente addirt.

In dem besonderen Falle, wo

<Pi =

rl = 1, r2 = U <P\ =

ist, geht die Gleichung (4.) über in

(5.)

«'² = — 1.

Damit ist bewiesen, dass die complexen Grössen, welche in diesem Paragraphen geometrisch erklärt wurden, mit den früher betrachteten identisch sind.

IV. Division. Da die Division die Umkehrung der Multiplication ist, so liegt in der eben angegebenen Construction auch die Anleitung zur Division complexer Grössen. Soll man nämlich die den Strecken OR und OP, entsprechenden complexen Grössen durch einander dividiren, so macht man wieder das Dreieck OP₂R (Fig. 153) ähnlich dem Dreieck OEPx, so dass P₂ und E homologe Punkte sind. Die Strecke OP₂ entspricht dann dem gesuchten Quotienten, und es gilt der Satz : Complexe Grössen werden durch einander dicidirt, indem man die absoluten Beträge durch einander dividirt und die Argumente von einander subtrahirt.

(6.)

Producte mit beliebig vielen Factoren. Soll man z. B. die Strecken

öj “f~ Ôjî'j “t" 0₂®, • • •    ”1”

addiren, so erhält man für die Summe der beiden ersten Strecken einen Punkt R₂ mit den Coordinaten ax + a₂ und bi + b.₂, für die Summe der drei ersten Strecken

Fig. 154.

Rs

lh.

It]

einen Punkt R?t mit den Coordinaten a, + a₂ + a3 und bx + b₂ + &₃ ; in dieser Weise kann man fortfahren, bis man einen Punkt Rn mit den Coordinaten ax + a.₂ -f ... + an und bx + ö₂ + ... + bn erhält, welcher der Summe entspricht. Ist das Polygon OPxR₂Rx ... Rn geschlossen, so dass der letzte Punkt Rn mit dem Anfangspunkte 0 zusammenfällt, so ist die Summe gleich Null; die Bedingung für einen geschlossenen Streckenzug ist daher

Öl Öi &

irx

2 (a -f- bi) = 0.

§ 134.

Vier Sätze über die absoluten Beträge.

Satz 1. Der absolute Betrag der Summe zweier complexen Grössen ist (gleich oder) Meiner als die Summe der absoluten Beträge und (gleich oder) grösser als die Differenz derselben.

Beweis. Die Summe der beiden complexen Grössen rx (cos^i + s'sin^j) und r₂ (cos y₂ + *siny₂) ist

(rx cos cpx + r₂ cos (p₂) + * (r*i sin + r₂sin<p₂); der absolute Betrag dieser Summe wird daher

IV + rł + 2r₁r₂cos(sP₁ — <p₂).

Dieser Ausdruck erhält seinen grössten Werth, nämlich den Werth rx + r₂, wenn cos {cpx —<p₂) = + 1 wird; den kleinsten Werth dagegen, nämlich den Werth | rx—r₂1, erhält er, wenn cos (<px — (f₂) — — 1 wird. Deshalb ist

(1.)    | rx — r₂ | g YrS + r₂² + 2rxr₂ cos(yt — c/)₂) ^ rx + r₂.

Damit ist der Satz bewiesen.

Viel einfacher gestaltet sich der Beweis mit Hülfe der geometrischen Darstellung; denn da ist dieser Satz identisch mit dem Satze; In einem Dreiecke OPxR (Fig. 152) ist die Seite OR kleiner als die Summe und grösser als die Differenz der beiden anderen Seiten OPx und PXR.

Satz 2. Der absolute Betrag der Differenz zweier com-plexen Grössen ist {gleich oder) kleiner als die Summe der absoluten Beträge und {gleich oder) grösser als die Differenz derselben.

Beweis. Man kann die Differenz auch als eine Summe auffassen, indem man die Grösse, welche subtrahirt werden soll, mit dem entgegengesetzten Vorzeichen versehen, addirt. Deshalb folgt dieser Satz schon aus dem vorhergehenden Satze.

Man kann somit den Satz 1 auch ohne Weiteres ausdehnen auf die Summe oder Differenz beliebig vieler Grössen.

Satz 3. Der absolute Betrag des Productes ziceier complexen Grössen ist gleich dem Product der absoluten Beträge.

(2-) |

Der Beweis des Satzes folgt aus der Gleichung ^(cos«^ + «sin</>!). r₂(cos<p₂ + «sinr/>₂)

= «42 [cos -f 0>₂) + «sin((ft + (p₂)].

Satz 4. Der absolute Betrag des Quotienten zweier complexen Grössen ist gleich dem Quotienten der absoluten Beträge. Auch hier folgt der Beweis unmittelbar aus der Gleichung

§135.

Unendliche Reihen mit complexen Gliedern.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 74 und 75.)

Eine unendliche Reihe

•»

(a₀ + b₀i) -f- (ai -|- bf) + (a₂ + b₂i) -f- ..

bei der die einzelnen Glieder complexe Grössen sind, heisst convergent, wenn die reellen Theile und die Factoren der imaginären Theile für sich zwei convergente Reihen bilden, wenn also die Reihen

(!•)

A — a₀ +    -f- a₂ -f- . .

B —    + b₂ + ..

convergeait sind; und zwar heisst sie unbedingt convergent, wenn A und B unbedingt convergente Reihen sind. Ihre Summe wird sich dann derselben Grenze

(2-)

8 — A + Bi

nähern, wie man auch die Glieder der Reihe anordnen mag-. Auch hier gilt der bereits in § 48 bewiesene Satz :

Eine Reihe mit complexen Gliedern ist unbedingt convergent, wenn die Summe der absoluten Beträge convergirt.

Beweis. Ist

(3.) r₀ = |o₀ + VI» r\ = 1% + Ml» r2 = h + Mt» • ■ so convergirt nach Voraussetzung die Reihe r₀ + rx -f- r₂ . ...

Nun ist aber

N. ■ • W, • •

All All

?" ja

»o ^ K I»

»’o^lM»

folglich sind die Reihen

I a0 I + I a\ I + I I + • •

I ^0 I + I ^1 I + I ^2 I +

erst recht convergent, d. h. die Reihen

ao + ai + a2 + • • • und b₀ + bj + b₂ + ... sind nach Formel Nr. 74 der Tabelle unbedingt convergent. Deshalb gilt auch dasselbe für die Reihe

K + V) (öi V) + (a2 + b₂i)

Der Wortlaut dieses Satzes stimmt genau überein mit dem letzten Satze in § 48 (S. 213, vergl. auch Formel Nr. 74 der Tabelle) ; dort handelte es sich aber um Reihen mit positiven und negativen reellen Gliedern, während hier die einzelnen Glieder complexe Grössen sind.

Auch der Satz, welcher in § 49 für die Multiplication zweier unbedingt convergenten Reihen mit reellen Gliedern bewiesen wurde, lässt sich jetzt auf Reihen mit complexen Gliedern übertragen. Dieser Satz lautet:

Sind

TJ = Wq -f- Wj u₂ . und V⁼ v§ -j- v^ -f- v₂ -f- ... zwei unbedingt convergente Reihen (deren Glieder jetzt auch complex sein dürfen), und ist

W(j = WqÜq ,

W\ — W0Ü1 + Wlü0>

= UqV 2 + Uxvx + U₂V₀,

Wn — U₀vn -j- U^Vn—1 + . . . -f- un—i^i + UnV₀,

so ist auch die Reihe

wo + w\ + vh + •. •

unbedingt convergent, und ihre Summe W ist gleich dem Pro-ducte UV der Summen der beiden ersten Reihen.

Beweis. Nach Voraussetzung sind die Reihen | w₀1 + | ux | + | u₂ | -f-... und | «o I + I ®i I + |    | + • • •

convergent. Bezeichnet man ihre Summen bezw. mit ZP und V', und mit W‘ die Reihe, welche durch Multiplication der beiden Reihen U‘ und V entsteht, so kann man in diesen drei Reihen die Summen U‘n, V'n, W‘,n der n ersten Glieder absondem und findet ebenso wie in § 49, dass

U‘n V‘n— W‘n— |w«_i| . |©n_i| + (|w»_₂| . |ü»_i| -f \un-\\ . |«7M_₂|) + . . .

+ (|ux|. \vn-\\ + Kl.    + • • • + K-îl-KI +    I)

= I Un—\Vn—\\-\-(\un—ïVn—1 l + l    1ÜW_ ₂|) + . . •

für hinreichend grosse Werthe von n beliebig klein wird; folglich wird nach den Sätzen des vorhergehenden Paragraphen der absolute Betrag von

UnT'n fVn —- Un—\®n—\ “h (Un—l®n—1 “1“ Un—\^n~ï) "4“ • • •

+ («40»—1 + l*2vn—2 + • , » 4- un—V>ï + ^n—\P\) erst recht beliebig klein, denn der absolute Betrag einer Summe ist kleiner als die Summe der absoluten Beträge. Es wird daher lim Wn = lim Un Vn = UV.

n =co

n = co

Dabei ist auch wl w₂ .. . unbedingt convergent, denn ersetzt man die Grössen u₀, uu u₂,..v₀, vu v₂,... durch ihre absoluten Beträge, so verwandeln sich die Grössen w₀, wuw₂,... in w*₀, w\, w‘₂,..., und es wird

\w₀\ = w‘Qt \wi |^w't,    \w₂\    ....

Jetzt ist die Reihe w\4-    ... convergent, folglich

ist die Reihe

I w0 I + I w\ 1 + I w2 I + • • •

erst recht convergent.

§136.

Functionen einer complexen Veränderlichen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 170.)

Da man die Operationen der Addition, Subtraction, Multiplication und Division bei complexen Grössen in derselben Weise ausführen kann wie bei reellen, so kann man auch ganze und gebrochene rationale Functionen von einer complexen Veränderlichen

(!•)

z = x + yi

bilden. Eine solche Function kann immer auf die Form (2.)    / 0) =/ 0 4- yi) — (f o, y) 4-    0> y) = u + vi

gebracht werden, wenn man die Operationen, welche durch die Bildung der Function gefordert werden, wirklich ausführt. Dabei sind <p (x, y) und ip (x, y) wieder rationale Functionen der beiden Veränderlichen x und y, die nur reelle Grössen enthalten.

Auch irrationale Functionen von x -j- yi kann man bilden, da es möglich ist, bei jeder complexen Grösse n Werthe der Wurzel wten Grades anzugeben. Ausserdem kann man noch transcendente Functionen von x 4- yi durch convergente Reihen erklären. Beispiele hierzu bieten die Reihen

u. s. w., welche bezw. in «*, sina:, cos a; übergehen, wenn y gleich 0 wird. Diese Reihen sind auch convergent, weil die Summe der absoluten Beträge convergirt. Auf die so gebildeten Functionen lassen sich ohne Weiteres alle Erklärungen und Sätze ausdehnen, welche in der Differential-Rechnung für Functionen mit einer reellen Veränderlichen gegeben worden sind; dabei ist natürlich

(3.) dz — dx + idy, df (z) = d (u -j- vi) — du -J- idv, so dass man es, abgesehen von dem Factor i, auch hier nur mit den Differentialen reeller Grössen zu thun hat.

Bemerkenswerth sind hier aber noch die folgenden Formeln: Man kann f (z) als Function der beiden Veränderlichen x und y betrachten und erhält deshalb

df(z)    df(z) dz

dy dz    dy

x + y* , (x + yQ² , 0 + yiy

2!

3!

« + yi 0 + «/O³ i (,x + yO⁵

3!

0 + yQ⁴

1!

5!

Ł (g + yO²

2!

df(z) _ df{z) dz dx    dz dx

oder

(4.)

§m₌

dy

Dies giebt

(5.)

àfi?)

3/00 ₌

dy

0,

oder mit Rücksicht auf Gleichung (2.)

(6.)

du | .dv    .du_ dv_

dx % dx    ¹ dy    dy

= 0,

also

dv

du    dv du _

dx    dy ’ dy    dx

wird. Deshalb ist

3!

₍4, /(.)/(„> = i+!±fL₊fe±al^(î±%ls

Beschränkt man z und zi auf reelle Werthe, so wird

/(*) =    /(*i) = e% /(* + *i) = e‘⁺%

und die Gleichung (4.) giebt die bekannte Relation

(5.)

§ 137.

Zusammenhang der Exponential-Function mit den trigonometrischen Functionen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 171—179.)

Es sei eine Function f(z) erklärt durch die Gleichung

/(2)=1+l! ⁺2! ⁺3! +•' wobei 2 jetzt auch complexe Werthe x + yi haben darf.

Multiplicirt man diese Reihe mit

/W-i+ $ + £+.,

(i.)

(2.)

Zl‘³

7TT + • •

so erhält man

(3.)

/(*) -/(zl) = »0 + »1 + »2 + • •

wobei nach Formel Nr. 75 der Tabelle

_ 1    Z Zl _ z + zt

-h w»-îT ⁺ ïr-^r’

... _    | Z *1    , %² __ 2:2 + 2zZt + Zl² _ (Z + -l)²

Wj-2! ⁺ TTT!⁺ 2Ï--2!-- ~2!-

*00

wM =

zn~l zx zn~2 ô»—ï)"! ’ ÏT ⁺ (n — 2)! ' 2!

n{n—1)

Tl

= |^2n + + ₂, __ ^ + *l)

•]

ez. e*i = es+²i.

Man bezeichnet nun die durch Gleichung (1.) erklärte Function f(z) auch dann noch mit ez und nennt sie Exponential-Func-tion, wenn z beliebige complexe Werthe annimmt, obgleich dann z kein eigentlicher Exponent mehr ist. Es ist also bei dieser Erweiterung des Begriffes die Function ez nicht mehr als eine Potenz aufzufassen, sondern als die Reihe

tH

CO I

n Ico

Wie aber soeben gezeigt wurde, gilt auch dann noch die Gleichung (5.), in welcher das Additionstheorem der Exponential-Function ausgesprochen ist.

Um zu untersuchen, welchen Sinn ez für complexe Werthe von 2 hat, setze man zunächst x = 0, also 2 = yi; dann wird

-)

—+•

(6.)

{—(■-&«+—Mfi-fcS

I = cosy + «siny.

Ebenso findet man für 2 = — yi.

(7.)

e-y* = cos y — i siny.

Daraus folgt

(8.)

(9.)

eyi — e-tfi

smy=—2?—

Setzt man jetzt 2 = x + yi, so wird nach Gleichung (5.)

gx+yi __ exeyi — ex (C0Sy _|_ i siny).

cos y

eyi -f e-y*

Aus diesen Beziehungen ergeben sich auch mit grosser Leichtigkeit die Moivre¹ sehen Formeln (vergl. die Formel-Tabelle Nr. 165 bis 169). Die Gleichung

e(pd . gr/’2⁴ — e(y>i+y>2>'

kann nämlich auch in der Forai

(10.) (cos (pi + ism(pl)(cos(f)2+*smgp₂) = cos(y>., + ^₂)+^sin(9,i+9,2) geschrieben werden. Dies bestätigt Formel Nr. 165 der Tabelle. Fenier ist

(11.)

e~ <P& = cos (fi — i$m(f₂ =

i!

cosa>₂ + * siny>2 ey>2*

oder

(13.)

cos (<pt — <p₂) + «sin^Pj — <p₂).

cos (px + i sin (pl _ cos g>₂ + «sin^₂ ~

Dies bestätigt Formel Nr. 168 der Tabelle.

Durch wiederholte Anwendung des Additionstheorems ergiebt sich das Multiplicationstheorem der Exponential-Function, das in der Gleichung

(14.)

(12.)

also

eVi*    — e(Vi-¥>2)<,

(eVy¹ = en,fA

ausgesprochen ist. Diese Gleichung enthält aber zugleich auch das Multiplicationstheorem der trigonometrischen Functionen, denn sie kann auch in der Form

(cos<p + ^sin^)ra = cos (n(p) + «'sin(w^) geschrieben werden und liefert dann die Formeln Nr. 167 der Tabelle, nämlich

(15.)

cos (n(p) = cosM</) —Q^cosn~²(p sin²9>

+    cosn~⁴ (p sin⁴ (p

sin(w^) = cosM_1 (p sin cp —Q^cos”⁻³^ sin³<p -\--

Besonders zu beachten ist es noch, dass aus Gleichung (6.) für y = 27T, 47t, ... 2hn

(16.)

çLni __ ^ e\ni J gïhrti __ 2

folgt, wenn h eine beliebige positive oder negative ganze Zahl ist. Ferner wird deshalb

(17.)

gZ-\-1h7ti __ gz glhni __ gZ

Die Exponential-Function hat also die Eigenschaft, dass sich ihr Werth gar nicht ändert, wenn man die Veränderliche z um ein Vielfaches von 2ni vermehrt. Man nennt deshalb 2ni eine Periode der Exponential-Function und ez selbst eine periodische Function. In ähnlicher Weise sind auch die trigonometri-selten Functionen periodische Functionen, und zwar ist ihre Periode 2tt, denn sie ändern ihren Werth gar nicht, wenn man den Werth der Veränderlichen um ein Vielfaches von 2n vermehrt.

Setzt man der Kürze wegen

(18.) e'V¹ = cos (f ï'sin^ = w, e-⁽łH = cos(f — «sin</> = v, so wird

(19.)

u -f v = 2cosy, u — v — 2«siny, uv = 1, um -f vm = em(lH + e~m(P* = 2 COS (m </>), um — vm = em,ł}i — e—Mfi __ 2 isin (jn (f).

Nach dem binomischen Lehrsätze erhält man dami

(«+ »)«”= «2”+(²”)M

2n—1

/2n\ \ 2 /

2n—2

UV

2m— 1

oder, wenn man auf der rechten Seite dieser Gleichung je zwei Glieder mit einander vereinigt, von denen das eine ebenso weit vom Anfänge wie das andere vom Ende absteht,

(u + v)2n = (u2n + V²») 4-Ç^uv(u

2m—2

,^2n l'j

(^2') U‘2v2(U

2m—4

2n—4

o² + v²) +

Dies giebt mit Rücksicht auf die Gleichungen (18.) und (19.) 22w (cos (f)2n = 2 cos (2 ruf) +    2 cos (2 n — 2) q

1    + (²^S)2cos(2 n — 4 )(p + ...

wm—1vn-\

0W.

Cü₁)2c°s(^)+C”)

§ 137. Zusammenhang der Functionen ex, sinx und cosx. 589 Ebenso findet man

22m+1 (cos (f)2n+x —

2COS(2n + 1 )(f + Çn    ^ 2COS(2^ — 1 )(f + . . .

+(«”_î₁¹)2cos(â?’) +(²”,î ¹)2cosf-

Bildet man jetzt in ähnlicher Weise

(u — vfn = {u2n + v2n) —Ç^uv(u

+ (— l)w_,(w ^ ₁)wn_1®”_1 («²+«²) + (— 1)WÇ)

so findet man mit Rücksicht auf die Gleichungen (18.) und (19.) (— l)w 22n (sin (f)2n = 2 cos (2lup) —    2 cos (2n — ²) *P

— 4)(f--f .. .

+ (— O“⁻¹^ !! ^)2COS(2 9)) + (— !)“((“)•

Dagegen wird

(w—v)2n+x = (w²”⁺¹-ü2w+1)—(w²

_l_ (— l)w_1^^    ¹    — ^³)

+ (- ])n(^U ^wn0w(w-ü).

(21.)

2w—2

-f t>2w~²)

(22.)

2m—4

Mraün

2 cos(2w

Berücksichtigt man jetzt wieder die Gleichungen (18.) und (19.) und dividirt beide Seiten der Gleichung durch i, so erhält man

(— l)M22w+t (sin</-')2H+1 =

2sin(2w + 1 )(f—Ç2U + ^2 sin (2»

+ (— ¹)w_,(^i)2sin(3y) + (— ¹)M(²^¹)2sin^-

Bemerkungen.

1.    Dem Anfänger wild dringend empfohlen, diese Formeln durch Zahlenbeispiele einzuüben, also die Ausdrücke für cos²<p, sinfy, cos³cp, sin³<p, cos*(p, sin⁴<p,... wirklich zu bilden.

2.    Die vorstehenden Formeln finden in der Integral-Rechnung eine wichtige Anwendung.

§ 138.

Logarithmen der complexen Grössen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 180 und 181.)

(10

Nach Gleichung’ (9.) des vorhergehenden Paragraphen war eP+y* = e* . ey⁽ = e*(cosy + «siny) = m -f vi,

wo

(2.)

u = excosy, v = exsmy

reelle Grössen sind. Hierbei waren x und y ganz beliebige Grössen. Man kann aber auch die Gleichung (1.) befriedigen, wenn die Grössen u und v beliebig gegeben sind, denn aus den Gleichungen (2.) folgt dann

e²* = u¹ + v², oder x — ~ 1 (w² + t>²),

(3.)

Li

tgy =

oder y — arc tg ( Y

wobei man aber den Werth von y so bestimmen muss, dass

7t

⁰ < y < T75 wenn u > o> » >o,

Li

u< 0, v > 0,

— <y<n,    „

3 TT

™<y<-»

3tt    ^

— < y< 2tt, „

ist, damit die Gleichungen (2.) befriedigt werden.

Für reelle Grössen war nun der natürliche Logarithmus einer Zahl a der Exponent, zu welchem die Basis e erhoben werden muss, damit man a erhält, d. h. aus der Gleichung eH = a folgte a = la.

(4.)

Man erkennt aus dem Vorstehenden, dass man diese Erklärung jetzt ohne Weiteres auf complexe Grössen ausdehnen kann, indem man aus Gleichung (1.) die Gleichung x + yi — l(w -|- vi) ableitet. Dabei tritt aber der äusserst bemerkenswerthe Umstand ein, dass der Logarithmus von u + vi unendlich viele Werthe haben kann, denn nach Formel Nr. 175 wird für ganzzahlige Werthe von h auch

(5.)

ex+yi+2hm _ u vl

Dies giebt

(6.)

\{u + vi) — x Ą- yi 2hni.

Liegt y zwischen —n und + n, so nennt man x + yi den Hauptwerth von l(w + vi). Aus diesem gehen alle übrigen Werthe von 1 (u + vi) durch Addition eines ganzzahligen Vielfachen von 2 ni hervor.

Aus der Gleichung

(7.)

eni _ cos n _j_ is[nrr — — i

folgt z. B.

(8.)

1(— 1) = ni + 2hni = (2 h + l)ni.

§ 139.

Zusammenhang der Functionen \x und arctgæ.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 182.)

Nach Formel Nr. 59 der Tabelle ist für — 1 < x < + 1

np    /y»2    /y*o    t>4

(1.)

'(1 + a;) = r-| ⁺ ¥-T + —•

t—¹1 «

i(i—*) = —

also

Damals war x eine reelle Grosse; jetzt gelten aber die zur Herleitung dieser Reihenentwickelung nothwendigen Voraussetzungen auch noch, wenn x eine complexe Grösse ist, deren absoluter Betrag kleiner als 1 bleibt. Setzt man z. B. x — (pi, wo (f eine reelle Grösse zwischen — 1 und + 1 sein möge, so erhält man

(3.)

0-)

\ï=Vi)-²\T-T ⁺ -5 Dies giebt aber nach Formel Nr. 65 der Tabelle

Kj-=^)=2îarct^-

§ WO.

Auftreten complexer Wurzeln einer Gleichung.

ten

In § 82 war bewiesen worden, dass jede Gleichung n Grades n Wurzeln hat, und dass sich die ganze rationale Function nten Grades fix) auf die Form

(1.) f{x) = (x — x, )J\ (x) — (x—X\) (axn~l + bxxn~² + ... + bn-\)

bringen lässt, wenn xx eine Wurzel der Gleichung

(2.)

(2.)

'(ffiM'r + ï + î

■>

fix) = axn + axxn~x +... + «n-i x + an — 0 ist. Daraus ergiebt sich der folgende Satz:

Sind die Coefficienten einer Gleichung ntm Grades f(x) — 0 sämmtlich reell, und ist xx = g + hi eine Wurzel dieser Gleichung, so muss auch g — hi eine Wurzel derselben sein.

Beweis. Nach Voraussetzung ist (3.) f{x) — (x — xi)f {x) — (x — g — hi) (P + Qi), wobei x als eine reelle Grösse betrachtet werden möge, dann wird

(4.) ix—g—hi) (P-f- Qi) = [(x—g)P+ Qh] -f [(x—g) Q—Phji, (5.) ix—g+hi)iP—Qi) — \[x—g)P-\- Qh] — [ix—g) Q—Ph\i.

Nun ist aber

(6.)

(x — g — hi) (P + Qi) =f{x)

reell, folglich muss

(x — g) Q — Ph — 0 sein, d. h. (x — g)Q—Ph muss für alle Werthe von x gleich Null sein. Daraus erkennt man nach Gleichung (5.), dass auch (x — g + hi) (P— Qi) =f(x) wird. Die complexen Wurzeln einer Gleichung nten Grades mit reellen Coefficienten treten also paarweise auf, so dass jeder complexen Wurzel die conjugirte Grösse als eine zweite Wurzel der Gleichung zugeordnet ist.

Dies gilt auch noch, wenn xt = g + hi eine mehrfache Wurzel der Gleichung ist; denn man kann in derselben Weise wie oben zeigen, dass f(x) durch (x — g + hi)tt theilbar sein muss, wenn f{x) durch (x — g — hi)a theilbar ist.

Sind die Coefficienten der Gleichung ntm Grades sämmtlich reell, und ist n eine ungerade Zahl, so muss mindestens eine Wurzel der Gleichung reell sein.

(7.)

(8.)

Stegemann-Kiepert, Differential-Rechnung.

38

Tabelle

der wichtigsten Formeln ans der Differential-Rechnung.

- x r sin 2

1. ) lim-

z = 0    2

2. ) lim(X ± Y) = limZ + lim Y.

3. ) lim(X . Y) = limX. lim Y. lim Y \imX'

5.) Eine Function

= 1.

[§ 4, Gl. (5.)]

[§ 5, Gl. (1.)] [§ 5, Gl. (2.)]

4.) lim(D=

wenn lim X^O ist.

[§ 5, Gl. (3.)]

y =/0)

heisst für einen Werth von x stetig, wenn die Differenz

^ =/0 + «) —/(« — <*)

[§ 8.]

mit den positiven Grössen ô und e zugleich unendlich klein wird.

[§ 9, Gl. (1.)]

[§ 9, GL (2.)]

a \ fn\ _n(n — 1) (w — 2) ... (n — k + 1)

} W⁻~    1.2.8...*

’•> G)+(.-,)-cr>

[| 9, GL (3.)]

9.)    (1 + x)m = 1 + (^x + (^)x2 + • • •

Ö-+GW-

(»--’+(>

+ Xm.

/m\

uy

am~x

10.) (a + b)m =    +

[§ 9, Gl. (4.) und Gl. (6.)] am~²    + . . .

a² £m~² +

abm~¹ +

[§ 9, Gl. (7.) und § 29, Gl. (5.)] Bei den Formeln Nr. 9 und 10 wird vorausgesetzt, dass m eine positive ganze Zahl ist.

11.) S=A-\- Ap + -Ap² + ... + Apn~x

— pn)

~    1—p

•[§10, Gl. (2.)]

11a) Ist p ein positiver oder negativer achter Bruch, und wird n unendlich gross, so ist

12.) xxn~x 4- xxx

yZIf I§ ¹⁰> G1- (⁵-)l

sy n_ <y*n

4- xlx\n~‘>'4-... 4-xn~²xx + xn~x — —-:—

■ 0C-

[§ 10, Gl. (3.) und (4.)]

13.) e = lim ( 1 +    — lim Sk 4- lim Sk‘

w = ao\    / n =00    w = oo

ums* = i + î7 + ir ⁺ î[⁺•••+ h:

WO

n=oo

limS*' <TTi

n = oo    K . K>

H.) « = ¹ + Y! + |i + iî + ”-

= 2,718 281828 459....

[§ 11, Gl. (2.), (5.), (6.) und (10.)]

[§ 11, Gl. (12.) und (13.)]

15.) Die Ableitung (der Differential-Quotient) einer stetigen Function y =/(«) ist

dy _ df(x) _ ( ) _ »fix -f- Jx) —/(«) _ T - ~TT    { )    Jx    ~

lim

x₁=x

«t -X

= lim y±rZ-L.

xt = x X]    X

[§ 12, Gl. (5.), (5a.), (5b.) und (6.)]

16.) Ist a der Winkel, welchen die Tangente einer Curve mit der positiven Richtung der X-Axe bildet, so wird

= ^ =

tg«

dx f‘W

wobei y = fix) die Gleichung der Curve und x naten des Berührungspunktes sind.

d{y+ C) _ dy_'

y die Coordi-

[§ 13, Gl. (3.)]

17.)

dx

dx

[§ 14, Gl. (la.)]

18.)

d{Jy) = Ady,

dx

dx

[§ 14, Gl. (2 a.)]

19.)

20.)

d(u + tf) __ du ^ dv dx dx

d(u — v) du    dv

dx    dx    dx

dx

[§ 14, Gl. (3.)]

[§ 14, Gl. (4.)]

21.)

²²-> &

d{xm) _ dx

t?(log«)_loge. d(\x) __ 1_

mx

m—1

[§ 15, Gl. (6.) und Gl. (9.); § 17, Gl. (8.); § 21, Gl. (17.), (22 a) und (26.)]

dx

[§ 18, Gl. (9.) und (9 a.)]

Ix

23.) log« =    = lx . loge.

[§ 18, Gl. (13.) und (14.)]

24.)

25.)

d (sin«) _ dx

d(C0Sx)

COS«.

(§ 19, Gl. (8.)]

dx

— sin«.

[§ 19, Gl. (15.)]

26.)

27.)

d(tg«) _    1

dx COS²«

t?(ctg«) _    1

= 1 -f tg²«.

[§ 20, Gl. (6.)]

dx

[§ 20, Gl. (12.)]

29.)

d(uv)_ du

dv

V dx + U dz'

[§ 21, Gl. (6 a.)]

dx

u₂uz..

dut

. um -f ux «3 . .

du» .

. Um »--f" •

dx

dum

29a,) dx

d{ur)

mu

du

dx

[§ 21, Gl. (16.)] [§ 21, Gl. (17.), (22.) und (26.)]

30.)

d}/a² -f #²

dx

j/a² + #²

[§ 21, Gl. (27.)]

31.)

dyx² — a²

dx

y x² — a²

[§ 21, Gl. (27 a.)]

32.)

dy a ²— x²

dx

33.)

y a²— x2 dv

~Udï

[§ 21, Gl. (28.)]

du

dx

v²

[§ 21, Gl. (34 a.)]

34. )    dy — df(x) = f‘ (x) dx.

35. )    Ist

[§ 22, Gl. (7.)]

so wird

V =/ («) und u = (f (x),

du — (f‘{x)dx, dy — f (u)du = f‘(u)(p‘(x)dx,

% =/' (a)<fi‘(x)

36.) Aus » = çp(y) folgt fx=y^

d (arc sin x) _ dx

d (arc cos x)

oder

37.)

yi—x²

_ dy du du dx

[§ 22, Gl. (6.), (6a.) und (8.)]

[§ 24, Gl. (4.)]

[§ 24, Gl. (8a.)]

38.)

dx

y i—x²

[§ 24, Gl. (12a.)]

d(a,rctgx) _    1

dx ~ 1 + x²

40.)

d (arc ctg x) _    1

dx ~    1 + x¹

[§ 24, Gl. (20a.)]

41.)

d (arc sec x) __    1

dx

x\x¹—Î

[§ 24, Gl. (24 a.)]

42.)

d(arc cosec x)

dx

x~yx¹—i

dJp₌a*U, d-P =

ax    dx

44.)    /"(*)=^>    •••/”»(*)

[§ 24, Gl. (28a.)]

43.)

[§ 24, Gl. (82 a.) und (38.)] dßn~x\x)

dx

44 a.) /"(a:) = liin

f{x + 2Jx) — 2f{x + Jx) -f-f(x)

Jx = 0

Jx“¹

[§ 26, Gl. (2.) und (3.)] . [§ 26, Gl. (7.)]

45.) <Py = d(dy) =f“(x)dx², dhy = d{dhj) =f“‘(x)dxz,

46.)

47.)

dny = d{dn~xy) —ßn\x)dxn.

%

+ »)

[§ 26, Gl. (11.) bis (14.)] [§ 26, Gl. (14 a.)

dxn

dnu dnv — dxn

[§ 27, Aufgabe 11.]

dn{uv) _ dxn ~~

<p(x)\pW(x) -\-(^j(f‘(x)lp^n~'i\x')

+ (9) 9U(X) H>{n-²⁾{?) +• • •+ Ç) ßn~x\x) ip'(x)+ßn\x) ip(x),

[§ 27, Aufgabe 12.]

ßn)(x)

48.)

wenn u — q> (x), v — xp (x) ist.

49.) f(x+h) =/ {x) +’

1!

h+ 2rÄ2+---⁺

n\

hn+R,

wobei

(1—©₃)wAw+¹.

Die Grössen ©1? ©₂, ©3 liegen zwischen 0 und 1.

[§ 31, Gl. (31.) und (32.), § 36, Gl. (3 a.) und (15.)]

50.) f(x) =/(«) +J-JT (x — «) +'tl£r (x — af+...

₊^-a-r + B,

wobei

s=ß'⁺%⁺₊%f

/(n+i)[g 4- @3 (a; — a)]

=Ł\f"" ta+®)i —/‘“w] (*—«)“

(1 — ©₃)w(z — a)n+\

Die Grössen 0l5 ©₂, ©₃ liegen zwischen 0 und 1.

[§ 31, Gl. (33.) und (34.); § 36, Gl. (5.) und (17.)]

/'(O)    /"(O)

1!

51.) /(«)=/(0) +

2! ^ + - +

/w(0)

wobei

_/‘(w+i)(©₁^/)

(» + 1)!

₌ f^KQsz)

^n+l

(1— @₃)M£W+1.

Die Grössen ©,, ©₂, liegen zwischen 0 und 1.

[§ 32, Gl. (1.) und (2.) ; § 36, Gl. (7.) und (19.)]

x1 x^ x*

53.) a* = l + ^ + ^ + Ä

52.) [e* =

[§ 33, Gl. (6.)]

«la

æ⁴(1 a)4 4!

+ ....

[§ 33, Gl. (9.)] [§ 34, Gl. (5,)]

In den Formeln 52 bis 55 darf x jeden beliebigen endlichen Werth haben.

[§ 34, Gl. (10.)]

56.) (1 + x)m = 1 + x + (^jz² +(^a:³ + . • • für— 1 <x < + 1.

61. )    \{ay) — \a—

für \y\ < \a\.

62. ) 1 (a + 1) = 1« + i--

63. )    1 (y + z) = ly + 2 j~

für —1 <

64. ) l(y+l) — ¹y+²[₂y4_₁ ¹ 3(2^+l)3 1 5(2«/ + l)⁵

sy* /y»o /y*5

65. ) arc tgx = - — _ + -

far — 1 < x < + 1.

3~^~H — 7+9 — H 4--• • • •

[§ 43, Gl. (1.) und § 47, Beispiel 2 auf Seite 209.]

[§ 43, Gl. (14.)]

'' )    (:239~~3.239³⁺ “" ’*)*

(§ 43, Gl. (23.)]

[§ 37, Gl. (31.)]

60.) 12 =

66.)

►M a

a²bm

a‘ibm-‘i+... [§ 37, Gl. (32.)]

[§ 38, Gl. (8.)]

i-H I r—(

1 + - .

4 '

y¹ 1 yA

~2aï ⁺ 3Ö³

y⁴

JL+ 1___L

2a²    3a³    4a⁴

Z³

|§ 38, Gl. (8a.)]

l§ 38, Gl. (9.)]

2y+2 3(2y-fz)³    5(2y+2)

<+ 1.

[§ 38, Gl. (9a.)] *5

5+-*

•]

[§ 38, Gl. (12.)]

[§ 38, Gl. (12 a.)]

x'

[§ 42, Gl. (4.)]

6T.) ^ = (| + §)-|(p + p) + i()-₅ + p)

*» î-*e

3.5³    5.5⁵

1.3.5*7

ö_ \    ■ x 1 x% 1.3 xh

69. ) arcsm* = T + -T + — ^-4-

für — 1 <x< + 1.

70. ) Eine Reihe mit lauter positiven Gliedern convergirt, wenn von einer bestimmten Stelle ab eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

2.4.6 7

[§ 44, Gl. (3.)]

i. —Si<l,

un

II. yun^k<l,

m. n(\

Un+\

i.

[§ 46, Satz 3, 5 und 10.]

71.) Eine Reihe mit lauter positiven Gliedern divergirt, wenn von einer bestimmten Stelle ab eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

un

^1,

n_

il j-v-si-rn. »(î-^ki.

j UnĄ.\

Un

[§ 46, Satz 4, 6 und 11.]

72. ) Eine Reihe mit positiven imd negativen Gliedern convergirt, wenn die Summe der absoluten Beträge convergirt.

[§ 47, vergl. auch Formel Nr. 74.]

73. ) Eine alternirende Reihe convergirt, wenn der absolute Betrag der einzelnen Glieder immer kleiner und schliesslich un-

endlich klein wird.

[§ 47J

74. ) Eine Reihe ist unbedingt convergent, wenn die Summe der

absoluten Beträge convergirt.

[§ 48 und 135.]

75.) Sind

U — w₀ + Wj -f w₂ 4-... und V — ü₀ +    + v₂...

zwei unbedingt convergente Reihen, und ist

Wq — MoüOJ

= «o«! + «J»₀,

>C₂ = w₀®2 + Ml'ü1 + W₂t?0:

icn — u§£>n -f-    + Un—\VX -f- UnVo,

so ist auch die Reihe

W₀ + W\ + ^2 + • • •

unbedingt convergent, und ihre Summe W ist gleich dem Pro-ducte UV der Summen der beiden ersten Reihen. [§ 49 u. 185.]

76. ) Eine Potenzreihe convergirt unbedingt für alle Werthe von x, deren absoluter Betrag kleiner ist als die positive Grösse x₀, wenn von einer bestimmten Stelle ab

I «» |    ^ 9

[§ 50.]

ist, wobei g eine bestimmte endliche Grösse bedeutet.

77. ) Wenn die Grössen a₀, ax, a₂, a₃,... positiv sind und eine bis in’s unendlich Kleine abnehmende Reihe bilden, so ist die Reihe

+ ax cosa: + a₂ cos (2z) + a₃ cos (Sx) + • • • convergent für alle Werthe von x, welche von 0, + 2n, ±4n,... verschieden sind; und die Reihe

|-«o—a\ cosa; -f- a₂ cos (2a:) — % cos (3a:) --...

¥51.]

ist convergent für alle Werthe von x, welche von + tt, ± Stt, ± 5 tt ... verschieden sind.

78.) Wenn die Grössen bx, b₂, è₃,... positiv sind und eine bis in’s unendliche Kleine abnehmende Reihe bilden, so sind die Reihen

bx sina: + b₂ sin(2.r) + b?> sin(3x) -f b₄ sin(4x) + ...

und

bx sina: — b₂ sin (2a:) + b₃ sin (3a-) — bx sin (4a:) --...

[§ 51.]

für alle Werthe von x convergent.

79.) Um die Werthe von x zu bestimmen, für welche f{x) ein Maximum oder Minimum wird, bestimme man die Werthe von x, für welche f‘(x) gleich Null wird. Ein solcher Werth sei x, und fin\x) sei die erste spätere Ableitung, welche für diesen

Werth von x nicht verschwindet; dann ist fix) ein Maximum, wenn n gerade und f{n)(x) negativ ist; fix) ist ein Minimum, wenn n gerade und fn\x) positiv ist. Dagegen tritt weder ein Maximum noch ein Minimum ein, wenn n ungerade ist. [§ 54.]

80.) Ist

/'(*)

Q (x) ’

_ P(?)

so wird für alle Werthe von x, für welche P(x) verschwindet,

81.)

/"(*)

fix) X=af{n)(x)

Qix)

[§ 56, Gl. (3.)]

x=a

wenn

(fia) = 0, fia) = 0,... fn-\a) = 0,

fia) = 0, fia) = 0, . .. f*~'\a) = 0 ; [§ 58, Gl. (12.)]

oder wenn

82.) Ist

so wird

(fia) — œ, fia) = fia) = oo, f(a) =

• . . fn-\a) = oo,

../(»-0(a) = oo. [§ 60, Gl₍₁2.)]

z — F{u, v),

dz

= lim

F(u -f- 4u, v) — F{u, v)

du

Ju=0

Ju

= F\ («, v),

dz

w- = lim

dv jv—a

F(u, v -f dv) — F{u, v) _

Jv

83.) Ist

F₂ (u, v).

[§ 69, Gl. (5.) und (6.)]

z = F(U, v),

und sind u und v beide Functionen von x, so wird

clz_dz du ^ dz dv

dx du dx dv dx

oder

85.)

di

dx u dx

1 du 1 dv v dx

[§ 69, Gl. (26.)]

86.)

d(uv)

du

dv

= VUv-¹ 3- + Uv . 1 U . -5— dx    dx    dx

[§ 69, Gl. (28.)]

87.) Ist z — F(x, y) und y =/(«), so wird

dz _ dz dz dy

dÿdx

oder

dz

dz

dz = rxdx+ dy

[§ 70, Gl. (6.)]

88.) Ist F(x, y) — 0, so wird

dx f2 (*» y)

q =    =    dp

dx² dx dy dx⁹ dx dy

[§ 70, Gl. (12.))

89.)

90.)

P-

[§ 72, Gl. (2 a.)}

[§ 72, Gl. (3 a.)]

91.) Ist F(x,y) = 0, so wird y ein Maximum oder Minimum, wenn

F[(x,y) = 0

[§ 74.]

ist, und wenn F₂ mit Fu gleiches, bezw. entgegengesetztes Zeichen hat.

92.) Ist x = y = so wird

dy

dy ₌ }PV) dt_ dx    dx

dt

d^y

Î==5P

(f‘ (t)ip“ (t) —    _dxd²y — dyd²x

dx%

[§ 76, Gl. (11.), (12.) und (12 a.)]

d²x

(dxy

W

“0 --l-i

_cPy dy²

1 dx²    /dx\

dbj

/* "¹ ~ ^ --

dx?

q * \    dx_}_

J dy p' dy²

d²x

cfo; d²x dy dy³

fdx\

\dy)

-1

pz

95.) Gleichung der Tangente:

y‘

₀(d?x\²

\dy²)

d?,x

dy³

[§ 78, Gl. (4.) und (7.)]

pr — 3 q²

pb

[§ 78, Gl. (5.) und (8.)]

|§ 80, Gl. (5.)]

96.) Gleichung der Normale:

d.r

y‘ _ y — _    U* _ xy

dy

[§ 80, Gl. (6.)]

dy

97. ) Subnormale (Sn) = y -j- •

(XX

98. ) Subtangente (St) = y

99. ) ds² — dx² -f- dy²,

[§ 80, Gl. (9.)]

[§ 80, Gl. (10.)]

[| 80, Gl. (13.) und (13 a.)]

/ ds\²    /dy\² /ds\²    /dx\²

w _ 1 + (&) ’ ysp - 1 +    '

ds

100. ) Normale (N) = y —

(XX

d <?

101. ) Tangente (T)-=y — -

[§ 80, Gl. (14.)]

dy

[§ 80, Gl. (14.)]

102.) Die Asymptoten ÿ — mx‘ + y einer Curve

xn

xn

F(x, y) = Un(x, y) + Un-x (x,y) + ... + f/, (x, y) + U₀ — 0 findet man, indem man die n Werthe von m aus der Gleichung lim Un{x, y) _ ^ ayn -f axxyn~x + a₂x²yn~² + . .. + anxn

X — 00

— amn -f «i m

n—‘l

ein — 0

ausrechnet und darauf aus der Gleichung

xn~x

die zugehörigen Werthe von g bestimmt.

Sind ce Werthe von m einander gleich, so findet man die a zugehörigen Werthe von g aus der Gleichung

\mF{x'mx + ^ = 0.

— CC

In ähnlicher Weise erhält man durch Vertauschung von x mit y auch? die* Asymptoten, wenn die Gleichung derselben die] Form x‘ — ly' + l hat.

103. ) Eine Curve y = fix) ist nach oben concav oder convex, fu(x) grösser oder kleiner als Null ist.

[§ 84, Gl. (8.) und Gl. (10.)]

104. ) Ein Wendepunkt tritt ein, wenn für den zugehörigen Werth von x

jenachdem

d%y

dx²

X = oo

X — cb

[§ 82.]

=/"(*) = 0, Oder 0=/"(^) = co

wird und ausserdem das Zeichen wechselt.

[§ 84.]

105.) Zwei Curven y =f(x) und y == y(x) haben im Punkte P eine Berührung (oder Osculation) von der nten Ordnmig, wenn für den zugehörigen Werth von x

f(x) = g (.x), /' (x) = g‘ (x), f“ (x) = g“ («)... ßn) (x) — gW (x).

[§ 86.]

106.) Der Mittelpunkt des Krümmungskreises hat die Coordinaten

x_(±±pßp== x_

/ds\2 KTx)p

1 +P²_

(dj\

\dx)

oder

ds²dy

dx d²y — dydPx

ds²dx

dxdPy— dycPx

[§ 87, Gl. (21.) und (25.); § 88.]

107.) Der Halbmesser des Krümmungskreises ist

(1 +?²)¹ _

MV

w

-?

oder

Q—±

(IT

dx dPy dy d²x dt dP    dt dP

dxdPy — dydPx

108.) ds² = dr² + r<1 dtp².

[§ 87, Gl. (21.) und (25.); § 88.] [§ 92, Gl. (6.)]

109.) Nennt man den Winkel, den eine Tangente mit dem zugehörigen Radius vector bildet, y, so ist

[§ 92, Gl. (7 a.)]

_ rd(f

dr

dr

110. ) Polar-Subnormale (Sn) = —.

111. ) Polar-Subtangente (St) = r tg y = —•

civ

(j p

112. ) Polar-Normale (N)

[§ 92, Gl. (10.)]

[§ 92, Gl. (11.)]

d(f

[§ 92, Gl. (12.)]

[§ 92, Gl. (13.)]

113. ) Polar-Tangente (T) = N. tgy =

114. ) Der Mittelpunkt des Krümmungskreises hat die Coordi-naten

a ß y ..

::

123.

[§ 97, Gl. (1.)]

ds~ (r COS (f> d(f> -f dr . sin tp) (r²d(f² + 2 dr² — rdh)d(p ’

ds²{— rsmcfdfp -f- dr . cosy) (r²d(p² -f- 2dr² — rd²r) dq> und der Halbmesser des Krümmungskreises ist

Q = ±

Ï = rcosff

fl = rsin^> +

(:r²d(f² -f 2e?r² — rdV)

• [§ 94, Gl. (8.) und (9.)]

115.)

$11 $12 • • • «21 $22 • • •

— ■"(    ai«a‘2ßa3y • •

$nl $«2 • • • ß«n '

WO

die Transpositionszahl zwischen den Permutationsformen aß y.. .v und 12 3...» ist, und wo sich die Summation über alle n ! Permutationsformen aß y .. .v der Zahlen 12 3 .. .n erstreckt.

116.)

= (- O"

aju ajß ajy • • • aJv aga agß agy " ' ' a9V $Ak ahß ahy • • • ahv

$11 «12 «13 • • • $lw

$21 $22 $23 • • • $2w

$31 $32 $33 • • • $3w

ak( alß aiy • • • alv

$nl $n2 $n3 • • • $»n

WO

f§ 99, Satz 4.]

_ (f h • -• • i Y

\a y...v)

117.) Entsteht Jx aus J durch Vertauschung zweier parallelen Reihen, so ist

[§ 99, Satz 5.]

118.) Sind die Elemente zweier parallelen Reihen der Determinante identisch, so ist

[§ 99, Satz 6.) «ln «2n • • • «mm

■ «Ml «M2 « . • «MM

119.)

«11 «21 • • • «12 «22 • • •

I⁵ I⁵

«Il «12 • • • «1» «21 «22 • • • «2n

[§ 99, Satz 7.]

120.) Ist Mjr der Coefficient von «/r in so ist

«11 . . . «i,r—i «l, r+1 • • • «ln

Mfr — (— 1)/+

r aJ-1, 1

«/+1, i

. . «/—l, r—l «/— 1, r+1 • • • «/— 1, m • • «/+1, r—l «/+1, r+1 • • • «/+1, m

«ni

₌ (_ l)(n+l) (/+r)

. .    «n, r—1    «n, r+1    • • • «nn

-1, r+1 «/+1, r+2 • • • «/+1, r—l -2, r+1 «/+2, r+2 • • • «/+2, r—l

121. )    4 — Clir Mir + «2r «2r + . • • + anrUnr.

122. ) 4 = üfi ctji -J- a fi afi + .. . + «/n Mjn.

123. )

«/—1, r+1 af—l, r+2 • • • «/— 1, r—l

[§ 100, Gl. (9.) und (10.)] [§ 100, Gl. (12.)]

[§ 100, Gl. (13.)]

au Mir + «2s air + • • • + «ns Mnr — 0 fÜT T

S.

[§ 100, Gl. (14 a.)]

124.)

agiMfi + ag2ccji + ... + agna/n = 0 für /

125.) Sind die Gleichungen

[§ 100, Gl. (15a.)]

«Il «1 + «12*^2 H" . • • H“ «1»    —

«21 *^1 ”f" «22 «^2 "i" ... “I“ «2n    — «nl *^1 H⁻ «m2 *^2 “f" • • • “ł~ «Mn — Cm

gegeben, so wird unter der Voraussetzung, dass die Determinante J der Coefficienten von Null verschieden ist,

J. Xr = Ci Ctir -f- C₂C£2r + . . . + C» Mnr,

oder

«11 «12 • • • «IM «21 «22 • • • «2n

,%r =

«11 • • • «l,r—1 Ci «i,r+l . . . «lM «21 ... «2, r—l Ci ö2) r-|_i. . . «2n

«nl «n2 • • • «nn

«nl . . • «m,i—1 «n «n,r+1 • • . «nn

[§ 101, Gl. (7.) und (7 a.)]

Stegemann-Kiepert, Differential-Eechxmng.

126.)

«U «12 «13 . . . «iw

0 «22 «23 • • • «2w 0 «32 «33 • • • «3n

«U

«22 d23 • • • «2n «32 «33 • • • «3n

[§ 102, Satz 1.]

0 «n2 «n3 . . . «wh

«m2 «w3 • . • dnn

127.)

«11 «12 ... din «21 #22 • • • «2n

Ul h ...Sn

0 «11 «12 ... «in 0 «21 «22 • • • «2n

[§ 102, Satz 2.)]

dni «w2 ... dnn

0 «nl «w2 . . . dnn

128.)

«11 «12 «13 . . . «m 0 «22 «23 • • « «2n

0 0 «33 . . . «3n

«11 «22 «33 • . . dnn [§ Satz 3.]

0    0    0    . . . dnn

CD

d\\ • • • 777/Cl\r • • • d\fi #21 • • • 97ld2p • • • d^Yi

a a

U> l-*

s s'

Wi 0\

Ö ö

«ni... dnr ... dnn

[§ 102, Satz 4.]

130.)

7Yld\2 «12 ... «in

ma^i «22 • • • «2n

= 0.

[§ 102, Satz 5.]

WUn2 «n2 . . . dnn

131.)

-A-t + B₁, Ci, Du ...

■A-i "F -®2> ^2J -^2j • • • _ A.2 C2 D<i • • •

Ai C1D1...

Bi Cl A ... -B₂ Q2 D2 • . .

-^w "I“ Cn, Dn,...

An C^Bn • • •

-£?n CnDn • • •

[§ 102, Satz 6.]

«11 «12 • • • Clm

«21 «22 • • • «2n

«11 -{- mdir, «12 . . . «in «2i Yïld^r, d%2 . . . «2n

«ni «n2 • • • dnn

«ni “4" fiîdnri dtfl • ■ • «nn

[§ 102, Satz 7.]

133.)

(* 11 $12 • • •

Ö2i «22 • . • «2n

^21^22 • • •

t-.

8 a

^11 ^12 • • • C\.n «21 «22 . . . C 2n

«»i dn2 . . . (Inn ł>nl bn<r • • • ^nw ('Hl «m2 - • • Cnn

WO

oder

Cfr — dji bri + 0/2 bri + . . • + «/» &rw,

cfr — «/I &lr + «/2 bir + . • . + dfn bnr,

oder

oder

«/r — alfbir “f- «2/^2r “f" . . . H⁻ an,fbnr.

l§ 108, Gl. (7.) und (12.) bis (15.)]

134.) Ist

* =/(*> y)

eine Function von zwei von einander unabhängigen Veränderlichen x und y, so wird

dz

dz

dxZ = d~x dx' dyZ = ö7dy'

ÖS

ÖS

dz = d~xdx + Ty dy' [§ 106’GL(80) (9° und (14*)] 135.) Das 'partielle Differential einer Function

« =/(«i, ^2, ••.•«»)

in Bezug auf w« ist gleich der partiellen Ableitung von s nach ua, multiplient mit dua, also

<V

ÖS

dziß*

dua

136.) Das vollständige (oder totale) Differential von

2 =/(«j, U₂, . . . W„)

[§ 108, Gl. (13.)]

ist

dz

dz

dz

dz = d^dUi+ e7idUl+-" ⁺ dir«*’

und zwar gleichviel, ob uu u₂,...un von einander unabhängig sind, oder ob uv «₂,... un selbst wieder Functionen von einer

oder von mehreren Veränderlichen sind. Wenn z. B. uu u₂₎... un sämmtlich Functionen einer Veränderlichen t sind, so kann man auch schreiben

137.)

oder

_ dz dux dz du2 du± dt du₂ dt

«MjM

dy    dx

.+

dz dun

dun dt

[§ 108, Gl. (14.), (17.) und (23.)]

oder

dH

dH

dx dy dy dx ’

/i2 V) =/2iOJ y)- [§ 109, Gl. (14.) u. (16.)]

138.) Ist

z =/(wl U2 • • • wn),

und sind die Veränderlichen uu u₂,... un von einander unabhängig, so ist

dmz

(dz    dz

= (ô57*‘ +

dz

\(m)

V ’

— dun -f- ... 4- — du du₂ L    dun

Diese Formel bleibt noch richtig-, wenn uuu₂,...un lineare

Functionen einer Veränderlichen t sind, wenn also

u^ — a^t b-^, u₂ —- a₂t “]■ b₂,. . .    —- a^t    bn,

dann kann man auch schreiben

dmz (dz duy    dz du₂

dt™    xdwj dt    du₂ dt

dz <9«wVm) dun dt )

(dz    dz

=Ur°i +

dz

_ ;    V">

[§ 111, Gl. (20.) und (39.)]

139.) Gelten die Gleichungen

F{x, y,z) — 0 und G (x, y, z) — 0

gemeinschaftlich, so wird

dx : dy : dz — F₂ 6r₃ — F% G₂ : F% Gt — F] G$ ; F] G₂ — F₂Gy.

[§ 112, Gl. (9.)]

140.)

141.)

cos a =

ds² — dx² + dy² -f- dz². C°S/* = §,

dx

dz

ds ’

wo a, ß, y die Winkel sind, welche das Bogenelement ds mit den positiven Richtungen der Coordinaten-Axen bildet.

[§ 113, Gl. (4.)]

142.) Sind

F(x, y,z) = 0 und G(x, y, z) = 0 die Gleichungen einer Raumcurve, so hat die Tangente im Curvenpunkte P mit den Coordinaten x, y, z die Gleichungen

dx

₌ y'—y=z

dy

z‘ — z

dz

oder

x‘-X

yt — y

z‘ —z

F₂G^—FsG₂    F^Gx—Fx G₃    Fx G₂—F₂Gx

[§ 113, Gl. (13.) und (13 a.)]

143.) Gleichung der Normalebene

(x¹ — x)dx -f- (y' — y)dy + izl — z)dz = 0,

oder

{F₂G,-F,G₂){z‘-x) + (Ą Gx-Fx G,)(y‘-y) + (Fx G₂—F₂ Gx)(z‘ — z) — 0.

[§ 113, Gl. (16.) und (16 a,)]

144.) Die Gerade

x‘ — x — m{z‘ — z), y‘ — y = n (z‘ — z) ist eine Tangente der Fläche

F(x, y, z) — 0, oder z (xx t/).

wenn

Fxm -f- F₂n -J- F§ — 0, oder

[§ 115, Gl. (10.) und (14.)]

= 0.

145.) Die Tangentialebene der Fläche

F(x, y, z) = 0, oder 2 =/0, y)

hat die Gleichung

oder

Ą (x¹ — x) + F₂{y‘ — y) + Fz (z¹ —z) — 0,

dz

dz

[§ 115, Gl. (18.), (18 a.) und (25.)]

146.) Die Enveloppe der Curvenschaar

F(x, y,u) = 0

erhält man durch Elimination von u aus den Gleichungen

F(x, y, u) = 0 und

dF(x, y, u) _

du

147.) Hat die Curve F{x, y) — 0 im Punkte D mit den Coor-dinaten x, y einen Doppelpunkt, so müssen die drei Gleichungen F{x, y) = 0, Fi (x, y) = 0, F₂ (x, y) = 0 gleichzeitig befriedigt werden. Die beiden zugehörigen Werthe

dy

von findet man dann aus der Gleichung

^1+Ä(iy=°>    <s⁺f w=o>

oder

dy

-F.2+    — FttFn.

dx

F₂₂

(P-y

und darauf die zugehörigen Werthe von aus der Gleichung

(BF    ÄFrfW»    n{d*F    ĆPF dy\ iPy _

\<9#    dy dx)    \dx dy    dy² dx) dx¹

[§ 119, Gl. (7.), (8.) und (8 a.); § 120, Gl. (14a )]

148.) Hat die Curve Fix, y) = 0 im Punkte D mit den Coordina-ten x, y einen dreifachen Punkt, so müssen die sechs Gleichungen F = Oy F\ — 0, F₂ = 0, Fu ⁼ 0, F\2 = 0, F₂₂ ⁼ 0 gleichzeitig befriedigt werden. Die drei zugehörigen Werthe

von ft findet man dann aus der Gleichung

[§ 121, Gl. (2.)]

dF, dFdyf^_ n dx ⁺ dy dx) ~

149.) Hat die Curve F{x, y) = 0 im Punkt D mit den Coor-dinaten x, y eine Spitze (einen Rückkehrpunkt), so müssen die vier Gleichungen

F(x, y) =0, Fx{x, y) = 0, JF₂ (x, y) = 0, und F₁₂²—F₁₁F₂₂ = 0 gleichzeitig befriedigt werden.

150.) /(*+*, y+K) =/(*, y)+(^*+ Tyk)+\t(Jj A+ 5^)

wo

R=

(rc+l)!\

df{x+Gh, y+Qk) df(z+®h, y+®k)

dx

dy

[§ 123, Gl. (8 a.) und (9 a.)]

151.)

z=f(x₁,xi,...xn) heisst eine homogene Function mten Grades, wenn /(te1}    • • • te») = tmf{zi, «₂» • • • «*);

dann wird

dz

<9z

dz

3:1 da* +    +    +    ~

/ dz

(«1

mz,

dz

dĘ+x-²W₂ ⁺ '-- + x"

dz V* .

wj

[§ 124, Gl. (2.), (10.) und (14.)]

152.) z=f(x,y) wird ein Minimum, wenn

/i («, y) = 0₅ /a («, V) = 0, /u > 0, /ii/₂₂ —/12² > 0; z=f(x,y) wird ein Maximum, wenn

/1 0, y) = °> /a («i y) = 0, /n< 0, /n/22 —/12² > 0 ; z =f(x, y) wird dagegen weder ein Maximum noch ein Minimum, wenn zwar

/iO,y) = 0, f₂(x,y) = 0, aber /n/22 —/12² < 0.

[§ 125, Gl. (31.) bis (33.)]

153.) u—f(x,y,z) wird ein Minimum, wenn

/1 0> y» *) = 0, /₂ {x, y, z) = 0, /₃ (a:, y, 2) = 0,

und wenn

-Di —/11 > 0, d₂

/n/12

/21/22

/n/12/13

> 0, D₃ = /21/22/23    > 0 ;

/31/32/33

w =/ (#, y, 2) wird ein Maximum, wenn

Tabelle der wichtigsten Formeln.

616

fi 0, y, *) = 0, f₂ 0, y, *) = 0, /₃ 0, y, *) = 0,

und wenn

D, <0, A > 0, A < 0.    [§ 127, Gl. (3.), (13.) und (14.)]

154.) u—f(xux₂,...xn) wird ein Minimum wenn

/iOi, *2,.,.    A Oi, ^2j • • • Xn}~0,.. ,fn (x\, #2, . •. #«)    0,

und wenn

A>0, A>0, A >0,... A> 0,

wobei

Z>« =

fllf 12 • < *A« f21/22.. -A«

/«IA² ■ • -A«

« =/(»!, «₂,... æM) wird ein Maximum, wenn wieder

flfa1? “^25 • • • *^w) ⁼⁼ A Ol, a?2j • • • a,M) ⁼⁼ Oj . . '/n(% l* *^2, • • ■■®w)

und wenn

I 1

Ar-i < 0, Ar >0 für r — 1, 2,... oder —-—

u

158. )    (a    4    bi) (a — bi) = a² 4 b².

159. ) N(a + bi) = N(a — bi) — a² + b².

160. ) | a 4 bi\ — \a — bi \ = ~h]/a² +6².

1    _a—bi

a-{-bi    a²-\-b²

c + di ac-\-bd    ad — bc

a-{-bi    a²-{-b²    a²-\-b²

161.)

162.)

SS I (N

».

163.) (a + bi)n = | an—aw“²b² 4 (^a

E)

an_1è—

[§ 127.]

[§ 131, Gl. (5.)] [§ 131, Gl. (8.)] [§ 131, Gl. (9.)]

[§ 131, Gl. (10.)]

[§ 131, Gl. (11.)]

n-⁴^⁴--1_

...]

6)

i.

[§ 137, Gl. (8.)]

„    ey*-]_e-y»'    .    eyi—

172. ) cos y =-g—, siny =—--

[§ 137, Gl. (9.)] [§ 137, Gl. (16.)]

173. ) e*+y* = ex (cosy + i siny).

174. ) eih7li = 1, wenn h eine ganze Zahl ist.

175. ) ez+ = ez, wenn h eine ganze Zahl ist. [§ 137, Gl. (17.)]

176.)

22w(cos<p)²” =

2 cos

164.) wobei

r = + Ya²-hb², COS(p =

Tabelle der wichtigsten Formeln. a 4- bi — r (cos 91 + «’sin^),

sin y = * . [§ 132, Gl. (5.), (6.) u. (7.)]

165.) 7\ (cos cp] -f i siny^). r₂ (cmrp₂ -f i sin r/₂) = rir2 [cos + <p-i) + »sin^ + y>₂)]-

[§ 132, Gl. (B.)j

166.) [r(cos9> + «sin/)]” = rn [cos (mp) + «sin(»9>)].

[§ 132, Gl. (10.)]

167.) cos (nrp) = cosn(p —    cos”⁻² <p sin² <p

+ cos”⁻⁴ (p sin⁴ rp

sin (n<p) =    cos”⁻¹9- sin cp —Q^cosM-3y> sin³r/ --

[§ 132, Gl. (11.) und (12.)]

/₁ (cos (f x + a siTU/jj _ [cosC^j — <p₂) -f i sin^ — 9>₂)]. r₂(cos<p₂+* swcpz) r₂    [§ 132, GL (13.)]

169. ) yr(cosy Ą-iń\i(p)—^\^o^~------^+i sm(?’

wobei h eine beliebige ganze Zahl ist.

170. ) Ist/(2) —fix + yi) = u + vi eine Function der com-plexen Veränderlichen x + yi, so wird

168.)

[§ 132, Gl. (16.),]

du

du du du _

dx    dy’ dy    dx

171.) e'J' = cos y + i siny, = cos y — i siny.

[§ 136, Gl. (7.)]

[§ 137, Gl. (6.) und (7.)]

(2 «9>)+    cos (2n — 2) cp+ 2 C0S(2W— 4) (p +

•••K»-i)2c0S(2y)+O

179.)

(—l)n22ra+1(siny)2M+l _

2sin(2« + 1) (f —^2w+¹^2sin (2n —1) <f 4--

... + (— lf-¹ Qn^ ^ 2 sin (3 <p)+(—l'f(²^ X) 2'sin

[§ 137, Gl. (23.)]

180.) Aus der Gleichung

ex+yi _ u _(_ vi folgt \{u -\- vi) — x -f yi -f- 2hrti.

Dabei ist h eine beliebige positive, oder negative ganze Zahl und

und zwar ist

\ 1(m² + y = arctg(0 ⁰ < y < 4g für u > 0, v > o,

w< 0, v > 0,

7t

~2<y<7r »

3 7t

n<y<— » u < o? » < o,

u > 0, v < 0.

[§ 138, GL (1.), (3.) und (6.)] [§ 138, Gl. (8.)j

177.)

22w+1 (cos (pjln+l __

2 cos (2» -f 1) (f +ÇH    1^2 cos (2«—1) (f +

(r~ l)²C0S ^ ⁺ ÇUn X)² C0Sy•

(—l)”22w(sin</>)2n =

2 cos (2mf)—^²2 cos(2w — 2)cf> +    2 cos (2n — 4) ff--f

... +

[§ 137, Gl. (21.)]

178.)

(-l)”->(B²^₁)2COS(2y) +    )•

[§ 137, Gl. (22.)]

< y <2 7t „

181.) 1(—1) = (2Ä + 1)tw.

Druckfehler-Verzeichniss.

Seite 9, Z. 3 v. u. lies dass statt das.

„ 22, Z. 1 v. u. „ folglich statt foglich.

S-96

si

»

>■

*

*

■'uonç:

' : ro*.

■*.

■-J

x;7

‘*2

jfcfe

Wwm

6*s'.»Swfl

Emsł?

r/*.

ri!

jpr

VÏ

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

11-351584

■fe?£ 'icf Sf 3*"

iæ:«ï

«•J««

i-afP

>3T>

*łSfl

F* »

s*; j

(M**

te8n_

Kfau

KsU*

Hi

5 :<*

îiJC07

SiU^wlH

“'jMr MÜÜC'

iSfgSrgpśW^} ' -‘ ■**■■' 5WRS*

3S

LÄrfj

•i

?LÆ

jar:.

L*

m-:

E»«£

V>i

ÂÉ2

►;a-52*

>:•»,

h.

1*3

[;V-

I* à

iSff

«41*

mm

u.*

K*

*.■

i«ra

'S«

f/.T

nnm: «»

^fï*â|p^

v#ywł

«g

V*'

41

g&'rlT

*|Ç

TM

m

||h IV.

Si,

«

InttSft

r>.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

ii

1*1

>#-

wł J. łiA*v ••■ wm 10PÜ i -.JŁJHL , A • .

fc^>*5:*7Äjt^öi

lr**Ęw

rj?

tf3

100000299023

i«,rr

im

mü

»,