WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Vorträge über

BRÜCKENBAU

gehalten an den technische]! Hochschulen in Prag, Wien und Berlin von

Dr. E. Winkler

Professor für Statik der Baukonstruktionen und Brückenbau an der königl. technischen Hochschule

in Berlin.

Theorie der Brücken.

I. Heft.

Aenssere Kräfte der Balkenträger.

Dritte Auflage.

WIEN.

Druck und Verlag von Carl Gerold’s Sohn.

THEORIE DER BRÜCKEN.

Aeussere Kräfte der Balkenträger

von

Dr. E. Winkler.

Dritte Auflage.

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Mit 256 Holzschnitten und 6 lithographirten Tafeln.

Das Recht der Uebersetzung in fremde Sprachen ist Vorbehalten.

WIEN.

Druck und Verlag von Carl Gerold’s Sohn.

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Holzschnitte aus der xylographischen Anstalt von C. Wlczek in Wien.

Lithogr. Tafeln aus der lithographischen Anstalt von C. Koke in Wien und der artistischen Anstalt von R. v. Waldheim in Wien.

KRAKÓW

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Vorwort.

Das vorliegende Werk behandelt insbesondere die „Theorie der äusseren Kräfte der Balkenträger“, also die Bestimmung der von einer gegebenen Belastung erzeugten Reaktionen, Transversalkräfte und Momente, durch welche die inneren Kräfte oder die Beanspruchung eines Balkenträgers bestimmt sind und im Anschlüsse hieran die Bestimmung der ungünstigsten Belastungsweise. Es behandelt somit einen Haupttheil der „Statik der Baukonstruktionen“, insbesondere der „Theorie der Brücken“.

Die vorliegende dritte Auflage lässt gegenüber der vor dreizehn Jahren erschienenen ersten Auflage und der zwei Jahre später folgenden zweiten Auflage wesentliche Aenderungen, und wie ich holfe, dem Fortschritte der Wissenschaft entsprechende Verbesserungen erkennen.

Obwohl der Titel „Theorie der Brücken“ der früheren Auflagen belassen ist, habe ich doch eine solche Behandlung gewählt, welche nicht nur eine Anwendung auf Brücken, sondern auch auf andere Baukonstruktionen gestattet, um das Werk meinen jetzigen Vorlesungen an der technischen Hochschule in Berlin, in denen ich die „Theorie der Brücken“ nicht gesondert, sondern eingeflochten in den Vortrag über allgemeine „Statik der Baukonstruktionen“ zum Vortrag bringe, mehr anzupassen, während die beiden ersten Auflagen durch meine Thätigkeit an der technischen Hochschule in Wien entstand, an welcher die Vorträge über die Statik der Baukonstruktionen nicht von mir gehalten wurden.

Ausserdem sind gegenüber den früheren Auflagen besonders die folgenden Aenderungen durchgeführt: 1. Vollständigere Besprechung der Einteilung der Träger. 2. Einschaltung eines Kapitels über die Methode der Einflusslinien im Allgemeinen, da diese Methode die Anschauung, namentlich für die Bestimmung der ungünstigsten Belastung, wesentlich upterstützt. 3. Weitergehende Anwendung dieser Methode bei den einzelnen Aufgaben, auch beim kontinuirlichen Träger. 4. Ergänzungen in der Behandlung der einfachen oder Einzelträger. 5. Grafische Behandlung der kontinuirlichen Gelenkträger. 6. Berücksichtigung der Formänderung

Viel ur ck die Schubspannungen bei der allgemeinen Behandlung der kon-tinuirlichen Träger. 7. Gleichzeitige Behandlung der kontinuirlichen Träger mit konstantem und veränderlichem Querschnitte statt der getrennten Behandlung in den früheren Auflagen, wodurch an Kaum gewonnen wurde. 8. Einschaltung der Theorie der kontinuirlichen Träger mit veränderlicher Höhe der Stützen und zwar der Träger mit elastischen Stützen und mit Stützen, welche durch ein Stabpolygon (Hänge- oder Sprengwerk) gegeben sind, in beiden Fällen einschliesslich einer kontinuirlichen Unterstützung. 9. Einschaltung eines Kapitels über die Formänderung (Durchbiegung) der Balkenträger. 10. Hinzufügung eines Kapitels über die Bestimmung der einem Systeme von Einzellasten entsprechenden gleichmässigen Belastung. 11. Einflechtung von kurzen geschichtlichen Notizen.

Durch diese nicht unwesentliche Umgestaltung ist die Anzahl der in den Text eingedruckten Figuren auf das Doppelte erhöht worden.

Der grössere Theil des Werkes bezieht sich auf die kontinuirlichen Träger. Obwohl dieselben in neuerer Zeit an Bedeutung, hinsichtlich der Verwendung als Hauptträger der Brücken, verloren haben, so werden dieselben doch hinsichtlich der Verwendung zu mannigfachen Zwecken, auch im Hochbau, immer eine gewisse Bedeutung behalten, welche eine Behandlung in den Vorträgen rechtfertigt.

Möge denn auch dieser neuen Auflage eine gleich günstige Aufnahme, wie den früheren, zu Theil werden.

Berlin, Oktober 1885.

E. Winkler.

Einleitung

INHALT.

I. Kap. Belastung der Konstruktionen

II.    « Eintheilung der Träger

III.    n Methode der Einflusslinien .

l>S

I. Abschnitt.

Die äusseren Kräfte der Balkenträger . .

40

A. Statisch bestimmte Träger.

IV. Kap. Ständige Belastung .

a)    Einfache Träger .

b)    Ueberhängende Träger

41

41

48

V. « Verkehrsbelastung.....

a)    Einfache Träger .

b)    Ueberhängende Träger .

53

81

B. Kontinuirliche Träger.

VI. Kap. Allgemeine analytische Behandlung

VII.

VIII.

90

IX.

X.

» Belastung eines einzelnen Feldes »    Belastung durch Einzellasten

a)    Eine einzige Einzellast .

b)    System von Einzellasten « Gleichmässige Belastung .

» Einfluss der Stützen .    .    .    .

116

124

124

134

142

166

XI.

XII.

XIII.

XIV.

XV.

XVI.

XVII.

XVIII.

» Verbindung des Balkenträgers mit dem Stabpolygon

» Träger mit einer üeffnung..........

«    Träger    mit    zwei Feldern..........

»    Träger    mit    drei Feldern...........

«    Träger    mit    vier Feldern...........

« Träger mit unendlich vielen Feldern.......

» Grafische Behandlung der kontinuirlichen Träger .    .

»    Grafische Behandlung bestimmter Belastungsweisen.

.    185

211

217

237

262

273

. 282 .    302

C. Formänderung der Balkenträger.

313

XIX. Kap. Formänderung der Balkenträger......

XX. Kap. Anhang. Ersatz eines Systèmes von Einzellasten durch eine gleichmässige Belastung.............

II. Heft, II. Auflage.

Seite

98, Zeile 6 von oben: II statt B.

102. Nach Zeile 11 von oben ist einzuschalten: „mit der Richtung und Kraft Q“. 126, erste der Formeln 36, letzter Faktor: d statt d 172, Tabelle, Rubrik 4: «₅ statt ß.t.

\^1 + 7

statt

Berichtigungen.

I. (vorliegendes) Heft.

Seite 50, Zeile 17 von oben: §. 33 statt §. 32. „    115, zu Formel 42 ist hinzuzufügen:

mu

zu Formel 43 ist hinzuzufügen:

12V

==

12 V

»    118, Zeile 22 von unten:

statt

„Für unendlich viele gleiche Felder“ statt „Für unendlich viele Felder“.

»    137, erste und zweite der Formeln 24: 1 4- v statt l-\-v.

v 182, Zeile 1 von unten, Formel 30: e »    189, Formel 18 a: lXt statt IX.

» 283, Zeile 4 von oben: M

» 122.

14 »

— kx

statt c kx-

h statt M i

177, Formel 120:

196,    Formel 139: ą statt g.

197,    Formel 140: ą statt g.

198,    Formel 143: in beiden Ausdrücken fehlt der Faktor V.

279, Formeln 11a: q statt r.

290, Zeile 8 von oben: „auf den Gurt“ statt „den Gurt“; Zeile 1 von unten: „gesammten“ statt »gespannten“.

306,    Zeile 15 von unten: 47 statt 45.

307,    Zeile 5 von oben und Zeile 13 von unten: 49 statt 47; Zeile 7 von unten:

45 statt 44 a.

EINLEITUNG.

§• 1. Aufgabe der Statik der Baukonstruktionen. Die

Statik der Baukonstruktionen hat die Aufgabe, aus den Grundsätzen der allgemeinen Mechanik Regeln für diejenige Anordnung eines Bauwerkes abzuleiten, welche demselben einen hinreichenden Widerstand gegen die einwirkenden äusseren Kräfte sichert, natürlich unter Einhaltung einer Reihe von anderweiten Bedingungen nicht mechanischer Natur, wie Minimum der Kosten, Raumbedürfniss, Schönheit u. s. w. Obwohl zur Beurtheilung von Baukonstruktionen nicht nur die Statik, sondern auch die Dynamik in Betracht kommt, so ist dennoch wohl der Name »Statik der Baukonstruktionen« gerechtfertigt, weil dabei doch die Statik die weitaus vorwiegende Rolle spielt, freilich theilweise deshalb, weil die in Betracht kommenden dynamischen Aufgaben oft unüberwindliche Schwierigkeiten bieten.

Die Theorie der Brücken ist eine] spezielle Anwendung der Statik der Baukonstruktionen auf Brücken.

Eine bestimmte Begrenzung der »Statik der Baukonstruktionen« in dem grossen Gebiete der Mechanik lässt sich allerdings nicht leicht vornehmen. Es würde recht wohl möglich sein, die allgemeine Mechanik so speziell zu lehren, dass ein besonderer Unterricht in der Statik der Baukonstruktionen entfallen kann. Bei dem heutigen Umfange des hierbei zu bewältigenden Gebietes würde dies aber aus verschiedenen Gründen nicht zweckmässig sein. Zunächst wird man jedenfalls von der allgemeinen Mechanik die Festigkeitslehre entweder in ihrem ganzen Umfange oder nur in den speziell auf Baukonstruktionen angewendeten Theilen abtrennen; hierzu gehören dann bereits auch Steinkonstruktionen, wie Mauern, Pfeiler und Gewölbe. Zur Berechnung der Futtermauern, wohl auch der Gewölbe ist die Kenntniss des Erddruckes erforderlich, dessen Theorie man ebenfalls als einen speziellen Theil der Statik der Baukonstruktionen ansehen kann. Wenn man die allgemeine

Winkler’s Brückenbau Theorie. I. Heft.    \

Festigkeitslehre, wie dies im' vorliegenden Werke geschehen soll, als bekannt ansieht, so würden als Theile der Statik der Baukonstruktionen verbleiben :

1.    Theorie der ebenen vollwandigen und gegliederten Träger.

2.    Theorie der räumlichen vollwandigen und gegliederten Träger.

3.    Theorie des Erddruckes.

4.    Theorie der Steinkonstruktionen, wie Mauer, Pfeiler und Gewölbe.

Anmerkung. Statt der Bezeichnung «Statik der Baukonstruktionen« sind vielfach andere Bezeichnungen für denselben Gegenstand in Gebrauch. Westphal nannte die deutsche Uebersetzung des bezüglichen französischen Werkes «Mécanique appliquée etc.« von Navier: Mechanik der Baukunst. Ritter, Professor an der technischen Hochschule in Achen, hat für sein bezügliches Werk das Wort: Ingenieurin ec h an ik gebraucht. An den österreichischen technischen Hochschulen ist das Wort Baumechanik üblich. An der Bauakademie in Berlin war früher die Bezeichnung Mathematische Baukonstruktion üblich. Auch der Name Baustatik ist neuerdings aufgetaucht.

§. 2. Methoden. Die statische Untersuchung einer Konstruktion lässt sich entweder durch Bechnung oder auf grafischem Wege, d. h. durch geometrische Konstruktion, oder endlich durch eine aus beiden Methoden kombinirte Methode führen. Für die Entwicklung der zu dieser Untersuchung nöthigen Regeln können alle Theile der Mathematik in Anwendung kommen. Hauptsächlich unterscheidet man die Anwendung der Algebra im allgemeinsten Sinne des Wortes, auch die analytische Methode genannt, und die Anwendung der Geometrie; auch eine kombinirte Methode ist denkbar. Die Ergebnisse der analytischen Methoden sind hauptsächlich Formeln, welche entweder durch Rechnung oder durch Uebersetzung in geometrische Konstruktionen zur Verwendung kommen, während die Ergebnisse der geometrischen Untersuchung in der Regel nur auf grafischem Wege verwerthet werden. Die Zusammenfassung der geometrischen Untersuchungsmethode wurde von Culmann «grafische Statik« genannt; Reuleaux wendete statt dessen den Namen Graphostatik an.

Anmerkung. Keine der Methoden lässt sich in allen Fällen der anderen vorziehen; in einzelnen Fällen führt diese, in anderen jene einfacher, schneller oder belehrender zum Ziele, oder bietet sonst einen Vortheil gegen die andere,, so dass es gerathen erscheint, im Vortrage keine der Methoden grundsätzlich auszuschliessen. Für gewisse Untersuchungen hat überhaupt die geometrische Methode bis jetzt keine Ausbildung erfahren. Wir werden öfters Gelegenheit haben, auf die Vorzüge der einen oder anderen Methode aufmerksam zu machen.

§• 3. Geschichtlicher Ueberblick. In dem folgenden geschichtlichen Ueberblicke haben wir die Statik der Baukonstruktion im allgemeinen Sinne, also einschliesslich der Festigkeitslehre, aufgefasst.

I. Alterthum. In welcher Weise die Baumeister der Alten die Stabilität ihrer Bauwerke untersuchten, ist uns nicht genau bekannt;

wahrscheinlich ist es, dass sie nur Erfahrungsregeln besassen. Das erste Buch über Mechanik soll der Grieche Archytas (400 v. Chr.) geschrieben haben. Das erste uns erhaltene Werk hat der Grieche Aristoteles (384—322 v. Chr.) verfasst; in demselben werden bereits das Parallelogramm der Bewegungen, der Hebel und der Keil behandelt. Als den eigentlichen Begründer einer mehr wissenschaftlichen Statik sieht man indess den Griechen Archimedes (287—212 v. Chr.) an; er behandelt sämmtliche sogenannte einfache Maschinen, den Schwerpunkt ebener Flächen und den Auftrieb des Wassers. Nach ihm schrieb der Alexandriner Heron (120 v. Chr.) mehrere Bücher über Mechanik, in denen er sämmtliche einfache Maschinen auf den Hebel zurückführt, die Kombinationen einfacher Maschinen und hydrostatische Sätze behandelt. Der Alexandriner Pappus (360 n. Chr.) behandelt zuerst den Schwerpunkt der Körper. Als ältester Schriftsteller auf dem Gebiete des Baufaches tritt der Römer Vitruv (um Chr. Geb.) auf; er gibt in seinen Werken (Vitruvii de architectura libri decem — deutsch von Rode) zwar einige Anwendungen der Mechanik auf Baumaschinen, nicht aber auf die Baukonstruktionen selbst.

II. Mittelalter. Von Vitruv bis zum Entstehen der Universitäten im Anfänge des 13. Jahrhunderts ist ein Fortschritt in den Wissenschaften überhaupt kaum zu verzeichnen. Auch die Universitäten kulti-virten anfangs die Mathematik und Mechanik nur wenig. Wesentlichen Einfluss musste die Erfindung der Buchdruckerkunst im 15. Jahrhundert üben. Bahnbrechend auf dem Gebiete der Statik waren erst die Arbeiten des Holländers Stevin (1548—1620), der nach Aufstellung der Theorie der schiefen Ebene zuerst den Satz vom Parallelogramm der Kräfte finden Fall rechtwinklig auf einander wirkender Kräfte nachwies, aber auch diesen Satz in seiner Allgemeinheit verwendet, z. B. zur Bestimmung der Spannungen im Seilpolygon. Die Begründung des Zusammenhanges zwischen Statik und Dynamik haben wir dem Italiener Galilei (1564 bis 1642) zu dankenJ). Ihm verdanken wir auch die ersten Anfänge einer Anwendung der Statik auf Baukonstruktionen, da er eine allerdings unrichtigerweise auf blosses Zerreissen beruhende Theorie der Bruchfestigkeit aufstellte. Seine Theorie wurde namentlich hinsichtlich der Form der Körper konstanter Festigkeit angewendet durch die Italiener Blondei, Marchotti, Fabri und Grandi (1660—1700). Jedoch erhielt die Festigkeitslehre überhaupt erst eine sichere Grundlage durch die Auffindung des Elastizitätsgesetzes durch den Engländer Hooke (1660). Dieses Gesetz wurde unabhängig hiervon auch von dem

*) Hinsichtlich der weiteren Entwickelung der allgemeinen Mechanik verweisen wir auf die Werke i Dühring, kritische Geschichte der Prinzipien der Mechanik, Berlin 1873, II. Aufl. 1877. — Kühl-mann, Vorträge ,über Geschichte der theoretischen Maschinenlehre, Braunschweig 1881 etc. —Mach, die Mechanik in ihrer Entwickelung, Leipzig 1883.

Franzosen Mariette (1620—1684) gefunden und auf die Theorie der Biegungsfestigkeit angewendet, indem er dieselbe auf das Verlängern und Verkürzen der Fasern zurückführte. Diese Theorie wurde indess hinsichtlich der Lage der neutralen Axe erst durch den Franzosen Parent (1713) richtig gestellt.

Die erste primitive Theorie des Erddruckes stellten die Franzosen Bullet und Couplet (Ende des 17. Jahrhunderts) auf; sie wurde durch die Franzosen Sallonyer, Rondelet, Tersac de Montlong, Bla-veau, Belidor, Gadroy, d’Antony und Gautthey (1700—1770) etwas weiter ausgebildet; alle nehmen aber das Abgleiten eines Erdprismas unter ganz bestimmtem Winkel an.

In diese Zeit fällt auch die Aufstellung der ersten primitiven Gewölbetheorie durch den Franzosen Lahire (1695), indem er die Gewölbsteine wie Keile wirkend ansieht.

Die vom Deutschen Leibnitz (1646—1716) und dem Engländer Newton (1643—1727) aufgestellte Infinitesimalrechnung gab Anlass zu neuen Fortschritten. Sie fand zunächst Anwendung auf die Theorie der Kettenlinie durch beide Bernoulli’s, Leibnitz und Newtou, und auf die Theorie der Biegung durch die Schweizer Jac. Bernoulli (1654—1705) und Euler (1707—1783), durch Leibnitz selbst und durch den Italiener Lagrange (1763—1813).

Wichtige Dienste sollte später auch das bereits von Stevin und Galilei für spezielle Fälle gefundene, von Joh. Bernoulli (1717) allgemein ausgesprochene und von Lagrange allgemein bewiesene Prinzip der virtuellen Verschiebungen oder das Prinzip der virtuellen Arbeiten leisten. Ebenso wurde die geometrische Auffassung der Mechanik durch Varignon (1654—1722), insbesondere durch die Behandlung des Kräfte-und Seilpolygons später von grosser Bedeutung, nachdem vorher Newto n den Satz von Parallelogramm der Kräfte in seiner Allgemeinheit ausgesprochen hatte.

Die Versuche über die Festigkeit wurden insbesondere mit Holzstäben gemacht; so von Mariotte, Parent, Muschenbroek, Belidor, Buffon, Aubry. Versuche über die [Festigkeit der Steine machten Gauthey, Soufflot, Perronet und Rondelet. Versuche mit Metallen, insbesondere Eisen, sind nur von Mariotte und Po le ui bekannt.

ni. Neuere Zeit. Eine weiter gehende Ausbildung fanden verschiedene Theile der Statik der Baukonstruktionen durch den [Franzosen Coulomb (1736—1806). Er stellte die erste rationelle Theorie des Erddruckes durch Einführung eines Rutschprismas mit dem grössten Drucke und der Gewölbe durch Einführung eines Einsturzes durch Kanten, (statt durch Gleiten) auf, nachdem allerdings schon vorher Couplet (1730) hierauf bezügliche Bemerkungen gemacht hatte. Er

Latte feiner fruchtbare Gedanken auf dem Gebiete der Festigkeitslehre, indem er die Parent’sche Theorie der Biegungsfestigkeit vervollkommnet, das Auftreten von Schubspannungen hierbei erkennt und die erste primitive Theorie der Torsionselastizität aufstellt. Die Arbeiten Coulombs fanden erst spät die gebührende Anerkennung. Seine Theorie des Erddruckes erfuhr weitere Ausbildung durch die Franzosen Prony (1802), Mayniel (1808) und namentlich Français (1820), während das Auftreten der Schubspannungen bei der Scheer- und Biegungsfestigkeit durch den Engländer Thom. Young (1807) in mathematische Form gebracht wurde.

Wichtige Dienste leistete Monge (1746—1818) durch seine synthetische Behandlung der Statik und Poinsot (1771—1859) durch Einführung eines neuen Begriffes, dem des Kräftepaares.

Die erste wissenschaftliche Behandlung der gesammten Statik der Baukonstruktionen gibt aber der Franzose Navier (1785 —1836) in seinem berühmten Werke: nUesumé des leçons sur Vapplication de la mécanique«. Seine Lehren auf dem Gebiete der Festigkeitslehre fanden in verschiedener Richtung Ausbildung durch die Franzosen Persy, Poisson, De Saint-Venaut und Bresse. Der Franzose Poncelet (1788—1867) beschäftigte sich ebenfalls mit der Festigkeitslehre; jedoch verdanken ihm besonders die Theorie des Erddruckes und der Gewölbe wichtige Neuerungen.

Ausser den genannten Franzosen waren zwei Deutsche, Eytelwein (1764—1848) und Gerstner (1797—1840) auf dem Gebiete der Festigkeitslehre und der Gewölbe thätig.

Neben den für die unmittelbare Anwendung in der Praxis bestimmten Festigkeitstheorien, die sämmtlich auf vereinfachenden, der Wirklichkeit aber nicht ganz entsprechenden Annahmen beruhen, entstand die strenge mathematische Behandlung, theils durch Anwendung der Molekulartheorie von Poisson, Navier und Cauchy, theils durch Anwendung des allgemeinen Elastizitätsgesetzes von Cauchy, Lamé, Clapeyron und De Saint-Venaut.

Die Theorien wurden durch viele Versuche, namentlich auf dem Gebiete der Festigkeitslehre, mit Steinen durch Tr ed g old u. a., mit Holz durch Ardant, W. Barlow, Belidor, Bevan, Chevandier und Wertheim, Ebbels und Tredgold, Eytelwein, Houbotte, Lamarle, mit Metallen durch Brix, Burg, Clark, Duleau, Fair-bairn, Hodgkinson, Lagerhjelm, Malberg, Napier, Telford, Vickers, Vöhkers, Weishaupt u. a. unterstützt. Versuche überden Erddruck wurden von Mayniel, Martony de Köszegh, Aude und Hagen angestellt.

IV. Neueste Zeit. Seit Navier haben alle Zweige der Statik der Baukonstruktionen eine weitgehende Ausbildung gefunden. Ein wesent-licher Faktor ist hierbei die Einführung der Eisenbahnen, namentlich in Folge des hierdurch hervorgerufenen Bedürfnisses grosser Brücken und Hallen, sowie auch der hiermit allerdings ebenfalls zusammenhängende Aufschwung der technischen Hochschulen.

Bis in die neueste Zeit wurde insbesondere die analytische Methode gepflegt. Französische Autoren benützen hier und da geometrische Ableitungen oder sie leiten aus den entwickelten Regeln geometrische Konstruktionen ab. Namentlich macht Poncelet bei der Theorie des Erddruckes und der Gewölbe von der Geometrie zweckmässigen Gebrauch. Später verwendeten auch St. Guilhem, Co usiner y und Mery die Geometrie. Die erste wissenschaftliche Bearbeitung der geometrischen Methoden im organischen Zusammenhänge liefert aber Culmann (1821 bis 1882) in seinem Epoche machenden Werke: ??Die grafische Statik«, 1864.

Auf dem Gebiete der Festigkeitslehre sind wesentliche Fortschritte zu verzeichnen, namentlich hat die Theorie der kontinuirlichen Träger und der Bogenträger durch Clapeyron, Bresse, Moh r, Culmann u. a. eine Ausbildung erfahren. Die Theorie der Stabsysteme, auf die in früheren Perioden noch kein Werth gelegt wurde, findet Ausbildung durch Ritter, Maxwell, Culmann, Cremona, Favero u. a. Die Theorie der auf blossem statischem Wege nicht mehr zu behandelnden sogenannten statisch unbestimmten Systeme wird im Zusammenhänge mit der Bestimmung der Formänderung der Stabsysteme durch Benützung des Prinzipes der virtuellen Arbeit ausgebildet durch Maxwell, Mohr, Castigliano, Frankel u. a. Durch die Anwendung bei Brücken musste besonders Werth auf die Ermittelung der ungünstigsten Belastung gelegt werden, was zu besonderen Untersuchungen Anlass gibt.

Die strenge Theorie der Elastizität fand Ausbildung durch Clebscb, Clausius, Kirch hoff und Pochhamrner. Die grafische Theorie der inneren Kräfte behandeln Mohr, Canevazzi u. a.

Die Theorie des Erddruckes erfuhr eine Vervollkommnung durch St. Guilhem, Culmann und Rebhann. Auch hier suchte man eine strenge Theorie auszubilden, wie in den Arbeiten von Scheffler, Rankine, Levy, Considère, Mohr u. a.

Die Theorie der Gewölbe fand weitere Ausbildung durch Hagen, Scheffler, Drouets, Carvallo, Durand-Claye und Dupuit. Namentlich ist hier das Streben zu verzeichnen, die Gewölbe als Bögen zu betrachten, welche der Elastizitätslehre unterliegen, wie dies in den Arbeiten von Schwedler, Perrodil, Belpaire u. a. geschehen ist.

Auch die Versuche auf dem Gebiete der Festigkeitslehre wurden vervollständigt und vervollkommnet, insbesondere durch Styffe, Kir-kaldy, Bauschinger, Thurston u. a. Der Einfluss wiederholter Beanspruchung wurde durch Wohl er studirt.

I. Kapitel.

Belastung der Konstruktionen.

§. 4. Eigengewicht. Das Eigengewicht der Konstruktion, auch ständige, ruhende oder dauernde (permanente) Belastung genannt, einer zu entwerfenden Konstruktion, ist vor der Fertigstellung des Entwurfes nicht bekannt. Dennoch aber ist dieses Gewicht für die statische Berechnung erforderlich. Wollte man das Eigengewicht bei der Berechnung als Unbekannte und zwar als Funktion der zu berechnenden Stärken einführen, so würde die Berechnung im Allgemeinen sehr weitläufig, vielleicht selbst unmöglich werden. Nur bei ganz einfachen Konstruktionen (z. B. efcer Spannstange, einer Futtermauer, einem Widerlager) kann dies Verfahren zweckmässig erscheinen. Im Allgemeinen ist es üblich, das Eigengewicht im Voraus nach Massgabe bereits ausgeführter ähnlicher oder gleicher Konstruktionen oder theilweise auf Grund besonders anzustellender theoretischer Untersuchungen, angenähert anzunehmen. Ist der Entwurf auf Grundlage der so durchgeführten Berechnung vollendet, so kann man das Gewicht in bekannter Weise genauer bestimmen und hiernach die durchgeführte Berechnung berichtigen.

Das Eigengewicht wird in der Begel für die Längen- oder Flächeneinheit und zwar meistentheils konstant angenommen, bei Brückenträgern, bei Dachbändern, Decken u. s. w. für die horizontale Längen- oder Flächeneinheit, hinsichtlich der Dachdeckung für die Flächeneinheit der Dachfläche. In manchen Fällen indess erscheint es, um eine grössere Genauigkeit zu erreichen, geboten, das Eigengewicht für die Längen- oder Flächeneinheit veränderlich anzunehmen, z. B. bei steinernen Brücken.

Angaben über das Eigengewicht machen wir hier nicht, da dies viel besser in den Vorträgen über Hoch- nnd Brückenbau geschehen kann.

§. 5. Verkehrsbelastung der Brücken im Allgemeinen.

Die Verkehrsbelastung, auch zufällige, variable oder mobile Belastung genannt, führt man entweder als eine auf die Längen-oder Flächeneinheit gleichmässig vertheilte Belastung oder als System von Einzellasten ein. Hinsichtlich einer Belastung durch Menschengedränge kommt man durch Einführung einer gleichmässigen Belastung der Wirklichkeit ziemlich nahe. Die Belastung durch Wagen indess wird besser als ein System von Einzellasten betrachtet. Auf den annähernden Ersatz durch eine gleichmässige Belastung wollen wir erst am Schlüsse der Untersuchung der äusseren Kräfte eingehen.

Die Berücksichtigung der Verkehrsbelastung muss insofern eine ganz andere sein, als die des Eigengewichtes, als dieselbe hinsichtlich der belasteten Stellen oder Strecken eine veränderliche sein kann und weil deshalb unter allen möglichen Belastungsarten für jeden Konstruktions-theil die ungünstigste Belastung zu bestimmen und der statischen Berechnung zu Grunde zu legen ist.

Die Einwirkung der Stösse, welche durch die Unregelmässigkeit der Bahn u. s. w. beim Veikehre entstehen, pflegt man dadurch zu berücksichtigen, dass man die Verkehrsbelastung um einen bestimmten Theil vermehrt oder aber die bei einer Wirkung ohne Stösse zulässige Inanspruchnahme um einen bestimmten Theil vermindert. Das letztere ist das üblichere, obwohl das erste das prinzipiell richtigere ist. Man kann die Vermehrung der Belastung etwa bei Eisenbahnbrücken mit grosser Geschwindigkeit 30 Prozent, bei S^rassenbrücken hinsichtlich der Wagen bei glatter Bahn 20 Prozent, hinsichtlich des Menschengedränges 10 Prozent annehmen, wobei allerdings vorausgesetzt wird, dass Truppen nicht im Schritt über die Brücke marschiren dürfen. Streng genommen kann der Einfluss der Stösse allerdings nicht in so einfacher Weise berücksichtigt werden. Es müsste vielmehr eine entsprechende dynamische Untersuchung angestellt werden, die indess, abgesehen von der theoretischen Schwierigkeit, ebenfalls keine genaueren Kesultate geben kann, weil die dabei in Betracht kommenden Umstände, wie Unregelmässigkeit der Bahn, Elastizität der Materialien u. s. w. sich schwer durch zuverlässige Zahlen angeben lassen.

§. 6. Verkehrsbelastung der Strassenbrücken.

1. Menschengedränge. Je nach der Dichtigkeit des Menschengedränges gehen auf 1 Quadratmeter 5 bis 6 Mann; rechnet man einen Mann zu 70 Klgr., so ist die Belastung

0,35 bis 0,42 Ton. pro Q Meter.

Hierbei ist immer noch vorausgesetzt, dass die Menschen nur so dicht an einander gedrängt sind, dass noch eine langsame Bewegung möglich ist. Bei Brücken in Landstrassen genügt es, die kleinere Zahl zu nehmen. In stark bevölkerten Orten wählt man besser die grössere Zahl. Vielfach hat man hier 0,40 Ton. pro □ Met. angenommen. Wenn die Belastung durch Menschengedränge in der That oft eintritt, wird man sogar besser etwa 0,45 Ton. pro □ Met. annehmen. In der deutschen Armee sind alle Peldbrücken auf die durch dicht aufgeschlossene Infanterie ohne Gepäck und Waffen oder auf 0,45 Ton. pro Q Met. zu berechnen. Die Belastung durch Pferde (Kavallerie) beträgt, wenn die Pferde nur so dicht an einander gedrängt sind, dass sie sich nach vorwärts bewegen können, höchstens 0,25 Ton. pro □ Met., ist also geringer als die Belastung durch Mensehengedränge.

Einzelne Theile der Brücke können indess durch stärkeres Aneinanderdrängen mehrerer Personen noch wesentlich stärker belastet werden ; man kann solche örtliche Belastungen mit etwa 0,50 Ton. pro □ Met. bemessen. Schmale Theile, wie Bohlen, nimmt man besser pro Längeneinheit belastet an, etwa mit 0,16 Ton. pro Met., was bei 0,20 0,25 0,30m breiten Bohlen bezüglich 0,80 0,64 0,53 Ton. pro Q Met. geben würde.

2. Wagenbelastung. B6i einer bestimmten Brücke wird man natürlich die schwersten Wagen, welche auf der betreffenden Strasse nach der Beschaffenheit derselben verkehren können, vöraussetzen. Man kann hiernach im Allgemeinen zwei-und vierspännige Wagen oder leichte und schwere Wagen unterscheiden.

Das Belastungsschema derselben ist beispielsweise durch Fig. 1 und 2 gegeben.

Für Brücken in Erd- und Kieswegen genügt die Annahme leichter Wagen; in Chausseen und gepflasterten Strassen sind im Allgemeinen schwere Wagen anzunehmen. In Fabriksstädten können besonders grosse Belastungen durch Maschinentheile, namentlich durch Lokomotiven entstehen ; ein entsprechendes Belastungsschema zeigt Fig. 3. Es genügt aber in diesem Falle anzunehmen, dass die Brücke nur mit einem solchen sehr schweren Wagen, im Uebrigen mit schweren Wagen belastet ist.

Bei der Vertheilung der Wagen der Breite nach kann man jeden Wagen etwa mit 2,3 Met. Breite bemessen und da- ; bei die Spurweite i mit 1,5 Met. annehmen.

In besonderen

Fig. l.

---- --7,7-------

6T.

Met.

0,8

Ton.

Fig- 2.

13, S

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'i

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Met.

0,8

Ton.

Fig. 3.

20 T.

■*!

'<rt'3> <■ — 3,0 - -> <------T,0----->■ -<------lh3-------

Met.

Fällen wird auf die Belastung

durch sehr schwere Chausseewalzen oder Strasseulokomotiven Rücksicht

0,8

0,8

10

10

Ton.

zu nehmen sein. Die Belastung durch Feldgeschütz und selbst Belagerungsgeschütz ist geringer, als durch schwere Wagen.

In einzelnen Fällen wird man eine Brücke dadurch leichter, also billiger konstruiren können, dass man durch Ueberwachung dafür sorgt, dass die Brücke nie vollständig belastet wird.

§. 7. Verkehrsbelastung der Eisenbahnbrücken. Eisenbahnbrücken nimmt man gewöhnlich mit einem Zuge besetzt an, welcher aus drei hinter einander gehenden Lokomotiven und ausserdem aus schweren Güterwagen besteht. Dabei nimmt man wohl auch zwei Lokomotiven mit den Schornsteinen gegen einander gekehrt an, wenn dadurch eine grössere Beanspruchung entsteht, als bei normaler Lage.

Nach den von Wöhler durch Versuche mit Eisen über den Einfluss wiederholter Inanspruchnahme gefundenen Gesetzen hat eine Belastung einen um so grösseren Einfluss, je häufiger sie eine Beanspruchung erzeugt. Die ganz selten, vielleicht nie vorkommende Belastung mit drei Lokomotiven wird daher die Brücke verhältnissmässig geringer beanspruchen, als die häufiger vorkommende Belastung mit zwei Lokomotiven. Wir glauben daher, dass es rationeller ist, nur zwei Lokomotiven anzunehmen, natürlich unter Voraussetzung einer entsprechenden zulässigen Inanspruchnahme des- Materiales,

Bei der Wahl der Lokomotive ist zu berücksichtigen, dass die Lokomotiven einer Bahn gewöhnlich nicht auf andere Bahnen übergehen, so dass es im Allgemeinen genügt, die ungünstigsten Lokomotiven derjenigen Bahn vorauszusetzen, für welche die Brücke konstruirt wird. Allerdings kann im Kriege der Fall eintreten, dass die Lokomotiven auch fremde Bahnen befahren; hierbei dürfen diese Lokomotiven aber nicht wesentlich schwerer sein, als die Lokomotiven der betreffenden Bahn, weil nach diesen in der Regel die Stärke des Oberbaues bemessen wird. Nach den oben angeführten Wöhler’schen Gesetzen wird es auch der Brücke nichts schaden, wenn sie einigemale mit etwas schwereren Lokomotiven befahren wird. Natürlich wird man unter Umständen bei der Wahl der Lokomotiven berücksichtigen müssen, dass eine Vergrösserung des Verkehres eintreten kann, welche die Beschaffung schwererer Lokomotiven erheischt.

Allgemeine Normen gibt es nicht; nur nimmt der Verein deutscher Eisenbahnverwaltungen als grössten zulässigen Druck pro Achse für Hauptbahnen 14 Tonnen, für normalspurige Nebenbahnen 10 Tonnen, für 1,00 und 0,75m Spurweite bezüglich 7,5 und 5 Tonnen an.

Für Hauptbahnen wiegen die schwersten Lokomotiven mit getrennten Tendern bei drei Achsen 40 Tonnen, bei vier Achsen 50 Tonnen, die schwersten Tenderlokomotiven etwa 68 Tonnen. Die schwersten Tender wiegen etwa 28 Tonnen. Der Radstand der Lokomotiven ist 1,15 bis 2,20 Meter; er ist hier natürlich möglichst klein zu wählen. Der

VH

grösste Druck einer Lastwagenachse ist 8 Tonnen, der kleinste Radstand etwa 3 Meter.

Fig. 4.

T~

-*1

rr

39 T

27 T.

h:

rr \ / nt \|

±A±)

>łrV iv

-----z,7------=- «r--/.3—s» -e—/,3--> <-------2,7-----

23

23

13

Tow.

Wir haben allgemeinen Berechnungen gewöhnlich für Hauptbahnen das in Fig. 4 und 5 dargestellte ideale Beiastungsschema zu Grunde gelegt. Für normalspurige Nebenbahnen können dieselben Radstände und Achsdrücke der Lastwagen angenommen werden; dagegen würden die Achsdrücke der Lokomotive und des Tenders auf 10 und 7,5 Tonnen zu reduziren sein.

Die Lastwagen lassen sich ohne zu grossen Fehler auch durch eine gleichmässige Belastung von 2,7 Ton.

- pro Met. ersetzen.

Wir geben im Folgenden noch ein Paar Beispiele angewendeter Belastungsschemen :

a) Normallokomotive nebst Tender der preussischen Staatsbahnen: Gütermglokomotive :

Abstand:    2,8    2,0    1,4    2,6 | 1,5 1,8 1,5 1,6 Meter

Achsdruck:    12,6 12,5 13,6    9,9 8,6 9,1 Tonnen.

Personenmglokomotive :

2,4    1,9    2,5    1,6 I 1,5 1,8 1,5 1,6 Meter

12,6 12,2 12,4

Abstand : Achsdruck:

Fig. 5.

16 T.

■*—1,5—*■ ■*------3.0-------ä* <-—1,5—-=>J JM.

Ton.

9,9 8,6 9,1 Tonnen.

6) Semmeringlokomotive nach Engerth’s System und offene Lastwagen, welche in Oesterreich der Berechnung vieler Brücken zu Grunde gelegt wurde.

Abstand: 2,53 1,16 1,16 1,16 2,52 2,22 | 1,89 3,47 1,89 Met. Achsdruck:    13,7 12,6 12,9    3,1    8,7

7,8    7,8

Ton.

c) Belastungszug, welcher den für die russischen Staatsbahnen nach einer Bestimmung von 1884 anzunehmenden gleichmässigen Belastungen zu Grunde gelegt ist:

Abstand : Achsdruck:

3,9 3,6 3,9 3,6 l

8,2 2 8,2 8,2

1,7    4,4    1,4    1,4

? 10,7 12,5 12,5

1,7    1,7    4,4    1,4    1,3    1,4    5,5    1,4

12,5 12,5 10,7 10,7 10,7 12,5 12,5 12,5 12,5 12,5

QO

Go

Ha

1,4    1,4    4,4    1,7    1,7    3,8 3,7 3,7 3,7

Meter

12,5 12,5    12,5 10,7 10,7 10,7 8,2 8,2 8,2 8,2 Ton.

d) Belastungszug, welcher der Berechnung der Pennsylvanischen Eisenbahnen zu Grunde gelegt wird:

Lastzüge :

2,3    1,4    1,4    1,4    4,1 1,5 1,7 1,5 2,4 2,3

, Abstand:

Achsdruck: 5,5 10,9 10,9 10,9 10,9    7,3 7,3 7,3 7,3 5,5

1,4    1,4    1,4    4,1    1,5    1,7    1,5    0,9    .

10,9 10,9 10,9 10,9    7,3    7,3    7,3    7,3    4,46 Ton. pro Met.

Güterzüge :

Abstand :

Achsdruck: 7,3    7,3    18,1 18,1    7,3 7,3 7,3 7,3

2,4    2,9    1,5    1,7    1,5    0,9

18,1    18,1    7,3    7,3    7,3    7,3    4,46 Ton. pro Met.

1,7    2,7    2,4    2,9 1,5 1,7    1,5

V5 Hi.

1,7 2,7 7,3

Hier sind nur zwei Lokomotiven angenommen und für die Wagen eine gleichmässige Belastung von 4,46 Ton. pro Met. eingeführt.

§• 8. Zufällige Belastung der Decken. Wohnräume pflegt man für eine gleichmässige Belastung von etwa 0,15 bis 0,20 Ton. pro QMet. zu berechnen, was hier wohl genügt, da die schweren Möbeln an den Wänden, also den Enden der Träger, aufgestellt zu werden pflegen und enges Menschengedränge im Allgemeinen nicht anzunehmen ist.

In Versammlungsräumen, in denen sich die Menschen stehend aufhalten können, wird man, wie bei Brücken, 0,40 Ton. pro □ Met. rechnen müssen, wobei ein ganz dichtes Aneinanderstehen noch immer nicht vorausgesetzt ist. Ist das Stehen durch feste Stühle ausgeschlossen, so wird die Annahme einer Belastung von 0,25 Ton. pro Q Met. einschliesslich Stühle genügen ; für die nicht mit Stühlen besetzten Flächen muss indess die vorige höhere Ziffer angenommen werden. In Unterrichtsräumen für Kinder bis zu 14 Jahren würde statt 0,25 und 0,45 etwa 0,18 und 0,32 Ton. pro Q Met. gesetzt werden können. Wenn indess die Möglichkeit einer späteren anderen Verwendung des Raumes

vorliegt, so wird man doch wohl thun, durchgehends mit 0,45 Ton. pro □ Met. zu rechnen.

Selbst für Tanzsäle hat man nur 0,25 Ton. pro 0 Met. gerechnet. Mit Rücksicht darauf, dass diese Säle oft zu Versammlungen verwendet werden und selbst bei Bällen starke Zusammendrängungen von Personen entstehen können, sollte man hier nicht unter 0.40 Ton. pro 0 Met. annehmen.

Angaben über Belastungen von Decken, die anderen Zwecken dienen, wie für Speicher, Heu- und Fruchtböden u. s. w., werden besser in den Vorträgen über die betreffenden Anlagen gemacht.

§. 9. Belastung durch Schnee. Die Belastung durch Schnee kommt hauptsächlich bei Dächern in Betracht. In unseren Gegenden wird man den Maximalschneedruck bei 0,8m Höhe und 0,001 Tonnen Gewicht pro Kubikmeter zu

0,08 Ton. pro 0 Met.

Horizontalfläche annehmen können, wenn der Neigungswinkel kein zu grosser ist. Bei sehr steilen Dächern, insbesondere bei Kirchthürmen, wird man einen Schneedruck überhaupt nicht annehmen/

Man wird auch hier, wie bei der Verkehrsbelastung der Brücken, die ungünstigste Belastungsweise zu bestimmen haben, da der Schnee durch allmäliges Abschaufeln, durch Wehen und Abthauen eine verschiedene Lage annehmen kann. Bei Satteldächern hat man in der Regel nur halbe Belastung und totale Belastung als mögliche Belastungsfälle vorausgesetzt. Mehrfach hat man, namentlich bei komplizirteren Dachformen, unter allen denkbaren Belastungsfällen die ungünstigste gewählt.

Bei Brücken pflegt man den Schnee gar nicht zu berücksichtigen, weil auf denselben der Schnee gewöhnlich oft beseitigt wird, und bei starker Schneedecke kein sehr dichtes Menschen- und Wagengedränge möglich ist. Nur bei Drehbrücken kann in geöffnetem Zustande, jenach-dem derselbe mehr oder minder lange Zeit anzudauern pflegt, eine mehr oder weniger dicke Schneedecke entstehen.

§. 10. Winddruck. Der grösste Winddruck iv₀ auf eine zur Windrichtung senkrechte ebene Fläche wird bei uns zu wa— 0,10 bis 0,27 Ton. pro 0 Met. angenommen. Bei Dächern in geschützter Lage nimmt man bei uns w₀ —0,10 bis 0,12 an. Bei Brücken und Thürmen, die dem Winde mehr ansgesetzt zu sein pflegen, ist je nach der Lage w₀ = 0,12 bis 0,25 anzunehmen. Bei Brücken über Thäler wird man den Winddruck senkrecht zum Thaïe hinsichtlich der durch die Thalwände geschützten Pfeiler im Allgemeinen kleiner annehmen können, als in Richtung des

Thales. Wenn die Brücke mit einem Zuge besetzt ist, wird man iv0 nicht grösser als 0,15 Ton. pro Q Met. anzunehmen brauchen, da ein stärkerer Winddruck die Wagen umwerfen würde.

Als vom Winde getroffene Fläche einer Brücke nimmt man am besten die Projektionsfläche an, welche sich ergibt, wenn man sich die einzelnen Träger der Brücke etwas gegen einander verschoben denkt, um dadurch einer etwas schiefen Richtung des Windes Rechnung zu tragen. Bei gegliederten Trägern ist hiernach die Fläche, welche zwei Träger bieten, ungefähr 1,6 von der Fläche eines Trägers und 0,50 bis 0,65 von der vollen Fläche eines Trägers. Zu genaueren Regeln kann man nur durch Versuche, die bis jetzt noch nicht in hinreichendem Masse angestellt sind, gelangen.

Die Wagen, sowohl Eisenbahn- als Strassenwagen, bieten dem Winde ungefähr eine Fläche von 3,2 Q Met. pro Meter, wenn die Bahn oben liegt. Bei tiefer liegender Bahn ist zu berücksichtigen, dass ein Theil der Wagenfläche von dem davor stehenden Träger verdeckt wird. Unter gleichzeitiger Berücksichtigung des Winddruckes und der Vertikalbelastung kann die Beanspruchung möglicherweise grösser werden, wenn die Wagen möglichst leicht angenommen werden. Bei normalspurigen Eisenbahnen kann man die leeren geschlossenen Güterwagen mit etwa 0,7 Ton. pro lauf. Met. bemessen.

Bei Dächern ergibt sich theoretisch der normal zur Dachfläche gedichtete und für die statische Berechnung massgebende Winddruck iv pro Flächeneinheit nach der Regel

w = w₀ sm² (a -j- ß),

wenn a den Neigungswinkel des Daches, ß den Neigungswinkel des

Fig. 6.

?P

VU

Windes gegen die Horizontalfläche bedeutet, wobei man ß zu etwa 10 Grad oder tanß zu etwa j annimmt. Stellt in Fig. 6 BB die Dachfläche, GA die Windrichtung dar, so mache man auf der Normalen zu BB AD = w₀, fälle von D auf AG die Senkrechte DE und von E auf AD die Senkrechte A F • alsdann ist, wie ohne Weiters zu übersehen ist, AF — w„sin² /_C AB = tv₀ sm² (a -f- ß) = w. Den gemachten Versuchen zu Folge gibt indess die Regel keine sehr gute Uebereinstimmung.

Weiteres hinsichlicli des Winddruckes siehe in des Verfassers: Vorträge über Brückenbau, Eiserne Brücken, Querkonstruktionen, II. Aufl., Wien 1884, S. 308 — 316.

§. 11. Andere äussere Kräfte. Ausser den besprochenen äusseren Kräften können auf die Baukonstruktionen noch die folgenden Kräfte wirken :

1.    Seitendrücke der Wagen in Folge unregelmässiger Bewegung. Hinsichtlich dieser Kräfte, welche insbesondere bei der Berechnung der Wind- und Querverstrebungen in Betracht kommen, ist man noch sehr im Unklaren. Um einigermassen diesen Seitendrücken Rechnung zu tragen, pflege ich an jeder Achse der Lokomotive einen Seitendruck anzunehmen, welcher gleich 0,08 des Achsendruckes ist, wobei nur eine Lokomotive vorausgesetzt wird; Seitendrücke am Tender und den Wagen werden als sich gegenseitig aufhebend vorausgesetzt. Bei grösserer Spannweite genügt es, bei Berechnung der Windverstrebungen an der ungünstigsten Stelle eine Einzelkraft anzunehmen, welche gleich 0,08 des ' Lokomotivgewichtes istJ).

2.    Centrifugalkraft bei Eisenbahnbrücken mit in der Kurve liegender Bahn. Wenn sowohl die Vertikalbelastung, als die Centrifugalkraft eine Beanspruchung erzeugt, können hierbei sowohl Schnellzüge, als die wesentlich langsamer fahrenden, aber schwereren Güterzüge in Betracht kommen. Bei einer Windverstrebung, welche nur durch Horizontalkräfte beansprucht wird, kommt allerdings nur .der Schnellzug in Betracht. Die Centrifugalkraft C für eine Achse mit dem Achsdrucke G ist

Gv2 gr ’

wenn r den Radius, v die Geschwindigkeit, g die Beschleunigung der Schwere bedeutet. Für v ist natürlich die in der betreffenden Strecke zulässige Maximalgeschwindigkeit zu setzen. Beispielsweise wird, wenn man für Schnellzüge v = 18, für Güterzüge v — 10 annimmt, und

g — 9,81 setzt, bezüglich C — y G und C — y G.

Bei den Lokomotiven und Tendern wird man am besten an jeder Achse eine Centrifugalkraft annehmen; bei den Wagen dagegen kann man sich die Centrifugalkraft gleichmässig vertheilt denken und im Maximum die Last für Personenzüge 1,5, für Güterzüge 2,7 Ton. pro Met. eines Gleises annehmen. Wenn gleichzeitig der Winddruck bei minimaler Vertikalbelastung, also leeren Wagen in Betracht kommt, kann man im Minimum die Last für Personenzüge 0,8, für Güterzüge 0,7 Ton. pro Met. eines Gleises annehmen.

3.    Wasserdruck. Der bei Aquädukten und Quaimauern als äussere Kraft in Betracht kommende Wasserdruck ist nach bekannten hydrostatischen Gesetzen leicht zu bestimmen.

4.    Erd druck, welcher insbesondere bei Futtermauern, gewölbten Brücken und Tunneln in Betracht kommt. Wir betrachten die Bestimmung desselben als einen speziellen Theil der Statik der Baukonstruktionen und verzichten deshalb hier auf bestimmte Angaben.

‘) Sielio des Verfassers Vorträge über Brückenbau, Eiserne Brücken, Querkonstruktionen, II. Auf!. Wien 3884, §. 149.

§. 12. Unmittelbare und mittelbare Belastung. Wir unterscheiden zwei Arten der Uebertragung der Belastung auf den Träger, nämlich die unmittelbare (direkte) Belastung, bei welcher die Belastung auf jeden beliebigen Punkt dos Trägers wirken kann und die mittelbare (indirekte) Belastung, bei welcher sich die Belastung nur an bestimmten Punkten auf den Träger übertragen kann. Bei einem vollwandigen Träger bildet das Eigengewicht des Trägers selbst eine unmittelbare Belastung; das Gewicht der Bahn und die Verkehrslast können unmittelbar oder mittelbar wirken, letzteres dann, wenn die Belastung durch Querträger auf den in Frage stehenden Träger (Haupt-träger) übertragen wird. Bei den gegliederten Trägern denkt man sich am besten die einzelnen Stäbe als gewichtslos und ohne Belastung, also die ganze Belastung in den Knotenpunkten wirkend; eine auf den Stab zwischen seinen beiden Enden wirkende Last würde hierbei in zwei auf die beiden die Enden stützenden Knotenpunkte wirkende Seitenkräfte zu zerlegen sein. Man erhält in dieser Weise die Axialspannungen der Stäbe, falls gelenkartige Knotenpunkte vorausgesetzt werden, vollkommen richtig; die zwischen den Enden eines Stabes wirkende Belastung, also auch das Eigengewicht, bringen Schub- und Biegungsspannungen hervor, die erforderlichenfalls besonders zu bestimmen sind, hinsichtlich des Eigengewichtes aber meistens vernachlässigt werden. Bei einem gegliederten Träger wird man es also immer mit mittelbarer Belastung zu thun haben.

Wir nehmen an, dass sich die Belastung auf die Querträger durch einfache Zwischenträger übertrage, ebenso, dass die Stäbe eines gegliederten Trägers hinsichtlich der Uebertragung einer Last als einfache Träger anzusehen sind, so dass eine im Abstande £ und I, = a — £ wirkende Last G (Fig. 7) in die

beiden Seitenlasten G. = G — und G„ = G — ¹    a,    ¹ a

zu zerlegen sein würde.

Die Lasten, welche nach dieser Zerlegung an den Querträgern oder Knotenpunkten wirken, nennen wir Knotenlasten.

Fig. 7.

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1b

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I. Ebene Träger.

II. Kapitel.

Eintheilung der Träger.

§. 13. Arten der Auflagerung. Die Belastung eines Trägeis bewirkt Gegendrücke (Reaktionen) derjenigen Konstruktionstheile, welche den Träger unterstützen, der Lager; wir nennen dieselben Stützendrücke. Der Stützendruck ist, wie jede Kraft, bekannt, wenn die Richtung, Lage und Grösse desselben oder überhaupt drei auf den Stützendruck bezügliche Grössen, z. B. zwei Komponenten und das statische Moment für einen bestimmten Punkt gegeben sind. Ausser durch die Belastung werden die Stützendrücke namentlich durch die Konstruktion des Lagers bedingt. Wir unterscheiden in dieser Hinsicht die folgenden Konstruktionen :

1. Durch das Lager ist die Richtung des Stützendruckes gegeben. Dies ist der Fall bei einem sogenannten Rollenlager (Fig. 9), bei dem der Stützendruck senkrecht zur Bahn der Rollen ge-

Fig. 9.

Fig. 8.

Fig. 10.

Jw

ML

TjTr.

§. 38. Grösstes Moment für gleichmässige Belastung.

§. 46. Lastensystem aus Einzellasten und gleichmässiger Belastung. Es kommt bei Strassenbrücken vor, dass statt einzelner

. Ferner wird für einen beliebigen Querschnitt Q =

— Xi

§. 68. Stützenmomente für ein belastetes Feld. Es sei

§. 76. Beispiel- Taf. I.

zu setzen; daher

§ 85. Mittlere Transversalkraft und mittleres Moment.

§. 96. Gleichgewicbtsbedingungen des Stabpolygones.

§. 101. Unterbrochener Balkenträger mit parabolischem Stabpolygon.

§. 106. Belastung durch eine Einzellast.

§. 115. Träger von konstanter Höhe, aber veränderlichem Querschnitte. Bei konstanter Höhe h kann man für einen Gitterträger

T + T"9*

§. 123. Einfluss ungleich hoher Stützen.

1:1,2: 1,2 : 1.

§. 129. Momente für beliebige Querschnitte. Für das

§. 139. Zwei auf einander folgende belastete Felder.

§. 148. Belastung durch ein System von Einzellasten.

§. 158. Durchbiegung des kontinuirlichen Gelenkträgers.

§. 167. Dreieckige Einflussfigur im Allgemeinen. Die

SD Stützendruck für den Fall einer Unterbrechung d

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richtet sein muss oder beim Pendellager mit parallelen Stelzen (Fig. 10), bei dem der Druck parallel den beiden Pendeln wirken muss, in beiden Fällen allerdings abgesehen von der geringen hier entstehenden Reibung. Diese Lager gestatten eine freie Verschiebung längs einer Fläche, der Lager fläche. Beim Gleitlager (Fig. 8), bei welchem bei einer Verschiebung die gleitende Reibung zu überwinden ist, ist die Richtung nach dem Reibungsgesetz nur innerhalb gewisser Grenzen bestimmt.

2. Durch das Lager ist ein Punkt des Stützendruckes, also seine Lage, gegeben. Dies tritt bei einer gelenkartigen Unterstützung oder beim sogenannten Kipplager ein, wenn man von der Reibung, die sich durch Wahl eines möglichst kleinen Durchmessers des Zapfens (Fig. 11) oder durch Anwendung zweier sich mit cylindrischen Flächen gegenseitig abwälzenden Theile (Fig. 12) möglichst herabmindern lässt, absieht; ferner beim Pendellager mit zwei gegen einander

Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

geneigten Stelzen (Fig. 13), bei welchem der Stützendruck durch den Durchschnittspunkt A gehen muss. Föppl nennt in seiner »Theorie des Fachwerkes“ (Leipzig 1880) A ein imaginäres Gelenk. Diese Lager gestatten eine freie Drehung um einen Punkt, den wir den Lager punkt nennen.

Fig. 12.

Fig. 11.

Fig. 13.

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3. Durch das Lager ist die Richtung und die Lage des Stützendruckes gegeben. Dies tritt ein bei der Kombination des Rollen- und Kipplagers oder beim Rollen-Kipplager (Fig.’ 14) und beim Pendellager mit einer Stelze (Fig. 15), zu denen auch pendelnde Säulen und Pfeiler, Seilstücke und Kettenglieder zu p rechnen sind. Auch das Walzen-m lager (Fig. 9) oder das Pendellager (Fig. 10) gebt in ein solches Lager über, wenn der Stützendruck ausserhalb des Lagers liegt, falls nicht das Kippen durch besondere Vorkehrungen verhindert

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Fig. 14.

Fig. 15.

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ist.

4. Durch das Lager ist weder die Richtung, noch die Lage des Stützendruckes gegeben. Dies tritt ein bei einer Berührung in einer Fläche innerhalb gewisser durch die Reibung bedingter Grenzen (Fig. 16), sowie bei starrer Verbindung. In gleicher Weise

wirkt natürlich auch die Auflagerung an zwei oder mehreren Punkten (F. 17). Wir wollen diese Konstruktion ein starres Lager nennen.

5. Durch das Lagerist die Grösse des Stützendruckes oder eine Komponente desselben gegeben. Die Grösse des Stützendruckes ist bei allen vorigen Konstruktionen durch die Belastung bestimmt. Durch Anwendung von Federn oder Hilfslasten (Gegengewichten)

Fig. 16.

Fig. 17.    •

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ist es indess möglich, die Grösse zweier oder einer Komponente vorzuschreiben. Bisher ist diese Konstruktion, ausser bei der Elbebrücke bei Kiesa, wo von Kopeke durch ein Gegengewicht ein bestimmter Horizontalschub erzeugt wurde, noch nicht zur Anwendung gelangt.

In derselben Weise, wie die Träger auf die Pfeiler aufgelagert werden, können auch verschiedene Träger oder Theile eines Trägers gegen einander gestützt werden. Insbesondere findet diejenige Verbindung Anwendung, bei welcher eine bestimmte Lage der von einem Theile auf den anderen ausgeübten Kraft gesichert wird oder die Verbindung durch Gelenke, wozu wir auch die imaginären Gelenke rechnen. Wir nennen Träger dieser Art im Allgemeinen Gelenkträger.

Die Auflagerbedingungen sind am vollständigsten von Föppl (Theorie des Fachwerkes, Leipzig 1880) der Eintheilung der Träger oder der Systemkunde zu Grunde gelegt worden.

§.14. Bestimmung der Stützendrücke. Bei einem starren Träger, d. h. einem solchen, bei welchem keine Bedingungen für die von einem Theile auf den anderen geäusserte Kraft zu erfüllen sind, namentlich also keine Verbindung durch Gelenke angeordnet ist, sind für die äusseren Kräfte drei Gleichgewichtsbedingungen zu erfüllen.

Da nun für jedes Lager drei Unbekannte zu bestimmen sind, so ist bei der Unterstützung durch ein Lager nur ein starres Lager zulässig. In dieser Lage befinden sich Pfeiler, Konsolen und Drehbrücken in geöffnetem Zustande.

Bei einer Unterstützung durch zwei Lager, bei welcher sechs auf die Stützendrücke bezügliche Gfössen zu bestimmen sind, müssen bei einem Lager zwei, bei dem anderen eine Grösse bestimmt sein, damit die Stützendrücke statisch bestimmt sind. Es kann also entweder das eine Lager ein festes Kipplager (Fig. 18) oder ein Walzen-

Fig. 18.

Fig. 19.

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lager (Fig. 19) sein, wenn das andere ein Walzenkipplager ist. Bei Anwendung zweier fester Kipplager müsste der Träger noch ein Gelenk haben, damit die Stützendrücke statisch bestimmt sind; es ist dies beim Dreigelenkträger der Fall (Fig. 20).

2*

Wenn zwei feste Kipplager bei einem Träger ohne Gelenk gewendet werden (Fig. 21), so bleibt eine auf die Stützendrücke bezügliche Grösse statisch unbestimmt. Die Bestimmung dieser Unbekannten muss hier durch das Elastizitätsgesetz erfolgen. Wir nennen einen derartigen Träger einen Zweigelenkträger.

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Fig. 21.

Fig. 20.

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Wenn zwei starre Lager angewendet werden, so bleiben drei auf die Stützendrücke bezügliche Grössen unbestimmt (Fig. 23). Kur wenn der Träger ein Geleuk besitzt (Fig. 22), würden sich die statisch unbestimmten Grössen auf zwei einschränken.

Fig. 23.

Fig. 22.

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Wenn der Träger durch n Lager unterstützt ist, so sind 3n auf die Stützendrücke bezügliche Grössen zu bestimmen, für welche sich drei Gleichgewichtsbedingungen ergeben. Sind sämmtliche Lager Walzenkipplager, so bleiben also m — n — 3 Grössen statisch unbestimmt.¹'

Nur wenn die Stützendrücke sich sämmtlich in einem Punkte schneiden, also auch dann, wenn sie sämmtlich vertikal wirken (kon-tinuirliche Träger), lassen sich für die äusseren Kräfte nur zwei Gleichgewichtsbedingungen aufstellen ; es bleiben daher m = n — 2 Grössen statisch unbestimmt. Ebenso gross wird m, wenD ein festes Kipplager und n — 1 Rollenkipplager vorhanden sind. Wenn die Stützendrücke in diesem Falle statisch bestimmt sein sollen, so müsste also der Träger n — 2 Gelenke haben (kontinuirliche Gelenkträger).

§. 15. Konstruktion des Trägers. Wir können zwei Haup^-arten der Konstruktion unterscheiden: 1. Der Träger besteht aus einem einzigen vollen Stücke desselben Materiales oder aus verschiedenen so

mit einander verbundenen Theilen, dass sie hinsichtlich der Beanspruchung als ein einziges Stück angesehen werden könnten. Wir nennen diese Träger, die insbesondere als gegossene und gewalzte Träger, sowie als Blechträger auftreten, vollwandige Träger. 2. Der Träger besteht aus einzelnen an ihren Enden mit einander verbundenen Stäben; wir nennen einen solchen Träger einen gegliederten Träger. Die Verbindungsstellen der einzelnen Stäbe heissen Knoten, geometrisch genommen, Knotenpunkte. Die Knoten könne⁴n hierbei wieder verschieden konstruirt sein: 1. Die einzelnen an einem Knoten zusammen-stossenden Stäbe können sich um eine Axe frei, d. h. ohne Widerstand drehen, wenn man sie am anderen Ende frei macht oder durchschneidet; wir nennen eine solche Verbindung eine gelenkartige und den Knoten einen Gelenkknoten. Die freie Drehung ist allerdings nur ein idealer Zustand, dem man sich durch Verminderung der Reibung mehr oder weniger nähern kann. 2. Die Stäbe sind so mit einander verbunden, dass eine derartige Drehung nicht möglich ist; wir nennen einen solchen Knoten einen starren Knoten. Selbstverständlich kann hierbei an die Stelle der Verbindung zweier Stäbe auch die Herstellung aus dem Ganzen treten.

Natürlich sind auch Träger denkbar und es kommen solche in der That vor, welche aus vollwandigen und gegliederten Theilen zusammengesetzt sind.

Der Träger kann seine Form in doppelter Weise ändern. Zunächst durch die Elastizität der Materialien; wir nennen diese Formänderung die elastische. Bei einem vollwandigen Träger und einem gegliederten Träger mit starren Knoten ist eine andere Formänderung überhaupt nicht denkbar. Bei gegliederten Trägern mit Gelenkknoten ist es aber recht wohl denkbar, dass eine Bewegung bei einer Aenderung der Belastung eintritt, indem bei veränderter Belastung die Form des Trägers nicht mehr den Gleichgewichtsbedingungen entspricht; man nennt diese Formänderung die statische. Wir nennen Konstruktionen, welche eine statische Formänderung nicht zeigen, starre oder steife, dagegen solche mit statischer Formänderung schlaffe.

§. 16. Statische Bestimmtheit der gegliederten Träger.

Wir nennen ein Stabsystem mit Gelenkknoten statisch bestimmt, wenn die Spannungen sämmtlicher Stäbe nach rein statischen Gesetzen bestimmbar sind. Die Bedingungen für ein statisch bestimmtes System lassen sich leicht aufstellen. Bezeichnen wir die Anzahl der Knoten mit n, so ist die Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen, welche sich für die einzelnen Knoten aufstellen lassen, = 2 n. Ist m die Anzahl der Stäbe, so hat man zunächst m unbekannte Stabspannungen zu bestimmen;

ausserdem aber seien u auf die Stützendrücke bezügliche Unbekannte zu bestimmen. Alsdann muss

m -\- u — 2n

sein. Hierbei richtet sich nach dem oben Gesagten u nach der Konstruktion der Lager. Für die Unterstützung durch ein starres Lager ist u — 3. Für ein festes Kipplager und ein Kollenkipplager ist u — 2-\-l = 3. Für zwei feste Kipplager ist u = 2 -f- 2 = 4. Für zwei starre Lager ist u = 3 + 3 = 6. Wir haben demnach als Bedinguüg für das statisch bestimmte System:

m -F 4 — 2nr m 6 — 2n.

I. Ein Lager oder ein festes und ein Bollenhipplager m 3 — 2ny

II. Zwei feste Kipplager

III. Zwei starre Lager .

Ist m-\-u>2n, so nennen wir das System statisch unbestimmt. Ist dagegen m-\-uc2n, so kann statische Bestimmtheit nur eintretenr wenn noch eine entsprechende Anzahl von Bedingungen hinsichtlich der Form des Stabsystemes hinzukommt. Aus diesem Grunde tritt immer eine Formänderung ein, wenn sich die Belastungsweise ändert. Wir nennen ein solches System, dem vorigen Paragrafe entsprechend, schlaff. Sowohl die statisch bestimmten als statisch unbestimmten Sj'steme sind starr. Umgekehrt lässt sich hiernach leicht schliessen, dass jedes starre System mit dem Minimum von Stäben statisch bestimmt ist.

statisch unbestimmt ist (Fig. 24). Der statisch unbestimmte Theil 3 4 5 6 ver

Die alleinige Erfüllung der Bedingung m Ą- u — 2n genügt indess für das statisch bestimmte System noch nicht. Es kann diese Bedingung recht wohl erfüllt sein, während ein Theil des Systems schlaff, ein anderer Fig. 24.

Fig. 25.

hält sich hinsichtlich der statischen Form--änderung ebenso, als wenn dieser Theil statisch bestimmt wäre. Da aber alsdann im Ganzen zu wenig Stäbe vorhanden sind, so wird eine statische Formänderung eintreten, das System also als schlaffes gelten müssen. Es dürfen also offenbar keine statisch unbestimmbaren Theile Vorkommen. Um die Bedingungen für das statisch bestimmte System vollkommener zu erkennen, wollen wir verschiedene Bildungsweisen solcher Systeme näher untersuchen.

1. Das Dreieck ist an sich starr. Wenn man nun einzelne Dreiecke an einander reiht (Fig. 25), so kommen durch jedes neue Dreieck zwei neue Stäbe und ein neuer Knoten hinzu; durch diese beiden Stäbe wird der Knoten unverschieblich bestimmt, es entsteht also hierdurch ein starres,

mithin auch statisch bestimmtes System. Reiht man in dieser Weise s Dreiecke an einander, so wird m — 3    2 (s — 1) = 2s -f- 1 und

n = 3 (s — T) = s -j- 2, wonach in der That auch m 3 = 2n ist, wie es dem Falle I entspricht. Diese Bildungsweise ist für die Träger entschieden die wichtigste. Wir nennen ein solches System ein Dreieckssystem. Man kann hierbei zwei Gattungen von Stäben unterscheiden, nämlich die zu einem geschlossenen Polygone vereinigten U m-fangsstäbe und die übrigen oder Diagonalstäbe. Bei den Fällen II und III würden bezüglich 1 und 3 Stäbe fehlen müssen, um das System statisch bestimmt zu machen. Fehlen Umfangsstäbe, so entstehen wirkliche Gelenke; fehlen Diagonalstäbe, so entstehen imaginäre Gelenke.

Fig. 26.

2. Ein statisch bestimmtes System entsteht, wie sich in ganz gleicherweise nachweisen lässt, wenn man an ein Dreieck zwei neue Stäbe mit einem neuen Knoten, an zwei beliebige Knoten dieses Systems wieder zwei neue Stäbe mit einem neuen Knoten u. s. f. an-schliesst (Fig. 26). Die vorige Bildungsweise ist nur ein spezieller Fall dieser weniger wichtigen Bildungsweise. Fig. 27 bis 29 geben drei Beispiele.

Fig. 29.

Fig. 27.

Fig. 28.

3. Wenn man Je Scheiben durch s in einer Ebene liegende Stäbe mit einander verbindet, so hat man s unbekannte Spannungen, also milden drei auf die äusseren Kräfte bezüglichen Grössen s-f-3 Unbekannte. Da sich für jede Scheibe drei Gleichgewichtsbedingungen aufstellen lassen, so hat man 3Je Gleichungen. Für das statisch bestimmte System muss also s + 3 = 3 Je oder

s = 3 (Je — 1)

Fig. 30.

sein. Das System wird statisch unbestimmt, wenn s > 3 (Je — 1) ist. Auch einzelne Theile des Systems dürfen nicht statisch unbestimmt sein; je zwei Scheiben dürfen daher durch höchstens 3 (2 — 1) — 3, sich nicht in einem Punkte schneidende , also auch nicht sämmtlich parallele Stäbe verbunden sein. In dieser Weise lassen sich statisch bestimmte Sj-steme bilden, indem man statt der Scheiben einzelne

Stäbe oder statisch bestimmte Stabsysteme einführt. So zeigt Fig. 30 die statisch bestimmten Systeme, welche durch Verbindung dreier Stäbe

Fig. 31.

entstehen können und Fig 31 die statisch \    bestimmten Systeme,

/    welche durch Verbin-

/    dung von drei Drei

ecken entstehen können. Fig. 32 kann als Verbindung von 3 Stäben durch 6 Stäbe oder von 2 Dreiecken durch 3 Stäbe gelten. Fig. 33 lässt sich als Verbindung von 2 Dreiecken und einem Stabe durch 3 (5 — 1) — 6 Stäbe betrachten. Fig. 34 würde als Verbindung von 6 Stäben durch 3 (6 — 1) = 15 Stäbe aufgefasst werden können.

Fig. 33.

Fig. 34.

Fig. 32.

MxW IXX/XXl

Als statisch unbestimmte Systeme kommen hauptsächlich die nach dem Obigen als Dreieckssysteme, aber mit überzähligen Diagonalstäben, gebildeten Systeme in Betracht. Das hauptsächlichste schlaffe System ist das einfache Polygon (Kettenhängewerk).

«

Früher wurden in der E^gel nur die Dreieckssysteme als statisch bestimmte Systeme behandelt. Allgemein werden die Kennzeichen solcher Systeme durch Weyrauch (Zeitschrift für Baukunde, 1880 und 1881) untersucht. Am vollständigsten behandelte Favero die Sache (La determinazione grafica delle forze interne nelle travi reticolari. Roma 1878). Er fasst zuerst die statischen Systeme als Verbindung von starren Theilen (Scheiben) durch Stäbe auf.

§. 17. Beansprucliungsweise der Träger. Wenn mau . zwischen den Lasten, mit welchen der Träger belastet ist, Vertikalschnitte durch die Konstruktion legt und die Richtungen der Resultanten der in diesen Schnitten wirkenden Spannungen bestimmt, so bilden diese Richtungen ein den Lasten entsprechendes Seilpolygon. Bei den statisch bestimmten Systemen ist auch das Seilpolygon vollständig bestimmt. Bei den hinsichtlich der Stützeudrücke statisch unbestimmten Systemen wird es erst durch das Elastizitätsgesetz bestimmt.

Die Spannungen im Seilpolygone sind Züge, wenn das Seilpolygon nach oben konkav ist, dagegen Drücke, wenn das Seilpolygon nach unten konkav ist. Die Konstruktion wird daher vorzugsweise auf Zug oder Druck beansprucht, je nachdem sich dieselbe um ein nach oben oder unten konkaves Seilpolygon gruppirt. Es entstehen hierdurch die beiden entgegengesetzt beanspruchten Konstruktionen: das Hängewerk (Fig. 35) und das Sprengwerk (Fig. 36).

Die Stützendrüeke sind beim Hängewerke schief nach oben und aussen, beim Sprengwerke schief nach oben und innen gerichtet. Ausser den Vertikalreaktionen tritt also hier eine Horizontalreaktion auf, die beim Hängewerk als Horizontalzug, beim Sprengwerke als Horizontaldruck oder Horizontalschub wirkt.

Fig. 36.

Fig. 35.

Li

w.

⁴m»

Haben beide Stützendrücke eine von der vertikalen wenig abweichende Dichtung, so wird das genannte Seilpolygon sehr hoch und tritt also ganz aus der Konstruktion heraus. Der Träger wird dann sowohl auf Zug als auf Druck, das ist auf Biegung beansprucht. Wir nennen einen solchen Träger einen Balkenträger.

Durch die Anordnung der Lager haben wir die Richtung der Stützendrücke und hiermit die Form des Seilpolygones in unserer Gewalt; es wird dadurch möglich, die drei Systeme: Hängewerk, Balken- und Sprengwerk allmälig in einander überzuführen, so dass es bestimmte Grenzen zwischen diesen Systemen nicht gibt. Bei den praktisch angewendeten Konstruktionen sind indessen die drei Systeme ziemlich streng getrennt.

Der Träger selbst kann steif oder schlaff konstruirt sein. Als - äusserste Form des schlaffen Trägers kann das Polygonal-Hänge-und Sprengwerk (Fig. 37 und 38) gelten, dessen Form unmittelbar durch

Fig. 37.

Fig. 38.

das der Belastung entsprechende Seilpolygon gegeben ist. Beim schlaffen Träger besteht ein wesentlicher Unterschied hinsichtlich der statischen Formänderung beim Hänge- und Sprengwerk. Bei einer Aenderung der Belastungsweise geht das Hängewerk in die neue Gleichgewichtsform von selbst über, das Sprengwerk dagegen nicht; dasselbe schlägt vielmehr in die entgegengesetzte Form über, so dass aus dem Sprengwerk ein Hängewerk wird, wenn dies überhaupt möglich ist; sind die Stäbe an den Knoten nicht derart verbunden, dass ein Zug übertragen werden

1.    Verbindung    von    Balken-    und

kann, so stürzt das Sprengwerk zusammen. Das schlaffe Sprengwerk kann also nur labiles Gleichgewicht besitzen, während das schlaffe Hängewerk stabiles Gleichgewicht besitzt, wie dies auch dem allgemeinen Maupertuis’scheu Satze entspricht. Ein schlaffes Sprengwerk ist demnach überhaupt als Träger unbrauchbar. Wohl aber sind das schlaffe Hängewerk und das steife oder versteifte Hängewerk wirklich zur Anwendung gekommen.

Ausser den genannten einfachen Trägerarten sind natürlich Verbindungen derselben möglich. Ausser den Verbindungen von Trägern derselben Art können wir unterscheiden:

Fig. 39.

Hängewerk (Fig. 39).

2.    Verbindung    von    Balken-    und

Sprengwerk (Fig. 40).

3.    Verbindung    von    Hänge-    und

Fig. 40.

Sprengwerk (Fig. 41).

Fig. 41.

Durch die Verbindung mit dem steifen Balkenträger wird auch das schlaffe Hänge- und Sprengwerk steif. Bei der Verbindung von Hänge- und Sprengwerk sind eines der Theile oder beide steif zu konstruiren.

Ausser der Verbindung zweier Theile,    von denen jeder    für sich    als

f§

Träger wirken kann, kommt die Verbindung eines Trägers mit einem geraden nur auf Zug oder Druck beanspruchten Theile, einer Spann st ange oder einem Spannriegel vor, um die vom Träger geäusserte Horizontalreaktion aufzunehmen und dadurch die Widerlager zu entlasten. Wenn man hier beide Theile als ein Ganzes betrachtet, so würde dasselbe einem Balkenträger entsprechen. Dennoch wird man diese Träger besser zu den Hängewerken und Sprengwerken rechnen, indem man die Spannstange und den Spannriegel als zum Widerlager gehörig ansieht.

§• 18. Eintheilung nach der Anzahl der Oeffnungen. Nach der Anzahl der durch Stützen getrennten Oeffnungen, über welche der Träger zusammenhängend hinwegreicht, unterscheidet mau Träger über eine Oeffnung oder Einzelträger (einfache Träger) und Träger über mehrere Oeffnungen oder kontinuirliche Träger. Bei den kontinuirlichen Trägern kann eine starre Verbindung der einzelnen Theile vorhanden sein oder es kann eine Gelenkverbindung vorhanden sein, so dass man wirkliche kontinuirliche Träger und kontinuirliche

Gelenkträger unterscheiden kann. Die kontinuirlichen Träger kommen hauptsächlich nur bei den Balkenträgern vor. Bei den kontinuirlichen Gelenkträgern ordnet man die Gelenke innerhalb der Oeffnungen so an, dass jeder Theil nur durch zwei Punkte unterstützt wird, um den Träger statisch bestimmt zu machen. Auch bei den Hängewerks- und Spreng-werksträgern kommen zuweilen kontinuirliche Träger vor ; auch hier findet man eine starre Verbindung der einzelnen Theile, namentlich aber eine Gelenkverbindung über den Pfeilern, so dass durch diese Verbindung nur der Horizontalschub übertragen wird.

III. Kapitel.

Methode der Einflusslinien.

§. 19. Bedeutung der Einflusslinie. Um den Einfluss eines Lastensjstemes auf einen beliebig konstruirten Träger zu untersuchen, erscheint es rathsam, zunächst den Einfluss einer einzigen vertikal gerichteten Einzellast in den verschiedenen Lagen, welche dieselbe annehmen kann, zu untersuchen. Man wird sich also eine Einzellast 6r über den Träger bewegt denken und für jede Lage derselben den Einfluss auf den Träger bestimmen. Dieser Einfluss kann ein sehr verschiedener sein; es kann sich dabei handeln um die von der Last erzeugten Beaktionen nach bestimmten Richtungen, um Transversalkräfte, Momente, Spannungen, Längenänderungen, Verschiebungen von bestimmten Punkten nach bestimmten Richtungen u. s. w. Wir wollen die Grösse, um die es sich handelt, hier allgemein die Einflussgrösse der Einzellast nennen, dabei indess die Art dieser Grösse in diesem Kapitel unbestimmt lassen.

Der Einfluss einer beweglichen Einzellast lässt sich am besten versinnlichen, wenn man die Einflussgrösse Y in der Richtung der Einzellast von einer horizontalen Axe aus als Ordinatq aufträgt. Die Endpunkte der Ordinaten bilden sodann eine Linie, welche man die Einflusslinie (Influenzlinie, Influenzkurve) nennt. Die von der Einflusslinie und der Axe eingeschlossene Fläche nennen wir die Einflussfigur.

Für die statische Untersuchung von Trägern sind die Einflusslinien im Allgemeinen von ausserordentlichem Werthe, weil aus der Form derselben auch auf den Einfluss eines ganzen Lastensystemes hinsichtlich der gefährlichsten Belastungsweise, der erzeugten Maximalspannungen u. s. w. geschlossen werden kann und der hierbei auftretende statische Vorgang in übersichtlicher Weise zur Anschauung gelangt.

Die Einflusslinien wurden wohl zuerst vom Verfasser im Jahre 1868 bei der Untersuchung von Bogenträgern angewendet (Zeitschrift des böhmischen Ingen.- u. Archit.-Ver. 1868); sie sind dort „Spannungskurven“ genannt worden. Das Wort Influenzlinie ist zuerst von Weyrauch in seinem Werke: „Theorieund Berechnung der kontinuirlichen und einfachen Träger“, Leipzig 1873, gewählt. In neuerer Zeit sind die Einflusslinien vielfach bei statischen Untersuchungen zur Anwendung gekommen, so in Arbeiten von Frankel, Krohn, Melan, Schäfer, Steiner, Stelzel, Thullie, Weyrauch u. a.

§. 20. Form der Einflusslinie. Die spezielle Form der Einflusslinie ist je nach der Art des Trägersystemes verschieden ; etwas Allgemeines lässt sich nur für statisch bestimmte Systeme sagen.

An jedem Auflager eines Trägers entsteht ein Stützendruck, welcher nur vollständig bestimmt ist, wenn die Richtung, Grösse und Lage oder ein Punkt des Stützendruckes gegeben sind, so dass eine Reaktion durch drei Grössen bestimmt ist. Aus den Gleichgewichtsbedingungen eines Trägers lassen sich unter der Voraussetzung, dass alle Kräfte in einer Ebene wirken, nur drei auf die äusseren Kräfte bezügliche Grössen bestimmen. Bei zwei Auflagern müssen daher an einem Auflager ein Punkt und die Richtung (etwa durch ein Rollenkipplager), an dem anderen ein Punkt

oder die Richtung (etwa durch ein Kipplager, bezüglich ein Rollenlager) gegeben sein. Nehmen wir an, es sei beim linken Lager ein Punkt A und die Richtung AE gegeben. Ist nun am rechten Lager ein Punkt B gegeben, so besteht, wenn man den linken Stützendruck mit B, den Abstand der Richtung AE von B mit a, den Abstand der Last G von A mit x und den Horizontalabstand von A

Ii -i-,

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‘wm>.

Fig. 42.

JS;

'U P

r-5.

'•a

rS>

y/

Mm

IHÜ

B'

und B mit l bezeichnet, die zu erfüllende Beziehung

Ba = G (I — x).

Bildet B mit der Vertikalen den Winkel a und hat der rechte Stützendruck die Vertikal- und Horizontalkomponente V, Pf, so ist V -(- B cos a = G, H = B sin a, mithin

— cos ,

V = G li

I — x

ii

Ist von dem rechten Stützendruck iü, die Richtung gegeben, welche mit der Vertikalen den Winkel ß bildet, so bestehen die Beziehungen

R cos a -f- Rl cosß — G,R sina = Rl sinß und wenn man den Abstand des rechten Stützendruckes von A mit y bezeichnet, Rxy = Gx, mithin

G sin cc

sin (cc -j- ßY y

Da diese Anordnung keine gebräuchliche ist und für a — 0 überhaupt unmöglich wird, so wollen wir in der Folge auf dieselbe keine weitere Eücksicht nehmen.

In allen Fällen sind hiernach die Stützendrücke, sowie ihre Horizontal- und Vertikalkomponente und ihr Moment für einen bestimmten Punkt in Beziehung auf x vom ersten Grade, die Einflusslinien für diese Grössen sind also Gerade..

Theilt man den Träger durch einen Schnitt in zwei Theile, so wirkt auf einen der beiden Theile als äussere Kraft nur der Stützendruck, falls nicht durch die Konstruktion selbst die Last G auf beide Theile vertheilt wird; sowohl für diese selbst, als für ihr Moment hinsichtlich eines bestimmten Punktes wird die Einflusslinie eine Gerade.

Sonach müssen also die auf einer Seite des Schnittes nach einer bestimmten Richtung wirkende Komponente der äusseren Kraft, sowie das Moment der äusseren Kraft für einen bestimmten Punkt ebenfalls vom ersten Grade sein. Proportional den äusseren Kräften oder ihren Momenten sind aber auch die inneren Spannungen nach bestimmten Richtungen, also sowohl die Normalspannungen, als die Schubspannungen für vollwandige und für statisch bestimmte gegliederte Träger, sobald die bezügliche Spannung durch einen nur drei Stäbe treffenden Schnitt bestimmt werden kann.

Bei Trägern mit statisch bestimmten Stützendrücken sind also die Einflusslinien für die Stützendrücke, für die nach bestimmten Richtungen wirkenden Komponenten der äusseren Kraft, für das Moment derselben in Beziehung auf einen bestimmten Punkt, für die Spannungen in vollwandige n Trägern und in statisch bestimmten gegliederten Trägern gerade Linien.

In dem Falle, dass wir es nicht mit unmittelbarer, sondern mit mittelbarer Belastung zu thun haben, liege bei einem statisch bestimmten oder unbestimmten Systeme die Last G zwischen zwei Querträgern E und F, von denen sie den Horizontalabstand x und a — x hat, alsdann ist der Druck, welcher durch die Querträger E und F auf den in Frage stehenden Träger übertragen wird, bezüglich

li =

G sinß sin (cc — ß) ’

*1 =

x sin (cc 4- ß)

sin a

«.I 3

Ist nun Yv Y„ die Einflussgrösse, wenn dieselbe bezüglich in E und F auf den Träger wirkt, so ist für die Lage der Last G zwischen beiden Querträgern die Einflussgrösse offenbar

Y a x Y

¹ a '    ² a ’

Somit ist die Einflusslinie zwischen je zwei Querträgern eine gerade Linie. Dies gilt sowohl vom statisch bestimmten, als statisch unbestimmten Systeme.

Bei Stabsystemen mit gelenkartigen Knotenpunkten verhalten sich die einzelnen Stäbe ganz wie die frei aufgelagerten Zwischenträger, die Knotenpunkte also wie die Querträger.

Wenn die Last unmittelbar auf den Träger wirkt, so entstehen in der geraden Einflusslinie da, wo die Last den Schnitt, der der Bestimmung der Spannungen zu Grunde gelegt wird, überschreitet, Brechpunkte (Knicke) oder eine Unterbrechung (Absatz). Sind Querträger vorhanden, so müssen an denjenigen beiden Querträgern, zwischen denen der Schnitt liegt, Brechpunkte (aber keine Unterbrechung) entstehen, weil in dem Momente, wo die Last, von einem Ende anrückend, einen dieser Querträger überschreitet, auf der anderen Seite ausser dem Stützendrucke noch eine durch den Querträger übertragene Komponente der Last G binzukommt Zwischen diesen beiden Querträgern ist die Einflusslinie nach dem obigen Satze eine Gerade.

Wenn die Last G vertikal über dem

Fig. 43.

Punkte B liegt, durch welchen in Fig. 42 die rechte Reaktion geht, so ist x — l, also B = O, V = G. Die Einflusslinie für B _ß und auch für Spannungen, falls die Last auf der rechten Seite des Schnittes liegt, hat also am linken Ende die Ordinate 0. Dasselbe ist für das rechte Ende hinsichtlich der rechten Beaktion und für Spannungen der Fall, falls die Last auf der linken Seite des Schnittes liegt, wenn die-Punkte A und B (Fig. 42) in einer Horizontalebene liegen, B da alsdann für x = 0 auch V = O, H = 0 wird. Bei der gewöhnlichen Auflagerung werden daher die Einflusslinien die in Fig. 43 dargestellten Formen zeigen.

Jl

1)

§. 21- Einfluss einer gleichmässigen Belastung. Ist eine unendlich kleine Länge dx mit der Last p pro Längeneinheit belastet, so ist die p dx die an der betreffenden Stelle wirkende Last. Ist nun y die Ordinate der für die Einzellast 1 konstruirten Einflusslinie, so ist

also pdx .y die Einflussgrösse. Sonach ist die von der Belastung einer beliebigen Strecke mit der gleichmässigen Belastung p pro Längeneinheit herrührende Einflussgrösse

Y — p f y dx = Fp,

wenn F die der belasteten Strecke entsprechende Fläche der Einflussfigur bezeichnet. Man erhält also die von einer gleichmässigen Belastung erzeugte Einflussgrösse, wenn man die entsprechende Fläche der Einflussfigur mit der Last pro Längeneinheit multiplizirt.

Handelt es sich um den Einfluss einer gänzlichen Belastung des Trägers, so ist natürlich die gesammte Fläche mit der Last pro Längeneinheit zu multipliziren, wobei natürlich die auf verschiedenen Seiten der Aie liegenden Theile der Einflussfigur mit entgegengesetztem Vorzeichen einzuführen sind.

Fig. 44.

Lt

ZA

Der grösstmögliche Einfluss der zufälligen Belastung im bestimmten Sinne entsteht hiernach offenbar, wenn die ganze Strecke belastet ist, in welcher die Einflussgrösse dasselbe Vorzeichen hat. Man erhält daher das positive und negative Maximum der Einflussgrösse, indem manbezüglich denpositiven und negativen Theil der Fläche der Einflussfigur mit der Last pro Längeneinheit multiplizirt. Die ungün-stigste Belastung hinsichtlich des positiven und negativen Maximums ergänzen sich hiernach zur gänzlichen Belastung. Die Durchschnittspunkte G (Fig. 44) der Einflusslinie mit der Axe, welche dem Ende /A der ungünstigsten Belastung entsprechen, nennt man daher auch die Belastungsscheiden, neutralen Punkte oder Nullpunkte.

Anstatt die Einflusslinie für die Last 1 zu konstruiren, kann man dieselbe auch für eine Einzellast konstruiren, welche gleich ist der Last p pro Längeneinheit. In diesem Falle gibt die Fläche der Einflussfigur unmittelbar die Einflussgrösse.

§. 22. Einfluss eines unverrückbaren Systèmes von Einzellasten. Die Methode der Einflusslinie hat hauptsächlich nur Werth bei vollständiger oder theilweiser grafischer Bestimmung. Man kann in diesem Falle die folgenden Methoden anwenden.

1. Sind sämmtliche Einzellasten gleich gross, und zwar = Cr, so addirt man die zugehörigen Ordinaten der Einflusslinie mit Hilfe des Zirkels. Wird die Einflusslinie für die Last G konstruirt, so gibt die erhaltene Summe der Ordinaten bereits die gesuchte Einflussgrösse Y.

Sonst muss diese noch durch Rechnung oder Konstruktion mit G inulti-plizirt werden. Sind mehrere verschiedene Einzellasten Gv 6r<2, 6r₃.. jede derselben indess mehrfach wiederholt vorhanden, wie dies ja bei den Lastenzögen der Eisenbahn- und Strassenbrücken thatsächlich der Fall ist, so muss die vorige Operation mehrfach wiederholt werden, indem man

r=G,Zÿl +G,Zy,+...

setzt. Man kann hier aber auch

Y — G,

I +1¹

G₃

2 y<i + Q- YJ y₃ -f ...

setzen, wobei man die Multiplikation von 2Jy^, Uy₃.., mit den Verfüg G3

G/ Geführt, so dass die ganze in der Klammer stehende Summe grafisch gebildet werden kann. Die im Allgemeinen noch erforderliche Multiplikation von Gx entfällt hierbei, wenn die Einflusslinie nicht für die Last 1, sondern für die Last Gt konstruirt wird.

Bei gerader Einflusslinie kann eine Vereinfachung dann eintreten, wenn die n gleichen Lasten symmetrisch liegen- alsdann ist nämlich Hy gleich der n fachen der Symmetrieaxe entsprechenden Ordinate.

2.    Wenn mehrere Einzellasten Gx, G„, G₃..., jede derselben aber mehrfach Vorkommen, so konstruirt man für jede der Einzellasten eine besondere Einflusslinie. In diesem Falle hat man natürlich nur nöthig, mit Hilfe des Zirkels die den Lasten entsprechenden Ordinaten der zugehörigen Einflusslinie zu addiren. Bei krummlinigen oder mehrfach gebrochenen Einflusslinien ist indess die vorige Methode bequemer.

3.    Man kann HGy auffassen als die Summe der Momente, die in Beziehung auf die Axe der Einflusslinie entstehen, wenn man sich die Lasten G am Ende der zugehörigen Ordinaten parallel zur Axe wirkend denkt. Konstruirt man nun das zugehörige Seilpolygon (Fig. 46), so

hältnissen

. grafisch ’) mit Hilfe des Reduktionswinkels aus-

lässt sich be-

Fig. 45.

B'

ist Y = EGy bekanntlich gleich dem Produkte aus der Pol weite R und der zwischen den äussersten Seiten des Seilpolygones liegenden Strecke R E der Axe.

Wählt man R—l (gleich der Krafteinheit), so ist DE selbst = Y.

4. Ist die Einfluss -linie eine Gerade, welche gegen die Axe unter dem Winkel a geneigt ist (Fig. 47) und sind xt, x„,... die Abstände der Lasten 6rt, Gs... vom Durchschnittspunkte 0, so ist yx = xx tan a, y„ — x„ tan a, also Y — tan a EGx.

Fig. 46.

c;

dL

Ji F

Fig. 47.

I)

Ist x₀ der Abstand des Mittelpunktes (Schwerpunktes) sämmtlicher Lasten von 0, so ist EGx — x₀EG, also

Y = xn tan a . EG = y₀EG, wenn ya die dem Mittelpunkte entsprechende Ordinate der Einflusslinie bezeichnet. Die

35

y,

<-

- --Xçr- *

e, ą ą

Lage des Mittelpunktes aber lässt sich mit Hilfe des Seilpolygones leicht in bekannter Weise ermitteln. Man kann also auch das Moment EGx grafisch bestimmen. Legt man durch 0 eine Vertikale, welche die äussersten Seilpolygonseiten in C und D schneidet (Fig. 48), so ist, wenn H die Polweite bezeichnet,

EGx = H. CD, also

Fig. 48.

■o-

Y = H tan a . CD.

Legt man durch G eine Normale zur Einflusslinie, welche die durch D gelegte Horizontale in E schneidet, so ist DE = CD. tana, also Y=H.DE, und, wenn man R—l wählt, Y — DE.

<-----j

\/

n:

§. 23. Einfluss eines verschiebbaren Systèmes von

Einzellasten. Hier wird es sich in der Kegel darum handeln, die ungünstigste Stellung des Lastensystemes, bei welcher also die Einflussgrösse Y ein Maximum wird, zu bestimmen. Im Allgemeinen wird man diese Lage durch Probiren ermitteln müssen, indem man Y für verschiedene Lagen des Lastensystemes bestimmt. Für die Summirung der

Winkler’s Brückenbau. Tlieorie. I. Heft.

Ordinaten mit Hilfe des Zirkels erscheint es hier rathsam, die Zeichnung auf vertikal liniirtem Papiere zu machen oder die Zeichnung mit einer vertikalen Bleistiftschraffur zu versehen. Den Lastenzug trägt man am besten auf einen besonderen Papierstreifen auf, um denselben leicht in beliebige Lage bringen zu können. Die Einflussgrösse Y wird man am besten an irgend einer der Lasten als Ordinate auftragen; wir nennen die so entstehende Linie die Summen-Einflusslinie.

Besteht die Einflusslinie aus Geraden, so bleibt auch die Linie für

Y    eine Gerade, so lange sich bei der Verschiebung die Lasten innerhalb der einzelnen Strecken, in denen die Einflusslinie geradlinig ist, nicht ändern, wie aus der Gleichung Y = x₀tana2JCr, in welcher bei der Verschiebung nur x₀ variabel ist, leicht hervorgeht. Demnach wird sich die Linie für Y als eine gebrochene Linie darstellen, deren Ecken derjenigen Lastenstellung entsprechen, bei welcher eine Einzellast an einem Brechpunkte der Einflusslinie oder an einem Trägerende liegt.

Es ist leicht zu übersehen, dass die Ecke, welche in der Summen-Einflusslinie beim Ueberschreiten einer Ecke der Einflusslinie durch eine Last entsteht, ausspringend oder einspringend ist, je nachdem die betreffende Ecke der Einflusslinie aus- oder einspringend ist. Wenn, wie gewöhnlich, am Trägerende die Ordinate der Einflusslinie gleich Null ist, so entspricht das Ende einer einspringenden Ecke, da man sich die Axe als

Fig. 49.

JJ

c.

1)

TJ1

Theil der Einflusslinie nach aussen fortgesetzt denken kann; es wird also auch beim Ueberschreiten eines Trägerendes durch eine Last eine einspringende Ecke der Summen-Einflusslinie entstehen. So entsprechen in Fig. 49 die ausspringenden Ecken c dem Ueberschreiten der ausspringenden Ecke C, die einspringenden Ecken d, a, b bezüglich dem Ueberschreiten der einspringenden Ecke D und der Enden A, B. Das Maximum der Einflussgrösse kann offenbar nur einer ausspringenden Ecke der Summen-Einflusslinie entsprechen. Wir können daher auch sagen: Das Maximum der Einflussgrösse

Y    tritt ein, wenn eine Einzellast an einer ausspringenden Ecke der Einflusslinie liegt.

Es kann allerdings zufällig der Fall eintreten, dass das Maximum von Y einer zur Àxe parallelen Seite der Summen-Einflusslinie entspricht. In diesem Falle ist die Lage des Lastensystemes für das Maximum von

Y    innerhalb gewisser Grenzen gleichgiltig.

§. 24. Ungünstigste Belastung bei dreieckiger Einflussfigur. Die Einflussfigur habe die dreieckige Form A OB (Fig. 50) und es sei AG — lx, BC — Z₂, AB — 1, CCJ = h. Die innerhalb der Strecken AC und BC liegenden Lasten mögen die Resultanten Bx und jß₂ haben, deren Angriffspunkten die Ordinaten yx, y,, entsprechen, so dass Y— Bxyx-\-Bqy„ ist. Verschiebt sich das Lastensystem um e nach rechts,

Fig. 50.

A i X n - ly - X-

— eB„ tancer, wenn /_ OAC =    /_ OBC = a₂ ’gesetzt wird; die

Aenderung von V ist demnach

so ändert sich ?/, und y₂ um bezüglich -f- e Bx tan ax und

(Ą_ĘA \ i, k r

A Y — e (Rx tanax — B„ tancc„) — eh

Damit Y möglichst gross werde, wird man, falls Y positiv ist, das Lastensystem nach rechts schieben müssen, wenn Bxtanax> B^tana^ ist. Hierdurch nimmt Bx tan ccx ab und R₂ tan a₂ zu, es nähern sich also Bxtanax und B„tana^ immer mehr. Ist endlich so weit verschoben, dass Bxtanax <z Bçtanccç, dann würde Y nicht mehr zu-, sondern abnehmen, man darf dann also nicht weiter nach rechts verschieben, muss vielmehr jetzt nach links verschieben. Die Bedingung für das Maximum von Y ist also, dass Bxtanax möglichst gleich Bztana„ oder ü    II

~ möglichst gleich y- werde, was wir folgendermassen schreiben wollen : 1. jß, tanu i X Hę tanu₂

oder

jR₂

2    w

• lv ~ 1,

oder: Das Maximum von Y tritt ein, wenn die Last pro Längeneinheit in den beiden Strecken lx und Z₂ möglichst gleich ist.

Es muss hiernach das Lastensystem nach derjenigen Seite ver-schoben werden, in welcher die Last -y pro Längeneinheit den kleineren

Werth hat. Bei diesem Verschieben kommt eine Last G nach C; schiebt man das System noch weiter und ergibt sich dann, dass man das Lastensystem nach der anderen Seite schieben muss, so kommt die Last G offenbar nach C zu liegen; das Maximum von Y tritt also ein, wenn eine Last in C liegt, wie wir bereits im vorigen Paragrafe gesehen haben. Nur wenn zufällig genau Bxtanax = B^tana^ ist, ist die Lage des Systems glichgiltig.

3*

Die Verschiebung nach rechts oder links, jenachdem Rxtan a^R^tana„ hat zu erfolgen, auch wenn dabei eine Last vom Träger abläuft oder eine neue hinzukommt. Denn ist Rltanal > R^tana^, so ist nach rechts zu verschieben ; läuft die letzte Last rechts ab, so wird R₂ kleiner, es bleibt also R^tan^^ R₂tanaQ-, kommt links eine neue Last hinzu, so wird Rt grösser, es bleibt also ebenfalls Rltanccl> R^tanaq. Eine neue Prüfung, ob nach rechts oder links zu schieben ist, hat also nur zu erfolgen, wenn eine Last den Punkt C überschritten hat.

Die Bedingung 1 kann allerdings erfüllt werden, wenn verschiedene Lasten bei C liegen. Da nun aber die Ordinaten der Influenzlinie von 0 aus nach beiden Seiten abnehmen, so werden jedenfalls bei C die schwersten, vielleicht dichtesten Lasten konzentrirt sein müssen.

Die Ungleichung 1 lässt sich auch schreiben:

3.

w G

Theilt man hiernach die Gerade ab, welche der innerhalb AB liegenden

Last Rl-\-R₂ entspricht, im Punkte c in dem Verhältnisse ac : bc = lx : Z₂,

so muss diejenige Last G, welcher der Theilpunkt c angehört, bei C

liegen Denn liegt G links, so ist nach rechts zu schieben, weil alsdann

IL

ist 5 Hegt ćr dagegen rechts, so ist nach links zu schieben, weil h

alsdann < r ist. Die Theilung von ab in dem Verhältnisse lx\l„

JX>2 *2

kann in verschiedener Weise erfolgen, z. B. dadurch, dass man durch a und b Normalen zu den Geraden AC und BG zieht, welche sich in c' schneiden; c liegt alsdann in der durch c‘ gehenden Horizontalen; die Höhe CC' der Einflusslinie AGB ist dabei. vollkommen gleich-gütig-

muss man

kommen oder wegfallen; erforderlichenfalls hat man die Untersuchung

Ehe man weiss, welche Last bei C liegen muss, kann man natürlich im Allgemeinen auch nicht bestimmt wissen, welche Lasten überhaupt auf den Träger fallen; man muss also vorläufig die ungünstigste Lage schätzungsweise aunehmen; hat man unter der Voraussetzung dieser vorläufig angenommenen Belastung die bei C liegende Last bestimmt, so natürlich untersuchen, ob jetzt nicht einzelne Lasten hinzu

von Neuem zu machen.

VI

9 Tonnen. 1,3    1,3    4,0    1,5    1,5 Meter.

Lasten II, Ill, IV, V 'in lt liegen. Es wird ^ = -j=4,0,    = y = 6,1, so

dass nach links geschoben werden muss. Liegen jetzt I und II in l„ so können

li, ₌ 25

zunächst die Lasten III, IV, V in Z₂ liegen und es wird .Z?    30

~ = — = 4,3, so dass jetzt nach rechts geschoben werden muss, es muss also die (₂    7

T = ⁸’3,

Last II hei C liegen (Fig. 51). Für diese Lage wird, wenn die Höhe des Dreiecks =1 ist,

Y = 12 .*-£ + 13.1 + 12 .S-£ + 9 .*-£ + 9 .°-£ — 32,02.

Fig. 51.

■/-3—-fr*...........1------

i**j,<*»

TV T

Nimmt man den Zug umgekehrt an und legt die Last VI nach Z,, die Lasten V, IV, III

so dass nach links geschoben werden muss. Legt man jetzt VI und V nach Z„ IV, III, II nach Zä, so wird ~ = Jy- = 6,0 Hl-    34:

-P- —    = 4,9, so dass jetzt nach rechts verschoben werden muss. Es muss also

h    •

Fig. 52.

II nach Z₃, so wird

HH

1,3

I -12-

-H

-H

die Last V nach C gelegt werden (Fig. 52).

Jedoch gibt diese Belastung kleinerer 'Werthe für Y, als die vorige Belastung, da bei C nicht nur kleinere Lasten, sondern auch Lasten mit grösserem

Abstande liegen; die .Rechnung gibt Y =5.~-|-9.1+-9 . ^ + 12.^ + 13.°-£ = 23,51.

Um den Belastungszug gegen den Träger oder die Einflusslinie leicht in verschiedene Lagen bringen zu können, trägt man denselben, wie schon oben bemerkt, am besten auf einen besonderen verschiebbaren Papierstreifen (Fig. 51b), den wir Lastenstreifen nennen, auf und zwar so, dass man durch Umdrehen des Papierstreifens den Zug auch in der entgegengesetzten Richtung anlegen kann.

-----7—->

f,S

VI V IV

fr; 0 t, 3

III I

§. 25. Ungünstigste Belastung für das abgestumpfte Dreieck. Das Dreieck AC'B (Fig. 53) sei durch die Seite D'E' abgestumpft und es sei die Projektion von D'E', D‘C‘, E'C' auf die Axe AB bezüglich a, av Die Resultanten der in den Strecken AD, DE,

EB liegenden Lasten seien iü,, B, die Neigungswinkel der Seiten AD¹, D‘E\ E‘B gegen AB bezüglich ccl, a, av Bei einer Verschiebung des Lastensystems um e nach rechts wird alsdann die Aenderung von Y

A Y — e [R, tance, -|- B tana — B^tana^].

Setzt man CC‘ = h, VL' = h„ EE‘ = so wird h, = h (l — jl

h* = h{¹~î)

mithin

tan a = — a

-S ! S

F'

JV'ID

Fig. 53.

<—’■ff/"—^

.    'c‘,+-;aÀ

B,

B,

(t — r)’ *anai⁼ p tanccs⁼ ’

AY — eh

■R,

R (*L - *l) 4- Sil

= eh

lx ' a

B. + II — B₀ + R a* a    a

Als Bedingung für die ungünstigste Belastung ergibt sich hiernach ganz entsprechend dem vorigen Paragrafe:

4.

Das Maximum von Y tritt also wieder ein, wenn die Last pro Längeneinheit in den beiden Strecken lv Z₂ möglichst gleich ist; hierbei ist aber die zwischen D und E liegende Last B nach dem Verhältnisse a,:a₂ in zwei Theile zu zerlegen, welche bezüglich zur linken und rechten Belastung zn rechnen sind.

Wenn, wie dies häufig vorkommt, der Punkt C in der Mitte zwischen D und E liegt, so ist demnach die Hälfte von B je zur linken und rechten Belastung zu rechnen.

Fig. 54.

'd

f<

ĆI

Je nachdem nun die linke oder rechte Last pro Längeneinheit die kleinere ist, muss der Lastenzug nach links oder rechts geschoben werden, wodurch sich-.entscheidet, ob eine Last bei D oder E liegen muss. Die im vorigen Paragrafe gezeigte grafische Bestimmung lässt sich auch auf den vorliegenden Fall ausdehnen. Theilt man die auf den Träger fallende Belastung ah (Fig. 54) in c in dem Verhältnisse lt : Z₂, so muss diejenige Last, in welcher c liegt, in dem fraglichen Fache liegen. Theilt man nun noch die in das fragliche Fach fallende Belastung de in f in dem Verhältnisse a, : aq, so muss der Lastenzug nach A oder B hin geschoben werden, je nachdem f von c aus nach a oder h hin liegt.

Fig. 55.

> <------5-----d

Beispiel. Wir wählen dasselbe Beispiel wie im vorigen Paragrafe; nur sei das Dreieck abgestumpft mit a,=l™, a.i—2m, a = 3m (Fig. 55). Legen wir zuerst die Lasten I und II nach DE, die Lasten III, IV nach EB, so wirkt pro 0,33 (12 -f 13)

Längeneinheit links

= 2,8, rechts

0,67 (12 + 13) + 12 -f-9

5,4; es muss also nach links geschoben werden. Legen

wir jetzt 1, II, III nach DE, IV nach EB, so wirkt pro Längeneinheit links 0,33 (12 + 13 -f 12) _

4,1, rechts

0,67 (12 + 13 + 12) -f 9 _

4,8, es muss also

nochmals nach links geschoben werden. Legen wir nun I nach A I), II und III

12+0,33 {13 + 12)

= 6,8,

nach DE, IV nach EB, so wirkt pro Längeneinheit links

+ 12) + 9 _ 2^. eg musg a|so nac|i rechts geschoben werden. Hiernach muss die Last 1 bei D liegen.

rechts

§. 26. Ungünstigste Belastung bei polygonaler Einflussfigur. Bezeichnen wir die Resultanten der in denj einzelnen Strecken BC, CB,... (Fig. 56) liegenden Strecken mit R, Rx, R„..., die Neigungswinkel der Seiten AC', C'D', D‘E'... mit a, ax, a₂..., so ist die Aenderung der Einflussgrösse Y hei einer Verschiebung des Lastensystems um e nach links:

A Y — e (R tan a + Rx tan a, -f- jR₂ tan a„ -f-. *.. ).

Fig. 56.

Trägt man nun die einzelnen Lasten auf einer Vertikalen ab auf, so dass ab gleich der Ge-sammtlast R -f- Rx -f-... wird und legt durch a einen Linienzug aus Geraden, welche senkrecht ,À auf den Seiten AC‘,

C'D', . . . stehen und welchen wir Normalenzug nennen, derart, dass die Ecken desselben auf den die Lasten R, Rx, Rtl... trennenden Horizontalen liegen, so erhält man auf der durch b gehenden Horizontalen einen Punkt k. Es ist alsdann bk = R tana -f- Rx tanax -j- Rq tanaa -j- .... Die Lage des Punktes k gegen b gibt daher an, in welcher Richtung der Lastenzug verschoben werden muss, damit Y wächst; denn liegt b auf derselben Seite, auf welcher der Normalenzug bei a liegt (hier rechts), so ist A Y positiv, es muss also das Lastensystem nach rechts verschoben werden; liegt k dagegen auf der anderen Seite, so müsste das Lastensystem nach links verschoben werden.

Bei vielen Ecken und vielen Lasten kann allerdings diese Untersuchung sehr zeitraubend werden, weil nach dem Ueberschreiten einer Ecke durch eine Last beim Verschieben die Konstruktion des Normalenzuges vom Neuen wiederholt werden muss, so dass man dann vielleicht besser wegkommt, die Einflussgrösse für einzelne Lagen des Lastenzuges zu bestimmen, um die Summen-Einflusslinie auftragen zu können, wodurch gleichzeitig die ungünstigste Lage der Belastung, als auch das Maximum der Einflussgrösse selbst bestimmt sind.

G'v

E'

ux

Cs

V.

I. Abschnitt.

Die äusseren Kräfte der Balkenträger.

§. 27. Einleitung- Bei dem Balkenträger im engeren Sinne, wie wir ihn hier voraussetzen, wirken sämmtliche äussere Kräfte in vertikaler Richtung. Die Spannungen in irgend einem Schnitte hängen von zwei durch die äusseren Kräfte bedingten Grössen ab: nämlich von der Resultante der auf einer Seite des Schnittes wirkenden äusseren Kräfte und deren statischen Momente. Die erstere oder die Summe aller auf einer Seite eines Schnittes wirkenden äusseren Kräfte nennen wir die Transversalkraft (Vertikalkraft, Schubkraft, S c h e e r k r a f t, scheerende Kraft) und bezeichnen dieselbe mit Q²). Das statische Moment der Resultante oder die Summe der statischen Momente aller auf einer Seite des Querschnittes wirkenden äusseren Kräfte in Beziehung auf den Querschnitt selbst nennen wir kurz das Moment für diesen Querschnitt und bezeichnen dasselbe mit M; dasselbe wird wohl auch Angriffsmoment oder Biegungsmoinent genannt.

Ausser dem auf den Querschnitt selbst bezogenen Momente kann noch das Moment für einen nicht im Querschnitte liegenden Punkt in Betracht kommen. In diesem Falle ist das Moment ausser von der Lage des Querschnittes natürlich auch noch von der Lage des Momenten-punktes abhängig.

Wir führen die Transversalkraft Q als positiv in Rechnung, wenn sie auf den linken Theil nach oben oder auf den rechten Theil nach unten wirkt. Wir führen ebenso das Moment M als positiv in Rechnung, wenn dasselbe auf den linken Theil rechts drehend oder auf den rechten Theil links drehend wirkt, oder wenn es den Träger nach oben hohl zu biegen strebt.

A. Statisch bestimmte Träger.

IV. Kapitel.

Ständige Belastung,

a) Einfache Träger.

§. 28. Unmittelbar wirkende Einzelnsten. Der Träger sei durch beliebig viele Lasten 6r,, 6r„, G₃... belastet, welche von der linken Stütze B (Pig. 57) den Abstand |₂, |₃.,., von der rechten Stütze B‘ den Abstand Ip, |₃' . . . haben. Die Entfernung der Stützen sei l, der Druck auf dieselben JD, DJ.

a) Rechnung. Der Stützendruck D, D' ergibt sich durch Aufstellung der Momentengleichungen für die Punkte B‘ und B zu

J) =

Gi ii +    4* ^3 £«' -h • • •

l.

T>‘

Sind Qx, Q₃... die Transversalkräfte für die einzelnen Strecken AGV C^Co, CQC₃..., so wird

2. Q, = J>, Qq = D-Gx, Q, = D - G,-G, = Q,-G,,... Das Moment M im Abstande x von B wird

3. M—Dx— [£,(« - |,)+ Gq(x — J₂) — ...],

wobei sich die in Klammer gesetzte Summe auf alle links vom fraglichen Querschnitte wirkende Lasten zu erstrecken hat.

b) Konstruktion. Man trage die gegebenen Kräfte zur Bildung des geradlinigen Kräftepolygons der Reihe nach auf einer Geraden auf (Fig. 57) und ziehe nach den so erhaltenen Punkten von einem beliebig gewählten Pole 0 die Strahlen. Zu diesen Strahlen ziehe man zur Bildung des Seilpolygons zwischen den gegebenen Kraftrichtungen Parallelen. Schliesst man jetzt das Seilpolygon durch die Gerade BB', die sogenannte Schlusslinie und zieht durch 0 einen Strahl OE parallel zu BB\ so stellen AXE und AeE die beiden in B und B‘ wirkenden, den gegebenen Lasten das Gleichgewicht haltenden Kräfte, d. i. die beiden Stützendrücke D, D' dar. Sonach wird

Qt = 1) = E Ai,    = D —    = AXE — AlAa = EA„,

Q₃ = D — Gy — G-z — At E — At A₂ — A^A₃ — E A₃ u. s. w. d. h. die Transversalkräfte werden durch die Abstände der Punkte des Kräftepolygons vom Punkte E dargestellt. Es ist nun leicht, die Transversalkräfte als Ordinaten in dem betreffenden Querschnitte aufzutragen, wodurch die Figur 57 c entsteht. Die Transversalkräfte werden hiernach theilweise positiv, theilweise negativ.

Legen wir durch das Seilpolygon an beliebiger Stelle einen Vertikalschnitt IK, fällen von K auf BB‘ die Senkrechte KL, bezeichnen mit H die horizontale Seitenkraft der Spannung S des Seilstückes BB‘, mit M, wie oben, die Summe der Momente aller äusseren, links von IK wirkenden Kräfte in Beziehung auf IK, so ist für das Gleichgewicht gegen Drehung um den Punkt K die Bedingung zu erfüllen: M = S.KL oder M= S.IKcos /_1KL, oder, weil /_IKL = /_SBE und S cos/_SBH=H ist, M—TI.IK oder

M — H. y,

wenn wir IK mit y bezeichnen. Hierbei ist H gleich dem normalen Abstande des Poles 0 von der Vertikalen, welche das Kräftepolygon

Fig. 57.

\D'

\ęr

'te! r

te

> ^

A'

te

jl

¹

Die Multiplikation einer Linie y mit dem Verhältnisse

kanntlich unter Benützung der Sätze von ähnlichen Dreiecken in verschiedenerWeise

durchführen. Wenif die Multiplikation mit demselben Verhältnisse häufig vorkommt und &;><¹ ist, so ist die folgende Methode besonders bequem. Man konstruirt das rechtwinklige Dreieck ABC (Fig.45) so, dass sich eine Kathete BA zur Hypotenuse ‘CB wie a : b verhält. Macht man nun CB¹ —y und B‘A‘ senkrecht auf CA,

so ist A‘B‘= ~ y. Diese Methode ist deshalb bequem,

weil die Länge von B‘A‘ mit dem Zirkel genau abgegriffen werden kann (indem man die eine Spitze in B‘ einsetzt und die andere so einstellt, dass eine aus B‘ geschlagener Kreis die Gerade CA tangirt), ohne die Gerade B‘A‘ selbst zu zeichnen.

²

Q soll an Querkraft erinnern, welche Bezeichnung wir wählen würden, wenn nicht das Wort „Transversalkraft“ in fast allgemeiner Anwendung stünde.

TjTr.

Q,

-A-i

g*

-*>-—Aif.

~ŁS

bildet oder gleich der Polweite. Das Moment ist also gleich dem Produkte aus der vertikalen Höhe des Seilpolygones in dem fraglichen Querschnitte und der Polweite. Hierbei ist natürlich H nach dem Kraftmassstabe, y nach dem Längenmass-stabe zu messen. Wählt man H gleich der Krafteinheit, so ist M=y, d. h. das Moment hat so viel Momenteneinheiten, als y Längeneinheiten. Das Seilpolygon liegt ganz auf derselben Seite der Schlusslinie, die Momente haben demnach sämmtlich dasselbe Vorzeichen; der in §. 27 gemachten Festsetzung entsprechend, sind sie positiv.

Ist das Moment M, der links vom Schnitte IK wirksamen Kräfte

für einen in der beliebigen Vertikalen NN (Fig. 58) liegenden Punkt zu bestimmen, so findet man, wenn 1,, Kx die Durchschnittspunkte von NN mit der Verlängerung der Schlusslinie und ___Iio_____

der vom Schnitte getroffenen Seite B„ B₃ sind, durch das Gleichgewicht gegen Drehung um den Punkt Kx in ganz gleicher Weise, dass

Fig. 58.

B°

Ni

-x

JN

Bi

Bs

MX=H. yx

ist, wenn man IXNX — yx setzt. Für den Durchschnittspunkt V der Schlusslinie mit der Polygonseite B₃ wird hiernach Mx = 0 ; je nachdem der Momentenpunkt rechts oder links von V liegt, wird Mx positiv oder negativ.

Die Eigenschaft des Seilpolygones, dass das Produkt aus Polweite und Höhe das Moment darstellt, wurde zuerst von Culmann gefunden (Culmann, grafische Statik, Zürich 1864). Dies aber ist gerade die wichtigste Eigenschaft des Seilpolygones, welche dasselbe zu grafischen Untersuchungen im Gebiete der Statik so ausserordentlich tauglich macht. Dieser Satz allein würde fast genügt haben, Culmann als Begründer der grafischen Statik erscheinen zu lassen.

§ 29. Unmittelbare stetige Belastung, a) Rechnung. Ist q die Last pro Längeneinheit im Abstande x von der linken Stütze, so haben wir die bekannten Beziehungen

dQ

n-dM dx’ V ~ dx •

Durch ein- und zweimalige Integration erhält man hiernach die Ausdrücke für Q und AZ, wobei die Konstanten durch die Bedingung zu bestimmen sind, dass das Moment an den Lagern gleich Null werden muss. Man findet aber auch unmittelbar:

4.

Q = D~

Sqdx~rS

o    i °

^ qdx — ^ qdx--~ [ q xdx,

o    x    o

— x) dx —

q xdx,

M = Dx —

jq (x o

x j qdxj qxdx— -J"

x    O    0

qxdx.

Bei symmetrischer Belastung kann zur Bestimmung der Integrationskonstanten auch die Bedingung, dass in der Mitte Q — 0 wird, benützt werden.

l)

Das Seilpolygon geht hier in eine Seilkurve über, für welche natürlich dieselben Gesetze gelten, wie für das Seilpolygon.

D'

dM

nach der Gleichung Q = selben Querschnitte ein, für welchen Q — 0 wird.

dx

tritt das Maximum von M in dem

b) Konstruktion. Wir denken uns die Last ą pro Längeneinheit als Ordinate in dem betreffenden Punkte aufgetragen (Fig. 59) und

nennen die so entstehende Fläche die Belastungsfläche.

Fig. 59.

J>"

e"

Legen wir an das Seilpolygon in den den Punkten D und E entsprechenden Punkten D' und E‘ Tangenten, welche sich in C‘ schneiden, so geht durch G‘ die Mittelkraft der in der Strecke DE liegenden Lasten oder O liegt vertikal unter dem Schwerpunkte der Fläche D D“ E“ E.

Denkt man sich nun die Last in einzelne Theile zerlegt, so werden die diesen Theilen entsprechenden Mittelkräfte sämmtlich durch die Durchschnittspunkte der Tangenten der Seilkurve für die den Trennungspunkten der Last entsprechenden Punkte gehen. Da die Tangenten den Strahlen, weiche diesen Trennungslinien entsprechen, parallel sind, so bilden sie das Seilpolygon für die Einzellasten.

Wenn wir die stetige Belastung in beliebige Theile zerlegen und dieselben durch Einzelkräfte ersetzen, so sind die Seiten des entsprechenden Seilpolygons also Tangenten an die Seilkurve, wobei die Tangentialpunkte den Trennungslinien entsprechen. Hierdurch wird es möglich, beliebig viele Tangenten der Seilkurve zu konstruiren und mit Hilfe derselben die Seilkurve selbst zu verzeichnen.

Die Transversalkraft für irgend einen Querschnitt wird im Kraftpolygone von der zur Schlusslinie und der dem fraglichen Querschnitte entsprechenden Tangente der Seilkurve parallelen Strahlen abgeschnitten. Hinsichtlich der Momente ist das im vorigen Paragrafe Gesagte unmittelbar anwendbar.

Beispiel. Es sei g bestimmt durch die Gleichung

x (l — x)

Zunächst haben wir

= — j qdx — — Ax +

Die Bedingung, dass der Symmetrie halber für x = A 1 Q ~ 0 werden muss, gibt C — y Al — j^Bl] mithin wird

Bx¹

21

toi iö

- + c.

« = 4* 0-4) -4*4-

= 4i0~4)[³

4 4)

(1+!! _4)}

Es wird nun ferner M = f Q dx, d. i. da für x — 0 auch M = 0 werden muss,

-1 Ł

6 A

Anwendung auf Fälle, in denen man das Eigengewicht variabel annehmen will und auf Träger für Brücken in Kurven, bei denen sich eine gleichmässig über die Bahn vertheilt angenommene Verkehrslast auf die Träger des veränderlichen Abstandes der Gleismitte halber ungleichmässig vertheilt.

Ax (l — x)

(* + T

§• 30 Unmittelbare gänzliche gleichmässige Belastung.

Ist der Träger über seine ganze Länge gleichmässig mit der Last g pro Längeneinheit belastet, so ist jeder Stützendruck D = ~gl. Für irgend einen Querschnitt wird nun Q = D — gx und M = Dx — ~ gxq, d. i.

g U — 2x),

5. Q =

6. M —

gx (l — x).

Q wird am grössten für x — 0 und x — l, M dagegen wird am grössten für x = ~ l und zwar ist

7. Max O — + ₀

g l, Max M —

l gp-

Die Transversalkraft wird durch eine Gerade dargestellt, welche die Axe in der Mitte schneidet (Fig. 60). Das Moment wird durch eine

Fig. 61.

Fig. 60.

D'

i4

ic

A\

B¹

L!

11

fi

Parabel mit vertikaler Axe dargestellt, deren Scheitel in der Mitte liegt (Fig. 61). Die Momentenlinie lässt sich leicht mit Hilfe der Tangenten konstruiren. Macht man im Kraftpolygone AJJÛ = BlD = ~gl, so ist, wenn A F und BF die Endtangenten der Seilkurve darstellen, /\AEFc^/\OBA‘, also

4, = 4',,jr-

FF : AE — A‘D : OB oder EF :

Sollen die Höhen der Seilkurve die Momente selbst

also EF=-^r-

411

darstellen, so ist H=1 zu nehmen; alsdann wird EF=\ gl* — 2 Max AL Um für irgend einen Punkt C die Tangente GH der Seilkurve zu konstruiren , ist zu beachten, dass nach dem vorigen Paragrafe G und H vertikal unter der Mitte von AG und BC liegen. Hieraus ergibt sich leicht, dass sich, wenn man A F und BF in eine gleiche Anzahl gleicher Theile theilt und die Theilpunkte entsprechend mit einander verbindet,

Fig. 62.

eine Schaar von Tangenten der Seiloder Momentenkurve entsteht (Fig.62). In Fig. 61 ist AC—2.AG¹, der Tangentialpunkt hat also vom Ende einen doppelt so grossen Abstand, als das betreffende Ende G der Tangente, wonach in Fig. 62 leicht die Tangentialpunkte zu bestimmen sind; dieselben liegen vertikal über den abwechselnden Theilpunkten der Endtangenten. Da die Durchschnittspunkte der Tangenten nach dem vorigen Paragraf in der Mitte zwischen den durch die Theilpunkte gehenden Vertikalen liegen, so werden auch die Durchschnittspunkte der Tangenten in Fig. 62 vertikal über den abwechselnden Theilpunkten der Endtangenten und die Tangentenpunkte in der Mitte zwischen den Durchschnittspunkten liegen.

§. 31. Mittelbare Belastung. Die mittelbare Belastung ist ganz nach §. 28 wie eine unmittelbare Belastung durch Einzellasten zu behandeln, wobei jedoch als Einzellasten die in den Querträgern oder Knotenpunkten übertragenen Knotenlasten einzuführen sind (siehe §. 12).

Bei einem gegliederten Träger würden nur Einzellasten in Frage kommen. Bei einem vollwandigen Träger würde das Eigengewicht in zwei Tbeile zu zerlegen sein, nämlich das gleichmässig vertheilte Eigengewicht der Träger selbst und das sich nur an den Querträgern übertragende Gewicht der Bahn. Dem ersteren Theile entspricht eine gerade Transversalkraftlinie und eine parabolische Momentenlinie, dem letzteren dagegen eine stafifelförmige Transversalkraftlinie und eine polygonale Momentenlinie. Die Addition beider Wirkungen gibt die in Fig. 63 dargestellten Linien.

Hinsichtlich der grafischen Behandlung ist nun noch das Folgende zu bemerken. Für irgend einen Querschnitt im Abstande F von der linken Stütze ist das Moment =

Fig. 63.

Dx — .R, £t, wenn Bl die Mittelkraft aller auf der linken Seite wirkenden Lasten und ihr Abstand vom Querschnitte ist. Ist R die Mittelkraft aller Lasten, £ ihr Abstand von der

rechten Stütze, so ist D = Nun

V/

aber ist das Moment dasselbe, ob man die gegebenen Lasten oder aber die durch die Zerlegung derselben entstandenen Knotenlasten einführt, weil ja das statische Moment der Mittelkraft immer gleich der Summe der statischen Momente der Seitenkräfte ist. Es wird also auch der Stützendruck D sich gleich ergeben, ob man die gegebenen Lasten oder die Knotenlasten einführt. Legt man den Querschnitt an einen Querträger, so wird sich auch für Rt derselbe Werth ergeben, man mag bei der Bestimmung von R₁ g, die gegebenen Lasten oder die durch ihre Zerlegung entstandenen Knotenlasten einführen. Man kann hiernach behaupten:

An den Querträgern sind die Momente dieselben, als bei unmittelbarer Belastung.

Fig. 64.

X_

Hiernach wird man zunächst das Seilpolygon für die gegebenen Lasten konstrui-ren. Verbindet man diejenigen Punkte desselben, welche den Querträgern entsprechen, durch Gerade (Fig. 64), so erhält man das den Knotenlasten entsprechende Seilpolygon.

Zieht man im Kraftpolygone Strahlen parallel zu den Seiten dieses Seilpolygons und zur Schlusslinie, so schneiden dieselben, dem §. 28

entsprechend, Strecken ah, welche den Transversalkräften in den einzelnen Fächern entsprechen.

Für irgend einen Querschnitt wird, ebenfalls dem §. 28 entsprechend, das Moment gleich dem Produkte aus der Poldistanz und der vertikalen Höhe des den Knotenlasten entsprechenden Seilpolygons. Hiernach werden die Momente für Querschnitte, welche zwischen den Querträgern liegen, etwas kleiner, als bei unmittelbarer Belastung.

Wir haben hierbei stillschweigend vorausgesetzt, dass auch über den Stützen Querträger liegen. Wenn dies nicht der Fall ist, aber

Querträger außerhalb der Stützen angeordnet sind, so kommen von den Lasten, welche innerhalb der Endfächer CE und DF (Fig. 65) liegen, natürlich nur diejenigen Seitenkräfte in Betracht, welche auf die durch den zu unter-suchenden Träger un-\|<? terstützten Querträger C und D wirken. Sind Oc, Oe die Strahlen, welche der zwischen C und E liegenden Last Gr entsprechen und zieht man den Strahl Oa parallel zu C'E', so ist ac die in C wirkende Seitenkraft von Gr; die Schlusslinie wird dementsprechend durch den Punkt A‘ zu ziehen sein, welcher in der Seite C'E' vertikal unter der Stütze A liegt; ebenso verhält es sich auf der rechten Seite.

WÊA

mß

\\ A A

Fig. 65.

EE',

's'

b) Ueberhängende Träger.

§. 32. Träger mit überstellenden Enden im Allgemeinen.

1. Ke ch nu ng. Die in §. 28 aufgestellten Ausdrücke für die Stützendrücke bleiben auch beim Träger mit überstehenden Enden gütig;

nur sind im Ausdrucke für D die Momente Gr jj' der rechts von der Stütze B (Fig. 66) liegenden Lasten und im Ausdrucke für D' die Momente

Fig. 66.

fl

kD’

V.

-

ft ft , -B .

TT Aj i

GI der links von A liegenden Lasten negativ einzuführen. Sind Gr', G",... die links von A liegenden Lasten, so sind die Transversalkräfte in den Strecken CC', C'C",.,.

8. Q' = — G',

Das Vorzeichen — entspricht der in §.27 gemachten Festsetzung. Sind Gx, G„,... die innerhalb AB liegenden Lasten, so sind die Transversalkräfte in den einzelnen Strecken ACX, ClC<l...

9. (Jx = n-{G‘+ G" +...),    Qx — Gx,

Qs = Qi — (    + g-q) f ■ • •

Für das rechte überstehende Ende gelten die Regeln 8, nur sind die Transversalkräfte hier positiv.

Für irgend einen Querschnitt im linken überstehenden Ende ist das

Moment

wenn gy, g" die Abstände der links vom Querschnitte wirkenden Lasten 6r\ G“,... vom Querschnitte bezeichnen. Die Momente sind hier, der Festsetzung in §. 27 entsprechend, negativ. Für irgend einen Querschnitt innerhalb AB im Abstande x von A wird, ganz entsprechend der Formel 3:

11.

M=2)x-{G'£' + G“£" + ...+ Ö.Ji + ^₂J₂+ ...),

wenn g', g",... g,, g„... wieder die Abstände der links vom Querschnitte liegenden Lasten bezeichnen. Für das rechte überstehende Ende gelten wieder die Regeln 10; auch hier sind die Momente negativ.

2. Konstruktion. Man konstruire, wie gewöhnlich, zu der gegebenen Belastung das Seilpolygon (Fig. 67). Die äussersten Seiten verlängere man nach innen bis zum Durch- ' schnitte A‘ und BJ mit den Stützenvertikalen, ziehe die Gerade A‘ B‘ und betrachte das zwischen den Enden G‘,

D¹ liegende Seilpolygon in Verbindung mit der gebrochenen Gera- E den C'A'B'D' als geschlossenes Seilpolygon.

Zieht man parallel zu A‘B‘ einen Strahl OE, so stellen E F und E G die Kräfte dar, welche im Seilpolygon in A‘ und B' nach auf- ^ wärts angebracht werden müssen, um das Gleichgewicht herzustellen; EF und EG stellen also die Stützendrücke dar. Die Transversalkräfte

Winkler's Brückenbau. Theorie. I. Heft.

Fig. 67.

\b

C‘

B’

-m.

in den drei Strecken CA, AB und JBD werden daher dargestellt durch die Abstände der einzelnen Punkte des Kraftpolygons bezüglich von den Punkten F, E und G. Ebenso lässt sich genau, wie im §. 28 näch-weisen, dass das Moment M für irgend einen Querschnitt gleich ist dem Produkte aus der Polweite H und der dem Querschnitte entsprechenden vertikalen Höhe IK (Fig. 57) des Seilpolygones. Hierbei würden beim hängenden Seilpolygon die Momente positiv oder negativ zu nehmen sein, jenachdem IK unter oder über C"M'.ZPjD' liegt. Zeichnet man das Seilpolygon» indem man die Polweite umkehrt, stehend (nicht als Hängewerk, sondern als Sprengwerk), so findet das Umgekehrte statt. Hiernach sind die Momente ausserhalb AB nur negativ, innerhalb AB aber entweder theils negativ, theils positiv oder nur negativ.

Wir haben in Fig. 67 eine unmittelbare Belastung durch Einzellasten vorausgesetzt. Das in §. 29 und 31 über stetige Belastung und mittelbare Belastung Gesagte lässt sich natürlich ebenfalls auf den Träger mit überstehenden Enden übertragen.

§• B2v Kontinuirlicher Gelenkträger. Diejenigen Träger-theile EF (Fig. 68), welche an ihren Enden durch die überstehenden Enden der auf die Pfeiler gelagerten Theile unterstützt sind und die wir

Fig. 68.

F fm

C'

Jt

F’

^,0 o

schwebende Theile nennen, verhalten sich natürlich vollständig wie einfache Träger, sind also nach §. 28 bis 31 zu behandeln. Hierdurch ergeben sich auch die von diesen Theilen auf den überstehenden Enden E, F übertragenen Drücke. Sind diese aber bekannt, so sind auch die

auf den Pfeilern ruhenden Theile ganz nach dem vorigen Paragrafe als Träger mit überstehenden Enden zu behandeln.

Hinsichtlich der grafischen Behandlung ist hierbei noch das Folgende zu bemerken. Legt man zur Schlusslinie E* F⁴ des schwebenden Theiles einen parallelen Strahl Ol und sind OV, OW die zu den äus-sersten Seiten des Seilpolygones des schwebenden Theiles parallelen Strahlen, so sind IV und IW die in E und F auf die überstehenden Enden anzubringenden Drücke. Demnach werden die äussersten Seiten des Seilpolygones für die gelagerten Theile AE und DF parallel zu Ol zu legen sein oder dieselben werden die Verlängerungen von E'F' bilden. Verlängert man dem entsprechend E‘F‘ bis zum Durchschnitte B‘, D* der durch D, D gehenden Stützenvertikalen, so sind nach dem vorigen Paragrafe A‘ D‘ und C‘D* die Schlusslinien für die Endfelder. Die Transversalkräfte und Momente sind nun durch den vorigen Paragraf bestimmt.

Anstatt das Seilpolygon für den ganzen kontinuirlichen Gelenkträger im Zusammenhänge zu zeichnen, kann man natürlich auch das Seilpolygon für die einzelnen Theile gesondert zeichnen. Man muss dann zunächst die Stützendrücke der schwebenden Theile bestimmen, welche alsdann für die übrigen Theile als Endlasten anzunehmen sind.

§. 34. Gänzliche gleichmässige Belastung des kontinuir-lichen Gelenkträgers. VVir wollen für den kontinuirlichen Gelenkträger noch die Ausdrücke hinsichtlich einer gänzlichen gleichmässigen Belastung durch die Last g pro Längeneinheit aufstellen.

Fig. 69.

■5 B

<■

1. Oeffnung mit zwei Gelenken. Ist die Entfernung CD (Fig. 69) der Gelenke =b, so ist die in einem Gelenke zwischen beiden Theilen wirkende Vertikalkraft = ^gb, daher ist die Transversalkraft für einen um x von C abstehenden Querschnitt Q — j gb — gx oder

12. Q-

(j (b — 2oo)

wobei x positiv oder negativ zu nehmen ist, jenachdem der Querschnitt rechts oder links von C liegt. Als Moment für diesen Querschnitt ergibt sich M=jgbx — — gx¹¹ oder

13 M=~gx(b — x),

/V

wonach M positiv oder negativ ist, jenachdem der Querschnitt innerhalb oder ausserhalb der Gelenke liegt.

4*

2. Endöffnung ohne Gelenk. Wir bezeichnen die Spannweite AB (Fig. 70) mit l, den Abstand AC des Gelenkes G von der Stütze r- Fig. 70.

B mit a ; wir haben zur Bestim-J) mung des Stützendruckes D in B die Gleichgewichtsbedingung gegen Drehung um A : D l -f-

JE yt—£Zr~fcA. G

------------1----------------x-a-X-—b—->•

y gb . a — a gIs -f- -f ga? = 0, daher

1    ₇    1 Gi.((I -f- b)

Für einen Querschnitt im Abstande x von B wird nun Q = D — gx, M = Dx — - gx², d. i.

u. 0=4 ,(»-»*)-4

15. M=

1    v 1 ci(aĄ-b)x

gx (l —x) — — g —^ J- .

3. Mittelöffnung ohne Gelenk. Wir bezeichnen die Spannweite AB (Fig. 71) mit l, den Abstand der Gelenke C und D von A

Fig. 71.

F C A+j&ąE BP Gr

—l—

und B mit a und av die Längen der an C und D anstossenden schwebenden Theile mit b und Alsdann wirkt in C und D eine Last j gb und ~ gblf also ist die Gleichgewichtsbedingung für Drehung um B: Dl—jgb(l-\-a) 4 9\ai — 9 “b a ~4- (*i) j- (} -f* a — a\)i daher

D =-~ [(I a) (l a b) — at (a₁ -f- &,)].

Für einen Querschnitt im Abstande x von A wird nun Q = D — 4— g {% + a), M = Dx — ~ g b (x -+- a) — \ g (x -f- a)² oder

16. Q = \l {l — 2x) + a (a + b) — at («, + &,)], 17. M = -~[lx (l—x) — a{a-\-b){l — x) — or, («, + 5,) x].

Wenn a = a,, b — bx ist, so wird einfacher

M=-

* g [x(l —x) — a (a + 6)].

18. Q = -jgQ~Sx),

Die grafischen Darstellungen von Q und M in diesen drei Fällen zeigen die Figuren 108 bis 110.

V. Kapitel.

Verkehrs - Belastung,

a) Einfache Träger.

§. 35. Einfluss einer Einzellast. Wir untersuchen zunächst den Einfluss einer beweglichen Einzellast G.

a) Transversalkräfte. Nehmen wir zuvörderst eine unmittelbare Belastung an, so ist die Transversalkraft für irgend einen Querschnitt, falls die Last rechts von demselben liegt, gleich dem linken Stützendrucke D, also der in §. 27 gemachten Festsetzung entsprechend, positiv. Liegt dagegen die Last links vom fraglichen Querschnitte, so ist die Transversalkraft =D — G, d. i., da D immer < G ist, negativ. Die Transversalkraft ist daher positiv oder negativ, je nachdem die Einzellast rechts oder links vom Querschnitte liegt.

Hat die Einzellast G von der rechten Stütze den Abstand so ist

£

D = G y, demnach ist bei rechts

liegender Last

Fig. 72.

dagegen bei links liegender Last

JE'

2. Q = I)-G = — G

M)-

JP

c"

£------------>i

Die Einflusslinie besteht dementsprechend aus zwei parallelen Geraden BA' und AB' (Fig. 72 und 73), wobei AA' = BB' — G ist. Bei unmittelbarer Belastung sind diese beiden Geraden durch eine durch den fraglichen Querschnitt gehende Vertikale CE verbunden. Bei mittelbarer Be-lastung hat die Gleichung 1 und 2 dagegen nur Giltigkeit, wenn sich die Last ausserhalb der beiden Querträger C und E befindet, zwischen denen der fragliche Querschnitt liegt; die diesen Querträgern entsprechenden Punkte G und E' der Einflusslinie sind nach §. 20 durch eine Gerade C'E' zu verbinden.

b) Momente. Wenn die Last G rechts vom fraglichen Querschnitte, der von der linken Stütze den Abstand x habe, liegt, so ist

-----Xr.....>\

Fig. 73.

\E

h.....

-r-

...JE'

L ........

..........

B’

das Moment M gleich dem Momente Dx des linken Stützendruckes, d. i. rechts drehend oder positiv. Liegt dagegen die Last links vom Querschnitte , so ist das Moment M gleich dem Momente D‘ (l — x) des rechten Stützendruckes, d. i. links drehend, also nach der Festsetzung in §. 27 ebenfalls positiv. Eine Einzellast erzeugt also stets ein positives Moment, wo sie auch liegen möge.

Hat die Einzellast von der rechten Stütze wieder den Abstand |, so ist D = G~ D‘ = D

(i — yj, mithin bei rechts liegender Last 3. M = Dx = -f G

xl

und bei links liegender Last

4.

M — D‘ (l — x) = -f- G -

(l — x) (l — I)

Hiernach besteht die Einflusslinie aus zwei Geraden AF‘ und BF' (Fig.74 und 75), welche sich in einem in der Querschnittsvertikalen liegenden

Punkte F‘ schneiden. Hierbei wird

x (l — x)

Fig. 74.

F'

-A

tii

FF' = G

Fig. 75.

ZLlfe

T'-L

''x

OFF

Es liegt somit der Punkt F ‘ auf einer Parabel mit vertikaler Axe, deren Höhe in der Mitte = j G l ist. Bei unmittelbarer Belastung (Fig. 74) reichen diese Geraden bis an die Querschnittsvertikale, bei mittelbarer Belastung (Fig. 75) dagegen nur bis an die Vertikalen, welche den den fraglichen Querschnitt einschliessenden Querträ-

gern C, F entsprechen; zwischen diesen isQnach §.20 eine geradlinige Verbindung Q F* durchzuführen.

Fig. 76.

ß. Die Gleichungen 3 und 4

JF³*

+FJ

AÛ'

V—------

gelten auch dann noch, wenn ąB der Momentenpunkt nicht im j fraglichen Querschnitte liegt ;

nur bedeutet in diesem Falle x den Abstand des Momen-tenpunktes I (Fig. 76) von der linken Stütze A, wobei x positiv oder negativ zu nehmen ist, je nachdem I rechts oder links von A liegt. Auch hier besteht die Einflusslinie aus zwei Geraden A C‘, B E', welche durch einen

kJl

E'

lind denselben Punkt I‘ gehen, der in der Vertikalen des Momenten-punktes liegt. Liegt der Momentenpunkt innerhalb der Stützen A, B, so ist das Moment nur positiv ; liegt er dagegen ausserhalb der Stützen, wie in Fig. 76, so ist das Moment theilweise positiv, theilweise negativ.

3. Ungünstigste Lage der Einzellast. Nach den Ausdrücken 1 bis 4 und den denselben entsprechenden Einflusslinien folgt, dass sowohl die Transversalkraft, als das Moment um so grösser werden, je näher die Einzellast bei unmittelbarer Belastung dem Querschnitte, bei mittelbarer Belastung dem Fache, welchem der Querschnitt angehört, liegt. Transversalkraft und Moment werden also am grössten, wenndieLast bei unmittelbarer Belastung am Querschnitte, bei mittelbarer Belastung an einem der das fragliche Fach begrenzenden Querträger liegt.

§• 36. Ungünstigste gleichmässige Belastung. Durch die im vorigen Paragrafe bestimmten Einflusslinien ist gleichzeitig die ungünstigste Belastungsweise gegeben.

Die Transversalkraft wird hiernach zum positiven und negativen Maximum bei theilweiser Belastung und zwar ist für das positive Maximum die rechte Seite von der rechten Stütze aus, für das negative Maximum die linke Seite von der linken Stütze aus zu belasten. Bei unmittelbarer Belastung muss hierbei die Last bis zum Querschnitte reichen, während sie bei mittelbarer Belastung bis dem entsprechenden neutralen Punkt H (Fig. 77) reichen muss. Dem vorigen Paragrafe entsprechend, lassen sich die neutralen Punkte H leicht konstruiren, indem man durch A

zu

A‘

C IL

K-

Fig. 77.

—a—>

und B zwei beliebige parallele Gerade AB¹ und BA‘ legt und in den zwischen diesen Parallelen durch die Querträgervertikalen abgetheilten Fächern die links fallenden Diagonalen zieht (Fig. 77). AB kann hierbei auch eine schiefe Lage haben. Bezeichnen wir den Abstand des neutralen Punktes H vom rechten Querträger E mit £, die Fachweite CE mit a, den Abstand BE mit xlt so

xt -f⁻ £

ist, wenn in H eine Einzellast G liegt, B — G

also

B‘

Q— G

G A = G ax\ — O' — a)%

al

Da aber für den Punkt H Q — 0 werden muss, so wird

5. i —    . .

I — a

Da das Moment (wenn der Momentenpunkt im Querschnitte liegt) stets positiv ist, wo auch die Einzellast liegt, so, wird das Moment zum Maximum bei gänzlicher Belastung des Trägers.

Liegt der Momentenpunkt nicht im Querschnitte, so wird das Moment zum Maximum, 1. falls der Momentenpunkt zwischen den Stützen liegt, bei gänzlicher Belastung; 2. falls der Momentenpunkt ausserhalb der Stützen liegt, bei theilweiser Belastung (Fig. 76).

§. 37. Grösste Transversalkraft bei gleichmässiger Belastung- Die gleichmässige Belastung pro Längeneinheit sei p.

Fig. 78.

a) Unmittelbare Belastung. Wenn d; der Träger vom Querschnitte aus bis zur rechten oder linken Stütze belastet ist . (Fig. 78), so wird die Transversalkraft be-I züglich gleich dem linken oder negativen rechten Stützendrucke; demnach ist, wenn der Querschnitt von der linken Stütze den Abstand x hat,

Fig. 79.

—0C-.

-----JC-----^

max (*f 0)= +

6.

21

SSs

nsn

px1 ^21

Hiernach lässt sich max (db Q) durch zwei Parabeln mit vertikaler Axe darstellen, deren Scheitel bezüglich an der rechten und linken Stütze liegen (Fig. 79).

Wirken das Eigengewicht und die Verkehrsbelastung gleichzeitig, so kommt noch der durch die Gleichung 5 (S. 45) bestimmte Ausdruck hinzu. Man hat also

I max (— Q) — -f-

7.

f max (+ Q) = ~ g (Z — 2x) +

p (I — œ)a

21

max (— Q) =

g (l — 2x) —

px¹

2Ï'

Hiernach lässt sich auch unter Berücksichtigung des Eigengewichtes max (± Q) durch zwei Parabeln mit vertikaler Axe darstellen (Fig. 80), deren Scheitel indess nicht mehr den Stützen entsprechen. Die Stützweite theilt sich dementsprechend in drei Theile AC, CD, BD derart, dass Q im linken Theile nur positiv, im rechten Theile nur negativ, im mittleren Theile dagegen positiv und negativ werden kann. Setzt man

AC = xx, so würde zur Bestimmung von xx in der zweiten der Gleichungen Q — 0, x = xx zu setzen sein; hierdurch ergibt sich

8. ■?*• =

Fig. 80.

wonach xx um so grösser wird, je grösser das Eigengewicht gegen die zufällige Last ist.

b) Mittelbare Belastung. Wenn der Träger von der rechten Stütze aus bis zu einem Punkte H (Fig. 81) des fraglichen Faches belastet ist, und A wie im vorigen Paragrafe A G — x,

BE — xv EH = £ gesetzt wird, so ist der linke Stützendruck D =p⁽~y-,

/v L

die in C wirkende Seitenkraft der Be-

£2

lastung des Faches CE = p mithin 0», 4- §)“

[......|| _

Jr

Q = ^p[

Hl

a J

Um das Maximum von Q zu erhalten, ist für I der Ausdruck 5 einzusetzen. Dies gibt

\<----ifc----->

Ak

Ci

Fig. 81.

B¹

9. max (+ Q) = -f-

px,²

2 (l - a) Für das Eigengewicht wird Q =

D 9 x 9a — ~2 9^ — a — % x)i also wird die Gesammtwirkung

10. max(+Q) = ^g(i-a-2x) pß — a—xY

p (l — a — x)-2 (Ï — a)

Fig. 82.

i\

2(1— a)

Das negative Maximum erhält durch Vertauschung von x mit xt und * Umkehrung des Vorzeichens in dem Gliede mit p. Hiernach ist das Maximum der Transversalkraft ebenso gross wie bei einem Träger mit der Stützweite l — a b ei u nm i 11 el barer B el as t ung und zwar an e i n e m [Querschnitte,

man

iiiiiiii—

ini

ii luli' i! iii JAiil

welcher für das positive und negative Maximum von der linken und rechten Stütze bezüglich den Abstand x und xl hat, wonach auch leicht die grafische Darstellung mit Hilfe der Parabel erfolgen kann (Fig. 82).

Wir wollen noch den Mittel werth von Q feststellen unter der Voraussetzung, dass nur die eine Trägerhälfte in Betracht kommt. Setzen wir diesen Mittelwerth

von Q = mitt Q, so ist olfenbar

Y I mitt Q = J* Q dx

o

oder gleich der der linken Trä

gerhälfte entsprechenden Transversalkraftfläche. Die Ausführung gibt, wenn man für Q die Formeln 7 einführt,

17    *

mitt max (+ Q) = — gl + -j^ Ph

1 1

mitt max (— Q) = — gl — p l.

Bei mittelbarer Belastung muss statt der Integration eine Summirung unter Benützung

des Ausdruckes 10 durchgeführt werden. Hierdurch ergibt sich

1    7 t 2    \

mitt max (-{- Q) = — gl + — pH--ol

(— Q) = y 9l ~ p ~2a*)•

a.

b.

rnitt max

§. 38. Grösstes Moment für gleichmässige Belastung.

Da das grösste Moment für irgend einen Querschnitt bei gänzlicher Belastung eintritt, so gelten hier dieselben Regeln, wie für die ständige Belastung nach §. 30 und 31.

a) Unmittelbare Belastung. Für den Querschnitt im Abstande x von der linken Stütze wird nach Formel 6 (S. 45) für das Eigengewicht M — j gx(l—x), mithin für die Verkehrslast M = yP%(1—%), folglich als Gesammtwirkung

li.    ig + p) — x).

&) Mittelbare Belastung. Hat der Querschnitt von den Stützen den Abstand x und l—x, von den nächsten Querträgern den Abstand ij, a — §, während der Abstand der Querträger =a ist, so ist für die zwischen den beiden Querträgern liegende Last (g -f- p) a allein bei unmittelbarer Belastung M = Dx — — (g 4- p) g², für mittelbare Belastung M — Dx — j{g -|- p) a£, also ist das Moment im letzteren Falle um y (g + P) I (a — I) kleiner, als im ersteren. Für die übrige Belastung ist das Moment in beiden Fällen dasselbe. Da nun für unmittelbare Belastung M — ~ (g — p) x (l — x), so ' ist für mittelbare Belastung

12. M —

Bei vollwandigen Trägern würde sich dieser Ausdruck indess nur auf die Verkehrslast und die Bahn beziehen; für das Gewicht der Träger selbst hat natürlich die Begel für unmittelbare Belastung in Anwendung zu kommen.

Bezeichnen wir wieder den Mittelwerth von M mit mitt M, so ist 2JÎ l

-J

M dx

oder gleich der Momentenfläche. Setzt man für M den Ausdruck 11, so gibt die Ausführung

■ a. mitt M =

-j2 (0 + -P) **•

Bei mittelbarer Belastung ist von der Momentenfläche ~jg(g~\- P) V für jedes Fach ■jer (gp) (t³ abzuziehen. Hierdurch ergibt sich

b. mitt M =

-Ł- (g + P) (l² — a²)-

Der Parameter der Parabel, deren Ordinaten M darstellen, ist g-\-p, also von der Spannweite unabhängig. Steiner schlägt deshalb zum Zeichnen der Momenten-kurve die Anwendung einer Parabel-Schablone vor.

§. 39. Ungünstigste unmittelbare Belastung durch ein System von Einzellasten. Die Bestimmung der gefährlichsten Belastung kann nach der allgemeinen Behandlung in §. 23 und 24, mit Rücksicht auf die in §. 35 bestimmte Form der Einflusslinien erfolgen, so dass wir uns hier kurz fassen können.

a) Transversalkräfte. Dem §. 24 entsprechend, wird die grösste Transversalkraft dann entstehen, wenn eine der Einzellasten am fraglichen Querschnitte liegt. Da nur rechts vom Querschnitte liegende Lasten positive Transversalkräfte erzeugen, so wird für das positive Maximum eine der vorderen Lasten am Querschnitte liegen müssen. Wenn die vordere Last dicht rechts vom Querschnitte liegt, so ist die Transversalkraft, falls B die Mittelkraft aller Lasten, £ ihr Abstand von der rechten Stütze ist, bestimmt durch

Ql = B i

Verschiebt man nun das Lastensystem nach links, so dass die zweite Last dicht rechts vom Querschnitte liegt, so wird die Transversalkraft, wenn man die vordere Last mit ćr, ihren Abstand von der zweiten Last mit e bezeichnet und wenn beim Verschieben um e neue Lasten mit der

Resultante G' auf den Träger rücken, deren Abstand von der rechten Stütze = e* ist,

Qxl — B (£ -f- c) -f- G¹ &' — Gl.

Hiernach wird Qx > Q, wenn

13. Gl c Me -f- G e'

ist. Wenn die grössten Lasten mit dem kleinsten Radstande voraus-schreiten, so ist unbedingt ~ >

G‘e

i — x + e

, mithin auch,

da e⁴ce und l — x -f- e <1 ist, Gl > Re Ą-G⁴e‘-, in diesem Falle muss also unbedingt die vordere Last am Querschnitte liegen. Nur wenn leichte Lasten vorausschreiten, kann die zweite Last am Querschnitte liegen müssen. Es ergibt sich in gleicher Weise, dass die dritte Last am Querschnitte liegen müsste, wenn die Bedingung 13 und die folgende

Gxl < Re, + G'e, + G"e“

erfüllt sind, wobei G, die zweite Last, e, ihren Abstand von der dritten Last bezeichnet, und wenn beim Verschieben um e, noch Lasten mit der Resultante G“ und dem Abstande e“ von der rechten Stütze auf den Träger rücken. Bei den üblichen Belastungen der Eisenbahn- und Strassenbrücken dürfen indess immer nur Lasten auf der rechten Seite des Querschnittes liegen. Bei Strassenbrücken hat hierbei das hintere Wagenrad am Querschnitt zu liegen, während die Pferde nach der rechten Seite gerichtet sind. Für das negative Maximum der Transversalkraft ist einfach das „rechts“ mit „links“ zu vertauschen.

&) Momente. Da die Einflusslinie nach §. 35 ein über die ganze Stützweite reichendes Dreieck ist, dessen grösste Höhe sich am fraglichen Querschnitte befindet, so folgt aus §.24, dass eine der Einzellasten am fraglichen Querschnitte liegen muss und zwar diejenige, für welche

17.

ist, wenn R, und die auf beiden Seiten des Querschnittes liegenden bezeichnen; es muss also die Last pro Längeneinheit auf beiden Seiten des Querschnittes möglichst gleich sein.

Die Art und Weise der Anwendung dieser Regeln, sowie die grafische Bestimmung der ungünstigsten Belastung ist in §. 24 gezeigt worden. In Fig. 91 d ist noch eine andere Form der Konstruktion dargestellt. Man trägt auf einer Stützenvertikalen die Lasten in ihrer Reihenfolge auf und legt durch die Punkte dieses Kräftepolygones Horizontalen. Man zieht nun die Diagonale, welche sämmtlichen auf den Träger liegenden Lasten entspricht, die allerdings für die einzelnen Querschnitfe veränderlich sein kann. An einem bestimmten Querschnitte C muss alsdann diejenige Last liegen, in deren Fache der dem Querschnitte C entsprechende Punkt C‘ der Belastungs-Diagonale liegt, weil der Punkt G⁴ die ganze Belastung G₀ Cä in dem Verhältnisse x⁴ : l — x theilt.

Die Querschnitte, für welche eine Aenderung der Belastungsart eintritt, können in dreifacher Weise entstehen: 1. Es bleibt dieselbe

Last am Querschnitte liegen, aber es ändert sich die Anzahl der Lasten; für diese Querschnitte liegt eine Last auf einer Stütze. In Fig. 91 sind dies die Querschnitte s und t, für welche die Last VI über der rechten Stütze liegt. 2. Es ändert sich die am Querschnitte liegende Last, aber es bleibt dieselbe Gesammtbelastung; diese Querschnitte entsprechen einem Durchschnitte der Belastungs-Diagonale mit einer Horizontalen,- in Fig. 91 ist dies der Querschnitt Je, welcher dem Durchschnittspunkte K entspricht.

3. Es ändert sich die am Querschnitte liegende Last, aber auch die auf dem Träger liegende Gesammtbelastung. In Fig. 91 ist v ein solcher Querschnitt. Die Bestimmung dieser Querschnitte, welche durch quadratische Gleichungen bestimmt sind, ist weniger einfach.

Fig. 83.

7 6    5    433 IO!' 33‘4‘ 5‘ 6' 7‘

Q    ^    {{\j/    \

4 4 4    77 7    7 7 7    7 7 7 4 4 4

Göbel zeigt in der „Theorie der Maximalmomente einfacher Träger“ (Mainz 1883) die Konstruktion eines Netzes zur schnellen Bestimmung derjenigen Last, welche für maxM am Querschnitte liegen muss. Diese „Tafel der Bereiche der massgebenden Lasten“, wie er das Netz nennt, wird dadurch erhalten, dass man die Stützweite so aufträgt, dass beide Enden auf den Schenkeln eines Winkels A OB (Fig. 83) liegen und in jeder Stützweite die Grenzpunkte markirt, innerhalb deren    0

a : 0—4, 0 -4‘ b ■.0 1 34 2* 3‘ b*:0 1*3*4* 2 3

sb

X-

WZ' \ is$

0\«

Z'

10

eine ganz bestimmte Last am Querschnitte liegen muss. Fig. 83 entspricht einer symmetrischen Belastung und OG der Mitte der Stützweite. Die dem absoluten Maximum von M entsprechenden Querschnitte sind durch strichpunk- ^ tirte Linien angegeben. Ueber die Natur und Konstruktion der Linien des Netzes siehe das genannte Werk. Wenn für dieselbe Belastung die Momente bei sehr verschiedenen Stützweiten zu bestimmen sind, so kann dieses Netz in der That gute Dienste leisten.

ix

\\\

YÙ

114

Z1    z' \03*

03

Die Regel, dass die ungünstigste Belastung hinsichtlich der Momente diejenige ist, bei welcher die Last pro Längeneinheit auf beiden Seiten möglichst gleich gross ist, wurde zuerst vom Verfasser aufgestellt (Zeitschr. des österr.

\ \ \ \ \\

o\ 3 \*\ W

— V \_\x

Ingen.- u. Arch.-Ver. 1870), nachdem /j nachgewiesen worden war, dass bei einer stetigen Belastung genaue Gleichheit der Lasten pro Längeneinheit stattfinden müsse. Die auf demselben Satze be- ^ ruhende Regel für die zur Herbeiführung der ungünstigsten Belastung nöthige Verschiebung eines Systèmes von Einzellasten wurde zuerst von Schaffer (Erb-kam’s Zeitschr. für Bauw. 1870) aufgestellt. Die in Fig. 91 d vorgeführte, auf demselben Satze beruhende Darstellung wurde zuerst von Weyrauch (Zeitschr. des hannov. Arch.- u. Ingen.-Ver. 1875) angegeben.

§. 40. Ungünstigste mittelbare Belastung durch ein System von Einzellasten.

a) Transversalkräfte. Für das positive Maximum der Transversalkraft muss, dem §. 24 und 35 entsprechend, eine Einzelkraft am rechten Querträger E (Fig. 81) des fraglichen Faches liegen. Bezeichnet man die Mittelkraft aller rechts von E liegenden Lasten mit Bv den Abstand des neutralen Punktes H von E mit £ und BE mit xlx so muss nach §. 24

Ilx w B + jß,

i ~ i 4- «i

14.

oder

sein. Da nach Formel 5 £(Z — a)=a#, ist, so wird auch oder Bl X (R + R,) a oder

15    ^ w E -f- /»* i

Es soll also die in den Strecken AB und CE liegende Last auf die Längeneinheit möglichst gleich gross sein.

b) Momente. Die Einflusslinie ist hier nach §. 35 ein über die ganze Stützweite reichendes Viereck, von dem zwei Ecken den Querträgern entsprechen, zwischen denen der fragliche Querschnitt liegt. Nach §. 25 muss eine der Einzellasten an einem der beiden das fragliche Fach begrenz en den Querträger li egen und zwar muss hierbei die Bedingung

16.

I — x

erfüllt sein, wenn B die im fraglichen Fache liegende Belastung, Bx, jR₂ die links und rechts vom fraglichen Fache liegende Belastung, ax, a2 den Abstand des Querschnittes vom linken und rechten Querträger bezeichnet. Es muss also die Last pro Längeneinheit auf beiden Seiten des fraglichen Querschnittes möglichst gleich gross sein; hierbei ist die im fraglichen Fache liegende Last im Verhältnisse der Entfernung des Querschnittes von den beiden Querträgern in zwei Theile zu zerlegen, welche zur Belastung der bezüglichen Seite des Trägers zu rechnen sind.

Die Anwendung dieser Regeln wurde bereits in §. 24 und 25 gezeigt. Wir wollen indess noch eine der im vorigen Paragrafe für unmittelbare Belastung gezeigten Konstruktion entsprechende Bestimmung vorführen. In Fig. 96 b ziehe man von dem dem fraglichen Fache CE entsprechenden neutralen Punkte H aus die entsprechende Belastungsdiagonale 1ZJ5₄; schneidet dieselbe die dem Querträger E entsprechende Vertikale in e, so theilt e die Belastung B -f- Rx im Verhältnisse | | -f- xx ; nach der Beziehung 14 wird daher diejenige Last, welche der Punkt e

entspricht (hier die II. Last) für maxQ bei E liegen müssen. Zur Bestimmung der ungünstigsten Belastung für max M ziehe man die Belastungsdiagonalen sowohl hinsichtlich der möglichen Gesammtbela-stung, als der hierbei möglichen Belastung des fraglichen Faches CE. Die dem fraglichen Querschnitte F entsprechende Vertikale schneide die Diagonale A₀Br) für die Gesammtbelastung A₀Bà in f und die Diagonalen C^E₃ und C₀E₃ für die Belastung des Faches CE in fx und f₂. Alsdann ist F₀f:Fàf=x:l— x und für die Belastung von CE

durch die Lasten II und III: FQf\ = Bt + R Fb fq — B„ -f- B —, dagegen für die Belastung von CE durch die Lasten /, II, III: F₀ ft — Bt -f B F₅ fa = Bç B Der Bedingung 16 entsprechend, muss das Lastensystem bei der Belastung von CE mit II und III nach rechts, bei der Belastung von CE mit I, II, III nach links geschoben werden; in beiden Fällen kommt die Last I nach C zu liegen, welche Belastung also für den Querschnitt F die ungünstigste ist. Für die Querschnitte, welche den Durchschnittspunkten g und h entsprechen, ist die Lage der Belastung, so lange innerhalb AB und CE dieselben Lasten bleiben, gleichgiltig.

§. 41. Grösste Transversalkraft für unmittelbare Belastung durch ein System von Einzellasten.

a)    Rechnung. Sind für das positive Maximum von Q die einzelnen Lasten Gv Gr₂,..., ihre Abstände von der rechten Stütze g₂',... und ist Gr die Summe aller links vom fraglichen Querschnitte liegenden Lasten, so ist, dem §. 28 entsprechend,

- Gr.

17. max (+ (?) =

Fig. 84.

fr

.J-

.......

______

Für das negative Maximum ist rechts mit links zu vertauschen und das Vorzeichen umzukehren.

b)    Konstruktion.

a) Stützendruck.

..........

......

j.

G-/

Der Belastungszug sei von rechts so weit vorgerückt, dass die vordere Last in C liegt. Man konstruire für diese Belastung das Kraftpolygon EG (Fig. 84) und das entsprechende Seilpolygon. Wir haben hierbei A

den Pol 0 in der durch E gehenden Horizontalen, dementsprechend die erste Seilpolygonseite AC horizontal angenommen. Zieht man jetzt der Spannweite AB entsprechend die Schlusslinie AB¹ und parallel zu derselben den Strahl OF, so ist nach §.28 EF der linke Stützendruck B. Nun aber ist /\OE F oo /\AB B⁴, mithin AB : B B⁴ = OE : EF. Setzt man OE = H, B B⁴ — y, so wird, da EF= D, AB — l ist,

l : y = H : B,

mithin

T) _

l '

Hierbei sind l und y Längen, H und B Kräfte. Man erhält aber bei einem Produkte zweier Linien, von denen die eine eine Länge, die andere eine Kraft darstellt, denselben Werth, wenn man die Massstäbe vertauscht; man kann also auch H nach dem Längenmassstabe, y nach dem Kraftmassstabe messen. Macht man alsdann H=l, wie es in Pig. 84 geschehen ist, so wird sehr einfach

B = y.

Besonders bequem wird die Konstruktion, wenn man das Seilpolygon in umgekehrter Lage konstruirt, so dass die vordere Last in B liegt; es kann dann B als Pol, die Vertikale AA‘ als Kraftpolygon benützt werden. Alsdann ist die Ordinate CG⁴, welche der Lage der vorderen Last entspricht, der linke Stützendruck B.

ß) Trans versai kr aft. Wenn für das Maximum von Q die vordere Last am Querschnitte liegen muss, so ist der linke Stützendruck gleichzeitig das positive Maximum der Transversalkraft. Die Konstruktion ist

Fig. 85.

r**

ho

s-.

*B

in Fig. 85 nochmals durchgeführt. Wenn dagegen die zweite Last am Querschnitte liegen muss, so zieht man einfach von der der vorderen Last entsprechenden Ordinate des Seilpolygons, welche nach dem Vorigen den linken Stützendruck darstellt, die vordere Last ab. Durch dieses Verfahren verschiebt sich das Seilpolygon um den Abstand der beiden ersten Lasten nach rechts und um die erste Last nach unten. Konstruirt man beide Seilpolygone, so entspricht an einem bestimmten Querschnitte die grössere der beiden Ordinaten der Maximal-Transversalkraft.

Diese grafische Bestimmung des Stützendruckes und die darauf gegründete Konstruktion der Maximal-Transversalkraft wurde zuerst vom Verfasser (Zeitschr. des österr. Ingen.- u. Arch.-Ver. 1870) gegeben.

§ 42. Grösste Transversalkraft für mittelbare Belastung durch ein System von Einzellasten.

a) Rechnung. In dem für unmittelbare Belastung geltenden Ausdrucke 17 ist offenbar nur G — für G zu setzen, wenn a den Abstand der Querträger bedeutet, zwischen denen der fragliche Schnitt liegt und I den Abstand der Resultante der zwischen diesen Querträgern liegenden Lasten vom rechten Querträger; es wird also

&t L\ + fotia' + • • •

18.

max (+ Q) =

Natürlich kann auch für G% die Summe der Momente der einzelnen zwischen beiden Querträgern liegenden Lasten in Beziehung auf den rechten Querträger genommen werden.

V) Konstruktion. Die im vorigen Paragrafe gezeigte Konstruktion des Stützendruckes, welcher von der Lage der Querträger unabhängig ist, bleibt natürlich auch hier giltig. Dieselbe Konstruktion aber macht man für jedes einzelne Fach, d. h. man bestimmt grafisch den Druck, welchen die Zwischenträger durch ihre Belastung durch Einzellasten auf die Querträger übertragen, indem man ein Seilpolygon kon-struirt, für welches die vordere Last am rechten Querträger liegt und für welches die Polweite gleich der Fachweite a ist (Fig. 86). Haben alle Fächer dieselbe Weite a, so ist selbstverständlich die Konstruktion nur einmal nöthig. Liegt nun die vordere Last im Fache CE bei H, so ist HH der linke Stützendruck.

Entspricht nun dem Punkte H die Höhe hh' des für das Fach CE konstruirten Seilpolygones eli‘c‘, wobei also eh = EH ist, so ist hh' gleich dem vom Zwischenträger CE auf den Querträger C übertragenen Drucke. Macht man daher HH“ = hh', so ist HH“ die Transversalkraft für das Fach CE bei der angenommenen Belastung.

Konstruirt man in jedem Fache Polygone in der Weise, dass man die Ordinaten der den Fächern entsprechenden Seilpolygone von den oberen Enden der Ordinaten des Seilpolygons BHA‘ nach unten abträgt, so entsprechen die höchsten Punkte dieser Polygone in jedem Fache offenbar der Maximaltransversalkraft für dieses Fach.

Winkler’s Brückenbau, Theorie. I. Heft.

Fig. 86.

TI'

IT

CI IT_

c‘

1/

ć¹

Liegt in dem Fache CE nur eine einzige Last G im Abstande g Fig. 87.

von E, so ist der vom Stützendrucke abzuziehende

x'«

Druck in C = G — ; macht mau in Fig. 87 cc‘ = G

'C

und zieht die Gerade c'e, so ist hh‘ = G —. Es

a

ist diese Konstruktion indess mit der vorigen übereinstimmend, da eh‘ die erste Seite des Seilpolygons mit der Polweite a ist.

§. 43. Grösstes Moment für unmittelbare Belastung durch ein System von Einzellasten.

a) Rechnung. Es seien Gv Gq,... die auf der linken Seite des im Abstande x von der linken Stütze liegenden Querschnittes liegenden Lasten, g₂,... ihre Abstände von der linken Stütze, ferner G\ G“,...

die auf der 4 D rechten Seite des Quer-i* Schnittes liegenden Lasten, .. ihre Abstände von

-----»

_--y

G, G, C

Fig. 88.

C"

der rechten Stütze (Fig. 88). Alsdann ist der linke Stützendruck bestimmt durch Dl = G, (l —    + G₂ (l —    G“ -f...

Das Moment M für den fraglichen Querschnitt wird nun M—Dx q — £₍) — G„ (x —    Die Einsetzung des Ausdruckes für

D gibt:

19 M=(    +<^.4,+    +

Die im Querschnitte selbst liegende Last kann entweder zur linken oder rechten Seite gerechnet werden. Ist diese Last G, so ergibt sich für dieselbe im Zähler das Glied Gx(l — x).

Sind die Abstände vom fraglichen Querschnitte für die linken Lasten elt e₂,..., für die rechten Lasten e‘, e“,... und ist die Summe Qt Ą. Qti _j- é.. Ą. G‘ + 6r" 4- ... aller Lasten — B, so lässt sich der vorige Ausdruck leicht in die Form

20. M—

R x (l— x)—( G% e^G^e^..    —((w'e‘-\-G“e“-\-:. .)x

neue

bringen. Die grafische Darstellung von M liefert hiernach als Momenten-linie eine Parabel. Kommt für das Maximum von M eine neue Last an den Querschnitt zu liegen oder vermehrt oder vermindert sich die Zahl der auf dem Träger ruhenden Lasten, so entsteht natürlich eine Parabel. Demnach wird die das Maximum von M enthaltende

Linie eine aus einzelnen Parabeln zusammengesetzte Kurve sein. Beispielsweise ergibt sich für zwei gleiche Lasten im Abstande a, je nachdem die linke oder rechte Last am Querschnitte liegt,

Ml = G (21 — a — 2x) x Ml = G (l — x) (2x — a), wonach sich Fig. 89 (für a = 0,51) ergibt. Für drei gleiche Lasten G, welche unter sich den Abstand a haben, wird, je nachdem die erste, zweite oder dritte Last am Querschnitte liegt,

Ml = 3 Gx (l — a — x)

■ Ml = G [3x(l — x) — a'l\

, Ml = 3G (l — x) [x — a),

wonach in Fig. 90 (für a — 0,31) die Darstellung erfolgt ist.

Fig. 90.

Fig. 89.

•s

b:--.

Die Berechnung kann man erleichtern, wenn man die Momenten-summen Gx ex + &₂e2 + • • • und e‘ + e“ + • • • annimmt, indem man dabei von denjenigen Achsen, die in der Regel am Querschnitte liegen müssen, ausgeht, wie z. B. im folgenden zuerst von Dr. Zimmermann (Das Momentenschema, Zeitschr. des hannoverschen Arch.- u. Ingen.-Yer. 1877) angegebenen Schema:

13    9    9    9    8

2,6 6,6 8,1 9,6 12,8 ZG — 72,o 59,5 46,5 33,5 24,5 15,5 6,5 6,5 19,5 32,5 41,5 50,5 59,5 67,5 ZGe =    655 473 308 159 93    40 0 17 51 110 183 269 372

13    13    13

9    9    13

G =

5,9 4,4 0

14,0 12,7 11,4

ZG — 98,5 85,5 72,5 59,5 50,5 41,5 32,5 19,5 6,5 6,5 15,5 24,5 33,5 41,5 ZGe— 877 661 462 280 190 114 51 17 0    36    86 149 230

6) Konstruktion. Man konstruire zunächst für das gegebene Lastensystem das Kraft- und Seilpolygon (Fig. 91). Um nun an irgend einem Querschnitte das Moment zu bestimmen, bestimmt man zuvörderst nach §. 39 diejenige Last, welche am Querschnitte liegen muss. Von dieser Last G aus trägt man auf einer horizontalen Axe XX' die Strecken

5*

ca — CA und cl — CB auf und legt durch a und b Vertikalen, welche das Seilpolygon in A‘ und B* schneiden. Die Gerade A‘B‘ ist alsdann

Fig. 91.

JT C

rrf

die Schlusslinie und das Moment M für den Querschnitt C ist jetzt gleich dem Produkte aus der Polweite H und der der Last Cr entsprechenden Höhe C‘ II. Zur Darstellung der Momentenlinie trägt man C' II nochmals als Ordinate in C auf.

A\ ;

\C

t\'3 k\\5

A 4Ui

C' i

ik

LC,

Bei grösseren Spannweiten genügt es, in dieser Weise die Momente für einzelne Querschnitte (10 bis 20 Theile der ganzen Stützweite) zu bestimmen und die so erhaltenen Punkte durch eine Kurve zu verbinden. Bei kleineren Spannweiten erscheint es rathsam, die einzelnen Parabeln, aus denen die Momentenlinie besteht, ein Stück über die Strecke, für welche sie Giltigkeit haben, fortzusetzen, um die Schnitte dieser Parabeln sicherer zu erhalten.

Lassen wir die Schlusslinie auf zwei Polygonseiten, welche sich in

Fig. 92.

By

Ci

■f

IPo

-XS

D„ Ba

B₀ A₀

Ca

S schneiden (Fig. 92), gleiten, so beschreibt der Punkt C'f welcher von A,B den Horizontalabstand lq haben möge, eine Linie B C' D. Bezeichnen wir die Ordinaten der Punkte A‘, B‘, C in Beziehung auf die durch S gehende Horizontale mit yx yq, y und den Abstand SC₀ mit x, so ist SAq^I^+x, SB₀ = lq — x, also, wenn man /_ A'SA₀ = a, /_ B' SB₀ = ß setzt,

yx — (Z, -f- x) tan a, y^ — (Z₂— x)tanß. Ferner wird nun y = yxj

Die Einsetzung der Ausdrücke für yl und y„ gibt zwischen x und y eine Gleichung ersten Grades, der Punkt E beschreibt also eine Gerade. Diese Gerade nennt Wittmann die Momentenabscisse für den Querschnitt C. Liegt der Punkt A‘ in S, so falle G* nach D; liegt E‘ in S, so falle C‘ nach E. Alsdann ist offenbar DE die fragliche Gerade, wobei die Horizontalprojektion von SD und SE bezüglich Z, und Z₂ ist. Demnach ist die Momentenabscisse eine Schlusslinie für den symmetrisch zu G‘ gelegenen Querschnitt F. Legt man im Kraftpolygone eine Parallele Oc zu DE, so theilt c die gesammte auf A‘B‘ liegende Belastung ab in dem Verhältnisse der Stützendrücke, welche in E und D entstehen, wenn diese Last in S liegt; es verhält sich demnach ac : bc = Z, : Z₂. Mit Rücksicht auf das Gleiten der Schlusslinie auf dem Seilpolygone wird nun G‘ natürlich ein Polygon beschreiben. Die Höhen zwischen diesem und dem Seilpolygone entsprechen dem Momente am fraglichen Querschnitte. Das Maximum des Momentes kann offenbar nur über einer Ecke des Seilpolygones entstehen, d. h. dann, wenn eine Last am Querschnitte liegt, was bereits früher in anderer Weise nachgewiesen wurde.

Die Konstruktion der Momente in der vorgeführten Weise (Fig. 91 a, c) zeigte zuerst Culm ann (Grafische Statik, I. Aufl. Zürich 1866). Culmann zog es indess vor, die ungünstigste Stellung des Lastenzuges durch Probiren zu finden. Man kann indess mit Benützung der in §. 24 und 39 aufgestellten Kegeln zur Bestimmung der ungünstigsten Belastung doch schneller zum Ziele gelangen.

§. 44. Grösstes Moment für mittelbare Belastung durch ein System von Einzellasten.

a) Rechnung. Die Berechnung des Momentes bleibt hinsichtlich derjenigen Lasten, welche ausserhalb des fraglichen Faches oder an den begrenzenden Querträgern liegen, ganz dieselbe. Haben die innerhalb des Faches liegenden Lasten die Resultante Grx und ist £₂ deren Abstand von den beiden Querträgern, xt, xtl der Abstand dieser Querträger von den Stützen, so ergibt sich leicht als Ausdruck für das Moment M.' dieser Lasten

M‘ ~ Ja ^ ^ ~ x) + V£,]>

Die Momentenlinie ist, so lange das Lastensystem seine Lage beibehält, eine Gerade. Da indess die ungünstigste Belastung für verschiedene Querschnitte des fraglichen Faches eine verschiedene sein kann, so wird sich das Maximalmoment innerhalb des fraglichen Faches durch eine gebrochene Linie darstellen lassen. Indessen kommen für alle Querschnitte eines Faches gewöhnlich nur zwei oder drei verschiedene Laststellungen in Betracht, so dass die Momentenlinie innerhalb eines Faches meist nur

eine oder zwei Ecken haben wird. Ist CG' das Maximalmoment bei C

und für diese Lastenstellung EE“ das Moment bei E, so wird das Moment für diese Lastenstellung durch die Ordinaten der Geraden C¹ E“ dargestellt. Fig. 93.

Ist nun EE¹ das Maximalmoment bei E und

E für diese Lastenstellung CC“ das Moment E bei C, so entspricht dem Momente für diese Lastenstellung die Gerade EJC“. Da CC' und EE¹ die Maximalmomente bei C und E darstellen, so muss CC"<.CC‘ und EE“ < EE' sein, die beiden Geraden C‘ E“ und E‘ C" y werden sich also innerhalb CE schneiden, Kommt noch eine dritte Stellung in Betracht, so wird dieser eine Gerade C>nEentsprechen, welche die beiden vorigen Geraden ebenfalls innerhalb CE schneidet. Die Momente würden also immer kleiner sein, als sie der Sehne C‘E‘ entsprechen würden. Nur in einem Endfache muss das Moment an der Stütze immer Null sein, für alle Belastungen muss also die Momentenlinie immer durch den der Stütze entsprechenden Punkt der angenommenen Axe gehen; in einem Endfache kann also nur eine einzige Lastenstellung als die ungünstigste in Betracht kommen oder es wird das Maximalmoment nur durch eine einzige Gerade dargestellt. Als Beispiele sind in Fig. 94 und 95 die Momentenlinien für dasselbe Lastensystem, wie in Fig. 89 und 90, jedoch unter Voraussetzung von bezüglich drei und vier Fächern dargestellt.

Fig. 94.

Fig. 95.

\\

//

/

6) Konstruktion. Man konstruirt zunächst für jeden Querträger das Maximalmoment, wie im vorigen Paragrafe gezeigt; für dieselbe Lage des Lastenzuges, also mit Hilfe derselben Schlusslinie, bestimmt man aber noch das Moment am benachbarten linken und rechten Querträger. Durch geradliniges Verbinden der so aufgetragenen Punkte erhält man bereits die Momente in der Nähe der Querträger richtig. Es bliebe dann noch zu untersuchen, ob vielleicht für mittlere Querschnitte andere Laststellungen grössere Momente geben; im bejahenden Falle sind auch in gleicher Weise für diese Laststellungen die Schlusslinien einzutragen, die Momente an den Querträgern des fraglichen Faches zu bestimmen und die hiernach aufgetragenen Punkte geradlinig zu verbinden.

Die bereits im §. 37 und Fig. 96 b gezeigte grafische Bestimmung der ungünstigsten Belastung wird von Almquist in Stockholm (Civilingenieur 1884) in folgender Weise nach gewiesen. Lässt man auf dem Seilpolygone P (Fig. 97) die Schlusslinie und zwar sowohl für die Stützweite AB —l des Hauptträgers, als auch für die Stützweite C JE — a des Zwischenträgers gleiten, so beschreiben die dem fraglichen Querschnitte F entsprechenden Punkte zwei Polygone P‘ und P". A Da C‘E‘ eine Seite des Polygones der Knotenlasten ist, so ist das Moment in F = H . F‘FU.

Das grösste Moment in F kann nun offenbar nur über einer Ecke des Polygones P“ entstehen, d. h. wenn eine Last in C oder E liegt. Ausserdem aber erfordert das Entstehen des Maximums noch, dass die an F“ anstossenden Seiten des Seilpolygones P" mit der Seite des Polygones P*, in welcher F‘ liegt, nach beiden Seiten hin konvergiren. Legen wir durch den Pol 0 Parellelen Om, On zu den ersteren Seiten und eine Parallele Op zur letzteren Seite, so wird die Bedingung des Konvergirens erfüllt, wenn p zwischen m und n liegt. Nach dem vorigen Paragrafie aber wird p die gesammte Last a b im Verhältnisse ap :bp = x : l — x und m und n die bezüglichen im Fache CP liegenden Lasten in dem Verhältnisse CF : EF == a, : öj theilen. Auf demselben Gesetze aber beruht die in Fig. 96 b gezeigte Konstruktion. Die Punkte g,h, in denen sich die Diagonalen schneiden, entsprechen offenbar den Ecken der Momentenlinie. Diejenigen Ecken, welche einer Aende-rung der Gesammtbelastung des Trägers und auch einer Umkehrung des Lastenzuges

Fig. 96.

Ak

*"f

rm

IM Ml

fjH ffTT

y'Vxi

f,

i.

‘I

JSL

A'

p"

F.

Fig. 97.

■o—=

Fl

TV

I JL üm

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Al

;î;

C-

•<

■\F-

F-

nv

entsprechen, sind indess nur durch die Konstruktion der Momentenlinien selbst zu bestimmen; so entspricht in Fig. 96 die Ecke i einer Umkehr des Lastenzuges; für Querschnitte links von i ist die in Fig. 97 angegebene Lage des Lastenzuges, für Querschnitte rechts von i dagegen die umgekehrte Lage die ungünstigste.

§. 45. Absolutes Maximum der Momente. Da bei unmittelbarer Belastung für irgend einen Querschnitt das Moment M zum Maximum wird, wenn am Querschnitte eine Last liegt, so wird auch an demjenigen Querschnitte, an welchem das grösste dieser Maxima oder das absolute Maximum eintritt, eine Last liegen müssen.

1. Rechnung. Es seien R die Resultante aller Lasten, R, und R2 die Resultante der auf der linken und rechten Seite des Querschnittes liegenden Lasten, e, und e₂ ihre Abstände vom Querschnitte. Alsdann ist nach Formel 20

Ml — Rx(l — x) — Re, (l — x) — R„e₂x. Hiernach wird M zum Maximum für

21. R (l — 2x) -f R, e, — R₄e₂ = 0

oder für

-ß,    -ßcj

21t

22.    * = -j +

Bezeichnet man den Abstand der Resultante R aller Lasten vom Querschnitte mit e, wobei e als positiv zu nehmen ist, wenn die Resultante auf der rechten Seite liegt, so ist Re = R₂e₂ — R^,; mithin kann man auch schreiben :

23. æ —

TH

(l - e).

Hiernach liegt die Trägermitte in der Mitte zwischen dem gefährlichen Querschnitte und dem Schwerpunkte sämmt-licher Lasten. Durch Einsetzung dieses Ausdruckes erhält man als wirkliches Maximum von M\

4HI

24. MaxM=~ 111 — ~-(iS, e, + Jß₂ea) +

Jß, ~ł~ jßgg.j

— 11 if' + e'J>

4L

— Rter

= R y

Hiernach würde in folgender Weise zu verfahren sein: Man bestimmt zunächst diejenige Last, welche vermuthlich am gefährlichen Querschnitte liegen wird. Dies kann mit Hilfe der in §. 39 aufgestellten Bedingung 14 zunächst noch nicht mit voller Bestimmtheit geschehen, weil man x noch nicht genau kennt. Man wird zunächst annähernd x — y l annehmen, also diejenige Last an den Querschnitt legen, für welche die

Last auf jeder Seite möglichst gleich gross ist.' Sodann bestimmt man nach Formel 22 das x. Man kann jetzt nachsehen, ob die auf dem Träger angenommenen Lasten möglich sind, d. h. ob nicht zu viel oder zu wenig Lasten angenommen waren; erforderlichenfalls muss das x vom Neuen bestimmt werden. Man bestimmt dann nach Formel 24 MaxM. Da nun für ein anderes x auch die am Querschnitte liegende Last eine andere werden kann, so ist es immer noch möglich, dass das wirkliche Maximum von M unter einer anderen Last entsteht; es wird deshalb im Allgemeinen die* Rechnung noch für eine zweite, wohl auch dritte, am Querschnitte liegende Last zu führen sein. Statt dessen kann man in folgender Weise noch eine Bedingung aufstellen, unter welcher das Maximalmoment unter einer angenommenen Last grösser ist, als unter den beiden benachbarten Lasten. Das Maximalmoment MaxMx unter der nächsten, links von der am Querschnitte angenommenen Last G liegenden und von dieser um ax abstehenden Last erhält man, wenn man in Formel 24 jß, (ex— ax) statt Rxex und R₂ (e₂ -f- ax) G ax statt setzt. Dies gibt

m — ~2    — a^ ai) H" &ai]

[.R, (cx    ći,)    -Zü₂ (c₂ —(- ax)    Gx ax]

im

= MaxM -j-    [2 (Rx — R^ — G)l — 2 {Rxex — R₂e₂) -f Rax]

oder, wenn man Rx — R,, — G = Rx — (R — Rx) = 2 Rx — R und nach Formel 21 Rx ex — R„e^ = R (2x — l) setzt,

Max Mx — Max M — —

l

Damit nun MaxM > MaxMx werde, muss R {x — ^ ax^ > Rxl

Damit MaxM auch grösser, als das Maximalmoment unter der rechts von der Last G liegenden Last sei, ergibt sich ebenso die Bedingung

r(i—x

MaxM, =

1,1-1

sein.

^«₂j > R.,1. Beide Bedingungen kann man in der Form

- >

25.

Ro

x--— a.

4    ¹

zusammenfassen.

1st ausser den Einzellasten noch eine gänzliche gleichmässige Belastung g pro Längeneinheit vorhanden, so kommt im Ausdrucke für M auf der rechten Seite noch j gx (l — x) hinzu. Dies hat den Erfolg, dass in den für x und MaxM gütigen Ausdrücken 22 und 24 R -\- j gl statt R zu setzen ist.

2. Konstruktion. Gleitet eine Schlusslinie auf dem Seilpolygone (Fig. 98), so umhüllt dieselbe, so lange ihre Enden auf denselben Seiten des Seilpolygons bleiben, eine Parabel mit vertikalen Durchmessern. Bei

Fig. 98.

weiterer Bewegung wird sie eine aus Parabelstücken zusammengesetzte Linie umhüllen. Die vertikale Höhe D C von einer Ecke D bis zur Schlusslinie AB entspricht dem am Angriffspunkte der Last G wirkenden Momente. Am grössten wird nun offenbar 1)C, wenn die Gerade AB die erwähnte Umhüllungskurve in G taugirt, so dass das Maximum des bei D stattfindenden Momentes dem Yertikalstande des Seilpolygons und der Umhüllungskurve bei D entspricht. Die Konstruktion der Tangente AB ergibt sich durch folgende Betrachtung.

Die Verlängerung der Seiten, auf welchen AB gleitet, mögen sich in E schneiden. F G sei die Tangente für den Punkt H der Parabel, welcher in der durch E gehenden Vertikalen, also in der Mitte von EG liegt, und I der Durchschnittspunkt zwischen AB und EG. Ziehen wir durch A eine Parallele zu EB, welche EG in K schneidet, so sind die Horizontalprojektionen von AE und AK gleich, da diejenigen von EF und EG gleich sind. Da aber auch die Horizontalprojektionen von F G und AB, also auch die von AE und GB gleich sind, so muss AK=GB sein. Da die Dreiecke AKI und BGI ausserdem in den Winkeln übereinstimmen, so sind sie kongruent, also AI=BI. Da HI und Gl Tangenten sind, so müssen die Horizontalprojektionen von HI und CI gleich sein. Der Mittelpunkt I der Tangente AB liegt also in der Mitte zwischen den durch die fragliche Seilecke D und den Durchschnittspunkt E der Verlängerungen der Seilpolygon seiten, auf welcher AB gleitet, gehenden Vertikalen. Dieser Satz ist übereinstimmend mit dem oben aufgestellten Satze, nach welchem der Querschnitt für MaxM und der Schwerpunkt sämmtlicher Lasten gleich weit von der Mitte der Stützweite abstehen. Da die Horizontalprojektion von AB — l ist, so ist somit die Konstruktion von AB sehr leicht durchzuführen. Natürlich ist die Konstruktion für einige Ecken zu wiederholen, um diejenige zu bestimmen, für welche M wirklich zum absoluten Maximum wird.

Der Satz, dass die Mitte der Stützweite in der Mitte zwischen der Resultante sämmtlicher Lasten und dem Querschnitte, an welchem M zum Maximum wird, liegt, ist zuerst von Culm an n (Grafische Statik, Zürich 1866) aufgestellt worden. Die Bedingung 25 wurde zuerst von Scholin (Mittheilungen des Arch.- u. Ingen.-Ver. in Böhmen, 1877) entwickelt.

Fig. 99.

I JT M

Beispiel. Ein Träger mit 12m Stützweite sei durch das in Fig. 99 dargestellte Lastensystem belastet. Wir nehmen als erste Näherung den gefährlichen Querschnitt in der Mitte an. Legen wir die Lasten I, II links, so finden rechts nur die Lasten III, IV, V Platz; es liegt dann links 13 + 13 = 26, rechts 13+7 + 7 = 27, es muss also nach links geschoben werden; es muss demnach die Last III am Querschnitte liegen. Für diese Lage wird

0,02,

7.5,0 + 7.3,5 — 13.1,5 — 13.3,0 _ 1,0

7 + 7 + 13 + 13 -f- 13    ~ 53 ~~

= 5,99, l — x= 6,01.

12 — 0,02

Wenn wir jetzt wieder I und II auf die linke, III, IV, V auf die rechte Seite

26

legen, so liegt pro Längeneinheit links

4,34, rechts

27

6,01

4,48, es muss

5,99

also wieder nach links geschoben werden, die angenommene Lage des Lastensystemes ist also beizubehalten. Die Last VI findet auch für diesen Werth von x keinen

Platz. Ferner wird nun

26

5,62

4,63,

11

53

T" - 12 - ⁴'⁴²'

14

5,14

= 2,73.

Die Bedingung 25 ist hiernach nicht erfüllt. Es wird daher noch noting, die Last II an den Querschnitt zu legen, wobei wir zunächst wieder annehmen, dass die Lasten I bis V Platz finden. Es wird jetzt:

7.6,5 + 7.5,0 + 13.1,5 — 13.1,5    80,5

7 + 7 + 13 + 13 + 13    ~

12 — 1,14 _

53

1,14,

5,43, l — x = 6,57.

Für diesen Werth von x finden, wenn die Last II am Querschnitte liegt, in der That die Lasten I bis V Platz. Wenn wir I, II auf die linke, III, IV, V auf die rechte

26

27

= 4,8, rechts

Seite legen, so liegt pro Längeneinheit links

dass nach rechts geschoben werden muss, wonach in der That die Last II am Querschnitte liegen muss. Es wird jetzt

5,43

6,57

= 4,1, so

13

x--a,

5,05

2,57,

11

53

r = iä=i'⁴²

Ii₂

27

X — — Cf.j

6,19

= 4,36.

Die Bedingung 25 ist somit erfüllt. Für diese Lage des Lastensystemes wird nun nach Formel 24:

Max M

_ 53.5,43*

12

- 13.1,5 = 110,7.

Für die vorige Belastung, bei welcher die Last III am Querschnitte liegt, würde —13.1,5 — 13.3,0 = 100,0, also in der That kleiner.

MaxM =

53.5,99

12

§. 46. Lastensystem aus Einzellasten und gleichmässiger Belastung. Es kommt bei Strassenbrücken vor, dass statt einzelner

Wagen nebst Pferden eine grössere Wirkung durch Menschengedränge entsteht. So kann hinsichtlich der Transversalkräfte an der einen Stütze statt der Achsendrücke Menschengedränge (Fig. 100) und hinsichtlich der Momente an der einen Stütze statt der Pferde Menschengedränge (Fig. 101), vielleicht auch an der anderen Stütze statt der Achsendrücke Fig. 100.

Fig. 101.

Menschengedränge vorauszusetzen sein. Hat diese gleichmässige Belastung p pro Längeneinheit auf der linken und rechten Seite bezüglich die Länge | und £,, so sind beide Stützendrücke

D = h{21 - ö ^ B< = fr i? + î* - 5.)]-

Die Transversalkraft und das Moment für einen nicht durch die gleichmässige Belastung belasteten Querschnitt werden

(5.* -

²⁶- « = 3T

Handelt es sich um das absolute Maximum des Momentes, so ist £ = x — Cj, £, — l — x — c₂ zu setzen, wenn c, und c„ den Abstand des Endes der gleichmässigen Belastung vom Querschnitte bedeutet. Daher wird

In Folge dessen kommt in der Gleichung 21 zur Bestimmung von x auf der linken Seite noch für die linke Belastung ^p[x—c,)(^Z-f c, — Sx) und für die rechte Belastung -j p (l — x — c₂) (l — c₂ — 3x) hinzu. Die Gleichung zur Bestimmung von x wird dadurch allerdings eine quadratische.

Bei der grafischen Bestimmung ist im Seilpolygone für die gleichmässige Belastung die entsprechende Seilkurve anzuschliessen. Zeichnet man ausser dieser Seilkurve auch noch das Seilpolygon für den Fall, dass statt des Menschengedränges Wagen vorhanden sind, so ist von diesen beiden Linien alsdann an jeder Stelle nur diejenige beizubehalten, welche das grösste Q oder M gibt.

i

der

§. 47. Brücken mit krummliniger Bahn. Wir wollen eine in der Kurve liegende Eisenbahnbrücke mit zwei Trägern voraussetzen. An irgend einem Querträger oder einer Querschwelle sei der Achsendruck = 2Cr, der Druck auf den inneren und äusseren Träger Dx, D

Abstand der Träger = &, der Abstand der Gleismitte von den beiden Trägern &t, die Gleisweite $, die Schienenüberhöhung Ji, die Höhe des Schwerpunktes der Wagen über der Bahn —hv die Centrifugalkraft pro Achse = C. Alsdann ist

2g(\ + 1- CK D,t = 3G (b, - A, I)

Ist r der mittlere Krümmungsradius, g die Beschleunigung der Schwere, c die Geschwindigkeit, so ist G = 2 G —, mithin

h. c²

2G L . h.h

Tr(‘. + -F

hxh ä, c2 ~ s ⁺

Die Schienenüberhöhung /& wird gewöhnlich so bemessen, dass für Schnellzüge y = ist; alsdann aber ist

29. Dx = 2G —, D₂ = 2G^.

28. V

gr

, D,=

Für Güterzüge ist die Geschwindigkeit ungefähr halb so gross; alsdann

_..    ,    jP h    .i, •

wurde — ——, mithin

gr    äs’

30.    D.    = ~ (h

Wir    wollen    hiernach    allgemeiner

_ 2G{\ + /y „ _ ^(&t +/5.)

& ’ - "

setzen, wobei nach dem Vorstehenden /3₂ =    ß, = 0 zu setzen wäre.

Da ungefähr = 7,7 s ist, so wird annähernd ß„ = 0,85 h.

31. A =

3 h. h

+ 4s

3/î. h j -

4s

Das Verfahren zur statischen Berechnung kann nun ein verschie

denes sein.

1. Die Ordinaten

Pig. 102.

der Einflusslinien ändern sich gegenüber den geraden Brücken in dem

<8 (&ł + ßi)

'S

Verhältnisse

- —y—, wie dies

beispielsweise Fig. 102, hinsichtlich der Einflusslinien für einen Stützendruck und für das Mo-ment in der Mitte zeigt. ^

Mit Hilfe der so geänderten Einflusslinien kann man nun für das gegebene System von Einzellasten

und

B\

in der allgemeinen Weise (§. 23) die Maxima von Q und M bestimmen.

2. Ist die gleichmässige Belastung für die gerade Brücke p, für die beiden Träger der in der Kurve liegenden Brücke pv p₂, so ist

32. Pl =

» V* =

2p (l,₂ -1- ßq,)

Ist der Abstand der Gleismitte von den Trägern in der Mitte der Stützen-

oc“*

weite =    a₂, so ist im Abstande x von der Mitte bt = a, —

&«=«*+ alse 33. p, =^(aa

sa

xq

2 + 2rV

2p l Pi = y

■Ga

xq

2r }’

l)ie Transversalkraft wird nun nach der allgemeinen Beziehung dQ—pdx mit Rücksicht auf den Umstand, dass in der Mitte Q = 0 sein muss,

Qi =jpidx, Qi = jpidx

0 0

d. i.

j{a' + ß' -£)■

34. Qx == px . y Iaa Ą- ß,₂ -f — j,

Die Momente werden nach der allgemeinen Beziehung dM = — Q dx mit Rücksicht auf den Umstand, dass an den Enden M = 0 werden

Qz = px .

muss, Mi —

j* Q\ dx,

M,=

ffe

dx, d. i.

HM 'S

lq -f 4x-

35.

48 r

\M₂ =

lq -f 4xq

48 r

das gegebene System von Einzellasten genau bestimmen.

in bekannter Weise für

In diesen Formeln kann man entweder für p eine gleichwerthige Belastung einführen, welche nach den für gerade Brücken gütigen Näherungsregeln bestimmt wird oder man kann die der geraden Brücke entsprechenden Werthe Q = px, M = —

§. 48. Schiefe Brücken. Wir haben bisher nur normale Brücken vorausgesetzt, bei denen von jedem Achsdrucke sich ein ganz bestimmter, für alle Achsen gleichbleibender Theil auf einen Träger überträgt. Bei den schiefen Brücken aber ändert sich dieses Yerhältniss an den schiefen Enden. Die hierbei eintretenden Veränderungen lassen sich ebenfalls am

übersichtlichsten durch Einflusslinien darstellen, wobei natürlich festzuhalten ist, dass die Einflussgrösse als Ordinate an der betreffenden Wagenachse aufzutragen ist. Im Allgemeinen wird die Konstruktion der Einflusslinie am bequemsten, wenn man dabei die Einflussgrösse für jedes der beiden Räder der Achse getrennt bestimmt und aufträgt, und sodann erst die Summirung vornimmt. Die Form der Einflusslinie wird natürlich durch die spezielle Konstruktion der Bahn (siehe des Verfassers: Eiserne Brücken, Querkonstruktionen, II. Aufl., XX. Kapitel) bedingt sein. Wir wollen dies nur an ein Paar Beispielen erläutern.

1. Bei einer Eisenbahnbrücke mit 7m Stützweite werde der Raddruck von den Schienen durch Querschwellen auf die 2m von einander entfernten Träger übertragen, wobei die Schwellen an den Enden eine immer mehr und mehr schief werdende Lage haben (Fig. 103). Wir konstruiren die Einflusslinie für den Träger AB, welche in der Strecke CI) natürlich dieselbe sein wird, wie bei normaler Brücke. Von dem

Fig. 103.

A'

B'

Hl

I¹!

; q > & U

\iWm\ i \

«Aje\ j ./■'

o\s

-MNi 1

A-

h\ <J\ l>\ i

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II

h'\ “\\\

I,

IC

i\

13

über einer Schwelle auf die Schiene I wirkenden Raddrucke 1 Avird an dem Punkte, in Avelchem diese Schwelle auf dem Träger AB ruht, nach dem Hebelarmverhältnisse 2 0

der Druck = 0,8 übertragen. Wenn also das Rad an den Punkten a, e, f und 2,5

b, g, h ruht, so hat die Ordinate der Einflusslinie 0,8 der Grösse, als wenn der Raddruck 1 bezüglich in den Punkten A, JE, F und B, G, FL unmittelbar auf den Träger wirkt. Von dem über einer Schwelle auf die Schiene II wirkenden Raddrucke 1 Avird auf den Träger AB in dem Punkte, avo die betreffende Sclnvelle auf diesem 0 5

Träger ruht, der Druck — = 0,2 übertragen. Wenn demnach das Rad in den Punkten

a„ et, f\ und bn g„ h, ruht, so hat die Ordinate der Einflusslinie 0,2 der Grösse, als wenn der Raddruck 1 bezüglich in den Punkten A, E, F und B, G, H unmittelbar auf den Träger Avirkt. Wenn die Schienen noch ausserhalb der Brücke in 1c, k„ i, i, unterstützt sind und in den Strecken ka, ktan ib, i,b, frei schweben, so beginnen die von der Belastung der Schiene I herrührenden Theile in k, i, die von der Belastung der Schiene II herrährenden Theile in kn it. In der Figur ist hiernach beispielsweise die Einflusslinie für beide Stützendrücke dargestellt. Für den in Fig. 99 angegebenen Lastenzug müssste die Vorderachse bezüglich bei a und b stehen, damit das Maximum eintritt.

2. Bei einer Eisenbahnbrücke mit 14m Stützweite werde der Raddruck durch Zwischenträger mit l,8m Abstand auf die Querträger, von diesen auf die 4m entfernten Hauptträger übertragen (Fig. 104). Die Hauptträger, die Endzwischenträger und der letzte halbe Querträger seien auf dem Wideidager in Punkten gelagert, welche in einer Geraden liegen. Für den Träger AB ist innerhalb der Strecke B C die Einflusslinie dieselbe, wie hei normaler Brücke. Von dem auf den Zwischenträgern

I wirkenden Drucke 1 wird in der normalen Strecke der Druck ~- = 0,725 auf den

Träger übertragen ; der in den Punkten d und e wirkende Raddruck 1 erzeugt in D

und E den Druck 0 und = 0,45; demnach hat in D, E, C die Ordinate der

Einflusslinie das 0-, 0,450- und 0,725fache der Ordinate bei normaler Lage; ebenso

Fig. 104.

B'

B\ F\ I\ E

I ÆjmOi

A\ n\ e\

o,

If

•tis

tl-A

-¹-7“^

l,

ta

ist in B die Ordinate 0,725 die Ordinate bei normaler Lage, während in F die Ordinate —0 wird; in den Strecken DE, EC, CB, BF ist die Einflusslinie nach §. 20 eine Gerade. Von dem auf den Zwischenträgern II wirkenden Drucke 1 wird

11

in der normalen Strecke auf den Träger AB der Druck -f— = 0,275 übertragen;

4,0

der in Punkten g und i wirkende Raddruck wird auf den Träger AB überhaupt nicht übertragen; in G und 1 ist also die Ordinate der Einflusslinie 0; in 0 und B dagegen ist die Ordinate 0,275 von der Ordinate der Einflusslinie bei normaler Anordnung. Hiernach sind wieder die Einflusslinien für beide Stützendrücke oder Transversalkräfte der Endfäcber konstruirt. Für den in Fig. 99 angegebenen Lastenzug würde der linke und rechte Stützendruck am grössten, wenn bei dem bezüglich nach links und rechts gebenden Zuge bezüglich die II. Achse bei C, die I. Achse bei B liegt.

b) Ueberhängende Träger.

§. 49. Einfluss einer Einzellast.

1. Träger mit überstehenden Enden. Hinsichtlich der Transversalkraft und des Momentes für einen zwischen den beiden Stützen

A und B liegenden Querschnitt, sowie für die beiden Stützendrücke ist die Einflusslinie zwischen den beiden Stützen natürlich ganz dieselbe, wie beim einfachen Träger (Fig. 105). Da sich aber der Ausdruck für B, Q, M durch das Ueberschreiten einer Stütze durch die Last nicht

Fig. 105.

ändert, so sind die innerhalb

der Stützen erhaltenen geraden Linien auch nach aussen fortzusetzen. Dadurch entsteht eine Aenderung des Vorzeichens hinsichtlich Q und M\ für die linken und rechten Stützendrücke ändert sich das Vorzeichen nur beim Ueberschreiten bezüglich der rechten und linken Stütze. I

C X Â Ha

B K 1)

nipiw

! Al

Bl

îTîïïjl

4 /rj . r _

Hinsichtlich eines Quer- C'—.....\Ä'    \b" \

Schnittes I und K im linken oder rechten überhängenden Theile entsteht offenbar eine C Transversalkraft und ein Moment nur, wenn die Last be- f züglich in den Strecken CI Cl/ und BK liegt. Alsdann ist für den Querschnitt I: Q= — G, M— — GŹ und für den Querschnitt K: Q = -f- G, M= — 6rg, wenn £ den Abstand der Last vom Querschnitte (absolut genommen) bezeichnet, bezüglichen Einflusslinien sind in der Figur angegeben.

In Fig. 105 ist unmittelbare Belastung angenommen; bei mittelbarer Belastung treten die in §. 35 für den einfachen Träger besprochenen Aenderungen ein.

2. Kontinuirlicher Gelenkträger. Hinsichtlich eines ruhenden Theiles bleibt die Einflusslinie innerhalb dieses Theiles genau dieselbe, wie beim Träger mit überstehenden Enden. Ueber die anschliessenden schwebenden Theile setzt sich die Einflusslinie ohne Absatz geradlinig fort; denn ist § die Entfernung der innerhalb des schwebenden Theiles CE (Fig. 106) liegenden Last G

Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

ui

<>-

Xd"

D'

D,r

Die

von

E, b die Länge CE, so

&

ist der Druck in C — G es ist also auch die Einflussgrösse für den

Theil CD dem £ proportional.

£ Liegt die Last in ■    E, so ist der Ein

fluss = 0, ebenso natürlich, wenn gr die Last in dem etwa an E an-stossenden ruhenden Theile liegt.

Für den schwebenden Theil ist die Einflusslinie natürlich ganz dieselbe, wie beim einfachen Träger und ein Einfluss ÎF einer auf dem ruhenden Theile liegenden Last 'E auf den schwebenden Theil ist überhaupt nicht vorhanden.

Fig. 106.

£ I A X a Ą K Q A T

\A

b B'

•D"

ii

i C"

\C'

I\c

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Vc"

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pp

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H'

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iiiiwL

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"TOMîl"'””³⁸³¹

<A

Jf

§ 50, Ungünstigste gleichmässige Belastung. Aus dem

vorigen Paragrafe ergeben sich nun sofort die folgenden Sätze für die ungünstigste Belastung durch eine gleichmässig vertheilte Last:

1.    Für die Transversalkraft und das Moment für einen zwischen den beiden Stützen des ruhenden Theiles liegenden Querschnitt ist die Belastung zwischen den Stützen genau dieselbe, wie beim entsprechenden einfachen Träger.

2.    Der ausserhalb der Stützen liegende Theil sammt dem anstossenden schwebenden Theile ist entweder gänzlich oder gar nicht zu belasten, je nachdem der ruhende Theil neben der angrenzenden Stütze nicht belastet oder belastet ist. So z. B. ist für max{-(- Q) für den Querschnitt H die Strecke BH belastet; deshalb ist der Theil BF nicht zu belasten; für max ( Q) dagegen ist die Strecke AH belastet, also BH unbelastet. Deshalb ist die Stiecke BF gänzlich zu belasten (Fig. 106 c). Für max(-j- M) ist die ganze Länge AB zu belasten; die äusseren Theile sind

«deshalb nieht zu belasten. Für max (— M) darf innerhalb AB keine Last liegen; deshalb ist AE und BF gänzlich zu belasten (Fig. 106e).

3.    Für einen Querschnitt des ruhenden Theiles ausserhalb der Stützen kann Q und M nur positiv oder nur negativ sein; das Maximum entsteht, wenn der ruhende Theil vom fraglichen Querschnitte bis zum Ende des bezüglichen überstehenden Theiles sammt dem anstossenden schwebenden Theile gänzlich belastet ist. Die übrigen Theile können belastet sein oder nicht, da eine Belastung derselben keinen Einfluss auf das fragliche Q (Fig. 106 d) und M (Fig. 10Qf) hat.

4.    Für den schwebenden Theil bleibt natürlich die ungünstigste Belastung dieselbe, wie beim entsprechend en einfachen Träger. Die Belastung anderer Theile hat auf diesen Theil keinen Einfluss.

5.    Der Druck auf eine Stütze wird zum positiven Maximum, wenn die ganze Oeffnung zwischen beiden Stützen, sammt dem an die fragliche Stütze angrenzenden überstehenden Theil und dem daran anschliessenden schwebenden Theil belastet sind (Fig. 106b).

6.    Der Druck auf eine Stütze wird zum negativen Maximum, wenn das an die andere Stütze anschliessende überstehende Ende sammt dem. an dasselbe anschliessenden schwebenden Theil belastet ist (Fig. 106b).

§. 51. Grösste Stützendrücke. Ist l die Entfernung der Stützen, sind a, al die Längen der überhängenden Theile und fr, bt die Längen der schwebenden Theile, so ist für den Stützendruck D auf die Stütze A bei gleichmässiger Belastung des ganzen Theiles B E (Fig. 106) : Bl = -j pb , (l -(- a) p (l -\- a)^i äIso

P il + «) il + a + ft)

21

36. Max (+!>) = +

Ebenso ergibt sich für den grössten negativen Stützendruck auf A, also bei Belastung des Theiles BF: Bl -j- j pa^ -|- ~ pbx. ax = 0 oder

37. Max (— Z>) = —

pax ja, + fri)

21

Hinsichtlich des Druckes auf die Stütze B ist nur a, b mit alf bl zu vertauschen.

Für ein System von Einzellasten wird man für Max (± B) am besten nach §. 24 diej Einflussfiguren EC'B und BB'F (Fig. 106)

I -f- a

beachten, wobei CC =

und BD' = ~ ist.

6*

§. 52. Grösste Transversalkräfte.

1. Querschnitt zwischen den Stützen. Für die Belastung des Theiles AE (Fig. 106) ist Dl = ~ p b (l 4- a) -}- pa (l -f- y «),

pa (a + b)

. Für die Belastung der Strecke - - ~ ^ ■, mithin

38. max (+ Q) — + ~ [a (a -f ft) + (l — x)¹].

21

Q = D — ~ pb — pa —

EH wirj, wie beim einfachen Träger, Q —

Für max(— Q) ist a, b, x mit ai, bv l — x zu vertauschen und — statt -f- zu setzen.

Bei einer Belastung durch ein System von Einzellasten wird die Einflussfigur zu beachten sein, die hier aus zwei von einander getrennten Theilen besteht. Bei einer Strassenbrücke ist in einem solchen Falle jeder Theil für sich in möglichst ungünstigster Weise zu belasten; bei Eisenbahnbrücken würde indess eine derartige Belastung nicht immer möglich sein; jedenfalls aber wird es zulässig sein, nur mögliche Belastungen zu berücksichtigen, worauf wir hier indess nicht näher eingeh en wollen. Das der Belastung von EH entsprechende Q wurde wie in §.41 u. 42 bestimmt. Das der Belastung von AE entsprechende Q kann nach der in §. 43 gezeigten Konstruktion für die Momente bestimmt werden. Man konstruirt der angenommenen Belastung entsprechend, die Schlusslinie mit der Horizontalprojektion AE; ist die dem Punkte C entsprechende Höhe des Seilpolygones y, die Polweite H, so würde das Moment in C

bei der Stützweite AE—Hy sein. Da nun aber CC¹ = 1.^— — 1 = ^-

ist, während in der Einflussfigur für das der Stützweite AE entspre-

sein würde, so wird für die Belastung von

chende Moment GG‘ =

ab

AE: Q = Hy . j a -\- b

Oj -j⁻ b

a a + b —H(a +_b) ^ Wählt man H—l, so wird

ï— y, was leicht zu konstruiren ist. Wählt man H — l

a -f- b'

so wird Q = y.

wenn mau zur Abkürzung Id — a (a-\-b) — a^a, + &,) setzt. Für das Eigengewicht wird Q = y g (Z + d — 2x), mithin

-g- (Z -f- d), Si — Z — S — -g (Z — d).

Die Ausführung der Integration gibt, wenn man noch Zs = a (a + b) -f- a, [at -f &,) setzt,

Für eine Belastung durch Einzellasten ist die Einflussfigur KK“ D'F (Fig. 107) zu beachten. Für einen Eisenbahnzug wird hierbei das vordere Lokomotivrad nach K zu legen sein. Dem §. 41 entsprechend, kon-struirt man ein Seilpolygon mit der Polweite FD = bi} wobei die vordere Last nach F verlegt wird. Macht man FV=DK, so ist Q = KKl —

VVv da die Einflussfigur als Differenz der Dreiecke FKK‘ und J)KUK‘

Fig. 107.

'S

r"

V'

angesehen werden kann, welchen die Einflussgrössen KKX und VVl entsprechen.

In Fig. 108 bis 110 sind die Transversalkräfte für ein Feld mit zwei Gelenken, sowie ein Endfeld und ein Mittelfeld ohne Gelenk grafisch

dargestellt.

Mittlere Transversalkraft. Die mittlere Transversalkraft mittQ für eine bestimmte Länge erhält man durch Bestimmung der entsprechenden Transversalkraftfläche oder des Integrales f Qdx und Division durch die entsprechende Länge. Wir wollen hier nur den absoluten Werth in Betracht ziehen und von max (+ Q) und max (— Q) nur den absolut grösseren Werth beibehalten und in Ergänzung zu §. 34 auch dai Eigengewicht berücksichtigen. Für den schwebenden Theil gilt die in §. 37 für mitt Q aufgestellte Regel.

Für das zwischen den Stützen liegende Stück des ruhenden Theiles ergibt sich, wenn wir den Abstand desjenigen Punktes, in welchem die absoluten Werthe von max(-\-Q) und max(— Q) gleich werden oder in welchem für das Eigengewicht Q — O wird, von den Stütze i mit |, bezeichnen, nach Formel IG (S. 52) und 38:

Z mitt Q

+ 21

■ j(l -f- d — ,2 a:) (Zæ J £

I    i

j{a (a + b) (l — xy) dx -f    -f &i)-paP}J

°    I

— 2 x) d x —

dx,

«. lmittQ = ^ g(l‘+d') + ^p (7Z⁵ + 6ls + 3d').

Ist wie gewöhnlich a = a{, b — b,, so wird d = 0, s —2a (a + b), | = ^ = |z und

b. Z mittQ — ~ gll -f p [7P-\-12a {a -f- 6)].

Für ein linkes Endfeld wird 'a — O, b — 0, also Id = — a, [al -f- ft,), Is = -f- a, (a, + &,); für ein rechtes Endfeld wird al = 0, 5, = 0, also ls = ld = a{a Ą-b) ; in beiden Fällen wird

j. Z mitt Q = g(l* + s') + ~ p (7P -f 6 Is + 3s⁵).

wenn x

Für das linke überstehende Ende wird Q — y (g Ą-p){2a b— 2x),

a

den Abstand von der Stütze bedeutet, also a mitt Q

= J (g + p)f {2a 4-b — 2x)dx — o

L [g p) a, (a -f- b). Ebenso wird für das rechte überstellende Ende a, mittl Q — Y (g +P) «i (<»i 4- h), mithin

d. mittQ = y(ÿ + p) (a + h), rnitti Q — -j (g+p) (ax -j- bx).

In den unteren Tbeilen der Figuren 112 und 113 sind die Transversalkraft für das Eigengewicht und die absoluten Werthe der Maximaltransversalkräfte für die Verkehrslast, sowie die Summe von beiden für die beiden möglichen Anordnungen

von drei Feldern (Gelenk im Mittelfeld oder in den äusseren Feldern) aufgetragen.

\ Fig. 108.

AI

Terr ¹

—CL —

§.53. Grösste Momente.

Tim

1. Querschnitt zwischen den Stützen. Das positive Maximum von M behält denselben Werth wie beim einfachen Träger. Für die Belastung des Theiles AE (Fig. 106) ist für den Stützendruck in B: Dll= —jpba — j po3 = — y p a {a -f b), also Ml = Bxl (I — x) — — j-p a (a -j- b) (l — x). Ebenso wird für die Belastung des Theiles B F: Ml = — -g pcty {o>x -J- &j). Sonach haben wir

max (+ 31) = + -g poc (l

max (— 31) = — ^ [a (« + 6) (l — x) +    («, + ö,) x\

Ist a — av b = so wird wesentlich einfacher

t

max (— 31) —--o P a (a H“ &).

&

40.

41.

— x),

Hier ist also max(—M) konstant.

Dementsprechend bleibt auch für ein System von Einzellasten max(-\- 31) dasselbe, wie beim einfachen Träger. Für max(—31) sind die Strecken AE und BF den Einflussfiguren ACE und B D‘F (Fig. 106e) entsprechend zu belasten; wobei allerdings bei einer Eisenbahnbrücke die Möglichkeit einer derartigen Belastung in Betracht kommt. Bei den Einfluss-

Fig. 109.

c§î>

figuren für das den Punkten C 7iv und D entsprechende Moment bei einem einfachen Träger mit der J Stützweite AE und BF würde |

a (l — x)

ab

, DD'

Hier Z

CG* = -,r

ll -j- 0

dagegen wird GG‘ =

D D‘ = Bezeichnet man da-

Nb

Ni

*r

her die Höhen des Seilpolygones für die ungünstigste Belastung, den Stützweiten G GDD' entsprechend, mit y,yx, so würde das Moment in G und D für diese Stützweiten Hy, IIX yx sein. Im B vorliegenden Fall wird daher, der veränderten Höhe der Einflussfigur entsprechend,

L±.

iïïîiïïïïïï

<L

WM

W/A

31 =

, Mx =

Hy (a -j- b) (l — x)

bl

_ Hy (ax -f bx)x

Für die Konstruktion genügt es, 31 für x = 0, 3IX für x = l zu kon -struiren; diese Momente werden

3F =

bt

Hya-±*, M‘ = Biy,

Ist in Fig. Ill CC' = y, die Horizontalprojektion von EG und Gl bezüglich = b und a und legt man durch E und C eine Gerade, welche

die Vertikale von / in F schneidet,

so ist 11‘ = y a , also

31'= II. IF, wonach 3F und 31x* leicht zu konstruiren sind. Die Momentenfläche bildet nun ein Trapez, dessen Höhen in A und B bezüglich gleich 3F und 3IX sind.

2. Querschnitt ausserhalb der Stützen. Bei der Belastung der Strecke IE (Fig. 10öf) wird das Moment für den Querschnitt 1: 31 = — j pb .(a — x) — j p(a — x)², wenn man AI=x setzt ; es ist mithin :

42. max (+ M) = 0, max{—M) —--p {a—x){a-\-b — x)

£

Für eia System von Einzellasten ist wieder die Einflussfigur EC'I (Fig. 106f) zu beachten. Trägt man in das Seilpolygon, der ungünstigsten Lage entsprechend, die Schlusslinie mit der Horizontalprojektion EI ein, so würde, wenn y die dem Punkte C entsprechende Höhe des Seilpolygones ist, Hy das Moment in C bei der Stützweite EI sein. Für diese Stützweite würde aber C C' =

während hier CC' — a — x ist. Die-

Fi g. 110.

XT

R,

Kr*-—X-é

—Ur-+-<b~>-

cî"S

—r-inffiîÏÏiTliTilf I

sem Verhältnisse der Höhen der Einflussfigur entprechend, wird a -f- b — x

W/JL

M — Hy

Ist nun in Fig. Ill CC' — y und die Horizontalprojektion von EC und CI bezüglich =b und a — x, und macht

man dieselbe Konstruktion, wie

vorhin, so ist II' — y    —-,

mithin M = H. II'.

In Fig. 108 bis 110 sind die Momente für ein Feld mit zwei Gelenken, ein Endfeld ohne Gelenk, sowie ein Mittelfeld ohne Gelenk (für P-\- d"¹ = 2ls) grafisch dargestellt.

Fig. 111.

!<-------------t--------

—n—.v

I'

Mittleres Moment. Das mittlere Moment mittQ für eine bestimmte Länge erhält man durch Bestimmung des Integrales j M clx für diese Länge und Division durch die letztere. Wir wollen auch hier nur die absoluten Werthe von max (4- M) und max{—M) berücksichtigen. Diese beiden Werthe werden zwischen beiden Stützen, absolut genommen, einander gleich für lx(l — x) — a(a b) (l — x) Ą- (a, -f- &,). Hieraus ergibt sich unter Berücksichtigung der im vorigen Paragrafe benützten abgekürzten Bezeichnungen s und d

a. x —

[Z-j- d — Vl‘ — 2ls + d'].

Hiernach können drei Fälle eintreten; es kann nämlich l¹ + d³^2ls sein. Für

ZJ-f-d⁵>^Zs gibt es wirklich zwei Werthe von x-, es hat also theilweise max(+ M), theilweise max (— M) den grösseren absoluten Werth. Für P d‘ = 2ls gibt es nur einen Werth für x. Für Z² -f d¹ <2ls wird x imaginär; hier hat durchgehends max (— M) den grösseren absoluten Werth.

Fig. 112.

LI

fl

■ JJIf

it l il i

C\    Bt D,

■E.

A,

Für Z²~F eZ*> £Zs wird, wenn man die beiden Werthe von x mit xt und x₂

bezeichnet und wenn man zur Abkürzung ]/Z²—21 s — dl — w setzt,

Xi + x₂ = l ~F d,

x₂ — xt = w.

1 1 b. Xi = — (l -f- d — w), x₂ — -- (Z -f- d -f- w),

Fig. 113.

!! !il 1

;■}

1/

il

1\    Bx Cx

At

Für die zufällige Last besteht innerhalb beider Stützen die Momentenfläclie einem Trapeze AA'B'B (Fig. 114a) mit dem Flächeninhalte (M‘ -F M“)l = ~2~ psl², wenn M‘ und M“ die Momente an den Stützen bedeuten und der .Parabelfläche S‘U‘T‘ mit dem Flächeninhalte ~ pic³, da die Länge von ST = x₂ — xt — w ist. Der gesammte Flächeninhalt ist also    p (3sVĄ-w*).

Für das Eigengewicht besteht die Momenten-fläche aus drei Parabelstücken mit dem Ge-sammtinhalte Trapez A A' B‘ B — Parabel

A‘ WB‘ -F 2 Parabel SW T=~    l —

gsV- ~gl³-\-{gw*

~ Jïï g (3sl* — l³-\-2w³). Demnach wird

4 <*+«•«•-£

aus

4 sj

Fig. 114.    •

Â iS

c. I mitt M =

T'B'

B'

A S\Z W    I)

gT A -j2 A g \-p)w\

Wenn P -f- di < 2ls -wird, so besteht für die zufällige Last die Momenten-iläche nur aus dem Trapeze AA‘B‘B mit dem Inhalte ^ psP und für das Eigengewicht aus einer Parabelfläche mit dem Inhalte Trapez AA'B'B — Parabel A‘WB‘ = ~gsl't—~gP\ mithin wird hier

d. ImittM —    (g Ą-p) sP — ~J2 9^'

Für P-\- d* = 2ls wird w = 0; alsdann geben beide Ausdrücke für mittM denselben Werth.

Für das linke überstehende Stück wird a mitt M

= j (g-\-p) 1/(a— x)(a-\-b—x)dx—

zu setzen, demnach

4“ (g~\~P) a⁷ [2a-\- 3b). Für das rechte überstehende Ende ist nur an b, für a, b Die mittleren Momente für die beiden überstehenden Enden sind

e. mitt M =

Y (9 + p)a{ßa + 3b), mittl M = y (g +p) a, {2a -f- 3b).

Für den schwebenden Theil gilt natürlich die in §. 38 aufgestellte Regel.

In den oberen Theilen der Figuren 112 und 113 sind die Momente für das Eigengewicht und der absolute Werth der Maximalmomente für die Verkehrslast, sowie die Summe von beiden für die beiden möglichen Anordnungen von drei Feldern grafisch dargestellt.

B. Kontinuirliche Träger.

VI. Kapitel.

Allgemeine analytische Behandlung.

§. 54. Einleitung. Die wirklichen köntinuirlichen Träger oder die Träger, welche, ohne durch Gelenke unterbrochen zu sein, auf mehr als zwei Stützen liegen, lassen sich nicht mehr nach den Kegeln der reinen Statik behandeln; vielmehr sind zur Ermittlung der Verthei-lung des Druckes über die Stützen auch noch die Gesetze der Elastizitätslehre in Anwendung zu bringen, wodurch die Behandlung natürlich eine schwierigere wird. Die Aufgabe wird noch dadurch besonders erschwert, dass bei der Bestimmung der Druckvertheilung das Gesetz, nach welchem sich der Querschnitt verändert, mit in Frage kommt, während man andererseits durch diese Untersuchung das Gesetz der Querschnittsveränderung erst kennen lernen will. Für einzelne Fälle ist es wohl geglückt, die Aufgabe auch in dieser Richtung streng durchzuführen; im Allgemeinen aber bleibt wohl nichts übrig, als zunächst den Querschnitt konstant anzunehmen. Hat man auf Grundlage der sich hieraus ergebenden

Druckvertheilung die Veränderlichkeit des Querschnittes ermittelt, so ist es möglich, noch einmal, erforderlichenfalls noch ein weiteres Mal eine genauere Bestimmung der Druckvertheilung vorzunehmen. Wir werden indess zeigen, wie man von vornherein den Einfluss der Veränderlichkeit des Querschnittes wenigstens schätzungsweise berücksichtigen kann.

Abweichend von der bei den einfachen Trägern befolgten Methode erscheint es uns angemessen, die analytische und grafische Behandlung zu trennen.

§. 55. Drehung des Endquerschnittes. Das zu untersuchende Trägerfeld AB (Pig. 115) mit der Länge l sei beliebig belastet. In einem beliebigen Querschnitte CG' entsteht hierdurch in einem beliebigen Punkte D die spezifische Normalspannung N und die spezifische Schubspannung T.

Der Elastizitätskoeffizient sei E, der Gleitungselastizitätskoeffizient Ex. Wenn bei der Beanspruchung auf Zug oder Druck die relative Längenänderung der

Querschnittsmaasse =— ~ der

relativen Längenänderung der Längenmaasse ist, so besteht für isotrope Körper die Beziehung

<r---X—->■

Fig. 115.

Jl±

rr

2 (m -f 1)

E.

Da m — 3 bis 4 ist, so wird Ex — E. bis 0,400 E.

CnJ to

E oder 0,375E bis

Wir bestimmen zunächst die bei der Formänderung entstehende Verdrehung zJ des Endquerscbnittes A A¹ nach dem Prinzipe der virtuellen Arbeit, das uns für den vorliegenden Fall als die geeignetste Methode erscheint. Wir denken uns zu diesem Zwecke auf den Querschnitt A A ein rechts drehendes Kräftepaar mit dem Momente 1 wirkend; ist c der Abstand beider Kräfte, so muss also jede Kraft = i sein (Fig. 115). Hierdurch entsteht in A und B eine bezüglich abwärts und aufwärts wirkende Reaktion y. In dem beliebigen Punkte D des Querschnittes möge hierdurch die spezifische Normalspannung n und die spezifische Schubspannung t entstehen. Da auf die Länge dx

die Normalspannung N die Längenänderung dx und die Schubspan-

T

nung T die Verschiebung dx bewirkt, so ist die virtuelle Arbeit für ein Volumenelement mit der Länge dx, der Breite dw und der

wobei die Integration über den ganzen, das betreffende Feld des kon-tinuirlichen Trägers bildenden Körper auszudehnen ist.

Ist M das Moment, welches in Folge der Belastung auf den Querschnitt CG' wirkt und m das Moment, welches durch das angenommene Kräftepaar im Querschnitte G G‘ entsteht, ferner I das Trägheitsmoment dieses Querschnittes in Beziehung auf eine zur Kraftebene senkrechte Schweraxe, so ist im Abstande v von der Schweraxe bekanntlich

M v    (l — x) v    •,

-j-, n — - ^ ' -, weil m —

— ist; mithin wird,

T x

wenn dF das Flächendifferenzial bezeichnet,

Höhe dv = -    + ~-)dxdvdw = —    d V,

das Volumenelement bezeichnet¹). Die virtuelle Arbeit des auf den Querschnitt AA‘ wirkenden Kräftepaares mit dem Momente 1 ist 1. t‘ — r'. Da die Summe aller virtuellen Arbeiten Null sein muss, so wird

wenn dV

1.

r'

Ç (nN . tT\ 1V

J hr + h<n ’

N <=

nN dF —

v°-dV= ~

weil f v^dF — 1 ist. Unter der Voraussetzung eines konstanten Querschnittes ist ferner, wenn S das in Beziehung auf die genannte Schwer-axe genommene statische Moment desjenigen Flächenstückes bezeichnet, welches auf jeder Seite einer im Querschnitte im Abstande v von der Schweraxe parallel zu dieser gezogenen Sehne liegt und wenn & die Länge dieser Sehne, Q die durch die Belastung im Querschnitte entstehende Transversalkraft bedeutet,

CO 'r©

ibl ’

weil die Transversalkraft, welche durch das angenommene Kräftepaar mit dem Momente 1 entsteht, =--- ist. Demnach wird

ITdF —    ⁶

SdF= «

S²

Pt

— dv. o

Die Integration lässt sich allgemein nicht ausführen. Wir setzen zur Abkürzung

- dv,

F CS-

-pjcb

!) Denkt man sich das Körperelemeni beseitigt und statt dessen die entsprechenden inneren Kräfte n, t angebracht, um dus Prinzip der virtuellen Arbeiten anwenden zu können, so wirken n und t in der

X    T

entgegengesetzten Richtung, als die Längenänderung -p-dx und die Verschiebung —

d x, so dass die

alsdann wird:

tT dF = —

xQ

Fl *

Sonach haben wir jetzt:

i’.ij 1'

Das zweite Glied ist zwar nur bei konstantem Querschnitte richtig, abgesehen von den Mängeln, welche von den der Entwickelung des Ausdruckes von T zu Grunde gelegten Annahmen herrühren. Wir wollen indess dieses Glied auch auf wenig veränderliche Querschnitte als Näherung anwenden.

3. T ' =

4tS

dx —

dx.

Für einen veränderlichen Querschnitt ergibt sich statt des Ausdruckes T — der allerdings für die weitere Verwendung viel weniger bequeme Ausdruck

d--    d —

I ₌ QS . M a I

bdx Ib ' b dx

a. T =

MS

KO

Indessen lässt sich eine einfachere, namentlich für Blechträger mit veränderlicher Höhe hinreichende Näherungstheorie argeben. Wir legen in Fig. 116 einen cylindrischen Schnitt, welcher an den Rändern CC“ auf diesen, oder bei einem Blechträger auf den Axen der Gurte senkrecht steht. Die Tangenten an den Rändern oder Gurtaxen mögen sich in L schneiden, so dass L der * j Krümmungsraittelpunkt des cylindrischen Schnittes ist. Wir nehmen nun 7

I

an, dass die Schubspannungen, welche in diesem Schnitte wirken, in einem mittleren Theile mit der Fläche f₀ r y konstant, dagegen im übrigen, an den Rändern liegenden Theile = Null angenommen werden können. Bezeichnen wir das Moment der äusseren, auf einer Seite des Schnittes wirkenden Kräfte in Beziehung auf den Punkt L mit M₀ und den Abstand CL des Punktes L vom Schnitte mit x₀, so ist Tf₀x₀ = M₀, weil die auf den cylindrischen Schnitt wirkenden Normalspannungen kein Moment haben. Demnach wird

Fig. 116.

-Cd

-*-X-

■<------------xr--------------DC-—->-

s.

b. I =

M₀

/»*o '

Das Moment des Kräftepaares 1 und der linken Reaktion in Beziehung auf L ist 1 — ~ = -f, wenn wir AL = xn BL — x.l setzen. Folglich ist

Demnach wird

d.

tT dF — Xt

M₀

fo =

Es würde mithin hier

_ MQx’

/ÔV

faX₀l fB X Q

für zu setzen sein.

M„Xi

foXo'l'

§. 56. Anwendung bei gegebener Belastung. Wir bezeichnen nun die Momente, welche am linken und rechten Ende entstehen, mit M', M“. Ist eine Belastung nicht vorhanden, so ist M‘¹ = Q'a, M“ — Q' (a -f l) — M' -f Q‘ 11 wenn Q‘ die Transversalkraft für das linke Ende, a ihren Abstand von demselben bedeutet. Hiernach ist

¹

Querschnitt ausserhalb der Stützen. Wir nehmen einen Querschnitt K im rechten überstehenden Theile im Abstande x von der Stütze E an. Für die Belastung des Theiles KD ist Q = p (at — x) und für die Belastung von DF wird Q = ~ pbt, somit ist

39. max (+0) = +    [2 (at — x) + &,], max(—Q) = 0.

Für einen Querschnitt I im linken überstehenden Theile ist x = AI und a, b für an bt zu setzen, sowie das Vorzeichen zu wechseln.

M“ — M‘

Q‘ =

M = Q‘ (ja, + x) = W + Q‘æ, d. i.

. Ferner wird für einen beliebigen Querschnitt Q = Q¹,

M“ — M‘

M = M'

(- )

Wir bezeichnen ferner die Transversalkraft und das Moment, welche im beliebigen Querschnitte entstehen, wenn der Träger als Einzelträger wirkt, wenn also M‘ und M“ — 0 sind, mit Q und . Ist nun M' und M“ nicht = 0, so wird olfenbar

M“ — M‘

4. Q = & +

-f M' ^

+ M‘¹¹ -j- .

Demnach wird nun

⁵‘

j.    dx-f

M'jy-xy

₁    . M“ Cx(l—x)

'*+tJ I

dx

M“ — M‘

hU

Den Ausdruck für die Drehung z“ des rechten Endquerschnittes erhält man durch Vertauschung von M‘ und M“, x und l — x, —Q und Q, vorausgesetzt, dass man sowohl am linken, als am rechten Ende eine Drehung des Querschnittes nach rechts positiv nimmt. Wir setzen nun zur Abkürzung, wenn Jü, F₀ das Trägheitsmoment und die Fläche eines mittleren oder auch eines beliebigen Querschnittes bezeichnet und sich x0 auf diesen Querschnitt bezieht,

6.

x'ldx_C,V

i ~3i:

- f

o’ J

(l — xYdx C“ l³

"mxdx wt'i*

- 3I₀ ’

x(l—x)dx_Cl³

T -6Ę ’

%)l (l - x) dx_ %Jl‘ P 21₀ '

- 31»’

Y,dx_

I - I\

Alsdann wird:

7.

+ T' =

6BIo

(3 Söt" + 2 C“M'+ C M ) -

X«

— T“=

6BI₀

(3 m + CM¹ + 2 OM“) +

X„

ExFül

Bei konstantem Querschnitte werden die nur von den Dimensionen abhängigen Koeffizienten (7, C\ C“ und JB sämmtlich = 1. Für eine im Abstande £', von beiden Stützen wirkende Einzellast G wird

£xäx = 4- G -V . r — G 4- g« = ö.

Demnach muss sich auch für jede beliebige Belastung /OcZir^O ergeben ; es wird also auch O' = 0, mithin

+ T' =    (3 m + 2M‘ + M“) -

—T“=    (3    + M‘ + »    (M“ - M)

S.

(M" — ilf),

E. Fl

Die Reduktion auf M‘ und M“ bei gegebenem x‘ und t“ ist hiernach leicht zu bewirken. Wenn man den Einfluss der Schubspannungen, also die Glieder mit dem Divisor F, F₀ vernachlässigen kann, so ergibt sich

3Cm i- 6C‘mul+ 6EI, (2 C T' + CT“)

(4 O C“ — C¹) l

j M“ = —

6 C“ m¹1 — 3Cmul+ 6El, ( CT'+2C“ T ) {4 0 C“ — C-) l

und bei konstantem Querschnitte

10.

EI

{2T' + T‘%

m = — 2m‘ + mu — 2    +

W — + 9)1' — 2m + 2 -

Die Anwendung auf einen auf beiden Seiten horizontal eingespannten Träger ist ohne Weiteres zu machen, indem man x‘ — x“ = 0 setzt. Ist der Träger nur am linken Ende eingespanut, während er am rechten frei aufliegt, so ist M“ — 0 zu setzen. Alsdann aber wird bei Vernachlässigung der Glieder mit F sehr einfach

u. 3i' = - ~ w\

bei konstantem Querschnitte also M‘ =

— § 3K".

Bei veränderlichem Querschnitte würde der Anmerkung des vorigen Paragrafcs entsprechend, das zweite Glied in der Formel 5 zu ersetzen sein durch

⁺ Śl[/S?',‘+T

In den Formeln 7 sind dementsprechend die zweiten Glieder mit dem Faktor * wegzulassen, den Grössen C, C\ C“, SDF, 9JÎ" dafür aber folgende Bedeutung zu geben :

a.

a _ 31» j'Jx'dx

Çx^dicl Ej J’

c=W

3Di'

Tr

Çé< _ 3 lg

Is

Lf

(l - xydx , E

x (l — x) d x . E

Et

f xt x, d x “I

J fgX-S J ’

90Î"

-¥Lf

30*1(1 — x)dx

E C xl d x I

J foXo* J’

. E f 9Jl₀x,dx ~l

_i~ ^rJ /iv J

Bei konstanter Höhe wild x^ — x^, x^ = x^, xlx₂= — x₀i und 2Ji₀aj, = Oxa², 9tt₀ x₂ = — Ccc₀J.

§. 57. Anwendung auf den kontinuirlichen Träger. Die

Momente an drei auf einander folgenden Stützen A, B, C (Fig. 117) seien

M₀, Mv Af₂; diese Stützen mögen um die kleinen Grössen y₀, yx, y₂ unter einer beliebigen Horizontalen liegen ; die Längen der beiden auf einander -T"    * folgenden Felder seien

Fig. 117.

c'

"t~--

i OC/

CXg

Winkel, welche AB, B G mit der Horizontalen bilden, so ist

y* —y i

_ 2/, — 2/o

Sind av «2 die

y —

Der Querschnitt über B bilde nach der Formänderung mit der Vertikalen den Winkel r, mit den Normalen zu A B und BC die Winkel x“, xAlsdann ist x=al-\-x“ und r = cc₂-fr', also ax -f- x“ =«₂ -j- x'y x“ — x* — a» — ccl oder

12. xu — r' =

y y - y*

Die Winkel x“ und x‘ sind durch die Gleichungen 7 bestimmt, wobei natürlich x¹¹ auf das linke, x‘ auf das rechte Feld zu beziehen ist. Unterscheiden wir diese beiden Felder durch die Zeiger 1 und 2, so erhalten wir

13. ( Cx — kx Bx ) lx 3T₀ + ( £ C, ' Z, + kx Bxlx +2    " l, + &₂ h) Mx

+ ( C₂ — ko B₂) h AL

= — 3    - 3 Wlo“ - kx C, ' C + ku C,' V

i/o ~ Vx Vx

'x

— y»\

h /’

wean wir zur Abkürzung

6EI₀xn

ExF,l*

_x.    ^ E Iq Xq

~ ” ĄF₀k⁹

setzen. Wenn die Stützen in gleicher Höhe oder in einer Geraden liegen, und wenn wir ferner für ein bestimmtes Feld zur Abkürzung

ct = C‘ + 4 fc-B, ß = C“ + 4- ÄB,

- ^2

y = G — IcB,

setzen und wenn wir die immer nur sehr kleinen Glieder mit O' vernachlässigen, so wird

14. y, lx M₀ + 2 (<%, lx + & L) Mx + y* lq Mn = - 3 {lx' + h 8»,").

Ist ausserdem der Querschnitt konstant, so wird bei Vernachlässigung der Glieder mit F

is. ix m₀ + 2 iix +1,) mx + iqMq — — 3 {ix mx + iq sovo-

Wir nennen die Momente an den Stützen die Stützenmomente. Indem man die eben aufgestellte Beziehung für die Stützenmomente an drei auf einander folgenden Stützen aufstellt, erhält man, da die Stützenmomente an den Endstützen Null sind, so viele Gleichungen, als Stützenmomente vorhanden sind.

Liegt der Träger auf der ersten Stütze mit dem Index 0 nicht frei auf, sondern ist er hier horizontal eingespannt, so wird hier x‘ — 0, daher, wenn die Stützen in gleicher Höhe liegen und wir die kleinen Glieder mit O' vernachlässigen,

16. 2ßx M₀ + yxMx — — 3^mx ‘.

Nach demselben Schema ist auch die Gleichung für das letzte Feld aufzustellen, wenn der Träger auch an der letzten Stütze eingespannt ist.

Der kontinuirliche Träger mit drei und vier Stützen wird zuerst von Eytel-wein (Statik fester Körper, III. Band 1808) behandelt und zwar für konstanten Querschnitt, eine gänzliche gleichmässige Belastung und eine Einzellast in jedem Felde. Eytelwein bestimmt unter Annahme unbekannter Stützendrücke, nachdem bereits von Bernoulli, Euler und Lagrange die Kegeln zur Aufstellung der Gleichung der elastischen Linie gegeben waren, die Durchbiegung an den Stützen und setzt diese Null, wodurch er Gleichungen für die unbekannten Stützendrücke erhält. Später behandelt Na vier (Résumé des leçons sur l'application de la mécanique etc. 1826) den an einem Ende und an beiden Enden eingespannten Stab, sowie den auf drei Stützen liegenden Stab konstanten Querschnittes und unter Voraussetzung einer

Einzellast in jedem Felde unter Benützung der Gleichung — für e^a"

stische Linie. Den eingespannten Stab behandelt er in der Weise, dass er statt der Einspannung eine Stütze annimmt, über welche der Stab hinausragt; das überstehende Ende belastet er mit einem Gewichte, welches er so bestimmt, dass die Tangente über der Stütze horizontal bleibt. Später ist der eingespannte Stab mehrfach unter willkürlichen Annahmen behandelt worden. Der gleichmässig belastete eingespannte Stab konstanten Querschnittes wurde zuerst von Rebhann (Förster’s Bauzeitung 1853) richtig behandelt.

Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

Mehrfach wird nun der kontinuirliche Träger konstanten Querschnittes mit gleich-massig und gänzlich, sowie durch unverrückbare Einzellasten belasteten Feldern be

handelt, indem mit Hilfe der Gleichung — die Neigung der Tangenten der

elastischen Linie über den Pfeilern bestimmt und diese Neigung für je zwei auf einander folgende Felder gleich gesetzt wird; dabei werden die Stützendrücke als Unbekannte eiugeführt, so von Rebhann (Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen, Wien 1856) und Scheffler (Theorie der Gewölbe, Futtermauern und eisernen Brücken, Braunschweig 1857).

Olapeyron (calcul d'une poutre élastique reposant librement sur des appuis inégalement expèces. Comptes rendus, 1857) behandelt den kontinuirlichen Träger konstanten Querschnittes mit gleichinässiger gänzlicher Belastung der Felder, indem er die Momente an den Stützen als Unbekannte einführt, wodurch eine wesentliche Vereinfachung erzielt wird, weil bei Einführung der Stützendrücke als Unbekannte es im Allgemeinen nicht möglich ist, Beziehungen zwischen nur drei Unbekannten aufzustellen.

Unter Annahme eines veränderlichen Querschnittes sind die kontinuirlichen Träger nach der Clapeyron’schen Methode zuerst von Culmann (Die grafische Statik I. Aufl. Zürich 1866), von Grashof (Die Festigkeitslehre, Berlin 1866) und dem Verfasser (Die Lehre von der Elastizität und Festigkeit, Prag 1867) behandelt worden.

Auf Grundlage der Clapeyron’schen Methode sind viele Arbeiten mit mehr oder minder abweichenden Einzelheiten entstanden. Wir nennen die Arbeiten von Bresse, Albaret, Renaudot, Collignon, Laissle und Schübler, Lippich, Pierre, Weyrauch etc.

Castigliano (Théorie de l'équilibre des systèmes élastiques, Turin 1879)

ersetzt zum ersten Male die Anwendung der Gleichung — durch den Satz,

nach welchem die Drehung eines Querschnittes der Differenzialquotient der Formänderungsarbeit nach dem im Querschnitte wirkenden Momente ist und berücksichtigt hierbei gleichzeitig zum ersten Male den Einfluss der Schubspannungen.

§. 58. Auflösung- der Gleichungen zwischen den Stützen-momenten. Zur Auflösung kann man verschiedene Methoden anwenden :

1.    Elimination. Bei nur wenigen Stützen kann man leicht die gewöhnliche Eliminationsmethode benutzen.

2.    Clapeyron’sche Methode. Die Gleichungen für die Stützenmomente seien:

H- <‘t M„ + M. + c,M,

Ö.AX, +    M,,

+ b3 ^3

= A,

= A

= a₃

ct Mx

Co Mo

j Cn-3 Mn-3-\ràn-S Mn-S^-Cn—a Mn-± = in-2

= An-1

Diese Gleichungen multiplizirt man, von der letzten beginnend, mit den Zahlen

16«.

Cn - 2 Mn—2 + bn 1 Mn-1

welche man so bestimmt, dass bei Addition aller

Gleichungen nur U£x als Uubekannte übrig bleibt. Zu diesem Zwecke muss allgemein sein. Die erste Zahl 7cx kann man beliebig wählen. Wählt man sie = 1, so hat man

bn—1 + b^Cn—2 — ö, Cn-2 + k<ibn-2 + ^3 Cn—3 — 0, 7c2 Cn—3 + ^3 bn—3 -f- &₄ Cn—4 = 0.

18.

Hiernach kann man diese Zahlen, die wir Clapeyron’sche Zahlen genannt haben, allmälig bestimmen. Die Addition der Gleichungen gibt

19. (kn—2 Cy + 7cn—i by) My -f-    1 At + 7cn-2-t+... + &₂-4»—2 + An-1 =■ 0.

als Unbekannte bleibt. Die übrigen Unbekannten

Man könnte diese Zahlen natürlich auch so bestimmen, dass bei der Addition nur M,

lassen sich nun aus den Gleichungen allmälig bestimmen. Bei lauter gleichen Feldern werden die Clapeyron’schen Zahlen

+ 2 — 4 +25 — 56    + 209 — 780    + 2911 — 1)864...

Man kann diese Zahlen 7c auch leicht so bestimmen, dass bei der Addition der Gleichungen nur ein bestimmtes Stützenmoment übrig bleibt 5 dasselbe also unmittelbar erhalten wird¹).

3. Determinanten-Methode. Wir bezeichnen die Determinante n — 1 -ster Ordnung des Systèmes sämmtlicher Koeffizienten der Stützenmomente mit D, setzen also

Cr*

C»

Cb • w

C2

20. I) =

cn—1

rC> *

Cy

Cn—4. bn—3 Cn—3

Cn—3 bn~2 Cn—g Cn—2 bn—1

von

Durch Vertauschung der Kolonne, in welcher br steht, mit den der Belastung abhängigen Grössen Alf A₂,... entstehe die Determinante Dr, so dass

0 Ueber die Eigenschaften dieser Zahlen] siehe: Winkler, die Lehre von der Elastizität und Festigkeit, Prag 1867, S. 120. — Weyrauch, allgemeine Theorie und Berechnung der kontinuirlichen und einfachen Träger, Leipzig 1873, S. 37.

21. Dr —

rST ej"

Cy—l Ar

Cr

An—S Cn—4 bn—8 Cn—3

n—2

A,

Cn—3

bn—2 Cn—2 Cn—2 bn—1

ist; alsdann ist MrD = Dr oder

Dr

22. Mr = ~

Bezeichnet man in dem Systeme der Determinante Dr die Adjunkten von Ax, A₂,... oder die Unterdeterminanten, welche durch Fortlassung der Zeile und Kolonne, in welchen Av As,.. . steht, mit dx, d2 setzt also

Cx \

C3

23. d.=-

Cr—1 Cr

d„ —

Cr—1 Cr

Cn—2 bn—2 Cn—2 Cn—2 bn—1

Cn—3 bn—2 Cn—2 Cn—2 kn—i

u. s. w., so ist Dr = dx Ax -f- d₂ A₂ -f- • • •, also

24. Mr — -jj (dx Ax -f- d₂A₂ -4~... —f- drAr -j-... -f- dn-iAn-j).

Hierbei sind die Determinanten n — 2-ter Ordnung von der Belastung unabhängig.

Die Unterdeterminanten lassen sich nach -dem Satze, dass eine Determinante, welche in m Zeilen n — m Kolonnen Nullen hat, sich in ein Produkt aus zwei Determinanten von der m-ten und n — m-ten Ordnung zerlegen lässt, immer in ein Produkt aus drei Determinanten zerlegen. Bei einem Träger mit 11 Feldern wird z. B. für das Stützenmoment M- der Koeffizient da von A₃ :

c₂

bx cx cx b

cP

cP

welcher sich in das Produkt aus den drei in den von der rechts fallenden Diagonale geschnittenen Quadraten enthaltenen Determinanten zerlegen lässt. Die obere linke Determinante ist für , d₃, di... von der 4-sten, .2-ten, 3-ten... Ordnung; für dx wird sie =4; die untere rechte Determinante ist für Mr von der n — r-ten Ordnung. In dem vorigen Schema ist die in der Determinante D fortgelassene Zeile und Kolonne durch einen Doppelstrich hervorgehoben.

Da die Determinante D symmetrisch ist (in Beziehung auf die rechts fallende Diagonale) und die Adjunkten symmetrischer Glieder gleich sind, so werden unter den (n — 1)² Koeffizienten d ausser n — 1 nur einmal auftretenden Koeffizienten von den übrigen je zwei einander gleich, so dass man nur j n (n— 1) Koeffizienten zu bestimmen braucht.

Bei einem symmetrischen kontinuirlichen Träger wird die Determinante D doppelt symmetrisch (in Beziehung auf beide Diagonalen) ; hier lässt sich behufs leichterer Berechnung noch eine Umwandlung vornehmen. Es wird beispielsweise bei 9 Feldern oder 8 zu bestimmenden Stützenmomenten

_C3 C

(S O' CS

13    13    —

cp oP'.P

4? ^oP

_CS ©■<

cs cs"' ci

13    >3    —

cP *p

O cs

t3 (0 U

O O' (S >-> to 13

Cr* _cs

Bei der zweiten Form ist zur 4-sten, 2-ten, 3-ten, 4-ten Kolonne bezüglich die 8-te, 7-te, 3-te, 5-te Kolonne addirt. Indem man nun von der 3-ten, 3-ten, 7-ten, 3-ten Reihe bezüglich die 4-te, 3-te, 2-te, JZ-ste Reihe subtrahirt, erhält man

<=>

rCT o“

Cr¹

4-

C4

bi c₄ c₃

\ ct

^1 ^2 ^2 c„ b₃

rO

C3

b₃ cQ

Cq bq

c. b.

b,

C3

t=° cFcP O-¹ o>

fcO kO

Cb

Hk N-

Allgemein findet man in dieser Weise für ein ungerades n, wenn man ~ (n — 1) mit m bezeichnet,

Hierdurch wird also die Determinante D in ein Produkt zweier Determinanten zerlegt.

Unter den (n — 7)² Koeffizienten d werden hier von n — 1 Koeffizienten je 2, von den übrigen je 4 einander gleich.

4. Bei symmetrischer Anordnung des kontinuirlichen Trägers, indessen beliebiger Belastung, lässt sich eine Vereinfachung dadurch herbeiführen, dass man die 7-ste und (n — 7)-ste, die 2-te und (n—2)-te, die 3-te und (n — 3)-te Gleichung u. s. w. addirt und subtrahirt. Setzt man dabei

-f- Mn—1 = X,, My -f- Mn-2 — X

— Mn-s = Y„, . •

M. — M

so ergibt sich

- Ay -f- An—ly

⁼ Aq -j- An— 2y

27.

25. D =

C\ bn Cq

bm—2 bt

\bm Cm Cm — l

Cm— 1

bm—1 Cm—2

Cm—l Cm—l bm -f- Cm

Cq, bn

C.

o' 1-0

und für ein gerades w, wenn man

&, c,

Cj b,, c„

n mit m bezeichnet,

Um—1

26. D =

Cm — l

Um—2

Cm-2

Cm—2

CH .

Cm —1 2 Cm—1 bm

by X, 4- c, X2 C, Xx -j- X₂ -j- c₂ X₃

c<2 Xq -j- b₃ X₃ -j— c₃ X₄ —- A₃ —{- An—s i

= A.—A

27 a.

bl Yy + c, Y₂

C\ Yy 4- bg, Y₂ -f c₂ Y₃

Cq Y₂ -{- bs Y₃ -|- c₃ Yj = A₃ A

n—l y

- An    An—2 ,

n-3 •

Man erhält hierdurch also zwei Gruppen von Gleichungen; die Anzahl der Unbekannten ist fcei ungeradem n in jeder Gruppe A (n — 1), bei geradem n dagegen in der ersten Gruppe ~ n, in der zweiten Y n — A

Setzt man im letzteren Falle Xn = 2Mn, só stimmen die Determinanten

Y    Y

D der Koeffizienten in den beiden Gruppen mit den Faktoren des Produktes überein, in welche sich D nach Formel 25 und 26 zerlegen lässt. Nach Auflösung beider Gruppen von Gleichungen wird Mx = j(Xx -f- Yj), =    M,=    (X,+ Y,), 'Mn-s = UX'-Y,)n.s.w.

Beispiel. Träger konstanten Querschnittes mit gleich hohen Stützen und vier Feldern, deren Längen sich wie 8 : 10¹: 40 : 8 verhalten. Die Gleichungen zwischen den Stützenmomenten werden

36 M, + 10 M₂

= - 24m,' — 302)1," = A„ 10 M, + 40214, + 10M₃ = — 302)1/ — 302)1," = 4„ 10 M₂ 4- 36 M₃= — 302)1,' — 542)1/' = Ä₃.

1. Clapeyron’s Methode. Multipliziren wir die Gleichungen mit k₃, k₂, 1, so erhalten wir, damit durch Addition M₂ und M₃ verschwinden, 36 -f- 10k₂ = 0, 10 -}— 40 &, —{—10 k₃ =0, daher lc₂ = — 3,6, lc₃ = — 1 — 4 k₂ = — 1 -f- 14,4 = —}-13,4. Die Multiplikation gibt

+ 4824 M, + 1340 M₂

= 4- 134 4, — 360 M, — 1440 M₂ — 360 M₃ = — 36 A2 + 100 M₂ + 360 M₃ = 4- 10 A₃.

Die Addition gibt 4464 M, = 4344, — 36 A₂ -f 10 A₃ oder Mt = 4- 0 030054, —0,008074, 4- 0,00224 Ä₃.

= — 0,7503»/ - 0,0042)1," 4- 0,5452)1/ 4- 0,5452)13" - 0,0672)1,' — 0,0542)1/'. Es wird nun 214, = - 3,0 214, -j- 0,1 A, oder M₂ = — 0,00807 4, 4- 0,02905 A₂ — 0,00807 A₃

= 4- 0,4042)1/ + 0,5452)1," - 0,8752)1,' — 0,8722)1," 4- 0,5452)1,'4- 0,4342)1/', 214, erhält man nun der symmetrischen Anordnung wegen ohne Weiters durch Umkehr der Zeiger.

2. Determinantemethode. Es wird

30 40 40 40 40 40 30

= 30

40 40 40 30

- 40

30 (40.36 - 10.10) 10 36 — — 40 (40.30)

40

= 44040

4, 40

4, 40 40 = 4,

4, 40 30

= 4, (40.30 — 40.40) — 4, (40.30) + 4, (40.40) = 43404, — 3004, + 400 4,, I 30 4,

D, = [40 4, 10 = — 4,

I 4. 37

= — 4, (40.30) + 4, (30.30) - 4₃ (30.40)= — 3004, +45004,-3004,.

40 40 10 36

-4,

40 40

30

40

10

40 30

40 40

30

30 I

1 30

40 40

Setzt man nun Df, = -A-, M₂ = -A-, so erhält man wieder die obigen Zahlen.

§. 59. Bestimmung der übrigen Grössen. Nachdem die Stützenmomente in der gezeigten Weise bestimmt sind, ergeben sich die Werthe für Q und M für beliebige Querschnitte nach den Formeln 4. Es ist in gewissen Fällen von Nutzen, die Rechnung mit der Konstruktion zu verbinden, indem man die Stützenmomente durch Rechnung, die übrigen Grössen aber auf grafischem Wege bestimmt. Man kon-struirt zu diesem Zwecke das Seilpolygon für die gegebene Belastung (Fig. 118). In den Stützenvertikalen macht man sodann die Strecken AA‘ und BB' gleich den Stützenmomenten, dividirt durch die Polweite H. Zieht man sodann die Schlusslinie AB, so geben die Ordi-

Daten des Seilpolygons von AB aus gerechnet, mit H multiplizirt, die Momente. Man kann auch AB horizontal annehmen und sodann das

Seilpolygon in bekannter Weise durch die Punkte A‘ und B‘ legen wie in Pig 119. Legt man im Kraftpolygone parallel zur Schlusslinie AB einen Strahl OEx, so ist die zwischen OEx und dem zur letzten linken Polygonseite A'F parallelen Strahle EAX liegende Kraft Ex At gleich der Summe aller auf der linken Seite von einem durch die letzte Polygonseite A'F gelegten Schnitt wirkenden Kräfte, also gleich der Resultante der links von diesem Schnitte noch wirkenden Stützendrücke und Lasten, d. i. gleich der Transversalkraft Q¹ für die linke Stütze A. Ebenso stellt Ex Bx die Transversalkraft für die rechte Stütze B dar. Die Transversalkräfte für andere Schnitte werden durch die Abstände der entsprechenden Punkte des Kraftpolygons von Ex dargestellt.

Fig. 119.

Fig. 118.

Ao,

-~Q

'0 A F

TV

Bezeichnen wir wieder die Normalmomente für drei auf einander

die Längen der Felder mit lv Z₂,

folgende Stützen mit M0} Mx, M, die Transversalkräfte in diesen Feldern an der mittleren Stütze bezüglich mit Ql“, Qq und die hier unter der Voraussetzung voü Einzelträgern entstehenden Transversalkräfte mit Q,", 0₂', so ist nach der ersten der Formeln 4

- Mn

- Mx

Ist nun Dx der Stützendruck auf die mittlere Stütze, so ist offenbar Q„‘ = Qx ¹¹ -j- Bx oder D₁=Qi‘—Qtu. Da dementsprechend £V — O,“ der Stützendruck £), ist, welcher auf die mittlere Stütze bei Annahme von Einzelträgern entsteht, so wird

28. DX=QĄ- 0,“ = ©,+

M₀ — Mt

Mx - -Mo

Der Druck D₀ auf die erste Stütze mit dem Zeiger 0 ergibt sich in gleicher Weise

29.

h ’

unter der Voraussetzung, dass der Träger auf dieser Stütze frei aufliegt, also 31₀ = 0 ist.

Legt man im Kraftpolygone Strahlen 0Aq und 0H₂ parallel zu den an A‘ und B‘ anschliessenden Seilpolygonseiten der Nachbarfelder, so wird AlAi gleich der Summe der auf den beiden Seiten von A wirkenden Transversalkräfte, d. i. gleich dem Stützendrucke in A; ebenso wird B, Jj₂ gleich dem Stützendrucke in B.

§• 60. Drehung der Axen der Träger an den Stützen.

Wenn wir die durch die Formänderung veranlasst^ Drehung t,' des linken Endes der Axe des Stabes bestimmen wollen, so haben wir uns in der Axe in unendlich kleinem Abstande c vom linken Ende die

vertikale Kraft — wirkend zu

Fig. 120.

B'

JL

denken (Fig. 120). Hierdurch ent-stehen die der Kraft — entgegengesetzt gerichteten .Reaktionen

4 und 4

E-

C-l

-ß

Innerhalb des Stückes B₀Eo entstehen dieselben Span-

~c T

nungen n und t, wie in §. 55, wo wir ein auf den Querschnitt AA‘ wirkendes Kräftepaar mit dem Momente 1 annahmen. Innerhalb des

T*

Stückes A₀E₍₎ mögen durch die Kraft — die spezifischen Schubspannungen t₀ entstehen, die wir, weil A₀E₀ unendlich klein ist, als mit x nicht veränderlich voraussetzen können. Die Normalspannungen, welche

in diesem Stücke durch die Kraft ~ entstehen, sind wegen des unendlich kleinen Hebelarmes der Kraft ■— — y gegen t₀ unendlich klein, können also sofort weggelassen werden. Demnach wird hier nach dem Prinzipe der virtuellen Arbeit, wenn dF das Flächendifferenzial des Querschnittes bezeichnet,

(7îA + a

J V E ⁺ E.

)äV₊^jt₀TäF,

V =

wobei sich das erste Integral auf das Stück CE, das zweite auf die ganze Endquerschnittsfläche bezieht. Da aber c unendlich klein ist, so ist das erste Integral dasselbe, wie in Formel 1. Demnach ist

30.

= r‘ + 4r

Nun aber ist, wenn Q' die am linken Ende durch die Belastung entstehende Transversalkraft bedeutet, T = cta — c ^----j) Tb ~

{l — yj oder, da c unendlich klein ist, c t₀ =■ mithin, wenn wir den Werth 2 für x berücksichtigen,

XO'

E. F '

31. TI' = T' +

Sonach bildet die Tangente an die deformirte Stabaxe in A mit der

* Q‘

Sehne AA‘ des deformirten Endquerschnittes einen Winkel von 90° -f

Ist A ein Stützpunkt eines kontinuirlichen Trägers und ist Q“ die links von diesem wirkende Transversalkraft, so bildet auf der linken

Seite die Tangente an die Stabaxe mit der

Sehne des Querschnittes den Winkel 90°-

Fig. 121.

w

* Q“

\t

E,F'

wobei in Wirklichkeit Q“ negativ ist. Demnach entsteht an der Stütze in der Stabaxe

ein Knick (Fig. 121). Bezeichnen wir den

E, F ’

Winkel desselben mit r, so ist v = oder, wenn wir den Stützendruck Q‘ — Qn

mit D bezeichnen,

32. V —

XD

EXF '

Die wirkliche Formänderung ist indess über der Stütze eine etwas andere, weil die Schubspannungen sich an denjenigen Stellen, wo Einzeldrücke angreifen, wesentlich anders vertheilen, als nach der bekannten Theorie. Wie Versuche an Gummimodellen zeigen, tritt statt des Knickes eine Abrundung ein; nur auf der Seite, an welcher sich der Stützendruck auf den Träger überträgt, also gewöhnlich unten, tritt eine wirkliche Knickbildung ein, wenn sich der Druck nicht auf eine grössere Breite vertheilt.

Für einen veränderlichen Querschnitt würde, der in der Anmerkung zu §. 55 gegebenen Näherungstheorie entsprechend, statt der Formel 31

M₀

a. r/ = t* -■)-

Et fa xt

zu schreiben sein, wobei sich M₀, f₀ und xt auf den Endschnitt beziehen. Statt der B'ormel 32 ist zu schreiben

b. v

wenn M₁ das Moment an der betreffenden Stütze, xn x₂ die Abstände der Schnittpunkte der Bandtangenten von der Stütze bedeuten.

§. 61. Bestimmung des Koeffizienten X-

Wir wollen uns hierbei lediglich auf den symmetrischen I - förmigen Querschnitt beschränken (Eig. 122). Wir bezeichnen die ganze obere und * untere Breite mit b, die Dicke des Steges mit bt, die ganze Höhe mit h, die Höhe zwischen den Flanschen mit hx. Alsdann ergibt sich, wenn wir das statische Moment S für einen oberen und unteren Theil mit Sr für den Steg mit bezeichnen,

8, = §&    8, = -i (&*• — b, V + MV*)-

Fig. 122.

T“§J

•V

h~k

h §§

to kA

6, «².

Es wird nun

«o ft-

Jr*’=z I */(t - *s) dv+äbj{bh2

to| »-

*®L*-

Setzt man ferner F=bh — (b— und 1= [bli³— (& — &,)Ä,³]t sowie zur Abkürzung

h. = mh,

bx = nb,

33. X =

so gibt die Ausführung

3 (1 — mĄ-mri)

20n(l— mA-\- ma n)

Hiernach ist folgende Tabelle berechnet:

j[8łt-8 n(l— n)    5(1—n) m (1—m²)²].

y b, h

n=0,l n=0,2\n=0,3jn=0,4|n=0,5| n = l n=0,l\n=0,2\n=0,3\n=0,4 n=0,5 11=1

jO Qp ^ c^> Ox______

^kA ^kA ^to    yfk ^kA

to    00 05 05 Ni to

O 05 Ha Üi ÎO ^o O

_kA ^kA J-A Jto _tO _tO _kA

"to "oc "to "oi "nj 'to C ^ Oo Oj gs, 05 O

kA kA ^-A kA ^kA tO _kA

lo "oo 'bx "vt "^5 "<^> 'to <5 Oi k! ac Oi V O

_kA _kA ^kA _kA ^kA _kA ^kA

"to to "kA Oi'ci"Nt"tO O oo «k oi ui ha c

_kA kA kl^kl _kA _kA ^kA

lo "to "oc Ifc. "en Ox to <2> Ox Hk Oo 03> Ox O

_kA kA ^A _kA _kA ^kA _kA

to to to to to to to C> 03, C3> Ci CO Cs

y-A j~A ,c> yo ,c>

"to "o "^3 lo "oo kA d Oo to SO kA to

kH Oi 00 kH !\ o o) ci ią o ci

<cT cT cT t-T »-T *-T *-T

kA y-A y~A _kA y-A lo "c> "o 'o "<£> Oj

o O VÎ Ol k Üi Ol

^a    ka    y-j.    ^

'tO "kA "kA "o "o "«£> "rfA

O U    O    Qo    Qo

_kA _kA ^A _kA _kA _kA o

Ino "ka 1a. 1a "c> "q> "os HA. tO Cs VÎ Co C>

_kA _kA y-A _kA ^kA _kA ^kA ÎO tO    ÎO    tO    tO    tO    tO

C) O    C)    o    o    o    o

Für den rechteckigen Querschnitt wird hiernach x = -j- = 1,2. Für die gewöhnlich vorkommenden Formen wird nach der Tabelle nahezu

F — M'

Wir wollen nun noch voraussetzen, dass, wie bei einem Blechträger, jeder der beiden Gurte die Fläche f\ dabe! eine beliebige Form, aber eine gegen die ganze Höhe h nur sehr kleine Höhe habe; der Steg habe die Dicke Ô. Alsdann ist F=2f+öh, I=j fh² + ~ äh³ und S = y A + J à h* — j dv². Man erhält leicht

to| SS"

i/

S-dv =

h³

120 Ö

(30 f* + lOfôh + <W).

Hieraus folgt, wenn man zur Abkürzung f=vöh setzt,

6 (1 + 2V) (1 + 10V + 30V²)

5(1+ 6vy

Für grosse v ergibt sich, wenn man v = — setzt und in eine Reihe verwandelt, x —

v(¹-ł“) = v + ¹ »der

34. X =

oder annähernd x —

34a. X = 2V + 1.

Diese Regel ist fast für jedes beliebige v hinreichend genau. So erhält man für v = 0 0,25 0,5 0,75 1 2 genau x = 1,20 1,55 2,03 2,52 3,01 5,01, nach der Näherungsregel x — 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 5,0, Bei den jetzigen Blechbrücken wird x die Zahl 5 nicht überschreiten, in der Regel aber wesentlich kleiner sein. Da nun F — 2f-{-lid = (2v-\-l)hd ist, so wird sehr nahe

³⁶- 1W-hÖ'

in Uebereinstimmung mit obiger Näherurigsregel.

Man kommt auf diese Regel unmittelbar, wenn man in naher Uebereinstimmung mit der Wirklichkeit annimmt, dass in den Gurten gar keine Schubspannungen entstehen und dass die Schubspannungen im Querschnitte des Steges konstant sind, welche Annahme der in der Anmerkung zu §. 55 gegebenen Näherungstheorie zu Grunde liegt. Die Fläche f₀ würde hier —hd zu setzen sein.

Trägheitsmomentes an der betreffenden Stelle als Ordinate auf; die so erhaltene Fläche ADCEB (Fig. 123) nennen wir die Krümmungsfläche, weil

die Krümmung von -j abhängt.

§. 62. Bestimmung der Hilfsgrössen B und C. Zur Bestimmung dieser Hilfsgrössen tragen wir den reciproken Werth des Fig. 123.

J?

JE

ifjrë

Çdx

J I

den Flächen-

Es bedeutet nun

ausgedrückt werden. Die Bestimmung von <p, 0, rj kann auf verschiedene Weise erfolgen.

1.    Durch Rechnung. Bei krummliniger Begrenzung wendet man zur Berechnung am besten die Simpson’sche Regel an. Aendert sich aber der Querschnitt, wie dies meist der Fall ist, ątaffelformig, so besteht die Krümmungsfläche aus einzelnen Rechtecken, deren Flächen und Trägheitsmomente einzeln zu berechnen sind.

2.    Durch Planimetrirung. Ein sehr geeignetes Mittel ist jedenfalls das Momentenplanimeter von Amsler, mit Hilfe dessen man durch blosses Umfahren der Fläche den Flächeninhalt, das statische und Trägheitsmoment in bekannter Weise erhält (siehe des Verfassers „Vorträge über Eisenbahnbau, Heft 1, III. Aufl., Seite 243“).

3.    Durch Konstruktion. Man denkt sich die Krümmungsfläche als Belastungsfläche, d. h. die Ordinaten als Lasten pro Längeneinheit, und konstruirt hierzu die Seilkurve AGB (Fig. 124). Zieht man zwischen den Endvertikalen die Endtangenten AN und BM der Seilkurve, so ist bekanntlich, wenn man die Polweite des Kräftepolygons mit H bezeichnet, rj‘ = 2H Fläche AGB M, ri“ = 2HFläche AGBN. Die Fläche cp ist gleich der Linie HI im Kräftepolygone. Macht man OK parallel MN, so ist&OIK~&AMN und /\OHK~&BNM,

mithin ist AM = IK~ B N = HK    folglich Fläche AB NM

= j (AB 4- BN)l = f (IK + HK) ~    ^ oder cpP=2HFläche

AB NM. Sonach wird jetzt

₀ Fläche AGBM - ³ • Fläche ABNM'

Das statische Moment 0' wird durch das Produkt aus der Polweite H und der Strecke AM dargestellt. Es ist demnach Ig‘ — 2H/\ AB M.

38.

Cl‘

• -i 11    dx ,

inhalt cp, J-j— und

(l—xydx

Ç (I — x) dx

J I

das statische Moment <?', 0", das Trägheitsmoment rj" der Krümmungsfiäche iu Beziehung auf die Endordinaten. Wenn man I₀ so wählt, dass Ą-

darstellt, so ist ~ — j r

- W'

Da (l — x)q — P — 21 x -j- x* ist, so wird łj" = £²<p— 216J -f rj\ also Ig' — — (l^cp - r\‘ — 77"), mithin kann C auch in der Form 3 (cpP — rj‘ — rj")

und

den Mittelwerth von

36. C‘ = ³-t, C“

<pP

= cp. Alsdann wird 6 (I ö'— 7]')

cpP

37. C =

cpP

— 3 — C‘ — C“

Fläche AGBN ³ • Fläche ABNM'

Demnach ist l & — r\‘ =■ 2H ABM — Fläche AGBM) = 2II Fläche AGB. Sonach wird

39. C = 6.

Fläche AGB

Fläche AB N Ai ’

Fig. 124.

II

ÜUllii

Wenn man die zur Axe AB senkrechte Schweraxe der Krümmungsfläche als Abscissenaxe wählt und den Abstand eines Querschnittes von dieser mit x₀, den Abstand dieser Schweraxe von den Enden mit e, el bezeichnet, so ist x — e -j- #₀. Wenn man berücksichtigt, dass alsdann f x₀ d xa J Ï

C' =

= 0 ist, so ergeben sich die Beziehungen: sÇa₀+ A, C" = 3^A₀ + ±A, C = 6'-£A'-Ia

40. 4C'C“ — C*= 3AA₀,

wenn man zur Abkürzung

41.

Ao =

12 l₀ C x₀-² d xn

setzt. Der in den Ausdrücken 9 für M und M“ auftretende Koeffizient 4 C C“ — C'¹ ergibt sich leicht zu

42. 4 C'C“ — C* = 36

Trägt man noch als Ordinate auf, so ist der Flächeninhalt «p, der erhaltenen als Mittelwerth von ~

B —l. Wird nach Formel 36 ^    “ gesetzt, so wird auch ~ =^>.

Fläche AGB

Fläche AB NM'

Figur —jydx. Wählt man, was zulässig ist, ■—

so ist

I x dx _ x₀ y

J ~F~ —    ’

mithin nach Formel 6

Beispiel. Drehbrücke mit zwei Oeffnungen von 20 und 18 Meter Stützweite mit Blechträgern, mit geradem Ober- und Untergurte, aber von den Enden nach dem Mittelpfeiler hin von 1,2 bis 1,8 Meter zunehmender Höhe. Die Querschnittsveränderung für die linke Oeffnung von 20m Stützweite ist durch Fig. 125 und durch die folgende Tabelle gegeben.

.--i"'

II

Fig. 125.

<—Z,S—X-------——9,6---------

1000

clx

I.

x'dx

-4- x¹

~T~ *

14

67,2

73,6

28 i

80,4

44

60

76

92

108

124

138

152

162

172

188

200

114.2 126,0

138.4

151.5

166.3 179,8 I 195,0 140,0 150,0 160,1 222,1

233.3 233,3 298,1 298,1 363,0 363,0

^ co" Oł Co" î>T îcT So“ »oT ÎN to ** ^ CO CO <M

381,3

644,5

187,3

86,5

CO

oo" Co

c.

2,16

1,98

1,81

1,27

1,15

1,06

0,97

0,87

0,81

0,74

1,04

0,97

0,91

0,66

0,62

0,62

0,49

0,49

0,40

0,40

3,9

14,2

10,0

22,3

38,2

56,0

9,2

553,8

73,6 \

94,5

113.8

159.9

Decimet. Decimet.

■ 1000

1386,4

. 100

1844,7 . 1000

Cdx    1

J ~y — 0,1386. Wenn wir I₀ so wählen, dass -j- der

Nach der 4. Bubrik wird

1 20 1

Mittelwerth von -=- ist, so wird = 0,1386, -=r- = 0,00693, I₀ = 145. Hiernach

I₀

lo

Io

I.

J*j

xl dx __

1844700. Die Integrale sind hierbei hinsichtlich der 4 ersten Theile nach der Simpson’schen Iiegel, hinsichtlich der 2 letzten Theile nach der Regel für das Trapez berechnet. Sonach wird nun nach der ersten der Formeln 6:

ist sodann -4~ in der 5. Rubrik berechnet. Nach der 7. Rubrik wird

C‘ =

3.1844700

200³

= 0,692.

Mit Berücksichtigung der Schubspannungen ist nach der ersten der Formeln a

3 In E f x^dx

J /o^V

hinzuzufügen. Für den vorliegenden Fall ist xt konstant und nach den in Fig. 126 angegebenen Bezeichnungen fa=hd =

Ô    daher

x₃

Fig. 126.

~~---—A

(S. 96) noch

<—x~>

E, l³

a;

-*■

x*dx _ a3t*a5s

/o*oj _ _

d'h₃

h₃

f ^0 I    ^2    _ ^1 (*^3 H~ *®l) l_ ^2

J æ₀³    d^₃    2âhsxg    ' <Fä₃

— Xi

-    0⁻⁺ it) +**•]

Hierbei ist in Decimetern Z, = 162, l = 35, Ä, = 22, ä₃ == 2S, d = 0,2. Setzen wir

g

noch E = ~E„ so ist obiger Werth von Ct zu vermehren um

3.148.8 3.2003 ' 2.0,1 .18

[¹⁶² (

1 -f-    + % • SsJ = 0,014.

Sonach wird C = 0,692 + 0,014 = 0,706. Die Vermehrung von C‘ durch die Schubspannungen beträgt hiernach 2 Prozent.

§. 63. Bestimmung der Grössen SW', SW" und Cl'. Trägt man die Grösse ~ 907 an der betreffenden Stelle als Ordinate auf, so

erhält man eine Fläche AD CEF (Fig. 127), welche sich der Momenten-

Fig. 127.

{Bi||

fläche für den Einzelträger, die wir einfache Momenten-f lâche nennen, um so mehr nähert, je weniger veränderlich der Querschnitt ist; wir nennen daher diese Fläche die verzerrte Momentenfläche. Nach den Formeln 6 sind 907' und 207" das

2

■p-fache des statischen Momentes der verzerrten Momenten-

fläche in Beziehung auf die durch die Enden A und B gehenden Vertikalen. Die Bestimmung des statischen Momentes der verzerrten Momentenfläche kann nun, dem vorigen Paragrafe entsprechend, 1. durch Rechnung, 2. mit Hilfe des Momentenplanimeters und 3. durch Konstruktion erfolgen. Im ersten Falle wird man bei stetiger Veränderung des Querschnittes am besten die Simpson’sche Regel anwenden. Wenn sich indess der Querschnitt staffelförmig ändert, so wird man die Integration innerhalb der einzelnen Strecken ausführen können. In Betreff der Konstruktion ist zu bemerken, dass die statischen Momente dargestellt werden 1. durch das Produkt aus dem Flächeninhalte und dem Abstande des (durch den Durchschnittspunkt der Endtangenten der Seilkurve bestimmten) Schwerpunktes von den End vertikalen und

2. durch das Produkt aus dem Abschnitte der Endtangenten auf den Endvertikalen und der Polweite.

Trägt man als Ordinate auf, so ist O' das ~ fache der Fläche der erhaltenen Figur. Da nach §.61 für den I-förmigen Querschnitt mit konstanter Höhe — sehr nahe konstant ist, so wird sehr nahe O' = ö, so dass man das Glied mit O' in der Regel wird vernachlässigen können.

Beispiel. Wir wollen das Beispiel des vorigen Paragrafes noch um die Bestimmung von 9ÏP für eine gleichmässige Belastung mit der Last q pro Längeneinheit

ergänzen. Für dieselbe ist 9Jl=~qx(l — x), $Rx = y qx' (l — x).

14

28\

44

60

76

92

108

124

I₀ I₀ x* (l x)

I

x²(l — x) dx

a;’(i — x) dx

73

250

Sa SA Co to On tfes

1,04

0,97

244

172

348

535

694

795

869

865

6049

152

162

172

188

200

I 0,91

1 0,66

1215

1145

1009

3171

0,62

I 0,62 \ 0,49 I 0,49

0,40

0,40

732

618

514

406

208

170

1239

491

102

Deci

meter

Deci

meter

. 1000 Decimeter

6299 . 10000

. 1000 Decimeter

11302 . 10000

Nach der 4. Rubrik wird SDP

2 q

200* 2

. 11302.10000 oder W = 2825 q = 0,848 . — qP.

2 /„ E j Max,dx

hinzuzu-

Nach der 4. der Formeln a (S. 96) ist noch — fügen. Nun aber ist 9)î₀ = — j qlxt + qx (xo + y ^) = — ^ q [x, (l -(- x,) —x₀²).

^*00°. Und für den Theil mit konstanter Höhe — 9Jf₀ —.

EP

fo X²

Setzt man nun wieder /0 gleich der Transversalkraft y q (l — 2x), so wird

x%

x₀

-J

9JZ₀ x, d x

₊ «33 ff ^ 2Slh J V

X₁

x, (Z 4- x,)

/y» 3 tX/₀

ź)dx‘ ⁺

dh₃ J{1

h

— 2x)dx

_ JZ hh r(J + xt)(x₃ + x,) _ x, x3 2 â h₃ |_    -8 #₃ Z₂    Z, Z₂

lognat —

a.

ah h

{Z, fe₃ 4- Z₂ (Zt₃ — 7h)} (Zt₃ -f- ht )

<8 1-2 II3 (Jl₃ — /(.,)

11 (Jh — Zij)

ï lognat --1J

Setzen wir l, = 162, 1.2 — 38, 112 = 12, h₃ = 18, â = 0,1, I₀ = 145 und E=y so wird die hinzufügende Grösse

q. 162.38 r(162.18-\- 3S.6)30 162.12.18 ‘ 2.0,1.18 1    2.38.18.6    38.6l

-d

2.145.8 3.200¹

= 33,06 (11,50 — 10,37 - 2) <z = 33,06.0,13 . q = 4,30 . q = 0,002 .

18

lognat ~

so dass jetzt SDP = {0,848 4- 0,002) .-3 ql¹ = 0,850. ~ ql¹ ist. Die Schubspannungen vermehren den Werth von SD1' hiernach nur um 0,24 Prozent.

Wenn wir annehmen, dass sich für das zweite Feld mit der Spannweite l, = 18m und der gänzlichen Belastung mit q, pro Längeneinheit C" = 0,698,

3Jl" = 0,847.~ qlli¹ ergibt, so wird die Gleichung zur Bestimmung des Stützenmomentes M, : 2 (0,7061 -f- 0,6981,) M, — -P (0,850ql¹ -f- 0,847q, l,¹) oder

M,=

0,1062ql¹    0,1059 q, Z,J

0,7061 4- 0,6981 ~

§. 64. Werthe von 30Î und SOI" bei konstantem Querschnitte. Bei konstantem Querschnitte kann 3)1' und 3)1" leicht durch eine Integration oder mit Hilfe des bekannten Flächeninhaltes und der bekannten Schwerpunktslage der Momentenfläche des Einzelträgers bestimmt werden.

Fig. 128.

u.

JB

r—f------

«i

~5>

1. Belastung durch eine Einzellast G (Fig. 128). Der Abstand der Last von beiden Stützen sei £, Die einfache Momentenfläche ist ein Dreieck G«,

mit der Höhe

, also der

Fläche j G^t. Der Abstand des Schwerpunktes dieser Fläche vom linken und rechten Ende wird ~ l + — (g — j t) = -| (l -{- g) und

T ¹ — i (t ¹ — 0 = T (l + £,). Daher wird

= G

43.

31¹

31¹

iii (l + £>)

3V

31¹

q die Last pro Längeneinheit bezeichnet, also mit der Fläche

= -kzp< deren

Schwerpunkt in der Mitte liegt.

Fig. 129.

Ir

Demnach wird hier 3)!' = 3JÎ“ =    ^ ql³. -y, d. i.

44. 9)1 = 9)i‘ = ^7, <)l\

3. Theilweise gleich massige Belastung mit der Last p pro Längeneinheit. Es sei zunächst der linke Theil AG (Fig. 130) belastet; wir setzen AC — £,

B C = Die einfache Mo-mentenfläche besteht aus einem Dreieck AC‘B mit der Höhe i V ,

T *

Fläche    und einer Para

belfläche AD' C⁴ mit der Höhe D'D" = -J- pt?, also der Fläche . y pÇ¹ . i = -jsP^. Der Abstand der Schwerpunkte dieser beiden Flächen von A ist j (l -f- g) und von B dagegen y (l + £,) und j (l -f £,). Daher wird j$)VP = +    +    d-fg,)

+ IsPF'-T (¹ + 5|) oder

*    —    12 r¹ '

Wenn dagegen der rechte Theil BC belastet ist (Fig. 131), so ergibt sich durch Vertauschung von SDP mit SDP' und £ mit £, in den vorigen Formeln

Fig. 130.

-fi-

CG' =

also der

/kV

ID

\c

4------------>

4------------>

— Pè*(2l i)2 c ~    12V²

Fig. 131.

4-

HP

■■

46. an- =    -l>a> an■ =

Des häufigeren Vorkommens wegen ist hiernach für SDP und SDP' die folgende Tabelle berechnet:

8*

Links belastet [Fig. 130)

Rechts belastet [Fig. 131)

9JÎ"

3H'

3Ä"

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,00166

0,00653

0,01433

0,02453

0,03646

0,04920

0,06166

0,07253

0,08032

0,08333

0,00301

0,01080

0,02168

0,03413

0,04688

0,05880

0,06901

0,07680

0,08168

0,08333

0,08333

0,08168

0,07680

0,06901

0,05880

0,04688

0,03413

0,02168

0,01080

0,00301

0,08333

0,08032

0,07253

0,06166

0,04920

0,03646

0,02453

0,01433

0,00653

0,00166

• pp

. pp

. pp

. pp

VII. Kapitel.

Belastung eines einzelnen Feldes.

§. 65. Beziehungen zwischen den Stützenmomenten der nicht belasteten Felder. Wir setzen in dem folgenden Kapitel voraus, dass die Stützen in einer Geraden liegen. Ist nun eine Reihe von Feldern, vom ersten angefangen, nicht belastet, so sind die Gleichungen für die Stützenmomente hinsichtlich der nicht belasteten Felder nach Formel 4 (S. 97):

1.

Hiernach ist zunächst ilf₂ = — 2    + yj-) -Z^, Mx und M„

ßi

M

72

haben also entgegengesetzte Vorzeichen und es ist —    ;> ,2

Ferner ist

^=a&- + i(a

:)•

«g I Yi Mx

y3 y:t M,

Da nun aber ~ negativ, indess <C ~ ist, so wird —

. Nach §.57 wird aber für irgend ein Feld 4aß — y- —

4 <ß“ißi — / 2²)

213 ßt y3

?»

M,,

ßa

— 4“

73    ¹

4(C⁴+±IB)(C“+ ±liB) — (C — kB)- = à O C“ — C² + 2 (C G‘ + C")kB, d. i. nach §. 62 = 3 A₀ (.A + kB), d. i. unter allen Umständen positiv. Sonach ist unbedingt —

m₃

M₂

positiv, üf₂ und

M₃ haben also stets entgegengesetztes Vorzeichen und es ist — -^>2

m₂

y*

Durch Fortsetzung dieser Schlüsse kommt man zu dem Resultate:

Die Stützenmomente in den nicht belasteten Feldern sind abwechselnd positiv und negativ und es ist

ßm+1 ym+1 '

Da im Allgemeinen 2ß>y ist, so nehmen die Stützenmomente vom Ende nach dem belasteten Felde hin zu. Bei konstantem

MmĄ-1

MnT

2.

ATznĄ-1

Mm

Querschnitte ist ß = 1, y — l, hier wird also —

Regel aber hier dieses Verhältniss wesentlich grösser, als 2. Denn es ist

> 2\ in der

nach Obigem : —    = 2 -f- j- -j-    , oder da ^ negativ und

_-> A jgt

2 1SC’

findet man:

m₃

m₂

3 l

> 2 + y. Durch Fortsetzung dieser Schlüsse

3.

Alm+1

3 Im

2 ImĄ-l

so dass also beispielsweise bei konstanter Länge der Felder —^~>3,5

wird. Bei konstanter Höhe von Gitterträgern, aber variablem Queres

schnitte ergibt sich auf Grund spezieller Berechnungen — > 0,8,

l'm+l

<.1,2

«m

y tu -\-i

> 0,8. Hiernach ergibt sich

4.

MmVl

Mm

> 1,0+ 0,9

Bei konstanter Feldlänge würde hiernach —

Mm

> 2,5.

Wir wollen nun, vom linken Ende beginnend, J/₂ = —

M₃ = — Mq, Mi = — (x₄M₃,... und vom rechten Ende beginnend, Mn-2 = — Mm-i, Mn-i = — Vn-2 Mn-g,... setzen, wobei der Zeiger von und v dem Felde entspricht, an dessen Stützen die Momente verglichen werden. Alsdann ergibt sich aus den Gleichungen 1 :

<1 ^<2

2 (ccQ l„ + ß₃ £3) ~

5.    —

, fi₃ —

yz ^3

wonach leicht die Verhältnisse ft₂, ^₃,... allmälig berechnet werden können. Nach denselben Regeln sind, vom rechten Ende beginnend,

y»

allmälig die Verhältnisse v zu berechnen. Bei symmetrischer Anordnung wird natürlich    = vns... oder allgemein

l&m — Vn—m-\-l •

Unter der Voraussetzung eines konstanten Querschnittes sind für den Fall, dass das erste Feld die Länge Z,, alle übrigen die Länge l haben, die folgenden Werthe für p berechnet worden:

TT

ZG

ZG

ZG

ZG

fG

Ca Ko. Ka O Co to Kl

4,22222

4,00000

3,81818

3,66667

3,53846

3,76316    3,73426

3,75000    3,73333

3,73810    3,73246

3,72727    3,73171

3,71739    3,73099

3,73221

3,73214

3,73208

3,73203

3,73197

3,73206

3,73206

3,73205

3,73205

3,73205

man ^m—i — i^m setzt,

— 4[im -f-1 = 0, woraus folgt:

Der Grenzwerth von ^ für ein wachsendes m ergibt sich, wenn also l am = 2 {l 4- l)--— = 41--—,

f*m    ium

6. pm = 2 4 V3 = 3,73205.

I 2

Ist -j-- — -j-1/3 = 1,15470, so werden sämmtliche (im gleich gross und zwar — 2    J/3 = 3,73205.

In weniger strenger Weise gelangt man folgen dermassen zu diesen Resultaten: Wenn irgend ein Feld belastet wird, so werden sich offenbar alle Punkte dieses Feldes senken. In Folge des Zusammenhanges der Felder müssen sich dadurch offenbar alle Punkte der beiden benachbarten Felder heben, was wiederum eine Senkung aller Punkte der anstossenden Felder zur Folge hat u. s. f. Die unbelasteten Felder biegen sich also abwechselnd nach oben und unten durch (Fig. 132 a). Dies ist natürlich nur möglich, wenn konkave und konvexe Krümmungen, also positive und negative Momente wechseln, wobei die Wendepunkte nicht an den Stützen liegen können, weil die Momente proportional den Höhen des den Stützendrücken entsprechenden Seilpolygones (Fig. 132c) sind. Da also in ein- und demselben Felde konkave und konvexe Krümmung auftritt, die deformirte Axe aber nach Obigem ganz auf ein- und derselben Seite der die Stützen verbindenden Sehne liegt, so muss in einem Felde der Krümmungsradius auf der dem belasteten Felde abgewendeten Seite grösser sein, als auf der dem belasteten Felde zugekehrten Seite, die Momente müssen also im Allgemeinen vom belasteten Felde aus nach beiden Seiten hin abnehmen.

§. 66. Transversalkräfte und Stützendrücke in den nicht belasteten Feldern. Nach der ersten der Gleichungen 4 (S. 94) wird für das m-te unbelastete Feld, wobei, falls das r-te Feld belastet ist, m Cr ist

Mm Mm—i

I'm

Da nun Mm-i und Mm entgegengesetztes Yorzeiclien haben, so hat Q dasselbe Vorzeichen wie Mm\ die Transversalkräfte sind also ebenfalls abwechselnd positiv und negativ (Fig. 132&).

Da ebenso Qm+ilm+i = Mm+i — Mm ist, so wird

A^m+J?

8.

Qm+l _

I'm

Qm

lm+1

Mm

Nach dem vorigen Paragrafe ist nun im Allgemeinen —    ^

Mm

_ Qm + l^

Mm—1

Mm- -1

lm sein. Bei konstantem Quer-

< 1, daher wird

Mm+l q ■ Mm ^ **

Parallelträgern überhaupt wird —

< 0,625, daher -    < 1,6 r^-.

tym    lm+1

nach die Transversalkräfte nach dem belasteten Felde hin

Mm

Qm

lm+1

schnitte ist —

Mm

Qm+l

zunehmen.

1 i i 1111 i I i 11111 iTTTTTTl

A,

_^rrrrmTiïïïTîTTTi.^

lm Bei

< y, mithin —

Mm+! >16 -

In der Regel werden hier

Fig 132.

rB

Qm

Mm-1

Mm

lm+1

< -4- oder

1,6

Ferner ist nach Gleichung 28 (S. 104) der Stützendruck an einer beliebigen Stütze zwischen den unbelasteten Feldern Dm = — Qm -f Qm+i-Da Qm und Qm+i entgegengesetzte Vorzeichen haben, so hat Dm dasselbe Vorzeichen wie Qm+i■ Die Stützendrücke sind also ebenfalls abwechselnd positiv und negativ.

Setzt man die Ausdrücke für Qm und Qm+i ein, so findet man

9. Dm — 4/m-i

- Mm (A + ~) + \u-u-A-.

I'm    \vm    vm + l/    ^m+l

Bei konstanter Länge der Felder wird Dml = Mm-i — 2Mm -f- Mm+i; bei konstantem Querschnitte wird ausserdem Mm—i -(- 4 Mm -f- Mm\-i = ö, mithin

Mm

6 —r-

10. Dm =

Hier ist also der Stützendruck dem Stützenmomente proportional. Für die Endstütze dagegen ergibt sich Dtl = -f- Mv Da nach der vorigen Gleichung Dxl = — 6 Mx ist, so wird Dx = — 6D₀. Die Stützendrücke werden hiernach nach dem belasteten Felde hin zunehmen. Auch in anderen Fällen wird dies in der Regel der Fall sein.

§. 67. Momente in den nicht belasteten Feldern. Für

einen beliebigen Querschnitt im m-ten Felde ist nach §.56 M =

Mm-1 -f- Q'mX = Mm..i — (Mm— Mm) y, oder

11. M—Mm-1

Da Mm—i und Mm nach dem belasteten Felde hin zunehmen, so nimmt für dasselbe y auch M nach dem belasteten Felde hin zu (Fig. 132 c).

i Qm SDm-i

Fig. 133.

------

TT

Nach Formel 11 theilt sich das Feld AB (Fig. 133) in zwei Theile AI und IB, in denen die Momente entgegengesetzte Vorzeichen haben. Bezeichnen wir Al

mit a, so wird, wenn wir M — 0, x — a setzen,

Mr-i

a' - M,-, - Mr

Die Länge a ändert sich hierbei nicht, welches der rechten Felder auch belastet sein möge, da das Verhältniss von Mr—i und Mr dasselbe bleibt. Setzen wir Mr — — ^irMr-i, so wird

Ir

12. ar =

Ist eines der links vom fraglichen Felde liegenden Felder belastet, so ergibt sich in gleicherweise, dass sich das Feld in zwei Theile AK und KB theilt, in denen das Vorzeichen des Momentes verschieden ist. Setzen wir hierbei BK = br, Mr~i — — vr Mr, so wird

13. br =

7r

1 H“ Vr

Wir nennen die Punkte 1 und AT, welche ihre Lage nicht ändern, welches der bezüglich rechts oder links liegenden Felder auch belastet

sein möge, die Fixpunkte dieses Feldes. Aus der in §. 65 gezeigten Bestimmung der Verhältnisszahlen \i, v geht hervor, dass ft,, und vr, also auch ar und b'r nur von den Längen der bezüglich links und rechts vom fraglichen Felde liegenden Felder abhängen.

Jede rechts vom fraglichen Felde liegende Last erzeugt im linken Fixpunkte 1 kein Moment, verändert also auch das Moment, welches durch die Belastung des fraglichen Feldes oder der links liegenden Felder entsteht, nicht. Ebenso verändert jede links vom fraglichen Felde das Moment im rechten Fixpunkte K nicht. Wir können daher auch sagen:

Das Moment im linken Fixpunkte ist von der Belastung der rechten Felder, das Moment im rechten Fixpunkte dagegen von der Belastung der linken Felder unabhängig.

Wenn die Längen der mittleren Felder und ausserdem der beiden Endfelder gleich gross sind, so ergeben sich nach den in §. 65 aufgestellten Werthen für ft bei konstantem Querschnitte folgende Werthe

für -f :

V. Feld

11. Feld

III. Feld

IV. Feld

F⁴ .h⁴ F⁴’ J"¹ ^

"co le Va "o "îO

0,1915

0,2000

0,2075

0,2143

0,2203

0,2099

0,2105

0,2111

0,2115

0,2120

0,2112

0,2113

0,2113

0,2113

0,2114

0,2113

0,2113

0,2113

0,2113

0,2113

Hiernach ist z. B. bei 3 Feldern mit dem Verhältnisse 5:6:5 im II. Felde a — 0,21431, b = 0,21431; für 4 Felder mit dem Verhältnisse 5 : 6 : 6 : 5 im II. Felde a = 0,21431, b = 0,21151, im III. Felde a — 0,21151, b = 0,21431 u. s. w.

Trägt man an den Stützen A, B, C (Fig. 134) mit dem Zeiger m — 1, m, m -f- 1 die bezüglichen Stützenmomente als Ordinaten auf, macht also AA' — M — Mm, CG' — Mm+1, macht man hierauf BB“ = 2BB' und zieht die Geraden A'B“, B“ C', so ist die Fläche AA'B“ C‘ G — Mm~i lm -h % Mm (Jm 4~ lm+i) -\-Mm+i lm. Bei A konstantem Querschnitte ist diese _

Fläche für die unbelasteten Felder A = Null. Legt man durch die Mitte B und E von A'B“ und G‘B“ eine Gerade A“C“, so wird die Fläche des Trapezes AA“C“B' gleich

BB'

1)

Fig. 134.

B"

C'

* oB'

oc"

der Fläche AA⁴B“ G‘ C. Für die nicht belasteten Felder muss also die Höhe FF¹ des Trapezes in der Mitte von J.C=Null sein, es muss also F⁴ mit F zusammenfallen, woraus sich die folgende Konstruktion der Fixpunkte ableiten lässt (Fig. 135): Man legt durch den Fixpunkt

Fig. 135.

'DI.

A'

Br

5Z7' C'

I eine beliebige Gerade, welche die Pfeilervertikalen von A und B in A⁴ und B⁴ schneidet, macht B⁴B“ = BB⁴ und zieht die Gerade A⁴B“, welche die durch die Mitte von AB gehende Vertikale in D schneidet. Durch D und die Mitte F von AG legt man eine Gerade, welche die durch die Mitte von BC gehende Vertikale in E schneidet. Legt man jetzt durch E und B“ eine Gerade, welche die Pfeilervertikale von C in C⁴ schneidet, so schneidet die Gerade C‘B⁴ die Axe im Fixpunkte Im ersten Felde ist die äusserste Stütze ein Fixpunkt; man kann daher mit Hilfe dieser Konstruktion die Fixpunkte in den einzelnen Feldern allmälig bestimmen. Zieht man die Gerade B⁴E⁴, welche die durch F gehende Vertikale in F4 schneidet, so wird DD⁴ = EE⁴ = FF⁴ = j B B⁴. Man kann daher die Konstruktion wesentlich vereinfachen, indem man F F⁴ — j B B4 macht und durch D⁴ und F⁴ eine Gerade legt, welche den Punkt E‘ bestimmt; dadurch werden die Punkte A⁴, B“, C", D, E mit den sie verbindenden Geraden ganz entbehrlich (Fig. 135 & und Taf. I, Fig. 1).

_    2 + V3

~ . ^, woraus sich sofort die folgende Konstruktion der Fixpunkte ergibt (Fig. 136). Man halbire 4P in C und dritttheile AB in D und E; man schlage nun über BD aus E einen Halbkreis und errichte in demselben in C auf AB eine Senkrechte CF; macht man jetzt CI — CF, so ist I ein Fixpunkt.

Ist in einem Felde der Neigungswinkel der Geraden, deren Ordi-naten das Moment M darstellen (Fig. 132c) = <xm, so ist lmtanam = Mm — Mm+1, mithin ist der Formel 7 entsprechend, Qm = tana Transversalkräfte sind also der Tangente der Neigungswinkel in den einzelnen Feldern proportional.

Für unendlich viele Felder wird ^ =    daher “ =

_ 3 — I/3    1

— ~2 —

Fig. 136.

m » die

Die hier erwähnten Eigenschaften der Fixpunkte wurden zuerst von Culraann (Die grafische Statik, I. Aufl. 1866) gefunden. Der Name Fixpunkt rührt von Mohr her (Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. Zeitschr. des hannov. Arch.- u. Ingen.-Yer. 1868).— Nach Fig. 134 konstruirte zuerst Collignon (Cours de mécanique appliqué aux constructions, Paris 1869) ein Stützenmoment aus den beiden vorhergehenden, wobei er am Anfänge M₀ = O setzte, Ml aber berechnete. Dieselbe Konstruktion habe ich zur Konstruktion der Fixpunkte nach Fig. 135 verwendet.

¹

Gänzliche gleichmässige Belastung (Fig. 129). Die einfache Momentenfläche ist eine Parabelfläche mit der Höhe y ql, wenn

§. 68. Stützenmomente für ein belastetes Feld. Es sei

jetzt nur ein Feld, und zwar das r-te, belastet. Die Gleichungen für die Stützenmomente, welche sich auf das belastete Feld beziehen, sind nach 14 (S. 97):

Yr—llr—lMr—2 4~ 2{ur—Ar—I 4" ßr^r) Mr—i 4~ yr^rMr 4* 3Zr3)7" = 0, yrlrMr—l 4~ 2 {ar^r + ßr+11r+1) Mr -f- yr+ilr+i Mr+1 -f- 3 lyïSJl' = 0.

Denkt man sich das r-te Feld nicht belastet, so wird yr-i lr-i Mrs 2{ar-ilr-iJr ßrlr)Mr—i -f- yrMr — 0, oder, weil jetzt Mr— — [irMr-i ist, yr~i lr-i Mr-s -{- 2 (ttr—i h-i + ßrlr)Mr~i — yr^rh^fr-! = 0. Diese Gleichung bleibt aber auch noch erfüllt, wenn das r-te Feld belastet ist, weil sich durch diese Belastung das Verhältniss von Mrs und Mr~i nicht ändert. Ebenso wird — yrvrhMr + 2 (ccrlr + ßr+i lr-i) Mr + yr+1 lr+i Mr+i = 0. Die Subtraktion dieser Gleichungen gibt, wenn man jetzt nur tu, v, y statt (ir, vr, yr setzt,

14.

y (jlMr-j + Mr) = — 33)7", y {Mr-! -f vMr) = — 33)7'.

Die Auflösung gibt 15. Mr-1 = — 3

!im-m y (juv — i) '

Mr = — 3

vm-m* y (/uv -1)

Setzen wir hierin u — ---1, v — 4—1, l—a—b — c, so wird

¹ a    o

16.

Mr-l = —

Mr = - 3

3 w - b) Ml“ - b 9»'], [(1-0)9»' —öS»"].

ycl

Bezeichnet man die verzerrte Momentenfläche (siehe §. 63) mit <p, den Abstand ihres Schwerpunktes von beiden Enden mit e', e", so ist 3)7'Z² = 2cpe‘, 3)7" Z² = 2cpe“, also, da e'-f- e“ = Z ist, (Z — b) 3)7" — b 3)7' = ~ {e“ — b). Der Schwerpunkt der verzerrten Momentenfläche rückt am weitesten nach rechts oder e“ wird am kleinsten, wenn die Belastung durch eine Einzellast erfolgt, welche am rechten

. Ferner ist

Ende liegt. In diesem Falle ist    __ jx — %)dx

l -f- v

; nun aber ist nach §. 65 v > 2 —, d. i.

y ⁷

b =

v > - ----

daher b <

x-dx ~~T~

x (l — x) dx

x (l — x) dx

Mit Berücksichtigung der Schubspannungen ergibt sich b noch etwas kleiner. Sonach wird unter allen Umständen £";>&, also Mr~i negativ; dasselbe lässt sich von Mr nachweisen. Die Stützenmomente an den Enden des belasteten Feldes sind also stets negativ.

Die Benützung der Fixpunkte zur Bestimmung der Stützenmomente, welche gegenüber der direkten Benützung der Clapeyron’schen Gleichungen wesentliche Vereinfachung herbeiführt, erfolgte zuerst vom Verfasser (Theorie der äusseren Kräfte gerader Träger. Zeitschr. des österr. Ingen.- u. Arch.-Ver. 1870).

VIII. Kapitel.

Belastung durch Einzellasten.

A. Eine einzige Einzellast.

§. 69. Belastung eines Feldes konstanten Querschnittes durch eine Einzellast, ln einem beliebigen Felde liege eine Einzellast G im Abstande £ und £, von der linken und rechten Stütze A und B (Fig. '137). Alsdann sind die Stützenmomente nach den Gleichungen 16 (S. 123), wenn man darin y = l und für 9JU, SOI" die Aus-

Fig. 137.

<?-£L-------------C------------ -J)—^

JA Ï

<—s-------------1------

i

drücke 40 (S. 114) setzt,

M = -

K- AB

Gaji,

cV‘

[(21- Hb) - J],

1.

31“ = —

3a) + |],

worin a, c, b die Längen der Theile bezeichnen, in welche die Länge l des Feldes durch die beiden Fixpunkte I und K getheilt wird, wobei a und b nach §. 67 zu bestimmen sind.

Aus den vorigen Formeln für die Stützenmomente ergibt sich sofort die folgende Konstruktion: Man mache in Fig. 138 BE — l — 3b =

AB — 3BK, EF = l — = AB ^ und BL gleich dem Momente für den Einzeltläger, d. i. = G Macht man jetzt FF‘ = DL und

zieht die Gerade EFJ, welche DL in P' schneidet, so ist DDê das Moment M‘ für die linke Stütze A. In gleicher Weise lässt sich das Moment DD“ — M“ für die rechte Stütze B konstruiren. In dieser Weise kann man leicht Punkte der Einflusslinien für beide Stützenmomente erhalten.

Fig. 138.

‘N

a;

OÎ

1%

'B

IB,

Das Stützenmoment M.' wird zum Maximum für    —6(1 — &)£-{-

(21 — 3b) l = 0 oder für

2. i = l — b - y — V - l {I — b).

Fig. 139. D

IEV C W K

Da b zwischen 0 und 0,31 liegt, so liegt £ für M' zwischen 0,351 und 0,421. Nach der eben aufgestellten Gleichung lassen sich die Punkte, in denen M‘ und M“ zum Maximum werden, leicht konstruiren: Man mache in Fig. 139 AE = j AB und schlage aus E mit EA einen Kreisbogen, welcher die durch die Mitte von AB gehende Vertikale in D schneidet. Schlägt man jetzt aus Ao den Fixpunkten K und I durch D Kreisbögen, welche i£ in F und W schneiden, so muss die Last in V und W liegen, damit bezüglich das Moment an der linken und rechten Stütze zum Maximum werde. Denn es ist nach der Konstruktion

cj)=/GHlH^also KB=Kr=VW-h)‘+TA‘

₌    —&(Z-6) und AV=l — b—\/r~l,'—b(l — b).

Ein Wendepunkt der Einflusslinie tritt ein für

d'M¹

-, d. i. für

% = l — b, d. h. den Fixpunkten entsprechen Wendepunkte der Einflusslinien für die Stützenmomente.

dx*

Die übrigen Stützenmomente sind nun nach §. 65 mit Hilfe der berechneten Verhältnisse ft und v leicht zu bestimmen. So wird bei

M

Belastung des III. Feldes Mx =----, bei Belastung des IV. Feldes

Mi

M, = - A M, = +

^3

M, = + —. -M, = -

MiM*

weise bei einem Träger von 4 Feldern mit dem Verhältnisse 0,8:1:1:0,8 die in Fig. 141 dargestellte, mit a bezeichnete Kurve als Einflusslinie für das Moment an der Stütze a, also für Mv

Die in Fig. 138 dargestellte Konstruktion der Stützenmo mente mit Hilfe der Fixpunkte ist zuerst von S c k o 1 i n angegeben worden (Geometrische Theorie der kon-tiuuirlichen Träger. Mittheilungen des Arch.- u. Ingen.-Ver. in Böhmen, Prag 1873 und 1874). Die in Fig. 139 dargestellte Konstruktion der Maximalpunkte rührt von Lippich her (Theorie der kontinuirlichen Träger konstanten Querschnitts. Förster’s Bauzeitung 1871).

MiMi'

M,

Mi Mi Mi

bei Belastung des V. Feldes M₃ — — —,

Mi

u. s. f. Hiernach ergibt sich beispiels-

§. 70. Belastung eines Feldes veränderlichen Querschnittes durch eine Einzellast. Die Werthe von ÜJP und 9JÎ" können nach §. 63 bestimmt werden; jedoch sind hier noch, wenn es sich um verschiedene Lagen der Einzellast handelt, Vereinfachungen möglich.

a) Man zieht durch A und B zwei Gerade AP und B 0 (Fig. 140), welche gegen AB unter einem Winkel geneigt sind, dessen Tangente

eine beliebig angenommene einfache Zahl m ist. Die Ordi-naten dieser Geraden werden

mit ~ multiplizirt und somit

zwei Kurven 1 und H kon-struirt. Man theilt die hierdurch begrenzten Flächen in Streifen und bestimmt die statischen Momente derselben in Beziehung auf die beiden Endvertikalen durch Kechnuüg, Planimetrirung oder Konstruktion. Durch Summirung erhält man das statische Moment beliebiger Theile. Bezeichnet man nun für den Fall, dass die Einzellast in C liegt, die statischen Momente der schraffirten Flächen in Beziehung auf die durch A gehende Vertikale mit 6 und <?,, so sind die statischen Momente der beiden entsprechenden Theile der verzerrten

Fig. 140.

Momentenfläche 0 ~ und ol wenn |j, den Abstand der Einzellast von den Enden A und B, und y das Moment am Angriffspunkte der Last bezeichnet. Sonach ist

_ 2y_ ml³

Nun aber ist für die Einzellast G das Moment y — G

( +*)■

<m| Q

ff.

mithin wird

3. W' =

(<?ii 4- <?J).

In gleicher Weise ist 9JÎ" zu bestimmen. Die statischen Momente sind wiederum durch Rechnung, Planimetrirung oder Konstruktion zu ermitteln. In letzterer Hinsicht ist zu bemerken, dass das statische Moment eines beliebigen Flächenstückes dargestellt wird durch das Produkt aus dem Abschnitte, welchen die beiden den Enden des fraglichen Flächentheiles entsprechenden Tangenten der Seilkurve auf der in Rede stehenden Momentenaxe abschneiden und aus der Polweite. b) Es ist

g = ml

(Ix — x*)dx

- ( xqdx

° J ~r~'

0

<7, = m It

Nun aber ist    das statische Moment des zwischen § und l

ê

liegenden Theiles der Krümmungsfläche in Beziehung auf das linke Ende ;

ferner sind

I

C x'dx o

und - die Trägheitsmomente der zwischen 0

I

und g, £ und l liegenden Theile der Krümmungsfläche in Beziehung auf das linke Ende. Sonach kann man 6 und <?, durch Rechnung, Planimetrirung oder Konstruktion auch bestimmen, ohne die Kurven in Fig. 140 zu konstruiren. In Betreff der Konstruktion ist zu bemerken, dass das Trägheitsmoment eines beliebigen Flächentheiles dargestellt wird durch das doppelte Produkt aus der Fläche, welche zwischen den dem Flächentheile entsprechenden Endtangenten der Seilkurve und der Momentenaxe enthalten ist, und der doppelten Polweite. Diese Methode dürfte der vorigen vorzuziehen sein, weil sie die Konstruktion neuer Kurven unnöthig macht.

Die Stützenmomente sind nach Bestimmung von 3)1SDP' nach den Formeln 16 (S. 123) zu ermitteln, nämlich

3a

yc l

[{I - b) m" - bWl].

M“= -

3b

ycl

Die übrigen Stützenmomente sind nun, wie im vorigen Paragrafe, durch die Verhältnisse ft. und v bestimmt. Die hierdurch bestimmte Einflusslinie hat im Allgemeinen die Form der in Fig. 141 mit a bezeichnten Kurve.

Nach Formel 3 wird, wenn sich g um dg, also g, und —dg ändert, diDP =

da ~ g dg . g, da' = — gtdg . g, mithin g,dt> -f g do, = O,

mV

(—a dg -f* gtdtj -f- &idî + gcütf,). Nun aber ist

also

d$P _ 2G

dg m Ï⁴

(<?, — <*),

dW“

2G

dg ml*

wenn ö' und <7,' die statischen Momente der Flächen A CD, BCE in Beziehung auf die durch B gehende Vertikale bedeuten. Da nun ferner

=-^ g*d|, dg, = — da'= — ^-li,di, da,‘ = - ^ wird, so ergibt sich

Sonach wird

d-m⁴ 2I₀Gl d*m“ 11* ’ dg²

dg'¹

i7³

d*W _ dg2 — yc/J⁴

[(1 -b) gt - b g] =

(l — b — g).

6IQ G cl

JcTW

Der Wendepunkt der Einflusslinie für 901' liegt also bei g = l — b. Den Fixpunkten entsprechen also allgemein Wendepunkte der Einflusslinien für die Stützenmomente.

Da man nach dem Vorigen das Moment an einer links von dem belasteten Felde liegenden Stütze durch Multiplikation von 901' mit einem ganz bestimmten positiven und negativen echten Bruche erhält, so werden die Einflusslinien in demselben Felde für die Momente an den links

liegenden Stützen, ebenso an allen rechts liegenden Stützen affine Figuren.'

Wenn eine Last unendlich nahe neben einer Stütze liegt, so bilden diese Last und der gleich grosse Stützen druck ein Kräftepaar, welches bei gleich grosser Last und gleichem Abstaude von der Stütze mit gleichem Momente nach links oder rechts dreht, je nachdem die Last auf der linken oder rechten Seite der Stütze liegt. Die Einflusslinien für ein Stützenmoment werden dementsprechend an den Stützen für die beiden benachbarten Oeffnungen dieselbe Tangente haben oder stetig in einander übergehen, natürlich mit Ausnahme der Stütze, deren Moment in Frage steht.

§. 71. Momente für einen beliebigen Querschnitt. Nach Bestimmung der Stützenmomente für das belastete Feld sind die Momente für beliebige Querschnitte des belasteten Feldes durch die zweite der

£ £

Gleichungen 14 (S. 94), in welcher = G -y¹ zu setzen ist, bestimmt. In der in Fig. 138 gezeigten Weise, in welcher G C‘ — D L = G -j4 ist und die Momente durch die Ordinaten der gebrochenen

Linie MCN dargestellt werden, lassen sich die Momente leicht kon-struiren; auch in den übrigen Feldern sind die Momente nach Fig. 132 mit Hilfe der Fixpunkte leicht durch Konstruktion zu bestimmen. Die Form der sich hierdurch ergebenden Einflusslinien zeigt Fig. 141 beispielsweise für einen Träger mit konstantem Querschnitte, dessen Felder sich wie 4 : 5 : 5 : 4 verhalten, für die Querschnitte a, b, c, d des II. Feldes.

Fig. 141.

et

CL

(L

CL

Fig. 142.

MS

cT~S7B

Wir wollen die Punkte Q und R (Fig. 142), in denen das Moment, wenn die Last im beliebigen Punkte C liegt, Null wird, näher betrachten. Liegt die Last im Nachbarfelde links von A, so ist das Moment im Fixpunkte K — O. Wenn nun die Last unendlich nahe bei A liegt, aber einmal links, sodann rechts von A, so wirkt in A auf den Träger, wie schon oben bemerkt, ein unendlich kleines Kräftepaar einmal links, sodann rechts drehend. Der Zustand des Trägers bleibt also derselbe, nur wechseln die, allerdings unendlich kleinen Momente, das Vorzeichen. In K wird das Moment Null bleiben; ebenso ist das Moment in A selbst Null. Liegt umgekehrt die Last unendlich nahe bei H, so ist das Moment im Fixpunkte I und B Null. Wenn also die Last von A nach B rückt,

Winkler’« Brückentau. Theorie. I. Heft.

21« O

x(l — x)dx

l³

+ êJ

x(l — x) dx)

Da nun aber im Theile

rechts von der Last für jeden Punkt g < x, l — x c ist, so wird ÜDP' < j y 6r£j. Da ferner M negativ ist, so ist in der vorigen Formel der Zähler positiv. Da y yc6rg, > c2D7" ist, so wird auch der Nenner positiv und der Bruch ein echter oder x positiv und < a. Die Punkte M und 0 liegen hiernach auf verschiedenen Seiten von AB oder M und 31t haben verschiedenes Vorzeichen. Hiernach lässt sich behaupten:

Das Moment am Angriffspunkte der Last ist stets positiv. Die Punkte, in denen das Moment Null wird, liegen stets ausserhalb der Fixpunkte.

Das Moment an einem beliebigen Querschnitte im Abstande x von der linken Stütze wird, falls die Last rechts vom Querschnitte liegt,

6.    31 = M¹    — + q —li .

1 11

Bei konstantem Querschnitte ergibt sich durch Einsetzung der Ausdrücke für M* und M“ *

7.

31 =

cP [\bx - a(l - x)) J2 -f {b (l — 3a)x + a (21 — 3 b) (l — x)} £ — cl*x].

|~fc fa;(ï — a;)d£C . t C(l — xYdx

\}¹ J 1 h I

O    I

so rückt der linke Nullpunkt des Momentes von A nach I, der rechte Nullpunkt von K nach B.

Setzen wir AC =£, BC=%lf AQ = x, das Moment CO bei

oder, da Jl, — M‘ — (M‘ — M“) y

Ml

M — Mt

Ml

X — M— 31“ — (r£, *

Setzen wir für M und M“ die Ausdrücke 4, so ergibt sich

am“ -

5. x =

- MW' + -y ycGŚ,

a.

Nun aber ist    ~ G y¹

2I„G

x(l — x) dx ,    1 C U — x)*dx~l

- i......-⁺ irJ t J

] und

0

Hiernach wird 31 — 0 für

8. [hx - a(l — *)] J*

+ [b {I — 3a) x + a (21 —3b) (l — x)]£ — cV-x — 0.

Die zulässige Wurzel dieser quadratischen Gleichung sei £*. Pur & — 0 ergibt sich %x = 0. Ferner wird %z = l für

x = a,

•d. i. nach §. 67 für den linken Fixpunkt I des betreffenden Feldes. Für noch grössere x wird %x > l, also unzulässig. M ist nun positiv oder negativ, je nachdem £ 55 £x ist.

Liegt dagegen die Last links vom fraglichen Querschnitte, so wird M — 0 für

9. [«(? — x) — bx\g¹— 3al(l—x—b)£—l'{l—3a)(l —b—x) = 0.

Diese Gleichung ergibt sich aus der Gleichung 8 durch Vertauschung von a mit b, x mit l — x und £ mit £,. Die zulässige Wurzel sei £,*. Für x — l wird £,* = 0.' Ferner wird £,* = Z für

l — x — b,

also nach §. 67 für den rechten Fixpunkt K des betreffenden Feldes. Für kleinere x wird £,*:>£, also unzulässig. M ist nun positiv oder negativ, je nachdem £t ^ £,* ist.

Anstatt für ein angenommenes x des Momenten-Nullpunktes das zugehörige £ zu berechnen, kann man auch umgekehrt für ein angenommenes £ das zugehörige x bestimmen, was eine Vereinfachung der Berechnung der entsprechenden Momente gewährt. Für den linken Theil ergibt sich

a(2l- 3b-£)£ l — cV + (2a — b)l£ — (a + b)£'

10.

und für den rechten Theil

11.

x _{l-b){3a£ — 3al + l')-a£' l ~ P(l — 3a) + 3al£ — (a + b)£*'

Dieselben Regeln gelten natürlich auch für die Endfelder; nur ist im ersten Felde a = 0, im letzten b = 0 zu setzen. Für das erste Feld gibt die Gleichung 9:

oder umgekehrt

ia x_P(l — b) l — l^ + bg¹ *

Das positive Maximum von M tritt, den Einflusslinien Fig. 141 entsprechend, immer ein, wenn die Last am fraglichen Querschnitte liegt, wenn also £ = x ist. Demnach wird

14. max (+ M) = +

[(Z — b)(l — 3a) l + (3 a — b)lx — (« + 6) æaJ.

cP

9*

Zum negativen Maximum wird M für = 0, also, falls die Last auf der rechten Seite des Querschnittes liegt, für

15.    3 [bx — a (l — sc)] J² + 6 (/ — b — sc) a lg

- [a (21 — 3b) + (l - 3a) sc] P = 0.

Für x — a ergibt Eich hiernach £ = l. Setzt man den sich hieraus ergebenden Ausdruck für [bx — a (l — x)] in den Ausdruck für M ein, So erhält man

G (a — x) I,

[(21 - 3b) l— 3 bH

3cP

16. max (— M) = —

Die übrigen Felder müssen für maxM nach Massgabe der Eiuflusslinie abwechselnd belastet sein und zwar so, dass das Moment an der dem fraglichen Felde zugekehrten Stütze zum Maximum wird.

§. 72. Transversalkräfte und Stützendrücke. Sind Q* und Qu die Transversalkräfte auf beiden Seiten der Last, Mx das Moment am Angriffspunkte der Last, so ist Mx — M‘Ą- Q‘£, Mt — Mu — Q“ £,, also

Q‘ =

M“ — M,

Da wir nachgewiesen haben, dass M‘ und M“ stets negativ, dagegen stets positiv ist, sö können wir behaupten, dass die Transversalkraft auf der linken Seite der Last stets positiv, auf der rechten Seite der Last stets negativ ist.

Zur Bestimmung von und Q“ setzt man besser:

Jf — M“

ii

17. Q‘ — G ^ —

Q" = -    -f- -

Für einen konstanten Querschnitt ergibt sich durch die Einsetzung der Ausdrücke für M‘ und M“

[cP + (2a-b)lg-~(a + b)g*],

®j\

cl³

18.

Q" = --ff [cl³ + <36 - «)«£,-(« +

Die Form der Einflusslinie zeigt Fig. 143, beispielsweise für den Querschnitt c des II. Feldes eines kontinuirlichen Trägers mit 4 Oeffnungen, deren Yerhältniss 4 : 5 : 5 : 4 ist. Wendepunkte im Felde, in welchem der fragliche Querschnitt liegt, treten sowohl für Q‘, als für Q“ bei

—f—r l auf. Behufs Konstruktion konstruirt man zunächst die Ein-

a -j- b

flusslinien für M', M“ in einem solchen Massstabe, dass das Moment Gl gleich der Last G wird. Alsdann stellt die Differenz der Ordinaten

entsprechen der Transversalkraft für den Einzelträger. Ist für die Belastung eines rechts liegenden Feldes das Moment an der linken Stütze dieses Feldes Mm und das fragliche Feld das r- te, so wird —h- i^m—l —2 • • • fl,-il/' = J\fm , —|— ^m—lf^m—2 • • •    M —— Mm > also

19. M‘ — M“ = ±

Mm.

beider Linien das Glied

M‘ — M“

dar.

Die Glieder G ~ und — G 4-

l^r+1 ~h 1

[Am—l i^m—2 • • •

Fig. 143.

Für Fig. 143 wird beispielsweise fi₂ = 3,60, fi₃ = 3,72, also bei Belastung des IV. Feldes il/₂ = —

M₃

= — 0,269 M₃, Mx = 4-

M₃

3,72.3,60

3,72 ~~

= + 0,075 M₃, also Ql = — (0,075M₃ + 0,269M₃) = — 0,344M₃ und

m₂ _ • •

3(60 ~

bei Belastung des III. Feldes il/, = —

— 0,278 M

also

Ql = — (— 0,278 M₂ — il/₂) = + 1,278 M^.

Das Maximum von Q tritt für einen Querschnitt ein, wenn die Last dicht rechts oder links neben dem Querschnitte liegt und wenn die übrigen Felder abwechselnd belastet sind, derart, dass in den belasteten Feldern die Last eine solche Lage hat, dass das Moment an der dem fraglichen Felde zugekehrten Stütze zum Maximum wird.

Der Stützendruck D an einer Stütze ist, wenn il/', il/", il/'" die Momente an der linken, der fraglichen und der rechten Stütze der beiden an einander stossenden Felder mit den Spannweiten l und Z, bezeichnet, falls die Last im linken Felde im Abstande von den beiden Stützen dieses Feldes liegt, nach Formel 28 (S. 104) : ^

il/" — il/'"

JD = G~4- +

M‘ — M"

i — i S0tzen,

oder, wenn wir M‘“ — —

M" +    »,)

M«i -6.)

’20. ly — G f + ,—

Wenn die Last im rechten Felde liegt, so ist natürlich M‘ mit M,t,₎ l mit llf b, mit a und £ mit £, zu vertauschen.

Die Form der Einflusslinien zeigt Fig. 144, beispielsweise für 4 Felder mit dem Verhältnisse 8 :10 :10 : 8. Die Stützendrücke an den äusseren Stützen sind natürlich gleichbedeutend mit den neben denselben wirkenden Transversalkräften.

Fig. 144,

Die Transversalkräfte und Stützendrücke beim kontinuirlichen Träger und beim Einzelträger zeigen, diesen Einflusslinien entsprechend, eine wesentlich geringere Abweichung, als die Momente, so dass es in manchen Fällen wohl gestattet sein wird, die Transversalkräfte und Stützendrücke unter der vereinfachenden Annahme von Einzelträgern zu berechnen.

Der Einfluss einer Einzellast auf die Momente und Transversalkräfte, insbesondere zum Zwecke der Ermittelung der ungünstigsten Belastungsweise, wurde wohl zuerst vom Verfasser untersucht (Beiträge zur Theorie der kontinuirlichen Brückenträger, Civilingenieur 1860). — Die grafische Darstellung der Beanspruchung der kontinuirlichen Träger durch Einflusslinien gibt zuerst Weyrauch (Allgem. Theorie und Berechnung der kontinuirlichen und einfachen Träger, Leipzig 1873).

B. System von Einzellasten.

§. 73. Momente in Folge der Belastung des fraglichen

Feldes.

1. Querschnitte zwischen den Fixpunkten. Durch die Belastung des fraglichen Feldes können hier nach §.71 nur positive Momente entstehen. Die Einflusslinie (Fig. 141) ist im Allgemeinen einspringend und nur dem fraglichen Querschnitte entspricht eine ausspringende Ecke. Die Summeneinflusslinie muss deshalb nach §. 23 aus

Linien bestehen, welche nur an den Stellen ausspringende Ecken haben, welche einer Ueberschreitung des fraglichen Querschnittes durch eine Last entsprechen (Fig. 145). Demnach muss jedenfalls eine Einzellast am fraglichen Querschnitte liegen. Da die Einflusslinien im Allgemeinen nicht viel von denjenigen des Einzelträgers abweichen (Dreieck für unmittelbare, abgestumpftes Dreieck für mittelbare Belastung), 0 so wird man auch die für den Einzelträger aufgestellten Regeln (§. 24 und 25, 39 und 40) hier verwerthen können.

Fig. 145.

V-

o}\    o'\5

o,\h

Die Bestimmung des Maximalmomentes geschieht bei einer grösseren Anzahl von Lasten wohl am besten nach der Regel:

21. M = m + M

Das Moment 907 für den Einzelträger ist nach dem IV. und Y. Kapitel zu bestimmen; M‘ und M“ sind durch Addition der für jede einzelne Last nach §. 68 bestimmenden Werthe zu ermitteln. Bei Anwendung der Konstruktion bestimmt man die Stützenmomente für verschiedene Lagen des Lastensjstemes mit Hilfe der Einflusslinien für die Stützenmomente nach einer der in §. 22 und 23 besprochenen Methoden. Die so erhaltenen Stützenmomente, dividirt durch die Polweite, trägt man vom

Seilpolygone des La-stensystemes aus an der bezüglichen Stelle als Vertikale auf, wodurch sich auf der

Fig. 146.

Ate

ausspringenden Seite des Seilpolygons zwei Kurven ergeben (Fig.

146). Für die in Frage kommende Lage des Lastensystemes bestimmt man nun die auf diesen Kurven liegenden Enden der Schlusslinie und kann jetzt in bekannter Weise (§. 59) das Moment bestimmen.

Bei einer kleineren Anzahl von Lasten kann man auch in folgender Weise verfahren. Man konstruirt die Einflusslinie für die Stützenmomente und die Kurve für das Moment am Angriffspunkte der Einzel-last (Fig. 147) nach §. 69 und 70, und zwar für jede verschiedene der vorkommenden Einzellasten. Mit Hilfe dieser Kurven zieht man die Momentenlinien für alle einzelnen Lasten bei der in Frage kommenden

Lage. Man kann dann das Moment an einem bestimmten Querschnitte durch die Summirung der an diesem Querschnitte abzugreifenden Momente der einzelnen Lasten bestimmen.

Die Anwendung der Einflusslinie für die Momente an den einzelnen Querschnitten nach §. 22 und 23 ist im Allgemeinen umständlicher, als die Anwendung der genannten Verfah-rungsweisen.

Fig. 147.

M;

D‘ b

D" -u

2. Querschnitte ausserhalb der Fixpunkte. Die positiven Maximalmomente kann man ganz in der eben gezeigten Weise bestimmen. Die ungünstigste Belastung bestimmt man hierbei entweder mit Zuhilfenahme des positiven Theiles der Einflusslinie oder durch Probiren mit verschiedenen Laststellungen, wobei eine Einzellast am fraglichen Querschnitte liegen muss. Das negative Maximum QQ‘ (Fig. 148) an einem Querschnitte Q entspricht unter allen Lastenstellungen derjenigen, bei welcher die äus-serste linke Seilpolygonseite die durch Q gelegte Vertikale im höchsten Punkte schneidet; diese Seilpolygonseite muss hier olfenbar die Kurve

Fig. 148.

ft'

für die negativen Maximalmomente tangiren. Wenn man daher die äusserste

B'

Seilpolygonseite AtE> für verschiedene Lagen des La-stensystemes konstruirt, so umhüllen alle diese Seiten die Momentenkurve. Zum Einzeichnen der Geraden

A ft

'^E

A‘E‘ wird man am besten mit Hilfe der Fig. 146 für verschiedene Lastenstellungen die Höhe AA‘ und DE¹ bestimmen. Die Bestimmung der ungünstigsten Belastung kann in dieser Weise ganz entfallen.

Bei mittelbarer Belastung wird es wohl meist genügen, wenn man in der gezeigten Weise die Momente an den Querträgern oder Knotenpunkten bestimmt und die so erhaltenen Punkte geradlinig verbindet. Es hat indess keinen Anstand, ganz dem §. 44 entsprechend, auch für zwischenliegende Querschnitte die Maximalmomente genau zu bestimmen. Hierbei ist natürlich zu beachten, dass nach §. 20 die Einflusslinien zwischen den Querträgern geradlinig, dass aber an den Querträgern die Ordinaten der Einflusslinen ganz dieselben sind, wie bei unmittelbarer Belastung.

§. 74. Transversalkräfte in Folge der Belastung des fraglichen Feldes. Die Bestimmung der Maximaltransversalkräfte erfolgt am besten durch die Kegel 4 (S. 94), nämlich

M' — M“

22. Q = C -

worin O die Transversalkraft bedeutet, welche beim Einzelträger entstehen würde und welche ganz nach dem V. Kapitel durch Rechnung oder Konstruktion zu bestimmen ist. fff und fff“ wird man, wie im vorigen Paragrafe, für jede in Betracht kommende Lastenstellung durch Summirung der für jede einzelne Last zu berechnenden Werthe bestimmen. Wesentlich bequemer ist die Bestimmung durch die Einflusslinien für fff und fff", wobei natürlich nicht fff und fff" einzeln, sondern sogleich die Differenz fff' — fff" abgegriffen und bei der Summirung das Vorzeichen von fff—fff" beachtet wird. Man kann aber auch das Glied (fff— fff") mit Hilfe der Fig. 146 bestimmen, indem man für die bei einem bestimmten Querschnitte in Betracht kommende Lastenstellung im Kraftpolygone zwei Strahlen parallel der Schlusslinie A“B“ für die Einzelträger und parallel der Schlusslinie A‘B‘ für den kontinuirlichen Träger zieht; diese Parallelen schneiden auf der Kräftelinie eine Strecke C' G“ ab, welche unmittelbar das Glied \ (fff — fff") gibt.

A\

Ä’

Fig. 149.

-Q

§. 75. Momente und Transversalkräfte für die Belastung der übrigen Felder. Wenn das Feld, in welchem der fragliche Querschnitt liegt, nicht belastet ist, so wird

23. fff = fff ¹ ~

fff" — fff

Ist ein linkes Feld belastet, so wird vM“ = — fff, mithin

l -f- v x

24. fff = fff (l —

l A- v M*

Ist dagegen ein rechtes Feld belastet, so wird ftfff — — fff", folglich

jl l -

24 a. fff = fff

■(*

-j,

l *

Nun aber ist nach §. 65 im ersten Falle fff proportional dem Momente fff₀" an der rechten Stütze des belasteten Feldes und im zweiten Falle fff" proportional dem Momente fff₀' an der linken Stütze

des belasteten Feldes. Es wird also darauf ankommen, die Maxima yon M₀‘ und Ma“ zu finden, was am besten mit Hilfe der Einflusslinien in bekannter Weise geschieht. Auch kann man diese Maxima unmittelbar aus der Fig. 146 entnehmen. Aus Ma‘ und i/₀" kann man mit Hilfe der Fixpunkte nach §. 65 bis 67 (Fig. 132) leicht M\ M", sowie M und Q konstruiren.

Nicht selten ist bei den von uns zu behandelnden Aufgaben, wie im vorliegenden Falle, die Bestimmung des Maximums einer Funktion y für den Fall vorzunehmen, dass nicht das Gesetz, welchem diese Funktion folgt , durch einen analytischen Ausdruck gegeben ist, sondern, dass nur die Werthe der Funktion für bestimmte Werthe der Variablen x gegeben sind. Oft wird man hierbei annehmen können, wenn die Differenzen der gegebenen Werthe der Variablen x nur klein sind, dass y in Beziehung auf x vom zweiten Grade sei und es genügen alsdann drei Werthe von y. In der Begel werden die Differenzen der gegebenen Variablen gleich sein; diese Variablen seien xt = x₂ — e, x₂ und x₃ = x₂ + e und die zugehörigen Werthe von y bezüglich ylt Vu 2/a. Setzt man allgemein y = a -J- ix -f- cx², so ergeben sich zur Bestimmung von a, b, c durch Einsetzung vorstehender Werthe von x und y drei Gleichungen.

Es wird nun y zum Maximum für x —---

«v C

X = x₂ -f- -- -

d. i. für

2/1 — 2/3

■2 2/1 —    + 2/3 und zwar ist maxy = a — —, d. i.

max y = y₂ —

(2/. - 2/3)*

8 (2/i — -22/3+2/3)'

Hiernach lassen sich verschiedene geometrische Konstruktionen angeben; eine ein fache Konstruktion ist folgende (Fig. 150): AtBlt A₂B2f A₃B₃ seien bezüglich = yir y2} y₃, AtA₂ = A₂A₃ = e. Man ziehe die Gerade BtBz, welche die mittlere Ordinate in C schneidet, mache B₂D — B₂C und lege durch D eine Parallele zur Ab-scissenaxe, welche die äusseren Ordinaten in Ex und E₃ schneidet. Zieht man jetzt die Geraden JB, E₃ und Ex B₃, so schneiden sich dieselben im Maximalpunkte G.

Fig. 150.

Fig. 151.

E,r^—

l)

r-

!2

■.»S. G

"C

êï~-

■Bi

A At F

Wenn statt der Ordinate A₂B₂ in der Mitte eine beliebige andere Ordinate AB gegeben ist (Fig. 151), so findet man, wie sich leicht nachweisen lässt, den Punkt D dadurch, dass man die Gerade BXB und B₃B zieht, welche die mittlere Ordinate in 1 und K schneiden; alsdann ist ID = CK oder KD = IC zu machen.

§. 76. Beispiel- Taf. I.

Kontinuirlicher Träger mit drei Feldern von 10, 12, 10 Meter Stützweite, konstantem Querschnitte und unmittelbarer Belastung. Das System von Einzellasten sei durch Fig. 152 gegeben:

Fig. 162.

Tender.

Lokomotive.

2,7

1,3

1.3

*,7

1,3

1,5

',3

1-7 I Meter

12

13

12

Tonnen

Es soll vorausgesetzt werden, dass jedes Feld für sich durch Lokomotive und Tender oder durch die Lokomotive allein belastet sein könne und dass zwei Lokomotiven auch Brust an Brust stehen können.

1. Fixpunkte. Nach den Formeln 5 (S. 117) wird <u₅=    ⁼ y =3,667,

224

-jr= = 4,073, also v, = 4,073,    — 3,667. Sonach

00

2 (12 +10) — 12 .

10

4,667

=0,1971-, b< = 0,1971,, 6,-0,2141, b₃ = 0; c{ = 0,80 3l,

5,073

wird, wenn wir die drei Stützweiten mit l„ l, lt bezeichnen, a, = 0, at — t ⁼⁼ 0,2141, a₃ —

ct = 0,5711, c₃ = 0,8031,. In Fig. 1 sind die Fixpunkte nach §. 67 konstruirt worden.

2. Stützenmomente für eine Einzellast. Nach Formel 1 (S. 124) ergibt sich für die Belastung des I. Feldes durch eine Einzellast G:

if.)ci-

M, = — 0,375 j(l--j- \^1,3571 ~ y) Gl-

Wenn wir die Theilung der Stützweiten so durchführen, dass die Fixpunkte Theilpunkte werden, so ergeben sich folgende Werthe für M, :

M,

= - 0,2455 j- [l

und für die Belastung des II. Feldes

Belastung des 1. Feldes

Belastung des II. Feldes

M,

M,

M,

Mx

0,100    0,0243

0,201    0,0474

0,301    0,0673

0,402    0,0827

0,502    0,0922

y y y y m. "so "oo ""<1 "Oi O

ÎNS Oo Oj ÎO

0,0942

0,0873

0,0700

0,0413

y» y y y y

Ot Go ÏO M Q> o c> o («j. o C> Ot «o hfe. N?

0,0448

0,0722

0,0839

0,0860

0,0804

y y y y

"go "n? "Ci "ö» «c oo «O to Oi u o»

0,0689

0,0534

0,0360

0,0166

. I, . Gl, . lt

. Gl,

. Gl

. Gl

In Fig. 2 sind diese Stützenmomente auch noch nach §. 69 (Fig. 138) konstruirt worden. Nach dem Massstabe II erhält man Mt für eine Last von 12 Tonnen in Tonnenmetern. Für die Lasten von 13 und 9 Tonnen sind die Ordinaten erst mit Hilfe der

3

T zu multipliziren.

Reduktionswinkel Fig. 9 mit j-₂ ⁼ J2~\~7 und

3. Maximale Stützenmomente. Für die Belastung des I. Feldes ergibt sich ■durch die Konstruktion der Summeneinflusslinie a (Fig. 2) max Mt = — 34,8 Tonnenmeter.

Hierbei hat das vordere Lokomotivrad von der Stütze 1 den Abstand von 2,28m (Stellung Fig. 8a). Ebenso ergibt sich für die Belastung des II. Feldes durch Konstruktion der Summeneinflusslinie b (Fig. 2):

maxM, = — 42,1 Tonnenmeter.

Hierbei hat das vordere Lokomotivrad von der Stütze 1 den Abstand von l,89m (Stellung Fig. 8b).

Wenn man jedes der Felder I und II für sich möglichst ungünstig belastet, so würde hiernach maxM, = — 34,8 — 42,1 = — 76,9 werden. Die Vorderräder der Lokomotiven erhalten hierbei einen Abstand von 2,28 + 1,89 — 4,17m, während derselbe, dem Schema Fig. 152 zufolge, nicht kleiner als 2.2,7 = 5,4m werden kann. Gibt man den Vorderrädern diesen Abstand, so ergibt sich mit Hilfe die Summen-■einflusslinie c (halber Maassstab):

maxM, = — 76,1 Tonnenmeter,

also nicht wesentlich kleiner. Dieses Maximum entspricht der Stellung Fig. 8 c.

4. Momente. I. Feld. Das positive Maximum tritt ein, wenn das III. Feld so belastet ist, dass zum Maximum wird; da alsdann M\ = — 34,8, so wird

M, = -f ~ 34,8 = -f 9,5 und

a. M = + 9,5 ~.

.

Ausserdem ist das I. Feld zu belasten. Die Maximalmomente sind in Fig. 3 nach §. 73 (Fig. 146) konstruirt und in Fig. 5 zu den Momenten für die Belastung des III. Feldes addirt worden. Fig. 8, d und e zeigen die Laststellungen für die Querschnitte bei x = 0,4021, und x = 0,9021,. Für Querschnitte rechts vom Fixpunkte ist nur der rechte Theil des I. Feldes zu belasten.

Das negative Maximum des Momentes tritt ein, wenn das II. Feld so belastet ist, dass M, zum Maximum wird. Da alsdann M, = — 42,1 ist, so wird

b. M— — 42,1

Für Querschnitte links vom Fixpunkte ist das I. Feld nicht zu belasten (Laststellung Fig. 8b). Für Querschnitte rechts vom Fixpunkte sind nach Fig. 148 mit Hilfe des Seilpolygones Fig. 4 in Fig. 6 einzelne Tangenten der Momentenkurve konstruirt worden.

II. Feld. Wir bestimmen nur das Moment für Querschnitte in der linken Hälfte. Das positive Maximum tritt hier ein, wenn das I. Feld gar nicht betastet ist und das III. Feld darf nur für Querschnitte links vom Fixpunkte belastet sein und zwar ist es so zu belasten, dass M₂ zum Maximum wird. Da hierbei = — 34,8, M, = + 9,5 ist, so wird

c. M = 9,5

Für die Belastung des II. Feldes selbst sind die Maximalmomente in Fig. 4 nach §. 73 (S. 145) konstruirt und in Fig. 5 aufgetragen worden. Für Querschnitte links vom Fixpunkte ist nur der linke Theil zu belasten; Fig. 8f zeigt die Belastung für den Querschnitt bei x = 0,1071.

Das negative Maximum tritt für Querschnitte rechts vom Fixpunkte ein, wenn das I. und III. Feld so belastet sind, dass M, und Mt zum' Maximum werden (Laststellung Fig. 8<jr). Hierbei wird M, = M₂ — — 34,8 -f- 9,5 = — 25,3, also konstant

d. M = — 25,3.

Für Querschnitte links vom Fixpunkte tritt das negative Maximum ein, wenn das I. Feld so belastet ist, dass M, zum Maximum wird; hierbei ist M, = —34,8T M₁ — -f 9,5, also

M = — 34,8

e.

(* - f) + w f

Ausserdem ist das II. Feld rechts zu belasten; mit Hilfe des Seilpolygones Fig. 5 sind in Fig. 6 nach Fig. 147 einzelne Tangenten der Momentenkurve konstruirt worden.

In folgender Tabelle sind die erhaltenen Maximalmomente zusammengestellt:

■X

I. Feld

max (4- M) \ max(— M)

II. Feld

I max(-\-M) max(—M)

0,100

0,201

0,301

0,402

0,502

0,602

0,703

0,803

0,902

30,2

46,9

61,1

66,8

65,3

60,2

48,7

32,7

10,3

9,5

'O I

łctoOotoCotoOo^iH^io ¹

ï^^tototototototo to to to to to'to to oo to

to to^to_to^to^to to în oo to to" to" to" to" cT to" to" to" to"

, <to^ vs 00 to Oo to to^ io T" to" <m" to" to" to" to" to" to" to" to" •Mto^ototototototo

totOOxOxtoOxtotototOto I ÎOOOjCoüjtoOoOîOsOÎO

Tonnenmeter

Tonnenmeter

II

5. Transversalkräfte. I. Feld. Ausser dem I. Felde muss für das positive und negative Maximum bezüglich das III. und    II. Feld so belastet sein,    dass bezüglich M₂ und M, zum Maximum    wird. Im    ersten Falle wird    M₂    = — 34,8,

Mx — — 42,2, Q = -f-    — 0,95t t    im zweiten    wird M, — — 42,1,    Q = ~ -jjy- =

— 4,21t. Für die Belastung des I.    Feldes wird nach Formel 22

In Fig. 7 ist £t durch das Seilpolygon mit der Polweite lt konstruirt worden;

M

—i wurde durch das Seilpolygon, Fig. 4 und zugehörige Kraftpolygon 4a erhalten.

II. Feld. Ausser dem II. Felde muss für das positive Maximum das I. Feld so belastet sein, dass Mt zum Maximum wird. Hierbei wird M, = — 34,8, M₁ = -j- 9,5,

also Q = -f- ~    = -j- 3,69. Für die Belastung des II. Feldes selbst wird

jL&

nach Formel 22

M, — M₂

polygon 5 a bestimmt worden ist. Die negativen Maxima von Q wurden einfach durch ■entgegengesetzt symmetrische Umkehr erhalten.    •

In folgender Tabelle sind die erhaltenen Maxima von Q zusammengestellt

worden :

In Fig. 7 ist wieder O mit Hilfe des Seilpolygones mit der Polweite l konstruirt Ml—Mi

worden, während

mit Hilfe des Seilpolygones Fig. 6 und zugehörige Kraft

I. Feld

max (-f- Q)

max (— Q)

II. Feld I max (-f Q)

max (— Q)

0,100

0,201

0,301

0,402

0,502

0,602

0,703

0,803

0,902

35,5

29,8

23,5

19,6

15,1

11,8

8,1

5,1

2,7

1,0

1,0

4,2

6,3

8,5

12,3

16,2

20,4

24,7

29,1

33,6

38,0

43,5

0,107

9,214

0,309

0,405

0,500

0,595

0,691

0,786

0,893

44,7

38,5

32,2

27,0

21,9

17,5

13,7

10,3

7,3

4,5

3,7

8,7

4,5

7,3

10,3

13,7

17,5

21,9

27,0

32,2

38,5

44,7

Tonnen

Tonnen

6. Stützendrücke. Der Druck auf die äusseren Stützen 0 und 3 ist gleichbedeutend mit den dort wirksamen Transversalkräften; es kann also dieser Druck zwischen -}- 35,5ł und — 4,2* schwanken. Für den Stützendruck D, ist in Fig. 2 die Einflusslinie für die Belastung des I. und II. Feldes mit einer Einzellast von 12ł (strichpunktirt) und mit Hilfe derselben die Summeneinflusslinie d konstruirt worden und zwar unter der Voraussetzung, dass das I. und II. Feld durch zwei Brust an Brust stehende Lokomotiven belastet sind. Hiernach wird max (-}- Dt) = -f- 63,0t ; dasselbe tritt ein, wenn das Vorderrad der rechten Lokomotive über der Stütze 1 ruht. D, wird zum negativen Maximum, wenn das III Feld so belastet ist, dass

0 — 9,5

um Maximum wird. Bei dieser Belastung wird D, = — 0,95 — 3,69 = - 4,64t.

— 34,8 — 9,5 _

12

IX. Kapitel.

Gleichmässige Belastung.

§. 77. Gänzliche gleichmässige Belastung.

1. Stützenmomente. Zur Bestimmung der Stützenmomente kann man die Clapeyeon’sche Methode mit Benützung der Gleichung 14 (S. 97) anwenden, nachdem man für die einzelnen Felder die Koeffizienten cc, ß, y, sowie die Grössen ÜDP, durch die Gleichungen 6 (S. 94) bestimmt hat.

Bei konstantem Querschnitte wird cc = ß = y = 1 und nach ■§. 64 SDÎ' = 9JÎ" =    wenn g die Last pro Längeneinheit bezeich

net, mithin

1.    m,i, + »itr.o, +1,) +    = - -₄<j {i> +

Anstatt dessen kann man aber auch die für die einzelnen Felder bereits bestimmten Verhältnisse ft, v oder Längen a, b, c benützen, indem man nach den Formeln 16 (S. 123) und §. 35 für die Belastung jedes einzelnen Feldes die Stützenmomente bestimmt. Bei konstantem Querschnitte ergibt sich, wenn man 9JÎ'= 9)1" =— setzt,

iw=T)9'* = -^ = -

Bei eisernen Gitterträgern mit geradlinigen parallelen Gurten mit veränderlichem Querschnitte ergeben sich die Stützenmomente bis zu 3 Prozent grösser, als bei konstantem Querschnitte.

2.    Transversalkräfte. Sind M und M“ die Stützenmomente für die Enden eines beliebigen Feldes mit der Länge l, so ist M" = M‘ 4- Q‘l — gl j-¹1, Q“ = Q‘ — gl, mithin

Mr~l —

gla(l — 2b)

2.

4c

Mr

gib (l — 2a)

de

3. Q' = + -^gl —

Für einen beliebigen Querschnitt wird

, Q"=-

M'— M“

4. Q= Q‘—    =    — 2x) —

Fig. 153.

M' — M“

B"

Die Transversalkräfte in den einzelnen Feldern lassen ^ sich hiernach durch parallele    ^

7)"

Gerade darstellen (Fig. 153).

B*

Die Stützendrücke sind nunmehr durch

die Gleichung 28 (S. 104) bestimmt. In der Figur wird der Stützendruck durch die Höhen AM, B'B“, CC“ D'D“ dargestellt.

3. Momente. Das Moment M für einen beliebigen Querschnitt ist M — QJ {a -j- x) — gx . yx, oder

M — W Q‘x — ~ gx¹.

so wird

Setzt man nach Formel 3 Q‘ = j gl —

5. M =

Lgx(l-x) + 3t! (l -jj + M“ J.

Hiernach lassen sich die Momente in den einzelnen Feldern durch Parabeln mit vertikaler Axe darstellen, welche sämmtlich denselben Parameter haben (Fig. 154). M wird zum Maximum für — 0, d. i. für — Q‘ -j- gx — 0, oder für

6. x —

Q' _

l - -

und zwar wird MaxM = M‘ -(- Q‘ -Q--- g    d. i-

7. MaxM = Ml +    = Ł gp _|_ 1 (jff + M“) +

(M'—M'y

Fig 154.

Das zweite Glied in dem Ausdrucke für x ist gegen das erste nur klein, so dass M nahezu für x — j l zum Maximum wird. In praktischen Fällen wird x in den äusseren Feldern höchstens um 0,121, in den mittleren höchstens um 0,041 von Ir l abweichen.

Hinsichtlich der Gesetze, welchen die Momente, Transversalkräfte und Stützen, drücke bei gleicher Länge der Felder folgen, siehe des Verfassers: „Die Lehre von der Elastizität und Festigkeit, Prag 1867“, S. 125 his 131. Es ergibt sich dort, dass diese Grössen in den auf einander folgenden Feldern abwechselnd grösser und kleiner sind, als in den Mittelfeldern eines Stabes mit unendlich vielen Feldern; hier

wird das Stützenmoment — ~ das grösste positive Moment + ^ ql², die Transversalkraft an den Stützen ± ^ gl und der Stützendruck gl.

§. 78. Ungünstigste Belastungsweise hinsichtlich der Transversalkräfte. Die ungünstigste Belastungsweise ergibt sich ohne Weiters aus dem in §. 72 behandelten Einflüsse einer Einzellast

und der in Fig. 143 dargestellten Einflusslinie. Hieraus folgt mittelbar für die Belastung des fraglichen Feldes:

nun un-

Die Transversalkraft wird für irgend einen Querschnitt zum positiven oder negativen Maximum, wenn sich die Last vom Querschnitte aus bis zum rechten oder linken Ende des betreffenden Feldes erstreckt.

Ganz dasselbe Gesetz gilt bekanntlich auch für Einzelträger.

Ferner folgt aus §. 66 für die Belastung der übrigen Felder:

Die Transversalkraft wird zum Maximum, wenn die Felder abwechselnd belastet sind, und zwar zum positiven, wenn das rechte Feld nicht belastet, das linke belastet, zum negativen dagegen, wenn das rechte Feld belastet, das linke nicht belastet ist.    —

In Fig. 155 ist diese ungünstigste Belastungsweise dargestellt.

Fig. 155.

+Q.

<“—ty—---L----7*----L--->

-Q

X"7\

'----[r----X----(•---X------->

Es lässt sich gegen diesen Satz allerdings einwenden, dass eine derartige Belastung in Wirklichkeit eigentlich nie Vorkommen, namentlich dass eine Trennung der zufälligen Last in sehr viele Theile nie eintreten wird. Dagegen lässt sich aber wiederum erwidern, 1. dass nach obigem Gesetze bei Trägern mit zwei und drei Feldern die Last ohnehin nur in zwei Theile getrennt erscheint, und 2. dass sich bei Trägern mit vier und mehreren Feldern die Transversalkräfte nur wenig kleiner ergeben, wenn man eine Trennung der Last in nur zwei Theile annimmt. Der Unterschied beträgt in Betreff der grössten und kleinsten in Betracht kommenden Transversalkräfte höchstens in den äusseren Feldern bezüglich 3 und 1 Prozent, in den übrigen Feldern bezüglich 11 und 4 Prozent.

Nimmt man eine Trennung der Last in nur zwei Theile an, so> würden nur die beiden dem betreffenden Querschnitte zunächst liegenden Theile beizubehalten sein und die Regel hiesse alsdann: Die Transversalkraft wird zum positiven Maximum, wenn der rechts vom fraglichen Querschnitte liegende Theil des fraglichen Feldes und das links neben diesem liegende Feld ganz belastet, zum negativen Maximum, wenn der links vom frag-

10

Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

liehen Querschnitte liegende Theil des fraglichen Feldes und das rechts neben diesem liegende Feld ganz belastet sind.

In der Verordnung des k. k. österreichischen Handelsministeriums von 1870, betreffend die bei der Erbauung eiserner Brücken für Eisenbahnen zu beobachtenden Sicherheitsrücksichten, heisst es in der That in Nr. 2: „Bei kontinuirlichen Trägern muss darauf Rücksicht genommen werden, dass die gleich vertheilte Probelast in zwei (aber nicht mehrere) Stücke getrennt sein kann, so zwar, dass z. B. das zweite und vierte Brückenfeld belastet sind, während die drei andern dazwischen liegenden Felder unbelastet bleiben.“

§. 79. Bestimmung der grössten Transversalkräfte. Für

die Einzelträger ergibt sich nach §. 37: 21 max (+Q) — -\- p (l — x)q und 21 max (— Q) = —px'¹. Daher wird für den kontinuirlichen Träger nach Formel 4, S. 94:

{max (+ Q) = + P

M' — M“

8.

px

max(—Q) = — 2l

Ist Qt die Transversalkraft für gänzliche Belastung, so ist offenbar

9. max (+ Q) + max (— Q) = Qt,

weil die Belastungen für das positive und negative Maximum zusammen die gänzliche Belastung ausmachen. Man kann diese Regel benützen, um nach Bestimmung des einen Maximums das andere zu erhalten.

Das Glied

ist natürlich mit x veränderlich; jedoch ist

dasselbe gegen das erste Glied in den Formeln 8 überhaupt nur klein,

Fig. 156.

gehen

so dass sich die Maximaltransversalkräfte durch Kurven darstellen lassen, welche wenig von Parabeln abweichen, deren vertikale Axen durch die Stützen (Fig. 156).

Die Einflusslinie für Q ist für alle Querschnitte desselben Feldes dieselbe (Fig. 143); nur der Uebergang vom positiven zum negativen Q erfolgt an dem veränderlichen Querschnitte. Demnach wird die positive und negative Fläche der Einflussfigur um so grösser, je näher der

Querschnitt bezüglich an der linken und rechten Stütze liegt. Man kann sonach behaupten:

Die Transversalkraft wird zum absoluten Maximum, an den Stützen und zwar bei abwechselnder Belastung der Felder, wobei die auf den beiden Seiten der fraglichen Stütze liegenden Felder mitbelastet sind. Für diese Belastung wird

10.

Max    = + ^    —

Max (— Q) = —(> pl —

M' — M

Bei veränderlichem Querschnitte werden die Transversalkräfte nur sehr wenig grösser oder kleiner, als bei konstantem. Bei Parallelträgern ist die Abweichung bei den absolut grössten Transversalkräften höchstens 3 Prozent, in der Begel aber wesentlich kleiner.

§. 80. Stützendrücke. Da der Stützendruck die Dilferenz der auf beiden Seiten der Stütze wirkenden Transversalkräfte oder gleich der Summe der absoluten Werthe desselben ist, und beide Transversalkräfte für dieselbe Belastungsweise zum Maximum werden, so wird der Stützendruck für dieselbe Belastungsweise zum Maximum, wie die Transversalkraft an der Stütze.

Bei gewissen Belastungen können in Folge der zufälligen Last auch entgegengesetzt gerichtete oder negative Stützendrücke eintretem Wenn der vom Eigengewichte erzeugte positive Stützendruck grösser ist, als der von der zufälligen Last erzeugte negative Stützendruck, so tritt in Wirklichkeit kein negativer Stützendruck auf. Bei gewissen Verhältnissen aber kann der negative Stützendruck wirklich zur Ausbildung kommen; alsdann gelten die für den kontinuirlichen Träger aufgestellten Gesetze nur, wenn der Träger durch besondere Vorkehrungen am Abheben von der Stütze gehindert wird.

Das Maximum eines negativen Stützendruckes tritt offenbar ein, wenn diejenigen Stellen des Trägers belastet sind, welche für das positive Maximum des Druckes auf dieselbe Stütze nicht belastet sind, d. h. der negative Stützendruck wird zum Maximum bei abwechselnder Belastung der Felder, wenn die auf beiden Seiten der fraglichen Stütze liegenden Felder nicht belastet sind.

Man erhält den von der zufälligen Last erzeugten negativen Maxi-mal-Stiitzendruck am einfachsten durch Subtraktion des positiven Maximal-Stützendruckes von dem bei gänzlicher Belastung entstehenden Stützendrucke.

io*

§. 81. Ungünstigste Belastung hinsichtlich der Momente.

1. Belastung des fraglichen Feldes.

a) Querschnitt zwischen den Fixpunkten. Wir haben in §.71 gesehen, dass jede im fraglichen Felde liegende Last in einem zwischen den Fixpunkten liegenden Querschnitte nur ein positives Moment erzeugen kann. Daraus folgt unmittelbar:

Für einen zwischen den Fixpunkten liegenden Querschnitt tritt das grösste positive Moment ein, wenn das betreffende Feld gänzlich, dagegen das grösste negative Moment, wenn das betreffende Feld gar nicht belastet ist.

b) Querschnitt ausserhalb der Fixpunkte. Wenn eine Einzellast in einem beliebigen Punkte G liegt (Fig. 157), so wird das

Moment in zwei Punkten Q und R, welche nach §.71 ausserhalb der Fixpunkte liegen, Null. Im Querschnitte Q erzeugt nach §.71 eine zwischen A und C liegende Last ein positives, eine zwischen B und G liegende Last ein negatives Moment, wie auch der Einflusslinie Fig. 141b entspricht. Ebenso erzeugt im Querschnitte R eine zwischen B und G liegende Last ein positives, eine zwischen A und C liegende Last ein negatives Moment. Wir nennen C den zum Querschnitte Q oder R gehörigen Nullpunkt und können dann be-

Fig. 157.

C --—

ES

hB

haupten:

Für einen ausserhalb der Fixpunkte liegenden Querschnitt tritt das grösste positive-Moment ein, wenn die Strecke des betreffenden Feldes, in welchem der Querschnit t liegt, bis zum zugehörigen Nullpunkt, dagegen das grösste negative Moment, wenn die andere Strecke des Feldes bis zum zugehörigen Nullpunkt belastet ist.

Setzen wir AQ = x, BR = xx, AC = !-₁ BC = £, und die Momente in A, B und C bezüglich = M‘, 31“ und Mlf so ergibt sich, entsprechend dem §. 71:

11. x —

M¹ — 31 x’ oder auch, da Mx = 31 -y -\- 31“ j Ą- G

₁₂ x -    Mi

3R — 31“—6r£x ’

xx —

31“ — 31x

ff,

ist,

31“ l

Sind für verschiedene Lagen der Einzellast die Stützenmomente AL\ AI“ berechnet, so kann man mit Hilfe dieser Gleichungen leicht für ein gegebenes I, R die Abstände x, xx der zugehörigen Querschnitte von den Stützen bestimmen. Für einen konstanten Querschnitt gibt die Einsetzung der Ausdrücke 1 (S. 124) für AP, AI“ :

a {21 - 3b-£)£

13.

I l ~ cl* +{2a-b)l£- (a + b) £

Xi _

_    b\2l — 3a —

\l -ci=+(»6-a)«^-(a + 6)4₁=-Mit Hilfe der Gleichungen 8 und 9 (S. 130 und 131) lässt sich bei konstantem Querschnitte auch £, R bei gegebenem x, xx berechnen. Bei veränderlichem Querschnitte kann man, nachdem man die Einflusslinien für die Stützenmomente gezeichnet hat, nach Fig. 142 leicht die zu einem angenommenen Nullpunkte gehörigen Querschnitte konstruiren. Bei konstantem Querschnitte ergibt sich in folgender Weise eine wesentlich einfachere Konstruktion: Setzen wir in Fig. 157 IR — y, KK‘ — yx, so wird

y =

nach Einsetzung der Ausdrücke 1 (S. 124):

- AI' -f (AR — AI“) y und yx = — AI“ + (AI“ — AR) y, d. i.

GO

"S

g

CS2

'S

GH, {M —V) a

i³

(Tfr

Gr Hl (21 —&b

i³

’S CC

irre

b:

(Tff

In Fig. 158 seien A, B die Stützpunkte, I, K die Fixpunkte des fraglichen Feldes und die Vertikalen AQ = BR = dem beliebig wählbaren s\ S sei die Mitte von Q R. Die Geraden AR, AS,

BQ, BS mögen die durch die Fixpunkte gelegten Vertikalen in Ix, R,

Kx, schneiden.

Alsdann ist IR —

2jz, KKq = 2jZ,

kxir

_ b — T

iR: IXR — % :l, kK„ : Kt AT₂ = (j, : l ist, so ist nach den vorigen Formeln li — y, Kk — yx. Wählt man    so, dass dadurch die

Fig. 158.

A

'Os

K

-o—

m,

B.

r.

Säe

(s

//

Wählt man in RR und Kx die Punkte i, k so

dass

Feldlänge QR — l in gleiche Theile getheilt wird, so werden und -Ki-Sj, durch die Punkte i und Je in ebenso viel gleiche Theile getheilt, woraus sich sofort die in Fig. 158 dargestellte Konstruktion ergibt. Die Durchschnittspunkte der die Theilpunkte von ij I„ und Kx in gekehrter Reihenfolge verbindenden Geraden mit den von A und B nach den Theilpunkten von QR gezogenen Geraden entsprechen den den Theilpunkten von QR als Nullpunkten gehörigen Querschnitten.

um-

aus

zu

2. Belastung der übrigen Felder. Aus dem in §. 67 Gesagten und den in Fig. 141 dargestellten Einflusslinien lässt sich ohne Weiteres schliessen :

Das Moment wird zum Maximum, wenn die Felder abwechselnd belastet sind und zwar derart, dass an das belastete Ende des fraglichen Feldes ein unbelastetes Feld, an das unbelastete Ende desselben ein belastetes Feld stösst.

Fig. 159.

ct

ÄA Za

A;

AZAÄ

Ta

IM

Z\ ZT

<—I,—x l —x---1 ---X l-

■k-

*M

Ta

Ai A

Ta A

-M

a Za

Ta

Ta

Za

jiii

Ta

JH-j-

Ta

h-f

Ta Za

Hiernach ist die ungünstigste Belastungsweise in Fig. 159 dargestellt und zwar in a für den linken, in b für den mittleren und in c für den rechten Theil eines beliebigen (hier des vierten) Feldes.

Die ,in §. 78 gemachte Bemerkung hinsichtlich der Theilung der Last in mehrere Theile lässt sich natürlich auch hier anwenden.

Die allgemeine Bestimmung der ungünstigsten Belastungsweise für Transversalkräfte und Momente wurde, allerdings unter Voraussetzung eines konstanten Querschnittes zuerst vom Verfasser durchgeführt (Beiträge zur Theorie der kontinuirlichen Brückenträger, Civilingenieur 1862). Hier wurde wohl auch zuerst von dem Einflüsse einer Einzellast Gebrauch gemacht zur Bestimmung der ungünstigsten Belastungsweise. Vordem pflegte man jedes Feld entweder ganz oder gar nicht belastet anzunehmen und die ungünstigste Kombination von ganz belasteten und unbelasteten Feldern durch Probiren aufzusuchen.

Die in Fig. 158 dargestellte grafische Bestimmung der zu einem Nullpunkte gehörigen Querschnitte hat zuerst Mohr gezeigt. Er leitet dieselbe auf grafischem Wege ab in: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen, Zeitschr. des hannoverschen Arch.- und Ingen.-Ver. 1868.

§. 82, Bestimmung der grössten Momente. Für einen zwischen den Fixpunkten liegenden Querschnitt ist das Feld hinsichtlich des positiven Maximums ganz, hinsichtlich des negativen gar nicht belastet; dementsprechend ergibt sich nach der zweiten der Formeln 4 (S.94) :

15.

( max (-f- 31) — M' — (3f/ — 31“) ~ -f- ~ px — x),

j    i 2

j max (— 31) = 31 — (31‘ — 31“)    ,

wobei natürlich in beiden Fällen M‘ und M“ nach §. 58 unter der Voraussetzung der ungünstigsten Belastung zu bestimmen ist. Hiernach ist das negative Maximum durch eine Gerade, das positive durch eine Parabel darstellbar, die sich nach dem Aufträgen der Stützenmomente leicht nach §. 59 konstruiren lässt.

Für einen links vom linken Fixpunkte liegenden Querschnitt ist für das positive Maximum der linke Theil in der Länge £, für das negative Maximum der rechte Theil in der Länge zu belasten. Es ergibt sich leicht

— (31 — 31“) j +

rtn

max (— 31) — 3t — (31‘ — 31“) y +

L

max (+ M) = W

16.

21

Ebenso ergibt sich für einen rechts vom rechten Fixpunkte liegenden Querschnitt

max (+ 31) =

17.

Hat man das eine der beiden Maximalmomente bestimmt, so kann man nach Bestimmung des Momentes Mt für gänzliche Belastung des Trägers das andere durch die Beziehung

18. max (4- M) -f- max (— M) = Mt

bestimmen.

Fig. 160.

Hiernach ergibt sich die in Fig. 160 dargestellte Form der Kurven für die Maximalmomente

(unten positiv, oben negativ).

Nach der zwei-

ten der Formeln 15 wird am rechten Fixpunkte, wenn man

beachtet, dass hier £, = 0 wird, d max (— ill)

dW

dM'    dM“

dx

dx

dx

dx

M‘ und M“ lassen sich darstellen durch einen Ausdruck von der Form A -f-    £0^' -f- Cüft"; nun aber wird

(S. 127) für ^i = 0 ebenfalls = 0, mithin ist

d max (— ill) _ ill' — M“

dm¹

und

dm"

dx

nach Formel 3

dx

Im ersten Felde ist die Belastung für max{—M) für Querschnitte linis vom Fixpunkte, sowie für Querschnitte unmittelbar rechts vom

Fixpunkte dieselbe, es hat also auch M‘ — AI“ denselben Werth. In den äusseren Feldern geht also in der Momen-tenlinie für max {—Al) die Kurve in die Gerade tangential über; somit ^    findet auch in der

Kurve für max ( AM) ' ein tangentialer s.    Uebergang der bei-

den Theile statt. In den mittleren Feldern dagegen findet ein tangentialer Uebergang nicht statt (Fig. 161, links I. Feld, rechts Mittelfeld).

Bei theilweiser Anwendung der Konstruktion kann man ganz entsprechend dem §. 73 für ein System von Einzellasten verfahren. Für

Fig. 161.

/\

o/

c’ \

<>

Querschnitte zwischen den Fixpunkten sind die Momentenkurven Seilkurven , welche sich nach dem Aufträgen der berechneten Stützenmomente leicht konstruiren oder mit Hilfe der Parabelschablone (siehe Anmerkung zu §. 38) verzeichnen lassen. Für Querschnitte im linken Theile AB würde man am besten zunächst

Fig. 162.

die negativen Maximalmomente konstruiren ; die Geraden, welche die Momentenlinien im unbelaste- «4. ten Theile darstellen, sind, dem §. 73 entsprechend, die Umhüllungslinien der Momentenkurve. Diese Geraden A‘D‘ (Fig. 162) werden, wie dort, am besten verzeichnet, indem man das Moment

......t'ö

A ft

!-

M‘ an der linken Stütze A und das Moment M‘“ am Ende D der Belastung aufträgt. Allgemein ist im Theile AI: Ml= ABI-f- (M“ — M*)x also, wenn man x = l — §,, M — M“ setzt,

pQ- £,)^

19. M‘“ = M“ — (.M“ — M‘) y -f

21

Bei Bestimmung von M‘ und M“ kann mau gleichzeitig auch die ungünstigste Belastung der übrigen Felder berücksichtigen. Nach Fig. 158 kann man zu jedem angenommenen Punkte C auch noch den entsprechenden Querschnitt Q, hiermit also auch den entsprechenden Punkt Q' der Momentenkurve konstruiren; indess genügen zum Einzeichnen der Momentenkurve auch schon die umhüllenden Tangenten. Das positive Maximum von M findet man jetzt nach Konstruktion der Momentenkurve für Belastung des ganzen Trägers nach der Beziehung 18.

§. 83. Beispiel für einen konstanten Querschnitt.

Kontinuirliclier Träger mit drei Feldern, deren Längen Z,, l, Z, das Verhältniss 5:6:5 haben, so dass 1 = 1,2Z, wird. Ist À die mittlere Länge, so wird 31 = 2lt

+j=|i+;=

Z, also A =

Co |oi

l = ~lt oder

15

Z, = A = 0,93751, lt* = 0,87891*, A = 1,12501,

l* = 1,26561*.

Die beiden Gleichungen zur Bestimmung der Stützenmomente werden nach der Gleichung 14 (S. 97):

Hieraus ergibt sich

4,4 M\ + 1,2 M, + 3,om/ + 3,6 Wt“ = 0, 1,2 Mt + 4,4 Mt -f 3,6 9tt/ -f 3,02V = 0.

a. \

—    0,7365m/ + 0,54752«/ - 0,83473Ka" + 0,50702K₃",

-    0,50702«/ - 0,88412«/ + 0,5475 SW," - 0,7365 2»,", M. — Mi = - 0,9375 (3«/ — 3R,") + 1,1253 (SK/ - 3Äa").

(M,=

Mi =

1. Eigengewicht. Setzen wir 331/= 33V'=

so wird

à- 9h*, W = 9»," = js 9^

Mi = M₂ = — 0,1218 gl y² = — 0,0846gl² = — 0,107 Ogi².

I. Feld. Hier ist M‘— 0, M“ = — 0,1218gl,² zu setzen; daher wird nach Formel 4 und 5

5.

$ = ^0,37&2 — j gl, = (0,3546 - 0,9378 gl,

t)

^ 0,373,2 — 0,5 y) y- ßfZ,² = + (0,3324 — 0,4304

Für x — 0,37821, wird Q = 0 und M zum Maximum und für x — 0,75641, wird M—0\ ferner wird

{0,3782 gl,y

= + 0,0715 gl,² = + 0,0629 g l².

max M =

II. Feld. Hier wird M‘ = M“ = — 0,0846gl²; daher wird

c.

Q — y 9 {I — 2x) — 0,5625 ^4

²r)gX>

= — ^0,0846 —0,5 y+ 0,5^ gl² = — £0,4070 - 0,0353 (i - j) f ] 9^-

Für x = 0,51 wird Q = 0 und M zum Maximum und zwar wild max M = + 0,0404 gl² = -f- 0,0512 g V.

Ferner wird M = 0 für

x² — Ix -h 0,1691V¹ = 0. x = (0,5 =F V0,0809) l = (0,5 =F 0,2843) l = 0,21571 und 0,78431.

Für das I. Feld wird Q‘= + 0,3546 g 1, Q“ = — 0,5829 g 4; für das II. Feld wird <3' = 4* 0,5625gl, Q“ = — 0,5625gl. Daher wird

d. D₀ = 0,3546gl,    D, = (0,5829 -f 0,5625)gl = 1,1454gl

In Fig. 153 und 154 sind hiernach Q und M grafisch dargestellt.

2. Verkehrslast. Bei gänzlicher Belastung ist in den vorigen Formeln nur p für g zu setzen.

I. Feld, a) Transversalkräfte. Nach Formel 8 wird, wenn wir M‘ = 0, M“ = M, setzen,

M,

+ V-

max (+ Q) = ~ ^1 — y j p l,

Für max (-J- Q) aber ist das I. Feld vom Querschnitte bis zur Stütze 1 und das III. Feld ganz zu belasten. Daher wird nach Formel 41 und 43 (S. 115)

SV = ^ pl^

231/ =

— (l -

i2 V h

331/ = 331/' = 0,

mithin

M, =

folglich

max (-J- Q)

-f 0,0168pl,² — 0,0614 ^4

)W,

= + Y0,5 i¹ ~ t)? — 0,06138 {4

**■)’ + 0,04075 ”| plt ^4 — yj {o,403S — 0,0576 {4 + yj'J + 0,0157J pl.

Für gänzliche Belastung ist Q durch die erste der Formeln a bestimmt. Daher ergibt sich nach Formel 9:

max (— Q) = —

|jV (i0,5839 — 0,0576 ^ + 0,0723 J

pk.

b) Momente. Nach §. 65 wird

2 {1 + 1,2)-1,2 —

o 1 + 1,2    U    „ ftdfir/

Vi—2. —Jr,— = -g~ — 3,6667, v, —

ai — 0, b, = & 0727 ⁼⁼ 0,19711,, c, — l, bt = 0,80291,.

Erster Theil von der Stütze 0 bis zum Fixpunkte. Für max {—M) ist nur das II. Feld ganz zu belasten. Es ist also 2JÎ/ = 2JÎ₃" = 0, äft/ = 9K₂" = p P zu setzen. Daher wird

224

1,0

Mt = — {0,0737 — 0,0201) pP = — 0,0536 pP.

Setzen wir nun in Formel 15 M‘ = 0, M“ = Mt = — 0,0536pP, so ergibt sich

max (— M) — — 0,0536    = - 0,0678 jpP.

Bei gänzlicher Belastung ist M durch die Formel a bestimmt. Daher wird nach Formel 18:

max (+ M) = + ^0,4002 j — 0,4395

IS

)pk\

Zweiter Theil. Für max {— M) muss das II. Feld ganz und vom I. Felde nur der linke Theil, dessen Länge nach Formel 12 (S. 131) bestimmt ist durch

= \/r5,0727 - 4,0727

belastet sein. Setzen wir daher in Formel a) m,¹ = mS' = jg pP, so wird — 0,0536pP = — ^0,6474    + 0,0678) pP.

M, = - 0,7365mS Hierbei wird nach Formel 42 (S. 115)

2)V

plS

12 IS V

p) = i [J - ie'5m (> -1)’]-

M,= + (0,7731 - 1,7898 \ +0,8949 ^pP.

IS

Nach Formel 17 wird nun, wenn wir M‘ = 0, M“ == M, setzen, max {— M) — M, y -f-

d. i. wenn man für M, und £ die gefundenen Ausdrücke setzt, max {— M) — —

Für gänzliche Belastung ist M durch Formel b bestimmt; daher wird nach Formel 18:

p P {l, — x)

21,

(1,4561 ~ — 2,2292 -f- 0,8949

max (-}- M)

= + ^1,7885

— 0,4395 —

IS

— 2,2292 + 0,8949 pP.

II. Feld, a) Transversalkräfte. Nach Formel 8 wird

M, — M,

max (-)- Q)

für max (-f- Q) ist das I. Feld ganz und das II. Feld vom Querschnitte bis zur Stütze 2 zu belasten. Daher ist nach Formel 41 und 42 (S. 115):

=M>~

4-*>!.’,

2Jl"₃ = 0.

= 0,0781 pis — 0,1876 ~{l - ypP

= |^0,0543 - 0,1876 Dies eingesetzt gibt, wenn wir dabei gleichzeitig pl = 1,125pX setzen,

max (-J- Q)

= +    ~ j) (0,5625 — 0,2109    + 0,06/oj pL

Für gänzliche Belastung ist nach Formel c: Ql = 0,0625 (l —2x)pX; daher wird nach Formel 9:

max (— Q) = —

[o,5625_

— 0,2109

(* “ !)’}+ 0,061ljpL

b) Momente. Da v₂ —

jOÿ

ist, so wird

= l = 0,21431.

1 + vt

Mittlerer Tlieil. Im mittleren Theile wird M zum positiven Maximum bei Belastung des ganzen I. und III. Feldes. Setzen wir dementsprechend 9)1/ = 2)î₃"

= jfplt⁵, 9)y = 9ft₂" = 0, SO ergibt sich M₁z=Mi = —0,04463pl,² = —0,03924p P, Daher wird nach Formel 15, wenn wir M¹ = M„ M‘ — M" = 0 setzen,

max (— M) — — 0,0392 pP.

Bei Belastung des ganzen Trägers ist M durch Formel c bestimmt; mithin wird nach Formel 18:

max (4- M)

= + £0,0678 — 0,6328 j — yjj pP.

Erster"Th eil. Für max (— M) muss das I. Feld ganz belastet sein und im II. Felde nur der rechte Theil, welcher durch Formel 8 (S. 180) bestimmt ist. Setzen

wir hierin a = b =

l, so wird

(l — 2x) P — (1,35711 — x)lS + 2,6667Px — 0

oder auf x reduzirt

d. x —

(.1,35711 — £)lg

2,6667 P + IS — 2P

Setzen wir in den Formeln a. 9JÎ/ = JśP^²’    s0

Mt = -

e.

/    §0f? “    ä)? • \

(0,0540 4- 1,1187 -jfr - 0,3051 j{r) P ^

Mi — M₂ = —

^0,0687

— 1,4241

pP

9Jî₂"

Nach Formel 43 (S. 115) ist hierin

-('-*>

1 St

Sßi'

pP 12 P

pP

v    i v /„

-p)    12 P~ v

)'

zu setzen; daher

£0,Ö540 + ^0,0848 + 0,1017 Ą- — 0,1187    ^-J.p/1².

Mx = —

Mt - M₂ = — 0,0687 (l — 3,456 Demnach wird nun nach Formel 16:

max (— M) —

— £ 0,0540 4- ^0,0848 -f 0,1017    - 0,1187    pil²

+ |^0,0ö87 (l — 3,456    + 0,6328 jpl².

Beispielsweise wird für x — 0,11: |² — 1,57141 § + 0,33331² = 0, £ == 0,25281, =0,74721, daher nach der vorigen Formel max (— M) = — (0,0540 -f- 0,0528 — 0,0060 — 0,0353) p,i² = — 0,0654pl².

Nach Formel 18 ist jetzt max (-)- M) zu bestimmen, nachdem man Mt nach Formel c bestimmt hat. Beispielsweise ist für x = 0,11: Mt — — [0,1070 — 0,6328.0,9.0,1] gl’² ~ — 0,0501pl², mithin max(+ M) = (0,0654 — 0,0501)pl² = 4- 0,0153pl².

Statt dessen könnte man auch £ und £, annehmen, und nach Formel d das zugehörige x berechnen. Man kann dann auch zur Bestimmung von ÜDP, 9JÎ" die Tabellen zu §. 64 benützen. Beispielsweise wird für Ç = 0,51: 9JV — 0,4218pl², 3)î₂" = 0,3282pl², daher nach e : M, = — 0,0805pl², M, — M₂ = ~ 0,0539 pl². Für i = 0,51 aber wird nach Formel d:

(.1,3571 — 0,5) 0,5    _ 0,4286 _

2,6667 4- 0,5 — 2 . 0,5² ~ 2,6667 ~

0,1607,

also nach Formel 17:

max (— M)

= - ^0,0805 - (0,0539 + -j . 0,5².1,125²^ 0,1607J pl²

= — 0,0464p 1*.

In den Figuren 156 und 160 sind hiernach die Maxima von Q und M grafisch

dargestellt.

Taf. II.

§. 84. Beispiel für einen veränderlichen Querschnitt.

Wir wählen als Beispiel einen kontinuirlichen Parallelgitterträger mit drei (Dehnungen von 50, 60, 50 Meter Stützweite; hierbei sei. das Eigengewicht pro Meter g = 0,3q, also die zufällige Last pro Meter p — 0,7q. Die Berechnung unter Annahme eines konstanten Querschnittes gibt für die Gurte die in Pig. 1 dargestellten und mit Zahlen eingeschriebenen Querschnitte; diesen proportional sind die Trägheitsmomente. Den Einfluss des Gitterwerkes vernachlässigen wir.

1. Bestimmung von «, ß, y. Multiplizirt man die reciproken Werthe der Querschnitte mit den Längen der einzelnen Theile, so ergibt sich als Gesammtsumme 0,0061871, + 0,0062371 + 0,0061871\ = 0,0058001 + 0,0070161 + 0,0058001 =

0,0186161. Der mittlere reciproke Werth ist daher = °'0I8^6X. — 0,006205, die ent-

161,1. Multiplizirt man hier-

sprechende mittlere Querschnittsfiäche also

0,006305

mit die reciproken Querschnittsflächen, so erhält man die Verhältnisse Fig. 2 grafisch dargestellt und mit Zahlen eingeschrieben sind.

, welche in

1. Feld. Der Inhalt Al,

r dx

= I -J- der Krümmungsfläche ergibt sich zu 0,99651„

Als Trägheitsmoment der Krümmungsfläche für die beiden Enden ergibt sich 0,3022l,³ und 0,38001,* ; nach §. 62 wird daher a= 3.0,3022, ß = 3.0,3800, y — 3 A — a — ß, d. i.

« = 0,9066, ß = 1,1400, y = 0,9429.

II. Feld. In ganz gleicher Weise ergibt sich für das II. Feld A = 1,0046 und a = 0,9943, ß = 0,9943, y = 1,0252.

2. Bestimmung von SK' und 9JÎ" für eine Einzellast. In folgender Tabelle sind die statischen und Trägheitsmomente der einzelnen Theile der Krümmungsfläche, sowie die hieraus durch allmälige Addition abgeleiteten statischen und Trägheitsmomente der vom Ende bis zu einer bestimmten Ordinate reichenden Flächenstücke in Beziehung auf die beiden Enden zusammengestellt:

Erstes Feld.

Statisches Moment für das linke Ende

Trägheitsmoment für das linke Ende

einzeln

von 0 bis x

Tf

von x bis l, If

einzeln

von x bis l, Sf

St lt — Tt

0,119

0,173

0,250

0,426

0,602

0,679

0,853

0,898

0,931

0,962

92

143

328

1621

3701

3005

12277

3192

2082

1767

2010

92

235

563

2184

5885

8890

21167

24359

26441

28208

30218

30218

30126

29983

29655

28034

24333

21328

9051

5859

3777

2010

1147

945

1548

4702

7150

4688

15979

3643

2277

1865

2050

45994

44847

43902

42354

37652

30502

25814

9835

6192

3915

2050

15776

14721

13999

12699

9618

6169

4486

784

333

138

40

. I,

0,000011J³

. 0,000011²

.0,000011]

Ziveites Feld.

Trägheitsmoment für das linke Ende

Statisches Moment für das linke Ende

einzeln

von 0 bis x

0,030

0,058

0,089

0,124

0,165

0,241

0,296

0,379

0,500

0,621

0,704

0,759

0,835

0,876

0,911

0,942

0,970

12

37

17

103

514

477

903

1855

3008

3466

3526

7821

3594

2586

2008

1628

1600

54

157

671

1148

2051

3906

6914

10380

13906

21727

25321

27907

29915

31543

33143

von x bis l T.,

33143

33142

33138

33126

33089.

32986

32472

31995

31092

29237

26229

22763

19237

11416

7822

5236

3228

1600

einzeln

T =*

von x bis l S.t l — T₂

S.₂

25

78

172

345

711

2497

1769

2663

4188

5342

5227

4821

9803

4209

2895

2168

1702

1585

50240

50215

50137

49965

49620

48909

46412

44643

41980

37790

32450

27223

22402

12599

8390

5495

3327

1625

17097

17073

16999

16839

16231

15923

13940

12748

10888

8555

6201

4460

3165

1183

568

259

99

25

0,0000ll³

. 0,000011³

. 0,000011-

Die grafische Bestimmung der statischen und Trägheitsmomente ist in Fig. 3 nach §. 63 und 70 durchgeführt.

Mit Hilfe der so erhaltenen Zahlen lassen sich nun nach Formel 3 (S. 127) die Werthe von 9JZ' und 3JÎ" berechnen. So z. B. ist im II. Felde für x — 0,8351: W —2(0,165.0,2173 + 0,835.0,0U8)=0,0915Gl und für x —0,1651: m‘=2(0,835. 0,0016 -\-0,165.0,1592) — 0,0552 Gl. Der Symmetrie halber ist für x —0,1651 das 3Jt" gleich dem 2>î' für 0,8351, also — 0,0915 Gl. Die Resultate sind in folgender Tabelle zusammengestellt :

Erstes Feld

Zweites Feld

0,030

0,058

0,089

0,124

0,165

0,241

0,296

0,379

0,500

0,119 0,173 0,250 0,426 I

0,602 i

0,679 ! 0,853 i 0,898 9,931 0,962 0,0366

0,0520

0,0714

0,1068

0,1210

0,1178

0,0755

0,0557

0,0391

0,0222 0,0103

0,0198

0,0303

0,0420

0,0552

0,0772

0,0909

0,1079

0,1245 0,0194

0,0365

0,0544

0,0727

0,0915

0,1151

0,1242

0,1296

0,1245

• Z,

. Gl

. Gl

somit

3. Lage der Fixpunkte. Nach Formel 5 (S. 117) wird 2 (0,9066 4- 0,9943.1,2) _

~    1,0252.1,2    ~~

2 (0,9943.1,2 -j- 0,9066) —

[<2

(«3 =

Demnach wird a₂ =

4,4138

3,4138,

1,0252.1,2

3,4138

0,9429

=0,22661, a₃ —

= 4,0717.

5,0717

0,1972lt. Wir haben

c = 0,80281,, b = 0,19721,, II. Feld: a — 0,22661, c = 0,54681, b — 0,22661.

1. Feld: a = 0

4. Bestimmung der Maximalmomente für eine Einzellast. I. Feld. Nach den Formeln 4 (S. 127) wird

— tv =

3 . 0,1972 0,9429 . 0,8028

Das Moment am Angriffspunkte der Last wird jetzt

x ( . x\ , x

_ t; (    ;;) ■⁺ %M' ⁼

II. Feld. Ebenso wird für die Belastung des II. Feldes

M, — — 3

TI¹* ⁼

yc

2Ji' = - 0,7815 TV.

— 0,7815 j TI¹.

3 ~ [(Z — a) 2R" - a2JÎ'], M₂= - 3 ~ [(Z - a) TV — a2»"], d. i.

M, = — 0,9378 TV¹ + 0,2748 TV, M₂ = — 0,9378 TV + 0,2748 TV*. Das Moment M“‘ am Angriffspunkte der Last wird nun

M“‘ = M, — j [l — j\ Gl — j (M, - M,).

Hiernach ist die folgende Tabelle berechnet:

M, = -

Erstes Feld

Zweites Feld

M,

M“‘

M,

M.

M“‘

4-

0,119

0,173

0,250

0,426

0,602

0,679

0,853

0,898

0,931

0,962

0,0286

0,0406

0,0558

0,0835

0,0946

0,0921

0,0589

0,0435

0,0305

0,0173

0,1014

0,1360

0,1736

0,2090

0,1827

0,1554

0,0751

0,0525

0,0358

0,0199

0,030

0,058

0,089

0,124

0,165

0,241

0,296

0,379

0,500

0,0154

0,0298

0,0426

0,0566

0,0699

0,0867

0,0915

0,0919

0,0825

0,0043

0,0085

0,0135

0,0194

0,0268

0,0408

0,0511

0,0655

0,0825

\ 0,0141 0,0260 i 0,0410 ¹ 0,0569 0,0750 0,1073 0,1289 0,1535 0,1675

. Gl,

. Gl,

. Gl

. Gl

. Gl

5. Stntzenmomente für theilweise gleichmässige Belastung. Die Stützenmomente für eine Einzellast wurden in Fig. 4 grafisch dargestellt. Durch Bestim-

mung des Flächeninhaltes der von x = 0 bis x = x und x = x bis x — l reichenden Flächenstücke mit Hilfe des Planimeters wurden die in folgender Tabelle zusammengestellten Stützenmomente für theilweise Belastung erhalten.

Belastung des I. Feldes

Belastung des II. Feldes

von 0 bis x

M,

von x bis l

M,

von x bis l

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,0012

0,0047

0,0102

0,0174

0,0260

0,0353

0,0446

0,0528

0,0586

0,0609

0,0609

0,0597

0,0561

0,0506

0,0434

0,0349

0,0255

0,0162

0,0081

0,0022

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,0566    0,0566

0,0542    0,0558

0,0479    0,0533

0,0392    0,0490

0,0300    0,0430

0,0212    0,0354

0,0136    :    0,0266

0,0076    \    0,0174

0,0033 j 0,0088 0,0008    ;    0,0024

•Pli*

. pl¹

. pl²

6. Ś Einfluss des Eigengewichtes. Bei Belastung des ganzen I. Feldes ist nach dem eben erhaltenen Resultate M\ = — 0,0609pl² — — 0,0535 p l², M₂ —

— — Mt = — 0,293M₂ = -f- 0,0127plt² = 4 0,0157pl². Bei Belastung des ganzen

Mt

II. Feldes ist Mt = M₂ = — 0,0566pl² — — 0,0717pl². Hieraus folgt nun für eine gänzliche Belastung aller drei Oeffnungen M, = M₂ = — (0,0535 + 0,0717 — 0,0157)pl² — — 0,1095 pl², also ist für das Eigengewicht

Mt = — 0,1095g X².

Hieraus ergibt sich nun leicht in bekannter Weise

Q = + 10,3519 — 0,9375    ^ gl,

M = -f (o,32994 — 0,4395    ^ gl².

0=4- (0,5625 — 1,1250 g l, yO,10952 — 0,6328

7.    Transversalkräfte in Folge der zufälligen Last. I. Feld. Q wird positiven Maximum bei Belastung des rechten Theiles des I. Feldes und bei Belastung des ganzen III. Feldes. Für die Belastung des ganzen III. Feldes wird M, = 4 0,293.0,0609pl,² = 4 0,0178pl,². Setzen wir für die Belastung des I. Feldes M, = — kplt², wobei k aus der Tabelle zu Nr. 5 zu entnehmen ist, so ist M, =

— (k — 0,0178) pli²— l max (4 Q) — -j P (h — 4², also

Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

a.

I. Feld

b. II. Feld

4 0,6328 ^ j gl²

zum

11

- [I (J ~ f) + °'⁰¹⁷⁸ ~ fc] pl¹

= 0,9375 I 0,5 (l —    + 0,0178 — pl.

Das negative Maximum von Q berechnet man am besten nach der Regel 9.

II. Feld. Q wird zum positiven Maximum bei Belastung des rechten Theiles des II. Feldes und bei Belastung des ganzen I. Feldes. Für die Belastung des ganzen I. Feldes ist Mt = - 0,0609plt'- 0,0423pp, Mt = — 0,293 M₁₌= 4 0,0124pl\ Setzen wir für die Belastung des II. Feldes M, = — k^l⁷, Mt= — Tctpl\ wobei k, und wieder aus der Tabelle zu Nr. 5 zu entnehmen sind, so ist Mt = — (fc,40,0423)plz, M₁ — — (k₂ — 0,0124)pl¹. Es wird nuu l max (4 Q) — ~ p(l — x)² —    oder

max (+ Q)

max (4 Q)

= [I (l - y)’ + 0,0546 4 \ - fc,] pl

b⁵ i¹ - f y

= 1,1250

4 0,0546 4    —

k]

pl.

Das negative Maximum ist dadurch bestimmt, dass die absoluten Werthe von max (4 Q) für x und von max (— Q) für l — x einander gleich sind.

Hiernach ist nun die folgende Tabelle berechnet:

Transversalkraft

'i

Einfluss von g

Einfluss von p

max (4 Qi

max (— Q)

1. Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

t;

0,6

0,7

ii

0,8

0,9

+ 0,352 4- 0,258 + 0,165 -i- 0,061

0,428

0,340

0,264

0,199

0,145

0,101

0,068

0,044

0,028

0,019

0,017

0,076

0,082

0,099

0,138

0,168

0,218

0,278

0,348

0,426

0,511

0,602

II. Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

4- 0,562 4- 0,450 4- 0,337 4- 0,225 4- 0,112

0,624

0,515

0,415

0,326

0,249

0,186

SS SS ss ss SS ss "ki 4* s* Ci "c> "c.

Oc Oj C> VI 05 Ci Ci k OO Cl K

Ij

.iß

.pl

.pl

8. Momente in Folge der Verkehrsbelastung. I. Feld. Im ersten Theile, d. i. von x = 0 bis x = 0,8023 lt wird M bei Belastung des ganzen II. Feldes zum negativen Maximum. Hierbei ist Ml = ~— 0,0566pl¹ = — 0,0717pl⁷,

max (- M) = — 0,0717 y pl\

Da bei gänzlicher Belastung aller drei Felder M -durch Formel a bestimmt ist, so wird nach Formel 18:

= 4- ^0,4016 - 0,4395 y) y pP.

max (-}- M)

Im zweiten Theile, d. i. von x = 0,80231, bis x = l, wird M zum negativen Maximum, wenn der linke Theil des I. Feldes auf eine gewisse Länge £ belastet ist. Die nach §. 82 durchgeführte Konstruktion (Fig. 4) gibt für

A>Jt M

0,2

0,4

0,6

0,8

0,9

= 0,802    0,813    0,838    0,863    0,910    0,951

Das entsprechende Moment Mx ist durch die Tabelle zu Nr. 8 bestimmt, natürlich unter Zuhilfenahme einer Interpolation. Ausserdem muss das ganze II. Feld belastet sein; für diese Belastung ist Mx — — 0,0566 pP — — 0,0816 pl², was dem aus der Tabelle zu entnehmenden Momente hinzuzufügen ist. Alsdann wird nach

Formel 17 maxi— M) = ^-X ' P^(l' ~ X)

1 =

21,

, d. i.

=    —0,0575    0,0584    0,0615    0,0670    0,0822    0,0997    0,1252    .    pP.

II. Feld. Im ersten Theile, d. i. von x = 0 bis x — 0,22561 wird M zum negativen Maximum, wenn der rechte Theil des II. Feldes auf eine gewisse Länge £ belastet ist. Durch die Konstruktion (Fig. 4) ergibt sich für den Abstand des Zugendes vom linken Ende des Feldes:

•'Alt H

o'

o o

Ol Kl

0,2

0,à

0,6

■r

Kl

0,093    0,144    0,175

Die entsprechenden Momente M, und M₂ sind durch die Tabelle zu Nr. 5 bestimmt. Ausserdem muss das ganze I. Feld belastet sein; für diese Belastung ist nach Nr. 6 Mx = — 0,0609pl,² = —0,0423pP, M, = 4 0,0124 pP. Es wird nun

nach Formel 17 max ( — M) = M, — (M, — Mt) — 4

I =

p x (l — g)ł

21

. • Hiernach wird

0,2

1 .1,

M, — — 0,0989 - 0,0965 — 0,0901 — 0,0723 — 0,0559 — 0,0456—0,0423 .pP, M₂ = — 0,0442 - 0.0433 — 0,040S — 0,0305 — 0,0442 + 0,0037 + 0,0125.pP, max ( — M) = — 0,0989 — 0,0736 — 0,0558 — 0,0403 — 0,0346 — 0,0318 — 0,0299. p P, — — 0,1252 — 0,0931 — 0,0706 — 0,0510 — 0,0438 — 0,0403 - 0,0378.pV.

0,1

0,4

0,6

0,8

Im zweiten Theile, d. i. von 0,22561 bis 0,77441 wird M zum negativen Maximum bei Belastung des ganzen I. und III. Feldes. Für diese Belastung wird Ml — M₂ = — 0,0423p P + 0,0124 p P = — 0,0299p P = — 0,0378pP. Wir haben daher an jeder Stelle

max (— M) = — 0,0378p P.

Das positive Maximum findet man nun leicht durch Subtraktion des nagativen vom Momente für gänzliche Belastung. Hiernach ist die folgende Tabelle berechnet;

11*

Moment

Einfluss von g

Einfluss von p

max (4- M)

max (— M)

1. Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,802

0,813

0,838

0,863

0,910

0,951

^ Oo os tu fco ^

4- 0,0286 4~ 0,0484 4- 0,0594 4- 0,0617 4- 0,0551 4- 0,0397 4- 0,0156

—    0,0173

—    0,0181

— 0,0222

—    0,0321

—    0,0426

—    0,0637

—    0,0837

—    0,1095

0,0358

0,0627

0,0809

0,0903

0,0909

0,0828

0,0658

0,0400

0,0394

0,0361

0,0294

0,0244

0,0185

0,0164

0,0157

0,0072

0,0143

0,0215

0,0287

0,0358

0,0430

0,0502

0,0574

0,0574

0,0584

0,0616

0,0670

0,0822

0,0997

0,1252

II. Feld

05 Ci Ox Oj ö

c> cs

K 00 05 łfe. to k ^

0,3

0,4

0,5

—    0,1095

—    0,0795

—    0,0562

—    0,0313

—    0,0182 I

—    0,0083 4- 0,0011 4- 0,0233 i 4- 0,0428 4- 0,0486

0,0157

0,0137

0,0144

0,0197

0,0256

0,0320

0,0389

0,0611

0,0801

0,0865

0,1252

0,0931

0,0706

0,0510

0,0438

0,0403

0,0403

0,0378

0,0378

0,0378

. gl²

. pl²

. pl²

Die Transversalkräfte und Momente sind hiernach in Fig. 5 und 6 grafisch dargestellt. Die Momente ausserhalb] der Fixpunkte lassen sich wesentlich einfacher nach §. 73 (Fig. 148) darstellen, indem man eine Schaar umhüllender Tangenten verzeichnet. Hierzu ist für die bezügliche ungünstigste Belastung noch das Moment M“' am Ende der theilweisen Belastung zu bestimmen. Für das I. Feld ist

M‘“

4-

Tn~

to>

Nach den oben angegebenen Werthen von M₁ wird:

1,0    . ltm

M“‘ — 0 - 0,0013 + 0,0084 + 0,0019 — 0,0435 - 0,0857 — 0,1424 . pl,², = 0 - 0,0011 -j- 0,0074 4-0,0017 — 0,0382 — 0,0753 — 0,1252 . pl².

0,2

0,4

0,6

0,8

0,9

rH

c;¹-

Für das 11. Feld wird:

M“ = M, - (M, - M,)

Pid - £)²

21

-und hiernach ergibt sich:

1,0    . l„

M‘“ = — 0,0987 — 0,0507 — 0,0162 + 0,0164 -j-0,0171 + 0,0098 + 0,0125 .pl\ = — 0,1250 —0,0642 —0,0205 +0,0207 + 0,0216 + 0,0124 + 0,0158 . pl\

Hiernach sind in Fig. 5 die Tangenten eingetragen. Bei Anwendung dieses Verfahrens kann die in Fig. 4 durchgeführte Konstruktion natürlich unterbleiben.

0,1

0,2

0,4

0,6

0,8

§ 85. Mittlere Transversalkraft und mittleres Moment.

Für die Bestimmung der zu eiuem Träger erforderlichen Materialmenge ist noch die Kenntniss der mittleren Transversalkraft mittQ und des mittleren Momentes mitt M erforderlich. Es genügt hierbei, vom positiven und negativen Maximum nur das absolut grössere in Betracht zu ziehen.

Ist in einem Felde der Abstand des Punktes, in welchem für das Eigengewicht Q = 0 wird, von beiden Stützen x‘, x" und die Transversalkraft an den Stützen, absolut genommen, Q', Q“, so ist die Transversalkraftfläche = j {Q‘x‘ Q“x“). Setzen wir dieselbe =1 mittQ nnd hierbei gx‘ — Q‘, gx“ = Q“, so wird 2gl mittQ = Q'* + Q oder, da Q‘l == — M‘ -f M“ + -f gl², Q“P = M‘— M“ + j gl² ist,

20. mitt Q =

- +-

(MJ— M“Y

gl³

Für die Momente wird hinsichtlich des Eigengewichtes, der Anmerkung

zu §. 53 entprechend, l mitt M = Trapez

AA'B'B -f- 2 Parabel DTE — Parabel

A'CB‘. Da CG' = gl² und, wenn wir

BE = w setzen, I1‘ — gaP ist, so

wird Trapez AA‘B‘ B = j + M“) l,

Parabel DPE = j^giv³, Parabel A'CB'

= YSgl³, mithin

Fig. 163.

______C'

Wz

'S.

iJ

21. mittM =

j (w + M“) -

g (P -- 2 iv³)

121

Für die zufällige Last bestimmt man mittQ und mittM am besten ■durch Berechnung der Transversalkraft- und Momentenfläche mit Hilfe der für gleichweit abstehende Querschnitte berechneten Werthe von maxQ und maxM. Nur der zwischen den Fixpunkten liegende parabolische Theil der Momentenfläche lässt sich einfacher nach der Formel j (3/,-f-Af₂) wt Ą-Y₂gw³ berechnen, wenn w₁ die Länge dieses Theiles und Momente an den Enden desselben bezeichnen. Für einen Träger mit

ira

iii

sd/iil

Fig. 164.

il

drei Feldern ist die Momenten- und Transversalkraftfläche in dem hier vorausgesetzten Sinne in Fig. 164 dargestellt.

X. Kapitel.

Einfluss der Stützen.

§. 86. Einleitung. Die Stützen sind in der Regel in einer solchen Höhenlage angeordnet, dass keinerlei Spannungen, also auch keine Stützendrücke und Stützenmomente entstehen, falls die Wirkung- des Eigengewichtes durch eine Unterstützung aufgehoben wird; wir haben diesen Fall der Einfachheit halber als einen solchen bezeichnet, bei welchem die Stützen in einer Geraden oder in gleicher Höhe liegen. Mehrfach hat man aber, um gewisse Vortheile hinsichtlich der nöthigen Materialmenge zu erreichen, den Stützen eine andere gegenseitige Höhenlage gegeben. Auch zur Vermeidung negativer Stützendrücke und dadurch bedingter Verankerungen sind ungleiche Höhenlagen angewendet worden, namentlich bei Drehbrücken. Ausserdem aber ist das Studium der Höhenlage der Stützen deshalb nötbig, um den Einfluss einer unbeabsichtigten Veränderung der Höhenlage, sowie den Einfluss der Bewegung elastischer Stützen oder durch schlalfe Stabsysteme gewonnener Stützpunkte durch die Belastung kennen zu lernen.

In der Regel wird vorausgesetzt, dass sich der Träger auf jeder Stütze frei drehen kann; wir haben aber auch Fälle, wo sich dieser Drehung ein Widerstand entgegensetzt. Wir können hierzu auch die Fälle rechnen, in denen der Träger durch breite Lager oder an jedem Pfeiler durch zwei Lager unterstützt ist.

In gleicher Weise, wie verschieden hohe Lager, wirkt auch eine ungleiche Erwärmung der oberen und unteren Theile der Träger, die wir deshalb hier gleichzeitig mit besprechen wollen.

Die allgemeine Gleichung 13 (S. 96) enthält auch den Einfluss der Höhenlage der Stützen in den Gliedern mit yQ, yv y₂. Nach dieser Gleichung kann man den Einfluss der Belastung und der Höhenlage der Stützen getrennt bestimmen und sodann durch Addition vereinigen, falls die Stützeu feste sind, d. h. falls dieselben eine unveränderliche, also von der Belastung unabhängige Höhenlage haben. Der blosse Einfluss der Höhenlage der Stützen- wird hiernach ausgedrückt durch die Gleichung

1. ^î,J9,+ 2(a,J,+/î,aif, + r,«,jK,= 61SI.*fc+£),

wenn z den Abstand der Stütze 1 von der die Stützen 0 und 2 verbin

denden Geraden bezeichnet, nach unten als positiv gerechnet, da sich y» — Vi

leicht in der Form

G-+i)

ausdrücken lässt.

1st r der Radius eines durch die drei’ Stützen gelegten Kreises, so ergibt sich leicht

2. 2rz = Z,Z₂;

man kann daher auch

3 (Z, -f- \)

für 6 z

Hiernach wird bei festen Stützen auch die Höhenlage derselben auf die ungünstigste Belastungsweise ohne Einfluss sein.

setzen.

§. 87. Einfluss der Hebung und Senkung einer einzigen Stütze. Wir denken uns von sämmtlichen Stützen nur die eine und zwar die r-te Stütze C (Fig. 165) um y in vertikaler Richtung verrückt (nach unten positiv, nach oben negativ). Die r — 2 ersten Gleichungen für die Stützenmomente bleiben alsdann dieselben, als bei gleich hoher Lage der Stützen. Die in §. 65 bis 67 gefundenen Gesetze für die unbelasteten Felder bleiben daher bis einschliesslich zum r — 1 -ten Felde oder der r — 1- ten Stütze giltig. Dieselben lassen sich wie folgt zusammenfassen: Die Stützenmomente, Stützendrücke und Transversalkräfte in den einzelnen Feldern sind abwechselnd positiv und negativ und ihre absoluten Werthe nehmen im Allgemeinen nach der verschobenen Stütze hin zu. Die auf einander folgenden Stützenmomente stehen in einem ganz bestimmten, von der Grösse der Verschiebung der Stütze und der (Lage der verschobenen Stütze unabhängigen Verhältnisse. In den einzelnen Feldern lassen sich die Momente durch Gerade darstellen, welche auf der linken und rechten Seite der verschobenen Stütze bezüglich durch die linken und rechten Fixpunkte gehen (Fig. 132).

Wenden wir nun die Gleichung 1 auf die vier die verschobenen Stützen enthaltenden Felder an und setzen dabei yMr-₂ = — Mr~i und v Mr+2 — — Mr-i, so erhalten wir

3.

*K

tt r-l

~^j~j ^r~] “t“ fir Mr-1 -f- y fir Mr

— 6EI₀y y-

lr

yt- lr JMy—1 -{- 2 (CCflr “I“ ßr+l G+l) Mr 4" yr+1 lr+1 Mr+1

2 |^r+i G+l + (j$r+2

U+^J Mr+1 ~h yr+1 G+l Mr —

+6EI°y{h+iT~j’

—6EI₀y~— ,

vr+1

durch welche Gleichungen Mr~i, Mr und Mr+i bestimmt sind.

Ist y positiv, also die Stütze G (Fig. 165) gesenkt, so verhält sich der Stab offenbar genau so, als wenn der gerade, also in der Strecke BB frei liegende Stab in C mit einer Last G belastet wird, welche eine Senkung ihres Angriffspunktes um y bewirkt. Nach §.71 entsteht

hierdurch aber in C ein positives, in B und D ein ne-

/•v+Z

gatives Moment. Ist dagegen y negativ, so wird natürlich ein Zeichenwechsel eintreten. Dasselbe kann man auch mit Hilfe der vorigen Gleichungen nachweisen. Das Vorzeichen der Transversalkräfte und Stützendrücke ist nun durch die Formeln 7 und 9 (S. 118 und 119) bestimmt. Man kann also sagen:

Die Senkung einer Stütze veranlasst an derselben ein positives Moment und einen negativen Stützendruck, den Nachbarstützen ein negatives Moment und einen positiven Stützendruck. Links von der gesenkten Stütze entsteht eine positive, rechts von derselben eine negative Transversalkraft. Die Hebung einer Stütze bewirkt das Um gekehrte.

Die Vorzeichen der übrigen Momente, Transversalkräfte und Stützendrücke sind nun durch den vorigen Satz bestimmt.

Fig. lf,5.

I)

VT-/

IV'

i<-........Ijt-J------------ly

<r+1

--------r+T"vH

an

§. 88. Wahl der Höhenlage der Stützen bei konstantem Querschnitte. Bei einem konstanten, gegen die horizontale Schweraxe symmetrischen Querschnitte würde zur Berechnung des Querschnittes nur das absolute Maximum aller Momente massgebend sein. Bei gleich hohen Stützen sind im Allgemeinen die Stützenmomente grösser, als die grössten positiven Momente, so dass das grösste Stützenmoment massgebend wäre. Nun aber lassen sich die Stützenmomente vermindern, indem man dem ganzen Stabe eine nach oben konkave Krümmung gibt, d. h. die Stützen so anordnet, dass jede Stütze unter der Geraden liegt, welche die benachbarten Stützen verbindet. Dadurch werden natürlich auch die positiven Maximalmomente vergrössert. Bei einer grossen Veränderung

der Höhenlage würden dann die positiven Maximalmomente massgebend werden. Man wird daher die Höhenlage der Stützen am zweckmässigsten so bestimmen, dass die positiven und negativen Maximalmomente gleich werden. Bei n Feldern erhält man durch Gleichsetzung der n—1 Stützenmomente n — 2 Gleichungen, durch Gleichsetzung der n positiven Maximalmomente n — 1 Gleichungen und durch Gleichsetzung der Stützenmomente und positiven Maximalmomente 1 Gleichung, also zusammen 2 (n — 2) Gleichungen. Ist die Feldweite gegeben, so sind nur n — 1 Stiitzenordinaten unbekannt, es würden also nicht sämmtliche Gleichungen zu erfüllen sein. Ist dagegen nur die Gesammtlänge gegeben, das Ver-hältniss der einzelnen Feldlängen aber wählbar, so sind noch n — 1 Verhältnisse der Feldlängen unbekaunt und dadurch wird die Aufgabe vollständig bestimmt.

Auf eine allgemein mathematische Behandlung wollen wir nicht eingehen, da die Aufgabe in ihrer Allgemeinheit keine besondere Wichtigkeit besitzt.

Eine Senkung der Mittelstützen auf Grund dieser Thatsachen wurde zuerst von Sclieffler (Theorie der Gewölbe, Futtermauern und eisernen Brücken, Braunschweig 1857) in Vorschlag gebracht. Scheffler behandelt daselbst den Träger mit 2 und 3 Feldern, indess nur für eine gänzliche gleichmässige Belastung aller Felder. Ebenso wird der Gegenstand von Grashof (Zeitschr. des deutschen Ingen.-Ver. 1857 bis 1859) und Mohr (Zeitschr. des hannoverschen Arch.- und Ingen.-Ver. 1860) behandelt.

Fig. 166.

Ä--Y&

HP*

§. 89. Wahl der Höhenlage der Stützen bei variablem Querschnitte. Bei variablem Querschnitte würde die Materialmenge für die günstigste Höhenlage der Stützen massgebend sein. Bei Gitterträgern von konstanter Höhe sind die Gurtquerschnitte dem Momente und die Gitterstabquerschnitte der Transversalkraft proportional, die Gesammt-volumina der Gurte und der Gitterstäbe sind daher bezüglich der Momenten- und Transversalkraftfläche im Sinne des §. 85 proportional. Diese Flächen oder die Mittelwerthe der Momente und Transversalkräfte <■ sind nach §. 85 zu ermitteln. Es sei c in Fig. 166 CEFD die Momenten-kurve für eine horizontale Lage der Stützen, C₁GHDl dieselbe für eine ungleiche Höhenlage der Stützen. Die Momentenfläche für die ungleiche 1 Höhenlage wird um die Fläche CEICl und DF KD, grösser und um die Fläche GIGXHXKH kleiner. Die Flächen CEEXCV DFFxDx und GHHXGX sind als Trapeze zu berechnen, deren Höhen gleich der Horizontalprojektion dieser Flächen und deren

parallele Seiten bezüglich GCy und EEX, DDt und FFX, GGX und HHX sind. Die übrigen dreieckähnlichen Flächen sind besonders zu berechnen; jedoch gleichen sich dieselben nahezu aus, so dass sie meist vernachlässigt werden können. In gleicher Weise würden die Flächen für die Transversalkräfte zu bestimmen sein.

Eine wesentliche Veränderung tritt durch eine Veränderung der Höhenlage der Stützen weder in der Grösse der Momentenfläche, noch in der der Transversalkraftfläche ein, so dass auch für die Materialmenge die gewählte Höhenlage der Stützen ohne grossen Einfluss ist.

Wenn man aus praktischen Gründen die Höhenlage der Stützen so wählen will, dass sich die Querschnittsflächen der Gurte eines Parallel-trägers möglichst wenig ändern, so müsste die Höhenlage wie im vorigen Paragrafe bestimmt werden.

§. 90. Einfluss einer zufälligen Aenderung der Höhenlage. Die Anwendung kontinuirlicher Träger setzt voraus, dass die Höhenlage der Stützen, welche der Berechnung zu Grunde gelegt wurde, auch möglichst genau ausgeführt und erhalten werde. Nach dem Vorstehenden ist es leicht, die Aenderung der Momente, Transversalkräfte und Stützendrücke zu bestimmen, welche eintritt, wenn sich die Höhenlage der Stützen um ein gewisses Maass in unbeabsichtigter Weise ändert.

Die Momente, welche durch eine Höhenänderung erzeugt werden, lassen sich ausdrücken in der allgemeinen Form A —fr~' Bezeichnen

wir das mittlere Moment mit mittM, so kann man bei Parallelträgern I ausdrücken durch die Form Bl mittM, vorausgesetzt, dass man die Höhe des Trägers der Stützweite proportional macht. Setzt man mittM =kql'¹, so wird I=Blcql³, folglich das durch die Höhenänderung erzeugte Moment = ABhEqly. Drücken wir das an derselben Stelle durch das Eigengewicht und die zufällige Last bei horizontaler Lage der Stützen erzeugte Moment durch Jcxql- aus, so wird das Verhältniss der Aenderung wenn C einen annähernd konstanten Koeffizienten bezeichnet. Dasselbe lässt sich von den Transversalkräften und Stützendrücken nachweisen. Der relative Einfluss einer Höhenänderung ist also der Höhenänderung direkt und der Stützweite nahezu umgekehrt proportional.

Bei zwei Feldern wird für das Stützenmoment C = 0,25, für das positive Maximalmoment C — 0,15. Bei drei Feldern wird ungefähr für das Stützenmoment an der Stütze 1: C—0,18, an der Stütze 2: G =0,11, wenn nur die Stütze 1 ihre Höhenlage ändert und für beide Mittelstützen

C = 0,11, wenn beide ihre Höhenlage ändern ; ferner für das positive Maximalmoment im I. Felde C = 0,11, im II. Felde C = 0,05, wenn nur die Stütze 1 ihre Höhenlage ändert und im I. Felde C — 0,07, im II. Felde C = 0,17, wenn beide Mittelstützen ihre Höhenlage ändern. Hierbei ist die Höhenänderung in Millimetern, die Stützweite in Metern zu nehmen.

§. 91. Einfluss der Wärme. Wir betrachten einen Gitterträger mit parallelen Gurten mit der Höhe h, dessen beide Gurte durch verschiedenen Einfluss der Sonne oder Bodenwärme einen Temperaturunterschied t annehmen mögen. Ist a der Ausdehnungskoeffizient für 1 Grad Temperaturunterschied, so ändert sich die Länge l der Gurte gegen einander um alt. Wenn die Träger ganz frei wären, so würden sie hierbei eine Krümmung annehmen; der Radius derselben sei r. Offenbar verhält sich nun r : h — l : alt, es ist mithin

,    h

at ’

4. r = •—r.

Da aber der Träger durch die Verbindung mit den Stützen mit Rücksicht auf das eigene Gewicht verhindert ist, sich frei zu krümmen, so werden durch die Temperaturänderung Stützenmomente entstehen, welche ebenso gross sind, als wenn die drei in einer geraden Linie liegenden Stützen in einem Kreise mit dem Radius r liegen würden. Nach den Gleichungen 1 und 2 wird daher:

3EatIn (lx -f- l,j)

5. yx lx -}- 2 (a, lx -f- ß₂Ü₂) x -f- yQ lQ Mq =

Hierbei ist t positiv einzuführen, wenn der Obergurt eine höhere Temperatur hat als der Untergurt.

Nehmen wir bei einer grösseren Anzahl von Feldern bei konstantem Querschnitte die mittlere Stützweite und dementsprechend auch die Stützenmomente und damit die Momente M überhaupt als gleich an, so wird 6Mlh — 6EatInl, also Mli — Eatl₀. Ist die Querschnittsfläche eines Gurtes f, so wird In — j flv, daher

6. M = 1-Eatfh.

Ist N die hierdurch in den Gurten entstehende spezifische Spannung, so ist Nfh = M, folglich

7.

Eat.

ć

Für Schmiedeeisen ist ungefähr E — 2000 Ton. pro □cw, a = 0,000012, 4 Ea — 0,012, N = 0,012t, also z. B. für t — 10" N — 0,12, d. i. ungefähr 16 Prozent der Beanspruchung durch die Belastung.

Sind die Stützenmomente bestimmt, so können die übrigen Grössen leicht nach §. 66 und 67 bestimmt werden.

Bei Pfeilern aus verschiedenem Material oder von verschiedener Höhe ändern sich bei einer Temperaturänderung auch die Höhen der Stützen. Bei hohen Pfeilern sind die hierdurch entstehenden Aenderungen der Beanspruchung so gross (bis zu 20 Prozent), dass darauf bei der Berechnung Rücksicht zu nehmen ist. Bei der Bestimmung der Verschiebung der Stützen kann aber hierbei in der Regel die elastische Längenänderung der Pfeiler in Folge der Veränderung des Stützendruckes vernachlässigt werden.

§. 92. Doppelte Lager. Die kontinuirlichen Träger sind, namentlich in früherer Zeit, oft auf einem Pfeiler durch zwei Lager unterstützt worden. Als zwei Lager wirken aber eigentlich auch schon sehr breite Lager, die eine Drehung um einen bestimmten Punkt nicht gestatten.

Eine derartige Unterstützung kann in doppelter Weise wirken. Es kann sich nämlich, wenn eine Verankerung nicht vorhanden ist, der Träger von dem einen Lager abheben (Fig. 167 und 168), so dass dasselbe bei

Fig. 168.

Fig. 167.

der Berechnung natürlich als nicht vorhanden anzusehen ist; oder der Träger kann wirklich auf beiden Lagern aufruhen (Fig. 169 und 170), so dass der zwischen den Lagern liegende Theil als eine besondere Oeffnung mit kleiner Stützweite anzusehen ist. Der zweite Fall wird

Fig. 169.

Fig. 170.

f------■»

immer dann eintreten, wenn sich beide Stützendrücke positiv ergeben; der erste dagegen dann, wenn sich der eine Stützendruck negativ ergibt. Die Anordnung so zu trelfen, dass bei allen Belastungen ein Aufruhen auf beiden Lagern eintritt, ist theoretisch wohl möglich, lässt sich aber praktisch im Allgemeinen nicht durchführen, da sie zu grosse Pfeilerbreiten erfordern würde.

Auf eine allgemeinere Untersuchung wollen wir der geringeren Wichtigkeit halber verzichten und nur im Folgenden noch die Ergebnisse einer solchen Untersuchung mittheilen.

1. Die Transversalkraft wird zum positiven oder negativen Maximum, wenn das fragliche Feld von dem fraglichen Querschnitte aus auf der rechten oder linken Seite belastet ist und wenn die übrigen Hauptfelder abwechselnd derart belastet sind, dass an das belastete Ende des fraglichen Feldes ein unbelastetes, an das unbelastete Ende ein belastetes Feld stösst, wobei der Träger auf denjenigen Stützen, welche die nicht belasteten Hauptfelder begrenzen, nicht aufruht (Fig. 171). Hierbei sind aber zwei Fälle zu unterscheiden: Das zwischen dem fraglichen und dem nächsten belasteten Hauptfelde liegende Zwischenfeld AB ist entweder unbelastet und der Träger auf der Stütze B nicht aufruhend (Fig. 171«), oder es ist belastet und der Träger auf der Stütze B aufruhend (Fig. 171b) anzunehmen.

Fig. 171.

MB

Q+t

AA

AA

A    AA—A

AA

AA

A AA

2. Das Moment wird inden mittleren Theilen d er Mitte 1-felder und in den Endtheilen der Endfelder zum positiven oder negativen Maximum, wenn das fragliche Feld gar nicht oder ganz, die übrigen Hauptfelder abwechselnd belastet sind, wobei der Träger auf denjenigen Stützen, welche die nicht belasteten Hauptfelder begrenzen, nicht aufruht.

In den zunächst den Mittelstützen liegenden Theilen der Hauptfelder wird das Moment zum positiven Maximum, wenn das fragliche Feld von der am weitesten vom Querschnitte abstehenden Stütze des Feldes aus theilweise belastet ist, und wenn die übrigen Hauptfelder abwechselnd derart belastet sind, dass an das belastete Ende des fraglichen Feldes ein unbelastetes, an das unbelastete Ende ein belastetes Feld stösst (Fig. 171). Hierbei sind dieselben zwei Fälle zu untersuchen, wie bei den Transversalkräften (Fig. 171« und b). Die Länge der belasteten Strecke des fraglichen Feldes ist durch §.71 bestimmt.

Endlich wird das Moment in den mittleren Theilen der Mittelfelder und in den Endtheilen der Endfelder zum positiven Maximum, wenn das fragliche Feld ganz und die übrigen Felder abwechselnd belastet sind, wobei nur ein Aufruhen an denjenigen Mittelstützen anzunehmen ist, welche die belasteten

Hauptfelder begrenzen. In den zunächst den Mittelstützen liegenden Theilen kommt das positive Moment in der Regel nicht in Frage.

In den Zwischeufeldern kann die Momentenfläche als geradlinig begrenzt angenommen werden.

Man erhält nahezu richtige Werthe für die Momente, welche durchschnittlich ein wenig zu gross sind, wenn man sich die Zwischenfelder ganz herausgeschnitten denkt.

Bei Anordnung von doppelten Lagern mit dem Abstande X fallen ungefähr durchschnittlich die Transversalkräfte um 64 y Prozent, die Momente um 250 ~ kleiner aus, als bei Anordnung einfacher in der Mitte liegender Lager.

§. 93. Einfluss eines Widerstandes gegen Drehung an den Stützen. Wir wollen noch kurz auf den Fall eingehen, dass sich die Träger über den Stützen nicht frei drehen können, sondern dass der Drehung ein Moment entgegen wirke, welches der Drehung proportional ist. Es findet dies z. B. statt, wenn die Träger mit den Pfeilern starr verbunden sind (Fig. 172). Wichtig ist namentlich die Anwendung auf kontinuirliche Zwischenträger, welche mit den Querträgern starr verbunden sind.

Fig. 172.

My‘    Jf₂' Jf₂“ M₃'

M“

Mn‘

Mn“

-ir-%

i-—

%d

hs

Wir wollen voraussetzen, dass die Stützen in einer Geraden liegen. Bezeichnen wir den Winkel, welchen die Tangente an die elastische Linie mit der ursprünglichen Axe bildet oder den sogenannten Ausschlagwinkel an drei auf einander folgenden Stützen mit tm-u tm und rm+i, die Momente, welche an der mittleren Stütze in den unmittelbar links und rechts von derselben liegenden Querschnitten wirken, mit Mm“ und M“m+i und die Werthe der Grössen 907 (§. 56) bezüglich mit 907'™, 207“™, 9)7 Vm, 907 “Wi+2, so ist nach den Gleichungen 9 (S. 95):

8.

M“m =-[2&'w,9)7'm — lmm“m -p 2EIö (Jc,nTm—1 -p 2k“mT,n)\ l,n ,

= -p [/cw,+2 907/m+2 — 2k‘mti 907“™+2

—p 2 E ln {2k mĄ-l Tm -p tm+l)} ?

wenn man zur Abkürzung

8 a. Je —

3C

, Ä‘ =

3 G‘

3C“

àC'C“— C²

setzt. Auf die Mittelstütze wirkt, wenn wir rechts drehende Momente positiv nehmen, das Moment M“m — M\n+i und proportional diesem Momente ist der Winkel rm, so dass wir

9. DA m Mrn+1 - AmAśm

setzen können, wobei Am von der Konstruktion der Stütze abhängt. Die Einsetzung obiger Ausdrücke für M“m und M\n+i gibt:

4C‘C"—C*’

■Am

“j“ A m-\-l

4BI₀

— £ J2 A'm Ï* SW'* + 2 k‘m+1 lrn+1 'M “

km+l 1/mĄ-l    rn+i]*

Bei konstantem Querschnitte sind die Werthe von &, k\ Je" = 1; ist ausserdem l und A konstant und setzen wir zur Abkürzung A — 2E II . m, so wird

’ 11. T’m—1 “j“(4-|-m)T*w"ł"T’łrt+2= ~2 E Ï    ’m    £ 95t “ m+1

m+1

sein muss,

Für die Stütze 0 ergibt sich in gleicher Weise, da hier —M\ = A₀r{)

4JEI„)

und bei konstantem I, A und l:

13. (3 + m) T„ + T, = ~T (ZW'i ~ «*'.)■

Durch Anwendung dieser Gleichungen auf sämmtliche Stützen erhält man so viele Gleichungen, als unbekannte Winkel vorhanden sind. Nach Auflösung dieser Gleichungen sind die Stützenmomente durch die Formeln 8 bestimmt.

Unter der Voraussetzung der Belastung eines einzigen Feldes lassen sich nun dieselben Schlussfolgerungen anwenden, wie in §. 65. Es ergibt sich hieraus:

Die Ausschlagwinkel in den nicht belasteten Feldern sind abwechselnd positiv und negativ und nehmen vom Ende aus nach dem belasteten Felde hin zu und zwar in noch

12. (2 i, +    ¹

WET (S l'm"' ~ k‘l'

stärkerem Verhältnisse, als die Stützenmomente bei freier Auflagerung. Es ist allgemein T n i+i

14.

Am

Bei konstantem 1} A und l wird

Es ist M'm+i— -f- 2 E I₀lm+1(2k'm+1xm -f km+itm+i)- In Folge der Beziehung 14 hat hiernach M'm+l das Vorzeichen von xm+1 und zwar wird der absolute Werth von M‘m+1 in Folge der Beziehung 14 grösser, als der von Amxm. Der Gleichung 9 zu Folge hat dann aber auch Milm das Vorzeichen von rm+i, es ist aber der absolute Werth von M."m kleiner, als der von M'm+1. Die Stützenmomente neben ein und derselben Stütze haben also dasselbe Vorzeichen; beide Stützenmomente sind aber abwechselnd positiv und negativ (Fig. 173).

l’ig. ‘73.

■^tTîIIÎÎlîiTRTn—

Nach den Gleichungen 8 wird für irgend ein Feld, wenn wir — M“m j.2 =    und — xm+i — [i' xm setzen,

16.

ft =

2 k' — k k^i' — 2k‘'

Da hier ft' grösser ist, als bei freier Auflagerung, so wird ft kleiner,

als bei dieser. Aber immerhin bleibt noch

k‘    i

ft > 2 p wenn k'z>jk

ist. Es werden also die Momente nach dem belasteten Felde hin zunehmen.

Die Fixpunkte in der in §. 67 angegebenen Bedeutung bestehen auch hier; sie haben indess eine etwas andere Lage. Da das Verhältniss ft etwas grösser ist, als bei freier Auflagerung, so wird die Entfernung der Fixpunkte von den Stützen etwas grösser.

Hieraus lässt sich schliessen, dass alle im VIII. und IX. Kapitel hinsichtlich der ungünstigsten Belastungsweise entwickelten Regeln auch hier gelten.

§. 94. Kontinuirliclier Träger mit elastischen Stützen

Der Stützendruck auf fünf auf einander folgenden Stützen sei D₁.. .Db\

Fig. 174.

..............-h............-7-j-.....->

der auf diese Stützen

geübte Druck in dem

„ Falle, dass der Trä-S/s

ZV

^ ger über den Stützen ^ getrennt ist, sei . .ü£>₅; die Momente an diesen Stützen seien Ml... Mb. Sind Z₂.. J₅ die Längen der Felder (Fig. 174), so wird nach Formel 28 (S. 104):

M₃ -Mx M,- M₅

Dą — ®₄ -f-

h ‘

Nach der Gleichung 13 (Seite 96) wird, wenn wir den Einfluss der Schubspannungen vernachlässigen und den Vertikalabstand der Stützen von einer über ihnen liegenden Horizontalen mit ?/,,... ?/₅ bezeichnen,

ih - IU

— 0.

I Do — ®₂ -f-

•^3 —    +

M, — Mq M„ — M₃

l₃

M₃ - Mx

18. y₃1₃ Mo + 2 (ßj₃1₃ + ßx lx) M₃ + yx lx Mx + 34«»l'₃+ 3l,m\ + 6EI„ ~Xi

Wir machen nun die spezielle Annahme, dass die Ordinaten yv den entsprechenden Stützendrücken Dv D₂... proportional seien und setzen allgemein yn = lcnDn. Alsdann ist y„ = A,D„, y₃ = \ D₃, yx — lcx Dx. Setzt man diese Ausdrücke in die vorige Gleichung und dabei für Z>₂, D₃, D₄ die obigen Werthe, so erhält man die Gleichung:

ko + A.}

19.

kqMt . I 1,13 M

^3

OBI,

A (A* j.

h \ /. T

& \h + ßx h 3BI₀

I An “f" A3 I ^ A3

+!

6BI₀

A. (Ai

?₄ \ G

a₃ + A4

/.•₄ rr

*))

MA

hh

«4    ’

i₃ixa»ij* a,,$>₂ , A'.{(?f+A)®a _ A4^4

*3

An den ersten Stützen tritt eine Abweichung ein, weil hier Mo — 0 und

M₁—Mq

Dj —    —

T) = ® 4- 211

wird. Dementsprechend ergibt sich die erste Gleichung aus der vorigen, wenn man die Zeiger um 2 vermindert und links die beiden ersten Glieder weglässt; es ergibt sich ebenso die zweite Gleichung aus der vorigen, wenn man die Zeiger um 1 vermindert und links das erste Glied weglässt. In gleicher Weise ist natürlich die Aenderung für die beiden letzten Gleichungen vorzunehmen.

Bei konstantem Querschnitte werden die Koeffizienten a, ß, y = 1. Sind ausserdem die Längen der Felder gleich gross und die von der Elastizität der Stützen abhängigen Koeffizienten Je, mit Ausnahme derjenigen für die Endstützen, ebenfalls gleich, so gehen die Gleichungen über in

20.

wenn man zur Abkürzung

7t₀ =

6 EI kn

7C = -

6EIh

21.

z, = -- 5 (%n\ + m\) —    + Tti 02®, — ®a),

Zm = — 3 (ß)Vm 4" 907    - 7(1 (®m—.7 — -2®m -f- ® m -fl)

setzt.

Nach Bestimmung der Stützenmomente sind die übrigen Grössen in bekannter Weise zu ermitteln.

Beispiel. Ein Träger A konstanten Querschnittes mit sechs Feldern von gleicher Länge Z sei an den Enden durch unbewegliche Stützen, in der Mitte durch vier ebenso starke Träger B mit der Länge 21 unterstützt und zwar möge der Träger A in der Mitte der Träger B aufruhen.

1. Allgemeine Auflösung. Es wird y

_ P _6EI l³

k “ 6EV Z³ * 6EI x — O. Die Gleichungen 11 geben

m³

48 EI

1 und *o = 0. Nur für die Endstützen wird 1c = 0,

MM 2>

6EI ’

also

Co Co Co Co

+ 4- + +

Mil

Co Oj tu Cu

tsf tsf Nf csf tsf

Wenn wir die 1. und 6., 2. und 4. Gleichung addiren und subtrahiren und Mx + Ms = Xx, 3I₂ + Jf₄ = X₂, 2M₃ =X₃, Mx — M. = Y,, M₂ - M< = Yt setzen, so erhalten wir

-|- 9 Xx — 3X₂ -f- As ⁼ Zx “f⁻— 3 Xx + 11X₂ — 3-X₃ = Z₂ 4“ Z„ 4- Xt - 3X₂ + 5X₃ = Z₃-, i + 9YX - 3Yt = ZX - Z₃, l — 3 1, 4~ 9 Y₂ = Z ₂ — Z 2.

Die Auflösung dieser Gleichungen liefert

- 3Z6t

tsT csa

24 Yt = 3Z\ Z₂ —

24 l .j = Zx -{■ 3 Z2 —

Es wird nun 2Ml—Xi-\-Yl, 2 M₂ — X₂ 4- Y₂, 2M₃ — X₃, 2 Mt — X₂ — Yv 2M- = X₁ — YX) mithin

Wir wollen nun hieran einige weitere Bestimmungen knüpfen.

2. Einflusslinie für das Stützenmoment M₃. Wenn die Einzellast G in einem bęliebigen (dem m-ten) Mittelfelde im Abstande g, g, von der linken und rechten Stütze liegt, so wird nach den Gleichungen 40 (S. 114), wenn man $mZ = (?£ und 3)m_i Z = GÇ, setzt,

Zml* = - G (l¹ - 2 P i - g¹),

ZmĄ-1 — — Cr g.

Zm_jP = — G (Z¹ — 3g,¹) = + G (£Z¹ - 9Z²g + 3Zg² - 3 g¹).

Zm—2 = — G ÿj,

Wenn die Last im I. Felde liegt, so wird

Z,P = + G g (Z² + |²), Z₂Z² = - <?g,

und wenn die Last im YL Felde liegt,

Z₄Z* = -Gg„ Z₅Z² = + Ggt (Z² + I,²) = + G(l-i)(2P-2H + n

Wenn also die Last im I. Felde liegt, so wird Z₃ bis J?s = 0; es wird demnach 376 Mx -— — Zt-\-12 Z₂ oder

376M₃P = — G£ (131* + g²).

Wenn die Last im II. Felde liegt, so wird 376 M₃l —— Zx -f-12 Zt -j- 39Z₃ oder 376 M₃ll — — G (141¹ + 6 V g + 911* — 15 g¹).

Wenn die Last im III. Felde liegt, so wird 376 M₃ Z² =— Zt -{- 12 Z.x -j- 39Z₃ -j- 12 ZA oder

376Mal* = — G (14 l¹ 431* £ — 1081g² — 3 g¹).

Hiernach ist in Fig. 175 die Einflusslinie dargestellt. Zum Vergleich ist auch die Einflusslinie bei festen Stützen (punktirt) eingetragen.

Fig. 175.

CL

s.......

Hiernach ist in Fig. 176 die Einflusslinie dargestellt. Auch hier ist die Einflusslinie bei festen Stützen punktirt eingetragen.

Fig 176.

Wie vorhin ergibt sich für die Belastung des

I. Feldes: 4572Ml* = — G (268 Pi — 77p),

4572MP = - G (191 P + 309 Pi — 693l p — 114 f³),

4572MP = — G(— 504 Z³ + 2283 P i — 27541p + S3S|³), 4572MP = — G(163P + 295P i — 5671p + 206 P),

4572MP = — G(07Z³ — 131 P f + 54 Z|* — 47|³).

Wenn das III. Feld belastet ist, so wird M — ~ (M₂ -{- ilf₃) +    G£, wenn die Last

links liegt und M =    (M₂ -f- Ma) + j G in wenn die Last rechts liegt; dies gibt

Last links :

Last rechts: 4572MP = + G (2563 P — 4672 Pi + 31051 i¹ — 792 P).

II.

IV.

V.

VI.

4572 MP = + G (307P — 160 Pi + 3105 H* — 7921³),

■1

lia

-p

4. Einflusslinie für den Stützendruck D₃. Wenn die Last im I., H., V. oder VI. Felde liegt, so wird nach den Formeln 8: D₃l — M₂ —2M₃-\-Mv d. i.

188D₃l = -f 5Z, + 34Zt + 51Z₃ + 34Z\ + 5Z₃.

Hiernach wird bei Belastung des I. Feldes :

188D₃P = — G (29 Pi — 5 |³)j

und bei Belastung des II. Feldes:

188 D₃P = — G (24 P -f 28 Pi - 45 IP - 19P).

Wenn das III. Feld belastet ist, so wird D₃l= Gi -j- M₂ —2M₃ 4- M₀ d. i. 188D₃P — — G(— 12P + 45P i — 3061 i* + 511³).

Fig. 177.

In Fig. 177 ist hiernach die Einflusslinie dargestellt und auch die Einflusslinie bei festen Stützen punktirt hinzugefügt.

V-

Anwendungen bei Unterstützungen von kontinuirlichen Zwischenträgern durch Querträger, bei der Bestimmung des Einflusses der Belastung offener Brücken

auf die seitliche Ausbiegung des Obergurtes (siebe des Verfassers: „Eiserne Brücken, Querkonstruktionen, S. 525“), auf Unterstützung von Trägern durch Dreieckshängewerke (System Ordish - Lefeuvre) u. s. w. Anwendung auf die Unterstützung von Trägern durch Pontons, deren Einsenkung in das Wasser ebenfalls dem Stützendrucke proportional ist, machte Kupferschmid (Zeitschr. des österr. Ingen.-u. Arch.-Ver. 1880). Anwendung auf die Beanspruchung der Eisenbahnschienen mit Rücksicht auf die Eindrückung der Querschwellen in den Schotter machte Löwe (Organ für die Fortschritte des Eisenbahnwesens, 1883).

§. 95. Kontinuirlich unterstützter Stab. Wir setzen jetzt einen Stab mit konstantem Querschnitte voraus, welcher kontinuirlich durch ein elastisches Mittel unterstützt ist. An einem beliebigen Punkte sei der Druck pro Längeneinheit zwischen beiden Theilen q, die Ein-drüclping y und es sei

22. q = xy.

Die Differenzialgleichung der elastischen Linie wird alsdann

— xy.

EIù =

oder

²³- dxi=- 4k‘ v>

wenn wir zur Abkürzung

24. k

4EI

setzen. Das Integral dieser Differenzialgleichung ist, wenn e die Basis der natürlichen Logarithmen bezeichnet,

25. y — (A ekx + B e~kx) cos kx + ( Cekx + Z> e~kx) sin k x.

Die dreimalige Differenziation gibt

Ł Ał

k dx

— [(.A -f- G)ekx — (B — D)e~kx] cos hx

— [(A — C)ekx -j- (B — D)e~ kx] smkx,

26. ■    ~ (C ßkx ~ D~kx) coslix — (Aekx — Be~kx) sinhx,

1 d³y

2k³dx³

= [{G — Ä)ekx -f (D 4- B)e~kx] coshx

— \(C -j- Ä) ekx — (D — B)e~kx] sinkx.

Wir wollen nun speziell eine Belastung durch eine einzige Einzellast untersuchen, welche in der Mitte des Stabes liegt. Wir nehmen die

Mitte als Anfang der x an. Alsdann muss für x = 0 natürlich = 0 werden. Dies gibt die Bedingung

A-B + C + D = 0.

Ferner wird, wenn der Stab die Länge 21 bat,

Olldx dxx

2 J* q dx = 2 x j y dx o    o

Für x = l muss die Transversalkraft

Nun aber ist dx = ⁽~₃.

ist, so muss für x = l

Q — 0 werden-, da aber Q — ,i^ = EI~^i

= 0 werden. Sonach ist Gr =    für x — 0, d. i.

dx*    2k* dx³    ’

A — B — C — D — — K,

G Je

wenn wir zur Abkürzung — = K setzen. Hiernach wird

27. B = A + -jK, D = ^K- C.

Es wird nun ferner für x = l das Moment M — 0, daher auch

= 0: ferner wird für x = l, wie bereits bemerkt, auch = 0.

dx¹ ’    ’    ar

Dies gibt:

(Cekl — De~kl) coskl = (Aekl— Be~kl) sinJcl,

[((7 — A)ekl -f- (D -j- H)e—cos7c7 = [(C -f- A)ekl — (D — B)e~kl] sin kl

oder, wenn wir obige Ausdrücke für B und D einsetzen,

1

A (ekl — c~kl) sinkl— C (ekl -j- e~kl) coskl —--^ Ke~kl(coslcl — sinkl)t

A [(ekl — e~kl) cos kl -|- (ekl -f- c~kl) sinkl]

— G [(ekl — e~kl) coskl — (ekl -f- e~kl) sinkl] = Ke~kl cos kl.

Hieraus ergibt sich

28.

(a

Gr7c 2 4- e~2kl 4- cos2kl — sin\2kl

e2kl — e-2ki _|_ sin2kl

C= -

Grk e~2kl — cos 2 kl —sin 2 kl e2ki — e—2ki _j_ 2 sin2kl

2x

Sonach wird

Durch die Gleichungen 18 sind jetzt auch B und D bestimmt. Wir wollen indess nur den Fall näher betrachten, in welchem l gross ist, so dass A und C gegen K nur sehr klein, also annähernd = 0 sind; dementsprechend wird also nahezu B — D = sehr nahe

9Q    Grk

²⁹‘ V=Hxe

-kx

(coskx -|- sinkx),

30. AI — - El

<Ey _ G dx'¹ 4k C

-kx

(coskx — sinkx).

Die Maxima von y und M treten für x = 0 ein; es wird sonach

31.

max y —

Gk

4BI’

32. max M =

4EI

Hieraus ergehen sich folgende Zahlen;

kx

kx

- 71

-f 0,0058

^7i -f 0,6448 ~n + 0,2079

— 0,2079

2 7t

'i

+ 0,0019

+ 0,0019

-j- 0,0012

T%

— 0,1340

— 0,0432 Î* - 0,0279 7t \ — 0,0090

7t

— 0,0432

+ 0,0090

^ o,    *°\

7t

7t

+ 0,0004

— 0,0001

7t — 0,0000

— 0,0004

— 0,0003

— 0,0001

Gk

Gk

* 4 Je

* 2y.

4k

Hiernach sind die elastische Linie und die Momentenkurve in Fig. 178 dargestellt. Von Tex = ~7t bis Tcx= \ 7t wird y negativ. Wenn

Fi g. 178.

-    (L C    ______

Hll

111

liil

"i

ill

Üi

der Träger mit der elastischen Unterlage nicht fest verbunden ist, so tritt von einem gewissen Werthe von Tex ab ein Abheben des Trägers ein

(Fig. 179); die Verhältnisse gestalten sich hierbei gerade so, als wenn der Stab nur die Länge AB hätte. Es ergibt sich für diese Länge genau

33. kl = ~ x = 1,571.

£

Für dieselbe wird

1 + e-;T

ßlt - ß—TC

= 0,045,

1 4 en

en e~n

= 1,045

und dementsprechend

34. y =

Gk

[(ekx 4 e~n+kx) (cos Je æ — sink a)

4 (fi~kx 4 en~kx) {coskx 4 sinkx)],

[{ekx 4 e~7t+kx) (coskx 4 sinkx)

4 {e~kx 4 en~kx) (coskx — sinkx)]. Hieraus ergibt sich für kx — 0 jTijTtjirjrt bezüglich y = 1,090 0,958 0,827 0,342 0.~ und M = 1,090 0,500 2,140 0,018 0.^;

hiernach sind in Fig. 179 die Kurven für y und M dargestellt. Die grösste Durchbiegung und das grösste Moment werden hier das

4 e_7t

en— e~u

fache von den entsprechenden Werthen bei unendlich langem Stabe und fester Verbindung mit der elastischen Unterlage.

Die Kurven in Fig. 178 stellen offenbar auch die Einflusslinien für die Durchbiegung und das Moment in C dar, so dass man mit Hilfe dieser Linien in bekannter Weise auch den Einfluss irgend eines beliebigen Systèmes von Einzellasten bestimmen kann.

Die Beanspruchung eines durch ein elastisches Mittel kontinuirlich unterstützten Stabes wurde zuerst vom Verfasser in seiner „Lehre von der Elastizität und Festigkeit, Prag 1867“ untersucht und zwar für ein System gleich grosser und gleich weit von einander abstehender Einzellasten. Insbesondere hat diese Theorie bei der Bestimmung der Beanspruchung des eisernen Langschwellen-Oberbaues der Eisenbahnen Anwendung gefunden; sie ist ebenso anwendbar für die kontinuirliche Unterstützung von Schienen durch Querschwellen auf Brücken.

2 % (eK — e~u)

4 k {en — e~n)

Fig. 179.

= 1,090-

Vi

XI. Kapitel.

Verbindung des Balkenträgers mit dem Stabpolygon.

¹

Einflusslinie für das Moment M in der Mitte des III. Feldes. Wenn das III. Feld nicht belastet wird, so wird M = 4-(Mt M₃) oder 4512 M = 77Zx + 345 Z₂ 4- 306 Z₃ + 63 Z, — 17 Z₅.

§. 96. Gleichgewicbtsbedingungen des Stabpolygones.

Wir wollen als Anwendung der Theorie der kontinuirlichen Träger noch die Verbindung eines Balkenträgers mit einem schlaffen Hänge- oder Sprengwerke, welche letztere wir unter dem Namen Stabpolygon zusammenfassen, behandeln. Beide seien durch vertikale Stäbe mit einander verbunden.

Bezeichnen wir die Spannungen der von einem Knotenpunkte E ausgehenden Stäbe mit S, S', die Neigungswinkel derselben gegen die Horizontale mit x, x‘, so muss zunächst S cost — S'cost' sein, es ist somit die Horizontalkomponente H der Spannungen konstant. Ist nun V die Spannung der von E ausgehenden Vertikalen, @ die in E wirkende Knotenlast, so muss ferner V -f- © = S sint — S' sin x' sein; da nun S = H sec x, S' = H sec x' ist, so wird

1. F + ($ = II (tanr - tanr').

Denkt man sich die Knotenpunkte unendlich nahe und dem entsprechend das Stabpolygon kontinuirlich gekrümmt, so ist, wenn V die Spannung der Vertikalen, g die Knotenlast auf die horizontale Längeneinheit bezeichnen, (v + g)dx für V-f- ©, d ^ für tanx' — tanx zu

setzen. Da tanx = ~ ist, so wird dx ¹

O    .    TT Æ²?/

2. v + a-ir-^.

Da das Stabpolygon mit dem Balkenträger verbunden ist, so kann seine Form eine beliebige sein ; natürlich ist dadurch die Spannung der Vertikalen und die Beanspruchung des Balkenträgers bestimmt. Wir wollen speziell nur den Fall untersuchen, dass die Knotenpunkte auf einer Parabel mit vertikaler Axe liegen. Nehmen wir AB als Abscissen-axe und A als Anfang der x an und ist h die Höhe der Parabel, so ist l*y = 4hx (l — x). Ist a, a⁴ der Horizontalabstand des Knotenpunktes E von den benachbarten Knotenpunkten, so wird l*tanx = 4h(l-\-a— 2x), ,V¹ tanx' = 4h (l — a' — 2 x), also Z² (tan x — tan x') — 41i (a + a'), folglich

4IIh (a + <r)

Z²

3.    F+© =

und bei kontinuirlicher Krümmung

Hh

da hier {v -f- g) dx für V-f- © und 2dx für a -f- a‘ zu setzen ist.

Je stärker der Balkenträger kon-struirt ist, je kleiner also seine Formänderung ist, mit desto grösserer Genauigkeit wird man annehmen können, dass die Glei-

Fig. 180.

Vk

I£ ............

■l

Ja

*>

chungen 1 bis 4 auch nach der Formänderung giltig seien, dass also hei ursprünglich parabolischer Kette v -j- g auch nach der Formänderung konstant ist. Wenn wir aber die Formänderung berücksichtigen, so haben wir, wenn sich der Knotenpunkt E um <dy, die links und rechts von E liegenden Knotenpunkte um A₁y, AIJty senken und wenn wir die allerdings nicht ganz richtige, bei flachem Stabpolygone indess zulässige Annahme machen, dass sich die Horizontalprojektion der Stäbe bei der

Formänderung nicht ändern, tanz' — , /ly — Jt y

für tanz⁴ und tanz

/ly —

a¹

für tanz zu setzen; es wird somit

5. F + d£ = H ytan T — tan X‘ —

Aty—Ay

Ay—A^y

a'

und bei kontinuirlicher Krümmung

(d*y ,

\dx²

d^Ay

dx¹

)•

Hierin ist bei parabolischer Kette, wie oben Z² (tan z — tan z⁴) = 4h(a-\- a‘) d'y dx¹ “

und

— -p- zu setzen.

Bei der Untersuchung der Belastung des Balkenträgers, die wir im Folgenden allein durchführen wollen, ist natürlich ® = 0, g = 0 zu setzen.

§. 97. Formänderung des Stabpolygones. Bezeichnen wir die Längen der Stäbe des Stabpolygones mit A, so wird

x = 2 (l cosz), y = 2 (A sinz),

wobei die Summirung von A bis zu dem betreffenden Knotenpunkte E zu erstrecken ist. Hiernach wird, wenn sich A um z/A, z um Az ändert, die Aenderung von x und y unter der Voraussetzung, dass die Aenderungen nur sehr klein sind,

( Ax — 27 (— A sin tz/r^-f- cost AA), I zly — 2J (A cost z/ T -f- sim At).

7.

Wenn man die letzte Gleichung für zwei benachbarte Knotenpunkte, deren vertikale Verschiebungen Ay, z1y‘ seien, an wendet und die Differenz bildet, so erhält man

also

Ay — Ay¹ — A cost At -f- sint41,

8. At —

Ay — Ay‘ Al

A COST

tan t.

Dies in den Ausdruck für Ax eingesetzt, gibt Ax = — £(Ay — Ay‘)tant

+ z{ai

—1— z/Z COS Tj

oder

COST

9. Ax — — 27 [(Ay — Ay')tant] -f- 27 (AlsecT).

Zwei auf einander folgende Glieder der Summe enthalten die Grössen — A y tan t und A y tan r', wenn t und t‘ die Neigungswinkel der an den Knotenpunkten E anstossenden Stäbe bezeichnen. Daher kann man auch schreiben

10. Ax = — 27 [Ay (tanT — tan r')] + E (Al sect).

Für den Punkt B muss sich [Ax — 0 ergeben, falls die Lagerpunkte A und B als unverschieblich angesehen werden können. Setzt man ausserdem für das parabolische Stabpolygon l? (tanT— tant') = 4h (a -f a‘), so erhält man

11.    2 [(« + a')Ay] — 27 (AfasecT) = 0.

Ist F die Querschnittsfläche des Stabes mit der Länge A, so ist Ist nun A₀y die vertikale Senkung des Punktes F des Balkenträgers, ^ die Länge der Vertikalen EF, Arj ihre Längen-

Vri

änderung, f ihre Querschnittsfläche, so ist Ay — A₀y — Ai] = A₀y —

d. i. nach der Gleichung 3 für © = 0: A y — Aay —

Dies eingesetzt, gibt

AX —

SX

EF

X seer

4Hh [a -f- n¹) r\

El^f-

12. 27 [(a + a') A₀ y] =

Cl

4 Eh

ET,

wenn man zur Abkürzung 13.    C—ll7

setzt. Berücksichtigt man nur die statische, nicht aber die elastische Formänderung, so wird wesentlich einfacher

14. 27 [(a + a‘) A₀y\ = 0 und, wenn a konstant ist, 27At)y = 0.

Die Gleichungen 12 bis 14 können auch noch bei Benützung der Gleichungen 5 und 6 beibehalten werden, da bei Benützung dieser Gleichungen nur der ohnehin geringe Einfluss der Längenänderung der Vertikalen eine Aenderung erfahren würde.

Sind die Lager bei A und B in horizontaler Lichtung ohne Widerstand verschieblich und sind dieselben durch Spannketten mit den Längen A,, Ä₂ und den Neigungswinkeln tv r₂ festgehalten, so entsteht durch die Verlängerung Alv AK der Spannketten eine Verkürzung Allsecri -j- AA₂ secr₂ der Spannweite AB. Die Spannungen der Spannketten sind Hsecrl und Hsecr₂. Daher wird, wenn Fv F„ die Querschnittsflächen der Spannketten sind, die Längenänderung Al der Spannweite

15. Al = —

E [z’ SeC<itl + F₂ ^*2] •

Dies hat zur Folge, dass in Gleichung 11 auf der rechten Seite —Al statt 0 zu schreiben ist. Die Gleichung 12 bleibt dann richtig, wenn man

16. C = j[-S

Xsec°‘T , hsec¹¹ T, , sec'²Tq~\

+ —— + —F—J

Fx

16h² (a + aVy

2L--

setzt.

Bei kontinuirlicher Krümmung ist 2^A₀ydx für 2J [{a    a‘) A₀ y]

0

zu setzen. Bezeichnen wir eine mittlere Senkung mit Am y, so ist

wird

jA₀ydx, folglich 0

17. Am y —

8Fh

IT.

Hierin wird

18. C —

₁ fdxseciX ,

F ⁺F\

0

secn'Tx 4

sec-Tv + ~⁶ph

Cy dx

0

wenn cp den Querschnitt der Vertikalen für die horizontale Längeneinheit bezeichnet. Wenn der Querschnitt F proportional der Spannung H sec z ist, so wird F = F₀secr, wenn F₀ den Querschnitt im Scheitel bezeichnet. Alsdann wird

dx sec³r

lS-F

0

dx sec*x

(l — 2 x)

•K(' +

16h²

SP

)■

Ferner wird, wenn rj₀ den Abstand des Scheitels vom Balkenträger bezeichnet, rj — rj₀ -f- h — 4 x (l — x), daher, falls cp konstant ist,

+ somit

o

iQ r- l" (-, . 16h*\

¹⁸C = fA³ + SP )

+ jr sec-Tr +

sec-To

(5ł?o+ h)-

64 »5

Bei konstantem Querschnitte F ergibt sich, dass 1 -f- 8 ^ + y + • • • statt 1 -f- -jfr zu setzen ist. Bei blosser Berücksichtigung der statischen Formänderung würde

zu setzen sein.

19. Amy — 0

§. 98 Bestimmung der Horizontalspannung H. Wir unterscheiden bei dieser Bestimmung die folgenden beiden Fälle:

1. Der Balkenträger ist in der Mitte getrennt. In diesem Falle ist die Konstruktion statisch bestimmt. Liegen in den beiden Trägerhälften die Lasten G‘, G“ in den Abständen von den Stützen, so ergeben sich für die Vertikalreaktionen in A und B die Bedingungen JDH = 6r' (V —    + G“ und D“l = G‘% + G“ (l — £")• Für den

Scheitel erhält man die Momentengleichung Hh — ^D'l — G‘ (4 l — £') und hieraus

20. 11 —

Hierbei ist in GJ und G“ das Gewicht des Stabpolygons der Vertikalen und Balkenträger mit einzurechnen. Durch die Formeln 1 bis 4 sind jetzt die Spannungen V, v der Vertikalen bestimmt.

Ist nur eine einzige Einzellast G vorhanden, welche vom linken Ende den Abstand | hat, so wird, je nachdem dieselbe auf der linken oder rechten Hälfte liegt,

21.

G (l — j)

2h

21

Die Einflussfigur ist hiernach ein gleichschenkliges Dreieck. Bei kon-tinuirlicher Krümmung wird nach Formel 4 die Spannung der Vertikalen:

₄GÎ

22. v =

G (l — Ç)

V¹ ’

nach H =

Bei gänzlicher Belastung mit der Last p pro Längeneinheit wird hier-»Z²

2 4h’

— fr und v = p.

2. Ko ntinuirlicher Balkenträger. I. Verfahren. Nach der Gleichung 13 (S. 96) wird, wenn wir die Zeiger von drei auf einander folgenden Knotenpunkten des Balkenträgers mit m — I, m, die Senkung derselben entsprechend mit <dym—i, 4ym, 4y,n+1 bezeichnen,

23. 2* mdmRLm—1 “f“ 2 {C(•md'm "f" $mĄ-l dm^-l) JELm “|“ -j- 3    3 ClmĄ. i^$$łm+i

“|“ dm) R Vm "4" dm

[am+J4y

_ 6EIn

dyn dmĄ-i

Nachdem man bei n Feldern die n — 1 Gleichungen nach diesem Schema aufgestellt hat, bestimmt man diejenigen Koeffizienten ct, cx,...cn—i, mit welchen diese Gleichungen multiplizirt werden müssen, damit bei der Addition sämmtlicher Gleichungen auf der rechten Seite die Summe (<z, -f a„)/lyx -f- (z/₂ + «₃) 4y„ -f ... = 2 [(a -j- a,')Ay\ erscheint. Bei gleichen Längen ergibt sich leicht, dass man allgemein

24. cm —

m (n ~ m)

25.

= »h + mq M* -F ... 4- mn-! Mn-.₂

setzen kann. So wird beispielsweise für n — 6: c, =— c = — 4, c₃ ~ — cx — — 4, c₃ = — j. Durch Addition sämmtlicher Gleichungen erhält man mit Berücksichtigung der Gleichung 12 eine Gleichung von der Form CIH 4 Eh

G” Pl 9J7', 4“ ^2 9)^2 + ^/<a9ÏÎ2<i 4“ ... “F ^n—1^2l“n-

Nach der Gleichung 28 (S. 104) wird, wenn man beachtet, dass hier

(am -)- am+i) ist,

nach Gleichung 3 Dm = Vm =

26. R-m—i    (Olm —{—    “I⁻ dm

4 Rh

4 Hh

(dm 4“ dynĄ-i)    dm

Die n — 1 nach diesem Schema gebildeten Gleichungen reduzirt man auf Mx, M.2,... und setzt die erhaltenen Ausdrücke in die vorige Gleichung ein. Man erhält hierdurch einen Ausdruck für H in der Form

27. ir=    + d„-2$,

■4*    *4“    -|- HR9)î "o 4-... 4~iCC/i-iSöl“«.

3. Kontinuirlicher Balkenträger. II. Verfahren. Anstatt die Theorie der kontinuirlichen Träger zu Hilfe zu nehmen, kann man auch eine mehr unmittelbare Bestimmung durchführen. Wir wollen hierzu nur eine Belastung durch eine an beliebiger Stelle C im Abstande £, It von beiden Enden liegende Einzellast G voraussetzen. Wir setzen A [(a 4- d‘)R₀y] = 21z/my, wobei, wie oben, 4my eine mittlere Durch-

biegung bezeichnet, welche sich zusammensetzt aus der von der Einzellast G hervorgerufenen mittleren Durchbiegung A‘my und aus der von den nach oben wirkenden Kräften V hervorgerufenen mittleren Durchbiegung A“my.

Wir denken uns nun, um zunächst A'm y zu bestimmen, in jedem Knotenpunkte des Balkenträgers die Kraft c(a-\- a‘) nach unten wirkend, wobei c beliebig, auch —A, gewählt werden kaun. Diese Belastung erzeuge in einem beliebigen Querschnitte das Moment m. Das Moment M, welches in demselben Querschnitte die Einzellast G erzeugt, ist auf der

öl,

linken Seite der Einzellast =

x, auf der rechten Seite = -y- xv

wenn x und xx den Abstand des Querschnittes vom linken und rechten Ende bedeutet. Nach dem Prinzipe der virtuellen Arbeit ergibt sich entsprechend dem §. 55:

êi

28. c Z [{a -j- a') A₀y\ = 2 cl A\n y = ^

wobei natürlich m eine im Allgemeinen unstetige Funktion von x und xx ist.

Wir denken uns jetzt jeden Knotenpunkt des Balkenträgers mit der Last cx (a 4- a‘) belastet und bestimmen die Durchbiegung A y des Punktes C, in welchem vorhin die Einzellast G angenommen wurde. Diese Belastung wird offenbar in einem beliebigen Querschnitte das Moment

m — erzeugen. Eine in C gedachte Last 1 erzeugt in diesem Quer-

auf der

t    fc

schnitte das Moment y x auf der linken, das Moment y xx rechten Seite von G. Daher ist nach dem Prinzipe der virtuellen Arbeit

c,

Jv = JTc1

-T- dx + |

G

Hiernach wird A‘m = A y, wenn man cx = jj setzt, wenn man also in

jedem Knotenpunkte die Last - y~ ° y wirken lässt, was einer gleich-

massigen Vertheilung der Last G über die ganze Länge l entsprechen würde. Wir können hiernach den Satz aussprechen: Die mittlere Durchbiegung A‘m y bei der Belastung durch eine Einzellast ist gleich der Durchbiegung des Angriffspunktes der Einzellast in dem Falle, dass man die Last über die Knotenpunkte gleichmässig vertheilt’).

von

!) Dieser Satz bildet eine spezielle Anwendung des allgemeinen Castigliano’sclien Satzes der Gegenseitigkeit der Verschiebungen.

Da    (a -f- «') ist, so ist A“my gleich dem 8 ~ fachen

der mittleren Durchbiegung in dem Falle, dass jeder Knotenpunkt mit

a-\- a‘ G

~2~ T

belastet ist. Setzt man für diese Belastung die G

Senkung Jy des Punktes G = A die mittlere Senkung Am y der G    G

Knotenpunkte = B so ist Amy — A y^ — 8 Formel 12:

der Last

te) ö

. B -ßj, also nach

28. H=G

8A

64 tB +

Al ‘

Vernachlässigt man das Glied mit C, so wird H = yyy^ G oder

r lAy

h Am y ’

Ay cl -j- a*

Am y dl

Mit Rücksicht auf das Glied G sind diese Werthe noch durch den kon-. C l²

stanten Werth 1 4- _. pzu dividiren.

¹ 64Bhl

29. 11 =

30. V=G

|00

Man kann hieran auch die grafische Bestimmung knüpfen. Bestimmt man die Senkungen der Knotenpunkte des Balkenträgers unter der An-Fig. 181.

J) OB

nähme, dass in jedem Knotenpunkte die Last

Jr.......

----].

.L

b:

G -I— G* G i.    , -i i

—vj--Y hegt, durch

Co

L.

i

; --------

K I

K,

Bf

Rechnung oder Konstruktion (die letztere werden wir später behandeln) und wählt den Massstab so, dass die Fläche ABBA¹ (Fig. 181), d. i. die Fläche lAmy = G wird, so wird V = \{a-\-a‘)Ay, es entspricht also V für den Punkt C

der Fläche DEE' D‘, H dagegen der Fläche lAy der Fläche ABB“A".

Die Linie AC‘B ist offenbar die Einflusslinie für H. Mit Hilfe derselben kann man nun den Werth von H für jede beliebige Belastung in bekannter Weise bestimmen.

*8h’

also dem

8h

fachen

Diese Methode ist ebenso gut bei polygonalem als stetig gekrümmtem Stabpolygone anwendbar.

4. Kontinnirlicher Balkenträger konstanten Querschnittes, parabolisch stetig gekrümmtes Stabpolygon. Eine gleicbmässig über einen Balkenträger mit der Länge l vertheilte Belastung p pro Längeneinheit erzeugt das Moment jpx(l — x). Eine im Abstande g vom linken Ende gedachte Einzellast 1 erzeugt in einem lin-

l-i

ken und rechten Querschnitte bezüglich das Moment

daher wird nach dem Prinzipe der virtuellen Arbeit die Senkung im Abstande x vom linken Ende

x und

y d — x) ;

Eil    — x) j x* (l — x) dx -f- x J x (l

O    0

— x)'¹! (l —

*)]

— 24EI X ^ ~ ^ ⁽'¹' + lx ~~ x<2)’

Nach dem Vorigen ist also die mittlere Durchbiegung, welche eine im Abstande £ vom linken Ende liegende Einzellast G erzeugt, A'my =

2ŒI1 ^ ^ ö    H — £²). Die mittlere Durchbiegung, welche die

nach oben wirkende Belastung v pro Längeneinheit bewirkt, ist ferner

24EII

0

— x) (P -f- lx — x¹) = —

vV

120 EI

. Sonach wird

30 a. Am y =

24 Eil

120 EI'

Die mittlere Senkung, welche durch die Senkung Axy, A^y der Endvertikalen entsteht, ist ~ (Axy -f- Aqy). Bei der Länge ht und der

D,h

Ef~Wt

Querschnittsfläche fx der End vertikalen wird Axy —

j v = hA₌lh-

J Eft Ef\

Dieser Ausdruck ist zu dem vorigen Ausdrucke von Amy noch hinzuzufügen. Setzen wir nun nach 4: vl'¹ = 8Hh, so gebeu die Gleichungen 17 und 18 a:

(G j— j v l j, also J (Ax y -f- Aq y)

h,

31. Il — G

5iu-i) w + iè-ê^ + ^o

fx

wenn man zur Abkürzung

151

32. (X —

S12 h (1 -f a)

“ l³ , 16lh 8l³h lF₀h ⁺ 3F₀ l\ h

sec¹ T, + y'O' sec-To

loh

64 h 31 (f

2hh

fx

“h

( 3 rj₍, + h )J

r₂ zu setzen. Sind die Auflagerpunkte A und B, sowie die Enden des Balkenträgers in vertikaler Richtung unverschieblich, so werden die Glieder mit ft Null. Bei blosser Berücksichtigung der statischen Formänderung ergibt sich

setzt. Ist statt der Spannketten ein Spannriegel mit der Querschnitts-

P

fläche F₃ vorhanden, so ist statt der Summe der Glieder mit r,.

8l³h

33. H —

Bei gänzlicher gleichmässiger Belastung wird hiernach H =

5p jx(l — x)(l²-{-lx

o

34. II —

pl¹

-x')dx = 8h

pp

8 h (1 -f a)

und allgemeiner

(¹+¹²⁰w)-

Beispiel. Eiserner Polygonal - Sprengwerksträger mit 30m Stützweite mit Versteifung durch einen Blechträger (Fig. 182). Es seien für die Stäbe des Spreng-

werkes k = 572, 527, 503 Cent., F =103, 95, 90Q™>, secr = 1/144 1,054 1,006, sec'r = 1,309 1,111 1,012, für die Vertikalen (mit Ausschluss der Endvertikalen) y = 252 86 30 Cent., f = 250 [Jcm. Es wird hiernach

¹⁶JA z (a+^V *i = 3f5i c = 3000 (38,2 -f 3,5) = 124500,

also, wenn wir E = 2000 Ton. pro Qcw» setzen,

124500.3000 4.2000.5G0

Fig. 182.

5,03

t«'

jff

Ci

3

ff*

SO--

■/m

Z [(« + a‘) /ly] =

H= 93,4 H.

Die Gleichung 23 gibt bei konstantem Querschnitte des Balkenträgers

+ 6 EI (/ly, — 2Hyh + /ly₆) =

HyJ = 93,411 sein muss,

b.    (28M, + 46 M, + 52 M₃ + 46 M, + 28 M,) a⁸

+ 3(5 5DP, + 8 W, + 5 W", + 9 5W'₃ + 8 5>JZ"₃ + 8 W, + 9 501", + 5    + 8 ÜR“S + 5 5DÎ"*) «³

= — EI (30aHy₀ + 30a /ly₆ — 560,4H).

Hierin ist

301 (Da -4- Df,) h, a 30 Ih,

(M, + ilfä + ®„a + $₆a) a³

f,P

30 EI (Hy₀ + Hy₆)a =

und, wenn wir h,=530, f,— 40 setzen

c. 30EI (/lyo + Hy₆) a = 0,168 (Mt + M, + 25₀ a + ®₆ a) a³.

Dies in die Gleichung b gesetzt, gibt unter Berücksichtigung der Gleichung c: \l64,9 — 560,4-~\ H = 99%t 4- 272®, + 297 ®₃ 4- 171%, + 99% — 0,17 (%t + ®₆)

+ ³- (5m/ + 8 m,‘+ 5 ä)i/'4- »a»*⁴4-s 2jy'+ s sw/4- 9 sro,"+52»,' + 8 2)y'+ 5 sw₆").

Setzen wir 1=52800, so wird 560,4 EI = 0,61V, der Einfluss der elastischen Formänderung also nur gering. Hiernach ergibt sich nun f. H=~ 0,001 (®₀ + 3>«) 4- 0,600 (%, 4- ®s) + 1,038 (®a + ®₄) 4-1,197%,

4-| [0,0912 (ŚW/ -j- 2Re") + 0,2455 (2»*' + 9R»") + 0,0912 (2)1," 4- 9WS') + 0,2638 (2DÎ₃" + 3K₄") 4- 0,1458 (SR₃" + 2R₄')]-

Fig. 183.

Nach der Gleichung 26 wird

— 2M, + M,

= ( j¹¹ - »■)

a,

M,

»,

i. !

= (4 b - SD,) a,

M, — 2M₃ -f M,

M₃ - 2M{ -f Afj = H — ®₄) a,

= (iH - 4 “•

M₄ — 2 M-,

Die Auflösung gibt

10 Ha,

118M, =    3    (5 2). + 4®, 4- 3®s 4* 2®, 4- ®ä) «    —

¹ 18 M, =    6(5$,+4î₁+ 3®a -f 2%, + ®.) a    —    16 Ha,

18 Mt = 9 (®,    +    + 3®s 4* 2®, + ®₅) a — -Z8Ha,

18 M, =    6    ($, -f 2 ®.₂ + 3®₃ + 4 ®₄ + 2 ®₅) a    —    26ZT«,

I 18 M, :=    3    <®, 4- 5®., + 3®₃ + 4 ®₄ + 5®ä) o    —    JO .Ha.

In dem Falle mittelbarer Belastung und unter der Voraussetzung, dass die Querträger mit den Hauptträgern an denselben Punkten verbunden sind, wie die Vertikalen, werden die Grössen 2)2 sämmtlich Null, ln Fig. 183 ist hiernach die Einflusslinie für H dargestellt und zwar entspricht das Polygon der

mittelbaren, die krumme Linie der unmittelbaren Belastung.

§• 99. Kämpferdrucklinie. Die Reaktionen in den Stützpunkten A und B, welche durch eine Einzellast G erzeugt werden, schneiden sich mit dieser letzteren in ein und demselben Punkte K. Bei einer Verschiebung der Einzellast beschreibt der Punkt K eine Linie, welche wir Kämpferdrucklinie nennen.

Ist der Balkenträger in der Mitte unterbrochen, so muss die rechte Reaktion, falls die Last auf der linken Hälfte liegt, durch B und den Scheitel S gehen, da in B und C das Moment Null sein muss; ebenso muss die linke Reaktion, falls die Last auf der rechten Hälfte liegt, durch A uud S gehen. Die Kämpferdrucklinie besteht daher

aus zwei Geraden, welche die Verlängerungen der Gerade» AS und BS bilden.

Bei kontinuirlichem Balkenträger sei die Ordinate 0₀2T, (Fig. 181)* = rj. Aisdaun ist r\ = g tan /_ KtAC₀ = £ wenn D der vertikale Stützendruck in A ist. Nun aber ist Dl = G (l — £), mithin

g ë(ï-g)

³⁵' v ~ II

wobei H nach dem vorigen Paragrafe zu bestimmen ist. Bei konstantem* Querschnitte des Balkenträgers und stetig gekrümmtem Stabpolygon, wird, wenn man nur die statische Formänderung berücksichtigt, nach Formel 33

36. i] =

sru

s d"- + ii- ia) •

Setzen wir in dem Ausdrucke 35 für H den Ausdruck 29, so er

halten wir

1(1 —i) Amy

A y ’

1 (l ^ h ist, 2AA'

oder, da in Fig. 181 y = C₀C = 4 37. 7] —

wonach sich verschiedene Konstruktionen angeben lassen; z. B. man macht C„L₀ und GL parallel und bezüglich = 2Amy und 2Amy— y, d. i. — 2AA‘ und 2AA' — CC‘-, eine durch Lt) und L gelegte Gerade bestimmt sodann den Punkt Kx.

In dem Falle mittelbarer Belastung bestimmt man am besten in der gezeigten Weise die den Knotenpunkten entsprechenden Punkte der Kämpferdrucklinie. Andere Punkte ergeben sich sodann durch folgende

Betrachtung. Ist ab (Fig. 184) gleich der Einzellast G, sind D\G, ^Punkte der Kämpferdrucklinie und die von a und b ausgehenden Strahlen mit den Durchschnittspunkten d', c‘, & parallel den von A und B nach D' G‘, B¹ gezogenen Strahlen, so sind ad, ac, ae und bd, be, be die in A und B bei der Lage der Last in D, C, E wirkenden Vertikalreaktionen, dd‘, cc‘, ee‘ die bezüglichen Horizontalreaktionen. Da sich nun, wenn die Last von A und B den Abstand £ und £, hat, die Vertikalreaktionen in A und B wie £ : g. verhalten, so müssen die Punkte d, c, e die

2^'pJ y = ccJ

Ay    ⁰

CG ¹

A D CE

Fig. 184.

z?

di

de

e’r

z>

Gerade ab in demselben Verhältnisse theilen, wie die Punkte B, C, E die Gerade AB. Die Figur aä'e'b wird somit eine zur Einflussfigur für die Horizontalspannung H affine Figur sein. Entsprechen die Punkte D und E Querträgern, so wird also nach §. 20 d‘c‘ e‘ eine Gerade sein, so dass sich der Punkt c' leicht bestimmen lässt. Legt man sodann durch A und B Parallelen zu ac\ bc‘, so erhält man den Punkt C. Die einzelnen Theile der Kämpferdrucklinie ergeben sich hiernach als Hyperbeln; in den äussersten Fächern entstehen, wenn die Horizontalspannung H für die Lage der Last an den Enden — 0 wird, Gerade, welche bezüglich durch B und A gehen.

§. 100. Bestimmung der Momente und Transversalkräfte bei beliebiger Belastung. Nach Bestimmung der Horizontalspannung H sind durch die Formeln 1 bis 4 die Spannungen der Vertikalen bestimmt. Da hierdurch die auf den Balkenträger wirkenden Vertikalkräfte gegeben sind, kann man auch die auf denselben wirkenden Momente und Transversalkräfte bestimmen. Wir wollen hier noch auf die grafische Bestimmung dieser Grössen eingehen.

1. Momente. Zur grafischen Bestimmung der Momente bei einer beliebigen Belastung konstruirt man für die gegebene Belastung ein SeilpolygOn mit der Polweite H, welches durch die Stützpunkte A und B geht. Alsdann ist das Moment der nach unten wirkenden Lasten in

Fig. 185.

JÏ

E₀

O-"

.......

AI7 i

ifesj-

*42

j5

O"

.o-

?..............

ro^.............

.............

F = H. EaE‘ (Fig. 185), das Moment der nach oben wirkenden Spannungen dagegen H. EaE, mithin das wirkliche in F wirkende Moment = H {EqE‘ — E₀E) = H . EE'. Das Moment ist also proportional dem Vertikalabstande des Seilpolygones von derAxe des Stab polygones.

Wenn der Balkenträger in der Mitte unterbrochen ist, so geht das Seilpolygon ausser durch die Punkte A und B auch noch durch den Scheitel S.

Um bei verschiedenen Belastungen die Konstruktion neuer Seilpolygone zu umgehen, kann man auch ein Seilpolygön mit einer beliebig angenommenen Polweite Hx konstruiren (Fig. 1856). Macht man in

demselben FF“

= -jj- y — ^ E^E, so wird offenbar AI — Hx. F'F“;

H

nach Bestimmung von H ist es aber leicht, -jf y zu konstruiren. Wenn

der Balkenträger in der Mitte unterbrochen ist, so sei die Höhe des Seil-polygones mit der Polweite Hi in der Mitte der Schlusslinie =SS‘ = hit an dem dem Punkte F entsprechenden Punkte — FF⁴ = yv Alsdann ist AI = Hx yx — Hy. Nun aber ist nach Formel 20: Hh= j E (G‘%' + G“ I"). Die Momente EG‘% und EG“£“ für die Enden werden aber nach den Regeln für das Seilpolygon durch HX.AA‘ und Hy.BB‘ dar-

gestellt; somit ist Hh = H{. 8S‘ — Hl\, H — H{ -i, also

38. AL = H.

(y‘~ *i:ÿ)

wonach sich die folgende Konstruktion ergibt: In Fig. 185a lege man durch S ^und E eine Gerade, welche die Verlängerung von AB in L schneidet. In Fig. 1856 habe L von S denselben Horizontalabstand, wie in Fig. 185«; zieht man hier die Gerade LS‘, so erhält man den

Durchschnittspunkt F“ und es ist nun offenbar FF“ — also F'F“

H.. F'F“.

~ Vi — mithin AI —

Bei mittelbarer Belastung ist, wie in §. 31 (Fig. 64) das Seilpolygon in der Art abzuändern, dass die den Querträgern entsprechenden Punkte des ursprünglichen Seilpolygones die Ecken des Seilpolygones bilden.

In derselben Weise kann m^n auch bei einer einzigen Einzellast verfahren und hierdurch auch die Einflusslinien durch Konstruktion bestimmen.

Für die Bestimmung der ungünstigsten Belastungsweise durch eine gleichmässige Belastung und bei unterbrochenem Balkenträger auch durch eiu System von Einzellasten genügt die Konstruktion des Nullpunktes der Einflusslinie, welcher mit Hilfe der Kämpferdrucklinie leicht zu Anden ist. Legt man durch den Punkt N (Fig. 181) des Seilpolygones, welcher dem fraglichen Querschnitte des Balkenfrägers entspricht, zwei Gerade durch A und B, welche die'Einflusslinie in K und Kx schneiden, so wird das Moment in N offenbar Null, wenn die Einzellast G in K oder Kx liegt, den Punkten K und Kx entsprechen also die Nullpunkte 1er Einflusslinie. Bei unterbrochenem Balkenträger ist nur ein Nullpunkt vorhanden; auch bei kontinnirlichem Balkenträger gibt es nur für Querschnitte in der Nähe des Scheitels zwei Nullpunkte.

2. Transversalkräfte. Legt man im Kraftpolygone mit der Polweite H parallele Strahlen zu der dem fraglichen Querschnitte entsprechenden Seilpolygonseite und dem entsprechenden Stahe des Stabpolygones, so schneidet die erstere die Transversalkraft für die Lasten, die letztere die Transversalkraft für die Spannung der Vertikalen ab; die zwischen beiden Strahlen liegende Kraft des Kraftpolygones ist also die wirkliche Transversalkraft für den fraglichen Querschnitt. Hiernach ist die Transversalkraft die Vertikalkomponente der Spannung der bezüglichen Seilpolygonseite, wenn die andere Komponente die Pachtung des entsprechenden Stabes des Stabpolygones hat.

Um das Seilpolygon mit der beliebig angenommenen Polweite Hx benützen zu können, kann man durch dieses die Transversalkraft Q‘ für die Lasten in bekannter Weise bestimmen, während die Transversalkraft Q“ für die Spannungen der Vertikalen = H tanz durch die der in Kede stehenden Belastung entsprechende Horizontalspannung H zu bestimmen ist; sodann ist Q — Q' — Q“.

Um für eine Einzellast den Nullpunkt der Einflusslinie zu bestimmen, legt man durch die Stützpunkte A und B Parallelen zu dem Stabe des Stabpolygones, welche dem in Frage stehenden Querschnitte F des Balkenträgers entspricht. Schneiden diese Parallelen die Kämpferdrucklinie in I und so wird offenbar die Transversalkraft in N Null, wenn eine Last in I oder Ix liegt. Von den Punkten I und 1, ist immer nur der eine vorhanden ; dagegen schneidet die Einflusslinie die Axe bei unmittelbarer Belastung am fraglichen Querschnitte und bei mittelbarer Belastung zwischen den Querträgern, zwischen denen der fragliche Querschnitt liegt. Bei mittelbarer Belastung wird die Transversalkraft zwischen den Querträgern B und E (Fig. 181) Null, wenn in Fig. 181 & die Seite B'E‘ des Seilpolygones der Seite BE des Stabpolygones parallel ist. Im Allgemeinen ist die Lage der Last, bei welcher B'E‘ parallel BE wird, durch Probiren leicht zu finden; bei unterbrochenem Balkenträger würde, da, BK hier durch den Scheitel geht, der Punkt E* unmittelbar gegeben sein; den Punkt B‘ findet man durch eine Parallele zu BE, den Punkt K sodann durch eine durch A und B‘ gelegte Gerade.

§. 101. Unterbrochener Balkenträger mit parabolischem Stabpolygon.

1. Momente. Eine auf der linken Hälfte im Abstande £ von A liegende Einzellast G erzeugt in einem auf der rechten oder linken Seite der Einzellast liegenden Querschnitt bezüglich das Moment

G-yij!—und G -—— x. Die nach oben wirkenden Spannungen der Vertikalen erzeugen bei stetig gekrümmtem Stabpolygone in der linken

Hälfte das Moment

(j — x), wobei nach Formel 22 v — 4 zu setzen ist, je nachdem die Last auf der linken

vx

à Gv-

p

oder rechten Hälfte liegt. Die Summirung gibt als Moment für eine auf der linken Seite des Querschnittes, auf der rechten Seite desselben und auf der rechten Hälfte liegende Last bezüglich

Ml* = + G£(l — x) (l — 2x\

Ml* = + Gx(l* — 31£ + 2x£),

. Mr = — G(l — £)x(l — 2x).

Fig. 186.

oder v —

39.

p:

Hiernach sind in Fig. 186« die Einflusslinien dargestellt. Das Moment wird Null für

\    40. £ =

21(1 — x) 31 — 2x

Ik ¹ Ä%\

Für eine gleichmässige Last ergibt sich hiernach, wenn man p d % für G setzt, durch eine Integration zwischen 0 und £ oder I und l als Maximum des Momentes

pxil — x) (l — 2x)

2 (31— 2x)    '

Fig. 186& zeigt die hiernach aufgetragene Momentenlinie. Das absolute Maximum tritt bei x — 0,2351 ein; dasselbe ist

42. Max M — 0,0188 pl*.

Das mittlere Moment ergibt sich zu 0,0124pl*.

41. max |+ M) = +

Bei mittelbarer Belastung und wenn die Vertikalen an denselben Punkten angeordnet sind, wie die Querträger, ist zu den Ausdrücken 39 G£ee‘

noch 4--Ty

4 h

hinzuzufügen, wenn der Querschnitt von den nächsten

Querträgern den Abstand e, e‘ hat und zwischen diesen Querträgern die Einflusslinie als Gerade anzunehmen.

2. Transversalkräfte. Eine auf der linken Hälfte liegende Einzellast erzeugt an einem auf der rechten oder linken Seite der Last liegenden Querschnitt bezüglich die Transversalkräfte — G l — 2è

und

. Die nach oben wirkenden Spannungen der Vertikalen erzeugen in einem Querschnitte auf der linken Hälfte die Transversalkraft — Y v (l — 4x). Die Summirung gibt, wenn man für v den Ausdruck 22 setzt, als Transversalkraft für eine auf der linken Seite des Querschnittes,

auf der rechten Seite desselben und auf der rechten Hälfte liegenden Last bezüglich

Hiernach sind in Fig. 187 a die Einflusslinien dargestellt. Für

AA 6 44. I =

Qt¹ — - G£(37- 4xl 43. IqI* = + G(l*- 3l£ + 4x£), Ql* = - G(l-£) (l-4x)

Fig. 187.

''s

31 — 4x

wird Q = 0 ; ausserdem tritt ein Wechsel des Vorzeichens auch am Querschnitte ein. Für x — 0,251 wird hiernach £ = ~l; für grössere Werthe von x tritt ein Zeichenwechsel

''s

nur am Querschnitte ein.

Für eine gleichmässige Belastung ergibt sich hiernach durch eine entsprechende Integration

\ x — 0 bis

max (+ Q) —

^ x = l bis ~ l: max (it Q) — it

In Fig. 187 & ist hiernach maxQ grafisch dargestellt. Am grössten wird maxQ für x = 0 und x = 0,51 und zwar wird hier bezüglich max Q — ~pl = 0,167pl und jpl = 0,125pl ; am kleinsten wird max Q für x —0,251; hier wird maxQ — ^ pl = 0,063 pl. Im Mittel wird maxQ = 0,100 pl.

Für den Fall mittelbarer Belastung ergibt sich leicht, dass die Einflusslinie für irgend ein Fach dieselbe ist, wie für einen Querschnitt in der Mitte des Faches bei unmittelbarer Belastung; in dem fraglichen Fache ist natürlich ein geradliniger Uebergang statt des Absatzes einzuführen.

45.

I:

p (tl—3lx + 4x*f 21* (31 — 4x)    '

§. 102. Kontinuirlicher Balkenträger mit parabolischem Stabpolygon.

1. Momente. Das Moment M wird für einen Querschnitt auf

der rechten Seite der Last bei stetig gekrümmtem Stabpolygon

G%(1 — x) 4Hhx (l — x)

Gl (l — x)

r-

Für einen Querschnitt auf der linken Seite ist g mit l — x mit l — x zu vertauschen. Unter Einführung des Näherungsausdruckes 33 für H erhält man bezüglich für eine links oder rechts vom Querschnitte liegende Last :

46.

2 MP = G£ {l - x) [2P - 5    - i> x (/' + l£- J*)],

2MP = G (l — £) x [2P - 3£ (l - x) (r + l£ - J»)].

Hiernach sind in Fig. 188 a die Einflusslinien dargestellt. Für x — 0 bis 0,41 und x~0,6l bis l haben die Einflusslinien nur einen Nullpunkt; für x — 0,41 bis 0,61 dagegen sind zwei Nullpunkte vorhanden. Durch entsprechende Integration ergibt sich für eine gleichmässige Belastung als Maximum von M für Querschnitte von x — 0 bis 0,41:

47. max (± M) =

4lb

- io    iiu-i₀»)³’

wenn £₀ den Abstand des Nullpuuktes vom rechten Ende bedeutet. Für x = 0 0,11 0,21 0,31 0,41 0,51 0,61 ergibt sich |₀ = l 0,6361 0,5961 0,5351 0,4601 0,3391 0. Für Querschnitte von x — 0,41 bis 0,61 ist

Fig. 188.

« a

[Xfv

Pli

zu dem hiernach berechneten Werthe noch der dem linken Nullpunkte entsprechende Werth hinzuzufügen, wobei l — x für x und für £₀ der Abstand des linken Nullpunktes vom linken Ende zu setzen ist. Hiernach ist die Momentenlinie in Fig, 188 & dargestellt. Das absolute Maximum tritt für x = 0,2441 und x — 0,7561 ein, wobei |₀ = 0,5751 ist. Das absolute Maximum ist

48. Max 31 = 0,016 6 p V¹,

d. i. nur 13 Prozent des Maximalmomentes bei einem Einzelträger mit derselben Spannweite. Das Maximalmoment in der Mitte wird nur 0,00678 pV¹. Das mittlere Moment ergibt sich durch Flächenberechnung der Momentenfläche zu 0,0123pl*.

2. Transversalkräfte. Für einen Querschnitt auf der rechten Seite der Einzellast G wird Ql = — G% — j v (l — 2x) und für einen Querschnitt auf der linken Seite der Last Ql = G(l— £) — 4 v (l — 2x).

betzt man hierin vl² = 8Hh und für H den Näherungsausdruck 33, so erhält man für eine links und rechts vom Querschnitte liegende Einzellast bezüglich

49.

Q--

<n

[21* + 5 {I - 2x) (l - i) (Ie + l£ - J*>],

Gu-ê)

21⁵

[21*-ö(l-2x)£(l* + l£-£')].

2 Is

Hiernach sind in Fig. 189« die Einflusslinien dargestellt. Für x = 0,31 tangirt die Einflusslinie die Axe am rechten Ende; für kleinere x schneidet die Einflusslinie die Axe.

Pig. 189.

V..

t'..

________

Für eine gleich-massige Belastung ergibt sich für Querschnitte von x= 0 bis x — 0,31 durch Integration zwischen x = x und x = £„, wenn £0 den Werth von £ bezeichnet, für welchen Q — 0 wird,

■o—

's

fil

I.

50. max (± Q) — ± [4lb (|₀ — x) — l³ (71 — 10x) (|₀<i — xq)

-f- 51 (l — 2x) (|„⁴ — x⁴) — 2 (l — 2x) (£₀⁵ — xs)].

Hierbei wird für x = 0 0,11 0,21 0,31 bezüglich |₀ = 0,3311 0,4041 0,5401 l. Für Querschnitte zwischen x = 0,31 und 0,71 erhält man durch Integration zwischen x — x und x — l :

(7l⁴ — 10 l³x — 5 lqxq 4- 12 Ix³ — 4x⁴).

51. max (dz Q) = dz

In Fig. 189 6 ist die Kurve für maxQ dargestellt. Das absolute Maximum erreicht Q für x = 0 und x = l, dasselbe ist 0,153pl. In der Mitte wird max Q — 0,125 pl. Für x — 0,2161 wird maxQ am kleinsten; hier ist maxQ = 0,0744pl. Im Mittel wird maxQ —0,100pl. Der Mittelwerth von maxQ ist also fast ebenso gross, wie bei getrenntem Balkenträger.

Bei mittelbarer Belastung würde für die angenommene Belastung nach §. 98 die Bestimmung von H vorzunehmen sein; durch die Formeln 1 bis 4 ist sodann V bestimmt. Die Bestimmung der Momente und Transversalkräfte kann hierauf in bekannter Weise erfolgen.

Beispiel. Wir wollen das bereits in §. 98 behandelte Beispiel weiterführen. Setzt man den gewonnenen Ausdruck f für H in die Gleichungen e ein, so ergibt sich für den Fall, dass nur Lasten in den Knotenpunkten des Balkenträgers wirken,

Mt = [+ 0,500®, +0,000®, - 0,165®₃ — 0,243®₄— 0,167®,0,0006(®₀+-®,)]a, a.M2 = 1+ 0,133 ® ! +■ 0,411 ®₂ — 0,064 ®₃ - 0,256 ®₄ - 0,200 ®, + 0,0009 (®₀ + ®,)] a, M₃ = [ — 0,100®, — 0,038®₂ +- 0,303 ®, - 0,038 ®₄—0,100 ®₅+ 0,0010 (®₀+ ®,)] a.

Bei unmittelbarer Belastung kommen noch die Glieder mit 9JÎ im Ausdrucke für H, aber bezüglich mit — y a, —

Fig. 190.

*o| GO

*3.

a, — a multiplizirt, hinzu. Die entsprechenden Einflusslinien für mittelbare Belastung sind in Fig. 190 dargestellt.

Es lassen sich nun leicht auch die Momente und Transversalkräfte für beliebige Querschnitte bestimmen. Wir wollen nur beispielsweise das r M und Q in der Mitte des III. Faches in Betracht ziehen. Wenn die Last nicht im III. Fache liegt, so wird

f (Af, +-Afs), d. i.

3\

1±

b. M= (0,001 ®₀ + 0,017 ®, H- 0,187 ®₂+0,250®₃ - 0,147®— 0,150®, + 0,001®,₆)a —o,o86(mtl+m,"+mi'+we<i)—o,i38{<imi'+wii"+$iti‘+mh'i)—o,i55(m₃t+m/¹). Liegt die Last im III. Fache, so kommt noch, je nachdem sie in der linken oder rechten Hälfte liegt, das Glied -f- J- 6r|, +- y G (l — |) hinzu.

Ferner wird, wenn die Last nicht im III, Fache liegt, Qa = M₃ — M.

d. i.

Q = 0,0001®₀ — 0,533®! — 0,449 ®₂ -f- 0,367 ®₃ + 0,218®, +- 0,100®, +- 0,0001 ®₆

—    0,0101 (SJV + m₂" + 3tt₅' +- 2tt₆") -, 0,0262 (ä>V 4- 2>V‘ + »V + 2Ää")

—    0,0182 (sdv +- g»₄")-

Fig. 191.

Liegt die Last nicht im III. Fache, so kommt hoch, je nachdem die Last in der linken oder rechten Hälfte

üi

liegt, bezüglich das Glied

il»

y und +- @

hinzu. Die Einflusslinie für M und Q ist hiernach in Fig. 191 dargestellt und zwar entsprechen wieder die geraden Linien der mittelbaren, die krummen Linien der unmittelbaren Belastung.

's

§. 103. Einfluss der Wärme, Um den Einfluss einer Tempe-raturveränderung t 7,u bestimmen, ist in Gleichung 11    — atl +-■

52. Z[(a+a')J„y]= Cl

4Eh

HX sec T

zu setzen, wenn a den Ausdehnungskoeffizienten bezeichnet.

Ausserdem ist Hy = H₀y — Hr] = H₀y — atrj — setzen. Dies gibt statt der Gleichung 12:

EF

4H (a -j- a‘) r\

EfV

ZU

wobei C durch Formel 13 bestimmt ist. Sind Spannketten vorhanden, so ist G durch Formel 16 bestimmt; ausserdem ist in vorstehender Formel Z (A sect) -f- lx secrl -f- A₂ sect₂ statt Z (ŹI sect) zu setzen.

Bei kontinuirlich gekrümmtem Stabpolygone würde statt der Glei

chung 17

*    53. H ni y —

c/A

8EhHm^ l

\jkh J ^X sec'^ + J*V

o    o

zu schreiben sein.

Die weitere Behandlung bleibt nun dieselbe wie in §. 98.

Beispiel. Wir ergänzen das Beispiel zu §.89 und setzen « = 0,000012, t = 30°, also a t = 0,00036. Es wird 2 (X sec t) == 34,3» = 3430cm, v [(« + a‘) rj] — 70,6 Qm = 706000 Q«» (mit Ausschluss der Endvertikalen), also

ce t

j~ 2 {X sec t) + 2 [{a -j- «0 j?]J = 0,00036 {4500.3430 + 706000)

— 0,00036.16141000 = 5811 Gentim.

Statt der Gleichung b in §. 98 erhält man jetzt

{28 M, + 46 M₂ + 52 M₃ + 46 M₄ + 28 Jfs) a³

= — EI {30a{zlya + Jy₆) — 560,4H) — 34866 El. Hierbei wird 30Ela {Jy₀-\- Jy₆) = 0,17 {M, + M&) a³ -f 30EI.a{0,00036.2.530) = 0,17{Mt -f- Af₅) a³ + 5724EI. Hierdurch geht die vorige Gleichung über in {28,17 M, + 46 M₂ -f- 52 Ms + 46 M₄ -f 28,17 M.) a³ — + {560,4 H = 40590) EI. Nach den Gleichungen e wird Mt=M₅=— -- Ha, M₂ = M₄ = — ~ Ha, Mh=—Ha. Dies eingesetzt gibt

165,08Ha* = {40590 — 560,4H) El.

Für E = 2000, 1=52800, a = 500 wird 165,0811 = 69,0 — 0,95H, also

H = 0,416 Tonnen.

Dementsprechend wird M, = Ms = 1,16, M₂ = M₄ = 1,85, M-=2,08 Tonnen und zwar -j- bei Erhöhung, — bei Erniedrigung der Temperatur. Die übrigen Grössen sind jetzt leicht zu bestimmen.

§. 104. Strengere Theorie. In den vorigen Paragrafen haben wir aDgenommen, dass bei Bestimmung der Spannungen V der Vertikalen die Vertikalverschiebung Hy zu vernachlässigen sei und haben dementsprechend für V, v die Formeln 1 bis 4 benützt, während statt derselben die Formeln 5 und 6 anzuwenden wären. Die Bestimmung der Unbekannten wird hierdurch allerdings eine wesentlich umständlichere

und die Theorie wird noch dadurch erschwert, dass es hier nicht mehr möglich ist, den Einfluss einer beliebigen Belastung durch die Sum-mirung der Einflüsse der entsprechenden Einzellasten zu bestimmen, so dass die Methode der Einflusslinien nicht anwendbar ist. Wir wollen hier nur den anzuwendenden Weg andeuten, da eine weitere Durchführung mehr in die Theorie der Hänge- und Sprengwerksträger gehört.

Bei der allgemeinen Bestimmung der Horizontalspannung H in §. 98 bleibt die Gleichung 23 unverändert. Dagegen geht die Gleichung 26, mit Berücksichtigung der Gleichung 5 (S. 186), wenn wir die Werthe von Ay für das Seilpolygon und den Balkenträger gleich setzen, also die Längenänderung der Vertikalen vernachlässigen, über in

54. d\Im—1 MmĄ-l ~~ M-m (®m “l⁻    m

Um UmĄ-1

_ [4Hh, 1 ,

- I —ïij⁻¹" Iflm “T am+l) — — H [a„,+; Aym-i*— (dm+i +- am) Aym -f- am Aym+i).

i.    , .. .    *    •

Setzt man nun die Ausdrücke von amAym.j — (am+i -\-am)Aym -\- amAym+1 aus dieser und der Gleichung 23 einander gleich, so erhält man n— 1 Gleichungen mit den n—1 Unbekannten Jf,, Mz... und der Unbekannten H. Zwischen denselben Unbekannten besteht noch die auch hier richtige Gleichung 26. Indessen gestattet die Form der Gleichungen nur ein Auflösen durch Probiren. Am besten führt man wohl H in der Gleichung 54 als Faktor von \amAym-i—..] näherungsweise ein und bestimmt dann H wie in §. 98, 2 ; bei zu grosser Abweichung würde jetzt dieselbe Rechnung noch einmal mit dem genaueren Werthe von H zu führen sein.    * ■ ' « '

Die Differenzialgleichung der elastischen Linie des Balkenträgers wird in einem stetig mit der nach oben und unten wirkenden Last v und q pro Längeneinheit belasteten Punkte

— v,

⁵⁵- = «

wenn wir die Längenänderung der Vertikalen wieder vernachlässigen, also Aüy — A y setzen. Nach Gleichung 6 aber wird für das parabolische Stabpolygon

d*A y_8 Hli

dxa

56. H

Die Subtraktion beider Gleichungen gibt

57. EI

dx⁴

d*Ay    8 Hh .

---------ja— 4-2 + 9,

dx¹

oder, wenn wir unter Annahme eines konstanten Werthes von I, q und g

58. A² = —

EI

_ <PAy _ 8_h    q_+ g •

⁸ ~ dx* I² ' H

setzen,

59.

d²z

dx²

— k²z.

Das Integral dieser Differenzialgleichung ist

60. z = Aekx + Be~k\

wenn e die Basis der natürlichen Logarithmen bedeutet. Nun aber lässt sich in dem konstant pro Längeneinheit belasteten Theile des Balkenträgers das Moment M in der Form a -j- bx -j- cx² — H(y-\-Ay) ausdrücken, wobei a -j- bx + cx² das vom Eigengewichte g des Balkenträgers, dem Eigengewichte g des Stabpolygones und der zufälligen Last p herrührende Moment, —H{y-\-Ay) das von der Spannung v der Vertikalen und dem Eigengewichte g herrührende Moment bedeutet; da g in beiden Gliedern enthalten ist, so hebt sich, wie es erforderlich ist, der Einfluss von g auf. Es wird daher

61.

d²Ay

dx²

El ~

a 4- bx -t~ cx²

EI

+ Ä² (y + Ay).

a* A y

81 q JJ ist, so gibt, die

Da aber nach dem Obigen Gleichsetzung, wenn wir hierbei yl² = 4hx{l — x) seten,

dx¹

62. =

8/i 4hx{l — a?) a + &æ-|-cÆ²    3 + 9

A;²/²

l²

Wenn wir nun den Balkenträger durchgehends mit dem Eigengewichte g pro Längeneinheit und ausserdem von x — g bis a? = / = g + gt mit der zufälligen Last p pro Längeneinheit belastet annehmen, so wird bei kontinuirlichem Balkenträger a bx + cx² im linken Theile

Y (ff + 9) x (l — x) + "Iz“’ im recLten Theile = -j (9 + 9)X(J ~ *)

pjl—x)

21

(Ix — P) = L(g + j) x, (l - X.) + ** (5ii, — I,²- «X,),

wenn wir l — a? = xx setzen. Es wird somit bezüglich im linken und rechten Theile

63.

Ay

~ k²

«' + ,.r

e ‘“+ (-'łu- ~ T‘)

x (f — x)

Sh _ ff + (\ , p (l — £)²x

k²l²

Hk¹

2 HI

! «** + ^ e~kx‘ +

9 ~h P + 9 Ilk²

A?²/²

{‘if-if)-.«

— x,)

px,(2Il — j,² — Aæ,)

2HI

Die Auflösung gibt:

e~fe0,

A (etl — e~“) = —    — 2) —

65.

Für x — 0 und xx = 0 wird A y = 0\ für x — £, xl — werden

ä/ly

die Werthe von A y auf beiden Seiten gleich und

dJy _

dx

. Dies

gibt zur Bestimmung der Konstanten die vier Gleichungen :

9 + P + 9

64.

A B -1—--

A « J) I 8h

^1 + By +

Aek$ -f" Be~kè — Axek£> — Bx e~kS» 4    — 0,

.Aekê — Ber~kè -|- At ek& — Bx e~k& = 0.

s— = °-

er»)=+ ^ («*«• + «-¹ ²■ + ^) + (^ -    ) (2 -

At(ekl — e~k l) — -f-

1>

2H

(ek I 4 e~k £ — 2 e~k 1)—

— e~kl)f

Bt(ekl — e_Äi) = —

Nach der Gleichung 17 ist nun

~ (ek$-\-e~k$ — 2e~kl)-\-y ^

— ekl).

Die Einsetzung der Ausdrücke für A, B, Ax, Bx gibt:

ekl 4 v~kl — 2 (fol)*(ekl— e~kl)

67.

CHI _

8Eh ~

(ÿ±^L__8lh

H

. p v ~ i) rd-è) n + 2ê)

H L 12

(fol)

pl³ ek$i-{-e~kli—ekè — e~kè (fol)* (ekl‘~ e~kl)

(²)*'] '

Diese Gleichung würde nach H durch Probiren aufzulösen sein, wobei man als ersten Näherungswerth für H den der früheren Näherungstheorie entsprechenden Werth annehmen kann.

GH

⁶⁶’ 8Eh ~ Amy    1

Die Ausführung der Integration gibt CHl_

8 Eh k³

(9 + 9) l³

^[A(ekS-l)-B(e~kè — i) + A.(ek£> — !)— Bx (e~kh -Î)J

-8lh

][l2    (*«)»]

JLl

(*iy J

Für einen sehr schwachen Balkenträger wird hl sehr gross; wenn man in diesem Falle behufs Annäherung die Glieder, welche hl im Divisor haben, vernachlässigt, so erhält man

(g + 9)    +

8lh(l «)

68. 11 =

setzt. Für einen sehr starken

3 CH

wenn man zur Abkürzung a = ₁₆^-^

Balkenträger dagegen wird Je l sehr klein. Wenn man ex -f- e~x

= 2    +    +    7S5*⁶ + ---)’ e’ “ e_* = äx(¹+ {

-f- Rö x* ~b• ■ • ) setzt, so heben sich sämmtliche Glieder bis zur vierten Potenz von x und es bleibt, wenn man nur die zwei ersten der verbleibenden Glieder berücksichtigt und wenn man zur Abkürzung g,= nl setzt,

69. H

•■')⁺ir]-3ö+j)i‘(J

-f pl³ ! 5—5rP+2n³—~(42 — 35n'¹+Un¹¹

17 HP

168 EI

17 HP 168 EI^~"

•)

Vernachlässigt man hierin die Glieder mit Je l, so wird in Uebereinstim-mung mit dem aus Formel 33 durch Integration zwischen a = £ und x = l abzuleitenden Ausdrucke

70. H =

2(9 + 9) P+p{5P-5n* -f 2l³)

16 Ih (1 + ß)

15 CI

wenn man zur Abkürzung ß =

Nach Bestimmung von H wird M——EI für den linken und rechten Theil :

8 ICi²

setzt.

d*d y

, d. i. bezüglich

EI ^Aekx + Be~kx

£/ Hb 9\ n r

O +P + 9

71.

M= — EI (^Axekx -\-Bie~kx-f- ^

Die Transversalkraft wird nun Q = — d. i. bezüglich für den linken und rechten Theil:

72.

Q = Elk (Aekx — Be kx),

Q — EIk (Axekx1 — jBle~kXi).

Es wird genügen, hierbei als Belastung diejenige anzunehmen, welche sich nach der früheren Näherungstheorie als die ungünstigste ergeben hatte.

Ist der Balkenträger in der Mitte unterbrochen, so würden ausser den vier Konstanten A, I?, Av Bl noch zwei neue Konstante anzunehmen sein. Zur Bestimmung der Konstanten und der Grösse H

y

kommen dafür zwei neue Bedingungen hinzu ; es muss nämlich in der Mitte dy = 0 und M oder

= 0 sein. Auf eine speziellere Be-

dx²

handlung wollen wir indess nicht eingehen.

In obiger Entwickelung wurde vorausgesetzt, dass der Anfangszustand, von welchem aus der Werth von dy gerechnet wird, ein spannungsloser für den Balkenträger sei. Setzen wir indess voraus, dass in den Vertikalen die künstliche Spannung vx pro Längeneinheit des Trägers erzeugt werde, dass derselben unter der Wirkung des Eigengewichtes eine Durchbiegung dx y des Balkenträgers nach oben entspreche, und dass dy von der Axe des Balkenträgers in dieser durchgebogenen Form aus gerechnet werde, so ist in Formel 55 dy — dyx statt dy zu

schreiben, wobei EI^~ = i\ — g zu setzen ist; die rechte Seite von

55 lautet alsdann q — v -f- vx — g — p — v -{- vx statt q — v. In den Gleichungen 57 und 58 ist daher p v, statt q zu schreiben. In der Formel 61 wird wieder dy — dxy statt dy zu schreiben sein, wobei,

falls i’j konstant ist, EI ^j~yr = — 4 (G — g) x (l — x) zu setzen ist.

Hierdurch ergibt sich, dass in den Formeln 63 bis 70 vx statt g zu setzen ist.

Die Theorie der Verbindung von Balkenträger und Seilpolygon ist erst in neuerer Zeit aufgestellt worden; zwar macht bereits Rankine (A manual of civil engineering, London, I. Aufl. 1862) die Angabe, dass das grösste Moment

bei unterbrochenem Balkenträger ^ pP — 0,0156pP, bei kontinuirlicbem Balkenträger — pP — 0,0179pP (in §. 101 und 102 hat sich bezüglich 0,0188pP und 0,0166pP ergeben) und im ersten Falle die grösste Transversalkraft 4 p l (was

mit dem im §. 101 gefundenen Resultate stimmt) sei. Langer gibt für den speziellen Fall, dass der Balkenträger in der Mitte unterbrochen und als Sprengwerk angeordnet ist, eine weniger strenge Theorie (Die Eisenkonstruktionen für Brücken und Dachstühle von Jos. Langer. Wien 1862). Die erste durchgeführte Theorie unter der Annahme einer auf die Längeneinheit konstanten Spannung v der Vertikalen für einen kontinuirlichen Balkenträger gab zuerst Ritter (Elementare Theorie und Berechnung eiserner Dach- und Brückenkonstruktionen, Hannover, II. Aufl. 1870). Buschmann (Beiträge zur Theorie der kontinuirlichen Gitter- und Hängebrücken, Wien, 1873) ergänzt zwar die vorige Arbeit in einigen Punkten hinsichtlich des Eigengewichtes, macht aber ohne näheren Nachweis die falsche Behauptung, dass auch für die zufällige Last eine gänzliche Belastung die ungünstigste sei. Unter Einführung von Einzellasten hat zuerst Müller-Breslau (Theorie der durch einen Balken versteiften Kette, Zeitsclir. des hannoverschen Arch.- u. Ingen.-Ver. 1881) die Theorie entwickelt. Diese Arbeit enthält auch für eine Einzellast die erste genauere Theorie unter Berücksichtigung des Einflusses der Formänderung der Kette auf die Spannung der Vertikalen. In ähnlicher Weise löst auch Du Bois (A neiv theory of the suspension system with stiffening truss. Journal of the Franklin institute, 1882) die Aufgabe.

XII. Kapitel.

Träger mit einer Oeffnung.

§. 105. Eingespannter Träger mit elastisch drehbaren Widerlagern. Wir wollen jetzt einen an den Enden derart eingespannten Träger untersuchen, dass die Stützen oder Widerlager, welche den Träger festhalten, in dem Sinne elastisch sind, dass sie sich drehen können und dass die Drehung dem Momente an dem bezüglichen Ende proportional ist. Hierzu lassen sich auch die an einem oder an beiden Enden fest eingespannten Träger rechnen.

1. Allgemeiner Fall. Die Gleichungen 7 bis 10 (S. 94 und 95) köunen ohne Weiteres in Anwendung kommen, wenn man darin

1. X' — — A‘ M\ T " = + A" M“

setzt, worin A', A“ Konstanten bezeichnen, deren Grösse von der Art der Widerlager abhängen. Dieses Verhalten zeigen offenbar alle geradlinigen Stäbe irgend einer elastischen Konstruktion, z. B. die einzelnen Oeffnungen eines kontinuirlichen Trägers, die Querträger einer Brücke, welche mit den Vertikalen der Hauptträger starr verbunden sind u. s. w Wenn die Stützen ausser der Drehung noch eine Verschiebung annehmen können, so behalten die Gleichungen 1 ihre Giltigkeit, wenn x‘ und r“ die Winkel, welche die Endtangenten der elastischen Linie nach der Formänderung mit der die Enden verbindenden Sehne bilden oder die sogenannten Ausschlagwinkel bezeichnen.

Die Gleichungen 7 (S. 94) geben, wenn man CV = 0 setzt, die Ausdrücke für cc,ß,y (S. 97) beachtet und 6EI₀A'— aj, 6EI₀A“ =ßj setzt,

—    a/1If' = ß Jf' + yM“ + 39)7,

—    ßx M" = yM' 4- 2«M" -f 3937'.

Die Auflösung gibt

2.

3r

₀ ym -(2<z 4-/3.) m (ace + ßj (20 + «,) -

„ rm -(20 + «,)2H'

~ (2 « + 0.) (2 0 + ad- y‘ ■

<2 ’

Bei konstantem Querschnitte wird a — ß = y = 1.

Ist das Feld gar nicht belastet, also 937' = 937" = 0, so wird in dem Falle, dass am rechten Ende ein bestimmtes Moment M“ durch

M“. Ebenso wird in dem

2ß 4 «i

Falle, dass am linken Ende ein bestimmtes Moment M‘ erzeugt wird,

äussere Kräfte erzeugt wird, M' = —

14*

y Tifv

2a+ ß] M‘

haben, so wird in beiden Fällen das Moment in einem bestimmten, von der Grösse des wirksamen Momentes unabhängigen Punkte, dem Fixpunkte, Null. Sind a und b die Abstände der beiden Fixpunkte bezüglich vom linken und rechten Ende, so wird a : l — 31' : 3L‘ — M“ und b :l = 31“ : 31“ — 31\ folglich

31“ = —

Da 31' und 31“ entgegengesetztes Vorzeichen

3.

yl

yi

a y + 2ß + atf h y+2a + ßv'

Hieraus folgt (2ß -f av)b — y (l — 6), (2 a + /3,) a — y (I — a). Dies in die Gleichungen 2 eingesetzt, gibt, wenn man noch l — a — b — c setzt,

31' = —

ycl

[(/ - ZOSOZ" — öS»¹],

M“ = —

3b

ycl

in Uebereinstimmung mit den Formeln 16 (S. 123) und 4 (S. 127). Die aus diesen Formeln gezogenen Folgerungen der Kapitel VIII und IX hinsichtlich der Belastung durch eine Einzellast und der ungünstigsten Belastung lassen sich natürlich hier unmittelbar anwenden.

2. Träger, welcher an einem Ende frei aufliegt, am anderen eingespannt ist. Wenn der Träger in B (Fig. 192) so

eingespannt ist, dass der Träger im unbelasteten Zustande keine Formänderung zeigt, so ist x“ — 0, also A“ = 0, ßt — 0. Wenn der Träger ferner in A frei aufliegt, so wird bei jeder Belastung 31'= 0, mithin A' = oo, ax = oo. Nach den Formeln 3 wird folglich

<-

-X

Fig. 192.

-l.

yi

⁵* h 2cc + y1 a 0

Dies in die Gleichungen 4 eingesetzt, gibt

6. 31“ =

3bm'

yc

2Ct

31' — 0.

-4 sw*.

3. Träger, welcher an beidenEnden eingespannt ist. Wenn der Träger an beiden ||jp Enden so eingespannt ist (Fig. 193), dass er in unbelastetem Zustande keine Formänderung zeigt, so wird A‘ — A“ = 0, also auch = 0. Mithin wird

Bei konstantem Querschnitte wird b = j-1, 31“ = Fig. 193.

i-

7.

yi

2ß + y' h 2a + y'

Bei symmetrischer Form wird a — ß, also auch a — b und alsdann

8. M‘ = —

3 (2am - y rn )

4 a¹— y-

, M“ =

3 {2am-~ymu)

4a—y*

Bei konstantem Querschnitte wird

9. a =: b — l,

O

io. M — —2m +m', M = - 2m +m\

Bei symmetrischer Belastung wird hier 937'= 937“, mithin 31‘' — 31“ = - 937' =-im“.

¹

   is

j [ j^ydx -hj^y dxXJ .

²

o    o

§. 106. Belastung durch eine Einzellast.

1. Stützenmomente. Die Formeln 1 bis 4 (S. 124 bis 127) sind ohne Weiteres anwendbar. Bei konstantem Querschnitte wird, wenn der Träger nur an einem Ende eingespannt ist, 31“ = — j 907', d. i.

11. M“ — — G

àSll -.!!)

21-    ⁹

und wenn er an beiden Enden eingespannt ist, nach obiger Formel 10 und nach Formel 40 (S. 114):

12.    31 = —

VI

-,    31“ — —

Gi¹ (*-J)

l¹

2. Moment für einen beliebigen Querschnitt. Wenn der Träger nur am rechten Ende eingespannt ist, so wird der linke Stützen-

druck D = —\- G —^—, d. i. für einen konstanten Querschnitt

=    (21* — H — I²)- Wenn die Last links liegt, wird 31 =

Dx — G (x — I), wenn die Last rechts liegt, 31 = Dx, d. i.

( Last links :

13.

HP

Last rechts : 31 =■

Wenn der Träger an beiden Enden eingespannt ist, so wird nach der zweiten der Formeln 4 (S. 94), wenn die Last links liegt, 3LI = G%(1—x) M¹ (l — x)-\-31“x und wenn die Last rechts liegt, 311 = G (l — %)x -f- 3D (l — x) -j- 31“ x, d. i. nach Einsetzung der Ausdrücke 12:

G g 3L — —=r

p (21*-l£- 3lx+ 2£x), G{\~È- u* + 2ix - ii).

( Last links:

14.

Last rech ts : 3L —

Die EiDflusslinien sind hiernach in Fig. 194a für einen nur am rechten Ende und in Fig. 195 a fur einen an beiden Enden eingespannten Träger dargestellt.

Fig. 194.

Fig. 195.

—A.’***

N,

•o-

3. Transversalkraft. Bei dem nur am rechten Ende eingespannten Träger wird, wenn die Last links vom Querschnitte liegt Q — 1) — G und wenn sie rechts liegt, Q — D, d. i.

f Last Unies:

Gi(3ln-in)

15.

Last rechts : Q = -|-

2P

Wenn beide Enden eingespannt sind, so wird nach der ersten der Formeln 4: Ql = CU + M“ — M‘. Hierbei wird (Jl" —    —

— 6r£ (l — £) (2£ — l) und bei links liegender Last CU = — 6r£, bei rechts liegender Last CU = -f- G (l — £), mithin

(W links: Q    ,

16.

Gy-èYu + n)

Last rechts : Q z= -f-

Die Einflusslinien haben bei einem eingespannten Ende keinen Wendepunkt und tangiren die Axe am eingespannten Ende; wenn beide Enden eingespannt sind, so haben sie einen in der Mitte liegenden Wendepunkt und tangiren die Axe an beiden Enden.

§. 107. Einfluss des Eigengewichtes. Wir wollen nur den

Fall eines konstanten Querschnittes voraussetzen.

a) Träger mit einem eingespannten Ende. 1st nur das rechte Ende eingespannt, so wird nach dem Obigen M* = 0,

M“ = — ! 937' =

— Y ' 12gl"~ — J 9^- Es ist nun M“ — Dl — gl²,

also Dl — gl- -f M“ = ^ gl², mithin

QC Co

17. I) — gl.

Für einen beliebigen Querschnitt wird nun M — Dx — y gx² und Q — D — gx, d. i.

18.

19.

M = 4 gx {31 — dx),

cf

Q = Ą-<j(31- Hx).

M wird hiernach Null für a? = |-l, zum positiven Maximum für x = y l und zum negativen für x = l. Das erstere ist = -\- ~gl²z= -f- 0,0703gl-, das letztere =

Q sind für x = 0 : Q = g

werthe von M und Q im Sinne des §. 85 sind mittM— ~gl² = 0,0495gl-und mitt Q = gl = 0,266gl.

— I gl- — — 0,1250gl'¹. Die Maxima von

Qd Co

für x — l: Q — — j gl- Die Mittel-

b) Träger, dessen beide Enden eingespannt sind. Hier wird M‘=M“ —— 907' = — 9)7" = — ~ gl" und Q' = ~gl, Q“ — — jgl-Für einen beliebigen Querschnitt wird nun M = M‘ -f- y giss — j gx², Q = Q‘ — gx, d. i.

20. M = — —y g (l°- — 61 x+ Gx"),

21. Q = ^Lg(l—2x).

Hiernach wird M=0 für x- — lx-\--J-1" = 0 oder für x=j (3 zp}/3)l — 0,21131 und 0,78871. Das positive Maximum von M oder der Werth von M für x = y l wird -f- 9- g l-, das negative Maximum oder der Werth von M für x = 0 und x — l dagegen = — jg gl²’, das negative Maximum von M ist also doppelt so gross, als das positive. Die Transversalkraft Q ist genau ebenso gross, wie beim Einzelträger. Die Mittel-werthe von M und Q im Sinne des §. 85 sind mittM = ^~- gl² — 0,0321 gl- und y gl = 0,250gl.

§. 108. Einfluss einer gleiclimässigen Verkehrsbelastnng

unter der Voraussetzung eines konstanten Querschnittes.

a) Träger mit einem eingespannten Ende. Für einen Querschnitt, dessen x c l ist, kann nach §. 106 M nur positiv werden ;

das Maximum tritt ein, wenn der Träger ganz belastet ist. Der Formel 18 entsprechend wird

QC («4

px {31 — 4x), max (— M) — 0.

22. max (+ 31) —

Wenn x ;> ~ l ist, so wird M der ersten der Gleichungen 13 entsprechend, zum negativen Maximum, wenn der Träger von g = 6> bis zu einem der Gleichung a?|² — Z²(3a?— 21) entsprechenden Punkt belastet ist. Hieraus folgt

23. % — l \/~3 — 2 — .

'    r    x

Ferner wird ebenfalls nach der ersten der Gleichungen 13

max (— M) —

— 3l"x -j- cc|²) d%

= -ff- [2 (21³ - 3l“x) + xt°],

d. i. nach Einsetzung des Ausdruckes von |

24. max (— 31) = —

pl (3x — 21)-

8x

Es ist nun ferner max (-f-M) -j- max (— M) gleich dem Werthe von M hei

gänzlicher Belastung = j px (31 — 4x). Hieraus ergibt sich jetzt leicht

p (l — æ)³

25. max (+ 31) = +

2x

Fig. 194 & zeigt die entsprechende Momentenkurve.

Die Transversalkraft Q wird für dieselbe Belastung zum Maximum, wie beim Einzelträger. Aus den Formeln 15 ergibt sich leicht durch Integration

p (l — x)z (31Ą- x)

81³

p x* ( 6 V¹ — x¹)

max (+<?) = +

26.

J max (— Q) — —

Als Mittelwerthe der Maxima von 31 und Q im Sinne des §. 85 ergeben sich mittM= 0,0505p l\ mittQ = 0,295pl.

5) Träger, dessen beide Enden eingespannt sind. Für einen innerhalb des mittleren Drittheiles liegenden Querschnitt kann nach §. 106 31 nur positiv werden und zwar tritt das Maximum bei gänzlicher Belastung ein. Entsprechend der Formel 20 wird

27. max (4* St) — + ^ V WZx — 6x² — l²), max (— 31) — 0.

I/V

Für einen im rechten Drittel liegenden Querschnitt tritt nach der ersten der Gleichungen 14 das negative Maximum von 31 ein, wenn der Träger von £ = 0 bis

28. 1 = 1

3x — 21

reicht und zwar wird

— 3lx) ? + (2x--b)?]dt

jpg³

~ 121s

Die Einsetzung des Ausdruckes von £ gibt

[4(2Z - 3x)l + 3 (2x — l) g.

29. max (— M) — —

pl (3x — 2iy 12 (2x - l)s '

Das positive Maximum von 31 bestimmt man jetzt am besten nach der Eegel max (-f- M) -f-    (— -M) — 31t, wenn 31t das Moment für

gänzliche Belastung bezeichnet. In Fig. 195 & ist die entsprechende Momentenkurve dargestellt.

Die Transversalkraft Q wird auch hier zum Maximum bei derselben Belastung, wie beim Einzelträger. Die Formeln 16 geben durch entsprechende Integration :

max (+ Q) — -|-

p (l — x)s (l + ac)

pxs (21 — x)

30.

2 Is

max (— Q) — —

Als Mittelwerthe der Maxima von 31 und Q im Sinne des §. 85 ergeben sich max31 = 0,0335pV¹, maxQ = 0,275pl.

XIII. Kapitel. Träger mit zwei Feldern.

§. 109. Stützenmoment. Bei zwei Feldern ist nur ein Stützenmoment A4, zu bestimmen. Wir bezeichnen die beiden Stützweiten mit l und lt, die vertikale Entfernung der Mittelstütze von der Geraden, welche die beiden äusseren Stützen verbindet (nach unten als positiv) mit y. Alsdann wird nach der Gleichung 13 (S. 96), wenn wir die Glieder mit D vernachlässigen,

— 5    6EI₀y (j-

2 (ul 4- ßxlx)Mx = — 3WI

Bei konstantem Querschnitte ist a = 1 zu setzen.

Zur Bestimmung der Fixpunkte sind auch in den äusseren Stützen Momente anzunehmen, so dass die Gleichung bei gleich hohen Stützen und bei unbelastetem Träger lautet: yl M₀2{alßxlx) MxyxlxM„= 0.

Ist M₂ = 0, so wird v = — ~ = 2 al -- ; ist M₀ = 0, so wird

jy = 2 al ly. Ist b und ax der Abstand der Fixpunkte im

linken und rechten Felde, so wird b =

und a. — rr—- oder ¹

3. b —

a\ =

2 a l -f- (2 ßx + Y\ ) h

da sich das in dieser Gleichung vorkommende Glied

yx (y -j-    — y- ansdrücken lässt durch y ^y -J- j-\

sm'l + m^lt) , 3JEI₀y (l + lx)

2 {cci + ß,/,) (cci + ßx iß) nß

Bei symmetrischer Anordnung wird lx — l und /3, = a, mithin

3 0»*' + ^, ) , 3BIny

CCI- *

1. Ml — —

2. Mr=z —

4CC

yo, i h

Es wird somit

yj

(2 a -\- y) l 2ß₁ll ’ Bei konstantem Querschnitte wird

4. b =

r-

3l-\- 2lß

ax —

2l+3lß

Hiernach ist unter allen Umständen b c J- l und ax<i~l\. I — lx ist, so wird b = at — ~ l.

Wenn

§. 110. Belastung durch eine Einzellast bei konstantem Querschnitte. Bei gleich hohen Stützen und konstantem Querschnitte wird bei Belastung des ersten Feldes, wenn wir nach Formel 40 (S. 114)

setzen,

31

2K' = G

5. U, = — G

j d’ -

21(1 + /,)'

Hiernach wird Mx zum Maximum für £ = j l ]/"3 = 0,57741 und zwar wird

6. maxMx = —

y3 Gi-9 l + lx~

= — 0,1926

Gl²

l+lx'

Transversalkräfte. Im ersten Felde ist Mx=D₀l — G(l— £), also D₀ = y- + G — *-). Da nun, je nachdem die Last links oder rechts vom Querschnitte liegt, Q == D₀ — G oder = D₀ ist, so wird

2 (1 + O

(-#)]•

Last rechts : Q = + G

(*- )[-

2(1 + 0 l

W~enn die Last im II. Felde im Abstande g, von der rechten äusseren Stütze liegt, so wird im I. Felde Ql — Dnl = Ml} d. i.

8. Q = -Gt

i, (Q-êr)

211.(1 + 0 '

In Fig. 196 a sind hiernach die Einflusslinien für lx = I dargestellt.

Der Stützendruck D0 ist gleichbedeutend mit Q für eine rechts vom Querschnitte liegende Last. Den Stützendruck Dx auf die Mittelstütze findet man leicht durch die Beziehung D₀ -f- 2), + Do = 6r, wobei Mx =D₀l - G(l- g), Mx = Do lx ist. Hiernach wird

Fig. 196.

D = G - — l/ 1 Z l

oder

9.2)₁₌e|(i4

2llJ'

In Fig. 196 a ist auch die Einflusslinie für Dx (für l — lx) punktirt dargestellt.

Die Einflusslinien für beide Oetfnungen haben an der Mittelstütze eine gemeinschaftliche Tangente.

Momente. Wenn die Last im ersten Felde links oder rechts vom Querschnitte liegt, so wird bezüglich M — D{Xx —

G (x — g) und M — Da x, d. i.

Fig. 197.

/h

,•

7^0-

*4-®-

ins

IIP

10.

( Last Unis :    31 =

l X /

2(1+1,) l V

J Last rechts : M = Gx

)['

2(1 + 1,) l \

fr )

ICrsv*

Wenn die Last im II. Felde im Abstande von der rechten äusseren Stütze liegt, so wird 31 = D₀x, d. i.

11. 31— — G

211, (l 4- l,) '

Die Einflusslinien sind hiernach für 1 = 1, in Fig. 197 a dargestellt.

§. 111. Einfluss des Eigengewichtes. Setzen wir in der

Gleichung 2 ÜDÎ" = 9)1," = ~ gl*, so ergibt sich als Stützenmoment bei konstantem Querschnitte, gleichen Feldlängen und gleich hohen Stützen

12. 31,= —

QO

- gi'¹-

Im ersten Felde wird nun, wenn wir M“ = 0, 31“ = 31, setzen, nach Formel 3 und 4 (S. 143)

0,62 o gl,

13. Q - + ^gl = + 0,375(H, und allgemein

14. ß = ~g(3l-8x).

Der Druck auf die drei Stützen ergibt sich hiernach zu ~ gl, -§- gl und gl, so dass sich diese drei Stützendrücke wie 3 :10 : 3 verhalten.

Das Moment wird nach Formel 5 (S. 144) 31 — j gx (l — x) — 0 — j glx, d. i.

15. 31 =

<jx (31 — Ix).

31 wird —0 für x= = 0,751 und zum analytischen Maximum für Q = 0, d. i. für x = j l = 0,3751, und zwar ist

16. 31ax M = + gl* =z + 0,07036gl*.

Das absolut grösste Moment findet an der Mittelstütze statt; dasselbe ist ebenso gross, wie das grösste Moment bei einem einfachen Träger mit derselben Spannweite l, nämlich — j gl*.

§. 112. Einfluss der zufälligen Last. Wir setzen auch hier nur einen konstanten Querschnitt, gleiche Feldlängen und gleich hohe Stützen voraus.

Fig. 198.

a) Transversalkräfte.    + o_

Das positive Maximum von Q    f—~~—^111 llllllllBlllllllllllll lllllll

-L-

-X-

= <l

tritt ira I. Felde ein, wenn nur der rechte Theil des I. Feldes belastet ist (Fig. 198). Für diese Belastungsweise wird nach Formel 2 und nach 43 A

(S. 115)

•5 an, _ P V - *²)2 4    161²

Setzen wir nun in der ersten der Formeln 8 (S. 146) Ml — 0, M“ = Jf,, so ergibt sich nach gehöriger Vereinfachung:

M. — —

p (l — x)'¹ (i -f xY

-*T~

iy

17. max (+ Q) =

Bei gänzlicher Belastung ist nach Formel 14 Q = jP(3l— Sx); nach Formel 9 (S. 146) wird daher nach gehöriger Vereinfachung

18. max (— Q) — —

p l.

1 i -, % m X<1

Je \1 + 10U

7⁴/

pl.

b)    Stützendriicke. Der Stützendruck auf die Stütze o wird zum Maximum bei Belastung des ersten Feldes; derselbe ist maxD₀ = ■— pl. Der Stützendruck auf die mittlere Stütze wird zum Maximum bei gänzlicher Belastung beider Felder; derselbe ist maxDl = pl.

Der negative Stützendruck auf die Stütze o wird zum Maximum bei Belastung des zweiten Feldes; derselbe ist max (—D₀) = pl — JL pl = —jß pl. Wenn auch das Eigengewicht wirkt, so wird max (—D₀) = -f- gl — ^ pl, so dass Da in Wirklichkeit nur negativ werden kann, wenn jgP>-j g oder p > 6g ist. Ein negativer Druck auf die mittlere Stütze kann nicht entstehen.

c)    Momente. Wir unterscheiden im I. Felde die durch den Fixpunkt getrennten beiden Theile.

Erster Theil. M wird zum negativen Maximum, wenn nur das zweite Feld, zum positiven Maximum, wenn nur das erste Feld belastet ist (Fig. 199 a). In beiden Fällen wird nach Formel 2, da 937' -f- 9)7/ = jg p I* zu setzen ist,

Daher wird nach den Formeln 15 (S. 151) :

Fig. 109.

-M

19. max (— 31)

€Z

16 l

pl'¹.

20. m ax (+ 31)

ZV

TëPj{⁷-⁸l)pP-

Zweiter Theil. Nach

<--è-

-M

firnu

Formel 12 (S. 131) wird, wenn wir b = ~ l setzen:

<•

belastet (Fig. 1995). Daher ist ÜDD =    '2l    ^

setzen. Nach Formel 2 wird daher

21. gx — l \/~ 5—4—.

Für das negative Maximum ist der linke Theil des ersten Feldes bis zu x — %x und das ganze zweite Feld

, 9DV' = ja zu

M< = - ïfr»+ ****’ - 5⁴)

und nun nach der zweiten der Formeln 17 (S. 151):

4 so ergibt sich nach

max ( — Jf) = —

Setzen wir nach Formel 21 |² = P ^5 gehöriger Vereinfachung:

22. max (— 31) — —

QC kl

(iaf-»o + sÿpP.

Für gänzliche Belastung beider Felder wird nach Formel 15 M = — j px [4x — 31); daher ist max (-f- M) = — ~ p x (4 x — 31)

+ j pl {l3x — 201 + 8^), oder 23. max (-f- 31) —

+    ~ *°+sl~xl

pl\

§. 113. Tabellen. Nach den in den beiden vorigen Paragrafen aufgestellten Formeln sind die folgenden Tabellen berechnet.

Transversalkräfte.

Transversa Ikr aft

Einfluss von g

Einfluss von p

max

<4 Q'i 1 max (— Q)

0,1

0,2

0,3

0,375

4 0,375 4 0,275 4 0,175 + 0,075

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

..

0,4375

0,3437

0,2624

0,1932

0,1401

0,1359

0,0898

0,0544

0,0287

0,0119

0,0027

0,0625

0,0687

0,0874

0,1182

0,1401

0,1609

0,2148

0,2794

0,3537

0,4369

0,5277

0,6250

.gl

.pl

. pl

Stützendruck.

max (-f- D₀) = 0,3750gl -j- 0,4375pl\ max (+ D,) = 1,25 (g 4- p) l-max (— Dn) = 0,3750gl — 0,0625pl.

Momente.

Moment

Einfluss V. g

Einfluss von p

maxi-f- M)

max (— M)

4-

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,75

+ 0,0325 4 0,0550 4 0,0675 -j- 0,0700 4- 0,0625 -f 0,0450 -f 0,0175

0,8

0,85

0,9

0,95

0,5423

0,7454

0,8885

— 0,0200

—    0,0425

—    0,0675

—    0,0950

—0,1250

0,03875

0,06750

0,08625

0,09500

0,09375

0,08250

0,06125

0,04688

0,03000

0,01523

0,00611

0,00138

0,00625

0,01250

0,01875

0,02500

0,03125

0,03750

0,04375

0,04688

0,05000

0,05773

0,07361

0,09638

0,12500

.1

.1

• gl²

.pi*

Eigengewicht : max (-j- M) = -j- 0,07031 gl* für x = 0,37501. Zufällige Last: max (-j- M) — -f- 0,09566pl* für x = 0,43741. Mittlere Transversalkraft mittQ = 0,2656gl -f- 0,3287pl.

Mittleres Moment .    . mitt M— 0,04948 g l" -f- 0,07666pl*.

In den Figuren 196& und 197 & sind die Transversalkräfte und Momente bei gänzlicher Belastung beider Felder, sowie die Maxima von Q und M dargestellt.

§. 114. Trapezträger mit konstantem Gurtquerschnitt.

Um ein Beispiel für die allgemeine analytische Behandlung bei variablem

Trägheitsmoment des Quer-

«s--

___^ Schnittes zu geben, behandeln

wir einen Gitterträger mit zwei gleichen Feldern mit geraden, aber nicht parallelen Gurten konstanten Querschnittes (Fig. 200). Ist die Höhe an den Enden = ha, an der Mittelstütze h,, so ist allgemein hl = h₀l -j- (\ — \) x und bei dem Gurtquerschnitte f

24. I =

lżfw = ^f[h+(K - K)j]

Für das mittlere Trägheitsmoment J₀ wird zunächst *)

Ts r-*

Jdx

o

21

'S

[h₀l -f- (hx — h₀) xf

_*_(± __ M ₌_

folglich

f (ht h₀) yhx h₀ / fh₀hx

25. I₀ = ~fh»Kt.

Der Koeffizient a wird nun unter Vernachlässigung des Einflusses der Schubspannungen nach §. 56 und 57:

i

x *dx

3In C x*dx 3hnh.

i*₀¹ + (*i— ho) xr

21

J ~r~ —

0

__r \___k , k

2(\ — h₀)² LA, — K \ — h₀ \

3h₀ hl

2h    1

—~ (lognathxl—lognathQl)

i 'h    J

!) Es ist allgemein:

b (a -f 6 x) 1 r a + bx - 6? b

2 a    "1

lognat (a -f 6*)    + Const.

p dx _ _

J (a + b*)*

(a + bxY

-f- Const.

a -J- bx b

0,1    0,2171    0,02918

0,3750    0,7500

0,3992    0,7016

0,4093    0,6814

0,4157    0,6686

0,4206    0,6588

0,4246    0,6508

0,4280    \    0,6440

0,4308    ;    0,6384

0,4333    !    0,6334

0,4354    0,6292

0,4375    0,6250

0,1250

0,1008

0,0907

0,0843

0,0794

0,0754

0,0720

0,0692

0,0667

0,0646

0,0625

oder

1 ^ l°9nat r¹! -1 K — K *    h₀ J

r ~ł~

0. — ho)'¹ L K

Für eine gänzliche gleichmässige Belastung eines Feldes wird nach der vierten der Formeln 6 (S. 94), da 907 = j* qx(l — x) zu setzen ist¹)

26. cc =

x² (l — x) dx

xa (l — x) dx _qh„h, Ç

P J [h₀l + Oh — K) *]

ö

d. i. nach Ausführung der Integration 27. m =ql²

2(hl — h₀)³ [

hnh}

2h₀(h»+ 2hx)

lofjnat J.

hx Ji₀

In folgender Tabelle sind die hiernach für einige Verhältnisse von h0 zu hx berechneten Werthe von a, 907' und Mx zusammengestellt.

0,2    0,3706    0,04485

0,3    0,4923    0,05530

0,4    0,5943    0,06284

0,5    0,6822    0,06853

0,6    0,7596    0,07290

0,7    0,8287    0,07643

0,8    0,8911    0,07922

0,9    0,9479    0,08162

0,08333

. qP

.qP

• qi

Die Werthe

Die Stützendrücke werden bei gänzlicher Belastung des linken Feldes Da = lql +f, D, = | ąl - D, = M'

von D₀ und Dx sind in der vorigen Tabelle mit angegeben. Bei gänzlicher Belastung beider Felder werden Mx und Dx doppelt so gross.

Bei Belastung durch eine Einzellast G, welche im linken Felde im Abstande | von der Stütze 0 liegt, wird für die linke Seite 9ftl = G (I — I) x, für die rechte Seite = *$11 = 6r| (l — x), daher

i) Es ist allgemein: x³ dx

Sa2 !*“

lof/nat (a + i>æ)J

a³x

i rx²

= 6Ï LT “

b (a ■+• bx) Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

(a + b x)³

b³

+ Const.

15

s»- =    [(ï - ej -p + iJ

⁰    ś

x (l — x) dx

2GIn f₇ Cx*a

— uJ

o

«. f x^dx , T ^ Cx dx 1

O “T- + *0 T-J-

⁰    I

Setzt man J₀ =

Ausführung der Integration:

AA* ^ = i f[}lol + A — A>*T, so gibt die

Xh—K^ l2 h° I l°gnat F₀ ~ 2h° lo9natĘ-0h-K) f lognat

wenn h die Trägerhöhe an der Stelle bezeichnet, an welcher die Einzellast liegt. Nach der Formel 2 wird jetzt, wenn man auch den Ausdruck für a einsetzt,

2h₀ J — ha l

28. M' =

29. Mx = — Gl

lognat + t lognat 77

«O V    /i

hx —hn

lognat ,r

2 (h + h>

Ugnat

— K

Die Tabelle auf folgender Seite enthält die Werthe von Mx für einige Verhältnisse von h₀ zu hx und £ zu l.

Für hQ — 0 ergibt sich sehr einfach

30. Mx = ~ Gl ^ lognat \ ,

4    l    t

wenn man beachtet, dass

lognat x

für x — 00 die Form — annimmt;

-^ = ö. In Fig. 201 a sind die

Einflusslinien für Mx dargestellt und zwar für ho — 0 0,2 0,4 0,6 0,8 l.hx. Alle Linien haben an der Mittelstütze G eine gemeinschaftliche Tangente, da sich nach dem Ausdrucke 29

für % = l ^

die Stützendrücke ergibt sich jetzt: D₀ l = G (I — I) M.

G£ + 2MX, D₃l = Mr Die Einflusslinien für D₀ und D, sind in Fig. 201 & dargestellt und zwar für h₀ = 0 0,2 1. hx. Alle Einflusslinien für D haben an der Mittelstütze eine gemeinschaftliche horizontale Tangente. Die weitere Behandlung, auch die Untersuchung des Einflusses der Höhenlage der Stützen, ist jetzt ohne Schwierigkeit durchzuführen.

es wird daher

lognat x d lognat x _

Fig. 201.

dx

r..--

oy

oJ

-v

= — jG ergibt. Für

DJ =

to

CS

to

OS

00

0,1609    0,1833    0,1532    0,0892

0,0902    0,1337    0,1291    0,0826

0,0710    0,1137    0,1172    0,0796

0,0601    0,1007    0,1086    0,0767

0,0532    0,0913    0,1018    0,0756

0,0480    0,0840    0,0960    0,0720

. Gl

Die von uns vorausgesetzte Trägerform wurde zuerst von Baensch für eine gänzliche gleichmässige Belastung untersucht (Zeitschr. für Bauw. 1857). Eine Trägerform, bei welcher sich die Trägerhöhe nach dem Gesetze hP = h₀P -j-(ht—h₀)x(2l — x) ändert (parabolische Gurte) wurde von Michaelis untersucht {Verhandelingen van het k. Instit. van Ingenieurs, 1867—1868.

§. 115. Träger von konstanter Höhe, aber veränderlichem Querschnitte. Bei konstanter Höhe h kann man für einen Gitterträger

i f»

setzen. Wenn man nun unter irgend einer Annahme, etwa eines konstanten Trägheitsmomentes, die Spannungen in den Gurten und hiernach f bestimmt, so kann man nach §. 62 und 63 die genauere Behandlung durchführen. Wir wollen hier noch eine allgemeinere Behandlung durch Einführung eines Näherungsgesetzes für 1 geben.

Wir setzen unter Annahme zweier symmetrischer Oeffnungen bei gänzlicher gleichmässiger Belastung mit g -f- p pro Längeneinheit

31. Mx = — h (g + p) l*.

Alsdann ist bei blosser gänzlicher Belastung der linken Oeffnung

— k(g + \ v ) z²-

Bei dieser Belastung entsteht innerhalb der Fixpunkte der linken Oeffnung (zu denen die linke Stütze gehört) das grösste positive Moment.

Dasselbe ist M — j {g -f- p) x (l — x) Ą- A/x y oder

33. max (-f- M.) =    [(1 — 2h) gl -|- (1 — h) pl (g -f- p) x\ x.

Dieser Ausdruck gilt bis zu dem Punkte, in welchem für eine gänzliche Belastung beider Felder oder für das Eigengewicht M = 0 wird.

15*

Bezeichnen wir das «dieses Punktes mit xv so wird 0 — (1 — 2k)l— xlT also

34. xt = (1 — 2 k) l.

Für x > xt ist das negative Maximum von M grösser, als das positive. Der genaue Ausdruck für dasselbe ist indess weniger einfach. Wir wollen deshalb annähernd

max (— M) = (Al — Bx) x Fig. 202.

setzen. Wir bestimmen die Konstanten A und B so, dass der Werth von max (- M) 3* für x —■ xt und x = l richtig wird. Für

wird max (— M) = — max(-4- M) = -j p [(-Z k) l x\\xi — — j kplxt und für x — l wird max (— M) = — k (g -f p) P. Demnach ist zu setzen j (A — B -j- 2 kB) Ix, = — j- (A - B) l* = — k (g + p) l* oder

A — B -j- 2k B    — kp,

A — B

Hieraus folgt A = (1 — 2 k) g + j- (1 — 4 k) p und B = g + \ p, .mithin

35. max (— M) =    [-2 (1 — 2k) gl Ą-(1 — 4k) pl — (2g -j- p) x] x.

Setzen wir nun zur Abkürzung

a — (1 — 2k) — -j- (1 — k)

ÖS

<-—..............—^

<-

x = xt

CO

->

kp l x. und

= — 2k (g -f p).

b =1,

at= (1 — %k)    +

als0 =

2K

6,=

9 _i_P_

q ^2q

, wobei das Zeichen — für

und f =

«<«!, das Zeichen -f- für « > x, gilt, so wird, wenn wir noch jJL. = G setzen (Fig. 202) :

37. sc<I=C(al — bx)x\ x > xx\ 1= —    — b^xx) xx.

Hiernach wird nun ')

i) Es ist

6 *) + Const.

(I — x) dx

a l — bx

— A    I lognat (at —> 6x) + Const.

vy

rx(l — x) dx _ (a — 6) J ż    ,

J al—bx ~    6²

a(a — 6) i¹

b>

lognat (al — 6 x) + Const.

38. a =

31

Si

Cl³

*1

o [f

³ U <

o

ce dx

x dx

al — bx

axl — bx xx

, d. i.

JL

axl — bx xx

îFï*o

al— bxx l — xx axl

⁺ ~T““

lognat

und für gänzliche gleichmässige Belastung des ersten Feldes

67³

{ax—bx)l

*i

EP

ö

_

“ cp

cp L

(a, — bx)l(l — xt) l* — x,² a,(ax—b, )P

ätt'

x (l— x) dx al — bx

x (l — x) dx

axl — b xx l

, d. i.

®.a

b* Jr2bJr

a (ia — b) P

b³

lognat

al — bxx

ax l — b, xx j

(a, — bJT] '

— m, — — n, so wird a = 1—km <1

a\ — j m — bx — - m. Für gänzliche Belastung beider Felder

• j    tut    ÄSW¹ ,    .

wird nun Mx = —d. l.

: r.k '

2bx

bx³

lognat

Setzen wir zur Abkürzung

3g + p

40. Mx —

f; ■    J

a AĄ-km (1 — km) lognat -

q l

— km

kn

8k(m — 4k)

m³

lognat

B-\-(l — km) lognat — wenn zur Abkürzung gesetzt wird

ü ¹

— km

2 (m — 4k)

41.

m¹

2

lognat ——

2—m

+    &m²(£+m)“t“2APm(£+m+m²)J,

B — —- [2k (2 + m) — w].

kn

Da nun Mx = — kql² werden muss, so erhält man zur Bestimmung von k die folgende Gleichung:

•    __- J<^2/

42. 2kB—A-\-k{2 — m)(l — km)lognat

4k(2 — m){m — 4k)

m³

lognat “— = 0, u 2 — m

die natürlich durch Probiren aufzulösen ist.

Wenn p = 0 ist, also das Eigengewicht allein wirkt, so wird = 2, n — 0. Die beiden Glieder mit den natürlichen Logarithmen erscheinen dann in der Form 0. oo; in bekannter Weise findet man, dass diese Glieder 0 werden. Es bleibt also 2kB — A = 0. Für m = 2 aber wird A = j — 6k -f- 12k*, B = — 1 ék. Dies eingesetzt, gibt 8k* — 8k + 1 — 0 oder

= 0,1464.

2 — V2

43. k =

Für g — p oder m = 1,5, n — 0,5 ergibt sich k — 0,1392. Für g = 0 oder m — 1, n = 1 wird k — 0,1346. Allgemein wird hiernach nahezu

44. k = 0,1458 9- + 0,1340

q    q

In dem Falle ungleicher Höhenlagen der Stützen tritt nur der Unterschied ein, dass nicht mehr der Ausdruck 40 für Ml = — kgV¹,

sondern der Gleichung 2 entsprechend, dieser Ausdruck = — kgV¹ — zu setzen und aus dieser Gleichung k zu bestimmen ist. In der Gleichung 42 ist dementsprechend auf der linken Seite -f-2CEly = ?~^—

hinzuzufügen. Für p = 0 ergibt sich, wenn man zur Abkürzung Ekgly = 8Ks setzt,

2 +2£ — V 2 + 8S + 4Sl

45. k =

Wenn sich die Gurte durch staffelförmige Anordnung und durch Verstärkungen der zu schwach erscheinenden theoretischen Querschnitte mehr dem konstanten Gurte nähern, so nähert sich natürlich k mehr dem betreffenden Werthe für einen konstanten Querschnitt, bei gleicher Höhenlage der Stützen also mehr der Zahl 0,1250. Namentlich bringt die Verstärkung der Stelle D und E, an welcher für das Eigengewicht M = 0 wird, eine wesentliche Veränderung von k hervor.

Hat man den Werth von k und damit die Werthe von a, &, av b, bestimmt, so kann man auch leicht den Einfluss einer Einzellast unter-

f (l — x) d x J al — bx

r ,

suchen, da die vorkommenden Integrale zu behandeln sind.

und

leicht

x dx — bx

Die Träger konstanter Festigkeit bei konstanter Höhe und bei gänzlicher gleichmässiger Belastung aller Felder wurden zuerst von Grashof (Die Elastizitätslehre, I. Aufl., Berlin 1866) behandelt; etwas vervollständigt wurde diese Behandlung vom Verfasser (Die Lehre von der Elastizität und Festigkeit, Prag 1867). Angaben von Koeffizienten für derartige und andere Trägerbei Drehbrücken macht Frankel im Handbuch der Ingenieurwissenschaften, II. Band, Brückenbau, II. Abth., Leipzig 1882.

§. 116. Günstigste Höhenlage der Stützen bei konstanter Trägerhöhe. Wir wollen nur zwei gleiche Felder voraussetzen.

3. Günstigste Höhenlage bei konstantem Querschnitte. Das absolute positive Maximum des Momentes tritt im ersten Felde bei gänzlicher Belastung dieses Feldes ein, während das zweite Feld unbelastet ist. Hier ist in Formel 2: 9JU = jgigĄ-p)^^ äft," =    zu setzen;

es wird sonach

Das absolute negative Maximum von M tritt an der Mittelstütze bei gänzlicher Belastung beider Felder ein. Da hier 907' = äft,“ = jjf(g + p) P zu setzen ist, so wird

3 Ely

48. Max (- M) = M, = — ~ {g + p) P +

Setzt man die absoluten Werthe beider Momente gleich und ordnet nach Potenzen von y, so erhält man als Gleichung für den zweckmässigsten Werth von y

9E'xl'iy'¹    3EI (22g -f 23p) y    (28g²    44gp 4- 13p¹) P „

F ¹    8P    Me    ~

oder

49. y —

(2 g ~4~ p) P . 3 Ely 16

Für einen beliebigen Querschnitt ist das Moment M— D₀x — ~(g -j-^)

M wird daher zum Maximum für x —    dasselbe ist Max(-\- M)

Nun aber ist Mx = D₀1 — j (g -f- p) l², also

1 la , „W ,    _(«0 + W 3Ely

y (ÿ + P) l + T je + —p—.

(6fjf + 7j») i 3-EJj/T

46. M, — -

TV

* (0 + 1») '

folglich

47. Max (-J- üf ) = +

2(gr+jp)

i6*

(— 22g - 23p + 4V32(f + 66gp+ 34p¹) l*

48EI

Hiernach wird y stets positiv, so dass eine Senkung der Mittelstütze anzuordnen wäre. Für die beiden Grenzen g—O und p — 0 wird hiernach:

4V34 — 23 ql⁴

ql*

48

EI’

Max M = 0,1048ql²,

- ⁸    —¹¹ ill

24

E1 = 0,01307

ql⁴

El’

MaxM == 0,0858 qP.

Die Yergrösserung des positiven Maximalmomentes beträgt hiernach 9,5 bis 22,1 Prozent, die Verminderung des negativen Maximalmomentes 16,2 bis 31,3 Prozent. Die Transversalkräfte verändern sich hierbei um 0,0203ql bis 0,0392ql, wobei sich im I. Felde die positiven vergrössern, die negativen vermindern; die Aenderung der positiven Maxima von Q beträgt 4,6 bis 10,5 Prozent, die Aenderung der negativen Maxima 3,3 bis 6,3 Prozent.

2. Günstigste Höhenlage bei veränderlichem Querschnitte. Die für verschiedene Senkungen und Hebungen nach §. 89 und 85 unter der Voraussetzung eines konstanten Werthes von I bestimmten mittleren Momente und Transversalkräfte sind in folgender Tabelle zusammengestellt:

Mittleres Moment mitt M

Mittlere Transversalkraft mitt Q

Senkung. Hebung.

—    0,050

—    0,025

+ 0,025 + 0,050

0,2806    0,3455

0,2725    0,3365

0,2656    0,3287

0,2600    0,3236

0,2556    0,3205

0,0499    0,0745

0,0488    0,0709

0,0495    0,0708

0,0520    0,0744

0,0566    0,0829

qV

3EI

• gl

. pl

.gl'¹

.pl²

Hiernach erhält man nahezu allgemein, wenn man zur Abkürzung = x setzt,

mittM= [{0,0495g -f 0,0708p) + {0,201g + 0,252p) y

50.

+ (13£ g + 28,4p) Xs] l\ mittQ = [{0,2653g \ 0,3287p)—0,75{g+p)y + {9,0g+15,5p) x²]Z.

Würde es auf die Momente allein ankommen, so würde die vortheil-

d mitt M

hafteste Höhenlage diejenige sein, für welche Hebung von der Grösse:

_ 0,201g + 0,252p gl4 * J 27,0 g + 56,8 p EI'

Für g — 0 und p = 0 wird bezüglich y = 0,0044

y — 0,0075    das mittlere Moment würde hierdurch um bezüglich

0,6 und 1,4 Prozent vermindert, während die negativen Maximalmomente bezüglich um 10,6 und 11,7 Prozent vergrössert würden.

ds

= 0 wird, d. i. eine

qV

und

Wie bemerkt, ist bei Bestimmung von mitt M und mittQ der Werth von I konstant vorausgesetzt. Eine genauere Bestimmung würde nach dem vorigen Para-grafe zu erfolgen haben. Indess ändern sich unter der Voraussetzung eines veränderlichen Querschnittes bei konstanter Höhe die Werthe von mitt M und mittQ nur sehr wenig. In dem Falle einer gänzlichen Belastung beider Felder ist unter der Voraussetzung eines Gitterträgers von konstanter Beanspruchung in allen Querschnitten eine genaue Behandlung möglich, wie bereits im vorigen Paragrafe an-

geführt wurde. Durch dieselbe ergibt sich, dass sowohl bei einer Hebung, als bei einer Senkung der Mittelstütze eine Vermehrung der Materialmenge eintritt, dass also die kleinste Materialmenge für y — 0 entsteht (Winkler’s Lehre von der Elastizität und Festigkeit, Prag 1867).

§. 117. Einfluss der Wärme. Setzen wir eine symmetrische Anordnung beider Oefihungen voraus, so wird lx = l, ßt — a und die Gleichung 5 (S. 171) gibt

52. M, =

3EI£t 2 (Zh

M

Jeder Stützendruck auf eine Endstütze ist nun D₀ = D(i = —¹ der Druck auf die Mittelstütze D, = — 2 -p Das Moment in einem beliebigen Querschnitte des ersten Feldes wird

M=D,w = M,

Bei konstantem Querschnitte jedes Gurtes eines Gitterträgers würde I₀= j fh*. Da hier a = 1 ist, so wird Mx = j Estfh. Die grösste spezifische Spannung N wird hiernach

53. JV =

fh ~~ 4 BBt'

Für E = 2000 Ton. pro Qcm, s — 0,000012 wird hiernach N = 0,018 t, also für t = 10°: N = 0,18, d. i. ungefähr 2d Prozent der Beanspruchung durch die Belastung.

§. 118. Verbindung mit einem Dreiecks-Hänge- oder Sprengwerk. Das Dreiecks-Hänge- oder SpreDgwerk, durch welches

Fig. 203.

der Balkenträger in seiner Mitte unterstützt werde, be-

stehe aus einem Spannriegel AB (Fig. 203) mit der    g

Querschnittsfläche F,

Zugbändern oder Streben mit der Querschnittsfläche F, der Länge I

Neigungswinkel r und einer Vertikalen CE mit der

zwei

dem

\t

;X

Fi

Länge q und der Querschnittsfläche f. Der Balkenträger kann hierbei auch gleichzeitig als Spannriegel wirken. Die Spannung sei bezüglich H, N, V, also die Längen-

änderungen bei gleichem Elastizitätskoeffizienten E bezüglich

SX Vt)

EF’ Ef'

2 Hl EFa ’

Ein in C auf CE geübter Druck 1 erzeugt bezüglich die

Spannungen —~ cotan x, -f ^ cosecx und —1. Die Senkung y des Punktes D findet man somit nach dem Prinzipe der virtuellen Arbeit durch die Beziehung 1. y = —

wenn Ev Eq, E₃ die bezüglichen Elastizitätskoeffizienten bedeuten.

Wenn der vom Balkenträger in G geübte Druck = D ist, so wird

1 1 — D cotan x, S = + k D cosec x, V =

54. H = -

Dies eingesetzt gibt

2 Hl

2EtFa

cotanx -f-

281

2E,F

cosec x

Vy

EJ’

- 1).

⁵⁵- y = Ei

D,

wenn man zur Abkürzung

56. A —El

l cot art¹ X . h cosec* T ~2EX F~~ ⁺    2 Eç F

*£r)

setzt, worin E den Elastizitätskoeffizienten des Balkenträgers bedeuten soll. Bei der Konstruktion Fig. 203 & ist natürlich Ex — E. Nach der Gleichung 28 (S. 104) wird nun

57. D = ® —

2MX

wenn ÜD den auf C geübten Druck für den Fall bezeichnet, dass statt des kontinuirlichen Trägers AB zwei Einzelträger AC und BC vorhanden, wären. Die Gleichung 2 geht hierdurch über in

3(W + 3ftt“) , 3Aly® 6AlnMx

Mx = -

cd³

alA

Somit wird

58. Mx = -

3 (9JM- 3»,^) — 2y,a®i 4a\i + x)

3<9Jl' + 3tt,")+ 2a%i

2& (1 + 71)1

59. I) — +

wenn man zur Abkürzung setzt:

6AI₀_61₀ (El cotan-T

ai* — ai³ V ^E~Fn

Hiernach ist bei jeder Belastung D positiv, so dass B und hiermit auch E, 3 und V am grössten bei gänzlicher Belastung beider Felder wird. Bei gänzlicher gleichmässiger Belastung mit g -\- p pro Längeneinheit wird unter Voraussetzung eines konstanten Querschnittes (ct — 1):

3K' = an," = à {g + p) l\ ® = (g + p) l, folglich . R, ,r _ il-éXHg + p)?

' —    8 (1 + X)

Für das Moment in einem beliebigen Querschnitte wird Ml =

i (g 4- p) lx {l — x) 4- Mx, d. i.

60. X =

EJ)'

Eh cosec* T , Erj

2E„F

I) =

A (ff + P) l

4(1 + 70

62. M = (ff +P) M

s(* + x)

[(3+8X)i-4(i + X)4

Für x = 0,25 wird Mx = 0. Hier verhält sich also der kontinuir-liche Träger bei gänzlicher Belastung beider Felder ebenso, als wenn er bei C getrennt wäre.

Liegt im linken Felde eine Einzellast G im Abstande g von der Stütze A, so wird M'l — ' G I (!»—Is), 3ït,"=0, toi = Gl folglich

63.    =    r>=

Gj (31* ~i')

21³{1 + -K) '

Dieselben Ausdrücke gelten auch noch, wenn die Einzellast G im zweiten Felde im Abstande £ von der Stütze JB liegt.

Für einen Querschnitt des ersten Feldes im Abstande x von der Stütze A wird nun, wenn die Last auf der linken Seite des Querschnittes liegt, Ml — 6r| (l — x) -f- Mxx und wenn sie im ersten Felde auf der rechten Seite des Querschnittes oder im zweiten Felde liegt. Ml = Gx {l — g) -f- Mx x. Demnach wird

Last links:

64.

Last rechts:

31=

Gx£[l-2yi)l'i-£»]

4 <1 + X) l3 G(l-£)x _ Gx£ [(1 -2x)l*~ £*lj l    4 (1+ X) l3 y

Last im zweiten Felde : M —

_ Gxjjjl - 2x)f¹-.4ł]

4 (1 + X) l³

wobei im zweiten Felde £ den Abstand von B bedeutet. In Fig. 204 a sind hiernach die Einflusslinien für x — 0,25 dargestellt (für x = 0 zeigt Fig. 197 a die Einflusslinien). Für die Lage der Last im I. Felde wird M nur positiv, wenn der Querschnitt innerhalb der Strecke AD liegt, wobei der Punkt D durch die Bedingung bestimmt

Fig. 204.

ft

o-

1) CE

jwül

dM

ist, dass für die Lage der Last auf der linken Seite sein muss. Dies gibt

(für g = 0) =0

65. A D = xx —

4 (1 x)l 5 4- 2x '

Im zweiten Felde gehen alle Einflusslinien durch denselben Punkt F. Nach der dritten der Gleichungen 64 wird

- 66. <B F —    = l JÄ2 — 2x.

Wenn x = j ist, so wird BF = 0 und AD = l. Ist x > y, so kann für jeden Querschnitt eines Feldes bei Belastung dieses Feldes M nur • positiv werden.

Für eine gleichmässige Verkehrsbelastung ist für das positive Maximum von M die Strecke CF, für das negative Maximum die Strecke B F des rechten Feldes zu belasten. Für die blosse Belastung des rechten Feldes ergibt sich leicht durch entprechende Integration des dritten der Ausdrücke 64:    ;

max (-(- M) — 4"

■p*(P-S,*) [(4X-1) P-M,²] 16 (2 + x) l³

max (— M) = —

16 {1 4 *) l*

oder, wenn man den Ausdruck 66 für einsetzt,

(l — 27C)²plx

76 ( 2 -f- X)

yCplx

4(2 + X)

Für einen innerhalb der Strecke AD liegenden Querschnitt ist hinsichtlich des positiven Maximalmomentes das linke Feld ganz zu belassen. Für diese Belastung ist W' —    =    £> = ypl,

also nach Formel 58

67. max(-\- M)~4

, max(—M)—

(1 — 4x) pl~

16 (1 +~jö~‘

Für einen beliebigen Querschnitt wird Ml = ~plx (l—x)-\-Mtx, d. i.

4/, = -

px

68. max (+ 31) = l6a^

Für einen innerhalb der Strecke CD liegenden Querschnitt dagegen ist vom Nullpunkte der Einflusslinie aus bezüglich der rechte oder linke Theil zu belasten. Dabei ist das £ des Nullpunktes nach der ersten der Gleichungen 64 bestimmt durch 4 (1 + x) l² {l — x) — x [{1—2x) V¹— £²] = 0 oder

[(7 + 2£X) l - 8(1 + X) x).

69. £ = l (Ô + 2x)

— 4 (1 + x) — .

Durch entsprechende Integration erhält man p (l — a?)£²

max (— M) —

pxg² [2 (1 — 2x) V¹ — g²]

21

16 (.1 4 x) l*

oder nach Einsetzung des Ausdruckes von £

plx

Das positive Maximalmoment erhält man jetzt am besten nach der Regel max (-j- M) -f- max (— M) — Mt, wenn Mt das Moment für die Belastung des ganzen ersten Feldes (nach Formel 68) bezeichnet.

Die Kurve für die Mäximalmomente ist hiernach in Fig. 204b für x = 0,25 dargestellt.

Das wirkliche positive Maximum von M unter Berücksichtigung des Eigengewichtes und der Yerkehrsbelastung erhält man durch Addition der Ausdrücke 62 (p = 0), 67 und 68 zu

[{(6+J6X)» + (y+28X+4X⁵)p!i — S(l + X) (ff+ A>)*1.

Ï6(Z+X)

71. max{Ą-M)=

Das absolute Maximum ergibt sich hiernach zu

72. Max (+ M) =

[(«+z<?x) g + (y + rax-Mx'» pY p

512 (l + x)Mör + 2>)

Durch Bestimmung von Max (-(- M) für einige Werthe von x ergibt sich, dass sich annähernd, indess ziemlich genau, setzen lässt:

73. Max (+ M) = [{0,0703 + 0,216%) g -f- (0,0957 + 0,144%) p] l\ Das absolute negative Maximum von M findet an der Mittelstütze statt. Nach den Ausdrücken 61 und 67 wird dasselbe

[(i — 4x) g + il — zkY p] V

«(Ï+X)

74. Max (— M ) = —

Indess ist der absolute Werth von Max (—M) in der Regel kleiner, als der von Max(-\- M).

Bei der Untersuchung ist die bei der Konstruktion Fig. 203 & im Balkenträger wirkende Axialkraft vernachlässigt, da wir in diesem Hefte auf die Fälle, dass ausser den Norinalkräften auch Axialkräfte thätig sind, nicht eingehen wollten. Wenn indess die Zugbänder AE und BE mit dem Balken durch Bolzen verbunden sind, welche in der Axe des Balkens vertikal über den Lagern liegen, so können die aufgestellten Regeln immerhin als Näherungsregeln angewendet werden.

Diese Konstruktionen wurden zuerst mit Rücksicht auf die ungünstigste Belastung behandelt von Frankel (Schiebebühnen und Drehscheiben, Prag 1872) und Mel an (Zeitschr. des österr. Ingen.- und Arch.-Ver. 1876).

XIV. Kapitel.

Träger mit drei Feldern.

§. 119. Stützenmomente. Wir wollen eine symmetrische Anordnung des Trägers voraussetzen, so dass die Länge l₁ der beiden äusseren Felder gleich ist. Die Länge l des inneren Feldes sei = n\. Die

Gleichung 14 (S. 97) gibt sodann, da der Symmetrie halber ß₂ = a₂, ß₃ = «, ist,

1.

2 (a, -f- ncc„)Mx -f nyqMq = — 3 (207', -f- nS07₂"), nyqMx + 2 (#as + «,) iH₂ = — 3 (ra3tf's + 3»,M).

Die Auflösung gibt:

2.

M,= 4

6 QPI, '+n    ") (tt,+n aq)-3(n 9tt₂'+gtt₃") n yq

4 (ccx -j- na^'¹ — ri¹ y q 3 tfStt,'+ni;')n/,-6'(M9Ra'+    +

4 (^! + naq)'¹ + ri¹ yq

Bei konstantem Querschnitte wird «, =• a₂ = ys = i, mithin

Mt =

3.

jf₂ = 4

6 (9tt,' + n m,“) (1 + n) - 3 (n W,' + 8», “) n (2 + n) (2 + 3n)

3(W,'+nm₉“)n-6(nm₉'+ 2»,") (1 + n)

Wenn behufs Bestimmung der Fixpuukte die Felder unbelastet angenommen werden und das Moment an der Stütze 0 zu Null, das Moment M₃ an der Stütze 3 dagegen nicht = 0 angenommen wird, so ist 2 (ctl-\-nccq) Mx-\- nyqMq = 0 und nyqMt-\-2 (ax-{-naq) Mq-\-yxM₃=0. Hieraus folgt, da ft₂ Mt = — Mq, fi₃ Mq = — M₃ ist,

_ 4 (et, -j- ncc^y — ngy₂²

2 (a, + »ßä) yt

Da nun (I -j- j*₂) a₂ = l, (1 -f- ft₃) «₃ = lx und aq = \, a₃ — ist, so wird

#*a =

2 (a, -|- wa₂)

>    1^3

a.

2 (cc, + ncc^) y,

4.

h₌____

lx 2 (cCt + n ccj yK -f 4 {ax + n ccqy — ri*yq

«2 — &₂ —

112 (ccl -f- n c(jq) + nyq Bei konstantem Querschnitte wird

ffr,-&₃- 2d + n)

r lt ~ lx ~~ 6 + 10 n + 3n² ’ 5.

a₂_ö

nyq

2 _

l 2+ 3n"

Hiernach liegen diese Verhältnisse stets zwischen 0 und

§. 120. Einfluss des Eigengewichtes bei konstantem Querschnitte. Setzen wir in den Gleichungen 2:    = ^3=jg gl^,

2DV = 2Q7₂" = ~ g l*, so erhalten wir

ff O,³ + l³) _______

4(2lx + 3l)~    4(2 + 3n)

Die Transversalkraft wird im I. Felde nach Formel 3 (S. 143), wenn wir M' — 0, M“ = M, setzen,

6. Mx = Mq = —

1 + n³

ffh*-

5 + 6n + n3 4(2+3n) glx

’ «■■=+%e+s:; o'-

und sodann für einen beliebigen Querschnitt Q = QtJ—gx. Im II. Felde wird Mt — Mq, daher

Qi* =

⁸- Qi = + ffi*

Qx“ =

1 7 ~2gl

und für einen beliebigen Querschnitt Q = $₂' — gx = jg(l — 2x) wie beim Einzelträger.

Der Stützendruck D₀ auf die Stütze 0 ist = Qt\ Der Stützendruck l)l auf die Stütze 1 ist nach Formel 28 (S. 104): Dx' =

Q* — Qi‘\ d- i-

5 4- 10 n Sn* -f- n³

9. Dx =

9h-

4(2 -+- 3n)

Das Moment wird für einen beliebigen Querschnitt nach Formel 5 (S. 144) im I. Felde, wenn wir M‘ = 0, M“ = i/, setzen,

10. M — M.

T + T"⁹*

und im II. Felde, wenn wir M‘ = Mn = If, setzen.

11.    ilf, + ~gx(l - ar).

Transversalkräfte und Momente sind in Fig. 153 und 154 für l — l,2ll grafisch dargestellt.

§. 121. Einfluss der gleichmässigen zufälligen Belastung bei konstantem Querschnitte.

a) Transversalkräfte. I. Feld. Das positive Maximum von Q tritt ein,wenn Z\ der rechte Theil des

l.    Feldes und das III. Feld ganz belastet ist (Fig. 205). A *

Alsdann ist in Formel 2 9ÏÏ,' = p(l,² — x'y 121* ¹

m, " = o, wt₃" =

lïï^h

Daher wird, wenn wir noch zur Abkürzung ~ ~m setzen,

zu setzen.

Fig. 205.

-e

-h

iA-

-Jr-

Lr

-Q

2 {1 -\- m) (1 — m²)² —

n 7 2 -Pit*-

In den Formeln 8 (Seite 146) ist nun M‘ — 0, M“ — Mx zu setzen, daher wird    • u —

12. Mx = -

4 (2 if- n) (2 -f- 3 n)

13. max (+ Q) =

Pl i

Für gänzliche Belastung ist Q durch den vorigen Paragraf bestimmt ; bezeichnen wir dieses Q mit Qt, so ist max(—Q) = Qt — max(-\-Q).

II. Feld; Nach den Gleichungen 3 wird allgemein M„-Mx

* W + w (3V -    - ay ⁸

°    2 -f n    •

Das positive Maximum von Q tritt bei der Belastung des II. Feldes

ein (Fig. 205). Für diese Belastung ist äft/ = ~ plx², SÜDI,' == 0 und

px* (i — xy

nach 43 (S. 115)    =

61²

daher

Mt - Mx =

Nach 8 (Seite 146) wird demnach 14. max (+ Q) — -\-

1 — 2n³ m² (1 — m)²

4 (2 -f- m)

1 Ą- 2 n-(l — my {2 + n — nmq)

4n (2 -j- n)

plx.

Hieraus ergibt sich max(—Q) ohne Weiteres rdurch Verwechslung von m mit 1 — m und Veränderung des Vorzeichens; also ist

15. max (— Q) = —

1 + 2nr m'¹ [2 4- n — n (7 — m)²]

4n (2 + n)

b) Stützendrücke. Hiernach lassen sich nun auch leicht die Maxima

der Stützendrücke bestimmen. Für eine unmittelbare Ermittelung bestimmt man am besten zunächst die negativen Maxima. Für die Stütze o wird der Stützendruck zum negativen Maximum bei Belastung des II. Feldes;

für diese Belastung wird nach Formel 2 Mx —— 3 2n    3n)

npV _ n³piy

— ~ 4(2+3n) ~~ ~ 4{2 + 3n)' n³p Z,

X"    4(2 + 3n)'

tiven Maximum bei Belastung des III. Feldes ; für diese Belastung wird

3«2JZ₃"

(2 -j- n) (2 —J- 3 n)

6(2 + »)3Ät" '    (l + n)piy

(2 + n)(2 + 3n)~~    2 (2-t n)(2+ 3n)

Da aber Mx — D₀ lx ist, so wird D₀ —

Mi

Für die Stütze 1 wird der Stützendruck zum nega-

nach Formel 2 Mx — —

npiy

4 (2 + n)(2 + 3n)

D₀ (l 4- lx) -f Dx l ist, so wird Dx —    — D₀

_ (J4 n)Pli 4n(2 + 3ri)

Also ist

; da nun aber Mx =B₀lx, Mz = MĄI 4 h) _

ZZ,

max (— Z)₀) = —

Plv

4(2 + 3 n) 1 + ⁷¹

16.

max (~ 7>,) = —

plv

4 n (2 + 3 ri)

Durch Subtraktion dieser Ausdrücke von den Stützendrücken für gänzliche Belastung ergehen sich die positiven Maxima der Stützendrücke, u.zw. :

max (+ Z>₀) =

Pli,

3(2+ 3n + 2n²)

17.

4(2 + ri) (2 + 3ri)

plx.

max (+ Z>,) =

1 + 6n -f 10n² + 6n³ + nx

4 (2 -J- 3ri),

Wenn das Eigengewicht und die zufällige Last gleichzeitig wirken, so werden die negativen Maxima:

(3 + 6 n — n³) g — n³ p 4(2 + 3~n)    '

n (5 + 10n + 6n² + n³)g—(l + n)p

max (— D₀) =

18.

I,.

4n (2 + 3n)

max (— D,) =

Hiernach kann D₀ nur negativ werden, wenn

19.

9

3 + 6n — n³

n³

ist; ebenso kann Z), nur negativ werden, wenn

n (5 + Wn + 6ri¹ + n³)

20. >

9

ist. Hiernach ergibt sich für einige Werthe von n:

Fig. 206.

c) Momente.

-M

I. Feld. Erster

-X

■X-

-Jf

x......

+ M

Th eil. M wird zum positiven Maximum bei Belastung des IL, und zum negativen bei Belastung des I. und

III. Feldes (F. 206 a). Nach Formel 2 wird A bezüglich Mx — —

n³

4(2+3 n)

plx², Mt =

-Wpü)^’ da‘

....g...-)

her wird nach Formel 15 (Seite 151), wenn ^ wir M‘ = 0, M“=J\dl setzen,

21.

max (— M) — —

4 {2 + 3n) I

x , „ ~T~ Ph\

M) =+ [

i (* - ?)]

OC j q

tp\\

4(2 + 3n)

Zweiter Theil. M wird zum positiven Maximum, wenn der Zug von der linken Stütze bis zu

reicht und das II. Feld ganz belastet ist (Fig. 2065). Nach Formel 2 wird für diese Belastungsweise, wenn wir = £D7a" = ^plq und = 0 setzen,

M.

24 (1 + n) 3?i,' + (2 + n) n³plx“

(2 + n) (&. -f- -2n)

Hierbei ist nach Formel 42 (Seite 115):

p£*(2lt*—l*)

121,-

Nach der zweiten der Formeln 17 (Seite 151) wird nun

23. 3Ä' =

= js[¹

b. ²a?²

24.

max (— M) — M,

*+1 U-^\

li ‘ 2 \ IJ

Ix

*Plß

Das max(~\-M) berechnet man am besten nach der Regel max(-\- M) = Mt — max (— M).

II. Feld. Erster Theil. Setzen wir in Gleichung 8 (S. 130) a = 6, so wird

a Q — 2x) £² — a (21 — 3a — x)l % — Q — 2a) l²x — 0, oder nach Einsetzung des Werthes für a:

25. (l — 2x)?—(

2 + 3n

l²x = 0.

Die Reduktion auf x gibt

26. cc =

n [(4 +- 3n) l - (2 + 3n)l]H (2 H- 3ri) [{2 4- n)!'¹ -f- nil — 2nt?] '

iW wird nun zum negativen Maximum, wenn das II. Feld von x = l bis zum rechten Ende desselben und das ganze I. Feld belastet sind (Fig. 207 a). Für diese Belastungsweise wird nach 2 :

5 (.1 -f- ri)pl,q 4- 24n (1 + n) — X2w⁸3fta'

4(2 ± n) (2 4- 3n)

npl*+12n*Wtg," — 24n(l 4- n) 3fta'

4 (2 4- n) (2 4- 5 n)

pV² 4- 12n(ma“ — $V) 4 (5 4- w)

Nach der zweiten der Formeln 16 (Seite 151) wird nun

rv.    1 sy*

28.    = M    -z

Das positive Maximum wird man wieder am besten nach der Regel max{-\- M) = Mt — max (— M) berechnen.

Mittlerer Th eil. Im mittleren Theile wird M zum in negativen Maximum W bei Belastung der bei- ^ den äusseren Felder, zum positiven Maximum aber bei Belastung des mittleren Feldes (Fig. 207 &).

Für die erstere Belastungsweise wird nach Formel 2, wenn wir in derselben =r m₃“ = —

= 0 setzen,

Fig. 207.

-M

fcl-i

<Xr

-Jf

Ä

<-

-r

29.

71/, = 71/, = —

4 [2-F 3n)

Da in der zweiten der Formeln 15 (Seite 151) M‘ = MU zu setzen ist, so wird einfach max(—M) = Mx. Für das positive Maximum wird

pl², mithin nach der ersten der Formeln 15

Mx = M,= (Seite 151)

4 (£4- 3n)

30. max (+ M) — —

pl*.

4(2+3n)

Die Maximal-Transversalkräfte und Momente sind in Fig. 156 und 160 für l — l,2lx grafisch dargestellt.

§. 122. Tabellen. Nach den gegebenen Regeln sind die folgenden Tabellen berechnet. Für die Tabellen erscheint es am geeignetsten, das arithmetische Mittel A der drei Spannweiten als Maass einzuführen. Da alsdann 2lx -\- l = 3A, l — nlx ist, so wird

31.

3n

A.

2-j-n

Die Einführung des arithmetischen Mittels A der Spannweiten als Maass erscheint deshalb als zweckmässig, weil in einem gegebenen

~| S ,T-| H

Transversalkraft

Einfluss von g

Einfluss von p

max (-f- Q)

max (— Q)

1. Feld

0,1

0,2

0,3

+ 0,4 + 0,S + 0,2 “h 0,1

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

— 0,1

- 0,2

0,4500

0,3560

0,2752

0,2065

0,1496

0,1042

0,0694

0,0443

0,0280

0,0193

0,0167

0,0500 0,0563 0,0752 ■ 0,1065 0,1496 0,2042 0,2694 0,3443 0,4280 0,5191 0,6167

IL Feld

S'    S’

is to tö D; Ot

c>

0,5833

0,4870

0,3991

0,3210

0,2537

0,1979 0,0833

0,0870

0,0991

0,1210

0,1537

0,1979

. gl

. pl

. pl

Stützendrücke.

max (-f- D₀) = 0,40gl + 0,45pl, max (-f- JDf) = 4,10gl 4- 1,20pl. max (— D₀) = 0,40gl — 0,05pl, max (— Dt) = l,10gl — 0,10pl.

= a₃ = 0,21051

aq = bq = 0,20001.

«■—[«Tr*

Moment

Einfluss v. g.

Einfluss von p

max (4- M) I max (— M)

I. Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7895

0,8

+ 0,035 0,060 -f 0,075 + 0,080 -j- 0,075 + 0,060 -f 0,035 -f 0,00414

0,85

0,9

0,95

0,2500

0,5816

0,7638

0,8959

—    0,02125

—    0,04500

—    0,07125

—    0,10000

0,040 0,070 0,090 0,100 0,100 0,090 0,070 0,04362 0,04022 0,02773 0,02042 0,01706 0,01667

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

0,03948

0,04022

0,04898

0,06542

0,08831

0,11667

II. Feld

00,5

0,1

0,15

0,2

0,1209

0,2785

0,5000

0,2764

— 0,10000    0,01667

—    0,07625    0,01408

—    0,05500    0,00748

—    0,03625    0,02053

—    0,020

0,3

0,4

0,5

+ 0,005 + 0,020 + 0,025

0,030

0,050

0,055

0,070

0,075

0,11667

0,09033

0,06248

0,05678

0,050

0,050

0,050

0,050

0,050

. pW

. pW

Absolutes positives Maximum.

I.    Feld.    max(-(-    M)    =    +    0,080gl'¹ für x    = 0,4lv

»    (-}-    M)    —    -j-    0,025gl'¹ r> x    = 0,51.

Zufällige Last: I.    Feld,    max (4-    Al)    =    4-    0,10125 pW für    x — 0,45l{,

V (4-    M)    =    +    0,07500p W n    x = 0,501.

Eigengewicht:

II.

II.

1:1,1: 1.

DS)    •    o o

= ut l — 0,967741, l = — l = 1,064511.

31    ol

Transversalkraft

Einfluss von g

Einfluss von p

max (-f- Q)

max (— Q)

+ 0,3775 + 0,2807 4- 0,1839 -f- 0,0871

—    0,0096

—    0,1064

—    0,2032

—    0,3000

—    0,3967

—    0,4935 - 0,5903

0,4382

0,3475

0,2689

0,2021

0,1519

0,1468

0,1024

0,0683

0,0437

0,0275

0,0188

0,0162

0,0607

0,0668

0,0850

0,1150

0,1519

0,1564

0,2088

0,2715

0,3437

0,4242

0,5123

0,6065

IL Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

+ 0,5323 -\- 0,4258 0,3194 4- 0,2129 4- 0,1065

0,6032

0,5005

0,4068

0,3234

0,2517

0,1922

0,0709

0,0747

0,0876

0,1105

0,1452

0,1922

. pl

II

Stützendruck.

max (4- D₀) = 0,3775gl 4- 0,4382pl, max (4- D,) = 1,1226gl 4- 1,2097pl. max (— D₀) == 0,3775gl — 0,0607pl, max (— Bf) = 1,1226gl — 0,0871pl.

b. = a₃ = 0,20361 «₂ = \ = 0,20751.

Moment

Einfluss v. y

Einfluss von p

max (-f- M) I max (— M)

I. Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7801

0,7964

0,8

0,85

0,9

0,95

0,1483

0,5565

0,7519

0,8911

4-    0,03185    0,03773

-f    0,05433    0,06609

-f    0,06744    0,08508

+    0,07119    0,09470

4-    0,06558    0,09497

4-    0,05060    0,08587

4-    0,02626    0,06740

0,04586

—    0,00161    0,04075

—    0,00761    0,03945

—    0,02782    0,02704

—    0,05053    0,01960

—    0,07558    0,01613

—    0,10297    0,01568

0,00588

0,01176

0,01764

0,02351

0,02939

0,03527

0,04114

0,04586

0,04683

0,04706

0,05486

0,07013

0,09171

0,11865

II. Feld

0,05

0,1

0,15

0,2

0,1155

0,2644

0,4709

0,8288

0,2075

0,2368

0,3

0,4

0,5

—    0,10297    0,01568

—    0,07606    0,01379

j— 0,05198    0,01525

—    0,03073    0,02159

—    0,01231    0,03247

—    0,00992    0,03427

0,04417

4- 0,01701    0,06118

4- 0,03301    0,07718

4 0,03868 0,08285

0,11865

0,08976

0,06723

0,05232

0,04478

0,04417

0,04417

0,04417

0,04417

0,04417

• gp

. pp

. pP

Absolutes positives Maximum.

Eigengewicht: I. Feld. max(4-iJf) = 4- 0,07124gP für x— 0,39011,, II. n max(4- M) — 4~ 0,03868gP » x = 0,5l. Zufällige Last: I. Feld. max{\-M) = 4- 0,09602gP für x — 0,45281,, II. n max(À M) = 4~ 0,08285g P n x—0,5l.

1:1,2: 1.

15

Z, = 4“ 0,9375A

l = - l — 1,12501.

Transversalkraft

Einfluss von g

Einfluss von jo

max (-{- Q)

max{— Q)

I. Feld

0,1

0,2

0,3

0,3728

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8 ■

0,9

+ 0,3546

4- 0,2608 + 0,1671 + 0,0733

—    0,0204

—    0,1142

—    0,2079

—    0,3017

—    0,3954

—    0,4892

—    0,5829

0,4269

0,3390

0,2627

0,1977

0,1547

0,1438

0,1005

0,0671

0,0429

0,0270

0,0183

0,0157

0,0723

0,0782

0,0956

0,1244

0,1547

0,1642

0,2147

0,2750

0,3446

0,4224

0,5075

0,5986

IL Feld

S> S S> S S o

Ü( Ik ÜJ to K*

0,0610

0,0650

0,0781

0,1024

0,1389

0,1885

+ 0,5625 + 0,4500 + 0,3375 -I- 0,2250 + 0,1125

0,6235

0,5150

0,4156

0,3274

0,2514

0,1885

.cjl

. pl

. pi1

Stützendruck.

max (4 !)„) = 0,3546g l 4 0,4269pi, max (+ Df) = 1,1454g l 4 1,2221pX. max (— Z)„) = 0,3546gl — 0,0723pi, max {—!)') = 1,1454gl — q,0767pi.

1. Feld

4-

H a .H h

I Mp j

Einfluss v. g

Moment

Einfluss von p

max(+ M) max {— M)

= a:i = 0,19711

aq — hq ~ 0,21431.

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7564

+ 0,02885 4~ 0,04890 -f 0,06017 -f 0,06265 + 0,05634 4- 0,04124 -f 0,01736

0,8

0,8029

0,85

, 0,9

0,95

0,5304

0,7399

0,8864

—    0,01532

—    0,01639

—    0,03496

—    0,05679

—    0,08082 —0,10704

0,08563

0,06246

0,08051

0,08975

0,09024

0,08193

0,06482

0,05127

0,03892

0,03804

0,02520

0,01879

0,01524

0,01472

0,00678

0,01356

0,02034

0,02710

0,03390

0,04069

0,04746

0,05127

0,05424

0,05443

0,06016

0,07558

0,09606

0,12176

IL Feld

0,05

0,1

0,15

0,2

0,2143

0,2157

0,1104

0,2528

0,4475

0,7619

—    0,10704

—    0,07698

—    0,05009

—    0,02637

—    0,00579

—    0,00050

0,01472

0,01297

0,01527

0,02245

0,03460

0,03875

0,3

0,4

0,5

0,12176

0,08995 0,06536 0,04882 0,04039 0,03923 0,03923    0,03923

4- 0,02585    0,06508    0,03923

-f- 0,04483    0,08406    0,03923

4- 0,05116    0,09040    0,03923

. gl'¹

. pl'¹ . pF¹

Absolutes positives Maximum.

Eigengeivicht:    I.    Feld,    max (4- M)    —    4-    0,06286g F    für    x    =    0,3781

II.

r>    max (4-4/)    =    -f-    0,05116g F    v    x    —    0,51.

Zufällige Last :    1.    Feld,    max (4-4/)    =    4"    0,09 111 pF    »    x    =    0,4561{,

IL

n    max (4-4/)    =    4-    0,09040pF    r>    x    =    0,51.

Mittleres Moment.

mittM — 0,04242g F 4- 0,06997pF.

1:1,3: 1.

10

13

11

I = 0,909091, l—~l = 1,181821.

Transversalkraft

Einfluss von g

Einfluss von p

max (+ Q)

max (— Q)

I. Feld

0,1

0,2

0,3

4- 0,3314 + 0,2405 -f 0,1496 + 0,0587

0,3646

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

—    0,0322

—    0,1232

—    0,2141

—    0,3050

—    0,3959

—    0,4868

—    0,5777

0,4160

0,3307

0,2566

0,1934

0,1583

0,1409

0,0986

0,0659

0,0421

0,0264

0,0178

0,0152

0,0846

0,0902

0,1070

0,1347

0,1583

0,1731

0,2218

0,2800

0,3471

0,4223

0,5046

0,5929

II. Feld

+ 0,5909

+ 0,4727 + 0,3545 + 0,2364 4- 0,1182

0,6439

0,5298

0,4252

0,3323

0,2523

0,1862

0,0530

0,0571

0,0707

0,0959

0,1341

0,1862

• gi

. pl

. pi

Stützendrudi.

max (4~ Dn) = 0,3314gl 4- 0,4160pl, max (4- Ff) = 1,1686gl 4~ 1,2368pl. max (— Ff) — 0,3314gl — 0,0846pl, max (— Ff) — 1,1686gl — 0,0682pl.

I. Feld

4-

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7291

0,8

0,8089

0,85

0,9

0,95

0,5031

0,7278

0,8816

-I- 0,02599    0,03369

-f 0,04373    0,05911

4- 0,05319    0,07627

-j- 0,05439    0,08517

-j- 0,04733    0,08580

4 0,03200    0,07816

4 0,00841    0,06226

0,05609

—    0,02341    0,03810

—    0,02668.    0,03556

—    0,04247    0,02557

—    0,06356    0,01799

—    0,08673    0,01435

—    0,11196 '    0,01380

0,00769 0 01539 0,02308 0,03077 0,03847 0,04616 0,05385 0,05609 0,06155 0,06224 0,06805 0,08155 0,10108 0,12575

II. Feld

4-

0,05

0,1

0,15

0,2

0,2005

0,2203

0,1067

0,2429

0,4282

0,7152

0,7207

—    0,11196

—    0,07878

—    0,04910

—    0,02357

—    0,00022

0,3

0,4

0,5

4- 0,00802 4- 0,03469 -f 0,05566

+0,06264

0,01380

0,01246

0,01523

0,02253

0,03650

0,03614

0,04305

0,06972

0,09069

0,09767

0,12575

0,09124

0,06483

0,04610

0,03672

0,03644

0,03503

0,03503

0,03503

0,03503

. pl-

. pl-

Einfluss v. g

1:1,3: 1.

aa = 0,19111,, a„ = bn = 0,22031.

Moment

Einfluss von p

max (-f- M) j max (— M)

Absolutes positives Maximum.

Eigengewicht :    I.    Feld,    max    (4-    M) =    4- 0,05491g P    für    x    =    0,365l{,

II.    n    max    (-j-    M) =    -f- 0,06263gl¹²    v    x    =    0,51.

Zufällige Last : I.    Feld,    max    (-j-    M) —    4- 0,08654p 1"    für    x    ~    0,458l{,

II.    »    max    (-f    M) =    4- 0,09767pl²    »    x    =    0,51.

praktischen Falle die Gesammtlänge 31, also auch das arithmetische Mittel l der Spannweiten gegeben ist, mithin für verschiedene Verhältnisse der Spannweiten konstant bleibt.

Für Verhältnisse der Spannweiten, welche in den Tabellen nicht berücksichtigt sind, lassen sich die Grössen mit einer für die praktische Anwendung hinreichenden Genauigkeit durch Interpolation bestimmen.

§. 123. Einfluss ungleich hoher Stützen.

1. Liegen die beiden Mittelstützen um y, y₂ unter der Geraden, welche die Endstützen verbindet, so ergibt sich bei konstantem Querschnitte aus den Gleichungen 13 (S. 96) zunächst unter der Voraussetzung, dass keine Belastung vorhanden ist,

32.    31\ —

6EI\y, (g, + 2D -y, (Z, + Z)]

Z, l (2lx + 31)

M„ erhält man durch Vertauschung von yt und yr Die Stützendrücke D₀ und D₃ erhält man durch die Beziehungen Mx = D₀l, Jf₂ = D₃L Nach Formel 28 (S. 104) ergibt sich ferner Dïlil = Mi (lx -j- Z) -f- ifc7₂Z,, d. i.

33. 1)

_ _ 6EI[2y, (Z, + ZÏ²-?7₂(£C + 4Z,Z+ Z²)l

D₂ erhält man wieder durch Vertauschung von ?/, und ytl. Ist yx — y^ — y, so wird, wenn wir l — nlx setzen,

6 Ely    _ ßEIyn²

— Z, (2 Z7 + 31) ~ (2 + 3n) Z² '

6EIy

6 Ein³

l\ '¹(2 l\ 4" 31) — (2 + 3n) l³' Bei veränderlichem Querschnitte würde für yx — y₂

36.

6 EIayn²

Mx — ilf₂ =

Endlich ist im I. Felde Q = D₀, M=D₀x, im II. Felde $ = Z)₀-f-= J7 konstant == Mv

2. Das absolute negative Maximum von M tritt 'an einer Mittelstütze ein, wenn die beiden Felder neben dieser Stütze belastet sind. Setzt man in Formel 3: WR-i = y₂{gp)l², 9tt₂'== 9D7₂'' = ~ (g-{-p)l², SDV' — Js so ergibt sich, wenn man noch g = mq,] p = (1— n) q setzt, unter Berücksichtigung der verschiedenen Höhenlage der Stützen

ßEIyn2 {2 + 3n)l- '

Das absolute positive Maximum von M tritt im I. Felde bei Belastung des I. und III. Feldes ein. Setzen wir daher in Formel 3: 9JL' = iD7₃" = (g + P) li², = ^2" =    9^i ⁸⁰ ergibt sich

(2ccx -f- 2aq n y„11) l² *

37.    3I{ — —

2 {1 + n) + {2 + n) n³ — mn 4n- (2+ n) (2 + 3n)

ai² +

fc b-

Die Auflösung gibt für m — 0 : n = 0,913, für m = 1: n — 0,858, also allgemein annähernd

41.

n = 0,858    + 0,913 —

wonach das Mittelfeld eine etwas kleinere Länge haben müsste, als die äusseren Felder.

4. Bei einer Ueberhöhung der Mittelstützen wird das absolute Maximalmoment am kleinsten, wenn die Ueberhöhung so gewählt wird, dass — M, — Ji„' wird. Die Gleichsetzung gibt

42. y =

Die spezielle Berechnung ergibt

4n® — 4 — 4n — n⁴ — 4m qlL

ei;

96 (2 ■+■ n) nx

0,0313 0,00260 0,00167 0,00146 0,00132 0,001191 qlx 0,0174 0,00195 0,00162 0,00144 0,00131 0,00119)' El

—y=

—y=

m — 1 m — 0

m= 1: —    M₁    =    = 0,0625 0,0625    0,0625    0,0625    0,0625 0,0625

m — 0: —    M,    = Mq‘    = 0,0959 0,0683    0,0648    0,0635    0,0630 0,0628

Die Differenz der Maximalmomente für den Träger mit und ohne Ueberhöhung beträgt m — 1 2 3 4 5 6 bezüglich für m — 1: 37,5

11,6 11,6 13,9 15,7 17,0 und für m — 0: 17,8 7,9 10,9 13,4 15,4 16,9 Prozent.

5. Wenn das Yerhältniss n wählbar ist, so wird das grösste Moment am kleinsten, wenn Mx‘ = — Mx = Jf₂' gesetzt wird. Setzt man zunächst — Mx =    , so ergibt sich

4 4- 4n —    -f- n* 4- 2m — mn qlx

43. y —

Die Momente Mx, Mx, J/₂' sind jetzt durch die Formeln 37 bis 39 bestimmt. Setzt man Ml = — Mx, so ergibt sich eine Gleichung achten Grades. Am besten aber erscheint es wohl, Mx und Mx für einige Werthe von n zu berechnen und sodann durch Interpolation denjenigen zu bestimmen, für welchen (— Mx) — Mx = 0 wird. Hiernach ergibt sich für n die Näherungsregel

96 (2 n) w⁴

EI'

44. n = 1,174 9- -f- 1,131 —.

q    q

45. y —

(o,0266j + 0,0142

Hiernach wird also die Länge des inneren Feldes etwas grösser, als die der äusseren Felder.

Für Träger, deren Stützen in einer Geraden liegen, ergibt sich bei der Wahl des zweckmässigsten Verhältnisses der Spannweiten das grösste Moment Mx — 0,1161 ql" bis 0,1028ql*, während sich bei gesenkten

Mittelstützen unter den günstigsten Bedingungen das grösste Moment = 0,1024 ql* bis 0,0830 ql*, also um 11,8 bis 19,2 Prozent kleiner ergibt.

6. Die für verschiedene Höhenlagen der Stützen nach §. 85 berechneten mittleren Transversalkräfte und Momente sind in folgender Tabelle zusammengestellt :

l,

Mittlere Transversalkraft

Mittleres Moment mitt M

1,0

4 0,050    4    0,0417    0,2650

4 0,025    ' 4    0,0208    0,2604

0,2567

—    0,025    —    0,0208    0,2540

—    0,050    —    0,0417    0,2559

0,3530    0,0550    0,0877

0,3470 : 0,0473    0,0771

0,3425    0,0452    0,0707

0,3398    0,0499    0,0778

0,3392    0,0595    0,0931

04

H Ą O <o 'S 00 N N N Oi O ^ 4 4

cT 4 4 4 4

4 0,050    -f    0,0414    0,2667    0,3425    0,0521

4- 0,025    4    0,0207    0,2618    0,3367    0,0454

0,2580    0,3325    0,0434

— 0,025    —    0,0207    0,2550    0,3301    0,0487    \

—■ 0,050    —    0,0414    0,2530    0,3263    0,0574

1,2

4 0,050 4 0,025

4- 0,0410 4 0,0205

—    0,025

—    0,050

—    0,0205

—    0,0410

0,2707    0,3600

0,2653    0,3517

0,2607    0,3450

0,2570    0,3400

0,2545    0,3370

0,0475    0,0867

0,0424    0,0735

0,0424    0,0700

0,0468    0,0757

0,0555    0,0908

1,3

4 0,050 4 0,025

4 0,0406 4 0,0203

—    0,025

—    0,050

—    0,0203

—    0,0406

0,2750    0,3580

0,2689    0,3526

0,2642    0,3487

0,2604    0,3464

0,2585    0,3457

0,0463

0,0419

0,0424

0,0462

0,0546

0,0871

0,0722

0,0708

0,0775

0,0924

qlt (2h + 3l)V

6 EI

J¹'

. ql

. ql

. q A²

. ql'¹

Hiernach müssen die Mittelstützen ein wenig gehoben werden, damit das mittlere Moment zu einem Minimum werde. Das mittlere Moment lässt sich aber um höchstens 1 Prozent vermindern. Hierbei wächst indess die mittlere Transversalkraft ein wenig, wodurch der Vortheil noch vermindert wird, so dass man durch eine verschiedene Höhenlage der Stützen in der Materialmenge keinen besonderen Vortheil erzielen kann.

§124. Verbindung des Balkenträgers mit einem Spreng-werke. Wir bezeichnen den ursprünglichen Neigungswinkel der beiden Streben AXE und BXF (Fig. 208a) oder Zugbänder AE und BF

(Fig. 208&) mit t, die Höhe EEX = FFX mit h₇ so dass h = lxtanx ist. 1st xt\ x¹ der Neigungswinkel der Streben oder Zugbänder F nach Fig. 208.    der Formänderung, so ist

______ft____________............-i-_______-> die Spannung derselben

\E

^—    ...........——v .    Hg = Hsecxx und Hsecx\

.....

Ci

I also fordert das Gleich-; gewicht des Punktes E ÊÊ gegen Verschiebung in, ^    . Ji vertikaler Richtung die

A<-------Z/---------------I--------------£‘,~—>_j? Erfüllung der Bedingung

Dx = H (tanxx — tanx‘),

wobei tanxx‘=

tanx⁴ — Vl- ~ Vl zu setzen ist. In gleicher Weise ist die Gleichgewichtsbedingung für den Punkt E aufzustellen. Wir haben demnach

h — Vi

46. D,

= jt(*

— y. y, — y*

, D,=H

+«w*)-

Vernachlässigt man die Verschiebungen yx und y₂ gegen h, so wird

47. 2>, = 1>₂

= II h.

Ist X die Länge von AE, bezüglich AXE, AX die Längenänderung von X, Ax% die Verschiebung des Punktes E nach rechts, so ist (X — AX)* — Qx -f- Ax I)² (h — yxY oder, wenn man auflöst, dabei die Quadrate von AX, AxX und yx vernachlässigt und beachtet, dass A² =    -f- 7&² ist: hyx — lxAxx + XAX. Ebenso erhält man für den

Punkt F: hy^ — lxA^ x -f- X AX. Die Addition beider Gleichungen gibt, da Axx -f- Aqx die Verkürzung Al des Riegels EF ist,

h (yx -(- ytl) — lxAl -J- 2XAX.

H sec T . I. secr . ,    •

---, indem wir die

-fr/i

Setzen wir hierin Al —    Aż1 =

JQj J

Querschnitte des Riegels und der Streben bezüglich mit f und fx bezeichnen, so erhalten wir

48. yx+tjo =

(L+

FF \f ~

Hl

2lxsec³T

)■

Diese Gleichung ist in Uebereinstimmung mit den Gleichungen 12 und 13 (S. 187), wenn man in diesen für h die Höhe der durch A, E, D, B

h(2l, + iy 41, (l, + l)

Längenänderung des Riegels und der Streben wird

setzt. Bei Vernachlässigung der

zu legenden Parabel, d. i.

49. yx + 2/₂ — 0,

also y g = — ylt d. h. bei einer Formänderung des Sprengwerkes verschieben sich die beiden Punkte E und F um gleich viel nach oben und unten.

Bezeichnen wir die Stützendrücke in E und F, welche entstehen, wenn alle vier Stützen in gleicher Höhe liegen, mit Dy, D₂', so ist bei konstantem Querschnitte des Balkens nach Formel 33 :

6E1

lyH*(2ly + 31)

Dg erhält man, indem man Dg für Dx‘, y₂ für yx setzt. Hiernach wird

—6EI    + y«)

\¹    +5 l)

Setzt man für Dt und D₂ den Ausdruck 47 und für yx -f- y₂ den Ausdruck 48, so erhält man

50. Dy = Dx‘ —

51. Dy + Dg = Dy' -F Dg‘

52. JI =

wenn man zur Abkürzung

OY + J>₂ ) l

2h(l + cc) ’

53.

—    ³¹    (l _L

<»*, + so*⁵ \7

2 ly sec³ T

setzt. Da Dx und Dg durch die Belastung gegeben sind, so ist durch Gleichung 52 H bestimmt. Bei Vernachlässigung der Längenänderung des Riegels und der Streben wird

=    = 4<a-mv>

54. Dy = _D₂

Sind My, Mg die Momente, welche in E und F entstehen, wenn die Stützen in einer Horizontalen liegen, so ist nach Gleichung 32:

6EI [yx (ly -j~ 21) — y<t (lt 4- l]

55. My = My¹ -f

Setzt man in Gleichung 50 und in dem in gleicher Form, für Dg

jy i I jy i

gebildeten Ausdrucke Dt = Z)₂ = • ¹    so erhält man zwei Glei-

* v- “r a)

chungen zur Bestimmung von yx und y₂, Setzt man diese Ausdrücke sodann in die Gleichung 55, so erhält man nach entsprechender Vereinfachung

56. My — My' +

2{i + a){2il + i)

Durch Vertauschung von Mx mit Mg, Dg mit Dx erhält man M„. Hierbei ist

My\ly+l) ,

Dg — ©(J -j-

m:

Mg'(ly±l)

lyl

zu setzen, wenn ®t, ®₂ die bei Anwendung von drei Einzelträgern entstehenden Stützendrücke bedeuten. Die Einsetzung gibt

17

Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

I und differenziirt nach w, so wird

1 + mn³

Da =

Mx =

A al _    —

<2 q 1

4 (2 -\- 3 n)

3 4- 6 n — m n³

4(2 4- 3»)

6 Elą

(,2 -f 3 n) T² ’ ąl, —

6 E Iy

(2 4- 3n) Z,²'

Es ist nun M — — D₀x -{- ~ qx'\ wonach M zum Maximum für qx = D₀ wird; bezeichnen wir dasselbe mit fff,', so wird qMx — — D₀‘\ d. i.

24EIyV

«V J '

Endlich wird im II. Felde fff zum absoluten negativen Maximum bei blosser Belastung des II. Feldes. Setzen wir in Formel 3    =

9JV' — Ts 3ÏV =    = ä (3 + P) &*, so ergibt sich

6EIyn*

(2 + 3n) ln- '

Es ist nun fff = fff, — j qx(l — x). Das Maximum von fff tritt der Symmetrie wegen in der Mitte ein; bezeichnen wir dasselbe mit fff,', so wird fff₂' = fff, — ^ ql², d. i.

38. fff,' = —

32 (2+ 3n)

fff, — fff, =

₂ j^(3 4“    — mn³) —

m -f- n³

4 (2 + 3n) n¹ 2

ql'¹ +

OBlyn2 (2 + 3n)l* ‘

3. Ein mehr oder minder konstanter Querschnitt kommt namentlich bei kleineren Wegüberbrückungen vor, bei denen die beiden Seitenöffnungen wesentlich kleiner sind, als die Mittelöffnung. Die spezielle Berechnung ergab für einige Werthe von n und für y — 0:

39. fff,' — +

(.2 -f- n) rr — 2 m

8(2+ 3n) n¹

ql* +

58. Mq =

(®j — ®₂) lxl 4" 2alx [<2®! (lx 4~ l) H⁻ ®2^j]

2 [1 -\r a) (2l\ + 0

a (lx 4- l) [Mx‘ (Z, + l) -(1 4~ a) (*2^ 4" l)

Die weitere Durchführung bietet keine Schwierigkeit; wir wollen indess nur den Fall weiter behandeln, dass lx — l ist und zwar unter der Annahme, dass a vernachlässigt werden kann. Die unmittelbare Entwickelung ist dann sehr einfach. Zunächst ist nach Gleichung 33: I), l³ = JDxl³ — ^EI (8yx — 7 y₂), also für y₂ =

Dx‘l³ — 18EIyr Ebenso wird D₂Z³ — D₂'Z³—jEI(8y₉— 7yx), also für yq = — yx: Dzl³ — D₂'Z³ 4- 18EIyx. Das Gleichgewicht des Sprengwerkes verlangt, dass Dx = Z)₂ ist; daher wird 36EIyx = (D/ — D₂')l³. Nach Formel 32 ist MxP = MxGi-\- El{3yx — 2y<i), also für y₂ = — yx : Mxl* — Mx l² 4~ 6EIyx, d. i.

Ą = 3/,' + |- (Ą' - Ą') l.

Setzen wir D.'i = ®! — £3f,' + 3f„', Dt‘l — $„! + 3f,' - 2M,‘, so wird

Mx +

2(1 + a)

Dx l³ =

4    +-f (©, - ®.) i,

4- (ÆT/ + 34') -

Setzen wir ferner nach Formel 3 (S. 238) : Mx 4- M = — (üft, ' 4-2ft₂iJ 4- ÜÄa‘ 4- aßg"), so wird

Mx = -

59.

M₂ =

(©, — ®₂) l.

60.

M,=-

Yö <*»•'+ 3»."+®*.'+»*»") +f (®,

Yg <a»,'+a»,"+a»,'+a»,")-4 (®, - ®*> ’■

Liegen in den drei Feldern Einzellasten G1} G

G₃ in den Abständen glf g₂, g₂', I3 bezüglich von der Stütze 0,1, 2 und 3, so ergibt sich unter Benützung der Ausdrücke 40 (S. 114) leicht

(®. - ®JZ = e,ê, - Gq «, - &') - e₃i₃,

3 (SB!,' + SB!,," + yj!„' + S0!₃") V

= G,|, (i« - S,*) + 3+ G₃L (P - Ł*).

Dies eingesetzt gibt

61 ir _ g,j, (gr+3j,°) _    + 8l£q - 5 l &')

'    ¹ ~    30 7,

3j;')

Der Ausdruck für üf₂ ergibt sich durch entsprechende Vertauschung.

oder < 0,3081 ist; ist > 0,3081, aber c < 0,692 l, so werden Mx und fl/₂ negativ.

Liegt die Last im I. Felde, so ist hiernach Mx positiv, fl/₂ negativ; liegt sie im III. Felde, so findet das Umgekehrte statt. Liegt die Last

19 —V181 , 18 ¹

l oder

im II. Felde, so wird fl/, positiv, fl/₂ negativ, wenn <

— i + VÏ81

18

Hiernach sind nun auch leicht die Momente für beliebige Querschnitte zu bestimmen. Die bezüglichen Einflusslinien zeigt Fig. 209«.

Für die Bestimmung der ungünstigsten Belastung hinsichtlich der Momente unterscheiden wir folgende Fälle:

a) Der Querschnitt liegt im I. Felde. Wenn die Last im

Fig. 209.

UL

I.    Felde liegt, so ist fl/, stets positiv, mithin auch M. Das I. Feld muss also für das positive Maximum gänzlich, für das negative Maximum gar nicht belastet sein. Wenn die Last im II. Felde liegt, so ist Af, nur positiv, wenn £₂ <: 0,3081 ist ; das II. Feld muss also von £₂ = 0,3081 für das positive Maximum links, für das

negative Maximum rechts belastet sein.

Wenn das III. Feld belastet ist, so ist il/, negativ, also auch M.

>1

Das IH. Feld ist also für das positive Maximum gar nicht, für das negative Maximum ganz zu belasten.

Durch entsprechende Integration ergibt sich bei Belastung des ganzen I. Feldes A/, = -f- ~plq — -f 0,0583pl*, bei Belastung des

l(v(/

II.    Feldes von x = 0 bis x = 0,3081: Mx = -f 0,0242p also bei

Belastung beider Strecken Mx ==    0,0825pl\ Bei gänzlicher Belastung

aller drei Felder ergibt sich Mx — -f- ~ (7 — 6 — 13)pl* = — jgP^,

also bei der Belastung für das negative Maximum von fl/: fl/, = — 0,1 plq — 0,0825plq = — 0,1825pV¹. Sonach ergibt sich jetzt

max (+ fl/) = fl/j y -f y px{l — x), max (— fl/) — fl/, y oder

17*

max (+ ML) = + px {0,58251 — 0,5x\ max (— M) = — 0,1825 px.

62.

Zum absoluten positiven Maximum wird M hiernach für x — 0,56251 und zwar wird

63. Max (4- M) = -f 0,1696pl*.

l) Der Querschnitt liegt im II. Felde. Bei Belastung des I. Feldes wird Ml = Mx(l — x) -f- Mtix, d. i.

64. M =

(2V¹3^ — lOlx).

30 V¹

M wird Null für 3%*    21* = 10 Ix oder

l).

05. J, =    l(5x —

Für x < j l wird £ imaginär; hier wird M hei jeder Belastung positiv. Für x — ~l wird £ = l und für x > ~ l wird £ > lr also ohne Bedeutung; hier wird M bei jeder Belastung negativ. Ist also x < y l, so ist das I. Feld für das positive Maximnm ganz, für das negative gar nicht zu belasten. Liegt x zwischen -j-1 und y l, so ist das I. Feld von £ = j/-f- l (5x — l) für das positive Maximum rechts, für das negative Maximum links zu belasten.

Bei Belastung des III. Feldes erhält man M aus 64, wenn man £x mit £₃, x mit l — x vertauscht. Hiernach wird

Für die linke Hälfte, also für x <L j l wird hiernach M stets negativ. Das III. Feld ist also für das positive Maximum von M gar nicht, für das negative Maximum ganz zu belasten.

Bei Belastung des H. Feldes ergibt sich aus Formel 61 :

301

(5V-l^-9l*\

= + ~ G (l - 21,).

Liegt nun die Last links vom Querschnitte, so wird Ml — G£₂ (2 — x) -j- Mx (2 — o?) -f- Mtlx, d. i.

67. Jf=+ G

M, = -

Mx — Mt

301

301

[51* + 111- 10 {l + Ja) x\

Für x > y l wird

PV

max (— M) =

Für x < j I wird hiernach M stets positiv. Liegt die Last dagegen rechts vom Querschnitte, so wird Ml = G (l — g₂) x -f-Mx (l — x) -|- M„x, d. i.

68. M — +    °

301

Sonach wird M = 0 für

[51*- 19l£₂ + 9£ > + 10 (21 -£,)x].

69.    9£,² — (191 + lOx) J₂ + 5 l (l + 4x) = 0.

Hiernach ergibt sich:

0,2

0,4    0,5 . I

0,844 1,000 . I

U = 0,308

M wird nun positiv, je nachdem £₂ kleiner oder grösser ist, als dieser Werth. Für das positive Maximum von M ist also die linke Seite, für das negative Maximum dagegen die rechte Seite von dem durch die Gleichung 69 bestimmten Nullpunkte aus zu belasten.

Die Werthe von M für die ungünstigste gleichmässige Belastung ergeben sich nun leicht durch entsprechende Integration der Gleichungen 64, 66, 67 und 68. Für die Belastung des I. Feldes wird für x <

0,566

5~

70. max (+ M ) = ^ ^

120

(71 — 20x), max (— 31) = 0.

301*

oder, wenn man für £, den Ausdruck 65 setzt, max (— M) — — éôP^x — l)*. Da für ganze Belastung des I. Feldes M = ïûôPl'iyl — %x) wL*d, so wird max (-f- M) — ~ p l (71—2x)-\-Jö P (5 x — I)* oder

71. max(+31)—+~^ (l — 2x)*, max (—31)=— -jr^(5x — l)*. Für die Belastung des III. Feldes ergibt sich

72. max (+ 31) = 0, max (— 31) — —

pl

120

(131 - 20 x).

Für die Belastung des II. Feldes wird zunächst

p(i- JO

[3V+13l£,-6&-10{3l-&xl

wobei |₂ durch die Gleichung 69 bestimmt ist. Bei gänzlicher Belastung des II. Feldes wird M = — jö P^ "1" jPx(J — a?) ;-daher wird

74. max (-{- 31) =--pl* + ~ px(l — x) — max(— 31).

/v O    £

73. max (—31)=

601

0    0,1    0,2    0,3    0,4    0,5 .1

Die spezielle Berechnung ergibt hiernach für die ungünstigste Belastung aller drei Felder:

x =

max (+ M) = + 0,0825 0,0834 0,0808 0,0774 0,0756 0,0750. pl\ max (— 31) = - 0,1825 0,1374 0,1008 0,0724 0,0556 0,0500. plE

In Fig. 209 & ist hiernach maxM grafisch dargestellt.

Die sachgemässe Behandlung der Verbindung eines kontinuirlichen Trägers mit drei Feldern mit einem Hänge- oder Sprengwerke erfolgte wohl zuerst von Frankel (Civilingenieur 1876), sodann von Holzhey (Vorträge über Baumechanik, 1879) und Mel an (Zeitschr. des österr. Ingen.- und Arch.-Ver. 1876).

' XV. Kapitel.

Träger mit vier Feldern.

§. 125. Stützenmomente. Wir setzen eine symmetrische Anordnung voraus und bezeichnen die Längen der Felder mit lxt l, l, lxr die Abweichungen der Stützen 1, 2, 3 von der durch die äusseren Stützen 0 und 4 gehenden Geraden nach unten mit yx, y, yv Die Gleichungen für die Stützenmomente sind alsdann unter Voraussetzung eines konstanten Querschnittes und unter Vernachlässigung des Einflusses der Schubspannungen

6EI

2 31x(l + lx) +31++ 3311/1, +3^+1

Mxl-\- 431,1+M₃1 -f 3SDV& + sav¹

12El t N 7 u -(y — y.K = o,

31,1 + 2 31₃ (l + lx)+3 m₃‘ 1+3    lx -

6E1 r 7

y) \jj\ ^ (y y\) ^i] — o.

Die Auflösung gibt, wenn wir l — nlx setzen, falls y — yx = o ist,

Mx =

n(8+7n)W/+nWi,‘)-2n(l+>lHW/+m₃“)+n*mJ‘+nmi,t

⁰    4(l + n)(4 + Sn)

9)î, ' - n 9)î₂" - 2 (1 + n) (9JV + $l₃" > + » 9R₃' + a»₄ « 2 (4 +Sn)

M₂= + 3 31g —

_ o n '+ n°- m,“ - 2n ( 1 -f n) (%V+    “) + ( 3+7n)(n9»,' + 3)1+)

4 (1 -f- n) (4 + Sn)

§. 126. Tabellen. In den folgenden Tabellen ist wiederum, wie in §. 122, das arithmetische Mittel 1 der vier Spannweiten als Maass eingeführt. Hierbei ist, da 2(1 -|- ?,) = 4/1 oder, da l = nlx ist;

6. I

1.

Ist nur das Eigengewicht zu berücksichtigen, so ist = 9DV = Ts 9    = ü»aM = m₃'= m₃“ = jg gl⁹₁ mithin

l-2n² —

2 + n3 4 (4 + 3 ri)

Liegen die Stützen nicht in gleicher Höhe, so kommt noch hinzu :

3. 1H,=M₃ = —

Kgl*.

6JEI (2 + 3n) Vi —(2 + n)tj n (4 + 3n)    ’

_ 6 EI (2+ 3 n)y, — (3 + 2n)y n {2 + 7i)

Für die Lage der Fixpunkte ergibt sich nach §. 65 und 67 :

4.

K-

Mn_ =

5.

_    _h*{n + 8it)

—    — ₁₂p _j_ 35l j _|_ 241,

_ 8; (* + *■>

— 91 + 101

|«î_6₃_ Si + ali,

Auf eine Aufstellung der Ausdrücke für die übrigen Grössen wollen wir verzichten, da sich gegen die entwickelten allgemeinen Regeln keine besonderen Vereinfachungen ergeben.

bq = a₃

2n

1 + n

Bei diesen Tabellen ist vorausgesetzt, dass sich die Verkehrslast nicht nur in zwei, sondern auch in drei einzelne Theile trennen könne. Wenn man voraussetzt, dass sich die Verkehrslast nur in zwei Theile trennen könne, so ist eine Verminderung einzelner Grössen um die auf Seite 272 angegebenen Werthe vorzunehmen, wobei die Verminderung ohne Rücksicht auf das Vorzeichen gedacht ist.

1:1:1:1.

hx = a, — 0,2113 lx, a₂ == b₃ — 0,20001, \ = aq — 0,21051.

H s -H s

Transversalkraft

Einfluss von g

Einfluss von p

max (-J- Q)

max ( — Q)

I. Feld

-b

0,1

0,2

0,3

0,3929

+ 0,3929

+ 0,2929 + 0,1929 + 0,0929

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

—    0,0071

—    0,1071

—    0,2071

—    0,3071

—    0,4071

—    0,5071

—    0,6071

0,4464

0,3528

0,2717

0,2029

0,1498

0,1461

0,1007

0,0660

0,0410

0,0247

0,0160

0,0134

0,0535

0,0599

0,0788

0,1101

0,1498

0,1533

0,2079

0,2731

0,3481

0,4319

0,5231

0,6205

4-

II. Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,5357

0,6

0,7

0,8

0,9

+ 0,5357 -f 0,4357 4- 0,3357 4- 0,2357 4- 0,1357 + 0,0357

—    0,0643

—    0,1643

—    0,2643

—    0,3643

—    0,4683

0,6027

0,5064

0,4187

0,3410

0,2742

0,2190

0,2028

0,1755

0,1435

0,1222

0,1106

0,1071

0,0670

0,0707

0,0830

0,1153

0,1385

0,1833

0,2028

0,2398

0,3078

0,3865

0,4749

0,5714

■ gl

. pk

. pk

Stützendrücke.

max( + l)ü) = 0,3929g k-\-0,4464pk, max(—Do) = 0,3929gl—0,0535pk, max ( + Dj ) = 1,1428g k-\-l,,2232p k, max (—Dj ) = 1,1428g 1—0,0804p k, max (4-Dg) —0,9286gkJ\rl,1428pk, max{—Df) = 0,9285gk—0,2142p k.

1:1: 1:1.

H |r^T S3 I*»*

«"4 (A*    —' I t/vp

Moment

Einfluss v. g

Einfluss von p

max (4- M) max (— M)

I. Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

4- 0,03429 4- 0,05857 4- 0,07286 4- 0,07714 4- 0,07143 ■f 0,05572 -f 0,03000

0,8

0,85

0,9

0,95

1,0

0,2582

0,5841

0,7650

0,8964

—    0,00117

—    0,00571

—    0,02732

—    0,05143

—    0,07803

—    0,10714

0,03964    0,00536

0,06929    0 01071

0,08893    0,01607

0,09857    0,02143

0,09822    0,02679

0,08786    0,03214

0,06750    0,03750

0,04209    0,04209

0,04108    0,04225

0,03738    0,04309

0,02484    0,05216

0,01629    0,06772

0,01393    0,09197

0,01340    0,12054

IL Feld

0,05

0,1

0,15

0,2

0,1216

0,2732

0,5037

0,2661

—    0,10714

!— 0,08160

—    0,05857

—    0,03803

—    0,02000

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7895

0,8

0,8053

0,85

0,9

0,95

1,0

0,7927

0,7625

0,4569

0,2574

0,1124

4- 0,00857 + 0,02714 4- 0,03572 -i- 0,03429 4- 0,02286 4 0,00416 4- 0,00143

—    0,01303

—    0,03000 j— 0,04947

-0,07143

0,01340

0,01163

0,01455

0,02537

0,03000

0,04882

0,05678

0,07357

0,08036

0,07715

0,06393

0,04363

0,04170

0,04092

0,03451

0,03105

0,03173

0,03571

0,12054

0,09323

0,07212

0,06340

0,05000

0,04882

0,04821

0,04643

0,04464

0,04286

0,04107

0,03947

0,04027

0,04092

0,04754

0,06105

0,08120

0,10714

. g I? I . pi'¹

Absolutes positives Maximum.

Eigengewicht: I.    Feld,    max    (4-    M) —    -j-    0,0771 gl'¹    für    x    —    0,3931v

II.    v    max    (4-    M) =    4-    0,0363g 1*    r>    x    —    0,53Ql.

Zufällige Last: I.    Feld,    max    (4-    M) =    4-    0,0997pi*    für    x    —    0,446lt,

IL    n    max    (4-    M) =    4-    0,0805pi²    r>    x    =    0,5121.

. pi*

20

1:1,1: 1,1: 1.

l = ^k

₂₁ - = 1,04762 k.

f ~ k — 0,95238 k,

riJ-

5t = a₄ — 0,2038 lXf = b;i — 0,20751, b„ = a₃ — 0,21111.

Transversalkraft

Einfluss von g

Einfluss von p

max (-J- Q)

max (— Q i

I. Feld

0,1

0,2

0,3

0,3859

+ 0,3676

H- 0,2723 -f 0,1771

-j- 0,0818

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

—    0,0134

—    0,1087

—    0,2039

—    0,2991

—    0,3943

—    0,4896

—    0,5848

0,4313

0,3420

0,2646

0,1989

0,1515

0,1444

0,1008

0,0672

0,0430

0,0272

0,0186

0,0160

- 0,0637 0,0697 0,0875 0,1171 0,1515 0,1578 0,2094 0,2711 0,3421 0,4215 0,5082 0,6009

II. Feld

4-

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,5164

4 0,5410

4- 0,4362 4- 0,3315 4- 0,2267 4- 0,1219 + 0,0172

0,6

0,7

0,8

0,9

—    0,0876

—    0,1924

—    0,2971

—    0,4019

—    0,5066

0,6112

0,5102

0,4180

0,3361

0,2657

0,2073

0,1990

0,1613

0,1274

0,1049

0,0926

0,0890

0,0702

0,0740

0,0865

0,1094

0,1437

0,1901

0,1990

0,2489

0,3198

0,4020

0,4945

0,5956

.gk

. pk

. pl

Stützendrücke.

max{-\-D₀)=0,3676gk-\-0,4313pk, max (—D₀) = 0,3676gl—0,0637pl, max{-\-Dx) —1,1259 gl Ą-1,2121pk, max(—I),) = 1,1259gl — 0,0862pk, mäx(+Dl2)—1,0132gk -f 1,1912pk, max{—D„) = 1,0132gk — 0,1780pk.

1. Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7718

0,7962

0,8

0,85

0,9

0,95

1,0

IL Feld

0,05

0,1

0,15

0,2

0,2075

0,2369

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7889

0,7959

0,8

0,85

0,9

<-^1 t/Yr ►T-'j ,/Yt'

0,1535

0,5574

0,7523

0,8913

0,1154

0,2651

0,4722

0,8300

0,8998

0,7900

0,4573

0,2577

0,1124

1:1,1: 1.1: 1.

Moment

v. g

Einfluss von p

max (-{■ M) max (— M)

+ 0,03047    0,03654

+ 0,05187    0,06400

+ 0,06421    0,08241

+ 0,06745    0,09172

+ 0,06164    0,09198

-j- 0,04676    0,08316

4- 0,02281    0,06528

0,04683

—    0,00883    0,03947

—    0,01022    0,03836

—    0,03013    0,02637

—    0,05230    0,01931

—    0,07675    0,01603

—0,10347    0,01525

—    0,10347

—    0,07651

—    0,05229

—    0,03081

—    0,01206 — 0,00947

+ 0,01718 4- 0,03544 4- 0,04274 4- 0,03905 4- 0,02439 4- 0,00213 O

—    0,00124

—    0,01819

—    0,03786

—    0,06028

— 0,08544    0,03107

• gi~

0,00607

0,01213

0,01820

0,02427

0,03034

0,03640

0,04247

0,04683

0,04830

0,04858

0,05650

0,07161

0,09278

0,11872

0,01525 0,01337 0,01358 0,02794 0,03196 0,03331 0,04278 0,05996 \    0,04278

0,07821 I 0,04277 0,08550 !    0,04276

0,08181 0,06714 0,04487 0,04317 0,04241 0,03320 0,02836 0,00978

0,11872

0,08988

0,06587

0,05875

0,04402

0,04278

0,04278

0,04276

0,04275

0,04274

0,04317

0,04365

0,05139

0,06622

0,07006

0,11651

. pi*

. pi'¹

Absolutes positives Maximum.

Eigengewicht:    I.    Feld,    max (4~^0    —    -f-    0,0672gÎ?    für    x    = 0,385liy

II.    n    max (4- M)    —    4-    0,0424g A²    »    x    — 0,5171.

Zufällige Last    : I.    Feld,    max (4- M)    —    +    0,0925pi²    für    x    = 0,453 llf

II.    n    max (F M)    =    4~    0,0852pi'¹    n    X    — 0,5171.

¹

—

Mx‘ = + 0,0800 +0,0060    —    —    —    —

m = l\Mx = —0,1000 —0,0703 —0,0707 —0,0726 —0,0741 —0,0753 ql*. fff,'= 4- 0,0250 +0,0547 4 0,0543 4 0,0525 + 0,0509 +0,0496

Mx‘ = +0,0101 +0,0028 +0,0013 +0,0007 +0,0005 +0,0003\ m = 0 Mx = — 0,1167 — 0,0742 - 0,0727 —0,0733 — 0,0745 — 0,0756 ql*. M„‘ =+0,0750 +0,0625 +0,0568 +0,0536 +0,0515 +0,0500)

Im I. Felde wird das x für maxM bei m = 1 und bei grösseren Werthen von n negativ, also ohne Bedeutung. Aber auch bei positiven Werthen von x wird ff/,' für grössere Werthe von n so klein, dass es nicht in Betracht kommt. Mx ergibt sich stets grösser als fff,'. Setzt

3 Yh

man in dem Ausdrucke 24 l = ---

²

4- n

der Differenzialquotient = 0, also Mx bei gleichem l oder gleicher Gesammtlänge zum Minimum für

40.    16 + 32n — 6h¹ — 40 n³ — 14n* 4~ 4m — 4mn — 9mn² = 0.

1:1,2: 1,2 : 1.

l,

12

u = 0,90909 X, l=~ k — 1,09091 L hx = a₄ = 0,1969f, a,, — b₃ — 0,21431, \    = 0,21151.

Transversalkraft

Einfluss von g

Einfluss von p

max (+ Q)

max (— Q)

I. Feld

0,1

0,2

0,3

0,3774

4- 0,3431

+ 0,2521

-f 0,1612

+ 0,0703

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,4176

0,3324 0,2583 0,1954 0,1541 0,1431 0,1011 0,0687 0,0452 0,0298 0,0213 — 0,5660    0,0188

— 0,0206

—    0,1115

—    0,2024

—    0,2933

—    0,3842

—    0,4751

0,0746

0,0802

0,0971

0,1251

0,1541

0,1637

0,2126

0,2711

0,3385

0,4140

0,4965

0,5848

II. Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,5027

0,6

0,7

0,8

0,9

-I- 0,5484 + 0,4393 + 0,3302 4- 0,2211 4- 0,1120 4- 0,0030

— 0,1061

—    0,2152

—    0,3243

—    0,4334

—    0,5425

0,6215

0,5160

0,4198

0,3341

0,2603

0,1991

0,1976

0,1508

0,1151

0,0914

0,0785

0,0747

0,0731

0,0767

0,0896

0,1130

0,1483

0,1961

0,1976

0,2569

0,3303

0,4157

0,5119

0,6172

. pl

Stützendrücke.

max (4-D₀)—0,3431gl-\- 0,4176p X, max (—D₀) = 0,3431gl—0,0745p X, max (4*A ) =1,1144gX-\- 1,2063pX, max(—D,)=1,1144gl — 0,0919p X, max (4-A) =1,0850g X 4- 1,2344p X, max(—D„) = 1,0850 g X — 0,1494pX.

1 : 1.2 : 1,2 : 1.

■=—1| tr»v

Einfluss v. g.

Moment

Einfluss von p

max ( + M) j max (— M)

I. Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7547

0,8

0,8031

0,85

0,9

0,95

1,0

■ 4-    0,02106    0,03383

+    0,04585    0,05940

4-    0,05637    0,07671

+    0,05863    0,08574

+    0,05263    0,08652

+    0,03836    0,07903

-j-    0,01583    0,06328

0,05114

—    0,01497    0,03926

—    0,01604    0,03839

0,5295    —    0,03346    0,02754

0,7395    —    0,05403    0,01961

0,8862    —    0,07666    0,01742

—    0,10135    0,01709

0,00678

0,01356

0,02033

0,02711

0,03389

0,04067

0,04745

0,05114

0,05422

0,05443

0,06100

0,07364

0,09408

0,11844

II. Feld

-t-

0,05

0,1

0,15

0,2

0,2143

0,2157

—    0,10135

0,1102    —    0,07292

0,2521    —    0,04747

0,4466    —    0,02499

0,7608    —    0,00549

—    0,00047

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7885

0,7898

4- 0,02459 4- 0,04277 4- 0,04905 -j- 0,04343 + 0,02590 4- 0,00046

0,8

0,85

0,9

0,95

1,0

0,7877    -    0,00352

0,4577 I — 0,02270 0,2579    —    0,04485

0,1125    |—    0,06998

0    —    0,09809

0,01709

0,01469

0,01608

0,03048

0,03260

0,03642

0,03698

0,06281

0,08253

0,09036

0,08628

0,07030

0,04623

0,04590

0,04328

0,03242

0,02624

0,02465

0,02718

0,11844

0,08761

0,06355

0,05547

0,03809

0,03689

0,03698

0,03822

0,03976

0,04131

0,04285

0,04440

0,04577

0,04590

0,04680

0,05512

0,07109

0,09463

0,12527

. g A² j .pi'¹    . pi'¹

Absolutes positives Maximum.

Eigengewicht:    I.    Feld.    max{4- M)    =    4~    0,0590gl'¹    für    x —    0,377ly,

II.

„ (4- M)    —    4-    0,0491g A²    n    x =    0,5011.

Zufällige Last:    I.    Feld.    max{-\- M)    =    4-    0,0872pl'¹    für    x —    0,401lx,

II. V V (4- M) = 4- 0,0895pl'¹ V x = 0,5141. Mittleres Moment.

mittM = 0,03941 gl'¹ 4- 0,06928pi¹¹.

1 : 1,3 : 1,3 : 1.

20    20

ll = ±-lz= 0,869571, I = — I — 1,130411.

/źo    /óo

ł>₁ = ai = 0,19051

a₂ = b₃ = 0,22031, &₂ = a₃ — 0,2120 l.

Transversalkraft

Einfluss von g

Einfluss von p

max (— Q)

1. Feld

0,1

0,2

0,3

0,3672

4- 0,3193

4- 0,2323 -j- 0,1454 4- 0,0584

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

.    — 0,0285

—    0,1155

—    0,2025

—    0,2894

—    0,3764

—    0,4633

—    0,5503

0,4053

0,3237

0,2528

0,1924

0,1588

0,1421

0,1016

0,0703

0,0475

0,0324

0,0242

0,0217

0,08(70

0,0914

0,1074

0,1340

0,1588

0,1707

0,2171

0,2728

0,3369

0,4088

0,4875

0,5720

IL Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,4929

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

4- 0,5572

4- 0,4441 -f 0,3311 4- 0,2181 4- 0,1050

— 0,0080

—    9,1211

—    0,2341

—    0,3472

—    0,4602

—    0,5733

0,6329

0,5236

0,4235

0,3332

0,2573

0,1981

0,1934

0,1430

0,1059

0,0810

0,0675

0,0635

0,0757

0,0795

0,0924

0,1162

0,1523

0,1981

0,2015

0,2641

0,3400

0,4282

0,5277

0,6368

11

. gl

. pl

. pil

Stützendrücke.

max (-\-D₀)=0,3193 g X-]- 0,4053 p A, max (—D₀) = 0,3193 g l — 0,0860pl, max {-^^^=1,1075 g lĄ-¹^⁰⁴⁹ P K max\—D ,)= 1,1075g l— 0,0974pk, max (4-D„) =1,1466g l-\-l,2736p l, max (—-D₂)=1,1466gI — 0,1270pL

I. Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7344

0,8

0,8095

0,85

0,9

0,95

1,0

II. Feld

0,05

0,1

0,15

0,2

0,2203

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7857

0,7880

0,8

0,85

0,9

0,95

1,0

1:1,3 : 1,3 : 1.

Moment

Einfluss v. g

Einfluss von p

max (-f M) \ max (— M)

0,5000

0,6872

0,8811

0,1058

0,2416

0,2456

0,7158

0,7858

0,4580

0,2581

0,1125

+ 0,02398    0,03146

-j- 0,04041    0,05535

-j- 0,04927    0,07171

4- 0,05057    0,08049

4- 0,04430    0,08171

+ 0,03048    0,07537

4- 0,00909    0,06146

0,054:94:

—    0,01985    0,04000

—    0,02301    0,03756

—    0,03716    0,02979

—    0,05636    0,02199

—    0,07745    0,01905

—    0,10043    0,01885

0,00748

0,01496

0,02244

0,02992

0,03741

0,04489

0,05237

0,05494

0,05985

0,06056

0,06595

0,07835

0,09550

0,11928

—    0,10043    0,01885

—    0,07053    0,01627

—    0,04384    0,01738

—    0,02023    0,03305

0,03529

4- 0,00732    0,03936

-f 0,03101    0,06538

-f 0,04927    0,08655

4- 0,05475    0,09494

4- 0,04744    0,09055

4- 0,02738    0,07341

0,04844

—    0,00048    0,04774

—    0,00548    0,04423

—    0,02671    0,03079

—    0,05111    0,02448

I— 0,07811\    0,02211

j— 0,10952    0,02410

0,11928

0,08680

0,06122

0,05338

0,03529

0,03204

0,03437

0,03728

0,04019

0,04311

0,04603

0,04844

0,04858

0,04973

0,05750

0,07559

0,10082

0,13362

. p A²

Absolutes positives Maximum.

Eigengewicht:    I. Feld.    max(+M) —    -f    0,0510 g A²    für    x = 0,367 Z

II. v    max(4- M) —    4-    0,0548 gl*    »    x = 0,4931.

Zufällige Last :    I. Feld.    max (4- M) =    +    0,0959pX¹    für    x = 0,413 f

II. n    max\-\-M) =    4-    0,0963pl*    »    x— 0,5131.

. pr

to

to

Verminderung der TransversalTcräfte

I. Feld

II. Feld

max(— Q)

0,0045

0,0043

0,0041

0,0039

0,0223

0,0187

0,0159

0,0136

. pl

Verminderung des Momentes

I. Feld. Zweiter Theil

II. Feld. Erster Theil

II. Feld. Dritter Theil.

max (— Q)

max (— M)

max (+ M)

1,0

1,1

1,2

1,3

0,00893 y, 0,00854 y,

0,00816 y,

0,00778 y,

0,00893 — 0,02679 y 0,00854 — 0,02407 y — 0,02175 y 0,00778 — 0,01974 y

0,02679 y — 0,00893 0,02407 y — 0,00854 0,02175 y — 0,00816 0,01974 y — 0,00778

.pl*

.pi*

. pl*

Die Verminderung ist nur insoweit yorzunehmen, als hierdurch das Moment nicht kleiner wird, als das durch eine Gerade darstellbare negative Maximalmoment, bezüglich das durch eine Parabel darstellbare positive Maximalmoment.

XVI. Kapitel.

Träger mit unendlich vielen Feldern.

§. 127. Vorbemerkungen. Wenn die Anzahl der Felder über vier bis fünf hinaus geht, so kann die Beanspruchung des Trägers für die praktische Anwendung gleich derjenigen angesehen werden, welche sich bei unendlich grosser Anzahl der Felder ergibt. Wir wollen daher noch den Träger konstanten Querschnittes mit unendlich vielen gleich langen Feldern unter Annahme gleich hoher Stützen untersuchen. Die Stütze 0 sei eine Endstütze ; rechts von derselben mögen unendlich viele Stützen liegen.

Bei Belastung eines beliebigen Feldes verhalten sich die Stützenmomente auf der linken Seite des belasteten Feldes wie die Clapeyron-schen Zahlen Jc₀, 7c,, &₂... (siehe §. 58). Das Verhältnis (i (§. 65) wird hiernach:

209

15

56

7*2 — 2 —    ^ — 4. — 3,75,    — 2g — 3,/ 333,

- 3,7321,. . .

780

9b — ~56~ — 3,7322, [i₆ — ^g — 3,7321, ^ —

2911

780

Der Abstand a des linken Fixpunktes von der linken Stütze des

-, l, d. i.

1 + p

= 0,21052,

betreffenden Feldes wird allgemein a =

a₃ _ 4

«1

^ = 0,

r = 0.2,

5

56

= 0,21132,

l 19

209

a‘ —2: = 0,21127

l 71

= 0,21132,. . .

I 265

Das Verhältniss der Momente auf der rechten Seite des belasteten Feldes ist konstant und zwar wird das Verhältniss v (§. 65) :

1. v — 2 -f V~3 = 3,732058,

989

dementsprechend der Abstand b des rechten Fixpunktes von der rechten T~jr— l, d. i.

1 -j- V

Stütze b =

2. b —

3—y 3

l = 0,2113241.

Für ein mittleres Feld wird a = b — j (3 — y3)1, c = 1 — a — b — IV 31.

Der Einfluss eines Systems von Einzellasten und einer gleich-massigen Belastung sind nun durch die Kapitel VIII und IX bestimmt. Hier wollen wir nur voraussetzen, dass in jedem Felde höchstens eine Einzellast liegen könne, wie es beim Querschwellen-Oberbau der Eisen-

Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

balmen, sowie bei Zwischenträgern der Brücken bei kleinem Abstande der Querträger Vorkommen kann. Wir wollen hierbei nur ein Endfeld und ein mittleres Feld untersuchen.

§. 128. Stützenmomente. Bei Belastung eines beliebigen Feldes (des rten) wird nach Formel 15 (S. 123)

3 (vW -    _ 3K-1 [(ß + V3) aft" - w]

hr—1 + (2 -)- )/ 3) hr

[IV — 1

Multiplizirt man Zähler und Nenner mit hr-i + {2 — V3) kr, so erhält man im Nenner l*r-i + ^r-iK + h\, d. i. aber = 1 (siehe des Verfassers Lehre von der Elastizität und Festigkeit, Prag 1867, S. 122). Somit wird

M,-l = — 3K-1    + (5 - 1/5) Jcr] [(2 + 1/$) 3R“ - ®'J.

Setzt man nach Formel 40 (S. 114) 3WP = Gi (P - |²), 3WP = Q%(1_I) (21 — i) und ausserdem Mx = j~—Mr~i, so erhält man

Zum Maximum wird hiernach Ml} Mq...Mr-i für

4. J = -^(3 + ]/3 — V6)1 = 0,38041

und zwar ist

5.rmxM,= --^[(3+2V3)h,.i+V3hr](3+3V2r-V3-Vë)Gl

= -^[hr-,+(2-V3)hr] (1 + 1/5 + Vs + 1l/«)G+

= —1,0993 (kr-1 + 0,2679 K) Gl.

zum Sonach wird

Zum positiven Maximum wird Mt, wenn man von der Belastung des ersten Feldes noch absieht, bei Belastung des 3ten, 5ten,... Feldes, negativen Maximum bei Belastung des 2ten, 4ten,... Feldes.

max (+ il7J —

— 4 [&₂+ &*+•••+(-2—]/^)(^3 + K+•••)] {1£+]/3j/6)Gl,

6.

max (—My) =

-§[*. + *»+••• + (5—1/3) ft + ht+...)] (1 +1n +1/3 +1/6)01.

Die in der Klammer stehenden unendlichen Reihen ergeben sich leicht durch Berechnung einiger der schnell abnehmenden Glieder hq + (2 — y 3)    &₄ + (2 — y3) &₅,.... Durch analytische Summirung

(siehe des Verfassers „Lehre von der Elastizität und Festigkeit“, S. 122)

ergibt sich die Klammer des ersten Ausdruckes zu 2 — ^ V 3 und die Klammer des zweiten Ausdruckes zu /{2\/3 — 3). Somit wird max (+ Jf, ) =

+ ~[9(1 + V^)-5 (V3 + V6)]Ol =+ 0,0227701,

max ( - Mx ) =

— ^ç[3(l + V2)— (V3 + ]/ö)] Gl — — 0,08503Gl.

Uo

Wenn das erste Feld selbst belastet ist, so wird, wenn wir in den Formeln 1 (S. 124) a — 0, b= (3—\/3)l, c— (3-{--]/3)Z setzen,

lŁ

8. Ml =

Hiernach wird Mx zum negativen Maximum für £ = ~ j/3 l = 0,57741 und zwar ist

(2}/3 — 3) Gl = 0,10313 Gl.

9. max (— My) — —

Bei der ungünstigsten Belastung aller Felder würde sonach max{—Mx) — 0,18816 Gl.

Bei Belastung eines mittleren Feldes wird nach den Gleichungen 1 (S. 124), wenn man für a, b, c obige Werthe setzt,

10.

Mr-j =

Mr

G£(l - £)

2V

G£{i-£)

2V

[Z-(1/3-2)1],

l{2 - V3)1 - {V 3 - m GUI -£)

(V3 — 1) {1-21).

Zum negativen Maximum wird Mr-i ebenfalls für

11. i =    y ß)i — 0,38041

Mr~i — Mr = —

und zwar ist

12    max ( - Mr-i) = — — [3 (1 + j/£) - ß/3 + V6)] G l =

— 0,08503 Gl.

zum negativen Maximum

r-1

Hinsichtlich der rechten Felder wird M bei Belastung des rten, (r4-2)ten, (r-f-4)ten,... Feldes bei £ = 0,38041. In Folge der Belastung des rten Feldes ist iüfr..₂ = — xGl, wenn wir

-j- (3 + j/3 — 1/6) = 0,3801 = x setzen. In Folge der Belastung des {r -f- 2) ten Feldes ist, wenn wir

~2+V3

= 2 — }/3 = 0,2679

setzeD, Mr+1= — xGl, Mr = — aMr+h Mr-i = — aMr = -f a²Mr+1 = — xa²Gl. Für die Belastung des (r -j- 4) ten Feldes wird ebenso Mr-i = — Ka*Gl u. s. f. Sonach wird

xGl

max (— Mr-i) = — x (1 -f- a² -4- a⁴    G l — — -

Die Einsetzung der Werthe für x und a gibt:

13.    max (— Mr-i) =

— (l + v% + V3 + V0)Gl= — 0,09161 Gl.

4 /V

Zum positiven Maximum wird Mr~i hinsichtlich der rechten Felder bei Belastung des (r -festen, (r -f 3) ten,... Feldes. Für diese Belastung wird Mr ebenso gross, wie_ max (— Mr-i), folglich Mr-i =

—    a max (— Mr-i) = — (2 — ]/3) max (— Mr_i) oder

14.    max (+ Mr-i) =

+ -Àï(— I — VS + VS + Vö)Gl= + 0,02155 Gl.

Sind beide Seiten der fraglichen Stütze möglichst ungünstig belastet, so werden die Maxima doppelt so gross, also max (—Mr-i) =

—    0,18322Gl, max (-j- Mr-i) = -f- 0,04910 Gl-, der erstere Werth setzt allerdings voraus, dass die Lasten in den benachbarten Feldern den Abstand 2.0,38041 = 0,76081 haben. Bei Anwendung auf Eisenbahnschienen wird indess ein so enger Radstand nicht anzunehmen sein.

§. 129. Momente für beliebige Querschnitte. Für das

wenn

-}- G£(l — %)• Im ersten Felde ist Mr~i — 0, Mr = Ml zu setzen. Dies gibt, wenn die Last auf der rechten Seite liegt:

Moment für einen beliebigen Querschnitt wird, wenn die Last auf der rechten Seite liegt, Ml — Mr-i l — {Mr-i — Mr) x -f- Gx(l — (j) und sie auf der linken Seite liegt, Ml = Mr-i l — (Mr-i — Mr) x

Erstes Feld, Last rechts:

Ml³ — Gx(l — I) [P — (2 - Y3) I (.I + I)].

15.

Erstes Feld, Last links:

Ml³ = G £ [Ja{* — (5 — V~3)x\ -f (2 — V3)x^\ Mittleres Feld, Last rechts:

Ml³ = ^G(l-£)[2r-x—{l—(Vr3—l)x}l£ — (V3—l)(l-2x)¥\.

1. Positive Momente. Das positive Moment tritt immer ein, wenn die Last am fraglichen Querschnitte liegt, also für g = x. Dies gibt für die Belastung des fraglichen Feldes:

Erstes Feld:

max (+ Af ) = +

¹⁶‘ I Mittleres Feld:

Jmaa? (+ if) =+

Für das positive Maximum von M im ersten Felde muss ausserdem das 3te, 5te,... Feld belastet sein. Für diese Belastung ist Mx durch

die erste der Formeln 7 bestimmt; M ist alsdann = Mxj oder:

Gl

17. max (+ M) = -f-

9 </ + y9) —*> (I 3 + j/6)

36

Gx.

Für ein mittleres Feld muss für einen Querschnitt links vom linken Fixpunkte das (r—2)te, (r—4)te,... sowie das (r-J-7)ste, (r-f- 3)te,.„. Feld belastet sein. Für einen Querschnitt zwischen beiden Fixpunkten sind dieselben linken Felder, dagegen auf der rechten Seite das (r-j-^)te, (r Ą-4)te,... Feld zu belasten. Diese Felder sind in einem Punkte zu belasten, welcher von' der dem fraglichen Felde zugekehrten Stütze den Abstand 0,38041 hat.

Für die Belastung des (r — ,2)ten, (r— 4)ten,,.. Feldes wird Mr^= + ax{l + aa-Pa⁴ + ...)£Z = + JZT^Gl> Mr = — uMr-i —

Gl. Für die Belastung des (r 4-7) sten, (r-f-3) ten,... Feldes

Gl, Mr-₁ = -aMr = folglich wird für die Belastung aller übrigen Felder

1 — ßs

wird Mr = — x {1 -f- a² + a* -f-. .. ) = — 4_    ai.

= +

Mr-l

2ax

Gl, Mr — —

x(7 -f- o²)

Gl,    = ^

Es wird nun für x <    (3 — J/^3) l: max(-\-M) = Jf,

1 — a¹

x(7-j-a)²

— aq

Gl.

18. max (4- M) = -j-

³~]/g36T/a + ]/~(i~³f)e;

= + 0,0491 G (l — 3x).

Für die Belastung des (r 4-2)ten, (r 4~ 4)ten,... Feldes wird Mr-i und Mr ebenso gross, als bezüglich Mr und Mr~i für die Belastung des (r — 2)ten, fr — 4)ten,... Feldes. Für beide Belastungen zusammen wird daher Mr-i = Mr = j~i —

Ebenso gross wird max (4- M) für x > y (3 — }/3)1, d. i.

a'v.

1 - ß*

) Gl

Gl.

19. max (+2Uf) = +

2+2V2—V3—Vß

30

Gl

= + 0,01796 Gl.

Zum absoluten positiven Maximum wird M, wenn man die ungünstigste Belastung sämmtlicher Felder berücksichtigt, im ersten Felde für x — 0,418 l, in einem mittleren Felde für x = j l und zwar ist

Max (+ 31) = -f 0,2142 Gl.

20.

j Erstes Feld:

\ Mittleres Feld: 3£ax (-}- M) = -|- 0,1888 Gl.

2. Negative Momente. Für einen innerhalb beider Fixpunkte, im ersten Felde also links vom Fixpunkte, liegenden Querschnitt darf das fragliche Feld für max (— M) gar nicht belastet sein.

Für das erste Feld wird nach der zweiten der Gleichungen 15 M zum Maximum für

2i. i =

; i '•<+! .»• g + V S l

‘V

1,5774 — 1,2440 -

x

Für ein mittleres Feld wird nach der dritten der Gleichungen 15 M zum Maximum für

99    »    (3 + V3)l-6x

è    3(1 — Sx)

oder, wenn man auf x reduzirt, für

§*-

«1 +

(V3+ DI + 2V3X p _

6 (l - 2x)

{y₃ .f i) i - y ui

2 [y3i> -b 6% (i — i)]

Setzt man den Ausdruck für £² aus 21 und von (l — 2x) £² aus 22 in 15 ein, so erhält man

23. x =

Erstes Feld:

24.

max (— 3f)— —

[(3 - V 3) x - fj.

Mittleres Feld:

m ax (— 31)——

G(i-i)

[l-(3+V3)x] [l-(SV3-3)g\.

OF

Für das erste Feld muss ausserdem das 2te, 4 te,... Feld belastet sein. Für diese Belastung ist Mx durch die zweite der Formeln 7 bestimmt. Es wird also

25. max ( — 31) = —

-4s\ß(l + V2)-(Y3 + V~<i)\ Gx

— — 0,0850 Gx.

Für ein mittleres Feld muss ausserdem noch für einen links vom linken Fixpunkte liegenden Querschnitt das (r — 7)ste, (r — 3)te,.. sowie das (r -F 2)te, (r -4- 4) te,... Feld, für einen zwischen beiden Fixpunkten liegenden Querschnitt das (r — 7)ste, (r — 3)te,..., sowie das (r F 1)ste, (r -F 3)te,... Feld so belastet sein, dass die Last von der dem fraglichen Felde zugekehrten Stütze den Abstand 0,38041 hat. Für diese Belastung ergibt sich leicht, wie oben :

- l—V» + V -'i + V<i ( is    \

3.1r*

X< 6

Ql

3-]/3

21

26.

3-V3

X> 6

l: max (—M)= —

= — 0,0982 G (l — l,5x),

1 + V2

Gl= - 0, 0671 Gl-3 o

Fig. 210.

Das absolute negative Maximum tritt im ersten Felde an der Stütze 1, in einem mittleren Felde an jeder der beiden Stützen ein und ist im ersten Felde — 0,1882Gl, in einem mittleren Felde —0,1832 Gl

Erstes Feld.

Mittleres Feld.

Wir geben hiernach in Fig. 210 ' die grafische Darstellung und im Folgenden eine Tabelle der Maximalmomente:

max (F M)

max (— M)

Erstes Feld

max (— M)

Mittleres Feld max (+ M)

-F

0,1

0,2

0,2113

0,0896

0,1543

0,0085

0,0170

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7887

0,8

0,9

0,1949

0,2131

0,2112

0,1919

0,1590

0,1216

0,1165

0,0693

0,0228

0,0255

0,0340

0,0425

0,0510

0,0595

0,0670

0,0694

0,1181

0,1882

0,0490

0,0852

0,1183

0,1216

0,1552

0,1800

0,1887

0,1800

0,1552

0,1216

0,1183

0,0852

0,0490

0,1832

0,1137

0,0695

0,0671

0,0671

0,0671

0,0671

0,0671

0,0671

0,0671

0,0695

0,1137

0,1832

. Gl

. Gl

Für Querschnitte in der Nähe der Stütze können die Lasten im ersten und zweiten, bezüglich im rten und (r — 1) sten Felde so nahe rücken, dass eine praktisch unmögliche Laststellung eintritt. In diesem Falle ist das Maximum durch die Einflusslinie mit Rücksicht auf den gegebenen Abstand der Lasten besonders zu bestimmen.

-Mr);

§. 130. Transversalkräfte. Die grösste positive oder negative Transversalkraft tritt ein, wenn die Last dicht rechts, bezüglich links neben dem Querschnitte liegt. Für diese Belastung ist max (-{- Q)l = G (l — x) — (Mr-j — Mr), max (— Q) i — — Gx — (M, im ersten Felde wird hiernach max (-f- Q)l = G {l — x) 4 M max (— Q) l = — Gx 4 Mt. Dies gibt:

Erstes Feld :

27.

Q) — +

-(2-

— Q) = — (3 —

V3)j [l

+ f)]o.

3 — Y 3 x*

6 l-

G.

Mittleres Feld:

max (+ Q) +

M)[

1 -f

(*- ³ )

Das negative Maximum erhält man für ein mittleres Feld, indem man x für l — x setzt und das Vorzeichen vertauscht.

Hinsichtlich des ersten Feldes muss ausserdem für max (4- Q) das 3te, 5te,..., für max(— Q) das 2te, 4te,... Feld so belastet sein, dass die Last von der linken Stütze den Abstand 0,38041 hat. Für diese Belastung ist Mx durch die Formeln 7 bestimmt. Da Ql = Mx ist, so wird demnach

28.

vnax{+ Q) = + 0,02277g, max (— Q) = — 0,08303G.

Für max (-f- Q) in einem mittleren Felde muss ausserdem das (r — 7)ste, (r — 3)te,... sowie das (r + 2) tei (r + 4)te,... Feld so belastet sein, dass die Last von der dem fraglichen Felde zugekehrten Stütze den Abstand 0,38041 hat. Für diese Belastung ergibt sich leicht Mr—i = — h (1 + ß²) (1 4~ a~ 4"    4" • • •) G l, Mr — 4 2xa(l-\-a‘¹-{-

a* 4-.. .)Gl, Ql = Mr - Mr-I = x(l 4 a*)(l 4 a² 4 «⁴ + ...) Gl

- *⁽³ + k) Gl, d. i.

a

29. max{+Q)=:Ą-^2 (-1-V2 + V3 + V6) G— 4 0,1473G.

Als absolutes Maximum, ergibt sich hiernach für das erste Feld Max (4Ç)= 4 1,0228 G, Max (— Q) = — 1,0850 G und für ein

mittleres Feld Max (-(- Q) — — Max (— Q) — 1,1473 G. Untersucht man in gleicherweise auch noch die übrigen Felder, so findet man, dass die grösste Transversalkraft überhaupt im II. Felde an der Stütze 1 ent-

Fig. 211.

steht; dieselbe ist 1,1624 G.

In Fig. 211 ist hiernach maxQ grafisch dargestellt. Die folgende Tabelle enthält die bezüglichen Zahlenwerthe :

Erstes Feld-

Mittleres Feld.

max (-f- Q)

max (— Q)

Erstes Feld

max (— Q)

Mittleres Feld max (4- Q)

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0228

0,8963

0,7713

0,6496

0,5328

0,4223

0,3199

0,2271

0,1456

0,0770

0,0228

0,0850

0,2115

0,3364

0,4185

0,5750

0,6855

0,7879

0,8806

0,9621

1,0308

1,0850

1,1473

1,0737

0,9825

0,8781

0,7649

0,6473

0,5297

0,4166

0,3122

0,2209

0,1473

0,1473

0,2209

0,3122

0,4166

0,5297

0,6473

0,7647

0,8781

0,9825

1,0737

1,1473

Wenn die Lasten im ersten und zweiten, bezüglich [r — T) sten und rten Felde näher rücken, als dies praktisch möglich ist, so wird natürlich wieder eine besondere Bestimmung zu treffen sein, wobei indess stets eine Last am Querschnitte anzunehmen ist.

§. 131. Stützendruck. Der Druck auf die linke Endstütze ist gleichbedeutend mit der Transversalkraft Q daselbst. Wir wollen ausserdem nur noch den Druck auf eine mittlere Stütze bestimmen.

und Mr die

Wenn im rten Felde eine Last liegt, so ist für den Stützendruck auf die (r — l)ste Stütze: Dl — G (l — £) -j- Mr.₂ — 2Mr—i -f- Mr = G (l — I) — (a -f 2) Mr_₂ 4- Mr. Setzt man für M Ausdrücke 10 und a -\- 2 = 4 — \/~3, so erhält man

30.    1)_G \ 1 —

^ iCr^

Wenn in den neben dieser Stütze liegenden Feldern gleiche Lasten mit dem Abstande a liegen, so tritt das Maximum von Dr ein, wenn jede der Lasten von der Stütze den Abstand -■ a hat. Ausserdem muss das (r — 3) te, (r — 5) te,..sowie das (r -f- 2) te, (r -}- 4) te,... Feld belastet sein. Für diese Belastung wird Mr~3—Mr, also Bl — 2 (.Mr — Mr-i), Mr-1 = — 2 er % G l (1 -f a¹ 2 +    + • . •), M- ■=

a*)# GI (1a"u* -h. • .)t D — 2 a (1 -j- a)¹x G (1 -j- a" -f- a³-f"...)

K G oder

_ 2 a (1 -f- a)

S1. max (+ 2>) = +

3(V3 + I «> -au + y S)

= + 0,0790 G.

Das negative Maximum von D, welches bei Belastung der übrigen Felder eintritt, ergibt sich in gleicher Weise zu — max (-f- B) oder zu

1- I v' + l 3+ |/ «

6*

32. max (— />) = —

= - 0,2946 G.

XVII. Kapitel.

Grafische Behandlung der kontinuirlichen Träger.

§. 132. Grafische Darstellung der elastischen Linie. Die

d'ly __ M dxl ~~ EI *

Differenzialgleichung der elastischen Linie oder der deformirten Axe eines Stabes ist, wenn man von dem Einflüsse der Schubspannungen absieht,

1.

Die Differenzialgleichung einer Seilkurve mit der vertikalen Belastung q pro horizontale Längeneinheit und der Horizontalspannung H ist

2.

Spannung gleich dem Elastizitätskoeffizienten E ist. Statt dessen würde man bei konstantem I auch q = M und H = EI setzen können. Wir wollen in der Folge in Uebereinstimmung mit §. 56

und 63 q = M y und dementsprechend H — EIn setzen, wenn I₀ ein -*0

I₀

T lm

mittleres Trägheitsmoment bezeichnet. Bei konstantem Querschnitte ist dann

Man hat also das Seilpolygon der gegebenen Kräfte zu konstruiren und die Höhen desselben mit Io

zu multipliziren. Die so entstandene

verzerrte Momentenfläche (siehe §. 63) hat man jetzt als Bela-stuDgsfläche anzusehen und für dieselbe die Seilkurve zu konstruiren. Bei konstantem I entfällt die Division mit I₀ und die vom Seilpolygone gebildete Momenteufläche ist jetzt unmittelbar als Belastungsfläche anzusehen.

Fig. 212.

(-----CC------

Wenn man die Momentenfläche durch Vertikalen in mehrere Flächenstücke theilt und die Flächen derselben in ihren Schwerpunkten wirkend denkt, so bestimmen diese Kräfte ein Seilpolygon, welches die elastische Linie in der Vertikalen, welche die einzelnen Flächen von einander trennen, tangirt, wodurch sich beliebig viele Tangenten der elastischen Linie konstruiren lassen. Flächen, welche positiven oder negativen Momenten entsprechen, sind natürlich im Kräftepolygone im entgegengesetzten Sinne aufzutragen.

Nimmt man eine Thei-lung durch nicht vertikale Linien vor (Fig. 212), so sind die Richtungen der äusseren Polygonseiten mit denen für die vertikale Theilung übereinstimmend, weil die vertikale Höhe zwischen den entsprechenden Strahlen des Kräftepolygones der Gesammtlast entspricht. Die äusseren Polygonseiten werden also auch in diesem Falle Tangenten an die elastische Linie in den Endpunkten des in Rede stehenden Stückes derselben bilden. Hierbei können natürlich auch einzelne Flächentheile negativ sein.

Die Darstellung der elastischen Linie als Seilkurve auf Grund der Gleichungen 1 und 2 erfolgte zuerst von Mohr im „Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen“, Zeitschr. des Hannov. Arch.- und Ingen.-Yer. 1868.

§. 133. Das elastische Polygon. Handelt es sich nicht um die wirkliche Form der elastischen Linie, sondern nur um die äusseren Kräfte und ihre Momente, so genügt die Kenntniss der Lage der Tangenten der elastischen Linie an den Stützen, welche wir Stützentangenten nennen.

Bei konstantem Querschnitte denkt man sich hier die Momenten-fläche am besten als Differenz der einfachen Momentenfläche A“C“B“ und des Trapezes A'A" B" B' (Fig. 213), setzt also die Momentenfläche

= Fläche A"C“BU — &A'A“ B'— &A“ B“ B'.

Bei variablem Querschnitte multiplizirt man die Ordinaten aller drei Flächen mit

. Hierdurch mögen die beiden Dreiecke, die wir Mo-

mentendrei e ck e nennen, in die verzerrten Momen-tendreiecke, die einfache Momentenfläche in die verzerrte einfache M omentenfläche übergehen. Alsdann '0 ist die verzerrte Momentenfläche gleich der verzerrten einfachen Momentenfläche weniger der Summe der beiden verzerrten Momen-tendreiecke.

Die Inhalte dieser drei Flächen denken wir uns nun in ihren Schwerpunkten als Vertikalkräfte wirkend; das denselben entsprechende Seilpolygon AUSVB nennen wir das elastische Polygon.

Bei konstantem Querschnitte theilen die durch die Schwerpunkte beider Dreiecke gehenden Vertikalen die Spannweite in drei gleiche Theile; wir nennen dieselben daher die Drittel vertikalen. Aber auch bei variablem Querschnitte lässt sich die Lage der durch Schwerpunkte der verzerrten Momentendreiecke gehenden Vertikalen, die wir auch hier Drittelvertikalen nennen wollen, bestimmen, auch wenn man die Stützenmomente noch nicht kennt. Bezeichnen a', a“ die Abstände der Schwerpunkte von den nächsten Stützenvertikalen, so wird

Fig. 213.

A"

j\

b'I

M,

A'

|\M

B’ F

U '"S \

1A b I ■<- --------+

•<-

pl^

V‘

1a

3. a' —

X (l — x)

dx

x {l — x)

dx

oder

f-

— x) d (l — x) ’

a“ =

x dx

1. a‘ =

a“ =

ïh

wenn man ausser den Bezeichnungen von §. 56 noch

5. B‘

_ 21^ Cx dx

J~T

0

, B“

(l — x) d ( l — x)

setzt. Unter Einführung der Beziehungen von §. 56 wird auch B‘ = j (C + 2 C“) == 4 (5 + C'—C“), B“—j {C-\-2 G“) = j(3 — C' + C“).

In der grafischen Bestimmung von §. 62 (Fig. 124) wird hiernach

Fig. 214.

6.

5" =

A ABN Trapez AB NM ’

« A ABM Trapez AB N31

!<—

Ulk

und

a‘

7.

a“

Fläche AGB

“Aabn~'

Fläche AGB

&ABIT ’

HhHlllIHHlllH 1111 111111111.1

<----a"—»i

so dass die Lage ^ der Drittelvertikalen durch die q Form des Trä- jj gers gegeben ist.

Wir verwan- . dein nun die beiden verzerrten Momentendreiecke in Dreiecke mit der Länge l und bezeichnen die Höhen an den Enden mit Mund MBei konstantem    Ky'

Querschnitte, wo die Flächenver-    ⁰

Wandlung wegfällt, ist —

Mx “ = 31“. Bei variablem Querschnitte wird das Verhältniss von 31x‘ und Mx“ zu M‘ und 31“ dasselbe bleiben, wie gross auch 31' und 31“ sein möge. Dieses p

B"

Al

T>

Al

'Mm

uni

r~—Ie

J5'

FL

4-

vK.

w'

Hj

Verhältnis erhalten wir durch die Flächenverwandlung. Offenbar wird

M. “ = B“ M“.

Wir verwandeln ferner die verzerrte einfache Momentenfläche in ein Rechteck mit der Länge l und bezeichnen die Höhe desselben, oder das mittlere Moment des Einzelträgers mit derselben Belastung mit

Die drei Kräfte zur Konstruktion des elastischen Polygones würden alsdann ÏÏÏIJ, -j Mxl und j Ml“l zu wählen sein, während die Polweite b = EI₀ zu setzen sein würde. Statt dessen aber können wir auch die Kräfte = m^l₀l, ymJf/Z, ~mMl"l und die Pol weite b — mEI₀ annehmen, wenn m einen beliebigen Faktor bezeichnet. Um m möglichst günstig wählen zu können, bestimmen wir zunächst die Stützenmomente MJ und M“.

Verlängert man die mittleren Seiten des elastischen Polygones bis zum Durchschnitte M und N mit den Stützenvertikalen, so ist Ą A UM ähnlich /\GOF und /\B VN ähnlich /\HOE; folglich verhält sich, wenn wir AM=y\ BN = y“ setzen, y' : a¹ = j mMxl :b und y“ : a“ = j m Mx ¹¹1 : b, also ist

2by' 6B“by¹

mla‘ mCl~ ’

m l a“    m G V¹

MU ₌ 2by“ _ 6B'by“

Es wird somit, da B“M/ = Mx, B‘M“ = Mx‘ ist,

8. M‘

M“ =

6by‘

— mCV¹ ’

6b y“

mCl? ’

Die Stützenmomente sind also den von den inneren Seiten des elastischen Polygones auf den Stützenvertikalen abgeschnittenen Strecken y‘ und y“ proportional.

Am einfachsten würde man hiernach, wenn l für alle Felder gleich gross ist, b = -j l und m = ^ setzen, da alsdann unmittelbar M' = y',

M“ = y“ wird. Wenn indessen die Länge der einzelnen Felder ver-

1 1

schieden ist, so wollen wir b = — m z= — setzen, so dass

9. M' =

(j) y‘ M

" = (D>

Man kann hierbei X beliebig wählen; am besten wird man für A

wird.

eine der vorhandenen Spannweiten wählen, da dann wenigstens für die Stützen, welche die Felder mit der Spannweite 1 begrenzen, M‘ = y\ M“ = y" wird.

Die drei Kräfte für die Konstruktion des elastischen Polygones sind alsdann

(ïï

Cl

(t)*

und a“

Zieht man in den Abständen a¹

Gl (1)^ von ^ un^ ^ Vertikalen, so sind die Strecken AlMi und

BANif welche auf diesen Vertikalen von den Verlängerungen der inneren Seiten des elastischen Polygones abgeschnitten werden, gleich M' und M“ und zwar nach demjenigen Momentenmaassstabe, nach dem im. Kraftpolygone die Kräfte P, P', P“ aufgetragen wurden.

3B¹

— 3B"

MAI

_M,“l 2CX ’

10. P = +

, P‘ = -

-*•1 “ T)l) _

2GV

Das elastische Polygon wurde zur grafischen Behandlung des kontinuirlichen Trägers konstanten Querschnittes unter Einführung der obigen Zerlegung der Mo-mentenfläche in die einfache Momentenfläche und zwei Dreiecke zuerst von Mohr angewendet (Zeitschr. des Hannov. Arch.- u. Ingen.-Ver. 1868). Die Ausdehnung auf den veränderlichen Querschnitt erfolgte zuerst vom Verfasser (vorliegendes Werk, I. Aufl. 1872). Die Bezeichnung „elastisches Polygon“ wurde in Uebereinstimmung mit der längst üblichen Bezeichnung „elastische Linie“ zuerst von v. Ott (Die grafische Statik, II. Theil, Prag 1885) angewendet. Ritter (Die elastische Linie und ihre Anwendung auf den kontinuirlichen Balken, Zürich 1871) gebrauchte dafür die Bezeichnung zweites Seilpolygon; diese Bezeichnung ist auch in den früheren Auflagen dieses Buches benützt.

§■ 184. Die Kreuzlinien. Ist die Lage der Stützentangenten AU und BV (ï’ig. 21B und 214) gegeben, so lässt sich das elastische Polygon in folgender Weise konstruiren: Auf zwei Vertikalen, welche vom Schwerpunkte der verzerrten einfachen Momentenfläche den Horizontalabstand b haben, trägt man die Grösse ~ auf und verbindet

die so erhaltenen Punkte durch zwei sich kreuzende Gerade, welche man die Kreuzlinien nennt. Macht man jetzt auf den Drittel vertikalen UU' und VVi gleich dem Vertikalabstande der Kreuzlinien in denselben Vertikalen, so bilden UV' und VU' offenbar die mittleren Seiten des elastischen Polygones.

Bezeichnen wir den Abstand OP und QR der Kreuzlinien in den Stützenvertikalen mit T' und T", den Abstand des Schwerpunktes der verzerrten einfachen Momentenfläche von diesen Vertikalen mit £' und

9Jł„l?

m₀i§“ Cbk ‘

Wl₀l

= I' : b, also T' =

Nun aber sind 2D7₀Z1;' und    die statischen Momente der verzerrten

einfachen Momentenfläche in Beziehung auf die linke und rechte Stützenvertikale, d. i. =

Zeichnung von §. 56 = jffll'l* und j 907" Z². Es wird somit

so ist T' :

CbX

und J₀J

und ebenso T“ —

, d. i. nach der Be-

11. V =

m'u

2Cbl ’

T “ __

2Cbl ‘

Man kann sonach zur Konstruktion der Kreuzlinien auch die Grössen 9JP und 30Î" verwenden, deren Bestimmung durch Rechnung und Konstruktion in §. 63 gezeigt wurde. Wenn man b = wählt, so wird

12. T‘ =

O oj

■fr-

ijp u

= Im“

- G

für l = l wird also T‘ = 5SW', T“ = 3m“.

Die Einführung der Kreuzlinien rührt von Cu.1 mann her (Ritter, Die elastische Linie u. s. w., Zürich 1871).

§. 135. Beiderseitig und einseitig horizontal eingespannter Träger. Die gezeigte Konstruktion ist unmittelbar anwendbar auf die Bestimmung der Stützenmomente beim beiderseitig und einseitig horizontal eingespannten Träger.

Beim beiderseitig horizontal eingespannten Träger werden die äusseren Seiten A U₀ und B F₀ (F. 215) des elastischen Polygones horizontal. Durch die Kreuzlinien sind

Fig. 215.

K'

r:

r--------

dann die Punkte U₀' und F₀' und durch diese die Punkte Mn und N0 bestimmt. Es isj; alsdann, wenn man l = 1, b = jl wählt, M‘ = AM₀, M“ = B₀N₀ und bei konstantem Querschnitte M‘ = A M0 = F₀ F₀', M“ = B₀ N₀ = U₀ Üq. Im Kraftpolygone fallen hier die Punkte G und H zusammen; es wird

also y (M‘ -j- M“) = 9W₀. Im ersten Seilpolygone werden demnach bei konstantem Querschnitte die auf beiden Seiten der Schlusslinie liegenden Momentenflächen einander gleich. Bei symmetrischer Belastung würde hiernach M‘ = M“ = 9W₀.

Zieht man in Fig. 215 durch die Punkte U und F, welche dem schief eingespannten Träger entsprechen, eine Gerade, welche die Stützenvertikalen in 0 und P schneidet, so ist OM = AM₀, PN = B₉N₀; demnach wird für 1 = 1, b = jl: AO = M₀,—MBP = M₀“—M", wenn M₀‘, M₀“ die Endmomente für den horizontal eingespannten Träger bedeuten. A 0 und B P sind also der Differenz der Endmomente beim horizontal und schief eingespannten Träger proportional.

Ist der Träger nur auf der linken Seite horizontal eingespannt, während er auf der rechten frei auf der Stütze B ruht, so ist nur die linke Seite A U (Fig. 216) des zweiten Seilpolygones horizontal. In B muss das Moment Null sein, es muss also BN=0 sein oder es müssen

§. 136. Verschränkte Stützenvertikale. Verlängern wir die mittleren Seiten UV und Ux F, (Fig. 217) der elastischen Polygone zweier auf einander folgender beliebig belasteter Felder mit den Längen l und lv so schneiden sich die Verlängerungen in einem Punkte TF, welcher in der Kichtung der Mittelkraft der in V und Ux wirkenden

Kräfte liegt. Diese Kräfte sind nach §. 133: ■^B,,MXj und jqBx Mxj,

wenn Mx das Stützenmoment in B bedeutet und wenn sich B“ auf das linke, Bx‘ auf das rechte Feld bezieht. Es verhält sich also W₀V₀ : W₀ U₀ — Bx‘lx : B“l. Hiernach hat die durch IF gehende Vertikale eine konstante, von der Belastung unabhängige Lage.

Fig. 217.

Fi

BJns.

Fi !

Bei konstantem Querschnitte ist die Horizontalprojektion von F₀ = j G + lx)- Ha sich nun hier W₀V₀ : W₀U₀ = Jx:l verhält, so wird die Horizontalprojektion von V₀W₀ = -j lx, die von L₀IF₀= -g l und die von BW₀ = j (lx — l). Wir nennen daher die durch W0 gehende Vertikale, deren Lage sich hiernach leicht angeben lässt, die verschränkte Stützenvertikale.

19

die Seiten SF und BV des zweiten Seilpolygones zusammenfallen. Man bestimmt demnach den Punkt U‘ durch die Kreuzlinien; durch diesen Punkt ist also die Seite BS, also auch der Punkt S und durch diesen der Punkt M bestimmt; es ist alsdann

M* = AM und bei konstantem

Querschnitte M' — AM. Im letzteren Falle würde bei symmetrischer Belastung für 1 = 1, b = ^l: U₀S₀—jl — b,

u₀ü'=m„, s„s = Jm„, am = zs₀s = f m

Fig. 216.

JK

U'\

s........jir

£ iS

zN

also M‘ = j Wl₀.

Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

nur aus

den beiden Kräften j MH und jM“l zu konstruiren. Ist die Lage

§. 137. Unbelastetes Feld. Wenn es sich um eine Oeffnung handelt, welche nicht belastet ist, so ist das elastische Polygon Fig. 219.

Yl

zum

Durchschnitte M und N mit den

Wir wollen diesen Namen aber auch bei variablem Querschnitte beibehalten. Hier lässt sich diese Vertikale in folgender Weise bestimmen. Fig. 218.

k!

Sind in Fig. 218 die Dreiecke ABD und CEB

gleich den entsprechenden verzerrten Momentendrei-ecken, so ist nach §. 133 BD = B“M, und BE — B‘MX. Legt man durch U₀ und V₀ Parallelen bezüglich zu AD und CE, welche sich in F schneiden, so geht, wie leicht nachweisbar, die verschränkte Stützenvertikale durch F.

Für einen konstanten Querschnitt wurde der aufgestellte Satz zuerst Mohr (Zeitschr. des hannov. Arch- und Ingen.-Yer. 1868) nachgewiesen. Cul mann nannte die verschränkte Stützenvertikale das verschränkte Drittel (Ritter, die elastische Linie u. s. w., Zürich 1871).

'K

»!

von

der Stützentangenten gegeben, so ist dieses Polygon vollkommen bestimmt. Verlängert man die mitt-' lere Seite UV (Fig. 219) bis

Stützenvertikalen, so ist nach §. 133: M‘ —    (y)²- AM und M“ =

(y) .BN, also AM:BN=M' :!/*'. Zieht man noch die Gerade AB,

welche UV in I schneidet, so ist für den Punkt I das Moment Null oder: der Durchschnittspunkt I der die Stützen verbindenden Geraden AB mit der mittleren Seite UV des elastischen Polygones entspricht dem Wendepunkte der elastischen Linie.

Die Transversalkraft ist im ganzen Felde konstant. Ist a der Neigungswinkel der Momentenlinie gegen die horizontale Schlusslinie, so folgt aus dem Kräftepolygone mit der Pol weite H sofort Q = Htana.

§. 138. Unbelastetes und belastetes Feld. Wir untersuchen die gegenseitige Lage der Punkte I und I, (Fig. 217), in welchen die durch die Stützen A und B eines unbelasteten Feldes gehende Gerade von den mittleren Seiten des elastischen Polygones dieses unbelasteten Feldes und der linken inneren Seite des elastischen Polygones des anschliessenden, beliebig belasteten Feldes BC geschnitten wird. Es verhält sich Ix U₀ : Ix W₀ — U₀ Ux : W₀W; nun aber verhält sich auch U₀ Ux : V„V

= B'll:Bt"l und W₀W:V₀V= IW₀ : IV₀-v

= BU₀:BV₀=

hieraus folgt leicht:

IlU₀:IlWa = ir₀.B'li:IW₀.Bl“ l.

Das Verhältniss, in welchem W₀TJa durch den Punkt Ix getheilt wird, hängt also bei gegebenen Spannweiten nur von dem Verhältnisse IV₀ : IW₀ oder von der Lage des Punktes I ab. Legt man also durch den Punkt I verschiedene elastische Polygone, so bleibt auch der Punkt Ix derselbe oder noch allgemeiner: Bewegt sich der Punkt / bei verschiedener Höhenlage der Stützen und bei beliebigen elastischen Polygonen in ein und derselben Vertikalen, so bewegt sich auch der Punkt Ix in ein und derselben Vertikalen.

Aus dem Punkte I lässt sich leicht der Punkt Ix konstruiren. Man hat nur nöthig, durch I eine beliebige Gerade zu ziehen, welche die Vertikale durch Va und die verschränkte Stützenvertikale in V und W schneidet. Durch V und B zieht man eine Gerade, welche die Vertikale durch ü₀ in Vx schneidet. Verbindet mau jetzt Ux mit W, so schneidet üx W die Verlängerung von AB im Punkte Ix.

Liegen die Stützen A, B, G in einer Geraden und ist das rechte Feld B C nicht belastet, so sind I und Ix nach dem vorigen Paragrafe Wendepunkte.

Fig. 220.

Es seien nun vom linken Ende A (Fig. 221) aus mehrere Felder unbelastet. Das Ende A bildet alsdann, weil hier das Moment stets Null sein muss, einen Wendepunkt. Aus diesem lässt sich nach dem eben Gesagten der Wendepunkt J₂ für das zweite Feld B C konstruiren; aus diesem wieder der Wendepunkt I₃ für das dritte Feld u. s. f. Diese Wendepunkte wurden unter der Voraussetzung, dass sämmt-

19*

liche Stützen in einer Geraden liegen, in §. 67 als F i x p u n k t e bezeichnet.

Eine zweite Reihe von Fixpunkten lässt sich in gleicher Weise kon-struiren, wenn mehrere Felder vom rechten Endfelde aus unbelastet sind. In den Endfeldern bilden die Endstützen Fixpunkte.

Aus der Konstruktion geht unmittelbar hervor, dass die Fixpunkte stets ausserhalb der äusseren Drittelverti kalen der Felder liegen müssen.

Taf. II zeigt die vollständige Konstruktion der Fixpunkte für einen Träger mit vier Feldern.

Ist nur ein Feld belastet, so lässt sich nach dem Gesagten der Satz aufstellen: Die Verlängerungen der mittleren Seiten US und VS (Fig. 221) des elastischen Polygones des belasteten Feldes schneiden die Verlängerungen der die Stützen der anstossenden Felder verbindenden Geraden AA‘ und BB* in den Fixpunkt vertikalen.

Fig. 221.

7T

n jv' Ir r\ \w

AA

IV

Vl

B‘

S/A

Bei bekannter Lage der Fixpunkte und bei gegebener Belastung ist es hiernach leicht möglich, das elastische Polygon zu zeichnen, indem man die Vertikalen IIt und KKX gleich den den Fixpunkten I und K entsprechenden Vertikalabständen der Kreuzlinien macht; die mittleren Seiten US und FÆ gehen alsdann bezüglich durch I und Kv K und ij. Nach §. 134 sind hierdurch auch die Stützenmomente bestimmt.

Da 41<a' ist, so liegt U rechts von I, der Winkel AUS ist demnach konkav, mithin die in U wirkende Kraft j Mx‘l nach oben gerichtet oder M negativ. Dasselbe gilt für den Punkt F. Die Stützenmomente des belasteten Feldes sind daher stets negativ.

Der in diesem Paragrafe entwickelte Hauptsatz und die darauf gegründete Konstruktion der Fixpunkte wurde zuerst von Mohr (Zeitschr. des hannov. Arch.-11. Ingen.-Ver. 1868) aufgestellt.

¹

x- H

²

Hiernach ist die elastische Linie eine Seilkurve, für welche

³

die Last pro Längeneinheit gleich dem durch das Trägheitsmoment I dividirten Momente M und die Horizontal-

§. 139. Zwei auf einander folgende belastete Felder.

(Fig. 222.) Wir ziehen durch die Stütze B eine beliebige Gerade, welche die Seiten S V und Ux Sx in B und lx ' und die durch V, W und TJX gehenden Vertikalen in V₀, W₀ und ü₀ schneidet. Alsdann verhält sich

U₀ Ux : V₀V = U₀B : V₀B = Bx“l : B‘lt V„V: W₀W=I'Vn : BW₀.

Fig 222.

IW

jy.

io<

S.

;W₀

I- !

v₀

Die Zusammensetzung dieser Proportionen gibt:

UaUx :W*W=rVa . Bx“l: IW₀ . B'l oder weil UIX Ux : W₀W — U₀I/ : WaIx ist,

ÜJX‘ : W₀IX‘ = I' V₀ . BXH : IW₀ . B‘lx.

Bewegt sich der Punkt P in einer Vertikalen, so ändert sich das Ver-hältniss I‘ V₀ : I‘ W₀ nicht; es wird sich also auch das Verhältniss U₀IX' :WnIx‘ nicht ändern, es wird sich mithin auch der Punkt Ix‘ in einer Vertikalen bewegen. Fällt der Punkt I‘ mit dem Fixpunkte I zusammen, so geht aus der aus §. 138 bekannten Konstruktion sofort hervor, dass alsdann der Punkt Ix der Fixpunkt Ix wird. Hieraus folgt:

Die Durchschnittspunkte I¹ und Ix der durch die Fixpunkte I und lx gehenden Vertikalen mit den der Stütze B zunächst liegenden mittleren Seiten SV und TJXSX des elastischen Polygones liegen stets in einerdurch die Stütze B gehenden Geraden.

Auch dieser Satz wurde zuerst von Mohr (Zeitschr. des hannov. Arch.- u. Ingen.-Ver. 1868) aufgestellt.

Derselbe bildet eine unmittelbare Anwendung des geometrischen Satzes : „Wenn sich die Ecken eines Dreieckes (FŁ7, W) in drei parallelen Geraden bewegen, so drehen sich die Seiten des Dreieckes um drei Punkte 1‘ und B), welche in einer Geraden liegen.“

§. 140. Beliebige Belastung der Felder. Der aus den nachgewiesenen Eigenschaften des elastischen Polygones hervorgehende, in einem beliebigen Belastungsfalle anzuwendende Gang der Konstruktion ist folgender (Fig. 223).

1. Man konstruire nach §. 138 sämmtliche Fixpunkte A, J₂, I₃... Kv K„... und lege durch sämmtliche Fixpunkte Vertikalen.

Fig. 223.

h.

IAl

D₄

D*

ZY

C₃

E,

iE 2

Ki

kU

1,

-O

ff-

3a

eo

.Sa

cC

Lw----

Cf

CO

=t-

OÎ

2.    Man konstruire in sämmtlicken Oeffnungen nach §. 134 die Kreuzlinien.

3.    Man mache AC gleich dem entsprechenden Vertikalabstande

OlQi der Kreuzlinien und ziehe durch C und A, eine Gerade, welche die durch den Fixpunkt /₂ gehende Vertikale in D₂ schneidet. Man mache jetzt D₂(7₂ gleich dem entsprechenden Vertikalabstande 0₂$₂ der Kreuzlinien und ziehe wiederum durch Cq und A₂ eine Gerade, welche die durch den Fixpunkt Z, gehende Vertikale in D₃ schneidet u. s. w. Ganz dieselbe Konstruktion wiederhole man vom rechten Ende aus, mache also AiEi =    u. s. f.

4.    Hierdurch hat man für jede der mittleren Seiten des elastischen

Polygones zwei Punkte C und JF,, C₂ und    etc. A und Ev Z)₂ und

K₂ u. s. f. festgesetzt, so dass sich jetzt diese mittleren Seiten wirklich ziehen lassen.

5.    Die Abstände der Durchschnittspunkte dieser Linien mit den Stützenvertikalen von den Stützen bestimmen nach §. 133 die Stützenmomente. Für diejenigen Oeffnungen, deren Länge = X gewählt wurde, stellen diese Abstände unmittelbar die Stützenmomente dar5 für andere Oeffnungen ist erforderlichenfalls die in §. 133 gezeigte Konstruktion

Diese Konstruktion bleibt auch in dem Falle giltig, wenn die Stützen nicht in einer Geraden liegen. Trägt man hierbei die Ordinaten der elastischen Linie, also auch die Höhenunterschiede der Stützpunkte

in — der wirklichen Grösse auf, so muss die Einheit für den Momenten-

m

maassstab =

— 6mEl &ewählt werden, wie sich aus §. 133 leicht ergibt.

In dieser Form wurde die Konstruktion zuerst von Culmann (Kitter, die elastische Linie u. s. w., Zürich 1871) angegeben. Die von Mohr angegebene Konstruktion ist eine etwas abweichende, indem derselbe für die nach unten und oben gerichteten Kräfte des elastischen Polygones zwei getrennte Polygone konstruirt.

§. 141. Grafische Darstellung der elastischen Linie unter Berücksichtigung der Schubspannungen. Bei Berücksichtigung der Schubspannungen ergibt sich statt der Gleichung 1 die Gleichung

xQ

E. F- dx ’

anzuwenden. Unter Umständen kann auch die folgende einfache Konstruktion vorzuziehen sein (Fig. 224) ; J, K seien die Durchschnittspunkte der Vertikalen durch die Fispunkte mit der Verbindungsgeraden

AB der Stützen. Macht man JD' — ID

\ E‘F' =

D' Gerade, so schneiden dieselben offenbar auf den Stützenvertikalen die Strecken AM' und BN‘ ab, welche unmittelbar die Stützenmomente darstellen.

C'D' = 0

(I)⁵, KF‘ = KF (i)²,

und zieht durch C¹ und FJ, E¹ und

Fig. 224.

M'

,N

Bei der angegebenen Konstruktion pflanzen sich Zeichenfehler von einer Oeffnung auf die andere fort, so dass man möglichst genau konstruiren muss. Indess bieten sich auch mehrfache Kontrolen, nämlich : 1. die Durchschnittspunkte der zusammengehörigen mittleren Seiten müssen mit den Durchschnittspunkten der Kreuzlinien in einer Vertikalen liegen; 2. die Verlängerungen der mittleren Polygonseiten müssen sich in den verschränkten Stützenvertikalen schneiden; 3. die entsprechenden Durchschnittspunkte der mittleren Seiten mit den Drittelvertikalen müssen in Geraden liegen, welche durch die Stützen gehen.

Sind einzelne Oeffnungen nicht belastet, so ist der Abstand der Kreuzlinien natürlich als Null anzunehmen.

C.

D'

h/

Kl

Er

C’r"

d't) _ M d ~F _ M *q dx¹ EI T E dx ~~ EI ‘ EXF

worin Q, E1} F, x die Bedeutung wie in §. 55 haben und worin d Q — q dx gesetzt ist. Die Ordinaten der verzerrten Momentenfläche würden demnach die Grösse

d*â

Kl

x-Q

cZ —

dx

F'¹ dx

zu erhalten haben. Bei konstantem Querschnitte würde also

Tir r XEI

15. z — A/ —(- ^ jjp- q ,

so dass zu dem Momente M noch ein der Last q pro Längeneinheit proportionales Stück kommt. Bei sprungweiser Aenderung des Querschnittes würde innerhalb der einzelnen Theile mit konstantem Querschnitte z die Grösse 15 haben; an jedem Abschnitte aber würde eine Einzelkraft von der Grösse

FI₀Q

__(j*__3_\

Ex \F    FJ

anzunehmen sein, wenn sich x, F und Fx auf die beiden Seiten des Absatzes beziehen. Auch an jeder Einzellast G ist von der verzerrten Momentenfläche eine Einzellast von der Grösse

anzunehmen.

17. z“ =

xEIq &

Ey F

Konstruirt man ausser der elastischen Linie noch eine Kurve, deren

Tangente auf dem entsprechenden Querschnitte senkrecht steht und bezeichnet die Ordinaten dieser Kurve mit rj, so ist, ganz dem §. 60 entsprechend, der Winkel zwischen Querschnitt und Normalen zur elastischen Linie

dy dri xQ ~ d^~ E\ W ’

dx

also wird

xQ

d^y    d" rj 1

dx²    dx²    E} dx

Die Subtraktion von der Gleichung 13 gibt

18.

(Z² rj _ M

Jx* ~ EI '

so dass also die Querschnitte mit den Normalen der ohne Rücksicht auf die Schubspannungen konstruirten elastischen Linie zusammenfallen.

, Legt man beide Kurven durch ein und denselben Punkt der linken Stützenvertikalen, so haben die Kurven in der rechten Stützenvertikalen einen Abstand v, welcher bestimmt ist -durch

Wir geben im Folgenden die Entwickelung der Gleichung 13 auf Grundlage des Prinzipes der virtuellen Arbeit-und in Uebereinstimmung mit der Entwickelung in §. 55. Wir denken uns in drei benachbarten Punkten A, B, C (Fig. 225) mit dem Horizontalabstande a die im Gleichgewichte befindlichen Vertikalkräfte —1, -f-2, —1 wirkend, also in A und C die Last 1 nach oben, in B die Kraft 2 nach unten. Diese drei Kräfte mögen in einem beliebigen Querschnitte in einem — beliebigen Punkte desselben die Normalspannung n und die y Schubspannung t erzeugen. Sind y₀, yt, yj die vertikalen Verschiebungen der Punkte A, B, C, so ist nach dem Prinzipe der \ virtuellen Arbeit bei Benützung der in §. 55 gebrauchten Bezeich- A nungen

Fig. 225.

— y. 4- 2y, - y,

dV.

-/<¥ + £)

Erzeugen die drei Kräfte in dem beliebigen Querschnitte das Moment m und die Transversalkraft q, so wird nN—mM —, tT—qQ. Wenn man nun die Integration über den Querschnitt durchführt, so erhält man

dx.

19. v =

dy

dx dx,

iS

o

dx — -TTT-

zQ

dx.

, ₀    1 ÇmM ,    1 f

- Vo + 2y, - yt = — J -y- dx + -ß~ I

Da die in A, B, C wirkenden Kräfte für sich im Gleichgewicht sind, so wird ausserhalb der Strecke AC offenbar m — 0,q = 0. In den Punkten A, B, C selbst

wird bezüglich m — 0, 1. a und 0, der Mittelwerth von m ist also y a. Wenn

Ma⁵

in der Strecke AC konstant ist, so wird also    dx —

a. ~y a

Ferner wird in der Strecke AB: q = -f 1, in der Strecke B C: q = — 1. Ist nun

Qi

Qi

in der Strecke AB — y.t-^r, in der Strecke B C = x₂ , so ist demnach

Fi

F,

Ft

j a.

Somit wird

Vi — Vo

yt — y.

Ma ,    1 /*, Q,

El Et V

Ft

Vi—y* 2/a —2/. d'y

dtfaX

Nimmt man nun a unendlich klein an, so wird

Qi _ Qt _ y

F, F, “

chung 13 über.

und

. Die vorige Gleichung geht hierdurch aber in die Glei-

§ 142. Das elastische Polygon unter Berücksichtigung der Schubspannungen. Die Momentenfläche, deren Ordinaten bei konstantem Querschnitte durch die Gleichung 15 ausgedrückt sind, wird man hier wohl am besten aus den drei Theilen (Fig. 226):

+ Fläche A“A“‘C“'B‘"B — 0>,    — A5" B^A“

Ä*

Fig. 226.

B"

B"'

b ?

liElÉ

zusammensetzen. Die Fläche 0 besteht aus der eigentlichen Mo-mentenfläcbe A“ C‘‘B“ und der Fläche A,,A“,C",B‘“B,,CU. Der Formel 15 entsprechend wird

X'

20.

XsN

-°T

......if.....o'

.........

C\

VN

C'JEU-

jmdx +

0

xEI

E.F

L,

wenn L die Belastung des ganzen Feldes bezeichnet. Die Kreuzlinien werden auch hier so zu kon-struiren sein, dass auf Vertikalen im Abstande b vom Schwerpunkte

der Fläche 0 die Grösse 9DÎ

aufgetragen wird, wobei die Höhe des Rechteckes mit der Länge l bedeutet, dessen Fläche = 0 ist. Es wird alsdann, den Formeln 11 entsprechend,

Ms,

<r->

if

vi

,'V

"“Ä

21.

_ mjz _ i_ r r

bl ~ bl LJ

o

ïfflxdx

xEI

E.F

- j'q x d xJ ,

o

JTtt _

bl

oder

är[W

o

— x) dx -f

j q (l— x) dx J o

EXF

r-

22. J

2bl

2%EI ~EXFÏ 2 kEI E.Fl

(O' — O

o¹¹)] -

(Cv - Q')J ,

1¹“~2bi

wenn O₀' und O₀" die Transversalkräfte an den Enden des Feldes für den Einzelträger bezeichnen. Bei Einzellasten werden zu $C[xdx und ,f q (l •—x)dx noch die bezüglichen statischen Momente der Einzellasten hinzuzufügen sein.

Konstruirt man ein zweites elastisches Polygon    ohne

Rücksicht auf die Schubspannungen, so stehen die Stützentangenten desselben senkrecht auf den Querschnitten über den Stützen, diese Tangenten sind also zwei benachbarten Feldern gemeinschaftlich. Legt man beide Polygone durch ein und denselben Punkt A der linken Stützenvertikaleu, so ist der Abstand BB‘ — v derselben in der rechten Stützen vertikalen bei konstantem Querschnitte nach Formel 19: v = J‘ Q dx, d. i., weil nach §.56 Ql = OZ -f- M“ — MJ und J £idx = 0 ist,

Ęp W“ - W).

Hierbei liegt B⁴ über JB, wenn M“ — M⁴ positiv ist.

M‘l

Verschieben wir den Angriffspunkt der Kräfte P' =--jj- und

TU“ 7

~2j~y °^ue die Grösse der Kräfte P, P⁴, P“ zu ändern, um

A nach aussen, so rückt unter Beibehaltung des Punktes A in der linken Stützenvertikalen der Punkt B⁴ in der rechten Stützenvertikalen um

AM — B‘N~ (y⁴ — y“), d. i. nach Formel 8 um (M“ — M⁴) nach unten. Wählt man

O I A _ 2^1 JC

~ l EXF ~ ExFl3 so rückt der Punkt B⁴ um v nach unten, also nach B; das für die Kräfte P, P', P" ohne Rücksicht auf die Schubspannungen konstruirte Seilpolygon wird also dann sowohl durch den Stützpunkt A, als den Stützpunkt B gelegt werden können.

Die in §. 140 gezeigte Konstruktion bleibt also anwendbar, nur sind die Drittelvertikalen um den Werth 24 nach aussen zu rücken. Die Kreuzlinien sind hierbei ohne Rücksicht auf die Schubspannungen zu bestimmen. Die gezeigte Bestimmung der Stützenmomente bleibt dann auch hier bestehen, wobei indess die Abschnitte y = AM und yn — B⁴ N⁴ der Seiten des ohne Verschiebung der Kräfte P', P" (ohne Rücksicht auf die Schubspannungen) konstruirten elastischen Polygones AU⁴S⁴V'B¹ auf den Stützenvertikalen in Betracht kommen.

Die wirklichen Stützentangenten A U und B V der elastischen Linie würden durch Konstruktion des elastischen Polygones AUSVB oder* nach Konstruktion (der Transversalkräfte durch Anträgen der Winkel T,⁴ — x⁴, T,¹¹ — x“ (§. 60) an die Seiten ATJ“ und BV“ erhalten werden können.

23. v =

P“ =

2Elx

§. 143. Zusammenhang mit der analytischen Theorie.

Der Zusammenhang der gezeigten Konstruktion mit den in §. 56 entwickelten Formeln lässt sich leicht erkennen. Der Winkel x⁴ zwischen dem linken Stützenquerschnitte und der Normalen zur Sehne A B

Hierbei ist BI — N⁴L — LI — N⁴B⁴

Bl

ist in Fig. 226: x⁴ = -y-.

— BB⁴ und hierbei für einen konstanten Querschnitt

N‘L = I“ = -Jïp,

BB' = vr=

* (M“ — M⁴)

E. F

LI= 2y‘= —

3bk ’

N⁴B⁴ = y⁴⁴ =

M⁴⁴ r

6bl ’

folglich, da 6bl = 6EI zu setzen ist,

25. r,' =

6EI

in voller Uebereinstimmung mit der ersten der Gleichungen 8 (S. 95). In gleicher Weise würde die Uebereinstimmung mit der zweiten dieser Gleichungen nachzuweisen sein.

Umgekehrt würde man aus den auf analytischem Wege gefundenen Ausdrücken für x‘ und r“ leicht die Konstruktion ableiten können.

In gleicher Weise lässt sich der Zusammenhang auch für einen variablen Querschnitt nachweisen.

Eine vollständige konstruktive, der Hauptsache nach mit der hier gegebenen zusammenfallende Behandlung des kontinuirlichen Trägers auf Grundlage einer analytischen Entwickelung gibt Lippich (Theorie des kontinuirlichen Trägers konstanten Querschnittes, Forster’s Bauzeitung 1871).

§. 144. Verbindung des kontinuirlichen Trägers mit •dem Trapezsprengwerke. Der im §. 124 behandelte Fall lässt sich auch leicht grafisch lösen. Wir bezeichnen hierbei die Drücke auf die Mittelstützen, welche entstehen, wenn die Stützen in gleicher Höhe liegen, mit DJ, DJ. Alsdann ist offenbar, eine symmetrische Konstruktion vorausgesetzt,

D„ — Dq -f- «j 2/₂ -f- cCq y y,

wenn er,, a₂ von der Belastung unabhängige Koeffizienten bezeichnen. Hiernach' wird Dx -f- Dq — Dy' + DJ -f («, + aQ) + ÿa). Da aber nach Gleichung 49 (S. 251) yy-jy„ = 0 ist, so wird D, -|~D₂ = Dy¹ -f DJ. * Da nach Gleichung 47 (S. 256) Ź>, = D₂ ist, so wird

El = T)y -f- CCy y y “f“ ^2 V‘i

26. Dy = D₂

= 4 w + Ą-).

Es sei nun in Fig. 228 die punktirte Linie AE'F'B das Seilpolygon für den Fall, dass die Stützen in gleicher Höhe liegen. Es seien E' C, E‘ 6r, F'D, F' H die Verlängerungen der von E\ F‘ ausgehenden Seilpolygonseiten, bezüglich der Tangenten der Seilkurve in E und F'. Legt man im Kraftpolygone parallele Strahlen zu diesen Geraden, so schneiden dieselben auf der Kraftlinie Strecken cg und äh ab, welche die Stützendrücke DJ und DJ darstellen. Wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke E‘CG und Ocg, FéDH und OdJi wird deshalb

DJ = CG' .

, DJ = DH‘.

Ist nun die ausgezogene Linie AEFB das Seilpolygon für die vorliegende Trägerkonstruktion, so werden im ersten und dritten Felde

l. '

die Verlängerungen der Seilpolygonseiten in E und F durch C und D gehen, weil die Höhe

AG und BD von den Gf\----------

Stützenmomenten unabhängig ist. Verlän- ^ gert man auch im zweiten Felde die Seilpolygonseiten in E und F, so erhält man in den äusseren Stützenverti- j kalen die Punkte G‘ und H und es ist nun wie oben

Fig. 227.

------------- j

vTi¹'

F/

F,\.

\\

TŁ

*-U-

D. = CG. ~

I Dq = DH. -y.

Nach der Gleichung 24 muss nun GG = DH — L (CG⁴ -J- DH') sein. Hiernach findet man die Punkte G und H leicht, indem man durch die Mitte I von G⁴ H⁴ eine Parallele GH zu CD legt.

Die Verlängerungen von EG und FH, sowie von E⁴ G‘ und F‘H schneiden sich in Punkten S und S⁴, welche in der vertikalen Schweraxe der Belastung des mittleren Feldes liegen; schneidet die Axe die Geraden GH und G⁴H in T und T\ so ist ST = S⁴T⁴, da dies die Höhe der einfachen Momentenfläche wäre, wenn die ganze im Mittelfelde liegende Last im Punkte S auf einen Träger mit den Stützen A und B wirken würde. Hierdurch aber sind auch die Punkte E⁴, F⁴, also die Stützenmomente und hiermit alles Uebrige bestimmt.

Hiermit ist also die grafische Behandlung der Verbindung des kon-tinuirlichen Trägers mit dem Trapezsprengwerke auf die grafische Behandlung des blossen kontinuirlichen Trägers mit gleich hohen Stützen zurückgeführt.

Die hier behandelte Aufgabe wurde grafisch zuerst von Steiner gelöst (Kon-tinuirliche Träger auf balansirten Stützen in Zeitschr. des österr. Ingen.- u. Arcli.-Ver. 1876).

XVIII. Kapitel.

Grafische Behandlung bestimmter Belastungsweisen.

§. 145. Gänzliche gleichmässige Belastung. 1. Wenn ein Feld eine gleichmässige Belastung q pro Längeneinheit in seiner ganzen

Länge zu tragen hat, so ist bekanntlich die einfache Momenten-fläche ein Parabelabschnitt, dessen vertikale Schweraxe die Spannweite halbirt (Fig.228). Die grösste Höhe desselben ist ql², mithin der Flächeninhalt ~ . j qP.l = jg ql³, folglich wird bei konstantem Querschnitte

1.    *₀ = ~îi’L

Nimmt man als Einheit des Momentenmaasstabes qX an, so hat man allgemein

Fig. 228.

A'

B,

A"

cs

Der vertikale Abstand der Kreuzlinien wird bei konstantem Querschnitte im Abstande b von

der Mitte = so gross, d. i. für b = J l:

UU(1 den Stutzenvertikalen mal

₃.

Bei veränderlichem Querschnitte genügt es für die Konstruktion, den Flächeninhalt W₀l der verzerrten Momentenfläche und bei unsymmetrischer Trägerform ausserdem die Lage des Schwerpunktes der verzerrten Momentenfläche zu bestimmen.

2. Momente. Sind nun durch das elastische Polygon die Stützenmomente A'A" und B‘B“ bestimmt, so erhält man die Endtangenten A"E und B“E der Seilkurve, indem man auf der Mittelvertikalen vom Durchschnittspunkte D mit der Geraden A“ B“ aus die Länge

DE — 2 . j ql² = ^ ql* = j ql* aufträgt. Mit Hilfe derselben lässt sich die Parabel leicht konstruiren.

3. Transversalkräfte. Zieht man im Kräftepolygone Strahlen parallel zu den Endtangenten A“E und Bl>E, sowie zur Schlusslinie A¹ Bso sind die Abschnitte auf der Kraftlinie die Transversalkräfte Q\ Q“ an den Enden des Eeldes. Statt dessen kann man aber auch A G = B H = der Polweite H machen und durch G und H Parallelen zu den Endtangenten ziehen; dieselben schneiden auf den Stützenvertikalen die Transversalkräfte A4, = Q\ BBl = Q“ ab. Die Gerade AtBy gibt alsdann die Transversalkräfte im beliebigen Querschnitte.

Wird die Momenteneinheit qX² durch die Linie — m, die Krafteinheit durch die Linie n dargestellt, so ist die Polweite H = ~X = £ A zu wählen.

Auf Taf. III ist hiernach ein Beispiel für die Behandlung des Eigengewichtes bei konstantem Querschnitte durchgeführt.

§. 146. Einzellast bei konstantem Querschnitte. Die einfache Momentenfläche wird hier ein Dreieck ACB (Fig. 229) mit dem Flächeninhalte jlh, wenn h die grösste vertikale Höhe CD bedeutet. Demnach ist = y h. Theilt man den Abstand DE des Angriffs-

Fig. 229.

D JJ.

°r-"\

P/

Is

'' C

\Jr'

punktes D der Einzellast von der Mitte E der Geraden AB in drei gleiche Theile, so geht die vertikale Schweraxe der einfachen Momentenfläche durch den E zunächst liegenden Theilpunkt F.

Da die Höhe CD dem proportional ist, so kann CD als Kraftpolygon für das elastische Polygon gelten; da h = ist, so würde der Abstand des Poles N von CD = 2 . y l = J- l zu machen sein, wenn man hier X = l wählt. Zieht man NP parallel AB, so würde NP = -f AB.

Parallel zu NC und ND können die Kreuzlinien gezogen werden. Eine einfache Konstruktion lässt sich für dieselben angeben, sie durch die Punkte A und B legt. AM und BL seien die Kreuzlinien ; alsdann ist /\S B M co ^NCD, mithin B M : CD = B F : N P. Nun aber ist BF = BE + j- ED = jAB j (j AB — AD) = j {2AB — AD) und NP = ~ AB, mithin:

BM: CD = (,2AB — AD) : AB.

Macht man D G = A B, so wird BG = 2AB— AD. Der Punkt M ergibt sich sonach, indem man durch G und C eine Gerade legt. Macht man ebenso DH — AB und legt durch H und C eine Gerade, so ergibt sich der Punkt L.

Die Verlängerungen von MC und LG schneiden also die Verlängerungen von AB in den Punkten G und H, welche von D einen der Länge AB gleichen Abstand haben.

Statt dessen kann man auch die folgende Konstruktion anwenden (Fig. 230). Durch C lege man zu AB eine Parallele, welche die durch A und B gehenden Vertikalen in V und W schneidet; ferner lege man durch C Parallelen zu B V und A W, welche die durch A und B gehenden Vertikalen in L und M schneiden; die Geraden AM und BL sind alsdann die Kreuzlinien. Diese Konstruktion beruht auf der Kongruenz der Dreiecke ABV und ABW mit den Dreiecken DHC und GDC (Fig. 229).

Es ist nun nach Festlegung der Kreuzlinien leicht, in der in §. 133 gezeigten Weise für eine beliebige Lage der Einzellast die Stützenmomente, sowie die übrigen Momente und Transversalkräfte zu konstruiren.

Fig. 231.

wenn man

Fig. 230.

X'

TV

°x

x'

;k b

-70

D'

Éi

\.

V.

N.

per

:"X

S-

Kommen verschiedene Lagen der Einzellast in Frage, so konstruirt man am besten zunächst das Moment DC (Fig. 231) am Angriffspunkte

der Last für den einfachen Träger. CB ist = G -y¹, wenn AD = l, BB = £| ist; der Punkt C liegt also auf einer Parabel von der Höhe ~ Gl. Nach einer der vorhin angegebenen beiden Methoden lassen sich sodann für die verschiedenen Lagen der Last die Punkte L und M kon-struiren; die Geraden AM und BL sind sodann die Kreuzlinien. Legt man durch die Durchschnittspunkte I‘ und K' derselben mit den Fixpunktvertikalen eine Gerade, so schneiden dieselben auf den Stützenvertikalen die Stützenmomente A A⁴ und BB‘ ab. Die Vertikalabstände der Geraden A'B' und der Linie ACB stellen die Momente an beliebigen Punkten dar, also z. B. CD' das Moment am Angriffspunkte der Last. Zieht man im Kräftepolygone die Strahlen 0AV OBk und 0Ct parallel den Geraden AG, B G und A *B‘, so sind Gx At und ClB₁ die Transversalkräfte für die Strecken AB und BD.

Die Konstruktion der Kreuzlinien nach Fig. 229 wurde zuerst von Lippich (Forster’s ßauzeitung 1871) angegeben.

§. 147. Einzellast bei veränderlichem Querschnitte. Handelt es sich um verschiedene Lagen der Einzellast, so dürfte es wohl

Fig. 232.

■'s

Q'< ff <X,L

Vj

am zweckmässigsten sein, 20Î' und    nach der in §. 70 unter a) ge

zeigten Methode zu bestimmen, indem man für jedes Feld die beiden

20

Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

verzerrten Momentendreiecke und sodann zu jeder das entsprechende Seilpolygon konstruirt (Fig. 232). Bei Anwendung des Momentenplani-meters ist indess die in §. 60 unter b) gezeigte Methode einfacher. Ist 6 und bestimmt, so bestimmt man 9)7' und 9)7" nach der Regel-3 (Seite 127); die Multiplikation mit £ und £, kann grafisch oder numerisch erfolgen; da man £ und £, in einfachem Verhältnisse zu l annimmt, so ist die Multiplikation sehr einfach.

Man erhält hierbei zugleich die Lage der Schwerpunkte der verzerrten Momentenfläche, hierdurch also die Lage der Drittelvertikalen und hieraus die Lage der verschränkten Stützenvertikalen.

Macht man auch hier die Konstruktion Fig. 231, wobei AL = T‘, B 31 — T“ und CD gleich dem Momente h am Angriffspunkte der Last für den einfachen Träger ist, so ist (wenn wir A = l wählen),

CD _ h _ Ch AL - T ~ 39)7' '

so ist 9)7' = ^ <?'. Verlängern wir BC

bis zum Durchschnitte E mit der linken Stützenvertikalen, multipliziren die Ordi-

Ist das statische Moment der verzerrten einfachen Moraentenfläche (in Fig. 233 schraffirt) in Beziehung auf die linke Stützenvertikale = <>', Fig. 233.

Io

dinaten des Dreieckes ABE mit -jr

und bezeichnen das statische Moment des so entstandenen verzerrten Dreiecks

in Beziehung auf die linke Stützenvertikale mit 6 und ihre Fläche mit F, so ist 6 — F a'. Nun aber ist

F = B“. J AE .1 — B“wenn man BD = x* setzt, also a —

CPh

Till hl² .

2x‘

; da aber nach §. 133 3B= CI ist, so wird 6 = folglich Ch =    mithin

6 x‘ ’

CD

6X1

AL 6‘1

C T, r¹

Da nun aber 6 > o' ist, so ist -j-j- > y oder in Fig. 230 liegt der

Punkt C unterhalb der Linie BL; ebenso lässt sich nachweisen, dass C unterhalb A 31 liegt. Hieraus folgt weiter, dass die Punkte G und H (Fig. 231) ausserhalb AB liegen.

Hiernach ergibt sich nun sofort, dass bei Belastung eines einzelnen Feldes durch eine Einzellast die Wendepunkte 0 und P (Fig. 234) ausserhalb der Fixpunkte I und K liegen.

Hieraus folgt wieder, dass die Punkte A\ B‘ einerseits und der Punkt C' andererseits auf verschiedenen Seiten der Schlusslinie AB

liegen, dass also das Moment am Angriffspunkte der Einzellast positiv ist, während die Stützenmomente negativ sind.

Fig. 234.

\n

0\l

-CĆQ—

A,

B‘

......-J*

Hinsichtlich des Weiteren, insbesondere der Konstruktion der Einflusslinien für Momente und Transversalkräfte können wir auf §. 67 bis '71 verweisen.

Die in §. 144 gegebene Konstruktion für die Verbindung des kon-tinuirlichen Trägers mit dem Trapezsprengwerke ist auf eine Belastung durch eine Einzellast ohne Weiteres anwendbar.

§. 148. Belastung durch ein System von Einzellasten.

Fig. 235.

— “9---

Für ein System von Einzellasten von gegebener Lage erhält man die Kreuzlinien, wenn man den Abstand T‘, T“ derselben in den Stützenvertikalen nach dem Vorigen für jede einzelne Last koustruirt lind die gefundenen A Abstände summirt.

"'\X-

Eine andere Konstruktion für den konstanten Querschnitt ergibt sich aus dem Um-stände, dass inFig. 230

-9

T' = AL = CD+Lv, 0 T“ = B M — CD -f-M W ist ; für das Sy- I"-stem von Einzellasten wird man daher T1 und T“ erhalten, wenn man für die Einzellasten die Grössen von CD} sowie von LV und MW einzeln ermittelt und sodann summirt. Dies geschieht am besten in

20*

folgender Weise. Im Seilpolygoue (Fig. 235), welches dem gegebenen Systeme entspricht, verlängert man je zwei an einander stossende Polygonseiten und legt durch den Durchschnitt derselben mit den Stützenvertikalen eine Gerade; man erhält hierdurch die den Einzellasten entsprechenden Höhen GXDV C^D^, C₃D₃, welche man auf einer Stützenvertikalen an einauder reiht, so dass also EE, = CXDX, EXE^ =

E<1E₂ = G₃D₃ ist. Man konstruirt jetzt ein zweites Polygon FKXK^K₃G, dessen Polygonseiten zwischen den Einzellasten parallel sind den von Ex, Ex, F₂, E₃ nach einem beliebigen Punkte 0 der anderen Stützenvertikalen gezogenen Strahlen; schneiden die Verlängerungen der äusseren Polygonseiten die Stützenvertikalen in E₃ und I, so ist für das gegebene System von Einzellasten

T = EE₃ + FI, I“ == EE₃ + GE₃.

Wenn das gegebene System von Einzellasten nur in einer bestimmten Lage in Frage kommt, so würde man am besten in der soeben gezeigten Weise die Kreuzlinien und sodann in der in §. 133 gezeigten Weise die Stützenmomente konstruiren ; die Einzeichnung des Seilpolygones gibt sodann alle übrigen Momente, das zugehörige Kraftpolygon die Transversalkräfte.

Wenn es sich indess um die Bestimmung der Maximalmomente und Transversalkräfte für alle Querschnitte handelt, so wird man wohl am besten nach §. 73 bis 75 verfahren.

Die in Fig. 235 gezeigte Konstruktion wurde zuerst von Lippich (Förster’s Bauzeitung 1871) angegeben.

§. 149. Theilweise gleichmässige Belastung. Wenn nur ein Theil des Trägers von einem Ende B (Fig. 236) aus belastet ist, so besteht die einfache Momentenfläche aus einem Dreiecke AB G und aus einem Parabelabschnitte CEB.

Entspricht im Kraftpolygone B'D‘ der Belastung des ganzen Feldes, so theilt der Strahl OA‘, welcher der Endtangente AG der Seilkurve parallel ist, B‘D' in demselben Verhältnisse, als die Spannweite durch das Ende der Belastung getheilt wird, oder es verhält sich, wenn wir die Länge B₀C₃ der Belastung mit £t bezeichnen, B'A'iB'D =    : l. Der Durchschnittspunkt G beider Endtangenten liegt ausserdem

in einer Vertikalen GH, welche BF halbirt.

Da £±GB T es» /\0 A‘ B‘ ist, so verhält sich bei der Pol weite H: BI : j = B'A‘ : H oder, weil bei der Last p pro Längeneinheit

B‘D'=plt B‘A‘=ptx =plj ist, BT : ^ lx— pl ~ x H oder

BT=rllL-

B’

Hiernach ist es leicht, die Länge von BT zu konstruieren, wie in Fig. 236 d gezeigt ist, worin BlDl=pl, AlBl = ~BxDv D^B^

= BT ist. Ist in dieser Weise die Länge von BT konstruirt, so kann man, wenn die Punkte A und B gegeben sind, leicht die Endtangenten und hiernach die Seilkurve selbst konstruiren.

Fig. 236.

il-lw

~Q

I. Konstanter Quer-

schnitt.

NJ,

1. Macht man GK = ~ Gl, so ist ACKB gleich der Parabelfläche CEB. Zieht man daher durch K eine Parallele zu CB, welche CG in L schneidet, und durch L bis zum Durchschnitte mit AB die Vertikale LM, so ist ALB gleich der ganzen einfachen Momenten-

.! JKJL

Ti7*N

\ C|o/

B₀

B,

j’

0/

5%--,

A'

,-H^O

fläche, die letztere also der Höhe LM proportional, oder bestimmter mol = ^ l .LM oder 2DÏ₀ = j L M. Es lässt sich leicht

nachweisen, dass FM = J- FB ist, so dass sich die Höhe L M leicht unmittelbar zeichnen lässt.

2. Der Punkt N sei die Mitte von AB; macht man NO = j NF, so liegt der Schwerpunkt des Dreieckes ACB in der durch 0 gehenden Vertikalen, während der Schwerpunkt des Parabelabschnittes CEB in der Vertikalen HG liegt, Zieht man durch L eine Parallele zu AB, welche die durch C gehende Vertikale in P schneidet, so verhalten sich beide Flächen wie FC: CP. Macht man in der durch 0 gehenden Vertikalen OQ = j CP, so verhält sich, da IH = j CF ist, IH : 0 Q — FC: CP; der Durchschnittspunkt B der Geraden QI und AB muss daher in der vertikalen Schweraxe der einfachen Momentenfläche liegen.

Hiernach würde nun die Konstruktion der Kreuzlinien leicht ausführbar sein.

3. Für die Anwendung erscheint es am bequemsten, den Abstand T, T“ der Kreuzlinien in den Stützenvertikalen für die Belastung verschiedener Theile der ganzen Oeflnung ein- für allemal zu konstiuiren oder zu berechnen. Die bezüglichen Formeln lassen sich leicht unmittelbar

oder aus der gezeigten Konstruktion ableiten. Die Formeln für 9)P und 907" sind in §. 64 aufgestellt. Die Werthe von T und T“ ergeben sich

hieraus nach §. 134 einfach durch Multiplikation mit 3 ly 1 .

Die Werthe von 307' oder 907" für aber für linke und rechte

Fig. 237.

& dasselbe

Belastung, müssen sich zu dem 907' oder 907" für gänzliche Belastung, d.i. zu j^pl* ergänzen. Da offenbar 9)7' bei rechter Belastung für y gleich 907" bei linker Be-lastung für 1 — y ist, so müssen sich auch 9)7' und 301" für dieselbe Belastungsweise, aber für

zu jz pl² ergänzen. Hiernach ergeben sich die Theile, welche die Kreuzlinien auf beiden Stützenvertikalen abschneiden, gleich gross (Fig. 237), falls man für alle Lagen der Last die eine Kreuzlinie (in Fig. 237 OR für rechte Belastung, PQ für linke Belastung) beibehält.

II. Veränderlicher Querschnitt. Handelt es sich nur um wenige Belastungsfälle, so kann man 901', 9)1" leicht durch Konstruktion der verzerrten Momentenfläcbe und des entsprechenden Seilpolygones oder Anwendung des Momentenplanimeters bestimmen. Bei einer grösseren Zahl von Belastungsfällen geht man besser von der Einzellast aus und bestimmt sodann 991', 9)1" durch die entsprechenden Flächen der Einflussfiguren.

T’

X;

'frc

und 1 —

§. 150. Maximal-Transversalkräfte. Die ungünstigste Belastungsweise hinsichtlich der Transversalkräfte ist durch §.78 bestimmt. Für diese Belastung bestimmt man nach dem vorigen Paragrafe die Lage der Momentenlinie für die nicht belastete Strecke des betreffenden Feldes. Ist a der Neigungswinkel derselben gegen die Horizontale, so ist die bezügliche Transversalkraft Q = Htana, was leicht zu kon-struiren ist.

Auf Tafel IV ist ein Beispiel durchgeführt, wozu nur wenig zu bemerken ist:

1.    Im III. und IV. Felde ist die Konstruktion für gänzliche Belastung in derselben Weise wie in Tafel III durchgeführt. Die erhaltenen Transversalkräfte sind alsdann in das I. und II. Feld übertragen.

2.    Im II. Felde ist die Konstruktion für die ungünstigste Belastung in Betreff der positiven Transversalkräfte des II. Feldes durchgeführt.

Für die Belastung des I. und IV. Feldes sind die Punkte D und F konstruirt, welche den mittleren Seiten des elastischen Polygones für alle Belastungsweisen des II. Feldes gemeinschaftlich sind. Nachdem nun für die Belastung des rechten Theiles des II. Feldes vom fraglichen Querschnitte aus nach der Tabelle in §. 64 die Kreuzlinien und hiernach die mittleren Seiten der elastischen Polygone konstruirt wurden, wurde die Endtangente AT (Fig. 236) der Seilkurve dadurch festgelegt, dass die Längen B T (Fig. 236) auf der rechten Stützenvertikalen aufgetragen wurden. Für die Bestimmung der Länge von B T ist die im vorigen Paragrafe, 1. gezeigte Konstruktion angewendet (Taf. IV, Fig. 6). Es ist auf den mittleren Stützenvertikalen bb, cc etc. gleich den Längen aa, bb, cc etc. in Fig. 6 gemacht worden. Mit Hilfe der so festgelegten linken Endtangenten konnten nun in Fig. 2 die Transversalkräfte durch Parallelen zu denselben, welche von Punkten ausgehen, die von den betreffenden Ordinaten den Abstand H haben, konstruirt werden.

3.    Im I. Felde ist ebenfalls die Konstruktion für die ungünstigste Belastung in Betreff der positiven Transversalkräfte des I. Feldes durchgeführt. Die Stützenmomente indess wurden nach §. 133 im nicht belasteten II. Felde konstruirt. Für die alleinige Belastung des III. Feldes wurde der Punkt Fx konstruirt, durch welchen die mittlere Seite des Seilpolygones gehen muss. Ein zweiter Punkt dieser Seite auf der Vertikalen durch den linken Fixpunkt hat für die verschiedenen Belastungen des I. Feldes eine veränderliche Lage, ist aber mit Hilfe der Kreuzlinien leicht zu konstruiren. Im Uebrigen ist die Konstruktion wie im II. Felde, wobei Fig. 5 an die Stelle von Fig. 6 tritt.

4.    Die negativen Maxima der Transversalkräfte ergeben sich nun leicht durch Subtraktion der positiven Maxima von den Transversalkräften für gänzliche Belastung.

§. 151. Maximalmomente. Die ungüstigste Belastung ist durch §. 81 bestimmt. Man konstruirt am besten nach §. 149 die Lage der Momentenlinie der nicht belasteten Strecke für die ungünstigste Belastung hinsichtlich des negativen Momentes. Da hierbei der bezügliche Querschnitt in der nicht belasteten Strecke liegt, so ist hiermit das negative Maximalmoment bestimmt. Man kann hierbei nach §. 82 entweder die negativen Maximalmomente für einzelne Querschnitte bestimmen oder einfacher nur die Umhüllungslinien der bezüglichen Momentenkurve konstruiren. Die positiven Maximalmomente findet man dann durch Subtraktion von den Momenten für gänzliche Belastung. Eine unmittelbare Bestimmung der positiven Maximalmomente ist deshalb schwieriger, weil die Seilkurve am fraglichen Querschnitte nicht geradlinig, sondern parabolisch ist.

Auf Tafel Y ist ein Beispiel durchgeführt, zu welchem wir noch das Folgende bemerken.

1.    Im III. und IV. Felde sind die Momente konstruirt, welche einer gänzlichen Belastung und der ungünstigsten Belastung für die negativen Momente innerhalb der Fixpunkte entsprechen. Für beide Fälle ist das betreffende Feld ganz belastet.

2.    Im I., II. und III. Felde ist die Konstruktion der Momente für die ungünstigste Belastung in Betreff der negativen Momente auf der rechten Seite des betreffenden Feldes durchgeführt. Die Konstruktion ist genau dieselbe wie für die Transversalkräfte. Es kommt nur noch die Konstruktion der ungünstigsten Belastungsweise hinzu, welche in Fig. 7 nach §. 81, Fig. 158 ausgeführt ist. Diese Figur kann indess entfallen, wenn man sich mit den Umhüllungslinien der Kurve der negativen Maximalmomente begnügt. Diese Umhüllungslinien sind die Endtangenten der Seilkurve, welche ebenfalls wie im vorigen Paragrafe konstruirt wurden (sie sind punktirt angegeben). Man kann demnach, falls Fig. 7 vorhanden ist, die negativen Maximalmomente unmittelbar aus Fig. 3 entnehmen.

Im I. Felde ist zur Konstruktion der Stützenmomente das in §. 140 gezeigte Verfahren angewendet. Es ist nämlich der Punkt F' so bestimmt,

wurde. Ausserdem sind auf der

dass KF‘ = KFX (Fig. 224)

linken Stützenvertikalen nicht die Höhen der Kreuzlinien im I. Felde, sondern die Höhen der Kreuzlinien im II. Felde in den Stützenvertikalen,

multiplizirt mit aufgetragen. Die Multiplikation ist grafisch mit Hilfe des Proportionalwinkels durchgeführt.

3.    Die positiven Maxima der Momente sind durch Subtraktion der negativen Maxima von den Momenten für gänzliche Belastung bestimmt worden.

§■ 152. Bemerkungen. Für die praktische Anwendung ergeben sich gegen die auf Taf. IH, IV, V ausgeführten Konstruktionen manche Vereinfachungen, die wir nur der grösseren Deutlichkeit wegen nicht angewendet haben.

1. Die von uns der Deutlichkeit wegen auf drei Blätter vertheilten Konstruktionen lassen sich auf ein und demselben Blatte ausführen, indem man Fig. 4 auf Taf. III, Fig. 3 auf Taf. IV und Fig. 3 auf Taf. V in eine Figur vereinigen kann. Ja die zur Konstruktion der grössten Transversalkräfte nöthigen Linien können ohne Weiteres zur Konstruktion der grössten Momente verwendet werden. Es würde sonach nicht einmal zweckmässig sein, die Konstruktion in verschiedene Figuren zu trennen. Auf Taf. VI ist ein Beispiel in dieser Weise auf einem Blatte durchgeführt. Die Transversalkräfte und Momente für die zufällige Last sind hier im IL, III. und IV. Felde konstruirt und zwar unmittelbar nur die positiven Transversalkräfte, also für die Belastung des rechten Theiles des fraglichen Feldes und für dieselbe Belastung auch die Momente.

2.    Die Kreuzlinien in den Endfeldern kann man ganz entbehren, da hier die Kenntniss der Höhe der Kreuzlinien an den Endstützen genügt, die man im elastischen Polygone unmittelbar auftragen kann.

3.    Man kann dann das elastische Polygon benützen, um die Linien für die Momente in Betreff des Eigengewichtes und der züfälligen Last einzuzeichnen, so dass das Uebertragen der Ordinaten aus einer Figur in die andere wegfällt.

4.    Selbstverständlich wird man die zur Konstruktion nöthigen Geraden nicht ganz durchziehen, sondern nur die nöthigen Schnitte machen.

5. Eine weitere Vereinfachung lässt sich dadurch erzielen, dass man Eigengewicht und zufällige Last in der Konstruktion nicht trennt, sondern vereinigt lässt.

C. Formänderung. XIX. Kapitel. Durchbiegung der Träger.

§. 153. Durchbiegung im Allgemeinen. Die Formänderung der Träger soll hier nur insoweit behandelt werden, als mau sie bei Belastungsproben zu beobachten pflegt; insbesondere soll also die durch die Belastung hervorgebrachte Verschiebung von Punkten der Axe des Trägers in vertikaler Kichtung bestimmt werden.

Am einfachsten gelangt man zu der vertikalen Verschiebung y eines beliebigen Punktes C der Axe nach dem Prinzipe der virtuellen Arbeit. Eine in C wirkende Last 1 erzeuge in einem beliebigen Querschnitte an einem beliebigen Punkte die Normalspannung n und Schubspannung t} während in demselben Punkte durch die Belastung die Normalspannung N und Schubspannung T erzeugt wird. Alsdann ist der Entwickelung in §. 55 entsprechend, wenn sich die Punkte des Trägers, an denen derselbe aufruht, in vertikaler Richtung nicht verschieben,

ÿ=i(

1.

ir + w)dr-

Wird in dein beliebigen Querschnitte durch die in G wirkende Last 1 das Moment m und die Transversalkraft q, durch die gegebene Belastung das Moment M und die Transversalkraft Q erzeugt, so ist

n = -7-1

wie in §. 55 haben. Die Einsetzung gibt:

mv

Mv

~T¹

qS

T = wenn v, b, S, I die Bedeutung

dx.

Da aber J v*dF = I und j* (S. 92) hat, so wird

Px

dF — -jp ist, wenn n die Bedeutung 2

²' V~ J(jB/

wobei die Integration über den ganzen Träger zu erstrecken ist.

Bei veränderlichem Querschnitte lässt sich unter den in der Anmerkung zu §. 55

ÏÏI

gemachten Voraussetzungen besser t — -tt-⁵—, T

/0#0

mM . XqQ

-r

JE. F

dx,

M₀

/o®0

setzen. Alsdann aber wird

mM

mn M.

EI

to xo

•-)

oV

dx.

Bei konstanter Höhe geht dieser Ausdruck über in

f/mM ,

y = Jbr +

(iQ

Eja,

dx.

§. 154. Durchbiegung des Emzelträgers. Wenn wir beim Einzelträger im Abstande AG = £ von der linken Stütze die Last 1

und I, also

x und

t-h

annehmen, so werden die beiden Stützendrücke 1 — auf der linken Seite von G : q — +    ^

auf der rechten Seite q —

Querschnittes von der linken und rechten Stütze mit x und xx bezeichnet. Daher wird nach Formel 2 die Senkung des Punktes G:

(/Yp

(-1)

&    t

m — j x{, wenn man den Abstand eines

³- »=l-[(>-!)/

[('-'if f

Mx ,    .

j d x -j-

Wa*~

i-S

Mx,

j. dxx

Die beiden Integrale im ersten Gliede bedeuten die statischen Momente 6 und <?, der durch den fraglichen Punkt getrennten Theile der verzerrten Momentenfläche (§. 63) in Beziehung auf die Stützenvertikalen.

Bei symmetrischem Träger und symmetrischer Belastung ist eine Vereinfachung möglich. Bezeichnen wir den Theil der verzerrten

Momentenfläche, welcher zwischen x = | und x = l — g liegt, mit qp, so ist offenbar <jt = ö -f- A cpl, also (l — jj) 6    £<?, = (I — g) a -j-

-j- cpl% = l (ö j <P^)} mithin die Senkung ohne Berücksichtigung der Schubspannungen

4.

//i =

Um auch das zweite Glied in geometrischer Form darzustellen,

Fig. 238.

x O

tragen wir in dem betreffenden Punkte als Ordinate auf (Fig. 238) und legen durch den dem Punkte C entsprechenden Punkt Ä C“ der so erhaltenen Linie eine Parallele A“B“ zur Axe. Setzen A wir Fläche A'A“C“ = f, Fläche B‘ B“ C“, absolut genommen = f\ und AA“ = so ist

Df nn

----&

i-s

~ dx —

F

das zweite Glied oder die Senkung des Punktes G in Folge der Schubspannungen:

= (I — l) z — /j; daher wird in Formel 3

^ (Trc

0-©'+!*]

, d. i.

°* Uq ~ Bx

Bei symmetrischem Träger und symmetrischer Belastung wird mithin

t*.    //<> —    -j.-,

A

/+i*_A

~e:

wenn /₀ die Fläche C" G bedeutet.

An jeder Einzellast entsteht ein Absatz, z. B. bei E der Absatz E'E“. Für die Senkung des Punktes E ist es gleichgiltig, durch welchen Punkt des Absatzes E'E“ die Gerade A“ B“ gelegt wird.

Für die Senkung der Mitte eines symmetrischen Trägers, welcher symmetrisch belastet ist, wird hiernach

7. y =

4*

iS'-

0

Mx

dx+E

XQ

dass

Bei konstantem Querschnitte wird allgemein, indem man beachtet,

8. y —

jfdx+ję

0 0 ' 0

d%l —

o

dx = 0 wird,

Bei gänzlicher gleichmässiger Belastung mit der Last g -f- p pro Längeneinheit wird M = j (g -f p) x (J — x), Q = j (g -J- p) (l — 2x), also bei konstantem Querschnitte

1±L

y 2 Eil

[d~4

0

x- (l — x) dx -f-

i-S

è J sfa(2 — xx)dxi

x(g + p)

2 Ei F

— 2x)dx.

Die Ausführung gibt:

9. y —

(ff+p)êd -    +n- i“) . X (y + p) i (i - J)

24EI

2E, F

Für die Mitte wird demnach

10. y —

5 (ff + P) lx 4_ X (ff + p) l²

384 FI

Die relative Yergrösseruug s der Senkung in der Mitte durch die Schubspannungen ist hiernach

11.

48xEI 96 (m -f- l)xl

5E, Fr ~    tmWi*    ¹

wenn m die Bedeutung von §. 55 hat. Setzen wir m = 3, für Blechträger nach §. 61 annähernd xhd = F und I = fh*-\-jêh³d, so wird

₀    1281    82 (6f 4- hd)h

1J* £ - 5l*hö

Für ln = \-₀l und f—0, 0,5hd, hd, l,5hd, 2hd wird hiernach bezüglich s = 0,021 0,085 0,149 0,213 0,277. Für den rechteckigen Querschnitt wird genauer, wenn man x = 1,2, I — Ihli³, F = hh setzt,

13. £ —

151*0

576 (m + 1) 1Ï¹

25 m V¹

Beispiel. Ein Blech träger mit 10m = 100dcm Stützweite hat in den fünf Strecken mit 9, 12, 58, 12, 9 Decim. Länge das Trägheitsmoment 1 = 17,8 32,4 47,7 32,4 17,8 Decim. Er ist symmetrisch durch eine Lokomotive mit drei Achsen von 6,5* Raddruck und 13dcm Radstand belastet. Es ist die durch diese Belastung

4,93    6,32

erzeugte Durchbiegung zu bestimmen. Für die Punkte 0, 1, 2, 3, 4 (Fig. 239) ergibt sich M = 0, 87,8 204,8 360,8 403,0 Tonnendecim. ; ferner für Punkt

- ö

T - o

7,56    8,43

2,71    4,29

Wenn h„ h, die beiden ein Trapez begrenzenden Ordinaten, b der Abstand derselben, x„ x₂ die bezüglichen Abscissen sind, so ist das statische Moment des Trapezes

o «= y & [(2*i + x,)hÈ 4- («, + 2x₂) h,].

Hiernach ergeben sich leicht die statischen Momente der einzelnen Trapeze für die linke Stützenvertikale. Die weitere Berechnung auf Grund der Formel 4 ist in folgender Tabelle zusammengestellt, wobei sich alle Zahlen auf Decimeter beziehen; nur die letzte Rubrik gibt y, in Millimetern für E — 200000 Ton. pro Q Decim.

Fig. 239.

11 i

—i........fr.....i.....fr......fr-

ZTT

Punkt

I Fläche

t/Yr

Statisches

Moment

Ey*

Vt

totoKNto

>o

Kk

to to to io Co _Co yfk yo Kk "oo "tC to

k k !o lo to to to V} <to> y« oj ki yo Kk'co Kk Co

2260

4135

3815

133,1

856,0

2786,0

4498,5

133

989

3775

8274

2393

5124

7590

8274

jv. yo yc y«*

Kk "qo 'bl o

Die Blechwand habe eine Höhe von 10dcm und eine Dicke von 0,08dcm; als-

x jZ

dann wird annähernd F = xhâ — 0,8, also — = — = 1,25. Die weitere Berechnung von yt nach Formel 6 enthält folgende Tabelle ; hierbei sind Tonnen und Deci

Oo «o

meter zu Grunde gelegt; nur die letzte Rubrik gibt yt in Millimetern für Ei = = 75000 Ton. pro □ Decim.

Punkt

xQ

Fläche f₀ — Et y,

Oi Ci Ci fo

Ci cs

VH^ VH VH ^

Cvf <VT c4 **tT

VH VH T-H

k k Ki to to k o i\ü Jtoi co Qo '<to> Co "vj

109.7 256,0 451,0

503.8

Jto

OJ Ci Ù) k ^ Hk tu

Die Senkung in der Mitte würde hiernach 4,14    0,67 — 4,81 Millim. Die

Vermehrung durch die Schubspannungen beträgt daher 16 Prozent.

§. 155. Näherungsregeln für Träger konstanter Höhe.

Ist der Einzelträger gleichmässig belastet und ?on konstantem, symmetrischem Querschnitte, so ist derselbe bei der Höhe h zu berechnen nach der Kegel KI — j qlq.j h, wenn K die zulässige Inanspruchnahme bedeutet. Setzen wir nun in Formel 9: qV*y = 16lK und nach Formel 35 (S. 108) xhö = F, so erhalten wir

2IK

y_ 5Kl

T ~24Eh T JpFT’

oder, wenn wir noch I — j fh- -f jg h³ö und Et = f- E setzen,

y 5 Kl

1Ł l ~ 24 Eh

3211*

i5 r-

(J + r0] ■

Da ~ in der Anwendung etwa 2 bis 8 beträgt, so ist die Klammer

7,2    7,2

1 -j- 6 bis 1 -f- 18 Bei den gewalzten I - Trägern ist ungefähr 6f=3,9hd, mithin die Klammer

Hat der Träger konstante Festigkeit,’ so wird in jedem Querschnitte Kl = ~ Mh oder y =

2K

Nach Gleichung 7 ergibt sich hiernach

als erstes Glied des Ausdruckes für die Durchbiegung in der Mitte

KV

4 Eh ‘

Als zweites Glied ergibt sich bei gleichmässiger Belastung nach Glei-

xqV

chung 10

setzen KIX = ^-ql².jh. Setzen wir ausserdem auch hier xhö = F, so wird

8 E,F'

1st das Trägheitsmoment in der Mitte, so ist zu

y _ Kl l — 4 Eh

2IXK Exlh*ö'

oder, wenn wir I{ = j fxh* Ą- y₂ h³d und Ev —

16 E¹

cd¹ Co

E einführen,

15. I =

l 4Eh

[■

91²

Blechträger haben entweder einen konstanten oder einen sprungweise veränderlichen Querschnitt, Man kann für dieselben nach den Gleichungen 14 und 15 allgemein

Eh

16. I = A Kl

setzen. A würde nach Formel *14 und 15 zwischen ~ = 0,21 und j = 0,25 liegen. Wenn indess K die bei Berechnung des Querschnittes angenommene zulässige Inanspruchnahme bedeutet, so ist mit Rücksicht auf die Schwächung durch die Nietlöcher A etwas kleiner, etwa 0,18 bis 0,22, während B — y₅ = 2,13 bis f- = 1,78 zu setzen ist. Durchschnittlich wird ungefähr

Hiernach erhält man die gesammte von der zufälligen Last und dem Eigengewichte erzeugte Durchbiegung. Die von der zufälligen Last

wenn Mp und Mq die von der zufälligen Last allein und von der Gesammtlast erzeugten Maximalmomente bedeuten.

von

allein erzeugte Durchbiegung ist ^ y und bei Belastung durch ein System Einzellasten annähernd ^ y,

§. 156. Durchbiegung des kontinuirlichen Trägers. Die

Gleichung 3 behält für den Einzelträger auch dann noch Giltigkeit, wenn an den Enden A und B Momente 31' und M“ angebracht werden. Ist hierbei eine Belastung nicht vorhanden, so ist

31“ — 31'

31 = 31' —-f 31“ j, Q —

zu setzen. Man erhält alsdann als Abweichung y₀ eines beliebigen Punktes mit den Abständen £, l — £ von A und B von der die Stützen A und B verbindenden Geraden

i-S

!8. yQ —

x {l — x)

+ 31

X (l — X)

dx}

|]

ff wdx]

0

. 31“ — 31' ⁺ Ml*

dx —

o

Ist eine Belastung vorhanden, so ist zu ya noch der durch die Gleichung 3 bestimmte Werth der Abweichung hinzuzufügen, wobei für M, Q lediglich nur die durch die Belastung bedingten Werthe von 31 und Q einzuführen sind.

Dieses Verfahren ist natürlich auch beim kontinuirlichen Träger anzuwenden, wenn für 31', 31“ die beiden Stützenmomente eingeführt werden, welche für die gegebene Belastung nach dem Früheren zu bestimmen sind. Wenn die Schubspannungen berücksichtigt werden sollen, so sind dieselben natürlich auch bei Bestimmung von 31' und 31“ zu berücksichtigen, es hat also hierbei die Gleichung 13 (S. 96) als Grundlage zu dienen.

Bei konstantem Querschnitte ergibt sich durch die Ausführung der Integration'

Die Durchbiegung in Folge der blossen Belastung, wenn man sich also den Träger über der Mittelstütze unterbrochen denkt, ist nach Formel 9

Erstes Feld: yx =

(<7+/>)£(Z-£)(J²+Z£-r) , *(g+p)W-Q

24 EI

ahn WW- i> + M“ C + i» 10- !>•

Die von den Schubspannungen herrührenden Glieder heben sich hier.

19. y» =

§. 157. Durchbiegung des kontinuirlichen Trägers mit zwei Oeifnungen. Wir wollen als Beispiel die Durchbiegung eines kontinuirlichen Trägers konstanten Querschnittes mit zwei gleich langen Oeffnungen bestimmen und zwar für eine gänzliche gleichmässige Belastung jeden Feldes ; das erste Feld sei mit g -f- p, das zweite mit g pro Längeneinheit belastet. Bei gleich hohen Stützen wird das Moment Mx an der Mittelstütze nach Formel 13 (S. 96), wenn man G = 1,

6 EIx E. FT»

B = 1, O/ = D' = 0, lx = l„ — l, lcx — hi 20Î" = y₂ gl'¹ setzt,

— 1s (9 ~\~ P) Pf

20. M,

(2g -f p) l-16 (1 + ö) ’

wenn man zur Abkürzung

3 EIx

KFl*

einführt. Wenn man nun für das erste Feld M‘ = 0, M“ = Mx, %für das zweite M' = Mx, M¹¹ = 0 setzt, so erhält man nach Formel 19:

Erstes Feld:

y* = —

96 E 1(1 + ö)

Zweites Feld:

Va — ~

(2g + p)lł(l-ł) (21-1)

96 E 1(1    d)

2EXF

Zweites Feld: yx =

gl (i — l) ß 4- il — I²)    ■_§)

24 EI

2EXF *

Die Addition gibt als wirkliche Durchbiegung

Erstes Feld :

v - - ! ⁽^J>

J — 96MH1+Ô)

, X (g + P) £ (l - j) 8FxFl*(l + ö)

Zweites Feld:

_èd~i) i2i-j) y — i)6Fi{i + d)

+ 80ßißd> W + iL-k'+Mi + 'ï) i“)].

Der Winkel v zwischen den Tangenten der elastischen Linien im ersten und zweiten Felde an der Mittelstutze ergibt sich hiernach leicht zu

22. v

— (⁵ +4d) o?# + pyx 8(1 + d) EtF ’

_ (5 + 4d)(2g +p)l

8 (i + m

Ebenso gross ergibt sich v nach der Formel 32 (S. 106), wenn man 23. D — ^ (2g + p)l —

setzt.

Sind beide Felder gänzlich mit g + p pro Längeneinheit belastet, so hat man nur in den vorstehenden Formeln g + p für g und p — 0 zu setzen.

Hat die Mittelstütze von der Geraden, welche die äusseren Stützen verbindet, den Abstand tj, so entsteht durch diesen Abstand allein nach Formel 13 (S. 96) das Stützenmoment

24. M. =

3 Elrj

- (T+d)!5 5

folglich in einem beliebigen Punkte nach Formel 19 die Abweichung

j Erstes Feld :

y₀ =

25.

Zweites Feld:

y* =

- n

2(1 + öfl³

t(l-Ç)(2l-i) 2 (l + d) l³

n-

Diese Abweichung ist zu der durch die Formeln 21 bestimmten hinzuzufügen, um die Abweichung von den die Mittelstütze mit den äusseren Stützen verbindenden Geraden zu erhalten.

§. 158. Durchbiegung des kontinuirlichen Gelenkträgers.

Die Durchbiegung in einem Felde ohne Gelenk lässt sich ganz nach §. 156 bestimmen, wobei die Stützenmomente M‘, M>1 nach den Paragrafen 33, 34 und 53 zu bestimmen sind.

zwar

Um die Abweichung eines Punktes I (Fig. 106, S. 82) eines überhängenden Theiles AG zu bestimmen, denken wir uns in Anwendung der Formel 2 in I die Last 1 wirkend. Dieselbe erzeugt nur in den Strecken AI und AB ein Moment und eine Transversalkraft und im Abstande x von A im Theile AI das Moment — (| — x) und die

Transversalkraft —1, im Theile AB das Moment--j- (l — x) und

wenn man AB=ly AI = % setzt. Dem-

die Transversalkraft -f-nach wird

Für den Punkt C ist i, — AC — a zu setzen.

Wir wollen beispielsweise einen konstanten Querschnitt und eine gleichmässige Belastung voraussetzen. Letztere sei innerhalb der Felder AE, BF und AB bezüglich q, qx, qv Alsdann ist, wenn wir noch CE = b, JDF=bl, BD = a₁ setzen, innerhalb des Theiles AC: M = — jq (a — x) (a -f- b — x), innerhalb des Theiles AB: M = — ~ qa (a -f- b) (l — x) — ^ qx ax (a -f- 6t) x + ~ qq x (l — x). Daher wird unter Vernachlässigung der Schubspannungen

ë    i

2EIV¹y — g£²J*(a— x) (a -|- b — x) (£ — x)dx 4- qa(a-\- b)%j(l — x)²dx 0    0

+ Q.\ ai (ai + bx)%jx(l — x)dx — q^lt, \x(l — x^dx.

0    0

Die Ausführung gibt

27. Ely = JÂ q? [6a (a + b) - 2 (2a + b) | 4- £a]

+ ~ qla(a + &)ê +    ³'la< <ai +    ï.J3i-

Als Abweichung ij‘ des Punktes C erhält man, indem man £ = a

setzt,

28. EIy' = ~ q a² [a (5 a -f- 4 b) -f- 41 (a -)- b)]

1 1 Ajö hlaai(ax + &,) — 24 a•

Für den schwebenden Theil geben die Kegeln von §. 154 die Abweichung von der die beiden Enden dieses Theiles verbindenden Sehne. Sind die Abweichungen dieser Enden von der ursprünglichen Axe y\ y", so erhält man, dem in §. 153 angewendeten Prinzipe entsprechend, die Abweichung eines beliebigen Punktes von der ursprünglichen Axe, wenn

- -f- y“ j hinzufügt, da Ą die Stützendrücke der im beliebigen Punkte wirkenden Last 1,

man zur Abweichung von der Sehne noch y

l-J £ l ’ i

26. y -

i

[J

M (J — x) dx

i f M(l — x)dx 1

⁺tJ —~ï---J

kil

o

7iQ dx i

£ j'XQdxj

O

A-

also y

J-

t    t

- und y“ j die Arbeiten derselben sind.

(l — H x.

30a. y = qEJi () — %)% {21% — x¹ — H) +

Fig. 240.

§. 159. Einflusslinie für die Durchbiegung. Das Vorstehende lässt sich natürlich auch auf Jdie Abweichung eines beliebigen Punktes C in Folge der Belastung durch eine Einzellast von beliebiger Lage anwenden, wodurch sich die Einflusslinie für die Abweichung des Punktes C ergibt. Die Anwendung der Formel 3 gibt für einen Einzelträger als Abweichung eines Punktes, welcher von den Stützen den Abstand £, l — I hat durch eine auf der rechten Seite des Punktes liegende Last 6r, welche von den Stützen den Abstand x, l — x hat :

x"-dx

29. y =

El-

EJ*

[(*-!}(;-

-f IG—

xdx

x)j

i

-Hl —

x(l—x) dx

f]

. Ç7.dx , „ fxdxl I    *

Für einen konstanten Querschnitt gibt die Ausführung der Integration nach entsprechender Vereinfachung:

30. y =

6 Eli

I (J — x) (21 x — x² — H¹) -f-

v, G

1(1 — x).

ExFl

Liegt die Last auf der linken Seite des Punktes, so ist £ mit l — Hx mit l — x zu vertauschen und man erhält alsdann

In Fig. 240 sind hiernach die Einflusslinien für £ = 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5. I bei Vernachlässigung des Gliedes mit x dargestellt.

Die auf beiden Seiten des fraglichen Punktes liegenden Aeste der Einflusslinie gehen, wie sich leicht nach-weisen lässt, allgemein tangential in einander über, wenn man die Schubspannungen vernachlässigt.

Beim kontinuirlichen Träger und kontinuirlichen Gelenkträger liegen die Einflusslinien, deren Ordinaten sich nach §. 156 und 158 bestimmen lassen, in zwei benachbarten Feldern auf verschiedenen Seiten der Axe.

Mit Hilfe der Einflusslinien würde sich nach §. 23 diejenige Lage eines Lastensystems bestimmen lassen, bei welcher die Abweichung eines beliebigen Punktes am grössten wird. Beim kontinuirlichen Träger und kontinuirlichen Gelenkträger wird dies bei abwechselnder Belastung der Felder stattfinden. Indess ist die Kdhntniss der grössten Abweichungen der einzelnen Punkte im Allgemeinen nicht von Wichtigkeit. In der Kegel wird die Durchbiegung nur bestimmt, um die Wirkung einer Probebelastung einer Beurtheilung unterziehen zu können; die Probe-

belastung aber pflegt man hinsichtlich der Lage des Lastenzuges, entweder mehr oder weniger willkürlich anzunehmen oder so, dass in bestimmten Theilen die Maximalspannung eintritt. Nur bei der Beur-theilung der Wirkung einer bewegten Probebelastung, bei welcher der Lastenzug nach einander alle möglichen Lagen einnimmt, kann es erwünscht sein, die theoretische Maximalabweichung bestimmter Punkte zu kennen.

§. 160. Grafische Bestimmung der Durchbiegung. Die

geometrische Konstruktion der elastischen Linie als Seilkurve ist bereits in §. 132 und 141 behandelt worden, so dass hier nur noch wenig zu bemerken ist.

Wenn man die Ordinaten der Belastungsfläche hei Vernachlässigung der Schubspannungen = M elastischen Linie entsprechende Seilkurve — EI₀ anzunehmen. Ist das Verjüngungsverhältniss für den Längenmaassstab —, so erhält man hier-bei auch die Ordinaten der Seilkurve in — natürlicher Grösse. Um die-

n

selben in m fâcher natürlicher Grösse zu erhalten, müsste die Polweite angenommen werden.

Statt dessen aber können die Ordinaten der Belastungsfläche bei Vernachlässigung der Schubspannungen auch —M angenommen werden.

Die Polweite ist . alsdann == EI, bei variablem I also ebenfalls variabel anzunehmen. Insbesondere empfiehlt sich dies dann, wenn sich der Querschnitt sprungweise ändert, so dass nur einzelne verschiedene Polweiten in Anwendung zu kommen haben. Nimmt man als Belastungsfläche die Fläche des mit der Polweite H konstruirten Seilpolygones an, so würde die Polweite für die elastische

annimmt, so ist die Polweite für die der

EI,

mn

Fig. 241.

3;’

Z'

/?x

o'

v

EI

Linie -rr anzunehmen sein.

In gleicher Weise kann die Konstruktion beim kontinuirlichen Träger und kontinuirlichen Gelenkträger erfolgen, wobei die Belastungsfläche natürlich theilweise positiv, theilweise negativ vorauszusetzen ist.

Bei ersterem ist die elastische Linie in jedem Felde tangential an die nach §. 140 und 142 zu konstruirenden Stützentangenten anzuschliessen, wodurch die Lage des Poles bestimmt ist.

Beispiel, ln Fig. 241 und 242 ist die elastische Linie für das bereits in §. 154 berechnete Beispiel durchgeführt und zwar in Fig. 241 mit konstanter, in Fig. 242 mit variabler Polweite.

Für die Punkte 0, 1, 2, 3, 4 ergibt sich M = 0 87,8 204,8 360,8 403,0 Tonnen-Decimeter. Für die drei Strecken 0 1, 12, 2 4 ist 1 = 17,8 32,4, 47,7-,

wenn wir lg =■ 47,7 wählen, so wird iy = 2,680 1,472 1,000, daher wird

Punkt 0

* = 0

235,3    301,5

129,2    204,8

Die Belastungsüäclieu ergeben sich hiernach (Tonnen-Decimeter \ Decimeter):

Punkt

Belast ungs fläche

Diese Flächen sind in den durch Konstruktion bestimmten Schwerpunkten als

Vertikalkräfte wirkend angenommen. Ausserdem ist zur Berücksichtigung der Schub-

spannungeu in jedem der Punkte 3, 4, 3‘ nach Formel 17 (S. 296) die Einzellast

y.EI₀ _ 1,25.8.47,7 E F tx — -

angenommen. Wenn man die Zeichnung in natürlicher Grösse durchführte, so würde die Polweite = EI₀ = 200000.47,7 = 9540000 anzunehmen sein. Da aber der

Längenmaassstab = natürlicher Grösse gewählt ist, so würde 9540000 200

anzunehmen sein, wenn man die Durchbiegung in natürlicher Grösse erhalten will. In Fig. 241 ist o

i 47700 =

360,8    403,0.

1059    2584    4525    4965

.6,5 = 1034

Fig. 242.

die Polweite

= 47700

z.

aber die Polweite =

i IW O i

»\    I_

~4

\i

IN

11925 (nach dem Maassstabe, in welchem die Belastungsflächen als Kräfte aufgetragen sind) gewählt, um die Durchbiegung in 4 fâcher Grösse zu erhalten.

In Fig. 242 sind die Ordi-naten der Belastungsfläche = M angenommen, dementsprechend ergeben sich als Belastungsfläehen Punkt

1756    4525    4965

Belastungsfläche =    391

In jedem der Punkte 3 4 3‘ ist wieder die Einzellast 1034 angenommen. Die Polweiten sind, da der Längenmaassstab wieder -~ natürlicher Grösse gewählt ist

i4U\J

und die Durchbiegung wieder in 4 fâcher Grösse erhalten werden soll, — - ~2qq ^ = 200000

4.200

I—250I, d. i. 4450, 8100, 11925 anzunehmen.

IX Anhang.

XX. Kapitel.

Ersatz eines Systèmes von Einzellasten durch eine gleichmässige Belastung.

§. 161. Zweck des Ersatzes. Aus dem bisher über die Behandlung eines Systèmes von Einzellasten Gesagten geht zur Genüge hervor, dass es nicht möglich ist, eine aus einem Systeme von Einzellasten bestehende Verkehrsbelastung durch eine gleichmässige Belastung zu ersetzen, welche für alle nöthigen Grössen, also z. B. hinsichtlich der Transversalkräfte und Momente für sämmtliche Querschnitte ein und denselben Werth hat. Wenn dies bisher dennoch vielfach geschehen ist, so konnte es nur auf Kosten der Genauigkeit geschehen. Eine wesentlich grössere Genauigkeit lässt sich bereits erreichen, wenn mau mehrere verschiedene gleichmässige Belastungen einführt, z. B. eine für die Transversalkräfte, eine, andere für die Momente. Es ist indess möglich, Näherungsregeln für die Bestimmung der gleichmässigen Belastung für jede einzelne zu bestimmende Grösse, z. B. für die Transversalkräfte oder Momente für jeden einzelnen Querschnitt aufzustellen und dadurch eine noch wesentlich grössere Genauigkeit zu erreichen. Näherungen aber sind hier recht wohl zulässig, weil sich der Berechnung doch nur ein idealer Lastenzug zu Grunde legen lässt, der der wirklichen Belastung nicht genau entspricht, da wohl auch mit der Zeit in der wirklichen Belastung Aenderungen eintreten, weil die zu Grunde zu legenden Festigkeitskoeffizienten nicht genau festzustellen sind und namentlich, weil der einzuführende Sicherheitsgrad mehr oder weniger willkürlich ist.

Eine einfache Methode zur annähernden Bestimmung der einem Lastensysteme entsprechenden gleichmässigen Belastung ergibt sich durch die Methode der Einflusslinien. Durch die Einflusslinie ist die Einflussgrösse Y (siehe §. 19) bestimmt. Da nun aber, wenn F den Flächeninhalt der Einflussfigur, p die gleichwerthige gleichmässige Belastung bezeichnet, nach §.21 Y — Fp ist, so ist durch die Einflusslinie bei gegebenem Lastensysteme auch p bestimmt. Die Form und Dimensionen der Einflussfigur bestimmen also die einzuführende gleichmässige Belastung. Die Annäherung erhält man insbesondere durch einen Ausgleich der durch das unregelmässige Lastensystem bedingten Unregelmässigkeiten.

§. 162. Näherungsregeln unter Annahme einer gleich-massigen Belastung und einer Einzellast. Man erhält die einfachsten, wenn auch noch zu wenig genauen Näherungsregeln, wenn man den Lastenzug ersetzt durch eine gleichmässig vertheilte Belastung p⁴ pro Längeneinheit und ausserdem durch eine für sich verschiebbare Einzellast G, weil durch letztere einigermassen den an die ungünstigste Stelle zu schiebenden schweren Lasten Rechnung getragen wird. Wir wollen einige Anwendungen behandeln.

Wir denken uns zunächst zwei affine Einflussflächen mit den Längen und den grössten Höhen h, ht ; zwei entsprechende Abscissen verhalten sich dann ebenfalls wie l : lv zwei entsprechende Ordinaten wie h : hv Die Flächen F, Fx verhalten sich wie lh : lxhx; wir können also, wenn A einen von der Form der Einflussfigur abhängigen Faktor bezeichnet, F = Alh, Fl=Allhl setzen. Es wird daher für beide Fälle Fp = Fp‘ + Gh, also

Gh

l. p = pé F

oder

1    / , G

la. p — p -f- -pj .

Sonach wird die gleichwertige Belastung um so kleiner, je grösser die Länge l der Einflussfigur ist.

Das durch die Formel 1 a dargestellte Gesetz ist in der That vielfach der Berechnung von Brücken zu Grunde gelegt worden, allerdings vielfach fehlerhaft in der Weise, dass man für l stets die Stützweite einführte, auch wenn die betreffende Einflussfigur nur einen Theil derselben einnahm und dass man A für alle Formen der Einflussfiguren gleich gross annahm.

Sind die beiden Seiten A C‘,

BC‘ (Fig. 243 d) der dreieckig krummlinigen Einflussfigur Parabeln , welche in der Mitte der

Sehnen A O, B C* von diesen den Vertikalabstand c — mh haben, so ist F = j lh — j lc —    (3 — 4m)lh, mithin nach Formel 1 :

6

2. p = p‘ -f ------j-.

¹    '5 — 4m l

,Ł\c

/Ai V'-

Fig. 243.

ii

Ittels.

C*| k*

Für das wirkliche Dreieck (Fig. 243 a) wird m = 0, mithin

3. p — p* --f- 2

Tangiren die Parabeln die Axe AB (Fig. 243c), so ist m — 0,25,

4. p = p‘ + 3 y.

also

Tangiren die Parabeln eine Parallele zur Axe AB in G‘ (Fig.243&), so ist m — — 0,25, mithin

5. P=P' + öJ-

Nehmen wir hierzu noch das Rechteck, so ist für dasselbe F—lh,

mithin

6. p — p‘ + y.

Hiernach wird die gleichwerthige Belastung um so grösser, je schneller die Einflusslinie von einem bestimmten Punkte C aus abfällt. Die Lage des höchsten Punktes C4 oder des Scheitels würde hiernach ohne Einfluss auf die Grösse der gleichwerthigen Belastung sein, was allerdings nicht ganz der Wirklichkeit entspricht. Wir wollen deshalb unter Zugrundelegung der wirklichen Belastung die hauptsächlichsten vorkommenden Formen der Einflussfläche untersuchen.

§. 163. Rechteckige Einflussfigur. Das Rechteck kommt zwar als Einflussfigur nur untergeordnet vor; jedoch wollen wir dasselbe mit in Betracht ziehen, weil sich für dasselbe die gleichwerthige Belastung für ein gegebenes Belastungsschema sehr leicht bestimmen lässt und diese sodann leicht zur rohen Schätzung für andere Formen der Einflussfiguren benutzt werden können.

Die ungünstigste Belastung ist hier diejenige, bei welcher sich die grösste Gesammtlast in der Länge des Rechteckes befindet. Die Werthe

Fig. 244.

n*>-

ÂC

B'

von Y lassen sich hier bei variablem l nicht durch eine stetige, sondern durch eine staffelförmige Linie darstellen (Fig. 244). Annähernd lässt sich dieselbe durch eine gebrochene Gerade ABC ersetzen, für welche sich die Gleichung leicht aufstellen lässt. Ist die Summe der Gewichte der Lokomotiven nebst Tender = G, der Achsendruck eines Wagens = Gv der Achsenstand der Wagen ev und a = A‘B‘ gleich der Länge von der Vorderachse bis zu einem Punkte, welcher e, vor der ersten Wagenachse liegt, so ist offenbar, BB⁴ — 6r, CC⁴ = BB⁴ 4- B⁴ C⁴-} zu setzen. AA⁴ ist so zu bemessen,

Leichte Wagen:

p =    0,88 +

Bei den Eisenbahnbrücken kann hierbei der Fehler für 1 — 8 bis 20m 6 bis 8 Prozent, für l = 25, 50, 75, 100, 150, 200m bezüglich 3,4 2,0 1,5 1,2 0,9 0,7 Prozent betragen.

Fig. 245.

dass die Fläche AA'B'B gleich der wirklichen Fläche zwischen der Staffellinie und A‘B* wird. Diese Fläche aber ergibt sich leicht als Summe der statischen Momente S der einzelnen Achsendrücke innerhalb A*B‘ in Beziehung auf B'. Ist die Summe der statischen Momente der Achsendrücke innerhalb A‘ B‘ in Beziehung auf A‘ = S{

Ga — S₀, S₀ — Ga — S. Hiernach lässt sich setzen:

2S₀ . Ga - 2S0 ^ ₌ _ + ■

Gex — G, a

so ist S —

[l c a:

7.

et l

Bei den Strassen brücken würde sich, wenn nur ein sehr schwerer, im Uebrigen nur schwere Wagen vorhanden sind, G und^#,, auf den ersteren beziehen, während Gx die ganze Last, e, die ganze Länge der schweren Wagen bedeutet. Für lauter gleiche Wagen ergibt sich

8. P = ~ +

G . Ge — 2S₀

2el

Für unsere Belastuogsschemen (§. 7 und 6) und wenn man bei den Eisenbahnbrücken zwei nach vorn gerichtete Lokomotiven voraussetzt, ergeben sich hiernach die folgenden Ausdrücke (p in Tonnen pro Met., I in Meter) :

l < 25 : p = 4,68 +

15,0

9. Eisenbahnbrücken

10.

= 2,67+ -j³ -

Sehr schwere Wagen: p~ 0,98 +

Schwere Wagen: ... p — 0,99 -j-

l > 25: p

§. 164. Rechtwinkliges Dreieck als Einflasslignr Bei der un- a‘

günstigsten Belastung sind die schwersten Lasten an das Ende A (Fig. 245) und die vordere Last nach A selbst zu bringen. Bezeichnet x den Abstand einer Last G von B, h die Höhe AA‘, so ist für die

Einflussgrösse Y: Yl = h 2JG x. Da F — -j hl ist, so wird die gleichwerthige Belastung, die wir fur das rechtwinklige Dreieck mit p0 bezeichnen wollen,

Ł SGx.

Po -vi

Das Resultat der für den in §. 7 angegebenen Eisenbahnzug an-gestellten Berechnung zeigt Fig. 246 (obere Linie) bis zu einer Länge

Fig. 246.

y/

//J

von 45m, in welcher l als Abscisse, p₀l als Ordinate aufgetragen ist. Die einzelnen Kurven, aus denen diese Linie besteht, sind Hyperbeln, welche die Axe der y zur Asymptote haben.. Angenähert lässt sich diese Linie durch zwei Gerade ersetzen. Für Strassenbrücken mit einer Wagengattung lässt sich für alle Längen eine einzige Gerade als Näherung einführen. Man kann diese Geraden leicht so bestimmen, dass die Summe der Quadrate der Abweichungen ein Minimum wird.

Für unsere Belastungsschemen ergeben sich unter derselben Voraussetzung, wie im vorigen Paragrafe folgende Ausdrücke (p Tonnen pro Meter, l Meter)¹):

1=0    10    20    30    40

11. Eisenbahnbrücken

. _ . , 30,0 Po = 4,ö4 + j,

1^40:    p₀z=2,84 +

l < 40:

98,6

’) Wenn man die vordere Lokomotive nebst Tender umkebrt, dementsprechend das Belastungs

schema:

9    13    13    13    13    13    13    9    9    9    8    8    8 Ton.

Achsenweite 1,5 1,5 4,0 1,3 1,3 5,2 1,3 1,3 4,0 1,5 1,5 3,0 3,0 3,0 Meter Last ... 9

anwendet, so ergehen sich bei Längen über 25»» die gleichwerthigen Belastungen kleiner. Bei kleineren Spannweiten können dieselben indess bis eu 5 Prozent grösser werden.

Wenn man drei Lokomotiven mit Tendern und mit nach vorn gerichteten Schornsteinen voraussezt, so werden dagegen die gleichwerthigen Belastungen bei Längen über 25m grösser und zwar bei 40 50 60 80 100 125 150 200m Länge um ungefähr bezüglich 5 8999887 Prozent.

Man könnte sich der wirklichen Linie noch viel besser anschmiegen,

JB

wenn man für p₀ nicht das Gesetz p₀ — A -f- y, sondern das Gesetz

p₀ = A 4- y -f- jï wählen würde. So ergibt sich für Eisenbahnbrücken

hei Längen über 25m, wenn man die Lastwagen durch eine gleichmässige Belastung von 2*/₃ Tonnen pro Meter ersetzt, ziemlich genau

13. p₀ = 2,67 +

130    1245

l* '

Indess kann die Regel 11 recht wohl angewendet werden, da keine grössere Differenz als ungefähr 4 Prozent für 1 = 10 bis 40m und 3 Prozent für l>40 entsteht.

Hiernach ergibt sich p₀ stets grösser, als p für das Rechteck; der Unterschied beträgt bei Eisenbahnbrücken, sehr schweren, schweren und leichten Wagen bezüglich bei 10m Länge 23, 51, 38, 20 Prozent, bei 20m Länge 12, 43, 23, 11 Prozent, bei 30m Länge 15, 24, 16, 9 Prozent, bei 50m Länge 21, 20, 11, 6 Prozent, bei 100m Länge 15, 12, 6, 4 Prozent. Bei Eisenbahnbrücken kann man durchschnittlich p für das rechtwinklige Dreieck 16 Prozent grösser annehmen, als für das Rechteck.

Die Maximaltransversalkraft für einen Einzelträger ist durch die Formeln 6 (S. 56) bestimmt. Wenn man den Formeln 11 und 12 entsprechend, allgemein

14. p = A -j—r

setzt, so würde hier, wenn L die Spannweite bezeichnet, bezüglich p (L — x) = A (L — x) -f- B und px = Ax -|- B zu setzen sein; es wird demnach¹)

15.

max (-f- Q) =

A(L — xY B (L — x) 2L~’

2L

Ax²

Bx

21 '

Setzt man für die Strecke AB (Fig. 246) y — y₀ — A (a — x), für die nächste Strecke B C : y = y₀ -f- B {x — a), wobei BB‘ — y₀ ist, so ergibt sich nach der Methode der kleinsten Quadratsummen

y®

4F

(M).

I_3 y»_3 S,

a³ ’

_3 Vo i 3 S₂

~2b ^ ba ’

wenn man AB

a, BC

b, AC = c und zur Abkürzung

ł) Die mittlere Transversalkraft ergibt sich in dem Sinne der Anmerkung zu §. 37 :

L AL - i-B.

7    S

mitt max (+ Ç) = — AL + — B, mitt max (— Q) —

- 84

F = jydx, S,r=jy{a o    o

— x) d x, St

=Jy(x

— a) dx

setzt. Hierin bedeutet F die Fläche, S„ S₂ das statische Moment der betreffenden Flächenstücke in Beziehung auf die Axe BB‘.

Wenn nur eine einzige Gerade vorausgesetzt wird, so wird ci—O, b=c, St=0,

— — 0, mithin

a

3 F    6 S . 6 (2 S

§. 165- Trapezförmige Einflussfigur. Die Einflussfigur sei ein Trapez (Fig. 247), dessen Seite AA‘ auf der Grundlinie AB senkrecht steht. Diese Figur tritt beim kon-tinuirlichen Gelenkträger auf (Fig. 106, S. 82). Bei der ungünstigsten Belastung liegt eine Last bei A oder C. Wir nehmen zunächst das vordere Ende des Zuges in A an. Das Trapez AA'C'B können wir als Differenz der rechtwinkligen Dreiecke AA“B und A'A“C' auffassen. Wirsetzen der Formel 14 entsprechend, für das Dreieck 14" B: pl = Al -f- B, für das Dreieck A'A“ G* dagegen pa — At a B{, wenn wir A‘C‘ mit a bezeichnen. Die Flächen dieser Dreiecke sind, AA‘ = h gesetzt,

bezüglich

= j ~b a) h. Demnach ist für die gleichwerthige Belastung p :

aVi

Fig. 247.

i"\

i<-........c ’

Ph

2 (l — a)

und

a^h

2 (l — a)

; der Flächeninhalt des Trapezes ist

§ P(l + «)* = (Ä + f)

l*h

2 (l — a)

(*+$■)

2 (l — a) *

Hiernach wird

16. p =

(A l + B) l — (A, a + Bt) a

*

Kann man At = A, Bx =■ B setzen, so wird sehr einfach:

17. p = A +

l -J- (i

Hiernach wird p kleiner, als für das rechtwinklige Dreieck mit derselben Länge l. Für a = l geht das Trapez in das Rechteck über; in

diesem Falle wird nach Formel 17: p = A    was mit den Regeln

9 und 10 im Vergleich zu den Regeln 11 und 12 nahezu übereinstimmt.

Wenn der Zug nur die Länge BD = £ einnimmt, so ergibt sich in gleicher Weise:

V (Z² - a²) = A? + Bè - A, (£, - Z>)² - Bx (|, - b),

20,0

12.

Schwere Wagen : ... p₀

Leichte Wagen:

= 1,00 + !>'°

Po — 0,90 Ą 3,6

wenn man B G — l — a = b setzt, mum für

Hiernach wird p zum Maxi-

18. g =

Die Einsetzung gibt

B — Bi 4- 2A, b

19. p —

(B — Bj)* + 4(AAxb + AXB - ABx)b

4 (Ax — A) b (l -j- a)

Für A = Ax, B — B

i»

also für Strassenbrücken und kleinere Längen der Eisenbahnbrücken würde sich fj = oo ergeben ; dafür ist £ = l zu setzen, so dass die Formeln 16 und 17 Giltigkeit behalten. Für A — 2,84, At = 4,54, B = 98,6, Bx — 30,6 wird

I = 20 + 2,67 b,

68 4- 212 b + 7,6 b'1 b (1 -f a)

Ergibt sich hiernach | > l, so ist natürlich wieder £ = l zu setzen.

§. 166. Gleichschenkliges Dreieck als Einflussfigur. Als

ungünstigste Belastung ergibt sich hier diejenige, bei welcher die schwersten Lasten mehr in der Mitte konzentrirt sind, die Gesammtlast in jeder Hälfte möglichst gleich gross ist und eine Last über der Mitte G liegt. Liegen auf der linken und rechten Hälfte die Lasten Gx, 6r₂ im Abstande xx, #₂ von den Enden, so wird, wenn speziell px die gleichwertige Belastung für das gleichschenklige Dreieck bedeutet,

Y=~[2(G,x,) + 2(G,x,)], Pl =f12(G,x,) + 2(G,x,)}.

Das Resultat der Rechnung zeigt Fig. 246 (untere Linie) für Eisenbahnbrücken. Hiernach wird px wesentlich kleiner, als p₀. Es findet dies besonders darin seine Erklärung, dass bei gleicher Höhe des Dreieckes die Ordinaten in gleichem Abstande vom Scheitel beim rechtwinkligen Dreiecke grösser sind, als beim gleichschenkligen. Man kann auch hier wieder die Kurve durch zwei Geraden ersetzen. Das Verhält-

Po

niss — ergibt sich bei Eisenbahnbrücken innerhalb der Längen von 75m

bis 200m zu 0,835 bis 0,855 ; bei kleineren Längen ist dieses Verhältniss allerdings mehr veränderlich; indess zwischen 4 und 75m schwankt —

Po

auch nur zwischen 0,83 und 0,89, so dass es sich der Einfachheit wegen wohl empfiehlt, ein konstantes Verhältniss einzuführen. Man kann durchschnittlich etwa

Eisenbahnbrüchen : Strassenbrücken :

Px — 0,86 p₀, Px = 0,94p₀

setzen¹). Bestimmt man hierbei p₀ bei Eisenbahnbrücken nach Formel 11, so ist der Fehler bei kleinen und grossen Längen höchstens 3 Prozent.

Bei Längen über 99m ergibt sich für Eisenbahnbrücken, wenn man wieder die Lastwagen durch eine Last von 2*/₃ Tonnen pro Meter ersetzt, genau

5666

¹

ehr schwere Wagen : Pti — 1,02 -\-

§. 167. Dreieckige Einflussfigur im Allgemeinen. Die

ungünstigste Belastung ist durch §. 24 bestimmt. Die sich ergebenden

gleichwerthigen Belastungen sind in Fig. 248 für Eisenbahnbrücken dargestellt und zwar beziehen sich die

Fig. 248.

~ Kurven a, h, c, d, e auf 10, 20, 50, 100, 200m Länge. Die betreffenden Kurven sind Linien dritten Grades ; nur dann, wenn nur auf einer Seite des Scheitels Lasten liegen, entstehen Hyperbeln. Diese grafische Darstellung zeigt, dass es allerdings nicht wohl möglich ist, die gleich-werthige Belastung durch ein - einfaches Gesetz darzustellen. Jedoch dürfte das Gesetz

22. p⁴ —

Po—

n -=0

0,1    0,2    0,3    0,4    0,5    0,6

für die praktische Anwendung genügen, wobei p⁴, p₀, px die gleichwertige Belastung für das Dreieck im Allgemeinen, das rechtwinklige und gleichschenklige Dreieck, lx und lg die Längen A C und BG (Fig. 50, S. 35) bedeuten. Setzt man hierin ll = nl, lg, = [1 — n) l und für pt die Werthe 20, so ergibt sich

23.

Eisenbahnbrücken: p⁴ =p₀ [1 — 0,56n (1 — w)], Strassenbrücken :

p‘ = p{) [1 — 0,24 n (1 — n)].

ł) Wenn man bei den Eisenbahnbrücken die vordere Lokomotive umkehrt, so wird p, nur wenig grösser und zwar höchstens 2,5 Prozent, bei Längen über 100m höchstens 0,5 Prozent.

Wenn man drei nach vorn gerichtete Lokomotiven voraussetzt, so würde p, bei Längen über 30n grösser und zwar bei 40 50 60 80 100 125 150 200m um bezüglich 6 13 13 16 15 12 9 5 Prozent. Das

Po

Verhältniss — wird hier durchschnittlich 0,88.

Bei Anwendung dieser Näherungsregeln ergeben sich die grössten Fehler bei Längen von 10, 20, 30, 50, 75, 100, 150, 200 Met. bei Eisenbahnbrücken bezüglich 2,8 5,3 2,0 2,3 3,2 2,3 1,8 2,6 Prozent.

Das grösste Moment für einen beliebigen Querschnitt eines Einzelträgers wird hiernach unter Berücksichtigung der Regel 11 (S. 58) *), wenn wir lx — x, l„ = l — x setzen,

2L M = ^    +

4 (Pü — Tl)

x (l — x)~\

* J

X (l — x).

aufstellen.

In der folgenden Weise lassen sich indess noch genauere Regeln

Ein mit den Näherungsregeln 11 vollkommen im Einklänge stehender Ausdruck für p* lässt sich in folgender Weise entwickeln. Der Belastungszug bedecke in Fig. 50 die Strecke BD. Die für die Dreiecke BDI)' und C'D'JD" nach der für das rechtwinklige Dreieck aufgestellten Regel anzunehmende gleichwerthige Belastung sei pv pq ; alsdann ist Y = px . ABDD' —pü. /\CiDtD,t. Setzen wir CB = x, CC' = h, so ergibt sich leicht

*«. + *)*

A BDB‘ =

lilx²

2/₂

Jß

Setzt man nun den Formeln 11 entsprechend p₁ = A + > ■ — »

»i T" x

— A + ^

25. p' =

und Y — ^ plh, so wird l%-\-x

(h + x) ~b -®] — 7~r~ \.Axx + A]*

t-, t₂

Hierin ist nun x so zu wählen, dass p‘ zum Maximum wird. Indem man den Differentialquotienten von p‘ nach x — 0 setzt, erhält man

_ 2Aln (1 — n) -j- Bn — Bx x ~    2{AX — An) ’

26.

2AX1{1 — n) -f- Bn — Bx

2 (Ax — An)

Die Einsetzung gibt

__(Bx — Bn)*____

4 (Ax — An)l n (1 — n) *

Es ist möglich, dass sich bei Eisenbabnbrücken nach Formel 26 der Werth von Z₂ -\-x kleiner ergibt, als der Werth a desjenigen l, für welches sich nach beiden der Formeln 11 gleiche Werthe ergeben (l = 40m) ; in diesem Falle ist a für Z₂ -j- x oder x — a — Z₂ zu

27. p⁴ =

AXB — ABX + A Ax l (1 — n)

{Ax — An) l

ł) Das mittlere Maximalmoment ergibt sieli hiernach in dem Sinne der Anmerkung zu §. 38: jgPo¹* — ÿQ (Po — Pi) l~ =    (3p₉ + 3 pi) l\ d. i. für Eisenbahnbrücken = 0,0787p₀ i² =

0,0917 p,l\ für Strassenbrücken = 0,0818p₀l't = 0,0865pj*.

witt max M =

setzen und p¹ nach Formel 25 zu berechnen. Setzt man hierin A -]---

Ax -f- —i, so ergibt sich

28. p‘ = At - [At(l - a) - Bt]

l*n *

Für kleine Werthe von lx ergibt sich x negativ; statt dessen ist x — 0 zu setzen. Dies gibt einfach

29. p‘ = A (1 — n) +

Wenn # und ?₂ 4- x innerhalb der Grenzen liegen, für welche sich pl durch eine einzige gerade Linie darstellen lässt, so ist A = A{, B == Bx zu setzen. Es wird dann wesentlich einfacher

30. x = nl -

2 A

K 4~ x — ^ —

³¹- IJ‘ = ^ + i&r

und für kleine Werthe von x, für welche sich nach Formel 30 x negativ ergeben würde,

2AX’

32. p‘ = AX(1 — n) -\-

bd

i.

Bei kleinen Längen kann indess bei Eisenbahnbrücken hiernach eine zu grosse Abweichung von der Wahrheit eintreten, weil in dieser Entwickelung angenommen wurde, dass die schweren Lokomotivräder vorausschreiten, während in Wahrheit zu beiden Seiten der Lokomotivräder noch Tenderräder anzunehmen sind.

Obwohl man durch diese Methode im Allgemeinen p' genauer be-' stimmen kann, als durch die Formeln 22 und 23, so wird man bei Eisenbahnbrücken doch wohl die einfachere Anwendung dieser letzteren Regeln vorziehen. Es kommen indess bei Bestimmung der Spannungen im Gitterwerke oft Dreiecke vor, bei denen n nur klein ist, so dass sich diese Dreiecke dem rechtwinkligen nähern. Für diese Dreiecke sind die Formeln 29 und 32, die für Strassen- und Eisenbahnbrücken passen, bequem anzuwenden.

Für Strassenbrücken lassen sich indess leicht allgemeinere Regeln

mit grösserer Genauigkeit entwickeln. Hier ist im Allgemeinen diejenige Belastung die ungünstigste, bei welcher (falls in Fig. 249 BG> AC oder Z₂ > lx> ist) in C ein hinteres Wagenrad steht und die Wagen

jb'ig. 24y.

Cs

äMli

|||. nach B hin fahren. In einzelnen Fällen kann allerdings Y noch grösser werden,

<.....h

->

wenn bei derselben Fahrrichtung in C ein

vorderes Wagenrad liegt; jedoch tritt dies seltener ein und in diesem Falle ist Y bei beiden Stellungen nicht viel verschieden. Wenn nur ein sehr schwerer Wagen vorausgesetzt wird, so ist dieser mit seinem hinteren Rade nach C zu stellen. Zunächst wollen wir Y für das Dreieck A CG bestimmen, und zwar für den Fall, dass nach rechts fahrende Wagen vorhanden sind, wobei der erste so dicht an dem rechts von C befindlichen Wagen steht, als dies möglich ist. Machen wir CD gleich dem Radstande a und legen wir nach C und D zwei Achsen, jede mit dem Drucke G, so hat das Dreieck ADD¹ nahezu die ungünstigste Belastung mit links fahrenden Wagen; der geringfügige Unterschied liegt nur in einer etwas anderen Stellung der Pferde. Für das Dreieck ADD‘

7?

werde nun p = At -f- —— das Dreieck A CG\ so haben wir, wenn CCJ = 1, also DDX = 1 -~

ist, -j Pi^i G 4- G {l -J-    — (lx 4- a)

hiernach

l, A- a

Ist px die gleichwerthige Belastung für

Z, -f- (i

2l\

und

34. px = Ax

4 G — 2 A, a — Bx

(2 G — A, a — Bt) a

Setzen wir für schwere Wagen At = 1,0, Bt = 9,5, G — 6,0, a = 3,5, für leichte Wagen At = 0,9, Bt = 3,3, G = 3,0, a = ,3,8, so wird

Schwere Wagen :

Pi = 1,0 —

7,5    , 3,50

35.

vi

Leichte Wagen:

3,4

P\ —■ 0,9    —,    -j-

0,34

Setzen wir allgemein für das Dreieck B CG : p — A -f das Dreieck ACG aber px = A — Bl

~2 ^ (-4 + y) » mithin B — B

G-Bt+°v) +

Hiernach ergibt sich

37.

4“ pi* so wird y

Cr

⁺ ~w-

Sehr schwere Wagen : p' — 1,02 Ar

Sclnvere Wagen :

Leichte Wagen :

K) h"

fi II

12,5 .3,5 ⁺ n?a ’

2.0 , 3,5

nF ’

p' = 0,90 + -^-4 0,3

nl"

Es ist nun aber recht'wohl möglich, dass die Belastung der Strecke AE, wobei CE etwa lm beträgt, mit Menschengedränge noch ungünstiger

Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

wirkt. Setzen wir die Belastung durch Menschengedränge pro Längeneinheit = p₃ und CE = 6, so wird ~p'l= mithin

Pa+Tl*

21,

so wird

39.

B — 2p₃ b

38. p‘ — A -)- (p₃ — A) n -j-Setzen wir p¹ = 0,92 (0,4ł pro 0m auf 2,3m Breite), b = lm,

Sehr schwere Wagen : p‘ — 1,02— 0,1 On -|-

Schwere Wagen:

Leichte Wagen:

nl² *

18,2

0,92

nP *

p‘ — 1,00— 0,08n +

7,7 , 0,92 l + nl* ’

p‘ = 0,90+0,02*1 + ^^- +

l

0,92

nl² *

Bei sehr schweren und schweren Wagen wird für die Mitte (n = 0,5) die einseitige Belastung mit Menschengedränge ungünstiger, wenn bezüglich l c 94m und 114m ist ; bei anderen Querschnitten (n < 0,5) würde die Grenze noch höher liegen. Bei leichten Wagen ist die einseitige Belastung mit Menschengedränge immer ungünstiger. Dies kann sich ändern, wenn die Belastung durch Menschengedränge kleiner als 0,4\ pro 0 Met. angenommen wird.

An den Enden, au denen in der Strecke AC keine Belastung liegen kann, bleibt die Formel 29 giltig; nach derselben wird:

20,0

Sehr schwere Wagen: p' = 1,02 (1 — n) -}-

Schwere Wagen:

40.

g ft

p = 1,00)1 ~ n) +

Leichte Wagen:

p =0,90(1 - n) + 3,6

Für ll = lm oder n = y geben die Ausdrücke 39 und 40 gleiche

Werthe für p‘\ an dieser Stelle geht die Hyperbel, welche p‘ nach Formel 38 darstellt, tangential in die Gerade, welche p‘ nach Formel 40 darstellt, über. In folgender Tabelle sind hiernach die Werthe p₀ und

px für p¹ an den Enden und in der Mitte, sowie die Verhältnisse —

Po

zusammengestellt :

'Sehr schwere Wagen Schicere Wagen

Leichte Wagen

Po

Pi

Pt

Po

Po

Pi

Pt

Po.

Po Pi

P.

. ! Po

Kl Kl

OiCsQOOiHKtoÎNOKiKl

<C<C<C<C<C<C<COT<C

kkkkkkfotoîü

KitOioOjOtOłCCoC

OifokjoxîoCîciOtîNs

KiKlKlKlKiKlKlÏNSÏNO

ckiîojnom^ccikiQo

CiÜiCQortkCOsCsKi

C C C JC JC JC JC JC JC

üiüiüiOitoiütKOîOj

Kl Kl Kl Kl Kl Kl Kl Jk J~i Okk'k*»'tO *Kk Oi C>

Kl Kl Ki

>Ća5 4^

Üi Qp ü(

J-k Kl Kl K. Kl Jk 'c 'c C 'c "Kl 'łO

JC JC JC JC JC JC JC JC JC CiCsCCCi'CCiCCi ü\Oiü\KO:lokkCi

JC JC .O JC JC _Ki Jk ^Kl Jk. "c> "c> «û ® O "c Kl "ïC

JC JC JC JC O JC Jk Jk ^ c'c C Cs Kl

Ki JC JC JC JC JC je JC JC

§. 169. Das abgestumpfte Dreieck als Einflussfigur.

Wir wollen hier zunächst die im vorigen Falle angewendete Methode der Zurückführung auf das rechtwinklige Dreieck anwenden. Wir nehmen an, dass das vordere Rad bei F (Fig. 53, S. 37) stehen müsse. Alsdann können wir

Y = px . /\BFF' — Pz . £±E‘F‘ F“ — p₃ . F“ F“‘ setzen, wenn wir die für die drei genannten Dreiecke nach dem Gesetze des rechtwinkligen Dreiecks zu bestimmenden gleichwerthigen Belastungen mit pv p₂, p₃ bezeichnen. Wir wollen nach den Formeln 11 und 12 für CF = x

pt = A+

h x’

Pu = A +

x + e₂ ⁷

setzen. Es ergibt sich ferner leicht, wenn man e, e₂ = e einführt,

/\BFF‘ =

(lq -\- x)¹h

21

,    E‘ F' F“ =

(x 4- e^lh e,

2lll<1e

_ (x — ex)Hhetl

2l{l,ie

/\D‘ F“ F“‘ =

Die Einsetzung gibt 2Y1 7

= [Ä + *)² -f B (Ï, -f x)} lx - [Ax {x* + ete₂) + Bxx] l.

Setzt man den Differentialquotienten von Y nach x — ö, so erhält man denselben Werth von x, wie für die dreieckige Einflussfigur nach Formel 27. Bezeichnet man den Werth von Y für die dreieckige Einflussfigur mit Y\ so wird demnach sehr einfach

41. Y—Y — A,

Es ergibt sich ferner

ex eq Ih l\ lo, 2

42. F =

M'-

e1

V7

mithin, wenn man Y* =

Ihp' setzt,

43. p — p' —

(A, — p) ex e₂

Für e, = e₂ — j e, lx = ni, l„ = (1 — ») l wird

44. p — p' —

(A, — ff )

A n (1 — n) l- — e¹

Die Abweichung von p gegen p‘, welche theils positiv, theils negativ ausfallen kann, ergibt sich hiernach bei den in der Regel vorhandenen

kleinen Werthen von ~ nur klein, so dass für die praktische Anwendung

wohl p — p‘ gesetzt werden kann. In der Regel wird es sich nicht um die Bestimmung von p, sondern von Y handeln, welche am besten nach Formel 41 erfolgen wird. Ist dies Moment für einen beliebigen Querschnitt eines Einzelträgers unter Voraussetzung von Querträgern zu bestimmen, so wird man, der Formel 41 entsprechend, von dem nach der Formel 24 berechneten Werthe von M noch ~ Axexeq abzuziehen haben,

da hier h = ~ zu setzen ist.

§. 170. Vieleckige Einnussngur. Beim beliebigen Vielecke kann die Bestimmung der gleichwerthigen Belastung auf Grundlage des rechtwinkligen Dreiecks in gleicher Weise erfolgen, wie beim Dreieck. Man wird hier zunächst diejenige Seite DE (Fig. 56, S. 39), innerhalb welcher der Kopf H des Zuges liegen wird, durch Schätzung zu bestimmen haben. Bezeichnen wir nun die Längen BH, FH, GH,... mit £, xx, ... die Neigungswinkel der Seiten BC, CD, DE,... gegen AB mit a, ax, a₂,... und nehmen wir an, dass beim rechtwinkligen Dreiecke bei den Längen £, xx, xq... bezüglich pZ, = A% -J- B, pxxx — Atx + Bx, pax₂ = Asx„ 4- B„,... zu setzen sei und setzen wir noch tana == r, tana — tanax = tx, tanax — tanaq — t₂₎... so ergibt sich leicht, dass das Maximum von Y eintritt für

45. x =

B z — Bx t, — B„ tq —2 (A, ax tx -f⁻    ^ ~1~ • • • )

2 (At — Ax tx — A„t,

und zwar wird das Maximum von Y

46. Y — — (Axal<1tx -\-A₂atl‘łt₂ -}■•••) +    (^i ai+ ff 2 aa 4 + • • • )

_ [ff* — Bxtx — BJç —.. ,-f 2(At axtx -f A^a^ +.. .)]g 8 (Ax — Axtx — A₂ż₂ —...)

Indess wird wohl selten von diesen Formeln Anwendung zu machen sein.

Bei gewissen Trägerformen (Dreigelenkträger) kann die viereckige Einflussfigur in der Form Fig. 250 Vorkommen. Bei kleinen Längen

■wird hier die Bestimmung in der eben gezeigten Weise zu ungenau und bei grossen Längen wird der Kopf des Zuges gewöhnlich in die Seite CD fallen; dann aber hat Y ganz denselben Werth, wie für das Dreieck BCE. Ist die gleichwerthige Belastung für die Flächen AD CB und BCE bezüglich p, p‘, der Flächeninhalt dieser Figuren F, F‘, so ist dann also Y — F'p‘ — Ep, also

Fig. 250.

F‘

47. p = p‘ — .

Wenn das Polygon in eine Kurve übergeht, so ist t = ⁽^~.ldx

zu setzen und es wird alsdann, wenn A und B in der ganzen Ausdehnung denselben Werth hat,

48. y=

d²y

dx-

x (Ax -f- B)dx.

Haben A und B zwei verschiedene Werthe, so müsste das Integral in die entsprechenden zwei Theile zerlegt werden.

Bei statisch unbestimmten Systemen bildet die Einflusslinie nach §. 20 ebenfalls ein Polygon, wenn sich die Last nur an bestimmten Punkten (durch Querträger) auf die Konstruktion übertragen kann. Allein hier kann man die Polygone in der Regel mit grosser Annäherung durch Kurven vertauschen, die wir im Folgenden noch behandeln werden.

Die Polygone, welche hei mehrtheiligen Gittersystemen Vorkommen, bedürfen einer besonderen Behandlung, auf welche wir hier indess nicht eingehen wollen.

§. 171. Symmetrische Parabelfläche als Näherungsform der bei verschiedenen statisch unbestimmten Systemen vorkommenden Einflussfiguren. Bei der ungünstigsten Belastung liegt hier der Schwerpunkt der Belastung in der Mitte, oder, falls dies bei der gegebenen Belastung nicht möglich ist, der Mitte möglichst nahe. Es wird hier, wenn x den Abstand einer Last von der Mitte bezeichnet (Fig. 251)

r=h[zG-¥

1. Eisenbahnbrücken. Für den von uns angenommenen Eisenbahnzug ergibt sich bei Längen über 50m die ungünstigste Entfernung der vorderen Last vom nächsten Ende =0,171 bis 0,121, genauer 0,091 -{- 4m. Bei einigen Längen ergibt sich durch genaue Berechnung das folgende Verhältniss der gleichwerthigen Belastung

~ 2W

Fig. 251.

F'k

Tk

il.......Il

life.

p zu den gleichwertigen Belastungen px und p₀ für das gleichschenklige und rechtwinklige Dreieck:

10    15    20    30    50    75    100    150 200 Met.

l = 5

2- = 0,94    0,87    0,90    0,94    1,00    0,96    0,97    0,99    1,01    1,01

P\

Po

= 0,83    0,72    0,75    0,80    0,85    0,85    0,83    0,83    0,86    0,86.

Man wird hiernach bei Längen von 15 bis 150m durchschnittlich 49. p = 0,96Py — 0,82p₀

setzen können.

Wenn man hier die im vorigen Paragrafe befolgte Bestimmung anwendet, so ergibt sich, falls man für l c a : pl = Axl -f- Bx, für l 7> a aber pl — Al B setzen kann und wenn der Kopf des Zuges vom rechten

d ^ w    ^ "fa

Ende den Abstand % hat, indem man = y setzt,

I

j (Ax² + Bx)dx.

= 21 {Ag¹ + Bg) — 4j(Alx<l + Bxx)dx — 4

e    à

Die Ausführung gibt, wenn man Y — j plh setzt, 50. p — — 2 (A₁—A) -f 5 (B — B} ) ^ + 3B ~ -\-3A —3 B jj—2A jy

Für kleine Längen ist a — 0 und At, Bx für A, B einzuführen. Setzt man die den Formeln 11 entsprechenden Werthe von a, A, B, Av Bx ein, so findet man, dass p zum Maximum wird für

Meine Längen: £²— (l — 6,74)%— 3,371, grosse Längen : £² — (l — 34,72) % — 17,361.

Annähernd ergibt sich hiernach für kleinere Längen l — % — 3,37—y

51.

p 7ft

für grössere Längen l — % — 17,3--y ; hiernach wird l — % — 0,141

10    15    20    30    50    75    100 150 200 Meter

bis 0,241. Die spezielle Berechnung gibt: l = 5

p = 7,46 5,56 5,05 4,85 4,69 4,38 3,43 3,15 2,97 2,91 Ton. pro Met.

Bei grösseren Längen zeigt sich mit den genauen Werthen eine leidliche Uebereinstimmung.

2. Strassenbrücken. Wenn wir zunächst eine blosse Besetzung mit Wagen annehmen und für das rechtwinklige Dreieck pl = Al-\-B setze , so gibt die Formel 50, wenn man At = A, Bx = B und § = — I, setzt,

(3B-2Ag)%*

3 (B — A%x) I,

52. p — A -f

Sonach wird p zum Maximum für

i?

Die Einsetzung gibt nach entsprechender Zusammenziehung, wenn man zur Abkürzung B = h . Al setzt,

54. p =

I [i - ** + (i + F) i/j + F],

Indem man für verschiedene Zahlenwerthe ein führt, findet man als Näherungsregel p = ^ A (1,94 -f- h) oder

11

55.    0,.97^1 + 0,50=-.

1/

Wenn man dagegen annimmt, dass auf der linken Seite die Strecke & mit Menschengedränge und auf der rechten Seite die Strecke £ = l — I, mit Wagen besetzt ist, so kommt zu dem Ausdrucke 52

Es wird alsdann p zum

noch ~ (g, — &)² (31 — 2%x -{- 2b) hinzu.

Maximum für

— 2A^{ (l — £i) -\-B (l — 2%j) -t- 2p₃ (I, —6) (l — I, -}-b) = 0

oder

Ä—p₃

— 0.

⁷¹ - 2>:A) i, +

3    /

Bl — 2p₃b (l + b)

2 (A— p₃)

Hiernach wird für p₃ — 0,92 und b = 1,0:

' Sehr schwere Lasten : £,² — (l -j- 182) £, -f- (00,81 — 9,2) — 0,

V - (l + 97) I, + (48,51 - 11,5) = 0, É,² — (l — 88) £, — (44,0 2 — 40,0) = 0.

Hierdurch ergeben sich als Näherungsregeln durch numerische Anwendung auf einzelne Werthe für l bezüglich = 2,2 -j- 0,361,    =

2,4 -f- 0,291, £, = — 3,7 + 0,731 oder weniger genau £, = 0,421, ^ — 0,371, I, = 0,621. Diese letzteren Zahlen kann man recht wohl einführen, da der Werth von p sich nur wenig verändert, wenn man in der Nähe des ungünstigsten Werthes von etwas ändert. Man erhält hierdurch als Näherungsregeln

56. Schwere Lasten:

Leichte Lasten:

13 3

Sehr schwere Lasten : p = 0,98 -f" —j—

(/

= 0,96 A + 067

p=0 98 + ^l = 0,98A+ 0,07*

L

1,3 = 1,02 A + 0,36 Ÿ-

Bei sehr schweren und schweren Lasten würde hiernach die theil-weise Besetzung mit Menschengedränge immer ungünstiger sein; bei leichten Lasten ist dieselbe nur bei Längen über etwa 10m ungünstiger.

57.{ Schwere Lasten

Leichte Lasten:

p= 0,92 +

Ein bestimmtes Yerhältniss von p zu dem px für das gleichschenklige Dreieck lässt sich hier weniger gut angeben, wie bei Eisenbahnbrücken, da dasselbe etwa zwischen 0,83 und 1,00 schwankt.

In Fig. 252 sind vier Kurven mit den Gleichungen:

1.

y=h(l-iÇ),

3. y

“h(¹~²f) (¹⁺² f ~²V)'

4.

dargestellt. Dieselben entsprechen 1. einer Parabel, 2. dem Horizontalschube eines flachen

parabolischen Bogen konstanten Querschnittes mit Kämpergelenken ; 3. der Durchbiegung eines Einzelträgers konstanten Querschnittes in der Mitte; 4. dem Horizontalschube eines flachen parabolischen Bogens konstanten Querschnittes ohne Gelenk. Für dieselben ergibt sich beispielsweise bei einer Länge von 20m für den von uns angenommenen Eisenbahnzug: 3. F — 12,50 h, p = 4,925,

Fig. 252.

yp

-x-

2. F— 12,80 h, p — 4,908,

1. F = 13,33 h, p = 4,897,

Die Abweichung von p bei 2, 3, 4 gegen den der Parabel entsprechenden Werth beträgt nur 0,2 0,5 1,3 Prozent. Man wird daher die für die Parabel aufgestellten Regeln mit ziemlich grosser Näherung auch bei andern ähnlichen Kurven verwenden können.

4. F = 10,67 h, p = 4,964.

Fig. 253.

§. 172. Einseitige Parabelfläche. Wir betrachten diese Figur (Fig. 253) nur, weil sie die Grenzform einer unsymmetrischen Parabelfläche bildet. Die ungünstigste Belastung ist hier die-_ selbe, wie beim entsprechenden rechtwink-ß ligen Dreieck A AB. Es ergibt sich hier

== h ^2 G -

3 Y 21 h *

1. Eisenbahnbrücken. Für den angenommenen Lastenzug gibt die genaue Berechnung für einige Längen:

1 =

Ł —

5    10    15    20    30    50

75

100 150 200 Met.

Po

0,90 0,90 0,91 0,93 0,95 0,94 0,94 0,95 0,96 0,96 Für l = etwa 18 bis 125 Met. kann man hiernach durchschnittlich

setzen :

58. p = 0,942^0 •

Unter Anwendung der für das rechtwinklige Dreieck aufgestellten Näherungsregeln ergibt sich hier leicht, wenn A, Ax, B, Bv a die Bedeutung wie im vorigen Paragrafe haben

OJ

Oi

3B

59. p — A -1— und wenn I < a ist,

'«I

bd

Ja

60.

p — A 4-

3 B,

41 •

Die Einsetzung der den Formeln 11 entsprechenden Zahlenwerthe gibt

23,0

\ l < 40m : p = 4,54 -f

61.

94,0    27200

+ p •

Kleinere Längen ausgenommen, ist die Uebereinstimmung mit den genauen Werthen eine leidliche.

I > 40m : p — 2,84 -f

2. Strassenbrücken. Die Kegel 60 gilt auch hier, wenn man nur Besetzung mit Wagen annimmt, welche hier im Allgemeinen die ungünstigste ist; es wird also

62. p = A -f-

3B

41'

Der Vergleich mit den Regeln 57 zeigt, dass p im Allgemeinen etwas grösser wird, als für die symmetrische Parabel. Der Unterschied ergibt sich für l —10 20 50 100 150m bezüglich für sehr schwere Lasten 9 7 6 5 4, für schwere Lasten 12 8 5 4 3 und für leichte Lasten 20 9 2 10 Prozent.

§. 173. Unsymmetrische Parabelfläche. Wie für die symmetrische Parabelfläche würde man die Behandlung auch für eine durch zwei Parabeln mit verschiedenem Parameter und gemeinschaftlicher Tangente begrenzte Fläche (Fig. 254) durchführen können, um damit Näherungsregeln für ähnliche, bei statisch unbestimmten Systemen vorkommende Figuren zu erhalten. Zwei Grenzfälle dieser Figur bilden die in den beiden vorigen Paragrafen behandelte symmetrische und einseitige Parabelfläche. Da die gleichwerthigen Belastungen bei diesen Grenzfällen nicht sehr verschieden sind, jedenfalls viel weniger verschieden, als bei dem entsprechenden Dreieck AGB und ausserdem der Punkt G bei den vorkommenden Fällen von der Mitte nicht viel ab weicht (AC beträgt etwa 0,31 bis 0,51), so wird man in allen Fällen diejenige gleichwerthige Belastung einführen können, welche der symmetrischen Parabelfläche entspricht , man wird also die Regeln 49, 55 und 57 auch hier als Näherungsregeln anwenden können.

Beispiele.

1. Die Einflusslinie für das Moment im ersten Felde eines kontinuirlichen Trägers konstanten Querschnittes mit zwei gleichen Feldern in Beziehung auf den

Querschnitt mit der Abscisse x = 0,9b hat auf der linken Seite des Querschnittes für die Last 1 und die Spannweite b nach §. 110 die Gleichung (Fig. 254):

A I (* ~

Hiernach wird y = 0 für x = L ]/"5 b = 0,745 b und y zum Maximum für 1/ 15 b ■= 0,430b. Der Flächeninhalt bis zum Nullpunkte ergibt sich zu

F = A b. Für b = 40m wird die Länge

äOO

dieser Einflussfigur l = 0,745.40 = 29,80. Für den von uns angenommenen Eisenbahnzug ergibt ich durch genaue Bestimmung das Maximum der

²° A=0,694A;

Fig. 254.

C    <—-x-

Qol k*

9 & 5 b‘

Einflussgrösse zu 3,329A und F= —

daher wird die gleichwertige Belasteng pro Meter :

p =    - '797.

Ik

Für die symmetrische Parabel mit

Sr-

ergibt sich bei derselben Länge l = 29,80m das Maximum der Einflussgrösse —95,64h. Da F = ~ Ih = 19,87 h ist, so wird p — grösser.

95,64

19,87

— 4,813, also nur 0,4 Prozent

2. Die Gleichung der Einflusslinie für das Stützenmoment eines kontinuirlichen Trägers konstanten Querschnittes ist nach §. 69, wenn der Abstand beider Fixpunkte

von den Stützen = 0,21 ist (Fig. 255) :

Fig. 255.

y - A 7 i¹ - J) i¹'⁴ ~ f )•

Hiernach wii*d y zum Maximum für x = 0,3841; bei x = 0,8l liegt ein Wendepunkt. Der Flächeninhalt ist F= 0,15 Al. Die genaue Bestimmung gibt für unseren Eisenbahnzug bei einigen Spannweiten folgende Resultate:

1 =    5    10    20    30    50    75    100    150 Met

Symmetrische Parabel: p = 9,59    5,70    4,91    4,79    4,05    3,49    3,20    2,94

Stützenmoment:

Unterschied.    .

so dass auch hier der Unterschied im Allgemeinen nur klein ist.

ai 11

E«>

p = 9,69    6,21    5,10    4,84    4,22    3,62    3,33    3,03

1,0    8,8    3,7    1,0    4,1    3,7    3,9    3,5 Proz.,

§. 174. Parabeldreieck mit einer geraden Grundlinie und zwei parabolischen Seiten als Näherungsform für verschiedene bei statisch unbestimmten Systemen auftretende Einflusslinien.

1. Tangirende Parabeln. Wir setzen zunächst voraus, dass die Parabeln die Axe A und B (Fig. 256) mit ihren in A und B liegenden Scheiteln tangire. Bei der gefährlichsten Belastung sind die schwersten Lasten in der Nähe von C zu konzentriren und eine Last nach G zu verlegen. Man kann ausserdem noch den Satz aufstellen, dass die sta-

tischen Momente der in AC und BG liegenden Lasten für A und H, dividirt durch die Quadrate von AG und BG möglichst gleich sein sollen; gewöhnlich ist die ungünstigste Belastung dieselbe, wie beim entsprechenden Dreiecke AC'B. Es wird nun

l\ .

3Y

P~ Ih ’

wenn die in AG und BG liegenden Lasten 6rt, ćr₂ von A und B die Abstände xv haben.

a) Eisenbahnbrücken. Die für einzelne Längen durch genaue Berechnung unter Voraussetzung unseres Eisenbahnzuges bestimmten Verhältnisse der Werthe von p gegen die Werthe von p‘ für das entsprechende Dreieck A*GB sind in folgender Tabelle zusammengestellt :

Meter

Ci

’S

*-L~

C>

Ci

bi

ki ki

<C>C>ÜiCsC>OOiC>V}Oi

C.

kkkkkkkkkk

kkkkkkkkk    k

kktotoCjtotoCitoO

00 »Q

1,22

kkkkkkkkkk

k ■* N ^ N ^    > N k •»

O^kkOkkKiKik

^^OOOOOkOjkOj^

kkkkkkkkkk

OkOOOkkkîoK

kkkkkkkkkk

tokktoOkktoiak

Hiernach kann man für Längen von 20 bis 150m durchschnittlich

63. p = 1,10p⁴

setzen und zwar erhält man hierdurch p bis auf mindestens 3,5 Prozent genau. Für kleinere Werthe von l erhält man hiernach aber p etwas zu klein. Eine einfache Gesetzmässigkeit ist hier überhaupt nicht aufzustellen. Berechnet man p nach der Regel

64. p = (1,36 — 0,0131) p\

so erhält man p für Längen über 7,5m bis auf mindestens 4,5 Prozent genau.

b) Strassenbrücken. Ganz entsprechend den für das Dreieck gütigen Regeln 34 und 38 ergibt sich hier mit Berücksichtigung der Formel 48, wenn A, B, 2?,, CXJ n, pa, b dieselbe Bedeutung haben, wie dort und wenn ein hinteres Wagenrad, betreffendenfalls das des

schwersten Wagens, in C liegt und zwar 1. wenn der Theil AC auch mit Wagen besetzt ist,

3 (B - Bx) , '30_ nl² ’

wonach in den Formeln 37 18,8 3,0 0,3 statt 12,5 2,0 0,2 und 10,5 10,5 0,9 statt 3,5 3,5 0,3 zu setzen sein würde; und 2. wenn die Strecke AC — b = Z, — b mit Menschengedränge besetzt ist,

3 (B — 2p₃b) ,    p₃b³

nH³ ’

66. p = A -F- (A — p₃) n +

21

21

nï¹

wonach in den Formeln 39 27,3 11,6 2,7 statt 18,2 7,7 1,8 und 2,76    — 3^-^ statt 0,92 zu setzen sein würde.

Für die Enden, an denen in der Strecke AC keine Belastung liegen kann, ergibt sich entsprechend den Regeln 40:

67. p = A(l — n) + 3B

21 ’

2. Nichttangirende Parabeln. Wenn nun die Parabeln die Axe AB nicht tangiren (Fig. 256), so lässt sich die gleichwerthige Belastung annähernd durch Interpolation zwischen dem Dreieck A C'B und der

Fig. 256.

/Ä

Parabelfläche mit tangirenden Parabeln bestimmen. Bezeichnen wir die vertikale Höhe der Parabeln in der Mitte von AC und BC bis zur Sehne AC⁴, BO gemessen, indem wir diese Höhe auf beiden Seiten als gleich voraussetzen, mit c, den Werth von Y für das Dreieck A C'B mit Y‘, für die tangirenden Parabeln mit Y“, so ist annähernd

/'

hi

ABC

Y =Y‘ — 4{Y — Y“)

?S-*| ^

weil für c = 0 Y —Y⁴ und für c = ~ h Y = Y“ werden muss. Setzen

4 0p, so

wir Y¹ = j Ihp⁴, erhält man

Y“

= ’a-lhp‘\ Y=Fp = { Ih (.3

68.

oder, wenn wir F =

P=P‘ +p" —

lh ^5 — 4 j, also

7 h

69. p — 3p‘ — 2pu -f-

8c

3h — 4c'

• (Ü

SH «

3 3F ,

= 4 - m setzen’

F iP“ — P‘\

Setzt man für Eisenbahnbrücken, entsprechend der Formel 63: p“ — 1,1p⁴, so wird

70. p =

P (l +

8,8 c

3h — 4c

) = P' (0,8+ 0,1—).

Es passt diese Regel selbst noch für den Fall, dass c negativ ist. Für die Form Fig. 254 wird F = J- Ih, also nach Formel 70 p = 0,95p', was mit der Formel 49 nahezu übereinstimmt.

Beispiel. Das im vorigen Paragrafe hinsichtlich des negativen Theiles der Einflussfigur durchgeführte Beispiel 1 wollen wir noch hinsichtlich des positiven Theiles durchführen. Die Gleichung der Einflusslinie ist für die linke Seite des Querschnittes (von x —0,745b bis x = 0,9b):

0,«5Af (2-J,8p)

y — —

und für die rechte Seite (von x — 0,9b bis x — b):

V = A (o,9 - 1,125 | + 0,225    ).

Die grösste Höhe (für x = 0,9b) wird 0,0515 A. Der Flächeninhalt ergibt sich durch Integration zu F = 0,00612Ab — 0,2448A. Die Länge der Einflussfigur ist

(1 — 0,745) 40 = 10,20m.

Das Maximum von Y tritt ein, wenn eine Last von je 13 Ton. bei x = 34,7 36,0 37,3m und eine Last von 9 Ton. bei x = 30,7m liegt. Der entsprechende Werth

1,656

von Y ist = 1,656 A. Daher wird der entsprechende Werth von p — Nach Formel 11 und 23 wird

0,2448

6,76.

7,54,

30,6 _

10,2

p‘

= 7,54 {l

— 0,56 .

4,0    6,2

10,2 ’ 10,2

) = 6,53,

also nach Formel 70:

p = 6,53    + 0,1 .

6,63,

10,20 . 0,0515

0,2448

d. i. nur 2 Prozent kleiner, als der genaue Werth.

Bezeichnungen,

welche gewöhnlich gebraucht sind.

A, B, C (A, B, C, D in §. 95) Koeffizienten.

C, C‘, C" von der Form des Trägers abhängige Koeffizienten (Formel 6, S. 94).

I) Stützendruck.

E Elastizitätskoeffizient.

F Querschnittsfläche, Flächeninhalt der Einflussfigur.

G Einzellast.

H Polweite, Horizontalspannung.

I Trägheitsmoment des Querschnittes für die auf der Kraftebene senkrechte Schweraxe.

M Moment der äusseren Kräfte für einen Querschnitt (§. 27).

Mt,    M\ M“ Stützenmomente.

Q Transversalkraft (§. 27).

B Resultante mehrerer Lasten.

S Statisches Moment einer Fläche (§. 55).

T Spezifische Schubspannung (§. 55).

Y Einflussgrösse (§. 19—26).

SD Stützendruck für den Fall einer Unterbrechung des Trägers an den Stützen. ÜDÏ Moment der äusseren Kräfte beim statisch bestimmten Träger.

SDP, SDP von SDÎ abhängige Grössen (Formel 6, S. 94).

O Transversalkraft beim statisch bestimmten Träger.

a Abstand der Gelenke beim Gelenkträger von den Stützen. b Abstand der Gelenke beim Gelenkträger unter sich. a, b Abstand der Fixpunkte von den Stützen (§. 67). c Abstand der Fixpunkte unter sich. g Eigengewicht pro Längeneinheit. h Höhe des Querschnittes; Höhe der Einflussfigur. k Koeffizient (§. 57, 93, 95).

I Stützweite, im XX. Kap. Länge der Einflussfigur, m, n Zeiger (Indices) und Verhältnisse. p Verkehrslast oder zufällige Last pro Längeneinheit. q Beliebige Last oder Gesamintlast (<7 + p) pro Längeneinheit. t Temperaturänderung. x Abscisse.

y Höhe des Seilpolygons, Ordinate der elastischen Linie, Abstand der Stützen von einer Horizontalen.

«, ß, y von der Form des Trägers abhängige Koeffizienten (§. 97).

Dicke des Steges beim I-förmigen Querschnitt (§. 61). t Ausdehnungskoeffizient für die Wärme. z Koeffizient (§§. 55 und 95).

fi, v Yerhältuiss der auf einander folgenden Stützenmomente bei unbelasteten Oeffnungen (§. 65).

a Statisches Moment einer Fläche (§. 70).

T Neigung der Stützenquerschnitte gegen die Vertikale. j‘ Neigung der Stützen tangente gegen die Horizontale.

£ Abstand einer Einzellast oder des Endes einer gleichmässigen Belastung von einem Punkte.

A Differenzzeichen.

H Summenzeichen.

X Zeichen für „möglichst gleich“ (§. 24, 25, 39, 40).

Literatur.

Nach der Zeit geordnet. Bei Werken mit mehreren Auflagen ist die erste Auflage als massgebend für die Keihenfolge anzusehen.

I. Einzelne Werke.

1.    Rebhann. Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. Wien 1856.

2.    Scheffler. Theorie der Gewölbe, Futtermauern und eisernen Brücken.

Braunschweig 1857.

3.    Mollinos et Pronnier. Traité théorique et pratique de la construc

tion des ponts métalliques. Paris 1857.

4.    Laissle und Schübler. Der Bau der Brückenträger mit besonderer

Rücksicht auf Eisenkonstruktionen. Stuttgart, I. Aufl. 1857.

IV. Aufl. 1876.

5.    Bresse. Cours mécanique appliquée proffessé à l’école impériale des

ponts et chaussées. Seconde partie. Paris 1862.

6.    Culmann. Die grafische Statik. I. Aufl. Zürich 1866.

7.    Grashof. Die Festigkeitslehre. I. Aufl. Berlin 1866. — U. Aufl.

unter dem Titel: Theorie der Elastizität und Festigkeit. Berlin. 1878.

8.    Winkler. Die Lehre von der Elastizität und Festigkeit. Prag. 1867.

9.    Collignon. Cours de mécanique appliquée aux constructions. Paris

1869.

10.    Ott v. Die Grundzüge des grafischen Rechnens und der grafischen ^

Statik. I. Aufl. 1870. IV. Aufl. 1885.

11.    Leygue. Etude sur les surgarges à considérer dans les calculs des

tabliers métalliques d'après des conditions générales d'exploitation des chemins de fer. Paris 1871.

12.    Ritter W. Die elastische Linie und ihre Anwendung auf den kon-

tinuirlichen Balken. Ein Beitrag zur grafischen Statik. Zürich.

I. Aufl. 1871. II. Aufl. 1883.

13.    Bauschinger. Elemente der grafischen Statik. München. I. Aufl. 1871.

II. Aufl. 1880.

14.    Ott v. Vorträge über Baumechanik. II. Theil. Prag. I. Aufl. 1872.

II. Aufl. 1878.

15.    Weyrauch. Allgemeine Theorie der kontinuirlichen und einfachen

Träger. Leipzig 1873.

16.    Levy. La statique graphique et ses applications aux constructions.

Paris 1874.

17.    Greene. Graphical method for the analysis of bridge trusses ex-

tented to continuous girders and draw span. New-York 1875.

18.    Tetmayer. Die äusseren und inneren Kräfte statisch bestimmter

Brücken und Dachstuhlkonstruktionen. Zürich 1875.

19.    Jay du Bois. The elements of graphical statics and their appli

cation to framed structures. New-York. I. ed. 1875. II. ed. 1877.

20.    Ritter A. Lehrbuch der Ingenieur-Mechanik. Hannover 1876.

21.    Merriman. On the theory and calculation of continuous bridges.

New-York 1876,

22.    Böhlk. Statische Berechnung der Balkenbrücken einer Oeffnung.

Hannover 1877.

23.    Loewe. Grundzüge zu Vorlesungen über eiserne Balkenbrücken.

München 1877.

24.    Eddy. Researches in graphical statics. New-York 1878. (X. The

continuous girder with variable cross section.)

25.    Holzhey. Vorträge über Baumechanik. Wien 1872—1879.

26.    Krohn. Resultate aus der Theorie des Brückenbaues und deren An

wendung , erläutert durch Beispiele. I. Theil. Balkenbrücken. Aachen 1879.

27.    Müller-Breslau. Elemente der grafischen Statik der Baukonstruktionen.

Berlin 1879.

28.    Castigliano. Théorie de Véquilibre des systèmes élastiques et ses ap

plications. Turin 1879.

statisch bestimmter Brückenträger.

29.    Stelzet. Theorie einfacher

Wien 1880.

30.    Chalmers. Graphical determination of forces in engineering struc

tures. London 1881.

.31. Handbuch der Ingenieurwissenschaften. IL Bd. Der Brückenbau. Herausgegeben von Schaffer und Sonne. Leipzig 1882. (Frankel, bewegliche Brücken. Steiner, Konstruktion der eisernen Balkenbrücken.)

32. Herrmann. Die Statik der Bauwerke. (V. Aufl. von Weisbach’s Lehrbuch der Ingenieur- und Maschinenmechanik, I. Abth. des II. Theiles.) Braunschweig 1882.

23

W i n k 1 e r’s Brückenkau. Theorie. I. Heft.

354

33.    Landsberg. Die Statik der Hochbaukoiistruktionen. Im Handbuche

der Architektur. I. Th. I. Bd. Darmstadt 1883.

34.    Göbel. Theorie der Maximalmomente einfacher Träger. Mainz 1883.

35.    Wittmann. Statik der Hochbaukonstruktionen, II. und IH. Theil.

München 1882 und 1884.

36.    Nehls. Der einfache Balken auf zwei Endstützen unter ruhender

und beweglicher Last. Auf Grundlage der Methode der grafischen Differenziation und Integration. Hamburg 1885.

37.    Weyrauch. Aufgaben zur Theorie elastischer Körper. Leipzig 1885.

II. Artikel in Zeitschriften.

a) Statisch bestimmte Träger.

1.    Schmidt H. lieber die Bestimmung der äusseren auf ein Brückensystem wirkenden

Kräfte. Forster’s Bauz. 1866.

2.    Heinzerling. Das Vertheilungsgesetz der grössten einseitigen Belastung über

Brückenträger. Zeitschr. f. Bauw. 1867.

3.    Vojacek. Grafische Bestimmung der Biegungsmomente'an kurzen Trägern. Zeitschr.

des Ver. deutscher Ingen. 1868.

4.    Cotteril. On the graphical construction of bending moments. Engineering

1869. (VII.)

5.    Schaffer. Hilfssätze zur Berechnung der Fachwerksträger. Zeitschr. f. Bauw. 1870.

6.    Winkler. Theorie der äusseren Kräfte gerader Träger. Zeitschr. d. österr. Ingen.-

u. Arch.-Ver. 1870.

7.    Housselle. Zur Eintheilung der Balken mit freiliegenden Stützpunkten. Deutsche

Bauz. 1872.

8.    Loewe. Ueber variable Belastung der Eisenbahnbrücken. Zeitschr. d. bair. Arch.-

und Ingen.-Ver. 1874.

9.    Schuster. Bestimmung der Maximalmomente| von Eisenbahnbrücken [für koncen-

trirte Belastung. Zeitschr. f. Bauw. 1875."

10.    Heinzerling. Belastungsäquivalente zur Bestimmung der durch fortschreitende Eisen

bahnzüge erzeugten grössten Vertikalscheerkräfte. Zeitschr. f. Bauw. 1875.

11.    Weyrauch. [Die Maximalmomente einfacher Träger bei festen und mobilen Last

systemen. Zeitschr. d. hannov. Arch.- u. Ingen.-Ver. 1875/

12.    Schaffer. Vergleich der Brückenbelastungen durch Lokomotivzüge mit gleich

förmigen Belastungen. Deutsche Bauz. 1876.

13.    Asimont. Die Berechnung des Tragbalkens mit koncentrirter Verkehrslast. Zeitschr.

der bair. Arch.- u. Ingen.-Ver. 1876.

14.    Ritter W. Die zufällige Belastung bei Eisenbahnbrücken. Rigaer Industrie-Zeit. 1877.

15.    Wittmann. Die grafische Bestimmung der Maximalmomente einfacher Träger.

Zeitschr. d. bair. Arch.- u. Ingen.-Ver. 1877.

16.    Kleitz. Sur la substitution dans les calculs de stabilité de travées métalliques

supportent de voies de terre, de surcharges uniformément reparties à celles qui résultent du passage des plus lourdes voitures. Ann. des ponts et chauss. 1877. (XIV.)

17.    Stahl, Die Maximalmomentenkurve eines mobilen Lastsystemes. Zeitschr. d. Ver,

deutscher Ingen. 1877.

18.    Zimmermann. Das Momentenschema; ein Hilfsmittel zur Abkürzung der statischen

Berechnung von Brückenträgern. Zeitschr. d. hannov. Arch.- u. Ingen.-Ver. 1877.

19.    Bresse. Note sur la détermination graphique des moments fléchissantes qui se

produisent dans une poutre à deux appuis simples, pendant le passage d'un convoi. Ann. des ponts et chauss. 1877. II.

20.    Scholin. Analytische Bestimmung des absoluten Maximalmomentes einfacher voll-

wandiger Brückenträger. Wochenschr. d. österr. Ingen.- u. Arch.-Ver. 1878.

21.    Stelzet. Ueber gefährlichste Belastung einfacher Träger. Zeitschr. d. österr. Ingen.-

u. Arch.-Ver. 1878.';

22.    Lachner. Beitrag zur grafischen Berechnung von Brückenträgern. Deutsche Bauz. 1879. 2.3. Baldermann. Die grafische Integration und ihre Anwendung auf die Statik der

äusseren Kräfte am einfachen Balken. Förster’s Bauz. 1881.

24. Almquist. Ueber die grafische Bestimmung der Maximalmomente bei indirekter Belastung. Civilingenieur 1884.

b) Kontinuirliche Träger.

1.    Köpke. Ueber die Dimensionen von Balkenlagern, besonders in Lagerhäusern.

Zeitschr. d. hannov. Arch.- u. Ingen.-Ver. 1856.

2.    Scheffler. Ueber die Vermehrung der Tragfähigkeit der Träger durch angemessene

Bestimmung der Höhe und Entfernung der Stützpunkte.} Organ für Eisen-bahnw. 1857.

3.    Baensch. Zur Theorie der Brückenbalkensysteme. Zeitschr. f. Bauw. 1857.

4.    Clapeyron. Calcul d’une^poutre [élastique\ reposant librement sur des appuis

inégalement exp'eces. Comptes rendus 1857.

5.    Grashof. Ueber die relative Festigkeit mit Rücksicht auf deren möglichste Ver-

grösserung durch angemessene Unterstützung und Einmauerung der Träger bei konstantem Querschnitte. Zeitschr. d. deutschen Ingen.-Ver. 1857. 1858. 1859.

6.    Mohr. Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. Zeitschr. d. hannov.

Arch.- u. Ingen.-Ver. 1860.

7.    H. Kontinuirliche Brückenträger. Civilingenieur 1860.

8.    Winkler. Beiträge zur Theorie der kontinuirlichen Brückenträger. Civilingenieur 1862

9.    Quensell. Beitrag zur statischen Berechnung kontinuirlicher Balken und Anwen

dung auf die Berechnung der Drehscheiben. Zeitschr. f. Bauw. 1865.

10.    Albaret. Etude des ponts métalliques à poutres droites reposant sur plus de deux

appuis. Ann. des ponts et chauss. 1866.

11.    Renaudot. Mémoire sur le calculette contrôle de la resistance des poutres droites

à plusieurs travées. Ann. des ponts et chauss. 1866.

12.    Frankel. Ueber die ungünstigste Stellung eines Systèmes von Einzellasten auf

Trägern über eine und über zwei Oeffnungen, speziell über Trägern von Drehscheiben. Civilingenieur 1868.

13.    Mohr. Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. Zeitschr. d.

hannov. Arch.- u. Ingen.-Ver. 1868.

14.    Schmidt H. Betrachtungen über Brückenträger, welche auf zwei und mehr Stütz

punkten frei aufliegen, sowie über den Einfluss der ungleichen Höhenlage der Stützpunkte. Förster’s Bauz. 1868.

15.    Lippich. Theorie des kontinuirlichen Trägers konstanten Querschnittes, Elementare

Darstellung der von Clapeyron und Mohr begründeten analytischen und grafischen Methoden und ihres Zusammenhanges. Förster’s Bauz. 1871. Auch als Separatabdruck.

16.    Pierre. Note sur l’application sur laquelle on peut comptes dans la méthode

actuelle de calcul des poutres à plusieurs travées. Ann. des ponts et chauss. 1876.

23*

356

17.    Renoust des Orgeries. Mémoire sur les poutres droites. Ann. des ponts et

chauss. 1871. II.

18.    Poulet. Du soulèvement des poutres métalliques un-dessus des culées. Ann. des

ponts et chauss. 1872. IL

19.    Winkler. Theorie der kontinuirlichen Träger. Zeitschr. d. österr. Ingen.- u. Arch.-

Yer. 1872.

20.    Scholin. Geometrische Theorie der kontinuirlichen Träger. Mittheil. d. Arch.- u.

Ingen.-Ver. in Böhmen. 1873. 1874.

21.    Schlösser. Ueber kontinuirliche Träger von konstantem Querschnitte mit ungleich

förmiger Belastung. Deutsche Bauz, 1874.

22.    Lavoinne. De la répartition des churches sur les tabliers des ponts. Ann. des

ponts et chauss. 1874. I.

23.    Chorou. Calcul des moments fléchissants et de flèches dans les poutres droites

métalliques à plusieurs travées. Ann. des ponts et chauss. 1874. II.

24.    Gaudard. Influence des dénivellations d’appuis dans les poutres à plusieurs travées

solidaires. Ann. du genie civil 1875,

25.    Schaffer. Belastungsgesetze für den geraden stabförmigen Körper von konstantem

Querschnitte. Zeitschr. f. Bauw. 1876.

26.    Bender. Application of the theory of continuous girders to economy in bridge

building. Transact, of the amer. soc. of civ. engin. 1876.

27.    Fouret. Détermination graphique des moments de flexion d’une poutre à plu

sieurs travées solidaires. Ann. des ponts et cliauss. 1876. I.

28.    Kleitz. Note sur les calculs de stabilité de§ poutres continues, ayant des mo-

mentes d'inertie variables. Ann. des ponts et chauss. 1876. I. 1877. I

29.    Böhlke. Beitrag zur Theorie der kontinuirlichen Träger. Deutsche Bauz. 1877.

30.    Steiner. Einfluss der Temperatur auf kontinuirliche Träger. Wochenschr. d. österr,

Ingen.- u. Arch.-Ver. 1877. 1878.

31.    Engesser. Zur Theorie der kontinuirlichen Träger. Zeitschr. f. Baukunde 1878.

32.    Brick. Beitrag zur Berechnung der Balkenträger. Zeitschr. d. österr. Ingen.- u.

Arch.-Ver. 1878.

33.    Krohn. Einfluss der Querträger auf kontinuirliche Balken. Forster’s Bauz. 1879.

34.    Weyrauch. Temperatureinflüsse bei kontinuirlichen Trägern. Zeitschr. f. Bau

kunde 1879.

35.    Schleck. Berechnung eines kontinuirlichen Trägers mit fünf Oeflnungen nach

Lippich’s Methode. Förster’s Bauz. 1880.

36.    Kupferschmied. Ueber eine allgemeine Form der Clapeyron’schen Momentengleichungen. Zeitschr. d. österr. Ingen.- u. Arch.-Ver. 1880.

37.    Hulewicz. Calcul de résistance des poutres droites à plusieurs travées. Ann. des

ponts et chauss. 1882. 1.

38.    Könen. Vereinfachung der Berechnung, der kontinuirlichen Balken mit Hilfe des

Satzes von der Arbeit. Wochenbl. für Arch. u. Ingen. 1882.

39.    Könen. Abgekürztes Verfahren für die analytische Behandlung kontinuirlicher

Balken. Centralbl. der Bauverw. 1882.

40.    Rytirsch. Der kontinuirliche Balken. Förster’s Bauz. 1882.

41.    Scholin. Zur Theorie des kontinuirlichen Trägers veränderlichen Querschnitts.

Civilingenieur 1885.

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