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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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VORTRÄGE über

BRÜCKENBAU.

von

Dr. IE]. T7\7"inlfeler,

Professor an der königl. technischen Hochschule zu Berlin.

Theorie der Brüchen.

II. Heft.

Theorie der gegliederten Balkenträger.

Zweite Auflage.

WIEN.

Druck und Verlag von Carl Gerold’s Sohn.

THEORIE DER BRÜCKEN.

Theorie der gegliederten Balkenträger

von

Dr. E. TXTinlsler-

Zweite Auflage.

Mit 234 Holzschnitten und 8 lithographirten Tafeln.

Das Recht der Uebersetzung in fremde Sprachen ist Vorbehalten.

WIEN.

öffentlichen Arbeiten

der

Druck und Verlag von Carl Uerold’s Sohn.

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INHALT.

A. Statisch bestimmte Stabsysteme.

I. Kap. Allgemeine Bestimmung der Spannungen in Stabsystemen .    .

Seite

I. Parallel-Gitterträger.

II.    Kap. Träger mit einfachem eintheiligem Gitterwerke

III.    Kap. Träger mit einfachem mehrtheiligen Gitterwerke IY. Kap. Träger mit kombinirtem Gitterwerke.

A.    Ohne künstliche Anspannung.....

B.    Mit künstlicher Anspannung.....

V. Kap. Materialmenge..........

11

32

69

69

72

81

II. Gitterträger mit polygonalen Gurten.

YI. Kap. Allgemeine Theorie der Träger mit einfachem eintheiligen Gitterwerke ...................

YII. Kap. Träger mit mehrtheiligem Gitterwerke im Allgemeinen .... 117

VIII. Kap. Parabelträger...........

IX. Kap. Pauli’sche Träger..........

X. Kap. Halbparabelträger........

XI. Kap. Hyperbelträger.........

XII. Kap. Verschiedene Trägerformen......

XIII. Rap. Kontinuirliche Träger mit gekrümmten Gurten

98

127

155

159

175

199

221

B. Theorien, welche die Anwendung der Elastizitätslehre

erfordern.

XIV. Kap. Theorie der statisch unbestimmten Systeme........

XV. Kap. Einfluss fester Verbindungen............

XVI. Kap. Formänderung der Träger.............

XVII. Kap. Kontinuirliche Träger .    .............

Literatur....................

Bezeichnungen ..................

239

276

348

372

389

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II. Abschnitt.

Die inneren Kräfte der Balkenträger.

A. Statisch bestimmte Stabsysteme.

I. Kapitel.

Allgemeine Bestimmung der Spannungen in Stabsystemen.

§. 1. Analytische Bestimmung der Spannungen in einem Stabsysteme mit Gelenkknoten, in denen die äusseren Kräfte wirken. Wir denken uns in der Ebene ein System gerader Stäbe, welche unter sich mit ihren Enden zu sogen. Knoten (fr. le noeud, engl, the knot) gelenkartig verbunden sind, d. h. so, dass sich ein Stab um den Knoten frei würde drehen können, wenn man sein anderes Ende frei machte (Fig. 1). Alle äusseren Kräfte mögen zunächst in den Knoten wirken, während wir uns die Stäbe selbst vorläufig als gewichtlos denken. Wir nehmen an, dass die Konstruktion und Verbindung der Stäbe eine derartige ist, dass dieselben durch die an ihren Enden übertragenen Kräfte geradlinig bleiben. In jedem Slabe tritt alsdann eine in allen Querschnitten gleichgrosse Spannung (franz. la tension, engl. the stress) auf, wenn wir unter Spannung die Summe aller in einem Querschnitte senkrecht zu demselben auf die einzelnen Flächenelemente wirkenden Elementarspannungen verstehen.

Zum Zwecke der Bestimmung dieser Spannungen stellt man für jeden einzelnen Knotenpunkt die Gleichgewichtsbedingungen gegen Verschiebung in zwei verschiedenen Richtungen auf, indem man die Summe der Komponenten der Spannungen und die im betreffenden Knotenpunkte wirkenden äusseren Kräfte nach diesen beiden Richtungen gleich Null setzt. Hierbei müssen sich zunächst so viele Gleichungen ergeben, als Stäbe oder unbekannte Spannungen vorhanden sind ; da aber auch die äusseren Kräfte unter sich im Gleichgewichte sein müssen, also Gleichgewicht gegen Verschiebung nach zwei verschiedenen Richtungen und gegen Drehung um einen beliebigen Punkt stattfinden muss, so müssen sich noch drei Gleichungen mehr ergeben. Man kann hierbei etwa drei Komponenten der äusseren Kräfte als unbekannt annehmen. Bezeichnen wir also die Anzahl sämmtlicher Stäbe mit n, die Anzahl der Knotenpunkte mit m, so muss

Winkler's Brückenbau; Theorie. II. Heft.

2 ni = n -f- 3

1.

sein, damit die Aufgabe, die Spannungen der einzelnen Stäbe zu ermitteln, vollkommen bestimmt und zwar rein statisch bestimmt ist. Wir nennen ein

solches System ein statisch bestimmtes. Ist 2m> n -j- 5, sokami ebenfalls Gleichgewicht herrschen, wenn noch besondere Bedingungen und zwar 2 m — n — 3 Bedingungen hinzukommen. In diesem Falle tritt bei Aenderung der Kräfte eine Störung des Gleichgewichts ein, wesshalb wir ein solches System ein labiles nennen ; wir gehen auf derartige Systeme erst bei den Hänge- und Sprengwerken ein. Ist dagegen 2 m < n -f- 5, so ist die Aufgabe statisch nicht mehr zu lösen ; auf diesen Fall des statisch unbestimmten Systems kommen wir später zurück, indem wir uns zunächst nur mit dem Falle befassen, wo die Aufgabe rein statisch zu lösen ist.

Fig. 1.

Ein solches statisch bestimmtes System entsteht am einfachsten durch Aneinanderreihung von Dreiecken in der Weise, dass durch jedes Dreieck zwei neue Seiten und eine neue Ecke hinzukommen (Fig. 1) ; denn reiht man in dieser Weise an ein Dreieck noch x Dreiecke, so entstehen 3 x Ecken und 3 -f- 2x Seiten und es ist in der That 2 (3 -f- x) — 3 -f- 2 x -j- 3. Wir nennen ein solches System ein Dreiecksystem (franz. la système triangulaire, engl, the triangular-system). Ein statisch bestimmtes System entsteht aber allgemein auch in der Weise, dass man an zwei schon vorhandene beliebige Knotenpunkte zwei zu einem neuen Knotenpunkte vereinigte Stäbe anschliesst, wie z. B. Fig. 2 zeigt; Kreuzungen der Stäbe

Fig. 2.

können hierbei Vorkommen, nur sind die sich kreuzenden Stäbe

nicht mit einander zu verbinden.

Man kann einen beliebigen Theil A des Systems vom übrigen Theile trennen, wenn man am ersteren die Spannungen des letzteren als äussere Kräfte anbringt ; damit nun sämmtliche Spannungen auf statischem Wege bestimmbar seien, darf der Theil A kein statisch unbestimmtes System sein. Sonach dürfen je vier Knotenpunkte durch höchstens fünf Stäbe, nicht aber durch sechs Stäbe verbunden sein. Bei der vorhin an-

gegebenen allgemeinen Bildimgsweise eines statisch bestimmten Systèmes kann indess dieser Fall nicht eintreten.

Die sich als Gleichgewichtsbedingungen für die einzelnen Knotenpunkte ergebenden Gleichungen sind vom ersten Grade, so dass die Auflösung derselben leicht durchzuführen ist.

Die Spannung eines Theiles kann entweder positiv oder ein Zug (franz. la traction, engl, the tension, the pull, the traction) oder negativ oder ein Druck (franz. la pression, engl, the pressure, the thrust) sein. Da man indess in Voraus den Sinn der Spannung nicht wissen kann, so ist es rathsam, beim Ansätze der Gleichgewichtsbedingungen der einzelnen Knotenpunkte alle Spannungen als positiv, also vom betreffenden Knotenpunkte nach dem betreffenden Stabe zu gerichtet anzunehmen. Das aus der Rechnung hervorgehende Vorzeichen der Spannung gibt alsdann den Sinn derselben an.

§. 2. Grafische Bestimmung der Spannungen durch die Polygonalmethode. Das Gleichgewicht der äusseren Kräfte er-> fordert: 1. dass sich die Kräfte zu einem geschlossenen Polygone, dem Kräftepolygone (franz. le polygon des forces, engl, the polygon of forces) aneinanderreihen lassen und 2. dass sich ein den Kräften entsprechendes Seilpolygon (franz. le polygon funiculaire, engl, the polygonale frame, the funicular polygon) konstruiren lasse, dessen Ecken also in die Richtungen der Kräfte fallen und dessen Seiten parallel den Strahlen sind, welche von einem beliebig gewählten Pole nach den Ecken des Kräftepolygones gehen.

Für jeden Knotenpunkt ist nun ein Kräftepolygon zu konstruiren, dessen eine Seite die im Knotenpunkte wirkende äussere Kraft und dessen übrige Seiten die Spannung der Stäbe nach Grösse und Richtung darstellen. Von den sämmtlichen Seiten des Kräftepolygones sind die Richtungen gegeben; es ist demnach möglich, das Polygon zu konstruiren, wenn die Längen sämmtlicher Seiten, weniger zwei, gegeben sind. Eine dieser Seiten ist die gegebene äussere Kraft; man muss also ausserdem noch sämmtliche Seiten, weniger drei, kennen. Am einfachsten beginnt man mit einem Knotenpunkte, in welchem nur zwei Stäbe zusammenstossen, für welches also das Polygon, hier ein Dreieck, vollständig bestimmt ist. Sind durch Konstruktion derselben die Spannungen der beiden betreffenden Stäbe gefunden, so wird es möglich, für die beiden anstossenden Knotenpunkte die Konstruktion durchzuführen, wenn in diesem nicht mehr als 3 Stäbe vereinigt sind. So kann es möglich werden, ein Polygon mit Hülfe der zunächst vorhergehenden zu konstruiren.

Nach der im vorigen §. gegebenen Bildung eines statisch bestimmten Systèmes wird stets wenigstens ein Knotenpunkt mit zwei Stäben Vorkommen. Bei den praktisch augewendeten Systemen ist auch

stets eine allmälige Konstruktion der Kräftepolygone möglich, wenn man von einem Knotenpunkte mit zAvei Stäben beginnt. Es sind indess Systeme denkbar, wo eine allmälige Konstruktion nicht mehr möglich wird, wo also besondere geometrische Lösungen einzutreten haben.

Es ist nicht rathsam, die Kräftepolygone für einzelne Knotenpunkte getrennt zu zeichnen; man gelangt vielmehr schneller und einfacher zum Ziele und erhöht die Uebersichtlichkeit, wenn man die einzelnen Polygone zu einer einzigen Figur, einem sogenannten Kräfteplane, aneinander reiht, so dass die Seiten des Polygons der äusseren Kräfte gleichzeitig Seiten der Kräftepolygone für die einzelnen Knotenpunkte werden. Hierbei kann es allerdings Vorkommen, dass eine Spannung zum Zwecke der Konstruktion eines der nächsten Polygone parallel verschoben werden muss.

Wir wollen noch speciell ein Dreiecksystem betrachten. Alle Stäbe, welche die Knotenpunkte zu einem geschlossenen Potygone verbinden, nennen wir Randstäbe, die übrigen die Zwischenstäbe. Am rath-samsten ist es, die äusseren Kräfte in der Reihenfolge der Ecken des Rand-stabpolygones oder in cyklischer Ordnung an einander zu reihen (Fig. 3).

Fig. 3.

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In jedem Kräftepolygone muss die Richtung sämmtlicher Kräfte in ein und demselben Sinne des Poly-> gonumfanges wirken. Man zieht nun zunächst von den Ecken des Kräf-tepolygones (Fig. 3 c) Parallelen zu den betreffenden Randstäben und konstruirt jetzt zwischen diesen parallel zu den entsprechenden Zwischenstäben eine gebrochene Linie. Hier erscheint

jede Kraft nur ein einziges Mal oder die Kräftepolygone für die einzelnen Knotenpunkte schliessen vollständig aneinander. Wir nennen diese Methode die Polygonalmethode.

Der Sinn der Spannung eines Theiles lässt sich leicht entscheiden. Wirkt in dem betreffenden Kräftepolygone die Kraft (in demselben Sinne des Polygonumfanges genommen, wie die im betreffenden Knotenpunkte wirkende äussere Kraft) in der Richtung vom Knotenpunkte nach dem anderen Ende des betreffenden Stabes, so ist die Spannung ein Zug, im entgegengesetzten Falle ein Druck.

Maxwell (1864) und in weiterer Ausbildung Cremona (1872) betrachten das gegebene Stabsystem mit den an ihm wirkenden äusseren Kräften einerseits und den zugehörigen Kräfteplan andererseits als Projektionen eines sogenannten Nullsystemcs oder zweier reciproker Polyeder, bei denen (für ein beliebiges Kraftsystem) die Ecken des einen die Pole der Flächen des anderen sind und zwar als Projektionen auf eine zur Centralaxe senkrechte Ebene. Die Methode ist daher auch unter dem Namen Maxwell’sclie oder Cremona’sche Methode bekannt.

§. 3. Bestimmung der Spannungen durch die Schnht-inethüde. Schneidet man ein Stabsystem durch einen ganz beliebigen Schnitt in zwei Theile A und B, so müssen die Spannungen der zerschnittenen Stäbe als äussere Kräfte, welche der eine Theil B auf den anderen Theil A ausiibt, angebracht werden, um das Gleichgewicht zu erhalten. Diese Kräfte werden mit den auf den Theil A wirkenden äusseren Kräften oder der Resultante R derselben im Gleichgewichte sein. Werden drei Theile zerschnitten, welche sich nicht in einem Punkte schneiden, so lassen sich die Spannungen bestimmen, da sich für die Kräfte in der Ebene drei Gleichgewichtsbedingungen aufstellen lassen.

Am einfachsten ergibt sich eine der Spannungen Sln SQ, S₃, wenn man die Summe der Momente aller vier Kräfte für den Durchschnitt A der Richtungen der beiden anderen Spannungen Null setzt, weil für diesen Momentenpunkt das Moment dieser beiden Spannungen Null wird, so dass nur das Moment der äusseren Kraft R und der zu bestimmenden Spannung zu berücksichtigen ist. Bezeichnen wir daher die Durch-schnittspunkte der Spannungen $₂,

$₃; S₃, St und Stl S„ bezüglich

mit Aj, A^, A₃, die Abstände die- </>"_(_____

ser Punkte von der Kraft R mit rx,    4"!

r₂, r₃ und die Abstände derselben    /

von den Richtungen der drei Spannungen mit s,, s₂, s₃ (Fig. 4), so wird

2. Ą=.RÏt, Sq = Il S3 Das Vorzeichen bestimmt man am besten durch den Umstand, dass die

Fig. 4.

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fragliche Spannung S und die äussere Kraft B entgegengesetzte Drehungsrichtungen hinsichtlich des betreffenden Momentenpunktes A haben müssen. Je nachdem nun die so bestimmte Richtung der Spannung vom Schnittpunkte aus nach dem Aeusseren oder dem Inneren des fraglichen Stabes zu wirkt, ist sie ein Zug oder ein Druck.

A„B„ und A₃B₃, welche die vorigen Parallelen bezüglich in St, $₂, S₃ schneiden, ~ so stellen die Stre-^ S- cken CSt, CS„

Diese Auffassung gestattet auch eine einfache grafische Lösung. Die Richtung der Resultante der zu bestimmenden Spannung S und der Kraft B muss nämlich durch den Durchschnittspunkt A der beiden anderen Spannungen gehen; ist also B der Durchschnittspunkt der fraglichen Spannung mit der Kraft B, so muss die Resultante beider Kräfte die Richtung AB haben. Hieraus ergibt sich folgende einfache Konstruktion: Es seien noch i?,, I?₂, B₃ die Durchschnittspunkte der drei Spannungen Sv S,v S₃ mit der Kraft B und CB stelle die Kraft B nach Grösse und Richtung dar. Zieht mau durch C Parallelen zu den drei Spannungen, durch B Parallelen zu den drei Geraden Ax B

Fig. 5.

Sf

CS₃ die Spannungen dar. Die Richtung derselben ist von S,

nach C hin zu nehmen und jenachdem diese Richtung, am betreffenden Schnittpunkte des Stabes gedacht, nach dem Aeusseren oder Inneren des Stabes zeigt, ist die Spannung ein Zug oder ein Druck. In Pig. 5 beispielsweise ist ein Druck, S„ und S₃ ein Zug.

Da sich die im Gleichgewichte befindlichen vier Kräfte R, St, $₂, S₃ zu einem Vierecke vereinigen lassen müssen, wobei die Reihenfolge der Aneinanderreihung gleichgiltig ist, so lassen sich statt der Anordnung

Fig. 6.

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S₃

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Fig. 5 l) mit sieben Linien verschiedene andere Anordnungen mit nur sechs Linien treffen (Fig. 6 a, &, c).

Die Resultante Ii für einen beliebigen Schnitt bestimmt sich leicht mit Hülfe des Kräfte- und Seilpolygones der äusseren Kräfte.

Dieses Verfahren, welches wir die Schnittmethode und zwar bezüglich rechnende oder grafische Schnittmethode nennen, ist natürlich auch noch anwendbar, wenn vom Schnitte mehr als drei Stäbe getroffen werden, die Spannungen derselben aber, mit Ausnahme von dreien, bereits bekannt sind. Alsdann hätte man die bekannten Spannungen mit R zu einer Resultante zu vereinigen.

Im Allgemeinen führt die im vorigen § gezeigte Polygonalmethode schneller zum Ziele, wenn für die gegebenen äusseren Kräfte die Spannungen sämmtlicher Stäbe zu bestimmen sind; dagegen ist die soeben gezeigte Schnittmethode meist vorzuziehen, wenn für gegebene äussere Kräfte nur die Spannungen einzelner Stäbe zu bestimmen sind.

Die rechnende Schnittmethode wurde namentlich in ihrer Anwendung auf Konstruktionen durch Ritter (1861) ausgebildet; sie ist daher vielfach unter dem Namen Ritter’sche Methode bekannt. Die grafische Schnittmethode wurde zuerst von C ul mann (1864) angewendet.

§. 4. Einfluss von Kräften, welche nicht in (len Knoten wirken. Wir setzen jetzt voraus, dass auf einen der Stäbe des Systèmes beliebige Kräfte mit der Resultante G (Fig. 7) wirken. Zerschneidet man den Stab in einem beliebigen Querschnitte, so sind die senkrecht auf denselben wirkenden Spannungen in den einzelnen Fasern im Allgemeinen verschieden ; ausser den Normalspannungen wirken aber auch Schubspannungen im Querschnitte selbst.

Fig. 7.

Ar-

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Legen wir die Schnitte unmittelbar neben die Enden, so wirkt die Resultante aller elementaren Normalspannungen des Querschnittes in Richtung der Verbindung der Mitten der Gelenke, welche wir die Axe des Stabes nennen. Wir legen aber die Schnitte an den Enden nicht normal zum Stabe, sondern parallel zur Kraft G (und normal zur Kraftebene). Die auf die Schnitte wirkenden Spannungen zerlegen wir in zwei in den Schnitten selbst wirkende Schubspannungen Gt und und zwei in der Richtung von AB wirkende Kräfte. Die letzteren müssen, wenn Gleichgewicht gegen Verschiebung in einer zu G senkrechten Rieh- £ tung bestehen soll, gleich sein; wir bezeichnen sie mit S. Die Schubspannungen G₁ und 6r2 sind gleich den in A und B wirksam gedachten Komponenten von G.

Gr

Hieraus folgt, dass man, um das Gleichgewicht der einzelnen Knotenpunkte zu untersuchen, sich die auf die Stäbe selbst wirkenden Lasten auf die Knotenpunkte vertheilt denken kann. Die sich hieraus nach den oben aufge-steliten Regeln ergebenden Spannungen sind die auf schiefe, zur Rich-

tung der auf den betreffenden Stab wirkenden Resultante parallel gelegte Schnitte wirkenden Spannungen.

Will man die auf einen Normalschnitt wirkende Spannung und SQ sowie die in diesem wirkende Schubspannung Qt und Q„ kennen lernen, s. so ergibt sich aus dem Gleichgewichte eines drei-seitigen Prismas (Fig. 8) leicht g j St = S — Gx cos a, Sa — S G₂ cos cc,

\ Qi = Gx sin cc,    Q„ — G^ sin cc.

Bei gleichmässig vertheilter Last wird Gx = 6r₂ = der halben auf den Stab wirkenden Last.

In dieser Weise ist natürlich auch das Gewicht der Stäbe zu berücksichtigen.

Wenn man den Schnitt nicht an eines der Enden legt, so ist auf die im Schnitte selbst wirkende Schubkraft und auf das Moment der Normalspannungen Rücksicht zu nehmen. Wir wollen hier nur eine über die ganze Länge des Stabes gleichmässig vertheilte Last voraussetzen. Die Projektion des Stabes auf eine zur Richtung der Last senkrechte Gerade habe die Länge l und die Last pro Längeneinheit dieser Projektion sei — q,

also die ganze Last — ql. Führen wir den Schnitt in einem Punkte C (Fig. 9), dessen Abstände A C und B C von den Enden des Stabes die Projektionen x und xt haben, parallel zur Richtung der Last, so ist die in der Schnittfläche wirkende Schubkraft Q:

4. Q —

Die parallel der Axe wirkenden Spannungen lassen sich zusammensetzen zu einer in Richtung der Axe wirkenden Kraft S und einem Kräftepaare mit dem Momente

Fig. 8.

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St

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Qn

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Fig. 9.

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5. M —

qxxt

Bezeichnet jS\ und Qi die in Richtung der Axe wirkende Kraft und die Schubkraft für einen normal zur Axe geführten Schnitt, so ist, entsprechend den Gleichungen 3:

6.    = S — Q cos cc, Qi — Q sin cc,

wenn a den Winkel zwischen der Axe und der Richtung der Last bedeutet.

Ausser den Enden, wo M — 0, Q — j q l wird, eignet sich auch die Mitte des Stabes für den Schnitt, weil hier Q — 0 wird. Das Moment Al wird hier = — qlr.

§. 5. OiierschnittsbesUiiimiing. Der Querschnitt f der nur auf Zug oder Druck beanspruchten Stäbe wurde bisher in der Kegel dadurch bestimmt, dass man die grösstmögliche Spannung, welche der Stab aufzunehmen hat, durch einen Koeffizienten K, die sogenannte zulässige Inanspruchnahme, die zulässige spezifische Spannung oder den Sicherheitskoeffizienten dividirte. Bei dieser Bestimmungsweise ist es nur nöthig, die Summe der vom Eigengewichte erzeugten Spannung und der von der zufälligen Last erzeugten Maximalspannung zu bestimmen.

In neuerer Zeit aber wendet man sich mehr und mehr einer anderen Bestimmungsweise zu, welche den Einfluss der Wiederholung der Beanspruchung berücksichtigt. Bei dieser Bestimmungsweise ist es nothwendig, die Spannungen, welche das Eigengewicht erzeugt und die obere und untere Grenze der von der zufälligen Last erzeugten Spannung einzeln zu bestimmen. Die beiden letztgenannten Grenzen können nie in demselben Sinne wirken; es muss vielmehr die eine der beiden Grenzen Null sein oder es müssen beide Grenzen im entgegengesetzten Sinne wirken. Wir haben also die vom Eigengewichte erzeugte Spannung, sowie das positive und negative Maximum der von der zufälligen Last erzeugten Spannungen zu bestimmen, wobei das eine der beiden letzteren Null sein kann.

Nach der vom Verfasser angegebenen Berechnungsweise ’) bestimmt man den Querschnitt f eines Stabes nach der allgemeinen Formel

7. f =

ppp

£o i £1 i £2

K₀' Ki k:

wenn P₀ die vom Eigengewichte, Pu P„ die obere und untere Grenze der von der zufälligen Last erzeugten Spannungen, W₀, Kx, Kq Erfahrungskoeffizienten bedeuten; die Spannungen sind hierbei absolut einzuführen; Po kann jedoch Null werden.

Die Werthe von K₀, Kt, K„ sind im Allgemeinen für vorwiegenden Zug und vorwiegenden Druck verschieden. Beim Schmiedeeisen lassen sie sich indessen für beide Beanspruchsweisen als gleich annehmen, wenn mau sowohl in den gezogenen als gedrückten Theilen die durch die Nietlöcher verloren gehenden Theile der Querschnittsflächen abzieht. Bei den gedrückten Theilen kann indess eine vom Maximaldruck P₀-f-Pj, respektive 1\ -f- P₂ abhängige Vergrösserung des Querschnittes nothwendig werden, um das Einknicken zu verhüten; wir wollen indess an dieser Stelle nicht näher auf diesen Umstand eingehen.

§. 6. Gitterträger. Wir gehen nun dazu über, das Gesagte auf die Bestimmung der Spannungen in Gitterträgern anzuwenden, wobei wir zunächst, wie bisher annehmen, dass die Gitterträger aus einzelnen,

') Wahl der zulässigen Inanspruchnahme der Eisenkonstruktionen mit Rücksicht auf die Wohlergehen Festigkeitsversuche bei wiederholter Beanspruchung. Wien, 1877.

an den Knotenpunkten gelenkartig reit einander verbundenen Theilen bestehen.

Der Gitterträger (franz. la poutre en treillis, engl, the trellis gircler) besteht aus zwei Gurten oder Gurtungen (franz. la semelle, la plate-bande, engl, the chord, the boom, the flang), so dass man Obergurt (franz. la semelle supérieure, engl, the top-chord, the upper boom) und Untergurt (franz. la semelle inférieure, engl. the bottom-chord, the loiver-boom) unterscheiden kann. Zwischen den Gurten liegt das Gitterwerk (franz. Vassemblage du treillis, engl, the trellis-ivork), bestehend aus zwei oder drei Lagen von Gitter staben (franz. le lien, engl. the brace). Gitterwerk mit nur zwei Lagen von Gitterstäben nennen wir einfaches Gitter werk, solches mit drei Lagen von Gitterstäben kombinirtes Gitter werk. Specielle Fälle des einfachen Gitter Werkes sind das Netzwerk, bei welchem beide Lagen unter gleichem Winkel geneigt sind und das F ach werk, bei welchem die eine Lage vertikal, die andere geneigt ist, so dass wir hier Vertikalen und Diagonalen unterscheiden können. Nach der Beanspruchung auf Zug und Druck unterscheiden wir Zug- und Druckstäbe. Nach der Form der Gurte unterscheiden wir Parallelträger (franz. la poutre en semelles paralleles, la poutre rectangidaire, engl. the parallel-girder, the parallel-truss) mit geraden, parallelen Gurten und Träger mit gekrümmten Gurten (franz. la poutre en semelles courbes, engl. the girder with archeds shords). Wir würden am schnellsten zum Ziele gelangen, wenn wir zunächst die letztere Klasse behandelten und durch Specialisirung die Regeln für Parallelträger ableiteten. Wir ziehen es indess des besseren Verständnisses wegen vor, zunächst die Regeln für Parallelträger direkt zu entwickeln.

Wir führen im Allgemeinen folgende Bezeichnung ein: l die Spannweite;

h die Trägerhöhe, welche entweder konstant oder variabel ist; a und ß die Neigungswinkel der Gitterstäbe in beiden Lagen oder Schaareh gegen die Vertikale;

g das Eigengewicht pro Längeneinheit; p die zufällige Last pro Längeneinheit; q die gesammte Last pro Längeneinheit = g -]-p; gv g„, px, pg,, qx, q₂ die auf den Ober- und Untergurt wirkenden Theile von g, p und q, falls eine solche Zerlegung möglich ist;

Q die Transversalkraft für einen beliebigen vertikalen oder geneigten Schnitt, d. i. die Summe oder Resultante aller auf einer Seite des Schnittes wirkenden äusseren Vertikalkräfte; wir nehmen die Transversalkraft als positiv, wenn die auf den linken Theil wirkende Resultante nach oben, oder die auf den rechten Theil wirkende Resultante nach unten wirkt;

M das Moment für diesen Schnitt, d. h. die Summe der Momente aller einzelnen auf einer Seite des Schnittes wirkenden Kräfte für einen bestimmten, noch näher zu bezeichnenden Momentenpunkt; wir nehmen das Moment als positiv, wenn die auf den linken Theil wirkende Resultante nach rechts oder die auf den rechten Theil wirkende Resultante nach links dreht;

Sx und S„ die Spannung des Ober- und Untergurtes an einer beliebigen Stelle;

Px und P₂ die Spannung der unter a und ß geneigten Gitterstäbe.

I. Parallel^ Gitterträger.

II. Kapitel.

Träger mit einfachem einzeiligem Gitter werke.

§. 7. Spannung in den Gurten. Berechnung. Die Gitterstäbe bilden beim einzeiligen Gitterwerke mit den Gurtstücken Dreiecke. Um die Spannung Sx in dem Obergurte zu finden, legen wir einen Schnitt

durch das fragliche Gurtstück CB (Fig. 10) und den gegenüberliegenden Knotenpunkt A. Unter der Annahme, dass die Lasten nur

Fig. 10.

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I

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in den Knotenpunkten wirken, ist die sonstige Lage des Schnittes ganz gleichgültig. Bezeichnen wir das Moment für diesen Schnitt und

für den Punkt A als Momenten-punkt mit Mx, die Trägerhöhe mit 1t, so wird Sx h -f- Mx = o, folglich

1. S, = —

Ebenso ergibt sich für die Spannung $₂ eines Stückes AE des Untergurtes, wenn Af₂ das Moment für einen durch dieses Gurtstück und den gegenüberliegenden Knotenpunkt C gelegten Schnitt für den Punkt C als Momentenpunkt bedeutet, zu

Wir wollen nun eine gleichmässige Belastung und eine Belastung durch ein System von Einzellasten unterscheiden.

1. Grleichmässige Belastung. Wenn man, wie vorausgesetzt wurde, 'die äusseren Kräfte in den Knotenpunkten annimmt, so ist die Lage des Schnittes, wie bereits bemerkt, ganz gleichgültig. Wenn man aber die Last ■über beide Gurte gleichmässig vertheilt denkt, so ist die Lage des Schnittes nicht mehr gleichgültig; es dürfte alsdann wohl am rathsamsten sein, den Schnitt vertikal zu führen. Alsdann wird aber eine Reduktion nothwendig. Betrachten wir zunächst den durch den Knotenpunkt A des Untergurtes gelegten Schnitt AB (Fig. 11). Das Moment der am Untergurte wirkenden Last

ist hier bei gleichmässiger Vertheilung genau dasselbe, als bei der Wirkung in den Knotenpunkten. Im Obergurte ist hinsichtlich der auf die Länge CD wirkenden Last in C die Kraft ~ qx a anzunehmen, wenn qx die auf den Obergurt wiikende Last pro Längen-

Fig. 11.

4L-------a-----

<——x------

h.

fr

c,

il

Et—:*zleC~AA    einheit, a die Länge CD bedeutet;

•das Moment dieser Kraft in Beziehung auf A ' ist — ^qxaex, wenn

ex den Horizontalabstand der Punkte A und C bedeutet. Denkt man sich die Last über B C gleichmässig vertheilt, so ist das Moment in Beziehung auf A — — qx ex . ~ ex — — j qx cq-, Setzen wir dieses Moment mehr x gleich dem vorigen, so haben wir — j B e\‘ H" x — — J <ha ei oder x — — j <hei ia — ei) — — T ei e<i’ wenu wir noch BD — e„ setzen. Sonach wäre :

2. Sx = —    +

wenn J\IX das Moment bei gleichmässiger Belastung für den Vertikalschnitt AB bedeutet. In ganz gleicher Weise ergibt sich

2a. S„ = +    —

wenn die auf den Untergurt wirkende Last pro Längeneinheit, den Horizontalabstand der Punkte C und E bedeutet. Dies ist auch in Uebereinstimmung mit den im §. 4 aufgestellten Regeln.

Hierzu ist nun in Betreff des Eigengewichtes und der zufälligen Last noch Folgendes zu bemerken.

a. Eigengewicht. Hinsichtlich des Eigengewichtes könnte es nur noch fraglich sein, wie bei Anwendung der Formel 2 zu verfahren sei, wenn der eine Gurt nicht bis zu der durch den Lagerpunkt gehenden Vertikalen •reicht. Bezeichnen wir das Gewicht dieses Gurtes mit g', den Abstand seines Endes von der genannten Vertikalen mit b, so ist der Stützendruck j g (l — 2b), also das Moment für den Vertikalschnitt im Abstande x von der linken Stütze M = j g (l — 2b) x —■ j g (x — b)², d. i. M =

4- g' x {I — x) — j g' b². Wenn man also den Gurt bei Bestimmung der Momente Mx und M„ bis zur Auflagervertikalen annimmt, so ist statt der Formel 2 zu setzen

9i ei ci + 9 &g

Mq

3.

s°- ~ + TT “

b. Zufällige Last. Ueberträgt sich die zufällige Last durch Querträger, welche an den Knotenpunkten angebracht sind, so geben die Formeln 1 und 2 vollständig richtige Resultate. Sind die Querträger an einzelnen Stellen des Gurtes zwischen den Knotenpunkten angebracht, so ist die zwischen zwei Knotenpunkten wirkende Last nach §. 4 auf beide Knotenpunkte zu vertheilen. Bei symmetrischer Verthei-lung der Querträger gegen die Knotenpunkte bleiben die Regeln 2 auch hier noch richtig.

Bei kontinuirlichen Trägern ist zu beachten, dass der fragliche Querschnitt hinsichtlich des positiven Momentes von der zufälligen Last-bedeckt, hinsichtlich des negativen Momentes unbedeckt ist (s. Theorie der Brücken, I. Heft, II. Aufl. §. 49). Bezeichnet man daher die am Ober- und Untergurte wirkenden Theile der zufälligen Last mit px, pq, so ist in. der Formel 2 für negative Momente px — p„ = o, für positive Momentu pt = p, 2^ = o, wenn die Bahn am Obergnrte, pq=p, l\—o, wenn die Bahn am Untergurte liegt.

Die bisher aufgestellten Formeln gelten ganz allgemein für einfache und kontinuirliche Träger. Wir wollen nun noch die specielle Anwendung auf einfache Träger machen. Für diese wird das Moment in einem beliebigen Querschnitte zum Maximum bei totaler Belastung. Dasselbe ist M — j qx (l — x).

a. System des gleichschenkligen Dreiecks. Bezeichnet Sx die Spannung des mteu oberen, Sq die Spannung des mien unteren Gurtstückes,, so ist für den Fall, dass die Bahn am Untergurte liegt (Fig. 12), für Mx

x = ma, für Mq dagegen x = (m — î) a -f- — a = —^— a, mithin,

Fig. 12.

71-1

f~h

<m

JTL m.

ji

A,

y------a-------V>

(B

wenn die Spannweite l — na ist, Mx = j m (n — m) ga?, Mq = j (2 m — 1) (2n — 2 m -f- Ï) q aq, folglich, da hier ex = eq = j ar b = j a ist, nach Formel 3:

[4 m {n — m) q - (/, — r/ ] ,

-8,

Qo sec ß.

1,414 und Qt — = ^Q0=2,5Q0, also Q1=Ql — 2,5Q0 ist

»w <«■ - «*> "■

«(-2T +

Für den Parallelträger geht — in 1 über; da im All

71

50,3 57,8 57,5, b) wenn die Last II daselbst liegt

Ä° \

die Neigung des Gurtstückes III IV bezieht. Die Mu

-ypT"" i

_ QK

ä 2.2\VxT(T^x)

M= Mx y

tz

schnittspunkt der Verlängerungen der geschnittenen

+ <y

u+

In gleicher Weise ergibt sich bei Belastung aller

Spannung wirklich auftretende spezifische Spannung

h,

In Fig. 207 ist hiernach die Deformation konstruir

Die entsprechende Deformation ist in Fig. 216 darg

T “

qj_a -J)

— V'= (S»ilł + 7,Jtf| 4- 2ßlMq)lx,

Hiernach wird z. B. für den Knotenpunkt 4 :Zu‘/lk

[4 m {n — m) q - (/, — r/ ] ,

4.

S- ~ Wh \}2m — 1)    + 1) Q — ih — r/ j

wobei g das Gewicht des Obergurtes pro Längeneinheit bezeichnet. Wenn ■die Bahn am Obergurte liegt (Fig. 13), so ergibt' sich in ganz gleicher Weise

5.

^L. [(2m _ 1) (2n - 2m+1) q S* = + ^ [4m (m — m) q — (jn — </ ],

Sx = -

— r/i —

Fig. 13.

f<s

lit

Ä'OC

(fi n,

il

b~->

7L-1

wobei g das Gewicht des Untergurtes pro Längeneinheit bezeichnet. Ist ein verticaler Endständer vorhanden, so ist das Glied g' und g" wegzulassen.

ß. System des rechtwinkligen Dreiecks. Bezeichnet wieder S{ und S„ die Spannung im mien Felde des bezüglichen Ober- und Untergurtes,

Fig. 14.

rn

XL

0 -f

z'

ni>

rn

\7l

<------CL \

Tl

rn

HÜs

«I

so ist für Mx: x — m a, für ü/₂ dagegen x = (rn — 1) a, also Mx — j- m (n — m) qa², M„ = j (m — 1) (n — m -f-1) q a² ; ferner wird hier et = a, c₂ = o, daher nach den Gleichungen 2

S, = -

ni (n — m) q er

6.

2h

(m — T) (n — m + 1) q a?

2 h

Hiernach ergeben sich die Spannungen für den Obergurt im mieu Feld und den Untergurt im (m -j- l)ten Felde numerisch gleich.

Sn - "f“

2. System von Einzellasten. Hier wollen wir nur einfache Träger voraussetzen. Zunächst handelt es sich um die Bestimmung derjenigen Lage des Systèmes, für welche das Moment M für einen Knotenpunkt zum Maximum wird, wobei wir annehmen, dass die Uebertragung der Last durch Querträger nur an den Knotenpunkten erfolge. Liegt der fragliche Knotenpunkt in demjenigen Gurte, an welchem die Bahn liegt, so ist die Bestimmung des Momentes ebenso vorzunehmen, als wenn Querträger nicht vorhanden wären (Theorie der Brücken, I. Heft, II. Aufl., §. 14 und 15). Wenn aber der fragliche Knotenpunkt E (Fig. 15) im anderen Gurte liegt, so bezeichne II die Resultante der Lasten, welche

Fig. 15.

■x

!<-

,ß

■■

innerhalb der dem Punkte E gegenüberliegenden Gurtstrecke CD wirkt, £, f" ihren Abstand von C und D, Rx, R₂ die Resultanten der in den Strecken AC und BD wirkenden Kräfte, £₂ ihre Abstände von A und B, a die Länge von CD, e,, e₂ die Horizontalstände des Punktes E

von C und D, x den Horizontalstand des Punktes E von A. Die in C

£'< £'

und D wirkenden Komponenten von B sind R^, R—. Daher ergibt sich

als Moment M für den Punkt E (nach Formel 6 der Theorie der Brücken,

I. Heft, II. Aufl., Seite 22):

- + [k|

7. 31 =

Verschiebt man das System um J nach rechts, so ändern sich und um + A, und Ç" um — A; ist M‘ das neue Moment, so wird demnach

M‘ — M =

Ist in der Parenthese das erste Glied grösser als das zweite, so ist M‘ > M, es muss also nach rechts verschoben werden, ist das erste Glied kleiner als das zweite, so ist M* < 31, es muss daher nach links verschoben werden, damit M möglichst gross werde oder es muss nach rechts links verschoben werden, je nachdem

Ro 4* jRJ

l — X

ist. Der für den Fall, dass keine Querträger vorhanden sind, gültige

8.

Satz, dass man das System so verschieben müsse, dass die Lasten pro Längeneinheit auf beiden Seiten des fraglichen Querschnittes möglichst gleich werden, gilt demnach auch hier, wenn man die Kraft P nach dem Verhältnisse ex und c₂ in zwei Theile zerlegt und den ersten Theil zu den links wirkenden, den zweiten zu den rechts wirkenden Lasten rechnet.

Hierbei muss ferner eine Last entweder an dem Querträger C oder an dem Querträger J) liegen und zwar an demjenigen dieser beiden Querträger, auf dessen Seite bei Anwendung der Bedingung die kleinere Last pro Längeneinheit wirkt.

Die Berechnung des Momentes erfolgt am besten nach der Formel 7, wobei natürlich die Momente der Resultanten durch die Momente der einzelnen Lasten zu ersetzen sind.

§. 8. Spannung in den Gitterstäben. Berechnung. Führt

Fig. 16.

man einen Schnitt durch einen

£■

\e

unter dem Winkel a gegen die o- -$»----- Vertikale geneigten Stab und be

j\

zeichnet für diesen Schnitt die Transversalkraft mit Ql, so for-P dert das Gleichgewicht gegen Ver-\ Schiebung in vertikaler Richtung die Erfüllung der Gleichung Pl cos a — Qt = o, demnach ist

9. Pt + Qx sec a ,

In gleicher Weise ergibt sich für die Spannung P, eines unter dem Winkel ß geneigten Stabes

9 a. —    sec ß,

wenn Q₂ die Transversalkraft für einen durch diesen Stab geführten Schnitt bezeichnet. Wir unterscheiden nun wdeder eine gleichmässige Belastung und eine solche durch ein System von Einzellasten..

1. Gleichmässige Belastung. Nimmt man die äusseren Kräfte in den Knotenpunkten an, so ist die Lage des Schnittes gleichgültig. Nimmt man die Last über beide Gurte gleichmässig vertheilt an, so erhält man dasselbe Resultat, wenn man den Schnitt parallel durch die Mitte der beiden Gurtstücke oder parallel zur anderen Stablage führt. Führt man den Schnitt vertikal, so ist eine Reduktion nöthig; bezeichnet man die Transversalkraft für einen vertikalen, durch die Mitte des fraglichen Stabes geführten Schnitt mit Q, so wird offenbar

10. öi = Q — 4T (<2t — Qi) Qn =zQ + j (<2l — <7o) en wobei ex = h tan a und e„ — h tan ß ist. Hinsichtlich des Eigengewichtes und der zufälligen Last ist nun noch Folgendes zu bemerken :

a. Eigengewicht. Für das Eigengewicht kann man die Formeln 9 und 10 direkt anwenden. Es bleibt nur noch der Fall, dass der eine Gurt mit der Last g pro Längeneinheit nicht bis zu der Lagervertikalen reicht, zu betrachten. Ist & der Abstand des Endes dieses Gurtes von den Lagervertikalen, so ist Q für den Abstand x vom Lager =-jg (l — 2b)— g\x — b) = jg\l — 2x), d. h. Q ergibt sich ebenso gross, als wenn der Gurt bis zur Lagervertikalen reichen würde.

b. Zufällige Last. Wir wissen, dass für das positive und negative Maximum von Q bezüglich nur der rechte oder linke Theil des Feldes,

vom betreffenden Querschnitte aus, belastet sein darf. Dies gilt sowohl für einfache als kontinuirliche Trä-

Fig. 17.

ger. In vorliegendem Falle würde es sich nun aber noch darum handeln, den Punkt, bis zu welchem die Last reichen muss, genau anzugeben. Wir haben hier’ folgende Fälle zu unterscheiden: 1. Sind die Querträger nur an den Knotenpunkten angebracht, so lässt sich die Lage der Last und die entsprechende Transversalkraft für einfache Träger nach §. 25 des I. Abschnittes (Aeussere Kräfte gerader Träger, II. Aufl.) ermitteln. Hiernach muss für die Gitterstäbe EG und AG (Fig.⁴17) der Kopf der Last vom nächsten nicht belasteten Querträger E, welcher von der nächsten nicht belasteten Stütze den Abstand x hat, die Entfernung

n. i = T

haben, wenn l die Spannweite, a den Abstand der Querträger bezeichnet. Hieraus folgt § : a = x -f- £ : l, d. h. der Kopf der Last theilt das fragliche Fach EA in demselben Verhältnisse, wie die ganze Spannweite l. Die entsprechende für jeden der Gitterstäbe EG und AG einzuführende Transversalkraft ist

p(l — a — xY

12. Q =

2(1 — a)

2. Liegen noch Querträger zwischen den Knotenpunkten, oder wirkt die Last direkt auf den Gurt, so gelten ganz dieselben Regeln, da sich der Druck auf die Knotenpunkte in Folge der zwischen A und E liegenden Lasten bei gleicher Lage der Lasten gleich gross ergibt, wie sich diese Lasten auch auf das Gurtstück AE übertragen mögen.

Für kontinuirliche Träger gelten allerdings die angegebenen Regeln zur Bestimmung des Maximums von Q nicht unmittelbar. Allein es genügt folgende Näherung, mit welcher man jedenfalls der Wahrheit sehr

Winkler’s Brückenbau; Theorie, II. Heft.

nahe kommt. Bezeichnet man nämlich für den einfachen Träger den Abstand des Lastendes von der linken Stütze bei gleichmässiger Yer-theilung der Last über den Träger, für welche die Transversalkraft ebenso gross wird, als mit Berücksichtigung der Querträger nach Formel 12, mit

xx, so ist Q — P    man die beiden Ausdrücke für Q gleich, so

ergibt sich

13. xx—l — ( l — a —

aß) j/" ¹

l — a

Diesen Abstand des Lastendes wird man auch für kontinuirliche Träger einführen und das dem Lastende entsprechende Q nach den für die kon-tinuirlichen Träger gültigen Kegeln bestimmen. Diese Kegel ist auch dadurch nahezu gerechtfertigt, dass sich ohne Anwendung von Querträgern bei gleichmässiger Vertheilung der Last für einfache und kontinuirliche Träger für das Maximum von Q dieselbe Lage des Zuges ergibt.

Wir wollen diese Regeln nun wiederum für einfache Träger mit dem Systeme des gleichschenkligen und des rechtwinkeligen Dreiecks anwenden.

a. System des gleichschenkligen Dreiecks. Liegt die Last unten (Fig. 12, Seite 13), so haben wir hinsichtlich des Eigengewichtes hei Anwendung der Formeln 9 den Querschnitt für den m-ten Zugstab in der Entfernung (m —    ) a, für den m-ten Druckstab in der Entfernung

m — ) a von der linken Stütze zu legen, so dass für den Yertikal-schnitt Q bezüglich = ²₀n g a — (m — j) g a und g a — ( m — j) g a wird. Ferner ist zur Bestimmung von Qx und nach Formel 10: tana — fan ßz=~. Hinsichtlich der zufälligen Last ist bei Anwendung der Formeln 12: x = (m — 1) a zu setzen. Demnach wird

a sec cc,

J\= + ^( 2n — 4 m + i) g — gx + !7₂J

(n — m)-

14.

' -!>***»*’.

^ | ( 2 n — 4 m+ 3) g + gx — g„ j a sec cc

(n —

1    -2^-WP<lSeCa-

In ganz gleicher Weise ergibt sich für den Fall, dass die Bahn am Obergurte liegt (Fig. 13, Seite 14), für den m-ten Zug- und Druckstab:

15.

=+4 | ( 2n — 4 m+ 3) g — gx + r/₂J

a sec ec

(n — m)2 2(n — 1)

p a sec cc,

E,--

TS hH

\n — mY

2 (n — 1)

p a sec cc.

h. System des rechtwinkligen Dreiecks mit gedrückten Vertikalen und gezogenen Diagonalen (Fig. 14, Seite 14). Wenn die Bahn am Untergurte liegt, so ist zur Anwendung der Formeln 9 der Schnitt finden m-ten Zugstab in der Entfernung m a — a und für den m-ten Druckstab (die Endvertikale als 0-ten Druckstab angenommen) in der Entfernung m a von der linken Stütze zu legen, so dass Q bezüglich — ~n g a — (m —g a und -₂ n g a — m g a wird. Ferner ist zur Bestimmung von Qv und Qq bezüglich e, = h tan ß — O, e₂ = h tan a — a zu setzen. Hinsichtlich der zufälligen Last ist zur Anwendung der Formel 12 bezüglich x — (m—T) a und x — ma zu setzen. Daher wird:

16.

±

Ex— + — (n — 2 m + 1) g a sec cc -f-J |\n- 2 m) g + gx— </₂J a -

E, = -

(n — m)²

2(n—lL)

(n — m — 1Ÿ

p a sec cc,

2 (n — /)

p a.

Wenn die Bahn am Obergurte liegt, so ergibt sich in gleicher Weise für den m-ten Zug- und Druckstab:

17.

1

P, = +    — 2 m Ą- 1) g a sec cc +

lin - 2 m) g + gx — g₂ j a -r

Ea=-

(n — m)q

2 (n — 1)

p a sec cc,

(n — m)-

2 (n — 1)

p a.

2. System von Einzellasten. Damit die für die Gitterstäbe CE und DE (Fig. 15) gültige positive Transversalkraft zum Maximum werde, muss der Träger rechts von E belastet sein. Bezeichnen wir die Resul-tante aller Lasten mit R', ihren Abstand von JB mit die Resultante der in dem Fache CD wirkenden Lasten mit R, ihren Abstand von D mit £, so ist

\ 'Sr;

S I frt

18. Q = IV

Verschiebt man das System um J nach rechts, so wird und '§ um J kleiner; ist Q' die neue Transversalkraft, so ist demnach

Q'-Q-=

j.

(E _ 1V\

\« i !

Wie in §. 8 können wir daher schliessen: Damit Q möglichstgross;

R

werde, muss man das Lastensystem so verschieben, dass — Rl

und -y- oder die im fraglichen Fache CD und auf den ganzen

Träger wirkende Last pro Längeneinheit möglichst gleich gross wird.

Hierbei muss ausserdem eine Last am Querträger C liegen, wenn Cy ; dagegen muss eine Last am Querträger D liegen, wenn y >

ist. Bei den üblichen Lastenvertheilungen bei Eisenbahnzügen und Stras-senwagen, wo die schwersten Lasten am Kopfe des Zuges wirken, wird indess immer eine Last am Querträger D liegen müssen.

Die Berechnung der Transversalkraft kann nach Formel 18 erfolgen, wobei nur die Momente der Resultanten durch die Summen der Momente der einzelnen Lasten zu ersetzen sind.

§. 0. Grafische Bestimmung der Spannungen. Die in

§. 2 gezeigte allgemeine Methode der grafischen Ermittlung der Spannungen in einem statisch bestimmten Systeme lässt sich hier unmittelbar

anwenden. Das

Fig. 18.

F 4 H 5 yjk Polygon der

äusserenKräfte geht hier in eine vertikale Gerade üb er. In P Fig.l8istdiese Anwendung gezeigt. Hinsichtlich des Eigengewichtes,, überhaupt einer konstanten Belastung, führt diese Methode einfach zum Ziele; weniger einfach aber hinsichtlich der Maximalspannungen der Gitterstäbe und bei Annahme eines Systèmes von Einzellasten auch hinsichtlich der Gurte, weil die Lage der zufälligen Last für

B 2 J) 3

a.

b\ /cd

~k

\K

ti

10

ia

A 0

jeden Theil eine andere ist.

Man wird sich daher hier zweckmässiger der Schnittmethode bedienen, über welche wir noch das Folgende bemerken (Taf. II) :

1. Gurte. Man konstruirt mit Rücksicht auf die Lage der Querträger nach der Theorie der Brücken, I. Heft, II. Aufl., §. 26 die Momente für sämmtliche Punkte, wie es in Fig. 7 (Taf. II) geschehen ist. Für irgend ein Gurtstück ist alsdann die Spannung nach dem Obigen

— X’

M

wenn M sich auf den gegenüberliegenden Knotenpunkt bezieht.

So z. B. würde für das Gurtstück IIIII das Moment 3 3"', für das Ourtstück 3 I das Moment IIIIII“ massgebend sein.

Nach der gewöhnlichen Methode der Querschnittsbestimmung würde

der Gurtquerschnitt f — Æ. zu setzen sein, wenn K die zulässige Inan-

Kh

spruchnahme bedeutet. Konstruirt man einen Masstab, dessen Einheit das Kh fache der Einheit des Momentenmasstabes oder, wenn d die

K h

Poldistanz bedeutet, dessen Einheit das -j- fache der Einheit des Längen-

masstabes ist, so geben die Ordinaten auf diesem Masstabe gemessen, direkt die Querschnittsflächen.

Bei Anwendung der Formel 7 (Seite 9) würde die Querschnittsfläche

i (K , J%\ T\k₀⁺kJ’

wenn M₀, Mx die Momente für das Eigengewicht und die zufällige Last

m₂

bedeuten. Bei kontinuirlichen Trägern kann auch noch das Glied g

hinzutreten. Hier kann man drei Masstäbe konstruiren, deren Einheiten bezüglich das K₀h, KJi und KJ); fache des Momentenmasstabes sind und

dieselben numerisch ad-

M„ Mt M,

Ka h ’ K, h ’ K₂ h

diren, wie es auf Taf. II geschehen ist. Statt dessen aber kann man auch bei Konstruktion der Momente die Einheit des Momentenmasstabes fü

nach Abmessung der Grössen

das Eigengewicht gleich dem fachen, die Einheit für die Momente M„

T7

gleich dem ~ fachen des Momentenmasstabes für die Momente Mt der

zufälligen Last annehmen. Konstruirt man daun eiuen Masstab, dessen Einheit das Kx h fache des Masstabes für die Momente Mx ist, so gibt die Summe der Momente Af₀, Mx, Mn, auf diesem Masstabe gemessen, direkt die Querschnittsfläche.

2. Gitterstäbe. Ebenso konstruirt man mit Kücksicht auf die Lage der Querträger die Transversalkräfte nach der Theorie der Brücken,

I. Heft, II. AufL, §. 25, wie es in Fig. 2, Taf. II geschehen ist. Die Spannung eines Gitterstabes ist alsdann Q seca, der entsprechende Quer-

schnitt nach der gewöhnlichen Bestimmungsweise —. Man kann nun

Q sec a geometrisch konstruiren, wie es auf Taf. II geschehen ist; so z. B. stellt 3 3' die Trausversalkraft für den Stab 3 III, die zu 3 III gezogene Parallele 3‘ 3" die Spannung des Stabes 3III dar. Konstruirt man jetzt einen Masstab, dessen Einheit das K fache des Kraftmasstabes ist, so gibt die die Spannung darstellende Gerade, z. B. 3' 3", auf diesem Mass-stabe gemessen, direkt die Querschnittsfläche. Haben alle Stäbe gleiche Lage, so ist es nicht nöthig, die Spannung Q sec a zu konstruiren; man konstruirt vielmehr besser einen Masstab, dessen Einheit das K cos a fache des Kraftmasstabes ist; die Ordinaten, z. B. 3 3\ welche die Transversalkraft darstellen, geben alsdann, auf diesem Masstabe gemessen, die Querschnittsfläche.

Bei Anwendung der Formel 7 (Seite 9) zur Querschnittsbestimmung tritt dieselbe Aenderung ein, wie oben hinsichtlich der Gurte angegeben wurde.

§. 10. Vertheiluiig der Last auf beide Gurte. Wir haben bisher angenommen, dass die Last an beiden Gurten wirke, sei es nun in den Knotenpunkten der Gurte oder gleichmässig vertheilt. Wenn die Bahn an einem Gurte liegt, so ist es leicht, den auf jeden Gurt entfallenden Theil zu bestimmen. Da beide Gurte in der Regel nahezu gleich schwer sind, so kann man zunächst für jeden Gurt die Hälfte des Eigengewichtes der Träger annehmen; auf den Gurt, an welchem die Bahn liegt, kommt alsdann noch das Gewicht der Querträger, der W'indverstre-bung und Bahn, sowie die zufällige Last; auf den andern das Gewicht der hier etwa liegenden Querverbindungen und Wind Verstrebung. Liegen Querverbindungen zwischen Ober- und Untergurt, so kann man auf jeden Gurt noch das halbe Gewicht dieser Querverbindungen rechnen. Wir haben nun aber in dieser Beziehung noch folgende speeielle Fälle zu untersuchen :

1. Wenn beim Systeme des gleichschenkligen Dreiecks zum Zwecke der Anordnung einer grösseren Anzahl von Querträgern Vertikalen A B (Fig. 19) angeordnet werden, welche die Mitten der Stücke desjenigen

Fig. 19.

47 A.

Gurtes, an welchem die Bahn liegt, mit den gegenüberliegenden Knotenpunkten verbinden, so wird hierdurch die Hälfte des Gewichtes der Bahn und der zufälligen Last, sowie die Hälfte des Gewichtes des Gurtes, an welchem die Bahn liegt, auf den andern Gurt übertragen. Dies ist allerdings nur dann streng richtig, wenn auch die Knotenpunkte A, in welchen die Vertikalen von dem die Bahn tragenden Gurte abzweigen, scharnierartig angeordnet sind, wird aber auch in anderen Fällen als nahezu richtig gelten können. Mit hinreichender Genauigkeit wird man annehmen können, dass auf beide Gurte eine nahezu gleichgrosse Last komme. Die von einem Gurte auf den andern zwischen zwei Knotenpunkten übertragene Last ist die Spannung einer Vertikalen.

Hinsichtlich des Einflusses der zufälligen Last auf die Spannungen der Gitterstäbe ist zu bemerken, dass zur Bestimmung von £ nach der Formel 11 für a der halbe Abstand der Hauptknotenpunkte, also AC = AD und für x hinsichtlich des Gitterstabes CB der Abstand des Punktes U, hinsichtlich des Gitterstabes DB der Abstand des Punktes A von der linken Stütze zu nehmen ist; | bedeutet alsdann den Abstand des Lastendes bezüglich von C und A. An die Stelle des Faktors

in den Formeln 14 und 15 tritt bilden Formeln 14 für Druck,

Fig. 20.

(n — m)²

2 (n — 1)

_ (2 n — 2 m + l)2 4(2 n — 1)

in den Formeln 15 für Zug: und in den Formeln 14 für Zug, in den For-

mein 15 für Druck: ~

2n — 1    ^

2. Dieselben Kegeln bleiben gültig, >-wenn an sämmtlichen Knotenpunkten des V/

Ober- und Untergurtes Vertikalen ange- t ordnet sind, mit denen in beliebiger Höhe die Bahn verbunden ist. (Fig. 20.)

3. Es bleibt noch der Fall des Systems des rechtwinkligen Dreiecks zu untersuchen, bei welchem die Bahn mit den Vertikalen in beliebiger Höhe verbunden ist. Für die Bestimmung der Spannungen in beiden

Fig. 21.

Gurten und in den Diagonalen nach den Formeln 5, 14 und 15 kommt die Verthei-lung der Last auf beide Gurte gar nicht in Frage. Die Vertikalen haben in den über und unter der Bahn liegenden Thei-len verschiedene Spannungen, welche man "\    -\\--v4>    \

findet, wenn man den Schnitt bezüglich sj durch den oberen und unteren Theil der }

fraglichen Vertikalen legt. Man gelangt hierdurch leicht zu dem Schlüsse, dass sich die Spannung für den unteren Theil ebenso gross ergibt, als wenn die Bahn am Obergurte läge, für den oberen Theil dagegen ebenso gross, als wenn die Bahn am Untergurte läge.

§.11. Unterstützung der Gurte durch sekundäre Konstruktionen. Um auch beim Systeme des rechtwinkeligen Dreiecks noch zwischen den Knotenpunkten Querträger anbringen zu können, hat man die Mitte der Diagonalen mit dem betreffenden Gurte durch Neben- oder Hilfsvertikalen CD (Fig. 22 und 23) und mit den oberen Enden der Hauptvertikalen durch Nebenoder Hilfsdiagonalen C E verbunden

Fig. 22.

1

—o

<CC'

cl e1

er

JA

(System Pettit). Es fragt sich nun, wie hierdurch die Spannungen derHaupt-theile geändert werden und wie gross die Spannungen der Nebentheile sind.

Fig. 23.

fA

\Ä

1. Hilfsstäbe. Bezeichnen wir die Spannung der Hilfsvertikalen CD mit V, die Spannung der Hilfsdiagonalen CE mit D, die Spannung der beiden- Theile B C und CA der Hauptdiagonalen mit Px und P, so ergibt sich für das Gleichgewicht des Punktes C bei oben liegender Bahn (Fig. 22).

a. (Pj — P) cos a -f- D cos a -f V = 0, (Px — P) sin a — D sin a = 0. Aus der zweiten Gleichung folgt Px — P = D; dies in die erste eingesetzt, gibt

19. D- —

2 Vsec Ci;

V aber ist gleich dem Gewichte der Bahn, plus dem des Gurtes, an welchem die Bahn liegt, plus der zufälligen Last auf die halbe Länge eines Faches oder auf die Länge -j a, negativ genommen. Ist diese Last = Cr, so ist also

20.

V= — G,

D —-J- g Gr SCC CO Liegt die Bahn unten, so ergibt sich in gleicher Weise

21. V= + G, n = +*Gseca.

2. Hauptdiagonalen. Legt man bei obenliegender Bahn einen Schnitt durch die Theile BD, BC und FA und bezeichnet für denselben die Transversalkraft mit Q, so fordert das Gleichgewicht die Erfüllung der Gleichung Px cos a — Q, also ist P, = Q sec a. Denkt man sich die Last gleichmässig über die Gurte vertheilt, so muss man den Schnitt durch die Mitte von BD, von BC und von FA legen, damit sich dasselbe Kesultat ergibt, als wenn man die Last in den Knotenpunkten wirkend annimmt. Der Schnitt liegt sonach im Obergurte und in der Diagonale um|a weiter nach links, als man ihn legen müsste, wenn kein Sekundärdreieck vorhanden wäre. Hinsichtlich der Wirkung des Eigengewichtes also ist hier Q um —g^a grösser. Schliesstman in gleicher Weise in dem Falle, wo die Bahn unten liegt, so ergibt sich, dass die Spannung des oberen Theiles der Diagonale bei oben und unten liegender Bahn um bezüglich (/j a und y grösser ist, als wenn keine Sekundärdreiecke vorhanden sind.

Hinsichtlich der Wirkung der zufälligen Last gilt dasselbe, was im vorigen §. beim Systeme des gleichschenkeligen Dreiecks gesagt wurde.

= ₇pa.

Aus der zweiten der Gleichungen a folgt:

P = P, - D.

Ist das Gewicht der Bahn und des Gurtes, an welchem die Bahn liegt, pro Längeneinheit = g', so ist für das Eigengewicht D = -j- ~ g a sec a, also

P = Pt — j g' a sec a.

Nun aber ist g' fast genau das Gewicht, welches auf den Gurt, an welchem die Bahn liegt, entfällt (es fehlt nur das halbe Gewicht des Gitterwerkes). Nach dem Obigen ist P, nahezu um ^g'asec a grösser, als bei einem Systeme ohne Sekundärdreiecke; P wird daher nahezu ebenso gross sein, als bei einem solchen Systeme.

Fig. 24.

Hinsichtlich der zufälligen Last wird allerdings eine besondere Untersuchung nothwendig. Das Ende der auf dem rech- X-ten Theile des Trägers liegenden zufälligen “T Last habe bei oben liegender Bahn und bei gleichmässiger Bslastung von B den Abstand £ (Fig. 24). Alsdann ist

der Druck auf B : V₀ =

Es ist nämlich in der Formel 11 zur Bestimmung von | und in der Formel 12 zur Bestimmung von Q ~a für a zu setzen; in den Formeln 16 und 17 ist

gegen Träger ohne Sekundärdreiecke ergibt sich für x—o "bis x = ~l nahezu

(2 n — 2 m -f- 1Y " 4 (2 n — 1)

für

(n — m)¹

2 (n — 1)

zu setzen. Der Unterschied

KL-s)* _ —

Z.ia

CD: V. =

, der Druck auf B, also auch die Spannu ng der Hilfsvertikalen

p G«²-!²)

f \pa —

pdY — 4 i²)

Transversalkraft für einen durch PP gelegten Schnitt ist daher ist

Ai-=\ea-ą.v*

p(l-x-£y

21

Pi =

p (l — x — |)²

—- F₀J sec a.

Da nun V = 1\ — D = 1\

— 1 sec a wird, so ist P Q —x — £)²

— y —l y

ro 2 V1

sec a

(i-x- tr

₊ ül

^ 2a\

p sec a

ip

-x-tr

(«-8*

p sec u.

Ganz derselbe Ausdruck ergibt sich aber, wenn das Sekundärdreieck nicht vorhanden ist. Dasjenige g, für welches P zum Maximum wird, wird also ebenfalls dasselbe sein (Formel 11). Dasselbe ergibt sich bei unten liegender Bahn. Man kann also behaupten, dass die Spannung des unt eren Theiles der Diagonalen hinsichtlich der zufäl-ligenLast nicht, hinsichtlich des Eigengewichtes fast nicht durch die Sekundärdreiecke geändert wird.

3. Vertikalen. Bei oben liegender Bahn (Fig. 22) ergibt sich für das Gleichgewicht des Punktes A : P₂ = g₂ a — Beos a; da nun aber P und g₂ denselben Werth haben, als heim Systeme ohne Sekundärdreiecke, so hat auch P₂ denselben Werth. Bei unten liegender Bahn (Fig. 23) ergibt sich für das Gleichgewicht des Punktes A, wenn 6r₂ die auf A entfallende Last bedeutet,

P₂ — G₍, — P COS a.

Nun aber ist P fast ebenso gross, als bei einem Systeme ohne Sekundärdreiecke, (r₂ dagegen ist um G kleiner, mithin wird der absolute Werth von P„ um G grösser. Die Spaunung der Vertikalen ist daher bei oben liegender Bahn ebenso gross, bei unten liegender Bahn nahezu um G grösser, als bei einem Systeme ohne Sekundärdreiecke.

4. Gurte. Legt man bei oben oder unten liegender Bahn durch den Punkt B und durch A F einen Schnitt und bezeichnet das Moment

für den Punkt B mit il/, so ist Sa U — M — o, S₂= -j-    Nun wird

aber olfenbar der Werth von M durch die Secundärdreiecke nicht beeinflusst. Die Spannung des Untergurtes ist also ebenso gross, als bei einem Systeme ohne Sekundärdreiecke.

Legen wir bei oben oder unten liegender Bahn durch den Punkt A und durch CE, sowie durch BE einen Schnitt und bezeichnen das Moment für den Punkt A mit ilf, so ergibt sich Si h -f- DUsina -f- M = o,

also

— JDsina — -

£i =

“T

\ G tan a.

Der Werth von M wird durch die Sekundärdreiecke nicht geändert. Die Spannung des Obergurtes ist demnach um | G tan a grösser, als beim Systeme ohne Sekundärdreiecke.

Es ist bemerkenswerth, dass durch die Sekundärdreiecke nur Ver-grösserungen der Spannungen, nicht aber Verminderungen herbeigeführt werden.

Die Behandlung hätte auch durch Zerlegung in zwei Systeme in der in §. 21. angewendeten Weise erfolgen können.

§. 12. Beispiele. Zur weiteren Erläuterung der Bestimmung der Spannungen und der Querschnittsflächen durch Rechnung mögen die folgenden beiden'Beispiele dienen.

1. Eingeleisige Eisenbalinbrücke mit zwei Gitterträgern nach dem Systeme des rechtwinkligen Dreiecks von 40 Met. Spannweite. Die

~8

Bahn liege zwischen dem Ober- nnd Untergurte. Wir nehmen die Höhe h zu

5 Met. und den Winkel a zu 45° an. Es sei wiederum g = 1,25 Ton pro Met. und zwar g, — 0,5, g₂ = 0,5 und g₃, d. i. das Gewicht der Bahn = 0,25 Ton. pro Met.; ferner sei für die Momente p — 2,3, für die Transversalkräfte p — 2,6 Ton. pro Met. Die zulässige Inanspruchnahme nach der gewöhnlichen Auffassung sei für Zug K = 0,75, für Druck Ä = 0,65 Ton. pro □ Centimeter.

Gurte. Es ist q — 1,25 -f- 2,3 — 3,55, a = ■— l = 5, h = 5, folglich nach

Formel 6 :

S, =

m (8 — mi) q.5. ~l

(mi — 1) (9 — wi) q.5. -1 l

, d. i.

, s₂=-{-

S, — —^ mi (8 — mi) ql = — 8,87 mi (6’ — mi) Tonnen,

=    (m — 1) (9 — mi) q l — -f- 8,87 (hi — 1) [9 — mi) Tonnen.

2.5

2.5

Der entsprechende volle Querschnitt f und nutzbare Querschnitt f wird

= 13,66 m (8 — hi) □ Centim.

-8,

0,65

f-

S₂

0,75

11,83 (mi — 1) (9 — hi) □ Centim.

Gitterstäbe. Es ist q = 1,25 4- 2,6 = 3,85, g = 1,25 = 0,320 q, p = 2,6 = 0,675 q, g, = g₂ = 0,5 = 0,130 q, g₃ = 0,5 = 0,065 q, a = 45, sec u = Y 2 — 1,414 Die Spannung Pt der Diagonalen wird nach Formel 16 oder 17:

0,675 q± IV 2, d. i.

2.7

P, = \{9-2 mi) 0,325 q \lV2 + \ (§ “ W)*

P, = Y- {0,2010 — 0,04845 m -f 0,002130 Mi)² q l = + (123.8 — 29,84 m -f- 1,312 m²) Tonnen.

Der entsprechende nutzbare Querschnitt f, wird

t\ =

= (165,1 — 39,79 mi + 1,749,in²) □ Centim.

0,75

Die Spannung P, des oberen Theiles und die Spannung P₂" des unteren Theiles der Vertikalen wird bezüglich nach den Formeln 16 und 17 mit Berücksichtigung des in §. 10 (3) Gesagten:

= ~ { [(§ ~ ² m) °’³²⁵ 2 - °'¹³⁰ 2 + 0,195 q J 11 - ⁽⁷ ^    0,675 q . jl

= — I \}⁸ — ² m) °'³²⁵ 2 ~ °>¹⁹⁵ 2 + 0,130 ₂] §1 - ⁽⁵ ~y }- 0,675 q Ą l, d. i.

P/ = — (0,1159 — 0,03125 hi + 0,001506 mi²) q l = — (71,1 — 19,25 m + 0,928 m²) Tonnen, P₂" = — {0,1361 — 0,03427 m + 0,001506 mi²) q l = — (83,8 — 21,11 mi -j- 0,928 hi²) Tonnen.

□ Centmeter.

Die für die zweite Hälfte des Trägers angegebenen Spannungen der Gurte und Vertikalen haben keine Giltigkeit, weil liier das System mit der rechten Schaar von Diagonalen in Wirksamkeit tritt; die Spannungen und Querschnittsflächen sind hier dieselben, wie in der linken Hälfte,

2. Eingleisige schiefe Eisenbahnbrücke mit zwei Gitterträgern nach dem Systeme des gleichschenkligen Dreiecks von 19,5 Met. Spannweite, 2,5 Met. Trägerhöhe mit oben liegender Bahn (Taf. II). Die Entfernung des Knotenpunktes ist zu 2,5 Met. angenommen; nur am linken Ende ist in Folge des Umstandes, dass die Brücke eine schiefe ist, eine andere Entfernung nötliig geworden. Es sei g = 0,48 und zwar g, = 0,35, g₂ = 0,13 Ton. pro Met.; als zufällige Last sei ein Eisenbahnzug mit der auf Taf. II angegebenen Lastvertheilung anzunehmen. Die Querschnittsflächen seien nach der Regel 7 (Seite 9) zu bestimmen und zwar für K, = 1,4, K{ — 0,6, K₂ = 1,3 Ton. pro □«».

Gurte. Das Moment hinsichtlich des Eigengewichtes für einen oberen Knotenpunkt im Abstande x von der linken Stütze wird bei dem Abstande a der Knoten :

[«a

— x) -

= 0,24 x (l — x) — 0,0162 a².

Das zweite Glied wird für a = 2,5 — 0,102. Ebenso ergibt sich für einen unteren Knotenpunkt im Abstande x von der linken Stütze:

x (l — x) —

Die entsprechenden Querschnittsflächen werden

_ JV_

0,65

f₂' =

= (109,4 — 29,62 m -J- 1,428 m²) □ Centimeter.

fï" =

— (128,9 — 32,48 m -j- 1,428 m³) □ Centimeter.

0,65

Die nach diesen Formeln berechneten Resultate sind in folgender Tabelle zusammengestellt.

Index

Spannungen

Oberg Unterg. Biagon. Bruck Zug Zug

Querschnittsflächen

Vertikalen

oben unten Bruck Bruck

Oberg. Unterg. Diagon. voll nutzb. nutzb.

Vertikalen

oben unten voll voll

oovfosüikoscoko

p p p p p p p p kl kl CO Co Co CO Kl kl klOoOoOlOiOoOOki 1 QQdOiOOOiQD'S

OOOOOCiOi kl CO Co Co To kl kl ^ | CoOsOiOiüjOokk I Go Üi O O Oi Co o

O O p p p CilsOkk ! k H.N vi k Oi I to io Oi Os Oi

0,116 0,136; 0,086 0,104 0,059 0,074 0,036 0,047 0,015 0,023 — 0,003

CO CO kl Kl Cb ÎO Ol Kk Ci

33

44

14 |    22

M =

= 0,24 x (1 — x) — 0,0437 a².

Das zweite Glied wird für a = 2,5 = 0,273. Hinsichtlich der zufälligen Last ergeben sich die Momente für die oberen Knotenpunkte ebenso, als wenn keine Querträger

vorhanden wären. Durch spezielle Untersuchung ergibt sich, dass bei den Knotenpunkten I, II das II Rad, beim Knotenpunkte III das III Rad bei nach links gehendem Zuge, bei den Knotenpunkten IV, V das III Rad, bei den Knotenpunkten VI, VII das II Rad bei nach rechts gehendem Zuge am fraglichen Knotenpunkte ruhen muss. Hinsichtlich der unteren Knotenpunkte muss für die Knotenpunkte 1, 2, 3, bezüglich das II, II, III Rad bei nach links gehendem Zuge am rechts vom Knotenpunkte liegenden Querträger, für die Knotenpunkte 4 und 5 das II Rad, bezüglich bei nach links und rechts gehendem Zuge am links und rechts vom Knotenpunkte liegenden Querträger und endlich bei den Knotenpunkten 6, 7, 8, bezüglich das III» II, II Rad bei nach rechts gehendem Zuge an dem links neben dem Knotenpunkte liegenden Querträger ruh eu.

= 0,286 M, + 0,667 M, \jCentim.

Sind M₀, M, die Momente für das Eigengewicht und die zufällige Last in Tonnenmetern, so ist die betreffende Querschnittsfläche f des Gurtes 100 Ma 100 M,

1,4 250 ' 0,6.250

Die Rechnungsresultate sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt.

Knotenpunkt

Moment für einen Punkt des Untergurtes

Eigeng. zuf.Last\ Summe Eigeng. zuf.Iastj Summe

Obergurtes

Querschnitts

fläche

Ober- Untergurt gurt

4,4    28,0

32,4

‘Cs

30

II

12,4    66,6

79,0

60,7

19,9

III

18,7    96,3

115,0

16,1    89,6

105,7

47,9

37,0

IV

22,0    110,9

132,9

20,9    107,7

128,6

69,5

64,3

22,3    115,4

137,7

22 7 111,6

134,3

80,3

77,8

VI

19,6    101,4

121,0

21,6 114,2

135,8

83,3

80,9

VII

13,8    81,8

95,6

17,3 106,3

123,6

73,2

82,3

VIII

5,0    29,6

34,6

11,1    59,2

70,3

58,5

21,2

75,8

42,6

Tonnenmeter.

0 Centimęter.

Für die grafische Durchführung ist 1 Meter — 6<nm (Masstab I) eine Tonne — 1,5mm (Masstab II) und die Poldistanz d = 15 Tonnen angenommen. Nur für das Eigengewicht ist die Poldistanz gleich der Spannweite = 5,2 d, dem entsprechend eine Tonne = 5,2.1,5 = 7 8mm angenommen. In Fig. 7 geben die Ordinaten der Kurven a, b, c, auf dem Längenmasstabe I gemessen, mit d multiplizirt, die Momente für das Eigengewicht, die zufällige Last und die Summe von beiden ; konstruirt man

1 2

—■= = — der Einheit des Längenmasstabes I ist,

iiD ö

~d~

einen Masstab, dessen Einheit Ą

so würden die Ordinaten der Kurven auf diesem Masstabe gemessen, die Momente in Tonnenmetern geben. In den Masstäben VI und VII ist die Einheit bezüglich gleich

0,6.250

1,4.250

= 23,33 und ^

15

= 10 Centim. oder 0,233 und 0,1 Meter des Längen-

masstabes I gemacht. Die Ordinaten der Kurven a und b geben alsdann nach diesen Masstäben die Querschnittsflächen für das Eigengewicht und die zufällige Last. So z. B. gibt die Ordinate III III' nach dem Masstabe VI = 6, die Ordinate III III" nach dem Masstabe VII = 72 □«“, der Querschnitt des Gurtstückes 3 4 wäre also 6    22 = 78[Jcm- In Fig. 8 sind die Querschnittsflächen nach dem Masstabe IV

(I0cm = 0,2mm) aufgetragen.

Gitterstäbe. Hinsichtlich des Eigengewichtes ist die Transversalkraft für einen nach rechts fallenden Stab, dessen oberes Ende den Abstand x vom linken Ende hat:

Q = y 0,48 . 19,5 — 0,35 \ x + y «) — 0,13 x = 4,68 — 0,48 x — 0,175 a.

Für a = 2,5 wird Q — 4,24 — 0,48 x. Ferner wird für einen nach links fallenden Stab, dessen oberes Ende den Abstand x vom linken Ende hat:

Q = y 0,48.19,5 — 0,35 (x — ^ o) — 0,13 x — 4,68 — 0,48 x + 0,175 a.

Für a = 2,5 wird Q = 5,12 — 0,48x. Hinsichtlich der zufälligen Last ergibt sich, dass für je zwei unter einem oberen Fache liegende Stäbe für max (-f Q) bei nach links gehendem Zuge das I Ead über dem rechten Querträger, für max (— Q) bei nach rechts gehendem Zuge das I Bad über dem rechten Querträger liegen muss.

Ist Q₀ die absolut genommene Transversalkraft für das Eigengewicht, sind ferner Q,, Qt die absolut genommenen Grenzen der Transversalkraft für die zurällige Last, so ist die entsprechende Querschnittsfläche

f — / Ql. 4. _L ¹    \1,4 ^ 0,6 ^ 1,3)

also sec« =    1 -j-    = -j/"ö =

/= 0,799 Q, + 1,863 Q, 4- 0,860 Qt.

Vom Stabe II 3 an wird tan« =

1,118, daher

sec «.

1,25

2,5    2

1,088, für die Stäbe

Für die Stäbe 0 1,11 wird sec«

1,105.

12, 2 II sec«

, Die Rechnungsresultate sind in folgender Tabelle zusammengestellt:

Knoten

punkte

Eigen-

geivicht

+ 4,24

+ 4,02

Transversalkraft

zuf Last

max (+- Qnmax (— Q)

24,50 \    0

max

Summe (+ Q)jmax (-Q)

28,74

28,52

Querschnittsfläche

rechts fallend links fallend gezog. gedr. gezog. gedr.

47,7

II

4- 3.24 -f 2,93

18,80 ! 1,00

22,04

21,73

37,9

47,5

-f 2,08

14,24

3,20

16,32

1,12

37,7

III

+ 1,76

16,00    1,44

30,9

+ 0,88 10,02    5,79

10,90

4,91

30,7

IV

4-0,56

10,58

5,32

24,3

— 0,32

6,41

9,17

6,09

9,49

: 24,i

— 0,65

ii

5,76

9,82

22,8 !

r

— 1,52

3,70

13,40 ! 2,18

14,92

I 23,1

VI

— 1,85

ii

1,85

15,25

29,3

— 2,72

1,23

17,86

20,58

29,6

VII

— 3,05

ii

20,91

35,5

— 3,92

23,56

27,48

35,7

VIII

— 4,16

27,72

47,0

47,1

Tonnen.

□ Centimeter.

Der Stützendruck wird für das Eigengewicht | . 0,48 . 19,5 = 4,68; also der Druck ira linken Ständer 4,68 — ^.0,13.1,05— 4,68 — 0,07 = 4,61, im rechten Ständer 4,68—J- . 0,13.1,25 = 4,68 — 0,68 = 4,60. Der Maximaldruck in Folge der zulässigen Last entsteht, wenn das erste Rad über der fraglichen Stütze steht und ergibt sich zu 30,29. Demnach wird der Querschnitt eines Ständers 3,29 + 50,49 = 53 78 □«».

4,61 , 30,29

1,1

0,6

In der in Fig. 2 durchgefühlten grafischen Ermittlung wurden zunächst unter Zugrundelegung des Kraftmasstabes II die Transversalkräfte für das Eigengewicht und die zufällige Last konstruirt. Mit Hilfe des Proportionalwinkels Fig. 2 a wurden

die Transversalkräfte für das Eigengewicht mit — 0,429, die für die zufällige

1,3

Last mit — 0,462 multiplizirt und zu den positiven Trans Versalkräften für die

zufällige Last die mit 0,429 multiplizirten Transversalkräfte für das Eigengewicht

und die mit 0,462 multiplizirten negativen Transversalkräfte für die zufällige Last hinzugefügt; ebenso wurden zu den negativen Transversalkräften für die zufällige Last die mit 0,429 multiplizirten Transversalkräfte für das Eigengewicht und die mit 0,462 multiplizirten positiven Transversalkräfte für die zufällige Last hinzugefügt. Es sind hierdurch die mit O, 1, I, 2,... bezeichnten umringelten Punkte erhalten worden, welche immer den rechten Enden des fraglichen Gitterstabes entsprechen. Durch diese Punkte wurden zu den fraglichen Gitterstäben Parallelen bis zur Abscissenaxe gezogen. Betrachtet man diese Linien nach dem Kraftsmasstabe II als Kräfte, so geben dieselben mit 0,6 dividirt, die Querschnittsflächen. In dem Masstabe III wurde eine Einheit gleich 0,6 Einheiten des Masstabes III oder 1 □c"» = 1,5.0,6 = 0,9mm gemacht; die Parallelen der Gitterstäbe in Fig. 2 geben dann auf diesem Masstabe gemessen, direkt die Querschnittsflächen. In Fig. 3 sind die Querschnittsflächen nach dem Masstabe IV (1 □«» = 0,2mm) aufgetragen.

In Fig. 9 ist die Bestimmung der Spannungen für das Eigengewicht nach der Polygonalmethode nach dem besonderen Kraftmasstabe VII (1 Tonne — 5mm) durchgeführt.

Die Resultate sind für beide Beispiele auf Taf. I in Fig. 1 und 2 grafisch dar

gestellt.

III. Kapitel.

Parallelträger mit einfachem, mehrtheiligem Gitterwerke.

§. 13. Principien. Ein mehrtheiliges Gitterwerk ist im Allgemeinen kein statisch bestimmtes System, obwohl in der Regel nur eine Gleichung fehlt. Die Gleichungen zur genauen Bestimmung der Spannungen lassen sich zwar im vorliegenden Falle leicht aufstellen, dieselben führen indess immerhin noch zu komplizirten Regeln, wesshalb man sich stets mit einer Näherung begnügt hat.

In der Regel hat man das gegebene mehrtheilige System mit der Theilungszahl n in n eintheilige Systeme, Elementarsysteme, zerlegt. Hierbei tritt jeder Gitterstab in den Elementarsystemen nur einmal auf, während jedes Gurtstück in sämmtlichen Elementarsystemen auftritt. Eine solche Zerlegung ist offenbar dann zulässig, wenn sich bei der Deformirung der einzelnen Systeme, welche durch die äusseren Kräfte veranlasst wird, eine vollkommene Uebereinstimmung der Knotenpunkte ergibt. Um eine

gleiche Verrückung der Knotenpunkte in horizontaler Beziehung herbeizuführen, ist es nur nothwendig, jedes Gurtstück des gegebenen Systèmes in n Gurtstücke derart zu zerlegen, dass die relative Längenänderung der Gurt- a stücke der einzelnen Systeme gleich gross wird, dass sich also die Querschnittsflächen zu einander verhalten, wie die Spannungen. Damit aber auch eine gleiche Verrückung in vertikaler Beziehung entstehe, ist es nothwendig, dass man die Gurtstücke der einzelnen Systeme nicht geradlinig, sondern n fach gebrochen und in den Brechpunkten die den Spannungen das Gleichgewicht haltenden Kräfte annimmt (Fig. 25). Nun aber ist klar, dass die letzteren Kräfte gegen die in den Knotenpunkten wirkenden Lasten der geringen Durchbiegung wegen nur sehr klein sein können, so dass man sie vernachlässigen kann. Hiernach erscheint also eine Zerle-

Fig. 25.

f-¹

gung in einzelne Elementarsy-

stemealszulässig. In den Knotenpunkten dieser Sy sterne sind diejenigen Lasten wirkend anzunehmen, welche beim gegebenen Systeme in den entsprechenden Knotenpunkten wirken. Die Spannungen der Gitterstäbe erhält man hierbei direkt; diejenigen der Gurte erhält man durch Sum-mirung der Spannungen des betreffenden Gurtstückes in den Elementarsystemen.

Anstatt eine Zerlegung in Einzelsysteme hat man auch andere Methoden in Anwendung gebracht. Man gelangt z. B. zu Ausdrücken für die Spannungen, wenn man die Spannungen der Gitterstäbe, welche von einem Schnitte getroffen werden, als gleich annimmt; noch genauere Kesultate erhält man, wenn man den Unterschied der Spannungen zweier aufeinanderfolgenden Gitterstäbe innerhalb eines Schnittes als gleich annimmt. Wir werden zur genaueren Bestimmung der Spannungen die Zerlegung in einzelne eintheilige Systeme, welche wohl die rationellste ist, in Anwendung bringen, werden aber später auch noch die exakte Behandlungsweise vorführen.

§. 14. Näherungsbestininiung der Spannungen.

1. Spannung der Gitterstäbe. Am einfachsten gelangt man zu einem Ausdrucke für die Spannung P eines Gitterstabes A B (Fig. 26), wenn man durch die Mitte C dieses Gitterstabes einen Schnitt FE parallel zu

Winkler’s Brückenbau; Theorie II. Heft.

alsdann liegen links von C \ — 1 Stäbe, rechts f Stäbe und die Summe ist — l\ P -f- P -f Pn == (n—1) P-f- P„. Legen wir den Schnitt

dicht links neben den Stab EF\ so liegen links von C | Stäbe, rechts

n    n

Stäbe und die Summe ist Fig. 27.

der anderen Gitterstablage führt. Bezeichnet man die Spannungen der links und rechts von C geschnittenen Stäbe mit... P", P‘, P,, P₂,.. und die Transversalkraft für den schiefen Schnitt mit Qt, so ist (... P“ P' + P + Pi + P₂...) cos a = Qx.

Fig. 26.

Nimmt man nun an, dass der Unterschied der Spannungen von ^ Stab zu Stab gleich gross sei, so ist P* -f- Pj = 2 P, P“ + P₂ = 2 P, u. s. w., so dass die angedeutete Summirung leicht vorzunehmen ist. Ist die Thei-lungszahl n ungerade (Fig. 26), so liegen links und rechts von — C zusammen n—1 Stäbe, also ist die Summe aller Spannungen (n—1) P Ą- P — n P. Ist dagegen n eine gerade Zahl, so denken wir uns den Schnitt zunächst dicht rechts neben dem Stabe E F (Fig. 27) ;

A/

P' '

P₃

Pi

■o

/E

p'II B

P'2 + 2 0 — 2) P + P = P⁸ + (n — 1) P.

Die Summirung der beiden so erhaltenen Gleichungen gibt

./

cm/

Lz

(n — T) P + P⁵ + Pj]

cos a — 2 Q,. Da aber nach der eben gemachten Annahme

P² -j- Pn = 2 P ist, so wird

•    5

jP¹ \

2 n P cosa == 2 Qt. allgemein n Pcosa = Qx . Ebenso ist bei der Bestim-

also

AH ß

AP v yj)

mung der Spannung eines gegen die Vertikale unter dem Winkel ß ge-geneigten Stabes zu verfahren. Bezeichnet man jetzt die Spannung der unter a und ß gegen die Vertikale geneigten Stäbe mit Py und P„, so wird mithin

- Qo sec li n

22. P, = + Jn <>, sec a, l\ =

und hierin bedeuten Qt und die Transversalkräfte für den durch die Mitte des fraglichen Stabes parallel zur anderen Stabschaar gelegten Schnitt.

Legt man den Schnitt durch die Mitte des fraglichen Stabes vertikal und bezeichnet die entsprechende Transversalkraft mit Q, so ist

1 1 = Q — „(Qi — Ol) h tan ß Q*= Q-h o(Oi~ Q<i)h a.

Annähernd ist Q, = Q» — Q, also nahezu

23. _Pt = + - Q secco, JP„ =

Die Spannungen der Gitterstäbe sind also der Transversalkraft proportional und der Tlieilungszahl umgekehrt proportional; der eine der sich kreuzenden Stäbe istgezogen, der andere ge drückt.

Die zufällige Last wäre hinsichtlich ihrer ungünstigsten Lage durch den betreffenden schiefen Schnitt begrenzt anzunehmen.

2. Spannungen der Gurte.

Zur Bestimmung der Spannung S eines Stückes des oberen Gurtes f führen wir durch die Mitte J des- j selben einen Schnitt in Richtung f der aufrechten Maschendiagonalen. ^

Derselbe schneide den Untergurt < im Punkte A. Bezeichnen wir nun f die Spannungen der geschnittenen 1/

Gitterstäbe bezüglich mit P/, P₁", j)

P/"...,P₂',P₂", Pa"'..., die Ab- * stände der unteren Enden dieser Stäbe von A mit e', e", e'",... und das Moment der äusseren Kräfte in Beziehung auf den schiefen Schnitt und in Beziehung auf den Punkt A mit Jfj, so ist

h -f ( P/e' -f Pp" e" +... ) cos a -j- (P₂V + P₂" e⁽'+... ) cosß -f Mx = o. Da die Transversalkräfte zur Bestimmung der Spannungen Px und P₂ mit gleichem Index sich auf nahe bei einander gelegene Schnitte beziehen, so sind sie nahezu gleich, also ist nahezu Pßcosa -- — P^cosß, P," cos a — — P^cosß, u. s. w. Daher erhalten wir annähernd sehr einfach Sx h — — Mx. In gleicher Weise wäre die Bestimmung der Spannung S2 des Untergurtes vorzunehmen. Somit erhält man:

24.    =    S,= + ]f‘.

Hierbei beziehen sich die Momente Jf, und A/₂ auf den durch die Mitte des fraglichen Gurtstückes in Richtung der transversalen Maschendiagonalen gelegten Schnitt und auf den in dem anderen Gurte liegenden Punkt dieses Schnittes. Bezeichnet man das Moment für einen durch diesen Momentenpunkt gelegten Vertikalschnitt mit M und die Horizontalprojektion des schiefen Schnittes mit e, wobei e — \ h (tan ß — tan a) ist, so ist

Q sec ß.

Fig. 28.

Ad

A\

CAP

4--------X'----------H

U£

IP

fP>'

ip

ft

3*

25. :w, = M + ' q, e\ M, = M |    e'.

Beim Netzwerke (« = ß) ist e — 0; aber auch in anderen Fällen ist da& Glied -₂ qxe², -₂q₅ e² so klein, dass man annähernd Mx = M„ = M setzen kann; annähernd ist also

26. Sx — -

s*—+~h-

Die Gurtspannungen sind also dem Momente proportional und der Trägerhöhe umgekehrt proportional; dereineGurt ist gezogen, der andere gedrückt.

hr

§. 15. Genauere Bestimmung der Gtirtspaniiungen für gleichmässige Belastung. Die genauere Bestimmung der Spannungen kann durch wirkliche Zerlegung des Trägers in einzelne eintheilige Elementarsysteme erfolgen. Jedes Gurtstück des gegebenen Trägers gehört Fig. 29.

B₃ B₂ B, b B' B B I C* Q, C, C C" C"‘ C* Elementarsystemen an.

Bezeichnen wir die Momente für die Knotenpunkte A₃, A„ ... A“f (Fig. 29) derELementar-systeme, welchen das fragliche Gurtstück jB"J C₃ gegenüberliegt, mit Wj, m so sind die Spannungen

.., folg-

hierbei sämmtlichen n

ma

\Xfl

!/'

A₃ A₂ Af

A.

A A A"

m₃,..

des fraglichen Gurtstückes in den Elementarsystemen

m₁ m2 ¥’ ¥’ *

lich die wirkliche Spannung des fraglichen Gurt Stückes

-f mg -f m₃ -|- .. . _ _

Am ~h~'

Am

~ ⁺ ~h ''

Einfach wird die Anwendung der Regel sowohl in der Rechnung als in der grafischen Ermittlung nur bei gleichmässiger Lastvertheilung, wo sich die Werthe von m,, m₂,... leicht bestimmen lassen. Aber auch hier lässt sich noch eine Vereinfachung durch algebraische Summirung der einzelnen Momente erreichen, welche die Bestimmung der Spannungen um so mehr erleichtern wird, je grösser die Theilungszahl n ist.

Wir bestimmen zunächst die Spannung S eines Stückes des oberen Gurtes, dessen Mitte I ist (Fig. 29 und 30). Die durch I gezogene transversale Maschendiagonale schneide den Untergurt in A. Je nach-

St = -

m.

27.

Sq — -|-

ll

dem die Theilungszahl n ungerade oder gerade ist, fällt A in einen Knotenpunkt (Fig. 29) oder in die Mitte zwischen zwei Knotenpunkte (Fig. 30). Im letzteren Falle denken wir uns A als Knotenpunkt eines idealen Systèmes und nennen in beiden Fällen das System mit dem Knotenpunkte* A das Leitsystem.

Am einfachsten führt die Betrachtung der grafischen Konstruktion zum Ziele. Wir denken uns zunächst nur einen Gurt mit der Last ą auf die Längeneinheit belastet. Die Ecken des Seilpolygones für ein Elementarsystem, dessen Poldistanz wir gleich 1 annehmen, liegen auf einer Parabel mit dem Parameter ~ ^. Die Punkte A (Fig. 31) dieser Parabel und A‘ des Seilpolygones für das Leitsystem mögen dem fraglichen Momentenpunkte des Leitsystemes entsprechen. Die Punkte D

Fig. 31.

Fig. 30.

B,, B₃ B, B,BB B" BB"'I Ch C₃ Cz C,CC' C" C C'm

r\

/X \

XaA

A„ A, A, AM A A A'

\■■

■U----*    - X

! i ! //\ \

\\

N\! K KM ■

K-

Cf/A

K\!ß

F'X-

D¹

!<?

---------a---------

der Parabel und D‘ des Seilpolygones entsprechen einem beliebigen Elementarsysteme. Die Punkte B, C der Parabel, sowie die Punkte B‘, C‘ des Seilpolygones für das beliebige Elementarsystem mögen den Stützen entsprechen. Zieht man die Gerade BC} welche die Vertikale von A und D in E und F schneidet und die Gerade B'C‘, welche die Vertikale von D in F‘ schneidet, dann ist das Moment m für den Punkt D — D‘ F' — DF' — DD' — D F -f- FF'— DB'. Legt man in A eine Tangente an die Parabel, welche die Vertikale von D in G schneidet, so ist DF = FG — DG, also

m = F G — DD' — DG -f FF', also Zm = ZFG — Z DD' - Z DG + Z FF'.

Wir bestimmen mm die einzelnen Summen. Zunächst ist die Summe der Werthe von F G für zwei im gleichen Abstande links und rechts von A liegende Punkte — 2AE, also ZFG = nAE, d. i. gleich dem Momente M, welches sich bei gleichmässiger Belastung mit der Last q pro Längeneinheit für den Punkt A ergibt. Wir setzen also

ZF.G = M.

Ferner wird DD', wenn D von den nächsten Knotenpunkten des belasteten Gurtes und Leitsystemes die Horizontalabstände ex, e„ hat,

= j "Ir a^so ~ DD' — n • j F, eie2> d. i.

ZDD' = 4

qe^e»

Die Summe von DG ist die Summe der den einzelnen Systemen entsprechenden in Fig. 32 stark ausgezogenen Ordinaten der Parabel in

Beziehuug auf die Tangente. Legt man in den entsprechenden Punkten Tangenten an die Parabel, so erhält man ein Polygon, dessen (in Fig. 32 schraf-firter) Flächeninhalt genau =-^ ZDG ist. Dieser Flächeninhalt ist bei der Höhe h der Parabel gleich der entsprechenden Parabelfläche jäh, weniger den zwischen den Tangenten und der Parabel liegenden Flächeninhalten, d. i. weniger n .    ^    ,

ah ^1--= n ah. Da h = ~ — a* ist, so wird dieser

* qa³, also

Fig. 32.

Oil Ko.

also =

Oil kl

Flächeninhalt =

n² —

24 n³

ZDG =

n² —

24 n-

- qa².

Am wenigsten leicht ist ZFF' zu bestimmen. Bezeichnen wir den Horizontalabstand des Punktes A und D von der linken Stütze mit x, xx, den Horizontalabstand von A und D mit c und setzen wir DD' — y,

rL + ‘ t = y—r~ +s~n =

CC‘ — s, FF¹ = f,i, so ist y = y

l-

y — J {y — s) + j (ÿ — *), also

SFF‘ = Zt, = Sy - J 2 (y - z) + jS (cy - ci).

Z y ist die Summe der Ordinaten der Parabel Fig. 33 in Beziehuug auf die Sehne. Zieht man das betreifende Polygon, so ist die in Fig. 33

-2y.

n J

Diese Fläche aber ist gleich der entsprechenden Parabelfläche ~ ah, weniger den zwischen der Parabel und dem Polygone liegenden Flächen, d. i. weniger

also = J^i¹

ist, so wird diese Fläche =

schraffirte Fläche desselben

Ä-\

n² J

12 n³

-y =

Fig. 33.

2 {n² — 1)    7 T. ₇

~3*......ah Da ll =

a²

qa³, also ¹ qa².

n* -

12 n²

Ferner wird offenbar Zy = 2#, also 2 (y — 2) = 0. Ziehen wir

endlich links und rechts von B zwei Vertikalen im Àbtande \ a von B, so bedeuten in 2cy die y die den Knotenpunkten entsprechenden, zwischen Parabel und Seilpolygon des Leitsystemes gelegenen Ordinaten-stücke innerhalb der beiden oben gezogenen Vertikalen, c ihre Horizontalabstände von H, also Eye das statische Moment der Ordinatenstücke in

Fig. 34.

Beziehung auf die durch B gehende

Vertikale. Nahezu ist —2yc das

n J    j

statische Moment der entsprechenden, in Fig. 34 schraffirten Parabelstücke in Beziehung auf B. Dieses statische Moment ergibt sich,

<-__________

Xz

■4f-

ei.....>

= = ufld mithin O d    1(V W

wenn man

HI — e, HK = e* setzt wird

Zyc

qeex{e — e,)

121

Für zwei Leitsysteme wird dieses Glied stets 0, nämlich für e — 0 oder ex = 0 und für e — ex — -₂ a. Das Maximum des Gliedes tritt, wie sich

leicht ergibt, ein für e = (J-d

wird = ⁰,0ili“ , d. i. 0,192 j des Gliedes ZDG oder 0,096 j des Glie-

1

des Zy. Hiernach wird selbst das Maximum von j^cy nur klein wer-

1 1

den. Dasselbe gilt natürlich auch von j Zcs. Wenn wir aber j Z(cy—cz) vernachlässigen, so ergibt sich nun

M-l

V3

'ja = 0,789a und 0,211a; dasselbe

= ni-

nq —

2 q !2 ~~ ~24nq

ä <1 eie* +

nq — 24 n¹

-    q a² -j-

-    q aq.

nq —

12 n*

- qaq

Diese Formel war zuuächst nur für einen im Untergurte gelegenen Momentenpunkt entwickelt. Hierbei bedeutete q die Last auf die Längeneinheit für den belasteten Gurt. Ist nun qx, #₂ die Last auf die Längeneinheit für den oberen und unteren Gurt, so wird das Glied \qe jC₂ für die Belastung des Obergurtes \ qt ei e₂, für die des Unter-* gurtes dagegen Null, weil hier einer der Faktoren ev e„ Null wird. Das Gesagte lässt sich nun auch für einen im Obergurte gelegenen Momentenpunkt anwenden; wir erhalten somit die Regeln:

i Qi &\    _

1— h 2 h

28.

n- — Ir/»2 24 ri¹ h ⁹

n² — 1 qa-2 4 n* h

M bedeutet hierin, um es nochmals zu erwähnen, das Moment für einen Yertikalschnitt, welcher durch den dem fraglichen Gurstücke gegenüberliegenden Knotenpunkt des Leitsystemes gelegt wird und zwar unter Annahme einer gleichmässigen Lastvertheilung.

Die Regel wurde zwar unter der speziellen Voraussetzung eines einfachen Trägers entwickelt; sie wird sich indess ebenso auch für kon-tinuirliche Träger anweuden lassen.

Wenn M positiv ist, also bei einfachen Trägern au allen Stellen, so

M

wird der absolute Werth von

durch das erste Korrektionsglied vermindert, durch das zweite dagegen vermehrt. Bei negativem M verhält es sich umgekehrt.

Wir wollen nun noch einige specielle Anwendungen machen:

1. Netzwerk. Wenn die Winkel a und ß gleich sind, d. i. beim sogen. Netzwerke, so wird e₁ — e₂ = ja, also das zweite Glied = —8h q₂ a¹

ëhT'

und

1Î

Für specielle Theilungszahlen wird daher, wenn wir im letzten Gliede q — qx -j- qq setzen:

| <ha\

~ MJr ^ (3qt —    #2 h = -f M— ~ (3q„ — qt) a²,

(**?» ~    a<2> h = + M— Y2Q (llq* — 5qx) a*,

Jg (²<h — Vi)«²’ Sth —    M — ~ (ßq<i qi) a?.

Hiernach wird in ein und demselben Querschnitte stets derjenige Gurt die stärkere Spannung zeigen, an welchem die Bahn nicht liegt.

2. Fachwerk. Wenn der eine Winkel ß — o ist, d. i. beim sogen. Fachwerke, so wird einer der Faktoren e, und e₂ =o, also das erste Korrektionsglied — o. Sonach wird

n — 1: SJi — — M -j-

n = 2: S.h —

n — 4: S.h =

n — oo : h = — M -j-

SJi = + M,

n — 1 : /Sj h = — M, n — 2: 8. h — — M —

30

f₂qa\ S,h= + M-\- j-₂qa», n — 4:    — — M — j-gß ?>S₂ h = -f- M -f- q a-,

n — oo ; S. h = — M —

^ q a ", S„ h = -J- M -f- ~24.q

Hiernach sind die Korrektionsglieder immer sehr klein und können beim Netzwerke (das eintheilige ausgenommen) höchstens beim Fachwerke sogar nur ~ des Maximums des Hauptgliedes werden.

Die Berücksichtigung des Gliedes - Z(cy— cs) hat keine besondere Schwierigkeit. Durch direkte Berechnung ergibt sich in einzelnen Fällen:

¹ + .1.

⁺ 64

-JL+JL

Dieselben Kegeln gelten natürlich auch für -jZcz. Das Vorzeichen von Zcy ist positiv, wenn in der Fig. 31 rechts von B die grössere Parabelfläche liegt ; ebenso ist das Vorzeichen von Zcz positiv, wenn rechts von C die grössere Pai'abelfläche liegt.

n = 2:

n — 3:

Zcy — —

31.

11 — 4:

ii = 5:

n = 6:

512    512

îî!

19

15

19

§. 16. Genauere Bestimmung der Spannungen im Gitterwerke für gleichmiissige Belastung. Die Bestimmung der Spannung eines Gitterstabes ist wesentlich einfacher, als die der Gurte, weil es sich hier nur um eines der durch Zerlegung des Trägers entstandenen Elementarsysteme handelt. Bezeichnen wir die Transversalkraft für einen durch den fraglichen Stab mit der Spannung Pt und. P₂ gelegten Schnitt und zwar für das Elementarsystem, in welchem der Stab liegt, und welches wir auch hier das Leitsystem nennen, mit qt und q₂, so ist nach Formel 9 und 9 a (S. 16):

P, = -f- qt sec a, P„ = — q₂ sec ß.

Denkt man sich die gesammte Last auf das Leitsystem wirkend und zwar derart, dass in jedem oberen und unteren Knotenpunkte die Last qt a und q„ a wirkt und bezeichnet jetzt die fragliche Transversalkraft mit und Q₂, so ist Q₁ = nq₍, — n q₂, also

32. P₁

Qo sec ß.

Hinsichtlich der Bestimmung von Ql und Q„ unterscheiden wir das Eigengewicht und die zufällige Last.

1. Einfluss des Eigengewichtes. Denkt man sich das Eigengewicht gleichmässig über die Gurte vertheilt, so begeht man einen Fehler wegen der falschen Belastung der Endknotenpunkte, zu welchem man am einfachsten durch Betrachtung der Fig. 35 gelangt. Diese Figur entspricht zunächst

Fig. 35.

\l

B'\

der Belastung des Untergurtes; zieht man im Lastpolygone vom Pole 0 aus die Parallelen

VC

OJ, OJ‘ und OK zu B C, B‘ C‘ und zur Polygonseite FF‘, an welcher der fragliche Gitterstab liegt, so stellt J K die wirkliche Transversalkraft dar, während J‘K die Transversalkraft bei Annahme einer gleichmässigen Lastvertheilung darstellt; der gemachte Fehler ist also = JJ‘ — y. Nimmt man die Poldistanz = 1 an und setzt wie

im vorigen §. BBJ = y, CC‘ = z, so wird =    Bezeichnet man

so ist der

nun den Abstand der äussersten Knotenpunkte des Untergurtes von den Stützen mit c₂, c'₂, so ist y = jg^c„(a— c₂), z = ~g„c,<i(a— c'„). Ebenso lässt sich der Fehler hinsichtlich des Obergurtes bestimmen; bezeichnet man die Abstände der äussersten Knotenpunkte des Obergurtes von den durch die Stützen gehenden Vertikalen mit ct, c' gesammte Fehler bei Annahme einer gleichmässigen Lastvertheilung

Jl \jh {Ci («-Cl)-C'l («->'l)} +    {C2 (« — Cl) + c'o 0 — C'o)]]

33. y —

Dieser Betrag ist von der Transversalkraft für gleichmässige Lastvertheilung abzuziehen. Dieser Fehler ist theils positiv, theils negativ, und im Mittel —o\ das Maximum des Fehlers wird beim Netzwerke höchstens beim Fachwerke höchstens V des Maximums der Transversalkraft, so dass es wohl zulässig erscheint, denselben zu vernachlässigen. Uebrigens hat es indess gar keinen Anstand, denselben in Rücksicht zu ziehen oder die genaue Transversalkraft direkt durch Einführung der auf die Elementarsysteme in den Knotenpunkten wirkenden Einzellasten mit Hilfe der Rechnung oder durch Konstruktion mit Hilfe des Seilpolygons zu bestimmen.

Aus der im I. Abschnitte (II. AufL, §. 13, Fig. 23) gezeigten Konstruktion der Transversalkraft für den Fall, dass im fraglichen Querschnitte eine Last und ausserdem nur rechts oder links von demselben Lasten liegen, geht als einfache Konstruktion hervor: Man kon-struire zwei Seilpolygone, für welche die Axe AB eine Seite ist und für

Fig. 36.

><

welche eine Last bezüglich in A und B liegt (Fig. 36). Für eine beliebige Lage der Lasten ist alsdann, wenn in C und I) zwei benachbarte Lasten liegen, —CC' die Transversalkraft für die links von C liegenden Lasten, -\-DD‘ die Transversalkraft für die rechts von D liegenden Lasten, also DD‘ — CC‘ die Transversalkraft zwischen C und D für die totale Belastung.

4.:

‘‘A I '! 'Ą 1 j JA

Nimmt man die Last gleichmässig vertheilt an und bestimmt die Transversalkraft Q für einen durch die Mitte des fraglichen Stabes gelegten Vertikalschnitt, so ist nach Formel 10 (Seite 16):

34. Q{ = Q — ^ (r/l — </₂) h tan ß, Q, — Q + | (gt — g„) htan cc,.

Fig. 37.

2. Einfluss der zufälligen Last. Es kommt nun noch darauf an, die gefährlichste Lage der zufälligen Last festzustellen. Es handle sich um die positive Trausversalkraft hinsichtlich eines durch einen der Stäbe A C oder B C (Fig. 37) gelegten Schnittes; die Bahn befinde sich beispielsweise am Untergurte. Befindet sich das Ende der den rechten Theil bedeckenden zufälligen Last zwischen den den Punkten A und B zunächst liegenden Knotenpunkten D und E, so ist die auf das Leitsystem wirkende Last in A = 0, in B = J p a ; die Transversalkraft bleibt also ganz dieselbe, das Ende mag zwischen den Punkten D und F liegen, avo es wolle. Bückt das Lastende von E nach B hin, so vermindert sich der Druck in B, hiermit aber der linke Stützendruck oder die

G.

Transversalkraft. Bückt das Lastende in die Strecke AD, so Avirkt in A eine Last; dieselbe erzeugt aber eine negative Transversalkraft, weil der Stützendruck, welchen dieselbe hervorruft, kleiner ist, als die in A wirkende Last. Sonach darf

das Lastende weder innerhalb BE, noch innerhalb AD liegen oder allgemein:

E B

Die Spannung eines Gitterstabes wird zum Maximum, Avenn sich das Lastende innerhalb derjenigen Knotenpunkte befindet, welche den Enden des fraglichen Stabes und seines benachbarten Stabes zunächst liegen.

Für einen einfachen Träger ist die entsprechende Transversalkraft leicht zu bestimmen. Bezeichnet man die Anzahl der als belastet anzu- -

nehmenden Knotenpunkte mit m, den Abstand des der Stütze zunächst liegenden Knotenpunktes von dieser mit c, so ist

pma [(m — 1) a c]

35.

max

(± Q) = ±

21

Grafisch bestimmt man max (+■ Q) am besten, indem mau für die in Frage kommenden Lasten ein Seilpolygon koustruirt, für welches die Verlängerung der Abscissenaxe AB die erste Seite ist, für welches Fig. 38.

eine Last am rechten Ende B

!"•

I'-.

7)1"-

der Spannweite AB liegt und für welches die Poldistanz gleich der Spannweite AB = l ist. Ist C der letzte be-

lastete Knotenpunkt, so ist ^ max (-f- Q) gleich der Ordi-

,_ nate C C‘. Da die Lasten

| Zh gleich und in gleichen Abständen angeordnet sind, so liegen die Ecken dieses Seilpolygones auf einer Parabel, dessen Scheitel

unter AB liegt. Nimmt man diese Parabel

p a²

D • \C

a rechts von B und um

p a¹

81

statt des Polygons an, so erhält man max (+ Q) im Maximum um zu klein. Nimmt man dagegen die Parabel, welche das Seilpolygon tan-girt, so erhält man max (-f- Q) im Maximum um letztere Annahme ist wohl die empfehlenswerthere; nur ist es rathsam, den Scheitel der Parabel um j a nach links, d. h. nach der Stütze B zu verschieben; die Transversalkraft ist alsdann nicht in (7, sondern in dem um J a von C entfernten Punkte D abzugreifen. Dehnen wir dies auch auf kontinuirliche Träger aus, so können wir allgemein sagen:

Man kann die zufällige Last gleichmässig vertheilt und dieselbe durch den Schnitt, welcher durch die Mitte des fraglichen Stabes parallel zur anderen Stablage gelegt werden kann, begrenzt annehmen und hierbei die Transversalkraft für diese Begrenzung bestimmen.

81

81

zu gross. Diese

Der hierbei begangene Fehler ist im Minimum 0, im Maximum

p a²

p a²

irr •

abziehen, so würde der durchschnittliche Fehler Null werden.

Würde man von den so erhaltenen Transversalkräften noch

241

Die in §. 14 gezeigte Näherungsbestimmung gibt sowohl hinsichtlich des Eigengewichtes als der zufälligen Last dieselben Resultate.

§. li. Spannungen i'ür ein System von Einzcllasten. Bei

einem Systeme von Einzellasten ist jede Last zunächst in zwei auf die beiden benachbarten Knotenpunkte wirkende Komponenten zu zerlegen. Die Spannungen ergeben sich alsdann durch die Behandlung der Elementarsysteme nach dem über eintheilige Systeme Gesagten. Umständlich aber wird hierbei die genaue Bestimmung der gefährlichsten Lage des gegebenen Systèmes von Einzellasten. Am einfachsten führt wohl eine grafische Methode zum Ziele, die wir aus der Betrachtung des Einflusses einer Einzellast ableiten wollen.

1. Einzellast. Wir denken uns die Einzellast G über den ganzen Träger bewegt und stellen die fragliche Spannung, die Transversalkraft oder das Moment durch eine Ordinate am Angreifspunkte der Einzellast dar. Die so erhaltene Kurve nennen wir mit Frankel die Influenzkurve oder Influenz linie.

Es handle sich zunächst um die Transversalkraft Q für den Stab

Ed (Fig. 39). Liegt G an den Knotenpunkten des den Stab Ed enthaltenden Leit-

Fig. 39.

systèmes beispielsweise bei unten liegender Bahn, so wird Q durch eine Ordinate der Geraden JA', AI" dargestellt, wobei AA' = 11"

= G ist; es entsprechen also diesen Lagen von G die Punkte G‘\ E‘,

G‘ der Geraden AI“ und Al. Liegt G an einem Knotenpunkte eines anderen Systèmes, so ist Q — 0 ; diesen Lagen von G entsprechen also die Punkte B, D, F, II Da bei einer Verschiebung der Last G um J die Veränderungen der Komponenten von G dem zl proportional sind, so wird die Influenzlinie eine gebrochene Linie ABC“DE¹ FG‘Hl sein.

f ff fi

if

\y

"7^-

E'

—A j"

Handelt es sich um die Spannung eines beliebigen Gurtstückes cd (Fig. 40), so ist die Summe der Momente für die Punkte B und C massgebend. Für das Elementarsystem, welches den Punkt D enthält, wird die Influenzlinie die gebrochene Linie AB' CD'EF'GH'I, für das Elementarsystem mit dem Punkte C wird sie die gebrochene Linie A BG“ D E“ F G" HI Durch Addition der Ordinaten beider Influenzlinien

e rgibt sich die massgebende Influenzlinie AB'C“DtEt>FiG,tH,I. Die Punkte

Gx(l — x)

I)' und C“ liegen auf einer Parabel mit der Gleichung y = '    Fig. 40.

i C    i J)

F'    ! Cr

.-'i:

\Gr

i ,Jk:3    _ \Ę-

>n. T !    !

Aj

"A,

da bei einem einfachen Träger, welcher durch eine Ein-I zellast G belastet ist, das Moment am Angriffspunkte der Last diesen Werth hat. Die übrigen Ecken der Influenzlinie liegen abwechselnd auf den Geraden AB'I und A C" I, so dass sich die In-^ J fluenzlinie sehr

leicht zeichnen lässt.

2. System von Einzellasten. Hat man die Influenzlinie für jede vorkommende Einzellast von verschiedener Grösse gezeichnet, so hat man für irgend eine Lage des Systèmes von Einzellasten nur nöthig, die entsprechenden Ordinaten an den Angriffspunkten der Einzellasten zu addiren. Um die Lagen der Einzellasten leicht augeben zu können, trägt man die Entfernung derselben auf einem verschiebbaren Papierstreifen auf. Die Influenzkurven ergeben sich als gebrochene Linien, deren Ecken denjenigen Lagen des Lastensystemes entsprechen, für welche eine Last an irgend einem Knotenpunkte liegt.

Hinsichtlich der Transversalkraft ist es am besten, zunächst für jedes Elementarsystem den Stützendruck bei variabler Lage des Lastensystemes darzustellen; Fig. 41 stellt den linken Stützendruck für das Elementarsystem in Fig. 39 dar, welches den Stab Ed enthält und zwar ist der Stützendruck JD als Ordinate an der vorderen Last aufgetragen. Für den Stab Ed ist nun für den nach links gehenden Zug Anfangs Q — D; erst wenn die erste Last den Punkt I) überschritten hat, ist Q = D weniger der Summe der Komponenten, welche auf die links von E liegenden Knotenpunkte des Leitsystemes wirken .und die sich leicht grafisch bestimmen lassen. Die so erhaltene Linie gibt sowohl die gefährlichste Lage des Lastensystemes als auch den Maximalwerfch von Q selbst.

Bei dreiachsigen Lokomotiven wird in der Regel die mittlere Achse über dem dem Zuge zugekehrten Querträger des fraglichen Faches liegen müssen.

Fig. 41.

IŁ

trx'

/ym

f-

—ft;

St

Umständlicher ist die Bestimmung der Maximalmomente, da man hier für jedes Gurtstück besonders die Influenzlinie zu konstruiren und hiernach den Werth von 2m für verschiedene Lagen des Lastensystemes zu bestimmen hat, wie dies in Fig. 42 für die Theile des Obergurtes durchgeführt ist; die Momentensumme ist wieder als Ordinate am Angriffspunkte der vorderen Last aufgetragen. Hiernach hat für das Stück

Fig. 42.

gfipr

l!

!»

«ÏN

'"Mi

ab die III. Last hei B, für bc die I. Last bei B, für cd die III. Last bei D, für de die III. Last bei E zu liegen. Da man nach dem für die Momente einfacher Träger gültigen Satze, dass das Moment an einer beliebigen Stelle zum Maximum wird, wenn die Last pro Längeneinheit auf jeder Seite derselben möglichst gleich gross ist und wenn die schwersten Lasten in der Nähe der fraglichen Stelle liegen, doch beiläufig die anzunehmende Lage des Lastensystemes angeben kann, so wird es immer nur auf die Anwendung der gezeigten Konstruktion für wenige Lagen des Lastensystemes ankommen oder man wird statt der in Fig. 42 angegebenen vollständigen Linien nur kurze Stücke derselben in der Nähe der Maximalpunkte zu konstruiren haben.

Zieht man die Rechnung vor, so ist am besten, zunächst bei denjenigen Lagen des Lastensystemes, für welche eine Last auf einem Knotenpunkte liegt, die auf die Knotenpunkte entfallenden Kräfte zu berechnen und dann in bekannter Weise zu rechnen. Für die in Fig. 39 bis 42 gewählte Anordnung z. B. ergibt sich, wenn man die Knotenpunkte der Reihe nach mit O, 1, 2,..., die Lasten der Reihe nach mit I, II, III..., bezeichnet, als Knoten gewichte :

Knotenpunkt: 0

Os os

Ov

Diese Zahlen wiederholen sich natürlieh bei jeder Verschiebung um eine Knotenweite.

3. Näherungsverfahren. Wenn man nur das Leitsystem in Betracht zieht, auf dieses das ganze Lastensystem wirken lässt und nach den Regeln für eintheiliges Gitterwerk die Spannung eines Gitterstabes und Gurtstückes bestimmt, wobei im ersten Falle das Resultat durch n zu dividiren ist, so erhält man die Spannung stets zu klein.

Die Spannungen der Gitterstäbe erhält man aber nahezu richtig, wenn man die Maximaltransversalkraft ohne Rücksicht auf das Vorhandensein von Knotenpunkten bestimmt und hierbei das Vorderrad an den.F unkt stellt, in welchem eine durch die Mitte des fraglichen Stabes parallel zur anderen Stablage gelegte Gerade den Gurt schneidet, in Ueberein-stimmung mit dem in §. 16 für eine gleichmässige Belastung ausgesprochenen Satze. In Fig. 41 ist die so konstruirte Transversalkraft durch eine punktirte Linie dargestellt.

Die Spannungen der Gurte erhält man nahezu richtig, wenn man das Maximalmoment für das Leitsystem bestimmt, indem nnan sich auf dasselbe das ganze Lastensystem wirkend denkt und entsprechend der Formel 28 das Korrektions-

g lied

gross anzunehmen, als sich durch Division eines Raddruckes der Lokomotive oder bei Strassenbriicken des schwersten Wagens durch den Radstand ergibt.

\ qa? hinzufügt. Hierbei ist -aber q etwa doppelt so

§. 18. Regelmässiger Abschluss für Netzwerk. Die Trägerenden bedürfen wegen des hier hinzukommenden Abschlusses durch die

Endständer bei Anwendung der in §. 15 und 16 aufgestellten Regeln einer besonderen Untersuchung. Wir untersuchen zunächst den Fall, dass die regelmässige Lage der Gitterstäbe bis zum Anschlüsse an die Endständer beibehalten werde (Fig. 43).

1. Gitterstäbe. Die Regeln 32 und 34 behalten auch für die Endgitterstäbe ihre Giltigkeit. Bei der Näherungsbestimmung der Transversalkräfte unter Annahme einer gleichmässig vertheilten Last hat man den Schnitt durch die Mitte des zur vollen Länge EE‘ ergänzten fraglichen Gitterstabes EH (Fig.

43 a) zu führen, sowohl hinsichtlich des Eigengewichtes, als hinsichtlich der zufälligen Last.

Ist für das Leitsystem, welches irgend einem Endgitterstabe entspricht, die Anzahl der unteren und oberen Knotenpunkte = m, der Abstand des ersten Knotenpunktes im Ober- und Untergurte vou der Lagervertikalen bezüglich cx und c₂, so ist die entsprechende Transversalkraft für den einfachen Träger Q — mqta

Fig. 43.

oder, da ma = l ist,

1 1

Q = 2i (J + a — 2cx) +    ?# i} + a — #«*) » oder

³⁶' Q = K q ^ ⁺    “ n    C1 + 2a Ca)-

h-c,

m — 1 I .

s-a\ +

m q₂ a

Für die Zugstäbe ist ct = c₂ —a, für die Druckstäbe -f- y a, daher wird

ci — ct

37.

[r/(* — +

sec cc,

sec cc.

Bei kontinuirlichen Trägern würde für jql der Maximalstützen druck zu setzen sein.

2. Ständer. Die an den Knotenpunkten des Ständers wirkenden Spannungen der Gitterstäbe lassen sich in Vertikal-und Horizontalkräfte zerlegen. Sind Px und P₂ die Spannungen Z. der von ein und dem- F

Fig. 43 a.

JEv—3

c,

Cz-----------> /

selben Punkte H ausgehenden Stäbe, V und H die im Punkte H auf den Ständer wirkende Vertikal- und Horizontalkraft, so ist

V — Pj COS Ci — P₂ COS tt =

^ (5Z -f a) — 2q (Cj -f c₂)J, H = 1\ sin a -f P₂ sin a =    ^2q (ct — c₂) -f (ç₂ — ft) aj

tan a.

Nun aber ist stets cx -f-c₂ = -^a; für den mten Knotenpunkt, den Punkt A als den ersten gerechnet, wird c, — c„ = (ß — ™ j a — ™ a =

« — 4 WŁ

,2 «

a, mithin

_ / I n — 4 m

Sin L n

Q- Qi + Qz]

a tan cc,

wobei ein nach dem Träger zu gerichtetes II als positiv angenommen ist. II kann hiernach sowohl positiv als negativ sein. Hiernach wird z. B. für

^ (Qi — Qi) a tan ta

jß(²qi — Qi) « tan ta 1

Ys (ïa — ²Qi) a tan ta (3ft — ft) a tan er,

Hą —— ~Yß (?2 — ?i) « tan er,

H₃ = -^2 (q^ — 3ft) a tan u.

Liegt die Bahn am Obergurte, so sind die nach aussen gerichteten Kräfte, liegt die Bahn am Untergurte, so sind die nach innen gerichteten Kräfte überwiegend. Es ist nun leicht, die Beanspruchung des Endständers auf Biegung weiter zu verfolgen, worauf wir hier indess nicht näher eingehen wollen.

3. Gurte. Denken wir uns ein Elementarsystem, dessen erster Gitterstab ein Zugstab HE ist, so ist Sh = dem Momente für den durch E gelegten Schnitt in Beziehung auf den Knotenpunkt E. Denken wir uns ein Elementarsystem, dessen erster Gitterstab ein Druckstab FH ist, so ergibt sich, wenn man durch A, HF und BF einen Schnitt legt,

Sxh = — P₂ sin a.AH, oder da P„ =

Sih = -f- Q tan cc. AE cot a = Q . AE = — Q . (—AE). Nun aber ist Q . (— AE) das Moment für den idealen Knotenpunkt F‘. Das Gesetz für die Spannungen der Gurte in den Elementarsystemen, welches in §. 15 ermit-

n = 4: IIl —

n = 6:

II, =

H,=

39.

n = 8:

cos a

, AH = AE . cot a ist,

telt wurde, gilt also auch an den Enden, so dass die in §. 15 zur Bestimmung der Gurtspannungen aufgestellten Regeln ohne Weiteres angewendet werden können. Allerdings können hier die Fehler bei Anwendung der Näherungsregeln verhältnissmässig gross werden, da die Spannungen nur klein sind. In der Regel schadet dies nichts, weil man die Querschnitte hier meist grösser machen muss, als die Spannungen erfordern würden. Indess ist es nach Bestimmung der Spannungen der Gitterstäbe leicht möglich, die Spannungen der Gurte genau zu bestimmen, indem man einen Vertikalschnitt legt.

Auch über den Mittelstützen kontinuirlicher Träger lassen sich die in §. 15 und 16 aufgestellten Regeln direkt anwenden. Zur Bestimmung der auf den Mittelständer wirkenden grössten Horizontalkräfte müsste man eines der angrenzenden Felder belastet, das andere unbelastet annehmen und für diese Belastungsweise die Spannungen der an den Mittelständer anschliessenden Gitterstäbe ermitteln.

§. 19. Unregelmässiger Abschluss für das Netzwerk. Da

Fig. 44.

ITTV

•der Endständer bei der vorigen Anordnung auf Bruchfestigkeit beansprucht wird, so hat man häufig die Gitterstäbe nur von den beiden Enden des Ständers ausgehen lassen; alsdann erhalten allerdings einige Gitterstäbe eine von der normalen Lage abweichende Lage (Fig. 44).

1. Gitterstäbe. Die im vorigen §. aufgestellten Formeln 36 und 37 für die Spannung der Endgitterstäbe behalten hier ihre volle Giltigkeit ; nur erhält hier a für die einzelnen Gitterstäbe einen verschie- 4 denen Werth. Bei Annahme einer gleichmässig vertheilten Last nach §. 15 wäre zur Bestimmung der Transversalkraft der Schnitt durch die Mitte idealer Gitterstäbe mit der normalen Lage, welche mit den wirklich vorhandenen Gitterstäben das nicht an den Ständer anschliessende Ende gemein haben, zu führen.

Da die Transversalkraft für alle Endgitterstäbe nahezu gleich gross ist, so ist die Spannung derselben nahezu der sec cc, d. i. der Länge der Stäbe proportional.

henden Stäbe BAX, BA mit a, a', . .

2. Ständer. Bezeichnet man die Spannungen der von B ausge-.. mit Px, Px, ..., die betreffenden Winkel so ist die im Ständer wirkende Yertikalkraft V = —

(Px cos «j -|- Px cos ccx -)-... 4" Pxä cos ccs -g qx — d. i. nach 37, da

w a

, ... Tr— anmmmt, n ⁷    2 n

c„ der Reihe nach die Werthe , 2-y 3-

s    ⁷ n

iia)~²i ~(¹ + 2 + ••• + !)] + £-?.“• d- '• 40. V=    («,-«,)«•

Dasselbe Resultat ergibt sich, wenn man V durch das Gleichgewicht des unteren Knotenpunktes A bestimmt. Bei einem kontinuirlichen Träger würde für j ql der Maximalstützendruck zu setzen sein. Hiernach ist der Druck im Ständer nahezu gleich dem halben Stützendrucke.

3. Gurte. In den Spannungen der Gurte tritt an den Enden eine Unregelmässigkeit ein, weil zur Bestimmung der Spannungen nicht n Elementarsysteme zur Frage kommen, sondern für das erste Gurtstück nur

j Systeme, für das zweite Gurtstück (ß- -j-1^ Systeme

wir die Spannung des ersten, zweiten, ... oberen und unteren Gurtstückes mit Sv 8/, ... 8₂,    so ist 8X = — Pl sin a — P/ sin a' — .

d. i. nach Gleichung 37

«! = -

u. s. w. Bezeichnen

41.

Ai [(?* + 9= °) Ir (* + ² + ■ • • + j)

+ d-i in + 2) [3n (q l + <A — 2 jn Ą- 1) ą a] a

48 w² /è

In gleicher Weise ergibt sich für die Spannung 8₂ des ersten unteren Gurtstückes A Ay :

41a.    8₂ = +

{n + 2) [3 n (<y l + qt à) — 2 {n + 1) q a\ji

48 n² h

n -j- 2 qla ^ezejc]ine|} man (3ie Surame-n h

der Horizontalkomponenten der Spannungen zweier in einem Knotenpunkte zusammenstossenden Gitterstäbe der Reihe nach für den Obergurt mit Px, Px', ..., für den Untergurt mit P₂, P₂', ..., so ergibt sich durch das Gleichgewicht der Knotenpunkte leicht P, = — P₂ cos a, (tan ax -f-

tan a) — qx ~ tan a, P,' — — P₂' cos ctx {tan a₂ -j- tan a) — qx ^ tan ccr u. s. w., d. i. nach Formel 37 :

Annähernd ist — Sl = JrSl,

_ {2 -f- n) [q (nl — 2 a) -j- n q₂ a] a

gi «2 2 nh '

Tr ,_    + n) [q {nl — 4a) + n qq a] a qx a³

¹ ~~    2 n¹ h    2 n h

.. erhält man durch Vertauschung von qx mit q₂. Es ist nun 8/ = 8X— Px, Sl¹¹ = 8XPx',... und 8₂' = 8₂ -f- P₂, 8, " = 8₂' + P₂'*

42.

2n<2h

u. s. w.

p₂, p.'

Für kontinuirliche Träger ist in den Formeln 40 bis 42 für j q l der Endstützendruck zu setzen.

Für die Mittelpfeiler kontinuirlicher Träger ist in den Formeln 40 bis 42 für jede Seite des Ständers statt ~ q l die Transversalkraft unmittelbar neben der Stütze einzuführen und zwar für die Belastung beider neben dieser Stütze liegender Felder, für welche sowohl das Moment als die Transversalkraft an der Stütze zum Maximum wird. In den Formeln 41 und 41 a kommt ausserdem noch bezüglich das Glied -f- ~ und --hinzu, wobei M das Maximalmoment an der Stütze (absolut genommen) bedeutet. Statt der Formel 40 würde sich als Druck V im Ständer 43.    F=-|2>-

ergeben, wenn D den betreffenden Maximalstützendruck bedeutet.

§. 20. Abschluss für Fach werk. Beim Fachwerke würde der Anschluss der Gitterstäbe an den Endständer zwischen den Enden desselben eine starke Beanspruchung auf Bruchfestigkeit herbeiführen. Hier lässt man daher die Gitterstäbe stets nur vom oberen Ende des Endständers ausgehen (Fig. 45).

1. Gitterstäbe. Die in §. 15 aufgestellten Regeln behalten auch für die Endgitterstäbe ihre Giltigkeit; nur muss man bei Annahme einer gleichmässig vertheilten Last zur Bestimmung der Transversalkraft den Schnitt durch die Mitte idealer Gitterstäbe mit der normalen Lage, welche mit den wirklich vorhandenen Stäben das untere Ende gemein haben, führen.

Der Ausdruck 36 für Q in §. 18 behält hier für einen Zugstab seine Giltigkeit'; nur wird cx = c₂, also Q = ~q{l -\- a — 2 c) oder

44. jP, = +A ¹    2 n

wenn c den Abstand des unteren Endes des fraglichen Stabes vom Endständer bedeutet. Ist P„ die Spannung der Vertikalen, welche mit diesem Zugstabe das untere Ende gemein hat, so fordert das Gleichgewicht des

unteren Knotenpunktes die Erfüllung der Bedingung Pt cos a -\- P„= q„ , mithin wird

Fig. 45.

B,

Bz B₃

■K

Ai Äz As

q(l a — 2 c) sec cc,

Sa

in regelmässiger Weise nach den in §. 15 aufgestellten Kegeln. Bei kon-tinuirlichen Trägern ist für jql der Stützendruck zu setzen.

Für die Mittelstützen kontinuirlicher Träger ist in Formel 44 und f 45 für jql die betreffende grösste Transversalkraft zu setzen. Der Druck V im Ständer wird

49. V — I) — — qq a, n

wenn D den betreffenden Maximalstützendruck bedeutet. Die Spannung

des ersten unteren Gurtstückes neben der Stütze wird —

45. P,, = — jPj cos cc -f- — #₂ a — —

Für kontinuirliche Träger ist für j q l der Stützendruck zu setzen.

2. Ständer. Der Ständer hat hier den vollen Stützendruck, weniger

der auf ihn entfallenden, am Untergurte wirkenden Last

aufzunehmen. Beim einfachen Träger wird also der Druck im Ständer

46. V = ^ql —

&

Beim kontinuirlichen Träger ist für ~ ql der Stützendruck zu setzen.

⁽h a

2n

g'i« 2 n

als Druck

3. Gurte. Wir beginnen mit der Bestimmung der Spannungen im Untergurte. Ist die Spannung der Theile AAX, A₁ Aa, ... —Sa, Sa\ ... die Spannung der Zugstäbe BAX, BA₂, ... = Px, Px, ..., so ist Sq = or Sq — Px sin ax, Są“ = Sp -)- Px sin (Xą..., Sqm = Są™*¹ -f- Pxm~² sin am. Die Einsetzung obigen Ausdruckes für Px gibt :

So — o,

Są =-f“

qa

2n² h

47.

S,₂“ = + qa

2n² h

Ui +

Sn — 10

a)

« m— _i_    <1° (m ~ J> m

²    2ri*h

\3l + 3n-⁴nm + 2a\.

Die Spannung St des ersten Stückes BBX des oberen Gurtes ist Sx = — Px sin ax — Px‘ sin    P* sin aH, d. i. nach Formel 44:

«t =

d. i.

Ä(r+5²+...+«²)|]-

48. Sx = —

(it + 1) qa \3nl — {n -}- 2) a\

12 n'¹ h

oder annähernd

_ ql a

Die Spannung der übrigen Gurtstücke erfolgt

^, wenn M das

Maximalmoment an der Stütze (absolut genommen) bedeutet. Die Spannungen der übrigen Stücke findet man, wenn man zu den Ausdrücken 47

i    M

(für j q l aber die Transversalkraft gesetzt) das Glied — hinzufügt. Im Obergurte erfolgt die Bestimmung der Spannungen in regelmässiger Weise.

§. 21. Fachwerk mit schlaffen Diagonalen. Bei dem Fachwerke pflegt man die Vertikalen steif, die Diagonalen dagegen schlaff zu konstruiren. Alsdann können natürlich die Diagonalen keinen Druck aufnehmen. In demjenigen Theile des Trägers, in welchem die Transversalkraft positiv und negativ werden kann, müssen dann entweder die Diagonalen steif konstruirt werden, wie es mehrfach geschehen ist, oder man muss hier, wie es meist geschieht, zwei Schaaren von Diagonalen, d. h. rechts fallende und links fallende anordnen. Wir nennen diese Anordnung Doppeifachwerk. Zerlegt man den Träger in zwei Systeme, von denen das eine die eine, das andere die andere Schaar von Diagonalen enthält, so findet man, dass die eine Schaar einen Druck aufzunehmen hat, während die andere gezogen ist. Da nun aber die schlaffen Diagonalen keinen Druck aufnehmen können, so biegen sich diese Diagonalen seitlich aus und treten dadurch nahezu ausser Wirksamkeit. Man pflegt daher die Rechnung unter der Annahme durchzuführen, dass nur die gezogenen Diagonalen vorhanden seien, dass man es also mit einfachem Fachwerke zu thun habe.

Wie weit jede Schaar der Diagonalen fortzusetzen ist, ergibt sich bei der Bestimmung der Spannungen von selbst, indem man sie eben soweit fortsetzt, als sich noch ein Zug oder ein positiver Querschnitt ergibt.

§. 22. Vertheilung der Last. Wenn die Bahn an einem der beiden Gurte liegt, so ist die Vertheilung der Last auf beide Gurte nach dem in §. 10 Gesagten leicht zu bestimmen. Wir haben nun aber noch einzelne specielle Fälle zu besprechen.

1. Beim engmaschigen Gitterwerke kommt es häufig vor, dass die Querträger, welche die Bahn tragen, nicht an allen Knotenpunkten angebracht sind, so dass man also belastete Knotenpunkte unterscheiden kann, zwischen denen nicht belastete, oder vielmehr nur mit dem halben Trägergewichte belastete Knotenpunkte liegen. Nach der Theorie, welche Gelenkknotenpunkte voraussetzt, haben die Gitterstäbe, welche von den nicht belasteten Knotenpunkten ausgehen, eine wesentlich kleinere Spannung, als die von den belasteten Knotenpunkten ausgehenden Stäbe. Bei steif konstruirten Gurten tritt allerdings eine Vertheilung der Last ein. Eine genauere Theorie würde ziemlich komplizirt werden; es wird indess zulässig sein, eine gleichmässige Vertheilung der Last über sämmt-liche Knotenpunkte des betreffenden Gurtes anzunehmen ; der Gurt muss hierbei eine Stärke erhalten, welche einer dieser Vertheilung entsprechenden Beanspruchung auf Bruchfestigkeit genügt.

2.    Häufig ordnet man beim Netzwerke ausser den geneigten Stäben noch Vertikalen an, mit denen die Bahn, sei es an einem der beiden Gurte oder zwischen diesen, verbunden wird. Wir können iudess diesen Fall erst bei den kombinirten Gittersystemen behandeln.

3.    Beim Fachwerke kann die Bahn an den Vertikalen in beliebiger Höhenlage gegen die Gurte angebracht werden. Nach dem in §. 10 Gesagten erhalten die über der Bahn liegenden Theile der Vertikalen eine Spannung, als wenn die Bahn am Untergurte läge, die unter der Bahn liegenden Theile eine Spannung, als wenn die Bahn am Obergurte läge, während die Lage der Bahn auf die Spannung der Gurte und der Diagonalen keinen Einfluss übt.

§. 23. Unterstützung der Gurte durch Sekundärkonstruk-tionen. Sekundärkonstruktionen zur Unterstützung der Gurte zwischen den Knotenpunkten zum Zwecke der Anbringung von Querträgern werden bei mehrtheiligen Gittersystemen weniger nöthig, als- beim eintheiligen und wir wollen auch nur die Verbindung der Gurte mit den Kreuzungspunkten der Gitterstäbe beim zweitheiligen Netzwerke durch Vertikalen (Fig. 45) untersuchen.

Am einfachsten denkt man sich ein solches System in ein gewöhnliches zweitheiliges System ohne Hilfsvertikalen und ein System von Dreieckshäng- oder Sprengwerken (Fig. 45 b) zerlegt. Wir bezeichnen die auf die unterstützten Punkte E entfallende Last, d. i. das Gewicht des

Fig. 45 u.

'G<

betreffenden Gurtes, das Gewicht der Bahn und die zufällige Last auf den halben Abstand zweier Knotenpunkte mit G, die in den Hauptknotenpunkten A, B wirkenden Lasten mit G\ wobei G‘ nur um das halbe Gewicht des Gitterwerkes, auf den halben Abstand zweier Knotenpunkte, grösser ist, als G. Wir denken uns G' in eine nach unten gerichtete Kraft G‘ -f- G und eine nach oben gerichtete Kraft G zerlegt. Die in E wirkenden Lasten denken wir uns nur auf das Hilfssystem (Fig. 45 b) wirkend; die in A und B wirkenden Kräfte G‘ -J- G denken wir uns nur auf das Hauptsystem, die nach oben wirkenden Kräfte G dagegen auf das Hilfssystem wirkend ; dies ist nothwendig, um im Hilfssysteme das Gleichgewicht der äusseren Kräfte herbeizuführen. Im Hauptsysteme bleiben die Spannungen dieselben, als wenn die Hilfsvertikalen nicht vorhanden wären.

Im Hilfssysteme bleiben die horizontalen Stücke ohne Spannung.

Fig. 45 b.

a g g

ii

<0(

Die Spannung der Gurte wird daher durch die Hilfsvertikalen nicht geändert.

Die Spannung der Hilfsvertikalen ist = G und zwar ein Druck, wenn die Bahn am Obergarte, ein Zug, wenn die Bahn am Untergurte liggt.

5“

Die Spannung der geneigten Stäbe im Hilfssysteme ergibt sich sofort durch das Gleichgewicht des Punktes F zu j G sec a und zwar als Zug oder Druck, je nachdem die Bahn oben oder unten liegt. Folglich wird durch die Hilfsvertikalen bei oben liegender Bahn die Spannung des oberen Theiles der Zugstäbe um ~ G sec a vermehrt, die Spannung des oberen Theiles der Druckstäbe um l G sec a vermindert, während bei unten liegender Bahn die Spannung des unteren Theiles der Zugstäbe um j G sec a vermindert, die des unteren Theiles der Druckstäbe um r G sec a vermehrt wird.

§. 24. Grafische Bestimmung der Spannungen und Querschnitte. Die grafische Bestimmung der Spannungen haben wir in dem bisher Gesagten bereits mehrfach erwähnt, so dass cs nur noch erübrigt, einige ergänzende Bemerkungen zu machen. Die grafische Konstruktion kann, wie die Kechnung iu verschiedener Weise durchgeführt werden. Wir erwähnen die folgenden drei Methoden:

1. Ohne Zerlegung in Elementarsysteme. Die einfachste Methode, die indess, namentlich für ein Sj^stem von Einzellasteu, nicht ganz genau ist, entspricht dem in §. 15 und 16 Gesagten. Sie beruht auf der Kennt-niss der Transversalkräfte Q und Momente M. Diese beiden Grössen sind für die einzelnen vertikalen Querschnitte entweder zu berechnen oder zu konstruiren (in der im I. Abschnitte gezeigten Weise), in jedem Falle aber durch Kurven darzustellen, deren Ordinaten in dem fraglichen Querschnitte den Werthen Q und M entsprechen.

a. Gitterstäbe. Neben der Linie gg (Fig. 46), welche die Transversalkräfte für das Eigengewicht darstellt, zieht man zwei Linien, welche von dieser den Vertikalabstand — j (ffi — 9») h tan ß und + 4 Qft—gß) h tan a haben, also nach §. 16 die Transversalkraft Ql und darstellen, welcher die Spannungen der Gitterstäbe proportional sind. Der Mitte C der beiden Stäbe A B und DE entsprechen die Ordinaten C₀ C

sprechen die Ordinaten A₀2l undZ>₀Z)' der Kurve, welche die Transversalkräfte für die zufällige Last darstellt. Man mache nun G g = A₀2l und CF=D₀D'. Alsdann ist die Spannung Px und P₂ der Stäbe A B und DE:

und C₀(5 dieser beiden Linien. Den Enden A und D der Gitterstäbe an demjenigen Gurte, an welchem die Bahn liegt, ent-

- C₀ g . sec ß. n

GK-

Pl— -\-~C₀F.seccc, Po —

\!

\j

C₀D₀

Will man die Spannungen Px und P2 selbst haben, so ziehe man durch F und % Horizontalen, und durch Gn Parallelen zu den Stäben, welche die ersteren in G und © schneiden ; alsdann ist Px =    — C₀ G,

P₂ = —Indess kann man auch Px und P₂ durch Konstruktion entsprechender Masstäbe bestimmen; konstruirt man nämlich zwei Mass-

stäbe, deren Einheiten    gleich    —und —oder n cos a und n cos 8    von der

’    ö    sec u    sec ß    r

Einheit des Masstabes für die Transversalkräfte sind, so gibt C₀F und (7₀5, nach diesen Masstäben gemessen, direkt die Werthe für P, und P₂.

P₂ sec ß

Ko    Kn TI

Bezeichnet man die Querschnittsflächen beider Gitterstäbe mit f\ und f₂, die zulässige Inanspruchnahme mit Kx und AT₂, so ist f_Pt _sec a

*

Konstruirt man zwei neue Masstäbe, deren Einheiten = Kxn cos u und Kom n cos ß von der Einheit des Masstabes für die Transversalkräfte sind, so gibt C₀F und    auf diesen Masstäben gemessen, direkt

den Werth von ft und an.

b. Gurte. Um die Spannung S des oberen f Gurtstückes, dessen Mitte A (Fig. 47) ist, bestimmen, legt man durch A in Dichtung der ^ stehenden Maschendiagonalen einen Schnitt, wel-¹ eher den Untergurt in B schneidet. Es seien nun A₀ 21' und A₀ 21" die Momente für den Punkt j A, B₀B‘ und P₀P" die Momente für den Punkt B hinsichtlich des Eigengewichtes und der zufälligen Last bei gleichmässiger Lastvertheilung und

Macht man

= B₀B‘ + P₀ß" -f B₀BX =BXB‘ + B₀B", so ist    Ist B die Mitte eines un

teren Gurtstückes mit der Spannung S„ und

Fig. 47.

zu

Wo

n² — 1

.24 n²

isr

12’

u b₀bx =

iöt

macht man A₀At —

w² —

ĄJłf = 4«'4- A₀2t", so ist

24 ri¹

S^h = B₀M.

Bedeutet Fx und F,₂ die Querschnittsfläche des Ober- und Untergurtes, Kx und Ktu die zulässige Inanspruchnahme, so ist

£g _B₀M Kq Kq 1l ’

F § _ 4» 3»

¹ ~ Ą — Kth

Konstruirt man daher zwei neue Masstäbe, deren Einheiten = Kt h und Kqli von der Einheit des Masstabes für die Momente sind, so gibt A₀ 5D2 und JB₀ M auf diesen Masstäben gemessen, unmittelbar den Werth von Fx und F₂ an.

Bei Anwendung der Formel 7 (Seite 9) zur Querschnittsbestimmung tritt eine entsprechende Anordnung ein, die aus dem ersten Beispiele in §. 26 hervorgeht.

2. Mit Zerlegung in Elementarsysteme für eine gleiche Belastung der Knotenpunkte. In Fig. 48 ist beispielsweise ein zweitheiliges System, angenommen. Die auf das I. und II.

Elementarsystem bezüglichen Linien sind voll und ą punktirt, für die zufällige Last stark, für das Eigengewicht schwach.

Fig. 48.

V/

's/

\/

\/

'O.

a. Gitterstäbe. Die Maximal - Transversalkräfte für die zufällige Last lassen sich in sehr einfacher Weise nach §. 16 (Fig.38) kon-struiren. Für das Eigengewicht ist der Stützendruck mit Hilfe des Kraft- und Seil-polygones zu kon-struiren, wobei man sich sämmt-liche untere und

TT.

----------

obere Lasten in ihrem Mittelpunkte vereinigt denken kann. Statt dessen kann der Stützendruck direkt nach den Hebelgesetzen bestimmt werden ; macht z. B. für das I. System A a gleich der Summe aller unteren, Aa' gleich der Summe aller oberen Knotengewichte, so sind die Ordinaten der Geraden Ha, Ha', welche den Mittelpunkten C und D aller unteren und oberen Knotengewichte entsprechen, die linken Stützendrücke für diese Lasten, die man nur zu addiren hat. Die Transversalkräfte nehmen alsdann von Stab zu Stab abwechselnd um ein oberes und unteres Knotengewicht ab. Speziell beim zweitheiligen Systeme sind die Transversalkräfte die den Knotenpunkten entsprechenden Ordinaten zweier Parallelen, welche von der Mitte E von 1H einen Vertikalabstand haben, welcher gleich der Hälfte eines oberen oder unteren Knotengewichtes ist

b. Gurte. Die Seilpolygone für die Elementarsysteme sind in bekannter Weise zu konstruiren. Will man hierbei die Schlusslinien zusammenfallen lassen, wie in Pig. 48 (was indess nicht nothwendig ist), so muss man bei unsymmetrischer Anordnung die Seilpolygone zunächst probeweise konstruiren, wobei mail sich indess die Kräfte in ihrem Mittelpunkte vereinigt denken kann. Die Summirung der betreffenden Momente ist leicht durchführbar; beim zweitheiligen Systeme kann man auch das arithmetische Mittel direkt abgreifen und dasselbe verdoppeln.

Die Konstruktion der Querschnittsflächen geschieht nun wie unter 1.

3. Mit Zerlegung in Elementarsysteme für ein System von Einzellasten. Das Eigengewicht wird in der eben besprochenen Weise behandelt. Hinsichtlich der zufälligen Last wird das in §. 17 Gesagte und das zweite Beispiel in §. 26 genügen.

§. 25. Gitterwerk mit variabler Maschenweite. Man lässt

zuweilen den Querschnitt der Gitterstäbe konstant, ändert dafür aber die Maschenweite oder die Theilungszahl. Der für beide Stablagen gewählte Querschnitt sei f. Beide Stablagen mögen mit der Vertikalen den Winkel a bilden. Alsdann ist, wenn wir die zulässige Inanspruchnahme für. Zug und Druck als gleich und zwar = K annehmen,

Q*

5 ₌___

K K n cos d

<2.

n = y^-r---, n = -T>- > ——.

K f cos a    K f cos a

Natürlich wird n nach dem grösseren der beiden Wrerthe und zu berechnen sein. Ist derselbe = Q, so ist

Q

n — jrrr~—•

Kf cos a

Nun aber ist, wenn b die vertikale Maschenweite bezeichnet, h = j n b, daher

Hieraus folgt folgende Konstruktion (Fig. 49) : Es sei GL das Qfür den Querschnitt G. Man mache GO — -₂ h, lege durch 0 eine Horizontale, ziehe durch Leine Horizontale LM, mache LM —

Fig. 49.

\LJL

rN

,'?v

2Kf cos a und ziehe die Gerade G 37, welche die durch 0 gelegte Horizontale in N schuei-det. Alsdann ist ON:LM = GO: GL, d. i. 0N:2Kf cosu — lh: Q, daher ON —

Kf COScc jl_l    mail

nun PQ = PQ‘ = ON, so ist QQ* die vertikale Maschenweite b. Verbindet man alle so erhaltenen Punkte Q, Q' durch Kurven, so liegen in denselben die oberen und unteren Ecken der mittleren Maschen, so dass es hiernach leicht ist, das Gitterwerk zu verzeichnen.

Sollte sich an der Stelle, wo Q zum Minimum wird, b zu gross ergeben, so müssen die Kurven vor dem Verzeichnen des Gitterwerkes entsprechend abgeändert werden.

Bei Anwendung der Formel 7 (Seite 9) zur Querschnittsbestimmung würde sich das Verfahren entsprechend zu ändern haben.

Beispiel. Es sei l = 40m, q = 6,5 Ton. pro Met., K — 0,67 Ton. pro □<m, a — ß = 45⁰ und Q — k ql, so ist

2.0,67.50.0,707    _    h

h k. 6,5.40    °' ⁸² k’

also ist L M = 0,182 Einheiten des Masstabes für ql², GO— -„h zu machen.

§. 26. Beispiele. Zur weiteren Erläuterung mögen noch die folgenden Beispiele dienen.

I. Beispiel: Wir behandeln im Folgenden als Beispiel eine Gitterbrücke mit kontinuirlichen Trägern für zwei Felder von 50 Met. Spannweite und 5 Met. — ^ l Höhe;

für ein Gleis seien zwei Träger angeordnet; die Bahn liege am Obergurte. Das Gitterwerk sei zweitheiliges Fachwerk mit unter 45⁰ geneigten Diagonalen (Taf. III). Das Eigengewicht pro Träger sei g — 1,1 Tonnen pro Meter-, hiervon komme 0,75 Tonnen auf den Obergurt, 0,35 Tonnen auf den Untergurt. Die theoretische Querschnittsfläche irgend eines Theiles sei bestimmt durch die Regel

R,

a. f =

Rmin

0,77    170’

flo I -^1

h f —    I    I -^2

'    1,40    0,60 ^ 1,30 '

Nur für das hier nothwendige Doppelfach werk ist die untere Spannungsgrenze Emin = 0 zu setzen; mithin wird hier

c. f —

wenn E,

(siehe Winkler, Wahl der zulässigen Inanspruchnahme, Wien, 1877). Hierbei ist die zufällige Last in der 1,3 fachen Grösse einzuführen. Ist E₀ die Spannung in Folge des Eigengewichtes, E„ Et die obere und untere Grenze der Spannung in Folge der zufälligen Last, so ist zu setzen Emax = E₀ -f- 1,3 En Emin = E₀ — 1,3 Et, daher wird, in Uebereinstimmung mit Formel 7 (Seite 9):

und E

min

die obere und untere Grenze der Spannung des Theiles bezeichnet

0,77 ^ 0,60 '

1. Gitteratäbe. Die zufällige Last hinsichtlich der Transversalkräfte sei 2,75 Tonnen pro Met., also q = 1,1 + 2,75 = 3,85 Tonnen, g = 0,28 q, g, — 0,19 q, g₂ = 0,09 q, p = 0,72 q. Die Transversalkräfte lassen sich nun geometrisch kon-struiren oder berechnen. Die Rechnung gibt (I. Heft, II. Aufl. §. 53—56):

Trans versalkraft Q

Einfluss von g

Einfluss von p

max (4 Q)

max (— Q)

0,4375

0,3437

0,2624

0,1932

0,1491

0,1359

0,0898

0,0544

0,0287

0,0119

0,0027

4- 0,375 4- 0,275 4- 0,175 4- 0,075

0,0625

0,0687

0,0874

0,1182

0,1491

0,1609

0,2148

0,2794

0,3537

0,4369

0,5277

0,6250

.1

.gi

.pi

Auf Taf. III. sind hiernach die Transversalkräfte für das Eigengewicht und die zufällige Last, bezüglich nach den Masstäben II und III aufgetragen. Nach dem Obigen sind die Transversalkräfte Q für die Gesammtlast konstruirt und durch stark ausgezogene Linien dargestellt. Hierbei ist hinsichtlich des Eigengewichtes für die

II.    Schaar (Vertikalen) die punktirte Linie g e, welche -₀ (</, — g₂)htanu = I (0,75 — 0,35) jy — 1 = 0,0182 g l über der Linie G G‘ und die punktirte Linie

g‘ e‘, welche -₂ (gt — g.f) h tan a = 0,0182 g l unter der Linie g g' liegt, für die I. und

III.    Schaar (Diagonalen) die volle Linie G G¹ massgebend.

Bezeichnet Q₀, Qt, Q₂ die Transversalkraft für das Eigengewicht und die beiden Grenzen für die zufällige Last, so wird die Querschnittsfläche ft der einfachen Diagonalen nach Formel b :

f — l Q° i Q> i Qi ^ sec« ll \1,4 “*■0,6    1,3 )    2 ’

oder auch, weil sec a =

1,414 und Qt —    = ^Q₀=2,5Q₀, also Q₁=Ql — 2,5Q₀ ist,

ft = — 0,852 Q₀ + 1,722 Q, = 1,722 (Qt - 0,495 Q₀).

Dagegen wird die Querschnittsfläche der doppelten Diagonalen nach Formel c:

_ ( Qo i Qi \ sec « \ 0,77 ‘ 0,6 )    2 ’

fr = 1,193 (Ç, + 0,769 Q₀). Die Querschnittsfläche f₂ der Vertikalen wird

f.

Qi

0,6

ij)

Der Vertikalschnitt, für welchen Q, und Qt zu nehmen ist, liegt hier um 2,5m links, bezüglich rechts neben dem Vertikalschnitte, für welchen Qq zu nehmen ist;

daher ist Ç, — Qt = ~ (Q₀ -)-2,5g). Dies eingesetzt gibt:

ft = 1,218 (Q, — 0,495 ql) — 0,013 g l.

Setzen wir Q₀ — k₀gl, Ql—klql, Q₂ = k₂ql und hierin ql — 3,85.50 = 192 5',

so wird

/', = 332 (Je, — 0,495k₀) oder 230 (k, + 0,769k,), f, = 235 (7c, — 0,495k₀ — 0,011).

Macht man nun A F= 0,495 AG, B F = 0,495 B G‘, Af—0,495Ag, B f‘ — 0,495 B g und A F\ = 0,769 A G, B Ft‘ — 0,769 B G‘ und zieht die Geraden F EF', fe, f‘ e‘, F₁EF₁‘ und zieht noch über und unter der Axe A‘ B im Abstande 0,011 (nach dem Masstahe IV) eine Horizontale, so lassen sich die Grössen k,—0,495ka, k, -)- 0,760 k₂, k, — 0,495 kti — 0,011 abgreifen. Für die Diagonalen sind die Ordi-naten der Mitte der fraglichen Diagonalen entsprechend, für die Vertikalen dagegen ist k, dem oberen Ende der die Vertikale kreuzenden Diagonalen und k₀ der Vertikalen selbst entprechend abzugreifen.

Konstruirt man jetzt drei neue Masstäbe V, V a und VI, deren Einheiten bezüglich = 0,00301,    — 0,00435 und = 0,00425 der Einheit des Mass

stabes IV sind, so erhält man direkt die Querschnittsflächen.

Die so gefundenen Querschnittsflächen sind in Fig. 3 als Höhen der die einzelnen Stäbe repräsentirenden Rechtecke aufgetragen und in diese Rechtecke selbst eingeschrieben.

Bei den Enddiagonalen 01 und XX 19 ist die Transversalkraft, welche sich für die ganz normale Lage, d. i. für die Lage des Stabes (bei gleichem unteren Ende) unter 45° ergeben würde, im Verhältniss der Sekanten der Winkel, d. i. dem

Verhältnisse der Sekanten der Winkel, deren Tangenten —1 und -₀ sind, zu ändern, was auf Taf. III durch Konstruktion geschehen ist.

2. Gurte. Für die Gurte ist g = 1,1, p = 2,5 Tonnen pro Meter zu setzen also q — 3,6 Tonnen pro Meter, g = 0,31 q, p — 0,69 q. Die Momente, welche sich nach der Theorie der kontinuirlichen Träger ergeben (I. Heft, II. Aufl. §. 53—56), sind:

Moment M

Einfluss von g

Einfluss von p

max ( -f M)

max (— M)

p jö Cs C> C>

Cl "co ~Qo 'V) ~VJ Oi "bt ~bo To bl

üi Oi Ot

-f 0,0325 -f 0,0550 + 0,0675 -j- 0,0700 + 0,0625 + 0,0450 + 0,0175

— 0,0200

—    0,0425

—    0,0675

—    0,0950

—    0,1250

0,0388

0,0675

0,0863

0,0950

0,0938

0,0825

0,0613

0,0469

0,0300

0,0152

0,0061

0,0014

0,0063

0,0125

0,0188

0,0250

0,0313

0,0375

0,0438

0,0469

0,0500

0,0577

0,0736

0,0964

0,1250

.1

.pi*

Auf Taf. 111. ist hiernach M für das Eigengewicht und die zufällige Last durch schwache Linien grafisch dargestellt. Die Ordinaten entsprechen unmittelbar den Zahlen der Tabelle, wenn man sie nach den Masstäben VIII und IX misst, deren Einheiten bezüglich 0,31 und 0,69 der Einheit des Masstabes X sind. Die Spannungen

2² — 1 l2 24.2² ' W

des Ober- und Untergurtes sind nun nach Formel 28, da

n² —

24 n² — 0,00031 l² wird, für positive Momente (für welche die fragliche Stelle des Trägers von der zufälligen Last bedeckt ist),

S, = -

M+ 0,00031 ql²

und für negative Momente (für welche die fragliche Stelle des Trägers von der zufälligen Last nicht bedeckt, also die Last pro Längeneinheit = g — 0,31 q zu setzen ist),

M + 0,00010 g l²

Si = —

-, S₂ — +

M + 0,00010 ql²

Nach §. 23 wären nun zur Abscissenaxe im Abstande 0,00031 q l² und 0,00010 q l2 (nach dem Masstabe X) zwei Parallelen zu ziehen (nach unserem Masstab lässt sich 0,00031 q l² und 0,00010 q l² nicht mehr auftragen) und nun die der Grösse M -{- 0,00031 ql², respective M + 0,00010 ql² entsprechenden Ordinaten für Oberund Untergurt mit Berücksichtigung des entsprechenden Momentenpunktes aufzutragen. Hierdurch ergeben sich in Fig. 5 die starken Linien.

Bezeichnet man die Momente für das Eigengewicht und die beiden Grenzen für die zufällige Last mit M₀, M„ M₂, so wird die Querschnittsfläche F für die Strecke mit positiven Momenten, M₂ absolut genommen,

1 (Mn + 0,00031 gl2 = h\    1,4

M, -f 0,00031 p l²

0,6

und für die Strecke mit negativen Momenten, M₀, M, und M₂ absolut genommen M₀ — 0,00031 g l² , M, , M₂ — 0,00031 p l²

F =

Setzt man hierin M,— M₂ = ^-M₀= 2,273 Ma, ferner Ma = k₀gl², M, = k, g l2 = 1800, so wird

0,6

1,3

, gl² 3,6.50.50 und — h

F = 4385 {kL — 0,419 k₀ + 0,00022),

F = 4385 (ki — 0,419 k₀ — 0,00010).

In Fig. 5 ist durch Multiplikation der Ordinaten der Momentenlinie für das Eigengewicht mit 0,419 mit Hilfe des Reduktionswinkels Fig. 5 a die punktirte Linie erhalten. Zieht- man noch zwei Horizontalen im Abstande 0,00022 und 0,00010 nach dem Masstabe X von*der Abscissenaxe über derselben, so lassen sich die Grössen k, — 0,419 k₀ -J- 0,00022 und k, — 0,419k₀ — 0,00010 abgreifen. Zeichnet man einen

1

Masstab XI, dessen Einheit =

ist, so geben die eben genannten Längen, auf diesem Masstabe gemessen, die Querschnittsflächen.

Die so gefundenen Querschnittsflächen sind in Pig. 6 nochmals in einem halb so grossen Masstabe (Masstab XII) aufgetragen und in Quadratcentimetern eingeschrieben.

0,000228 von der Einheit des Masstabes X

Die beiden letzten Gurtstücke 0 1 und 19 20 des Untergurtes bedürfen einer besonderen Bestimmung. Nach Formel 47 ist die Spannung des Gurtstückes 01 = 0

und die Spannung S₂ des Gurtstückes 19 20 =

stütze fürf gleichmässige Belastung bezeichnet, d. i. S₂ ■—

, wenn M das Moment an der Mittel-0,125 (g 4- p) l²

, also die

0,125.50² 04 _j_    _ ₃₁₀ (—j Centimeter.

betreffende Querschnittsfläche —

II. Beispiel. Eingleisige Eisenbahnbrücke von 25m Spannweite mit zweitheiligem Netzwerke und oben liegender Bahn (Taf. IV). Die Trägerhöhe sei 3m, die Entfernung der Knotenpunkte 2,5m, das Eigengewicht pro Träger und pro Meter 0,Sł, und zwar für den Obergurt 0,56* für den Untergurt 0,24ł. Das Knotengewicht wird dann für einen oberen Knotenpunkt 0,56.2,5 = 1,4*, für einen unteren Knotenpunkt 0,24.2,5 — 0,6*. Die zufällige Last nehmen wir als ein System von Einzellasten nach dem in Pig. 10 (Taf. IV) dargestellten Schema an. Die Querschnittsfläche der einzelnen Theile soll nach der Formel 7 (Seite 9i bestimmt werden, wo sowohl für gezogene als gedrückte Stäbe K₀ = 1,4, K, = 0,6, K₂ — 1,3* pro □«»» zu setzen ist.

Wir führen eine Zerlegung in zwei Elementarsysteme durch und nennen das auf Taf. IV in Pig. 1 und 5 ausgezogene und punktirte System bezüglich das I. und II. System.

1. Berechnung.

a. Gitterstäbe. Hinsichtlich des Eigengewichtes ist der Stützendruck für das I. System = ~{5.1,4-\-4.0,6) = 4,7*, für das II. System = — (4.1,4 -f- 5.0,6)

= 4,3*. Daher sind die Transversalkräfte für die einzelnen Gitterstäbe der Reihe nach für das I. System = 4,7, 4,7 — 1,4 = 3,3, 3,3 — 0,6 = 2,7, 2,7 —1,4 = 1,3 u. s. w., für das II. System = 4,3, 4,3 — 0,6 = 3,7, 3,7 — 1,4 = 2,3, 2,3 — 0,6 = 1,7 u. s. w. In der zweiten Tabelle der folgenden Seite sind diese Werthe zusammengestellt.

Hinsichtlich der zufälligen Last führen wir die Berechnung beispielsweise nur für den Stab 2III durch, welcher dem I. Systeme augehört. Folgendes Schema gibt

Winkler’s Brückenbau; Theorie, II. Heft.

für verschiedene Stellungen des Zuges die auf die einzelnen Knotenpunkte des I. Systèmes wirkenden Kräfte, die entsprechenden Stützendrücke B auf die linke Stütze und die positive Maximal-Transversalkraft Q für den Stab III 4:

Last bei Punkt \

in

VII

IX

5o

Tk cT

ki ki ki ki

5° b> bi ^ 5° 5e

bs «o kj bo os os cs c>

ÏNOtsOJkOsOSÏOlOtO

ki ic Ot cs os kj kj oo bo "kJ ?N0 Co bj C> ÎN0 kl QsCsïoOkiïoc>Cs

Ci Co »O k N »O kft Oj oj W T-b t-i cs* kH"

„üi OS Oo kj „kj kj kJ kJ

"oo bt cs bs "ao bs bk bn ^iHkQokoQoOoHkQo

Ox OS Qo kJ„kj^kj^kj _Os "oo bi bs bs "ao cs "m. bs OkQo'OQoQoQote

Hierbei ist, wenn wir die Belastung der Knotenpunkte mit G,,    be

zeichnen, B = j₀ (Gg + 3 G,, + 5 G₅ -j- 7 G₃ -f- 9 Gf), Q — B — G₁ — G₃. Für den Stab III 4 wäre sonach die Lage der Last II bei Knotenpunkt V bei nach links gehendem Zuge die gefährlichste und entsprechend max (+ Q) = 8,081. Hie in dieser Weise bezeichneten Besultate sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt.

Ist Q₀ die Transversalkraft für das Eigengewicht, Q„ Q.₂ das positive und negative Maximum der Transversalkraft für die zufällige Last, so ist die Querschnitts -fläche f des Stabes

sec a.

1,302, mithin

_ fQo i Qi_ ,

\l,4 ' 0,6 ~ 1,3)

= 1/1 + tan¹ a = [fl + (£§)"' =

Nun aber wird sec a

f = 0,930 Q₀ + 2,170 Qt + 1,001 Q.₂.

Hierbei ist Q„ Qt absolut, Q₀ mit Eücksicht auf das Vorzeichen einzuführen. Die hiernach bestimmten Querschnittsflächen sind ebenfalls in der folgenden Tabelle zusammengestellt.

CC

S5

Transversalkraft Eigen- zufällige Last gewicht max (+ Q) max (— Q)

Q uer schnittsfläche

Zug

für

Bruck

Bean-

spruchuiigs-

wet'se

OtOODkffiWlkWKiK

Oktswi^oiałkocicc

+ 4,3 + 3,3 + 2,3 + Iß + 0 3

0,7

-1,7 — 2,7 -3,7 -4,7

k k lk

C> j"* ÎO „Uk Os _Oo O lo „Ox Nf Ca Os ki "bs bo bo

■ QoÜlÜlkGoloCoO:

ło k k k

OOiîoOQoOsk.îak-^ ■«.>» >0

^toOOÎNDOoH^WkÜxOo

Co ÎO

*>+++£ £ £ £ £ K O SO ÎO lo Co bk kj bs

Os

Bruck und Zug

Bruck

b. Endständer. Jeder Endständer, welcher nur dem II. Systeme angehört, •erfährt durch das Eigengewicht' den Druck von (2.4.1,4 -f- 5.0,6) = 5,Oł. Der Stützendruck in Folge der zufälligen Last wird am grössten, wenn die I. Last am Knotenpunkte 0 liegt und beträgt im Maximum 16,0t. Daher ist die entsprechende 5,0    16,0

•Querschnittsfläche

1,4^~ 0,6

e. Gurte. Hinsichtlich des Eigengewichtes ergibt sich leicht als Moment für das I. System für einen oberen Knotenpunkt M = 0,5 -f 12,5 m — 1,25ml, für einen unteren Knotenpunkt M = 0,75 -j- 11,75 m — 1,25 m⁷, für das II. System für einen oberen Knotenpunkt M = 1,75 -j- 10,75m — 1,25m⁷, für einen unteren Knotenpunkt M= — 0,5 + 12,5m — 1,25m⁷, worin der Abstandj’des Momentenpunktes von der linken Stütze 2,5 m gesetzt ist. Für das mte obere Gurtstück ist das Moment für den m ten oder (m— 7) sten unteren Knotenpunkt des I. Systèmes und für den (m — 1) sten oder mten unteren Knotenpunkt des IL Systèmes zu addiren, je nachdem m gerade oder ungerade ist; für das mte untere Gurtstück ist das Moment für den (m — J)sten oder mten oberen Knotenpunkt des I. Systèmes und für den mten oder (m —2) sten oberen Knotenpunkt des II. Systèmes zu addiren, je nachdem m gerade oder ungerade ist. Hiernach ist die Summe Mg der Momente

m gerade

Mg = — 11 + 21,78 m — 2,5m7 Mg = — 9 -f 20,75 m — 2,5 m⁷

m ungerade

—    10,25 — 21,75 m — 2,5 m⁷

—    7,25 - 20,75 m - 2,5 m⁷.

Obergurt:

Untergurt :

Das Resultat der Rechnung enthält die Tabelle auf folgender Seite.

Hinsichtlich der zufälligen Last wollen wir die Rechnung beispielsweise nur für das 4te Gurtstück 3 4 durchführen. Folgendes Schema gibt für verschiedene Stellungen des nach rechts gehenden Zuges die auf die Knotenpunkte wirkenden Kräfte, sowie die entsprechenden Momente M für die Elementarsysteme und die Summe Mp beider:

Last bei

Punkt

bystem

II

III

IV

Y VI

VII

VIII

IX

MP

VIII III

10,4

6,8,

25,5

6,8

15,1

4,3

17,2

20,3

102,7

V VI j VII iv{ IX IIl{ XI I

12,61

I 5,2;

19,2

3,8

3,6

19,2

16,2

5,4

14,0

9,9

19,2

19,2

16,2

13,0

12,6

5,4

14,0

15,6

11,9

12,6

24,4

VIII

13,7

10,4

6,8

\ 21,8

12,6

3,6

25,5

7,6

15,1

yfc.    _g4,

CO    7(4.    7o Vj

23,1

21,3

17,2

:}180,5

fĄ¹⁷⁹'⁸

Té}¹⁸⁴-⁴

⁹9°Ą184J

lii]¹⁶⁴'³

Uli )¹⁷⁷'⁴

77,8

Hiernach wäre für dieses Gurtstück die jLage der Last VII beim Punkte IV die gefährlichste und die entsprechende Momentensumme 184,4 Tonnenmeter. Die in dieser Weise berechneten Resultate sind in der folgenden Tabelle zusammeDgestellt. Die C^uerschnittsfläche F des Gurtes ist nun

F = -    4- Mp — Mg -l-

3.1,4~ 3 0,6    4,2 ~ 1,8'

•wonach sich die folgenden Resultate ergeben :

Untergurt

Ubergurt

Gurtstück

Mg

MP

Gurtstück M

Mp

O I

Oi Ca Oo k _C Ox c» Cs Oo Go Oo Oo Oo

Kl k k Oo Ci tffc. «O Oo Ox pA. ÎSO Ç©

"oj s© "o 'bo "oo

00 00 00 00 Oo "t-T T-T So' <^T y-T

łi CIJ ^

N N

oi o ^n" *cT »O oo CI

■r-H -M T-i

ki

<C k* ÎD Ci *0 Co ö» oc Ci c?t

Tonnenmeter

□ Cent.

Tonnenmeter

□ Cent.

2. Grafische Behandlung. Die grafische Behandlung ist auf Taf. IV hinsichtlich der zufälligen Last mittels Influenzlinie erfolgt. Längenmasstab I : lm = 4,7mm.

a. Gitterstäbe. In Fig. 2 stellen die blauen ausgezogenen und strichpunk-tirten Linien die Transversalkräfte für das I. und II. System]dar; die Stufen sind abwechselnd =1,4* und 0,6*, wonach die Linien mit Hilfe des Kraftmasstabes II (1* = 2mm) leicht zu konstruiren sind. In Fig. 3 sind die Influenzlinien hinsichtlich des linken Stützendruckes für eine Einzellast von [6,5 und 4,5* für das I. und II. System dargestellt. Mit Hilfe derselben ist der linke Stützendruck für den angenommenen Wagenzug und zwar für jede Lage, bei welcher ein Bad der ersten Lokomotive oder des ersten Tenders an einem Knotenpunkte liegt, bestimmt und in der dem ersten Bade entsprechenden Ordinate aufgetragen. Dies gibt für das I. und II. System die bezüglich ausgezogene und strichpunktirte rothe obere Linie in Fig. 2. Die Abweichung dieser Linien von der punktirten rothen Linie, welche dem Stützendrucke für den gegebenen Träger entspricht und die in bekannter Weise leicht zu konstruiren ist, ist nach oben und unten gleich gross. Die rothen, nach abwärts gehenden Linien entsprechen der Transversalkraft, wenn die I. Last über den entsprechenden Knotenpunkt hinaus gerückt ist; sie lassen sich leicht mit Hilfe der in Fig. 3 konstruirten geneigten Parallelen konstruiren. Die Maximalpunkte sind umringelt; sie entsprechen fast durchgehends der Lage der II. Last am rechten Querträger des fraglichen Faches.

Die negativen Maximal-Transversalkräfte sind der Symmetrie halber den positiven gleich; sie sind in Fig. 2 auf der unteren Seite durch horizontale rothe Linien angegeben.

Die horizontalen schwarzen Linien in Fig. 2 entsprechen der Grösse O =    . Q₀ _j_

Qi -f- Qn w°kei das erste und ; letzte Glied mit Hilfe des Proportional winkeis 1,3

Fig. 2 a bestimmt ist. Im Masstabe III ist 1 Einheit =0,6 cos a = 0,461 Einheiten des Masstabes II (1 □«» ₌ 0,461.2 = 0,922mm) gemacht; die Ordinaten 0 auf diesem Masstabe gemessen, geben dann die Querschnittsflächen der Gitterstäbe, die in Fig. 4 noch einmal nach dem Masstabe VII aufgetragen sind.

Die unteren ausgezogenen schwarzen Linien in Fig. 2 entsprechen den Maximal-Transversalkräften Qg -P Q, für die nach rechts und links fallenden Stäbe und zwar ist die Ordinate, welche der Mitte des fraglichen Stabes entspricht, massgebend.

b. Gurte. Für das Eigengewicht sind die blau dargestellten Seilpolygone kon-struirt. Hierbei ist i™ = 0,25m™ angenommen (Masstab IV); die Poldistanz ist gleich der Spannweite angenommen; für den Kraftmasstab ist alsdann l*=l, d. i.

25 Einheiten des Momentenmasstabes oder 1* = 25 0,25 — 6,25mm anzunehmen. Um indess die Summen je zweier Momente direkt durch das arithmetische Mittel zu erhalten uüd hinsichtlich der Querschnittsbestimmung eine direkte Addition zu den

0,6

Momenten der zufälligen Last zu ermöglichen, sind die Kräfte 2

' 1,4

= mal so

gross angenommen, als sie wirklich sind, also j 1,4 = 1,2t und ^ 0,6 = 0,5141 statt

1,4t und 0,6t. In Fig. 7 sind die Ordinaten der Influenzlinien die Summen der Momente für die zwei jedem Gurtstücke gegenüberliegenden Knotenpunkte für eine variable Last von 6,5 und 4,5t nach §. 17 und zwar entsprechen die vollen Linien dem Obergurte, die strichpunktirten Linien dem Untergurte. Die umhüllenden Parabeln entsprechen einem Seilpolygone für gleiche, in den Knotenpunkten wirkende Lasten,

welche = 2.6,5    = 1,3 und 2.4,5 ^ = 0,9 sind. Hieraus sind nach §. 17 für

das angenommene System von Einzellasten die rothen Kurven in Fig. 6 abgeleitet. Die Momentensumme ist hierbei auf 'der linken Seite (Untergurt) für den nach links gehenden Zug an der I. Last, für den nach rechts gehenden Zug an der IX. Last aufgetragen; auf der rechten Seite (Obergurt) ist es umgekehrt. Die Maximalordinaten sind durch kleine Kreise markirt. Durch Addition dieser Ordinaten zu den arithmetischen Mitteln der den betreffenden Knotenpunkten entsprechenden Ordinaten oder blauen Polygone sind die schwarzen Horizontallinien erhalten. Die Ordinaten derselben geben direkt die Querschnittsflächen, wenn man sie auf dem Masstabe V misst, dessen Einheit = h.0,6 — 3.0,6 — 1,8 Einheiten des Masstabes IV ist.

In Fig. 9 sind noch zur Kontrole die Spannungen für das Eigengewicht nach der Polygonalmethode konstruirt, wobei die Kräftepläne für beide Elementarsysteme vereinigt sind.

IV, Kapitel.

Träger mit kombinirtem Gitterwerke.

A. Ohne künstliche Anspannung.

§. 27. Näherungsthcorie. Zum Zwecke einer möglichst einfachen ⁴ Bestimmung der Spannungen in einem kombinirten Gittersysteme, d. i. in einem Systeme mit drei Lagen von Gitterstäben, pflegt man dasselbe in zwei Systeme mit einfachem Gitterwerke zu zerlegen, so dass die steilsten Gitterstäbe, welche wir Pfosten, eventuell Vertikalen, nennen, in beiden Systemen, jede der anderen Gitterstablagen, welche wir Diagonalen nennen, nur in einem Systeme Vorkommen. Diese Zerlegung ist an und für sich zulässig; man macht aber auch noch die Annahme, dass die von beiden Systemen anfzunehmenden Lasten gleich gross seien, welche Annahme nur daun gerechtfertigt sein würde, wenn sich die resultirenden Verrückungen der Knotenpunkte in beiden Systemen als gleich heraus-stellen würden, was aber nur näherungsweise der Fall ist. Wir wollen

v* = -

V₂ = +

¹ ^

—    Qt sec y,

nj

¹ n

-    Qisec y ;

Al

mithin wird

V = F + K

— Q₂) sec y.

[c

indess zunächst unter dieser Annahme die Spannungen entwickeln; einegenauere Theorie werden wir später hei Besprechung der statisch unbestimmten Systeme geben. Als Theilungszahl n betrachten wir die Anzahl der Theile, in welche eine Diagonale durch die sie kreuzenden Dia-

gonalen getheilt wird.

1. Spannungen der Pfosten. Die Spannung eines beliebigen Pfostens

A B (Fig. 50), welcher gegen die Vertikale unter dem

Fig 50.

\G DB Ky F

y\

:c

AI

Winkel y geneigt ist, sei F, in den beiden einfachen Systemen (Fig. 50 a und b) aber Vx und V₂. Bezeichnet mau die Transversalkraft für zwei durch die Mitte C von

A B parallel zu den unter « und ß gegen die Vertikale geneigten Stäben gelegte Schnitte bei gleich-massiger Belastung für das gegebene System bezüglich mit Qx und Q2r so sind die entsprechenden Transversalkräfte für die einfachen Systeme \ Qx und | Ç₂, mithin nach den Formeln 31 (Seite 41)

Fig. 50 a und b.

wenn man berücksichtigt, dass die Theilungszahl jedes einzelnen einfachen Systèmes — -₃ n ist.

Qx — Q₂ aber ist die zwischen den beiden schiefen Schnitten liegende Last, d. i. hinsichtlich des Eigengewichtes = \ (gx — g₂) a, wenn wir wieder E Fr d. i. die Summe der Horizontalprojectionen beider Diagonalen = a setzen. Hinsichtlich der zufälligen Last wird Qx — Q„ am grössten, wenn die ganze Strecke zwischen beiden Schnitten belastet ist, während der übrige Theil des Trägers beliebig belastet sein kann. Sonach ist — Q₂ —

i Ob — 9.2) a zu setzen, mithin

50. F = —    (</, — q₂) a sec y.

Die Pfosten haben sonach einen Druck oder einen Zug aufzunehmen, je nachdem die Bahn oben oder unten liegt; bei gleichmässiger Vertheilung der Last über beide Gurte wird V — 0.

2. Spannung der Diagonalen. Bezeichnet man die Transversalkraft für einen durch die Mitte C der unter a und ß geneigten Diagonalen parallel zu den Pfosten gelegten Schnitt für das gegebene System mit Q',so sind die entsprechenden Transversalkräfte für die einfachen Systeme = \ Q\ folglich die Spannung der Diagonalen nach den Formeln 31 (Seite 41), wenn man wieder berücksichtigt, dass die Theilungszahl jedes Elementar-systemes = -₂ n ist

- Q' sec ß, n

P. =    - QJ sec u, P„ =

x n

oder, wenn man die Transversalkraft für einen durch C gelegten Vertikalschnitt mit Q, die Horizontalprojektion eines Pfostens mit e bezeichnet,

51.

1\ = -

n [ (J + \ (Ql ~ Q^ e] sec J.    L

Annähernd ist Px= -f- - Q sec a, Pn — — - Q sec ß. Sonach ist

die Spannung in den Diagonalen fast ebenso gross, als wenn die Pfosten nicht vorhanden wären.

Bei einem einfachen Träger mit der Spannweite l ist die grösste

1 1

Spannung einer Diagonale = — qlsecu oder — q l sec ß, die Maximal-

n* 71    SV 7t

Spannung eines Pfostens, wenn man sich die ganze Last an einem Gurte wirkend denkt, — q a sec y; in Wirklichkeit aber ist diese Spannung noch

kleiner. Sonach ist die Spannung der Pfosten gegen die Maxi-malspannung der Diagonalen nur sehr klein.

3. Spannungen der Gurte. Da die Pfosten eine nur sehr geringe Spannung haben und die Spannung der Diagonalen fast dieselbe ist, als wenn die Pfosten nicht vorhanden wären, so wird die Spannung der Gurte ebenfalls fast dieselbe sein, als wenn keine Pfosten vorhanden wären, so dass die früher für einfaches Gitterwerk aufgestellten Regeln direkt in Anwendung gebracht werden können.

§. 28. Eiidverbinritingen. Wir wollen nur diejenige Endverbindung betrachten, bei welcher ein vertikaler Endpfosten angeordnet ist, von dessen unterem und oberem Ende die Gitterstäbe ausgehen (Fig. 51 und 52).

Nach der im vorigen Paragrafe angewendeten Zerlegung des kom-binirten Systèmes in zwei einfache Systeme sind die Spannungen der Endstücke defiuitiv bestimmt. Der Endpfosten ist in dem einen Systeme

gar nicht enthalten, während im anderen Systeme nur vom oberen Ende des Pfostens Gitterstäbe ausgehen, so dass der Pfosten hier den vollen Stützendruck dieses Systèmes, d. i. den halben Stützendruck des gegebenen Systèmes aufzunehmen hätte. Nach der entwickelten Näherungstheorie würde also der Endpfosten einen Druck aufzunehmen haben, welcher gleich dem halben Stützendrucke ist.

Fig. ei.

Nach dem vorigen Paragraf ist die Spannung der Pfosten nur gering, mit Ausnahme der im vorigen Paragraf auszuschliessenden Eudpfosten. Man wird daher auch die Spannung der Endtheile ziemlich genau erhalten, wenn man die Pfosten, mit Ausnahme der Endpfosten, als nicht vorhanden ansieht, also nach den in §. 16 und 17 enthaltenen Kegeln für ein einfaches System rechnet. Auch nach dieser Theorie entsteht

p.

und für ein viertheiliges System (Fig. 52)

in den Endpfosten ein Druck gleich dem halben Stützendrucke oder es ist die Spannung V des Endständers nach Formel 40 (S. 52) für ein zweitheiliges System (Fig. 51)

52. r„ = -\d

52 a. V₀= -

(SD¹ Sa

Fig. 52.

B N D F

ly

PP

A]\ M C 5 E

\ (ft — ffl)

wenn T> den für eine gleich-massige Belastung zu berechnenden Stützendruck bezeichnet. Für den Mittelpfosten eines kontinuirliehen Trägers ist 1 für Ą zu setzen. Die Spannungen der Endgitterstäbe und Endgurtstiicke lassen sich nach den Formeln 38 (S. 49) bestimmen.

B. Mit künstlicher Anspannung.

§. 29. Spannungen im unbelasteten Träger. Wir wollen die Theorie nur unter der Annahme vertikaler Pfosten durchführen. Wir setzen zunächst voraus, dass der Träger ganz ohne Belastung sei; also auch sein Gewicht, etwa durch das unterstützende Gerüst, aufgehoben sei. Wir nehmen aber an, dass einem Theile oder einzelnen Theilen in irgend einer Weise eine Spannung gegeben werde, welche offenbar auch eine

Spannung in den übrigen Theilen hervorruft. Diese Spannungen nennen wir zum Unterschiede von den durch die Belastung hervorgerufenen Spannungen künstliche Spannungen.

Führen wir einen Schnitt AB (Fig. 53) in Sichtung der links fallenden Diagonalen, nehmen wir ferner die Spannungen der geschnit-

Fig. 53.

tenen Vertikalen, sowie

der geschnittenen Diagonalen annähernd als gleich an und bezeichnen die Spannungen der Vertikalen mit V\ die der rechts fallenden Diagonalen mit Px', so fordert das Gleichgewicht gegen Verschiebung in vertikaler Sichtung die Erfüllung der Bedingung nPx‘cos a Ą- J nV‘ — 0 oder Pt‘ = — | V'seca. Führen wir ferner einen Vertikalschnitt und bezeichnen die Spannung der links fallenden Diagonalen mit P₂', des oberen und unteren Gurtes mit St', so fordert das Gleichgewicht die Erfüllung der Bedingungen |Pt'cosa = J P₂' cos o, + Sa‘ + l Pi' sin a +£P₂' sin a = 0,    Hiernach

wird P/ — P/, St‘ = — £ wP,' sina oder

A/

/B

CA

p'

Ll

v'

4 F sec et-

54.    = Sq = + ^ n V tan et-

Gibt man den Vertikalen einen künstlichen Zug, so entsteht also in den Diagonalen ein Druck, in den Gurten ein Zug.

.53. JY = JP₂' =

§. 30. Spannungen im belasteten Zustande. Die Spannungen St, $2, Pj, P₂ und V, welche die Belastung allein hervorruft, sind durch §. 27 bestimmt. Fügt man zu diesen Spannungen noch die künstlichen Spannungen hinzu, so findet man als wirkliche Spannungen während der Belastung, welche wir durch zwei Apostrophe auszeichnen:

= +- Q sec cc — | F sec a ,

1 1 -Q sec et — -g F sec et;

^ F fam et.

55.

Bi " =

~ „    . Æ . n ,

$₂ —:•    1 tan et-

57. F'= -    + F.

V‘ ist vor der Hand noch beliebig und erst durch weiter zu stellende Bedingungen zu bestimmen. Wir unterscheiden in dieser Beziehung die beiden Systeme mit künstlich gezogenen und künstlich gedrückten Vertikalen oder das Howe’sche und ßider’sche System. Hinsichtlich der ‘Begründung dieser Systeme, bei welcher praktische Rücksichten in Betracht kommen, verweisen wir auf den konstruktiven Theil des Brückenbaues.

§. 31. Das Howe’sche System. Beim Howe’schen Systeme sind die Diagonalen oder Streben nicht fest mit dem Gurte verbunden, sondern sie stemmen sich nur gegen denselben. Sie können also keinen Zug aufnehmen. Die eine Lage der Streben wird künstlich und auch durch die Belastung gedrückt; diese heissen Hauptstreben (franz. le tien, le tien principal, engl, tlie strut, the principal-strut). Die andere Lage der Streben wird künstlich gedrückt, durch die Belastung aber gezogen ; diese heissen Gegenstreben (franz. le contrelien, engl, the counter-strut).

1. Vertikalen. Nach dem Gesagten muss die künstliche Anspannung der Vertikalen so gross sein, dass die Spannung der Gegenstreben bei partieller Belastung, bei welcher der grösste Zug eintreten würde, = Null ist ; eine grössere Spannung würde den Druck in den Hauptstreben und den Zug in den Vertikalen nur unnöthig vergrössern. Setzen wir aber in Gleichung 55. P," = 0, so ergibt sich

58. T — -Q.

71

Die Spannung V“ während der Belastung ist nach Formel 57 :

59. V“ =

*o

71

»w <«■ - «*> "■

Liegt die Bahn oben oder ist q.t >    , so ist V“ C V‘ ; liegt die

Bahn unten oder ist ql <Zqo, so wird umgekehrt V“ > V. Die Vertikalen wären sonach im ersten Falle für den unbelasteten Zustand, im letzteren Falle für den belasteten Zustand der Brücke zu berechnen. Wegen der Kleinheit von V wird indess sehr nahe V‘ — Vt.

2. Hauptstreben. Nach der Formel 55 wird die Spannung P"2 während der Belastung

60. JV' =

Q sec (£,

wobei Q die Transversalkraft für einen durch die Mitte der fraglichen Hauptstrebe gelegten Vertikalschnitt bezeichnet. Die partielle zufällige Belastung ist durch diesen Vertikalschnitt begrenzt anzunehmen.

Die Max im als pan nun g der Vert ik alen u nd Haupt streben im belasteten Zustande ist also ebenso gross, als wenn die

Gegenstreb en nicht vorhanden wären, was sich einfach dadurch erklärt, dass die Spannung der Gegenstreben bei diesem Belastungszustande Null ist.

3. Gegenstreben. Die grösste Beanspruchung erleiden die Gegenstreben im ganz unbelasteten Zustande. Die bezügliche Spannung ist nach Formel 53 und 58:

Q sec CC

oder nach Formel 60:

61a. JP₁M = 5jPa“

/V

d. h. die Spannung der Gegenstreben im unbelasteten Zustande ist nahezu halb so gross, als die Spannung der Hauptstreben im belasteten Zustande. Meist hat man daher den Gegenstreben einen halb so grossen Querschnitt gegeben, als den Hauptstreben. Da aber diese Spannung der Gegenstreben nur kurze Zeit dauert und ohne Stösse erfolgt, so ist es sogar zulässig, den Querschnitt der Gegenstreben noch kleiner zu nehmen und ihn für die grösste dauernde Spannung, welche während der blossen Belastung durch das Eigengewicht eintritt, zu berechnen. Bezeichnen wir diese Spannung mit P/", so ist nach Formel 55:

- (Q—

n

Q“) sec a.

wenn Q die Transversalkraft für die Wirkung des Eigengewichtes und der zufälligen Belastung, Q" die Transversalkraft für das Eigengewicht allein bezeichnet ; .Q — Q“ ist also die Transversalkraft Q'" für die Wirkung der zufälligen Belastung allein. Daher wird

- Q'" sec cc. n

62. iY" =

4. Gurte. Die Spannung der Gurte ist nun nach Formel 56 zu bestimmen. Hierbei ist V‘ durch Formel 58 bestimmt. Da die Spannung der Gegenstreben bei partieller Belastung Null ist, aber die Spannung bei derjenigen Belastung, für welche M zum Maximum wird, ebenfalls sehr gering ist, so wird sich die Spannung der Gurte fast ebenso gross ergeben, als wenn die Gegenstreben nicht vorhanden wären.

§. 32. Das Ridcr’sche System. Während beim Howe’schen Systeme die Vertikalen einen künstlichen Zug erhalten, so erhalten beim Rider’schen Systeme die Diagonalen einen künstlichen Zug oder die Vertikalen einen künstlichen Druck. Da die Diagonalen schlaff konstruirt sind, d. h. aus Rund- oder Flacheisen bestehen, welchem ein Druck nicht zugemuthet werden kann, so muss die künstliche Anspannung so weit gehen, dass durch die Belastung kein Druck entstehen kann.

Die eine Lage der Diagonalen wird künstlich und auch durch die Belastung gezogen; diese heissen Haupt diagonal en (franz. le tirant, le tirant principal, engl, the tie, the principal-tie). Die andere Lage der Diagonalen wird künstlich gezogen, durch die Belastung aber gedrückt; diese heissen Gr ege ndi agon ale n (franz. le contre-tirant, engl. the counter-tie). Zur Bestimmung der künstlichen Spannung ist Pt" in Formel 55 = 0 zu setzen. Dies gibt

63. F' = —

Die weitere Behandlung ist nun ganz dem Howe’schen Systeme entsprechend. Auch hier ergibt sich, dass die Spannungen der Gegendiagonalen im unbelasteten Zustande nahezu halb so gross sind, als die Spannungen der Hauptdiagonalen im belasteten Zustande.

Auf ein weiteres Eingehen verzichten wir, da dieses System bei uns keine Anwendung findet. Ebenso verzichten wir auf ein näheres Eingehen auf die Post’sche Abänderung des ßider’schen Systèmes mit schiefen Pfosten.

§. 33. Eiidverbiiidungeii. Eine besondere Betrachtung verlangen wiederum die Endverbindungen, da die bisher aufgestellten Gleichungen für diese zum Theil keine Anwendung zulassen. Wir wollen hierbei indess lediglich das Howe’sche System in Betracht ziehen. Bei diesem besteht die Endvertikale gewöhnlich aus einer eisernen Spannstange, welche künstlich angespannt wird, um den nöthigen Druck in der Gegenstrebe zu erzeugen und in einem hölzernen oder gusseisernen Pfosten zur Aufnahme des Druckes. Wir setzen voraus, dass man den Pfosten erst mit den Gurten verbinde, nachdem die künstliche Anspannung der Spannstangen erfolgt ist, damit dieser kein Hinderniss in den Weg gelegt wird. Alsdann sind die Gleichungen für die künstliche Spannung lediglich die Spannstange, die Gleichungen für die von der Belastung erzeugten Spannungen aber auf Pfosten und Spannstange gleichzeitig zu erstrecken.

64.

I. Zweitheiliges System (Fig. 51). Stellt man für den unbelasteten Träger die Gleicbgewichtsbedingungen für die oberen und unteren Knotenpunkte auf, so findet man der Reihe nach ( f\i =    = — v'o sec cc,

¹ Px*‘ = Pn‘ == —    - VJ sec a,

P₁₃' = P₂₃' = — (V'o — V\ -f- F'₀) sec cc, u. s. w.

Sn ' = S2l' — -|- F'₀ tan cc,

65.

Sl9‘ — S₂₂' = -f (P, — F'₀) tan cc,

Sl3‘ = S,2₃' — -j- ( F'„ — V\ -f- F‘₀) tan a u. s. w.

Bestimmt man nun nach Formel 51 die Spannungen Pin Pt P₁₂, PQ2,... der Streben, welche durch die Belastung erzeugt werden, so kann man

nach den Gleichungen 64 allmählig diejenigen künstlichen Spannungen F₀, Fx, bestimmen, für welche sich die resultirenden Spannungen Pn⁴ 4- Pn, P₁₂' -j- Pl2,... der Gegenstreben = Null ergeben. Es wird

V'Q = 4- -Pu cos

66.

F', = +    + ^a) COS a,

F\> = -f- (Pl2 4- A3) CÖS a u* s* w-

Hiernach wird die künstliche Spannung der Endvertikalen nahezu halb so gross, als die der nächsten Vertikalen.

Hat man nach Formel 52 die Spannung F der End vertikalen, welche durch die Belastung herbeigeführt wird, ermittelt und sind V‘ und F" die Spannungen der Spannstange und des Pfostens, so ist V⁴ 4- V⁴⁴ = V, und, da beide Theile ihre Länge um gleich viel ändern

V    V"

müssen, = ■E„.ll, folglich

67. F' =

E⁴f⁴ + E“ f“

F, F" =

E“ f“

E‘f‘ + E“ f

7/

V,

wenn E\ E“ und f, f“ die Elastizitätskoeffizienten und Querschnittsflächen der Spannstange und des Pfostens bezeichnen.

so

II. Viertheiliges System (Fig. 52). Stellt man für den unbelasteten Träger für sämmtliche Knotenpunkte die Gleichgewichtsbedingungen gegen vertikale Verschiebung auf, so ergeben sich so viel Gleichungen, als Streben vorhanden sind, so dass sich die Spannungen der Streben durch die der Vertikalen ausdrücken lassen. Weniger streng, indess hinreichend genau, ist ein dem §. 28 entsprechendes Verfahren. Zunächst ergibt sich aus der Symmetrie gegen eine horizontale Axe, dass P₁₀ = P₂₀, Pu = P₂₁,... ist. Die Gleicbgewichtsbedingungen der drei ersten Knotenpunkte eines Gurtes gegen vertikale Verschiebung sind nun F₀' 4- P1Q‘ cos a₀ -f-Pll/cosa =0,Vi'-\-Pi0‘coS(x₀-\-P1<1‘cosu — 0, V₂‘4~Ptq cos a 4~ P₁₃/cosa — 0. Setzen wir wieder Pn'4-P₁₃' =2P₁₂' oder P₁₃' —2P₁₂' —Pn', geht die letzte Gleichung über in F'₂ 4- -2 P₁₂' cos a = 0. Hieraus folgt P₁₂' =— -s V‘o sec dies in die zweite Gleichung gesetzt, gibt F, -f-Pxq⁴cos<x₀ —\    F'₂ = 0 oder    Plu' =    — ( V⁴₁ — -₂ F'₂) sec a₀. Dies in die erste

Gleichung    gesetzt, gibt    F₀' —    V⁴l 4* \    Pu'cos a — 0,    mithin

Pu — — (P'o —    4- -0 V‘v)scc a. Sonach ist

[    P₁₀' ⁼    P<io‘ ⁼    ( V'i 2 P'2) sec

68.

Pu =    P<n‘ =    - ( n - V\ + -2 n) ** a,

PVi =    P₂o' =    — I V'a sec a.

Aus den Gleichgewichtsbedingungen der Knotenpunkte gegen horizontale Verschiebung ergibt sich nun sofort

V — $2i‘ — ( J r' i — ~s ^2) tan ao ~t~ ( V‘₀ — * ' i r a ^ A) tan «»

69.

&lo<= $2<1 ⁼ “F ( I \) Ul *4“ U'₂)

'• $i3,== $₂₃' = ” (n ~ U\ — U'„) tan a.

= Null,

Nach §. 28 sind nun die Spannungen P₁₀, P₂₀, Plt, P₂₁,..welche durch die Belastung erzeugt werden, zu bestimmen. Setzt man sodann die Spannung der Gegenstreben, d. i. P₁₀ -f- P,,/, Plt + Pn',. • • so ergibt sich als künstliche Spannung der Vertikalen :

V₀ — Pj o COS (X₀ Pu cos K,

70.

Vt = P₁₀ cos a₀ -f- P₁₂ cos «b U₂ = 2 P₁₂ cos «.

Die Gleichungen 67 behalten auch hier Giltigkeit.

Für die Konstruktion der Howe’schen Brücken in Holz dürfte es indess genügen, die Hauptstreben und Vertikalen unter der Annahme zu berechnen, dass die Gegenstreben nicht vorhanden seien und sodann die grösste Spannung der Gegenstreben halb so gross anzunehmen, als die der Hauptstreben. Unter dieser Voraussetzung ergibt sich nach den Formeln 67 und 70 auch leicht die Spannung der Endspannstangen. Im belasteten Zustande wird die Spannung der Endvertikalen nahezu Null, d. h. es erzeugt sich im Endpfosten ein Druck, welcher dem Zuge in der Endspannstange gleich ist.

Nach der genaueren Bestimmung wird die grösste Spannung im Endpfosten und den Endspanustaugen etwas geringer.

§. 34. Beispiel. Zur weiteren Erläuterung' der Näherungsbehandlung eines kombinirten Systèmes möge noch ein Beispiel dienen.

Howe’sche Gitterbrücke in Holz für ein Eisenbahngleis mit zwei einfachen Trägern von l = 30 Met. Spannweite. Die Brücke soll nur provisorisch dienen. Die Höhe h sei = ^ 1 = 3,75 Met. Das System sei ein 4theiliges und der Strebenwinkel = 45°, also a — 2h tan a — 2.3,75.tan 45° = 7,5 Met. Das eigene Gewicht nehmen wir vorläufig pro Träger zu g — 0,8 Ton. pro Met. an; hiervon komme 0,2 Ton. auf die am Obergurte liegende Bahn, also g, = 0,3 -\-0,2 — 0,5 Ton. auf den Obergurt, g.₂ — 0,3 Ton. auf den Untergurt. Die zufällige Last sei hinsichtlich der Transversalkräfte p = 2,7, hinsichtlich der Momente p — 2,3 Ton. pro Meter.

Fig. 54,

0    1    2    3    4    5    6    7    8    9    10 11 12 13 14 15 16

1    2    3    4    5    6    7    8    9    10    11 12    13    14    15 16 A

1. Vertikalen. Für die Transversalkräfte ist q = 0,8 + 2,7 = 3,5, also g = 0,8 = 0,23 q, p = 2,7 = 0,77 q, g, = 0,5 = 0,14 q, g.x — 0,3 — 0,09 q. Der Querschnitt der Vertikalen ist für den unbelasteten Zustand zu bestimmen. Nach Formel 58 aber

V, = 23,80 - 3,281 m -f 0,0790 m¹ Tonnen.

so ist 2

f%, also

2    2

wird V‘ = - Q — - Q, d. i. für die m te Vertikale im Abstande x = m c von der

n 'd    2 ^

linken Stütze, falls c den Abstand der Vertikalen bedeutet,

jl-x)¹

V,=|.

= | 0,ä3 („-.?>») 3^ + 20,77

(n — m)¹

qi&

d. i.

Nehmen wir als Sicherheitskoeificient des Schmiedeisens 1 Tonne pro Centim., so drückt V‘ gleichzeitig die Querschnittsfläche /i, der Vertikalen aus. Daher ist /₂ == 23,80 — 3,281 m -f- 0,0790 m¹. Lassen wir die Vertikalen aus zwei Rundeisen mit dem Durchmesser 8 und dem Kerndurchmesser <)\ der Schraubengewinde bestehen, n ö,¹

=    = 0,798 VU

und, nahe entsprechend der Whitworth’schen Schraubenscala, 8 = 1,1 d, -f~ 0,14 Centimeter. Hiernach ergeben sich die folgenden Zahlen :

Nr. m

Theor.

Spannung Querschnittsfläche d. Vert.

Theoretischer

Gewählter

Kernäurch- Bolzendurch- jg₀izendurch-messer

messer

messer

Bolzen

quer

schnitt

QokiCiüx^OjtekO

k k k te te je Ka j3i    ks kt jfA

b bi bo bo fo bi Ox Ca bi kekcstaOiOxeoi

k k Ka îe ïc te^citekHA^ok

'bi. bi bc bo b> bi bx ba bi

j-A je je je oo je ço jte fe Lt La b> Lj "b> bo b

j-A je je ÎC-Cü jto jk. jfk bx ~b> Ls Qo La bx bo La ba OxKkOxïeQokAkAÎeO

*o tes tes_ te^ O tes_ o crf    co' co' crf »f oT of

cf rnT uf ©f cf cf <^T cb"

Vi CO 04    t-s

Tonnen

Centim.

□ Centim.

Centim eter

□ Centim.

den oberen Punkt gemein hat, zu legen, es ist also hier m = o zu setzen; ausserdem ist ce₀ für a, oder sec <x₀ = 1,118 für sec a = 1,414 zu setzen. Hiernach wird P₂‘ für

1,118 — — 29,35 Tonnen.

256.3,5 30

1ÖS4

Wir nehmen die Streben quadratisch an und wenden zur Berechnung der Dicke a die halbempirische Formel

diese Strebe = —

PS — Ä a²

383 a²

l² -(- 383 a² ’

an, worin $ den SicherheitscoelFicienten für Druck, l die Länge der Strebe bedeutet (siehe des Verfassers Lehre von der Elasticität und Festigkeit, §. 179). Wir haben i P₂ gesetzt,

weil sich die Kraft P₂‘ auf 2 Streben vertheilt. Setzen wir Ä = 0,06 Tonnen pro Ccm, l = 375.]/2 = 530cm, so wird | P₂

22.98 a ² 3

oder

280900 + 388ai a. a³ — 8,333 P₂‘ a² — 6112 P₂‘ = o.

Bei den steileren Endstreben ist 3820 für 6112 zu setzen.

Hiernach ergeben sich folgende Resultate;

Spannungen der Hauptstreben

PS

Theoretische

Querschnitts

fläche

Theoretische

Biche

Angenommene

a²

Biche

Querschnitts

fläche

29.35 32,59 28,28 24,21

20.35 16.71 13,30 10,11

7,14

478,8

602.3

547.6

495.4

445.2

396.7 346,0

294.2 241.0

bu Lo "bi 'ki co V 'bx 'bi

ÎNSÎOfOtOîatOtoîOîa O C> OjtojNO Cu OxJnd 'bx'bn

«Q

506

625

625

506

506

400

400

400

400

Tonnen

Q Centim.

Centim.

Centim.

□ Centim.

Hierin bedeutet für das mte obere Gurtstück M das Moment für einen durch die Mitte des (m— 1) ten unteren Gurtstückes gelegten Vertikalschnitt, d. i. M —

q (m — I) c 11 — (m —    c J    ^ (2m — 3) (2 n — 2m -j- 3) q c⁵. Setzt man die

Werthe für q, h und c ein, so erhält man

St = 37,8 — 27,61m + 1,453 m² Tonnen.

Nehmen wir den Sicherheitskoefficienten für Druck zu 0,06 Tonnen pro □«» an, so ergibt sich als Querschnittsfläche

/', = — 630 -f- 460,2 m — 24,22 m² □ Centim.

Die grösste Querschnittsfläche ergibt sich für m = 8 zu f, = 1503\Z\cm- Nehmen wir drei Balken an, so kommt auf jeden 501 □cw». Nehmen wir die Breite zu 25cm an, so ergibt sich, wenn wir für die zum Anstemmen der Streben dienenden Klötze einen

2cm tiefen Einschnitt voraussetzen, die Höhe zu ~ + 2 = 20,04 + 3,00 = 22,04, wofür wir 25cm annehmen, so dass der wirkliche Querschnitt 3.25.25 — 1875 [Jcm beträgt. Wir behalten diese Stärke im ganzen Träger bei.

5. Untergurt. In gleicher Weise ergibt sich für die Spannung S₂ des m ten Stückes des Untergurtes

8a = 32,0 + 18,89 m — 1,453 m² Tonnen,

und wenn wir den Sicherheitskoefficienten für Zug zu 0,08 Tonnen pro Qcw annehmen, als Gurtquerschnittsfläche /'₂ :

f₂ = 400 -f- 236,1 m — 18,16 m² □ Centim.

Die grösste Querschnittsfläche ergibt sich hiernach für m = 8 zu f₂=1127; auf jeden der 3 Balken kommen sonach 376 Im 4ten und 6ten Felde sollen Stösse angeordnet und hier der gestossene Balken bei der Bestimmung der Querschnittsfläche nicht einbezogen werden; für m—6 aber wird f₂ = 1163, so dass auf jeden der 2 Balken 582 □em kommen. Bei einer Breite von 25cm und einem Einschnitte von 2cm

rop

wird die Höhe = ——\- 2 = 25,28, Avofür wir 25cm annehmen.

V. Kapitel.

Materialmenge.

§. 35. Vorbemerkung. Theils zur Aufstellung eines Näherungs-ausdruckes für die vorläufige Bestimmung des Eigengewichtes einer Brücke, theils zur Ermittlung der zweckmässigsten Anordnung des Systèmes, sowie zum Vergleiche verschiedener Systeme wird es nothwendig, einen Ausdruck für die theoretische Materialmenge aufzustellen. Wir verstehen darunter diejenige Materialmenge, welche der Träger erhalten würde, wenn alle Theile nur die theoretisch nothwendige Querschnittsfläche erhielten. Die Verwendung dieser Ausdrücke zur Ermittlung der wirklichen Materialmenge durch Multiplikation mit sogenannten Konstruktionskoefficienten wird im praktischen Theile gezeigt werden.

Winkler’s Brückenbau; Theorie II. Heft.

— Y^24^²⁵⁶ - 32 m + °,77mł) Ï1 seca

(Z- xy

PY=-

— 0,363.

§. 30. Volumen der tiurte, Wir wollen nur den Fall behandeln, dass für beide Gurte dieselbe zulässige Inanspruchnahme K angewendet werde. Das gesammte Volumen beider Gurte bezeichnen wir mit Vlf das variable Volumen pro Längeneinheit mit vt. Legen wir in Richtung der transversalen Maschendiagonalen einen Schnitt, welcher den Ober- und Untergurt

Fig. 55.

in Punkten schneidet, die den Punkten V und W (Fig. 55) entsprechen und stellen V F', W W‘ die Maximalmomente für die W W‘

WW‘

4-

Punkte V und W dar, so ist die Spannung des Obergurtes = —^—, die des V V“

Kh

Untergurtes h , also die Materialmenge pro Längeneinheit vt —

V V _ VV‘ -\-W W‘

. Nun aber ist, wenn man mit M das Moment, welches einem in der Mitte zwischen V und W liegenden Punkte entspricht, sehr nahe VV‘ -f WW‘ = 2M, mithin

Kh

Kh

2 M Vl==Kh'

also das Gesammtvolumen

71. Vx =

Tkf

M dx,

wobei die Integration über die gesammte Lauge des Trägers auszudehnen ist.

Stellt man die Momente M durch Ordinaten dar, so ist / M dx die gesammte von diesen Ordinaten gebildete Fläche (Fig. 55). Bezeichnet man ein mittleres Moment mit 2U, die gesammte Länge des Trägers mit L, so ist jMdx = ?0}L, mithin

2JSIL Kh *

Wendet man zur Bestimmung der Querschnittsfläche die Formel 7, Seite 9 an, so tritt an Stelle dieses Ausdruckes der Ausdruck

71 a. Vt =

7, rJ = -(|o ₊ | ₊ f),

wenn 9J?₀ das mittlere Moment für das Eigengewicht, SOI, das Mittel der absolut genommenen Maxima der Momente und 3)?₂ das Mittel der

Fig. 56.

absolut genommenen Minima A    der Momente für die zufällige

fl'¹

pH

J|\ PjjjjjjP Last bedeutet. In Fig. 56 ^ ^ie Momenteniinie für das Eigengewicht punktirt ; die gesammte schraffirte Fläche stellt 5D7, L, die dunkel schraffirte Linie stellt    dar.

a. Einfacher Träger. Für einen einfachen Träger lässt sich M durch eine Parabel mit der Fläche s₃. ~ ql* . I — ~ ql³ darstellen; hier ist also üß = jg ql², also

q l³

73. F, =

6K1Ï

Bei Anwendung der Formel 72 jist 3ß₀ = ~ gl². üß, = p pl*, üß₂ = 0 zu setzen, daher wird

l³

74. F, =

6 h (*„ + *')•

b. Kontinuirlicher Träger. Die Werthe von aß für Träger mit 2, 3 •und 4 Feldern sind in der „Theorie der Brücken, I. Abschnitt, X. Kap.“ angegeben. Ebenso sind die Werthe von V₁ nach Formel 71a in: „Eiserne Brücken, II. Heft“ (II. Aufl. S. 237) zusammengestellt. Allgemein kann man 3ß durch einen Ausdruck von der Form

TI = (Aff + Bp) l*

darstellen, wenn l eine mittlere Spannweite bedeutet, so dass also bei m Oeffnungen

75. Vt =

wird; hierbei ist A — 0,042 bis 0,049, B — 0,068 bis 0,077 und man kann durchschnittlich

( 0,09 g + 0,14p) m l³

75 a. \\ —

setzen. Bei Anwendung der Formel 74 ist annähernd allgemein Üß₀ = Agi*,

Kh

= Bpi* und aß, _ äß₂ = | üß₀ oder 3ß₂ = üß, — |üVł₀=Bpl*

— Apl* oder üß₂ = (B—A) pl* zu setzen und zwar ist B — A durchschnittlich = 0,34 B. Ferner kann man für Schmiedeeisen¹) K^ — 2,2 Kx bis 2,5 Kt setzen. Daher wird annähernd

in l³

(0'°⁹ K₀ + ⁰¹⁶ w)

76. F, =

c. Kontinuirlicher Gelenkträger. Hier lassen sich die Werthe von laß, welche nach „Theorie der Brücken, I. Abschn. §.31“ zu bestimmen sind, weniger genau durch Mittelwerthe ersetzen, da nicht nur das Ver-hältniss der Felderlängen, sondern auch ,die Lage der Gelenke Einfluss übt. Für drei Felder kann man unter der Voraussetzung günstiger Anordnung etwa durchschnittlich, mögen die Gelenke in dem äusseren oder im inneren Felde liegen, üß₀ = 0,045gl*, 3~0,075pl*, 3\ = 0,030pl* setzen. In Formel 75 a würde daher 0,15 statt 0,14 und und in For-

) Winkler, Wahl der zulässigen Inanspruchnahme. Wien, 1877.

mel 76 würde 0,175 statt 0,16 zu setzen sein, um diese Formeln annähernd für kontinuirliche Gelenkträger passend zu machen.

Sind zwei verschiedene Koefficienten K' und K“ für beide Gurte 112

anzuwenden, so ist -}- für zu setzen. Das Gewicht ergibt sich,

-f- gj: für ^ setzt, falls y‘ und y“ die Gewichte der Volu-meneinheit bezeichnen.

wenn man

§. 37. Volumen des einfachen Gitterwerkes bei gleichem Materiale. Die Spannungen der unter a und ß gegen die Vertikale ge-

1 1

neigten Stäbe AB und CD sind + - Qysec a, — - Qa sec ß, wenn Qx Fig. 57.

und die Transversalkräfte für die Schnitte CD und AB bezeichnen. Die Querschnittsflächen beider

Stäbe sind sonach unter der Annahme gleicher

1 1

Zug- und Druckfestigkeit Qx sec a und h sec ß und ihre Längen ln sec a und h sec ß. Sonach ist das Volumen beider Stäbe

(Ql sec* a + Q, sec² ß).

Es genügt für den vorliegenden Zweck,, statt Qj und Qg die Transversalkraft Q für den durch die Mitte E beider Stäbe gehenden Vertikalschnitt einzuführen. Alsdann wird das Volumen beider Stäbe

Qli

(sec² a    sec² ß).

nK

Die Länge AC = BD ist = \ h (tan a -f- tan ß). Auf diese Länge kommen ^ n Stäbe mit der Neigung a und | n Stäbe mit der Neigung ß.

Sonach ist das Volumen V₂ des Gitterwerkes auf die Längeneinheit

Q (sec" (t + sec² ß)

K (tan fC + tan ß) ’

Hieraus folgt zunächst, dass weder die Trägerhöhe h, noch die Theilungszahl n auf das Volumen des Gitterwerkes von Einfluss ist.

Soll das Volumen zu einem Minimum werden, so müssen die Differenzialquotienten von t>₂ nach a und ß = o gesetzt werden. Da nun aber der Ausdruck für vq in Beziehung auf a und ß symmetrisch ist, so müssen sich für a und ß gleiche Werthe ergeben. Setzt man aber a — ß, so wird

77. v₂ =

78. Vo —

2Q

K s in 2 cg '

Sonach wird v₂ zum Minimum, wenn sin 2 a zum Maximum wird, d. i. für 2 a — 90° oder für a = 45°. Das Gitterwerk beansprucht

also möglichst wenig Material, wenn beide Lagen der Gitterstäbe unter 45 Grad geneigt sind. Für diese Lage (Netzwerk) wird

79. v₂ = 2

Für das F ach werk (ß = ö) dagegen wird

80. v₂ =

Q (1 + sec² et) Q (2 + tan² u)

K tan ct

K tan et

Hiernach wird v₂ zu einem Minimum für

tan a = }/2, cc = 54° 44' 8".

Für diese Neigung wird

81.

v„

= 2V2$r

K’

so dass das Fachwerk ]/ 2 = 1,414 mal soviel Material beansprucht, als das Netzwerk mit a = ß = 45°. Für ß — o und « = 45° wird

82.    v„ = .3

so dass hier das Fachwerk 1,5 mal soviel Material beansprucht, als das Netzwerk mit cc = ß = 45°.

Für eine beliebige Lage der Gitterstäbe können wir sonach

83.    Vç =C Q

setzen, wobei C einen zwischen den Grenzen 2 und 3 schwankenden Koefficienten bezeichnet. Das gesammte Volumen F₂ des Gitterwerkes ist sonach

84. K =

Jq dx,

wobei die Integration über die Ausdehnung des ganzen Trägers zu erstrecken ist. Stellt man die Transversalkraft Q durch Ordinaten

Fig. 58.

dar, so ist jQdx die gesammte von diesen Ordi-

naten gebildete Fläche (Fig. ||x 58) Bezeichnet man eine Jßjg mittlere Transversalkraft mit C, so ist /Qdx = QL, mithin

iff

1Î

F„ =

<?DL

Wendet man zur Bestimmung der Querschnittsfläche die Formel 7 (Seite 9) an, so ist statt dieser Formel

k, ^ kJ

(S+

85. F₂ = CL

anzuwenden, wenn, entsprechend der Formel 72, Q₀ die mittlere Trans^ versalkraft für das Eigenwicht, C₁ das Mittel der absolut genommenen?

Maxima der Transversalkräfte, das Mittel der absolut genommenen Minima der Transversalkräfte bedeutet. In Fig. 59 ist die Transversalkraft für das Eigengewicht durch eine punktirte Linie angegeben; die gesammte schraffirte Fläche stellt O, L, die dunkel schraf-firte Fläche stellt dar.

a. Einfacher Träger. Für den einfachen Träger wird bekanntlich Q = -₂g (l — 2x) -f- j —~ —Da nur der absolute Werth von Q in Frage

kommt, so ist die Integration nur von x = o bis x — \ l auszudehnen und das Integral doppelt zu nehmen. Sonach wird

'lilii

Fig. 59.

4flki

A/!''¹ :

il

il

g j(l — 2x) dx -f-o    o

— x)q d x.

Die Ausführung der Integration gibt O = -₄gl + 4Pl; sonach ist

y - Cll

— 4K

Zur Anwendung der Formel 85 ist O₀ = \ gl, D, = ^ pl und

86.

ii

r

^2 = jx*dx=-^-pl 0

zu setzen. Setzen wir ausserdem nach dem vorigen Paragrafe durchschnittlich K„ = 2,35Kx, so wird

87. F₂

= er- ^0,25    + 0,31

b. Kontinuirlicher Träger. Die Werthe von 0 für Träger mit 2, 3 und 4 Feldern sind in der „Theorie der Brücken, I. Abschnitt, X. Kap.“-angegeben. Ebenso sind die Werthe von F₂ in „Eiserne Brücken“, II. Heft (II. Aufl. S. 237) zusammengestellt. Allgemein kann man 0 durch einen Ausdruck von der Form

darstellen, wenn wieder l eine mittlere Spannweite bezeichnet, so dass also bei m Oelfnungen

88. F₂

C (A g 4- Bp) m 1*²

wird; hierbei ist A — 0,256 bis 0,264, B = 0,320 bis 0,354. Mau kann daher durchschnittlich setzen :

88 a. V₂ — jç(0,26(j+ 0,34p) ml*.

Bei Anwendung der Formel 85 ist £)₀ = A g l,    = B P V

ö„ = (B — A) p l ist zu setzen unü zwar ist durchschnittlich B — A = 0,24 B. Setzen wir ausserdem, wie vorhin K,₂ — 2,35 K, so wird

V + 0,37

c. Kontinuirlicher Gelenkträger. Unter der Voraussetzung günstiger Anordnung lässt sich hier durchschnittlich Q₀ = 0,262 g Ï, Qj = 0,326pl, D₂ = 0,064pl setzen. Hiernach würde in Formel 88« 0,33 für 0,34, in Formel 89 0,35 für 0,37 zu setzen sein, um diese Formeln für kontinuirliche Gelenkträger passend zu machen.

89. Vo— Cl*m ^0,26

)■

§. 38. Volumen des Fach Werkes mit schlaffen Diagonalen.

Die im vorigen §. gemachte Untersuchung setzt voraus, dass der Träger durchgehends nur einfaches Gitterwerk erhalte. Beim Fachwerke mit schlaffen Diagonalen aber müssen die Diagonalen in derjenigen Strecke D E (Fig. 60), in welcher die Transversalkraft positiv und negativ werden kann, doppelt augeordnet werden; Hier müssen bei der Bestim- A mung des Volumens die Vertikalen und Diagonalen gesondert werden.

Das Volumen einer Vertikalen ist—. h; da auf die Länge h tan a aber n Vertikalen kommen, so ist das Volumen der Vertikalen pro Längeneinheit

Fig. 60.

\B'

, Q . Qh

V * — -j^COt a. — ——.

Das Volumen einer Diagonalen ist

sec a. h sec a =

Qhsec'¹ u

nK

. Da

nK

auf die Länge h tan a wieder n Diagonalen kommen, so ist das Volumen v,J „ der Diagonalen pro Längeneinheit

V 2--

2 Q _Q a* -f- h²

K sin 2 «    K ah

Wir bestimmen nun zunächst das Gesammtvolumen für einen

h

einfachen Träger. Das Volumen F'₂ der Vertikalen ist — ^ jQdx, wobei das Integral der Fläche ABB'C'A' (Fig. 60) entspricht, d. i.

Lïo-o+p(p-Js + is*)l.

Kahl

Für X — 0 wird Q = 0, mithin ist £ durch die Gleichung gl (Z—2§) -j-p (l — |)² = 0 oder

Ź* — 2(l + m) ll 4- (1 -F m) Z² =

bestimmt; hieraus folgt

i = {i +

V\ = 2.

-2x)-\-p

(l-xV

dx

(6 m -}- 7) q Z² h 24    K a

wenn man das Verhältnis ^ mit m bezeichnet. Das Volumen F"₂ der

wobei das Integral den beiden Flächen

hl²

MK~a^ + 7» =

aJ+^

Kali

AA'D lind jBB'E (Fig.'60) entspricht, d. i. wenn wir die Länge AD mit £ bezeichnen,

Diagonalen ist =

y« _ ₉ a 2 + h 12

² 2Kah

i [»"

0

(l — xY

dx

- ]/» -f- m ² ) l ;

dies eingesetzt, gibt

Q² 4- h*)l

V\

Kali

(* +

— \/~ m -f- m²) g (]/" m -j- m ² — m )

F"„

+    -f- -2 m² -f- (I —    j/⁻m -f-~ m²} J

ql*

~ SK

, oder

— 2m² -f- 2m ]/w -f- m<i)-

Das Gesammtvolumen F₂ kann man sonach setzen:

fj l-

K ’

90.

wenn man zur Abkürzung setzt:

•=(*x+*ł)

6 m + 7 £4 (4 + m)

+    \_1 — m — 2 m²+ - m l/m -j- m²]

iS

Hiernach schwankt y nur zwischen und ó nur zwischen \ und |, wenn m zwischen den Grenzen o und oo schwankt. Eine Tabelle für y und d findet sich in „Eiserne Brücken“, II. Heft (I. Aufl. S. 192). Sehr nahe wird hiernach y = 0,235 ⁹- -f 0,315 ï-

91.

q    q

= 0,486 $ + 0,616 -.

q    q

-, also

Es genügt aber auch für die praktische Anwendung, ô = 2 y und y = 24 (1 + m)

92. F₂ =

zu setzen. Es wird dann diese Formel übereinstimmend mit der Formel 86,

= Ti ² « Diese

da für Fach werk nach Formel 80 C —

2 + tan* cc tan cc

Näherung kommt auf die Vernachlässigung des Dreieckes B C¹ E (Fig. 60) oder auf die Vernachlässigung der Gegendiagonalen in der Strecke BE hinaus. Der hierbei begangene Fehler liegt zwischen den Grenzen 0 nnd 4 Procent.

Bei Anwendung der Formel 7, Seite 9 zur Querschnittsbestimmung wird der genaue Ausdruck für das Volumen noch etwas komplizirter, weil für die doppelten Diagonalen, deren untere Spannungsgrenze Null ist, eine Abweichung hinsichtlich der Querschnittsbestimmung eintritt (vergl. das I. Beispiel zu §. 26). Wenn man aber auch hier die Näherung zulässt, welche der Formel 92 zu Grunde liegt, so kann die Formel 87 auch hier in Anwendung kommen oder es ist in Formel 92 0,31 für 0,292 zu setzen.

Auch für kontinuirliche Träger kanu man die Formel 88 bis 89 verwenden; jedoch kann hier der Fehler noch etwas grösser werden als beim einfachen Träger.

§. 39. Einfaches Gitterwerk bei ungleichem Materiale. Wenn für die beiden Stablagen ungleiches Material gewählt wird, so ist nicht mehr das Volumen für die zweckmässigste Anordnung massgebend, sondern der Preis. Wir müssen daher einen Ausdruck für den Preis des Gitterwerkes aufstellen. Bezeichnen wir den für Zug und Druck zu wählenden Sicherheitscoelficienten mit K' und AT", den entsprechenden Preis der Volumeinheit mit Je' und ß", so sind die Kosten der beiden Stäbe AB und CB (Fig. 57), wenn wir die Transversalkraft für beide Stäbe

Q sec a ~JEKr

Je“. Auf die Länge h (tan a -(- tan ß) kommen von jeder Schaar n Stäbe, mithin sind die Kosten des Gitterwerkes pro Längeneinheit, wenn man Je⁹ k"

noch die Verhältnisse und ^ bezüglich mit s‘ und s“ bezeichnet,

& sec² cc + E“ secJ ß tan cc -|- tan ß

wieder gleich, und zwar == Q annehmen,

hseca.k¹ und

Qsec ß

nK“

Jisecß

93. p = Q

2 s¹ tan a (tan a -f tan ß) — s'sec² a + *" sec² ß, 2s" tan ß (tan a -f- tan ß) — s/ sec² a -f- e“ sec² ß. Die Division dieser Gleichungen gibt s'tanu = s" tan ß oder

Differenziirt man nach a und ß und setzt jeden Differenzialquotienten = o, so ergibt sich

tan ß = —- tan u. s‘

Setzt man in der ersten Gleichung sec² a = 1 -f- tan² cc, sec² ß — 1 -f- tari¹ ß und setzt sodann für tan ß den eben erhaltenen Ausdruck, so ergibt sich für die zweckmässigste Lage der Gitterstäbe die einfache Regel:

tan cc =

94.

tan ß =

VM/

vt-v

K'k“

Kk

K‘ku’

Hiernach wird tanß — cota = tan (90⁰ — a) oder ß = 90° — a, ’d. i.: Die Gitterstäbe sollen auf einander senkrecht stehen.

Setzt man die für tan a und tan ß erhaltenen Werthe in die Formel 93 ein, so findet man als Minimalpreis pro Längeneinheit

k' k“

= 2 QVvB",

9o. p = 2 Q

während für u = ß = 45°

¹

Streben. Wir ordnen die Hauptstreben doppelt, die Gegenstreben einfach an, geben aber beiden gleiche Dicke. Die Gegenstreben haben dann eine mehr als ausreichende Stärke. Die Spannung einer Hauptstrebe ist nach Formel 60 P₂' = ■—

2    j

- Qsec a = — - Q sec a, Avenn Q die Transversalkraft für einen durch die Mitte der

Strebe gelegten Vertikalschnitt bedeutet, d. i. für die Strebe, deren Mitte mit der m ten Vertikalen zusammenfällt,

sec a —

= 37,12 — 4,640 in -f 0,1117 m¹ Tonnen.

Für die Hauptstrebe im ersten Felde hat man sich den Schnitt durch die Mitte einer idealen unter dem Winkel a geneigten Strebe, welche mit der wirklichen

²

   Endvertikalen. Der in der Endspannstange zu erzeugende künstliche Zug ist nach §. 33 = -g {29,35 cos tx₀ -f- 32,59cos a) = ¹ (29,35.0,895 + 32,59.0,707) = 24,66, welcher einen Bolzendurchmesser von 4,5cm verlangt.

Die Spannung im hölzernen Endpfosten ist nach §. 33 ebenfalls 24,66. Wenden wir 2 quadratische Säulen an, so ergibt sich statt der Gleichung a der geringeren Länge wegen a⁴ — 8,333.24,00 a² — 3056.24,66 = o, woraus a² = 350, a = 18,7cm folgt. Der leichteren praktischen Durchführung wegen wählen wir zwei Säulen von 25cm im Quadrat.

³

   Obergurt. Für die Momente ist q — 0,8 + 2,3 = 3,1 also g — 0,8 — 0,26 q, p = 2,3 = 0,74 q. Nehmen wir die Gegenstreben als nicht vorhanden an, so wird die Spannung S, des mten oberen Gurtstückes nach Formel 28:

p M    2² ■— lqa²

¹ h “ 24.2² ~7T ~~ ~ h

Je“

96. p =

«(-2T +

würde, so dass sich dieser Preis zum Minimalpreis wie das arithmetische Mittel zum geometrischen Mittel von s' und s" verhält. Meist werden beide Werthe nicht viel von einander abweichen.

Nach 94 ergibt sich diejenige Schaar der Gitterstäbe als die steilere, für welche der Sicherheitskoefficient der kleinere und der Preis der Volumeneinheit der grössere ist. Hinsichtlich der praktischen Zulässigkeit dieser Werthe für a und ß sprechen wir im konstruktiven Theile.

Wir haben bei der soeben geführten Entwicklung die gewöhnliche Methode der Querschnittsbestimmung vorausgesetzt, weil die Werthe der Koeffizienten K₀, Kv K„ in der neueren Regel 7, Seite 9 für verschiedene Materialien noch nicht hinreichend bekannt sind Wenn das Verhältniss dieser Koeffizienten bei verschiedenen Materialien dasselbe wäre, so würden die Regeln 94 für die Lage der Gitterstäbe ihre Giltigkeit behalten.

§. 40. Doppelfachwerk mit künstlicher Anspannung. Wir

setzen im Folgenden nur Gitterwerk mit Vertikalen, sowie Haupt- und

Gegendiagonalen voraus. Die grösste Spannung einer Vertikale ist 2 also und das Volumen pro Längeneinheit, da der Abstand

2Qh Ä'T

zweier Vertikalen = - h tan « ist, n

ihr Volumen

V 2 K‘ tan d

Die Spannung einer Hauptdiagonale ist ~ Q sec a, also das Volumen hsec*a, und das Volumen pro Längeneinheit, da auf die

Länge ~ h tan a eine Diagonale kommt,

t, Q sec² a

V 2 ~ Wtända — Ku

derselben

K" n

Q 1 4- tan'¹ a tan a

Nehmen wir an, dass die Gegendiagonalen einen Querschnitt erhalten, welcher das x fache von dem der Hauptdiagonalen ist, so wird das Volumen der Gegendiagonalen

Ql-f- tan² a ~~ * K“    tan a

Wir unterscheiden nun folgende Fälle:

1. Gleiches Material. Das Gesammtvolumen v₂ des Gitterwerkes wird für K‘ = K“ = K:

97. rq= -g

Q 2 + X + (1 + X) tan² u

tan cc

Hiernach wird v zu einem Minimum für

98. tan cc =

2+X

1+X

und zwar wird

99. minv^ — ^2 ]/(*+X)(2+X).

Für x = £ wird tan u = ^\/l5 = 1,291 und min = |/i5 ^ = 3,873 während für tan a = l y₂ = 4 0, und bei Weglassung der Gegendiagonalen min = 2 \d~2 ^ = 2,828 ^ wird. Für Netzwerk wird min

~2Q-— ⁴ K>

pelte steigen kann.

2. Verschiedenes Material. Hinsichtlich der zweckmässigsten Lage der Diagonalen kann nur der Preis entscheiden; derselbe wird, wenn der Preis der Volumeneinheit für Vertikalen und Diagonalen bezüglich k‘ und k“ ist, pro Längeneinheit

100. k —    ⁽*

so dass beim Doppelfachwerke der Materialbedarf auf das Dop-

tan « [#■+s*+u,n² “>)

Hiernach wird k zum Minimum für

101. tan cc zr

k‘ K“

(1 + X) k‘K‘

und zwar wird

102. min k — 2 Q

\/{1 + xl \k‘ + (2 + x) ïh]

Wenn es sich nur um die Bestimmung des Gewichtes handelt, so erhält man als Gewicht g pro Längeneinheit, wenn yv yq das Gewicht der Volumeneinheit bezeichnet,

103. g— Q

tan cc

Für Howe’sche Brücken mit hölzernen Streben und eisernen Vertikalen kann man x = 0,5 und ungefähr y, = 7,7, y₂ = 0,9 Tonnen pro Kubikmeter und K = 4000, K“ = 500 Tonnen pro Q Meter annehmen. Daher würde in Tonnen pro lauf. Meter

0,00463 + 0,00270 tan ² «

V

tan a

104. g —

und für a — 45°: g = 0,0073 Q.

Die Bestimmung des Gesammtgewichtes hat nun ganz wie in §. 37 zu erfolgen. Man kann die dort angewendeten Regeln ohne Weiteres

c

beibehalten, wenn man statt des dort auftretenden Faktors ^ den Faktor

|^7- -F {1 -f- *) (2 + tan²a) J setzt. Das Verhältnissx bleibt in denjenigen Theilen des Trägers, wo die Transversalkraft entweder nur positiv oder negativ ist, konstant, z. B. beim Howe’schen Träger = 0,5. In demjenigen Theile, wo Q positiv und negativ werden kann, können die Gegendiagonalen auch die Stelle der Hauptdiagonalen zu übernehmen haben und hier müssen die Gegendiagonalen zum Theil stärker, x also grösser genommen werden, lndess sind hier die Transversalkräfte so klein, dass der Fehler nur sehr klein wird, wenn man x konstant nimmt; der Fehler wird selbst kleiner, als der im vorigen §. angegebene Fehler für das einfache Fachwerk, wenn man dort die Gegendiagonalen vernachlässigt.

§.41. Lagerständer.

1. Netzwerk mit regelmässigem Anschlüsse des Gitterwerkes. Wenn das Gitterwerk regelmässig bis zum Ständer fortgesetzt ist (Fig, 43, S. 43), so ist bei dem Stützendrucke D und der Theilungszahl n der Druck in den einzelnen Theilen nach §. 18 von oben herab \ D, \ D, ? D, ...

I). Die Anzahl der Theile des Ständers ist = \ n. Demnach ist das theoretische Volumen v₃ des Ständers

+ ⁺ •••

Die Summirung der Beihe in der Parenthese gibt j w; sonach wird

§ I Ox

n-11

n J

Dli

- 2K-

Demnach wird das Volumen V₃ beider Ständer eines einfachen Trägers, da hier D = \ql ist,

105 V —

1    y»—2K‘

Bei einem kontinuirlichen Träger oder kontinuirlichem Gelenkträger mit m Feldern von der mittleren Spannweite l ist die Summe aller Stützendrücke bei totaler Belastung mql; die Summe aller Maximalstützendrücke ist indess etwas grösser, wir können dieselbe — m (g sp) l setzen und erhalten also als Volumen aller Ständer

106. T₃ = ^m(g + Ep)-^.

Für kontinuirliche Träger wird für zwei Felder s = 1,063, für 3 Felder nahezu s = 1,10, für 4 oder mehr Felder nahezu s — 1,12, für kontinuirliche Gelenkträger mit 3 Feldern wird nahezu s — 1,03 bis 1,04, so dass man allgemein hinreichend genau

1h

107. V₃ = m (0,50 g -j- 0,54 p)

setzen kann.

2. Netzwerk mit unregelmässigem Anschlüsse des Gitterwerkes. Wir

setzen jetzt voraus, dass die Gitterstäbe nur vom oberen und unteren Ende des Ständers ausgehen (Fig. 44, S. 52). Alsdann ist der Stützendruck nach §. 19 nahezu = ~ D, folglich das theoretische Volumen,

wie oben, = so dass hier die Formeln 105 bis 107 ebenfalls giltig bleiben. Da hier indess an den Enden etwas mehr Material für das Gitter

werk nothwendig ist, so wird es noch nöthig, diesen Mehrbedarf zu bestimmen. Die Spannung eines von einem Ende des Ständers ausgehenden Stabes ist sehr nahe ^ Q sec ccv wenn Q die Maximaltransversalkraft am Ständer, at den variablen Strebenwinkel bedeutet; sonach ist das Volumen

aller von beiden Enden des Ständers ausgehenden Stäbe 2~.h Usée² ax =

_ 2 Qh — ~nK

⁵ nKh + tan>i ~ Vk [ I

)]

f n (w +1) (n + 2) Ci¹ 1

L 2~T~    ' 24 nh* J

oder

Qh

(» + 1) (n -r ²)

3n²

tan ² aj.

Bei regelmässigem Anschlüsse des Gitterwerkes ergibt sich als Volumen sämmtlicher an den Ständer anschliessenden Stäbe h sec² cc

{2 -f- n) Qlisec'a

•!(*+*+ ••• +1)

2 nli

oder

_ Q hn-\- 2 K 2n

(1 -f tan² cc).

Der Unterschied in beiden Fällen, also der Mehrbedarf v₄ gegen den regelmässigen Anschluss ist

Qh n —

n-\-2

tan²    .

Sonach wird der Mehrbedarf V₄ für beide Enden eines einfachen

Trägers

11 -f- 2

3 n

ql h n —

K 2 n

Hiernach ergibt sich für einige Theilungszahlen allgemein : n — 2 : V₄ = 0

n = 4: V₄ = ~

108.

r₄ =

tan² ccj.

für a = 45 Grad :

i’

n —6:

Â¹

—    - tan² x

—    - tan'¹ a

y

V₄ = 0. v — lqW K’ 4— 8 K' v _ 5 qlh

⁴~^X'

1 qlh 3 K~

qlh

\ Ui K’

er-

Î(} - 5 tan'“)ąJE'

n = oo: V₄ =

Bei einem kontinuirlichen Träger oder kontinuirlichen Gelenkträger ist m (g -f- sp) l für ql zu setzen wenn m, « und l dieselbe Bedeutung haben, wie oben.

3. Fachwerk mit unregelmässigem Anschlüsse des Gitterwerkes. Wir

setzen voraus, dass die Gitterstäbe nur vom oberen Ende des Ständers ausgehen (Fig. 45, S. 54). Alsdann ist der Druck im Ständer gleich dem Stützendrucke D, das theoretische Volumen des Ständers also

I)h

Das theoretische Volumen V₃ beider Ständer eines einfachen Trägers ist sonach

109. r₃ =

qlh

Bei einem kontinuirlichen Träger oder kontiuuirlichen Gelenkträger ist wieder m (g -f- ep) l für q l zu setzen.

Der Mehrbedarf v₄ an Material im Gitterwerke gegenüber dem regelmässigen Anschlüsse ergibt sich ganz in derselben Weise wie im vorigen Falle; derselbe ist für den Anschluss an einen Ständer

V4 =

Q lin — K 2 n

n -j- 1

tan* aj.

Sonach wird der Mehrbedarf V₄ für beide Enden eines einfachen Trägers

qlhn — 1 K 2 n

110.

j n+1

tan² ccj.

Hiernach ergiebt sich für einige Theilungszahlen : allgemein :

r₄ = o,

für a = 45 Grad:

n — 1:

V4 = 0,

n — 2: V₄ =

h-J.

(l— -otan*uj

n = 3:

y₄ =

Kl

T/- _1 q l h

⁴ ~8 K ’

T, 5 qlh

* 4 2y    >

\ qlh

_1 ql h

3“IT'

Ueberhaupt ergibt sich V₄ ebenso gross wie beim Netzwerke mit doppelt so grosser Theilungszahl. Bei einem kontinuirlichen Träger oder kontinuirlichen Gelenkträger ist wieder m (g -f- s p) l für q l zu setzen.

Bei Anwendung der Formel 7 (Seite 9) zur Querschnittsbestim-mung ist in den Formeln 105, 108, 109 und 110 für einfache Träger

X₀Jr^- für zu setzen. Bei kontinuirlichen Trägern und kontinuirlichen Gelenkträgern aber kann der Stützendruck in Folge der zufälligen Last auch negativ werden; setzen wir das negative Maximum gleich dem x fachen des Stützendruckes für totale Belastung, so ist

JL _l I *P fflr 9 + *P K₀ + X + K fUr K

wir durchschnittlich e = 1,08, AT₂ = 2,35 Kv so ist -f- 1,16 ~ für g oder 0,50    -f- 0,56 -jjjr für 0,50+0,54p zu setzeu.

n — oo : V. — -

nur

zu setzen. Es wird genau x = « — 1 ; setzen

§. 42. Gesanimtvoluineii des Trägers. Das Gesammtvolunien eines Parallel - Gitterträgers lässt sich nun nach den erhaltenen Kegeln darstellen durch den Ausdruck

111. V —

(AoJ+B°+Voj)j^

⁺ {A'J + B'+ C'l)%

worin sich die Glieder mit den Koefficienten A, B, C auf das Volumen der Gurte, des Gitterwerkes und der Endständer (incl. Mehrbedarf im Gitterwerke bei unregelmässigem Anschlüsse) beziehen. Bei einem kontinuirlichen Träger ist immer m l, d. i. die Gesammtlänge für l zu setzen.

Die Koeffizienten sind etwas variabel, je nachdem es sich um einfache oder kontinuirliche Träger, Netzwerk oder Gitterwerk handelt. Die Werthe von Ax, Bx, Cx werden etwas verschieden, jenachdem man K₀ = Kx (und K₂ = 0) setzt oder für K₀ und Kx in Uebereinstimmung mit der Formel 7 (Seite 9) verschiedene Werthe annimmt. Im letzteren Falle wollen wir Ax, Bx, Gx für Ax, Bt, Cx setzen. Im Folgenden stellen wir. diese Koeffizienten nochmals zusammen:

I = 0,167;

I. Gurte: Einfache Träger : A₀ = Ax

kontinuirliche Träger: A₀ = 0,08 bis 0,10, Ax = 0,14 bis 0,15, Ax‘ = 0,16 bis 0,17, im Mittel Ao = 0,09, Ax = 0,14, Ax' = 0,16: kontinuirliche Gelenkträger : im Mittel A₀ == 0,09, Ax = 0,15, Ax‘ = 0,175.

II. a. Gitter werk: Netzwerk: einfache Träger B₀ — 0,50, Bx = 0,58, Bx‘ = 0,62;

kontinuirliche Träger: B₀ = 0,51 bis 0,53, Bx = bis 0,70, Bx‘ = 0,70 bis 0,75, im Mittel B₀ = 0,52, Bx = 0,70, Bx' = 0.74\ kontinuirliche Gelenkträger: im Mittel B₀ = 0,52, Bx = 0,65, •Bi'=

b. Fach werk: einfache Träger: B₀= 0,75, JBj = 0,87,    = 0,03;

kontinuirliche Träger: Bo = 0,77 bis 0,80, Bx = 1,00 bis 1,05, Bx‘ = 1,05 bis 1,13, im Mittel Bn = 0,78, Bx = 1,05, Bx‘ = 1,11;

kontinuirliche Gelenkträger: im Mittel B₀ — 0,78, I?, = 0,08, Bx‘ — 1,05.

III. Ständer, einschl. Mehrbedarf an Gitterwerk:

Netzwerk mit regelmässigem Anschlüsse; einfache Träger: C₀ = Cx — Cx = 0,50, kontinuirliche Träger, einschliesslich Gelenkträger: CQ = 0,50, Cx = 0,54, Cx‘ = 0,50;

Netzwerk mit unregelmässigem Anschlüsse; einfache Träger: C₀ — Cx = Gx — 0,50 bis 0,63, kontinuirliche Träger, einschliesslich Gelenkträger: C₀ = 0,50 bis 0,63, Cx =0,54 bis 0,69, Gx‘ = 0, 56 bis 0,72\

Fachwerk mit unregelmässigem Anschlüsse ; einfache Träger : G₀ = Gx = Gx‘ = 1,00 bis 1,13, kontinuirliche Träger, einschliesslich Gelenkträger: C₀ — 1,00 bis 1,13, Cx = 1,10 bis 1,25, Cx = 1,14 bis 1,30.

Durchschnittlich wird

FachwerJc

Netzwerk

Einfacher Träger : V =

Kontinuirl. Träger : V

0,17^+3,4+3,r=0,17^ + 5,0 ₊ 6.0^)ę, = 0,13^ 5,0+4,2    V= 0,i:i (y₍ + 7,6' +

Bei den unteren Formeln sind kontinuirliche Gelenkträger inbegriffen.

für zu setzen.

Bei Anwendung zweier Koeffizienten ist %% 4- -JL

Man erkennt aus diesen Formeln das Verhältnis der Materialmenge der drei Theile des Trägers: Gurte, Gitterwerk und Lagerständer. Für l = 8h bis 9 h wird dieses Verhältnis

Netzwerk: Fachwerk:

Einfacher Träger:

Kontinuirlicher Träger: 60 : 36 : 4, 50 : 46 : 4.

Das Verhältniss der Volumina des kontinuirlichen und einfachen

70 : 27 : 3, 59 : 35 : 6,

Trägers ergibt sich bei gleicher Höhe wenig variabel, wenn sich sehen etwa 7,5 und 10 ändert. Wir können dieses Verhältnis y setzen:

~h

zwi-

1,39 %- + 2,24%-

Netzwerk: v =

K₀

Kt

2,06 %—(- 2,18%-

Kr

1,70 4r + 2,68 JL

Fackwerk: v =

K₀

Kx

2,36%- + 1,54 %

K₀

Kr

Für eiserne Eisenbahnbrücken ist etwa Kx = jK₀ zu setzen. Hier wird demnach:

Netzwerk: v — 0,67

g + 3,8 p g + 2,5 p’ g + 3,7 p g + 2,5 p'

Fach werk : v — 0,72

Hiernach ergibt sich z. B. für

g = 0,1    0,2    0,3    0,4    0,5    0,6    0,7    0,8.q

1,00

.1,03

Nimmt man nach der älteren Methode der Querschnittsbestimmung K₀ = Kt und K„ — 0 an, so ergibt sich das Verhältnis für die kontinuir-lichen Träger wesentlich günstiger und zwar ergibt sich hier v um 0,10 bis 0,12, durchschnittlich um 0,11 kleiner. Während also z. B. für kleine, mittlere und grosse Spannweiten die kontinuirlichen Träger (einschliesslich kontinuirliche Gelenkträger) nach der älteren Methode der Querschnittsbestimmung ein Materialersparniss von ungefähr 8,16, 27 Prozent aufweisen, zeigen sie nach der neueren rationelleren Methode eine Ersparnis von bezüglich — 5, 4~    + 17 Prozent, bei kleinen Spannweiten

also sogar einen Mehrbedarf.

Netzwerk: v = Fachwerk: v —

er TS

QO TS

so Ci

so

0,89

0,92

SO Ci

0,81,

0,85.

Winkler’s Brückenbau ; Theorie, II. Heft.

Um weitere Schlüsse, z. B. hinsichtlich des Eigengewichtes, der günstigsten Höhe etc. ziehen zu können, wird es nöthig, die theoretischen Kegeln durch Multiplikation mit den schon oben (S. 79) erwähnten Konstruktionskoeffizienten zu korrigiren, worauf wir indess erst im konstruktiven Theile eingehen können.

B. Gitterträger mit polygonalen Gurten.

VI. Kapitel.

Allgemeine Theorie der Träger mit einfachem, eintheiligem Gitterwerke.

§. 43. Analytische Bestimmung der Spannung in den Bürten.

Um die Spannung S eines Theiles CD (Fig. 61 ) des Obergurtes zu finden, legen wir durch diesen Theil und den gegenüberliegenden Knotenpunkt einen sonst beliebigen Schnitt AB. Ist Ml das Moment der auf den linken Theil des Trägers wirkenden Kräfte in Beziehung auf den Punkt A und zwar imter der Annahme, dass die äusseren Kräfte in den Knotenpunkten wirken, yt der normale Abstand A F des Punktes A von CD, so fordert das Gleichgewicht die Erfüllung der Bedingung yt + Mx = o, mithin ist

Fig. 61.

1.

0i= -

% \hz x Vl

\i

Vi ■

Ebenso ergibt sich als Span-\ nung eines Stückes AE des Untergurtes, wenn A/₂ das Moment für einen durch C und AE gelegten Schnitt in Beziehung auf den Punkt C und y<t den normalen Abstand CG bedeutet,

«......x------'

la. £„ = + —.

²    //o

Bezeichnet man die vertikale Höhe, bezüglich in den Punkten A und C gemessen, mit h, den Neigungswinkel der betreffenden Stücke des Ober- und Untergurtes mit 6 und r, so ist y{ = h cos 6, ?/₂ = h cos U hin auch

^ sec <5, S₂ = + ^ sec T

Für die Anwendung kann es bequemer erscheinen, sich die Last gleichmässig über die Gurte vertheilt zu denken und den Schnitt durch

2. 8t =

die Punkte A und C vertikal zu führen. Bezeichnet man alsdann das bezügliche Moment mit M, so ist nach Gleichung 5 (S. 8) und 2 u. 2 a (S. 13) und entsprechend den Gleichungen 25 (S. 35):

3. Af, = M — ^ qx e\ e‘\, Af₂ — M — - q₂ e\ e"₂,

wenn e\, e'\ und e'₂₎ e“„ den Abstand des bezüglichen Vertikalschnittes von den benachbarten Knotenpunkten des Ober- und Untergurtes, qx und q2 die auf den Ober- und Untergurt pro Längeneinheit wirkende Last bedeutet.

§. 44. Analytische Bestimmung der Spannung der Gitterstäbe. Zur Bestimmung der Spannung P des unter dem Winkel a gegen die Vertikale geneigten Stabes CE (Fig. 62) legen wir durch diesen Stab einen beliebigen Schnitt IK. Die Verlängerungen der beiden geschnittenen Gurtstücke mögen sich in L schneiden. Ist Q die Resultante der auf der linken Seite des Schnittes wirkenden Vertikalkräfte oder die Transversalkraft , c der Abstand ihrer Richtung von L, sowie z der normale Abstand LH des fraglichen Gitterstabes von P, so fordert das Gleichgewicht die Erfüllung der Bedingung Pz - Qc = 0, mithin ist

4. p= + q^.

Fig. 62.

>n

Für die wirkliche Anwendung zur numerischen Berechnung ist diese Formel etwas unbequem, da sie die Bestimmung der Längen c und z voraussetzt. Indess lässt sich leicht eine entsprechende Umformung vornehmen. Wir legen zu diesem Zwecke durch L eine Horizontale PX, welche den fraglichen Stab in F schneide. Bezeichnen wir die Länge P F mit b, so ist £ = b cos a, mithin

P = -f- Q ^ sec a-

Bezeichnet man ferner noch den Abstand der Richtung der Transversalkraft vom Punkte F mit g, das Moment aller links vom Schnitte wirkenden äusseren Kräfte in Beziehung auf den

Punkt F mit Af, so ist Dies eingesetzt, gibt:

,y

r—>

jF

i ec

<------

M= Q|, also i = c = b - % = b - ^

7*

(«-4)

sec cc.

Bezeichnen wir noch den Abstand IK der Gurte in der durch den Punkt F gelegten Vertikalen mit Ji, die Neigungswinkel der Gurte gegen

die Horizontale mit o und r, so ist h — b (tan a -f- tan r), ^ = (tan a -f-tan r), folglich

sec cc.

Q--rj- (tan 6 -f- tan z)

Legen wir im Abstande e von F noch einen zweiten Vertikalschnitt durch den Stab und bezeichnen für diesen Schnitt das Moment mit Mxr die vertikale Trägerhöhe mit h,, so ist M — QÇ und, weil zwischen beiden Schnitten keine äussere Kraft wirkt, Mx = Q(Ç-\-e) = M -j- Qe

_

——. Ferner wird tan g + tam = Formel eingesetzt, gibt P = j^'    J

oder Q =

Je. tc -p, ■    .    ,.    .

~—. Dies in die vorige n,

sec a oder

IM. M\ k

| ₇¹--r-1 — sw «•

y nx h ) e

Bezeichnet man die Momente für die durch F und C (Fig. 62) gelegten Yertikalschnitte in Beziehung auf E und C mit Mx, M₂, die vertikalen Höhen in E und C mit hx, hq, so^ erhält man die Gleichgewichtsbedingungen Shxcosa -{- Phxsina 4- Mq = 0, Shq coso = Mt -r dividirt man diese Gleichungen durch bezüglich hx und hq und subtrahirt sie sodann, so erhält man

\ ht hq ]

cosec ct.

5. P =

Für vertikale Gitterstäbe ist dieser Ausdruck im Allgemeinen nicht be-M. M

nützbar, weil hier —¹ —    — ö, cosec a — oo wird.

In ganz gleicher Weise lässt sich die Spannung eines Stabes der anderen Schaar, welche unter dem Winkel ß gegen die Vertikale geneigt ist, bestimmen.

31

Wir setzen in der Folge zur Abkürzung 6. Y = Q | = Q

(tan ö -|- tan T)

= Q- M

(Mx \ K

cot cc.

wobei sich sowohl die Höhe /t, als das Moment M auf den Durchschnittspunkt F der durch L gelegten Horizontalen LX mit dem fraglichen Stabe bezieht. Bezeichnen wir wieder die Spannung der nach rechts und links fallenden Stäbe mit Px und P„, die entsprechenden Werthe von Y mit Yx und Yv so wird

7. jPx = + Yl sec a, P,, — — i₂ sec ß,

so dass also hier Y dieselbe Bolle spielt, wie die Transversalkraft Q bei dem Parallelträger. In der That geht Y in Q über, wenn man horizontale Ufurte annimmt oder g — x = 0 setzt.

Wenn man steife Vertikalen und doppelte schlaffe Diagonalen anwendet, so ist nur diejenige Diagonale als wirksam anzusehen, welche auf Zug beansprucht wird. Die rechts fallende Diagonale ist nach

M M

Formel 5 gezogen, wenn j- > ist, wobei sich Jf,, \ auf die rechte,

M„, \ auf die linke Vertikale bezieht; die links fallende Diagonale wäre hier gedrückt, also als nicht vorhanden anzusehen. Ebenso wird

Es ist also stets

M M

die links fallende Diagonale gezogen, wenn ~ > ~

diejenige Diagonale gezogen, welche nach derjenigen Vertikalen hin fällt, M

für welche    den grösseren Werth hat.

M M

li₂

Ist > -j-¹, so ist demnach die rechts fallende Diagonale gezogen,

M    M

also für das obere uud untere Gurtstück Si= — seca, Ss — -\—^secx)

M M

ist dagegen ~    so ist die links fallende Diagonale gezogen, also

M,

seco, 5₂ =--y-¹ sec x. Von den b e i d e n W e r t h e n

~ K M    M.

-,—- und ,-² kommt demnach für die Spannung des Obergurtes

Ä,

stets der grösssere, für die Spannung des Untergurtes stets der kleinere in Betracht.

§. 45. Grafische Bestimmung der Spannungen. Die in

§. 2 gezeigte Polygonalmethode lässt sich auch hier direkt anwenden. Wir haben daher nur noch die in §. 3 im Allgemeinen besprochene Schnittmethode, die zu besonderen Bemerkungen Anlass gibt, ins Auge zu fassen.

Die Transversalkraft Q für einen beliebigen Schnitt AB (Fig. 63) erhält man, wenn man die betreffenden Seiten des Seilpolygones bis zum Durchschnitte N' verlängert und im Kraftpolygone zu diesen Seiten parallele Strahlen OT und OU zieht; alsdann ist Q = TU,

während N' ein Punkt der Richtung der Transversalkraft ist.

Fig. 63.

.V

\ !Jl

K-

0 Cs

E/

ff/1

Irl

1. Spannungen der Gurte, a. Nach dem in §. 3 Gesagten findet man die Spannung S eines Gurtstückes CD, wenn man den Durchschnittspunkt N der Verlängerung desselben mit dem gegenüberliegenden Knotenpunkte A verbindet und durch T und U Parallelen zu

welche sich in *$ schneiden ; alsdann ist S = T S.

ND und NA zieht,

Diese Konstruktion setzt allerdings voraus, dass der Punkt N noch auf das Papier fällt. Da man zur Erzielung dessen oft genöthigt ist, die Zeichnung in kleinem Massstabe zu machen, so kann folgende Methode vortheilhafter sein.

b.    Ist H die Horizontalkomponente von S, h die vertikale Höhe A B, £ der Horizontalabstand des Punktes N von A H, so ist Hh = Q%. Bei der Poldistanz a ist, wenn wir die dem Punkte A entsprechende vertikale Höhe des Seilpolygons — y setzen, Q:a = y : £, also = a y, folglich Hh = a y oder H : a — y :h, was auch sofort daraus folgt, dass das Moment Q| bekanntlich = a y ist. Hieraus lässt sich H leicht durch eine einfache Konstruktion bestimmen, indem man A* Atu = h, A‘" E“‘ = a macht. Legt man durch E" eine Parallele zum fraglichen Gurtstücke, welche A ' A" in V schneidet, so ist E“ V = S.

Fig. 64.

c.    Statt dessen kann man auch in Fig. 64 auf der Horizontalen A⁴ F = der Höhe h und A⁴G = der Poldistanz H machen und die Parallelen FA“ und GA“ ziehen. Alsdann ist A‘ A4//: A⁴A‘‘ = H: h,

also A⁴ AiU = A‘A li^ = HA = ^.

y'

Zieht man noch durch A‘ eine Gerade, welche auf dem betreffenden Gurtstücke senkrecht steht und schneidet dieselbe in H durch eine durch A⁴⁴⁴ gezogene Horizontale, so ist A⁴H = S.

b. Für das Gleichgewicht gegen Drehung um den

Punkt F ist S. .LEsin 6

— sin x =

— Sç.LF sin x 4 M — o, oder, da LE {tan 6 + tant) = h ist, St sin 6 M

~h

{tan 6 4 tan x). Für das Gleichgewicht gegen Verschiebung in vertikaler Kichtung ist P cos u — Q 4 St sin6 — S₂ sin x —

Q — j- {tan 6 -f- tan x), wie in §. 44. Nun aber ist, wenn F‘ Fu = ij die dem Punkte F entsprechende Höhe des Seilpolygons ist, M = a y, wonach sich das Glied ~ {tan 6 -j- tan x) leicht konstruiren lässt, indem man E‘Eut = h, Fu> G“‘ — a, G“ W und Gu Z parallel zum Ober- und Untergurte macht. Alsdann ist WZ— ^{tan a 4 tan x). Macht man daher UY = WZ und legt durch Y eine Horizontale, welche eine durch T parallel zum fraglichen Gitterstabe gezogene Gerade in P schneidet, so stellt TP die Spannung desselben dar.

c. Aus der Formel Y — Q ~ geht die folgende Konstruktion hervor. Man mache die zur Axe XX (Fig. 66) senkrechte, dem Punkte F entsprechende Ordinate F‘ Q‘ gleich der Transversalkraft Q, bestimme die Punkte L‘ und NJ, in welchen XX durch die Vertikalen, welche durch die Schnittpunkte L und N gehen, geschnitten wird. Zieht man jetzt die Gerade L‘Q‘, welche die durch N‘ gehende Vertikale in Y‘

= Q y = Y. Schneidet man eine

schneidet, so ist N' Y = FJ Q

2. Spannung der Gitterstäbe, a. Bestimmt man den Durchschnittspunkt V (Fig. 65) der Verlängerung des fraglichen Stabes CE mit der Sichtung der Transversalkraft Q, und zieht durch T und U Parallelen zu CE und ZF, welche sich in P schneiden, so stellt TP die fragliche Spannung P dar. Indess auch diese Konstruktion leidet an dem Mangel, dass der Massstab oft klein gewählt werden muss, damit alle nöthigen Punkte auf das Papier fallen. Indess ergibt sich leicht in folgender Weise eine meist besser entsprechende Konstruktion.

Fig. 65.

v;\

"..C

La

G'

/•

F*

, L‘N‘

L‘ F‘

Parallele zum fraglichen Gitterstabe durch Horizontalen, welche durch IV' und Y gehen, in den Punkten E und P‘, so ist E‘ P‘ = Y sec a — P.

Fig. 66.

\k

• FK

P'

XI

Ar⁷'-

F' !F'

E“

Sollten die Punkte L und N nicht auf das Papier fallen, so kann man auf XX zwei Punkte l, n derart bestimmen, dass sich FIiF'n^ FL⁴ : L'N' verhält; zieht man alsdann die Gerade IQ, welche die durch n gehende Vertikale in y schneidet, so ist ny ebenfalls = Y. Die Punkte l und n lassen sich in verschiedener Weise bestimmen. Legt man durch den Durchschnittspunkt N der durch L gehenden Horizontalen und der durch N gehenden Vertikalen Parallelen zu den Gurtstücken CD und AF, welche die vertikale Höhe KI in ft und i schneiden, so verhält sich KI : hi = FL : FN = F* L‘ : F‘N] man kann also FI = KI, F‘n — hi machen. Diese Konstruktion ist allerdings nur möglich, wenn der Punkt N auf das Papier fällt. Ist in Fig. 67 AIBU eine Linie, deren Ordinaten den Trägerhöhen proportional sind und AKC“ das Seilpolygon, so fälle man von K eine Senkrechte auf das betreffende Stück der Linie HP" und von I eine Senkrechte auf das betreffende Stück des Seilpolygones A C“ ; schneiden diese Senkrechten die durch L gehende Horizontale in V und ri, so verhält sich FV : FI= FK : FN, Fri : FK = FI : FL\ hieraus folgt sofort F V : Fri = FL : FN = FL⁴ : FN. Man kann also FI — FV, F'n = Fri machen. Die absolute Länge von F l und F‘ n hat man dadurch in der Hand, dass man die Höhen der Kurven AF" und AC" beliebig gross wählen kann.

C"

Fig. 67.

B"

TV!*

lin'

H7*“l

là- "......

... C—-

t-H*

?rl

A¹

•oo-o-

InT

Wenn der Punkt L nicht auf das Papier fällt, so lässt sich allerdings der Punkt F nicht direkt, wohl aber in folgender Weise bestimmen. Es seien IK und /' A? (Fig. 68) zwei beliebige Yertikal-

schnitte durch die fraglichen Gurtstücke. Wird

Fig. 68.

v'

IK von der durch L gelegten Horizontalen in G geschnitten und legt man durch F und K‘ die Horizontalen I V, os—

K‘ TT, so verhält sich IG : KG = IV: KW. woraus sofort die folgende Konstruktion folgt. Man mache VV‘ parallel WW‘ und FF' = 17, WW‘ = WK\ legt man durch V‘ und TP' eine Gerade, so schneidet dieselbe die Höhe IK im Punkte G. Statt der Punkte V und K‘ kann man auch zwei beliebige andere Punkte, welche auf den durch I‘ und K‘ gehenden Horizontalen in zwei durch I und K gelegten Parallelen liegen, wählen. Auch lässt sich nach weisen, dass L G durch den Durchschnittspunkt der von I und K auf die gegenüberliegenden Gurte gefällten Senkrechten geht ; jedoch wird der Schnitt meist zu spitz. Ist der eine Gurt gerade, so liegt der Punkt F stets in diesem Gurte.

d. Aus der Formel 5 ergibt sich ebenfalls eine einfache Konstruktion. In Fig. 69 sei EE⁷ = hn CG — \ und FQ‘ gleich der Transversalkraft Q, welche dem durch den fraglichen Stab gelegten Schnitte entspricht. Zieht man durch F Parallelen zu KE¹ und NC\ welche

A.

e. Hat man die Spannungen der Gurte bereits bestimmt, so ist es leicht, aus diesen diejenigen der Gitterstäbe abzuleiten. Sind Sv S2 die Spannungen derjenigen Stücke des Ober- und Untergurtes, welche von einem durch den fraglichen Gitterstab gelegten Schnitt getroffen werden, so erfordert das Gleichgewicht gegen Verschiebung in horizontaler Richtung die Erfüllung der Bedingung S{ cos g -j- Sa cosr -f P sin a — 0, also P sina = (—Slcoso)—S^cost in Uebereinstimmung mit Formel 5. Je nachdem man zur Bestimmung der Gurtspannungen die Konstruktion Fig. 63 oder 64 anwendet, kann man die Bestimmung von P in der in Fig. 70 und 71 gezeigten Weise durchführen. Hierin ist EV = C>kH —

(— Sl cos g) — S„ cos t oder = -r-

hx

— — und E P parallel zum fraglichen Gitterstabe, CP¹¹ senkrecht zu demselben und E P — C" P“ = der Spannung P.

Fig. 71.

Fig. 70. .

P?

r,'

die durch GH =

Q gelegte Horizontale in G und H schneiden, so 1

r- £

ÿ —Qjf, wenn man NE =xx, NC — setzt, d.

M M

~ — Legt man durch G eine Parallele zum fraglichen

Stabe und durch H eine Vertikale, welche die erstere in I schneidet, so stellt Gl die Spannung des fraglichen Stahes dar.

Fig. 69

GH =

i:'

Iq

(X

H-ö

,o-

E"

p» H

----O'E" s

A—

E‘

f. Aus der bekannten Eigenschaft des Seilpolygones bezüglich des Momentes der Kräfte folgt, dass das Moment Qc in Beziehung auf den

Punkt L gleich ist dem Produkte aus der Poldistanz H und dem Vertikalabstande L'L" (Fig. 66) der Seilpolygonseiten A‘X und N‘ E“ im

Punkte L\ Setzen wir L'U' — y, so wird also P = ~, Y ——

was sich in verschiedener Weise konstruiren lässt. Es würde hiernach ganz dieselbe Konstruktion iu Anwendung kommen können, wie für die Spannung der Gurte.

Für eine gleichmässige Belastung, also z. B. für das Eigengewicht, wird man bei Konstruktion des Seilpolygones die Last direkt in den Knotenpunkten wirkend annehmen. Für ein beliebiges System von Einzellasten dagegen konstruirt man das Seilpolygon am besten zunächst für das gegebene System der Einzellasten. Bekanntlich sind die Momente an den Querträgern dieselben, als wenn keine Querträger vorhanden wären ; man wird daher von dem für das gegebene System der Einzellasten kon-struirten Seilpolygone nur diejenigen Punkte beibehalten, welche den Knotenpunkten, in denen die Querträger angebracht sind, entsprechen und diese Punkte geradlinig verbinden.

§. 40. Gefährlichste ßelastungsweise für einen einfachen

Träger.

a. Gurte. Da die Gurtspannungeu dem Momente proportional sindr das Moment aber für gleichmässige Belastung für einen beliebigen Querschnitt nach der Theorie der äusseren Kräfte der Balkenträger bei totaler Belastung zum Maximum wird, so werden auch die Gurtspannungen bei totaler Belastung des Trägers zum Maximum.

Für ein System von Einzellasten ergeben sich nach dem Früheren (Theorie der Brücken, I. Heft, II. Auf!., §. 14 und 15, vorliegendes Heft, §. 7, Seite 15) die Kegeln:

Das System von Lasten ist so zu stellen, dass die Lasten pro Längeneinheit auf jeder Seite des fraglichen Knotenpunktes möglichst gleich werden. Bei Anwendung dieser Regel sind aber zwei Fälle zu unterscheiden:

a.    Am fraglichen Knotenpunkte liegt ein Querträger. Hier wird durch das Bestreben, das Lastensystem nach derjenigen Seite zu schieben, auf welcher die Last pro Längeneinheit kleiner ist, immer einer Last an den fraglichen Knotenpunkt zu liegen kommen. Nur wenn zufällig die Last pro Längeneinheit auf beiden Seiten wirklich gross ist, ist die Lage gleichgiltig.

b.    Der fragliche Knotenpunkt liegt zwischen zwei Querträgern. Ist der Horizontalabstand des fraglichen Knotenpunktes von den beiden Querträgern gleich e, und e₂, die Summe der zwischen beiden Querträgern liegenden Lasten — G, so ist G nach dem Verhältnisse ex zu

in zwei Theile zu .zerlegen und der erstere zu den links, der andere zu

den rechts wirkenden Lasten zu rechnen. Durch das Bestreben, das Lastensystem wieder nach derjenigen Seite hin zu schieben, auf welcher die kleinere Last pro Längeneinheit wirkt, wird im Allgemeinen eine Last an einen der beiden Querträger zu liegen kommen.

Es kann Vorkommen, dass die aufgestellte Bedingung für verschiedene Lagen des Lastensystemes erfüllt ist. Alsdann ist für jede dieser Lagen der Werth des Momentes zu bestimmen und nur der grösste Werth beizubehalten. Im Allgemeinen wird dieser derjenigen Lage entsprechen, für welche die schwersten Lasten in der Nähe des fraglichen Knotenpunktes liegen.

b. Gitterstäbe. Das Vorzeichen der Kraft l⁷ lässt sich am einfachsten

in folgender Weise entscheiden: Y ist gleich und entgegengesetzt der Vertikalkomponente der Spannung P eines unter « geneigten Gitterstabes;

Y muss also, als eine im Punkte F (Fig. 62) wirkende Vertikalkraft gedacht, mit der auf den linken Trägertheil wirkenden Transversalkraft in Beziehung auf den Punkt L gleiche Drehungsrichtung oder mit der auf den rechten Theil wirkenden Transversalkraft entgegengesetzte Drehungsrichtung haben.

Liegt nun eine Einzellast rechts vom fraglichen Gitterstabe, so ist die auf den linken Trägertheil wirkende Transversalkraft der linke Stützendruck D; Y wird also positiv sein, wenn der linke Auflagerpunkt A und der Punkt F auf ein und derselben Seite des Punktes L liegen, d. h-wenn der Punkt L links vom linken Auflagerpunkte A oder rechts von L LL liegt. Bei allen bisher angewendeten einfachen Trägern schneiden sich die Verlängerungen der Gurte ausserhalb der beiden Auflagerpunkte, der Punkt L wird also stets links von A oder rechts von L liegen, Y wird also stets positiv sein, wenn eine Einzellast rechts von L liegt. Ebenso lässt sich nachweisen, dass Y stets negativ ist, wenn eine Einzellast links von L liegt. Hieraus folgt nun sofort:

mum

Die Kraft Y wird zum positiven oder negativen Maxiwenn von dem fraglichen Gitterstabe aus bezüglich der ganze.rechte oder linke Theil des Trägers belastet ist.

Die früher für Parali eiträger gefundene Regel hat also eine allgemeinere Gültigkeit.

Um die Lage des Systèmes noch bestimmter anzugeben, bezeichne für das positive Maximum von Y R⁴ die Resultante aller Lasten, f' ihren Abstand von der rechten Stütze B (Fig. 72), R die Resultante der im fraglichen Fache CD, in welchen der durch den fraglichen Stab CE geführte Schnitt liegt, liegenden Lasten, £ ihren Abstand von D, c und x den Horizontalabstand der Stütze A von den Punkten L und C. Auf

den linken Theil des Trägers wirkt in A‘ der Stützendruck R⁴

und in C nach abwärts die Kraft R

die Vertikalkraft R⁴

J */Yv

b'

ö j 'Tr? </Yv

welcher

welche

Für den Parallelträger geht — in 1 über; da im Allgemeinen ^-^>1 ist, so wird hier das Lastensystem im Allgemeinen etwas mehr nach rechts gerückt erscheinen, als für den Parallelträger.

Bezeichnet man für gleichmässige Belastung den Horizontalabstand des Kopfes 0 des Zuges von D mit so ist nach der eben aufgestellten Bedingung

fr:

die Vertikalkraft —R    erzeugt. Demnach ist die Vertikalkraft

für den Stab CE:

8. Y — R

I (C + ap

ab

Verschiebt man das Lastensystem um ^7 nach rechts, so wird £ und £' um z/f kleiner. Ist JY die Aenderung der Vertikalkraft, so ist demnach

R (c 4- a?)    J2'\ cJ'%

)

Fig. 72.

R'

io

Nach der fünften der Formeln 6 ergibt sich, wenn man den Horizontalabstand der beiden Enden des fraglichen Gitterstabes von A mit #₂, von C mit et, e₂ und die Höhen des Trägers, welche diesen Enden des Gitterstabes entsprechen, mit hr \ bezeichnet,

w-

A £ cota.

In der bekannten Weise kann man daher schliessen: Man muss das Lastensystem so verschieben, dass möglichs t die Bedingung erfüllt wird:

R {c + x) _ R‘

oder

9.

R le±

a \ hx

eA __ R[

hj ~ l \h[ hj'

zu setzen, wenn man zur Abkürzung

0~"=:

T"

i>K

£' C

Macht

Tb-

10. k =

G__ea

c -{- x hx hq ex \ — c₂ hx

xx    a?₂    xxhq — a?₂Ä,

K ~ K

einführt. Hieraus ergibt sich

11.

Der Punkt 0 ist identisch mit dem Angriffspunkte einer Einzellast, welchem der Werth Y — 0 entspricht.

Zu einer geometrischen Konstruktion gelangt man in folgender Weise. Liegt auf der rechten Seite in H (Fig. 73) eine Einzellast G,

Eig. 73.

kl — a

a.

rB-

>F

E\ i

lo^'l______

n’\ T’’/

0’D'

H'

so ist Q = G , wenn man B H — |‘ setzt, also Y = G

man nun J.* J." = F' F" = 6r, legt durch L‘ und i»™ eine Gerade, welche die linke Pfeilervertikale in I schneidet und zieht die Gerade BJ 1, so ist die der Geraden B¹1 entsprechende Ordinate WH" =Y\ die Linie B'D“ ist also die Influenzlinie (vergl. §. 17) für eine rechts liegende Last hinsichtlich der Vertikalkraft Y. In gleicher Weise findet man die Influenzlinie A‘ C“ für eine links liegende Last, indem man B'B“ = F‘F‘“ — G macht, durch V und F,u eine Gerade legt, welche die rechte Pfeilervertikale in K schneidet und die Gerade AK zieht. Die Gerade CnD" ist alsdann die Influenzlinie für eine zwischen C und D liegende Last. Schneidet diese Gerade die Axe A‘ B‘ in 0‘, so ist Y

Handelt es sich nicht um die Influenzlinie für eine Einzellast selbst, wie sie für die Folge nöthig wird, so ergibt sich eine einfachere Konstruktion in folgender Weise. Eine in O* (Fig. 74) liegende Einzellast gebe

positiv oder negativ, je nachdem die Einzellast rechts oder links von 0 liegt.

Fig. 74.

Kt

A”

c¹ 0' D'

o-o

b'

0"

D""-

das Seilpolygon A“0“B“. Schneidet dasselbe die durch C und D gehenden Vertikalen in C" und D", so ist A“ C D“ B“ das Seilpolygon für die auf den Träger in C und D wirkenden Drücke. Die Spannung des Gitterstabes wird nach dem Obigen Null, wenn die Verlängerung von CD“ durch L‘ geht. Hieraus ergibt sich die folgende zuerst von Kulmann angegebene Konstruktion: Man ziehe durch L‘ zwei Gerade, von denen die eine die Auflagervertikalen in A“ und Ji", die andere die durch C und D gehenden Vertikalen in C“ und D“ schneidet. Legt man durch A“ und C, sowie durch B“ und D" zwei Gerade, welche sich in 0“ schneiden, so wird für eine Last, welche in der durch 0“ gehenden Vertikale wirkt, die Spannung des Stabes Null. Für die Punkte A“ und B“ kann man auch die Punkte A‘ und B‘ wählen.

Mit Einführung des Punktes 0 lässt sich die obige Bediügung für die gefährlichste Belastungsweise auch in folgender Weise ausdrücken. Es muss möglichst

12.

R'

oder

R‘

O'D'“ B‘D■’

~ Î — a— x 4-|

d. h. es müssen die auf 0‘D‘ und B'D' wirkenden Lasten pro Längeneinheit möglichst gleich sein.

§.47. Bestimmung der grössten Spannungen durch Kechniing.

1. Spannung der Gurte. Einfache Kegeln ergeben sich nur unter Annahme einer gleichmässigen Belastung; hierbei ist eine totale Belastung vorauszusetzen. Bezeichnen wir den Abstand des dem fraglichen Gurtstücke gegenüberliegenden Knotenpunktes von der linken Stütze mit x, so ist das für Ober- und Untergurt in Frage kommende Moment nach Gleichung 3 (S. 99):

11 11 -qx(l—x) — - qA e\ e'/,    = - qx (l — x) — -q* e₂ e“,

13. Mx =

Für das negative Maximum von Y ist der übrige Theil des Trägers belastet anzunehmen. Der Ausdruck für max (-- Y) ergibt sich aus dem für max (4- Y), wenn man — {l c) für c, l — x — a für x und c -f a -f- x für c -f- x setzt. Der Ausdruck 14 geht hierdurch über in

16. max (— Y) — —

p x* (c a Ą- x) (l 4- c)

2 b j (e 4- x) l — ac]

§. 48. Bestimmung der grössten Spannungen durch Kon

struktion.

e! und e.

e₂ die in §. 43 bezeichnete Bedeutung haben,

wobei é,

Die Gurtspannungen selbst sind nun durch die Gleichungen 2 (S. 98) bestimmt. Beim Fach werke, d. i. beim Gitterwerke mit Vertikalen und

geneigten Stäben verschwinden die Korrektionsglieder mit qx und q₂.

2. Spannung der Gitterstäbe, a. Einfluss des Eigengewichtes. Die einfachste Kegel besteht im Allgemeinen in der Anwendung der Formel 5 (Seite 100), wobei die Momente Mx und J/₂ nach den Formeln 3 zu bestimmen sind.

b. Zufällige Last. Auch für die zufällige Last ist im Allgemeinen die Anwendung der Formel 5 am bequemsten. Einfache Regeln ergeben sich nur bei Annahme einer gleichmässigen Belastung. Hier wird nach der dritten und fünften der Formeln 6

£,²(c 4- x)

2b

oder

\ hj a Ut J I

cot a.

Setzt man für den Ausdruck 11 ein, so erhält man als positives Maximum von Y

14. max

(4- Y) =

p (l — a — a?)² (c -j- x) c

oder

2b [(c - x) l — ac\

15. max (+ Y) —

p (l — a — x)

(2 hl — a)

co

cot a.

Hinsichtlich der Bestimmung der Gurtspannungen ist zu dem in §. 45 Gesagten nichts weiter hinzuzufügen. Ebenso kann die Bestimmung der vom Eigengewichte erzeugten Spannungen der Gitterstäbe unmittelbar nach §. 45 erfolgen. Kur hinsichtlich der zufälligen Last sind noch einige Bemerkungen zu machen.

Wenn man für das positive Maximum von Y nur alle rechts vom fraglichen Stabe liegenden Knotenpunkte als belastet annimmt, so ist die Transversalkraft Q identisch mit dem Stützendrucke D auf die linke Stütze A (Fig. 75). Der Angriffspunkt N der Transversalkraft Q hat hier also eine konstante Lage und zwar fällt er in den linken Stützpunkt A. Die Konstruktion nach der in §. 45 unter 2, c besprochenen

Methode wird hier eine sehr einfache. In der durch den Punkt F gehenden Vertikalen macht man F‘ Q‘ — der Transversalkraft Q, zieht die Gerade L‘ welche die linke Stützenvertikale in Y schneidet; alsdann ist A‘ Y‘ — Y. Für den Fall, dass L nicht auf das Papier fällt, kann die bereits in §. 45 mitgetheilte und auch in Fig. 75 angegebene Modifikation eintreten.

Fig. 75.

L,,_______

i/

i\

af

y/

F'

1/ a c

JP-

L'

C F' H

k-U'Ÿp

zj/H"

— ~-o

B'

Nimmt man ein System von Einzellasten an, so wird in vielen Fällen für das Maximum von Y innerhalb C D keine Last liegen dürfen, vielmehr die erste Last in D liegen. In diesem Falle ist das eben gezeigte Verfahren direkt anwendbar.

Liegt innerhalb CD eine Last B im Abstande D' IB = | von Dr so ist die Transversalkraft Q die Resultante aus dem nach oben wirkenden Stützendrucke D und der nach abwärts in C wirkenden Reaktion

B . Den vom Stützendrucke D erzeugten Theil von Y konstruirt man,

wie vorhin mitgetheilt; hierbei ist nur zu bemerken, dass in dem in bekannter Weise (I. Heft, II. Aufl., §. 13, Fig. 23) konstruirten Polygone BJA“ die Ordinate H'H“, welche der vorderen Last entspricht,

£

den Stützendruck D darstellt. Der von der Reaktion B - erzeugte Theil

von Y lässt sich aber ebenfalls leicht konstruiren. Macht man C‘BI = B} zieht die Gerade B'D\ welche die durch H gehende Vertikale in H‘“

schneidet, so ist H‘HU, — B^', macht man jetzt F‘ F“ — H* FL“,

zieht die Gerade B F“, welche die durch C, dem Angriffspunkte der fraglichen Reaktion, gehende Vertikale in Z‘ schneidet, so ist C‘ Z' der

Winkler’s Brückenbau ; Theorie II. Heft.

von dieser Reaktion erzeugte Theil von Y. In Wirklichkeit ist jetzt Y = AY — CZ‘. Für den Fall, dass L nicht auf das Papier fällt, ist die in §. 45 mitgetheilte und auch in Fig. 75 angegebene Modifikation anzuwenden.

Liegen mehrere Lasten innerhalb CD, so könnte das Verfahren für jede einzelne Last wiederholt oder die in C wirkende Reaktion durch das Seilpolygon in bekannter Weise bestimmt werden.

Auch die in §. 45, 2 d (Fig. 69) gezeigte Konstruktion gestattet hier eine einfache Anwendung.

Hinsichtlich der grafischen Bestimmung der Querschnitte verweisen wir auf §. 9 und das im nächsten Paragrafe ausgeführte Beispiel.

§. 49. Beispiel. Wir geben zur weiteren Erläuterung der Behandlung eines Gitterträgers mit beliebiger Gurtform und mit eintheiligem Gitterwerke noch ein Beispiel.

Gitterträger von 42m Spannweite mit kreisförmigem Ober- und Untergurte und eintheiligem Netzwerke (Taf. V). Horizontalentfernung der Knotenpunkte = 6m. Eigengewicht für den Obergurt 1,0, für den Untergurt 0,2 Ton. pro lauf. Met., also pro oberen Knotenpunkt 6.1,0 = 6,0, pro unteren Knotenpunkt 6.0,2 —1,2 Ton. Das die zufällige Last repräsentirende System von Einzellasten ist in Fig. 2 dargestellt. Die für die Berechnung nötliigen Dimensionen und Winkelfunktionen gibt folgende Tabelle:

Knotenpunkt

oben j unt. oben j unt.

Ordinate

Ganze

Höhe

Gon. Funkt, der Gurte Obergurt Untergurt tana seca tam \ secr

Gon. Funkt, der Gitterst, rechts fallend links fallend cota \cosec a cota coseca

0,50 0,50 1,00 1,17 2,28

1,73

3,42

0,205 1,021

0,223 1,025

0,172\ 1,015

0,557 1,145

2,20 4,34 0,137 1,009

2,80 5,55 0,067 1,002 2,95    5,85

3,00 5,95    0    1

2,55

5,05

0,100 1,005

1,310 1,648

1,783 2,044

2,221

0,967 1,391

1,583 1,873

1,917 2,162

!i

Meter

Die Quersclmittsfläche f irgend eines Tlieiles werde bestimmt durch die Regel

□ Centim.,

f — ^2. i ^

'    1,4    0,8    1,7

wenn B₀, Bn B₂ die Spannung für das Eigengewicht und die obere und untere Grenze der Spannung für die zufällige Last in Tonnen bedeuten.

I. Berechnung.

1. Gurte. Die Spannung eines Gurtstückes ist zu berechnen nach der Formel M

8 = -r seca. Die Berechnung der Querschnittsfläche des Gurtstückes hat nach der

o    o

Regel f = — -j- zu erfolgen, weil die untere Grenze der Spannung für die zu-1,4    0,8

fällige Last = 0 ist. Die Rechnungsresultate sind in folgender Tabelle zusammengestellt :

Punkt

oben

Gefährlichste Lage der zufäll. Last

Moment M

Eigen- Zufäll, gew. Last

Mom. durch    Spannung S    i . .    ,

m    [Querschnitt f

Höhe = y Eigengeivicht Zufällige Last

Eigen- Zufall. Ober- Unter- Ober- Unter- Ober- Unter-gew. Last j gurt gurt gurt gurt j gurt | gurt

05 Hk to

Ot Co k O

1 bei 2

VII bei 3 VII bei 6

\VIIb. 6 o.\ Will bei Sl

o i o

65,7 59,5 128,7¹119,0 173,7 149,4

215.1    178,9 238,5 199,7 258,3 222,3

260.1    220,4

Hk    Hk    Hk    Hk    Hk    Co    ÎO

co    k    &    io    c    sj    Oo

'v? "kJ. cc Oi 'os "Vi tc    Ox    Op    ÇQ    td    ^    Ol

Co    CO    Co    Co    Co    Co    ÏO

-ej    Go    Ox    Ox    Hk    _Hk    05

^ O Hk Hk Qo O Hk o Qc Co Co Hk Hk

29,35

26,59

<=> +

54,2

40,38

43,07

43,72

38,25

42,84

44,19

34,74

36,05

37,04

35,36

35,60

38,04

71,5

72,3

75,1

75,8 I

77,5

79,1

Tonnenmeter

Tonnen

Tonnen

□ Centim.

2. Gitterwerk. Die Spannung P bestimmt man am besten nach der Formel

p = =t

M₂ M

K K

cosec «

und zwar sowohl für das Eigengewicht, als die zufällige Last. Für das positive Maximum von Y muss der rechts vom fraglichen Stabe liegende Theil belastet sein ; welche Lasten in demjenigen Querträgerfache liegen müssen, unter welchem der fragliche Stab liegt, ergibt sich nach Formel 9. Beispielsweise wird für den Stab 23 x₂ xl_    9

h₂

3,41

0,312,

Cj _ £, _    3

h₂ hl

0,690-, also soll mög-

4,34    3,41

— 0,690 ^ sein. Legen wir die Last I in das Fach 2 4 (Fig. 76), so wird B‘ = 6.6 + 4.0,8 = 39,2, R — 6, also 0,312 ? = 0,312 ^ = 0,291,

liehst 0,312

0,690 - = 0,690

«ii os

= 0,690. Sonach liegt im Fache 2 4 eine zu grosse Last, das Fig. 76.

rf

--P-

-Co

10

12

00

C5V,

Lasten system muss also nach rechts verschoben werden. Liegt aber die Last I rechts von 4, so wird Ii = 0, das Lastensystem müsste dann nach links verschoben werden. Sonach muss die Last I am Querträger 4 liegen. Es ergibt sich im vorliegenden Falle für sämmtliche Stäbe, dass die Last am rechten Querträger des über dem fraglichen Stabe liegenden Querträgerfaches liegen müsse.

Punkt ~ für Eigen-

Die spezielle Berechnung ergibt folgende Resultate:

Zufällige Last

Spannung

Querschnitt

links fallend

rechts links rechts links fallend fallend fallend f'allem

rechts fallend

Po Pi P. Po P, Po

rechts \ links fallend\fallenà

ki    ki    ki

tk    to    Q>    Oo OS tk 3o CO

ki ■ ki

Os ki OS

loOstktktktktktktk tk tk Os ÏO Oo k? Cs Jo Jo Hk _Os Jk Jo Jo JCs J3 Qo kj ©s Ci "ot J© ki "ki 'I© "Or "es "©s kj _OiOtoOOoOitoOiOoO ^ O Ot

k; Ot Os ki

k? c>

81,7

122,6

Os Os Co sj

j© jos jo _©s j© <© je jo

tk Oi t© kl

c> os îno _tk y?

169,0

119.5

136.6

82,1

91,2

39,9

cs

43,6

_c>j3 jk jo jo> j-3 jsr jo Jto Jo jk _ k k ^3 tb. O Oi Cts Os Io Oo o OOsOOoQokOÎOOlOOo

kt kkbotoîtotoOstoOsio JO J© JjO Jk Os O OÖ JOr JO Jo Jts Jk "kj 'ki 'o 'kj Os O 00 "os "©s ło "tk 'I©

OlOOilOOCDto'aOiOiQDOo

+32,92 + 3,84

+ 0,80

- 0,96

- 2,75

- 4,81

Cs Cs

Cs O

-12,43

28,60 O

7,20 5,87

6,28 6,68

5,71 7,26

4,99 7,57

3,76 7,68

O 11,82

-12,43 11,82    0

- 4,81 7,68 3,76

- 2,75 7,57 4,99

- 0,96 j 7,26 5,71 4- 0,80 6,68 6,26 + 3,84: 5,87 7,20

4-32,32    0

28,60

59,2

15,2

124

13,1

14,4

153

23,7

23,7

15,3

14,4

13,1

12,4

152

59,2

Ton. Tonnenmeter Tonnen

Tonnen

□ Centim.

Ein Endständer erleidet durch das Eigengewicht den Druck ^(2.3 -\- 6,64- 2,094-5 1,2) = 27,4, in Folge der zufälligen Last den Maximaldruck 25,0 Tonnen. Sonach wird die nöthige Querschnittsfläche = ~~ + yy = 50,8.

II. Konstruktion.

1. Gurte. Das Seilpolygon wurde in Fig. 3 für das Eigengewicht, in Fig. 2 für die zufällige Last konstruirt und zwar mit Benützung des Kräftemasstabes II (1* = 2mm) unter Annahme einer Poldistanz von 18*. Die in Fig. 2 konstruirten, den Maximalmomenten entsprechenden Höhen des Seilpolygones sind in Fig. 3 wieder aufgetragen. Die Konstruktion der Spannungen ist nach §. 45, 2 c (Fig. 64) erfolgt, hierbei aber die Trägerhöhe h ( A F in Fig. 64) in dreifacher Grösse aufgetragen. Die

Spannungen ergeben sich alsdann in y der Grösse nach dem Kräftemasstabe II oder in wirklicher Grösse nach dem Masstabe III, dessen Einheit = y von dem Mass-

Die Strecken, welche ©

stabe II ist (3* =■ 2mm). Durch die Addition der für das Eigengewicht und die zufällige Last bestimmten Spannungen ergeben sich die oberen Grenzen der Spannungen, welche durch Doppelkreise bezeichnet sind. Addirt man zu den Spannungen für die zufällige Last = 0,573 der Spannungen für das Eigengewicht (mit Hilfe des Reduktionswinkels Fig. 9), so entstehen die durch einfache Kreise bezeichneten Spannungen ©. Die Querschnittsfläche f ist alsdann =

nach dem Masstabe III darstellen, geben demnach nach dem Masstabe IV, dessen Einheit = 0,8 vorder des Masstabes III ist (3    = 16mm), die Querschnittsflächen.

Dieselben sind in Fig. 4 nochmals nach dem Masstabe VII (10    = 2mm) auf

getragen.

2. Gitterwerk. In Fig. 6 ist zunächst in bekannter Weise die Transversal-kraft für das Eigengewicht und kdie zufällige Last bezüglich durch eine blaue und rothe ausgezogene Linie dargestellt und zwar mit Benützung des Kräftemasstabes II. Die Vertikalkräfte Y und die daraus abgeleiteten Spannungen P sind für das Eigengewicht nach §. 45, 2 c (Fig. 66), für die zufällige Last nach §. 48 (Fig. 74) konstruirt. Für die Stäbe 1 bis 6, 11 bis 14 wurden die Durchschnittspunkte L der-Verlängerungen der betreffenden Gurtstücke benützt; nur für die Stäbe 7 und 8 für das Eigengewicht, 7 bis 10 für die zufällige Last, bei welchen der Punkt L nicht auf das Papier fiel, wurde die in §. 45 und 48 (Fig. 67 und 75) gezeigte Modifikation benützt. Für das Eigengewicht sind die Angriffspunkte N (Fig. 67) der Transversalkräfte in Fig. 3 konstruirt und nach Fig. 6 übertragen. Durch Addition der positiven und negativen Maximalspannungen zu den vom Eigengewichte erzeugten Spannungen wurden die oberen und unteren Spannungsgrenzen, welche durch Doppelkreise angegeben sind, erhalten. Ferner wurde zum absoluten Maximum der Spannung für die £

zufällige Last — = 0,573 der Spannung für das Eigengewicht (algebraisch) und = 0,471 des entgegengesetzten Maximums der Spannung für die zufällige Last (mit Hilfe des Reduktionswinkels Fig. 9) und hierdurch die durch einfache Kreise bezeichneten Spannungen iß erhalten. -Die Querschnittsfläche f ist alsdann /’=^Dcm,

wobei iß nach dem Masstabo II zu messen ist. Misst man die die Spannungen iß darstellenden Strecken auf dem Masstabe V, dessen Einheit = 0,8 Einheiten des Masstabes II ist (1    = l,6mm), so erhält man direkt die Querschnittsfläche f.

Die so bestimmten Querschnittsflächen sind in Fig. 8 nochmals nach dem Mass-stabe VII aufgetragen.

In Fig. 7 sind noch die Spannungen für das Eigengewicht nach der Polygonalmethode konstruirt und zwar im halb so grossen Masstabe als in Fig. 6 oder in l}-so grossem Masstabe als in Fig. 3 (Masstab VI, 1* = P»m).

VII. K a p i t e 1.

Träger mit mehrtheiligem Gitterwerke im Allgemeinen.

§. 50. V’rincipieii. Das in §. 13 hinsichtlich der Zulässigkeit einer Zerlegung des gegebenen mehrtheiligen Systèmes in eintheilige Systeme -Gesagte gilt auch für Träger mit polygonalen Gurten. Nur sind hier die Vertikalkräfte, welche in den Elementarsystemen in den Ecken der Gurte wirken, nicht mehr so klein, dass sich in Voraus behaupten liesse, es sei zulässig, dieselben zu vernachlässigen. Wir haben daher zunächst eine nähere Untersuchung über den Einfluss dieser Kräfte anzustellen.

Die in einem beliebigen Knotenpunkte A (Fig. 77) des gegebenen Systèmes wirkende Vertikalkraft G ist, wenn das System wtheilig ist, in n vertikale Komponenten Gl, gz, g₃ ... gn zu zerlegen, von denen Gv

Die in den Ecken des Gurtstückes A C des Elementarsystemes mit dem Knotenpunkte A wirkenden Vertikalkräfte können wir bei regelmässiger Gurtform als nahezu gleich ansehen; sie seien — g- Ebenso können wir die in den Ecken des Gurtstückes AB wirkenden Vertikalkräfte als nahezu

gleich ansehen ; dieselben seien = g\ Fig. 79.

dl

<G

C dem Elementarsysteme entspreche, welches in ft“ A einen Knotenpunkt hat, während die übrigen y\ Kräfte <?₂, g₃ ... gn (Fig. 77) auf die Brech-j punkte des Gurtes der übrigen Elementar-/ Systeme wirken mögen; alsdann ist

\    # — ßx 9<1 + 9a + • • • + 9n-

■    Bezeichnet man die Spannungen der

rechts und links von A liegenden Gurtstücke J in den Elementarsystemen mit    s₂,

r s‘₂, ... sn, s'n, die Neigungswinkel dieser Gurtstücke gegen die Horizontale mit 6, g', so fordert das Gleichgewicht die Erfüllung der Bedingungen

gq — — s₂ sin 6 4“ s\ sin 6‘, g₃ = — s₃ sin 6    s‘₃ s^n

... gn = — s,n sin 6 sJn sin G'.

Die Spannungen desselben Gurtstückes in den Elementarsystemen ergeben sich nahezu gleich. Bezeichnen wir daher die Spannungen der rechts und

links von A liegenden Gurtstücke im gegebenen Systeme mit S, S‘, so ist sehr nahe s„ = s₃ = .

Fig. 77.

Gr

Fig. 78.

-s, *; = *;

n 2    3

... =    — - S\ folglich nahezu

fl    °

1

— (S⁴ sin 6‘ — S sin ff)r n

. — Sn -

= g₃ — • • • 9* =

Gx — G — --- («S' sin 6‘ — <S sin ß).

Das Gurtstück A C kann beseitigt werden, wenn man dafür in den Knotenpunkten A und C die Spannungen der von A und B ausgehenden Gurtstücke anbringt. Jede dieser Spannungen aber lässt sich zerlegen in eine in Richtung der Sehne A C wirkende Spannung und in eine Vertikalkraft. Diese Komponenten müssen den in den Ecken des Gurtstückes A C wirkenden Vertikalkräften g das Gleichgewicht halten; daher müssen die beiden in Richtung der Sehne AB wirkenden Komponenten gleich und jede der in A und C wirkenden Vertikalkomponenten gleich der halben Summe der in den Ecken des Gurtstückes A C wirkenden Ver-

tikalkräfte g, d. i. —j (n — 1) g sein. Dasselbe lässt sich vom Gurtstücke A B sagen ; wir erhalten statt dieses Gurtstückes zwei in Richtung der Sehne AB wirkende Kräfte und zwei in A und B wirkende Vertikalkräfte, deren jede = j (n — 1) g‘ ist. Die beiden in A wirkenden Vertikalkräfte geben eine Vertikalkraft ~ (w — 1) (<7+ g‘). Nun aber kann ~ (g-\-g‘) gleich der in A bei denjenigen Elementarsystemen, in denen A nicht Knotenpunkt ist, wirkenden Vertikalkraft, d. i. =g<l — g₃ =... = ^ (S‘ sin 6‘ — S sin 0) angenommen werden und sonach wäre die in A wirkende, durch die Zerlegung der Spannungen s, s‘ herrührende Vertikalkraft =    (S' sin a‘ — S sin ö).

Ausserdem wirkt in A die Vertikalkraft Gx — G— AjpA {ß‘ sin 6‘ — S sin a). Diese beiden Kräfte zusammen geben die Vertikalkraft G, d. i. diejenige Kraft, welche im Knotenpunkte A des gegebenen Systèmes wirkt. Sonach lässt sich mit einer für die praktische Anwendung hinreichenden Genauigkeit behaupten:

Das gegebene System lässt sich in Elementar Systeme zerlegen, wenn man in den- Knotenpunkten derselben diejenigen Lasten anbringt, welche in den entsprechenden Knotenpunkten des gegebenen Systèmes wirken und wenn man für die polygonalen Gurtstücke der Elementarsyteme gerade Gurtstücke unter Beibehaltung der Knotenpunkte der Elementarsysteme substituirt.

Fig. 80.

\\!

§.51. Bestimmung der Gurtspamiungen. Wenn man nach dem soeben Gesagten das gegebene mehrtheilige System in einzelne einzeilige Systeme zerlegt, so geben die Gleichungen 1 und 2 (Seite 98) die Spannung des geradlinigen Gurtstückes CD (Fig. 80), welches das polygonale Gurtstück CEFGD ersetzt, vorausgesetzt, dass y den normalen Abstand der Sehne CD vom gegenüberliegenden Knotenpunkte A und h den Vertikalabstand der Sehne CD von A bedeutet. Bezeichnet man die Span- / nung des geraden Gurtstückes CD mit £₀, den Neigungswinkel der Geraden CD gegen die Horizontale mit <?₀, den Neigungswinkel der einzelnen wirklichen Gurtstücke gegen die Horizontale mit gx ,    so ist die

Horizontalkomponente von *S₀ = Sn cos <?„, also die Spannung der einzelnen wirklichen Gurtstücke aS₀ cos g₀ sec gx, cos g₀ sec <?₂ ... D i e G1 e i c h u n-gen 2 (S. 98) geben sonach die Spannungen der wirklichen Gurtstücke, wenn für 6 und x der Neigungswinkel des fragliehen wirklichen Gurtstückes gesetzt wird, wobei aber die Höhe h auf die betreffende Sehne CD zu beziehen ist.

Die wirkliche Spannung eines beliebigen Gurtstückes ergibt sich nun dadurch, dass man die Spannung dieses Gurtstückes nach dem soeben Gesagten für sämmtliche Elementarsysteme, in welche sich das gegebene System zerlegen lässt, bestimmt und die erhaltenen Spannungen summirt. Die numerische Summirung in einem gegebenen Falle hat nicht die mindeste Schwierigkeit. Allein die algebraische Summirung zur Erzielung eines bestimmten Ausdruckes für die Gurtspannung, welcher eine Zerlegung nicht erfordert, wie sie in §. 15 für Parallelträger erfolgt ist, ist im Allgemeinen nicht durchführbar, da für die Elementarsysteme, deren Spannungen zu summiren sind, der Nenner h ein verschiedener ist.

Bezeichnen wir die Momente für die Elementarsysteme, welchen

Pig. 81.

t>

JM3Sr#v/\

ÏY

das fragliche Gurtstück angehört, für den dem fraglichen Gurtstücke gegenüber liegenden Knotenpunkt mit ..., m₂, mv m\ m“,..die Vertikalabstände dieser Punkte von den gegenüber liegenden Sehnen der Einzelsysteme mit ..., Aj, hv h‘, h".. so wird die Spannung Sx des Gurtstückes BC (Fig. 81), wenn dasselbe im Obergurte liegt,

mx m‘ m“

+ F + 7Ü ⁺ * '

(-

' ⁺ K

Für den Untergurt würde Sx mit — S,

Für die Momente in den Elementarsystemen gelten die Regeln 3 (Seite 99).

Die in §. 45 gezeigte grafische Bestimmung kann für das Eigengewicht und für eine gleichmässige zufällige Belastung auch hier angewendet werden. Am besten wird man hier für jeden einzelnen Knotenpunkt die Länge von A“ E“ (Fig. 63) oder von A‘A'“ (Fig. 64) kon-struiren und für das fragliche Gurtstück die betreffenden Längen mit dem Zirkel addiren und sodann die Summe durch Konstruktion mit sec g multipliziren.

17. S. = —

sec o.

2 -i

a mit v zu vertauschen sein.

§. 52. Bestimmung der Spannungen der Gitterstäbe. Da

jeder Gitterstab nur in einem einzigen der Elementarsysteme vorkommt, so kann die Bestimmung der Spannung ohne Weiteres nach dem für ein-theilige Systeme aufgestellten Regeln erfolgen.

Auch die in §. 46 ermittelte gefährlichste Belastungsweise bleibt im Allgemeinen giltig; nur ist die präcise Bestimmung des Lastendes

für gleichmässige Belastung nach dem über Parai leiträger in §. 16, 2. Gesagten abzuändern. Hiernach wird die Spannung eines Gitter Stabes zum Maximum, wenn sich das Lastende innerhalb derjenigen Knotenpunkte befindet, welche den Enden A und B des fraglichen Stabes und seines benachbarten Stabes zunächst liegen (Fig. 82), eine gleichmässige Belastung vorausgesetzt. Dabei bleibt es gleichgiltig, bis zu welchem Punkte der Strecke zwischen den beiden genannten Knotenpunkten die Last reicht.

Fig. 82,

AZ

\E B\

Die für das eintheilige System in §. 44, 45 und 48 gezeigte Bestimmung der Spannungen kann hier ohne AVeiteres in Anwendung kommen.

§. 53. Anwendung auf regelmässiges Fach- und Netzwerk.

Wenn die Knotenpunkte, wie gewöhnlich, eine konstante Horizontalent-fernung erhalten, so lassen sich einfache, genaue Ausdrücke für die Transversalkräfte und Momente aufstellen, wenn man eine gleiche Belastung der Knotenpunkte voraussetzt. Wir wollen den Untergurt als gerade voraussetzen, so dass hinsichtlich der Spannungen eines Gitterstabes das Moment M auf das untere Ende dieses Gitterstabes zu beziehen ist. Auch wollen wir die Bahn am Untergurte liegend annehmen. Ferner denken wir uns hierbei auf ein Elementarsystem die ganze Last wirkend, also an einem Knotenpunkte des Elementarsystemes hinsichtlich des Eigengewichtes am Obergurte die Last gta, am Untergurte die Last g^a, hinsichtlich der zufälligen Last am Untergurte die Lastjpa, wenn a die horizontale Entfernung der Knotenpunkte des Elementarsystemes bezeichnet.

1. Fachwerk. In dem fraglichen Elementarsysteme oder dem Leitsysteme mögen die äussersten-Knotenpunkte von der linken und rechten Stütze den Abstand a‘ und a“ (Fig. 83) haben. Der Abstand der A^er-tikalen im gegebenen Systeme sei e, der horizontale Abstand eines beliebigen Knotenpunktes von der linken Stütze x. Wir setzen nun 18. l = ne, x — me, a = pe, a' — P'e, a“ = P“e.

Fig. 83.

I)

-zX. &    £ ->

(i-----x-

----1v-----x-----a-----x------a----x-----a----x—

Wir führen diese Bezeichnung ein, weil in der Regel n, m, v, v\ v“ ganze Zahlen sein werden, wobei die Zahl m den fraglichen Knotenpunkt zählt.

a. Eigengewicht. Der linke Stützendruck D ergibt sich für ein Einzelsystem leicht zu

I) =

19.

(n -f- v — v‘ — v") (n — v‘ 4- v“)

2n

- ge.

Für einen Schnitt, welcher durch einen im Horizontalahstande x von der linken Stütze gelegenen Knotenpunkt des Ober-oder Untergurtes geführt wird, wird das Moment M in Beziehung auf diesen Knotenpunkt

M = Dme — g a    + 1 j æ-~ a oder

20. M—

Für einen durch eine Diagonale, deren unteres Ende vom linken Auflager den Abstand x — me hat, gelegten Schnitt ergibt sich als Transversalkraft Q — JD — g a    d. i.

JL |\n+V-V-V ) (n-V¹ + V ) -

2n (m— V)J ge.

21. Q =

Für einen durch eine Vertikale mit dem Abstande x — me gelegten Schnitt ergibt sich dagegen Q — JD — g a

22. Q =

x — a‘    , .

1--d. i.

— V' — V“) (n — V‘ + V“) — 2 n(n —

V')\

g<J — Vgq e.

2n

b) Zufällige Last. Die Gurtspannimgen werden zum Maximum bei totaler Belastung und es gilt hier die Formel 20, wenn man p für g setzt. Für eine nach rechts fallende Diagonale CE sind alle rechten Knotenpunkte, einschliesslich C oder D, als belastet anzunehmen uud es ergibt sich für diese Belastung

23.

Q-

₀— (n — m-\-V — V“) (n — m -f- p“) p e,

/S ft

M-=Qx=Qme.

Für eine im linken Trägertheile liegende Vertikale EIA¹ sind alle rechten Knotenpunkte, einschliesslich des Punktes C (falls, wie wir vorausgesetzt, die Bahn unten liegt) als belastet anzunehmen, und es ergibt sich für diese Belastung :

24.

Q — —— (n — m — V“) (n — m — V + V") P e,

M=Q x= Qme.

2. Netzwerk. In dem Leitsysteme mögen die äusseren Knotenpunkte von den Endvertikalen im Obergurte den Abstand a‘\, im

Fig. 84.

i)

ML

fc-a-**-— CL—--X— a----—cl —-x----cl-----x— cl----x—

<■-----a',-—"a

<cl’>

i

B'

■X

Untergurte den Abstand a'„, a"₂ (Fig. 84) haben. Der Horizontalabstand der Knotenpunkte im gegebenen Systeme sei wiederum e, der Horizontalabstand der Knotenpunkte im Leitsysteme a. Wir setzen wiederum l=ne,x=me,a—ve, ax‘=Vx e, ax"=Vx‘ e, «„'=Vq‘ eya^=V₂‘e, a) Eigengewicht. Für das Leitsystem ergibt sich als linker Stützendruck

26. D — ~~[{n 4- v—vt‘— vx“) (n — v₁'+vl ")gx + (n + v — vq' — va") (n — V-f- va ‘")ga].

si 71

Für einen durch einen Knotenpunkt C des Untergurtes, welcher vom linken Ende den Abstand x = me hat, gelegten Schnitt ergibt sich als Moment in Beziehung auf den Punkt C:

M=D nie— | (

25.

^V—vĄ (m + ^V—Vx‘)gx e2 — (m—iv) (m -\-P — 1V)g₂e*.

Für einen durch einen Knotenpunkt des Obergurtes gelegten Schnitt sind gx und </₂, ebenso vx und va zu vertauschen.

Als Transversalkraft ergibt sich für den nach rechts fallenden

27.

»c

Stab GE

Vt)

28. Q = D-(m-und für den nach links fallenden Stab CD

29. Q = D-(

b) Zufällige Last. Für die Gurtspannungen ist die Formel 27 massgebend; hierin ist p für g{1 und 0 für gx zu setzen, falls die Bahn unten liegt. Für den nach rechts fallenden Stab CE sind alle rechten Knotenpunkte, einschliesslich des Punktes Cy als belastet anzunehmen und es wird, ganz entsprechend der Formel 23:

Vx‘) gxe-{m + V — Vi) g₂e.

30.

Q=

— (n — m + V — V₂") {n — m + IV') p e,

2n

EL—Qx — Qme.

Für den nach links fallenden Stab CD sind alle rechten Knotenpunkte, einschliesslich des Punktes H, als belastet anzunehmen und es ergibt sich ganz entsprechend der Formel 24:

(n — ni — V>i‘) (n — m — V + V₂") P e>

31.

M—Qx— Qme.

In beiden Fällen ist AC = x = me gesetzt.

Die Formeln 19 bis 31 gelten auch dann noch, wenn der Horizontalabstand der Knotenpunkte an den Enden nicht gleich dem normalen Horizontalabstande e ist, oder wenn v‘ und v“ keine ganzen Zahlen sind.

Für specielle Fälle vereinfachen sich die Formeln wesentlich. Beispielsweise wollen wir die Formeln für den in Fig. 83 dargestellten Fall aufstellen, worin n = 18, r—3 ist. Wir nennen die Systeme mit den Diagonalen A‘ 1, A‘2, A‘3 bezüglich das I., II. und III. System, wobei für das I. System v‘ — 1, v“ = 2, für das II. System v‘ = 2, v" — 1 und für das III. System r‘ = 0 oder =3, v“ = 0 oder = 3 ist.

a. Eigengewicht. Das Moment M ergibt sich nach Formel 20:

I. und II. System : M — (9 m — 0,5 m² -Ą-1) g e²,

III. System : M = (9 m — 0,5 m²) g e².

Als Transversalkraft ergibt sich für eine Diagonale nach Formel 21 für alle drei Systeme :

Q — {10,5 — m) g e

und für eine Vertikale nach Formel 22 für alle drei Systeme

Q = (10,5 — m) ge — 3 g₇ e.

b. Zufällige Last. Das für die Spannung der Gurte maassgebende Moment ist nach Formel 20:    *

I. und II. System : M = (9 m — 0,5 m² -j- 1) p e²,

III. System: M — (9 m — 0,5m*)p e².

Für die Spannung einer Diagonale wird nach den Formeln 23:

I.    und II.    System:    Q =    ^ (19 — m)    (20 — m) pe,    M= Qme,

III.    System:    Q =    ^(18 — m)    (21 — wt) pe,    M=Qme.

Für die Spannung einer Vertikale endlich wird nach den Formeln 24:

I.    und II.    System:    Q =    ^ (16 — m)    (17 — m) pe,    M= Qme,

III.    System:    Q =(15 — m)    (18 — m) p e,    M=Qmc.

Etwas weniger einfach werden die speciellen Formeln für Gitterträger mit Netzwerk.

§. 54. Bestimmung der Spannungen für ein System von Einzellasten. Für ein System von Einzellasten lässt sich das in S. 17 hinsichtlich der Parallelträger Gesagte auch hier anwenden. Bei Anwendung der grafischen Methode mit Hilfe von Influenzlinien ist die Konstruktion derselben natürlich nach §. 45 und 48 zu modificiren.

Hinsichtlich der Gitterstäbe wurde die Konstruktion der Influenzlinie in §. 46 (Fig. 73) gezeigt. Mit Hilfe dieser Linie ist dann ohne Weiteres die Influenzlinie für das Elementarsystem zu konstruiren, welchem der fragliche Gitterstab augehört. In Fig. 85b ist die Influenzlinie für den Stab c D konstruirt.

Hinsichtlich der Gurtspannungen tritt an Stelle der Parabel für den Parallelträger (Fig. 40, S. 46) eine in Fig. 85 c punktirte Kurve, welche durch Division der Ordinaten der in Fig. 83 c punktirten Parabel durch die betreifenden vertikalen Höhendes Trägers (vom fraglichenKnoten-

Fig. 85.

IL.

\n

h.

J.

-----Ó

■-s.

S-*-

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!■

'Ç.

"A

''vl

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li

\Ż

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X\ i

punkte bis zur gegenüberliegenden Sehne des Elementarsystemes gerechnet) erhalten wird. Diese Division kann in der im §. 45 (Fig. 63 und 64) gezeigten Weise geschehen. In Fig. 85 c ist die Influenzlinie für das-Gurtstück c d konstruirt. Auch das auf Seite 48 hinsichtlich eines Näherungsverfahrens Gesagte behält hier seine Giltigkeit.

§• 55. Näheriiiigsbestinimung der Spannungen. Für manche Zwecke ist es ausreichend, Näherungsregeln unter Annahme kontinuirlich gekrümmter Gurte anzuwenden. Wir wollen daher im Folgenden noch solche Näherungsregeln aufstellen.

1. Gurte. In Formel 17 kann man annähernd die Glieder    ...

als gleich annehmen und zwar kann man das Moment und die Höhe auf den Vertikalschnitt beziehen, welcher durch die Mitte des fraglichen Gurtstückes geht. Bezeichnen wir unter dieser Annahme das Moment

für das gegebene System mit M, den Vertikalabstand der Gurte mit h, so wird die Spannung    und Sq des Ober- und Untergurtes:

32. St = — . sec G, S₉ — + , sec T.

2. Gitterwerk. Beachtet man, dass bei einem w-theiligen Systeme auf jedes der Elementarsyteme nur ~ der Gesammtlast kommt, so geben die Formeln 6 (Seite 100) als Spannung P,, P₂ der unter u und ß gegen die Vertikale geneigten Gitterstäbe:

33. P

= + — Y sec fl. Po = — n

— Y sec ß.

71

wenn Y die durch die Formel 5 (Seite 100) gegebene Bedeutung hat. Hierbei ist Q, Jf, h, 6y r auf den durch die Mitte des fraglichen Stabes gelegten Vertikalschnitt zu beziehen. Der Ausdruck für Y kann hier aber noch in eine unter Umständen bequemere Form gebracht werden. Lassen wir in dem vierten der Ausdrücke 5 (Seite 100) die beliebige

Länge e in dx übergehen, so geht ---j- in d — über und wir erhalten

34. Y —

lif).

dx

Da 6 und x in der Regel sehr klein sind, so ist annähernd — St = -f-S₂—y‘, sonach ist Y annähernd die Veränderung der Gurtspannung

auf eine der Höhe h gleiche Länge.

hdM—Mdh

3t

Da d -r~ = h

und

d3I

dx

= Q ist, so erhält man die

übrigens auch sofort aus der dritten der Formeln 5 (Seite 100) hervorgehende Formel

M dh h dx ’

35. Y—Q —

Speciell für das positive Maximum von Y ist M=Qx, also d

— Qd~\ ebenso ist für das negative Maximum von Y M = —

-, für das negative Maximum Q — — zu setzen. Hier-

21

(l — x), also d — = — Qd Hierbei ist für das positive Maximum p (l— x)*

durch erhält man

max (-f- Y) —

dx

d x

p(l — x)*h ⁽ h

21

d—

p æ² (l— x)°-    h ,

2 Ih

max (— Y) =

, l—x d —=— h

px- h 21 dx

p x* (l—x)'¹ ^l—x. 2lh

dx

§. 56. Labile Systeme. Bei mehrfachen Systemen mit Gurten, welche sich über den Auflagern vereinigen, ist man leicht versucht, labile Systeme (vergl. Seite 2) anzuwenden. Wenn man von jedem Knotenpunkte eines Gurtes in regelmässiger Weise höchstens zwei Stäbe ausgehen lässt (Fig. 86), so erhält man bei n solchen Systemen n — 1 Gleichungen weniger, als Stäbe vorhanden sind ; das System ist also labil, d. h. es kann nur bei einer bestimmten, nicht aber a bei einer jeden Belastung im Gleichgewichte Û sein. In Fig. 86 würde sich eine Gleichung zu viel ergeben. Es würde z. B. genügen, den Stab CD hinzu zu fügen, um das System statisch bestimmt zu machen. Würde man der Symmetrie halber den Stab EF hinzufügen, so würde das System bereits statisch unbestimmt. Ebenso ist das System Fig. 87 labil; es genügt aber die Einschaltung des Stabes D G, um das System statisch bestimmt zu machen.

Fig. 86.

Fig. 87.

jy

In der Praxis sind mehrfach labile Systeme in Anwendung gekommen; dieselben erweisen sich nur stabil in Folge der Steifigkeit der Gurte. Indessen werden die Gurte solcher Systeme übermässig in Anspruch genommen und es treten Senkungen ein, so dass es nicht rathsam erscheint, solche Systeme in Anwendung zu bringen.

VIII. Kapitel. Parabelträger.

§. 57. Prinzip. Die Form der Gurte lässt sich nach verschiedenen Prinzipien feststellen. Ein vielfach in Anwendung gebrachtes Prinzip, welches wir zunächst behandeln Avollen, ist das, dass hei totaler Belastung das Gitterwerk ohne Beanspruchung ist, dass also die Gurte allein im Stande sind, eine totale Belastung aufzunehmen. Dies tritt ein, wenn die Vertikalkraft Y = 0 ist, d. i. nach Formel 34, wenn

wird. Hiernach muss ~ eine Konstante sein ; bezeichnen wir dieselbe mit ■jj, so wird

h = CM,

d. h. die Höhe muss dem Momente proportional sein. Bei gleichmässig verteilter Last wird M — ~ qx (l — x), also h = |Cqx(l— x). Ist die Höhe in der Mitte h„ so wird \ = \Cql², mithin

37.

1 x h — 4 hx —

U‘~ )■

Die Höhe ändert sich also nach dem Gesetze der Parabel. Ist der eine Gurt gerade, so muss der andere eine Parabel bilden. Ebenso können auch beide Gurte nach einer Parabel gestaltet werden. Man nennt daher diese Art von Trägern Parabelträger (fr. la poutre parabolique, engl. tlie parabolic truss). Man kann hauptsächlich vier Klassen derselben unterscheiden, nämlich :

1. Bogensehnenträger mit geradem Unter- und parabolisch gekrümmtem Obergurte (fr. la poutre en bowstring, engl, the bow-string girder).

2.    Fischbauchträger mit geradem Ober- und parabolisch gekrümmtem Untergurte (engl, the fish-bellied girder).

3.    Fisch- oder Linsen träger mit symmetrisch gekrümmtem Ober- und Untergurte (engl, the bowstring suspension girder, the Brunel-girder).

4. Sichelträger mit nach oben gekrümmtem Ober- und Untergurte. Diese Trägerform kommt indess weniger für Brücken, als für Dächer in Anwendung.

§. 58. Näherungstheorie der Parabelträger.

M

1. Gurte. Die Spannungen der Gurte ist annähernd St= — jp sec cs, M    M

aS₂ = — secx, oder weil -gp— = H ist, wenn H eine neue Konstante bezeichnet,

38. Sj — — H sec Ö, &, = + H sec T.

Da (7 und r nur klein sind, so wird sec g und sec x nur wenig von 1 abweichen, d. h. die Gurtspannungen sind im Allgemeinen nahezu konstant. Ist einer der Gurte gerade, so ist die Spannung dieses Gurtes wirklich konstant; beim Bogenseimenträger ist also die Spannung des Untergurtes, beim Fischbauchträger die des Obergurtes konstant.

Das grösste Moment in der Mitte ist \ql(l<l daher ist für die Mitte,.

d. i.

M

weil hier a — x — 0 ist, *Sj = Sz = B —

39. II =

Qü

8 h,

2. Gitterwerk. Für das Eigengewicht, welches wir uns als gleich-massige Belastung denken, wird der Annahme zufolge Y = 0. Es ist

Da für die totale Belastung das durch die [zufällige Last erzeugte Moment MJ — ^px (l — x) ist, so kann man auch setzen:

M'

41. max (+ F) = +

4h.x(l—x)    -, h    4 fi, i ₇ h

—-—rk---, a — = — —-i dx. cl -=-

r    ¹ x    P ¹ l — x

die letzteren der Ausdrücke 36 eingesetzt, gibt px{l — x)

721    ''

Aus diesen Formeln ergibt sich, dass Y in jedem Querschnitte positiv und negativ werden kann und dass das positive und negative Maximum von Y einander gleich sind. Beim einfachen Gitterwerke kann hiernach jeder Gitterstab sowohl auf Zug als auf Druck beansprucht werden und zwar ist der grösste Zug gleich dem grössten Drucke. Dass max (— Y) — — max (-f- Y) ist, geht auch einfach daraus hervor, dass sich die Belastungen, welche dem positiven und negativen Maximum von Y entsprechen, zur totalen Belastung ergänzen, für die totale Belastung aber Y = 0, also max (+ Y) + max (— Y) — 0 sein muss.

ferner h =

— —dx. Dies in

40. max (-|- Y) — -f

p x (l — x)

21

t-± §£**•

Hiernach ist d as Maximum von Y dem Maxim um des Momentes oder der Trägerhöhe h proportional.

Die Spannungen Pv P₂ der Gitterstäbe sind nun durch die Formeln 27 bestimmt.

Die Spannung der Gitterstäbeist hiernach ihrer Länge proportional. Haben die Knotenpunkte einen konstanten Horizontalabstand, so ist auch die Spannung der einzelnen Gurtstücke ihrer Länge proportional.

§. 59. Parabeltriiger mit eintheiligein Doppelfachwerke. Wenn man steife Vertikalen und schlalfe Diagonalen anwendet, so müssen doppelte Diagonalen oder sogenanntes Doppelfachwerk in Anwendung kommen, weil eine Diagonale nach dem vorigen Paragrafe auch auf Druck beansprucht werden könnte.

Die Gurte nehmen wir polygonal an und zwar so, dass die Ecken derselben auf zwei Parabeln liegen, deren Vertikalabstand in der Mitte = \ ist. Die Höhe h der Vertikalen im Abstande x von der linken Stütze wird alsdann

Der Abstand der Vertikalen sei e. Sind z‘, z“ die Höhen der beiden Parabeln in der Mitte, so sind die Gleichungen dieser beiden Parabeln 4xx (l — xt) z'

43. y =

_ 4xt (l — xx) z“

v¹

Tij i

1. Totale gleichmässige Belastung. Nehmen wir die Last als gleich-massig über die Brücke vertheilt, aber nur 'an den Knotenpunkten auf die Träger übertragen an, so werden die Ecken des Seilpolygones oder der Momentenlinie stets auf einer Parabel, deren vertikale Axe durch die Mitte geht, liegen, mögen nun die Knotenpunkte einen gleichen oder ungleichen Abstand haben. Demnach ist das Moment für einen beliebigen Vertikalschnitt an einem Knotenpunkte oder, zwischen denselben der betreffenden Höhe des Trägers proportional und zwar ist an allen Stellen

M_ ql-⁵‘ h 8 hi

, also Y — 0, d. h. die Spannung der Diagonale ist Null.

Die Gurtstücke sind den Tangenten der Parabeln in der Mitte zwischen den betreffenden Vertikalen parallel. Sind daher a, % die Neigungen der beiden Gurtstücke auf der linken Seite der Vertikalen mit der Höhe

dii" r..    i

A *1 = *-ie-

, tan v =

h, so ist tana =

g = I? 0 - 2xt), if- = if (l - 2xt), also

Nun aber ist

44. tan a =

(l — 2x -f- e), tan % —

4e"

(i —    4- e).

l*

Wir nennen das System, welches nur die nach rechts fallenden Diagonalen enthält (Fig. 94), das I., das System mit den nach links fallenden Diagonalen (Fig. 93) das II. System.

Fig. 88.

a)    Diagonalen. Wir denken uns zunächst nur das I. System vorhanden. Da für alle Vertikalschnitte das Moment der betreffenden vertikalen Trägerhöhe proportional ist, so ist in Formel 5 (Seite 100) M, _ M₂

h₂

Ganz dasselbe ergibt sich auch für eine Diagonale des II. Systèmes. Bei totaler gleichmässiger Belastung sind also die Diagonalen ohne Spannung. Das Eigengewicht erzeugt hiernach keine Spannung in den Diagonalen.

b)    Gurte. Die Bedingung für das Gleichgewicht eines Knotenpunktes fordert bei gleichmässiger Belastung, da hier die Diagonalen ohne Spannung sind, dass die Horizontalkomponenten H der auf beiden Seiten desselben wirkenden Gurtspannungen gleich sind. Legen wir einen

Für den Bogensehnenträger ist z“ — 0, also V =-\- q^e; hier werden die Vertikalen gezogen. Für den Fischbauchträger ist z‘ = 0, also V — — 2xe; hier werden die Vertikalen gedrückt. Für den Fischträger ist z‘ = z“ = also

48. V— — (2qx — q) e = + ^ (2 q„

Haben die Endvertikalen vom Ende den Abstand e₀, so ist für diese -₃ (e -j- eü) statt e einzuführen.

2. Totale Belastung durch ein System von Einzellasten. Hier kommt nur die Spannung der Gurte und die positive Spannung der Vertikalen in Betracht.

Fig. 90.

J>

a) Gurte. Man bestimmt in bekannter Weise für die einzelnen Vertikalen die Maximalmomente. Es beziehe sich M\ h‘ auf die rechte, M", h" auf die .

\%

\%

Vertikalschnitt durch den Träger, so ergibt das Gleichgewicht gegen Drehung sofort mit Rücksicht auf den Werth 45 von ~ :

•S;- + s/,,

Ist ein Gurt gerade, so ist die Spannung desselben also =

c) Vertikalen. Die Spannung V der Vertikalen ergibt sich leicht aus dem Gleichgewichte des oberen oder unteren Knotenpunktes. Ist qx, #2 die auf den Ober- und Untergurt wirkende Last pro Längeneinheit, u, a‘ der Neigungswinkel des oberen Gurtes auf beiden Seiten der Vertikale, so ist die Bedin- ^

gung gegen Verschiebung in vertikaler Rieh- i--------yy

tung (Fig. 89) qt e — II tan o    II tan o' -f- |

V—0, also V= — qlc-\- H (tan o — tana'), ------

d. i. nach Formel 44 :

46. St = —

qV²

8 ht

sec G,

sec T-

Fig. 89.

8‘

«)] = —2i eJr⁽leY'

qV² V4z' ,    4z'

~q‘e+8Fl \j*(!-'tx+e}-~p

z

Da qx=q —    2‘=hx—z“ ist, so wird auch V=-{-q^e — qe-^-i also

— fix e + q e ~ = + q₂ e —

47. V =

(i! — 2x —

linke Vertikale. Wenn nun —^— ist, so ist natürlich auch    ;> wenn M‘ dasjenige Mo

ment an der rechten Vertikalen DF (Fig. 90) bezeich-net, welches bei derselben Belastung wie max M“ ^ eintritt. Demnach ist nach §. 44 die Diagonale D E

gezogen, folglich ist für den Obergurt CB der Momentenpunkt E mass-

M"

gebend, also max Sx — — sec o. Für ein oberes Gurtstück kommt

maxM

also von den für die Vertikalen bestimmten Werthen von

immer

der grössere der für die beiden begrenzenden Vertikalen gütigen Werthe in Betracht.

Schwieriger ist die Entscheidung hinsichtlich eines unteren Gurt-max M“

, i • v, i max M‘ _ M“ und zugleich auch —<; —,

wenn M" das Moment an der rechten Vertikale bezeichnet für den Fall, dass M‘ zum Maximum wird, so wäre für das Gurtstück EF der Momentenpunkt D massgebend, also maxS,₂ —    - sect. Es sei nun aber

maxM‘ maxM“ ,

—j%— < —p—, aber hierbei —p— >

Stückes EF. Ist

h‘

h-

M"

Wir denken uns das Lastensystem aus der einen Lage, für welche M‘ zum Maximum wird, in diejenige Lage, für welche M“ zum Maximum wird, verschoben und

An

trägen für jede Lage —• und ~ als Ordinate an einer der Lasten auf ; Fig. 91.

G'

E'

hierdurch ergeben sich zwei sich schneidende gerade oder gebrochene Linien (Fig. 91). Für jede Lage des Lastensystemes würde für die Spannung #2 E des Untergurtes nach §. 44 die kleinere der beiden Ordinaten, also in Fig. 91 die starke Linie _ E'G'F' massgebend sein. S₂ wird demnach für E die dem Punkte G‘ entsprechende Lage des Lasten-

M‘

M"

systèmes zum Maximum, d. h. für diejenige Lage, für welche — = ~

bei S₂ eher etwas zu gross als zu klein erhalten.

Hiernach würden die Maximalgurtspannungen nach der Begel M sec o, #2 = 4- EseCT zu bestimmen sein, wenn ^ für den Ober-gurt den grösseren, für den Untergurt den kleineren der Werthe und ~ bedeutet. Für die linke Hälfte des Trägers wird in der Kegel sein.

Die grafische Bestimmung der Spannungen würde nach §. 45 zu erfolgen haben. Eine etwas andere Anordnung der Darstellung zeigt

wenn man, vorausgesetzt, dass

maxM'    , ,    . j i •

—-r-,— sec t setzt ; man wird hier-

M‘

M“

h‘ ^ h“

Fig. 92. Hierin ist OA gleich der Poldistanz H, AB gleich der in Frage kommenden Höhe h, y C gleich der in Frage kommenden Höhe y

des Seilpolygones; Oy ist alsdann = — =

Fig. 92.

OL

7j

Ay-'-^C

;-i:

e\

4-

loa

b. Vertikalen. Für irgend eine Belastung beziehe sich M, h auf die fragliche Vertikale, h' auf die rechte, M‘\ h“ auf die linke Vertikale. Es sind nun die folgenden vier Fälle möglich:

71/'    W    JVf M“

Ist    und y > so sind die links fallenden Diagonalen

Fig. 93.

gezogen (Fig. 93). Es mögen hier h\lt die Höhen DA¹ und CF', bis zur Verlängerung von CB und BE gerechnet, bezeichnen. Bei unten liegender Bahn folgt aus der vierten der Gleichungen 5 (S. 100), $ k da hier die Spannung V gleich der Ver-tikalkraft Y ist,

49. V —

Ai

^----

(M_W\hY \h /#j'/ e

\M

”"FP v

V kann hiernach sowohl Zug als Druck sein. Bei oben liegender Bahn

da aber — > ~ ist, so ist, weil > h“

wird V =

_ E\

h ) e

.    xtx. M“

ist, auch -T- > -r-r, mithin V stets ein Druck. Dieser Fall kommt also

nicht weiter in Betracht. Allgemein ist = h' + e tarn. Für den

Bogensehnenträger (Bahn unten) wird = h-\- (h— h“) = 2h — h“, daher

50. V =

M (2h — h“) — M' h

eh

Beim Fischbauchträger liegt die Bahn stets oben, hier ist also V nur negativ. Beim Fischträger wird = h -|- \ (h —1%“) — ~sh — | h", mithin bei unten liegender Bahn

M (3h — h“) — 2M‘ h

2eh

51. V =

Ist umgekehrt ~ j und ~ > ~,

Fig. 94.

1)

""“so sind die rechts fallenden Diagonalen ge-v zogen (Fig. 94). Die Ausdrücke für V werden hier aus den soeben aufgestellten einfach durch Vertauschung von M' und M“, h‘ und / h", hx ' und erhalten. Bei oben liegender F Bahn wird auch hier V stets ein Druck sein.

Ist Tr > V un<i

Fig. 95.

- < -j—, so ist die rechte links fallende und

die linke rechts fallende Diagonale gezogen (Fig. 95). Hier gibt das Gleichgewicht des

£__Punktes B gegen vertikale Verschiebung:

\ V’ -f- Gx -f- Sx sin g — Sy sin o‘ — 0, wenn 6tj die in B wirkende Knotenlast bezeichnet.

Da Sy — — sec u, Sx ' = — ~ sec o¹ ist, / so wird

V = ^ (tan g — tan o‘) — Gt.

Nun aber ist tan g = (l — 2x -f- c), tano¹ =    (l — 2x— e), also

tan g — tano' =

8 z' e

l* ’

also

52. V =

8Mz‘e

Pli

-Gy.

Bei unten liegender Bahn (Gx — 0) ist hier V stets ein Zug. Bei oben liegender Bahn kanu aber V auch ein Druck sein. Für den Bogensehnenträger (Bahn unten) wird z' — hx, Gx~ 0, also

IVi '

53. V — 8Mh'e

Für den Fischbauchträger ist z‘ — 0, also V — — Gx, so dass hier im vorliegenden Falle kein Zug in der Vertikalen entstehen kann.

Fig. 96.

Ist endlich w < T und x>x, so ist die rechte rechts fallende und die

54. V— —

linke links fallende Diagonale gezogen (Fig. 96). Hier ergibt sich V durch das Gleichgewicht des unteren Knotenpunktes E in der eben gezeigten Weise zu 8M z“ e

Pli

Bei oben liegender Bahn (6r₂ — 0) ist hier V stets ein Druck. Bei unten liegender Bahn kann aber V auch ein Zug sein.

.Cn

Für den Fischbauchträger (Bahn oben) ist 6r₂ = 0, also V negativ, so dass hier wiederum kein Zug in der Vertikalen eintreten kann. Für den Bogensehnenträger (Bahn unten) ist z“ = ö, also

55. F= + Ga.

In der Kegel wird der erste Fall (Fig. 93) eintreten. Welche Last an der fraglichen Vertikalen liegen muss, damit V zum positiven Maximum werde, lässt sich im Allgemeinen im Voraus nicht angeben und muss durch Probiren bestimmt werden. Beim Fischbauchträger wird in der Regel überhaupt kein Zug in den Vertikalen eintreten oder nur ein Zug, der gegen den grössten Druck verschwindend klein ist, so dass hier die Bestimmung des grössten Zuges in den Vertikalen unterbleiben kann.

Die grafische Bestimmung wird am einfachsten in der Weise durchgeführt, dass man, etwa nach Fig. 92, für die fragliche

M

Lage des Lastensystemes die Werthe von

für die drei in Betracht kommenden Vertikalen bestimmt, alsdann nach dem eben Gesagten entscheidet, welche Diagonalen gezogen sind und nun für einen Knotenpunkt an der mittleren Vertikalen das Kraft-polygon konstruirt. In Fig. 97 ist z. B. das Kraftpolygon für den Knotenpunkt B q in Fig. 94 konstruirt.

3. Partielle Belastung. Für die partielle Belastung haben wir nur die Spannung der Gitterstäbe zu bestimmen.

a. Diagonalen. Für das I. System muss der rechte Theil, für das II. System dagegen der linke Theil belastet sein, damit die Spannung der Diagonalen positiv und zum Maximum werde. Es genügt, das I. System in Betracht zu ziehen, da man durch Umkehrung des Trägers (hinsichtlich der rechten und linken Seite) aus dem I. Systeme das II. System machen kann.

Fig. 97.

—7T

.i

//

//

>9

Ś'

>v

Für ein System von Einzellasten ergibt sich unter Beibehaltung der in §. 46 gebrauchten Bezeichnungen, wobei sich x auf das obere Ende der fraglichen Diagonale bezieht,

R'?(x+e) R'Ç'x

fr;

cosec a,

oder, wenn wir h‘ = ~ (x A e) (l — x — e), h = ^ x (1 — x), also k‘ ⁼ (x Ae) tt —%—e) se^zen un(^ ⁽Le Länge e cosec et des Stabes mit l bezeichnen,

lh‘

lli

lï

56. P —

(Æ 'JL x+e

\ l l — x

¥)

= la -%0    + e) JT c0sec a-

Verschiebt man das Lastensystem um J'% nach rechts, so wird die entsprechende Aenderung JF von P:

P' x + e

JF =

Bj Ul

h‘ *

Hiernach ist das Lastensystem so zu stellen, das möglichst B‘ l (x -Ą- e) — Bl (l — x) oder möglichst

57.

li _ 1(1 — x) 11 e\x + e)

ist. Ist hiernach die Lage des Lastensystemes ermittelt, so kann P nach Formel 56 bestimmt werden. Ist die Last gleichmässig vertheilt und ist der Abstand des Kopfes von der rechten Vertikalen, so ist B = plv

l-x — e-\-^l_1(1 —x)

e(æ-f-e)*

B' = p (l — x — e -f l,) zu setzen; sonach würde Die Auflösung gibt

fi

x-t-e

rz—|— e.

I -f- C

Hieraus ergibt sich leicht die in Fig. 98 gezeigte Konstruktion, in welcher AA‘ — B B‘ beliebig gross zu nehmen ist. Ist die Gleichung 58

58. £,=

Fig. 98.

JB

erfüllt, so geht der Ausdruck 56 über in

4 hi (x    e) (l — x — e)

cosec a.

Setzt man hierin B = plt, l = -₂llt l' = \ (l — x — e --j-    , so

erhält man

p c lq

8h~(l + e)

P

S h₁ (I -|- e)

Hiernach ist die Maximalspannung einer Diagonale ihrer Länge proportional.

Für die grafische Behandlung lassen sich aus den Eigenschaften der Parabel verschiedene Konstruktionen ableiten. Wir beschränken

59. max (+ JP) =

cosec €t —

uns auf die folgende : Aus dem ersten der Ausdrücke 56 ergibt sich sofort, wenn in dem fraglichen Fache CD (Fig. 99) eine Last B im Punkte E

Fig. 99.

>P

GS

liegt, die folgende Konstruktion : Man mache B F~AC=x, EE' = FF‘ =

ziehe die Gerade AFJ, welche EE‘ in

dem linken Stützendrucke

Gt schneidet. Ferner mache man GC‘ — der Last B, ziehe die Gerade DC', welche EE‘ mH schneidet. Alsdann ist GH =

R' x-{-e

l l — X

Zieht man durch H eine Parallele zum oberen Gurtstücke, durch G eine Parallele zur fraglichen Diagonalen, welche die vorige in P schneidet,

so ist GP = GH ~ = der Spannung P.

Wenn eine Last im fraglichen Fache nicht liegt, also B — 0 ist,

TU

so ist

R‘?

die Transversalkraft Q, also

X -f- 6 X l — x W’

60. P = Q

Für den Bogensehnenträger wird l — hseccr, setzt man ~ = so wird

_ x (l — x) (æ-j-e) (l — x — e)'

61. P = Q

seca.

I — x-\-e

Für den Fischbauchträger wird 1 — 1%‘ seca, also

62. P = Q

x 4- e

seca.

Nimmt man alle Punkte rechts vom fraglichen Fache mit pe be-

— x) (l — x — e)

lastet an, so wird Q = J p —

-, daher

63.    P=.

p (x -j- e) (l — x — e) l_p 11

~    ~ WË'.

Aid

b. Vertikalen. Die Spannung der Vertikalen ist nur für dasjenige der durch Zerlegung entstandenen Systeme zu bestimmen, für welches sich die Spannung der Diagonalen positiv ergibt, also für dasjenige, für welches wir soeben die Spannung der Diagonalen bestimmt haben.

Wir können zur Bestimmung der Spannung V die Gleichungen 49 anwenden. Unter Beibehaltung obiger Bezeichnungen wird für Bahn R‘i‘

~ïx'

R‘$‘

M‘ =

x — Ri;, M“ = (z — e), folglich:

R' £'x

unten : M =

(,x -{- e) — R £, für Bahn oben :

64. F — —

r & gi

in/

x~\-e)

lh

nnK ht* J e

(Bahn unten)

VR'gx

L lh

^    — (Bahn oben).

I h. "    h \ e K

Hierbei ergibt sich allgemen hi‘ — ~L

V = ^ (* - e) (l - * + e) + %z"

(x -f- e) (l — x — e) -f- ⁸⁽‘l/-, . Hieraus folgt nun leicht, dass

man für das Maximum der Beanspruchung den Zug so stellen muss, dass möglichst:

eh — x (V — h)

65.

lh

(Bahn unten),

eh — x (h — /<, ")

l h,"

(Bahn oben)

ist. Ist hiernach die Lage des Lastensystemes bestimmt, so kann die Berechnung von V selbst nach der Gleichung 64 erfolgen.

Für den Bogensehnenträger (Bahn unten) wird \⁴ — h = (l — 2x 4- c). Dies eingesetzt, gibt, dass möglichst

e (x — e)

R⁴ l (l — x) ’

66.

werden muss und zwar wird

67. V =

R‘ê' x — e l l — x

Ir;

Hieraus ergibt sich leicht eine der in Fig. 99 für die Diagonalen angegebenen Konstruktion entsprechende Konstruktion.

4 Jz

Für den Fischbauchträger (Bahn oben) wird \    ~ (l x — x²

— el 2ex -f- e²), h —    (1 — 2x — e); daher ergibt sich, dass

möglichst

68.

ex {x e)

sein muss und zwar wird

R‘ l [x (l — x) — e (l — 2x — e)]

69. V =

R⁴Q x 4- e

~~r i — x

RÇ x (l — x) — e (l — 2x — e) x (l — x)

Für den Fischträger endlich wird =—■ (Ix —    — 2ex-\-el),

~ (Ix — x* -f- 2ex — el), \* — h = h — h^' = ~ (l — 2x). Dies eingesetzt, gibt, dass die Bedingung

R‘ 1(1 — x)

70.

(Bahn oben)

, (Bahn unten) e x¹

R‘ l[x (l — x) — e (l — 2 x)]5 möglichst erfüllt sein muss und zwar wird

■'Ji,

71.

--(Bahn unten)

R^ x (l — x) — e (l — 2x)

x (l — x)

, (Bahn oben).

Bezeichnet man den Bruch, welchem sich ^ für die gefährlichste Belastungsweise möglichst nähern muss, mit h, so muss für gleichmässige

T’ fur

y sein. Hieraus folgt für

Belastung für Bahn unten

l — éi

Bahn oben

= k oder =

den Bogensehnenträger

72. |1 =

für den Fischhauchträger

73.

= k, oder ^ =

(l — x — e) (x — e) l (l — x) — e (x — e) G'

___________x (x + e)_____g

l (x — e)    e (x Ą- e)

(l — x — e) x X (l — x) — ex

'/r;

und für den Fischträger

li =

c, (Bahn unten)

74.

£.=

e, (Bahn oben).

Ix — e (l — x)

Bei sehr kleinem e wird für alle Fälle annähernd = j e. Ist die Gleichung 65 genau erfüllt, so wird

Hierin ist R = p    | für Bahn unten = | (l — x — e), für Bahn

oben = (l — x). Daher wird für den Bogensehnenträger

75.    max (— V) = — für den Fischbauchträger

76.    max (— V) = —

p (l — x — e)'¹ (x — e)

Y\l (l — x) — e (x — e)] ’

p x (l — x) (x -f- e)

und für den Fischträger

max (— V) = —

p x (l — x — e)

77.

2 [l (l — x) — ex]

(Bahn unten),

p x* (l — x)

2 [Ix — e (l — x)]

Bei sehr kleinem e wird annähernd in allen Fällen max (— V) = p x (l — x) _ plh

~ Th7‘

Die Werthe von V für links fallende Diagonalen erhält man, indem man l — x für x setzt. Es ergibt sich hierdurch, dass V auf der linken Seite für rechts fallende, auf der rechten Seite dagegen für links fallende Diagonalen zum Maximum wird.

max (— V) =

, (Bahn oben).

21

Wenn eine Last im fraglichen Fache nicht liegt, also R = 0 ist,

so ist

die Transversalkraft Q. Alsdann ergibt sich

max (— V) = — Q y-- (l—2j--jr~\

¹ ~ x \ \x + ej

max (— V) — — Q    (l + 2 ^

Hiernach ergibt sich für die einzelnen Fälle leicht:

CO

Bogensehnenträger: max (— V) — — Q r

78.

— e,r

(Bahn unten),

(Bahn oben).

79.

Fischbauchträger:.. .max (— V) = — Q

— e l — x ’

x —j— e

max (— V) — — Q j--.

I — x

Fischträger:

Nimmt man jeden der belasteten Punkte mit pe belastet an, so wird für Bahn unten: Q = (l — x) (l — x — e), dagegen für Bahn oben: Q — (l — x) (l ■— x -f- e), mithin:

Bogensehnenträger :

max

(~ V) = -

p (x — e) (l — x — e)

21

Fischbauchträger :

max

(- V) = -

p (x -f-e) (l — x -é)

80.

21

Fischträger |

Jßahn unteu: max (— V) = —

p x (l — x — e)

21

Bahn oben: max (— V) = —

p x (l — x ~j- c)

21

§. 60. Beispiele. Zur weiteren Erläuterung führen wir im Folgenden drei Beispiele durch, bei welchen die verschiedene Gurtform und verschiedene Form des Gitterwerkes berücksichtigt ist.

I. Beispiel. Eingleisige Brücke von 30 Meter Spannweite mit Bogensehnen-trägern und eintheiligem Doppelfach werke ; die Höhe h, der Parabel in der Mitte sei 4,5 Meter ; die Vertikalen theilen die Spannweite in 9 gleiche Theile von ^ = 3,333 Meter (Fig. 100). Das Eigengewicht sei für einen Träger 1,0 Tonnen pro laufenden

Fig. 100.

Oś

3ff

in w

30

~v

MI MU MM

Meter und zwar komme 0,3 Tonnen auf den Obergurt, 0,7 Tonnen auf den Untergurt. Die zufällige Last bestehe aus einem Zuge aus drei Lokomotiven; das entsprechende System von Einzellasten sei durch die folgenden Zahlen gegeben:

Entfernung :

Achsendruck : 6,5 6,5 6,5 4,5 4,5 4,5 6,5 6,5 6,5 4,5 4,5 4,5 6,5 Nach Formel 42 wird die Höhe der m ten Vertikalen

2

hm — 7, m (9 — m) Meter.

1,3 1,3    4    1,5 1,5 4,4 1,3 1,3    4    1,5 1,5 4,4 1,3 Met.

Ton.

Hiernach ergibt sich m = 0

h = 0 1,788 3,111 4,000    4,444 4,444    4,000    3,111    1,778

0 Meter.

1. Gurte. Die. Spannung des Untergurtes in Folge des Eigengewichtes ist nach Formel 46

8₂ — +

1,0 . 3Ö²

= + 25 Tonnen-,

die des Obergurtes wird daher — 25 sec o. Die Spannung der Gurte in Folge der zufälligen Last ist S₁ = — j sec o, S₂ = + j, wobei nach dem vorigen Paragrafe für S₁ der grössere, für S₂ dagegen der kleinere der beiden Werthe von -p welche

für die das fragliche Gurtstück eingrenzenden Vertikalen gelten, massgebend ist. Die Querschnittsfläche ist, entsprechend dem §. 5, nach der Regel

f 8g . Sp

'    1,4 "t“ 0,6

berechnet, wenn Sg, Sp die Spannungen in Folge des Eigengewichtes und der zufälligen Last bezeichnen. Die Rechnungsresultate gibt die folgende Tabelle:

8.4,5

Vertikale

max M

h für z uf.-

Last ^

maxM

Nr. der Last an derVertik.

sec a

Spannung

Obergurt

Eigeng. Zuf. L.

IJ Querschn. Untergurt I Ober- Unter-Eigeng. j Zuf. L. | gurt gurt

Cu ft, Oj k

0,533 x 34,29 x 1,778 114,7 3,111    192,5

4,000 242,6 4,444    266,2

4,414 266,2

Oi Ol Oi Ci Ci Ci

_co ^co yk. co "ćo "Vi ~ćo Ifes lu.

II

II

III

Vil

VIII

VIII

1,134 1,077\ 1,035; 1,008 1,000

o

-f »cT »cT kT

Ot O* CM CM °°_ ^

I oo~ ccT cT cT ÎN Co Co CO *0

''J Ci C) CU<^ I 00 Co" »cT

CN> Oi Oi Oł

lél,O 125,2 130,é 121,1 122,8 119,1

118.7    117,7

117.7    117,7

Met. {Tona. Met.! Ton.

Tonnen

I □ Centim.

2. Diagonalen. Das Eigengewicht führt keine Spannung der Diagonalen herbei, so dass hier nur die zufällige Last zu berücksichtigen ist. Wir ziehen zunächst das System I. mit nach rechts fallenden Diagonalen in Betracht. Der Zug muss hierbei von rechts über das untere Ende C der Diagonale so weit vorgeschoben werden, dass eine Last bei C liegt und nach Formel 58 möglichst • B‘ 9 (10 - m)

oder

IV

9 (10 — m)

wird, wobei sich m auf das untere Ende der Diagonale bezieht. Wenn wir den Zug so stellen, dass die I. Last das untere Ende der Diagonale überschritten hat, so

wird für

m =    2    3    4    5    6    7    8

R‘ = 0,85    0,83    0,97    0,73    0,92    0,85    1,08

.9 (10 — m)

~ = 3,25 2,17 1,63 1,30 1,08 0,93 0,81.

Hiernach muss für jede Diagonale die Last I. am unteren Ende der Diagonale liegen ; nur für die Diagonale im 8. Felde muss die Last H. am unteren Ende der Diagonale liegen. Die Berechnung der Maximalspannungen P ist in der folgenden Tabelle nach

B'P

der ersten der Formeln 56 durchgeführt, worin

deutet und

x-\- e

den linken Stützendruck D he-

Hl

—— zu setzen ist. Die untere Spannungsgrenze ist hier Null ;

1,3. P P

0,6

daher ist die Querschnittsfläche im Sinne des §. 5 nach der Regel f = zu berechnen.

0,77

Bezeichn.

der

h‘

P li‘

Diagonalen

| 10 — in

Qverschnitt

II 3

III    4

IV    5

VI 7

VII 8

%

3,111 : 3,777 4,000 j 4,563 4,444    5,204 ij

4,444    5,555

4,000    5,555 i!

3,111 : 5,204 1,778    4,563

26,98

20,57

14,72

10,18

6,51

3,50

2,17

6,75

II

Meter

Ton.

Tonnen

□ Centim

Die nach links fallenden Diagonalen haben dieselben Spannungen und Querschnittsflächen in umgekehrter Reihenfolge.

3. Vertikalen. Die Vertikalen haben in Folge des Eigengewichtes einen Zug aufzunehmen, welcher nach Formel 47 = 0,7.3,333 = 2,33 Tonnen ist.

Ebenso entsteht bei totaler Belastung durch die zufällige Last ein Zug in den Vertikalen. Die Last, bei welcher derselbe am grössten wird, lässt sich nur durch Probiren bestimmen. Es handle sich beispielsweise um die Vertikale 2. Die Werthe

M

von — für die Vertikalen 1, 2, 3 werden a) wenn die Last I an der Vertikalen liegt,

¹

[l (x — e) -)- e (x -j- e)\

50,3 57,8 57,5, b) wenn die Last II daselbst liegt, 54,0 59,0 55,8, c) wenn die Last III daselbst liegt, 61,3 62,5 59,1 ; ferner d) wenn die Last IV an der Vertikalen liegt, 56,9 56,4 56,4, e) wenn die Last V daselbst liegt, 42,7 42,4 45,1 und endlich f) wenn die Last VI daselbst liegt, 55,9 57,4 58,4. Hiernach sind in den Fällen a), b), c) die Diagonalen 1II und 3 II, im Falle d) nur die Diagonale 2 I, im Falle e) die Diagonalen 2 I und 2 III und im Falle f) die Diagonalen 1 II und 2 III gezogen. Nach den Formeln 50, 53 und 55 ergibt sich bezüglich V — 7,71 7,87 8,34 7,43 9,45 6,44 Ton., so dass hier max (-f- V) = 9,45 Ton. sein würde, ln gleicher Weise ergibt sich

Vertikale

max H-F) = 14,4    9,5    9,6    11,8.

■J

An der betreilenden Vertikalen liegt hierbei bezüglich die Last II, VI, V, IX.

Für das negative Maximum von V muss der Zug für nach rechts fallende Diagonalen so gestellt werden, dass möglichst

B‘

];

—- wird. Stellen wir — 1

den Zug so, dass die erste Last das untere Ende der rechts von der fraglichen Vertikalen liegenden Diagonalen überschritten hat, so wird m = 2

9 (9 — m)

7'

B‘

9 (9 — m)

= 0,83    0,97    0,73    0,92    0,89    1,08    0,72

= 6,50    3,25    2,17    1,63    1,30    1,08    0,93.

Für sämmtliche Vertikalen muss demnach die erste Last am unteren Ende der rechten Diagonale liegen. Die Berechnung von F|ist nun nach der Formel G7 durchzuführen,

Jß* &    Qß _

den linken Stützendruck D bedeutet und ,——

l — x

worin

„ -- zu setzen ist. Die

9 — m

Resultate der Rechnung gibt die folgende Tabelle :

Vertikale

1)

s los

20,57

14,72

10,18

6,51

3,50

1,32

•i »1 |os »! |«5 Y>S "5 |®3 CO ÎN

2,94

4,91

6,11

6,51

5,85

3,96

Tonnen

Tonnen

Von den Spannungen zweier symmetrisch liegender Vertikalen ist nur die grössere beizubehalten, da bei umgekehrter Richtung des Zuges die Vertikalen in umgekehrter Reihenfolge beansprucht werden. Ist Vg der Zug in Folge des Eigengewichtes, max (-j- Vp) und max (— Vp) der grösste Zug und Druck in Folge der zufälligen Last, so ist im Sinne des §. 5 die Querschnittsfläche f zu setzen :

für Zug: ft= + — + maX Vp) -J- mUX (~ Vp) 4->4

0,6

1,3

Vff

für Druck: f% — — -M. -j

max (— Vp) , max (4- Vp)

4,4

0,6

1,3

Die Resultate der Rechnung gibt folgende Tabelle:

Vertikale

V;,

max (— Vp)

max (-j- Vq)

Querschnitt

für Zug

für Druck

oosrciOHsOoiok

"oo Oo Oo Oo 03 Oo Oo Oo OoOoOoOoOoOoOoOo

Oo Ox Ci Ci Ox Oo Cs    cs

Ci Ox S4. (-4. Ox Ci

yts

Ife» "ci 'ös oo "oo "ci c, "ns.

ic *©    10 ÏO *0 Î0

Ot Cl <0 Ci Ci 10 C O»

O* "i® Oo Oo OO 0(

K* Kr kr kr Kl Sa W *0 Cr Oo Qc C'r *0 C 1k Oo oo Oo Ox Oo fk

Tonnen

□ Centimeter

II. Beispiel. Eingleisige Eisenbahnbrücke mit Fischträgern. Die Träger haben 60 Meter Spannweite und in der Mitte die Parabelhöhe ht = 9 Meter. Das Gitter werk sei zweitheiliges Doppelfachwerk, dessen Vertikalen den Abstand e = ^l = 3 Meter haben. Die Bahn habe die in Fig. 101 angegebene Lage. Das Eigengewicht sei

Fig. 101.

7 s 9    10    11 1Z

43 1ll 15 1b tl 13

lljL&x a4>

:! :

60

ÉI

für einen Träger 1,7 Ton. pro lauf. Met. wovon 0,4 Ton. auf die Bahn kommen. Die zufällige Last wollen wir nur als gleich massig vertheilt annehmen und zwar für die Gurte zu 2,3, für das Gitterwerk zu 2,5 Ton. pro lauf. Meter. Alsdann wird für die Gurte q — 1,7 -j- 2,3 = 4,0 ; g — 0,43q, p = 0,57q, für das Gitterwerk q = 1,72,5 = 4,2, g — 0,40 q, p = 0,60q. Die zulässige Inanspruchnahme (nach der gewöhnlichen Auffassung) sei 0,75 Ton. pro Q Gentim.

Die Höhe hm der m ten Vertikale wird hm = hm = - m (18 — m).

4 m (18 — m) 9

3l4

, d. i.

Hiernach wird :

m = 0 hm — 0

9 Met.

1,889    3,556 5,000    6,222 7,222 8,000 8,222 8,889

1. Gurte. Die Spannung eines Gurtstückes in jedem der beiden Elementar-

Systeme ist nach Formel 46 mit Rücksicht auf den §. 51 =

q l²

—■seco; mithin ist

die Spannung dieses Gurtstückes in dem gegebenen Systeme

d. i.

ql'seco    à,0.60*

—-= -î—sec c = 500 sec o.

8 8.0

Sonach wird die nöthige Querschnittsüäche f eines Gurtes: f=^^.secG, d. i

f — 266,67 sec g Q Centim.

Hierbei ist, da die Vertikalen, welche das mte Gurtstück begrenzen, die Höhen hm

j ? r i ,    hm — hm -1

und hm-i haben, tan g — ——-—-—

(V 6

gibt sich

19 —2m

60

, sec g = ]/1 -f- tan² g. Hiernach er-

sec g

tan g

_C> C> Cs Ci ^Cs ^Cs C C C C k k k to Ino Io k Ox Oo Ci Oi Qo k C< Qo viCtONC'to'ICOi

_kl ^_kl ^kl _kl ^kl _k4 _kl Sl ^4

Q> "o "Ci "c> "Ci Ci "o "<C> Qi CO'iOkkklÜsCü OkOjNlkiCoSUOi

to iC IV <V VC <C <C <C CiSiCiCiÄs*.^.^«^ Ci ®i o© 5© K* co ik >£ Cf Cf Ci Kt ^0 Kt

□ Centim.

2. Diagonalen. Das Eigengewicht ruft in den Diagonalen keine Spannung hervor. Die ungünstigste Belastungsweise hinsichtlich der zufälligen Last ist für die rechts fallenden Diagonalen diejenige, bei welcher die Last vom rechten Ende bis zu der die fragliche Diagonale kreuzenden Vertikalen reicht. Die Maximalspannung wird nach Formel 63 mit Rücksicht auf §. 50

= 1,0421,

l pU 2,5.60.1 ^ 8h, ~ 2.8.9

also die entsprechende Querschnittsfläche f, =

f, = 1,389 1.

1,0421

0,75

, d. i.

Die Länge l des Gitterstabes ist, wenn m den Index der die Diagonale kreuzenden Vertikalen bedeutet,

1 — ~\/40' -|- (hm+l -j- hrn—l)².

Hiernach ergeben sich die folgenden Resultate :

II CS

toOoSOiCuSCoîok

kl kl kl kl kl kl kl

oo oo oo Oi _or ^Oo _ki _to ^k> "kr>"vk"ki Qo 's* "cs "•<? o, ’kj

toCłCłtoklłcHk^tO

<C IC *C *C le kA ^ K Ci Cf Cł Cc st _ŚC Ci Co Ci "ïk ssi® Qc QO Co Co Co Ci

kl kl kl kl kl kl kl kl

kr k4 kr kl kl kl

_kl _Oj _Oi Oo Oo "k? "o, 's* o "Vi "oo "ki "k, îsOCsHktOklïOOiCï

»^»OCO^HCi^CO^O

<}* <5*    TS TS TS

Meter

□ Centim. \

Winkler’s Brückentau; Theorie, II. Heft.

Meter | □ Centim.

10

3. Vertikalen, a) Einfluss des Eigengewichtes. Die am Obergurte in den Knotenpunkten 1 bis 6 und 12 bis 17 wirkende Last ist J (1,7 — 0,4) -f- 0,4 — 1,05 ' Ton. pro lauf. Met. Sonach ist nach Formel 48 die Spannung der Vertikalen 1 bis 6: F = — | (2.1,05- 1,7) j, d. i.

V = — 0,667 Ton.

Bei den Vertikalen 7, 8, 9, 10, 11 wirkt am Obergurte | (1,7 — 0,4) = 0,65 Ton. pro lauf. Met., am Untergurte ebenfalls 0,15 Ton. pro lauf. Meter. Sonach wird nach Formel 48 die Spannung im oberen Theile Vx — — | (2.0,65 — 1,7) j, die Spannung im unteren Theile F₂ = + 4 (2.0,65 — 1,7) d. i.

V, = + 0,667 Ton., V₂ = — 0,667 Ton.

b) Einfluss der zufälligen Last. Einen Zug kann die zufällige Last nur im oberen Theile der Vertikalen 7 bis 11 hervorbringen. Derselbe ist nach Formel 48:

Ft = J 5,5 . f, d. i.

F, = + 4,167 Tonnen.

Der grösste Druck entsteht durch partielle Belastung. Nach den Formeln 80 wird für die Vertikalen 1 bis 6, 12 bis 17 und den unteren Theil der Vertikalen 7 bis 11

25 m (20 — m)

216

1 2,5 m (18 — m + 2) 10

2.18

und nach denselben Formeln für den oberen Theil der Vertikalen 7 bis 11

1 2,5 m (18 — 2 m - 1) 10 __ _ _

25 m (16 — m)

~3 ~~    “JÏ6    '

Vereinigen wir die Wirkung des Eigengewichtes und der zufälligen Belastung und bestimmen wir die Querschnittsfläche durch Division mit 0,75, so ergibt sich als Querschnittsfläche f für die Vertikalen 1 bis 6, 12 bis 17, welche einen Zug überhaupt nicht aufzunehmen haben,

/; = ! +

Für den unteren Theil der Vertikalen 7 bis 11 gilt dieselbe Formel, während für den oberen Theil derselben der Zug 0,667 + 4,167, der Druck +0,667 - -also die Querschnittsfläche für Zug :

2.18

25 m (20 — m)

162

— □ Centim.

25 m (26 — m)

216

58

~9

= 7,22

25 m (16 — m)

□ Centim.

für Druck : f₂ = —

wird. Für die Vertikalen 1 und 17 ist der hier stattfindenden Unregelmässigkeit wegen die ßechnung direkt durch Zerlegung in zwei eintheilige Systeme, etwa nach der vierten der Gleichungen 6 (Seite 100) durchzuführen. Die Resultate der ßechnung sind :

162

□ Centimeter

□ Centimeter

oben

unten

für Zug ! für Druck! für Druck

o> 0> 0>

lllll

ÈL

00 C> 3C

I I I I M OOOiOO

k k k k k k ___

OS Ol HkpO

To Tos To so Oi Qo Co H^>

f.

oben

für Zug für Druck für Druck

unten

00 2k

CO Ci Ci «5

SO 00 'CO O cT

T-H TS T-S TS TS TS

Da hierbei die rechts fallenden Diagonalen als gezogen angenommen wurden, während bei Umkehrung der Belastung die links fallenden Diagonalen gezogen werden, so ist von den Querschnitten je zweier symmetrisch liegender Vertikalen nur der grössere (iu der Tabelle fett gedruckt) beizubehalten.

III. Beispiel. Strassenbrücke von 50 Meter Spannweite und Fischbauchträgern und eintheiligem Netzwerke (Fig. 102) ; die Höhe h± der Parabel in der Mitte

Fig. 102.

JŒ

JV

vr

vu xm

4\

50

-Ê

-tm

50

dass an einem

sei 6 Meter, die Horizontalentfernung der Knotenpunkte -j = 6,25 Meter. Das Eigengewicht sei 2,0 Tonnen pro Meter, wovon 1,2 Tonnen auf die Bahn kommen, so oberen Knotenpunkte 6,25 jj (2,0 — 1,2) -f- 1,2~^= 10,0 Ton.,srn einem unteren Knotenpunkte 6,25 . j (2,0 — 1,2) = 2,5 Ton. wirken. Die zufällige Last sei

hinsichtlich des Menschengedränges auf den Fusswegen 0,6 Ton. pro Meter und hinsichtlich der Belastung durch die Wagen durch Fig. 103 bestimmt.

Fig. 103.

I 11 ,

3,5    4

xmxiy

3 , 3,5    3,5    4 , 3

~V TI

3 , 3,5    3 5 Lf

IX X

3 , 3,5    3,5    <+

0,8 0,8

o;s o/s

o;s o;s

0,8 o; 8

Die Höhe h an einem Knotenpunkte des Untergurtes, welcher die Horizontal--entfernung x vom linken Ende hat, ist h = 4j(l — j)ht, oder für x — tne:h =

Col Co

m (8 — m).

10*

Die Höhe h an einem Knotenpunkte des Obergurtes ist das arithmetische Mittel den Höhen an den benachbarten Knotenpunkten des Untergurtes, also, wenn der Kno-

aus-

tenpunkt den Abstand me vom linken Ende hat, h — ~ (m — 0 (8 — m + -₀J -f

h = f₂ {32 m — 4 m' — 1).

Die hiernach berechneten Höhen, sowie die jetzt leicht zu bestimmenden Winkelfunktionen sind in folgender Tabelle zusammengestellt :

Punkt

oben \ unten

Höhe

Untergurt

Gitter stabe

tan t

secr

cota

cosec a

II

III

00

IV

ÎN0 kl

Us "o* Ui "cs o, "ks OOCoOiCiOtOjOi oioikosoioikoi

0,450

0,360

1,097

1,063

0,240    1,028

0,120    1,007

g-l _k* _kl ^kl. kl Q> Go Oo Ol Ui U» "kl Io Ot Ol VJ Si 04

O O Oi oo <^> oo

N oi d o co oo

Os Co Oo OQ Co Oo CO c >0 Ol OS N M

yh >4 y-T y-4 1-T <>r ot

und

So

St

1,4

Meter

1. Gurte. Die Spannung des Ober- und Untergurtes ist bezüglich M

-r-secT. Die in bekannter Weise bestimmten Momente für das Eigengewicht, sowie h

die Maximalmomente für die zufällige Last und die resultirenden Spannungen sind in folgender Tabelle zusammengestellt. Die Querschnittsfläche f soll bestimmt werden nach der Regel 0,65'

wenn S₀, S, die Spannungen in Folge des Eigengewichtes und der zufälligen Last bezeichnen. Die so berechneten Querschnittsflächen enthält ebenfalls die folgende Tabelle.

Punkt § I

HO

Gefährlichste

Belastung

Moment

Last hei Richtung

Summe

Punkt

Eigen- tüen-

aewicht SCJte-nge I Wagen fÜrr ZWJ-(ft ait hl dränge |    Last

Sp an nun g Ol) er gurt    Untergurt

Eigen- I zufäll. Eigen- I zufäll. gewicht \ Last gewicht | Last

Querschnitts

fläche

Obergurt Untergurt

y-h    Co

^ 3 fc

k«, k(

-1k

AAAAVVAA

CSOsOtOxikOlsïOkl

tooootooivisini,^

"oo. ¥ Us Uo "oo "cs ¥ ¥

k k k k k k

QoGoVitr₍H4,k4.QoHi4rv

.V* -h* .5* 8°    ,8*    .h¹ ^

Ui Us "oo To 'bs Uü "c. "oo

O O

60,0 101,0 100,0 71,8 119,9 201,9

155.5    266,8 102,6 72,9 217,8 358,4

232,7 390,9 103,0 75,8 255,3 431,1

251.6    432,2 103,2 73,2 261,1 448,6

109,7 78,8

199,6

114,8 84,8

109,4 83,6

i

106.7    78,5

105.8    75,9

181,9

185,5

190,2

186,3

212,5

206,7

197,0

192,4

Tonnen

Tonnenmeter

□ Centim.

2. Gitterwerk. Die Berechnung des Werthes von £,, welcher die Lage der gefährlichsten Belastung hinsichtlich der gleiclimässig vertheilten Belastung (Menschengedränge) bestimmt, nach Formel 10 und 11 (Seite 110), wobei c nach der Regel c = hcotr — x berechnet ist, ist in folgender Tabelle zusammengestellt:

Punkt

-i

eiben

unten

k l — a rechts links fallend fallend

Z — a

— x + Ç,

11

III

IV

VI

VII

+ 0,78 6,25    + 0,78

6,25    -I- 5,86

12.50    + 5,86

12,50* +27,34 18,75    4- 27,34

18.75 25,00 25,00    — 77,34

31,25    — 77,34

31,25 I — 55,86

37.50    — 55,86

37,50    — 50,78

43.75    \ — 50,78 \

oo

oo

^2)    Ci _ki. _ki _kl _ki. ,Co ^ki

k ïc C: kb< Ci oocikkooo CokOokOiv5Q50Civ)C5SCiO

0,53

1,29

2,00

2,68

3,46

3,85

Meter

Nach der Regel 12 (Seite lll) ergibt sich mit Hilfe dieser Tabelle leicht, dass bei Belastung des rechten Theiles oder für das positive Maximum von Y für die Stäbe l I und 7 VII die II Last, für alle übrigen Stäbe dagegen die I Last am rechten Ende des über dem fraglichen Stabe liegenden Faches liegen muss.

Die Spannung der Gitterstäbe bestimmt man am einfachsten nach der Regel

Meter

M,

cosec cc.

Die Rechnung ist in folgender Tabelle zusammengestellt:

unten

M ... M für

j h fur Menschen- M für Wagen j.Eigen- geäränge

rechts I links rechts fallend] fallend fallend.

gew.

M ...

~h fUr

zufüll. Last

links rechts ! links | fallend fallend\fallend\

Spannung

rechts fallend links fallend Eigen- j zufäll. Eigen- I zufäll, gewicht \ Last gewicht | Last

II

III

IV

VI

VII

1 100,0 108,0 2 102,6 106,4

3    103,0 105,9

4    103,2

105.8

5    103,2

105.9

6    103,0 106,4

7    \102,6

108,0

8    100,0

teîeüxHkkjCïCoQotokjQoen o o    ^k? ją _Ot _ki    _ki

C: ■a Qq Os c: O O co çç> Or co co

k k k S, k k Kj

"k? "q> "co "co O* 1c "ftk "kJ. 'ûo "co "ci "k* "o-r "Ol

68,5

78,2

90,4 137,1

135.5    146,4 120,0 195,2 150,0 150,0

132.7    180,0

154.8    154,8

107.6    176,9 121,3 121,3

77.9    134,8 85,7 85,7

32.9    89,5

22,7 45,3

—8,3 4-3,2

-6,6+5,0 — 5,8+8,3

35,7

Oo

26,5

12,6

16,0

—5,6

24,0

24,6

32,4

8,8—9,5

5,9 -14,9

5,6-13,2

+ 7,7

+ 7,3

+ 5,4

' — 8,8

5,6-3.2,4,

5,8-14,6

6,6-18,5

8,3-12,9

Ton.

Tonnenmeter

Tonnen

Tonnen

Die Berechnung der Querschnittsfläche f, soll mit Rücksicht auf den Umstand, dass in allen Stäben der Druck gegen den Zug überwiegend ist, nach der Regel

f, = P"

erfolgen, worin P₀ den durch das Eigengewicht entstehenden Druck, P, und P₂ den durch die zufällige Last entstehenden Druck und Zug bezeichnet. Die Resultate sind in folgender Tabelle zusammengestellt:

■P»

1,4 ⁺ 0,65 ⁺ 1,4

Punkt

Spannung

oben

unten

Po

p₂

Druck

Druck

Zug

Querschnittsfläche f,

rechts links fallend fällend

ks

K~.

jOi JO» Ci Ot Cd Go Ci Oo Ci Ci CO Co Oo

3,2

5,4

5,0

7,3

8,3

7,7

2H,1

36,8

32,o

20,9

31,0

29,3

28,6

Tonnen

□ Centim.

§. 61. Volumen der Gurte des Parabelträgers. Nehmen wir für Zug und Druck eine gleiche zulässige Inanspruchnahme K an, so-ist die nöthige Querschnittsfläche des Ober- und Untergurtes an einer

beliebigen Stelle, da annähernd M

qi²

secr.

8Kh, beliebigen Stelle

ist, Strr sec o und ’ 8K.li,

Sonach wird das Volumen vt pro Längeneinheit an einer

konstant

_ ll

8 h,

«V=

ql²

oder

8K\

(sec² o -f- sec²r),

Vt =

qT-

{2 -f- tan²a -f tan²x).

4 h,

8K\

Für den Bogensehnenträger ist t = ö, tan o = ^ (l — 2x), also

81.

ql-

8Kk

— 2 cc)²J.

Die Integration zwischen den Grenzen 0 und l gibt als Gesammtvolumen

q P

4 K h

Dasselbe ergibt sich auch für den Fischbauchträger.

82. F, =

(*+4S0-

also

i äh, 2h

Für den Fischträger wird tana = tam = j^= (l — 2x)

83.

ql*

(1 — 2 æ)²J.

~ 8K\

Die Integration zwischen den Grenzen 0 und l gibt

84. Vx —

ql-

4Kh

Für j- = 0,150 0,125 0,100 ergibt sich der Werth der Parenthese für Bogensehnenträger bezüglich zu 1,060 1,042 1,027, für Fischträger bezüglich zu 1,030 1,021 1,014, durchschnittlich zu 1,032. Daher wird durchschnittlich

85. Vx =0,258

qt¹

Khx’

wobei der Fehler höchstens 3 Prozent betragen kann.

Sind zwei verschiedene Koeffizienten Kx und K„ für beide Gurte

zu setzen. Das Gewicht

11 2

anzuwenden, so ist sehr nahe ^ -j- für

ergibt sich, wenn man —■ -(- für setzt, falls yx und /₂ die Gewichte der Volumeneinheit bezeichnen.

Bei Anwendung der Formel 7 (Seite 9) zur Querschnittsbestimmung ist ^j~~ -f- an Stelle von zu setzen.

§. 02. Volumen des Gilterwerkes der Parabelträger.

1. Netzwerk. Ganz entsprechend der für Parallelträger in §. 37 gemachten Untersuchung ' ergibt sich als Volumen des Gitterwerkes v2 pro Längeneinheit unter Annahme einer gleichen zulässigen Inanspruchnahme K für beide Stablagen :

Y (sec*a -f sec* ß)

K (tan a -j- tan ß) '

Hiernach ergibt sich ganz entsprechend dem’für Parallelträger gefundenen Resultate das (übrigens für jedwede Gurtform gütige) Resultat, dass v2 zu einem Minimum wird für

86. Vç —

a = ß = 45°

und zwar wird für diesen Winkel

Setzt man Y =

87. v„

p x (l — x)

K’

, so ergibt sich als gesammtes Volumen

p r    t

\x (l — x)dx, wobei die Integration zwischen x — x — l auszudehnen ist, d. i.

21

0 und

88. Vo —

pi-

pr

- 0,167    -

Wählt man die horizontale Entfernung der Knotenpunkte konstant und zwar die Horizontalprojektion eines Stahes = a, so ist tana ~

tanß = , secq a = secq ß = 1 -f- mithin

Y aq + Iil

a t-a

Vq = K

ah

( + ?)•

p x (l — X)

Setzt man hierin h = ~x(l — x), Y —

¹ '⁸⁹'    ?'’2 = 8Kh~ala

Hiernach ist VQ an den Enden am kleinsten], in der Mitte am grössten; das vs an den Enden und in der Mitte verhält sich wie aq zu aq -f- h^. Die Integration zwischen den Grenzen 0 und l ergibt als gesammtes Volumen F₂:

21

, so wird

plq ( a . 8hl \ 8K \7è₁ "*■ 15 a J

Hiernach wird V„ zu einem Minimum für

90. Vo =

91. ^=1/

a v

Für dieses Verhältniss wird das Volumen:

15

~8

= 1,369 oder

Vh = °'⁷³⁰-

V-h

pl-

pl2 2K

d. i. um 9r/q Prozent grösser, als für a — ß = 45°.

Bei Anwendung der Formel 7 (Seite 9)' zur Querschnittsbestimmung ist mit Rücksicht auf den Umstand¹, dass die Spannung in] Folge des Eigengewichtes nahezu = Null und die positive und negative Maximalspannung in Folge der zufälligen Last nahezu gleich gross wird,

il    oder P {w    zu se^zeD- Setzen wir entsprechend

dem §. 37: Kn = 2,35 Kx, so würde 1,43 für zu setzen sein.

2. Doppelfachwerk. Hier müssen wir die Diagonalen und Vertikalen von einander trennen.

Diagonalen. Das Volumen v„“ der einen Schaar von Diagonalen pro Längeneinheit ergibt sich zu

Ysecq a

(i*    -■ ' ■■■    _.    ■ -    ______ _________

² K tan a K ah

Die Integration nach Einsetzung des Ausdruckes für Y gibt für das Gesammtvolumen einer Schaar der Diagonalen dasselbe Volumen, wie

92. F₂ =

= 0,183

Y a² 4- Ir

für das gesammte Netzwerk nach Formel 90; sonach wird das gesammte Volumen V₂“ beider Schaaren der Diagonalen

pl²

15 a)'

Y ¹¹ —    (—

² ~ 4K \\

Bei Anwendung der Formel 7 (Seite 9) zur Querschnittsbestimmung ist hier, weil das Eigengewicht nahezu keine Spannung erzeugt und die untere Grenze der durch die zufällige Last erzeugten Spannung Null ist,

i_

~ für 4= zu setzen. A, K

Vertikalen. Wir setzen zunächst voraus, dass die Bahn über dem Obergurte liege; die Vertikalen werden alsdann nur auf Druck beansprucht, welcher bei einseitiger Belastung zum Maximum wird. Das Volumen v‘ü pro Längeneinheit ergibt sich zu

² Klan a Ka¹

und wenn man die Ausdrücke für Y und h einsetzt,

Yh

«V

2p\ xq (l — #)²

KP a

Die Integration zwischen den Grenzen 0 und l gibt als Volumen sämmt-licher Vertikalen

2 p \ 72 15 Ka '

Bei Anwendung der Formel 7 (Seite 9) ist zu beachten, dass die untere Grenze der durch die zufällige Last erzeugten «Spannung Null ist und dass der Druck in einer Vertikalen in Folge des Eigengewichtes bei Fischbauchträgern gva,< bei Fischträgern | (gt — g₂) a ist, wenn gl und gq den auf den Ober- und Untergurt kommenden Theil des Eigengewichtes bezeichnet. Das entsprechende mittlere Volumen pro Längeneinheit ist 1    a ₇

K₀ a * 9la * 5 \ —

Mithin wird

3K₀ 9l Uud K₀a

• s (dl da) a • ~3

y t 2gx\l , 2p\P

²    3K₀ 15Kia⁾

_ (di~ da) V , 2ph₁P 15 Kta '

Wenn aber die Bahn unter dem Untergurte liegt, so sind die Vertikalen bei der gewöhnlichen Auffassung auf Zug zu berechnen, welcher in einer Vertikale bei Bogensehnenträgern = (gq p) a, bei Fischträgern

= J (#₂ — di + I>) a wo und gq den auf den Ober- und Untergurt kommenden Theil des Eigengewichtes bezeichnet. Wie vorhin bestimmt sich hieraus das Volumen zu    \

Fischbauchträger

Fischträger

3 Ko

93.

Bogensehnenträger F₂' =

Fischträger

£ (g* + jp) y

3 II

(g* - fh + p) y

Bei Anwendung der Formel 7 (Seite 9) ist zn beachten, dass durch die zufällige Last in den Vertikalen ein Druck entstehen kann, welchem,

2phlli 15 K₂a

eutsprechend obiger Formel, das Volumen men der Vertikalen ergibt sich hier zu:

Bogensehnenträger: V₂ — —- ^—

O

entspricht. Das Volu-

Fischträger:

LI

4_ JL _1_ -VLl

⁺ Kx ^ 5 K,ay

K₀

Ko

2pl^\

5 Kq aj '

Das Gesammtvolumen F₂ = F₂' -f- F₂" des Gitter Werkes ergibt sich nun nach der gewöhnlichen Auffassung zu:

pl*

4K

pl- r a .

prT « . 8 h, . 4 h 4K\ hl* 15« "*" 31

Bahn oben:

Bahn

unten

To =

/i₊ 16h>\

\ fh ' 15 «■ J

Bogensehnenträger: F₂ =

8 h,

(«■?)]■

Fischträger :

F₂ wird hiernach zum Minimum für:

ö+v)]-

CD

|Bahn oben: ^    ^ = 0,968,

= 1,033,

| Bahn unten : ^

¹⁶ — 1 ono a _ 8 —    fc —

= K I = °'⁷⁵⁰-

Bahn

oben

Nach der neueren Auffassung dagegen ergibt sich: Fischbauchtr. : F„ =

4-Kx pP 4KX pr

Fischträger:

Bogensehnentr. : F₂ =

, 8Kxgxiix 15a ‘ 3K₀pl 16hx , 4Kx(gx—gx) 15«"*" 3K₀pl J’

8 hx . 8 /ij

h, ¹ 15«"*“ 37

a a*

a a¹

Bahn,

unten

8 .KT, r/p /< ) ! 8 F| ^ I 3^« "r/5i:₂«J’

Fisch träger:

pi²

V<=4K,

8/i,    . 1 /#,

15 a ' 31

4Kx(go-gx)hx 3KX)p l

X K, h, 15Kna J*

Liegt die Bahn in der Mitte der Höhe, so ist F₂ das arithmetische Mittel aus den Resultaten, welche man für Bahn oben und Bahn unten erhält.

Ä° \

§. 63. Volumen des ganzen Parabelträgers. Nach den aufgestellten Regeln lässt sich das Gesammtvolumen V des Parabelträgers, entsprechend der Formel 111 (Seite 95) für Parallelträger darstellen durch den Ausdruck:

96. V =

+ -B.)

(A°k⁺

pl²

worin sich die Glieder A und B auf das Volumen der Gurte und des Gitterwerkes beziehen; die Glieder mit G in Formel 111 (S. 95) sind hier des Wegfalls der Endst.änder wegen, nicht vorhanden. Für die Koeffizienten A und B aber ergeben sich unter Benützung der Formel 95 folgende Werthe:

Gurte. A₀ = Ax = 0,253 bis 0,265, im Mittel = 0,258.

Gitterwerk. a. Netzwerk: Bx — 0, B^ = 0,26 bis 0,28, im Mittel 0,27.

h. Doppelfach werk: Bahn oben, Fischbauchträger B₀ = 0,05 bis 0,09, im Mittel 0,07, Bx = 0,52 bis 0,66, im Mittel 0,58; Bahn oben, Fischträger B₀ = 0,01 bis 0,04, im Mittel 0,03, Bx = 0,52 bis 0,66, im Mittel 0,58; Bahn unten, Bogensehnenträger B₀ = 0,05 bis 0,09 im Mittel 0,07, Bx = 0,52 bis 0,75, im Mittel 0,63; Bahn unten, Fischträger B₀ = 0,01 bis 0,04, im Mittel 0,03, B, = 0,46 bis 0,70, im Mittel 0,58.

Das Volumen des Gitterwerkes ist hauptsächlich nur durch die zufällige Last bedingt. Das Verhältniss des Volumens des Gitterwerkes zu dem der Gurte ist daher hier sehr variabel mit dem Verhältnisse der zufälligen Last zum Eigengewichte. Dieses Verhältniss kann für Netzwerk etwa zwischen 1 : 3 und 1 : 19, für Doppelfachwerk etwa zwischen 1 : 1,5 und 1 : 9 schwanken.

IX. Kapitel.

Pauli’sche Träger.

§. 64. Prinzip. Bei den Parabelträgern ist die Maximalspannung in den Gurten nahezu konstant. Es muss sich aber auch den Gurten eine solche Form geben lassen, bei welcher die Spannung in den Gurten wirklich konstant ist, was für die Ausführung offenbar einen praktischen Werth hätte. Da in der Mitte beide Gurte stets eine gleiche Spannung haben und sich die Spannung beider Gurte in einem beliebigen Querschnitte wie seco zu sect verhält, so ist eine konstante Spannung in beiden Gurten natürlich nur möglich, wenn a = r ist,

d. i. bei einem gegen eine horizontale Axe symmetrisch geformten Träger. Diese Trägerform ist unter dem Namen Pauli’scher Träger vielfach zur Ausführung gelangt.

§. 05. Form der Gurte.

1. Nähsrungsbestimmung. Die Spannung S eines Gurtes in einem beliebigen Querschnitte ist    ,

- seco — —

ąx (l — X)

2h

ql²

In der Mitte wird S = Mithin ist die Differenzialgleichung für die Bogenform mit konstanter Gurtspannung

x (l — x)

ir>+m

r-

4 hx ’

Eine einfache Näherungsauflösung ergibt sich', wenn man für denjenigen Werth einsetzt, welcher dem Parabelträger entspricht. Da beim Parabelträger die Gurtspannung nahezu konstant und ^ überhaupt nur

klein ist, so kann der hierbei begangene Fehler nur sehr klein sein. Für

4htx(l — x) dh _ 4/j,(Z— 2x) ' ^    jpj.

V- ’ dx    l¹ ’

Parabelträger aber ist h =

sehr nahe

* + *(£)=* + *

h² (Z - 2x)²

, mithin

\1 +2

h* (l — 2xY

r-

— oder

pL I

(>- )

h ²

Hiernach ergibt sich die Höhe bei gleicher Höhe \ in der Mitte ein wenig grösser, als beim Parabelträger.

2. Genaue Bestimmung. Bei einer genauen Bestimmung der Gurtform kommt das System des Gitterwerkes in Frage. Wir, wollen hier nur das gewöhnlich fiirPauli’sche Träger angewendete Doppelfachwerk in Frage ziehen. Bezeichnen wir die Momente der äusseren Kräfte, welche sich für zwei auf einander folgende Vertikalen BE und CF (Fig. 94, S. 134) ergeben, mit M* und Jf, die zugehörigen Höhen BE und CF mit h‘ und h, so

ist nach §. 44 die Diagonale BF gezogen, wenn > -yr ist; alsdann ist

31

die Spannung des Gurtstückes BC = y seca, des Gurtstückes EF dagegen 31*    31    31*

r=: ~yy sec g. Ist umgekehrt -y < -y, so ist die Spannung des Gurtstückes M‘ *

B C = -jj sec o, des Gurtstückes EF — scco. Sonach können die

97. h — 4

Maximalspannungen beider Gurte überhaupt nicht genau gleich sein. Am zweckmässigsten dürfte es daher sein, die mittlere Spannung \    -f-

sec ö

M M‘

als konstant anzunehmen. Da indess und nur sehr wenig von ein-

ander abweichen werden, so wird es auch genügen,

anzunehmen, wodurch sich die Berechnung und Konstruktion wesentlich vereinfacht. Alsdann wird nämlich, wenn man das Moment und die Höhe

M sec ö konstant

M

ist,

in der Mitte mit Mx, lix bezeichnet, -- sec er — oder, da seco = I/ 4 a• + (li — h')²

2 ali

Hieraus folgt sofort

98. h¹ = h — 2 a

J/W

- 1.

Hiernach ist h‘ bestimmt, wenn h gegeben ist, so dass sich mit Hilfe dieser Gleichung die Höhen allmählig berechnen lassen.

Indess scheint es uns als vollkommen hinreichend, die Berechnung der Höhen nach der Formel 97 vorzunehmen; natürlich wird sich die Spannung in den Gurten alsdann nicht ganz konstant ergeben; jedoch wird die Veränderlichkeit nur eine äusserst geringe sein.

§. 60. Näheriiiigsbestiiiiiiiiing der Spannungen.

1.    Gurte. Nach der im vorigen Paragrafe gegebenen Näherungsbestimmung der Gurtform ist die konstante Spannung der Gurte:

qV

8 V

2.    Gitterwerk. Für das Eigengewicht ist M — -₂gx(J—x), mit-

M₌gP h    8 hl

bringt, dass für ein kleines y annähernd ■——= 1 — y ist. Daher wird

99. — Sx = + So =

hin

2 jj J, wenn man die Regel in Anwendung

₇ M dh

dx

_ ght (l — 2x)

, folglich nach Formel 34 (Seite 126) : Y_4g\²x (l — x) (l —’2x)

dV

[l-+3hf(l-2^], also {l— 8 | -f 12    Daher wird für die zufällige Last nach der zweiten

Ferner ist ~

l — x_47»,

dx

|> + ^

px(l — x)

der Formeln 36 (Seite 126) : max (— Y) = —

(1 — 2    [1 +    — 8 + 12 jJ, d. i. nach Ausführung der

Multiplikation annähernd:

21

px (l —

max (— Y) = —

Das positive Maximum von Y findet man durch Vertauschung von x mit l — x und Umkehrung des Vorzeichens.

Unter der Wirkung des Eigengewichtes und der zufälligen Last wird demnach:

21

max (-j- Ir) =

+ px(l — x)

100.

•[*.+ *1«' i¹

21

m ax ( - 1) =

•[>

_■ o V ?

P i

Die Spannungen P, und P„ der Gitterstäbe sind nun durch die Formel 33 (Seite 126) bestimmt.

Die genaue Bestimmung der Spannungen durch Rechnung oder Konstruktion erfolgt am besten nach den aufgestellten allgemeinen Regeln.

p x (l — x)

§. 6Î. Volumen der Pauli’schen Träger.

1. Gurte. Nach Formel 99 ist der konstante Gurt-Querschnitt folglich das Volumen pro Längeneinheit

G =

ql-

seco.

4Kh

Es genügt für den vorliegenden Zweck, — 4h> 2xl

¹ 4- \ tanqo = 1+1 ^ =1.+ das Gesammtvolumen Vx der beiden Gurte _ qP_

V —

¹ 4K

2Jit ² (l — 2xY

q l³

ql²

g K h, ’

, sec g =

•zu setzen. Sonach wird

d x, d. i.

(■+!¥)

V —

'    4 Khx

Bezeichnet man das Volumen für den Parabel-Fischträger jmit V/, so wird mit Rücksicht auf die Formel 84 (Seite 151) sehr nahe

2    V

3    V*

101. vt =

(²

)*•

Wenn die Höhe \ j l, \l, \l gewählt wird, so bedürfen die Gurte im Pauli’schen Träger bezüglich 1,4, 1,1, 0,8 Prozent weniger Material. In Wirklichkeit ist die Ersparniss indess grösser, da man sich in der Ausführung dem konstanten Querschnitte besser anschmiegen kann, als dem etwas variablen Querschnitte des Parabelträgers.

2. Gitterwerk. Das Volumen des Gitterwerkes ist proportional dem Integrale j Yd x. Für einen Parabelträger ergibt sich für die Ausdehnung des ganzen Trägers J Ydx --    Für den Pauli’schen Träger

ergibt sich, wenn man für Y den ersten der Ausdrücke 100 setzt, zwischen den Grenzen 0 und integrirt und das Resultat doppelt nimmt,

SYdx = ~

Bezeichnet man das Volumen des Gitterwerkes im Pauli’schen Träger und Parabelträger bezüglich mit F₂, F₂', so wird sonach bei oben liegender Bahn

102. Fi = [i +    + 3 A 'Ÿ | jy.

Bei einer Spannweite von 20m ist bei Eisenbahnbrücken ungefähr - = 0,25, daher ergibt sich für die Verhältnisse \ — \l, \ l, bezüglich Vq—l,06V^:

1,05 F₂', 1,04 F₂"; bei einer Spannweite von 150m dagegen wird ungefähr | = 2,5, daher ergibt sich für die genannten Verhältnisse bezüglich

F₂ = 1,20 F₂', 1,16 F₂', 1,12 F₂'. Hiernach würde das Gitterwerk 4 bis 20 Prozent mehr Material erfordern.

Für eine unten liegende Bahn, wo in den Vertikalen des Parabelträgers ein Zug entsteht, ist das in Formel 102 aufgestellte Verhältniss allerdings nicht ganz richtig. Hier ist der Mehrbedarf im Gitterwerke beim Pauli’schen Träger etwas geringer.

Der Minderbedarf in den Gu,rten und der Mehrbedarf im Gitterwerke gleichen sich nahezu aus, so dass der Pauli’sche und Parabelträger nahezu gleich viel Material erfordern, wenigstens theoretisch. In Wirklichkeit ist ein geringer Vortheil auf Seite des Pauli’schen Trägers.

X. Kapitel.

Halbparabelträger.

§. 68. Prinzip. Die Halbparabelträger oder abgestumpften Parabelträger haben parabolisch gekrümmte Gurte, welche sich aber nicht über den Lagern vereinigen, so dass die Trägerhöhe nach den

Enden zu nicht in Null übergeht (Fig. 83, 84 und 85). Der Zweck dieser Konstruktion ist hauptsächlich, die Yortheile der Parabelträger hinsichtlich der 'nöthigen Materialmenge möglichst auszunutzen, dabei aber auch den Vortheil zu gewinnen, bei unten liegender Bahn auch an den Enden obere Querverbindungen anbringen zu können. Ueber anderweite Yortheile verweisen wir auf das Heft über „eiserne Gitterträger“. Der Untergurt ist gewöhlich gerade.

Wir bezeichnen die Trägerhöhe in der Mitte mit an den Enden mit h₀, im beliebigen Abstande x von einem Ende mit h und das Verhältnis

mit £. Nehmen wir an, dass die Knotenpunkte in Parabeln liegen, deren Scheitel sich in der Mitte befindet, so können wir für die Höhe an einem Knotenpunkte setzen:

103. h = h„ + 4 (Ä, - /,„) Ï (l - y) = h, fe + 4 (1 - e) y

§. 69. Näherimgsbestiininungeii der Spannungen unter Anwendung der in §. 55 aufgestellten Näherungsregeln und unter der Annahme eines geraden Untergurtes. Nach der Formel 103 wird

\    ^ (1 — e) %

, äh . .. tan a = -rj— = 4 (1 —

1. Gurte. Die Spannungen der Gurte werden nun nach Formel 32 (Seite 126), wenn man M = -₂ qx (l — x) setzt,

- sec c>, S„ = +

Hiernach ist die folgende Tabelle berechnet.

104. St = —

qx (l — x)

0 j 0,1    0,2

0,3

M]-

q x(l — x\

0,4

0,5

0,125

-S₂

0,125

0,102

0,087

0,066

0,054

0,045

•O K    O    CO    OO    o

Ol k    k    Ol    oo    CO

k|    TH    O    <£>

oT oT    oT    cT    oT    qT

0,125

0,122

0,119

0,114

0,109

0,105

>C fo iK o C\{ Cvi Oł CNI CIJ O*

oT oT qT oT oT oT

C>    _Q>    ^Q>    ^

k    k    Ki    k    k    k

ÎN0    îo    ïo    ÎNO    ÎO

Ol    Üi    Oi    Oi    ÜI    Oi

k.

“h S,

0,125

0,250

0,500

0,750

0,139

0,117

0,091

0,068

0,054

0,045

0,133

0,122

0,113

0,099

0,088

0,080

Q>    Q>

Ui Ui Ui Ui Ui Ui

<o> Cs t-i to îno îo

Ol    Ot Kl Ül to

0,126

0,125

0,123

0,122

0,121

0,120

Q, Ql _Q> yQ> Q> ki kl kl kl kl ki ÎN0 ÏNO ÏO ÎNO ÎNO î\0 Oi Oi Ol Oi Oi Oi

|k3

Bei der Berechnung von sec a wurde die mittlere Höhe \ zu £, d. i. |Z bis IqI angenommen. In Big. 104 ist hier-

7i. =

10 (2 4* f)

nach S₁ und S₂ grafisch dargestellt. Man sieht, dass für kleine Höhen an den Enden die Spannung der Gurte nahe konstant bleibt und nur in der Nähe der Enden sehr schnell bis zu Null abnimmt.

Fig. 104.

'B

■ _____

2. Gitterwerk. Es genügt, die positiven Werthe für Y zu bestimmen, da das positive und negative Maximum von Y in gleichen Abständen von beiden Enden dem absoluten Werthe nach gleich gross sind.

Für das Eigengewicht wenden wir die Regel 35 (Seite 128), nämlich

dh_ 4 (h, — h₀) (l — 2x)

dx ~T

an. Nun aber ist M=^gx(l—x), Q=^g(l—2x),

Mdh_

Qh dx

4(hl — h₀)x(l — x) h₀

, also 1

mithin Q -    } g (l - 2x) .

Für die zufällige Last wenden wir die erste der Formeln 36

llh

Ä’

(Seite 126) an. Es ist

l²x

d-

l¹ h₀ -p 4 (ht — Ä₀) x²

daher wird Y =

Ph^P- 4(7^—/t₀)æ(Z—æ)’ p (l — xy P h₀ -f- 4 (h, — h₀)x²

21

also ~ —

dx

. Somit wird nun für die

JP

gleichzeitige Wirkung des Eigengewichtes und der zufälligen Last :

105. Y— ~    PV — X)'¹ Kp + 4(h,—h₀)xs

In Fig. 105 sei 44' =

CC‘ = hv Legt man durch A‘ und C eine Pa-

BB‘ = h

Fig. 105.

hl-

B¹

rabel A'C‘B“ mit vertikaler Axe, deren Scheitel in A‘ liegt und entspricht der Abscisse AE — x der Punkt E" dieser À-,

Parabel , so ist E E‘ = h, Ą E E“ = h₀ -\- 4 (ht — h₀) yt.

Bezeichnen wir EE" mit h‘ und bezeichnen wir ferner die Transversalkräfte für das Eigengewicht und die zufällige Last mit Qg und Qp , so wird also nach der vorigen Formel

106. Y = Qg

K 4 ₀ h‘

h ^ QpT

Winkler’s Brückenbau; Theorie II. Heft.

Hiernach wird das erste Glied stets kleiner als Qg, das zweite dagegen auf der linken Hälfte kleiner, auf der rechten aber grösser als Qp. Nach Formel 106 lässt sich Y auch leicht durch Konstruktion aus den Transversalkräften Qg und Qp ableiten.

Die Spannung eines Gitterstabes ist nun

— Y sec (i, n

107. jP₁ = + -Fsecfl', P, = n

wenn für den durch die Mitte des fraglichen Stabes gelegten Vertikalschnitt der Werth Y gilt.

In folgender Tabelle sind die Werthe von Y für einige Werthe von « zusammengestellt.

s-g

e I 0 | 0,05 | 0,1 | 0,2 ' 0,3

X —

0,4 I 0,5 I 0,6 ! 0,7

0,8    0,9    1

0,500 0,5 0,378 0,294 0,183 0,109 0,750 0,5 0,423 0,357 0,247 0,156 1    0,5 0,450,0,400 0,300 0,200

o ! o o I o ; o

0,100\ 0    0,100,0,200 0,300

0 0 0,114 0,5 0,192 0,5 .gl 0,294 0,5 0,357 0,5 0,400 0,5

X für die zufüd-lige Last

0,125

0,250

0,500

0,750

+ +    4-    +    -f-    + ! +

O 0,024 0,045 0,080 0,105 \o,120 0,125 0,5 0,207 0,147 0,124 0,125 0,128 0,125 0,5 0,296 0,218 0,162 0,140 0,135 0,125 0,5 0,383 0,310 0,226 0,181 0,151 0,125 0,5 0,426 0,366 0,278 0,214 0,165 0,125 0,5 0,45110,405 0,320,0,245 0,180 0,125

0,120

0,115

0,110

0,100

0,090

0,080

0,105

0,091

0,088

0,072

0,058

0,049

0,080

0,069

0,059

0,043

0,031

0,020

0,045

0,035

0,026

0,016

0,009

0,005

aus drei Theilen derart, dass im ersten Y nur positiv, im letzten Y nur negativ ist, während im mittleren Y sowohl positiv als negativ werden kann. Die relative Länge dieser Theile hängt sowohl

von dem Verhältnisse f-, als von

In Fig. 106 ist hiernach Y grafisch dargestellt und zwar ist hierbei beispielsweise g — p angenommen. Hiernach besteht der Träger stets Fig. 106.

dem Verhältnisse — ab. Der mitt-

9

lere Theil ergibt sich um so kürzer, je grösser ^ und je kleiner

t    ¹

^ ist. Nach der Formel 106 würde sich für die Länge dieser Theile

eine Gleichung vierten Grades ergeben. In folgender Tabelle sind die Längen a — AD — BE eines äusseren Theiles zusammengestellt:

0,25

Ol

0,75

yo> yc> yo yco

L, "Vl Oi lo Hm rs. kOiOÜiK)^ CCOOi

yo> yo>    yo    yo.    yo>

Oj K    ÎO    Mi    Mi    p\

)S Oo    Ol    Cs    v

V! Oi    Qo    Oi    Oi

yo> yo ya o yo>

Vs Vs Id o, Mi O Hi Ol Co ^ Hi o to Qd o

o yo    y^>    yo>    yo.

Mi.    Hi.    Oj    Os    cs

05 Ol    to    V!    o    u

Hi O    Qo    Ûo    O

0 0^00 ^ Oi Oi Oi Oi Ol

Das absolute Maximum von Y ist eben so gross, wie beim Parallelträger, nämlich = iql. Jedoch nimmt Y nach der Mitte hin schneller ab, als beim Parallelträger und zwar um so schneller, je mehr sich der Träger dem Parabelträger nähert. In der Mitte ist Y wiederum ebenso gross, wie beim Parallelträger. Bei gleicher Neigung der Gitterstäbe würden daher die Maximal- und Minimalquerschnitte dieselben sein müssen, wie-beim Parallelträger.

§. 70. Genaue Bestimmung der Spannungen. Für den Halbparabelträger erscheint es am meisten gerathen, die im VI. und VIII. Kapitel entwickelten allgemeinen Kegeln direkt in Anwendung zu bringen, da sich aus der speziellen Form der Gurte wesentliche Vereinfachungen nicht erzielen lassen. Das folgende Beispiel mag daher gleichzeitig auch zur weiteren Erläuterung der Anwendung der allgemeinen Kegeln dienen.

Beispiel. Wir behandeln im Folgenden ein Beispiel für einen Halbparabelträger, welches indess gleichzeitig auch als ein Beispiel für die Träger mit gekrümmten Gurten im Allgemeinen dienen mag. (Taf. VI.)

Die Brücke habe 75 Meter Spannweite. Die Träger mögen an den Enden 5 Met., in der Mitte 10 Met. Höhe haben. Das Gitterwerk sei zweitheiliges Fachwerk mit 3,75 Met. entfernten Vertikalen, so dass durch die Vertikalen 20 Fache gebildet werden (Taf. VI). Das Gewicht der Brücke sei pro Träger 1,6 Ton. pro Met., wovon am Untergurte 1,0 Ton. am Obergurte 0,6 Ton. wirken; es kommt alsdann auf einen unteren Knotenpunkt die Last 1,0.3,75 = 3,75 Ton., auf einen oberen Knotenpunkt die Last 0,6.3,75 = 2,25 Ton. Die Belastung erfolge durch einen Zug von drei Lokomotiven und von schweren Lastwagen nach dem folgenden Schema:

Badstand 1,3 1,3 4 1,5 1,5 4,4 1,3 1,3 4 1,5 1,5 4,4 1,3 1,3 4 1,5 1,5 3 3 3 Met.

Achsendr. 6,5 6,5 6,5 4,5 4,5 4,5 6,5 6,5 6,5 4,5 4,5 4,5 6,5 6,5 6,5 4,5 4,5 4,5 4 4 4 Ton. Die zulässige Inanspruchnahme sei 0,75 Ton. pro □«*». Wir wollen hier nicht die genaue Vertheilung der zufälligen Belastung auf die beiden Elementarsysteme, in welche sich das gegebene System zerlegen lässt und welche nach §. 54 zu erfolgen hätte,

fl«:

durchführen, sondern die in §. 17 (Seite 48) aufgestellten und auch hier gütigen Näherungsregeln in Anwendung bringen.

A. Berechnung. Die Höhe hn im Abstande x = 3,75 n vom linken Ende oder

an der n ten Vertikalen ist nach Formel 103 hn = 5 -f-a. hn — 5 -\- n — 0,05 n² Meter.

4n (20 — n)

20²

5, d. i.

Hiernach ergibt sich n = 0

hn = 5,00 5,95 6,80    7,55    8,20 8,75 9,20    9,55 9,80    9,95 10,00 Met.

10

Wir zerlegen das System in [zwei eintheilige Systeme; das I. System enthalte die Diagonalen 0 2, II 4 etc., das II. System die Diagonalen 0 1, I 3 etc. Auf ein Elementarsystem denken wir uns die ganze Last, also hinsichtlich des Eigengewichtes in einem unteren Knotenpunkte die Last 1 . 7,5 = 7,5 Ton., an einem oberen Knotenpunkte die Last 0,6.7,5 = 4,5 Ton., an den beiden Enden einer Vertikalen also die Last 7,5 -f- 4,5 — 12 Ton. wirkend.

1. Diagonalen. Für einen durch eine Diagonale, deren unteres Ende den Index n hat, oder durch die nte Diagonale gelegten Schnitt, ist für das Eigengewicht :

I. System : Q =    •

12 . io

¹²~ n . 3,75 - ~~-²12.J.3,75,

n . 3,75 — ~L± 12 .    3,75,

d. i., wenn wir den Einfluss des Eigengewichtes durch den Index g anzeig en.

, | I. System: Qg — 66 — 6 n, Mg = 225n — 11,25 n²,

\ II. System: Qg — 66 — 6 n, Mg — 225n — 11,25 (n¹ — 1).

Hierbei bezieht sich das Moment M auf den unteren Endpunkt der Diagonale.

II. System : Q

12, M -12, M

12.10

Für die zufällige Last ist die Transversalkraft Qp nach dem I. Heft, §. 13 zu bestimmen. Wir haben hierbei die erste Achse in den durch die Mitte der fraglichen Diagonale gelegten Vertikalschnitt oder für den Stab mit dem unteren Punkte n in den Punkt n — 1 zu legen. Das Moment Mp wird alsdann: Mp — Qpx = 3,75 QPn.

hn — hn — 2

Für die Diagonale, deren unterer Index n ist 0,05 n (20 — n) — 0,05 (n - 2) (20 — n + 2)

ist tan o =

7,5

7,5

c. tan o

, d. i. 11 - n

37,5 '

Nun wird Y = Q — tan o, d. i. für das Eigengewicht

150,0 (11 — n)

d.

I. System: Yg =

5,00 Q

II. System : Yg —

und für die zufällige Last Yp — Qp ^1 —

2n (11 — n)

25 + 5n — 0,25 n1 148,5 (11 — n)

_    195 Q

25 -j- 5 n — 0,25 n²    h

x tana\ h~)

, d. i.

100 — 2n + n2 ~ 100    20 n — n²

Für die Wirkung beider Theile der Belastungen, für welche wir den Index q gebrauchen, ist nun Yq = Yg -j- Yp und die Spannung P einer Diagonale mit Rücksicht auf den Umstand, dass das Gitterwerk ein zweitheiliges ist,

f. P = + i-r,

— \/l-1- tan² n.

e. Yp

= Qp

100 -J- n (20 — n)

sec a.

Hierbei ist tan a =

7,5

hn—2 ’

sec a

Qp.

Die Diagonalen sind so weit fortzusetzen, als sich noch eine positive Spannung

derselben ergibt.

Hiernach ergeben sich die folgenden Resultate:

Bezeichnung

der

Diagonale

Qp i

\ YP

Qp

Yp

Yg

sec n

Yq sec a

T-H ®ï

Querschnitts-fläche f

0,75

kl kl kl kl kl kl kl kl

NiOłOikCu^kO^CoNCitoikŁDKik

+ 50,9 + 34,7\ + 31,5 \ + 26,1 +20,4 Hr 13,3 + 12,5

4- 9,2 4* 6,0 + 3,0

—    18,8 — 23,6

I I+++++++++++++++

kl

kl    klîOÎOOoCôHkWkeriOlCïkîîOÎNO

_?o .to    _Oi    ^o, ^    yo 00 ^

"kl 'bo 'Oi "bi oo Vj "k? "oi Co 1k V? "kl ’bo iks <1 kl

UkM    _kl ^kl >-4. Jk _kl _kl .kl .kl .kl

vîOiOioioiCïkf^kiOxkiOckl'^Wk

I osSJ*jo +

* 1o'C('as'Śo'ł«4.'Vo'Hkl'.l'kl OO Oslö Ifc. OO

kl kl

,    ,    kikîoîotoOjk^OiOiQokCi

b© "bo lo bi io Qo k k vî Co c:    Hi

Ton.

Tonnen

Tonnen |Q Centim.

2. Vertikalen. Für einen durch die Mitte der nten Vertikale in Richtung der die Vertikale kreuzenden Diagonale gelegten Schnitt ergibt sich :

“5⁷'⁵“G - 4M-⁵’ M^-^n.3,75

13.10

13.9

I.    System: Q —

II.    System: Q = ~7.5- " J -4.5. M

—j- 12 .    . 3,75,

n . 3,75 -    12 .

d. i. nach durch geführter Reduktion:

\ I. System: Qg — 58,5 — 6 n, Mg = 225 n — 11,25 n\

⁹‘ \ II. System: Q₀ = 58,5 — 6 n, Mg = 225 n — 11,25 (n² — 1). Hierbei bezieht sich das Moment auf das untere Ende der Vertikale. Bei der zu

fälligen Last ist für die nte Vertikale die erste Achse in den Punkt n -f 1 zu legen und Qp wie oben zu bestimmen. Hierbei ist Qp für die nte Vertikale gleich dem Qp für die (n -f- 2) te Diagonale. Das Moment Mp wird alsdann Mp = Qp x = 3,75 Qp n.

Für die nte Vertikale ist tan a

lln — hn — 3

7,5

, d. i. wie oben

11 —n 37,5 ‘

M

Nun wird Y = Q — —j— tan a, d. i. für das Eigengewicht

h. tan a =

i.

I. System: Y =

II. System: Yg =

150,0 (11 - n)

25 + 5 n — 0,25 n2 148,5 (11 - n)

- 7,5 =

5,00 (Q + 7,5)

7,5,

-7,5

4,95 (Q + 7,5)

— 7,5.

2.5 + 5 n — 0,25 n²

Hiernach ist Y,j für die nte Vertikale gleich dem Yg für die nte Diagonale weniger 7,5, wie auch sofort aus dem Gleichgewichte eines unteren Knotenpunktes folgt. Für

die zufällige Last wird Yp = Qp 11

L YP =

Die Spannung V der Vertikale ist nun

x tan rx\ . . —)'a-

100 — 2n + n2 100 -j- 20)1 — +

Qp-

Yq.

l V — -

*ol

Der Maximalstützendruck ist hinsichtlich des Eigengewichtes = j 12 . 10 = 60,0 Ton,, hinsichtlich der zufälligen Last = 86,6 Ton., im Ganzen also 60,0 -f-86,6 = 146,6 Ton.; da am unteren Knotenpunkte0 das Gewicht .3,75 = 1,9 wirkt, so ist der Druck in einem Endpfosten = ^ (146,6 — 1,9) = 72,4 Tonnen.

Hiernach ergeben sich die folgenden Kesultate:

Bezeichnung

der

Vertikale

Qp

Y?

Qp

YP

Querschnittsfläche f

V

~~ 0,75

C,

Sa

OCODSiOiOi^OslokO

iG^OsOsHAKAOiOiCłklOo KOiOOik'Uo^Oito Ci4-La kl cs Lo Os Ci C> Lg V{ La Ci

_c>    ,c>    ^ ,c>

Lo Qo "k? 'k? 4, Ci "ci Os V? Qo O Kl Oi Ci Ol Oi Oi Go Oj Oj C>î©OTkl<^>kl<^>toCnïG

KlÏGÎGÏGÎOOsOsHAHACi, .

^OKl050|N?OHACłQoC> 4-

C> C> La La Ci Lo Lo La Os Os

+++++++4- I I

K k >o Oj K Ha Ki _ki Qo ïo po yfe. Os 'bx'bi'kio Qo Lo Ci ^ icLa

Ka

KtoklOjtoKÜlOiOoC) .

"ox "Ci "oo Co La "qo "ot La "tu k{

Kl

KlKlklîOÏOOsWAOtHA , Kl Oi _C> _Kl ^NA I LoL^HaLgLoLoLoLgLoLoLo

Kl

KlKllNO^OÏNDOsHAOTCi^

.Os Oi _Ha Jö to .Os fco kl "c> "o> V Ld Lg 4 Lo "cs La La

Tonnen

Tonnen

Tonnen I G Cent im.

3. Gurte. Für einen Murch den nten unteren oder oberen Knotenpunkt und das in Richtung der Maschendiagonale gegenüberliegende Gurtstück gelegten Schnitt ergibt sich für das Eigengewicht, wie oben:

m.

f I. System : Mg = 225 n — 11,25 n2 \ II. System: Mg = 225n — 11,25 (n² — 1), wenn n den Index des betreffenden unteren Knotenpunktes bedeutet und wenn man auf jedes Elementarsystem die ganze Last wirkend denkt. Für die zufällige Last ist das Maximalmoment für jeden Knotenpunkt nach dem I. Hefte, §. 14 und 15 zu bestimmen.

Nun ist die Spannung des nten oberen Gurtstückes

n. Si =

_i(!> +

2 \ hn

Mn+i\

hn+l )

sec o,

wenn o sich auf das fragliche Gurtstück bezieht, und die Spannung des n ten unteren Gurtstückes

o. S₂ = -f-

<o| kl

Mn—1

Mn-2

hn—l

hn-2

hn — hn—l_ 1,05 — 0,ln _ 21 — 2n

3^5

Die Resultate der Rechnung sind in folgender Tabelle zusammengestellt.

Hierbei ist tano

3,75

75

, seco = \/1 -f- tan² o.

Index des unteren Knotenpunktes

Nr. der am Knotenp. liegenden East

fe:

fei

Mq

sec o

Spannung

Querschnitt

Oberg, j Unterg.

S,

s₂

Ober- Untergurt ; gurt

+ ~r “r 10 0 0 11    299 225 524

III    554 405 9591

IV    783 5851368 V 963 7201683

VU 1126 855198Î VIII 1263 945 2208 IX 1360 1035 2395 X 14391080 2519 XI 14591125 2584 XIII 14631125 2588

kj.

<o> co so o _QoOo ^3 o* _Ox To oo "ox To Li 7c Ox Qo os Ti OQxO Ox OOxOOxQOxO ÎO ÏO <0> 30 ÏO ÎO ÎO kl Kl OxÜxOxOxKx>ïoOQoH^Oo . OoO^OOOOxkkOoO-f "oo 'Vj To "oo L, To La To To

kA kA kÂ~~kA k k k k k k

<0>    C> C>

OOOOOkk

OktoOxvîkiOxOOxîo

C;

§§

118,2

165.1 197,0

209.1

235.7

247.1

255.7 258,9 259,5

259.2

44,0

114,5

161,1

198.2

205.8

233.2

245.4

253.9

258.4

Tonnen Meter Ton.

Tonnen

□ Centim.

B. Konstruktion. Auf Taf. VI ist die Konstruktion durchgeführt.

Fig. 107.

1. Diagonalen (Fig. 1 und 2). Zunächst wurden die Linien DE und CB, welche die Transversalkräfte für das Eigengewicht und die zufällige Last darstellen, konstruirt. Hierbei ist AD = BE — \ . 1,6.75 = 60 Ton., während auf der Vertikalen durch A die einzelnen Achsendrücke aufgetragen sind, als Kraftpolygon zur Konstruktion der Linie BC nach I. Heft, §. 13; BC ist hiernach ein Seilpolygon, für welches die erste Last in B liegt. Entspricht nun in Fig. 107 F Q der Transversalkraft für eine Diagonale, deren Mitte mit F korrespondirt, so macht man F G — der Höhe h, welche dem Fusspunkte der fraglichen Diagonale entspricht. Ferner macht man für das Eigengewicht, der Formel d. entsprechend , für das I. System GH = h₀ = 5m, für das II. System GH — 4,95m und führt die Fig. 107 angegebene Konstruktion aus.

Für die zufällige Last zieht man zu der Sehne des Obergurtes, deren Enden mit den Enden der fraglichen Diagonale in derselben Vertikalen liegen, durch das Ende A (Fig. 1) eine Parallele bis zum Durchschnitte mit

der durch die Mitte der fraglichen Diagonale gehenden Vertikale ; das auf derselben vom unteren Ende aus abgeschnittene Stück macht man in Fig. 107 = FH und führt die Fig. 107 angegebene Konstruktion aus. Hierdurch ergeben sich nun die Linien D'E und C‘B, welche dem Y für das Eigengewicht und die zufällige Last entsprechen. Durch Addition der entsprechenden Ordinaten ergibt sich die dem Maximum von Y für die Gesammtlast entsprechende Kurve EF. Für irgend eine Diagonale ist diejenige Ordinate massgebend, welche der Mitte der Diagonale entspricht. Zieht man durch die oberen Enden Parallelen zu der Diagonale (in der Figur sind Parallelen der grösseren Deutlichkeit wegen zu der entsprechenden links fällenden Diagonale gezogen), bis zum Durchschnitte mit der Axe ÄB, so entsprechen dieselben den zweifachen Spannungen. Für die Diagonale 01 ist hierbei die Ordinate für x = 0 oder für den Punkt A massgebend.

Konstruirt man einen Masstab III, dessen Einheit = 2 K — 2.0,75 = 1,5 mal so gross, als die Einheit des Kraftmasstabes II ist, so geben die Parallelen zu den Diagonalen, auf diesem Masstabe gemessen, die nöthigen nutzbaren Querschnittsflächen, welche in Fig. 5 eingeschrieben sind.

2.    Vertikalen (Fig. 3). Hinsichtlich des Eigengewichtes ist das Y für eine beliebige Vertikale gleich dem Y für die Diagonale mit demselben Fusspunkte, weniger 7,5 Tonnen. Man bat daher nur nöthig, von den Ordinaten der Kurve D‘E (Fig. 2) 7,5 abzuziehen und den Best, um den Abstand zweier Vertikalen nach rechts verrückt, in Fig. 3 aufzutragen. Hierdurch ist die Kurve 2)(§ entstanden. Hinsichtlich der zufälligen Last ist das Q für eine beliebige Vertikale gleich dem Q für die Diagonale mit demselben oberen Ende; es ist daher nur nöthig, die Ordinaten der Linie CB in Fig. 2 um den Abstand zweier Vertikalen nach links verrückt, in Fig. 3 aufzutragen, um die Linie (£33 der Transversalkräfte zu erhalten. Die weitere Konstruktion ist wie in Fig. 107; hierbei sind G F und FH eben so gross, wie für diejenige Diagonale, welche mit der Vertikale das untere Ende gemein hat. Durch Addition der Ordinaten entsteht die Linie g 33, welche dem Maximum von Y für die Gesammtlast entspricht. Gleichzeitig ist Y gleich dem zweifachen Drucke in den Vertikalen. Die Ordinaten mit dem Masstabe III gemessen, geben die nöthigen Querschnittsflächen, welche in Fig. 5 eingeschrieben sind.

Der Druck iu einem Endständer ist AC -f- AD — 3,7 (Fig. 2), da 3,7 der am unteren Knotenpunkte 0 wirkende Theil des Eigengewichtes ist.

Für die Anwendung werden die Figuren 2 und 3 am besten vereinigt. Wir haben sie der grösseren Deutlichkeit wegen getrennt gezeichnet.

3.    Gurte (Fig. 6 bis 9). In Fig 8 stellen die Ordinaten der Linie AGB die Momente für das Eigengewicht, der Linie AHB für die zufällige Last, der Linie AIB die Summe aus beiden dar. Hinsichtlich des Eigengewichtes liegen für das I. System mit den Knotenpunkten 0, 2, 4... die Ecken des Seilpolygones auf den Seiten des Seilpolygones für das II. System mit den Knotenpunkten 0, 1, 3, 5... Es genügt daher, das Seilpolygon AGB für dieses-letztere System zu konstruiren. Die Maximalmomente für die zufällige Last sind in bekannter Weise mittels des Seilpolygones

Fig. 7 bestimmt. Als Poldistanz H wurde ^ = 66,67 Ton. nach dem Masstabe II

angenommen; bezeichnet y die Höhe des Seilpolygones, so ist alsdann das Moment M = 66,67y, wenn y nach dem Längenmasstabe I gemessen wird; da dieser Massstab in ~ natürl. Grösse angenommen wurde, so ist M — 66,67 . 750y — 50000y,

wenn y in natürlicher Grösse gemessen wird ; 1 Tonnenmeter wäre demnach = 0,00002 Meter — 0,02 Millimeter, 100 Tonnenmeter — 2 Millimeter (Masstab V). Macht man nun für einen beliebigen Knotenpunkt K:KN=h, NP = der Pol-distauz H, so wird MO — ~ =

Der grösseren Genauigkeit wegen wurd e K L

⁷    h

H fer C+-

nic — li, sondern = y 7i gemacht; alsdann musste NP nicht =H, sondern 15

= H, d. i. — 66,67 = 250 Tonnen (nach dem Masstabe VI) gemacht werden.

Die Spannungen der Gurtstücke erhält man nun einfach durch Addition derjenigen beiden Linien M 0, welche den beiden Elementarsystemen entsprechen, welchen das Gurtstück angehört und Multiplikation mit für den Untergurt, mit ^sec o für den Obergurt. So z. B. ist die Spannung des Gurtstückes 5 6 = ^ (M O -f- M,0,), die Spannung des Gurtstückes III IV = ~ {MO -f- M, 0,) sec o, wenn sich a auf

die Neigung des Gurtstückes III IV bezieht. Die Multiplikation mit sec o ist in Fig. 9 ausgeführt. Die so gefundenen Linien sind als Ordinaten der Linien BT und ST aufgetragen und zwar entspricht die Spannung eines Gurtstückes der zur Mitte desselben gehörigen Ordinate.

Konstruirt man einen Masstab VII, dessen Einheit = K mal = 0,75 mal so gross ist, als die Einheit des Masstabes VI, so geben die Ordinaten der Linien BT und ST nach diesem Masstabe die nöthigen Querschnittsflächen der Gurte. Diese Querschnittsflächen sind in Fig. 8 eingeschrieben.

In Fig. 4 ist zur Kontrole die Konstruktion der Spannungen für das Eigengewicht nach der grafischen Polygonalmethode durchgeführt.

§. 71. Volumen. Die zur Berechnung der Querschnittsfläche einzuführende zulässige Inanspruchnahme sei für Zug und Druck gleich, nämlich = K.

1. Gurte. Das Volumen Vt‘ des geraden Untergurtes ist

~~ dx — h

2 K j Vx h₀ -f- 4 (At — h₀) x (l — x) ‘

o

ql*

x (l — x) d x

Setzen wir x = ^ l — xv so wird

+ 41

ql³

V ' = — ¹ 8K

-4

(V¹ — 4 xx *) d x h'Ihl — 4 (hx — h₀) xx ²

v‘K

V¹ ht — 4 (Aj — h₀) xx

■]

d x.

Nach den ergibt sich

Integralformeln jdx

r/ =

ql³

8K(h,

W'-

oder

« -f- ßx — ßx

«■-?’x’ = !VjloVnatî

____.= lognat YA±¥h=N\

2 Vh Q\ — K) V K — V\ — U

— x und

Ä,

108. J,=~x

1 Qj³

Kh

wenn man zur Abkürzung h₀ = e\ und

108 a. Y—

4(1

£    r    . 1-\~V    1 — £

--- - - ■. lognat — — -7--:__

2V1—E i-Vi-s setzt. Hiernach ergibt sich:

0    0,125    0,25    0,5    0,75    1

x = 0,2500    0,2208    0,2066    0,1884    0,1761    0,1667

Schwieriger lässt sich das Volumen F, " des Obergurtes bestimmen. Es genügt indess der Kleinheit von g wegen, wenn man für tana einen mittleren Werth einführt. In der Mitte ist tan a — 0 ; am Ende ist

4 (1 — e) h

nach der zweiten Formel von §. 69 tana =

konstant tan-g = dann wird :

. Wir setzen daher

4(l — 6)²h,²

l²

. Als-

4(1 - e)*h

l-

und das Gesammtvolumen Vt beider Gurte Vx — Vx + Ft", d. i.

5 (1 — £)² V

l²

Für den Parabelträger ist leicht eine genauere Bestimmung möglich. Hier ergibt sich in der Parenthese gemein genauer :

statt 2. Wir können daher all-

K = 2Vt

8(1- 6)gV

31-

setzen, d. i. wenn man für Vx den obigen Ausdruck setzt,

[2 +

8(1— £Ÿ h, ²

31-

Der Werth in der Parenthese liegt zwischen den engen Grenzen 1 und 1,05. Für l = 8\ und sehr nahe auch allgemein ergibt sich

0    0,125    0,25    0,5    0,75    1

ql³

rt = 0,260    0,228    0,211    0,190    0,177    0,157

Sehr nahe wird hiernach allgemein

ql³

Kh, *

Bei Anwendung der neueren Berechnungsweise ist nur ^ -4- ^ zu setzen.

110. Vx — (0,26 - 0,10 \£)

für £

2. Gitterwerk, a) Netzwerk. Für eine beliebige, aber konstante Neigung der Gitterstäbe können wir entsprechend der Gleichung 83

Y

(Seite 85) das Volumen v₂ pro Längengewicht = C setzen. Daher ist das Gesammtvolumen F₂ des Gitterwerkes

Ydx.

V°- — K

Fig. 108.

Das Integral ist die Fläche . A C C'A' der F-Kurve (Fig. 108), A! welche man am besten für einzelne Werthe von e mit Hilfe des Planimeters bestimmt, da eine direkte Integration zu komplizirte Ausdrücke liefert. Für eine Neigung der Gitterstäbe unter 45° (a = ß — 45°) wird C = 2 und für diesen Fall ergibt sich durch die oben erwähnte Anwendung des Planimeters, dass man

110. r„ = (Ag + Bp) ~

setzen kann, wobei A und B die folgenden Werthe haben:

fcd

td

*0

O) >0 N

cT cT cT

0,238

0,356

0,431

0,500

O C> O 50 "0 . 'bi 4, ? o to N M Ó3 to vj Oj u

2

Allgemein ist C — ■ :    = --—----= tan a 4- cot a, so dass vor-

°    sin 2 a    sin a cos a    '    ’

stehende Zahlen im Allgemeinen noch mit a oder mit -₂ (tan a -)-

cota) zu multipliziren sein würden. Sehr nahe ergibt sich allgemein:

— _ £2

111. F₂ = [0,£5]/£</-f-(0,08-f- 0,21]/£)p](tan(X.-\-cotcc) j£.

Nach der neueren Berechnungsweise wird, wenn man den Werth von Y für das Eigengewicht, das positive und negative Maximum von Y für die zufällige Last, und zwar für eine Last = 1 pro Längeneinheit, bezüglich mit y₀, yx, y₂ bezeichnet,

J

Nun aber ist yx — y₂ = y₀, y^ — yx — yn\ ferner ist 2tCf y₀dx =Al*y j yxd x = Bl*, also 2 G j y₂dx = (B — A) l*. Demnach wird

v„ =

oder

¹⁰⁹ “•    = (AK + b' w) **■

Der Werth von Bx — B + (B — A) ^ ist in der Tabelle mit angege-

A₂

ben und zwar für Kx = 0,43 K₂. Sehr nahe wird hiernach

lila. V^\o,2f>V £ ^ +(0,12 + 0,19V    (tana + cota)l\

Wenn die Horizontalprojektion a der Stäbe dagegen eine konstante ist, so wird:

\i

F₂ = ~ j Y (tan o

a + cot a) dx =

Y h dx -f- a

SM-

o

Das Integral von Ylidx lässt sich leicht entwickeln; das Integral von Y

-frdx führt aber auf einen zu komplizirten Ausdruck, so dass man auch hier besser die Bestimmung des Integrales durch Planimetrirung anwendet. Hiernach lässt sich das Volumen ausdrücken durchs

112. F₂ — | (Ctx (j +

1Ü.

J K'

CtiP)

und zwar haben die Koeffizienten a₂, ßt, ß₂ folgende Werthe:

«i

ßt

ßt

L. F? Ç*Ino — kOiOOi°

<2> O

C> <2> c>

Ino Fl Fł o

ÜL 00 ÎC 05 ^ O Qo Oi c«

0,255

0,250

0,250

0,250

co o* ko <m «l N tfj Oł O TH

cT cT cT cT

0,181

0,368

0,324

0,311

0,302

\f «x9 +

V ßi9 + ßtP'

Zum Minimum wird F₂ bei variablem a für 113. £-

Hiernach schwankt wenn man nur die üblichen Verhältnisse zwischen

g und p berücksichtigt, nur zwischen engen Grenzen und kann im Mittel nach der folgenden Tabelle angenommen werden. Das Minimum von F₂ lässt sich hiernach für ein bestimmtes s annähernd ausdrücken in der Form

1*

114. min F₂ = (Ag + Bp)

A

worin A und ß folgende Werthe haben:

Sehr nahe wird hiernach

115. minVq = [0,50VSg + (0,19 + 0,38 Vs)p\ l*

Nach der neueren Berechnungsweise ergibt sich ganz wie vorhin, dass in Formel 112 «₃ und ß₃ statt a₂ und 0₂ einzuführen ist, wenn man

«3 = «2 + («2 — ai)

K~

fcti

bd

0> Cs

fK KJ Ot ÎNO ^

Ol

-■

0,732

0,560

0,742

0,883

0,013

0,254

0,354

0,434

0,500

“ot "o, F> Fs F

ÎO Ol Os Qo Qo Kl Oi Cu

O

"bs "ot ~bt 4, lo

Ki Oi Kl K?

Cas K. Cu Os Or

K\ ß₃ = ßq 4- (0₂ — ßi) setzt. Auch in Formel 113 würde a₃ und ß₃ für und 0₂ zu setzen sein. In Formel 114 ist alsdann statt B ein anderer Koeffizient Bt einzufübren. Die Werthe von cc₃, ß₃ und Bt enthalten die vorigen Tabellen. Annähernd ergibt sich

115 a. TïiinV, =

[o,50 Vs ^- + (0,^6+ 0,37 VS) -J-j

J².

b. Fachwerk. Hier sind die Vertikalen und die Diagonalen von einander zu trennen. Nach dem in §. 38 Gesagten ist das Volumen F2 des ganzen Gitterwerkes

Y cota dx

K.

Ydx

sin 2 a

Yh

dx,

— dx -j- v a    K

Y (a² + ä²)

ah

wenn | die Länge AE = B D (Fig. 106) bezeichnet, bis zu welcher von einem Ende aus die Diagonalen reichen müssen und a die Horizontalprojektion der Diagonalen. Nehmen wir a konstant an, so wird

ii    • i    |

Vq =    |^J Yhdx    dx -j-J Y h d xJ.

Ł 0 0 • 0

dx

Das Integral vod Yhdx lässt sich entwickeln; das Integral von wird man am besten wieder “durch Aufträgen einer Kurve mit den Or-dinaten £ und Planimetrirung bestimmen. Es : lässt sich alsdann F2 auch hier durch die Formel 112 darstellen. Die Koeffizienten erhalten hier annähernd die folgenden Werthe:

ßt

a₂

«3

ßs

„kt p p p

"o "V* ox lo ^

Cs Ox Cs Ox

p p p p

'bx'öo ToFi o Ci N k ?» c> to Qo P

0,200

P P P P P IO Oj Cü 02 Iso CO C ÎNO Co Ox !» Si le ^ O

»O <M C îk C 00 C t-i TS <M Ol eo »o

cT <cT cT cT cT

0,357

0,387

0,362

0,335

0,310

II

Streng genommen ändern sich die Werthe der Koeffizienten bei demselben s einigermassen, wenn sich das Yerhältniss von g zu p ändert.

Zum Minimum wird F₂ für den durch die Formel 113 ausgedrückten Werth von Hiernach variirt das Yerhältniss ^ nur wenig, wenn sich

das Verhältniss von g : p ändert; im Mittel kann dasselbe nach der folgenden Tabelle bestimmt werden. Das Minimum von Fa ist alsdann wiederum annähernd bestimmt durch die Formel 114. Die Werthe von A und B gibt folgende Tabelle.

e U"

td

fcd

Cd

O Ci o

p. p. p o

i» O oobo Kt iMk k

0,335

0,477

0,599

0,706

p p p p p Oo kH'ci'bi'ife. ÏN0 Oi Oo Oo Hs Oi Ol kt Cs kj

«Ï5 50 ’S <M X CO CO N Co O 50 50 N 00 00

cT o oT cT cT

Angenähert lässt sich hiernach setzen :

116. minV„ = [0,69 \/£g + (0,34 + 0,49 Vt)p~]l~.

ii

Nach der neueren Berechnungsweise ergibt sich auch hier, dass statt a₂ und ß₍, die Koeffizienten a₃ und ß₃ und statt B ein Koeffizient Bx einzuführen ist, wobei annähernd «₃ = a₂ -f- («₂ — aß) K\ ß₃ = ß^ + (ßa — ßi) zu setzen ist. Die Werthe von a₃, ß₃ und Bx enthalten die vorigen Tabellen. Annähernd wird

116a. niinV,, = [0,69 ]/E ^ + (0,45 + 0,46]/£)    l²

3. Endständer. Für das Yolumen V₃ der Endständer gelten ganz die in §. 41 für den Parallelträger entwickelten Regeln, wenn man für h die Höhe hn der Endständer einführt; speziell sind die Formeln 105, 108, 109 und 110 anzuwenden.

Den Ausdruck für das Gesammtvolumen wollen wir nicht aufstellen. Wir bemerken nur, dass bei gegebener Höhe \ in der Mitte bei abnehmendem h₀ das Volumen der Gurte zu-, das des Gitterwerkes und der Endständer dagegen abnimmt ; das kleinste Gesammtvolumen ergibt sich für h₀ = hx, d. i. für den Parallelträger, wenn man den Fall h₀>\ ausschliesst. Anders kann sich indess die Sache gestalten, wenn man, wie dies zweckmässig, die Höhe \ nicht konstant, sondern um so grösser annimmt, je kleiner die Höhe h₀ ist. Näher können wir hierauf aber erst im praktischen Theile des Brückenbaues eingehen.

XII. Kapitel.

Hyperbelträger.

§. 72. Prinzip. Bei den Parallelträgern mit einfachem Gitterwerke ist das Maximum und Minimum der Spannung eines Gitterstabes entweder nur positiv oder nur negativ, mit Ausnahme des mittleren Trägertheiles. Beim Parabelträger dagegen haben die beiden Grenz-werthe der Spannung eines Stabes entgegengesetzten Sinn. Diese Grenz-werthe der Spannung treten bei Belastung des rechten und linken Trägertheiles, von dem betreffenden Stabe aus gerechnet, ein. Es wird nun offenbar eine zwischen dem Parallel- und Parabelträger liegende Form geben, bei welcher die eine Grenze der Spannung Null ist, so dass der Stab nur in einem Sinne beansprucht wird. Diese Form wird, ohne den Uebelstand der Parabelträger, welcher in einer Beanspruchung in verschiedenem Sinne liegt, zu haben, sich dem Parabelträger möglichst nähern und somit die Vortheile des Parabelträgers, welche in einer möglichst konstanten Spannung der Gurte und einer möglichst geringen Beanspruchung des Gitterwerkes liegen, möglichst erreichen.

Die Bedingung für die Feststellung dieser Form ist, dass die Vertikalkraft Y für jeden Stab bei Belastung der einen Seite des Trägers Null wird.

Wenn man das Gitterwerk als Fachwerk mit steifen Vertikalen und schlaffen Diagonalen anordnet, so müssen beim Parabelträger bekanntlich doppelte Diagonalen angeordnet werden, bei dem Parallelträger in den Endtheilen dagegen nicht. Wenn man den Träger nach der eben aufgestellten Bedingung konstruirt, so genügt eben noch eine Diagonale, weil sich der grösste Zug bei der zweiten Diagonale gleich Null ergeben würde.

Diese Träger wurden zuerst von Schwedler in Berlin angewendet; man nennt sie daher gewöhnlich Sch wedler’sche Träger. Da sich, wie wir sehen werden, eine hyperbolische Form der Gurte ergibt, so kann man sie im Gegensätze zu den Parabel trägem auch Hyperbelträger nennen.

Wählt man die Trägerform so, dass für rechte Belastung Y = 0 wird, so wird für linke Belastung Y negativ und es werden die nach links fallenden Stäbe gezogen; beim Fachwerke müssten also die nach links fallenden Diagonalen vorhanden sein. Wählt man dagegen die Trägerform so, dass für linke Belastung Y — 0 wird, so wird für rechte Belastung Y positiv und es werden die nach rechts fallenden Stäbe gezogen; beim Fachwerke müssten also die nach rechts fallenden Diagonalen vorhanden sein. Um eine symmetrische Trägerform zu erhalten, wird man von jeder dieser Formen nur die Hälfte beibehalten.

§. 73. Näheriingsbestimiiiuiig der Gurtforni. Wir wollen zunächst die Gurtform unter der Bedingung entwickeln, dass für linke Belastung Y — 0 wird. Bei Belastung des linken Theiles vom fraglichen Querschnitte bis zum rechten Ende aber ergibt sich leicht:

1    1 x²    1

Q = -g(l _ 2x) ~2PT'    —

dM

Hiernach ist dM p x (l — x)

= j g (l — 2x) 4- § P j C² l — 3 as), daher Q =

. Nach Formel 35 (Seite 126) ist Y — Q — h ,

M dh

sonach wird Y — 0 für

dh_ Qdx_ dM px (l — x)dx

Ml

X ~ M ~ ~M

oder, wenn man im zweiten Gliede der rechten Seite für M seinen Ausdruck einsetzt,

dh dM

2 p dx gl + px'

Die Integration gibt lognat h — lognat M — 2 lognat (gl -j- p x) + Const — lognat A1 nach ist

I gl-\-pxy

, wenn Ax eine Konstante bezeichnet. So-

h = At T

(gl A- px)-'

Setzt man den Ausdruck für M ein und bezeichnet die Konstante mit A, so wird

117. h — A

dh

118. A- = A -

dx

x {l — x)

(fl+poc '

gl (l — 2x) — px2 (gl + px)-

hl

2 (p + 2g)

Die Höhe h‘ in der Mitte wird hiernach

Al

119. h‘ — ₀ .    , ₀ - .

2(2) +2 g)

Nimmt man die Form des einen Gurtes an, so ist hiernach die Form des anderen Gurtes bestimmt. Stets ist indess der Untergurt gerade ausgeführt und wir wollen auch nur diese Form weiter in Betracht ziehen. Alsdann muss der Obergurt nach Gleichung 117 die Form einer Hyperbel erhalten.

Die grösste Höhe tritt nach Formel 118 ein für gl(l— 2x) = px*, d. i. wenn wir das betreifende x mit xl bezeichnen, und wenn g — nq, p — (1 — n) q gesetzt wird, für

Xi _ y

i p

Setzt man diesen Werth in den Ausdruck 117 für \i, so findet man als grösste Höhe \ :

120.

In der Kegel wird ht gegeben sein; alsdann wird nach vorstehender Gleichung

121.

h. =

fjl

122. A = Ä

(¹+    +    = (1 + n + 2V*)

qh,

Dies in Formel 119 eingesetzt, gibt

123. , =

/#i

Für p — 0 wird xx — l, h' — \ und der Träger geht hier in einen Parabelträger über. Für g — 0 wird xx = 0, h‘ = -₂ \ ; h = (l — x); die Trägerform geht hiernach in ein Dreieck über.

Nach Formel 120 lässt sich xx leicht konstruiren. Man mache, wenn in Fig. 109 AB = l ist, AD = ^l, schlage über DB einen

Halbkreis, errichte in A auf AB eine Senkrechte, welche den Halbkreis in F schneidet und mache DG = DF; alsdann ist AG = xt.

Nimmt man ht an, so lässt sich nach Formel 123 h‘ leicht konstruiren. Man mache auf der mittleren Vertikalen CB = hl, halbire CB in J, ziehe die Gerade ID, welche die durch G gehende Vertikale in K schneidet. Macht man jetzt IL = GK. so ist, wie sich leicht nachweisen lässt, CL — h‘.

Es lässt sich ferner leicht nachweisen, dass von den beiden Asymptoten der Hyperbel die eine MD eine vertikale Lage hat. Die

Asymptoten schneiden die Verlängerung von AB in den Punkten D

und E. welche von A und B den Abstand AD = BE = —l haben.

P

Ferner ist

DM = —

A (p -f 2g) l

²{1 + 2îï

h‘.

Fig. 109.

pQ

F)

Ir

NJ

■9-b

I)

Pl

Die Tangente des Winkels D ME ist = ¹

lässt sich auch der Mittelpunkt M der Hyperbel leicht durch Konstruktion bestimmen. Macht man G H = so geht die durch C und H gelegte Gerade durch M. Statt dessen kann man auch folgende Konstruktion anwenden: man mache AN = 2h‘, lege durch C und N eine Gerade, welche die durch D gehende Vertikale in 0 schneidet, mache jetzt AP = D0, so geht die durch C und P gelegte Gerade durch M.

2 (p + 2g) h‘‘

Hiernach

Die Konstruktion der Hyperbel selbst erfolgt am besten mit Hilfe der beiden Asymptoten nach einer der bekannten Methoden. Man kann dieselbe aber auch mit Hilfe einer Parabel ausführen: es ist nämlich nach Formel 117 und 119:

Nun aber ist 4

h — (P + ² 9) * ² (gl +pa?)

x (l — x) h‘

die Ordinate E F (Fig. 110) einer Parabel

Macht man nun A D = — l,

P

legt durch D und E eine Gerade, welche die mittlere Vertikale in G schneidet, so ist CG = h. Macht man also EH — CG, so ist H ein »Punkt der Hyperbel.

A L B mit der mittleren Höhe CL = 7^'.

FL

Fig. 110.

’G

Bezeichnet man den Winkel, welchen die Tangenten an den Enden A und B mit der Horizontalen AB bilden, mit a₀ und <y,, so folgt aus Formel 118, wenn man x = 0 und = l setzt,

4(*+îH(iA+H

1    2\/rn h

J tan an — —

j    ff

I ,    A nh‘ p A- 2q    „    . .

Itma' = ■~f+p:= ~    l T+f = -2(l+»)

Hiernach sind die Tangenten leicht zu konstruiren. Beide Tangenten schneiden die Gerade CM (einen Durchmesser der Hyperbel) in ein und demselben Punkte U, wobei U von AB einen Abstand hat, welcher = AN — 2h' ist. Dies genügt zur Konstruktion. Man kann aber auch durch B und N eine Gerade legen, welche die mittlere Vertikale in Q schneidet; alsdann ist QA die eine Tangente.

Der rechte Theil dieser Trägerform ist unzweckmässig, einestheils der geringen Höhe, also grossen Gurtspannung wegen, anderntheils des -sehr spitzen Winkels wegen, unter welchem sich die Gurte vereinigen. Man behält daher nur den linken Theil bis zur grössten Höhe bei, gestaltet den rechten Theil dem linken symmetrisch und schaltet zwischen

124.

h‘

Fig. 111.

£:-=o^---y

beiden ein Stück eines Parallelträgers ein, so dass die in Fig. 111 dargestellte Form entstellt.

xi

125. ^

h.

Die mittlere Höhe hm des Trägers ist hm = j j'hdx=    -f-

~1 0 hx (l — 2xx) I. Führt man die Integration aus, so erhält man nach entsprechender Deduktion l-\-n — 2]/ n

M-

l-\-n+2Vn[„ ,

(l _ n)'ë”LC +

n)V n —

(5-j- n) n    n lognat ]/ n J

Hiernach ergeben sich die folgenden Werthe füi* hm:

.Cb Ci Ci

00 00 oo

C> Co Oo Cs

ic Oo 00 c>

Ci Ci Ci Ci W 'ci O, "îlïfc.

c> cs _c> V* ~kj Vj Vj

c Î» Üi s Oo Ci Oi ÎC

00 Ci O

cT cT >4

c> c. c.

Ci Ci Ci Ci kJ Ç©

■vf Cs

. h,

§. 74. Näher iingsbestimmuiig der Spannungen.

1. Gitterwerk. Für die totale Belastung mit der Last q pro Längeneinheit wird M — | qx (l — a?), also

M _ q (gl + px) ₇ M _ qp h ~    2A,    ’ h ~ 2 A

Nach der Formel 34 (Seite 126) wird demnach

2 {gl + px) '

126. Y =

qpx (l — x)

Die Beanspruchung Yg durch das Eigengewicht erhält man hieraus, indem man q mit g vertauscht.

Die Beanspruchung durch eine totale zufällige Belastung erhält man hieraus, indem man p für q setzt. Bei Belastung des linken Theiles unter gleichzeitiger Wirkung des Eigengewichtes wird der Annahme zufolge Y = 0. Für die blosse Wirkung der zufälligen Last bei Belastung des linken Theiles ist demnach Y — — Yg. Da sich nun die Y für linke und rechte Belastung zu dem Yt für totale Belastung ergänzen müssen, so ist bei Belastung des rechten Theiles Y= Yt -f~ Yg, also für die gleichzeitige Wirkung des Eigengewichtes und der zufälligen Last Y— Yt + 2Yg, d. i.

127.

P (2 ff + P) x V — x) _ P (2 ff + p) . _ 1 h 2 iffl + p x)    2 A    4 h‘ J

■ Hiernach ist das Maximum von Y der Trägerhöhe proportional. Die Spannung der Gitterstäbe findet man nun nach Formel 33

1 1

(Seite 126) durch Multiplikation mit - sec a und — sec ß. Die Maximalspannung der Gitterstäbe ist sonach ihrer Länge proportional. Diese Eigenschaft hat der Hyperbelträger mit dem Parabelträger gemein. Bei gleicher Länge des Stabes wird hier die Maximalspannung des Stabes doppelt so gross, als beim Parabelträger, vorausgesetzt, dass h‘ gleich der Höhe des Parabelträgers in der Mitte ist.

Dies gilt natürlich nur für die äusseren Theile; für den mittleren Theil gilt das Gesetz des Parallelträgers. Hier wird Y gleich der Transversalkraft Q, d. i.

128. 1 =

In Fig. 112 ist hiernach (beispielsweise für p — 2 g) Y grafisch dargestellt ; es sind gleichzeitig auch die Kurven der Y für den Parabel- und Parallelträger eingezeichnet. Hiernach wird das Y des Hyperbelträgers stets grösser, als das des Parabelträgers, mit Ausnahme der Mitte, in welcher Y für alle drei Systeme denselben Werth annimmt.

2. Gurte. Unter der Annahme eines geraden Untergurtes ist die Spannung der Gurte

2x) + 2 p

(i — xy

Fig. 112.

\C'

I)/

I)

~T

sec a — — S. sec o.

Setzt man für totale Belastung M. — J (g -f- p) x (l x) und h —

X (l —- x) gl +px

129. & =

-, so ergibt sich

(r/+p) (gi+px) _ jg+p)Hgl+px)

4{2g + p)h‘

S > = — sec (S

Hiernach lässt sich S. durch eine

Fig. 113.

gerade Linie darstellen. Im mittleren Theile ist nach dem Gesetze des Parallelträgers

Tfir

(g±p)x(l-x)

130. St=-Sz=

Hiernach ist in Fig. 113 (beispielsweise für p — 2g) die Spannung beider Gurte grafisch dargestellt: auch sind zum Vergleiche die Spannungen für den Parabel- und Parallelträger von gleicher Höhe in der Mitte durch punktirte Linien eingetragen.

A.

■9-

-9-

§. Î5. Genaue Berechnung der Gurtform. Für die genaue Bestimmung der Gurtform wollen wir nur die Anwendung von Fachwerk mit steifen Vertikalen und schlaffen Diagonalen voraussetzen.

zu

Die Momente hinsichtlich des Eigengewichtes und der noch näher bestimmenden Belastung des linken Theiles seien die Momente für einen durch eine Diagonale CE (Fig. 114) gelegten Schnitt in Beziehung auf die Vertikalen CD und FE bezüglich M und M‘, die Höhen dieser Vertikalen h und E, ihr Abstand = a. Alsdann ist für die Diagonale CE nach Formel 6 (Seite 100):

Fig. 114.

])

(M _ AM E _ 1 / \ h E J a a\

M-h

>c

-4

Da nun Y=0 sein soll, so muss ME = M'h oder

131.

sein. Hiernach ist es möglich, die Höhe einer Vertikalen aus der nächst vorhergehenden oder nächst folgenden zu bestimmen und somit die einzelnen Höhen der Reihe nach zu berechnen. Am besten nimmt man die Trägerhöhe in der Mitte an.

'Es fragt sich nun noch, für welche Lage des Lastensystemes die-Berechnung zu führen ist. Für diese Lage des Systèmes seien die Momente für die beiden Vertikalen M, M‘, für eine andere Lage des Lastensystemes seien die Momente Mx, Mt‘. Für die letztere Lage des Lastensystemes wird mit Rücksicht auf die Formel 131 :

Mx

SH

— Mx

) -- («J“«

■)

M. M‘ — MM.'

Da nun aber für jede andere Lage Y positiv sein soll, so muss Mx M‘ > MM/ oder

M‘ Ml M > M,

M‘

sein. Es muss also ^ grösser, als jeder an-M ‘

dere Werth von ~ sein oder: von allen möglichen Werthen

1V1₁

M‘

von jß ist der Berechnung der Höhen der Maximalwerth zu Grunde zu legen.

Anstatt dessen könnte man auch zunächst die Höhen nach dem. vorigen Paragrafen annähernd feststellen und alsdann diejenige Lage des Lastensystemes zu Grunde legen, für welche Y zum negativen Maximum wird. Ist sodann nach Formel 131 der genauere Werth der Höhen festgestellt, so müsste die Bestimmung der Lage des Lastensystemes, für welche Y zum negativen Maximum wird, noch einmal erfolgen.

Wir wollen nun noch einzelne spezielle Fälle behandeln.

a. Eintheiliges System. Bezeichnen wir die Resultante aller Einzellasten mit R, ihren Abstand von der linken Stütze A mit £,, ferner die Resultante der im fraglichen Felde CF (Fig. 115) liegenden Lasten mit G, ihren Abstand von F mit £ und die Momente hinsichtlich des

Eigengewichtes für die Punkte C und F mit Mn und M₀⁴, die Längen AC, A F mit x und x‘ und den Abstand der Resultanten R und G mit e, so wird

_ M¹ _ M₀'l 4- R (X* + | — e) (l — x') — Gl§ m ~ M -

M₀1 -j- R (x⁴ -|- £ — e) (l — x)

A⁴ -f if'f ~ A + Bl"

VTariabel ist in diesem Ausdrucke, so lange keine Einzellast einen der Knotenpunkte C und F überschreitet, nur £. Hiernach Avird m zum Maximum für

_ dm _ (1 -f R $) B⁴ - (A⁴ + B‘B) B _ AB‘ — A⁴ B ~ W ~

Da A -p Bl; nicht = oo werden kann, so kann m nur zum Maximum werden für AB⁴ = A⁴B. Alsdann aber ist

U + fiW

1.1 - iss-- •

dm

für jeden Werth von §■=0, also m konstant. Hiernach lässt sich behaupten: Im Allge-

dj

il/-

meinen kann ^ nur zum Maximum werden, Avenn eine Ein

zellast an einem der Knotenpunkte C und F liegt.

Für eine beliebige Lage des Lastensystemes wird dasselbe nach rechts oder links zu schieben sein, damit m wachse, je nachdem AB⁴ — A⁴B positiv oder negativ ist. Es ist aber

AB⁴ - A⁴B = [MJ + R (x⁴ - e) (l — x)\ [R (l — x') — Gl\

- \M₀‘l 4- R {x⁴ —e) (l — x⁴)\ R(l — x)

oder

132.

AB⁴— A⁴B

= R[M₀(l-x⁴)-Mn⁴ (l-x)]

— G \M₀l — R (x⁴ — e) (l — x)\ Fig. 115.

Man kommt aber wohl meist ebenso schnell zum Ziele,

M‘

.Avenn man ^ für

•>s>

üf

verschiedene La- . gen des Lastensystemes, wobei eine Einzellast bei C oder F liegt, wirk- ^ lieh berechnet.

Will man nach vorausgehender Näherungsberechnung der Höhen das oben erwähnte Verfahren anwenden, so ist

\MaX+R(x⁴+!= — e) (l-x)    M₀⁴l+R(x⁴+Ç—e) (l-x⁴)-Gl£l h⁴

h    h‘

Y=r

zu setzen. Aendert sich Y bei der Verschiebung des Lastensystemes um 7£ nach rechts um-_/K, so ist

J Y _ Il (J — x)

B (l — x')

(Il

JB ~

h¹

7F*

Hiernach ist das System nach rechts oder links zu schieben, je nachdem

h(

l \ h‘

133.

<r

l — x⁴ l —

ist.

b. Mehr theiliges System. In dem Falle, wo man die Last pro Knotenpunkt konstant annimmt, ergibt sich für ein n theiliges System, wenn man den Abstand der Punkte C und F (Fig. 114) vom linken Ende mit x und x⁴ bezeichnet, leicht

M⁴ =

Dies in die Gleichung 131 eingesetzt', gibt

h⁴ _{gl -\-px) x⁴ (l — x‘\

h ~ (ff l + PK ) x{l — x\

Annähernd kann diese Gleichung auch für ein eintheiliges System angewendet werden.

Bei einem Systeme von Einzellasten wird man die richtige Lage desselben durch Probiren zu bestimmen haben. Annähernd kann man die Bestimmung unter der Annahme durchführen, dass jedes der Elementarsysteme nur allein vorhanden sei.

134.

Beispiel. Brücke von 48m Spannweite, 6m Höhe in der Mitte, mit zweitheiligem Fachwerke nach Fig. 116. Eigengewicht =3 Ton. pro Vertikale; zufällige

Last nach Fig. 116. Wir zerlegen den Träger in zwei Systeme; System I enthalte die Gitterstäbe I 2 II 4 IV 6 VI u. s. w., System II die Gitterstäbe 1 I 3 III 5 V 1 u. s. w. Wir bestimmen beispielsweise das Verliältniss

Fig. 116.

w ]V v VI Ml 17U

'S.

der Höhen an den Knotenpunkten 4 und 6. Für das Eigengewicht werden die Momente an diesen Punkten =108. 135. Für die zufällige Last ergeben sich die Momente, wenn die erste Last über 4 liegt, 106,6 88,5, wenn die zweite Last über 4 liegt, 154,4 128,7, wenn die erste Last über 5

108 + 106,6 135 -f 88,5

0,995, jÏ^Zl7^7 4 ⁼ 0,978. Sonach würde ~ = 0,995 zu setzen sein, ln gleicherweise ergibt sich nun für das System I: ~ p> 1. dafür 1, p =0,995,

rla    riß

‘I /,5p,5| U 1/ 5 1.5

II IÏ j 1 y i

0,5 0.5

0,5 0, 5 0,5

NJ.

liegt, 128,9 107,4. Daher wird für diese drei Lagen =

M,;

= 0,960,

108 4-154,4

135 + 128,7

= 0,789, y — 0,500 und für das System II: > 1, dafür 1, ~ —

h,

0,919,

0,597. Hiernach ergibt sich für das System I : hs = 6, hs — 6, h₄ = 5,97, h.t = 4,71, ht = 2,36 und für das System II: 7j₇ = 6, h. = 6, h₃ = 5,51. h, = 3,29. Von den beiden für 7t, erhaltenen Werthen ist der grössere beizubehalten ; alsdann ist die untere Grenze der Spannung der Diagonale I 2 nicht = 0, sondern ein kleiner Zug. Würde man k₄ kleiner wählen, so könnte die Diagonale I 3 einen Druck aufzunehmen haben. Sonach würde also zu setzen sein : 7t, = 3,29, h.} = 4,71, h₃ — 5,51, h₄ — 5,97, h: = hn = h- = 7ts = 6,00.

§. Î6. Konstruktion der Gurtforin. Wir betrachten zunächst den hinsichtlich der Konstruktion einfachsten Fall, in welchem man die an den Knotenpunkten wirkenden Lasten als konstant anseheu kann. Die einfachste Konstruktion ergibt sich hier durch den Umstand, dass nach der ersten der Formeln 6 (Seite 100) Y=0 wird, wenn c = 0 wird, d. h., wenn der Angriffspunkt der Transversalkraft durch den Durchschnittspunkt L der Verlängerungen der Gurtstücke geht. Hierzu konstruirt man zunächst die Seilpolygone für das Eigengewicht, für die zufällige Last und für die Summe aus beiden. Verlängert man die Seite C'F' (Fig. 117) des der zufälligen Last entsprechenden Seilpolygones, welche

Fig. 117.

1)

-ypT"" i

/ !

pK

~V4

oD %

"%u;

\\W

nmis]

77 / i

? !Ąi

: / / \ ;

7 iM

i/

dem fraglichen Felde zugehört, bis zum Durchschnitte B“ mit der rechten Stützenvertikalen, zieht die Gerade A‘ B“ und bestimmt den Durchschnittspunkt N der Verlängerung dieser Geraden mit aer Verlängerung der betreffenden Seite C“ F“ des der Gesammtlast entsprechenden Seil-polygones. so geht nach §, 45 die Transversalkraft für die Belastung

des linken Theiles, einschliesslich des Knotenpunktes F, durch, den Punkt N. Der Punkt L, in welchem sich die Verlängerungen des Ober- und Untergurtes schneiden, liegt also in der durch N gehenden Vertikalen. Man kann in dieser Weise leicht die einzelnen Ecken des Obergurtes, von der grössten Höhe ausgehend, der Reihe nach konstruiren.

Diese Konstruktion kann nur den Mangel haben, dass sie in zu kleinem Masstabe durchgeführt werden muss, damit die Punkte N und L auf das Papier fallen. Indpss lässt sich hieraus leicht eine Konstruktion ableiten, welche diesen Mangel nicht hat. Es verhält sich nämlich FE : CD — LF : LC — NF- : NC“ = F“ F“ : C¹¹¹ C“‘. Hieraus aber ergibt sich die folgende einfache Konstruktion: Man mache C H — C“ C“', HI = F“ F“‘, ziehe HD und durch I eine Vertikale, welche HD in K schneidet. Alsdann liegt E in der durch K gehenden Horizontalen. Bei dieser Konstruktion ist eine Verlängerung der Seiten der Seilpolygone nach beiden Richtungen nicht erforderlich.

Handelt es sich aber um ein System von Einzellasten, so lassen sich diese Konstruktionen nicht ohne Weiteres anwenden. Pis muss vielmehr für jedes einzelne Feld zunächst die Belastungsweise angenommen werden und für diese Belastungsweise müssen aus einem für die Einzellasten getrennt zu konstruirenden Seilpolygone die den Knotenpunkten C und F entsprechenden Seilpolygonhöhen entnommen und in Fig. 117 aufgetragen werden.

Eine andere    einfache Konstruktion ist    die folgende    (Fig. 118): Für

das Eigengewicht    konstruire man    über der    Horizontalen    AD das Seilpolygon für eine    der Spannweite    l gleiche    Poldistanz;    den Punkten C

und F mögen die    Punkte G und    II dieses    Seilpolygones    entsprechen, so

dass die Momente für das Eigengewicht für C und F=l.GG und l . FH sind. Man konstruire ferner auf der anderen Seite von AD für die zufällige Last ein Seilpolygon, für welches A der Pol ist, für welches ferner die Kräfte auf der durch D gehenden Vertikalen von D aus aufgetragen werden und für welches die vordere Last in A angenommen wird. Liegt nun die vordere Last wirklich in /, so stellt bekanntlich die Ordinate IK dieses Seilpolygones den rechten Stützendruck dar. Ist nun G die Resultante der innerhalb CF liegenden Lasten und £ ihr Abstand von F, so ist das Moment hinsichtlich der zufälligen Last für den Punkt G — IK . D C, für den Punkt F = IK. DF — 6r£. Macht man AM — IK, zieht die Gerade MD, welche die durch C und F gehenden

BF GÇ ~ï l

BC

; mithin sind die

= IJT.

Vertikalen in 0 und P schneidet, macht ferner PS = ~, so ist CO , FP = IK. FS — IK .

Momente hinsichtlich der zufälligen Last für die Punkte G und F — l. CO und l . FS. Macht man A Q = FI und entspricht dem Punkte

Q der Punkt R des Seilpolygones, so ist GÇ — l . Q R, also so dass einfach PS= QR zu machen ist, um den Punkt £ zu finden.

= QR*

Die Momente hinsichtlich der Gesammtlast für die Punkte C und F sind nun — l.GO und l . HS. Zieht man daher die Geraden GH

und OS, deren Verlängerungen sich in N schneiden, so liegt N in der durch den Durchschnittspunkt L der entsprechenden Gurtstücke gehenden Vertikalen. Sollten N und L nicht auf das Papier fallen, so kann die schon in der vorigen Lösung angegebene Hilfskonstruktion angewendet werden, indem man in Fig. 117 CH und Hl bezüglich =GO und HS (Fig. 118) macht. Liegen innerhalb CF keine Lasten, so ist SP — 0, also N der Durchschnittspunkt der Verlängerungen von GH und BM.

Fig. 118.

kr.

ft

*5---------

bö

Es ist wohl am rathsamsten, die Konstruktion für einzelne verschiedene Lagen der Belastung (wobei eine Einzellast in C oder F liegt) zu wiederholen und denjenigen Durchschnittspunkt N beizubehalten, für welchen FE am grössten wird, welcher also am weitesten nach links fällt.

Bei einem mehrtheiligen System ist das im vorigen Paragrafe Gesagte zu berücksichtigen.

§. 77. Genaue Bestimmung der Spannungen. Die genaue Bestimmung der Spannungen hat nach den aufgestellten allgemeinen Regeln zu erfolgen, da sich im vorliegenden Falle keine Vereinfachungen erzielen lassen. Wir geben indess zur weiteren Orientirung im Folgenden ein Beispiel.

Es handele sich nun beispielsweise um das Verhältniss der Höhen, welche das Fach I II begrenzen. Schieben w(r den Zug von links aus so weit vor, dass die I. Last auf 1 ruht, so wird für die zufällige Last für n — 1: Mp = 45,47, für n = 2: Mp = 39,78, daher ist hier M‘ = 40,00 + 45,47 = 85,47, M = 70,00 + 39,78 = 109,78, h‘ 85,47

— 0,779 zu setzen. Schieben wir den Zug so weit vor, dass die

als° 77    JÖ9/78

I. Beispiel. Wir wählen als Beispiel eine Brücke von 30 Meter Spannweite und 4 Meter Trägerhöhe in der Mitte. Das Gitterwerk sei ein einzeiliges Fachwerk, dessen Vertikalen den Abstand — — 3,333 Meter haben. Das Eigengewicht

sei 0,9 Tonnen pro lauf. Meter; hiervon kommen 0,2 Ton. auf den Obergurt, 0,7 Ton. auf den Untergurt; auf einen Knotenpunkt kommt hiernach am Obergurte

0,7    = 0,67 Ton., am Untergurte 0,7 . ~ = 2,33 Ton.; an einer Vertikalen

wirkt sonach 0,67 -j- 2,33 = 3 Ton. Die zufällige Last bestehe aus einem Zuge von drei Locomotiven nach folgender Lastvertheilung:

Radstand :

Achsendruck: 6,5 6,5 6,5 4,5 4.5 4,5 6,5 6,5 6,5 4,5 4,5 4,5 6,5 6,5 6,5 Ton.

Für die Berechnung der Querschnitte sei die zufällige Last mit 1,3 zu multi-pliziren, es ist also 6,5.1,3 — 8,4 statt 6,5 und 4,5.1,3 = 5,8 statt 4,5 einzuführen. Ferner sei alsdann die Querschnittsfläche f durch die Formel

Rmax Rmin '

0,75 ~ 1,70 '

und Rmin die obere und untere Grenze der Spannung bezeichnen.

1,3 1,3 4 1,5 1,5 4,4 1,3 1,3 4 1,5 1,5 4,4 1,3 1,3 Meter

bestimmt, wenn R

max

a. f =

I. Berechnung.

1. Form des Obergurtes. Das Moment für den n teil Knotenpunkt oder für die Abscisse ™n hinsichtlich des Eigengewichtes ist Mg — -₃ . 0,7 ™ n (30—y «), das ist

Hiernach wird

Mg = 5 n (9 — n).

n =0    12

Mg — 0    40 70

Co

100 100.

II. Last auf 1 ruht, so wird für n = 1: Mp = 63,75, für n = 2 : Mp — 65,33, also

h‘ 103,75 h ~ 135,35

h noch kleiner, es ist also

M‘ = 40,00 + 63,75 = 103,75, M = 70,00 + 65,33 = 135,35, also

= 0,767.

Schiebt man den Zug noch weiter nach rechts, so wird

= 0.779 zu setzen. In gleicher Weise ergibt sich:

I. IL III. h‘ = 0    0,779    0,973

IV. Fach 1,076 daf. 1 .. h.

Bezeichnen wir die einzelnen Höhen mit h₀, hlt h,,..., so wird mithin h₃ = 4. }h = 0,973.4 = 3,89, h, = 0,779.3,89 = 3,03, h₀ = 0, also

h₀ — 0. h, = 3,03, hi = 3,89, h, = 4,00, h₅ = 4,00.

2. Diagonalen. Für eine beliebige Diagonale ist nach der zweiten der Formeln 9 (Seite 109) der Zug von rechts nach links über den Fusspunkt der Diagonale so weit vorzuschieben, dass möglichst

ah — x (h — h¹)

R‘

lh‘

ist, wobei sich x und h auf den Fusspunkt der Diagonale, h‘ auf den vorigen Knotenpunkt beziehen. Für das IL, III. und IV. Fach muss hiernach bezüglich

; möglichst = 0,079, — 0,105, = 0,111 sein. Rückt man die erste Last über den

Fusspunkt der Diagonale vor, so ergibt sich ^ = 0,098, 0,114, 0,124. Sonach darf

keine Last über den Fusspunkt der Diagonale vorgerückt werden; vielmehr muss die I. Last am Fusspunkte der Diagonale liegen.

Die Berechnung der Maximalspannungen wird am besten nach Formel 5 (Seite 100) erfolgen. Da die untere Spannungsgrenze hier Null ist, so wird die Quer-

Pmax. Die Rechnungsresultate sind in

schnittsfläche nach Formel a: f —

P max 0,75

der folgenden Tabelle zusammengestellt:

Diago

nule

My

Qp

MP

Mq

Mq

linksj rechts

links j rechts links j redits links . redits

cosecu

Pmax

Sa

Ci Ol Hs. Oo ÎNO

Ci C> HO ^5 Ss. C C> C C C

Sa Sa

HO Ci Ci <0

Ci Ci Ci Ci Ci

Sa Sa^oTCo ^QO _ÇO Ci _Ox

Ox ~C> Vt ”śa

117

178

192

176

141

Sa ÎO ÎNO ÎND ?NO Ci IO Cl Ci üj Ol V) ^

157 304 : MS 357 282 355 276 320 241 251

QO Oo »O Ci Co co" cT ei“ cT

Hi N ^

eo 00 C> oo

Co” ci" Qo“ C N Co Co 00

Sa Sa l—l Sa SA

"bx ÜX Lbl'Oi HS._Ox Sa. ÎNO Co Oo QO _HO JOx Ci ÎO Cu Cü Ci

Os üx Hs

_no Jo oo Jo ~Oo bi bi "ss. 'bx

s- l Ci

HO HO

!

Tonuenmet. Ton. Tonnenmet. Tonnenmct.

II

I!

II

Tonnen

Ton. □ Cent.

3. Vertikalen. In einer beliebigen Vertikale tritt der grösste Druck ein, wenn der Zug von rechts soweit über den nächstfolgenden Knotenpunkt vorgeschoben wird, dass möglichst

ah — x (h,‘ — h)

Ih

ist, wobei sich x und h auf die fragliche Vertikale, ht‘ auf die folgende Vertikale bezieht, wobei aber ht‘ vom Untergurte bis zur Verlängerung des vor der fraglichen Vertikale liegenden oberen Gurtstückes zu messen ist. Für die Vertikalen 1, 2, 3, 4 ist bezüglich h — 3,06, h/ = 6,06 ; h — 3,89, h,‘ = 4,75 ; h = 4, h,‘ = 4,11 ; h — 4,

möglichst = 0 0,062 0,102 0,111. Schiebt man

JR

h,‘ — 4. Hiernach ergibt sich

die erste Last über den nächsten Knotenpunkt, so wird

-ß, = 0,197 0,114 0,120 0,164.

Es darf daher die erste Last nicht über diesen Knotenpunkt vorgeschoben werden, es muss vielmehr die erste Last an dem der Vertikale folgenden Knotenpunkte liegen. Der Druck V in der Vertikale wird

b. V —

_    - *L\hL

\K h / a ’

wobei sich M, h auf die fragliche, M‘, h,‘ auf die nächstfolgende Vertikale beziehen; M und M‘ sind für den durch die fragliche Vertikale gelegten schiefen Schnitt zu nehmen, bei M‘ ist also für den linken Theil des Trägers die am oberen Ende der Vertikale wirkende Last von 0,67 Ton. nicht mit zu rechnen. Die Rechnungsresultate gibt folgende Tabelle:

Hinsichtlich der Vertikale 1 1 kann man einfacher verfahren; dieselbe hat die im Punkte 1 wirkende Last direkt als Zug aufzunehmen. Statt des Maximaldruckes kommt also hier der Minimalzug in Betracht, welcher entsteht, wenn der Punkt 1 gar nicht belastet ist; alsdann aber ist V gleich der unteren Knotenlast von 2,3 Ton.

In einer Vertikalen des Theiles mit polygonalem Obergurt tritt die untere Grenze des Druckes ein, wenn man den Zug von der linken Seite über die fragliche Vertikale soweit vorschiebt, dass möglichst

uh -4- (l — x) (h— h)

₌₌ ---------J— - ■--,----

ist. Dies gibt für die Vertikale 1 I und 2 II

möglichst = 0,500 0,232. Schiebt JR

man

Verti

kale

M,,

Mq

Mj

links rechts

links

rechts

| links

rechts links \ rechts

II

1 1 2 11 3111 4 IV

^ N Cl Ci

___-

^ ^ «O O Go ^ Oł C\{

t-T r«r kT 's© »o ik CNk

Ni

SO ^ kH 00 Oł

S^oc^

Co" CO

kJ. kJ.

?©    *© to

117

179

192

173

234

157

306

269

249

361

256 282 217 \i273

358

319

51,8 50,5 +2,3 64,0 76,0 -17,Ą 70,5 87,1 -20,4 68,3 \ 79,8 -13,8

Meter

Tonnenmeter

Tonnen

die erste Last über die Vertikale hinaus, so wird = 0,333 0,270; für die

Vertikale 1 I muss daher in der That die erste Last vorgeschoben werden, so dass die zweite Last über 1 liegt; für die Vertikale 2 II dagegen muss die erste Last über 2 liegen. Die Berechnung der Spannung nach Formel b gibt folgende Tabelle:

VertO , kale

h,

M,

MP

Mq

Mg_

a i    , i .    ,

links rechts | links rechts \ links j rechts links rechts

1    I 3,03 6,06 1,82 40

2    11 3,89 4,751,43 70

S© kJ

64

107

104    138 34,3 22,8

177    183    45,4 38,6

+21,0

+ 9,7

Meter

Tonnenmeter

Tonnen

Die Vertikalen 3 III und 4 IV bedürfen einer besonderen Behandlung. Wenn der Zug von links bis zum Punkte 3 vorgerückt ist, so werden die Diagonalen 3 II und 3 IV gezogen , während die Diagonale III 4 ausser Wirksamkeit tritt. Aus dem Gleichgewichte des Knotenpunktes III folgt, dass V gleich der negativen Vertikalkomponente der Spannung von II III ist, weniger der in III wirkenden Last, d. i.

90 + 169    0.11

.    — 0,67 — 1,47. Ist die Last von links bis zum Punkte 4 vor-

gerückt, so werden die Diagonalen 4 III und 4 V gezogen, während IV 3 und IV 5 ausser Wirksamkeit treten; dasselbe ist auch bei unbelastetem Zustande der Fall. Aus

Tonnenmeter

Tonnen

dem Gleichgewichte des Knotenpunktes IV folgt, dass alsdann die Spannung der Vertikale 4 IV gleich der negativen, in IV wirkenden Last ist, d. i. = — 0,67.

Die sich hieraus ergebende Berechnung der Querschnitte der Vertikalen ist in folgender Tabelle zusammengestellt:

Vertikale j Spannungsgrenzen

Querschnitts

fläche

kk 04 fo ‘kk

-4- 21,0 -f 2,3

—    16,9 + 9,7

—    20,4 -j- 1,5

—    13,8 — 0,7

kJ iC ÎO ÏNO

Qo Oo Qo Cs 'Cs kJ Lj Cs

Tonnen

4. Gurte. Die Spannung S, des n ten oberen Gurtstückes und die Spannung St des n ten unteren Gurtstückes ist

M,

Mn—1

hu—i

S₁ — — ^— sec Gn y iSj — 4-

wobei der Index von M und h den Knotenpunkt angibt, für welchen das Moment zu nehmen ist. Von den Momenten für die beiden das fragliche Gurtstück begrenzenden Vertikalen ist für den Obergurt das grössere, für den Untergurt dagegen das kleinere zu nehmen. Für das Eigengewicht ist das Moment durch die Formel a. bestimmt ; für die zufällige Last ist die gefährlichste Belastungsweise und das entsprechende Moment nach dem ersten Hefte §. 14, 15 und 26 zu bestimmen. Hiernach ergeben

sich folgende Resultate :

Punkt

Mg

Mp

Bl

«3

sec n

Ü< kJ Oj ic kj C>

Cs Cs C> Cs C> O kJ N O C C kk kk

146

250

320

348

348

<£> C>

C> Oo o»

k( fO kJ kH kti

kj kJ ki

C0Q0O

kJ. kj. kj.

kJ kJ Cs Oo Oi Ci

_iO 40 ÎC kJ kJ

'cs 4. 'o, 'co 'kj 'kj

iO K) iO kj kj kj Ot    ^00

'c> 'o Ü, Cs ÏO lo

k M k Co

Ci Oi Ü, k Oj k*

kj kJ

Punkt

»,

»,

I!

Querschnittsfläche belastet ]unbelastet belastet junbelastet Obergurt ^Untergurt

Ck kJ Oo i-O kJ C>

83,0

85,0

102,6 112,0 112,0 'j

00 ÎO C> C> ' I i>T 00 oT »O" >0 kk kk O) O4 04

^ 4L ^ ^ 4

-f-k-T kk" C\T oT 04"

to to Co O k kk kk

C\* Cv* ko + cO fo" 00 «T »o

kk kk kk 04 04

II. Konstruktion (Taf. VII).

1.    Form des Obergurtes. Die Konstruktion des Obergurtes ist nach §. 76, Pig. 118 in Fig. 1 und 2 erfolgt und zwar hinsichtlich des Gurtstückes II III durch die Hilfskonstruktion, hinsichtlich des Gurtstückes I II direkt. Die Einheit des Kraftmassstabes {p = 5W»«) ist 5mal so gross, als im Masstabe II gewählt; die Poldistanz ist gleich der Spannweite, d. i. = 2 Tonnen gewählt.

2.    Diagonalen, Pig. 2. Hinsichtlich des Eigengewichtes ist zunächst das und hieraus das Y konstruirt und zwar nach §. 45, Fig. 65 mit Benützung der Hegel

M    M

Y — Q — j tan o. Bei Konstruktion von — sind die Höhen h doppelt auf-

M

getragen. Damit — mit Benützung des vorhin zur Konstruktion des Obergurtes verwendeten Seilpolygones in dem Masstabe II (P — 10mm) erhalten wird, muss die Poldistanz H nur in | = ihrer Grösse, also = 40 Tonnen nach dem Mass-

stabe II aufgetragen werden. Hinsichtlich der zufälligen Belastung ist zunächst die gefährlichste Belastungsweise bestimmt. Nach §. 46, Pig. 73 ist in Fig. 1 die Influenzlinie für die Stäbe I 2, II 3, III 4 konstruirt. Es ist nämlich die gesammte auf den Träger wirkende Last R' durch Konstruktion eines dem Träger R¹ 0‘D“ (Pig. 73) ähnlichen Dreiecks über dem Kraftpolygon, welcher in Fig. 2 in der linken Stützenvertikalen aufgetragen ist, in dem Verhältnisse von 0‘T>‘ zu D‘B‘ (Pig. 73) getheilt, woraus hervorgeht, dass die 1. Last am Fusse der fraglichen Diagonalen liegen muss. Es ist nun zunächst für diese Belastung das Q konstruirt und daraus nach §. 48, Fig. 75 das Y abgeleitet. F ist hierbei in der dem Fusse der fraglichen Diagonalen entsprechenden Vertikalen aufgetragen. Die Werthe von Y für das Eigengewicht und die zufällige Last sind sodann addirt und durch eine Parallele zur fraglichen Diagonale die Spannung P = F sec cc konstruirt. Konstruirt man jetzt einen Masstab III, dessen Einheit = 0,75 der Einheit des Masstabes II ist, so geben die Spannungen P, auf diesem Masstabe gemessen, direkt die Querschnittsflächen, welche in Pig. 8 eingeschrieben sind.

3.    Vertikalen, Pig. 3. Die Konstruktion von F ist in gleicher Weise erfolgt, wie für die Diagonalen. Auch die gefährlichste Belastungsweise ist wie für die Diagonalen konstruirt. In Pig. 1 beziehen sich die gestrichelten Influenzlinien auf Diagonalen und Vertikalen, die punktirten auf die Diagonalen, die strichpunktirten auf die Vertikalen. Der Maximalzug von der Vertikalen I 1 ist konstruirt, indem mau die auf den Knotenpunkt 1 wirkenden Komponenten der innerhalb U 2 liegenden drei Lasten konstruirt hat. Die untere Grenze des Druckes in III 3 ist gleich der negativen Vertikalkomponente der Spannung des Gurtstückes II III, wenn der Zug von links aus bis zum Punkte 3 vorgerückt ist, weniger der in III wirkenden Knotenlast von 0,67 l'on. Die der ersteren Vertikalkomponente ergibt sich in der Linie cd, wobei die Höhe des Seilpolygones für das Eigengewicht = ab, für die zufällige Last — bc = 2 . ef (Fig. 9) ist; es ist ef doppelt zu nehmen, weil sich die Höhen des Seilpolygones in Fig. 2 doppelt so gross ergeben, als in Pig. 5, da die Krafteinheit 10 mal, die Poldistanz 5 mal so gross ist. Die untere Grenze des Druckes in der Vertikale IV 4 ist gleich der in IV wirkenden Knotenlast von 0,67 Tonnen.

Zieht man von der oberen Grenze der Spannung = 0,44 der unteren

Grenze ab, was mit Hilfe des Proportionalwinkels Fig. 3 a geschehen ist, so gibt der Rest, auf dem Masstabe III gemessen, die Querschnittsflächen, welche in Pig. 8 eingeschrieben sind.

In der Anwendung scheint es rathsam, die Figuren 2 und 3 zu vereinigen.

4. Gurte. Die Querschnittsflächen der Gurte sind in Fig. 6 konstruirt. Die Maximalmoraente für die zufällige Last sind in bekannter Weise in Fig. 5 konstruirt.

Von den Seilpolygonhöhen für die totale Belastung (stark ausgezogen) ist y^ =0,44

der Seilpolygonhöhen für das Eigengewicht abgezogen und alsdann nach §. 45, Fig. 63 die Spannung konstruirt, welche der Differenz als Seilpolygonhöhe entsprechen würde. Konstruirt man einen Masstab V, dessen Einheit = 0,75 der Einheit des Kraftmassstabes IV ist, so geben die Spannungen, auf diesem Masstabe gemessen, direkt die Querschnittsflächen, welche in Fig. 8 eingeschrieben sind. Für das Eigengewicht sind die Poldistanz mn und auch die Lasten doppelt so gross angenommen, als für die zufällige Last in Fig. 5. Um das 0,44 fache der Seilpolygonhöhen für das Eigengewicht zu erhalten, hat man nur nöthig, ein Seilpolygon (punktirt) für die

— 2,27 fache Poldistanz m 0 zu konstruiren.

Die Spannungen für das Eigengewicht sind in Fig. 7 noch besonders nach der Polygonalmethode konstruirt. Die Einheit des Kraftmasstabes ist hierbei doppelt so gross als beim Masstabe II oder 4 mal so gross als beim Masstabe IV angenommen.

§. 78. Volumen. Wir wählen eine gleiche zulässige Inanspruchnahme K für Zug und Druck.

1. Gurte. Das Volumen pro Längeneinheit im ersten Theile ist

vx — seca ~ = -£j- (.1 -f- sec² a) — Kh iß + tan*a), d. i.

(!/ ftoi+M (a +

/v il A

Setzt man für tan o den Ausdruck 118 ein, so ergibt sich ein für die Integration zu komplizirter Ausdruck. Da indess tan*a nur klein und der Querschnitt der Gurte wenig variabel ist, so wird es genügen, für tan g einen Mittelwerth einzusetzen, und zwar tana — -₂ tan g₀ , d. i. nach Formel 117: tana = also

2 g ’

„ < __ (9 + P) (9l +_PX1 ¹ ~    2 AK

Das Gesammtvolumen F/ der beiden äusseren Theile ergibt sich nun:

(* ⁺ tj)-

xt

rt‘ = »fcä,=

0

(9 + p)xl (2gl+pxt)

2 AK

(* +

Setzt mau für xx den Ausdruck 120 ein, so erhält man xx (2gl    Px 1)

l j ^    1 -f- - -f- 1^ = glq] mithin wird

9 (9 + i>) Z²

A²

133. F/ = wenn man zur Abkürzung A = •/.—- und 133 a.

AK

89

«i =

, Ä‘ =

setzt.

Das Volumen vß‘ pro Längeneinheit im mittleren Theile ist

, also das Gesammt -Volumen des mittleren

Vl" — ² Xlly

Theiles

px(l — X)

Kh,

oder

kl

Vß' = 2^vß‘dx = (la - 6lxß 4- äx*),

X,

wenn man zur Abkürzung

(‘

Osl Kl

134 a. aß¹ =

setzt; xx ist hierin durch Formel 120 bestimmt.

In folgender Tabelle sind die Werthe von x, aß, ßß, sowie von xx und aß‘ zusammengestellt:

_p

Hi*

a"

kl    CS

1,7325

2,0944

2,3954

2,6650

2,9142

3,1492

3,3733

3,5888

3,7974

0,0577

0,0957

0,1242

0,1501

0,1716

0,1905

0,2075

0,2229

0,2370

0,2500

oo

2,1656

1,3090

0,9981

0,8315

0,7285

0,6561

0,6024

0,5608

0,5274

0,5000

0,2403

0,3090

0,3539

0,3874

0,4142

0,4365

0,4555

0,4720

0,4869

0,5000

0,1667

0,1182

0,0909

0,0710

0,0553

0,0424

0,0316

0,0223

0,0140

0,0065

Das Gesammtvolumen J\ der Gurte ergibt sich nun zu 135.    + A y,

wenn man <xt = aß 4- aß¹, ßx = ßß setzt. Die Werthe für ax und ß sind in folgender Tabelle zusammengestellt:

ßl

ös| w

«i

ßi

cs .cs cs

Ol HSs C13 ÎO kl

0,1759

0,1866

0,1952

0,2054

0,2140

2,1656

1,3090

0,9981

0,8315

0,7285

CO Oo Vf Os

0,2211

0,2298

0,2369

0,2435

0,2500

0,6561

0,6024

0,5608

0,5274

0,5000

Man kann hiernach annähernd

= 0,17 -1- 0,084 |, ßt = 0,28 + 0,220 |

setzen. Mit noch geringerer Annäherung wird

136. Vx = 0,23

Nach der neueren Berechnungsweise wird

137. Vt =

d+i) (-

j; + t) p-

Hierbei aber ist bei der Bestimmung von a und ß {1 Ą-m) p für p zu setzen, wenn man annimmt, dass die Wirkung der zufälligen Last durch die Erschütterungen etc. um das m fache vermehrt wird. Ist z. B.

9 —    9

9    9 + P

daher durch Interpolation = 0,199, ßt = 0,932. Es ergibt sich alsdann für m — 0,2 (Strassenbrücken) und m = 0,3 (Eisenbahnbrücken) die folgende Tabelle:

0,4, so wird für m = 0,3:

• g+(l +m)p 0,4+l,3.0,6

0,4    =0,34,

m — 0,2

m = 0,3

*?h

«i

{*

x.

«i

_Ha O O C> Q> ,0 .O ,0 ,0 "c> "oo "ki "ci "üi Iłk Vs lc SA

^    ^ ,o ^ ,o .o

"ox    ~Hk "ks Hk Oo Oj tolc

OHkkjOokjtoHkkjHkk?

^ ,0 ,0 O    ,©    ^

ÎNDïOÎ>ÛÎNDÎOÏOlOH4.klSA

OîîûtuOiOoCikloCok

0<2>000<^C>kl.HA.ÎND

CsCokJtoOoOo^SAHkS©

0,219

0,287

0,332

0,368

0,397

0,423

0,445

0,465

0,483

0,500

0,174

0,182

0,191

0,199

0,208

0,217

0,225

0,234

0,242

0,250

2,346

1,652

1,154

0,933

0,796

0,702

0,634

0,580

0,536

0,500

Sonach wird das ganze Volumen V₂' der beiden äusseren Theile

AK

v ‘    —

v <i    —

Hiernach lässt sich F₂' darstellen in der Form 138. F„' = ÿ(<V

wenn man zur Abkürzung A — * ~~ und

(⁵ + )f’

80 los

80 ho

OH

ßi =

« ihr

xi

(² + )h;üjh“dx'

o

« l<o

a,| oh

setzt.

b. Mittlerer Theil. Das Volumen v der Vertikalen pro Längen

d. i.

einheit ist

— 2x) +

P (l - i»)²

Das Gesammtvolumen der Vertikalen im mittleren Theile wird sonach

li

Das Volumen v der Diagonalen pro Längeneinheit ist sec¹ a

_ QK

“ Ka

— 2 x)    —

p (l — a?)²

V'~ K \\

Das Gesammtvolumen der Diagonalen im mittleren Theile wird sonach

SKI

xt

Das gesammte Volumen V„" des Gitterwerkes im mittleren Theile ist hiernach

_gP

~ K

wenn man zur Abkürzung setzt: < =J'

139. t'V

(< i

ir +    t)’

/V

[(>-?)'-'*]•

-ä -?+*)+ <

Sq

80 Io:

Hi*

rp ^    rp 3

I n

-r² P

Hiernach ist die folgende Tabelle berechnet:

a„‘

ßa

anß‘

ßo"

'OOo^OiOłOlOjlOk

0,1591    0,6624

0,1918    0,6206

0,2113    0,5971

0,2253    0,5815

0,2363    0,5705

0,2443    0,5597

0,2512    0,5515

0,2570    0,5444

0,2643    0,5428

0,2667    0,5333

0,1372

0,1417

0,1345

0,1221

0,1066

0,0887

0,0689

0,0473

0,0244

0,1818

0,1758

0,1606

0,1488

0,1215

0,0993

0,0760

0,0515

0,0265

0,3333

0,1215

0,0801

0,0571

0,0344

0,0216

0,0128

0,0067

0,0028

0,0007

0,6250

0,2224

0,1429

0,0972

0,0605

0,0380

0,0224

0,0118

0,0050

0,0012

. xx 7<,²

S:

il

Das gesammte Volumen des Gitterwerkes lässt sieh nun darstellen durch den Ausdruck worin a₂ = a₂' -f- a„“, ß₂ — ß% ßz" zu setzen ist. Zum Minimum wird V„ für

141. ~

und zwar ist

142. min Vr, — 2 ]/" ßq .

In folgender Tabelle sind die Werthe von a₂, /?₂,    ~~ und

mmVa zusammengestellt:

« l'a

£ !>l

2 V «Q ßq

0,1    '    0,2587

0,2    0,2218

0,3    0,1916

0,4    0,1565

0,5    0,1282

0,6    ;    0,1015

0,7    0,0756

0,8    0,0501

0,9    0,0251

0,4042    !

0,3187

0,2578 ||

0,2093 !i

0,1595

0,1217

0,0878

0,0565

0,0277

kkkkkUkkik

0,647

0,532

0,445

0,362

0,286

0,222

0,163

0,106

0,053

Annähernd ist, aber mit nur geringer Annäherung, a₂ —    »

& = 0,36 j/ï* = 1,18, min Va = 0,612

JPmax

(i + m) Ki

Nach der neueren Berechnungsweise muss man hier von der dieser Berechnungsweise zu Grunde liegenden Grundformel *) f —

, [anstatt von der Formel 7 (S. 9) ausgehen, wenn P

und

{1 + m) K₂

Pmin die obere und untere Grenze der Spannung bedeuten. Da hier

P

— 0 ist, so wird f =    _

⁷    '    (1 -f- m) a,

JJ

liehen Berechnungsweise f =.....’™x- gesetzt wird. Dem entsprechend, hat

man zu setzen :

nun P

max

min

während nach der gewöhn-

143. F„ =

g + (7 + m) P

(.1    m) Kx

(«, T- + Ä t)’

(1 -f m) K\

Hierbei ist für die Bestimmung der Koeffizienten und ß₂ das oben für die Bestimmung der Koeffizienten a, und ßx Gesagte ebenfalls zu berücksichtigen. Hiernach ergeben sich die folgenden Werthe:

kb [ki

m — 0,2

«₂

ßn

2 C(q ßq    Ctç,

m — 0,3

ßi ‘^V^ßi

VI

Cb _Cb Cb Cb Cb ^Cb Cb Cb _Cb Cb "oo "kJ "Ci "Ol "ks ’Öo 1c "kl

JC Cb Cb Cb ^Cb Cb C> ^Ch Cb OCCkkktoloto OoOtOokkkiOCoCr) CiOoCiCoklToOiïOCO

0,391

0,343

0,280

0r230

0,182

0,138

0,101

0,066

0,033

Cb Cb Cb C    Cb    Cb _C    Cb    c.

"c. "kl "ki lo    Co    Oo    Ol    c,

Ci ÎO Oo Ol    ÎO    Cb kJ    Ci    Co

loCokiCCskïvlkCb

Cb Cb Cb Cb C Cb c> o c C'iCikkkbtOlo OiObC>hoHkN?CbOjOi ToToCbkîkjOoklCbki

_Cb _Cb _Cb C> _C JC C> O O "Cb "Cb "kl "kl "kl "to "to Oo "co CokJCbOiCbCoCoOiQo OlklCiOotO^OCihOCi

C> O O _C C> C> JC> o _c C> ki ki Co Hk hts, Oi'bi CiCoîoOoOjkiCbkHïo kïtoOiHkOiÎNOQjkiOo

kkkkkkkkk Cb "c> Cb ki 'ki ki ki to

') Winkler. Wahl der zulässigen Inanspruchnahme der Eisenkonstruktionen mit Rücksicht auf die Wühlet'sehen Festigkeitsversuche hei wiederholter Beanspruchung, Wien, 1877.

XU. Kapitel.

Verschiedene Trägerformen.

§. Ï9. i-Trägerform mit der kleinsten Materialmenge. Wir

wissen, dass sich der Querschnitt der Gurte um so grösser ergibt, je höher der Träger gewählt wird, dass aber das Volumen des Gitterwerkes von der Höhe unabhängig ist, falls man die gedrückten Stäbe nur auf Druckfestigkeit, nicht aber auf Knickfestigkeit berechnet; das nur kleine Volumen der Endständer und ein kleiner Theil des Volumens der Gurte nimmt dagegen mit zunehmender Höhe zu. Sonach würde eine ungemein grosse Höhe theoretisch als die zweckmässigste erscheinen. So z. B. ergibt sich als zweckmässigste Höhe nach der entsprechenden Formel Seite 96 für einfache Parallelträger:

Netzwerk: h = 0,58 l, Fach werk: h — 0,411; für kontinuirliche Träger:

Netzwerk: h — 0,49 l, Fach werk: h — 0,34 l-für Bogensehnenträger nach Formel 82 (Seite 150) :

hj = g |/^6‘ l = 0,611

und für Fischträger nach Formel 84 (Seite 151) :

\ = \ Y3 l = 0,87 l.

Praktisch indess ergibt sich eine wesentlich kleinere Höhe als zweckmässig, insbesondere 1. weil sich bei zu grosser Höhe die Gurtquerschnitte so klein ergeben, dass sie praktisch nicht durchführbar sind ; 2. weil bei zu grosser Höhe die gedrückten Gitterstäbe einen grösseren Querschnitt erhalten müssen, als ihn die blosse Rücksicht auf Druckfestigkeit fordert ; 3. weil die praktische Herstellung so langer Gitterstäbe auf Schwierigkeiten stösst; 4. weil die Sicherung der Stabilität der Träger gegen Umkanten bei zu grosser Höhe zu starke Konstruktionen erfordern würde. Die Bestimmung der zweckmässigsten Höhe bei gegebenem Gurtsystem, also z. B. eines Parallelträgers oder eines Parabelträgers, mit Berücksichtigung der genannten Umstände, ist ohne Eingehen auf die praktische Konstruktion nicht möglich; dieselbe ist ziemlich schwierig und noch keineswegs allgemein gelöst. Noch schwieriger aber wird die Bestimmung der zweckmässigsten Höhe in verschiedenen Querschnitten mit Rücksicht auf die oben erwähnten praktischen Gesichtspunkte, also die Bestimmung der zweckmässigsten Form der Gurte.

Wir wollen hier nur die Bestimmung der zweckmässigsten Form unter der Annahme einer durch praktische Rücksich-

ten gegebenen Maximal höhe versuchen. Die Lösung der Aufgabe, diejenige Form zu bestimmen, bei welcher das Gesammtvolumen unter der soeben gemachten Annahme' ein Minimum wird, gehört der Variationsrechnung an; allein es bieten sich der Anwendung derselben Schwierigkeiten, weshalb wir die Lösung in einer anderen Form versuchen wollen.

Fig. 119.

-2

Wir wählen den Untergurt gerade, den Obergurt nach einer Parabel nten Grades gekrümmt (Fig. 119) \ und zwar setzen wir ^ die Höhe /^, wenn die Höhe in der Mitte

die halbe Spannweite = a und der Abstand des Querschnittes von der Mitte — x ist,

—) \. an) ¹

h = (l

Unter dieser Annahme ergibt sich das Gesammtvolumen Vx der Gurte in gleicher Weise wie im §. 61:

144. V, —

ą a" j (ar— x¹) xn~s /    ,

~ fi l an — xn    \ ⁺

n'z x2n~² h,²

4a8n

Wählt mau zunächst für das Gitterwerk Netzwerk mit der zweck-massigsten Lage der Stäbe, nämlich mit a = ß — 45°, so wird das Volumen des Gitterwerkes, entsprechend der Formel 87 (Seite 151):

145. K, = g

Ydx =

4g a

n (a¹ — x¹) xn~¹

2 a (an — xn)

pa

n (a — x)

xn J

an —

d x.

Wählt man einfaches Fachwerk mit a = 0, ß = 45°, so wird das Volumen des Gitterwerkes bei steifen Diagonalen 1,5 mal so gross.

Bestimmt man die hierin vorkommenden Integrale durch Aufträgen der Variablen als Ordinaten und Planimetrirung der entstehenden Flächen, so erhält man die folgenden Resultate:

Volumen V, der Gurte

Volumen V₂ des Gitterwerkes

Netmerk

Fachwerk

Ci Cri bKN Zfc Ki

'XJ

3,0000

2,0000

1,7044

1,5707

1,4995

1,4563

1,3333

1,500

1,333

1,295

1,304

1,309

1,323

2,000

N H 30 Co O Ci r. N N O QD C5 ^ O O 03 C

cT cT cT i-T 0^

1,000

0,667

1,017.

1,244

1,402

1,519

2,333

1,500

CO TS CO Oî C> ^ ^    £0 O

^ o cT t-T yC co

■O *0 CO CO CO 03 O o O 03 Co O K O lo CO »O Oo YS Ol xo y-T i-T y-T y-T <* 03" co

qa³ I qah,

' KÏi7    * ~K~

fl_o2

' K

pa² ii gal

* K K

pa²

. —

Der Werth n = oo entspricht dem Parallelträger. Die dritte Eubrik enthält für denselben das Volumen der Endständer für Netz- und Fachwerk. Hieraus ergeben sich nun für das Gesammtvolumen (für \ = folgende Resultate:

G esammtvolum en V

für Netmerk

für Fachwerk

für p = 0 für g = O I‘für p ~ 0 \ für g = 0

^1 03 CO

oo

Co ^ CO C) N Co ^ Oo CS 'CH Co Co Ci Co C Oi 03 Co 00 Oo Co" o f T~r l-T Y-T T4 1-0

CO CO «C îM Ci Ci “cH IQ Co Oo Y-3 Oo CVO CN^ O CO_ OS CO_ co“ oT oT >T t-T tÇ

_î>0 _î\0 ‘-4. KJ. _k*. <C

lo "o "co "co lo "o Fk c ïo Ot k c co Co Ol to k Oj CO

2,469

2,333

2,167

2,119

2,107

2,109

2,333

qa3 ' K hx

qa3 ' ~Kh,

Hieraus ersieht raaa deutlich, dass weder dem Parallelträger, noch dem Parabelträger das kleinste Volumen entspricht, dass vielmehr das kleinste Volumen etwa für n=4 bis 6 eintritt. Wir haben hier nur die theoretischen Volumina berücksichtigt; das wirkliche Volumen wird bei einem noch etwas kleineren Werthe von n zum Minimum, weil das Volumen des Gitterwerkes in einem grösseren Verhältnisse zu vermehren ist, als das der Gurte. Der Obergurt dieser Form schliesst sich dem Obergurte des Parallelträgers nahezu an und krümmt sich nur an den Enden scharf nach abwärts. Im theoretischen Volumen ergibt sich gegen-

y Ti

. h seca =    {1 -f sec¹a).

(i+a)

Y 2 -f- tan¹ a Y

K tana    K

V — K

Setzen wir für Y den Ausdruck 126, so wird

p(2g + p) a¹ + 2h'1 2 AK

über dem Parallelträger nur eine Ersparnis von 4 bis 12 Prozent ; in Wirklichkeit ist dieselbe aber grösser, weil der nöthige Zuschlag zum theoretischen Volumen beim Parallelträger in der Nähe der Enden grösser ist. Setzt man

146.

y=« (s + p)

a³

Kk

+ Alft + Bpa3

K

K’

wobei a, A, B die aus der ersten Tabelle zu entnehmenden Koeffizienten bedeuten, so wird nach der neueren Berechnungsweise:

(ja

147. V —

q cf³

a AA-r-

K₀\

pa³

K7h,

paq

pa?

■2

- [(“ ^9 + ap) i,⁺ {Ä T?₀g+Bp+~Ä)

vn

Setzen wir hierin ~ = 0,44, j~ — 0,45, so ergibt sich statt der letzten Tabelle die folgende:

II

Gesammtvolumen V

ll-

für Netmerk

für Fachwerk

jj für p = 0 J für g — 0 | für p —0 \ filv g — 0

Ci 0 ( 14*. Oo <C kA

oc

1,526 0,917 0,865 0,83' s' 0,860 0,890 0,972

to _<C    pö

Co k k k !

Oo Üt CO

^ >o Co O 'O « Co

VH

c<

II

q a3 ' -Kt K

qa3 ' Ki Jh

Hiernach ergibt sich der Werth von n, welchem das Minimum von V entspricht, etwas kleiner als vorhin.

Zwischen n = 4 und n — 6 ändert sich der Werth von V nur wenig, wenn sich n ändert, so dass es auf eine sehr genaue Bestimmung desjenigen n, für welches V zum Minimum wird, nicht ankommt.

§. 80. Parallelträger mit parabolischen Enden. Man erhält nach dem Vorigen offenbar eine Näherungsform für den Träger der kleinsten Materialmenge bei gegebener Maximalhöhe, wenn man den mittleren Theil als Parallelträger konstruirt und die Gurte nur an den Enden parabolisch krümmt. Wir nehmen den Untergurt wieder als gerade an und haben nun zunächst zu untersuchen, ob der Obergurt bis zur Ver-! h — \ — (Jit

Qh — K)-

¹⁴⁸‘ I àh _ 2 (c — x]

c²

einigung mit dem Untergurte hinabzuführen ist (Form AG DB, Fig. 120) oder ob an den Enden eine gewisse Höbe A G und B H vorhanden sein muss. Bezeichnen wir die Höhe in der Mitte mit die Höhe an den Enden mit h eine beliebige Höhe IK‘ im Abstande x ^ vom Ende mit h und die Länge AE = BF der parabolischen Stücke mit c, so ist

Fig. 120.

'F

-c------

JE

■ F\

( dx

Das Volumen V₁ der Gurte eines parabolischen Endes ergibt sich zu

At^Ti t¹ + °)dx =

0

2 qx (l — x) zu setzen ist,

x (l — x) d x

ijf

o

-f- tan² u) d x, d. i., da

\ — Qh

i[2 +

2 (c — x)²

c⁴

- Qh —

K)“l

Das Volumen V„‘ des Gitterwerkes eines parabolischen Endes ergibt

sich zu U, = K

jfj Ydx, 0

wobei C von der Konstruktion des Gitterwerkes

abhängt und bei einer Neigung der Stäbe von 45° für Netzwerk = 2, für Fachwerk = 5 zu setzen ist. Nun aber ist Q — g (l — 2 x) -f p(l—x)²

21

M=j (gl + pi — px)

x (i — x)

. Daher wird, wenn man Y =

M dh h dx

setzt,

150. VA = ~

p c (3 l- — 31 c -j- c²)

2K

31

C Qix — ha) G (gl -|-pl — px)x(l — x) (c — x)

K c²

-dx.

K — Qh

4lha

2K ‘

Das Volumen V₃‘ eines Endständers ist V₂J =

Das Gesammtvolumen V‘ eines parabolischen Endes ist nun = Vl + Vq + V₃h Die Integrale erhält man am einfachsten durch Bestimmung des Flächeninhaltes der betreffenden Kurven mittels des Planimeters oder durch Rechnung.

V' = 0,0375    0,0380    0,0403    0,0427    0,0454

0,25

0,5

0,75

0,0219    0,0199

0,0141    0,0165

0,0020    0,0039

1 . \. 0,0173 0,0203 0,0078

ql³

' K\’

Hiernach ergibt sich das kleinste Volumen für h₀ — o, wenn also die beiden Gurte direkt vereinigt werden. Ganz dasselbe ergibt sich auch für andere kleine Werthe von c, sowie für Fach werk. Nur für grössere Werthe von c ergibt sich das kleinste Volumen für einen zwischen 0 und \ gelegenen Werth von ha.

Den Fall h₀ — 0 wollen wir nun noch etwas spezieller behandeln. Für diesen Fall wird

151. h =

äh_ 2 (c — x) h

dx

Ferner wird

c*

¹⁵²- r'=&

o

(l — x)ä_x [~₂

x L

2c —

2 (c — cc)² 7^²J

c⁴

lö3, V*~2K

(l

-c) 4-

pc (31* — 3lc Ą- c*)

31

C f‘(gl -f- pl — px) (Z — x) (c — x)

J

o

d x.

Die Volumina Vx " der Gurte und V„“ des Gitter Werkes des mittleren Theiles

u

mit geraden Gurten werden Vt“ = xh~J Mdx und Vl“

C

das ist

2C

J()dx,

155. F₂“ —

154 Fl" = eihil3-6lc* + 4c3)'

° j^(Z²-4Zc+4c²) + ~(7Z³ — 24l\c-\-24lc*—8c³) J.

Man kann hiernach setzen:

( V =

I r\ x

— K a 1)7

Die Werthe der Koeffizienten a, ß, A und TB sind in folgender Tabelle zusammengestellt :

156.

vr

qP

(“' Ę + ß‘’l)' r• = “TT {Ä‘g + B‘p)'

CI*

(A" g -f- B"p).

ß‘

C(°

B“

0,5000 0,00656 | 0,3758 0,02467    0,3667

0,05195    0,3545

0,08619    0,3440

0,12500    0,3333

0,01546 0,01686 0,02319 0,02859 0,02319 0,03608 0,01546 0,04044 0,04167

0,16667

0,15733

0,13200

0,09467

0,04933

Cs    Cb    c.    o    c>

^    O    C    O    K    iNO

M.    Hk    CO    Ci    Ox

0,29167

0,20133

0,12900

0,07267

0,03033

Hiernach kann man nun das Gesammtvolumen des Trägers durch die Formel

(aTt + ßTL)

er-

H—{Aq 4~ B'.P)

ausdrücken, wenn man a — 2a‘ Ą- ß — 2ß\ A = 2A¹ -{- A", B — 2B‘ -f- B“ setzt. Die Werthe für «, ß, A und B sind in folgender Tabelle zusammengestellt:

k-| CNf Co

° cT cT cT cT cT

0,1667

0,1705

0,1813

0,1986

0,2217

0,2500

,C> ,C> _C> .Cb .Cb

bi Oi Vs sj Vf Ci Ob Oo Ci iO Ol o Vf 00 Ob Os to <c

0,2500

0,1909

0,1364

0.0864

0,0409

0,2917

0,2351

0,1862

0,1448

0,1112

0,0833

Die Werthe A und B sind nur für Netzwerk und einfaches Fachwerk, nicht für Doppelfachwerk richtig; indess haben sie auch für letzteres nahezu Giltigkeit, da bei kleinem c Doppelfachwerk nur auf eine kurze Länge und in sehr schwachen Dimensionen nöthig wird, während bei grösserem c das Gitterwerk überhaupt nur einen kleinen Theil des Ganzen ausmacht.

Hiernach ergibt sich als Gesammtvolumen für Netzwerk (C — 2) und Fachwerk (G — .?), wenn wir z. B. \ = - l setzen.

V für Fachiverk

V für Netzwerk Einfl. von g Einfl. von p Einfl. von g Einfl. von p

O O O C> Cs ^ Ob fk Os to kk

jv .ki k k Cs cobobobo'co oo tfe. Ob k tk Ot Oo kl c> Ox C> Qo

.ÎC .?\0 .k*    ^«4. .fco

ïo C) co "io bo 'C) Oi Oo Cs k. ÎNO Hk Cb to Vf Hk Qo fC

Co    ^ K Of Oj

C> Oo XO CYJ QO 00 Of C Ob Cj Ob o of o* y-7 tv >7 o7

Oî Co V Co 05 C5 to C ^ Oj 05 W 05

oT oT of o7 oT

gi'

gi'

pi²

II

Sonach ergibt sich das kleinste Volumen beim Netzwerke für c = 0,171 bis 0,191, beim Fachwerke für c= 0,231 bis 0,271. Allgemein ergibt sich das kleinste Volumen nahezu bei folgendem Werthe von c:

158.

Netzwerk: c = 0,03 l -f- 1,12 h,

Fachwerk: c = 0,02 l -f- d,76 h.

Die Ersparniss bei der Wahl dieser Form beträgt gegen den Parallelträger 5 bis 15 Prozent, gegen den Parabelträger 7 bis 18 Prozent. Von den angewendeten Formen nähert sich der Hyperbelträger dieser Trägerform am meisten.

Bei Anwendung der neueren Berechnungsweise ist ganz entsprechend dem vorigen Paragrafe in Formel 157 zu setzen: a 4-    ) statt ~

ß Ü + JÜ

Als Näherungsregeln für den dem kleinsten Volumen entsprechenden Werth von c ergibt sich alsdann:

statt ~

K' K₀

Ä’

statt A [b — A) fj] ~ statt

159.

Netzwerk: c — 1,40 h,

Faclbiverk: c — 0,03 l + 1,72 h.

Auf eine Bestimmung der Spannungen wollen wir nicht eingehen, da sich hier gegen die allgemeinen Kegeln keine wesentlichen Vereinfachungen erzielen lassen.

haben, eine Form,

§.81. Trapezträger. Eine zweite Näherungsform der Träger mit der kleinsten Materialmenge bei gegebener Maximalhöhe entsteht, wenn wir die Träger aus drei Theilen zusammensetzen, von denen der mittlere eine rechteckige, die Endtheile eine trapezförmige oder dreieieckige Form Fig. 121.

Ą/^—8 ic

welche zuerst durch die Herren Köstlin s² und B a 11 i g in An-Wendung gebracht wurde (Fig. 121).

Wir wollen diese Träger Trapezträger nennen.

Die im vorigen Paragrafe angewendeten Bezeichnungen behalten wir auch hier bei. Alsdann ist die Höhe h im ersten Theile im Ab

stande x von der linken Stütze:

da M =

160. h = h₀ -f- —-— x.

c

1. Garte. Das Volumen V/ der beiden Gurte im ersten Theile ist, j qx (Z — x), sec* g = 2 -f- tan'¹ g — 2 -f- ^ g---^

ist,

V' =

1 Cm

~kJ t

0

qc

(1 -j- sec¹ g) dx — £

,1 (/?i—/Q²\ f x (l — x)dx

\    2 c* )J h₀c + (Ät — ha) x ’

0

d. i. unter Anwendung der Integralformeln J -

(X ^

-f- p lognat (a -f- b x) :

xdx

jlognat (a -bx)

und

f x*dx _x(bx — 2 a)

J a -f- & x    2 b²

161-    U'= K

{a‘ Tt+ß‘ ¥)'

wenn man zur Abkürzung h₀ = e!iv c — ml und

m'2.

— m) — (2 — 3 m) e —

2&(1—sĄ-m e)

lognat

161«.

Fig. 122.

Das Volumen Vt“ der Gurte des mittleren Theiles ist durch die Formel 154 bestimmt. Setzt man dasselbe

Vx“ — a"    so kann man das

Gesammtvolumen H der Gurte durch

ql-

162. F. =

ausdrücken, worin a — 2 a‘ + a'\ ß = 2ß“ zu setzen ist.

Für den Trapezträger ohne Endhöhe, d. i. für 7i₀ = o, wird li= daher die Spannungen Sx und S₂ |i der Gurte

qc (l — x)

163. Sx = +

Hiernach ist in Fig. 122 die Spannung beider Gurte grafisch dargestellt. Für diesen Fall ergibt sich einfacher:

iOî

164. a‘ = wß {2 — m), ß‘ —    (2 — m).

Die Werthe für a und ß für einige Werthe von m und e sind in folgender Tabelle zusammengestellt:

0,1763 0,2040 0,2477 0,1714 0,1848 0,2055 0,1695 0,1775 0,1898 0,1683 0,1728 0,1797 0,1674 0,1694 0,1724 0,1667 0,1667 0,1667

O 0,1667 0,2 0,1667 0,4    0,1667

0,6 0,1667 0,8 0,1667 1,0 0,1667

0,3053 0,3750 0,2323 0,2640 0,2056 0,2240 0,1885 0,1988 0,1763 0,1808 0,1667 0,1667

O    1,0000    0,9500    0,9000    0,8500    0,8000    0,7500

0,2    0,4781    0,4401    0,4220    0,3940    0,3660    ;    0,3379

ß 0,4    0,2335    0,2190    0,2046    0,1902    0,1757    \    0,1613

0,6    0,0935    0,0875    0,0816    0,0756    0,0696    !    0,0636

0,8    0,0215    0,0201    0,0187    0,0173    0,0159    0,0145

1,0 O

2. Gitterwerk. Als Vertikalkraft Y ergibt sich fiir die Belastung des rechten oder linken Theiles nach der Formel Y — Q — V- tan a leicht:

165. max (-f- Y) = J g {l — 2 x)

\0

4-

p h₀ c (l — xy 2 l [h₀ c -f- (Ä, — 7?₀) x]'

2 [ä₀ c + (hx — /g x]

166. max (— Y) = — g (l — 2 x)

g (hx — ha) x (l — x)

p \K c 4- (fei — K)l)x'

2 [/i₀ c 4- (lix — h₀) x]

Fig. 123.

In Fig. 123 ist Y grafisch dargestellt. Hiernach zerlegt sich im Allgemeinen der linke Theil in drei Theile, in deren erstem Y nur positiv, in deren zweitem Y positiv und negativ und deren dritteu Y nur negativ ist. Der letztere Theil kommt in

gWegfall, wenn für x = c max (-f- Y) i|i|ipositiv oder > 0 wird, d. i. wenn

167.

(l — c)] (l — c)‘

Auch der zweite Theil kommt in Wegfall, d. h. Y kann im linken Theile nur positiv sein, wenn sich max (— Y) für x = c positiv oder > 0 ergibt, d. i. wenn

(9 4~P) c l (gl+pc) (l — c)m

so würde sich hiernach ha > /<, er-

168. =

_ K

ist. Wenn j >    ^ + -'j — - ist, geben, was nicht zulässig ist, so dass in diesem Falle bei jedwedem Verhältnisse von h₀ zu \ das ¥ positiv und negativ werden kann.

Beim Trapezträger ohne Endhöhe oder fur h₀ — 0 kann Y im linken Theile bei keiner Belastungsweise positiv werden (Fig. 124). Es wird hier sehr einfach:

Fig. 124.

re

169. max (— Y) = — ~ (g -j-p) x.

Bei Belastung des rechten Theiles wird y=0; bei Belastung des linken Theiles nimmt daher Y denselben Werth an, als für totale Belastung.

:-X

Bei Anwendung von Fach werk mit schlaffen Diagonalen müssen hier die Diagonalen in den Endtheilen die entgegengesetzte Lage erhalten, wie bei Parallelträgern (Fig. 125).

Fig. 125.

Des Volumen V„ des Gitterwerkes im linken Theile wird unter der Voraussetzung, dass Y in diesem Theile nur positiv werden kann,

C

VQ‘ = Ydx, d. i.

—c) —

9 Qh — K) ^ (l — x) o

Hiernach lässt sich Vx‘ ausdriicken durch

n 72

HO. Vq* =    (A' g -F B' p),

wenu man zur Abkürzung

A' =

171

l-m (1 — m) £

«' (1—fi)

-J^(J — s-\-m e)² lognat ~

— ~2    — m) — «    — 5 w)]J

, B'

2(1-e)

Das Volumen des Gitterwerkes des mittleren Theiles ist

TCLA"9

setzt.

durch die Formel 155 bestimmt. Setzt man dasselbe F₂"

CP

Winkl er’s Brückenbau; Theorie, II. Heft.

£ II

4-    P): s0 lässt sich das Gesammtvolumen des Gitterwerkes ausdrücken

durch

cr-

172. Vo = K

(A g + Bp),

worin A = 2A‘ -f- A‘\ B = 2B‘ -j- B“ zu setzen ist. Hiernach ist folgende Tabelle berechnet:

Kl

0,3

0,4

0,5

^ 11

Qo Ci ïo

0,2500 0,1650.0,1100 0,0850 0,2500 0,1937 0,1445 0,1023 0,2500 0,2135 0,1818 0,1549 0,2500 0,2281 0,2092 0,1933 0,2500 0,2382 0,2313 0,2241 0,2500 j 0,2500 j 0,2500 0,2500

0,0900

0,0670

0,1328

0,1804

0,2183

0,2500

0,1250

0,0388

0,1256

0,1705

0,2139

0,2500

O . 0,2917 \ 0,2063 0,2 ; 0,2917'0,2386 B 0,4    0,2917 0,2574

0,6    0,2917 0,2712

0,8    0,2917 0,2823

1,0    0,2917 0,2917

0,1490 0,1177 0,2182 0,1694 0,2317 0,2136 0,2560 0,2455 0,2754 0,2707 0,2917 0,2917

0,1103 0,1250 0,1491 0,1374 0,2019 0,1958 0,2390 0,2358 0,2680 0,2668 0,2917 0,2917

Mit Hilfe der für a, ß, A. B aufgestellten Zahlenwerthe ist es leicht, für eine spezielle Konstruktion die günstigen Verhältnisse, d. h. diejenigen Werthe von h₀ und c zu bestimmen, für welche das Volumen ein Minimum wird. Ungefähr ergeben sich hinsichtlich des theoretischen Volumens die folgenden Werthe von hn und c als die günstigsten:

173.

Netzwerk: c = 0,06 l -j- 0,6\, h₀ = 0,22\ bis 0,31\, Fachwerk: c = 0,041 -f- 1,1hj, ha — 0,13 \ bis 0,25hx.

Die Materialersparnis gegen den Parallelträger von gleicher Höhe beträgt hierbei 3 bis 8 Prozent.

Bei Anwendung der neueren Berechnungsweise tritt genau dieselbe Aenderung ein, wie im vorigen Paragraf.

§. 82. Ellipsenträger. Eine weitere Näherungsform an den Träger der kleinsten Materialmenge bei gegebener Maximalhöhe ist der Ellipsen-träger, bei welchem der Untergurt gerade und der Obergurt elliptisch gekrümmt ist, oder umgekehrt, oder bei welchem beide Gurte eine geschlossene Ellipse bilden. Die erste Form ist einige Male in Anwendung gekommen und auch wir wollen diese Form allein in Betracht ziehen. Auch der abgestumpfte Ellipsenträger, der sich indess nur wenig vom abgestumpften Parallelträger unterscheidet, ist in Anwendung gekommen ; wir verzichten indess auf ein näheres Eingehen auf diese Form.

Fig. 126.

Wir bezeichnen für den Ellipsenträger mit geradem Untergurte (Fig.

126) die halbe

Spannweite mit a, Ą(c_____x—é-______^______*-------

den Abstand eines -Querschnittes vom Ende mit x₁ von

-----a-------

173. h =

I² Ti²

der Mitte mit §. Alsdann ist —t 4- -j—, = 1, also

\/x (l — x).

■- (!)'■=

Hieraus folgt

U²

sec c

fan 0- — -    — _j___» ............... JhJf.... 2 æ)

da; a*h    a\/ff² — £² lVx(l — x)

= J/1 -F ĆffW² (7 =    1 -f-

irrr

Uf)

1//

// (£ — 2 a?)²

a⁴A²

1. Spannungen. Wir wollen nur Näherungsgleichungen für die Spannungen aufstellen.

«. Gurte. Die Spannung S₂ des Untergurtes ist ___ q x (l — x). I

2 _ T ~~ 2~.2 Äjj/aÜT—aö

174.

Hiernach ist die Spannung $₂ der Trägerhöhe h proportional. Die Spannung lässt sich also durch eine Ellipse darstellen (Fig. 127).

Die Spannung Sx des Obergurtes wird nun Sx = — $₂ sec ff, d. i.

Z² x (l — x)

, d. i.

175. Sx = - V4 «⁴ — 2 (2 a¹ — 7*,²) J²

4/i,

Hiernach lässt sich auch die Spannung des Obergurtes durch eine Ellipse darstellen, deren horizontale Halbaxe

V ]//² x (l — x) + hx- (1-2 xf Fig. 127.

Tim-

US

176. ff, =

ff \/~

2 ff²

11111 !

------—------a -

------

2 ff² — Z?,,2 ist (Fig. 127). Für \ = ^j 7, ■| l wird bezüglich ff, = 1,010 a, 1,016 ff, .7,029 «, so dass sich ff, nur wenig grösser, als a ergibt,

Für £ = a oder x — o wird S\ — drucke.

\ g Z, d. i. gleich dem halben Stützen-

1/x{l — x)'

b. Gitter werk. Für das Eigengewicht wird __ __g x (l — x).l _

¹

Gitterwerk. Wir wollen nur das bei den Schwedler’schen Trägern stets in Anwendung gekommene Fachwerk in Betracht ziehen.

a. Aeusserer Theil. Das Volumen auf die Länge a der Horizontalprojektion einer Diagonale ist ~ . h -f Y-^a Da aber a — htana ist, so wird das Volumen v₂' pro Längeneinheit Y 1 -f- sec'¹ a

tana

daher

ä 2.2\VxT(T^x)

]/x (l — æ), d. i.

^ _ g l (l — 2 x) 2 h,

8 \ x (l — x)

177. r = |ÿ(7-2*) = |Sri.

Hiernach lässt sich Y durch eine Gerade darstellen, wie beim Parallelträger und zwar ist Y genau halb so gross, wie für den Parallelträger (Fig. 128).

Für die zufällige Last wird

, v    MM p (l — x)²

max(+ Y) = Q+TIi-

PX (l — O?)²

hx (l — 2 x)

2hx ]/ x (l — x) l \/ x (1 — x) d. i. ausserordentlich einfach max (-f- Y) — jp (l — x).

1

Da bei totaler Belastung nach Formel 177 Y —— p (l — 2 x) wird, so wird max (— Y) — jp(l — 2 x) — ^ P (l — x) = — ^ px, also

m«æ(+F)=+    *),

maæ( — Y)~-— \px.

Fig. 128.

21

178.

\v

\n

Sonach lässt sich auch für die zufällige Last max Y durch zwei gerade Linien darstellen (Fig. 128). In Fig. 128 sind zum Vergleich noch max Y für den Pa-B rallel - und Parahelträger dargestellt.

Die Spannungen der Gitterstäbe sind nun durch die Formeln 33 (Seite 126) bestimmt.

2. Volumen. Das Volumen Vx der Gurte pro Längeneinheit wird bei gleicher Inanspruchnahme für Zug und Druck:

Das Gesammtvolumen der Gurte ist nun F, = 2 fy, <7 a?, d.

i.

y, =

al

ai

4 K Ät

- J/V - ïa p +

r 2 a-

| J/a^-T'

7, 2 £2 "t b

:«• («² - r²)

(2 a- — h.²) |²

sec o =

/v

S* , — S.

v'=-â + ~K

(1 -j- sec? a), d. i.

7t ql (fr -J- 2 hx,})

170 TA    V)

1—4

Die Volumina der Gurte eines Parallel-, Ellipsen- und Parabelträgers von gleicher Höhe verhalten sich sonach nahezu wie ^ : Pq : j = 0,167 : : 0,250 = 0,667 : 0,785 : 1.

C Y

Das Volumen vx des Gitterwerkes ist y₂ = wobei (7 durch §. 37 bestimmt ist, also das Gesammtvolumen des Gitterwerkes bei kon-

a

2^jYdx, d. i. F₂ =

stantem C : F„ =

16

K\

[j (9 +P) l+\pl\

oder

180. K =

16 K

(2 g 4- 3 p) P.

Das Gesammtvolumen des Trägers ergibt sich hiernach 0 bis 9 Promit kleiner, als beim Parallelträger mit gleicher Höhe, aber 1,5 bis 7 Promit grösser, als beim Träger der kleinsten Materialmenge.

Nimmt man die Horizontalentfernung der Knotenpunkte konstant an, so wird C variabel. Hier wird, wenn e die horizontale Projektion der geneigten Stäbe bedeutet,

£2 "I

4

n hx J/"er —

worin für Netzwerk n = 7, für Fachwerk n — 2 zu setzen ist. Das

ganze Volumen des Gitterwerkes ist nun F„ =

2 jvo d x. o

Die Integra

tion gibt

K — gß F⁶*    9 + (7C -f- 2) P] y •+■ {# g -f- (5 7t -f- 4) p} —- J

/- r~    &    m fi ~|

- -g (0,2500 g + 0,3213 p) + (0,08,55 g + 0,1398 p) .

Angenähert wird F₂ zum Minimum und das Minimum von F₂ selbst : Netzwerk :

182.

Y = 0,577 9- + 0,660 2-.

⁽1 C1

min V„ — (0,289 g -f- 0,426 p) ,

Nachwerk :

183.

—- 0,817 | + 0,933    ;

72

min F₂ = (0,408 g Ą-0,603 p)

<^>

« re

Hiernach wird minV„ um 13,6 bis 15,5 durchschnittlich um 14 Prozent grösser, als bei konstanter Neigung der Stäbe.

Hierbei ist einfaches Gitterwerk vorausgesetzt. Werden beim Fachwerke schlaffe Diagonalen angewendet, so müssen dieselben im mittleren Theile DE (Fig. 128) doppelt angeordnet werden. Hier kommt zu dem vorigen Volumen noch das Volumen F„' hinzu, welches bestimmt ist durch

kV a? - r

0

[ä 9 Î i- P (« + f)J [

KVa?-?

’J/j

wenn c die Länge CD = C E (Fig. 128) bezeichnet und zwar ist

P „

2g + p

184 V ‘ — -_—

~ 2K

Die Ausführung der Integration gibt: Arcsin — —

g    £_ |    Arcsin ^

(i - ÿf \ - (2 (J+P) * \i -    7Z|}].

Annähernd erhält man hiernach das Gesammt-Minimalvolumen des Gitterwerkes, wenn man in den Formeln 183 0,925 statt 0,933 und 0,727 statt 0,603 setzt. Hiernach wird das Volumen um 0 bis 20 Prozent grösser, als bei einfachen Diagonalen.

Bei Anwendung der neueren Berechnungsweise treten dieselben Aenderungen ein, wie in §. 80.

§. 83. Bogensehnenträger mit konstanter Spannung des Obergurtes. Die Spannung des Obergurtes ist, wenn z den normalen

Abstand des Gurtstückes vom entsprechenden Knotenpunkte des Untergurtes

bedeutet, St = — —, also bei gleichmässiger Belastung St =

Fig. 129.

Î30'--

q x (l — x)

Soll mm die Spannung des Obergurtes konstant sein, so muss

_ g*ł 8 h,

werden, also

. , a?

^    ⁴    7

d. h. es muss £ gleich der vertikalen Höhe eines Parabelträgers sein. Schlägt man mit den einzelnen Werthen von z als Radien Kreise aus den betreffenden unteren Knotenpunkten, so werden diese Kreise von den Gurtstücken des Trägers tangirt (Fig. 129).

Eine Näherungsgleichung des Obergurtes erhält man in ganz gleicher Weise, wie beim Pauli’schen Träger in §. 65. Der Unterschied besteht

nur darin, dass hier unter dem Wurzelzeichen    statt j (j- ) zu

setzen ist. Statt der Formel 97 (S. 156) erhält man alsdann

185. h — 4 hx ~

•î)l

Hiernach unterscheidet sich diese Form noch merklicher vom Parabelträger, als der Pauli’sche Träger.

Die Spannung $₂ des Untergurtes wird N₂ = ~ = q x ^ ~ x\ Führt man den Ausdruck für h ein und setzt dabei für den Ausdruck in der grossen Parenthese annähernd —

186. S₉ =

Sonach nimmt die Spannung von der Mitte aus nach den Enden zu ab.

Die Spannungen im Gitterwerke sind wie in §. 66 zu bestimmen. Die Formeln 100 (S. 158) können hier ohne Weiteres zur Anwendung kommen, wenn man 32 statt 8 setzt.

Die Materialmenge in den Gurten pro Längeneinheit ist    (— St sec a

So). Setzen wir annähernd sec a = 1    tan² o = 1 + j

= 1 + 8 ^ (l

sammte Materialmenge Vx der Gurte sehr einfach

187. Vx = hx_ 1    1

T~r 8'

terial in den Gurten gegen den Pauli’schen Träger 1,4 1,0 0,8 Prozent, gegen den Parabelträger 5,4 4,2 3,3 Prozent.

Die Materialmenge im Gitterwerke bestimmt sich, wie in §. 67. Statt der Formel 102 (S. 159) ergibt sich

= 7 — y, so erhält man

«t(>

•î)1

2 -jj , so wird — Sx sec o S^ — ——

Bei den Verhältnissen

, also die ge-

q i»

4Khx

ist der Minderbedarf an Ma-

r“ ~ V⁺i9,2⁺¹² p)¹^

188.

Bei Spannweiten von 20, 50, 100, 150 Meter oder für die Verhältnisse ^ = 0,24, 0,50, 0,93 1,40 ergibt sich für Eisenbahnbrücken der Mehrbedarf an Material gegen den Parabelträger für \ = Ą l bezüglich 25, 31, 42, 53 'Prozent, für \ = -*s l bezüglich 19, 24, 32, 41 Prozent, für /«J = j l bezüglich 15, 19, 25, 32 Prozent.

Die gesammte theoretische Materialmenge ergibt sich fast genau ebenso gross, wie beim Parabelträger, höchstens bis zu 1 Prozent verschieden.

Diese Trägerform wurde zuerst von Herrn Haberkalt in Wien (Wochenschrift des österr. Ing.- und Arch.-Vereines, 1878) angegeben.

§. 84. Träger mit künstlich gedrücktem Untergurte. Wenn man auf die Enden des Untergurtes eines beliebigen Trägers einen künstlichen Druck ausiibt, so wird dadurch der durch die Belastung entstehende Zug im Untergurte, also auch das nöthige Volumen des Untergurtes, vermindert. Der Druck im Obergurte wird durch den künstlichen Druck

Fig. 130.

InsU

auf den Untergurt vermehrt, wenn der Untergurt nach unten gekrümmt ist, dagegen nicht verändert, wenn der Untergurt gerade ist, so dass sieh also diese Anordnung nur bei geradem Untergurte empfiehlt, falls man von einem nach oben gekrümmten Untergurte absieht. Bei geradem Untergurte entsteht auch keine Veränderung in den Spannungen der Gitterstäbe, weil sich die Verlängerungen der Gurtstücke des Ober- und Untergurtes in der Dichtung des künstlichen Druckes schneiden.

Diese Konstruktion wurde zuerst von Kopeke im Jahre 1865 (Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereines zu Hannover) vorgeschlagen und von ihm im Jahre 1878 bei der Bisaer Elbebrücke in Anwendung gebracht. Die Erzeugung des künstlichen Druckes kann in verschiedener Weise erfolgen; bei der Risaer El'bebrücke wurde die in Fig. 130 schematisch dargestellte Umsetzung des Gewichtes G durch einen Winkelhebel augewendet.

Was nun die anzuwendende Grösse des künstlichen Druckes anlangt, so kommt dabei die Form des Obergurtes und die Konstruktionsweise des Untergurtes in Betracht. Bei schlaff konstruirtem Untergurte kaun der künstliche Druck höchstens gleich dem kleinsten im Untergurte auftretenden Zuge sein, damit der Untergurt keinen Druck aufzunehmen habe. Am meisten bietet diese Konstruktion beim Parabelträger Vortheil, weil hier die Spannung des Untergurtes konstant ist, so dass die ganze, durch das Eigengewicht erzeugte Spannung aufgehoben werden kann, wie dies auch bei der Risaer Elbebrücke geschehen ist. Das in §.61 und 62 ermittelte Volumen des Parabelträgers wird hierdurch um

gl³

r<_

“ 8 Kit, ’

bei Anwendung der neueren Berechnungsweise um

189. T

189«. U' =

vermindert.

Die Ersparnis in den Hauptträgern beträgt für Eisenbahnbrücken nach der gewöhnlichen Berechnungsweise bei Spannweiten von 50, 100, 150, 200, 250 Meter bezüglich ungefähr là, 20, 26, 29, 33 Prozent. Nach der neueren Berechnungsweise wird der Gewinn wesentlich geringer, weil hier das Eigengewicht auf die Querschnittsfläche und das Volumen einen geringeren Einfluss übt, als die zufällige Last; die Ersparniss beträgt hier nämlich bei 50, 100, 150, 200, 250 Meter Spannweite nur ungefähr 8, 12, 17, 20, 24 Prozent.

Wenn man den Untergurt steif konstruirt, so dass er fähig ist, einen Druck aufzunehmen, so würde es am zweckmässigsten sein, durch den künstlichen Druck die ganze Spannung in Folge des Eigengewichtes und ausserdem die halbe Maximalspannung in Folge der zufälligen Last aufzuheben. Würde man den künstlichen Druck noch grösser nehmen, so würde der Druck bei unbelasteter Brücke grösser sein, als der bei der eben gemachten Annahme entstehende Maximalzug. Die Ersparniss am Volumen ist in diesem Falle

i₉₀ V - ⁽-2g + v) P ■

— leKhi ,

und bei Anwendung der neueren Berechnungsweise

(ßß +P) f3 16K₀h, '

190« V

KJ 16 h,

Die Ersparniss beträgt hier für Eisenbahnbrücken bei einer Spannweite von 50, 100, 150, 200, 250 Meter nach der gewöhnlichen Berechnungsweise ungefähr 28, 32, 35, 37, 39 Prozent, nach der neueren Berechnungswoise ungefähr 15, 19, 22, 26, 28 Prozent.

Dieser Ersparniss steht natürlich der Mehrbedarf an Kosten für die zur Erzeugung des Druckes nöthige Konstruktion und für die stärkeren Widerlager entgegen, so dass nach den aufgestellten Zahlen von einer

wirklichen Ersparnis nur bei grösseren Spannweiten unter besonderen Umständen die Rede sein kann, namentlich, wenn mehrere Oeffnungen vorhanden sind, weil sich hier der künstliche Druck von einer Oeffnung auf die andere direkt übertragen lässt. Da sich bei grösseren Spannweiten die Ersparniss nach der zweiten Annahme, wo auch die Hälfte der von der zufälligen Last erzeugten Spannung aufgehoben wird, nur wenig grösser ergibt, als nach der ersten Annahme, wo nur die vom Eigengewichte erzeugte Spannung aufgehoben wird, während die zweite Annahme einen steifen Untergurt, ein grösseres Gewicht und stärkere Widerlager erfordert, so ist die erste Annahme jedenfalls die rationellere.

§. 85. Träger mit geneigter Auflagerung. Wenn man das eine Lager B (Fig. 131) des Trägers geneigt anordnet und die Reibung durch Walzen etc. auf hebt, so wirkt der Stützendruck in B senkrecht auf das Lager, es wird also auch hier in B ausser dem Yertikaldrucke ein Horizontaldruck erzeugt. Der Unterschied gegen die vorige Anordnung liegt darin, dass hier der Horizontaldruck durch das Gewicht der Brücke und ihre Belastung selbst erzeugt wird. Diese Anordnung wurde im Jahre 1878 von Foeppl (die neuen Trägersysteme für eiserne Brücken, Leipzig 1878) in Vorschlag gebracht.

Fig. 131.

Di:

.CO

A,

>-

Irl

Ist der rechte Vertikaldruck = D, der Neigungswinkel des Lagers gegen die Horizontale == a, so ist der Horizontaldruck Il = D tan a.

Wir haben nun zunächst die gefährlichste Belastungsweise hinsichtlich des Untergurtes zu bestimmen. Eine Einzellast G im Abstande

also

'c

£ vom linken Ende erzeugt den rechten Vertikaldruck 1) — G j-, den Horizontaldruck II — G j- tan a. Für ein Gurtstück, welches auf

der linken Seite der Last liegt, ist die Spannung bei der Trägerhöhe h und wenn der entsprechende Knotenpunkt des Obergurtes vom linken Ende den Abstand x hat,

\lx — £ (x 4- h tan a)].

D (1 — x) —- 6r (g —- a?) — Eh

~lh

Für | = |₀ werde S₂ — 0; alsdann ist 191. §,=

Demnach ist Sq stets positiv, vorausgesetzt, dass tan a < l—f~.

Hiernach ist die gefährlichste Belastung für den Untergurt die Belastung des Trägers vom linken Ende bis zu x = £₀.

Für das Eigengewicht wird D — -₂ gl, H = lg l tan a, also

192. Sa =

— 2 gi tan a•

Ist £ <    , so wird S„ positiv ; ist £ > £₀, so wird Sq negativ.

Für ein Gurtstück, welches auf der rechten Seite der Last liegt, ist D (1 — x) — Hh

S„ =

<H

(l — x — h tan a).

g x (l — x)

px*

Für die gefährlichste zufällige Belastung wird D = jj

px o²

21

tan cc und hiernach

max So) = ~~ [xp (l — x) — l (x₀ — æ)²] —

JPV

21

tan a.

Setzt man obigen Ausdruck für x₀ ein, so erhält man nach gehöriger Reduktion

2 h (oc -f- h tan a)

193. max (4~ S„) — 4~

px* (l — x — h tan a)

Für die totale Belastung ergibt sich $₂ nach Formel 192, wenn man p für g setzt. Zieht man hiervon max (4- S„) ab, so erhält man

193 a. max (— Sq) = —

p l h tan" a

2 (x 4- h tan a) ’

Für den Parabelträger wird h — 4 hx

x>daher mit gleich-

zeitiger Berücksichtigung des Eigengewichtes und der zufälligen Belastung _ gl (l — 4hx tana)

max (4- S₂)

194.

pl* (p — 4 hx x tan a)

8 hx [l¹ 4~ 4 hx (l — x) tan a] ¹

max (— S,,) —

g 1(1 — 4 hx tan a)

2 p l (l — x) hx tan* a

8 h.

l* + 4 hx (l

x) tan a

Am grössten wird max (— S„) für x = 0. Das absolute Maximum des Druckes im Untergurte ist daher

gl (l — 4 \ tan a)

Max (— So) =

2 pl hx tan² a

l 4- 4 hx tan a

Soll Druck überhaupt nicht entstehen, so muss hiernach

195. tan a < ~-r~

sein.

- |4 y tan a — lognat ^1 -f- 4 y tan aj jj .

Pl

Hiernach wird das Volumen um so kleiner, je grösser man tan a macht; sobald man aber tana> ^y macht, also im Untergurte Druck zulässt, tritt das Minimum des Volumens ein, wenn tana einen gewissen Werth annimmt, der > ~ ist. Das letztere wird indess auch hier nicht zweckmässig sein. Hebt man auch hier die durch das Eigengewicht erzeugte Spannung vollständig auf, macht also tan a — ~ oder stellt das Lager senkrecht auf die Endtaugente des Obergurtes, so wird

197. max (+ $₂) — max (— Sg) =

± p r- (i — x)

8 hl (21 — x)'

Hiernach nimmt die Spannung vom linken nach dem rechten Ende all-mälig ab; grafisch lässt sich die Spannung durch eine Hyperbel dar-

stellen. Die Maximalspannung ist

16 ht

horizontalem Lager. Das Volumen des Untergurtes wird hier

Das Volumen des Untergurtes wird V =

d. i. mit Anwendung der Integralformeln j — y — y lognat (a -\-bx):

— 4 h, tan a

Nach der neueren Berechnungsweise ergibt sich

und J

xdx

aĄ-bx

196. F=-

sRhVi(l

196 a. F =

dx

a-\-bx

- J max (-(- Sq) cl x ; o

— y lognat (a -\-lx)

d. i. halb so gross, als bei

133. V = 0,0384

oder nach der neueren Berechnungsweise

pP

Kk

198«. V= 0,0384 (---j-

1 \ pP

KJ K ’

d. i. im ersten Falle 0,307, im zweiten (für Kx = 0,46 Kq) 0,446 mal so gross, als bei der Köpcke'schen Anordnung.

Nimmt man tana nach Formel 195 so gross, als es zulässig ist, ohne dass ein Druck eintritt, so ergibt sich

O    0,125 0,250 0,500 0,750

4L’

⁰ ' 8K\'

tana — O    0,304 0,500 0,700 0,866

V —    1    0,733    0,572 0,379 0,194

qV

V = 1,45 0,872 0,532 0,333 0.163

8 Kx hx ’

wobei sich der erste Werth von V auf die gewöhnliche, der zweite auf die neuere Berechnungsweise bezieht. Hiernach würde das Volumen des Untergurtes bezüglich gleich dem 1,00 0,84 0,76 0,76 0,78 1,00, nach der neueren Berechnungsweise gleich dem 1,45 1,00 0,71 0,67 0,65 1,00 fachen vom Volumen des Untergurtes des Köpcke’schen Trägers sein. Auf einen Vergleich dieser beiden Konstruktionen in anderer Beziehung wollen wir hier nicht eingehen.

XIII. Kapitel.

Kontinuirliche Träger mit gekrümmten Gurten.

§ 86. Einleitung. Wir haben bisher nur die sogenannten einfachen Träger mit gekrümmten Gurten behandelt. Es erübrigt nun noch, die kontinuirlichen Träger, einschliesslich die kontinuirlichen Gelenkträger mit gekrümmten Gurten, zu behandeln. Die im VI. und VII. Kapitel aufgestellten allgemeinen Regeln für die Spannungen behalten natürlich auch hier ihre Giltigkeit. Die daselbst aufgestellten Regeln hinsichtlich der gefährlichsten Belastung, welche einfache Träger voraussetzen, lassen sich aber hier im Allgemeinen nicht mehr verwenden.

Wir werden die im Folgenden aufzustellenden Regeln möglichst allgemein halten; für die spezielle Anwendung aber werden wir nur kontinuirliche Gelenk-Parabelträger voraussetzen, bei denen die Höhe in einem beliebigen Querschnitte proportional dem in demselben herrschenden Maximalmomente ist. Für die genauen Regeln werden wir nur eintheiliges Gitterwerk voraussetzen ; aus dem Früheren ergeben sich indess leicht die für mehrtheiliges Gitterwerk nöthigen Abänderungen.

I. Feld mit Gelenken.

§. 87. Gefährlichste Belastungsweise. Wir setzen zunächst ein Feld voraus, in welchem sich ein Gelenk befindet, wenn es ein Endfeld ist, oder zwei Gelenke, wenn es ein Mittelfeld ist. Beide Fälle laufen auf dasselbe hinaus, da man im ersten Falle die Endstütze als ein Gelenk ansehen kann. Der Theil AB (Fig. 132) zwischen den Gelenken verhält sich vollständig wie ein einfacher Träger und ist daher

Fig. 132.

V-

J,------A

hier nicht weiter zu berücksichtigen. Wir wollen daher nur den rechten, ausserhalb AB gelegenen Theil AB in Betracht ziehen. Die Länge von AB sei im Folgenden stets — l.

1. Gurte. Das Moment in einem beliebigen Querschnitte kann nur negativ sein; das Moment und mit ihm die Spannung der Gurte wird zum Maximum bei totaler Belastung des Theiles AB und des zwischen A und dem fraglichen Querschnitte liegenden Theile AD (Fig. 132). Die Belastung des rechts von D liegenden Theiles hat auf das Moment keinen Einfluss.

Es erübrigt nur noch, für ein System von Einzellasten die Lage desselben zu präzisiren. Wir setzen sogleich voraus, dass die Ueber-tragung der Last nur mittels Querträger an den Knotenpunkten erfolgen könne. Es bezeichne B die Resultante aller zwischen A und B liegenden Lasten, £ ihren Abstand von A, Bt die Resultante der zwischen A und dem linken der beiden Querträger, innerhalb welcher der fragliche Schnitt liegt, liegenden Lasten, ihren Abstand von A, Gr die Resultante der zwischen beiden Querträgern liegenden Lasten, ihren Abstand vom linken Querträger, x den Horizontalabstand des Momentenpunktes von A, c den Horizontalabstand des linken Querträgers vom Momentenpunkte und endlich e den Abstand beider Querträger. Alsdann ergibt sich leicht als Ausdruck für das Moment M:

199. M= — B 1 -

<^1 irr?

x — B (x — £,) — G-

i¹- )c■

c* |

Rückt das System der Einzellasten um A£ nach rechts, so ist die Veränderung AM von ili:]

Bx

AM = -

r,-gG)ję.

Hiernach muss, damit M möglichst gross werde, das System der Lasten so lange nach rechts geschoben werden, als noch

200. B. -f G - < B %

¹ e l

ist. Aus dem Ausdrucke für JM folgt ferner, dass eine der Einzellasten am Gelenke A oder an einem der beiden Querträger liegen müsse. Da der Einfluss einer Einzellast nach Formel 199 um so grösser ist, je näher sie dem Gelenke liegt, möge sie nun rechts oder links von demselben liegen, so sollen die schwersten Lasten in der Nähe des Gelenkes konzentrirt sein.

Fig. 133.

L\

---o- / —

2. Gitterwerk. Es handle sich um einen Gitterstab EF (Fig. 133) ; die Vertikalkomponente der Spannung «P desselben ist die von uns mit Y bezeichnete Vertikalkraft. Die Verlängerung der Gurtstücke E Gr und FH, welche von einem durch EI gelegten Schnitt getroffen werden, mögen sich im Punkte L schneiden. Liegt eine Last innerhalb AB, so wird von dieser* in A eine vertikal abwärts wirkende Kraft erzeugt, welche in Beziehung auf L links dreht (vorausgesetzt , dass L stets rechts von A liegt), also ein positives Y erzeugt.

b—

Liegt eine Last rechts von A, so wird sie in Beziehung auf L nach links oder rechts drehen, also ein positives oder negatives Y erzeugen, je nachdem sie auf der linken oder rechten Seite von L liegt. Hieraus folgt sofort:

Die Vertikalkraft Y wird zum positiven Maximum, wenn der Theil AB ganz und ausserdem der Theil AL belastet, zum negativen Maximum, wenn der Theil AB gar nicht, wohl aber der Theil LJ) belastet ist.

Handelt es sich um ein System von Einzellasten, so ergibt sich, wenn wir die obigen Bezeichnungen beibehalten und ausserdem noch die Längen LI) und LA mit b und c bezeichnen, für die Belastung der Theile AB und AL nach Formel 6 (Seite 100):

201. Y=R

I p c~ ^

+ ä,—

Verschiebt sich das System um nach rechts, so wird die Veränderung J Y von Y :

'fr;

JY = IR

Hiernach ver grosse rt sich Y, wenn U. C U

oder wenn

Tt

202. <

ist. Das durch die Gleichung 201 ausgedrückte Gesetz wird nur geändert, wenn eine Last das Gelenk A überschreitet; da ausserdem Y in Beziehung von £ und f, vom ersten Grade ist und der Einfluss einer Last um so grösser ist, je kleiner £ und ist, so soll eine der Einzellasten am Gelenke A liegen und die schwersten Lasten sollen in der Nähe dieses Gelenkes konzentrirt sein.

Für die Belastung des Theiles LD dagegen wird

203. Y =

_ g e — Ź\x — c

wenn G die Resultante der zwischen den beiden Querträgern I und K, zwischen denen der durch den fraglichen Stab geführte Schnitt liegt, £' ihren Abstand vom linken Querträger, E, die Resultante der links vom linken Querträger I liegenden Lasten, ihren Abstand von A und x den Abstand Al bezeichnet. Bei einer Verschiebung nach links um zl% wird die Veränderung von Y:

fr;

JY —

Hiernach vergressert sich der absolute Werth von Y, wenn

204. ->

x — c

ist. Ausserdem folgt aus der Gleichung 203, dass eine Last an einem der beiden Quer träger li egen muss und dass die schwersten Lasten in der Nähe des fraglichen Stabes konzentrirt sein müssen.

§. 88. Bestimmung «1er Spannungen.

1. Gurte. Für eine gleichmässige Belastung ergibt sich, da der in A wirkende Druck =-₂ql, die auf AI) wirkende Last = qx ist, M = — \ql. x — qx . -₃, d. i.

205. M = —

Für ein System von Einzellasten kann man die Berechnung von M nach der Gleichung 199 des vorigen Paragrafes vornehmen, indem man dieselbe für jede einzelne Last anwendet. Grafisch kann man das Moment in derselben Weise bestimmen, wie für einen einfachen Träger und ist hier nur die Schlusslinie über ihr rechtes Ende hinaus zu verlängern.. Die früher (§. 45 und 48) gezeigte Konstruktion für die Bestimmung der Gurtspannungen bleibt hier natürlich giltig.

2. Gitterwerk. Für eine gleichmässige Belastung ergibt sich bei totaler Belastung

206. Q = -jg(t+2x),

| I* (l + x).

Der Einfluss des Eigengewichtes ergibt sich hieraus, indem man g für q setzt. Hinsichtlich der zufälligen Last wird für das negative Maximum von Ml, d. i. bei Belastung der Strecke LD:

207. Q = — p (x — c), M = — ~ p (x — c)'\

M= —

Für das positive Maximum, d. i. für die Belastung der Strecken AB und AL, ergibt sich Q und M durch Subtraktion der oben aufgestellten Werthe von den für totale Belastung gütigen Werthen, d. i.

~ p (Ix fl- 2 c x — c²).

&

Für ein System von Einzellasten kann die Berechnung nach den Formeln 201 und 203 erfolgen. Auch die grafische Bestimmung von Y ist mit Hilfe des Seilpolygones leicht durchzuführen. Entsprechen für die ungünstigste Lage des Lastensystemes bezüglich des positiven Maximums von Y die Horizontalprojektionen von AJ B‘ und A‘ L‘

(Fig. 134) den Längen AB und AL, so ist das 1 Moment der äusseren Kräfte in Beziehung auf den Punkt L = DL“ . H, wenn H die Poldistanz bedeutet, also:

/1V, DL“.H max (+ Y) — ■—^--.

Macht man daher die Horizontalprojektion von DD und DE bezüglich = b und II und zieht EY parallel zu DL“, so ist D Y — Y.

Es entspreche ferner für die ungünstigste Lage des Lastensystemes hinsichtlich des negativen Maximums von Y die Lage der Punkte D (Fig. 135) des Seilpolygones dem Punkte L. Liegen zwischen den beiden Querträgern, innerhalb welcher der durch den fraglichen Stab geführte Schnitt liegt, keine Lasten, so verlängere man diejenige Polygonseite, welche von diesem Schnitte getroffen wird, bis zum Durchschnittspunkte Dn mit der durch D gehenden Vertikalen. Alsdann ist das

Winkler’s Brückenbau; Theorie II. Heft.

Fig. 134.

Yb'

ll

Y

i<-------

---------v—

fl

k-

IC

tc

CD

Fig. 135.

li

J~rr,

P,

A3/?

l1

✓

--------------

Moment in Beziehung auf L = P P“ .H. Liegt eine Last G = PP“ innerhalb der beiden Querträger, so mache man im

Kraftpolygone PP' = G {l —

durch Konstruktion leicht erfolgen kann und ziehe PL' nicht parallel OP, wie vorhin, sondern parallel OP¹-, alsdann ist das Moment in Beziehung auf L = PL“ .R. Eine entsprechende Konstruktion ergibt sich, wenn mehrere Lasten zwischen beiden Querträgern liegen. Macht man PD' — b, P E — H und zieht E Y parallel D‘L“, so ist PY = Y.

, was

Fig. 136.

n>

Hinsichtlich des Eigengewichtes verlängert man diejenige Seite das Seilpolygones, welche von dem durch den P fraglichen Stab gelegten Schnitt getroffen wird, bis zum Durchschnittspunkte L“ (Fig. 136) der durch L gehenden Vertikalen. Alsdann ist PL“ .H das Moment in Beziehung auf den Punkt L, also Y=L‘L" so dass sich Y aus PL“ leicht in der oben angewendeten Weise kon-struiren lässt.

§. 89. Näherungsbestitnmung der Sp an nun gen fiir den Parabelträger. Für den Parabel träger wird nach Formel 205 und wenn man berücksichtigt, dass das grösste Moment für den zwischen den Gelenken liegenden Theil AB = ^ ql* ist, h : hl — ^ q x{l -f- x) : ~ ql*, wenn h. die Maximalhöhe des Theiles AB bezeichnet. Demnach wird:

IC

CO

d h_ 4 (l -f- 2 x) hx

l*

dx

1. Gurte. Für die Gurte ergibt sich dieselbe Regel, wie für deu einfachen Parabelträger, nämlich:

210. 8t = 4-

ql*

sec er, S₂ = —

sec t.

Nur ist hier der Obergurt gezogen, während dort das Umgekehrte stattfindet. In Fig. 137 ist die Spannung, beispielsweise die Spannung eines geraden Untergurtes, grafisch dargestellt.

2. Gitterwerk. Da für eine ^ M

totale Belastung

Fig. 137.

JL

konstant ist,

so wird für diese Y = 0. Dem _ Eigengewichte entspricht also ebenfalls der Werth Y=0. Das negative Maximum von Y, welches für die Belastung von LD eintritt, wird nach M dh h dx

der Regel Y = Q —-

unter Berücksichtigung der Ausdrücke 207 :

max (- Y) = — p (x — c) + j p (x — c)² ^

Da bei totaler Belastung Y=0 ist, so wird max(-\-Y) = — max(—¥).

1 dh_

h dx X 1

max (+ Y) — + — p (x —

d x (l + x)

d    l -\- 2 x

Nun aber ist h

dx

x — c dh

oder

oder, da x — c = h

Sr- «

ist,

211. max (+ Y) — +

p X (l -f- x)

2 (l -f- 2 x) '

Hiernach lässt sich Y durch eine Hyperbel (Fig. 138) darstellen, welche sich leicht aus der Fortsetzung der Parabel, die das Y für den Theil AB darstellt, ableiten lässt.

Auf eine genaue Bestimmung der Spannungen, welche konform dem §. 59 durchzuführen wäre, wollen wir nicht eingehen.

Fig. 138.

II. Endfeld ohne Gelenk.

§. 90. Gefährlichste Belastungsweise. Wir setzen jetzt ein Endfeld und zwar das erste Feld voraus (Fig. 139). Die Länge desselben sei

1. Gurte. Das Moment M wird in einem beliebigen Querschnitte zum positiven Maximum bei totaler Belastung des ersten Feldes und bei

Nichtbelastung des zweiten Feldes, so dass hier sämmtliche für einen einfachen Träger entwickelten Regeln gütig bleiben. Zum negativen Maximum dagegen wird M bei Nichtbelastung des ersten Feldes und bei totaler Belastung des zweiten Feldes. Bezeichnet man mit Ml das Moment an der Stütze JB, so ist das Moment M im beliebigen Abstande x von der linken Stütze A:

i:

M= Mx y

M wird sonach zum Maximum, wenn Mx zum Maximum wird; die Bestimmung der gefährlichsten Belastungsweise für ein beliebiges Moment des Theiles B C, also auch für das Moment Mv erfolgte bereits in §. 87.

2. Gitterwerk. Die Vertikalkraft Y wird positiv, wenn ein nach rechts fallender Stab gezogen ist. Liegt eine Last rechts vom fraglichen Stabe, so wird hiernach Y positiv, wenn die linke Stütze A und der fragliche Stab auf derselben Seite des Durchschnittspunktes L der Ver-

Fig. 139.

_i

TT

*-------

1\

A^

längerungen der vom fraglichen Querschnitte getroffenen Gurtstücke liegt; negativ dagegen, wenn A und der Stab auf verschiedenen Seiten von L liegen. Liegt eine Last links vom fraglichen Stabe, so wird Y positiv, wenn A und der fragliche Stab auf verschiedenen Seiten des Durchschnittspunktes L der Verlängerungen der vom fraglichen Schnitte getroffenen Gurtstücke liegen; negativ dagegen, wenn B und der fragliche Stab auf ein und derselben Seite von L liegen. Wenn das zweite Feld innerhalb BB belastet ist, so wird der Stützendruck in A negativ und sonach Y positiv oder negativ, je nachdem A und der fragliche Stab auf verschiedenen Seiten oder derselben Seite von L liegen.

Hiernach muss man zur speziellen Feststellung der gefährlichsten Belastungsweise das Feld in drei Theile tbeilen; im I. Theile AE schneiden sich die Verlängerungen der Gurte ausserhalb iF; im II. Theile konvergiren die Verlängerungen der Gurte nach rechts und schneiden sich innerhalb AB, und im III. Theile FB konvergiren die Verlängerungen der Gurte nach links und schneiden sich ebenfalls innerhalb AB. Nach dem vorhin Gesagten stellt sich nun die gefährlichste Belastung für die einzelnen Theile folgendermassen heraus:

Wir haben aber nun noch die genaue Lage eines Systèmes von Einzellasten zu präzisiren.

I. Th eil. Für den Fall des positiven Maximums von F bezeichne R die Resultante aller Lasten, £ ihren Abstand von der Stütze A, G die Resultante der zwischen den beiden Querträgern, zwischen denen der fragliche Schnitt liegt, liegenden Lasten, £' ihren Abstand vom linken Querträger, x den Abstand des linken Querträgers von A, c den Abstand des Durchschnittspunktes der verlängerten Gurtstücke von A. Nach Formel 6 (Seite 100) ergibt sich, wenn b die dortige Bedeutung behält,

!rO

212. Y = R

In der früheren Weise folgt hieraus, dass das System soweit nach links zu schieben ist, als noch

213.

(c -j⁻ a?)

ist. Dieselbe Regel gilt für das negative Maximum von Y, wenn man die beiden Stützpunkte A und B mit einander vertauscht; hier muss aber ausserdem das zweite Feld derart belastet sein, dass das Moment an der Stütze B zum Maximum wird. Im ersten Felde müssen in beiden Fällen die schwersten Lasten in der Nähe des fraglichen Schnittes konzentrirt sein.

II. Th eil. Für das positive Maximum von Y ist das ganze Feld belastet anzunehmen. Bezeichnen wir die Resultante aller Lasten mit R, ihren Abstand von A mit £, die Resultante aller links vom linken Querträger liegenden Lasten mit R,, ihren Abstand von A mit während G, £', x, c, e die vorige Bedeutung beibehalten, so wird

214. Y=B

I. Theil II. Theil III. Theil

Theil

linker

Theil

rechter

Theil

II. Feld

linker    rechter

Theil    Theil

II. Feld

Positives Maximum von Y

Negatives Maximum von Y

leer

belastet

leer

belastet

belastet

leer

leer

leer

belastet

helastet

leer

belastet

leer

leer

belastet

belastet

belastet

leer

Hiernach ist das System soweit nach links zu schieben, als noch

215. BlJrGC—^-cB~

ist. Die schwersten Lasten sind in der Nähe des fraglichen Schnittes zu konzentriren.

Für das negative Maximum von Y ist nur das zweite Feld derart zu belasten, dass das Moment Mx an der Stütze B zum Maximum wird.

III. Theil. Für das positive Maximum von Y ist nur das zweite Feld so zu belasten, dass das Moment Mx an der Stütze B zum Maximum wird. Für das negative Maximum ist das ganze erste Feld zu belasten; behalten wir die für den II. Theil gebrauchten Bezeichnungen bei, so wird

216. Y =

— JL. R Ü_ll

b + 1 b

Hiernach ist das Lastensystem soweit nach links zu schieben,, als noch

217.

(' - FF-

ist. Die schwersten Lasten sind in der Nähe des fraglichen Schnittes zu konzentriren.

§. 91. Bestimmung der Spannungen.

1. Garte. Für die im vorigen Paragrafe angegebene Belastungsweise ergibt sich für eine gleichmässige Belastung

1

max (-f- M) — — g x (lx

max (— M) = ^ g x (lx wenn man zur Abkürzung

O?),

218.

2&c i*,

A (l +A)

= cx

setzt, worin A die Länge des Theiles B C (Fig. 139) bedeutet. Für ein System von Einzellasten ist die Bestimmung von max (-f- M) dieselbe, wie für einen einfachen Träger. Für max (— M) ist nur das Maximum, des Momentes Mx an der Stütze B zu bestimmen; alsdann ist max(—Y)

2. Gitterwerk. Wir nehmen zunächst eine gleichmässige Belastung an. Für das Eigengewicht ergibt sich

219.

Für die zufäliige Last ergeben sich unter Berücksichtigung der im vorigen Paragrafe bestimmten Belastungsweise folgende Regeln :

I. Theil. Für max (-f- Y) wird p (lx — x)-

220. Q =

21

px(lx — x)~ '

21

für max (—F) dagegen

221. Q = —

P C\ + x¹)

31 = —

p (lx o, — lx x -f- a?²)

21

II. Theil. Für max (-f Y) wird 222. Q=jP<! für max (— Y) dagegen

223. Q = - i

— 2 x),    31 =

jpx(l

- æ);

2pe"

31 =

— 2^c^x'

₉ IIl. Theil. Für max (-f- Y) gelten dieselben Ausdrücke für Q und 31, als für max (— Y) im II. Theile und umgekehrt.

Ist ein System von Einzellasten gegeben, so können zur Berechnung die Formeln 212, 214 und 216 angewendet werden. Die grafische Bestimmung bleibt hinsichtlich des I. Theiles dieselbe, wie für den einfachen Träger ; nur kommt für max (— Y) noch die Bestimmung des Maximums von 31x nach §. 88 hinzu.

Für den II. und III. Theil lässt sich bei totaler Belastung grafisch leicht das Moment in Beziehung auf den Punkt L bestimmen. Entsprechen

Fig. 140.

nämlich die Punkte A‘, B‘ des Seilpolygones (Fig. 140) den Stützen A, B für die nach dem vorigen Paragrafe zu bestimmende gefährlichste Belastungsweise, L‘ dem Durchschnittspunkte L der Verlängerungen der ge-• schnittenen Gurtstücke, Fa^tT

L'

F<

--->!

i,'

so verlängere man für den Fall, d ass sich zw ischen

i;v

-h-\e

- —-V-

zwischen denen der fragliche Schnitt liegt, keine Last befindet, diejenige Polygonseite, welche von dem fraglichen Schnitte getroffen wird, bis zum Durchschnitte L“ mit der durch L‘ gehenden Vertikalen. Alsdann ist das Moment in Beziehung auf den Punkt L — L‘L“‘,H. Liegt dagegen zwischen den beiden Querträgern eine Last Cr = PF", so mache man im

den beiden Querträgern,

J)

Kraftpolygone PP' = Gr ^ und lege durch Y eine Parallele zu 0 P', welche die durch LJ gehende Vertikale in L" schneidet; alsdann ist das

Moment in Beziehung auf L = L'L".H, also Y =

-BL¹¹¹.

Für die Belastung des zweiten Feldes ist, wenn Mt das nach §. 88 zu konstruirende Maximalmoment an der Stütze B bezeichnet, 7=^:

dieser Ausdruck lässt sich ebenfalls leicht konstruiren.

§. 92. Näherinigsbestimmungen für den Parabelträger.

Nimmt man die Höhe li' proportional dem Maximalmomente an, so wird für den I. und II. Tkeil

224. h = 4h, U    |,

~ ^ pt r (Ji ci—2x)+^ q

i© i<©

d x

und für den III. Theil

— 2 x)

4\\

l'¹ L

dx

wenn \ die Höhe des zwischen den beiden Gelenken liegenden Parabelträgers bezeichnet. Für x = lx — c, ergibt sich die Höhe nach beiden Formeln gleich. Es ergibt sich ferner leicht, dass der II. Theil ganz in Wegfall kommt, wenn

225.

ist.

G. =    9

li g+ p

1. Gurte. Die Maximalspannung der Gurte erhält man bei der Wahl

ql2

der eben entwickelten Form durch Multiplikation von |y mit sec o

und secr und zwar erhält man hierdurch im I. und II. Theile das Maximum des Zuges im Untergurte, des Druckes im Obergurte, im III. Theile dagegen das Maximum des Zuges im Obergurte, des Druckes im Untergurte. In derjenigen Strecke, in welcher M sowohl positiv als

Fig. 141.

negativ werden kann, können aber die Spannungen auch das entgegengesetzte Vorzeichen annehmen. Man kann diese Spannungen leicht durch die allgemeinen Regeln S = —

y sec o, S — -(- y sec % bestimmen. In Fig. 141 sind die Spannungen eines geraden Untergurtes grafisch dargestellt.

2. Gitterwerk. Hier erscheint

eine Trennung in den Einfluss

des Eigengewichtes und der zufälligen Last rathsam.

a. Eigengewicht. I. und IL T he il. Substituirt man die Aus-

drücke 219 und 224 in den Ausdruck Y = Q —

so ergibt sich

2 UP c, hx cc2 qPh '

M tVh h dx'

226. Y= —

UP c, x_________________

2 Vu (^1 — ct — x) + p (l, — x)]

Für x = 0 wird Y = 0; für x — lx — cr d. i. am Febergange in den III. Theil, wird Y = — | g (li — c,).

III. Theil. Ebenso ergibt sich für den III. Theil

227.

Y=z —

UP c\ x

2\— g{lx — c — x)+pcx\

.2 u P c\ X<1

A Zufällige Last. I. Theil. Es ergibt sich

m (ix (+ Y) — +

p q x (ly — æ)²

2\ luili — c, — æ) + (ly — x)]

234.

max (— I ) — —

2 p //, æ² (F — a?)2 P h    ⁹

P x [p l^ + Uih — xV]____

2 li VU Wx - cx — x) + p\lx — x)]

2 p hx x lp, lx c, + q (7, — æ²)l

II. Theil. Hier wird

228. max (+ Y) = +

2 U P Cy Ily X²

q P/i

max(—F) =

2pCX1lyX(L

III. Theil. Hier wird

ZpCyhyX¹

Pli

229. max (+ IT) = +

2 U P h\ x<i

q P h

Fig. 142.

Sonach verhalten sich im II. und III. Tlieile das Y für das Eigengewicht, das positive und négative Maximum von Y für die zufällige Last wie — g : -f- g : —

(g-^-p). Für die Wirkung beider Lasten muss sonach max (-j- Y)

= 0 sein, welche Eigenschaf t dieser Theil des Trägers mit dem Hyperbelträger gemein hat.

In Fig. 142 ist hiernach Y grafisch dargestellt und zwar für einen Träger (Fig. 141), bei welchem der II. Theil fehlt.

III. Mittelfeld ohne Gelenk.

§. 93. Gefährlichste Belastungsweise. Wir setzen schliesslich ein Mittelfeld eines Gelenkträgers, welches kein Gelenk enthält, voraus. Die Länge dieses Feldes sei \.

1.    Gurte. Das Moment wird zum positiven Maximum, wenn das Feld belastet ist, die anstossenden Felder unbelastet sind ; zum negativen Maximum dagegen, wenn das fragliche Feld gar nicht, die anstossenden Felder total belastet sind. Im ersten Falle behalten hinsichtlich eines Systèmes von Einzellasten die für den einfachen Träger entwickelten Regeln ihre Giltigkeit. Für den zweiten Fall ist die Belastung der anstossenden Felder nach §. 87 so vorzunehmen, dass die Momente an-den beiden Stützen des fraglichen Feldes zum Maximum werden.

2.    Gitterwerk. Die Gurte können hier aus zwei konkaven Theilen und einem konvexen Theile bestehen; in der Regel aber wird man durch

Fi g. 143.

Gr\-

://\

---V

l-

-Jr

4-eine entsprechende Wahl des Verhältnisses der Spannweiten den konvexen Theil zu beseitigen suchen, so dass wir nur das Vorhandensein konkaver Gurte (Fig. 143) voraussetzen wollen, obwohl eine allgemeine Behandlung auf keine Schwierigkeiten stosseu würde. Unter dieser Annahme lässt sich die Spannweite AB in drei Theile zerlegen, derart, dass sich die Verlängerungen der Gurte im I. und III. Theile AG und BH innerhalb AB\ im mittleren Theile GH dagegen ausserhalb AB schneiden. In derselben Weise, wie in §. 87, ergeben sich für die ungünstigste Belastungsweise folgende Gesetze: Die Vertikalkraft Y wird im I. Theile zum positiven Maximum bei totaler Belastung des fraglichen Feldes und bei Nichtbelastung der anstossenden Felder; zum negativen Maximum dagegen bei Nichtbelastung des fraglichen Feldes und bei totaler Belastung der angrenzenden Felder.

Im mittleren Theile wird Y zum positiven Maximum bei Belastung des rechten Theiles des fraglichen Feldes (vom fraglichen Querschnitte aus), bei totaler Belastung des linken und bei Nichtbelastung des rechten angrenzenden

Feldes; zum negativen Maximum bei der entgegengesetzten Belastung.

Wir haben nun aber noch die bestimmte Lage eines Systèmes von Einzellasten festzustellen.

I. Th eil. Es bezeichne G die Resultante der zwischen den beiden Querträgern, zwischen denen der fragliche Schnitt liegt, liegenden Lasten, ihren Abstand vom linken Querträger, R die Resultante sämmt-licher im fraglichen Felde liegenden Lasten, | ihren Abstand von der linken Stütze A, R{ die Resultante aller links vom linken Querträger liegenden Lasten, ihren Abstand von der linken Stütze A, endlich c den Abstand des Durchschnittspunktes der Verlängerungen der geschnittenen Gurtstücke von A. Alsdann ergibt sich

230.    Y=R\1

<r'-l <Src

Ci |(/Tnr

Ci

Hieraus ergibt sich in der bekannten Weise, dass Y beim Verschieben des Lastensystemes nach links wächst, so lange

231.

ist und dass die schwersten Lasten in der Nähe des fraglichen Stabes zu konzentriren sind.

Das negative Maximum von Y tritt ein, wenn die Nachbarfelder so belastet sind, dass die Momente an den Stützen A und B zum negativen Maximum werden.

Mittlerer Theil. Behalten wir diese Bezeichnungen bei, so wird für die Belastung des rechten Theiles des fraglichen Feldes

Ci

232. Y — li [l

Hieraus folgt, dass das positive Y beim Verschieben des Lasten-systemes nach links wächst, so lange

233. G < R 4

ist und dass die schwersten Lasten in der Nähe des fraglichen Stabes liegen sollen. Ausserdem ist das linke Nachbar fe 1 d so zu belasten, dass das Moment an der Stütze A zum negativen Maximum wird.

Der symmetrischen Anordnung wegen ist es nicht nöthig, auch noch auf die gefährlichte Belastungsweise hinsichtlich der negativen Vertikalkraft einzugehen.

§. 94. Bestimmung der Spannungen.

1.    Gurte. Für eine gleiehmässige Belastung ergibt sich unter Berücksichtigung der im vorigen Paragrafe festgestellten Belastungsweise:

max (-}- M) — — ^ g [l, c₂ — x (7a — x)\ -f- | p x (l, — »),

234.

1 1

max ( - Jf) = — - g [l₂c„ — æ (L — sc)] + -    Z₂c₂,

worin X (l -f Â) = Z₂c₂ gesetzt ist.

Handelt es sich um ein System von Einzellasten, so bleiben hinsichtlich des positiven Momentes die für den einfachen Träger aufgestellten Regeln giltig. Hinsichtlich des negativen Momentes ist für eine totale Belastung der benachbarten Felder das Moment Mt an jeder der beiden Stützen A und B zu bestimmen; das Moment au einem beliebigen Querschnitte des fraglichen Feldes ist alsdann konstant = Mv

2.    Gitterwerk. Unter Annahme einer gleiehmässigen Belastung ergibt sich zunächst für das Eigengewicht :

235.

Q 2 9 (Jz % x)>

M = — g [Zj c₂ (7₂    x)\.

Hinsichtlich der zufälligen Last haben wir die im vorigen Paragrafe charakterisirten Theile zu unterscheiden.

I. The il. Für das positive Maximum von Y ergibt sich

— x)\

236. Q = p (Jq — 2 x), M — p x (l,

2 Y ^'2 •

II. Th eil. Für das positive Maximum von Y ergibt sich:

für das negative Maximum von Y dagegen 237. Q = 0,

238.

Q = -Jï^ P« — XY +

P J„ — x)

\X (Jo X) C₂] .

Hinsichtlich des negativen Maximums ist x mit 1₂ — x, + Q mit — Q zu vertauschen.

Handelt es sich um ein System von Einzellasten, so können zur Berechnung die Formeln 230 und 232 benützt werden. Was in diesem Falle die grafische Methode anlangt, so kann für den ersten Theil

bei totaler Belastung des fraglichen Feldes das in §. 91 (Fig. 140) gezeigte Verfahren ohne Weiteres in Anwendung kommen; bei Nichtbelastung der fraglichen und totalen Belastung der benachbarten Felder ist

Y =---wenn Mx das Maximalmoment an den Stützen bezeichnet;

dieser Ausdruck aber ist leicht zu konstruiren. Für den mittleren Theil könnte diese Methode zwar auch in Anwendung kommen; indess kann hier der Durchschnittspunkt L in eine so grosse Entfernung fallen, dass die in §. 45 gezeigten Methoden zweckmässiger erscheinen.

Hinsichtlich des Einflusses der Belastung eines Nachbarfeldes ist hier nur zu berücksichtigen, dass das Seilpoiygon aus zwei Geraden B'A und B'A“ (Fig. 144) besteht; unter Anwendung der in §.91 gezeigten Methode erscheint Y als die Gerade EE‘, unter Anwendung der in §. 45 gezeigten Methode dagegen als die Differenz von dBH“ und WZ, wobei GW und GZ den geschnittenen Gurtstücken parallel sind.

Fig. 144.

Al

wi

Z,

JET

C.

j, /

D'

\E' IK'

B—y>

---------->.

§. 95. IVäherungsbestiiiimuiig fiir den Parabeltiäger. Nimmt man die Höhe h proportional dem Maximalmomente an, so wird

239. h =

x (l„ — x) J ,

dh

dx

wenn wiederum \ die Maximalhöhe eines zwischen zwei Gelenken liegenden Theiles, welcher das Moment | ql² entspricht, bedeutet.

q p

1. Gurte. Der Maximalzug im Obergurte ist -f- ~ seco, der Maxi-

<i

r-

q p

maldruck im Untergurte — ~ secz. Der Maximaldruck im Obergurte ist

_ gJl gkc2 — <ix (Jv — x)

8 lix ql„Cq — g x (lQ — x)

240. max (— S) —

sec u.

Für den Maximalzug im Untergurte ist sec o mit secr zu vertauschen. In Fig. 145 ist die Spannung eines geraden Untergurtes grafisch dargestellt; die Kurve für max (-(- S) entspricht einer Hyperbel.

Fig. 145.

-4A •

-9-

-3-

2. Gitterwerk. Bezeichnen wir den Werth von x, für welches der II. Theil in den mittleren Theil übergeht, mit ce₂, so ist, da sich die Tangenten an den

Uebergangspunkten an der Stütze B schneiden müssen, (lg —    ^

Setzt man obige Ausdrücke für h und ^ ein, so ergibt sich

241. œ₂ = l

Nach]der allgemeinen Regel Y= Q — ^ ^ ergeben sich nun unter Benützung der Ausdrücke 235 bis 239 folgende Regeln:

a. Eigengewicht. Für die blosse Wirkung des Eigengewichtes wird

242. Y= 4-

Ç) p lg Cg (lg    3 X)

2 [qlqCq — g x (l., — x)\

Hiernach verhält sich (entsprechend dem §. 92) das Y für das Eigengewicht, sowie das positive und negative Maximum für die zufällige Last bezüglich wie + g : -|- (g + P) : — 9- Für die gleichzeitige Wirkung des Eigengewichtes und der zufälligen Last wird demnach max (— Y) = 0.

Für den mittleren Theil ergibt sich ein weniger einfacher Ausdruck; es wird nämlich

244. max (-j- Y) — + f=-

P q lg¹ Cgq -f- (lg — X) ¹ lg Cg — ff X¹]

2 lg

ql^Cg — gx (lg — x)

Der Ausdruck für max (— Y) ergibt sich hieraus durch Vertauschung von x mit lg — x und Wechsel des Vorzeichens.

In Fig. 146 ist die Vertikalkraft Y für die in Fig. 145 gezeichnete Trägerform (1—0,31, 0,3.1,3

Fig. 146.

^2-d.,21, Cq—

sowie für das Verhältnis g : p = 1:2 grafisch dargestellt.

1,2

1 = 0,3251),

/d i

XIV. Kapitel.

Theorie der statisch unbestimmten Stabsysteme.

§. 96. Allgemeine Behandlung der statisch unbestimmten Systeme. Wir entwickeln zunächst eine allgemeine Methode zur Behandlung statisch unbestimmter Systeme, indem wir uns hierbei an die zuerst von Mohr angewendete Methode anschliessen.

1. Formänderung eines statisch bestimmten Systèmes. Bringt man als äussere Kräfte an zwei beliebigen Knotenpunkten A und B zwei in der Richtung der Geraden AB im entgegengesetzten Sinne wirkende, gleich grosse Kräfte P an, so erzeugen dieselben im Allgemeinen Auflagerreaktionen und in allen Theilen Spannungen. Die Spannung eines beliebigen Theiles CD sei S. Wir denken uns nun den Stab CD beseitigt und statt dessen an den Knotenpunkten C und D die in der Richtung von CD im entgegengesetzten Sinne wirkenden Kräfte S angebracht. Denkt man sich alle noch vorhandenen Stäbe als absolut starr, so sind die Kräfte- P und S die einzigen, welche bei einer Formänderung des Systèmes eine mechanische Arbeit verrichten und zwar ist nach dem Prinzipe der Arbeit, wenn man mit dp und ds die bei unendlich kleiner Formänderung entstehenden Längenänderungen der Geraden AB und CD bezeichnet, P dp Sds = 0 oder Pdp = — Sds. Für endliche Formänderungen ist diese Beziehung vollkommen richtig; setzt man an Stelle von dp und ds sehr kleine endliche Längerungen Ap und As, so entsteht die zwar nicht vollkommen, aber doch hinreichend genaue Beziehung PAp = — S A s. Hierbei kann P beliebig gewählt werden; S ist alsdann durch die blossen Gesetze der Statik bestimmt; wie gross man auch P wählen möge, so bleibt doch das Verhältniss | konstant; dasselbe sei u. Aldann wird

1. Ap = — uAs.

Diese Beziehung lehrt die Längenänderung Ap einer beliebigen Geraden AB des Systèmes kennen, wenn die Längerung As eines beliebigen Stabes CD bestimmt ist. Aendert sich nicht nur die Länge eines Stabes, sondern ändern sich die Längen sämmtlicher Stäbe, so ist Ap für die Längerung jedes einzelnen Stabes zu bestimmen und die so

erhaltenen Werthe von Jp sind zu addiren, wir können also hier 2. zJ p — — 2 (u zl s)

setzen.

2. Anwendung auf die Längenänderung der überzähligen Stäbe. Wenn ein statisch unbestimmtes Stabsystem n Stäbe und m Knotenpunkte hat, so wird das System durch Weglassung von n — 2rn-\-3 im Allgemeinen beliebiger Stäbe statisch bestimmt; wir nennen mit Mohr diese Stäbe die überzähligen, die Stäbe des verbleibenden statisch bestimmten Systèmes die nothwendigen Stäbe. Wir denken uns nun am statisch bestimmten Systeme statt des einen beliebigen überzähligen Stabes AB mit der Länge s an den Knotenpunkten A und B in der Richtung von AB zwei im entgegengesetzten Sinne wirkende Kräfte = 1 (als Zugspannung) angebracht. Hierdurch mögen in den nothwendigen Stäben mit den Längen s₁₍ s₂,    die Spannungen

ux, uq, u₃‘,... und die Längenänderungen Jsx, z/s₂', zls₃... entstehen. Alsdann ist die Längenänderung zl s des Stabes AB nach Formel 2 : zls = — uxzls^ — uq zlsq — ... oder

3. zls = —

3. Bestimmung der Spannungen. Es bezeichne nun @ ©3,... die Spannungen der nothwendigen Stäbe, welche durch die vorhandenen äusseren Kräfte, auf das statisch bestimmte System wirkend gedacht, hervorbringen und welche auf rein statischem Wege zu bestimmen sind; ferner Sx, Sq,    die wirklichen Spannungen dieser Stäbe

als Theile des statisch unbestimmten Systèmes; w/, m₂', u₃',... ux", uq“, u₃“,... die Spannungen dieser Stücke, welche entstehen, wenn man statt der überzähligen Stäbe der Reihe nach die Kräfte 1 anbringt, S‘, S“, S“‘,... die wirklichen Spannungen der überzähligen Stäbe. Alsdann ist offenbar

4.

Ä| = ®' » + Uy " S“ + ux S‘“ +... S„ = ^₂ + uq‘ &* + uq“ S“ + u^S'“ + ...

Wir bezeichnen nun ferner die Querschnittsflächen der nothwendigen Stäbe mit f\, fq, f₃,... die Querschnittsflächen der überzähligen Stäbe mit f, f“,    die entsprechenden Elastizitätskoeffizienten mit En

JE₂, E₃,... E‘, E“, Eu\... und setzen zur Abkürzung

-JL- =    alsdann ist Jsl = \SV..., Js‘ — Je¹ S‘,..., also nach

den Gleichungen 3:

s‘

EJ\

= Je

Je¹ S‘ = — ux Sx — uq‘ ft₂ Sq — u₃ k₃S₃ —

Je“ S“ = — ux “ Jex Sx — Uo" \ So — %" Jc₃ S₃ — ...

b. Zufällige Last. Für die blosse Wirkung der zufälligen Last wird im 1. Theile

max (-fF) = -f

2 p lg Cg (lg — 2 x) ht

243.

h r-

max (— Y) — —

2 g P lg Cg (lg 2 X) /i|

qhV

Substituirt man für Sx, $₂,... die Ausdrücke 4, so ergibt sich:

ft' N' = — Uy hy (©, + Uy‘ S‘ Uy " S“ . . . )

ft " S" = — Uy " ft, (S, -j~ S‘ -j- Uy " S“ -f . . . )

- W₂ " ft₂ (©₂ -f- Un‘ S' -j- Un" S" -j- . . . ) - . . .

oder auch, wenn man nach den Grössen S‘,    ordnet,

S' (k‘ + hxuxux' + k„u„‘u„+...) + S"{kxux⁴iix‘'

■f" kn w„' u„ “ -|-... )-j“... -I- kxux ‘    kn w₂'    ... zz 0₉

S‘ ux (&, ux ' + kn u<i “    +... ) + S“ (*" + u\ “ wx "

Ą-k^Un“ uq" +. . .) + . • . + &! Uy" 0! Ą-knUą 0O + . . . — 0.

5.

Dies sind n — 2m Ą- 3 Gleichungen mit den n — 2m Ą- 3 Unbekannten S‘, S“, Sut... Nach Bestimmung derselben sind die Spannungen Sx, Sn, N₃,... durch die Gleichungen 4 gegeben.

Statt der Elastizitätskoeffizienten und Querschnittsflächen oder statt der Zahlen ft kann man auch andere, diesen proportionale Zahlen einführen, da nur das gegenseitige Verhältnis dieser Werthe in Frage kommt; hierdurch kann es möglich werden, geeignetere, z. B. kleinere oder ganze Zahlen, einzuführen.

Wir wollen nun noch die Anwendung an einem allgemeinen Beispiele zeigen.

Beispiel. Der Träger habe die in Fig. 147 dargestellte Form; das Material sei für alle Theile dasselbe; die Längen- und Querscbnittsflächen sind in Fig. 147 eingeschrieben. Im Punkte A wirke eine Last 1.

Da das System 10 Knotenpunkte und 20 Stäbe hat, so sind 3.10—

30-{-3 = 3 überzählige Stäbe vorhanden ; als solche seien die in Fig. 148 punktirt angegebenen Stäbe gewählt. Die Spannungen seien durch S mit dem in Fig. 148 angegebenen 0,^5 Index bezeichnet (wobei ^ die arabische Ziffer den unteren, die römische Ziffer den oberen Index 9 bezeichnet). Die Werthe ß für ft,, fc,,... sind hier ^ des gleichen Elastizitätskoeffizienten halber die Längen, dividirt durch die Querschnittsflächen; dieselben sind in die folgende Tabelle eingetragen. Die Spannungen    welche sich bei Weglassung der

Winkler’s Brückenbau; Theorie II. Heft.

Fig. 147.

Längen

Querschnitte

o,so

0,50

Fig. 148.

A. z

7V,

35

0,50

.3?

o>s

IL

¹ 17/

tf,60

0,35

76

16

\E

'S

überzähligen Stäbe ergeben und die sich leicht durch Rechnung oder Konstruktion hestimmen lassen, enthält ebenfalls die folgende Tabelle. Nimmt man in den Punkten A und B zwei in der Richtung von AB und BA wirkende Kräfte = 1 an, so ergeben sich als Spannungen ut\ u₂,    der notliweudigen Stäbe durch Rechnung

oder Konstruktion bezüglich — 0,814, 0, 0, 0, — 1, 0, 0. 0, — 0,894, — 0,447, 0, 0, -f-1,265, 0, 0, 0, 0. Ebenso ergeben sich bei Annahme von Kräften = 1 in der Richtung von AC, CA, sowie von BE, ED die Spannungen u“, u₂“,..., u u₂‘“,... Diese Zahlen sind gleichfalls in die folgende Tabelle eingetragen.

Nummer

desnothw.

Stabes

II

u‘

u“

u‘“

J-A f-A f-A f-A l-A Ka f-A Ka

Ci o <5    et oo oi N ^ Oi

<>T oî" ''siT c^T <*T mT cT or cT co' ^ crT

T-H T-i

+ 0,500 -j- 0,500

—    0,750

-    1,000

—    0,250 -f 1,061 + 0,354

—    0,354

4- 0,354

— 0,894

— 1,000

—    0,894

—    0,447

-f 1,265

— 0,707

— 0,894

— 0,707 O -f 0,707 | O

— 1,000

— 0,707 + 0,707

—    0,447

—    0,894

-f 1,000 — 1,000 — 1,000

+ 1,265

Ausserdem ist noch k' = 4,00, k" — 14,14, k" = 4,00. Die erste der Gleichungen 5 würde hiernach

S' (4,00 -f 4,00.0,894¹ + 4,00.1,000* + 0,83.0,894²

+ 2,22.0,447² + 3,93.1,265*) + S" (2,22.0,447.0,707)

+ S“‘ (0) + 4,00.0,894.0,750 + 0,83.0,894.0,750 + 2,22.0,447.1,000 + 3,93.1,265.1,061 = 0.

+ 9,51 = 0,

Bildet man in gleicher Weise die zweite und dritte Gleichung, so erhält man 18,59 S‘ + 0,70 3“

0,70 S¹ + 61,78 S" — 0,70 S‘“ + 12,64 = 0,

— 0,70 S" +18,59 S“‘ + 2,84 = 0.

Die Auflösung dieser Gleichungen gibt

S‘ = - 0,504, S" = — 0,201, S“‘ = — 0,160.

Nach den Gleichungen 4 wird nun z. B. S,— — 0,750 + 0,894.0,504, Sl0 — — 1,000 + 0,447.0,504 -f- 0,707,0,201 u. s. w. Die in dieser Weise berechneten Spannungen sind in folgender Tabelle zusammengestellt :

In diese Tabelle sind unter der Rubrik »angenähert« auch diejenigen Zahlen aufgenommen, welche sich als Spannungen durch die Zerlegung in zwei statisch bestimmte Stabsysteme ergeben, wobei jedes Gurtstück und jede Vertikale in beiden Systemen, jede Diagonale aber nur in einem Systeme vorkommt.

§. 07. Das Viereck mit beiden Diagonalen. Bei den statisch unbestimmten Konstruktionen treten häufig Vierecke mit beiden Diagonalen auf. Nach dem vorigen Paragrafe ist es leicht möglich, eine Beziehung zwischen den Spannungen der sechs Theile dieser Konstruktion aufzustellen.

ly, lq.

Die

Wir bezeichnen die Spannung jler oberen und unteren Seite mit Sx, $2, die der linken und rechten Seite mit Tx, T₂, die der beiden Diagonalen mit Px, P₂; ferner die Querschnitte bezüglich mit cpx, çp₂, ipx, ipq, fx, f<t, die Längen bezüglich mit lx, l Elastizitätskoeffizienten seien gleich, nämlich = E.

Denken wir uns statt des Stabes BE (Fig. 149) in B und D die Kraft 1 in Richtung von BB und DB angebracht, so entstehen in den übrigen Theilen Spannungen, welche sich leicht bestimmen lassen, am

Fig. 149.

Sz

¹

gp IqCq (lg - 2 X) k

tz

p

’z

P,

Bezeichnung genau

angenähert Bezeichnung

genau

angenähert

—    0,107 4- 0,504 + 0,559 -f 0,359

—    0,125 -f 0,473 -f 0,325 + 0,375

-f 0,160    4- 0,140

—    0,125 4- 0,530 -j- 0,177

—    0,177 4- 0,177

4- 0,201

4- 0,152    + 0,177

Pz

einfachsten nach der grafischen Polygonalmethode (Fig. 149 a). Diese Spannungen seien bezüglich s₂, ty, ta, 1, Da die Längenänderungen

der Stäbe bezüglich Arbeit :

S, A, st A*

. sind, so ist nach dem Prinzipe der

(-1)

SA,

Tx9x

+ 82    + '• Eęt

oder, wenn wir mit E multipliziren :

S 2*1 I S<i Sü 2*q I t\ E] f.ly | tq Eo f-ln

6.

= sx

Tnjiq

E ipa

4-Pi

Bf, ’

I    ?,    |    P(2 P<x l n

⁺ /, ⁺

Dies ist die gesuchte Beziehung zwischen den sechs Spannungen.

7.

ff.

V>x

/.

Fig. 150.

$2

“T~

Wir wollen speziell noch ein Rechteck voraussetzen. Die Diagonalen mögen mit den Seiten mit den Spannungen Tx, Tq den Winkel a einschliessen (Fig. 150). Alsdann ergibt sich (Fig. 150 a) :

s,

ist, so geht die Gleichung 7 jetzt über in:

Sj = s₂= — sin a, tx —t₂ = — cos aT p₂ — 1. Da ferner lx — l₂ = Z, Aj = lq — l sin a, pl = p₂ — l cos a

8.

(A . A

Vqp, T ff

j*M,“+(;U + wùC0S'ee=7t +

f, *

Sind die Elastizitätskoeffizienten verschieden, so sind die Querschnittsflächen noch mit den betreffenden Elastizitätskoeffizienten zu multipliziren.

§. 98. Parallelträger mit zweitheiligem Netzwerke. Ein

Parallelträger mit zwei Endpfosten uud zweitheiligem Netzwerke (Fig. 151) ist statisch unbestimmt und zwar fehlt der statischen Behandlung eine Gleichung. Die genaue Behandlung kann nun nach §. 96 erfolgen, wobei man etwa den einen Endpfosten als überzähligen Stab ansehen kann. Man kann aber auch die Bedingung 8 für das Rechteck mit beiden Diagonalen anwenden/

Fig. 151.

SfL

JJ

Xjy

XL

XL

Un

7t

G'

n-i

Gt Gz G₃

Wir setzen voraus, dass an den oberen Knotenpunkten die Lasten 9xx 9,-•-9», an den unteren Knotenpunkten die Stützendrücke Dv, Dq

und die Lasten Gx, 6r„, Cr₃,... Gn-i wirken. Die Spannung der Endständer sei Fj, F₂, die Spannuug der nach rechts fallenden Stäbe Pp P₂, .. .Pn-i, die Spannung der nach links fallenden Stäbe    die Span

n —!•

nungen im Obergurte Sv S₂,... Sn-i, im Untergurte @p <3₂,... 3 Die Knotenpunkte am Obergurte seien 0₀, Ov 0₂, ...0«, am Untergurte ü₀, Pj, P₂, . . . UH.

1. Spannungen der Gitterwerke. Stellen wir die Gleichgewichtsbedingungen gegen Verschiebung im vertikalen Sinne für die Knotenpunkte P₀, Op P₂, 0₃, Uv... auf, so ergibt sich

Addirt man eine bestimmte Anzahl dieser Gleichungen, so heben sich die einzelnen P und ^3 bis auf das letzte und es ergibt sich in dieser Weise, wenn m eine gerade Zahl, /1 eine ungerade Zahl bedeutet:

9.

(P»» = -f- (P₁ 4~ Fj) sec a — {gl -f- (r₂ -j- g₃ 4“ Gx... -f- Gm-i) sec a, — — (Pj F, ) scc a 4~ Oft 4~ 0₂ 4~ #3 — 0₄ -f- • • • G₍i—i) sec a.

Die Gleichgewichtsbedingungen für die übrigen Knotenpunkte 0₀, Ut, 0„, P₃,... sind

Hieraus ergibt sich in der vorigen Weise

10    i^fl    = — ^ 1 sec a — (&>    4- G, 4- ^2 4-    ^3 4- • • • 4- 9u-i) sec a,

= -h F, see a 4~ (ö'o    4” Pi 4~ 9z 4~    G₃ 4~ • • • 4~ Gm~i) sec a.

Zerlegen wir das zweitheilige System in zwei eintheilige Systeme und bezeichnen für ein solches die Transversalkraft für einen durch einen beliebigen Stab gelegten Schnitt mit Q\ den sich ergebenden Näherungswerth der Spannung mit P', den linken Stützendruck für das System U₀ Oj ZJ₂ 0₃... mit P/, für das System 0₀ L\ 0₂ U₃... mit Pt'J, so ist P, =    Pj' 4- Pi " für das erstere System Q' — D\ — {gx 4- 0₂ 4- g₃ •..)

und    für    das letztere Q‘ —    Pj" — (,9₀    Gl 4- #₂ 4~ G₃ ...), ferner

P' = Q‘seca, ^3' = Q‘secu. Demnach lassen sich die für P, ^3 gewonnenen Ausdrücke auch schreiben:

11.

Pm = P*m + ZJ, PlL — P'n - J, — ty⁴m 4h

wenn man zur Abkürzung

12. (Pj" 4- F|) sec a — J

setzt. Wir ersehen hieraus, dass man bei Anwendung einer Zerlegung in zwei eintheilige Systeme einen Fehler begeht, welcher dem absoluten Werthe nach konstant, nämlich == (D, " -f- F,) sec a, dem Vorzeichen nach aber für die Stäbe mit geradem und ungeradem Index entgegengesetzt ist.

Bezeichnet man die Spannung der Endständer nach der Näherungstheorie mit F,Fa', so ist V/ — — D, ", also auch A = (Vt — F/) sec a oder

13.    V/= r^ + Acostz.

Die Spannung des rechten Endständers ist F₂ = — cos a — gn\ da F₂' = — ^3» cos a — gn ist, so wird F₂ — F₂' — —    — ^w') cos a;

ist n eine gerade Zahl, so ist — tyn‘ = + 4, also Vt2 = F₂' — cos a y ist n eine ungerade Zahl, so ist    = — A, also F₂ = F₂' -f-

A cos a, mithin wird

13 a. F₂ = F₂' -i- z/ cos ß.

2. Spannungen der Gurte. Legen wir durch die Mitten des m-ten oberen oder unteren Gurtstückes einen vertikalen Schnitt, so ergibt sich als Gleichgewichtsbedingung gegen Drehung um einen der Durchschnittspunkte des Schnittes mit den Gurten, wenn man das Moment der äusseren Kräfte in Beziehung auf den Schnitt mit M bezeichnet,

Sm -f- — (Pm ^3m) hi sin a -f- AI = 0,

+ j (Pm + ¥,„) h sin a — M — 0.

Nun aber ist Pm = Pm' + z/,    -f A, also

. Sm = -

M 1

2 (■?»' + $»0 sin a — A sin a,

A sin a,

— H—^— £ (Pm    sin a —

oder, wenn man die Gurtspannungen, welche sich durch die Zerlegung in zwei eintheilige Systeme ergeben, mit ©' bezeichnet, Sm —

— A sina, (§m = <Sm' — A'sina. Lässt man an Stelle der geraden Zahl m die ungerade Zahl g treten, so ist nach den Gleichungen 3 — A für A zu setzen; sonach haben wir

| Sm = Sm* — A sin Ct, Sft — S/ -f* A sm ct,

—    — A sin Ct,    A sin et.

Sonach ergibt sich auch in den Gurtspannungen bei Anwendung einer Zerlegung in zwei eintheilige Systeme ein dem absoluten Werthe nach konstanter, aber abwechselnd positiver und negativer Fehler A sina.

3. Elasticitätsgleichung. Es erübrigt nun noch, den Fehler A zu bestimmen. Wir wollen der Einfachheit wegen für alle Theile einen konstanten Elasticitätscoelficienten E voraussetzen. Die Querschnittsflächen der einzelnen Theile mögen mit denselben Buchstaben des kleinen Alfabetes bezeichnet werden, wie ihre Spannungen. Ferner seien die Aenderungen der Abstände der Gurte in den Knotenpunkten bezüglich z/, h, z/₂ ft,... Die bereits citirte Gleichung 8 gibt alsdann in ihrer Anwendung auf die

s

einzelnen vollständigen Vierecke des Gittersystemes, wenn wir für die Höhenänderung ^ setzen,

Pi Pa

Pa

Pa

Pa

S3

^3

sin² a Ą- E

z/j h

sin* a — E

7— cos² u -j--- cos² a,

h    vx

z/. h

sh\

h !

cos² a,

COS² (X.

Addirt man sämmtliche Gleichungen, so erhält man P P

X3

15.

J Px

Pa

P*

Pl P2 P3

₊4„^₊..

S3

.4-

rj_j-'?

«i

+ S-

««    *3

/ F. ± ZA

\«i    % J

cos² a.

Im letzten Gliede ist 4- oder — zu setzen, je nachdem n eine ungerade oder gerade Zahl ist. Substituirt man nun für die Spannungen die Ausdrücke 3, 13, 13 a und 14, so erscheint der Fehler z/ alz einzige Unbekannte. Es ergibt sich nämlich

IV

16. Cz/ =

p '

-^2

Px

Po.

Pi

/4l

,sy

*2    ^3

_L.    —

, **v sv . w

■⁺1>7~~v:⁺p7~

L _ ®1L i

SW² ßj

wenn man zur Abkürzung

/JV±JA

V ł'l »2 /

cos² ßj,

+(

» kl

c-|+/+-+^+^+ ••

+#+• •+#+?-+•■•

COS³ ßj

setzt. Man ersieht hieraus, dass bei Bestimmung des Fehlers z/ sämmtliche Spannungen und Querschnittsflächen in Frage kommen.

Ist n eine gerade Zahl, so heben sich bei symmetrischer Anordnung des Trägers und der Last die einzelnen Glieder gegenseitig und es ergibt* sich z/ = 0. Aber auch, wenn n eine ungerade Zahl ist, ergibt sich hei symmetrischer Lastvertheilung /I gegen die Spannungen ausserordentlich klein. Hinsichtlich des Einflusses des Eigengewichtes und einer totalen Belastung, also hinsichtlich der Maximalspannungen der Gurte und der Ständer, wird daher die Zerlegung in eintheilige Systeme stets ziemlich genaue Resultate geben. Grösser ist der Fehler in der Bestimmung der Spannung der Gitterstäbe, welcher eine einseitige Belastung zu Grunde zu legen ist. Aber auch hier zeigt die Anwendung auf specielle Beispiele, dass der Fehler ein so geringer ist, dass man für die praktische Anwendung eine Zerlegung in eintheilige Systeme ohne Anstand zulassen kann.

Beispiel. Wir wählen als Beispiel einen schmiedeeisernen Träger von 40m Spannweite mit 5m Trägerhöhe und 8 Feldern. Die Querschnitte und reciproken Werthe derselben seien durch folgende Tabelle gegeben :

Sm — £>n

Pm

Sm 9m

Pm pm

c y-* y-i. îno yo y-i yi

lo O o ^ (olo

0,26

yj. _C O C C C C y*

"c 4. "bi vj ’c

OltoOlQoOoOl'^Ol

00 Qo 00 «4 Crj" o4 0^

□ Decimeter

Ausserdem sei Vt — V₂ =

1 1

0,65, — = — .= 1,54. Hiernach wird nun

v, v₂

C = 46,08 + 11,56.0,3535 + 3,08.0,3535 = 51,25.

Sonach wird

= 0,0350 (P/ + SV — P₈' -    9V)    - 0,0488 (P₂' +    — P₇' — SV)

+ 0,0649 (P₃‘ +    -    iV    -    %')    - 0,0752 (P₄‘    +    iß/ - P₅‘ - ißV)

—    0.0203 (S,‘ + ©V - Ss‘ —    ©V)    + 0.0077 (/SV    +;©,' — SV - ©V)

—    0 0055 (Sa* + ©₈' - SV -    ©V)    + 0,0047 (5/    4    @₄‘ - S₅‘ - @₅0

—    0,0064 (FV — FV).

ergeben sich als Spannungen durch die Zerlegung in zwei Einzelsysteme:

Bei symmetrischer Belastung, also auch unter dem Einflüsse des Eigengewichtes, wird d = 0. Wir wollen nun aber Einzellasten an einzelnen Knotenpunkten des Untergurtes voraussetzen. Nehmen wir beispielsweise eine Einzellast 1 am Knotenpunkte Ui an

=    0    =    -    1,061    S,‘    =    0    ©/ =    + 0,75    F/    =    0.

= 4 1,061    UV    =    0    S₂‘    =    —    1,50    ©,' =    + 0,75    TV    =    0.

=    0    $₃' = + 0,354 S₃‘ = — 1,50 ©V = + 1,25

= - 0,354    iß₄'    =    0    /SV    =    —    2,00    @₄' =    -1- 2,55

=    0    «ß₅‘    =    +    0,354    S,‘    =    -    1,00    ®₅‘ =    -f 0,75

= - 0,354    y₆‘    =    0    S₆‘    =    —    0,50    @₆‘ =    + 0,75

=    0    <ßV    =    +    0,354    /SV    =    —    0,50    ©V =    4* 0,25

= — 0,354    »V    =    0    Ss‘    =    0    ©V =    +    0,35

Setzt man diese Werthe in den Ausdruck für J ein, so ergibt sich

d — 4- 0,0352.

Sonach ist der Fehler in den Spannungen der Gitterstäbe = ± 0,0352, in denen der Endständer = ± 0,0352.cos a = ^ 0,0249, in denen der Gurte = ± 0,0352.sin « = ± 0,0249.

In folgender Tabelle sind die in dieser Weise bestimmten Spannungen der nach rechts fallenden Gitterstäbe für den Fall der Belastung eines unteren Knotenpunktes mit der Last 1 zusammengestellt; die obere Zahl gibt die durch Zerlegung in zwei Einzelsysteme, die untere Zahl den hierbei begangenen Fehler an.

Be-

laste-

ter

Funkt

U₃

u₄

-)- 1,237    0    j— 0,177    0    — 0,177

-j- 0,021 — 0,021 4- 0,021\— 0,021 -f 0,021

0    4- 1,061,    O    I— 0,354    0

— 0,035 -h 0,035 — 0,035 + 0,035— 0,035

4- 0,884    0    4- 0,884    0    j— 0,530

-j- 0,022— 0,022 4- 0,022 - 0,022-+ 0,022

0    4- 0,707    0    14- 0,707    0

- 0,021

— 0,354 4- 0,035

— 0,022

— 0,707

— 0,177

+ 0,021

—    0,035

—    0,530

4- 0,022

— 0,021

— 0,354 4- 0,035

— 0,022

— 0,707

U₆

U.,

4- 0,580    0    + 0,530    0

- 0,022\+ 0,022 - 0,022+ 0,022

0    |4- 0,354,    0    |4- 0,354

|4- 0,035 - 0,035'+ 0,035 — 0,035

4- 0,177    0    4- 0,177    0

— 0,021+ 0,021 — 0,021 -h 0,021

4- 0,530

— 0,022

+ 0,035

4- 0,177

— 0,021

4- 0,022

4- 0,354 — 0,035

—    0,884

—    0,022

4- 0,021

4- 0,035

4- 0,177

— 0,021

4- 0,022

—    1,065

—    0,035

4- 0,021

Durch blosse Addition lassen sich hiernach die Maxima der Spannungen berechnen, indem man nur die Belastung derjenigen Knotenpunkte berücksichtigt, welchen ein und dasselbe Vorzeichen der Spannung entspricht. Hiernach ergibt sich als grösster Zug in jedem Stabe:

P, = 4- 2,828 P₂ — 4- 2,122 P₃ = 4- 1,591 P₄ = 4- 1,061

4- 0,021

P, = + 0,707 P₆ = + 0,354 P₇ = 4- 0,177 P₈ = 0

— 0,021

Der bei Anwendung einer Zerlegung in zwei eintheilige Systeme begangene Fehler beträgt hiernach bei denjenigen Spannungen, welche bei der Berechnung der Querschnittsflächen in Frage kommen, nämlich bei den Spannungen P,, P₂, P₃, P₄, nur 0 bis 1 Prozent.

4- 0

— 0,008

— 0,014

4- 0,014

4- 0,008

+ 0,021

§ 99. Träger mit polygonalen Gurten und zweiteiligem Netzwerke.

1. Träger mit Endständern und z weitheiligem Netzwerke. Hier ist ein überzähliger Stab vorhanden; als solchen nimmt man am besten den einen Endständer AB an. Die Spannungen der übrigen Stäbe lassen sieh nach Ausschaltung des Stabes AG leicht bestimmen. Bei Anwendung der Rechnung wird man am besten zur Bestimmung der Spannungen der einen Stabschaar schiefe Schnitte legen,

Fig. 152.

io

Ai

wobei der erste eine Diagonale, sämmtliche übrige Schnitte zwei 4 Diagonalen schneiden : Lj für jeden Schnitt stellt A man die Gleichgewichtsbedingung gegen Drehung um den Durchschnittspunkt der Verlängerungen der geschnittenen Gurtstücke auf. Bezeichnen wir die Spannungen mit Pt, P₂,..., die entsprechenden Hebelsarme für den ersten Schnitt mit av für den zweiten mit bi} a₂, für den dritten mit &₂, a₃, u. s. w. ; ferner die Momente der äusseren Kräfte für die einzelnen Schnitte in Beziehung auf den Durchschnittspunkt der geschnittenen Gurtstücke mit Mv i¥₂,..., so ist

(    a, Px — Mx,

17.

k P, f a„Pq = M,1} j b₂P₂ -f- a₃P₃ = M₃,

Aus diesen Gleichungen kann man, mit der ersten beginnend, P,, P₂,... allmälig bestimmen. Als allgemeiner Ausdruck für Pn ergibt sich

~ALn—sbn-i bu—2

O/n Cln — 1 dn—S

Kennt man die Spannungen sämmtlicher Diagonalen, so legt man durch jeden Knotenpunkt einen Schnitt, welcher ein Gurtstück und eine Diagonale schneidet. Indem mau für jeden Schnitt die Gleichgewichtsbedingung gegen Drehung um den im Schnitte liegenden Knotenpunkt aufstellt, findet man die Spannungen der Gurte. Die Spannungen der Stütze AG findet man dann aus der Gleichgewichtsbedingung für den Punkt A oder den Punkt C.

Dasselbe Prinzip würde bei Anwendung der grafischen Schnittmethode zu befolgen sein. Bei Anwendung der grafischen Polygonalmethode ist es nicht möglich, durch eine einzige dem gegebenen Stabsysteme reciproke Figur sämmtliche Spannungen zu bestimmen ; man muss vielmehr gleichzeitig zwei Figuren konstruiren ; bei der einen denkt man sich die Spannungen der einen Stabschaar, bei der zweiten die Spannungen der anderen Stabschaar als äussere Kräfte. Fig. 153 zeigt die Konstruktion; hierin beziehen sich die ausgezogenen starken Linien auf den Obergurt, die ausgezogenen schwachen Linien auf den Untergurt,

18. Pn =

Af n    Mn—2 b n

du

dn dn—1

d'n dn—1 dn—2

die strichpunktirten Linien auf die rechts fallenden, die punktirten Linien auf die links fallenden Diagonalen, die Doppellinien auf die Vertikalen.

Man bestimmt sodann die Spannungen sämmtlicher Theile für den Fall, dass in A und C in der Richtung von AC und CA die Kräfte 1

Fig. 153.

■p*

'O*

\i

\\

-xoX

/xv

s\\

\.

śA

*\

•2+

wirken, und zwar ganz in der soeben angegebenen Weise. Au Stelle der Formel 18 kommt hier die Formel

19. Pn = Az

fl/j in—1 in—2 • • • • i\

O'n—l —2 • • • •

Bei Anwendung der grafischen Polygonalmethode kommt man hier mit einem einzigen Kräfteplane aus (Fig. 154), welcher allerdings dem gegebenen Stabsysteme nicht reciprok ist.

Bezeichnen wir nun die wirkliche Spannung eines Stabes mit S, die Spannung desselben Stabes in Folge der äusseren Kräfte nach Ausschaltung des Ständers AC mit @, die Spannung desselben Stabes, wenn in A und C die Kräfte 1 wirken, mit u, die wirkliche Spannung

Fig. 154.

''s

's

"VW

vv \

H-H

i i i

O OZ 0,0 Ob 0,8    1

des Ständers AC mit F, endlich die Grösse

für den beliebigen Stab so ist, entsprechend dem §. 97:

Ef

mit ft, für den Ständer AG mit ft [ft₀ -j- 2 (u* ft)] F -j- 2 (u ft @) = 0, also

ft’o +    —    (w<2 ft) ’

20. F =

N (u ft @)

21. £ = @4-wF.

Eine direkte Beziehung der genauen Werthe von S zu den durch Zerlegung im Elementarsysteme erhaltenen lässt sich hier nicht so leicht aufstellen, wie beim Parallelträger.

Als überzähligen Stab kann man statt eines Endständers auch einen Stab in der Mitte des Trägers annehmen. Nach Ausschaltung desselben lässt sich durch einen Stab ein Schnitt legen, welcher nur drei Theile trifft und von diesem aus lassen sich die Spannungen der Theile leicht allmählig bestimmen.

2. Träger ohne Endständer mit zweitheiligem Netzwerke. Wenn Ober- und Untergurt an den Enden direkt verbunden sind, so gibt die blosse Anordnung von Netzwerk, wie schon in §. 56 bemerkt wurde, ein labiles System. Die Anordnung einer einzigen Vertikale, am besten in der Mitte, gibt ein statisch bestimmtes System. Die Spannungen in einem solchen Systeme lassen sich ganz in der unter 1. gezeigten Weise bestimmen, wenn man von beiden Enden aus beginnt. Ordnet man dagegen zwei Vertikalen CD und EF (Fig. 86, S. 127) au, so ist ein überzähliger Stab vorhanden. Die Behandlung eines solchen Systèmes kann ganz in der unter 1. angegebenen Weise erfolgen, indem man die beiden Vertikalen für die Endständer setzt. Die Spannung in den Endstücken beider Gurte ist durch das Gleichgewicht der Endknotenpunkte A und B vollkommen bestimmt.

Beispiel. Wir untersuchen einen Bogensehnenträger von 42m Spannweite mit den in Fig. 155 eingeschriebenen Dimensionen, einem Eigengewichte von 1,6 Ton. pro Met. und einer zufälligen Last von 4,2 Ton. pro Met. Die nach der Näherungs-

Querschnitte

Fig. 155.

Längen.

!/♦>

‘A

r-î

theorie berechneten Querschnitte sind ebenfalls in Fig. 155 eingeschrieben. Das Eigengewicht und die zufällige Last sollen der Einfachheit wegen nur in den Knotenpunkten des Untergurtes wirkend gedacht werden.

Nach Ausschaltung der Vertikale I ergibt sich in der oben angegebenen Weise für die Spannung der rechts fallenden Stäbe :

P₂ = 4- 0,11111 M,

P₃ = —    0,07114 M,    + 0,03557 Ml

P, = +    0,06676 M\    — 0,03338 Mi -j-    1,2016 Q₃

P₅ = —    0,08011 M,    -r 0,04005 Mi —    1,4419 Q₃ + 0,04005M,

P« = +    0.14229M,    — 0,07114M, +    £,56ü Q₃ - 0,07114M,    0,14229M,

und für die Spannungen der links fallenden Stäbe :

% = -r 0,21343 M,

$₃ = - 0,12017 M, + 0,08011 Mi

$4 = + 0,10014 M, — 0,06676 M, + 0,03338 M₃

%= —    0,10668 M,    + 0,07114 Mi -    0,03557 A/₃ -f 1,2806 Q,

% = +    0,16667Mt    — 0,11111 Mi -f    0,05556 M₃ - 2,0000 Q, + 0,05556 M-

Im dritten, bezüglich vierten Schnitte ist statt des Momentes die Transversalbraft Q eingeführt, da hier die beiden geschnittenen Gurtstücke parallel sind. Die Momenten-punkte haben von der linken Stütze bei den rechts fallenden Stäben den Abstand + 3, + 18, 00, — 58, —43, bei den links fallenden Stäben den Abstand 0, -j- 3 H~ 18, 00, — 58. $

Für die Spannungen des Obergurtes ergibt sich, wenn man die Momente für die unteren Knotenpunkte und die Schnitte, welche man durch diese Knotenpunkte legen kann, mit Mx‘, Mi,... bezeichnet,

S, = — 0,2778 MS,

% = -    0,247IMS —    0,8944% =    -    0,1490 M,¹ - 0,6988P₆,

Si = -    0,2778 M₆ ;

ferner sind die Spannungen des Untergurtes S, = + 0,2222 M,¹

@₂ = + 0,1333Mi - 0,8000P₂ = + 0,2222m,' — 0,6247%

@3 = 4- O.llllMS - 0,6247 P₃ = + 0,1333 MS — 0,5547 $3 = 4- 0,1111 M,¹ — 0,5547 P* = + 0,1111 MS — 0,5547$,

@5 = 4- 0,1333MS - 0,5547Ps = 4- 0.1112MS - 0,6247%

<S« = 4- 0,2222M,.‘ - 0.6247P« = + 0,1333MS - 0,8000$«

@₇ = 4- 0,2222 M₆.

Für die Spannung der Vertikale VI ergibt sich

F = — 0,7809 P₆ = 4- 0,4472 S₆ — 0,6 S₇ - 0,6% .

Wenn man sich statt der Vertikale I in I und 1 in der Richtung von 11 und II die Kräfte 1 wirkend denkt, so ergibt sich durch das Gleichgewicht der Knotenpunkte O, I und 1 zunächst S, = 0, = 0, P₂ = — 1, $₂ = — 1,281. Im Uebrigen gelten die eben aufgestellten Formeln, wenn man M₂ = M₃ = M, = M₅ — 0, Q₃ = Qi = 0, MJ — MS — M₃‘ =.. .= 0 und bei den rechts fallenden Stäben M, = — 9, bei den links fallenden M\ = — 6 setzt. Hierdurch ergeben sich die oben mit u bezeichneten Spannungen, welche nebst den Werthen von X, f, Tc, ule, u^Jc in folgender Tabelle zusammengestellt sind:

Theil

Nummer

Länge

Querschnitt f

u² k

Obergurt

750

671

618

600

618

671

750

302

302

275

275

275

302

302

.î© ^î© ^î© ^t© ^?© .r© ,J© Ol î© ł© t© Î© Î© Ol N tO Ol Ol Oi N

4- 0,894

—    0,412 -f 0,333

—    0,412 | 4 0,894

4 1,98

—    0,93 4 0,75

-    0,93 4 1,98

.kl ^Cb .Cb _C>.kl C> "kj Uo 1© "oo 'k? C> k{ Qo Oi Qo kJ Ox Ob C> Ob Ol

Untergurt

k? Ob Ol bk Oo i© kl

600

600

600

600

600

600

600

233

224

224

224

224

224

233

.Î© .1© .Î© .î© .î© .î© ,*© Ol Ob Ob Cb Cb Cb Ü1 Qo Qo Oo Qo Qo Qo Qo

4- 0,800

—    0,400 4 0,333

—    0,400 4- 0,800

4 2,14

—    1,07 4 0,89

—    1,07 4 2,14

*0 Cb Go Cb IQ T-H Cbi <3b C<{ Xk

C> îk kH ©i k* ik 00 bk" Cb" Cb" Cb" bk"

jRechts fällende Stäbe

Cb Oi Co to

750

961

i 1082 1082

961

Oo Kk Oi Ox Oi C© Ci Oo ÎNO Oo

k lo ÏO ÎC k QOO

kl Oo Sk Qo ÎNO to O k Od Oj

— 1,000 4- 0,640 — 0,601 4 0,721 — 1,281

—    19,23 4- 13,36

—    12,27 4- 15,00

—    23,21

t© kl

Oo Cb N; Oo _c© kJ "oo "oo "ox To Oo ÎNO kJ Ol Oo

ki

Links'fallende Stäbe

Ob Ol Hk Oo ?©

961

1082

1082

961

750

Ox Öx Ol bk Oo Oo ï© Oo Oi ko

k ro to rc k .C© .Cb ,0 Ci. QO

ïso Qo Hk Qo k Oo Oo kl t©

— 1,281 4- 0,721 — 0,601 4- 0,640 — 1,000

—    23,21 4- 15,00

—    12,27 4- 13,36

—    19,23

kl t© ,C© .00 ^kj ^Cb .C©

ro üi Oo Qo'kj Co Cn k; to Co

ki

Verti

kalen

Ob kl

bk bk Ol Oi Cb c>

Oo Oo Ol Oi

CO CO

Qo oq_ ccT ©f

bk bk

-4 1,000 \ 4 12,86 12,86

4 1,000 i 4 12,86    12,86

Centi- □ Centi-meter meter

173,42

Hiernach würde zu setzen sein :

2(uk<&) _ 173,42 ~

— 0,000766 Z (uk<£>).

Um nun den Einfluss einer beliebigen Belastung leicht untersuchen zu können, nehmen wir zunächst eine Last = 1 der Reihe nach in den Knotenpunkten I bis VI au. Wir wollen nur beispielsweise die Belastung mit 1 im Knotenpunkte II durchführen. Hier wird für die rechts fallenden Stäbe: Ml — 4 y, M₂ = 4 y> Q3 =

M, = — y, M- — — ~ , für die links fallenden Stäbe Mt M₃ = + Qt = 4 f, M, = + y ; ferner Mf =

~7’

0, M,t —

60 48 86

7» 7’ 7’

+ Si

'»IS -»I §

Die hiernach berechneten Werthe von (2> Tabelle zusammengestellt.

sowie von uk<B sind in der folgenden

Theil

Nummer

Spannung @ {für V= 0)

uk&

uV

Näherungs-werłh von S

Ober gurt

—    2,528 I + 1,279 i

—    0,310 + 0,840 + 0,511

—    0,509 4 0,234

—    0,190 4 0,234

Untergurt

-f 0,952 i + 0,952 : + 0,571 -f- 0,921 j 4 0,152 4- 1,067 j -j- 0,381

+ 2,037 — 0,611 4 0,820 — 0,163 4 2,283

4 0,952

4 0,381

+ 0,952 4 0,952 4 0,762 4 0,762 4 0,457 4- 0,457 4 0,381

Verti- ! Linlcs fallende Rechts fallende Stäbe

Stäbe

kalen

Oi Co •'fl *o ÎO

Ci kl

—    1,098    4    25,485

7,718

4 0,729 ! — 0,369

4 0,397

— 0,250

— 0,122

4 0,729

+ 0,620    4 0,916

4 0,056

0,364 | 4 0,307    4 0,266

— 0,193

— 0,569    — 0,569

4 0,857    411,021    — 0,569    4 0,288    4 0,095

498,692

Sonach wird

V = — 0,005766 . 98,692 = — 0,569.

Die hiernach berechneten Werthe von uV und S = @ + uV sind ebenfalls in der vorigen Tabelle zusannnengestellt. In der letzten Rubrik sind noch die Näherungs-werthe von S enthalten, welche sich durch Zerlegung in zwei Elementarsysteme ergeben, von denen das eine die Stäbe 1 I 2 III 4 V 6, das andere die Stäbe 1 II 3 IV 5 VI 6 enthält.

Es genügt, wenn man in dieser Weise die Belastungen der Punkte I, II, III untersucht, da sich bei der Belastung von IV, V, VI dieselben Spannungen, nur in umgekehrter Reihenfolge ergeben, wie bei der Belastung von bezüglich III, II, I. Die Resultate enthält die folgende Tabelle:

Theü

Nummer

Spannung bei Belastung von

II

III

IV

VI

Ob er gurt

—    0,282 — 0,343

Untergurt

4- 1,142 + 0,952 4 0,814 . -+- 0,497 4 0,450 + 0,799 -f- 0,323 ; + 0,731

4- 0,762 + 1,281 -4- 0,730 4 0,819

+ 0,572 4- 0,252 4- 0,902 4 0,819

-4 0,381 + 0,612 4- 0,380 4- 0,731

4- 0,190 -j- 0,204 4- 0,241 4- 0,323

Links fal- Hechts fallende Stäbe lende Stäbe

Oł 00

—    0,303

—    0,111

— 0,068

4 0,807

—    0,059

—    0,287

— 0,835 4- 0,659 4 0,068

—    0,541 4 0,073

—    0,582

— 0,193 4- 0,307 -4 0,056

4 0,030 -f 0,072

4- 0,103

4- 0,525 4- 0,219 4- 0,103

4- 0,729 4- 0,620 4 0,056

— 0,835 ! 4 0,507 + 0,331 — 0,390 4 0,582 + 0,068

—    0,369 4- 0,139

—    0,287

Verti

kale

4-

ü,

C.

Ci

Ot

Ci

— 0,398 4 0,288 — 0,017

Mit Hilfe dieser Zahlen ist es nun leciht, die Spannungen bei jeder beliebigen Belastung, also auch die Spannungsgrenzen, zu bestimmen. Dieselben sind in der Tabelle auf folgender Seite mit den durch Zerlegung in zwei Elementarsysteme erhaltenen Spannungsgrenzen zusammengestellt.

Man sieht hieraus, dass die Zerlegung in Elementarsysteme zwar hinsichtlich der Gurte ziemlich richtige Resultate, für die Gitterstäbe aber ziemlich falsche Resultate liefert.

Die Fehler, welche durch Anwendung der Zerlegung in Elementarsysteme entstehen, werden um so grösser, je mehr der Träger vom Parallelträger abweicht. Bei Träger ohne Endhöhe empfiehlt sich stets die Anwendung der genaueren Methode.

§. 100. Träger mit mehr als zweitheiligem Netzwerke.

a. Die Anordnung der Enden erfolge zunächst nach Fig. 43 (S. 49). Ist m die Anzahl der Theile eines Gurtes, so ist bei ungerader Thei-lungszahl n (Fig. 157) die Anzahl der Unbekannten 4m-\~2n -f- 4, die

Tonnen

Tonnen

Anzahl der Knotenpunkte — 2mn + 2, somit ist hier kein überzähliger Stab vorhanden, das System ist also statisch bestimmt. Bei gerader Theilungszahl n (Fig. 156) ist die Anzahl der Unbekannten = 4m-\-2n-\-l, die Anzahl der Knotenpunkte =2m-\-n, also die Anzahl der überzähligen Stäbe = 4m-\-2n-\-l — 2 (2 m -\- n) — 1.

Die Behandlung kann hier in folgender Weise erfolgen. Man führt die Spannungen der einzelnen Theile beider Endpfosten als Unbekannte ein; nur bei ungeradem n ist die Spannung eines Endstückes direkt gegeben. Man hat so bei ungerader Theilungszahl n — 1, bei gerader Theilungszahl n Unbekannte. Durch Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen für die Knotenpunkte des linken Endpfostens erhält man die Ausdrücke für die Spannungen sämmtlicher anschliessender Gitterstäbe. Indem man nun Schnitte in Richtung der einen und anderen Stabschaar legt und die Gleichgewichtsbedingungen gegen Drehung um den Dnrch-

17

Theil

Nummer

Genau

Spannung Spannungsgrenzen ^UEigen,aS ^urc^ zuf.Last gewicht Zug \ Bruch

Annähernd

Spannung Spannungsgrenzen durch das Eigengewicht Zug Druck

durch die zuf. Last

Ober gurt

k Oi CO -n

ki k ki k

O k io io

^05 _kl _©5

"iNO "io "co ”C5

k k k k ,0c yo Oo "tO "oo "oo '«Cs

126,0

130.8

118.8 115,2

Untergurt

k Co io k

+ 38,4 + 35,1 + 33,6 + 36,0

■—

Ü5 ÛD iO Ci

k, ^oo yo c Hk Co ÎNO Oo

O Cs Cs

+ 38,4 + 35,1 + 36,9 + 36,6

ki

«o io to o yc O "c> "cs V "oo

Verti- Links fał- j Hechts fal-kale lende Last j lende Stäbe

Ci( cvj

C\J Oo ''tl

kl

+ + +    +++

k Os k

+ 5,2

kl i\0 ÎNO

iocoo vi io Oi

k ic Co yo yo "kj 'ho "oo

25,6

k*

.oo yjo yc bO to'co

crj to *5 oT so ⁻ <*T

11,9

4- 6,9

+ 5,3

+ 6,6

io io k Os _QC 05 k O

Co Co

++u

k U *9 kl k* Oi tu Oi

05 io k Co to 05

+ 5,5

14,1

c>

Winkler’s Brückenbau; Theorie, II. Heft.

schnittspunkt der Verlängerungen der geschnittenen Gurte, bezüglich Pfostenstücke aufstellt, oder durch Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen für die Knotenpunkte erhält man allmählich die Ausdrücke für die Spannungen aller Gitterstäbe. Jetzt stellt man die Gleichgewichts bedin-gungen für die Knotenpunkte des rechten Pfostens auf und zwar für die Endpunkte gegen vertikale Verschiebung, für die Zwischen-Knotenpunkte vertikale und horizontale Verschiebung. Man erhält hierdurch n

gegen

Fig. 156.

Fig. 157.

Gleichungen, in welche die Ausdrücke für die Stabspannungen einzu-setzen sind. Eine dieser Gleichungen ist durch die übrigen bedingt, so dass nur n — 1 Gleichungen zu verwerthen sind. Bei ungerader Thei-lungszahl sind dieselben ausreichend, während bei gerader Theilungs-zahl eine Gleichung fehlt. Diese Gleichung ist nach §. 96 aufzustellen, wobei als überzähliger Stab irgend ein Theil eines Endpfostens angenommen werden kann.

Sind in dieser Weise die Spannungen der Gitterstäbe bestimmt, so ergeben sich die Gurtspannungen leicht durch beliebige Schnitte und Aufstellung des Gleichgewichtes gegen Drehung um den Schnitt mit dem einen Gurte.

Bei Parallelträgern ergibt sich der Fehler gegen die durch Zerlegung in Elementarsysteme erhaltenen Resultate bei Stäben ein- und desselben Systèmes auch hier konstant.

b. Die Anordnung der Enden erfolge jetzt nach Fig. 44 (Seite 51). Ist die Theilungszahl n des Gitterwerkes gerade (Fig. 158), so ist die Anzahl der Unbekannten, einschliesslich der drei auf die äusseren Kräfte bezüglichen, = 4 m -f- n -}- 3, die Anzahl der Knotenpunkte 2 (m +1), also die Anzahl der überzähligen Stücke 4 m -f- n -f- 3 — 4 (m -|- T) — n — 1. Bei ungerader Theilungszahl n (Fig. 159) habe der eine Gurt m, der andere m -f- 1 Theile; die Anzahl der Unbekannten ist hier 4 m -f- n -f 5, die Anzahl der Knotenpunkte 2m-\-3} also die Anzahl der überzähligen Stücke 4 m -|- n -f- 5 — 2 (2 m -\- 3), d. i. ebenfalls = n — 1. Bei 2-, 3-, 4-, 5-, ß-theiligem Netzwerke sind also bezüglich 1, 2, 3, 4, 5 überzählige Theile vorhanden.

Als überzählige Stäbe kann man hier die erste Vertikale, sowie die sämmtlichen anschliessenden Diagonalen mit uniegelmässiger Lage, das sind die in Fig. 158 und 159 puuktirt angegebenen Stäbe, annehmen. Die weitere Behandlung kann alsdann ganz wie beim zweitheiligen Systeme erfolgen.

Fig. 159.

Fig. 158.

‘‘X ' y

\L

w

/a

Man kann aber auch n — 1 beisammen liegende Stäbe ein und derselben Schaar oder beider SchaareD, etwa in der Mitte des Trägers, als überzählige Stäbe annehmen, so dass sich hier Schnitte legen lassen, welche .7, 2, 3.... Stäbe treffen, wodurch die allmählige Bestimmung der Spannungen möglich wird.

Beispiel. Parallelträger mit viertheiligem Netzwerke von 72m Spannweite, 12m Trägerhöhe und 6m Knotenweite nach Fig. 160. Die Querschnittstiächen f, welche nach einer Näherungstheorie berechnet sind, sowie die entsprechenden Werthe von

Y enthält die folgende Tabelle. Als überzählige Stäbe sind die Stäbe A‘ = 0 0,

A" — 01 und A“‘ = 01 angenommen. Die für diese bestimmten Werthe von u'

Fig. 160.

II III

IV

VI

VII VIII IX

XI XII

12

Ol

-c-

1!

-72-u“, ukun, ku"s, ku“'\ ku“u‘", ku“‘u‘ und ku'u“ sind ebenfalls in der folgenden Tabelle zusammengestellt. Für den Untergurt sind die Zahlen weggelassen, da die Zahlen für f, k, u', fcw'², ku"u“‘ dieselben bleiben, wie beim Obergurt, während sich u" und u‘", ku"'¹^und k“n, sowie ku“‘u‘ und ku'u" gegenseitig vertauschen.

Theil

s-

u"

u“‘

k u‘²

ku“²

leu“¹" I ku"u“'\ ku‘“u‘ I ku'u"

1 _I !___

1 43

2 116 3 176

Ober gurt

220

250

265

265

250

220

10

176

11 116

12

Kl

hfcs    ^ND ^>0 ^ ,*0 ^    ^ >5^ >*

"ci Ino "Ks "Öc 4a "co ~Cq ~~Hk ~0q HkInD Ci

H—hl M—hl M—hl I

KiKiKiKiKiKlKlKlKlKiKiKl

~r

-f-

4-1,34

—    0,45 — 0,89 14,00

Ci Ml* Kl Kl Kl Co Kl Kl Kl Ci —^

SJ

ÎOCoÜiÎNDOCCC^OiCO Ci to Ci tu M Cu CO v5 Oi Ki VI

Links fällende Stäbe

OiCiOiHKCoîOl^OÎNCCoCoHKOiÜx

KlCxOïCXHCO^OiîoCoiitoiHl

CaCoKOt^CiOiKOjCüCo C> Oi ,00 KÏ ^Oi Co Cö «i ^C> Kl Oo "ki "co "■<? "co "oi'ci 'co QO,KCO HK

<0

Ci

ïo Î

O^KI Ci^Kl    Ci^Kl    Ci^Kl    Ci^Kl    <0. Kl

'ÎK "bK    "rtss    "hk    "hk    Ik

Kl Kl    Kl    Kl

1,27

4-147 — 1,27

4-147

— 1,27

41

¹ 31,40

— 1,27    0

-h 1,27 87,00    0

cccccccccccc

<00

?'0

Kl

Ci

o:

Ci.

K>

Ci-

Ci

co

iQO C C    C O N"C c c

l-s

_____

Ol

ic

O!

Ks

Ol

Rechts fallende Stäbe

O'^CVlCo^lOCOJKQoCiCi’KlC^

'M

4k Cl} Co »o to

_Kl _Ci _Ci ^Co ^Go    pO ^Cri    _Ci

ifehVjK    ^ ~ki "oo

-1,41

±141

-141

4~ 141

-141

4-141

!+¹

— 1,27 \ O 4 1,27, tf

O i -L

— 1,27 4-147

— 1,27 41,27

74,40

117,00

130,60

87,00

61,80

^ 03    ” c> 00'    ! ćd Ci

co    Oł *XH    ÎK

O ^ ^ <Qi Ci ^ Q> O J ^ Q, ^ CD    CV Ci    >0

>k

k? Oo CO Ci

46,69

67,45

<Ci K.

Ci tK

104,66 O

O 116,82

Ci Qo

:i

Ci Oo O Ci

Ci

77,82 O

O ¹ 55,28

Vertik.

Ci

Kl

Oo Qo 'C Nj

Kl Kl CO Co

Qo ~Qq

i- !

Kl Kl

— 0,89 —

13,80

13,80 11,04

II

11,04

11,04\ 12,34)^12,34

I Obergurt ............

i Untergurt............

Summe für ! Unies fallende Stäbe . . .

Rechts fallende Stäbe . . . 1 Vertikalen............

60,2

60,2

523,0

523,0

Oo CO    'O    K

O) CV)    1K O) T-S

KKKCo Ci toT Qo"    ■k"    ’m"

<M <M    CO    ^

KM KH

Kl Kl

'c>'b

Ci

tO *0 lo ^6    ^Oo

Co io txa ''î Kl

tO ÎNÛ

Kl Co Co tO tO to co Cd Oo .Oi

Co Os OS Kl ^3

ÎND tO Kl to tO

Totalsumme

1194,0\ 942,7' 904,2\    35,0\ 524,5I 545,3

Theil

Obergurt

Untergurt

Setzen wir nun zur Abkürzung ± [ku'25) = C‘, G", C“\ je nachdem sich u auf den Stab A¹, A", Abezieht, so wird nach den Gleichungen 5:

S‘ = — 0,001676 C‘    4    0,000935 C“    4-    0,000936 C“‘,

S“ = 4 0,000934 C‘    —    0,001583 C“    -    0,000480 C“‘,

3"' = 4 0,000937 C'    —    0,000482 C“    —    0,001632 Cw.

Wir wollen nur noch eine einzige Belastungsweise beispielsweise untersuchen, nämlich die Belastung des Punktes V des Untergurtes durch die Last 1. Die Recli-nungsvesultate sind in folgender Tabelle zusammengestellt :

j?

ku‘

a.

/cm" ku“'

ii

ku"<& ku“‘ <©

genau [ annähernd

TH TH TH    ____ ^

434,3

3    145,25

4 5,245,3742,32

—    3,4 —3,52)43,52

—    2,8—1,25 —3,75\ 4 2,4—3,3343,33; 4 2,3 43/33;43,33|

—    2,3 — 3,33 4 3,33

—    2,4—1,08—3,22

4 2,3—3,2543,25 4 3,4— 4,56 43,52

—    5,2 — 2,34 4 2,34

—    14,0—6,26+12,52

—    1,167 +- 3,97 4 1,77 — 1,77\

-1,167i'4- 3,274-    4 4,37

—1,1671— 2,80 4- 1,26 — 1,26

—    1,167— 2,68 — 3,59 — 1,20

—    2,333 — 5,37 + 2,40 — 2,40 -0,3334- 0,80-j- 0,33 -f 3,37,

—    0,333— 0,93 -j- 3,42 — 3,42; -3,333| — 3,33-f 3,52 i — 3,53

—    3,533 4 7,33 + 3,53 — 3,53

444,345,25:    3    43,5334 3,45 4 3,65

4 5,242,3245,97\ 43,533 4 3,33-f 4,35

—    3,4+1,52'-1,52+0,583\ — 1,98+ 0,89

—    2,8-3,75 -1,25 +0,583— 1,63— 2,19 4 2,4+1,08-1,08+1,750+ 4,20+ 1,89 4 2,3+1,03+3,08+0,750+ 1,72 + 0,77

—    2,3+1,03—1,03 +0,750 — 4,72)4 0,77

—    2,4 -3,22 —1,08 +0,750{- 1,802,44 4 2,3)44,25;—4,25) 44,947) 4 5,37 i-f- 2,43 4 3,4+l,52\—4,56 -0,083 - 0,28\— 0,13

—    5,2 +2,32 -2,32 — 0,083    3,43— 3,43

—    14,0 +12,52 —6,26 —0,08Ś, -f 4,451— 4,34

+ 4,35

—    2,43 4 6,38

4 0,19

4 3,52

—    0,288 — 0,292

—    0,272j — 0,292

—    0,244 — 0,292

—    1,526 — 1,458

—    1,460— 1,458

—    1,439 — 1,458

—    1,410 — 1,458

—    0,792 — 0,625

—    0,626 — 0,625

—    0,605 — 0,625

—    3,577 — 3,525

—    3,333;    3

—    3,323    3

4- 3,,942 4 3,375 4 3,375 4 3,375 4- 3,355 4 3,375 4 3,327 4 3,375 4 1,109 4 1,042 4 1,043 4 1,042 4 1,022 4 1,042 4 0,994 4 1,042 4 0,276 4 3,233 4 0,210 4 3,233 4- 3,434 4 3,233

Links fallende Stäbe

T-i T~l

433,4 — 43,7 -3.9,3|

O — 0,825

436,05+32,26

+ 33,3,    3

3    !—

-92,3 —

432,7

3 4

— 53,3 —

435,3

Ci Ci

ü\ hu

Ci Ci

S O Ci

<0 O Ci

475,35433,35

3

3

3 ii 3    3

3    — 3,325 +- 44,37,4 39,35

—39,2+1,414 433,3    3

— 3,325 —.97,3 4 3,434 4- 74,3    3

C> <Ci ‘Ci C> Ci

—138,29

Ci Ci O

Ci Ci C5

— 55,43

Seitenbetrag

!4435,5l4 154,6 - 199,2

Theil

; ku"

ku“‘

genau I annähernd

TJebertrag ... .

4186,6,4 154,6— 199,2

Hechts fallende Stäbe

r-< Ka

— 36,8

-f- 53,3

—39,1 + 47,7

- 33,0

482.7 0

4 92,3

-61,4

0

443.7

- 97,4 482,6

439,1

+ 58,1 —74,3

467,0 -55,i\

431,4

+ 0,825

+ 0,825 — 1,414

4 0,825 -1,118

4 44,07)4 39,35

+ 76,15-{-68,15

O O <2>

94,74

4 36,05 4 32,26

Verttk. !

TH

«NO ©

TT

00 00

TH TH

— 12,4—12,4    0

i— 35,11,

4 0,717 4 0,652

—    0,020\ 0

—    0,401 — 0,466

—    0,608 — 0,533 4 0,042j 0

Summe

.\ + 342,9\+ 294,4\— 329,2

Es ist also C‘ — 4 342,9, C" = 4 294,4, C“— — 329,2. Nach den Formeln a ergibt sich hiernach

S‘= - 0,608, S" = + 0,012, S"‘ = 4 0,717.

Die Spannung irgend eines Theiles ist nun

8 = © — 0,608 u¹ 4 0,012 u" 4 0,717.u“'.

Die hiernach berechneten Werthe der Spannungen, sowie die mit Hilfe einer Zerlegung in Elementarsysteme berechneten Näherungswerthe der Spannungen sind in die vorige Tabelle eingetragen.

In gleicher Weise würde die Belastung jedes Knotenpunktes zu behandeln sein,, um hieraus auf die gefährlichste Belastung und die Spannungsgrenzen zu schliessen. Die Abweichung gegen die durch Zerlegung in Elementarsysteme erhaltenen Resultate ist auch hier bei Parallelträgern so gering, dass eine Zerlegung in Elementarsysteme für die Praxis zulässig erscheint.

§. 101. Das mehrtheilige Fachwerk. Bei dem mehrtheiligen Fachwerke mit schlaffen Diagonalen, also theilweise mit Doppeldiagonalen, dürfen nur diejenigen Diagonalen berücksichtigt werden, welche einen Zug aufzunehmen haben. Es bleibt daher wohl nichts anderes übrig, als zunächst durch eine Näherungstheorie, wie z. B. durch Zerlegung in Elementarsysteme, für eine bestimmte Belastung diejenigen Diagonalen festzustellen, welche auf Zug beansprucht werden. Sollte sich alsdann bei der genaueren Bestimmung der Spannungen zeigen, dass eine dieser Diagonalen auf Druck beansprucht wird, so müsste eine neue Bestimmung der Spannungen erfolgen.

Während es beim Netzwerke möglich war, den Einfluss der Belastung eines einzigen Knotenpunktes zu bestimmen, um sodann hieraus

den Einfluss einer ganz beliebigen Belastung durch blosse Addition abzuleiten, ist dies beim Fachwerke mit schlaffen Diagonalen nicht mehr möglich, weil die auf Zug beanspruchten Diagonalen für verschiedene Belastungen nicht dieselben sind. Hier bleibt nichts übrig, als sogleich eine der gefährlichsten Belastungsweise entsprechende Belastung sämmt-licher Knotenpunkte vorausszusetzen. Bei Annahme einer gleichmässigen Belastung wird die anzunehmende Belastung für sämmtliche Gurtstücke dieselbe, für jeden Gitterstab dagegen eine verschiedene sein. Welche Diago nalen gezogen sind, lässt sich nach §. 44

Fig. 161.

leicht bestimmen, wenn man für die

ja-

einzelnen Vertikalen die Werthe von ^ bestimmt.

db

Bei einem zweitheiligen Fachwerke zeigt sich an der Uebergangsstelle die in Fig. 161 dargestellte Anordnung.

Wenn man einen der Stäbe AB und CB ausschaltet, so kann man durch zwei Stäbe Schnitte legen, welche nur drei Theile treffen, so dass sich die Spannungen allmählich bestimmen lassen. Hier ist also ein überzähliger Stab vorhanden, als welchen man am besten einen der Stäbe AB und CD annehmen wird.

Bei einem viertheiligen Fachwerke entsteht an der Uebergangs-

stelle die Anordnung Fig. 162. Hier wird es erst nach Ausschal-

Fig. 162.

tung von drei Stäben möglich,

////

Za

Schnitte zu legen, welche nur drei Theile treffen, so dass hier drei überzählige Stäbe vorhanden sind, als welche man die drei letzten Stäbe der einen Schaar, oder die zwei letzten der einen und den letzten der anderen Schaar annehmen kann.

Die weitere Behandlung ist dieselbe, wie beim Netzwerke.

Beispiel. Parallelträger von 30m Spannweite, Höhe mit zweitheiligem Fachwerke und unten liegender Bahn (Fig. 163). Das Eigengewicht, welches wir nur an den unteren Knotenpunkten wirkend denken wollen, sei pro Knotenpunkt = 1, die zufällige Last pro Knotenpunkt = 2, also die Gesaramtlast =3. Wir wollen die Maximalspannung der Diagonale III5 und der Vertikale III3 bestimmen, für welche Stäbe die Knotenpunkte 4 bis 9 mit der zufälligen Last belastet anzunehmen sind. Bei dieser Belastung ergeben sich als Momente: i Punkt 3

M = 69,3    86,4    94,5    93,6 83,7    64,8.

Hiernach sind in den Feldern 3 5, 4 6 die rechts fallenden, in den Feldern 5 7,68 die links fallenden Diagonalen gezogen, so dass die in Wirksamkeit tretenden Stäbe

Fig. 163.

♦K

XL

f=i

03

4----œ------>•

die Anordnung Fig. 163 zeigen. Den Stab IV6 wollen wir als überzähligen Stab annehmen. Die Querschnittsflächen, welche durch Zerlegung in Elementarsysteme ermittelt sind, sowie die gesammten Rechnungsresultate gibt die folgende Tabelle:

Theil Nr.

iV k jj <3

JL

9enuu nähernd

Obergurt

CiCiQo^OiüiH^Osfcsk

66

97

117

128

130

130

128

| 117 i 97

i 66

444 4 4 4 4 4 4 4

ÜiOOiOjOjOjOjOiCiOi

OiOoCiH^HklkiH^Ci^Oi

4 4 4444 4 4    4

OoOoOsOoOoOoOoOoOoOo

|4 4 o 4 50 44 4 4 4

jHkfcOfcOfcOfcofcOfcOfcOfcDHk

:kOoO:kkkkOoODk

4,76

7,54

9,79

11,81

11,81

11,81

11,81

11,59

9,34

6,86 i

+ j6,50

—    6,99

+ 7,52

—    8,29 + 8,18 + 8,18 -f- 8,29

—    8,90

+ 8,66

—    9,36

Untergurt

OtoûO^OiOi^Coîok

—    0,3 4 0,3

—    0,3 + 0,3

—    0,9 + 0,3

—    0,3 I 4 0,3

^toH^fcoOfcoïo^Ci^

CkOoSOsODkC

4-

;    1,76

4,76

7,54

9,79

11,59

9,34

6,86

2,36

—    5,18 4 6,50

—    6,99 + 7,52 —26,70 + 8,66

—    9,36 + 7,08

11,68 11,66 11,94} 11,96 11,94\ 11,96 11,94 11,96 11,46 11,44 9,47    9,49

! 6,73 6,71

1 + 14-

Ci c, k co co

4.4 4 4 4 4 4 4 <k i 4 4 4 4 4 4 4 4

kAkAOCHisH+^fcDfcO

Vertikalen

k*

C050riv50jOiHi,0:fcOk^

0,8

0,8

— 0,8 + 0,8 — 0,8

CO c>

8,70

O to Oj Oj Qo

rk »    »    »    »    »

° Oo Oo Oo Oo V? &I üt Oi Ol c>

8,70

3,30

3,40

2,30

0,40

16,00

12,80

10,24

12,30 O

».

Hi, Oo fco CO Oo Oi Ci Cs ^ O Üi Ol Ol

».

4 CC fco 4

4 4 4 4 ° c> o o

Seitenbetrag. ... 207,29

— 30,17

Theil Nr.

a-

-Ni n

a'¹ k

lOenuĄndlurnd

TJeb ertrag

207,29 :

— 30,17

Hechts füllende Diagonalen

Üi Oc to k to

O OD Os DD O! On GO to 'O ^ W

70,68 — 0,85 11,62

-4- 1

•k. Ï.'C kl

Oi    yk. k* ^

F F F o, "os \j Os Go Oo> Cto ÏNO OO

Links fallende Diagonalen

Go to to N OJ N N N

Qo oo os Oi Oo Os «O ÎND Os

27,78 19,23 \ 14,50

11,62 j

10,68 I

27,78

19,23

14,50

11,62

Oo

Ol

7,79

. GO « «0 to fO 4-    k^>o

cT co -F ib ocT

4- 10,56 ! — 72,11 ! 4- 59,89 - 87,15 ; 4- 61,38

S} łk Oo to Cto ÏO Hk Wk Ol Uk

k N k k 's    I 's    's 's 's 's

k to Ol Oj Oo + tk to k to tk to-|-to N Os to k    Oo Ol Oo to Oo Ol

NJ NJ Oo to to to H>. ÜI ^

N    >    N    'S    N    |    's    's    >s    's    's    I

sj.    os îno OoH- Oi Qo to k üi Oi ]-

Os .to Oo Ol Oo    to Go Ol Oo to to

Summe..... 309,53

j — 134,42

Hiernach wird die Spannung S‘ des überzähligen Stabes IV 6

134,42 309,53

also die Spannung eines beliebigen Stabes S — &    0,434 u.

Die Maximalspannung der Vertikale III3 und der Diagonale III5 ergibt sich bezüglich —2,35 und 4-2,90, durch Zerlegung in Elementarsysteme zu —2,30 und 4- 2,88, also bezüglich um 2,1 und 0,7 Prozent zu klein.

S‘ — 4"

= + 0,434,

§. 102. Koiiibinirtes zweitheiliges Gitterwerk ohne künstliche Anspannung. Bei einem zweitheiligen Systeme nach Fig. 164 ist, wie wir wissen, ein überzähliger Stab vorhanden, wenn man die Zwischenvertikalen, ausser den Endständern beseitigt. Da nun bei m Fächern noch m — 1 Zwischenvertikalen vorhanden sind, so ist die Anzahl der überzähligen Stäbe — 1 4~ w» — 1 — m. Am besten nimmt man hier die sämmtlichen nach derselben Seite fallenden Diagonalen als überzählige Stäbe an. Bringt man statt eines solchen die entsprechenden Spannungen an, so entstehen hierdurch nur Spannungen in den fünf Stäben des betreffenden Faches ; für sämmtliehe übrige Theile wird u~ 0.

Wir wollen speziell noch einen Parallelträger in Betracht ziehen. In einem beliebigen Fache seien die Span-nuugen, welche nach dem Auslösen der rechts fallenden Diagonalen durch die j/

Belastung entstehen, für Ober- und Untergurt <Sa, für die linke und v rechte Vertikale 33,, 33₂, für die links *i fallende Diagonale ^, die wirklichen Spannungen bezüglich Slf SQ, Ft, Vq, Pq

Fig. 164.

A_S,

v,

oO

py \F!

(Fig. 164). Die Spannung P, der rechts fallenden Diagonale erzeugt in den Gurten die Spannung — Pxsina, in den Vertikalen die Spannung

—    Pxcosa und in der links fallenden Diagonale die Spannung -4- Pr Bezeichnen wir nun noch die Spannungen der rechts fallenden Diagonalen im vorhergehenden und im folgenden Fache mit Pi, Pr, so entstehen durch diese in den Vertikalen die Spannungen — Pi cosa und

—    Pr cos a. Die Gleichung 8 (S. 244) geht hierdurch über in :

sin¹ a

©, — Px sin a ,    — Pj sin a

<Pi

<P‘2

4-

fl

— (P₁ -f- Pi) cos a

Ip ,

33 o — (P. —(- Pr) COS Ct

¹

Es besteht Alles aus demselben Materiale, die beiden

oder

22 ^cos'a + P,

⁺ <y

+(i, ⁺ i)™’“)-*- £

L 4_

n\

cos'¹ OL —

2 /

«fr⁺

Für jedes Fach ergibt sich eine solche Gleichung, so dass man m Gleichungen zur Bestimmung der m rechts fallenden Diagonalen erhält.

Hierbei ist für sämmtliche Theile gleiches Material vorausgesetzt. Im Allgemeinen wird man aber den Querschnitt jedes Theiles noch mit dem entsprechenden Eiastizitätskoeffizienten zu multipliziren haben.

Pr ₌ El P>

Pl

Annähernd wird man für die Mittelfächer

setzen können. Bezeichnet man ausserdem noch die Transversalkraft für einen durch das Fach gelegten Schnitt mit Q, die Momente für die linke und rechte Vertikale mit Mx, M„, die Last pro Längeneinheit für

M

Ober- und Untergurt mit qx, qa, so ist ©, =--~-x ©₂ = -f-

= — Q seca, 33t = Q -f- q^e, 33₂ = Q — qle. Dies eingesetzt gibt:

'Pi

'l>i

'Pi

23.

[(f,⁺r)⁺( ér⁺w) shv'l/-⁺ * (i,⁺ w)co*²“\

— — sec öl

T 2

+(

Q+q* eĄ.Q—

'V>x

IP

COS³ OL — ~ l

à\€fi

M,

Man kann hierin noch Q — \    — Mx) setzen,

einige spezielle Fälle in Betracht ziehen.

<P2

sin'³ öl.

Wir wollen nun noch

24. A -

cos* a

2 ip(j -f- “ sin³ a + ^ cos³ a)

setzt, P, = | Qseca— A (3, —- 3₂) e. Da nun ferner P^ = — Q seca + P, ist, so wird

25. P, = + ^ $ sec a — A (q,

Es ist nun ferner PL =

| Qseca-A (qx — qq)e.

[$ + (3t ~b 3a) e] sec a A (3,    3a) e»

= j [# — (3t— 2s) e] sec a — A (3, — 3₂) c, Ft = Q + 3a« — (A + Fj) cos aT Fö = Q — 3, e — (P, 4- P,) cos a, d. i.

V = V = —

* 1 — ' a —

3a) e, P₂—

26.

CO|

1

2 (2i — q<t)e (1—-4 A cos a)

4 -f- — sw® «

f y

3* j§<

H— sm³a -4-(f    H>

— cos³ a

(3, — 2a) «•

Y Q tan a -f Q tan a A (qx — 3₂) e sin a.

— P. sin a = —

Endlich wird $,

A (3t — 3a) e a» Äa = + ^

Bezeichnet man das Moment für einen durch den Kreuzungspunkt E (Fig. 164) gelegten Vertikalschnitt mit M¹, so ist M' = My -f-

1    1    P

-Qe — 31^ — ₉ $e, mithin, da tea = ^ ist,

~2

M‘    M*

27. St—--y A (3, — 3J e sm a, <S₂ = -)-    (3, —3₂) e sma.

f .

Nach der in §. 27 entwickelten Näherungsregel ist nach Formel 50, in welcher y=0, n — 2, a = 2e zu setzen ist, wird F=— -^-(3, — 3₂)e. Nach der genaueren Begel 26 aber ist stets — F < j (3, — 3₂) e. Die Abweichung ist indess nicht sehr bedeutend; sie wird um so geringer, je grösser der Querschnitt ip der Vertikalen ist.

2. Howe’sche Brücken in Holz. Wir nehmen an, dass Gurte und Diagonalen aus Holz, die Vertikalen aus Schmiedeeisen bestehen. Da der Elastizitätskoeftizient des letzteren etwa 17 mal so gross ist, als der des ersteren, so ist in Formel 23: 17 ip für ip zu setzen. Der Querschnitt der Hauptstreben sei /’, der der Gegenstreben ~ f, so dass f\ — ^ f\ fv=f zu setzen ist. Ausserdem sei cp{ = <jp₂ = ip, ipt = ipq = 1//.

' Aus der Gleichung 23 folgt alsdann, wenn wir zur Abkürzung

cos² «

setzen

28.

(~r H- ⁸- sin³a + cos³«)

cos³ a

4,06

cos³ a

~ B Q seca — A (g, — g₂) e, P₂ == — Q sec a + P

Yx = $ -f Ee — (Pt + P/) cos«, Po = $ — g, e — (P, -f-Pr) cosa,

' TVP    AI

— P, sin «, $2 = 4- ~ — P, sm «.

Hier gibt die im IV. Kapitel entwickelte Näherungstheorie weniger genaue Resultate, als im vorigen Falle.

Für die Endfächer darf die Gleichung 23 nicht verwendet werden, es muss vielmehr die ursprüngliche Gleichung 22 zur Anwendung kommen, wobei Bi oder Fr = 0 ist.

P. =

29.

S. = —

§. 103. Kombinirtes viertheiliges Gitterwerk ohne künstliche Anspannung. Bei dem viertheiligen Systeme mit der Anordnung nach Fig. 54 (S. 78) sind bei m Fächern 5 m -p- 3 Theile und 2 (m -J- 1) Knotenpunkte vorhanden, also ist die Anzahl der überzähligen Stäbe = 5 m -J- 3 -f- 3 — 4 (m -f- 1) — m -\- 2. Als solche kann man z. B sämmtliche nach der einen Seite fallenden Diagonalen und eine nach der anderen Seite fällende Diagonale annehmen.

Für den Parallelträger bleiben hier, indem man ein aus zwei nebeneinanderliegenden Fächern bestehendes Fach mit zwei vollen Diagonalen in Betracht zieht, die im vorigen Paragrafe entwickelten

Regeln giltig, wenn man    +

Fig. 165.

fr Uüd * (fl y %)

(fi    ^    lg₂ h /

statt — einführt, wobei    die

statt

(fi

oC

06

<r■

n/

/\

\i/

Spannungen, cp, cp' die Querschnitte der den beiden Fächern angehörigen Gurtstücke bezeichnen. Für das End-/ fach ADEB (Fig. 165) istP/ = 0, \    «, statt « und Pp‘ cos a cos¹¹ at statt

\ P, " cos³ a, für das zweite Fach BE FC aber Px‘ cos*a cos«, für P,‘ cos³a zu setzen.

Näherungsresultate erhält man, indem man den Träger in zwei Elementarsysteme mit zweitheiligem Gitterwerk zerlegt und jedes derselben nach dem vorigen Paragrafe behandelt.

§. 104. Konibinirtes zweitheiligcs Gitterwerk mit künstlicher Anspannung.

1.    Spannungen im unbelasteten Träger. Behalten wir die in §. 102 gebrauchten Bezeichnungen bei, bezeichnen dabei aber, entsprechend dem §. 29, die Spannungen im unbelasteten Zustande oder die künstlichen Spannungen mit einem Apostrof, so haben wir

30.

iY = JP,', Si' =    — - JY sina>

Vx‘ = — <P,' + P/) cos cc, V,¹ = - (P/ + Pf') cos 06.

2.    Spannungen im belasteten Zustande. Die Spannungen welche die Belastung allein hervorruft, sind durch §. 102 bestimmt. Fügen wir die soeben bestimmten künstlichen Spannungen hinzu, so ergeben sich als Spannungen im belasteten Zustande

(ly = p, + p,\ iy =    + J», + p

31.

I 8,“ = ®, -</',+ P,‘)sinc6, Sf₂"=®₂ — (P,+P,‘)sinet,

| V," = », - (/•, + l>t + P,‘ + J't) COSCC,

I V, “ = »„    (/' +

3.    Howe'sches System. Nach §. 31 soll die Spannung Pl‘‘ in den Gegenstreben im belasteten Zustande und zwar bei derjenigen partiellen Belastung, bei welcher in den Gegenstreben der grösste Zug ein-treten würde, gleich Null sein. Setzen wir aberP,“=Ö, so erhalten wir

32. P, = - Pr

Die Spannungen der übrigen Theile sind nun durch die Formeln 31 bestimmt.

4. liider’sches System. Hier soll die Spannung P₂" in den Gegeudiagonalen im belasteten Zustande bei derjenigen partiellen Belastung, bei welcher in denselben der grösste Druck eintreten werde, gleich Null sein. Sonach wird hier

33. Pt= — $P₂ — P Die Spannungen aller übrigen Theile sind nun auch hier durch die Formeln 31 bestimmt.

Beispiel. Howe’scher Träger von 24m Spannweite, 3m Höhe mit 8 Feldern und oben liegender Balm (Fig. 166); Gurte und Diagonalen aus Holz, Vertikalen aus

Fig. 166.

1,3

1,3

Lt, o

'/,

1,3

1,3

'hjO

6,5    6 5 6,5

4,5    4,5

4,5

V V V

6,5 6,5 6,5'

T⁵ T⁵-T

4,5    4 5    4,5

Schmiedeeisen. Eigengewicht 0,6ł pro Met. für den Obergurt, 0,4t pra Met. für den Untergurt; zufällige Belastung durch das in der Figur dargestellte System von Einzellasten.

Nach einer nach §. 31 durchgeführten Näherungsrechnung haben sich die folgenden Werthe ergeben :

Fach

Flächen

Ober- und Untergurt, cp —

Hauptstreben f„=........

Gegenstreben f„ —........

Vertikalen, ih =..........

C Cs Cs "Cs "c> "k.

50 O. 00 ^ OS

0,150 0,150 0,150 0,080 0,065 0,065

□ Meter

Cs

ks

k.

Cs

Cs

kJ

Cs

C>"

ks

Cs

Cs

kl

^Cs

c>

Reciproke Flächen

1

Ober- und Untergurt —

Hauptstreben f - — ....

T 2

!    *    X

Gegenstreben -j =.....

/ 1

i

Vertikalen —........

6,7

6,7

6,7

10,3

20,7

12,5

25,0

ki

15,4

73,5

6,9    14,3 21,0

32,7 73,5

Hierbei sind die wirklichen Querschnittsflächen der eisernen Vertikalen bereits mit 17 multiplizirt. Der Endpfosten besteht aus zwei Hölzern von je 0,048 Qm und zwei Zugstangen von je 0,0014 □»», so dass der einzuführende Werth von rfi = 2.0,048 -j-2.17.0,0014 = 0,144 Qy» sein würde, wie es auch in vorstehender Tabelle angegeben ist.

1. Haupt- und Gegenstreben. Die Maximalspannung in den Hauptstreben der linken Seite des Trägers, welche der Spannung 0 in den Gegenstreben entspricht tritt ein, wenn die rechte Seite belastet ist und dabei die erste Last über der rechten Vertikalen des fraglichen Faches liegt. Für diese Belastung ergeben sich, wenn man sich die Gegenstreben ganz ausgelöst denkt, die folgenden Spannungen:

».

1. łach................—

Bei derselben Bel. II. Fach — II. Fach

III.    Fach

IV.    Fach V. Fach

54.52 34,66 — 40,99 — 28,05 —

17.52    — 7,61 —

38,56

31,99

50,38

55,17

51,52

+ 38,56 -f- 63,06 + 60,98 + 68,52 -f 67,59 4- 56,90

I +++++

© TS os •'K os os N

cT vT cT Tk" orT

Oi Co T-H

++++II

kl kl ÎNÛ ^ ^    _Oi fe.

7kTfe.7©"kj.kr

'i OS ^ tki Oł k

Für die Belastung, bei welcher die Hauptstrebe im I. Fache am stärksten beansprucht wird, ergibt sich für das II. Fach nach der Gleichung 22, wenn man P₍ = P, = Pt setzt, 67,21 P, = 848,54, P, = 12,62. Für das I. Fach ergibt sich nach Formel 22, wenn man P, = 0 setzt, 42,23 P, -{- 5,06 Pr —1051,60-, hierin ist Pr = dem P, im II. Fache, also =12,62-, daher wird 42,23 P,-f- 5,06.12,62 = 1051,60, P, = 22,85, P₂ = 22,85 — 54,52 = - 31,67.

Für das II. Fach ergibt sich nach Gleichung 22, wenn man sin¹ a = ces'¹a = 0,5, sin³ce = cos³ce = 0,354 setzt,

14,3 0,354 P, + [12,5 + 25,0 + 2.6,67.0,354 + (14,3 + 21,0).0,354] P, -f 21,0.0,354P, = - 6,67.0,5.31,99 + 6,67.0,5.60,98 + 14,3.0,5.30,19 + 21,0.0,5 . 16,14 + 12,5 . 40,99, d. i.

5,06 P, + 54,32 P, + 7,43 Pr — 994,25.

Setzt man P₂ = Pr = P,, so wird annähernd 67,21 P₂ = 994,25, P, = -{- 14,80, P₂ — 14,80 — 40,99= —26,19. In gleicher Weise siud die in der folgenden Tabelle zusammengestellten Spannungen in den übrigen Fächern berechnet. Diese Tabelle enthält gleichzeitig die hiernach bestimmten künstlichen Spannungen, sowie die aus der künstlichen Spannung und der Belastung resultirenden Spannungen:

Fach

II

III

IV

Hauptstreben

Spannung durch die Belastung

allein.................

Künstliche Spannung......

Summe..................

—    31,67 - 26,19    18,76j— 11,28

—    22,85- 14,80— 9,29\— 6,24

—    54,521— 40,99 — 28,oà — 17,52

Gegenstreben.

Spannung durch die Belastung

allein.................

Künstliche Spannung......!

Summe..................I

-f 22,85 -f 14,80 H- 9,29 — 22,85 — 14,80 — 9,29

4- 6,24 -j- 2,03 — 6,24 — 2,03

Hiernach ist die Maximalspannung der Hauptstreben 2,4 bis 3,0 mal so gross, wie die der Gegenstreben.

2. Vertikalen. Die Maximalspannung in den Vertikalen der linken Seite des Trägers tritt ein, wenn die rechte Seite belastet ist, derart, dass die erste Last über der rechts von der fraglichen Vertikalen liegenden Vertikalen ruht. Die bei dieser Belastung entstehenden Spannungen der Diagonalen in dem rechts neben der fraglichen Vertikalen liegenden Fache sind dieselben, wie sie unter 1. berechnet wurden. Für die links von der fraglichen Vertikalen liegenden Fächer ergeben sich nach dem Auslösen der Gegendiagonalen die folgenden Spannungen :

»,

i-b 31,99 — 0,9 + 30,19

—    25,84 + 50,38 + 24,04 + 21,04

—    39,78 4- 55,17 -j- 16,59 + 13,59

—    43,14 -j- 51,52 f 9,58 +- 6,58

Vertikale 1 ; I. Fach. . .

II. « ...

4- IV. v ...

5: V. »    ...

Für das I. Fach ergibt sich nach Formel 22 die Gleichung 43,23P,-\- 5,06Pr = 785,16. Hierbei ist Pr = dem P, für das II. Fach unter 1., nämlich Pr=-f-14,80, daher 43,23P, + 74,89 = 785,16, P, = +16,43. Für das II. Fach ergibt sich nach Formel 22, wenn man P, = Pr =P₂ setzt, 67,21 P, = 880,79, also P, =-|-13,10 u. s. w. Die so berechneten Spannungen für die links von der fraglichen Vertikalen liegenden Fächer sind :

2;

Fach

i.

III. IV.

II.

Pt = 4 10,43 4- 13,10 + 8,78 4 6,28.

Die Spannnng der Vertikale O wird nun, weil nach Auslösung der Gegendiago-nalen die Spannung — 0,9 eintritt und die Spannung der Gegenstrebe int I. Fache nach 1. = 4 22,85 ist, — — 0,9 — 22,85 . cosu = —0,9 — 22,85.0,707 — — 17,05. Die Spannung der Vertikale 2 wird, weil nach Auslösung der Gegen diagonalen nach 1. die Spannung 30,19 eintritt und die durch die Belastung erzeugte Spannung der Gegendiagonalen im I. Felde 16,43, ira II. Felde nach 1. =14,80 ist, =30,19 — (16,43 4- 14,80) 0,707 = 4 6,11 u. s. w. Die so berechneten Spannungen enthält die folgende Tabelle.

Die Spannung —17,05 der Endvertikale zerlegt sich in zwei Theile, welche auf das Eisen und das Holz kommen. Die Spannung der eisernen Endvertikalen ist nach Formel 67 (Seite 77) :

2.17.0,0014 2.17.0,0014 4 2.0,048

17,05 = —

0,048

17,05 = — 5,68.

0,144

Die künstlichen Spannungen der Vertikalen ergeben sich leicht aus denen der Streben. Die der Vertikale 0 ist: 22,85 . cos«. = 22,85.0,707 = 4 16,15, die der Vertikale 1: {22,85 + 14,80) 0,707 = 4 26,62 u. s. w. Die folgende Tabelle enthält auch die hiernach berechneten künstlichen Spannungen, sowie die aus der künstlichen Anspannung und der Belastung resultirenden Spannungen :

Vei tikale

Spannung durch die Belastung

allein.................

Künstliche Spannung......

Summe..................

— 5,68\4 8,11 4 16,151+ 22,62 4 10,47'4- 30,73

4 5,21 4 17,03 4 22,24

4 2,87 4 10,98 4 13,95

+ 9,70 4 5,85 4 6,55

Hiernach sind die Vertikalen, mit Ausnahme der Endvertikale, am stärksten im belasteten Zustande gespannt (nach der Näherungstheorie des §. 31 tritt dagegen die Maximalspannung der Vertikalen im unbelasteten Zustande ein).

3. Gurte. Die Belastung, bei welcher eine Gurtspannung zum Maximum wird, kann als dieselbe angenommen werden, wie sie bei nicht vorhandenen Gegendiagonalen anzunehmen wäre. Für diese Belastung ergeben sich nach Auslösung der Gegendiagonalen die folgenden Spannungen :

Feld

Bei Ver- \ liegt tikale i Last

»,

»,

Obergart

1.

IL

III.

IV.

Oo k Cs

—    48,50 O 4 34,30

—    29,78 — 37,94 4- 59,02

—    15,24 — 65,99\-\- 79,22

—    5,43— 77,52\+81,29

— 11,95 + 22,85 -f 22,28\+ 15,39 -{- 14,22\+ 7,67 4 5,04— 6,41

Untergurt

1.

IL

III.

IV.

Ce ÎND kJ.

4- 37,94

—    38,72 + 65,99

—    59,63 -4- 77,52

—    77,91 4- 83,12

3,72

4- 28,47 4 19,09 4 9,74

4- 22,28 4- 11,42 + 5,04

6,32

Die Spannungen P, der Gegendiagonalen lassen sich nun wie oben mittels der Gleichung 22 bestimmen. Beispielsweise ergibt sich für das III. Feld, wenn die Last ITT über der Vertikale 2 liegt, wenn man P, = P„ — Pl setzt, 89,08P, — 555,74, P₁ = + 6,23, S, =    — P, coscc = —    — 6,23.0,707 = — 70,39. Für den unbelasteten

Zustand ist im III. Felde P,' = — 9,29, daher wird S₁,= — P₁‘sina — 9I29.0 707 = 4-6,57. Die Summe aus beiden Wirkungen ist St* = — 70,39 4- 6,57 = —63,83. Die Resultate dieser Rechnung sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt :

Fach

11

III

IV

ObergurU

Pi

-[ 16,00 |+ 11,36 Spannung durch die Belastung allein — 11,31 — 45,97

F 16,15 -f 10,46 F 4,84 j— 35,51

Künstliche Spannung Summe.......

-j- 6,23

—    70,39 + 6,57

—    63,82

4- 1,17

—    78,35 + 4,41

—    73,94

Untergurt.

-f 17,77 l-f- 13,80 Spannung durch die Belastung allein -j- 25,38 j-j- 35,23 Künstliche Spannung Summe....

4- 16,15 |4- 10,46 4- 41,53 j-f- 45,69

+ 8,22

+ 71,71 + 6,57 + 78,28

4- 2,51 4- 81,35 + 4M + 85,76

Bei der Belastung, für welche die Gurtspannungen zum Maximum werden, ist die Spannung der Gegenstreben zwar nicht genau =0, aber doch sehr klein, so dass man für die Praxis hinreichend genaue Werthe erhält, wenn man die Gurtspannungen unter der Voraussetzung berechnet, dass keine Gegenstreben vorhanden sind. Unter dieser Voraussetzung würde man für den Obergurt die Zahlen 0 37,94 65,99 77,52, 4ir den Untergurt die Zahlen 37,94 65,99 77,52 83,21 erhalten.

§. 105. Kombinirtes vier- und mehrtheiliges Gitterwerk mit künstlicher Anspannung. Im Allgemeinen wird man zunächst die Spannungen, welche die Belastung erzeugt, also ohne Rücksicht auf die künstlichen Spannungen, nach §. 103 bestimmen. Da nun die Spannungen in den Gegendiagonalen bei enstprechender einseitiger Belastung gleich Null sein sollen, so muss die künstliche Spannung der Gegendiagonalen gleich und entgegengesetzt den Spannungen sein, welche die Belastung erzeugt. Da man somit die Spannungen der Gegendiagonalen im unbelasteten Zustande kennt, so kann man, indem man dieselben als äussere Kräfte betrachtet, nach §. 100 die künstlichen Spannungen der übrigen Theile bestimmen. Beim viertheiligen Systeme ist hierbei ein überzähliger Stab, beim sechstheiligen Systeme sind zwei überzählige Stäbe vorhanden. Da es indess beim kombinirten Systeme mit künstlicher Anspannung auf eine ganz exakte Bestimmung nicht ankommen kann, weil eine Herstellung ganz bestimmter künstlicher Spannungen nicht wohl möglich ist, so wird es genügen, wenn man zur Bestimmung der künstlichen Spannungen eine Zerlegung in Elenientarsysteme vor-nimmt und hierbei die Formeln 30 des vorigen Paragrafes anwendet.

18

Winkl er’s Brückentan; Theorie, II. Heft.

§. 106. Einfluss der Wärme. Bei einem kombinirten Systeme entstehen auch Spannungen durch Aenderung der Temperatur, wenn verschiedene Materialien zur Anwendung gebracht werden. Wir wollen uns jetzt den Träger unbelastet denken, um nur diejenigen Spannungen zu ermitteln, welche durch den Einfluss einer Temperaturänderung entstehen. Bei einer gewissen Temperatur tQ seien alle Theile ohne Spannung. Bei einer Veränderung der Temperatur um t mögen in den Theilen eines Faches mit zweitheiligem Gitterwerke die Spannungen Sv S„, Pt, P„, Vv Vq entstehen. Alsdann gelten zunächst dieselben Beziehungen 30, welche für die künstlichen Spannungen aufgestellt wurden, nämlich

i JPn = P,,    = Sq = — Pt sin cc,

1 Vx = — (jP, + Pf) cos cc,    V2 = (JP, + Pr) cos cc,

worin noch Pj und P, die Spannungen der rechts fallenden Diagonalen im links und rechts neben dem fraglichen Fache liegenden Fache bezeichnen.

Bezeichnen wir den Elastizitäts- und Ausdehnungskoeffizienten, letzteren für ein Grad Temperaturänderung, für die Gurte mit Ev E„, ćp £₂, für die Diagonalen, gleiches Material derselben vorausgesetzt, mit E, e‘, für die Vertikalen mit E", £", so sind die relativen Längen-

o

änderungen £t t -f jjr—, 1 +

P,

Fi

E‘f:

£,ł/ + E“ x\>:

Et <f ₂

e" t + -w,¹- • Die Gleichung 8 (S. 244) lässt sich anwenden, wenn man E“ V'î

~ u. s. w. die relativen Längenänderungen setzt. Man er-

statt

V₂

/S’,    &

(ft'

hält somit

£(£i +■ £o) ^ “h

st

sq

EPE

En <f o

2EH.Ą

V,

E“ U>

cos"-a

— 2Et 4- —4-    .

fl- fl“ E,^

Setzt man für Sv S„, Vt, Vqj P„ die obigen Ausdrücke ein, so erhält man

COSs CC    jP,

35.

■ E“ll\

—--j- ¹    -j- ( J -I------ —)

•:‘t\ T E‘fn T \ESfX ^ EntfjnJ

sin³ cc

Pr

cos:icc

E“ l/E

— / [(£, + ffl) sin¹ cc +    cos" cc — 2&].

Die Anwendung dieser Gleichung hat in gleicher Weise zu erfolgen, wie die der Gleichung 22 oder 23. Zur Näherungsberechnung wird man auch

= ~ -f- setzen können.

hier

P, , P,

Vs

'fl

Wir wollen nur noch eine Anwendung auf Howe’sche Träger mit hölzernen Gurten, hölzernen Streben und eisernen Vertikalen machen. Hier können wir Et — En — E‘, E“ = 17E s" = 3e setzen. Setzen wir ausserdem annähernd

~ — — -j-— i ⁸⁰ erhalten wir, wenn wir E für E ’Ai '• »/V

sin² a — 1 — cos²a setzen.

e für

£i

-f

und

36. JP, =

4Eet cos²a

t-h

4~

(L + S)

\(pi ¹ fpj

sin³ a 4-

17 \ip. ^ ifjJ

cos³ a

Setzen wir hierin noch E = 120 Tonnen pro Ocw, « = 0,0000038, t = 30° C., so wird Est = 13,8. Setzen wir ausserdem noch a = 45°. so wird:

37.    =

_______0,0276

+ y + 0,354 (— + —)

/«    \<f\

+ 0,042

(k ⁺ i)

Die Querschnittsflächen sind hierbei in Q Centimen tern einzuführen.

Bei einem Systeme, dessen Theilungszahl grösser, als 2 ist, lassen sich die aufgestellten Gleichungen ebenfalls als Näherungsgleichungen anwenden.

Beispiel, bür das in §. 104 durch geführte Beispiel ergibt sich für die

¹

Es besteht Alles aus demselben Materiale, die beiden

²

chen Querschnitt. Alsdann wird, wenn man Mx — Af₂ = — Qai a = h tana und zur Abkürzung:

³

Gurte, beide Diagonalen und beide Vertikalen haben glei

- + -

Vi </₂

ersten vier Fächer

= 0,00134,

— 0,00310 0,00375 0,00048

u+

0,00089, — 4- — — 0,0360 0,0600 0,0910 0,1805. Dies in die Formel 37 ein-

Vi    ¹l'-i

gesetzt, gibt P, = P.₂ =    5,4 4,1 3,0 1,6 Tonnen. Nach den Formeln 34 wird

ferner S, = S₂ — — 3,8 2,9 2,1 1,1 Tonnen, V für die Vertikalen 0 bis 4 = 3,8 6,7 5,0 3,2 2,2 Tonnen. Von der Spannung — 3,8 der Endvertikale kommt nach der im Beispiele zu §. 104 angewendeten Bestimmung —1,3 auf die eisernen, — 2,5 auf die hölzernen Vertikalen. Bei einer Temperaturerhöhung vermindert sich hiernach der Druck in den Streben und der Zug im Untergurte und in den Vertikalen, der Druck im Obergurte vermehrt sich, während hei einer Temperaturerniedrigung das Gegen-theil eintritt. Die Vermehrung der Beanspruchung beträgt hiernach im Obergurte 2,3 8,2 3,3 1,5, im Untergurte 9,1 6,3 2,7 1,3, in den Hauptstreben 10 10 11 9. in den Gegenstreben 24 28 32 20, in den Vertikalen 8,0 2,2 2,2 2,3 3,3 Prozent.

XV. Kapitel.

Einfluss fester Verbindungen.

§. 10Ï. Eiiigespannter Stab- Auf den Stab AB (Fig. 167) mit gerader Axe und konstantem Querschnitt mit der Fläche F und dem Trägheitsmomente I (für eine zur Kraftebene senkrechte Schweraxe) wirke Fig. 167.

im Abstande A C

und B D vod den Schwerpunkten A und B der Endflächen die Axialkräfte P, ferner in den Endflächen die Transversalkräfte Q. Bezeichnen wir die Biegungsmomente für die Endquerschnitte hinsichtlich der Schweraxe mit il/,,    , für einen beliebigen

Querschnitt mit M, so ist, vorausgesetzt, dass man bei Bestimmung der Momente die Formänderung selbst vernachlässigen darf,

-------X’------

<■

i) p

M= M. +

daher

= M, + W- M,) f

EIdx~ M<x + $ IM"- —

Ely = ~ M, *• + | (.M. - iV.) + C*,

wenn wir die Gerade MP als Axe der x annehmen. Für x = l wird y—O, daher 0 = — jJf, Z — g (Af„ — Afx) ? = — g (5Afj-f- M₂) l, also

- (UM, -f Ą) 2 + -Ml« 4- | (jf, -

EI

a?²

ax

Oil K4.

Bezeichnen wirjdie Winkel, welche die Endtangenten mit der Axe AP bilden, oder deren Tangenten mit t,, t₂, so ist also

T, = —

C2Mt + MJl

1.

6 EI

To - +

(.M, + 2Mi₂)Z

In P und P mögen die Gelenke für die Befestigung der Gitterstäbe liegen; ihr Abstand von der Axe AB sei e, und e₂. Die Längenänderung von EF sei Al. Alsdann ist

öder

PP

Cj / j “f" 6q Tq ,

O 4l_P (2Mx+Mq)ex l ~ EF^~ 6EI

(A/t_-f 2 Af₂) e2 6P7

Wir bezeichnen noch die Momente für die Endquerschnitte in Beziehung auf die Gelenke P und F mit mx und ma, die Abstände der in den Endquerschnitten wirkenden Kräfte P von E und F mit dx und dq. Alsdann ist Mx — -|- P (dx -f- ex), Jf₂ = -f- P (7a 4 e₂), mt = 4 Pd„ mq — -f- Päq, mithin Mx — mx -f- Pex, A7₂ = m₂ -f- Pe₂. Demnach wird

3.

E Irx — — ~ (2mx + tnj l P (2e, -f ea) l, EI Cq = -f- — (m, -f- 2m₂) ? -f- ^ P (e, -f- 2. e₂) l .

und

* 41 _ P    (2 mf -f m₂) e, + (m, +2m₂) e₂ , P [ (2 e, 4 e₂) e, 4- (e, 4 2 e₂) eq]

l EF'

6EI

6EI

Bezeichnet man noch den Trägheitsradius des Querschnittes mit r, so ist I = Fr*, folglich

S²_e\ ± gg) + m₉ (ex 4- 2 eg)

(,+

G 4~ G Vg ~t~ ^<î~ Sr*

Ist ex — e„ = e, so wird einfacher M P l ~ EF

Jl

⁵' l EF

(i E Fr¹

(2 +

4-

K 4- mq) e 2EFr*    '

Wir wollen nun noch einen aus zwei geraden Theilen CD und DE (Fig. 168) zusammengesetzten Stab in Betracht ziehen; die Längen der beiden Theile seien lx,    Fig. 168.

die Trägheitsmomente ihrer Querschnitte 7, die entsprechenden Trägheitsradien rx, rq, die Momente . in C, D, E bezüglich Mx,

Mq, Mq, M₃‘. In D möge die Tangente an die defor-mirte Axe mit CD, DE auf der linken und rechten Seite die Winkel

I»,

\E

Dl______

...../-

» &

..."

t‘ bilden. Alsdann ist nach Formel 1:

2 -M₂' -f-    ,

6‘ E Iq    V

Wenn sich der Winkel CDE nicht ändern würde, so müsste der festen Verbindung beider Stäbe wegen t — t‘ sein. Nehmen wir nun1 aber an, dass sich der Winkel CDE um d vergrössert, so ist = t — ö oder ö = t — i‘, d. i.

AZ, 4- 2 Mq

6P7

T¹ = -

1 [MJ MJ- MJ V

7. () =

je irr ⁺ ^ r +⁵ r f ~r~ J

oder, wenn man, wie oben, Mx — mx Ą- Pe^ M„ = w₂ -)- Pe₂, ilf«' — m₂ + P'e„, Jll₃' = Wg + P'e₃ setzt,

⁸- rf = w [

ml

+    (^y + yr)

V

+ m3 ~jr , P l (el 4- 2 e₂)

⁺ “    7~

§. 108. Einfluss der Kontinuität zweier Gurtstttcke beim eintheiligen Gitterwerke. Wir setzen zunächst voraus, dass zwei an einander stossende Gurtstücke CD und DE (Fig. 169) aus einem Stücke bestehen. Der Einfluss [der Kontinuität dieser beiden Gurtstücke wird

Fig. 169.

sich offenbar nur auf die Theile des Fünfecks CD EG F erstrecken; die Spannungen der übrigen Theile des Trägers sind ebenso gross, als wenn die Gurte auch in D gelenkartig verbunden wären.

In Folge dieser Kontinuität muss sich das Stück CDE biegen, so dass in D ein Moment m entsteht; wir nehmen m als positiv, wenn sich das Stück nach oben konkav krümmt. Die Spannungen, welche in Folge eines in D wirkenden Momentes —1 entstehen, seien für CD = iuv für M = w₂, für EG = y, für DG = q, für CF=Ql, für DF —l und für EG = I₂. Die Spannungen, welche diese Theile erleiden würden, wenn in D die Gurtstücke gelenkartig verbunden wären, seien bezüglich £),, £>₂, U, 9t, 9tn 8, 8₂. Die wirklichen Spannungen dagegen seien 0,, 0„, U, P, Pt, L, P₂. Alsdann ist offenbar

j 0, = Oj -J—    0₂ "= 0₂ —t0₂ Ml U — II -f- y Ml,

\ P = 9t -j- Q mr Pj = 9t, -f- q₁mi, L — 9 -Ą- Im, L„ = 8₂ -f- 1„mi.

Die Spannungen co, v, q, X aber sind leicht zu bestimmen. Bezeichnen wir die normalen Abstände der Stäbe F G, CF und EG von D mit w, v., i>₂, so ergibt sich unmittelbar

10.

tr

n (b

vi

Die Spannung l ist die entgegengesetzte Resultante von v und ebenso ist q die entgegengesetzte Resultante von v und l„.

Die Spannungen und zerlegen sich in eine in Richtung von CD und ED wirkende Komponente w, und io„ und eine hierzu senkrecht wirkende Komponente x, und •/„. Die letzteren Komponenten wirken ^ als Transversalkraft auf das Stück CDE. Sämmtliche /

Fig. 170.

OH.

KYv

Kräfte lassen sich auch leicht grafisch bestimmen (Fig. 170).

Sind «j, a die Winkel, welche CE und DG mit den Normalen zu CD und F G und ß„ und ß die Winkel, welche EG und DF mit den Normalen zu DE und FG eiuschliessen, ferner ax, a„, a die Längen von CD, DE, FG, so wird

2 Wi¹ \2

f I \

\ i

10 a.

p-- ⁺ «,

tan a,

_L (,i

tan ß„

-> v —

tana + tan ß

I

Beim Parallelträger mit Netzwerk (Fig. 171) wird

—— ~~~

a„

11a.

Vx=h — —

sec a

sec a a

2h*

Fig. 171.

= a Fig. 172.

a,

UiCC

11

a -,

Beim Parallelträger mit Fachwerk (Fig. 172) wird

sec a

116.

w.

, seca    ,

ÿ = + IT’ ¹ = +

1

— + y\ —

A,o — —

In Folge der Längenänderung der einzelnen Theile ändert sich der Winkel C I)E; die Aenderung sei d. Wir können dieselbe in folgender Weise bestimmen. Wir denken uns mit den Stäben DC und DE (Fig. 173) zwei parallele Stäbe DI und DI* so verbunden, dass sich

⁼ ~a' Fig. 173.

der Winkel zwischen ihnen und den Stäben DC, DE nicht ändert; die Länge dieser Stäbe sei — 1. In I und I mögen senkrecht zw. DI die Kräfte 1 wirken. Wird hierdurch in irgend einem Stabe A von der Länge c die Spannung a und die Längenänderung Ac hervorgebracht, während sich die Punkte 1 und V um ô von einander entfernen, so ist nach dem Prinzipe der Arbeit l.d-\-oAc — 0, also d == — a A c. Entstehen Spannungen in mehr als einem Stabe, so wird

12. d = — 2to Ac.

Für die wirkliche Spannung S des Stabes A mit dem Querschnitte F und dem Elastizitätskoeffizienten E wird Ac = Sc

— EF’

: wir setzen ~

EF

für die Stäbe F Gr — u, für die Stäbe D Gr, CF = r, r,, für die Stäbe DF, EGr = ll, t₂. Für die Stäbe CD, DE dagegen ist Ac — oxOxĄ-ox‘m, o₂0₂ -f- o₂'w zu setzen, wobei nach Formel 6:

c, " -p e\ e2 -f" e<i Sra

G<i ~P Cg²

wenn Ft, F₂ die Querschnittsflächen, i\, r₂ die Trägheitsradien beider Stäbe sind und ev e₂, e₃ die Abstände der Gelenke in C, D, E von der Schwerpunktsaxe des Gurtes bedeuten. Für ex = e₂ = e₃ — 0 wird natürlich 0! =    0₂ =    •

ö = — [wjOjOj -p o₂ 0₂ -j- (wjOj' -f- ciq Oç') in -p qïR -j- qxvxRx —p    -f- A₂f₂L₂].

ax

j ” EFX

,+!

o₂ —

a,q

EI

1 -p

<V = —

Demnach wird nun:

_    + %3)

6 E î\rx ⁸    ’

Clq (I Cq -p Cg) •

~6EFW~ ’

oder

14.    -)— tOqo₂-p î'itll -(- çr9î -j- v,—j—    -p A₂t₂S₂]

— [(ct>,Oi—f-0,0Cth~ł~(w₂^“P 0₂') coq-\-v~It-p^'r-pç, *r,-p^' l-p^a”P]m-Nach Formel 8 aber wird

15. Ô= —

Oxax (ex -P 2e.q)

Gj fl; Cq ~p Cg ) 1

h

Setzt man die beiden letzten Ausdrücke für d gleich, so erhält man eine Gleichung, in welcher jetzt nur noch m als Unbekannte vorkommt.

§. 109. Einfluss der Kontinuität zweier Gurtstiicke beim niehrtheiligen Gitterwerke. Wir wollen speziell zweitheiliges Gitterwerk voraussetzen; in gleicher Weise wird aber auch beim mehrtheiligen Gitterwerke zu verfahren sein.

Es fragt sich auch hier zunächst, wie gross die Spannungen o in einem beliebigen Stabe des Systems ist, wenn in einem beliebigen Knotenpunkte D (Fig. 174) ein Moment 1 entsteht. Das System ist aber in dieser Beziehung nicht statisch bestimmt, es hat vielmehr einen überzähligen Stab.

Man bestimme ganz nach §. 99 die Spannung s, welche in jedem Stabe entsteht, wenn in irgend einem Stabe, z. B. in einem Endst.änder eine beliebige Spannung s₀ (die auch == 1 sein kann) wirkt, vorausgesetzt, dass kein kontinuirliches Gurtstück vorhanden ist.

Fi g. 174.

)B

A<

Wenn nun aber im Knotenpunkte D ein Moment / angenommen wird, so bleibt das vorige Verhältniss der Spannungen auf jeder Seite von D erhalten, mit Ausnahme der Stäbe DC, DE, CH und EH. Es sei nun f und rt die Spannung zweier Stäbe, z. B. der beiden Ständer, auf beiden Seiten von D. Die Spannungen der Stäbe CH und EH sind durch das Gleichgewicht des Knotenpunktes H bestimmt. Zerlegt man die in C und E wirkenden Kräfte in Komponenten, welche in Richtung von CD und ED, sowie senkrecht hierzu wirken, so sind die ersteren die Spannungen von CD und ED. Jede der letzteren muss in Beziehung auf D ein Moment geben, welches = 1 ist. Hierdurch aber ist eine Beziehung zwischen £ und r; gegeben.

Bezeichnen wir oun die Länge eines beliebigen Stabes mit l, seinen Querschnitt mit f und seinen Elastizitätskoeffizienten mit E, so ist, entsprechend dem §. 96:

16.

osl

-*7

= 0.

Hierdurch aber ist eine zweite Beziehung zwischen | und r, gegeben, so dass nunmehr £ und rj und somit auch die Spannung a jedes Stabes bestimmt werden kann.

Im Uebrigen bleibt das im vorigen Paragrafe Gesagte auch hier giltig. Nur ist in Formel 14 die Summirung hier auf sämmtliche Stäbe des Systèmes auszudehnen.

Beispiel. Wir wählen dasselbe Beispiel eines Pavallelträgers, wie in §. 08. Die Beziehungen der Spannungen, welche entstehen, wenn in irgend einem beliebigen Stabe eine Spannung wirkt, gibt Fig. 175.

Ist £ die Spannung des linken Ständers AF, so findet man die Spannung eines Stabes, welcher auf der linken Seite von D liegt, wenn man die am Stabe stehende Zahl mit £ multiplizirt. Ist die Spannung des rechten Ständers B G, so findet man die Spannung eines Stabes auf der rechten Seite von 1), wenn man die am Stabe stehende Zahl mit —r] multiplizirt. Ist £ die Spannung des Stabes CI), so muss des Gleichgewichtes von I) halber die Spannung von FD = — Ç sein. Sonach fordert

1    V'2

VJ> \ 2

das Gleichgewicht von D : £ a - 4 £ ^£ ~ >i — In C wirkt sonach normal zu DC: ^2 •

u> 4. —    -- A — ~~2 {>I - Ś).

v* v* V2 i ;    ^

y 4y (v — A ‘ 2 — J (H⁻ A- Dasselbe ergibt sich für E. Somit ist, wenn in D das Moment 1 wirkt, da CD = 5 ist, j (I 4 V) 5 = 1, also £ 4 rl — 0,4. Die Spannung von CD ist = — 4

Fig. 175.

F +1    -1 Ü +1 D - 1 E +1

rz

y% +Xy5-

r¹ A ..

ÎOI

B f/- V~2 V2 V 1

s v 2 —g- — —g- (»;— £) — = — (£ — rt) ; diejenige von ED ergibt sich zu

— ^ (£ — rj). Die weiteren Resultate der Rechnung sind in folgender Tabelle zusammengestellt :

Theil Nr.

sl

asl

Obergurt

osvjoiOitkOotek

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44    4 4

tkkiOcikiNOokîtk

41414141

kkikikikkikki

4 53

—    40 4 ‘28

—    24 4 24

—    28 4 40

41

4- 53 2

4 0,261 — 0,261

-\-0,5 '2 —0,5 rj 4 14 § —14rj 4 0,060 —0,5£ 40,5 rj -j- 12~£ — 12rj — 0,060

— 0,139 |4 0,139 S— 0,139

4 40 i;

53

—    24 r,

—    28 tj

—    40 rj

—    53 rj 4 0,139

Untergurt

OD'OJOiOTftktcJ-'CM.

4 4 4 4 4 44 4 4 ïc 4 4    *-o oc

k.k!Ook!ViQok!lk

4 53

—    40 4 28

—    24 4 24

—    28 4 40 — 53

4I4I44I4

—    40 rj

—    53 rj

— 0,139 4 0,139

Rechts füllende Stäbe

0,5    — 1,411— 184

0,4 j 4 1,41 4 250 0,3    — 1,411- 333

0,2 ! 4 1,41 4 385 0,26 i — 1,41 j— 385 0,30 ,i -f- 1,41 4 333 0,40 — 1,41 — 250 0,54 -f 1,41 4 184

- l,*ll

4 iféU

4 2602    - 0,368

4 3541    |4 0,368

0,71 '2 +0,71 rj\+235$—235 rj\ — 0,086 -1,41 ^

— 544 ^    —0,197

4 1,41 ri — 544 rj 4 0,197

—    1,41 rt 4 1,4:1 rj

—    1,41 ^    — 260$

—    471t,    —0,197

—    354 /    4 0,197

- 0,197

Theil Nr.

te

to

co

Links fallende Stäbe

00<îO>Üil4i.tOîcKl

—    1,41

4" i,4i

-1,41

4- 1)41

—    1,41 4- 1,41

—    1,41

4“ 1,41

—    184 -f 250

—    333 4- 385

—    385 4- 333

—    250 4- 184

—    1,418,    4-    260$

+ 1,41$    f    4-3541

—1,41%    j    +    333$

+0,711 -0,71 rj\+280 $ - 280 r, -h 1,41 rj

—    1,41 7]

4~ 1,41ti

l,41rj

—    544 rt

—    471 rj

—    354 tj

—    260 tj

—    0,368 4- 0,368

—    0,368 4- 0,086 4- 0,197

—    0,197 -f 0,197

—    0,197

Vertikale

T-S

Î©

cT cT

t 4-

Kl Kl

4- 77 — 77

Ort

4- 0,77'S, 4- 0,77 tj

-f- 0,261

~j~ 0,139

osi

Die Gleichung 2    — 0 gibt

2530 Ç —4732 >] = 0.

Da ausserdem £ 4" >1 — 0,4 ist. so erhält man

£ = 0,261, t] — 0,139.

Hieraus ergeben sich nun die in der letzten Rubrik angeführten Werthe von o.

Die weitere, entsprechend dem Beispiele zum nächsten Paragrafe zu haltende Durchführung übergehen wir.

§. 110. Einfluss der Kontinuität eines ganzen Gurtes. Wir

setzen zunächst wieder einzeiliges Gitterwerk voraus. An den Knotenpunkten Av A₂,... (Fig. 176) des kontinuirlicheu Gurtes mögen die Momente /«t, m„,... wirken. In einem beliebigen Stabe CD entstehe die Spannung s,t, wenn im Knotenpunkte An das Moment 1 wirkt. Die Werthe von

Fig. 176.

Aj—'■.TT.

^4?---------

rr--AiK

's

Gn sind für die einzelnen Stäbe und Knotenpunkte nach dem vorigen Paragrafe leicht zu bestimmen. Für den Fall, dass der Gurt nicht kon-tinuirlich ist, mag im Stabe CD die Spannung @ entstehen, während die wirkliche Spannung von CD = S ist. Alsdann ist

17. S = © 4* Gimi 4~ G« ma + nh 4" • • • = © 4* — {o m).

Die Aeuderung dn des Winkels der beiden Gurtstücke am Knotenpunkte An wird, wie in §. 108, wenn wir für den Stab CD die Grösse

18. ön — — A (x ö @) — m A (x er²)

t m‘ (2e‘ 4- e) 4- w (e' 4 £e)    ₍₁ m (2e -4- e“) +

_ ff    "—    JEI“

An und AnAn+j des kontinuirlichen Gurtes

= x setzen, wenn wir ferner für die Knotenpunkte A

und An+i

das Moment mit m\ m", die Längen der Theile An-i An und An Au+I mit a‘, a“, ihre Querschnittsflächen mit F, F", ihre Trägheitsradien mit r\ r", ihre Spannungen für das Moment 1 in An mit ff', o“ und die Exzentrizität für An-j, An, A chend der Formel 14:

EF

n+l

n—1

mit e', e, e“ bezeichnen, entspre-

Für die Stücke ^4, wird hierbei aber nach Formel 5:

19. x' —    +

e<2+ e'e + e²

3r'²

*a =

—_4-

?F" y ^

e² + ee"4e"²

5r“²

Nach Formel 8 aber wird, wenn wir die wirklichen Spannungen der Gurtstücke ^4

An und An An+i mit 0' und 0" bezeichnen,

20. ön =

i

6‘E L

a‘

(i+f)

a¹¹

+ m"-w

0'a‘ (e‘ -\- 2 e)

0“ a‘‘ (2e 4- e")

I“

Sind £)' und £>" die Spannungeu der Gurtstücke An-i An und An AnJrl bei nicht kontinuirlichem Obergurte, so lässt sich 0' = £)'4- (o'm¹ 4-otm4 0“ = £>" + (°am + 0“ m“) setzen. Setzt man alsdann die beiden Ausdrücke 18 und 20 für ön einander gleich, so erhält man eine Gleichung mit den drei Unbekannten m', m und mu. Stellt man diese Gleichung für jeden Knotenpunkt auf, so erhält man für die Momente m an den Knotenpunkten so viel Gleichungen, als unbekannte Momente zu bestimmen sind.

Die Spannungen der einzelnen Theile sind alsdann durch die Formel 17 bestimmt

I. Beispiel. Parallelträger von 30m Spannweite mit einzeiligem Netzwerke (Fig. 177). Das Material sei durchgehends das gleiche. Der Obergurt sei kontinuir-lich, jedoch mögen die Gelenke in der Axe des Gurtes liegen. Der Elastizitäts-

Fig. 177.

11

III

iv

Q--

-----6-------6------

koeffizient sei für alle Theile konstant, so dass wir E überall = 1 setzen können.

'    Q

30

Theil

Ob ergurt

Untergurt

Rechts fallende Stäbe

Links fallende Stäbe

Tabelle. Ausserdem sind in dieser Tabelle auch die nach Formel 10 berechneten Spannungen a zusammengestellt, welche entstehen, wenn in einem Knotenpunkte das Moment 1 wirkt. Auch enthält die Tabelle die Werthe von xo. Die Längeneinheit ist durchgehends = 1 Decimeter.

k Cu îo k ! Nummer

ki ki ki ki

O C C> Ci

“C^ki^kiVk C

"k. "ki "oo "ki "k. Ol c C C Ol

<M <M C C C 00 «i «O 00 c

c" c" cTcjjl

■k( (M CO kjl IO

Oi k cts io k

C ^C ^C C ,ki 'boVci'oo C C c c c

c ;

X“F

10 a für Knotenpunkt

x a für Knotenpunkt

II

III

II

III

10 a o; für Knotenpunkt

I II j 111

54,5 +0,125 O 35,0 +0,125+0,125 35,0 O +0,125

54,5

+ 0,125 + 0,125

+ 0,681 + 0,437

O 0,085 O + 0,437 O 0,085 0,055 + 0,437 + 0,437 O 0,055 O +0,68i | O

II

I!

Ci C> Ci

0,055

0,085

kl

ki

Cts Ol Hs. Oi Os jk Cs Kk ^Cas "c Ol

C^Tk oo    Ci

f-T cT «4    c"

Ci QO Co

Ci CO Qo Ci Ol k Ci Ct5 tc C OkOjOiO

Oi

*c

Oi

Ci

Ci Ci Ci

ic

Oi

<>

-1,363

c Cs C

—1,155 O O -1,363

0,341 O O 0,289

0,341

-0,208 +• 0,208

- 0,208 O 4-0,208-0,208

O +0,208

O \ O

+ 0,208j    O

- 0,208 + 0,208 O —0,208

+ 0,208 - 0,208

C ÎO C Ci C c

C Ci

-1,733

-2,000

+ 1,733

+1,733

— 2,200

II

O    0,261 O

O    0,416 0,416

-1,733    0,360

+ 1,300

+ 2,000

-1,269

0,360

0,416

Ci C

Cs c>

O N

Co O) k

Ci" Cs"

0,416

0,264

Summe

1,791 1,951 1,791

Ferner ist für die Gurtstücke O I und III IV : F — 1,10, I = 0,912, r = 0,91> 65,8 und für die Gurtstücke I II und II III : F — 1,70, 1 = 1,173,

60

I 0,912

r = °'a3' T = 5rä

Die folgende Tabelle gibt nun die in bekannter Weise berechneten Werthe der Spannungen ©, unter der Voraussetzung von vollständigen Gelenken im Obergurte und unter der Annahme, dass einer der Knotenpunkte 1 und 2 mit der Last 1 belastet ist. Ferner enthält die Tabelle die Werth von xa<&.

60

— 51,2.

Theil

Nummer

Belastung von 1 y.G<& für Knotenpunkt

II J III

Belastung von 2 y.a<S> für Knotenpunkt

II i III

Ob er gurt

CNj <?o

—1,20 —0,90 — 0,60 — 0,30

—    0,817

—    0,393

—    0,393 O

—    0,2621— 0,262 O — 0,204

^ ^ Ci to oo ^ ^ O <2,

—    0,613 O

—    0,787' — 0,787 O — 0,524

—    0,52^

—    0,409

Untergurt

Üt Hi. Os to Ki

4 0,60 41,05 + 0,75 + 0,45 4 0,15

— 1,431

O    +0,46:

O    41,35

— 0,866 O +1,50 O —0,613+0,90 O    40,30\

— 1,840

— 1,733 O O — 1,227

Rechts fallende Stäbe

Ol Kk Cö l-A

4 0,500 — 0,433

4 0,433 — 0,325

40,7+ - 0,952 +0,75 4 1,500 —0,50l

—    0,50

-    0,50,

—    1,500 O

—    0,867 4 0,867 O — 0,650

Links fallende Stäbe

Oi co te) Sa

+ 4+4 I

O _C> ^ ^ to te fo O o, o* o«_ ü, a

—0,75 — 0,75 — + 0,50 — — 0,500 + 0,500 +0,50 — 0,317 -f 0,50!

-f- 0,325 O — 0,433 4 0,433

0,975\ O 0,867+ 0,867 O

o — 1,000 4 1,000

O — 0,634

— 4,534— 5,544— 1,577

Summe. ..jj— 4,518\ - 1,521— 0,788

Sonach wird nun, wenn wir bei irgend einer Belastung für die Knotenpunkte I, II, III die Summen Z{xa<5) = — A,, — A₂, — As setzen,

Ed, = A,— 0,179 mx,

E d₂ — A₂ — 0,195m₂,

Ed3 = 4 — 0,179 m₃,

Nacli der Gleichung 18 wird ferner Ed, = l-, [0 + 2m, (65,8    51,2) 4    • 51,2]

u. s. w., oder

Ed, = 39,00m, 4 8,53m₂ ,

E d₂ — 8,53 m, 4 34,13m₂ + 8,53 m₃, E d₃ — 8,53 m₂ -f- 39,00 m₃.

Die Gleichsetzung beider Ausdrücke für Ed gibt

= A₃.

39,18m, 4 8,53 m₂ — A₂, 8,53m, 4 34,33m₂ 8 53 1n₃ = A,, 8,53 m, -f 39,18 Wz

Die Auflösung dieser Gleichungen gibt:

w, = 4 0,0271 A, - 0,0071 A₂ + 0,0015 A₃, v>₂ = — 0,0070 A, 4 0,0325A₂ — 0,0070 /1₃, m₃ = 4 0,0015 A, - 0,0071 A₂ 4 0,0271 A₃.

Hiernach ergibt sich nun

Belastung von 1 : m, = 4 0,108, m₂ = 4 0,009, m₃ = 4 0,018, Belastung von 2: m, = -4- 0,086, m₂ — 4 0,138, m₃ — 4 0,010.

Ist jeder der unteren Knotenpunkte mit der Last 1 belastet,' so wird hiernach m, = m₃ = 0,113 4 0,085 4 0,009 4 0,017, m, — 0,012 4 0,142 4 0,142 4 0,012, d. i. m, — 0,222-, ~ m₂ — 0,294, m₃ = 0,222,

Bei Belastung aller vier Knotenpunkte sind die Spannungen des Untergurtes bei nicht kontinuirlichem Obergurte @ = 4 4,50, -f 3,75, 4 4,50, bei kontinuirlichem Obergurte aber 5=4 1,50, 4 3,75 - 0,025.0,222 = 4 3,750 - 0,006, 4 4,50 — 0,025.0,294 — 4 4,500 — 0,008, also um 0, 0,15 und 0,17 Prozent kleiner. Die Spannungen des Obergurtes werden bei nicht kontinuirlichem Obergurte © = — 3,0,

—    4,5, bei kontinuirlichem Obergurte 8 — — 3,0 4 0,0125 . 0,222 — — 3,000 4 0,003 = — 2,997, — 4,5 4 0,0125 . 0,222 4 0,0125.0,294 = - 4,500 4 0,007 =

—    4,493, also um 0,10 und 0,15 Prozent kleiner. Ist 3Î, N die spezifische Maximalspannung bei nicht kontinuirlichem und kontinuirlichem Obergurte, M das auf das betreffende Gurtstück wirkende Maximalmoment, a der Abstand der gespanntesten

<©    S Ma

Faser von der Schweraxe, so ist 91 =    , TV =    ■]--—, daher

M a r¹ '

«. -

Dies gibt tur e = i,25 für das erste obere Gurtstück

4,493    . 0,294.1,25

1,113 und für das zweite —- ==

Kontinuität die Spannung um ungefähr 11 Prozent vergrössert wird.

4,5

4,5.0,8b¹

0,222.1,25 __ 3.0,9p    ~

1,114, so dass durch die

Beispielsweise wird ferner für den Stab I 2 bei Belastung aller Knotenpunkte © = 4 1,25, S = + 1,25 4- 0,0208 . 0 222 - 0,0208 . 0,294 = 4 1,250 — 0,002 : bei Belastung der Knotenpunkte 2, 3, 4, bei welcher hinsichtlich der zufälligen Belastung das Maximum der Spannung eintritt, wird ml = 0,086 -j- 0 010 4 0,018 — 0,114, mt = 0,138 -f 0,138 -f 0,009 = 0,285, m₃ — 0,010 + 0,086 4 0,108 = 0,204, © = 4-1,5, S = 1,5 + 0,0208.0,114 — 0,0208.0,285 = 1,5 - 0,004.

In gleicher Weise ergibt sich bei Belastung aller Knotenpunkte (Eigengewicht) für die rechts fällenden Stäbe S = -f 2,500 — 0,005, -{- 1,250 — 0,002, 0 4 0,002, für die links fallenden 8 = — 2,500 4 0, — 1,250 -|- 0,005, 0 4 0,002 und bei der ungünstigsten partiellen Belastung (zufällige Last) für die rechts fallenden Stäbe S = + 2,500 — 0,005, + 1,500 - 0,004 + 0,750 - 0,003. für die links fallenden S = — 2,500 + 0, — 1,500 4 0,002, — 0,750 4 0,003.

II. Beispiel. Dasselbe Beispiel, nur mit der Abänderung, dass die Schwerpunkte der Gurtquerschnitte in den Knotenpunkten I, II, III um 0,5(lm über den Gelenken liegen. Alsdann wird nach Formel 19 für die Gurtstücke O I und 111 IV

65,5 und für die Gurtstücke 1 II und II III:

* = 54,5 ^4 4

0,5

35,0

3.0,91*.

^ = 61,6. Die beiden Tabellen des vorigen Beispieles erleiden hiernach hinsichtlich des Obergurtes die folgenden Aenderungen:

1,5

3.0 83¹

Nach der Formel 18 ergibt sich nun Ed, = A, — 0,185 m, — 0,0125

m,. 1,5 -f- mt . 1,5 6.1,173 "

E<S,    =    A,    —    0,188 m,    -    0.003

E d₃    =    Ai    —    0,003m,    -f-    0,208 m₂ —    0,003 m₃,

E d₃    =    A₃    —    0,003 m.₂    —    0,188 m₃.

— 0,0125

u. s. w., d. i.

in,. 1

6.0,912

Summe l!

Theil

Nummer

10 a für Knotenpunkt

II

III

y.a für Knotenpunkt

Il III

10 y o² für Knotenpunkt

1 II III

Obergurt

Oj ÎO St _kA p-A pA _kA 4a '-V? "kA

__© © © ©

© © © © Ol ft, kl Ol

O, "© "© Ol

+ 0,125 O -f- 0,125 -f 0,125 + 0,125

-f 0,125 -{- 0,125

© ©

^ ^

___©" ©"

© © t-i ©

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© © © ^ JN 00

©" ©

© © © 'ha

ÎO © © ÎND

© ©

© ^ ^ © ^ ^

© ©

© Cb

0,096

0,102

Summe

1,849 2,033 \l,849

Theil

Nummer

Ir

Belastung von 1 y.a® für Knotenpunkt III

II

Belastung von 2

für Knotenpunkt

111

II

Obergurt

Hi. Oo ï>0 Sa

—    1,20 — 0,983

—    0,90 — 0,692

—    0,60 0 — 0,30 0

—    0,692

—    0,461

+ 0,461 j— 1,20 -j- 0,246 - 0,60

— 0,90\— 0,737 I- 1,80 — 1,384 — 1,384 ^ — 0,923

—    0,923

—    0,491

J.

— 4,2751- 1,886 j— 1,029

— 5,255 — 6,540\ — 2,058

Es ist nun ferner nach den Formeln 9: 0, =    0,0125m,, O₂ = 0₂+O,O155(wi,-j-»M₂)^

0₃ = £)₃ -j- 0,125 (m₂ -j- m,), 0, = £)₄ -f- 0,125 m₃. Nach der Formel 18 wird daher Ed, — 39,00 m, + 8,53 wi₂ + 21,93 D, -f 25,60 0₂ + 0,274 m, + 0,350 (m* + mf) u. s. w., oder

Ed, =    10,9 O;    +    12,8 0,    -f    30,507 w«, 4- 8,690 m₂,

J?d₂ =    12,8 0₂    4    *2,3 0₃    +    8,690 m,    + 34,450 m₂ +    8,690 m₃,

Ed₃ =    15,3 0,    +    10,9 Dt    +    8,690 m,    + 39,297 m₃. .

Setzen wir zur Abkürzung    — 10,0 0₂ — 15,3 0₂    = B„ J₂ — 15,8    (0₂ -j-    ö₃) = B.h

A₃ — 15,8 0₃ — 10,9 D, = J3S, so gibt die Gleichsetzung beider Ausdrücke für Ed aie Gleichungen :

39,49 m₁ + 8,69 m₂ =

tö bj bd

■ 8,69m, -{- 34,66 m₂ -f- 8,69 m₃ =

8,69 m₂ 4- 39,49 m₃    =

Die Auflösung dieser Gleichungen gibt:

m,    =    +    0,0267 B,    —    0,0071B₂    -f 0,0015 B₃,

.    m₂    =    -f-    0,0071 B,    4-    0,0328 B₂    — 0,0071B₃,

m₃    =    +    0,0015 B\    -    0,0071 B₂    + 0,0267 B₃.

Für die Belastung von 1 wird B, = 4,28 — 10,9 . (— 1,2) —12,8 . ( — 0,9) u. s. w. oder B, = 28,94, B₂ = 21,08, B₃ = 11,99 und somit:

?w, = 4- 0,634, m₂ = 4" 0,395, m₃ = 4~ 0,212.

Für die Belastung von 2 wird 5, = 7i,77,    —84,34, B% = 46,40 und dem ent

sprechend

ms = 4- 0,755, m₂ = -f 0,507, m₃ — + 0,376.

Ist jeder der unteren Knotenpunkte mit der Last 1 belastet, so wird hiernach nil = -f 1,947, m₂ — -f- 2,820, m₃ — + 1,947.

Bei Belastung aller 4 Knotenpunkte sind die Spannungen des Untergurtes 5 = 4- 1,50 , 4- 3,75 — 0,025 . 1,947 = + 3,750 — 0,048 = 4- 3,702, -f 4,50 — 0,025.2,82 = 4- 4,500 — 0,071 = 4" 4,429, also um 1, 1,3 und 1,6 Prozent kleiner, als bei nicht kontinuirlichem Obergurte. Die Spannungen des Obergurtes [werden S = — 3,0 + 0,0125.1,947 — — 3,000 4- 0,024 = — 2,976, — 4,5 + 0,0125 {1,947 -f 2,820) — — 4,500 -f 0,060 = — 4,440, also um 0,8 und 1,3 Prozent kleiner, als bei nicht kontinuirlichem Obergurte. Für das Gurtstück O I wird Mt = 0, M₂ —

1,947 — 2,976.0,5 = 4~ 0,459, daher nach Formel a für das linke Ende

Di

r- = 1,

«r das rechte -§- = *** ' 0,459.1.25

— 0,992 -f 0,230 = 1,222. Für das

3.0,83

Gurtstück III wird Mt = 1,947 — 4,440.0,5 = — 0,273, M₂ = 2,820 — 4,44.0,5 =

■ ⁰'273.1'25 _ ßq-

91 ~ 4,50 ⁺    4,5.0,74    0,987 + 0,102

1 non f a r .    „ . N 4,44 , 0,600.1,25

= 1,089, fur das rechte Ende = —— -f-    -----

Di 4,50

Die spezifische Maximalspannung ist daher hier 11 und 10 Prozent grösser, als bei nicht kontinuirlichem Obergurte.

4~ 0,600, daher für das linke Ende

4,5 . 0,74

0,987+ 0,225 = 1,212.

§. 111. Einfluss der Kontinuität beider Gurte. Die Formel 17 bleibt auch hier noch giltig; nur ist die Bildung der Summe 2 (am) auf die Momente, welche an den Knotenpunkten beider Gurte entstehen, zu erstrecken.

sondern

EF'

Auch die Formel 18 bleibt für jeden der beiden Gurte giltig; nur ist für das dem fraglichen Knotenpunkte gegenüber liegende Gurtstück nicht x = ~

21. x =

e,<a + etel + G

3+¹

zu setzen, wenn sich alle hierin vorkommenden Grössen auf dieses Gurtstück beziehen.

Ebenso bleibt auch die Formel 20 für jeden der beiden Gurte giltig. Indem man nun für jeden der beiden Gurte die Gleichsetzung der Werthe

19

Winkl er’s Brückenbau; Theorie, II. Heft.

für dn durchführt, erhält man für jeden Gurt die Gleichungen zur Bestimmung der an den Knotenpunkten dieses Gurtes wirkenden Momente. Die Spannungen der einzelnen Theile sind alsdann durch die Formel 17 bestimmt.

§. 112. Näherungstheorie des Einflusses der Kontinuität der Gurte. Zunächst kann man, der genaueren Theorie entsprechend, annähernd annehmen, dass die Spannungen S der einzelnen Theile dieselben sind, als wenn der Gurt nicht kontinuirlich wäre, so dass es sich nur noch um die Bestimmung der Biegungsspannungen in den kontinuir-lichen Gurten handelt.

Der Formel 18 entsprechend wird, wenn wir das Glied mit m vernachlässigen , ô = — .2 (x o @) = — 2 (y.a S). Für einen beliebigen Knotenpunkt des Obergurtes wird hiernach

+ w₂0₂i(2 + ^)

<5 = -

+ vU

(³ + b) + -

Hierin ist für einen beliebigen der drei in Frage kommenden Gurtstäbe c¹ = -₃ (e'² -j- e'e"    gesetzt, wenn e\ e" die Exzentrizität am linken

und rechten Ende dieses Stabes bezeichnet. Ferner bezieht sich 2,|(t5^ nur auf die vier in Frage kommenden Gitterstäbe.

Setzen wir nun ferner in Gleichung 20 annähernd m‘ ^ -j- m“ =

Cf + £)

liegenden Knotenpunkte m‘ = 0, m" — -m l jt -^1, setzen wir ferner e‘ 2e = 3ex‘, 2e -)- e“ — 3e₂', so wird allgemein

Qi W

Firi

Für einen Endknotenpunkt ist ^ m für m zu setzen.

und nur für die den beiden Enden des Gurtes zunächst

TË \m + ÿ

J*

er

Die Gleichsetzung der Ausdrücke für d gibt, wenn wir hierin s und «a

e²

sowie — gegen 1 vernachlässigen und wenn wir zur Abkürzung A = — 2    setzen,'

gegen

22. m

(£+£)

Ul

Ft

Bei einem Endknotenpunkte ist wieder -₆ m für m zu setzen. Hierdurch ist nun m bestimmt.

tana.

"i = —

, ferner Oi = — —, 0₂ = — —, Z7 = -f- —, wobei

SHÎP 33î₂, 907 die Momente der äusseren Kräfte für durch F, G, 1) (Fig. 169) gelegten Schnitte in Beziehung auf die Punkte F, G, D bedeuten, so wird

23. m

j'

Setzen wir nach den Formeln 10 a:

tana -f tanß

w₂ —

wi

(2 tan ai + ^Ta") +

FiVi

4- 2    (tana -|- tanß) -f 2A.

Die Momente Mv Jf₂, welche den Gurt und zwar auf die auf der linken und rechten Seite des fraglichen Knotenpunktes zu liegenden Schnitte in Beziehung auf die Schweraxe wirken, sind nun

24. M\ = m -|- Oxe, üf₂ = m -f- 0„e.

Setzen wir noch annähernd tan a, = tana, tan ß^ — tanß, = 3K₂ = Wl, lx — Z₂ — l, yx — yQ = y, rx — r₂ = r, eß = eß — e, Fß= F„ — F, y (tana -j- tanß) = l, so wird

Fr*

A.

Setzen wir Ox = — —, 0₂ = — — ¹    Vi ²    y>

2 Wir*

so wird

A + W-Wß⁶-,

-W)- .

y

Die spezifische Maximalspannung ist nun Nx = jß 0 M c

JV₂ =r ÿ    wenn c den Abstand der gespanntesten Faser von der

Schweraxe bedeutet; d. i. nahezu:

ID?, (y -f- 2 c)

F y²

_Sty» (y -\~ 2 c)

F y*

wenn d = — den Abstand des betreffenden Kernpunktes des Querschnittes, d. i. des betreffenden Punktes des Umfanges des sogenannten Centralkernes, von der Schweraxe bezeichnet.

Das erste den grössten Theil bildende Glied ergibt sich sofort nach der gewöhnlichen Biegungstheorie vollwandiger Stäbe ; denn es ist \ y -f- c der Abstand der gespanntesten Faser von der Schweraxe, \Fy* das Trägheitsmoment des gespannten Querschnittes.

Mx =

F r*

27.

26.

M₉ =

2 Wir*

Fr²

A - (2JU

Mt .c Fr²

und

Nx =

*\ =

fm

\ y

im,

\_5_

] Fd ’

f Aj — (—²

i \y*

im\ e y J F d

19*

Der Einfluss der Kontinuität der Gurte ist so gross, dass eine annähernde Berücksichtigung der Kontinuität bei der Berechnung des. Querschnittes rathsam erscheint. Aus der Gleichung 27 folgt, wenn wir N gleich der zulässigen Inanspruchnahme K setzen, für e = 0 :

28. F =

(1 + 2ï)

Theü

oder, wenn man den ohne Rücksicht auf die Kontinuität berechneten Querschnitt ^ mit F₀ bezeichnet und für den Nenner die Näherungs-

l

regel — — 1 -\- x bei kleinem x anwendet,

29. F =

Da die Querschnitte der Gitterstäbe unabhängig von den Gurten berechnet werden können, so lässt sich der Werth von A vor der Berechnung der Gurte feststellen.

Beispiel. Wir wählen das Beispiel zu §. 110 (Fig. 177). Der Belastung sei für Eigengewicht und zufällige Last für einen oberen Knotenpunkt 1,8, für einen unteren Knotenpunkt 18,6 Tonnen. Wir nehmen beide Gurte als kontinuirlich und e — 0 an. Entsteht an einem oberen oder unteren Knotenpunkte das Moment 1, so wird die Spannung <r der 4 benachbarten Gitterstäbe = ± 0,00208, die der übrigen Gitterstäbe —0. Hiernach berechnet sich der Werth von A wie folgt:

Nummer

axS für Knotenpunkt

a y. S für Knotenpunkt

II

III

Rechts fallende Stäbe

Y-H Ci 00    >0

52

60

80

100

_Ox _Ci Oo ^Ci

KD

_KD Ci    C,

Kl Ci ki Sk

Cu Kd

— 0,633 0,488 —

00 Ci 00 Y-S Ci

^ cT cT

c> c>

O    — 0,633

O    4 0,488

4- 0,019    O

— 0,346\    O

Cs C,

—    0,488

—    0,019 4 0,019 O

O — 0,346 4- 0,346 O —0,542

Links fallende Stäbe

Y~H Ci CVD Hfl IO

00 Or Ci Oo Ci Ci KP Cs Ci Cs

Cs »O CyTt-S Ci Cs^

cT OçT Cj~ cT

—52,1 O —26 A — 0,346 — l,l\ -j- 0,019 -f24,41    O

-f 49,9    O

—    0,019

—    0,488

O    -0,542

O    4 0,346

— 0,346 4 0,019

4 0,488 O — 0,633 O

C. Ci

—    0,019

—    0,488

+ 0,488 — 0,633

Summe

— 0,470 — 1,014\— 0,470 — 0,341 — 0,834 — 0,834 — 0,341

= 0,076 0,091 0,076 0,072 0,086 0,086 0,072,

S± + y

so dass die Querschnitte in Folge der Kontinuität der Gurte um 7 bis 9 Prozent vergrössert werden. Für die Berechnung des Querschnittes jedes Gurtstückes ist

c c A.

■derjenige der beiden Knotenpunkte massgebend, für welche 2 j — am grössten ist.

Nehmen wir c = 12,5, l = 600, y = 400, K — 0,75 Tonnen pro □ an, so wird

2°- —---

y 400

2.12,5

12,5

— 0,0635 und , K - eoon7S

h-also

II III

2 ^ = 0,063    0,063    0,063    0,063    0,063    0,063    0,063

= 0,013    0,028    0,013    0,009    0,023    0,023    0,009

Knotenpunkt I

§. 113. Einfluss der Verbindung der sich kreuzenden Stäbe beim zweitheiligen Systeme. Wir wollen jetzt voraussetzen, dass in den Gurten vollständige Gelenkverbindungen angeordnet seien, dass aber die kreuzenden Stäbe mit einander gelenkartig verbunden sind. Ist hierbei jeder Stab in zwei Theile derart getrennt, dass an der Verbindungsstelle eine vollständige Gelenkverbindung entsteht, so müssen die Spannungen der beiden, einem Gitterstabe angehörigen Theile, vorausgesetzt, dass beide Theile eine gerade Linie bilden, gleich gross sein. Alsdann aber sind die Spannungen in den einzelnen Theilen genau dieselben, als wenn beide Gitterstäbe nicht verbunden wären.

W enn nun aber ein Gitterstab kontinuirlich angeordnet wird und m Folge der hierdurch bedingten Biegung am Kreuzungspunkte ein Moment eintritt, so werden hierdurch auch die Spannungen der übrigen Stäbe geändert. Es hat nun zwar keine Schwierigkeit, die durch dieses Moment bedingten Spannungen, ähnlich wie in §. 109 zu bestimmen. Indess ist der Einfluss im Allgemeinen noch geringer, als der der Kontinuität der Gurte, so dass wir von Vornherein annehmen wollen, dass die Axialspannungen durch die Kreuzung der Gitterstäbe nicht geändert werden. Es bleibt dann nur übrig, die durch die Kreuzung entstehenden Biegungsspannungen zu bestimmen.

Fig. 178.

a’E

At

t,

{Er

Çr

-bi

Wir bestimmen zunächst den Winkel d, um welchen sich die Stabtheile BE und EC der Diagonale BC (Fig. 178) gegenseitig drehen. Wir denken uns hierzu das

Dreieck BAC nebst AU getrennt, da durch die Längenänderung dieser fünf Stäbe der Winkel ô bestimmt ist. Bezeichnen wir die Längen von AC, AB, AB, CE, BE bezüglich mit ax, hx, dX) tx, tq, die Längenänderungen dieser Stäbe durch ein vorgesetztes A, die Spannungen derselben, welche durch ein in E auf den Stab B G wirkendes Moment = 1 entstehen, mit ax, r]x, tx, t₂, so wird, entsprechend dem §. 108:

Errichtet man auf B C in E

ö = — [axAax -f- i]tA\ -j- öxAdx -f- rxAtx -f-Bezeichnet man die normalen Abstände des Punktes E von AG und AB mit a„ so ist a, = -j- rjx = + ^

eine Senkrechte, welche GA und BA in F und G schneidet und setzt

EG = t

man EF = t

so ergibt sich leicht, dass rx —---,

1

— ist. Legt man durch E eine Parallele zu BA, welche AG

t₂

in H schneidet und ist bt der normale Abstand des Punktes H von EA, so ergibt sich dx = — ~, mithin

A ax    Ally

A t<i ^2

In ganz gleicher Weise ergibt sich durch das Dreieck BCD mit DE der Ausdruck:

80. Ô =

Ad

«t

+ ~YX

At

i A ^2 ta ‘

A t,

A hq    A d

^2 ^2

Sind die Geraden AB und CD nicht durch wirkliche Stäbe vertreten, wie beim kombinirten Gitterwerk, so müssen ihre Längenänderungen nach dem Prinzipe der Arbeit oder durch allmälige Anwendung der Regel 7 (Seite 244) auf die einzelnen Vierecke besonders bestimmt werden.

30 a. ô — -j-

t,

Wenn die Spannungen und die entsprechenden Längenänderungen genau nach der Theorie der statisch unbestimmten Systeme bestimmt sind, so werden sich nach beiden Regeln für ô gleiche Werthe ergeben. Werden dagegen die Spannungen nur annähernd bestimmt, so wird man am besten das arithmetische Mittel der sich nach beiden Regeln ergebenden Werthe nehmen. In gleicher Weise lässt sich nun auch der Winkel ö für die Diagonale AD bestimmen.

Annähernd ist Ahx =Ahq, \ = Adx = Adq, = ö₂,    =

t₂ = t₂'. Dann aber wird annähernd für jede der beiden Diagonalen

AaA <*2 /

31. Ô = —

1    lAax

2    \ a7

Ist h die vertikal durch E gelegte Trägerhöhe, gx, aq der Neigungswinkel der beiden Gurte, a der Horizontalabstand der Knotenpunkte, Fx, F„ der Querschnitt beider Gurte, AI das Moment in Beziehung auf den

durch E gelegten Vertikalschnitt, so ist annnähernd d, = ~ h cosol,

Msec a a sec a

~ËJT ' ~F~

a₂ = -₂li cos (J₂, A ax = — also :

Masec^a

E Fxh

, /I Clą

Ma sec* o₂

E F₂ h ’

32. d = -

31a

Eh*

Für den Parallelträger mit Netzwerk (Fig. 179) oder Fachwerk (Fig. 180) wird genauer

Eh² (f. ⁺ F„) ’

2 Ma

Fig. 179.

Fig. 180.

cc

(cc

\.

fie

B    jj

lst I das Trägheitsmoment des Gesammtquerschnittes für die horizontale Schweraxe, so ergibt sich leicht

I =

FxF\h* F,+F, '

Der vorige Ausdruck lässt sich daher auch schreiben

Ma

33 a. ö —

Ist nun mï7 mq das in der Diagonale AD und BC bei E entstehende Moment, ix, i„ das Trägheitsmoment des Querschnittes dieser Diagonalen, so wird nach Formel 7 (Seite 278), worin 31x = 0, M₃' = 0,

Ma = Mq — mx bezüglich w₂ und 1 — I‘ zu setzen ist, ô =    ,

Dl, t

~ 3ËÏ,

, also

34. m

3Edix

«wa =

Für den Parallelträger mit Netzwerk (Fig. 179) wird d — t =hseca,

M a    3 L

—, m„ = v— - .

1    ¹ h sec «

₀_ _ . .

do. mx = —— ixsina, m₂ = -y— %q sma.

Für den Parallelträger mit Fachwerk (Fig. 180) wird für die Diagonale ö — hseca, für die Vertikale t = h, daher

36. m. = 3 M ^ sin a,

Die Krümmung des Gitterstabes am Kreuzungspunkte, d. i. y, y ist

M '

hiernach das 3 sina, bezüglich 3 tan a fache der Krümmung y der Gurte.

3iL

daher m. = ₇-.

¹ h sec a

Ma

r, d. i.

3M

3 31 .

2 l\ü +an «.

Ist A die durch die Biegung eines Gitterstabes veranlasste spezifische Maximalspannung, b die Breite des Stahes, so ist bei symmetrischem

wi, b

Querschnitte N = -b

, bezüglich ±

2i,

-, d. i.

Q    Q 7IT

37. N —Az——b sina,    bezüglich    Az'— —b tana.

JL    ^ 1

Ist K die zulässige Inanspruchnahme, F₀ die theoretische Querschnittsfläche des Gurtes, F die wirkliche, I₀ und I das theoretische

und wirkliche Trägheitsmoment des Trägerquerschnittes, so ist K = oder, da I₀ = I F°

Dieser wird

38. N = ± 5    sin a, bezüglich = Az 3 K

Ss-I C*

tan a.

Mh

2i₀

Ist f₀ die Querschnittsfläche des Gitterstabes, welche sich in der gewöhnlichen Weise durch Division der Axialspannung durch K ergibt, f‘ die wirkliche anzuwendende Querschnittfläche, so würde hiernach annähernd

f = /,[! + | f =    +

39.

F b

3 ^ —tanCt

Jo fi

Hiernach erscheint es rathsam, die Breite b der Gitterstäbe in die Ebene der Gitterwand gemessen, nicht sehr gross zu wählen. Bei den ausgeführten Brücken treten nach dieser Untersuchung Vergrösserungen der Beanspruchung bis zu 20 Prozent ein.

Durch die Krümmung der Gitterstäbe entsteht auch eine ungleiche Spannung in den beiden Theilen eines Gitterstabes. Ist Pv P₂ die Spannung in den beiden Theilen des Stabes BC (Fig. 178), y der Winkel zwischen beiden Stäben, so wirkt in E auf den Stab AD die Normal-

kraft (Pt — P₂) siny, daher ist m₂ =

, wodurch, da mz

(Pt — P₂) dl siny dŁ —|— d-2

bekannt, Pt — P₂ zu bestimmen ist. Indess ergibt sich die Vergrös-serung in spezifischer Spannung durch diesen Spannungsunterschied wesentlich geringer als durch die Krümmung, so dass wir nicht näher •darauf eingehen wollen.

Anmerkung. Ist das Gitterwerk mehr als zweitheilig, so stösst man bei der Untersuchung des Einflusses der Verbindung der Stäbe auf grössere Schwierigkeiten. Ist die Theilungszahl sehr gross, so wird allerdings die Untersuchung wieder erleichtert, indem man hier einen stetigen Verlauf der Krümmung der Stäbe annehmen kann. Unter der Annahme, dass bei der Deformation die in einer Vertikalen liegenden Kreuzungspunkte in einer Geraden verbleiben und dass auch der Abstand dieser Kreuzungspunkte konstant bleibt, wurde der Einfluss der Kreuzungen zuerst von Sch eff 1er (Theorie der Gewölbe u. s. w. 1857, Theorie der Festigkeit gegen das Zer-

knicken u. s. w. 1858), sodann vollständiger vom Verfasser (Förster’s Bauzeitung, 1859) untersucht. Nach der letzten Untersuchung ist die Krümmung der Gitterstäbe beim Netzwerke das sin ce (1 -f- cosia) fache der Krümmung der Gurte, so dass hiernach der Einfluss geringer würde, als beim zweitheiligen Gitterwerke. Später ist der Einfluss vom Verfasser noch genauer untersucht worden, indem er die erste Annahme) dass die in einer Vertikalen liegenden Kreuzungspunkte auch bei der Deformation in einer Geraden bleiben, beibehielt, aber die zweite Annahme, dass die Entfernung der Kreuzungspunkte konstant bleibt, fallen liess. Hiernach ergab sich die Krümmung der Gitterstäbe im Maximum gleich der Krümmung der Gurte, also ebenfalls noch günstiger, als beim zweitheiligen Systeme. Wir wollen indess hier nicht näher auf diese Theorien eingehen, da sie eben nicht frei von Annahmen sind, deren Zulässigkeit fraglich erscheint.

§. 114. Statische Beziehungen für Gitterträger mit festen Knotenverbindungen. In Folge der festen oder starren Verbindungen der Stäbe an den Knotenpunkten nehmen die Stäbe bei der Deformation Biegungen an. In Folge dessen vertheilen sich die Spannungen in einem Querschnitte nicht mehr gleichmässig über denselben. Die in einem Querschnitte wirkenden Spannungen lassen sich zusammensetzen zu einer in der Richtung der Axe excentrisch gegen dieselbe wirkenden Axialspannung P und eine in der Ebene des Querschnittes wirkende Schub-spannung T. Zunächst mögen sich die Axen aller Stäbe an einem Knotenpunkte in einem bestimmten Punkte A, dem Knotenschnittpunkte, schneiden; wir nennen in diesem Falle den Knoten einen cent rischen. Schneiden wir in Fig. 181 die Stäbe in der unmittelbaren Nähe des Knotenpunktes, so mögen in den Schnitten die Axialspannungen Sn $₂, P₃, S₄ im Abstande dl} dq, d₃, dt vom Knotenschnittpunkte A, sowie die Schubspannungen Tt, P₂, P₃, P₄ wirken. Während bei gelenkartigen Knotenverbindungen an jedem Knotenpunkte nur zwei Gleichgewichtsbedingungen zu erfüllen sind, so sind hier drei derselben zu erfüllen. Es muss nämlich die Summe der Komponenten der Axial- und Transversalkräfte, sowie der im Knotenpunkte wirkenden Knotenlast nach zwei Richtungen hin gleich Null sein und es muss ausserdem die Summe der Momente für einen beliebigen Punkt (am besten wählt man den Punkt A) Null sein. In der letzten Momentengleichung können die Momente der Schubspaunungen vernachlässigt werden, wenn man sich die Schnitte in der unmittelbaren Nähe des Knotenschnittpunktes gelegt denkt. Wir nehmen die Momente

Fig. 181.

Gr

-4Q-—

IT

dl

T*

als positiv an, wenn die von den Stäben auf den Knoten ausgeübten Reaktionen nach rechts drehen. Die zu erfüllende Momentengleichung ist alsdann

d\ —(— Są (ln "j⁻ S^dn -}- & 0,

oder, wenn man die Momente der in den Endquerschnitten wirkenden Spannungen in Beziehung auf die Schweraxe der Querschnitte, die wir Endmomente nennen, mit mt, m„, >w₃, mx bezeichnen,

40. ml -f- ni„ -f- //#.. -j- tn₄ — 0.

Für den Fall, dass sich die Stabaxen nicht in einem einzigen Punkte schneiden (Fig. 182), in welchem Falle wir den Knoten ex centrisch nennen, kann man als Knotenpunkt einen beliebigen Punkt wählen. Unter der Voraussetzung, dass dieser Punkt ganz in der Nähe der Axen der Stäbe liegt, kann man auch hier die Momente der Schubspannungen vernachlässigen, da diese gegen die Axialspannungen nur klein sind. Sind ex, eq, e₃, e4 die Abstände der Stabaxen vom gewählten Momenten-

Fig. 182.

T,

X'A

\&1

(brŁ

t:

Tz

dz

'S*

punkte, so wird die Momentengleichung

(ei — ^i) ~b So (e,₂ — 4) + S₃ (e₃ — d₃) -f- S₄ (e₄    d₄) = 0

oder

41. m{ + mq + m₃ -f m₄ =    -f S₃e₃ + S₄ev

Die Schubspannungen kann man durch die Endmomente ausdriicken. Sind m\ m" die Endmomente eines Stabes mit der Länge a, so ist

(Fig. 183) Ta - Sd‘ — Sd“ = 0 oder Sa — m‘ — m“ = 0, also

Fig. 183.

ft

42. T =

m/ -f- m“

wobei die Momente m‘ und m“ in demselben Sinne zu nehmen sind, wenn sie den Stab nach derselben hin konkav oder konvex zu biegen streben.

Stellt man für ein System aus n Stäben mit m Knotenpunkten für jeden der m Knotenpunkte die drei Gleichgewichtsbedingungen auf, so erhält man 3m Gleichungen. Bei einem Systeme, welches unter der Voraussetzung gelenkartiger Knotenpunkte statisch bestimmt wäre, ist m =

~Or-

\ (n -j- 3), also die Anzahl der Gleichungen = | (n -f- 3), während n unbekannte Axialspannungen, 2n unbekannte Endmomente und 3 auf die äusseren Kräfte bezügliche unbekannte Grössen, also zusammen 3 (n 4-1) Unbekannte vorhanden sind. Es fehlen zur Bestimmung also noch | (n — 1) Gleichungen.

Anstatt dieser der in §. 1 besprochenen analytischen Polygonalmethode entsprechenden Methode wird man indess auch hier entsprechend dem §. 3, 43 und 44 bequemer die Schnittmethode anwenden. Wir wollen im Folgenden für einen Träger mit eintheiligem Gitterwerke die bezüglichen Kegeln entwickeln.

a. Gurte. Zur Bestimmung der Spannung S des Gurtstückes CD (Fig. 184) legen wir einen Schnitt durch den Stab CD unmittelbar bei D und durch die Stäbe CA und AB unmittelbar bei A, wobei jeder dieser drei Stäbe normal geschnitten werden möge. Auf den abgeschnittenen linken Theil des Trägers wirken alsdann die Transversalkraft Q im Abstande £ von A, die Axialspannungen S, S der Stäbe CD,

AB, AC im Abstande d, dx, d₂ von D, A, A und endlich in den Schnittflächen selbst die Schubspannungen T, 1\, T₂. Da wir uns die Schnitte unmittelbar neben den Schnittpunkten der Stabaxen denken, so haben Tx und 2\ in Beziehung auf A keinen Hebelsarm. Ist AE senkrecht zu CD, AE — y, CE — e‘, DE — e“T so ist demnach die Gleichgewichtsbedingung für Drehung um den Punkt A: S (y — d) -f Txe" — Sxdx — S₂d„ + QÇ = 0.

Fi g. 184.

■C-

/; \

<■

-----

rdrol

(>"

y\ i\h    / / T

\v ; /' /

T~*'

s*

Sind m‘, m“ die Momente für die Enden G, D des Stabes CD}

a die Länge von CD, so ist nach obiger Gleichung 42: T — m Vl-

Bezeichnen wir noch die Momente Sxdv S^d^ für das Ende AL der Stäbe AB, AC mit mx“, m₂", so haben wir Sy — m“ +    e“~ mx"

Setzen wir = M und beachten, dass a — e" = e' ist, so erhalten wir die erste der Gleichungen:

— »V'.

43.

S=-

— m'e" (m/¹ + a

ay

Si

-+v~

mx“ e‘ — mx e“ — (m‘ + w«') »

ay

Die zweite Gleichung ergibt sich ebenso für die Spannung des unteren Gurtstückes AB, wenn CI — y, BI — e‘, AI = eu, AB — a gesetzt das Moment M für den Knotenpunkt C genommen wird und mx, m, “ die Endmomente für das Gurtstück AB in B und A, m₂' das Endmoment des Stabes AC in C bedeutet.

b. Gitterstäbe. Zur Bestimmung der Axialspannung S„ des rechts fallenden Stabes CE (Fig. 185) legen wir einen Schnitt durch die Stäbe CE und GE unmittelbar rechts von E und durch den Stab

Fig. 185.

S ______D~

\C

i / !

/ ¹ \

/ \*-r*\

!/ \ \

s I

AAT

T/ e\

OD unmittelbar rechts von G und zwar schneiden wir wieder jeden Stab normal. Auf den linken Theil des Trägers wirken alsdann die Transversalkraft Q im Abstande c vom Durchschnittspunkte L der Axen der Stäbe EGr und CD, die Axialspannungen S, Sv $₂ der geschnittenen Stäbe im Abstande d, dx, d„ von O, E, E und die Schubspannungen T, Ti, T„ in den Schnittflächen. Bezeichnen wir den normalen Abstand LH des Punktes L von der Axe des Stabes CE mit z und setzen wir LC—e\ LD = e", LG = e,', LE = ex“, HC = HE = e₂", so erhalten wir als Gleichgewichtsbedingung gegen Drehung um den Punkt D:

— /SjcZj -j- /Sij (# — dj) -\- Te‘ -J- Tjß," +• T₂e₂" — $c = 0.

Wir bezeichnen die Momente fiir das linke und rechte Ende der Stäbe CD, GE und CE bezüglich mit m‘, m“, m‘ mmj, m₂" und die

In den Formeln 43 bis 45 stellt das erste Glied diejenige Spannung dar, welche sich unter der Voraussetzung gelenkartiger Knotenpunkte ergibt, welche sich demnach nach jeder der früher gezeigten Methoden bestimmen lässt. Will man besondere Namen haben, so kann man .diese Spannung etwa nominelle Axialspannung zum Unterschiede von der wirklichen oder korrigirten Axialspannung nennen.

Die entwickelten Regeln 43 und 44 haben sowohl für centrische, als excentrische Knotenpunkte Giltigkeit. Kommen Stäbe mit centrischer Gelenkbefestigung vor, so sind für dieselben die Endmomente gleich Null zu setzen.

Die spezifische Normalspannung N einer Faser im Abstande v von der zur Kraftebene senkrechten Schweraxe des Querschnittes ist

S , mv

■jF ~r>

wenn S die Axialspannung, m das auf den fraglichen Querschnitt bezügliche Moment, F die Querschnittsfläche, I das Trägheitsmoment des Querschnittes in Beziehung auf die genannte Schweraxe bezeichnet. Das

welches die durch gleichmässige Vertheilung der Axialspannung über den Querschnitt entstehende oder bei centrischer Wirkung der Axial-

Längen dieser Stäbe mit a, ax, a₂.

Sd =

«j    ’

Alsdann wird T =

m‘ + m“

^ = mithin

m‘ 4 m, "

Sxdx = mx“, #₂d.

= Wo\

m, ' -f- m, "

m₂' + w₂"

⁽VYb^ I

5₂£ -j-m'—Wj"—m₂"-|----

La e" — e‘ — a, exu — ex = ax, e₂" — e₂' = a₂ ist, so erhält man

Qc m'    e' m/e/'+m/'e/    m₂;e₂"+m₂"e,/

44. Äa= —---------------•

Dieselbe Regel ergibt sich auch für die Spannung S₃ eines links fallenden Stabes CG, wenn man — S₃ für S,₂ setzt und die drei letzten Glieder auf die Stäbe BC, EG und CG bezieht.

Für das Glied Q T lassen sich nach §. 44 verschiedene andere Ausdrücke substituiren.

az

ax

a₂

e^“=Qc.

axz

a₂ z

Beim Parallelträger ist e = e‘ — e“ = ex = ex“ = z sec a, e₂' = e₂" = z tana zu setzen. Daher wird hier

/m'-j-m"

\ a

45. So — Q sec Ct —

ax

secCt

m₂' -f- mC‘

a₂

-- tan Ct.

Glied i

Spannung wirklich auftretende spezifische Spannung darstellt, kann man spezifische Primärspannung¹), das zweite durch die excentrische Wirkung entstehende Glied die spezifische Biegungs- oder Secundär-spannung nennen. Die erstere ist entweder nur Zug oder nur Druck; die letztere ist auf der einen Seite der Schweraxe Zug, auf der anderen Druck, so dass hierdurch auf einer Seite stets.eine Yergrösserung der Primärspannung eintritt. Gewöhnlich kommen in einem Querschnitte nur die spezifischen Maximalspannungen in Frage, welche im grössten Abstande von der Schweraxe auftreten und die man mit Asimont spezifische Randspannungen nennen kann.

Ist e das Maximum von v auf derjenigen Seite, auf welcher die Biegungsspannung dasselbe Vorzeichen hat, wie die Primärspannung, d der Abstand der Axialspannung von dem iu der Kraftebene auf der anderen Seite der Schweraxe liegenden Kernpunkte der Querschnitte (Fig. 183), so lässt sich das Maximum von N auch ausdrücken durch die Regel

Sd

Säe _

~r ~ w ¹

wenn noch W das sogenannte Widerstandsmoment ^ des Querschnittes bezeichnet, so dass bei konstantem W die spezifischen Randspannungen dem Abstande d proportional sind.

sich die SeitenBC = a,AC=b, AB — c um Ja, Jb Je än

§. 115. Formänderung der Dreiecke. Wir bestimmen zunächst die Aenderung v eines Winkels BAC (Fig. 186), welche eintritt, wenn Fig. 186.

CH

dern. Wir denken uns hierzu in B und C senkrecht zu BA und CA Kräfte wirkend, welche — b

CH

x ________ und c sind; diese Kräfte sind

^ im Gleichgewichte, wenn das ß    Dreieck um A drehbar ist, denn

jede dieser Kräfte hat das Moment bc. Die Spannungen von BC, CA und BA ergeben sich durch Aehnlichkeit der Dreiecke leicht zu

— DT’ —wenn ^ di® Höhe AD, at, a₂ die Strecken CD, BD bedeuten. Denken wir uns AB als unbeweglich, so ist bei der Deformation des Dreieckes die Bewegung des Punktes C = bv, also ist nach dem

Prinzipe der Arbeit c . bv =    . Ja — ^ . Jb — —■ . Je, also

Je \

(Ja Jb I — a

\ «

Sind S, Sr Sç die Axialspannungen der die Seiten des Dreieckes bildenden Stäbe, F, Fx, F„ ihre Querschnittsflächen und E der Elastizitäts-.. zi a 8    aIb    S.

/t c

, mithin

koeffizient, so ist y — yy, y — yy-, — — yy

(S_

a

4G. V —

r,    \ i

Fo a' F\ 7 Eh' oder auch, wenn rnan die Winkel BAD und CAD bezüglich mit a, bezeichnet,

47. V = -^j [^y (tan C2, + tan Ctx) — y¹ tanctx — ~ tanCt^ J.

Die Winkel, welche die Endtangenten an die deformirte Axe eines Stabes AB (Fig. 187) mit der Sehne AB desselben, der Stabsehne, bildet, nennen wir die Ausschlagwinkel des Stabes. Sind F, t “ die beiden Ausschlagwinkel, m\ m“ die beiden Endmomente,

S die Axialspannung, I das Trägheitsmoment des Querschnittes, so ist unter der Voraussetzung, dass der Einfluss der Formänderung auf die Momente vernachlässigt werden kann, nach Formel 1 (Seite 276):

■4

Fig. 187.

J)^

---

■qB

J7

48. F =

(2 m¹

(2 m“ — m‘)a

6EI

und umgekehrt 49. m ‘ — —

^(2T‘ + T),

^(2T“ + T).

Fig. 188.

y in

Hierbei sind die Ausschlagwinkel an jedem Ende positiv genommen, wenn sie eine Drehung der Tangente nach rechts bedingen und die Endmomente sind, wie im vorigen Paragrafe, abweichend von der gewöhnlichen Kegel, als positiv genommen, wenn die von dem Stabe ausgeübten Reaktionen nach rechts (wie der Zeiger einer Uhr) drehen.

//a

C<£—

Aendern sich die Winkel eines Dreieckes ABC (Fig. 188) um v\ v', v“ und sind für die drei Stäbe, welche die Seiten bilden, die Ausschlagwinkel TT, Tj, T\ %x\ t", Tj", so ist

Setzt man in jedem Dreiecke der gegebenen Konstruktion für die Ausschlagwinkel die Ausdrücke 48 und für v die Ausdrücke 46, so erhält man für jedes Dreieck drei Elastizitätsgleichungen. Da bei n Stäben \ (n — 1) Dreiecke vorhanden sind, so erhält man | (n — 1) Elastizitätsgleichungen, welche mit den nach dem vorigen Paragrafe aufzustellenden | (n -f- 3) statischen Beziehungen zur Bestimmung der 3 (n -|- 1) Unbekannten genügen. Dieses Verfahren leidet jedoch an dem Mangel, dass eine sehr grosse Anzahl von Gleichungen aufzulösen ist. Indess bietet sich eine wesentliche Vereinfachung in der im folgenden Paragrafe zu zeigenden Weise.

§. 116. Gitterträger mit festen Knotenverbindüngen und eintheiligem Gitterwerke. Die Enden aller an einem Knotenpunkte mündenden Stäbe erleiden bei der Deformation ein und dieselbe Drehung, weil ja die Winkel, welche sie mit einander bilden, unveränderlich sind. Es liegt daher nahe, den Winkel, um welchen sich jeder Knotenpunkt dreht, als Unbekannte einzuführen. Bequemer aber wird die Behandlung,

Fig. 189.

Fi

F V'

X"

V"

z“¹ — Z — z* — v“ — v“'.

wenn man statt dessen für jeden Knotenpunkt als Unbekannte den Ausschlagwinkel eines am Knotenpunkte mündenden Stabendes einführt; beispielsweise also für den Knotenpunkt D (Fig. 189) den Ausschlagwinkeln des Stabes DG. Bestimmt man nun nach Formel 47 die Winkel v‘, vv um welche sich die Dreieckswinkel G DF, F DG, GDE ändern, so sind die Ausschlagwinkel z‘, z“, n'" für die Stäbe DF, DG, DE im Punkte D offenbar 50. Z¹ = Z — v‘, z“ = Z - V¹ — V",

Wenn man zur Bestimmung der Winkeländerungen v‘, v", v,u die Axialspannungen der Stäbe nach Formel 43 und 44 bestimmt, so erscheinen in den Ausdrücken für z‘, t“, z“‘ die Endmomente m der Stäbe als Unbekannte. Indess begeht man keinen grossen Fehler, wenn man diese Momente bei Bestimmung der Axialspannungen zunächst vernachlässigt, also die Spannungen unter der Voraussetzung gelenkartiger Knotenpunkte durchführt.

Sind somit die Ausschlagwinkel t', t“, t“‘ für jeden Knotenpunkt durch den Ausschlagwinkel z eines bestimmten im betreffenden Knotenpunkte mündenden Stabendes ausgedrückt, so drückt man nach den Formeln 49 die Endmomente jedes einzelnen Stabes durch die beiden Ausschlagwinkel dieses Stabes und mit Hilfe der eben aufgestellten Beziehungen durch die als Unbekannte angenommenen Ausschlagwinkel aus.

In jedem Knotenpunkte muss nun die Summe der an demselben wirkenden Endmomente Null sein. Substituirt man für die Endmomente die eben gefundenen Ausdrücke, so erhält man für die als Unbekannte angenommenen Ausschlagwinkel, deren Anzahl gleich der der Knotenpunkte ist, ebenso viele Gleichungen.

Es hat nicht den mindesten Anstand, bereits bei der Bestimmung der Winkeländerungen v\ v“, v,tl die Endmomente der Stäbe zu berücksichtigen und diese durch die als Unbekannte angenommenen Ausschlagwinkel auszudrücken ; nur wird hierdurch die Rechnung etwas umständlicher.

Bei excentrischen Knoten ist zur Bestimmung der Aenderung der Dreieckswinkel nicht die Längenänderung der Axe der Gurte, sondern die Längenänderung des Abstandes der Schnittpunkte der Gitterstabaxen einzuführen. Sind r‘, t“ die Ausschlagwinkel eines Gurtstückes, e\ e“ der Abstand der Axe von den Schnittpunkten der Gitterstäbe, so ist die( Längenänderung 4 a zu setzen:

da — -^rpr a e‘x — eu%H.

Die Einführung dieser Regel hat durchaus keine Schwierigkeit; indess ergibt sich e‘t — e“T“ im Allgemeinengegen das erste Glied sehr klein, so dass die Vernachlässigung dieser Glieder als zulässig erscheint.

Dasselbe Verfahren lässt sich auch anwenden, wenn Stäbe vorhanden sind, welche eine gelenkartige Befestigung zeigen. Für diese Stäbe sind nur die Endmomente zu Null anzunehmen. Man kann also diese Behandlung auch an Stelle der in §. 110 und 111 gezeigten Behandlung von Trägern mit kontinuirlichen Gurten treten lassen.

Diese Methode, welche auf der Einführung der Ausschlagwinkel bestimmter Stabenden als Unbekannte beruht, ist zwar zur Behandlung einzelner Fälle schon mehrfach angewendet worden. Die methodische Anwendung zur Behandlung von Trägern mit starren Knotenverbindungen zeigte aber zuerst Man der la („Die Berechnung der Sekundärspannungen, welche im einfachen Fachwerke in Folge starrer Knotenverbindungen auf-treten“ in Förster’s Bauzeitung, 1880).

Beispiel. Wir wählen das bereits in §. 110 unter Voraussetzung eines kontinuirlichen Gurtes durchgeführte Beispiel (Fig. 190). In der folgenden Tabelle sind die nothwendigen Daten hinsichtlich der Dimensionen zusammengestellt:

Fig. 190.

/    _ 3    __ 5 ?s ___ 7 r?

t₆ 6 " rs 8

A. Centrische Knoten. 1. Totale Belastung. Wir wollen zunächst eine Belastung eines jeden der vier unteren Knotenpunkte durch die Last 1 voraussetzen. Die Axialspannungen S, welche sich unter der Voraussetzung gelenkartiger Knotenpunkte ergehen, sind alsdann für die Hälfte des Trägers unter Anwendung eines wohl selbstverständlichen Schemas folgende:

— 4,50

Ol

Th eil

Stab

a Länge

Abstand

der

>ann-

Faser c

Träg

heits

radius

Träg-i heits-moment

Quer- \ schnittsfläche F : j

21

Obergurt

Oo kl Ox Oo

05 05

c. c.

bb

ÎO to Ox Ox

Untergurt

Hk ÏG C> Ci Hk fco

bbb

tO ÏO ÎO

ÜT O Üt

c>    c>    c>    i    o    <c>    !

Qo    «o    "4    i    oo    00    II

o:    M    îo    I    Ox    ki    I

1,10 0,912 1,70    1,224

0,0304

0,0408

ki ki o

~bx 1k b

b b b

kl ko lo ÎS0 kl CO

O ÎO o

kl

Hk Ox to

b b b b b b

Hechts fallende Stäbe

Oo ki Hk ÎN0

Links fallende Stäbe

Hk to Ox O: k

Ox Ox Ox

c> c. c>

-b¹ b b

1-4. Oo to

C> Ox

b b b    b b

bbb    ox oo

Oo C> Ci    Hk O

0,268

0,101

0,264

0,360

0,201

kJ Ol Hk 50 Ci .Oo^Ox^î

b b b b b

0,0087

0,0304

0,0373

0,0106

0,0040

0,0106

0,0144

0,0080

Decimeter

□ Beci- Deci-meter meter

Decimeter

1    -3,00    3    -4,50

a. £ = >[ -2,50 + 2,50 —1,25 +1,25    0    0

O +1,50    2    + 3,75    4 + 50

s

Die sich hieraus ergebenden Werthe für ^ oder unter der Voraussetzung des Elastizitätskoeffizienten 1 die relativen Längenänderungen der Stäbe sind :

1    — 2,727    3    — 2,647    5    — 2,647

—2,359 + 3,125 -1,389 + 2,315 O -f 3,000    2    + 3,409    4

Hieraus ergehen sich nun nach Formel 45 für E = 1 die folgenden Aenderungen der Dreieckswinkel :

c. v —

+ 3,925

— 0,386    +5,633 +1,311    +4,397 +4,397

+ 4,416

— 5,249

+ 1,693 — 5,619 + 0,260 — 4,679 — 2,250

- 5,706

+ 4,500

- 5,706

— 2,250 —4,679

Eine Kontrole bietet der Umstand, dass die algebraische Summe der Aenderungen der drei Winkel eines Dreieckes Null sein muss.

Die Ausschlagwinkel, welche wir als Unbekannte annehmen, sind in Fig. 190 bezeichnet; wir bezeichnen sie mit r und dem Index des Knotenpunktes. Die Ausschlagwinkel für den Knotenpunkt 3 ergeben sich beispielsweise zu r₃, r₃' = r₃—1,311, r₃“ = t, — 1,3U — L116 — t₃ — 5,727, t₃‘“ = t₃ — 5,727 - 5,706 = r₃ - 11,433. Die in dieser Weise bestimmten Ausschlagwinkel gibt das folgende Schema:

1 r, t₃ — 11,360 3 t₃ T- —13,204: 5 T,-3,539 Tt + 0,386 t₃- 5,727 r₃ —1,311 r₃ - 8,897 r₃ - 4,397 t₂ +5,619 T, + 10,868    t₄+4,679 t₄+10,385 tü +2,250

Ts

d. t =

To

O t₀ —1,693 t₂ 2 r₂ -{-10,608 t₄ 4 r₄ -{-12,635 j r₆ 6 Wir betrachten beispielsweise den Knotenpunkt 3. Nach Formel 47 ergeben sich, da 2 V T

die Werthe für - (für E = 1) nach der obigen Tabelle für die 4 Stäbe bezüglich

0,0408,0,0040, 0,0144 und 0,0304 sind, als Endmomente m = 0,0408 [5r₃-|-rä — 13,335], m‘= 0,0040 [2 (ts — 1,311) + r₄ + 4,679], m“ = 0,0144 [2 (r₃ — 5,727) + ra +10,868], m‘“ = 0,0304 \2 (r₃ — 11,360) -(- rj. Setzen wir m -f- w, 4    + wi₃ = 0, so erhalten

wir die Gleichung:

0,0304t, -f 0,0144ts + 0,1792t₃ -f- 0,0040t, + 0,0408t& = — J,235.

In gleicher Weise entstehen für die einzelnen Knotenpunkte die folgenden Gleichungen, wobei die Glieder derselben mit lOOOO multiplizirt sind:

e.

Für den Punkt 5 braucht die Momentengleichung nicht aufgestellt zu werden, da hier der Symmetrie halber offenbar r- — 13,294 = — r₅ sein muss; es ist also

r₅ = -F 6,647.

Ferner muss der Symmetrie halber r₄ + 12,635 = — t₆, also

r₆ = — t₄ — 12,635

sein. Hierdurch gehen die beiden letzten Gleichungen über in

304 Tj + 144 t₃ + 1792 t₈ + 40 t₄ = + 9652 304 t₂ + 40 t₃ f 1223 r4 Durch Auflösung dieser Gleichungen erhält man nun:

t₀ = 4~ 2,88 t, — + 2,24 t₂ — — 7,69

Mit Hilfe des Schemas d erhält man nun die folgenden Ausschlagwinkel:

-5,61 3 +5,76 + 0,03 -f 4,45

e. {

f.

= - 9828.

r₃ = + 5,76 t₄ = - 6,23 rä = 4- 6,65.

9- t =

1 +2,24 — 1,30 +2,62

— 6,64 5 4 6,64 — 2,25    4 2,25

— 1,56 +4,15 — 6,23 é — 6,40

— 4,15 — 6,40 6

Nach Formel 47 ergeben hiernach nun bei beliebigem Werthe von E die folgenden Endmomente

4~ 2,88

O 4 1,18

— 2,07 -j- 3,18 — 7,69 2 4-2,92

h. m —

1 —0,035    —0,273 3 +0,199

+ 0,047 4-0,029

— 0,003 4 0,034 4 0,047

0 -0,046    —0,123 2 +0,012

-0,307 5 4-0,307 — 0,003 4 0,003 - 0,048 — 0,239 6

+ 0,005 4-0,048 — 0,290 4 4- 0,239 Hiernach lassen sich nun zunächst mit Hilfe der Formeln 43 und 44 a die

-0,016 4-0,092

Axialspannungen korrigiren. Beispielsweise ist die Spannung des Stabes 3 5:

0,199 . 30 -f 0,307 . 30 + (0,290 — 0,005) ■ 60

S = — 4,500 4-

60 . 40

— - 4,500 4 0,013 = — 4,487. Die Spannung des Stabes 3 4 wird:

0,029 4 0,005 3

S = 4- 1,250 4-

= 4- 1,250 — 0,007 = 4- 1,243.

50

0,199 — 0,307

0,012 — 0,290

OU

60

Da die hiernach entstehenden Korrektionen nur sehr klein werden, wollen wir sie vernachlässigen.

Ferner lassen sich nun die Biegungsspannungen berechnen. Beispielsweise wird

= T 0,203, auf der

dieselbe für den Stab 3 5 auf der linken Seite = 4-

0,199.1,25 1,224

0 307 1 25

rechten Seite = + ' ^ 224— = + 0,313, also die spezifische Maximalspannung dieses Stabes = — 2,647 — 0,313 = — 2,960. Das folgende Schema gibt die in dieser Weise für sämmtliche Stabenden berechneten Biegungsspannungen:

mc

i.

1 — 0,046 - 0,399 3 4- 0,211 -0,353 5 -f0,353 _    -\-0,017 -j-0,128    + 0,189 -f0,220    - 0,015 + 0,015

1 ~    +0,223    — 0,014 + 0,270    + 0,040 + 0,266    + 0,266

0 - 0,224 - 0,592 2 - 0,017    — 0,401 4+0,270    - 0,270    6

Das Vorzeichen bedeutet den Sinn der Spannung auf der positiven Seite des betreffenden Stabendes.

Die Vermehrung der Beanspruchung durch die Biegungsspannungen beträgt hiernach im Obergurte 15, 13, im Untergurte 20, 12, 9, in den Zugstäben 2, 2, in den Druckstäben 4, 17, sc, durchschnittlich etwa 11 Prozent.

In Fig. 191 und 192 (linke Hälfte) ist das Verhalten des Trägers grafisch dargestellt; Fig. 191 gibt ein Bild der Formänderung, wobei die relativen Längenänderungen wesentlich vergrössert oder der Elastizitätskoeffizient wesentlich verkleinert angenommen ist. In Fig. 192 sind die spezifischen Spannungen dargestellt und hierbei die Primärspannungen durch lichte, die Sekundärspannungen durch dunkle Schraffirung dargestellt.

2. Partielle Belastung. Wir nehmen zunächst eine Belastung des Knoten-

s

Punktes 2 mit der Last 1 an. Wir übergehen die Angabe der Werthe für S und . Die hiernach berechneten Werthe der Aenderungen v der Dreieckswinkel sind:

k. v =

+1,57

-0,74 +2,04 +0,91 —0,19 +0,85 — 0,25 + 0,61 -0,18 +0,75

+1,57

+ 0,47

+0,39

-0,44

-0,60

+0,68 —2,25 —1,28 —0,29 - 0,86 +0,11 -0,73 +0,26 —0,56 +0,17

—2,78

-0,72

10

Hieraus ergeben sich nun die folgenden Ausschlagwinkel: 1 r,

r,-4,52 3    ts    t^—1,41 5    r₅    t₇-0,76 7    r₇ t₉-0,22 9

Tj—2,31 r,— 0,74 t₃-2,48 t₃-0,91 t₅-1,60 t₅-0,85 t₇-1,01 t₇—0,54 t₉—0,39 t9 r₀ t₂+2,25 t,+5,03 ta+0,29 +1,01    t₆-0,U \+0,49 r—0,26 ts+0,03 t₁₀- 0,17

Ot₀+0,68 t, 2 t^+6,31    r,    4tx+1,87    r₆    6 t₆+1,22    t₈    8ts + 0,60    rI0 10

Hiernach lassen sich nun leicht die 11 Momentengleichungen mit den 11 Unbekannten ansetzen. Etwas einfacher wird die Auflösung, wenn man zunächst den

ro> • • "Do

Fall behandelt, dass die symmetrisch liegenden Knotenpunkte 2 und 8 je mit der Last 1 belastet sind. Für diese Belastung erhält man die Winkeländerung v einfach durch Addition der Werthe von v der entsprechenden symmetrisch liegenden Winkel für die einseitige Belastung; so z. B. ist für den Winkel 2 3 4 nach dem Schema k: v = +1,57 -j- 0,47 = 4- 2,04. Sonach ergeben sich die folgenden Winkelände

rungen :

1 + 1,568    — 3,000    3    + 2,286    —1,412    5    +1,412

O. T —

— 0,962 +1,000    — 0,422    +1,624    — 0,750    + 0,750

-f- 1,823    — 2,488    + 0,585    — 0,702    + 0,621    — 0,621

O +0,976 — 5,297    2 +1,608    —1,725    4- -\-1,372    —1,372    6

Jetzt kann man zur blossen Belastung des Punktes 2 zurückgehen. Offenbar müssen sich die Ausschlagwinkel je zweier symmetrisch liegender Theile, den ersten negativ genommen, zu dem Ausschlagwinkel des entsprechenden linken Theiles für die Belastung der Punkte 2 und 8    ergänzen.    So    ist z. B.    nach dem Schema l der

Ausschlagwinkel für    die Theile 2    3 und 7 8 bei 3 und 7    bezüglich    r₃    — 2,48 und

t₂ — 0,61, der Ausschlagwinkel des Theiles 2 3 bei 3 nach dem Schema 0 = — 0,42", mithin muss r₃ — 2,48 — r₇ -f- 0,54 = — 0,42 oder r₇ = r₃ — 1,52 sein. In dieser Weise ergeben sich die folgenden Beziehungen:

t₉ = t, — 1,352 Tio= r0 — 1,653

r₍ = ît -f 0,503 /p . t₇ — t₃ 1,522 I r₈ = rä + 4,702.

Mit Hilfe des Schemas l ergeben sich nun, wie bei totaler Belastung, die folgenden Gleichungen:

?•

VI. v =

+ 1,962

+ 0,569    + 2,650 + 0,662 -f 0,662 + 0,662

+ 1,500 '

+ 2,046

— 1,323

— 3,218

+ 0,847 — 2,809 - 1,023    - 1,023 — 0,751

— 1,323 — 0,751

Die hiernach ganz wie bei totaler Belastung berechneten Ausschlagwinkel sind die folgenden :

t₃ = —|— 2,28b

t< — — 1,725 Tb —    1,412.

Die hieraus sich ergebenden Ausschlagwinkel sämmtlicher Stäbe sind:

n.

t₀ — -f⁻ 1,823 r, = + 1,568 T, = 4- 5,297

Setzt man in die beiden letzten Gleichungen die Ausdrücke für und r₇ ein, so gehen diese Gleichungen über in

\ 304 t₃ -f 40t₃ + 1969 t, -f 80 r₃ = + 3532 q' \ 82 t₃ -f- 160 t, -j- 1954 t.

Die Auflösung dieser sechs Gleichungen gibt:

r₀ = + 1,500, t, = -f U59, t₂ ~ — 4,260,

= — 1234.

r.

= + 1,886, = — 1,192, — + 0,513.

Demnach wird nun ferner:

t₉ = + 0,107, t, ₀= — 0,153.

r.

Ta = — 0 689, t₂ — + 0,364, ts = + 0,442.

Hiernach ergeben sich mit Hilfe des Schemas l die folgenden Ausschlagwinkel:

O î

CO

s.

t.

1+1,45 —2,64 3 +1,89 -0,89 5 +0,51 -0,40 7 +0,36 —0,11 9 -0,85 + 0,72 —0,60    + 0,97 -1,08 — 0,33    -0,65 —0,18 - 0,21 +0,11

—1,50    —2,01 +0,77    - 0,90 —0,18    -0,80 - 0,20    - 0,19 +0,48    —0,32

O +0,82 —4,26 2 +2,05 -1,19 4 +0,68 —0,69 6 + 0,53 + 0,44 8+1,04 - 0,15 IO In ganz gleicher Weise ergeben sich nun für die Belastung des Knotenpunktes 4 mit der Last 1 die folgenden Ausschlagwinkel :

1 +0,50 -1,98 3 +2,53 - 2,92 5 +2,31 -1,04 7 + 0,63 -0,17 9 -0,15 +1,03    - 0,15 +1,28    — 0,89 +0,61    -1,55 - 0,60    - 0,52 +0,27

+0,53    +0,52 +1,82    -1,57 +1,61    -1,92 -0,72    —0,27 +0,10    -0,52

O +0,03 -1.17 2 +1,05    - 3,77 4 + 3,34 -1,69 6 +0,74 —0,25 8 +1,23 —0,18 10

Für die Belastung der Punkte 6 und 8 sind diese Schemata einfach umzukehren und die Vorzeichen zu ändern.

Hiernach lassen sich nun die Endmomente und sodann die Biegungsspannungen oder auch sogleich direkt die Biegungsspannungen bestimmen. Das Endmoment m²

2E1

ist nach Formel 47: m‘ — ■ {ßr‘ + t“); die entsprechende spezifische Biegungsspannung ist N = d. i. :

2 Ec

— (2++ T“).

Die hiernach bestimmten spezifischen Biegungsspannungen sind nebst den spezifischen Primärspannungen je für die Belastung der Punkte 2, 4, 6, 8 in folgender Tabelle¹) zusammen gestellt.

Stab

Spezifische Primärspannung Belastung von

Spezifische Biegungsspannung Belast, von 2 Belast, von 4 Belast, von 6 Belast, von 8 links rechts links I rechts links I rechts links rechts

Co t-j Ca Co

-1,09

-0,53

-0,82 -0,55 -0,27 +0,01 -0,16 -0,04 -0,17 -0,01 —0,05 —0,01 —0,03 —1,06 -0,71 -0,35 +0,12+0,00 +0,09 -0,14 -0,01 -0,15 —0,01 —0,07

Oi Co

Cl

4-1,20+0,90 +0,60 +0,96+1,23+0,82 +0,50 +1,00+1,00

+ + +

Ca

Cb hJ C

+ 4- I

.Cb .c Cb

Lb Lj. Lj.

CoJnoJ-j

-0,32

—0,01

-0,03

4- I i

:

to o c

k V! Oi ;

—0,09 -0,04 -0,10—0,03 —0,08 -0,27 -0,01 -0,05 —0,06 ~0,06 -0,00 +0,00 -0,21 +0,03 -0,03

+1,25 +0,94 +0,63 +0,31 - 0,02 -0,13 +0,10 +0,08 +0,04 +0,01 +0,01 -0,02 -0,46 +1,39 +0,93 + 0,46 +0,03 - 0,02 +0,03-0,06 +0,11 +0,09 +0,05 + 0,03

0 1 -0,94 -2 3 +0,28 -4 5 +0,37 +

11

cT o c

+ 0,47 —0,24 + 0,11 -0,01 -0,56 -0,28 -0,01 - 0,05 -0,74 — 0,371—0,06 -0,10

O Oo Ol

+0,01 +0,04 -0,00 +0,03 +0,01 +0,08 +0,11 +0,15 - 0,01 +0,01 -0,01 +0,14 +0,03 +0,09i+0,06

Bei den Biegungsspannungen ist das Vorzeichen auf derjenigen Seite richtig, nach welcher hin der Ausschlagwinkel als positiv 'angenommen wurde; auf der anderen Seite ist das Vorzeichen entgegengesetzt.

Unter der Voraussetzung, dass jeder beliebige der Punkte 2, 4, 6, 8 mit der Last 1 belastet sein könne, lässt sich hiernach leicht die gefährlichste Belastung, sowie

die entsprechende spezifische Spannung bestimmen. Beispielsweise handele es sich um den Stab 2 3. Durch Addition der spezifischen Primär- und Biegungsspannungen ergibt sich die spezifische Spannung links oben: +0,29, — 1,01, — 0,67, — 0,27, links unten + 0,27, —0,65, —0,45, —0,29, rechts oben: +0,23, —0,75, —0,41, —0,27, rechts unten + 0,33, —0,91, — 0,71, —0,29. Hiernach tritt an allen vier Stellen die grösste spezifische Spannung bei derselben Belastung ein, als wenn gelenkartige Knotenpunkte vorhanden wären, nämlich der grösste Zug bei Belastung von 2, der grösste Druck bei Belastung von 4, 6 und 8. Der grösste spezifische Zug, welcher rechts unten eintritt, ist -j- 0,33, der grösste spezifische Druck, welcher links oben eintritt, ist — 1,98. Die Vergrösserung des letzteren gegenüber dem Träger mit gelenkartigen Knotenpunkten beträgt 19 Prozent.

Man kann für alle Fälle annehmen, dass die spezifischen Spannungen bei derselben Belastung zum Maximum werden, als wenn gelenkartige Knotenpunkte vorhanden sind; wenigstens erhält man hiernach ziemliche richtige Näherungswertlie. Eine genauere Bestimmung würde aber mit Hilfe der Methode der Influenzlinien ohne Schwierigkeit durchzuführen sein.

Die folgende Tabelle gibt die spezifischen Maximalspannungen.

Theil

Stab

Spezifische Primärspannung

Spezifische Biegungsspannung links

rechts

Zug

Druck

Zug

Druck

Zug

Druck

Grösste

Ver

mehrung

Prozent

Ober-

gurt

^0 »O Co

Cs Ci

2,72 7 0,058 0,046 2,647 0,211 0,790

Ci Oo Cs

Co Co

cT cT

0,390

0,353

Links I Hechts fallende fallende Untergurt Stäbe Stäbe

Kk îno Cs Cs k if». o Üx Os ki Sk ÏO Ci Sk ÎO

3,000

3,409

3,000

0,224

0,017

0,270

ro ki. kJ Oo io

c c k

0,592

0,401

0,270

0,592

0,401

0,270

3,136    0    0,128

2,7 7 8    0,463 0,188

Cs"kl Oo Ol kl CS

.cs.cs "cs "cs

Ci kl Ol Kk

0,132

0,025

io CO    Ci Ci Ci kH K

Tk fk    Co ik

Ote O k k Ci to Sk

Die Vermehrung der Beanspruchung durch die festen Verbindungen beträgt hiernach 4 bis 21, durchschnittlich etwa 14 Prozent.

B. Excentrische Knoten. Wir wollen jetzt annehmen, dass die Schnittpunkte der Gitterstab-Axen bei den Knotenpunkten 2 bis 8 um e innerhalb der Axen beider Gurte liegen, dass aber, wie im Beispiele 2 zu §. 110 die Knotenpunkte 1, 2, 9, 10 centrisch angeordnet seien. Um vorläufig nur den Einfluss der Excentrität getrennt von dem der Längenänderung zu erhalten, denken wir uns die Querschnitts-fiäche F der Stäbe, nicht aber dereń Trägheitsmoment 1 unendlich gross. Wir wollen die Untersuchung nur unter der Voraussetzung fuhren, dass jeder der Knotenpunkte 2, 4, 6, 8 mit der Last 1 belastet ist. Die Axialspannungen »S sind dann annähernd durch das Schema a gegeben. Die in den Knotenpunkten 2, 3, 4 wirkenden Horizontalkräfte sind hiernach für 2: 2,50 sina -j- 1,25 sinß — (2,50 4- 1,25) 0,6 = 2,25? für 3: 1,25 sina -}- 1,25 sinß=(l,25+1,25)0,6= 1,50, für 4: 1,25 sin a = 1,25.0,6 = 0,75, wobei sämmtliche Kräfte um den Momentenpunkt, welchen wir in den Axen der Gurte annehmen, nach links drehen. Die ' Stellungswinkel sämmtlicher an einem

¹

Die von Asimont in der „Zeitschrift für Bauhunde, Jahrgang 1880“ gebrauchte Bezeichnung Hauptspannung ist bereits in wesentlich anderer Bedeutung verwendet.

²

Eei dieser Tabelle, sowie den Schematen k, l, s und t sind aus räumlichen Bücksichten nur zwei Dezimalen angegeben.

h,

!!!

Knotenpunkte mündenden Stäbe sind an diesem Knotenpunkte konstant, da sich der oben gemachten Voraussetzung halber die Dreieckswinkel nicht ändern. Sonach er-

Fig. 191.

ohne Excentricität

mit Excentricität

k,3

i)

geben sich für die Knotenpunkte 0 bis 4 die folgenden Momentengleichungen, wenn man sogleich berücksichtigt, dass der Symmetrie halber t. = 0 und r₆ = —r₄ sein muss:

385 t₀ + 106 t, + 87 t, 106 t₀ + 1032\xt -f 106 t, -j- 304 t₃

= o, = 0,

87 Tg + 106 Tt 4- 1282 t₂ 4 144 t₃ + 304 r₄ + 22500 ⁶ = 0, 304 t, + 144 r, 4 1792 t₃ 4 40 r ,

304    4 40 t₃ 4 1596 r₄

Die Auflösung gibt :

4 15000 4 7500 4

= 0,

= 0.

Tg

T₃ =

— -f 2,77 Jr, = + 3,80 ~

- 8,00 i

t₂ —

-¹⁶>⁸⁷ i

T1 =

— 1.29 ~

IT’

T. = 0.

Die entsprechende Formänderung ist in Fig. 193 dargestellt.

Fig. 192.

ohne Excentricität

mit Excentricität

^fg. nr II lllIÜÏÏlîÜlpl IBIIII

'y

4//

Vs

ig

s\4

Ha

+ /0

den Zugstäben 20, 5, in den Druckstäben 19, 59, ec, durchschnittlich etwa 20 Prozent, Lässt man e in — e übergehen, d. h. legt man die Schnittpunkte der Gitterstabaxen auf die äussere Seite der Gurtaxen, so wird die Vergrösserung der spezifischen Spannung im Obergurte 6, 20, im Untergurte 2, 21, 10, in den Zugstäben 19, 19, in den Druckstäben 10, 97, co, durchschnittlich etwa 19 Prozent.

Fig. 194.

*3

^2 > ^3

mit t', t,', t„', t₃', die Neigungswinkel der Zug- und Druckstäbe gegen die Vertikale mit a, ß (Fig. 194), ferner die Aenderungen der drei Winkel am Obergurte mit v,, t₂, t₃, am Untergurte mit t₄, t₅, v₆. Alsdann ist

€ €

Beispielsweise sind nun für den Stab 3 4 die Ausschlagwinkel — 8,00    — 1,29

daher die Endmomente — 0,0040 E (2.8,00 -f 1,29) ^ — — 0,069 e und — 0,0040 e

s    0 969 €»075

(2.1,29 4- 8,00) -= = — 0,042 e und die Biegungsspannungen bezüglich ———=

JA    Oflul

0,042 e . 0,75 _

0,101 ~

gungsspannungen berechnet worden:

1 - 0,004 + 0,259 — 0,185 + 0,234 O —0,257

Sowohl die so erhaltenen Werthe für die Ausschlagwinkel, als diejenigen für die Endmomente und Biegungsspannungen sind zu den früher unter der Voraussetzung centrischer Knoten erhaltenen Werthen zu addiren. Die entsprechenden grafischen Darstellungen geben Fig. 191 und 192 (rechte Hälfte). Es ergibt sich dann die Ver-grösserung der spezifischen Spannung im Obergurte 24, 19, im Untergurte 41, 24, 8, in

Fig. 193.

0,51e und

mc

~T~

0,31 e. Für e — 0,5dm sind hiernach die folgenden Bie-

— 0,600 —1,085 -0,644 2 — 0,728

— 0,254 3 — 0,333 — 0,855 - 0,259

— 0,159 - 0,057 -0,404 é —0,027

— 0,166 5 + 0,16-6 -0,028 + 0,028 +0,057 + 0,027 6

S*

■*-

§. 117. Näherungstheorie für Parallelträger. Wir wollen noch für Parallelträger Näherungsregeln unter der Voraussetzung entwickeln, dass der Ausschlagwinkel entsprechender Stabenden bei benachbarten Knotenpunkten als gleich angenommen werden kann. Wir bezeichnen das Trägheitsmoment des Querschnittes des Ober- und Untergurtes, sowie der Zug- und Druckstäbe bezüglich mit I, Jn J₂, I₃, die Längen dieser Stäbe mit a, ax, a₂, a₃, die Ausschlagwinkel dieser Stäbe für das linke Ende mit t, zx, für das rechte Ende

V6 r;.—

T<1 — T — vx, r₃‘ = T — Vx — V„,    X* — X — vx — y₂ — v₃,

*3 = *1 + »’4 5 V = *1 + ^4 + V5> *l' = H + *4 + *5 + V Die Axe jedes Gurtstückes möge um e ausserhalb der Kreuzungspunkte der Axen der Gitterstäbe liegen. Ist Q die Transversalkraft, so sind die Spannungen der Gitterstäbe -\-Qseca, —Qsecß, wobei wir als Näherung für beide Stäbe dasselbe Q einführen. Diese beiden Spannungen geben eine Horizontalkomponente Q (tana -f- tanß). Als Momentengleichung für einen oberen und unteren Knotenpunkt ergibt sich nun leicht:

³ W t⁸* “ vi — v* —    + TT + ri ~ 2v\ + v* + vs)

CI    tln

+ rr (21 + H — -2 vx — 2 v₂ + v₄) -j-a₃

5 ~r (2Tt + v4 4" vs + ve) + zr (? + 2t\ — v\ + %v4, + %v&)

CI    Clq

Qe

2E

(tana. tanß) = 0,

I.

_3

(x    2 xi — vx — Vo -f- 2 v₄) +

Qe

.2A,’

-|- tana) .= ö.

Setzt man zur Abkürzung

A ~ ³ ä ^ + *³' + a ^2vx    v^

2E {tan a + tan ß\ _

50.

ct ¹    ^v- —    --

— ³ ~ G₄ + v₅ + V₆) -f i 0,— -2*4 — 2r₅)

^3

a₃

Gi + ^ — 2vA)

Ge

-pr-gr (ta« a 4- tan ß), 2 sh

so gehen die vorigen Gleichungen über in

CD

TO

&    Q<

et-    ►—*

CD

c<

IC

U(s- +

\ « «2

h II

tl?

ćf₃

/    \a₂ aj

hi *

co

O:

œ

«S

Hie”

Co

Hl 6

Io

«₂

«₃

T, =

Hie S

iß

Co

.Floh

Co

ö |_h

>F l,h

oF loh

,F l.h

.F Ith

e«

ÎSD

Co

Si | ö |>*

►F LH „ö |ISH

.F loh .F loh

*öLh tF |.h

»|mh

o| k o|_k

Nimmt man die relative Längenänderung aller Stäbe als gleich an, wenn K die konstante spezifische Primärspannung bezeichnet, so ergibt sich leicht als Aenderung der Winkel, wenn man die Horizontalprojektion der Zug- und Druckstäbe mit &₂ und b₃ bezeichnet, wobei &₂ -f- b₃ = a ist,

nämlich =

— É'

_ O — . , , ff.    o K h* — bn b₃

vi — — 2 -jß cot (a -j- ß) — — 2 -ß--

K h*+b*

ha

K b3 E h ’

K h*+b*

lia

ha ’

sH ©

53.

Vl~\V3- -(Vi 4" Vb 4" vg) -+ 2 jfi (tan « + tan ß) - + 2 -JjT *

demnach ist also

[•

7, 3 h*—5bqb₃— 2b

Qae

a„

ha

a₃

ha

2 Eh ’

Ä'-§[⁶h-²

Ą 3 h*—5bqb₃—2\*

a₂

ha

— 2^

7, 3 h*—ébg,b₃ —

Qae

a₃

ha

2 Eh'

Wir wollen nun noch speziell unter der Voraussetzung, dass keine Excentricität vorhanden ist, das Netzwerk und Fachwerk, sodann den Einfluss der Excentricität gesondert untersuchen.

a. Netzwerk. Für Netzwerk wird a = ß oder Z>₂ = b₃ = j- a, Demnach wird

K /2h

\ a

— a₃.

V' ⁼ ~Ë

2h)

. K a v- E h'

v₃ —

■    (2h a

A = —    *5 = “ ya i Ki = — v3»

I 1^ 12 h*—5 a²    J₃ 12 h* — 7 a*

a₂ 2ha

_ „ r 7, 7* 12h*—7a* _ 73 12h*— 5a*

l ¹ ~ E L h    a₂ 2ha    a₂ 2ha

Wir wollen 7t = 7, I₃ — 7₂ annehmen ; alsdann aber wird

U=*

54.

E [fc Ä

a₂ 2 ha

55. H = A

[ ⁺i(⁺

sh! Kj

-4)1

Demnach wird

56. T = Tl —

«(-j + a)'

\a «₂/

Sonach wird nun r/ = t', t₃ = t₂, r₃'= z-₂'; es nehmen also sowohl die beiden Gurte, als die beiden Gitterstäbe gleiche Krümmung an.

Wenn wir zunächst voraussetzen, dass die Gitterstäbe gegen Biegung sehr schwach sind, so dass man die Glieder mit J₂ und J₃ vernachlässigen kann, so wird

57.

* = *, =-*‘ = -v=* + -wj>

K 12h a ~a '~2hV

K 2h

*2 - ^3 H⁻

Die entsprechende Formänderung zeigt Fig. 195 a. Die bezüglichen Biegungsspannungen werden ohne Rücksicht auf das Vorzeichen:

2h ■

N =Nl=N'z=Nx' = 2

58.

CS

*■«=*»=*1 (t -+n) ■

Fig. 195.

l\

-z

+*S\

ko

Setzen wir dagegen voraus, dass die Gurte gegen Biegung sehr schwach sind, so dass man die Glieder mit I und Jj vernachlässigen kann, so wird

T = X, =-J-

X‘=TX—-

feeji >a tql ^

(t2)

55-1 S

59.

(+?)

=s-l S5

t„ — t₃ — -f-

\\

-3

-3

Tq‘=T₃' = —

Die entsprechende Formänderung zeigt Fig. 195 b. Die bezüglichen Biegungsspannungen werden

2c 6 h

- Î U\ = JV/ =

60.

2c (6h a a 1 a 'h

Â,= AV=^3 = AV = A' <»sa.

Für die spezifische Maximal-Biegungsspannung bei einigen Ver-

hältnissen von a zu h, sowie von ~ zu

ö₂

berechnet :

— ist die folgende Tabelle

a    °

a J₂

Gurte N=N, für t

Gitter stäbe N,=N₃ für ~

1,5

1,5

ki

*<*■ cT ao oT oo «T

fk

^lO ,tO ,5*0 ,Hk ,Ox

"o "ox "go "vj Tos "oj

^.o ,to _co _Oi "o "io "o "ot "o "C)

l-A ki

_kl _0 ,00 Ol ,Hk ^ Ci d k Oj Cu ’o

_Oi KW. ^o _ki

Cü 7o Ol 00 Hk

o |*5i

Der Werth von ^ j kann vom Ende des Trägers bis zur Mitte etwa von 1 bis 10 variiren. Hiernach beträgt die grösste spezifische Biegungsspannung in den Gurten etwa 2,3 ^ K bis 7 ^ K, in den Gitterstäben etwa 3 ^ K bis 11 y K.

ii    ii

b. Fachwerk. Beim Fachwerke wird ß = O, b₃ = O, \ = a, a^ = h sec a, a₃ = h. Demnach wird

vt = ~2

NN

SS I Sk

v*~ ⁺²Ë a*

__ ₀Ka Vb~ ²Eh’

_    ₉ K h

V«~    ² E a ‘

A =    6 -r — 2

61.

I,

A'~ E ⁶ h

3--zT

a h

3±-»î

ÏI,

a₃ a

a₃ a

Sind die Gitterstäbe wieder gegen Biegung sehr schwach, so dass

K I

wir J₂ = 1₃ = 0 annehmen können, so wird A = Ax = 6    und

demnach

Ski SS

T =f' =+fp    =

62.

7i a

a+Äl’

5^1 SS

₂l.

a    •

Diesem entspricht die in Fig. 196 a dargestellte Formänderung. Die ent-sprechenden spezifischen Biegungs-"" Spannungen werden :

Fig. 196.

-7

i/

iV

N =N‘ = Nl = Nl‘ = 2jK,

\\

’+3

\\

N. = 2 -Î

55-i a

K cos a,

63.

\s

-1

Tj

'"-V

K\

V,

"3

E a₂

55-1 a

jvr _ 7vr / _ r °3

Xy3 - -ly3 - v fa

55-1 a

K cos a,

2- —

55-1 a

K.

Wenn dagegen die Gurte gegen Biegung sehr schwach sind, so dass wir I = 7, = 0 setzen können, so

wird für, ^    •

rt₂

.-s i e

5=- a

und hiernach :

T __ 2?l A

T —    5 £ a '

co

lo

baj

ÎSO

a 155-

55-1 a

55-1 a

o?

tsjfci

55-1 a

c?

Fig. 196 h zeigt die entsprechende Formänderung. Hiernach wird nun

eń

pl

fe; fef feT

5=-| o. Si I 55-

CO

5=5-1 a

rSS I e

« IrSg

co

r-Ś | e

SH a

ÎSO ÏO 5s-|^>    55-1 <=>

53-1 a

<3i

55-1 a

J3

fer

55-1 « Si I 55-

a I 55-

55-1 a

2 N N —4^- — K N¹—-N

^j.y₂, ^V₃ — ft , r -⁰-?    —2 XYa’

Für einige Verhältnisse sind die spezifischen Biegungsspannungen in der folgenden Tabelle zusammengestellt :

9 5^^-? Ö '

Ł O O O O»

to K Ob O O

V S v- 1 v V

Ob Ob ^ Cb Oî

Oj Tl n n_

ÎN 00 1-J l-J 1-J <o_

*cT o ocT ’o" ci"

11 T-H_______

Ob    !0_    Cj

cT cT î>t oo" or

Cbi 1 1    _

lA l-A Î>G JO JfA, JO JA) JOb Jbo "<0 Va Ob"m 1* Oo

o >o oo >o wo ⁻ <oT ocT io' od' oT

H 11

jnd j-a jo» j<i Jjo jo "o "o "ob V; to "V*

N Ob >o Cs to O

t~T iT «o" «T of n"

H 1-H

JO ,00 J3b jk. JO JO "so "oo 7o Tfe. "os Oo

JJbJfc.,00 Oo 'bs'oo'bi ÎND tO Kl

o n »o

oq“ oo" i-T h" oo⁻ cT

1-1 11 t1 ^

O >0 Qo W K ^

V V ^ , V V V

1H 00 <0 fflo «O 00 11 11 11 11

sili⁵

«TI-«

Ia₂

I₂a

Obergurt

N für ~ = h

0,751 1 | 1,25

Untergurt Nt für -F- =

0,7 5\ 1 | 1,25

Diagonalen N, für =

0,75\ 1 | 1,25

Vertikalen N, für Ą- ₌

0,7ö\ 1 | 1,25

Hiernach beträgt die grösste spezifische Biegungsspannung ungefähr in den Gurten 3 | K bis 15 K, in den Diagonalen 3 ^ K bis 13 ^ K, in den Vertikalen 10 ^ K bis 19 j^K. Im Allgemeinen sind hiernach die Biegungsspannungen beim Fachwerke grösser, als beim Netzwerke.

e. Excentricität. Der Einfluss der Excentricität lässt sich gesondert untersuchen, wenn man sich die Stäbe zwar biegsam, aber die Querschnittsfläche F so gross denkt, dass keine Längenänderungen entstehen, so dass auch die Aenderungen v der Winkel Null werden. Es ergibt sich dann leicht aus dem Obigen unter der Voraussetzung, dass I, = 1 ist,

66. t = zl = —

Die Ausschlagwinkel sämmtlicher Stäbe sind nun =t. Die entsprechende Formänderung zeigt Fig. 197. Sind _F₂, F₃ die Querschnittsflächen der Gitterstäbe und setzen wir

_ Qa%

~~ Kh ¹

Qa 3

Q

— sec a

F₃ = 4 sec ß =

Fi g. 197.

fy

a₃

x-

Ns

f/

//

-, setzen wir ferner I=Fr'i, J₂ = Fqr₂², I₃ = F₃r₃³, so erhält man als grösste spezifische Biegungsspannung in den Gurten

Kh

67. N =

/ Fr2 2(2— + \ a

(Ö _|_ li\ec

\ a„    a₃ /

Fqr*

F3T3

a„

a₃

§. 118. Einfluss von Hilfsvertikalen. Beim Netzwerke werden zuweilen Hilfsvertikalen angewendet, welche den Obergurt oder den Untergurt oder beide in der Mitte unterstützen (Fig. 198). Wenn diese Vertikalen ohne oder fast ohne Spannung sind, wenn also diese Vertikalen übermässig stark konstruirt oder nicht, oder schwach belastet sind, so tritt gegen das System ohne Vertikalen nur eine unwesentliche Aenderung ein. Ist aber die spezifische Primärspannung in den Hilfsvertikalen nahe oder ebenso gross, wie in den Hauptstäben, so kann eine nicht unerhebliche Aenderung eintreten.

Fig. 198.

Tr

Die Biegungsspannung in den Gitterstäben ist bezüglich das cos a, ~ cos ß fache hiervon. Unter der Voraussetzung, dass —■ = ^ ist, ergibt sich beispielsweise

r2 =

0,1

0,5

CO .

Fr²

H».| ^

Oj| Ni

bol

ec

■ V‘K-

Der Einfluss der Excentricität nimmt hiernach von der Mitte des Trägers nach den Enden hin zu; |an den Enden kann derselbe ungefähr 2 ^7 K gehen; diese Spannung wird beispielsweise beim recht-

eckigen Querschnitt = — — K, beim kreuzförmigen Querschnitt mit

3 e

gleich breiten und dicken Schenkeln = j- — K, beim Querschnitt, welcher

1 e

aus zwei niederen Gurten mit dem Abstande 2c besteht, = — — K.

4 c

N=0

22

bis zu

Wir wollen nur den Fall untersuchen, wo der Obergurt durch Hilfsvertikalen unterstützt und die relative Längenänderung aller Theile gleich gross ist. Alsdann ergibt sich die Aenderung der Winkel im Dreiecke 0 12 (Fig. 198) leicht zu:

vo =

— 4 =-

5^1 a

ferner die Aenderung der Winkel des Dreieckes 13 4: K ( h (A

Va-jJ’

vi = +

vi = —

a I an

Die Winkel des Dreieckes 12 3 ändern sich gar nicht, weil sich alle Seiten relativ um gleich viel verkürzen. Wenn wir nun die Ausschlagwinkel der Stäbe 0 2, 1 4, 2 3 bei 0, 4 und 2 mit t₀,    , t„,

das Trägheitsmoment der Querschnitte des Ober- und Untergurtes mit /, Jj, der rechts und links fallenden Stäbe mit J₂, I₃, das der Vertikalen mit 1₄ bezeichnen, so ergeben sich die Gleichungen:

-}- 4 Tą — ¹ a

+    . A

a'2h\' d

+*■ 4 + ł

10--

co

é\-³ I +ł

4tq —    2 T2 4 ) pi

68.

ü a ¹ a ¹ a h J

~ E

^(ł+ł)+^*(⁶ł+ł+ł + T

a:

72-¹

$H a

sH a

+⁵ł

sH a

a s-

+5

SH

so er-

Nehmen wir beispielsweise I„ = I₃ — 1^ = 0, I — J, an geben sich die Gleichungen:

■Jz Cq 2 ln -

4- — 3

sH a

2t₀ 4tç — + -gr

*l + ³l >

sH a

Die Auflösung gibt:

K I h a /i--

69.

T°~ E

2h

„ h , a

²a ⁺ ~2h]' Tl~~ E

Die entsprechende Formänderung (beispielsweise für a = 2h)< zeigt Fig. 199. Die maximalen Biegnngsspannungen werden:

,T 4c {nh . a N = — \6 ~ + -tyr a a 2 h

K,

70.

^H+ä)

N₃--=

2c

L Ä 4_ a [⁶a+2h

K.

Beispielweise wird für = 1 1,5 2 für den Obergurt N = 26,0

12,6 8,0 j K, d. i. 13,0 6,3 4,0 mal grösser, für die Diagonalen

Fig. 199.

fj

z _______

»----— -_-

sv

x i +* ~

jV₂ = N₃ = 10,6 7,6 5,6' c-~ K, d. i. ebenso gross, wie beim Träger ohne Vertikalen, und JV₄ — 13,0 12,5 15,0 ^ K.

Auf eine leicht anzustellende allgemeinere Untersuchuug wollen wir nicht eingehen.

§. 119. Gitterträger mit festen Knotenverbindiingen und inehrtheiligeni Gitterwerke bei nicht verbundenen Gitterstäben.

Das in §. 117 gezeigte Verfahren ist im Allgemeinen auch hier anwendbar. Bei der Bestimmung der Axialspannungen der Stäbe kann man, da das mehrteilige System statisch unbestimmt ist, den Näherungsweg ein-schlagen, indem man das gegebene System in einteilige Systeme zerlegt oder man kann nach §. 96 bis 101 eine genauere Bestimmung durchführen; bei Parallelträgern gibt die Zerlegung in einteilige Systeme entweder absolut genaue oder wenigstens hinreichend genaue Resultate (vergl. §. 98).

Zur Bestimmung der Aenderungen der Winkel zwischen den Stäben nach §. 115 wird es notwendig, die Aenderung des Abstandes bestimmter Knotenpunkte, welche durch Stäbe nicht verbunden sind, zu bestimmen.

Fig. 201.

ABC])

Fig. 200.

If

II

EFG II ~

Beim zweiteiligen Systeme bestimmt man auf besten die Längenänderungen der in Big. 200 und 201 punktirten Linien; man kann beispielsweise die Aenderungen des Winkels der Dreiecke BCF, F CG, GC H und HCD bei C bestimmen; die Aenderung des Winkels FCH ist dann gleich den Aenderungen der Winkel F CG und G CH. Indess kann man die Aenderung des Winkels FCH auch aus dem Dreiecke FCH bestimmen, indem man die Längenänderung der Seite FH gleich der Summe der Längenänderungen der Stäbe F G und GH setzt. Beim viertheiligen Systeme (Fig. 202 und 203) kann man die Aenderung der

Fig. 203. AS C

Fig. 202.

ABC

\\

fl

XXW\\\

Winkel ABD und CB F aus den Dreiecken DAB und FB C bestimmen, nachdem man die Längenänderung der Geraden AB und CF bestimmt hat; die Aenderung des Winkels DBF kann auch hier mittels des Dreieckes BFD bestimmt werden, indem man die Längenänderung von DF gleich der Summe der Längenänderungen der zwischen D und F liegenden vier Gurtstücke setzt.

Ganz allgemein kann man die Aenderung Al der Entfernung AD — l zweier beliebiger Knotenpunkte A und D in folgender Weise bestimmen. Man denkt sich in A und D in der Richtung ADt und DA die Kräfte 1 wirkend und bestimmt die entsprechenden Spannungen s jedes Stabes; ist nun Al die Längenänderung eines beliebigen Stabes in Folge der Belastung, so ist entsprechend dem §. 96

Al — — 2 s Al.

Fig. 204.

Beim zweitheiligen Systeme kann man die Gleichungen aufstellen, welche den Beziehungen der Längenänderungen der sechs Linien der Vierecke AB FE, BCGF, CD HG u. s. w. (Fig. 200 und 201) entsprechen und zwar entsprechend der Gleichung 7 (Seite 244). Wenn zwei Seiten AD, BC (Fig. 204) des Viereckes parallel sind, so wird diese f\.

asi.

Gleichung sehr einfach. Wir setzen AD = \, BC —    \

AB = av DC — aa_, AC = dv BD — d^ und die 'X Aenderungen dieser Geraden = Aliv A\ u. s. w. j /

Es ergibt sich sehr leicht, dass wenn man in BC eine Spannung anbringt, welche =-\-\ ist, die Spannungen in den übrigen Stäben die folgenden sind: in AD = -j-Aj, in AB = -)-ax, in DC=-\-ai, in AC =—dl} in BD = — d₂. Demnach wird im Sinne des §. 96 und 97 :

a, Aa{    Aa₂ -f- \ Ahv -j- \ A \ = dy Adt d% Ad₂

-oder, wenn wir die relativen Längenänderungen einführen:

A ax

2 z/ d\

-* ^1 J_ J ü ^^2 ^ + 2 *, '

Beim Parallelträger würde demnach entsprechend der Gleichung 8 (Seite 244):

71. V

ax

+ ⁽h

«2

72. a²

z/a,

z/a₂

TT¹) =    (4-

<* r

Fig. 205. A a B

oc

&-

oder

Für den Parallelträger mit zweitheiligem Fach werke setzen wir in Fig. 205 AB = CD = a, BD — h, AI) = BC = c, AC = d und die Längenänderungen bezüglich A a,, z/a₂, z/&, z/c,, z/c₂, z/cL Die Spannungen, welche entstehen, wenn man in einem Stabe eine künstliche Span-

_    ^ nung erzeugt, sind den betreifenden Linien pro-

I) a C portional; demnach wird a (z/à, —[- z/a₂) —c (z/Cj —|— z/c₂) = h Ali —(— dAd

73. a*

(Aa^ AaA    c2 / Acx

\ a a / '    \ c

?)

= /r

Ali

Ad

JT+* -T>

(4 -f- tan² a) —    -j- 4 ^-sec²

oder auch

75.    taw² a -f

Die mehrtheiligen Systeme stellen sich hinsichtlich der Biegungsspannungen sehr ungünstig. Nimmt man beispielsweise nur die Knotenpunkte des einen Systèmes belastet an, so sind die Senkungen der Knotenpunkte dieses Systèmes viel grösser, als die der unbelasteten Systeme; in Folge dessen sind die Krümmungen der Gurte sehr bedeutende. Wenn nun auch in Wirklichkeit die blosse Belastung der Knotenpunkte eines Systèmes nicht vorkommt, so sind doch Radstände denkbar, welche eine Belastung herbeiführen, die dieser ungünstigsten Belastungsweise mehr oder weniger nahe kommen.

Beispiel. Parallelträger mit zweitheiligem Netzwerke von 27m Spannweite, Höhe mit 6 Feldern von je 4,5m. Die beiden Gurte haben T-förmigen Quer-

Fig. 206.

'S

"A"

0,1 g

■-tir

11

13

o,ig

-V.

o,ß:_

~K

10

schnitt, welcher aus einem Steh bleche, zwei Winkeleisen und 0, 1 oder 2 Lamellen besteht; die Axen der Gitterstäbe schneiden sich in zwei Geraden, welche dem Schwerpunkte des Querschnittes mit einer Lamelle entspricht ; in den äusseren und mittleren Feldern entsteht dann natürlich eine Excentricität von bezüglich 0,19 und 0,14dcm. Die Querschnitte der Gitterstäbe und Endständer sind symmetrisch. Die folgende T abelle gibt die nötliigen Daten :

T h e il Stab

Länge

Abstand der Bandfasern

aussen innen

Quer

schnitts

fläche

Trägheits

moment

21

2c

aussen innen

Obergurt

»O 2k ik co >o

Hk Hk Hk Oi Oi Oi

Untergurt

Hk ÎND Ca Oa Hk io

Hk HK k Oi Oi Ol

Hechts

fallende

Stäbe

Oi Oo ki Oo Hk io

Linlcs

fällende

Stäbe

fo >C N Ca Oi kH

k? N? NJ Ol Oi Oi Oi Oi Oi

k? kJ ki

.Ca .Ca .Ca    „C> .Ca .Ca

'bo'bl'k?    Oo Oi kJ

I ^C> .kl .kl I .Ci ^kl .kl ac> Oo ÎND Ol Oj lao ! 'ca'ca'iso N O Oj Ci C> Ca ! Ca Ca Ca

00 ÎN k) Oo Jk ik IO Oo ik    00_ ik.

ik" 1k" OiT ik" 1k" Oi"

! yc yc ^c. ^ki^ca^ci ,y-A .ca „ca "oo "ca "ca | 'ïno 'oo 'ca'oo'ba O Qd oa O Ol Oa I Oj Qo Ca    Ca Ca C>OC>

^ ^C> ^Ca Hk Oo ÎN0

Or V5 Qo

,c> _co _c> ! ^c. _c> yo .ca^c.^

Ki K* ^ o o ia Hk tu i-o k    : Hk k OtVfOo

0,0124

0,0164

0,0200

0,0124

0,0164

0,0200

0,0056

0,0024

0,0011

0,0067

0,0045

0,0030

^ ^

Ca CO Ci

k lO Oj k? Hk io

S'S’S* I

'ca'ca'ca | 'b'b'b---

HO 00 VI d Oo kJ __ik da O    Cc O

ooo

kl ï\0 Oo kJ Hk ÎO

Endständer

60

0,80

0,96    0,14    0,0048    0,024

Decimeter

□ Dec. Decim. Decimeter

11

Wir nehmen hier lediglich die Knotenpunkte 3, 7 und 11 des oberen Gurtes mit der Last 1 (1 Tonne) belastet an, wählen also den für die Biegungsspannungen ungünstigsten Belastungsfall. Nach §. 98 ergibt sich hier z/ = 0. d. h. es ergeben sich für die Spannungen durch Zerlegung in zwei Systeme richtige Werthe. Diese Spannungen gibt das folgende Schema :

a. S =

0    —1,875 + 0,625

— 1,500    5    —1,500    7    — 1,500

0    —0,625 —0,625

— 1,875    0

0    +1,125    2

0    +0,625 —0,625    0

+ 1,125    4    +1,875    6    +1,875

Die Spannungen der Gitterstäbe sind hierin doppelt eingetragen. Die entsprechenden Werthe für sind:

3    — 1,88    5    - 1,50    7    - 1,50

— 1,77    + 2,23

O — 0,78    - 0,78

o-

— 1,77    +2,23 O    -i-2,23 —0,78 O

O +1,8S    2    +1,41 é +1,88    6    + 1,88

Dies sind gleichzeitig die relativen Längenänderungen, wenn man den Elastizitätskoeffizienten E = 1 setzt. Die Gleichung 72 geht hier über in

⁺ ~r)= 55 (Ir + ~<r)-

Für das Viereck 0 13 2 erhält man also 9.1,88 4- 16 .    - — 25.1,77r

— 3,82 folgt. Aus dem Vierecke 235 4 folgt sodann z^~ — + 7,57 •4 llg _

~h~

Beispielsweise folgt nun aus dem Dreiecke 2 5 4 die Aenderung des Winkels 2 5 4 nach Formel 46: = (1,406.4,5 — 0.4,5 — 7,57.0) ~>- = + 1,054 ; aus dem Dreiecke 4 5 6 folgt ebenso die Aenderung des Winkels 4 5 6: (1,875.4,5 — 0.4,5 — 7,57.0) -- = + 1,407. Die Aenderung des Winkels 2 5 6 ist demnach 1,054 -f-1,407 = +2,461. Die so bestimmten Winkeländerungen gibt das folgende Schema:

woraus

/1ht

und alsdann aus dem Vierecke 4 5 7 6

— 9,00.

c. v =

4- 1,41 4" 1,33

— 5,09 +2,36 +-7,12 -5,09 —12,00 +11,13 +11,13

+ 3,46 — 3,62

0    +10,09 — 8,07 —10,96 +10,09 +10,09

+ 2,12

— 1,41

+ 3,98 — 2,25

— 2,73

Hieraus ergeben sich nun in bekannter Weise die folgenden Stellungswinkel :

1 Tl

d. t =

t₃—11,60 3    t₃ t&+14,63 5 ts t,-26.25 7

t,-^- 3,69 t ₂-+5,09 t₃—9,24 r₃—7,12 r₅—9,54 t, + 12,00 t₇ —15,12 r₅—11,13 r°    t₀—1,33    rs

O t₀+1,41 r₂ £ r₂—8,69    r₄ 4 r₄ -f- 22,65

^ + 1,417^+8,07 t,+11,69 t₆-10,09 t₆—7,84

6 Tg-17,94

Der Symmetrie halber wird — t₆ = t₆ — 17,94, also r₆ = + 8,97-, ferner r₇ — 26,25 = — r₇, also r₇ = -f-13,12. Die Gleichungen, welche sich nun dem entsprechend nach §. 116 aufstellen lassen, sind :

478 T₀ -f- 48 t, + 124t₃ + 67 r3 48 Tg 4- 456 t, -|- 56 r₂ 4-124 t3 e 124 Tg -j- 56t,+778t,

67 Tg +124 T,

= + 271 + 2138 = -j- 514+0

+164 r₄ -f 45 ts = +1834 — 2138 + 758 t₃ + 24 r₄ +164 r₅ = -j-1951 + 0 164 t₂+ 24t₃ +836t4 45 t₂ -)-164 t₈

Auf der rechten Seite bezieht sich die zweite Zahl lediglich auf die Excentri-cität; diese Zahlen sind gesondert, um den Einfluss der Excentricität beurtheilen zu können. Aus der I., V. und VI. Gleichung folgt:

= —10286— 2625

+ 840 Tg = +3348 - 2100

t₀ = — 0,100 t, — 0,259 r₂ - 0,140 r₃ -f 0,567 + 4,472,

—    0,196 T, — 0,029 r₃ — 12,304 — 3,140,

—    0,054 r₂ — 0,195 t₃ - 3,986 — 2,500.

T\ =

rB —

Die Substitution in die übrigen Gleichungen gibt:

451 t, -f- 44 t, + 117 t₃ = + 486 — 215, 44 t, + 711 t, — 31 t₃ = 4- 3960 — 2065, 117 t, — 31t, + 716 t₃ = 4- 2862 + 186.

Die Auflösung gibt:

Tg = — 1,484 -f 5,218 = 4- 3,734 t, = - 0,617 — 0,240 = — 0,857 t₂ = + 5,795 — 2,880 = 4- 2,915 t₃ = + 4,352 + 0,175 = -f 4,527

f-

= — 13,565 — 2,581 = — 16,146 = — 5,147 - 2,378 = — 7,525

= f 8,968 = + 13,124

g. t =

Die hiernach bestimmten Ausschlagwinkel gibt das folgende Schema :

-0,86 —7,07 3 +4,53 +7,11 5 —7,53 —13,12 7 +13,12

4- 1,99 ± 1,13

+4,48 — 1,99 -4,46    — 1,13

—2,59 +2,01 +4,32 —8,08

O +5,14 +2,92 2 —5,77 -16,15 4 +6,50    4- 8,97 G — 8,97

+2,83 +4,24 —4,71 +3,74 +2,41 +2,92

In Fig. 207 ist hiernach die Deformation konstruirt (und zwar für E = 33,3 Tonnen pro □Decim.j, in der linken und rechten Hälfte bezüglich unter der Voraussetzung centrischer und excentrischer Knoten.

Fig. 207.

ohne Excentricitüt

mit Excentricitüt

fl

xPk

z

ft

V

\\

s'J

'' / /

yj

Mo

Die hiernach ferner berechneten spezifischen Biegungsspannungen sind im folgenden Schema zusammengestellt:

Die maximalen spezifischen Primärspannungen unter der Voraussetzung der für diese ungünstigsten Belastung der Knotenpunkte des Obergurtes mit der Knotenlast 1 werden für den Obergurt —1,25, —2,81, —3,00, für den Untergurt -(- 1,88, + 3,28, +3,38, für die rechts fallenden Stäbe +3,47, +2,23, ±0,97, für die links fallenden —1,83, —1,30, —1,04, für den Endständer —1,04. Die Vermehrung der spezifischen Spannung durch die Biegungsspannungen in Prozenten gibt das folgende Schema:

50    3    56    5    88    7    88

12    12    23    22 17    25 25

•**

i.

12    12    22    23 25    17    17

41    2    70    4    71    0    71

Hiernach ist die Erhöhung der Beanspruchung in den Gurten 41 bis 88, durchschnittlich 68, im Gitterwerke nur 12 bis 25, durchschnittlich 18 Prozent; im Ganzen ist dieselbe durchschnittlich ungefähr 45 Prozent. Bei gleicher Belastung aller Knotenpunkte wird die durchschnittliche Erhöhung der spezifischen Spannung ungefähr nur 12 Prozent.

§. 120. Gitterträger mit festen Knoteiiverbiiiduiigeii und inehrtheiligem Gitterwerke bei verbundenen Gitterstäben. Wenn die Gitterstäbe unter sich verbunden sind, so behält das im vorigen Paragrafe gezeigte Verfahren im Allgemeinen auch hier seine Giltig-

keit. Nur kommt zunächst noch die Bestimmung der Winkel der Stabsehnen an den Kreuzungspunkten der Gitterstäbe hinzu. Man bestimmt diese Winkel leicht mit Hilfe der an die Gurte anschliessenden Dreiecke AIB, FBF u. s. w. (Fig. 200 und 201), sowie der Dreiecke F1B, FIK u. s. w., in welche die viereckigen Maschen durch die Diagonalen BF, CG u. s. w. getheilt werden. Die Längenänderungen der letzteren bestimmt man wie im vorigen Paragrafe, allmälig vom Auflager an fortschreitend. Beim drei- und mehrtheiligen Systeme wird hierzu auch die Bestimmung der horizontalen Maschendiagonalen erforderlich.

Fig. 208.

t.

Die Verbindung der Gitterstäbe kann nun in doppelter Weise erfolgen. Die Verbindung kann zunächst eine gelenkartige sein. Wenn das Gelenk als ein widerstandsfreies angesehen wird, so muss einmal die Summe der Endmomente der Stäbe AC und EC B in C (Fig. 208) gleich Null und sodann die Summe der Endmomente der Stäbe BC und DO in 0 gleich Null gesetzt werden, so dass man für jede Kreuzung zwei Gleichungen erhält. Natürlich hat man auch zwei Ausschlagwinkel, etwa die Ausschlagwinkel t und %x der Stäbe AC und BC als Unbekannte einzuführen. Sind die Stäbe dagegen unter sich starr verbunden, so ist die Gleichung F für die Kreuzung ebenso anzusetzen, wie für jeden andern Knotenpunkt, so dass hier für jede Kreuzung nur eine Gleichung entsteht.

Hinsichtlich der Biegungsspannungen in den Gitterstäben stellt sich diese Anordnung ungünstiger, als die im vorigen Paragrafe behandelte.

Beispiel. Wir wählen dasselbe Beispiel, wie im vorigen Paragrafe mit dem einzigen Unterschiede, dass wir annehmen, die Gitterstäbe seien unter sich starr verbunden.

Die Schemata a und b behalten hier (abgesehen von der veränderten, nach Fig. 209 durchgeführten Numerirung) ihre Giltigkeit. Die Längenänderung der der Abstände 2 3, 4 5, 6 7, hier 3 4, 6 7, 9 10 ergibt sich hier wie dort zu bezüglich

—    3,82, -j- 7,57, — 9,00. Beispielsweise ist nun die Aenderung des Winkels 2 4 3

aus dem Dreiecke 2 3 4, E—l gesetzt, -+ [0.2,54-1,77(—0,7) -\-3,82.3,2] — +4,58, die Aenderung des Winkels 34 5 aus dem Dreiecke 3 4 5: = ~ [0.2,5 — 2,23 (—0,7)

4- 3,82.3,2] =-f- 5,74; also ist die Aenderung des Winkels 245 = 4,58 4 5,74

—    -f- 10,32. Die so bestimmten Winkeländerungen gibt das folgende Schema :

10

— 1,84

a. v =

—0,52

—1,84 +0,52 +1,33

+2,36 2 -7,83 44,14

-0,89 —3,25

+10,32

+10,67

+0,76 +3,73 —4,49

—13,16 5 +17,21 -{-0,44

41,27 —1,70

-18,67

—19,76

+0,31 +1,35

—1,66

-{-21,23 8 —22,96 +3,40

—1,18 -2,22

+11,77

+11,19

i)

+1,35

—2,22

b. t

Hieraus ergeben sich nun die folgenden Stellungswinkel:

t₄—11,60 4 r₄ t₇+14,60 7 t₇ ri0-26,24 10 rI0 t,+1,84 t—11,08 t₄-0,76 t₇+18,36 t₇— 0,31 r₁₀—,24,89 ti0-1,35

** + 1,66

tj + 3,68

*1

*2

4?

t₂—1,33

*5

t&+4,49

*8

t₂+2,36 t₂+6,50 t₅— 13,16 t₈-12,72 ts+21,23 t₇+24,62 r₀-f-0,55    t₃+3,25 ts-7,42    t₆—1,70 t₆+21,46    r₉+5,55 t₉-20,60

O ta+l,41 t₃ 3 ts—8,69

*o

*6

6 t₆ +22,64 Tg 9 Tg—17,94

Der Symmetrie halber wird r₉ = — t₉ +17,94, also t₉ = + 8,97 und t₁₀ — 26,24 = — t₁₀, also r, ₀ = +43,43. Wenn man diese Werthe berücksichtigt so lassen sich nun nach §. 116 die folgenden Gleichungen aufstellen:

612t ₀+ 48t₁+134t₂+124t3 48t₀+284t₁+112t₂    +124t₄

134t₀+112 t,+984t₂+1 12t ₃ + 134t4 12 4t g    +112t.₁+980t₃    + 90t₃+164t₆

124 t,+134t₂    +940t₄+ 48t₃    +164t₇

+ 307-3+ 48t₄+552t₃+ 48t₆+ 90t7 +164t₃    + 48t ₃+944t ₆

+164t₄+ 90t₃

c.

= - 982+2138 = + 673 = - 887 = +3740-2138 = +3698 = +1752

+ 60 t₈=—12826-2625 +952t₇+ 22t₈=—5870—2100 + 60t₆+ 22t₇ + 328t₈= —4651

d.

Hiernach ergeben sich nun die folgenden Ausschlagwinkel :

1    +0,81    —5,53    4    +6,07    +3,13    7 —11,50    —13,12 10 +13,12

+2,65    -5,01    +5,31    +6,86    —11,81    -11,79    +11,79

-2,93 —4,26    + 4,30 +8,79    -10,19 —8,53

= + 8,97 = + 13,12

+4,49

e. t =

+0,71

—0,87 +3,57    - 8,86 —8,42    +11,04 +14,43

+1,23    +12,03 —1,36    -15,92 +3,84    +11,19    —11,19

0 +2,12    +8,78 3 +0,09    —17,62 6 +5,02    +8,97 9 —8,97

Fig. 209 zeigt die hiernach dargestellte Deformation (für E = 33,3 Tonnen pro □Decimeter) und zwar links für centrische, rechts für excentrische Knoten.

Fig. 209.

ohne Excentricität

mit Excentricität

____

X.

fj \\

/ v

//i,

0,

\\

s\

Die maximalen spezifischen Biegungsspannungen lassen sich hiernach leicht, in bekannter Weise bestimmen. Wir geben im folgenden Schema nur die Prozentsätze. Die Verhältnisse gegen die unter der Voraussetzung der ungünstigsten Belastung bestimmten spezifischen Primärspannungen sind in Prozenten:

75

Ci    Ci

o    cd

îo

Oj

90

Hiernach ist die Erhöhung der Beanspruchung in den Gurten 27 bis 113, durchschnittlich 65, in den Gitterstäben 3 bis 90, durchschnittlich 36, im Ganzen durchschnittlich 51 Prozent. In den Gurten ist demnach die Erhöhung der Beanspruchung durchschnittlich ein wenig kleiner, in den Gitterstäben ist sie durchschnittlich doppelt so gross, als bei nicht verbundenen Stäben.

§. 121. Näherungsbestiiiiiiiuiig für Parallelträger mit zweitheiligem Netzwerke. Wir wollen nur eine Näherungstheorie unter der

Voraussetzung geben, dass die relative Längenänderung aller Theile dem absoluten Wertbe nach gleich ist. Wir führen hierbei die bereits in §. 14 angewendete Bezeichnung ein. Bezeichnen wir noch die relative Längenäuderung der Höhen AB und CE mit o und a‘, so folgt aus der Formel 8 (Seite 244),

' E' — E'

Fig. 210. T' A

<r

V1

K-"''

Bi.

y*

V?

V9

~Vio

f. !

<r.

JZ

wenn wir

K PA _ _

E’ L₂ ~~    E

G —(— (7j    0.

Hiernach müssen die relativen Längenänderungen der Höhen abwechselnd positiv und negativ, dem absoluten Wertbe nach aber gleich sein. Nehmen wir starke Endständer an, so können wir daher für alle Vertikalen g — 0 setzen.

1. Nicht verbundene Gitterstäbe. In der bekannten Weise

Tt

~ — ff,

Pt

Lt

setzen :

ergibt sich als Aenderung der Winkel:

K h

75.

”■ = ”» = “ ~Ë ä’ V“ = ”4 = +

v<i — Ą- 2

, =-₃P

⁵    E

Hiernach wird nun , Kh T- — ¹ Ea'

Kh Ed'

x‘ — x

I C3

= Ti +

— Ti~\~ w

r/ — Ti -

Ka

2 Pf-

Eli'

Hieraus ergeben sich nun die Momentengleichungen

76.

~E

» i k-

«K +

- )]•

sel Ö

i« ~h ij»

T - ---j--

d

d \ a hJ d \ a lij J

Nimmt man I = Ix und J₂ — J₃ an, so wird t = r, und zwar

77. t = -f-

h d \a M

Als spezifische Biegungsspannungen in den Gurten und den Diagonalen ergibt sich hiernach

78.

oder = —T

a L

3 Et —

4Kj

h

*i)]

oder

i)]

Hiernach ist die folgende Tabelle berechnet :

T = ö'⁷⁵

r = 1,00

kl

C> kl

kl

co

^C'

F "co "co "n?

•x

N₂

JV

JV

n₂

^ F ^ F Oo" »cT Cif <*T

CH »O CO îk

v V V V

CO Kl »o

CO .Ol "o 7k "cs "oo

,Hk .Co _ki

Ci Oj k oi

%-K

*F

Ci K

•F

%-K ĄK

Yon den beiden Werthen für N, iV₂ ist nur das absolute Maximum aufgenommen.

2. Verbundene Gitterst äbe. Bezeichnet man noch die Aen-derung der Winkel an der Kreuzungsstelle G (Fig. 210) mit v₇, v₈, v₉, vi0, so ergibt sich

Vl = —

79.

brjJ

a i ais-

>la Ha

1 V3 — +

(-

\a

4-

r)

(-    r).

\ a    h J

a-i a

an a

, r, „ - -Ą- 2 Jj, ,    J'₂ - ł'₅    )’₇ - J’g - 0.

Die Winkel des Parallélogrammes AHB G ändern sich somit nicht. Die Ausschlagwinkel hei A und B werden nun

T„ = t₃‘ — X

e- )■

X‘ — T

e- )■

Ti — G —

«Ka À E h *

r3 — V = G +

Hinsichtlich der Yerbindungsweise der Gitterstäbe unterscheiden wir die folgenden beiden Fälle:

a. Die Gitterstäbe sind gelenkartig mit einander verbunden. Bezeichnen wir den Ausschlagwinkel der Stäbe GC, GE, GB, GA bei G bezüglich mit r₄, r₅, r₄', r₃', so ist

K a E h'

Als Momentengleichungen ergeben sich hiernach

- G 4~ %

a- a

« -,

i - - ]•

80.

a LH

~ E l⁶ a h

k (h _ «VI

d\a. Ji) \ ’

» 6+!)-

» (-M)

* 4 G + ^G> = —

Nach den beiden letzten Gleichungen ist t₄ = t₅. Ist I = It, J₂ = J₃, so wird nach den beiden ersten Gleichungen auch ir = und zwar ergibt sich in diesem Falle:

58-1 a

a-l a

81.

r4~ E

1 + k

a d

[î+‘î)+‘

ad«*¹

In Fig. 211 ist hiernach die Deformation für die beiden extremen

Fig. 211.

Fälle: /₂ = ö (Fig. 211a) und 1=0 (Fig. 2116) dargestellt.

Für die spezifische Bieguugsspannung in den Gurten bleibt die erste der Formeln 78 gütig.

Die grösste spezifische Biegungsspannung in den Gitterstäben tritt in der Regel an der Kreuzungsstelle, nur bei kleinem

Werthe von ~ und grossem Werthe von - S- in a i₂

den Zugstäben am unteren, in den Druckstäben am oberen Ende ein. Dementsprechend wird, wenn wir die spezifische Biegungsspannung am Kreuzungspunkte mit Nq, am Stabende mit Nq' bezeichnen,

-1 J\

Ns

's

vs

ss

\S

\1

W7

fl

ÏX

's

's

er

0±>-

yjS+0,5

-2/

v/o

y+-i

-ł +/Xn

-z

82.

N, = 8

SU Ci

I K-

fl 4 _ ^    ^    fl

² “ d Id+I₉a a

4c

Die spezifische Biegungsspannung am Kreuzungspunkte der Diagonalen ist demnach von dem gegenseitigen Verhältnisse der Stucke der Gurte und Gitterstäbe unabhängig. Für einzelne Verhältnisse ergeben sich die folgenden Werthe:

~ = 0,75 N | _Nt N7_

T = t'⁰⁰

Nt

XD

ÎSO Co X ÎND "o "Os X

Qo Qo Qo Oo

C» *0 0 Co LO X

"c) "o» 'o "o

_0, JOt _Ox _Ot

"x ~x "x "x

O CO CO "oo

Oj La O} Oj

a-| o

>1

-sTl^

Hiernach ist die spezifische Spannung an den Gurten dieselbe, wie bei nicht verbundenen Stäben, während sie in den Gitterstäben bei

kleinem Werthe von ~ also an den Enden der Träger, grösser ist.

Einen sehr wesentlichen Einfluss übt indess die Verbindung der Gitterstäbe nicht aus.

b. Die Gitterstäbe sind starr mit einander verbunden. Behalten r₄, t₅ ,    dieselbe Bedeutung, wie im vorigen Falle, so

ist zunächst, da sich die Winkel G GE und AGB nicht ändern, v₄ = v₅, vx‘ — v^. Da die Aenderung der Winkel CG A und EGB bezüglich

— — ,2 ~ ^ uu(* ^ ^ E Ti so w*r(^

Die beiden ersten der Gleichungen 80 behalten ihre Giltigkeit, wenn man darin t₅ = setzt. An Stelle der beiden letzten der Gleichungen 80 kommt die einzige Momentengleichung:    -f- xx -f- 4t₄

+*§(s + D] + ⁴-r b+ *. + *** + *§ £+ {)] = o, i. i.

83. t -f- tx -f- 4t₄ = —

-!( + )■

Da auch diese Gleichung, weil r₄ = r₅ ist, mit jeder der beiden letzten der Gleichungen 80 identisch ist, so müssen sich im vorliegenden Falle genau dieselben Ausschlagwinkel ergeben, wie im vorigen. Sonach bleiben auch die spezifischen Biegungsspannungen ganz dieselben.

Das Fach werk lässt sich näh erungs weise schwieriger behandeln, weil hier die Längenänderung der den idealen Vertikalen des Netzwerkes entsprechenden idealen Diagonalen sich nicht gleich Null und auch nicht einmal konstant ergeben.

§. 122. Kontinuirliche Träger. An den Mittelstützen der kon-tinuirlichen Träger geht bei jeder Schaar der Gitterstäbe der Zug in Druck über; dies hat eine plötzliche Aenderung der Lage der Tangente der beiden Gurte und in Folge dessen eine Vergrösserung der Krümmung, also eine Erhöhung der Beanspruchung der Gurte zur Folge. In einem gegebenen Falle ist die Behandlung nach dem Mitgetheilten zu führen; wir wollen aber hier unter der Voraussetzung von Parallelträgern mit eintheiligem Gitterwerke und einer in allen Stäben gleichen relativen Längenänderung noch Näherungsregeln entwickeln. Wir bezeichnen hierbei das Trägheitsmoment des Querschnittes des Ober- und Untergurtes mit I, i₁₅ das der gezogenen und gedrückten Gitterstäbe mit J₂, J₃, die Längen der Gurtstücke mit a, die Längen der geneigten Gitterstäbe mit d, die Trägerhöhe mit h, die konstante spezifische Spannung mit K.

1. Netzwerk. Die Aenderungen der Winkel der Dreiecke ergeben

§ b ±I(^+I5).±§[4-1-4die

sich bezüglich zu ±

Aenderung des Winkels 101' (Fig. 212) zu    Wenn man nun

Fi g. 212.

's

SW

\i

Z'

xs

die Ausschlagwinkel von den Knotenpunkten 2 und 3 an für entsprechende Stabenden als konstant und die Deformation in Beziehung auf die durch die Stütze gehende Vertikale symmetrisch annimmt und man noch die Ausschlagwinkel der Stäbe 1 3, 2 0 und 3 4 bei 1, 2, 3 mit tv r₂, r₃ bezeichnet, so wird

r'{³i + 2

84.

+ 5 d) + ** § +

²l+⁴4)+j(⁶ l+⁰'⁵ %)+Ä !)]=°-T4+H(⁵ a +⁵§+'²§) äL4⁵4

l+^(§+§)+^H+4+4)

+§[⁶TÄ+Wi⁺⁰'⁵ ) + K^+j'⁵i)] = °-

Tx

a LS

S LS

-f

s !,s

)+ (⁶l~⁰'⁵ )+ (⁶

SUS

sH a

a. LS

a I sh

= 0,

ss-i a

Die Ausschlagwinkel t₀‘, t₀“ des Stabes 0 2 und 0 1 bei 0 ergeben sich gleich der Aenderung der Winkel 2 0 2', 10 1', nämlich

K h E a '

Bezeichnen wir noch den Ausschlagwinkel der Stäbe 1 1 und 1 0 bei 1 mit t,', Tj", so ist

86. t/ = Ti-]-~

85. Tq =

To" =

U + 2,5 ),

r-S | Ö

sh a

In Fig. 212 sind die Verhältnisse

= 1,5 und

- — 2 voraus-

a

gesetzt.

Sind nun N, Nv JV₃, N₃‘ die spezifischen Spannungen des Obergurtes, Untergurtes und der Strebe 01 bezüglich bei 1, 0, 0 und 1, c, Cj, c₃ die bezüglichen Abstände der Randfasern von der Schweraxe, so ist

N₁ = 2^-E(2t„ + t₃),

CI

N₃ = 2^-E(t₀“ + 2t,“).

38.

— Evt',

a

N₃=2^-E (2t,," + V),

(v

Hiernach ist die folgende Tabelle berechnet:

(TK

H | 8

Strebe

Obergurt

N für = h

1 1 1,5 \ 2

Untergurt N, für ~ =

1 1 1,5 | 2

Na für ~ = 1 I 1,5 | 2

N,‘ für Ą- = 1 I 1,5 | 2

Co

co" »cT

^Oo ^Oo ^Oo "Ci "®i Ox "oo

.Oo .Oo .Oo .Oo 05 Oj to Os

,C> -t"⁴ ^-O ,©s "oo "oo ho "kl

.kl .Co ,©0 ^ Kk oh© Oo

Ï O Oo .Oo .kl "s© h© "ki

Oo *0 Hk OS

to Oo^^Oo

>1

<Tl-«

Die Aenderung des Winkels 2 0 2' ist ^ -f- 6 ~ j, die Aen-

derung des Gurtwinkels, an einem anderen Knotenpunkte ist 2

so dass

K a

Ëh>

die Winkeländerung an der Stütze 3,5 bis 5,ömal so gross ist, als an einem anderen Knotenpunkte. Hiernach kann die Biegungsspannung, namentlich im Untergurte sehr gross werden; sie kann hier anderen Stellen des Trägers gegenüber bis über das Doppelte steigen.

2. Fachwerk. Die Aenderungen der Winkel ergeben sich hier zu ± 2    ±2-^--^- und 0. Wenn wir die Ausschlagwinkel ent

sprechender Stabenden von den Knotenpunkten 2 und 3 an (Fig. 213) als konstant annehmen und wenn wir die Ausschlagwinkel der Stäbe 3 5 und 0 2 bei 3 und 2 mit t₃, r₂ bezeichnen, so ergeben sich die Gleichungen

+ 2i⁺²i) + ** fl + 'r)

= 0,

+ ^{-²l + 4î) + 6T-a + ^{e-a + 4-h)]

Kfl'« ^ N

[- H+⁶!)+ł(⁴«-al)+x«-⁺^)]=°-

Bezeichnen wir noch die Ausschlagwinkel der Stäbe 1 3 und 0 2 bei 1 und 0 bezüglich mit tx und r₀', so ist tx gleich der Aenderung des Winkels 013, r₀' gleich der Aenderung des Winkels 10 2, d. i.

89. %x =    — —

Fig. 213.

K

E ah'

fi

X"'-

V'k

\%

ft

\//

Ist noch r₃' der Ausschlagwinkel des Stabes 1 3 bei 3, tx“, r₂" der Ausschlagwinkel des Stabes 1 2 bei 1 und 2, so wird

u    , o K h

T» =r* + ^E-T-

h ’

Fig. 213 entspricht den Verhältnissen ~ = 1 und ^ = 2.

Sind nun W, N1} NQ, N„‘ die Biegungsspannungen des Ober- und Untergurtes und der Diagonale 1 2 bezüglich bei 1, 0, 1, 2, so wird

91. N = 2-E (2t, +    N, = 2^-E (2V + »,),

CC'

N,= 2CjE (2t, " + V).    X,' = 5 i £ (r,* +

Hiernach ist die folgende Tabelle berechnet:

a I k, .H a

Nf für ~ = 0,75 | 1 \1,25 0,75 \ 1 \ 1,25

Obergurt

N für 4- = h

0,75 | 1 11,25

Untergurt -ZV« für ~y = 0,75 | 1 \1,25

Diagonale

ÏO Kl C>

oo

iq. ^    ^

kjT Co" 0<T Oo"

(M OJ Oi k|

kJ. Kl Kl Kl ^O« J?* ^O«

'oo'o'o'ki

kl Kl Kl Kl ^ .Kl ^NC

Uo "oo o, Qo

00 »O Oo

V ^ v V

00 0f5 lk 00

<m c<t

k k k k Ic Hk ^3S Qo "cd "o "tfk

s« k k

,k« ,ło _o« "lo'bo'oi K«

.Kl .Kl .Hk

ViUsUo co

CO Oo >S to

V v V _--

«o <M ©î C>

^Cü ^Cl5 JCU

Oo Uc Oo Oo

^    .Kl

CO 'üi Ol kj

Qq^ ^

©4" <xT mT

^Oo ^Kl

Kl

C TS

■ IT A

• 4- K

h

C1 TT

• TT A

-c₂

•T A

Hier haben Ober- und Untergurt nahezu gleich grosse Biegungsspannungen ; dieselben sind wesentlich grösser, als im übrigen Theile des Trägers.

Winkler’s Brückenbau; Theorie II. Heft.

Die Aenderung des Winkels 313' und 2 12' ist 4 ~ ^ 4-    ,

K a

die der Gurtwinkel an den übrigen Knotenpunkten ist =2    die Aen

derung des Winkels an der Stütze wird daher 3,6 bis 5,5 mal so gross, als an den übrigen Knotenpunkten.,

§. 123. Statisch unbestimmte Stabsysteme. Die statisch unbestimmten Stabsysteme unterscheiden sich von den statisch bestimmten in der Behandlung fester Verbindungen lediglich nur in der Bestimmung der Axialspannungen der Stäbe, welche hier nicht mehr nach rein statischen Gesetzen erfolgen kann, welche vielmehr durch Zuhilfenahme des Elastizitätsgesetzes in der im XIV. Kapitel behandelten Weise durchgeführt werden muss.

Ein wichtiges Beispiel bietet das kombinirte Gitterwerk, speziell das zwei- oder mehrtheilige Netzwerk mit Vertikalen. Die Vertikalen bewirken hier eine Vertheilung der Belastung auf die Knotenpunkte der einzelnen eintheiligen Systeme, in Folge dessen eine grössere Gleich-mässigkeit in den Spannungen und dadurch eine wesentliche Verminderung der Bieguugsspannungen.

Beispiel. Wir wählen hier das bereits in §. 119 behandelte Beispiel und fügen nur noch Vertikalen von 0,28 Q*» Querschnittsfläche hinzu.

1. Bestimmung der Primärspannungen. Wir nehmen wiederum nur die Knotenpunkte 3, 7 und 9 je mit der Last 1 belastet an. Wir denken uns zunächst die Vertikalen mit Ausnahme der Endständer beseitigt und bringen dafür in den Knotenpunkten die entsprechenden Kräfte an, welche wir für die Vertikalen 2 3 und 7 9 mit x, für die Vertikalen 4 5 und 7 8 mit y und für die Vertikale 6 7 mit z bezeichnen. Durch Zerlegung in zwei eintheilige Systeme, die hier streng zulässig ist, ergeben sich die folgenden Spannungen:

Theil

Nr.

Spannung in Folge der \Belastung\ Kräfte x | Kräfte y Kraft z

Spannung

Obergurt

Untergurt

Hechts

fallende

Stäbe

Üi Oj ki H*. ÎO © Oi Ù5 k © Hk ïol © ^ fcO kJ Ol Cü

j— 1,500 — 1,500

4- 0,750x — 0,750y    4- 0,375 z I— 0,281

+ 0,750 y —0,375 z j— 1,257 4- 0,375 z — 1,605

4- 1,125 + ¹,¹25 4- 1,875

-f 0,625

4- 0,750 x ¹ — 0,750 y -j- 0,375 z -f 0,844 -{-0,750 y — 0,375 z 1,368 + 0,375 z 4- 1,770

— 1,250 x

-t- 1,250y — 1,250y

Links

fallende

Släbe

Vertikalen

Üi Hk ło © H*. to © o: üi Oj k ^ Oi Oj

©    ‘O

3k    C*

00    ©

T-^© ^    ©    ©    ©    ©

— 1.250x

4- 1,000 x -j- 1,000 x

+ 1,250 y — l,250y

— 1,060 y

4- 1,060y

—    0,625 z + 0,467 + 0,625 z + 0,219

—    0,625 z 4- 0,174

—    0,625 z — 1,408 + 0,625 z I— 0,406

—    0,625 z — 0,451

-f 0,500 z - 0,374 — 0,050 -f 0,185 1,000 z — 0,279

Zur Bestimmung von x, y, z wollen wir hier die Gleichung 8 (S. 244) anwenden. Es wird hier si»⁵« = (J)²= 0,36, cos⁷a = (J)² =0,64. Die Querschnittsflächen gibt die Tabelle auf Seite 325. Hiernach würde beispielsweise für das Rechteck 2 3 5 4:

0,36 ^

— 1,5 + 0,75 y - 0,375 z . 1,125 4- 0,75 y—0,375 z

0,8

0,8

) + 0'"(w ⁺w)

0,625 — 1,25 y + 0,625 z

1,25 y + 0,625 z

0,28

0,96

)•

In dieser Weise ergeben sich die folgenden drei Gleichungen:

[ 8,504x — 6,218y + 3,109 z = — 2,444, a. < 2,286 x -f 8,727 y — 3,221z = + 2,454, -t- 2,285 y + 4,789 z — — 0,916.

Die Auflösung gibt

x = — 0,050, y = + 0,185, z = - 0,279.

Die hiernach berechneten Werthe der Spannungen sind in der letzten Rubrik der vorigen Tabelle enthalten. Die entsprechenden spezifischen Spannungen gibt das folgende Schema:

5    -1,605    7

-0,423 +0,400    —0,564

+ 0,661

+0,780 - 0,564    +0,405

é    +1,770    6

2. Bestimmung der Ausschlagwinkel. Die in bekannter Weise bestimmten Aenderungen der Winkel zwischen den Stabsehnen gibt das folgende Schema :

Q-

= { -0,390

/    - 0,468 * 3    —1,571

+1,297    —1,328 +0,780

-0,180

-1,328    +1,297 —0,433

O    +1,407    2    +1,710

-0,996

c. v =

+0,083 +0,645

—1,968 +1,251

+1,531 -2,249

+2,051 +0,698 —1,324 —0,861

—0,159 +0,324

+1,445 —1,280

+1,600    +1,024

—1,763    - 0,781

—1,868 +1,633

+1,751 —1,508 —0,576 +0,341

Die hieraus folgenden Ausschlagwinkel gibt das folgende Schema:

1 X,

d. 7 =

t₃—3,841 3    t₃ 7,-1,080 5 r₅    x₇—6,768 7

7,+1,968 t₃ - 2.590 r₃+0,159 x—0,756 x.+1,868 t,-5,135 7,-1,633

t,- 3,384 t,+1,167

7j + 1,S85

t ,+0,844 7 ,+3,043

r₃—0,539 7 ,+3,57 3

7o-0,645 x₂+2,249 x₂+4,434 x,+1,280 x,+3,824 x₆-0,341 x₆+2,675 O 7,-2,176 t₂ 2 x₂+2,989

To

4L x,+4,400    xe 6x₆ + 2,334

Die hiernach aufzustellenden Momentengleichungen sind:

478 7₀+ 487,+ 124x₂ + 67 r3 48x„+456x,+ 56x₂+124x3 1247,+ 56x,+ 802x₂ + 12x₃+164x,+ 45x5 677,+124 t₂+ 12 x₂ +782 x₃+ 24x₄+164x-

+ 164x₂+ 24x₃+ 860 x, -j- 12x,+ 200x₆+ 307, = — 2474 — 2478 457₂+1647₃+ 12x,+904x-+ Ux,+200 x₂ = + 1482 — 2247 Das zweite Glied der rechten Seite ist wiederum das der Excentricität entsprechende. Der Symmetrie wegen ist x₆ = — r₆ — 2,334 und r₇— 6,768= — r₇, woraus zunächst t₆ = — 1,167, r₇ = -f 3,384 folgt. Durch Auflösung vorstehender Gleichungen erhält man

= + 709 + 1604 = —    51+    534

= - 1517 — 1604

= + 1452 — 534

T, =    ■+■    3,384.

Die entsprechende Deformation ist in Fig. 214 dargestellt und zwar links für cen-

K

trische, rechts für excentrische Knoten und für = 0,10. Der Vergleich mit der

K

entsprechenden Fig. 207, welche für = 0,03 konstruirt ist, zeigt hier wesentlich kleinere Verbiegungen.

Ti =

f-

ohne Excentricität

Fig. 214.

mit Excentricität

oZ-.

-3 r

/J

SJ

I XJK

Ł ,j\\

>-

ti/ /j

Die spezifischen Primärspannungen ergeben sich für die ungünstigste Belastungs-weise in den Gurten 1,56 3,05 3,19, in den rechts fallenden Diagonalen 4,33 3,72 1,45, in den links fallenden Diagonalen 1,47 1,09 0,78 und in den Vertikalen 1,82 1,80 1,80 1,80. Die spezifischen Biegungsspannungen ergeben sich in Prozenten dieser spezifischen Primärspannungen :

Centrische Knoten

2    5    3    7

5    7

1    15    3

3    3    2

Excentrische Knoten

1    11    3    10    5    19    7

3    14    5

ts

9-

\Us

30

3    14

7    5

12    2    13    4    1    6

14    3    10

O 9    2    17    4    7    6*

Durchschnittlich beträgt die Erhöhung der Beanspruchung durch die starren Verbindungen hei centrischen Knoten 5, bei excentrischen Knoten 13 Prozent, also bedeutend weniger, als nach §. 119 bei Weglassung der Vertikalen.

§. 124. Belastung der Stäbe. Wir haben bisher vorausgesetzt, dass die Lasten in den Knotenpunkten wirken, dass also die einzelnen Stäbe selbst nicht belastet sind. Die aufgestellte Theorie lässt sich in-dess ohne Weiteres auch auf den Fall ausdehnen, dass die Stäbe belastet sind; der einzige Unterschied besteht darin, dass an Stelle der Formeln 49, Seite 303 die Formeln

= rn₀“-\--

u a

zu setzen sind und hierin bedeuten m₀‘, w₀" diejenigen Momente, welche an den Enden entstehen, wenn der Stab an den Enden ohne Ausschlagwinkel eingespannt ist. Auf die Bestimmung dieser Momente wollen wir hier nicht eingehen (siehe beispielsweise Theorie der Brücken, I. Heft, §. 34 und 35; Lehre von der Elastizität und Festigkeit, XII. Kapitel). Wir bemerken nur, dass die Bedingungen zur Bestimmung dieser Momente sind :

m“

(2 T'+T)

J m dx — 0, j

o    o

m x dx — 0,

Fig. 215.

30    15

15 80

wenn m das Moment au einem beliebigen Querschnitte im Abstande x von einem beliebigen Punkte der Axe bedeutet; bei symmetrischer Belastung ist die zweite Bedingung von selbst erfüllt.

Beispiel. Wir betrachten eine Querverbindung eines Gitterträgers (Fig. 215), bestehend aus dem Querträger AB, welcher in zwei Punkten mit 15 Tonnen belastet ist, den Vertikalen A C, BD, der Horizontalen CD und den Diagonalen AD, BC. In A und B mögen je 30 Tonnen nach abwärts, in C und D je 45 Ton. nach aufwärts wirken. Die folgende Tabelle gibt die Dimensionen :

------ZO------

</---------30---------V

45

hg

\P

45

Th eil

Länge

Quer

schnitts

fläche

Trägheits

moment

Abstand

der

21

2c

Randfaser

Spannung

Querträger

Horizontale

Vertikale

Diagonale

3,500

; 0,012

\ 0,180 i 0,023

2,50 0,2333    0,167 -f 4,83 + 3,35

\0%\⁰'⁰⁰⁰⁸ \ \Xo¹07i+i'⁸³⁺²¹'9i

1, 5 0,0090 I 0,053 jj-38,56^64,27 0, 5 0,0009 j 0,030 !j— 8,05 —36,58

N Co

Decim. □ Dec. \ Decimiter

!!

Ton TonPro 10n‘ {J Dec.

Bezeichnen wir die Spannung einer Diagonale mit x, den Winkel zwischen den Diagonalen und Vertikalen mit «, so ist die Spannung des Querträgers und der Horizontalen = — xsintc = — 0,6x, die einer Vertikalen ——xcosa — 45 = —0,8x — 45.

0,6 x 0,6 x 1,44 ^ 0,22

oder 11,93 x = — 96, x = — 8,05. Die hiernach bestimmten Spannungen S der einzelnen

s

Theile, sowie die spezifischen Primärspannungen p sind in der vorigen Tabelle mit enthalten.

Die Gleichung 8 (Seite 244) gibt:

-(

) 0,36

90-\-l,6 x

0,60

2x

0,64 0,22

Sind hiernach in bekannter Weise die Aenderungen der Winkel bestimmt, so ergeben sich unter zwei Voraussetzungen, nämlich für nicht verbundene und starr verbundene Diagonalen die folgenden Ausschlagwinkel (für E = 1):

b. Verbundene Diagonalen.

a. Nicht verbundene Diagonalen.

- T

— T—30

T + 37

-T + 7

tï — 60

-rt + 7

t₂— 74

t t + 14

rj — 37

-rt + 37

— r, 1)

-r,+7

— t, + 44

— Ti

Ist ein Stab mit der Länge l in den gleichen Abständen « von den Enden mit D belastet, so ist das Endmoment ma bei horizontaler Einspannung

r, — 44

*i

m₀ = — D a

d. i. im vorliegenden Falle — - 15.5 (l —    = + 62,5. Hiernach ergeben sich

in bekannterWeise die Momentengleichungen :

Nicht verbundene Diagonalen:

E (0,243 t + 0,008rt) = + 62,59, E (0,008t + 0,021 rt) = — 0,29.

Verbundene Diagonalen:

E (0,255 t + 0,009 t, -f 0,0018 t,,) = + 60,47, E (0,009t + 0,022 r, + 0,0019 t') — — 0,37.

Im letzteren Falle folgt ausserdem aus der Symmetrie jEt₂ = — Et₂ -f- 60,

30

also r₂ = + -g. Hiernach ergibt sich bei nicht verbundenen Stäben Et — -j- 261

Fig. 216.

= + 233, Et, = — 114, Et₂ = + 30.

jEr = — 113, bei verbundenen Stäben Et Die entsprechenden Ausschlagwinkel (für E = 1) gibt das folgende Schema:

b. Verbundene Diagonalen.

a. Nicht verbundene Diagonalen.

A +261 + 298

— 261 B - 298

A +233 + 260

- 233 B — 260

+ 226

— 226

+ 254

— 254

+ 30

- 30

— 120

+ 120

— 44

+ 44

- 150

C -113    '

-f 150 + 113 D

— 121

+ 121

— 158

C —114

+ 158 + 114 D

Die entsprechende Deformation ist in Fig. 216 dargestellt. Die in bekannter Weise berechneten maximalen spezifischen Biegungsspannungen gibt die folgende Tabelle; zum Vergleiche sind die spezifischen Primärspannungen nochmals mit angegeben :

Th eil

Spezifische

Primär

spannung

Spezifische Biegungsspannung

Querträger, Ende Ti    Mitte.

Horizontale

Vertikalen . Diagonalen

-f 3,35 + 3,35

-f 21,94

—    64,27

—    36,58

1,15

rp 52,42 /+ 3,03) \— 0,79) dt 20,56 ± 22,38

Ił Ił I +-H Ił

_Oo    ^ ^

'bx "oo 's? "oo

C> O O» Oi ÎN2

Tonnen pro [JDecimeter

§. 125. Einfluss der in den Stäben wirkenden Axialkräfte auf deren Deformation. Wir haben in den Untersuchungen des Einflusses starrer Verbindungen hinsichtlich der Deformation eines einzelnen Stahes den Einfluss der im Stabe wirkenden Axialkraft, der möglichst weit gehenden Einfachheit halber, vernachlässigt, wie es unter gewissen Voraussetzungen auch zulässig erscheint. Im Folgenden wollen wir auch noch diesen Einfluss näher untersuchen.

Der Stab sei an den Enden A und B (Fig. 187, S. 303) so eingespannt, dass die Tangenten in A und B mit der Geraden AB die Winkel und t₂ bilden. An den Enden A und B mögen die Momente ml und w₂ wirken. Wirkt im Stabe in der Richtung von AB die Axialkraft P, so ist bei der Länge l des Stabes für einen beliebigen Querschnitt C im Abstande x von A das Moment m:

m — m,

(₂_ f) + j ± Py,

00

— m,

— (mt — ms) J =h Py,

wobei das obere oder untere Zeichen zu wählen ist, je nachdem P einen Zug oder Druck bedeutet. Nun aber ist

d*y

dx2 — EI'

daher, wenn man k =    setzt,

dx²

ni

— (m, — mq) ± Wy.

wenn man

setzt,

Die noch zweimalige Differenziation gibt ^ = ± F , oder

tf-y _ _

dx² “ ’

93.

m = Elz

d-z

dx°‘

= dh Wz.

Die Integration gibt

Zw*/ : Bruck :

z — AWe+kx -f- BWe~kx, z = AW sinkx    BW coskx,

wenn e die Basis der natürlichen Logarithmen, A und B Konstante bezeichnen. Setzt man hierin z —    -f (m,

reduzirt auf y, so erhält man

und

- (m, — ma) , — J. sinkx — I) ćos/ć« -J- p- — (m, — y Die einmalige Differenziation gibt, wenn man ^~=x setzt,

Zug:

y = Ae+kx -f- Be~kx —

ni

94.

Bruck :

Zug:

ml — m„

x — Akekx — Bke~kx -\-

95. j

{ Bruck: x = — Ak coskx -(- Bk sinkx

PI ’

m. — m

PZ

Nun aber sind an den Stabenden die folgenden vier Bedingungen zu erfüllen : Für x — 0 ist y — 0 und x — xl ; für x = l ist y = 0 und x — x*. Durch diese vier Bedingungen sind die Konstanten A, B, m{ und bestimmt. Es ergibt sich, entsprechend der Formel 49, Seite 303:

2EI

(&iT\+ävT₂),    — ~

2EI

wenn die Koeffizienten kt und \ die folgende Bedeutung haben: Für Zug:

97.

_ n (e^+ e~") - (e* - e~»)

1 — 4 — 2 ( e,l + e~n) + n (eM — e~nj 2n — (en — e~n)

------------f|-

4—2 (e 4- e - M)+w (en—e~n)

Für Druck:

k=

n cos n — sin n

98. ;

\K=+i

2 2 (1 — cosn) — n sinn

n — sin n --------- ^

2 2(1 — cosn) — n sinn

(^ä+x>m-

1 ( n n=4\~2—

_1 ( n

~~ 4 \2 — nX,

wX

x) n.

■ rEv

99. für Zug : X =

für Brud: X = cot n.

/V

Hierin ist zur Abkürzung n = kl — 1/ ^ j gesetzt und ausserdem: e?n -{- e~?n

Die Reihenverwandlung gibt, wenn das obere und untere Zeichen bezüglich für Zug und Druck gilt

K ~ i w² -)-

w² —

100.

12600

n⁴ dh . —

• •}

13

05

25200

Für sehr grosse n kann man für Zug setzen (etwa n > 6) :

n (n — 1)

2 (n — 2)

101. h

2 (n — 2) ’

wonach sich mit wachsendem n die Koeffizienten hx und li„ den Grenzen oo und 0,5 nähern.

Hiernach ist die folgende Tabelle berechnet:

<C5

Zug

J*

k,

k.

k}

_Cü ^ÏO ^>0    _kk rk _kl _kl _kl ,0 ,C5 .O

"q> "oo"os"tfk">c>"o"oo Os"rfk"to"<2>"oo"es 'k.".c

tOÎNSl'OteÎNOÏOÏeÎNO^OÎOÏOtOïe^Ot'O

SSN'SSSSS •« k k S > S S

Oi^lKOoOsMtokkOOOOOC)

kOoteOlOOikOiCD^kîtkîOkO

OOOOOOOOCiCiOOCkk

■SNNSNNSSsNNSSSN

ÛO^'C'Û^'OÎO^C'O^'ÏIÎO^OO

OCOkKjLo^ÜtOSkiQoOO’tstoOO

kkkkkkkkkkkkkkte

SSSNSSSS .S    N > S S > N

kkk.ocOi?o^toM0050iCo5oc

kikAklklklklklki.klk4kkkiklklkA

OV^iüCiOoOsÜiOjCutokkOC

^Cs ^ ^Oi _Ot ^    ^Wk^Oo _Oo ^Oo Oo

o'ôo i^sîo'c) oo'ci'rti.'ioo'ôo os Ifk

OoOjOsLjLoOiOiOoOoîOÎ'OlCiÎNDkiîO

NNSSSNSS -» S > S S S S

> N    'S N

'^^N’^^'î^'.'îOoQoQoOoQoCoOO

ÎVDOoUkÔiOSVlOcÇOCsI'ktOHS.OxCSkî

In den gezogenen Stäben kann n etwa zwischen 0 und 10 liegen, jedoch geht n selten über 4 hinaus; bei gedrückten Stäben dagegen kann der Sicherheit gegen Einknicken halber n nicht über etwa 2,4 hinausgehen. Bei sehr grossem n wird für gezogene Stäbe nahezu hx = j n und gegen hx sehr klein, daher

EI

n r, = V FEI.

102. m.

Die Berücksichtigung der durch die Axialkraft hervorgerufenen Deformation wird also den Erfolg haben, dass in §. 115 statt der Formeln 49 die Formeln 96 einzuführen oder statt der Koeffizienten 2 und 1 die Koeffizienten kx und \ einzuführen sind.

Durch die Werthe und Vorzeichen von r, und zr₂ sind auch die Vorzeichen von mx und m₂ bestimmt. Liegt die deformirte Axe auf ein und derselben Seite der Sehne (Fig. 217 a und Fig. 218 a und b), so haben tx und t₂ entgegengesetzte Vorzeichen; ist tx positiv, r₂ negativ, so wird hierbei mx positiv, wenn — ä₂t₂ <&,*,, m₂ positiv, wenn — Tetvq > Jc₂tx ist (Fig. 217a und 218a). Ist dagegen —kir<L<l\Tx (Fig. 2176 und 218&), so wird m₂ negativ, die deformirte Axe hat also einen Wendepunkt. Liegt die deformirte Axe auf verschiedenen Seiten der Sehne (Fig. 217c und 218c), so haben t, und ir₂ gleiches Vorzeichen; sind tx und t₂ positiv, so wird mx positiv, m₂ negativ, die deformirte Axe hat also auch hier einen Wendepunkt.

Fig. 218.

Fig. 217.

Es erübrigt nun noch, das Maximalmoment zu bestimmen.

a.    Zug. Da die Fasern auf derjenigen Seite der Axe, auf welcher die auf den Stab wirkende Kraft liegt, mehr verlängert werden, als auf der anderen, so muss die Stabaxe durchgehends der Kraft die konvexe Seite zukehren (Fig. 217). Der Abstand der deformirten Axe von der Kraft muss daher an den Stabenden am grössten werden ; mx und m„ sind daher zugleich die Maxima von m.

b.    Druck. Hier ist umgekehrt die deformirte Axe der Kraft mit ihrer konkaven Seite zugekehrt. Hier kann daher der grösste Abstand der deformirten Axe von der Kraft zwischen beiden Enden liegen. Nach Formel 93 ist m proportional dem Z] z aber wird zum Maximum oder

— 0 für Ak-cosJcx — BW sinkx = 0 oder

ax

103. tankx — -g-.

Setzt man die Werthe für A und B, welche sich aus den oben genannten vier Bedingungen für die Enden ergeben, ein, so erhält man

Indess ist der Fall möglich, dass der Querschnitt, für welchen m zum Maximum wird, nicht zwischen den beiden Enden des Stabes liegt, also ohne Bedeutung ist. Um dies zu untersuchen, bezeichnen wir den Winkel, welchen die Kichtung der Kraft mit der Sehne AB bildet, mit cp. Alsdann ist tancp = cp= ^    j, d. i. nach Einsetzung der Ausdrücke 96

106. cp — Ąę (kx 4- K) (tx 4- t₂).

iv

Hiernach ergeben sich für einzelne Werthe von n die folgenden Werthe für cp:

1    1,5    2    2,3    2,5    3

n — 0,5

fp = 23,84 5,90 2,57 1,40 1,00 0,85 0,56 . (tx 4- r₂).

Es liege nun die deformirte Axe durchgehends auf ein und derselben Seite der Sehne AB und es sei xx positiv, t₂ negativ und tx> — Alsdann ist cp positiv. Ein Maximum des Momentes, für welches die Tangente an die deformirte Axe der Kraft parallel ist, kann dann nur

2

entstehen, wenn xx7>cp ist (Fig. 218a), also xx7> —i(klJrkq)[rx—(—r₂)j oder

107. (— tt₂) >    -

Tx.

(n sin n —1 -\- cos ri) xx 4- (1—cos ri) x₂ _

(sin n — ncos ri) xx + (n — n) To wodurch x bestimmt ist. Das Maximalmoment selbst bestimmt sich aus den beiden Gleichungen m = P (Asinlex-\-Bcoslex) und A coslex = B sin lex zu

104. tankx —

mx—m

h~Plxx M.n

105. macc m =

JPB

m.

coskx coskx*

2 (Je j 4" k₂)

Dies gibt:

n = 0,5    1    1,5    2 2,3    2,5

(— t₂) > 0,96 0,83 0,61 0,29 0 — 0,18 — 0,79 . zx.

Liegt die deformirte Axe auf verschiedenen Seiten der Sehne AB (Fig. 218c), so wird ein Maximum des Momentes zwischen den Enden nur eintreten können, wenn cp <; xx oder cp<Cx„ ist. Da aber für gedrückte Stäbe n < 2,4 ist, so ist nach den obigen Zahlen cp > (xx z₂), also auch cp > xx und cp > x₂. Hier wird also ein Maximum des Momentes zwischen den Stabenden nicht eintreten können.

Bei Anwendung dieser genaueren Theorie ergeben sich gegenüber der in den früheren Paragrafen angewendeten Näherungstheorie keine sehr wesentlichen Unterschiede; bei Anwendung in speziellen Fällen ist indess die Anwendung der genaueren Theorie zu empfehlen, da dieselbe ohne grössere Schwierigkeiten durchzuführen ist.

XVI. Kapitel. Formänderung der Träger.

§. 126. Allgemeines. Bei der Theorie statisch unbestimmter Systeme und des Einflusses fester Verbindungen waren wir bereits ge-nöthigt, auf die Formänderung der Träger einzugehen. Hier soll es insbesondere auf die Bestimmung der Verschiebung der Punkte der Träger in Folge der Belastung ankommen, deren Kenntniss hauptsächlich nöthig wird, um eine Grundlage für die Beurtheilung der sogenannten Brückenproben zu gewinnen.

Die Formänderung setzt sich aus zwei Theilen zusammen, der elastischen und der bleibenden Formänderung. Die von dem Nachgeben der Verbindungen, dem Geradestrecken schwach gekrümmter Stäbe u. s. w., überhaupt von Mängeln, welche der Ausführung anhaften, herrührende bleibende Formänderung entzieht sich einer genauen theoretischen Behandlung. Wir wollen daher hier nur auf die von der elastischen Längenänderung der Stäbe herrührende elastische Formänderung näher eingehen.

Zur annähernden Bestimmung der Formänderung wird gewöhnlich die auf der Differenzialgleichung

d*ij _ M dxJ ~ EI

beruhenden Theorie der elastischen Linie vollwandiger Körper angewendet. In dieser Beziehung verweisen wir auf die Theorie über Biegungsfestigkeit.

Zur genauen Bestimmung der Formänderung eines Stabsystemes kann man zwei Methoden befolgen, von deneu die eine auf dem bereits in §. 96 angewendeten Prinzipe der Arbeit, die andere auf der Bestimmung der Aenderung der Winkel zwischen den einzelnen Stäben oder der Dreieckswinkel beruht.

§. 127. Bestimmung der Formänderung nach dem Prinzipe der Arbeit bei statisch bestimmten Systemen. Um die Verschiebung dz eines Knotenpunktes C nach einer bestimmten Richtung CN zu bestimmen, denkt man sich in C in Richtung von CN die Kraft 1 wirkend. Erzeugt diese Kraft 1 im beliebigen Stabe DE die Spannung u und ist dl die wirkliche Längenänderung dieses Stabes in Folge der Belastung, so ist nach dem Prinzipe der Arbeit 1 . dz — u. dl = 0, also dz = udl, falls nur der Stab DE eine Längenänderung annimmt. Nehmen alle Stäbe eine Längenänderung an, so wird

1. dz —lud}*.

Ist S die Spannung dieses Stabes, l seine Länge, F seine Querschnitts fläche, E der Elastizitätskoeffizient, so ist dl —    also

v uSX ~ UJF

Handelt es sich um die Verschiebung dy des Punktes A in vertikaler Richtung, so ist zur Bestimmung der Werthe u in C eine vertikal wirkende Kraft 1 anzunehmen.

Ist nicht nur die Senkung eines einzigen Knotenpunktes, sondern die Senkung mehrerer oder aller Knotenpunkte zu bestimmen, so müsste hiernach für die Senkung jedes Punktes die Bestimmung der Spannungen u besonders durchgeführt werden. Diese umständliche Rechnung lässt sich indess in folgender Weise umgehen. Setzen wir voraus, dass der Träger auf zwei Stützen mit dem Horizontalabstande l ruht, welche durch C in die Längen x und l — x getheilt wird, so ist der linke und rechte

Stützendruck 1 — j und Bezeichnet man nun die Spannung, welche

ein linker Stützendruck = 1 im Stabe DE erzeugt, falls dieser Stab auf der linken Seite von C liegt, mit u‘ und die Spannung, welche ein rechter Stützendruck = 1 im Stabe DE erzeugt, wenn dieser Stab auf der rechten Seite von C liegt, mit u“, so ist offenbar

„ x u l ,

je nachdem der Stab auf der linken oder rechten Seite von C liegt. Demnach wird

2. dz —

u = «' (l - y)

und u =

dy — {i

Hierbei bezieht sich also das erste Glied auf alle links, das zweite auf alle rechts von C liegenden Stäbe. Der Stab ist nach links oder rechts zu rechnen, je nachdem die in C wirkende Last 1 auf den rechten oder linken derjenigen Theile wirkt, in welche der Träger durch den zur Bestimmung der fraglichen Spannung nöthigen Schnitt zerlegt wird. Es kann allerdings Vorkommen, dass ein von C selbst ausgehender Stab weder zum linken noch zum rechten Theile zu rechnen ist; alsdann ist dieser Stab gesondert zu behandeln, also in Formel 3 noch das auf diesen Stab bezügliche Glied udl hinzuzufügen.

Ist hinsichtlich des Trägers und der Belastung Symmetrie vorhanden, so denkt man sich am besten zwei Lasten, jede = 1 im Abstande x von jeder Stütze. Bedeutet u“‘ die Spannung, welche ein Kräftepaar mit dem Momente 1.1 = 1 erzeugt und bezieht sich 2ui,ldl auf die Hälfte des mittleren Theiles, so wird

3.

^Zu‘dh + ~Zu“dk.

4. dy = 2a‘dk + ~ 2 u,ud X-

CO

Z/T/Il

88JI 4

2l‘Z + 9+f 4 96é9 4 ZL* L + f6*6 4 I6ln 4 6+96 4

+ 17,36 4 4^,82 4 10,03 4 7,24 4 5,06 4 8,61 4 2,16 4 4,08

I + 4-44 + 4

+ 4,70

4 2,20

—    0,89

—    0,37

4 0,02

—    0,06

4 0,02

zu‘/n

4 4,48 4 2,90 4 4,34 4 6,12 4 8,32 4 10,58 4 15,47 4 20,62

4 4,16 4 2,46 4 3,85 4 5,25 4 6,99 4 9,89 4 12,79 4 21,41

4 0,03 4 0,09 4 0,09 — 0,02 4 0,12 4 0,12 4 0,33

—    0,09

—    0,53

—    0,32 4 0,07 + 0,27 4 0,83 4 0,18

Millimeter

u"Al

4 11,856 -t- 10,827 4 5,028 4 2,219 4 1,764 4 1,800 4 1,401 4 1,376 4 1,378

4 9,285 4 4,538 4 2,790 4 2,790 4 2,175 4 1,450 4 1,450 4 1,081 4 1,081

—    0,903

—    0,369

4 0,264 4 0,109

4 0,061

4 2,496 4 3,093

—    0,528

—    0,389 4 0,081

—    0,080 4 0,023

u'AX

4 1,485 4 1,420 4 1,439 4 1,773 4 2,205 4 2,253 4 4,897 4 5,147 4 11,005

4 1,163 4 1,295 4 1,395 4 1,395 4 1,740 4 2,900 4 2,900 4 8,625 4 8,625

4 0,032 4 0,053

— 0,106 4 0,136

4 0,211

—    0,090

—    0,444 4 0,211 4 0,389 + 0,203 -f- 0,558

—    0,646

Millimeter

,,n

u‘

—    2,13    — 17,01

—    2,12 — 16,16 — 2,22 I — 7,76

—    3,78

—    3,00

—    3,02

—    2,22 — 2,16 — 2,13

—    3,02

—    3,75

—    3,78

—    7,76

—    8,08 -17,01

4 15,00 4 7,50 4 5,00 f 5,00 4 3,75 4 2,50 4 2,50 4 1,88 4 1,88

4 1,88 + 2,14 4 2,50 4 2,50 4 3,00 4 5,00 4 5,00 415,00 415,00

4 0,25    —    7,00

4 0,43    —    3,00

0 0 — 0,60    4    1,50

4 0,50    4    0,40

4 0,29

4 1,00

4 10,27 + 3,90

—    1,95

—    1,25 4 0,78

—    0,56 4 0,30

—    0,37

—    0,56 4 0,78 + 1,25

—    1,95 4 3,90

—    8,50

Längen

änderung

SI

~ FF

/Il

Spannungj

—    59,0 | — 0,697

—    56,0    —    0,670

—    52,6    —    0,648

—    49,1    —    0,587

—    49,4    —    0,588

—    49,8    —    0,596

—    51,2    —    0,631

—    53,2    —    0,637

—    54,8    —    0,647

4 52,0    4    0,619

4 50,8    4    0,605

4 46,9 j 4    0,558

4 46,9    4    0,558

4 48,7    4    0,580

4 48,8    4    0,580

4 48,8    4    0,580

4 48,3    4    0,575

4 48,3    4    0,575

-f 0,129 -f 0,123 4 0,182 4 0,176 4 0,272 4 0,182 -4 0,211 4 0,101

V    v    V    S    V    V    V    V

^CQ'O'OCo'Oto'O

4 0,243 4 0,793 4 0,271 4 0,311 + 0,104 + 0,143 4 0,076

(û î} îl

Millimeter

Tonnen

Lunge \ Flüche

1,60

37,8

1,50

35,9

0+1

34,5

1,40

1,40

0+1

1,40

OQ‘l

1,60

1,40

1,40

Of‘l

1,40

1,40

1,40

Of‘l

1,40

1,40

0,48

0,48

0,56

0,67

0,67

0,56

0,48

0,48

0,15

0,20

0,25

0,25

0,25

0+0

0,30

□ Dec.

Nummer

3    4    33,5

4    5    33,3

5    6    33,5

34,5

35,9

37,8

33,3

33,3

33,3

33,3

33,3

33,3

33,3

33,3

33,3

17,9

31,1

0‘0f

44,4

f'ff

O'Of

31,1

17,9

45,6

52,0

52,0

55,6

52,0

0‘69

37,8

Deçim.

0 I

I    II

II    111

III    IV

IV    V

V    VI

VI    VII

VII    VIII

VIII    IX

II

111

AI

VI

VII

IIIA

1 2

n 3

3    IV

4    V V 6 6 VII

VII 8

Tlieil

}j,nßj,9qo

t.tn6j,9^uj2

U O \ V U O 6 V l (J

Handelt es sich ferner um die Horizontalverschiebung Ax des Punktes (7, so ist bei Bestimmung der Werthe u in C eine Horizontalkraft = 1 anzunehmen. Ist y der Yertikalabstand von der durch die Stützen A und B gehenden Horizontalen, so sind die in A und B wirkenden

Stützendrücke -f- j und — y. Ist das Lager B fest, das Lager A beweglich (ohne Widerstand), so ist in B noch die Horizontalkraft 1 anzunehmen. Bezeichnen wir nun noch die Spannung, welche die in B wirkende Horizontalreaktion = 1 in einem rechts von G liegenden Stabe erzeugt, mit u,n} so wird

[Eu¹ Al — Eu" Al] + Eu¹¹¹ Al,

5. Ax — y

wobei Eu'Al und Eu"Al ganz denselben Werth haben, wie in Formel 3. Handelt es sich um Horizontalverschiebungen eines geraden Untergurtes, so wird y — 0, also Ax =■ Euu>Al\ die Summirung ist hier nur über die Theile des Untergurtes zu erstrecken, weil für alle übrigen Theile u¹'= 0 wird; für den Untergurt aber ist u,u konstant = 1, also A x = EAl.

Die Werthe für u', u“, u‘“ lassen sich leicht durch Berechnung oder Konstruktion bestimmen, im letzteren Falle am besten mit Hilfe der Polygonalmethode (vergl. §. 99).

Beispiel. Wir wählen das in §. 60 unter I. behandelte Beispiel (Big. 100) eines Bogensehnenträgers mit Doppelfachwerk. Die Längen und Querschnittsflächen der einzelnen Stäbe gibt die vorstehende Tabelle (Seite 350 und 351).

Wir nehmen ferner die in Fig. 219 angegebene Belastung durch den bei der Berechnung der Spannungen in §. 60 vorausgesetzten Eisenbahnzug an. Die auf die einzelnen Knotenpunkte des Untergurtes entfallenden Lasten ergeben sich hierbei zu :

Knotenpunkt I    II    III    IV V    VI    VII VIII

Last

8,01    8,41    5,09    5,27    8,23    5,09    7,96 5,44.

Fig. 219.

1,5

1,3

«t°-

1,3 1,3Ÿ

1,16

1,4

ym'*’

T Y T

6,5 6,5 6 5

Y Y ▼

6,5 6,5 6,5

1,5 Û,

>«■

e',5 *4,5 li,5

13

Y Y

6,5 6,5

Der linke und rechte Stützendruck werden bezüglich 27,72 und 25,78. Für diese

M

Belastung ergeben sich die folgenden Werthe für M und -y- :

Knotenpunkt I M =

T “

Nach dem in §. 44 aufgestellten Kennzeichen sind hiernach die in Fig. 220 angegebenen Diagonalen gezogen; die übrigen Diagonalen sind als nicht vorhanden

Stücke des fraglichen Gurtes (Fig. 221) mit l₂, Z₃..., die Neigungswinkel derselben gegen die Horizontale mit 0%, ff₃,... die spitzen

23

co

«o

CO

anzusehen. Die von dem Eigengewichte herrührenden Werthe von — kommen hierbei nicht in Betracht, weil dieselben konstant sind.

Fig. 220.

i'

TV

yi

Die durch Rechnung nach §. 43 und 44 bestimmten Werthe u‘, u“, sowie die entsprechenden Werthe für u'dl, u“dl sind in der Tabelle angegeben. In den letzten Rubriken ist die durch allmähliche Addition gefundene Summe Zu'dl und Zu“ dl angegeben und zwar zunächst getrennt für Obergurt, Untergurt, Vertikalen und Diagonalen; bei den Vertikalen ist hierbei die Vertikale des unteren Knotenpunktes, bis zu welcher die Summirung durchgeführt ist, ausgeschlossen. Für die Vertikalen ergibt sich leicht, wenn an der betreifenden Vertikale die Last 1 liegt:

Vertikale I II III IV u = + 0,22    -J- 0,33    +1    + 0,67    + 0,22    1    -f- 0,22    1

udl = -\-0,03    + 0,04    -f 0,18    +0,12    +0,06    +0,18    -\-0,05    -{-0,10.

Beispielsweise ist für den Punkt III, der Tabelle entsprechend, Zu'dl — 4,34 -f 3,85 + 0,09 - 0,53 = 7,75, Zu“ dl = 9,94 + 10,03 + 0,43 - 0,89 = 19,51, also nach Formel 3 :

VI VII VIII

dy = ~ 7,75 +    19,51 4- 0,18 = 11,85.

In gleicher Weise ergibt sich :

II    III IV V VI    VII    VIII

7,60 10,82    11,85    12,98    13,11    12,31    10,42    7,01 Mill.

Sl

Für die Tabelle wurde zunächst dl =    sodann erst u'dl, u"dl berechnet.

In dem Falle, wo man dy für verschiedene Belastungsweisen berechnen will, ist es

l    11

bequemer, zuerst die Werthe von -, sodann die Werthe von u' ■    u“ -r=,-₇

Uj _t    Jb    Üj r

zu berechnen, weil diese Werthe für verschiedene Belastungen konstant bleiben.

Knotenpunkt I dy =

§4128. Bestimmung der Formänderung aus der Aende-rung der Dreieckswinkel. Bezeichnen wir die Länge der einzelnen

Fig. 221.

A ai

t'o

(*7V B

o-

4-7 /

,x>

rR

.JT'

.S-

Winkl er's Brückenbau; Theorie, II. Heft.

Winkel zwischen den auf einander folgenden Gurtstücken mit £,, £₂, e so ist der Abstand y des nten Knotenpunktes C von der durch die Stützen gehenden Horizontalen AB:

y = lySinlqsing₉-f...-f-lnsinon = lySino-j-j- lq sin (gx—-f l₃sin (Gt — et — «a) -f-...

-}- ln sin ((7j — £y — £₂ — ... £n-i). Die Differenziation nach sämmtlichen Grössen gibt

dy = lyCOSGydGy-\- lqcos (Oy—€x) (dOy—d£y) — l₃cos (g, — £j— e) (dox—d£y — d£2) + • • .-\-dlySinGy-\-dl„sin(fft—£x) -f-dl₃sin{ax—£t—£Q) + - • •

Bezeichnen wir die Horizontal- und Vertikalprojektionen der einzelnen Gurtstücke mit ax, aq, a3J... und cx, c₂, c₃,..., so ist hiernach dy = ciydoy aq{dOy — d£y) -f- a₃(dffy — d£y — d£q) -(-•••

dl

d iry

d lq

Setzen wir an Stelle der Differenziale dy, dOy, dlx,... die Differenzen A y, A Gy, A ly,..., ferner an Stelle von d£x, d £₂,... die negativen Aenderungen Asx, A£q,... der Gurtwinkel AAtA„, A,A„A₃... und die Horizontalprojektion AA₀ = at -f- a„ -f-... -f- des Gurtes von A bis zum fraglichen Punkte G = x, so wird

6. A y — x A (A y -|- aq A S^    a₃ (A Sy -f- A £₂)    . -f- an (A S, -f*

A lm

AL

AS„    .. ASm-l) + Cy

Al2

lm

Die Aenderung A g, findet man dadurch, dass man diese Formel für den Punkt B anwendet; für diesen wird x = l, A y — 0. Der zweite, die Längenänderungen der Gurtstücke enthaltende Theil ist im Allgemeinen gegen den ersten Theil nur klein; bei geradem Gurte verschwindet er ganz.

Fig. 222.

9.

Go-l

Die Aenderung A sx, Asq,.., der Gurtwinkel bestimmt man am besten durch Addition der Aenderungen Mer entsprechenden Dreieckswinkel, welche nach §. 115 zu ermitteln sind, falls man ausserdem auch die Sekundärspannungen bestimmen will. Will man indess nur die Formänderung des Trägers erhalten, so bestimmt man diese Winkel am besten direkt nach §. 108 (das dortige ô ist identisch mit As). Ganz zu demselben Resultate kommt man, wenn man in den Punkten G und E (Fig. 222) die Kräfte

y und senkrecht zu DG—V, DE = lu und in D die diesen beiden Kräften das

Gleichgewicht haltende Kraft anbringt. Nimmt man den Punkt D als fest an und drehen sich DC und DE um die Winkel J‘e, z/"e, so ist

die Arbeit der äusseren Kräfte =

d. i. gleich der Aenderung Je des Winkels ÖDE. Ist nun u die Spannung, welche ein Stab durch diese drei Kräfte erleidet, zll seine Längenänderung, so wird nach dem Prinzipe der Arbeit:

7. 4 e = E u 4 X.

Eine Spannung durch die angenommenen drei Kräfte erleiden nur die sieben Stäbe des Fünfeckes CD'EGF.

Noch etwas einfacher gelangt man in-dess zum Ziele, wenn man in C, E, D (Fig. 223) die drei im Gleichgewichte be-

endlichen Kräfte ^ und — -f

annimmt, wenn a\ a“ die Horizontalpro- A'» jektionen von CD, EE bedeuten. Bezeichnet man die vertikalen Senkungen der Punkte C, E, D mit y\ y“, y, so ist nach dem Prinzipe der Arbeit

Fig. 223.

,k-—

X. /

-CiL—

ä‘

w cC‘

⁸- *■* -

wenn C die unter Wirkung der drei vorausgesetzten Kräfte entstehende Summe Zu4l bedeutet. Wendet man diese Gleichung für jede Kombination von drei aufeinander folgenden Knotenpunkten an und addirt die ersten m — 1 Gleichungen, so erhält man

oder

1

yi H⁻ ~— (ym —- ym-i) = Cx -f- C„ -j-... -j- Cm—i

(im

CH

al

9. ym Vm—l — - yx -j- ®»» {@1    4~* • • ~h Cm—l)•

Wendet man diese Gleichung abermals für die sämmtlichen Kombinationen je zweier aufeinander folgender Knotenpunkte an und addirt die ersten m Gleichungen, so erhält man

10. ym ⁼ x ——j-Oj -J-    {Cx -j- C„) —|—... —f—    {Cx -f- Cg, -j- • • • -f- Cm -1)•

Qj^

Den Werth von — erhält man durch Anwendung dieser Gleichung auf

ai

die rechte Stütze, für welche x — l, ym = 0 wird. Bei einem geraden Gurte werden die Formeln 5 und 9 identisch.

Die im vorigen Paragrafe gezeigte Methode führt schneller zum Ziele, wenn nicht die Winkeländerungen ohnehin zu anderem Zwecke berechnet werden müssen.

23*

§. 129. Statisch unbestimmte Systeme. Die Bestimmung der Spannung in statisch unbestimmten Systemen wurde im XIV. Kapitel gezeigt. Unter der Voraussetzung der Längenänderungen der Stäbe, welche diese Spaunungen erzeugen, sind die Verschiebungen der Knotenpunkte offenbar dieselben, als wenn die überzähligen Stäbe gar nicht vorhanden wären, so dass sich also die gezeigten Methoden der Bestimmung der Verschiebung der Knotenpunkte statisch bestimmter Systeme unmittelbar anwenden lassen.

Indessen lässt sich noch eine andere Methode befolgen. Es bezeichne Al die Längenänderung, welche ein nothwendiger Stab BC im gegebenen Systeme durch die Belastung erleidet, u die Spannung dieses Stabes, welche eine in einem beliebigen Knotenpunkte A wirkende Kraft erzeugt, wenn die überzähligen Stäbe ausgeschaltet werden, y die wirkliche Verschiebung von A in Richtung dieser Kraft. Alsdann ist

11. y — 21 u A

Die Längenänderung der überzähligen Stäbe sei Alt, Altl,..., die Spannung, welche die in A wirkende Kraft 1 in diesen Stäben erzeugt, sei uy,    ,... Denkt man sich nach Ausschaltung der überzähligen Stäbe

statt des ersten überzähligen Stabes die entsprechende Spannung ux angebracht, so möge im Stabe BC die Spannung u‘ entstehen. Alsdann ist nach §. 96:

uxAlx -f- Hu'Al — 0.

Denkt man sich ebenso nach Ausschaltung der überzähligen Stäbe statt des zweiten überzähligen Stabes die entsprechenden Spannungen u₂ als Kräfte angebracht, so möge im Stabe BC die Spannung u“ entstehen; alsdann ist wiederum

u^Al₂ -f- Zu“Al = 0.

Die Summirung aller so entstandenen Gleichungen gibt :

Wj A lx —}- Uq A ln -J—... -{— w (u* -j- u“ —|—... ) Al = 0.

Die Summe u' -f- u“ . ist die Spannung, welche im Stabe BC entsteht, wenn die Spannungen uv u₂.... gleichzeitig als Kräfte angebracht werden. Die Addition zur Gleichung 11 gibt

y '⁼⁼ ux Alx —Mç Aln —f-... -f- (w -j—    -}-... ) Al.

Nun aber ist u -(- ux -(-    -f-... die Spannung, welche die in A wir

kende Kraft 1 im Stabe B C erzeugt ; sonach ist, ganz identisch mit der Gleichung 11

12. y — 2uAk,

wenn u die Spannung bedeutet, welche die in A wirkende Kraft 1 in jedem Stabe des gegebenen statisch unbestimmten Systèmes erzeugt. Diese zunächst nur für statisch bestimmte Systeme nachgewiesene Regel gilt nunmehr auch für statisch unbestimmte Systeme.

§. 130. Mehrtheilige Gittersysteine. Die mehrtheiligen Gittersysteme sind im Allgemeinen nach dem im vorigen Paragrafe Gesagten als statisch unbestimmte Systeme zu behandeln. Angenähert wird man die Formänderung ebenso wie die Spannungen nach dem VII. Kapitel, durch Zerlegung in Elementarsysteme bestimmen können. Nach dieser Methode würden hierbei sowohl die Spannungen der einzelnen Theile in Folge der Belastung, als auch die Werthe von u zu bestimmen sein.

Sind bei einem mehrtheiligen Systeme nur die Knotenpunkte des einen Elementarsystemes abwechselnd belastet, so sind die Gitterstäbe des Systèmes mit den nicht belasteten Knotenpunkten ohne Spannung. Diese Knotenpunkte werden sich daher weniger senken, als die des Systèmes mit den belasteten Knotenpunkten. In Folge dessen werden die Gurtwinkel bei den auf einander folgenden Knotenpunkten abwechselnd vergrössert und vermindert. Bei kontinuirlichen Gurten hat dies das Entstehen starker Sekundärspannungen zur Folge, wie wir bereits im vorigen Kapitel gesehen haben.

Beispiel. Parallel gittert räger mit 64,8m Spannweite, 9,6m Höhe mit zweitheiligem Fachwerke, deren Vertikalen den konstanten Abstand von 3,6m haben (Fig. 224). Die Querschnittsflächen der einzelnen Stäbe gibt die Tabelle auf folgender Seite.

Fig. 224.

Ą v w

ü V 3    ,,

9,8

4,3    4,3    , f 4,3

v 9.8 v

> ’ ▼ 4,3    , r V,3

9,8

,T3 I

9.8

14.8

149

l4.fi

14.8

Die Belastung durch vier Lokomotiven, von denen die beiden mittleren Brust an Brust stehen, zeigt Fig. 225. Diese Belastung ist, um das Beispiel einer sehr ungünstigen Belastung vorzuführen, so angenommen, dass die abwechselnden Knotenpunkte immer direkt mit der Mittelaxe der Lokomotive und des Tenders belastet

Fig. 225.

fTTTI

3    4    5    6    7    8    9

-O—i-O

8‘ V 6‘    5‘    4‘    3‘    2‘ V 0‘

13,5

'TITIm

13,5    > f >|r > f

rririïnîrw

13,5

13 5

19 5

13

v y V 1%5

19,5

—j,X---->«-—----x-—--------7r2----X----5rZ----*<—^2 -Xr—%-Z X:—VtZ----X—---->•

1.3

19,5

sind. Durch Reduktion auf die Knotenpunkte erhält man die in Fig. 224 eingeschriebenen Knotenlasten. Für diese Belastung ergeben sich die in folgender Tabelle in der 9. Rubrik enthaltenen Spannungen S. Die durch die linke Reaktion 1 entstehenden Spannungen u‘, welche die 5. und 6. Rubrik enthält, sind für jedes der beiden Elementarsysteme besonders zu bestimmen (System I enthält die Knotenpunkte 0, 2, 4, 6, 8, System II enthält die Knotenpunkte 0, 1, 3, 5, 7, 9). Die entstehenden

(E — 200000 Ton. pro □<*»») enthält die 7. und 8. Rubrik, die

Werthe für

u‘ X

EF

entsprechenden Werthe für

Su‘X

EF

= uf/iX enthält die 11. und 12. Rubrik.

S'ul

EF

u¹ Ml =

System I System II

0,27

1,05

1,03

1,89

1,99

2,55

2,42

2,92

2,92

0,07

0,27

1,05

1,03

1,89

1,99

2,55

2,42

1,84

0,66

0,57

0,35

0,14

1,11

1,52

1,35

1,05

0,52

-f-

0,54

0,68

1,38

TÇ'l

2,38

2,19

2,76

2,59

3,24

Jl Sl

~ FF

—    0,72

—    0,91

—    0,92

—    1,01

— 1,06

—    0,92

—    0,81 — 0,87

+ 0,18

4- 0,73    0,54

4- 0,91    0,68

-f 0,92    |    1,38

4- 1,01    |    1,51

4- 1,06    j    2,38

4 0,97    2,19

4 0,92    2,76

Spannung

44,2

55,7

85,2

93,4

—    111,9

—    116,9

—    128,0

—    129,7

—    129,7

4    7,3

4 ⁴⁴,2

4 55,7 4 85,2 4 93,4 4 111,9 4 116,9 4- 128,0

68,8    — 1,84 :    1,84

1,28

0,84

— 0,66

—    1,72 J 1,72

—    0,57

—    1,28

—    0,35

—    0,84

—    0,14

—    15,2

—    39,4

—    10,9

—    24,6

6,7

— 14,8

2,3

4,27

Of‘f

3,24

u‘z

Millimeter

M(QOMO)OOOi^(MN

*■    " v cn C(T © O

>( t«5 N

444444444

6‘Z 4 G'8T 4 8'8 4 L‘08 4 L‘Gl 4-

G'6f + 0‘6T 4-9‘19 4" 6‘0Z 4-

Millimeter

Tonnen

EF

System II

— 0,0061

—    0,0184

—    0,0121 — 0,0202

—    0,0178

—    0,0218

—    0,0189

—    0,0225

—    0,0225

4 0,0094 4 0,0061 -4 0,0184 -h 0,0121 4 0,0202 4 0,0178 4- 0,0218 4 0,0189

System I

—    0,0123

—    0,0123

—    0,0162 — 0,0162

—    0,0213

—    0,0187

—    0,0216 — 0,0200 — 0,0250

4 0,0123 4 0,0123 4 0,0162 4 0,0162 4 0,0213 4 0,0187 4 0,0216

— 0,0267    — 0,0267

— 0,0436

— 0,0522

— 0,0522

— 0,0600

— 0,0828

4 0,0530

4- 0,0798

4 0,0988

4- 0,1271

0,1786

4- 0,2885

4 0,5769

— 0,0436

— 0,0522

— 0,0565

— 0,0706

LZLÖ0 4-

4- 0,0892

4 0,1056

4- 0,1500

4 0,2206

+ 0,3750

Millimeter pro Tonne

System II

—    0,37

—    1,13

—    1,13

—    1,87

—    1,87

—    2,63

—    2,63

—    3,37

—    3,37

89‘Z 4 G9‘Z 4 I8‘l 4 I8‘l 4 2l‘l 4

Gl‘l 4 is'o 4 is'o 4

System I

—    0,75

—    0,75

—    1,50

—    1,50

—    2,25

—    2,25

—    3,00

—    3,00

—    3,75

+ 0,75 + 0,75 + 1+0 + 1+0 + 7t,25 f 2,25 —j— 3,00

Fläche

1,10

1,10

1,67

1,67

1,90

2,17

2,50

2,70

2,70

Länge

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36    0,72

36    !    0,72

36    |    1,10

36 j 1,10 36 I 1,67 36    |    1,67

36    1,90

36    2,17

36    |    2,50

\ 96    1,80    — 1,00    —1,00

oo‘i —

— 1,00

— 1,00

— 1,00

— 1,00

— 1,00

— 1,00

+ 1,07

4- 1,25

9Z‘l 4-

+ 1,25

9Z‘l 4-

9Z/i 4-

9Z'l 4

— 1,00

— 1,00

96    ! 1,10

96    : 1,10

96    0,92

96    0,92

96    0,92

96    0,85

96    0,80

96    0,68

96    0,58

1,03

1,03 Ü 4- 1,25 !

4- 1,25

9Z‘l 4-

9Z‘l +

4 1,25

9ZJI 4

0,94

0,84

0,76

0,71

0,59

0,50

0,42

102

120

120

120

120

120

120

120

120

xamiunsr

c\} co »O to ÎN Oo

e?b

^OîCoUWjîOiNOOOl

I 10    120    0,34

11    120    0,26

12    120    0,20

13 I 120    0,13

\JDeci-

meter

ii

Decim

IxnßxoqQ

Ständer

Es sei nun beispielsweise die von der zufälligen Belastung herrührende vertikale Senkung Jy des Knotenpunktes 5 zu bestimmen; 5 gehört dem Systeme II an. Es wird Zu'/IX für den Obergurt 0,27-+ 1,051,031,891,99 = 6,23, für den Untergurt 0 -f- 0,07 + 0,27 -f-1,05 -f- 1,03—2,42, für den linken Endständer 1,84, für die Vertikalen 0,66 + 0,57 — 1,23, für die Diagonalen 1,11 -f- 1,52 + 1,35= 3,98, zusammen also Z u'd X = 6,23 -j- 2,42 -f-1,84 + 1,23 -f 3,98 = 15,7. Die durch das Kräftepaar mit dem Momente l = 648 jhervorgerufenen Spannungen u"‘ werden l    648    27

in den Gurten =    — = =F —— =    —, in den Gitterstäben aber = 0. Daher ist

h    96    4

in Formel 4 zu setzen: ZAX für den Obergurt — {1,07 -j- 0,92 -f- 0,87 -f- 0,87) = — 3,73, für den Untergurt -f- (1,01 -f-1,06-\-0,97-+0,92) = + 3,96, also Zu“'dX = 21

~ (3,73 -f- 3,96) = 51,94. Sonach wird.

Jy = 15,7 +- ~ 51,94 = 15,7 + 14,4 = 30,1.

Io

In gleicher Weise ergibt sich für die einzelnen Knotenpunkte des Untergurtes: Punkt 0    1

Jy = 0    8,6    17,3 20,9 32,1    30,1 42,2 35,5    48,5    37,4 Millim.

Die Senkungen des Obergurtes erhält man, indem man hierzu noch die Zusammen-

drückung der Vertikalen hinzufügt. Für die Vertikale 5 ist JX = —

6,7.96 200000.0,92

100 Millim. = 0,35, also für den Knotenpunkt V: Jy = 30,1 + 0,4 = 30,5 Millim.

Fig. 226.

ff

fl'

1.

tX\ I

jv

-V-

\1£

IT

yi7

V-

W7

fl'

TM;

Z'

6'

8'

Die horizontale Verschiebung der Knotenpunkte ist, wenn man die Mitte als fest annimmt, gleich der Längenänderung des Gurtes von der Mitte bis zum fraglichen Punkte, so z. B. für den Punkt 5:

36    /128,0

200000 \ 2,50 36.22,0.100

116,9    111,9    93,4

2,17 ⁺ 1,90 ⁺ 1,67

100 Millim.

— = 0,40 Millim.

Die entsprechende Formänderung zeigt Fig. 226. Die Verschiebungen sind in dieser Figur in halber natürlicher Grösse (Längen in nat. Gr.) aufgetragen.

200000

§. 131. Maximalverschiebung eines Punktes. Handelt es sich um die Maximalverschiebung eines Knotenpunktes in bestimmter Rieh-

tung, welche unter der (Wirkung eines verschiebbaren Systèmes von Einzellasten eintreten kann, so wendet man hierzu am besten das Prinzip der Influenzlinien an.

für die einzelnen Stäbe unter

EF

der Wirkung der in einem Knotenpunkte in der fraglichen Richtung wirkenden Kraft 1 mit Jcv Jc„,    die Spannungen in Folge einer

beliebigen Belastung mit $t, Sq, S₃,..so ist die Verschiebung von A:

Bezeichnet man die Werthe von

13. Az — JclSl -f- S„ -j- k₃ S₃ +...

Denkt man sich nun eine Einzellast Gr über den Träger rollend, so ändern sich sämmtliche Spannungen, so lange die Last innerhalb zweier benachbarten Querträger bleibt, nach dem Gesetze der geraden Linie. Die Influenzlinie für die Verschiebung Jz wird also eine gebrochene Linie sein, deren Ecken den Querträgern entsprechen.

Die Benützung dieser Infiuenzlinie zur Bestimmung des Maximums der Verschiebung erfolgt nun in ganz gleicher Weise, wie hinsichtlich der Bestimmung der Maximalspannungen nach §. 17 und 54.

Hinsichtlich der vertikalen Verschiebung haben die Ordinaten der Influenzlinie durchgehends dasselbe Vorzeichen. Dementsprechend erfolgt bei einer gleichmässigen Belastung die grösste Verschiebung bei totaler Belastung. Auch bei einem Systeme von Einzellasten ist totale Belastung anzunehmen ; nur kommt es hier noch auf die Bestimmung der Lagen der Einzellasten an.

Die Durchbiegung eines Trägers ist für seine Güte ohne wesentlichen Einfluss. Man benützt die berechnete Durchbiegung vorzugsweise zur Beurtheilung der bei der Probe des Trägers gemessenen Durchbiegung. Hierzu aber ist keineswegs die streng bestimmte Maximaldurchbiegung erforderlich. Es genügt vielmehr, wenn man irgend eine totale Belastung des Trägers durch die schwersten Lasten anniramt und für die genau präcisirte und bei der Probe genau einzuhaltende Stellung des Lastensystemes die Durchbiegung der einzelnen Knotenpunkte berechnet. Bei bewegten Lastensystemen pflegt man allerdings entweder nur das Maximum der Durchbiegung eines bestimmten Knotenpunktes oder mittels automatischer Aufzeichnung auf einem bewegten Papierstreifen die Durchbiegung bei jeder Lage des Lastensystemes zu bestimmen. Hier würde allerdings zur Beurtheilung die theoretische Bestimmung der Maiimaldurch-biegung erforderlich werden.

§. 132. Näheruiigsregeln für Parallelträger. Wir wollen hier die zulässige Inanspruchnahme und den Elastizitätskoeffizienten für Zug und Druck gleich gross annehmen.

1. Einfluss der Gurte. Die im Gurte im Abstande £ von der linken Stütze durch eine linke Reaktion = 1 hervorgerufene Spannung ist, wenn

h die Trägerhöhe bedeutet, u =    . Wir unterscheiden nun die folgenden

Fälle:

a. Konstante spezifische Spannung. Bei der konstanten spezifischen Spannung K ist die relative Längenänderung = also die Längenänderuug Jl eines unendlich kleinen Gurtstflckes -^-dl;; demnach wird nach Formel 3:

l—x

. 2K

Elh

d. i.

14. zly =

KV¹ x Eh l

(-)

Ist f die Querschnittsfläche eines Gurtes in der Mitte, so ist f =

oder K=m-

lll

8Kh

Die Durchbiegung zJt y in der Mitte ist nun KP

4Eh ~~ 32Efh'¹ '

15. zlx y =

ql*

qP l¹ _ 6KV, 6Kh’ h — ql '

Ist V₁ das Volumen beider Gurte, so ist Vl = j fl = der erste der vorigen Ausdrücke geht hierdurch über in:

3 K°-Vx 2 EqV \

b. Konstanter Querschnitt. Bei totaler Belastung mit der

Last q pro Längeneinheit ist die relative Längenänderung = daher

qj_a -J)

2Efh ’

z/y =

(l-Ç)dÇ + x

J"

0

(l -

t r;

'/ tt

“ Efl/P [(Z

| x\3l-2x) + xĄ$-x)\l + 2x)J

oder

17. zJ y — ^EfW x Q ~ x) Q* Jr^x~ x*)-Für x — 11 wird die Durchbiegung

18. Ąy =

5ql⁴    _ 5KP

192 E fW “ 24 Eh'

Das Volumen ist Vt = 2fh =

ql³

4 Kh

.... P 4KVt

’ mlthln X = -jT

, daher

io /    5 K*V*

¹⁹' =

c. Praktische Form. Während im Ausdrucke für zlx y der Faktor von    im Falle a. = j-₃—-fg- = 0,0313 ist, ist derselbe im

Falle b. — j₉₂ = 0,0261. In Wirklichkeit liegt Jxy zwischen beiden Werthen und lässt sich ungefähr

20. Jxy — 0,03

ql⁴

Efh⁸

setzen; bei sehr kleinen Spannweiten wird Jxy noch ein wenig kleiner.

Kl*

Ferner wird im Ausdrucke für Jx y der Faktor von a. = -₄ = ~ = 0,250, im Falle b. — ~ — 0,208. Nach der Formel 20 würde dieser Faktor = 8 . 0,03 — 0,24 werden. Bedeutet nun K die bei der Berechnung der Querschnitte angenommene zulässige Inanspruchnahme für Zug, so ist zu beachten, dass f in Wirklichkeit etwas grösser

genommen werden muss, als der theoretische Querschnitt    der

Faktor von

KP

Eh

gefähr setzen :

Eh

im Falle

ist daher noch etwas kleiner als 0,24. Man kann un-

21. z/j y = 0,21

Kl*

KW,

im Falle

Endlich wird im Ausdrucke für Jx y der Faktor von a. — J = 1,500, im Falle b. =-₆ = 0,833. Wenn K die der Berechnung der Querschnitte zu Grunde gelegte zulässige Inanspruchnahme bedeutet, so kann man in Wirklichkeit ungefähr

Eql

22. y = 0,9

K- V,

Eql

setzen; jedoch ist diese Formel am wenigsten genau.

2. Einfluss des Gitterwerkes. Die in einem Stabe des Systèmes, welchem der Punkt, dessen Verschiebung gesucht wird, angehört mit der Neigung a und ß gegen die Vertikale durch eine linke Reaktion 1 hervorgerufene Spannung ist -\-scca und —secß, während in den Stäben der anderen Systeme keine Spannung entsteht. Die Spannung der Stäbe bei totaler Belastung, welche die Transversalkraft Q erzeugt, ist ^ Q seca und —^ Q secß, wenn n die Theilungszahl des Gitterwerkes bedeutet. Da die Längen der Stäbe hseca, hsecß sind und auf die Länge h(tana -}- tanß) ein Stab jeder Schaar in Frage kommt, so wird der Werth ö von Eu Jl pro Längeneinheit, wenn f‘, f“ die Querschnittsflächen der Stäbe bezeichnen,

sec³ß^j

23. Ö =

sec³ a

nÈ (tana -f- tanß)

Ist Qm die Maximal-Transversalkraft für einen Stab, so ist f =

Qm seca Kn '

j’,, Q}h sec ß

Kn

daher

24. ö =

KQ sec* a -f- sec* ß E Qm tan a -(- tan ß

_ KQ

EQm’

wenn G einen von der Neigung der Gitterstäbe abhängigen Koeffizienten bezeichnet.

Die Transversalkraft Q ist = jg(l— 2Ç) ; wir können annähernd annehmen, dass auch Qm in Beziehung auf £ linear sei. Wenn wir die Querschnittsflächen der Stäbe an den Enden und in der Mitte mit fn

und fx bezeichnen und

= m setzen, so wird

_ Q_ _ l -H

" ~~ Qm    —

In Fig. 227 ist der Werth von z als Ordinate aufgetragen. Wenn G der fragliche Punkt und C* der hierzu symmetrisch liegende Punkt ist,

so entsprechen sich innerhalb der Strecke CG⁴ stets

Uli*

Fig. 227.

zwei gleiche Ordinaten mit entgegengesetztem Vorzeichen , weil in zwei symmetrisch liegenden Stäben d die Belastung gleiche Spannung mit gleichen Vorzeichen, der rechte Stützendruck aber gleiche Spannung mit entgegengesetzten Vorzeichen erzeugt. Die Flächen CDE, ODE¹ heben sich daher auf.

X::±

Y-l-

Sonach ist

jsdÇ =jzd£ und Ay ~{l —    | fd'<Z£

0 0 0 0

x

25. Ay=jäd§.

o

, d. L

Setzt man den Ausdruck für ô ein, so erhält man

26. Ay —

E jl — 2 (1 — m) f w o

CK

1-21

•J/,

Mit Hilfe der Integralformel dx = ~ x —(-

a -f- bx

ad — bc

c -J- d x

d-

lognat (c -f- dx) -f- Const

erhält man

E (1 — m) £

Für die Mitte wird hiernach:

27. A y —

CK

x -f

ml

2 (1 — m)

lognat j.2 — 2 (1 — m) j|J.

28. Axy —

CKl

2E(1 — m)

lognat mj .

Sonach kann man auch setzen:

zly

2 (1 — m) j -f- m lognat ji — 2 {1 — m) yj

(1 — m) -|- m lognat m

Für m = 0 wird sehr einfach

30.

zly

Für m = 1 nimmt Weise ergibt sich aber

Jxy

die unbestimmte Form l an.

In bekannter

31.

Hiernach ist folgende Tabelle berechnet:

"5;

0,1

k cT

Q> Ci _Ci O "Vi 'bx Io Cx Oi

o O O O Ci

OOłColCC Ci Tk ^ »O <£> Oo Oi Ci Ci

cT cT cT cT cT

Wir wollen nun speziell noch die Senkung zJyy in der Mitte in Betracht ziehen. Nach der Formel 28 ergibt sich:

0    0,1    0,2    0,3    0,4    0,5    0,6    0,7    0,8    0,9    1

4vy = 0,500 0,413 0,373 0,346 0,324 0,307 0,292 0,280 0,268 0,257 0,250

wobei C zwischen 2 und 3 liegt. Wenn K die bei Bestimmung der Querschnitte angenommene zulässige Inanspruchnahme bezeichnet, so ist z/, y der nöthigen Verstärkung der Querschnitte wegen kleiner. Mit geringer Annäherung lässt sich etwa setzen:

c K

32. Jty = 0,27 -ß-l.

Die Senkung ist hiernach das 2,7 j bis 4,1 j oder das 0,25 bis 0,50 fache der von den Gurten herrührenden Senkung.

Die mittlere Maximal-Transversalkraft ist = j (1 -f- m) Qm ; sind

daher f, f“ mittlere Querschnitte, so ist f‘ =    Qmseca, f“ —

Qm sec ß. Setzen wir noch h {tan a -f- tan ß) = a, so wird

2Kn _sec²« -f- sec^ß _    4Kn

\l -|- m) Qm    tan a -f- tan ß {1 -p m) q l

GKl

1 -j- m

2 Kn

( sec³

\7

sec³ß\ _

~r~)~

Setzen wir zur Abkürzung

33. A, y — x

\} + r^Ti lo9nat m\ = * G Kl (1 -f- ni) x ql* h /sec³a

2 (1 — m)

, so ist

nf

sec³ ß \

V'

nf

Für m = 0 0,1 0,2.. .1,0 ergibt sich bezüglich -₄ (1 -f- m) x = 0,125 0,114 0,112 0,112 0,113 0,115 0,117 0,119 0,120 0,122 0,125, so dass -₄(1 m) x nahezu konstant ist. Wir können daher allgemein annähernd etwa

setzen.

. si -un il* h / sec³a 34. A, y = 0,112 ^ -

nf

sec³ ß \

nf

Bezeichnen wir das wirkliche Volumen des gesammten Gitterwerkes mit F₂, so ist nach der Formel 86 (Seite 86) V₂ = 1,7 (g l p) ■ Der Werth von g -f- schwankt zwischen 1,06g und 1,14g und lässt sich durchschnittlich zu 1,08g annehmen. Sonach lässt sich setzen:

F₂ = 0,46

Die Formel 32 geht hierdurch über in

35. A, y = 0,60

Cgi K ‘

Egl '

Die gesammte Senkung in der Mitte ergibt sich nun nach den Formeln 20 und 34:

33. Axy — [o,03

fh¹

Ferner wird nach Formel 21 und 32:

qV¹

37. A,y = ^0,21---h 0,27 CJ Kl

(0,0735 ~ + 0,10 Cj

Für K = 0,70, E = 2000 Ton. pro □cw* wird 37 a. A, y —

wobei l in Metern zu nehmen ist. Da

zwischen 8 und 11, C zwischen 2 und 3 liegt, so wird A,y — 0,791 bis 1,111 Millimeter. Endlich wird nach Formel 22 und 35 :

38. A,y = (0,9V, + 0,0 V„)

Eql

Die genauesten Werthe liefert die Formel 36, während 'die Formel 38 im Allgemeinen am wenigsten genaue Resultate gibt.

Wir haben nur diejenige Senkung bestimmt, welche von der gleichzeitigen Wirkung des Eigengewichtes und der zufälligen Last erzeugt

wird. Die Senkung, welche durch die zufällige Last allein erzeugt wird, findet man einfach durch Multiplikation mit dem Verhältnisse ^ der zufälligen Last p zur Gesammtlast q.

3. Mittlere Senkung. Wir bezeichnen die mittlere Senkung, d. i. das arithmetische Mittel aller Senkungen mit 4my. Wir betrachten zunächst den Einfluss der Gurte. Nach der Formel 14 ist die elastische Linie eine Parabel und hiernach 4my = | 4xy = 0,667Axy. Nach der Formel 17 wird

16

x (l — x) (Î² -f- Ix — x²) dx =    = 0,640,

my_ 16

4X y ~ 5lb

so dass man annähernd allgemein

39. z/m y — 0,65 A xy

setzen kann. Für den Einfluss des Gitterwerkes allein ergibt sich nach Formel 27 und 28 leicht

(1 — m) (1 — 3 m) — 2 m¹ lognat m 2 (1 — m) (1 — m -f- m lognat m) i i s

4 2 4

A y

1 bezüglich 4my — 0,500 0,596

Hiernach ergibt sich für m — 0 0,629 0,653 0,667. y. Ungefähr wird hiernach allgemein

41.    4my = 0,60 4 xy.

Für die gesammte Durchbiegung kaun man hiernach ungefähr

42.    4my = 0,64 4 xy

annehmen.

§. 133. Näherungsregeln für Parabelträger. Wenn wir nur den Einfluss einer totalen gleichmässigen Belastung untersuchen, so ist das Gitterwerk nahezu ohne Spannung, also auch nahezu ohne Einfluss auf die Formänderung. Die relative Längenänderung der Gurte ist, wenn man den Querschnitt proportional der Maximalspannung wählt, konstant

und zwar = ||. Handelt es sich nun [um die Senkung Jy eines beliebigen Punktes im Abstande x von der linken Stütze, so in Formel 3, wenn wir die Neigung des Ober- und Untergurtes gegen die Horizontale

mit 0j, <t₂ und die Höhe in der Mitte mit hx bezeichnen, Jl = ~dx secox

und = ^ dx secu = ~ secox = mithin

P sec ff,

Pseca^

4 h, (1-Ç)

4ht (i-sy

l—x

Jy =

Kl

sec²Uj -f- sec<1 °<i

sec²öo

4Ehx

l- §

Der Werth von seciax + sec^o» ist wenig variabel; er ist beim Bogensehnen- und Fischbauchträger = 2 bis 2,32, im Mittel 2,16, beim Fischträger = 2 bis 2,16, im Mittel 2,08. Nehmen wir sec²^ sec²<7₂ konstant gleich den angegebenen Mittelwerthen an und beachten wir, dass

\l~rź — — lognat (l — £) -f- Const ist, so wird für Bogensehnen- und Fischträger

I    lognat ——\-

L t    %c

KP

Eh{

Beim Fischträger ist 0,52 statt 0,54 zu setzen. Hiernach ergibt sich für

x — O 0,1    0,2    0,3    0,4    0,5 . I

Bogens.- u.Fischb -Tr. By = 0 0,176 0,270 0,330 0,363 0,374 \ P By — 0 0,169 0,260 0,318 0,350 0,360 j *

Die Senkung in der Mitte würde hiernach Bxy — 0,374 bezüglich sein. Der nöthigen Verstärkung der Gurte wegen ist Bx y etwa nur 0,85mal so gross, also:

^    | Bogensehnen- und Fischbauchträger Bxy = 0,318

\ Fischträger

Für K = 0,7, E = 2000 Ton. pro Qc"* wird ungefähr

43. By = 0,54

Fischträger

0,360

KP

Eh,

44 a. Bxy — 0,100 —

h,

x

— lognat

KP

Bxy — 0,306

Millimeter,

* ;eu:

wobei l und hx in Metern zu nehmen sind.

Setzen wir die mittlere Querschnittsfläche der Gurte f = so erhält man

qP

8 Kh, ’

qP

■ Bogensehnen- und Fischbauchträger Bxy = 0,040 [ Fischträger

Diese Formel gibt im Allgemeinen die genauesten Werthe.

Ist Vx das wirkliche Volumen der Gurte, so ist ungefähr Vx — qP P Kh, ’ h.

Bxy = 0,038

* Efhx2>

qP

1,35.0,258 mel 44 annähernd

= 0,348

= 2,87

KV,

ql

Daher wird nach For-

46. Bxy — 0,90

K*rx

Eql

Die Senkung, welche die zufällige Last allein erzeugt, findet man , wie im vorigen Paragrafe durch Multiplikation der im Vorstehenden bestimmten Senkung für die Gesammtlast durch Multiplikation mit —.

Die mittlere Senkung Bmy ergibt sich hier zu 47. Bmy = 0,788 Bxy,

⁽i

§. 134. Mittlere Senkung bei beliebigen Trägerformen. Ist

Bmy die mittlere Senkung oder das arithmetische Mittel der Senkungen

aller Punkte eines Gurtes, so ist Amy . 1 — Amy die Arbeit einer über die ganze Spannweite gleichmässig vertheilten Last 1, demnach ist

Amy = ZuAX,

wenn u die in jedem Stabe AB von dieser Last erzeugte Spannung bedeutet. Ist nun G die wirkliche Gesammtlast, S die im Stabe AB

von dieser Last erzeugte Spannuüg, so verhält sich offenbar u : S — 1 : G, also ist u = ~

Sl

Ferner ist AX = -^-?, mithin

jhj

¹

ËG~ f '

Wir nehmen nun an, die Querschnitte f seien für die totale Belastung mit der Last G berechnet, so dass also S = Kf ist; alsdann wird

K'¹

EG

ZfX.

Hierin ist aber ZfX das ganze Volumen V des Trägers. Sonach ist die mittlere Senkung

48. Amy =

K*V EG ’

Ist y das Gewicht der Volumeneinheit, G‘ das Gesammtgewicht des Trägers, so ist G' = Vy, also

K- G‘

EX G

Hiernach wäre also bei einem Träger von konstanter Festigkeit bei gleichbleibender Gesammtbelastung die mittlere Senkung dem Volumen oder Gewichte des Trägers proportional. Aendert sich G‘, so ändert sich allerdings auch 6r, obwohl in geringerem Maasse; bezeichnen wir die bei gegebener Spannweite für verschiedene Trägerformen gleichbleibende Summe aus dem Gewichte der zufälligen Belastung und der Querkonstruktionen mit G₀, so ist G = G₀ -}- G‘, mithin

48 a. Amy —

49. Amy —

G*

Ey ’^o -t- &

so dass sich also Amy in geringerem Masse ändert als G‘. Indess ist der Unterschied bei kleinen Spannweiten nur gering; so ändert sich z. B. ym bei Eisenbahnbrücken mit Spannweiten von 20, 50, 100, 150 Metern um bezüglich 9,0, 8,0, 6,4, 5,0 Prozent, wenn sich G¹ um 10 Prozent ändert.

Obwohl der hier vorausgesetzte Träger ein idealer ist, da hinsichtlich der Querschnitte des Gitterwerkes nicht die gefährlichste, sondern eine totale Belastung vorausgesetzt wurde, so geht doch aus der Untersuchung hervor, dass sich durch die Verminderung des Volumens oder

Gewichtes in Folge einer veränderten Form des Trägers auch die mittlere Senkung vermindert.

Für die Maximalsenkung z/, y, welche in der Mitte eintritt, lässt sich eine so einfache Kegel allerdings nicht aufstellen. Indessen stehen Amy und z/, y in einem wenig veränderlichen Verhältnisse; so ist für einen Parallelträger nach Formel 42 z/, y = 1,56 Amy, bei einem Parabelträger nach Formel 47 z/, y = 1,29 Amy\ sonach wird sich auch Aly vermindern, wenn sich das Trägergewicht vermindert.

Die hier gefundenen Regeln lassen sich auch zur angenäherten Berechnung der Durchbiegung Amy und z/,?/ für wirkliche Träger benutzen, wenn man Korrektionskoeffizienten anbringt; so findet man die

mit 0,58 bis 0,64, die Senkung

mittlere Senkung Amy, wenn man

IO V

EG

z/j y in der Mitte, wenn man, entsprechend den Formeln 38 und 46, IO V

EG

mit 0,8 bis 1,0 multiplizirt, wobei die Form der Träger, ob Parallel-,

Trapez-, Parabel-, Halbparabel-, Hyperbel-, Ellipsenträger u. s. w. gleich-gütig ist.

§. 135. Elastische Linie. Wir wollen jetzt noch die Formänderung eines Parallelträgers unter der Voraussetzung einer stetigen Veränderung untersuchen.

a. Die Gleitung. Wir bezeichnen die relative Längenänderung des Ober- und Untergurtes mit <7P u₂, die der Gitterstäbe, welche unter

dem Winkel a und ß gegen die Vertikale geneigt sind, bezüglich mit g', gEs sei ferner BE (Fig. 228) senkrecht auf AC, g₀ die relative Längenänderung von BE und d\ d" die Winkel, welche BE und A F nach der Formänderung mit der Normalen zu AC und BD bildet. Alsdann ergibt sich leicht nach Formel 46, S. 303 aus dem Dreiecke ABE und CBE:

— (7j tana — o₀ cota,

Fig. 228.

.4*1

!*

'a\

+ <*' =

g‘

sina cos a

— ô‘ =

— u, tan ß -— Gn cot ß.

g"

sin ß cos ß

Multiplizirt man mit tana und tanß und subtrahirt sodann beide Gleichungen, so ergibt sich

<P (tana -f- tanß) = g¹ sec¹ a — g" scc^ß — Uj (tan’¹ a — tan²ß). oder, da tana + tanß — ~ ist,

Ô¹ =

[ff' sec*a — a" sec*ß — ffj {tan*a — tan*ß)].

In gleicher Weise ergibt sich

~ [ff' sec*a — ff"sec*ß — ff₂ {tan*a — tan*ß)\

Ist nun d der Winkel, welchen durchschnittlich eine Normale zu den Gurten nach der Formänderung mit dem Krümmungsradius bildet, so ist d = -s {ö‘ -f- d") zu setzen. Beim Netzwerke ist tan*a — tan*ß — 0,

daher d == {o‘sec*a — o“sec*ß). Beim Fachwerke ist tanß = 0, daher

d = ~ [ff sec² a — ff" sec*ß — -₂ {ox -f- ff₂) tan*a). Da aber nahezu ff₂ =

— ff! ist, so können wir annähernd das letzte Glied in der Parenthese weglassen. Sonach können wir allgemein setzen :

h

50. d — — (ff' sec* a — ousec*ß).

Sind f, /’" die Querschnitte der Gitterstäbe, so ist o‘ = -f-

Qsec ß

Q sec a

Ef ’

ff" =

Ef"

, mithin

51.

Qli /sec³a

Ea

X³ß \

jr-y

Hiernach ist auch die Bedeutung von dem hiermit identischen d in §. 132 gegeben.

I). Krümmung der elastischen Linie. Es sei r, der Krümmungsradius CA = CA' (Fig. 229) des Obergurtes, r„ der Krümmungsradius DB = DB‘ des Untergurtes, AA‘ = dx -f- Atdx, BB‘ = dx -\-Aqdx, /BEB*

= dy. Ferner ist /_CAE — /_DBE=ö, z_ CA'E = Z. BB‘E = ô + dö. Es ergibt sich nun sofort /_ ACA‘ = / PPP' = dy-\-dö. Daher ist rx{dy -f dö) =dx-\-Axd%, r₂ {dyĄ-dd) = dx + A„dx. Ist r der mittlere Krümmungsradius j (rt -f- ^₂), so wird hiernach r {dy + dd) = dx -f- -g {Axdx -f A^dx)

= dx j (ffj -f-o/)dx. Setzen wir, wie oben,

(?! -p ff₂ = 0, so wird

1 _dy -f- dö

r    dx

Fällen wir von A und B auf EB‘ die Senkrechten AA“ und BB“, so ist ii" =

{dx-\- A^dx) cosö, BIB‘‘= {dx-\-A<ldx)cosd,

BB“ — AA“ = AB . d y = h d y, d. i.

Fig. 229.

C /

Jf

/ ! \ / H /Y : i/\i

I A'/

[/

L /

\$/ \ i

/    \ /

/    \ /

\L

'B‘

(zl^dx — Axdx) cosô = hdy oder (u₂— ox)dxcosö = hdy. Der Kleinheit von ô wegen können wir cosd = 1, mithin (a₂— ax)dx = hdy setzen. Sonach wird

52.    — —

dö

Sind fx, /₂ die Querschnittsflächen des Ober- und Untergurtes, so ist

M , mithin

Ehf,

°"<2 - +

53.

E~hfi 1 M

dö

dx ‘

r Eh? \fx

Ist I das Trägheitsmoment des ganzen Querschnittes, so ist ^ mithin

KO IM 53 a. — = Y,T r EI

de)

wobei ô durch die Formeln 50 und 51 bestimmt ist. 1 __ d'y r dx¹

Setzen wir

und integriren einmal, so erhalten wir

sec³ a

dy

JW + W

sec³ ß\

TW'

54. E — dx

Auch mit Benützung dieser Gleichung lassen sich leicht die bereits in §. 132 entwickelten Resultate erhalten. Auch bietet die Gleichung eine Grundlage zur geometrischen Konstruktion der elastischen Linie. Jedoch wollen wir hier nicht näher darauf eingehen.

XVII. Kapitel.

Kontimiirlicłie Träger.

§. 136. Ein Trägerfeld mit beliebiger Belastung. Von den

über den Stützen A und B (Fig. 230) liegenden Knotenpunkten fällen wir

Senkrechte A C, BB auf die gegenüberliegenden Gurtstücke. Wir setzen nun voraus, dass sich die Geraden AC,BD in Folge schiefer

Einspannung oder in Folge der Deformation im Zusammenhänge mit den übrigen Feldern um die kleinen Winkel x‘, x“ nach rechts gedreht

Fig. 230.

i ,i

Wi

A\

o,

'W

->-

!\

haben. Sind y\ y“ die Längen der Normalen AC, B D, so sind also ylrx, y^T^ die Verschiebungen der Punkte C und D unter der Voraussetzung, dass bezüglich A und B festgehalten werden.

Wir bringen in den in C und D durchschnittenen Gurten in der Richtung der Gurtstücke als Drücke wirkende Kräfte an, welche gleich

~ und — sind, so dass die Momente in Beziehung auf A und B

— L y> — ^ L.y" — i sind. Diese Kräfte mögen jmit Rücksicht auf y    y

die von ihnen bewirkten Stützenreaktionen, wobei wir bezüglich den Punkt A und B als fest annehmen, in einem beliebigen Stabe EF bezüglich die Spannungen u¹, u“ bewirken. Ist Al die Längenänderung

. y'x' — Hu*AI — 0,

dieses Stabes, so ist nach dem Prinzipe der Arbeit

— ^7. y“ To — 2u‘‘Al — 0 oder

1. r‘= Ą-2u'Al, r“ = — 2 u“Al oder auch, wenn S die durch die Belastung erzeugte Spannung des Stabes EF, f die Querschnittsfläche, l die Länge desselben ist,

fu‘Sl

Ef ’

t“ —

v u“ Sl

Ef *

Die Spannung S lässt sich aus drei Theilen zusammensetzen, nämlich aus der Spannung S₀, welche im Stabe entstehen würde, wenn der Träger als ein in A und B frei aufliegender Träger wirkt, welche sich also in bekannter Weise bestimmen lässt und den Spannungen S¹ und S“, welche die in A und B wirkenden Biegungsmomente Mx und Jl₂ oder die in den A und B gegenüberliegenden Gurtstücken wirkenden Spannungen erzeugen, so dass wir

S = SQ + S‘ + S”

setzen können. Wir nehmen in Uebereinstimmung mit dem Früheren

die Biegungsmomente als positiv an, wenn sie nach oben konkav krümmen.

Diese Momente erzeugen in den A und B gegenüberliegenden Gurt-

M“    1

--tt-. Da der in C wirkende Druck —r

stücken die Spannungen — in EF die Spannung u‘ erzeugt

y‘’

y“

tr

so wird der in C wirkende Druck

y‘

—7 offenbar in EF die Spannung S‘ — n‘AB erzeugen; ebenso ist

S“ = u“ M“, sonach

3. S = S₀ + u‘M‘ + u“ M“.

folglich nach den Gleichungen 2 :

2 u'S{)l

+ t¹ =

Ef

+ M¹ ZJ

(ii'yi

Ef

+ M“ 2J

u‘u“ l

Ef

+ M‘2J

u‘u“l

Ef

Ef

+ M“2J

(u“yi

Ef •

Setzen wir zur Abkürzung bei der Spannweite l: v u'S₀l ~ Efl

" 2Efl ~ ’

= 97',

v

2 Efl

v u“ Sn l ~ Efl

= ß,

so wird

v u'u“l " ~~Efl

+ x‘ — (97' -f 2aM‘ + y 31“) l,

- tu = (97" -f yM' + 2/?iH")fc⁷.

Die Werthe von u‘ und u“ lassen sich leicht durch Konstruktion bestimmen. Das in A wirkende Moment 1 erzeugt bei der Spannweite

5.

I in B eine vertikale Reaktion = y ; ebenso erzeugt das in B wirkende Moment 1 in A eine vertikale Reaktion 4

T-

Die Spannungen un ,

welche von diesen Reaktionen erzeugt werden, lassen sich leicht grafisch bestimmen, am besten mittels der Polygonalmethode. Will man die Rechnung anwenden, so ist ohne Rücksicht auf das Vorzeichen Fig. 231.

x“

x‘

6. U‘ = -z-, u“ = -y—,

ly    h

y„ wenn x\ x“ die Horizontalabstände des dem fraglichen Stabe EF (Fig. 231) konjugirten Punktes Cr, d. i. desjenigen, in welchem sich die beiden vom Schnitte getroffenen anderen Stäbe schneiden, von A und B bedeuten und y der normale Abstand des Punktes G von EF ist.

Sind die Enden des Trägers fest eingespannt, ohne dass durch die Einspannung selbst eine Deformation bewirkt ist, so wird — z“ = 0. Die Momente iü' und AI“ werden alsdann

ii

Di

yj"

7. iii' —

2ß3l‘ — y 97"

laß — y²

,    ilI“ = —

2 a 31“ — y 31' 4 a ß — y¹

§. 137. Kontinuirlicher Träger mit beliebiger Belastung.

Wir betrachten zunächst zwei anstossende Felder (Fig. 232) mit den Längen lvl„. Die Momente über den Stützen oder die Normalmomente

Fig. 232.

A

1L

■l,

seien Ml} Mtl, M₃

Die Werthe von 97', 97" für beide Felder seien und die Werthe von a, ß, y bezüglich al} ßy,,

a„, ßq, yq. Für die Verdrehung der Normale über der Mittelstütze in beiden Feldern wird alsdann nach Formel 5:

— V'= (S»ilł + 7,Jtf| 4- 2ßlMq)lx,

-f- t₂' = (97₂'    2 or₂ Mq -j- yq M₃) lq.

Wenn die Stützen so angeordnet sind, dass der auf dieselben gelagerte Träger ganz ohne Spannung ist, wenn jegliche Belastung, auch die durch das Eigengewicht, fehlt, so ist offenbar xx" — t₂\ Die Addition der beiden vorigen Gleichungen gibt alsdann

8.    lx Mx + 2 (ßx lx + a, h) Mq + #₂1₂ M₃ = -(lx$tx"+lq !ft₂').

Sind aber die Stützen gegen die soeben vorausgesetzte Lage um bezüglich s,, s₂, s₃ verschoben, so wird der Winkel ABC zwischen den

Verbindungsgeraden AB, B C der Stützen um Si ~7 - _j_ s* ~~ Sa. verkleinert.

Ll    l₂

Es muss daher v„‘ — xx " =    s‘ -f-    - sein ; daher wird

9.    tfx lxMx-\- 2 (ßxlx + (Zn, lq) Mn + #₂ l, Mq

Sy ^3

h ‘

Diese Gleichung ist der Form nach in Uebereinstimmung mit den im L Hefte der Theorie der Brücken für Stäbe mit vollem Querschnitte aufgestellten Gleichungen 20 (Seite 50), 176 (Seite 160) und 206 (Seite 177), so dass auch die weitere Behandlung ganz wie dort erfolgen kann.

Die Werthe von a, ß, y, 97', 97" sind nicht identisch mit den dortigen Grössen gleicher Bezeichnung; sie werden vielmehr aus den dortigen Werthen durch Division mit 6EI₀ erhalten, wenn i₀ das mittlere Trägheitsmoment des Trägerquerschnittes bezeichnet.

Eine rein grafische Behandlung ist hier wohl möglich, indessen in der Ausführung weniger einfach als die Rechnung; wir wollen daher auf die rein grafische Behandlung nicht eingehen.

Das irn I. Hefte der Theorie der Brücken über die Fixpunkte Gesagte gilt auch hier; die Lage derselben lässt sich ganz nach §. 94 daselbst bestimmen. Ueberhaupt gelten alle dort aufgestellten Regeln, in denen für die Normalmomente oder für die Abstände der Fixpunkte von den Stützen nicht bestimmte Werthe eingesetzt sind.

§. 138. Einfluss des Gitterwerkes. Wir betrachten zunächst einen Parallel-Gitterträger. Nehmen wir an, dass ein Feld gegen seine Mitte symmetrisch konstruirt und belastet ist, so haben je zwei symmetrisch liegende Gitterstäbe dieselbe Spannung S(X. Die Werthe von u für diese beiden Stäbe werden aber gleich und dem Vorzeichen nach ent-

für diese beiden Stäbe

gegengesetzt, so dass sich die Werthe von

uS₀X Efl

gegenseitig aufheben. Auf den Werth von 97', 97" würde daher hier das Gitterwerk gar keinen Einfluss üben. Bei nicht symmetrischer An-

Ordnung und Belastung ist der Einfluss des Gitterwerkes zwar vorhanden; er ist aher nur sehr gering. Da ferner (w')² und (w")² stets positiv sind, so wird das Gitterwerk die Werthe von a und ß nicht unwesentlich, (bis zu etwa 15 Prozent) vermehren. Die Werthe von u‘, u" haben für jedes Gurtstück gleiche, für jeden Gitterstab dagegen ungleiche Vorzeichen, u‘u“ ist daher für die Gurte positiv, dagegen für alle Gitterstäbe negativ; der Werth von y wird daher durch das Gitterwerk (bis zu etwa 15 Prozent) vermindert. Hierdurch ergibt sich im Allgemeinen eine Verminderung der Normalmomente (bei 2 Feldern bis zu etwa 13 Prozent, bei 3 Feldern bis zu etwa 9 Prozent, bei 5 Feldern bis zu etwa 10 Prozent für die äusseren, bis zu etwa 3 Prozent für die mittleren Mittelstützen; bei 4 Feldern kann in der mittleren Stütze eine geringe Ver-grösserung eintreten).

Auch bei Trägern mit gekrümmten Gurten ergeben sich bei Berücksichtigung des Gitterwerkes die Normalmomente im Allgemeinen etwas kleiner, als bei Vernachlässigung des Gitterwerkes.

Bei Parallelträgern erhält man bei Annahme eines konstanten Querschnittes und Vernachlässigung des Gitterwerkes im Allgemeinen etwas genauere Werthe, als bei Annahme eines variablen Querschnittes und Vernachlässigung des Gitterwerkes.

§. 139. Bestimmung der Spannungen. 1. Bei Anwendung der Eechnung erscheint es angemessen, bei einer gegebenen Belastung die Spaunungen S nach der Formel 3 zu bestimmen, da man die Werthe von S₀, u', u" ohnehin zur Bestimmung der Normalmomente M‘, JS1“ nöthig hat.

2. Handelt es sich um die Bestimmung der Maximalspannungen oder der Spannungsgrenzen, so erscheint die Anwendung der Influenzlinien als rationell. Man bestimmt zunächst die Normalmomente für den Fall, dass eine Einzellast = 1 oder gleich einem der gegebenen Raddrücke an den einzelnen Knotenpunkten liegt, durch Rechnung; für jede dieser Lagen bestimmt man sodann, wie vorhin angegeben, sämmtliche Spannungen. Man kann alsdann die Influenzlinien für die Spannung jedes einzelnen Stabes auftragen. Im Uebrigen wird man dann nach §. 17 verfahren.

3. Zweckmässig erscheint beim eintheiligen Gitterwerke auch die Anwendung einer Kombination der Rechnung mit der grafischen Lösung, indem man nur die Normalmomente durch Rechnung, alles Uebrige durch Konstruktion bestimmt. Wir wollen hierauf noch etwas näher

eingehen.

Für das Eigengewicht tritt gegenüber dem einfachen Träger nur eine Verschiebung der Schlusslinie im Seilpolygone ein, die durch die

berechneten Normalmomente gegeben ist. Für die zufällige Last unterscheiden wir Gurte und Gitterwerk.

a. Gurte. Die gefährlichste Belastungsweise, also diejenige, bei welcher das Moment für einen bestimmten Knotenpunkt zum Maximum wird, lässt sich für gleichmässige Belastung nach dem im I. Hefte der Theorie der Brücken (§. 49 und 99) Gesagten bestimmen. Für ein System von Einzellasten ist diese Belastungsweise für die rohe Einstellung des Zuges ebenfalls massgebend; die genauere Lage lässt sich leicht durch Probiren finden.

Die Maximalmomente bestimmt man am besten in bekannter Weise durch das Seilpolygon. Die hierzu nöthigen Normalmomente wird man für ein System von Einzellasten am besten dadurch finden, dass man für die Normalmomente die Influenzlinien aufträgt und mit Hilfe eines verschiebbaren Papierstreifens die Addition der betreffenden Ordinaten vornimmt. Die Bestimmung der Gurtspannungen selbst kann daun nach §. 45 (vorlieg. Heft) erfolgen.

b. Gitterstäbe. Für eine gleichmässige Belastung ergibt sich die gefährlichste Belastung ebenso, wie für den kontinuirlichen Gelenk-

Fig. 233.

C\

I)

Tj

Wj

JE

xx

,C'

F'ir

70------

o—

-ÏÏ-

a:

VV

träger nach §. 90 und 93 (vorlieg. Heft). Diese Regeln gelten auch zur rohen Einstellung des Zuges von Einzellasten ; die genaue Lage findet man auch hier leicht durch Probiren.

Wir wollen nun noch die Veränderungen angeben, welche die in §. 48 (Fig. 75) gezeigte Konstruktion hier zu erfahren hat. Bezüglich des Stabes CE (Fig. 233) liege die vordere Last in II und der Zug rechts von II; II‘ H“ sei alsdann die in bekannter Weise zu konstruirende

Transversalkraft für den einfachen Träger. Man macht nun H“ II — also RH“—

M“

, wenn AE, M“ die beiden Normalmomente bedeuten, wobei von R“ aus nach unten oder oben aufzutragen ist, je nachdem M“, bezüglich M‘—M“ negativ oder positiv ist. M‘ und ilT" wird man am besten wieder mit Hilfe der Influenzlinie für AE und AI“ bestimmen. Aisdaun ist HH" die zwischen A und C wirkende Transversalkraft Q für den kontinuirlichen Träger. Ist I der Angriffspunkt der Transversalkraft Q und A‘E — a (a von aus nach rechts^

als positiv), so ist M‘ = — Qa, also a

H“ IE“ =

M‘ — M“

M‘

Hierzu mache man

A'A. = RH“¹ =

M‘

(nach unten, wenn ilE negativ ist), B‘ Bl = H H

und ziehe die Gerade AlBl, welche A'B‘ iu E schneidet, denn es ist

A'A,

A'A,

— Es entspreche

nun der Punkt L‘ dem Punkte X, in welchem sich die verlängerten, vom Schnitte getroffenen Gurte schneiden; F' dem Punkte F, in welchem die durch L gelegte Horizontale den fraglichen Stab CE schneidet. Macht man F‘E“ — H‘H“ = Q und zieht die Gerade L‘Fwelche die Vertikale von I in I“ schneidet, so ist EI“ = Y für die zwischen

A‘ E — A‘ B‘

A'A, + B'B,

H' II“¹

Er. = l

A und C wirkende Transversalkraft Q.

Liegt nun die erste Last innerhalb der Knotenpunkte C und X, so ist noch dasjenige Y abzuziehen, welches von dem Drucke herrührt, welchen die innerhalb C und D liegenden Lasten auf C ausüben und welches nach §. 48 zu bestimmen ist; in Fig. 233 ist die Konstruktion durchgeführt. Hierbei ist B/I1XV das Seilpolygon für die innerhalb AC Platz findenden Lasten, die vordere Last in D‘ gedacht, bei der Poldistauz C‘D‘. Macht man F‘Ft = H‘IIi, zieht die Gerade L‘E\, welche die Vertikale von C in Ct schneidet, so ist O C, das vom Drucke in C herrührende Y. Macht man nun HY—EE¹ — O'G,, so ist II Y der wirkliche Werth von Y. Konstruirt man den Punkt Y für verschiedene Lagen der vorderen Last, so erhält man eine Linie, deren höchster Punkt Y₀ für das Maximum von Y massgebend ist.

Bei Parallelträgern ist Y = Q ; hier ist die Konstruktion des Punktes E überflüssig.

Beispiel. Kontinuirlicher Parallelträger mit zwei Feldern von je 30 Meter Spannweite mit einzeiligem Netzwerke (Taf. VIII) bei oben liegender Bahn. Das Eigengewicht sei 0.9 Ton. pro lauf. Met., wovon 0,67 am Obergurte, 0,23 am Untergurte wirkt; das Knotengewicht für einen oberen und unteren Knotenpunkt ist dementsprechend 6.0,67 = 4,0 und 6.0,23 — 1,4 Ton. Die zufällige Last sei durch Eig. 6 (Taf. VIII) gegeben. Die wirklichen Querschnittsflächen, welche nach der ersten Näherungsberechnung bestimmt worden sind, gibt die folgende Tabelle. Dieselbe enthält gleichzeitig die Werthe u, d. i. der Spannungen, welche entstehen, wenn

Il    1

an der Mittelstütze das Moment 1 wirkt, sowie von —, Uy und u⁵ —. Wirkt über

der Mittelstütze das Moment +■ 1, so wirkt au der linken Stütze die nacli unten gerichtete Reaktion ~    ; die Spannung eines Gurtstückes, dessen gegenüber

liegender Knotenpunkt von der linken Stütze den Abstand x hat, ist demnach

= db

cc    1

300 . 40

— -₁0nnn ; die Spannungen der Gitterstäbe werden ±    .

o(J(J

Theil

Nummer

Obergurt

«O î> CTi Ci «O N Os

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Oi ÎNO ÜI 4) "co Cl O Cl Ol O

—    0,0050

—    0,0100

—    0,0150

—    0,0200

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to Ol Os K4

-5^ -P 7^ ^

4 "es "es "Or 7-4.

—    0,231

—    0,375

—    0,600 — 1,000 — 0,500

0,00116

0,00375

0,00900

0,02000

0,01250

Untergurt

Oo os fk. ÎNO O KJ. Oo os HU to

_K4. ^-4

Or ÎO <CO ÎND co

+ 0,0025 + 0,0075 + 0,0125 j -j- 0,0175 H- 0,0225

+ 0,158    0,00040

4- 0,375    0,00281

+ 0,576    0,00720

-i- 0,875 + 0,900    0,02025

0,01531

Gitterstäbe

—    0,0042 + 0,0042

—    0,0042 4- 0,0042

—    0,0042 4 0,0042

—    0,0042 4- 0,0042

—    0,0042 4 0,0042

49,0

75,8

65,8

89,3

104,2

65,8

75,8

49,0

51,0

35,7

—    0,204 + 0,316

—    0,274 4- 0,372

—    0,434 4- 0,274

—    0,316 4 0,204

—    0,213 4- 0,149

0,00085

0,00132

0,00114

0,00155

0,00181

0,00114

0,00132

0,00085

0,00089

0,00062

Decimcter

[JDecim.

Hiernach wird

= 0,1039.

u S„ l

i. Einfluss des Eigengewichtes. Die in bekannter Weise bestimmten Spannungen S₀, welche entstehen, wenn der Träger über der Mittelstütze getrennt

Hiernach wird Z

u S₀1

= 4- 99,146, also 99,146 4- 0,1039 M, = 0,

M, = — 954 Tonnendecimeter.

Vernachlässigt man das Gitterwerk, so wird 95,845 -f 0,0924M, = 0, M, — —1037. Nach der gewöhnlichen Theorie, unter Voraussetzung eines konstanten Querschnittes wird M, = — 0,125.0,09.300² = — 1012.

Die für M, — — 954 berechneten Werthe von uM,, d. s. die Spannungen, welche durch die Wirkung des Momentes M, allein entstehen, sowie die wirklichen Spannungen S = S₀ + uM, der Stäbe, endlich die nach der gewöhnlichen Theorie unter der Voraussetzung eines konstanten Trägheitsmomentes (M, = — 1012) berechneten Spannungen gibt die vorige Tabelle.

2. Einfluss der zufälligen Last. Wir nehmen zunächst an, dass eine Einzellast 1 an einem beliebigen der oberen Knotenpunkte liege. Wir bestimmen zunächst die Spannungen S‘, S‘‘ unter der blossen Voraussetzung eines linken, bezüglich

M~-,    Die Resultate gibt die

Theil I Nummer

uS₀l

uM

S nach der gewöhnlichen Theorie

Obergurt

«O ^ Oi Oj K* 'O Co VÎ Cu Oj

—    16,20 -f 3,742

—    24,30    + 9,113

—    24,30 -f 14,580

—    16,20 +16,200

+ 4,77    —11,43

—14,76 + 14,31 | — 9,99 4-19,08 ! 4- 2,88 4-23,85 | 4-23,85

4- 9,54

—11,14 —13,18 — 9,12 4- 4,04 4-25,30

Untergurt

Oo Ci

ki Qo Oi Hk

4- 9,60    -f 1,517

-)-21,75 4- 8,156 4- 25,80    4-14,861

4- 21,75    +19,031

4- 9,60    4- ⁸,645

+ 7,21

+14,59 4-13,87 4- 5,05 +11,87

4- 7,07 +14,16 4-13,15 4- 4,04 —13,17

Gitterwerk

•-oQo'JCJsOi^CoiokC»

ktoOo^!CłOiłfc,Oo»ok

4- 3,98

—    3,98 + 3,98

—    3,98 4- 3,98

—    3,98 4- 3,98

—    3,98 4- 3,98

—    3,98

—12,02 4- 7,02 — 5,27

+ 0,27

4- 1,48 — 6,48 -i- 8,23 —13,23 + 14,98 4-19,98

-11,78 + 6,78

—    5,03 + 0,03 4- 1,72

—    6,72

+ ⁸,47

—13,47 +15,22 —20,22

Tonnen

Tonnen

Tonnen

rechten Stützendruckes 1, sowie die Werthe von

Theil

Nummer

Cr

uS‘ X

u 3"

Theil

Nummer

3'

3“

u S'l

u 3" 1

Obergurt

Nï Oi ü: k V* Ol Oj

—    7,50 — 6,00

—    3,00 — 4,50

—    4,50 — 3,00

—    6,00 - 1,50

—    7,50 O

— 5,750

—    1,386

-    1,688 - 1,800 — 7,500

Untergurt

-|- 0,75 -f 0,75 — 0,119 — 7,000 + -2,25 + 5,25 — 0,844 — 7,000 4- 5,75 + 5,75 - 2,700 — 2,700 + 5,25 4- 2,25 — 4,594 — 7,000 ■f 0,75 4- 0,75 — 0,075 - 0,075

Gitterstäbe

0 70

—    7,25 4- 7,25

—    7,25 4-7,25

—    7,25 + 1,25

—    1,25 f 7,25

—    7,25 4-7,25

4- 7,25!

—    7,25 4- 7,25

—    7,25? + 7,25!

—    7,25

+ ^25

—    7,25 4- 7,25

—    7,25

—    0,255 4- 0,255

—    0,305 -j- 0,395

—    0,343 4- 0,343

—    0,405 + 0,405

—    0,543 4- 0,543

—    0,343 4- 0,343

—    0,305 -4 0,305

—    0,255 4- 0,255

—    0,200 -4 0,200

— 0,730 4- 0,730

Mo' A

Beispielsweise liege nun die Last im Punkte 3; alsdann ist die Summe der auf der linken Seite der Last = — 0,347 — 0,963 — 0,993 — — 2,303 (wenn man den Stab 2 4 mit zur linken Seite rechnet), die Summe der

uS' A

auf der rechten

Seite der Last == — 4,988 — 4,804 4~ 2,453 = — 7,339. Demnach ist, wenn eine

u S₀1

Last 1 im Punkte 3 liegt, Z -

= — 0,7.2,303 — 0,3.7,339 = — 3,814. Folg-

lieh wird — 3,814 4- 0,1039 47, 4- 0,1039 47, = 0, 47, = 4

3,814

02078

= 4- 18,35. In

ganz gleicher Weise ergeben sich die folgenden Resultate:

Die Last liegt in

= 6,41 18,35 26,70 26,06 12,30

—    47, genau

—    47, bei Vernachlässigung des Gitt,erwerkes = 7,69 20,91 28,52 27,54 12,97

—    47, nach der gewöhnlichen Theorie

= 7,43 20,48 28,13 26,78 12,83

Wir wollen nun beispielsweise die Bestimmung der Spannungen des Gurtstückes 3 5 durchführen. Wenn die Last im linken Felde im Abstande nl von der linken Stütze liegt, so ist bei dem linken Auflagerdruck D: 47, = Dl — G (l — nl), also M

B = —1 4- G (1 — n). Liegt die Last links von 3 oder in 3, so ist für den Punkt 4:

47

M = D . 0,41 — G (0,4 — n) l = 0,4 47, 4- 0,6n Gl, S — — d. i. für G = 1, l = 300

3 = — 0,01 M, - 4,5 n.

Liegt die Last auf der rechten Seite von 5 oder in 5, so ist für den Punkt 4:

M

47 — 73.0,41 = 0,4 47, 4- 0,4 (7 — n) Gl, [S = ^ , d. i. für G=l, 1 — 300

S-- 0,01 47, — 3,0 (7 — n).

47,

Liegt die Last im rechten Felde, so ist JD = —r¹, M = D . 0,41 = 0,4 Mt, also

S = — 0,0131,.

Last liegt in

S für G =

Last liegt in

S für G =

■M OO »O ÏN Ci

—    0,386, — 2,32

—    1,167 j — 7,ÖÖ

—    1,233 - 7,46»

—    0,639 — 3,53

—    0,177 — 1,06

+ 0,123 -f 0,261 4- 0,267 + 0,184 4- 0,064

4- 0,74 -f 1,57 4- 1,60 4- 1,10 4- 0,38

+ ö,43 + 1,04 4- 1,07 + 0,74 4- 0,26

In Fig. 234 sind hiernach die Influenzlinien für 0 = 6 und 4 Ton. aufgetragen, Indem man nun für verschiedene Laststellungen durch Addition der bezüglichen

Ordinaten die Spannung bestimmt, so findet man, dass S zum negativen Maximuni wird, wenn das erste Rad des nach rechts fahrenden Zuges am Punkte 9 und zum positiven Maximum, wenn das zweite Rad des nach links fahrenden Zuges beim Punkte 9' liegt und zwar ist

max ( — 8) = — 42,43, max( 4 S) = 4 10,49.

Wir bestimmen ferner beispielsweise die Spannung des Gitterstabes 6 7. Liegt

Fig. 234.

)' T

ifr^

3‘

vô

M,

die Last links von 5 oder in 5, so ist Q=D— G= jl 4- G(l — ri) — G = -y —nG, S = — Q sec u = -    , d. i. für 0 = 1, l = 300 :

- m +lS5n-

M,

Liegt die Last auf der rechten Seite von 7 oder in 7, so ist Q = D = ~-\-G{l — n),

S = --₄Q, d. i.

M,

8= —

Liegt die Last im rechten Felde, so wird Q = D, S = — ~₄ Q, d. i.

8= -

240

- 1,25 (1 - n).

M,

240 '

Die hiernach berechneten Werthe enthält die folgende Tabelle:

Last liegt in

S für G =

Last liegt in

S für G =

(a vj Ot O: Ki

4- 0,152 4- 0,451 4- 0,736 — 0,266 — 0,074

4- 0,912 4- 2,706 4 4,416

—    1,596

—    0,444

4- 0,608 4- 1,804 + 2,944

—    1,064

—    0,296

M. Oo Oj V? îo

!4- 0,051 4 0,109 14- o,iu 4 0,076 4- 0,027

4- 0,306 4- 0,654 -f 0,666 4- 0,456 4 0,162

4- 0,204 4- 0,436 4- 0,444 + 0,304 4- 0,108

Die entsprechenden Influenzlinien zeigt Fig. 235. Hierdurch findet sich, dass Q zum positiven Maximum wird, wenn im linken Felde die zweite Last des nach rechts fahrenden Zuges heim Punkte 5 liegt und wenn ausserdem das zweite Feld ebenso belastet ist, wie für max (M) ; dass ferner Q zum negativen Maximum wird, wenn nur eine Lokomotive nebst Tender von rechts so auf u Ï das linke Feld gefahren ist, dass die zweite Last beim Punkte 7 liegt. Es ergibt sich

Fig. 235.

A\

0‘ y'

5'    3'

1' &

max ( — S) = — 18,36, max (-f- £) = + 4,06.

Im ersten Falle entspricht der Belastung des linken Feldes max{— S)= — 15,53 der des rechten Feldes max (— S) = — 2,83:

Auf Taf. VIII ist die vollständige grafische Lösung durchgeführt, wobei nur die durch Rechnung bestimmten Normalmomente für das Eigengewicht und die Einzellasten von 6 und 4 Tonnen, welche an den oberen Knotenpunkten liegen, benützt

M

sind. In Fig. 2 sind die entsprechenden Stützendrücke D — durch die Linien a

dargestellt; die Ordinaten sind im 35,5fachen des Kraftmassstabes II aufgetragen; die Reduktion geschah mit Hilfe des Reduktionswinkels ABC, wobei AC

35,5

ist. In Fig. 7 sind die Normalmomente Mx selbst im Sfachen des Momentenmass-stabes IY aufgetragen; zur Reduktion dient der Reduktionswinkel BAC, wobei

.s

BC = ~ ist.

In Fig. 2 ist die Bestimmung der Transversalkräfte ganz nach dem oben Gesagten durchgeführt. Bemerkt sei nur, dass für die negativen Transversalkräfte das rechte Feld mit Wagen besetzt angenommen wurde; nur in der Nähe der linken Stütze wird — Q grösser, wenn das zweite Feld mit Lokomotiven und der linke Theil des linken Feldes besetzt ist.

In Fig. 6 ist nach dem oben Gesagten die Bestimmung der Gurtspannungen für das rechte Feld durchgeführt. Für die positiven Momente ist das rechte Feld allein belastet angenommen. Für die negativen Momente wurde zunächst das linke Feld so mit Lokomotiven besetzt angenommen, dass das Normalmoment zum Maximum wird; es tritt dies ein, wenn das erste Rad des links fahrenden Zuges bei 1 liegt. Ist BD dieses Normalmoment, so werden die Momente für andere Punkte des rechten Feldes durch die Gerade AD dargestellt. Man kann nun durch Konstruktion leicht finden, dass für den Punkt 8' bei keiner Lage einer Last im rechten Felde das Moment negativ werden kann; für die Punkte 1' bis 8' gibt daher die Gerade AD die negativen Maximalmomente. Für den Punkt 9' dagegen kann das Moment bei Belastung des rechten Feldes negativ werden und zwar tritt das Maximum ein, wenn das erste Rad des nach links fahrenden Wagenzuges bei 6' liegt. Wenn das linke Feld mit Wagen, das rechte mit Lokomotiven besetzt ist, so ergibt sich hier das negative Maximalmoment ein wenig kleiner. Für das Moment bei 10 ist das rechte Feld total mit Wagen besetzt angenommen.

Für die Konstruktion der Seilpolygone ist die Poldistanz —20 Tonnen gewählt und zwar für die zufällige Last (Pol 0) nach dem Massstabe II, für das Eigen-

gewicht (Pol OJ dreimal so gross. In dem Momentenmassstabe IV muss daher 20 Tonnenmeter = 1 Meter des Längenmassstabes I gemacht werden.

Da die Trägerhöhe = 4m ist, so ist bei dem Momente M oder der Seilpolygon-

20. y

5y. Daher muss eine Einheit des

höhe y die Gurtspannung S = —

Spannungsmassstabes V =4 Einheiten des Momentenmassstabes IV oder = y Einheit

des Längenmassstabes I sein.

Die Spannungen für das Eigengewicht sind in Fig. 9 ausserdem nach der Po-*-lygonalmethode bestimmt.

Die Querschnittsflächen f sind für alle Theile nach der Kegel f — ^ -j- ~ -j-

⁼ j^x 4" y ($0 4- &jJ bestimmt, wobei die Multiplikation mit ^ mit Hilfe des Keduktionswinkeis Fig. 3 erfolgt ist, in welchem sich ab : bc — 7 : 3 verhält.

In Fig. 2 und 7 sind die Maximalspannungen (S₀ -j- $J durch kleine Kreise mit ungeschriebenen Zahlen, die Querschnittsfläche durch horizontale Gerade dargestellt.

Die Querschnittsflächen sind nochmals in Fig. 4 und 8 nach dem Massstabe VIII, ebenso auf Taf. I in Fig. 4 aufgetragen.

§. 140. Einfluss der Wärme. Wenn sich die einzelnen Theile eines einfachen Trägers mit eintheiligem Gitterwerke ungleich erwärmen, so entstehen hierdurch Formänderungen, welche aber keine Veränderung der Spannung der einzelnen Theile bedingen. Beim kontinuir-lichen Träger aber entstehen durch die Deformationen Aullagerdrücke, welche wiederum Spannungen der einzelnen Theile hervorrufen. Wir wollen nur voraussetzen, dass sich der Ober- und Untergurt ungleich, erwärmen. Die Aenderung der Temperatur gegen eine mittlere Temperatur bei welcher keine Spannungen vorhanden sind, seien für Ober- und Untergurt bezüglich tl} tq, für die Gitterstäbe durchschnittlich t₃, wobei wir etwa t₃ — j (£, + tq) setzen können.

Ist e der Ausdehnungskoeffizient für 1 Grad Temperaturänderung, so ist in den Formeln 1, wenn wir uns den Träger unbelastet denken,

Sk

um lediglich den Einfluss der Wärme zu finden, zll —

Ef

+ etl

setzen und hierin ist nach Formel 3: S — u‘M' -f- u“ M“. Die Formeln 1 gehen hierdurch über in (u'Y M¹1

zu

Ef

Ef

- -f Zeu'tl

4- 27' = M'E

(w')²A

Ef

-f M“ 2

Ef

-4- 2eu‘tl,

u'u" l

4 M“ 2

— t“ = M'Z

oder nach den in §. 136 eingeführten Abkürzungen und wenn man ausserdem noch 2eu‘tl — T', 2eu“t}j = T“ setzt,

Ef

Ef

4 r' = T + (2a M' + yMu)l,

10.

—    = T" 4- (y M‘ + 2ßM“) l.

In Formel 5 ist also %ł'l und %l“l bezüglich durch 2eu'tl und 2eu“tX zu ersetzen. Dementsprechend geht die Formel 8 über in

11. yt ltMt 4* 2(ßlll 4 a₂Z₂) Mq -f- y₂£₂ M₃ — Tl“ 4-Die in Formel 9 auftretenden Glieder mit s, — s₂ und s₂ — s₃ sind wegzulassen, falls der Einfluss der ungleichen Höhenlage der Stützen gesondert untersucht wird.

Bezeichnen wir nun die Länge eines oberen und unteren Gurtstückes, sowie eines Gitterstabes mit lv A₂, Z₃, so wird unter der Voraussetzung gleichen Materiales

12. T = et^u^ 4 £f₂^M₂A₂ -f et₃2u₃l₃.

Bei symmetrischer Anordnung wird das letzte Glied = 0, weil sich für zwei symmetrisch liegende Stäbe der Werth von u gleich, aber entgegengesetzt ergibt. Allgemein wird das letzte Glied sehr klein, so dass wir genau oder annähernd

13. T —    4

setzen können. Beim Parallelträger wird    —daher

14. T = e (L—tJZuL

j (l — x)dx o

¹ yy-~, daher 2ul — lh ’    lh

— 2h ’

folglich

15. T= e (jtx -    .

Setzen wir bei Bestimmung der Werthe a, ß, y einen konstanten Querschnitt voraus, so wird a == ß = y =    ¹

chung 11 geht daher über in

Ssl

Die Glei-

6EI₀ — 3Efhi%

16. Mx lx 4 2Mq (lx 4 h) ~b -^3— g E sfh (tx — ź₂) (lx 4 U•

Für Schmiedeeisen kann man E = 2000 Ton. pro Qcm, E = 0,0000118, also Ee = 0,024 Ton. pro □«** setzen. Wie gross tx— 19 unter verschiedenen Verhältnissen werden kann, ist zur Zeit noch nicht vollkommen festgestellt. Vorläufig wird man annehmen können, dass sich der Obergurt bis zu etwa 10° C. mehr erwärmen kann, als der Untergurt, so dass —1<₁ = 10° und Ee(tx—t^ = 0,2é Ton. pro Qcm zu setzen wäre.

Bei einem Träger mit zwei gleich langen Feldern wird, wenn wir hier die Indices der drei Stützen 0, 1, 2 nennen und M₀ — ill₂ — 0 setzen.

17. Mx = ~Ęefh(łx-t,).

Die durch dieses Moment in den Gurten an der Mittelstütze entstehende

spezifische Spannung ist K =

hf

= jEe(tx — g = 0,18 Ton. pro □cw,.

so dass die Beanspruchung an der Mittelstütze um etwa 24 Prozent verändert werden kann und zwar wird sowohl der Zug im Obergurte, als der Druck im Untergurte vermindert. Dagegen wird im übrigen Theile der Druck im Obergurte und der Zug im Untergurte vergrössert.

Bei einem Träger mit drei jFeldern mit den Längen lx, l, lx und den Indices 0,1, 2, 3 der Stützen wird, da Mo = 0, Mx = ilf₂ zu setzen

ist, 0    2-Mj (l -f- lx) 4" l ⁼ z^sfh (^i — g 4~ ^i)i mithin

]8- =

Pür l — 0,9, 1,0, 1,1, 1,2, 1,3 . lx wird bezüglich Mx =    = 0,606

0,600 0,594 0,589 0,585Eefh (tx — Q.

Für einen Träger mit vier Feldern mit den Längen lv l, l, lx und den Indices 0,1, 2, 3, 4 der Stützen wird, da M₀= M₄ — 0, Mx = M₃ istr

2 Mx(l lx) -f- Mtl l = g Ee(tx — g (lx -j- l),

2Mxl + 4MJ = ^Ee(tx — g 21.

Demnach wird

l 4- 2lx 31 4- 4lx

l + h

31 4- 4lx

19.

m, = | £«(«,-g

JK, = |£e («,-«,)

Hiernach wird für l = 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 . lx bezüglich Mx = 0,650 0,643 0,637 0,632 0,627 und Jf₂ = 0,426 0,428 0,432 0,434 0,437 . Eefh{tx — g.

Beispiel Wir wollen noch den Einfluss der Wärme «bei dem im §. 139 be-

1    k

handelten Beispiele bestimmen. Hier ist in Formel 11 ßt = «a =    Zu¹ -j-,

T," = T, = eZutk, M,= O, M, = Mt, M₃ = O, l, = lt = l zu setzen , daher

2M,Zul —- — Ee Zutk.

Bereits früher wurde Zu⁷ = 0,1039 gefunden. Ferner wird für den Obergurt

Zutk = 4 L • 60 (0,005 4 0,010 4 0,015 4- 0,020 4 0,025) = + 4,50t,, für den Untergurt — t₂.60 (0,0025 4 0,0075 + 0,0125 4 0,0175 4 0,0225) = - 3,7 51₂, also Zutk = 4,50t, — 3,75t₂. Setzen wir tt = 30, t, = 40°, so wird Zutk — 67,5. Setzen wir Ee = 0,024 Ton. pro □cw = 2,4 Ton. pro □«*«», so wird EeZutk = 2,4.67,5 = 162, also 2.0,1039 M, = 162, folglich

M, = 780 Tonnen-Decimeter.

Nach der Näherungsregel 17 wird, wenn man h = 40, t, — t₂ = 10, f im Mittel = 1,325 \2dcm setzt, M, = j 2,4.1,325.40.10 = 954 Ton.-Dec.

Die sich hieraus ergebende durchschnittliche Yergrösserung der Querschnittsfläche oder des Volumens beträgt 13 Prozent.

Wir schliessen hieran noch die Bestimmung der Formänderung in Folge der Wärme. Die wirkliche Längenänderung eines Stabes ist

SX

Die durch die Temperatur in irgend einem Theile erzeugte Spannung ist nun S — u — 780 u.

Wir wollen nun noch die hieraus resultirende Vergrösserung der Querschnittsfläche bestimmen. Ist Smax und Smin das Maximum und Minimum der Spannung eines Stabes, so ist (siehe Winkler’s Wahl der zulässigen Inanspruchnahme, 1877, §. 5)

Smin

f = *

'    0,75

Ist nun S₀, Sit S., die Spannung für das Eigengewicht, das positive und negative Maximum für die zufällige Last, St die Spannung in Folge der Wärme, so ist, wenn man St, S₂ in Folge der Erschütterungen um 30 Prozent vergrössert, falls St eine Vergrösserung der Spannung bewirkt, Smax = S₀ + 1,3 S, -j- St, Smin = S₀ — 1,3St und falls St eine Verminderung bewirkt, Smax — S₀ -j-1,3S,, Smin = Sn — l,3Si — S[. Dies eingesetzt, gibt im ersten Falle

max

1,70 #

und im zweiten Falle

'    1,4 ~ 0,6 ~ 1,4    0,75 ’

/»_ Sq    i S,    i ^2    i Sf

' ~    1,4    ■" Öx    ‘ 1,4 lÿo    ’

so dass die Vergrösserung der Querschnittsfläche durch den Einfluss der Wärme be-

St

ZÖgIich Ö75 Und Ï7Ô beträgt-

In folgender Tabelle sind die hiernach berechneten Veränderungen der Spannungen und Vergrösserungen der Querschnittsflächen zusammengestellt, wobei mit -f- und — eine Vergrösserung und Verminderung des absoluten Werthes der Spannung bezeichnet ist.

Vergrösse-

Theil Nummer Spannung rung der Theil Nummer Spannung rung der

Fläche    Fläche

Vergrösse-

Obergurt

CIO *0 îk <3S Os ■kH CO *0 îk

++++ I

k M k

>5° ,5* ^ ^ ,50

Oi Ci VJ Qo

kl Î© kl 1-4 ,ki ^

"ot "00 'bi "gk Ins

Untergurt

OO Os Hk *© Cs kl Oo ©s Hk >©

kl kl

S    ,0t

N Oi    ^

cnT iC co" 06" <cT

T-H -r-H r-H

Gitterstäbe

C©OOkf©sOtHk©iï©ki.O

Cs

4- 3,3 -f- 3,3 -h 3,3 + 3,3 4- 3,3

^-4 __kl ^kl ^kl _kl _Hk ^Hk _Hk "c© "c© "co "î© ^Hk ^Hk "Hk "Hk "(4k

Tonnen \ [JCentim.

Tonnen    [jCentim.

dl =

Die sich hiernach ergebenden Längenänderungen nebst den Spannungen u‘ und u“, welche ein bezüglich linker und rechter Stützendruck = 1 erzeugt, wenn man das linke Feld des Trägers als einfachen Träger betrachtet, sowie endlich die Werthe von u‘/1k und u"/1k sind in folgender Tabelle zusammengestellt.

Theil

u¹

u'Jk

u“/l k

Zu'/1k

Zu"/1 k

Obergurt

CO Oo    Oî

|    ^ 00 Ci    ^

“T    ÜN^ CO_^ ^

oî' <nt <>r    c<r

—    1,50 — 6,00 ' — 4,11 — 16,45

—    3,00 —4,50 — 8,06— 12,09

—    4,50 — 3,00 — 11,69 — 7,79

—    6,00 — 1,50 — 14,65 — 3,66

—    7,50    0    — 18,32    0

4,11

— 12,16

—    23,86

—    38,51

—    23,54

—    11,45

3,66

Untergurt

8 10

2,187

2,272

2,350

2,466

2,476

4 0,75 4 2,25 +3,75 4 5,25 4-6,75

Gitterstäbe

9 10

1,984 —1,25 2,157 4 1,25 1,956 —1,25 2,212 41,25 1,827 —1,25 2,174 4 1,25 1,940 —1,25 2,146 4 1,25 1,981 —1,25 2,124 4 1,25

I + 1 + I4I + I+ I +++44

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—    2,48 ¹ + 2,48 4- 2,70 ' — 2,70

—    2,44 ¹ 4- 2,44 4- 2,77 : — 2,77

—    2,28 +2,28 4-2,72 —2,72

—    2,42 4-2,42

4 2,68 —2,68

—    2,48    2,48

-4-2,66 —2,66

4- 0,22 | — 1,20 + 0,54 —0,88 4 0,98. — 0,44 4 1,42 — 0,18

Millim.

Millimeter

Millimeter

¹

ei der Höhe h wird u =

Hiernach wird z. B. für den Knotenpunkt 4 :Zu‘/lk = —12,166,75 4-0,54= — 4,87, Zu“/II = — 11,45 4 16,22 — 0,88 = 4 3,89, mithin /1y = — 0,6.4,874 0,4.3,89 — — 2,92 4 1,56 = — 1,37. In gleicher Weise findet man für die Knotenpunkte 2, 4, 6, 8 bezüglich My = — 1,51, - 1,37, — 0,94, — 0,39 Millimeter.

KRAKOW-

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Literatur.

Cłir onolo giscłi geordnet.

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2.    Wühler. Theorie rechteckiger eiserner Brückenbalken mit Gitterwänden und Blechwänden. Erbkam’s Z. f. Bauw. 1855.

3.    Prüsmann. Ueber schmiedeeiserne Brücken. Zeitschr. des hannoverischen Arch.-

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4.    Baensch. Zur Theorie der Brückenbalkensysteme. Erbkam’s Z. f. Bauw. 1857.

5.    Schwarz. Beitrag zur Theorie der Blech- und Gitterbalken. Zeitschr. des han

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6.    Winkler. Theorie der eisernen Gitterträger. Försters Bauz. 1859.

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21.    Grüttefien. Beiträge] zur Theorie der Fachwerksträger (zweckmässigste Form der Gitterträger). Deutsche Bauz. 1872.

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26.    Schaffer. Belastungsgesetz für den Balken auf zwei Stützpunkten. Erbkam’s Z. f. Bauw. 1877.

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28.    Quitmeyer. Berechnung der Form und der Spannungen eines Brückenträgers von 72m Stützweite mit zweifachem Fachwerk und bis zur Mitte nach der Grenz-form der einfachen Zugdiagonalen durchgeführten Krümmung der oberen Gurtung. Zeitschr. des hannoverischen Arcli.- u. Ingen.-Ver. 1877.

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30.    A si mont. Hauptspannung und Sekundärspannung. Zeitschr. f. Baukunde. 1880.

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32.    Manderla. Die Berechnung der Sekundärspannungen, welche im einfachen Fachwerke in Folge starrer Knotenverbindungen auftreten. Förster’s Bauz. 1880.

33.    Winkler. Beitrag zur Werthschätzung der Träger mit statisch bestimmtem mehrtheiligem Gitterwerke. Wochenblatt für Architekten und Ingenieure. 1880.

b. Grafische Methoden.

1.    Maxwell. On reeiprocal figures and diagrams of forces. Philosophical magazine, 1864, 1.

2.    Maxwell. Theory of diagrams of forces as applied to roofs and bridges. Engineer. 1867, 2.

3.    Maxwell. On the application of the theory of reeiprocal polar figures to the construction of diagramms of forges. Engineer. 1867, 2.

4.    Keck. Ueber die Ermittlung der Spannungen in Fach werksträgern mit Hilfe der grafischen Statik. Zeitschr. des hannoverischen Arch.- u. Ing.-Ver. 1870.

5.    Cremona. Die reciproken Figuren der grafischen Statik. Aus dem Italienischen von Migotti. Zeitschr. des Österreich. Ing.- u. Arch.-Ver. 1873.

6.    Heuser. Grafische Ermittelung der Ordinaten des Schwedler’schen Trägers. Erbkam’s Z. f. Bauw. 1873.

7.    Schaffer. Grafische Ermittelung der Ordinaten des Schwedler’schen Trägers. Erbkam’s Z. f. Bauw- 1873. 1874.

8.    Kresnick. Grafische Bestimmung des Schwedler’schen Trägers für eine zufällige centrirte Belastung. Förster’s Bauz. 1874.

9.    Favero. Intorno figure reciproche della statica grafica. Reale accademia dei lincei. Roma, 1875.

10.    Stahl. Geometrische Theorie und Berechnung parabolischer Träger. Zeitschr. d. Ver. deutscher Ing. 1876.

11.    Stahl. Geometrische Theorie und Berechnung des Schwedler’schen (hyperbolischen) Trägers. Zeitschr. d. Ver. deutscher Ing. 1876.

12.    Frankel. Ueber die ungünstigste Einstellung eines Systèmes von Einzellasten auf Fachwerkträger mit Hilfe von Influenzkurven. Civilingen. 1876.

13.    Clark. The grafie détermination of stress in a bowstring girder. Engineer. 1877.

14.    Engesser. Geometrische Bestimmung der in einem Fachwerkträger wirkenden inneren Kräfte. Zeitschr. f. Baukunde. 1878.

15.    Favero. La determinazione grafica delle force interne nelle trave riticolari. Reale accademia dei lincei. Roma, 1878

16.    Eddy. Researches in graphical statics. Van Nostrand’s Engineering Magazin. New-York, 1878.

17.    Engesser. Geometrische Bestimmung der in einem Fach werksträger wirkenden inneren Kräfte. Zeitschr. f. Baukunde. 1878.

18.    Tettmayer. Beitrag zur Bestimmung der Maximalspannungen der Füllungsglieder einfacher Balkenfachwerke. Eisenbahn. 1878, II.

19.    Melan. Beitrag zur grafischen Behandlung der Fachwerksträger mit Zugrundelegung des Prinzipes der Influenzkurven. Zeitschr. des hannoverschen Arch.- u. Ing.-Ver. 1880.

c. Formänderung, einschliesslich kontinuirliche Träger.

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Frankel. Anwendung der Theorie des augenblicklichen Drehpunktes auf die Bestimmung der Formänderung von Fach werken. Theorie des Bogenfach Werkes mit zwei Gelenken. Civilingenieur. 1875.

Winkler. Die Durchbiegung der Gitterträger. Technische Blätter 1876. Steiner. Ueber den Einfluss einer ungleichen Erwärmung der Gurte auf den kontinuirliclien Träger. Zeitschr. des Österreich. Ing.-u. Arch.-Ver. 1877. 1878. Herzmansk}'. Die elastische Durchbiegung eiserner Fachwerke. Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1878.

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Krohn. Berechnung kontinuirlicher Fach werksträger auf Grund der Deformationen der einzelnen Fachwerkstäbe. Civilingenieur 1880.

Bezeichnungen,

welche in der Regel gebraucht sind.

A, B, C Koeffizienten.

D Stützendruck (in §.11 Spannung einer Hilfsvertikalen).

E Elastizitätskoeffizient.

F Querschnittsfläche.

G Einzellast.

H Horizontalkomponente der Spannung eines Gitterstabes (S. 50). — Poldistanz.

I Trägheitsmoment eines Querschnittes.

K Zulässige spezifische Spannung oder Inanspruchnahme.

L Spannung eines links fallenden Stabes in §. 108.

M Moment der äusseren Kräfte.

N Spezifische Normalspannung.

0 Spannung des Obergurtes in §. 108, 110 und 112.

P Spannung der Gitterstäbe.

Q Transversalkraft.

B Resultante von Einzellasten. — Spannung eines rechts fallenden Stabes in §. 108. S Spannung der Gurte (St Obergurt, Untergurt).

U Spannung des Untergurtes in §. 108 und 112.

V    Spannung einer Vertikalen. — Vertikalkomponente der Spannung eines Gitterstabes. (S. 50). — Volumen des Trägers oder eines Theiles desselben.

Y    Vertikalkraft oder Summe der Vertikalkomponenten der von einem Schnitte getroffenen Gitterstäbe (S. 100).

a Stablänge. — Knotenweite. — Horizontalprojektion der Länge eines Gitterstabes.— Poldistanz.

b Horizontalabstand des Schnittpunktes der Guide vom betreffenden Gitterstabe (S. 99). c Abstand des Schnittpunktes der Gurte von der Transversalkraft (S. 99). — Länge eines Theiles des Trägers (S. 206). — Stahlänge (S. 280). — Abstand der Randfasern eines Stabes von der Schweraxe. d Länge einer Diagonale.

e Theil einer Knoten weite (<?,, e₂). — Excentricität (S. 276). f Querschnittsfläche eines Stahes. g Eigengewicht pro Längeneinheit. h Trägerhöhe.

i Trägheitsmoment des Querschnittes eines Stabes.

S. 240;'

k Koeffizient:

's

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l Spannweite. — (Stablänge in §. 107).

m Nummer eines Faches oder Stabes. — Theil eines Momentes. — Moment im Querschnitte eines Stabes.

n Anzahl der Fächer einer Spannweite. — Verhältnisszahl (S. 177). p Zufällige Last pro Längeneinheit. — Preis in §. 39. q Gesammtlast pro Längeneinheit — g p. r Trägheitsradius. s Länge eines Stabes (S. 240). t Temperatur (§. 106 und 169).

u Spannung eines Stabes, welche eine Kraft = 1 erzeugt. v Volumen des Trägers oder eines Theiles desselben pro Längeneinheit. x Abscisse. Entfernung eines Punktes oder Schnittes vom Auflager. y Abstand eines Gurtstückes vom gegenüberliegenden Knotenpunkte. — Ordinate der elastischen Linie.

2 Spannung eines links fallenden Stabes im statisch bestimmten Systeme (§. 108). 2Ji Mittleres Moment.

0 Spannung des Obergurtes im statisch bestimmten Systeme (§. 108). iß Spannung eines Gitterstabes im statisch bestimmten Systeme (§. 108).

O Mittlere Transversalkraft.

5t Spannung eines rechts fallenden Stabes im statisch bestimmten Systeme (§. 108). @ Spannung eines beliebigen Stabes (oder eines Gurtes) im statisch bestimmten Systeme (§. 108).

U Spannung des Untergurtes im statisch bestimmten Systeme (§. 108).

SS Spannung einer Vertikalen im statisch bestimmten Systeme (§. 108).

A Differenzzeichen. — Grösse der Verschiebung eines Systèmes von Einzellasten. — A x, /ly, Az Verschiebung eines Punktes in horizontaler, vertikaler und beliebiger Richtung. — As, Al Längenänderung eines Stabes.

2 Summenzeichen.

«, ß Neigungswinkel eines Gitterstabes gegen die Vertikale (meist « rechts fallend, ß links fallend). — Koeffizienten (§. 78, 136, 137 und 140). y Neigungswinkel des dritten Stabes beim kombinirten Systeme gegen die Vertikale.

(S. 70). - Koeffizient (§. 38, 136, 137 und 140). d Aenderung der Winkel zwischen zwei Gurtstücken (S. 283) — Koeffizient (§. 38).

£ Koeffizient (§. 68). — Ausdehnungskoeffizient (S. 274 und 384). — Winkel zwischen den Gurtstücken (§. 128). z Koeffizient i§. 40 und 71).

I Länge eines Stabes. — Spannung eines links fallenden Stabes in Folge des Momentes = 1 (S. 108).

v Aenderung [des Winkels zwischen zwei Stäben (S. 302). — Spannung des Untergurtes in Folge des Momentes = 1 (S. 108).

| Hebelsarm von Einzellasten oder deren Resultanten. Abstand des Endes einer Belastung von einem Punkte.

p Spannung eines rechts fallenden Stabes in Folge eines Momentes = 1 (S. 108). a Neigungswinkel der Gurte oder des Obergurtes. — Spannung in Folge einer Kraft = 1 (S. 283).

r Neigungswinkel des Untergurtes. — Ausschlagwinkel oder Winkel der Endtangenten der elastischen Linie und der Axe. — Drehungen von Normalen in §. 136 u. 137. cp, i[> Querschnittsfläche eines Stabes.

w Spannung des Obergurtes in Folge eines Momentes = 1 (S. 108).

Berichtigungen.

S. 12, Z. 4 v. unten: Hinter „Gurtes“ ist „pro Längeneinheit“ hinzuzufügen.

8. 16, Z. 4 v. oben: „e, zu e,“ statt „e, und e,“.

8. 19, Z. 3 v. unten: £ und £' statt f und S. 20, Z. 1 v. oben: §. 7 statt §. 8.

S. 23, Fig. 20 und 21 stehen verkehrt.

8. 24, Z. 4 v. unten: Hinter ^<7, a und -₄g₂a ist sec a einzuschalten.

'S. 60, Z. 11 v. oben: „Parabeln“ statt „Parallelen“.

S. 86, Formel 87 : statt .

Aj    A₀

S. 89, Z. 17 v. unten: Hinter „0,292“ ist einzuschalten: „und Jr, für J-“.

S. 89, Ueberschrift: II. statt 13.

S. 99, Fig. 62: 8l statt S, Ą statt a statt ß.

S. 102, Z. 11 v. oben: Hinter „desselben“ ist einzuschalten: „mit der Richtung der Kraft Q“. — Z. 10, 8, 7 v. unten: a statt FL.

S. 104, Z. 2 v. oben: T statt Y, E‘ statt E.

S. 105, Z. 3 v. unten : F Q statt F

S. 108, Z. 14 v. oben: Fig. 72 statt Fig. 62. — Z. 20, 17, 16 und 14 v. unten: „von F“ statt „von

S. 110, Fig. 73: Der Punkt F‘“ soll der Durchschnittspunkt der durch F gehenden Vertikalen und der Geraden L‘K sein,

S. 111, Formel 12: statt |, B‘ 0‘ statt B‘D‘. — Z. 10 v. unten B‘ 0‘ statt B‘D‘. S. 113, Fig. 75: F statt des oberen F‘; H" statt des oberen F“, H“‘ statt H“. — Z. 3 v. unten: = H‘Hu‘ statt H¹ Hu.,

S. 118, Fig. 77 : a statt d.

S. 126, Formel 36: d ^ statt 8. 129, Z. 18 v. unten: 33 statt 27.

statt H~. — Z. 8 v. unten:    statt M

ny

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~h

S. 133, Z. 3 v. oben:

S. 134, Z. 17 v. oben: l — 2x — e statt l — 2 x — c.

8. 137, Fig. 99: Der Punkt G ist der Durchschnittspunkt der Geraden AE‘ und der durch D gehenden Vertikalen. Durch H ist eine Horizontale zu legen, welche die durch D gehende Vertikale in R‘ schneidet. GP und FL‘P sind parallel zur fraglichen Diagonale und zum oberen Gurtstücke zu ziehen.

-g statt

S. 141, Z. 3 v. oben: ³⁰

80

~9'

S. 144, Tabelle, 4. Columne: Vp statt Vq.

S. 153, Formeln Zeile 17, 8 und 7 v. unten: Im Zähler: plx,Z³ statt 2phll². S. 154, erste der Formeln 93, erste und zweite der Formeln 95: ^ statt

S. 175, Ueberschrift: XI statt XII,

S. 192, Z. 16 v. unten: „in der Vertikalen“ statt „von der Vertikalen“. — Z. 9 v.

unten: Fig. 5 statt Fig. 9.

S. 248, Z. 20 y. unten: vt = v% = statt Vt —V₂ —

S. 283, Z. 8 v. unten: an statt s„.

S. 303, Formel 47: tanc<l -j- iana₂ statt tancc₁ -f-ftan<xr S. 314, Z. 13 v. oben: tana -j- tanß statt tana -f- tana.

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S. 188 MM.

Winklers Brückenbau. Theorie,ü.Heft. U. Aufl.

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