WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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II. Theil: Integral -Rechnung.

Von

Dr. Ludwig Kiepert,

Geheimer Regierungsrath,

Professor der Mathematik an der technischen Hochschule zu Hannover.

Achte verbesserte und vermehrte Auflage des gleichnamigen Leitfadens von

weil. Dr. Max Stege mann.

Mit 143 Figuren im Texte.

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Hannover 1903.

Helwingsche Verlagsbuchhandlung.

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Alle Rechte Vorbehalten.

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Vorrede zur ersten Auflage.

In ähnlicher Weise wie bei der Differential-Rechnung¹ habe ich bei der Bearbeitung¹ des vorliegenden, die Integral - Rechnung behandelnden Bandes die didaktische Seite besonders berücksichtigt. Ich bin deshalb bei der Anordnung des Stoffes zuweilen von dem gewöhnlichen Lehrgänge abgewichen; so z. B. habe ich zu Anfang das Integral als eine reine Umkehrung des Differentials definirt und erst später den Begriff desselben erweitert.

Nach dieser höchst einfachen und leicht fasslichen Definition habe ich unmittelbar die Methoden vorgetragen, die zur Bestimmung des allgemeinen Integrals führen. Die zahlreichen Uebungs-Beispiele, welche hierbei eingeschaltet sind, dürften um so mehr am Platze sein, weil es erfahrungsmässig feststeht, dass zum weiteren Eindringen in diesen subtilen Theil der Mathematik grosse Gewandtheit in den arithmethischen Operationen und klare Uebersicht über dieselben durchaus nothwendig sind, und dass dem Anfänger an einem Beispiele oft Manches klar wird, was ihm in der allgemeinen Theorie nur halb verständlich geworden oder ganz unverständlich geblieben ist.

Es liegt in der Natur des Menschen, dass er nur selten eine allgemeine Theorie auf einmal erfasst; in der Regel steigt er von speciellen Fällen zur allgemeinen Theorie hinauf. Die Geschichte der Wissenschaft giebt hierfür viele Belege; so z. B. waren die Gesetze des freien Falles, des Pendels und der Planeten-Bewegungen schon lange bekannt, als sie in ein allgemeines Gesetz, das Gravitations-Gesetz, zusammengefasst wurden.

An die Behandlung des allgemeinen Integrals (Seite 1—134) hätte ich die Behandlung des bestimmten Integrals und der dahin gehörigen Untersuchungen (Seite 162 — 242) unmittelbar anreihen können. Ich habe jedoch das Capitel über die Quadratur der Curven (Seite 135 —161) dazwischen eingeschaltet, theils um hieran die Bedeutung der Intégrations-Constanten und die Ermittelung des Werthes derselben zu erläutern ; besonders aber, um mir hierdurch ein ausgezeichnetes Mittel zur Behandlung der bestimmten Integrale, der Doppel-Integrale u.s.w. zu verschaffen. Diese Anordnung dürfte schon durch die Paragraphen 45—50 allein gerechtfertigt werden. Die Differential-Gleichungen sind nur soweit behandelt, als sie dem wissenschaftlichen Techniker unentbehrlich sind. Ich konnte mich zu dieser Einschränkung um so eher entschliessen, weil ich hoffe, dass den beiden erschienenen Bänden (welche übrigens für sich ein Ganzes bilden sollen), später noch zwei andere Bände über Differential- und Integral-Rechnung folgen werden.

Hannover, den 16. August 1863.

M. Stegemann.

Vorrede zur vierten Auflage.

Der ungewöhnlich starke Absatz, welchen die Integral-Rechnung von Stegemann gefunden hat, ist ein Zeichen dafür, dass die darin angewendete Methode für den Lernenden durchaus angemessen ist.

Daneben kann indessen nicht geleugnet werden, dass die drei bisherigen Auflagen eine grosse Zahl von Ungenauigkeiten und Druckfehlern enthielten, und dass ausserdem manche Untersuchungen und Sätze fehlten, welche auch für den Techniker unentbehrlich sind.

Deshalb erschien eine vollständige Umarbeitung und eine durchgreifende Ergänzung des Buches erforderlich. Dies ist nun in der vorliegenden Auflage geschehen; die zahlreich bemerkten Fehler sind verbessert, viele Beweise strenger gefasst und die wesentlichsten Lücken ausgefüllt worden. Trotzdem hat der Umfang des Buches nur eine Erweiterung von wenigen Bogen erfahren, da es möglich war, viele Entwickelungen kürzer zu fassen.

Für die Abgrenzung des Stoffes waren dem Herausgeber die Anforderungen massgebend, welche von einem billig denkenden Examinator bei der ersten Staats - Prüfung (Bauführer-Prüfung) in Integral-Rechnung gestellt werden dürften.

Es soll jedoch ausdrücklich hervorgehoben werden, dass das Buch auch für solche Leser geeignet ist, welche an der Universität Mathematik studiren.

Tm Ganzen ist die von Stegemann gewählte Anordnung und Behandlung des Stoffes so viel wie möglich beibehalten. Besondere Sorgfalt ist darauf verwendet, das Buch durchweg leicht verständlich zu fassen, so dass es bei voller Berücksichtigung der wissenschaftlichen Strenge doch für den Lernenden, nicht für den Gelehrten berechnet ist.

Hinzugefügt ist auch eine Tabelle der hergeleiteten Formeln, welche einerseits die Anwendungen sehr erleichtert, andererseits aber ein erprobtes Hülfsmittel bei Repetitionen bietet.

Hannover, den 11. August 1885.

L. Kiepert.

Vorrede zur fünften Auflage.

Als es im Kreise meiner Fachgenossen bekannt wurde, dass ich eine neue Auflage der Differential- und Integral-Rechnung von Stegemann herausgegeben hätte, erhielt ich von hoch-geschätzter Seite den dringenden Rath, doch lieber ein eigenes Lehrbuch zu schreiben. Dieser Aufforderung bin ich dadurch nachgekommen, dass ich die kürzlich erschienene 6te Auflage der Differential-Rechnung und ebenso die hier vorliegende 5te Auflage der Integral-Rechnung fast im vollen Umfänge neu abgefasst habe. Von dem Texte des Stegemann'sohvn. Leitfadens habe ich nur wenige Stellen und von den Aufgaben nur eine kleine Zahl beibehalten; dagegen habe ich mich in einem Punkte eng an das ursprüngliche Werk angeschlossen, nämlich in dem Bestreben, die Darstellung und Anordnung so zu wählen, dass der Anfänger dem Lehrgänge ohne Schwierigkeit folgen kann. Ich habe deshalb eine möglichst elementare Fassung gewählt und zur Erläuterung zahlreiche Uebungs-Beispiele hinzugefügt. Die Reihenfolge ist so getroffen, dass das Neue an Bekanntes angeknüpft wird, damit der Lernende von leichten Aufgaben allmählich zu schwierigeren aufsteigt.

Aus diesem Grunde ist auch die Eintheilung des Stoffes in der Weise erfolgt, dass in dem ersten Tlieile von der Integration der gebrochenen rationalen, der irrationalen und der trans-cendenten Functionen nur die einfacheren Fälle behandelt sind, und dass dann sogleich die Anwendungen der Integral-Rechnung auf die Quadratur und Rectification der Curven, auf die Kubatur der Rotationskörper und auf die Complanation der Rotationsflächen folgen. Wenn der Lernende möglichst früh erkennt, welche Vortheile die Integral-Rechnung bei den Anwendungen auf die Geometrie bietet, wird er mit grösserem Interesse und reiferem Verständnisse an die ausführliche Behandlung der Partialbruch-Zerlegung [und an die mühsameren Methoden, welche bei der Integration irrationaler und transcendenter Functionen zu erfassen sind, herantreten. Dagegen würde er leicht ermüden, wenn er die ganze Theorie vor den Anwendungen, welche ausserdem zur Einübung und Befestigung der bis dahin erklärten Formeln und Sätze dienen, durcharbeiten müsste.

Den theoretischen Erörterungen des zweiten Theiles sind gleichfalls zahlreiche Aufgaben aus der Geometrie beigefügt. Leider mussten die interessanten und äusserst lehrreichen Anwendungen auf die Mechanik ausgeschlossen werden, weil sonst der Umfang des Lehrbuches über Gebühr gewachsen wäre.

Obgleich die früheren Auflagen in erster Linie für die Studirenden an den technischen Hochschulen bestimmt waren, hat das Buch doch auch bei den Lehrern und Studirenden der Mathematik an den Universitäten freundliche Aufnahme und Verbreitung gefunden. Diesem höchst erfreulichen Umstande habe ich Rechnung getragen, indem ich die meisten Erklärungen und Beweise noch strenger gefasst und den Inhalt wesentlich bereichert habe. Freilich darf man in dieser Beziehung bei einem Buche, mit dessen Hülfe sich der Anfänger vor allen Dingen tüchtige Fertigkeit im Differentiiren und Integriren aneignen soll, nicht gar zu hohe Anforderungen stellen.

Die Citate aus der Differential-Rechnung beziehen sich auf die 6te Auflage, welche im November 1892 erschienen, zur Zeit aber bereits vergriffen ist. In der alsbald folgenden 7ten Auflage der Differential-Rechnung soll daher dieselbe Anordnung der

Abschnitte und Paragraphen beibelialten werden, damit die Citate auch dafür noch zutreffende sind.

Den Herren Lampe, von Mangoldt, Franz Meyer, Runge und Voss, die mir auch bei der Umarbeitung der Integral-Rechnung werthvolle Rathschläge ertheilt haben, bin ich zu aufrichtigem Danke verpflichtet; ganz besonders Herrn Voss für die ausführlichen Mittheilungen über kritische Stellen des Buches. Ausserdem muss ich mit dem besten Danke die freundliche Mitwirkung des Herrn Petzold beim Lesen der Correctur hervorheben.

Die Verlagsbuchhandlung ist allen meinen Wünschen auf das Bereitwilligste entgegengekommen, wofür ich auch an dieser Stelle meinen verbindlichsten Dank ausspreche.

Hannover, den 23. April 1894.

L. Kiepert.

Vorrede zur sechsten Auflage.

Die vorliegende sechste Auflage unterscheidet sich weder dem Umfange noch dem Inhalte nach wesentlich von der fünften Auflage, seit deren Erscheinen ein so kurzer Zeitraum verstrichen ist, dass sich inzwischen nur an wenigen Stellen das Bedürfniss, Veränderungen vorzunehmen, ergeben hatte. Doch habe ich auch bei der Integral - Rechnung die Verbesserungsvorschläge, welche mir von befreundeter Seite zugegangen sind, und für die ich hierdurch meinen aufrichtigen Dank ausspreche, nach Möglichkeit berücksichtigt. Der mir mehrfach ertheilte Rath, die Differential-Rechnung und die Integral-Rechnung nicht getrennt zu behandeln, sondern mit der Integral - Rechnung zu beginnen, sobald die ersten Abschnitte der Differential-Rechnung erledigt sind, konnte aus rein äusserlichen Gründen nicht befolgt werden. Es bleibt aber jedem Leser überlassen, die Anordnung des Unterrichtsstoffes in dem angedeuteten Sinne zu ändern.

Davon mache ich auch in meinen eigenen Vorträgen, welche an der hiesigen technischen Hochschule im October eines jeden Jahres ihren Anfang nehmen, Gebrauch, um bis zu Weihnachten diejenigen Abschnitte durchzunehmen, welche in den zu Neujahr einsetzenden Vorträgen über Mechanik als bekannt vorausgesetzt werden. Ich lasse deshalb den Abschnitten I bis IV, VIII bis XI der Differential-Rechnung unmittelbar den ganzen ersten Theil der Integral-Rechnung folgen und kehre erst dann wieder zur Differential - Rechnung zurück.

Wie schon in der Vorrede zur fünften Auflage hervorgehoben wurde, enthält der Leitfaden in seiner jetzigen Form nur wenig von dem Stegemann'sehen Werke, so dass ich nunmehr selbst als Verfasser in der neuen Auflage aufgeführt bin.

Beim Lesen der Correctur hat mich Herr Petzold wieder in freundlicher Weise unterstützt und dadurch zu herzlichem Danke verpflichtet. Ebenso danke ich der Verlagsbuchhandlung bestens für die liebenswürdige Bereitwilligkeit, mit der sie bei <der Drucklegung allen meinen Wünschen entgegengekommen ist.

Hannover, den 12. September 1896.

L. Kiepert.

Vorrede zur siebenten Auflage.

Da mir seit dem Erscheinen der sechsten Auflage nur wenige, sich auf Aenderungen beziehende Wünsche bekannt geworden sind, so unterscheidet sich die vorliegende siebente Auflage von der vorhergehenden nur in einigen Punkten, von denen ich den Abschnitt über Grawss’sche Quadratur hervorheben möchte. Ich werde aber Jedem, der mir für die späteren Auflagen nützliche Verbesserungs-Vorschläge macht, dankbar sein und rechne dabei insbesondere auf die Mitwirkung der Herren Techniker, die in den letzten Jahren so viel über die nothwendige Reform des mathematischen Unterrichts geschrieben haben, deren Ausführungen jedoch wirklich cerwendbare Vorschläge, wie man es im Einzelnen besser machen kann, bisher nicht enthalten. Wenn ich auf das vorliegende weitverbreitete Lehrbuch Bezug nehmen darf, so verlange ich bestimmte Angaben über etwaige Abschnitte, Lehrsätze und Aufgaben, welche sich darin finden, für den Techniker aber entbehrlich sind; ferner bitte ich um Mit-tlieilung von Untersuchungen und Aufgaben, welche in dem Lehrbuche fehlen. Auch Vorschläge über Aenderung des ganzen Lehrplanes werde ich mit Dank entgegen nehmen.

Ich hatte schon früher um derartige Mittheilungen gebeten und kann mit G-enugthuung feststellen, dass mir von Seite der mathematischen Fachgenossen nützliche Winke in grosser Zahl zugegangen sind. Für die vorliegende Auflage haben mir besonders die Herren Rodenberg in Hannover und Stachel in Kiel gute Rathschläge ertheilt und mich dadurch zu bestem Danke verpflichtet. Von den Herren Technikern dagegen habe ich bisher nur einen einzigen Verbesserungs-Vorschlag erhalten, der sich auf die Aufnahme der hyperbolischen Functionen bezieht.

Die Forderung, der mathematische Unterricht an der technischen Hochschule müsse das, was die Techniker später wirklich brauchen, noch mehr, als bisher geschehen ist, berücksichtigen, erscheint mir durchaus berechtigt; dieses Ziel wird aber nicht durch kränkende Vorwürfe en-eicht, sondern durch freundschaftliche, gemeinsame Arbeit. Die Kluft, welche zwischen Theorie und Praxis bestanden hat, wird durch die neuerdings beliebten Angriffe auf die Mathematik noch vergrössert ; nur durch beiderseitiges Entgegenkommen kann sie überbrückt oder ganz ausgefüllt werden zum Heile der Wissenschaft und zur Förderung der technischen Anwendungen.

Den Fachgenossen, welche an den technischen Hochschulen und Universitäten Differential- und Integral - Rechnung vortragen und an ihre Zuhöher die angehängte Tabelle vertheilen wollen, stellt die Verlagsbuchhandlung eine grössere Anzahl von Separat-Abzügen kostenfrei zur Verfügung. Die Benutzung dieser Tabellen, von denen ich jedem meiner Zuhörer ein Exemplar zu überreichen pflege, hat mir bei meinen Vorträgen stets sehr gute Dienste geleistet; denn erstens brauche ich jede Formel nur einmal herzuleiten und kann bei der späteren Anwendung auf die Tabelle verweisen. Sodann gewinnt der Lernende über das, was er wissen soll, durch die Tabelle einen besseren Ueberblick. Damit stelle ich jedoch gewiss nicht die Anforderung, dass Jemand die ganze Tabelle auswendig lernen soll. Im Gegentheil liegt der Hauptzweck der Tabelle in der Absicht, das mechanische Auswendiglernen von Formeln möglichst einzuschränken. Diejenigen Formeln, welche einen wichtigen Satz oder eine häufig verwendete Rechnungsmethode enthalten, muss man sich natürlich merken, aber nicht durch Auswendiglernen, sondern durch den wiederholten Gebrauch. Die übrigen Formeln würde man doch sehr bald wieder vergessen, auch wenn man sie noch so sorgfältig auswendig gelernt hätte. Man kann auch um so lieber auf das Auswendiglernen verzichten, wenn man eine Tabelle zur Hand hat, in welcher jede dieser Formeln leicht aufzufinden ist. Ich möchte deshalb ausdrücklich hervorheben, dass die Tabelle meinem Lehrbuclie beigefügt ist, nicht um den Lernenden mit vielem Formelkram zu belasten, sondern um eine Entlastung herbeizuführen.

Herrn Petzold habe ich wieder für die freundliche Unterstützung beim Lesen der Correctur und der Verlagsbuchhandlung für die wohlwollende Berücksichtigung meiner Wünsche bei Ausführung des Druckes den verbindlichsten Dank abzustatten.

Hannover, den 3. September 1899.

L. Kiepert.

Vorrede zur achten Auflage.

In der vorliegenden achten Auflage sind einige nicht unwesentliche Aenderungen vorgenommen und einige neue Abschnitte hinzugefügt worden. Namentlich ist in dem ersten Theile die Anordnung so gewählt, dass die verschiedenen Methoden zur Ermittelung der Integrale (Integration durch Substitution, Integration durch Zerlegung und partielle Integration) sich noch schärfer von einander abheben.

Von den hyperbolischen Functionen, welche bereits in der neunten Auflage der Differential - Rechnung benutzt worden sind, ist hier ebenfalls zur Vereinfachung zahlreicher Integrationen Gebrauch gemacht, mid zwar mit besonderer Rücksicht auf die Gegenüberstellung solcher Integrale mit den verwandten Integralen, welche auf cyklometrische Functionen führen.

Hinzugefügt sind noch etliche Untersuchungen aus der Theorie der Differential - Gleichungen, insbesondere auch ein Abschnitt über die Behandlung und Integration simultaner Differential - Gleichungen.

Am Schluss ist auch noch eine kurze Tabelle für die Werthe der elliptischen Normal-Integrale erster und zweiter Gattung aufgestellt, in der Ueberzeugung, dass die Anwendung dieser Integrale, die sich in der Technik und in der mathematischen Physik häufig genug einstellen, denen aber die Herren Techniker bisher in der Regel sorgfältig ausgewichen sind, erst dann möglich ist, wenn eine leicht zugängliche, handliche Tabelle vorliegt. Eine solche Tabelle findet sich bereits in der Formel-

Sammlung von Ligowski (Taschenbuch der Mathematik, dritte vermehrte Auflage, Berlin 1893); es erschien aber erwünscht, die Zahl der berücksichtigten Werthe des Moduls und der Amplitude zu vergrössern und die Zahl der Decimalstellen von vier auf fünf zu erhöhen. Bei Aufstellung der Tafeln wurde das grosse Werk von Legendre, Traité des fonctions elliptiques, t. II, Paris 1826 benutzt, indem aus den dort angegebenen

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Logarithmen die Werthe der Integrale K = F(k. ^, = E (k,    ^ selbst berechnet worden sind. Die Werthe

von F(k, (f) und E(k, y) auf Seite 623 und 624 sind den Legendre¹ sehen Tafeln ohne Umrechnung, nur mit Einschränkung der Stellenzabl entnommen.

Den Fachgenossen, welche an den technischen Hochschulen und Universitäten Differential- und Integral - Rechnung vortragen und diese Tafel nebst der angehängten Formel - Tabelle ver-theilen wollen, stellt die Verlagsbuchhandlung eine grössere Anzahl von Separatabzügen kostenfrei zur Verfügung.

Die Figuren, deren Anzahl ebenfalls vermehrt ist, sind sämmtlich neu hergestellt.

Auch diesmal sind mir von verschiedenen Seiten Anregungen zu Verbesserungen und Ergänzungen zugegangen. In dieser Beziehung Ibin ich besonders den Herren Stäckel in Kiel und Prandtl in Hannover zu Dank verpflichtet. Herr Prandtl hat mich namentlich auf einige Abschnitte aus der Theorie der Differential-Gleichungen aufmerksam gemacht, deren Behandlung für die Ingenieure von Bedeutung ist.

Den aufrichtigen Dank, den ich bei den früheren Auflagen der Verlagsbuchhandlung für ffie bereitwillige Gewährung meiner Wünsche und Herrn Petzold% für die freundliche Mitwirkung beim Lesen der Correctur zu erstatten hatte, muss ich auch bei dieser Auflage auf’s Wärmste wiederholen.

Hannover, den 17. Mai 1903.

L. Kiepert.

Inhalts-Verzeichniss.

Erster Theil.

I. Abschnitt.

Seite

Allgemeine Begriffe und Fundamentalsätze der Integral - Rechnung.

§ 1. Begriff und geometrische Deutung des Integrals . .    .

§ 2. Einführung der Integrationsgrenzen........

. 18

§ 3. Einige Hülfssätze für die Ausführung der Integration ... 16 § 4. Unmittelbare Integration einiger Functionen

. 22

§ 5. Uebungs-Aufgaben.........

25

§ 6. Allgemeine Bemerkungen.......

II. Abschnitt.

Integration durch Substitution.

§    7. Erklärung der Substitutions-Methode.........

§ 8. Beispiele für die Substitutions - Methode........

§ 9. Integration von einigen irrationalen Functionen durch Substitution ....................

§ 10. Integrale von der Form J ^ f^xy...........

§ 11. Integrale von der Form f F\t)dt, wenn t = fix) irgend eine

transcendente Function von x ist...........

§ 12. Integration durch Einführung trigonometrischer oder hyperbolischer Functionen................

26

27

80

34

38

51

III. Abschnitt.

Integration durch Zerlegung.

§ 13. Integration von einigen gebrochenen rationalen Functionen . durch Zerlegung    f ..........

Seite

69

§ 14. Integration von einigen transcendenten Functionen durch Zerlegung. Anwendung der Moivre'sehen Formeln.....

IV. Abschnitt.

Partielle Integration.

§ 15. Erklärung der partiellen Integration.........

§ 16. Beispiele für die partielle Integration.........

§ 17. Integration von einigen trigonometrischen Functionen durch

partielle Integration................

§ 18. Integration von einigen irrationalen Functionen durch partielle Integration......... .....

74

75

78

91

Anwendungen der Integral - Rechnung.

V. Abschnitt.

Quadratur der Curven.

§ 19. Quadratur der Curven bei Anwendung rechtwinkliger

Coordinaten...................

§ 20. Quadratur der Curven bei Anwendung schiefwinkliger

Coordinaten...................

§ 21. Quadratur von Figuren, welche oben und unten durch eine Curve begrenzt sind § 22. Quadratur der Curven bei Anwendung von Polarcoordinaten 130 § 23. Uebergang von rechtwinkligen Coordinaten zu Polarcoordinaten

103

119

122

137

VI. Abschnitt.

Kubatur der Rotationskörper.

§ 24. Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers ....    143

146

§ 25. Uebungs - Aufgaben

VII. Abschnitt.

Rectification der ebenen Curven.

§ 26. Rectification ebener Curven, deren Gleichung auf ein rechtwinkliges Coordinaten - System bezogen ist.......

§ 27. Uebungs-Aufgaben................

§ 28. Rectification ebener Curven, deren Gleichung auf Polarcoordinaten bezogen ist..............

§ 29. Uebungs-Aufgaben ................

161

163

172’

XI. Abschnitt.

Integration der irrationalen Functionen.

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Seite

VIII. Abschnitt.

Complanation der Rotationsflächen.

§ 30. Berechnung des Flächenelementes bei einer Rotationsfläche 178 § 31. Uebungs-Aufgaben

179

IX. Abschnitt.

Rectification der Raumeurven.

§ 32. Berechnung des Bogenelementes einer Raumcurve . . § 33. Uebungs-Aufgaben..............

. . 190

191

Zweiter Th eil.

X. Abschnitt.

Integration der gebrochenen rationalen Functionen.

§34. Aecht gebrochene und unächt gebrochene rationale Functionen 194 § 35. Zerlegung der acht gebrochenen rationalen Functionen in Partialbrüche, wenn die Wurzeln der Gleichung f(x) — 0

sämmtlich von einander verschieden sind.......

§ 36. Zerlegung der acht gebrochenen rationalen Functionen in Partialbrüche, wenn die Gleichung f(x) = 0 auch gleiche Wurzeln besitzt.....

§ 37. Integration der Functionen-

dx und

196

§ 38. Integration der Functionen

dx

(x — a)n

.    212

.    222

§ 39. Integration der Functionen § 40. Uebungs - Aufgaben . . .

(x — g)2jrh-{Px-\- Q)dx

(x—gf -\-h²

und

und

dx

[Cr — o)² + À*j» ' (Px + Q)dx {(x-g)*+hï\»

227

. 230

231

Allgemeine Bemerkungen..........

Integration rationaler Functionen der Argumente

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§ 43.

a -j- bx \ç ? A -f- Bx)

Uebungs - Aufgaben

bO    DO

^    05

h-*    GO

Seite

§ 44. Zurückführung der Differential-Functionen von der Form F(x, j/Ä#² -j- 2Är + C)dx auf Differential-Functionen der Form /(«/, y^—d²)ây, f(y, ]/a²-Cy²)dy, f(y, J/a²—y²)dy 245

von

247

250

258

. . 267

XII. Abschnitt.

Theorie der bestimmten Integrale.

§ 51. Integration bei unendlichen Grenzen.........

§ 52. Integration von Differential-Functionen, die an den Grenzen

des Integrals unstetig werden............

§ 53. Integration von Differential - Functionen, die zwischen den

Intégrations - Grenzen unendlich werden........

§ 54. Näherungsmethoden durch Einführung einfacherer Functionen

§ 55. Mittelwerthsätze.................

§ 56. Neuer Beweis des Taylor'sehen Lehrsatzes.......

§ 57. Gliedweise Integration unendlicher Reihen.......

§ 58. Berechnung der elliptischen Normalintegrale erster und

zweiter Gattung.................

§ 59. Differentiation der Integrale............

§ 60. Berechnung bestimmter Integrale durch Differentiation .    .

§ 61. Berechnung der Werthe von einigen bestimmten Integralen § 62. Darstellung der Coefficienten einer trigonometrischen Reihe § 63. Berechnung bestimmter Integrale bei Anwendung mehrdeutiger Substitutionen..............

§ 64. Messungsmethoden zur Berechnung bestimmter Integrale .

§ 65. Simpson'sehe Regel ................

§ 66. Uebungs-Beispiele................

§ 67. Gauss'sehe Quadratur...............

280

284

288

292

294

297

299

304

319

322

323

328

332

339

343

350

358

XIII. Abschnitt.

Kubatur der Körper und Complanation der krummen Oberflächen. Mehrfache Integrale.

§ 68. Kubatur der Körper durch Anwendung einfacher Integrale.    368

§ 69. Uebungs-Aufgaben

Seite

ö r-î <M CO -H SO i— t— c— i '- i — r— t—

374

Einführung mehrfacher Integrale Theorie der mehrfachen Integrale Einführung von neuen Intégrations-Veränderlichen ....    393

Complanation der Flächen.....

Uebungs-Beispiele........

Einführung zweier variablen Parameter Einführung räumlicher Polarcoordinaten

389

400

403

413

. . 415

§ 77.

§ 78.

§ 79.

§ 80.

Xlv. Abschnitt.

Integration, der Differentiale der Functionen von mehreren Veränderlichen.

Vollständige Differentiale der Functionen von zwei Veränderlichen .....................

Uebungs- Beispiele................

Vollständige Differentiale der Functionen von drei Veränderlichen .....................

Uebungs-Beispiele......*.........

419

422

CM CO Tt< T-fH

§ 81.

§ 82.

§ 83. § 84.

§ 85.

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XV. Abschnitt.

Theorie der gewöhnlichen Differential-Gleichungen erster Ordnung.

Begriff“ und Eintheilung der Differential - Gleichungen .    . .

Auflösbarkeit der Differential-Gleichungen. Integrations-Con-

stanten....................

Untersuchung der Convergenz - Bedingungen......

Trennung der Variabein..............

Erklärung des integrirenden Factors.........

Beispiele zur Erläuterung.............

Bestimmung des integrirenden Factors........

Differential-Gleichungen erster Ordnung höheren Grades

Integration durch Differentiation...........

Die singulären Auflösungen der Differential-Gleichungen erster

Ordnung ....................

Uebungs-Beispiele................

Isogonale Trajectorien...............

Uebungs-Aufgaben................

433

438

452

464

472

477

482

492

495

498

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510

514

523

527

Seite

XVI. Abschnitt.

Gewöhnliche Differential-Gleichungen höherer Ordnung.

551

§ 98. Allgemeine Bemerkungen............

0 556

0 560

561

§ 102. Fälle, in denen sich die Ordnung der Differential-Gleichung erniedrigen lässt.................

XVII. Abschnitt.

Lineare Differential-Gleichungen mter Ordnung.

577

§ 108. Allgemeine Bemerkungen............

§ 104. Homogene lineare Differential - Gleichungen mter Ordnung .    578

. . 588

§ 105. Nicht homogene lineare Differential - Gleichungen >nter Ordnung

§ 106. Zurückführung der linearen Differential-Gleichungen m*«r Ordnung auf solche niedrigerer Ordnung, wenn particuläre

593

Integrale bekannt sind........... . .

599

§ 107. Ein weiterer Fall, in dem sich die lineare Differential-Gleichung integriren lässt .............

XVIII. Abschnitt.

Simultane Differential - Gleichungen.

§ 108. Zurückf ührung von simultanen Differential - Gleichungen zwischen einer unabhängigen und mehreren abhängigen Veränderlichen auf eine Differential-Gleichung höherer

606

Ordnung zwischen zwei Veränderlichen........

§ 109. Integration simultaner Differential - Gleichungen ....    611

621

Anhang. Tafeln für die elliptischen Integrale Tabelle der wichtigsten Formeln aus der Integral-Rechnung .    .    .    625

Erster Tlieil.

I. Abschnitt.

Allgemeine Begriffe und Fundamentalsätze der Integral-Rechnung.

UT.

1.

Begriff und geometrische Deutung des Integrals.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 1 und 2.)*)

Die Aufgabe der Integral - Rechnung besteht darin, dass eine Function F(x) gesucht wird, deren Ableitung

(IO

F‘{x) =f{x)

gegeben ist.

(2.)

Da das Differential einer Function F{x) gleich ist ihrer Ableitung F‘{x), multiplicirt mit dem Differential von x, da also dF(x) = F‘[x)dx =f(x)dx, so kann man die gestellte Aufgabe auch so fassen: „ Von einer Function ist das Differential gegeben, man soll die Function selbst auf suchen.“

Die Operation, durch welche dies geschieht, nennt man die „Integration des vorliegenden Differentials“ und die Wissenschaft, welche von den Integrationen handelt, nennt man „Integral-Rechnung“. Das Operationszeichen für das Integral von F‘{x)dx ist f (ein langgezogenes S),**) also

*) Die wichtigsten Formeln sind im Anhänge zu einer Tabelle zusammengestellt.

von

**) Es wird später gezeigt werden, dass man jedes (bestimmte) Integral auch als den Grenz werth einer Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen auffassen kann. Dieser Auffassung entspricht das Operationszeichen J" (erster Buchstabe des Wortes Summa), das Leibniz ein geführt ist.

Kiepert, Integral - Keclmung.

(40

fdF(x) = F(x) ;

und wenn man beide Seiten der Gleichung (3.) differentiirt,

(5.)

dfF‘(x)dx = dF(x) = F‘(x)dx.

Darin liegt ein Mittel, um das durch die Integration sich ergebende Resultat zu prüfen. Differentiirt man nämlich dieses Resultat, so muss man den Ausdruck erhalten, der unter dem Integralzeichen steht.

Weil F\x)dx nicht nur das Differential von F(x), sondern auch das Differential von F(x) + C ist, wo C eine beliebige Constante bedeutet, so wird ganz allgemein

(6.)

(3.)

jF\x)dx — F(x).

In dieser Hauptformel ist somit ausgesprochen unter dem Integral einer gegebenen Differential-Function F\x)dx — f{x)dx ,

was man *

versteht.

1) Ist

so wird

2) Ist

so wird

Beispiele.

F {x) — x³,

F'(x) = Sx², also Jsx²dx = x³. F(x) = sina;,

F\x) = cos#, also fcosxdx — sina;.

3) Ist

so wird

1 + x² ’

F(x) = arctg#, r dx

also

— arct gx.

1 -h X²

Aus der vorstehenden Erklärung folgt, dass Integration und Differentiation entg eg engesetzte Operationen sind, die sich gege?i-seitig auf heben. Setzt man nämlich aus Gleichung (2.) den Werth von F\x)dx in die Gleichung (3.) ein, so erhält man

/F‘(x)dx = F(x) + C.

Das Integral von F\x)dx hat daher unendlich viele Wertlie. Dabei nennt man die Grösse C die ,fntegratiotis-Constante“.

Dies ist aber die einzige Willkür, welche bei der Bestimmung des Integrals auftritt, denn es gelten die folgenden Sätze:

Satz 1. Ist die Ableitung einer stetigen Function (fix) für edle Werthe von x zwischen a und b gleich 0, so ist der Werth von ep(x) in diesem Intervalle constant.

Beweis. Nach dem Taylor¹ sehen Lehrsätze (D.-R*), Formel Nr. 85 der Tabelle) ist

(7.)

(f (a + h) = (fia) + h . (f\a + Ch), wo & zwischen 0 und 1 liegt. Nach Voraussetzung ist ep\x) für alle Werthe von x zwischen a und b gleich 0, folglich wird ep‘(a + 0 h) = 0,

so lange a + h = x in dem angegebenen Intervalle bleibt. Da nun h eine endliche Grösse ist, so wird

(8.)

cf (a -j- h) — (f[a), oder y(x) — <jp(a), d. h. (f{x) behält den constanten Werth <p(a).

Hieraus folgt

Satz 2. Haben die beiden stetigen Functionen F{x) und G{x) in dem betrachteten Intervalle dieselbe Ableitung, so unterscheiden sie sich von einander nur durch eine Constante.

Beweis. Setzt man

(9.)

(10.)

(fix) = G(x) — F(x), so ist die Ableitung von (fix) in dem Intervalle beständig gleich Null, also ist (fix) nach Satz 1 eine Constante C. Dies giebt G(x) = Fix) + C.

Satz 3. Sind die beiden Functionen F(x) und G[x) Integrale derselben Function fix), so können sie sich nur durch eine Constante von einander unterscheiden.

GD

Beweis. Nach der Erklärung des Integrals muss F\x) —f[x) und auch G\x) —fix)

sein, d. h. es muss

D Die Citate, welche sich aut' die neunte Auflage der Differentialrechnung beziehen, sollen durch die Vorgesetzten Buchstaben: „D.-R.“ hervorgehoben werden.

F\x) = G‘ O)

(12.)

(13.)

sein, folglich ist nach dem vorigen Satze G(x) = F(x) -ff C.

Satz 4. Zu jeder stetigen Function y =f{x\ die sich durch eine Curve geometrisch dar st eilen lässt, giebt es ein Integral”, (während es nicht zu jeder stetigen Function eine Ableitung giebt).

Beweis. Es möge zunächst die Voraussetzung gemacht werden, dass die Curven, so weit ihr Bogen hier in Betracht kommt, oberhalb der A-Axe liegen. Ist AP ein solcher Curven-bogen (Fig. 1) mit der Gleichung

(14.)

Fig. 1.

y =/(*)

(16.)

folglich wird

so ist der Flächeninhalt F der Figur AiQPA eine Function F(x) von x, denn er ändert sich zugleich mit x. Es ist also

(15.) F = AXQPA = F(x),

und wenn man QQ, mit Jx, QiPi —f(x -ff Jx) mit yi bezeichnet,

AlQiPlA = F(x + Jx) = F+ JF,

yr

q7x

(17.)

QQi PiP = JF = JF(x) = F{x -ff Jx) — Fix).

Legt man durch P die Gerade PR parallel zur A-Axe, so wird unter der Voraussetzung, dass die Curve von P bis Pt steigt,

(18.)

QQ,RP = y . Jx < JF{x) = QQxPrP\ und legt man durch Pt die Gerade PXS parallel zur A-Axe, so wird

(19.)

QQlPlP=JF(x)< QQlPlS= yx.Jx.

Dies giebt

J Fix']

y "A-v—

y — Jx

oder, weil \\mijx — y für lim Jx = 0 wird,

(20.)

Syi,

(21.)

(IF(x)

oder f(x) — F‘{x).

Deshalb erhält man

(22.)

F = F(x) —jF‘(x)dx —Jf(x)dx

oder (22 a.)

F = fydx.

Fig. 2.

Dieselben Schlüsse gelten auch noch, wenn die Curve vom Punkte P bis zum Punkte

Pi fällt (verg'l. Fig. 2) erhalten dann die Ungleicli-heitszeichen die entgegengesetzte Richtung. Es wird nämlich in diesem Falle

nur

F= AyQPA = F(x), AiQiPiA — F(x -f Jx) = F-f JF,

oder

QQi Pi P = JF = JF(x) = F(x + JP) — F(f), QQJIP^ JF{x) ^ QQiPiS,

(23.)

(24.)

y . Jx fl J F{x) 7:1 yi. Jx, _ JF{x)

y=-7T

= Vi j

also, da auch liier lim y, = y wird für lim Jx = 0, dF(x)

Das Resultat bleibt sogar auch dann noch richtig, wenn die Curve zwischen P und Pi

abwechselnd steigt und fällt

(Fig. 3). Man legt dann durch den höchsten Punkt FI mit der Ordinate y‘ und durch den tiefsten Punkt T mit der Ordinate y“ Parallele GG\ und KKi zu der X-Axe. Dadurch erhält man die beiden Rechtecke

(25.)

oder

/(*) = F\x).

Fig. 3.

h atr-

p,

Q T,

QQiGiG —• ij‘ . Jx und QQiÄj/f = y“ . Jx,

(26.)

und zwar wird

(27.)

y'. Jx F QQ\P\P = JF(x) Fl y“ . Jx,

oder

also, da lim y‘ — lim y‘l = y für lim Jx = 0, dF(x)

Man findet daher in allen Fällen

F — AyQPA = Jf(x)dx -f- C =fydx -f- C.

(28.)

(29.)

(30.)

y‘ =

oder f(x) = F‘(x).

Bei dieser geometrischen Deutung des Integrals erkennt man auch, weshalb zu dem Integral noch eine willkürliche Intégrations - Constante hinzutreten muss. Die Anfangs-Ordinate A^A, durch welche die ebene Figur F auf der einen Seite begrenzt wird, ist noch beliebig. Einer Verschiebung dieser Anfangs-Ordinate entspricht eine Veränderung der Intégrations-Constanten C.

2.

ßy/xdx = 4^+ (7 = 3-pV + C.

Integrale von der Form F‘{t)dt, wenn t — fix) irgend eine transcendente Function von x ist.

III. Abschnitt.

Integration von einigen transcendenten Functionen durch Zerlegung. Anwendung der Moivre’svhzn Formeln.

Jeax cos (£#)</# — ?

V. Abschnitt.

§ 21.

ï'"Kî+*)]-ï

VII. Abschnitt.

VIII. Abschnitt.

X. Abschnitt.

Zerlegung der acht gebrochenen rationalen Functionen in Partialbrüche, wenn die Gleichung f(x) = 0 auch gleiche Wurzeln besitzt.

+ S-+8* ln(g —8 +2»

XI. Abschnitt.

(35.) *2 - 8 + 2^2 = + (- 1 + V2)Vl + *=*

2\^-/)/2+l t2+ty 2 + 1

Integration von Differential-Functionen, die zwischen den Intégrations-Grenzen unendlich werden.

= (i—Cl2 # — cw—^ c32^6 — y

§ 61.

Simpson’sehe Regel.

+ /(“ + 9 3^^) +/ (° H

(45.) F(x) = 4 [|y«‘ — y» + ^

Complanation der Flächen.

Einführung räumlicher Polarcoordinaten.

m~dï)dz + 0’

—  ’ y> - = y, 2),

F*\a)^AA,

§ 86.

§ 88.

Differential-Gleichungen erster Ordnung höheren Grades.

y) = 0

f\x) 9\y)

Differential-Gleichungen von der Form

-\dx

+ c2

*p!t + a*p U*

/2”2 — (/i — —^i = 0

127.) Bilden die Coordinaten-Axen den Winkel y mit

z“ = Kx, y),

Druckfehler.

-//j

2.

Einführung der Integrationsgrenzen.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 8 bis 6.)

Es giebt Anwendungen der Integral-Rechnung, die Gleichung

bei denen

fF‘{x)dx — Fix) -f- C

für jeden Werth der Intégrations -Constanten C eine Lösung der gestellten Aufgabe giebt. Man nennt dann F{x) -f C das „allgemeine Integral“, aus dem sich die „particulären Integrale“ ergeben, indem man für G besondere (particuläre) Werthe einsetzt.

Bei anderen Anwendungen der Integral - Rechnung aber darf die Intégrations-Constante C nur einen bestimmten Werth haben, der sich im Allgemeinen aus der Natur der Aufgabe ohne Weiteres ergiebt. Gewöhnlich wird die Intégrations-Constante G dadurch

§ 2. Einführung der Integrationsgrenzen.

•

ermittelt, dass man den Werth von x aufsucht, für welchen das Integral in der vorgelegten Aufgabe verschwindet.

' Ist a dieser besondere Werth von x, so nennt man a „die untere Grenze“ des Integrals und schreibt

(1.)

F= fF\x)dx = Fix) + C.

Da nach Voraussetzung das Integral für x = a verschwindet, so findet man hieraus

(2-)

0 = F{a) -f C, oder C = — F(a),

also

(3.)

F=/F\x)dx = Fix) — F(a).

Dieses Verfahren kommt auch bei der geometrischen Deutung des Integrals in Betracht. In den Figuren 1, 2 und 3 z. B. verschwindet der Flächeninhalt der ebenen Figur AXQPA, wenn die Ordinate QP mit der Anfangs-Ordinate AXA zusammenfällt, wenn also

x — a = OAi.

In vielen Fällen braucht man den Werth von F nur für einen bestimmten Werth von x, z. B. für x—b\ man nennt dann b „die obere Grenze“ und schreibt

b

(4.)

F = fF\x)dx = F{b) — F{a).

F heisst in diesem Falle ein „bestimmtes Integral“, während man F{x) das. „unbestimmte Integral“ von F‘{x)dx nennt.

Um anzudeuten, in welcher Weise das bestimmte Integral aus dem unbestimmten hergeleitet wird, schreibt man

b    b

(5.)

F —Jy'dx = fF‘(x)dx = [F(x)] = F{b) — F(a).

a    n.    n

Satz 1. Das bestimmte Integral kann betrachtet werden als Grenzwerth einer Summe von imendlich vielen, unendlich kleinen Grössen.

Beweis. Der Flächeninhalt der ebenen Figur AXBXBA (Fig. 4) war

b

(6.)

F =fF‘{x)dx = F(h) — F(a)

wenn diese Figur durch die Curve

y = F\x), oder y =/(*)

begrenzt wird.

, kann man aber auch den Flächeninhalt dieser Figur dadurch berechnen, dass man sie durch Parallele zur Y-Axe in n Streifen zerlegt, die alle verschwindend klein werden, wenn n in’s Unbegrenzte wächst.

QQ\P\P einer der Streifen, und zieht man durch P eine Parallele PR zur X-Axe, so wird dieser Streifen zerlegt in ein Rechteck QQiRP mit dem Flächeninhalte y.Jx und in das Dreieck PRF,, wobei, mit Jx die Breite des Streifens bezeichnet ist. Die Summe der Rechtecke QQiRP ist daher

x—b—Ax

Fig. 4.

ą/

Andererseits

Pi/

■ .Pp

Ist nun

A,

Q Qi' b, x

x—h—A x

x—b—Ax

(7.)

Fi = 2 y . Jx = 2 fix). Jx = 2 F‘(x). Jx.

x=a *    x=a'' ' '    x—a V '

Wächst n in’s Unbegrenzte, so wird Jx verschwindend klein, und man erhält

(8.)

lim Fl = lim 2 F‘(x). Jx = F, weil die Dreiecke PRPi verschwindend kleine Grössen höherer Ordnung werden, die neben den verschwindend kleinen Grössen erster Ordnung vernachlässigt werden dürfen.

Von der Richtigkeit dieses Resultats kann man sich auch auf folgende Weise überzeugen.

Der Flächeninhalt des Dreiecks PRPt (Fig. 4) ist kleiner als der Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Grundlinie PR = Jx und der Höhe RPt = hx, also A PRP\ < hx . Jx.

Dieselbe Ungleichung gilt für die sämmtlichen Dreiecke, welche in Figur 4 von den Streifen abgeschnitten sind. Be-

zeichnet man also die Summe dieser Dreiecke mit 2 PRPX und die grösste unter den Höhen hx mit h, so wird ^LPPPi < 2Äf . Ax < A2z/#, oder, da2ia;, d. h. die Summe aller Grundlinien gleich AXBX

ist,

2 PRP, < h . A,B, - h(b — a)\

Nach Voraussetzung ist die Function /'(.r) für die betrachteten Werthe von x stetig und endlich, deshalb werden die Grössen hx, also auch h mit /Ix zugleich verschwindend klein, folglich auch 2 PRPr.

In Figur 4 steigt die Curve von A bis B. Das Rechteck QCURP ist deshalb um das Dreieck PRPy kleiner als der

Fig. fi.

Fig 5.

B/

■X

b,

Ai

Ö\A,

Streifen QQiP^P. Dasselbe gilt für alle anderen Streifen, in welche die Figur zerlegt ist. Fällt dagegen die Curve von A bis B (vergl. Fig. 5), so sind die Rechtecke um die kleinen Dreiecke grösser als die Streifen der Figur. Es können auch (wie in Figur 6) die Rechtecke theilweise grösser und theilweise kleiner als die Streifen sein. Die in Gleichung (8.) ausgesprochene Schlussfolgerung bleibt aber auch dann noch richtig, weil die Summe' der vernachlässigten oder hinzugefügten Dreiecke zugleich mit Ax verschwindend klein wird.

Statt lim2 schreibt man S und fügt die Grenzen der Summation, nämlich a und lim(6 — Ax)—b unten und oben dem Summenzeichen S, ans welchem das Zeichen f entstanden ist, hinzu. Dadurch erhält die Gleichung (8.) die Form

b    6    b

(8 a.)

F=fydx =/F\x)dx = [F(x)} = ^(ö) — _F(»,

o    n    "

welche mit Gleichung (6.) übereinstimmt.

Bisher war die Voraussetzung festgehalten worden, dass der betrachtete Curvenbogen oberhalb der X-Axe liegt, d. h. es sollte y =/(#) ^ 0 sein für alle in Betracht kommenden Werthe von x. Die vorstehenden Schlüsse gelten aber in gleicher Weise auch dann noch, wenn der Bogen AB unterhalb der X-Axe liegt, wenn also y — fix) ^ 0 ist für die betrachteten Werthe von x. In diesem Falle hat aber selbstverständlich

f(x). Jx = F‘(x) . Jx und deshalb auch 2 F‘(x). Jx einen negativen Werth.

Es ist auch nicht nothwendig, dass b>a ist; setzt man nämlich für Jx negative Werthe ein, so muss b<a werden.

Bemerkung.¹)

Die vorstehenden Untersuchungen gingen von der Voraussetzung aus, dass die Function F(x), deren Ableitung F'(x) —f{x) gegeben ist, existirt, oder dass sich wenigstens die stetige Function y =f{x) durch eine Curve geometrisch darstellen lässt. Man kann aber die Untersuchung auch unabhängig von der geometrischen Darstellung durchführen.

an-

(9.)

Um zu beweisen , dass es immer eine eindeutige, stetige Function F(x) giebt, deren Ableitung F'(x) einer gegebenen stetigen Function f{x) gleich ist, wobei F(x) noch für x = a einen beliebigen Werth F(a) nehmen darf, beachte man die nach dem Taylor'sehen Satze für jede stetige Function geltende Gleichung (D.-R., Formel Nr. 85 der Tabelle) F(x h) — F{x) — h. F‘(x -f Qn).

Da nun in dem vorliegenden Falle F‘(x) —f(x) sein soll, so würde die Gleichung (9.), nachdem man die Existenz der Function F(x) nachgewiesen hat, übergehen in

(9 a.)

F(x + h) — F(x) = h .f{x + &h).

Theilt man das Intervall von a bis b in n gleiche Theile und nennt die Theilwerthe

a, x\, x<i,... xn—t, b,

so würde man aus Gleichung (9a.) das folgende System von Gleichungen erhalten

F Oi) — F(a) = (art — a)/[a + 0^ — a)], -Ffo) — F(xi) = («2—    + @2(*2 — -ri)],

(10.)

F(xz) — F(x₂) = (x₃ — x₂)f[x₂ + @₃(a-₃ — x₂)],

y(6) — F(xn-1) = (b — Xn— \)f[xn-\ + 9n(b — Xn-l)].

(Es ist dabei nicht einmal nothwendig, dass das Intervall von a bis b in n gleiche Theile getheilt wird, man braucht nur festzusetzen, dass die einzelnen Theil-Intervalle verschwindend klein werden, wenn n in’s Unbegrenzte wächst.)

Durch Addition der Gleichungen (10.) erhält man dann

(11.) F(b) —F(a) = (a-i — a)f[a+ Gfa — a)] + (x₂ — x\)f[x\ + 0₂(x₂ — r,)]

+ (2-3 — *2)/|>2 + G₃(x₃ — x₂)\ d----

d" (b —Xn—l)f[xn— l d" ®n(b — Xn-1)],

oder

a—n

(lia.)

F(b) — F{a) — 2 (Xcc — Xa-l)f[xa—l d" 9a(xa — Xa— l)]. a=l

Durch diese Gleichung möge die Function F{b) erklärt werden, wto-bei ar₀ = «, xn — b sein möge, und wobei die Grössen &i, 0₂,... 9n sämmtlich zwischen 0 und -j- 1 liegen, im Uebrigen aber noch unbestimmt sind.

Bezeichnet man jetzt mit Ga den grössten und mit Fa den kleinsten Werth, welchen f(x) erhält, wenn x das Intervall von xa—i bis xa durchläuft, so ist

• (12-)

so wird

A a    f[xa—l d“ © u (Xa — Xa— l)] — Ga.

Da nun aber f{x) nach Voraussetzung eine stetige Function ist,

(13.)

Ga — Fa = da

beliebig klein, wenn man nur n hinreichend gross macht. Wählt man unter den Differenzen db U,. .. dn die grösste aus und bezeichnet sie mit d, so wird

[Xa — Xa—l) (Ga — Fa) — (xa — Xa— l)d,

oder

(14.)

und

(xa — Xu-1) Ga ^ {Xa — Xa-l) (Fa -f- d)

a=n

a=n

2 (Xa — Xa—i) Ga Vi 2 (Xa — Xa-l) Fa -f- (6 — «)d. a=i

Deshalb wird mit Rücksicht auf Gleichung (11a.) und Ungleichung (12.)

(15.)

GC—l

a—n

a=n

(16.)

2 (Xa — Xa-l) Fa fA F(b)—F(ll) S 2 (xa — Xa-l) Ga ,

a=t

a=t

oder, wenn man der Kürze wegen 2) (xa— Xa—i)Ka mit S bezeichnet und die Ungleichung (15.) beachtet,

(17.)

S S F(b) — F(a) 2Ś 5 + (b — a)d\

Da aber b— a eine endliche Grösse ist, und ô beliebig klein wird für hinreichend grosse Werthe von n, so nähert sich F(b)—F(a) dem Grenz werthe

a=zn

lim S — lim 2 (p* — xa—i) Ka.

a=i

Diese Summe hat auch, weil f(x) in dem Intervall von a bis b stetig ist, einen endlichen Werth. Bezeichnet man nämlich mit G die grösste unter den Grössen G\, G>,... Gn und mit K die kleinste unter den Grössen K\, Ko,... Kn, so wird

2 (^«

2

— Xa —

— Xa —

i) Ka > 2 {xa — Xa—l) K = (b — a) K, l) Ga <2 (xa — Xa — \) G — (b — a) G.

(18.)

Die Ungleichung (16.) wird also noch verstärkt, indem man schreibt (b — a)K< F(b) — F(a) <(& — «) G.

Da (b — a)K und (b — d)G endliche Grössen sind, so ist auch F(b) — F(a) eine endliche Grösse.

In gleicher Weise wie die Ungleichungen (16.) und (17.) kann man auch die Ungleichungen

(19.) 2    — Xa—i) Ka 2 (#<* — Xa—i)f(Xu—i) ^ 2 (xa — ^a-l) Ga

und

(20.)

S 2 (xa — Xa—i)f (xci—i)    (b — a)ö

ableiten und daraus schliessen, dass

a=n

(21.)

F(b) — F(a) = lim 2 (xa — xa—1)fixa—1)

a=l

ist. Vertauscht man noch der Kürze wegen xa mit x und die verschwindend kleine Differenz xa — xa—i mit dx, bezeichnet man ferner die Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen nicht mehr mit lim~ sondern mit j, so geht die Gleichung (21.) über in

b

(22.)

F(b) — F(a) =J'f(x)dx,

wobei die beiden Grenzen a und b bei dem Summenzeichen f angeben, dass x alle Werthe von a bis b durchlaufen soll.

Bisher war b unveränderlich gedacht, man darf aber für b auch die Veränderliche x setzen und erhält dadurch

Um nun noch zu zeigen, dass die Ableitung von F{x) mit f(x) übereinstimmt, beachte man Gleichung (11a.), nach welcher man

a=n

(24.)

F{xn) — F{a) — 2 CXa — Xa— l)f[xa— 1 + Oa{x<x — Xa-l)]

a=l

erhält. Ebenso ist

a=n— 1

(25.) F(xn—l) —F{a) = 2 Goc — Xa—i)f[xa—\ + 9a{xa — iTa-l)] folglich wird (26.) oder

a=1

F(xn) — F(xn—l) = (xn — Xn—i)f[xn—\ + @n{xn — Xn—lj],

FyXn) — F(xn-l) _

Xyi -Xfi — 1

und für \xmxn — limxn—i = x

(27.)

f[xn— 1 + @n(xn — Xn-i)J

(28.)

F'(x) =/(*).

Alis den Gleichungen

folgt

(29.)

fr    n

JF‘(x)dx —Fib) — F(a) und jF{x)dx =F(a) — F(b)

a

b

jF\x)dx

-fp(x)dx,

b

oder in Worten:

Satz 2. Man darf die obere und die untere Grenze eines bestimmten Integrals mit einander vertauschen, wenn man gleichzeitig das Vorzeichen des Integrals umkehrt.

Hierbei ist in dem einen Integral die untere Grenze grösser als die obere und in Folge dessen dx negativ.

Ans den Gleichungen

c    b

/F' {x)dx = F{c) — Ff) und jF\x)dx = F{b) — Ff)

C

folgt

b'    c    b

(30.)

fF‘(x)dx — J'F‘(x)dx H- fF\x)dx,

oder in Worten:

Satz 3. Man kann ein bestimmtes Integral in zwei andere zerlegen, indem man zwischen den Grenzen a und b eine beliebige Grösse c einschaltet und das erste Integral zwischen den Grenzen a und c, das zweite Integral zwischen den Grenzen c und b berechnet.

Am anschaulichsten wird der Sinn des Satzes durch die geometrische Deutung des bestimmten Integrals. Ist nämlich

V =./0) = F\x)

die Gleichung einer Curve, so wird

F —J ydx — J‘F\x)dx

(i    a

der Flächeninhalt der ebenen Figur AiBiBA. Liegt nun c zwischen a und b, so wird die Figur durch die Gerade CxC. welche im Abstande c parallel zur Y-Axe gezogen ist (vergl. Fig. 7), in zwei Theile zerlegt, nämlich in

Fig. 7.

C,

B, X

OAi — a, OCx — c, OB , == b.

«    b

AiCiCA —J'F\x)dx und C\BXBC == J'F\x)dx.

a    c

Der Satz bleibt aber auch dann noch richtig, wenn c nicht

Fig. 8.

J?

zwischen a und b liegt. Es sei zunächst (vergl. Fig. 8) a < b < c, so ist unter Beibehaltung der bisherigen Bezeichnungen

AX Cx CA — J'F‘(x)dx,

BiCiCB — fF‘(x)dx.

B, c,

OAi — a, OBx = b, OC\ =

also

AiBiBA = AiCiCA — BXCXCB = fF‘{x)dx —j‘F\x)dx,

a    b

oder nach Satz 2

beb

AiBiBA

==JF‘(x)dx — fF\x)dx + fF‘[x)dx.

Fig. 9.

Ist endlich (vergl. Fig. 9) c < a < b. so ist unter Beibehaltung der bisherigen Bezeichnungen

h

G\BtBC — fF‘(x)dx.

also

C\AiA C —JF‘{x) dx,

Bt X

OC\ — c, OAi=a, OB\ — b.

C,

Ä,

i,

A,B₁BA = C\BXBC— C\A,AC = fF\x)dx—fF\x)dx

c    c

oder mit Rücksicht auf Satz 2

b    c    h

fF\x)dx = J'F‘ (x)dx + fF\x)dx.

Der Satz lässt sich noch in der Weise verallgemeinern, dass man zwischen den Grenzen a und b nicht eine, sondern beliebig viele Grenzen einschaltet. Dadurch erhält man z. B.

b    c    *    d    e    b

(31.) fF‘(x)dx — fF‘{x)dx -\- fF\x)dx fJF'{x)dx -f fF‘{x)dx

a    a    c    (l    e

wobei c, d und e ganz beliebige Zahlen sind.

Voraussetzung ist dabei, dass die Function F‘ (x) in den einzelnen Intervallen a bis c, c bis d, d bis e, e bis b eindeutig und stetig ist.

Bei der geometrischen Deutung des bestimmten Integrals war bisher vorausgesetzt worden, dass der Bogen AB der Curve, welche der Gleichung y — F\x), oder y ■= f[x) entspricht, entweder seiner ganzen Länge nach oberhalb, oder seiner ganzen Länge nach unterhalb der X-Axe liegt. Jetzt kann man aber ' die geometrische Deutung auch auf den Fall übertragen, wo der

Bogen AB theil-weise über, theil-weise unter der X-Axe liegt. Schneidet der Bogen die X-Axe z. B. in den Punkten C und P (Fig. 10), und setzt man OAi — a, OC=c, Ol) = d, OB^ — b,

Fig. io.

ll

<)

so wird

(32.)

h    r    d    b

f F‘(x)clx — f Fi(x)dx    fF‘(x)dx -\- j'F‘{x)dx

a    a    ć    d

wobei für die einzelnen Integrale auf der rechten Seite dieser Gleichung die frühere Voraussetzung gilt, so dass man für das erste und dritte Integral einen positiven Werth, für das zweite Integral dagegen einen negativen Werth erhält.

•//.

3.

Einige Hülfssätze für die Ausführung der Integration.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 7 und 8.)

Satz 1. Ist die Differential- Function unter dem Integralzeichen mit einem constanten Factor multiplicirt, so darf man diesen constanten Factor vor das Integralzeichen setzen, d. h. es ist

J‘AF‘{x)dx = AfF‘(x)dx.

Beweis. Es ist

(10

d[AF(x) + C] = AF‘(x)dx

hieraus folgt

(2.)

JAF‘{x)dx — AF(x) -f C.

Ferner ist

(3.)

fF‘{x)dx — F(x) -f C\,

also

Da nun die Werthe der Intégrations-Constanten ganz beliebig sind, so darf man A. Ci = C setzen und erhält demnach aus den Gleichungen (2.) und (4.)

(5.)

jAF‘ff)dx — AjF‘ff)dx.

Satz 2.

Das Integral einer Summe von Differential-Functionen ist gleich der Summe der Integrale dieser einzelnen Differential-Functionen ; es ist also

f \F‘ff)dx + G‘ff)dx\ — fF\x)dx -f-/'G‘ff)dx.

Beweis. Weil

(6.)

d\Fff) -f- G ff) + C] — F‘ff)dx + G\x)dx,

so ist

(7.)

(8.)

J\F‘ff)dx + G‘ff)dx\ = Fix) + G ff) -\-C.

Ferner ist

jF‘ff)dx = Fff) + Ci,

(9.) .

fG‘ff)dx — G ff) + C2.

Durch Addition der Gleichungen (8.) und (9.) erhält man

(10.)    jF\x)dx + JG‘ff)dx = Fff) + G ff) + 6i + 6Y₂.

Die Intégrations-Constanten C, Ci, C₂ haben auch hier ganz beliebige Werthe, so dass man Ci -f C₂ — C setzen darf. Man erhält demnach aus den Gleichungen (7.) und (10.)

(11.)

J\F‘ff)dx-\- G‘ff)dx\ = J[F(x) -f- G‘ffj\dx

=fF‘ff)dx-\- jG\x)dx.

Dieser Satz lässt sich unmittelbar erweitern auf Summen von beliebig vielen Gliedern, so dass man erhält

(12.)

f[F\x) + G‘(x) + B \x) + • • -]dx

=fl''(x)dx + ftrj‘{z)dx 4- /// ‘(x)dx + • • • ;

sodann lässt er sich auch übertragen auf das Integral einer Differenz, so dass man erhält

f\F‘(x) — G‘ff))dx = jF‘ff)dx—jG‘ff)dx.

(13.)

§ 4.

Unmittelbare Integration einiger Functionen.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 9 bis 25 a.)

Aus der Erklärung des Integrals, nämlich aus der Formel

fF\x) = F{x) + C

ergiebt sich ganz von selbst, wie man eine grosse Anzahl von Differential-Functionen integriren kann. Denn, nimmt man die Function F(x) beliebig an und bildet F\x), so erhält man durch Einsetzen in G-leichung (1.) sofort jF‘{x)dx.

Indem man für F(x) besonders oft vorkommende Functionen einsetzt, findet man ohne Weiteres die folgenden Formeln:

xm+1 m +1

Hierbei darf m jeden beliebigen positiven oder negativen, ganzzahligełi oder gebrochenen Werth haben. Eine scheinbare Ausnahme bildet nur der Werth m — — 1, von welchem nachher noch ausführlich die Rede sein wird.

Besonders hervorgehoben sei noch der Fall m = 0, nämlich

(1.)

(2-)

jxmdx —

+ C.

(2 a.)

fdx — x -J- G

ein Resultat, das sich auch aus Formel Nr. 1 der Tabelle ergiebt.

Mit Hülfe von Gleichung (2.) ist jetzt die Integration jeder ganzen rationalen Function ausführbar, denn nach den Sätzen des vorhergehenden Paragraphen wird

J{axn + a₁xn~¹ -f- a₂xn~² + - • • + ix + an)dx

= afxndx -f- ax Jxn~idx + a₂ jxn~²dx + • • • -f- an_x fxdx -(- anfdx xn+¹

n-j- 1

Xn , X

--f- a₂—

n—1

X¹

(3.)

axdx =

ax

ln a

-f- C.

(40

/?=

Ina; + C.

Diese Formel bildet die scheinbare Ausnahme von Gleichung (2.), aus der man für m — — 1

(5-)

x-i+i

oder

(6.)

ß-

rH | O

+ C — oo + C

erhält. Das Integral selbst braucht deshalb aber nicht unendlich gross zu werden, weil man die Integrations-Constante gleich —- oo setzen kann. Dadurch bringt man das Integral auf die unbestimmte Form oo — oo, zu deren Ermittelung man in Gleichung (2.)

(7.)

er

—--1- C

m+ 1 ^

setzen kann. Dadurch erhält man

xm+¹ —

(8.)

xmdx —

Für limw = — 1 wird

<9.)

lim

m + 1

und wenn man Zähler und Nenner einzeln nach m differentiirt (vergl. D.-R. § 65),

(10.)

lim

xm+1 — 1

= lim

xm+l Ina;

m + 1

also in Uebereinstimmung mit Gleichung (4.)

Ina;,

(12.)

Jcosxdz = sina; + C.

(13.)

<14.)

I^mzclz ■= — cosa; -f- C. f dx

Je

cos²a;

= tga; + C.

(15.)

(16.)

(17.)

(18.)

(19.)

r dx

J ëôpï

f dx

A

f dx

J Yx² + 1

'»■> *!jhi « A *

r *

(20.)

(21;)

(22.)

(25.)

r dx J sin'²# f dx

J y

r dx J 1 + x²

j'&üîxdx — @trt# -f- C. j c&mxdx — (Sof# + C. = 5£g# + C.

— et gx + C.

= arcsin x + C — — arccos# + C‘.

= arctg# + C = — arcctg# + C‘.

@in²#

= — Gtg # + C.

= 2tr©in# + (7 = ln(# + y#² -)- 1) + C.

21r GEof# + C = in (# ± y#² —-1) + (?.

H££)+ß

= »tßtg* + C" =    c‘-

r dx

Es erscheint auffallend, dass man für /—=

./l

— #²

- #²

— $(r£g# + C =

nämlich

]/l—#²

zwei Werthe₇

arcsin# + (7 und — arccos# + C findet. Die Richtigkeit beider Resultate kann man zunächst durch Differentiation prüfen, wobei sich

(arcsin# + C) =

dx

und

y i — #²

d(— arccos# + C‘)

dx

y i — #²

ergiebt. Nach Satz 3 in § 1 können sich daher die Functionen

arc sin ? und —arccos.? nur durch eine Constante von einander unterscheiden. In der That, ist in einem Kreise mit dem Halbmesser 1

Fig. li.

a.

OF = ED — x (vergl. Fig. 11), so wird (26.) CD = arcsin?, DA = arccos? also

(27.) arcsinz-f-arccosz^CZI-f-ZUl^ oder

EC X-

Tt

(28.) arcsin? = — — arccos?.

Dies kann man auch unabhängig /von der Figur zeigen, indem man

(29.)

arcsin? — t, also ? = shU

setzt; dann wird

(30.)

X — cos

oder arccos? = ^-

folglich ist

(31.)

t = arcsin? = ~ — arccos?.

l»

Ebenso findet man

(32.)

arctg? = ~— arcctg?,

Lj

wodurch man erkennt, dass Gleichung (17.) richtig ist. Schliesslich erkennt man aus den Gleichungen

(33.)    3lr?₉^ = |ln(b±5),

(34.) «cBg. = |m(/-±I)= I[ln(^|)-ln(-1)] , dass

(35.) HrSEg? = Sir (Stg? 4- |dn(—1)

wird, dass also die Gleichungen (24.) und (25.) richtig sind. Beschränkt man aber die Untersuchung auf reelle Grössen, so muss man schreiben

xdx =    x⁴ + C.

fr

(37.)

Sfr Sfr

= StïSTgæ + C, wenn \x\< +1

—x²

= 2lr(£tg;r + C\ wenn \x j > +1.

uy.

5.

Uebungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll x³dx integriren.

Auflösung. Setzt man in Formel Nr. 9 der Tabelle m = so folgt ohne Weiteres

j'x³dx =

x3+l

+ C.

3 + 1

Aufgabe 2. Man soll 7x³dx integriren.

Auflösung. Nach Formel Nr. 7 und 9 der Tabelle erhält man

J'lx³dx = 7 j'x³dx —

7T+(7.

Aufgabe 3. Man soll y^xdx integriren.

Auflösung. Es ist

x — x³ ;

hieraus ergiebt sich, dass

x dx    dx

•J+¹

x³

X*

+ c=-^ + c,

oder

Aufgabe 4. Man soll folgende Differential - Functionen inte-

grrren.

dx

x3 1

Auflösung. Es wird

-}/x⁵dx,    ’ 4 y/xdx

y x⁵

4 dx

Jx

x~³⁺¹

K + c.

■L

/y*—- 2

^=-2+^-2,*

¹

Der Anfänger darf diese Bemerkung, wenn ihr Inhalt für ihn zu schwer verständlich sein sollte, übergehen.

IL

in.

j-yfxbdx = jx³ dx =

fw⁼fi~idx=

|+i x³

ł^ML

HK¹

X ó

ł+i

+ C = ly''*» + C.

x-i

+ C=hl + C

F

oder

fdx

J -

■y/ x⁵

IW+C-

IV.

Jl-y/xdx = 4 jy/xdx = 4 Jx³ dx = 4 ~

-J-+¹

x³

ł+1

+ C'»

ßy/xdx = 4^+ (7 = 3-pV + C.

V.

JT*dx=ifx"dx = i

-ł + 1

+ (7=4-

X*

+ C'»

f-Â= dx = 4 .    + C = 6y/x² + (7.

J y x

Aufgabe 5. Man soll die Differential-Function .    (** + 7-^-AL + A)<fe

integriren.

ßx> + 7-j/x

Auflösung. Nach Formel Nr. 8 der Tabelle ergiebt sich

*•10*

=Jx⁴dx + jly/x dx    dx +jyy dx

=Jx⁴dx + 7Jx^ dx—11jx ^dx + 5 jx~⁶dx.

Wenn man die Integrationen, welche auf der rechten Seite dieser Gleichung angedeutet sind, nach Formel Nr. 9 der Tabelle ausführt und dabei die vier auftretenden Intégrations-Constanten in eine einzige Constante zusammenfasst, so findet man

= ^J'x'^dx — 7 j'x⁵ dx + ~j'xidx —

x^dx

24

11

§ 5. Uebungs- Aufgaben.

f)*

X4+l

4+i

ł+1

11

-4+1

-6+1

-ł+1

— 6+1

+ <?

x^

— 11

— + + ⁷

₌ |+^+ «

^    3    27/X²

Aufgabe 6. Man soll den Ausdruck

+ ü.

At~^ +

L)dx

berechnen.

Auflösung. Man erhält zunächst

l+i xb

4 3 + 1 'f + 1

+=)* = !«

1    Ä++¹

Dies giebt

4 ä:⁴+¹    4    ²⁺¹

7 4+1    3 —2+1

+ (7.

l^‘+êx‘⁺L⁺⁰-

Aufgabe 7. Man soll den Ansdruck

/(asin# + ôcosæ + cex)dx

berechnen.

Auflösung. Durch Anwendung der Formeln Nr. 11, 13 und 14 der Tabelle erhält man

f(a$mx + £cos£ + cex)dx = -— acos# + 5 sin# + cex + C.

Aufgabe 8. Man soll den Ausdruck

ßm*d, + »^+pJ£

berechnen.

Auflösung. Durch Anwendung der Formeln Nr. 11, 12 und 15 der Tabelle erhält man

j'(maxdx + n-~-

\    ax

} = m _--n ln x + p tgx + C.

J    Ina

dx

co§lx

Aufgabe 9. Man soll den Ausdruck

dx

dx

1 + X²

fein²# y l—x²

berechnen.

Auflösung. Durch Anwendung der Formeln Nr. 16, 22 und 18 der Tabelle erhält man

1 + #²

dx

dx

fetn²# y i—x-

^ = arctg#—a(£tg# 4- arcsin# + G — — arcctg# — a&tg# — arccos# + C".

oor.

6.

Allgemeine Bemerkungen.

(1.)

Im Allgemeinen wird bei Anwendung der Hauptformel [F‘{x)dx = Fix) + C

nicht die Function F(x) gegeben sein, sondern nur ihre Ableitung

(2.)

F\x) =/(*).

Dann wird man in den meisten Fällen F(x) nicht unmittelbar angeben können; man wird vielmehr zur Ermittelung von F{x) Kunstgriffe anwenden, von denen zunächst die folgenden erläutert werden mögen:

1. ) Integration durch Substitution,

2. ) Integration durch Zerlegung,

3. ) partielle Integratio7i.

II. Abschnitt.

Integration durch Substitution.

§ 7.

Erklärung der Substitutions-Methode.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 26.)

Häufig kann man das vorgelegte Integral auf ein bekanntes zurückführen, indem man statt der ursprünglichen Integrationsveränderlichen x durch die Gleichungen

(1.)

x — xpit), dx = ip'(t)dt eine andere Veränderliche t als neue Intégrations-Veränderliche einführt. Die gesuchte Function F(x) geht dadurch über in

(2.)

F(x) = F[xjj(t)] = 0(0,

d. h. in eine Function von einer Function, für welche nach D.-E. Formel Nr. 35 der Tabelle

(3.)

dG (t)

dt

G‘(t)

_ dF(x)_dF(x) dx _

dt

dx dt spermo,

oder

(4.) dG (t) = G \t)dt == F[x)dx = F‘ . ifj\t)dt

=/000] • ip\t)dt

wird. Deshalb findet man die gesuchte Function G(t) aus der Gleichung

(5.) ff{x)dx = 0(0 =/G\t)dt =Jf 0(0] •

In vielen Fällen wird man die Function ip(t) passend so wählen können, dass sich die Function G(t) leichter ermitteln

lässt als die Function F(x). Drückt man dann in dem gefundenen Resultate die Grösse t, der Gleichung (1.) entsprechend, durch x aus, so ist die Integration vollzogen.

Dieses Verfahren, welches man „Integration durch Substitution“ nennt, wird am besten durch Beispiele erläutert.

§ 8.

Aufgabe 1.

Beispiele für die Substitutions-Methode.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 27 bis 30.)

f¹

x -j- a

Auflösung. Setzt man

x + a = t, also x — t—a, dx — dt so wird nach Formel Nr. 12 der Tabelle

(10

(2.)

’ dx

i ~ = \nt= ln(x + a).¹)

(3.)

Jx + a ^

In ähnlicher Weise findet man / dx

J x~

yèos (x + d)dx = ?

— = ln(.r — a). a

Aufgabe 2.

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei Aufgabe 1 findet man nach Formel Nr. 13 der Tabelle

(4.)

fz os (x -f- a)dx = sin (x + a).

Aufgabe 3.

Auflösung. Setzt man

ysin (a -}- bx)dx — ?

(5.)

dt

dx = —

b’

so erhält man nach Formel N. 14 der Tabelle

(6.) Jsm(a-{-bx)dx = jJsmtdt==—

rH -O

cos t — —

^-COS (a+bx).

f dx _ 9 J COS² (4 — 3x)

Aufgabe 4.

Auflösung. Indem man

(7.)

4 — 3 x = t, also —3 dx = dt setzt, erhält man nach Formel Nr. 15 der Tabelle _    ¹ f dt

~~    3/cos²^

dx

cos² (4 — 3z)

rH | CO

t gt = —

i-H I CO

tg(4 — 3z).

Aufgabe 5.

cos

dx = ?

Auflösung. Indem man

(9.)

x = 21, also dx = 2 dt

setzt, erhält man

(10.)

ß°s(£)dx = 2fostdt = 2sin t — 2 sin

taten :

In ähnlicher Weise gelangt man zn den folgenden Kesul-

(11.)

Jea+bxdx = ^-jea+ix . d(a + bx) = ^ ea+6a:.

jr-d* = -afi—d(-Z)

/«O*=

(15.)    =

(12.)

(13.)

(14.)

a ©im

a(£oJ

= -—- ae

(16.)

dx

— ft

— ft ctg

sin²

sin²

arctg(a -f &r).

1 r d{a + bx)

1 -j- (a + è#)² ~~ bj 1 -\- {a bxf

Auflösung. Setzt man

(21.)

x — at, also dx = adt,

so erhält man nach Formel Nr. 18 der Tabelle

⁽²²-⁾ fiTs    arctg< = arctg:©'

Aufgabe 7.

F dx

Jx* — a²

x² — a²

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man mit Rücksicht auf die Formeln Nr. 25 und 25 a der Tabelle _ i r dt ~ aj f² — l

i-l I ö

J(a -f- bxßdx = \J^a bxyd(a -f- bx) = (19.) fr (a + bx'fdx = ^Jia + ^XY **(a + hx) =

(20.) ß

(18.)

dx

j/(a -f- bx)⁴

Aufgabe 6.

(a + bx)‘

5 -y/ja + bx)⁸

8b

\ß(a + bx) h{a + bx) = lV(“ + bx? .

I dx

Ja

aŁ -f- xl

wenn

oder

.    . f dx

(24.)/—

x'L — a²

_1 f dt

S ; 1-^

Strßtg t

/x — a\ \x -f- a/

al xl

Aufgabe 8.

Auflösung. Setzt man

(25.)

d² x² = t, also 2xdx = dt

so findet man

<²⁶-> '/«* + **

xdx

⁼ ł/r⁼łln< = łln(a2 + *!)-

Durch Vertauschung von + a² mit — a² erhält man aus Gleichung (26.)

(27.)

xdx

x² — a²

fcO| I—¹

ln (x² — a²).

§ 9.

Integration von einigen irrationalen Functionen durch Substitution.

Aufgabe 1.

_?

j/«²—JE²

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 31 bis 42.) xdx

(1.)

Auflösung. Setzt man

y<f-—x² = *

also a² —    = ź²,

so wird

und

— xdx = tdt,

<«.) ,

xdx

]/a² — x²

-f—ß = —jdt = —t = — ya² — x².

Aufgabe 2.

xdx

]/«² + x²

(3.)

Auflösung. Setzt man

ya² -j- x² = also a² -f x² — tf²,

so wird

xdx — tdt

und

(4.)

=ßf- = jdt = t = + ya²+x².

ya² + a:²

Durch Vertauschung von -f «² mit — a² findet man aus Gleichung (4.)

(5.)

xdx

jyx² — a²

= + yx² — a².

Die in den Gleichungen (2.), (4.) und (5.) enthaltenen "Resultate hätte man auch leicht durch unmittelbare Integration finden können, wenn man von den Formeln Nr. 30 bis 32 der Tabelle für die Differential-Rechnung ausgegangen wäre.

Aufgabe 3.

C dx

Ÿa²—x²

J1

Auflösung. Setzt man

(6.)

x = at, also dx — adt

so erhält man nach Formel Nr. 17 der Tabelle

r dt

jyi — p

Yd²—xl

adt

yd¹—a²t²

arcsin£= arcsin

f dx

J1

Aufgabe 4.

]/a² + x²

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man hier mit Rücksicht auf Formel Nr. 23 der Tabelle

« fd

f dt

yx~ -\- a? Jy* -j-1

= ln^

x + y*² + u²

)•

Ebenso findet man mit Rücksicht auf Formel Nr. 24 der

Tabelle

(9.)

fjg

Jyx²-— a²

Aufgabe 5.

SMof(|)=ln(

f dx J x

%y a²—x²

Auflösung. Setzt man

(10.)

x=r

=1/

x ± yx² — a²

also dx =

a² —

«.I a

)•

adt

l²“’

y?-i, t =

dann wird

Ç dx    f — adt. t. t

J x\/ a² —x² J t². a

. a y t² — 1

dies giebt nach Formel Nr. 24 der Tabelle

(11.) f *

J X

]/a² — x²

dt

yt²— i

oder

xya² —x²

Aufgabe 6.

**«<)=-M

f d*

J x

a -f- Y⁰?— xl

x²yd² — x²

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man

also nach Gleichung (5.)

— adt. t² . t t².a².aYt²^l

tdt

y t* — i

(14.)

j\__dx

J x

x² ya² — x²

Aufgabe 7.

=-^²-i =

r dx

Jx

y a² — x²

a²x

x~y a² -f- x2 Auflösung. Setzt man wieder

(15.)

also dx =

adt

t² ’

y a² + x² = j/a² +    ⁼⁼ - - y t² -}- 1

SO wird

dx

xy a² + x² Jf-

— adt .t.t

t² . a . ayt² -f- 1 dies giebt nach Formel Nr. 23 der Tabelle

yt*+1

(le.) f—ÈL

J X

a i-*

ln

(t + yt² + l),

ml

xya² -\-x²

-8r@n/-') =

a    \x /

-K

a 4- }/a² -f- x²

f dx

J x

Aufgabe 8.

x²y a² -J- 2²

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man

f dx (IS.)/—

adt ,t².t

x-y a¹ + x? J1}. a¹. ay't- + 1 also nach G-leichung (4.)

f_Jg

J x

tdt

Vt‘ +1

(19.)

x²y a² + x²

=--4v<! +1

]/o² + x-

a²x

Aufgabe 9.

r ^    __ p

Jx]/x² — a²

Auflösung. Setzt man wieder

(20.)

i also dx =

adt

lr*

yi-t²,

yx² — a² — ^l~ — a² =

so wird

f dx

J x

x\x²-— a²

-h

— adt. t .t

t². a . a]/1 —

t-4 I Ö

dt

yi — t²’

dies giebt nach Formel Nr. 17 der Tabelle = — — arcsin^ =

(21.) f- *

J X

yx²—a²

arcsin

f_Jg

Ja

Aufgabe 10.

x²yx² — a²

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man ²

(22.) ( dx =f _

J x²Y x²—a² J t². a². a,y 1 — t²

also nach Gleichung (2.)

f dx

(23.)

X²}/ x² — a²

— adt,t².t

tdt

a²JyY^~ t²

Vx² — a²

a²x

§ io.

f‘{x) dx

f

f\x)

Integrale von der Form f¹

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 43 bis 52.)

(1.)

Aufgabe 1.

Auflösung. Setzt man

Jx Ina;

dr

dx

t Ina;, also dt — — ?

X

so erhält man

(2.)

[dx _ fdt _

JxIna; J t

ln*: = ln (Ina:).

4a;² — Ix + 11

Aufgabe 2.

(8a: — 7 )dx

Auflösung. Setzt man

(3.)

4a;² — 7a: + 11 = also (8a; — 7 )dx = dt,

so erhält man

(4.)

(8a: — 7 )dx 4a:² — 7a: -f- 11

fdt

-Jt=

ln t ■= ln(4a;² — 7.r +11).

Aufgabe 3.

/‘(12a:² + 15a:² — 4a; + 8 )dx_₀

J 3x⁴ + 5a:² — 2a:² + 8a; — 7 — '

Auflösung. Setzt man

(5.)

3a;⁴ + 5a:² — 2a:² + 8a: — 7 = t,

also

(12a;² + 15a:² — 4a: + 8) da: = dt

so erhält man

f(12z³ + 15#² — 4# + 8)dx __

^ J 3z⁴ + 5z³ — 2#² + 8# — 7 ~,

dt.

— = ln t

= ln(3#⁴ + 5z³ — 2x² + 8# — 7).

Die in den letzten Aufgaben angewendete Methode bestand

darin, dass man das Integral auf die Form j^ brachte. Dieses

Verfahren ist immer anwendbar, wenn unter dem Integralzeichen ein Bruch steht, dessen Zähler das Differential des Nenners ist. Setzt man nämlich

(7-)

fix) — t, also f‘{x)dx — dt,

so erhält man

(8.)

ß^₌fdt=}nt=Hm

und damit den

Satz. Steht unter dem Integralzeichen ein Bruch, dessen Zähler das Differential des Nenners ist, so ist das Integral gleich dem natürlichen Logarithmus des Nenners.

Bei den Anwendungen dieses Satzes wird man allerdings häufig mit der Function unter dem Integralzeichen erst eine Umformung vornehmen müssen, um sie auf die beschriebene Form zu bringen, wie man aus den hier folgenden Aufgaben ersehen kann.

Aufgabe 4.

J\gxdx = ? Auflösung. Bekanntlich ist tgx =

sin x

(9.)

hdx=-/

cos# -— sin rdx

so dass man erhält

cos#

Jetzt steht unter dem Integralzeichen ein Bruch, dessen Zähler das Differential des Nenners ist, folglich ist das Integral der natürliche Logarithmus des Nenners, und man erhält

f tg xdx = — ln (cos x).

(10.)

(11.)

§ io.

In ähnlicher Weise findet man

COS x dz

JoXgzdz =J

sina:

= ln (sina:).

Aufgabe 5.

dz

sina: cos x

Auflösung. Dividirt man Zähler und Nenner des Bruches unter dem Integralzeichen durch cos²a:, so erhält man

"dz

(12.)

folglich wird

(13.)

r_dx

Ç dx

sin x cos x

sina: cos z

cos²a:

tgz

-y

’d( tgx)

tgx

Aufgabe 6.

= ln (tga:) = —In(ctgar). f dz

J s

sina:

Auflösung. Diese Aufgabe lässt sich leicht auf die vorhergehende zurückführen, indem man

(14.)

x = 2t

setzt und die bekannte Formel

sina: = sin (21) — 2 sin/cos/

beachtet. Dadurch erhält man

Aufgabe 7.

sin«! cos /

ln(tgt) = ln£tg(0 =

—ln

Kl)]-

'dz

COS X

Auflösung. Diese Aufgabe wird auf die vorhergehende zurückgeführt, indem man

(16.)

TT

2 t} setzt; dann erhält man

also cosa; = sin/, dz — — dt

fdx ₌ rat y COSa:    J £

sin/

— — ln

Hi)]

rf'(x)dx ’ /(*)

(17.) f*

v    ' J COSZ

Durch die Substitution

= —ln

[<

gehen die trigonometrischen Functionen

SUla;, COSa;, tga;, ctga;

bezw. in die complementären Functionen von t über, nämlich in cosź, sinć, ctgż, tgć.

Bezeichnet man irgend eine Function von sina;, cos a;, tg a;, ctg a; mit /(sina;, cos a;, tg a;, ctg a;), so wird

(18.)//'(sina;, cosa;, tg a;, cXgx)dx = —sinż, ctgź, tgt)dt.

Hat man also das eine von diesen beiden Integralen gefunden, so ist damit auch das andere ermittelt. Hieraus erkennt

man, dass gerade die Substitution x =    —t sehr häufig mit

gutem Erfolge verwendet werden kann.

J%o>xdx — ?

toi 5*

(19.)

Aufgabe 8.

Auflösung. Hier ist

J^X^xdx = ?

Aufgabe 9. Auflösung. Hier ist

(20.) /«J.* =/H^=/l^ = ln(®^).

f__dx____ 2

J @ina; (£of x

Aufgabe 10.

Auflösung. Dividirt man Zähler und Nenner des Bruches unter dem Integralzeichen durch (£o)-a;, so erhält man

dx

.    . r dx

m.) h—

_ I (Sof ²x @tna;(Sofa; J %qx

d{% ax)

Xga;

ln(£ga;) = —ln((£tga;).

Aufgabe 11.

/ dx / Sinz

Auflösung. Setzt man

x = '2t, also dx=2dt, so wird nach D.-R., Formel Nr. 51 der Tabelle iBinx = ©in(2£) = 2(5irD(£t>)2! also mit Rücksicht auf Gleichung- (21.)

m ) /J^_ - / 2di _ f dl

'' 7®i« J2 2 in/ (Jof l /©in<gof<

= ln(ïg/) = ln[$₉(|)J =

1 + er-*

(22.)

(23.)

— ln

[<)]•

Aufgabe 12.

1 + xe~~x

dx — ?

Auflösung. Multiplicirt man Zähler und Nenner des Bruches unter dem Integralzeichen mit ex, so wird der Zähler, nämlich (ex + 1 )dx, das Differential des Nenners ex + x, folglich wird das Integral gleich dem Logarithmus des Nenners ; d. h. es wird

'(ex + l)dx

(25.)

1 4-

1 + xe~x

dx

-y

ex + x

= ln(ex + x).

§ H-

¹

Die Intégrations - Constante möge hier und bei den folgenden Aufgaben der Kürze wegen fortgelassen werden.

²

iepert, Integral-Rechnung.

Integrale von der Form F‘{t)dt, wenn t — fix) irgend eine transcendente Function von x ist.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 53 bis 82a.)

Aufgabe 1. y(sin⁴a;— 3sin³a: + 4sin²a; + Usina:) cosa:G?a: = ?

Auflösung. Setzt man

(1.)

sina: = t, also C0Sa:r/a: = dt

so erhält man

(2.) f (sin⁴a: — 3 sin³a; + 4 sin²a: +11 sina:)cosx dx =

sin²a:.

Man erkennt sofort, dass diese Substitution immer eine Vereinfachung herbeiführt, wenn unter dem Integralzeichen eine Function -F'(sin«) von sin« steht, welche mit cos «cf« multipli-cirt ist; denn man erhält dann

(3.)

/F'(sin«) cos «cf« = jF\i)dt = jF(sin«).

Aufgabe 2.

" COS «cf«

sin³«

Auflösung. Indem man die soeben angegebene Substitution benutzt, findet man

(4.)

fcos xdx Çdt f

J sin³« J tz ~~J

⁻³cf 1 =

t~²

2 sin²«

Steht unter dem Integralzeichen eine Function von cos«, multiplicirt mit sin «cf«, so wird man durch die Substitution cos« = t, also — sin xdx = dt eine Vereinfachung herbeiführen; denn es wird

)F\cos«). sin«cf« = —jF\t)dt = — F(cos«).

Hieraus ergiebt sich ohne Weiteres die Lösung der beiden folgenden Aufgaben.

(5.)

(6.)

Aufgabe 3. J(cos³« — 2 cos²« + 3 cos a:-— 4) sin « cf« = — cos⁴« + ~ cos³« — ~ cos²« + 4 cos«.

O    O

Aufgabe 4.

sin xdx

3 cos³«

cos⁴«

Häufig wird man die Function unter dem Integralzeichen erst umformen müssen, ehe man die in den Gleichungen (3.) und (6.) angedeuteten Substitutionen anwenden kann. Wie dies geschieht, mögen die folgenden Aufgaben zeigen.

/cos³« cf« = ?

(7.)

Aufgabe 5.

Auflösung. Durch Anwendung der bekannten Formel cos²« =1 — sin²«

erhält man

erhält man

(10.) fsin⁵xdx — /l 1 — cos²#)². sinxdx = —f{\ — cos²#)²d(cos#) = -7(1 —    + t*)dt = —    — |*³ + ^⁵)

= — cos# + | cos³# — ^ cos⁵#.

ü    o

Aufgabe 7.

Jcos2rl+ixdx = ?

Auflösung.

In gleicher Weise wie bei Aufgabe 5 findet

man hier

(11.)ßo^xdx = /(l—sin²#)M. cos#dx —f{l — sin²#)n.<i(sin#).

Durch den Factor d(sin#) soll angedeutet werden, dass sin# zur neuen Intégrations-Veränderlichen gewählt wird. Dadurch erhält man

(12.) /cos2n+lxdx — f{l — t²)ndt

i⁶ +----

(8.) /cos³# dx = f{ 1 — sin²#) cos z dz 1 — sin²#) e? (sin#)

i sin³#.

O

=ßl — t²)dt — t

(9.)

JkvoPxdz = ?

Auflösung. Durch Anwendung der bekannten Formel sin²# = 1 — cos²#

Aufgabe 6.

= sin# —

-/T-O+ö'-ö

f.n-2 qp

—OiOi-Oi

fin-l

2n + l

Aufgabe 8.

fsm2n+lxdx = ?

Auflösung. In gleicher Weise wie bei Aufgabe 6 findet

man hier

(13.) ysin 2n+lxdx =J{1 — cos²a:)M. silisz = —J{1—cos²a:)n. J(cosa:).

Auch hier soll durch den Factor d(cosx) angedeutet werden, dass cosa: zur neuen Intégrations-Veränderlichen gewählt wird. Dadurch erhält man _

(14.)

Jsm2n+1xdx = —/(l — t²)ndt,

also, abgesehen vom Vorzeichen und von der Bedeutung der Veränderlichen t, dasselbe Integral wie bei der vorhergehenden Aufgabe.

Aufgabe 9.

ysin”ła:cos2M+la:efo: = ?

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei Aufgabe 7 findet

man hier

(15.)    /sinma:cos2n+1xdx = f sinma;(l — sin²a:)w . c/(sinx),

wo durch den Factor c£(sina:) angedeutet werden soll, dass sina: zur Intégrations-Veränderlichen gewählt wird. Hierdurch erhält man z. B.

(16.)

coszxdx f( 1 — t²) dt ff

J ? ⁼J⁽

sin%

tr~²)dt

—¹ H—— •

3sin³a:    sina:

t~~³ t~l

⁼    3 ⁺ 1 ⁼

Aufgabe 10.

ftO$mxńR2n+ix dx = ?

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei Aufgabe 8 findet

man hier

(17.) Jc0Smxsm2nJrixdx = —/cosma:(l — COS²a:)wc/(cosa:),

wo durch den Factor d(co&x) angedeutet werden soll, dass cosa: zur Intégrations-Veränderlichen gewählt wird. Hierdurch erhält man z. B.

(18.) fcos²xsm³xdx = —ft\ 1 — t²)dt = —fit² — tf)dt

COS³a:    C0S⁵a:

3

3    5

42

(19.)

§ 11. Integrale von der Form jF\t)dt. Aufgabe 11. J(tg³x — 8tg²# + 5 tg# — 7)

Auflösung. Setzt man

t gx — t, also

cos²#

dx

COS²#

= dt

so erhält man

/*    doc

(20.) /(tg³# — 8tg²# + 5 tg# — 7)

81³    51?

~~ ÎT 2

Dieselbe Substitution kann man immer an wenden, wenn unter dem Integralzeichen eine Function von tgx, multiplicirt

=>

— 7t

cos²#

_ tg⁴# 8 tg³# 5 tg²#

3    *    2

81- + bt — 7)dt

7 tg#.

mit

dx

cos²# ’

steht, d. h. es wird ganz allgemein

wo durch den Factor d(tgx) angedeutet werden soll, dass tg# zur Intégrations-Veränderlichen gewählt wird.

(21.)

. <?(tg#) = -F(tg#),

(22.)

doc

Aufgabe 12.    /(ctg⁴# — 3 ctg²# + 5)

Auflösung. Setzt man

cXgx — t. also

sin²#

dx

sin²#

= dt

so erhält man

/'    dot

(23.) / (ctg⁴# -— 3 ctg²# + 5)

3f

~~ ~~ 5 ⁺~3~

sin²#

3*² + 5) dt

—^ X + ctg³# — 5 ctg#. o

Dieselbe Substitution kann man immer anwenden, wenn unter dem Integralzeichen eine Function von ctg#, multiplicirt

steht, d. h. es wird ganz allgemein

mit

dx

sin²#

(24.) /.F(ctg#) dx

sin²#

jF\cXgx). d(ctg#) = — _F(ctg#)

wo durch den Factor d(ctgx) angedeutet werden soll, dass ctg 3 zur Intégrations-Veränderlichen gewählt wird.

Häufig wird man erst eine Umformung vornehmen müssen, ehe man auf die in den Aufgaben 11 und 12 vorausgesetzte Form der Differential-Functionen geführt wird. Wie dies geschieht, mögen die folgenden Aufgaben zeigen.

Aufgabe 13. J{ tg³# — 7tg²# + 2 t gx -f- 9 )dx = ?

Auflösung. Damit die Function unter dem Integralzeichen

d%

COS²#

sie durch cos²# dividiren und deshalb auch mit

wird, muss man

eine Function von tgx, multiplicirt mit

(25.)

cos²# =

cos²#

cos²# + sin²# 1 + tg²# multipliciren. Dadurch erhält man mit Rücksicht auf die Gleichungen (19.)

(26.) J(tg³x— 7 tg²# + 2tg# + 9 )dx

-/■

tg³# — 7 tg²# + 2tg# -f- 9 dx

COS²#

⁼r

tg²# + 1

— 7*² + 2t + 9

t² + 1

dt.

Nun ist, wie man durch Division findet,

(27.)

t³ — lt² + 2t + 9 = (t² + 1)(*—- 7) + t + 16, folglich wird mit Rücksicht auf die Formeln Nr. 9, 30 und 18 der Tabelle

(28.) j—

t² + 1    •

-ß-7)dt+ß₊₁

t²

= — — 11-\- 41n(^²-f-1) + 16arctgż

tdt

+ 16

1-M²

oder, wenn man beachtet, dass

t = ts*> ¹+<* = iS5’

(29.)

# = arctgć

ist.

(30.) ßtg*x

7 tgx—ln(cosz) + 16;r.

7tg²x-t-2tgx+9)dx=

Dieses Verfahren führt zu der allgemeinen Formel

(31.)

Jf(tgx) . dx =    dngx).

J tgnx . dx = ?

Auflösung. Nach Gleichung- (31.) erhält man, indem man tgx zur Intégrations-Veränderlichen macht und mit t bezeichnet,

h'xdx

Bei der weiteren Behandlung des Integrals muss man zwei Fälle unterscheiden, jenachdem n gerade oder ungerade ist.

I. Fall, n = 2m.

Aufgabe 14.

(32.)

* d(tgx)

-ß

tndt

t² + 1

(33.) jtg

• dx

-ß

t2m

dt

— t2w-⁴ -|------

±i +

_ tg2m~¹X

tg2m~³X

2m — 1 2m —

3 +----dztgxzpx.

Es ist z. B.

(34.)

■x = tÉ^

tg³^

|--b tgx — x.

II. Fall, n 2m + 1.

(35.) ftg^x . dx =J-

t² + 1

dt

-/(

t2m-l __ ^2m 3    .----± H=

i!

tg2mx tg2m~²x 2m 2m—

Ź² + 1

” +----±^ + ^111(1 + tg²^),

wobei man noch

iln(l + tg%) = lln(^) = setzen darf. Es ist z. B.

ln (cos x)

(36.)

jtg^x.

dx=tg**_tę₊tę+Mmsxh

*4    2

Aufgabe 15. y(ctg⁴# + 3ct g²# — 7 )dx — ?

Auflösung. Damit die Function unter dem Integralzeichen

dx

eine Function von ctg#, multiplicirt mit

sin²#

sie durch sin²# dividiren und deshalb auch mit

wird, muss man

(37.)

sin²# =

sin²#

sin²# + cos²# 1 + ctg²#

multipliciren. Dadurch erhält man mit Rücksicht auf die Gleichungen (22.)

(38.) y₍ctg*# + 3 ctg²# — l)dx = —Jl ^ ₁—- dt

= —+ 2^ + 9arcctgy >

=~k⁺²

⁹ ^dt

1 + *)

oder, da ctg# = t und arcctgć = # ist,

ctg³#

(39.) /ctg⁴# + 3 ctg²# — l)dx

2ctg#— 9#.

(40.)

Dieses Verfahren führt zu der allgemeinen Formel — __ /y(ctg#) >

J ctg²# + 1

/ctgH# .dx = ?

. dx

d{ ctg#).

Aufgabe 16.

Auflösung. Nach Gleichung (40.) erhält man, indem man ctg# zur Intégrations-Veränderlichen macht und mit t bezeichnet.

(41.)

/ctg

nx . dx = —

tndt

t² + 1

Die weitere Behandlung dieser Aufgabe ergiebt sich sodann aus Aufgabe 14.

Aufgabe 17.

cos⁴#

46

(42.)

§ 11. Integrale von der Form fF'(t)dt. Auflösung. Bekanntlich ist

sk = i + tg% ,md

dx

COS¹#

= Ątgx)

folglich wird

(43.)

j’dx __ f 1 . _dx J cos⁴# J cos¹# cos¹#

= tg# +    •

Dasselbe Verfahren führt zu der allgemeinen Formel

(44.)

f^i=ßl + tsM-Mtg*),

wo durch den Factor ^(tg#) angedeutet werden soll, dass tg# zur Intégrations-Veränderlichen gewählt wird.

Aufgabe 18.

r dx y sin⁶#

Auflösung. Bekanntlich ist

sin¹#

* folglich wird

= 1 -f ctg²# und

dx

sin²#

d(ctgx),

’ sin¹#

fdx ₌ /?' i Y dx

J sin⁶# y\sin¹#/

-J[l -f- ctg¹#)¹c?(ctg#)

Was in den vorstehenden Aufgaben für die trigonometrischen Functionen sin#, cos#, tg#, ctg# gezeigt worden ist, kann in gleicher Weise auch für die hyperbolischen Functionen ©in#, Sof#, '£g#, (£tg# ausgeführt werden. Dadurch findet man die folgenden Formeln:

§11. Integrale von der Form J'F'^ät.

(46.)    x)(Sofxdx =yjF'(@mz). c?(@in:r) = F^Stnx).

(47.) fF\&o\x)<Sxnxdz =/F‘(&q\x) . d(ßofx) = F(®ojz).

(48.)7®oj2n+'xdx =/( 1 + (gin²x)n. rf(@htit),

(49.) y®in2n+1xdx =y'((^oli'²x — l)n. <?((£of#).

(50.) j~F\%₃x) ■    . d(%s*) = J(5Lg*).

(51.) Jf\et0*) . ™ = -J'fX&zx) . d(&gar) = - i^tgz).

(⁵²-) ff(^-<ix)dx =j• rf(2g«) •

/Wg*)

• J((£tgz).

— Cütg²#

(53.) I~f(&$x)dx =[

⁽⁵⁴-}    =ß i -    • <*(*«*) •

. <?((£tg#).

⁽⁸⁵° ./©= -/St9% - ¹)””‘

In ähnlicher Weise kann man durch Substitution ganz allgemein eine Vereinfachung des Integrals herbeiführen, wenn unter dem Integralzeichen das Product einer Function F‘[f(x)\ der transcendenten Function f(x) und des Differentials von f(x) steht. Dann findet man, indem man

t =/(*)

zur neuen Intégrations-Veränderlichen macht, (56.) /F‘[f(x)] ,f\x)dx =/F\t)dt = F(t) = F[f(x)].

Dies giebt ohne Weiteres die folgenden Formeln:

= —ctg#

(45.)

Dasselbe Verfahren führt zu der allgemeinen Formel fdx

J*

-j( 1 -j- ctg¹#)OT_1ć£(ctg#),

sin¹'"#

wo durch den Factor c?(ctg#) angedeutet werden soll, dass ctg# zur Intégrations-Veränderlichen gewählt wird.

(57.) Jf\ox)

(58.) jF‘(ex)

(59.) jF'Qnx) • ~ = jF(lnx). d(Ins) = F(lns)

. axdx

. exdx

= ihfrm

—jF‘(ex) . d(ex) = F(ex),

(60.)y.F'(arcsin#) • (61.) JfX&tc cos #) •

(62.) J-F'(arctg#) • (63.) y.F'(arcctg#).

dx

]/l — x²

t/#

=^F'(arcsin#). ^(arcsin#)

= .F(arcsin#)

arccos#). d( arccos#)

yi — #2 £<?# f

= /jF(arctg#). ü?(arctg#)=-F(arctg#), dvc    /*

= — /F'(arcctg#). c/(arc ctg#)

= — ^(arccos#)

1 +#²

1 + #²

= — .F(arcctg#).

Hierbei soll durch die Factoren c?(a*), d (ex), c/(ln#)? ö?(arcsin#), ^(arccos#), c/(arctg#), c?(arcctg#) angedeutet werden, dass bezw. die Grössen ax, ex, ln#, arcsin#, arccos#, arctg#, arcctg# zu Integrations-Yeränderlichen gewählt werden.

Zur Einübung dieser Formeln mögen die folgenden Aufgaben gelöst werden.

f{a2x -f 3 a* — l)dx = ?

Aufgabe 19.

Auflösung. Bezeichnet man ax mit t, so wird

(64.) f{a2x + 3a* — l)dx —f{ax + 3 — 7a-*) . axdx

=Lß+B ~u~')dt =L(^+at~^t

a²* + 3 ax — 7 #lna^ •

/'cos(ln#) .dx_%?

J «

Auflösung. Bezeichnet man ln# mit /, so wird cos (ln#). dx

=J_/

Ina \

IO l-i

Aufgabe 20.

(65.) j-

=fcostdt = sin/ — sin (ln#).

Aufgabe 21.

arcsin#. dx

y i—#²

Auflösung. Bezeichnet man arcsin# mit t, so wird

(66.)

arcsin#. dx

y i—#²

r t² 1

—jtdt = — = — arcsin²#.

Aufgabe 22.

fl

dx

— p

(1 + .T²)arctga:

Auflösung. Bezeichnet man arctgx mit t, so wird

(67.)

f--——— =    - ln/ = ln(arctga:).

J( 1 -T- a:²)arctgx J t    v 6 ’

Steht unter dem Integralzeichen irgend eme rationale Function von sina:, cos a:, tg a:, ctg a:, so kann man diese transcendenten Functionen durch die Substitution

tg

(68.)

fortschaffen, so dass man unter dem Integralzeichen nur noch eine rationale Function von t behält. Es folgt nämlich aus Gleichung (68.)

sina: = 2 sin

S)”©

cos²

©+»■©

COS²

COS a: =: COS²

(I)

sin» (I)

COS²

oder, wenn man Zähler und Nenner dieser Brüche durch

cos²

toi «

dividirt

(69.)

sina: =

2t

1 + tg²

1 + t²

(70.)

1- tg²

COS# — :

1 — t²

1 + tg*(§)

1+t²

(71.)

tga:= j

Kiepert, Integral - Kecimung.

2t

— t²

— t²

Ct^=~2t

§ 11. Integrale von der Form jF‘(t)dt.

Aus Gleichung (68.) findet man sodann noch # = 2arctg/ also dz = und erhält dadurch die Formel

50

(72.)

2 dt

1 -K²

//(sin#, cos#, tgx, ctgx)dx = t 1 — t² 21    1 —t,²\ 2 dt

ï-M¹’ r+^’ i—”27“/r+7²’

Mit Hülfe dieser Formel kann man z. B. die folgende Aufgabe lösen:

(73.)

JK

IO

(1 -j- sin#)o?# sin#(l 4- cos#)

Auflösung. Nach Gleichung (73.) wird

21 \ 2 dt 21

i + ty l +T² ' F+T2 _ r (1 + *² + 2*)cfc yGi +7m- i — *²)

Aufgabe 23.

/(l -f sin#)^# _ Û Jsin#(l -1- cos#) A

Jit 4* 2 -j- ^ l)dt

also

(74)    /'(i + sin#) dx

^ ‘ y sin#(l 4- cos#)

H- ! 1-*

IC

ff*

hß

tOj

Ist /(sin#, cos#, tg#, ctg#) eine rationale Function der vier Functionen sin#, cos#, tg#, ctg#, so erreicht man durch die in Gleichung (73.) angegebene Substitution, dass unter dem Integralzeichen eine rationale Function der einzigen Veränderlichen t steht. Wie aber die Integration rationaler Functionen auszuführen ist, wird an einer späteren Stelle gezeigt werden.

Steht unter dem Integralzeichen eine rationale Function der vier hyperbolischen Functionen @in#, ($of#, £g#, Gtg#, so beachte man, dass diese Functionen selbst wieder rationale Functionen von ex sind. Es ist nämlich dass unter dem Integralzeichen eine rationale Function von t steht, die nach den später folgenden Regeln integrirt werden kann.

Man kann in diesem Falle die Function unter dem Integralzeichen auch dadurch rational machen, dass man

toi «

©ofæ = \(ex e x) ex -f- e~x

©tu 2 = I (ex — e~x), ex — e~x ex -j- e~x

Deshalb erreicht man es auch in diesem Falle durch die Substitution

(£tgæ =

e* — e~x

(75.)

dt

ex = t. dx — —-

ST’

(76.)

als neue Intégrations-Veränderliche einführt, denn es wird dann nach D.-R,, Formel Nr. 55, 56 und 77 der Tabelle

rc ; Id⁻ T-²

M* = ₁__^2 »

1 4- t*

=—— ’

(77.)

(78.)

©in x — y

^    21

=

— t²

1 + t² ’ x = 2 2lr ST g t

dx —

2 dt

1 — t²’

also

(80.)

Mt*

Jf(Binx, (Eo| x, %qx, ßtg x)dx =

1 + t²

1 + i2 t² ’    1 — *² ’    1 + t²

2 dt

§ 12.

Integration durch Einführung trigonometrischer oder hyperbolischer Functionen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 83 bis 85.)

Während in den vorhergehenden Paragraphen gezeigt wurde, wie man die Function unter dem Integralzeichen, wenn sie

trigonometrische oder andere transeendente Functionen enthält, durch Substitution so umzuformen sucht, dass sie diese trans-cendenten Functionen nicht mehr enthält, so giebt es auch Fälle, wo die Integration dadurch erleichtert wird, dass man für die Intégrations-Veränderliche x eine trigonometrische oder hyperbolische Function der neuen Intégrations-Veränderlichen t einführt. Man wendet eine solche Substitution namentlich dann mit gutem Erfolge an, wenn unter dem Integralzeichen eine der Irrationalitäten ya²-— x², y cd x², y xd — cd auftritt,

So werden Integrale von der Form ff(x, y ad — x²) dx

häutig durch die Substitution

(10

x = asinć

(2.)

auf einfachere zurückgeführt. Es wird dann nämlich dx = aCOStdt, y a² -—x² = acost,

also

(3.)

J'fix, y cd — x²) dx — Jf(a sin t, a COS t). a COS t dt,

wobei

(4.) sinć= ? cos t —

ya²x²

ctg t —

y cd —- x¹

y cd — x²

1)

f dx _ 1 f dt

Jx^a²^ X² ~ «V sin²1 ~

Uebungs - Beispiele.

“éct^ =

(Vergl. Formel Nr. 38 der Tabelle.)

]/ d¹ — .r²

cdx

²⁾h

dx

' dt

³⁾/

(cd — x²) y cd (a² — 2 x'²)dx

]/a² — x¹

= ±f

a-J COS²1

— t gt =

— a~J{^ — 2 sin H)dt = cdj cos(2 t)dt = ~jcos(2ć). d(2t) — ~ sin (21)

2²

a² y a² — F²

— a² sin t cos t = x.y a-

Bei Integralen von der Form

[fix, Y a- -f- x¹ ) dx

kann man häufig die Substitution

x — atg/

mit gutem Erfolge anwenden. Man erhält dabei

y a² -+- x¹

(5.)

(6.)

dx =

adt

cos'²/

COS/

also

(7.)

jf(x, yd¹ + x²)dx —Jf Ça tg t,

—)■

3S //

adt

COS'²/! ’

wobei

(8.) sin t

y a²-j-x-

COS t —

tgt =

, , a

ctg' t = - •

x³dx

Jv, +

oder, wenn man

Uefoungs-Beispiele.

Vsin³/. adt. cos t

cos³/. cos H . a

=4

sin³/ dt cos H

(9.)

cos t — z. also sin tdt — — dz

setzt.

(10.) f-_

Jy a² + x²

xsdx

= — a³

( 1 — zr)dz

2⁴

ad

—4

— z~²)dz

= — a³

/ Z"³

3

z⁻¹ \ _ a³ / 1    3 \

^i) ~ ~3\«® ~ */

Indem man schliesslich noch

Z = cos/ =

einsetzt, findet man

'1L    ^ /y a² 4- .r²    3

y cd 4- x2 a³ /(]/a² -f .t²)^    3]/a² 4-

«³

—I I îO

y a² 4- x²(x² — 2a²).

.    / dx

« Jr

x⁴ Y cd + xd

if-

a dt. cos⁴?;. nnst

cos H . sin⁴?;. a

1 f30S H ₇

adJ sin⁴?! f

Nun ist

(12.)

sin?' —

sin⁴?; sin²?;) ^ ^S*n ^    a⁴ (

y «² -J- a:²

3 sin³t

—Y

n t)

folglich wird

Y cd -f- a;²

sin?;

.    . r dx

(13.) /-=

J x

x⁴yad -j- xd

(yV² -f- a:²)³ y ad -j- xl

3x³

y ad + ars

3a⁴«⁸

(2a:² — a²).

³⁾A

dx

'adt. cos³?!

(a² -f- a;²) y ad Ar x²

cos²ć. a³

= /cos t dt

sin?;

a;

a⁸

a²y«² -f- xd

Bei Integralen von der Form

Jf(x, y xd — cd)dx

kann man häufig die Substitution

(14.)

cos?;

mit gutem Erfolge anwenden. Dabei wird

a sin t dt

(15.) dx —

cos²?;

i yx¹ -— cd

a²

cos²?;

cd = atgt,

also

(16.) jf{x, yx² — ad)dx

atgty

a sin t dt cos²?;

wobei

sin?; =

y xd —- cd

1 COSt —

(17.)

t gt =

y xd — ad

ctg?; =

also

x- — à²

/    % r dx

,18-⁾ hr=

x⁴Yx² — d¹

²⁾Ä

dx

Uebungs - Beispiele.

=/

a sin t dt cos⁴/. cos /

cos²/. a⁴. a sin /

*₄- jcosHdt

= lj(l — sin²/) </(sin/) — ~ ^sin t

1 /3 yx²--a²

(Vz² — a²f

sin³/\

TJ

3 a⁴

y x- — a²

also

(19.)

(:2x² + a²).

/' dx _ /

J (J/V² — d²f J

3a⁴£³

'asin/d/. COS³/

(x² — d-) Y x² — a²

1 /cos t dt ~~ a²J sin²/

dx

{x² — a²)y x² — a²

dx

=/-y cos²/

cosH. a³sin³/

a² sin /

diyx² — a2 asmtdt. cos /

Setzt man

(ä⁺“²)-1 /'costdt _ 1 l'd(smt) a²J 1 -f- cos²/ ay 2

a sin/

— sin²/

(20.)

sin / = z,

so kann man zur Berechnung’ dieses Integrals Formel Nr. 29 der Tabelle anwenden und findet

1 Ç dz__

a²1 z² — 2

f(x² + a²)y x² — a²

dx

1    ^ /]/2— sin/

2a²]/2 vj/2 + sin/

2a² y 2

2a² y 2 \y 2 +

In (*V* ⁺ Vx2—a'²

\z]/ 2 -— yx²— a²

z)

zs

Man beachte, dass in den drei hier behandelten Fällen die trigonometrische Function, welche für x substituirt wird, jedes-

mal so zu wählen ist, dass unter dem Wurzelzeichen ein vollständiges Quadrat steht, dass sich also die Wurzel ausziehen lässt.

Für x — a sin * wird nämlich

Y a'¹ — x² =■ y a\ 1 — sin²*) = a COS* für x — atgt wird )/a² + x² = ]/«²( 1 -f-tg²t) =

» y*² —O? =

atgt.

” x COS *

a²(l — cos²*) _ cos²*

Gleichzeitig erkennt man daraus, dass man in ähnlicher Weise eine Vereinfachung durch Einführung hyperbolischer Functionen erhalten könnte, denn

für x — a%^t wird — x² = ]/a²(1 — £gH)    ?

„ x = a ©in*

„ x — a(£o[*

Uebrigens ergiebt sich diese Einführung der hyperbolischen Functionen ohne Weiteres aus dem, was über die Beziehung zwischen den hyperbolischen und den trigonometrischen Functionen in § 30 der Differential - Rechnung gesagt ist. (Vergl. auch daselbst Formel Nr. 79 der Tabelle.)

„    y a² -f x² = y a² (1 -j- ©in²*) — a ßo| *,

„    y x² — a² — y a² (Sof²* — 1) = «©>tn*.

Bei der Integration durch Substitution ist die neue Intégrations-Veränderliche * im Allgemeinen so zu wählen, dass jedem Werthe von x innerhalb der Integrationsgrenzen nur ein Werth von * zugeordnet ist; und umgekehrt darf jedem Werthe von * innerhalb der Integrationsgrenzen nur ein Werth von x entsprechen. Wenn diese Regel nicht beachtet wird, so können leicht Fehler entstehen. In einem späteren Abschnitte soll dieser Fall noch besonders untersucht werden.

¹

ctg³# ctg⁵#

III. Abschnitt.

Integration durch Zerlegung.

§ 13.

Integration von einigen gebrochenen rationalen Functionen durch Zerlegung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 29a, 86 bis 91.)

In vielen Fällen kann man die Differential - Function f(x)dx unter dem Integralzeichen in zwei oder mehrere Summanden zerlegen, die dann einzeln sehr leicht integrirt werden können. Wie dies namentlich bei gebrochenen rationalen Functionen geschieht, mögen die folgenden Aufgaben zeigen.

Aufgabe 1.

dx

x² — d²

Auflösung. Die Aufgabe ist schon in § 8 (Aufgabe 7) behandelt worden; dabei ergab sich

~ ln (—“) 2 a \x a/

(i.)    /

dx

x- — cd

(Vergl. Formel Nr. 29 a der Tabelle.) Dasselbe Resultat findet man auch durch folgende Ueber-legung. Die beiden Unbekannten A und B lassen sich immer so bestimmen, dass

(2.)

x-— a

x -j- a

wird. In der That, schafft man in Gleichung (2.) die Nenner fort, indem man beide Seiten mit

=Ł[]n(* -- in<*+^=Ł in0r+v) '

dx

Aufgabe 2.

jx² + 10* + 16

Auflösung. Diese Aufgabe kann man auf die vorhergehende zurückführen. Ergänzt man nämlich die beiden ersten Glieder des Nenners zu einem vollständigen Quadrate, indem man 25 addirt und dann wieder subtrahirt, so erhält man (8.)    *² + 10* + 16 = (x- + 10* + 25) + (16 — 25) = .(* + 5)² — 9.

Indem man jetzt noch

(9.)

o? — (x — a) (x + «)

multiplicirt, so erhält mail

1 = A (x + a) + B(x — a).

Diese Gleichung soll für alle Werthe von x gelten, folglich auch für x = + a und für x = — a. Für x — + a findet man aber

(3.)

(4-)

1 = 2 Aa, oder A =    >

’    2a

und für x = — a

(5.)

1 = —2 Ba, oder B —

Setzt man diese Werthe in Gleichung (2.) ein, so erhält

man

i_y

x + aj

Von der Dichtigkeit dieser Gleichung kann man sich überzeugen, indem man die beiden Glieder in der Klammer auf gleichen Nenner bringt. Aus Gleichung (6.) folgt dann ohne Weiteres nach Formel Nr. 27 der Tabelle

(6.)

x² — a²

= I(_L_

2 a\x — a

(7.)

x² — a-

¹ )'( }-

2 aj \x — a

x + «/

dx

x + 5 = t, also dx = dt

setzt, wird

(10.)

-,

dx

dx

x¹ + 10* + 16 J (* + 5)²

dt

— 3²

oder nach Gleichung- (7.), wenn man x mit t und a mit 3 vertauscht,

dx

ix¹ + lO.r + 16

Ot h-¹

ln

(t — 3\_ 1 /x + 2\

0 + 3/ 6 h\x + 8/'

Aufgabe 3.

dx

x~ -(- Qx -j- 13

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe wird man hier den Nenner auf die Form

(12.)    + 6z + 13 = (x² + 6x + 9) + (13 — 9) = {x + 3)² + 4

x + 3 = t, also dx = dt

bringen und (13.)

setzen; dadurch erhält man

Jx² + 6x +13

Wollte man jetzt die Integration nach der in Aufgabe 1 gefundenen Formel ausführen, so müsste man

also a — 2\—1 = 2 i

setzen, so dass man für das Eesultat eine complexe Form erhalten würde. Dies kann man vermeiden, indem man Formel Nr. 28 der Tabelle, nämlich

f dt

J t² + a²

für a = 2 anwendet. Dadurch findet man

(14.)

dx

r dx

Jv~

(x + 3)² + 4

l' dt Jt² + 2² ’

a¹ = — 4

= a arCt«Q

U5.)    /

dx

x² + ßx + 13

=    «ctg(|)=larctg(^-³)-

dx

Aufgabe 4.

Jx¹ + 2 bx + c

Auflösung. Wie man schon aus den beiden vorhergehenden Aufgaben erkennt, muss man bei dieser Aufgabe drei Fälle unterscheiden, jenachdem b² — c positiv, negativ oder gleich Null ist.

b~ — c= + a², also Y b² — c = -j- a, so wird a eine reelle Grösse, und man erhält

(16.)

(17.)

I. Fall.

b²

c > 0.

Setzt man in diesem Falle der Kürze wegen

x² -f- 2 bx + c = (x² -f- 2 bx + b²) + (c — b²)

= (x + b)² — a\

Dies giebt, wenn man x + b mit t bezeichnet, nach Auf-

gäbe 1

oder

J x- -f 2bz + c

dx

T dt, _ 1 • /t — a\

Jf²—a²    2a

(18.)

Jx² -j- 2 bx -j- c

dx

i=ln(-

— C \x

x + b — Vb²—

+ Ä + Yb²

=)■

2 Yb²

Man erkennt ohne Weiteres den Zusammenhang dieses Verfahrens mit der Auflösung der quadratischen Gleichungen. Um nämlich die quadratische Gleichung

x² -f 2 bx -J~ c = 0

aufzulösen, bringt man die Gleichung auf die Form x² -f- 2bx -f- b² — b² — c

und zieht dann auf beiden Seiten dieser letzten Gleichung die Quadratwurzel aus. Dadurch erhält man

x + b = ± ]/<6² — c,

oder

b + |/Z² — c,

x% = — b — Yb² — c,

Xi —Xi = 2 Yb² —c, x² + 2bx -f c = x² — (xi ~r x^)x -f- XiX₂ — (x.— xl)(x —

Xi =

Xi + x-i = -— 2b,

X\ . x₂ = c,

x₂):

wo Xi und x₂ die beiden Wurzeln der quadratischen Gleichung sind. Setzt man diese Werthe in die Gleichung (18.) ein, so nimmt dieselbe die Form an

f______

J (x---Xi) (x-X₂) Xi — x₂

Von der Kichtigkeit dieses Kesultates kann man sich in folgender Weise überzeugen. Die beiden Unbekannten A und B lassen sich immer so bestimmen, dass

(18 a.)

dx

ln

/X — Xi \

\x — x₂ )

(X-CC\){X-Xo) X-Xi

(19.)

X -2*o

wird. In der That, schafft man in Gleichung (19.) die Nenner fort, indem man beide Seiten mit (x — xf)(x— x₂) multiplicirt, so erhält man

(20.)

x₂) + B (x — .Tj) .

1 = A(x

Diese Gleichung soll für alle Werthe von x gelten, folglich gilt sie auch für x = xx und für x = x₂. Für x — xt findet man aber

(21.)

1 = A (xt — x₂), oder A =

Xi — x₂

und für x — x₂

(22.)

1 — B (x₂ — xi), oder B =----•

x₂ — X i

Setzt man diese Werthe in Gleichung (19.) ein, so erhält

man

(23.)

—i—)

x — x₂ /

=—^(-i

Xi -2*2 \ X —

Xi) (X — 22)

Dass die rechte Seite dieser Gleichung der linken wirklich gleich ist, ergiebt sich ohne Weiteres, indem man die Glieder in der Klammer auf gleichen Nenner bringt.

Aus Gleichung (23.) folgt dann in Uebereinstimmung mit Gleichung (18 a.)

(2:

Xi

r dx J(x—2*1) (2:—2:2)

¹ ff-

Xi -X₂J \X

— Xi

X—x₂

^jdx

2*!--

- [ln (x — xf) — ln (x — 2:2)J = —--— Inf-— —\• x₂l    Xi — x₂ \x — x₂/

II. Fall.

b² — c < 0.

(24.)

Setzt man in diesem Falle der Kürze wegen b² — c =—a², oder ]/c—b² = a, so wird a eine reelle Grösse, und man erhält 2;² + 2bx + c = (î² I 2bx + ^²) + (c — b²) = (x -f* ^)² + a~-

Dies giebt, wenn man wieder x + b mit t bezeichnet,

= ia,-ctg(

dx

dx

dt

(x + b)² + a² jt² + a²

(25.)

dx

x² + 2bx + c yc

x 4- b

)■

arc tg (

Yc—b²

Es ist noch hervorzuheben, dass die Gleichungen (18.) und (25.) richtig bleiben, gleichviel ob b² — c positiv oder negativ ist, die rechte Seite von Gleichung (18.) erhält aber eine complexe Form, wenn b² — c< 0 ist, und auf der rechten Seite von Gleichung (25.) wird die Grösse Yc — b² imaginär, wenn b² — c > 0 ist. Der Zusammenhang beider Gleichungen ergiebt sieh aus D. -R., Formel Nr. 182 der Tabelle, nämlich aus

b²

(26.)

ln

(lizf9= 2i*TCtg<p.

Setzt man nämlich

so folgt aus Gleichung (26.)

ln

+ n

VI — yx / \a — xi

)= 2«arctg^\

oder

— i (a -f xi)

(—1 )i(a — xi)

)-KS5)-'"<-■)

2earctg/^V

Dies giebt, wenn man beide Seiten der Gleichung durch 2 ai dividirt und beachtet, dass nach D.-R., Formel Nr. 181 der Tabelle ln(— 1) den Werth (2h + l)ni hat,

(27.)

hiln GhHs)⁼\arc tg (ï)

(2h + 1 )n

wobei h noch eine beliebige, positive oder negative ganze Zahl ist.

Vertauscht man also in der Formel

Ç dx

J x² — ~a²

die Grösse a mit ai, so erhält man

= ± ln (^ ) 2a \x -j- aj

(28.)

I <rX~z — — arctg

Jx² + a² a °

(2h -f 1)7T

2a

Setzt man noch

a = ]/c — b², also

b² = /b² — c

und vertauscht x mit x + b. so geht Gleichung (27.) über in

ai — ij/c

(29.)

1    . /x

₂ yw- c nV-

x + b —Vb²

+ b + fb‘ —

*)

cy

arctg (

x -j- b Yc — b²

(2 h 4- 1 )rr

2]/c— b*’

Vc-b²

die beiden Werthe, welche man in den Gleichungen (18.) und

(25.) für /

J :

dx

x² + 2 bx -j- c von einander nur durch die Constante

gefunden hat, unterscheiden sich also

(2 h -j- 1 )7T

2 y c — b²

III. Fall.

Hier wird, wenn man wieder x -f b mit t bezeichnet,

b² — c= 0, oder c == b².

r dx

J x²-j-2 b²-+-c

oder

f dx _j' dx fdt f

JxYzbx+b² Ÿl{x₊b)² J ? Jl

t ²dt = -

(30.)

dx

x² + 2 bx + b²

x -f b

Beispiele.

I. Fall.

dx

[x -f- 3) (x + 4)

= Inf⁺ v)

\x -f 4/

II. Fall.

dx

x² + 4^+20

+ 4/’

arctg (° j ²J ;

III. Fall.

dx

+ 8* + 1(5

x -f 4 *

Aufgabe 5.

f(Px + Q)dx /x² -j- %bx + c

Auflösung. Wäre bei dem Bruche unter dem Integralzeichen der Zähler dem Differential des Nenners proportional, so könnte die Integration nach Formel Nr. 43 der Tabelle ausgeführt werden, nämlich nach der Formel

= ln [/(*)].

l'f⁴(z)dz

J~7W

In dem vorliegenden Falle ist

f‘(x) =z 2x 4- 25,

deshalb nimmt man mit dem gesuchten Integrale die folgende Umformung vor. Es ist

Px+ Q=(Px + Pb) + (Q — Pb) = P (2z + 2b) + (Q —Pb),

Li

folglich wird

f(Pz -p Q)dx

Jz² 4~ 2 bz 4- c

ßP(2x+ 2b) + (Q — Pb)

J    z² + 2 bz + c

\ - n\f, -

- f    2/>x + c

Das Integral, welches auf der rechten Seite dieser Gleichung stehen geblieben ist, findet man nach Aufgabe 4. So ist z. B. für y¹ — c > 0

also

(SD/

P / (2z 4- 2b)dz 2Jz² 4- 2 bz 4-

dz

x¹ 4- 2bz + c

dz

\Pz 4- Q)dz

(31a0 jx*+2bz + C

fco

ln(x¹ 4- %bz 4- c) +

0— Pb

Llnfï

C 'Z

z 4- b —yyi —

₊bpyy—

2 Ÿ bioder, da zi 4- x₂ = — 2b und zt — z₂ — 2 j/b² — c ist,

=>

c

(Pz 4- Q)dz

J(x Zi) (z — z₂)

fco! ^

/z — Zi\ \x — z₂/

ln[(z—zi) (z—z₂)J 4

2 Q 4" P(xi 4- x₂) jrç 2(Zi — z₂)

Aus den bekannten Formeln ln [{x — .Ti) {x

t₂)] = ln (x — Ti) + ln (x — x₂),

ln

) =X* - *0 - ln (* - **)

ergiebt sich daher

(.Px 4- Q)dx

(x — Tl) (X — X₂)

4-

/P    2Qi + P(xi 4- x₂)

\2    2(xt— x₂)

P 2Q -f- P(xi -f~ x₂)

(1

^ln(T— Ti)

oder

2(.Ti — x ₂)

^ln(.T

*2),

(t-Tl) (.T X₂)

—— [(Pti + Q)1ii(t — Ti) — (Pr2 + Q)1ii(t — x₂)]. Xi — x₂

(33.)

Die Richtigkeit dieses Resultates kann man in folgender Weise bestätigen. Die beiden Unbekannten A und B lassen sich immer so bestimmen, dass Pr + Q

X-Ti

X — X₂

(X-Ti) (T- X₂)

wird. Schafft man nämlich in Gleichung (33 ) die Nenner fort, indem man beide Seiten mit (x — xi)(x— x₂) multiplicirt, so erhält man

(34.)

Px -4- Q — A(x — x₂) + B(x — Ti).

Diese Gleichung soll für alle Werthe von x gelten, folglich gilt sie auch für x = xt und für x = x₂. Für x = xt findet man aber

(35.)    Pr 1 + Q = A(xi

und für x = x₂

x₂), oder A = —

& i

Px\ -f⁻ Q

— x₂

Px₂ 4- Q — B(x₂ — xx), oder B =

(36.)

Px₂ 4- Q

x₂-Xi

Setzt man diese Werthe in Gleichung (33.) ein, so erhält

man

(37.)

Px 4- Q

1    / Px\ 4~ Q Px₂ 4- Q

(X — Xi) (X X₂) Xi — X₂ V X

— Xi

x — x₂

Dass die rechte Seite dieser Gleichung der linken wirklich gleich ist, ergiebt sich ohne Weiteres, indem man die beiden Glieder in der Klammer auf gleichen Nenner bringt.

Aus Gleichung (37.) folgt dann in Uebereinstimmung mit Gleichung (32.)

(mA

(Px 4- Q)dx

Px* + Q)dx X — x₂ /

= —-— [(Pxi 4- Q)ln(# —- xi) — (Px₂ 4- Q)ln(x — x₂)].

(x — xjj (x — x₂)

Xi — x₂

m+ü

— Xi

I.

(2x 4- 43)dx

Jx² -f x — 12

Beispiele.

(2z -i- 1 )dz x² -f- x — 12

+ 42

dx

= ln(a:² + x — = 7 ln (æ — 3) — 5 ln (x + 4).

Dasselbe Resultat findet man aus Gleichung (32.), denn es ist in diesem Falle

II.

Xi = -f 3, x₂ = — 4, Xi — x₂ = 7,

P — 2, Q = 43, Pz₁+Q = 49, Px₂ + Q = 35.

_ /’ 2(2x — 4)dx x² — 4x -j- 20 Jx² — 4x 20

(4x — 5 )dx

+aA

dx

III.

J:

'(4x — l)dx

(x — 2)² 4- 42 = 2ln(x² — 4x 4~ 20) 4- farct’

⁼ ^+3~¹®^i+3)!

(4x 4-12)—19

dx

(« 4- 3)²

19

= 4\n(x 4- 3) 4-

Die vorhergehenden Aufgaben behandeln nur die einfachsten Fälle der Zerlegung in Partialbrüche. In einem späteren Abschnitte wird gezeigt werden, wie man jede gebrochene rationale Function durch Zerlegung in Partialbrüche integriren kann.

Auf die Integration von gebrochenen rationalen Functionen führen häufig die im vorigen Abschnitte behandelten Substitutionen, wie die beiden folgenden Aufgaben zeigen mögen.

Aufgabe 6.

dx

a sin x + b COSa; + c

Auflösung. Zunächst wird man hier die in Formel Nr. 82 der Tabelle angegebene Substitution benutzen und

— t, also dx —

2 dt

(39.)

1 -M²

sina; =

1 -M²’

cos a; —-

1 — t²

1 + t²

setzen, dann erhält man

0°-) /

dx

usina; -f- ocosa; -f- c

2 dt

2 at+ b[l — t²) + c(l + t²)

-h

2 dt

—- ó) t²    2 eit -j- (b -f- c)

oder, wenn man die Grössen bx und cx durch die Gleichungen a — bx [c — b), b + c = cx{c — b)

(41.)

erklärt,

2 f___dt_

c — bf t² -f- 2b\t -|- cx Für bi¹ — cx > 0 erhält man daher nach Aufgabe 4 (Formel Nr. 86 der Tabelle)

02.) f-

dx

a sina; + ócosa; -f- c

dx

t+bi — Vbf —

asina; + ècosa;+c c — b 2]/ôi²_

Cl

t-\-bx + Vbd —

=)

cx'

/t(c — £)+ a—y ci¹ + b'¹ — c²\ \ t(c — b) -f- a -(- Y a² -\- b² — c²/

ln

y a² -f- b² — c²

und für /V² — cx < 0 erhält man nach Aufgabe 4 (Formel Nr. 88 der Tabelle)

dx

^'\fasmx + bcosx + c c — b yCl b^

arc tg ^

arctg ^

t 4- b

y Ci —bi

t(c — b) -f- «

y~c² — «²—b²

yc² — a² — b²

)■

Auflösung. Setzt man nach Formel Nr. 84 der Tabelle

x = atgt, V«²+*²

a dt

COS ²t

Aufgabe 7.

r_dx__

J{Ja¹ + x²)Yd¹ -(- x¹

so erhält man

(45.) J-

dx

(b² + x¹) yd¹ -j- x¹

a dt. cos t

COS²t{b² + d²tg²t) . a

COS tdt,

ó²cos²ć + a²sin²ć

f d[

Jd²+{a²

d($mt)

— b'¹) sin'²«!

9der, wenn man

(46.)

sinć =

setzt und die Grösse ± c² durch die Gleichung b'² — ± («² -— b²)c²

(47.)

erklärt,

t \ q \ f    dx    /'    dz    1    !

^⁸’ J (£2 + xiSj y ai + x2 J b'¹ + (a² — b²)Z² ~ d²— b'Jz² ± c²

Gilt das obere Zeichen, ist also d² > b², so findet man hieraus nach Formel Nr. 28 der Tabelle

dz

m/-₍

dx

(ib² -f- x²)Y u² -f- x²

d² — b²

arctg Ç

xY a² — b²

bY d² — b²

Gilt das untere Zeichen, ist also a² < b², so erhält man nach Formel Nr. 29 der Tabelle

by d² -f- x²

⁽⁵⁰'⁾Ü

dx

{b² + x²)Ya² + z²

h Yd² -j- x² — x-Yb² — d²

2b Yb² — d²

bYd² -f- x² -j- xYb² — d²

)•

§ 14.

Integration von einigen transcendenten Functionen durch Zerlegung. Anwendung der Moivre’svhzn Formeln.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 92 bis 96.)

Aufgabe 1.

dx

sin²# cos²#

Auflösung. Mit Rücksicht auf die bekannte Formel sin²# + cos²# = 1

erhält man

f__dx

J ¹

sin²# cos²#

(sin²# 4- cos²#K#

sin²# cos²#

J COS²# J s

dx

sin²# ’

folglich wird nach Formel Nr. 15 und 16 der Tabelle

cos²# — sin²#

<L> f

dx

= tg# — ctg# =

2 cos(2#)_ sin (2#) ~

Ç dx y sin# cos#

Auflösung. Dieses Integral ist bereits durch Formel Nr. 46 der Tabelle berechnet. Damals wurde die Function unter dem Integralzeichen so umgeformt, dass der Zähler des Bruches das Differential des Nenners wurde. Man kann aber die Integration auch durch Zerlegung ausführen. Mit Rücksicht auf die Formeln Nr. 44 und 45 der Tabelle erhält man nämlich

sin²# cos²#

sin # cos #

— 2 ctg (2#).

Aufgabe 2.

⁽²-} h

dx

sin # cos #

cos²# + sin²#

sin# cos#

dx

cos#«#

sin # dx

sin#

cos#

= ln (sin#) — ln (cos#) = ln(tg#).

Aufgabe 3.

Jc,OSmxdx = ?

Auflösung. In dem Falle, wo m eine ungerade Zahl ist, wendet man am besten Formel Nr. 55 der Tabelle an, nach welcher wird. Ist aber m eine gerade Zahl, so kann man die Integration mit Hülfe der Moivre'&dhen Formeln ausführen. Nach D.-R., Formel Nr. 176 der Tabelle ist

(4.) 22w(cos#)2m = 2cos(2nx) -f    2cos(^— 2)x

+ (?)2cos(2w—4)r+’■*⁺C—₁)2cos(2x)+(²₂w) ;

indem man beide Seiten dieser Gleichung- mit dz multiplicirt und dann integrirt, erhält man

/*    2    / 2/Z\    2

(5.) 22w/cos2nzdz = — sin(2rc:r) + ( ^ ) —-- sin(2rc — 2)x

+ (Ï) 2^1 S“(2,i - ⁴> + • • • + (n - l) Sia{2^ + (?) * '

Beispiel.

(6.) 64/cos ®zdz = |-sin(6^) + 3 sin (4z) + 15sin(2r) + 20z.

Auch in dem Falle, wo m eine ungerade Zahl ist, kommt man mit Hülfe der AfoAre’schen Formeln zum Ziele, wenn auch nicht ganz so leicht wie durch Gleichung (3.J. Nach D.-R., Formel Nr. 177 der Tabelle ist nämlich

(7.)    22M+¹(cosF)²"+¹ = 2 cos(2w + l)x -f Ç2n j¹" ¹^2cos(2n — l)x

+    + ¹)2C0S(2n — 3)z + ••• 4-    "^"^2 C0s(3a:)

(2,i + ^cos*;

indem man beide Seiten dieser Gleichung mit dz multiplicirt und dann integrirt, erhält man

(8.) 22n+1Jcos?n+ixdz

= 2?b:sin(2B + 1>r

⁺ (²\⁺¹)är=Tsin(2B-1):c + C%⁺¹) 5^sin<2B-³> ⁺ "\ ⁺ C-l¹)!™^ + Cn 'I²’*¹*'

Beispiel.

(9.) 128jcos!xdx =

<1| to

• »-H

m

«HE

rH

-I

/

!•

Aufgabe 4.

fńnmxdx — ?

Auflösung. In dem Falle, wo m eine ungerade Zahl ist, wendet inan am besten Formel Nr. 56 der Tabelle an, nach welcher

(10.)

/sin 2n+lxdx = — f(l — cos²x)nd (cos x)

wird. Ist aber m eine gerade Zahl, so kann man die Integration mit Hülfe der Moivre' sehen Formeln ansführen. Nach D.-R., Formel Nr. 178 der Tabelle ist (11.) (— l)w22M(sina:)2w = 2 cos(2nx) — Ç'^2cos(2rc — 2)x

+ ^“^2cos(2w— X)x--b----1-(—^2008(2#)

indem man beide Seiten dieser Gleichung mit dx multiplicirt und dann intégrât, erhält man (12.) (— l)w 22nJlm2nx dx = ^ sin (2n x)

”(²”)2^2Sin(2’!“2>

⁺ (²2”)2^1Sta(2K^4)a:“

+ ■•• + (— l)—¹ C„—l)shl(2'-j

Beispiel.

(13.) — <o\fńvPxdx = 4-sin (6F) — 3 sin (4a;) + 15 sin (2a) — 20 a:.

Auch in dem Falle, wo m eine ungerade Zahl ist, kommt man mit Hülfe der Moivre'sehen Formeln zum Ziele, wenn auch nicht ganz so leicht wie durch Gleichung (10.). Nach D.-K., Formel Nr. 179 der Tabelle ist nämlich

(14.) (—i)»22w+¹(sina;)2M+¹=2sin(2rc-j-1)# —    ¹^2sin(2« — l)x

^2rc+1^2Sin(2n—--(_ .. +(—i)*-»^”"r^2sin(3a;)

+ (—¹)w(²^⁺¹)2sin^;

indem man beide Seiten dieser Gleichung mit dx multiplicirt und dann integrirt, erhält man

2

^--cos (2/i + l)x

2n + 1

(15.) (— l)n2-n+ljsmin+lxdx =

⁺ (²“r¹)ä^^Tcos(2B“1):r

-    C 2 0 ä^S C0S(2” - *> + —

—    (— l)“_,(^W_f *)§ c°s(³*) — (— 1)”(²" + ^2 COS*.

Beispiel.

(16.) l'28Jsm¹xdx =

2    14

— cos (Ix) —— cos(5a:)-f 14cos(3a:)—70cosa\

In ähnlicher Weise kann man auch Jsmmxo,osnxdx berechnen, wenn man die Formeln

(17.)

2 * sina; = exi — e~xt, 2 cosa: = ext -j- e~xl an wendet. Es ist z. B. nach den Gleichungen (17.), wenn man (18.) exi — cosx + zsinx — 5, e~xi — eosa; — e'sina; — t setzt und beachtet, dass st — 1 wird,

(19.) — 64 sinV COS⁴^ = (exi — e~xif(exi -f e~xi)4 = (s — tf (s + /)⁴

= 6⁶ -f- 2 s⁵/ — s⁴/² — 4 s³/³ — s-t⁴ -f- 2s/⁵ -f- /6 = (s⁶ + /⁶) + 2 (s⁴ + /⁴) — (s² + /²) — 4 = 2 cos (6a;) + 4 cos (4#) — 2cos(2æ)— 4,

also

(20.) — 64ysin²ÆCOS⁴Æ<£r = |sin(6«) + sin(4rr) — sin^2ar) — 4rr.

7ARZAP

SZ»<oL.

Dąbrowa

(Sl.

IV. Abschnitt.

Partielle Integration.

§ 15.

Erklärung der partiellen Integration.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 97.)

Sind u und v zwei beliebige Functionen von x, welche eine Ableitung besitzen, so ist bekanntlich (vergl. D.-R., Formel Nr. 28 der Tabelle)

(1.)

cl(uv) — vdu 4- udv

oder

udv = d{uv) — vdu, oder, wenn man beide Seiten dieser Gleichung integrirt,

■fvdu.

(1 a.)

(2.)

fudv — uv —

Mit Hülfe dieser Formel ist die Integration der Differential-Function udv zurückgeführt auf die Integration von vdu, wobei es durch passende Wahl der Factoren u und dv häufig erreicht werden kann, dass fvdu leichter zu ermitteln ist als fudv.

Wie dieses Verfahren, welches man „partielle Integration“ nennt¹), angewendet wird, mögen die folgenden Aufgaben zeigen.

(1.)

§ 16.

Beispiele für die partielle Integration.

fluz.dx = ?

Aufgabe 1.

Auflösung. Setzt man

u — Ina:, also dv = dx

so wird

(2.)

dx

du — —

v = x,

folglich erhält man nach Formel Nr. 97 der Tabelle

- fx • — = x . Ina: — fdx,

j\nx

. dx = x . Ina: —

oder

(3.)

flnx . dx — x (ln x — 1).

(4.)

Jxmhlx . dx = ? Auflösung. Setzt man wieder

u = Ina:, also dv = xmdx,

Aufgabe 2.

so wird

Xm+i

m + 1 ’

folglich erhält man nach Formel Nr. 97 der Tabelle

(5.)

du —

dx

(6.)

xmlnx. dx —

xm+l

^— \xmdx m 4- IJ

— )■

m -j- 1/

rn -f-1

Für m — 0 geht diese Aufgabe in die vorhergehende über. fx . emx . dx — ?

(7.)

Aufgabe 3.

Auflösung. Setzt man

u — x , also dv — emx . dx

so wird

• (8.)

du = dx,

mx

(9.)

fi.e

.dx = —

mx

. dx

— • emx(mx -- 1).

Aufgabe 4.

Jxsin#. dx = ?

(10.)

Auflösung. Setzt man

u = x, also Ä — sinx .dx,

so wird

(11.)

(12.)

du = dx

yisinr . dx = — a;cosa;

Aufgabe 5.

» = — COSa;,

+yiiosx . dx = — a:C0Sa; -f sina;.

/a:² COS x . dx = ?

Auflösung. Setzt man

(13.) so wird

u = a;², also cfo = cos# . da;,

dw — 2xdx,

fx²c,osx . dx = a;²sina; — 2^rsina;. da:, folglich erhält man mit Rücksicht auf Gleichung (12.) Jx²COS x . dx = a:²sina: + 2a:C0Sa; — 2sina;.

yarcsina:. dx = ?

(14.)

(15.)

(16.)

Aufgabe 6.

Auflösung. Setzt man

(17.)

so wird

(18.)

/*

v = sina:

u = arcsina-, also dy — da;,

d«

da:

Y1 — a-2 arcsina:. dx — a:arcsina;

V — X,

a;da:

]/l— z²

folglich erhält man aus Formel Nr. 31 der Tabelle

(19.)

Aufgabe 7.

/arc sina:. dx = a:arcsina: + ]/l — x². /arctga: .dx = ?

Auflösung. Setzt man

(20.)

u = arctga:, also de — dx

so wird

(21.)

du —

dx

V = X,

' xdx

1 + x* ’

folglich erhält man nach Formel Nr. 30 der Tabelle /arctga:. dx = xarctga: — ^ln(l + x²).

1 + x²

Iarctga:. dx = x arctga: —

(22.)

Aufgabe 8.

/^ln x)m . dx = ?

(23.)

Auflösung. Setzt man

u — (Ina:)”',

also do — dx,

so wird

(24.)

du = m (ln a:)’“⁻¹ •

dx

/(Ina:)”'. dx — a(lnx)m

Das gesuchte Integral ist durch diese Gleichung auf ein ähnliches zurückgeführt, das aus dem gesuchten hervorgeht, indem man m mit m — l vertauscht, und das deshalb einfacher ist. Durch wiederholte Anwendung der Gleichung (25.) findet man für jeden positiven ganzzahligen Werth von m das gesuchte Integral. Ist z. B. m = 4, so erhält man

/(Ina:)⁴ . dx = x{Ina:)⁴ — 4/(Ina:)³ . dx,

J{Ina:)³ . dx = a:(lna;)³ — 3 /(Ina:)². dx,

/lna:)². dx = a:(lna;)² — 2 /lnx . dx,

/lna:. dx ~ xIna: — x.

(25.)

(26.)

(27.)

(28.)

(29.)

/(Inz)

. dx.

Indem man Gleichung (27.) mit —4, Gleichung (28.) mit + 4.3, Gleichung (29.) mit —4.3.2 multiplicirt und sodann die Gleichungen (26.) bis (29.) addirt, erhält man

(30.)    ./(Ina-)⁴. dx = x[(hixy — 4(lna:)³

+ 4.3 (Ina:)² — 4.3.2(lns) + 4.3.2.1J.

In ähnlicher Weise findet man

(31.) J'(lnx)m . dx = x [(Ina:)"¹ — m (Ina:)

+ m(m — 1) (Ina:) --(- • • • ± m(m — 1)... 3.2 . Ina: ml].

m—2

Jex .xm.dx = ?

Aufgabe 9.

Auflösung. Setzt man

(32.)

u = xw,

also

de = eK . dx,

so wird

(33.)

du = mxm~x . dx fex . x"'dx = xm . ex — m fex . x

Auch hier ist das gesuchte Integral auf ein einfacheres zurückgeführt, das aus dem gesuchten hervorgeht, indem man m mit in ■— 1 vertauscht. Deshalb findet man durch das gleiche Verfahren wie bei der vorhergehenden Aufgabe

(35.) Jex . xmdx = ex[xm — mxm~l + m(m — l)a:

• • • ± m (m — 1) ... 3.2 . x =p m !].

v = ex

(34.)

. dx.

m— 2

§ 17.

Integration von einigen trigonometrischen Functionen durch partielle Integration,

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 98 bis 113.)

Aufgabe 1.

Auflösung. Setzt man

u — COSa:, also de = COSa:. dx

Jcos^x . dx = P

(1.) so wird

Jsm²x .dx = ?

Aufgabe 2.

Auflösung. Setzt man

(5.)

§ 17. Integration von einigen trigonometrischen Functionen. du — — sina:. dx

(2.)

v = sina:,

Jcos²a:. dx — cosxsina: -f- Jsm²xdx.

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist nicht einfacher als das gesuchte Integral; beachtet man aber, dass sin²a: =1 — C0S²a: ist, so geht Gleichung (3.) über in

Jcos²x . dx = cosa: sina: + Jdx — J'dO&x . dx.

Dies giebt, wenn man das zweite Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung auf die linke Seite bringt und die ganze Gleichung durch 2 dividirt,

. dx —

(3.)

(4.)

fcos²x

sina: cosa: -f — •

u = sina:, also do = sina:. dx

so wird

(6.)

du = cosx . dx, /sin²a:. dx —

v = — cosa:, sina: COSa: + fc0S²x . dx.

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist nicht einfacher als das gesuchte Integral; beachtet man aber, dass cos²a: =1 — sin²a:

(70

ist, so geht Gleichung (7.) über in

fsin²x . dx = — sina: cosa: + Jdx—J$m²x . dx.

Dies giebt, wenn man das zweite Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung auf die linke Seite bringt und die ganze Gleichung durch 2 dividirt,

(80*

sin²a:. dx — —

sina: cosa: + % •

2

Man erkennt ohne Weiteres den Zusammenhang zwischen den beiden letzten Aufgaben. Die Gleichungen (3.) und (7.)

stimmen mit einander überein, und durch Addition der Gleichungen (4.) und (8.) erhält man

(9.) /cos²# . dx +/sin²# . dx =/[cos²# + sin²#)«/# — fdx = #.

Ausserdem wird auch noch die Lösung der einen Aufgabe durch die Substitution

# =•

(10.)

in die Lösung der anderen Aufgabe übergeführt. So wird durch diese Substitution z. B.

/sin²# dx = —/cos²1 dt.

Aehnliches gilt auch für die hier noch folgenden Aufgaben; d. h. die Aufgaben lassen sich einander paarweise so zuordnen, dass die Lösung der einen Aufgabe sich unmittelbar aus der Lösung der anderen durch Anwendung dieser Substitution ergiebt.

Die Aufgaben 1 und 2 lassen eine wichtige Verallgemeinerung zu, die in den Aufgaben 3 und 5 untersucht werden soll.

Aufgabe 3.

/cos™# . dx = ?

Auflösung. Setzt man

(11.)

u — cos™⁻¹#, also dv — cos# . dx,

so wird

(12.)

du = — (m — l)cos™⁻²#sin#i£z, v — sin#,

(13.) /cos™# . dx = cos™⁻Gsin# + (m— l)/cos™⁻²#sin²#G?#.

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist nicht einfacher als das gesuchte Integral; beachtet man aber, dass

(14.) sin²# = 1 — cos²#, also cos™⁻²# sin²# = cos™⁻²# — cosro# ist, so erhält man

(15.) /cos™#. dx = cos™⁻G sin# + (m — l)/cos™⁻²# . dx

— [m — l)/cos™# . dx,

oder, wenn man das zweite Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung, welches mit dem gesuchten Integral identisch ist,

auf die linke Seite bringt und die ganze Gleichung durch m dividirt,

(16.) ß

COSm« . dx = —

yyi _ /"*

— cosm_1«sin« -j---lcosm~²x . dx.

n    m, J

Für m — 2 geht diese Gleichung in Gleichung (4.) über. Das Integral auf der rechten Seite von Gleichung (16.) geht aus dem gesuchten Integral hervor, indem man m mit m—2 vertauscht, und wird daher einfacher, wenn m 2 ist. Es sei z. B. m = 8, dann wird

COS⁸« . dx =

(17.)

(18.)

(19.)

(20.)

ß cos⁷« sin« + - /cos⁶« . dx, 8    8 J

— cos⁵« sin« + % /cos⁴«. dx, 6    ßj

cos⁴« . dx — ^ cos³«sin« + ßßos²x. dx, cos²«. dx =

cos⁶«. dx =

1 , « — cos« sm« + - • 2 2

7

Indem man Gleichung (18.) mit - ?

7.5.3

Gleichung (19.) mit

Gleichung (20.) mit

8.6*

Gleichungen (17.) bis (20.) addirt, erhält man

8.6.4

multiplicirt und sodann die

(21.) ßc

cos⁸«. dx

/I    7

= sin«( — cos⁷« + ——r cos⁰« + \8    8.6

7.5.3

<1    05

Ox

COS³«

\    .    .3.1

C0SV ⁺ 8767472*-

In ähnlicher Weise findet man

(22.) ß

cos⁷« . dx = sin«

(ß cos⁶« -f

ßß COS⁴« +

cos²«

05 •

^1-Y

7.5.3.1/

Man wird jedoch in allen Fällen, wo m — 2n + 1 eine ungerade Zahl ist, /cosmxdx lieber mit Hülfe von Formel Nr. 55 der Tabelle, nämlich mit Hülfe der Formel

Kiepert, Integral - Rechnung.

/cos2w+1# . dx = J (1 — sin²#)M. e?(sin#) berechnen. Für m = l findet man dann z. B.

(23.) fco&x . dx = J (l — 3 sin²# -f 3 sin⁴# — sin⁶#) d(sinx)

3    1

= sin x — sin³# -f — sin⁵# — — sin⁷#.

5    7

Man kann die Uebereinstimmung der beiden Resultate in Gleichung (22.) und (23.) leicht nachweisen.

Ist dagegen m eine gerade Zahl und positiv, so ist man, wenn man nicht die Moivre' sehen Formeln an wenden will (vergl. Formel Nr. 93 der Tabelle), auf die in Gleichung (16.) enthaltene Recursionsformel angewiesen. Dabei findet man ähnlich wie in Gleichung (21.)

= sin# f— cos

(24.) Je

cos²”# . dx

2n

x -f

2n(2n —- 2) (2n — 1) (2n — 3)

cos

COS2m~⁵#

2n . (2n — 2) [2n — 4)

(2n —• 1) (2n — 3)...5.3 2n(2n — 2) (2n — 4)... 4.2 (2n -—• 1) (2n — 3)... 5.3.1 2n[2n ■— 2) (2n — 4) ... 4 .*2 X '

COS#

Die Richtigkeit dieser Formel kann man mit Rücksicht auf Gleichung (16.) durch den Schluss von n auf n -f- 1 beweisen.

Aufgabe 4,

f dx _ p

J cosw#

Auflösung. Die Gleichung (16.) bleibt auch dann noch richtig, wenn m eine negative Zahl ist. Setzt man z. B.

n + 2,

m ■=- — (n — 2) =

also

m — 1 = — n -f 1 = — (n — l), so geht die Gleichung (16.) über in sin#

— {n — 2) cosw_1#

m — 2 — -— n,

(25.)

v    J C0SH_2#

—    (n -- 1) r dx

—    (n — 2)J cos"#

In diesem Falle ist aber das Integral auf der linken Seite der Gleichung einfacher als das auf der rechten Seite. Deshalb bringt man die Gleichung (25.) auf die Form

sina:

(n — 2) cos'*'

n — 1 f n — 2 J cos“#

dx

- + f-Ax.

[x Jcosn~²x

oder

(26.)

* dx

sina:

•n —

dx

(27.)

(28.)

COSHa:    (n — ljcos’^a:    n ■— IJ C0Sw-2a;

Es ist z. B. mit Rücksicht auf Formel Nr. 48 der Tabelle sina:

COS⁵a:    4 COS⁴a: "r

sina:

2 COS²a; ^ 2 / COSa: ’

dx

dx

COS³a:

³f-

VC

dx

4 1COS³^

dx

(29.)

' dx

ln

COSa;

3

also, wenn man Gleichung (28.) mit — ? Gleichung (29.) mit

4

multiplicirt und die Gleichungen (27.) bis (29.) addirt,

3 sina:

4.2 COS²a; 4.2

4.2

(30.) J

'dx

sina:

C0S⁵a:    4 COS⁴ a:

ln

(31.)

Für n — 4 erhält man

f dx _ sina:

J cos⁴a: — 3cos³a:

sina:

2 C dx 3JCOS²a;

2 ,

3^.

Man wird aber, wenn n eine gerade Zahl ist, zur Berech-

3 COS³a:

/ * dx

/—— zweckmässiger die Formel Nr. 63 der Tabelle

nung von anwenden, nach welcher

(32.)

Ä-/¹⁺

wird. In dem vorliegenden Falle ist z. B.

(33.)

/ dx /*

IcoA: ^Jil + i£x)d(tSx) =    + g-tg»*.

ß\\\mx .dx = ? Auflösung. Durch die Substitution

Aufgabe 5.

71

X = ---t

kann diese Aufgabe, wie schon erwähnt, auf die Aufgabe 3 zurückgeführt werden; hier möge jedoch, davon unabhängig, die partielle Integration angewendet werden. Setzt man

(34.)

u — sinm-Ia:, also dc — sina:. dx,

so wird

(35.)

du — (m — 1) sinTO—2a; cos x dx, v = — cosa;,

(36.) /sinma:. dx = — sill'"⁻¹xCOSx + (m — l)ysin”i_2a:cos²a:c?a:.

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist nicht einfacher als das gesuchte Integral; beachtet man aber, dass

(37.) cos²a: =1 — sin²a;, also sin”¹⁻²^ cos'G = sin"*~²a; — sinma:

ist, so geht Gleichung (36.) über in

/smmx. dx = — sinm—Gcosa: + (m — lj^sin“⁻²a:. dx

— (m — 1) ysin^a;. dx.

Dies giebt, wenn man das zweite Integral auf der rechten Seite, welches mit dem gesuchten Integral identisch ist, auf die linke Seite bringt und die ganze Gleichung durch m dividirt,

—Jsmm~²x . dx.

(38.) ß

sin*”« .dx — —

sin^Gcosa: -f

Für m = 2 geht diese Gleichung in Gleichung (8.) über.

Das Integral auf der rechten Seite von Gleichung (38.) geht aus dem gesuchten hervor, indem man m mit m — 2 vertauscht, und wird daher einfacher für m ^ 2. Es sei z. B. m = 8, dann erhält man

(39.)

sin⁸a: .dx — —

1 00

sin⁷a: cosa; + ^fsm⁶x

. dx

(40.) I sin⁶# (41.) jsm^x (42.) /s

. dx = —

.dx — —

sin²# .dx — —

— sin⁵# cos x /sin⁴# . dx, 6    6J

sin³# cos# + r /sin²#

V

1 . , #

— sm# cos# + — • Z    z

. (/#

Dies giebt ähnlich wie bei /cos⁸#. dx

(43.) ^sin⁸#

. dx = — COS#

(l^ + ST

sin⁵# + -

8.6 4

sin³#

7.5.3

Cn •

.3.1

8.6.4.2

SilU)⁺^6.4.2

- #.

In ähnlicher Weise findet man für m = 7

(44.) ß

sin⁷#. dx — — cos#

(y sin⁶# + y⁶

sin⁴# +

7.5.3

sin²#

CO

<l|

CO

h-*

Man wn'd jedoch in allen Fällen, wo m — 2n + 1 eine ungerade Zahl ist, /sinm#. dx lieber mit Hülfe von Formel Nr. 56 der Tabelle, nämlich mit Hülfe der Formel

/sin2>l+1# .dx — —j\l — cos²#)wc/(cos#)

berechnen. Für m = 7 findet man dann z. B.

(45.) _/sin⁷# . dx — —J[ 1 — 3cos²# + 3cos⁴# — cos⁶#)d(cos#)

3    1

= — cos # + cos³# — — cos⁵# -f- ~ cos⁷#.

Ist dagegen m eine gerade Zahl, lind will man nicht die JfoÜTe’schen Formeln anwenden (vergl. Formel Nr. 95 der Tabelle), so ist man auf die in Gleichung (38.) enthaltene Recursionsformel angewiesen. Dabei findet man ähnlich wie in Gleichung (43.)

86    § 17. Integration von einigen trigonometrischen Functionen.

( 6.) jsm2nz . dx = — cos# sin²”⁻¹# -j

2n(2n •— 2) (2n — 1) (2n — 3)

sin²"⁻³#

2n(2n — 2){2 n — 4)

(2h — 1) (2n — 3)... 5.3

2n(2n — 2)(2n — 4)... 4.2 (2n — l)(2n — 3)... 5.3 . 1

— sin#

2n(2n —- 2) (2n — 4) ... 4.2

x.

r dx J sür#

Auflösung. Auch Gleichung (38.) bleibt noch richtig, wenn m eine negative Zahl ist. Setzt man daher wieder m — — (n — 2) = — n + 2,

Aufgabe 6.

also

m-—1=—nl = — (n — 1), m — 2 = — n so geht Gleichung (38.) über in

COS#    —(n — 1) r

(n — 2) sin"⁻¹#    — (n —- 2) J sin"'#

Daraus folgt in ähnlicher Weise wie vorhin cos#

sin"⁻²#

dx

(48.)

Jsmnx

dx

n—2 r n — 1J sin"⁻²#

dx

(49.)

(50.)

(51.)

also

(n — l)sin"⁻¹#

Es ist z. B. mit Rücksicht auf Formel Nr. 47 der Tabelle

ddx cos#    3 Cdx

J sin⁵# ””    4 sin⁴# ‘ 4 Jsin³#

rdx __ cos#    i r

J sin³# ~~    2 sin²#    2 J sin z ’

f dx

J s

sin#

=InKI)J’

dx

« M

fdx

Ist n eine gerade Zahl, so wird    zweckmässiger durch

cos#

3 cos#

4 sin#    4.2sin²# ¹ 4.2

ln

Kl)]-

die Formel Nr. 64 der Tabelle, nämlich durch die Formel

. d(ctgx)

ermittelt. Es ist z. B.

ctg#— — ctg³#.

O

—ßl + ^g²x)d(ctgx) =

Jsmmxcosnxdx = ?

Aufgabe 7.

Auflösung. Ist n eine ungerade Zahl, so findet man die einfachste Lösung der Aufgabe mit Hülfe von Formel Nr. 57 der Tabelle; und ist m eine ungerade Zahl, so kann man Formel Nr. 58 der Tabelle mit gutem Erfolge anwenden. Sind aber m und n b eide gerade Zahlen, so kommt man durch partielle Integration zum Ziele. Setzt man nämlich

(54.)

u = sin"¹“¹#, dv = cos'"# sin x dx,

und deshalb

(55.)

du — (m — 1) sin”'“²# cos # dx, v =

cosw+1#

so erhält man

n -f 1

sin'"“¹# cos"⁺¹# n + 1

— / sin”'“²# cos"+²# dx.

n + 1/

Ist m positiv und n negativ, so ist diese Formel sehr brauchbar. Ist z. B.

(56.) ß

sinm# cosnxdx = —

so geht Gleichung (56.) über in

sin”'“¹#

sin”*#

cos”*#

-ß

(— m -j- 1) cos”¹“¹#    — m -f- Ij cos”¹⁻²#

sin”'⁻²#

dx,

oder

(57.)

/tg

mxdx =

—_+p-ni— 1

m— 1 S

# —ßgm

~²xdx.

Ist aber n gleichfalls positiv, so benutze man die Bezie-

hungen

cos²# =1 — sin²#,

sin”¹“²# cosw+²# = sinm“²#cosn#— sin”'# cos"#.

y» Dadurch geht Gleichung (56.) über in sin”¹⁻G cosn+1?

^cos"? dx

\ /sin'"? cos"? öG,

n + 1 /

sin”¹? cos"? d? =

oder

m 4- n

-Jsmmxcosnxdx = —

sin"¹⁻¹?cos"+I?

, - /sin'“⁻²? cos"? dx. n + 1J

Daraus folgt

(58.) /sin”¹? cos"? d?

sin"¹⁻¹? cos"⁺¹?

m + n

m. —

— /sin”¹⁻²? cos"? dx. m -f- vj

Durch diese Formel kann man den Exponenten von sin.? reduciren. Einen besonderen Fall dieser Formel erhält man für = 0, dann geht nämlich Gleichung (58.) in Gleichung (38.) über.

Vertauscht man in Gleichung (58.) m mit —m + 2, also

m, so erhält man

COS"? dx

sin”¹? ’

m — 1 mit — m + 1 und m — 2 mit

fi

cosnx dx

cos"⁺¹?

sin'"⁻²?

(n — m -f 2) sin'"⁻¹?

oder

(59.) f-

COS"? dx

sin”¹?

C0S"⁺¹?

n — m -f- 2 rCOS"? dx

1 J sin'"⁻²?

(m — 1) sin”1-:lx

Einen besonderen Fall dieser Formel erhält man wieder für n — 0, dann geht nämlich Gleichung (59.) in Gleichung (48.) über.

In ähnlicher Weise kann man den Exponenten von cos? reduciren. Setzt man nämlich

(60.)

u — cos"⁻¹?, do = sin”¹? cos ?^?,

(62.) lsmmxcosnxdx ==

sin^+^cos”⁻¹#

+ n-

(61.)

du = — (n — 1) C0SM_2#sin#d#, v —

sinm+1#

m -f- 1

so wird

7 /sinm+²# cosn~'²# dx. m + 3/

Ist n positiv und m negativ, so ist diese Formel sehr brauchbar; ist z. B.

so geht Gleichung (62.) über in

ctgw—¹

(63.)

Jctgnx dx —

- —/ctg“

~~²x dx.

Ist aber m gleichfalls positiv, so benutze man die Bezie

hungen

sin²# = 1 — cos²#,

sin“+²# cosw_2# = sinm#cosw_2# — sinm# cos”#.

Dadurch geht Gleichung (62.) über in sinm+1#cos,l_1#

sin”*# cos nxdx —

7j'smmxcosn~²xdx

sin’"# cosH# dx,

oder

m -f- n

sinm# cosw# dx =

sinm+¹# cosn_1#

m 4-1

m -f 1

#COS n~²xdx;

daraus folgt

(64.) I&in

m#cos nxdx —

sin”i+1#cosw~i#

m Ar n

m + n

— /sin”‘# cosM_2# dx. U

Durch diese Formel kann man den Exponenten von cos# reduciren. Einen besonderen Fall dieser Formel erhält man für

m = 0, dann geht nämlich Gleichung (64.) in Gleichung (16.) über.

Vertauscht man in Gleichung (64.) n mit —n + 2, also n—'1 mit —n + 1, n— 2 mit —n, so erhält man

-,

sin”*# dx

cos“⁻²#

sin”i+1#

sin"*# dx

(in — n + 2) COS“⁻¹#

COS“#

oder

(65.) ß

sin”*#«'#

sin"i+1#

m — n -j- 2 f 3inm# dx

n — 1 J(

(n — 1) COS“⁻¹#

Einen besonderen Fall dieser Formel enthält bereits Gleichung (26.).

Die hergeleiteten Formeln bleiben richtig, gleichviel, ob die Zahlen m und n gerade oder ungerade sind.

cos“#

cos“⁻²#

Was in den vorstehenden Aufgaben für die trigonometrischen Functionen sin#, cos#, tg#, ctg# gezeigt worden ist, könnte in entsprechender Weise auch für die hyperbolischen Functionen ©in#, (£of#, %qx, (Stg# ausgeführt werden; um Kaum zu sparen, möge von dieser Ausführung Abstand genommen werden.

¹

Die häufig gebrauchte Bezeichnung ,,tlieilweise Integration“ ist sprachlich nicht zulässig.

Aufgabe 8.

Jeax cos (£#)</# — ?

(66.)

Auflösung. Setzt man

u = eax,

dv = cos (bx)dx

also

(67.)

du = aeaxdx,

sin (bx),

so erhält man

(68.)

(69.)

JeaxCOS (bx)dx = eaxsm(bx)—

Setzt man dagegen u — e

ax

~eax sin (bx)dx.

dv — sin (bx)dx,

so erhält man (71.) Jeax sin(bx)dx = — eaxcos(bx) + —Jeaxcos(bx)dx.

Ol

multiplicirt, P + P

(70.)

du — aeaxdx,

COS(bx)

Dies giebt, wenn man Gleichung (71.) mit

zu Gleichung (68.) addirt und das Resultat durch dividirt,

(72.)

COS (bx)dx = e

aCOS(bx) + 6sin(6:r)

Multiplicirt man dagegen Gleichung (68.) mit

P + P

? addirt

dann Gleichung (71.) und dividirt durch

so erhält

man

(73.)

Jeaxsm(bx)dx =

eax .

«sin (bx) — 6 cos (Ar)

Noch einfacher findet man diese Gleichungen (72.) und (73.) durch Anwendung der Moivre'sehen Formeln.

§ 18.

Integration von einigen irrationalen Functionen durch partielle Integration.

Aufgabe 1.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 114 bis 126a.) xmdx Ya²—x²

Auflösung. Die Aufgabe ist mit Aufgabe 5 im vorhergehenden Paragraphen nahe verwandt, denn, setzt man

£ = asin£, also dx = a cos t dt, Ya² — x² = acost, so wird

xmdx

a”‘sin”lî!. a cos tdt

acost

y P—-x²

Die folgenden Umformungen entsprechen deshalb Zeile für Zeile denen in jener Aufgabe. Hier setzt man

xdx

(1.)

m—1

also dv =

]/a² — x²

dann wird nach Formel Nr. 31 der Tabelle du = (m — 1 )xm~²dx

(2.)

]/a² — x²,

^ fya²—x²

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist nicht einfacher als das gesuchte Integral; beachtet man aber, dass

xmdx

_ —xm~l ya² — x² + (m — 1 )jxm~²dxya²

—x².

y a²—x² --

a²—x²

ya²—x²

ist, so geht Gleichung (3.) über in

also dass xm~²ya²—x² —

à² xm~² — xm

xmdx

yd²—x²

= — xm~l Ya²—x² + (m —1 )J-

\a² xm~² — xm)dx

y a² — x²

Dies giebt

xmdx

xmdx Ÿa²—x²

Das zweite Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist mit dem gesuchten Integrale identisch. Bringt man dasselbe auf die linke Seite und dividirt die ganze Gleichung durch m, so findet man

. . I' xmdx

^ Jy

In dieser Formel geht das Integral auf der rechten Seite der Gleichung aus dem gesuchten Integral hervor, indem man m mit m — 2 vertauscht. Es ist daher, wenn die ganze Zahl m^2 ist, einfacher als das gesuchte Integral.

Für m = 6 erhält man z. B. mit Rücksicht auf Formel Nr. 34 der Tabelle

Ya²—x²

— — xm 1]/a²—x² + (m

•>/i

¹    ₊ (*” — ¹)g8 fxm~²dx

m    rn Jya2__x2

(5.)

x^'dx

xidx

(6.)

y a²~ x2 x*dx

(7.)

ya² — X²

x²dx

ya*—x* + — f---

v    Qjya*-^

² y x²dx

⁴JVa

ya¹—x² +

Sa²

J ya² — x²

y a² — x²

(8.)

r dx

J i

]/a²—x²

==. = arcsin

5 a²

Indem man Gleichung (6.) mit — ? Gleichung (7.) mit

5.3.1 a6 6.4.2~

Gleichungen (5.) bis (8.) addirt, erhält man

5a² xz

5.3a⁴

Gleichung (8.) mit

multiplicirt und die

(9.)

x^dx

y a² —x²

yd¹ — x²Çj +

5.3aix

6.4.2

5.3.1

6.4.2

a⁶arcsim

In ähnlicher Weise findet man für m= 7 mit Rücksicht auf Formel Nr. 31 der Tabelle xndx

mf.

Ya² — x²

--x⁶    6 a²xi , 6.4a⁴^² , 6.4.2a⁶

ya²— x²^j

7.5 ' 7.5.3    7.5.3.1

)'

Man wird aber die in Gleichung (4.) enthaltene Recursions-formel nur anwenden, wenn m eine gerade Zahl ist. Für ungerades m, also für m =    + 1 führt die Substitution

y a² ■— x² = \t

(11.)

schneller zum Ziele. Es wird dann nämlich

x² = a² — t²

a² — x² — t²

xdx — — tdt,

also

(12.)

x2n+idx

\a² — t²)ntdt

—r-

² — t²)ndt,

y a² — x²

so dass man nur eine ganze rationale Function zu integriren hat. Es ist z. B.

z¹dz

Va² — x²

J(a⁶ — 3aH² + 3a²t⁴ '■— t⁶)dt

a⁶t — a⁴t³ + — tt²t⁵ —

5    7 /

= — t(a« — a⁴t² + I a²t⁴ — j t⁶^

=-

oder, wenn man für t den Werth aus Gleichung (11.) einsetzt,

6 a²z⁴

x~dx

6.4 a⁴x²

7.5.3

6.4.2a⁶

Das in Gleichung- (9.) enthaltene Resultat kann man sogleich verallgemeinern. Setzt man nämlich

rH |<M

C2 -

1.3.5 2.4.6’“’

allgemein (14.) cn = so wird

1.3. b... (2n — 1)

2.4.6... (2»)

: C«+i

1.3.5.. .(2n—1)(2»+1) 2.4.6.. .(2rc) (2n 4- 2)

(15.)

Ci Ci

>-» IO

»C I CO

^n+l

2w + 1 2w + 2

Setzt man ferner

G i(x) =

toi «

= CiX,

+Sï-?(?+ï)-î[ï+-H

^ / x #⁵ , 5a²^³ .    3.5a⁴#

6-3(2:) = — -f-

6*2(2:) =

4

2.4.6

Ç3 rV

c₂ Lô ⁺

a²#³ . 3 a⁴#

4    2.4

= — F~# + a² Gi(x) I ?

c₂ L 5    J

allgemein

(2m — l)a²x2n~3 (2m — 2 ) 2m

2n—l

+----h

3.5... (2m — l)a2w-2a;

2.4 ... (2m — 2)2m    ’

(17.) Gn+l(z)

x2n+l

(2m 4- l)a²x2n

2m 4-2

(2m — 1) (2m 4- l)a⁴a:2w~³

2m(2m 4- 2)

3 - 5 ...(2m

1)(2m 4- l)«2wa:

(2m — 2) (2m) (2m -f- 2)

.    __ cn+1    æ2n+1

cn \2n -f-1

2.4... (2m — 2) 2m (2m -f- 2)

a²x2n~¹

2m

f 2m — 1 ) a⁴x2n~:3

(2m — 2) 2m 3.5 ... (2m — l)«2t‘af 2.4... (2m — 2)2m _

so wird

(18.)

G*+i(*) =

” /^2n-+l

_2m 4~ 1

+ a³Cr»(aO ‘

Nach Einführung’ dieser Bezeichnungen erhält man

' x2ndx

⁽¹⁹-⁾ /

]/ dl — a;²

= cw . a2Marcsin — ]/V²

• <?»(*)•

Die Richtigkeit dieser Formel kann man durch den Schluss von m auf m + 1 beweisen. Es ist nämlich nach Gleichung (4.) für m = 2m + 2

(2m    l)«² /* x2ndx

2m + 2    ’

oder, wenn man voraussetzt, dass Gleichung (19.) richtig ist,

yai—z² -j-

'x2n+2dX

]/a²—a4

'x2n-r‘2dx

]/a² — x²

2m 4- 2

ya²—xl 4

(2m 4- l)a²

2m 4- 2

cMa2warcsin

(2m 4- l)a²

2m 4- 2

]/«² — af². Gn{x)

also mit Rücksicht auf die Gleichungen (15.) und (18.)

,    . fx2n+2dx

™jy+-+

Ist also die Gleichung (19.) richtig, so bleibt sie auch richtig, wenn man n mit n + 1 vertauscht. Aus den Gleichungen (5.) bis (9.) erkennt man, dass die Gleichung (19.) für n= 1, 2 und 3 richtig ist, folglich bleibt sie auch richtig für n — 4, 5, 6,..., d. h. für alle ganzzahligen, positiven Werthe von n.

(21.)

Aufgabe 2.

Auflösung. Es ist

xm yd²—x²

fxmdxyd² — x² = ?

d² Xm — xm+1

ya²—x²

folglich wird

(22.)

jxmdx yd²—x² = 0,1 J-

xmdx

xm+²dx

y a²—x²

yd²—x²

Nun erhält man aus Gleichung (4.) durch Vertauschung von m mit m -f- 2 xm+2dx

y~a^~x²

Subtrahirt man diese Gleichung von der vorigen, so ergiebt

ya¹—x¹ -f

(m -f- 1 )a²

xmdx

!/-__

+ 2 Jya*—a*

sich

m d⁻ Jyd²—x2 Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung kann man dann weiter durch die in Gleichung (4.) enthaltene Recur-sionsformel reduciren. Man findet z. B. für m = 0 mit Rücksicht auf Formel Nr. 34 der Tabelle

(24.) fxmdx ya²

—x² —

xm+l

yd²—x² +

a²

xmdx

(25.)

Jdx y a²

a²

y a²—x² + — arc sin ^ y

und für m — 1 mit Rücksicht auf Formel Nr. 31 der Tabelle

(26.)

Jxdx y a²

-X² =

x²

a²

-ya2_x2__ya2_x2

= — ^ (a² — x²) ya²—x².

3

Auch hier wird in dem Falle, wo der Exponent m eine ungerade Zahl ist, die Substitution

x² = a- — t²

xdx = — tdt

]/a² — x- = t

schneller zum Ziele führen. So ist z. B.

J'xdx yä²

—-x² — —

fa—r

woraus sich wieder das in Gleichung (26.) gefundene Resultat ergiebt.

r dx

J xn

Aufgabe 3.

Ya² — x²

Auflösung. Gleichung (4.) bleibt auch dann noch richtig, wenn m eine negative Zahl ist. Setzt man z. B.

also

m = — (n — 2) = — n + 2, m — 1 = — w + 1 == — (n — 1), m — 2 — — n, so geht Gleichung (4.) über in

r dx

Jx

n—2

ya²—x²

yd²—-x²

(:n — l)a²

n — 2)x

— (n — 2)

j dx

J xn

y a² — x²

n

Factor —

In dieser Gleichung ist das Integral auf der linken Seite einfacher als das auf der rechten. Deshalb vertauscht man beide Seiten der Gleichung und findet durch Multiplication mit dem — 2

(n — 1 )a²

. r dx

mh

y a¹—x¹

(n — 1 )a²xn~¹

n — 2 I' dx yd¹] x

ya²—x²

y a²-— x²

Es ist z. B. für n = 2 in Uebereinstimmung mit Formel Nr. 38 der Tabelle

n— 2

(28.)

f.

dx

ya²—x²

x² y a² — x²

a²x

r dx

Auf dieses Integral kann man / —

Jx2m

durch wieder-

y a² — x²

holte Anwendung der gefundenen Recursionsformel immer zurückführen. Dagegen gelangt man für ungerade Werthe von n zu

Kiepert, Integral-Eechnung.

Y a² — x²

r dx

J X

auf welches die in Gleichung (27.) enthaltene

Formel nicht mehr anwendbar ist, weil die rechte Seite die Form oo — oo annimmt. Man erhält aber nach Formel Nr. 37

der Tabelle

(29.) f J x

dx

xYd² —x¹

1 jn /« + 1/a²—x²\

a \ x J

Aufgabe 4.

xmdx

Y a² + x¹

(30.)

Auflösung. Setzt man

u = xOT_1, also dv =

xdx

Y cd -j- x²

so erhält man

CO K-¹

du = (m — 1) xm~-dx, v = Y a² -j- x²

r xmdx

JÿïY+7² ",r

7/1— 1

Das Integral aut der rechten Seite dieser Gleichung ist tiicht einfacher als das gesuchte Integral; beachtet man aber, dass

xm~²Ya² + x² =

Yd² + x²

a² -f- x²

a² xm 2 + xm

]/a² -j- x²

Ya² -j- x²

ist, so geht Gleichung (32.) über in

Ya² -f- x² — (m — 1 )a² f-

J1

— (m —

(33.)

xm~²dx

Ya² + x2 xmdx

Ya² -f- x²

Bringt man das zweite Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung, da es mit dem gesuchten identisch ist, auf die linke Seite und dividirt die ganze Gleichung durch m, so erhält man

xmdx

(m — l)ß² Cxm~²dx m JYa² + x2 Es ist z. B. für m — 6 mit Rücksicht auf Formel Nr. 35 der Tabelle

(34.)

Y a² -f x²

rm—t__

-Ya² -\- x²

m

(35.)

xQdx

xd

(36.)

]/ a² + a:2 x⁴dx

5a² Ç x⁴dx

⁶ J yä*-+y~² ’

(37.)    /

]/ a² -f- a:2 a:²^a;

(38.)

]/ cd + x²

Jy'a² +2²

= — ]/a² + a;²

x³    —7,    3a- f x²dx

₌ _ya, + aH___y__, 2    2 J y cd -J- a;²

= StrSin (|) = ln(

£ + ]/a² -j- x¹

Dies giebt

(39.)

x^dx

]/ a² + x²

ya* + x>(d

5.3.1

5 a²xz t 5.3 a⁴x 6.4    6.4.2

x + y a? + a:²

6.4.2

a⁶ ln

In ähnlicher Weise findet man

6 a¹zi

6.4 a⁴x²

6.4.2a⁶

7.5.3

man wird aber, wenn m eine gerade Zahl ist, schneller zum Ziele kommen, indem man die Substitution

y a ² + x'² = t, x² = t² — a²

anwendet. So findet man z. B. xndx

xdx

= dt

^4L'¹ Jya²+x"

= jx⁶dt =ßte — SaH⁴ + 3 aH²— cd') dt

3a²/,⁵    ,    ,,

--— -+- a⁴/³ — aH.

Die vorstehenden Formeln bleiben sämmtlich noch richtig-, wenn man + a² mit —a² vertauscht. Dadurch findet man z. B. aus Gleichung (34.)

.    . i' xmdx

und aus den Gleichungen (37.) und (38.)

~m—l__

— yx 2__a2 ₊

m

(m — l)a² Çxm~²dx

x²dx

⁽⁴³'⁾ JV^—a*

Aufgabe 5. Auflösung. Es ist

X 4- Vx² — a²

Jxmdx\ a² rr² = ?

(44.)

j/(f² _j_ £.2 —

+ a;w+²

folglich wird

]/a² -f- x²

xmdx

'xm+²dx

fxmdxVa² -j- a:² = a² /

J    J

Y a² -j- x² J Y a² "+ x²

Nun erhält man aus Gleichung (34.) durch Vertauschung von m mit m + 2

\ fxm+2dx

‘Jyd² +■£*

Addirt man diese Gleichung zu der vorigen, so ergiebt sich

f*    _ /pffî-j-1    - >nr2    / /y>m (J/y*

(47.) jx-dxVa* +    + ^

(45.)

æw+¹

m+2

]/a² -f- a;² —

(m + l)a² /' xmdx

+ 2 J ydL + a-²

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung kann man dann weiter durch die in Gleichung (34.) enthaltene Recur-sionsformel reduciren. Man findet z. B. für m — 0 mit Rücksicht auf Formel Nr. 35 der Tabelle

(48.)

jdx yä* -t- x² = ^ y ä¹ + x² + ^ ln ^

und für m = 1 mit Rücksicht auf Formel Nr. 32 der Tabelle

(49.)jxdxyal + x¹— ^-|/a² + x²-\-~ya² -\- x² =^-(a²-f-x²)ycd-f-x².

Auch hier wird man in dem Falle, wo der Exponent m eine ungerade Zahl ist, besser die Substitution

*) Durch Vertauschung von a² mit — a² geht allerdings x -\-~Va²-\-x²

über in

ln(a? -^ya²-\-x²) — Ina

ln (x + yx² — a²) — ln («]/— 1) = ln ^

x + Vx² — a²

)- ln(]/-!)•

Hierbei darf aber die Integrations-Constante — lnfj/— 1) fortgelassen

werden.

benutzen.

V«² + x² — t

Durch Vertauschung von + a- mit — a¹ gehen die Gleichungen (47.) bis (49.) über in

,£»«4-1

(50.)    jxmdx~\/x²

(51.)    fdx Yx'¹

— a² —

■—a² =

H I Ol

y x¹ — a²

a²

xmdx

yx 2_a2_“²in^

m + ifyx‘i _ u2

x 4- ]/x² — a²

)■’

(52.)

Jxdx j/x²

— a² =

tH I CO

[x² — d¹) yx-—a².

Aufgabe 6.

dx

yd¹ -f xi

Auflösung. Gleichung (34.) bleibt auch dann noch richtig, wenn m eine negative Zahl ist. Setzt man z. B.

also

— (n — 2) = — n 4- 2

m — 1 = — n -f 1 — — {n — 1) so geht Gleichung (34.) über in

m — 2 = — n,

(53.) /-

J X

dx

y a² -r X²

dx

y d 4- x²

Vertauscht man beide Seiten dieser Gleichung mit einander

y a2    x~

n—l

und multiplient mit dem Factor

n — 2 (n — l)a²

so erhält man

dx

y a² 4- x²

(?i — 1 )a²x‘

'f t—2 r i—l)a²Jx

dx

y a² 4- x²

Es ist z. B. für n = 2 in Uebereinstimmung mit Formel Nr. 40 der Tabelle

(55.)

j'x² y a² 4- x2 Auf dieses Integral kann

dx

d²x

-,

dx

durch wiederholte

y a² 4- x²

Anwendung der in Gleichung (54.) enthaltenen Recursionsformel immer zurückgeführt werden. Dagegen gelangt man in dem Falle,

2 in

*) Vergl. die Anmerkung auf voriger Seite.

eine ungerade Zahl ist, zn /—__

J x y a¹ -f x²

in Gleichung (54.) enthaltene Formel nicht mehr anwendbar ist, weil die rechte Seite die Form — oo + oo annimmt. Man erhält

wo n

? auf welches die

aber nach Formel Nr. 39 der Tabelle

(56.) f-Æ J x

= — - 2lr ®in

— - ln(

a \

a + Y a- -j- x²

)'

x y a² + x¹

Vertauscht man + a² mit — a², so gehen die Gleichungen (54.) und (55.) über in

dx

yx² — a²

dx

yx'² — d²

(n —- l)a²x‘

yx² — a²

x² ]/x² — a²

a²x

n — 2 f {n — \)a²Jx

(Vergl. Formel Nr. 42 der Tabelle.)

n—2

yx² — a²

Auf dieses Integral lässt sich /

J x

dx

2m

YX² — a²

durch wieder-

holte Anwendung der in Gleichung (57.) enthaltenen Recursions-formel immer zurückführen. Dagegen gelangt man in dem Falle,

r_dx

Jx

wo n eine ungerade Zahl ist, zu

-, auf welches die

xyx² — d²

in Gleichung (57.) enthaltene Formel nicht mehr anwendbar ist, weil die rechte Seite die Form oo — oo annimmt. Man erhält

aber nach Formel Nr. 41 der Tabelle

(59.)

x yx²—d²

= — — arcsin

Anwendungen der Integral-Rechnung.

V. Abschnitt.

Quadratur der Curyeu.

§ 19.

Quadratur der Curven bei Anwendung rechtwinkliger Coordinaten.

Nach Formel Nr. 4 der Tabelle ist der Flächeninhalt einer ebenen Figur, welche begrenzt wird

1)    von der Curve y—f{F),

2)    von der X-Axe,

3)    von den beiden Ordinaten x = a und x — b

gleich

6,6

(IO

F = fydx = fF‘(x)dx = [F(x)J = F(b) — F(a),

a    a    a wobei F\x) = f(x) sein soll.

Die Berechnung des Flächeninhaltes von solchen ebenen Figuren nennt man: „Quadratur der Curven“. Man kann die dafür angegebene Formel sofort zur Lösung der folgenden Aufgaben benutzen.

(2.)

Aufgabe 1. Es sei eine Curve durch die Gleichung Sy = x¹

gegeben (Fig. 12); man soll die Fläche A^BXBA berechnen, welche durch die beiden Ordinaten

In diesem Resultate ist der Satz enthalten:

Die von der Parabel OP, der X-Axe und einer beliebigen Ordinate QP begrenzte ebene Figur verhält sich zur Fläche des Pechtecks OQPR mit den Seiten OQ — x und QP — y wie 2:3.

(7.)

x = a = 2 und x — b = 7

begrenzt wird.

Auflösung. Nach Gleichung (1.) wird

Fig. 12.

B/

(3.) F=

'x²dx =

24⁽⁷³ ~²³⁾

343 — 8    335

24

24

Aufgabe 2. Die Gleichung einer Paralel OP (Fig. 13) sei

(4.) y² = 2pz, oder y — ]/ 2jo.r ; man soll den Flächeninhalt der Figur OQP berechnen.

Auflösung. Da in diesem Falle der Punkt 0 die Abscisse 0 und der Punkt P die Abscisse OQ gleich x hat, so erhält man nach Gleichung (1.)

4.

B,

Fig. 13.

f-

(5.) F = fydx =f]/2px . dx o    ü

= y 2pfx '² dx o

irx

oder

= ^V'2px

(6.)

F=

«'S CO

Aufgabe 3. Die Gleichung einer Parabel (Fig. 14) sei y¹ — 9x, oder y = 3 yx ; man soll die Fläche A^B^BA berechnen, wenn

OAl = 4, OBy = 25

ist.

Auflösung. Nach Gleichung (1.) wird in diesem Falle

Fig. 14.

25    25,

(8.) F = fydx = 3fxF dx

4    4

R.

[2

3 ²⁵    r ²⁵

**] ⁼ \¹ V¹\ ’

4    4

also

(9.) F— 2 (125 — 8) = 234.

Aufgabe 4. In einer Ellipse mit der Gleichung b²x² + cdy² — a²b² = 0,

A₁

bTx

(10.)

-Va²—x²

a

y=±

oder (10 a.)

sind die Ordinaten QiPx und Q₂P₂ gezogen (Fig. 15); man soll den Flächeninhalt der Figur QlQ₂P₂Pi berechnen.

Fig. 15.

B p.

Auflösung. Aus Gleichung (10a.) folgt, da man nur das obere Vorzeichen zu beachten braucht,

(11.) F

Xt

=fydx

Q,

q71a

= h-fdx yar~x².¹)

folglich wird nach Formel Nr. 118 der Tabelle und mit Rücksicht auf Gleichung (10 a.)

4’

tu

«

Mi

es

to

SE.

IS

oder

(13.) E =

tOj I—¹

ŁO

sciyi) + aQ arcsin

— arcsin

Es sei z. B.

a = 6, b = 4,    #1 = 1,    #2 = 5,

also

ec

CD

I CO

CO

»o

c:

Ol I.CO

tH

dann wird

tH I CO

uD

rH

co

Ul

to

•r-H

m

Oi| Cn

es

W'

Ot) | h-⁴

Nun ist

5]/ll = 1/275 = 16,583 123

___V35 = 5,916 080

5yn — y35 = 10,667 043,

(5 Y 11 — V35) = 3,555 681

12arcsin = 11,821 327

rH I CO

(5y 11 — y35) + 12arcsin = 15,377 008

12arcsin ^ ^ = 2,009 377 13,367 631.

Aufgabe 4 a. Man soll die ganze Fläche der Ellipse mit den Halbaxen a und b berechnen (Fig. 15).

Auflösung. Man erhält den Quadranten der Ellipse, wenn man in der vorhergehenden Aufgabe

also

setzt. Dies giebt

(14.)

2*1 = 0 und

x₂ = a,

yi = b und y₂ = 0

ab

ab

— arcsin 1 = —- •    ?

2 2

folglich wird der Flächeninhalt der ganzen Ellipse

(15.)

E — 4 F — ahn .

(16.)

Aufgabe 5. In einer Hyperbel mit der Gleichung b²x² — a-y² = a²b²,

oder (16a.)

sind die Ordinaten Qil\ und Q₂P₂ gezogen (Fig. 16); man soll den Flächeninhalt der Figur Q1Q2P2P1 berechnen.

Auflösung. Aus Gleichung (16a.) folgt, da man nur das obere Vorzeichen zu berücksichtigen braucht,

— V x² — ä²

a

Fig. 16.

p/

Po,

-1 Q, t7o~x

(17.)

xA    x₂

=Jydx = ^ jdx yX¹

*1    *1

— a².

Deshalb wird nach Formel Nr. 124 a der Tabelle

(18.)    F=-

b Yx

VP — a- — ~l n(

x -f- y x² — a²

■)f

X,

= - "|-1/x² — a² — ~ str (Sof

oder mit Rücksicht auf .Gleichung (16 a.)

a a-

x-i

Xi

x.A

'a^_aó 2 2

(19.)

e+ö]

*1

= ^ (^22/2 — xxyx)—yln( aus ln

-j- ayi

)•

bx₂ + ay₂

(Ï+0-H5+Ï)

Dabei ist ln^ entstanden.

Für den besonderen Fall, wo xl gleich a und x₂ gleich x ist, wo also die gesuchte Fläche A QP im Scheitel der Hyperbel beginnt, wird

bxi + ay i

(20.)

₌3'_îJin('£₊ y

2    2 Va ^ J

Fig. 17.

Aufgabe 6. Die gleichzeitige Hyperbel ist durch die Gleichung

(21.) xy = 1, oder y —

gegeben; man soll den Flächeninhalt der Figur QiQ₂P₂Pi berechnen (Fig. 17).

Qs Q

Q,

Öl

Auflösung. Aus Gleichung (21.) folgt nach Formel Nr. 12 •x der Tabelle

also

sr.

X₁    X\

= [i“*c

(22.)

F = lnx₂ — ln^i = ln •

(23.)

Setzt man xt gleich 1 und x₂ gleich x, so erhält man F= Ina;,

so dass der Flächeninhalt der ebenen Figur AYQPA, in welcher OAi gleich 1 sein möge, die geometrische Deutung für die Function Ina; giebt.

Aufgabe 7. Die verallgemeinerte Parabel ist durch die Gleichung

yn = 2pxm, oder y = Y2p . xn

gegeben; man soll den Flächeninhalt der ebenen Figur Q^Q^P^Pi berechnen (Fig. 18).

Auflösung. Aus Gleichung (24.) folgt nach Formel Nr. 9 der Tabelle

(24.)

(25.) F=

= ^[xV'²p-x" l’

Fig. 18.

-Pf

Pj

Qi

Ql QX

oder

—— (^2^2 — xxyx). m-\-n

Für den besonderen Fall, wo xx gleich 0 und x^ gleich x ist, wo also die Figur im Scheitel 0 beginnt, wird

(26.)

F=

m -f- n

[*y]

(27.)

F= OQP =

nxy

OQPR.

m -f- n

Dies giebt den Satz : Die von der Parabel OP, der X-Axe und einer beliebigen Ordinate QP begrenzte Figur OQP verhält sich zu dem Rechtecke OQPR mit den Seiten OQ gleich x und QP gleich y wie n zu m + n.

m -j- n

Aufgabe 8. Die verallgemeinerte Hyperbel ist durch die Gleichung

= 2p, oder y = y2p . x “ gegeben; man soll den Flächeninhalt der ebenen Figur QiQ^Pt (Fig. 19 und 20) berechnen.

Auflösung. Es darf hier vorausgesetzt werden, dass die positiven ganzen Zahlen m und n von einander verschieden sind, weil der Fall, wo m gleich n, bereits durch Aufgabe 6

(28.)

xmyn

erledigt ist. Unter dieser Voraussetzung folgt aus Gleichung (28.) nach Formel Nr. 9 der Tabelle

(29.) F

x₁    x₁    ¹

-nV*P(x~

— *2

n — rn

oder mit Eiicksicht auf Gleichung (28.)

n _ — *2

n    n/-,    n

—— xy 2p . x

__ n(x₂y₂ — Xyyy) _ n — m

(30.)

Xi

n—m ~n\

xy y

[xy]

n — m

Fig. 20.

Fig. 19.

JPg.

Q,

Qu X

0\

Q./

Q2

-X

Bei dieser Aufgabe tritt ein bemerkenswerther Umstand ein, von dem später noch ausführlicher die Eede sein wird, wenn sich die Ordinate QyPy der Y-Axe immer mehr nähert, wenn also

lim^t = 0

wird. Die Y-Axe ist nämlich eine Asymptote der Curve, so dass sich in diesem Grenzfalle der Flächenstreifen in der Sichtung der Y-Axe bis in’s Unendliche erstreckt. Damit ist aber noch nicht gesagt, dass dann auch der Flächeninhalt der Figur unendlich gross wird; es wird sich vielmehr ergeben, dass derselbe einen endlichen Werth erhält, wenn n > m ist (Fig. 19).

TI —

Dann wird nämlich in Gleichung (29.) der Exponent ------

positiv, und deshalb

— m

(31.)

so dass Gleichung (29.) in

(32.)

n/— n-m

ny 2p —--X₂

nx₂y₂

n — rn

übergeht.

negativ, SO

^ _ yyi

Ist dagegen n cm (Fig. 20), so wird ——

dass man Gleichung (29.) besser auf die Form

(33.)

_ n^/2p m — n

,Xi

X₂

bringen wird. Jetzt ist

co

lim^!

*]=()

(35.)

lim F = oo.

Xj=0

Eine ähnliche Betrachtung stellt sich ein, wenn man x₂ in:s Unbegrenzte wachsen lässt. Dann erstreckt sich der Flächenstreifen in der Eichtling der X-Axe bis in’s Unendliche, und man erhält in dem ersten Falle, wo

ist, aus Gleichung (29.)

> 0, limza n

— OO

#a=oo

(36.)

lim F — oo.

#2=00

In dem zweiten Falle dagegen, wo

m —■ n

n c m, —

> 0. lim

#2=00

m—n

Xi

ist, findet man aus Gleichung (33.)

n^/2p

(37.)

lim F =

#2=00

rn—n

nziyi m — n

Bei der in Aufgabe 6 behandelten gewöhnlichen gleichseitigen Hyperbel wird der Flächeninhalt der Figur unendlich gross, wenn die Ordinate Qi Pi mit der F-Axe zusammenfällt, und ebenso auch, wenn die Ordinate Q0P2 in’s Unendliche rückt, weil in Gleichung (22.)

lim lna?i = — 00 und lim hix₂ = 00.

#2=00

£i=0

Aufgabe 9. Die Kettenlinie ist durch die Gleichung

(38.)

toi a

a ,

.e -f- e

gegeben; man soll den Flächeninhalt der Figur QiQ^PzPi (Fig. 21) berechnen.

Auflösung. Aus Gleichung (38.) folgt nach Formel Nr. 11 oder Nr. 19 der Tabelle

Fig. 21.

p.

P2I

(39.) F

—jydx

•)dx = aß,₀\(^)dx *1

X    X X₂

*T—-H®»©] •

Xi    Xi

"2 x

-ip₊.

xi

qTx

Nun ergiebt sich aber, wie auf Seite 384 der D.-R. gezeigt wurde, aus Gleichung (38.)

Qf

dt Yy² — cl¹

wobei das obere oder das untere Vorzeichen gilt, jenachdem x positiv oder negativ ist. Sind also xt und x₂ beide positiv, so geht Gleichung (39.) über in

jF=a[Yy²—a²]    = a(Yy₂²— «²—Vyi — ä²).

Wäre Xi negativ, so würde man erhalten

F — a (Y yd² — a'² + Y yd — a²).

(40.)

(41.)

Wird xi gleich 0 und x₂ gleich x (Fig. 22), so ist der Flächeninhalt der Figur OQPA gleich

(43.)

F= a ]Cyl — (Ä

und lässt sich auch sehr leicht als Rechteck darstellen. Be- " schreibt man nämlich um den Punkt A mit dem Halbmesser y einen Kreisbogen, welcher die X-Axe im Punkte B schneidet, so ist nach dem pythagordischen Lehrsätze

Fig. 22.

(44.) OB = yy¹-— a², also Rechteck

OBCA = aVy²—a².

P/

Q 7ß

Daraus erkennt man auch, wie man die Figur Q1Q2F2P1 (Fig. 21) in ein Rechteck verwandeln kann, bei dem wieder OA = a die eine Seite und y y₂ — a¹ —y y \l— a¹ die andere Seite ist.

(45.)

von

Aufgabe 10. Die Cykloide ist durch die Gleichungen x a(t — sinź), y = a(l—cosź) gegeben ; man soll den Flächeninhalt der Figur berechnen, welche einem ganzen Bogen OHA der Cykloide und von der X-Axe begrenzt wird (Fig. 23).

Fig. 23.

P,

-±~X

Auflösung. Sind x und y als Functionen einer dritten Veränderlichen t gegeben, so wird es bei der Quadratur der Curven (und ebenso bei den übrigen Anwendungen der Integral-Rechnung auf die Geometrie) im Allgemeinen zweckmässig sein, diese

Kiepert, Integral - Rechnung.

Grösse t als neue Intégrations-Veränderliche einzuführen. In der vorliegenden Aufgabe bildet man daher zunächst

(46.)

dx = «( 1 — cos t)dt, also, da OA gleich dem Umfange 2an des rollenden Kreises ist,

2 an

(2 an)

(47.)

F — fydx — a?f\ 1 — cos?!) (1 — COSt)dt. o    (0)

Bei Einführung einer neuen Intégrations-Veränderlichen muss man sorgfältig darauf achten, dass dabei auch andere Intégrations - Grenzen einzuführen sind. Deshalb sind auch in Gleichung (47.) bei dem letzten Integral die Grenzen in Klammern eingeschlossen, um dadurch anzudeuten, dass sich dieselben noch auf die ursprüngliche Intégrations-Veränderliche x beziehen, und dass man dafür die entsprechenden Werthe von t nachträglich einsetzen soll. Nun ist

x — 0 für t — 0, x = 2an „ t = 2n folglich geht Gleichung (47.) über in

ln

(48.)

F— a²/(l — 2cosrf + cos H)dt.

o

(49.)

Nach den Formeln Nr. 10, 13 und 98 der Tabelle ist fdt = t,

yèos tdt — snU fzo&tdt — asin źcosć -f

so dass man erhält

(50.)

2 jt

3 cPtc .

F = a² — 2 sin t -f- isin tcos t -f- £<]' =    [3£ — sin t (4 — cos^)]2ä=

Die Fläche eines Kreises mit dem Halbmesser a ist bekanntlich gleich a²™, folglich ist nach Gleichung (50.) die von der Cykloide und der X-Axe begrenzte Fläche dreimal so gross wie die Fläche des erzeugenden Kreises (Fig. 23).

Aufgabe 11. Die Astroide sei durch die Gleichungen (51.) x = acos³/, y = asin³/ gegeben (Fig. 24); man soll die von ihr eingeschlossene Fläche berechnen.

Auflösung. Um zunächst den Flächeninhalt des Quadranten OAB zu berechnen, muss man in der allgemeinen Formel für x die Grenzen 0 und a einsetzen. Da

Fig. 24.

,P

nun

x — 0 für / =

t = 0

7T

wird, so sind — und 0 die entsprechenden Grenzen bei Ein-

führung der Intégrations-Veränderlichen /. Deshalb erhält man

dx = — 3 a cos²/sin tdt, o

— 3 a²/sin³/. cos²/sin/û//

(52.)

(53.)

F =fydx = o

2

+ 3&²/sin⁴/cos²/c//.

o

Zur Ermittelung des unbestimmten Integrals von sin⁴/cos²/e?/ beachte man zunächst, dass

/sin⁴/cos²/e// = /sin⁴/ dt —/sin⁶/ dt

ist, und bilde nach Formel Nr. 99 und 103 der Tabelle die Gleichungen

(54.)

(55.)

(56.)

(57.)

/sinHdt = — i sin⁵/cos / -f- |/sinHdt, fńtftdt = — l sin³/ cos / + f/sin Hdt, fsitftdt = — sin /cos / + \t.

8*

Indem man Gleichung (55.) mit — 1, Gleichung (56.) mit + i, Gleichung (57.) mit + i multiplicirt und dann alle drei Gleichungen addirt, findet man

(58.) js

sin⁴/! dt —ßmet dt —

16

sin⁵/! cos/! — ~ sin³/! cos t 24

sin t cos t + ~

16

t;

folglich ist

71

(59.)

F=

(fl    2

— [cos t (8 sin⁵/! — 2 sin³/! — 3 sin*) + 3 t]J

a² 3u 3a²Tr 16 * ~2

32

(60.)

Der Flächeninhalt der ganzen Astroide ist daher

3 aP'it

Fig. 25.

Dies giebt den Satz : Der Flächeninhalt der Astroide verhält sich zu dem Flächetiinhalte des umschriebenen Kreises wie 3 zu 8.

Aufgabe 12. Die Cissoide des Dio-hles ist durch die Gleichungen

(61.) x = 2asin²<p, y — 2a

sin z(f

COS (p

gegeben (D.-E., Seite 555); man soll den Flächeninhalt der Figur OQP (Fig. 25) berechnen.

Auflösung. Aus den Gleichungen (61,) folgt

(62.)

x = 0 für (p — x = 2 a „ dx — kasm(po,os(fd(p

<P =

X    (p

(63.)

F =Jydx — 8 a²Jsvtftp d<p, 0 0

folglich wird nach Formel Nr. 104 der Tabelle, wenn man n gleich 2 setzt,

<p

472 »J

(64.) F = 8a² — cos Q- sinzcp +    sin cp^ +

= a²[3(p — cos (2 sin³</> + 3sinqp)].

Da die Gerade AB eine Asymptote der Curve ist, so erstreckt sich der Flächenstreifen bis in’s Unendliche, wenn die Ordinate QP der Asymptote immer näher rückt und schliesslich mit ihr zusammenfällt, wenn also

oder lim <p = ~

(65.)

lima; = 2 a

wird. Der Flächeninhalt der Figur bleibt aber endlich, da man aus Gleichung (64.)

(66.)

..    3 a²jr

Inn F= —-—

71

⁽f, = T

erhält. Die Curve liegt zur X-Axe symmetrisch; deshalb wird der Flächeninhalt der Figur, welche von der ganzen Cissoide und der Asymptote begrenzt ist, gleich

Sarn.

Aufgabe 13. Es ist die Gleichung

(67.)

y — ^ (z³ — 9x² + 23 X — 15)

h

gegeben; man soll Jydx berechnen.

a

Auflösung. Nach Formel Nr. 9 der Tabelle wird

(68.)

=Jydx =    — 9x<2 + 23a: — 15 )dx

— 15a:

= Â[t-³*’ + 28¥

₌ _L (J4 _ ₁₂ö8 _j_ 46J2 _ 60& _ «4 + 12a3 __ 46a2 _j_ ₆0a). 48

Will man sich über die Bedeutung dieses Resultates Rechenschaft geben, so muss man beachten, dass die der Gleichung (67.), oder der Gleichung

1) {x — 3){x — 5)

(67 a.)

Fig. 26.

E)

entsprechende Curve die X-Axe in den Punkten A, B, C mit den Abscissen OA =

en O

= 3,

schneidet. Setzt man daher z. B.

Id

+3

(70.)

ABH

=jy?x =

+i

Ei

b = + 1,

a = — 2,

so erhält man

(69.) JDiAD =/gdx —2

= s(-25-4¹⁶)

147

16

-1

Der Ausdruck ist negativ, weil die Figur I)yAD unterhalb der X -Axe liegt. Ferner wird der Flächeninhalt der Figur

i(-9 + 25) = |,

und zwar ist dieser Ausdruck positiv, weil die Figur ABH oberhalb der A-Axe liegt. Indem man a gleich 3 und b gleich 5 setzt, findet man den Flächeninhalt der Figur

5

= fydx =

i(-25 + 9) = ---,

und zwar ist dieser Ausdruck wieder negativ, weil die Figur

(71.)

BCT

rH CO

unterhalb der X-Axe liegt. Endlich ist der Flächeninhalt der Figur

7

=Jydx

5

(72.) CE,E

= -(119+ 25)=+ 3.

Dieser Ausdruck ist positiv, weil die Figur oberhalb der X-Axe liegt Demnach ist

+7

(73.)

ßdx =    (119 — 416) =

¹ CD

C5 CD

—2

und kann geometrisch gedeutet werden durch die Summe der Figuren

BiAD, ABH, BCT und CFtF, wobei aber die erste und dritte mit negativem, die zweite und vierte mit positivem Vorzeichen zu nehmen sind.

Dies giebt in Uebereinstimmung mit der auf Seite 16 aus-gefiihrten Untersuchung den Satz : Wenn man den Flächeninhalt einer ebenen Figur zwischen einer Curve y = fix), der Abscissen-Axe und zwei beliebigen Ordinaten durch Integration berechnet, so sind die Flächenstücke über der Abscissen-Axe mit positivem, und die Fläche7istücke unter der Abscissen-Axe mit negativem Vorzeichen berücksichtigt.

§ 20.

Quadratur der Curven bei Anwendung schiefwinkliger Coordinaten.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 127.)

Fig. 27.

Ist die Gleichung einer Curve für schief winklige Coordinaten gegeben, und bezeichnet man den Winkel welchen die positiven Richtungen der Coordinaten-Axen mit einander bilden, durch y,

0,

-b

Q Qi

B1

so wird der Flächeninhalt eines Streifens QQiPiP (Fig. 27), wenn man ihn unter Vernachlässigung der unendlich Meinen Grössen höherer Ordnung als Parallelogramm betrachtet, QQ^P = ydx. sin y,

(1.)

also

(2.)

b

A₁B₁BA = sin y fydx.

Uebungs - Aufgaben.

Aufgabe 1. Die Gleichung

i

(3.)

yl = 2px, oder y = y 2p . x

Ri

Fig. 28.

P,

Oj

stellt auch für schiefwinMige Coordinaten eine Parabel dar, wobei die F-Axe eine beliebige Tangente ist, und die X-Axe durch den Berührungspunkt parallel zur Axe der Parabel läuft (Fig. 28); man soll den Flächeninhalt der Figur OQP berechnen.

Auflösung. Hier ist nach Gleichung (2.)

_* i    _r2x*~

(4.) F = sin y . Y2pfardx — sin y . y2p

2 xy .

:-^-sm/.

Der Flächeninhalt des Parallelogramms OQPR ist gleich zy&my, folglich bleibt der auf Seite 104 angeführte Satz auch in diesem Falle noch richtig.

Aufgabe 2. Macht man in der Ellipse zwei conjugirte Durchmesser, deren Länge 2r und 2s sein möge, zu Coordinaten-Axen, so hat die Ellipse (Fig. 29) die Gleichung

(5.)

'LI'L

Cc

K> | IO

r—I

man soll den Flächeninhalt der Ellipse berechnen.

Ir

Fig. 29.

Auflösung. Hier ist nach Gleichung (2.) mit Rücksicht auf Formel Nr. 118 der Tabelle

= 4 sin y jydx o

±s-JÊLlfdxy^

o

oder

(6.)

4ä -siny F# yri _ v _|_ r arcsin r L2    2

jF = ró'Tr siny.

Da der Flächeninhalt der Ellipse mit den Halbaxen a und b, wie schon in Aufgabe 4 a des vorhergehenden Paragraphen gezeigt wurde, gleich ahn ist, so folgt hieraus die wichtige Formel

(7.)

rs . siny = ab.

Aufgabe 3. Die Gleichung einer Hyperbel ist, wenn man die Asymptoten zu Coordinaten-Axen macht,

e² 1 .

4 xy = e-, oder y — — • — »

(8.)

man soll den Flächeninhalt der ebenen Figur QiQ₂P₂Pi (Fig. 30) berechnen.

Fig 30.

Auflösung. Aus Gleichung (2.) folgt in diesem Falle mit Rücksicht auf Formel Nr. 12 der Tabelle

PJL

Ol

Q»

¹

In gleicher Weise wie bei den geometrischen Anwendungen der Differential-Rechnung sollen auch hier die Coordinaten eines Curven-punktes P immer x und y, die eines Curvenpunktes I\ immer xx und yl, allgemein die eines Curvenpunktes Pu immer xn und yn heissen.

(9.) F

?

— sin/ fydx =

xx

e²siny Çdx_e² sin /

4 J x 4

xx

(g)

§ 21.

Quadratur von Figuren, welche oben und unten durch eine Curve begrenzt sind.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 128.)

(10

Eine Figur sei oben begrenzt durch die Curve (Fig. 31)

y‘ =/(*),

unten durch die Curve

(2.)

y“ = g(?),

Fig. 3i.

p!p/

a'

A"

P"

Pi

links und rechts durch die Or-dinaten A“A‘ und B“B‘ mit , den Gleichungen

x = a und x = b.

Man kann dann den Flächeninhalt der Figur A“ B“ B‘ A‘ berechnen, indem man zuerst den Flächeninhalt der Figur

b

ABB'A' = fÿdx

BX

(3.)

(4.)

berechnet und davon den Flächeninhalt der Figurv

b

(5.)

ABB“A“ = jy“dx

abzieht. Dadurch erhält man

(6.) F

b    b    b

= A“B“B‘A‘ = fy‘dx—Jy“dx =/(y'

y“)dx.

Dasselbe Resultat findet man auch, indem man durch zwei benachbarte Punkte Q und Qi der X - Axe Parallele zur Y-Axe legt, welche die beiden Curven bezw. in den Punkten F‘, P\ und P", P‘\ treffen. Den Streifen P,,PdlP\P‘ darf man unter Vernachlässigung* von unendlich kleinen Grössen höherer Ordnung als ein Rechteck mit den Seiten

P,lP, = yt— y“ und QQi, = dx betrachten, wenn QQr verschwindend klein wird. Dadurch erhält man für den Flächeninhalt des Streifens P,,P,\P\P‘ = (ÿ — y“)dx, so dass die Summe aller dieser Streifen, nämlich

F=Av' -y")dx,

a

den Flächeninhalt der ganzen Figur A“B“BlA‘ giebt.

Fig. 32.

Dabei ist zunächst stillschweigend die Voraussetzung gemacht worden, dass die Curvenbögen A‘B‘ und A“B“ beide über der X-Axe liegen. Das Resultat bleibt aber auch dann noch r richtig, wenn diese Voraussetzung nicht erfüllt ist. Liegt z. B. der eine Bogen A“Bl> unter der X-Axe (Fig. 32), so hat, wie schon früher hervor- _

b    o~

gehoben wurde, fy“dx einen

a

B"

negativen Werth, so dass

fy‘dx —fy“dx =f{y* — y“)dx

a    a    a

die Summe der beiden Flächenstücke ABB'A⁴ und A“B“BA giebt.

In ähnlicher Weise kann man zeigen, dass Gleichung (6.) noch richtig bleibt, wenn beide Curvenbögen A‘B‘ und A“BU unter der X-Axe liegen, und schliesslich auch, wenn die X-Axe von den Begrenzungscurven geschnitten wird. Den letzten Fall kann man dadurch auf die vorhergehenden Fälle zurückführen, dass man die Figur in mehrere Theile zerlegt, indem man durch die Schnittpunkte der beiden Curven mit der X-Axe Parallele

zu der Y-Axe zieht. Für jeden einzelnen Tlieil gelten dann die früheren Voraussetzungen.

(7.)

Uebungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Von einer Parabel mit der Gleichung

_ i

y² = 2px, oder y = ± y2p . %²

ist durch die Sehne OPx (Fig. 33) das Segment über OPx abgeschnitten; man soll den Flächeninhalt dieses Segmentes berechnen.

Auflösung. Die Gleichungen der beiden begrenzenden Curven sind in diesem Falle

(8.) ÿ = y2p . a?

Fig. 33.

P1

of    '

folglich erhält man nach Gleichung (6.)

und y" = —x,

Xi

(9.)

— y“)dx

~y-x)dx xx /

=\y%p- J*²

oder

*■=4

(10.)

Xi V\

s *iyi-2*iyi ⁼

Segment über OPx ist also dreimal kleiner als das zugehörige Dreieck OQxPx.

Dasselbe Resultat ergiebt sich, wenn man von der Fläche OQiPi, deren Inhalt nach Aufgabe 2 in § 19 gleich fxx yx ist, den Flächeninhalt des Dreiecks OQxPx, nämlich \xxyx, abzieht.

Aufgabe 2. Von der Parabel mit der Gleichung

(u.)

_ i

«/² = 2px, oder y‘ — ± y 2p . x2 ist durch eine Gerade P'iP₂ mit der Gleichung

(12.)

y“ = mx + g

2x² mx²

x₂

= V2 p-~

Xi

^    7YI

= J (^2^2 — a?iyi) — 9- (^2² — 2Û²) — ^(ars — *i)*

Dabei ist aber bekanntlich

ys — y\ _ ya + ?/t

(15.)

X2- X\

x₂y\—.>'1

U = -

X-2 -Xi

ein Segment Pt'OP₂ abgeschnitten (Fig. 34); man soll den Flächeninhalt des Segmentes berechnen.

Auflösung. Tn dem vorliegenden Falle, wo der Punkt P\ unter der X-Axe liegen möge, muss man die Figur durch die Gerade P\PX, welche der F-Axe parallel ist, in zwei Theile zerlegen und erhält

Fig. 34.

Pt

’s

qTx

PP

Xi

(13.) P\PiO

—J 2y‘dx u

Xy

2 Y 2 pjz ² dx

o

_ 4rt yt

(14.) PhP₂Pi

x₂

->

a-i

—■y“)dx

X₂

—ßV2p.x²

Xt

— mx — p,)dx

XrVi 4 y₂yt x₂ —xx

folglich wird, wenn man noch die Gleichungen (13.) und (14.) addirt,

(16.) P = f {xxyx 4- #2^2) — i-(x 1 4 ff2)(yi 4- 2/2) 4 xxy₂ 4 ^y\

= {-(*iyi 4- ^22/2) 4- i(^iya 4 *«yi).

Es sei z. B.

an = 4, a:₂ = 16,    2,0 = 9

also

2/i = 6,    ?/2 = 12,

dann wird

(17.)

F= |(24 + 192) + £(48 + 96) = 108.

(20.) F

Fig. 35. PA B

Q, O

or~jA

Aufgabe 3. Die Gerade (18.) y“ = mx + ^ schneide von der Ellipse

(w.) y' = iysw

ein Segment PiP₂B (Fig. 35) ab; man soll den Flächeninhalt des Segmentes berechnen.

Auflösung. Nach Gleichung (6.) wird in diesem Falle

l*\dx

x₂

=ßy

— y“)dx

x-i.

— x¹ — mx —

=    ^ ⁺ ^arcsin

x₂

— — £xy — mx² — 2fix -f ab arcsin

to! i-*

= £(a*ya — SBtyi) — m(#2² — an²) — 2^(a:₂ — an)

-F aö arcsin (

»IS

)— «5 arcsin

»IS

Nun ist aber bekanntlich

(21.)

m. —

2/2—^yi

- , fl - -

a-₂ — an    a-₂

x₂y^ —xly₂

— an

folglich wird

(22.) w(a-₂²—an²) + 2^(a-₂ — an) = (ya—yi)(a-₂+an)-f 2(^1 — any₂)

=    — anyi) -f (a:₂Vi — any₂).

Verbindet man den Nullpunkt 0 mit den Punkten Pi und P-2 (Fig. 35), so erhält man ein Dreieck OP₂Pi mit dem Flächeninhalte \(x₂yv — x^y₂). Wenn man daher dieses Dreieck zu dem Segmente über der Sehne PiP₂ hinzufügt, so ergiebt sich nach Gleichung (23.) für den Sector Pi OP₂ der Flächeninhalt

Sector — arcsin

Li

(28.)

arcsin(^)] • .

(29.)

Dies giebt

(23.) F (*i2/2 — *₂yi) + y arc sin

Es sei z. B. a = 6

ft IS

— arcsin

(24.)

Xi = — 1

x₂ —— "F 5

also

fy35, y,=|yil dann geht Gleichung (23.) über in

(25.)

|C|/ll + 5]/35).

= 11,821 327, ]/li = 3,327 708,

= 2,009 377,    5y35 = 29,580 399,

F = 13,830 704 — |. 32,908 107 = 2,861 335.

(26.) F= 12 j^arcsin^^ + arcsin

Dabei ist

12 arcsin

12 arcsin

also

(27.)

Aufgabe 4. Eine Ellipse sei durch die Gleichung anx² + 2 ai2xy + a₂₂y² + a₃₃ = 0 gegeben; man soll den Flächeninhalt derselben berechnen.

Auflösung. Der Anfangspunkt der Coordinaten liegt im Mittelpunkte der Curve, aber die Coordinaten - A.xen fallen nicht mit den Axen der Ellipse zusammen (Fig. 36). Damit

Fig. 36.

P'

die Gleichung- eine reelle Ellipse darstellt, müssen die Ung’leichimg-en

P,

Q2

■X (³⁰->

«11 «22 -

«12² > 0,

«22 «33 < 0

p»

P¹

befriedigt werden. Aus Gleichung (29.) folgt dann

«12 # -f ]/(«i2² ■— «ll«22)P'ä- «22 «33

also

«22 y‘ =

«22 y“ = — «12 # —Y (ai 2² — «h a₂₂)x~ — «22 «33,

(31.)

y* — y“ =

2 _

— ]/(«i2²—- ana₂₂)x- —

«22

«22 «33 •

Nach den in den Ungleichungen (30.) ausgesprochenen Voraussetzungen kann man zwei reelle Grössen c und k durch die Gleichungen

(32.)

c — Yana₂ 2 — «12²,

«22 «33

c²

erklären, so dass Gleichung (31.) übergeht in

— Y— C²x² + k²c² = 2c

(33.)

Y-y" =

folglich wird

«22

«22

y^—x²;

fei

(34.)

2c

-y“)dx=~

«22

- /dx y k¹

j.

—x².

*il

Zur Bestimmung der Integrationsgrenzen beachte man, dass {y‘—y“)dz einer der Streifen ist, in welche man sich die ganze Fläche zerlegt denken muss. Die durch die Integration ausgeführte Summation aller dieser Streifen beginnt in demjenigen Punkte Pi und endigt in demjenigen Punkte P₂, in welchem der Punkt P‘ mit dem Punkte P“ zusammenfällt, so dass die Tangenten in den Punkten P± und P₂ zur Y- Axe parallel sind. Die Werth e von xt und x-₂ findet man daher, indem man

2c

Y/P—a?

y‘—y“ =

gleich 0 setzt. Daraus ergiebt sich

x₁ = — k und x₂ = + k,

(35.)

(36.)

«22

+k

= — / dx-yv «22|7

—s²

also nach Formel Nr. 118 der Tabelle

(37.)

2c r

F= —

«22 _

7*    _ Z*2

— ]//t²— x² -f — arcsin

Li

/;²c

= — [arcsinl — arcsin(— 1)J = oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (32.)

«33^r

]/ «u «22 - «12²

Wen

«22

(38.)

F= —

«22«337t

CI22Cs

Dasselbe Resultat findet man, wenn man die Halbaxe%« und £ bestimmt und in die Formel

F = ahn

einsetzt, denn es ist bekanntlich

(39.)

«=/

-2 «33

«11 + «22 V(«11    “ «22)” + 4«12²

*-y

- 2«33

«11 “I“ «22 -+• j/ («11 -«22)² + 4«12²

also

(40.)

ab =

- 2«33

V(«ll + «22)² - («11 - «22)² - 4«12²

-- «33

y«11 «22 - «12²

§ 22.

Quadratur der Curven bei Anwendung von Polarcoordinaten.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 129.)

Bei Anwendung von Polarcoordinaten mögen die Coordinaten eines Punktes P immer mit r und q, die eines Punktes Pt mit r, und <fi, allgemein die eines Punktes Pn mit rn und (pn bezeichnet werden. Nennt man den Flächeninhalt einer Figur AOP, welche durch zwei beliebige Radii vectores OA, OP und durch den Curvenbogen AP begrenzt wird (Fig. 37), S (Sector), so ist S eine Function von <f. Den kleinen Zuwachs

Fig. 37.

Qf

U<p

(IO

AS = PO Pi,

welchen diese Function erleidet, wenn der Winkel XOP gleich ff um die kleine Grösse POPt gleich Aq zunimmt, findet man, indem man den Bogen PPt durch die Gerade PPX ersetzt und zunächst den Flächeninhalt des geradlinigen Dreiecks POPx berechnet. Für diesen erhält man

■X

(2.) APOPt = \OP. OP₁sm(Aq) = ±r(r -j- Ar)

sin {Ag)

Aq

Aff.

Der Unterschied zwischen dem Curvensector POPx und dem Dreieck POPx ist ein Segment über der Sehne PPi, das eine unendlich kleine Grösse höherer Ordnung wird und deshalb vernachlässigt werden darf, wenn Aq verschwindend klein wird. Dann gehen auch die Grössen QPX gleich Ar und AS bezw. in die verschwindend kleinen Grössen dr und dS über, und man erhält

(3.)

lim (r -f- Ar) = r,

Jip—o

lim ■

J<p—0

sin (Aq)

Aq

also

(4.)

dS = \ r-d(p

und

S = i fr'ld(P ?

a

wobei <£ XOA = u und <$ XOP= (f gesetzt ist.

Gewöhnlich wird bei den Anwendungen auch die obere Grenze cp einen constanten Werth ß haben, welcher dem Radius vector OB (Fig. 38) entspricht.

Auch dieses Integral kann als eine Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen betrachtet werden. Theilt man nämlich den Winkel AOB in n (gleiche oder ungleiche) Theile, so wird auch der Sector AOB in n Theile zerlegt (Fig. 38)? von denen man jeden einzelnen POPi unter Vernachlässigung unendlich kleiner Grössen höherer Ordnung, nämlich unter Vernachlässigung der Dreiecke PQPh als einen Kreissector mit dem Flächeninhalte \r-dcp betrachten kann.

Dabei ist die Voraussetzung gemacht , dass die Anzahl n der Sectoren unendlich gross wird, und dass die einzelnen Sectoren gleichzeitig sämmtlich unendlich klein werden.

Durch Summirung aller dieser unendlich kleinen Sectoren findet man für den Flächeninhalt des ganzen Sectors

(5)

Fig. 3S.

XP,

\P

■X

(6.)

S = * Jr'²dcp.

a

Uebungs - Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll den Flächeninhalt des Sectors PiOP2 bei der Archimedischen Spirale

(7.)

r = a(p

berechnen (Fig. 39).

Fig. 39.

P,

Auflösung. Nach Gleichung1 (6.) ist in diesem Falle

■X

(8.) S

⁽P2    tył

= \ß'2drP = jßp2d(p

<pi    <pi

p>

also

(9.)

r2¹ — rt¹

Aufgabe 2. Man soll den Flächeninhalt des Sectors PiOP2 bei der allgemeinen Spirale

(10.)

r = a(fn

berechnen.

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe erhält man hier

(11.)

<Pü    ⁽p*

S = ^ ir²d(f = ^ fcp-nd(p <Pi    ‘‘Pi

2n+l

__ «² f <r

2 \_2n + P

a²((p22n+1 4- Vi2w+1)

<p i

2(2n -f- l)

<Pi    <Pi

(13.)

rPd(f

= \frdcp =

<Pi    <Pi

(<fid

also

(14.)

= ^f2acpd&a(p) = ja [e2a(P] C<Pi)

— (eia<p₂ _ e2atpx\

4 av

fr &

r₂² — »*i²

4 o.

Fig. 41.

Aufgabe 4. Die Gleichung

(15.)

oder

(15a.)

,r

cos²

stellt eine Parabel dar (Fig-. 41); man soll das Segment BOA berechnen.

Auflösung. Aus Gleichung (15 a.) folgt in diesem Falle

71

•2

(16.) S=\frH<p = aA

cl(f)

n COS⁴

•2

■2

LO ’S

oder, wenn man

(p = 2t

setzt und Formel Nr. 63 der Tabelle berücksichtigt,

(17.)

+?-

= aßäi=a2ßl + tgH)d{tgt)

71

71

= a²[tg^ + i tg³^]

«l'*    « I

8a²

= «² (i + I ) = “3

Aufgabe 5. Man soll den Flächeninhalt der Cardioide mit der Gleichung¹

Fig. 42.

tO.l-

(18.) r = a² cos

oder

B.

ii

(18 a.) r=acos²

berechnen (Fig. 42).

Auflösung. Setzt man

(p — 2t

so wird zunächst mit Kück-sicht auf Formel Nr. 101 der Tabelle

(19.)

<p    <p

= ~Jr'²d<p = a₂-ßo&⁴

o    o

t

(ß)d(P = ,/c

0

COS* tdf

= a²[|-cos³ćsinź -f- fcosżsinć + $£]*

also

(20.)

⁰⁰1

2 cos³

(l)sin(l)+3cos(l)sin(l)⁺³l •

Lässt man <p bis tt, also bis ~ wachsen, so wird

(21.)

3a²7r

16

die Hälfte des gesuchten Flächeninhalts, für welchen man daher

3 cdn

(22.)

F=

erhält. Der Flächeninhalt der Cardioide verhält sich also zum Flächeninhalt des Kreises mit dem Halbmesser a wie 3 zu 8.

Aufgabe 6. Man soll den Flächeninhalt der Lemniscate berechnen (Fig. 43).

Auflösung. Die Gleichung der Lemniscate ist

Fig. 43.

\A

(23.)    r² = a²COS(2<p) ,

folglich wird

wenn y von 0 bis — » also 2g> von 0 bis — wächst, folglich wird der Flächeninhalt der ganzen Lemniscate

(25.)

F = a² sin

= a².

(26.)

berechnen (Fig. 44).

Auflösung. In diesem Falle wird

Aufgabe 7. Man soll den Sector AGP der Hyperbel x² — y2 _ a2 ? oder r² cos(2^>) = a²

Fig. 44.

(26 a.) r² =

a²

<p

also

cos(2 g )

<p

(27.) S

<>

= 2!r*d(f <T

<p

_ a² I d(f

2 J cos (2<f )

o

_ a² T d(2(f)

4J cos (2(f) (o)

Dies giebt nach Formel Nr. 48 der Tabelle

(28.) S

= tHKt + y))](i = 7 IdKt + y)] '

, Aufgabe 8. Die Gleichung des Folium Cartesii war für rechtwinklige Coordinaten

(29.)

xz + y³ — 3 axy = 0 ; man soll den Flächeninhalt der Schleife berechnen (Fig.^45).

Fig. 45.

Auflösung. Bei Anwendung rechtwinkliger Coordinaten müsste man die kubische Gleichung (29.) nach y auflösen und erhielte einen Ausdruck für y‘ — y“, dessen Integration grosse Schwierigkeiten ■x bereiten würde. Führt man dagegen durch die Gleichungen (30.) x = rcos<p, y = r sin 9) Polarcoordinaten ein, so geht Gleichung (29.) über in

(31.)

__ 3«sin<^cos9>

~ cosz(f + sin³<p ’ deshalb findet man für den gesuchten Flächeninhalt

(32.)

S — -ff»da - 9a2 /sin²y cos²<jp 2J f ~ 2 cosV+sin^)²

0    0

Indem man Zähler und Nenner des Bruches, der unter dem Integralzeichen steht, durch cos⁶cp dividirt und beachtet, dass

dq>

COS²f/>

= d(tg<p)

ist, ergiebt sich

(33.)

s _ 9a² ftg²(p d(tg (f) _ 9a² Ç

2 y(l + tgV)² 2 7(1 + t³)²

(o)    (o)

wobei tg ff mit t bezeichnet ist. Setzt man noch

§ 23.

Uebergang von rechtwinkligen Coordinaten zu Polarcoordinaten.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 130.)

(1.)

Ist eine Curve durch die Gleichungen z = V = u>{t)

gegeben, so führt man zur Berechnung des von ihr eingeschlossenen Flächeninhalts häufig mit gutem Erfolge Polarcoordinaten ein. Aus den Gleichungen

(2.)

z = rcos<p, y = r siny

findet man nämlich

(3.)

(4.)

so wird

1 -f- t³ = z, also 3fîdt = dz,

(34.)

folglich ist

f U^dt —    — £-2^ _ _

7(i + *³)² 7 s² 7

(35.) S = -

3 a² T

? » 11-¹

toi a

i

1 + tg³y

j j Der Flächeninhalt der Schleife ist daher dreimal so gross wie der Flächeninhalt des Dreiecks AOB.

(o)

tg<p=| >

d(p xdy — ydx COS    X²

und wenn man diese Gleichung mit

r- cos²</> = x¹

multiplicirt,

(5.)

r²d(p = xdy — ydx —(x~ — y dt. Dadurch geht Formel Nr. 129 der Tabelle über in

dy \dx\

y7t)dt■

§    (ß) (p

⁼ \jr^ = \ß*d* ~ ⁼ Iß* dt

Uebungs - Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll den Sector AOP der Hyperbel mit den Gleichungen

(7.)

x = a^ö\u, y = a©inw (also z²—y² = a²) berechnen (Fig. 44).

Auflösung. Aus den Gleichungen (7.) folgt

(8.)

dx = a©htw . du, dy — aßo[u . du ,

also

(9.)

(10.)

xdy — ydx — a²((£opw — ©in ²u)du = a²du

a² P    a²u

— Idu — —— •

V    2

o

s = \ßxd‘J

0

— ydx) —

Für a gleich 1 wird deshalb

(11.)

u = 2 S,

d. h. u ist der doppelte Flächeninhalt des Sectors AOP, wie schon in § 28, Seite 128 der Differential - Rechnung hervorgehoben wurde.

Dieses Resultat stimmt auch mit dem in Aufgabe 7 des vorhergehenden Paragraphen gefundenen überein, denn aus den Gleichungen

(12.)

x — aßofw = rcosÿ, y = a@inw = rsin^

folgt

%QU = t g(f,

ni) tot- + ad = 1 + tgy-¹⁺

¹⁴'^ tgV4 ⁺    )    1—tgif 1 — %ÿu

(13.)

(Sofw 4- ©inw (£of u — ©in u

Nun ist aber nach D.-R. Formel Nr. 48 und 49 der Tabelle

6of u + ©inw = eu, ßof u — ©inw = e~u, deshalb geht Gleichung (14.) über in

tg(j + 9¹) = ln [tg(J + r/>)J = 2 u

(15.)

(16.)

folglich wird

(17.)

und

¹

ufgabe 3. Man soll den Flächeninhalt des Sectors PiOP₂ bei der loga-rithmischen Spirale

r — ea'P

berechnen (Fig. 40).

Auflösung. Aus Gleichung (6.) erhält man in diesem- Falle

ï'"Kî+*)]-ï

(18.) .

Aufgabe 2. Man soll den Sector der Kreisevolvente mit den Gleichungen

(19.)

j x — a(cost + żsinż) \ y — a(sinź — t cos f)

Fig. 46.

berechnen (Fig. 46).

Auflösung. Aus den Gleichungen (19.) findet man dx — atcostdt,

(20.)

folglich wird

dy — atsmtdt

Öl

irK

(21.)

(22.)

xdy — ydx = a²t²dt, Li='Ç = AOP.

Aufgabe 3. Man soll den Flächeninhalt der Astroide mit den Gleichungen (23.) x = acos³ź, y = asin³ć berechnen (Fig. 47).

Fig. 47.

Auflösung. Aus den Gleichungen (11.) findet man

dx — — Sacos^sin^ dy — + 3asin²ćcosfofr,

\A

(24.)

folglich wird

(25.) xdy — ydx = 3a² (sin^cosb! + sinHcos²t)dt = 3a²sin²żcos²cft

(26.)

oder

(27.)

t

a,2 r

S — — IsmHcosHdt = AOP, o

<p

— ysm²(21) d(2t). (0)

t

3 a² C

S — — /4sin²ćcos²ć. dt

o

Fig. 40.

(12.)

Dies giebt nach Formel Nr. 99 der Tabelle

Q/ti2    *    Q/j(2

(28.) S = — [— J sin(21)cos(21) + t\ = — [t — |sin(4D] •

Für t — — erhält man den Sector AOB, d. h. den vierten

Ai

Theil der Astroide, folglich ist der Flächeninhalt der ganzen Astroide in Uebereinstimmung mit Aufgabe 11 in § 19

(29.)

3a~7r

Aufgabe 4. Man soll den Flächeninhalt der Epicykloiden

Fig. 48.

mit den Gleichungen

(z = a\mdQ§t — cos(mtf)], }y — a\m sin t — sin(m£)]

<c

berechnen (Fig. 48).

Auflösung. Aus den Gleichungen (30.) folgt

(31.)

=ma[—sm£+sm^wîtf)]ûfr, =ma[ COS t — cos(mtf)]<#,

also, wenn man beachtet, dass hier w = n + 1 zu setzen ist.

(32.)

xdy — ydx = ma-\(m +1) — (m + 1) cos(nt)]dt = m(m + l)a²[l — cos {nt)]dt.

Dies giebt für den »Sector A OP

(33.)

L_ux(nt)\dt

0

= m(m + ¹^[t-¹-srn(nt.₎~ ■

Wenn der Sector durch einmaliges Abrollen des rollenden Kreises entstanden ist, wenn es sich also um den Sector A OBC handelt, so hat man den Wälzungswinkel des rollenden Kreises

nt — 2n, also t —

2tt

zu setzen und erhält

m(m -f- 1 )a²zr (»-f 1)(n + 2)a²7r

= AOBC.

(34.) *£ =

(35.)

Ist n eine ganze Zahl, so schliesst sich die Curve, lind die ganze Fläche besteht genau aus n solchen Sectoren; in diesem Falle wird also der Flächeninhalt der Epicykloide F — n . A OB C — {n + 1) (n + 2)a²zr.

(36.)

Ist z. B. n = 6, wie es in Figur 48 der Fall ist, so wird F — 56 d²n.

Für n — 1 ist die Epicykloide eine Cardioide, deren Flächeninhalt demnach

(37.)

F = 6a²/r

ist. Dieses Resultat stimmt mit dem in § 22 Aufgabe 5 gefundenen überein; nur war damals der Halbmesser a viermal grösser als in den hier benutzten Gleichungen.

Aufgabe 5. Man soll den Flächeninhalt der Hypocykloiden mit den Gleichungen

(38.) x — a[mc,ost -j- cos(mć)], y = a\m sin t — sin(m*!)] berechnen (Fig. 49).

(39.)

(40.)

Auflösung. Aus den Gleichungen (26.) folgt dx — ma [— sinć — sin(wż)]c#, dy — ma[o,ost— cos(mż)]^, also, wenn man beachtet, dass hier m =ji — 1 zu setzen ist, xdy — ydx = ma² [(m — 1) — (m — l)cos(«^)]^

= m(rn — l)a²[l — COS (nt)]dt}

folglich wird

t

g _ m{m — l)a²

-J[ 1 — COS {nt)]dt

o

= AOP.

m{m — l)a²

Wenn der Sector durch einmaliges Abrollen des rollenden Kreises entstanden ist, so hat man den Wälzungswinkel dieses Kreises

<N '

Fig. 49.

j)/

El

nt = 2 n. • also t =

n

zu setzen; dann wird

(42.) S =

m(m — l)a²7r

(n—1 \(n— 2 )aln

^ AOBD.

Ist n eine ganze Zahl, so schliesst sich die Curve, und man erhält für den Flächeninhalt der ganzen Hypocykloide

(43.)

F — n . AOBD = (n — l)(n — 2)a²n.

(44.)

Für den in Figur 49 berücksichtigten Fall ist n — 3 und F— 2 a?n, also doppelt so gross wie der rollende Kreis, oder wie der durch die Punkte DBF gelegte Kreis.

F = 6 a² 7t,

nui’ ist in der vorliegenden Darstellung der Werth von a viermal kleiner als dort.

Bei der Astroide hat man n = 4 zu setzen und erhält in Uebereinstimmung mit Aufgabe 11 in § 19 und Aufgabe 3 in diesem Paragraphen (45.)

VI. Abschnitt.

Kubatur der Rotationskörper.

§ 24.

Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 131 bis 133.)

Eine Curve (Fig. 50) mit der Gleichung

(1.)

V =/(*)

Fig. 50.

iy

% L R\

rotire um die A-Axe, dann beschreibt jeder Punkt der Curve einen Kreis. Um das Volumen V des Körpers zu berechnen, welcher bei der Rotation von der Figur At Q PA beschrieben wird, beachte man zunächst, dass V eine Function von x ist. Wenn nämlich OQ = x um die Grösse QQX—Jx wächst, so wächst auch V um den von dem 0 Viereck QQ^P^P beschriebenen Rotationskörper JV.

Dabei ist J V grösser als der von dem Rechteck QQiRP bei der Rotation beschriebene Cylinder . Jx und kleiner als der von dem Rechteck QQxPiRi bei der Rotation beschriebene Cylinder yfn.Jx; es ist daher

Dies gilt nur, wenn die Curve (wie in Figur 50) vom Punkte P bis zum Punkte Pi steigt; wenn sie dagegen in diesem Intervalle fällt, so wird

(3.)

y²n . Jx fl J V yr-n . Jx.

Steigt und fällt die Curve in dem Intervalle von P bis Pi abwechselnd (vergl. Fig. 3), so sei y‘ die Ordinate des höchsten Punktes H und y“ die Ordinate des tiefsten Punktes T, dann wird

y‘²n . Jz fl J V f_ y“~n . Jx.

In dieser Ungleichung sind die beiden vorhergehenden Ungleichungen (2.) und (3.) als besondere Fälle inbegriffen. Indem man die Ungleichung (4.) durch Jz dividirt, erhält man

JV

(4-)

(5.)

y‘²n f

Jz

= y“2n •

Da nun für \imJz = 0

lim y‘ — limy" = y

wird, so folgt hieraus

(6.)

dV

dz

= y²ir, oder dV = y²ndx;

dies giebt

(U)

V    — nJy²dz,

a

wobei die untere Grenze a die Abscisse OAt des Curvenpunktes A ist, denn für x gleich a wird das Volumen des Körpers gleich Null.

Gewöhnlich wird man auch für die obere Grenze einen constanten Werth b einsetzen müssen, so dass man erhält

b

(8.)

V    = nfy²dx.

Auch dieses Integral kann man als eine Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen ansehen. Zerlegt man nämlich die ebene Figur ArBiBA durch Parallele zur Y-Axe in n Streifen, die alle verschwindend klein werden, wenn n in’s Unbegrenzte wächst (Fig. 51), so darf man diese Streifen als

Rechtecke betrachten, denn die kleinen Dreiecke PR Pt, welche dabei vernachlässigt werden, beschreiben bei der Rotation ringförmige Körper, deren Volumina unendlich kleine Grössen höherer Ordnung sind.

Fig. 51.

d/

Das Volumen des Cylinders, welcher bei der Rotation von dem Rechteck QCRRPbeschrieben wird, ist aber

y²7T . dx,

irx

Q Qt

wenn man die Höhe dx des Cylinders sogleich verschwindend klein annimmt. Die Summe aller dieser unendlich vielen, unendlich flachen Cylinder giebt dann das gesuchte Volumen des Rotationskörpers, nämlich in Uebereinstimmung mit Gleichung (8.)

b

— ⁷¹Jlfdx.

Fig. 52.

In ähnlicher Weise findet man auch das Volumen eines Rotationskörpers, bei welchem die Y-Axe die Rotationsaxe ist; nur muss man in diesem Falle x und y mit einander vertauschen, so dass man

d

(9.)

V = nJx²dy

Sk

■X

erhält. Es ist dabei zu beachten, dass hier y die Intégrations-Veränderliche ist, und dass man deshalb erst inte-griren kann, nachdem man in Gleichung (9.) x² als Function von y dargestellt hat, während in Gleichung (8.) x die Intégrations -Veränderliche war.

Um dies anzudeuten, mögen die Integrationsgrenzen a und b, da sie besondere Werthe von x sind, in Gleichung (8.) mit

Kiepert, Integral-Rechnung.

xi und z₂ bezeichnet werden; und ebenso mögen in Gleichung (9.) die Integrationsgrenzen c und d, da sie besondere Werthe von y sind, mit y y und y₂ bezeichnet werden.

Man erhält daher

X₂

(10.)

n fy²dx

wenn die X-Axe die Rotations - Axe ist, und

V — ufx}dy,

V\ '

wenn die Y-Axe die Rotations -Axe ist.

Durch Verlegung der Coordinaten-Axen kann man es immer erreichen, dass die X-Axe oder die Y-Axe mit der Rotations-

Axe zusammenfällt. Ist z. B. in Figur 53 die Gerade CiA mit der Gleichung

x = a

Rotations-Axe, so verschiebe man die Y-Axe parallel mit sich um die Strecke OA gleich a, indem man

x = x‘ + oder x‘ — x — a setzt, dann wird

(11.)

Fig. 53.

a.

,z>

)C

(12.)

= nfxndy y\

— ⁷¹J(x

j/i

— a)²dy.

Die Berechnung des Volumens der Körper nennt man „Kubatur der Körper“.

§ 25.

Uebungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Ein gerader Kreishegeldessen Grundkreis den Halbmesser a hat, und dessen Höhe gleich h ist, entsteht, indem ein rechtwinkliges Dreieck OCA (Fig. 54) um die X-Axe rotirt; man soll das Volumen des Kegels berechnen.

Auflösung. In dem rechtwinkligen Dreieck OC A ist die Kathete OG gleich h, und die andere Kathete GA gleich a, folglich hat die Hypotenuse OA die Gleichung

Fig. 54.

(1-)

ax

■X

y = -r

Das Volumen des Kegels wird daher nach Formel Nr. 131 der Tabelle

(2.)

h

7xJ'y² dz — o

a²n

~W

x²dx.

also

(3.)

cdn f" zs "I*_ a²n

LtJo-“3

h²

Aufgabe 2. Ein abgestumpfter gerader Kreiskegel habe die Höhe h und sei begrenzt durch die beiden Kreise mit den Halbmessern «i und a₂; man soll das "

Volumen des Kegelstumpfes berechnen.

Fig. 55.

a₂

Auflösung. Der Kegelstumpf entsteht durch Rotation des Paralleltrapezes OAA₂Ai um die X-Axe (Fig. 55), wobei OA gleich \ h mit der X-Axe und OAy gleich öi mit der Y-Axe zusammenfällt. Die Gleichung der Geraden A}A2 ist daher

a2

(4.)

ö₂ - Ö!

~~r~x + ai

folglich wird

io*

h

+ «1²^J

2ä

(5.) V

h    h

— nß/²dx = nf[ o    o

(a-2 — a i)²^²

~h²    +

2(as — ał)a^x

+ at² ^jdx

r(«2 — at)²#³

= 7rL w........

JlTt

—    [(a2 — a\)² + 3(«2 — «i)ßi -f- 3at²],

also

(6.)

llTl

^-(ßi² + üba₂ "1* ö2²)-

Aufgabe 3. Der Halbmesser einer Kugel sei a; man soll das Volumen einer Kugelschicht berechnen, welche unten und

Fig. 56.

oben von zwei Kreisen mit den Halbmessern xx und x2 begrenzt ist und die Höhe h hat.

Ą.

■ (7.)

Auflösung. Die Kugel-p Schicht entsteht (Fig.56) durch V Rotation der Figur Pt PvP₂H2 \A um die F-Axe, wobei PiP2 ¹ der Bogen eines Kreises mit der Gleichung x² -f- y² = a², oder x¹ = a² — y2 ist. Nach Formel Nr. 132 der Tabelle erhält man daher

(8.) F

■Va    y₂

= rcjx²dy — nj[a²

Vi    ?/i

y²)% = tt a²y

also

F = y [3«“(s/₂ — yO — (ył — ył)]

= —ay^7r [3a² — ył — yiyo — ył]

(ys — ył)7t

[3(a²—ył) + 3(a²—ył) + {ył~2y^_ + ył) J.

Für x gleich y wird

§ 25. Kubatur der Rotationskörper; Uebungs-Aufgaben. Nun ist aber

(10.)

y-2 — yi = h, y*} — 2 yty₂ + yi² = h²,

und nach Gleichung (7.)

(Z² — y!² = xt²,    a² — y₂² = xß,

folglich wird

(11.)

hrt

— (3a:!² + 3a;₂² + h²).

Setzt man in Gleichung (8.) yi gleich 0 und y₂ gleich a, so geht die Kugelschicht in die Halbkugel über, so dass man für das Volumen der ganzen Kugel

₃ «

v=2 TZ a²y—=

(12.)

erhält.

Aufgabe 4. Die Parabel OP mit der Gleichung y² = 2px

rotire um die X-Axe (Fig. 57); man soll das Volumen des von der Figur OQP beschriebenen Rotations-Paraboloids berechnen.

Auflösung. Nach Formel Nr.

131 der Tabelle ist

(13.

Fig. 57.

(14.) V = nfißdx — 2'pnjxdx o    b

_ x . 2px . 7t

x²

«3

Dies giebt den Satz : Das Volumen des Rotations-Paraboloids

dem entsprechenden Rechteck

ist halb so gross wie der von OQPR mit den Seiten x und y bei der Rotation beschriebene

Cylinder.

_XZ7l

~~ ~2

Beschreibt man über einem Kreise mit dem Halbmesser x einen Cylinder mit der Höhe x, eine Halbkugel, ein Rotations-Par ab oloid und einen Kegel mit der Höhe x (Fig-. 58), so sind die Volumina dieser vier Körper bezw.

Fig. 58.

X³7T

2x³7l X³7T X³TT

?    5

und verhalten sich daher zu einander wie

6 : 4 : 3 : 2.

Aufgabe 5. Rotirt eine Ellipse mit der Gleichung

x² y² _

Fig. 59.

(¹⁶-)    a2 + hi

oder

Jj

b²

(16a.) y²=—(a² — x²)

um die grosse Axe (Fig. 59), so heisst der dabei beschriebene Rotationskörper „längliches Ro-tations-Ellipsoidu ; man soll das Volumen der Schicht berechnen, welche bei der Rotation von

der Figur QiQ₂P₂Pi beschrieben wird.

Auflösung. Nach Formel Nr. 131 der Tabelle wird in diesem

Falle

(17.) V

x₂    x₂

= ™jy*dx — h-~rj«2 *1 *1

b²n f

— x²)dx — ß2

--f]

3-1

b²n

[3a² (^2 — Xi) — (x₂³ — Xi³)] b²n(x₂-Xi)

3 a²

3a²

(3a² — x₂² —- XiX₂ — xi²)

+ ^2 \X* ~ ^)² ’

b²

oder, wenn man die Höhe #₂— #1 der Schicht wieder mit h bezeichnet und Gleichung (16a.) beachtet,

(18.)

r= £(%,• +«*■ + *£).

Für yi gleich 0, y₂ gleich 0, h gleich 2a erhält man das Volumen des ganzen Rotations-Ellipsoids, nämlich

(19.)

4a5²7T

Aufgabe 6. Rotirt eine Ellipse mit der Gleichung

(20.)

Fig. 60.

oder

Ro

-z*

(v-y²)

Li>

p,

(20a.) z² = £₂

um die kleine Axe, so heisst der dabei beschriebene Rotationskörper „ Sphäroid¹ ‘ (Fig. 60) ; man soll das Volumen der Schicht berechnen, welche bei der Rotation durch die Figur BiPiP₂R% beschrieben wird.

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man hier

y-i

(21.)

V\

y\

hrt /    „    a²h²\

⁼ x(tel+i+^)

wobei die Höhe y₂ — yi mit h bezeichnet ist.

Für X\ gleich 0, x₂ gleich 0, h gleich 2b erhält man das Volumen des ganzen Sphäroids, nämlich

4 a²bn

Aufgabe 7. Rotirt eine Hyperbel mit der Gleichung

(23.)

ip    b²

= G oder y² =-(z² — a²)

um die X-Axe, so entsteht das „zweischalige Rotations-Hyperboloid}¹ (Fig. 61); man soll das Volumen einer Schicht dieses Körpers berechnen.

Fig. 61.

Auflösung. Hier ist

(24.) V

x₂

= nffdx =

a²)dx — ß2

b-7i r xz

8”Ä

Xt

b²n

— [zł — zp — 3a²(^₂ — an)]

b²n{x₂ — an)

3Ö²

— an) f3b²    ₉

(x₂² + X\X₂ + an² — 3a²)

3 b²

a2 Gl² — «²)

b²

(x₂ — an)²J ?

oder, wenn man a;₂ — an mit h bezeichnet und Gleichung (23.) berücksichtigt.

Für

an = a, yt = 0; x₂ = x, y₂ = y] h — x — a

erhält man das Volumen des Körpers, der bei der Rotation von der Figur AtQP beschrieben wird, nämlich

(X d\n "

(26.) V= B

3y²

b²(x— a)

a-

2-

£²(x — afn

3 a?

(x -f- 2a).

(27.)

Aufgabe 8. Rotirt eine Hyperbel mit der Gleichung

Fig. 62.

y²

>P

oder

(27 a.) z² = £₂

um die Y - Axe, so entsteht das „einschalige Rotations - Hyperboloid“ (Fig. 62); man soll das Volumen einer Schicht dieses Körpers berechnen.

Auflösung. Hier ist

a²

(:y² + t>²)

\A

(28.) V

Vu    Vs

= nßx²dy = °^~ßy² + b²)dy - ^

Vi    V\

(ył + yiy 2 + yd- + 3 b²),

a²n (y₂ — yd)

3 b²

a²n

r- S    -d*

?+*•>

Vi

oder

(29.) V =    + 4») + ^ (y,* + 4²)

3 a²

y,)²]-

b²

Bezeichnet man die Höhe y₂ — yi der Scliicht wieder mit h, so wird mit Rücksicht auf die Gleichungen (27 a.)

(30.)

Für

xi = a, 3/i = 0 ;    ;r₂ = y₂ = y, A = y

erhält man das Volumen des Körpers, der bei der Rotation der Figur OAPR um die H-Axe beschrieben wird, nämlich

(31.)    V=^-(3a² + 3x²

a²y²\

)

a²yn

3£²

(;V² + 3*²).

Aufgabe 9. Man soll das Volumen des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Kettenlinie um die X-Axe entsteht (Fig. 63).

Auflösung. Die Gleichung der Kettenlinie ist

Fig. 63.

(32.) y= (ea+e

to a

X

“)

= aQL o!

oder

X

± Vf—a- =|(e“

a@in

folglich wird (33.) V

2x

a^)dx

2x

d?n t'f a

= -rJ\e +² + e

*1

cPnVa 7    a

⁼ ^r[2e + 2x~r

Unter der Voraussetzung, dass xx und x₂ beide positiv sind, erhält man

(84.)

tO i 55

ea+ e

X

“)• «

K)j a

+ ax

-]**

J

xl

= Y [vVy² — «² + ax]

= °y &    0,2 — y¹ Vyi²—«² + «(*2—«0].

Wird dagegen xx negativ, wie es in Figur 63 der Fall ist,

so wird

(34a.) V— ^[y₂ Vył—a² + yx ]/yx² — a² + a(x₂ — xx)].

§ 25. Kubatur der Rotationskörper; Uebungs-Aufgaben. Für xi = 0, y\ — a\ x₂ = x, y₂ = y erhält man

(35.)

v=

^-(yVy² — «² + «*)•

Aufgabe 10. Man soll das Volumen des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Cykloide um die X-Axe entsteht (Fig. 64).

Auflösung. Die Gleichungen der Cykloide sind j == a(t — snD),

\    = a{ 1 — cost);

d. h. x und y sind beide als Functionen einer dritten Veränderlichen t dargestellt; deshalb wird es zweckmässig sein, t als Intégrations - Veränderliche einzuführen.

Dies giebt

Fig. 64.

(36.)

(37.)

dx — a( 1 — COS t)dt,

also, wenn der Körper durch Rotation der Figur OQP entsteht,

X    t

(38.)

V — 7ify^dx = a%n f{\ — cos tfdt o    b

t

= a?nj{ 1 — 3cosć + 3cos²ć — cos³0c& o

folglich wird nach den Formeln Nr. 10, 13, 98 und 55 der Tabelle

(39.) V = a?7t(t — 3SÜD -f- f SÜD cost -f- \ t — süD + |sin³ć)

= azTt\§t + süD(—4 -f- fcosć + £sin²£)].

Für t = 2rt erhält man das Volumen des Körpers, welcher durch Rotation der ganzen Cykloide OAHP entsteht, nämlich

(40.)

V = 5 a³7i².

Aufgabe 11. Man soll das Volumen des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Astroide um die X-Axe entsteht (Fig. 65).

Auflösung. Die Gleichungen der Astroide sind

Fig. 65.

,P

(41.) a; = a cos³/, y = «sin³/

folglich ist, wenn man wieder /

,    zur Intégrations - Veränderlichen

\A    macht und zunächst den Körper

berechnet, welcher durch Rotation der Figur OQPB entsteht,

(42.) dx = — 3« cos²/sin/g?/,

(43.)

= nfy²dx = o

t    >

— 3aznf(l — cos²/)³ cos²/. </(cosZ).

Tt

3azn/sin⁶/ cos²/sin tdt

71

Setzt man also

COS t — Z

so wird, wenn man beachtet, dass cos (JÇ) gleich 0 ist

(44.)

V = 3a?7i f[z² — 3zi + 3z⁶ — z⁸)dz o

— 3oZ7T

\3    5^7    )

«o| o

«³7T

105

(105 cos³/—189 cos⁵/ +135 cos⁷/—35 cos ?/).

Für / gleich 0 erhält man das Volumen des Körpers, welcher bei der Rotation von dem Quadranten OAB beschrieben wird, folglich ist das Volumen des ganzen Rotationskörpers

32 azn

(45.)

2azn

105

(105 — 189 + 135 — 35) =

105

Aufgabe 12. Man soll das Volumen des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Cissoide um die X-Axe entsteht (Fig. 66).

Auflösung. Die Gleichungen der Cis-soide sind

(46.) x = 2asin²</>, y =    >

Fig. 66.

|B

folglich wird

Pl

(47.)

dx = 4a sin ff COS ff dtp

(48.) V

16a³7r

<p .

C sin Tfpdfp

COS (f

Setzt man also

(49.) cos tp = t, sin ²tp — 1 — t²,

smtp dff = — dt,

so wird

t — 1 für ff = 0

und man erhält

(50.) V = — 16a³7r

(1 — t²fdt

= — 16«³7r

t

— 3t + 31³ — t^dt

= — lQa³7i

r, ,    3/²    3<*

[lnü- —+ T

ko

⁴^(_-12ln!!+ 18*² —9Ć¹-f 2t° — 11) 3

Nun ist

(51.) t² = cos² tf = 1 — sinV = folglich wird

(52.) F

1 — t² = ^~,

ts !•«

— x³ — 3 ax² — 12 a²x •

Aufgabe 13. Man soll das Volumen des Körpers berechnen, der durch Rotation der Cissoide um die Asymptote mit der Gleichung x = 2a entsteht (Fig. 67).

Pf

Fig. 67.

Auflösung. Zunächst möge das Volumen des Körpers berechnet werden, welcher bei der Rotation von der Figur OASP beschrieben wird. Nach Formel Nr. 133 der Tabelle findet man in diesem Falle

(53.) V

V

= rcf(x — 2 a)²dy. o

Dabei folgt aus den Gleichungen (46.)

(54.)

x — 2a = — 2a cos²(f

j 2a dy =

also

cos²</>

(3 cos²rp -f sin²^)sin^rpdtf,

(55.)

Nun ist

<p

V — 8cPnJsin²y> cos²y (3 cos²^ -f sm-(f)d(f. 0

4 sin²<p cos z(p = sin²(2çp),

3cos²9P + sin²^) = 1 + 2cos²<p = 2 + cos(2<p), so dass man erhält

(56.)

(<p)

V = aznysin²(2çp) [2 + cos(2<p)]c/(2ç>).

(o)

Dies giebt nach Formel Nr. 99 und 53 der Tabelle V = a³yr[—sm(2qp) cos(2ç>) + 2y> + |-sin³(29>)].

7t

Wenn y bis — wächst, so wird y unendhch gross. Gleich-

zeitig erstreckt sich auch der Rotationskörper bis in’s Unendliche; trotzdem bleibt aber sein Volumen endlich, denn man erhält

lim V = a%².

7t

V-T

(57.)

(58.)

Aufgabe 14. Man soll das Volumen des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Ellipse

Fig. 68.

(60.) y — c ± ^ Ya² — x²

P’

um die X - Axe entsteht (Fig. 68), wenn c grösser als b ist.

pfp"

Q, Q Qi B,X

Auflösung. Man kann A das gesuchte Volumen V als die Differenz zweier Volumina V‘ und V“ betrachten, von denen V‘ bei der Rotation von der Figur QiQ₂-P₂'Pi' und V“ von der Figur QiQ₂iY'iY' beschrieben ~aJ wird. Dabei ist

(61.)

V‘

also

— nJy‘² dx,

V“

X-i

= 7tJy“^dx,

(62.)

V = V — V“

— y“²)dx.

Bei der vorliegenden Aufgabe ist

= C +    — x², y“

y‘

= c--1/ar — xl,

a

also

ÿ + y“ — 2 c,

2b

y‘ — y" — — Va² — x²,

folglich wird

(63.)    {y‘ + y“) (y‘ — y“) = y*² — y“²

X-2

(64.)

— xi.

Will man das Volumen des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der ganzen Ellipse entsteht, so hat man

Xi — — a,

x₂ =+ a

zu setzen und erhält nach Formel Nr. 118 der Tabelle

(65.)

4bcn \x

a²

a \_2

y a² — x² + — arcsin 2

= Tarcsin(+ 1) —    arcsin(— 1)

CL L 2    2

= 2abcn².

¹

— [_ 6 ln(*²) — 2(1 — f²f — 3(1 — t²)² — 6(1 ■—p)]. 3

VII. Abschnitt.

Rectification der ebenen Cnryen.

§ 26.

Rectification ebener Curven, deren Gleichung auf ein rechtwinkliges Coordinaten- System bezogen ist.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 134.)

Ist

(V)

y =f (*)

Fig. 69.

die Gleichung- einer Curve (Fig. 69), so wird der Bogen -4Pgleich s ebenfalls eine Function von x.

r-trx

Wächst nämlich x um die Grösse QQi. gleich 4x, so wächst auch der Bogen s um die Grösse PPt gleich 4s. Betrachtet man zunächst 4 s als die Sehne PPi, so ist 4s die Hypotenuse in dem rechtwinkligen Dreieck PBPl, so dass man erhält

(2-)

PPi² = PR² -j- RPi², oder 4s² = 4x² -f- 4y²,

(2 a.)

4s = J/Wa:² -j- 4yl.

Lässt man die beiden Punkte P und Pt einander unendlich nahe rücken, so gehen 4x, 4y, 4s bezw. in die Differentiale dx₁ dy, ds über, und der unendlich kleine Bogen PPX fällt mit der unendlich kleinen Sehne PPi gleich ds zusammen. Deshalb erhält man für den unendlich kleinen Zuwachs ds des Bogens s aus Gleichung (2 a.)

Kiepert, Integral - Rechnung.

(3.)

Daraus folgt durch Integration für den Bogen AP selbst

(4.)

Man wird hierbei die Integrationsgrenzen zweckmässiger Weise mit xy und x₂ bezeichnen, um anzudeuten, dass x die Intégrations-Veränderliche ist. Dadurch geht Gleichung (4.) über in

(4 a.)

Xi

Man kann nämlich auch y zur Intégrations-Veränderlichen machen, denn aus Gleichung (3.) folgt

(5.)

also

(6.)

⁺(D’

Vi    V2 _

S=/*=A]/¹⁺(IJ'

2/i    2/i

ds

Sind x und y als Functionen einer dritten Veränderlichen t gegeben, so wird man in den meisten Fällen mit gutem Erfolge t zur Intégrations-Veränderlichen machen und schreiben

(7.)

(8.)

!)'•

-k-HW+Wï

ti    t\

In dieser Formel sind die Gleichungen (4 a.) und (6.) als besondere Fälle enthalten, welche sich ergeben, wenn man t = x bezw. t — y setzt.

Auch hier kann man das bestimmte Integral als den Grenzwerth einer Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen

Grössen betrachten. Zerlegt man nämlich den Abschnitt Q{Q₂ auf der X-Axe (Fig. 70) in n (gleiche oder ungleiche) Theile und legt durch die Schnittpunkte Parallele zur Y- Axe, so wird auch der Bogen PvPi gleich s in n Theile zerlegt.

Fig. 70.

Indem man die auf einander folgenden Schnittpunkte des Bogens durch gerade Linien mit einander verbindet, erhält man zwischen Pi und P₂ ein Polygon von n Seiten. Wird nun n unendlich ⁰

V,

Q,

oTx

gross, und werden die einzelnen

Seiten des Polygons unendlich klein, so fallen sie mit den Bögen, deren Sehnen ds sie sind, zusammen.

Der ganze Bogen PtP₂ oder s wird daher die Summe von diesen unendlich vielen, unendlich kleinen Sehnen ds, so dass man wieder erhält

_

s = jds = jy dx² + dy⁹- — Jdx 1 1 + (jjfS ’

xx

§ 27.

Uebungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll die Länge des Bogens OP der Parabel mit der Gleichung

(1.)

y² — 2px

berechnen (Fig. 71).

Auflösung. Aus Gleichung (1.)

Fig. 71.

folgt

(2.) ydy — pdx, oder

dx

dy

Man wird hier nämlich y zur Intégrations - Veränderlichen machen,

rational durch y _

weil sich x und

dx

dy

n*

a⁴ — e²x2 a² {a² — x²) '

wobei

e² = a² — b²

ist. Daraus ergiebt sich

X₂

f]/(a² — x²) (a⁴ — e².r²)

(a⁴ — e²x²)dx

Xu

— e²x²

(8.) s

darstellen lassen. Dadurch erhält man nach Formel Nr. 134 der Tabelle

(3.)

und dies giebt nach Formel Nr. 124 der Tabelle

y + Vp² -4- y²

(4.)

y + Vp> + y²

Aufgabe 2. Man soll die Länge des Bogens PiP-₂ der Ellipse mit der Gleichung

(5.)

b²x² -j- a²y² = a²b²

berechnen (Fig. 72).

Auflösung. Aus Gleichung (5.) folgt

Pig. 72.

B Pi

(6.) y =    yä?-~ x²

dy_    — bx

d% af/a²—x²

Q,

0,2

\dxj

_ 1 fdxV a⁴

Ya² — x²

Dieses Integral, das ein „elliptisches Integral zweiter Gattung“ genannt wird, kann erst an einer späteren Stelle ermittelt werden, da es sich weder durch algebraische Functionen noch durch die bisher bekannten transcendenten Functionen ausdrücken lässt.

Man erkennt daher aus dieser Aufgabe, wie die Anwendungen der Integral - Rechnung auf neue transcendente Functionen führen.

Aufgabe 3. Man soll die Länge des Bogens P\P-i der Hyperbel mit der Gleichung (9.) b²x² — a²y² = a²b2 berechnen (Fig. 73).

Auflösung. Man findet hier in ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe

Fig. 73.

py

Pi

~Ą Q, QÏQX

(10.)    5 =

Jy^a² — #²)(a⁴ — e²x²)    afy (x²—a²)(e²z²— a⁴)

xi    xi

(a⁴ — e²x²)clx

(e²x² — a*)dx

nur ist bei der Hyperbel e² gleich a² -f- b².

Aufgabe 4. Man soll die Länge des Bogens PtP₂ der Kettenlinie mit der Gleichung

(u.)

oder

<y » =y +e

= a ©O¹

-4- Yy² — a²

f ~

=■ \ea

(lia.)

berechnen (Fig. 74).

Auflösung. Aus den Gleichungen (11.) und (11a.) folgt

«0trt

Fig. 74.

dy i(t -f)

— = — \e — e / dx 2

= ©in f )

-i+® ••©-«■©

(12.)

oder

Qf

(13 a.)

ds

dx

= ®>fGD = ^*+'

*).

(14.)

Xg    Xg

s =/6of (S)dx = a/®°' G)d G)=a

Xj    Xx

@in

= V</2²— a² — Vyi²—«².

Für X\ gleich 0, x₂ gleich x wird der Bogen AP = y y² — a²

Und kann sehr leicht construirt werden. Beschreibt man nämlich um A (Fig. 75) mit dem Halbmesser y einen Kreisbogen,

welcher die X-Axe im Punkte B trifft, und vervollständigt das Rechteck OBCA, so ist

(16.) AC =    = AP.

In ähnlicher Weise könnte man die Bögen APX und Al\ als gerade Linien ACi und AC₂ dar-■o stellen, deren Differenz , (17.) AC₂ —AC\ — C\C₂ = P\P2 w sein würde.

(15.)

Fig. 75

Aufgabe 5. Man soll die Länge des Bogens OP bei der CyMoide mit den Gleichungen

x—a{t—-sin^), y — a{\ — cosrf)

(18.)

berechnen (Fig. 76).

Auflösung. Aus den Gleichungen (18.) folgt dx = a{ 1 — cosfjdt, dy = asintdt Fig. 76.

(20.) ds² — dx² -f dy² = a²(l — 2C0SĆ + C0S²ć + sin²£)cfr²

dt².

= 2a² (1 —cos t)dt² — 4a² sin²

= ⁴“sin(a)^(I)

(21.)    <&=2asin^ Jdt

folglich ist

(<)

(22.)

S = 4«/sin(-)rf(-)=4«[

(0)

— cos

G)]

0

= 4a 1 — cos

©]-

8 a sin²

©•

Wird der Wälzungswinkel t gleich 27t, so rollt der die Curve erzeugende Kreis einmal ah. Dadurch erhält man für den Bogen der ganzen Cykloide

(23.)

s — 8 a,

ein Resultat, das schon bei der Krümmung der Curven (D.-R., Seite 444) ermittelt wurde.

Fig. 77.

Aufgabe 6. Man soll die Länge des Bogens BP bei der Astroide mit den Gleichungen

(24.) x = acos³G y = asin³tf berechnen (Fig. 77).

Auflösung. Aus den Gleichungen (24.) folgt

dx — — 3acos²źsin^, dy = -j- 3asin²ćcos^,

ds² = dx² + dy²

= 9a² sin²ćcos'²ć(cos²^ + sin²ć)c&2 = 9a²sin²ćcos²tafr²,

(25.)

(26.)

also

■)

(27.)

ds --Az Sa sin t cos tdt.

Hierbei ist das untere Zeichen zu nehmen, weil s zunimmt, wenn t abnimmt. Dies giebt

£

(28.)

— 3 a Jsmtcostdt = —

— — (1 — sin²*?) ,= — cos²-'.

Für t gleich 0 wird s dem Quadranten BA der Astroide gleich, nämlich

(29.)

Aufgabe 7. Man soll die Länge des Bogens AP der Kreis-voloente mit den Gleichungen

f x = a(cos t -j- t sin t) \ y = «(sin t — ćcos t)

(30.)

Fig. 78.

berechnen (Fig. 78).

Auflösung. Aus den Gleichungen (30.) folgt

,. (31.)

QX

Öl

dx — atcostdt, dy = atsiütdt,

(32.)    ds² = dx² + dy² = a²£²(cos²^ -f- sin²Qć&² = dH²dt?,

(33.)

ds — atdt,

(34.)

/"    a^

s — a ltdt — —

J 2

o

Aufgabe 8. Man soll die Länge des Bogens AP bei den Epicykloiden mit den Gleichungen

(35.) x — a[mcos t — COS(mt)], y = a[msm.t — sin(mQ] berechnen (Fig. 79).

Auflösung. Aus den Gleichungen (35.) folgt (36.) dx = ma[— sin ^ -f sin(mt)\dt, dy = ma[cost — cos(mt)]dt\ dies giebt, wenn man wieder m — 1 mit n bezeichnet,

(37.) ds² = dx² -f dy² = 2 m²a² [l — cos(^üî)]^2 = 4m²a²sin'²

(38.) ds

— 2 ma sin

(39.)

4ma

“(ïHï)’ “/•i"(ÏKÎ)-“[—(ï)]

(0)    fl

ma . ./nt\

irsin (t)'

dt =

4 ma

1 — COS

(I)

Wird der Wälzungswinkel nt des rollenden Kreises gleich 2Tr, so erhält man für den vollständigen Bogen AGB (Fig. 79) 8 fn -f- l)a

Fig. 79.

(40.) s —

8 ma

,c

Ist n eine ganze Zahl, so schliesst sich die Curve; ihr Umfang ü besteht aus n solchen Bögen, so dass man erhält

(41.)    U=8{n+l)a.

Auch dieses Resultat ergab sich bereits bei der Krümmung der Curven (D.-R., Seite 447).

Für den Fall n = 6, welcher durch die Figur dargestellt ist, erhält man also

(42.)

U — 56 a.

In dem Falle, wo n — 1 ist, wird die Curve eine Cardioide, deren Umfang also

(43.)

ü= 16a

ist.

Aufgabe 9. Man soll die Länge des Bogens AP bei den HypocyJcloiden mit den Gleichungen (44.) x = a [m cos t -f cos (mt)], y = a [m sin t —; sin(mt)] berechnen (Fig. 80).

Wird der Wälzungswinkel nt des rollenden Kreises gleich 27i, so erhält, man für den vollständigen Bogen ADB (Fig. 80)

8 ma

(49.)

8 (n — 1 )a

Ist n eine ganze Zahl, so schliesst sich die Curve; ihr Umfang TJ besteht dann aus n solchen Bögen, so dass man erhält

(50.)

U = 8 (n — 1 )a.

Für den in Figur 80 gewählten Fall, in welchem n gleich 3 ist, erhält man z. B.

(51.)

Auflösung. Aus den Gleichungen (44.) folgt (45.) dx — ma[—- sinć — sin(wć)]c?ć, dy = ma[cost — c,os(mt)\dt\

dies giebt, wenn man (in Ueber-einstimmung mit der früher gebrauchten Bezeichnung) m -f 1 gleich n setzt,

(46.) ds² = dx² -j- dy²

= 2m²a²[l—cos(wć)J dt²

— 4m²a²sin²

Fig. 80.

M/

E\

]Q

(î)

dt²,

(47.) ds = 2masin (

\dt

sin

(ïKï)

(48.) s =

(0    t

ma f. /nt\ y/nt\ 4 ma r    /nt\\

hC0SU)J

(o)    ⁰

4 ma r    /raćYl

= ~1¹-C0S(2)J

8 ma

sin²

TJ— 16a.

Bei der Astroide hat man n gleich 4 zu setzen und erhält U — 24 a.

Aufgabe 10. Man soll die Bogenlänge bei der NeiVsehen Parahel berechnen (Fig. 81).

Auflösung. Die Evolute der

Fig. 81.

Parabel

(53.)

y¹ = 2\px

p/

ist bekanntlich (vergl. D.-R Seite 437)

Fix, y) =

27 py² — 8(# — p)³ = 0,

eine Curve, welche man auch die „Neil'sehe Parahel“ nennt. Zur Berechnung der Bogenlänge bei dieser Curve bilde man zunächst

(54.)

QX

(55.)

Fi = — 24 (* —pf, F₂ — 3Lpy,

folglich wird

(56.)

dy

Fi

4 (x — p)²

dx

F₂

dpy

also mit Rücksicht auf Gleichung (54.)

i6(x—py

81 p²y²

<-)(!)=1 +

ds_]//> -f- 2x

y 3p

Setzt man daher

<57a-> &

2(x — p)_p -j- 2x

3p

(58.)    yp + 2x = t, also p + 2x = t², dx =

so erhält man

(«)

⁽“° s = wJdxVp + 2x = WpJMt =

(p)

3y3p J«’

oder

s = —4= [(2« -\- p)y2x p — 3py3p\.

3y 3p

§ 28.

Rectification ebener Curven, deren Gleichung auf Polarcoordinaten bezogen ist.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 135.)

Bei Anwendung von Polarcoordinaten sei die Gleichung einer Curve AP (Fig. 82)

(1.)

r = F{<f),

dann ist auch die Länge s des Bogens AP eine Function von cp, denn der Bogen wächst gleichzeitig mit dem Winkel cp.

Nimmt man sogleich an, dass der Zuwachs POPi von cp verschwindend klein wird, und bezeichnet denselben dem entsprechend mit dcp, so wird auch der Zuwachs PPi oder ds des Bogens verschwindend klein. Beschreibt man daher um 0 mit dem Halbmesser OP gleich r einen Kreisbogen PQ, so kann man das rechtwinklige Dreieck PQ Pi als ein geradliniges Dreieck betrachten und findet nach dem Pythagoräischen Lehrsätze, wie auch schon früher gezeigt wurde,

PP² = QPi + PQ²,

oder (vergl. D.-R., Formel Nr. 148 der Tabelle)

ds¹ = dr- -f- r-dcp-.

Fig. 82.

Pf

Ql

i/Uf

,A

CO

V

(2.)

Dies giebt

(3.)

ds = y dr'¹ -f- f¹dcpï = dcp    + ?’²

also, wenn man die Grenzen sogleich mit cpx und cp₂ bezeichnet,

(4.)

y*__

s=A]/(0

⁽Pi

+ r\

Man kann natürlich statt cp auch andere Intégrations-Veränderliche einführen. Sind z. B. r und cp beide Functionen von ^ so folgt aus Gleichung (3.)

- */(£>’+ -O’

ds = dr y i + r2(-^);

s =A ]/(l)² + ** (wJ =7*' /¹ + ^ (jr) ■

h    r\

ds — }/df¹ -f- r²d(f>2 und für t gleich r

(5.)

(6.)

dies giebt

(7-)

§ 29.

Uebungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll die Länge des Bogens bei der Archimedischen Spirale mit der Gleichung

r — a(f

(1.)

berechnen (Fig. 83).

Auflösung. Aus Gleichung (1.) folgt (2.) dr = ad(f,

ds² = dr² -fi r²dą>²

= «²(1 + <p²)d(p²,

P,

r>

Fig. 83.

folglich wird

(3.) ds = «(/f/ Y1 -f- <^>²,

T)

s = a/dcpYl 4- (p².

<Pi

Dies giebt nach Formel Nr. 124 der Tabelle

(pa

a - ]/l -f y - + i- ln(</> + ]/l + <?²)J ,

"V

(5 a.) s=    -j-ç>2² — di Y1 4 <f i² 4 ln ^

(40

(5.)

oder

td| S

(p-2 +1^1+ dz¹

ff i 4 Y1 d“ ^i²

r₂ ]/a² 4- r₂² — ri f/a² 4 t*i²

r₂ 4-.]/a² + r₂²

2«

ri 4- Yd2, 4- ^i²

Aufgabe 2. Man soll die Länge des Bogens bei der hyperbolischen Spirale mit der Gleichung

(6.) rep — a, oder r = acp~l,

berechnen (Fig. 84).

Auflösung. Aus Gleichung (6.)

Fig. 84.

folgt

(7.) dr = — a<p~²d(p,

(8.) ds² = dr² + r-dcp²

■X

= a²(y⁻⁴ + cp~²)dcp²,

(9.) ds =

“ y i + (p². dtp,

(10.)

|7_ —

£ <f?Yl + <f

Dies giebt nach den Formeln Nr. 40 und 35 der Tabelle

<Pi _

(dąiy 1 -

⁴ = V—r

<Pi

-f cp²

dtp

cp,

- + LJV-J. ¹ /Vi+v¹-¹

(11.)

r_ Y±±t + ia(ę + yr+^)f‘

^    <Pi

also

]/ a² -f- r² -f- aln ^

a + Y a² + r²

)]'

n

ri (a 4-y a² +r₂²) r₂(a -f j/a² +rr)

(12.) s — Y a² -f- rt²— Y a² -f r₂² + «ln^

Aufgabe 3. Man soll die Länge des Bogens bei der loga-rithmischen Spirale mit der Gleichung

Fig. 85.

(13.)    '

p.;

T =■ ea(f

berechnen (Fig. 85).

Auflösung. Aus Gleichung (13.)

folgt

(14.) dr — ea,P . adep = ardtp .

oder

iix

(14a.)

dr

dtp = — ar

(15.)

ds

= *}/

dies giebt

(17.)

Va*-±±fdr

a J

fl

Aufgabe 4. Man soll die Länge des Bogens AP bei der Paralel mit der Gleichung

r

(18.)

łcos(- -)

toi -S

oder r ~

COS²

& CM

berechnen (Fig. 86).

Auflösung. Aus Gleichung (18.) folgt

a sin (    ) dtp

Fig. 86.

(19.)

dr =

tobe

COS³

LO «

(20.) ds² — dr² -f- r²dcf>² =

a²d(f²

COS⁶

CM

(21.)

ds =

adrp

COS³

(î)

also, wenn man (p — 21 setzt und die Formeln Nr. 102 und 48 der Tabelle beachtet,

<p

to ! 'S

cos³

sinć _2cos H

) _₉ rji

7    ⁰

+ 2 1“

M )}] •

to "t.

oder

a sin

(28.)

cos²

Aufgabe 5. Man soll die Länge des Bogens AP bei der Cardioide mit der Gleichung

Fig. 87.

(24.)

cos

J:

Ja

oder

(24 a.) r = acos²^-

berechnen (Fig. 87).

Auflösung. Aus Gleichung (24 a.) folgt

to hs

(25.) dr = — a cos^-^0 sin^^-^aty,

(26.) ds² = dr² + Pdip'2,

= a²COS²

a² COS²

(î)^²>

(27.)

ds — a COS

= 2 a cos

f>ï>

(28.)

s = ²7C0S(îX 1

= 2 asm

©•

Für (p gleich n erhält man die Länge des Bogens APO,

nämlich

(29.)

s = 2a,

d. h. der Bogen APO ist dem Durchmesser des in Figur 87 der Cardioide umschriebenen Kreises gleich.

Aufgabe 6. Man soll die Länge des Bogens OP bei der Cissoide mit der Gleichung

__2asin²^i

COS (f

(30.)

berechnen (Fig. 88).

Auflösung. Aus Gleichung (30.) folgt

(31.)

^__2a sin y (1 + cos¹y)afy>

C0S²<p

(32.)    <A> = dr°- + rW = ^¹ sinV(l + 3cosWP

COS ²(fi

also

(33.) ds

_ 2asin<pe?</>]/l + 3cos¹<£>

cos²#>

Fig. 88.

Setzt man

(34.)

Y 3 . cos (p = t,

also

so wird

(35.) ds =

(36.)

— Y 3 sin <p dtp = dt,

2al/3 . dtyi -f-1-

-¥-’

(<p)    _

s = _2ayïf*Vi+? (0)

irx

(ff)

(<f)

= — 2a

(0) (0) ¹

folglich erhält man mit Rücksicht auf die Formeln Nr. 40 und 35 der Tabelle

(v)

(37.)

s = — 2a

oder

l/₃[_Kł±J! ₊ ¹ n(« + FI + «⁵)j ,

(38.) s = 2a

" V1 + 3 cos¹y

costp

V3.COS«/) +y 1 -f 3cosV

¹

4- y 3

²

Kiepert, Integral - Rechnung.

VIII. Abschnitt.

Complanation der Rotationsflächen.

§ 30. •

Berechnung des Flächen-Elementes bei einer Rotationsfläche.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 136 und 137.) Rotirt eine Curve mit der Gleichung

(i.)

y =/(«)

um die X - Axe, so beschreibt der Bogen AP (Fig. 89) eine Rotationsfläche, deren Oberfläche 0 eine Function von x ist.

Fig. 89.

Q,

■i 1

Wächst nämlich x um die Grösse QCh gleich Ax, so wächst auch die Oberfläche um denjenigen Theil AO der Rotationsfläche, welcher bei der Rotation von dem Bogen PP\ beschrieben wird.

Zur Berechnung von JO betrachte man zunächst den Mantel des Kegelstumpfes, welcher bei der Rotation von der Sehne PPi gleich As beschrieben wird. Der Mantel dieses Kegelstumpfes ist nach bekannten Sätzen aus der Stereometrie

M= n(QP+ QtPi) . PPi

= Hy + yO •

Rückt nun der Punkt Pt dem Punkte P unendlich nahe, so fällt der Bogen PPy mit der Sehne PPi zusammen; dabei geht Js über in ds und lim yi wird gleich y\ folglich findet man für das Oberflächen-Element dO aus Gleichung (2.)

(8.)

dO — 2nyds.

Daraus ergiebt sich durch Integration

x-i

(40

O — 2 7T jijds

Xi

wobei die Grenzen mit x\ und x₂ bezeichnet sind, weil man x als die Intégrations-Veränderliche betrachtet.

Auch hier kann man das bestimmte Integral als eine Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen betrachten, und zwar sind die einzelnen Summanden Mäntel von Kegelstumpfen mit der Seitenkante ds, begrenzt von zwei Kreisen mit den Halbmessern y und y + dy.

Rotirt die Curve um die Y- Axe, so erhält man in ähnlicher Weise für den Flächeninhalt der Rotationsoberfläche durch Vertauschung von x mit y

(5.)

O — 2 ufxds. 2/1

Die auf diese Weise ausgeführte Berechnung der Oberfläche nennt man: „Complanation der Rotationsflächen''''.

§ 81.

Uebungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll den Flächeninhalt einer Kugelzone berechnen (Fig. 90).

12

Auflösung. Rotirt der Bogen PiP₂ des Kreises mit der Gleichung

oder x — ]/a² — y¹

x¹ + y- —■ ad

die Y-Axe, so beschreibt er eine Kugelzone, deren Oberfläche nach Formel Nr. 137 der Tabelle

(1.)

um

Fig. 90.

V‘i

(2.)    0 = 2 nfxds

Vi

ßf—as».

.Ę

iß

wird. Dabei folgt aus Gleichung (1.)

(3.) dx —

ydy

(4.) c?«² =

Yd² — y2 (y²-\-a² — y²)dy²

a² — y²

a²dy2 d² — y²

atfoy _ady

Ya²-—y2 xds = ady,

Vz

O = 2«7r Jdy -- 2aji{p₂ — yi) = 2ayrA,

ÿi

wenn man die Höhe y₂ — yi der Kugelzone wieder mit h bezeichnet.

Setzt man y₂ gleich + a, yt gleich — a, also h gleich 2a, so erhält man für die Oberfläche der ganzen Kugel

0 = ±a²7t.

(5.)

(6.)

(7-)

(8.)

ds =

Aufgabe 2. Man soll die Oberfläche des Rotationspar ab oloids berechnen (Fig. 91).

Fig. 91.

Auflösung. Die Gleichung der Parabel ist

(9.)

y² = 2px;

daraus folgt

Q,

dy_

dx

(10.)

p² 4- 2px

y-

yl

ds

yp² -f- 2px,

(12.)

yds = dxyP² + 2px.

(13.)

so wird

Setzt man

Vp² -f- 2px = t, also p² + 2px = t², pdx — tdt

(14.)

fidt

yds = -?

p

also nach Formel Nr. 136 der Tabelle

(15.)    0 = 2 7i

X    (x)

vßds = y ft²dt = y [(Yp¹ + 2pxf]. • 0 (0)

Dies giebt mit Rücksicht auf Gleichung (9.)

O -j~r    _

⁰⁼⁼3- [(p² + y²) Vp² + y² — p³]-

Aufgabe 3. Man soll die Oberfläche des Rotationsellipsoids berechnen (Fig. 92).

Auflösung. Die Gleichung der Ellipse ist

(17.) b²x² + cdy² —- a²b² = 0 ; daraus folgt

(16.)

Fig. 92. BP,'

(18.)

dy

b²x

a²y '

not (ds^~ aV +

\dx)    ay

_ b²Y — e²x²) a*y²

dx

(20.)

(21.)

, b . dx

yds = T?~

Va‘ - - éx‘ = - -    F«⁴ — e¥.

(*ä)

(22.)

2bn

a²e

jd (ex) Vai

— e²x².

Dies giebt nach Formel Nr. 118 der Tabelle, wenn man a2 mit a⁴ und x mit ex vertauscht,

(23.)

0 = 7^    VcP — (Px² + °r arcsin

L 2    2

a²e

Für x₂ gleich a wird

Y a⁴ — e²x₂² = ci Y a² — é² = ab ;

deshalb erhält man, indem man Gleichung (23.) mit 2 multiplicirt und %i gleich 0 setzt, für die ganze Obeifläche des Rotations-ellipsoids

(24.)

2bn r

a²e

a²be + a⁴ arcsin

e I et

= 2b²n -f-

2a²brc

arcsin

Man kann sich davon überzeugen, dass der gefundene Ausdruck die Oberfläche der Kugel liefert, wenn die rotirende Ellipse in einen Kreis übergeht, wenn man also a gleich b und e gleich 0 macht. Allerdings nimmt dann das zweite Glied die Form £ an; setzt man aber

e = az,

so findet man nach der Regel, welche für die Berechnung von solchen unbestimmten Ausdrücken in D.-R., Seite 320 angegeben ist,

~a

(25.) lim - • arc sin «=oLe

= lim

arcsin z

= lim

yi—z²

und

2=0

(26.)

lim 0 — 2a²n + 2a²7r = ±a²n.

b=a

Auflösung. Aus der Gleichung (17.) der Ellipse folgt

Aufgabe 4. Man soll die Oberfläche des Sphäroids berechnen (Fig. 93).

Fig. 93.

R->

(27.)

dx

dij

b²x

A²

b⁴x²

b^x² -f- aiy²

Wx²

bxXl

a²(ö⁴ + e²y²) -—----?

Dies giebt nach Formel Nr. 124 der Tabelle, wenn man a\ mit b⁴ und x mit ey vertauscht,

yi

(29.)

(30.)

a . dy

ds a _    -——

dy ~    + e~V ’

«. d(ey)

b²e

b⁴ + e²?/²

(yd

(31.)

2 an

b²e

Jd(ey) ]/b⁴ + e²y²

(yd

(« o-Ç?[ÏVSm^¥ + Ï

Für y-i gleich è wird

yb⁴ -j- e²y₂² = by'b² + e² = aö ;

deshalb erhält man, indem man Gleichung (32.) mit 2 multiplicirt und yi gleich 0 setzt, für die ganze Oberfläche des Sphäroids

be + ab

(33.)

^ [«**• +⁴⁴1”( *.

2ab²n    fl-

= '2a² rt +

)]

Nun ist

(a -f ef

(a + e)²

b²

a² — e²

folglich kann man den Ausdruck für O auch auf die Form bringen

ab²n

(S>

(34.)

ln

0 = 2a² re +

Auch hier kann man sich davon überzeugen, dass der gefundene Ausdruck die Oberfläche der Kugel liefert, wenn die rotirende Ellipse in den Kreis übergeht, wenn man also a gleich b und e gleich 0 macht. Allerdings nimmt das zweite Glied wieder die unbestimmte Form $ an; setzt man aber

e = az,

so findet man nach der Kegel, welche für die Berechnung von solchen unbestimmten Formen in D.-R., Seite 320 angegeben ist, '

(35.) lim-ln(^-^-^) =

e=0 & \a @/    2=0

ln

lim

= lim

ln(l + z) — ln(l

*)

- lim

und

(36.)

lim 0 = 2a²Tt -j- a²rr . 2 = 4a²7r.

Aufgabe 5. Man soll die Oberfläche des zweischaligen Rotationshyperboloids berechnen (Fig. 94).

Fig. 94.

b=a

R-

-b/

(37.)

Auflösung. Die Gleichung der Hyperbel ist

b²x² — a²y² — a²b² — 0 ;

daraus folgt

(38.)

dy b²x

(39.)

dx a²y

/äfc\² a⁴y² -j- b*x²    b²(e²x²—a⁴)

\dx)

aY

a*y

(40.)

ds

(41.) yds —

b . dx

(42.)

h—yeix² — a\

Y e²xl — «⁴ =    ye²x² — ai,

(^ü)

ö = ^—Jd(ex) y e²x²

dx a²y

— a⁴.

Dies giebt nach Formel Nr. 124a der Tabelle, wenn man a² mit a⁴ und x mit ex vertauscht,

’2ln\

<⁴³-) ° = *

— «⁴ —

ex -f Y e²x² —- ai

a²

- »2

)]•

xx

Setzt man xi gleich a und x₂ gleich x, so wird y e²xd — a⁴ = a Ye² — a² — ab, und man erhält für die von dem Bogen AP bei der Rotation beschriebene Fläche

aïbn . Sex 4- Fe²x² ■— cd

——ln

y e²x² — a⁴ — b²n

a(e -f b)

(«•)

Aufgabe 4. Man soll die Oberfläche des einschaligen Rota-tionshyperboloids berechnen (Fig. 95).

Auflösung. Aus der Gleichung (37.) der Hyperbel folgt

dx_a²y

dy b²x

₍₄₆₎(*y_w±«y

(45.)

b*x²

Fig. <J5.

\A

_ a²(£⁴ -\-e²y²) bh*

ds

r^£yb* + eV,

(48.) xds = a 'dp

(47.)

y 6⁴ + e²y²

a ■ d(ey)

bte y b‘+eY

(yê

(49.)

_2 an

b²e

Jd(ey) y 6⁴ + e<ly².

(y\)

Dies giebt nach Formel Nr. 124 der Tabelle, wenn man d² mit b* und x mit ey vertauscht,

.    .    _ 'lan "

(50.) 0 = w

Für yi gleich 0, y₂ gleich y erhält man daher

(51.)    jn(«y+y^V

Aufgabe 7. Man soll die Oberfläche des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Kettenlinie mit der Gleichung

(52.)

</ =

“ H i 2 e +e

oder

(52a.)    ± Y y2, — a² = —Ce“

um die X-Axe entsteht (Fig. 96).

a =a@in

Fig. 96.

Auflösung. Aus Gleichung (52.) folgt

^ fx=P+e

ds

(54.) 0

x.₂

= 2njyds

X•?

ITl f( —

2-J^+e

^1

AV a ) dx

an

s¹“

2x

~ 2 r 2x

an a —

= _2l2e“+a!:~I'î “J

X\

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (52.) und (52 a.) (55.) O

“ )dx

2x-, *2

x\ / x

⁷>|C-

—    -i*²

e a ) -\- axj

xx

=    —«² + ax]

— ™[y* Vyf—«² -F yi y^²—«² 4- « (*2 — a?i)] •

Hierbei gilt das obere oder das untere Vorzeichen, jenach-dem xt positiv oder negativ ist.

Aufgabe 8. Man soll die Oberfläche des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Cykloide

Fig. 97.

(56.)

j = a(t — sin t),

|    = a(l — COS^)

um die X-Axe entsteht (Fig. 97).

Auflösung. Aus den o

Gleichungen (56.) folgt    I

(57.) ds = 2a$mQ^dt,

yds = 2a²(l — cosź) sin dt =

(58.)

4a² sin³ (

)dt.

Dies giebt

(59.)

0 = IQcdrt

c/in3(IXI)

0

= — 16a²7r

tJ[l

(0)

— COS²

Q)]dcosQ)

= — 16a²n j^cosi

toi

rH I CO

cos8(!)]

0

16 a² Tr po ⁼    L

— 3 cos

(I) + cos3(l)l •

Für t gleich 27x erhält man die Oberfläche, welche bei der Rotation von dem ganzen Cykloidenbogen OHA beschrieben wird, nämlich

(60.)

¹⁶|— (2 + 8 — 1) = .

Aufgabe 9. Man soll die Oberfläche des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Astroide

(61.)

x = a cos³^, y — a sin³ć

um die X-Axe entsteht (Fig. 98).

CO CO

00 LO)

Auflösung. Aus den Gleichungen (61.) folgt ds = — 3asnD cosfcft,

yds = — 3a² sin⁴*! cos tdt.

Fig. 98.

Dies giebt für die ganze Oberfläche

(64.) 0 =

0

— 12a²7rJsiwH cos tdt

7t

,p

•z

oder

(65.) 0

■2

— + l2a²7tJsmH. d(sii\t) o

7t

12a²n r . . . 2

12a² n

Aufgabe 10. Man soll die Oberfläche des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Kreisevolvente

x — a(cosż -j- tfsintf), y — a{Am.t — tcost) um die X-Axe entsteht.

Auflösung. Aus den Gleichungen (66.) folgt ds = atdt,

yds — a²(tsmt — t² cos t) dt,

(66.)

(67.)

(68.)

(69.)

Setzt man

t

0 = 2a²nf'*!sin t — t² cos t)dt.

u

(70.) u — t², dv = costdt, also du = 2tdt, «? = sin£ in die Formel Nr. 97 der Tabelle, nämlich in die Gleichung

fuav = uv — fvdu

(71.)

ein, so erhält man

(72.)

ft² cos t dt — t²sint — 2/i sin tdt.

Setzt man dagegen

(73.) u — t, do = $mtdt, also du = dt, v ——cos*!

in die Gleichung (71.) ein, so ergiebt sich

(74.) ftsintdt = —źcos*! -\-fcmtdt — —tcost + sin.

Indem man Gleichung (72.) mit —1, Gleichung (74.) mit + 3 multiplicirt und dann beide Gleichungen addirt, findet man

(75.)    Jtsmtdt —Jfßostdt — — ż²sinć — 3źcosć + 3snD.

Deshalb wird    •

(76.)

O — 2a²7r(3sinć — Stcost— sin ^).

Aufgabe 11. Man soll die Oberfläche des Körpers berechnen, welcher durch die Rotation der Cardioide (77.) æ = a[2 cos£— cos (2 £)], y = a[2sinz! — sin(2£)] um die X-Axe entsteht.

Auflösung. Aus den Gleichungen (77.) folgt

(78.) dx = 2 a[— sinć + sin(2^)]^ = 4a sin cos (7 9.) dy = 2a [cos t — cos (2 t)]dt = 4a sin ^-^sin    dt,

dt,

also

(80.)

ds²

= 16a² sin²

ds = 4asin(

tc

)dt

(81.)

yds = 4 a* [2 sin t — sin (2 rf)] sin    dt

8a²sinź(l — cos^)sin^0^

32a² sin⁴ cos dt = 64a² sin⁴ sin

Dies giebt

(ti)

(82.)

0 = 128a²7r

c/in4(l)*in(l)

0

128a²7r

sin⁵

I (M

128a²yr

IX. Abschnitt.

Rectification der Raumcurven.

§ 32.

Berechnung des Bogen-Elementes einer Raumcurve.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 138.)

Der Durchschnitt zweier krummen Flächen mit den Gleichungen

(1.)

F(xj y, z) = 0 und G(x: y, z) = 0 ist im Allgemeinen eine Raumcurve (vergl. § 143 der D.-R.). Indem man aus den beiden Gleichungen (1.) die Veränderliche ^ eliminirt, erhält man

(2.)

H(x,y) = 0} oder y =f{x).

Dies ist die Gleichung eines Cylinders, welcher die Schnitt-curve in die XY-Ebene projicirt. Ebenso findet man durch Elimination der Veränderlichen y aus den Gleichungen (1.)

(3.)

K(x, z) = 0, oder z = y(x).

Dies ist die Gleichung eines Cylinders, welcher die Schnitt-curve in die XZ- Ebene projicirt.

Setzt man noch für x irgend eine Function von einer vierten Veränderlichen t, so werden mit Rücksicht auf die Gleichungen (2.) und (3.) auch y und z Functionen von t, so dass man die Raumcurve auch durch die drei Gleichungen

(4.)

*    , y =A(f), z =M)

darstellen kann. Umgekehrt lassen sich drei solche Gleichungen auch immer als Raumcurve geometrisch deuten.

Um nun die Länge s des Curvenbogens AP zu bestimmen, nehme man auf der Curve zwei benachbarte Punkte P und Pt an und lege durch dieselben Ebenen, parallel zu den Coordinaten-Ebenen (Fig. 99). Dann erhält man ein rechtwinkliges Parallelepipedon mit den Kanten Xi — x

Fig. 99.

y\—y, zi — z und mit der Diagonale

(5.) PPi - y(Xi-xf+tyl-yY+(Zi— zf.

Rücken die Punkte P und Px einander unendlich nahe, so fällt der Bogen PPX mit der Sehne PPX zu- r> sammen, die Grössen

PPX, Xx -X,

yi — y

Zi — z

gehen bezw. über in

ds, dx, dy, dz,

und aus der Gleichung (5.) ergiebt sich

(6.)

ds² = dx² -f- dy² -f- dz². Daraus folgt für die Länge des Bogens AP

(7.) s

(8.)

=jds =jydA+dy*+dz‘=Jdt^(Pj+ (fj+ (!)'•

k

X,

Für x gleich t wird z. B.

§ 33.

Uebungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll die Bogenlänge bei der cylindrischen Schraubenlinie (vergl. D.-R., Seite 617 und 618)

(1.)

z² + y² = a², y — ztg( )

berechnen.

Auflösung. In dem vorliegenden Falle wird es zweckmässig sein, x, y und z als Functionen einer einzigen Veränderlichen (jp auszudrücken, indem man

(2.)

x — a COS (f

setzt; dann folgt aus den Gleichungen (1.)

(3.)    •

y — asin</>, z — c<p,

und man erhält

(40

(5.)

(6.)

dx = — a sin (p dcp, dy — a cos cpdcp, dz = cd(p, ds² = dx¹ -j- dy² + dz² = (cd 4- c²)dxp², ds — dcpVa* -fi c²,

__ j_ n    __

(7.)

s = ya² -j- c²fd(p = (<p₂ — (fi) Va² + c*. n

Dieses Resultat ergiebt sich auch daraus, dass die Schraubenlinie entsteht, indem man ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten arp, c<p und der Hypotenuse (pVa- -j- c² auf den Kreis-cylinder

x² -J- y² = a²

so aufwickelt, dass die Kathete acp mit der Basiscurve (d. h. mit dem Kreise) zusammenfällt. Die Hypotenuse bildet dann die Schraubenlinie.

Spirale

Aufgabe 2. Man soll die Bogenlänge bei der conischen

(8.)

x — ea(fçmtp, y = ea(P$m(p, z = cea(P

berechnen.

Auflösung. Die Projection der Curve in die VF-Ebene ist eine Curve, bei welcher cp der Winkel zwischen der X-Axe und dem Radius vector ist, denn aus den Gleichungen (8.) folgt

y _

(9.)

tgcp.

Die Projection hat daher die Gleichung

(10.)

x² y² — r² = e2a(P, oder r — ea(P, d. h. die conische Spirale liegt auf einem Cylinder, welcher auf der XY- Ebene senkrecht steht und die logar ithmische Spirale zur Basiscurve hat. Ausserdem folgt aus den Gleichungen (8.)

die conisclie Spirale liegt also auch auf einem Kreiskegel, dessen Spitze mit dem Anfangspunkt der Coordinaten, und dessen Axe mit der Z- Axe zusammenfällt.

Aus den Gleichungen (8.) findet man

dx = ea(f{aw$><p — sin (p)dcp,    r

(12.)

(11.)

2²

x² + y² — -2 = 0;

dy = ea(P (asmcp + COS (p)d<p, dz — ea(P . acd(p.

Dies giebt

(13.) ds² = dx² -f dy² + dz² = e2a(P (a² + 1 a²c²)dcp2 (14.) ds = ealP . dą>y 1 + «² + «²c²,

(15.)

oder

s = \a² Ą- a²c²Jea(f . d(p =

<pi

a 11-¹

y l _|_ a² + a²c² (ea(p* — eacP'),

(16.)

(17.)

^-z±y\ ₊ a² + a²c².

ac

Für einen ganzen Umgang wird

(f₂ = (pt + 27t, z₂ = cea^i+2n) = zi. e

2an

also

(18.)

s = - (<*•» — 1) V1+ a² + a'-c-.

<rc

13

Kiepert, Integral - Rechnung.

Zweiter Theil.

X. Abschnitt.

Integration der gebrochenen rationalen Functionen.

§ 34.

Aecht gebrochene und unächt gebrochene rationale Functionen.

Wie schon in der Differential-Rechnung (Seite 15) gezeigt wurde, lässt sich jede gebrochene rationale Function als Quotient zweier ganzen rationalen Functionen darstellen, d. h. sie lässt sich auf die Form

F(x)

Axm -j- A\x

(i.)

¹ -j- A₂Xm 2 -f- • • • -f- Am...\X -j- Am

f{?)

axn -f atxn~l -f- a₂xn~ ² -f- • • • -f- an^x -j- an bringen. Hierbei sind die Coefficienten A, At, A₂,...a, al} a₂,... beliebige constante Zahlen, und die Exponenten m und n sind beliebige positive ganze Zahlen. Den Coefficienten a der höchsten Potenz von x im Nenner kann man immer gleich 1 machen, weil man, wenn a von 1 verschieden ist, Zähler und Nenner des Bruches durch a dividiren kann. Der Nenner fix) soll daher in dem Folgenden immer die Form (2.)    fix) = xn + aixn~l + a₂xn-~ + ... + an^x + an

haben.

Man theilt die gebrochenen rationalen Functionen in acht gebrochene und unächt gebrochene rationale Functionen ein, und zwar heisst eine gebrochene rationale Function rächt gebrochen“, wenn der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners; sie heisst dagegen „unächt gebrochen“, wenn der Grad des Zählers grösser oder mindestens ebenso gross ist icie der Grad des Nenners.

F(x)

/(*)

Hiernach ist die durch Gleichung (1.) erklärte Function acht gebrochen, wenn m < n, und sie ist unächt gebrochen, wenn m^>n ist.

Satz 1. Jede unächt gebrochene rationale Function lässt sich als die Summe einer ganzen und einer acht gebrochenen rationalen Function dar stellen. Es ist also

(3.)

F(x)

= 9{x) +

ep(x)

f(f

wo g{x) eine ganze rationale Function und der Grad von q>(x) kleiner ist als der von f(x).

(4.)

Der Beweis des Satzes ergiebt sich einfach durch Division. Ist nämlich bei der Division von F(x) durch f(x) der Quotient gleich g{x) und der Rest gleich <?(x), so ist F{x) = fix) g ix) + <p(x), wobei der Grad des Restes y>(x) kleiner gemacht werden kann als der Grad des Divisors fix). Aus Gleichung (4.) ergiebt sich sofort

(5.)

F(x)

fif)

= 9(z) +

(p(x)

/(«)

Am besten erkennt man das Verfahren aus einem Beispiele.

Es sei

F(x)_xz + 9x² + 12x — 16

f(x)    x¹ + 2x — 3

dann erhält man durch Division

x³ + 9x² + 12a: — 16 = (x² + 2x — 3) (x + 7) + (x + 5) x³ + 2a;² —- 3x

+ 7x² 4- 15a; — 16 + 7x² 4- 14a; — 21

oder

(6.)

s;³ -F 9x² + 12z — 16

x² p 2x — 3

= (x 4 7) +

x + 5 x² -f- 2x—3

In ähnlicher Weise findet man

2x⁴—3x³ — 6x²+ 34x— x² — 3x 4 4

und #-)

,/i(4> Mx)

tionen, hei denen fi(x) den Grad nx und A{x) den Grad n2 haben möge, während der Grad von <pi{x) höchstens ny — 1 und der von (p₂{x) höchstens n₂— 1 sein kann, so ist

(7.)

Sind

— = [2x²-\-3x— 5) -f

Ix 4 11

x² — 3x 4 4

zwei acht gebrochene rationale Func-

(8.)

ffiQg) , yg(g) _ yi(g) >/2(g) 4 <yg(g) ./i(aQ

A(x) ⁺ Mx) ~ Mx) -.HA wieder eine acht gebrochene rationale Function, denn der Nenner hat den Grad ni 4 n₂, während ę>i(z) *A(X) und tp₂(z) .fi(x) höchstens den Grad nx n₂ — 1 haben. Dies giebt den Satz :

Satz 2. Die Summe zweier acht gebrochenen rationalen Functionen ist wieder eine acht gebrochene rationale Function.

Dieser Satz lässt sich unmittelbar auf die Summe von beliebig vielen acht gebrochenen rationalen Functionen übertragen.

-Jon

35.

Zerlegung der acht gebrochenen rationalen Functionen in Partialbrüche, wenn die Wurzeln der Gleichung f(x) = 0 sämmtlich von einander verschieden sind, (Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 139.)

Nach dem im vorhergehenden Paragraphen bewiesenen Satze kommt es hei der Integration der gebrochenen rationalen Functionen nur auf die Integration der acht gebrochenen rationalen Functionen an ; denn, wäre die vorgelegte Function unächt gebrochen, so könnte man sie in eine ganze und in eine acht gebrochene rationale Function zerlegen. Die Integration der ganzen rationalen Functionen ist aber bereits auf Seite 18 in § 4 erledigt.

Die Integration der acht gebrochenen rationalen Functionen kann man durch Zerlegung in Partialbrüche ausführen, wobei der Generalnenner der einzelnen Partialbrüche f(x) sein muss. Deshalb muss man hier die Zerlegung der ganzen rationalen Function f(x) in lineare Factoren benutzen. In § 111 der Differential -Kechnung (Seite 498) war nämlich der Satz bewiesen worden: Jede ganze rationale Function nten Grades lässt sich in n lineare Factoren zerlegen. Es ist also (1.) f{x) — xn + a ixn-]- + a₂xn~² + ••• + an~ix + an = (x — Xi) (x — x₂) (x — x₃) ... (x — xn), und Xi, x-2, x₃,... xn sind die Wurzeln der Gleichung

(2.)

f(x) = 0.

Für das Folgende muss man zwei Fälle unterscheiden, jenachdem diese Wurzeln x1} x₂, x₃,... xn sämmtlich von einander verschieden sind oder nicht.

Hier möge zunächst der erste Fall behandelt werden, wo die Wurzeln der Gleichung (2.) sämmtlich von einander verschieden sind. Um die vielen Indices zu vermeiden, mögen dabei diese Wurzeln mit a, b, c, ...k, l bezeichnet werden, so dass die Gleichung (1.) übergeht in

(3.)

f{x) = (x — d) (x — b) (x

c)... (x — k) (x — l).

Es soll dann gezeigt werden, dass die acht gebrochene rationale

Function

<p{x)

/(*)

auf die Form

(4.)

<p(z)

H--7 +

x — b

gebracht werden kann, wobei die Zähler A, B, C,... E, L der Partialbrüche constante Grössen sind.

f{x) x —

Beweis. Es sei

- = (x — b) (x — c).., (x — k) (x — l)

dann ist/i(æ) nur noch eine ganze Function (n — l)ten Grades; ferner sei

(6.)

,A(a)

₌ yO),

Nach diesen Festsetzungen wird

(7.)

cp(x) — Afjx)

A»)

gleich 0 für x = a, so dass nach Satz 2 in § 111 der D.-R. (Seite 497) q>{x) — Af{x) durch x — a theilbar sein muss. Man erhält also

(8.)

(f (x) — A f\ (x) = (x

a) (pi{x)

oder

(8a.)

<p(x) — Afi{x) + (x — a) (fi(x), wo (fi(x) eine ganze rationale Function von x ist, deren Grad höchstens gleich n — 2 sein kann. Hieraus folgt (f (x) _ Afi(x) 4- (x — a) (fi{x) _

(x — a)fi(x)

nach den gemachten Angaben wieder eine acht

(9.)

,/W

Dabei ist

Mx)

(p\(x)

x — a J\{x)

gebrochene rationale Function, welche aber einfacher ist als

cp(x)

denn fi(x) ist nur noch vom Grade n — 1, und rpi(x) ist höchstens vom Grade n — 2.

fix)

In derselben Weise kann man jetzt zeigen, dass

(pi(x) _ B__^ <p₂(x)

fiif) ~ x — b^ f₂(x) ’ wo f₂{x) vom Grade n—2 und (p₂[x) höchstens vom Grade n—3 ist. So kann man fortfahren und findet die Gleichungen

<ps(x)

c + Mx) ’

(10.)

(P'2(x) _ _ f₂[x) _ X

(fn-fx) _ K (fn-ljx) ,

fn—2.{x) X k fn—1(#)

(pn—l{x) _ L

fn-l(x) X — l

Addirt man die Gleichungen (9.), (10.) und (11.) und lässt die Glieder fort, welche auf beiden Seiten der Gleichung stehen, so erhält man <p(x)

(11.)

(12.)

fix) x — x — b

nämlich

Dieser Beweis liefert sogleich den Werth von A; es ist

(13.) A =

(p(a)

<p 0)

/i(»)

(a — b) {a — c)... (a — k) (a — l )

In derselben Weise, wie A aus

<P (*)

/0)

berechnet ist, könnte

man jetzt B aus

/iOO

C aus

/*(*)

•- berechnen. Dazu würde

ffifc) gafo) /iO) ’ /2O)

aber erstens die Bildung von

und zweitens könnte man leicht glauben, dass die durch Gleichung (12.) erfolgte Zerlegung in Partialbrüche verschiedene

••• erforderlich sein.

Resultate liefere, jenachdem man zuerst das Glied -—- oder

ein anderes absondert. Dies ist aber nicht der Fall, es gilt vielmehr der Satz: Die Zerlegung in Partialbrüche ist eindeutig; d. h. die Werthe von A, B, C, ...K, L sind unabhängig von der Reihenfolge, in der man sie herleitet. Multiplicirt man nämlich Gleichung (12.) mit

f(x) = (x — a) (x — b) (x — c) ... (x — k) (x — l),

so erhält man

(14.)

<p(x) = A(x

-f K(x — a) (x — b) ... (x —- i) (x — l) + L (x — a) (x -— b)... (x — i) (x — k).

Setzt man in dieser Gleichung der Reihe nach x = b, x = c,...x = k

l,

so wird

c) ... (a — h) (a— l),

(15.)

(p(a) — A(a — b) (a (p{b) = B(b — a) (b — ci).. .{b — k) (b — l), (f (c) = C(c — a) (c

9(1) = L(l

Dies giebt

(a — b) {a — c) ... (a — k) {a — /) cp(b)

(16.)

(6 — a)(ô — c) ...(b — k) (b — l) ’

r_ _______ v(c)

(c — a) (c — b) ... (c — k) (c — l) ‘

Cf(l)

il — a) (l — b) ... (I — i) (l — k)

Man erhält also für die Zähler der Partialbrüche genau dieselben Werthe, gleichviel ob man mit der Absonderung des betreffenden Partialbruches anfängt oder nicht.

Die Gleichungen (16.) lassen sich noch etwas einfacher schreiben. Es war nämlich

wobei nach Gleichung (5.)

fif)

oder, da f{a) = 0 ist,

(17.)

/iO)

_f(?) —/ (o) .

Hieraus folgt (vergl. D.-R Tabelle)

x — a

Formel Nr. 15 oder 120 der

-, v r f(x)—f(a) f{a) = lim - v ’

X=tl    tt-    Cb

also

x=a J-

(18.)

und ebenso (18a.) B =

j _ <P(a)

Cf(c)

f\o)

■■ K =

/'(*) ’

rp(l)

fV)

Hätten fix) und (fix) einen gemeinsamen Theiler, z. B. den gemeinsamen Theiler x -- a, so würde der erste Partialbruch

-------- wegfallen, weil q>(a) und deshalb auch A in diesem Falle

gleich Null wären.

Für die Ausführung der numerischen Berechnung ist dasselbe Verfahren wie bei dem oben gegebenen Beweise am meisten geeignet; man schaffe also in Gleichung (12.) durch Multiplication mit

f{x) — (x — a) (x — b) (x — c)... (z — h){x — l)

die Nenner fort, um die Gleichung (14.) zu erhalten, aus der sich dann die Werthe von A, B. C,... K, L unmittelbar ergeben, indem man bezw.

x = a, x — b, x — c,... x = k, x = l

einsetzt.

Man kann allerdings zur Berechnung der Grössen A, B, C,... K, L auch das folgende Verfahren anwenden, das später in dem allgemeineren Falle noch in Betracht kommen wird, wo die Wurzeln von ,/(z) nicht alle von einander verschieden sind.

In Gleichung (14.) ist die linke Seite höchstens vom Grade n — 1 ; ebenso ist die rechte Seite eine Function von Grade n — 1, die man sich nach Potenzen von x geordnet denken kann. Da die Gleichung für alle Werthe von a:- gilt, so müssen die einzelnen Coefficienten der linken Seite gleich sein den gleichstelligen Coefficienten auf der rechten Seite, welche lineare Functionen (d. h. Functionen ersten Grades) der gesuchten Grössen A, B, C,... K, L sind. Nun hat aber eine Function (n — l)ten Grades im Ganzen n Coefficienten. Man erhält also n lineare Gleichungen mit n Unbekannten, welche sich in diesem Falle stets auf lösen lassen.

Am besten wird man dieses Verfahren durch die Behandlung einiger Aufgaben verstehen.

Aufgabe 1. Man soll den Bruch Partialbrüche zerlegen.

15z² — 70z — 95

z³ — 6z² — 13z -f- 42

in

Auflösung. Man setzt den Nenner gleich Null und erhält dadurch die Gleichung

(19.)

z³—6z² —13z + 42 = 0.

Löst man diese Gleichung auf, so ergeben sich folgende

Wurzeln

deshalb wird

(21.)

202

(20.)

§ 35. Partialbruch -Zarlegung (erster Pall). a = 7, h = — 3, c = 2,

z³ — 6z² — lSz + 42 = (z — 7) (z + 3) (z — 2).

Hieraus folgt

(22.)

15z² — 70z —95

15z² — 70z — 95

z³ — 6z² — 13z -F42 ” (z — 7) (z + 3) (z — 2)

(7

z— 7

z -J- 3

Um die Werthe von A, 5 und C zu ermitteln, schaffe man die Nenner fort, indem man Gleichung (22.) mit

z³ — 6z² — 13z + 42 = (z — 7) (z + 3) (z — 2) multiplicirt. Dadurch erhält man

(23.)

15z² — 70z — 95 = A(x + 3) (z — 2)

+ 5(z — 7) (z — 2) -f C{x — 7) (z 4- 3). Da diese Gleichung für alle Werthe von z gilt, so findet man daraus für z = 7

150 = 50A, oder A = 3

für z = — 3

und für z = 2

250 = 505, oder 5 = 5,

250, oder 0=7,

= —+ —+ 7 x—7 x+

Man kann auch die rechte Seite von Gleichung (23.) nach fallenden Potenzen von z ordnen und erhält dann

folglich wird

(24.)

175 =

15z² — 70z — 95

z³ — 6z² — 13z -}- 42

(25.)

15z² — 70z — 95 = x\A +B+C) + x(A — 95 — 4(7) + (— 6A + 145 — 21C).

(26.)

Diese Gleichung gilt für jeden Werth von z, folglich müssen die Coefficienten gleicher Potenzen von z auf beiden Seiten dieser Gleichung einander gleich sein, d. h. es muss A + 5 + C = 15,

ca

A — 95 — 4(7 = — 70,

6A 4- 145 — 21(7= — 95

sein. Löst man diese Gleichungen zwischen +, B und G auf, so ergiebt sich wieder

(29.)

A = 3, B = 5,    C=7.

Zu demselben Resultate kommt man natürlich auch durch Anwendung der Gleichungen (18.) und (18 a.), indem man

cp(c)

(30.)

_ (p{a) /'(«) ’

<r(b)

/'(*) ’

f\°)

setzt. In dem vorliegenden Falle ist a= 7, h — — 8,

(31.)

und

(82.)

f\x) = 3a;² — 12a; — 13 ;

dies giebt

0>(7)

15.49 — 70.7 — 95

150

fV)

3.49—12.7 — 13

50

(33.) B ==

y(— 3) /'(-3)

15. 9 + 70.3 — 95

3. 9 + 12.3 — 15. 4 — 70.2 —

250

50

— 5,

— 175

/'(2)

3 . 4 — 12.2 — 13

25

= 7.

Aufgabe 2. Man soll die Function

a;² + 1 a:³ — x

in Partialbrüche

zerlegen.

(34.)

Auflösung. Hier ist

f{x) = a;³ ■—x — x(x — 1) (x + 1)

also

(35.)

(p(x)

a;² + 1 A

=--b --+    . ₁

x x — 1 x + 1

Um die Grössen A, B, C zu bestimmen, multiplicirt man beide Seiten der Gleichung (35.) mit x³ — x und erhält (36.) x² + 1 = A(x² — 1) + B{x² + x) + C(x² — x).

Diese Gleichung gilt für alle Werthe von x, deshalb findet man für x — 0

/(*)

x³ — x

(37.)

1 = — A, oder A = — 1

für x — 1

2 = 2 B, oder B = + 1

(38.)

und für x = — 1

(39.)

2 = 2 C, oder C = + 1 ;

folglich wird

x² 4- 1 xz — x

— —— H--¹    ,

X X — 1 X -f- 1

Ordnet man die rechte Seite von Gleichung (36.) nach fallenden Potenzen von x, so erhält man (36a.) z² + 1 = x²(A + B + C) + x{B — C)— A.

(40.)

Da die gleichstelligen Coefficienten auf beiden Seiten dieser Gleichung einander gleich sein müssen, so zerfällt die Gleichung (36 a.) in die Gleichungen

(41.)

A + B + C= 1, B — (7 = 0, — A = 1.

(42.)

Die Auflösung dieser Gleichungen giebt wieder A = — 1,

Dasselbe Resultat erhält man auch, indem man

B= 1,    0=1.

(43.)

A _ SP(«) ,

TW

<jpQ)

(44.)

a = 0, b = l, c = — 1

₌ jKf)

/'(*) ’

(45.)

f‘{x) — Sx² — 1, cp(x) = x² -f- 1

setzt, denn es wird

<K°) _ ° + i f‘(9)

(46.)

„ yßl. _L±1

/'(l)    3-1

= + 1,

T= + 1-

9>(— 1) _ 1 + 1

Aufgabe 3. Man soll die acht gebrochene rationale Function in Partialbrüche zerlegen.

4z² — 15« + 19

(x — 1) (z — 2) (x — 3)

Auflösung. Hier ist

(47.)

4z¹ 2 — 15# + 19    _

\x — l)(x — 2) (x 3) X — 1 ⁺ x — 2 ⁺ X -^3 ’ oder, wenn man beide Seiten der Gleichung mit

(x — 1) (x — 2) (# — 3)

multiplicirt,

(48.) 4z² — 15# + 19 = A(x — 2) (x — 3) + B{x — 1) (x — 3)

Dies giebt für x = 1

+ C(x — 1) (# — 2).

für x = 2

und für x = 3

oder A = 4,

5 = — B, oder B = — 5

also

10 = 2(7, oder (7=5

(49.)

4#² — 15# + 19    ___

ix — 1) (x — 2) (x — 3) x — 1

Aufgabe 4. Man soll die acht gebrochene rationale Function in Partialbrüche zerlegen.

(50.)

(fix)

/(*)

(51.)

x² — x —-1 Die beiden Wurzeln der Gleichung

f[x) — x² — x — 1 = 0

sind

(52.)

«==i(l+V5). i = ł(l — VS).

Deshalb ist

(53.)

x² — X-1

oder

#—1(1 +y 5)    #—i(l—y 5)

2#— 1 — 1/5    2# — 1 + 1/5

Multiplicirt man diese Gleichung mit

(:2x — 1 — Y 5) (2x — 1 -j- Ÿ 5) = 4(x² — x — 1),

so erhält man

— 4 = 2A(2x — 1 + y 6} + 2B(2x — 1 — ]/5)

oder

(55.) — 2 = 2x(A + B) + A— 1 + y 5) + £(— 1 — ^5);

daraus folgt (56.) oder

Dies giebt

)•

(58.)

]/5\2a; — 1 + ]/ 5 2x — l—y5

in Partialbrüche zerlegen.

Aufgabe 5. Man soll die gebrochene rationale Function 2x³ — 7a:² — 6a; + 8 x² — 6x+ 7

Auflösung. Die yorgelegte Function ist eine unäclit gebrochene; deshalb muss man sie zunächst durch Division in eine ganze und eine acht gebrochene rationale Function zerlegen. Dadurch erhält man

(59.)

sind

2a;³—7a:² —6a: + 8 x² — 6a: + 7 Die Wurzeln der Gleichung

f{x) — x² — 6a; + 7 = 0

= 2a: + 5-1

10a; — 27

x² — 6x + 7

(60.)

« = 3+1/2, b=-3 — y2

folglich wird

(61.)

(62.)

fix) = (x — 3 — y2) (x — 3 + y2), 10a: —27 a;² — 6a: + 7

X — 3 + y 2 10* — 27 = A(x — 3 + y 2) +    — 3 — ]/ 2).

Fiir x — 3 4- ]/2 erhält man daher (64.) 3 + 10 Y2 = 2 A ]/ 2, oder A —    ~    (3 + 10^2),

im

und für x — 3 — ]/ 2

(65.) 3 — 10 Y2 = — 2B Y2, oder B —    3+ 10]/2),

also

(66.)

2z³ — 7z² — 6z + 8 z² — 6x + 7

1/3 4- 10 V2 2}/2\x— 3 —Y 2

3 + 10 V 2

x — 3 4- V 2

Die angegebene Methode für die Zerlegung in Partialbrüche bleibt richtig, gleichviel ob die Wurzeln der Gleichung f(x) = 0 reelle oder complexe Grössen³) sind.

Im letzteren Falle werden aber die Partialbrüche selbst eine complexe Form annehmen, die man vermeiden kann, wenn die Coefficienten von cp{x) und fix) reell sind.

Wie dies geschieht, möge zunächst die folgende Aufgabe

lehren.

in Partialbrüche zerlegen.

Aufgabe 6. Man soll die acht gebrochene rationale Function 13z² — 68z + 95 z³—11z² 4~ Ï3z—65

Auflösung. Indem man den Nenner gleich Null setzt, erhält man die Gleichung

(67.)

z³ — 11z² 4- 43z — 65 = 0

mit den Wurzeln

ö=34- 2V^1, oder, wenn man ]/— 1 mit i bezeichnet, (68 a.)

(68.)

a = .5

c = 3-2|/-l,

a = 5, b = 3 4” 2®, c = 3 — 2i.

Demnach ist der Nenner der gebrochenen Function (69.) z³ — 11z² 4- 43z — 65 = (z — 5) (z — 3 — 2i) (z — 3 4- 2³').

Dies giebt

13z² — 68 x + 95 x³ -— 11a;² 43a: — 65

(70.)

5 ⁺ a:— 3—2i ⁺ x — 3 + 2 »’ und wenn man diese Gleichung mit x³— 11a:² -f 43.r— 65 multiplicirt,

(71.)    13a:² — 68a; + 95 = ^4(a; — 3 — 2z) (x — 3 + 2t)

+ B(x — 5) (x — 3 + 20 + C(x — 5) (x — 3 — 2t).

(72.)

Dies giebt für x = 5

80 = A(2 — 2t) (2 + 2i) = 8^4

oder ^4 — 10

für x = 3 + 2i

(73.) — 44 -f 20i = (■— 2 + 2«)4e. B, oder B =    —

und für x — 3 — 2i

(74.) — 44 — 20« = — (— 2 folglich ist

2e)4e. C, oder G =    —*,

2

(75.)

13a;² — 68a; -f 95

3 — 8*

_ _ _ 3+ 8e _

xs—11a;² -(- 43a;— 65    x-—5 ^ 2(a:— 3 —2i)~r2(x—3 -f- 2i)

10

Da die beiden letzten Glieder conjugirt complexe Grössen sind, so muss ihre Summe reell sein*). In der That, es ist

3 — 8«:

3a: -f 7

2(a? — 3 — 20 "h 2 (a: — 3 + 2t) ~ x² — 6x + 13 ’

also

13a:² — 68a: + 95

10    3a; 4- 7

x — 5 ⁺ x² — 6x +13 '

Ganz allgemein gilt nun Folgendes. Sind in f(x) die Co-efficienten reell, so treten die complexen Wurzeln in f(x) — o bekanntlich paarweise auf**). Ist z. B. b gleich g-[-hi, so ist eine andere Wurzel, sie heisse c, gleich g — hi, also

(76.)

x³ — 11a;² -f- 43a; — 65

b = g + hi, c = g — hi.

*) Yergl. D.-R, Seite 470, Satz 1. **) Vergl. D.-B., § 113.

(78.)

Sind nun auch in <p{x) die Coefflcienten reell, so wird <p(6) _ <p(g + hi) fW f\g+hi)-

__ y(c) _ <p{g — hî)

f\c)    f'lg—hi)

I-

G + Hi,

= G — Hi,

folglich erhält man

(7₉.) ^

"b ⁺

G + Hi , G — Hi _ 2 G(x —g) — 2Hh

(z—g)² 4* h²

x — c x — g —hi ' x—g + hi

oder

(80.)

Px -f- Q

c (z — g)² + h² ’

WO

(81.)

P — 2G, Q = — 2Gg — 2Hh

reelle Grössen sind.

Durch Anwendung der Gleichung (80.) kann man also bei der Partialbruch-Zerlegung die complexen Grössen ganz vermeiden.

In Aufgabe 6 hätte man z. B. setzen können 13z² — 68z 4- 95 z³ — 11z² 4- 43z — 65

Multiplicirt man beide Seiten dieser Gleichung mit z³ — 11z² -j- 43z — 65 = (z — 5) (z² — 6z 4* 13), so erhält man

(83.)    13z² —68z + 95 = ^4(z²—6z4-13) 4--P(z² —5z) + Q(z—5)

= x²(A 4-P)-fz(—6A — 5P-j- Q)4-(13A— 5Q).

(82.)

Px 4- Q x — 5 ⁺ ~z² — 6z 4- 13

Daraus folgen die Gleichungen

A 4- P— 4- 13

< — 6^4 — 5P 4- Q = — 68,

13^4 — 50= 4- 95.

Durch Auflösung dieser Gleichungen ergiebt sich A = 10, P— 3, Q = 7, und wenn man diese Werthe in Gleichung (82.) einsetzt,

Kiepert, Integral-Rechnung.

(84.)

(85.)

13a² — 68g + 95 x³ — lia;² -J- 43a; — 65 Dieses Resultat stimmt natürlich mit dem früheren überein.

10    Sx + 7

x — 5 x¹ — 6x -j- 13

Noch einfacher gestaltet sich die Rechnung durch die folgenden Ueberlegungen. Aus Gleichung (83.), nämlich aus der Gleichung

13a;² — 68a; + 95 = A(x² — 6x + 13) + P(x² — 5x) + Q(x— 5) ergiebt sich für x = 5

und für

oo oo

80 = 8A, oder A = 10,

x² — 6a; + 13 = 0, oder x² = Gx—lS

(7.)    10a; — 74 = (P + Q)x — 13P — 5Q.

Da Gleichung (86.) für zwei Werthe von x befriedigt wird, nämlich für

x = 3 + 2i und x = 3 — 2 i,

so wird auch Gleichung (87.) für diese beiden Werthe von x befriedigt. Nun ist aber Gleichung (87.) nur vom ersten Grade, folglich müssen (nachD.-R., § 112, Satz 5a auf Seite 499) die gleichstelligen Coefflcienten auf beiden Seiten der Gleichung einander gleich sein, d. h. es wird

(88.) P+<2 = 10,    13P+5<2 = 74, also P = 3,    <2 = 7.

Wie sich dieses Verfahren allgemein durchführen lässt, mögen die folgenden Aufgaben zeigen.

in Partialbrüche zerlegen.

Aufgabe 7. Man soll die acht gebrochene rationale Function 6a;² — 25a; + 89 x? — Ix² + 32a: — 60

Auflösung. Indem man den Nenner

(89.)

x³ — 7x² + 32a; — 60 = 0

(90.)

setzt, erhält man für die Wurzeln dieser Gleichung a =3, ó = 2 + 4*', c = 2 — 4*.

Deshalb ist

(91.) a;³—7a;²-f 32a; —60 = (x — S)(x—2 — 4i)(x — 2 + 4«)

= (x — 3) (x² — 4a; + 20),

6a:² — 25a; + 89

Px + Q

x³ — Ix² -f- 32a; — 60 a;— 3 n x² — 4a; + 20

Multiplicirt man beide Seiten dieser Gleichung mit (z — 3) mal (x² — 4z + 20), so ergiebt sich

(93.) 6z² —25z+89 = A(z² — 4z + 20) +P(z² — 3z) + Q(z—3). Daraus folgt für x = 3

(94.)

68=17.4, oder A — 4,

und für

(95.)

z² — 4z + 20 = 0

oder z² — 4x — 20

— x — 31 = {P+ Q)x —20P— 3Q.

Indem man die gleichstelligen Coefflcienten auf beiden Seiten dieser Gleichung einander gleichsetzt, findet man P + Q = — 1, 20P+3Q = 31,

Q = — 3;

(96.)

(97.)

P= 2

und wenn man diese Werthe in Gleichung (92.) einsetzt, 6z² — 25z + 89 z³ — 7z² + 32z -^60

(98.)

(99.)

2z — 3

z² — 4z 4- 20

in Partialbrüche zerlegen.

(z²

Aufgabe 8. Man soll die acht gebrochene rationale Function 7z³ — 6z² 4- 9z + 108 — 4z + 13j (z² + 2z + 5)

Auflösung. Indem man den Nenner

(100.)

setzt, erhält man die vier complexen Wurzeln

(101.) a = 2 4- Si, b = 2 — 3i, c = — 1 + 2i, d — — 1 — 2i,

fix) = (z² — 4z + 13) (z² + 2z + 5) = 0

deshalb wird man den vorgelegten Bruch auf die Form

Px + Q

Rx 4- S

7z³ — 6z² 4- 9z + J-08

(z² — 4z-f- 13) (z² 4- 2z + 5) z²—4z 4-13 ¹ z² + 2z + 5 bringen. Hieraus erhält man durch Fortschaffung der Nenner (103.)    7z³ — 6z² + 9z 4- 108 = (Pz + Q) (z² 4- 2z 4- 5)

(102.)

4- (Pz 4- S) (z² — 4z 4- 13).

Dies giebt für

(104.)

z² — 4z 4- 13 = 0, oder z² = 4z — 13, z³ = 3z —- 52 6z — 178 = P(16z — 78) + Q(6z — 8).

Da die gleichstelligen Coefflcienten auf beiden Seiten dieser Gleichung einander gleich sein müssen, so gelten die Gleichungen

8P-f3Q = 3,    39P+4Q = 89,

(105.)

folglich wird (106.)

P — 3, Q = — 7.

Setzt man in Gleichung (103.)

x² + 2x -f- 5 = 0, oder x² = — 2x — 5, x³ = — x + 10,

so findet man in ähnlicher Weise die Gleichungen

Ux + 208 = B(20x + 30) + S(— 6x + 8) 15R + 4-5*= 104, S= 11,

(107.)

(108.)

(109.)

10ić — 3S =

R =

und wenn man diese Werthe in die Gleichung (102.) einsetzt,

( HO )    7x3 — 6x* + 9^ + 108

^    (x² — éx -j- 13) (x² -f- 2x -j- 5)

!£*■ ^

3x — l

Łt + 11

z² — 4*+13

x² 2x + 5

§ 36.

¹

+ X-X²

²

Auflösung. Hier muss man erst Zähler und Nenner des Bruches mit — 1 multipliciren, damit der Coefficient von x² im . Nenner gleich + 1 wird. Dadurch erhält man

³

Vergl. D.-K., § 102 — 110.

Zerlegung der acht gebrochenen rationalen Functionen in Partialbrüche, wenn die Gleichung f(x) = 0 auch gleiche Wurzeln besitzt.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 140.)

Hat die Gleichung fix) = 0 auch gleiche Wurzeln, so kann man diese gleichen Wurzeln zusammenfassen und fix) auf die Form

(1.) fix) — (x — a)a(x — b)ß (x — c)v... (x — /c)*(x — lf-bringen, wobei die Grössen a, b,    l sämmtlich von ein

ander verschieden sind, und

(2.)

cc -j- fl -f- y -f- • • • -J- x -f- À — n ist. Auch möge vorausgesetzt werden, dass <f{x) keinen Theiler mit f\x) gemein habe, dass also cp(x) für x gleich a. b, c,...k oder l von Null verschieden sei. Man erkennt sogleich, dass in diesem Falle die Gleichung

q){x)

fix) x — a

H--7 +

x — b

+ -- + JZTT +

x — l

nicht mehr bestehen kann, weil der Generalnenner auf der rechten Seite nicht mehr gleich fix) ist.

/i(«)

(5.)

gleich 0 für x = a, folglich ist sie theilbar durch x — a. Man erhält also

(6.)

(f(x) — Ax fx{x) — (x — a)(f.x(x),

oder

(6 a.)

Hier sei

(3.) fx{x) =

./O)

und

(x — a)a

— {x — by (x — c'y • • • (x

ky (x — iy

(4.)

Hi —

<P («)

/i(«)

dann wird die ganze rationale Function

(p(x) = Ai fiix) + (x — a)(pi(x).

Da die ganze rationale Function <p(x)—Axfi{x) höchstens vom Grade n — l ist, so kann <pi{x) höchstens eine ganze rationale Function vom Grade n — 2 sein.

Nach diesen Angaben wird also

(7.)

y(s) __ Aif\{x) + (x—a)tpi(x) (x — a)afi(x)

(fl(x)

/(*)

(.x —a)

Man har also von

<P(x)

/(*)

ein Glied

{x — a)

- abgesondert,

so dass nur noch eine acht gebrochene Function

(fl(x)

(x — ay~lfi{x)

übrig bleibt, bei welcher der Grad des Nenners nicht mehr n, sondern nur noch n — 1 ist.

Ist a > 1, so kann man dieses Verfahren wiederholen und erhält ebenso

(8.)

Ai

yi(g) __

(x — a)a~lJ\(x) (x — a)a

also

(9.)

A ■>

<r(g) _

f(x)    ( x — a f ' {x — a)

(X —1

(*

<jPs(x)

■ a)a~'Jfi(x) ’

wo jetzt in der acht gebrochenen Function -Grad des Nenners wieder um 1 kleiner ist.

(pzjx)

(x — a)a~*Zt(x)

der

Wendet man dieses Verfahren a-mal an, so ergiebt sich

(10.)

ffO) __

/(*) (x — a)

A%

(x — a)

a—1

Aa

x — a fi{x)

In dieser Weise kann man fortfahren und findet schliesslich die Gleichung

(11.)

9>(x) _

Ai

Aa

fix) (x — a)

(x — a)a

-i

B₂

(x — by

(x — by

Li

l.₂

(x — l)

(x — l)

x-i

+ •** +

Li

Die Zähler A1} A

2, ...

B₂,... Lx

dieser Partialbrüche berechnet man, indem man beide Seiten der Gleichung (11.) mit dem Generalnenner f(x) multiplicirt, nach Potenzen von x ordnet und die gleichstelligen Coefficienten auf beiden Seiten der Gleichung einander gleich setzt. Dies giebt dann, wie man leicht bestätigen kann, n lineare Gleichungen mit den n Unbekannten

Ai, A₂,... Aa, Bi, B₂,... Bp, ... Li, L₂,... Li, und zwar sind diese Gleichungen immer lösbar.

Aus dem Umstande, dass diese n linearen Gleichungen mit n Unbekannten nur eine Lösung besitzen, kann man wieder scliliessen, dass auch in diesem Falle die Partialbruch-Zerlegung nur auf eine Weise geschehen kann, d. h. dass man dasselbe Resultat erhält, gleichviel ob man zuerst die Partialbrüche

Ai

A₂

Aa

(x — a)a {x — a)

absondert, oder ob man mit der Absonderung der Partialbrüche in einer späteren Zeile von Gleichung (11.) anfängt.

Die Rechnung wird ziemlich umständlich, wenn n eine grosse Zahl ist; dann kommt man schneller zum Ziele, indem man, der Gleichung (4.) entsprechend, zunächst

rp(a)

/iO)

berechnet und das gleiche Verfahren auf die Ermittelung von Bi, Cr,... Kl, Li anwendet. Dies geschieht am einfachsten, indem man in Gleichung (11.) durch Multiplication mit

fix) = [x — d)a[x — b)ß(x -— cf... (x — ky{x — ly

die Nenner fortschafft und dann der Reihe nach

x — a, x=b, x = c,...x = k, x — l

setzt. Die Berechnung der übrigen Zähler der Partialbrüche geschieht dann nach dem zuerst beschriebenen Verfahren, ist aber viel leichter geworden, weil man nur noch n — m lineare Gleichungen mit n — m Unbekannten hat, wobei m die Anzahl der von einander verschiedenen Wurzeln a, b, c,... k, l der Gleichung fix) — 0 ist.

Einige Beispiele mögen zur Erläuterung dieser Angaben

dienen.

in Partialbrüche zerlegen.

Aufgabe 1. Man soll die gebrochene rationale Function 4x³ — 63z² + 338z — 619 (z — 7) (x — 5)³

(12.)

Auflösung. In diesem Falle muss man 4z³ — 63z² + 338z—619 (z — 7) (z -— 5)³

B₂

B*

x — 7 ⁺ (z — 5)3 + (z — 5)2 + z — 5 setzen. Dies giebt, wenn man mit (z — 7) (z — 5)³ multiplicirt, 4z³ — 63z² + 338z — 619

= A(x—5)³ +Bi(x — 7) -\-Bi{x—-7)(z — 5)+E₃(z—7)(z—5)²,

(13.)

oder

(14.)

4z³ — 63z² + 338z — 619 = x³(A + B₃)

+ z²(-— 15 A + B₂ — 17 Bz) + z(75 A + Bx — 12 B₂ + 95 B₃) + (— 125M — iBr + 35i?₂ — 175 B₃).

Daraus folgen die Gleichungen

A + Bz — 4,

15 A + B₂ — 17 B₃ = — 63, 75A + Br — 12B₂ -f 95ß₈ = 338,

— 125M — 7 Br + 35 B₂ — 175 B₃ = — 619.

Durch Auflösung dieser Gleichungen ergiebt sich A = 4, Bt = 2, B, = — 3,    ^8 = 0,

(16.)

so dass man erhält

(17.)

4a:³ — 63^² + 338a; — 619

(x — 7) (a; — 5)³

x — 7 ' (x — 5)³

(x — 5)²

Wendet man das andere Verfahren an, indem man in Gleichung (13.) zuerst x = 7 setzt, so findet man 32 — 8A, oder A = 4; und für a; — 5 findet man aus Gleichung (13.)

— 4 = — 2B

(18.)

(19.)

oder Bi = 2.

Zur Ermittelung von B₂ und R₃ braucht man jetzt nur noch zwei Gleichungen. Deshalb wählt man von den vier Gleichungen (15.), welche zur Verfügung stehen, diejenigen aus, welche sich am leichtesten herleiten lassen; d. h. man braucht jetzt gar nicht mehr die Gleichung (14.) vollständig zu bilden, sondern berechnet von der rechten Seite dieser Gleichung nur den Coefficienten von xz und das constante Glied. Daraus ergeben sich in Uebereinstimmung mit den Gleichungen (15.) die Gleichungen

(20.)

(21.)

A -f- Bs — 4,

— 125M — iBi + 3514 — 175^3 = — 619

die sich aber mit Hülfe der Gleichungen (18.) und (19.) auf (20 a.)

(21a.)

Bs= 0,

35R₂ — 175^3 = — 105, oder B₂ = — 3 reduciren. Auf diese Weise wird man wieder zu dem in Gleichung (17.) angegebenen Resultate geführt.

Aufgabe 2. Man soll den Bruch briiche zerlegen.

Auflösung. Hier muss man

3a;³ + 10a;² — x (a;² — l)²

(22.)

Ai

(a; — 1)

3a:³ -f- 10a;² — x .

—_ ₁₎₂ m Partial-

Bi

Bi

x — 1

setzen und erhält durch Multiplication mit

(x + 1)

(29.)

+ - ,+

x — 1

{x -j- l)² X + 1

(x—1)

(«² — l)¹ = (x — l)*{z + l)² 3

(23.) 3x⁴ + 10x² — x — Ay{x + l)² -f A₂(x -f- 1)²(# — 1) 4- Bi(x — l)² + Bfx + l){x — l)².

Hieraus ergiebt sich für x — l 12 == 4 A

(24-)'

und für x — — 1 (25.)

oder Ai = 3,

8 = 4Z?i, oder Bt — 2.

Zur Ermittelung von A» und Bo suche man auf der rechten Seite von Gleichung (23.) den Coefficienten von x¹ und das constante Glied auf und setze die gefundenen Grössen den gleich-stelligen Coefficienten auf der linken Seite gleich. Dadurch erhält man die beiden Gleichungen

A-2 + B-i = 3,

(26.)

(27.)

A i — A 2 + By -f- B-2 — 0, oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (24.) und (25.)

A-2 -j- B₂ = — 5,

(27 a.)

also

(28.) •

Ao — 4, Bo —

so dass Gleichung (22.) übergeht in

-1,

§ 36. Partialbruch- Zerlegung (zweiter Fall).

218

4

Deshalb werden die Summen

Di

(x — b)ß

(x — c)P

b₂

C₂

(82.)

[x — by-

(x — cy

ÊL

9l

sämmtlich reell.

Man kann auch hier in der Zwischenrechnung die com-plexen Grössen ganz vermeiden. Wenn man nämlich die Ausdrücke (32.) auf gleichen Nenner bringt und addirt, so erhält

wo der Nenner vom Grade 2ß, der Zähler

man

F(x)

i(x—gy-t-wy

aber höchstens vom Grade 2ß—1 ist. (Vergl. Satz 2 in § 34.) Jetzt findet man durch Division

(33.)

F{x) = [{x - gf + łi²] F,{x) + P\X + Q,,

also

(34.)

Fßx)

P\X -f- Gi

[(* — 9? +    ~ [(« — 9Y +    ' [(* — 9)² + /l*Y

Ebenso findet man durch Division

(35.)

Fßx)

P%X + Q-2

. Ft(x)

[(z—+    l(x—(jf + h’]?-'    [(*—gf + h'LV

—2

In derselben Weise kann man fortfahren und erhält schliesslich

(36.)

B₂

C₂

___

x—b (x—c)^ (x—c)fi

,4-----h

(x—by (x—by

_ P\X -f- Qi

l(x—gy+Ä²Y ' [{z—9)'² + tiżY~

x— c

PßX -(- Qp (x—gf+h²

Die Berechnung der Grössen Pt, Qi, P₂, Q₂, ... Pß, Qi erfolgt jetzt wieder wie früher, indem man den Ausdruck,

durch Partialbruch-Zerlegung ergiebt,

vorläufig aber noch die unbestimmten Grössen Pi, Qi, P₂, Q₂, ...Pp, Qß u. s. w., enthält, mit f{x) multiplicirt, nach Potenzen

welcher sich für

(f(x)

/(*)

P₂x -f- Q₂

von x ordnet nnd die einzelnen Coefficienten den gleichstelligen Coefficienten von (fix) gleichsetzt. Dadurch erhält man n lineare Gleichungen mit n Unbekannten, deren Auflösung nach diesen Unbekannten immer möglich ist.

Man kann aber auch hier die Kechnung wesentlich ab-klirzen, indem man

oder x² = 2gx — g² — h2 setzt. Dadurch kann man die eben beschriebene Gleichung auf den ersten Grad bringen und durch Gleichsetzung der gleichstelligen Coefficienten die beiden darin verbliebenen Unbekannten Pi und Qx berechnen.

Am besten wird dieses Verfahren durch Beispiele erläutert.

(x — g)² + h² = 0

Aufgabe 3. Man soll die acht gebrochene rationale Function x + 1

(x — 1) (X² + l)¹

in Partialbrüche zerlegen.

Auflösung. Nach dem Gesagten muss man hier

(an \    X + ¹    _ A , P'X + Ql ,

'    (X — 1) (x² -j- l)² X — 1    (x² -j- l)²

P%X Q-2

X² + 1

setzen. Wenn man beide Seiten dieser Gleichung mit (x — 1) mal (x² + l)² multiplicirt, erhält man

(38.) x +1 = A(x² -f-1)² + {Pix + Qt)(a:—1) + (P₂x+ Q₂)ix— l){x² + 1),

oder, wenn man die rechte Seite dieser Gleichung nach fallenden Potenzen von x ordnet,

(39.) X-{-l = X*ixi.-\-P2)-\-X^i—P₂ -f- Q₂) + X²(2ud Pi~\- IJ2 Q2)

+ xi—P\ -f- Qi — P-2 -f- Q2) -p (A — Qi— Q2).

Durch Gleichsetzung der gleichstelligen Coefficienten ergiebt sich hieraus

A. — Qi — Qi — 1.

Löst man diese Gleichungen auf, so findet man (41.) A = -g-, P\ — — 1, Qi ⁼ 0, P-2 — y ? Q2 ⁼

also

2x

X -j- 1

—    —¹

2 vr — 1    (x² + l)² z² + 1

Die Rechnung wird wesentlich abgekürzt, wenn man in Gleichung (38.) zunächst x = 1 setzt. Dadurch erhält man 2 = 4 A, oder A = £.

Für x² = — 1 geht sodann Gleichung (38.) über in (44.) x 4- 1 = (.Pix + Qi) (x — 1) = (— P\ 4- Qi)x — Pi — Q und daraus folgt

(42.)

(43.)

\x — 1) 0x² + l)²

(5.)    — Pl+Ql = l, —P,~QV = l,

Qi = 0.

(6.)    Pi = — 1

Um noch die beiden Grössen Po und Q₂ zu finden, braucht man auf der rechten Seite von Gleichung (38.) nur diejenigen beiden Coefficienten zu berechnen, welche sich am leichtesten ermitteln lassen, nämlich die Coefficienten von xi und x°. Wenn man diese Grössen den gleichstelligen Coefficienten auf der linken Seite von Gleichung (38.) gleichsetzt, erhält man

A -f- P^ — 0, A

(47.)

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (43.) und (46.)

Qi — Q-2 ⁼ 1,

(48.)

P-2 — —i, Q2 — —

Daraus ergiebt sich wieder Gleichung (42.).

Aufgabe 4. Man soll die acht gebrochene rationale Function 3x⁵ +Jx* 4- 6x³ — 11z²— 12x —-.8 (x — 2)²(x² -j- 2x -j- 2)²

Auflösung. Hier ist zu setzen

fffo) _ -Ai , f{x)    (x — 2)² x

folglich wird (50.) rp(x) = 3x⁵ -}- 2x⁴ 4- 6a:³ — 11a:² — 12x— 8

= Ai(x² + 2x 4- 2)² 4- A₂(x — 2) (x² + 2x + 2)2 4- (P\X 4- Qt) (x—2)² 4- (P₂x 4- Q₂)(x — 2)²(x² 4- 2x 4-2).

in Partialbrüche zerlegen.

(49.)

A₂

Pix 4- Q

__1 P^x -f⁻ Q2

(x² -f- ’2x 4- 2)² x² 4~ 2x -j- 2

bildet.

Function

Dies giebt für x = 2

100 = lOOAt, oder At = 1

oder x² = — 2x — 2 10^+30= (PiX+Q^i— 6* +2) = (14Pt — 6Q₁>+(12P₁+ 2 Qi),

(51.)

und fiir x² -f- 2x + 2 = 0

also

(52.)

7Pi — 3Qi = 5, 6Pi -f- Qt = 15,

Pt = 2, Qt = 3.

Setzt man jetzt noch die Coefflcienten von x⁵, a;⁴ und x° auf beiden Seiten von Gleichung (50.) einander gleich, so erhält man

(53.)

A -2    P‘i — 3,

Ai -j- 2A₂ — 2P2 -f- Q2 — 2, 4 A4 — 8A2 -f- 4Qi -f- 8Q2 ⁼ — 8,

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (51.) und (53.) (54.) A-2 -f- P2 = 3, 2A2 — 2P2 -J- Q₂ — 1, A₂ — Q₂ — 3 also

(55.)

Q2 — — 1.

P*= 1

Indem man diese Werthe in die Gleichung (49.) einsetzt, erhält man

(56.)

3z⁵ -f- 2a:⁴ -f- 6a;³ — 11a;² — 12a; — 8

(x — 2)²(a;² + 2a; -f- 2)2 2 a; + 3

(x — 2)

(.x² + 2a; + 2)

x² -j- 2x -j- 2

Bei der Zerlegung von

(f(x)

/(*)

in Partialbrüche ist voraus-

gesetzt, dass man die Wurzeln der Gleichung f{x) = 0 ermittelt hat.

Weitere Uebungs - Aufgaben kann sich der Anfänger sehr leicht selbst stellen, indem er beliebig gewählte Partialbrüche auf den gemeinsamen Generalnenner bringt und dadurch die cp{x)

/(*)

§ 37.

dx.

Integration der Functionen    und

(Yergl. die Formel - Tabelle Nr. 27, 29, 29 a, 86, 87, 89, 91 und 141.)

Die Zerlegung in Partialbrüche macht es möglich, jede gebrochene rationale Function zu integriren, denn man kann sie nach den Ausführungen der vorhergehenden Paragraphen stets (nöthigenfalls nach Absonderung einer ganzen rationalen Function) in eine Summe verwandeln, deren einzelne G-lieder

entweder die Form

(.x — a)n

oder

(x — a)n

x — a

drücke kann man aber sehr leicht integriren.

haben. Diese Aus-

Setzt man nämlich

x — a — t

also dx = dt, so wird nach Formel Nr. 12 der Tabelle

(io

dx — A

iß = Alm,

oder in Uebereinstimmung mit Formel Nr. 27 der Tabelle

(2.)

f-dx = Alnfx —

Jx — a

a).

Ferner wird, wenn n von 1 verschieden ist, nach Formel Nr. 9 der Tabelle, indem man m — — n setzt,

' A

J[x— a)

— dx

n

= A j'~ = Ajt,-n dt = A

t~n+1 — n -f- 1

oder

(3.)

j-——

J(x - af

dx —

{n — 1) (x — a)

n— 1

Für n = 2 ergiebt sich hieraus Formel Nr. 89 der Tabelle,

nämlich

(3a.)

dx

Jl

(x — a)n

Wendet man dies auf die in § 35 und 36 behandelten Beispiele an, so findet man ohne Weiteres die Lösung- der folgenden Aufgaben.

Aufgabe 1.

15a:² — 70# — 95

x³ — 6z² — 13a: + 42

dx = ?

Auflösung. Nach Aufgabe 1 in § 35 ist

15a:² — 70a: — 95 zö ■— 6a:² — 13a: 4: 42

•V : ⁵

x— 7 x -j- 3

folglich wird

15a:²—70a: —95

x³— 6a²—13a: + 42

dx — (——= dx -f f f- - dx + / —dx Jx—7 Jx + 3 J x — 2

= 3ln(a: — 7) + 5ln(a: + 3) + 7ln(a- — 2)

= ln [(x—7)³(a: + 3)⁵(a: — 2)⁷j.

Aufgabe 2.

fi

x¹ + 1

x³ — x

dx — ?

Auflösung. Nach Aufgabe 2 in § 35 ist X²+ 1 ₌ _ 1    _J_ ₊

X³ X    X    x — 1

folglich wird

x³ — x

⁼ -fldx+f^=idx+hh

dx

= — Ina: -f- ln(a: — l) + ln (x -J- 1)

4a:² — 1.5a; + 19 — 1) (x — 2) (x — 3) Auflösung. Nach Aufgabe 3 in § 35 ist

4a:² — 15a + 19 (x —1) (x —2) (a — 3)    x — 1

Aufgabe 3.

fx

dx = ?

folglich wird

4a:² _ 15a- + 19 d

fix

— 1) (a— 2) (a — 3)

-d-,

_ f dx _ f dx

[Iz-i ⁺

= 4ln(a — 1) — 5ln(a- — 2) + 5ln(a- — 3).

Aufgabe 4.

dx

1 -j- X- X²

Auflösung. Nach Aufgabe 4 in § 35 ist

1 + x — x²

_ 1 / 2___ 2__\

— y5\2z—l + V5 2x—l—yi)

folglich wird

dx

2 dx

1 -f x — x²

J^2x

2 dx

vSL-i + r*

= ~^= [ln (2z — 1 + V 5) — ln (2a; — 1 — |/5)j

■O

t=ln("

]/ 5    \

2x — 1 + V5 2 a; — 1 — Y 5

Aufgabe 5.

2a;³ — 7a:² — 6a; + 8

a;² — 6a; + 7

dx = ?

Auflösung. Nach Aufgabe 5 in § 35 ist

2a;³— Ix¹ — 6a* + 8 x² -— 6a; -f- 7

= 2a:+ 5 +

3+ 10}/2    —3 + 10}/ 2

U-

2 ]/ 2 vz — 3—y2 x — 3 + }/2>

folglich wird '2a⁻³ — 7 a:² — 6a; + 8

./

dx — 2 Jxdx + oj dx

1 r /(3 + 10V2)dx 2]/2 Ly a;—3—]/2

x² — 6a; + 7

/(— 3 + 10 }/2)/a;~ y a; — 3 + ]/2

= a;² + 5a; +    [(3 + 10}/2) ln (a: — 3 — ]/2 )

= x² + 5a; H--^—= f~ 3 ln (X-

2 y 2 L \c

= x² + 5a; •+-

+ (—3 + 10}/ 2) ln (x

—    3 —]/2

—    3 + }/2

—    3 — }/2

—    3 + y~2

2}/2

. , , «    /(13a:² — 68a; + 95)dx    ₀

Aufgabe 6.    J ^    ^    =?

3 + }/2)] ) + 10}/2ln(a:²-6a;+7)

) + 5ln(a;² — 6a; + 7).

Auflösung. Nach Aufgabe 6 in § 35 ist

13a;² — 68a; + 95 {x— 5)(a;²—6a;+13) x

folglich wird

"(13a;² — 68a; + 95)e£r (x — 5) [x¹ — 6a; +13)

10

3 — 8*

5    2(x — S~2i) ~t2(x—3 + 2i) ’

= 10J*

dx .3 —-8 i f dx

2 J x — 3

— 2«

3 + 8» f dx

2 Jx

— 3 + 2 i

Q _ Qf

= 10ln(a;—5)H---—ln(a; —3 — 2 i)

A

¹

x¹ 4- IO#² — x (x² — i)²

²

Dieses Verfahren gilt auch hier noch, wenn die Wurzeln a. b, c, ... k, l sämmtlich oder theilweise complex sind. Man" kann aber, wenn in fix) und (fix) die Coefficienten sämmtlich reell sind, das Resultat gleichfalls auf eine reelle Form bringen. Ist z. B. b gleich g + hi, so wird eine andere Wurzel, sie heisse c, gleich g — hi, und es wird ß gleich y sein, wie in der Algebra bewiesen wird (Vergl. D.-R., § 113). Nun folgt aber aus der Bildung der Grössen Bv, B₂,...Bp und Ci, Co,...CY, dass man die letzteren durch Vertauschung von -f-i mit —i aus den ersteren erhält. Ist also

³

(30.) Bi = G\ + Hii, B₂ = Go + Hoi,... Bp = Gp + Hpi, so wird

⁴

(31.) C\ = Gi — Hyi, C-2 = G₂ — Hoi, ...CY= C? = Gp — Hpi.

+ S-+⁸* ln(g —8 +2»

Dieses Resultat befriedigt deshalb nicht, weil es complexe Grössen enthält, obgleich man es, wie später gezeigt werden soll, auf eine reelle Form bringen kann.

Aufgabe 7.

4a;³ — 63a;² + 338a; — 619

{x — 7) (X — 5)³

dx — ?

Auflösung. Nach Aufgabe 1 in § 36 ist

-*^ + ²

X— 7

4a;³ — 63a;² + 338a; — 619 (x — 7) (x —- 5)³

(x — 5)³

(x — 5 )² ’

folglich wird

'4a;³ — 63a;² + 338a; — 619

(,x — 7) (x — 5)³

= \h

' dx

-'k*

5)³

= 4ln(a;

7)

= 4ln(a; — 7) +

(x — 5): 3a; — 16

(x — 5)²

Aufgabe 8.

3a;³ + 10a;² — x

(«■-iy    *

15

Kiepert, Integral-Rechnung.

Auflösung. Nach Aufgabe 2 in § 36 ist 3x³ + 10x² — x

(*—l)²

O² — î)2 folglich wird f3x³-j-10x²— x ₇    f

J w=W~dx=sJl

1    (X -f- l)² X + 1

dx

0 — 1)

f dx

1

— ln(# + 1)

+ l)²

= K^tt)

Die einfachsten Fälle der Partialbruch-Zerlegung sind schon im ersten Tlieile (§ 13) berücksichtigt worden. So ergiebt sich z. B. Formel Nr. 29 a der Tabelle, nämlich C dx _ 1 . (x —    _

J x² — a² ~ 2a n + a)~ ohne Weiteres durch Partialbruch-Zerlegung.

In gleicher Weise ergab sich auch Formel Nr. 87 der Tabelle, nämlich

(4.)

hx + 1

x² — l

dx

1_j/s — sA

(X-Xi)(x-X₂) Xi — x₂ \x-X₂J

durch Partialbruch-Zerlegung.

Daraus findet man dann auch Formel Nr. 86 der Tabelle, denn bezeichnet man die Wurzeln der Gleichung x² + 2bx -f c = 0

(5.)

(6.)

mit Xi und x₂, so wird

(7.)

j Xi = — b -f- yb² — c, x₂ — —b—yb² — c,

Xi — x-2 = 2 y b² —

(x — Xi) (x — x₂) — x² 4- 2 bx + c, so dass Gleichung (5.) übergeht in

(8.)

r dx    _ 1    /x

Jx² -f 2bx -p c 2~c n \r

x -f- b — yb² — c

+ b + yw^

0-

cs

Ebenso erhielt man auch Formel Nr. 91 der Tabelle,

nämlich

(10.)

(Px + Q)dx

(X - Xi) (x-Xi)

—*—[{Pxi 4- Q) ln (x— Xi) — (Px2 4- Q)ln(# — z₂)]

X\ -Xi

durch Partialbruch - Zerlegung.

(1.)

§ 38.

Integration der Functionen

dx

£2.

dx

\{x— g)² + h²]n

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 88, 142 bis 145.) Nach Formel Nr. 28 der Tabelle war

= larctg( )•

dx

a² + x²

Auf den Zusammenhang dieser Formel mit Nr. 29 und 29 a der Tabelle, nämlich mit

r ^

Ja

(2.)

X¹ -: a-

oder

(2 a.)

r__dx

Ja

x~ — a²

a i i-*

ist bereits auf Seite 62 hingewiesen worden.

Aus Formel Nr. 28 der Tabelle ergiebt sich Formel Nr. 88,

nämlich

(3.)

dx

x² + 2 bx + c yc — fri indem man das Integral auf die Form

f d (x + b)

J(x + bf + c — b²

bringt und c — b- gleich d¹ setzt. Dieses- Integral geht in

gf + h²

-k

über, wenn man

(5.)

0r-«7)² + A²

[(x—gp+h²}"

b — — ff, c — b'² = h²

setzt. Noch unmittelbarer erhält man dieses Resultat durch die Substitution

(6.)

dx — hdt,

x — g = ht

dann wird nämlich in Uebereinstimmung mit Gleichung (4.)

<»fr. *

f hdt 1 f dt 1    ,

— gf 4- h²

=y^+i)=% Jt+ä=harct^

dx

=    ar°tg(^).

—gf+h²\n

wo n> 1 ist; dann erhält^ man

Dieselbe Substitution kann man anwenden, um l-r—

7 lO

zu berechnen für den Fall nämlich

dx

gf + h² j

---h

hdt

h²"{ 1 + t²)n

i r dt

—    i + t²)n ’

t²dt

(10.)

(1 4- t²)n

f dt _ f dt __ /

7(i + t²f 7 (i + 1²)w-¹ 71 Setzt man jetzt in Formel Nr. 97 der Tabelle, nämlich in do = uv —Jvdu,

2tdt _d( 1 4- t²)

also

⁼ (1 + t²)n ~~ (1 -f- t²)n ’

du =

so erhält man

l + t² — t²

(i + t*)n (i + t²)n (i -f-1²) folglich wird

(9.)

t²

(1 + t²)n

l,ui

t²dt

(1 4- t'T    2(n~l)(l + t²)

n—1

1__f_df

'2(n — 1)J (l + t²)

[{x—

und wenn man diese Gleichung von Gleichung (10.) subtrahirt,

3 r Jit 2 n — 2j (1 + t²)

Durch diese Formel ist das gesuchte Integral auf ein einfacheres zurückgeführt. Durch wiederholte Anwendung der Formel kommt man schliesslich auf

(1 + tr)n

(2 n — 2) (1 + t²)n

n—i

f dt

Jl+t²

= arc tg t.

Beispiel für n = 3.

f dt

/(

/(i + *²)³    4(1-m²)

3 F dt V(

r dt

JV

(1 + t²)²    2(1 + t²) ¹ 2

V(i + *²)2 1- ^-arctgź,

also

f dt _ t    3 t 3

7(1 + ü²)³ ~ 4(1 + *²)2 + 8(T+l²) ⁺ 8 arCtg

t(31² + 5)

8 (t² + 1)

r + | arctg t.

Man kann das gesuchte Integral auch auf Formel Nr. 101 der Tabelle zurückführen, indem man

t    '    x    7    dt

t = tgz, also 2 = arctgć, dz =

COS²Z ’ 1 + t² — C0S

(13.)

1 + t²

: COS2m—2Z

(14.) l + *²=l+tg²* setzt, dann wird mit Bücksicht auf Formel Nr. 101 der Tabelle

(l-M²)*-

f dt

(¹⁵-) 7(i + t²)n

⁼ß

COS2rt—2zfi?z

=sin* [sr_

- cos2M~³z 4 2

COS2,t_5z

(2»—3)(2»—5)...5.3

{2n—2)(2n—4) ...6.4.2

COSZ

(2 n—2) (2 n—4)

(2»—3)(2»—5)...5.3.1 (2 n—2)(2 n—4)... 6.4.2*’

Dabei ist

(16.) cosz —

(x—gy+li²

(Px -f- Q)dx

l{x—ffyi+h2\n

V i + v

Für n — 3 erhält man z. B. wieder

5 sin z cos z =

1 + t²

(i +

= sin 2

(ï C0S% + Ó.

COSz

(—¹

1+ «²V4(1 + tl)

3 \    3

+ g) + g arctgć.

§ 39.

Integration der Functionen

(Px -f- Q)dx

(x — ff)² + h²

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 146 und 147.)

Setzt man in Formel Nr. 90 der Tabelle, nämlich in

und

{Px + Q)dx

[{x — ff)² + h²]n

dx

{.Px + Q)dx ₌Pin{x2 + ₂bx+c)+{Q — Pb)f-2    Jx

à = —ff,

(2-)    = f HK*- 9?+V) + (P9+

dies giebt nach Formel Nr. 142 der Tabelle

- auffinden,

x² + 2 bx + c

(!•)

c — b² = h²,

x² -f- 2 bx -f c ’

so geht sie über in

In ähnlicher Weise kann man

{Px + Q)dx

dx

(x—gf + h² ’

l(x-g)² + à²] wenn n > 1 vorausgesetzt wird. Es ist nämlich

<« h

{Px + Q)dx

[{x — gf + à²]

P{x — g) 4- Pg + Q , [{x-gy + h²Y

_P r 2{x — g)dx

~ ²J[(,x—gf+h²]

+ (Pg + Q)fr

dx

[(x—gf+w J

(5.)

und

(6.)

Setzt man jetzt

(a — ff)² + h² = y, also 2(a — ff)dx = dy

a — g = ht, also dx = hdt

so geht Gleichung (4.) über in

f (Px -f- Q)dx

— 3O² + ä²]m

— Ł fdy 4. py + Q /'_dt

~%Jyn hin~~l

(1 + ć²)w ’

dies giebt

(7.)

(Px -j- Q)dx _

[(* — gf + ^²JW ~~

(2 n — 2) [(a — ff)'² + A²j P7 4- Q

^2W-1

(1 + ^²)n

wobei das Integral auf der rechten Seite nach Formel Nr. 144 oder 145 der Tabelle berechnet werden kann.

§ 40.

Uebungs-Aufgaben.

/Tl 3a² — 68a + 95)dx _ ?

J (a — 5)(a² — 6# + 13)

Auflösung. Nach Aufgabe 6 in § 35 ist 13a² — 682: + 95    _    10

5) (a² — 6a -f- 13) a — 5 a² — 6a + 13

Nun ist nach Formel Nr. 27 der Tabelle = 10ln(a — 5)

und nach Formel Nr. 146 der Tabelle (3a 4- 7)dx _ 3 /* (2a — 6)ć/a_

— 6a + 13 — 2J x² — 6a + 13

Aufgabe 1.

(1.)

(2.)

(3.)

3a + 7

(a

riodx

Jx — 5

/'

J-²

+ 16

I/H*

(a— 3)² + 2²

= ln(a² — 6a + 13) + 8arctg^ g »

folglich wird

232

§ 40. Partialbruch- Zerlegung; Uebungs-Aufgaben.

= lOlnO — 5) + |ln(a;²— 6z-f-13) + 8 arctg    '

. v /'(13a;² — 68a;+95Wa;

⁽⁴° h

— 5) (:*² — 6x + 13)

Aufgabe 2.

(6z² — 25a; + 89 )dx

(x — 3) (x² — 4a; -j- 20)

Auflösung. Nach Aufgabe 7 in § 35 ist

6a;² — 25a; +89    _    _    _

(x — 3) (x² — 4a; -f 20) x — 3 x² — 4a; + 20 Nun ist nach Formel Nr. 27 der Tabelle

J'éÊ3 = ^-3)

und nach Formel Nr. 146 der Tabelle

(2a; — 4 )dx x² — 4a; + 20

(5.)

(6.)

f(-2x — S)dx f ^ ' J x² — 4a; + 20 Jx

folglich wird

(8J f

(9.)

2a; — 3

f dx

J(x—2)²+4²

1    f oz — 2 \

= ln (x² — 4a; -f- 20) + — arc tgf—-— )

(6a;² — 25a; + 89 )dx

(x — 3)(a;² — 4a; + 20)

4^1n(a; — 3) + ln(a:² — 4a; + 20)

arctg ₄ ²) •

Aufgabe 3.

(x -f- 1 )dx

(x — 1) (x² + l)²

Auflösung. Nach Aufgabe 3 in § 36 ist x 4- 1

(x — 1) (x² + l)²

1/    1___2x__x + 1

2 Va; — 1    (x² +“"l)² x²+l

Nun ist nach Formel Nr. 27 der Tabelle

)•

(10.)

r dx

Jx—1

= ln(a;— 1)

nach Formel Nr. 147 der Tabelle ist

(11.)

2 xdx

a;² + 1

und nach Formel Nr. 146 der Tabelle ist

(,x² + l)²

(12.)

'(x + 1 )dx

x¹ 4 1

^ln(4 4 1) 4 arctga;.

Dieses letzte Kesultat hätte man auch mit Hülfe der Formeln Nr. 30 mid 18 der Tabelle finden können. Aus den Gleichungen (9.) bis (12.) ergiebt sich daher

(x 4- 1 )dx

4 41    2

-H

(x — l)²

X² 4 1

~ln(441 )—arc tga;

-arc tgx.

2(4 -f 1)

Aufgabe 4.

(3a-⁵ 4 24 4- 64 — 114 — 12«; — 8 )dx (x — 2f (x² 4- 2a; 4- 2)²

Auflösung. Nach Aufgabe 4 in § 36 ist

(14.)

34 4- 24 4 64 — llx² — 12a; — 8

(x — 2)² (x² 4 2x 4- 2)2 2a; 4 3 (x² 4- 2a: 4- 2)

(x — 2)²

x² 4 2a; 4" 2

Nun ist nach den Formeln Nr. 141, 27, 146 und 147 der

Tabelle

1 f2dx w .

■₂C_ix

J{x 41)² 41 = £ln(4 4 2a; -f 2) — 2 arctg(a- 4 1),

r cix

/1ßx f (x—l)dx 1 }Jx² + 2a; 4 2

f (2x 4 3)dx _ f (2x 4 2)dx f_

{    }J{x² 4 2a; 4 2)² J (4 4 2a; 4 2)² ^ J [{x +1)² +1]²

⁼ ~ 4 4 2a* 4 2 ⁺ / (1 4 t²)² ’

wobei a; 41 gleich t gesetzt ist. Dies giebt nach Formel Nr. 144 der Tabelle

(15.)

1 / (2a; 4 2)dx ~ 2/4 4 2a; 4 2

dx

(19.)

(3a:⁵ + 2x⁴ 4 6^³ — 11æ² — 12x — 8 )dx

(,x — 2)² (x² + 2x + 2)²

x_g 2ln (x — ²)

2{x² + 2x + 2) + |ln(:r² + 2x 4 2) — farctg^ + 1).

Aufgabe 5.

Auflösung. Da in diesem Falle

X² + X + 1 = (z + i)² + I

ist, so erhält man nach Formel Nr. 147 der Tabelle, indem man

i) h — ¹ y¹3, n = 2

(20.)

(21.) P= 1, Q = 3 setzt,

14

f (x + ³)dx ⁽²²’v (** + *

+ 1)²

20

2(x² + x + 1)    3]/3

f dt

Ja + *²)²

folglich wird

(18.)

' dt

(1 4 t²)²    2(1 + t²) ⁺ 2/1 + t²

|- ^ arctgtf

2(1 + t²) ' 2

x 4- 1

2(x² + 2x + 2)

+ |arctg(* + 1)

wobei

(23.)

2x + 1 = t y 3 gesetzt ist. Dies giebt nach Formel Nr. 144 der Tabelle

r dt

(24.)

(1 + t²f 2(1 + t²) ⁺ 2 arCtg^

also

(2x + 1)Y 3

8 (z² -f- x + 1)

,1    , (2x + 1\

⁺ 2arCt<-pi-)’

Aufgabe 6.

f(5x² — 8x — 4)dx _ ?

/    4- 1

(27.)    5x² — 8x — 4 = A(x² — x + 1) + {Px + Q) (x -f 1).

(28.)

, oder A = 3 oder x² = x — 1,

— 3z — 9 = (2P + Q)x + (— P + Q)

(26.)

Auflösung. Hier ist

ox² — 8# — 4

Px -J- Q

X²-X -f- 1

x -j- 1

oder, wenn man beide Seiten der Gleichung mit (x + l)(af² —x -fl) multiplicirt,

Dies giebt für x — — 1 9 = 3 A

und für x² — x -f 1 = 0

also

(29.)

2P + Q = — 3

(30.)

(31.)

P— 2,

5a:² — 8a: — 4

— P + Q = — 9,

= ~7,

a CO

X² — x -j- 1

Nun ist nach Formel Nr. 27 der Tabelle

/ x

und nach Formel Nr. 146 der Tabelle

(32.)

= 3ln(a; + 1)

(33.) ji

(2x — 7 )dx

(2x — 1 )dx

X² - X + 1

dx

(s — ł)² +1

= ln (a:² — x +

folglich findet man

(34.) y.

(ox² — 8x — 4 )dx

X³ + 1

= 3ln (x + 1) + ln (a;² — x + 1) — 4^3 arctg (^Xy-    *

Dem Anfänger wird die Prüfung der vorstehenden Auflösungen durch Differentiation empfohlen.

In manchen Fällen, wo die Integration durch Partialbruch-Zerlegung sehr umständlich oder in Folge von algebraischen Schwierigkeiten gar nicht durchführbar sein würde, gelingt die

Integration durch zweckmässige Umformungen und Substitutionen, wie durch einige Beispiele zur Erläuterung gezeigt werden möge.

Aufgabe 7.    = ?

Auflösung. Setzt man in diesem Falle

(35.)

also dx — —

dt

so wird

⁽⁸⁷-⁾ JïWTT) ⁼ ~èlu0³⁺¹)⁼' ¹

= ln((?TT)=hl

(36.)

oder

Es ist

also

/* dx Jx(x³ + 1)

x³

rH I CO

y x³ + 1/

Man kann dieses Resultat auch in folgender Weise finden.

(x³ +1) — x³_1

x{x³ + 1) x(x³ + 1)

X³ 1

f dx___ fdx _ /

Jx{x³ + 1) J X J

' xldx

x³ + 1

= Inx —

Au,gabe 8-y^D=?

(38.)

Auflösung. Setzt man in diesem Falle wieder also dx — — ^

t?

so wird

(39.)

dx

Jx{xi -f 1)

dt³ dt Jt*-+ 1

= — |ln(^⁴+ 1)

oder

(40.)

f dx

Jx

x(x⁴ + 1)

ln

ln

= ln(i5Ti) = ln(

-y/x⁴ -f 1

)•

Auch hier findet man dasselbe Resultat aus der Gleichung

x x⁴ 1 ’

(fr⁴ -f- l) — x⁴

z(x* -)- 1) x(x⁴ -j- 1)

'xzd,x z⁴ +1

aus der dann unmittelbar folgt f dx fdx /

Jx(x⁴ + 1 ) J x Je

¹

un ist

XI. Abschnitt.

Integration der irrationalen Functionen.

§ 41.

Allgemeine Bemerkungen.

Im ersten Theile der Integral-Rechnung sind bereits irrationale Differential-Functionen in grösserer Anzahl integrirt und in die Formel-Tabelle aufgenommen worden. (Man vergleiche Nr. 17, 23, 24, 31 bis 42, 83 bis 85, 114 bis 126 a der Formel-

Tabelle.)

In Betreff der übrigen irrationalen Differential-Functionen ist zu bemerken, dass es verhältnissmässig nur wenige Fälle giebt, bei denen sich die Integration durch Anwendung algebraischer Functionen oder der bisher bekannten transcendenten

Functionen ausführen lässt. In den meisten Fällen werden durch die Integrale algebraischer Differential-Functionen neue (d. h. bisher noch unbekannte) transcendente Functionen erklärt.

Hier mögen zunächst solche irrationale Differential-Functionen in Betracht gezogen werden, welche sich durch eine Substitution auf Functionen zurückführen lassen, deren Integral bereits bekannt ist, oder in rationale Differential - Functionen umgewandelt werden können, und zwar sollen nur die einfacheren Fälle berücksichtigt werden.

§ 42.

Integration rationaler Functionen der Argumente

m

a + bx \n /

A +Bx) ’ V

a -f- bx

M -j- Bx

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 148 und 149.)

Kommen in der Function unter dem Integralzeichen keine anderen Irrationalitäten vor als Wurzeln aus x selbst, so lässt sich die Differential - Function durch die Substitution x — V-

(10

sehr leicht rational machen, wenn man den Exponenten * so wählt, dass * durch alle auftretenden Wurzel-Exponenten theil-bar ist.

Wie dies gemeint ist, möge zunächst ein Beispiel zeigen.

Aufgabe 1.

f (-$/x³ -— lĄ/x² + 12]/ x)dx_p

J z(y/ X — -y/ x)

Auflösung. Das kleinste gemeinsame Vielfache der Wurzel-Exponenten 2, 3, 4 und 6 ist 12, folglich muss man

(20

x — t¹², oder yf x = t

setzen und erhält

(3.) y/X³ = t⁹ , y/x² = t³, y x = t⁶, -y/x=tl, ^x — t². Dies giebt

(4.) /

(yx³—7-y/z²-h 12 Y x)dx _

x(y x—yx)

U⁹ — 7ts + 12 t⁶) t¹¹ dt

= ¹²/

{t*

t¹² ( t⁴ — t²)

7 t⁵ 4- 12 dt

t² — 1

Nun ist

(5.) t⁶— 7t⁵ + 12t* = (t² —1)(*⁴ — lfi + & + bt+l) + bt+l

also

(6.)

t⁶ — 7 t⁵ + 12

t²— 1

folglich ist

(?•) /

5*+ 1 t*=l

-7t³-{-t² + 5t +1 +JZTI

7/⁴ t³ , 5 4    3    2

-|- 3 ln (t — 1) -|- 2 ln (t -f- 1)

= t* — 71³ + t² + ot + 1 +

£ — y x)

= 12

wobei nach Œeichung (2.)

, 12/-

t = y x

ist.

Daraus erkennt man schon, dass die oben angegebene Regel ganz allgemein anwendbar ist, denn bezeichnet man mit % das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen n, q,..., die in den Exponenten von x als Nenner auftreten, und setzt man in Uebereinstimmung mit Gleichung (1.)

(la.)

x = txj also t = -jZV, dx = mt*~xdt,

so erhält man

y.m

(8.)

Jf(x, x \ xq

. .)dx = ff(tx, tn , tq ...)xtx~ldt,

7C/7Z 2CÏ)

wobei die Exponenten —5 — »••• sämratlich ganze Zahlen werden.

Auf diesen Fall kann man den allgemeineren zurückführen, wo unter dem Integralzeichen eine rationale Function der Argumente

f, (

a bx

A -f- Bx

a -f- bx

steht. Setzt man nämlich

(9.)

a -f- bx A + Bx = y'

so wird

Ay — a '    6 — ßy

_ (Ab — Bd)dy (b-Byf

so dass man erhält

(ii.)

ffb (

a -f- bx

A -f- Bx

y, (

a + bx

b—By y

w, y

(Ab — Bd)dy

(b — Byf

exponenten n, q,.. durch die Substitution

Ist jetzt x das kleinste gemeinsame Vielfache der Wurzel-so wird die Differential-Function rational

(12.)

y = tx.

also mit Rücksicht auf Formel Nr. 29 a der Tabelle

<L) h

= ²f(l 4

)•

Aufgabe 1.

']/ X

§ 43.

Uebungs-Aufgaben.

- dx — ?

Auflösung. Um die vorliegende Differential-Function rational zu machen, muss man

Y x = t

(1-)

also x — t², dx = 2 tdt

setzen und erhält

<²-) f^idx = f

t. 2tdt

t² — 1

a ctm /'

= ²Jf=i = 2J-

(t² — 1 + 1 )dt

t²—l

= 2 y x    ln^

Aufgabe 2.

fr

dx = ?

(4)

— 1

Auflösung. In diesem Falle muss man

i/x = t,

setzen und erhält

*³ — 1

ż³ — 1

(5-)

=³/(

■ */s - */

Um sj

£³-

zu ermitteln, wende man Partialbruch-Zerlegung l

an und setze

(6.)

Pt -f- Q

P— * — 1 ^ t² + t + 1 ’ dies giebt durch Fortschaffung der Nenner

16

Kiepert, Integral - Rechnung.

3 = A(ÿ + t+l) + (Pt+Q){t— 1)

(7-)

also für t = 1

(8.)

co ||

= SA, oder A = 1

und für t² + t -f 1    0

(9.)

3 — (— 2 P Q)t -j- (— P— Q),

also

(10.) — 2P+ Q = 0, P-b Q — — 3, oder P= — 1, Q = —2. Dadurch erhält man nach Formel Nr. 27 und 146 der

Tabelle

1 \ ofdt f dt A* + ²)dt

(1L) aJï=ï It - i -Jti + t + 1

= In (t— 1) — 4 ln(*! + t + 1) — V 3arctg(2< + ¹)

also

-dz — 3V x 4- ln(-)^ x — 1) — ln (Vxl + Ą/ x + 1) 2 j/x + 1

J/3 arctg ^

)•

Aufgabe 3.

F xdx

JYx

(13.)

Auflösung. Setzt man hier

y z = £, also x — t², dz — 2 tdt,

so wird

l =JrzT = ²/(<‘ + f+1 + i-₁),s

+ t -f- ln(£ — 1)J

= ^2zVz + 3.r + 6yx    6ln(Vx — 1) .

rH CO

Aufgabe 4. fxdx\a -f- x = P Auflösung. Hier ist zu setzen (15.) y» -f- x = also a + z = tz, dann wird

z — t² — a

dx — 2 tdt,

(16.) fxdzÿa + x    — a)t²dt

2 afi

= 2ßdt — 2 af&dt = ~

oder

(1^.) fxdx]/a -f- x = t²3-<³(3^² — 5a) =    (ö-]-#)^« -j- x(3x—-2a).

Man hätte auch die Integration in folgender Weise ausführen können. Man setze

(18.) x }/a 4- x = (a + x — à) y a -f- x — (a -f- cr)f — a{a -f- x)\, also nach Formel Nr. 9 der Tabelle

(19 .)/xdxYä+ x —/{a + x)id{a + x) — aJ{a -f x)%d(a + x)

— Ua + xi*—t aia +

— TT>(a + X)Va + %(3x — 2a).

Aufgabe 5.

f dx

Jx

xyx + a

Auflösung. Es sei wieder

(20.) y x    a — t, also x -f- a = t², x = t² — a, dx = 2 tdt,

dann wird

(21.)

2 tdt

= 2 £*_. y fi —a

f dx r

Jx^x + a J(ß2 a)t

Dies giebt nach Formel Nr. 29 a der Tabelle t—y a t -j- y a

(yx -f a

xyx + a

4=In(

y a \

Vx "T a—y a

yx -f- a -j- y

)•

x -f- 2a — 2 ya(a -j- x)

Ma*-’

Aufgabe 6.

Auflösung. Es sei

(23.)

-i ja -j- x ) a — x

also

a -f- x

t², x =

t²— 1 a t² +1

16*

(24.)

dx =

4 atdt

dann wird

{f + l)²

dx

= iaÄ

ßdt

(it² + l)²

=⁴:f

(t² + 1 — 1 )dt

(t² + l)²

(26.)

, f f dt f dt

~ 4ß L Jt² + 1    4- l)² J

Nun ist nach Formel Nr. 18 und 144 der Tabelle

f dt

J1

1 +1²

= arctgtf

' dt

2(1 + t²) ⁺ 2 jl + t² 2(1 + *²)

+ ^arctgć,

folglich wird

(28.)

dx = 4 a

i—ł I

arctgź

2(1 + t²)\

oder, da

1 + t² = 1-+

.£ ’ 1 + t²

Y a² — x¹

ist,

(29.)

dx = 2«arctg    X

—ya²—x².

x

-X

Einfacher kann man in diesem Falle die Integration ausführen, indem man

(q -1- xf

(a — x) (a + x)    ya²—x²

setzt; dadurch erhält man nach Formel Nr. 34 und 31 der Tabelle

(30.)

(31.)

Sw‘

- dx

f dx

= aJya²--x²

= «arcsin

+J

xdx

ya² — x²

Dieses Resultat weicht allerdings in der Form von dem in Gleichung (29.) enthaltenen ab; setzt man aber

(32.)

arc tg

tz

°—- — z, oder tg z

CC

so ist

tgS = a

a -f- x — x

oder

!    tg²Z — 1

also x = a f-—— 5

t g²Z + 1

S1T\²z_ pns²2

(33.) x = a    c0S2^.' — — a(cos²z — sin²z) = — a cos (2z)

—t)-

Deshalb wird

(34.)

arcsin^^ =

2z —

, 11 a    x

= arctg]/—

TT

2'

so dass die beiden in den Gleichungen (29.) und (31.) angegebenen Resultate sich nur durch eine Intégrations - Constante von einander unterscheiden.

§ 44.

Zurückführung der Differential-Functionen von der Form F(x, j/ax² + 2Bx + c)dx auf Differential-Functionen VOn der Form f(y, Vy* — a?)dy,f(y, Yci²-\-y²)dy, f(y, Y a² y²)dy.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 150 und 151.)

Es sei F(x, Y Ax² + 2 Bx -f- C) eine rationale Function von x und Y Ax² + 2 Bx + C, dann mögen zwei Fälle unterschieden werden.

I. Fall. A > ü.

Setzt man

(!•) V

Ax -4- B

also y² = Ax² + 2 Bx +

B²

~Ä’

so wird

(2.)

Ax² -f- 2 Bx + C = y²

B² — AC

„Discriminante“ B² — AC positiv oder negativ ist. Um diese beiden Fälle zusammenzufassen, setze man B² — AC

= ±a²;

(3.)

246 §44. Einführung der Irrationalitäten j/y² — a², f/a- -f- y²- j/a²—y². B² — AC

Hierbei wird

positiv oder negativ, jenachdem die

dann wird

(4.)

(5.)

Ax² -f- 2Bx -f- C — y² a². Aus Gleichung (1.) findet man noch x__yVÄ — B

dy

folglich wird

Va’

(6.) Jf(x, yAx²-\-2Bx-\-C)dx =    B , Yy²=pa²^

dy

Va

II. Fall. A < 0.

Setzt man

(7.) V =

V-A

also — y² = Ax² + 2 Bx +

B²

so wird

(8.)

Ax² + 2 Bx + C

AC—B²

Hierbei wird

AC— B²

positiv oder negativ, jenachdem die

(9.)

= ± a²

„Discriminante“ B² — AC positiv oder negativ ist. Um diese beiden Fälle zusammenzufassen, setze man AC—B² B² — AC

dann wird

(10.)

(11.)

Ax² + 2Bx -f C — ± a² — y². Aus Gleichung (7.) findet man noch yV A — B

X =    ---

dj

folglich wird

V-A

(12.)    Y Ax² + 2 Bx -f C)dx =

yY—A — B

y dza³—

dy

Gilt in Gleichung (12.) das untere Zeichen, so wird

Y-A •

(13.) y^la;² -j- 2Bx + C = Y—a²—y² = %Ya² -\-y2 für alle Werthe von x imaginär, so dass in diesem Falle F(x, YAz² + 2Bx + C) eine complexe Grösse ist. Deshalb lassen sich auch bei Ermittelung des gesuchten Integrals complexe Grössen nicht vermeiden. Man kann in diesem Falle auch

Y Ax² -|- 2 Bx + C = iY— (Ax² + 2 Bx -f- C) setzen und erhält dadurch eine Wurzelgrösse, auf welche die im Falle I gemachten Voraussetzungen zutreffen.

(14.)

§ 45.

Uebungs-Aufgaben.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 152 und 153.)

Aufgabe 1.

dx

Y Az² + 2 Bx + C

Auflösung. Im Falle I erhält man nach den Formeln Nr. 150, (35.) und (36.) der Tabelle

⁽¹° k

dx

__= /' dy    = )=in(

-\/Az* + 2ßz+C JyA}/y²-Fa*    Y A \

= —[ln(y+ Yy~ h= as)— Ina]

y +Vy²A- a²

Ya

Ina

oder, wenn man die Intégrations-Constante —-7= fortlässt,

y A

dx

._____= -7= ln (y + Y y* -h a²)

Y Ax² + 2 Bx + C Y A

Ax -f B

= -^=ln(

Y a v

Ya

+ YA* + 2Bx~+C).

⁽²-> A

Beispiel 1. A — 4, B — 2, C —— 3, B'²—AC — 16.

= ln(2a- + 1 -f- Yéz² -t- 4x — 3).

dx

Y 4a;² + 4a; — 3

iH I CM

(3.)

(40

Beispiel 2. A = 1, B = \,

dx

(7=1, B²—AC = — — ln 2~ ¹ + ^² + « + l) •

CO ItH

Im Falle II erhält man nach Formel Nr. 151 der Tabelle

dx

'Jy

dy

—A Y -+-a²—y²

y Ax* + 2 Bx + C

Beschränkt man die Lösung auf den Fall, wo das obere Vorzeichen gilt, so erhält man

Hi

dx

dy

YAz'+ZBx+C

i=/: _

]/—AJYa²—y²

¹ arcsin

V-A

¹ arcsinf

— A    \

(5.)

y-A

Beispiel 3. A — — l, B — ~ >

f dx

h ~

yB² — AC

= —===== arc sin (

/ y—A \

= arcsin

Ax + B

yB²—AC

(7=0, B² — AC —

(~7->

yrx — x²

Grilt das untere Vorzeichen, so wird die Aufgabe auf Fall I zurückgeführt, indem man

⁽⁶'} A

dx

y Ax² + 2 Bx + C

1 f    dx

Uy Aix² + 2Bix -f- Ct

setzt. Dabei ist

= —L=ln( iyAi \

A\X -f- Bi

y Ax

+y AiX² + 2Bix + Ci^

(7.)

Ai — — A,

Bi — — B

Ci =

C.

Aufgabe 2. JdxyAx² -j- 2Bx + C = ?

Auflösung. Im Falle I, nämlich in dem Falle, wo A > 0 ist, erhält man nach der Formel Nr. 150 der Tabelle

(8.)

J'dxyAx² + 2 B

hrry

²-i-a²

also mit Rücksicht auf die Formeln Nr. 124 und 124 a der Tabelle

(9.)ßxyAx*+2Bz+C=~ ^Vy²~^ a

also, wenn man die Intégrations - Constante —

-b a- ln a

fortlässt,

(9a.) jdxYAz² + 2Bz +

hi

AC—B²

2 y a L y a

Az + B

2 y a

)/Az² + 2Bz -j-(7

f Y Az² + 2Bz + (7^J *

Beispiel 1. A = 4, B = 2, (7 =— 3, B²—^4(7=16. (10.) fdxy±x² + 4# — 3 = ^[(2z + 1) Y 4z² 4- 4.^ — 3 — 4ln(2;r + 1 4-V4Z² 4- 4z — 3)J.

Beispiel 2. A = 1, B =    (7=1, B² — .4(7 =

Ya

t*

jdzYz² 4-

_ 1 T2z + 1

~ 2 L 2

4- In Ç2X ^ ¹ 4- Yx² + z + l^J •

Tm Falle II, nämlich in dem Falle, wo A c 0 ist, wird nach Formel Nr. 151 der Tabelle

(11.)

x 4- 1

Yz² 4-^ + 1

(12.) JdzYAz² 4- 2Bx 4- (7

ybjftyY — ß2 y² '

Beschränkt man die Lösung auf den Fall, wo das obere Vorzeichen gilt, so findet man nach Formel Nr. 118 der Tabelle

(13.) JdzYAz² -\-2Bz-\-C =

[■

yhji + £■«<*»(!)]

Az 4- B

2 y—a

B² — AC

Y-A

y Az² 4- 2 Bz + C

arcsin^

Az 4- B

Y B² — AC.

)]•

Beispiel 3. A = — 1,

K)| 'S

, (7=0, B¹ —AC=

JdzY

rz — z² =

rH

Yrz z² + j rncsrnÇ* r-—)] •

Diese Beispiele mögen zeigen, wie durch das in § 44 angegebene Verfahren Integrale von der Form/F(^, Y Az*+2Bz+C)dx mitunter auf bereits bekannte Integrale zurückgeführt werden können.

§ 46.

Integration der Differential-Function F(x, VAz²+2Bz+C)dx, wenn a positiv ist.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 154 und 155.)

Aufgabe 1. ff(y, Yy² =t a²)dy = ?

Auflösung. Wenn das gesuchte Integral mit keinem bisher entwickelten übereinstimmt, so setze man

(1.)

]A/² ±a² = t — y, oder t — y -f- Yy¹ ± a².

also

2*

y² dz a² = t² — 2ty -f- y², oder y —

(3.)

Yyl ± a² — t

£² rp a²

t² rb a²

2£

2^

(4,)

folglich wird

(î!² dz a²)dt d!f= 2t²    ’

(⁵0 ff(y, Vy²

dz a²)dy

-K »

?!² a² t² dz a²\

2T~ ) '

(£² ± a²)öft

2£²

Wenn f(y, Yy² dz ®²) eine rationale Function von y und Yy² — 0,2 ist, so hat man es durch die angegebene Substitution erreicht, dass die Function unter dem Integralzeichen auf der rechten Seite von Gleichung (5.) eine rationale Function der einzigen Veränderlichen t geworden ist. Diese Substitution wurde bereits zur Herleitung der Formeln Nr. 35 und 36 der Tabelle benutzt.

Nach Gleichung (5.) wird nämlich

f dy =ß jYy²àza² J

Aufgabe 2. fF{x, Y Ax² + 2Bx + C)dx = ?

Auflösung. In § 44 wurde gezeigt, wie man das gesuchte Integral in dem Falle, wo A > 0 ist, auf ein Integral von der Form ff(y, Vy² ± a²)dy zuriickführen kann (vgl. Formel Nr. 150 der Tabelle). Ist diese Umformung erfolgt, so gelangt man durch die in Aufgabe 1 angegebene Substitution zum Ziele. Man kann aber auch die Umwandlung der vorgelegten irrationalen Differential - Function in eine rationale unmittelbar ausführen, indem man

(6.)

YAx² + 2Bx -f- C — t — xYA setzt. Dadurch erhält man

(7.)

oder

(8.)

Ax² -1- 2Bx + C = t² — 2txYA -f Ax²,

2 x(tyÄ + B) — t² — C,

__(t²y2 + 2 Bt + cy2)dt

x~~    2 (ty2 + Bf

_ (t² — C)YA _ t²yA+2Bl-{-CyA 2{tyA+B)~    2 [t/Ä + B)

2 [ty A + B)

(9.) yÄx² -j- 2Bx-j-C=t Dies giebt

(10.)

fF( t²-c

! \2 {tYA+B)

/F(x, yAx²-\-2Bx-\- (J)dx- — t²YA + 2Bt+ CyA\ (t²VÄ±2Bt + CYA)dt ) 2(tÿA + Bf

2 (tYA+B)

wobei nach Gleichung (6.)

(11.)

t — xY A + Y Ax² ■+• 2 Bx -f C

ist. Wenn F(x, Y Ax² 4- 2 Bx + C) eine rationale Function von x und Y Ax² H- 2 Bx + C ist, so steht unter dem Integralzeichen auf der rechten Seite von Gleichung (10.) jetzt nur noch eine rationale Function von t, welche nach den Regeln des vorhergehenden Abschnittes integrirt werden kann.

C—±a²

Man erkennt, dass die Aufgabe 1 nur ein besonderer Fall der Aufgabe 2 ist, welchen man erhält, indem man die Intégrations-Veränderliche mit y bezeichnet und A — 1, B = 0

setzt.

Uebungs - Beispiele. Aufgabe 3. fdyYy²±cP = ?

Auflösung. Nach Gleichung⁻ (5.) erhält man ’(t² ±    P ± a²

(12.)

² + a²

/ 2P _ 1 A*² ± a²y-dt

“V

= ^ß(t ± 2a²t~l +

a⁴t~³)dt

= *(-±2a²ln* — 4 \2

2^²

-x-

— a⁴

8ż²

±¥ ln*.

V 2t

Dabei ist

Vf±af= 2f

also

yYy² ± cP = •—

(13.)

— a4 ~IP~ ’

folglich erhält man bis auf eine Integrations-Constante in Ueber-einstimmung mit den Formeln Nr. 124 und 124 a der Tabelle

(14.) jdyVf±^ = | Vy' ± a?

Aufgabe 4. /-__ _ .

JYx²+x + 1

Auflösung. In diesem Falle ist

ln(y + Yy² ± cP).

xdx

A = l, Va = i, B = \, C=l,

also

(15.)

dx

2{P +1 + l)«fc

P — 1 2t 4- 1

U6.)/

? y#² + « +1 =

_f2(P~l)(P + t + 1 )dt J {2t+l)\P + t + l)

(2* + l)²

2* + 1

y^‘- -j- a: + 1

_ ₂ gp-i)dt

J (2*+l)²

wendung von Formel Nr. 150 der Tabelle, indem man

co j-n

(20.) x

Nun ist, wie man durch Division findet,

2*2-2 = (2*+ !)(* — *) — ■* = *(2* + 1)² — (2< + l) — f,

also

(17.)

folglich wird

2ć² — 2 _ 1 (2£ + l)²    2    2£ -f- 1    2 (2t + l)²

(18.)

xdx

yx² + x + 1

tc ; i—¹

U² + 2t + 3

4(2* + 1) t² + t + 1

in^ + o + f'idh:

ln(2£ + l)

|ln(2* + l).

T—I I TH

tO| t—¹

2t + 1

Dies giebt mit Rücksicht auf die Gleichungen (15.) xdx

y'x²-{-x + 1—\—^ln(2a;+l + 2ya:‘²-j-a; + l).

J/x² + x +1

Bedeutend leichter findet man dieses Resultat durch An

—— > y x² -j- x -f 1 = yyL    a², dx — dy, a² =

Li

setzt; dann wird xdx

yd² + y²    2/ya2 _j_ ^2

also nach den Formeln Nr. 32 und 35 der Tabelle

(2L)/₁

y#²+1

_ Ą2y — l)c?y

J 2yd² + y² J}

ydy

dy

xdx

?/ +y«² + y²

(22.) __

./ y*² + ^ +1

= y«² + y² — ^ln(

= Yd²

1 i (

1_2In(

2a: + 1 + 2ya:² -f- x -j- 1

y'3

)•

Dieses Resultat unterscheidet sich von dem vorhin gefundenen nur durch eine Intégrations-Constante.

_ f x²dx

Aufgabe 5.

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man hier

⁽²⁸Vi

x²dx

]/£² + £ + 1

-■/

(t² — 1 )²dt

(2* + l)³

-ä/[

₃__²    ,    ¹²    -i. __g_1

2t + 1 (2t + l)² (21 + 1)³J

_6___9_1

2t+1    4(2t + 1)²J ’

7

wobei die Intégrations-Constante —— so gewählt ist, dass das

62

Endresultat einfacher wird. Es ist nämhch t²—3t—~

2t —

dt,

— 3t —¹-~ ln(2£ + l)

4    2*+l    4(2ż+1)²

Deshalb wird

₍₂₄.) r£t

j]/x²-i-x-j-1

4t⁴ — 8t³ — 18t² — 22t—10 “ ₍2*₊ 1)2 4ć² —12Ż—10 i!² + t -f 1 2* + 1

/4Q? — 1) _ y² + t+ 1 V 2t + 1    ) 2t + 1

= (4z — 6) ]/x² -j- x + 1.

2z — 3    -------

-—yx²+x-ti

2^+1

— |ln(2z +14- 2|/z² + x + 1).

Auch hier ergiebt sich das Resultat leichter durch Anwendung der in den Gleichungen (20.) angegebenen Substitution ; dann wird

./y^+tf+i

also nach Formel Nr. 122, 32 und 35 der Tabelle

(25.)

x²dx

_1 /(4y² — 4y + 1 )dy

4 J    Y d² + y²

⁽²⁶%²+, + i

x²dx

y + y a² + y²

)]■

2z— 3 -./—x—---

= —-— yx² + z +1

2z + 1 + 2 yx² + x + 1

Vs

)•

In ähnlicher Weise kann man die Aufgaben

x^dx

ÿx² + x -t-1

xzdx

)/a;² -f- a: + 1

behandeln.

= ?./i

_ p I' xndx __ p

J ]/x² -J- X + 1

Aufgabe 6. /*    ^    = ?

./a;]/a:² -j- x -f- 1

Auflösung. Aus den Gleichungen (15.) ergiebt sich hier

t

J^c]/x² + X + 1

also nach Formel Nr. 29 a der Tabelle

(27.)

dx

~ /' dt

²jë=ï’

(28.)

—i y x2 x + i

xy&+x+i

=K

2j/x² + x +1 — (x + 2)

Aufgabe 7. /-dxr_= = ?

J (x — k)~yx² dr a²

(29.)

Auflösung. Aus Gleichung (5.) findet man

f dt

-Vf

St

dx

— k) yx² dr d²

— 2kt =p d¹

Dies giebt nach Formel Nr. 86 der Tabelle, indem man b = — k

setzt.

t — k—yk²±:d²

)•

dx

_d=lnf-

(a;— ^)|/ z² ± à²    yk²±a² v

Gilt das untere Zeichen, und ist d² > k², so erhält der gefundene Ausdruck imaginäre Form, dann wird nach Formel Nr. 88 der Tabelle

(30.) I

— k -f- y k'² -+- d²

(31.)

/f

c/a:

— k) y r‘‘ — <T

arctgf f/a²—£² V

_ LY

j/«²—k²S

Zum Schluss muss man noch

• ___________

t — x -f- Yx² ± a²

einsetzen.

Aufgabe 8.

dx

(i — x²)yi + x²

Auflösung. Nach Gleichung (5.) ist in diesem Falle t² —

1 —=(l + ic)(l —#)

also

¹    ,/r-r-î    + 1

2^’ 1/1 + *⁼-2T-

<² + 2<— 1 — ć² + 2ć+l

2**

*⁴—6*²-fl

2£

2*

4*²

mf{l-*²)Vl ₊ x²

wenn man t² mit u bezeichnet. Nun ist nach Formel Nr. 87 der Tabelle

dx

tdt

t⁴ — 6t² + 1

r du

⁼-*p—

u²—6 u -f- 1

«A—

u¹ — 6m + 1

-h

du

{u-Ui)(u —w₂)

ln

/u — ut\ , \w — w₂/

wobei

Ui = 3 + 2]/2, w₂ = 3 — 2]/2, «i — w₂ = 4]/2 ist. Dies giebt

(34.)

dx

(i —- x²) y i + x²

2 ]/ 2 Vm

2]/2 M²

—    3 — 2]/2

—    3 + 2]/2 — 3 + 2]/2

— 3 — 2]/2

)•

Um das Endresultat als Function von x darzustellen, beachte man, dass

t² — 1

—2 + 2]/2    — 1 + V2

2t

x    y 14- x²

= (—1+V 2) (V14- -e²—«),

also

(35.) *2 - 8 + ²^² =    + (- 1 + V2)Vl + *=*

= (Fa — i)(yr+Tj + *y2)

ist. Ebenso findet man

t- — 3 — 2 y 2

(36.)

= (— 1/ 2 — 1) (]/l 4- z² — a-]/ 2),

folglich wird

⁽³⁷°/

(1— tf²)yi + z²    2 ]/2

¹ lnr (V2-i)(Vi+x>+zV2) -|

T-i

ln

L(— y2—D(y i+z²—zy 2) J

(j/2—i)2₍yï^+ ^y 2)2-1

z² — 1

Schneller kommt man zum Ziele durch Anwendung von

Formel Nr. 84 der Tabelle, indem man

,    dt

x — X gt, also dz —

setzt. Dadurch erhält man

(38.)

cosH '

yi + ** = —

'    cos£

dx

⁽^39,'⁾ 7(1—yi + ^

oder, wenn man

-/<

zostdt

COS tdt

cos 'H — sin²ż

2 sin²/

y 2 sin t — Zj also y 2 cos = cfe setzt und Formel Nr. 29 a der Tabelle beachtet,

(4°.)/

KV>

dx

(1—:z²)yi    Æ²

i r dz

yl7^-i“

dabei ist

*y 2 y i + xi

folglich wird

17

Kiepert, Integral-Rechnung.

]/l + x² + xY 2\

= Inf

Y 2 V

(41.)

dx

__-F=lnf-

(1—a;²)]/! + Æ² 2]/2    'a;

x Y 2 + yi-f- x²

~ Y^~ï /

Dieses Resultat stimmt, abgesehen von der Integrations-Constanten, mit dem früher gefundenen überein.

§ 47.

Integration der Differential-Function

F(x, ]/ax² + 2Bx + c)dx, wenn c positiv ist.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 156 und 157.)

Aufgabe 1. ff{y, ]/a² ± y²)<fy = P

Auflösung. Wenn das gesuchte Integral mit keinem bisher entwickelten übereinstimmt, so setze man

(!•)

Y a² ± y² — ty — a, oder t =

a + Y a² zh y²

also

(2.)

2 at

(3.)

a² ± y² — t²y² — 2aty + a², oder y = ₉_

a(ź² ± 1) a =    j

]/«²± y² =

2aź²

t²=Fl

(4.)

folglich wird

2a(t² ± 1)g&

(ü² =F 1)*

2 at a(t²± 1)

t²-Fl ’ "7² =F 1

(&•) ff(y, ]/a² ± yl)dy =jf (

2ft(^²±l)(7/î (*²h=1)²-

Wenn/(y, Ya*—y²) eine 'rationale Function von y und Y a² ± y² ist, so hat man es durch die angegebene Substitution erreicht, dass die Function unter dem Integralzeichen auf der rechten Seite von Gleichung (5.) eine rationale Function der einzigen Veränderlichen t geworden ist. Hiernach wird z. B.

. . f dx

(«•) /-

J X

Y a²—x¹

•H I ö

/?-

lnć ——

¹ Inf" - 1 v " j

«    \ a;    /

ein Resultat, welches mit Formel Nr. 37 der Tabelle übereinstimmt.

Aufgabe 2. /F{x, y' Ax² 4- 2Bx -\-C)dx = ?

Auflösung. In § 44 wurde bereits gezeigt, wie man das gesuchte Integral auf ein Integral von der Form ff{y, y dl±:ÿl)dy zurückführen kann (vergl. Formel Nr. 150 und 151 der Tabelle). Ist diese Umformung erfolgt, so gelangt man durch die in Aufgabe 1 angegebene Substitution zum Ziele. Man kann aber auch die Umwandlung der vorgelegten irrationalen Differential-Function in eine rationale unmittelbar ausführen, indem man

(7-)

y Äx¹    2ßx -)- c = tx —yc

setzt. Dadurch erhält man

Ax- -f- 2 Bx -f- C — fix² — 2tx y C + C,

oder

(8.)

Ax + 2 B = t-x — 2t y c,

also

(9.) x —

2 (tr/c + B)

t² — A

, dx =

2 (t² yc+ 2 Bt 4- A y C)df

(;t² — A)²

pyc a 2Bt + Aye

t² — A

(10.)

y Ax² + 2 Bx + C =

Dies giebt

(11.) f F {x, y Ax² -f- 2 Bx + C)dx =

f1?(2{ty~CAB) t?y CA2Bt + Ay C\ —2{l²VC+2BtAAyC)dt

JFV Y-JT’ fr -A )'    (f²-A)²

wobei

ci

ba

ist. Wenn F(x, y Ax'² + 2ßx + C) eine rationale Function von x und y Ax¹ + 2 Bx + C ist, so steht unter dem Integralzeichen auf der rechten Seite von Gleichung (11.) jetzt nur noch eine rationale Function von t, welche nach den Regeln des vorhergehenden Abschnittes integrirt werden kann.

y C 4- Ÿ Az'² -f- 2Bx -~r O ~h x y A

)•

y o 4" y Az² 4- 2 Bx + c —- x y A

Dieses Resultat stimmt, abgesehen von einer Integrations-Constanten, mit dem in § 45, Gleichung (1.) gegebenen (vergl. Formel Nr. 152 der Tabelle) überein, denn es ist

(/C4- yAx²4-2ßx4-C—«yA)(Ax+ B + yzßy Ax²4-2ßx-\-C)

= (5 + yjaxyc 4- y Az² 4- 2 bx 4- c 4- x yjy,

folglich wird

(15.)

yc 4- y Az² + 2 Bx a-C+xYa y~Ü 4- yAz² 4- 2Bx-\-C - x y A

_ Ax 4- B 4- y A y Az² 4- 2 Bx 4-g

also

3Ian erkennt, dass auch hier die Aufgabe 1 nur ein besonderer Fall der Aufgabe 2 ist, den man erhält, indem man die Intégrations-Veränderliche mit y bezeichnet und

B = 0, 0 = + d²

A = d= 1

setzt.

Uebungs-Beispiele.

dx

Aufgabe 3.    _____

J]/ Az² -f- 2Bz -f C

Auflösung. Nach Gleichung (11.) erhält man

(13.)

dx

J ]/Az² + 2 Bz + C

Tabelle

Ist A positiv, so folgt hieraus nach Formel Nr. 29a der

<"•>/

dx

y Az² -j- 2Bz 4- C

j=ln(

y a v

t—V A

t -j- V A

b -j- y a u

Ce.)/

dx

= fln(

y a    V

y Ax² + 2Bx 4- C Ax 4- B

Va

++c)~ ± in yyy')-

Ist A negativ, so erhält man aus Gleichung (13.) nach Formel Nr. 28 der Tabelle

d.r

(17.) f .__

Jy Az² + 2 Bz + V

i/ibarctg(

y 0 + y A x² + 2Bx + O

xy—a

Auch in diesem Falle kann man die Uebereinstimmung mit dem in § 45 Gleichung (4.) gefundenen Resultate (vergl. Formel Nr. 152 der Tabelle) nach weisen. Setzt man nämlich

(18.)

₍f =

2 arc tg    ’ a^s0

ckT

y-a

so wird

(19.)

siny —

—A

1-tg²

(20.)

COS (f =

t² + A A

(21.)

Ist der Bogen a erklärt durch die Gleichungen

y~AC

sin a =

y B- — A C

COSW

y B²—AC

so erhält man

(22.) sin(« — ff) — sin «cos (f — cos «sin (f

— B(f- 4- A)

y~ Ac. 2t y—A

⁼ (t² — AyÿW^ÂC ' (t*—A)yW—AG

_ — 2 AdVC+B)____

~ (/2 _ A^y%T_-jc yB²~—Aö Ax -f- B

”—y w~—~aö

Fügt man also in Gleichung (17.) die Integrations-Constante

(Z

—— hinzu, so erhält man in Uebereinstimmung mit Formel Nr. 152 der Tabelle

dx

a — cp

Y Ax² + 2£x + C Y—A Y—A

arcsin

(•

Ax + B

Yb²-ac

xdx

Aufgabe 4.

(24.)

Auflösung. Hier ist

A = 1, B = l

C= 1,

also

2t+1

(25.)

ć² — 1

dx =

2(t² + t + 1 )dl

(t² — 1 )²

]/l+^d-«² =

*²+* + l

Ć²—1

Dies giebt in Uebereinstimmung mit Aufgabe 4 in § 46, wenn man die Integrations-Constante 1—^ln3 hinzufügt,

₀ ff 2t + 1 )dt

7 u²-i)²

(26.)/

xdx

Y i + % + x²

²+K^f)-ln31

*²+* + l

ć²—1

t 1

1    /3*²+6ż + 3\

2    nV t² — 1    )

= ]/l-(-^-i-Ä:² —-|-ln(2# + l + 2]/l-|-2:+.r²).

Aufgabe 5. J

Y i + # — x²

Auflösung. Hier ist

(27.)

A = — 1, B = C= 1

also

I' dt    t    1

(30.)

(28.)

2t + 1 t² + 1 ’

1 +]/l + x — x²

dx =

2{t² + t — 1 )dt

if + l)²

Y l~r x — x² =

t² + t — 1 + 1 ’

(29.)

r xdx

Jyi -j- x

’(2£ + 1 )dt

— x²

(^ + l)²

t² + 1

'h*

(1 + *²)²

Nun wird nach Formel Nr. 144 der Tabelle

AT+ *•)* “ 2(1 + Ć²) + 2 arct»^

folglich ist, wenn man die Intégrations - Constante gleich —1 setzt,

(31.)

xdx

1/I + ä— z²

t² + 1    ^ HF-1

1 — arctgć

t² + * — 1

t² + 1

arctgć

i "F y i + #—^²

=—y i x—x² —

arctg^

Bedeutend leichter wird die Lösung durch Anwendung der Formel Nr. 151 der Tabelle, indem man

(32.)

also dx = — dy,

j 2x — — 2y + 1 \ ]/l -j- x — x² = yd¹—y², 2a =y5

setzt; dann erhält man nach Formel Nr. 31 und 34 der Tabelle

xdx

-■

(33.)

(2y — 1 )dy 2 y a² — y²

=—]/a² — y² — ~ arcsin^ ^

= — yi + x — x² + Ł arcsin(^y^¹) *

Um die Uebereinstimmung dieses Resultates mit dem früheren nachzuweisen, setze man

264 § 47. Integration von F{x, ~ÿAx--\-2Bx-\-C)dx, wenn 0. 1 + Vl+x—x²

(34.) cp — 2arctg^

l+]/l +r—Æ²

dann wird

(35.) sin <p =

1 + tg²

1 —tg²

(36.) COS (p =

(37.)

IM) 'S

IM)

2« — 1 — 4 ]/l + ä: — .-r²

1+tg2(l)

Erklärt man sodann den Bogen a durch die Gleichungen sin a = —

COS a =

so wird

(38.) sin (a — g>) = sin a cos (p — cos « sin cp

2x — 1

Vo

Fügt man also in Gleichung (31.) die Intégrations - Constante hinzu, so erhält man

— f/l + x — x² + —- y = — ]/l + a: — x² ~ arcsin•

(39.)

xdx

yi -j- x—x²

Aufgabe 6. /-

J X

dx

y 1 + # — #²

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei der vorhergehenden Aufgabe, also durch die Gleichungen (28.), erhält man

(40.) f

J X

dx

y 1 -f- x -— x'²

— — ln(2/ + 1)

2t + 1

x + 2 + 2'yr+x—x²

Aufgabe 7. j

dx

{x-&)Y 1 —X²

Auflösung. Hier ist

a — I, A = — 1, B = 0,    <7=1,

(4L)

folglich erhält man nach Formel Nr. 156 oder 157 der Tabelle

(42.) a; =

V1    t² +1’

dx =

2(ć² — l)cft

(t² + l)²

(43.)

dx

-'h

dt

(,x — k)Y 1 — x²

oder, wenn man k mit und 87 der Tabelle berücksichtigt,

_ C dt

= 2rh

kt² — 21 + k — bezeichnet und die Formeln Nr. 86

dx

— k)Y 1 — x²

— 2r£+l

r -\n(t—r—Y r%—1\

Y f¹ — 1    — r -f- Y?'² — 1'

wenn r² > 1 ist, und nach Formel Nr. 88 der Tabelle

(45.)

dx

2r

— k)Y 1—x²    ]/l—r²

wenn r°- < l ist. Zum Schluss muss man noch

1 +YÏ--J

(46.)

und r =

i-¹

einsetzen.

Aufgabe 8.

C    dx .

Ja + ^)VT

— x'²

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei der vorhergehenden Aufgabe, also durch die Gleichungen (42.), erhält man

(t² -4- 1 )dt tr+ 6t² +1 ’

(47.)

dx

(48.)

7(1 + ä'²) Y i — *^²

Da die quadratische Gleichung

tJ + 6*² + 1 = 0

die beiden Wurzeln

U² — — 3 + 2]/2 = — (]/ 2 — 1)², 4² = — 3 — 2 Y2 = — (]/2 + l)2 hat, so findet man durch Partialbruch-Zerlegung

1 /I —Y 2    1 + Y 2

t* + Qt² + 1 ~ y 2 V P + a² t² + b²

(49.)

(50.)

— 2t² — 2

wobei

(51.)

a = Y 2 — 1,

gesetzt ist. Dies giebt nach Formel Nr. 28 der Tabelle

mj.

dx

(1 + X²)Y 1 X²

Setzt man noch

[«^(i)+ •»*(')]■

(53.)

arctgG) ⁼ > arctg(-^) =

'S

*P,

so wird

(54.)

tgcp =

1/2 —1 ’

tgip =

Y'2 + l'

also

(55.) tgftp + vO folglich wird

tgff + tgip _2ty2

~~ 1 —t gcp t g \p ~~ 1 — t²

xY 2

Yl—x²

(56.) f-

dx

(i + x²) y i—x²

Emfacher findet man dieses Resultat durch Einführung trigonometrischer Functionen, also durch die Substitution

^ = sin^, yi — x² = cost.

Vergl. § 12, Gleichung (7.).

§ 48.

Integration der Differential-Function F(x, yAx²+2Bx+c)dx, wenn b²—ac positiv ist.

(Yergl. die Formel - Tabelle Nr. 158.)

(1.)

Die Wurzeln der quadratischen Gleichung

Ax² -f- 2 Bx + 6' — 0 sind bekanntlich

— B + VB²—AC

— B — yB²—AC

(2.) Xi =

Unter der Voraussetzung, dass B² — AC > 0 ist, werden beide Wurzeln xt und x₂ reell. Setzt man in diesem Falle

5 x₂ =

(3.)

Xl —--5 X₂ = -

j wobei ay = A

sein möge, so wird

(4.) Ax² -f 2Bx + C = A(x — Xi) (x — x₂)

= ar(x+i)(x+ *) = <-

ax

+ ß) (jx + à).

Jetzt möge die neue Intégrations-Veränderliche t durch die Gleichung

(5.)

y~Ax² + 2 Bx + C — t(ax + ß)

eingeführt werden. Dadurch erhält man

Ax² -f 2Bx + C = (ax -f ß) (yx + d) = t²(ax -f ß)²,

oder

(6.)

yx + ô = t\ax + ß),

(70

ßt² — ô

y — at²

dx =

2 (ßy — ad)tdt

(80

s=y

yx -f- ö ax + ß

y Ax² + 2 Bx + G'= —

(ßy — ad)t .

Dies giebt

J'F(x, y Ax² + 2 Bx + Ü)dx —

ßt² — ô (ßy — «    2 (ßy — ad)tdt

— at²’

(y — at²)²

y — at² /

wobei

(io.) <=y

yx 4- à

ax 4- ß

Y Ax² 4- 2 Bx 4- C = y (ax 4- ß) (yx 4- d ).

Uebimgs - Beispiele.

Aufgabe 1.

dx

y(ax + ß)(yx -f ö) Auflösung. Aus Gleichung (9.) folgt

= 2 f- dt

Jr

y

Setzt man hierbei — = ± k², jenachdem

negativ ist, so erhält man für das obere Vorzeichen nach Formel Nr. 29 a der Tabelle

(H)

dx

Y(ux 4- ß)(yx + ö)

— at²

positiv oder

(12.) /-_

J Y(ax + ß) (yx -f- ó)

dx

___2 r dt ____y. /1 — k\

ujt² — k²    ak n 4~ k)

— ¹ ]n(Y«(r* + à) + Vyjaz+ß)

yuy \yu(yx-j-ö) — Y y (ax -j-ß)

)•

Für das untere Vorzeichen wird nach Formel Nr. 28 der

Tabelle

mj.

2 C dt aj f¹ + k²

dx

Y (ax 4- ß) (yx 4- d)

=~äarctg'G)

V-

L=arctg|/ -uy    1

— a(yx 4" d)

y(ax 4- ß)

xdx

Aufgabe 2. /-___

jy rx—x²

(14.)

Auflösung. In diesem Falle kann man setzen ax 4~ ß = x, yx 4- à = r — x,

also (15.) u = 1, ß = 0, y = — 1, â = r, ßy—ad — —r

(16.)

dx =

*² + l’ 2rtdt

Y rx — x²

rt

r- +1 ’

-f «

(t* +1)²

folglich erhält man mit Rücksicht auf Formel Nr. 144 der Tabelle

(n.)/

= — 2r

dt

ÏÎ

1.2(1 +1*)⁺ Iarctg<

rarctgj/r ^ ³⁷ •

In ähnlicher Weise kann man

x²dx

xAdx

y rx — x²

y rx— x²

berechnen.

Aufgabe 3.

dx

]/ra —- x¹

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei der vorhergehenden Aufgabe, also durch die Gleichungen (16.), erhält man hier

(18.)

dx

xyrx -—- x²

'dt =

2t

; to

2 yrx — x²

rx

Aufgabe 4. f-dx    — ?

J {x + 1) ]/l — z²

(19.)

Auflösung. Hier sei

ax + ß = 1 + x, also yx + ö = 1 — x,

y = — 1, ô=l, ßy — uö = — 2,

ltdt

W+w ’

(20.) « = 1, ß = l

t² —

¥ +i ’

(21.) x =

dx =

(22.)

«i/—

] l+x

X 4- 1 = —--

⁺ t² + 1

270 § 48. Integration von F{x, j/Ax^jT^Fv-j-C)dx, wenn B²—Al7>0. Dies giebt

(23.)

dx

(x + 1) ]/l — X²

-,

Aufgabe 5.

dx

(x—i ) y i — x²

In ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man

(24.)

-,

dx

(x — i) y i — x²

1 -j-_x

1 — X

Aufgabe 6.

-,

dx

{x + 1) ]/#² — 1

(25.) x

Auflösung. Hier sei

ax + ß = x -j- I a — 1, ß = 1

t² + 1 lAT---    2#

also yx + à = x — 1, ô = — 1, ßy — uö = 2,

dx

4 tdt

(1 — t²f

(26.)

x — 1

#4-1

x -f- 1 =

Dies giebt

(27.)

-,

dx

{x 4 1) ]/#- — 1

Aufgabe 7.

-,

dx

(# — 1) J/#² — i In ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man

(28.)

-,

dx

-4⁺‘

(# — i) Yx² — i

dx__ ?

Æ) Yrx—x¹

Auflösung. Auch hier findet die durch die Gleichungen (16.) angegebene Substitution Anwendung, und zwar erhält man, wenn man

Aufgabe 8. /-

J (x

(29.)

r = kg

setzt,

mf-

dx

(x — k) yrx—x²

tß *

— k(? + 1)

ii

dt

kg—k{t² +1)

ŁO

dt

(31.)

J t² — g + 1

Dies giebt für g > 1 nach Formel Nr. 29 a der Tabelle

t — Vg — ly

t+y g—W

dx

=ïK

k) Yrx—x²    h y g —

Dieses Resultat kann man noch auf die Form

(x

dx

y k[g% —x) — yx ( v — k)

^ * J (x—k) y rx — x²    y k(r—k)

bringen. Ist g < 1, so findet man nach Formel Nr. 28 der Tabelle

ln

y k[r—x) + yx{r—k)

(33.)

f-,

dx

(x — k) yrx—x²    ky 1—g    ^(^/l—g)

also

mj

dx

(x — k) y rx —x²    y k(k — r)

Aufgabe 9. f-dx.    = ?

J ( i + x²)y i —- x²

arctg^

y k{r — x) y xÇk — r)

(35.)

Auflösung. Hier sei

ax + ß = 1 — x, yx + d = 1 + x,

also

(36.) a = — 1, ß = 1, y — 1 t² — 1

Ï ’

ô =1, ßy — ccö = 2,

(37.)

dx

4 tdt

(38.)    y 1—x²

Daraus folgt

2t

t² + 1 ’

2 + 1)

(f + l)²

(39.)

dx

(t* + 1 )dt

(i + x²) y i — ^‘²

t* + 1

Die Wurzeln der Gleichung

ż⁴ + 1 = (t² — i) {f- + t) = 0

t-*

(40.) nämlich

sind sämmtlich complex. Indem man je zwei conjugirt complexe Factor en von 4+1 mit einander multiplicirt, erhält man die reellen Producte

(42.)

(43.)

(t — t,) (t— 4) = <²— <1/2 + 1, = tl + ty-2 + 1

Pt -f- Q

p—ty 2 + i ¹ 4 + ^]/2 +1

(44.)

und die Partialbruch - Zerlegung P + 1 4 + 1

= -(

2\^-/)/2+l t²+ty 2 + 1

Deshalb findet man nach Formel Nr. 88 der Tabelle

dx

Dieser Ausdruck lässt sich noch wesentlich vereinfachen. Setzt man nämlich

(46.)

arctg(ź ]/2 — 1) =

arctg(<]/2 + 1) = t),

so wird

(47.)

(48.)

tgi = ^2-i, \gn = ty2 + i,

tgg + tg ij __ 2ty2 __

1— tg£tg^ — 2—24 ~~

+ n)

ty 2

4 -i

Nun ist nach den Gleichungen (37.) und (38.)

y i — x2.

4 — 1 1/T---₉    21

vi-*²=

folglich wird

also

y 1 — X²

xy 2

(49.) tg(ï+ï) = -

ï + ï = -arctg(3A_^)

ylarctg(

)•

*|/2 Y1 — a:²

Es war schon damals hervorgehoben worden, dass eine einfachere Lösung dieser Aufgabe durch die in § 12 angegebene Methode, nämlich durch Einführung trigonometrischer Functionen, gefunden wird.

§ 49.

Integration der Differential-Function f(z, Ya*T+'2&z+ü)dzf wenn die drei Grössen A, c und b² — ac negativ sind.

Es sei jetzt

(1.)

B² — AC< 0, also AC > R² > 0;

die beiden Grössen A und C haben daher dasselbe Vorzeichen, so dass die Voraussetzung

18

dx

(50.) f

1 +x*)Yl—z*

In § 47, Aufgabe 8, hatte sich ergeben

viarctg(

xY 2

a;]/2

+    ylarctg(

Die Uebereinstimmung dieser beiden Resultate findet leicht, indem man

(51.)

Vl—x*

man

(52.) arctg^— x

]/2

^ = f/>, also tgr/

«|/2

setzt; dann wird

xY 2

l/r—/r²

Fügt man also in G-leichung (50.) die Integrations-Constante

7t

-r hinzu, so erhält man in Uebereinstimmung mit Gleichung (51.)

(53.) etg (fi =

= <*(£-*)>

y = arc tg^

«]/ 2 \ Y \ — x²)

{&ł)A

dx

,_______= -y= [£ — aretgf

(1 + x²)Y 1—x² Y 2l2    \

Y i — x²

xY 2

Kiepert, Integral -Rechnung.

A < 0

(2-)

die andere

(3.)

0 < 0

nothwendiger Weise herbeiführt. Nun wird

(4.) Ax² + 2Bx + C = 4 [A²x² + 2ABx + B² + AO — B²]

-A-

= ~ [(Ax + B?+(AC — 5²)] ;

folglich ist in diesem Falle der Ausdruck in der eckigen Klammer beständig positiv, was auch x sein mag, also Ax²+2Bx+0 beständig negativ, denn A ist negativ. Deshalb wird die Function F(x, ]/Ax²+2Bx+C) selbst eine complexe Grosse, wenn die Ungleichungen (1.), (2.) und (3.) gelten, weil j/Ax²+2Bx+ C stets imaginär sein muss. Es ist daher nicht möglich, /F(x, y Ax² -f 2Bx -f- C)dx in reeller Form darzustellen. Unter diesen Umständen wird man, wie schon in § 44 hervorgehoben wurde, am besten

(5.) jF{x, yAx² -\-2Bx + C)dx ==jF(x, iyAlx²-\-2Bxx-\- G\)dx setzen, wobei

(6.)

Ax = —A, Bx = — B, Ci = — C . ist. Man kann dann das in § 46 und § 47 angegebene Verfahren benutzen.

§ 50.

Normalintegrale von der Form Jf(x, y~Äx²+2Bx + G)dx.*)

Ist jF(x, yX.) eine (ganze oder gebrochene) rationale Function von x und yx, wobei man der Kürze wegen Ax²F2Bx+C mit X bezeichnet hat, so kann man F(x, ]/X) immer auf die Form

f(x, yx)

(i.)

g{x) + h(x). yX

<p(x)+ip{x) .y x

*) Der Anfänger darf die Ausführungen dieses Paragraphen über

gehen.

bringen, SO dass g(x), h(x), (f(x), xp(x) ganze rationale Functionen von x sind. Daraus folgt

(2 ) Fix ]/X) =    ^x) • VX) . \ff(x) ip(x). Yx]

i>(*)+'pi?) -Vx\ • [y(«)—^(*). yx j

_ GQQ + #Qr) .

<^(#)² — ip(x)². X

wenn man

f 9(x)<p{z) — %) ip(x) . X= G(a:),

\ h{x)(f{x) — g(x)ip(x) = H(x) setzt. Bezeichnet man noch den Nenner cp(x)² — ip(x)'². X mit N(x), so ergiebt sich

(4.) F(x, yx)

(3.)

G(x) H(x) N(x) ⁺ ï%)

• yx

Die gebrochene rationale Function

G(x) H(x) X X\x) ⁺ N(x).yX ’

kann man nach

G{x)

N{x)

den Angaben des vorhergehenden Abschnittes durch Partial-

bruchzerlegung integriren. Ebenso kann man

H{x ). X

(nöthigen-

falls nach Absonderung einer ganzen rationalen Function) in Partialbrüche von der Form

Nix)

Px+ Q

[0 — ff)² + W]n zerlegen. Deshalb kommt es im Wesentlichen nur auf die Berechnung der folgenden vier Normalintegrale an:

xmdx

{x — k)

Ji

-h

dx

(5-)

y-x

Ji

-/

yx

Js

-k

dx

— kf yx ’

i Px 4- Q)dx

1Ji J[{x ~ gf+h²yyx

Diese Betrachtung bleibt auch noch richtig, wenn X eine ganze rationale Function beliebig hohen Grades ist. Bezeichnet man mit X eine ganze rationale Function zweiten Grades, so wird es im Allgemeinen zweckmässig sein, die in § 44 angegebene Umformung vorzunehmen, so dass es bei dem Normalintegral Jy nur auf die in den Formeln Nr. 34, 35 und 36 der Tabelle berechneten Integrale

18*

276 § 50. Normalintegrale von der Form J"F(x, ]/Nj:²+ 'IBx + C)dx. C dx

Jv

(6.)

= arcsin

(U und f-t

W J1

Vz²dbaz

= ln(-

Y a² — x²

ankommt. In gleicher Weise geben nach dieser Umformung die Formeln Nr. 31, 32, 33, 114, 121 und 121a der Tabelle an, wie das Normalintegral Ą, nämlich

/' xmdx

JYx¹ ± a²

xmdx

und

J y a² —x²

berechnet wird. Auch J₃ kann man in dem Falle, wo A — 0 ist, mit Anwendung der Formeln Nr. 37 bis 42, 120, 126 und 126 a der Tabelle berechnen. Ist aber A < 0, so setze man zur

Berechnung von (—

J (x

dx

— k)«ya* + x²

(7.)

Az + a2 z — A

also x — A ==

A² + a²

(8.) dx —

(A² + a²)dz

(z — Af

(9.)

Ax + a2 x — A

ysrpp = V(#i,

z — A

y(A² -f- u²) (a² -j- x²)

X — A

y a² -j- z² =

Dies giebt

f(z — A)n~¹dz

(.A² 4 a²)n~l Ya²+ a²J y a² 4- 4

⁽¹⁰⁾Æ

dx

A)n y a² + x²

Das Normalintegral Ą ist also auf die Normalintegrale Ą und J-2 zurückgeführt.

In ähnlicher Weise setze man zur Berechnung von

J(x

dx

— H)nyx²—a²

(11.)

Az — a²

also x — A —

A² — a2 z — A

y {A*— a²) {z² — a²)

(12.) dx =

(.A² — a²) dz

(.z — A)²

yx² — ci² =

(13.)

Ax — a²

~T ’

y {A² — a²)(x² — a²) x — A

§ 50. Normalintegrale von der Form J'F(x, J/Ax²-j- 2Bx-j- C)dx. Ist k² > a-, so wird daher

dx

/v)nyx²— a2 und für k² <; a² wird

1    j'(z —

(k²—a²)u~l yP^di f ]/z² — a² ’

dx

^    ^ J(x — k)n yxl— a²

Die in den Gleichungen (11.), (12.) und (13.) angegebene

r dx •

Substitution führt auch zur Umformung von j

[tf—aïy-iyaï—kj y a² — z²

(z—k)n~ldz

wird nämlich

_:_______ * 0§

(,x — k)n y dl — x¹

y a² — x² =

V(Ä²—u²)(a² -Zl)

(16.)

}r«²

p=

z — k

y (k² — a²) (a²—x²) x — k

also für k² > a²

dx

(Z

k)n~xdz

— >£)n j/a² — a;²

und für k² < a²

xd

_A__

(.k² — a²)n—1 ]/a² —- kV ]/z² — a²

^    ^ J (x — Æ)w a²—x²

Das Normalintegral kann bei Anwendung complexée Grössen durch Integrale von der Form J?, dargestellt werden. Will man aber complexe Grössen ganz vermeiden, so wird man entweder die in § 46, 47 und 48 angegebenen Methoden anwenden, oder man wird im Allgemeinen noch zweckmässiger nach den Angaben in § 12 (vergl. Formel Nr. 83, 84 und 85 der Tabelle) trigonometrische Functionen einführen, nachdem man durch die lineare Substitution

(19.)

uz + ß

und durch passende Bestimmung der Grössen a und ß das Integral auf Integrale von der Form

278

§ 50. Normalintegrale von der Form J~F(x, yAx--\-2Bx-\-C)dx. f(Pz + Q)dz

J{z*+p*yyz

zurückgeführt hat, wobei Z einen der drei Wertlie a² -f z², z² — a² oder a²— z² haben soll. Durch die Substitution

yä^+z² — -**—

cos t

(20.)

0 = atgt, dz =

adt

cos²t

erhält man dann

(2i.) /•■ (* + <»*_ ₌n

a / (z² -j-p²)nYa² -j- z² y

(Pa sin t+Q costf)cos2>w2£. dt

(a²sin²ć -j- /²cos²ć)n

= — Pa

+qA

/    cos2m—²/<7fcos £)

!/0² + o²

a²)COS²£]w

(1 — sin²£)M-1G?(snD)

[(a² — p²) sin²ć + p²]n

Durch die Substitution

(22.)

COS t

dz =

asin^

cos²ć

yz² — a² — atgt

erhält man

<».)/

(Pz + Q)dz (z² -\-p²)nyz¹ — d¹

-ß

(Pa -f QcOS t) C0S2w_y . dt

(a² + />²C0S²£)w

y(tg^)

[(a² -j- P²) + a²tg²t]n

+ QJ\

(1 — sin²£)M-1. d(sint) [(a² + p²) — p² sin²(]w

Durch die Substitution

(24.) z = asiiy, dz — azostdt, ]/«² —z² = acosć findet man

(SL)i

(Pz + Q)dz

(z² +p²)nya²— z²

j(Pa$mt + Q)dt

(a²sin²ż + P²)n

= —Pa

_d(cost)

J[(a² +p²)

— a² C0S²£]

}Ä

(l + t g²t)n~ld(tgt) [(a² + p²) tg’t -\-p²]n

Ausserdem kann man auch Recursionsformeln herleiten von der Form

(Pz + Q)dz (z² +jö²)w]/Z

_ {Rz + S)Yz ~ (*²+/>²)

n—1

C{P\z + Qi)dz r( Pz + Q‘>)dz

J {z¹-^-    ■ y z J (z²+p²)n~²Y ź

wobei man die unbestimmten Coefficienten R, S, Pi, Gx, P-2, Qi

durch Differentiation von

findet.

{Rz + S)

(z² -j-    ¹

XII. Abschnitt.

Theorie der bestimmten Integrale.

§ 51.

Integration bei unendlichen Grenzen.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 159 und 160.)

Bei der Erklärung des bestimmten Integrals durch Formel Nr. 4 der Tabelle, nämlich durch die Gleichung

b

(1.)

jF‘(x)dx = F(b) —■ F(a),

a

war bisher vorausgesetzt worden, dass die Grenzen a und b endliche, constante Grössen seien. Jetzt kann man sich aber vorstellen, dass die obere Grenze b nicht mehr eine constante, sondern eine veränderliche Grösse sei, welche schliesslich bis

oo

in’s Unbegrenzte wächst. Demgemäss würde fF‘{x)dx durch

a

die Gleichung

(2.)

oo    b

fm-xyh; = lim J.F\x)dx = lim F(b) — F(a)

b=oo a

b=oo

erklärt werden.

Auch die geometrische Deutung des bestimmten Integrals als Flächeninhalt einer ebenen Figur bleibt in diesem Grenzfalle noch bestehen, die ebene Figur aber, deren Flächeninhalt durch das Integral ausgedrückt wird, erstreckt sich längs der X-Axe bis in’s Unendliche. Es war schon früher (§ 19, Aufgabe 8) gezeigt worden, dass der Flächeninhalt der Figur trotzdem einen endlichen Werth haben kann.

In gleicher Weise kann auch die untere Grenze a sich

ändern und bis, in’s Unbegrenzte abnehmen. Dann möge

6

fF\x)dx durch die Gleichung

6    h

jF\x)dx = lim j'F\x)dx = F(b) — lim F(a)

— oo

(3.)

—oo

a=—oo a

erklärt werden.

Aus den folgenden Beispielen kann man ersehen, dass hierbei drei Fälle zu unterscheiden sind:

I.    Das Integral mit unendlichen Grenzen wird selbst unendlich gross',

II.    das Integral behält einen endlichen Werth;

III. das Integral wird unbestimmt.

oo

Beispiele.

1.) \exdx — lim [exf =

./    6=oo 0

!•

lim eb — 1 = oo .

6=00

Dagegen wird

1 a.) fexdx = lim [ex] =

J    a= — oo    a

eb — lim ea — eb.

(l= — OO

— oo

Man kann diese Resultate auch geometrisch deuten als Flächeninhalt der ebenen Figur, welche oben durch die Expo-nentiattinie mit der Gleichung

y = ex

(vergl. D.-R., Seite 383, Fig. 78) und unten durch die X-Axe begrenzt wird.

oo

lim [e~x]b —

i=oo L J0

⁸->

2.)

e~xdx = —-

1 — lim (

6=co

1—1 «

= 1.

OO

= — lim

Q* b=oo

arct8:C)=£-

=iLiiTooarctgG)

— lim

b——00

+ 00

4.)

f dx

Ja

a² + a;²

— OO

^ = lim

c=+ 00 k b—— 00 b

f dx

!a~ -f- x¹

= - lim

& 6'= +00 1= — OO

[arct£©]

b

= (f+f)= •

Ans diesem Beispiele sieht man, dass auch gleichzeitig beide Grenzen unendlich werden können. Im Uebrigen kann man die letzte Aufgabe auch durch Zerlegung des Integrals auf die vorhergehende Aufgabe zurückfiihren. Es ist nämlich, wenn man y = — x setzt,

+ (50

+ OO

f dx _ r dx

Ja² -f- x²    Ja² -j- x¹

—OO

— OO

⁺Ä

dx

0    -fco

— / dy 4- f dX

Ja² + y² Ja² + x¹

-fco    0

00

= 2fa

0

dx

7T

a² + x²

CO

5.)

f JX = lim [2]/xf = 2 lim Yb — 2 = 00.

J y X b~oo    1    b=00

1 f

OO

6.)

f*L =

JxV X 1

— 2 lim

b =00

-Y x-

= 2 — 2 lim

i=oo

00

7-)

f— = lim [Ina:]⁶ = lim ln (-) = 00.

J %    J==00 a b—00 \a /

OO

8.)

COS X dx

= lim [sina:]⁶= lim sin b.

ö=oo    0 b=oo

Dieser Ausdruck nähert sich keiner bestimmten Grenze; in diesem Falle wird also das Integral unbestimmt, wenn man die obere (oder untere) Grenze unendlich gross werden lässt.

OO

9.)

sinxdx = lim [— coszf = 1 — lim cos b.

b = OO    0    5—CO

Dieser Ausdruck wird ebenfalls unbestimmt. Davon kann man sich auch durch die geometrische Deutung überzeugen,

b

denn das Jsinxdx stellt den Flächeninhalt der ebenen Figur 0

dar, welche von der Sinuslinie mit der Gleichung

y — sina:

(vergl. D.-R., Seite 382, Figur 77) und der X-Axe begrenzt wird. Dabei sind die Theile über der X-Axe mit positivem und die unter der X-Axe mit negativem Zeichen in Rechnung zu ziehen.

Auch bei der Kubatur der Rotationskörper war ein derartiges Integral bereits aufgetreten. In § 25, Aufgabe 13, erhielt man für das Volumen des Körpers, welcher durch Rotation der Cissoide um die Asymptote x —2a entsteht, einen Werth, der auch dann noch endlich bleibt, wenn y unendlich gross wird. Es war nämlich

x = 2asin²y, y — 2a

y

V — 7tj\x — 2 a)²dy o

Sin³a>

-1 X

cos <p

= asn [—sin (2(p) cos(2<£>) + 2</> + J-sin³(2</>)].

— 2a — — 2a COS² (p

also

Für lim y = oo wird (p =

oo

= n J (x

o

— 2a)² dy — azn².

§ 52.

Integration von Differential-Functionen, die an den Grenzen des Integrals unstetig werden.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 161 bis 163.)

Bei der Erklärung des bestimmten Integrals durch Formel Nr. 4 der Tabelle, nämlich durch die Gleichung

(1.)

fF‘(x)dx = \F(x)} = F(b) — F(a),

a    a

war bisher auch die Voraussetzung gemacht worden, dass F\x) in dem Intervalle von a bis b stetig sei. Jetzt möge aber F\x) stetig sein nur für während

(2.)

F‘(b) — ± oo

ist. Bezeichnet man dann mit ß eine beliebig kleine positive Grösse, so gilt für

b-p

fF(x)dx = F(b — ß) — F(d)

noch die frühere Erklärung des bestimmten Integrals, wie klein

b

ß auch sein mag. Dem entsprechend möge fF‘(x)dx erklärt

a

werden durch die Gleichung

b-ß

(3.) fF\x)dx — lim fF‘{x)dx — limF{b — ß) — F(a).

a    ß—0 a    ß=0

Es sei z. B.

? also F*(b) = ±oo,

dann wird

b    b

jF\x)dx =Jn —

u

dx

= — 2 lim []/b — x]

ß—Q    a

2(lim Vß — j/b    a^ = 2 Yb^~a.

b-ß

Bleibt F‘(x) stetig- für

a x FL b

während

(4.)

F‘(d) — oo

ist, so bezeichne man mit a eine beliebig kleine positive Grösse, dann gilt für

<i+a

b

fF\x)dx = F(b) —

F(a -f- a)

noch die frühere Erklärung des bestimmten Integrals, wie klein

b

auch a sein mag. Dem entsprechend möge J’F‘{x)dx erklärt

a

werden durch die Gleichung

b    b

(5.) jF‘{x)dx = lim fF‘(x)dx —

F(b)—-limita -f u).

O£ = 0

Es kann auch Vorkommen, dass beide Fälle vereinigt sind,

dass also

(6.)

F\a) = ±03 und F‘(b) = ±oo,

dass F\x) aber stetig ist für

a < x < b;

dann wird fF\x)dx erklärt durch die Gleichung

6    h~ fi

(7.) fF‘(x)dx = lim fF‘(x)dx — \\mF(b—ß) — limita + «).

a=0

a₌Oa+a

Beispiele von derartigen Integralen waren bei der Quadratur der Curven mehrfach aufgetreten. So ergab sich bei Aufgabe 8 in § 19 für den Flächeninhalt der ebenen Figur, welche oben von der verallgemeinerten Hyperbel

y = -j/2p . x

begrenzt wird,

(8.)

F=Ux^njFp(xP'

J    n — m\

— vn

n \

xi y

Ist n > m, so wird lim xv " = 0, und man erhält für

2l=0

(9.)

n/~ n~m

=ßdx=^^X₂ " =

0

nx=i y>i

einen endlichen Werth, obgleich y unendlich gross wird für x = 0, so dass sich der Flächenstreifen längs der Y-Axe in’s Unendliche erstreckt.

Ferner fand man bei Aufgabe 12 in § 19 für den Flächeninhalt der ebenen Figur, welche von der Cissoide mit den Gleichungen

(10.)

x — 2asin²y>, y = 2a

sin³a>

begrenzt wird,

cos(f

F = fydx — Qa-Jüiicf dcp ô    o

— a²[S(f — cos£>(2sin³9> -ff 3 siny)].

7T

Für x = 2a oder y = — wird y unendhch gross, so dass

Li

sich der Flächenstreifen längs der Asymptote x = 2a in’s Unendliche erstreckt. Trotzdem bleibt

(11.)

(12.) F

3 Qp“

= Jydx = a²lim [3 y — cos y (2sin³y + 3 sin y)] = —-

o    <P=y

endlich.

Man erkennt aus den angeführten Beispielen, dass bei dieser Erklärung das bestimmte Integral auch dann noch als der Flächeninhalt einer ebenen Figur betrachtet werden kann, wenn die Function unter dem Integralzeichen an den Grenzen unendlich gross wird.

Uebungs -Beispiele.

y (x—af

— lim l(x—a) ³ dx = 3 lim \y/x — ci] ' a=oJ    a=0    a

aĄ-u

a-\-a

= 3 -j/ö — a

3 lim yu = 3 -j/b — a.

a—0

dx

Jyx² — a²

a

= 1„(

lim

a=0 a-f a

b

Yx²— a²

— lim

a=0

[ln (

a-\-ce

) - im i nfg+“+y28a + “⁸t

/ a=0    \    «    /

= m(

)•

3.)

b

J Y [x — a) (b — x)

dx

b-ß

= lim

dx

Nun ist

dx

C dx_____ /

t/’j/(a;— a) (è — a:)    ./j/—aô+(a + ô)2—a;²

dx

oder, wenn man

/(?)'

— ab

also

=(^)=

setzt,

dx = dt, 2c — b — a

dx

dt

Y(x — a) (b — x) Yc² — t%

= arcsin

.    /2x — a —

arc sin l—^

F-)-

Deshalb wird

b

J^y (,x — a) (b — x)

dx ,

= lim

a=0

r . /2x — a — £\1

larcsm(-A_a JJ

b—ß

ß=0

a-f a

. /b — 2ß — a\

— lim arc sm ( —7-)

ß=0 V b — a J

/a + 2 a — b \ V b -a )

b

fx*-b²

— lim

cc—O

= arcsin(+ 1) — arcsin(—1) = 2arcsinl = n.

dx ,. r1 .

= iln

(r-f£>J₀⁼à fS Km=ïÙ ⁼

— 00.

§ 53.

Integration von Differential-Functionen, die zwischen den Intégrations-Grenzen unendlich werden.

(Vergl.fdie»Formel-Tabelle Nr. 164.)

Wird die Function F\x) für x = c unendlich gross, wobei c zwischen den Intégrations-'Grenzen a und b liegen möge, während F‘(x) stetig bleibt für

und für c < x^b,

b

dann soll J‘F‘{x)dx erklärt werden durch die Gleichung

a SS x < c

(1.) jF\x)dx = lim fF\x)dx + lim fF‘{x)dx

y=0 a

d=° C + (J

= F(b) — F(d) + lim F{c — y) — lim F(c + d),

y=0    tf=0

wobei y und ô beliebig kleine positive Grössen sind.

Uebungs -Aufgaben.

Aufgabe 1. Der Gleichung

(2-)

4,

= 1, oder

Fig. 100.

entspricht eine Curve (Fig. 100), welche die Y-Axe zur Asymptote und ausserdem zur Symmetrie-Axe hat; man soll den Flächeninhalt der Figur berechnen, welche oben durch diese Curve, unten durch die X-Axe, links durch die Ordinate x = — 1 und rechts durch die Or-1—x dinate x = + 2 begrenzt wird.

Auflösung. Längs der Y-Axe erstreckt sich die Figur in’s Unendliche, denn für x — 0 wird y — oo, folglich ist in diesem Falle

+2

(3.)

F — lim Jydx -ff lim Jydx

y=0 _!

cS=0

—y    ' +2

lim fx ddx -ff lim fx ddx d=0

= 3 limf-j^æ] ⁷-ff 3 lim [J x]

y=0    —1    ä—0

y=o _!

also

F= 3[I — lim-^r + -^2 — limy'd] = 3(1 -ff j/2).

y=0    0=0

Man erhält also für den Flächeninhalt der Figur, die sich längs der Y-Axe bis in’s Unendliche erstreckt, einen endlichen Werth.

(L)

Aufgabe 2. Der Gleichung

(5.) x²y = 1, oder y = ~

entspricht eine Curve (Fig.

101), welche gleichfalls die Y- Axe zur Asymptote und zur Symmetrie-Axe hat; man soll den Flächeninhalt der ebenen Figur berechnen, welche oben durch diese Curve, unten durch die X - Axe, links durch die Ordinate x — — 1 und rechts durch die Ordinate x =    2 begrenzt wird.

Auflösung. Längs der Y-Axe erstreckt sich die Figur bis in’s Unendliche, denn für x = 0 wird y = co, folglich wird auch in diesem Falle

Fig. 101.

A,

Af

■X

Man hätte einen Fehler gemacht, wenn man geschrieben

hätte

+2

-t

Man sieht, dass die geometrische Deutung des bestimmten Integrals, wie sie früher unter Ausschluss von Unstetigkeiten gegeben wurde, bei der Erklärung des bestimmten Integrals durch Gleichung (1.) auch dann noch bestehen bleibt, wenn F\x) für einzelne Werthe von x zwischen den Grenzen a und b unstetig wird. In dem Falle nämlich, wo F\x) für n verschiedene Werthe von x zwischen den Grenzen a und b un-

i

stetig wird, muss

bei jedem einzelnen das in Gleichung (1.) angedeutete Grenzverfahren anwenden.

manJF‘(x)dx in n +1 Integrale zerlegen und

+6

Aufgabe 3.

+2

(6.)

F = lim

y=0

fax , fdx

J*⁺nh

= lim

y=0

[■

-y

-ff lim —

<y=o .

« ] h-*

o.

. = lim — — y=0 Y

1 — — -ff lim

ó—O

fdx _

/ x ~~

Auflösung. Da die Function unter dem Integralzeichen für x = 0 unendlich gross wird, so muss man das Integral wieder in zwei andere zerlegen. Man setzt also

a).

+6

(7.)

f— = lim f— + lim f—

J X y—oj X ô—oj X

" d

= lim ln

y=0

In diesem Falle hängt der Werth des bestimmten Integrals

von dem Verhältnisse

viele Werthe haben darf, so hat auch das Integral unendlich viele Werthe. Für y — ö wird

ab. Da dieses Verhältniss unendlich

(8.)

/j.

Dieser Werth heisst nach Cauchy „der Hauptwerth“ des bestimmten Integrals.

b

f_dx_

J -)/ [x.— c)⁴

Aufgabe 4.

= ? wenn a < c < h.

Auflösung. Indem man wieder die Zerlegung des Integrals ausführt, findet man

⁽⁹-} mh?.

a    a

=L

— c) ⁵ dx

—    lim fix — c) ⁵ dx + lim

y~0 J    J=0

a

—    5 lim {-}/ x — c]c~r+ 5 lim [f/x — cf

y—oJ«    <y=oL r    J°+ä

—    5 [lim Ą/—y — Ą/ a— + -y/b—c—limy^']

J=o

e+d

-4

— c) bdx

y=0

= 5(ÿô — c + Ve

§ 54.

Näherungsmethoden durch Einführung einfacherer Functionen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 165.)

In vielen Fällen, wo das unbestimmte Integral einer Differential-Function schwer zu ermitteln ist, kann man den Werth des bestimmten Integrals durch andere Hülfsmittel genau, oder doch mit grosser Annäherung berechnen.

Von diesen Hülfsmitteln sollen hier einige angeführt werden. Aus der geometrischen Deutung eines bestimmten Integrals

b

Jf{x)dx als Flächeninhalt einer ebenen Figur, welche oben

a

begrenzt ist durch die Curve y = fix), rechts und links durch die Ordinaten x = b, bezw. x = a und unten durch die X-Axe (vergl. Formel Nr. 4 der Tabelle), ergiebt sich sofort der folgende

Satz 1.

Sind yx = (f (x) und y—f(x) zwei Functionen, welche zwischen den Grenzen x — a und x — b sich durch Curven geometrisch darstellen lassen, und bleibt in diesem Intervalle (fix) beständig gleich oder kleiner als fix), so ist auch

b    b

Ci.)

f(fix)dx < ff(x)dx ;

Fig. 102.

denn, wie man aus Fig. 102 ersieht, hat die von der Curve

begrenzte Figur einen grösseren

V =/(*)

AXBX BA

B, X

Ai

Flächeninhalt als die von der anderen Curve yx — (p(x) begrenzte Figur AiBiDC. Dabei ist zunächst vorausgesetzt, dass die Curven beide über der X-Axe liegen; der Satz bleibt aber auch dann noch richtig, wenn diese Voraussetzung nicht erfüllt ist.

Man kann den Beweis auch unabhängig von der geometrischen Deutung des bestimmten Integrals führen, indem man dasselbe als eine Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen <p(x)dx, bezw. f(x)dx betrachtet. Aus cp(x)dx :fSf(x)dx folgt dann auch die Ungleichheit der Summen, also

(2-)

b    b

J(f{x)dx < ff{x)dx.

Satz 2. Liegt die Function f (x) für alle Werthe von x innerhalb des Intervalles von a lis b der Grösse nach beständig zwischen den Functionen tp(x) und ip(x), ist also

(3.)

so ist auch

(4.)

b    b    b

fcp{x)dx < Jf{x)dx < fip{x)dx.

Dieser Satz ergiebt sich unmittelbar aus Satz 1.

Uehungs-Beispiele.

0,5

dx

Aufgabe 1.

f lI—, = ?

jy l—x»

0

Auflösung. Da x beständig ein positiver achter Bruch ist, so gelten die folgenden Ungleichungen:

0 ^ x < 1, x²,

1    1 —    1 — x²,

i As    ^ yr=^,

1 'A ______

—yi—ap — yi—x*

folglich wird auch

0,5    0,

[dx < f-

J    Jy l—x*

0 0

dx

_ _______= <

0,5

dx

Jyi

0

oder

(6.)

Ol

22.

ü.

IO

CO

00

00

§ 55.

Mittelwerthsätze.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 166, 166 a und 167.) Es sei jetzt

(1.)

f 0) = ⁽AX) • Kx)

wobei die stetige Function h{x) in dem Intervalle von a bis b zunächst beständig potitiv, oder doch wenigstens nicht negatio sein möge; es sei also h(x) 0. Ferner erreiche die in diesem Intervalle stetige Function g{x) ihren kleinsten Werth K für z = Xi und ihren grössten Werth G für x = x₂, wobei xt und x₂ noch zwischen den Grenzen a und b liegen oder mit diesen Grenzen zusammenfallen sollen; es sei also

g{?i) = K und g(x₂) = G,

(2.)

dann wird

(3.)

und deshalb auch

K. h(x)dx ^ g(x) . h(x)dx — f{x)dx "Sk G . h(x)dx\ folglich wird nach Satz 2 in § 54

h    h    b

Kfh{x)dx < Jg{g) • h{x)dx < G Jh[x)dx.

(4.)

(5.)

Erklärt man also die Grösse M durch die Gleichung

(6.)

b    b    b

Jf{x)dx — Jg(x) . h{x)dx — Mfh{x)dx

a    a    a

so folgt aus Ungleichung (5.)

(7.)

G,

oder

Nach einem bekannten Satze über stetige Functionen es daher zwischen xx und x₂ einen Werth von x geben — er heisse § —, für welchen

muss

(8.)

g{\i)

wird. Da £ zwischen xx und x₂ liegt, so muss '§ auch zwischen a und b liegen; es ist also

(9.)

Erklärt man also eine Grösse 0 durch die Gleichung

(10.)

$ -—a b — a

so liegt 0 zwischen 0 und 1, und man erhält

(11.)

§ = a + 0{b — a), M = g[a 4- 0{b —- «)].

Deshalb geht Gleichung (6.) über in

b

Jg{x) . h(x) dx =

b

«)] fh(x)dx.

a

(12.)

g[a+ ®(Ä

Indem man beide Seiten dieser Gleichung mit — 1 multi-plicirt, folgt

b    b    b

(12a.) —Jg{%). h(x)dx — fg{x)\_—h(#)]dx=g\a-\- 0(b—a)\f—h{x) jdx.

oder mit anderen Worten, die Gleichung (12.) bleibt auch dann noch richtig, wenn die stetige Function h(x) in dem Intervalle von a bis b niemals positiv wird, wenn also h(x) ^ 0 ist. Es genügt also für die Gültigkeit des in Gleichung (12.) enthaltenen Satzes, welcher „der erste Mittelwerthsatz“*) genannt wird, die Voraussetzung, dass h(x) zwischen den Grenzen a und b das Vorzeichen nicht wechselt.

Aus Gleichung (12.) folgen noch unmittelbar die Formeln

Jg{x). h(x)dx = g(0x)Jh(x)dx, o    o

a-\-c    «+c

Jg(x). h{x)dx — g(a + 0c)Jh(x)dx.

Der zweite Mittelwerthsatz möge hier übergangen werden

Setzt man

h    b

also fh{x)dx = fdx

hix) = 1 so geht Gleichung (12.) über in

(15.)

oder

(15 a.)

b

fg(x)dx = (b — a)g[a + 0(b

a

Jf(x)dx = {b — a)f [a + &{b — «)].

— a)],

Für diesen besonderen Fall des ersten Mittelwerthsatzes ergiebt sich unmittelbar die folgende geometrische Deutung.

Der Gleichung y = f{x) entspreche die Curve AB, dann ist der Flächeninhalt der ebenen Figur

Fig. 103.

(16.) AiBiBA =Jf(x)dx.

Da nun der Curvenbogen AB stetig ist, so giebt es zwischen A und B mindestens einen Punkt P, welcher die Eigenschaft besitzt, dass die Gerade PS, welche durch P zur X-Axe parallel gezogen ist, ein Rechteck AyB^SIl bestimmt, welches mit A^B^BA gleichen Flächeninhalt besitzt. Macht man nämlich

A.

<?

B7X

OQ = a + 0(b — a)

so wird in diesem Rechteck

AyBy — b — a, QP =f[a -f- Q(b — a)]

also

b

(17.) AiByBA — ff{x)dx =

AiBiSJR = (3 — «)/[« + 0(b — a)].

§ 56.

Neuer Beweis des Taylor’sehen Lehrsatzes.

Aus den Sätzen, welche in den vorhergehenden Paragraphen hergeleitet worden sind, ergiebt sich ein äussei st einfacher Beweis des Taylor¹¹ sehen Lehrsatzes.

Die Function f(x) sei mit ihren n +1 ersten Ableitungen stetig für alle Werthe von x zwischen a und a + A, dann findet man durch partielle Integration, nämlich nach der Formel

judo = uv — fodu,

(!•)

indem man

also

u— f\a + h — t), dv — dt, du = —f‘\a + h — t)dt, v = t

setzt,

t    t

(2.) Jf\a + h — t)dt = tf\a -f- h — t) + jf“(a + h — t)tdt.

o    b

u = f“(ci + h — t), do —tdt

du = —fu\a + h — t)dt, o =

— t)tdt= ^-yf“(a+h—

Für

erhält man

t

(3.) Jf"(a+h

0

t

f)+ff-

0

dt.

Wenn man in dieser Weise fortfährt, findet man die Glei

chungen

(4.)

0

3!

t)+jfW(a+A

0

-t)yt

(5.) ff'\a

0

tn~¹

tH

(n — 1)!

dt — —j/(w)(a -f- Ä — ź) +

tn

a + h — t)—^dt.

t

Jf[n+lK

0

Durch Addition der Gleichungen (2.) bis (5.) ergiebt sich

daher

t

(6.) jf\a

o

Beachtet man, dass

(70

t

ff‘(a + h — t)dt —

o

—f{a + h — t) +f{a + h)

ist, so geht Gleichung (6.) für t

h über in

(8.) f (a-\-h) =/(«) +

f»

l!

2!

h² +

3!

/W(a)

hn + R,

wobei

h

(9.)

R —ßf(n+l\a + h — t)    dt

o

ist. Nach dem Mittelwerthsatz (Formel Nr. 166 a der Tabelle) ist daher, wenn man 1 — 0 mit 6h bezeichnet,

0h)ß

0

— 7in+lt

(10.) Æ =•/(«+!)(«+À

'tndt_f(n+lXa -f- 0\h)

(n + 1)!

Da 0 zwischen 0 und 1 liegt, muss in diesem Ausdrucke auch 0i zwischen 0 und 1 liegen. Setzt man zum Schlüsse noch a = x und schreibt 0 statt 6h, so erhält Gleichung (8.) die Form

hz

(11.) fix + h) =/(*) + Æ) h + TM v₊ 8!

hn + R

wo

21 _ f(n+lKx + ©Ä)

(12.)

hn+¹

{n + 1)!

ist. Dieses Resultat stimmt genau mit D.-R., Formel Nr. 87 der Tabelle überein.

§ 57.

Gliedweise Integration unendlicher Reihen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 168.)

Sind in der unendlichen Reihe

(1.)

fix) — uo + ul + U1 + W₃ -f- • ■ •

die einzelnen Glieder

(2.)    w₀=/o(«), v\ =/i(?),    w₂=/₂(*)

w₃ =/b(*),...

stetige Functionen von so war in § 56 der Differential-Rechnung (Seite 259) der Begriff der gleichmässigen Cornergenz folgendermassen erklärt werden:

„Vie Reihe

Mx) +ffx) +Mx) h—

heisst in dem Intervalle von a bis b gleichmässig convergent, wenn zu jeder beliebig Meinen Grösse e eine ganze Zahl m so bestimmt werden kann, dass für nlj^m der absolute Betrag von Sń+p(x) — Sn(x) und deshalb auch der absolute Betrag von Ru(x) Meiner bleiben als s, welchen Werth x auch in dem Intervalle von a bis b haben mag.“

Dabei ist

(3.) Rn{x) =f(x) — Iffx) +j\{x) +fjx) + • • • +/»_,(*)], oder

(4.) f{x) =f₀(x) + fjx)    fiix.) + ••• -jfn-lix) + Rn{x).

Daraus folgt

Da sich ans Gleichung (3.) ergiebt, dass auch Bn(x) für die betrachteten Werthe von x eine stetige Function ist, so kann

b

für die Berechnung von f‘Bn(x)dx den in Formel Nr. 167

a

der Tabelle ausgesprochenen Mittelwerthsatz anwenden, nach welchem

man

6

JBn(x)dx =

(b — d)Bn\a -f- 0(b

ist. Macht man die Voraussetzung, dass die vorgelegte Reihe in dem Intervalle von a bis b gleichmässig convergent ist, so wird Bn(x) für alle Werthe von x zwischen a und b beliebig klein, wenn n (gleich oder) grösser als m ist, folglich wird auch Bn[a + 0(b — «)], und da b — a eine endliche Grösse ist,

h    b

auch fBn{x)dx beliebig klein. Man findet also ff{x)dx

(6.)

a)]

, indem

man die einzelnen Glieder der Reihe uQ=f₀{a.•),    =ft(x),

b

. integrirt, denn der Rest jRn(x)dx

, welchen man

U-2    ■ •

bei Berücksichtigung von n Gliedern vernachlässigt, wird für hinreichend grosse Werthe von n beliebig klein. Dadurch erhält man den folgenden

Satz. Sind die Functionen u₀,    u₂, u₃,... für alle Werthe

von x zwischen a und b stetig, und ist die Beihe

f GO = uo + Ui u₂ -j- us + • • •

in dem betrachteten Intervalle gleichmässig convergent, so ist auch die Beihe

b    b    b

(u^dx +fUldx + Ju₂dx + •••

in diesem Intervalle gleichmässig convergent, und ihre Summe

b

ist gleich Jf(x)dx.

a

Dabei darf man noch die obere Grenze mit x bezeichnen, so dass sich ergiebt

ff(x)dx — fu₃dx + fuydx + fu<idx + • • -.

a    a    a    a

Dieser Satz hat schon in der Differential-Rechnung bei der Methode der unbestimmten Coefficienten Anwendung gefunden (D.-R., § 47).

Damals setzte man

(8.) f(x) — A -f- Axx + A₂x² -f A₃x³ + • • • + Anxn + R, also

(9.) f\x) = Ai + 2 A₂x -f- 3A₃x² + ••■-)- nAnxn~l -f-

dz

Wie die Gleichung (9.) aus Gleichung (8.) hervorgeht durch Differentiation der einzelnen Glieder, so findet man umgekehrt die Gleichung (8.) aus Gleichung (9.) durch Integration der einzelnen Glieder zwischen den Grenzen 0 und x, und zwar erhält man dadurch f(x)—/(0), woraus sich für A der Werth /(0) ergiebt. Dabei erhielt man den Satz: Ist für hinreichend

dJR

grosse Werthe von n die Grösse —=- beliebig klein, so gilt das-

CL0£

selbe auch von R.

Man erkennt, dass dieser Satz nur ein besonderer Fall des eben bewiesenen Satzes ist, denn, während es sich damals nur um Potenzreihen von x handelte, sind jetzt «₀, «i, u₂,... beliebige stetige Functionen von x.

Die Beispiele, welche bei der Methode der unbestimmten Coefficienten in der Differential - Rechnung gegeben wurden, nämlich die Entwickelung von

(10.) ln(l -f x) =

(11.) arctg# = j — — -j-

, s    . x 1 x³ 1.3

(12.) arcsinz = T + ~- + —

für — 1 x ^ -f 1 nach steigenden Potenzen von xy eignen sich daher auch als Beispiele für den vorliegenden Satz.

dR

x?

---1--

2    3

— +----für — 1 <x^+l,

+----für —1    + 1»

1.3.5

2.4.6

niscate

(13.) r² = a²C0S(2y>) berechnen (Fig. 104).

Fig. 104.

\A

Auflösung. Aus Gleichung (13.) folgt

rclr = — a? s\\\(2(p)d(p

oder

(14.)

dcp

dr a²sin(2<p)

ri

a⁴

(16.)

ds =

cddr

]/«⁴-?'⁴

«⁴sin²(27>)

a⁴—r⁴

«⁴—r⁴

Setzt man

so wird

(17.)

s = al_

Jn-t*

dt

(18.)

Da /⁴ ^ 1 ist, so wird nach dem binomischen Lehrsätze

1.3.5 Ź . 4.6

]/i—^⁴

= (1-*⁴)    2-₌₁₊^4 ₊

*⁸ +

also

(19.) s — -f

rH |(N

Io

I GS

1.3.5 t¹³

2.4.6 13

1 r⁵ 1 . 3 r9 ⁺ 2 5ö~5 + 2 4 9ttö

1.3.5

^•13

2.4.6 13«¹³

*fy i + x³

0,5

Auflösung. Nach dem binomischen Lehrsätze ist

Aufgabe 2.

dx

1.3

1.3.5

2.4.6

so lange — 1 < x < +1 ist. Deshalb kann man diese Entwickelung nur benutzen, um

¹—y

fy-^X = lim f~jtL=z

JY 1 + x³    r=oJ]/l H- x³

0,5    0,5 r

zu berechnen; dabei findet man aus Gleichung (20.)

(21.)

r dx___

Jyi x⁹

0,5

~x 1 z⁴ 1.3 x¹ 1.3.5a;¹⁰

1 “ 2 4 ⁺ 274 7'_ 27176 10

lim

y=0

-*0,5

Da die Reihe in der eckigen Klammer auch noch für x = 1 convergent bleibt, so erhält man

¹ / , , = 1 Jyi + x³

0,5r

2.4

CM

rH

1.3.5

2.4.6 . 10

1.3.5

2.4.2⁴

2.4.6.10.2¹⁰

—+ ....

2.4.7.2⁷

Die Entwickelung in Gleichung (20.) gilt nicht mehr, wenn x > 1 ist. Nach dem binomischen Lehrsätze wird aber, wenn I à ! > I a I ist

I a3£m—3_|_

(23.) (a+b)m = (^abm~l + (™₎^a²bm-² +

(24.)

Setzt man also in dem Falle, wo x > 1 ist, a — 1

b = x³,

so wird die Bedingung, dass | b | > | a sein soll, erfüllt, und man erhält

4- •••

(25.) (1 + x³)m = x3m ^ (^^x3m~³ + (^^x3m~⁶    (^^x

also für m — —

rH    r-H

rH

1    1    1.3 _1

]/.t³    2 1/^9 ⁺ 2.4 yxTf>

.3.5

2.4.6 y

r-i

Dies giebt

(27.)/

,. fdx

__= lim /-—=

j/i -f- x³ 0=0 .jyx⁶

dx

1+ â

' dx 1.3 fdx

j/xö 2 •yXXb H-«r

oder

fdx 2.4. GJYtf ï

i+cT

1.3.5

= +---

■]

2    1    ²    _ 1^3

2 ₇]/^    2.4 13]/^

QQ

.    — lim

y 1 -f- x³ (J=o L_ y x

1.3.5 _2

• 4 6 19]7P

Da die Eeihe in der eckigen Klammer auch noch für x=l convergent bleibt, so erhält man

Ji+j

(29.) y

dx

yfi + *³

/    11    1.3    1

~ ~ V¹ “ 2 7.43 + 274 ÊTA⁶

+ 2(X~2T7 ⁺

1.3.5    1

2.4.6    19.4° 1.315

2.4.6.19

+---

■)

-)•

2.4.13

Durch Addition der Gleichungen (22.) und (29.) erhält man schliesslich das gesuchte Integral

(30.)

/’ dx

-A—

0,5

0,5

]/l -j-

f dx

/

]/l -f- X³

§ 58.

Berechnung der elliptischen Normalintegraie erster und zweiter Gattung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 169 bis 176.)

Das in dem vorhergehenden Paragraphen angegebene Verfahren kann man auch zur Berechnung der elliptischen Normal-

integrale erster und zweiter Gattung benutzen. Das elliptische Normalintegral erster Gattung, auf welches sehr viele Aufgaben der Geometrie, Physik und Mechanik führen, hat die Form

dx

1-) (1 — k²xl)

wobei k² < 1 und x ^ 1 sein mögen. Dann erhält man zunächst nach dem binomischen Lehrsätze

1.3

2T4

(1.)

== 1 + ^ k²x² +

y 1 — k²x²

oder, wenn man der Kürze wegen 1.3

äTV *

(2.)

k⁴X⁴ +

..cn =

1.3.5

2.4.6

keX⁶ + • •

1.3.5... (2n — 1) 2.4.6 ... (2n)

setzt.

1 + cxk²x² + c₂k⁴x⁴ 4- c₃k⁶x⁶ -f- • • •.

(3.)

y 1 — k²x²

Nach Satz 6 in § 57 der Differential - Rechnung ist diese Potenzreihe gleichmässig convergent für — 1 ^ x "SL -f- 1, folglich ist auch die Reihe

(40

X⁴

Y( i—x²){i—k²x²) yr^²⁺Clk yr^x²⁺Cik yr^x²

+ c₃k*

+ •••

yi—x²

in demselben Intervalle gleichmässig convergent. Deshalb wird

dx

dx

^ fy{ 1—x²) (i — k²x²) o yi—**

x²dx

x⁴dx

+ c^k⁴ f—--

Jy i — x¹

0

c₃k⁶j

x^dx

jy 1—x²

0

+ •••

' x2ndx

X

r dx

JVT=*

0

n= 00    r

(6.)

Nun ist aber nach Formel Nr. 116 der Tabelle r x2ndx

h

cn arc sin x — Gn{x) . ]/l — #²,

wobei Gi(x) —

„ , v X³ 3.    (1 X³ x\

Gl(x) = J+—    =c^-_ + rj,

5.3.x

= C\X

x⁵

Gz(x) — ~w +

toi &

5. x³

6.4.2

= + \C₂

» h-

x³ #\

s⁺r4

allgemein (7.) Gn{x) —

(2n—l)x2n~³

(2 n—1 )(2n— 3). ..3.x

(2n) (2n — 2)

(2n) (2n — 2)... 4.2

2n—l

/ 1 X

°n \cn_i 2n— 1 Deshalb erhält man

g2n—3

Cyi-—2 2TI "    3

4-----h

⁰⁸

i—l &

)•

(8.)

X

fv {i — X²) (i — tfx²)

dx

/ n=oo    \

(1 4- 2 4^2n)

\    W=1    /

arcsin#

n=oo

»1=1

Von besonderem Interesse ist der Werth dieses Integrals, den man für x — 1 erhält und mit K bezeichnet. Es wird nämlich

i

(“•) K=k

dx

— lim

}■

dx

J y(l — x²) (1 — k²x²)    /S=<y ]/( 1 — #²) (1 — /fc²#²)

/    M=00    v

=    (1 + 2 cnk2n)

\    OT=1    /

¹-⁸-⁵)V+..:.

oder

2.4.6

Noch häufiger wird man durch Aufgaben aus der Geometrie, Physik und Mechanik auf elliptische Integrale zweiter Gattung geführt, die man auf die Normalform

dx

bringen kann. Hier wird nach dem binomischen Lehrsätze

- ———- kixi 2.4

k²x²

Cl ~n—

(11.) Vl — k²x² = 1-hv

2.4.6

kGxG —

kixi kGxG

oder

(12.)

_ oo hinein

Vi — *»*«=1 — 2«.

n= 1

also

(13.)

Y L — /c²x²

y i—x²    y i — xi

■n=z

cnk2n

X2n

n= 1

2«—i yi—x²

Da diese Reihe zwischen den Grenzen 0 und x gleichmässig convergent ist, so erhält man

X

_ f dx

7 l

*y\ —- kLxi j dx

x2ndx

c»&n f

2t* iyi/i — x2 0

also nach Formel Nr. 116 der Tabelle, nämlich nach Gleichung (6.),

(ii.) f

ov

y i—x¹

y i—x²

n=

n=l

(15.)

Vi—t²*²,

dx

J' yi—x²

0

— (i    °^n

\    n—

i)

arcsin r

n=

4- yi—x² s

oo

n=i

2)n—1

Gn(x).

Für x — 1 ergiebt sich hieraus der Werth des Integrals, den man mit E bezeichnet, 'nämlich

(15 a.) E —J

• VI — k²x²

_ 7t /    c%k2n

~ 2V _ ài 2n—

i)

t-h CO

= (i—Cl² # — cw—^ c₃²^⁶ — y

b²x² + ös²^/² — «²£² = 0

geführt (vgl. Aufgabe 2 in § 27). Aus Gleichung (16.) folgt nämlich

Auf ein solches Integral wird man z. B. bei der Rectification der Ellipse (16.)

(17.)

dy

bx

dx

a]/a²—x²

(ds^v²_

\dx)~

a⁴ — eLx¹

a²(a² — a;²)

also

(18.)

1 fdzf a⁴ — e'²#²

Vß2 — #²

o

Setzt man jetzt

(19.)

x = at, e = ak,

SO wird

(20.)

s = af

o

dt Vl — kH²

Yi—t²

wobei die Bedingungen

(21.)

t rA 1 und k < 1

wirklich erfüllt sind. Der Bogen s wird also, vom Factor a abgesehen, dem in Gleichung (15.) berechneten elliptischen Normalintegral zweiter Gattung gleich, nur muss man die Inte-

CC

grations-Veränderliche x mit t — - vertauschen.

a

Die in den Gleichungen (8.), (10.), (15.) und (15 a.) angegebenen Reihen convergiren nur langsam. Für die numerische Berechnung sind daher die folgenden Entwickelungen geeigneter. Setzt man

(22.)

also

(23.)

so wird

§ 58. Berechnung der elliptischen Normalintegrale. x = sin tp, k = sin «,

dx = cos tp dtp,    ]/1 — x² = cos tp

X

(24.) f-_____

Jy( 1—x²) (1 — k²x²)

dx

=\-

f i/

dtp

v/

j/l — sin²« sin²tp

und

(25.) I

also

oder

v

=J]/1 — sin² a sin²<p. dtp — E(k, tp).

o

(f)+dn,GD=i-

(|)+ 2cos’(|)sin’(f) + sin⁴ (—) = 1,

(0 4- sin² (0 . e²⁽pi^ • [cos² (0 4- sin² (0. e-*v*j (0 + sin⁴ (0 + cos² (0 sin² (0. (e²^ + e~²^)

' y\ — k²x² ₇

-—    • dx

yi—x²

Nun ist bekanntlich

(26.)

COS²

cos⁴

cos⁴

sin²«

Daraus folgt

cos²

= cos⁴

= 14- ^sin²«(e²^* — 2 4- e⁻²^⁴) = 1 — sin²«sin²<p

oder

(27.)    1 — sin²«sin²<p =

COS⁴

©[■+«■©

. e2rP*

Wenn « zwischen 0 und ~ liegt, so ist tg²(0 dem ist der absolute Betrag von

< 1 ; ausser-

e±2Vi __ cos (2çp) ± *sin(2y) cos²(2y) 4- sin²(2y) == 1, folglich kami man

. e+2<P*

und

+ tg2(!)

nach dem binomischen Lehrsätze entwickeln und erhält, wenn

man der Kürze wegen tg

mit e bezeichnet,

(1 + ćW)m = 1 + ć W' + Q) e⁴ei(P‘ + Ç^a⁶e⁶⁽pi 4----

2<p*' + (^)ć4e~4f/)i +

(1 + ć²e-²^')m = 1 +

ó²e~

s co

£6e-6<pi_]----₋

Indem man diese beiden Gleichungen mit einander multi-plicirt und dabei die Kegeln anwendet, welche (in D.-;K., §[55 und 106, vergl. auch D.-K., Formel Nr. 114 der Tabelle) für die Multiplication zweier unbedingt convergenten Reihen Wo -j- Wi “b W2 “f- ■ • • und t‘o -f~ &i ~h ~h * ■ ■ gegeben worden sind, so erhält man, weil el(Pl + e-W = 2cos(2y)

(1 + s²e2<Pi)m (1 + £²e-²9>‘)w =

ist, die Gleichung (28.)

1 + (T)fi2 * 2C0S(²9,)+£4[(?9)2C0S(⁴y)

[(“)2coS(6ÿ) ₊ (”)(“)2coS(2,)]

4- f-⁸

4- «10 T~ * •

oder, wenn man die Glieder vereinigt, welche mit cos(2Âçp) rnulti-plicirt sind, und Gleichung (27.) beachtet,

(29.) (1 — sin²asin²y)m =    4- 2MiCOs(2</?) 4- 2M₂cos(4<p)

4- 2^3 cos (6<p) 4----.

[(”)₂coS(8ÿ) +(7)(”)2coS(^) +(”)]

[QaccdO,) + (7)(”)2coS(6₉,) + (")(" )scw(«»)

allgemein

£2H-4

Dabei wird, wenn man

/rn\

\o)

— 1 setzt.

©b (7)

©LÖ".

'■©[(7>’⁺(7)G>‘⁺(7)(7)

¹⁷¹ \

\2j

m A - ~-«X(7>'⁺(7X7>-HX>“+••

\2j tto\nJ\n + 2j

(30.) A₀ = cos

fi¹² + • • •

= COS⁴"*

(31.) At = cos

e¹⁰ + ••

•]

= COS

£2+4n?

•]

= cos4m

£4+4m

i..., a -«-©to+(7)c:,)

= COS

4    /«Y^/mW m \

\2/Äo \nj\v + n)

£2r-f4w

tOI £

Wenn s = tg

hinreichend klein ist, so sind die Grössen

A durch stark convergente Eeihen ausgedrückt.

Die durch Gleichung (29.) dargestellte [Reihe ist gleich-

f

massig convergent, so dass man J (1 — sin²« sin²(p)md(p erhält,

o

indem man die einzelnen Glieder der Reihe integrirt. Dies giebt

<p

(34.) /(I — sin²« sm²(f)md(f = o

A()(f 4—y sin(2çp) + --- sin(4<jp) + -^sin(6<jp) + •••.

x    (p

dcp

= F(k, cf)

f dx ₌l _

JV( 1—x²){l—k²x²) J]/1—sin'²« sin²r/)

und

*Vl — k²x² »

dx

J* y i—x²

0

<p

=fyi

0

— sin²«sin²<p = E(k, cp)

als besondere Fälle enthalten.

Zur Entwickelung des elliptischen Normalintegrals erster Gattung F(k, cp) hat man daher in den Gleichungen (28.) bis (34.) m — — \ zu setzen und erhält

(35.) (”) =

= — Ci

2.4

1.3 ... (2» — 1)

2.4... (2n)

= db cn.

Setzt man in diesem Falle Aq = a₀

so geht Gleichung (34.) über in

Ai — — cii.

.. . An — ( 1 )n&n ,

fyi — sin²« sin²cp

= a₀cp —y sin(2<5p) + sin(4y) — j sin (6<p) -f--•

wobei nach Gleichung (30.) bis (33.), wenn man c₀ — 1 setzt,

(36.) F(fc, cp)

dep

(37.)    «₀ —

(1 + Cy² 6⁴ + c₂² 8⁸ -f c₃² e¹² + • • •)

COS²

n=oo

= (1 + s²) 2 0«²e⁴%

n=0

(38.) Cly =

COS²

{Cy8² + CyC₂e⁶ + C2C3S¹⁰ -F •••)

n=00

= (1 + e²) 2 cncn+i£²+4m, »1=0

91 — 00

— (1 + £²) 2 CnCn+2 ^+in

91=0

Allgemein ist

91=00

(40.)

(39.) a₂ =

cos²

(C₂£⁴ + CtC₃£⁸ -f C₂C₄£¹² H----)

av = (1 -f 6²) 2 c,wcw+re2,,+4w.

n=0

Man braucht aber nur a₍₎ und durch diese Eeihen zu berechnen, denn aus der Gleichung

(41.)

Y1 — sin²« sin²<y

= «o — 2«i COS(2çp) + 2a₂cos(4<p)

— 2a₃ cos(6</>) + -----

folgt durch Differentiation sin²« sin cp cos cp V(1 — sin²« sin²</>):

(42.)

= 4«i sin (2(f) — 8a₂sin(4<£>)

+ 12«₃sin(6</>)--b •••.

Wenn man beide Seiten dieser Gleichung mit

(43.)

2(1 — sin²« sinV) _ 2 — sin²a + sin²« cos(2cp)

sin²«

sin²«

_ 2 — sin²« sin²«

multiplicirt und der Kürze wegen 2 — sin²« 1 + sin²«

+ cos(2</>)

(44.)

2 £²

_ — (— 4 art + 4a₂) sin(2y)

-f- (2«i — 8a₂c, -j- 6a₃)sin(4<p)

—    (4«₂ —- 12a₃b ~b 804) sin(6</>) + (6a₃ — 16 a£ + 10a₅)sin(8^)

—    +...........................

(45.)

setzt, so erhält man, weil 2 sin {2i(p) cos (2g>) bekanntlich gleich sin (2/1 +2)(p + sin(2/l — 2)cp ist, sin(2<p)

V1 — sin²« sinV'

Andererseits ergiebt sich, indem man beide Seiten der Gleichung (41.) mit sin(2<p) multiplicirt und die bekannte Formel 2 sin(2<p) cos(2/L^) = sin(2Ä + 2)cp — sin(2A — 2)tp

anwendet.

(46.)

sin(2<jp)

= — («2 — ö₀)sin(2y) + (a₈ — ai)sin(4çp) a₃)sin(8y)--1----.

Aus der Vergleichung der Coeflicienten in diesen beiden sin(2<jp)

]/1 — sin²« sin²<p

y 1 — sin²« sin ²cp

— («4 — a₂)sin(6<p) -j- («5

Entwickelungen von

findet man

—    4«i£    +    4ö₂j

a₃-«i = 2«i    - 8a₂C,    "l“    6«3,

a₄ — a₂ = 4a₂    —    12a₃£    -j-    8a₄,

C/5- «3 = 6«3    '—    16«4t    -f-    10«5 ,

a₂ — a₀ =

folglich wird

(47.)

3a₂ = 4atC— a₀, 5 «₃ = 8a₂£— 3a !, • 7 a₄ — 12a₃£ — 5a₂, 9a₅ = 16a₄£ — 7a₃,

allgemein erhält man also für n 2

(2 n — 1 )an = 4 (n — 1 )aw_i£ — (2rc — 3)aw_₂.

(48.)

Zur Entwickelung des elliptischen Normalintegrals zweiter Gattung muss man, wie aus Gleichung (25.) hervorgeht, in den

Gleichungen (28.) bis (34.)

= -f — setzen und erhält

2.4

g CC

1.3

2.4.6

=+?

allgemein

(50.)

n—1

Cn—1

Setzt man in diesem Falle

(51.) A₀ = bo, Ai    A-2 = —b₂, A₃ = -f-b₃,... An = (—1 )n~lbn,

so gehen die Gleichungen (29.) und (84.) über in (52.) Y1— sin²«sin²^ = b₀ + 26iCOs(2<p) — 2£₂cos(4<p)

H~ 2£₃cos(6<p)--f- • • •,

<p ___

(53.) E(k, (f )=J Y1 — sin'²« sin'²9?. dcp

o

bi

b₂

(54.)

= b₀(f + y sin (2(p) — — sin(4y) + sin^y) — Dabei ist nach Gleichung (30.)

*—“■©(‘+J+ÿ-+ÿ-+-)■ 1 / K=c = IT7’(1 + £4I

+ ....

oo    c4n

-,    t- R. C

0-

(2 n + 2)

Man kann aber die Grösse b₀ auch durch a₀ und a{ aus-drücken. Es ist nämlich nach den Gleichungen (37.) und (38.)

n=oo

(38 a.) ai = (1    £²)«² 2 cncn+is4n;

ferner ist

n=0

(55.)

k² = sin'²« =

4tg2(l)

4ć²

(56.)

2(1 + £⁴) (1 + £²)² ’

Daraus folgt

9 r    n=oo

(57.)    (2 — y£²)a₀ = — ^ 1 + e⁴ 2 0?«+i + c^)«4re

(58.)

>£²ai =

2£4 n=oo

also

1 -f £²

21 £4w,

n=0

(59.)    (2 — ^²)«o — Æ²«i =

9 r    n=oo

l+j2l1 + £4 S(ßn —Ch+l)²«⁴” *

)4=0

Nun ist aber

2n + 1 2n + 2

deshalb geht Gleichung (59.) über in

O r    w=o

(61.) (2 —    ,[l + é 2

(60.) cn+i —

cn j

also

2rc + 2 ’

w=0

(2» + 2)²

c4wJ = 2ö₀.

Auch die anderen Coefficienten bi, b₂, b₃,... kann man sehr einfach durch die Grössen a₀, a1} a₂,... ausdrücken. Durch Differentiation der Gleichung (52.) findet man nämlich sin²«sin#>cos#>

Y1 — sin²« sin²#>

(62.)

46isin(2#>) + 8ö₂sin(4#0

— 12£₃sin(6#>) H-----;

ausserdem folgt aus Gleichung (46.)

sin²«sin#)cos#) k² r. . . ,    .    ,    ^    .

T/===== = ^ [(«2—tf₀)sm(2#)) — (% — «0 sm(4#>) Y1—sm²«sin²#) *

+ (a4 — aï) sin(6#>)--f- • • •],

(63.)

folglich erhält man

8bi = k²(a₀ — a₂),    16b₂ = k²(at — a₃),    24b₃ = k\a₂ — a₄),,

allgemein

(64.)

Setzt man also a₀ — a₂ = 2²^ Bi , allgemein

«i — a₃ = 4². B₂,

a₂ —- a₄ = 6². B₃,..

(65.)

— (2w)²J5w j

so wird

/i-²

(66.) Ô! = --Bn — = folglich geht Gleichung (53.) über in

<p _

(67.) E(k, (f)=jyi — sin²«sin²#». dcp

o

k²

— bö(p + — [Ąsin(2#?) — ^₂sin(4#)) + j5₃sin(6#>)--

Von besonderem Interesse sind die Wertlie der beiden Inte-

Tt

grale F(k, <p) und E(k, <p) für cp = -¹ ? die man bezw. mit Kund

LJ

E bezeichnet. Nach den Gleichungen (36.), (53.) und (61.) wird

dtp

(68.) K F{k, ₂) fyY— sin²« sin>

a₀7t

= E(kĄ)=fv~,

0

— sin²« sin²<£ . dcp =

= ~ [(2 — &²)a₀ — &²«i] •

Eine kurzgefasste Tabelle der Grössen K und E, F(k, cp) und E(k, (p) findet sich im Anhänge dieses Bandes.

(69.) E

Beispiel.

Die angeführten Reihen convergiren um so schlechter, je mehr sich k = sin« dem Werthe 1 nähert. Wenn also in dem folgenden Beispiele

(70.)

1-yi — k*

= 0,5

k = 0,8, £ =

gesetzt wird, so möge hervorgehoben werden, dass die Rechnung für kleinere Werthe von k noch einfacher wird. Hier erhält man

6¹² = 0,0002 4414 e¹« = 0,0000 1526 £2o — o,0000 0095 g24 — 0,0000 0006 ;

cic₂ = 0,1875 c₂c₃ = 0,1171 875 c₃c₄ = 0,0854 4922 c₄c₅ = 0,0672 9126 c₅c₆ = 0,0555 1529 c₆c₇ = 0,0472 5409.

1 + £² = 1,25

ferner ist

(1 + £2)£2 ₌ 0,3125 £4 = 0,0625 £8 = 0,0039 0625

ct² = 0,25 c₂² = 0,1406 25 c₃2 = 0,0976 5625 c₄² = 0,0747 6807 c₅² = 0,0605 6214

Daraus folgt

(71.) «0 = (1 + s²) (1 + d²«⁴ + «₂²«⁸ + ..•) = 1,2702 4920, (72.) ai = (1 + £²)«²(«i + clc^si -h c₂c₃s⁸ + • • •) = 0,1600 6202.

Aus den Gleichungen (47.), nämlich aus den Formeln (73.) 3«2—⁼ 4«,£— «₀, 5«₃ —- 8«₂£-—'3«i, 7 «₄ — 12«₃Ç    5«₂,..

wobei

(74.)

trf

2 — Æ² 2 — 0,64    17

k²

0,64

ist, findet man

(75.)

a₂ — 0,0300 9265 «₃ = 0,0062 7780 «₄ = 0.0013 7439 «₅ = 0,0003 0941 «₆ = 0,0000 7093 . «₇ = 0.0000 1647

«₈ = 0,0000 0386 «₉ = 0,0000 0091

«io = 0,0000 0021

«ii = 0,0000 0005

«i2 ⁼ 0,0000 0001.

Es darf nicht verschwiegen werden, dass man diese Werthe aus den Gleichungen (47.) nur dann findet, wenn man noch einige Decimaisteilen mehr berücksichtigt. Bei derartigen recur-rirenden Formeln werden nämlich die Fehler, welche durch die Vernachlässigung der folgenden Decimalstellen entstehen, im Allgemeinen bei jedem späteren Gliede grösser. Wenn z. B. die letzte Decimalstelle in «₀ und «i auch nur um 2 Einheiten unsicher ist, so wird in der Gleichung

3«₂ = 4«i£ — a₀

«i (und deshalb ^auch der Fehler von «i) mit 4£ = 8,5 multi-plicirt, so dass 3«₂ um 19 Einheiten, «₂ selbst um ~ Einheiten in der letzten Decimalstelle unsicher ist. Die Grösse «₃ wird um etwa 23, «₄ um etwa 172 Einheiten unsicher. So steigert sich die Unsicherheit mit jedem späteren Gliede ausserordentlich schnell, weshalb die vorstehenden Resultate nach .'Gleichung (40.), nämlich nach der Formel

n=co

av — (1 + s²) 2 cncv+ns2v+4n

n=0

berechnet sind. Sodann findet man aus den Gleichungen

16l?2 = «i — «3

36I?3 = «2 - «4, ...

Bb = 0,0000 1303 Be = 0,0000 0203 B’i = 0,0000 0034 B$ = 0,0000 0006 B§ = 0,0000 0001.

2b₀ = (2 — k²)a₀ — Æ²«i = 1,36 . a₀ — 0,64«! 42?i = «o — «2,

(76.)

' bo = 0,8125 4961 Bt = 0,3100 3914 B, = 0,0096 1151 i?₃ = 0,0007 9773 . i?₄ = 0,0000 9326

Daraus folgt dann

(77.)

= F(k> )

(78.)

= 1,9953 0278,

Æ = Æ(⁴’I) = T

Soll z. B. bei der Bectification der Ellipse mit den Halb-

= 1,2763 4994.

axen

a = 10

der Quadrant q berechnet werden, so erhält man e = 8, also

ß

— = 0,8 und nach Gleichung (20.)

(k,    = 12,763 4994.

- = aE

(79.) q = a —v—--

o '

Zur Prüfung dieses Besultates beachte man, dass der Quadrant des Kreises mit dem Halbmesser « gleich 15,7079 633, und der Quadrant des Kreises mit dem Halbmesser b gleich 9,4247 780 ist.

§ 59.

Differentiation der integrale.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 177 bis 179.)

Nach Formel Nr. 4 der Tabelle war ein bestimmtes Integral durch die Gleichung

(1.)

b

J = fF\x)dx = F(b)

-na)

erklärt worden. Man kann daher J als eine Function von a und b betrachten und erhält

(2-)

ÖJ

Qj Oi

also

(3.)

d^ = ~F>]

b

dJ — dfF\x)dx = — F‘{a)da + F‘{b)db

oder, wenn man F\x) mit fix) bezeichnet,

b

(3 a.)

dJ = djf{x)dx = —f{a)da + f(b)db.

Ist die Function unter dem Integralzeichen ausser von x noch abhängig von einem variablen Parameter t, ist also

(4.)

F‘ix) =fix, t), J =/f(x, t)dx,

so ist auch das bestimmte Integral J eine Function von t. Die Integrationsgrenzen a und b seien zunächst unabhä?igig von t, dann wird J übergehen in J 4- 4J, wenn t um dt wächst, wobei

(5.)

J -f- 4J = ff{x, t + 4t)dx

a

ist. Aus den Gleichungen (4.) und (5.) folgt daher

b    b

(6.)

4J = Jf{x, t 4- dt) dx —-Jfix, t)dx,

a    a

b

=J[f(x, t + dt) —f{x, t)]dx,

(7.)

ff(x, * 4- dt) —fjx, t)

4t J 4t

dx\

folglich erhält man, wenn dt verschwindend klein wird,

(8.)

ÖJ

dt

Cb

dx.

Sind die Integrationsgrenzen a und b gleichfalls Functionen von t, so wird nach D.-R., Formel Nr. 214 der Tabelle

(9.)

dj ßj da    dJ db    ÖJ

dt    da dt ^ db dt    dt ’

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (2.) und (4.)

dJ

<¹⁰-> dt

da

<3/0, t)

db f

J St

dx.

Ist J das unbestimmte Integral einer Differential-Function f{x,t)dx, welche noch einen variablen Parameter t enthält, so kann die Intégrations - Constante C gleichfalls noch von dem Parameter t abhängig sein, so dass man erhält

J =/fiX, W* + (fiiß) 5 wobei (f{t) eine ganz beliebige Function von t ist. Wächst t um dt, so geht J über in

J -j- dJ=Jf{x, t + dt)dx + (fßt 4 dt)',

(11.)

(12.)

folglich wird

(13.)    JJ = J [fix, t 4 dt) —f{x, t)]dx 4 <p(t 4 dt) — (f{t)

also

(14.)

dJ

= lim — = fsmJi

dt dt J dt

dx 4 (p‘f) •

jt—o

Da (fit) eine ganz beliebige Function von t ist, so gilt dasselbe von fff), d. h. fff) spielt auch in Gleichung (14.) die Rolle einer beliebigen Intégrations - Constanten, so dass in Gleichung (14.) der Satz ausgesprochen'ist: Ein unbestimmtes Integral wird nach einem variablen Parameter differentiirt, indem man die Function unter dem Integralzeichen nach diesem Parameter differentiirt.

§ 60.

Berechnung bestimmter integrale durch Differentiation.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 180 und 181.)

Aus Formel Nr. 28 der Tabelle, nämlich aus

=ïarctK«)’

< ) /Ä

folgt durch Vertauschung von a² mit t

oo

(2.)

f dx

Jx¹ +1    i/7

0

Indem man beide Seiten dieser Grleichung nach dem Parameter t differentiirt und mit —1 multiplicirt, erhält man nach Formel Nr. 178 der Tabelle

OO

(3.)

dx

tyt

Wenn man beide Seiten dieser Grleichung nochmals nach t differentiirt und durch —2 dividirt, so ergiebt sich

(x² + tf

OO

(4.)

1.3    J.

2.4    * t² Yt 2

TC

(5.)

Durch Fortsetzung dieses Verfahrens findet man

OO

f dx

Jv

o

(^² + ty

1.3.5    _    1

2.4.6    ’ 13 y J

oo

(6.)

/“ dx

J(x² + *)"

o

TC

02

u>

JL

oder

oo

(6 a.)

1 . 3.5 ... (2n — 3)

(a² + z²)M

2.4.6 ... (2» — 2) a2n~l 2

Aus

(7.)

je~txdx = —

t. etx

folgt für positive Werthe von t

oo

(8.)

~txdx = -■ •

Indem man beide Seiten dieser Gleichung nach dem Parameter t differentiirt und mit —1 multiplicirt, erhält man nach Formel Nr. 178 der Tabelle

OO

(9.)

. xdx —

und wenn man dieses Verfahren wiederholt,

OO

(10.)

fe~tx

. x-dx —

'S.! *

OO

(11.)

. x*dx =

1.2.3

OO

(12.)

. xndx =

tn+¹

§ 61.

Berechnung der Werthe von einigen bestimmten Integralen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 182 bis 184.)

Zur Berechnung eines bestimmten Integrals ist es nicht immer erforderlich, vorher das unbestimmte Integral zu ermitteln; es sind dabei vielmehr häufig Vereinfachungen möglich, wie man aus den folgenden Beispielen ersehen kann.

Nach Formel Nr. 101 der Tabelle ist

(!•)/

cos '2nxdx = sina;

— cos2,l_1a: -f-

2w

2)

(2^—l)(2n— 3) ...5.3 2n(2n—2) ...6.4.2

COS a:J -f-

2n{2n

(2n — l)(2n — 3) ... 5.3.1 _ 2n(2n— 2) ... 6.4.2

da nun

(2.)

sinO ■= 0, cos

ist, so wird

(3.)

2

Jc,OS2nxdx = o

(2n— 1) (2n — 3) ...5.3 . 1 2n (2n — 2)... 6.4.2

In ähnlicher Weise ergiebt sich aus Formel Nr. 104 der Tabelle, nämlich aus

sin*nzdx = — cosa:    sin2w_1a: -f

⁽⁴° ß

2n(2n — 2)

sin²«-³^ -f. ...

(2n— 1) (2n— 3)... 5.3 2n(2n — 2) ... 6.4.2

das bestimmte Integral

sina: +

(2n —1)(2» —3)... 5.3.1 2n(2n — 2) ... 6.4.2

a:,

J&VÛLnxdx

_ (2n — 1) (2n — 3)... 5 - 3 . 1 2 n (2 n — 2) ... 6.4.2

Die Formeln Nr. 101 und 104 der Tabelle, deren Herleitung immerhin mit einigen Schwierigkeiten verknüpft ist, braucht man aber gar nicht einmal zur Berechnung dieser bestimmten Integrale; man findet vielmehr weit einfacher aus Formel Nr. 100 der Tabelle, nämlich aus

r- COS²*¹“¹ a: sin a: -f-

(5.)

(6.) fc

COS2,ia^/a: =

Dm--«*

das bestimmte Integral

(7.)

•2

Jcös2nxdx =

o

3<r

cm-n~-xdx,

weil das erste Glied auf der rechten Seite von Gleichung (6.)

an der oberen und an der unteren Grenze verschwindet. Indem man n mit n — 1 vertauscht, geht Gleichung (7.) über in

7t

Tt

(8.)

2

/cos2,i

0

~¹ 2 xdx

2

2/cos¹«

0

—*xdx.

In dieser Weise kann man fortfahren, bis man endlich die

Formeln

71

7t

7t

Tt

2

(9.) fc 0

cos *xdx

cos¹# dx,

2

(10.) Jcos-xdx 0

= Jdx —

0

T-l I (M

to i t-¹

to a

erhält. Aus diesen Gleichungen ergiebt sich dann wieder dasselbe Resultat wie in Gleichung (3.)

Ebenso liefert die Formel Nr. 103 der Tabelle, nämlich

¹ sin¹'¹⁻¹ a: cos# -f-

fi

sin-nxdx -    —

ln

* fsm2n~¹ xdx,

die Gleichungen

71

7t

(11.)

2

fsin¹«# dx —

ln —

ln

2

—/sin¹'¹⁻²# dx, o

7t

71

(12.)

2

/sin2w

—2# c/# =

2w —

2« —

sin¹«~³#c/#

1t

(13.)

2

/•

o

sin ixdx

- fi

o

sin¹.?: dx

2n(2n — 2) ... 4.2 (2 n + lj(2n—1JL..5.3.1

2

JcOS^xdz =

(19.)

(15.) /cosin+lx dx — -—-J    2 n -f- 1

cos2wa;sina: -f

2n + 1

cos2n~izdx,

also

TZ

(16.)

C0S2w+G dx =

2w

2w + 1

cos²»»—

Ebenso wird

(17.)

/•

0

cos2w-1^cfe

\ß

0

COS2w—dx.

71

(18.)

2

J COS% dx = o

7t

Ol ico

/ COS xdx =

(M ICO

[sina:]² =

(M I CO

folglich wird

71

Ebenso findet man aus Formel Nr. 103 der Tabelle

71

(20.)

2

j'sm2n+lz dx — 0

2n(2n — 2)... 4.2 (2n + 1)(2n — 1) ... 5.3.1

In ähnlicher Weise liefern die Formeln Nr. 107 und 110 der Tabelle, nämlich die Gleichungen

(21.) Js

—-— sin^—G cosn+G m -f- n

sin"*# cosw# dx —

(22.) ji

sin"*« cos nxdx —

m — 1 m -f- n

7— sinm+GcosM~G m-\- n

sinm—2.r cosw# dx

—lsmmx ao^-^xdx, m + n /

2

ein einfaches Verfahren für die Berechnung von /sinm#cos”# dx.

0

Aus Gleichung (21.) folgt nämlich, wenn m > 1 ist,

71

7t

(23.)

2

J'smmxcosnxdx — 0

m — I m -f n

2

/•

0

sin’"—²# cos nxdx.

Jenachdem m gerade oder ungerade ist, wird durch wiederholte Anwendung dieser Vereinfachung das gesuchte Integral

71 ~2

schliesslich entweder auf das bereits ermittelte Jo,o$nxd

0

oder auf

71

(24.)

jç.osnx sin xdx — — £

o

cosw+1#

zurückgeführt.

Aus Gleichung (22.) folgt, wenn n > 1 ist

7t

7t

(25.)

sm™xcos,lzdz =

2

n_i r

- lsmmxcosn~-xdx.

Jenachd,em n gerade oder ungerade ist, wird durch wiederholte Anwendung dieser Gleichung das gesuchte Integral schliess-

7t

lieh entweder auf das bereits ermittelte fsmmxdx, oder auf

b

7t

7t

(26.)

2

Jsmmx cos# dx o

sin”*⁺¹#1²

m -f-1

zurückgeführt.

ft !<M

Diese Resultate kann man auch zur Berechnung der Zahl n benutzen. Es ist nämlich für 0 x SV -

sm²”+G ^ sin²"# ^ sin²”⁻G, also nach den in § 54 ausgeführten Sätzen

(27.)

71

7t

7t

(28.)

2 2 2 Jsm2n+lzdz <:j'sm2nxdx <\Jńv?n~lxdx 0 0 0

oder

(29.)

K)¹ S

2n(2n — 2)... 4.2

(2»+l)(2» —1)...5.8

(2n —1)(2» — 3)... 5.3.1

2n[2n—-2)... 6.4.2

und

(30.)

(2*—l)(2w —3)...5.3.1 n ^ (2n — 2)(2n — 4) ... 4.2 ~~ ' 2 < (2»r-l)(2»— 3) ... 5.3

2n[2n — 2) ...6.4.2

Daraus folgt 2 2 >iT

-+l , lO

Ol I CI

Oi

2rc — 2 2w 2w — 1 2n — 1    2» + 1

2w

(31.) f und

(32.) f<f.f

Die rechten Seiten dieser beiden Ungleichungen unterscheiden sich von einander nur durch den Factor

unbegrenzt wachsendes n der Grenze 1 nähert, folglich ist

2^ — 2

2 n — 1 2 n — 1

Diese Formel rührt von Wallis her und ist bereits vor Entdeckung der Differential- und Integral - Rechnung gefunden worden.

(33.)

= lim

n—oo

Ol I CO

I KO

Ol ' Oi

CO ll>

CO lio

I—¹

der sich für

§ 62.

Darstellung der Coefficienten einer trigonometrischen

Reihe.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 185.)

Sind die beiden positiven ganzen Zahlen m und n von einander verschieden, so wird

Beachtet man die beiden bekannten Formeln cos(a — b) = cos a cos b + sin a sin b, cos(a + b) = cos a cos b — sin a sin b, so findet man durch Addition und Subtraction der Gleichungen (1.) und (2.) für

(3.)

(1-)

|cos(

o

7n — n)x . dx =

(2.)

7t

ßos (m

+ 7%)x . dx =

m -f- n

[sin(m + n)x\ = 0.

(4.)

Je os(

0

mx) cos(nx)ax = 0,

(5.)

Jsm(mx)sm(nz)dx — 0

o

Dagegen geht Gleichung (1.) für m = n über in

(la.)

/cos (m

— n)x . dx

=Jdx = o

71,

während Gleichung (2.) auch noch für m — n richtig bleibt ; folglich wird für m — n > 1

7t

(6.)

(7.)

Jcos(mx)cos(nx)dx = jcos²(nx)dx =

Weiss man nun, dass sich f(x) in eine gleichmässig convergente Reihe von der Form

(8.) fix) = y ao + «i cos# + «oCOs(2F) + • • • + ancos(nx) + • • >

entwickeln lässt, so lange x zwischen 0 und n liegt, so kann man die Coefficienten a₀, ai} a₂,... in folgender Weise bestimmen.

Multiplicirt man Gleichung (8.) mit dx und integrirt auf beiden Seiten zwischen den Grenzen 0 und n, so erhält man, da die Reihe gleichmässig convergent ist und deshalb gliedweise integrirt werden darf,

= ßf{x)dxj 0

Jf(x)dx = ~ß 0 0 7t

denn Jcos(nz)dx verschwindet für n>0. Multiplicirt man beide 0

(9.)

a₀ir dx = —

2

oder a₀

Seiten der Gleichung (8.) mit cos(nx)dx und integrirt zwischen den Grenzen 0 und n, so erhält man mit Rücksicht auf die Gleichungen (4.) und (6.)

7t    7t

(10.)

oder

jf(x) cos (nx)dx = anjcos² (nx) dx = an ,

0 0

(10a.)

Cln

7t

=    If(x) cos(nx)dx

*0

Hierbei ist f{x) eine periodische gerade Function, die sich gar nicht ändert, wenn man x mit —x, oder mit 2rr— x vertauscht, d. h. es ist

(11.)

f(2n — x) =/(— x) =/(*);

deshalb findet man aus Gleichung (9.) und (10 a.), indem man die Intégrations-Veränderliche y nennt und dann y = 2n— x setzt,

(12.) a₀

(13.) an

= ljf(y)dy =

0

7t

= /f(y)^(ny)dy = 0

2 71

— Jf (x) cos (nx)dx ;

ff( '2rc

•l7l

— x)dx

i/<*-

•2,71

2 7t

x) COS [nx)dx

folglich ergiebt sich durch Addition der Gleichungen (9.) und (12.), bez. der Gleichungen (10a.) und (13.)

2'7t    2n

(14.)

«o

— ~    an — ~ jf(z)cos(nz)dz.

Ô    0

Weiss man, dass sich fix) in eine gleichmässig convergente Reihe von der Form

(15.) f{x) — bi sina: + è₂sin(2F) ----+ bn sin(wæ) + ...

entwickeln lässt, so lange x zwischen den Grenzen 0 und n liegt, so darf die Reihe gliedweise integrirt werden, und man erhält mit Rücksicht auf die Gleichungen (5.) und (7.)

(16.)

71

jf(x) sin( 0

oder

(16a.)

bnJsiïîi(nz)dz

o

n

— If(x)sm(nx)dx.

nx)dx =

— bn

bn

In diesem Falle ist fix) eine periodische ungerade Function, die nur ihr Zeichen wechselt, wenn man x mit —x, oder mit 2n — x vertauscht, d. h. es ist

(17.)

f{2n — x) =/(—*) =

Deshalb findet man aus Gleichung (16a.), indem man die Intégrations-Veränderliche y nennt und dann y = 2n — x setzt,

(18.) bn =

jf(y)sm{ny)dy = o

2 n

= ^Jf(x)sm(nz)dz,

7t

— ffix)^m{nx)dx

2jt

also durch Addition zu Gleichung (16 a.)

2 7t

(19.)

bn

— jf(x)sm(nz)dz. o

r—(

Weiss man endlich, dass sich f{x) in eine gleichmässig convergente Reihe von der Form

fix) — \ a₀ + Ui COS x -f «2COS(2^) -+-•••

H- éisina; -f ö₂sin(2F) -f •••

tO 1—“

to h-¹

(14.)

entwickeln lässt, so lange x zwischen den Grenzen 0 und 2n liegt, so wird mit Rücksicht darauf, dass

"Irt

(21.) \ j|sin( m-j-n)x-fsin(m o

in

—n)x\dx =    cos(nx)dx = 0

o

ist, gleichviel ob m und n von einander verschieden sind oder nicht,

in

(22.) an = — jf(x) cos{nx)dx

bn

in

—    jf(x) sin inx) dx

Dies giebt den Satz : In jeder trigonometrischen Reihe

??=oo

fix) = ia0 + 2 [«rtCOS(wz) + ö„sin(»aj)],

M=1

welche in dem Intervalle von 0 bis 2n gleichmässig convergent ist. haben die Coefficienten an und bn die Werthe

in

jf(x) si ü{nx)àx. o

in

an — y jf(x) COS(nx)dx, bn — o

§ 68.

Berechnung bestimmter integrale bei Anwendung mehrdeutiger Substitutionen.

Führt man in ein bestimmtes Integral Jf{x)dx durch die

a

Substitution

(!•)

V = l(x)

eine neue Intégrations -Veränderliche y ein, so muss man auch die Integrationsgrenzen ändern, und zwar ist in dem vorliegenden Falle die untere Grenze (f>(a) und die obere <jp(ö). Bei der Ausrechnung ist aber noch besondere Vorsicht erforderlich, wenn die Gleichung (1.) in Bezug auf x mehrdeutig ist. Ein einfaches Beispiel möge zeigen, wie bei solchen mehrdeutigen Substitutionen leicht Fehler entstehen.

Es ist

(2.)

7

f(x- — Qx+ 13)dx == [-|-a:³ — 3a:² -f 13a:]' = 48.

Wendet man dagegen die Substitution y — x² — 6 a: -f- 13 an, so wird y = 8 für x — 1 und y = 20 für x=7. Da nun

x = 3 dz y y — 4, also clx = ist, so wird man geneigt sein, entweder

(3.)

(4.)

dy

(5.)

— 6a: + 13) dz = + -j-

20

’ ydy

Vy — 4

oder

20

2 .fy y -4

zu setzen. Thatsäclilicb sind aber die Gleichungen (5.) und (6.) beide unrichtig, wie man schon daraus erkennt, dass 20

" vdy Vy — 4

ist, während das gesuchte Integral nach Gleichung (2.) den Werth 48 hat.

Zur Lösung des Widerspruches beachte man, dass nach Gleichung (4.) zu jedem Werthe von y zivei Werthe von x gehören, von denen der eine, nämlich

x = 3 + y y — 4, immer grösser als 3 ist, während der andere, nämlich

a: = 3 — Vy — 4,

immer kleiner als 3 ist. Diesen beiden verschiedenen AYerthen von x, welche zu demselben Werthe von y gehören, entsprechen die beiden verschiedenen Werthe von dz, und zwar erkennt man aus den Gleichungen (4.), dass den Werthen von x, welche grösser als 3 sind,

(6.)

(7.) ±

(8.)

(9.)

— 6a: + 13) dx = —

ydy

80

(10.)

dx = +

dy

2 Vy — 4

zugeordnet werden muss, während den Werthen von x, welche kleiner als 3 sind, der Werth

(11.)

dx =

dy

2 y y — 4

entspricht. Dieses Verhalten muss bei der Umformung des gesuchten Integrals berücksichtigt werden, weil der Werth x = 3 zwischen den Grenzen 1 und 7 liegt. Es kommen deshalb bei der Berechnung des gesuchten Integrals Werthe von x vor, welche kleiner als 3 sind, und ausserdem auch solche, welche grösser als 3 sind, so dass man nicht durchweg denselben Werth von dx benutzen darf. Man muss vielmehr das gesuchte Integral in zwei andere Integrale zerlegen, indem man

7    3    7

(12.) J[f—Qx +13)dx =/{x- — 6x +13)dx+f(z* — 6a: +13 )dx

1    1    3

setzt. Bei dem ersten Integrale auf der rechten Seite dieser Gleichung ist x ^ 3, folglich muss man bei diesem

dr —

dy

²J/y 4

setzen. Bei dem zweiten Integrale ist    folglich muss man

dabei

dx = +

dy

2 Vy — 4

setzen. Da nun noch y = 4 wird für x = 3, so erhält man

ydy

(18.)ßx + 13)dx -    \fy-_-

1 8 ' y 7

(14 -,)ßx'

3

7    t

(15.) ßx² — 6a: + 13)<fe = ~ f___

J    2 J y y — 4

1    4 J

-\h

ydy

Vy - i

20

-/r.'.' i

Durch Addition dieser beiden Gleichungen ergiebt sich

— 6* -f 13 Wa: = + \

20

+ r/:

²/y^ — 4

vdv

Nun ist nach den Ausführungen in § 52

(16.)

to h-

£L = Uim f

Jy y — 4    ² a=oJ

4    ¹    4+a

ydy

os : m

lim [{y + 8)]/y —4]

a=0

4-f C£

= [(y + 8)yy — 4]® = y »

05 | 1-*

20

= lim [(y + 8)yf— 4j'° =    [(y + 8)Ÿy — 4]*°-

a=0    ⁴+a    4

man erhält also in Uebereinstimmung mit G-leichung (2.)

(17.) i

y^y

20

tc ¹ (->

= lim

a=0

y^y

4-t-a

]/y —4

rH CO

112

(18.)

Fig. 105.*)

Um die vorstehende Untersuchung auf graphischem Wege zu veranschaulichen, sei in Figur 105 die Curve gezeichnet, welche der Substitutions-Gleichung (19.) y — x² — 6#+13 entspricht. Für alle Werthe von x, welche kleiner als 3 sind, fällt die Curve, folglich ist

für diese Werthe von x dx

für diese Werthe

von x positiv. Deshalb darf man nicht in dem ganzen Intervalle von x = 1 bis x = 7 die Grösse

dx

negativ. Für alle Werthe von x dagegen, welche grösser als 3 sind, steigt die Curve, folglich ist dy

O,

I), Ol

*) Um Platz zu sparen, sind in der Figur alle Ordinaten um die Hälfte verkürzt, d. h. die gezeichnete Curve entspricht der Gleichung

ely = xL — 6x -f 13.

±21^-4

dy

mit demselben Vorzeichen nehmen; es gilt vielmehr für alle Werthe von x — 1 bis x — 3 das untere Zeichen und für alle Werthe von x = 3 bis x = 7 das obere Zeichen.

Aus Figur 105 erkennt man auch leicht, weshalb die Gleichungen (5.) und (6.) fehlerhaft sind.

Das gesuchte Integral giebt nämlich den Flächeninhalt der

Figur

7    7

(20.)

AyBiBA ==fydx =f{x² — Ox -f 13 )dx,

während

20

(21.)

tOI H*

7    7

— fydx = j(x-

5    5

— 6a; + 13>fc = CiBiBC

und

(22.)

20

\h

vdv

—Jydx

= — j(x² — 6a; -f- 13)t/a; = — D\A^AD

sein würde. Die ganze Fläche AtByBA erhält man aus nur dadurch, dass man y von AtA = 8 bis Tx T — 4

zj-\/y — ±

abnehmen und dann von 1\T— 4 bis BXB — 20 zunehmen lässt.

ydy

Um den allgemeinen Fall zu behandeln, nehme man an,

6

dass in dem Integral ff \<p(x)\dx statt der Intégrations -Ver-

a    0

änderlichen x durch die Gleichung

(23.)

y = 9p(«)

die neue Intégrations-Veränderliche y substituirt werde. Ist nun die Curve, welche der Gleichung (23.) entspricht, durch die

Figur 106 dargestellt, so hat y zwischen den Grenzen a und b für

(24.)

x = g = OGi, x = h — OH Maxima bezw. Minima.

Es werden also zwischen den Grenzen x = g und j x = h diejenigen Werthe von y, welche zwischen den Grenzen x = a = OAx und x = g Vorkommen, wenigstens theilweise wiederkehren. Ebenso wer-

i?

x — k — OKi

Fig. 106.

JL

Jf

J3

den zwischen den Grenzen T) x—k und x — k diejenigen Werthe, welche zwischen den Grenzen x — g und x = k Vorkommen, wenigstens theilweise wiederkehren. U. s. w. Es haben z. B. die 4 Punkte 1), E, F und J, welche in den 4 von einander unterschiedenen Intervallen liegen, gleiche Ordinaten y, obgleich die zugehörigen Abscissen x von einander verschieden sind; d. h. die Gleichung (23.) hat, wenn man sie nach x auflöst, für die betrachteten Werthe von y mehrere Wurzeln. In Figur 106 ist z. B. die Zahl dieser Wurzeln gleich 4. Bezeichnet man    diese Wurzeln    mit    wi(y),    w₂(y),    (y),    ^(ÿ),    ist    also

(25.)    x = wi(y)    zwischen    den    Grenzen    x —    a    und    x    =    g,

(26.)    x = w₂(y)

(27.)    x = wz(y)

A, D,

F F, k i B'X

(28.) x — Wi(y)

dem entsprechend das gesuchte Integral in 4 Inte-

so muss man grale zerlegen, indem man

(29.) ff\<p{x)]dx =/f\(f(x)\dx +Jf\<p{x)]dx

k    b

+Jf[<p(x)]dx + ff[⁽fix)\dx

h    k

Dadurch erhält man nach Einführung der neuen Inte-

setzt.

grations - Veränderlichen y

<PW

[nach Gl. (25.)]

cp(a)

(f(h)

(31.) ,/f\<p(.z)]dx =Jf{y) . Uî{y)dy,

[nach Gl. (26.)]

<p(g)

(p(k)

(32.) ff\(p{x)\dx =ff(y) . wz\y)dy

(pW

[nach Gl. (27.)]

<P(b)

(33.) Jf[q{x)\dx =Jf(y) . wĄy)dy;

[nach Gl. (28.)]

cp(k)

das gesuchte Integral wird daher

<p(g)

(f[h)

(34.) ff\<p{x)]dx —ff{y) • wi ‘{y)dy +ff{y) . w*(y)dy

(pW

cp(k)

<ptg)

cp(b)

+/f{y) • w3\y)dy +./f{y). m\y)dy.

(pW

(pW

Beispiel. Macht man hei der Rectification der Astroide

(35.)

x — ac.o&t

y = «sin³^

(vergl. Fig. 77 hei Aufgabe 6 in § 27) den Punkt A mit den Coordinaten x — a, y = 0 zum Anfangspunkte des Bogens, so wächst der Bogen gleichzeitig mit t, und man erhält den ganzen Umfang der Astroide, wenn t alle Werthe von 0 bis 2n durchläuft. Deshalb haben ds und dt in dem ganzen Intervall gleiches Zeichen. Aus den Gleichungen

CO CO

( 6.) dx — — 3ßCOS²^sin^, dy = 3ßsin²^cos£cfa,

( 7.)    ds¹ = 9a²sin²^cos²ćć&² folgt daher

(38.)

ds = ± 3asini!cos^ = ± 3asinźd(sinż),

ds

wobei das Zeichen so zu wählen ist, dass positiv wird. Um

den ganzen Umfang zu berechnen, muss- man deshalb das Intervall von 0 bis 2 n in vier gleiche Theile zerlegen und muss in jedem dieser Theile abwechselnd das positive und das negative Vorzeichen nehmen. Dadurch erhält man für den ganzen Umfang

7t

(39.)

2    7t

= + 3a fimt cos t dt—Safńntcostdt

0    n

3tZ

2 rt

+ 3a /sin* cos t dt— 'èafsmtcostdt,

oder

7t

3 7t

(40.) P = f [sin^ - £ [«!< + f [sin^ - £ [Sh<

3a

3a

3a

6 a.

§ 64.

Messungsmethoden zur Berechnung bestimmter Integrale.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 186 und 187.)

Soll der Flächeninhalt F=A^BVBA einer ebenen Figur berechnet werden, welche oben wieder durch den Curvenbogen AB (Fig. 107) mit der Gleichung

y =/0)

unten von der X-Axe, links Y und rechts von den Ordinaten x = a und x — b begrenzt wird, so kann man

b

(2.) F= AxBx BA —Jf(x)dx

(1.)

a/

c/

Fig. 107.

Xjl

näherungsweise auch durch lineare Messungen finden, "ö Man braucht dann die Function

At ą D, Ef Ff G,

, A b, x

(3.)

F(x) =ff(X)dx

gar nicht zu bestimmen, ja es braucht nicht einmal die Function y =fix) bekannt zu sein.

Theilt man nämlich die Strecke AtBt in n gleiche Theile h und legt durch die Theilpunkte Parallele zur F-Axe, so wird die Figur in n schmale Streifen zerlegt. Diese Streifen kann man näherungsweise als Paralleltrapeze betrachten, indem man die einzelnen Curvenbögen durch gerade Linien ersetzt. Dies giebt, wenn man

(4.)    /(fl) = y₀, f(a + h) = yl} f(a + 24) = y₂, ...

Aa + nh) = /(*) = Vn

setzt,

(5.) AlC\CA =

tO[ Sn

(yo + yi), CiDiDC — — (yi -f y2),

4 ,

2 (y-n-1 + yn)

D₁JEiJED = — (V2 + y₃), ... NlBlBN=

also

6

(6.) A,BVBA =Jf(x)dx =

a

= [/(fl) "P 2/(a -J- 4) -f- 2/(a -f 24) -f----f- 2/(4—4) +/(4)1.

toi

(yo + 2yt -f 2y₂ +----b 2yn-i + y»)

to Sn

Je grösser die Anzahl n der Streifen wird, um so genauer wird das Resultat; wächst n in’s Unendliche, so wird der gefundene Ausdruck dem gesuchten Integral, bezw. dem gesuchten Flächeninhalt sogar genau gleich.

Beispiel.

Es ist

(7.)

clx

1 + z²

= [arctg xf — arctgl =

Für n = 8, 4 =

r-H CO

wird in diesem Falle

= n[A°) + ²/(₈ł)+ /«)+ -+²/Q+/«] >

oder, da f{x) =

1 + z²

ist,

1:4 =r 0.25 32 : 65 = 0,4923 0769 8:17 = 0,4705 8824 32:73 =■ 0,4383 5616 2:5    = 0,4

32 : 89 = 0,3595 5056 8:25 = 0,32 32 : 113 = 0,2831 8584 1:8    =0,125;

folglich erhält man näherungsweise

n — 3,1389 8849.

Der gefundene Werth ist also um 0,0026 0416 kleiner als der wahre Werth der Zahl

Tt = 3,1415 9265.

Bei dem angegebenen Verfahren ist an die Stelle des Curvenbogens AB ein der Curve einbeschriebenes Polygon getreten. Man kann mit gleichem Rechte auch ein der Curve umschriebenes Polygon in Betracht ziehen, indem man in den Punkten C, JE, G... (Fig. 107) an die Curve Tangenten legt und z. B. die beiden Streifen AiCiCA und C^ D^DC durch das Parallel trapez A^DxD'A¹ (Fig. 108) ersetzt. Dabei wird

Fig. 10$.

128

" =    (¹⁺ 65

= J +

Nun ist

128

68

128 , 128

128

128

128

4--- J--- 4.    -i_

73    80    89    100    113

to|

CO I CO

(M O

17

-<l1 GO

+!

32

32

H---1---1-

^ 89 ^ 25 ^ 113

OC l-i

(8.) AiA'+Dtl)' = 2ClC=2f(a + h),

also

(9.) AiDiD'A¹ = 2h ./{a + h).

Ebenso findet man für die beiden folgenden Streifen den Näherungswerth 2h .f{a -f- 34),

A'

(10.)

u. s. w.

öl 1, ą d, x

Unter der Voraussetzung, dass die Anzahl der Streifen eine gerade ist — sie heisse jetzt 2n —, findet man daher für den Flächeninhalt der ganzen Figur den Näherungswerth (11.) F — 2h[ f(a + h)    + 3h) -f- •••    ■—h))

= 2^(yi + y3 + 'i/5 -fi • • • + Hin—l),

wo wieder

f(a + h) = V\, f(a + 3h) = y₈, /(« + 5Ä) = y₅, •• • /[« + (2» — 1)A] =/(ä — A) = y₂»-i

gesetzt ist.

Zu bemerken ist dabei, dass die Tangenten in den Punkten C und E (Fig. 107) die Ordinate DJ) im Allgemeinen nicht genau in demselben Punkte D‘ treffen werden, so dass die Figur, deren Flächeninhalt durch Gleichung (11.) berechnet worden ist, von dem umschriebenen Polygon sich um eine kleine Grösse unterscheidet.

Beispiel.

Es möge auch diese letzte Formel auf die Berechnung der Zahl Tz angewendet werden, wenn man wieder von Gleichung (7.) ausgeht. In diesem Falle sei die Anzahl der Streifen

2 n = 16

16

also h = — j

dann wird

” =i ⁴ /

dx

00 1-*

/(è)+/(ï6) ⁺ "'+/(ff)

TZ = -

128 . 128 . 128 . 128 . 128 . 128 , 128 . 128 257 ¹ 265 ' 281 ' 305 ' 337 ' 377 ' 425 ' 481

-f

Nun ist

128 : 257 = 0,4980 5447 128 : 265 = 0,4830 1887 128 : 281 = 0,4555 1601 128 : 305 = 0,4196 7213 128 : 337 = 0,3798 2196 128 : 377 = 0,3395 2255 128 : 425 = 0,3011 7647 128 : 481 = 0,2661 1227;

folglich erhält man näherungsweise

n = 3,1428 9473.

Der gefundene Werth ist also um 0,0013 0208 grösser als der wahre Werth der Zahl

rt — 3,1415 9265.

Der Fehler ist in diesem Falle etwa halb so gross wie bei der vorhergehenden Methode.

Diese zweite Methode wird auch bei anderen Anwendungen in der Regel genauere Resultate liefern als die erste, ohne dass man mehr einzelne Glieder zu berechnen braucht, weil sich im Allgemeinen die Tangenten einer Curve enger anschmiegen als die Sehnen. Von diesem Umstande wird in dem folgenden Paragraphen Vortheil gezogen werden.

§ 65.

¹

²

j sin¹# dx =    /?# =

³

o    o

Aus diesen Gleichungen ergiebt sich wieder dasselbe Resultat wie in Gleichung (5.).

Setzt man in Formel Nr. 100 der Tabelle m = ln + 1, so erhält man

Simpson’sehe Regel.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 188 und 189.)

Es möge wieder eine Figur begrenzt sein oben durch den Curvenbogen AB mit der Gleichung

(10

y =/(«),

unten durch die X-Axe, links und rechts durch die Ordinaten x = a und ]x = b [(vergl. Figur 107); die Strecke A^BX sei in 2n gleiche Theile von der Länge h, und die Figur selbst sei durch die Ordinaten yx, y₂, ya,... yzn-i in 2n Streifen zerlegt. Vereinigt man zunächst je 2 benachbarte Streifen, so dass man thatsächlich nur noch n Doppelstreifen hat, und ersetzt die begrenzenden Curvenbogen durch die zugehörigen Sehnen, so findet man aus Formel Nr. 186 der Tabelle für den gesuchten Flächeninhalt, indem man h mit 2h vertauscht, den angenäherten Werth

(2.) Ft = Ä[/(o)+2/(a+2Ä)-}-2/(a-l-4Ä)4-----\-2f(b — 2h)-\-f(b)].

Ersetzt man dagegen bei den Doppelstreifen die Curven-bögen bezw. durch die Tangenten, welche in den Endpunkten der Ordinaten yi} y₈, y*,,... y2n-i an die Curve gelegt sind, so erhält man nach Formel Nr. 187 der Tabelle den angenäherten Werth

(3.) F-2 = 2A[y (a h) -\-f (a + 3A) -\-f(a + 5/i) + • • • + f (b —/i)].

Ist der begrenzende Curvenbogen AB zwischen A und B nach oben convex, so ist kleiner als der gesuchte Flächeninhalt

(4.)

F—Jf{x)dx

und jF₂ ist grösser als F; es ist also

Fi < F< F₂.

Ist dagegen der begrenzende Curvenbogen AB zwischen A und B nach oben concav, so wird

Fi > F>F₂.

In beiden Fällen ist F ein Mittelwerth zwischen Ft und F₂, so dass die Grösse v, welche durch die Gleichung

F-Fi

F₂ — F

erklärt wird, immer positiv ist, und zwar wird v für hinreichend grosse Werthe von n in der Eegel grösser als 1 sein, weil sich die Tangenten enger an die Curve anschmiegeh als die Sehnen. Aus Gleichung (7.) ergiebt sich sodann

Fi -f vF2 1 + v

(5.)

(6.)

(7.)

(8.)

F=

Bei der angenäherten Berechnung der Zahl n im vorhergehenden Paragraphen war z. B. F—Fi etwa doppelt so gross wie F₂ — F. Setzt man daher in den Gleichungen (7.) und (8.) v = 2, so erhält man durch die Formel

(9.)

Fi + vF₂ Fi -j- 2F₂

eine noch stärkere Annäherung an den wirklichen Werth des bestimmten Integrals. Dies giebt, wenn man die Werthe von Fi und F₂ in Gleichung (9.) einsetzt,

(10.) F= §[/(«) +V(«+4)+2/(a + 24)+4/(a+34)+2/(a+44) + ■ ■ ■ + 2/(4 - 24) + 4/(4 - 4) +/(4)1,

oder

(11.) F=-(y₀+ 4yi + 2y₂ + 4y₃ + 2y₄ d----+ 2y2w-2 + 4y2w-i+.V2«).

Für die Zahl 7r erhält man daher unter Benutzung der im vorigen Paragraphen gefundenen Resultate

71 —

| (3,1389 8849 + 6,2857 8946) = 3,1415 9265.

ü

Der gefundene Werth stimmt also bis auf 8 Decimalstellen genau mit dem wahren Werthe von n überein.

Die in den Gleichungen (10.) und (11.) enthaltene Formel, welche unter dem Namen „ Simpson'sehe Regel“ bekannt ist, giebt nicht nur für die Berechnung der Zahl n sehr genaue Werthe, sondern auch für die Berechnung von anderen bestimmten Integralen, wenn man nur die Zahl n gross genug macht. Bei dem % ersten, in § 64 angewendeten Näherungs verfahren wurde die begrenzende Curve durch gerade Linien mit der Gleichung

y — ax + b

ersetzt, wobei die Constanten a und b so bestimmt werden können, dass jede dieser Geraden durch zwei benachbarte Punkte der Curve hindurchgeht. Auf die Simpson¹ sehe Regel dagegen wird man geführt, indem man bei der Berechnung der Doppelstreifen die einzelnen Curvenbögen durch passend gewählte Parabelbögen ersetzt, welche sich der Curve sehr eng an-schliessen. Dies geschieht in folgender Weise.

Fig. 109.

Die Gleichung

(12.)

irx

Ai

y = ax² + bx -|- c stellt, was auch die constanten Coefflcien-ten a, b, c sein mögen, eine Parabel dar, deren Axe zur F-Axe parallel ist. (Jeber die Coefficienten a, b, c kann man nun so verfügen, dass die Parabel durch die drei

Punkte A, C, JD (Fig. 109) mit den Coordinaten (— h, y₀), (0, yt), (+ h, y₂) hindurchgeht, indem man die Gleichungen

y₀ = ah² — bh -j- c,

(13.)

yi —

y₂ — ah² -f- bh -f- c

befriedigt. Daraus ergiebt sich

(14.)    « = ₂ *₂ (yo — 2yi + y-i), b =    (— y₀ + y₂), c

so dass Gleichung (12.) übergeht in

~ [(y₀ — 2yt + y^x² + h{— y₀ + y₂)x + 2h²yl].

= Vi,

(15.) y

2 h²

Der Flächeninhalt der Figur AvDiDA wird daher

+A

(16.) Ai DJ) A

= jydx

—h

rH <-S?

X³

x²

n+A

= 2    (y°—²y^ + y^j+Il(—y³+y^^+2h2yix

1 " ~

= Jp [(yo — 2yi + y₂) y + 2A²yiÄ =

Da bei einer beliebigen Parallel Verschiebung der Y-Axe sich weder die Länge der Ordinaten y₀, yi, ^ 2,... y -in noch die Grösse h ändert, so kann man in ähnlicher Weise den Flächeninhalt der sämmtlichen Doppelstreifen (in Figur 107) berechnen und findet dafür bezw.

\ (yo + 4yt + y₂)

-A

(yo + lyi + ya).

w (ya + 4y₃ + y₄), • • • — (y₂w-2 + 4y2W_i 4*y₂w) ;

dabei hat man die einzelnen Curvenbögen durch Parabelbögen ersetzt, welche durch je 3 auf einander folgende Punkte der begrenzenden Curve AB hindurchgehen. Für den Flächeninhalt der ganzen Figur erhält man dann den angenäherten Werth

(17.)    ^ (y₀-f-4yi + 2y2-f 4y3 + 2y4+----f- 2y2n_₂ + 4y₂«_1 -f y2»),

ein Ausdruck, welcher mit Gleichung (11.), d. h. mit der Simp-soAschen Regel genau übereinstimmt.

Um sich darüber Rechenschaft zu geben, wie genau die durch Anwendung der Äm^sow’schen Regel gefundenen Resultate sind, diene die folgende Betrachtung. Entwickelt

man

i¹⁸-) 3 (yo +    + y₂) = | [/(«) + 4/(a + h) + f[a + 2h)]

nach steigenden Potenzen von h, so erhält man durch Anwendung der Taylor'sehen Reihe

(19.) g (yo+4yi-f-y₂) = 2Ä ./(a) -f 2ä² .f‘(d) +

3

-/"(«) +

2ä⁴

54⁵

Andererseits ist nach der IZa^/or’schen Reihe, die Function durch die Gleichung

wenn man

F\x) =f(x)

erklärt,

(20.) ff{x)dx — F(a + 2h) — F{a)

a

—    h 4( \ ! ⁴^² 4K \ I ⁸^³ 4tif \ ,

—    j /(a) + 4>y/ (a)    / (a) +

16Ä⁴

41

/'"(«)

32/i⁵

folglich wird

(21.)

h    a+2Ä    lv>

3 (yo + 4yi + y2) — Jf{x)dx —

90

Man erkennt daraus, dass der Unterschied zwischen dem Näherungswerth, den die Simpson'sehe Regel liefert, und dem wahren Werthe des Integrals mit h zugleich unendlich klein wird von der fünften Ordnung.

Für n Doppel streifen ist daher der Unterschied etwa w-mal so gross, folglich wird der gesammte Fehler, da 2nh — b — a ist,

gleich einem Mittelwerthe von /⁽⁴⁾(A), multiplicirt mit

Es war bei Herleitung der Näherungsformeln in diesem und dem vorhergehenden Paragraphen bisher die Voraussetzung ge-

{b    a)h⁴

180

macht worden, dass der begrenzende Cnrvenbogen AB über der X-Axe liegt; es gelten aber noch dieselben Schlüsse auch dann, wenn der Bogen AB unter der X-Axe liegt, es wird dann aber der Werth des bestimmten Integrals negativ. Die Formeln bleiben sogar noch richtig, wenn die Cuiwe theilweise über, theil-weise unter der X-Axe liegt, wie aus der Zerlegung des bestimmten Integrals hervorgeht.

Ebenso ist es nicht nothwendig, dass der Bogen AB in seiner ganzen Ausdehnung nach oben convex oder nach oben concav ist. Es wird aber zweckmässig sein, durch die Ordinaten der Wendepunkte, welche zwischen A und B möglicher Weise vorhanden sind, die Figur (bezw. das bestimmte Integral) zu zerlegen.

Das Verfahren, durch welches die Simpson'mha Regel zuletzt hergeleitet worden ist, lässt sich noch verallgemeinern, indem man die Figur in 4n Streifen von gleicher Breite h zerlegt und in der Gleichung

(22.)

y = ax⁴ -f- a,xz -f- a-ix¹ -f- a₃x -f- a.

die 5 constanten Coefficienten a, at, a₂, a₃, a, so bestimmt, dass die neue Curve mit dem Curvenbogen AB (Fig. 107) 5 auf einander folgende Punkte, z. B. die 5 Punkte A, C, 1), E, F gemeinschaftlich hat. Auf diese Weise erhält man eine Curve, welche sich der gegebenen Curve längs des Bogens ACDEF im Allgemeinen noch enger anschliesst. Deshalb findet man dann auch bei der Berechnung des Inhaltes der Fläche A,FXFA noch genauere Resultate als durch die bisherigen Methoden, wenn man die gegebene Curve durch die der Gleichung (22.) entsprechende ersetzt.

Aehnlich wie bei der Swnpson’sehen Regel findet mau dann für den Näherungswerth den Ausdruck

(23.) F=~ [(7y₀ + 32gt + 12y₂ + 32y₃ + ly,)

+ (7 g, + 32^/5 + 12ye + 32g-i + 7y₈)

+ (7y₄

-j- 32yin-3 -f- 12y₄«_2 -j- 32y,,

+ igiti) •

Auch hier kann man sich über die Genauigkeit der gefundenen Resultate durch die Entwickelung nach der Thi/ZoEschen Reihe Rechenschaft geben, denn es ist

2h

(24.) Ft = — (7y₀ + 32yt + 12y₂ + 32y₃ + 7y₄) 2h V

45

7/(«) + 32f(a + h) + 12f(a + 2h)

+ 32f[a + 3/i) + 7f(a + 4/i)

= 4Ä/(a) + 8 Kf\d) + 1284⁵

32/i³

32/i¹

88Ä⁷

Andererseits ist

<J+4A

a-\-ih

(25.)

Jf(x)dx =-J'fi(x)cIx == F(ci -f 4h) — F(a)

= W(fl) + 8

, 128Ä⁵    , , 256A⁶ N ,

+ ₁₅ /⁽%)+ ₄₅ /⁽⁰⁾(«) +

/(⁶)(a) +

1024/i⁷

315

folglich wird

(26.)

-Ei —jf(x)dx =

8A⁷

945

Der Unterschied zwischen dem Näherungswerthe und dem wahren Werthe des Integrals wird also für je 4 Streifen von der Breite h mit h zugleich unendlich klein von der siebenten Ordnung.

Für alle 4n Streifen wird demnach der Unterschied etwa ra-mal so gross. Der gesammte Fehler wird also, da

4 nh = b — a

ist, gleich einem Mittelwerth von    multiplicirt mit

2 (b — d)h⁶

Es ist dabei noch zu bemerken, dass die Genauigkeit im Allgemeinen keine wesentlich grössere wird, wenn man die Gleichung (27.) mit der Gleichung

(28.) y = ax²'n+i -f. atx2m + a₂x2m~¹ + ••• + a2mx + a2m+1

• • ^2m+l SO

In dieser Weise kann man fortfahren und die einzelnen Theile des Curvenbogens AB durch Curvenbögen mit der Gleichung

(27.)

ersetzen, welche durch je 2m -f 1 auf einander folgende Punkte der gegebenen Curve hindurchgehen.

y — ax2m -f- a^x

-f- Chx

2m—2

-f- *•* + <%2m—lX + «2m

vertauscht und die 2m -f- 2 Coefficienten a,    , a₂

bestimmt, dass die entsprechende Curve durch 2m -f- 2 auf einander folgende Punkte der gegebenen Curve hindurch geht. Der Grund dafür liegt darin, dass bei dem Integral

(29.) Jydx = |a

2m -j- 1

= 2 (ai

^.2m+l

+ #3

2m —

X²    *] + *

• • -f- ^2m ç, +    J

_    . . . _j_ a2m+

2m -f 1

der Coefficient a von x2m+i in dem Endresultat überhaupt nicht mehr vorkommt.

Regel

§ 66.

Uebungs-Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll mit Anwendung der Simpson'sehen

(IO

ln 2

2

-

J *

1

berechnen.

Auflösung. Es sei 2n = 10, also h =

10 ’

dann wird

1:30 = 0,0333 3333 4:33 = 0,1212 1212 2:36 = 0,0555 5556 4 : 39 = 0,1025 6410 2:42 = 0,0476 1905 4:45 = 0,0888 8889 2 : 48 = 0,0416 6667 4: 51 = 0,0784 3137 2:54 = 0,0370 3704 4 : 57 = 6,0701 7544 1:60 = 0,0166 6667;

folglich findet man für ln 2 den Näherungswerth 0,6931 5024, der sich von dem wahren Werthe, nämlich von ln 2 = 0,6931 4718 nur um 0,0000 0306 unterscheidet.

V

nach der zweiten Methode, also

Berechnet man ln 2

(2.) ln2 = ~ [/(l) + 4/(1,1) + 2/(1,2) + ■■•+ 4/(1,9) +/(2)]

Nun ist

co

0    20    40    20    40    20    40    20

11    12    13    14    15    16    17    18

’T' ! «-H

)•

⁼/~

nach Formel Nr. 189 der Tabelle, indem man 12 Intervalle annimmt, so wird

(3.)

in = 12, h = 4 ,

also

(4.) F =

2h

45    4    + 14^4 + 32^5

+ 12yc + 32?/7 + 14y₈ + 32^/g + 12yi₀ + 32yn 7^i₂) 384    144    384    168    384    144

= ¹ (l + 270\ ^ 13

14

15

16

17

18

384

168    384 . 144 . 384

19

21

22

4-

23

)•

7=7

384 : 13 = 29,538 461 538 5

144 : 14 = 10,285 714 285 7

384 : 15 = 25,6

168 : 16 = 10,5

384 : 17 = 22,588 235 294 1

144:18= 8

384 : 19 = 20,210 526 315 8 168 : 20 = 8,4 384 : 21 = 18,285 714 285 7 144:22 = 6,545 454 545 5 384 : 23 = 16,695 652173 9 7:2=    3,5

(5.)

folglich erhält man für ln 2 den Näherungswerth F= 187,149 758 439 2:270 =    0,693 147 253 5,

der sich von

ln2 = 0,693 147 180 6

nur um

(6.)

Nun ist

F— ln 2 = 0,000 000 072 9

unterscheidet.

Aufgabe 2. Man soll die Zahl n durch Anwendung der Simpson'sehen Regel aus der Gleichung

(7.)

0,5

J VI —

0

dx

= [arcsin^]®’⁵ =

berechnen.

Auflösung. Für 2n = 8, also h= erhält man

Nun ist

1:8 = 0,125

1/16320 : 255 = 0,5009 7943 1/28 : 21 = 0,2519 7631 1/15808 : 247 = 0,5090 2781 l/l5 : 15 = 0,2581 9889 1/14784 : 231 = 0,5263 6135 V220 : 55 = 0,2696 7995 VÏ472 : 69 = 0,5560 3844 y 3 : 12 = 0,1443 3757;

folglich erhält man für die Zahl n den Näherungswerth 3,1415 9975, der sich von dem wahren Werthe, nämlich von n = 3,1415 9265,

nur um

die Grösse 0,0000 0710 unterscheidet.

Aufgabe 3. Von einer Ellipse b²x² + a?y² = a²b² mit den Halbaxen a = 6, b = 4 soll man das Flächenstück Qx Q₂P₂PX berechnen (Fig. 110), wenn OQx = —1 und OQ₂ = -f 5 ist.

Auflösung. Aus der Gleichung der Ellipse folgt

O0| to

(10.)

= yse — x²,

23

231

55

69

12

i—I : 00

y16320 , Y28

1/15808 , y 15

255

21

247

15

oder

(8.) n

SO

CO

H-

t-H

CD

"■ + 4/(Â)+/(î6)]

1H 100

I-*

Ol

n-

CO

r.

u

IO

o<

Ol

to

li

kł

lO

X¹

Ol

OS'l

CO

rH

to

Ol

64    ;    16 \

y2Ö7 ⁺ yi92 / ’

y 14784 , y220 , y 1472 , y3

Kiepert, Integral - Rechnung.

Fig. 110.

-g _

so dass man für den gesuchten Flächeninhalt

+5

— X²

Q,

\A

Nach der Simpson-

erhält.

sehen Regel wird daher für 2n = 12, h =

(12.) F= - ■ H]/35 + 4]/ 35,75 + 2]/36 + 41/35,75

O O

+ 21/3 5 + 4]/33,75 + 2]/32 + 4]/29,75 + 2)/27 + 41/23,75 + 2J/20 + 41/15,75 + l/lï).

Nun ist

21/36 = 2.6    =    12,0000    000

81/35,75 = 1/2288 = 47,8330 430 31/35 = f/315 = 17,7482 393 41/33775 = I/54Ö = 23,2379 001 21/32 = 1/128 = 11,3137 085 41/29^75 = 1/476 = 21,8174 242 2^27 = 1/Ï08 = 10,3923 048 41/23,75 = 1/380 = 19,4935 887 2]/20 = j/öÖ = 8,9442 719 41/15.75 = f/252 = 15,8745 079 l/lï = 3,3166 248;

man erhält daher für F den Näherungswerth

191,9716 132 : 9 = 21,3301 7924. Den wahren Werth von F findet man aus

(13.)

(14.) F

5

= fäxVse — x² =    1/36 — x² + 18arcsin^yj

! X>

= ^(5]/11 + ]/35) -f- 12 arc sin

O CO

— 12 arc sin

(->

also

(15.)

§ 66. Simpson'sehe Rege] ; Uebungs- Beispiele.

Dabei ist (vergl. Aufgabe 4 in § 19)

|bn =

12arcsinG) = 11,821 327 12 arcsin

5.527 708

1,972 027

Q= 2,009 377,

F— 21,830 439.

Der durch die Anwendung der Simpson'schon. »Regel gefundene Werth ist also um 0,000 260 zu klein.

Aufgabe 4. In einer Ellipse (Fig. 111) mit der Gleichung (16.) b²x² -f- a²p- = a²b2 seien die beiden Halbaxen (17.) a = 10 und b = 6;

man soll die Länge des Bogens BP bestimmen, wenn OQ gleich 8 ist.

Auflösung. Aus Gleichung (16.) folgt

dy^

Fig. 111

Irx

«V

/ds\² a⁴y² 4- b*x2 \dx) ⁼

a⁴ — e²xl

a?(a² — x²)

In dem vorliegenden Falle ist e gleich 8, also

ah/²

(19.)

s = BP

10000 — 64r²

100(100 — x¹)

Deshalb erhält man durch Anwendung der «SVmpsorc’schen Regel für 2n — 8, h = 1

(20.) «

- (‘ + ‘V'

iH CO

9936

9900

9744

9424

9600

9100

CD

r.

8400

8400

7500

1/7696    -j/6864    -j/5904\

] 6400 ⁺ Y 5100 ⁺ ] 3600/

Nun ist

1 = 1,0000 0000

4j/9936 : ]/9900 =    ]/48576    : 55 = 4,0072 6612

folglich findet man für die Bogenlänge BP den Näherungswerth (21.) ‘

10 = 2,0149 4417

70 = 2,0674 3457 5 = 4,2332 0210 10 = 2,1931 7122 85 = 4,6404 8678

5 = 1,2806 2485;

s = 25,5077 1581 : 3 = 8,5025 7194.

Soll der Quadrant der Ellipse, nämlich

(22.)

10

⁼M

0

10000 — Ö4.r2 100(100 ~-.r²j

berechnet werden, so würde die Rechnung auf Schwierigkeiten stossen, weil

f(x)

-y

10000— 64z²

100(100 — x¹)

für x = 10 unendlich gross wird. Um auch in diesem Falle die

i°

angenäherte Berechnung von Jf(x)dx auszuführen, mache

man

y zur Intégrations-Veränderlichen, indem man ⁶- Y100 — xl

(23.)

y 10

setzt. Dies giebt (Fig. 111)

oder x

10

= g-V36

(24.)

eix = —

5 ydy

3]/ 36 — y²

cls

= —%]/

1296 4- 64t/²

36(36 — iß)

(25.)

PA

10

=-- jf{x)dx

= -fdy-j

3,6

324 + 16,v²

9(36-y²)

3,6

= xjäyj

0

324 4- 16y2 9(36 — ,ß) '

Wendet man auf die Berechnung’ dieses Integrals die Simp-Wsche Regel an, indem man 2n = 4, also ä = 0,9 setzt, so erhält man

Nun ist

0,3.1/41    :    f/16 =    1/3^69

folglich erhält man für PA den Näherungswerth PA = 4,2624 8453, so dass man mit Rücksicht auf Gleichung (17.) für den ganzen Ellipsenquadranten

4 = 0,4802 3432;

(27.)

(28.)

BP A = q = 12,7650 5647 erhält. Durch wirkliche Berechnung des elliptischen Integrals hatte man auf Seite 319 in § 58 für denselben Ellipsenquadranten

q = 12,763 4994 gefunden, so dass das durch Anwendung der Simpson¹ sehen Regel berechnete Resultat um 0,0015 571, d. h. um 0,0001 2200 der Bogenlänge zu gross ist.

Wenn man für die Zahl n noch grössere Werthe wählt, so werden die Resultate natürlich genauer.

(29.)

§ 67.

Gauss’schü Quadratur.

(Vergl. die Formel- Tabelle Nr. 190 und 191.)

Nach der SimpsoFschen Begel (Formel Nr. 188 der Tabelle) ist näherungsweise

b

(1.) F — jf (x)dx = | [/(«) + 4f(a + h) +f(a + 2h)

a

J' (ci 2h) -f- \f{a -)- Sh)    + Fh)

+ f(b-2h) + Af(b-h) +f(b) ]

— (yo 4~    + 2u₂    4^3 4" 2^4 H- • • • + 2y2n—2 4- 4^2«—1 + 2/2«)•

Auch bei dem in Formel Nr. 189 angegebenen Näherungs-werthe hatte F die Form

(2.)

F — Ä(t'o2/o 4* <?l2/l + c->y‘> ~h * * * 4- Cinyin), wobei c₀, Ci j c₂, ... c4tt passend gewählte Zahlcoefiicienten und yo> 2/2j...2/4» Ordinaten der Curve

(3.)

sind, welche gleichen Absta?id von einander haben. Eine noch stärkere Annäherung bei gleicher, oder sogar noch kleinerer Anzahl von Ordinaten erhält'man, wenn man den Ordinaten nicht die Beschränkung auferlegt, dass sie gleichen Abstand von einander haben, sondern wenn man dieselben passend auswählt.

Handelt es sich z. B. um den Doppelstreifen

e-\-h    c+ h

(4.) jf(x)dx = fF\x)dx = F(c 4- h) — F(c — h)

c—h    c—h

so mögen in dem Ausdruck

(5.)

Fi = h[cif(c — uh) 4- c₂f(c 4- ßh)] die 4 Grössen c1} c₂, u, ß so bestimmt werden, dass in der Entwickelung von Fl nach steigenden Potenzen von h, also in

À²

(6.) Fi = (d + c^jhf (c) + (— -f c₂0) - j /'(c)

^3    7*4

+ (cfa² + c₂ß²)^yf“(c) + (— CtU³ 4- C₂ß³) gj/'"O)

+ Ol«⁴ + C₂/^)    /⁽⁴⁾0) 4—

möglichst viele Glieder mit der in Gleichung (4.) gegebenen Entwickelung übereinstimmen. Zunächst folgt aus den Gleichungen

(7.)

— cia + ciß — 0, oder c\u — c₂ß

und

(8.)

— c,«³ + c₂ß³ — 0, oder cta³ — c₂ß³,

dass

(9.)

ß² — a¹, oder ß = ± a.

Wäre ß = -—a, so würden die beiden Ordinaten f(c-—ah) und f(c 4- ßh) zusammenfallen; damit man zwei verschiedene Ordinaten erhält, muss man also in Gleichung (9.) das obere Vorzeichen wählen. Daraus folgt dann

C\ — c₂,

so dass die Gleichungen (5.) und (6.) übergehen in (11.) Fi = cji[f(c — uh) +/0 + «ä)J

(10.)

h³

hb

= 2 cihf(c) + *«*-■■/"(*) 4- ci«⁴^-/W(c) 4----J *

Jetzt sind nur noch die beiden Grössen ci und a so zu bestimmen, dass

(12.)

Ci — 1,    3 cya¹ — 1, also « =

wird. Dies giebt

|/3

yù +f(c + 71)]

(13.)    F,=ä[/(c

r    7/³

= 2 [hf(c) 4-

Es ist daher

Indem man in Gleichung (13.) für c die Werthe c = a -f h, a + 3h,...b — h einsetzt und die daraus sich ergebenden Aus-

b

drücke addirt, findet man für ff(x)dx den Näherangswerth

a

(15.) J=A[/(a + ³ ~^³ A)+/(

+ /(“ + ⁹ ₃^^) +/ (° H

■'A +/(»

In dieser Formel braucht man 2n Ordinaten und erhält

eine etwas stärkere Annäherung als bei der Simpson'schm Eegel unter Benutzung von 2n + 1 Ordinaten. Da nämlich 2nh gleich b — a ist, so wird der Fehler bei dieser Formel nach Gleichung (14.) gleich einem Mittelwerth von / (i\x), multiplicirt

mit

270

c+h

(14.)

jf (x)dx

-F,

135

—-; er verhält sich also zum Fehler bei der Simp

son’sehen Regel etwa wie 2 zu 3.

Durch die Einführung der Irrationalität Y 3 wird die Rechnung im Allgemeinen nicht erschwert. Wenn z. B. fix) eine rationale Function von x ist, so wird die Summe

Kc-^i)+f{c+y%)

rational. Die Rechnung wird dann sogar noch einfacher als bei Anwendung der Simpson'scheu Regel, wie das folgende Beispiel zeigen möge.

-h

Aufgabe. Es soll wieder

ln 2

i

berechnet werden unter Anwendung von 10 Ordinaten.

Auflösung. In diesem Falle ist h — 0,1 und

39 — 1/3

30

30

51—1/3

30

57 + y 3

+/(    30

oder da f{x) = ist,

(16.) ¹

33 — 1/3    33 + 1/3

⁺(

45 — 1/3    45+I/3

)<

- , —

39 — 1/3    39 + 1/3/

- —_ _|--¹— ^

5i—y3 51 + 1/3/

57 — 1/3    57 + 1/3/J

33

39

45

51

57

Nun ist

also

181 ' 253 ' 337    433 ' 541

33 : 181 = 0,182 320 442 0 39 : 253 = 0,154 150 197 6 45 : 337 = 0,133 531 157 3 51 : 433 = 0,117 782 909 9 57 : 541 — 0,105 360 443 6

F= 0,693 145 150 4 = ln2 — 0,000 002 030 2.

Der Fehler ist also kleiner als bei Anwendung⁻ der Simp-sWschen Regel mit 11 Ordinaten.

Auch dieses Verfahren lässt sich verallgemeinern, indem man (18.) F₂ = hct[f(c — uh) + f (c + ah)] -f hc₂ [f(c — ßh)

+f{cJr ßh)]

Â³

= 2[(ct + c₂)hf(c) + (cta² + c₂ß*)~ff“(c)

Ä⁵

h⁷

+ (cta⁴ + c₂ß⁴) ^ j-./⁽⁴⁾(c) + (eia⁶ + c,ß⁶) ₆ , ./’⁽⁶⁾(c)

h⁹

+ (eia⁸ + c₂ß⁸) öff⁽⁸⁾(c) H----

setzt und die 4 Grössen clf c₂, u, ß so bestimmt, dass möglichst viele Glieder dieser Entwickelung mit den entsprechenden Gliedern in der Entwickelung von

c+2Ä

(19.) J'f{x)dx = JF\x)dx — F(c + 2h) — F(c ■— 2h)

c—2h

= ²[n/(c)+fr/,,{c) +

c-f2Ä

c - 2h

32 h⁵

5!

ß%c) +

128 h?

7!

ß⁶⁾(c)

+ 5f>(«) ₊ -

übereinstimmen. Dies giebt die Gleichungen

(20.)

Ci + c₂ = 2,

(21.)

g

ClU² + c/=~)

O

(22.)

ctu⁴ + c₂ß⁴ =

32

ST’

128

(23.)

+ Ciß* = — *

Eliminirt man aus den Gleichungen (20.) und (21.), (21.) und (22.), (22.) und (23.) die Grösse cl} so erhält man

(24.) c₂(cc² — ß²) = 2^_0,

(25.) «,/»•(«« -/*’) = 8 (y~ |)= ²^(“² -|)’ (26.) <*/*(«» - A²) = 32 (y —    = 8A²(y -|)

also

4\ /a²    4\

7 / \ 3    5/

Dies giebt

<i|

oder

(28.)

(29.)

U¹ —

35u⁴ — 120«² + 48 = 0, 60±yi92Ö    12 ±1,6 Y SO

35

Da die Gleichungen (20.) bis (23.) sich nicht ändern, wenn man ct mit c₂ und a mit ß vertauscht, so genügt ß derselben Gleichung (28.) wie u\ es sei deshalb

(30.)

«² =

(3 — 0,4 |/3Ö), ß- =    (3+0,4 ]/3Ö).

Dann folgt aus Gleichung (24.)

2(3«² — 4) _ 8(9 — 1,2 )/30 — 7)

3 («² — ß²) ~    ~~

2    (Bß² — 4)

3    [ß² —u²)

Es ist daher

(33.) F₂ = (l “h    |y

(31.) c₂ =

(32.) c? =

— 3.3,21/30

+30,

18

= ! +^1^0.

2V3 — 0,4j/30

y?

h)

+(i-^y3o)/(/(c

+/(c +

2V3+~0,4l/3Ö

2/ 3 — 0,41/30

1/7

Ä)1

y?

Ä)

+/(c +

2^3 + 0,41/30

*)]•

Ä⁹

Der Coefficient von -y in der Entwickelung von F₂ wird

8!

dabei

20,«s + Ctßs) = 2 • (l)‘[(i + j^ao) (3 - 0,4 V30)⁴

(1—j₈- r§ö)(₃ + 0,4 räoJJ

1024.5,16

49

Deshalb wird

c+2Ä

(34.) jf(x)dx — F₂ = ( g j

20,48ä9 138 915

1024Ä⁹    1024.5,164⁹

8! 49

c—2h

/<»(«)+ —

Bezeichnet man

/[« + (4m — 2 — a)Æ] mit y»,

/[« + (4m — 2 + a)Ä] mit ymf /[«+ (4m — 2 — ß)h] mit ym, f\a + (4m -r2 + /S)Ä] mit y«, ₄,

b

so erhält man für das gesuchte Integral Jf{x)dz^ den Nähe-

u

rungswerth

(35.) F — hci[(yXj 1 + yi, ₂) + (3/2, 1 + Vi, 2) + ••• + (y», 1 + yn,2)] +    [(yi, 3 + yi, 4) + (y2,3 + y2,4) + • • • + {yn, 3 + yw, 4)].

Da hierbei 4nh = b — a ist, so wird, wenn man mit © eine Grösse zwischen 0 und 1 bezeichnet, der Fehler

= ⁵»¹²^ ~~ a)h⁸f(s> [a + G(b 138 915 y L V

(36.)

jf{x)dx

2?

3?

— fl)];

er wird also mit h zugleich unendlich klein von der achten Ordnung.

Die folgende Aufgabe möge zeigen, wie bei den Anwendungen häufig die in «, ß, ct, c₂ enthaltenen Irrationalitäten vermieden werden können, weil in dem Endresultat nur die symmetrischen Functionen von a² und ß² auftreten. Nach Gleichung (28.) wird aber

(37.)

«² -j- ß² =

120

35

«V² =

Cdx

Aufgabe. Man soll wieder ln 2 = /— unter Benutzung von

12 Ordinaten berechnen.

Auflösung. Hier ist

o ⁵    /(*) =

also, wenn man der Kürze wegen 12c mit k bezeichnet,

24 k

/(c — ah) + f{c + ah) =

12

12

12 c-— a

12c + a

k² — a²

12

12

24/£

12c — ß 12 c + ß k² — ß²

Deshalb wird mit Rücksicht auf die Gleichungen (31.)

und (32.)

(38.) ci[/(c — ah) -f f{c + ah)] + c₂ [/ (c — ßh) +f{c+ ßfy]

3 w² — 4 k² — ß²

48/£

Sß² — 4

3(«² — ß²)(

16k r— 3(a* —/-A) + (3/c² + 4) («² —£²)] («² — jtf²) [A⁴ — {a² -j- ß²)k² + a²ß²J

Æ² — a²

16k(105k² — 220)

35 k⁴ — 120 k² + 48

1U[— 3(a² + ß²) + 3 k² + 4]

⁼ J* __ («2 ₊ ß²)k² +■ a²ß²

Wenn man in diesem Ausdruck für k=l2c die drei

Werthe

12(1 + 2h) = 14, 12(1 + 6h). — 18, 12(1 + 10A) = 22 einsetzt, so erhält man bezw.

(39.)

ciOi, i + Vu 2) + cz(y\, 3 + yi, 4) —    021 ’

25 350 ~9467 ’ 139 150 63 601

c\{yz, 1 + y-2,2) + cziyz, 3 4- yz, 4) —

c\(y3,1 + y3,2) + cz{y3,3 + y3,4) =

man

Indem man diese Werthe in Gleichung (35.) einsetzt, findet

(40.)

1 /35 630    25 350    139 150

— 12 V10 321 ⁺    9 467 ⁺    63 601

Nun ist

35 630 : 10 321 = 3,452 184 865 808 25 350: 9 467 = 2,677 722 615 401 139 150 : 63 601 = 2,187 858 681 467

folglich wird

(41.)

■I

F= 8,317 766 162 676 : 12 = 0,693 147 180 223 = ln 2 — 0,000 000 000 337.

Man erhält also durch dieses Verfahren eine ausserordentlich starke Annäherung.

Noch stärker wird die Annäherung, wenn man in den Gleichungen

cĄ-Zh

c+Zh

(42.)

Jf(x)dx =Jfj(x)cIx =

F(c -f- 3h) — F(c — 3h)

c—Zh

c—3h

und

(43.) F₃ == hei [f(c

— ah) +f(p + (*h)\f + hc₂ [ (c — ßh)

+f(.c + ßh)] + hcz[f{c — yh) +f(c + yh)]

die rechten Seiten nach steigenden Potenzen von h entwickelt und die 6 Grössen cu c₂, c₃, a, ß, y so bestimmt, dass in beiden Entwickelungen die Coefficienten von h, lv\ h¹, h?, hn mit einander übereinstimmen. Der Fehler wird dann mit h zugleich unendlich klein von der 13ten Ordnung.

In dieser Weise kann man das Verfahren noch beliebig weiter fortsetzen.

XIII. Abschnitt.

Kubatur der Körper und Coinplanation der krummen Oberflächen. Mehrfache Integrale.

§ 68.

Kubatur der Körper durch Anwendung einfacher Integrale.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 192.)

Es war bereits in Abschnitt VI gezeigt worden, wie man das Volumen eines Rotationskörpers berechnen kann. Es wurde damals der Körper durch Schnitte, senkrecht zur Rotations-Axe in unendlich viele, unendlich dünne Schichten zerlegt, die man unter Vernachlässigung unendlich kleiner Grössen höherer Ordnung als Kreiscylinder betrachten darf. Ist z. B. die den Körper begrenzende Fläche durch Rotation der Curve

(1.)

y =/(*)

um die A-Axe entstanden, so ist die Grundfläche eines solchen Cylinders ein Kreis mit dem Halbmesser y und dem Flächeninhalte y^n. Da der Cylinder die Höhe dx hat, so wird das Volumen einer solchen unendlich dünnen Schicht

(2.)

dV — y^ndx, also das Volumen des ganzen Rotationskörpers

(3.)

= nJy^dx,

wie bereits in Formel Nr. 131 der Tabelle angegeben ist.

Ein ähnliches Verfahren kann man auch für die Berechnung des Volumens bei anderen Körpern an wenden. Man theilt dieselben in unendlich viele, unendlich dünne Schichten durch Schnitte, welche zur X-Axe senkrecht stehen, und summirt die Volumina dieser einzelnen Schichten.

Zur Berechnung des Volumens der einzelnen Schichten muss zunächst der Flächeninhalt der einzelnen Schnitte als stetige Function von x bekannt sein, wobei x= OQ der Abstand des betreffenden Schnittes von der YZ-Ebene ist (Fig. 112). Es sei also F(x) der Flächeninhalt eines solchen Schnittes, welcher in F(x+Ax) übergeht, wenn x um Ax = QQi wächst, d. h. wenn der Schnitt durch den Punkt Cb der X-Axe gelegt wird.

Legt man durch die Umgrenzungen der beiden Schnittet (x)xm(\.F(x+Ax) j Parallele zur X-Axe, so werden die beiden Um-grenzungscurven der Y Schnitte in die FZ-Ebene projicirt. In Figur 113 sei z. B. die Curve ABCJEFGK die Projection von F(x), und die Curve ALCDEMGH die Projection von E{x -f Jx). Die beiden Figuren haben das Stück ALCJEMGK gemeinschaftlich; dieses Stück muss man um

(4.)    = ALCB und a-₂ — GFEM

vermehren, damit man F(x) erhält, während man

Fig. 112-

Q QJ

■X

Fig. 113.

,_D

B/

My

ßi = AH G K und — CJED hinzufügen muss, damit man F(x -f- Jx) erhält.

Denselben Schluss wird man auch allgemein ausführen können. Die Projectionen der beiden Schnitte werden ein Flächenstück

(4 a.)

F(x) — a =■ F(x + Ax) — ß gemeinschaftlich haben, wenn man mit a und ß die Summe der

Kiepert, Integral-Eeclinung.

(5.)

24

kleinen Flächenstücke bezeichnet, welche das gemeinsame Stück bezw. zu F{x) und F{x 4 Jx) ergänzen. In Figur 113 ist z. B.

a = cc₁ -f- aż und ß — ßi 4 ßi •

Dabei sind a und ß kleine Grössen, welche mit Jx zugleich verschwindend klein werden, weil*F(«) als eine stetige Function von x vorausgesetzt worden ist.

(6.)

Bezeichnet man das Volumen der dünnen Schicht mit JV, so wird JV im Allgemeinen grösser sein als ein Cylinder, welcher Fix) — a = Fix 4 Jx) — ß zur Grundfläche und Jx zur Höhe hat. Dagegen wird JV im Allgemeinen kleiner sein als ein Cylinder, welcher F(x) + ß = Fix 4 Jx) 4- « zur Grundfläche und Jx zur Höhe hat, d. h. es wird im Allgemeinen [F(x) — a\Jx Fk J VFk [-F(rc) 4 ß]Jx

sein. Dies giebt

(7-)

JV

A F{x) 4 ß

oder, wenn man Jx verschwindend klein werden lässt,

(8.)

F(x)^

dV

dx

also

(9.)

dV

v-hdx-

Wie bereits hervorgehoben wurde, gelten die Schlüsse nur im Allgemeinen. Die krumme Fläche, welche die betrachtete Schicht begrenzt, kann möglicher Weise zwischen den beiden Schnitten Fix) und F{x 4 Jx) solche Einbiegungen oder Ausbiegungen haben, dass der Cylinder mit der Grundfläche Fix) — a und der Höhe Jx nicht ganz innerhalb der Schicht JV liegt, oder dass der Cylinder mit der Grundfläche F(x)+ß und der Höhe Jx die Schicht J V nicht vollständig einschliesst. In diesem Falle lege man durch eine Gerade g, welche zur X-Axe parallel ist und die Schicht durchbohrt, eine beliebige Ebene QQ^P^P (Fig. 114). Diese Ebene sei auf der einen

\F{x) — cc]Jx SiFS \F(x) + ß]Jx, JV

^F(x) + ß,

Seite durch die Gerade

g begrenzt und schneide die Figuren F{x) und F(x + Jx) bezw. in den Geraden QP und QtP,. Die begrenzende Fläche [schneide sie in den Curvenbogen PP,, welcher in den Punkten Pk und Pg bezw. den kleinsten und den grössten Abstand von der Geraden g haben möge. Dreht sich nun die Ebene QQiP,Pum die Gerade g, so beschreiben die Punkte Pk und Pg auf der begrenzenden krummen Fläche zwei Curven, deren Pro-jectionen in die FZ-Ebene jetzt mit F(x) — « und F(x) + ß bezeichnet werden mögen. Dann wird wieder

Fig. 114.

vP

Pk

Qk

Qg Q,

F(x) — a^-

w    — zfr

also, weil fiir verschwindend kleine Werthe von Jx die Punkte

Pk und Pg mit P zusammenfallen, so dass a und ß verschwindend klein werden,

F{x) ^

dV

dx

^F(x);

dies giebt wieder

dV

dx

= F(x), V

a?sj

= ^F{x)dx.

»•i

In dieser strengeren Herleitung ist der zuerst behandelte, am häufigsten vorkommende Fall eingeschlossen.

Die Berechnung des Volumens der Körper nennt man „Kubatur der Körper¹¹.

§ 69-

Uebungs-Aufgaben,

Aufgabe 1. Man soll das Volumen des Körpers berechnen, welcher von dem elliptischen Paraboloid mit der Gleichung

24*

77

Fig. 115.

(1.)

y² -f- a²z² — 2px und von der Ebene mit der Gleichung1 x — c ein geschlossen ist (Fig. 115).

Auflösung. Jeder Schnitt senkrecht zur X-Axe schneidet aus der ’x Fläche eine Ellipse mit der Gleichung

(2.)

a²z²

2px ' 2px und mit den Halbaxen

«i = ]/2px, b i = Y2px

aus. Der Flächeninhalt dieser Ellipse ist bekannntlich F(x) — aJin = n

(l

folglich findet man für das Volumen des Körpers

(3.)

(4.)

■jF{x)dx = ^~Jxdx = 0 0

PJL rxw ₌ tPJ

a *• '-*o a

(5.)

Aufgabe 2. Man soll das Volumen des dreiaxigen Ellipsoids

t. + vl

a² ^ b²

Z²

c²

berechnen.

Auflösung. Auch hier ist jeder Schnitt, senkrecht zur X-Axe, eine Ellipse mit der Gleichung

z²_a² — x²

c²    (l²

und mit den Kalbaxen

(6.)

oder

a²y²

a²z²

b²{a²—x¹)    c:2ya²—x²)    ^

ya² — x², bi = y a² — x2 folglich ist der Flächeninhalt dieser Ellipse

(a² — x²)n.

(7-)

(8.)

«i =

F(x) = aJin =

a²

§ 69. Kubatur der Körper; Uebungs-Aufgaben. Das Volumen des Ellipsoids wird daher

-f-a

-fci

(9.)    V =jF(x)dx = ~L2 — x*)dx

ben

a²

ben /2a³

V 3

\ 4 oben

)~    3

Aufgabe 3. Man soll das Volumen des Körpers berechnen, welcher von der Fläche 4ten Grades

(10.)

a² y² -j- x²z² = b²x²

und den beiden Ebenen

(11.)

x = 0 und x = a eingeschlossen wird. Die durch Gleichung (10.) dargestellte Fläche heisst: ,,Co?iocu?ieus von Wallis¹¹.

Auflösung. Die Schnitte, senkrecht zur A-Axe, sind wieder Ellipsen mit der Gleichung

(12.)

a²y2 b²x²

und mit den Haihaxen

(13.)

ax =

bx

! b\ — b,

folglich wird der Flächeninhalt eines solchen Schnittes

(14.)

T1, N 7    b²xn

(15.) V

Gleichzeitig gewinnt man aus dieser Untersuchung Auskunft über die Gestalt der Fläche.

Aus Gleichung (10.) ergiebt sich zunächst, dass die Coor-dinaten-Ebenen Symmetrie - Ebenen der Fläche sind, und aus Gleichung (12.) erkennt man, dass die Schnitte, senkrecht zur A-Axe, Ellipsen sind, welche alle dieselbe Halbaxe bx — b haben,

bx

während die andere Halbaxe ax = — mit x proportional zunimmt. Die X Y- Ebene (mit „der Gleichung z — 0) schneidet die Fläche in zwei geraden Linien mit den Gleichungen

ay — db bx,

und die ZX-Ebene (mit der Gleichung y = 0) schneidet die Fläche in der DoppelJ-Geraden

(16.)

(17.)

x = 0,

welche mit der Z-Axe zusammenfällt, und in^den beiden Geraden

z — -j- b, z = — b.

(18.)

§ 70.

Einführung mehrfacher Integrale.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 193.)

In den soeben behandelten Aufgaben war

V=fF(x)dx,

wobei der Flächeninhalt der ebenen Figur F{x) nach den Ausführungen in Abschnitt V selbst wieder durch Integration ermittelt wird, und zwar war in allen drei Aufgaben

F{x) — aj)\.n

(1.)

der Flächeninhalt einer Ellipse

(2.)

6i

b^y² + adz² = adbd, oder z = ± — y ad — y².

Nach Formel Nr. 128 der Tabelle findet man daher F(x) aus der Gleichung

4-«i

+°i

(3.) F(x) =ßz‘ — z“)dy = ~^Jdy V ad — V'

—«i

= w[i1/a,2_y2 +

—«i

ad

arc sinf — )

\«i/

_i+ai

— tt\b\7T.

—ax

Dabei war in den Aufgaben 1, 2 und 3 bezw.

ai — Y 2>px,

bi =

— 1/2px ; a

(4.)

ai = — y a¹ — X¹, a

h = -ya2 — X2;

a

«i =

bx

bi = ót.

Daraus erkennt man auch, dass in der Gleichung (3.) die Integrationsgrenzen •— a\ und + noch Functionen von x sind.

In ähnlicher Weise wird auch die Aufgabe, das Volumen eines Körpers zu berechnen, ganz allgemein zu behandeln sein. Den Schnitt, welcher senkrecht auf der X-Axe steht, und dessen Flächeninhalt mit F{x) bezeichnet worden ist, erhält man, indem man in den Gleichungen der den Körper oben und unten begrenzenden Flächen

*' = ff[x, V) und z“ = h(x, y) die Grösse x als Constante betrachtet. Setzt man

(5.)

*' —    = g{x, y) — h(ar, y) =f(x,[y)

so ist der Flächeninhalt dieses Schnittes

(6.)

(7.)

y*    y-i

Fix) =J\z‘ — z“)dv y)dv>

Vi    Vi

wobei im Allgemeinen, je nach den Bedingungen der Aufgabe, yi = <p(x), yl = tfß(z)

noch Functionen von x sein werden. Da nun nach Formel Nr. 192 der Tabelle das Volumen des Körpers

(8.)

(9.)

V ==JF (x)dx

Xi

ist, so erhält man mit Kücksicht auf Gleichung (7.)

V(x)

V = fdxf{z‘ — z“)dy —Jdxff{x, y)dy.

XX ip(x)

Besondere Aufmerksamkeit ist dabei auf die richtige Bestimmung der Grenzen yi = <p(x) und y-₂ = ip{x) zu verwenden.

(10.)

X-i

y-i

*1 Vi

Den Ausdruck auf der rechten Seite von Gleichung (10.) nennt man „m Doppelintegral“.

Am besten wird man das angedeutete Verfahren durch die Behandlung einiger Aufgaben verstehen.

Aufgabe 1. Die Gleichung

p(z — z₀) = xy

Stellt ein gleichseitiges hyperpolisches Paraboloid dar; mail soll das Volumen des Körpers berechnen, welcher oben von dieser Fläche, unten von der XY-Ebene, vorn und rückwärts von den Ebenen y — c und y = d, links und rechts von den Ebenen x = a und x = b begrenzt wird. Dabei ist z₀ so gross gewählt, dass das durch die angegebenen Grenzen eingeschlossene Stück der Fläche oberhalb der XY-Ebene liegt.

(11.)

Auflösung. In diesem Falle ist

(12.)

z' = z₀ + -^-

die Grenzen der Intégrations-Veränderlichen y sind constant, denn es ist

(13.)

y2 = d.

Man erhält daher

(14.)

b d

=J dxj(z‘ — zu

a c

= ¹-Jdx[pz<ä + f²]

„    c

b d

)dy ^fdxßpz» + xy)dy

= ^ jdx \2pZo (d — c) + (d- — c²)x]

d—

2p

er    x²lb

- 2pz₀x + (d + c) — J

(15.) V =

(b — a) (d — c)

Pzo + (« + à) (c -j- d)J.

Aufgabe 2. Die Gleichung⁻

(16.)

2p(z — s₀) — y² — m²x²

stellt ein hyperbolischen Paraboloid dar; man soll das Volumen des Körpers berechnen, welcher oben durch diese Fläche, unten durch die X Y- Ebene und seitlich durch den Cylinder

(17.)

x² y² = a²

begrenzt wird. Dabei sei z₀ wieder so gross gewählt, dass das von dem Cylinder eingeschlossene Stück des Paraboloids oberhalb der XY- Ebene liegt.

Auflösung. Eine Ebene, welche man durch den Punkt Q der X-Axe parallel zur YZ-Ebene legt, schneidet aus dem Körper eine Figur F{x) aus, welche oben durch die Parabel

Fig. 116.

p*

(18.) z'=-^-(2pz₀ + y² — m²x²),

unten durch die Gerade z" = 0

und seitlich durch zwei Gerade WXPX und W‘i l\ begrenzt wird, in denen der Cylinder von dieser Ebene geschnitten wird (Fig. 116). Dies giebt

(19.)

W,

%r

Hi.    %    ,V2

=JdxJzdy — ~jdxj(2pz₀ + y¹

X1 Vi

= YPfdx[2pz,,y+ 3

— m²x²)dy

(20.) V

y±

— m²x²y

Vi

In diesem Falle sind aber yx und y-₂ Functionen von x, denn der Schnitt, welchen man durch den Punkt Q der X-Axe parallel zur YZ-Ebene legt, schneidet den begrenzenden Cylinder

in zwei Geraden, welche auf der X F-Ebene in den Punkten Wx und W% senkrecht stehen (Fig. 117). Deshalb wird

Fig. 117.

■£>

JB\

(21.)

V2= + ]/a² — z²,

ÿi — — Va² — X¹

y,

und

TFi

— m²z²    ^ (a² — x²)]

(22.) V

= ~J'2dxya² — x² [2ipzo

X!

6pz₀ + a²

3p

»2

j’dz y a²

—x²

3 m² + 1

æ,

3p

x₂

-Jx²dz Y a²

— x².

Nun ist nach den Formeln Nr. 117', 115 und 118 der

Tabelle

(23.) Jz²dx }V

■— x²

x²dx

ya² — x²

(24.) J'dxyd² — a;² =

= ~ x(2z² — a²) yu² — z² + cdarcsin^^j >

| VoCT+f

arcsini

Dabei muss der Punkt Q den ganzen Kreisdurchmesser BA durchlaufen, d. h. zi ist gleich — a und z₂ gleich + a. Dies giebt

-f«

(23 a.)

Jx²dxya² — x² —

a⁴    .    a⁴7r

— arcsin 1 = ——- ? 4    8

+<*

(24 a.)

!dxya² — x² — a² arcsini =

r’

—a

(25.)

§ 70. Einführung mehrfacher Integrale. {8pz₀ -j- a²)a²n (3m² -f 1 )ain

u²tt

24p

8p

[8/>2o + (1 — m²)a²],

Aufgabe 3. Die Gleichung

(26.)

2pz = y² — m²x2 stellt wieder ein hyperbolisches Paraboloid dar, welches die XY-Ebene in den beiden Geraden AC und BD mit den Gleichungen

(27.)

y = + mx und y = — mx schneidet (Fig. 118); man soll das Volumen des Körpers berechnen, der oben von der Fläche, unten von der XY-Ebene und seitlich von dem Cylinder x². -f- y² ■=. a²

Fig. 118.

(28.)

Bj

JJ

begrenzt wird.

Auflösung. Wenn die Constante p positiv ist, so liegt nur derjenige Theil der Fläche über der XY-Ebene, für welchen y²>m²x² ist; das Körperstück, welches berechnet werden soll, liegt also ausschliesslich über dem schrafflrten Theile der Figur. Da die XZ-Ebene und die YZ-Ebene Symmetrie - Ebenen sind, so genügt es, das Volumen des Körpers zu berechnen, welcher über dem Kreissector COE liegt, wenn man das gefundene Resultat noch mit 4 multiplicirt. Es wird also

cc

yD

(29.)

wobei

*2 Vi    Vi

— 4 jdxjzdy — ~ jdxj[y²

Vi    Vi

— m²x²)dy

(80.)

yi = Ql\ = mx, = 0,

y₂ = QP₂ = y a² — x², x₂ = OF= a cos« =

yi +

ist, wenn man den Winkel XOC mit a bezeichnet. Es ist nämlich as die Abscisse des Punktes C, für den die beiden Gleichungen

y — Y a² — x² und y = mx gemeinschaftlich gelten, für den also

d² — x¹ — m²x²,

oder a;²(l -f- m²) = a2 wird. Deshalb findet man aus Gleichung (29.)

^--- m²x²yl

mx

(32.) V

x₂

=1fdx[

*1

⁼lpjdx[ ^

«i

—a:²(a² — #² — 3m²a:²) -j- 2m³a³]

=    |~a²Jdxya²

—x² —

X-i

(1 + 3 m²)jx² dx y dl

xi

x²

Xz

-f- 2mz jxzdx^.

Nun ist nach Gleichung (24.) und (31.)

X₁

(33.)

«2

jdx y a²

-X² =

a²

^ y a²—x¹ + ~ arcsin [sin« cos« + arcsin (cos a)]

i a COS «

ni

1 -j- m² 2 a

nach Gleichung (23.) ist ferner

—x² = — a:(2a;²—

x2

(34.) jx²dxya²

⁰⁰ V ⁰⁰

,- / T \7® cos«

a²)y d²—x²+«⁴arc sin (^—jJ

[sin a cos « (2 cos²« — 1) + arcsin(cosa)]

und endlich ist

_a⁴[~m(l-—m²) ₍ n 8”L (Ï + rn²)¹ + ¥

«];

Fig. 119.

R-,

's

Aufgabe 4. Aus einer Kugel mit der Gleichung (37.) *²+*/² + z²—a² = 0 bohren die beiden Kreis-cylinder mit den Gleichungen

(38.) x¹ -f- y² — ax — 0 und

x‘² + y² -f- ax — 0

Oeffnungen heraus ; wie gross ist das Volumen des übrig gebliebenen Theiles der Kugel (Fig. 119 und t 120.)

Auflösung. Die X Y-Ebene schneidet die Kugel in einem Kreise mit dem Halbmesser a und die beiden Kreiscylinder in

Kreisen mit den Halbmessern ^ (Fig. 119 und 120). Legt man

£

durch den Punkt Q der X-Axe einen Schnitt senkrecht zur X - Axe, so schneidet derselbe aus der Kugel einen Kreis mit dem Halbmesser

(39.)

x*

~x^~\a cos “ a⁴

= — COS⁴ a — 4

folglich wird nach Gleichung (32.)

2 ^ g

(35.)

a⁴

4(1 -f- m²)² ’

F=

^    l+3w²^m(l—m²)

( 1 -f- m¹)

“)

oder

m³    “I

2(1 + m²)²J ’

(36.)

a⁴

^—g~ [2m + (1 — m~)    — 2«)].

== yd*—*¹

und aus dem einen Cylinder die beiden Geraden P^P\ und Pi P-₂> (Fig. 121) deren Abstand

Fig. 120.

Q W'i =Yax — x2 vom Mittelpunkt Q des Kreises sich aus der Gleichung

(40.) x² -f- y² — ax = 0, oder

(40a.) y = y ax — x2 ergiebt.

schnitt des Cylinders über OWxA mit der Kugelfläche ist in Figur 119 durch die Curve CPXA dargestellt.

Kreis um Q auf der Kugelfläche liegt, so genügen die Coordinaten der Punkte Pt und iY der Gleichung (37.), die man auf die Form

Ro

w₂

Der Durch-

OQ = x, QRV = Y a- — x², Q Wy = y ax—x².

Da der

(41.)

z‘ = 4~y a² — x² — y².

Fig. 121.

z“ = ~y a² — x² — y²

bringen kann. Man erhält daher für den Flächeninhalt des Schnittes F{x), welcher aus den beiden Kreissegmenten P^TFPi und PiRiPi' besteht,

ff -

W₂ ²

P2

(42.) F(x) = 2jlz‘ —

Vi

p___

= 4 fdy\a²—x² — y²

Vi

z“)dy

wobei

(43.) yi — QW\ = ]/ ax— x², y% — QRi = ]/a²—x2 ist. Nun wird nach Formel Nr. 118 der Tabelle

(44.)

jdy ]/c² — y² = | Vc² — y² + e— arc sin

Ci

folglich ist, wenn man c² = «² — x² setzt,

(45.) F(x) = 4 [|y«‘    — y» + ^

arc sin

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (43.)

F{x) = 2 (a² — .r²) (arcsin 1

— arcsin

1 j ax — X¹ ^

Y aî—x*)

ax

— 2 y ax — x² Y aŁ —

also

(46.) F{x) = 2(a² — x*)(

— arcsin

i=h)

— 2(a — x)Y ax.

Setzt man in Formel Nr. 97 der Tabelle, nämlich in Jude — uo —Je du,

(47.)

— arc sin

l/--

\ a -\- x

de = (a² — #²)c£r

also

(48.)

du == —

adx

x⁹

— a?x--

so wird

(49 ■) Jla* —    — arcsin

o

1f-?—)dx

\ a + xj

=    — arcsin

y.-TiX

«fc-g)T+\fa(Za%x-ßdX

3 / J₀ 6J (a + x) Y ax o

= (?

— arcsin

a -\- x

- dx.

(50.)

Setzt man noch x — at²,

also dx — 2 at dt¹, Yax = at

so wird

(51.)

m a²—z²)V J a -j- X

• 2atdt

i

= 2 a*j-

t¹ + 1

dt

= 2a³/( o

— t* + t² -f 2

~)dt

1 +t*J

= 2a³

also, da arcsinj/^- gleich ~

[— 5- + 3 + 2t~ ² arctg^J = 2a3(f| ^ ist,

f)

(52.) j(a² — X~)Ç~~ — arcsin 0

iy-y*

32a³

2a³ Tr ~ ~3~ ' J ⁺

Ausserdem ist mit Kiicksicht auf die Gleichungen (50.)

I CO

/32    71 \

VÏ5 ~~2j

45

(53 •) Jia — X)Vax

0

. dx

. 2^

1

= 2 cdjy¹

0

— 2a³

= 2 cd( — \ = 0    '    '

Deshalb wird

(54.)

= */*(«)* 0

— lj(a² —    — arcsin

0

l/—)

f fl f xj

dx —

4:ßa-z)V

0

U,JC

dx

128a³    16a³    16a³

45

15

Man hätte auch das Volumen Vi der beiden Cylinder berechnen können, soweit sie in der Kugel liegen. Zieht man

daun das gefundene Besultat von dem Volumen der ganzen

\.CL^ TZ

Kugel, nämlich von > ah, so ist die Aufgabe gelöst. Nach

O

Figur 119, 120 und 121 wird bei dieser Behandlung

(55.)

wobei wieder

V\ _

F\{x) — 4JdyŸ a² — x² — y2 o

y\ = QJFx =Y ax — x2 ist. Dies giebt nach Formel Nr. 118 der Tabelle

(56.)

(57.)

—x¹ —

y¹ + (a²—x²) arcsin^

----T

]/ a² - xl /J₀

= 2(«— x)Yax -(- 2(a²

folglich findet man

z²) arcsin]/a^_ x

(58.) Vx

= 2jï\{x)d

o

*=4fia-x)V

0

ax . dx

ißd² — x²) arcsin j/a q: o

dx.

Nach Gleichung (53.) ist

(59.)

ßa — x) y

o

ax . dx —

-tH

15

Setzt man hier

u — arcsin

V—

\ a + x

, dv = (a² — x²)dx,

also

du —

adx

2 (a + x)y ax

v = a²x

so ergiebt sich durch partielle Integration

(60.) ß(a²—x²) arcsin o

X ₇

-dx —

a -j- x

[(Ä“i)arcsinfev]₀

'(3 a² — x²) y ax ^

Nun ist nach Gleichung- (51.)

(3a² — a;²))/ax

a -f x

dx — 2a³

(32

7T

15    2

folglich wird

a /

(61 .)ßa² — x²) arc sin j/ß +

o

dx —

2a³ Ti 3 ' 4

/32

V15

rt

a³7i    32 a³

3    45 ’

also

(es.) r,_

16a³    4a³7r    128a³

⁺    3

4a³7r

16a³

45

(63.)

Deshalb findet man wieder 4a³7r

16a³

Vl = — 9

Mit demselben Rechte, mit welchem man bisher die Schnitte senkrecht zur X-Axe legte, darf man natürlich auch zunächst Schnitte senkrecht zur F-Axe oder senkrecht zur Z-Axe legen. Wenn man z. B. in der letzten Aufgabe den Körper, dessen Volumen berechnet werden soll, durch Schnitte, senkrecht zur Z-Axe, in Schichten zerlegt, so stellt Figur 122 einen solchen Schnitt dar, wobei OS = z der Abstand dieses Schnittes von

Fig. 122.

der XY- Ebene ist. Die Kugel wird in einem Kreise mit dem Halbmesser

P"

yPi

(64.)    SL = ya² — z²

und die beiden Cylinder werden in Kreisen mit dem Halbmesser

~ geschnitten. Da die Axen

M P'

so ist der Flächeninhalt dieses Schnittes

SL und SM die Figur in 4 symmetrische Theile zerlegen,

F(z) = ±SI\M= 4f(y‘ — y“)dx, o

*1

(65.)

wobei P‘ ein Punkt der Kugel und P“ ein Punkt des Cylinders ist, so dass

y‘ = Y a² — z² ■— x¹

wird, folglich erhält man

(66.)

y“ — ~ÿax — x¹

(67.)

F(z) = 4 / (V a² — z² — x² —J/ o

ax — x²)dx.

Im Punkte Pi werden y‘ und y“ einander gleich; man findet daher den Werth von xi} indem man

oder a² — z² — x² = ax — x²

(68.)

y‘ = y

setzt; dies giebt

(69.)

a² — z²

Nun wird nach Formel Nr. 118 der Tabelle

xx

(70 .)j'V

0

a²—z²—x² . dx— %ya² —z²—x² -j

J2

a²—z²    . / x NT¹

——arcsin ( .    ~ ) ?

2    \y a²—z²/Jo

oder, wenn man

2 = acoscp

a² — z² = a² sin²(f,    xy —

(72.)

a² — z²    . ₂

= «sm²a> a

setzt.

(73.) ßf

0

a¹ — s² — x² dx = V a² sin²r/) — z²

_2

a² smV/> . / X \ f arcsm ( —;— )

2    \asmy/Jo

a sin³r/>

= — sm-V/ (sinf/ cos y + cp).

£J

Ferner ist, wenn man

(74.)

a sin'²?'

also

(75.) a — x = acos²t, }/ax— x²= asmtcost, dx = 2asmtcostdt setzt,

*1

(76.) Jdx\ax

o

—X²

= 2a²

a²

= — [siny cos cp (1 — 2 cos ²y) + y].

Aus den Gleichungen (67.), (73.) und (76.) folgt daher

______ __________ *i

ax — x²

Dabei ist

i[sinV]₀²= ;

/sin²ycosy<tfy =

o

sodann findet man durch partielle Integration

/y(sin y — 2sin³y)</y = /y(2cos²y —- l)sinydy

= y^cosy-— cos ³y^—ß

(79.)

Ol 'CO

cos y

cos ³y^r/y

cf Ç cos y — ^ cos³y^ ~f(jj + ^ sin²y)cosydy

1 . 2 .

- sm y — — sm³y o    9

y ^ cos y — | cos³y^

also 2

lO I 05

(80.)

sin (f

0

(81.)

Deshalb wird nach den Gleichungen (78.) und (79.) wieder

( + )=T

V — 2a³

-h ! co

lO I 05

§ 71.

Theorie der mehrfachen Integrale.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 194.)

Wie aus dem vorhergehenden Paragraphen zu ersehen ist, wird man durch die Kubatur der Körper auf Doppelintegrale geführt, und zwar in folgender Weise. Es war

xp(x)

(i.)

F(x) =ff(z, y)d>j

wobei

(p{x)

(2.)

/(*> V) =    — 2" = g(x, y) — h(x, y)

und

(3.)

*" = Kx, y)

*' = cAx> y)

die Gleichungen der beiden, den Körper oben und unten begrenzenden Flächen sind.|jg$ Bei dem in Gleichung (1.) aufgestellten Integrale ist y die Intégrations - Veränderliche, während x als Constante betrachtet werden muss. Deshalb dürfen auch die Grenzen

(!•)

y2 = }Hx)

y i = <f(x),

dieses Integrals noch Functionen von x sein, wobei die Gleichungen (4.) auf der XY- Ebene senkrecht stehende Cylinder darstellen, .welche den Körper vorn und rückwärts begrenzen. Das Volumen des Körpers wird dann

6    ft ip(x)

V =jF(x)dx =JdxJf(x, y)dy.

Dabei kann der Fall eintreten, dass der Körper, dessen Volumen berechnet werden soll, allseitig von krummen Flächen begrenzt wird, die weder Cylinderflächen noch Ebenen sind. Man denke z. B. an das Volumen des dreiaxigen Ellipsoids. Die vorstehende Untersuchung bleibt aber auch dann noch richtig; es schrumpfen aber die Cylinder

yx = <p(x) und y₂ = xp(x)

zu Curven und die begrenzenden ebenen Figuren in den Ebenen x — a und x — b

zu Punkten zusammen.

Aus dem Vorstehenden folgt gleichzeitig, dass auch gekehrt ein solches Doppelintegral stets als das Volumen eines Körpers betrachtet werden kann, der oben von der Fläche

² =/(*, y),

unten von der XY-Ebene, vorn und rückwärts durch die

Cylinder

(7.) y, = g>(x), y.₂ — y>(z),

'Az links und rechts von den Ebenen (8.) xi = a, x₂ = b begrenzt wird. Die Richtigkeit dieser Behauptung folgt aus Figur 123; dabei entspricht der Gleichung (6.) die Fläche CD FE, den Gleichungen (7.) entsprechen die Cylinder CCiFiE und F)Dd\F, und den Gleichungen (8.) entsprechen die Ebenen CCJ)XD und FEXFXF.

Für einen constant en Werth von x, z. B. für x = OR erhält man eine Ebene, senkrecht zur X-Axe, welche aus dem Körper die ebene Figur

um-

(6.)

Fig. 123.

. F,

■X

(9.)

GGiHiH = F(x) =/f{x, y)dy

cp(x)

ausschneidet.

Aus dieser geometrischen Deutung des Doppelintegrals folgt auch, dass es als eine Summe von zweifach unendlich vielen,

(12.)

f(x, y)dxdy — zdxdy das Volumen eines solchen unendlich dünnen Säulchens QQ1Q3Ô2 PPi P-iPi ist.

Auch die Ordnung der Integration darf man ändern, denn man kann die unendlich dünnen Säulchen, welche zu demselben Werthe von y gehören, durch Summation zu einer unendlich dünnen Schicht vereinigen, welche zur XZ-Ebene parallel ist, und dann durch Summation aller dieser Schichten den ganzen Körper erhalten. Zu beachten ist aber, dass hierbei im Allgemeinen auch eine Aenderung der Integrationsgrenzen statt-flndet.

(13.)

Nur in dem Falle, wo die Integrationsgrenzen (p(x) und tp(x) von x unabhängig sind, werden die Cylinder y = cp(x) und y = ip{x)

in Ebenen

unendlich kleinen Grössen aufgefasst werden kann. Der betrachtete Körper wird nämlich durch die Schnitte, senkrecht zur X-Axe, in unendlich viele, unendlich diinne Schichten zerlegt, und jede solche Schicht wird wieder durch Schnitte, senkrecht zur F-Axe, in unendlich viele, unendlich dünne Säulchen (Fig. 124) zerlegt, deren Höhe QP=z =f{x, y), und deren Grundfläche ein unendlich kleines Rechteck QQ1Q3Q2 mit den

Fig. 124.

■X

(10.)

Seiten dx, dy und dem Flächen- Y inhalte dxdy ist.

Da bei der Integration in Bezug auf y die Grössen x und dx constant bleiben, so kann man na- H' tiirlich die Gleichung (5.) auch in der Form

b xp(x)

V=J ff y)dxdy

a (p(x)

(11.)

schreiben, wobei

(14.) y = c und y = d übergehen (Fig. 125). folgt aus der geometrischen Deutung des Doppelintegrals ohne Weiteres

Fig. 125.

Dann

Dj—"

R,

-X

/Q<\/

I,

b d

(15.) Jdx/f (x, y)dy =

a c d b

fdyfffa y)dx

denn in diesem Falle ist der Körper begrenzt von der krummen Fläche z=f(x,y), von der XY- Ebene und den 4 Ebenen GlCDDl, EiEFFi, CtCEEi, J)J)FF\ mit den Gleichungen

/%/

Fi

(16.)

y — d.

y = c,

x = a, x = b Dies giebt den Satz:

Sind die Grenzen eines Doppelintegrals in Bezug auf x und y constante Grössen, so wird der Werth des Doppelintegrals nicht geändert, wenn man die Ordnung der Integration in Bezug auf die beiden Veränderlichen x und y umkehrt und die Integrationsgrenzen unverändert lässt.

Jetzt ergiebt sich von selbst, was man unter einem dreifachen Integrale

b ip(z) g(x, y)

JdxJdy Jf (x, y, z)dz

a (p(x) h(x, y)

zu verstehen hat. In ähnlicher Weise kann man auch ein n-faches Integral erklären und als eine Summe von w-fach unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen deuten.

Es ist möglich, das Volumen eines Körpers auch als ein dreifaches Integral darzustellen, denn es ist

also

■>    $(*, y)

z‘ — z“ —fdz = fdz,

h(x, y)

z“

b Tp(x) g{x, y) b ip(or) g(x, y)

V — fdx fdy fdz = / J fdxdydz.

a (p(x) h(x, y) a tp(x) h(x, y)

Hierbei ist dxdydz ein unendlich kleines rechtwinkliges Parallelepipedon (Fig. 126), welches das Volumenelement genannt wird. Die angegebenen Integrationsgrenzen deuten darauf hin, dass man zuerst in Bezug auf 2, dann in Bezug auf y und zuletzt in Bezug auf x integriren soll. Man darf aber auch die Reihenfolge der Integration ändern, nur muss man dabei beachten, dass sich dann im Allgemeinen auch die Integrationsgrenzen ändern. Wenn man z. B. zuerst in Bezug auf x integrirt, so sind die Grenzen xt und x₂ im Allgemeinen noch Functionen von y und z, welche durch die Gleichungen der begrenzenden Flächen bestimmt sind.

(17.)

Fig. 120.

Æl ./

I dx

A V

§ 72.

Einführung von neuen Integrations-Veränderlichen.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 195—197.)

Wie man bei den einfachen Integralen durch Substitution eine neue Intégrations-Veränderliche zur leichteren Ermittelung des gesuchten Integrals einführte, so kann man auch bei den n- fachen Integralen durch Substitution n neue Veränderliche einführen und dadurch möglicher Weise die Berechnung des mehrfachen Integrals wesentlich erleichtern. Bei einem Doppelintegrale

(10

b ip{x)

V —f ff(x, y)dxdy

a <p(x)

setze man z. B.

zarzad

SZKOt

y ©ÖBN'CZ£J

'U^¹' 0

LS.

und mache u und v zu Intégrations -Veränderlichen. Während aber bei der Darstellung von V durch Gleichung (1.) constante Werthe von x Schnitte, senkrecht zur X-Axe, lieferten, erhält man für u — c aus den Gleichungen (2.) die Gleichungen

(3.)

« =/iO, »), y =/₂(e, »), welche für jeden Werth von c einer Curve in der XY-Ebene oder einer Cylinderfläche im Raume entsprechen. Ebenso erhält man für constante Werthe von v aus den Gleichungen (2.) wieder Cylinderflächen, welche auf der XY-Ebene senkrecht stehen. Setzt man z. B.

(4.)

x — r cos (f, y = r sin <p, indem man die beiden neuen Intégrations-Veränderlichen mit r und (f bezeichnet, so erhält man für constante Werthe von r

Fig. 127.

concentrische Kreise (Fig. 127), bezw. coaxiale Kreiscylinder, und für constante Werthe von cp gerade Linien durch den Nullpunkt, bezw. Ebenen durch die Z-Axe.

\ \ So lange x und y die Inte-\ \ \ grations-Veränderhchen waren,

I j i musste man sich den Körpei' in J j zweifach unendlich viele, unendlich dünne Säulch en zerlegt denken, deren Höhe z =f(x, y), und deren Grundfläche ein Rechteck mit den Seiten dx, dy und dem Flächeninhalte dxdy ist. Jetzt wird der Körper auch in zweifach unendlich viele, unendlich dünne Säul-chen mit der Höhe

² =/0, y) =/[/iK »), Mu, »)]

(5.)

Fig. 128.

zerlegt, aber die Grundflächen PP₁P₃P₂ (Fig. 128) sind nicht mehr Rechtecke mit dem Flächeninhalte dxdy, sondern kleine Vierecke mit den Ecken P, P1; P₃, P₂. Die Coordinaten dieser Punkte entsprechen nach den vorhergehen Ausführungen bezw. den Werthen (w, ©), (w + du, ©), (« + du, v + dv), {u, v + de), d. h. es wird

(6.) xi — x -\-

öx

du

du,

yx — y -j-

dy

du

du,

dx

(7.)    *2-*+^/,

öx

(8.) xa = x + Qu du -f-

dy

y2 — y + -Qv d»,

de,    y a = y -{- ^ du + ~~ dv.

Nun ist der Flächeninhalt des Vierecks PP₁P₃P₂, da die Seiten als gerade Linien betrachten kann,

(9.) G = \ \x(y\.    yi) + Xi(y₃ — y) + xziyz — y\) + x₂ (y — y₃)]

= ł [(^3 — x) (y2 — yi) — (x₂ — xt) (y₃ — y)],

dx

de

Qj Qj

dy

man

oder

(9 a.)

X%-X, X₂ -X\

ya — y, y-2 — y\

Dies giebt mit Rücksicht auf die Gleichungen (6.) bis (8.)

dx ₇ öx , du -f- dv

dx

du

de

de —

dx

du

du

diy

du

du -f-

i dy de.    —de —

dy

dv

du

du

oder, wenn man die Elemente der zweiten Colonne von denen der ersten Colonne subtrahirt, dx dx du ’ de dy dy du ’ de

(10.) 2 G = 2 du

also

(10a.)

de —

de —

Qji Qj Qj Qj

du

= 2 du de

dx dx du dv

dy dj

du ’ dv

/dx dy dx dy \du dv dv du

^ dudv*).

Vertauscht man in dieser Gleichung u mit v, so ändert sich das Vorzeichen von G. Da nun bei dieser Darstellung die Veränderlichen u und v gleich berechtigt sind, so ist

(dx dy    ôx dy\

du do

(10 h.)

~\dufdo    do du)

und zwar ist das Vorzeichen immer so zu wählen, dass G positiv wird. Auch müssen die Grenzen von

u und v

dx dy    dx dy

du do    do du

halb dieser Grenzen das Vorzeichen nicht wechselt. Deshalb ist das Volumen eines solchen Säulchens

_ _ *L\

do du)

und das Volumen des ganzen Körpers ß *(«)

so gewählt werden, dass der Ausdruck

inner*

(11.)

dx

dudo

(12.)

= ±[Ja*, y)-(

dx dy\ ,    ,

~    —V- ) du do

du o do du/

dx

Qi Qj

« ff(u)

wobei man für x und y noch die in Gleichung (2.) angegebenen Werthe einsetzen und die Integrationsgrenzen passend bestimmen

muss.

Den Ausdruck

dx

(13.)

dx dy

dx dy du do do du

dx | du ’ dot I

dy dy

du ’ do

nennt man „die Functionaldeterminanteu.

Aus den Gleichungen (1.) und (12.) folgt ganz allgemein für die Doppelintegrale die Formel

b ip(x)    ß h(u)

du do.

(U.)J jf(x, y)dxdy = ±j ff (x, y) ■ (|*    — ff f^)

a <p(x)    a g(u)

(15.)

Für den Fall, dass man durch die Gleichungen x — rcos y, y — r siny ebene Polarcoordinaten einführt, wird z. B.

(16.)

's ! «

= cos y

o>: Qj

'S «

= — rsiny,

(17.)

Öy

— sin cf,

die Functionaldeterminante ist daher dx öy    dx öy

ör öcp    öcp ör

folglich geht, da r immer positiv ist, Gleichung (14.) über in

b ip(x)

(19.)    f Jf {%, y)dzdy = / ff (r cos (f, rsmcp) . rdcpdr.

“    9(<P)

Hierbei ist vorausgesetzt, dass man zuerst in Bezug auf r und dann in Bezug auf cp integrirt; man kann aber auch zuerst in Bezug auf cp und dann in Bezug auf r integriren, nur muss man dann die Grenzen anders bestimmen.

Das in Gleichung (19.) enthaltene Resultat findet man noch leichter, wenn man beachtet, dass die Grundflächen PPiP₃P2 in diesem Falle kleine Rechtecke mit den Seiten rdcp und dr sind (Fig. 127).

Wie nützlich die Einführung von neuen Intégrations-Veränderlichen mitunter bei der Ermittelung von Doppelintegralen ist, kann man z. B. aus den in § 70 behandelten Aufgaben ersehen. So war in Aufgabe 2

(18.)

a (p(x)

ör

öcp

-j- r cos cp ;

rcos²^ + rsin²<p = r,

/i h(cp)

(20.)

x-i V±

= L) ß²p*° + y²

— m²x²)dxdy.

Führt man in diesem Falle für die rechtwinkligen Coordi-naten x und y ebene Polarcoordinaten durch die Gleichungen (15.) ein, so erhält man nach Gleichung (19.)

(21.)

2 Tt ct

= ^ jdcpj[2pz₀ + r²(sin²r/'

0 0 2jz

Lh [pz^⁺L

0

— m² cos² cp)]rdr

i"

(sin ²cp — m² cos² cp') J

a²

— 7Ï1² COS² Cf)] •

und dies giebt nach Formel Nr. 98 und 99 der Tabelle in Ueber-

einstimmung mit dem früher gefundenen Resultate

1 + m²    1 — m²

—— a²sm^cos^) -j--—

A

(22.) V —

a² ~ 8p . a²n

4pzQ(f

a²cp

Jo

[8pz₀ + (1 — m²)a²].

In Aufgabe 3 (vergl. Fig. 118) sollte

8p

(23.)

— ²JJ(y² — m²x²)dxdy

*1 Vi

x₂ = acost*

berechnet werden, wobei m = tga, yi = mx, y₂=]/a²—x², xy — 0 war. Durch Einführung von Polarcoordinaten wird nach Gleichung (19.)

71

(24.)

jd<pjr²(sm²(p

m²nos²cp)rdr

ofi [*

=    (sin² (fi — m² cos²(p)d(f,

a

also nach Formel Nr. 98 und 99 der Tabelle

(25.) V =

cd

^ [— (1 + m²) SÙ1 (f COS çp + ( 1 — m²)(f\ “

7T

(1 — m²) — -f- (1 + m²)sinacos« — (1 z

oder, da l + ffl² = l + tg²cz =    ¹₀ ist,

cos²«

[2m + (1 — m²)(n — 2«)].

(26.)

cd r

4p

m²)cc

Bei Aufgabe 4 war nach den Gleichungen (42.), (43.) und (54.) in § 70

a ä*— x²

(27.)

ad — x² —- y² . dxdy.

⁰ yax-x²

Durch Einführung von Polarcoordinaten wird nach Gleichung (19.)

(28.)

= 8jdcfJrdry a-0 a cos (p

also nach Formel Nr. 119 der Tabelle

71

(29.)

2

8 j'dcp]^— g- (a² — r²)}/a-

_^»2

Ja cos (p

7t

71

= ^/sin^ = -^/(l

0 0

cc

cos²</>)<i(cos y).

Dies giebt wieder

(30.)

cd r

3 L

¹    3    1    16,

COS ff —— COS³(f \ =    -

3 J₀ 9

Mitunter wird man sogar bei Anwendung derartiger Substitutionen einfache Integrale dadurch ermitteln, dass man sie auf iJoppelintegrale zurückführt. Es sei z. B.

oo

e~x'z dx

(31.)

zu berechnen; dann ist auch, wenn man x mit y vertauscht,

OO

(32.)

=:jc~y2dy. 0

Indem man die Gleichungen (31.) und (32.) mit einander multiplicirt, erhält man

Dieses Integral stellt das Volumen eines Körpers dar, welcher oben durch die Rotationsfläche

(34.)

z = e-w+y*)

Fig. 129.

co

co co

(33.)

J²

—Je~xidxje-^dy ==J frMdxdy 0 0 0 0

unten durch die XY- Ebene und seitlich durch die XZ-Ebene und die FZ-Ebene begrenzt wird (Fig. 129.)

Durch Einführung’ von Polarcoordinaten findet man da-.4 her nach Gleichung¹ (19.)

7t

2 oo

(35.) J*=jje o o

-r-

rdcpdr.

Dies giebt, indem man

(36.)

r² = — t, also 2 rdr = — dt

setzt

7t

7t

7t

efdt = —

(37.) J² =

—oo

kH‘

0 0

folglich wird

CO

(38.)

=/

o

e~x*dx —    ]/ n.

Dieses Integral spielt eine wichtige Rolle in der höheren Vermessungskunde.

§ 73.

Complanation der Flächen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 198.)

Wie man sich den Bogen einer Curve zusammengesetzt denken kann aus unendlich vielen, unendlich kleinen Sehnen ds,

d. h. wie man den Bogen einer Curve als ein Polygon mit unendlich vielen, unendlich kleinen Seiten betrachten kann, so kann man sich auch eine gekrümmte Fläche

(1-)

F(x, V,z) = 0, oder 2 =/(*, y) aus zweifach unendlich vielen, unendlich kleinen ebenen Stücken zusammengesetzt denken, man kann also die gekrümmte Fläche als ein Polyeder mit zweifach unendlich vielen, unendlich kleinen Seitenflächen betrachten.

Verbindet man nämlich einen beliebigen Punkt P der Fläche mit allen unendlich nahen Punkten durch gerade Linien, so sind diese geraden Linien Tangenten der Fläche im Punkte P und liegen im Allgemeinen sämmtlich in einer Ebene, welche die Tangentialebene der Fläche im Punkte P genannt wird und die Gleichung

(2.)

Ft(xJ — x) + F₂(y‘ — y) -f P₂(z' — z) = 0

oder

(2 a.)

dz

dz

—y)

*'-* = 51 (*'-*> +

hat. (Vergl. D.-R., Formel Nr. 224 der Tabelle.)

Legt man also wieder unendlich viele Schnitte, senkrecht X-Axe und senkrecht zur Y-Axe, so zertheilen diese die Fläche in unendlich viele, unendlich kleine Vierecke PP1P3P2, deren Eckpunkte sämmtlich in der Tangentialebene des Punktes P liegen (Fig. 130). Man kann also das Viereck PP1P3P2 als eben betrachten und findet den Flächeninhalt dO desselben aus der Gleichung

(3.) PP1P3P2. cos y = dO . cosr

= QQ1Q3Q2 = dxdy,

wobei QQ1Q3Q2 die Projection von PP1P3P2 auf die X Y-Ebene und y der Winkel ist, welchen die Tangentialebene des Punktes P mit der X Y-Ebene bildet.*)

*) Der hierbei angewendete Satz ergiebt sich unmittelbar Figur 131 auf der folgenden Seite.

Kiepert, Integral-Rechnung.

zur

äy

Fig. 130.

26

PS

P,

aus

Dabei ist nach Gleichung (2.) und (2 a.) in diesem Falle

(11.)

COS y —

F₃

j/F^ + F₂²+F₃²

folglich wird

"MIM!)''

SQ = SP. cosy, SlQl = SlPl. cosy, S₃ Q3 = S₃P₃. cos y, S-2 Q-2 = S₂P₂. cos y ist. Da nun das Paralleltrapez SQQtSt =

^(SQ + SiQJ.SSi, und das Paralleltrapez SPPxSi =

£(SP+SlPl).SSl, so folgt mit Rücksicht auf die Gleichungen (4.), dass (5.) SQQ^

Wird nämlich das beliebige Viereck PPlP₃P₂ in der Ebene s auf die Ebene et projicirt, so liegen die Lothe QP, Q^Pi, Q₃P₃, QiP-h welche man bezw. von den Punkten P, Pt, P3, P₂ auf die Ebene £1 fällt, in den Ebenen PSQ, P]»Sj Q,, P3-S3Q3, P>S₂Q>, welche durch die Eckpunkte des Vierecks PĄP3P2 hindurchgehen und auf der Schnittlinie AB der Ebenen e und senkrecht stehen. Die Winkel PSQ, P^iQi, P3S3Q3, P₂S₂Q2 sind alle dem Neigungswinkel y gleich, so dass Fig. 131.

(A.)[

A,

8?

— SPPiSi. cos y. Ebenso findet man

(6.)

GO

(8.)

Si Qi Q₃S₃ = SiP^PÿS₃ . cos y, S₃Q₃Q₂S₂ = S₃P₃P₂S₂. cosy, S₂Q₂QS = <%P₂PS . cosy.

Dies giebt

(9.)

Q Qi Q₃ Qi — Si Qi Q₃S₃ -f- S₃ Q₃ Q₂S₂ — S₂ Q₂ QS — SQQySi

— (SiPtP₃S₃ -f- S₃P₃P₂S₂ — S₂P₂PS — »SPPj 6\) cos y = PP]P₃P₂. cosy.

In ähnlicher Weise kann man zeigen, dass die Projection Pt eines beliebigen Polygons F in der Ebene t auf eine andere Ebene £] gleich

(12.)

dO =

dxdy = *$L VW+W+I?

COS Y

oder

(12 a.)

dO =

Die Integration dieses Ausdruckes in Bezug auf y bedeutet, dass man alle diese unendlich kleinen Vierecke summirt, welche zu demselben Werthe von x gehören. Die erste Integration giebt also einen unendlich dünnen Flächenstreifen.

Integrirt man dann noch in Bezug auf x, so erhält man die ganze Oberfläche

6 ip{x)

(13.) 0 = flxjÿy*7 +F,*+W

b y(x) -—

=fdxMi+(Ë)⁺(j$-

<p(x)

cp(x)

Die Berechnung des Inhalts krummer Oberflächen nennt man: „Complanation der Flächen“.

§ 74.

Uebungs -Beispiele.

Aufgabe 1. Die Gleichung

(1.)

pz — xy

stellt ein yleichseitiges hyperbolisches Paraboloid dar ; man soll den Inhalt der Oberfläche zwischen den Ebenen

x = 0 und x — a, y = 0 und y = b

(2.)

berechnen.

Auflösung. Das hyperbolische Paraboloid wird von den begrenzenden Ebenen in geraden Linien geschnitten, so dass die

jF.cosy wird, wenn y der Neigungswinkel zwischen den beiden Ebenen ist. Da man eine krummlinig begrenzte Figur als ein Polygon mit unendlich vielen Seiten betrachten kann, so gilt die Formel

Fi —- F. cos y

auch für jede beliebige ebene Figur F und deren Projection Fx.

(10.)

26*

gesuchte Fläche die Seiten eines räumlichen Vierecks mit einander verbindet. Aus Gleichung (1.) folgt dabei

(3.)

dz y    dz x

dx    p    dy    p

(4.)

deshalb wird

(5.)

a b

0 — 1/* jdy Yp2 o <r

+ x² + y².

Dies giebt nach Formel Nr. 124 der Tabelle

(6.) 0= y<h\yVt?+*+ y,+(p»+»,)ln(y+^*t^,+y*)]>

0    Y r    0

=    dxj^bYp² -j- b² -f- x² -4- (p² -f-x²) ln^

o

b + Yp²-j- b²-j-x'²

Vp²+x²

)J-

Setzt man

\ i dv = (p² -f- x²)dx,

(7.) u — ln ^

b -f- YV¹ T b² 4- x²

Yp² -f- x²

so wird

(8.)

x³

(9.)

du —

v = p²x + — =    (3p² + x²),

O

xdx

(b 4-Yp² + b² -f-x²) Yp²~i~b²-j- x2 ( Yp² + b² + x² — b)xdx    xdx

xdx

p² -f- x²

( p² -f- x²) Yp² 4~ b² -f- x²

p² -f- x²

bxdx

( p² -f- x²) Yp² ~t b² H- x²

folglich erhält man nach der Formel

— uv---

Jodu

J'udo

durch partielle Integration

= (3p‘ -| ~tpr.(⁶’l-VP,+i’+*‘) | H_(8pV + a«)<fe

K Ico

V }/^2“4.a;2    / 3/ (^8 +*2) ]/^2 ₊ ^2 _j_ ^2

Nun ist nach Formel Nr. 122 und 35 der Tabelle

li 1 ^ C— — — 3p²x²)dx

' J(x² + p²)Yp² +T+f

(a:² 4- 2 p²)dx

Yp² + b² + x²

²p7(

dx

(p² + x²)Yp² + b² + a:²

to i «

3 p² — &²    /

—K

Yp¹ 4~ b² + a;² 4

a: 4- Yv² -\-b² + x²

Y p² + b²

dx

Setzt man noch

(12.)

Yp² -j-b² = c

und x = c . tgź,

so wird

(13.) dx —

c. dt

cos H

Yp² -j- b² -j- x² = —-

COS t ’ Yp²b²x²

= sinż,

also

dx

_ T c . dt. cos ź (p²+x²Wp² + b²+x² J(p²cos²t-\-c²ńnH).

_ Ç cos^.eft c ~~Jp²+b²sm²t

Wenn man ferner

b sin t = pw, also b cos t .dt— pdw einführt, so findet man aus Gleichung (14.)

1 /'dw l , /ösin£\

(15.)

de.)/

dx

( p² 4- x²)Yp² 4- b² 4~ X¹

=èarc<s(

bx

pYp²+b²+x²

mh

(x⁴ + 3p²x²)dx (p²-{- x²)Yp²+b²+ x²

= vy + i*+x* + Sp²pi‘b( — ?|-arctg(

tO! «

x 4- y pl 4- xl

Yf+ b²

bx

PV P²-\- b² 4* x²

und Gleichung (10.) ergiebt (18.) j(p² 4- z²)ln(

=    (3jö²4-£²)ln^

6 4- VP² + b² 4- *² \ , Yf+x* ) b 4- YPl + b² 4- x²

Yp² 4*x²

b² + x\

(3 y»²—b²)b    Y P¹ -\-b²-\-x²

y>² 4- £²

)— |yarctg(

pYp¹ 4- b² + x²

Da nun noch nach Formel Nr. 124 der Tabelle

(19.) JbdxYp² b² + x² = ^Yp² b² + x²

ist, so folgt aus Gleichung (6.)

(p² 4- b²)b ^ /x 4- YY^~\~ b² + x²' \ YY² 4~ b²

bx

)— ^arctg(

(2°-) 0 ,2?

, (3/>²4-^²)^^^ 4-Yp²+b²-\-x²

v Yp² 4- x²

(3p² 4* b²)b^fx-{-Yp2jrb²-\-x¹' n\ -

pyp² 4- b² x²

also

8/»

6jo

(21.)50.=:|Vp’+«*+4H

(3p² 4- a²)a j /M- Yp² 4- «² 4- b²

\ Yp² + ®²

(3/>² 4- ^²)^ln /ö + ]4»²+ «² +

\ Yp² +

)-|²arctg(;

pYP¹ ~h a²-\-b²

Da bei dieser Aufgabe die Integrationsgrenzen constant sind, so hätte man auch die Reihenfolge der Integrationen umkehren können, ohne die Grenzen zu ändern.

Aufgabe 2. Die Gleichung

(22.)

2pz = x² — y²

Stellt wieder ein gleichseitiges hyperbolisches Paraboloid dar; man soll den Inhalt der Oberfläche innerhalb des Cylinders

(23.)

x² y² — ß2

berechnen.

Auflösung. AusgGleichung (22.) folgt

(24.)

dz

dz

dx p ’ dy

(25.)

Vp² + z² + y²;

deshalb wird

y a² — X²

(26.)

o = %jdxjdy Vp‘² + z² + W-0 0

Durch Einführung von ebenen Polarcoordinaten erhält nach Formel Nr. 196 der Tabelle

man

7t

(27.)

2 a

0 = —jdffjrdryp²

o o

ri

und daraus nach Formel Nr. 125 der Tabelle

7t

(28.)

7t

= ^p (p² + a2)Vpl + «² —p

= I? [(p² + «²)>5² +⁰⁽² — i»³J-

6p

Auch hier hätte man die Reihenfolge bei den Integrationen ändern und die Gleichung (27.) auf die Form

(29.) O

a    2    a

— —jrdr Ÿp -f r²Jcl(f =    Jrdr]/p²

0 0 0

=    G»² +    + r²]“= '^[(p² + «²)V>² + «² -?s]

bringen können.

Aufgabe 3. Man soll denjenigen Theil der Kugeloberfläche mit der Gleichung

(30.) x² + y² + z² — a² = 0, oder berechnen, der von den beiden Cylindern

x² + £/² = ax und x² + y² — — ax herausgebohrt wird.¹) (Yergl. die Figuren 119 bis 122.) Auflösung. Aus den Gleichungen (30.) folgt Ft = 2x, F₂ = 2 y, F₃ = 2z,

(33.) ±.yj?+W+W= -y²+y²+=

Da die gesuchte Oberfläche durch die Coordinaten-Ebenen in 8 symmetrische Theile zerlegt wird, so braucht man nur einen solchen Theil zu berechnen und mit 8 zu multipliciren. Dadurch erhält man nach den Formeln Nr. 198 und 34 der Tabelle

dr j/<z² — x² — y²

(31.)

(32.)

Ya²—x²—y²

a Yax-x¹

(34.)

O = 8 aidxj-_____

J J Y a² — x² — y²

a

= 8a j'dx arcsin^ o

dy

yax-xa

, )\ ,

y a² — x¹ /Jo

also

(85.)

O = 8a fdx . arcsin o

i/—•

ja- f- x

§ 74. Complanation der Flächen; Uebungs-Beispiele. Setzt man

(36.)

u = arcsin

dv = dx

also

(37.)

du —

adx

---; J v = X

2(a + a#

so findet man durch partielle Integration

(38.) jo o

V*-[

x. arcsin

_ a _

l/ x 1“    1 C-^ax.dx

I “ + xJo 2 J a + x ’ o

oder, wenn man wieder

(39.)

x = aß, also Y ax = at, dx — 2atdt

setzt,

a

(40.) j’dx. arcsin

V—

i

4 afl + V

0

arc

a7r

af(l

0

1 + <v

/ n \ an

⁸(¹⁻ï)⁼T-

Ö7T

r    ^    arr

«[< — arctgd₀ = — folglich wird nach Gleichung (35.)

(41.)

O — 8a fdx . arcsin

o

= 4 a²rc — 8a².

(42.)

Da die ganze Kugel die Oberfläche K — ‘ia^rc

hat, so bleibt für den ausserhalb der beiden Cylinder liegenden Theil der Kugeloberfläche

(43.)

Oi = 8a²

übrig.

man

Die Lösung der Aufgabe wird bedeutend einfacher, wenn ebene Polarcoordinaten einführt; dadurch geht nach Formel

Aus Gleichung (46 a.) findet man

(49.)

Fi — 2x — a, F₂ = 2y, F₃ = 0,

(50.)

(44.) 0

aC0B(p

rdr

= 8a Idą I- „_

J JVa² — r²

oo    L

8a

2

r r ,_1«

1Idcpl — J/a² — r²

o

«COS(jp

¥

= 8a[a o

2

— asin^J = 8a² [q> -f cosy]^ ,

folglich erhält man wieder

(45.)

0 = 4 a²7T — 8a².

Aufgabe 4. Man soll die Oberfläche der beiden Kreiscylinder x² + y² — ax = 0 und x² + y² -f «a; =[0 berechnen, so weit dieselbe innerhalb der Kugel x² y² -\- z² — a² = 0 liegt. (Vergl. die Figuren 119 bis 122.)

Auflösung. Die gesuchte Oberfläche wird durch die Coor-dinaten-Ebenen in 8 symmetrische Theile zerlegt; man braucht daher wieder nur Jeinen dieser Theile zu berechnen und das gefundene Resultat mit 8 zu multipliciren. Die Gleichung der Fläche ist

(46.)

(47.)

F(x, y, z) = x² -p y² — ax = 0 und enthält die Veränderliche 2 gar nicht. Damit die gegebene Methode anwendbar wird, muss man die Coordinaten in Formel Nr. 198 der Tabelle mit einander vertauschen. Indem man z. B. y als Function von x und 2 ansieht, geht diese Formel für die Berechnung der krummen Oberfläche über in]

(46 a.)

V'O)

(48.)

o=jdxj~YW+ W+ Ff.

(f(x)

F² + F₂² -f- F3² = 4a;² — 4aa; -j- a² + 4y², oder mit Rücksicht auf Gleichung (46 a.)

(51.)    F,-‘ + F./‘ + F/ = u‘,    y F;« + w + F,* = o,

folglich wird

(52.)

0 = 8« jdx    = 4a f-——

/ / 2y

dz.

Da zi, der Grenzwerth von z, zu einem Punkte gehört, welcher auf der Kugel und auf dem Kreiscylinder liegt, so wird

Z\ = Y a- — x² — y², wobei aber noch nach Gleichung (46a.)

x² -\- y² — ax

ist, folglich erhält man

(53.)

Zi = y a² —

ax.

Dies giebt

(54.) 0

also

a

= la Jdx}/-0

a² — ax

ax — x²

= 4a Y a ßßL = 8 a\a []/ *]“,

JVx

(55.)

0 = 8a².

Die Fläche der beiden Kreiscylinder^, so weit sie von der Kugel eingeschlossen wird, ist also gerade so gross wie derjenige Theil der Kugeloberfläche, welcher ausserhalb der beiden Cylinder liegt.

Aufgabe 5. Aus der Schraubenfläche

(56.) F(x, y, z) = y — xtgi

•= 0, oder

(67.)

schneiden die beiden coaxialen Kreiscylinder, x² -\- y² =■- a², x² y² ~ b²

und die beiden Ebenen

(58.)

CTC a —— 5 Z

cn

einen Theil der Oberfläche heraus; man soll den Flächeninhalt dieses Theiles berechnen.

Z =■

(59.) Fl = - tg|

t'i I «

; = 1, ns = -fl₊tgs(£)

x² + y²

cx

(60.) F,² + F₂²+Fz² =

c²(.r²+y²)4-(x²+y²)²    x² + y²

c²x²

c²x²

(c²+x²+y²)

= -]/

c² 4- x² -f- y2 x² + y²

also, da hier nur das obere Zeichen in Betracht kommt,

(61.)

F,

y Fi²F₂² 4- F's¹

(62.)

0 = jdxjdyj/

c² 4“ x² 4~ y²

x² 4- y²

Die Bestimmung der Integrationsgrenzen ist unterblieben, weil durch die Gleichungen

(63.)

x = rcosçp, y = rsin<jp

neue Intégrations-Veränderliche eingeführt werden sollen. Dadurch erhält man nach Formel Nr. 196 der Tabelle

(64.) O

~T

Z — C(p

wird. Nach Formel Nr. 124 der Tabelle erhält man daher

(66.) O = nJ'dr'Yc²-\-r² = —j^rj/c² -\-r²-{- c²ln^

a

=    [bl/b²+c² — ay a²-{-c²-{-c²\ïi(^-

r+y c²r²V\h

b+yb²+c²

-\~y a²-\-c²

)•

§ 75.

Einführung zweier variablen Parameter.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 199.)

Ist die Gleichung- einer Fläche in der Form

(1.)

²¹ =/0, y)

(2.)

gegeben, so kann man, wie es auch bereits in § 72 hei der Einführung von neuen Intégrations-Veränderlichen geschehen war, x und y als Functionen von zwei neuen, von einander unabhängigen Veränderlichen u und o darstellen, indem man x=fx(u,v), y=f₂(u,v) setzt, wo /i(w, v) und f₂(u, ©) für den jedesmaligen Zweck passend gewählte Functionen sind. Trägt man diese Werthe von x und y in die Gleichung (1.) ein, so erhält man

(3.)

Z =/[/l(w, v), /₂(w, ü)J =/₃(w, ©).

(4.)

Man kann also eine Fläche durch die drei Gleichungen * =/iO, v), y =MU, o), Z =MU, v) darstellen; und umgekehrt: Sind die drei Gleichungen (4.) beliebig gegeben, so stellen sie eine Fläche dar, deren Gleichung man durch Elimination von u und v aus den Gleichungen (4.) erhält.

Aus den Gleichungen (1.) und (2.) folgt sodann

(5.)

j" dz    dz dx    dz dy

j du    ~dx du    dy du ’

also

(6.)

(7.)

dz dx dz dy dx do dy do

Setzt man also

dy dz

__ dy_dz_ = du de do du

dx dz dx

do do du

dx dy dx dy du do do du

so wird (9.)

. L./dzx* /dzŸ

yi+GD⁺W) =

(10.)

± ^ Va~‘ + & + c«.

Deshalb erhält man nach Formel Nr. 195 der Tabelle, da die Functionaldeterminante gleich ±((7 ist, wobei nur das obere Vorzeichen einen Sinn hat.

Wie diese Formel verwendet werden kann, möge das folgende Beispiel zeigen.

Aufgabe. Durch die Gleichungen (12.) x — w³ — 3uv² — 3u, y = 3w²—’3ü², z = ü³ — 3u²v— 3c

wird eine Fläche dargestellt, auf welcher man für constante Werthe von u und v zwei Schaaren von ebenen Curven dritten Grades erhält, die einander rechtwinklig schneiden.*) Man soll auf der Fläche den Inhalt eines iVierecks berechnen], welches durch die Curven

(13.)

w = a, u = b, v = c, v = d

begrenzt wird.

Auflösung. Aus den Gleichungen (12.) folgt

dy

(14.)

= ³0² — V¹ — l)j ^ = 6^ dz

fo⁼-6uv’

= — 6 uv,

dy

dz

de ~~    6v’ dv ~~ ³^2 u2    ^

deshalb wird

*) Diese Linien sind die Krümmungslinien der Fläche, welche die „Ennepedschs Minimalfläche“ genannt wird. Davon soll aber bei dieser Aufgabe kein Gebrauch gemacht werden, weil in diesem Lehrbuche wegen der Beschränkung des Stoffes eine Erklärung der Krümmungslinien nicht gegeben werden konnte.

A= — 18u(u² + ü² -f 1),

(15.)

B = 9(«² + v² 4* 1) {u² -f- v² — 1),

C = + 18 v(u² -f- o² + 1),

(16.)

A² + B² 4 C² = 81(w² + v² 4- l)⁴. Dies giebt nach Gleichung- (11.)

h d

(17.) 0=<èfduj{u² + v² + 1 fdv

a c b d

— §Jduf{ifi 4- 2u²o² 4- v* 4- 2u² + 2v² 4- 1 )dc

a c b

— c⁵)].

= 9/du[(u'+2u² + l)(d—c) f ||V!+I )|'#_

also

(18.) 0 = 9[-|-(£>⁵—a^)(d—c)-f--§-(d⁵—c⁵)(b—a)-}--§(&³—a³)(d³—c³) 4 |-v^³—a?){d—c) -\-%(d³—c³)(b—a)-\-(b—d)(d—c)].

§ 76.

¹

Diese Aufgabe ist schon von Viviani (Acta Eruditorum 1692)

²

etwa in folgender Einkleidung gestellt worden: „Ein halbkugelförmiges Tempelgewölbe hat zwei gleiche Fenster von der Beschaffenheit, dass der Best des Gewölbes eine quadrirbare Oberfläche hat. Welches ist die Gestalt der Fenster?“ (Yergl. Joh. Bernoulli, Opera, t. III, p. 212.)

Einführung räumlicher Polarcoordinaten.

(Vergl. die Formel]- Tabelle Nr. 200.)

(1-)

Fig. 132.

-À-

<F

Führt man räumliche Polarcoordinaten ein, indem man x = r cos /Leos (f, y = r cos/sin </>, z = rsin2 setzt, so ist (Fig-. 132) OP gleich r der Radius vector, X der Neigungswinkel QOP von OP gegen die X Y-Ebene, und cp der Winkel XOQ, welchen die Projection OQ des Radius vectors OP auf die XY-Ebene mit der positiven Richtung der N-Axe bildet. Wenn man

dabei / und ą als die beiden unabhängigen Veränderlichen be- y trachtet, so wird r eine Function von Â und (p, also

r = F(X, <p),

und man erhält

dx_ dr

coslcosff— r sin/t cos y,

cos l sin y — r sin l sin cp,

dT~ dl

öy _ dr dl dl

dz dr

(2.)

sin/t 4- rcos/l

dl dl

dx dr

d(p

öy

'S 'S

cos l cos <p — r cos l sin cp,

dtp dtp

cos l sin cp + r cos l cos cp,

dz

sin/t;

dr

dcp dcp

folglich wird, wenn man u mit l und v mit fp vertauscht,

dr

dr

A ——r -^r- sin l cos l cos <p — r    sin <p—r² cos²/l cos cp,

dr    dr

(3.)    ■ B =—r    sin l cos/t sin cp 4- r-^— cos (p—r²cos²^sin</>,

cos²/l —r² sinź cos l,

C = +r

dr

dl

(4.)

A² + B² + C²

= r²^| cos²1 4- r2    r‘i cos2^

= rŸ + (IrJ]cosU + 010

also, da auch hier nur das positive Zeichen bei der Wurzelaus-ziehung in Betracht kommt,

(5.)

O = jjy A² -t- B l -f C²du do

⁼M[r>+(10]cosu+{Sduv-

Constanten Werthen von (p entsprechen Ebenen durch die Z-Axe, und constanten Werthen von l Kegelflächen, welche die Z-Axe zur Axe haben. Durch diese Ebenen und Kegel wird die Fläche in unendlich viele, unendlich kleine Vierecke zerlegt. Indem man in Bezug auf cp integrirt, erhält man die Summe von diesen Vierecken auf einem ringförmigen, unendlich schmalen Streifen zwischen zwei benachbarten Kegelflächen. Alle diese unendlich schmalen Streifen werden sodann durch Integration in Bezug auf X summirt. Daraus ergiebt sich für jeden einzelnen Fall die Bestimmung der Grenzen.

Wie dies geschieht, möge die folgende Aufgabe zeigen.

Aufgabe. Die gegebene Fläche habe die Gleichung (x² -f y² + z²)² = a\x² — y²), oder bei Einführung räumlicher Polarcoordinaten durch die Gleichungen (1.)

(6.)

r² = a² cos²X cos(2</>) ; man soll die gesammte Oberfläche berechnen.

Auflösung. Um sich eine Vorstellung von der Fläche zu machen, beachte man, dass r^a sein muss, dass die Fläche also ganz innerhalb einer Kugel mit dem Halbmesser a liegt. Die XY-Ebene, in der 1 gleich 0 ist, schneidet sie in einer Lemniscate mit der Gleichung

(x² + y²)² = a²(x² — y²), oder r² = a²cos(2<p).

Giebt man <f einen constanten Werth und setzt

a}/ cos(2(f) = «1,

so erhält man den Durchschnitt der Fläche mit einer Ebene, welche durch die Z-Axe hindurchgeht. Die Schnittcurve zerfällt in zwei Kreise mit den Gleichungen

r= + aiCOS/l und r —— «tCOS/l,

(7.)

(8.)

(9.)

(10.)

oder (10 a.)

x² -f y² = + aix und x² -f y² = — atx.

Fig. 133.

Die Fläche entsteht also aus der Lemniscate in der X Y- Ebene (Fig. 133), indem man sämmtliche Radii vectores OP zu Durchmessern von Kreisen macht, deren Ebenen auf der XY-Ebene senkrecht stehen.

Da die Coordinaten- Ebenen die Fläche in 8 symmetrische Theile zerlegen, so braucht man nur die Oberfläche eines solchen Theiles zu berechnen und das gefundene Resultat mit 8 zu

? die

multipliciren. Die Grenzen von <p sind dabei 0 und

TC

von 1 sind 0 und — •

(IX.)

Aus Gleichung (7.) folgt dann dr

(12.)

r^~ — ö² cos 1 sin / cos(2<p), dr

r = — a²COS²/sin(2<^);

deshalb wird / dr

(13.) r² (    ) = a⁴cos²Asin²/icos²(2<p) = aV²sin²/cos(2<p),

(14.) r²    — «⁴cos⁴/sin²(2y>) =

(15.) rl -f-    ) Jcos²/ +    — «²cos(2^)cos²/l

a²r²cos²/ •

sin²(2cp')

cos (2 tp)

+ a² cos² 2

sin² (2a>)

cos (2cp)

a² COS²/ cos (2tp) cos² (2</>)

Dies giebt nach Gleichung (5.)

7t 7t

7t

71

(16.) 0

= 8 ßxf-

o o

r²dw

COS (2 cp)

8 a²

2    4

²1 COS²/ dljd(p o    o

71

71

— 2a²n

r jcos²/ dl =

a²7t

fsin/cos/ + x\ = a o ^0

XIV. Abschnitt.

Integration der Differentiale der Functionen von mehreren Veränderlichen.

§ 77.

Vollständige Differentiale der Functionen von zwei Veränderlichen.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 201.)

Ist

(1.)

u =/(*, y)

eine Function von zwei von einander unabhängigen Veränderlichen, so ist nach D.-R., Formel Nr. 212 der Tabelle das vollständige oder totale Differential von u

(2.)

du =

dx -f-

da

dy

dy,

wobei

(3.)

du

dx

= M{x, y)

Qj Qj

ï? i

noch Functionen von x und y sind, so dass Gleichung (2.) übergeht in

(2 a.)

du — M(x, y)dx 4* N(x, y)iy.

Wie in dem Vorstehenden die Gleichung (2 a.) aus Gleichung (1.) abgeleitet ist, so könnte man sich jetzt auch die Aufgabe stellen: „Man soll u als Function der beiden Veränderlichen x und y bestimmen, wenn da durch die Gleichungen (2 a.)

27*

gegeben ist, oder, was auf dasselbe hinauskommt, wenn ^ und -Qy durch die Gleichungen (3.) gegeben sind.“

du

Dabei erkennt man aber sogleich, dass die Functionen M(x, y) und N[{x‘, y) nicht willkürlich gegeben sein dürfen; es müssen vielmehr M und N die partiellen Ableitungen ein und derselben Function u —f(x, y) sein. Wenn diese Bedingung erfüllt ist, muss nach D.-R., Formel Nr. 215 der Tabelle

(4.)

Qj Qj

QjI Qj

dy

dx

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (3.)

~dM(ir, y ) _ dN(x, y)

(4 a.)

dy

dx

(5.)

sein. Diese Bedingung ist nothwendig, wenn du — M(x, y)dx 4- N(x, y)dy ein vollständiges Differential sein soll; sie ist aber auch, wie sogleich gezeigt werden soll, hinreichend dafür, dass es eine Function

(6.)

u =/(*, y)

giebt, deren vollständiges Differential mit Mdx 4- Ndy übereinstimmt.

Beweis. Wie die Gleichung

(7.)

= y)

aus Gleichung (6.) hervorgeht, indem man y als eine Constante betrachtet und die Function u nach x differentiirt, so wird Gleichung (6.) aus Gleichung (7.) hervorgehen, indem man y wieder als constant ansieht und die Function M(x, y) in Bezug auf x integrirt. Dies giebt

(8.)

u = f M(x, y)dx 4- Y.

Hierbei ist die Intégrations-Constante mit Y bezeichnet worden, um anzudeuten, dass sie noch eine Function von y sein

darf, weil bei der in Gleichung (8.) angedeuteten Operation x als die einzige Veränderliche angesehen wurde. Setzt man

(9.)

jM(x, y)dx = »,

so geht Gleichung (8.) über in

(10.)

u = v + Y.

Aus dieser Gleichung folgt mit Rücksicht auf die Gleichungen (3.)

(no

QjI Qj

de

dY

also

(12.)

dY

öv

= N(x,y)-r.

In dieser Gleichung ist die linke Seite eine Function der einzigen Veränderlichen y. Damit die Aufgabe lösbar ist, muss auch die rechte Seite der Gleichung von x unabhängig sein. Das ist auch nach der in Gleichung (4 a.) festgestellten Voraussetzung der Fall, denn es ist mit Rücksicht auf Gleichung (9.)

_ _<s)

dx dy

(13.)

dN

ä(S)

dN

dx

- dÆ.

dx dy

Dieser Ausdruck ist aber nach Gleichung (4 a.) gleich 0,

dv

folglich muss N —

dy

von x unabhängig sein. Die Gleichung

(12.) enthält also keinen Widerspruch, so dass man daraus ohne Weiteres durch Integration

(14.)

ermitteln kann. Setzt man diesen Werth von Y in die Gleichung (10.) ein, so findet man

= » +j(N—^dy+ C,

(15.)

wobei

ist. Damit ist die Aufgabe gelöst, denn nach den Gleichungen (15.) und (16.) ist in der That

T—I

rH

00

OjI Qj Qj| Qj

« I 8 I 8

= w = M(x,y),

dv

~8y ⁺

(N~dO = N(x’^

Man nennt den Ausdruck

M(x, y)dx + N(x, y)dy

„ein vollständiges oder totales Differential“, wenn die Bedingung 6M(x, y) dN{x, y)

(19.)

dy

öx

erfüllt ist. Man muss daher, wenn man sicher gehen will, ehe man integrirt, untersuchen, ob Gleichung (19.) befriedigt wird. Man kann aber auch mit der Berechnung von

(20.)

v =jM{x, y)dx

unabhängig von x

dv

dy

beginnen und dann untersuchen, ob N —

ist. Wenn dies zutrifft, so wird ja, wie schon in Gleichung (13.) gezeigt wurde,

dx \ dy) dx

d. h. die in Gleichung (19.) angegebene Bedingung wird befriedigt.

(21.)

ÔN dM

Oy

§ 78.

Uebungs-Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll u als Function von x und y bestimmen,

wenn

(!•)

du — (3x² •+• 8 xy)dx +f(4a:² + 3y²)dy

gegeben ist.

Auflösung. Um zunächst zu untersuchen, ob die rechte Seite von Gleichung (1.) ein vollständiges Differential ist, bilde man

ist, dass also in diesem Falle Mdx + Ndy ein vollständiges Differential ist. Man darf daher ohne Weiteres das in § 77 gegebene Intégrations-Verfahren anwenden und erhält

an-

(2.)

(3.)

dM(x, y) _ ö(Sx² + 8xy) _ dy    dy

ÖN(x, y) _ d(4x² + 3y²)

8x,

(4.)

= 8x.

Aus den Gleichungen (2.) und (3.) folgt, dass dM(x, y) _ öN(x, y)

dx

öx

dy

öx

(5.) v =/M{x, y)dx = /(3a:² + 8xy)dx — x³ + 4x²y.

Ferner wird

(6.)

öv

N — -rr- = 4x² + 3 y² — 4a² = 3 y²

öy

und deshalb

(7.)

=/(N — Öy)dy    =

y³ 4 C.

Dies giebt

(8.)

» 4 Y =    + 4x²y + */³ 4* C.

Die Richtigkeit dieses Resultates kann man sehr leicht durch Differentiation prüfen.

Man kann selbstverständlich die Aufgabe auch so lösen, dass man zunächst

(9.)

u —JNdy 4-X = w + X

bildet, wobei X eine Function der einzigen Veränderlichen x ist, und dass man dann X aus der Gleichung

(10.)

berechnet.

Aufgabe 2. Man soll u als Function von x und y bestimmen, wenn dM _ dN dy dx

(11.) du — (20a:³ — 21 x²y -ff 2 y)dx -ff (— 7a;³ -ff 2x -ff 3 )dy gegeben ist.

dM

Auflösung. Man kann zunächst durch Bildung von und

dN .    0y

zeigen, dass

= — 21a;² -ff 2

(12.)

wird, und dass deshalb die rechte Seite in Gleichung (11.) ein vollständiges Differential ist. Dann erhält man

(13.)

=J Mdx = J (20a;³ — 21a;²y -ff 2 y)dx — 5a:⁴ — 7 x*y -ff 2a;y,

(14.)

dv

N— ^ = (— 7a:³ -ff 2a: -ff 3) — (— 7a;³ -ff 2a;) = 3,

dy

(15.)

=f(N — dQy)dV =J'sdy = 3y -ff C.

(16.)

Dies giebt

u = v -ff Y = 5a;⁴ — lxzy -j- 2xy -ff 3y -ff C.

Aufgabe 3. Man soll u als Function von x und y bestimmen,

wenn

(17.)

du = (2ax -f- by + c)dx -ff (bx -ff 2my -ff n)dy

gegeben ist.

Auflösung. Hier wird

dM , dN    .    dM dN

—,— = 0,    — = 0, also -=— = — ?

dy    dx    dy dx

folglich ist die rechte Seite von Gleichung (17.) ein vollständiges Differential; man erhält daher

(19.) v = JMdx = f(2 ax -ff by -ff c)dx — ax² -ff bxy -ff

(18.)

cx

de

(20.) N — ^ = (bx -ff 2my -ff n) — bx = 2my -ff n,

(21.) Y=J(n- ~)dy =/2my -ff

= my* -ff ny -ff C.

Dies giebt

(22.) u = v -f- Y — ax² -ff bxy -ff cx -ff my² -ff ny -ff C.

n)dy

§ 78. Integration vollständiger Differentiale; Uebungs-Beispiele. 425 Aufgabe 4. Man soll u als Function von x und y bestimmen,

_ xdy — ydx x²    y²

wenn

(23.)

du

gegeben ist.

Auflösung. Die Gleichung (23.) kann man auch in der

Form (23 a.)

du =

ydx

xdy

x² y² ' x² y2 schreiben, aus der man leichter erkennt, dass

(24.)

x²+y²

x² +y²

ist. Daraus folgt

ÔM_ y² — x² ÖN __ dy (x² -j- y²)² ’ dx (x² + y²)2 Da diese beiden Ausdrücke einander gleich sind, so ist die rechte Seite von Gleichung (23.) ein vollständiges Differential; man erhält daher nach Formel Nr. 28 der Tabelle

(25.)

y² — r²

(26.)

⁰⁼f

Mdx = —

f dx

yk~

y² + x²

= —arctg(|).

(27.)

dv

^ dy x² + y² x² -f- y²

= 0,

(28.)

⁼ÄN~ 8>=

c.

Dies giebt

(29.)

arctg(i)’

Aufgabe 5.

stimmen, wenn

u = *+ T= C —

Man soll u als Function von x und y be-

(30.)

du

=(

AJ)<fe+(V-

(x—yf)    \(*

.r²

-vf

gegeben ist.

Auflösung. Den Nachweis, dass die rechte Seite von Gleichung (30.) ein vollständiges Differential ist, kann man führen, indem man

2 xy

dM _ dN dy dx

(31.)

[X — yf

bildet. Man darf aber auch ohne Weiteres

(32.)

v=fMdx=f(l

(? — y)

ï)dx

berechnen und erhält daraus, dass

x²

(33.)

öv

N-N-

2 xy — y²

(x — yf

(x — yf

_x² — 2xy    y² 1 _    1

(*-y)²    “

eine Function der einzigen Veränderlichen 2/ ist, diesen Nachweis. Da nun noch

dy

(34.) Y

ist, so ergiebt sich

(35.)

xf

u — v + Y = Inx H-------(- y — lny -f- C,

x y

oder (35 a.)

+ C.

« = ln(*)+ _3_

Vy/ x—y

Aufgabe 6. Man soll u als Function von x und y bestimmen, wenn

(36.) du=(~^ + y—ö)^+(

2xy²

yi + x—2y — 7^dy

gegeben ist.

Auflösung. Den Nachweis, dass die rechte Seite von Gleichung (36.) ein vollständiges Differential ist, kann man auch hier führen, indem man zeigt, dass

(37.)

dM_dN_Qx*y² 4- 2y⁶

(x⁴ — y⁴)

dy ~~ dx

ist. Man kann sich aber diese etwas umständliche Differentiation auch ersparen und ohne Weiteres

v ==j'Mdx ⁼

2 y³

— 5 ^dx

berechnen. Dadurch erhält man

V=J

ydx

ydx

-,

2 + xy — 5z, oder nach den Formeln Nr. 29 a und 28 der Tabelle

x² — y'¹

(38.)

I ln(ïH^)-arCtg0)⁺*y

— 5 x.

Daraus folgt (39.) N—

dv_/

dV~\

2xy²

it⁴ —2/⁴

= — 2y — 7.

Da dieser Ausdruck von # unabhängig ist, so ist die rechte Seite von Gleichung (36.) ein vollständiges Differential, und man erhält

7)—(-

2 xy²

xi —

¥+x)

(40.) Y =J(n ~^)dy = -J(2y + 7)dy =

(4i.)m=ü + y— ln^-p-^—arctg^^+^y——ya—iy-\-G.

-y²-ly + C,

§ 79.

Vollständige Differentiale der Functionen von drei Veränderlichen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 202.)

w =/(*, y,²)

eine Function von drei von einander unabhängigen Veränderlichen, so wird nach D.-R., Formel Nr. 214 der Tabelle das vollständige oder totale Differential von u

₇ du j du du = dx 4

(!•)

(2.)

Ist

du

dy

dy + ^dz

wobei

du

(3»)    y, z)

du

= Gfa y>z),    =H(x, y, z)

noch Functionen von x, y, z sind, so dass Gleichung (2.) übergeht in

(2 a.)

du — Fdx -f Gdy -j- Hdz, wenn man bezw. F, G, H statt F(x, y, z), G(x, y, z), H(x, y, z) schreibt. Wie in dem Vorstehenden die Gleichung (2 a.) aus Gleichung (1.) abgeleitet ist, so könnte man sich jetzt auch die Aufgabe stellen: „Man soll u als Function der drei Veränderlichen x, y, z bestimmen, wenn du durch die Gleichung (2a.)

du

gegeben ist, oder, was auf dasselbe hinauskommt, wenn Ötl    du

und durch die Gleichungen (3.) gegeben sind.“

Dabei erkennt man aber wieder sogleich, dass die drei Functionen F, G, H nicht willkürlich gegeben sein dürfen; sie müssen vielmehr die partiellen Ableitungen ein und derselben Function u =f(x, y, z) sein. Wenn diese Bedingung erfüllt ist, so ergiebt sich aus D.-B., Formel Nr. 215 der Tabelle

(4.)

■>(£) <2) <£)<£) O O

öx ’ dz oder mit Bücksicht auf die Gleichungen (3.)

dF dG    dF _ dH dG    dH

dx    dz dx' dz    dy

Diese Bedingungen sind nothwendig, wenn die rechte Seite von Gleichung (2a.) ein vollständiges Differential sein soll; sie sind aber auch, wie sogleich gezeigt werden soll, hinreichend dafür, dass es eine Function

(4 a.)

dy

dy

dx ’

dz

(5.)

giebt, deren vollständiges Differential mit Fdx + Gdy + Hdz

übereinstimmt.

Beweis. Wie die Gleichung

(6.)

^=F(x,y,z)

aus Gleichung (5.) hervorgeht, indem man y und z als Con-stanten betrachtet [und die Function u nach x dfferentiirt, so

wird Gleichung (5.) aus Gleichung (6.) hervorgehen, indem man y und 0 wieder als constant ansieht und die Function F(x, y, z) in Bezug auf x integrirt. Dies giebt

(7.)

u =/F{x, y, z)dx + cp(y, 2).

Hierbei ist die Intégrations-Constante mit y (y, z) bezeichnet worden, um anzudeuten, dass sie noch eine Function von y und z sein darf, weil bei der in Gleichung (7.) ausgeführten Integration x als die einzige Veränderliche angesehen wurde. Setzt man

(8.)

Mx, y, z)dx = v ,

so geht Gleichung (7.) über in

(9.)

v + qp(y, z).

Aus dieser Gleichung folgt mit Rücksicht auf die Gleichungen (8.)

(10.)

du

dy

— y,z) =

dv

dy

öcp(y, 2)

dy

(11.)

du

dz

= H (x, y, 2) =

dv

dz

d<p{y, z)

dz

oder

(12.)

d(p(y, z) __    _ dv dcpjy, z)

dy    dy ’ dz

und

d(p{y, z)

dtfiy, z)

dv

dz

von der Veränder-

Hierbei sollen

liehen z unabhängig sein, folglich muss auch die rechte Seite dieser Gleichungen (12.) von z unabhängig sein, wenn die Aufgabe lösbar sein soll.

(4a.) aufgestellten Voraussetzungen der Fall, denn es ist mit Rücksicht auf die Gleichungen (8.) und (4 a.)

dG d²v __ dG d /dv\ dxdy dx dy \dx)

dy

dz

Das ist auch nach den in den Gleichungen

c*o£(« ⁰⁰

dy

dx

dG dF

«*■)

<57~°’

dH d²v _ dH d fdc\ dx dxdz dx dz \dxj

- dH dF

dx dz

dx

Die Gleichungen (12.) enthalten daher keinen Widerspruch, so dass man die Function (p(g, z) aus der Gleichung

d<P=(G-^Ç)ây+(n

(15.)

ÖV

dz

bestimmen kann. Auch die Bedingung, dass hierbei der Ausdruck auf der rechten Seite von Gleichung (15.) ein vollständiges Differential ist, wird erfüllt denn man erhält nach den Gleichungen (4 a.)

(16.)

f(e-?)=

dz \ dg/

dG

d²v

dH

d²v

Qi Qi

dg dz dg dz dg

=-éu~dL

Man kann daher die Gleichung (15.) nach dem in § 77 angegebenen Verfahren integriren, wie folgt. Es sei

w=j{G~%)iy’

dann ist mit Rücksicht auf Gleichung (15.)

<p(y, z) = iv + ip{z),

dcp{g, z)    de _ dm dw(z)

dz    dz ~dz    dz ’

(17.)

(18.)

(19.)

oder

(20.)

dtb(z)

dv die

dz

dz dz

Dass auf der rechten Seite dieser Gleichung eine Function der einzigen Veränderlichen z steht, folgt schon aus den Erläuterungen in § 77, lässt sich aber auch zeigen, indem man den Ausdruck nach g differentiirt. Dann erhält man nämlich mit Rücksicht auf die Gleichungen (17.) und (4 a.)

) dg dg dz

(21.)

UH

Oj Qi

die

dz

dH

d²v

d'-w

dg dz

dH

d²v

dg dgdz

U°-%)

Qi

dG

dz

Aus Gleichung (20.) folgt daher

-A

(22.)

v(*)

du dio\

m~dï)dz + 0’

also nach den Gleichungen (9.) und (18.)

(23.)

u = v + w + ip(z),

wobei sich die Werthe von u, w und ip(z) aus den Gleichungen (8.), (17.) und (22.) ergeben.

Man ist natürlich nicht an eine bestimmte Reihenfolge der Integrationen gebunden, d. h. man ist nicht gezwungen, zuerst

jF{x, y, z)dx, sodann^G — ^^dy un(* endlich^

II—

dw

~~\dz

Gz

zu bilden, sondern man kann auch mit J'G^x, y, z)dy oder

/H(x, y, z)dz beginnen und dann die Rechnung in ähnlicher Weise fortsetzen wie bei dem angegebenen Verfahren.

Man erkennt auch, wie sich die angegebene Methode auf Functionen von n Veränderlichen übertragen lässt. Dabei kann die rechte Seite von der Gleichung

du — Mxdxx + M₂dx₂ + •••-)- Mndxn nur dann ein vollständiges Differential einer Function u =f{xi, x.₂,...xn)

Bedingungen

(24.)

(25.)

sein, wenn die

n{n— 1)

dMa _ dMri für dxp dxa

befriedigt sind. Indem man

v = fMidxi und u = v + (f(x₂, x₃, ...x„)

setzt, hat man den vorliegenden Fall einer Function von » Veränderlichen auf den einfacheren Fall einer Function von n — 1 Veränderlichen zurückgeführt, da dann noch die Function (f(x₂, x₃, ...xn) aus der Gleichung

(26.)

(27.)

J O JO

CO* CO

(28.) dcp =    ^ dx₂ + Çm₃

( Mn    n 'S\ dXfi

V    ÖXyi /

Öv

dx 3

^dx₃ + • • •

zu berechnen ist.

§ 80.

Uebungs- Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll u als Function von x, y, z bestimmen

wenn

(i.)

du —

adx ax -f- bz

bdz

y²

dy + ~y

gegeben ist.

Auflösung. In diesem Falle ist

(2.)

ax + bz

y²

also

ÖF dG

dx

ÖF __ÖH dz    dx

ÖG _ dH _

. dz    öy    y¹

Die rechte Seite von Gleichung (1.) ist daher ein vollständiges Differential, und man erhält

(3.)

(4.)

(5.)    .

öy

7»

ff.    f%dx    aa

v — I Fdx = /-= — j

J J y y

öv

ax -f- bz

ax

öy

y²

yl

(6.)

m=JlG~d^)dy=-fv‘dy=

(7.)

dv

dz ~ °’

(8.)

xp(z)

dw _b

dz ~ y ’

Ti

11 —

de dw

dz dz

-X

dv dw

dz dz

folglich wird

(»•)

ax -f- bz

+ C.

Aufgabe 2. Man soll w als Function von x, y, z bestimmen,

wenn

(10.) du — (y*Ą-yz²)dx-\-(3xy² + xz²-\-3y²z)dy-\-(kzi+2xyz-ly*)dz

gegeben ist.

Auflösung. Hier ist

(11.) F—y*-\- yz², G = 3xy² + xz² + 3y²z, H= 4z³ + 2xyz+y³,

also

(12.)

dF    dG    o 2 _i_    2

= ôï = 3y +2 dF dH „ ö7 = ä? = ²^’

dG__dH

. dz dy

Die rechte Seite von Gleichung (10.) ist daher ein vollständiges Differential, und man erhält

v = JFdx = f(y³ + yz²)dx — xy³ + xyz²,

(14.) G —    = (ßxy² + zz² + 3y²z) — (3*y² + xz²) = 3y²z,

^y == ^3 y²zdy = y³z,

= (4z³ + 2xyz + y³) — 2xyz — y³ = 4z³,

= 2.rz -f- 3y².

(13.)

(15.)

öy

w =/(

<5t>

G — -ń-

<5y

06.) H-g;

(17.) Ip(z)

folglich wird

<5ü

=/(

dz

11—

dv dw

<5z    <5z

''jdz = Jiz³dz = z⁴ + C,

Kiepert, Integral-Rechnung.

‘28

u = xy* + xyz² -f- y³z -j- 2⁴ -f C.

(18.)

Aufgabe 3. Man soll u als Function von x, y und z bestimmen, wenn

⁽¹⁹° ä,=fe-^⁺r<7>

— sin y dy

r y- ___________________

L r(z + r) yz* — xy

xy

zYz² — x²y²

X *    ₇

-ze — COS z dz zl

gegeben ist, wobei

(20.)

r — Y x² + y'² + z²

sein soll.

Auflösung. Die Untersuchung, ob die rechte Seite von Gleichung (19.) ein vollständiges Differential ist, kann übergangen

von x unabhängig

werden, da sich ergeben wird, dass G —

dv dw

nur noch die einzige Veränderliche

ist, und dass H—n öz dz

nv 'T

z enthält. Es wird nämlich, da ^ = - ist

öx r

(21.)

(22.)

(24.)

= fFdx=f\__    ____

J    JLr{z + r)    y z²—x²y²    *

= ln [z + r) — arc sin 4-

d o    y    x

dy ~ r(z + r)    y z² — x²y² ’

G-| = -Si„y,

w —/( G— ^\dy = — /sin y dy = cos y

(25.)

Cb Cb

z 4- r

xy

x -j dw

r(z + r)

zy z¹ — x²y~

-A

ôv dw

^dz = —/cos zdz = — sinz + C,

(26.) ip(z) folglich wird

X

(27.) u = lu (z -j- r) — arc sin (~^ + ez + cos y

Ôz ôz

— sinz + G.

XV. Abschnitt.

Theorie der gewöhnlichen Differential-Gleichungen erster Ordnung.

§ 81.

Begriff und Einteilung der Differential - Gleichungen.

Jede Gleichung, in der mehrere Veränderliche und ausserdem noch Differentiale oder Differential-Quotienten beliebig hoher Ordnung enthalten sind, heisst eine Differential- Gleichung.

Da die veränderlichen Grössen x, y, z... selbst endliche, die Differentiale aber unendlich kleine Grössen sind, die neben den endlichen Grössen vernachlässigt werden dürfen, so müssen beide Seiten einer Differential - Gleichung homogene Functionen der Differentiale sein, d. h. sie dürfen sich gar nicht ändern, wenn man

dx, dg, dz ... mit t, d²x, d²y, d²z,... mit t²,

dnx, dny, dnz, ... mit tn

multiplicirt und dann beide Seiten der Gleichung durch eine passend gewählte Potenz von t dividirt.

Dies gilt auch noch, wenn in der Differential-Gleichung partielle Differentiale und Differential-Quotienten auftreten.

Man unterscheidet gewöhnliche und partielle Differential-Gleichungen, jenachdem dieselben Functionen von einer einzigen oder Functionen von mehreren unabhängigen Veränderlichen enthalten. Hier soll zunächst nur von den gewöhnlichen Differential -Gleichungen die Rede sein.

Man theilt die gewöhnlichen Differential - Gleichungen in verschiedene Ordnungen ein nach der Ordnung des höchsten darin enthaltenen Differentials, bezw. des höchsten Differential-Quotienten. Es giebt also Differential - Gleichungen erster Ordnung , zweiter Ordnung u. s. w., allgemein nter Ordnung. Beschränkt man sich zunächst auf den Fall, wo nur zwei Veränderliche x und y mit ihren Differentialen Vorkommen, so sind z. B. die Gleichungen

(1.)

§ 81. Eintheilung der Differential - Gleichungen.

"sn

CO

(3 y² + 7 x²)dy + (12 xy — 8x²)dx = 0

oder

(la.)

dy

(Sy² + Ix²) + 12xy — 8x² = 0,

(2-)

y² — ax

(3.) (4.)

Differential-Gleichungen erster Ordnung; die Gleichungen

(5.)

dhJ -+- x

dx²    a2 ,

(6.)

F(x, y )

d²y

dx²

(7-)

y-(dt

= cy

d~y

y ■+©'

dx²

sind Differential-Gleichung en zweiter Ordnung, und die Gleichung dn~ly dxn~^

(8.) F₀(x)

dny

dxn

f Fx{x)

-)-••• -j- Fn—\(x) -£ + Fn(x). y — (Ü(x)

ersten

nung, weil sie in Bezug auf die Grössen

ist eine Differential- Gleichung nter Ordnung, und zwar heisst diese Gleichung eine Differential-Gleichung nteT Ordnung und Grades oder eine lineare Differential-Gleichung ntei Ord-

dy d²y dny dx * dx2 5 dxH

y,

vom ersten Grade ist.

§ 82.

Auflösbarkeit der Differential-Gleichungen. Intégrations -Constanten.

(Vergl. die Formel- Tabelle Nr. 203 bis 206.)

Die einfachste Form einer gewöhnlichen Differential-Gleichung zwischen zwei Veränderlichen x und y tritt hei der Ermittelung eines jeden Integrals auf, wo die Gleichung

i-/w

(1.)

gegeben und die Gleichung

(2.)

y =/0) + c

so zu bestimmen ist, dass Gleichung (1.) daraus durch Differentiation abgeleitet werden kann. Man nennt dann

(2a.)

y =/f\x)dx =/0) + c

dass allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung. Dabei tritt noch eine beliebige Intégrations-Constante C auf, welche man so bestimmen kann, dass y den Werth b annimmt, wenn x gleich a wird. Setzt man nämlich

so wird

C = b —f(a)

y— b +f{x) —f(a) = F(x, a, b).

Will man das angegebene Verfahren auf eine beliebige Differential-Gleichung erster Ordnung

G{x- î,’i)=⁰

übertragen, so heisst auch dabei die gesuchte Function y = F(x, a, b),

welche für x = a den Werth b annimmt, das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung, wenn Gleichung (3.) durch Einsetzen dieses Werthes von y befriedigt wird, wenn also

(2b.)

(3.)

(40

G[x, F(x, a, b), F‘(x, a, i)] = 0

(5.)

wird, was auch x, a und b sein mögen.

Man kann sich zunächst durch ein graphisches Verfahren davon überzeugen, dass ein solches allgemeines Integral immer existirt, bei welchem man den Anfangswerth b von y noch beliebig annehmen darf.

Bringt man nämlich die Gleichung (3.) auf die Form

dV

(6.)

und beachtet man, dass der gesuchten Gleichung

y — F(x, a, b)

eine Curve in der A V-Ebene entspricht, so erkennt man aus der geometrischen Deutung des Differential-Quotienten (vergl. D. -D., Formel Nr. 16 der Tabelle), nämlich aus der Gleichung

= tg«,

(7.)

(8.)

dx

dy

dx

Fig 134.

Ä-3

dass Gleichung (6.) für jeden Werth von x die Dichtung der Curventangente angiebt; denn a ist in Gleichung (8.) der Winkel, welchen die Tangente mit der positiven Dichtung der A-Axe bildet. Bewegt sich also ein Punkt P, von einem beliebigen Anfangspunkte A ausgehend, so, dass er in jedem Punkte der durchlaufenen Curve die durch Gleichung (6.) gegebene Dichtung hat, so nennt man diese Curve „eine Integral -Curve¹¹ und die Gleichung zwischen x und y, der eine solche Integral-Curve genügt, „eine Integral- Gleichung“ der vorgelegten Differential-Gleichung. Näherungs weise kann man sogar solche Integral-Curven construiren. Ist z. B. A der Anfangspunkt der Curve (Fig. 134) mit den Coordinaten a und b, so kann man die Tangente im Punkte A construiren, weil man aus der Gleichung

(9.)

tg« = <p(a, b) den Winkel a berechnen kann.

Auf dieser Tangente liegt aber noch ein unendlich naher Curvenpunkt At mit den Coordinaten ai} bt. Auch für diesen Punkt findet man aus der Gleichung

(10.)

tg«t = y(a1} öi)

die Richtung der nächsten Tangente AiA₂, wobei der Punkt A₂ dem Punkte At unendlich nahe liegen möge, so dass auch A₂ noch ein Punkt der Curve ist. Jetzt findet man aus der Gleichung

(11.)

tg<*₂ = çp(<ï2, h)

die Richtung der Tangente im Punkte A%. Indem man so weiter fortfährt, findet man beliebig viele Punkte und Tangenten der gesuchten Curve, welche der vorgelegten Differential - Gleichung genügt.

Da man in Wirklichkeit die Punkte A, Ar, A₂... einander nicht unendlich nahe legen kann, so liefert dieses Verfahren bei der praktischen Ausführung zwar nur eine grobe Annäherung; in der Vorstellung ist man aber dieser Beschränkung nicht unterworfen, so dass man damit bewiesen hat, dass die vor gelegte Differential-Gleichung immer eine Integral-Curve besitzt, bei welcher der Anfangspunkt A noch beliebig ist.

Fig. 135.

Weil nämlich

Gleichzeitig erkennt man aus diesem graphischen Verfahren, dass die Differential - Gleichung nicht ein Integral, sondern unendlich viele Integrale besitzt.

■x

Gleichung (6.) nur die Richtung der Tangente angiebt, so kann man für die Abscisse x = a die Ordinate y — b noch beliebig wählen, d. h. es wird nicht eine Curve geben, welche der vorgelegten Differential - Gleichung genügt, sondern unendlich viele.

Dieses graphische Verfahren kann man auch benutzen, um die auf einander folgenden Werthe b, bt, b₂... von y zu berechnen, denn aus Gleichung (6.) findet man zunächst

und ebenso

(13.)

*2 = bi + (a₂ — «i)y(«i, bx),

u. s. w. Dabei sind allerdings b±, h,... nur Näherung swerthe, die um so weniger von den wahren Werthen abweichen, je kleiner man die Differenzen — a, a₂ — ai,... nimmt.

Wesentlich ist dabei die Erkenntniss, dass, so lange die Function (fix, y) für die betrachteten Werthe von x und y eindeutig und stetig bleibt, einer stetigen Aufeinanderfolge der Werthe von x auch eine stetige Aufeinanderfolge der zugehörigen Werthe der y entspricht. Macht man daher die Voraussetzung, dass die Differential-Gleichung (6.) ein Integral von der Form

(14.)

y = H.r, o, b)

so kann man diese Integral-Function, welche der

(12.)

bi —

- = y>(a, b), oder bi = b + (at — a)<p(a, b)

Cb

besitzt

Kürze wegen mit fix) bezeichnet werden möge, mit Hülfe des Taylor'schva. Lehrsatzes nach steigenden Potenzen von x entwickeln, wobei noch der Anfangswerth a ganz beliebig ist. Dies giebt (vergl. D.-ß., Formel Nr. 86 der Tabelle)

(15.) f{x) =/(«) +

fia)

/"(«)

l!

(x — a) +

(x — a)² -f

/(«)(»)

(x — a)n -f- R.

Bezeichnet man den willkürlichen Werth von y, welcher dem Anfangs werthe x = a zugeordnet ist, mit b, so wird

(16.)

b = f{a).

Nur diejenigen Werthe von a und b sollen ausgeschlossen werden, für welche die Function (fix, y) unstetig wird.

Aus Gleichung (6.), nämlich aus der vorgelegten Differential-Gleichung folgt dann zunächst (17.)

Hierbei ist mit

der Werth von ~ bezeichnet, wel-\äx/x=a    ctx

chen man erhält, wenn man x = a und y = b setzt. Ebenso möge

(18.)

hervorgehen, indem man x = a, y = b setzt. Aus

aus

dny

dxn

Gleichung (6.) folgt dann weiter (vergl. D.-R, Formel Nr. 126 der Tabelle)

(19.)

d*y dcp(x, y) d(p(x, y) dy

dy

dx²

dx

dy

(20.)

d³y d²(p

dx³    dx²

d²cp dy d²<p /<&A² dcp dhy dx dy dx dy² \dx) dy dx²

Bezeichnet man der Kürze wegen d*y d(p(oc, y)

dx²

dx

d³y _ d(p\x, y)

dx³

dx

mit (pl\x, y),

dny d(pln—^(x, y)

mit <p(n~l\x, y), so gehen die Gleichungen (19.) und (20.) über in

y) + 9^, y)^= ¥(*, y), = ¥ifo y) +    y)%= ¥'(.*, y)

(19 a.)

(20 a.)

dx

Daraus findet man

(21.) f\d) = <p(a, b), /"(«) = <p\a, b), /"'(«) = <p“{a, b\..

d. h. man kann sämmtliche Coefficienten auf der rechten Seite von Gleichung (15.) berechnen.

Die Bedingungen dafür, dass der Rest R für hinreichend grosse Wertlie von n beliebig klein wird, sollen erst an einer späteren Stelle aufgesucht werden, erstens, damit die vorliegende Darstellung nicht unterbrochen wird, und zweitens, weil die Herleitung dieser Bedingungen für den Anfänger möglicher Weise noch zu schwer ist. Deshalb möge die Untersuchung der Con-vergenz in einem besonderen Paragraphen ausgeführt werden, den der Anfänger nöthigenfalls übergehen kann, ohne das Verständnis für das Folgende zu verlieren.

Es möge hier also vorausgesetzt werden, dass die durch das beschriebene Verfahren aufgefundene unendliche Reihe

(22.) f{x) =/(«) +

/'(«)

1!

{x — cif + i •

convergent sei, dann kann man auch beweisen, dass

(23.)

y =/(*)

das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung ist, wobei nach Gleichung (16.)

fia) = b

sein soll. Setzt man nämlich den gefundenen Werth von y in die Function (fix, y) ein und entwickelt dieselbe nach steigenden Potenzen von x — a, so wird

<r>"(a,b).    Y2 ,

O— «) +    — (* — ") H----•

(24.) (f{x, y) — (fia, b) -f V

Andererseits erhält man aus Gleichung (15.) unter der Voraussetzung, dass für hinreichend grosse Werthe von n der Rest

clR

R und die Ableitung des Restes dem man die einzelnen Glieder differentiirt,

dx

beliebig klein werden, in-

(25.)

% =/'(«)+/"(«) ^ +/»

ix — af

2!

Nun ist aber nach den Gleichungen (21.)

f\a) = (fia, b), f‘\a) = <p*(a, b), f‘“ia) = (f‘\a, b),... d. h. die rechte Seite von Gleichung (25.) stimmt Glied für Glied mit der rechten Seite von Gleichung (24.) überein, folglich müssen auch die linken Seiten einander gleich sein, es ist also

(26.)

was zu beweisen war. Man kann demnach

V =/0) = F(x, a, b)

so als Function von x bestimmen, dass einem gegebenen An-fangswerthe x = a ein beliebiger Anfangswertli y = b zugeordnet ist, und dass diese Function der vorgelegten Differential-Gleichung genügt.

Das angegebene Verfahren kann in allen Fällen, wo (p(x, y) eine eindeutige, stetige Function ist,. angewendet werden und wird meist sehr brauchbare Resultate liefern. In vielen Fällen wird es aber möglich sein, das allgemeine Integral in geschlossener Form, d. h. ohne Reihen-Entwickelung durch eine Gleichung

(27.)

*(X y, c) = o

darzustellen. Aus dieser Integral-Gleichung kann man im Allgemeinen die Intégrations-Constante G so bestimmen, dass für x — a die abhängige Veränderliche y gleich b wird; man braucht ja nur die Gleichung

(28.)

0(a, b, C) — 0

nach C aufzulösen. Setzt man einen der gefundenen Werthe von C in die Gleichung (27.) ein und entwickelt wieder y nach steigenden Potenzen von x — a, so muss man genau dasselbe Resultat wie vorher erhalten, weil in beiden Entwickelungen das erste Glied gleich b wird, und weil sich die Coefflcienten der folgenden Glieder schon aus der vorgelegten Differential-Gleichung

Tx = v(.*,y)

ergeben, welche aus der Integral - Gleichung (27.) durch Differentiation hervorgeht. Löst man nämlich Gleichung (27.) nach y

auf, berechnet sodann und setzt diese Grössen in Gleichung

CLjO

(29.) ein, so muss die Gleichung identisch befriedigt werden, d. h.

(29.)

®(x, y, C) = 0 und

sie muss für alle Werthe von # und C gelten. Deshalb kann man auch die Differential-Gleichung (29.) aus den Gleichungen

do dO dy _ öx ⁺ dy dx ~~ °

(30.)

durch Elimination von C herleiten.

Wie man also auch die Integral - Gleichung aufgefunden haben mag, man erhält in allen Fällen dasselbe allgemeine Integral, so lange cp(x, y) für die betrachteten Werthe von x und y eine eindeutige, stetige Function ist.

Durch eine Gleichung zwischen x, y, z wird die veränderliche Grösse 2 als Function der beiden unabhängigen Veränderlichen x und y dargestellt. Will man die beiden Veränderlichen y und z als Functionen der emzigen Veränderlichen x erklären, so braucht man dazu zwei Gleichungen zwischen x, y, 2. (Vergl. D.-R., Seite 610—612.)

In gleicher Weise würde eine Gleichung zwischen x, y, z,

dy dz dx dx

nicht ausreichen, um zwei veränderliche Grössen y und

z als Functionen der unabhängigen Veränderlichen x zu erklären. Es müssen also mindestens zwei solche Gleichungen gegeben sein, die man „ein System simultaner Differential-Gleichungen“ nennt, weil sie gleichzeitig gelten. Der Einfachheit wegen kann man sich diese Gleichungen auf die Form

dz

(31.)

^ = ff*, y,z)

gebracht denken.

Auch hier ergiebt sich ohne Weiteres die geometrische Deutung und damit die Auflösbarkeit dieser Differential-Gleichungen. Beachtet man nämlich, dass zwei Gleichungen F(x,y,z) = 0 und G(x, y, 2) = 0 zwischen x, y, z im Allgemeinen einer Raumcurce entsprechen, und dass nach D.-R., Formel Nr. 221 der Tabelle die Tangente an die Raumcurve im Punkte P die Gleichungen

(x* — x)

(32.)

y‘ —

hat, so erkennt man, dass die Gleichungen (31.) für jeden beliebigen Punkt der Raumcurve die Richtung der Tangente angeben. Den Anfangspunkt A mit den Coordinaten a, b, c kann man noch beliebig annehmen und findet dann aus den Gleichungen (32.) die Gleichungen

(33.) bi — b — (at — a)(jp(a, b, c), Ci —■ c = (at — a) b, c) die Coordinaten au bt) cx eines benachbarten Punktes Ax auf dieser Tangente, wobei man noch den Werth von ax so nahe an a annehmen darf, wie man will, damit der Punkt At auch noch auf der Raumcurve liegt. Ebenso findet man aus den Gleichungen

(34.) b₂ — bi = (a₂~ai)(f(ai,bl,ci), c₂—ct = (a₂—at)(//(«i, bx, Ci) die Coordinaten eines dritten Curvenpunktes A₂ und kann in dieser Weise beliebig fortfahren.

A₂,.

In Wirklichkeit kann man auch hier die Punkte A, At. .. einander nicht unendlich nahe legen und erhält daher bei der praktischen Ausführung dieses Verfahrens nur ein au-genähertes Resultat; in der Vorstellung ist man aber dieser Beschränkung nicht unterworfen.

Gleichzeitig erkennt man aus dieser Betrachtung, dass die Anfangswerthe b und c von y und z, welche dem Anfangswerthe x = a entsprechen, noch ganz beliebig sind, so dass das System simultaner Differential-Gleichungen noch zweifach unendlich viele Lösungen besitzt.

(35.)

(36.)

Dieses Resultat ergiebt sich auch aus der analytischen Behandlung der Aufgabe. Setzt man nämlich y=f(x) und z = g{x), f[a) — b und g{a) = c, wobei die Anfangswerthe b und c noch ganz beliebig gewählt werden dürfen, so wird nach dem Taylor'sehen Lehrsätze

(³⁷0 y —fO) =/(«) +

/'(«)

/"H

l!

(x — a) + ₂j

(x — a)² -f- • • •

f(n)(a)

n\

(x — a)n -f- R

(38.) 2 = g(x) = g(a) 4

g‘(g)

l!

<*—>+*5T

gtn)(a)

(,x — a)² + • • •

(x — a)n 4    ,

und man erhält nach den Gleichungen (31.)

(39.)

(40.)

(sX,₀=/'(a) = yKi’c)’ = b'c)-

Ferner wird

(42.)

d²z

dxl)

dx²

= y"(*)= &

« l-R

also

/“{?) — <t\a, t>,c■)»

g‘\a) = ^'(a, Ä, c).

In derselben Weise setze man d(p‘(x, y, z)

<V ,    dy . ^ dz - W“(x v z)

~=--r    ^ 4- -qz ^ — ⁽P \xi Vi zh

• d\l>‘(x, y, z)

dx

dxP‘ dy dip‘ dz _

dx

~d^Tx ⁺ dz dx~y ^V’Z)

und fahre mit der Bildung der höheren Ableitungen fort bis

d(f(r>~²Xx, y, z) , tw n

—-    ’ y> - =    y, 2),

g{nKx) =

dip(n~²)(x, y, z) _

dx

y, z)\

dann findet man

(45.)

(46.)

y(w)(a) = (p(n~¹)(a, è, c), y(w)(a) = ip(n~l)(a, 6, c).

Wenn 9>(a-, y, z), ip{x, y, z) und die partiellen Ableitungen dieser Functionen für die betrachteten Werthe von x, y, z stetig und eindeutig sind, so lässt sich wieder durch functionentheoretische Untersuchungen zeigen,_ dass die Restglieder Ri und R₂ für hinreichend kleine Werthe von \x— a mit unbegrenzt wachsendem n verschwindend klein werden. Dann sind die Gleichungen (87.) und (38.) die allgemeinen Integral-Gleichungen der gegebenen Differential-Gleichungen, denn man kann zeigen, dass die gefundenen Werthe von y und 2 den Gleichungen (81.) genügen, wie man auch die Anfangswerthe h und c wählen mag. Setzt man nämlich die gefundenen Werthe von y und z in g?(x, y, z) und ip(z, y, z) ein und entwickelt diese Functionen nach steigenden Potenzen von x — a, so wird

(x — a)

(47.) tp[x, y, z) = (f{a, b, c) +

y'(«, c)

l!

(f“(a, b, c)

2!

(x — af -j-

(48.) xp(x, y, z) — ip(a, b, c) +

1!

(x — a)

à, c)

2!

(x — af + • • •.

Andererseits findet man unter der Voraussetzung, dass die clR    dRi

Grössen Ry und R₂, und für hinreichend grosse Werthe

von n beliebig klein werden, aus den Gleichungen (37.) und (38.) durch Differentiation

»■>s-/■<*>+-™<-

a) +

dz

fM(*)

g“\a)

(x — af + ... ,

(x — af + ••• .

(50.) Tx = *'(«) +

Aus den Gleichungen (43.) bis (46.) erkennt man aber, dass die rechten Seiten von Gleichung (47.) und (49.), desgleichen auch von Gleichung (48.) und (50.) Glied für Glied mit einander übereinstimmen, folglich sind auch die linken Seiten einander gleich, d. h. es wird

1!

(51.)

dy

dx = W V’

dz — <P(r> y.*)•

Besonders zu beachten ist dabei der Umstand, dass man über zwei willkürliche Integrations-Constante verfügt, indem man

(52.)

dx

die Anfangswerthe b und c von y und z noch beliebig wählen darf.

Man kann dieses Verfahren ohne Weiteres auf ein System von m simultanen Differential-Gleichungen erster Ordnung mit m Functionen yx, y₂, ...ym der einzigen unabhängigen Veränderlichen x übertragen.

(53.)

Denkt man sich nämlich die Gleichungen auf die Form dyi

dx

dyi __

dx

yi, y*

. . y in) ,

yi, yi,..-ym)

• • y«)

dym

dx

^2, ... y in

gebracht, so kann man noch die dem Anfangswerthe x = a zugeordneten Anfangswerthe b₂, ... bm von yx beliebig annehmen und dann diese Functionen yi, y₂,... ym nach steigenden Potenzen von x — a entwickeln. Dies giebt

(54.X

f\{a)

i-¹

(x—a) +

. 2!

(x — a)² + • •

y₂ =/j(ä) =/a(a) +

/a'O)

l!

0 — a) +

2!

ym-f™{%) —j~ m(d) "4

/«'(*0

1!

{x—a) + —,

(x — df -ff • •

wobei für a — 1, 2, ...m

(55.)    /.(«) = 5«, /«'(<*) = (*£)_„=    • • • ⁴”).

(...) allgemein

<jpaG-9(a; &l5 ô₂, •• A»») 5

W/-.W -(SO,..- (£3)_-

indem man <pa mit    vertauscht.

Aus dieser Lösung ergiebt sich, dass man bei der Integration noch über m willkürliche Intégrations-Constanten bt, b₂,...bm verfügt.

Gelingt es, das System simultaner Differential-Gleichungen in geschlossener Form zu integriren, so ist es natürlich nicht immer nöthig, dass die m Intégrations - Constanten gerade die Anfangswerthe bu b₂,... bm von yl} y₂,... ym sind. Die Lösung kann auch durch das Gleichungssystem

? Vli y2) • • ■ ym,    C2, . .. Cm) — 0,

(60.)

F₂(x, yi} y₂,... ym, ci, c2i... cm) = 0,

Fm(x, y^l y^i • • • Vrn j cl) c2) • • • cm) — 0

gegeben sein. Ob diese Gleichungen wirklich ein System von Integral- Gleichungen sind, kann man ermitteln, indem man aus den m Gleichungen (60.) und aus den m Gleichungen

dFm

(61.)

dx

und zwar findet man nach D.-R., Formel Nr. 214 der Tabelle (fa(x; yi, yî,...ym) aus der Gleichung

d(fa

dx

drpg dyx dyn dy2 dyi dx dy₂ dx

wobei man noch aus den Gleichungen (53.) die Werthe von

j 5 • • • einsetzen muss. Ebenso findet man aus Gleißt dx dx

chung (58.)

d(pa_d(p

⁽⁵⁸-⁾ lf⁼is ⁺

d(f g dym dym dx

(59.)

dn(pa

dxn

= (pjn\x; yi,y₂,...ym)

^‘ = 0 „ ...

’ dx ’ dx

die m Grössen c1? c₂,...cm ehminirt und dann untersucht, ob das sich daraus ergebende System von m Gleichungen mit den Gleichungen (53.) gleichbedeutend ist. Sollen die Gleichungen (60.) das System der allgemeinen (oder vollständigen) Integral-Gleichungen sein, so muss es möglich sein, die Constanten ct, c₂, ... cm so zu bestimmen, dass yt, y^,... ym für x — a die beliebig¹ vorgeschriebenen Anfangswerthe b,, b₂,...bm annehmen.

Auf den soeben erläuterten Fall lässt sich auch die Integration der Differential - Gleichungen höherer Ordnung zurückführen. Ist z. B. die Gleichung

(62.)

y,

oder

(63.)

dmy

dxm

= V (*, y,

dy <Py dm~ly \ dx ’ dx- ’ dxm~l)

gegeben, so setze man

(64.)

dy

dx Vi ’ dxi

d-y __ dy,

dx y2’

dm~hy __ dym—₂

dxm~l

dx -ym~"

Dadurch kann man die gegebene Differential-Gleichung auf

die Form

(65.)

dym-\

dx

<p(x; y, yu

bringen, d. h. man hat die Differential-Gleichung mter Ordnung durch ein System von m Differential-Gleichungen erster Ordnung ersetzt, welche durch die Gleichungen (64.) und (65.) gegeben sind.

Bei der Lösung kann man noch dem Anfangswerthe x — a die willkürlichen Anfangswerthe b, b,, b₂,... £,„_t von y, y, y2,... y,n-1 zuordnen.

Daraus ergiebt sich für y die Reihen-Entwickelung

(66.) y =f{x) =/(«) H-

./»

/“(«)

l!

(* — a)+ 2!

{x — af -j----

wobei

(67.) f («) = b, f‘(a) = bu f“(a)= b₂,...ßm-'\a) = bm~l ganz beliebige Grössen sind. Die höheren Ableitungen findet man aus den Gleichungen

(68.)

f{”>)(a) = rf(a, b, bi, ...bm-i), ßm+i\a) = q>*{a, b, bi,... bm-1),

Die hier angedeutete Methode hat den Nachtheil, dass sie die Integral - Gleichungen nicht in endlicher, geschlossener Form liefert, aber sie giebt den Nachweis, dass bei der Integration einer Differential-Gleichung mUr Ordnung m beliebige Integrations-Constanten auftreten.

Die Anzahl der Fälle, wo man die Integral-Gleichungen in endlicher, geschlossener Form auffindet, ist verhältnissmässig klein ; in den meisten Fällen führt die Integration der Differential-Gleichungen durch unendliche Reihen auf bisher unbekannte Functionen.

In den späteren Paragraphen sollen nur einige Aufgaben hervorgehoben werden, bei denen die Lösung in endlicher Form möglich ist.

Zunächst aber soll noch die Untersuchung nachgeholt werden, unter welchen Bedingungen die Integration der Differential-Gleichung

dg

durch eine convergente Reihe von der Form

V =/(«) =/0)    ~~    ⁺

/"(«)

2!

möglich ist. Da aber die dazu erforderlichen Beweise etwas schwierig sind, so darf der Anfänger, wie schon oben bemerkt worden ist, den folgenden Paragraphen ohne Nachtheil für das Verständnis der späteren Paragraphen übergehen.

§ 83.

Untersuchung der Convergenz-Bedingungen.

Die Integration eines vollständigen Differentials von zwei unabhängigen Veränderlichen

(1.)

du — M(x, y)dx + N(x, y)dy kann noch in einer etwas anderen Form ausgeführt werden, als es in § 77 geschehen ist. Bezeichnet man nämlich die Function u, deren vollständiges Differential durch Gleichung (l.) gegeben ist, mit f(x, y), so kann man noch die Intégrations - Constante

C=~f(a, V) hinzufügen und dadurch erreichen, dass

u =/(«, y) —f(a, *)

für x = a und y = b verschwindet. Diese Function u erhält man, dem früheren Verfahren entsprechend, indem man zunächst

(2.)

(3.)

setzt, wobei cp(y) noch eine passend zu bestimmende Function der einzigen Veränderlichen y ist.

Zur Ermittelung dieser Function beachte man zunächst,

dass

(4.)

dM{x, y) _ dN(x, y)

öy

dx

sein muss, damit du ein vollständiges Differential ist. Deshalb findet man, indem man die Gleichung (3.) partiell nach y differentiirt und dabei auf der rechten Seite die Differentiation unter dem Integralzeichen ausführt,

’öM(x, y)

(5.)

öu_r

dy - J

öy

dx + (p‘(y) =f-

öN(x, y)

Wx -dx + V‘‘W

oder mit Rücksicht auf Gleichung (1.)

= N(x, y) = [N(x, y)]a +

= N(x, y) — N(a, y) + (p\y),

du

öy

oder

(6.)

Dies giebt

(7.)

<p‘(y) = y),    (p{y) = N{a, y)dy.

b

x    y

u = jM{x, y)dx +/N{a, y)dy.

a    6

Ebenso findet man

y    x

U = JN(x, y)dy + jM{x, b)dx.

b    a

Indem man die beiden für u gefundenen Werthe einander gleichsetzt, erhält man (9.) f[M(x, y) — M(x, b)]dx =J[N{x, y) — N(a, y)\dy.

a    b

Diese Gleichung gilt für zwei beliebige Functionen M(z, y) und N{x, y), welche der einzigen durch die Gleichung (4.) aufgestellten Bedingung unterworfen sind.

Jetzt sei f{z) 'eine Function, welche für die betrachteten Werthe der complexen Veränderlichen

(10.)

z = x yi — r(cos t + «sin t) = r . eu¹) eindeutig und stetig sein und eine bestimmte, stetige Ableitung f\z) besitzen möge; dann wird

(11.)

(12.)

dz — eudr -f- ir . eudt, f{z)dz — M{r, t)dr + N(r, t)dt,

wobei

(13.)

M(r, t) =f(r . eu) . eu,

(14.)

N(r, t) —f(r • eu) . ir . eu.

ieu\f{r . etl) -f- r . e^f'ir . e¹®)].

Zunächst erkennt man, dass die rechte Seite von Gleichung (12.) ein vollständiges Differential ist, denn es wird dM _ dN dt dr

Setzt man die Werthe von M und N aus den Gleichungen (13.) und (14.) in die Gleichung (9.) ein, indem man x mit r und y mit t vertauscht, so erhält man

r    t

(15.)    /[Mir, t) — M{r, b)]dr ==/[N(r, t) — N(a, t)]dt.

a    b

Die Grenzen a und r, b und t sind noch ganz beliebig, man darf deshalb setzen

a = 0, b = 0, t = 2 n, also ehi = e° = 1, eu = e2n¹ = 1, während r vorläufig noch einen beliebigen Werth haben soll.

Da f(z) für die betrachteten Werthe von 2 nach Voraussetzung eindeutig und stetig ist, so wird nach Gleichung (13.) für t= 2n

(16.)

M(r, t) -— M(r, b) — f(r) —f{f) — 0

und nach Gleichung (14.)

(17.)

N (r, t) — N (a, t) — ir . eu .f(r . eu), folglich geht Gleichung (15.) über in

wo bei der Integration r einen constanten Werth hat. Für

F(z)-F(a)

oder

(18.)

(19.)

/(*) =

erhält man daher

oder

in

fz[F(z) — F(a)\

J z — a

0

dt — 0,

(20.)

27t    2 7t

rzF(z)dt ₌ fzdt_

J z — a    Jz— a

0    0

Nun wird, wenn | a ! < | 2 | ist, nach dem binomischen Lehr

sätze

to

₊ ...

(22.)

2 7t    2 7Ï

Jz — a J 0    0

2tl

= °°    fdt

m=l J ~

0

_ am

= + 2^

2tI

am f m —je m rmJ

0

-mtidt

= 2^+2 l\-e-

m [n

-i ; a

mti

2 7t

= 27t,

folglich geht Gleichung (20.) über in

(23.)

oder

(24.)

in

JzF(z)dt o

=    . F(a)

F(a)

in

_ 1 Çz F(z)dt

2 nj z — a o

Diese wichtige Formel rührt von Cauchy her und kann noch in folgender Weise verallgemeinert werden. Differentiirt man beide Seiten der Gleichung (24.) nach a, so erhält man, indem man auf der rechten Seite die Differentiation unter dem Integralzeichen ausführt, der Reihe nach die Gleichungen

in

F\a)

_ 1 ÇzF(z)dt

2tc J (z — a)2 5

o

in

F“(a)

_ 1.2 fzF{z)dt

~~ 2n J [z — af ’

o

in

F“‘(d)

_ 1.2.3 !'zF(z)dt

2 Tt

0

allgemein

(25.)

FW(a)

in

_ m\ Ç zF(z)dt

~ 2rrJ (z — o

a)m+l

Der absolute Betrag von 2 bleibt bei der Integration constant und möge deshalb mit R bezeichnet werden, so dass z = R. eu wird. Dadurch geht Gleichung (25.) für a = 0 über in

in

(26.)

1?W(0) =

2 tc . R

'h

0

UF(R. eu)dt.

Wenn man schliesslich noch

F(z) — (f(a + z) setzt, so ergiebt sich hieraus die Formel

(27.)

mJe

o

—mti

cp(a + R . eu)dt.

Da man ein bestimmtes Integral als Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen auffassen kann, und da der absolute Betrag einer Summe (gleich oder) kleiner ist als die Summe der absoluten Beträge (vergl. D.-R., § 105), so erhält man aus Gleichung (27.) die folgende Ungleichung

<£>(m)(a) ¹ S

2 7T . Rm

2 71

f.

0

—mti

1 . cp(a + R. eu) [ dt

oder, da e~mti \ = l ist,

(28.)

ml

2 n . Rm

2 71

j I fp(a

o

+ R . e<8) | dt.

Bezeichnet man nun mit G den grössten Werth des absoluten Betrages von cp{x), wenn r in x — a Ą- r . eu alle Werthe von 0 bis R und t alle Werthe von 0 bis 2tv durchläuft, so ist auch

(29.)

(p(a -(- R. eu) | ^ G, und die Ungleichung (28.) wird noch verstärkt, wenn man (f{a + R. eu) | mit G vertauscht; folglich findet man

ml G

</)(“)(«) i ' U

ml

‘ln

2tc . R

mj⁽

o

G dt =

Rm

Damit ist der folgende Satz bewiesen:

Satz 1. Ist (fix) eine eindeutige Function der complexen Veränderlichen x = a + r . eli, welche mit ihrer ersten Ableitung stetig ist, so lange r^R bleibt, und ist G der grösste Werth des absoluten Betrages von <p(x), wenn r alle Werthe von 0 bis R und t alle Werthe von 0 bis 27r durchläuft, so ist

m ! G

Diesen Satz kann man sogleich auf Functionen von zwei oder mehr Veränderlichen übertragen. Aus Gleichung (27.) folgt, wenn man y zunächst als Constante und <p(x, y) als Function der einzigen Veränderlichen x betrachtet,

(81.)

dmę(a, y)

ml

Öam

2 ix. Rm

(f(a -f- R . eH, y)dt*\

wobei (f (x, y) als Function von x denselben Bedingungen unterworfen ist wie vorher <p(z). Differentiirt man beide Seiten dieser Gleichung w-mal partiell nach y, so geschieht das auf der rechten Seite der Gleichung wieder, indem man unter dem Integralzeichen differentiirt. Dadurch erhält man

(32.)

dm+nq>(a, y) dam öyn 2tv. R

2 71

L-ma

mJ

0

dncp(a + R . eu, y)

dif

dt.

Nun ist aber wieder nach Gleichung (27.), wenn man x mit y, a mit b, t mit u, m mit n und R mit S vertauscht,

(33.)

dn(p(a-{-R .eu, b)

n\

Öbn

2 7t. Sn

2 71

ł

0

nui

cp(a -f R - eu, b + S. eui)du,

wobei man voraussetzt, dass die Function (p(x, y) auch in Bezug auf y mit ihrer ersten Ableitung eindeutig und stetig ist, und wo y gleich b + S. eui gesetzt ist. Für y gleich b geht daher Gleichung (32.) über in

mit

*) Hierbei ist der Werth von dm(fja, y)

dam

dmcp(x, y)

Öxm

für x = a der Kürze wegen

bezeichnet. In ähnlicher Weise möge in dem Folgenden

der Werth von

Öm+nqja, b)

dxmdyn

für x — a, y = b der Kürze wegen mit

damdbn

bezeichnet werden.

(34.)

ml n\

47t² . Rm . Sn

öm+n(f(a, b) dam dbn ~

j je~ (OT<+W“)* 5p(a + R . eu, b + S. ewi)dtdu.

2it in

Ist G der grösste Werth des absoluten Betrages von cp(x, y), wenn r— x alle Werthe von 0 bis R, s = y ; alle Werthe von 0 bis S, t und. u alle Werthe von 0 bis 2n durchlaufen, und wendet man jetzt wieder den Satz an, dass der absolute Betrag einer Summe (gleich oder) kleiner ist als die Summe der absoluten Beträge, so findet man aus der G-leichung (34.) die Ungleichung

dm+n(p(a, b)

ml nl

in in

Öam Öbn

— 47T² .Rm.S‘

Jj (f{a + R . ełi, b + S. eui) dt du

min!

in in

— 4?r². R'n.Sn

■iß

0 0

G dt du,

oder

dm+n(f(a, b)

därdb™

Damit ist der folgende Satz bewiesen:

Satz 2. Ist tp(x, y) eine eindeutige Function der beiden complexen Veränderlichen

(35.)

ml ni G

= Rm . Sn

x = a + r . eu, y = b + s . eui,

welche mit den■ beiden ersten partiellen Ableitungen

ö(f(x, y)

dx

d(p(z, y)

. stetig ist,    so lange    r^R: s S bleibt, und ist    G    der

grösste Werth des    absoluten    Betrages von <j>(x,y), wenn    r    alle

W^erthe von 0 bis    R, s alle    Werthe von 0 bis S, t und    u    alle

Werthe von 0 bis 27t durchlaufen

d_^~*<p(x,y) j. x_a y ₌ i kleiner als dxmdyn J

Diesem Satze kann man noch eine andere Fassung geben.

so ist der absolute Betrag

mini G

von

Rm . Sn

Es sei

(36.)

m(x, y) =

dann wird

(37.)

dm+nO{x, y) _ öxmdyn

also für x — a, y — b

(38.)

dm+n(D(a, b) m\n\G Rm Sn ’

damöbn

folglich geht Gleichung (35.) über in

(39.)

dm+n<p(a, b) I ^ dm+nQ(a, b) j damdbn ' = !

damÖbn

Nun lässt sich die Differential-Gleichung

(40.)

dy

dx

O-T-K“^)

sehr leicht integriren, wenn man Gleichung (40.) auf die Form / y — b\ ,    Gdx

V- 8

(41.)

bringt und beide Seiten der Gleichung integrirt. Beachtet man dabei noch, dass y — b sein soll für x = a, so findet man

(y-bf

(42.) y — b oder

— G.RAn

j/n² + 2G.R.SAn(l — a~^iy

Aus dieser Gleichung erhält man für x = a y — b = S ± S,

folglich muss man das untere Zeichen nehmen, damit y — b wird für x — a ; es ist also

1/S² + 2G. R. S.

In (l — X R a^ = F(x).

(43.) y — b + S —

Diese Function ist eindeutig und stetig, so lange

(44.)

2 G.R

denn die Quadratwurzel wechselt nur dann ihr Vorzeichen, wenn der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen verschwindet, wenn also

ln^l — x ^ gleich

/    rjß _ d\

Inf 1--—j ist in diesem Falle eindeutig bestimmt, weil er

für x = a verschwinden soll. Setzt man

s

?) wird; und auch der Werth von

2 Cr . l i

(45.)

2G.B

und beschränkt x auf solche Werthe, für welche

x — a\ cg

ist, so wird mit Rücksicht darauf, dass der absolute Betrag einer Differenz (gleich oder) grösser ist als die Differenz der absoluten Beträge,

(46.)

, x — a\__    x — a

⁽⁴⁷^    ¹ ü—¹ n > 1

2 G.M

Nun ist der absolute Betrag des Logarithmus einer com-plexen Grösse r. ev* (gleich oder) grösser als der Logarithmus des absoluten Betrages dieser Grösse, denn es ist allgemein

ln(r . eV*) = ln r (pi = ]/(lnr)² -j- y¹ ^ lnr,

folglich ist auch

, x 11 / x — a\

(48.) I ln(l--R )

>ln 1 —

2G .R

Wenn also die Ungleichung (46.) gilt, so gilt erst recht die Ungleichung (44.). Dann wird aber y — F(x) eine eindeutige, stetige Function, die man mit Hülfe des Taylor'sehen Lehrsatzes nach steigenden Potenzen von x—a entwickeln kann; und zwar findet man die Coefficienten der Reihe

(49.) y = h + 9A(x—o) +

F“(a)

Fm{a)

aus Gleichung (40.). Es ist nämlich

(50.)

F\a) = ®(a, b) = G, F“(a) =(

(°) =[

p“‘

<5® , <9® dy\

oy dx)x~a, d²® cfy d²® cta<9y dx~^~ dÿ

d²®

dx²

b/dyF dO d-yl ²\dx) dy dx²\x

Die Bildung dieser Ausdrücke wird dadurch erleichtert, dass nach Gleichung (38.)

mini G

ßm+nQ

öxmöyH

Rm. Sn

a, y=b

ist. Gleichzeitig erkennt man hieraus, dass die partiellen Ableitungen von <D(x, y) für x = a, x = b sämmtlich reell und positiv sind. Deshalb sind auch die Grössen F'(d), F“(a), jF"'(«),... sämmtlich reell und positiv.

Bezeichnet man mit A den grössten Werth des absoluten Betrages von y, wenn in

x = a + r . eu

r alle Werthe von 0 bis g und t alle Werthe von 0 bis 2n durchläuft, so wird nach Ungleichung (30.)

¹

Das Argument ist hier mit t und nicht, wie gewöhnlich, mit <p bezeichnet, damit der Buchstabe cp in dem Folgenden noch als Functionszeichen verwendet werden kann.

(51.)

F*\a)^AA,

folglich ist die Beihe auf der rechten Seite von Gleichung (49.) convergent, da die einzelnen Glieder derselben (gleich oder) kleiner sind als die Glieder der geometrischen Progression A(x — a) A(x — a)² ₍ A(x — a)³

(52.) A -f

Ag

9³

g—(x—a)

Vergleicht man nun mit der soeben gelösten Diiferential-Gleichung erster Ordnung die allgemeinere

dy

(53.)

dx = <ri*, y),

convergent ist für alle Werthe von x, bei denen der absolute Betrag von x — a kleiner als g ist.

dm+nO(a, b) öam dbn ’

Nach Ungleichung (39.) war nämlich dm+n(p(a, b)

öamöbn

folglich wird auch der absolute Betrag von

=a, y=b

(gleich oder) kleiner als

a, y=b

wie aus der mehrfach erwähnten Bildung der Grössen /'(«), fn\a\ ... und F\a), F“(a), F‘u(a)... hervorgeht. Unter der Voraussetzung, dass die Reihe auf der rechten Seite von Gleichung (54.) convergent ist, war aber schon in dem vorhergehenden Paragraphen nachgewiesen worden, dass die Gleichung (54.) das allgemeine Integral der vorgelegten Differential - Gleichung ist.

Damit ist bewiesen:

Satz 3. Wenn <p{x₁ y) eine eindeutige Function der beiden complexen Veränderlichen

y = b + s.eui ist und mit ihren beiden ersten partiellen Ableitungen

Ö<r{x, y)'

so ergiebt sich Folgendes. Es sei wieder ę(x, y) eine eindeutige Function der beiden complexen Veränderlichen x — a -f- r . etl, y = b + s . eui,

welche den in Satz 2 angegebenen Bedingungen genügen möge, dann kann man jetzt beweisen, dass die schon in Gleichung (22.) des vorhergehenden Paragraphen aufgestellte Reihe

(54.) y = b +

/'(«)

l!

(x—a)-f-

/"(«)

2!

{x— a)H

x = a -j- r . etl,

öx

öcp(x, y)

öy

stetig bleibt

(2a.)

M(x, y)dx -f N{x, y)dy = 0.

Ist nun hierbei Mix, y) eine Function X der einzigen Veränderlichen x und N(x, y) eine Function Y der einzigen Veränderlichen y, ist also

(3.)

ist, so lange der absolute Betrag von x — a kleiner als eine bestimmte reelle, 'positive Grösse g bleibt, für x — a den Werth b annimmt und der Differential-Gleichung

dg

dx = f^y)

genügt.

Die Grösse g ist dabei durch die Gleichung (45.) erklärt.

In ähnlicher Weise kann man auch die Existenz allgemeiner Integral-Gleichungen nachweisen, wenn ein System von m simultanen Differential-Gleichungen erster Ordnung, also m Gleichungen

zwischen x, ylt y₂,...ym

Auf diesen Fall lässt sich dann auch, wie schon angedeutet wTurde, die Integration der Differential-Gleichungen höherer Ordnung zurückführen.

dyi dy^ . dym dx dx

gegeben sind.

CtX

§ 84.

Trennung der Variabein.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 207.) Ist die Differential-Gleichung erster Ordnung

(i-)

F(x’y’T)=°

dy

gegeben, so löse man sie in Bezug auf ~ auf, d. h. man bringe sie auf die Form

(2-)

dy

M(x, y)

oder

N(x, y)

M{x, y) = X, N{x, y) = Y, so kann man sofort das allgemeine Integral

J'Xdx + J Ydy = C

(4.)

nennt man „Integration Ist z. B. die Differential-

bilden. Hat die Differential-Gleichung diese Form noch nicht, so wird man sie auf diese Form zu bringen suchen. Das Verfahren, welches man dabei ausführt durch Trennung der Variabein“.

Gleichung

(5.)

XxYxdx + X%Y*dy = 0 gegeben, wo Xt und X₂ Functionen der einzigen Veränderlichen x, Yi und Y₂ Functionen der einzigen Veränderlichen y sind, so dividirt man die linke Seite von Gleichung (5.) durch X₂Y\ und erhält

(6.)

X, _    , Y₂ .

dx -j- -- dy — 0

also

X₂

(7.)

/w

y₂

dy = C.

Da ein Integral von der Form fxdx als der Flächeninhalt einer ebenen Figur betrachtet werden kann (deren Begrenzung in Formel Nr. 4 der Tabelle angegeben ist), so nennt man hier, wo von der Integration der Differential - Gleichungen die Rede ist, die Ermittelung eines solchen Integrals eine „Quadratur“.

(8.)

Aufgabe 1.

Beispiele.

Man soll die Differential-Gleichung ydx — xdy = 0

integriren.

Auflösung. Indem man die linke Seite von Gleichung (8.) durch — xy dividirt, erhält man dy dx _

(9.)

0,

\nx = ln C

(10.)

y = Cx.

Die Intégrations - Constante ist in diesem Falle mit ln G bezeichnet worden, damit der Uebergang von den Logarithmen zu den Numeri erleichtert wird.

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung

(11.)

(x² — a²)dy — ydx = 0

integriren.

Auflösung. Indem man die linke Seite von Gleichung (11.) durch (x² — a²)y dividirt, erhält man

(12.)

dy dx

0,

y    x² — a²

also nach Formeln Nr. 29 a der Tabelle

y2a = C-

(13.)

Aufgabe Man soll die Differential-Gleichung

(14.)

x²dy (y — d)dx — 0

integriren.

Auflösung. Indem man die linke Seite von Gleichung (14.) durch x²{y — d) dividirt, erhält man

(15.)

dy dx

(16.)

(17.)

fß-.+ß-“«'-«-

ln (y — a) = ln C -ff ~ = ln C + ln (j/ e ), y — a = G. y/e.

Aufgabe 4. Man soll die Differential-Gleichung xydx — (a -(- x) (b -f- y)dy = 0

= ln C,

integriren.

Auflösung. Indem man die linke Seite von Gleichung (17.) durch y(a -ff x) dividirt, erhält man

(18.)

xdx

(b + y)dy

/(■

₍^_^)dx—J'Ç 1 + b^dy — x—aln(« + x)—y — 5 ln y = C

ß + a:

oder

(19.)

(20.)

Aufgabe^*/

x — y = C -f- ln [{a x)n . y⁴].

Man soll die Differential-Gleichung x³ydx -j- ydx + xy²dy — xdy = 0

integriren.

Auflösung. Man kann die vorgelegte Differential-Gleichung zunächst auf die Form

(21.)

(x³ + 1 )ydx -j- x(y‘² — 1 )dy = 0 bringen und dann durch xy dividiren. Dadurch erhält man (x³ + 1 )dx    {y² — 1 )dy _

oder

(22.)

(23.)

J{xi+l)dx+f{y-\)dv⁼

o,

Aufgabe 6.

J + Ina: + J — lny = C.

Man soll die Differential-Gleichung (1 + x²)dy — y 1 — y²dx = 0

integriren.

Auflösung. Indem man die linke Seite von Gleichung (23.) durch (1 + x²)Yl — y² dividirt, erhält man

(24.)

dy

dx

also

Vl-y²

1 x²

(25.)

f dy    r dx

J yf^-T² Jl+z²

Aufgabe 7. Man soll die Differential - Gleichung

= arcsiny — arctg# = C.

(26.)

xdy — ydx = dy y 1 + x¹ -f- dx |/l + yl

integriren.

Auflösung. Man bringt die Differential-Gleichung zunächst auf die Form

(27.)

(x — ]/l + x²)dy — (y -f ]/l -j- y²)dx = 0 und dividirt die linke Seite dieser Gleichung durch (x—]/l -f- x²) und durch (y -f ]/l    y²); dies giebt

(28.)

dy

dr

oder

y+V i + y²

₇ 0,

X—Y1 + X²

(]/l + y² — y)dy + (JA + z* + x)dx = 0, folglich findet man nach Formel Nr. 124 der Tabelle

]A + y² + \ My + ]A + yl) — y2 + |yi + x² + ^ ln A + ]/l -h~z²) +    =

(29.)

tc bsg

i-t i ct

C,

oder

(30.) a;² —y² + x}/1 -j- x² -f- y]/l -f y²

+ ln[(« + Y1 + a;²) (y + f/l -t y²)] = 6'.

(31.)

Aufgabe 8. Man soll die Differential - Gleichung sin x sin ydy = cos x cos ydx

integriren.

Auflösung. Indem man Gleichung (31.) durch —sina;cosy dividirt, erhält man

(32.)

cos xdx

sina;

smydy _ Q cos y

also durch Integration

ln (sina;) + ln (cos y) = ln C,

oder

(33.)

sina; cos y = C.

Aufgabe 9. Man soll alle Gurven bestimmen, bei denen die Subtangente die constante Länge a hat.

dx

Auflösung. Da die Subtangente einer Curve St —y— ist, so erhält man der Reihe nach die Gleichungen

(34.)

dx

VTy=a’

(35.)

dx

ody

—- ?

(36.)

x — x₀ — a\ny

oder

x—r₀

(37    y = e

Dies ist die /Gleichung der logarithmischen Linie.

Aufgabe 10. Man soll alle Curven bestimmen, bei;[denen die Subtangehte n-mal so gross ist wie die zugehörige Abscisse.

Auflösung. Für die gesuchten Curven wird

(38.)

= nx,

(39.)

dx_ndy

Inx + ln (2p) = y, wobei man die Intégrations-Constante mit ln (2p) bezeichnet hat. Dies giebt

(40.)

(41.)

yn — 2 px,

also die Gleichung der verallgemeinerten Parabel.

Für n = 2 stellt die Gleichung die gewöhnliche Parabel dar, für welche die Subtangente doppelt so gross ist wie die Abscisse.

Aufgabe^!. Man soll alle Curven bestimmen, bei denen die Polar-Subnormale die constante Länge a hat.

Auflösung. Die Polar-Subnormale ist Sn — ^r für die gesuchten Curven

folglich wird

(42.)

dr

oder dr — a . dcp,

r — a((p — (po).

Die gesuchten Curven sind also Archimedische Spiralen.

dcp a’

Aufgabe 12. Man soll alle Curven bestimmen, bei denen die Polar-Subtangente die constante Länge a bat.

Auflösung. Die Polar-Subtangente ist St — wird für die gesuchten -Curven r²dcp dr ~

r²d(p

dr

folglich

(44.)

oder dtp =

adr

'S I ©

(45.)

(p — y o = —

oder r(y — y₀) =

Die gesuchten Curven sind also hyperbolische Spiralen.

Aufgabe 13. Man soll alle Curven bestimmen, welche mit der X-Axe, Vom Nullpunkte an gerechnet, und mit der Ordinate QP ein Flächenstück OQP begrenzen, dessen Inhalt der nte Theil des Eechtecks xy ist.

Auflösung. Da das von der Curve begrenzte Flächenstück den Inhalt

(46.)

F=fydx

0

hat, so erhält man für die gesuchten Curven die Gleichung

(47.)

xy

X

= n fydx, oder xdy -f- ydx = o

nydx

xdy — (n — 1 )ydx,

dy , ,.dx -JL = {n— 1)— ?

y    x

ln y = (n — l)ln« -f- InC = ln(CVw_1), y = Cxn~¹.

Die gesuchten Curven sind wieder verallgemeinerte Parabeln.

Aufgabe 14. Man soll eine Curve bestimmen, deren Tan-î die cdnstante Länge a hat.

ds

Auflösung. Die Tangente einer, Curve ist T = y erhält man

(48.)

(49.)

gente

dy

folglich

(50.)

ds

= a, oder y\dxl -f- dy²) = a²dy², y²dx² = (cd — y²)dy²

y dy

± ydx = Y a² — yl. dy

(52.) dr (x — x₀) = Ya²—y² — aln^—

y a² — y²

(51.)    d~dx

yal=lIdy

y

a²dy

ydy

yVa² — y²

y a²—y²

Indem man beide Seiten dieser Gleichung integrirt, findet man nach den Formeln 37 und 31 der Tabelle

Die Curve, welche dieser Gleichung entspricht, wird „ Trac-trix von Huygheiis“ genannt.

Aufgabe 15. Man soll alle Curven bestimmen, bei denen der Flächeninhalt eines jeden Sectors zu der Differenz der Quadrate der den Sector begrenzenden Leitstrahlen proportional ist.

Auflösung. Nennt man die begrenzenden Leitstrahlen rx und r und die zugehörigen Argumente qi und y>, so wird nach Formel Nr. 129 der Tabelle der Flächeninhalt des Sectors

(53.)

N = \Jr²dcp,

<Pi

so dass für die gesuchten Curven die Gleichung n(r² —

(54.)

<p

rx²) — \Jr²d(f

gilt. Betrachtet man dabei r und </> als veränderlich, während rx und (fi constant sind, so folgt aus Gleichung (54.) durch Differentiation

(55.)

4 nrdr = r²dy>,

(56.)

dr

⁴ »— = dtp,

Ąnlnr = <f — cp₀,

(p — <p 0

(57.)

y.4w __ g(p — (fo

ln

oder, wenn man

(58.)

e-a<p₀ __ Q

setzt.

r r= ea^⁽P—⁽Po)

oder r — C. eacP.

Dies ist die Gleichung der logar ithmischen Spirale.

dy ,/y\

472

§ 85. Integration der Gleichungen von der Form    (G ) •

§ 85.

Integration der Gleichungen von der Form-^=/(|)*

(Vergl. die Formel- Tabelle Nr. 208.)

In den meisten Fällen wird die Trennung¹ der Variabein bei der Differential-G-leichung

(10

M(x, y)dx -f j\J(x, y)dy — 0 durch einfache Multiplication oder Division nicht möglich sein. Mitunter wird aber die Differential - Gleichung durch passende Substitution so umgeformt werden können, dass dann die Trennung der Variabein durchführbar ist.

teil

Sind z. B. M(x, y) und N (,r, y) beide homogene Functionen Grades, wird also

(2.)

M(tx, ty) — tm . M(x, y), N(tx, ly) — tm . N(x, y), so kann man die Trennung der Variabein in folgender Weise ermöglichen.

Aus den Gleichungen (2.) findet man für ( —

(3.)

/ jA

\ ’ x) xm

__ N(x, y )

xm

Dividirt man also Gleichung (1.) durch xm und bezeichnet

K¹’ )

mit

so erhält man

(*•)

Mt

0’ ï)dx + K¹’ z)dy ” °’

oder

(5.)

dy

dx

Setzt man jetzt

(6.)

= z, also y = xz

so \tfird

§ 85. Integration der Gleichungen von der Form ^    '

(7.)

dy = zdx -f- vdz, und Gleichung (5.) geht über in

(8.)

z + xTx=f^;

dies giebt

(9.)

dz

dx

f{z) —z X

die Trennung der Variabein ist also durchgeführt.

Man hätte natürlich auch mit demselben Rechte x = yz setzen können und dadurch eine Differential-Gleichung zwischen y und 2 erhalten, bei der sich ebenfalls die Trennung der Variabein ohne Weiteres ausführen lässt.

Beispiele.

In den folgenden Aufgaben ist das angegebene Verfahren anwendbar, weil M(x, y) und N(x, y) jedes Mal homogene Functionen gleich hohen Grades sind.

(10.)

Aufgabe ,!. Man soll die Differential - Gleichung (x + y)dx + xdy — 0

integriren.

Auflösung. Indem man y — xz setzt, findet man

(,x + xz)dx + x{zdx + xdz) = 0,

oder, wenn man durch x dividirt und ordnet,

(11.)

(1 + 2z)dx 4- xdz — 0.

Jetzt ergiebt sich durch Trennung der Variabein

(12.)

dx

dz

1+22

und durch Integration

also

2 Ina: + ln(l + 2z) = lnC,

(13.)

(14.)

x\l + 2z) — C, oder x(x + 2 y) = C. Aufgabe 2, Man soll die Differential-Gleichung {x + y)dx + (y — x)dy = 0

integriren.

Auflösung. Indem man y = xz setzt, findet man (x -f xz)dx -f- (xz — x) (zdx + xdz) = 0, oder, wenn man durch x dividirt und ordnet,

(15.)

(1 + z²)dx -j- (z —* 1 )xdz = 0.

Jetzt ergiebt sich durch Trennung der Variabein

(16.) .

dx    (z — 1 )dz

--b --— =. 0

x ^    1 +z²

und durch Integration

Ina: + £ln(l + z²) — arc tgz = ln C,

oder

(17.)

]/x² + y²

) = arc tg (|)

Aufgabe 3. Man soll die Differential - Gleichung

(18.)

xdy — ydx — dx]/x² -f- y²

integriren.

Auflösung. Indem man y — xz setzt, findet man x(zdx + xdz) — xzdx — x²dz — dx Y xd -j- x²z2 oder, wenn man durch x dividirt,

(19.)

xdz — dxY 1 + 2², also durch Trennung der Variabein

(20.)

dz

dx

Yl + z² x

und durch Integration

ln{z +]/1 +z²) = Ina; -f ln(7,

2+fl-f 2² = Cx,

y + Y rx² + y² — Cx², oder YX<1 + y² = Cx² — y.

Dies giebt

x² + y² — C²xi — 2 Cx²y -j- y²

oder

(26.) integriren.

Aufgabe 5r Man soll die Differential - Gleichung y/ (8y + 10 x)dx + (5 y + 7 x)dy = 0

Auflösung. Indem man y = xz setzt, erhält man (8 xz -f- 10x)dx + (6xz + 7 x) (xdz -f- zdx) = 0, oder, wenn man durch x dividirt und ordnet,

(27.)

(22.)

§ 85. Integration der Gleichungen von der Form ^ =/

Aufgabe 4. Man soll die Differential - Gleichung ^    (2z³ — 135 y³)dx + 81 xy²dy — 0

integriren.

Auflösung, Indem man y = xz setzt, findet man (2z³ — 136 z³z³)dx + 81 x²z²(xdz -j- zdx) = 0, oder, wenn man durch x³ dividirt,

(2 — 135 z³)dx + 81 z²(xdz + zdx) = 0,

(2 — 54 z³)dz + 81 z²zdz = 0.

Durch Trennung der Variahein erhält man daher

81z² dz 27z³— 1

(23.)

(24.)

2 dz

und durch Integration

also

ln (x²) = ln (27 z³ — 1) — ln C,

(25.)

Cx² =

z³—1, oder Cxb = 27 y³—- x³.

(5 z² -j- 16 z + 10)dz + (6z + 7)xdz = 0.

Jetzt ergiebt sich durch Trennung der Variabein

(28.)

5 dx

(6z -f 7 )dz

2 dz

3 dz

Z -j- 1 Z -f" 2

und durch Integration

also

5 Ina; = ln C— 2ln(z + 1) — 3ln(z + 2),

(30.) integriren.

(29.) x³(z + 1)²(2 + 2)³ = C, oder (x + y)²( 2x + y)³ = C. Aufgabe 6. Man soll die Differential - Gleichung (oj/x² -|- y² — cx)dx + (b)/x² + y² — cy)dy = 0

dy »fy\

476

§ 85. Integration der Gleichungen von der Form ^ =/ (

Auflösung. Indem man y = xz setzt, erhält man (a~Ÿx'¹ 4- x²z² — cx)dx -f- (öf/x² -j- x²z² — cxz) (xdz -f- zdx) — 0, oder, wenn man durch x dividirt und ordnet,

(31.) [(a + bz)Y1+2²—c(l -\-z²)]dxx(bYi -j-z²— cz)dz = 0.

Jetzt ergiebt sich durch Trennung der Variabein

(32.)

dx

[b\ 1 4- z² — cz)dz

x Y L + z²(a + bz — c]/1 + z²)

— o,

oder

(32 a.)

- ~CZ=,-) dz

-+——i^±2===o.

x a-\-bz — c)/1 + 2²

dx

(s

Da in dem zweiten Gliede der Zähler gerade das Differential des Nenners ist, so erhält man durch Integration

\nx -f- ln (a + bz — c]/l -f- z²) = ln C,

also

x(a 4- bz — cYI + 2²) = C,

oder

+ by — C'Y x² -j- y² = C.

Weit leichter wird die Lösung dieser Aufgabe durch die Substitution

(33.)

ax

x² + yl = r², xdx -f- ydy — rdr denn dadurch geht Gleichung (30.) über in ardx -f- brdy — crdr — 0,

(34.)

oder

(35.)

adx -|- bdy — cdr = 0,

woraus man wieder in Uebereinstimmung mit Gleichung (33.) ax by — er — C

findet.

Aufgabe 7. Man soll alle Curven bestimmen, bei denen die Summe der Abscisse x und des Eadiusvector r gleich der Subtangente ist.

ydx — (x -j- ]/xl + y²)dy.

(36.)

Hier wird man zweckmässiger Weise x = yz setzen, wodurch Gleichung (36.) übergeht in

(37.)

dx

Auflösung. Die Subtangente einer Curve ist bekanntlich y folglich gilt für die gesuchten Curven die Differential-Gleichung

= x + r,

dy ’

dx

oder

V dy

y{ydz + zdy) = (yz + ]/y²z² + y²)dy, oder, wenn man durch y dividirt und ordnet, y dz — ]/l -f- z² dy.

Jetzt ergiebt sich durch Trennung der Variabein

(38.)

dz

dy

und durch Integration

f/i + z² y

ln (2 + Y1 + z²) = ln y — ln«,

wobei die Intégrations-Constante mit ln« bezeichnet ist. Daraus folgt

(39.)

(40.)

a(z + Y1 + z²) = y, oder a(x + ]/x² + y²) = y², a,y x² + y² = y¹ — ax-, o²x² + a²y² ~ yi — 2 axy² -j- a²x², y² — 2 ax + a².

(41.)

Die gesuchten Curven sind also Parabeln, deren Brennpunkt zum Anfangspunkt der Coordinaten gewählt ist. Dabei wird r — x + o, St = x + r = 2x -j-

§ 86.

Einige weitere Fälle, in denen man die Trennung der Variabein ausführen kann.

Mitunter kann man die Functionen M(x, y) und N(x, y) in der Differential - Gleichung und durch Integration

\nx' = — 2 ln (2 + 1) + ln (2 — 2) + InG,

oder

(1.)

M(x, y)dx + Nix, y)dy = 0,

auch wenn sie nicht homogen sind, durch eine Parallelverschiebung der Coordinaten, also indem man x = x‘ 4- £

(20

y — y‘ + v

setzt und die Constanten £ und y passend wählt, homogen machen. Wie dies geschieht, mögen die folgenden Aufgaben zeigen.

(3.)

Aufgabe+. Man soll die Differential-Gleichung 2{x — 2y — 5)dx + (5z — y — 7)dy = 0

integriren.

Auflösung. Indem man die Werthe von x und y aus der Gleichung (2.) in die Gleichung (3.) einsetzt, erhält man (4.) 2(xt — 2*/' + £ — 2y— 5)dx‘ + (5z' — y'+5£— y— l)dy‘ = 0.

Damit die Factoren von dx‘ und dy‘ in dieser Gleichung homogene Functionen ersten Grades von x‘ und y‘ werden, muss man £ und y so bestimmen, dass

£ — 2y — 5 = 0 und 5£ — y — 7 = 0

(5.)

wird. Dies giebt

(6.)

5 = 1,

also

(7.)

x = x‘-\-l, y = y‘ — 2.

Dadurch geht Gleichung (4.) über in

2(x‘ — 2 y‘)dx‘ + (5x‘ — y‘)dy‘ = 0.

Indem man y‘ = x'z setzt, erhält man

2(x‘ — 2x‘z)dx‘ + (5x/ — x'z ) (x'dz + zdx‘) = 0, oder, wenn man durch x' dividirt und ordnet,

(8.)

(9.)

(10.)

(2 + z — z²)dx' 4- (5 — z)x‘dz = 0.

Jetzt ergiebt sich durch Trennung der Variabein (— z    5)dz _

2² — z — 2

dx‘

2 dz

dz

x‘

(18.)    M(x‘, y‘) = ax‘ + by‘ und N(x\ y‘) = a^x‘ -f- biy¹

homogene Functionen, und die Differential-Gleichung erhält die Gestalt

(19.)

(ax‘ -J- byl)dx‘ + («iP + biy‘)dy‘ = 0, so dass man sofort das im vorhergehenden Paragraphen angegebene Verfahren an wenden kann.

Bei dieser Umformung ist allerdings stillschweigend die Voraussetzung gemacht worden, dass die Determinante abt— ad von Null verschieden ist. Wenn

(20.)

aby — aj) — 0, oder a : at = b : bi = m

ist, so wird

(21.)

(II.)

(12.)

x\z -f- l)² = C(z —- 2),

(y‘ + x,sf = G (y‘ — 2x‘).

Daraus folgt mit Rücksicht auf die Gleichungen (7.) (* + y + l)² = O (y — 2x + 4).

In ähnlicher Weise kann man ganz allgemein die Differential-Gleichung

(ax + by + c)dx -f (d\.x -f b^y +_ cx)dy = 0 integriren. Setzt man nämlich wieder

x = x'+§, y = y'+y, so geht Gleichung (13.) über in

(15.) (aæ'+ôy⁴ + a§+6i/ + c)dz' + (a₁a:' + &iÿ+aig+6iy+c₁)dÿ=0. Jetzt kann man die Constanten § und y so bestimmen, dass + by -f- c = 0 und a£ + b^y + cy = 0

(13.)

(14.)

(16.)

wird, indem man

bei — byC

CUy — cxa abi — ad

setzt. Dadurch werden in Gleichung (15.) die Factoren von dx‘ und dy‘, nämlich

(17.)

abi— ad

ax + by — m(axx -f biy).

Das weist darauf hin, dass man hier

arx + biy = z, also a^dx + bidy — dz

also

oder

(26.)

— z + 16ln(z — 3) + 2 C,

x — 3 y + 8ln(6y — 3x—3) + C=0.

Unter der Voraussetzung, dass abx — axb von Null verschieden ist, kann man die Differential-Gleichung

(ax + by -j- c)dx -f- (axx + bxy + Cx)dy = 0

auch dadurch integriren, dass man

(27.) M{x, y) — ax + by -f- c = u, N(x, y) = axx -f- bxy + cx = v setzt und die Grössen u und v zu Intégrations-Veränderlichen macht; dann wird

(28.)

setzt; dann geht die gegebene Differential-Gleichung (13.) über in

(mz + c)dx -f- (z -f- cx)dy — 0,

oder

(23.)

bi{mz -f- c)dx -f (z + cx) {dz — axdx) = 0,

[(bxm — ax)z -f- {bxc — axci)\dx -f- (z -f- cx)dz — 0 (z H- cx)dz

dx =

{bxm — ax)z -f- {bic — axcx)

(24.)

Beispiel.

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung (x — 2y + 9 )dx — (3z — 6y + 19 )dy = 0

integriren.

Auflösung. In diesem Falle ist also z = — 3z + 6y, m = — bxm — «1 = 1, bxc — a±Ci = — 3 folglich wird nach Gleichung (23.)

(ż — Ifydz

(25.)

dx

= — dz + 16

dz

du — adx + bdy, dv — axdx + bxdy,

also

I (abi — axb)dx — bxdu — bdo,

\ (abi — axb)dy = — axdu + adv.

Deshalb geht die vorgelegte Differential-Gleichung über in u(bidu — bdv) + v{— a^du + adv) = 0,

oder

(30.)

(biU

a^v)du + (— bu -)- av)dv = 0.

In dieser Gleichung sind die Factoren von du und dv homogene Functionen ersten Grades von u und v.

Beispiel.

(31.)

Aufgabe 3. Man soll die Differential - Gleichung (3y — Ix + l)dx + {ly — Sx + 3)dy = 0

integrii-en.

Auflösung. Hier setze man

(32.)

Sy — Ix + 7 = u, ly — Sx + 3 = v

dann wird

Sdy — Idx — du, Idy — Sdx = dv,

(33.)    40dx — — Idu -f- 3dv, 4:0dy = — 3du + Idv,

folglich geht Gleichung (31.) über in

u(— Idu -f- 3dv) + v(— 3du + Ido) — 0,

oder

(lu + 3 v)du + (— Su — lv)dv = 0.

Für v — uz erhält man hieraus

(lu -f 3uz)du -j- (— Su — luz) (udz -j- zdu) — 0, oder, wenn man diese Gleichung durch u dividirt und ordnet, 7(1 — z*)du = (3 + lz)udz,

(3 + lz)dz 1 — z¹

(34.)

(35.)

(36.)

Idu

(37.)

( ^

\Z- 12+1/

7lnw + 5ln(2 — 1) + 2ln(z + 1) = ln C,

oder

(38.)

w⁷(z — 1)⁵(^ + l)² = C.

Dies giebt

(v — u)⁵(o + u)² = C,

oder 4c⁵(x -j- y — l)⁵. 10²(x — y — l)² = C,

(39.)

(* + y —1)⁵0 — y — i)² = Oi,

wobei

(40.)

C = 4⁵.10! . Ci

gesetzt worden ist.

§ 87.

Lineare Differential-Gleichungen erster Ordnung.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 209.)

Die Differential - Gleichungen erster Ordnung kann man

weiter eintheilen nach dem Grade, den sie in Bezug auf ,

dx

und y haben. Demnach versteht man unter einer Differential-Gleichung erster Ordnung und ersten Grades eine Gleichung von der Form

dy

dy

dx +V fix) =

wobei fix) und <p(x) noch beliebige stetige Functionen von x sind. Gewöhnlich nennt man eine solche Gleichung „eine lineare Differential- Gleichung erster Ordnung“ und kann zu ihrer Integration die folgenden Methoden anwenden.

Methode von Bernoulli. Man setze

dy dz , du dx~Udx + Zdx’

(!•)

(2.)

y = uz , also

dann geht Gleichung (1.) über in

(3.)

dz

u ——\- z

dx

~du

Von den beiden Functionen u und z kann man die eine noch ganz beliebig annehmen; deshalb werde u so bestimmt, dass in Gleichung (3.) der Factor von z verschwindet, dass also

(4.)

du    .

— + « ./(*) = 0 wird. Dies giebt

(5.)

du

also durch Integration lnw =

(6.)

—Jf(x)dx, oder u — e^J{x]dX‘

Durch diese Bestimmung von u reducirt sich Gleichung (3.)

auf

(7.)

dz

folglich wird

(8.)

also

(9.)

Udx ⁼    ’ 0c^er ⁼ 9^) • e

z=ff(x).e

—J'f{x)clx

Jf(x) dx

y — uz =

ff[x)dx

. dx

. dx -f- G

J'f(x)dx

. dx -f- C .

(10.)

Beispiele.

Aufgabe-F. Man soll die Differential-Gleichung

ty___

dx x -j- 1

= (x + l)³

integriren.

Auflösung. Indem man y = uz setzt, findet man aus Gleichung (10.)

(11.)

dz , {du

“s ⁺ *U~

) = (* + l)³-

z -]- 1

Damit der Factor von 2 in dieser Gleichung verschwindet, bestimmt man u so, dass

(12.)

du

dx x + 1

= 0, oder

du 2 dx u x + 1

wird. Dies giebt (13.)

lnw == 2ln(# -f 1), oder u = (x + l)².

Für diesen Werth von u reducirt sich Gleichung (11.) auf

(14.)

dz

(15.)

u = (x -f l)³, oder dz = (x 4- 1 )dx. dx

Hieraus findet man durch Integration 2 z = (x + l)² +C,

2y — 2uz = (x -f- l)⁴ -f- C(x -f- l)².

(16.)

Da es bei der Bestimmung von u nur darauf ankommt, dass in Gleichung (3.) der Factor von z verschwindet, so braucht man in Gleichung (6.) keine Intégrations-Constante hinzuzufügen.

Aufgabe ,2^ Man soll die Differential-Gleichung

(17.)

dy

~r — au = x4 dx J

integriren.

Auflösung. Indem man y = uz setzt, findet man aus Gleichung (17.)

dz

+ z(t~au)=

(18.)

X⁴.

Udx

Damit der Factor von z in dieser Gleichung verschwindet, bestimmt man u so, dass

(19.)

du

dx

— au

du

= adx

wird. Dies giebt

(20.)

&

CD

lnw = ax,

Für diesen Werth von u reducirt sich Gleichung (18.) auf

u — eax.

oder dz = e~ax . x⁴dx.

(21.)

dz

u—^~ dx

Hieraus erhält man durch partielle Integration

~ • e ax(a⁴x⁴ -j- 4a³x³ -f- 12a²x² -f- 24ax -f- 24) 4- 6Y,

(22.) z = —

folglich wird

(23.) a\Ceax — y) = a⁴x⁴ -f 4a³x³ + 12a²£² + 24ax + 24.

(24.)

Aufgabe Man soll die Differential - Gleichung

x -j- ]/l -4- x²

a----------------

Y1 — ,r²

dy

dx y1 + x2

integriren.

Auflösung. Indem man y = uz setzt, erhält man der Reihe nach die folgenden Gleichungen

y — uz — {x + ]/l + #²) (a . arcsin# -f- C).

(28.)

(25.)

dz

" dx

, /du    u \

⁺ 'U_ÿr+P/⁼°

# + ]/l + #2 Yl — #²

du

(26.)

also

du

dx

._:__= 0 ,

-j/l + #²

u    y i -j- X²

inu = iü(x+yi y x²), u = x + yr+~z*.

dx

Deshalb geht Gleichung (25.) über in

dz x + Y1 + #²

— °-/ -■ -......—

Yi — x²

U dx

oder

dz

dx

Y i — #²

(27.)

dz

adx

---5    3

Y1—a²

= a . arcsin# + C,

2. Methode von Lagrange (Variation der Constanten).

Man ersetze zunächst die Differential - Gleichung

(29.)

dy

-fx + V •/(*) = 9>(*)

durch die Gleichung

(30.)

dy

s + »./(0 = o

welche in Bezug auf y und — homogen ist, und bei der ohne

Weiteres die Trennung der Variabein ausgeführt werden kann. Dadurch erhält man

(31.)

= ~f(x)dx

und durch Integration

(32.)

ln y — —Jf(x)dx + lnc,

oder

(33.)

dx

y = c. e

Versucht man jetzt, ob die Gleichung (33.) auch ein Integral der Gleichung (29.) ist, so erkennt man, dass dies nur möglich

ist, wenn man c nicht als eine Constante, sondern als eine Function von x betrachtet. Aus Gleichung (33.) oder (32.) findet man unter dieser Annahme durch Differentiation

dy

r—I

1 de c dx

oder

(34.)

dy

x + y-/w =

y

c dx

folglich wird nach Gleichung (29.) und (33.)

de    —ff(x)dx de    . .

dx = e ' Tx ⁼ vW

Jf(x)dx

e    i

(35.)

de

oder

(36.)

also in Uebereinstimmung mit Gleichung (9.)

(37.)

(38.)

Beispiele.

Aufgabe Man soll die Differential-Gleichung ~ -f- ay — b . emx

integriren.

Auflösung. Integrirt man zunächst die lineare, homogetie Differential - Gleichung

(39.)

dy

lx + ay =

so findet man durch Trennung der Variabein (4 )    * =

O rH

— adx, also ln y = — ax -f- Inc

(4 )    y — c. e~ax.

Wenn man hierbei c als eine Function von x betrachtet, so ergiebt sich durch Differentiation

1 dy

y dx

1 de

— — ® 1--~t~ ’

c dx

oder

(42.)

_ydc_'

c dx

Dies giebt mit Rücksicht auf die Gleichungen (38.) und (41.) y dc_ c dx

dy

ix+ay

de

= b . emx, Oder e~ax — = b . emx, dx

also

(43.)

de

—- = b . e(a+w)*, dx

(44.)

c — bJe(a+m)x . dx =

(45.)

-— r«(®+»)* + Gl

a + m L    J

-—(emx 4- Ce~ax). a-\-m

Aufgabe/5. Man soll die Differential - Gleichung-

(46.)

dy.

dx

integriren.

Auflösung. Durch Integration der linearen, homogenen Differential - Gleichung

(47.)

dx

i⁵«

oder

dx

erhält man

(48.)

lny = lnc — Ina:, oder xy — c.

Betrachtet man jetzt c als veränderlich, so erhält man aus dieser Gleichung durch Differentiation

(49.)

i A/ ₌ i *_i ) oder    =

y dx c dx x    dx x c dx x dx

also ffc == axdx,

(50.)

Deshalb geht Gleichung (46.) über in 1 de x dx

folglich wird mit Rücksicht auf Gleichung (48.)

2c = ax² + G, also 2xy — ax² -f- G.

Aufgabe 6/ Man soll die Differential-Gleichung

(52.)

dy

^¹~X^d~x + Xy = a

integriren.

Auflösung. Durch Integration der linearen, homogenen Differential-Gleichung

(53.)

dy

(1 X'dx xy = °’

.    ^ dy    2xdx

oder 2— = — ---r

1 — xL

erhält man

(54.) ln(y²) = ln(l — x²) -f lnc, oder y² = c( 1 — x²).

Betrachtet man jetzt c als veränderlich, so erhält man aus dieser Gleichung durch Differentiation

dy

1 de 1 — x² c dx

— 2x

dx

oder

⁽¹-^f+xv =

Deshalb geht Gleichung (52.) über in

(1

dies giebt mit Rücksicht auf Gleichung (54.)

d oder „+**₌₍₁_ jfî. a«*,

2 yc    dx ’    v

also für x = sinG |/l

(55.)

(56.)

= a;

(57.),

x² = cost, dx — costdt r    _ 3    r di

2 ]/c = 2a 1(1 — x²) ²dx — 2a j    ^ = 2atgt + 2C,

(58.)

Vc =

ax

—= -j- C.

Vl—X²

Deshalb findet man aus Gleichung (54.)

(59.)

y — ax -f- OY 1 — x².

3. Methode des integrirenden Factors.

Man multiplicire die Differential - Gleichung

(60.)

dy

-,x + J-fix) = <f(x)

mit dem Factor ip(z)dz, man bilde also

(61.)

ip{x)dy + ip(x) [y .f(x) — cp{x)]dx = 0

und bestimme die Function ip(x) so, dass die linke Seite von Gleichung (61.) ein vollständiges Differential wird, d. h. so, dass die Bedingung

(62.)

öM(x, y) _ öN(x, y)

öy

öx

erfüllt wird, wobei in dem vorliegenden Falle

(63.) M (x, y) — ifj(x) [y .f(x) — <p(x)], N{x, y) — ip{x) ist. Dies giebt also die Gleichung

(64.) ip(x) .f(x) = ff ff), oder

ln [ipff)] = Jfff)dx, oder ipff) = e^J(x)dx Deshalb geht Gleichung (61.) über in

ffx)

dx — fff)dx

(65.)

(66.) du =    [y .fff) — (p{x)]dx +    ^    . dy = 0,

folglich wird nach dem in § 77 und 78 angegebenen Verfahren

(67.)

u —jN{x, y)dy + X = y . e/y(rJf?x₊ x,

wobei X nur noch eine Function der einzigen Veränderlichen x ist. Dabei wird mit (Rücksicht auf Gleichung (66.)

du

dX

f(x> + dz

Jf(x)dx

also

dX

(⁶⁸-> * =

■ <pff, X= —

-ßpff) . e

Jf(x)dx

. dx:

man findet daher in Uebereinstimmung mit den Gleichungen (9.) und (37.)

(69.)

oder

(70.)

-J'f (z) ■ e

e-fmi’\Uz).e

JJ(x)dx

ff{x)dx

ff{x)dx

.dx — 0

. dx -j- C'J •

Beispiele.

Aufgabe jK Man soll die Differential-Gleichung

(71.)

- j . y _ arctgÆ dx 1 -f- x2,    1 -f- x²

integriren.

Auflösung. Durch Multiplication mit ip(x)dx geht Gleichung (71.) über in

arctg#

1 x²

Damit die linke Seite dieser Gleichung ein vollständiges Differential wird, muss

ip(z)

1 + x²

(72.)

(73.)

^dx -j- ip(x)dy

= ip'(x), oder

U>\x)

= 0.

dx

dx

1 -j- X²

sein. Daraus folgt, wenn man arctgz mit t bezeichnet, ln = arc tgx = t, oder ip(x) = é. Gleichung (72.) geht daher über in

(74.)

(75.)

du — d(y -— t)

dx

1 + x¹

ip(x)

+ ßtdy — 0,

oder (75 a.)

du — et(y — t)dt -f- etdy = 0.

Dies giebt durch Integration

u = y.et-\-X = C, wobei X eine Function der einzigen Veränderlichen t ist, •

(76.)

du

dX

^ = y.et+ dt

also

(77.)

(78.)

dX — — t. eldt, X — — d{t — 1), u — y . d — é{t — 1) = C,

(79.) y = t — 1-j- C . e~* = arctgtf — 1 + Ce~arotzx.

(80.)

integriren.

Aufgabe 81 Man soll die Differential - Gleichung dy xy _ sin.(c dx ï -f- x² yi

Auflösung. Indem man Gleichung (80.) mit ip(x)dx multi-plicirt, erhält man

(81.) #*)(

xy

sina:

^ dx + ip(x)dy = 0.

1 + a;²    ]/i + *8

Damit die linke Seite dieser Gleichung ein vollständiges Differential ist, muss x ip(x)

1 -f x²

sein. Daraus folgt

(82.)

U>‘ (x)dx

ip(x)

xdx

1 + z²

\n[ip(x)] = iln(l + x²), oder \p(x) =]/l -f x². Gleichung (81.) geht daher über in

= ( xy

(83.)

SYO.x\dx -f Y1 -f- x² . dy — 0. .

(84.) du

Y1 + x²

Dies giebt durch Integration

(85.)

u = yYY+l? + x = c, wobei X eine Function der einzigen Veränderlichen x ist, also mit Rücksicht auf Gleichung (84.)

(86.)

du

xy

dX

xy

(87.)

(88.)

sina:

dx    YI ₊x*

dX = — sin xdx, u = yYl + x² + cos# = C. Aufgabe 9V Man soll die Differential-Gleichung

dx

Y1 + x2 X = cosa;

(89.)

dy

^ — y tgx = 2 C0S²a:

integriren.

Auflösung. Indem man Gleichung (89.) mit xp{x)dx multi-plicirt, erhält man

(90.)

xp(x) (— y tg a: — 2 cos ²x)dx -j- ip{x)dy = 0.

Damit die linke Seite dieser Gleichung ein vollständiges Differential ist, muss

(91.)    —ip{x)t gx = ip\x), oder

sein. Daraus folgt

xjj‘(x)dx

— sinawa:

ip{x)

COSa:

ln [*//(«)] = ln (cos«), oder \p{x) = cos«.

(92.)

Gleichung (90.) geht daher über in

(93.)

du = — (y sin« -f 2 cos³x)dx + cos« ^dy — 0.

Dies giebt durch Integration

(94.)

u = y cos« -{- X = G, wobei X eine Function der einzigen Veränderlichen « ist, also mit Eiicksicht auf Gleichung (93.)

(95.)

du

dX

ysin* + *

= — y sin« — 2 cos³«

(96.)

(97.)

dx ~

dX = — 2 cos ³xdx — — 2(1 — sin²«) cos xdx X — — 2(sin« — £sin³«),

3 u— 3ycos« — 6 sin« -f- 2 sin³« = 3 C.

§ 88.

Gleichung von Bernoulli.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 210.)

In manchen Fällen lässt sich eine Differential - Gleichung erster Ordnung, welche nicht linear ist, durch eine passend gewählte Substitution zu einer linearen machen. Es sei z. B. nach Bernoulli

dy

(!•)

ya~dx + yU+1 = yß • wobei a und ß beliebige positive oder negative, ganze oder gebrochene Zahlen sind. Setzt man dann ß — a — n, so kann man die Gleichung auf die Form

(²-)    V •/(?) = yn-<P(x), oder ~ ^    ^ = <p(x) bringen. Daraus ergiebt sich durch die Substitution

(3.)

yn—1 ’ yx

die lineare Differential - Gleichung erster Ordnung

dz n — 1 dy yn dx

(4.)

dz

■J — (n — !> -/O) = 0 — 1) V<»-

Man kann auch die Differential-Gleichung (2.) unmittelbar integriren, indem man wieder

(5.)

y — uz

setzt. Daraus ergiebt sich

dz / du ,    ,\    , .

uTx+z\dX + u-f(xy=u"z'

Wenn man die Function u so bestimmt, dass der Factor von z verschwindet, erhält man

(6.)

(7-)

du

dx + U    = °

oder

du

(8.)

— = —f(x)dx ln u — — Jf(x)dx, oder u = e ^ * .

Dadurch geht Gleichung (6.) über in dz

(9.) u— = unzn . cp(x), oder .

dz — (n—\)Jf{x)dx

dz

— zn . e

— (»—1 )Jf(x)dx

(10.)

. tp(x)dx.

Macht man die Voraussetzung, dass n > 1 ist, so folgt aus Gleichung (10.)

(11.)    z¹-"

zn

= (1 — n)Je

— (n-r-l)Jj{x)dx

(n—i)Jf(x)dx

[ß

. (f(x)dx + (7(1 — n)

— (n—l)Jf(x)dx

(12.) yl~n = (1 — n) e

Dagegen erhält man für n = 1 aus Gleichung (2.)

. (f(x)dx -f C '

dy

-f + y •/(*) = y • <p(x),

oder

(13.)

(14.)

= I//W —/(*)]<&, ln;/ =/[<Kx) —/(*)]<**•

Beispiele.

Aufgabe 4T Man soll die Differential - Gleichung

= ay¹ lux

(15.) integriren.

dy

dx

Auflösung. Indem man y — uz setzt, erhält man aus Gleichung (15.)

(16.)

dz

(Ï+ )=

au²z²\nx.

U-.

dx

Damit in dieser Gleichung der Factor von z verschwindet, bestimmt man die Function u so, dass

(17.)

du

dx

oder

du

dx

wird. Dies giebt durch Integration

ln u — — ln x, oder u =

Hierdurch geht Gleichung (16.) über in 1 dz _

x dx

folglich wird durch Integration

=    (Ina;)² + C, also

(18.)

(19.)

z²lnx, also

dx

= a ln x —

(20.)

-(ln*)² + C

oder

(21.)

(22.)

xy[ai}nx)² + 2C] + 2 — 0. Aufgabe^ Man soll die Differential-Gleichung

du

+ -’.'/tg'²' = ay^ctgx

integriren.

Auflösung. Indem man y = uz setzt, erhält man aus Gleichung (22.)

(23.)

dz

(—⁵ + '2u tgx'j = au²z² ctg x.

“s + ²

Damit in dieser Gleichung der Factor von z verschwindet, bestimmt man die Function u so, dass du , „ ,

+ 2 utgx — 0, oder

wird. Dies giebt durch Integration

ln u = 2 ln (cos«), oder u — cos²«.

(24.)

(26.)

du    sin x dx

cos«

§ 89. Erklärung des integrirenden Factors. Hierdurch geht Gleichung (23.) über in cos²# • ^ = «cos⁴# . 2²ctg#

oder

dz a cos³# dx sin#

folglich wird durch Integration

(26.)

2²

/ 1

= a ( —-

\sm#

sin #^ d (sin #),

(27.)

j = «[ln (sin#)

— {sin²#] + C = —

oder

(28.)

ay [2 ln (sin#) — sin²#] + 2Cy + 2 cos²# = 0.

§ 89.

Erklärung des integrirenden Factors.

(i.)

Es war schon früher gezeigt worden, dass jede Differential-Gleichung erster Ordnung sich auf die Form M(x} y)dx -f- N(x, y)dy = 0 bringen lässt und ein allgemeines Integral

(2.)

F(x, y, C) — 0

besitzt. Löst man diese Gleichung (2.) nach der Constanten C auf, so erhält man

(3.)

C—/(*> y),

wobei /(#, y) eine Function von x und y ist, die mit u bezeichnet werden möge. Dann folgt aus Gleichung (3.)

(40

du =

O- Qj

~dx +

du

öy

dy = 0.

Aus dieser Gleichung findet man

du

(5.)

dy_ dx

d/Qr, y)

dx

dx

äu df(x, y)

dy

dy

während sich aus Gleichung (1.)

ergiebt. Da diese beiden Werthe von ~

mit einander über-

(6.)

du

dx

N(x, y)

dx

einstimmen müssen, so wird

du

(7.)

dx M(x, y)

du~ N (x, y)

dy

Bestimmt man daher eine Function v von x und y durch die Gleichung

du

(8.)

dx

V =    —-r— J

M{x, y)

so ergiebt sich aus Gleichung (7.) und (8.)

du    ltr.

= o . M (x, y )

Es wird deshalb mit Rücksicht auf Gleichung (4.)

du — v . M(cc, y)dx + v . N(x, y)dy.

Damit ist bewiesen:

(9.)

(io.)

dx

du

Sy

= v . N(x, y).

Satz Î. Es yiebt stets eine Function v von x und y, welche die Eigenschaft hat, dass

v [M (x, y)dx + N(x, y)dy\

ein vollständiges Differential wird. Die Auflösung der Differential- Gleichung

M(x. y)dx + N(x, y)dy — 0

ist dann

(11.)

Hierbei heisst die Function v „ein integrirender Factor¹¹.

Bezeichnet man mit çp(w) eine beliebige Function von u, so kann man die Integral-Gleichung (11.) auch auf die Form

(11a.)

rp(u) - Ci

bringen, wobei die Intégrations - Constante Ci gleich <p(C) ist.

Die vorgelegte Differential-Gleichung besitzt unendlich viele iniegrirende Factor en. Multiplicirt man nämlich Gleichung (10.) mit der beliebigen Function <p(u) von u, so erhält man

(12.) (p(u)du = df(p(u)du = v . <p(u)M(x, y)dx -\-v . (p{u)N{x, y)dy.

Die rechte Seite dieser Gleichung ist ebenfalls ein vollständiges Differential, nämlich das vollständige Differential von Jcp(ii)du. Dies giebt

Satz 2. Ist v ein integrirender Factor der Differential-Gleichung

M(x, y)dx -j- N{ir, y)cly = 0,

welcher das Integral u — C liefert, so ist auch V gleich v . (f{u) ein integrirender Factor.

Damit sind aber alle integrirenden Factoren erschöpft, denn es gilt auch der folgende

Satz 3. Sind V und v zwei iniegrirende Factoren der Differential- Gleichung

M(x, y)dx + N(x, dy) = 0,

und ist der Quotient von V und v keine Constante, so ist

(13.)

= <p(u) — Ci

ebenfalls ein allgemeines Integral der vorgelegten Differential-Gleichung, wobei Ci eine willkürliche Constante bedeutet.

Beweis. Nach Voraussetzung sind (14.) du = v(Mdx -f- Ndy) und dU = V{Mdx -)- Ndy) vollständige Differentiale, folglich wird V

(15.) dC — —du, oder

'    v

O) Qj

also

dx + ^-dy=rv(fxdx + pff

(16.)

dU V du

v dx

dU V duX .

v ëy) * = °-

dy

32

Kiepert, Integral -Rechnung.

sein. Setzt man nun

(18.)

(19.)

Da diese Gleichung- für unendlich viele Werthe von dx und dy gelten soll, so muss

dU V du

v dx

(17.)

dx

mi

dU__ V du -ty

dy

u = ff(.x,y), U=G(z,y), so kann man y aus der ersten dieser beiden Gleichungen ausrechnen und in die zweite einsetzen. Dadurch erhält man y = ip(x, u), U = G[x, ip(x, u)] = H(x, u).

Dies giebt

(20.)

(21.)

dU_Vdu_dH da da dx v dx dx du dx dU_ V du _ dy v dy

dH du du dy ’

folglich ist

(22.)

V _ dH v du

und

dH

dx

sind Functionen

d. h. U — H(x, u) und deshalb auch —

V

(23.)

der einzigen Veränderlichen u, so dass - = 9>(«) = C\

v

ein allgemeines Integral der vorgelegten Differential-Gleichung ist.

§ 90.

Beispiele zur Erläuterung. Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung

O-)

ydx —(x + y)dy = 0

integriren.

Auflösung. Da die vorgelegte Differential-Gleichung homogen ist, so setze man y — xz; dann ergiebt sich

zdx — (1 + z) {xdz + zdx) = 0,

oder

Damit Gleichung (6.) diese Form erhält, muss man sie mit dem integrirenden Factor

«LI-

(2.)

Ina; + Inz —    = C, oder lny—    — C.

In diesem Falle ist also

(3.)

(4.)

u = ln y —    — C,

dx (x 4- y)dy _ Q

du — —

Damit Gleichung (1.) diese Form erhält, muss man sie mit — \ multipliciren. Der integrirende Factor ist daher in diesem Beispiele

>/

(5.)

y²

(6.)

Aufgabe 2. Man soll die Differential - Gleichung xdy — ydx = 0

integriren.

Auflösung. Durch Trennung der Yariabeln findet man aus dieser Gleichung ohne Weiteres dy dx

0, ln y—Ina; = ln C

oder

(7.)

». «

= C.

(8.)

Bezeichnet man also die Function - mit u, so wird

x

xdy — ydx

du

= 0.

dx

z²dx -f- (1 -{- z)xdz — 0

--f- (z⁻¹ z~²)dz = 0,

x

(9.)

multipliciren.

Aufgabe 3. Man soll die Differential - Gleichung (10.) [y(z — yf — xif]dx + [x³y — x(x — y)²]dy — 0 integriren.

Auflösung. Die yorgelegte Differential-Gleichung kann durch keine der bisher angegebenen Methoden integrirt werden. Multi-plicirt man sie aber mit dem Factor

⁰ zy{x — y?

(11.)

so geht sie über in

(12.)

ri

.-z²

= 0.

2 dx +

.(« — vf

Die linke Seite dieser Gleichung ist das vollständige Differential der Function

_x

(x — y)²J

u = l n(X) + -

\yj x

(13.)

^- + c,

— y

wie bereits in § 78, Aufgabe 5 ermittelt worden ist.

Weitere Beispiele für die Bestimmung des integrirenden Factors wurden bereits bei der Integration der linearen Differential-Gleichungen erster Ordnung in § 87 (Aufgabe 7, 8 und 9) ausgeführt.

§ 91.

Bestimmung des integrirenden Factors.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 211 bis 216.)

Die Bedingung, dass v{Mdx + Ndy) ein vollständiges Differential wird, ist nach Formel Nr. 201 der Tabelle d(vM) _ d(vN) _

dies giebt

dy

dx

dM

V dy

de

dN

dv

dy ° dx

dx

oder

(1.)

dv

dv

M^ — N~

dN dM

dy

dx

dx dy

)•

Diese Bedingung ist nothwendig, aber auch hinreichend dafür, dass v ein integrirender Factor ist, und zwar ist Gleichung (1.) eine partielle Differential-Gleichung für v, denn sie enthält

öv öv

die partiellen Ableitungen ^ und • Man kann schon daraus

entnehmen, dass die Integration dieser partiellen Differential-Gleichung im Allgemeinen schwieriger sein wird als die Integration der ursprünglich gegebenen Differential-Gleichung Mdx -f- Ndg = 0.

Es giebt aber mehrere Fälle, wo die Bestimmung von v ausführbar ist. Von diesen Fällen sollen hier einige hervorgehoben werden.

I. Fall. Der integrirende Factor v sei eine Function von x allem, es sei also

(2.)

de de dv

dy    ^ ’ dx    dx

oder

Unter dieser Voraussetzung geht Gleichung (1.) über in

dN dM

de

dx

= ”(

dx dy

1 dv v dx

Die linke Seite dieser Gleichung ist nach Voraussetzung eine Function der einzigen Veränderlichen x, folglich muss es auch

1 /dN dM N\dx

(3.)

1 /dN dM

dx

dy

die rechte Seite sein. Ist also der Ausdruck

dy

von

y unabhängig, so findet man einen integrirenden Factor v aus Gleichung (3.); es wird nämlich

(4.)

lnr

~ Kdx

dM\dx dyjN ’ ü

/'/ dN SM\dx —- e J V dx dy ) N . '

Beispiel.

(5.)

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung (x²y -j- y -f 1 )dx -f- (x -f- xz)dy = ü

integriren.

Auflösung. Hier ist 1 (dN

N\dx

folglich wird nach Gleichung (3.)

2 xdx 1 + x

Indem man Gleichung (5.) mit diesem integrirenden Factor v multiplicirt, erhält man

(6.)

(7.)

dv

ÖM\_ (1 4- 3x²) — (x² + _1) dy )    x -f- x³

2x

1+x²

Ine; =—ln(l + x²), v =

(8.)

du

=(y +

also

u — Jxdy + (f,{x) — xy + ?(*) = C,

wobei (f(x) eine Function der einzigen Veränderlichen x ist, die man aus der Gleichung

(9.)

(10.)

du

dx y ^ dx

d(p(x) _

1 + X²

findet, und zwar wird

(11.)

drp(x) =

dx

1 + x²’

(f{x) = arcjtg#,

folglich ist

(12.)

u = xy -J- arctg# = C.

II. Fall. Der integrirende Factor v sei eine Function von y allein, es sei also

oder

dv _ dv_ dv

dx ~    ? dy ~~ dy

Unter dieser Voraussetzung geht Gleichung (1.) über in dv /

Mdy ~ \dx

dN

dM\ dy /

dN dM

1 dv 1 /

dy    M \dx

Die linke Seite dieser Gleichung ist eine Function der einzigen Veränderlichen y, folglich muss es auch die rechte sein.

(13.)

dy

)•

1 (ÔN ÖM M\dx

findet man einen integrirenden Factor o aus Gleichung (13.); es wird nämlich

Ist also der Ausdruck

dy

von x unabhängig, so

(14.)

lnü

ÖN

~Adx

™Y4,

dy J M

(15.)

Beispiel.

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung (xy² — yz)dx + (1 — xy^dy = 0

integriren.

Auflösung. Hier ist 1 /ÖN ÔM

— y¹ — 2xy -f 3y'

)-

(¹⁶0

folglich wird nach Gleichung (14.)

dy

y\x — y)

(17.)

ln« = — 2 ln y

Indem man Gleichung (15.) mit diesem integrirenden Factor v multiplicirt, erhält man

du --

yl

(18.)

also

(19.)

(x — y)dx + (ß — xßy = 0 ■ßx — y)dx + <p(y) =

— xy + <p(y) = C,

wobei (p{y) eine Function der einzigen Veränderlichen y ist, die man aus der Gleichung

(20.)

du

dy

findet, und zwar wird cp\y)dy

(21.)

folglich ist

(22.)

oder

— x + (f\y) = -1

y¹

<p{y) = —

(22 a.)

x²y — 2 xy² — 2 Cy — 2 = 0.

lil. Fall. Der integrirende Factor sei eine Function der einzigen Veränderlichen z = xy\ es sei also

dv dv _

dx ^ dz ’ dg X dz

Unter dieser Voraussetzung- geht Gleichung (1.) über in (xM — yN) ^ = v (

öv

dv

dN dM

dx dy

oder

(23.)

1 dv

v dz    xM—- yN \ dx

dN dM

dy

Die linke Seite dieser Gleichung ist eine Function der einzigen Veränderlichen z, folglich muss es auch die rechte Seite

dN dM

sein. Ist also

dy

^ nur abhängig von xy =

xM—yN\dx

so findet man einen integrirenden Factor v aus Gleichung (23.); es wil d nämlich

(24.)

lnw

-/(

dN dM\_dz

dy ) xM—yN ’

dx

(25.)

r/öN enf\

v — eJ Vôæ dy )

dz

xM — yN .

(26.)

Beispiel.

Aufgabe 3. Man soll die Differential - Gleichung (y + xy²)dx + (x — x<iy)dy = 0

integriren.

Auflösung. Hier ist dN dM

⁽²⁷-}    ~§i

dy

= (1 — 2 xy) — (1 + 2 xy) =

4 xy,

(28.)

xM — yN = {xy -j- x²y²) — {xy — x²y²) = 2 x²y²,

folglich wird

(29.)

dN dM

dy

)=--

/ xy

xM— yN \ dx

eine Function von z = xy allein, so dass man aus den Gleichungen (24.) und (25.)

(30.)

ln v — —

/ dz

²J T =

—2ln0, oder v —

z¹

x²y²

findet. Multiplicirt man Gleichung (26.) mit diesem integrirenden Factor, so ergiebt sich

(31.)

(32.)

~ (ä; ⁺ ï)&

u=f(jk⁺l)d* ⁺ vM =

du

Vdy = °’

zjr + In* + 't'(u) = c,

XIJ

wobei cp(y) eine Function der einzigen Veränderlichen y ist, die man aus der Gleichung

(33.)

du

Öy xy

findet; und zwar wird

+ 7%) = 1

xy²

(34.)

dy

folglich ist

<p\y)dy = — y ’ T’fy) — —

u = lux — ln y--— = C,

oder

xy

(35.)

ln

— = C.

xy

IV. Fall. Der integrirende Factor sei eine Function der

einzigen Veränderlichen z = — ; es sei also

x

dv

(36.)

y dv dv_1 dv

dx    x² dz dy x dz

/ÖN ÖM\

-vKd^~-d^y

Unter dieser Voraussetzung geht Gleichung (1.) über in xM + yN dv

dz

oder

ÔN dM

1 dv

v dz xM + yN \ dx

Die linke Seite dieser Gleichung ist' eine Function der einzigen Veränderlichen z, folglich muss es auch die rechte sein.

(37.)

dy

x²

dN dM

^ nur abhängig von

man einen integrirenden Factor o aus Gleichung (37.); es wird nämlich

Ist also

xM -j- yN\ dx

dy

= x, so findet

(38.)

ln«

dM

x²dz

(39.)

- f(dN

V dx

/V dN dM \ x*dz v — e J V dx dy ) xM + yN'

dy / xM -j- yN

Beispiel.

Aufgabe 4. Man soll die Differential-Gleichung

(4Ö.)

[⁸*sin(f)+ ycos(f)]

dx — ^COS (

)dy = 0

integriren.

Auflösung. Bezeichnet man

mit z, so wird in diesem

Falle

X²

X²

dN dM

dx dy

also ist

xM + yN    (3x² sin z + xy cos z) — xy cosz 3 sin z ’

(— cos ^ — 2 sin z) — (3cos z-fcos 2—2 sin z) =—5 cos z,

(41.)

x²

dN dM

5 cos 2

dy

3 Sinz

eine Function von z =

allein, so dass man aus den Glei

chungen (38.) und (39.) (42.)    =

COSzdz _ sinz

ln (sinz), v —

(sin z)%

findet. Multiplicirt man Gleichung (40.) mit diesem integrirenden Factor v, so ergiebt sich

(43.) du

y cosz

(sinz) 3    (sinz)$

T x cos zdy dx--— 0.

(sin z)~s

Daraus folgt

(44.) u

’xCOSzdy    _ —x²f(smz) ^COSzdz-\-(f,(x)

(sin z) 3

-2

[sin(!)J ³⁺^⁾⁼

= + ~(siii2) ³ + y(z) =

wobei r/(Y) eine Function der einzigen Veränderlichen x ist, die man aus der Gleichung

On    _ _

0^ = 3x (sin z) ¥-f y (sin z) ^cosz + <p‘(z)

(45.)

tOI «

to

C,

= 3z (sin z) ³ -f y (sin 2) ^cosz

findet. Es wird also

<p\x) = 0,    (f{x) = n.

Dabei kann man die Intégrations-Constante c gleich Null setzen, weil man auf der rechten Seite von Gleichung (44.) bereits eine Intégrations-Constante C hinzugefügt hat. Man erhält daher

(46.)

3x² r .

tI™

-1-

oder

(47.)

3z²

0*0

= 2c[sin(~)j •

Setzt man noch 8C³ = 27 Ci², so kann man diese Gleichung auf die Form

(48.)

x⁶ = CY sin²

oder x³ = =t Ci sin

bringen.

V. Fall. Der integrirende Factor sei eine Function der einzigen Veränderlichen z — x² -f- y²', es sei also

dv dv dz ’ öy

Unter dieser Voraussetzung geht Gleichung (1.) über in dz = v(dx

(49.)

dv

öx

= 2x

dv

2(yM — xN)

dv

dN

oder

ÖM\

w)'

(50.)

1 dv

v dz    2(yM — xJS) \dx

dN ÖM

dy

)•

Die linke Seite dieser Gleichung ist eine Function der einzigen Veränderlichen z, folglich muss es auch die rechte sein. ö N ÖM\

1 nur abhängig von x² 4- y² =

Ist also

dy

-,

yM—x iV\ dx

so findet man einen integrirenden Factors aus Gleichung (50.); es wird nämlich

(51.)

ln«

- f(dN dM\__dz

~J\dz dy /2(yM

— xN)

(52.)

r/dN dif\ ■0 — ed^öx dy '

dz

2{yM — xN) *

(53.)

Beispiel.

Aufgabe 5. Man soll die Differential-Gleichung (aj/z² -j-y² — cx)dx -f- (ł>Yx² -f- y²

cy)dy = 0

integriren.

Auflösung. Bezeichnet man x²+y² mit z, so ist in diesem Falle

(54.) yM—xN= (ayY z—-cxy)—(bxYz — cxy) = (ay— bx)Y z

ay —*- bx

(55.)

ay

folglich ist

J/*

]/*

(56.)

<3i\r dM

y-i I U

dx dy ) yM—xN

eine Function der einzigen Veränderlichen 2. Deshalb findet man aus den Gleichungen (51.) und (52.)

“Inz, v =    = -    -    ■

2    Yz    I/x²-\-y²

(57.)

Int’ = —

Multiplicirt man Gleichung (53.) mit diesem integrirenden Factor v, so ergieht sich

(58.) du

(59.)

u=j(a

Jf_W+({ —

Yx² -f- y²/    \

ÿfe)&+rt,)=

cy

-Ady = 0

Vx² -f- y

—cYx²-j-y²-\-(p(y)~C,

wobei (p{y) eine Function der einzigen Veränderlichen y ist, die man aus der Gleichung

(60.)

du    cy

dy ~    + ⁹ y — h

cy

]/x² + y-

findet. Es wird also

(61.)

(62.)

= ç(y) = ày,

u = ax + ly — c]/x² -f- y² = C.

In ähnlicher Weise kann man noch eine ganze Reihe von besonderen Fällen behandeln, bei denen der integrirende Factor eine Function einer einzigen Veränderlichen z ist, die selbst wieder eine passend gewählte Function von x und y sein darf. In allen diesen Fällen ist zuerst der Ausdruck

dN dM

öx

öy

zu bilden. Ist dieser Ausdruck gleich Null, so ist schon

Mdx -j- Ndy

selbst ein vollständiges Differential, ist er aber von Null verschieden, so kann man der Reihe nach versuchen, ob

dN dM

oder ob

i(

N \dx 1 (dN dM

dy

eine Function von x allein,

<0 ro

dy

dM

xM—yN \ dx

dy

dN dM

xM -j- yN \ dx

dy

dN dM

dy

„ x^+y² „

”    ” yM—xN \ dx

ist. Trifft einer dieser 5 Fälle ein, so kann man nach den angegebenen Regeln den int egrirenden Factor leicht bestimmen.

Erwähnt möge noch werden, dass der häufig vorkommende Ausdruck xdy — ydx die integrirenden Factoren

1 1

x2 ? y² ’ x² -j- y²

besitzt. Es folgt dabei aus den Gleichungen xdy — ydx

(63.) dui =

x²

du₂ =

xdy — ydx

xdy — ydx

(64.)

x² -j- y²

=arc *«(£)•

Uy - — 5 U'l -

X

Der Ausdruck xdx -j- ydy hat den integrirenden Factor und zwar folgt aus

--J uz

(65.)

du —

xdx 4- ydy

x² + y²

(66.)

ln(z² 4- y²).

§ 92.

Differential-Gleichungen erster Ordnung höheren Grades.

Eine Differential-Gleichung erster Ordnung und nten Grades hat die Form

⁽¹-) (ff) +/■(*> y) (ff) + /«(*> y)( ff) +    y) ff

+/»(*> */) = o.

Hier bedeuten die Coefficienten fi(x, y), f₂(x, y),... fn-i(x, y) fn(x, y) beliebige Functionen von x und y oder constante Grössen.

du

Denkt man sich nun Gleichung (1.) in Bezug auf j- aufgelöst, so erhält man n verschiedene Differential-Gleichungen erster Ordnung und ersten Grades, nämlich

dy

(2.)

& = ^,y),ff = ^,y),-2 = ^,y),

wobei Fi(x,y), F₂(x, y), ...Fn(x,'y) Functionen von x und y oder constante Grössen sind.

Durch Integration der Gleichungen (2.) erhält man dann (3.) (fi(x, y, ci) = 0, <pï{z, y, = 0, ... (fn(x, y, cn) = 0.

Jede dieser Gleichungen ist ein Integral der Differential-Gleichung (1.). Man kann alle diese Lösungen zusammenfassen, indem man die Gleichungen (3.) mit einander multiplicirt. Dies giebt

<fi(x, y, ci) • vfa y, et)... (pn(x, y, c„) = 0.

Da dieses Product gleich 0 wird, wenn man einen der Factoren gleich 0 setzt, so wird die Allgemeinheit der Lösung nicht beschränkt, wenn man die Intégrations - (konstanten clf Ci,...cn alle einander gleich setzt. Dadurch geht Gleichung (4.) über in

(4-)

(fx{x, y, c). y, c) ••• <fn(x, y, c) = 0.

Sind z. B. in Gleichung (1.) die Coefflcienten f\(x, y), f₂(x, y), ...fn-iix, y), jn(x, y) constante Grössen, die man deshalb mit fi, /₂,.../«_1, fn bezeichnen möge, so gehen die Gleichungen (1.) und (2.) über in

(4 a.)

«■■)(2J+/.(î)+v.(2j-

= (;|-“■)(<&

dy

dy

dx

dy

dx

an

)=°-

Daraus folgen die n Differential - Gleichungen

dV -n ...dy = a

dx ²’ dx

wobei «i, a₂,... an auch constante Grössen sind. Deshalb wird in diesem Falle

(6.) (fi — y—aiX-\-c=0, (fi=y—a₂x-\-c— 0, ...<pn=y—anx+c=0,

(5.)

dy = a dx ¹ ’

oder

„ y + c

— 0, ---a₂

x

Gleichung (4 a.) geht daher in diesem Falle über in

'X4-'

— ai

oder mit Rücksicht auf Gleichung (1 a.) in

n— 2

-ff----ff/«-1

In diesem Falle ist also die Auflösung der Gleichung (1.) nach welche mitunter bedeutende algebraische Schwierigkeiten verursachen würde, nicht einmal erforderlich.

- +/» — 0.

Beispiele.

Aufgabe T. Man soll die Differential-Gleichung

(-)

\dxj

i

(8.)

— a² = 0

integriren.

Auflösung. Aus Gleichung (8.) folgt zunächst

(9.)

dy

dy

dx

und daraus durch Integration

y -j- c = ax und y -f c — — ax,

oder

(10.) (y + c — ax) (y -h c -f- ax) — (y -f- c)² — a^x¹ — 0.

(11.)

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung

(l)-⁷i⁺⁸=°

integriren.

Auflösung. Gleichung (11.) lässt sich auf die Form

(11a.)

dy

(±-iV

\dx J\dx

OS-*)-«

bringen, folglich erhält man für das allgemeine Integral (y + o — x) (y + c — 2x) (y -f c + Sx) = 0,

(12.)

oder (12 a.)

(y "b c)³ — 7x\y -f c) -f 6a:³ = 0. Aufgabe 3. Man soll die Differential-Gleichung

(13.)

integriren.

(±\'~

\ dz)

ax

(14.)

Auflösung. Aus Gleichung (13.) folgt dy = -)- y axdx und dy =

]/axdx

und durch Integration

(15.) y + c

Hy

3 y

ax

= 0 und y + c + - y ax = 0.

Jede dieser beiden Gleichungen kann als Integral der vorgelegten Differential - Gleichung angesehen werden. Indem man die beiden Gleichungen (15.) mit einander multiplicirt, vereinigt man beide Lösungen und erhält

oder

(16.)

[3(y + c) — 2zj/ax] [3 (y -f c) + 2x}/ax\ — 0,

9 (y + c)² — 4 axz — 0.

Aufgabe 4. Man soll die Differential-Gleichung

(±)² +sf *_!

\dxj y dx

(17.)

= 0

integriren.

dx

Auflösung. Durch Auflösung von Gleichung (17.) nach

findet man die beiden Werthe dy — x 4- Yx² -|- y²

(¹⁸-) dx oder

und

dy

dx

x — Yx² -f- y²

xdx -f y dy Yx² + y²

xdx 4- ydy _

Yx² 4- y¹

also durch Integration

(20.)    ]/#² 4- y² = x 4- c und Yx² + V² —

oder, wenn man beide Lösungen vereinigt,

(21.) (j/äA+t/² — x — c) (]/æ²4- y² 4- x + c) = y² — 2cx — c² = 0.

(19.)

4- dx und

= — dx,

Aufgabe 5. Man soll die Differential-Gleichung

(22.) (a² - x²)(d£j+ bx(a² - x²)(f>)

S-i« = 0

dx

integriren.

dy

Auflösung. Durch Auflösung der Gleichung (22.) nach ^ erhält man die drei Differential-Gleichungen dy

<²³-) *

dy _

~lx’ dx

dy _

Y d²—x² dx

und findet daraus durch Integration

Y d² — x²

(24.) y + c = — y>y4c= arcsin^)

y 4- c = — arcsinl

Kiepert, Integral-Rechnung.

33

Indem man diese drei Lösungen vereinigt, ergiebt sich die Gleichung

arcsin    + c + arc sin j = 0

oder

(25.) (ij + c)³ + h*- (y + c)¹ — j^aresinG)] (y + «)

T [arcsin(ï)T⁼ o-§ 93.

Integration durch Differentiation.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 217 bis 220a.)

Es war schon in dem vorhergehenden Paragraphen erwähnt worden, dass die Auflösung der Differential-Gleichungen erster

dy

Ordnung höheren Grades nach ~ häufig auf grosse algebraische

Schwierigkeiten stösst. Es sollen deshalb hier noch einige Fälle untersucht werden, bei denen man die Integration durch andere Mittel ausführen kann.

(!•)

Der Kürze wegen möge hierbei dy

^    p, also dy — pdx

gesetzt werden.

I. Fall. Die Differential-Gleichung enthalte y gar nicht und sei auflösbar nach x; die Gleichung⁻ habe also die Form

(2.)

*= <p{p)\

dann findet man durch Differentiation

(3.)

dx = (f\ p)dp, oder mit Rücksicht auf Gleichung⁻ (1.)

( )    pdx = dy = (p\p) .pdp,

( )    y =/<p‘{p)-pdp + o.

Indem man aus den Gleichungen (2.) und (5.) die Grösse p eliminirt, erhält man die gesuchte Gleichung zwischen x und y.

Beispiele.

(6.)

Aufgabe 1. Man soll die Differential - Gleichung x — 4p³ — 6p² -ff 12p — 15

integriren.

Auflösung. Indem man Gleichung (6.) differentiirt, erhält man die Gleichungen

(7-)

(8.)

also

dx = (12p² — 12p -f- 12)dp, dy — (12p³ — 12p² -ff 12p)dp

(9.)

y — 3p⁴ — 4p³ -ff 6p² -j- C.

Durch Elimination der Grösse p aus den Gleichungen (6.) und (9.) findet man dann die gesuchte Gleichung zwischen x und y.

(10.)

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung x — arcsinp — J/l —p²

integriren.

Auflösung. Indem man Gleichung (10.) differentiirt, erhält man die Gleichungen

(11.)

dx

]/i —p²    yi —p²

(12.)

Vi— p¹

]/l— p'S

also mit Rücksicht auf die Formeln Nr. 31 und 115 der Tabelle

(13.) y — — ]/l —p² — C|/l —P² + ^-arcsinp + C oder

(14.)

2 y —x — 2 C— (1 +p)Vl —p².

II. Fall. Die Differential-Gleichung enthalte x gar nicht und sei auflösbar nach y ; die Gleichung habe also die Form

(15.)

V = <f{pD

dann findet man durch Differentiation mit Rücksicht auf Gleichung (1.)

Indem man aus den Gleichungen (15.) und (18.) die Grösse p eliminirt, findet man die gesuchte Gleichung zwischen x und y.

Beispiele.

Aufgabe 3. Man soll die Differential-Gleichung

2a

(16.)

(17.)

dy =pdx — (p\p)dp,

dx=vlÈÈL,

also

(18.)

x__ f <P\p)dp

J P

+ C.

(19.)

integriren.

Auflösung. Durch Differentiation findet man aus Gleichung

dy = pdx = —

4 apdp

(1 + p²)²

(21.)

dx —

àadp

(1 + P²)

Dies giebt nach Formel Nr. 144 der Tabelle

(22.) x = — 4a f-

dp

(1 + p²/

Setzt man

C— an — xo,

also

(j+p + arctgp)

p = ctgQ = tg(^').

₁|p=2sK0⁼⁼¹“'cos<’

so gehen die Gleichungen (19.) und (22.) über in

n — t — 2 arc tgp

2p 2= sin t,

1 +p

(19 a.)

oder (22 a.)

y = a( 1 — COS t), x = a(t — n — sin t) -f C,

x — xq = a{t — sinć).

Das allgemeine Integral stellt also eine Schaar von Cykloiden

dar.

(23.)

Aufgabe 4. Man soll die Differential - Gleichung

V«²—p²

a²p

integriren.

Auflösung. Durch Differentiation folgt aus Gleichung (23.) dy = pdx =

(24.)

dp

p²l/a* —p'

(25.)

dx

dp

p% y a?—p²

also nach Formel Nr. 120 und 37 der Tabelle

L/__

/>y«² —^jo2 a + Y a² — p²

(26.)

y«²—y

x~^⁼ 2ay

_ y«²—^>²

2 a²jo²

Da noch aus Gleichung (23.) folgt, dass

)•

(27.)

y«²—p* =

a³y

y^v +1

ist, so findet man aus Gleichung (26.)

(28.) 2a³(a) — a:₀) = cPy^+ 14- ln(a²y 4 V«⁴y² 4- !)•

y«y + 1

III. Fall.

Grössen x, habe also die Form

Die Differential-Gleichung enthalte alle drei y und p, sei aber nach x auflösbar ; die Gleichung

(29.)

* =/(y, />)•

Indem man diese Gleichung differentiirt und Gleichung (1.) beachtet, erhält man

df , df ,

= tydy ⁺ T/V (}:V)dy Vdp^ 0.

öy/ dp

Dies ist eine Differential-Gleichung erster Ordnung zwischen y und p, die in Bezug auf nur vom ersten Grade ist und

dx —

oder

(30.)

dp

sich in vielen Fällen leichter integriren lässt als die vorgelegte Differential - Gleichung (29.). Hat man die Integral - Gleichung

(31.)

<p(y,p, O) = 0

gefunden, so folgt durch Elimination von p aus den Gleichungen (29.) und (31.) die gesuchte Gleichung zwischen x und y.

Beispiel.

Aufgabe 5. Man soll die Differential-Gleichung

(32.)

yp² — 2xp -j- y — 0, oder x

_ y(i + p-)

integriren.

Auflösung. Durch Differentiation folgt aus Gleichung (32.)

2p²

₇ __dy _p( 1 -f jF)dy — y( 1 — p*)dp ax — — —    ' «.o    ?

oder

(33.) p( 1 —p²)dy + y{ 1 —p²)dp = (1 —p²)(pdy + y dp) = 0. Diese Gleichung wird befriedigt, indem man entweder

(34.)

1—=    ajso p

_

oder

(35.)

= 0

setzt. Aus Gleichung (34.) folgt durch Integration

(86.)

y = ± ic + C.

Hier darf aber die Intégrations - Constante C nicht jeden beliebigen Werth haben, denn, wenn man p = ± 1 in die Gleichung (32.) einsetzt, so erkennt man, dass in Gleichung (36.) der Werth der Intégrations-Constant en C gleich 0 sein muss, dass also Gleichung (36.) in (36 a.) übergeht.

Aus Gleichung (35.) findet man dagegen durch Trennung der Variabein

(87.)

^+-£ = o, y p

(38.)    ln y + ln p = lnCy, oder py = C, also p =

Trägt man diesen Werth von p in Gleichung (32.) ein, so findet man

(39.)

y² — 2Cx -f- C² = 0.

Diese Gleichung ist das allgemeine Integral der vorgelegten Differential - Gleichung und stellt eine Schaar von Parabeln dar, welche sämmtlich die beiden durch Gleichung (86 a.) dargestellten geraden Linien in den Punkten mit den Coordinaten x = C, y = ± C berühren.

IV. Fall. Die Differential- Gleichung enthalte alle drei Grössen x, y und p, sei aber aujlösbar nach y; die Gleichung habe also die Form

(40.)

y =/(x, p).

Indem man diese Gleichung differentiirt und Gleichung (1.) beachtet, erhält man

oder

;    .7 Of ,    , 8f ,

dy = pdx = dx -j- -ff dp

dp

§f ,(

dp dx~^\dx

Dies ist eine Differential-Gleichung erster Ordnung zwischen

du

x und p, die in Bezug auf nur vom ersten Grade ist und

sich in vielen Fällen leichter integriren lässt als die vorgelegte Differential-Gleichung (40.). Hat man die Integral-Gleichung

(f{x, p, C) = 0

gefunden, so folgt durch Elimination von p aus den Gleichungen (40.) und (42.) die gesuchte Gleichung zwischen x und y.

Hat die Differential-[Gleichung z. B. die Form

y = *-f(p) + <p(p),

so wird mit Eücksicht auf Gleichung (1.)

(41.)

(42.)

(43.)

(44.)

dy

df

p)= 0.

dp

dx = V =f(P) + [x •f'(p) + 'f‘i Pi] -jr

oder

(45.)

dx

dp

Dies ist aber eine lineare Differential- Gleichung erster Ordnung, die man nach den Angaben in § 87 integriren kann. (Yergl. auch Formel Nr. 209 der Tabelle.)

Von besonderem Interesse ist der Fall, wo in der vorhergehenden Entwickelung f(p) gleich p ist, wo also die Differential -Gleichung die Form

y =pX + (p{p)

hat. Dann erhält man durch Differentiation

(46.)

dy —pdx — pdx -f- xdp + ip\p)dp

oder

(47.)

(48.)

[x + (p‘(p)]dp = 0.

Diese Gleichung wird befriedigt, indem man entweder dp — 0,

oder

(49.)

x + <p'(p) = 0 setzt. Aus Gleichung (48.) folgt durch Integration

p = ^ = C, also y = Cx -f- 0\,

(50.)

wobei die zweite Intégrations-Constante ermittelt wird, indem man den gefundenen Werth von p in die Gleichung (46.) einsetzt. Dies giebt

(51.)

y — Cx -f- rp{C), also Gi = (p{C).

Da hierbei die Intégrations-Constante C unendlich viele Werthe hat, so ist Gleichung (51.) das allgemeine Integral der vorgelegten Differential - Gleichung.

Ganz verschieden davon ist die Lösung, welche man findet, indem man aus den Gleichungen (46.) und (49.) die Grösse p eliminirt Dass man auf diese Weise wirklich eine Lösung erhält, kann man in folgender Weise zeigen. Denkt man sich aus Gleichung (49.) p als Function von x ausgerechnet und in Gleichung (46.) eingesetzt, so findet man, indem man diese Gleichung nach x differentiirt,

dy

^-=p + [z + <p\p)]

also mit Rücksicht auf Gleichung (49.)

dy

dp

dx ’

(52.)

Beispiel.

Fig. 136.

Aufgabe 6. Man soll eine Curve bestimmen, bei welcher der Abschnitt der Tangente zwischen den beiden Coordinaten-Axen eine constante Länge c hat.

Auflösung. Damit die Gerade AB (Fig. 136) eine Tangente der Curve im Punkte P ist, muss

(53.) y⁴ = ~x² + p, oder yJ=px' + p

sein, wobei die laufenden Coordinaten der Geraden mit x¹ und y‘ bezeichnet worden sind. Die Abschnitte OA = a und OB = b, welche diese Gerade 0 auf den Coordinaten-Axen abschneidet, sind dann

b =

‘X

(54.)

y.

Da nach der Forderung der Aufgabe a² -j- b² = c²

sein soll, so findet man

/i²

4 + ^ = o\

(55.)

oder (t = ± Æ •

Vi + p²

Nimmt man hierbei zunächst das obere Zeichen, so geht Gleichung (53.) über in

y‘ = px‘ -ff

(56.)

]/l + p²

Da die Gerade durch den Punkt P hindurchgehen soll, so erhält man die Differential-Gleichung

(57.)

cp

y =px +

l/l + p²

oder

Aus dieser Gleichung folgt durch Differentiation

dp

(58.)

(i + p²) yr+ f) dx ’

(z +-C—₌)±₌₀.

\ (i + p²) ]/i + p²/dx

Diese Gleichung wird zunächst befriedigt, indem man dp _

, dx

setzt und diesen Werth von p in Gleichung (57.) einträgt, woraus man

(59.)

di/

0, also p —    — G

(60.)

y =Cx +

Cc

j/i + c²

findet. Diese Gleichung enthält die willkürliche Constante C und ist daher das allgemeine Integral der vorgelegte Differential-Gleichung. Jede Curve der gefundenen Curvenschaar ist eine gerade Linie, welche mit ihrer Tangente zusammenfällt und auf den Coordinaten - Axen die Abschnitte

(61.)

,    b

j/l + C²

cC

J/l + C²

bestimmt. Da hieraus

a² -J- b² — c²

folgt, so wird der Forderung der Aufgabe genügt.

Gleichung (58.) wird aber auch befriedigt, wenn man

— c

(62.) x +

= 0, oder x =

(1 + p²) J/l + p²

(i + J»²) y i + f

setzt. Bezeichnet man den Winkel BAO mit t, so wird

= -cos*’ ÿTT? = + sin<;

dadurch gehen die Gleichungen (62.) und (57.) über in x — ccos% y — csin³^.

Durch Elimination von t findet man aus diesen Gleichungen

(63.) p = — tgt,

(64.)

(65.)

J/l +p²

■2

Die gesuchte Curve ist also eine Astroide. Für einen beliebigen Punkt P der Astroide wird

(66.)

p = — tgt,

so dass man für die zugehörige Tangente die Gleichung

y‘ — V — P(?‘ — x),

oder

(67.)

y‘ — csin³^ = — t gt(z‘ — c cos H), yl — — tgt. x‘ + csintf findet. Deshalb sind die Abschnitte, welche diese Tangente auf den Coordinaten-Axen abschneidet,

(68.)

a = ccost, b = csinż, also a² + b² = c².

Hätte man in Gleichung (55.) das untere Zeichen genommen, so hätte sich in den folgenden Gleichungen nur das Vorzeichen von c geändert.

Setzt man in Gleichung (67.) —tgt gleich C, so geht sie in Gleichung (60.) über, welche das allgemeine Integral der Differential-Gleichung darstellte; d. h. die Astroide, welche man als eine besondere Lösung der Differential - Gleichung gefunden hat, berührt alle geraden Linien, die der allgemeinen Lösung entsprechen.

§ 94.

Die singulären Auflösungen der Differential-Gleichungen erster Ordnung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 221.)

Bei den Aufgaben 5 und 6 des vorhergehenden Paragraphen und ebenso bei der Differential-Gleichung

(10

y = px 4- <p{p)

fand man zu;ei Lösungen, von denen die eine noch eine willkürliche Intégrations-Constante enthält, die zweite aber nicht. Auch erkennt man bei diesen Aufgaben sofort, dass diese zweite Lösung, welche ohne Ausführung einer Integration gefunden werden konnte, kein particuläres Integral ist, d. h. die zweite Lösung geht nicht aus der ersten hervor, indem man der Intégrations - Constanten einen besonderen Werth giebt.

Man nennt daher eine solche besondere Lösung „eme singuläre Lösung der vor gelegten Differential- Gleichung“.

Der Zusammenhang zwischen der allgemeinen und einer solchen singulären Lösung ergiebt sich aus folgender Betrachtung. Es sei

F(*’ y’ dx) ~ °’

(2-)

oder

(2 a.)

M{x, y)dx + N(x, y)dy = 0 die gegebene Differential - Gleichung, und

(3.)

G(x: y, C) = 0

sei das allgemeine Integral. Die Gleichung (3.) stellt eine ganze Schaar von Curven dar, weil die Intégrations - Constante C unendlich viele Werthe annehmen darf. C ist also in Gleichung (3.) ein variabler Parameter. Für die Coordinaten der Schnittpunkte zweier benachbarten Curven der Schaar, welche den variabeln Parametern C und C 4- JC entsprechen, gelten die Gleichungen

(4.)

Gigr, y, C) = 0 und G(x, y, C + JC) = 0 gemeinschaftlich; deshalb gelten für die Coordinaten der Schnittpunkte auch die beiden Gleichungen

(5.) G(x, y, C) = 0 und

G(x, y,C+JC)—G(x, y, C) ₌

JC

über in

Wird JC verschwindend klein, so gehen diese Gleichungen

(6.)

G (x, y, C) = 0 • und

gffp, y, C)

dC

Wenn man aus diesen beiden Gleichungen den variabeln Parameter C eliminirt, so erhält man den geometrischen Ort aller dieser Schnittpunkte, d. h. die Umhüllungscurve der gegebenen Curvenschaar. (Vergl. D.-R., § 148 und Formel Nr. 225 der Tabelle.) Giebt es eine solche Umhüllungscurve oder Enveloppe mit der Gleichung

(7.)

S(x, y) = 0,

so ist diese Gleichung eine singuläre Lösung der gegebenen

Differential - Gleichung. Es galt nämlich der Satz: „ Die Umhüllung scurve fEnveloppe) hat in den Punkten, welche sie mit einer der Curven der gegebenen Curvenschaar

G{x, y, C) = 0

gemein hat, auch die Tangente mit dieser Curve gemein¹'¹". (D.-B,., § 148.) Im Punkte P mit den Coordinaten x und y hat daher

tg«

denselben Werth, gleichviel ob man annimmt, dass der Punkt P ein Punkt auf einer Curve der durch Gleichung (3.) dargestellten Curvenschaar ist, oder ob man den Punkt P als einen Punkt der Umhiillungscurve mit der Gleichung (7.) ansieht.

dy

dx

Umgekehrt lässt sich auch zeigen, dass zwischen der allgemeinen Lösung

(8.)

G (x, y,C) = 0

und der singulären Lösung

(9.)

S(x, y) = 0

einer Differential-Gleichung erster Ordnung immer dieser Zusammenhang besteht. Durch Differentiation der Gleichung (8.) erhält man nämlich

(10.)

also

(11.)

dG _dG dG dy_

dx dx dy dx 1    2 dx ’

dx

y, C)

Der Ausdruck auf der rechten Seite dieser Gleichung wird im Allgemeinen noch die Constante C enthalten. Damit dieser

dy

Werth von ~ in den durch Gleichung (2 a.) vorgeschriebenen,

dx

nämlich in

M (x, y)

übergeht, muss man also den Werth von

N{x, y)

C aus Gleichung (8.) ausrechnen und in Gleichung (11.) ein-setzen. Bringt man z. B. Gleichung (8.) auf die Form

(8 b.)

C= <p(x, y),

so geht Gleichung (11.) über in

S(x, y) = 0

(13.)

M{z, y )

dy _ Gt [x, y, ffQr, y)]

y7 <f(x, y)J

Es ist nun die Frage, wie es möglich ist, dass man aus irgend einer anderen Gleichung

(12

dx

iV(x, y)

dy

denselben Werth von -e erhält?

dx

(14.)

Bestimmt man zur Beantwortung dieser Frage jetzt die Grösse G so, dass für alle Werthe von x und y G(x, y, C) = S(x, y) wird, so ergiebt sich hieraus die Gleichung

(15.)

C=ip{x, y).

Dabei sind die Functionen cp(x, y) und tp(x, y) möglicher Weise zunächst von einander verschieden; da aber nur solche Werthe von x und y in Betracht kommen, für welche S(x, y) und deshalb nach Gleichung (14.) auch G(x, y, C) verschwindet, so werden die Werthe von ę(x, y) und ifj{x, y) für die betrachteten Werthe von x und y einander gleich, so dass man C = ip(x, y) = <p(x, y)

und

(16.)

G(x, y, C) = G [x, y, (f{x, y)] = 0 erhält. Durch Differentiation findet man hieraus, indem man y und C als Functionen von x betrachtet,

ÔG- \ d G dy dy dx

(17.)

ÖG dC_

ÖG dx

Damit nun diese Gleichung denselben, durch Gleichung (2 a.)

dG

dx dx

dy

vorgeschriebenen Werth von ^ liefert wie Gleichung (12.), muss

ÖG dC dG dx

sein. Dies ist aber nur möglich, wenn entweder

(18.)

(19.)

dC

dx

ist, wenn also C wirklich eine Constante ist, oder wenn

S (x, y) = 0

wird. Gilt Gleichung (19.), so erhält man das allgemeine Integral, gilt dagegen Gleichung (20.), so braucht G keine Constante zu sein; man findet dann durch Elimination von C aus den Gleichungen (16.) und (20.) eine Gleichung, welche mit der Gleichung

gleichbedeutend ist, d. h. man findet die singuläre Lösung. Die allgemeine Lösung stellt daher immer eine Schaar von Curven dar. welche die der singulären Lösung

y) = 0

entsprechende Curve zur Umhüllungscurve haben.

§ 95.

Uebungs-Beispiele.

Schon in § 93 sind zwei Differential-Gleichungen integrirt worden, die eine singuläre Lösung znlassen. In Aufgabe 5 hatte man für die Differential-Gleichung

(1.)

(20.)

OCKx, y, 0) _

du

yp² — 2 xp + y — 0

das allgemeine Integral

(2.)

G(x, y, C) — y² — 2Cx -f- C² — 0 gefunden. Die Umhüllungscurve (Enveloppe) erhält man durch Elimination von C aus Gleichung (2.) und aus der Gleichung 8G(x, y, C) _

(3.)

dC

= — 2x + 2 C — 0, oder C = x.

Dies giebt

(4.)

y¹ — x² = 0, oder y = ± x.

Die Gleichung der Enveloppe stimmt also überein mit der singulären Lösung der Differential-Gleichung.

In Aufgabe 6 hatte man für die Differential-Gleichung

(5.)

y — px -f-

cp

das allgemeine Integral

V i + pl

cC

G{x, y, C) — y — Cx

(6.)

yi + c²

gefunden. Die Gleichung der Curve, welche von diesen geraden Linien eingehüllt wird, erhält man, indem man C aus der Gleichung (6.) und aus der Gleichung

(70

dG{x, y, C) _ __

ec

x__-_= 0

(1 -j- C²)Y L + C²

eliminirt. Setzt man dabei wieder

(8.) C=—tgt,

= — COSŻ,

Vl + C²

so folgt aus den Gleichungen (6.) und (7.)

x = ccos³t, y = csm³t

(9.)

-=£= = sin t, ]/l + C²

oder

(10.)

x³ + ys = c¥.

Die Gleichung der Enveloppe, welche in diesem Falle eine Astroide ist, giebt also die singuläre Lösung der Differential-Gleichung.

(11.)

Aufgabe 1. Man soll die Differential - Gleichung y² — 2xyp -f (1 + x²)p² = 1

integriren.

Auflösung. Indem man Gleichung (11.) nach y auflöst, erhält man

(12.)

y = xp Ht V1 — p2 daraus folgt durch Differentiation

(13.)

dp

P=P+*dx

p dp

oder

(13a.)

(14.)

yi—p! dx

S₌J\*L ₌ o. y i—py dx

Diese Gleichung wird befriedigt, wenn man entiveder

~dx~Lj

dp

f = 0, also p

oder

(20.)

yelx — xdy ± a y dx¹ -j- dy² — 0

integriren.

Auflösung. Die gegebene Differential-Gleichung kann man auf die Form

(21.)

(15.)

0, also ± ]/l —p² =

]/l —p²

setzt. Gleichung (14.) giebt das allgemeine Integral; indem man nämlich den gefundenen Werth von p in Gleichung (11.) einsetzt, erhält man

(16.) G(x, y, C) = y² — 2Cxy -f- C²( 1 -f x²) — 1 = 0,

oder (16a.)

also eine Schaar von geraden Linien.

Aus Gleichung (15.) dagegen ergiebt sich die singuläre Lösung, und zwar erhält man mit Rücksicht auf Gleichung (12.)

y — Gx d= Vl — C²,

(17.)

1 -f- xL

oder, wenn man diesen Werth von p in Gleichung (11.) einsetzt,

2 x²y²    x²y²

1 -j- x² 1 -f- x² ’

oder

(18.)

y² — x² — 1.

Dieselbe Gleichung findet man aber auch, wie man ohne Weiteres erkennt, wenn man die Enveloppe der durch die allgemeine Lösung in Gleichung (16.) dargestellten Curvenschaar bestimmt. Dies geschieht durch Elimination von C aus Gleichung (16.) und aus öG(x, y, C)

XU

Ï+* '

Dieses Beispiel führte Taylor auf die Entdeckung der singulären Lösungen.

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung

(19.)

dC

= — 2xy+2(7(1 -f.r²) = 0, oder C =

y =px =paj/l -t- p2 bringen, aus der durch Differentiation

Kiepert, Integral - Rechnung.

oder

(22.)

(*

dp

dx

dp

ap \ dp n

y 1 + p*) dx

folgt. Diese Gleichung wird befriedigt, wenn man ^=0

(23.)

dy

dx

also p — -jp = G

Cvt/s

setzt. Trägt man diesen Werth von p in die Gleichung (21.) ein, so erhält man

y = Cx -h a y 1 4- C²,

oder

(24.) G(x, y, 6') = ?/² — 2Gn/ 4- (7²æ² — a²(l + C²) = 0.

Dies ist die allgemeine Lösung der gegebenen Differential-Gleichung. Die singuläre Lösung findet man aus Gleichung (22.), indem man

(25.)

ap

y 14- p²

setzt. Dies giebt in Verbindung mit Gleichung (21.)

= S. (4_ A

X x\    J

₀₍jer p xy_ .

0Qer ¹    x²—a²

Bringt man Gleichung (21.) noch auf die Form y² — 2xyp -f- x²p² — a²( 1 -j- p²),

(26.) y — px

oder

(27.)

y² — 2xyp -{- (x² — a²)jt?² — a² = 0 und setzt den eben gefundenen Werth von p ein, so erhält man x² -{- y² — a² = 0.

Dieselbe Gleichung findet man aber auch, wie man ohne Weiteres erkennt, wenn man die Enveloppe der durch die allgemeine Lösung in Gleichung (24.) dargestellten Schaar gerader Linien bestimmt. Dies geschieht durch Elimination von C aus Gleichung (24.) und aus

dG(x, y, C)

(28.)

(29.)

dC

= — 2xy 4- 2C(x² — a²) — 0, oder C

xy

x²—a²

(30.)

Aufgabe 3. Man soll die Differential-Gleichung-

(*p—y) (x—yp) = 2p

integriren.

Auflösung. Setzt man

(31.) x = Yz u, y =]/z— u, also 2z = x²-j-y², 2u — x¹ — y², so wird

(32.) dx —

dz -f- du 2 Yz-\-u

dy =

dz—du

(dz — diî)yz-\- u

p — - ,_>

(dz -f du) y z—u

x — yp =

2du\/z 4- u

.    .    2 (udz — zdu)

(33.) xp — y = — -;——

(dz + du) Yz—u

Trägt man diese Werthe in Gleichung (30.) ein, so erhält

dz + du

man

oder

4(udz — zdu)du\/z + u 2(dz — du) j/z + u

(dz -f dufy’z — u

(dz -f- du) Yz

dz² — 2udzdu -j- (2z — 1 )du² — 0.

clz

Bezeichnet . man der Kürze wegen Gleichung (34.) die Form (35.) pP — 2upi + 2z — 1 = 0

Indem man diese Gleichung nach u differentiirt, findet man

(34.)

du

mit pv, so erhält

oder z

pp

P\ = Pi + m

dp

dp

du

]h du ’

oder

dp-.

(u —pi)

Hieraus folgt das allgemeine Integral, indem man = 0, also pi = C

setzt und in die Gleichung (35.) einträgt. Dies giebt 2z — 2 Cu = 1 — C~, also mit Rücksicht auf die Gleichungen (31.)

(39.) G(x, y, C) = x² -f y¹ — C(x² — y¹) — 1 + (7² = 0. oder

(36.)

(37.)

(38.)

dp\

du

du

= 0.

(40.)

x-

y-

= i.

Dieser Gleichung entspricht eine Schaar concentrischer Ellipsen und Hyperbeln.

Die singuläre Lösung findet man, wenn man in Gleichung (36.) den Factor

(41.)

(42.)

oder

u —pi = 0, also pi = u setzt und in Gleichung (35.) einträgt. Dies giebt u² ■— 2m² + 2z — 1 = 0,

(43.)

u² — 2z + 1 = 0, also mit Rücksicht auf die Gleichungen (31.)

(44.)

x* — 2 x²y² + y* — 4a:² — 4 y² + 4 = 0,

oder

(44 a.) (x + y + Ÿ’2)(z + y — j/2)(x — y + ]/2)(x — y — J/2) = 0.

Dieselbe Gleichung findet man, wenn man die Enveloppe der durch Gleichung (39.) dargestellten Curvenschaar bestimmt, indem man aus dieser Gleichung und aus

öG(x, g, C) _

(45.)

dC

— (x² — y²) + 2C=0, oder C =

x² — y²

Fig. 137.

den variablen Parameter C eli-minirt.

Der Gleichung (44.) oder (44 a.) entspricht ein System von 4 geraden Linien (Fig. 137), die sämmtliche Curven der <+£durch Gleichung(40.) gegebenen Curvenschaar berühren. Gleichzeitig stellt jede dieser geraden Linien eine singuläre Lösung der vorgelegten Differential-Gleichung dar. Setzt man z. ß.

(46.)

also

x — y + V 2 = 0, oder y = x+y-2,

(47.)

P — 1 j

und trägt diese Werthe in die Gleichung (30.) ein, so erhält man

(x — x — ]/ 2) (x — x — Y 2) = (— ]/ 2)² = 2 und erkennt, dass Gleichung (30.) durch diesen Werth von y befriedigt wird.

§ 96-

Isogonale Trajectorïen.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 222 und 223.)

Wenn eine Scliaar von Curven durch die Gleichung

F(x, y, u) = 0

mit dem variablen Parameter u gegeben ist, und wenn die sännntlichen Curven dieser Curvenschaar von einer anderen Curve nach einem bestimmten Gesetze geschnitten werden, so nennt man diese schneidende Curve „eine Trajectorie“ der gegebenen Curvenschaar.

Unter den Trajectorien sind besonders bemerkenswerth die isogonalen Trajectorien, welche die sämmtlichen Curven einer Curvenschaar unter einem gegebenen Winkel Ô- schneiden. Ist dieser Winkel & ein rechter Winkel, so nennt man die schneidende Curve „eine orthogonale Trajectorie“.

Um die Differential-Gleichung zu finden, welcher die isogonalen Trajectorien genügen müssen, gebe man (lern variablen Parameter u in Gleichung (1.) zunächst einen bestimmten Werth, d. h. Inan greife aus der gegebenen Schaar eine bestimmte Curve heraus. Der Winkel, welchen die Tangente dieser Curve (Fig. 138) im Punkte P mit der positiven Richtung der X-Axe bildet, sei

«, dann ist nach D.-R., Formel Nr. 16 und 127 der Tabelle

(10

JV

Fig. 138.

mp

■i?-

Oß’

dy

F(x, y, u) ,

F₂(x, y, u) ’

wobei die partiellen Ableitungen von F(x, y, w) nach « und y bezw. mit Fi(x,y,u) und F\{x, y, u) bezeichnet worden sind. Nennt man nun die laufenden Coordinaten der isogonalen Tra-jectorie x\ y‘ und den Winkel, welchen die Tangente dieser Trajectorie im Punkte P‘ mit der positiven Richtung der A-Axe bildet, u‘, so ist

(2.)

(3.)

tg«' =

dy‘

dx‘

Damit nun diese beiden Tangenten den Winkel # mit einander bilden, muss

(40

a¹ = a -f #

sein. Dies giebt

tg« + tg#j 1—tg« tg#

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (2.) und (3.)

(5.)

tg cc' = tg(cf + #)

Fi(x, y,u)

(6.)

djL~

Fi{x, y, u)

+ tg#

dx‘

Fj{x, y, u) F%(x, y, u)

tg A

_ idtg#—Fl F‘2 + Fitg# ’

wobei der Kürze wegen Fi und F₂ statt Ft(x, y, u) und F₂(x, y, u) gesetzt ist. Multiplicirt man auf der rechten Seite dieser Gleichung noch Zähler und Nenner mit cos#, so erhält man

dy‘

(70

Fi sin # — Fi cos # dx‘ ~~ Fi cos# + Fisin#

Jetzt wird aber verlangt, dass die Tangenten an die beiden Curven in einem Schnittpunkt derselben gelegt sind, 'd. h. die Punkte P und P‘ müssen zusammenfallen, wie es in Figur 138 bereits angenommen worden ist; es wird also

— ss, ÿ — V,

so dass Gleichung (7.) übergeht in die Gleichung

(8.) (Ficos# — Fi$mF)dx -f- (Fisin# + Fi>cos#)c?y = 0.

Im Allgemeinen werden hierbei Fi und F, noch Functionen von u sein, so dass die Curve, für welche die Differential-

Gleichung (8.) gilt, nur diese eine, dem bestimmten Werthe von u entsprechende Curve unter dem Winkel # schneidet.

Damit sämmtliche Curven der gegebenen Curvenschaar unter dem Winkel # geschnitten werden, muss man Gleichung (1.) in Bezug auf u auf lösen und den gefundenen Werth von u in Gleichung (8.) einsetzen, oder man muss, was auf dasselbe hinauskommt, aus den Gleichungen (1.) und (8.) die Grösse u eliminiren. Dadurch erhält man eine Gleichung

cly

) = 0,

(9.)

G(*’ y' dx

welche die Differential - Gleichung der gesuchten isogonalen Tra-jectorie ist.

Bei der Integration dieser Differential - Gleichung erster Ordnung tritt eine Intégrations - Constante C auf, die man noch willkürlich bestimmen kann. Deshalb giebt es zu der Curvenschaar

F{x, y,u) = 0

eine ganze Schaar isogonaler Trajectorien.

Bei den orthogonalen Trajectorien ist # ein rechter Winkel, dann wird also

(10.)

sin# = 1, cos# = 0, so dass Gleichung (8.) übergeht in

(11.)

— F₂dx + Fidy = 0.

Die Differential-Gleichung der orthogonalen Trajectorien findet man also, indem man aus den Gleichungen (1.) und (11.) den variablen Parameter u eliminirt.

§ 97.

Uebungs-Aufgaben.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 224 bis 228.)

Aufgabe 1. Durch die Gleichung

(1.)

F(x, y, u) — y — ux — 0 ist eine Schaar von geraden Linien gegeben, welche sämmtlich

Fig. 139.

(P

durch den Nullpunkt hindurchgehen; man soll die Gleichung der Trajec-torien aufsuchen, welche alle diese Geraden unter dem Winkel # schneiden.

Auflösung. Aus Gleichung (1.) folgt durch partielle Differentiation — u ,    = 1,

deshalb findet man aus Formel Nr. 222 der Tabelle für die isogonalen Trajectorien die Differential-Gleichung

(—wcos# — sin &)dx -f (— usin# + cos&)dy — 0, wobei aber noch nach Gleichung (1.)

(3.)

(4.)

(2.)

«Sil H

zu setzen ist. Dies giebt

(5.) (— ?/cos# — zsin &)dx + (— y sind- + xcosF)dy = 0, oder, wenn man durch —sin# dividirt,

(xdx + ydy) -f- ctg 3\ydx — xdy) — 0.

(5 a.)

Die linke Seite dieser Gleichung wird ein vollständiges Differential, wie aus den Bemerkungen in § 91, Seite 509 und 510 hervorgeht, wenn man mit dem integrirenden Factor

^    ₂ multiplicirt, und zwar erhält man aus

(6.)

xdx -f- ydy

ydx — xdy _ x¹ + y²

+ ctg#

nach den damals angegebenen Begeln

ln (j/x² + y²) — ctg# . arctg^^ =

Diese Gleichung wird noch wesentlich einfacher durch Einführung von Polarcoordinaten, indem man

# = rcos</>, y = rsiny, also ]/ x² -f- y² = r, arc

setzt und den constanten Factor ctg# mit a bezeichnet. Dadurch geht Gleichung (7.) über in

x² -f- y²

(7-)

lnG\

(8.)

oder

lnr = ln C + aap — ln(G⁷. eacP),

(9.)

r = C. eacP.

Dies ist die Gleichung der logarithmisch en Spirale, welche für die verschiedenen Werthe der Intégrations-Constanten C verschiedene Lagen einnimmt.

In dem Falle, wo -d- gleich 90° ist, wird ctg & = 0, so dass dann Gleichung (7.) übergeht in

ln (J/X² + y²) = ln C, oder x² + y² = C².

Dies ist die Gleichung einer Schaar concentrischer Kreise.

Aufgabe 2. Durch die Gleichung

F(x, y, u) = x² — 2w(y — x ]/ 3) = 0 ist eine Schaar von Parabeln gegeben; man soll diejenigen Curven aufsuchen, welche alle diese Parabeln unter einem Winkel von dz 60° schneiden.

Auflösung. Hier ist

(12.) ' & = dz 60°, also sin# = dz -|]/3,    cos#=|-,

(13.) Fi = 2z + 2m y3, Fz = —2u,

folglich findet man nach Formel Nr. 222 der Tabelle für die isogonalen Trajectorien die Differential-Gleichung

(14.) (x -f- u ]/3 dz u\ 3)dx + [± (x + wj/ 3) ]/ 3 — u]dy = 0. Für das obere Zeichen erhält man daher

(x + 2u Y 3)dx + (xf/3 -f- 2u)dy = 0, wobei aber nach Gleichung (11.)

(10.)

(11.)

(15.)

(16.)

x²

einzusetzen ist. Dies giebt

x²Ÿ3

(* +

x²

^\dx dr ( XV 3-1—

/    V    y

_cc~^ 3

oder, wenn man diese Gleichungen mit -—- r

y—xV 3

—x]/ 3

multiplicirt,

(17.)

ydx + (yV 3 — 2 x)dy — 0.

Da in dieser Gleichung die Coefticienten von dx und dy homogene Functionen gleichen Grades sind, so setze man

(18.)

y = xz, dy = xdz + zdx .

Dadurch erhält man, wenn man Gleichung (17.) noch durch x dividirt,

oder

zdx + (zj/ 3 — 2) (xdz + zdx) = 0,

(19.)

(20.)

also

(z² ]/ 3 — z)dx -j- (zVs — 2)xdz = 0, dx (z]/3 — 2) dz    2 dz    Y 3 dz

— — —-----L ——-,

y 3—1

z(zY3 — l)

(21.)

Inx = ln (2]/3 -— 1) — 2\wz + ln C,

oder

(22.)

xz² = C(zY 3 — 1).

(23.)

Dies giebt mit Rücksicht auf die Gleichungen (18.) y² = C(yY3 — x).

Diese Gleichung stellt ebenfalls eine Schaar von Parabeln dar, und zwar geht Gleichung (11.) in Gleichung (23.) über, wenn man x mit y und 2u mit — C vertauscht.

Wenn man dagegen in Gleichung (14.) das untere Zeichen beachtet, so erhält man

xdx — (xY 3 + 4 u)dy = 0, oder mit Rücksicht auf Gleichung (16.)

qj _ /Tß\/ 3

also, wenn man diese Gleichung mit -—— v

(24.)

xdx —-

multiplicirt,

(25.)

(y — x Y 3)dx — (ijY 3 — x)dy = 0.

Auch hier sind die Coefticienten von dx und dy homogene Functionen gleichen Grades, folglich wendet man wieder die in den Gleichungen (18.) angegebene Substitution an und erhält

(z — Y 3)dx — (zY 3 — 1) (xdz + zdx) = 0,

t/a:

(2?.)T = -

folglich wird

(z²]/ 3 — 2z +]/ 3)dx + (zY 3 — 1 )xdz = 0,

(2 ]/3 — 1 )dz _    1 d(z²Y3 — 2z + Y3) _

~ _ 2 z² Y 3 — 2z + V3 ’

2² y 3—22 h- y 3

ln (a;²) + ln(2²y 3 — 2z +y 3) = InC', oder mit Eücksicht auf die Gleichungen (18.)

(x² + y²)Y 3 — 2 xy = C.

Dies ist die Gleichung einer Schaar von ähnlichen und ähnlich liegenden Ellipsen, deren Axen die Winkel zwischen den Coordinaten-Axen halbiren.

(28.)

Aufgabe 3. Durch die Gleichung

F(x, y, u) = y² — ux = 0 ist eine Schaar von Parabeln mit gleichem Scheitel und gleicher Axe gegeben (Fig. 140); man soll die rechtwinkligen (orthogonalen►) Trajectorien ermitteln.

Auflösung. Hier ist (30.) Fi = — u, F₂ = 2 y,

folglich findet man nach Formel Nr. 223 der Tabelle

2 ydx + udy = 0, wobei aber nach Gleichung (29.) y²

u — —

(29.)

(31.)

(32.)

zu setzen ist. Dies giebt

(33.)

Fig. 140.

■X

2 ydx + — dy = 0, oder 2 xdx -j- ydy = 0.

Daraus folgt durch Integration

2a:² -f- y² — a².

Dies ist die Gleichung einer Schaar von ähnlichen und ähnlich liegenden Ellipsen.

Aufgabe 4. Durch die Gleichung

F(x, y, u)

(34.)

(36.)

x²

a²-j- u

b²-\- u 1

ist eine Schaar confocaler Ellipsen gegeben, wobei der variable Parameter u alle Werthe von —b² bis +00 durchläuft. Wenn dagegen u alle Werthe von — d¹ bis — b² durchläuft, so stellt Gleichung (35.) eine Schaar confocaler Hyperbeln dar. Man soll für beide Fälle die rechtwinkligen (orthogonalen) Trajectorien bestimmen.

Auflösung. Hier ist

Fl= 2x

(36.)

F₂ =

2y

b²-\- u ’

a²-f- u

folglich findet man nach Formel Nr. 223 der Tabelle für die orthogonalen Trajectorien die Differential - Gleichung

xdy _

b²-\-u al-\-u ’ wobei man noch den variablen Parameter u aus den Gleichungen (35.) und (37.) in folgender Weise eliminiren kann. Aus Gleichung (37.) findet man

(37.)

ydx

(38.)

yl

xyp.

b²-\- u a² -f u

setzt man diesen Werth in Gleichung (35.) ein und bezeichnet man a² — b² mit e², so erhält man

(39.) d² -f- u — x(x + yp), b² + u = a² -f- u — e² = x(x + yp) — e², und wenn man diese Werthe in Gleichung (35.) einsetzt,

oder

X 4- yp    x(x + yp) — e²

= 1,

(40.)

(x + yp) (tj — xp) =—e²ji.

Diese Differential - Gleichung für die orthogonalen Trajectorien lässt sich ähnlich behandeln wie die in § 95, Aufgabe 3. Man setze nämlich

(41.) x² = z-\-t, y² = z — t, also 2z = z²-\-y², 2t=x² — y², dann wird

(42.)

dz = (x + yp)dx, dt ■= (x — yp)dx, dx

also, wenn man mit pv bezeichnet,

__ x -4- yp

~ x —yp

(43.)

dz

di=P'

*(Pi — 1) y(Pi + 1)

oder

(45.)

(46.)

2xpi

x -f- yp — -    -—— j y

y j»i+l J

Deshalb geht Gleichung (40.) über in 4 .TjPi(g — tp\)

HPi + i)²

— xp =

2 (z — tpi)

y(pt +1)

e²;z( ^ — 1)

y(/>i +1)

4Pi{z — tpi) — — e²(pi² — 1). Diese Gleichung kann man auf die Form

e²(pi² — 1)

2 = tpi.

bringen und erhält daraus durch Differentiation nach t

4pi

(47.)

r e²(?i² + 1)1 dpi _

L 4^² J dt

(48.)

Diese Gleichung wird befriedigt, wenn man 0, also pi — 0

dpi

dt

setzt. Indem man diesen Werth von pi in Gleichung (45.) einträgt, erhält man

4(7(2 — tC) = e²(l — C²)

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (41.)

2Cx²(l — C) + 2Cy\l + C) = e²(l — (7²),

oder

2Cx²    2 Oy¹ _

e²(l-f- C) ⁺ Ąl-^C) ~ '

Führt man jetzt statt der Intégrations - Constanten C einen variablen Parameter * ein, indem man

(49.)

(50.)

(°²

also

e²(l 4- G)

a² -f b² -f- 2%

e²(l — C)

= a² + 2 ,

setzt, so geht Gleichung (49.) über in

b² + /.

Diese Gleichung stellt wieder eine Schaar confocaler Ellipsen und Hyperbeln dar, welche mit der gegebenen Curvenschaar

(51.)

20

20

x²

a²-\- x

= 1.

identisch ist. Dabei schneiden, wie bereits bekannt ist, in der That die sämmtlichen Hyperbeln die sämmtlichen Ellipsen recht

winklig.

Hätte man in Gleichung (47.), um die singuläre Lösung zu

erhalten, den Factor

(52.) t

e²(/?i² + 1)

4^»i²

0, oder pv² (41 — e²) = e²

gesetzt, so würde man mit Rücksicht darauf, dass nach Gleichung (46.)

(53.)

4 p\Z = /?i²(41 — e²) -f- e²

ist, die Gleichungen

4 p\z — 2e², oder ^p^z² — e⁴, also 4 z² = e²(4^ — e²)

gefunden haben. Dies giebt, wenn man die Werthe von 2 und t aus den Gleichungen (41.) einsetzt,

(x² -f- y'²)² = e²[2x² — 2y² -— e²),

oder

(x² — e²)² = — g²(2x² -j- y² -f- 2e²).

Die singuläre Lösung liefert also eine imaginäre Curve, denn Gleichung (54.) kann durch reelle Werthe von x und y nicht befriedigt werden.

(54.)

Im Allgemeinen wird die Integration der für die orthogonalen Trajectorien gefundenen Differential-Gleichungen in geschlossener Form nicht ausführbar sein; deshalb ist es von Interesse, einige Fälle hervorzuheben, wo die Integration durch Trennung der Variabein unmittelbar bewirkt werden kann. Die gegebene Curvenschaar habe die Gleichung

F(x, y, u) =f(x) + g(y) — u = 0, wobei f{x) eine Function der einzigen Veränderlichen x und g(y) eine Function der einzigen Veränderlichen y sein möge; dann wird

(55.)

(56.)

so dass die Differential - Gleichung der orthogonalen Trajectorien (vergl. Formel Nr. 223 der Tabelle) in

g\y)dx +f‘{x)dy = 0,

dx

dy

f\x) 9\y)

übergeht. Danach kann man ohne Weiteres die folgenden Aufgaben behandeln.

Aufgabe 5. Man soll die orthogonalen Trajectorien der Curven mit der Gleichung (58.) bestimmen.

Auflösung. Hier ist

(59.)

also

(60.)

A*) = (?)“’ ^)=(f)’

/&)=!(!)

/'W= (0

ß~i

(61.)

folglich findet man nach Gleichung (57.) für die orthogonalen Trajectorien die Differential-Gleichung aa dx bß dy

a xa~l

ß y^¹

Die Fälle, wo a = 2 oder ß = 2 ist, muss man besonders untersuchen. Ist z. B. und ß = 2, so geht Gleichung (61.) über in

(62.)

a² • -L-

dx —    . dy_,

folglich wird

(63.)

b²\ny = a²\nx -j- ln C, oder yu = Cxaa.

Dagegen findet man unter der Voraussetzung, dass a < 2, ß^2, aus Gleichung (61.) durch Integration

(64.)

a*ß(ß — 2)x²~a = Äl»«(« — 2)2/²-? + 6r.

Ist z. B.

CM I CO

² *

a=r ^ ’

und vertauscht man u mit u‘, so gellt Gleichung (58.) über in

.2 2. 2 X* + 1/ = w³.

(65.)

d. h. die gegebene Curvenschaar ist eine Schaar ähnlicher und ähnlich liegender Astroiden.

Für die orthogonalen Trajectorien findet man dann aus

9

Gleichung (64.), wenn man die Integrations-Constante — — C mit

O

4

Ve bezeichnet,

(66.)

Man kann das angegebene Verfahren auch dann noch anwenden, wenn die Gleichung der angegebenen Curvenschaar die Form

(67.)

fix) • giy) — u = o

hat, weil man sie durch die Gleichung

(68.)

F(x, y, u) — ln[/(*)] + ln[g(y)] —lnu = 0 ersetzen kann. Dann wird

(69.)

Fi =

f\x)

f(x)

F₂ =

y‘(y)

y\y)

so dass man aus Formel Nr. 223 der Tabelle für die orthogonalen Trajectorien die Differential-Gleichung

_ä&+; ndy=o.

y(y)    0;

oder

(70.)

f(x)

erhält.

f\x)

dx

r/(y)

9\v)

dy

Aufgabe 6. Man soll die orthogonalen Trajectorien für die verallgemeinerten gleichseitigen Hyperbeln mit der Gleichung

(71.)

xwyn _ u

bestimmen.

Auflösung. Hier ist

(72.) f(x) = xm, g{y) == yn, f‘{x) = mxm~\ g\y) = nyn-\ folglich ergiebt sich aus Gleichung (70.) für die orthogonalen Trajectorien die Differential-Gleichung

2 mydy — 2nxdx\ die orthogonalen Trajeetorien selbst haben daher die Gleichung miß — nx² -j- C.

(74.)

Ist die Gleichung der gegebenen Curvenschaar in Polar-coordinaten ausgedrückt, geht man also von der Gleichung

F(r, cp, u) = 0

so ist der Winkel pc, welchen die Tangente im Curven-punkte P mit dem zugehörigen Radiusvector bildet, durch die Gleichung (vergl. D.-R., Formel Nr. 149 der Tabelle)

igfi =

(75.)

aus

(76.)

rdcp

dr

Fig. 141.

(77.)

gegeben. Bezeichnet man vorläufig die Coordinaten einer orthogonalen Trajectorie mit r‘, cp‘ und den Winkel, welchen die Tangente dieser Curve mit dem zugehörigen Radius-vector bildet, mit ß, so ist r‘dcp‘

dr‘

■X

Nun soll ß — pc = 90° sein, deshalb wird

(78.)

tg(ß — ß =

tgß — tgfF

oder

1 -I- tgpctgß

CO

(79.)

1 + tgtitgß = 1 + dr

rdcp r‘d(p‘

dr‘

= 0.

(80.)

Setzt man hierbei der Kürze wegen

öF(r, cp, u) __

dF(r, cp, u) _

di

dcp

Ft,

so folgt aus Gleichung (75.)

dcp __Fi (r, cp, u) __P\

Fßr, cp, u) ~ folglich geht Gleichung (79.) über in

(81.)

dr

F,

546

§ 97. Isogonale Trajectorien; Uebungs - Aufgaben. t rFy r‘dtp¹

da aber die Berührungspunkte P und P‘ zusammenfallen müssen, so wird r‘ gleich r, <pJ gleich (p, also

Fi F\ r² -dr

Im Allgemeinen werden hierbei Ft und F% noch den Parameter u enthalten; indem man u aus den Gleichungen (75.) und (83.) eliminirt, erhält man die Differential-Gleichung der orthogonalen Trajectorien.

Aufgabe 7. Die Gleichung

(84.) F(r, (f, u) = r² cos(2<p ff- 2u) — a² cos (2u) = 0

stellt eine Schaar von gleichseitigen Hyperbeln dar, welche den

Nullpunkt zum gemeinsamen Mittelpunkte haben und sämmtlich

durch den Punkt A mit den Coordinaten r — a, (p = 0 hindurch-

gehen; man soll die orthogonalen Trajectorien bestimmen.

Auflösung. In diesem Falle ist

(85.) Ft = 2rcos(2<£> + 2m), F₂ = — 2r²sin(2<p ff- 2u),

folglich geht Gleichung (83.) über in

— 2r²sin(2<£> ff- 2u) — 2r³COS(2cp ff- 2u)    =0;

dl

daraus findet man

(82.)

(83.)

(86.)

oder

(87.)

= 0;

dep

= 0.

dep

r —F •

tg (2 cp ff- 2u) =

Nun kann man Gleichung (84.) auf die Form

r² cos (2tp) cos (2m) — r² sin (2cp) sin (2m) — a² cos (2m) = 0

r² cos (2<p) — a2 r² sin (2y)

tg(2u) =

bringen, folglich wird (88.) tg(2y ff- 2m) =

dr

tg(2y) ff- tg(2M)

1 — tg(29>)tg(2M)

r²sin(2<p)tg(2</>) ff- r²cos(2r/-) — a2 — r² sin (2<p) — tg(2r/ff (V²cos(2f/) ;— a²] _ r² — a²cos(2<^)

«²sin (2ep)

(89.)

Dies giebt mit Rücksicht auf Gleichung (86.) r² — a²cos(2<p) _

a²sin(2<jp)    dr

rd(f

oder, wenn man

(90.)

a² cos {2cp) = t, also —2a²sm(2cp)d(f — dt

setzt,

(91.)

dt

dr

= 2 r.

Weil dies eine lineare Differential-Gleichung erster Ordnung ist, setze man

(92.)

t — vz, also dt = vdz -f zdc

wodurch man

(93.)

dz

fdv , 2ü\

{dr ⁺ t) - 2r

° dr

erhält. Indem man die Function v so bestimmt, dass in dieser Gleichung der Coefficient von z verschwindet, erhält man

de

2 dr

5 also ln-ü = — ln(r²), oder v —

deshalb geht Gleichung (93.) über in 1 dz r² dr

Dies giebt, wenn man die Intégrations-Constante mit \ ff — P) bezeichnet,

(96.) 2z = r⁴ -j- a⁴ — P, also 2vz = r² -f-

(94.) - =

(95.)

= 2r, oder dz — 2 r^dr.

a⁴ — P

r2 ’

= 2t,

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (90.)

(97.)

r⁴ — 2o²r² cos (2cp) + a⁴ = P, wobei b der variable Parameter ist.

Diese Gleichung stellt eine Schaar von Curven dar, welche .unter dem Namen „Cassini¹ sehe Curven“ bekannt sind und die Eigenschaft besitzen, dass das Product der Abstände eines jeden Curvenpunktes von zwei festen Punkten mit den Coordinaten x — ± a, y — 0 den constanten Werth P besitzt. Sind nämlich

Fi und F₂ die beiden festen Punkte, die „Brennpunkte“ genannt werden, und Qi, q₂ die nach einem beliebigen * Curvenpunkte P gezogenen ,,Brenn-^^—xstrahlenso wird nach dem Cosinussatze (vergl. Fig. 142)

Fig. 142.

(98.) Qi² = r² -f- a² — 2raC0S(p, q% = r² -f- ar + 2raC0S(f, also

Qi² q₂² = (r² -f- a²)² — 4a² r² C0S²(f = b⁴,

(99.)

woraus sich ohne Weiteres Gleichung (97.) ergiebt.

Für b = a reducirt sich die Gleichung der Cassini'sehen Curve auf

r² = 2a²COS(2y)

(100.)

und stellt eine Lemniscate dar.

F{r, (p, u) =/(r) + g(<p) — u = 0,

Auch bei Anwendung von Polarcoordinaten kann man Fälle hervorheben, in denen die Integration durch Trennung der Variabein ohne Weiteres ausführbar ist. Hat nämlich die Gleichung der gegebenen Curvenschaar die Form (101.)

Fi=f‘(r), F-i — g\cp),

wobei f(r) eine Function der einzigen Veränderlichen r und g{q>) eine Function der einzigen Veränderlichen <p sein möge, so wird (102.)

(103.)

oder

(103a.)

so dass Gleichung (83.) übergeht in 9'(<P) —f\r) ■²⁻² d

dr

d(f

r² J\r) g\ą)

Hat die Gleichung der gegebenen Curvenschaar die Form

fix) • 9{<p) — u

(104.)

F(r, (p, ui) = ln [ f{r)] + ln [g{cp)] — «i = 0

oder, wenn man ln u mit ut bezeichnet, (104a.) so wird

Beispiele.

Aufgabe 8. Durch die Gleichung

(106.)

rn cos (mcp) — u = 0 ist eine Curvenschaar gegeben; man soll die orthogonalen Trajectorien bestimmen.

Auflösung. Hier ist

(107.)

also

F

' Ar) ’

folglich geht Gleichung (83.) über in

__ f‘(r)    r²cl(f

g{(p) f{r)    dr

F₂ =

l‘(v) .

9{<P)

(105.) daraus ergiebt sich (105a.)

g(d)d(f

f{r)dr r² .f\r) ~~ g\(f)

= 0;

f(r) = >»,    g(t[) = COS (mtp)

f‘(f) = nrn l, g‘(cp) — —-msixi(gn(p)

folglich geht Gleichung (105 a.) über in dr_ cos {m(p)dcp

nr

daraus ergiebt sich (108.)

rri¹ — = — mn

cos (m(p)d<p

also

sin (jiup)

m²lnr = — wln[sin(m<jp)] 4- ln C, rmm smn(m(p) = C.

Für m — 7i wird die Gleichung der gegebenen Curvenschaar rmcos (nup) = u

und die der orthogonalen Trajectorien, wenn man C gleich vm setzt,

(109.)

(110.)

an.)

rm sin (m(f) = v.

Man erkennt unmittelbar die Gleichartigkeit der beiden Curvenschaaren.

Für n = — m wird die Gleichung der gegebenen Curven-— mit u‘ bezeichnet,

schaar, wenn man

(112.)

rm = u‘ cos (mcp) und die der orthogonalen Trajectorien

(113.)

rm — «sin (ni(p).

Fig. 143.

Für m = 1 geht z. B. die Gleichung (112.) über in (114.) r — u‘Q,0S(f und stellt eine Schaar von Kreisen dar, welche sämmt-lich durch den Nullpunkt hin-, durchgehen und ihren Mittel-r punkt in der X-Axe haben, während der Durchmesser u‘ verschiedene Werthe annimmt (Fig. 143). Die orthogonalen Trajectorien haben dann die Gleichung

(115.)

r — «sin^

und sind Kreise mit dem veränderlichen Durchmesser v, die gleichfalls durch den Nullpunkt hindurchgehen, ihren Mittelpunkt aber in der Y-Axe haben.

XVI. Abschnitt.

Gewöhnliche Differential - Gleichungen höherer Ordnung.

§ 98.

Allgemeine Bemerkungen.

Die Differential-Gleichungen höherer Ordnung bieten im Allgemeinen bei der Integration noch weit grössere Schwierigkeiten als die von der ersten Ordnung. Man kennt bisher nur eine geringe Anzahl von besonderen Fällen, in denen sich die Integration von Differential-Gleichungen höherer Ordnung in endlicher, geschlossener Form ausführen lässt. Einige von diesen Fällen mögen hier hervorgehoben werden.

§ 99.

V

Integration der Differential-Gleichung =

(Ve'rgl. die Formel-Tabelle Nr. 229.)

Ist die mi& Ableitung von y als Function von x gegeben, gilt also die Gleichung

(10

dmy

= ?>(*)>

dxm

wobei <p(x) eine bekannte Function der einzigen Veränderlichen * sein möge, so kann man das allgemeine Integral sofort bestimmen. Es wird dann nämlich dm~xy dxm~x

(2.)

=j(p{z)dz + C\ — (ft(x) + C\

für x — x₀ die beliebig yorgeschriebenen Werthe

I/O

yo{m~²⁾ ... yd, y₀

annehmen.

Dabei geht Jcpm-l(x)dx aus <p(x) durch ra-malige Integration hervor und ist deshalb ein ra-faches Integral

(6.)

(pm{x) — /(pm—i(x)dx = Jdx fdx .. .J(f>{x)dx.

Diesen Ausdruck kann man aber noch vereinfachen durch partielle Integration, also durch die Formel

judo = uv —

(7-)

(3.)

(4-)

dm~²y dxni-2 dm~³y dxm ~ ³

—J'(fi{x)dx — jrp-i{x)d

-f- (J\X -j- 62 =    “f* 0\X -j-, O2 «

C\x-

x -f

C^x

2!

1!

~h C3

/ \ , Cxx* C₉x

— tpzix) h—+ xr    ^³’

(5.-) y — l(pm—i(x)d,

C\xm

-1

C₂xm~*

Cm—\X

1!

~h Cm.

(ra — 1) ! ' (ra — 2)1 Die m Intégrations - Constanten 6rt, C₂,...Cm kann man noch so bestimmen, dass die ra Grössen dm'~iy dm—²y dxm~l

dxm_2

dy

"'S’ y

jodu.

Bezeichnet man nämlich in den Gleichungen (2.) bis (5.) die Integrationsgrenzen mit x₀ und x, die Intégrations-Veränderliche aber mit z, so wird

XX    X

(8.) (pi(x) —J(f,(z)dz, (pdx) = J(pi(z)dz, <pjx) = f(pjz)dz,. . . .

Xq    Xq    Xq

Setzt man jetzt

(9.)

u = <pi{x) = Jcp(z)dz, de =

x₀

dx,

also mit Rücksicht auf Formel Nr. 177 der Tabelle

clx™

du — (p{x)dx, v — x, so erhält man nach Gleichung- (7.), da <fi{x) für x g-leich x0 verschwindet,

X

x(pi(x) —Jx(p{x)dx

X0

(10.)

cfi(x) = J<fi(x)dx =

*0

X

— xj(f{z)dz —Jz(p{z)dz

folglich wird

x₀    :r₀

(11.)

(p₂(x) — f(x — z) q{z)dz.

Xo

Setzt man sodann wieder

(12.)

also

u — (fi{x) = Jcp(z)dz,    aber dv =

*0

2 xdx,

du = (f (x)dx, v — x², so findet man durch partielle Integration

(13.)

(14.)

J'2xdxJ(f{z)dz = rr²/(f(z)dz -—-Jx²q(x)dx

Ferner setze man

X

(15.) u — jz(p(z)dz,    (/ü = also du =

(17.) 2(fz{x) = 2J(f<i{x)dx = JźxdxJ(p{z)dz— 2\JdrJztp{z)dz

x₀    x₀    x₀    % x₀

berücksichtigt, findet man

xq(x)dx, v = x.

oder

(16.)

X    x    X

(18.)    1.2(fa(x) = x²/(f{z)dz — 2xfz(f{z)dz -f- fz²(f(z)dz,

Xq    X o    Xq

oder

X

(19.)    1.2cfs(x)—J(x — z)²q>(z)dz.

x₀

In dieser Weise kann man fortfahren und zwar erhält man aus Gleichung (18.)

X    X

— % /xdxjzy (z)dz =

Xq    Xq

(22.)

X

—J {x — z)³(p{z)dz.

Xq

Durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens findet man die allgemeine Formel

(25.)

(m — 1) ! (pm(x) — J\x

Xq

— z)m~i<p(z)dz

deren Richtigkeit man durch den Schluss von n auf n + 1 beweisen kann. Ist nämlich

(26.)

(n —

oder

X

1) ! (pn(x) =/{x

Xq

— z)n~l(f(z)dz,

dxm

(26a.) (n—1 )\(fn{x) = xn~¹J(f{z)dz—^ ^xn~iJz(p(z)dz-\-

*0 ^0 X

- • • ±jzn~l(f(z)dz

xo

+ (- l)*^ ^    ^xn—k—ljzk fp(£) dz -f-

x₀

oder

Ä=M—1

(26b.) (» — l)\(fn{x)= 2 (—

k=0

so wird, weil n(^ ^    = Ç^(n — k) ist,

If(-D*G)⁽»-*)*

(27.) n\(fn{x) =

Setzt man jetzt

(28.)

also

X

l)k(^ j' ^xn~k~ijzk(f(z)dz,

*o

n~k~iJzk(p{z)dz.

*<s

u = Jzk(f{z)dz, dv = (n — /£)# *0

¹dx,

(29.)

du = xk(p(x)dx, v = x

so erhält man durch partielle Integration

(30.)/(rc

*0

k')xn~k~ldxfzk(p{z)dz =    k/zk(f(z)dz — Jxn(f{x)dx

^0 ^0 ^0

= xn~kJzkcp(z)dz —Jzn(f{z)dz. *0 *0

Dies giebt

(31.)    = n\Jq>n{x)dx =

2 (-

Ä=0

1) ■k ^ ^ x.¹¹ “ kJzk(p (z) dz x₀

)*Q.

Da nun

CO

a<-0-‘-C)+©-G)⁺-+<-‘>

= (1 — l)w — (— 1)M = — (— 1)M

ist, so geht Gleichung (31.) über in bringen.

§ 100.

Differential-Gleichungen von der Form

) = °.

dzm~l

556

§ 100. Differential-Gleichungen von der Form F ( * v lV — o.

\dxm dxm~l

(32.)

n ! cpn+1(F) =    (— 1)Ä ("2 ) Æ;W~Â fCiff{z)dz

=>

— z)n(p(z)dz.

Dies ist aber eine Gleichung, welche aus Gleichung (26.) entsteht, indem man n mit n -fl vertauscht.

Man kann daher das allgemeine Integral von Gleichung (1.) auf die Form

(33.) y =

, ¹ J,

*0

— z)m~l cp{z)dz +

Ciz™-¹

Co.r»*-²

(ra — 1 ) !    (?w — 2) !

Cm—1 Z

l!

~h Cm

dmy dm~iy dxm

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 230 und 231.)

Hat die gegebene Differential - Gleichung zunächst die Form

(10

d'²y

dz²

-/(!)•

dy

d²y

so bezeichne man wieder - ^ mit p, also erhält Gleichung (1.) die Form

d =Ap), oder dx= dp

(2-)

dp

dz²

mit

dp

dz

• Dadurch

folglich ist

fiP) ’

*=/

dp

Ap)

Ferner ist nach Gleichung (2.)

§ 100. Differential - Gleichungen von der Form f(

\dxm

dy=Pd*=^Pp)<

dxm~¹

(4.)

also

(5.)

y -J

'pdp

ff“ 62 •

Durch die Gleichungen (3.) und (5.) sind x und y als Functionen von p dargestellt. Durch Elimination von p findet man daraus die gesuchte Gleichung zwischen x und y.

j\P)

Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung

(6.)

'Py

integriren.

dxl

Auflösung. Aus Gleichung (6.) folgt

(?•) dJx ⁼ ^1Jrp1’ oder dx

dp

dy

pdp

(8.)

¹ ~J\

dp

VI + f

V1 + p¹

= ln(p ff- ]/l ff- PL) -ff Gl,

⁽⁹-) y = /,

pdp

= yi +p‘ + ft.

Dies gieht, wenn man die Intégrations-Constanten C'i und 62 hezw. mit x₀ und y₀ bezeichnet,

Vi + p* = y — yo, p = ± V(y — yo)²— 1,

* — *o = ln[y — y₀ ± V[y — yof — 1J,

(10.)

(11.)

also

(12.)

ex-r₀ = y — y₀±Y{y— ÿ0 f — 1,

(13.) £-(*—*o) —

j = y—yo±V{y — y₀)* — l.

y—y₀d=K(y—yo)²—

Indem man die Gleichungen (12.) und (13.) addirt, erhält man schliesslich

(14.)

2 (y — y₀) = ex~X(> ff- e~(x~x°\

oder

Aufgabe 2. Man soll die Gleichung derjenigen Curven bestimmen, bei denen der Krümmungshalbmesser die constante Länge a hat.

Auflösung. Nach D.-R., Formel Nr. 145 der Tabelle ist

(ds\³

\dxj

dx²

deshalb müssen die gesuchten Curven der Differential-Gleichung

oder ± (]/l + p²)3 = a~px

f ds d²y

\dxj    dx²

genügen. Daraus folgt

(15.)

(16.)

dx — zt

adp

oder, wenn man

(17.)

(i + p²)Y i + p1 = t*t' als0 Kr+^=~

i di) =

dt

cos H

setzt,

(18.)

dx = ± a cos t .dt, dy — pdx — ± a sin t. dt.

Dies giebt, wenn man die beiden Intégrations-Constanten wieder mit x₀ und y₀ bezeichnet,

x — x₀ = zb a sin t = zt

(19.)

ap

(20.)

y — yo= -t- acost = -+-

]/l + p²

Indem man die Gleichungen (19.) und (20.) in’s Quadrat erhebt und addirt, erhält man

(21.)

{x — xoy- + (y — yoy — a².

Die gesuchten Curven sind demnach Kreise mit dem Halbmesser a; ihr Mittelpunkt hat die Coordinaten x₀, y₀, die als willkürliche Intégrations- Constanten eingeführt worden sind. Der Kreis ist daher die einzige Curve. deren Krümmungshalbmesser eine constante Länge hat.

§ 100. Differential - Gleichungen von der Form F (-"IL , ⁽lü—= 0. ÿ    &    \dxIH ■ dx»>-0

Ist eine Gleichung zwischen = p und

dp

dx²    dx

gegeben, welche nicht nach q, sondern nur nach p auflösbar ist, hat also die Differential-Gleichung die Form

P - ?(?),

so findet man durch Differentiation nach x

(22.)

(23.)

(25.)

dx =

dy

dx

q = <p\q) •

dq

dx '

'Fm, dy=pdx =

(26.)

x - j⁽f‘(q)dq

+ Ct

fp(q)⁽r‘(q)dq ?

y

’<p(q)<p‘(q)dq

Indem man aus diesen beiden Gleichungen die Grösse q eliminirt, ergiebt sich die gesuchte Gleichung zwischen x und y.

Das angegebene Verfahren kann man auch auf die Integration von Differential-Gleichungen höherer Ordnung übertragen. Es sei

(27.)

dm~iy    dmy

u = ~.-- > v = —¹-

dxm~~v    dxm

also

du

dx~Vl

und die gegebene Differential-Gleichung habe die Form

(28.)

v —/(«), oder

du

dx

=/(“)

dann wird

(29.)

dx =

du

-h

du

Au)

+ C\.

Lässt sich diese Gleichung in Bezug auf u auf lösen, so findet man

_ dm~ly

“⁼ d^i⁼

und kann das in § 99 angegebene Verfahren anwenden.

(30.)

¥x)

Hat die gegebene Differential - Gleichung die Form u = (p(v),

so findet man durch Differentiation nach x

(31.)

dx,n—²

(32.)

dv

(33.)

= <p\v) *

_ r’<p‘(v)dv

x J -0

dx ’

oder dx —

q>‘(v)dv

+ C\.

Lässt sich diese Gleichung in Bezug auf v auf lösen, so kann man wieder das in § 99 angegebene Verfahren anwenden, nachdem man den gefundenen Werth von v in Gleichung (31.) eingesetzt hat.

§ 101.

Differential-Gleichungen von der Form

)=0.

dmy dm~²y dx"¹ ’ dxm~'¹

(Yergl. die Formel - Tabelle Nr. 232 bis 235.)

Ay),

(i.)

Hat die gegebene Differential-Gleichung die Form d²y

dx¹

so setze man wieder

(2.)

dy

dx P

also

d²y dp

dx¹ dx

und

dy __

dx,

dann geht Gleichung (1.) über in

dp

(3.)

dx

f(y), oder dp =f(y)dx = --    .

folglich wird

2pdp = 2f(y)dy,

P² = 2 ff{y)dy + Ci. Aus dieser Gleichung folgt dann

(⁶0    ^ = \ Ci + '2,ff(y)dy, oder dx =

(4.)

(5.)

dy

y Ci + 2 jf{y)dy

also

dy

Gi + 2ff{y)dy

(15.)

2 A.e a = y -f- ]/ y² + C\.

Multiplicirt man beide Seiten dieser Gleichung mit y—Vy'²-\-C\, so erhält man

(16.)

Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung d²y _ y

(8.)

dz²    dl

integriren.

Auflösung. Bringt man diese Gleichung auf die Form!

ydx ydy al

(9.)

dp =

a²p ’

so erhält man durch Integration

oder 2 a²pdp — 2ydy,

(10.)

a²p² = y² + Cr,

oder

(11.)

ady = ± yy² + Cy . dx

(12.)

dx = dr

ady

Vy,J H~ Gi

also nach Formel Nr. 35 der Tabelle

(13.)

x — dt a ln (y + ]/ y² -f- C'i ) + 6'₂. Setzt man hierbei die Intégrations-Constante C₂ — =f aln(2^4),

so geht Gleichung (13.) über in

(14.)

— — Inf

a \

y +V y¹ + c\

2A

oder

* °(y — VPT ft) = — c,,

und wenn man die Intégrations-Constante C\ gleich — 4AB setzt,

±7(y -V¥Tcl)-= iAB,

oder setzt,

y ~ A . ea + Be a.

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung

(19.)    .

d*y _ _ V_

öfe²

dm—2 y

’ dxm~²

Durch Addition der Gleichungen (15.) und (17.) ergiebt sich schliesslich

(18.)

a + B.e \

y — A.e

Dabei sind A und B zwei beliebige Constanten, welche die Intégrations - Constanten ersetzen.

Noch leichter findet man dieses Resultat durch Anwendung hyperbolischer Functionen. So folgt aus Gleichung (12.) oder (13.), wenn man z. B.

Oi — c²,    C-2 = x₀ -+- a Ine

setzt,

(13a.)

x — xQ = ± @in

also

x — x₀

C (

2 V

*)’

oder, wenn man

a=A

*0

C TT    7,

rc — e = B

integriren.

Auflösung. Bringt man diese Gleichung auf die Form

ydx

(20.) dp = ß2

VdV

a²p

oder 2 cdpdp =— 2 ydy,

so erhält man durch Integration

(21.)

a?p² = 6ri — y².

Da hierbei (7t nur positive Wertlie haben kann, möge Cx mit c² vertauscht werden. Dadurch erhält man

(22.) ap — a ~    ± ]/e² — y², oder

dy

dx

]/ c² — y²

folglich findet man durch Integration nach Formel Nr. 34 der Tabelle

(23.)

arcsin

« I'-se

oder

± c cos 62 sin

(24.) y — c sin ^62 ±    = c sin (J% cos

Setzt man noch

(25.)

± ccosC2 = A, csin 62 = B , so geht Gleichung (24.) über in

(26.)

j, = ^Sm0) + £c°s(|).

Dabei sind A und B wieder zwei beliebige Constanten, welche die Intégrations - Constanten ersetzen.

Ist allgemein die Gleichung

(27.)

v(d‘uV dm~²y\ n \dxm ’ dxm~²)

gegeben, so setze man

dm~²y_

dxm~² ’

und bringe die gegebene Differential-Gleichung durch Auflösung nach w auf die Form

(28.)

dm~ly

du

dxm~x dx

dmy dv

= v,    —— = — = w

dxm dx

(29.)

dv

du

Indem man beide Seiten dieser Gleichung mit 2v = 2 — multi-plicirt, erhält man

(30.)

dv

du

und durch Integration

v¹ = 2 ff(u)du + CD

(31.)

Dies giebt

(3*2.) v = ^ = ± "[/Cr₁ + 2\{f{u)du,

oder dx — ±

du

■j/Ci + 2ff{u)du

du

(33.)

+ Gi.

C\-\-2jf(u)du

Lässt sich diese Gleichung nach u auflösen, so dass sie die

Form

(34.)

dm~²u

" ,fir'

erhält, so kann man zur Ausführung der weiteren Integration das in § 99 angegebene Verfahren an wenden.

Lässt sich aber u nicht explicite als Function von x darstellen, so folgt aus Gleichung (32.)

(35.)

udx

₌ (d^\

\dx- V

udu

also

|/(7i + 2 Jf(u) du

(36.)

dm~³y

dxm-'A

udu

C\ -f- 2jf (u) du

F G3.

Multiplient man diese Gleichung mit dx = ±

du

|/ Ci -f 2// (u)du

und integrirt auf beiden Seiten, so erhält man

dm-dj dxm~ ⁴

(37.)

fi

du

udu

- + C3 J + 64

C\ -)-2 ff (u) du L

In dieser Weise kann man fortfahren und schliesslich auch y als Function von u darstellen.

Ci-\-2jf(u)di

§ 102.

Fälle, in denen sich die Ordnung der Differential-Gleichung erniedrigen lässt.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 236 bis 238.)

Ist n < m, und enthält die Differential-Gleichung mter Ordnung die Function y und die n — 1 ersten Ableitungen gar nicht, hat also die Differential-Gleichung die Form

■ p\= 0

dxmJ

dny dn+xy dxH ’ dxn+~l

so kann man sie auf eine Differential-Gleichung (m — n)ter Ordnung reduciren, indem man dny    dn+iy

dxn U 5 dxn+1

(10

(2.)

f(x,

dmy dm~nu

- j • • •-— -

dx dxm dxm~n

du

einfülirt. Die vorgelegte Differential - Gleichung wird dadurch auf die Form

(3.)

F^x, u,

dm-vu

du d²u dx ’ dx² ’ dxm~

gebracht.

Beispiel.

Aufgabe 1. Man soll diejenigen Curven bestimmen, bei denen der Krümmungshalbmesser im umgekehrten Verhältnisse zu der zugehörigen Abscisse steht.

Auflösung. Bezeichnet man wieder gesuchten Curven der Differential-Gleichung

dV

dx

mit p, so müssen die

(40

G +P²)²

dp

2x ’

dx

genügen. Daraus folgt, wenn man

(5.)

p — t gt, dp =

dt

cosH ’

]/l + Fl

setzt.

cos t

(6.)

zb 2xdx —

cd¹ dp

(1 + p²)V 1 + p²

a² COS t. dt

also durch Integration

(7.)

zb x² + (7i = a² sin t =

adp

oder

]/l + Pl

(8.)

du

? = I=±

Ci zb a:²

daraus folgt

}/a* — (Ci ± X²)²

^^ l' (Ci ± x²)dx

(9.)

-j- C 2 •

V ~~ jYa*—(CT±ä??

Die Curve, welche dieser Gleichung entspricht, heisst „die elastische Linie“, weil ein elastischer Stab, der an dem einen Ende befestigt und an dem anderen Ende belastet ist, diese Form annimmt.

Enthält die Differential-Gleichung mtei Ordnung die unabhängige Veränderliche x gar nicht, hat also die Differential-Gleichung die Form

(10.)

F(y,f, % ...?0 = O,

V dx dx- dxm /

so kann man die Ordnung wieder um eine Einheit herabdrücken, dv

wenn man    setzt und y als unabhängige Veränderliche

einführt. Man erhält dann

(11.)

d²y dp dp dy dp

dx¹    dx    dy dx    P dy¹

(12.)

dx³

W+’9\’

(13.)

Dadurch geht die vorgelegte Differential-Gleichung über in

dp    dm~ip\^_q

P’ dy ’

dy

Beispiele.

Aufgabe 2. Man soll diejenigen Curven bestimmen, bei denen der Krümmungshalbmesser ebenso lang ist wie die zugehörige Normale.

Auflösung. Nach D.-R., Formel Nr. 139 und 145 der Tabelle sind die Ausdrücke für die Normale und für den Krümmungshalbmesser

(14.)

ds

N = y- und <> = ±

/ds's?

\dx)

d²y

dx²

Berücksichtigt man in Gleichung (18.) zuerst das obere Zeichen, so wird

(19.)    1 -f- p² = C^y², oder p = ^ = ± Y@i y² — 1.

Da hierbei Ci nur positive Werthe haben kann, so setze

man

(20.)

Die gesuchten Curven müssen daher der Differential- Glei

chung

(15.)

/öfo\³

\dxj _ ds d²y y dx?

oder ±

/ds \² d²y

\äz) _ Vdÿ

dx²

genügen. Indem man

*='• also (l)=1+p!

(16.)

d-y dp dx² P dy

setzt, erhält man

(17.)

dp

oder

2 dy

(18.)

± (i +p*) = yp-fy>

Daraus findet man durch Integration

db [ln(y²) -f ln Ci] = ln(l + p²).

2pdp

y 1 + p²

Ci = 4>

dann geht Gleichung (19.) über in

— a²

oder ±

dx

dy

«    Yy² — a²

Dies giebt durch Integration

) = «rSof(|)

(22.)

x _ \n( a    V

wobei auf der linken Seite der Gleichung die Intégrations-Constante =F — hinzugefügt ist. Daraus folgt

(23.)

y = agof(^-^),

oder

Dies ist die Gleichung- der Kettenlinie, bei der, wie schon in D.-R., § 95, Aufgabe 4 gezeigt wurde, der Krümmungshalbmesser ebenso lang ist wie die zugehörige Normale; der Krümmungshalbmesser hat dabei aber die entgegengesetzte Richtung wie die Normale. Die willkürlichen Integrations-Constanten sind in Gleichung (25.) durch die beliebigen Grössen a und x₀ vertreten.

Berücksichtigt man in Gleichung (18.) das untere Zeichen,

so wird

t-o a

(■⁸

x—r₀

x — x₀

)•

(25.)

1 +p² =

0\y²

Hier möge wieder die Integrations-Constante Ci, da sie nur

positive Werthe haben kann, mit ^

__ dV

vertauscht werden. Da

durch erhält man

(26.)    1 + p² =

oder p

ax

¹ Va² — y²

y y

(27.)

dr dx,

ydy

Y a² — y²

(28.) dr ix —-xQ) = —Y a² — y², oder (x — x₀)² + y² = a².

Dies ist die Gleichung eines Kreises mit dem Halbmesser a, dessen Mittelpunkt in der X-Axe liegt. Der Krümmungshalbmesser ist gleich a und hat dieselbe Länge und dieselbe Richtung wie die Normale. Auch hier vertreten die beliebigen Grössen a und x₀ die beiden Intégrations- Constant en.

Die gestellte Aufgabe hat zwei verschiedene Lösungen, die man erhält, jenachdem der Krümmungshalbmesser dieselbe oder die entgegengesetzte Richtung hat wie die Normale.

Aufgabe 3. Man soll diejenigen Curven bestimmen, bei denen der Krümmungshalbmesser doppelt so lang ist wie die zugehörige Normale.

Auflösung. Mit Rücksicht auf die Gleichungen (14.) müssen die gesuchten Curven der Differential-Gleichung

(29.)

/ć&\³

\dx)

(N

ds

d²y * dx ’

,    /ds \²    d²y

oder ±U)=2y^

dz²

genügen. Indem man wieder

~ —p, also dx

(30.)

/ds \²    d²y

\di)~1+P’ Itf—V

setzt, findet man

(31.)    ±(1 + p²) = 2iyp •    ? oder ± — —

(32.)

Daraus folgt durch Integration

zt ln«/ + ln C = ln(1 + p²).

Berücksichtigt man zunächst das obere Zeichen, so wird

(33.)

(34.) ±dx

1 -f- p² = Cy, oder p = C^ = ± YCy — 1,

JVC'!,- 1

dy

also ±C(x—x₀)

G²{x — Xq)² = 4 Cy — 4,

2

oder, wenn man die Intégrations - Constante C mit — vertauscht.

VOy-l

(35.)

(x — x₀)² = 2 ay — a².

Dies ist die Gleichung einer Parabel mit dem willkürlichen Parameter a, deren Leitlinie zur X-Axe gemacht ist. Die Y - Axe liegt noch ganz beliebig, weil x₀ die zweite willkürliche Intégrations - Constante ist.

Hierbei hat der Krümmungshalbmesser die entgegengesetzte Richtung wie die Normale.

so wird

Berücksichtigt man in Gleichung (32.) das untere Zeichen,

(36.)    1 +p² =

oder p

₌ A ±1/ç-î,

dx ly

(43.)

(37.)

± dx

Da hierbei y—1>0, oder 0<^ < 1 sein muss, wenn die

Wurzelgrösse reell sein soll, so setze man

(38.)

also

(39.)

y = Csin* (|) = j (1 — cos t),

(!) ⁼ f(1 + C0S<)'

C — y = Deos²

(40.)

6'

— sinć. dt = Dsin

dt,

folglich wird

(41.)

± dx

(42.)

= Dsin²^0cfó = (l — cosć)^, x — x₀ = ± ~(t — sinQ.

Vertauscht man t mit —t, so ändert sich Gleichung (38.) gar nicht, während in Gleichung (42.) sich nur das Vorzeichen der rechten Seite umkehrt. Man erhält daher dieselbe Curve, gleichviel ob man in den Gleichungen (36.), (37.) und (42.) das obere oder das untere Vorzeichen nimmt; deshalb kann man das doppelte Vorzeichen fortlassen. Indem man schliesslich noch C mit 2a vertauscht, gehen die Gleichungen (42.) und (38.) über in x — x₀ — a(t — sin t), y = a(l — cos t).

Dies sind die Gleichungen der CyUoide, für welche schon in D.-R., § 95, Aufgabe 5 gezeigt wurde, dass der Krümmungshalbmesser die doppelte Länge und dieselbe Richtung besitzt wie die Normale.

Auch diese Aufgabe hat zwei verschiedene Lösungen, die sich ergeben, jenachdem der Krümmungshalbmesser dieselbe oder die entgegengesetzte Richtung hat wie die Normale.

Aufgabe 4. Man soll diejenigen Curven bestimmen, bei denen der Krümmungshalbmesser dem Quadrate der zugehörigen Ordinate proportional ist.

Auflösung. Mit Rücksicht auf die Gleichungen (14.) und (16.) müssen die gesuchten Curven der Differential-Gleichung

(44.)

/efc\³

\dx)

d²y

= aV²

oder ± (Y 1 + p²)³ = ay² • p

dp

dx²

dy

genügen. Dies gieht

dy_    apdp _ a d(l-\-p²)

V²~~{Vi+py

also durch Integration (46.) — - = =F — + C, oder

y J y yr+y    2/

folglich wird

(45.)

9    1.

(1 + ff

Cy + 1

]/(a² — G²)y² — 2Cy — 1

p = dI=

dx

oder, wenn man der Kürze wegen

cd — C'² = ± also C²d=A² = a²

(47.)

Cy + X

(48.)

setzt,

(49.);

zb dx

(Cy +\)dy

}/ zb A²y² — 2Cy — 1

(50.)

Gilt in Gleichung (48.) das obere Zeichen, so setze man Ady = t+C, also t — A²y — C,

dann wird

/K1 n n , 1 _ Ct+a.2 (51.) Cy+1 — —p

dy = ⁽^’VA²y²—2Cÿ—¹ = ~yt²—a²,

folglich geht Gleichung (49.) über in

(Ct -+■ cd)dt

(52.)

zb dx

A*yt² — a²

(53.)

Nun ist nach Formel Nr. 33 und 36 der Tabelle

t + y t² — al

tdt

Vf¹-«², hft

ln(

yt² — a²

deshalb findet man aus Gleichung (52.) durch Integration

yt² — a²

(54.) dz A³(x — C₂) = AC]/A²y* — 2Oy — 1

-f a²\n(A²y — C + AŸA²y²— 2Cy — 1),

wobei die Intégrations - Constante —a²ln a auf der rechten Seite der Gleichung weggelassen ist, weil sie mit der Constanten =F A³C₂ auf der linken Seite der Gleichung vereinigt werden kann.

Eine besonders einfache Form erhält die Lösung-, wenn man die Intégrations - Constante

(55.)

C = 0, also A = a

setzt, dann geht Gleichung (54.) über in

dz a(x — G₂) = ln (a²y + «Va?y² — 1

oder

(56.)

Indem man beide Seiten dieser Gleichung mit ay—j/a²y² — 1 multiplicirt, erhält man

oder

a — e±a(x~~°J . (ay —]/a²y² — 1),

(57.)

(58.)

a(ay — y a²y² — 1) = a². e^a^x~c^.

Durch Addition der Gleichungen (56.) und (57.) erhält man

2a²y = g±a(æ—ej _|_ qI _    — C'a).

Setzt man jetzt noch

so wird

aC% — ax₀ H- Ina

e±a(x—C₂) _ g±a(x— x₀) -f Ina __    _ e±a(x—x₀)

(59.)

g^Fa(x—C₂) __ g=Ffl(a;—z₀) —Ina —

8 rH ha

folglich geht Gleichung (59.) über in

2ay — e±a(x-x°) -f e=F«(*-*o).

vertauscht,

Dies giebt, wenn man a mit —

c

(61.)

x—x₀

o ( —

y=2\e

-j- e

X — Xq

')•

Das ist die Gleichung der Kettenlinie.

Wird die Intégrations-Constante G so bestimmt, dass in Gleichung (48.) das untere Zeichen gilt, ist also

al — C² — — A², oder A = ]/C² — a²,

(62.)

so setze man

(63.)

A²y — t — C, also t = A²y + 6',

dann wird

a²    dt

— , dy —

Y— A²y² — 2 Gy — 1 = Y a² — t², folglich geht Gleichung (49.) über in

Gy + 1 =

Ct~

(64.)

^4²

A² ’

(65.)

± dx

_{Gt — a²)dt

A³Ya²—t²

(66.) /-

Nun ist nach Formel Nr. (31.) und (34.) der Tabelle

f dt

Jv

tdt

— arcsin^j^

== — ]/a²— t²

deshalb findet man aus Gleichung (65.) durch Integration

Y a² — t²

y a² — t²

(67.) ±A\x—x₀)——Acy—A²y²—2Gy—l— a²arcsin^'

Aufgabe 5. Man soll die Differential-Gleichung

(68.)

integriren.

Auflösung. Setzt man wieder

d£=P’ also

so erhält man aus Gleichung (68.) (70.)

(69.)

=f{y)-p²

dx²    dx ¹

oder

dp

j =f(y)dy•

(71.)

(72.)

(73.)

also

(74.)

Daraus folgt durch Integration

lnp =/f{y)dy + ln C\

—ff(y)dy j e • dy,

ff{y)äy

C^dx —

=/

-fj\y)'ly

Ist die vorgelegte Differential - Gleichung in Bezug auf die

Grössen

(75.)

dy

d*y

dmy

dxm

. . . y(m)

y’y‘ = ±’ y“ homogen von der nten Ordnung, hat sie also die Form

dx²

(76.) F(x, y, y\ y",. y<»>) = V*f{xĄ, yj, C-}y)= 0,

so führe man eine neue Function u durch die Gleichung

(77.)

y‘ = ?/w, oder ln y = udx,

J'udx

ein, dann wird

(78.)

(79.)

<'-K£+-)⁺»(S+**£)

, ^ du + 3 w-r-

dx²

dx

Setzt man diese Werthe in Gleichung (76.) ein, so erhält man eine Differential-Gleichung von der Form

rJ du GV’ ’ dx'"'

(80.)

dm~lu

dxm~l die nur noch von der (m — l)ten Ordnung ist.

Beispiel.

Aufgabe 6. Man soll die Differential-Gleichung

(81.)

d*y , i ty_y_ ₌ r₎

dx²    x dx    x l integriren.

Auflösung. Mit Rücksicht auf die Gleichungen (77.) und (78.) kann man die vorgelegte Differential-Gleichung auf die Form

K£⁺-)⁺ç-s-«

oder

(82.)

{x²u² + xu — 1 )dx + x²du — 0 bringen. Diese Differential-Gleichung ist nur noch von der ersten Ordnung und enthält u nur in der Verbindung xu; deshalb setze man

(83.)

xu = z

oder u —

du

xdz — zdx

Dadurch geht Gleichung (82.) über in

(z² -f- z — 1 )dx -j- xdz — zdx = 0

oder

(84.)

r    \ -j    ,    dx dz

(z² — 1 )dx + xdz = 0,    —    ^2

folglich erhält man durch Integration

(85.)

ln(z²) + lnQJ^|) = lntf,

(86.) x\z — 1) = C(z -)- 1), oder x²(xu — 1) = C(xu -Ą- 1). Dies giebt

(87.)

__y‘_ dy _ x² + C

~ y~ ydx~

x(x² — C)

Hieraus findet man durch Partialbruchzerlegung

Cc—y c x -j- y c

(88.)

-\dx

xj und durch Integration

(89.)

(90.)

ln y — ln(«² — C) — ln« + ln Ci «² —(7

Setzt man hierbei noch

(91.)

C\ = A, — CC\ = B, so geht Gleichung (90.) über in

(92.)

y = Ax + Bx~l.

XVII. Abschnitt.

Lineare Differential-Gleichungen mter Ordnung.

(b)

§ 103.

Allgemeine Bemerkungen.

Eine Differential-Gleichung von der Form

dnSy dxm~~‘²

dmy

dxm

+ /iO)

dm~~ly

dxm~¹

+ f*(x)

dy

in welcher fi{x), j\{x), ... fm(x) und <p(x) gegebene Functionen von x sind, heisst „ewe lineare Differential-Gleichung mter Ord-nung“. Dabei soll es auch zulässig sein, dass sich die Functionen fi(x), fi(x), ...fjx) auf Constante reduciren, die dann mit/i, /₂, ...fm bezeichnet werden mögen. In diesem Falle erhält Gleichung (1.) die Form dm~l dzm~l

(2.)

dmy

dxm

+ /l

y,f dm~*y

¹ ~rj2dxm~²

dy

Wird die Function <p{x) identisch gleich Null, hat also die lineare Differential-Gleichung die Form

dm~ly dxm~r

(3.)

dmy dzm

fx(x)

dy

+ /*-iO) +fm(x) • y = 0,

so heisst sie „homogen“. Es wird später gezeigt werden, dass die Integration der nicht homogenen Differential - Gleichung (1.) immer zurückgeführt werden kann auf die Integration der homogenen linearen Differential-Gleichung (3.), welche aus Gleichung

Kiepert, Integral-Rechnung.

37

(1.) hervorgeht, indem man das Glied q>(x) auf der rechten Seite der Gleichung gleich Null setzt.

Es sollen deshalb zunächst die homogenen linearen Dilferen-tial-Gleicliungen mteT Ordnung behandelt werden.

§ 104.

Homogene lineare Differential-Gleichungen mUl Ordnung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 239 bis 241.)

Satz 1. Hat die gegebene homogene lineare Differential-Gleichung

dmy

dxm

dm~xy dx'"—

n particuläre Integrale yi} y₂, ..-yn, so ist auch V — Giyi -j- C₂y₂ -j- ‘ ■ ~h Cnyn ein Integral dieser Gleichung, welche Wierthe die Cunstanten C\ Cg,... Cn auch annehme7i mögen.

Beweis. Aus Gleichung (2.) folgt

(1.)

(2.)

(3.)

+ .A(X)

dy

I +----Vfm~l(x) “ + fm(x) ■ y = 0

dy

dx

<py __ r

dx2    1

dmy _

dxm

dyi

dx

dff

dx²

+ Ca

+ Cr2

dy*

dx

d-y-2

dx²

-f- • • • -f- Cn

dyn

dx

<Py».

dx²

,, <f*yi , r

dmy2

dxm

dmy,

dxm

Addirt man die Gleichungen (2.) und (3.), nachdem man sie bezw. mit fm(x), fm-iff), ..fi(x) und 1 multiplicirt hat, so erhält man

dm~xy

(4.) g+/.(*)

r km dp-

ff«”*-¹

= Ct

rffmy

dxm

dy

+ **• +fm—l(x)

+ Ca

dmy₂

ffxff

~dmyn

ff«’“

+./iCr)

dm~ly

■f" Mff • y

dx kf<kx) • yij

dx

+fm(x) . y„J = 0,

dy₂

dyn

denn nach Voraussetzung werden die Ausdrücke in den eckigen Klammern einzeln gleich Null.

Satz 2. Kennt ,man m particuläre Integrale yx, y2 und kann man in

(5.)

y — Oiyi -f- C₂y₂ + • • • + Cmy,n

die Constanten C\, 62,... Cm so bestimmen, dass

v V‘ = di, «“ = *y.

J’ J dx ' dx‘

,...y

<«-*) =

d'n~ly

dxm~l

für x = x₀ die beliebig vor geschriebenen Anfangswerthe y₀, yd, yd', ...ydm~l) annehmen, so ist y das allgemeine Integral der vor gelegten Differential- Gleichung.

Dass y ein Integral der vorgelegten Differential-Gleichung ist, folgt schon aus Satz 1, und da man die Anfangswerthe y₀, yd, yd‘, ■■•ydm~i\ welche dem Werthe x — x₀ entsprechen, nach Voraussetzung noch beliebig annehmen kann, so ist y auch das allgemeine Integral.

Es ist nur noch zu erklären, weshalb diese Voraussetzung hinzugefügt werden muss, obwohl in Gleichung (5.) scheinbar bereits m willkürliche Constanten Cx, 62,... Cm enthalten sind. Die Grössen yu y^,... ym sind möglicher Weise nicht von einander unabhängig, es kann z. B. zwischen yx, y-₂ und y₃ die lineare Gleichung

(7.)

iy₃ = kyx 4- ly 2

bestehen. Dann ist aber Gleichung (5.), nämlich

(8.) y = (C1 -f- kCd)yx + (62 -j- I0d)y2 + 64^4 +    -f- Cmym,

kein allgemeines Integral, da in diesem Ausdrucke nur m — 1 willkürliche Constanten C\ + k(f = Cd, C\ + IC₃ = Cd, C\,... Cm enthalten sind. Umgekehrt kann man auch zeigen, dass die Grössen yx, y₂, ...ym durch eine lineare Gleichung verbunden sind, wenn jene Voraussetzung nicht erfüllt ist; der Beweis dieser Behauptung möge hier aber übergangen werden.

Nach Formel Nr. 238 der Tabelle kann man die Ordnung einer Differential-Gleichung, welche in Bezug auf y, y‘, y“,... i/'n) homogen ist, um eine Einheit erniedrigen, indem man

37*

setzt. Dies giebt

Satz 3. Zh’e Ordnung einer homogenen linearen Differential-Gleichung kann stets um eine Einheit erniedrigt werden.

+----ł-/OT_tO)u +/„,(>)] = 0.

(10.)

m—J

Durch die angegebene Substitution erhält also Gleichung (1.) die Form dm~iu

dxm~l

Diese Gleichung ist im Allgemeinen nicht mehr homogen und im Allgemeinen auch nicht mehr linear, aber sie kann doch zu particulären Integralen führen. Hat z. B. die Gleichung

(11.) F{u) = um-\-fl{x)um-i +/₂(æ)ww-2 +----]rfm-i(x)u+fm(x) = 0

(12.)

(9.)

— U,

y" du

y“‘

— + u², dx    y

d²u

du

dx²

h 3m — + uz,...

Wurzeln rt, r.₂,...rn, die von x unabhängig sind, so werden u = Tl, u = r₂,...u — rn particuläre Integrale der Gleichung (10.) sein, weil

(13.)

drr

dr₂

drn

dx

dx

fudx

eJ

sind dann

ist. Die zugehörigen Werthe von y =

y\ = eriX, y₂ — er*x,... yn = ernx.

Dieser Fall tritt namentlich dann ein, wenn die Grössen fi(cc) — /i ,/₂(F) — /₂,.. -fm{x) = fm sämmtlich von x unabhängig sind. Die Gleichung

(15.) F(u) = W*    +/2Um~² + - • • -f fm^U +fm = o

hat dann lauter constante Wurzeln r1} r₂,... rm. Sind diese Wurzeln zunächst sämmtlich von einander verschieden, so findet man aus den m particulären Integralen

y y — er'x, y₂ — er*x, ...ym = ermx

der vorgelegten Differential-Gleichung (1.) ohne Weiteres das allgemeine Integral

(14.)

(16.)

(17.)

y — c\. er^ + a . er* +----h cm. eV.

Der gefundene Ausdruck ist in der That das allgemeine Integral, denn man kann beweisen, dass durch passende Wahl

der Constanten Ci, C₂,...Cm die m Grössen y, y\ y‘J, ...2/(m-1) für x — x₀ beliebig vorgescbriebene Anfangswerthe y₀, yo‘, yo\ annehmen. Aus Gleichung (17.) folgen nämlich die Gleichungen

=    Ci .    er'x    ff-    C'₂    . er/x    H-----j-    Cm . er**,

y —    (J\Ti .    erix    -ff    C₂r₂    . er*x    -ff    • • •    ff-    Cmrm . e V,

(18.)

y“ =    Cff-ff .    er^x    -ff    C₂r₂-    . er-x    -ff    • ■ •    -ff    Omrm².

_ Cffy«—i. e^-ff C₂r₂m welche zunächst für x = 0 in 2/o = Ci 2/o¹ = Cirt 2/o" = Cirt²

. er*x+ • •• ff- C7wr**

. 6rmx^

(19.)

-ff C'a

-ff C₂r a    -ff • • • -ff. C'mrm,

ff- Ci'/'a² -ff • • • ff- CmTm ;

-ff • • • -ff C'

y₀(®-i) = Cir₁"i_'¹ ff- Cira’"“¹ -ff • • • -ff Crmrm übergehen sollen. Bildet man die Function

= (r — r₂) [r — r₃)... (r — r«) = iff(r),

(20.)

Ffr)

r — rx

so hat ifi(r) die Form (20 a.)

-ff k\Vm~~² ff-----ff Æm_₂r -ff .

Multiplicirt man nun die Gleichungen (19.) bezw. mit km-i, km-2,.. • Æi, 1, so erhält man durch Addition (21.) ^m-iyoff-hm—żyd-\-km—syo“ + ’* ' ff⁻^ ff"2/o(m~    Ci-Fi(ri),

denn die Glieder

Fi (r) = 7

.m—1

Ci-fifa), C,F,(r,),... CmFi(rm) werden sämmtlich gleich Null. Dabei ist bekanntlich

(22.)

= F‘(rx).

Fi(r,) == lim F-^r) ~F-^-

r=r₁ r

Aus Gleichung (21.) findet man dann

fi _km—\Vo -ff km—₂yoi‘ -ff /£m_3?/cff -ff • • • -ff    -ff y^m~^

1_    F\rx)

In ähnlicher Weise findet man auch die Werthe Ca, C'₃, Vertauscht man x mit x — x₀, so kann man in gleicher

Weise die Constanten Ct, C₂,... Cm so bestimmen, dass dem Werthe x = x₀ beliebige Anfangswerthe der m Grössen y, y\ y“, ...y(w,-¹⁾ zugeordnet sind. Deshalb ist Gleichung (17.) das allgemeine Integral der vorgelegten Differential - Gleichung.

(23.)

Beispiel.

Aufgabe 1. Man soll die Differential - Gleichung d²y y

dx¹ cd

integriren.

Auflösung. Hier ist

(24.) F(u) = u2 folglich wird in Uebereinstimmung mit Aufgabe 1 in § 101

= 0, also

r-l 1 3

(25.)

y=Clea+C₂e \

Hat die Gleichung F(u) = 0 auch complexe Wurzeln, so bleibt die gegebene Lösung noch richtig, sie nimmt aber eine complexe Form an. Dem Endresultate kann man jedoch leicht wieder eine reelle Form geben, wenn man beachtet, dass die complexen Wurzeln paarweise conjugirt auftreten. Ist z. B.

Ti —a + bi, r-2 — a — bi,

(26.)

so wird

Ci. er'x + C₂ . er*x = Ci . eax+bix -f C₂. e

— eax [(CH- C₂) cos(6F)-H’(Ci — C₂) sin(&r)],

ax—bix

oder, wenn man

(27.)

C\ + C₂ — A, i(C\ — C₂) = B

setzt,

(28.)

C\ . erix + C₂. er*x — eax[Acos(bx) -f- B sin(te)].

Beispiele.

(29.)

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung

&y _ _

dx²    a²

integriren.

Auflösung. Hier ist

(30.) F(u) — u¹ -j—-g = 0, also = folglich wird in Uebereinstimmung mit Aufgabe 2 in § 101

( Ci + C₂) cos0^ + i(C\ — C%) sin

xi

(31.) y — C\. e -j- C₂. e

«I*

= A cos

(32.)

Aufgabe 3. Man soll die Differential - Gleichung

7 cll

d*y

dxa

dz + ey = 0

integriren.

Auflösung. Hier ist

(33.) F(u) — w³ — lu + 6 = 0, also rt = 1, r₂ = 2, r₃ = — 3, folglich wird

(34.)

y = 6'i . e* + C₂. e2x + C₃. e_3x.

(35.)

Aufgabe 4. Man soll die Differential - Gleichung

(Py    d²y

dxa    dx²

+ 18*-¹⁰, = 0

integriren.

Auflösung. Hier ist

F(u) = ua — 6m² + 13 u-— 10 = 0

(36.)

also

rt = 2

r₂ = 2 + i, r₃ = 2 — i,

folglich wird

(37.)

y = Ce2x + C₂. e2x+ix + C₃ . e2x~ix = e2x(C\ + Acosx -ff Hsin.r).

Bisher war vorausgesetzt worden, dass die Wurzeln rt, r₂, ... rm der Gleichung F{u) = o alle von einander verschieden sind. Hat aber F(u) — 0 auch gleiche Wurzeln, so erhält man durch Gleichung (17.) nicht mehr dass allgemeine Integral. Ist z. B. rt = r₂, so kann man in Gleichung (17.) die Glieder

Cl . er^x + C₂. er*x in ( C\ + C₂). er*

zusammenfassen, so dass der Ausdruck für y nur noch m — 1 Intégrations-Constanten enthält.

Aber auch hier kann man das allgemeine Integral durch eine Grenzbetrachtung aus der bisher angegebenen Form finden. Es sei zunächst

(38.)

= ri + h

also

(39.) y = Ci. er* + C₂. erix+hx + C₃ . er*x +----b Cmermx

= (Ci + C₂ . ehx)eriX + C₃ . er*x + ••• + Cm. eV. Nun ist aber

hr    AV²

(40.) C + C₂. e»* = Ci + Ci + Cijy + Ci--^-Setzt man in dieser Gleichung

(41.)

Ci -f Ci = C, C₂h = C\

so sind auch C und C‘ noch zwei beliebige Constanten ; Gleichung (40.) erhält dadurch die Form

(42.)

Ci + Ci .ehx=C + C‘x + C

t hx¹

h²xz

2!

3!

Lässt man jetzt h sich der Grenze Null nähern, so erhält

man

(43.)

limr₂ = Ti\ lim(CTi + C₂. ehx) = C + C‘x

h=0

folglich geht Gleichung (39.) in diesem Falle über in

y = (C + C‘x) . erix + C₃ .er*x -\-----f- Cm . ermx.

In dieser Formel treten wieder m willkürliche Integrations-Constanten auf, wenn rt, r₃,... rm sämmtlich von einander verschieden sind.

(44.)

h=0

Setzt man jetzt in Gleichung (44.)

(45.)

ra — Ti + h,

also so wird

lix

(47.) C 4 C‘x + Cs. ehx — C + C‘x + G% ff- 63 jy -j- 63    ,

h²x²

+ ••

oder, wenn man

(48.)

C -j- C3 — A.{, C‘ -f- C₃h — A₂, Csh² — 2A₃

setzt

(49.) C -|- C'x 63.    = Ai -j- A₂x -f- A3X² -)- 2A3    ^

wobei Ai, A₂, A₃ wieder drei willkürliche Constanten sind. Lässt man jetzt h sich der Grenze Null nähern, so erhält man

(50.) limr₃ = rt, lim(C' + C‘x + C₃. ehx) =Ai+ A₂x + A₃x²,

hx³

4 ••

h=0

folglich geht Gleichung (46.) in diesem Falle, wo rt = r₂ = r3 ist, über in

(51.) y = (Ai + A₂x + A₃x²). eTi* + C'₄ . er*x +----Cm . «

Dieser Ausdruck enthält wieder m willkürliche Constanten, wenn    ... rm von einander verschieden sind.

In gleicher Weise kann man alle Fälle erledigen, in denen F(u) = 0 mehrfache Wurzeln hat.

Dieselben Resultate findet man auch auf emem anderen Wege. Nach D.-R., Formel Nr. 84 der Tabelle ist

dn(uv) dnv /n\du dn~lv    /n\d²u dn~²v

dxn U dxn \1 ) dx dxn~l \2/

(52.)

dx² dxn~

/rCsjin-iu dv dnu \1 ) dxn~l dx dxn

Führt man also in die Gleichung

dm~hy dx™—¹

für y das Product uv ein, so erhält man

dmy

dxm

4-/1

dm~²y

dx™-²

v.

+ • • • +fm-l ^4 fm . y — 0

(53.) (

dmv

dxm

+ /l

dm~lv

dx™—¹

+ /2

dm~ ²v

da

1 r dm~lv , .    . _

⁺ühs^+f”-¹^

+ -j fm(m—1)

dx™~²

d>n—%v

dx™~²

+0—2)/a

dx

dm~³v

dx™-³

+/.». »)«

dx

dm~²v

dx™-²

dm—3,y    -i

S^5⁺"' + 2-l/”-ä-cj

d²u

dx²

+ m(m — 1) (m

oder

<⁵⁴-) Vu + Tïv>d£+hv>

wobei

2)... 3.2.1. ü

ml

Vm

d™u

dx™

d™v

dx™

+ /i

dm~lv

dx™-¹

+ /a

Fi = m

dm~~lv

dx™~¹

+ (m—l )/i

d™~²v

dx™²

dm~²v

dxm~²

(55.)

Fj =    —l)

d™—²o

+ (m — 1) (m — 2)/i

+ • • • F fm • ^,

+ •••

~f“ f m—1 • P, 8 + *•*

+ 2 . l/m_₂ . V

d™-³v

dx™-

Von den beiden Functionen u und o kann man die eine, 7. B. v, noch willkürlich bestimmen. Setzt man daher

d²v dx²

(56.) v = erx, also

dv

dx~T

so gehen die Gleichungen (55.) über in

= r². erx,..

V==e™(r™-f/>*»-!+/₂r’"-²+----f/m_jr -f fm)—. F(r),

Vt = erx[mr™-l-\-(m—l)firm~²-\-{m—2)frm~³-\-----{fm—t]

= erx . F‘(r), :

Vî = erx[m(m—l)r™—'²+(m—l)(m—2)flrm~³-\-----F 2.1/*m ₂J

- <r*. F“(r),

Deshalb erhält Gleichung¹ (54.), wenn man den allen Gliedern gemeinsamen Factor erx fortlässt, die Form F‘(r) du ^ F"(r) d^u 2!    dx²

(58.) F{r) • u +

1 ! dx

F("l—l)(r) dm~lu (m — 1) ! dxm~l

dmu

⁺ s^ = 0-

Jetzt sei rx eine einfache Wurzel von F(r) = 0, dann wird Gleichung (58.) befriedigt, wenn man

(59.)

r = ri, u = C\, also y = C\. eriX setzt. Ist dagegen rx eine «-fache Wurzel von F{r) = 0, so wird

F(rx) = 0, F\n) = o, F“in) = 0,... F^-%n) = o, so dass Gleichung (58.) befriedigt wird, wenn man

(60.)

u= C\ + C₂x + C₃x² -ł- • • • 4- Oaxa-\

also

(61.)

y — (Ci + 6'₂a: + G₃a:² -\-----1- Caxu~v). er**

setzt. Auf diese Weise kann man immer einen Ausdruck finden, der m willkürliche Constanten enthält und deshalb das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung ist.

(62.)

Beispiel.

Aufgabe 5. Man soll die Differential - Gleichung

d*y    , d%y

— --4 —— 4- 10

dx*    dx³ ^

dy

dx²

¹²È + ^ = °

integriren.

Auflösung. Hier ist

(63.) F(r) = r⁴—4r³-f-10r²—12r-f-5=(r²—2r+ l)(r²—2/'-f5)= 0,

also

(64.)

n = /-₂ = 1, r₃ = 1 + 2i, r₄ = 1 — 2*,

folglich wird

y = (Ci + G₂a:)ex -f ex[Mcos(2a:) + 2? sin (2a:)] = e*[Ck + C₂x + A cos (2x) + B sin (2a:)].

mögen die Coefficienten fx, /₂,.. .fm zunächst constante Grössen sein, dann setze man

(2.) z= Ci. eri(*-Q + C₂ . «*>(*-*) -|-----j- Cm. erm(*-Q,

wobei ri, r₂,... rm wieder die m Wurzeln der Gleichung

(3.) jF(r) = rOT +/irw_1 + /₂rw-² 4-----f/OT_tr +/OT = 0

sind. Durch Gleichung (2.) ist z als eine Function der beiden Veränderlichen x und t erklärt, wobei t vorläufig als eine Constante betrachtet werden möge. Unter der Voraussetzung, dass

.. rm sämmtlich von einander verschieden sind, kann

ri,

man nach den Ausführungen in § 104 die Constanten Ci, C₂, ...G'm so bestimmen, dass die Grössen z, z‘, z“,... z(m-0 für x — t beliebig vorgeschriebene Anfangswerthe z₀, zf zQu, ...2o(,“⁻¹⁾ annehmen. Für den vorliegenden Zweck setze man (4.) z₀ = 0, z₀‘ = 0, z₀" = 0, ...zfn~V = 0, z₀(m_I) = <p(f), d. h. es mögen die Constanten Ci, C₂,... Cm so bestimmt werden, dass

Ci

(10

§ 105.

Nicht homogene lineare Differential-Gleichungen mUv Ordnung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 242.)

In der Differential - Gleichung dmy f dm~hf dm-²y dxm + '¹ dxm~l + '² dxm-'²

dy

+ ••• +/«.-! ~fx Ff mV = 9>(»)

+ c₂

(5.)

C\rl C\T i"

+ C₂r2 4- C₂r₂²

-j- . • • -f~ Cmrm

+ • ' • + Cm't'rn¹

— o,

Cirr~² + 6^2to~² H-----1- cmrmm~² =

ftn"¹-¹ + CW-¹ + ••• + Cmrmm-¹ =

wird. Wie in § 104, Gleichung (21.) und (22.) gezeigt wurde, findet man aus diesen Gleichungen

<p(t)

F\r,y •

(6.) Ci

_ <p(t)

-Cm =

<K0

F\rm)

§ 105. Nicht homogene lineare Diff.-Grleichungen mter Ordnung. 589 Die Function

(${t). eri(x—0 ! <p{t) • er-^x~^

z = “ F\n) ⁺    F‘(n)

hat also die Eigenschaft, dass sie mit ihren m — 2 ersten Ableitungen für x = t verschwindet, während die (m — l)te Ableitung gleich rp(t) wird.

Jetzt mögen mit

(7.)

F\rm)

diejenigen Werthe bezeichnet werden, welche 2, z‘, «",... «(m> für t = x annehmen. Dabei ergiebt sich aus den Gleichungen (5.), dass

(8.) [z)t=x = 0,    {z⁴)t=x = 0,    (z“)t=x — 0, ... (z(m-²>)<=;c

wird, während

(9.)

ist. Setzt man also

(10.)

Y — fzdt,

so findet man nach Formel Nr. 179 der Tabelle [dz '    __ [dz

dx jdxdi + { }t^x ~J <

0    0

(IX.)

dY

(12.)

d² Y

dx²

X

_ fd*z

J dx ²

0

dt -f (z‘)t=x

-A

o

d²z

dx¹

dt,

(13.)

dsY

dx³

a³*

a^³

dt + (z")i_i

d³z dx³

dt,

(14.)

■A

0

a**-¹«

dxm~l

a»¹-¹*

dxm~l

a/,

(15.)

dmY

dxm

-A

0

dmz

dxm

dt + (z(m~%=x

-A

0

awz

dxm

dt + </)(#) -

Indem man diese Werthe von Y,

Gleichung¹ (1.) für y, sich <p(x) weghebt,

(16.)/(

0

dmz

dxm

+ /i

dm~lz

dxm 1

Diese Gleichung- wird aber in der That befriedigt, denn nach Formel Nr. 239 der Tabelle ist 0 ein particuläres Integral der homogenen linearen Differential-Gleichung

dmz dxm

folglich ist Y ein particuläres Integral der Differential - Gleichung (1.). Aus dem particulären Integral findet man sofort das allgemeine, indem man

(17.)

+/.

dm~lz

dxm 1

dz

+ /m .2 = 0

(18.)

in die Gleichung (1.) einsetzt; dann wird nämlich

dm~lv

(19.)

dmv dxm '

dxm~~

dv

also

(20.)

v = Ci . eriz -f- c₂.er*x -----V cm. eV

und nach den Gleichungen (7.) und (10.)

(21.) V

X

-ifi

0

'rp(t). e^-^dt

F\r t)

X

iß

0

'(p{t). er^x~^dt

F‘(r₂)

\p(t) . er»Y~t)dt

F\rm)

+ Cm . ermx ,

oder, wenn man (22.) cx.F'(r 0=Gl5 setzt,

c₂ . F'(r₂) = Ga, ... cm . F'(rm) =

(23.) y =

er'x

F‘{n) L

C\ 4-

o

er&

eV

F\rm)

X

[G„, +J'tyif) • e~rm*di\ , 0

F\n)

^62 + jq(t)

. e~r*dt

Dasselbe Resultat kann man auch durch die Methode des integrirenden Factors oder durch Variation der Constanten

finden.

Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung

(24.)

d^y

dxL

I = ?(*)

integriren.

Auflösung. Hier ist

[ F(r) = r* —1 , r, = \ F‘(r) = folglich wird nach Gleichung (23.)

(25.)

2r,

F\ri) =

^-11 «

5 r₂ = —

!>

to a

(26.) y = |e-Ist z. B.

■ (27.)

so wird

0'

a dt=jdt = x,

0    0

. eadt

-A‘

Ut

. 2x

•*<* =

so dass Gleichung (26.) übergeht in

(29-) y = ö

(30.)

tO| S

Aufgabe 2. Man soll die Differential - Gleichung1 9 ^ + 20 y = 4000 a:²

dhj

dxL

integriren.

Auflösung. Hier ist

(31.)

J F{f) — r²—9r+20 = 0, F\r) = 2r— 9, <p(a;) — 4000 a:², l ri = 5, r₂ = 4,    -F'(rt) = 1,    F\r₂) — — 1,

folglich wird nach Gleichung (23.)

X    X

(32.) y = e5x[Ci + 4000fee 5t. dtJ — eix\C₂ + 4000i/fie iłdt\.

o    o

Nun findet man durch partielle Integration

(33.)

ffieatdt — eat ^

tz²

fi

'M hs

so dass Gleichung (32.) übergeht in

(34.) y = e5œ £ci + 4000 e~⁵^-

«fi Io

² )

125/

80001

125

e⁴* \C₂ + 4000 tr⁴^

t—

« i 50

1)

64/

80001

64

= (Ci fi- 64)e5a: — 32 (25 a:² fi- 10 z fi- 2)

— (C'₂ fi- 125>⁴* + 125 (8 a:² fi- 4x fi- 1), oder, wenn man Ci fi- 64 mit A, C₂ fi- 125 mit —B bezeichnet, y — Ae5x fi- BeiT fi- 200a:² + 180a: fi- 61.

§ 106.

Zurlickführung der linearen Differential-Gleichungen mter Ordnung auf solche Gleichungen niedrigerer Ordnung, wenn particuläre Integrale bekannt sind.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 243 und 244.)

Die im vorhergehenden Paragraphen angegebene Lösung gilt nur, wenn die Coefficienten,/i, f2,..constante Grössen sind. Ist diese Voraussetzung nicht erfüllt, so gelingt es doch in vielen Fällen, die Differential-Gleichung

dm~{y

a.)

dxm~l

+----Vf mix) . y =

von der mten Ordnung auf eine niedrigere Ordnung zu reduciren. Ist z. B. y = yi ein particuläres Integral der homogenen Differential-Gleichung

(2.)

dmy

dxm

+/>(*)

dm~ly

dx"¹—¹

+ • * • + fm{x) .y — 0

so setze man

(3.)

y = C'y,

wo aber C noch eine Function von x sein muss, wenn dieser Werth von y der Gleichung (1.) genügen soll. Nun ist dy dC Tx = y'~dx + C ’ d*C dx*

(4.)

d²y

dC

dx2    2/1

dx

d²y t dx² ’

dmy

dmC

= y'dz™ ⁺

dyi dm-~l C

dmy i

dxm

dxm

Setzt man diese Werthe in Gleichung (1.) ein und beachtet, dass der Factor von C verschwindet, so bleibt eine Gleichung von der Form

dx dxm~~

(5-) yx

dmC

dxm

+ 9v{x)

dm~lC

dxm~l

dC

— V>(x).

3S

Kiepert, Integral-Rechnung.

Aus dem allgemeinen Integral u dieser Differential-Gleichung, die nur noch von der (m — l)ten Ordnung ist, findet man das allgemeine Integral der vorgelegten Differential - Gleichung (1.) durch die Gleichung

(8.)

y — yi ifudx + A).

Ebenso kann man die Ordnung der Differential - Gleichung (1.) um zwei Einheiten erniedrigen, wenn man zwei particuläre Integrale yi und y₂ der homogenen Differential - Gleichung (2.) kennt. Man setze dann

(9.)

Führt man also die Function u durch die Gleichungen

== u oder C — fadx -f A dx    u

ein, so erhält man aus Gleichung (5.)

dm~~iu yi dxm~x

(6.)

(7.)

dC

—2^

+ 9l(X)    +----i" 9m-\{X) . U = (f(x).

y = Ciyi -j- 0₂y2 und betrachte Ci und C\ als Functionen von x, welche der Bedingung

dCi dC<2

genügen. Bezeichnet man dabei —— mit    so folgt aus

y-2

den Gleichungen (9.) und (10.)

(10.)

= 0, oder

dC\

dx

yi dC\ y-2 dx

(a.)

d (J-2

da

dx

= y.W-^>

= c\

dty₂

dx

dx

(12.)

d²yi dx²

d³y _ d*yi dx3 Cl 7 •

= Ci

dhy-2

dCi

dx²

+ ■ dx

dx³

+ 0-2

&y*

d²ct

dx³

dx²

+ <Pz{x) •

dCi

dx

wobei (fi{x), <f-z{x)leicht zu ermittelnde Functionen von x

sind. Setzt man diese Werthe in Gleichung (1.) ein, so verschwinden nach Voraussetzung die Factoren von Cv und C₂, und es bleibt

/10n ^ /    N dm~²Ci ,    , „    ,    f ,

(¹³0 G^x)~^=r + G‘»(a0    + ••• +    = ?(*)•

Wenn man jetzt noch

c/C'i

(14.)

c/.r

also

</G'₂

0₂ =Jrpl(x). zdx + J₂

| C'i =fzdx + A

setzt, so geht Gleichung (13.) über in

d"'~³z dxn i—3

Aus dem allgemeinen Integral 2 dieser Gleichung, welche nur noch von der (m — 2)teu Ordnung ist, findet man nach den Gleichungen (9.) und (14.) das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung (1.) durch die Formel

y — yiifidz + A,) + i(x) . zdx + A₂).

(15.) Go(x)

dm~²z

clzm~'²

+ ••• + Gm-z(x). 2 = (f(x).

(16.)

Dieses Verfahren kann man fortsetzen und den Satz be

weisen :

Kennt man n verschiedene particuläre Integrale yi, y₂, ...yn der homogenen Differential- Gleichung clmy dz"‘

so lässt sich die nicht homogene lineare Differential-Gleichung

+ •••+/»(*). y = <f(?)

auf eine andere nicht homogene lineare Differential-Gleichung von der Ordnung m — n reduciren.

Beweis. Sind yi} y₂₎...yn die bekannten particulären Integrale von Gleichung (17.), so setze man

y — C\yi + 6₂y₂ + • • ■ + Cnyn

(17.)

(18.)

(19.)

+Mx)

dm~iy

dxm~

dmy

clx

m +.MX)

dC₂ dCz dCn

und bestimme

die n — 1 linearen Gleichungen

dx * dx

dx

als Functionen von

dC\

dx

durch

dCt

d 62

dCn

Vl^+ y‘lh⁺'"+ yn dx

(20.)

dt/i dC\ dx dx

dy₂ dC2 dx dx

dyn dCn_

dx dx

dn-²yn dCn __

dxn~² dx

(21.)

dn-²yt dC\ dn~²y₂ dC2 dxn~'¹ dx    dxn~'² dx

Durch Auflösung dieser Gleichungen erhält man

da da

dC₂

dx

dx

dC\

dx

dCn

dx

dC\

dx ’

wobei die Functionen rp,(x), (fi{x), ... </>„_,(x) leicht zu ermitteln sind. Nach diesen Festsetzungen wird

dl₌adP + c,dP + - + cnd^,

(22.)

dx

dx

dx

dx

(23.)

(Py _

dhy₂

d²yn

dz¹

dx²

(24.)

(25.)

(26.)

dn~ly _ ri dn-ryx

dx'‘-1 —

&y ₌

dxn

dn+ly _ dxn+l

Ck

Ci

dx"~l

4* a

dn~'y-2

dxu~l

dnyi

dxn

4~ 62

dny<i

dx

- -j-----1- Cn

dn-'yn

+ Cn dxn~l ’

+ *

dnyn

dxn

da

dx

Ci

dn+'y 1

-f“ 62

dn+'y.₂

dxH+l

4- Cn

dn+iy„

dxn+l

+ lp(z) •

d²C\

dx²

dC\ dx *

Setzt man diese Werthe in die Gleichung (18.) ein, so verschwinden nach Voraussetzung die Coefficienten von Ci,

Cn, so dass sich die Gleichung auf

(27.) L₀(x)

dm—n+l Cx

dxm~n+1

f Li(z)

d"l~nC\

dxm~n

reducirt. Indem man noch die Function

durch die Gleichung

(28.)

dCi

einführt, erhält man daher (29.) L₀(x)

dm~ nv

dx

dm-n-lv

dxm~n~l

+----1- Lm-n{x) . V — <p(x).

dxm~

Dabei ist nach den Gleichungen (19.), (21.) und (28.)

(30.) Gi =Jvdx + At, G₂ =    . vdx -f- A-₂,...

Cn =J(fn-l(x) . vdx 4- An,

(31.)

V — Glyi + C₂y-2 + • • • + Cnyn.

Diese Betrachtungen gelten auch dann noch, wenn n = m ist. Für n = m — 1 kann man durch das angegebene Verfahren die vorgelegte Differential-Gleichung auf eine lineare Differential-Gleichung erster Ordnung von der Form

(32.)

dv

LaU) dx + L,(x) . v = (f{x)

zurückführen, deren Integration in § 87 behandelt worden ist. (Vergl. auch Formel Nr. 209 der Tabelle.)

Aus dem vorstehenden Satze ergiebt sich auch, wie man durch Variation der Constanten die nicht homogene Differential-Gleichung mter Ordnung integriren kann, wenn das allgemeine Integral der entsprechenden homogenen Differential - Gleichung bekannt ist. Am besten wird man das anzuwendende Verfahren aus einem Beispiele ersehen.

Aufgabe 3. Man soll die Differential - Gleichung -J- c²y — 2 cos (bx)

(33.)

d²y

dz¹

integriren.

Auflösung. Die homogene Differential - Gleichung

(34.)

d²y

dx²

+ c²y = o

hat nach Aufgabe 2 in § 104, wenn man ^ mit c vertauscht, das allgemeine Integral

(35.)

y = A cos (Ar) + B sin (cx)

wobei A und B beliebige Constanten sind. Soll y auch ein Integral der nicht homogenen Differential - Gleichung (33.) sein, so müssen A und B noch Functionen von x sein; dann wird

dl _

(36.)

dx

— Acsin(cx) -f Bc cos (cx)

dA . dB . . . + cos (cx) + sm (cx).

Setzt man jetzt noch

(37.)

dA

dB

dB

dx

cos(cx) -f sin(ca:) = 0, oder

dA

dx Ctg(cz)’

so wird

(38.)

(39.)

= — Ac sin (cx) -f Bc cos (cx)

= — Ac² cos (cx) — Rc²sin(c:r)

dA

dB

— d c sin (cx) -f oder mit Rücksicht auf Gleichung (35.) und (37.) (39 a.)

d²y

dA

dx

CCOS (cx)

dx²

= — c²y — c--^ [sin (cx) + ctg(cx)cos(cx)]

dA

C dx sin (cx)

Setzt man diesen Werth von ~ in Gleichung (33.) ein, so erhält man

dA

(40.)    — c — 2 cos (bx) sin (cx)

= sin [(c -f b)x] -f sin [(c — b)x],

folglich wird, wenn man die Intégrations-Constante mit Cic bezeichnet,

(41.) Ac = —^in[(c 4 b)x\dx —ysin[(c — b)x\dx

4 C\c.

_ C0s[(c 4 b)x] ^ cos[(c — b)x] c 4 b

Ferner folgt aus Gleichung (37.)

dB

dA

dx

— c ctg(az) = 2 COS (bx) COS (cx)

= cos [(c -f b) x] 4 COS [(c — b)x], folglich wird, wenn man die Intégrations - Constante mit C-ic bezeichnet,

(43.)

Bc = sin [(c 4 b)x] sin [(c — b)x] ^ c 4 b    c — b

Setzt man die für A und B gefundenen Werthe in Gleichung (35.) ein, so erhält man

_ cos [(c 4 b)x\ cos (ex) 4 sin[(c -4- b)x) sin (cx)

y~    : V)

cos [(c — h)x\ cos (cx) 4 sin [(c — b) x] sin (cx) c(c — b)

oder

4 C\ cos (cx) 4 6'₂ sin (cx)

(44.)

y —    + Gi cos (cx) 4 62 sin (cx).

Einfacher ergiebt sich dieses Resultat durch Anwendung von Formel Nr. 242 der Tabelle.

§ 107.

Ein weiterer Fall, in dem sieh die lineare Differential-Gleichung mter Ordnung integriren lässt.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 245 bis 247.)

Es sei die homogene lineare Differential-Gleichung mter

Ordnung

(1.) (ax 4 b)

dmy

dxm

4 (ax 4 b)m~fi

dm~ly

dxm~x

4 (ax 4 b)m-%

dm"²y dxm~²

H-----h (ax 4 b)fm

-t

dy

dx

+fmy — 0

gegeben, wobei die Coefficienten fi, /₂,.. .fm wieder Constante sein mögen; dann setze man

(2.)

y = (ax + b)r,

also

(3.)

d£=ar{ax + b)

= a²r(r — 1) (ax -f- b)

d*y

dx²

dmy

dxm

r—1

r-2

— amr(r—1 )(r— 2)... (r— m + l)(a^ -f- è)

r—m

in die Gleichung (1.) ein. Dadurch erhält man nach Weglassung des allen Gliedern gemeinsamen Factors (ax + b)r die Gleichung

(4.) amr(r— l)(r—2)...(r—m Ą-1)

-f am~lr(r—l)(r — 2).. .(r—m + 2)fi + • • • + ab' (r —1) fm—2 + arfm-i +/w = 0.

Dies ist eine Gleichung mten Grades für r, welche man „die charakteristische Gleichung“ nennt. Hat sie die Wurzeln rlf r₂, ...rm, so erhält man die m particulären Integrale (5.) yi = (ax -f b)r\ y.₂ = (ax + b)r>, ...ym — (ax + b)rm.

Das allgemeine Integral der Differential-Gleichung (1.) wird daher

(6.) y = Ci(ax + b)ri -f C₂(ax + b)r* -f ■ • ■ + Cm(ax + b)rm, wobei Ci, C₂,...Cm noch beliebige Constanten sind.

Beispiel.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung

(?•)

d* + iy=°

*p!t + a*p U*

ax*    dxL integriren.

(8.)

Auflösung. Die charakteristische Gleichung ist hier r(r — l)(r — 2) + 2r(r— 1) — 4r -f- 4 = 0,

oder

(r — 1 )(r — 2)(r -ff 2) = 0;

(8 a.)

ihre Wurzeln sind also

(9.)

r i = l, r₂ = 2, r₃ = — 2, folglich hat die Differential-Gleichung die particulären Integrale

(10.)

yi =    y* — x¹

und das allgemeine Integral

(11.)

C₃

y = C\X -ff C₂x² H--- •

Sind zwei Wurzeln der charakteristischen Gleichung con-jugirt complexe Grössen, ist z. B.

(12.)

ßi

rt = a -|- ßi, r-i = a

so wird

Ciyi -ff C-iy-2 = Ci(ax -ff    -ff C₂{ax -ff b)a t**

= (aa: -ff è)“[(7₁e/Î4'ln(aa:+i) -ff C»e-?a“(B*+J)J, oder, wenn man ln(aa; -ff 5) mit i bezeichnet,

(13.) C\y\ -ff C₂y₂ — (ax -ff b)a[(C\ -ff 62) cos^ßt') -ff (Ci 62)2.'sin(/^^)] = (a# -ff b)a [A cos {ßt) -ff B sin (ßt)].

Dabei sind A = -ff C₂ und B — (Ci — Ci)t zwei willkürliche Intégrations - Constanten.

Beispiel.

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung

2

(14.) {x -ff 1)

sdsy

dx³

— (* + !)

dx¹

+ Q(x -ff 1)

dy

dX-l°y = °

integriren.

(15.)

Auflösung. Die charakteristische Gleichung ist hier r(r — l)(r — 2) — r(r— 1) + 6r — 10 = 0,

(r — 2)(r² — 2r + 5) = 0;

oder (15 a.)

ihre Wurzeln sind also

(16.)

r₂ = 1 -ff 2i, r₃ = 1 — 2i, folglich hat die Differential-Gleichung das allgemeine Integral

y = Gi(z + l)² + C₂(x + 1 )‘+2t'+ Cs(z + 1)

(17.)

1—2»

= Gi(z + l)² + (z+ 1) [C₂(x + l)2i -{- G₃(z + l)^²'] = Ci(x + l)² +(* + !) [C₂e2il^+l) + Cae-^G+D],

oder

(17 a.) y = C\{x + l)² + (x + l)[^tcos(2*) + ^ sin (2/)] wobei

(18.) t =■ ln(x 4~ 1), A — G₂ -j- C3, B = (C₂ — Ca)i ist.

r₂

Bisher war vorausgesetzt worden, dass die Wurzeln rlr .. rm der charakteristischen Gleichung sämmtlich von einander verschieden sind. Hat die charakteristische Gleichung aber auch gleiche Wurzeln, so führt ein ähnliches Grenzverfahren wie in § 104 zum Ziele. Ist z. B. r₂ gleich r1? so kann man in Gleichung (6.) die Glieder

Gi(ax + b)ri + C₂(ax 4- b)r* in (Ci 4- G₂)(ax + b)⁷'1 zusammenfassen. Setzt man aber zunächst

(19.)

r₂ — 7\ 4- h,

so wird

(20.) Gi(ax 4- b fi 4- G₂(ax 4-    = (az 4- b)r1 [Ci 4" G₂(ax -j- b)hj.

Bezeichnet man der Kürze wegen wieder ln (az + b) mit t,

so wird

(21.) C\ 4~ C₂(ax -f- by¹ = C'j -f- G₂e^

— Gi -j- C-i ^1 -f- J-J + -|—(-

oder wenn man wieder wie in § 104

Gi -f- Ci = G und C₂h — C‘

kW

3T⁺”

•)

(22.)

setzt,

Lässt man jetzt h sich der Grenze Null nähern, so erhält

man

(24.) lim r₂ = ry

lim [Gi -f C₂(ax -f b)h] = C -f C‘t

7i=0

A=0

(23.) Ci -f- C₂{o,x -(- by¹ — C 4- C\t 4-

ht²    Idt³

21

3!

-f •

-)■

— C + C‘\w(ax + b).

Das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung wird dann also

(25.) y = (ax b)r'[C C‘\n(ax -f- £)] -f C₃{ax 4- b)r3

4- • • • 4- Cm{ax 4- b)’™.

Beispiel.

(26.)

Aufgabe 3. Man soll die Differential-Gleichung

(2x -f- 3)

dx³

— 8(2x 4- 3)

dy

dx

4- 32y = 0

integriren.

(27.)

Auflösung. Die charakteristische Gleichung ist hier 8r(r — 1) (r — 2) — 16 r -f 32 = 0,

8(r — 2)²(r 4- 1) = 0;

oder (27 a.)

ihre Wurzeln sind also

(28.)

n = 2, r₂ = 2, rs = — 1, folglich hat die Differential-Gleichung das allgemeine Integral

(29.)

y = (2x 4- 3)²[G 4- C‘ ln (2z + 3)] 4-

G₃

2x -j- 3

Hat die charakteristische Gleichung drei gleiche Wurzeln,

ist z. B.

(30.)

n = r₂ = r₃,

so findet man das allgemeine Integral, indem man zunächst

(31.) r₃ = rt + h und ln {ax -\-b) — t setzt; dadurch geht Gleichung (25.) über in (32.)

also ax -f b — d

{ax + by*[C + Gin(a.r + i)] + C₃{ax + bp+h

+ ••• -f- Cm{ax -f- b)rm

= {ax + b)r*{C + C't -f C₃eht) + ... + Cm{ax + b)r*

= {ax + b)n C + C't + c₃(i + y\ +    ⁺ ^T

H-----f- C,n{ax + b)rm .

•)]

Setzt man jetzt noch

(33.) C -)- C₃ = Ai, C -f- C₃h = -A-2) C₃h² = 2A₃, so erhält man

(34.) C -f C't -f- C₃eht = -Ai + A₂t -f- A₃t² + 2A₃Ç-^j +

ht³ A²t*

47

A₂, A₃ drei beliebige Constanten sind. Lässt man

wobei A

jetzt h sich wieder der Grenze Null nähern, so erhält man

(35.) limr₃ = rt, lim((? -j- C't + C₃eht) = At +    + A₃t²

A=0

A=0

folglich ergiebt sich dann aus Gleichung (25.) das allgemeine Integral in der Form

(36.) y = {ax -f b)r*[A₁ + A₂\n{ax + b)-\- A₃{ln{ax -f 6)}²]

~j- Ci (ax -j- by* -f~ • • • “f" Cm{ax -f- Ä)r»*.

In ähnlicher Weise kann man alle Fälle behandeln, in denen die charakteristische Gleichung mehrfache Wurzeln hat.

(37.)

Beispiel.

Aufgabe 4. Man soll die Differential - Gleichung

<fc-⁸¹^ = ⁰

d²y

dx*

dx²

+ 49a:

dy

integriren.

Auflösung. Die charakteristische Gleichung ist hier (38.) r{r — l)(r-— 2){r — 3) — llr(r — 1) + 49r — 81 = 0, oder

§ 107. Integration besonderer linearer Differential-Gleichungen. 605 (38 a.)

sie hat also die Wurzeln n = 3

(r— 3)³(r + 3) = 0;

(89.)

r₂ = 3,

r₃ = 3,

folglich hat die Differential - Gleichung das allgemeine Integral

(40.)

y — x³[A! -ff A₂]hx -ff A₃(lnx)²] -ff — •

XVIII. Abschnitt.

Simultane Differential - Gleichungen.

§ 108.

Zurückführung von simultanen Differential-Gleichungen zwischen einer unabhängigen und mehreren abhängigen Veränderlichen auf eine Differential-Gleichung höherer Ordnung zwischen zwei Veränderlichen.

Die unabhängige Veränderliche, von der die Veränderlichen .. abhängig sind, heisse in dem Folgenden t, dann

y» ²

mögen der Einfachheit wegen zunächst zwei simultane Differential - Gleichungen erster Ordnung zwischen t, x und y gegeben

dy

sein. Indem man aus diesen beiden Gleichungen ?

bezw.

dx

-7- eliminirt, kann man sie leicht auf die Form

dt

(1.)

F(t

dx

V> dt

(2.)

o(t,

dy

)=°

v» dt

bringen. Löst man jetzt noch die Gleichung (1.) nach y auf, so erhält man

(3.)

y=f(t, x,    x, x⁴)

dx

wobei der Kürze wegen mit x‘ bezeichnet worden ist. Hieraus folgt durch Differentiation

dy df    df dx    df d²x

"    dt    dx dt    dx¹ dt²

Indem man diese Werthe von y und — in die Gleichung

(2.) einsetzt, ergiebt sich eine Differential-Gleichung zweiter Ordnung zwischen t und x, auf deren Integration man die in dem vorigen Abschnitt gegebenen Regeln an wenden kann. Hat man das allgemeine Integral dieser Differential-Gleichung gefunden, so erhält man den zugehörigen Werth von y unmittelbar aus Gleichung (3.).

(4-)

dt

Beispiel.

Aufgabe 1. Man soll die beiden simultanen Differential-Gleichungen

(5.)

dx

(6.)

. — ix — y H- 361 = 0 ~ -f 2x — y -f- 2ef = 0

integriren.

Auflösung. Aus Gleichung (5.) folgt

(?•)

dx

(8.)

y — — — 4a; + 36 G

CiL

dy d²x , dx dï~dp~idt+m-

Setzt man diese Werthe in Gleichung (6.) ein, so erhält

man

(9.)

dx

5 .

+ 6x = 36(t — l) — 2et.

Wendet man zur Integration dieser Differential-Gleichung die in Formel Nr. 242 der Tabelle ausgesprochene Regel an, so wird

dt

(10.)

er,t

F\n) L

t

Gi -F Jcpit)

o

. *dt

erJ

-F'(r₂) .

Gi + jyif)

o

. e~rddt

wobei in dem vorliegenden Falle

rt = 2, r₂ — 3

(12.)

(HO

F{u) — u² — 5u -ff 6 = 0

mit den Wurzeln

ist, folglich wird

(13.) F\u) = 2u —5, F'(ri) == — 1, F'(rt) = + 1. Ferner ist

(14.)

also

(15.)

(16.)

(p{t) = 36 (^— 1) — 2eł,

f(f{t). e~rJdt — 36 J[t — 1 )e~ztdt — 2Je~2tdt

ooo

= 4e~3t(— 3t -ff 2) -ff e-2< — 9.

(17.)

Dies giebt x =

— e2t[Ci -ff (— 18zf 4- 9>-²* -ff 2e~'t— 11]

(18.)

-ff e³*[<7₂ -ff (— 12* -ff 8)e~3t -ff e~²* — 9], oder, wenn man 11 — C\ mit A und C'₂ — 9 mit B bezeichnet, x = 61 — 1 — ê -ff Ae2t -ff Bezt.

Dabei sind A und B zwei beliebige Intégrations-Constanten. Daraus folgt dann mit Kücksicht auf Gleichung (7.)

(19.)

y = 12t -ff 10 -ff 3d — 2Ae2t — Bezt.

Dieses Verfahren kann man zunächst verallgemeinern auf zwei simultane Differential-Gleichungen höherer Ordnung zwischen t, x und y. Setzt man der Kürze wegen

.. dax , >

— x •>    **• j••

’ dta    ’

(20.)

dx

-T- = X‘

d²x

dt

dt:¹

dy

...dfl = ym

dt? J

so seien die beiden Differential-Gleichungen

(2 .)    Fit, x, z‘, z“,... zW, y, y‘, y", ... yM) = 0,

(2 )    G(t, x, x\ z“,    y, ÿ, y“,... y<«)) — 0

(21.)

dt

Oi to

und die p Gleichungen

(25.)

0,

SG, 8G ,,8G ,

W + Si* ⁺^x + - +

Im Ganzen verfügt man also, wenn man die Gleichungen (22.) und (23.) hinzurechnet, über p + q + 2 Gleichungen, aus denen man die p + q + 1 Grössen y, y\ y“,..- eliminiren kann. Das Resultat der Elimination ist dann eine Differential-Gleichung (m + ÿ)ter oder (n -ff p)ter Ordnung zwischen t und x, und zwar ist die Ordnung im Allgemeinen der grösseren von diesen beiden Zahlen m -ff q und n -ff p gleich. In besonderen Fällen kann natürlich eine Erniedrigung der Ordnung eintreten.

Beispiel.

Aufgabe 2.

Gleichungen

gegeben. Indem man Gleichung (22.) ç-mal und Gleichung (23.) jo-mal nach t differentiirt, erhält man die q Gleichungen dF SF 8F

dx ⁺ dx‘ +    +

(24.)

dF

dt

dyG)y

Man soll die beiden simultanen Differential-

(26.)

CH. to

4iX -f

dy

dt

+ 12 = O

(27.)

dhj

d¥~y

dx

— 10-;- + 7 = 0

dt

integriren.

Auflösung. Durch zweimalige Differentiation findet man aus Gleichung (26.) die beiden Gleichungen

dx d^y — ~~^dt+dë

₄ d?x

- 4^-77

(28.)

dAx

dt*

(29.)

dr-

f=0;

und durch einmalige Differentiation findet man aus Gleichung (27.)

(30.)

ahy _dy_

de

dt

_ d*x n — io — = 0.

de

39

Kiepert, Integral-Kechnung.

Aus den fünf Gleichungen (26.) bis (30.) kann man jetzt die vier Grössen y,    ^ eliminiren. Zieht man näm

lich Gleichung (30.) von Gleichung (29.) ab, so bleibt

, „ d²x , dit

(31.)

dix

dt*

und wenn man hiervon noch Gleichung (26.) abzieht,

S + s

(32.)

d²x

+ 4x= 12.

Indem man auf diese Differential - Gleichung die Bezeichnungen der Formel Nr. 242 der Tabelle anwendet, erhält man die Gleichungen (33.)

mit den Wurzeln

n = + *, r2 =

(p{t) = 12,    F‘(u) = 4m³ +10 u,

F‘(rv) = + 6«, F\r%) = — 6t, F'(rz) = — 12t, F\n) = + 12t, folglich wird

(34.)

(35.) x

dt⁴

dt²

F(u) — **⁴ + hu² + 4 = 0

<s>.

rs = + 2t, r₄ = — 2t,

= * cu(c\ + 12je-*idty

o

t

-/a siCa+i2fe-wdt)⁺L

0

e~u (c₂ + 12 jeudt^ o

t

e~²ti(c\ +12 je²Udt^ o

oder, wenn man

C\ — 12* = C\, 0% + 12* = 0*2, 63 — 6* = C“„ ( 4 + 6* = Cr<4 setzt,

(35a.) * = ^(— W + CrW‘‘)+    — 6V~²“) + 3.

Setzt man noch

*(■— C‘\ + C‘ 2) = 6+,

*(G'₃ — 6'%) = 12G, so geht Gleichung (35 a.) über in (36.) x = 3 + Acost + i?sin£ + Ccos(2t) + Z>sin(2£), wobei A, B, C und 1) die 4 willkürlichen Intégrations - Con-stanten sind.

C'\ + C 2 — ßB, — C"₃ — C\ = 12Z1.

Den zugehörigen Werth von y findet man aus den Gleichungen (27.) und (28.). Eliminirt man nämlich aus diesen beiden Gleichungen

clhy

so erhält man

(37.)

dzx

dx

6

y =

also mit Rücksicht auf Gleichung (36.)

(38.) y = 7 + 5 A sint — 52? cos ć -f- 4(7sin(2<) — 4Zlcos(2^j.

Sind drei simultane Differential - Gleichungen zwischen der unabhängigen Veränderlichen t und den Functionen x, y, z gegeben, so kann man zunächst das oben angedeutete Verfahren benutzen, um z und die Ableitungen von z zu eliminiren. Dadurch erhält man zwei simultane Differential - Gleichungen, welche dieselbe Form haben wie die Gleichungen (22.) und (23.) und deshalb auch in derselben Weise behandelt werden können.

dt*

dt

Dieses Verfahren lässt sich noch verallgemeinern auf n simultane Differential-Gleichungen zwischen einer unabhängigen Veränderlichen t und n Functionen derselben.

Häufig wird man allerdings das entgegengesetzte Verfahren anwenden, indem man Differential-Gleichungen höherer Ordnung auf eine grössere Anzahl von Differential-Gleichungen niedrigerer Ordnung zurückführt. Beispiele dafür bieten schon die Angaben in § 82.

§ 109.

Integration linearer simultaner Differential-Gleichungen erster Ordnung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 248.)

Zwei simultane Differential-Gleichungen erster Ordnung

dx dy dt ⁵ dt

zwischen t, x und y, welche in Bezug auf x, y, vom ersten Grade sind, heissen „lineare Differential-Gleichungen

nur

dy

erster Ordnung“ und können durch Elimination von

etc

dx

von -rr auf die Form

dt

bezw.

dl +fi09 • « + yt(0. y = ^₂(0

(2.)

gebracht werden, wobei /i(7), /₂(0» 9i(fh 9*(ł)i ^i99> ^(0 noch beliebige Functionen von 7 sind.

Die Integration dieser Differential - Gleichungen kann nun nach einem Verfahren, das von d'Alembert angegeben und von Ampère verbessert ist, in folgender Weise ausgeführt werden. Man setze

(3.)

(i.)

dx

dt +/iO) • * + 9x(t) • y = Æi(tf),

iv = x — ey,

also

dio de

+ yai'

„dJL =

dt dt

wo v eine noch passend zu wählende Function von t sein möge. Indem man Gleichung (2.) mit v multiplicirt und von Gleichung (1.) abzieht, erhält man

(4.)

dx

x = w + vy, -

dx

dd

vg»)y = hi — ^2,

wobei der Kürze wegen

/i( =/i, g^f) = ffi, Ht)= > fl —fi, ^2(0 = <72, h (0 =

gesetzt ist. Dies giebt mit Kücksicht auf die Gleichungen (4.)

dio

dv

~dt + y ~dt ⁺    ~ Vf²⁾ + VyS) + ({Jl

vg-z)y = h\ — eh-₂

oder

r de

dw

(⁶>)    + (/1 —    " —/2 t² + (fi — y₂)v + gx J y

= Äi — vh-z.

Da man über die Function e noch willkürlich verfügen darf, so kann man den Coefficienten von y gleich Null machen,, indem man

(7.)

de

dt

=f^ — (/1 — 9*)° — g\

setzt. Obwohl diese Differential - Gleichung zwischen t und v nur von der ersten Ordnung ist, so kann man doch ihr allgemeines Integral nicht immer finden, weil sie nicht linear ist. Zur vollständigen Lösung der Aufgabe genügt es aber, dass man zwei particuläre Integrale vv und v₂ kennt, denn dann ergeben sich aus Gleichung (6.) die beiden linearen Differential-Gleichungen erster Ordnung

(8.)

dw

dt~ + (fl — VifzJWi = hi — vji

df ² + (/i — v₂fi)w₂ — hi — v₂h₂,

die man z. B. nach der Bernoulli ’schen Methode integriren kann. Da hierbei zwei Intégrations-Constanten Ci und C₂ auf-treten, so findet man aus den Gleichungen

x — 0\y — Wi und x — e₂y = w2 die allgemeinen Werthe der Functionen x und y.

(9.)

dw

(10.)

Beispiel.

Aufgabe 1. Man soll die beiden simultanen Differential-Gleichungen

(11.)

(12.)

+ 2x — y = — 2et

integriren.

Auflösung. Indem man Gleichung (12.) mit v multiplicirt und von Gleichung (11.) abzieht, erhält man

(13.)    — v ~ — (4 +    — (1 — o)y = — 36t + 2ef. v,

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (4.)

⁽¹⁴'⁾ ^-0 + 2»)«>+ Lt

de

ljy=—36*+2eL v.

Ueber die willkürliche Function v verfüge man jetzt so, dass in Gleichung (14.) der Coefficient von y verschwindet. Dies giebt

— 2 e² — Sv —

(15.)

do

fa = 2t² + 3o + 1 = (2t> + 1) (o + 1)

oder

(16.) dt = folglich wird

do

2 do

do

(2o + 1) (v + 1) 2o + 1 o + l

(17.)

t = ln(2» + 1) — ln(» + 1) — ln C,

oder

Cd — l

2v_ + 1 v + 1

In diesem Falle hat man sogar für v das allgemeine Integral gefunden; da man aber nur zwei particuläre Integrale braucht, so nehme man für C die Werthe 0 und oo. Dadurch erhält man

(18.)

= Ce*, o =

Ce* — 2

(19.)

rH 1 CM

r₂ = — 1,

Werthe, von denen man ohne Weiteres erkennt, dass sie der Gleichung (15.) genügen. Aus Gleichung (14.) ergeben sich deshalb die beiden linearen Gleichungen erster Ordnung

Swi = — 3 6 t — eł,

Vi — —

(20.)

dw

dt

(21.)

dw-i

dt

2u'2 — — 36 t— 2e*.

Setzt man jetzt

(22.)

W-2 — U₂Z₂ ,

so gehen die Gleichungen (20.) und (21.) über in dz t /dui    \

u‘dt++-dr~³,V⁼

dzo /du*,    \

u*iii + z\df-2a'-) =

(23.)

(24.)

Wi — U1Z1 ,

— 36 t — e*,

— S6t — 2et

folglich wird man setzen

(25.)

dul

also

Ul

= 3 dt

du₂

u₂

= 2 dt

(26.)

m — e3t,

u₂ — eu.

(27.)

(28.)

Dadurch gehen die Gleichungen (23.) und (24.) über in

= — 36te~3t — e~2t = — 36 te-n — 2e-⁽

folglich wird

(29.)

(30.)

*i = 4(3* + l)e~zt + \ e z₂ — 9(2* + l)e-u + 2e~* -f C₂.

2t+Cu

(31.)

■ (32.)

Dies giebt mit Rücksicht auf Gleichung (3.)

= 12* + 4 + ^ é + Cyest = x + i y,

w2 = u₂z₂ = 18* -f 9 + 2e*'-j-    = # + y,

«Ci = U\Zy

also

(33.)

(34.)

x = 6* — 1 — e* + 2(?ie³* — C₂e2t, y = 12* + 10 -f 3et — 2C'ie3< + 2C₂e²K

Setzt man noch

2 Cy=B

— C₂ — A,

so stimmen diese Gleichungen genau mit den Gleichungen (18.) und (19.) in § 108 überein, welche man hei der Lösung derselben Aufgabe fand.

Sind die Coefficienten f\, f₂, g y, g₂ constant, so darf man für vi und v₂ immer, wie es in dem vorhergehenden Beispiele geschehen ist, die beiden Wurzeln der quadratischen Gleichung

/2”² — (/i —    —^i = 0

setzen, denn in diesem Falle werden vt und v₂ Constante, deren Ableitung gleich Null ist; sie genügen deshalb der Differential-Gleichung (7.).

Das angegebene Verfahren kann man auch auf drei simultane Differential-Gleichungen von der Form

(39.)

Setzt man jetzt

x — cy — wz — u

also x = u + vy -f- wz

(35.)

dx

dt

+ g\y + ^ z — kij

(36.)

dy

^ +,/2^ + <72^ + h₂Z — k₂

(37.)

dz

df +fsX + Hi'J + hz = ^3

übertragen, wobei fa, ga, ha, ka noch Functionen von t sein dürfen. Zieht man jetzt die Gleichungen (36.) und (37.), nachdem man sie bezw. mit den willkürlichen Functionen c und w multiplient hat, von Gleichung (35.) ab, so erhält man

w di

dy dz c-f —

dt

™gs)y

-f- (hi — ch₂ — whz)z =    — ck₂ — ick₃.

so wird

(40.)

dx dy .----v

dv

dw

dt

^ dz du M~Wdt~M+ydt +Zli'

Durch Einsetzen dieser Wertlie geht Gleichung (38.)

über in

(⁴¹*) ^ + yjt+ zw ⁺    ~vf*~~(M + vy + wz)

+ (di — cg₂ — icg₃)y -f- (hi — ch₂ — wh₃)z = ki — ck₂ — wk₃.

Jetzt kann man über die willkürlichen Functionen v und ic so verfügen, dass in dieser Gleichung die Coefflcienten von y und « verschwinden, indem man

de

(42.) dt + (fi — cf₂ — wf₃)c + (gi — Vfft — Ws) = 0,

die

(43.) dt + (fi — cf₂ — wf₃)w + (hi — ch₂ — wh₃) = 0 setzt. Dadurch reducirt sich Gleichung (41.) auf

(44.)

du

cf 2 — wf₃)u — ki — ck₂ — ick₃.

Die Gleichungen (42.) und (43.) enthalten nur die Veränderlichen t, v und w\ sie sind aber in Bezug auf v und w nicht linear, so dass ihre Integration in den meisten Fällen auf Schwierigkeiten stossen wird. Es genügt aber auch hier, von diesen beiden Differential - Gleichungen drei particuläre Lösungen vx und wx, v₂ und w₂, v₃ und w₃ zu kennen, denn zu jedem solchen Werthepaare ergiebt sich aus Gleichung (44.) eine lineare Differential - Gleichung erster Ordnung, deren Integrale ui, u₂, u₃ jedesmal eine willkürliche Intégrations-Constante enthalten. Dann findet man aber aus den Gleichungen

(45.)

x — vi y — wxz = Ui x — v₂y — ic₂z = u2 x — v₃y — w₃z — u₃

die allgemeinen Wertlie von x, y, z.

Sind die Coefficienten fi, f₂, f₃, yt, g₂, ffa, hu h₂, h3 constant, so genügen den Gleichungen (42.) und (43.) constante Werthe von v und w, die sich aus den Gleichungen

(ft — vß — wfz)v + iffi — vg₂ — wg₃) = 0,

(/i — tf₂ — wf₃)w + (hi — oh₂ — wh₃) = 0 ergeben. Setzt man zur Auflösung dieser Gleichungen f\ —vf₂ — wfz = r, so ergeben sich die drei Gleichungen (48 a.)

(46)

(47.)

(48.)

(r —fi) + ßv + fz™ = 0,

9i + (r — 9i)v — g₃w = 0, h\ — h₂v + (r — h₃)w = 0.

Durch Elimination von v und w findet man aus diesen Gleichungen für r die kubische Gleichung

r~fu

(49.)

(50.)

(51.)

oder

— h₂, r — h₃

(51 a.) (r —/i) (r — g₂) (r — fa) — g₃h₂(r —ft) — hxf₃{r — g₂)

—fig^r — h₃) —fi.gzh, —fag\.h₂ = 0.

Sind n, r₂, r₃ die Wurzeln dieser kubischen Gleichung, so findet man aus den Gleichungen (48 a.) bis (50.) die zugehörigen Werthe von 0 und io, und Gleichung (44.) nimmt die Form

(für a = 1, 2, 3)

(52.)

dt

~rr + raua = k! —- vak₂ — n'ak3

an, deren allgemeines Integral nach Formel Nr. 209 der Tabelle durch die Gleichung

(53.)

ua

= e—rut f [ki — va k₂ — wa k₃)erat dt -f- Ca

dargestellt wird.

Beispiel.

Aufgabe 2. Man soll die drei simultanen Differential-Glei

chungen

(54.)

dx

^ -— 7x — 34y + 42^: = 2e4t

(55.)

(56.)

-f x + lOy — 6c — 5e⁷*

— 4a:— 10y + 18c = 8em,

integriren.

Auflösung. Indem man die Gleichungen (55.) und (56.) bezw. mit den willkürlichen Functionen v und w multiplicirt und dann von Gleichung (54.) abzieht, erhält man

dx di/

. — v -4-

(57.)

dz

^ — io — -j- (—7 — v + 4tc)a:-f (—34 —1(D -f-10«c)y

-f- (42 + 6 c — 18tc)c = 2e4t — 5ce7i — 8ioem.

Diese Gleichung reducirt sich mit Rücksicht auf die Gleichungen (39.) und (40.) auf

dt

du do dw

dt+ydt+zTt

-(-(— 31—10i> + 10w)«/+ (424-60—18^)2 = 2e⁴t—bvelł — 8 ivem.

(58.)

+ (— 7 — 0 + 4 w) {u -f- t y + wz)

Setzt man jetzt noch

— 7 — 0 -f- \w = r, oder r -f- 7 + v — 4w = 0,

■ — 34 + (r — 10)ü + 10m> = 0,

42 + Qv + (r — 18)w = 0,

so werden in Gleichung¹ (58.) die Coefficienten von y und von 2 gleich Null, weil für constante Werthe von v und 10 die Ab-

c//0 d%o

leitungen und ^ verschwinden. Eliminirt man aus den Gleichungen (59.) die Grössen 0 und w, so erhält man (60.) r³ — 21r² + 126r — 216 = (r — 3) (r — 6) (r — 12) = 0,

(59.)

also

(61.)

r 1 = 3,    r-₂ — 6, r₃ = 12.

Die zugehörigen Werthe von v und w findet man dann aus den Gleichungen (59.), welche durch Einsetzen der besonderen Werthe von r die Form

- Vi~\~    — 10,    -V2 -\~4:IC‘2 — 13,    —V₃-j- 4m?3 = 19,

I—/ C\4- \0iCy 34, —4^2 -f-10?6⁻2— 34, —f— 2^3-j— 10mż₃ ;= 34 annehmen. Daraus ergiebt sich

f »! = —2, wx= + 2; v₂ = — 1, «c₂ = + 3;

«3 = — 3, ic₈ = + 4.

(62.)

(63-j

Deshalb erhält man aus Gleichung (58.) die drei linearen Differential-Gleichungen erster Ordnung dux

(64.)

dt

+ 3ki = 2e4t -f 10elł— 16e¹⁰(

(65.)

du=>

-y- + 6w₂ = 2e4t + 5e⁷* — 24elw, dt

(66.)

du₃

dt

+ 12m₃ = 2e4t + 15e⁷* — 32e10f;

folglich ist

f (2c4i -ff 15e7< — 32em)entdt -ff C₃

(69.) u₃ = e12t

(67.) ux =    2eif + lOe™ — 16el0t)estdt -ff C\

ł git ₊ git __

(68.) u₂ = e~~et f (2eil -ff hed — 24ew)eQtdt -ff (7₂

e' + h“ ⁺ Ys

= C\e~st -ff

— (J₂f‘

CO ! Ol

em

ed —

Q

°_em

— 0₃e

19

em.

(71.)

oder

Schliesslich findet man aus den Gleichungen (70.) -x -ff 2y — 2z = ut, x + y — 3z = u₂, x -ff 3y — 4c == u3 die Werthe der Functionen x, y, z selbst, nämlich ( Sx = 5mi -ff 2u₂ — 4m3 ' 3y = ux — 2u₂ -ff u3 3 z — 2iii — u₂ — u₃

3x = ZCie-u + 2G>e~6i — 4C'₃e-m -ff

93

70

ei( 4

645

247

e¹¹

477

143

3 y = C\e~3t

2(7.«-" + Cse~™ +    „t. ₊

(M 11>

git

-ff

45

143

em,

3z = 2 C\e~3t — C₂e 6< — C₃e~~m -ff

69

280

e*⁽ +

204

eii

141

Tafel für das elliptische Integral K=f(/c,

wo k — sin a*).

Grad

0'

12'    24'

36'

48'

Grad

0'    12'    24'    36'    48'

i,57o8o

i,57°92

i,57I27

i,57i⁸7

I-57²7¹

i,57379

i,575n

1,57668

i,57⁸49

1.58054

1.58284

1.58539

1,58820

I,59I25

1-59457

1.59814

I,60I98

I,6o6o8

1,61045

1,61510

1,62003

1,62523

1.63073

1,63652

1,64260

1,64900

1,6557°

1,66272

1,67006

1,67773

6S575

1,69411

1,70284

1,71x92

I,7²¹39

1,73i²5 1,74150

i,75²i7 1,76326 ¹ -77479

1, 78677

1,79922 1,81216 1,82560 i,;83957 1.85407¹

I,

Traité

1,61136 j    1,61228 I    1,61321 j    1,61415

1,61606 j    1,61704 j    1,61802    1,61902

1,57080    1,57082

i,57°97    i,57i⁰3

1,57138 i,57i49 1,57202    1,57218

1,57291    i,573i2

i,57404    1,57429

1,62104    1    1,62207

1,62631 1,62740 1,63186 J 1,63301 1,63771 ; 1,63892 1,64386 j 1,64512 1,65031 : 1,65164

1,65708 1,65847 1,66416 1,66561 1,67157 1,67309 1,67931    1,68090

1,68740    1,68905

1,69583 1,69756

1,70462    1,70643

1,71379 i 1,71567 1,72333 ¹ 1,72529

1.73326 j 1,73530 1,74360 1,74572

1,75435 1,75655 1-76553 1,76781 1,77715 1,77952

1 78922

1,62311 ! 1,62417

1,62850 1.62961 1,63417    1,63534

1,64136

_ 1,64769

1,65298    1,65433

1,65987 1,66708 1,67462 1,68250

1,69073

1,60930 1,70824

1,71756 1,71947

1,72726 j 1,72924

1,64013

1,64640

1,66129

1,66856

1,67617

1,68412

1,69241

1,70106

1,71008

1,73735 1 1,73942 1,74785 1,75000 1,75877 i 1,76100

1,77012 ; 1,77244 1,78192 ! 1,78434 1,7916911,79418 1,79669

1,80434 ! 1,80693 j 1,80953 1,81748 j 1,82016 i 1,82287 1,83112 ; 1,83392 ! 1,83673

__1,84530 j 1,84820 ! 1,85113

1,85704 i 1,86003 ! 1,86305    1,86609

1,80177

1,81481

1,82835 1,84242 I

1,85407

1,85704    1,86003    1,86305    1,86609

1,86915

1,88481

1,99108

1,91800

1,93558

!,95386

1,97288

1,99267

2,01327

2,03472

2,05706

2,08036

2,10466

2,13002

2,15652

2,18421

2,21319

1,87223    1,87534    1,87847    1,88163

1,88801    1,89124    1,89450    1,89778

1,90441    1,90777    1,911x5    1,91456

1,92146    1,92495    1,92847    1,93201

1,93918    1,94281    1,94646    i,95°'5

i,9576i 1,96138

1,97678    1,98070

1,99672    2,00081

2,01749    2,02174

2.0391!    2,04354

1,96518    1,96902

1,98466    1,98865

2,00493    2,00908

2,02603 2,03036

2,04801

2,05252

2,06164

2,08514

2,10964

2,13523

2,16196

2,06626

2,08995

2,11467

2,14048

2,16744

2,07092

2,09481

2,11974

2.14578

2,07562

2,09971

2,12486

2,15112

2,18990

2,21915

63    2,24355    2,24979

64    I 2,27538    2,28193

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

2,17298

2,17857

2,30879

2,3430°

2,38087

2,41984

2,46100

2,50455

2,55°73

2,59982

2,65214

2,70807

2,76806

2,83267

2,90256

2,97857

3.o6i73

2,31567

2,35115

2,38850

2,42789

2.46951

2,51357

2,56030

2,61001

2,66302

2,71973

2,78060

2,84620

2,91725

2,99459

3,07933

2,19565

2,22517

2,25610

2,28854

2,32262

2,35846

2,39621

2,43603

2,47812

2,52269

2,57000

2,62034

2,67405

2,73155

2,79332

2,85995

2,93218 3,01091 3,09728 3,15339 3,17288 3,19280

3,25530 3,27711 3,29945 3,36987 3,39457 3,41994

3,50042 3,52885 3,55814 3,65186    3,68525    3,71984

3,83174

4,05276    4,10367    4,15736

4,33865 4,40733 4,48115 4,742721 4,84784 4,96542 5,43491 1 5,65702 j 5,9455°

3.87211

3,91423

2,20144

2,23124

2,26246

2,29523

2,32964

2,36585

2,40400

2,44426

2,48683

2,53193

2,57982

2,63080

2,68524

2,74354

2,80624

2,87392

2,94737

3,02753

3,11560

3,21317

3,32234

3,44601

3,58837

3,75572

3.95826

4,21416

4,56091

5,09876

6,35089

2,2072

2,2373

2,26889

2,30197

2,33674

2,37332

2,41188

2,45258

2,49564

2,54127

2,58975

2,64140

2,69657

2,75571

2,81935

2,88813

2,96283

3,04446-

3,13430

3,23400

3,34580

3,47283

3,61959

3.79298

4,00437

.,27444

4,64765

5,25274

7,04398

OO

il der Berechnung dieser Tafeln ist das Werk von Legendre, fonctions elliptiques, benutzt worden.

Tafel für das elliptische Integral E — E^k,

roi a

wo k = sin a.

Grad

et

0'

12'

24'

36'

48'

örad

0'    12'    24'

36'

48'

q 1.57080

1    1.57068

z 1,57°32

3    1,56972

4    1 56888

i,57°79_

1,57062

1,57022

i,5Ć957

1,56869

i-57°78

1,57075

r, 57072

45 i,35"64

1,34888

*,34712

1.34535

1,34358

i,57°56

I,57°¹¹

1.56941

1,56848

*,57049

1,56099

1,56925

1,56827

1,57041

1,56986

1,56907

1,56804

46

47

48

49

1,34181

1,33287

1,32384

1,3*473

1,34003

*,33*°7

1,32203

1,31290

*,33824

1,32927

1,32021

1,31106

1,33646

1,32746

1,31838

1,30922

1,33466

1,32565

1,3i6s6

1,3°739

1,56781

1,56650

1,56495

1,563*6

*,56114

*,56757

1,56731

1,56621 1,56461 1,56278 1,5607 t

1,56591

1.56426

1,56238

1,56027

*,56705

1,56560

1,5639°

1,56198

1,55982

1.56678 50

1,56528

1,56354

1,56156

1,55936

5*

52

53

54

*,30554

1.30369

1,30*84

*,29999

1,29814

10 *,55889 1,55841

1,55792

1,55742

1,55692 55

1,29628

1,28695

1,27757

1,26815

1,25868

1,29442

1,28508

1,27569

1,26626

1,29256

1,28321

1,27381

1,26436

1,29069

1,28133

1,27*92

1,26247

1,28882

1,27945

1,27004

1,26058

1.25678

1,25488

1,25298

1,25108

12

*3

*4

1,55640

1,55368

1,5 5073 1,54755

*,55587

1,553**

1,550*1

1,54689

i,55534

i,552S3

i,54949

1,54622

1,55480

1,55*94

1,54885

1,54554

i,55424

1,55*34

1,54821

1,54485

56

57

58

59

1,24918

1,23966

1,23013

1,22059

1,24728

1,23776

1,22822

1,21868

1,24538

1,23585

1,22631

1,21677

1,24347

1,23394

1,22440

1,21487

1,24*57

1,23203

1,22250

1,21296

15 1,544*5 *,54344

1,54273

1,54200

I,54*£7_ 60

I,2II06

1.20915

1,20725

1,20534

1,20344

16    1,54052

17    1,53667

18    1,53260

19    1,52831

*,53977

1,53587

1,53*76

1,52742

i,539⁰¹

1,53507

1,5309*

1.52653

1,53824

i,5342S

1,53005

1,52563

1,53746

i,53343

1,52918

1,52472

61

62

63

64

20    1,52380

*,52287

1,52194

1,52099

1,52004

65

1,20154

1,19205

1,18259

1,173*8

1,16383

1,19964

i,I9oi5

1,18070

1,17*30

1,16*97

i,i9774

1,18826

1,17882

16843

1,

I,l6oiI

1,19584

1,18637

1,17694

1,16756

i,i9394

1,18448

1,17506

1,16569

*,*5825

1,15640

21    1,51908

22    1,51415

23    1,509°*

24    1,50366

1,5*811

*,5*3*4

1,50795

1,50257

*,5*7*3

1,51212

1,50689

*,50147

*,5*6*4

1,51*09

*,50582

1,50036

i.5*5i5

1,5*005

1,50475

1,49924

66

67

69

i,i5455

i,i4535

1,13624

1,12725

1,15270

1,14352

i,i3444

1,12546

1,15086

1,14169

1,13263

1,12369

1,14902

1,13987

1,13083

1,12191

1,14718

1,13806

1,12904

1,12014

25

1,49811

1,49698 1,49584

1,49469

1,49353 70

1,11838

I,Il662

*,1*487

1,11312

1,1*138

26

27

28

29

1,49237

1,48643

1,48029

1,47397

1,49120

1,48522

1,47904

1,47268

1,49002

1,48400

*,47779

1,47*39

1,48883

1,48277

1,47652

1,47009

1,48763

1,48*53

1,47525

6878

*,4

7*

72

73

74

1,10964

1,10106

1,09265

1,08443

1,10791

1,09937

1,09099

1,08280

1,10619

1,09768

1,08934

1,08119

1,10448

1,09599

1,08769

1,07959

1,10277

1,09432

1,08605

1,07799

30

*,46746

1,46614

1,46481

3*

32

33

34

1,46077

1,4539*

1,44687

1,43966

1,4594*

1,45251

*,44544

1,43820

1.45805

1,45*1*

1,44401

1,43673

1,46347

1,45668

1,4497*

*,44257

1.43526

1,46213

1,45529

1,44829

1,44*12

1,43378

75

76

77

78

79

1,07641

1,07483

1,07326

1,07170

1,06861

1,06106

1,05378

1,04679

1,06708

1,05958

1,05235

1,04543

1,06556

1,05811

1,05094

1,04408

1.06405

1,05666

1,04955

1,04274

1.07015

*,06255

1,05521

1,04816

1,04142

35

36

37

38

39

*,43229

1,42476

1,41707

1,40924

1,40126

1,43080

1,4293°

1,42779

1,42628    80

1,04011

1,03882

1-03754

*,03628

*■03503

1,42324

1,4*552

1,40766

1,39965

1,42170

1,4*396

1,40606

1,39803

1,42017

1,4*239

1,40447

1,39640

1,41862

1,41082

1,40287

1,39478

8i

82

83

84

40    1,393*4

41    1,38489

42    1,37650

<13 T,3680O

44    1,35938

45 1,35064

*■39*50

1,38322

1,37481

1,36628

*,35764

1,34888

*,38985

1.38820

1,38655 85

i,o3379

1,02784

1,02231

1,01724

1,01266

*,03257

1,02670

1,02126

1,01628

1,03136

1,02558

1,02023

i,o*534

1,03017

1,02447

1,01921

i,oi443

1,02900

1,02338

1,01821

1,0*354

1,38155

1,373*2

1,36456

1,3559°

*,37987

*,37*42

1,36284

*,354*5

*,37819

1,36971

1,36m

1,35240

86

87

88

89

1,00865

1,00526

1,00258

1,00075

1,347*2

*,34535

*,34358 90

I,OOOCO

1,01181

1,01099

1,01018

1,00940

1,00792

1,00466

1,00215

1,00050

1,00721

1,00410

1,00174

1,00030

1,00653

1,00356

1,00137

1,00014

1,00588

1,00306

1,00104

1,00004

Grad

10

JJL

20

Tafel für das elliptische Integral F (k, cp), wo k

sin ce.

F(k, 50) F(h, 100) F(k, 150) F(k, 2Q0) F(k, 25«) F(k, 300) F(k, 350) F(k, 40«) F(k, 450)

0,08727

0,08727

0,08727

0,08727

0,08728

0,17453

0,17454

0,17456

o,i7459

0,17464

0,26180

0,26182

0,34907

0,34912

0,26189

0,26200

0,26215

o,34927

o,34953

0,34988

0,43633

0,5236°

0,61087

0.69813

0,78540

0,43643

0,43674

o,43723

0.4379¹

0,52377

o,5²428

0,52513

0,52628

0,61113

0,61193

0,61325

0,61506

0,69852

0,69969

0,70162

o,7°429

0,78594

0,78756

0,79025

0,79398

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75    0,08737

80

85

90

0,08738 I 0,17542 0,08738 I

0,08730    0,17482

0,08731    0,1749°

0,08732 I 0,17498

0,08734 j 0,17513

0,08735 J 0,17520

0,08736 j 0,17526 0,08736    [ 0,17532

0,45088 I 0,54931

0,65284    0,76291

0,62308    ! 0,71622

0,62998 I 0,72667

0,83431

0,84281

0,08729

0,08729 o,°8733

0,08737 0,17469 0,17475

0,17505

0.17537 o,i754o

0,17543 0,26233 0,26254 0,26278 0,26303 0,26330 0,26356 0,26382 0,26406 0,26428 0,26448 0,26463 0,26475 0.26482 0,26484 o,3503i o,35°82 0,35138 o,35i99 0,35262 0,35326 0,35388 o,35447 o,355oi 0,35548 0,35586 0,35615 0,35632 0,35638 0,43875 0,43973

0,44084 0,44203 0,44328 0,44455 o,4458o 0,44699

0,44808 0,44904 o,449⁸² o,45°40 0,45075 o,52773 0,52943 0.53134 0,53343 0,53562 0,53787 0,54009 0,54223 o,5442o o,54593 0,54736 0,54843 0,54908 o,6i734 0,62003 0,62643 0,63364 0,6373° 0,64085 0,64415 o,647⁰7 0,64950 0,65132

~7T-

0,65245 o,7°765 0,71165 0,72126

0.73231 °,738or °,74358 0,74882 0,75352 0,75745 0,76043 0,76228 0,79871 0,80437 0,81088 0,81815 0,82602

0,8SI22 0,85925 0,86653 0,87270 0,87741 0,88037 0,88137

Grad

F(Ä, 50°)

F(k, 550)

F{k, 600) F{k, 650) F(k, 70«) F (Je, 75°) F(k, 80°) F(k, 85°) F(k,90°)

10

0,87266

0,87339

0,87556

0,95993 0,96086 0,96366 1,04720 1,04837 1,05188 1,13446 i,i359° 1,14020 1,22173 1,22345 1,22861 1,30900 1,31102 1,3171° 1,39626 1,39860 1,40565 1,48353 1,48619 1,49423 1,57°8q i,57379 1,58284

15

0,87915

0,96832

i,o5774

20

0,88416

0,97583

1.06597

1,14740

1,15755

1,23727

1,32733

1,41752

1,50781

1,59815

1,24953

1.34184

1,43442

1,52717

1,62003

25

0,89054

0,98317

1,07657

1,17070

1,26548

1,36083

1,45663

1,55273

1,64900

3°

0,89825

o,9933i

1,08955

1,18691

1,28530

1,38557

1,48455

1,58503

1,68575

_35_

°,907I9

1,00519 1,10490 1,20626 1.30915 1,41339 1,51870 1,62478 1,73125

40

0,91725

45

0,92829    !

1,01871

1,12256

1,22877

1,33723

1,44767

1,55973

1,67295

1,78677

1,03371

5°

0,94008

1,14243

1,25447

1,36972

1.48788

1,60848

1,73082

1,85407

1,04998

1.16432

1,28326

i,4°677

1,53455

1,66597

1,80006

1,93558

J5_

0,95232

1,06716

1,18788

1,31491

1,44840

1,58817

1,73347

1,88296

2,03472

60

0,96465

1,08479

1,21254

1,34893

i,4944i

1,64918

1,81253

1,98264

2,15652

65

0,97660

1,10223

1,23764

1,38443

i,544io

¹.7¹7°3

i,9°484

2,10348

2,30879

7°

0,98762

1,11865

1,26186

1,41994

i,5959i

1,79269

2,01193

2,25178

2,50455

Ił

o,997ii

1,13307

1,28371

i,453i6

1,64684

i,87H5

2,1339°

2,43658 .

2,76806

80

1,00444

1,14442

1,30135

1,48098

1,69181

1,94682

2,26527

2,66935

3,15339

85

1,00909

1,15171

1,31292

1.49977

1.72372

2,00499

2,38365

2,94869

3,83174

(trat!

Tafel für das elliptische Integral E (k, cp), wo k

sin a.

luu E(k, 5°)

a

E(k, IO«)

E(k, 150) E(h, 200) E(k, 25») E(k, 3Q0) E(k, 35«) E(k, 400) E(k, 45°)

0,08727

0,17453

0,26180

0,08727

o,i7453

0,26178

0,34907

0,349°!

0,43633

0,43623

0,52360 I 0,61087

0.69813    0.78540

10

0.08726

0,17451

0,26171

0,34886

0,43593

o,5²343 I 0,61060 I 0,60980

0,52292

15

0,08726

o,i7447

0,26160

0,34860

0,43544

0,52208    ! 0,60850

0.60774 j 0.78486 0,69658 j 0.78324 0,69467    [    0,78050

20

²5

0.08725

0,08725

o,i7443

O.I7438

0,26145

0,34825

o,43477

o,5²°94

I 0,60672

3°

0,08724

35

0,08723

o,i743r

o,i74²4

0,26127

0,26106

0,26083

0.34783

0,34733

0,34678

0,43394

o,5i953

I 0,60451

0,69207 I 0,77607 0,68884

0,77247

0,43298

0,43*91

0,51788 j 0,60194

0.51605

o, 599°7

0,68506 I 0,76720 0,68084 i 0,76128

40

0,08722

45

0,08721

°,I74I7

0,17409

0,26058

0,34619

0,43076

0,51409

0.59598

0,67628 I 0,75489

0,26032

0,34558

o,4²958

0,51205

50

0,08720

0,17401

0,26006

0'34496

0,42838

0,51000

55

60

0,08719

0,08718

0,17394

0,25981

0,34437

0,42722

0,50799

o,59²76    °,67i53    1    0,74819

0,58952    I    0.66671    0,74137

0,58634    j    0,66197    0-73465

0,17387

0,25957

o,3438i

0,42612

0,50609 j o,5833²

0,65746

0,72822

65

70

0,087l8

0,087I7

0,17381

0,25936

o,3433o

0,42513

0,50437

0,58057

0,65334

0,72232

0,17375

75

0,08716

80

0,08716

o,i737i

0.17367

0,25917

O.259O2

0,34286

0,42426

0,50287

o,578i8

0,64974

0,71715

o,3425o

0,42356

0,50165

0,57622

0,64679

0,71289

85

0,08716

0,17365

0,25891 0,34224 0,25884 0,34207

0,42304

0,50074

0,57477

0,64459

0,70972

0,42273

0,50019

0,57388

0,64324

0,70777

9O

0,08716

0,17365

0,25882

0,34202

0,42262

0,50000

9,57358

0,64279

0,70711

Grad

E(k, 500) E(k, 55°) E(k, 60°) E(k, 65°) E{k, 70°) E(k, 75°) E(k, 80°) E(k, 85°)

E(k, 900)

0,87266

0,95993

1,04720

1,13446

1,22173

1,30900    1 1,39626

1,48353

i,57°8o

0,87194

10

0,86979

0,95900

0,95622

1,04603

1,04255

1,13304

1,12878

1,22002

1,21491

1,30698

1,39393

1,48087

1,56781

1,30097 I 1,38698

i,47294

1,55889

15

0,86626

0,95166

1,03683

1,12176

1,20650

1,29107

1,3755°

1,45985

1,54415

20

0,86142

o,9454i

1,02897

1,11213

i,i9493

1,27742

1,35968

1,44178

1,52380

25

0,85539

o,9376i

1,01915

1,10005

1,18040

1,26026

1,33976

1,41900 ■

1,49811

3°

0,84832

0,92843

1,00756

1,08577

1,16318

1,23989

1,31606

1,39186

1,46746

35

0,84036

0,91807

0,99445

1,06958

1,14360

1,21666

1,28897

1,36076

1,43229

4°

°,83i73

0,90680

0,98013

1.05183

1,12205

1,19101

1,25897

1,32623

1,39314

45

0,82265

0,89490

°,96495

1,03293

1,09901

1.16346

1,22661 i 1,28886

1,35064

50

0,81338

0,88269

0,9493°

i,oi333

1,07500

1,13460

1,19255

1,24934 I 1,30554

55

0,80419

0,87052

0,93362

0,99358

1,05064

1,10513

1-15755

1.20850

1,25868

60

0,79538

0,85879

0,91839

0,97427

1,02664

1,07586

1,12249

1,16726

1,21106

65

0,78724

0,84788

o,9⁰4i5

0,95606

i,oo379

1,04769

70

0,78007

0,83822

0,89144

0,93965

0,98298

1,02172

1,08839

1,05648

1,12673

1,08825

1,16383

1,11838

75

o,774i4

0,83020

0,88080

0,92580

0,96519    o,999r6

1,02823

i,o5343

1,07641

80

0,76971

0,82417

0,87276

0,91523 ! 0,95144

0,98141

1,00543

1,02436

85

0,76697

0,82042

0,86773

0,90858 j 0,94270 j 0,96992

0,99023

1,00394

1,0401i 1,01266

Tabelle

der wichtigsten Formeln aus der Integral-Rechnung.*)

1. ) J'dF(x) - fF‘{x)dx = F(x).

2. )    djF‘{x)dx = F‘{x)dx.

3. ) Ist a der Werth von x, für welchen das Integral von F\x)dx verschwindet, so ist

[§ 1, Gl. (3.) und (4.)]

[§ T GL (5.)]

fF‘{x)dx — F(x) — F(a).

' [§ 2, Gl. (3.)]

4.) Der Flächeninhalt einer ebenen Figur, welche begrenzt wird

1. ) von der Curve y =f(x),

2. ) von der X-Axe,

3. ) von den beiden Ordinaten x = a und x = b

ist gleich

F=fydx =jF‘(x)dx = [F(x)i = F(b) - F(a)

wobei F\x) =f(x) sein soll.

[§ 2, Gl. (5.) und (8 a.)]

b    a

5.) jF\x)dx — —fF‘(x)dx.

a    b

[§ 2, Gl. (29.)]

gelassen.

*) Die Intégrations-Constante ist überall der Kürze wegen fort

6. ) fF‘{x)dx =fF\x)dx +fF\x)dx.

a    a    c

7. ) jAF\x)dx — A fF\x)dx.

8. ) f\F\x)~t G‘(x)\dx

9. ) jxmdx =

10.) fdx = x.

[§ 2. Gl. (30.)]

[§ 3, Gl. (5.)]

jF‘(x)dx ± Jg ‘(x)dx.

%m+i

m -f-1

[§ 3. Gl. (11.) und (13.)]

[§ 4, Gl. (2.)]

[§ 4, Gl. (2a.)]

11.) Jaxdx —

ax

ln« ’

jexdx — ex.

[§ 4, Gl. (3.) und (3 a.)]

Ina:.

[§ 4, Gl- (4-)]

13. ) Jvosxdx = sina:.

14. ) Jsmzdx = — COSa:.

[§ 4, Gl. (12.)]

[§ 4, Gl. (13.)]

l5-) /

dx

COS²a:

tga:.

[§ 4, Gl. (14.)]

. C dx

^ ysü^

.    /' dx

u.) /—

= — Ctga:.

[§ 4, Gl. (15.)]

y i—xl

TT

= arcsin a: = — 2.

— arccosa:. [§ 4, Gl. (16.) u. (28.)]

₁₈.) /

* dx

1+ x²

= arctga: =

— arcctga:. [§ 4, Gl. (17.) und (32.)]

19. ) J&o\xdx — ©itta:.

20. ) /©inxdx = Sofa:.

2L)

[§ 4, Gl. (18.)]

[§ 4, Gl (19.)]

= $9*-

[§ 4, Gl. (20.)]

22.) /

' dx

©ttt‘²a:

= — ©tga:.

[§ 4, Gl. (21.)]

. r dx 23.) /--

yxi -f-1

²⁴⁾ -ZJ\

dx

= = 2(r (£of * = ln (x ± ]/x² — 1).    [§ 4, Gl. (23.)]

²⁵-> /r^ = ^4Ki--*>

-,•< = *»«** = Iln(ï=l)

26.) Setzt man

wenn j x \ < + 1.

[§ 4, Gl. (24.) und (36.)]

x [ > + 1.

[§ 4, Gl. (25.) und (37.)]

? wenn

so wird

x — ip(t), also dx = xp‘(t)dt

ff{x)dx    . xp\t)dt.

[§ 7, Gl. (1.) und (5.)]

27.)

-,

dx

28.)

29.)

x zh a

f dx Ja² -f- x-

f dx

Jx² — a¹

= ln (x ± d) •

a h-

arctg(|).

[§ 8, Gl. (2.), (3.) und § 37, Gl. (2.)]

[§ 8, Gl. (22.)]

/a —- x\ \a + x)

5 wenn x <a.

[§ 8, Gl. (23.)]

29 a.)

dx

^xl— cCl

wenn « ' > a > 0.

[§ 8, Gl. (24.), § 13, Gl. (1.) und (7.), § 37, Gl. (4.) ]

30.)

f,

xdx

xl ± d²

i-H !M

ln(x¹ dr a²).

[§ 8, Gl. (26.) und (27.)]

31.)

xdx

³²⁰ A

]/a²-—xl xdx

— —y al—xl.

[§ 9, Gl. (2.)]

83.) J-

y a² d~ x¹

xdx

-i- y a¹ -j-x².

[§ 9, Gl. (4.)]

y x¹—a²

-j- y x¹ — a².

[§ 9, GL (5.)]

. f dx 34.) /-=

y a¹—xi

= arcsin

[§ 9, Gl. (7.)]

³⁵'⁾/iTO=ai@in© = In(

x -f y.x² ö²\*)

)' [§ 9, Gl. (8.)]

^ ±/vÄp = S(te<-)=ln(

) f dX

J x

37.

xj/a²—x²

**&<)=

x ± ]/x² — a- Sj*)

[§ 9, Gl. (9.)]

-¹ ln(

a V

a + Ya'²— x-

[§ 9, Gl. (12.)]

38.) J dx

x² Ya² — x²

39.) f

J X

dx

xY a² -f £²

⁴⁰⁰ h

dx

Y a² — x²

a²x

— —— 2lr@tn

Ya'² + x²

• v [§ 9, Gl. (14.) und § 18, Gl. (28.)]

jn/° + y<d + x²

)•

[§ 9, Gl. (17.)]

x² Y d² -f- x²

d²x

• f§ 9, Gl. (19.) und § 18, Gl. (55.)]

41.) f-

J x

dx

xYx² — a²

r-i I

arcsin

[§ 9, Gl. (21.)]

42.) f-____

Jx²Yx² — a²

dx

Yx² — cl²

a²x

• [§ 9, Gl. (23.) und § 18, Gl. (58.)]

f-7W = lnl /{x)]-

44. ) /tg xdx = — ln (cos.-r).

45. ) /stg xdx — -f- ln (sin .r).

43.)

[§ 10, Gl. (8.)]

[§ 10, Gl. (10.)]

[§ 10, Gl. (11.)]

*) Man kann auch unter Weglassung der Intégrations - Constanten — ln a schreiben :

f dx

Jw+

ln (x -\~Y%² + «²).

**) Man kann auch unter Weglassung der Intégrations-Constanten — ln a schreiben :

r dx

Jw

= ln (x -I~Yx² — d² ).

46.)

/ dx

Ji

sina: cos.r

= ln(tga-) = — ln (ctg x).

[§ 10, Gl. (13.) und § 14, Gl. (2.)]

47.)

Æ=inKi)]=

— ln

Ml)]-

[§ 10, Gl. (15.)]

48.)

' dx

COS a:

= — ln

• [§ 10, Gl. (17.)]

49. ) f SEg xdx = ln (©ofx).

50. ) J ©tg xdx = ln ((Sina:).

f_dx

[§ 10, Gl. (19.)]

[§ 10, Gl. (20.)]

51.)

Sina: ©ufa:

= ln($ga:) = —ln(©tga:).

[§ 10, Gl. (21.)]

— ln

[§ 10, Gl. (24.)]

53.) JF‘ (sin x) cos xdx    F‘ (t)dt — F(t), wo t = sin.«.

[§ 11, Gl. (3.)]

54.) f F‘ (cos x) . sin xdx — — fF‘(t)dt = — F(t), wo t = cosa:.

[§ 11, Gl- (6-)]

[§ 11, Gl. (11.)]

55. ) /cos2n+lxdx — j(1 — sin²a:)n . e£(sina:).

56. ) /sin2,l+1a:Ja: = —-j\(1 — COS²a:)w . d(cosx).

57. ) fsmmxQ,0^n+ixdx = fsmmx(l — sin²a:)M . c?(sina;).

[§ 11, GL (13.)]

[§ 11, Gl. (15.)]

58.) f ßOSOTa:sin2w+1a:c?a: = — C0Sma:(l —cos²a;)w . d(cosx).

59. ) JF\tgx)- &

60. ) fF\ctgx) dx

ff( tg«)

61.)

[§ 11, Gl. (17.)]

■Jf\tgx)

— — ^F'Çctgx). d(ctgx) = — jF(ctga;).

= flM

Jtg²X + 1

COS²X

sin²a;

. dx

x)

. fi?(tga:) = F (tgx).

[§ 11, Gl. (21.)]

• d( tgx).

[§ 11, Gl. (24.)] [§ 11, Gl. (31.)]

91*.)fif'zdx=ßg,x + 1

tgnx

• d(tgx).

[§ 11, Gl. (32.)]

62.) =

• d (ctg sc). • d(ctgx).

⁶³)    =/(i+

fJac-™x ⁼ —f1 + CW- *^(cter«)-

62 a.) j'ctgnx . dx = —-ß

ct gnx

Ctg²# + 1

64.)

[:5 11, Gl. (40.)]

[§ 11, Gl. (41.)]

[§ 11, Gl. (4L)]

[§ 11, Gl. (45.)]

65.) fF'(©tn#) ©ojxdx =    in#). d(ßxnx) = -F(©in#).

[§ 11, Gl. (46.)]

66.) />(©of#) @in#^# = JF'(©of#) •    = .F(©of#).

[§ 11, Gl. (47.)]

67. ) y©of2w+1#ö(# =/(l + ©in²#)”. c?(@in#).

68. ) /*©in2n+1#d# == /((So]²# — l)w . ć/(©of#). !'f‘(X§x)

70.) /^'(©t9#)* dx jf(%Qx)dx =ß-72.) Jf(&tQx)dx

n) fnalk-fi¹-*™

dx = —ß&ofx — 1)

75.) -F'[/(#)] ,f‘(x)dx — F(t)dt = F(t) = F[f(x)].

69.)

71.)

⁷⁴-> k

©tn2?"#

[§ 11, Gl. (48.)]

[§ 11, GL (49.)]

dx

' ©of²#

©in²#

= F‘(Xqx).d(X g#) = F(Xqx).

[§ 11, Gl. (50.)]

= — /F'(©tg#). e?(©tg#) = — i*\©tg#).

[§ 11, Gl. (51.)]

[§ 11, Gl. (52.)] [§ 11, Gl. (53.)]

J(£g#)

1— £g²#

• d(%qx).

/(©tg#)

— ©tg²#

• ö((©tg#).

. d ( SEg #).

. d(©tg#).

[§ 11, Gl. (54.)]

[§ 11, GL (55.)]

76. ) J jF‘(ax) . axdx =    J'f^u¹⁰) . d(ax) —    F{ax).

76a.)/"F‘(ex) . exdx = fF‘{ex) . ^(e*) = .F(e*).

77. ) Jf‘{\kx) • ~ =:Jf‘Qhx)

78. ) JF\arcsina) •

79. ) Jf‘(üxq,q,o$x) ■

80. ) /^'(arctga;) •

81. ) J F' (dLYCctgx) •

r

82. ) I /‘(sina:, cosa:, tga;, ctga;)G?a; =

1—*²

r + <* ’ i + f² ’ i—f² ’

[§ 11, GL (57.)] [§ 11, Gl. (58.)]

dx

yi — a:²

dx

yi — a;²

dx

1 + a:²

dx

1 + a:²

. d{\wx) = F(]na:).    [§ 11, Gl. (59.)]

=Jf '(arcsina;). G?(arcsina:)

= jF(arcsina:).

= —I F\arccosa:)

= — F(arccosa:).

=j'FX&rctgx). dfarctgx)

= F(MCtgx).

— —JjF'(arcctgx). ^(arcctga:)

= — F(arc ctg.r).

[§ 11, Gl. (60.)]

. c?(arccosa;)

[§ 11, Gl. (61.)]

[§ 11, Gl. (62.)]

[§ 11, Gl. (63.)]

wobei

H“

2t

1— *²\

2t )'

2dt

1 + t² ’

t = tg

toi «

[§ 11, Gl. (68.) bis (73.)]

82a.)Jf (©inx, (Sofa:, £ga:, (Stgx)dx =

1 +t² 2t 1+J2 1—t² ' 1 -M²’ 2t

t = (I) ' [§ n’ GL (76-} bis (80-)]

wobei

•i

2 dt

83.) Jf{x, y a² — x²) dx ■= ff (a sin t, a cos t) . a COS tdt wobei

sin£ =

COS t =

y a² —- x²

tg^ =

84.)

wobei

y a² — x²

.H £

Jf{x, y a² + x²)dx f(atgt, -£^ ■

y«²—x²

ctg t =

[§ 12, Gl. (3.) und (4.)]

adt

COS²t ’

sin£ =

y o² -f- x²

85.) jf(x, yx² — a²)dx =Jf (c~y > atgt^-

y a² -f- x²

[§ 12, GL (7.) und (8.)] a sin tdt cos ²t

wobei

sin£ =

yx² — a²

cosć =

, tgt

y oc¹ — ci¹

et gt =

y x² — a2 [§ 12, Gl. (16.) und (17.)]

86.)

(    1 J (x

J X<1 + 2 bx + c~ 2l/ô² — c 'x

x_+ b—y b²—

+ b + yw~

[§ 13, Gl. (18.) und § 37, Gl. (9.)]

=)•

⁸⁷⁰ h

dx

- Xi) (x — x₂)

Xi - X₂

ln

/x-Xj\

-X₂ /

[§ 13, Gl. (18 a.) und § 37, Gl. (5.)]

dx

x² + 2 bx + c yc — ^2

f dx

Jl

⁸⁹') Jx² 4- 2bx + b²

dx

⁹⁰⁾ h

(Px 4- Q)dx_P

x²-\-2 bx-\-c 2

(Px -j- Q)dx

[§ 13, Gl. (25.) und § 38, Gl. (3.)]

1

x -\- b

[§ 13, Gl. (30.) und § 37, Gl. (3 a.)] ln^+afa+e) + (Q-Pb)f--^-x+c.

[§ 13, Gl. (31.)]

{x b)²

(x Xi) {x — x₂)

Xi — x₂

[{Pxt + Q) ln(^ — xi) — (Px₂ -f Q) ln (x —- x₂)].

[§ 13, Gl. (32.) und § 37, Gl. (10.)]

2ctg(2#).

Jsin²x cos²x

93.) 22nJcos2nxdx = ^sin(2nx) +    — 2    — ²)^

⁺ (2i)2„-^4SÜl(2W

tgx — et gx =

- 4:)x +----b

[§ 14, Gl. (1.)]

94.) 2‘2n+1 jcos2n+lxdx =    ₁ sin(2ft + l)z

⁺ C t r)^-l Sin(2B -    + (2K 2⁺ ')2«^3 si«(²«-³)*

e^i^+r:¹)

95.) (— 1)M 22njsm2nxdx

2 sina:.

[§ 14, Gl. (8.)]

(7)

<N

2 . . .

2^ sin (2n x)

- sin(2rc — 2)x + [ ^ )---- sin(2rc — 4)a;

2    \ 2 J2n — 4

n— 1

[§ 14, Gl. (12.)]

96.) (— i)w22w+¹ jlm2n+ixdx —

|^COS(2» + l>r

(•2)i + ¹)__²__ c°s(2»

1)*

(²%⁺¹)2^8COS(2,,-⁸⁾*

<-*r.+i)

+ —*■

2 COSa:.

05 to

COS (3a:)

[§ 14, Gl. (15.)]

97.) fadv = uv—jvdu.

COS²a:. dx — ^ sina: COSa: -f ^ •

— sina: COSa: +    •

2 ^

[§ 15, Gl. (2.)]

98.) yc

[§ 17, Gl. (4.)]

99.) !sin²a:. dx =

[§ 17, Gl. (8.)]

100.)|c

C0Sma;. <r/a: —

cosw_1a:sina: -f

---—Jcosm~²x . dx.

101.

cos²”# . dx = sin#

_2 n

cos²” *# -f-

2 n (2 n — 2)

-TT COS2W_1SX

2n — 1) (2n — 3)

2n . (2n — 2) (2n — 4)

— cos²”⁻⁵# +    •

(2n — 1) (2n — 3) ... 5.3

2n(2n — 2) (2n — 4) ... 4.2

cos#

(2n — 1) (2n — 3)... 5.3.1 _ 4)... 4.2 X '

2n(2n — 2) (2n

[§ 17, Gl. (24.)]

->y,

dx

sin#

cos”#

103.) ß

sin'"# .dx — —

(n —1) COS”⁻¹#

— sin'”⁻¹# cos#

n — 2 r_

n — l/cos“⁻²#

dx

• [§ 17, Gl. (26.)]

[jsinm~²x. c/#.

[§ n, GL (38.)]

104.)ß

sin²”# .dx — — cos#

Jl

2n — 1

_2w

2n{2n — 2)

sin²”⁻³#

(2n —1) (2n — 3)

2w(2w — 2) (2rc — 4)

(2n — 1) (2n — 3)... 5.3

2rc(2rc — 2) (2» — 4)... 4.2 (2» — 1) (2» — 3)... 5.3.1

sin#

I-

2n(2n — 2) (2» — 4)... 4.2

#.

[§ 17, Gl. (46.)]

COS#

(» — ljsin”⁻¹#

106.) (tgmxdx =-- tg

j    m ■ 1

# —ßtgm

~-xdx.

[§ 17, Gl. (57.)]

107.)y sin

m#cos nxdx =

sin'"⁻¹# cos”⁺¹#

m -f- n

m-j- n

¹ /sin“⁻²# COS”#d#. [§ 17, Gl. (58.)]

108.)j

cos”#<7#

sin'”#

cos”⁺¹#

(m—l)sin'"—‘#

109.)ß tg‘"xdx =

m~i Ct«

n—m -f- 2 /cos”#ö?#

1 y sin"¹⁻²#

' [§ 17, Gl. (59.)]

x—ßctgm~²xdx. [§ 17, Gl. (63.)]

110.

sin”‘a: COS "xdx =

sinm+'a; COSM—lx

m -J- n

n 1 /sin'"*« cos “~²xdx.

[§ 17, Gl. (61.)]

111.

1/

sin mxdx

sin”î+1Æ:

cos“x

(n — ljcos"⁻'¹#

rn — n -f- 2 f sinmxdx

n — l J

COSw—2a:

[§ 17, Gl. (65.)]

112.)Jeaxc,OS(bx)dx =

ax ao,os(bx) + èsin(te)

cd 4 b'¹

[§ 17, Gl. (72.)]

113.)fe

sin(ôa;)^ = e

ax .

asm(bx) — bcos(bx)

a² + b²

•    [§ 17, Gl. (73.)]

iu)A

xmdx

xm—l

J/a²—xd

y a²— x¹ +

(rn — l)«² fxm 2dx

)\

y dz—x²

m.)/

x²dx

a¹

[§ 18, Gl. (4.)]

]/a² — x¹

yd¹—x¹ + — arcsin

A

116.) /

' xlndx

y d¹ — x¹

= cn . a2warcsin

Kd~ya*

[§ 18, Gl. (7.) und (8.)] -x¹. Gn(x),

wobei

c» =

1 . 3.5... (2n — 3) (2n — 1)

2.4.6... (2n

2) (2n)

x2n~l

(2 n — l)a²£2n“³

3.5 ... (2n

1 )a2w ²x

(2 n — 2)2 n

2,4... (2n — 2)2n [§ 18, Gl. (14.), (16.) und (19.)]

117. )jxmdxyd¹

118. )Jdxya²—Æ² = |yV — x¹ + — arcsin

119. )Jxdxy d¹

120. ) f—^-_= -

Jxn]/ad — x²    (n 1 )adxn

—z²

m+2

— F² = —

r-H CO

ya¹—xd +

a²

' xmdx

+yyad—xd

[§ 18, Gl. (24.)]

•    [§ 18, Gl. (25.)]

(ad — x²) y d¹ —x¹.

[§ 18, Gl. (26.)]

dx

¹²¹-’A

xmdx

]/ a² 4- x²

121a.) i

Jl

xmdx

y x²—a²

x²dx

¹²² V y«*+x²

122 a.)f

x²dx

y x² — a²

Tm—1__

= --Va² +

m

™m—1 _i. .

= -VX²—al 4-

m

2 V^+x² — |-ln(

= |]/^² —«² + |ln(

(m — 1 )a² f 'xm~²dx

[§ 18, Gl. (34.)]

(m —l)a²

² fx

J yx² — a²

[§ 18, GL (42.)]

m-²dx

)•

[§ 18, Gl. (37.) und (38.)]

x + y x² — a¹

XmJrl

m 4-2

y a² 4- x² 4-    a

123. )Jxmdxya² 4- x² =

123    a.)jxmdxy'x²

124. ) jdx ya²+x² = | y a² + x² + ^ ln(

124    a.) jdx yx²

125. )Jxdxya² x² =    (a² 4* x²) y a² 4- x².

125    a.)Jxdxy x²

126. ) f-t=r.

J X

— a² =

— a² =

— a² =

| CO

[§ 18, Gl. (43.)] xmdx

4" \ fy a² 4- x²

[§ 18, Gl. (47.)]

sjßtl2-f-1

«4-2

y x² — a²

m + żfyx*—a²

[§ 18, Gl. (50.)]

a,²

xmdx

x 4- y a² 4- x²

[§ 18, Gl. (48.)]

y x² — a² — °- ln ^

x 4- y x² — a²

(x² — a²) y x² — a².

y a² 4- x²

)•

[§ 18, Gl. (51.)] [§ 18, Gl. (49.)]

[§ 18, Gl. (52.)]

dx

x7>ya² 4- x²

(n— 1 )o²xn

126 a.)

J x

xnyx² — a²

y x²—a2 {n — 1 )a²x

=ï +

n — 2f {n—l)a²Jx

n — 2 r dx {n—\)a²J xn-2y~ï

y a² 4- x2 [§ 18, Gl. (54.)]

127.) Bilden die Coordinaten-Axen den Winkel y mit einander, so ist

b

F = sin y Jydx

a

der Flächeninhalt der ebenen Figur A^B^BA, welche oben von der Curve AB mit der Gleichung y=f(x), unten von dem Abschnitte AXBX auf der X-Axe und links und rechts von den Ordinaten AyA und BtB mit den Gleichungen x — a und x — b

begrenzt wird.

[§ 20, GL (2.)]

128.) Der Flächeninhalt einer ebenen, von zwei Curvenbögen y‘ =/(*) und y“ — g[x)

und von den beiden Ordinaten mit den Gleichungen x = a und x — b

begrenzten Figur ist für rechtwinklige Coordinaten

F =f{y‘ — y“)dx =J[f{x) — g{x)]dx.

[§ 21, Gl. (6.)]

129.) Der Flächeninhalt eines Sectors AOB, welcher von zwei beliebigen Radii vectores OA und OB und von einer Curve mit der Gleichung r=f(y) begrenzt wird, ist

ß

[§ 22, Gl. (6.)]

S = ±Jr-d(p.

130.) Ist die begrenzende Curve durch die Gleichungen

x = <p{t), y = ip(f)

gegeben, so wird der Flächeninhalt des Sectors AOB

(?)    (p

I [xdy — ydx) = — l(x

(«) («)

dy

dt

dx\

*7ü)

dt.

[§ 23, GL (6.)]

131.) Das Volumen eines Rotationskörpers, welcher die X-Axe zur Rotations -Axe hat, ist

*2

= n Jy^dx.

xx

[§ 24, GL (10.)]

132.) Das Volumen eines Rotationskörpers, welcher die F-Axe zur Rotations- Axe hat, ist

138.) Die Länge des Bogens einer Raumcurve ist

• -fiiäf* (£>'+ <S-M'⁺d)'⁺ ©'

[§ 32, Gl. (7.) und (8.)] i , K , L

+ --- + T=1 + J=7’

Vi

7TJ'xPdy. V\

[§ 24, Gl. (11.)]

133.) Das Volumen eines Rotationskörpers, welcher die Gerade x = a zur Rotations-Axe hat, ist

— TtJ {x

Vi

afdy.

[§ 24, Gl. (12.)]

134.) Die Länge eines Curvenbogens ist bei Anwendung rechtwinkliger Coordinaten

* ⁼fvdxi+&⁼hii+(0 =A Z¹+

*1    ?/i

-fiiShW

h

[§ 26, Gl. (4 a.), (6.) und (8.)]

135.) Die Länge eines Curvenbogens ist bei Anwendung von Polarcoordinaten

s = jy dr²

(pi -__- -

; =A/(0+ r5 ⁼fdrii+r2(^)²

<pi    n

[§ 28, Gl. (3.), (4.) und (7.)] 136.) Die Oberfläche eines Rotationskörpers, welcher die X-Axe zur Rotations-Axe hat, ist

0 = 2 n Jyds.

137.) Die Oberfläche eines Rotationskörpers, welcher die Y-Axe zur Rotations -Axe hat, ist

[§ 30, Gl. (4.)]

V2

0 = 2nxds.

Vi

[§ 30, Gl. (5.)]

t\    xx

₁₃₉.)?W₌_4 ,

/ [X) x ■—a x — b ' x—c

wenn in

f{x) = (x — a) (x — b) (x — c) ... (x — 7c) (x — l)

die Wurzeln a, b, c,...k, l sämmtlich von einander verschieden sind, und wenn der Grad von ą{x) niedriger ist als der von f\x). Dabei ist

₄ _ V(a) 1, __    ’P(o)    >f (k) , __ 'f(l)

m m' 7>r " m' ?w

Am einfachsten findet man die Zähler A, B, 6r, ...IC, L der Partialbrüche, indem man in der Gleichung

T(I)=iM ₊ iÄ₊... + K m_+Lm₁

K    x — a x — o    x — k x — t

der Eeihe nach x = a, x = b, x = c,... x = 7c, x — l setzt.

Ist

b = g + hi, c — g — hi,

und sind die Coefficienten in cp(x) und f(x) sämmtlich reell, so wird

Px 4- Q

{x — gf + h2 [§ 35, Gl. (3.), (4.), (15.), (16.), (18.), (18 a.) und (80.)]

140.)

<vix)

A%

Aa

/(«)

(x — a)

{x— a)

B]

(x — b) P    {x — b)P

(x — l)

wenn in

-Zv2

Li

(x — If

f{x) = {x — a)aix — b)P ...{x — If

die Wurzeln a, b,...l sämmtlich von einander verschieden sind, und wenn der Grad von (p(x) niedriger ist als der von fix). Ist

b = g + hi, c — g — hi,

und sind die Coefficienten von f(x) und <p(x) sämmtlich reell, so wird ß gleich y, und man kann setzen

By

B%

Bß

(x — b)P    {x — by

Ci

0%

(x-~

Ci

(x

cf-

P<2,x -j- Q2

PyX -f- Qi

[{x—gf+h²] P "h [(x—gf+h²f

U1-\h-ar

.    . /’ dx

rm —

Adx

{x—gf+h²

H3.)/

dx

[(x — gf + h² f

(n — l){x— a )n~l ’

= iarctg('r7'/)

i r dt

+t²y’

Pßx + Qß (x—g)l+h2 [§ 36, Gl. (1.), (11.) und (36.)]

[§ 37, Gl. (3.)]

wenn n > l.

• (Yergl. Formel Nr. 88 d. T.) [§ 38, Gl. (4.) und (7.)]

h2n

wobei x — g — ht.

[§ 38, Gl. (8.)]

144 ) LA

\!(1 + t‘)"    (2b — 2)(l+f:)

145.))JL*

wobei

3 r dt 2 n — 2 J (1 + t²)

[§ 38, Gl. (12.)]

(1 + t²)n

jcos2n~²zdz,

COSZ =

sinz —

y i +" t²

tgz = t, z — arctgG

Vi + e

sin 2 cosz = -—-—

1 -\r tL

[§ 38, Gl. (13.), (15.) und (16.)]

arctg(^).

Pff + Q

[§ 39, Gl. (3.)]

117 1 f(Px +

(2u~ 2)[{x — gf + h²]

Pg + Q / oft

¹ ./(i -j- t²)n ’

a2m-

14-1

y.m

xp

,...)dx = ff (i*, tn , tq

wobei x das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen q,... ist.

n,

[§ 42, Gl. (8.)]

P_

¹⁴⁹0>/?[*, (

^4 + Bx

S’ 4—

Ja t

Ay — ®    ,

150.) jF(x, yj** + 2Bx+C)dx = I

(Ab —• Ba)du (b ~ Byf

yVÄ-B

•    [§ 42, Gl. (11.)]

wobei

Ax + B

y~ yä ■’

ß²—^4<?

]/y²=p a² = ]/^4a;²4-2ßa:-f (7, d=a²

[§ 44, Gl. (1.), (3.), (4.), (5.) und (6.)]

151.) jF(x, Y Az² -j- 2 Bx -f- C’)dx

~A — B

dl

wobei

y-A

Y±d²—y² = |/^4a;² + '2Bx 4- C,

± a² =

li%)A

dir

_ Lln(

]/^² + 20^ + C ]/^4 V

4- B

y^

AC—B²_B²~AC

—    —~A

[§ 44, GL (7.) bis (12.) + VAx² + 2 Bx + 6^ ?

oder

dx

J Y Az² + 2Bx 4- C

1    . / ^4^ + ß

.-arc sm ( —==

y—a    vyß²

— ^4C

V=2

^4# 4~ ß ^

yß²—]4cr/

[§ 45, Gl. (la.) und (4a.)]

arc sin

(■

153.)JdxYAx¹ 2 +

2 Bx + C

oder

=_!_r

2}/A L

Ax -j- B

VA

ŸAx² + 2 Bx + C

AG — B²

Va

+ Y Ax² + 2Bx + <?^J

j dxY Ax¹ -j-

2Bx+C=-

L=r

2 y—a L

Ax -f- B

y-A

y Ax² + 2Bx + C

AC—B²

arcsin

Ax -f- B

Y B²—AG

)]'

[§ 45, Gl. (9 a.) und (13.)]

wobei

t = x -j- yx² ± a².

[§ 46, Gl. (5.) und (1.)]

fF^2 ({ÿA+B)

wobei

i56-) j/(x> y«²

t = xYA + YAx² + 2Bx+G. .    [§ 46, Gl. (10.) und (11.)]

2 at a(t²dtl\ —2a(t²±l)dt t² =pl ’    1 ) '    (l²l)²

± a;²)ate

=/(

wobei

[§ 47, Gl. (5.) und (1.)]

157.))jF(x, Y Ax² + 2Âr + C')ofo =

2(/y (7+ 5)    — 2(?!²yâ+2B^+^yCr)^,

(fi —A)²

fi—A~’ ~ t² — A y

~ (]/C + YJz² + 2Bx + C). 158.)IJf(x, Y(ax + ß)(yx + öj)clx

[§ 47, Gl. (11.) und (12.)]

=/F(

ßt² — $ {ßy — «d)£\ 2(ßy — ad)tdt (y -— at² )²

at¹

y —- at²

wobei

-1

yx + à cex + ß

oo    b

159.) J'F\x)dx = lim jF\x)dx — lim F{b) — F(a). [§ 51, Gl. (2.)]

a    b=oo a    6=oo

6 6

16 OOyjP(#)<£*; = lim fF‘(x)dx = -F(ó) — lim F(a).

[§ 48, Gl. (9.) und (10.)]

— oo

a=—oo a

a=>—oo

[§ 51, Gl. (3.)]

161. ) Ist F‘(b) = ±oo, _F'(æ) aber stetig für a^z< b, so ist

b    b ß

jF\x)dx = lim fF\x)dx = lim F(b — ß) — F(a). [§ 52, Gl. (2.)

und (3.)]

162. ) Ist F‘(a) = ± 00, _F(a;) aber stetig für a<x^b, so ist

[§ 52. Gl. (4.) und (5.)]

163. ) Ist F\a) = ±00, F‘{b) = ± 00, F‘(x) aber stetig für a <x< b, SO ist

b    b—jî

fF‘{x)dx = lim f F‘(x)dx = lim F(b — ß) — lim F(a + a).

[§ 52, Gl. (6.) und (7.)]

164. ) Ist F‘(c) — ±: 00, F\x) aber stetig für a^x<c und c < x b, so ist

8=0 a

ß=0

b    b

fF‘{x)dx = lim J‘F‘(x)dx — F(b) — lim F(a -j- a).

ß    Of=0a_|_a    a=0

a=0

ß=0

a-\-a

/i=0

a=0

c—y

fF‘{x)dx = lim fF‘(x)dx + lim fF\x)dx

c+(j

= F(b) — F(a) + limine — y) — \imF(c + à).

y=0 a

y=0

J=0

CO

165.) Liegt die Function f{x) fiir alle Werthe von x innerhalb des Intervalles von a bis b der Grösse nach beständig zwischen den Functionen ą{x) und ip(x), ist also

<f (z)    #*)>

so ist

b

166.) j'g{x). h{x)dx =

h    b    b

f(f {x)dx < Jf(x)dx < Jip(x)dx.

a    a    (t

b

a)]\Jh(x)dx

[§ 54, Gl. (3.) und (4.)]

g\a + <9(0 —

wenn h(x) in dem Intervalle von a bis b das Vorzeichen nicht

[§ 55, Gl. (12.) und (12 a.)]

wechselt.

X    x

166 a.) Jg(x). h(x)dx = g(Ox) f h(x)dx.

O    0

b

167.) fg(x)dx =

[§ 55, Gl. (13.)]

(b — a)g\a + &{b

168.) Ist fiir alle Werthe von x zwischen a und b

f{x) — +) + u\ + ui 4* u3 + • '• •

eine gleichmässig convergente Reihe, deren Glieder u₀, uly u₂, ... in dem betrachteten Intervalle stetige Functionen von x sind, so ist auch

«)]•

[§ 55, Gl. (15.)]

b    b    b

fu^dx +Ju^dx + Ju<>dx + ••-

a    a    a

eine gleichmässig convergente Reihe, deren Summe gleich

jf(x)dx=F(b) — F(a)

ist, wenn man F‘(x) —f(x) setzt, obere Grenze mit x bezeichnen.

Dabei darf man noch die [§ 57, Gl. (4.) bis (6.)]

169.)i/

dx

/    « = oo    \

(1 + 2 <%&*)

\    n = l    /

arcsin#

n = co

— V1 — xl 2 cnk2nGn(x) t

Cn —

1.3.5... (2/*— 1) 2.4.6... (2»)    ’

(2 n—l).z²"~3 (2n) (2n —2)

2h—1

in—1

/ 1 £

C/i \cw_i 2«—1 '    —₂    —3

(2n—1)(2n—3)... 3 . x (2n)(2n— 2)... 4.2 1 x³

dx

170.) K = (-/_____

o/]/(l — æ²)(l— k'²x²)

171.

)'

+ ••• + -[§ 58, Gl. (2.), (7.) und (8.)]

Ci 3

/    71=00    \

(1 + 2 4+2m)

\    »i=i    /

[§ 58, Gl. (9.) und (10.)]

]/l— *²

0 f

w=c

dz=( 1 — 2

j) arcsinz

M=

+ yi-*² s

y Crn(a).

[§ 58, Gl. (15.)]

y \ — k²x²

172.) E= f t__

J y 1 — *²

o

/    n=oo ^.2 7.2<»

= (i-S

= (l —ClU» —I-c«** —l«.,«#¹----)■

[§ 58, Gl. (15 a.)j

c/a:

tel

173.) F{k, <p) =j-

dx

dcp

J y{I — x²){l — k²x²) J y 1 — sin²« shï-rp = a₀(f — y sin(2çp) + j sin(4y) — sin(6ip) -Ą-----,

wobei

x — sin cp, k — sin « =

n=oo

«0 = (1 + «²) 2 Cn •    «1 = (1 + Ć²) 2 cnG»+l • £2+4rt, . .

n=0

2s

1+ S²

tel R

n—oo

n= 0

71 = 00

= (1 + Ć²) 2 CnCn+v • «2V+4W? n=0

oder, wenn man —

— sin²«

1 4- ć⁴

sin²«

2e²

mit £ bezeichnet

-2 •

(2 n — 1 )an = 4(rc — l)ffw-i £ — (2 n — 3)tfw

[§ 58, Gl. (22.), (24.), (36.), (37.), (38.), (40.), (44.) und (48.)]

-fr

0

1 — sin²«sin²y> . dtp

174.) E[k, V) =

o v

b 2    "I

= bo<p + y [^i sin(2çp) — j5₂sin(4y) + 2?₈sin(6çp)--1---- »

wobei

16#2 — G-i - @3 y

2b₀ = (2 — Æ²)a₀ —    ?    4^i = «o — «2

36i?3 = «2 — «4, • • • (2rifBn = an-! — an+i.

[§ 58, Gl. (25.), (61.), (65.) und (67.)]

71

2

175. ) K= F(k,

Ô

n

Y

176. ) E = e(&,    =Jd(fyï

o

d(f>

Ü.Q TZ

Y1 — sin²«sin²<p

2~ • [§ ⁵³> Gl- (68.)]

b₀TC

— sin²« sin ²q> —

u

=    [(2 — k²)a₀ — k²a\\ .

b

177.) djf{x)dx — — f(a)da + f(b)db.

Bf(x, t)

[§ 58, Gl. (69.)]

[§ 59, Gl. (3 a.)}

b

¹⁷⁸-⁾ wff{r’ t)dx =J et

a

b

¹⁷⁹.)~/(-, W

dx.

da

db

-/(«, *) • y +/(*. 0 • *

V(*. o

[§ 59, Gl. (8.)]

co

1.3.5... (2n — 3)

2.4.6... (2n — 2)

a2n-l

to a

181.

>/■

o

CO

[§ 60, Gl. (6 a.)]

—¹. zndz =

nl

$w+i

[§ 60, Gl. (12.)]

182.) )Jcos2nxdz = I8 o    o

sin 2nxdx

7t

_ (2w—l){2n— 3) ...5.3.1 2n(2n — 2)... 6.4.2

[§ 61, Gl. (3.) und (5.)]

to a

183.) je

o

COS 2n+xxdx

= lsm2n+1 xdx —

184.) ~ = lim

A n

=oo

CO IrH

Ol ICO

IcO

Oi 05

2// (2w — 2)... 4.2 (2»+l)(2»—l)...5.371 ’ [§ 61, Gl. (19.) und (20.)] n — 2 . 2n 2 n — 1 2 n — 1 [Formel von Wallis, § 61, Gl. (33.)]

185.) In jeder trigonometrischen Reihe

n=co

f{x) — {-ao -f 2 [«»COS(nz) -f- £wsin(w:r)],

n=l

welche in dem Intervalle von 0 bis 2zr gleichmässig convergent ist, haben die Coefficienten an und bn die Werthe

an

'2n

= ~Jf(x)cos(nx)dx

o

2 7t

= jf(z) sm(nx)dx.

[§ 62, Gl. (22.)]

186.) Der Flächeninhalt einer ebenen Figur, welche oben (oder unten) begrenzt ist durch die Curve y =f(x), unten (oder oben) durch die X-Axe, links und rechts durch die Ordinaten x — a und x — b, ist näherungsweise

—jf{x)dx =

a

= g [/(a) + 2/(a+^) + ²/(a+2/^)+----l-2/(ö—-ti)+f(b)\,

tOi

iyo + 2?/i -j- 2y<i + • • • + 2yn-\ + yn)

nh — b — a, i/o =/(«), V i =/(«+A),... y h-i =/(A —A), y» =/(ô)

[§ 64, GL (4.) und (6.)]

187. ) Der Flächeninhalt der in Formel Nr. 186 beschriebenen Figur ist näher ung sic eise

b

F = ff (f)dx = 2h[f(a + h) +/(« + 3Ä) H-----f-/(A — A)J

a

— 2A(yt 4- y3 + y5 + ••• + y-2n-l), wobei aber

2nh — b — a, yt =f(a + A), y₃ =/(a + 3Ä),... y₂„_i =f(b — h)

[§ 64, Gl. (11.)]

188. ) Der Flächeninhalt der in Formel Nr. 186 beschriebenen Figur ist näherungsweise

ist.

ist.

b

= lf(x)dx —

ß L/(a) + 4/(a + A) + 2/(a + 2A) + 4f(a -j- 3A)

4~ 2y(a 4- 4A) + • • • 4- 2y(A —2A) + 4y(£—A) -\-f(bj\

= g (yo 4" 4yt 4" 2y₂ 4" 4y₃ 4- 2y4 4~----f- 2y2w-₂ 4- 4y₂

wobei

2nh=b — a, yo =f(a), yt =/(o 4- A), y₂ =/(a + 2Ä),... ys =/0 4- 3A),...y2w_i —f(b — A), y₂„ =/(*) ist. (Simpson'sehe Regel.)

189.) Der Flächeninhalt der in Formel Nr. 186 beschriebenen Figur ist näherungsweise

+ 3/2») ,

[§ 65, Gl. (10.) und (11.)]

= jf(x)dx —

to

[(7y₀ + 32yt 4" 12y₂ 4~ 32y₃ 4- 7y₄) 4" (7y₄ 4~ 32yö -j- 12y₃ 4- 32y7 4* 7y$)

4-

4* 32y₄»_₃ 4* 12y4fl_₂ + 32y4n_i + 7y4>,)]

n—4

+ (7y*

wobei

4nh = b — a, y₀ = f(a), yt —f(a 4- A), y₂ =/(« 4- 2Ä), 3/3 =/0 + 3A),... y₄»-i =f(b — A),    y₄„ =/(A)

190.) Der Flächeninhalt der in Formel Nr. 186 beschriebenen Figur ist näherungsweise

3 + ]/3

F=:jf{x)dx = h[f (a + ³-J/3 ä) +

+Ka+~lPh)⁺

+/(“ + ¹⁵ +f(a +

+ f(i

CD

; co

CO

"t⁰*)

wobei

2 nh = b — a.

[§ 67, Gl. (15.)]

191.) Der Flächeninhalt der in Formel Nr. 186 beschriebenen Figur ist näherungsweise

F—    + 3/1,2) + (2/2,1 + 2/2,2) + *•• + (2/«, 1 + 2/», 2)]

+ hc2 [2/1,3 + 2/1,4) + (2/2,3 +2/2,4)+ • • • + (2/», 3 + 2/»,4)],

wobei

2/wi, 1 =f[a + (4m — 2 — a)A] 2/m, 2 =/[« + (4m — 2 + a)h\j 2/m, 3 =/ [a + (4m — 2 — 0)/i] 2/m, 4 =/[« + (4m — 2 + ß)h\

«²= ^3 —0,41/30), ,»! =

2 (8/?²    4) _    1 v-

¹    3 ((Ï² — w²)    1 + 18^30,

.^Väö,

(3 + 0,41/30)

_ 2(3«² — 4) _

~ 3 («² — ß²) —

4?    =5 — a.

192.) Das Volumen eines Körpers ist

18

[§ 67, Gl. (30.) bis (35.)]

«2

V = fF{x)dx,

*1

wobei F(x) der Flächeninhalt eines Schnittes, senkrecht zur -X-Axe, im Abstande x von der YZ-Ebene ist.

[§ 68, Gl. (9.)1

193.) Ist der Körper oben begrenzt durch die Fläche

= g(x, y),

unten durch die Fläche

¹

² YA + 2Bt+CyA\ _ (fYA + 2Bt+ CyA)dt,

²

(i/Â+B)    /    2(0/3 + Bf

z“ = Kx, y),

vorn und rückwärts durch die Cylinder

yi = <pix), y* = <P(X) links und rechts durch die Ebenen

X = Xi , x = x₂,

so ist das Volumen

x-i y₂    x-i y>(x)

V —- j'dxj'iz ‘ — z“)dy = dx/f(x,y)dy,

x₁    (p(x)

V\

wobei

fix, y)=zJ — z“ = g(x, y) — h(x, y)

ist.

[§ 70, Gl. (6.) und (10.)]

194.)

h d    d b

Jdx/fix, y)dy —Jdy ff (x, y)dx,

wenn die Integrationsgrenzen a und b, c und d constant sind.

[§ 71, Gl. (15.)J

b xp(x)

ß /((«)

195.) fJf(x, y)dxdy =±j Jf(x, y) • (

dx öy öx dy du do dv du

^dudv,

a (p(x)

a g(u)

wobei

ist.

[§ 72, Gl. (2.) und (14.)]

b iy(x)

ß h(<p)

196.) f ff(x, y)dxdy — f y/(rcos<p, rsiny). rdydr.

a g(cp)

a q>(x)

[§ 72. Gl. (19.)]

OO

198.) Der Flächeninhalt einer krummen Oberfläche ist

b \fj(x) _____

=fdxfdy ]/1 + (|0 + (§0■

a cp(x)

b xfJ[x)

o =JdxMyw+W+m

[§ 73, Gl. (1301

a (f(x)

199.) Der Flächeninhalt einer krummen Oberfläche ist

°—Jfdxdy^¹⁺(jfz) + (|y)⁼ffdu d°yA2 + b² + c*>

wobei

[§ 75, Gl. (4.), (8.) und (11.)]

200.) Führt man räumliche Polarcoordinaten durch die Gleichungen

x = r cos/(. cos </>, y=rcosźsiny, z = rsin/

ein, so wird

[§ 76, Gl. (1.) und (5.)]

du = M(x, y)dx + N(x, y)dy

201.)

ist ein vollständiges Differential, wenn

dM(x, y) _ dN(z, y)

d~x

dy

ist. Man erhält dann

f(N~ S> ⁺

v = jM(x, y)dx.

C, wobei

[§ 77, Gl. (2a.), (4a.), (15.) und (16.)] 202.) du = F{x, y, z)dx -f- G(x, y, z)dy -f- H(x, y, z)dz ist ein vollständiges Differential, wenn

u = v -j-

dx = **> V) kann integrirt werden durch die Reihe

dy

wobei

f(

Cb Cb

dw

dz

^dz -f-

C,

v — jFdx,

[§ 79, Gl. (2 a.), (4 a.), (8.), (17.), (22.) und (23.)] 203.) Die Differential-Gleichung erster Ordnung

w=/(

: Cb

dy

■)dy.

Cb Qi

dF

dy

ist. Man erhält dann

ÖF _dH dG_ dH dz dx ’ dz dy

y =f{x) =f(a) -f

/'(«)

/"(«)

l!

(x — a) +    2|

( x — df -f- • • •

wobei f(d) = b eine ganz beliebige Grösse ist. Die Coefficienten findet man für x = a aus den Gleichungen f‘(x) — <p(x, y),

-1' + sf s ”    »>■

es wird also

f‘(d) = (p(a, b), /"(a) = (p\a, b), f“‘(a) = tjp"(o, b),....

[§ 82, Gl. (17.) bis (22.)]

204.) Die simultanen Differential - Gleichungen erster Ordnung

dy

dz

dx

dx

können integrirt werden durch die Reihen

y = fix) =f(a) +

fW

1!

[x — a) +    2!

(x — af + • • •,

- = g{z) = g (à) +

y‘(d)

l!

(x — a) Ą--—

(x — af + • • •,

wobei f{a) = b und g(a) = c ganz beliebige Grössen sind. Die Coefficienten findet man für x = a, y = b, z = c aus den Gleichungen

f‘(x) = y(a-, y, 2):

/"(*) =

$<jp

c'a;

fr fr

cte ¹ ćfe

_ <9<p'    dcpJ dy    dą>‘ dz _

dz    dy dx    dz dx

9"0, Viz) »

9» =

9‘»

o. Qj q] Qj 'S

S 'S H IS (*T -f-

Qj! Qj Cb] ^ |S ^ iS -

§*1^* frl^

ip\x, y, z),

xp“(x, y, z),

es wird also

/'(«) =    <f(a> b, c)>    f“{a) — b, c),    f“\d) =    b, c),...

y'O) =    c), g "(à) —    ip\o, b, c),    g"‘(a) =    ipiJ(a, b, c),...

[§ 82, Gl. (31.), (37.) bis (46.)]

205.) Die m simultanen Differential - Gleichungen erster Ordnung

?iO; yu

dx

dy-2

dx = 9^0; yi, y₂,...y*)

dym_ dx

können integrirt werden durch die Reihen

y« =/«(*) =/«(«) +

/«O)

1!

/«X«)

(*-«)+ ₂,

wo oc = 1, 2,... Tw zu setzen ist, und wo

/i(o) = öi, /₂(«) = 4 fm(d) = bm

noch ganz beliebige Grössen sind. Dabei ist

/« (ß) — V“(a J Öl , Ö2 , . .. Öm) 5

/« (a) — ff a (ö , Öi, Ö2 , . . . Öm) ,

/«'"(«) =    0,, ö₂,...öm),

[§ 82, Gl. (53.) bis (59.)]

dmy

dxm

/-(*) = /-"(*) =

a(x 5 yi > y 2 5 • • • y in) >

(fcc dtpa dyi d(fa dy2 dx diji dx    dy₂ dx

<p'afa yt,

ĆV« , öcp^a dfh , dqda dy-i ____

ÓG ob/i cör %₂ dx

yi, y-2,..-ym),

d(f a dym

dym dx

d(f‘a dym dym dx

also

206.) Die Differential - Gleichung¹ rater Ordnung / dy dhi dm~~ly

= *(*> V'tx' W""d^ kann integrirt werden durch die Reihe

y =/(*) =/(«) +

/w

/"(«)

1!

(« —o) +    ₂,

(# — a)² +

wobei

/(«) = ö, /» = öi,.../(-%) =ö ganz beliebige G-rössen sind. Die höheren Ableitungen findet man aus den Gleichungen

• • öm_ 1) ,

• • öm—1 ),

/(m)0) = 5f(a; ö, öl /(-+D(a) = ^(a; ö , öt

[§ 82, Gl. (63.) bis (68.)]

207.) Ist    y)= XiYi, N(x,y) = X₂Y₂, wo Xt und X₂

Functionen der einzigen Veränderlichen #, Yi und Y₂ Functionen der einzigen Veränderlichen y sind, so kann die Differential-Gleichung erster Ordnung

M(z, y)dx + N(x: y)dy — 0 durch Trennung der Variabein auf die Form

dy= o

gebracht und ohne Weiteres integrirt werden.

[§ 84, Gl. (2 a.) bis (7.)]

ten

208.) Sind M(x, y) und N(x, y) homogene Functionen m Grades, so führt die Substitution y — xz, oder x = yz in der Differential - Gleichung

M(x, y)dx -f- N(x, y)dy = 0

zur Trennung der Variabein.

[§ 85, GL (1.) bis (9.)]

209.) Die lineare Differential-Gleichung erster Ordnung

dy

dx + y ■/(*) = <Pi?)

wird integrirt

a)    nach Bernoulli, indem man y — uz setzt und u so bestimmt, dass in der dadurch sich ergebenden Differential-Gleichung der Factor von 2 verschwindet;

b)    nach Lagrange durch Variation der Constanten, indem man bei dem Integral der linearen, homogenen Differential-Gleichung

dy

Tx + y.f(x) = 0

die Intégrations-Constante als eine Function von x betrachtet; c) durch den integrirenden Factor

#r) = efAx)i\

Durch jede dieser drei Methoden findet man

ff(x)dx

—ff{x)dx[ f

V = e I <P\X) • ⁶

dx C .

[§ 87, Gl. (9.), (37.) und (70.)]

210.) Ebenso kann man die Differential-Gleichung

dy

■fx + y •/<» = yn • 9>(*)

integriren, indem man y — uz setzt und u so bestimmt, dass in der sich daraus ergebenden Differential - Gleichung der Factor von 2 verschwindet.

211.) Die Function v heisst ein integrirender Factor der Differential- Gleichung

Mdx -f- Ndy = 0,

wenn v(Mdx + Ndy) ein vollständiges Differential ist. Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür ist

dN dM

dv

öx

= B(

dx dy

. _    1 /dN dM

212.) Ist N (^öx

liehen x, so ist der integrirende Factor

dy

[§ 91, GL (1.)}

^ eine Function der einzigen Veränder-

_ f( dN dM\Ae

p — ç j\dx ôy ) N

gleichfalls eine Function der einzigen Veränderlichen x.

. l /dN dM ²¹³') Ist M \dx liehen y, so ist der integrirende Factor

dy

[§ 91, Gl. (4.)}

^ eine Function der einzigen Veränder-

(\<NL_dJL

— e '\dx öy M

gleichfalls eine Function der einzigen Veränderlichen y.

214.) Ist

dN dM

dy

[§ 91, Gl. (14.)} ^ eine Function der einzigen

xM— yN \dx Veränderlichen z — xy, so ist der integrirende Factor

/y dN 6 M\ dz ,£} —— pff \dx dy JxM — yN

gleichfalls eine Function der einzigen Veränderlichen z.

215.) Ist

x²

xM -j- yN Veränderlichen 2 =

[§ 91, Gl. (25.)]

/dN dM\

( -Q-—q ) eine Function der einzigen

so ist der integrirende Factor

r/dN _ cM\_

v ed\6jc dy JxM+yN

x²dz

gleichfalls eine Function der einzigen Veränderlichen 2.

216.) Ist

fdN

eine Function der einzigen Veränderlichen 2 = x² + y², so ist der integrirende Factor

yM — xN

HdN _ dM\ __ dz v    öx dy / 2(yM— xN)

gleichfalls eine Function der einzigen Veränderlichen Tz.

dy

[§ 91, Gl. (52.)]

217.) Bezeichnet man ^

Integration der Differential-Gleichung

« = 9>(p)

der Kürze wegen mit p, so wird die

durch Ermittelung von

V =f<P‘(p)-PdP + c

ausgeführt.

218.) Die Integration der Differential - Gleichung

y = <f{p)

wird durch die Ermittelung von

[§ 93, Gl. (2.) und (5.)]

ausgeführt.

/y ( p)dp

J p

[§ 93, Gl. (15.) und (18.)]

219.) Die Integration der Differential-Gleichung

« =f(y, P)

wird auf die Integration der Differential - Gleichung

1 öf

dy

)c/y

df

dp

dp = 0

zurückgeführt.

220.) Die Integration der Differential-Gleichung

y = /fo P)

wird auf die Integration der Differential - Gleichung

dx — 0

[§ 93, Gl. (29.) und (30.)]

zurückgeführt.

220 a.) So kann man z. B. die Differential - Gleichung

y = x -f(p) + <p(p)

auf die Integration der linearen Differential- Gleichung erster Ordnung

[p—Ap)]

dx

dp

— x.f\p) = (f'(p)

zurückführen.

[§ 93, 61. (43.) und (45.)]

221.) Aus der allgemeinen Lösung'

G(x, y, C) = 0

einer Differential-Gleichung findet man die singuläre durch Elimination von C aus den beiden Gleichungen

G(x, y, C) = 0 und

dG{x, y, C) _

dC

[§ 94, Gl. (3.) und (6.)]

222.) Die Differential - Gleichung der isogonalen Trajectorien, welche die sämmtlichen Curven der Curvenschaar

F(x, y, u) = 0

unter dem constanten Winkel F schneiden, findet man durch Elimination von u aus den Gleichungen

F{x, y,u) = 0

und

(d\ cos d —■ d-2 sin 0)dx -ff (ifisin 6 -ff F₂ cos D)dy — 0.

[§ 96, Gl. (1.) und (8.)]

223. ) Die Differential-Gleichung der orthogonalen Trajectorien, welche die sämmtlichen Curven der Curvenschaar

F(x, y,u) = 0

unter rechtem Winkel schneiden, findet man durch Elimination von u aus den Gleichungen

F(x, y, u) = 0 und — F₂dx -ff F\dy = 0.

;[§ 96, Gl. (1.) und (11.)]

224. ) Die orthogonalen Trajectorien der Curvenschaar

F(x, y, u) = fix) -ff g\y) — u — 0 genügen der Differential-Gleichung

dx _ dy

225.) Die orthogonalen Trajectorien der Curvenscliaar /O). g(y) == u

genügen der Differential-Gleichung

f(x)dx _ g{y)dy f\*)    9\V)

[§ 97, Gl. (67.) und (70,)]

226.) Die orthogonalen Trajectorien der Curvenscliaar F(r, (f, u) — 0

genügen einer Differential-Gleichung, die man durch Elimination von u aus den Gleichungen

F(r, (p, u) — 0 und

ÖF_ ô F drp dr

der

dr

findet.

[$ 97, Gl. (75.) und (83.)] 227.) Die orthogonalen Trajectorien der Curvenscliaar F(r, q, u) =/(r) + £-(</>) — « = 0 genügen der Differential-Gleichung

dr

dq)

•    [§ 97, Gl. (101.) und (103 a.)]

F . f\r)    g\q)

228.) Die orthogonalen Trajectorien der Curvenscliaar

genügen der Differential-Gleichung

fi'&dr _ g{q>)dq>

r* -f\r) <j\<p)

[§ 97, Gl. (104.) und (105 a.)] 229.) Das allgemeine Integral der Differential - Gleichung mter Ordnung

p- = *,)

dxm *v -

kann auf die Form

[m — 1)!

é

x₀

[x —z)m~'q>(z)dz +

C\x‘

[m — 1 ) !

( m —- 2)!

(dm — \X

1!

+ (dm

230.) Das allgemeine Integral der Differential-Gleichung

oder q = f(p)

d²y

clx²

- f(M)

findet man durch Elimination von p aus den Gleichungen

+ C2 .

X=fj

dp

f\P)

+ C, und y=jy{p)

[§ 100, Gl. (1.), (3.) und (5.)]

pdp

231.) Das allgemeine Integral der Differential - Gleichung

findet man durch Elimination von q aus den Gleichungen

x _ f <p\q)dq

J q

-ff C\ und y

_ C<p(q) v‘{q)dq

J q

-f- C*.

[§ 100, Gl. (23.) und (26.)]

232.) Das allgemeine Integral der Differential - Gleichung

ist

dy

C'i -ff 2jf(y)dy

+ ci.

233.) Die Differential - Gleichung

dhy y dz'¹ cd

[§ 101, Gl. (1.) und (7.)]

hat die Lösung

y — A . e'¹ B . e 234.) Die Differential-Gleichung

dhj _ y dx²

a. [§ 101, Gl. (8.) und (18.)]

cd

hat die Lösung

y = G sin

+ Bcos(0'

235.) Das allgemeine Integral der Differential-Gleichung dht

dz²

= /(«)>

WO

dm~-y

u = - ₇-—; 7 dxm~l .

ii

findet man, indem man die Gleichung

+ C%

r    du

+ 2/ f(u) du

[§ 101, Gl. (29 ), (33.) und (34.)]

nach u auflöst und das in Formel Nr. 229 angegebene Verfahren anwendet.

236.) Die Differential-Gleichung

ĄT.P- >Ä- 0 = <>

V ’ dx* dx¹¹^1    m)

reducirt sich auf die Form

dny

du dru ’ ’ dz, ' dz²    dx'n~

d'n n

u\

n) — ⁰’

wenn man mit u bezeichnet. dxH

237.) Die Ordnung der Differential-Gleichung

F(y<

wird um eine Einheit erniedrigt, wenn man

dy d²y

dz ' dz² ’

[§ 102, Gl. (1.) bis (3.)]

d,ni/\

dy

dx

p setzt und

y zur unabhängigen Veränderlichen macht. [§ 102, Gl. (10.) bis (13.)]

238.) Die Ordnung der Differential - Gleichung

dy dry V’ dx ’ dx²’"

■P) = 0

dzmJ

wird um eine Einheit erniedrigt, wenn die Gleichung in Bezug

auf die Grössen y, ~ ; ^ !{

J ’ dx dx¹

durch die Gleichung

dmu

■ . homogen ist, indem man

dy

dx

— yu

u als abhängige Veränderliche einführt. [§ 102, Gl. (75.) bis (SO.)]

239.) Das allgemeine Integral der homogenen linearen Differential- Gleichung

y— Ci.. er'x + G₂. er*x 4-----F Cf,„. eV,

wobei r1? r₂,...rm die Wurzeln der Gleichung

-F(m) = Um + ft Um~X +f₂ilm~² -F----F fm-\U "F fm = 0

[§ 101, Gl.’(l-), (15.) und (17.)]

sind, vorausgesetzt, dass rl} r₂,... rm sännntlich von einander verschieden sind.

240.) Ist

rt = a -J- bi, r₂ = a —- bi, so kann man C\. erix + C₂. er*x ersetzen durch eax [Â cos (bx) + B sin (bx)].

[§ 104, Gl. (20.) bis (28.)] 241.) Sind unter den Wurzeln rt, r₂, ... rm der Gleichung F(u) = 0 gleiche vorhanden, ist z. B.

»T = »•* = ••• = ra,

so gieht Formel Nr. 239 nicht mehr das allgemeine Integral; dieses hat in diesem Falle vielmehr die Form

y = (C\ -F C,x + C₃z² 4-----h Caxa~l)er'x + Ca+l. era+i* +

• • • + Cm .

[§ 101, Gl. (44.), (51.) und (61.)]

242.) Das allgemeine Integral der nicht homogenen linearen Differential - Gleichung

dmy ,

dy

dmy

+/l

dm-ly dxm-¹

dm~-y

dxm~‘l

dy

dx

dxm

in welcher die Coefficienten f, f>, •••/»» constante Grössen sind,

ist

dm~¹y dxm~l

ist, wenn die Wurzeln der Gleichung F(u) = 0 sämmtlich von einander verschieden sind,

er,x

F\rx)

[Ci +J(f{t) • e~rJdt\ + 0

x

er,x

F\r₂)

[Ci + jff(t) • e~r*dt] o

ermx

b

243.) Ist yi ein particuläres Integral der homogenen Differential-Gleichung

chj

dm~hj dxm~l

so lässt sich die nicht homogene Differential-Gleichung

d"‘y

dx

m + MX)

dx

Jrfn{x).y = 0,

d,ny

+/iO)

dm~ly

dy

dxm

durch die Substitution

d-----\-fm-i(x) dx + /«(*) • V = <f (x)

y = yi (/■& +    ,

oder m

. ■V")

V yx /

d"l~-u

dx

[§ 106, Gl. (1.) bis (8.)] 244.) Sind n particuläre Integrale yx, y*, ...yn der homogenen Differential - Gleichung

auf eine nicht homogene Differential-Gleichung (m — l)ter Ordnung von der Form dm~lu yi dxm~ zurückführen.

dmy

dxm

dm~ly dx"¹—'

bekannt, so lässt sich die nicht homogene Differential-Gleichung dm-'y dxm_1

auf eine andere nicht homogene Differential - Gleichung {m—w)ter Ordnung von der Form

+ /»(*)

d-----Vf mix) . y = 0

dmy

dx

». +f(x)

-1-----VfJx). y = g>(x)

L₀{x)

dm~nv

dxm~

n + L'(X)

dm—n—l,Q

dxm~n-1

-1-----h djm—n(x) . V — (ff)

zurückführen, wobei und

Oi = Jvdx -f- Ai,

Cr2 — fcfi{x) . vdx -F A2, ...

Cn = J(pn_i{x) . vdx -f- An.

Die Functionen g>i(x), <p₂(x), ... (fn-i{x) sind durch die Gleichungen

dx

--b

dC\

dC 2

yi~sr + yi dx

dyi dC\ dx dx

dy₂ dC-i

dx dx

= 0,

difn dCn _

dx dx

⁺ '" + y“ dx

dn~²y₁ dC\

dxn~²

dn~²y₂ dCo dxn~l dx

dn~²yn dCn

dzn~² dx

oder

dC₂

y , dCi dCa , % dC\ dCn    . , dC\

dx =    •*’&- =

[§ 106, Gl. (17.) bis (31.)] 245.) Sind in der Differential-Gleichung mter Ordnung

dm~xy dxm~

4 • • • 4 («« 4 £)y»

erklärt.

(ax -f- b)

dmy

m '1

dxm

l + (ax 4 b)nl~²f₂

dm~²y

dxm~²

rdy

,s+/-..y = °

die Coefficienten fi} f₂, ...fm constant, so hat das allgemeine’ Integral die Form

y = C\(ax + b)ri -f C₂(ax + b)r* 4 • • • 4 Cm(ax + b)r»>, wobei Ti, r₂,... rm die Wurzeln der charakteristischen Gleichung

amr(r—l)(r—2) .. .(r—m-{-l)-\-a,n-lr(r-—1 )(r — 2)... (r—mĄ-2)fi +----(- a²r(r —l)/„,_₂ + arfm_i 4 /,„ = 0

sind, und wobei 6], Cr₂,... Cm noch beliebige Constanten sind.

[§ 107, Gl (1.) bis (6.)].

246.) Sind

rt = a 4 ßi und r₂ = a — ßi

zwei conjugirt complexe Wurzeln der charakteristischen Gleichung, so wird

C\(ax + b)ri 4 C₂(ax 4 b)r* = (a# 4 b)a [Acos(/»/) 4 sin(///)] wobei man

gesetzt und mit A und B zwei beliebige Constante bezeichnet hat.

247.) Sind in der charakteristischen Gleichung- die Wurzeln r, und r₂ einander gleich, so hat man in dem allgemeinen Integral für die in Formel Nr. 245 gelöste Differential-Gleichung C\(ax + b)r¹ + C₂(ax + b)r* mit (ax + b)r'\_Ay -(- A₂\n(ax -j- o)] zu vertauschen.

Sind in der charakteristischen Gleichung drei Wurzeln n, r₂, r₃ einander gleich, so hat man in dem allgemeinen Integral C\(ax -j- ó)⁷"¹ -f- (J₂(ax -f- Uy* -j- 0₃(ax -f- è)r3

mit

{ax -)- b)r'[Ay + A₂\n(ax 4- b) -j- A₃ {ln(aa: + ö)}²]

zu vertauschen. U. s. w.

[§ 107, Gl. (25.) und (36.)]

248.) Das allgemeine Integral der beiden linearen simultanen Differential-Gleichungen erster Ordnung

dx>    du

dt +/i^ + uw — dt

bei denen fy, gii hy, f₂, g₂. h₂ noch beliebige Functionen von t sind, findet man, indem man die zweite Gleichung mit o multiplicirt, von der ersten abzieht und für die noch willkürliche Function v zwei particuläre Integrale vy und o₂ der Differential-Gleichung

dv

dt =/^² — CA —    — ffi

in die Gleichungen

Wi = x — Vy y, u‘2 = x — c₂y

V\f₂)Wy = hl - Cylt₂ ,

einsetzt. Die Functionen wy und w₂ sind dann die allgemeinen Integrale der linearen Differential-Gleichungen erster Ordnung dwy

4~ (fi — r'?f>)w₂ — hy — v₂h₂.

~di t {f' dw₂

dt

[§ 10P, Gl. (1) bis (10.)]

ZARZĄD szuu_y górniczej

Dąbrowa (SI. austr.)

Druckfehler.

Seite 43, Zeile 10 v. u. lies

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Seite 44, Zeile 3 v. o. lies

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej 11-351578

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