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Grundriß

der

Differential- u. Integral-Rechnung

I. Teil: Differential-Rechnung.

Von

Dr. Ludwig Kiepert,

Geheimer Begierungsrat,

Professor der Mathematik an der technischen Hochschule zu Hannover.

Zehnte vollständig umgearbeitete und vermehrte Auflage des gleichnamigen Leitfadens von

weil. Dr. Max Stegemann.

Mit 181 Figuren im Texte.

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Hannover 1905.

Helwingsche Verlagsbuchhandlung.

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Alle Rechte Vorbehalten.

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35K/50

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Vorrede zur ersten Auflage.

Bei der Bearbeitung der vorliegenden Schrift habe ich gesucht, neben der Forderung wissenschaftlicher Strenge vor allen Dingen der didaktischen Forderung möglichster Faßlichkeit zu genügen..

In betreff der speziellen Ausführung bemerke ich, daß ich mich bemüht habe, die Einsicht in den Gang der analytischen Untersuchung durch graphische Darstellungen zu erleichtern, und ferner, daß ich bei schwierigen oder wichtigen Stellen die Entwickelung der allgemeinen Theorie durch Erörterung eines speziellen Falles eingeleitet habe.

Die große Anzahl von Beispielen und Anwendungen in jedem Kapitel, sowie die gelegentlichen Bemerkungen sind zunächst für solche Leser bestimmt, welche durch Selbst-Studium sich in der AVissenschaft weiter ausbilden und mehr befestigen wollen; indeß dürften sie auch dem Lehrer ein Mittel bieten, um seine Schüler zur freien Selbsttätigkeit anzuregen.

In betreff der äußeren Ausstattung ist die Verlagshandlung sowohl wie die Druckerei allen meinen Wünschen bereitwillig entgegengekommen.

Hannover, den 1. August 1862.

M. Stegemann.

Vorrede zur fünften Auflage.

Als der Unterzeichnete den Auftrag erhielt, die neue Auflage dieses Werkes herauszugeben, ahnte er noch nicht, daß Änderungen in so weitem Umfange notwendig sein würden. Erst bei der Bearbeitung überzeugte er sich davon, daß sehr viele Lücken auszufüllen und zahlreiche Irrtümer, die sich in den früheren Auflagen finden, richtig zu stellen waren.

Neben den angedeuteten Mängeln besaß aber das Buch von Stegemann doch auch große Vorzüge, welche namentlich in der leicht faßlichen Darstellung liegen und durch den verhältnismäßig schnell erfolgten Absatz von vier Auflagen bestätigt worden sind.

auf möglichst bequeme Weise mit den

Der Herausgeber hat sich bemüht, diese Vorzüge nach Möglichkeit beizubehalten, ohne die wissenschaftliche Strenge und Gründlichkeit außer Acht zu lassen. Das Buch hat demnach den Zweck, den Anfänger, — mag er nun an der Universität, an der technischen Hochschule oder an irgend einer anderen Bildungs -Anstalt, an der höhere Mathematik getrieben wird, studieren wichtigsten Sätzen und Aufgaben der Differential - Rechnung vertraut zu machen. Auch zum Selbst-Studium ist das Buch seiner ganzen Anlage nach geeignet.

Für die Abgrenzung des Stoffes waren dem Herausgeber im großen und ganzen seine eigenen Vorträge an der technischen Hochschule in Hannover maßgebend. Da die für diese Vorträge verfügbare Zeit eine beschränkte ist, so war dadurch auch für den Umfang des Buches ein Rahmen ge-gegeben, so daß der Inhalt nicht so erschöpfend sein konnte wie z. B. bei Lehrbüchern der Diff erential - Rechnung hervorragender französischer Mathematiker.

Aber diese Beschränkung ist vielleicht gerade ein wesentlicher Vorzug, weil die Fülle des Stoffes den Anfänger häufig mehr verwirrt und abschreckt als fördert. Der vorliegende Leitfaden soll daher eine feste und sichere Grundlage bieten, welche dem Techniker genügen, dem Mathematiker aber eine nützliche Vorbereitung zu weitergehenden Studien sein wird.

Als Anhang ist eine Tabelle der wuchtigsten Formeln hinzugefügt, welche einerseits die Anwendungen sehr erleichtert, andererseits aber ein durch langjährige Erfahrung erprobtes Hilfsmittel bei Repetitionen ist.

Dem Herrn Verleger spricht der Herausgeber hierdurch seinen verbindlichsten Dank aus für das liebenswürdige Entgegenkommen, das allen seinen Wünschen entgegengebracht worden ist.

Hannover, im Juli 1887.

L. Kiepert.

Vorrede zur sechsten Auflage.

Die freundliche Aufnahme, welche die fünfte Auflage in weiten Kreisen gefunden hat, war für den Herausgeber ein Antrieb, bei der Bearbeitung der neuen Auflage mit größter Sorgfalt die hervorgetretenen Mängel zu beseitigen und die vorhandenen Lücken auszufüllen. Den Herren Lampe, von Mangoldt, Franz Meyer, Runge und Voss, welche dabei den Herausgeber durch wertvolle Winke unterstützt haben, sei hierdurch der verbindlichste Dank ausgesprochen.

Durch die angedeuteten Verbesserungen hat das Buch an Umfang und Inhalt wesentlich zugenommen; namentlich sind die geometrischen Anwendungen vermehrt worden, auch hat eine kurzgefaßte Darstellung der Determinanten - Theorie Aufnahme gefunden. ' Die Figuren sind sämtlich neu gezeichnet worden, ihre Zahl ist von 66 auf 154 gewachsen.

Mit Rücksicht darauf, daß das Buch auch vielfach von Studierenden der Mathematik an der Universität benutzt worden ist, schien es zweckmäßig, noch mehr Gewicht auf wissen-schaftlicłie Strenge zu legen, als es in den früheren Auflagen geschehen war. Da aber die elementare Art der Behandlung darunter nicht leiden sollte, so war es nicht immer ganz leicht, den richtigen Mittelweg zu finden.

Durch die mühsame Umarbeitung und die erhebliche Erweiterung des Buches ist die Drucklegung etwas verzögert worden. Der Herausgeber ist der Verlagsbuchhandlung für die Nachsicht, die ihm dabei gewährt worden, und für das bereitwillige Entgegenkommen, das er bei allen seinen Wünschen gefunden hat, zu aufrichtigem Danke verpflichtet.

Schließlich sei noch mit bestem Danke die gütige Mitwirkung des Herrn Petz old bei dem Lesen der Korrektur her vorgehob en.

Hannover, den 15. November 1892.

L. Kiepert.

Vorrede zur siebenten Auflage.

Schon bei der Herausgabe der fünften und sechsten Auflage waren die erforderlichen Änderungen so grundlegend und umfassend, daß von dem Stegemann sehen Grundrisse nur äußerst wenig übrig geblieben ist. Deshalb ist es nicht mehr gerechtfertigt, Stegemann als Verfasser des Buches zu bezeichnen. Die neue Auflage erscheint vielmehr unter dem Namen des Unterzeichneten, der die vollständige Umarbeitung des Stegemann sehen Leitfadens ausgeführt hat. Da die siebente Auflage der sechsten in sehr kurzer Zeit gefolgt ist, so unterscheidet sie sich von dieser nur an wenigen Stellen. Doch hat der Verfasser die VerbesserungsVorschläge, die ihm von befreundeter Seite zugegangen sind, nach Möglichkeit berücksichtigt und benutzt diese Gelegenheit, um allen Eachgenossen für die gütige Empfehlung des Buches und für die freundschaftliche Unterstützung durch wohlwollende Ratschläge den aufrichtigsten Dank auszusprechen.

Insbesondere dankt er auch den Herren Franz Meyer und Petz old für die förderliche Mitwirkung beim Lesen der Korrektur und der Verlagsbuchhandlung für die opferfreudige Gewährung aller bei der schwierigen Drucklegung hervortretenden Wünsche.

Hannover, den 21. Mai 1895.

L. Kiepert.

Vorrede zur achten Auflage.

Seit dem Erscheinen der siebenten Auflage ist eine so kurze Zeit verflossen, daß der Verfasser inzwischen nur wenig Muße finden konnte, um durchgreifende Änderungen an dem Leitfaden vorzunehmen. Deshalb weicht die achte Auflage nur in einigen Punkten von der vorhergehenden ab. Vorangestellt ist eine kurze geschichtliche Darstellung, in welcher Weise gerade Aufgaben aus der Technik mit Notwendigkeit zur Auffindung der Differential- und Integral-Rechnung geführt haben. Damit sollte darauf hingewiesen werden, wie unentbehrlich die Infinitesimal-Rechnung, d. h. die Rechnung mit unbegrenzt wachsenden und unbegrenzt abnehmenden Größen für die Technik ist, und wie zweckmäßig es andererseits ist, diese Rechnungsart in möglichst weitem Umfange der Technik dienstbar zu machen.

Aus diesem Grunde würde der Verfasser für freundliche Ratschläge und nützliche Anregungen, welche er von Seiten der Herren Techniker zur Verbesserung und Bereicherung des Stoffes in späteren Auflagen erhalten sollte, besonders dankbar sein. Ein solches Zusammenarbeiten der Techniker und der Mathematiker würde die Sache und auch die beiderseitigen Interessen mehr fördern als umfangreiche Auseinandersetzungen über Ausdehnung oder Beschränkung des mathematischen Unterrichts an technischen Hochschulen, wie sie zur Zeit an der Tagesordnung sind. Ob die Mathematik für die Techniker eine grundlegende Wissenschaft oder nur Hilfswissenschaft sei, ist ein Streit um Worte. Es kommt vielmehr darauf an, den mathematischen Unterricht an der technischen Hochschule so zu gestalten, daß er bei einem nicht übermäßig großen Zeitaufwande der Technik recht gute Dienste leistet. Um dieses Ziel zu erreichen, müssen sich aber die Techniker und Mathematiker möglichst eng in ihren Bestrebungen aneinander anschließen. Mit vereinten Kräften wird es gelingen, die mathematische Behandlung technischer Aufgaben in nutzbringender Weise auszugestalten und gleichzeitig der Mathematik den Anstoß zu weiteren Fortschritten zu geben.

Für die Abfassung der geschichtlichen Einleitung stellte mir Herr Max Simon in Straßburg ein umfangreiches Manuskript zur Verfügung, wofür ich hiermit bestens danke.

Auch Herrn Petz old habe ich wieder für die Mitwirkung beim Lesen der Korrektur und der Verlagsbuchhandlung für das freundliche Entgegenkommen bei Drucklegung der neuen Auflage meinen aufrichtigen Dank auszusprechen.

Hannover, im Oktober 1897.

L. Kiepert.

Vorrede zur neunten Auflage.

In den Vorreden zu den früheren Auflagen hatte der Verfasser die Bitte ausgesprochen, ihm doch Vorschläge für etwaige Verbesserungen und Zusätze zu machen. Daraufhin sind ihm von vielen Seiten nützliche Ratschläge erteilt worden. Mit besonderem Danke sind in dieser Beziehung hervorzuheben eine sehr eingehende und sachkundige Besprechung von Herrn Edward B. Van Vleck in dem Bulletin of the American mathematical Society (1897, Kr. 10), mehrere briefliche Mitteilungen der Herren Voss in Würzburg und Stäckel in Kiel und verschiedene Anregungen von Seiten hiesiger Kollegen.

Um die mir zugegangenen Wünsche nach Möglichkeit zu berücksichtigen, mußten mehrere Abschnitte der Differential-Rechnung vollständig umgearbeitet werden, wie z. B. die Bestimmung des Restgliedes bei der Taylor sehen Reihe, die Konvergenz der Reihen usw. Einige andere Abschnitte, z. B. die Untersuchung der hyperbolischen Funktionen, die Lag-rangesche Interpolationsformel, die Käherungsmethoden für die numerische Auflösung der algebraischen Gleichungen, sind neu aufgenommen. Dem entprechend war auch eine andere Einteilung erforderlich, so daß die Differential-Rechnung, die bisher nur zwei Teile mit 16 Abschnitten und 140 Paragraphen enthielt, jetzt auf drei Teile mit 21 Abschnitten und 161 Paragraphen ausgedehnt ist. Dabei umfaßt der zweite Teil diejenigen algebraischen Untersuchungen, welche für den zukünftigen Techniker von Wichtigkeit sind. Die Figuren, deren Anzahl ebenfalls vermehrt ist, sind sämtlich neu hergestellt. Audi eine Tafel für den Gebrauch der hyperbolischen Funktionen ist im Anhänge abgedruckt.

Der Verlagsbuchhandlung, die für die neue Drucklegung besondere Opfer zu bringen hatte, sage ich für die bereitwillige Berücksichtigung aller meiner Wünsche und Herrn Petz old für die gütige Mitwirkung beim Lesen der Korrektur meinen verbindlichsten Dank.

Hannover, den 3. Januar 1901.

L. Kiepert.

Vorrede zur zehnten Auflage.

Beim mathematischen Unterricht kommt es sehr wesentlich darauf an, daß die einzelnen Begriffe, welche zur Anwendung kommen, genügend erklärt sind, und daß sich die einzelnen Untersuchungen in logischer Reihenfolge aneinander angliedern. Viele Auf aben, die an und für sich große Schwierigkeiten bieten, werden weniger schwierig, wenn sie durch leichtere voraufgehende Aufgaben passend vorbereitet sind. Allerdings wird, wenn man schrittweise vorgeht, vieles selbstverständlich und deshalb vielleicht weniger interessant erscheinen. Geht man dagegen bei mathematischen Untersuchungen sprungweise vor, so wird vieles, weil es rätselhaft bleibt, oder überraschend wirkt, einen größeren Reiz ausüben. Sollen aber die mathematischen Kenntnisse einem festen Bau gleichen, welcher der Gefahr des Zusammensturzes nicht ausgesetzt ist, so muß die Herleitung der einzelnen Sätze in organischem Zusammenhänge erfolgen. Auch das Verständnis wird wesentlich erleichtert, wenn beim Unterricht nach Möglichkeit an das bereits Bekannte angeknüpft wird.

Diese Grundsätze hat der Verfasser bei den früheren Auflagen befolgt und auch bei der vorliegenden 10. Auflage festgehalten. Trotzdem sind Wortlaut und Inhalt der 9. Auflage an zahlreichen Stellen geändert; auch sind etliche Untersuchungen, z. B. die Herleitung der Newton sehen Interpolationsformel, hinzugefügt worden. Bei den Kurven doppelter Krümmung sind die Sätze über die Schmiegungsebene, die Hauptnormale, Binormale, den Krümmungskreis, den Kontingenzwinkel, den Torsionswinkel, den Halbmesser der zweiten

Krümmung und die Schmiegungskugel hinzugetreten. Bei der Theorie der Flächen sind noch die Sätze für die Krümmung, die Hauptnormalschnitte, die Hauptkrümmungshalbmesser, die Krümmungsmittelpunktsfläche und das Gauß sehe Krümmungs maß aufgenommen, und zwar erfolgten diese Ergänzungen auf den ausdrücklichen Rat einiger Fachgenossen, von denen ich die Herren Lampe und Prandtl mit dem Ausdrucke des besten Dankes nennen möchte.

Zu aufrichtigem Danke bin ich außerdem verpflichtet der Verlagsbuchhandlung, die wiederum mit der größten Bereitwilligkeit alle meine Wünsche erfüllt hat, und Herrn Petz old für die liebenswürdige Mitwirkung beim Lesen der Korrektur.

Hannover, den 8. November 1904.

L. Kiepert.

Inhalts-V erzeicłmis.

Seite

Geschieht! iclies

H(m‘ CO^tOcoi>orj COOCOOGOOGOOGOOgOOgOOC#)

Einleitung.

Begriff und Einteilung der Eunktionen ..............

Geometrische Darstellung der Funktionen.............

Funktionen von mehreren Yeränderlichen ............

Begriff der Grenze...................................

Das unendlich Kleine und das unendlich Große ......

Über die Bechnung mit unendlich kleinen Größen Verschiedene Ordnungen der unendlich kleinen Größen Begriff der Stetigkeit................................

19

22

24

29

32

36

44

Ct> O rH t-H tH

GQO GOO COO

Hilfssätze aus der algebraischen Analysis.

Der binomische Lehrsatz für positive, ganzzahlige Exponenten 61 Geometrische Progressionen Erklärung der Zahl e......

70

72

Differential - Rechnung.

Erster Teil.

Funktionen von einer unabhängigen Veränderlichen.

I. Abschnitt.

Erklärung und Bildung der Differential-Quotienten.

§ 12.

Bildung des Differential - Quotienten einer stetigen Funktion

y = f(p)

80

CO ^ LO CO H t—I H H

gOo cOQ cöo cöo

Geometrische Deutung des Differential-Quotienten..........

Einige Lehrsätze über Differential - Quotienten ..............

Differentiation der ganzen rationalen Funktionen............

Differentiation einer Potenz mit negativem, ganzzahligen Exponenten...............................................

.84

87

89

§ 17. Übungs-Beispiele ........................................

§ 18. Differentiation der logarithmischen Punktion f(x) — logx ... § 19. Differentiation der trigonometrischen Punktionen sin x und

cosa? ....................................................

§ 20. Differentiation der trigonometrischen Punktionen tgx und

ctgas ....................................................

§ 21. Differentiation der Produkte und Quotienten von Punktionen

93

94

96

98

99

II. Abschnitt.

Funktionen von Funktionen.

§ 22. Differentiation einer Punktion von der Form /[<p(x)].......

§ 23. Übungs -Aufgaben........................................

§ 24. Differentiation inverser Punktionen, insbesondere der zyklo-

metrischen Punktionen und der Punktion a% ..............

§ 25. Übungs-Beispiele ........................................

t-H rH tH rH

tH

117

121

III. Abschnitt.

Hyperbolische Funktionen.

§ 26. Erklärung der hyperbolischen Punktionen und Herleitung

der wichtigsten Formeln..................................

§ 27. Differentiation der hyperbolischen Punktionen.............

§ 28. Geometrische Deutung der hyperbolischen Punktionen......

§ 29. Emkehrung der hyperbolischen Punktionen................

§ 30. Beziehungen zwischen den hyperbolischen und den trigonometrischen Punktionen....................................

128

132

133

136

139

IV. Abschnitt.

Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung.

§ 31. Ermittelung von f[n\x) ..........................

§ 32. Übungs - Beispiele ...............................

141

144

V. Abschnitt.

Herleitung und Anwendungen der Taylor sehen und der

Mac -Taurin sehen Reihe.

§ 33.

§ 34.

lO ZD I> 00 CO CO CO CO

ooo ocn> oco ooo

Entwickelung der ganzen rationalen Funktion f(x + h)

nach steigenden Potenzen von h..........................

Anwendung anf den binomischen Lehrsatz für positive,

ganzzahlige Exponenten ..................................

Verallgemeinerung der gegebenen Entwickelnngs-Methode..    156

160 164 169

Mittelwertsatz

Das Pestglied der Taylor sehen Reihe.......

Die Mac-Laurin sehe oder Stirling sehe Reihe

150

155

Seite

G0O «/3GOO^C03ia)OGOGGOOG(»GOO COO C7X    11 --    d->. iLk. dx i N iiX lL». ■ n. iN iN    (Vn

p p    g

Entwickelung der Funktionen e% und a% und der hyperbolischen Funktionen G£ofw und ©inu........................

Entwickelung der Funktionen sina: und cosa:..............

Berechnung von Tafeln für die Funktionen sina⁰ und cosa⁰ 176

Andere Formen des Restgliedes...........................

Der allgemeine binomische Lehrsatz............;..........

Der Logarithmus.....................................

Berechnung der natürlichen Logarithmen..................

Partes proportionales......................................

Methode der unbestimmten Koeffizienten ..................

Entwickelung der Funktion arctga: nach steigenden Potenzen von x.............................................

Berechnung der Zahl n durch Anwendung der Entwickelung

von arctga:..............................................

Entwickelung der Funktion arc sina; nach steigenden Potenzen von x.............................................

170

173

179

186

197

202

209

211

213

214

219

WO WO WO Wo GOO Wo Wo Wo

O» Ol    Ql Ol Ol Ol Ol

GO <1 Ci    Oi CO tO M

VI. Abschnitt.

Konvergenz der Reihen.

Erklärungen und vorbereitende Beispiele ................

Reihen mit lauter positiven Gliedern ......................

Reihen mit positiven und negativen Gliedern..............

Bedingte und unbedingte Konvergenz......................

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division der Reihen.

Wurzelausziehung........................................

Begriff der gleichmäßigen Konvergenz.....................

Konvergenz der Potenzreihen..............................

Konvergenz der periodischen Reihen ......................

221

228

246

252

257

266

271

278

VIL Abschnitt.

Maxima und Minima von entwickelten Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen.

§ 59. Bedingungen, unter denen ein Maximum oder Minimum ein-treten kann..............................................

60.    Aufgaben................................................

61.    Entscheidung über das Eintreten eines Maximums oder

Minimums durch Untersuchung der höheren Ableitungen ..    294

62.    Anwendungen............................................

63.    Vereinfachungen der Rechnung, wenn f'(x) eine gebrochene

Funktion ist..............................................

§ 64. Verschiedene Aufgaben aus der Theorie der Maxima und Minima................................................

284

289

W OOO

301

305

VIII. Abschnitt.

Bestimmung von Ausdrücken, welche an der Grenze eine der unbestimmten

O.co, 00 — 03, 0°, oo°, 1°° haben.

Formen

§ 65. Ausdrücke von der Form ..........

§ 66. Übungs - Beispiele....................

§ 67. Ausdrücke von der Form —..........

§ 68. Übungs -Beispiele ....................

§ 69. Ausdrücke von der Form 0 . oo........

§ 70. Übungs - Beispiele ....................

§ 71. Ausdrücke von der Form oo — oo.....

§ 72. Übungs-Beispiele ...................

§ 73. Ausdrücke von der Form 0°, oo°, 1°°..

§ 74. Übungs - Beispiele ...................

§ 75. Zusammentreffen unbestimmter Formen

336

342

346

348

351

352

353

354

356

357

360

IX. Abschnitt.

Differentiation der nicht entwickelten Funktionen.

§76. Differentiation einer Funktion von der Form F(u, v).......

§ 77. Herleitung der allgemeinen Regel für die Differentiation der

nicht entwickelten Funktionen............................

§ 78. Übnngs - Beispiele ........................................

§ 79. Ableitungen höherer Ordnung............................

§ 80. Übungs - Beispiele ........................................

§ 81. Anwendung auf die Theorie der Maxima und Minima von

nicht entwickelten Funktionen einer Veränderlichen........

§ 82. Übungs - Beispiele ........................................

863

CO CO

373

374

377

379

X. Abschnitt.

Vertauschung der Abhängigkeit der veränderlichen Größen.

§ 83. Bildung der Größen p, q und r, wenn x und y Funktionen

von t sind...............................................

§ 84. Übungs - Beispiele ........................................

§ 85. Behandlung des Falles, in welchem y die unabhängige Veränderliche wird ..........................................

§ 86. Übungs - Beispiele ........................................

382

385

389

391

XL Abschnitt.

Untersuchung der Kurven, die auf ein rechtwinkliges Koordinaten-System

bezogen sind.

§ 87. Tangenten und Normalen.........

§ 88. Anwendungen auf einzelne Kurven

393

Seite

aś§S^ai'ci>ała?c§có

ooo ooo cöo ooo ooo cOo ooo coo ooo

Konkavität, Konvexität, Wendepunkte.............

Anwendungen auf einzelne Kurven................

Berührung (oder Oskulation) %ter Ordnung.........

Anwendungen auf einzelne Kurven ...............

Der Kontingenzwinkel............................

Krümmung der Kurven...........................

Anwendungen auf einzelne Kurven ...............

Die Krümmungsmittelpunkts-Kurven oder Evoluten Anwendungen auf einzelne Kurven ............

415

421

427

429

435

438

441

451

457

XII. Abschnitt.

Untersuchung von Kurven, welche auf ein Polarkoordinaten-System bezogen sind.

ooo ooo <^oo oCP

98.    Tangenten und Normalen.........

99.    Anwendungen auf einzelne Kurven

100.    Krümmungskreis und Krümmungsmittelprinkts - Kur ven . ..    482

101.    Anwendungen auf einzelne Kurven

469

473

484

Zweiter Teil.

oCo ooo ooo ooo 0Q0 ooo ooo    oOo ooo

oi co ià cd i> oo o o o o o o o

tH tH tH rH tH rH tH

rH

rH

ci ö

O rH

Einige grundlegende Untersuchungen aus der Algebra.

XIII. Abschnitt.

Theorie der komplexen Größen.

Erklärung der komplexen Größen .......................

Einige Sätze über komplexe Größen. Moivre sehe Eormeln. 492

Geometrische Darstellung der komplexen Größen..........

Vier Sätze über die absoluten Beträge...................

Unendliche Reihen mit komplexen Gliedern ..............

Punktionen einer komplexen Veränderlichen..............

Zusammenhang der Exponential-Funktion mit den trigonometrischen und den hyperbolischen Punktionen...........

Logarithmen der komplexen Größen......................

Zusammenhang der Punktionen Inas, arctgas und SfcSfgas ..    516

489

496

501

503

507

509

515

XIV. Abschnitt.

Wurzeln einer algebraischen Gleichung f(x) = 0.

§ 111. Existenz der Wurzeln einer algebraischen Gleichung f{x) = 0.

Zerlegung einer ganzen rationalen Punktion wten Grades in , n lineare Paktoren.......................................

Seite

§ 112. Gleiche Wurzeln einer algebraischen Gleichung § 113. Auftreten komplexer Wurzeln einer Gleichung § 114. Die elementaren symmetrischen Funktionen der Wurzeln..    524

§ 115. Interpolationsformel von Lagrange § 116. Interpolationsformel von Newton..

521

523

526

528

XV. Abschnitt.

o0o oOo g0o oCo o0o g0o c0o

Kl tO B tO H M P 03 B P O CD 00

Numerische Auflösung der algebraischen Gleichungen mit reellen Koeffizienten.

Teiler der ganzen rationalen Funktionen..................

Gemeinsame Teiler der Funktionen f(x) und f'(x').........

Obere und untere Grenze der reellen Wurzeln ............

Cartesi sehe Zeichenregel.................................

Der Sturm sehe Satz.....................................

Die Newton sehen Näherungsformeln......................

Näherangsmethode von Graeffe...........................

533

538

540

542

548

553

562

XVI. Abschnitt.

Asymptoten einer Kurve

Tf lO CO (X) CM <M

iH tH t-I

ooo. ooo coo

Dichtung der Asymptoten........

Lage der Asymptoten.............

Anwendungen auf einzelne Kurven

568

572

575

XVII. Abschnitt.

Theorie der Determinanten.

§ 127. § 128. § 129. § 130. § 131. § 132.

585

Einleitung in die Determinanten - Theorie Einige Sätze aus der Permutationslehre..

Bildung einer Determinante nter Ordnung aus n'² Elementen 591

592

587

Eigenschaften der Determinanten ........................

Zerlegung der Determinanten............................

Anwendung auf die Auflösung von n linearen Gleichungen mit n Unbekannten......................................

596

601

CO lO CD CO CO CO CO

rH i—( t—I T-l

&C/J CQO 000 cOo

Vereinfachungen bei Ausrechnung der Determinanten

Multiplikation der Determinanten ...................

Homogene, lineare Gleichungen mit n Unbekannten .. Anwendungen auf einzelne Aufgaben ...............

603

606

609

Dritter Teil.

Seite

Funktionen von mehreren unabhängigen Veränderlichen.

XVIII. Abschnitt.

Differentiation der Funktionen von mehreren voneinander unabhängigen Veränderlichen.

§ 137. Differentiation einer Funktion von zwei voneinander unabhängigen Veränderlichen.................................

138.    Aufgaben...............................................

139.    Differentiation der Funktionen von mehreren voneinander

unabhängigen Veränderlichen............................

§ 140. Wiederholte Differentiation einer Funktion von mehreren

Veränderlichen..........................................

§ 141. Vollständige Differentiale höherer Ordnung...............

§ 142. Differentiation einer nicht entwickelten Funktion von zwei

unabhängigen Veränderlichen............................

§ 143. Nicht entwickelte Funktionen einer Veränderlichen, gegeben durch simultane Gleichungen ............................

616

gOo gOo

620

621

625

637

XIX. Abschnitt.

Anwendungen auf die analytische Geometrie der Ebene und des Raumes.

§ 144. Bestimmung der Tangenten und der Normalebenen bei

einer Kurve doppelter Krümmung........................

Übungs -Aufgaben.......................................

Schmiegungsebene, Hauptnormale und Binormale .........

Krümmungskreis und Kontingenzwinkel, Torsionswinkel und Halbmesser der zweiten Krümmung..................

148.    Schmiegungskugel.......................................

149.    Übungs - Aufgaben.......................................

150.    Tangenten, Tangentialebenen und Normalen an eine beliebige

krumme Kläcke..........................................

Übungs-Aufgaben.......................................

Krümmung der Flächen..................................

Die Krümmungsmittelpunktsflächen....................

Das Krümmungsmaß von Gauß..........................

Theorie der Umhüllungskurven oder Enveloppen..........

Übungs-Aufgaben.......................................

Doppelpunkte nnd isolierte Punkte ......................

Übungs-Aufgaben.......................................

Mehrfache Punkte.......................................

Spitzen oder Rückkehrpunkte............................

§ 145. § 146. § 147.

GOO CjOo Cöo

§ 151. § 152. § 153. § 154. § 155. § 156. § 157. § 158. § 159. § 160.

640

643

648

652

CD CD

668

671

673

680

683

685

690

698

703

707

XX. Abschnitt.

Herleitung der Tat/forschen Reihe für Funktionen von mehreren Veränderlichen. Homogene Funktionen.

716

§ 161. Die Taylor sehe Reihe für Punktionen von mehreren Veränderlichen ..............................................

720

§ 162. Homogene Punktionen...................................

XXI. Abschnitt.

Maxima und Minima der Funktionen von mehreren Veränderlichen.

§ 163. Maxima und Minima der Punktionen von zwei voneinander

unabhängigen Veränderlichen............................

§ 164. Geometrische Deutung der vorhergehenden Untersuchungen 743 § 16B. Maxima und Minima der Punktionen von drei oder mehr

unabhängigen Veränderlichen..............

§ 166. Aufgaben.................................

§ 167. Maxima und Minima mit Nebenbedingungen § 168. Aufgaben.................................

729

747

753

760

764

775

Anhang. Tafeln der hyperbolischen Funktionen Tabelle der wichtigsten Formeln aus der Differential - Rechnung...    781

Geschichtliches.

Die Differential-Rechnung und ihre Umkehrung, die Integral-Rechnung , werden mit dem gemeinsamen Namen Inßnitesimal-Rechnung zusammengefaßt, weil sie auf dem Gebrauche der unbegrenzt wachsenden und der unbegrenzt abnehmenden (oder der sogenannten unendlich Meinen) Größen beruhen. Solche unendlich kleine Größen und die damit in Beziehung stehenden Begriffe der Grenze und der Stetigkeit wurden bereits in den mathematischen und philosophischen Untersuchungen des Altertums angewendet, wenn auch die Vorstellungen über diese Begriffe teilweise noch unklar und mangelhaft waren.

Schon bei den Schülern des Pythagoras (etwa 582 v. Chr. geb.) und bei dem Eleaten Zeno (etwa 500 y. Chr.) spielen unendlich kleine Größen eine Bolle. Aristoteles (384—322 v. Chr.) gab sogar eine Erklärung der Begriffe „Stetigkeit“ und „Mächtigkeit“. Daraus entwickelte sich dann in der Schule des Plato (429 — 347 v. Chr.) und noch mehr in der des Eudoxos (etwa 370 v. Chr.) der Begriff der Grenze mit Hülfe der sogenannten „Exhaustions-Methode“, deren Wesen darin besteht, daß eine Größe, welche berechnet werden soll, z. B. der Flächeninhalt eines Kreises, zwischen zwei Beihen bekannter Größen eingeschlossen wird, von denen die eine beständig zunimmt und die andere beständig abnimmt. Bei der Kreisfläche benutzt man dazu die einbeschriebenen und umschriebenen regelmäßigen w-Ecke, wobei n nach und nach die Werte 6, 12, 24, ... annimmt. Der Unterschied zwischen den Größen der zunehmenden und der abnehmenden Beihe wird immer kleiner und

Kiepert, Differential-Rechnung.

schließlich beliebig klein, so daß sich daraus auch der Wert der gesuchten Größe selbst mit beliebiger Genauigkeit ergibt.

Derartige Schlüsse wurden namentlich von Euklid (etwa 300 y. Chr.), Archimedes (287—212 v. Chr.) und Pappus (etwa 400 n. Chr.) angewendet. Archimedes hat bei der Berechnung des Flächeninhaltes von Figuren, des Kubikinhaltes der Körper und der Lage des Schwerpunktes ein Verfahren benutzt, welches der Integral-Rechnung nahe verwandt ist und den Forschern der Neuzeit wesentliche Dienste geleistet hat.

Nach Pappus tritt aber Stillstand ein. Erst Kepler (1571 bis 1630) und Galilei (1564—1642) knüpfen, von astronomischen und physikalischen Gesichtspunkten ausgehend, an die von Archimedes gefundenen Resultate an. Kepler dehnt die Anwendung der unendlich kleinen Größen aus auf die Lösung von Aufgaben aus der Theorie der Maxima und Minima und auf die Berechnung des Volumens von Körpern. Damit war für die wirkliche Erfindung der Differential- und Integral-Rechnung, welche in die Zeit von 1615—1684 fällt, der Anfang gemacht.

Einen weiteren Schritt tat der Franzose Descartes (1596 bis 1650), der die Rechnung mit unendlich kleinen Größen benutzte, um das sogenannte „Tangenten-Problem“ zu lösen, bei welchem es darauf ankommt, die Lage der Tangente an eine gegebene Kurve in einem Punkte derselben zu bestimmen. Dieselbe Aufgabe behandelte in jener Zeit auch der Franzose Fermat (1608—1665), der die Methoden der Differential-Rechnung bereits in umfangreicher Weise beherrschte und die Methoden der Integral-Rechnung für die Ermittelung des Flächeninhaltes, der Länge von Kurvenbögen, der Lage des Schwerpunktes usw. geschickt verwendete. Auch den Begriff der Stetigkeit kannte Fermat genau und löste mit Hülfe der Differential-Rechnung Aufgaben aus der Theorie der Maxima und Minima.

Noch schärfer und zielbewußter werden die neuen Methoden von dem Engländer Wallis (1616 —1703) und dem Franzosen Pascal (1623—1662) erfaßt. Wallis rechnete bereits mit unendlichen Reihen, d. h. mit Summen, welche unendlich viele Summanden enthalten, und mit Produkten, welche aus unendlich vielen

Faktoren bestehen. Pascal wendete sogar schon mehrfache Integrale an.

So war die Erfindung der Infinitesimal-Rechnung in vielseitigster Weise vorbereitet durch die Behandlung von Aufgaben, deren Lösung die Rechnung mit unendlich kleinen Größen erfordert. Solche Aufgaben lieferte

1.    die Mechanik, und zwar die Statik bei der Bestimmung der Lage des Schwerpunktes und die Dynamik bei der Erklärung und Anwendung der Begriffe Geschwindigkeit, Beschleunigung usw. ;

2.    die Theorie der Maxima und Minima;

3.    die Berechnung des Flächeninhaltes ebener Figuren, des Kubikinhaltes der Körper und der Länge von Kurvenbögen ;

4.    das Tangenten-Problem;

5.    die Rechnung mit unendlichen Reihen, unendlichen Produkten, periodischen Kettenbrüchen usw.

Es kam nur noch darauf an, den innigen Zusammenhang zwischen allen diesen Aufgaben zu erkennen und in die unklaren, den weiteren Kreisen der Mathematiker bisher unzugänglichen Methoden Gesetz und Ordnung zu bringen.

Diesen letzten, wichtigsten Schritt taten der englische Astronom und Mathematiker Newton (1643 — 1727) und der deutsche Mathematiker und Philosoph Leibniz (1646—1716), welche als die eigentlichen Erfinder der Infinitesimal-Rechnung zu betrachten sind. Neicton hatte schon im Jahre 1665 bei seiner „Fluxionen-Rechnung“ die Methoden zur Anwendung gebracht, welche für die Differential-Rechnung grundlegend geworden sind. Er veröffentlichte aber seine Erfindung erst im Jahre 1711, Leibniz dagegen schon im Jahre 1684. Es darf jetzt wohl als sicher angesehen werden, daß beide Forscher voneinander unabhängig auf die neue Rechnungsart geführt worden sind, wenn auch Leibniz bei seinem ersten Aufenthalte in London, welcher in das Jahr 1673 fällt, durch den Verkehr mit Freunden von Newton zweifellos zu seinen Untersuchungen über Infinitesimal-Rechnung angeregt worden ist. Newton hat sogar selbst einen Brief an Leibniz gerichtet, in welchem er das Tangenten-Problem erwähnt. Jedenfalls gebührt aber Leibniz das unsterbliche Verdienst, für die neue Rechnung Formen gefunden zu haben, welche auch einem größeren Leserkreise verständlich sind, während die Fluxionen-Rechnung Newtons nur von wenigen auserwählten Geistern erfaßt werden konnte. Die Bezeichnungen und Kunstausdrücke, welche noch heute in der Differential- und Integral-Rechnung gebräuchlich sind, stammen zumeist von Leibniz her, der auch zuerst erkannte, welche außerordentliche Bedeutung der neuen Rechnungsweise für die gesamte Mathematik zukommt.

Auf die weitere Ausgestaltung der Infinitesimal-Rechnung verwandten sodann die beiden Brüder Jakob Bernoulli (1654 bis 1705) und Johann Bernoulli (1667—1718) alle Kraft, und zwar im besten Einvernehmen mit Leibniz und als eifrige Vorkämpfer desselben, während zwischen Leibniz und Newton ein heftiger Prioritäts-Streit entbrannt war. Die beiden Brüder Bernoulli hielten die ersten Vorlesungen über Infinitesimal-Rechnung, über die Johann Bernoulli auch das erste Lehrbuch verfaßte.

Aus der nun folgenden Entwickelungsgeschichte der Infini-tesimal-Rechnung mögen noch besonders hervorgehoben werden: Euler (1707—1783), Lagrange (1736—1813) und Cauchy (1789 bis 1857). Es würde aber nicht zweckmäßig sein, an dieser Stelle noch tiefer auf die wissenschaftlichen Leistungen dieser Männer einzugehen, da zur richtigen Würdigung derselben eine genaue Kenntnis der Infinitesimal-Rechnung erforderlich ist.

Einleitung.

1.

§ 3.

Begriff der Stetigkeit.

/Os) < 0, /O4) > 0,

Geometrische Deutung des Differential-Quotienten.

bleibt sogar auch dann noch richtig, wenn der Expo

“t1 +tg2(ï+l)](ï+2jî

Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung.

Mittelwertsatz.

Berechnung von Tafeln für die Funktionen sin«0 und cos«0.

i-[,+G)î+G)î+G)

(22.)

L . JL+ 1 + 1

Der Beweis wird in derselben Weise wie bei der Add

Konvergenz der Potenzreihen.

Entscheidung Liber das Eintreten eines Maximums oder Minimums durch Untersuchung der höheren Ableitungen.

(39.) f\x) = cos x sin (y + x) -f cos (y -f- x) si

p sin y = q sind, oder —-

Ausdrücke von der Form 0.oo.

Herleitung der allgemeinen Regel für die Differentiation der nicht entwickelten Funktionen.

Übungs-Beispiele.

§ 88.

Konkavität, Konvexität, Wendepunkte.

v =/0)

T“(iMï)

4(n + l)fli ^ = + 1)« .

§ 101.

Vier Sätze über die absoluten Beträge.

Logarithmen der komplexen Größen.

§ 116.

f — 9 — hi) (x — g -f- hi) = x2 — 2gx -f- (ff2 -j- h2) ist das letzte Glied g2 -f h2 positiv. Auch in dem Ausdrucke {v — gi — hi) (x — ff! + hxi) (x — g2 — h2i) {x — g2 + h2i) ...

Näherungsmethode von Graeffe.

( 0.) fi2 = 1,

r + 1, r-j-2, ...w, 1, 2 ,...?*— 1.

fei — s)ä + (2/1 — nf + fei —1')! = d‘.

(18 a.) fix + h, y + k) —fix, y + k) —fix + h, y) +/(r, y) = [ffx + f y + GZ;) —fix, y + &k)\ . k.

XIX. Abschnitt.

§ 147.

('• ± t1 + iy<

Die Krümmungsmittelpunktsflächen.

Doppelpunkte und isolierte Punkte.

XX. Abschnitt.

/L2>4/^2^(|Äj + j£|)2>2|£ .

Maxima und Minima der Funktionen von drei oder mehr unabhängigen Veränderlichen.

(8.)

Tabelle

189.) 2g (qi) = i arctg q, arctg (qi) = i Sir 2g q

2 =f(X 1» *2, ...«n)

1.

Begriff und Einteilung der Funktionen.

Erklärung. Eine Größe heißt variabel oder veränderlich, wenn sie im Verlaufe derselben Untersuchung nach und nach verschiedene Werte annehmen darf; eine Größe heißt dagegen konstant oder unveränderlich, wenn sie im Verlaufe derselben Untersuchung denselben Wert beibehält.

Die unveränderlichen Größen werden gewöhnlich mit den ersten Buchstaben des Alphabets, also mit

a, b, c,..

oder mit

A, B, C,..

oder mit

a, ß, y,..

bezeichnet. Zum Unterschiede davon werden die veränderlichen Größen gewöhnlich mit den letzten Buchstaben des Alphabets, also mit

y, zi

oder mit

t₇ u, v, w,

oder mit den x, y, z entsprechenden griechischen Buchstaben

h V, £

bezeichnet.

Man kann den Wert einer (veränderlichen oder unveränderlichen) Größe auch durch die Lage eines Punktes auf einer geraden Linie geometrisch darstellen, wenn auf derselben ein

OA = a, OP — x, OB = b, so entsprechen die Punkte A, P, B den Werten a, x, b. Die Maßeinheit, durch welche dabei die Strecken gemessen sind, ist beliebig; dagegen muß man festsetzen, daß die Punkte auf der einen Seite des Anfangspunktes O, z. B. auf der rechten Seite von 0, 'positiven Zahlwerten entsprechen; dann müssen alle Punkte, welche negativen Zahlwerten entsprechen, auf der anderen Seite von O liegen, während 0 selbst dem Werte Null entspricht.

fester Punkt 0 als Anfangspunkt gegeben ist. Sind z. B. in Figur 1 die Strecken

Fig. i.

A_

Gewöhnlich denkt man sich x in der Weise veränderlich, daß x alle Werte zwischen zwei konstanten Werten a und b annehmen kann. Der Punkt P, welcher x entspricht, durchläuft dann in Figur 1 die Strecke von A bis B. Deshalb sagt man in diesem Falle: „Die veränderliche Größe x durchläuft das Intervall von a bis b.“ Wenn a gleich — oo und b gleich -j- oo wird, wobei mit oo eine ins Unbegrenzte wachsende Zahl bezeichnet werden möge, so darf die Veränderliche x alle Werte zwischen — oo und + oo annehmen, so daß der Punkt P die ganze unbegrenzte gerade Linie durchläuft.

Wenn man zwischen zwei veränderlichen Größen x und y eine Gleichung aufstellt, so sind diese beiden Größen dadurch in eine gegenseitige Abhängigkeit gebracht, und zwar so, daß die eine Größe, z. B. y, nur einen oder mehrere ganz bestimmte Werte haben kann, sobald man für die andere veränderliche Größe x irgend einen bestimmten Wert ausgewählt hat. Es sei z. B.

(1-)

dann wird

0,

X — -p 1,^

Hätte man in der Gleichung (1.) beliebige Werte für y angenommen, so wären dadurch die entsprechenden Werte von x ebenfalls bestimmt gewesen. Weil aber die Gleichung (1.) in bezug auf x vom zweiten Grade ist, so entsprechen jedem beliebigen Werte von y zwei (reelle oder imaginäre) Werte von x. So sind z. B. dem Werte die beiden Werte

x — + 1, x —- — 4

zugeordnet. Die veränderliche Größe x, deren Werte man beliebig annimmt, nennt man „die unabhängige Veränderliche oder das Argument“ ; die andere veränderliche Größe g dagegen nennt man „die abhängige Veränderliche oder eine Funktion von xu.

In der Gleichung (1.) wurde also zuerst x als die unabhängige Veränderliche und g als eine von x abhängige Veränderliche, d. h. als eine Funktion von x betrachtet.

Gewöhnlich ist das Gesetz der Abhängigkeit zwischen einer Funktion y und der unabhängigen Veränderlichen x durch eine Gleichung zwischen x und y gegeben. Ganz allgemein kann man aber den Begriff der Funktion in folgender Weise erklären :

wenn

Fine veränderliche Größe y heißt eine Funktion einer anderen veränderlichen Größe x in dem Intervalle von x = a bis x — b, jedem Werte von x in diesem Intervalle ein oder mehrere Werte von y nach einem bestimmten Gesetze zugeordnet sind.

So ist z. B. der Umfang eines Kreises eine Funktion von dem Halbmesser des Kreises. Dasselbe gilt vom Flächeninhalt des Kreises. Diese Funktionen können auch durch die Gleichungen

y = 2X7T

y — X^TT,

dargestellt werden.

Ebenso sind Oberfläche und Volumen einer Kugel Funktionen dem Halbmesser der Kugel, welche bezw. durch die Glei-

von

chungen

y = 4 x²jt

4a;³ n

■'    3

dargestellt werden.

Bei diesen Beispielen war der Halbmesser als eine veränderliche Größe betrachtet worden. Läßt man aber den Halbmesser unveränderlich, so kann man z. B. auch die Sehne, das Segment und den Sektor des Kreises als Funktionen des zugehörigen Zentriwinkels ansehen.

Ferner ist die Intensität des Lichtes eine Funktion von der Entfernung des leuchtenden Punktes ; die Spannkraft des Dampfes ist eine Funktion der Temperatur desselben; die Geschwindigkeit eines fallenden Körpers ist eine Funktion der Fallzeit ; die Schwingungsdauer bei einem Pendel ist eine Funktion seiner Länge, usw.

Wie oben schon erwähnt wurde, kann man die Abhängigkeit einer Funktion von der unabhängigen Veränderlichen häutig durch eine Gleichung ausdrticken. Demnach sind z. B. folgende Ausdrücke Funktionen von x :

y = 4a;³ — Ix² -f- 2x — 11 1 3x -p 4 x²'-j~ X ’ x yd² — x2 x — ya² — x2 y — cos a;, y = Ct gx, y = log (sina;),

y = bx + b~x,

y==x

y = x¹ -f- 3x — 2 2x — 1 x -f- 3 ’

y = yx,

y - sina;, y = tgx, y = lo gx, y = a*, y = ax y b COS x — cxm.

Ist die Abhängigkeit zwischen x und y durch eine nach y aufgelöste Gleichung gegeben, wie das in den soeben erwähnten Beispielen geschehen ist, so nennt man y eine „entwickelte (oder explizite) Funktion von x¹¹.

Ist dagegen die Gleichung zwischen x und y nicht nach y aufgelöst, so nennt man y eine ,,unentwickelte (oder implizite) Funktion von x“. Durch jede der Gleichungen

xy³ — 3x²y² -f- (2a;² — 5)y — xz = 0, y² — 4xy -f- 4a;² — Ix + 3 = 0, yx — COS x -j- xn -f- 7 = 0

ist z. B. y als eine unentwickelte Funktion von x gegeben.

In vielen Fällen ist es möglich, y als eine entwickelte Funktion von x darzustellen, obgleich y zunächst als eine un-entrcickelte Funktion von x gegeben ist. Aus

y² — 4 xy -f- éx² — Ix -f- 3 = 0

folgt z. B.

y = 2xàz y ix — 3 ;

und aus

yx — cos x -j- xn    7 = 0

folgt

y = Ą/ cos x — xn — 7.

Will man andeuten, daß y eine entwickelte. Funktion von x ist, so schreibt man gewöhnlich

y =f(x), oder y = F(x), oder y = <f (x), oder y = W(x).

Hat man es mit mehreren Funktionen zu tun, die man voneinander unterscheiden will, so geschieht dies durch Indices, indem man schreibt

fi(x), Mx) i Mx)? ••• •

Will man andeuten, daß y eine unentwickelte Funktion von x ist, so schreibt man gewöhnlich

fix, y) = 0, oder F(x, y) = 0, oder ç(x, y) = 0.

Man denkt sich dabei die Gleichung zwischen x und y so umgeformt, daß auf der rechten Seite nur 0 stehen bleibt.

Aus den angeführten Beispielen erkennt man auch, wie schon oben gelegentlich bemerkt wurde, daß jedem Werte der unabhängigen Veränderlichen x nicht immer nur ein Wert der Funktion y entspricht, sondern daß häufig jedem Werte von x mehrere Werte von y zugeordnet sind. Demnach muß man eindeutige und mehrdeutige. Funktionen unterscheiden.

In einer Gleichung zwischen x und y wurde bisher x als diejenige Veränderliche angesehen, deren Wert man beliebig annehmen durfte. Mit demselben Hechte kann man aber auch y als die unabhängige und x als die abhängige Veränderliche betrachten. (Vergl. das Beispiel auf S. 6.) Das gibt den Satz:

Wenn y durch eine Gleichung {'welche die beiden Veränderlichen x und y ivirklich enthält) als eine entwickelte oder un-

entwickelte Funktion von x gegeben ist, so ist auch umgekehrt x eine Funktion von y: oder mit anderen Worten: Die durch eine Gleichung gegebene Abhängigkeit zwischen zioei veränderlichen Größen x und y ist eine geyenseitige.

Daraus ergibt sich auch die Erklärung solcher Funktionen, welche aus bereits bekannten Funktionen „durch Umkehrung“ hervorgehen, indem man das Argument zur Funktion und die Funktion zum Argumente macht.

Es sei z. B.

(2.)

y = bx,

dann kann auch x als eine Funktion von y betrachtet werden, und zwar wird diese Funktion der „Logarithmus“ von y mit der Basis b genannt. Dies gibt die Gleichung

b

(2 a.)

x = log-y;

das stimmt überein mit der bekannten Erklärung des Logarithmus: „Der Logarithmus einer Zahl y ist der Exponent zu dem die Basis b erhoben werden muß, damit man y erhält.

Die Gleichungen (2.) und (2 a.) sagen also dem Sinne nach genau dasselbe aus.

Ein zweites Beispiel liefert die Gleichung

(3.)

y = sin ä:.

Es sei aber hier zunächst darauf hingewiesen, daß man in der höheren Mathematik bei den trigonometrischen Funktionen

sin«

cos«, tg«, ctg«

unter « nicht einen Winkel in Graden, Minuten und Sekunden, sondern das Verhältnis des dem Zentriwinkel entsprechenden Kreisbogens zum Halbmesser des Kreises versteht. Macht man den Halbmesser der Einheit gleich, so ist « geradezu die Länge des Kreisbogens. Einem Winkel von 360° entspricht also der Bogen 2/t, nämlich der Umfang des ganzen Kreises mit dem Halbmesser 1, einem Winkel von 1⁰ entspricht daher der Bogen

= 0,017 453 29

MA — MB = 1,

Fig. 2.

an

180

= a . 0,017 453 29.

Der Bogen, dessen Länge gleich dem Halbmesser ist, ent-

gleich 1 wird.

spricht also einem Winkel a, für welchen Dies gibt

an

180

a°

180°

180°

57° 17'45".

3,141 592 65

Dieser Winkel wird „Radiant“ genannt und bildet also die Einheit, durch welche die anderen Winkel gemessen werden.

In Figur 2 sei deshalb

dann entspricht dem Zentriwinkel AMB oder a der Bogen

AB = x —

an

180

Dies vorausgeschickt, ist der Sinn der —i-fr

Gleichung (3.) der, daß x der Bogen (arcus) ist, dessen Sinus (CB) gleich y wird. Dasselbe soll auch die Gleichung

(3 a.)

x = arcsin ?/

(sprich: x gleich Arcus Sinus y) aussagen; nämlich x ist gleich dem Arcus, dessen Sinus gleich y ist.

In ähnlicher Weise sind die Gleichungen und (4 a.) und (5 a.) und (6 a.)

(±.)

(5.)

(6.)

y = cosæ y - tgx y = et gx

x = arccos y, x = arct gy, x = arc ctg y

gleichbedeutend.

Diese Funktionen

arc tgx, arcct gx,

arc cos.r

arc sin x,

welche durch Umkehrung aus den trigonometrischen Funktionen abgeleitet werden, heißen „zyklometrische Funktionen“.

Der Wert der trigonometrischen Funktionen sinx und co&x ändert sich bekanntlich nicht, wenn man die unabhängige Veränderliche x um 2Tr (d. h. den zugehörigen Winkel um 360°)

oder um ein Vielfaches davon vermehrt oder vermindert. Es ist also für ganzzahlige Werte von n

smix dz 2nn) = sinx und cos(æ dz 2nn) = cos«.

Die Werte von sin« und cos^ wiederholen sich also periodisch. Deshalb nennt man diese Funktionen „periodische Funktionen“ und die Größe 2n heißt „die Periode“ derselben.

Ebenso sind die trigonometrischen Funktionen tgx und ctgx periodische Funktionen, denn es wird

tg(x dz nn) = tgx, ctg(x dz nn) = ctgx; hier ist aber die Periode n (oder 180°).

Diesem Umstande entsprechend werden die zyklometrisehen Funktionen „unendlich vieldeutige Funktionen“, denn

aus    ij = sin(a: dz    2 nn)    folgt x dz 2 nie = arcsin y,

x dz 2nrc = arccosy, x dz nn = arctgy, x dznn = arcctgy,

wobei n jede beliebige ganze Zahl sein darf. Beachtet man aber, daß x = siny alle Werte von —1 bis +1 durchläuft,

CN

durchläuft, so kann man

wenn y die Werte von —-J bis +

y = arc sin £ zu einer eindeutigen Funktion machen, wenn man

TZ    TT

festsetzt, daß y zwischen —— und +— liegen soll. Ebenso

A    -j

kann man y = arc cos x zu einer eindeutigen Funktion machen, wenn man ihre Werte auf das Intervall von 0 bis n beschränkt, und zwar mit Rücksicht darauf, daß x = cos y alle Werte von -fl bis —1 durchläuft, wenn y alle Werte von 0 bis n annimmt. Die Funktion x = tgy durchläuft alle Werte von —oo

TT    TT

bis -f oo, wenn y alle Werte von--— bis -f — durchläuft,

deshalb wird man y = arc tg x zu einer eindeutigen Funktion

Ms +f

machen, indem man sie auf das Intervall von —

beschränkt. Schließlich durchläuft die Funktion x = ctg y alle Werte von + oo bis —oo, wenn y alle Werte von 0 bis n durchläuft, deshalb wird man y = arc ctg⁻ « zu einer eindeutigen Funktion machen, wenn man ihre Werte auf das Intervall von 0 bis n beschränkt.

Einteilung der entwickelten Funktionen. Die entwickelten

Funktionen, von denen zunächst nur die Rede sein soll, teilt man wieder ein in algebraische und transzendente Funktionen,, und zwar heißt y eine algebraische Funktion von «, wenn y einem Ausdrucke gleich ist, welcher aus x und aus konstanten Größen nur durch die gewöhnlichen algebraischen Operationen, nämlich nur durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Dicision und Wurzelausziehung gebildet ist.

Ist dieses nicht der Fall, so heißt y eine transzendente Funktion von x. Durch jede der Gleichungen

(7.)

y = 2x³ -j- 3 Y~x — x¹ -y/x,

(8.)

Sx² + 7x —11

2x -j- 5

13« -j- 9,

(9.)

2x² -f 3x — 8

i lyx — i

x -j- 1

V« + 2

wird daher y als eine algebraische Funktion von x erklärt; durch jede der Gleichungen

y = sin«, y = cos«, y = tg«, y = ctg«,

V = aX,

y = 3 sin« -j- 4 cos«,

y = ax -j- 2 y/b -j- «³ — c dagegen wird y als eine transzendente Funktion von « erklärt.

Die algebraischen Funktionen werden wieder eingeteilt in rationale und irrationale, je nachdem man bei der Bildung Wurzelausziehung vermeiden kann oder nicht; und die rationalen Funktionen werden weiter eingeteilt in ganze rationale und in gebrochene rationale Funktionen, je nachdem man bei der Bildung die Division vermeiden kann oder nicht.

(10.)

(11.)

(12.)

(13.)

y = log«,

1) Die ganzen rationalen Funktionen v'er den aus der unabhängigen Veränderlichen x und aus konstanten Größen nur durch Addition, Subtraktion und Multiplikation gebildet.

(Die Division und die Wurzelausziehung sind also hierbei ausgeschlossen.)

Es ist z. B.

y — 3æ⁴ — f x* -f- -fx² — 11 x -(- J-

eine ganze rationale Funktion von x, denn sie ist aus x und den konstanten Größen 3, f,    11, -§ nur durch Addition,

Subtraktion und Multiplikation zusammengesetzt.

Da hierbei die Brüche f, f-, § Vorkommen, so könnte man glauben, die Bildung dieser Funktion widerspräche der soeben angegebenen Begel, weil diese Brüche durch Division entstanden sind. Dieser Einwand ist aber deshalb unbegründet , weil die Resultate der Division selbst wieder konstante Größen sind, die man bei der Bildung einer ganzen rationalen Funktion beliebig verwenden darf.

Ferner ist zu beachten, daß die Potenzen von x, also

—— cccc ccfi — tjCOCCC    iKy^ ~ cccccccc

durch Multiplikation entstanden sind, so lange der Exponent eine positive ganze Zahl ist.

Die Funktion

y — ax -f- «i

heißt eine ganze rationale Funktion ersten Grades, weil x (ohne daß Klammern auftreten) nur in der ersten Potenz vorkommt. Ebenso heißt

y = ax² -f- a\x -j- #2

eine ganze rationale Funktion zweiten Grades, y = ax³ + agx² -f- a₂x -f- a3 eine ganze rationale Funktion dritten Grades,

y = axn -J- a\xn~¹ -j- a₂xn^² -)-••• + art—-f- an eine ganze rationale Funktion nUn Grades, w^eil (ohne daß Klammern auftreten) die höchste Potenz von x, welche vorkommt, xn ist.

Die Gleichung

y = axn -]- axxn~x -)- a^x*—'² -|- • • • -f- an—\X + an

gibt auch diejenige Form an, auf welche jede ganze rationale Funktion gebracht werden kann, wenn man sämtliche Klammern auflöst. Ist z. B.

y = (2«¹ 2 — 3 a; —(-1 l)(3a?—5)+«[(2«-[-3)(«-|-2)-|-(«—l)(«-fl)—7],

so findet man, indem man alle Klammern auflöst und die Glieder mit gleichen Potenzen von x vereinigt,

y = 6«³ — 19«² + 48« — 55 + x[(2x² -j 7x j-6) + (x² — 1) — 7] = 9«³ — 12«² -|- 46« — 55.

Dieses Verfahren führt immer zum Ziele, wie auch die Funktion durch Addition, Subtraktion und Multiplikation gebildet sein mag, wenn nur die Anzahl der angewendeten Operationen eine endliche ist. Unter dieser Voraussetzung kann man nämlich zunächst die innersten Klammern auf lösen, d. h. diejenigen Klammerausdrücke, in denen keine weiteren Klammern stehen, und in den gefundenen Resultaten die Glieder vereinigen, welche mit gleichen Potenzen von « multipliziert sind. Indem man dieses Verfahren fortsetzt, kann man nach und nach alle Klammern auflösen, die Glieder mit gleichen Potenzen von « vereinigen und nach fallenden Potenzen von « ordnen.

Um anzudeuten, daß y eine ganze rationale Funktion von « ist, schreibt man

y = g(x), oder y = G(x).

2) Die gebrochenen rationalen Funktionen werden aus der unabhängigen Veränderlichen x und aus konstanten Größen gebildet durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. (Die Wurzelausziehung ist also hierbei ausgeschlossen.)

So sind z. B.

ax² — b

2x — 1 ! 2x -\- 9 üx 4- 2 'ix ‘— 4

'iXl

2x 2x -|- 5

gebrochene rationale Funktionen von x. Hier tritt also zu den Operationen, welche hei der Bildung- von ganzen rationalen Funktionen zulässig- waren, noch die Division hinzu. Wie oft aber auch die Division bei der Bildung einer gebrochenen rationalen Funktion verwendet sein mag, es läßt sich die Funktion immer so umformen, daß bei ihrer Bildung nur eine einzige Division vorkommt. Es gilt nämlich der Satz:

Jede gebrochene rationale Funktion läßt sich dar st eilen als Quotient von ziuei ganzen rationalen Funktionen, d. h. es läßt sich jede gebrochene rationale Funktion auf die Form

axn —j- u\Xn ^ -1— • • ■ A⁻ an: \X —j— an

hm—i*r H⁻ b)u

bxm + bxxm~x -)-•••

bringen.

Der Beweis dieses Satzes folgt daraus, daß man Brüche addiert oder subtrahiert, indem man sie auf gleichen Nenner bringt und die Zähler addiert oder subtrahiert, daß man ferner Brüche miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert, und daß man endlich Brüche durcheinander dividiert, indem man den Divisor umkehrt und dann multipliziert. Alle diese Operationen liefern, wenn sie auf Quotienten von ganzen rationalen Funktionen angewendet werden, als Endresultat immer wieder den Quotienten von zwei ganzen rationalen Funktionen.

Führt man also bei der Bildung einer gebrochenen rationalen Funktion alle Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen und Divisionen in der gehörigen Reihenftdge wirklich aus, indem man immer nur mit Brüchen operiert, wrelche schon die vorgeschriebene Form haben, so kann man schließlich die Funktion selbst auf die vorgeschriebene Form bringen. Vorausgesetzt ist dabei, daß die Anzahl der Operationen nicht unendlich groß ist.

Es ist z. B.

2x — 3 , ‘ix — 2 x — 1

5#² — 6# — 1

f Ix

X¹ — 1

+ Ix

² i -

— —j— Ix

5#² — 6# — 1 x —

X² — 1

-f- Ix

5#³ — 16#² -f- 11# -j- 2

#³-X

7#⁴ + 5#³ — 23#² + 11# + 2

#³ — x

Wie man bei den gewöhnlichen Brüchen echte und unechte Brüche von einander unterscheidet, je nachdem der Zähler des Bruches kleiner oder größer ist als der Nenner, so unterscheidet man auch echt gebrochene und unecht gebrochene rationale Funktionen. Doch kommt es hier natürlich nicht auf die Größe von Zähler und Neuner an, weil dieselben ja noch Funktionen von x sind und deshalb unendlich viele Werte annehmen. Man nennt vielmehr eine gebrochene rationale Funktion

F(x)

V f(x)

bxm -f- b\Xm~x    + bm—i# + bm

„echt gebrochenwenn der Grad n des Zählers kleiner ist als der Grad m des Nenners; man nennt, sie dagegen ,,unecht gebrochen wenn der Grad des Zählers größer oder mindestens ebenso groß ist wie der Grad des Nenners.

17

durch Aus-

Wie man aber einen unechten Bruch, z. B. -- >

o

führung der Division als Summe einer ganzen Zahl 3 und eines

2

echten Bruches -o

unecht gebrochene rationale Funktion ganzen rationalen Funktion g(x) und einer echt gebrochenen

darstellen kann, so kann man auch jede

Fix)

f(x)

als die Summe einer

cp(x)

darstellen. Zu diesem Zwecke braucht

rationalen Funktion man nur den Zähler F(x) durch den Nenner f(x) zu dividieren,

f(x)

bis der Grad des Restes <f{x) kleiner ist als der Grad des Nenners. Bezeichnet man den Quotienten mit g(x), wird also

Ff) =fix)-gix) + <pf)

so erhält man

Fix)

fix)

= ⁽Ax) +

<P(x)

fix)

ff(x)

eine echt ge-

fix)

wo gix) eine ganze rationale Funktion und

brochene rationale Funktion ist. Am besten erkennt man das Verfahren aus einem Beispiele. Es sei

Fix) x³ -f- 9x² -(- 12x — 16 x² -j- 2x — 8

fix)

dann erhält man durch Division

z³ + 9x² + 12x — 16 4= ix² + 2x— 3 JO + 7) + 0 + 5) x³ -f- '2x² — 3z + 7x² + 15^—16 + Ix² + 14z—-21

H⁻ x -f- 5

also

z³ + 9x² + 12x—16

x² + 2x — 3

x -j— 5

x² -f- 2x — 3

Bekanntlich ist

xn ’

x~n -=

deshalb sind Potenzen von x mit negativen, ganzzahligen Exponenten auch gebrochene rationale Funktionen von x.

Um anzudeuten, daß y eine (ganze oder gebrochene) rationale Funktion von x ist, schreibt man gewöhnlich

V = Fix).

3) Die irrationalen {entwickelten) Funktionen werden aus der unabhängigen Veränderlichen x und aus konstanten Größen gebildet durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Wurzelausziehung.

Hier tritt also noch die Wurzelausziehung hinzu.

Durch die Gleichungen

y = Vx =x²,

y = y-2xl — 7 = (2«² — 7)³”,

y == V^« — y 4«² -f- 5,

]/«—3 | y/'2z²— 3x -(- 5 «² — 1

werden also irrationale Funktionen erklärt. Man erkennt aus diesen Beispielen, daß Potenzen von x mit gebrochenen (positiven oder negativen) Exponenten irrationale Funktionen von x sind, denn es ist

n/    n

= yx, X

Bemerkung.

Bei dieser Einteilung der Funktionen handelte es sich nur um entwickelte Funktionen; nimmt man aber die unentwickelten Funktionen hinzu, so erweitert sich der Begriff der algebraischen Funktionen, und zwar heißt dann y eine algebraische Funktion von x, wenn y die Wurzel einer Gleichung von der Form

G₀(x). yn -f- Gx(x) . yn~l +----h Gn-i{x). y + Gn(x) — 0

ist, wobei Gq(x) , G\(x), . . . Gn—i(x), Gn{x) sämtlich ganze rationale Funktionen von x sind. Vorläufig können aber solche algebraische Funktionen übergangen werden.

§ 2.

Geometrische Darstellung der Funktionen.

— > ]/«, Vx

X    ¹

Yon dem Verlaufe einer Funktion kann man sich auf zweifache Weise eine Vorstellung machen, erstens durch eine Tabelle und zweitens durch eine Figur.

Solche Tabellen sind z. B. für die Funktionen

log«, log (sin«), log (cos«) usw. hergestellt und zwar in der Weise, daß in der einen Kolonne die verschiedenen, nach regelmäßigen Intervallen eingeteilten Werte von « und in der anderen Kolonne die zugehörigen Werte von y stehen, z. B.

x | y — log#

Das andere Mittel bietet die analytische Geometrie. Sind nämlich in einer Ebene zwei sich schneidende gerade Linien OX und OY gegeben (Fig. 3), und legt man durch einen beliebigen Punkt P die Gerade RP parallel zu OX und die Gerade QP

Fig. 3.

parallel zu OY, so erhält mau ein Parallelogramm OQPR, in welchem OQ — RP = x,

Ri

iP

OR = QP = y

ly

To

die Koordinaten des Punktes P heißen, und zwar nennt man x die „Abszisse“ und y die „Ordinate“ des Punktes P. x Die gegebenen Geraden OX und OY heißen die „Koordinaten-Achsen“, und zwar heißt OX die „Abszissen-Achse¹¹ oder „X-Achse“, O Y heißt die „Ordinaten-Achse“ oder „Y-Achse“, und ihre Zusammenstellung heißt ein „Parallel-Koordmatensystem“. Dabei nennt man 0 den „Nullpunkt“ oder den „Anfangspunkt des Koordinatensystems“.

Durch die Lage des Punktes P sind also seine Koordinaten x und y bestimmt; umgekehrt ist aber auch die Lage des Punktes P bestimmt, wenn seihe Koordinaten x und y gegeben sind. Schneidet man nämlich 00 = x von 0 aus auf der X-Achse

und OR = y von 0 aus auf der Y-Achse ab, so schneiden sich die Geraden, welche man bezw. durch R parallel zur X-Achse und durch Q parallel zur Y-Achse legt, im Punkte P.

Allerdings ist diese Konstruktion nur dann eindeutig, wenn man die eine Seite der X-Achse, z. B. die rechts von 0 verlaufende, als die positive und deshalb die andere Seite als die negative festsetzt, so daß OQ = x auf der positiven oder negativen Seite

abzutragen ist, je nachdem x einen positiven oder negativen Wert hat. Ebenso muß man auf der Y-Achse die eine Seite, z. B. die über der X-Achse, als die positive und deshalb die andere als die negative festsetzen.

Für viele Untersuchungen ist es am bequemsten, ein „rechtwinkliges“ Koordinatensystem zugrunde zu legen, bei welchem die Koordinaten - Achsen sich rechtwinklig schneiden. Parallelogramm OQPIl wird dann ein Rechtecli. Man wendet dabei zur Konstruktion der einzelnen Punkte am bequemsten karriertes Millimeter - Papier an.

Betrachtet man nun x und y als die rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes, so entspricht jedem Wertepaare der eben beschriebenen Tabelle ein Punkt. Da man den Unterschied zwischen je zwei aufeinander folgenden Werten von x, wie eine nähere Untersuchung zeigt, beliebig klein machen kami, so wird die Anzahl dieser Punkte beliebig groß; auch werden im allgemeinen die aufeinander folgenden Punkte einander beliebig nahe liegen und dadurch eine stetig verlaufende Kurve bestimmen, welche der Gleichung

Das

y =/0)

entspricht. Ist z. B.

(1.)

y — x¹ -f- '6x — 2,

so ergibt sich die Tabelle

Fig 4.

— 5 +8

— 4 +2

■x

und daraus die in Fig. 4 dargestellte Kurve.

Ein zweites Beispiel liefert die Gleichung

(2.)

x¹ + V¹ — 25 — 0,

oder

(2 a.)

y = dz Y 25 — x².

Fig. 5.

Die Kurve, welche dieser Gleichung entspricht, ist der in Fig. 5 dargestellte Kreis.

Liegt die einer Gleichung zwischen x und y entsprechende Kurve v gezeichnet vor, so kann man zu jedem Werte von x die zugehörigen Werte von y finden, indem man im Abstande x eine Parallele zur Y-Achse zieht, welche die Kurve in einem oder in mehreren Punkten P schneidet. Der Abstand eines solchen Punktes P von der A-Achse ist dann ein zugehöriger Wert von y.

Möglicherweise wird diese Parallele die Kurve in gar keinem Punkte schneiden. Dies tritt in dem zweiten Beispiele ein, wenn x² >25 ist; dann wird nämlich y imaginär.

Dem Anfänger ist zu empfehlen, daß er noch mehrere Kurven nach dem angegebenen Verfahren zeichnet, z. B. die Kurven, welche den Gleichungen

y⁼sx—⁵

entsprechen.

60

»“T’

__ 2 ______

y =-]-yQx,    y — ± --Y36 — x¹

¹

«

²

2« — 3

§ 3.

Funktionen von mehreren Veränderlichen.

Besteht eine Gleichung zwischen drei Veränderlichen x, y, z, ist z. B.

z = 3x² — Ixy -f- 11 y²,

V,

so heißt 2 eine Funktion der beiden Veränderlichen x und weil jedem Wertepaare x, y ein oder mehrere Werte von 2 nach einem bestimmten Gesetze zugeordnet sind.

Ganz allgemein kann man eine Funktion von zwei Veränderlichen in folgender Weise erklären:

Eine veränderliche Größe z ließt eine Funktion der leiden Veränderlichen x und y für ax ■< x < a₂, bx < y < 1%, wenn jedem Wertepaare x, y in den angegebenen Intervallen ein oder mehrere Weide von z nach einem bestimmten Gesetze zugeordnet sind.

Diese Erklärimg läßt sich leicht auch auf Funktionen von drei und mehr unabhängigen Veränderlichen erweitern.

cs

eines Dreiecks eine

So ist z. B. der Flächeninhalt

Funktion der Grundlinie g und der Höhe h; das Volumen ( J

eines Kreiskegels ist eine Funktion vom Halbmesser r des Grundkreises und der Höhe h.

Das Volumen eines Kegelstumpfes

hit

(n² + i\r2 + r f)

6

ist eine Funktion der Höhe h und der Halbmesser rt und r₂ der beiden begrenzenden Kreise.

Die Schwingungszahl einer gespannten Saite ist eine Funktion ihrer Länge, ihrer Dicke und der spannenden Gewichte.

Der Zins, welchen ein ausgeliehenes Kapital bringt, ist eine Funktion des Kapitals, der Zeit und des Zinsfußes.

Um anzudeuten, daß y eine Funktion von n Veränderlichen xx, x₂,... xn ist, schreibt man

oder

y = fixi, x₂,... x„)

oder

y = F{xi, x₂,... x„),

y =    X₂, ... Xn) .

Die Funktionen von mehreren Veränderlichen kann man in derselben Weise einteilen wie die Funktionen von einer Veränderlichen; es gibt also auch hier eindeutige und mehrdeutige, entwickelte und unentwickelte Funktionen.

Die entwickelten Funktionen werden eingeteilt in algebraische und transzendente. Dabei unterscheidet man unter den alge-

braischen Funktionen je nach ihrer Bildung aus den unabhängigen Veränderlichen und konstanten Größen gerade so wie bei den Funktionen von einer Veränderlichen

1)    ganze rationale Funktionen,

2)    gebrochene rationale Funktionen,

3)    irrationale Funktioyien.

Alle übrigen Funktionen heißen transzendent.

4.

Begriff der Grenze.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 1.)¹)

Wenn eine Reihe von Größen Xx, X%, X₃,... sich einer konstanten Größe A immer mehr nähert, so daß schließlich der Unterschied zwischen Xn und A für hinreichend großes n beliebig klein toird, so heißt A die Grenze (limes) von Xn.

Dabei kami es Vorkommen, daß Xn immer kleiner bleibt als die Grenze A, oder daß Xn immer größer bleibt als die Grenze A; es kann aber auch Vorkommen, daß diese Größen Xn bald größer sind, bald kleiner als die Grenze A, der sie sich nähern. Ein Beispiel hierfür bieten die periodischen Kettenbrüche. Außerdem ist es möglich, daß firn gewisse Werte von n der Unterschied zwischen Xn und A kleiner ist als der Unterschied zwischen Xw+1 und A ; es soll hier auch nur vorausgesetzt werden, daß für hinreichend große Werte von n dieser Unterschied beliebig klein gemacht werden kann.

Um auszudrücken, daß A die Grenze von Xn ist, schreibt

man

lim Xn = A.

n=oo

(sprich: limes Xn für limes n gleich unendlich.)

Es kommt auch vor, daß man die Reihe von Größen Xx, .. durch eine veränderliche Größe X ersetzt, die sich so verändert, daß der Unterschied zwischen X und der konstanten Größe A immer kleiner und schließlich beliebig klein

wird. Auch in diesem Falle nennt man A die Grenze von X und schreibt

lim X = A.

Beispiele.

1)    Der Umfang- eines Kreises ist die Grenze vom Umfange des dem Kreise einbeschriebenen regelmäßigen n - Ecks, wenn die Anzahl der Seiten immer größer wird, denn der Unterschied zwischen beiden wird beliebig klein, wenn man n hinreichend groß macht.

Ebenso kann der Umfang des Kreises als Grenze des dem Kreise umschriebenen regelmäßigen rc-Ecks angesehen werden.

2)    Auch die Fläche des Kreises ist die Grenze vom Flächeninhalt des dem Kreise einbeschriebenen und ebenso des umschriebenen n - Ecks, wenn n immer größer wird.

3)    Es ist

7 \

+ — ) gesucht wird, wenn n ins Unbegrenzte

len

1000

wächst.

Dieser gesuchte Grenzwert ist in der Tat

denn es wird

» los

10    90

(⁷ : ⁷ )    ⁷

VlO “ 100/    90

100    900

VlO ¹ 100 ¹ 1000/    900    1000    9000

los

100 ¹ 1000

10"

9.10ra

7

Der Unterschied zwischen — und 0,777... wird also beliebig

klein, wenn man eine hinreichend große Anzahl von Dezimalstellen berücksichtigt.

Ähnliches gilt ganz allgemein, wenn man einen gewöhnlichen Bruch, dessen Nenner von 2 und 5 verschiedene Faktoren enthält, in einen periodischen Dezimalbruch verwandelt.

4) Es ist

LO|

T—ł 100

li

(M

In der Tat, es wird

<M

C¹+1+l) -

1-1 [oo

1—I I O) rH i -rH h ! 00

t—I ; rH

Li I—¹

6) Es soll bewiesen werden, daß

sin 2

lim

wird.

Hierbei bedeutet das Zeichen sin z

lim (sprich: limes- für limes2

z=0    2

sin 2

Fig. 6.

gleich 0), daß der Wert von

bestimmt werden soll, wenn sich der Wert des Bogens 2 der Null beliebig nähert.

Zum Beweise beachte man, daß für alle Bögen 2, welche

kleiner als ^ (d. h. kleiner als £

90°) sind, in Figur 6

B.

(1.)

A COB S Sektor A OB    OB

wird. Das Gleichheitszeichen kommt hierbei nur in Betracht, wenn der Bogen AB gleich Null wird. Macht man den Halbmesser des Kreises um O gleich 1, so ist

sin2 = Gi?, cos 2 = CO, t gz = BI),

also

2 A COB - CB . CO = sin 2 cos 2, 2 Sektor AOB = AB . AO =

2 Aß OB = OB . Bl) = tg2 =

sin 2

cos 2

folglich gehen die Ungleichungen (1.) über in

sin 2

(la.)

siii2 cos2 ^ 2 SS

cos 2

Indem man die Gleichungen

sin2 == sni2 = sin2 durch die Ungleichungen (la.) dividiert, erhält man

sin 2

cos 2 ⁼    2

(2.)

(3.)

(S COS2;

d. h.

(4.)

Sill 2    .    .    1

— liegt immer zwischen cos z und — z °    coss

lim cosz = 1 und lim ——

z=o COS 2

• Da nun aber

wird, so muß auch

(5.)

sein.

,. sin z lim- = 1

r=0

Der Sinn dieses Resultates läßt sich folgendermaßen aus

sprechen :

Der Unterschied zwischen dem Sinus eines Bogens z und dem Bogen selbst wird im Verhältnis zu diesem Bogen 2 beliebig klein, wenn man den Bogen hinreichend klein macht. So ist arcus4° =    0,069    813 17,    sind⁰ = 0,069 756 47,

arcus2° =    0,034    906 58,    sin 2° = 0,034 899 42

arcus 1⁰ =    0,017    453 29,    sinl⁰ = 0,017 452 41

arcus 30' = 0,008 726 64, sin 30' = 0,008 726 54, arcus 15' = 0,004 363 32, sin 15' = 0,004 363 31, arcus 7^' = 0,002 181 66, sin 7$' — 0,0Q2 181 66,

also

5 670

69 813 17

arcus 4° — sin 4°

arcus 4⁰

= 0,000 812 17

arcus 2⁰ — sin 2⁰

716

arcus 2⁰

34 906 58

0,000 205 12,

arcus 1⁰ — sin 1⁰

88

arcus 1⁰

17 453 29

0,000 050 42

arcus 30'—sin 30'

10

arcus 30'

8 726 64

0,000 011 46

§ 5.

Das unendlich Kleine und das unendlich Große,

(Vergl. die Formel-Tabelle Kr. 2 bis 4.)

Erklärung. Nähert sich eine veränderliche Größe der Grenze 0, so sagt man, sie werde unendlich klein.

Nach den Auseinandersetzungen des vorhergehenden Paragraphen könnte man die Erklärung des unendlich Kleinen daher auch so fassen:

Wenn eine veränderliche Größe immer kleinere und kleinere Werte annimmt, so daß sie kleiner werden kann als jede gegebene Größe, so sagt man, sie toerde unendlich klein, oder noch besser, sie werde verschwindend klein.

Wenn man also von „verschwindend kleinenu oder von „unendlich kleinen Größen“ spricht, so muß man sich stets dessen bewußt bleiben, daß man zunächst mit kleinen veränderlichen Größen rechnet, die sich dann der Grenze 0 beliebig nähern sollen.

Es ist sehr bequem, diese vereinfachte Bezeichnung zu benutzen, damit man es nicht nötig hat, in jedem einzelnen Falle die Auseinandersetzung des hier angedeuteten Grenz Verfahrens zu wiederholen.

Erklärung. Wenn eine veränderliche Größe immer größere und größere Werte annimmt, so daß sie jede gegebene Größe übersteigen kann, so sagt man, sie werde unendlich groß, oder noch besser, sie sei eine unbegrenzt wachsende Größe.

Das Zeichen für unendlich groß ist oo.

Wenn man also von „unbegrenzt wachsenden“ oder von „■unendlich großen Größen“ spricht, so will man wiederum ein Grenzverfahren andeuten, welches darin besteht, daß man zunächst mit endlichen, veränderlichen Größen rechnet, die dann aber größer werden dürfen als jede angebbare Größe.

So wird z. B. tg« erklärt als das Verhältnis der beiden Katheten im rechtwinkligen Dreieck, von denen die erste dem spitzen Winkel a gegenüberliegt. Wächst der Winkel «, so wächst auch tgce. Für « = 90° hat diese Erklärung keinen

Sinn mehr, weil es kein geradliniges Dreieck gibt, das zwei rechte Winkel enthält; trotzdem sagt man

tg90° — oo

nnd will damit ansdrücken, daß tg « über jede angebbare Größe hinaus wächst, wenn sich a dem Werte 90° beliebig nähert.

Erklärung. Eine Größe heißt „endlichwenn sie weder unendlich klein noch unendlich groß wird.

Satz 1.

Neben einer endlichen Größe darf eine verschwindend kleine Größe vernachlässigt werden, oder mit anderen Worten: eine endliche Größe bleibt unverändert, wenn man sie um eine unendlich kleine Größe vermehrt oder vermindert.

Die Richtigkeit dieses Satzes folgt aus der Erklärung der unendlich kleinen oder verschwindend kleinen Größen. Man könnte die unendlich kleinen Größen geradezu dadurch erklären, daß sie neben einer endlichen Größe vernachlässigt werden dürfen.

Von diesem Satze kann man sofort einige Anwendungen machen. Es sei

lim Y = B, Y=Bfß,

lim X = A

also

X — A f cc,

wobei a und ß beim Übergänge zur Grenze verschwindend kleine (positive oder negative) Größen sind. Dann werden aber a -f- ß und a — ß ebenfalls verschwindend klein, folglich wird

lim(X ± Y) = lim[(A ± B) + (a db ß)] = A ± B,

oder

(1.)

lim(X d= Y) = limX db lim Y.

Dies gibt in Worten die beiden folgenden Sätze:

Satz 2. Der Grenzivert einer Summe ist gleich der Summe der Grenzwerte der einzelnen Summanden.

Dieser Satz gilt auch für Summen von beliebig vielen

Gliedern.

Ferner ist

X .Y = (A -|- a) (B + ß) = AB -j- aB -j- ßA -j- aß.

Da A und B endliche Größen sind, so werden beim Übergange zur Grenze aB und ßA verschwindend klein, und da auch aß verschwindend klein wird, so erhält man lim (X . Y) = A . B,

oder

(2.)

lim (X . Y) = limX . lim Y.

Dies gibt in Worten:

Satz 4. Der Grenzwert eines Produktes ist gleich dem Produkte der Grenzwerte der einzelnen Faktoren.

Schließlich ist

A -f- a A    aB —— ßA

Y =    = & ⁺ B{B + ß)

Beim Übergange zur Grenze werden aB und ßA verschwindend klein, während unter der Voraussetzung, daß Bßzü ist, B(B -f- ß) den endlichen Wert Bl erhält, folglich wird

oder

(#)

(3.)

lim

lim X limT ’

wenn lim Y ^ 0 ist. Daraus ergibt sich

Satz 5. Der Grenzwert eines Bruches, dessen Nenner an der Grenze von Null verschieden bleibt, ist gleich dem Grenzwerte des Zählers, dividiert durch den Grenzwert des Nenners. Aus der Erklärung der unbegrenzt wachsenden Größen

folgt:

Satz 6. Eine unbegrenzt loachsencle Größe wächst auch dann noch unbegrenzt, wenn man sie um eine endliche Größe vermehrt oder vermindert, oder mit anderen Worten: eine Größe bleibt unendlich groß, auch wenn man eine endliche Größe zu ihr addiert oder von ihr subtrahiert.

§ 6.

Uber die Rechnung mit unendlich kleinen Größen.

Nach den Erklärungen des vorhergehenden Paragraphen wird eine Größe dann unendlich klein (oder verschwindend klein), wenn man sie kleiner machen kann als jede gegebene Größe. Wie groß auch die Genauigkeit sein mag, mit der man rechnen will, man kann die verschwindend kleinen Größen so klein machen, daß sie neben einer endlichen Größe nicht mehr in Betracht kommen.

Verlangt man z. B., daß eine Zahl bis auf n Dezimalstellen genau berechnet wird, so genügt es, eine etwa hinzutretende unendlich kleine Größe kleiner anzunehmen als

2.10n ’

damit sie im Vergleich zu der endlichen Zahl verschwindend klein wird. Man kann daher die unendlich kleinen Größen nicht mit endlichen, sondern nur mit unendlich kleinen Größen vergleichen; das Verhältnis zweier unendlich kleinen Größen kann nämlich sehr wohl einen endlichen Wert haben, wie die beiden

folgenden Aufgaben aus der Geometrie und Mechanik zeigen mögen.

Fig. 7.

p.

1. Es sei

(1.)

V =fix)

die Gleichung einer Kurve PPi (Fig. 7), in welcher die Punkte P und Pi durch eine Sekante verbunden sind. Der Winkel ß, den diese Sekante mit der positiven Richtung der X-Achse bildet, ist dann bestimmt durch die Gleichung

(2.)

RP

tgß = tgPPPi =

Bezeichnet man nun die Koordinaten des Punktes P mit x und y, die des Punktes P\ mit xx und y²), so wird

PR

also

OQ — x

QP = y, 0Q\ — x\

PR — QQ\ = 0 Q\ — OQ = x x — x RPx — QxPi — QP — yi — y,

Q\P\ = y\,

folglich wird

(3.)

t gß = -¹-—

Xx — x

Die Differenzen xx — x und yx — y bezeichnet man gewöhnlich mit Jx und Jy. Die Gleichung (3.) nimmt dadurch die Form

(3 a.)

tgß

₌ Jy

Jx

an. Nähert sich jetzt der Punkt Px dem Punkte P, so werden auch Jx und Jy immer kleiner. Wird schließlich der Abstand des Punktes Px von P verschwindend klein, so werden auch Jx und Jy verschwindend kleine Größen, welche man dann „ Differentiale“ nennt und mit dx und dy bezeichnet. Gleichzeitig geht die Sekante PPt in die Tangente TP über, welche mit der positiven Richtung der X-Achse den Winkel a bildet. Die Tangente im Kurvenpunkte P ist nämlich eine Sekante, bei der zwei Schnittpunkte P und Px in einen Punkt, den Berührungspunkt P zusammengefallen sind.

Die Gleichung (3 a.) geht daher über in

_ ty ₌

(40

Jy

lim

tg«

Den Quotienten der beiden Differentiale dy und dx nennt man einen „Differential- Quotienten“.

2. Unter der Geschwindigkeit c eines (z. B. in gerader Linie) gleichförmig fortbewegten Massenpunktes versteht man die Länge des Weges, der in der Zeiteinheit (Sekunde) zurückgelegt wird. In t Sekunden ist daher die Länge des zurückgelegten Weges

dx

Jx

(5.)

s — ct.

Ebenso ist die Länge des Weges, welchen der Massenpunkt in tx Sekunden zurücklegt,

5p •— dx

Kiepert, Differential-Rechnung.

(5 a.)

also Si — S = c(tx — t).

Dabei ist st — s der in dem Zeitintervall von t bis h zurüekgelegte Weg. Dies gibt für die Geschwindigkeit bei gleichförmiger Bewegung den Wert

(6.)

«i — s t\ — t

Tu dieser Formel ist es ganz gleichgültig, wie groß, bezw. wie klein das Zeitintervall tx — t ist, weil der zuriickgelegte Weg sx — s in demselben Verhältnisse wächst und abnimmt wie h — t.

Wenn die Bewegung nicht mehr gleichförmig ist, d. h. wenn der bewegte Masseupunkt in gleichen Zeiten nicht mehr gleiche Strecken zurücklegt, so kann man doch noch von der mittleren Geschwindigkeit im Zeitintervalle von t bis t± sprechen und diese wieder erklären als das Verhältnis der in der Zeit h — t zurückgelegten Strecke s±—5 zu diesem Zeitintervalle h—t. Bezeichnet man diese Differenzen sx — s und 4 — t bezw. mit Js und Jt, so ist also die mittlere Geschwindigkeit

Jt

Js Si — s tx — t ’

Wird das Zeitintervall Jt immer kleiner und schließlich verschwindend klein, so wird auch Js verschwindend klein. Diese verschwindend kleinen Größen bezeichnet man bezw. mit dt und ds und nennt

(7.)

ds

Js

v =    = lim —

dt Jt

,,die Geschwindigkeit der ungleichförmig en Bewegung zur Zeit t“.

Auch hier nennt man die verschwindend kleinen Größen ds und dt ,,Differentiale“ und ihren Quotienten einen „Differential- Quotienten“.

Mit solchen Differentialen und Differential-Quotienten hat man es hauptsächlich in der Differential- Rechnung zu tun.

Man kann aber auch in anderer Weise mit verschwindend kleinen Größen rechnen.

Teilt man nämlich eine endliche Größe F in n Teile (die übrigens nicht gleich zu sein brauchen), so ist F gleich der Summe aller dieser Teile. Wenn nun die Zahl n, d. h. die Anzahl der Teile ins Unbegrenzte wächst, so daß die einzelnen Teile immer kleiner und schließlich unendlich klein werden, so erkennt man, daß auch die Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Größen sehr wohl einen endlichen Wert F haben kann.

Solche Summen von unendlich vielen, unendlich kleinen Größen treten in der Integral-Rechnung auf.

Beispiele davon kommen schon in der Planimetrie und Stereometrie vor.

Indem man einen Kreis als ein regelmäßiges w-Eck mit unendlich vielen Seiten betrachtet, findet man den Umfang des Kreises als die Summe dieser unendlich vielen, unendlich kleinen Seiten.

Ferner berechnet man die Fläche eines Kreises mit dem Halbmesser r, indem man sie in unendlich viele, unendlich schmale Sektoren zerlegt. Jeder solche Sektor wird dann als ein Dreieck betrachtet, dessen Spitze der Mittelpunkt des Kreises ist, und dessen Grundlinie in der Peripherie des Kreises liegt. Da diese Dreiecke alle dieselbe Höhe r haben, so braucht man nur ihre Grundlinien zu addieren und erhält als Summe derselben den Umfang des Kreises, nämlich

u — 'Irre.

Der Flächeninhalt des Kreises ist daher

F=

ur

= Fit .

Das Volumen einer Kugel kann man berechnen, indem man dieselbe durch Schnitte, senkrecht zu einem Durchmesser, in unendlich viele, unendlich dünne Schichten zerlegt und die einzelnen Schichten als Kegelstumpfe betrachtet.

In ähnlicher Weise berechnet man die Oberfläche einer Kugel, indem man dieselbe durch Schnitte, senkrecht zu einem Durchmesser, in unendlich viele, unendlich schmale Zonen zerlegt, welche man als Mäntel von Kegelstumpfen betrachtet.

3*

Das Volumen V einer Kugel kann man auch finden, indem man die Kugeloberfläche in unendlich kleine Dreiecke zerlegt und diese Dreiecke als die Grundflächen von Pyramiden betrachtet, die alle ihre Spitze im Mittelpunkte der Kugel haben. Die Höhe ist hei allen diesen Pyramiden gleich dem Halbmesser r der Kugel, folglich ist die Summe ihrer Volumina gleich der

V

Summe ihrer Grundflächen, multipliziert mit — • Da die Summe

O

der Volumina gleich dem Volumen der Kugel und die Summe der Grundflächen gleich der Kugeloberfläche (4r%) ist, so findet man

4 r%n

V — 4r²/r • — =

Bei der Rechnung mit unendlich kleinen Größen kommen daher hauptsächlich nur zwei Aufgaben in Betracht:

1)    Es ist der Wert zu bestimmen, welchełi das Verhältnis von zwei unendlich Meinen Größen annimmt.

2)    Es ist die Summe von unendlich vielen, unendlich Meinen Größen zu bestimmen.

In dem folgenden wird daher auch nur auf diese beiden Aufgaben Rücksicht genommen werden.

C/7j

7.

Verschiedene Ordnungen der unendlich kleinen Größen.

Die verschwindend kleinen Größen, welche in einer Rechnung-Vorkommen, können noch sehr verschiedenartig- sein. Zerlegt man z. B. einen Würfel durch Schnitte, senkrecht zu einer Seitenkante, in n gleiche Schichten, so werden die einzelnen Schichten verschwindend kleine Größen, wenn n ins Unbegrenzte wächst.

Legt man jetzt noch Schnitte, senkrecht zu einer zweiten Kante, so kann man jede dieser Schichten in 71 gleiche Säulen zerlegen. Wenn jetzt n wieder ins Unbegrenzte wächst, so werden diese Säulen verschwindend kleine Größen, und zwar sind sie auch noch verschwindend klein im Verhältnis zu jeder einzelnen Schicht, weil erst unendlich viele Säulen eine solche Schicht ausmachen.

Schließlich kann man noch durch Schnitte, senkrecht zu einer dritten Kante des Würfels, jede Säule in n Würfel zerlegen. Wächst n wieder ins Unbegrenzte, so werden diese Würfel noch verschwindend klein sein im Verhältnis zu den verschwindend kleinen Säulen, weil erst unendlich viele Würfel eine solche Säule ausmachen.

Dies Beispiel zeigt, daß man die unendlich kleinen Größen noch in verschiedene Ordnungen einteilen muß.

Kommen also in einer Rechnung verschiedenartige unendlich kleine Größen vor, so kann man eine, z. B. a, nach Belieben auswählen und festsetzen, daß a eine unendlich kleine Größe erster Ordnung heiße.

Ist dann ß eine andere unendlich kleine Größe, und wird

-    = p

eine endliche Größe, so heißt ß gleichfalls eine „unendlich kleine Größe erster Ordnung“.

Die unendlich kleinen Größen erster Ordnung haben daher nach dieser Festsetzung alle die Form ap.

Wenn dagegen ~ selbst wieder eine unendlich kleine Größe

erster Ordnung wird, wenn also werden kann, so bleibt

auf die Form ap gebracht

a²

= P

eine endliche Größe. Man sagt dann, ß sei eine „unendlich kleine Größe zweiter Ordnung“.

Die unendlich kleinen Größen zweiter Ordnung haben daher alle die Form a²p.

a²

Wird auch noch Ąr eine unendlich kleine Größe erster Ord-

nung, läßt sich also

auf die Form ap bringen, so bleibt

eine endliche Größe, und ß heißt eine „unendlich, kleine Größe dritter Ordnung“.

So kann man fortfahren; es heißt dann ß eine „unendlich Meine Größe nter Ordnung¹¹, wenn

vtn P

eine endliche Größe bleibt, wenn also

ß = anp.

Dabei ist n nicht notwendigerweise eine ganze Zahl, sondern n darf auch eine gebrochene positive Zahl sein.

Auch wenn man für n gebrochene Werte zuläßt, so sind in der Form anp noch nicht alle unendlich kleinen Größen erschöpft, wie später gezeigt werden soll. Deshalb möge die gegebene Erklärung dahin erweitert werden, daß y im Vergleich zu a eine ,,unendlich Meine Größe höherer Ordnung¹¹ heißen

Y

möge, wenn noch — unendlich Mein wird, a

Dies vorausgeschickt, gelten die folgenden Sätze:

Satz 1.

Unterscheiden sich die unendlich Meinen Größen derselben Ordnung a und a‘ voneinander nur durch eine unendlich Meine Größe höherer Ordnung y, so ist der Grenzwert ihres Verhältnisses gleich 1.

Beweis. Nach Voraussetzung ist

(10

a‘ — u = y, oder a‘ — a -|- y, wobei y eine unendlich kleine Größe höherer Ordnung ist, so

y

daß ^ = s selbst noch unendlich klein wird. Deshalb folgt aus Gleichung (1.)

u‘

(2-)

= 1 + 6, oder lim — = 1,

cc

dehn die unendlich kleine Größe e darf neben der endlichen Größe 1 vernachlässigt werden (nach Satz 1 in § 5).

Von diesem Satze gilt auch die Umkehrung:

Ist der Grenzwert, dem sich das Verhältnis zweier unend_ lieh Meinen Größen ce und a‘ nähert, gleich 1, so können sich a und ce‘ nur durch eine unendlich Meine Größe höherer Ordnung voneinander unterscheiden.

a f a

1 ± d‘

also

Beweis. Ist nämlich wieder «' — a -= y,

a‘

55

unendlich klein werden muß.

so folgt aus lim — = 1, daß «

Beispiel. Es war (vergl. Formel Nr. 1 der Tabelle)

sin z

⁼ ^ j

z=0    ²

folglich wird « — sin 2 unendlich klein von höherer Ordnung, wenn 2 unendlich klein von der ersten Ordnung wird.

Satz 2. Hat das Verhältnis zweier unendlich Meinen Größen a und ß einen endlichen Grenzwert (oder den Grenzwert 0), so ändert sich dieser Grenzwert nicht, 'wenn man a und ß um • unendlich Meine Größen höherer Ordnung vermehrt oder vermindert.

lim

Man soll also zeigen, daß

.. ß + r ... a

hmj±d = l'mß’

wenn a und ß unendlich kleine Größen von beliebiger Ordnung sind, während y und d unendlich kleine Größen höherer Ordnung sein sollen, so daß

= y‘ und

W 0-5

= d‘

selbst noch unendlich kleine Größen sind.

Beweis. Es ist

a -4- y

(3.)

a -f- ßy h- ad

-4- y —ccd¹

ß±d ß

ß{ß ± d)

ß±d

⁼ ß⁺~ß‘

Da

lim(± y¹ -h d') = 0,

nnd da

lim (1 db à') = 1 einen endlichen Wert hat, so wird

(4.)

a

lim * * P

±Y‘^àl

1 ± <5'

± y' =F à¹

d.h.“.

der endlichen Größe — vernachlässigt werden. Man erhält daher P

Da sich die verschwindend kleinen Größen a und ß von «' = a ± / und ß‘ = ß ± à

nur durch verschwindend kleine Größen höherer Ordnung unterscheiden, so kann man die Gleichung (5.) auf die Form

wird verschwindend klein und darf neben

(5.)

lim

« dz r

ß dk à

.. a‘ .. a lim — = lim -ß    P

bringen und dem Satze 2 die folgende Fassung geben:

(X

Satz 2 a. Der Grenzwert von — bleibt ungehindert:

man die verschwindend kleinen Größen a und ß durch andere a‘ und ß‘ ersetzt, welche sich von den ersteren nur durch verschwindend Meine Größen höherer Ordnung unterscheiden.

Beispiel. Nach Formel Nr. 1 der Tabelle ist, wenn man für z das eine Mal 3x und das andere Mal 4 a; setzt,

.. sin (3 a;)

lim —>—- = 1

(5 a.)

we?m

*=o

3 a;

lim

x=0

sin (4 a;) _ ₁

4aT

folglich unterscheiden sich lim sin (3a;) und limsin(4a;) von lim(3a;) und lim (4a;) nur durch verschwindend kleine Größen höherer Ordnung; man erhält daher

sin (3 a;) sin (4a:)

Satz 3. Sind cci, «₂, ...ccn verschwindend Meine Größen, deren Anzahl n ins Unbegrenzte wächst, und weiß man, daß die Summe dieser unendlich vielen, unendlich Meinen Größen einen endlichen Grenzwert S besitzt, daß also

lim (oéi -j- #2    ■ ■ ■ -b ^n) =r S

n=oo

lim

x=0

= lim

3a;

4a;

co ; tu

ist, so bleibt dieser Grenzicert unverändert, wenn man die ver-schivindend kleinen Größen u\, u₂, ... cen um verschwindend kleine Größen höherer Ordnung y1} y₂,... yn vermehrt oder vermindert.

Dem Beweise dieses Satzes möge ein Beispiel zur Erläuterung y orangestellt werden.

Es sei eine ebene Figur AxBxBA (Fig. 8), oben begrenzt durch einen Kurvenbogen AB, links und rechts von den Ordinaten A.XA, BtB und unten durch den Abschnitt AxBx der X-Achse. Indem man AtBt in n (gleiche oder ungleiche) Teile zerlegt und durch die Teilpunkte Parallelen zu der Y-Achse zieht, 0 kann man den Flächeninhalt F der Figur in n Streifen ax, a₂,...an zerlegen. Dadurch wird, wenn man den griechischen Buchstaben X als Summenzeichen anwendet,

Fig. 8.

Pp

Ai

Q Q, B, X

(6.)

P — ci\ -f- Cl-2 -f- • • • -j- an — Ar/.

Ist nun QQ\PiP ein solcher Streifen, und zieht man durch P eine Parallele PR zur X-Achse, so zerfällt der Streifen u in das Rechteck QQXRP = u‘ und das Dreieck PRPX = y, folglich wird, wenn man dieselbe Konstruktion für sämtliche Streifen ausführt,

(7.)

«l = «i' + y\

a₂ = a-2 -j- y₂, ... an = ad -f yn

oder

(7 a.)

ad = «i — yx

«2 = «2- y₂, ... aß = «»-yn,

F= Au = A{a‘ + y) = A F + Ay.

In Figur 8 sind die Streifen u sämtlich größer als die Rechtecke a‘, so daß in den Gleichungen (7.) und (8.) die Größen y sämtlich positiv sind. Es können aber auch (wie in Figur 9) die Streifen u sämtlich kleiner sein als die Rechtecke a‘, oder es können (wie in Figur 10) die Streifen u zum Teil größer, zum Teil kleiner sein als die Rechtecke u‘. Die Gleichungen (7.) und (8.) bleiben auch in diesen Fällen noch. richtig, wenn man unter den Größen y auch negative zuläßt.

Wird jetzt die Anzahl n der Streifen immer größer, werden also die Streifen selbst immer schmaler, so werden die Dreiecke

(8.)

y nicht nur selbst immer kleiner, sondern auch ihre Summe wird immer kleiner. Selbst wenn man die Dreiecke y alle positiv nimmt, so ist ihre Summe kleiner als ein Rechteck, das die Seite AxBx zur Grundlinie und die größte Höhe der Dreiecke y

Fig. 9.

Fig 10.

B/

Ai

bTx

A,

trx

(9.)

zur Höhe hat. Da nun aber diese Höhe mit wachsendem n immer kleiner wird, so wird auch der Flächeninhalt des Rechtecks und deshalb erst recht ly beliebig klein. Man erhält daher lim 2y — 0, F = lim 2a = lim 2a‘.

(10.)

Nach diesem Beispiele möge der oben ausgesprochene Satz zunächst für den Fall bewiesen werden, daß die Größen a und y sämtlich positiv sind. Es wird dann Ni = «i -)- t*2 —(— • * * —F    ,

F-2 — («1 -f- Yx) -(- («2 Vv) “h * • * ~t“ (an + Yn) = &!•

Nach Voraussetzung sind y1} y₂,... yn verschwindend kleine Größen höherer Ordnung, d. h. es sind

(li.)

— = El

Yn

«1

an

selbst wieder verschwindend kleine Größen, die man also kleiner machen kann als jede gegebene Größe. Man kann sie z. B. kleiner machen als

(12.)

£ 10* ’

wobei man den Exponenten * noch so groß machen kann, wie man will. Dies gibt

(13.)

£2    . .. Sn ^

Deshalb wird

S% = («1 -j- «lfil) -\- («2 + «2^2) H-----h (an -(- cen8ti)

= «1(1 -f- £1) -)- «2(1 H- Si) “h ■ ■ ' "U an( 1 -j- Sn),

oder

(14.)    S₂ ^ «1 (1 s) -j- «2(1 s) -j- • • • -f- a»(l -j- s),

(14 a.)    S₂ S (wi ~h a2 H⁻ • • • H- an) (1 -f- fi) = Sx (1 + «),

oder mit Rücksicht auf die Ungleichung (10.)

(15.)

-Si S₂ S Si + e-Si.

Wächst jetzt n ins Unbegrenzte, so wird nach Voraussetzung lim Si — S eine bestimmte endliche Größe, und e wird beliebig klein; folglich wird auch lim e -Si beliebig klein, d. h. verschwindend klein, so daß die Ungleichung (15.) übergeht in die Gleichung

(16.)

lim S₂ = lim St = S.

Sind die Größen a und y teilweise positiv und teilweise negativ, so möge der Satz nur unter der Voraussetzung bewiesen werden, daß

S = lim («i + a₂ -j-----f- an) = lim 2a

n=oo    n=00

auch dann noch einen endlichen Wert behält, wenn man die Größen a alle durch ihre absoluten Beträge, d. h. durch die entsprechenden positiven Werte ersetzt. Bezeichnet man also den absoluten Betrag von a mit [ a | und den absoluten Betrag von y mit \y\, so kann man jetzt in derselben Weise wie vorhin zeigen, daß

lim2\y \ = 0

n=oo

wird. Folglich ist erst recht

und deshalb

lim 2y = 0

n—OO

lim 2a = lim 2 (a -)- y).

n=00

n— 00

Setzt man

CCl = CCi dt Yi,    «2' = «2 =t Y2, • • • «V = a« ± Yn ,

so unterscheiden sich die verschwindend kleinen Größen « und

a‘ voneinander nur um verschwindend kleine Größen höherer Ordnung-; nach dem eben bewiesenen Satze 3 wird dann lim(«i' -f⁻    -j- • • • -f- ein') — lim -)- ofg —(— - - - —{— wn).

Man kann daher diesem Satze auch die folgende Fassung

geben :

«2, •

Satz 3a. Der Grenzwert von «i + «2 + • ■ • + cen bleibt unverändert, wenn die verschicinclend kleinen Größen durch andere «ß, «₂',... an‘ ersetzt werden, die sich von ihnen nur um verschwindend kleine Größen höherer Ordnung unterscheiden.

Eine Anwendung dieses Satzes macht man schon bei der Berechnung der Kreisfläche, denn man betrachtet dabei die unendlich vielen Kreissektoren, in welche die Kreisfläche zerlegt werden kann, als geradlinige Dreiecke. Ein solches Dreieck unterscheidet sich von dem entsprechenden Sektor um ein Kreissegment ; da aber diese Segmente unendlich kleine Größen höherer Ordnung werden, so darf man sie nach dem vorigen Satze in der Tat vernachlässigen.

Ebenso dürfen bei der Berechnung der Kugeloberfläche die Kugelzonen nur deshalb durch die Mäntel abgestumpfter Kegel ersetzt werden, weil sie sich von den letzteren nur um verschwindend kleine Größen höherer Ordnung unterscheiden.

Schließlich sind auch bei der Berechnung des Volumens einer Kugel die in § 6 angegebenen Schichten, streng genommen, nicht abgestumpfte Kegel, sondern sie unterscheiden sich von diesen um verschwindend kleine Größen höherer Ordnung.

Ähnliches gilt von den kleinen Teilen, welche man bei der Berechnung des Volumens einer Kugel als dreiseitige Pyramiden ansah.

§ 8-

¹

Die wichtigsten Formeln sind im Anhänge zu einer Tabelle zusammen gestellt.

²

In dem Folgenden sollen die Koordinaten eines Punktes P immer mit x, y, die eines Punktes Py mit Xy, yy, allgemein die eines Punktes Pn mit xn, yn bezeichnet werden.

Begriff der Stetigkeit.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 5.)

Wenn durch die Gleichung

(i.)

y =/(*)

irgend eine Funktion von x erklärt ist, so werden im allgemeinen

unendlich kleine Änderungen von x auch unendlich kleine Änderungen von y nach sich ziehen. Für alle Werte von x, bei welchen dies der Fall ist, heißt die Funktion stetig oder kontinuierlich.

Diese Bezeichnung ist der in § 1 angedeuteten geometrischen Darstellung einer Veränderlichen entnommen. Durchläuft nämlich der Punkt Q, welcher auf der X-Achse den Werten der unabhängigen Veränderlichen x entspricht, stetig eine Strecke QiQ₂, so wird im allgemeinen der Punkt R, welcher den zugeordneten Werten von y entspricht, auf der Y-Achse eine Strecke R\Ri stetig durchlaufen, wobei auch einzelne Teile der Y- Achse (innerhalb oder außerhalb der Strecke RxR-i) mehrfach durchlaufen werden können. (Vergl. Fig. 11.)

Fig. 11.

Fig. 12.

• 'Hg ■ -H

--R,

Qi Q

Qa

Q:,

-X

Noch besser wird man den Begriff der Stetigkeit erfassen, wenn man Gleichung (1.) durch eine Kurve geometrisch darstellt. Die Punkte P und Pi, welche den Abszissen x = OQ und x\ = 0 Qi

entsprechen, werden einander beliebig nahe liegen, wenn die Funktion f{x) für den betreffenden Wert von x stetig ist, und wenn xx — x hinreichend klein wird. Nach Voraussetzung wird dann nämlich y± — y mit xx — x zugleich verschwindend klein, folglich auch

(2-)

PPi=y(xl — xf+Ujt — yf.

(Vergl. Fig. 12.)

Der Verlauf der Kurve, welche der Gleichung

y =/0)

entspricht, ist also im Punkte P ein stetiger (kontinuierlicher).

Wird aber yx—y nicht mit xx—x zugleich verschwindend klein, so ist die Kurve im Punkte P unstetig (diskontinuierlich), wie die folgenden Beispiele zeigen sollen. Solche Unstetigkeiten sind nur Ausnahmefälle, d. h. nur ausnahmsweise wird der Fall ein-treten, daß die Funktion y für endliche Werte von x unendlich groß wird, oder daß sie sich sprungweise (um endliche oder unendlich große Beträge) ändert, während die Änderung von x unendlich klein ist.

Beispiele.

1. Es sei

(3.)

x — a

dann wird y, so lange x kleiner als a bleibt, negativ und stetig sein. Wird aber x gleich a, so wird — oo

Fig. 13.

und springt dann von — oo bis -j- oo, wenn x den Wert a passiert. (Vergl. Fig. 13.)

(40

Hier ist x das einemal, wenn . es sich der Grenze a nähert, kleiner als a, das anderem al ’x größer als a. Um diese beiden Fälle zu unterscheiden, schreibe man in dem ersten Falle lima; = a — 0 und in dem zweiten Falle

(5.)

lima; = a -j- 0.

Dadurch kann man die vorhin untersuchte Unstetigkeit von y durch die Gleichungen

lim y = — oo,

(6.)

lim y = -F oo

x=a-j- 0

zum Ausdruck bringen. 2. Es sei

7T

Wenn x von 0 bis —- wächst, so wächst y gleichzeitig' von

Li

0 bis + ⁰⁰ ; wenn aber x noch etwas größer wird, so erhält y einen sehr großen negativen Wert.

Es ist also

(8.) lim y = -\- oo, lim y = — oo,

TI ,

* = T+°

d. h. der Wert von y springt von + oo bis zu — oo, wenn x den Wert

passiert, (Vergl. Fig. 14.)

3. Ist

Fig. 14.

3.

■x

(9.)

y~x*’

so bleibt y immer positiv und wird um so größer, je kleiner x ist. Für unendlich kleine (positive oder negative) Werte von x wird y unendlich groß, d. h. y wird für diesen Wert von x unstetig. (Vergl. Fig. 15.)

In den vorstehenden Beispielen besteht die Unstetigkeit der Funktion y darin, daß y unendlich groß wird, wie das zumeist der Fall sein wird. Doch kann die Funktion auch unstetig werden, ohne daß sie unendlich groß wird, wie man aus dem folgenden Beispiele ersieht.

4. Ist

2~

OR — n.

Fig. 15.

.    .    a

(10.) y =-

1 I x

1 -f ' a

X i ,

a +1

und beschränkt man x zunächst auf positive Werte, so wird

lim

(.-*)-

lim

a=+0

æ=-|-0

La

also

lim y = 1.

æ=+0

Um ausziidrücken, daß x negative Werte annimmt, setze man x = —2, dann wird

(10 a.)

+ 1

Nähert sich jetzt 2 dem Werte 0, so wird

lim az= oo, also lim y = lim y = 0.

z=+0 Fig. 10.

z=+0

x=—0

■X

Daraus erkennt man, daß sich y sprungweise ändert, wenn x den Wert 0 passiert, und zwar springt y von 0 bis 1. (Vergl. Fig. 16.)

Bemerkung.

Eine scheinbare Unstetigkeit der Funktion kann auch dadurch ein-treten, daß die Werte von y imaginär werden, wenn x das Intervall von x\ bis x^ durchläuft. Ist z. B.

so ist y nur reell, so lange x¹ > a- ist; y wird dagegen imaginär, wenn x² < a² ist, wenn also

Für die Werte von x——a

Fig. 17.

bis x = -j- a wird deshalb die Kurve unterbrochen, wie man aus Fig. 17 ersieht. Diese Auffassung ist aber nur unter der Voraussetzung richtig, daß man sich auf reelle Werte der Funktion beschränkt; läßt man auch imaginäre WTerte von y zu, so darf man den vorliegenden Fall nicht als eine Unstetigkeit betrachten, wie bei der Theorie der komplexen Größen gezeigt werden soll. Vorläufig kommt übri-

gens dieser Ball nicht in Betracht, weil nur reelle Werte der Funktionen berücksichtigt werden sollen, wenn nicht ausdrücklich das Gegenteil gesagt wird.

Man kann den Begriff der Stetigkeit, ganz unabhängig von der geometrischen Anschauung, in folgender Weise erklären: Eine Funktion

y =fix)

heißt für solche Werte von x stetig, für welche die Differenz

(11.)

J =/0 +«) — /O — <*)

mit den positiven Größen d und e zugleich verschwindend klein wird.

Ist z. B.

/ (*) = fZTa 5 also /O + £) so wird

- j fix-Ô) = -    -

x-\-s—a 17    7    x—o—a

xfe—a    x—â—a    (x—a)² -j- (e — d)(x—a) — de

Dieser Ausdruck wird mit ô und e zugleich verschwindend klein, so lange x von a verschieden ist. Wird aber x gleich a, so ist

-(<* + «)

= i 4- A

£ + â

ein Ausdruck, der für unendlich kleine Werte von ô und e sogar unendlich groß wird. Die Funktion ist deshalb für x gleich a unstetig.

— de

Ist

f(x) = tgx, also f{x + e) = tg(« + «), fix — d) = tg(x — d) so wird

sin(d -f £)

J — tg {x + «) — tg ix — d) =

Dieser Ausdruck wird mit d und s zugleich unendlich klein, wenn

cos ix e) cos ix — d)

n    , n

2 <"<+2

Kiepert, Differential-Rechnung.

denn dann ist cosa; von 0 verschieden. Wird aber x gleich so ist

«*> 5*

COS

also

(| + ₆) =-sin*

cos

— sin (d + s)

— sin d cos e — cos d sin £

sin d sin e

sin d sine

oder

J = — ctg d — ctge ein Ausdruck, welcher für unendlich kleine Werte von d und e

TT

gleich — oo wird. Die Funktion tgx ist daher für x gleich — unstetig.

Ist

f(x) =

also fix + «)

/ I N₂ ’ fip — à) =

{x -j- e)2 x

(x — d)²

so wird

¹

2x(ö -)- e) -f- d² — e²

(x — d)²

Für alle Werte von x, welche von 0 verschieden sind, wird dieser Ausdruck mit d und e zugleich verschwindend klein; ist aber x = 0, so wird

{x + £)²

(x -f- £)² (x — d)²

£² d²

und nimmt beliebig große Werte an, wenn d und « hinreichend klein und voneinander verschieden sind ; d. h. y wird für x = 0 unstetig.

Ist

/O) =

—-—j- ? also y (« + s) =

1 ! #

1 -j- a

a*+£

T” ’ f(x d)

T’

-d

so wird

«æ+£

-d

1 + a*+£    1 + a

also für x — 0 wird

1 “f-a 1 H-a

Setzt man der Kürze wegen

r-i ro

— = ß, so erhält man

aß

a~a

a~a

1 f aß 1 -)- o~a 1 a~ß 1 -f- a~a

Nun werden aber ce und ß unendlich groß, wenn ô und e unendlich klein werden. Aus

lim a~a = lim -

a= oo

aa

lim a~ß

ß=oo

i-*

folgt daher

\\md = 1 ;

d. h. y wird für x = 0 unstetig.

Satz 1.*)    die Funktionen fix) und g(x) i?i dem Inter

vall von X\ bis x₂ endlich und stetig**), so sind auch die Funktionen fix) -f- gif) und ff) — g(x) in diesem Intervalle endlich und stetig.

Beweis. Nach Voraussetzung werden (12.) dx =f(x + e) —fix — ö), d₂ = g{x + t) — g{x t- d) mit ô und e zugleich verschwindend klein, folglich auch

J = [ff +£) ± gf + «)]—[ff—â) ± gf~ö)\ = jx ± z/₂.

*) Sollten die hier folgenden Sätze 1 bis 14 dem Anfänger noch zu schwer sein, so können sie vorläufig übergangen werden; der Leser muß aber bei den späteren Untersuchungen beachten, daß die Stetigkeit der Funktionen für die in Betracht kommenden Werte von x vorausgesetzt wird, wenn nicht ausdrücklich das Gegenteil gesagt ist.

**) Wenn eine Funktion y in dem angegebenen Intervalle stetig ist, so ist damit schon gesagt, daß sie in dem Intervalle nicht unendlich gross werden kann. Trotzdem fügt man in der Regel hinzu, daß sie auch endlich bleibe, um den häufigsten Fall der Unstetigkeit noch ausdrücklich auszuschließen.

Satz 2. Sind die Funktionen ff) und gif) in dem Intervalle von x\ bis x₂ endlich *und stetig, so ist auch die Funktion Ff) — fix). g(x) in diesem Intervalle endlich und stetig.

Beweis. Wendet man dieselben Bezeichnungen an wie in den Gleichungen (12.), so erhält man

J = F(x+ €)— Ff—d)=/(<c+e) .gf + e) —fix— d) .gf—d)

=ff + *) • gf +«) —ff — ä) • g(x + *)

fff — d) . gf + e) —fix — d) . gf — d)

='^i • gf + «) + ^2 •/(* — d).

Nach Voraussetzung sind fix—d), gffe) endliche Größen, und J-l, J₂ werden verschwindend klein zugleich mit d und e, folglich auch J.

Satz 3. Jede ganze rationale Funktion von x ist stetig für alle endlichen Werte von x.

Der Beweis folgt daraus, daß die ganzen rationalen Funktionen aus der Veränderlichen x und aus konstanten Größen nur durch Addition, Subtraktion und Multiplikation gebildet werden.

Satz 4. Sind die Funktionen fix) und gix) in dem Intervalle von X\ bis x₂ endlich und stetig, und bleibt gif) in diesem Intervalle entweder beständig positiv oder beständig negativ, so

fif)

in diesem Intervalle endlich

gif)

ist auch die Funktion Fif) = und stetig.

Beweis. Hier ist

J - Fix -f- é) — Fix — d) =

fix + g) fix — <?)

gix + e) gix — d)

gjx — d) .fjx -F s) — gjx -f e) .fix — d) g(x + s). g{x — d) •

gjx — d) .fjx -f- e) — gjx — d) .fjx — d)

gix + s). gix — d)

gjx + f fjx — d) — gjx — d) .fjx — d)

gix + s) . gix — d)

oder, wenn man dieselben Bezeichnungen anwendet wie in den Gleichungen (12.),

J ₌ ^1 • <7pg — à) — J₂ ,fjx — d) '

— gips + «) • 0(3 — à)

Nach Voraussetzung werden Ji, mit d und e zugleich verschwindend klein, folglich auch J, da g(x — d) und g{x + e) nach Voraussetzung von 0 verschieden sind.

fix)

Satz 5. Der Quotient

9ix)

zweier ganzen rationalen Funktionen f{x) und gif) kann nur für diejenigen Werte von x unstetig werden, für welche g(x) gleich 0 wird.

Der Beweis folgt unmittelbar aus Satz 4.

Da man jede gebrochene rationale Funktion als Quotienten zweier ganzen rationalen Funktionen darstellen kann, so findet man aus Satz 5, für welche Werte von x die gebrochenen rationalen Funktionen stetig sind oder nicht.

Satz 6. Die nte Wurzel aus einer endlichen, stetigen Funktion f (f) ist toieder endlich und stetig*)

Beweis. Nach Voraussetzung wird

di = fix + e) —f{x — d)

mit d und e zugleich verschwindend klein. Setzt man nun

y fix+e) = u,    y ff—d) = v,

so ist nachzuweisen, daß auch verschwindend klein wird.

Ist zunächst fix) 0, so kann man d und e so klein machen, daß fix -f- e) und fix — d) dasselbe Zeichen haben wie f{x) ; dann muß man auch den Größen u und v das gleiche Zeichen geben. Deshalb sind in

—    fix e) —fix — d) = un — vn

—    i'U — v) iun~x -f- un~²v -{-••• + uvn~<l -(- vn~~¹)

die Größen u/¹-¹, un~%v, ...uvn~², v"~x alle von 0 verschieden und haben sämtlich dasselbe Vorzeichen, folglich ist

S — un~~x -j- un~²o -f- • • • + uvn~² -|- vn~¹ § 0,

und

un — vn

wird mit ô und s zugleich verschwindend klein.

Ist fix) = 0, so sind fix + e) und fix— ä) einzeln beliebig klein für hinreichend kleine Werte von à und s, folglich auch u, v und J, wobei vorausgesetzt wird, daß u und v beide reelle Größen sind.

Dieser Satz gibt Aufschluß über die Stetigkeit der irrationalen Funktionen.

Satz 7. Die Funktionen sina; und cosz sind für alle Werte von x stetig.

Beweis. Für fix) = sina; wird J = sin(a; -f- e) — sin(a; — d) = 2sin^—cos(

Dabei liegt cos (x -f

wird nach Formel Nr. 1 der Tabelle mit ö und e

zugleich verschwindend klein, folglich auch xt.

Für fix) = cosa; wird

4 = cos(a; -f e) — cos(a; — à) = •— 2 sin^—^ sin (x -j- £ ₉

hier liegt sin^a; + — ₉ ^

und sin^—2~~) W1'r(^    ^ und £ verschwindend klein, folglich

auch J.

zwischen — 1 und -f- 1, und

sin

‘O I

Auch

zwischen — 1 und + 1,

Satz 8. Die Funktion tga;

sina;

ivircl nur für diejenigen

COSa;

Werte von x unstetig, für welche COSa; gleich 0 ivird, also für

Tt

37T

Ö7T

COSÆ

sina:

wird nur für diejenigen Werte von x unstetig, für welche sin x = 0 wird, also für x — 0, ± tt, ± 2/r,....

Der Beweis folgt ohne weiteres aus den Sätzen 5 und 7.

Satz 9. Die Funktion ax ist stetig für alle endlichen Werte

— s • • • ? und die Funktion ctg' x —

von x.

Beweis. Für fix) = ax ist J = ax+£ — ax~ä = ax . a£ —¹

Nun ist

ax /

)'

lim ad = 1

lim ae = 1,

£=0

folglich wird J mit ô und e zugleich verschwindend klein.

d=0

Satz 10.

wenn — 1 < x < + 1 ist.

Die Funktionen arc sina; und arceosa: sind stetig,

Beweis. Ist f(x) = arcsinx, und setzt man u = arcsin (x + e), v = arcsin (x — d)

so wird

J = arc sin (x -j- e) — arcsin (x — ô) =u Dabei kann man ô und e so klein machen, daß auch — 1 < a: — d<a; + £< + l ist. Dies gibt

sinw = x -f- e, sinü = x — ô, wobei u und v so gewählt werden müssen, daß

Tt    , Tt

2 <e< + 2’

I n

< u < -f-    ’

-V.

also

- TT<ufV<.-\-7t

Nun wird

sinu — sin?; = d -f e — 2sinÇi ^cos^“ ^

sin

/u — v\

V 2 )

2 cos

ô + g J

m'

= u—v = 2 arcsin

2 cos

56

da cos

§ 8. Begriff der Stetigkeit.

VL) von 0 versc^e(^en ist) so wird

Ô -f- £

mit

2 COS

d und e zugleich verschwindend klein, also auch d.

Dadurch ist die Stetigkeit der Funktion arc sin ^ bewiesen, aus der sich auch die Stetigkeit von arc cos ^ in folgender Weise ergibt. Es sei

y - arc sin x, z = arccos x

dann wird

x = siny = cos 2 = cosQ^— y

Deshalb kann man z so bestimmen, daß

TC    ,    7t ,

— — y, oder arc cos x = —- — arc sm x 2 * ' 2

alle Werte von —

wird, und zwar durchläuft 2 alle Werte von n bis 0, wenn y bis -f durchläuft.

Li

Satz 11. Die Funktionen arctg^ und arc ctg x smd für alle endlichen Werte von x stetig.

Beweis. Ist f(x) = arctgrr, und setzt man

u = aie tg (x + «), v — arctg(.r— d)

so wird

d = arctg(£ + e) — arctg(;c — d) = u — v. Dabei kann man u und v so wählen, daß

und

7t    , 7t

2 <B< +2 ist. Dies gibt

tgw — tgv = d -j- e =

tgu = x~\-e, t gv = x— d, sin(w — v) cos u cos v ’ sin (u — 0) = (d -f- e). cos u cos v, d = u — v = arcsin [(d + s). cos w cosv], folglich wird d mit d und e zugleich verschwindend klein.

Aus der Stetigkeit von arctg« ergibt sich dann auch die Stetigkeit von arcctg« in folgender Weise. Es sei y ----- arctg«, 2 = arc ctg«, dann wird

* = tgy = ctgz = ctg^ — y).

Deshalb kann man z so bestimmen, daß

z — ^ — y, . oder arcctg« = — — arctg«

2 2

wird, und zwar durchläuft z alle Werte von n bis 0, wenn y

durchläuft.

TC

alle Werte von —— bis +

A

Satz 12. Die Funktion log« ist stetig für alle endlichen, positiven Werte von x.

Beweis. Ist f{x) = log«, so wird

= log (x + e)—log {x—ö) = log    = log(l + “I) •

Da min, so lange x > 0 bleibt,

!) = logl = 0

ëMl+ï

E=0

ist, so wird 4 mit ö und e zugleich verschwindend klein.

Bei den folgenden Betrachtungen ist es von großer Wichtigkeit, ob die Funktionen, mit denen man operiert, stetig sind oder nicht, weil die meisten Sätze, die hergeleitet werden sollen, nur für stetige Funktionen gelten.

von x

Satz 13. Ist die Funktion f(x) für alle Werte zicischen «1 und x₂ reell und stetig, und ist /Oi)<0, f(x₂) > 0, so gibt es zicischen «1 und x₂ mindestens einen Wert von «, für welchen fix) gleich 0 wird.

Beweis. Am leichtesten erkennt man die Richtigkeit des Satzes aus der geometrischen Darstellung. Setzt man nämlich

/OO = yi, /O2) = 2/2, so entspricht den Koordinaten xt, yx ein Punkt 1\ auf der negativen Seite, und den Koordinaten x₂, y₂ entspricht ein Punkt

Fig. 18.

P> auf der positiven Seite der X-Achse (vergl. Fig. 18). Da nun die Kurve, welche der Gleichung y = f{x) entspricht, zwischen den Punkten Px und P₂ stetig verläuft, so muß sie die X-Achse zwischen

Q*

mX

/Pf

den Punkten Qx und Q₂ mindestens in einem Punkte Q schneiden, um von der negativen Seite der X-Achse auf die positive zu gelangen. OQ = x ist dann der Wert von x, für welchen fix) = 0 wird.

Man kann aber den Beweis auch unabhängig von der geometrischen Darstellung führen.

Es sei x₂ > xx, und es werde die Differenz x₂ — x± in zwei gleiche Teile h geteilt, so daß

x₂— Xi

x₂ — xx = 2h, oder h =

wird. Ist f{xx f A) = 0, so hat man bereits einen Wert von x zwischen xx und x₂ gefunden, für welchen fix) gleich 0 wird; ist dagegen f{xx -j- h) >0, so erkläre man die Größen x₃ und Xi durch die Gleichungen

Xi — xx 4- h ;

und ist fix 1 + h) < 0, so erkläre man die Größen x₃ und x4 durch die Gleichungen

X₃ — X\

x₃ — xx -f- h, Xi — Xi f 2h == x₂.

In beiden Fällen ist

/Os) < 0, /O4) > 0,

wobei aber das Intervall von x₃ bis x₄ halb so groß ist wie das zwischen xx und x₂. Setzt man jetzt

Xi — x₃

= 2Ai, oder h =    ,

£

so hat man den gesuchten Wert von x bereits gefunden, wenn fix 3 + ht) = o wird. Ist dagegen f{x₃ + h) > 0, so erkläre man die Größen x₅ und x₆ durch die Gleichungen

x₅ = x₃,    x₆=x₃ + h\

und ist f{x₃ -j- hx) < 0, so erkläre man die Größen x₅ und x6 durch die Gleichungen

Zs = ^3 + hi %6 =    + 2Äi = X₄ .

In beiden Fällen ist

/Os) < o, / Oe) > o,

wobei aber das Intervall zwischen x₅ und x₆ viermal kleiner ist als das Intervall zwischen xt und x₂.

In dieser Weise kann man fortfahren und findet entweder ff27i—i    hn—i) = 0, oder

/Oa»+i) < °> / (®ä»+a) > 0,

wobei das Intervall zwischen x2n+i und x2n+2 (2>l)tenmal kleiner ist als das zwischen xx und x₂. Da aber die Funktion für die betrachteten Werte von x stetig ist, so wird der Unterschied zwischen f{x2n+1) und f{x2n+₂) beliebig klein, wenn man nur n hinreichend groß macht, folglich ist erst recht der Unterschied zwischen 0 und f 02n+i), oder zwischen 0 und f fan+z) beliebig klein, da 0 zwischen diesen beiden Werten liegt, d. h.

lim/Oan+i) = lim/O‘2/1+2) = 0.

n=00    n=00

Der Satz gilt auch noch, wenn

/Oi) > 0 un(i f O2) < ⁰

ist. Der Beweis wird dann in ganz ähnlicher Weise geführt wie vorhin.

Hieraus erhält man unmittelbar noch folgenden allgemeineren

Satz 14. Ist die Funktion f(x) für alle Werte von x zwischen X\ und x₂ reell und stetig, so wird fix) jeden Wert M zwischen /Oi) und f{xj) mindestens einmal annehmen, wenn x alle Werte zwischen x₄ und x₂ durchläuft.

Beweis. Ist M irgend ein Wert zwischen /Oi) und f(x₂), ist also entweder

/Oi) < M < /O2)

oder

/Ol) > M > /O2)

so bilde man die Funktion welche zwischen #1 und stetig ist und sicher das Zeichen wechselt.

Für F(x) gelten daher genau dieselben Voraussetzungen wie in dem vorigen Satze für fix). Deshalb gibt es in dem Intervalle von Xi bis x₂ mindestens einen Wert von x, für welchen F(x) gleich 0 wird. Dieser Wert sei £, dann ist

m -m—m= 0,

also

was zu beweisen war.

Hülfssätze aus der algebraischen Analysis.

c/cn

9.

Der binomische Lehrsatz für positive, ganzzahlige Exponenten.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 6 bis 11.)

Es sei

n(n — l)(n — 2)...(n — k+ 1)

1.2.3 ... k

wo k eine positive, ganze Zahl sein möge, während n auch negativ und gebrochen sein darf; dann gelten für die durch Gleichung (1.) erklärten Größen, welche man „Binomial-Koeffizienten'-'- nennt, die folgenden Sätze:

(1.)

SS

Satz 1.

(2.)

/ n \    (n\ n

u + i/W'^

k+1

Der Beweis dieser Formel ergibt sich unmittelbar aus der Bildung der Binomial - Koeffizienten. Vertauscht man nämlich in Gleichung (1.) die Zahl k mit k -j- 1 und beachtet, daß

n — {k -j- 1) + 1 = n — k

ist, so erhält man

n(n — 1) (n

2)... (n — k -j- 1) (w — k)

1 . 2 . 3 ... k(k + 1)

k -f 1

Diese Formel kann man mit Vorteil benutzen, um die aufeinander folgenden Binomial - Koeffizienten der Reihe nach auszurechnen, denn nach Gleichung (2.) wird

1-1 SS

/ ^ _ n(n — 1)

SS co

n{n

1) (n — 2)

1.2.3

SS

SS tu

ss co

n{n

1) (n — 2) (n — 3) {n — 4)

also z. B. für n — 13

(ï)=¹³- G)=is-f= ⁷⁸- (3)= ⁷⁸'t= ²⁸⁶’

= 286 •

10

= 715

SS o

715*-= 1 287,...;

1-1 |<N

oder für n =

SS 1-1

tO| I-¹

co ! 01

to

SS CO

toi Ol

CO

1.3.5

2.4.6

ss

SS to

1.3.5

2.4.6    4

1 . 3 . 5 . 7 . 9 ~~ 2.4.6.8.10’'”

Satz 2.

Der Beweis möge zunächst für einige besondere Fälle durchgeführt werden.

1. Beispiel. Es ist

10 . 9 . 8 . 7

10 . 9 . 8 . 7

GVCa⁰)

10 . 9 . 8

1.2.3 10 . 9 . 8 . 4

= (“)•

1 . 2 . 3 . 4    '

10 . 9 . 8(7 + 4)

1    2.3.4

1 . 2 . 3 . 4 11 . 10 . 9 . 8

2. Beispiel.

GHG)-

9. 8. 7. 6. 5.4.3

1.2.3.4.5.6. 7 9.8. 7.6. 5.4.3

1 . 2 . 3.4 . 5 . 6 .8. 7. 6.5.4. 7

1.2.3.4.5.6. 7 9:8.7.6.5.4 (3+ 7)

.2. 3.4.5.6. 7

10.9.8.7.6. 5.4

1.2.3.4.5.6.7

1.2. 3.4.5.6.7

= (7°>

0+G-.)

1) ...(n — k Ą- 2) (n — k + 1)

Allgemeiner Beweis.

n{n -

1 . 2 ...{k — l)k

n{n

1)... (» — k + 2)

1 . 2 ...(k — 1)_ n[n — 1) ... [n — k -f- 2) (n — k -j- 1)

1 . 2 ... (k — l)k

n{n — 1) ...(n — k + 2)Æ

1 . 2 ...\k — l)k

n{n

l)... (n — k -(- 2) (n — k —|- 1 -|- Ti)

1 . 2 . 3 {k — \)k~

(n-\-l)n(n—1)... (w-j-1—k-\-1) /w -)- 1\

1 . 2 .1... (k —Ip    V Æ /'

Ist n eine positive, ganze Zahl, so folgt aus Gleichung (1.) unmittelbar noch der folgende Satz 3:

(5.)

G)=C

Auch liier möge der Beweis des Satzes zunächst durch ein Zahlenbeispiel erläutert werden. Es ist

8. 7.6. 5.4    8. 7.6.5.4 3.2.1

1 .2.3.4.5    1.2.3.4.5    1.2.3

8.7.6,5.4.8.2.1_8.7.6 _/ y 1.2.3    1.2.3.4.5    1.2.3    \ )

00 CO

Allgemeiner Beweis.

n{n — 1) (n — 2)... (n — k -J- 1)

1 . 2 . 3...k

n(n— l)(ra— 2 )...(n—k-\- 1)    (n—k)(n—k—1)...3.2 1

1.2. 3... k

1.2.3 ...(n — k) n(n — 1 ) (n — 2)... (k -j- 1) k(k — 1)... 3 . 2 . 1

’ ' 1 . 2 . 3 ... (k — l)k

1.2.3 ... (u — k)

n{n — 1) (n — 2)... (k + 1)

1 .2.3 ...(n — k)

oder, da k + 1 gleich n — (n — k) -f- 1 ist,

Der Gleichung (5.) entsprechend, setze man

dann gilt die Gleichung (2.) auch noch für k == 1, d. h. es wird

(4 a.)

O+O-i+'-^-CÎ¹)-

Satz 4. Wenn m eine positive, ganze Zahl ist, so sind die Binomial-Koeffizienten ebenfalls positive, ganze Zahlen.

Beweis. Aus den Gleichungen

erkennt man, daß der Satz für m gleich 2 richtig ist. Durch

den Schluß von n auf n + 1 findet man dann, daß der Satz allgemein richtig ist; d. h. man setzt voraus, daß der Satz bewiesen sei für einen bestimmten Wert von m, nämlich für m gleich n, und zeigt, daß er dann auch für m gleich n -fl

richtig bleibt. In der Tat, sind und ^ n ^ positive,

ganze Zahlen, so folgt aus der Gleichung

o+gu-cî¹)

ohne weiteres, daß auch    eine positive, ganze Zahl

ist. Der Satz gilt für m gleich 2, folglich auch für rn gleich 3 ; dann gilt er aber auch für m gleich 4, usw.

Satz 5. Wenn m eine positive, ganze Zahl ist, so wird

(6.)

TO—1

-f

Beweis. Der Satz ist sicher richtig’ für m = 1, 2, 3, denn man erhält der Reihe nach (1 + x)¹ = 1 + x,

(1 + x)² = 1 + 2x + x¹ = 1 +    + (2)^’

(1 +    = 1 +    + 3^² + x³ = 1 +

Daß die Gleichung (6.) allgemein richtig ist, wenn m irgend eine positive, ganze Zahl ist, findet man wieder durch den Schluß von n auf n -j- 1.

Aus der Gleichung

+G^iV“i+Gy+-

(1+x)n₌14- ç^y+Qy*+

folgt durch Multiplikation mit 1 -j- x

Kiepert, Differential -Keclmung.

(1 + %)n+x =

(7.)

⁺(o)*⁺Gy⁺( i)xs+

+G-i)

xk

+G)3:S+1+'";

nun ist aber nach Gleichung (4.) und (4 a.)

© + o -er)’ © + © -er>

Ö+G-.bc»¹)'

o+t-, )-cr)'

O -CÎ1)-'

folglich erhält man dadurch, daß man auf der rechten Seite in Gleichung (7.) je zwei untereinanderstehende Glieder vereinigt,

(7 a.)    (l+I)-ł> = l₊("|jI + (,' + ¹),H-

+CT>s+-+Ct>+t-

Gilt also der vorstehende Satz, welcher der „binomische Lehrsatz“ genannt wird, für m = 3, so gilt er auch für m = 4, und daraus folgt wieder, daß er auch für m = 5 gilt. So kann man fortfahren und die Gültigkeit des Satzes für alle Fälle beweisen, in denen m eine positive, ganze Zahl ist.

Bemerkungen.

1. Es wird später gezeigt werden, daß die Gleichung / m\    /m\    / m\

unter der Voraussetzung

-10< + 1

auch noch richtig bleibt, wenn m keine positive, ganze Zahl ist. In dem Falle aber, wo m eine positive, gebrochene, oder eine negative (ganze oder gebrochene) Zahl ist, hat die rechte Seite eine unendliche Anzahl von Gliedern und ist ein besonderer Fall der Taylorschen Reihe.

2. Die Koeffizienten in der Entwickelung von (1 -|- x)m, also die

Größen

/m\ /m\    / ?n\

\1/’    \2/    \3)’

werden die „zur Zahl m gehörigen Binomial-Koeffizienten“ genannt.

3. Das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis k wird „k-Fakultätu genannt und mit &! bezeichnet. Es ist daher

Ä! = l.2.3.

da

(k — 1) ! = 1.2.3 ... (k — 1)

ist, so besteht die Gleichung

k[ = (k — 1)!ä.

Durch Anwendung⁻ der Formel

(m \_/ m \

\k)~\m—k)

kann man, immer unter der Voraussetzung, daß m eine positive, ganze Zahl ist, die Gleichung⁻ (6.) noch auf eine einfachere Form bringen; es wird nämlich

/m\    / m \ (m\ ( m \ (m\

\mj    ’ \m — 1/ \1/    —2/ \2/

und deshalb

(8.)

(1 + *)” =

■+G>+G>-+ +G>

+G)'

»i—1

+ Xm.

Satz 6. Es sind also je zwei Koeffizienten in der Entwickelung nach dem binomischen Lehrsätze einander gleich, wenn sie zu Gliedern gehören, von denen das eine ebenso weit vom Anfänge wie das andere vom Ende absteht.

Beispiele.

(1 -f-    x)⁴    —    1    -f-    4x    -j-    6a:²    -f-    4a:³ + x4,

(1 -\-    x)⁵    —    1    ß    5x    10a:²    -j-    10a:³    5x⁴ -f- £⁵,

(1 -f-    x)®    =    1    d⁻    6a:    15a:²    -f-    20a:³    -f-    15a:⁴    -|-    6a:⁵    -f-    a:⁶,

(1 +    xV    =    1    +    7a:    +    21a:²    +    35a:³    -f    35a:⁴    +    21a:⁵    +    7a:⁶ -f

Setzt man in Gleichung (8.)

und multipliziert beide Seiten der Gleichung mit am, so erhält man

/m\    ²

' \2/ «'"“²

/ , #Y* Y -, , fm\ b , /^\ b²

oder

(9.) ' (a + b)m = am +

d²bm~

/m \ bm~~x

⁺ \1/^

6mi

²+(7)^-¹ -f bm.

Satz 7. Die Potenz eines unechten Bruches ist beliebig groß, icenn man den Exponenten hinreichend groß macht.

Beweis. Es sei

a > b > 0, also a — b = c > 0, a — b    c,

dann ist ein wiechter Bruch. Bezeichnet man    mit x, so

ist x gleichfalls positiv, und man erhält

b -f- c _ , c

7    ⁼ 1 d~~ ~r ⁼⁼ 1 “P x »

O    0

m{m—1) ₂ !    —1 ){m—2)

O- Si

/a\n .    .    , m

(j) =(lßx)m=l + jx

folglich ist

1.2.3

d----,

Si

> 1 -f- mx

1)

m(ni

m(m — 1) (m — 2)

1.2.3

m eine positive, ganze Zahl ist. Da man nun aber durch Vergrößerung von m den Ausdruck 1 -j- mx beliebig groß machen kann, so wird

hinreichend große Werte von m erst recht beliebig groß, oder mit anderen Worten:

Wird m

denn die Glieder

1.2

nach Satz 3 alle positiv, wenn

x³, . . . sind

für

/d\m

unendlich groß, so wird auch f—J unendlich groß.

Satz 8. Die Potenz eines echten Bruches ist beliebig klein wenn man den Exponenten hinreichend groß macht.

Beweis. Es sei wieder a > b > 0, also - ein echter Bruch;

a

~ p ~~im

dann wird

WA- fl V a ) a

<a*i a

Da hierbei ein unechter Bruch ist, so wird nach dem /a\m

vorhergehenden Satze (j) für hinreichend große Werte von

klein, oder mit

/b\m

beliebig groß, folglich wird l — \ beliebig anderen Worten:

/Jv»

Wird m unendlich groß, so wird [ — ) unendlich klein.

Die Sätze 7 und 8 sind zunächst unter der Voraussetzung bewiesen worden, daß a und b positiv sind; weil aber

in

wird, so gelten sie auch noch, wenn eine der beiden Zahlen negativ ist.

§ 10.

Geometrische Progressionen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 12, 12 a und 13.)

Die Reihe der Zahlen

A, Aq, Aq²,... Aqn~x

heißt eine „geometrische Reiheu oder „geometrische Progression“. Die Anzahl ihrer Glieder beträgt n; die Summe derselben ist leicht zu bilden. Setzt man nämlich

(1.)

S = A + Aq + Aq² +----f- Aqn~x,

so wird

qS =

Aq -j- Aq¹ + • • • + Aqn~¹ -j- Aqn,

also

(2.)

S — qS = S(1 — q) = A — Aqn, A( 1 — qn)

Beispiel. Es sei

(3.) S — X\n~'¹ + xxin~² -f- x²xxn~³ -(-••• + xn~²X\ -j- xn~\

dann wird

X\n

A = xp-¹,

(l — —) \ xpj

X\n-Xn

X\-X

x±

Es ist

Noch leichter findet man dieses Resultat in folgender Weise.

Sxi = xxn -f- xxp~x -j- x²xp~² -f-----r £w—

XXp~^ -)- X²Xin~²    + Xn~XX\ -)- xn,

Sx —

also

Sx i — Sx = S(x i — x) — xp — xn,

oder

(4-)

xP —

X\ — x

Bisher war stillschweigend vorausgesetzt worden, daß n eine endliche (positive, ganze) Zahl ist. Ist aber q ein echter

Bruch, so behält S auch noch eine bestimmte Bedeutung, wenn n unendlich groß wird. Es ist dann nämlich nach Satz 8 des vorhergehenden Paragraphen

71=00

folglich wird

lim qn = 0,

(5.)

S — A -f- Aq -f- Aq² -j- Aqs -f- • • •

Beispiele. 1) Es ist

i + l+ +■■■

2n~'¹

x4

/1\M

wächst n ins Unbegrenzte, so wird lim ( ^ ) = 0, also

n— oo /

to I-¹

t-h I

th |oo

+ ••• = 2.

2) Es ist

-+

rH los

tOI OS

b-m

wächst n ins Unbegrenzte, so wird limf ) = 0, also

n=oo \0 /

l + - + - +

3    9    27

CO <M

3) Es ist

0,7777 ... =

COI

10

0, also

wächst n

/ 1 \M

ins Unbegrenzte, so wird lim ( — ) =

n—oo ' J-9/

lOS

Die Summe

Bemerkung.

*S = A -j- Aq -f- Aq² -|----in inf.

hat unendlich viele Glieder, aber trotzdem einen endlichen Wert, wenn q ein echter Bruch ist. Man nennt eine solche Summe mit unendlich vielen Gliedern, welche einen bestimmten, endlichen Wert hat, eine konvergente (unendliche) Beihe“. Später wird noch ausführlich von der Konvergenz der Reihen die Bede sein.

§ 11.

Erklärung der Zahl e.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 14 und 15.) Setzt man in der Gleichung1 n(n

Tf

{1 + x)n = l- X Ą-

1)

x² -f-

1.2.3

xz

n(n — 1) (n — 2) ... (n — k 4- 1)

1.2.3 ...k

x gleich — ? so erhält man

71

T)

1+7*

1 n

n(n —

1 . n(n—1)    1 , n(n—l)(n—2) 1

n2,

1.2.3

riA

1 )(n — 2)... (n — k 1)    1

1 . 2 . 3... Æ

i-l (i—l)ti—-)

n \ nj\ nj

1.2.3

k — 1\

n )

1.2.3 ...k    ¹

/ l\n

M + — ) bestimmt werden, wenn

Es soll nun der Wert von

n unendlich groß wird, wobei aber n zunächst auf positive, ganzzahlige Werte beschränkt sein möge.

Bezeichnet man den gesuchten Grenzwert mit e, so ist also

e = limfl + -T-

w=oo\ ^ /

Zur Berechnung- dieses Grenzwertes trenne man auf der rechten Seite von Gleichung (1.) die ersten k -f 1 Glieder ab und nenne ihre Summe Sk, während die Summe aller übrigen Glieder Sk heißen möge; es ist dann

(3.) Sk = 1 -p

r—i IrH

1.2.3

§ LO

1.2.3 ...k

(4.) Sk' =

1.2.3... k{k + 1)

und

(5-)

e — lim Sk + lim Sk.

n—oo

Nach Satz 4 in § 9 sind die Binomial-Koeffizienten

w=oo

sämtlich positiv, wenn n eine positive, ganze Zahl ist. Deshalb

sind in der Entwickelung von ^1 +

Lehrsatz alle Glieder positiv, so daß auch Sk positiv sein muß. Aus Gleichung (5.) folgt daher

nach dem binomischen

lim Sk < e.

Unter der Voraussetzung, daß k eine endliche Zahl ist, werden die Größen

(6.)

(01 I s

Je— 1

sämtlich unendlich klein, wenn n unendlich groß wird; die Faktoren

1-H I 8

(Ol I 8

CO I §

, ...i

werden deshalb alle gleich 1, so daß man erhält lim Sk = 1 + y -f-    ₉

1.2.3

~h----b

1.2.3 ...Je

oder

lim 5* = 1 + 1 +1 +1 +    +1 •

(7.)

Denselben Schluß darf man aber nicht bei sämtlichen Gliedern von Sk machen, denn in den späteren Gliedern von SJ hat der Zähler auch Faktoren von der Form

bei denen nicht nur n unendlich groß wird, sondern auch m. Ist z. B. m gleich |n, so wird stets, wie groß auch n werden mag,

und ist m >

771

so wird sogar lim — >

» also

Wollte man daher auch bei den sämtlichen Gliedern von Sk die Faktoren der Zähler alle gleich 1 setzen, so würde man die Zähler zu groß machen. Setzt man trotzdem die Faktoren der Zähler alle gleich 1, so wird aus der Gleichung (4.) eine Ungleichung. nämlich

(8.)

{kJ- 1)! ~ {k -j- 2) ! ^ {k + 3) !

lim Sk <

oder, weil

{k -(- 2) ! — (k -j- 1) ! (Je -f- 2),

(Je + 3) \ = {kJ- 1) ! {k + 2) (k J- 8)

ist,

(8 a.) lim<Sy <

{k + 1) ! I¹ + h + 2 (h + 2){k + 3)

Nun ist aber

* + .2 < * +' l* {kJ- 2 ){k + 3) {k + l)²

folglich wird die Ungleichung (8a.) noch verstärkt, wenn man

------ - 1 -j-----1-----1----1.

(9.) lim Sk‘ <

(£ + i)îL £-bi^(£ + i)²^ J

Der Ausdruck in der eckigen Klammer ist hierbei eine geometrische Progression

1 + ? + S,2t?³ + '")

die sich bis ins Unendliche erstreckt, deren Summe sich aber leicht bilden läßt, weil ist; und zwar wird nach Formel Nr. 12a der Tabelle diese Summe gleich

(10.)

q 1__ł_.

k + l

Daraus folgt

lim Sk‘ <

statt

k -j- 1

Dadurch erhält man

k + 2 ’ (k + l)²

statt

(X’ -j- 2) (/£ -j- 3)

• ■ • setzt.

1 k + l (k +1) ! '

oder, da (k + 1)! gleich k\(k + 1) ist,

(11.)

lim Sk <

k\ k

(12.)

Nach Gleichung (5.) und Ungleichung (6.) ist daher lim Sk c e < limA* +    *

n=oo

n—oo

Nun wird aber für hinreichend große Werte von h die Größe } ■ beliebig klein, so daß man e zwischen zwei Grenzen

tZ ! rZ

gebracht hat, die einander beliebig nahe liegen; ja diese Grenzen fallen sogar zusammen, wenn man jetzt auch k unendlich groß werden läßt. Es ist daher

■■ in inf.

(13.) e = lim(l + lj=l+^ + i + |j + -

Kommt es nur darauf an, die Zahl e bis auf eine bestimmte Anzahl von Dezimalstellen genau zu berechnen, so genügen schon verhältnismäßig wenige Glieder der Reihe auf der rechten Seite von Gleichung (13.). Will man z. B. e bis auf 10 Dezimalstellen genau finden, so genügen schon die ersten 16 Glieder der Reihe. Es ist nämlich, wenn man zunächst 12 Dezimalstellen berücksichtigt,

1 + 1:1! =2 1:2! = 0,5

1:3! = 0,166 666 666 667 1:4! = 0,041 666 666 667 1:5!    = 0,008 333 333 333

1:6! = 0,001 388 888 889 1:7! = 0,000 198 412 698 1:8!    = 0,000 024 801 587

1:9! = 0,000 002 755 732 1 : 10! = 0,000 000 275 573 1 : 11! = 0,000 000 025 052 1 : 12! = 0,000 000 002 088 1 : 13! = 0,000 000 000 161 1 : 14! = 0,000 000 000 011 1 : 15! = 0,000 000 000 001

also

(14.)

e = 2,718 281 828 459 . . . .

Hierdurch ist e ohne Zweifel auf 10 Dezimalstellen genau berechnet, denn der Unterschied zwischen e und der Summe

2!

ec

15!

ist (unter Berücksichtigung von 14 Dezimalstellen)

= 0,000 000 000 000 05

lim *S"₁₅ <

15! 15

und kommt daher bei den ersten 12 Dezimalstellen nicht in Betracht. Dagegen können die llte und die 12te Dezimalstelle

n=oo

dadurch fehlerhaft geworden sein, daß hei Summierung der 16 Glieder die auf die 12te Dezimalstelle folgenden Stellen vernachlässigt worden sind. Dieser Fehler ist aber bei jedem der Glieder in der 12ten Dezimalstelle kleiner als Die ersten 3 Glieder sind genau, so daß der Gesamtfehler in der letzten Dezimalstelle kleiner als

13 • | = 6,5

sein muß. Im allgemeinen wird der gesamte Fehler, welcher bei solchen Rechnungen durch Fortlassung der späteren Dezimalstellen begangen wird, noch viel kleiner sein, als das hier angedeutete Verfahren ergeben würde, weil die einzelnen Fehler verschiedene Zeichen haben und sich infolgedessen wenigstens teilweise gegeneinander fortheben.

In der soeben ausgeführten Berechnung der Zahl e ist z. B. der gesamte Fehler bei der 12ten Dezimalstelle nicht 6,5, sondern 0, wie sich aus der Berücksichtigung der späteren Dezimalstellen ergibt. Die Gleichung (14.) enthält daher die Zahl e bis auf 12 Dezimalstellen genau.

Es war vorhin angenommen worden, daß n eine positive, ganze Zahl sei. Von dieser Voraussetzung kann man sich noch frei machen. Liegt nämlich n zwischen den positiven, ganzen Zahlen m und m + 1, ist also

m < n < in -j- 1

so wird

und

m-\-1

rH

> 1 +-

-> 1-f

m-\-l

Da die Potenz eines unechten Bruches mit dem Exponenten zugleich wächst, so wird

(15.)

m-f- 1

H¹

-rr.

m-j- 1/

also

m -f-1

Nun ist

lin/l + -T = limfl + —Y limf 1 + ¹ Y= .

m=oo\    TU /    m=oo\    m / m—oo\    TU J

Hm r^T-¹

m=oo\    m~j— 1/ m

lim

• lim (l

m—oo\

i y⁺¹

m-f- 1/

m-j- 1

folglich gehen die Ungleichungen (15 a.) über in

(16.)

oder

(17.)

e > lim ( 1 + —T m=oo\ n /

limfl + —Y=«.

n=oo\    n /

Die Zahl e spielt eine sehr wichtige Rolle in der höheren Mathematik; sie ist die Basis der sogenannten natürlichen Logarithmen. Welche Vorzüge das Logarithmen - System mit dieser Basis besitzt, soll an einer späteren Stelle gezeigt werden.

Man hätte übrigens die Zahl e auch durch die Gleichung

e = lim fl— ) n

n=oo \    /

erklären können. Es ist nämlich

oder, wenn man n — 1 gleich m setzt,

Wird n unendlich groß, so gilt dasselbe von m, folglich ist lim ( 1 ——) = lim ( 1 + — Yl + ¹T= lim (l + —Y= e.

n=oo\ łl /    m=ooV    771 / \    771J    ?n=oo V    771 /

bringen, so daß k und l ganze

zu

Satz. Die Zahl e ist keine rationale Zahl, d. h. es ist nicht möglich, e auf die Form Zahlen sind.

Beweis. Wäre

kl

l(k — 1) ! l(k — 1) ! e~k~(k— l)lk~~

so wäre nach Ungleichung⁻ (12.) ¹ ' 1U 2! ‘ ' 'kl

kl

,.1,1, , ¹ , 1 <1 + î!⁺2!⁺’"⁺,n⁺Ï!T’

oder, wenn man diese doppelte Ungleichung mit kl multipliziert und die ganze Zahl

kl +

to Sr-

kl

kl

(k— 1) ! ~ kl

mit A bezeichnet,

rH

oder

rH

Es müßte also zwischen 0 und Zahl l{k — 1)! — A liegen, und das ist unmöglich.

noch eine positive, ganze

Differential - Rechnung.

Erster Teil.

Funktionen von einer unabhängigen Veränderlichen.

I. Abschnitt.

Erklärung und Bildung der Differential-Quotienten.

§ 12.

Bildung des Differential-Quotienten einer stetigen Funktion

V =/(*)•

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 16.)

Es sei die Funktion

(1.)

y =/(*)

für* die betrachteten Werte der unabhängigen Veränderlichen x (des Argumentes) stetig. Setzt man also

yi =f(x i),

(2.)

so sollen die Differenzen

(3.)

x\ — x = Jx und ij\ — y = 4y gleichzeitig verschwindend klein werden. Den Quotienten dieser Differenzen Jx und Jy, nämlich

Jy y\ — y

Jx

X\ — X

Werden jetzt die Diffe-

nennt man „ Differenzen - Quo tien t'¹. renzen Jx und Jy verschwindend klein, so nennt man sie „Differentiale“ und bezeichnet sie mit dx und dy; d. h. man schreibt der Kürze wegen dx statt lim dx und dy statt lim^y,

~~ statt lim - - ?

also

dx

JX

wenn sich Jx und Jy beide der Grenze

0 nähern.

Dabei geht der Differenzen-Quotient über in den Differential-Quotienten, nämlich in

(5.)

= lim — = lim

Jx=0

Jx

yi — y

X\ — X

Beispiel 1.

sei

y — x², also yx = x±²,

dann wird

yi — y

Xx² — x²

Xx-X

Xx —

dy _

dx

lim (xx + x) = 2x.

Xi = X

Beispiel 2.

Es sei

also yx = xxz,

dann wird

yt — y

Xx³ X³

Xx-X

Xx — X

— Xx² -j- XxX -j- X²,

dy _ j|m    XxX _i_ xZj _ 3x2'

CiX xk=x

In den meisten Fällen, in denen y eine stetige Funktion

d. h. den Grenzwert von

von x ist, wird es möglich sein,

dy

dx ’

— zu bestimmen. Es gibt aber auch Funktionen, die für

x

Xx —-

einzelne oder für unendlich viele Werte von x nicht differen-

tiierbar sind, d. h. es gibt Fälle, in denen

keinen bestimmten

endlichen Wert hat. Ist z. B. y = x sin

r-i I «

so wird, wie sich

cly

zeigen läßt, ~ für x — 0 unbestimmt, obgleich die Funktion selbst fiir diesen Wert von x noch stetig ist.

Umgekehrt, kann man aber daraus, daß ten, endlichen Wert hat, auf die Stetigkeit der Funktion schließen, weil wenn

dy

dx

einen, bestimm-

dy

dx

nur dann einen solchen Wert haben kann,

Jy = yi — y mit Jx = .rt — x

zugleich verschwindend klein wird.

In den hier folgenden Untersuchungen werden nur Funktionen in Betracht kommen, welche differentiierbar sind. Mit der Bildung des Differential-Quotienten wird dann also jedesmal auch der Beweis für die Stetigkeit dieser Funktionen erbracht.

Die Gleichungen (4.) und (5.), durch welche der Dfferenzen-Quotient und der Differential - Quotient erklärt werden, kann man noch auf eine etwas andere Form bringen. Mit .Rücksicht auf die Gleichungen (1.) und (2.) erhält man zunächst

(4 a.)

/ly Jfix)    f(x i) —fix)

Jx

Jx

X\ — X

(5 a.)

dy df(x) dx dx

= lim

XX=X

./Qi) —-/(s)

X\-X

Aus den Gleichungen (3.) folgt ferner

— x -f- Jx, f(xi) —f{x -f- Jx) ;

dies gibt

(4 b.)

(5b.)

4 y ₌ df(x) ₌ f(x + Jx) —f{x)

Jx

f{x + Jx) —fix)

Jx Jx

dJL ₌ fä ₌ ]im

dx dx

Jx=0

Jx

Bemerkungen.

Der Anfänger möge noch besonders darauf aufmerksam gemacht werden, daß in den Ausdrücken Jx und Jy das Zeichen J nicht von x oder von y getrennt werden darf, denn Jx und Jy sind nicht etwa Produkte von J und x oder von J und y, sondern sie sind Symbole, welche die gleichzeitigen Zunahmen von x und y bezeichnen.

Ähnliches gilt auch von den Differentialen dx und dy. Dabei ist noch zu beachten, daß die Differentiale dx und dy immer mit einem geraden d (nicht mit einem geschwungenen d) geschrieben werden, weil die Symbole dx und dy später in einer etwas anderen Bedeutung benutzt werden sollen. Ebenso haben die Bezeichnungen dx und dy eine andere Bedeutung wie dx und dy.

clv

Der Differential-Quotient j einer entwickelten Funktion y — j-'(x) ist also der Grenzwert, welchem sich der Bruch nähert, wenn dx unendlich klein wird.

f 0 +    —/Qg)

dx

cly

gleichfalls eine Funktion von x

Um anzudeuten, daß ist, bezeichnet man dieselbe gewöhnlich mit f‘(x) ; es ist daher

dx

(6.)

dy

dx

=/'(*)■

Die Funktion f‘{x) nennt man im Gegensatz zu der ursprünglichen Funktion f(x) die „abgeleitete Funktion“ oder die „ Ableitung von f (x)“.

In derselben Weise, wie f‘(x) erklärt ist durch die Gleichung

f(x + dx) —fix)

f\x) = lim

Jx=0

werden auch die Ableitungen der Funktionen F(x), rp(x) usw. erklärt. Es ist daher

F\x) = lim

Jx=0

(7.)

(8.)

(p‘(x) = lim

dx

F(x -f- dx) ■—- F(x)

dx

(f{x -f- dx) — (p (x)

-:--- }

dx

usw.

Hervorzuheben ist noch, daß bei dieser Erklärung des Differential-Quotienten die Größe dx nach Belieben positiv oder negativ vorausgesetzt werden darf. Man hätte also mit demselben Rechte f'(x) durch die Gleichung

f‘{x) - lim

Jx=0

f{x — dx) —f(x)

— dx

erklären können. Im allgemeinen wird man auch beidemale für f\x) denselben Ausdruck .erhalten. Setzt man nämlich in diesem Falle x — dx = xlf so wird x = xt -)- dx, also

f{x — Jx)—f(x) f{xi) —fjxi -f 4 x) _ f{xx-^Jx)—f{xx)

— /ix

Dies gibt

— Jx

/ix

lim

fjx — /ix) —fix)

— Jx

Ax— 0

ff\ + ^x) —fix i)

lim

/x=0

Man erhält daher, wenn die Funktion/(V) stetig ist, denselben Wert von /'(#), gleichviel ob man Jx positiv oder negativ wählt.

/ix

Xÿ=X

§ 13.

Geometrische Deutung des Differential-Quotienten.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 17.)

Für viele Untersuchungen ist die Bildung des Dfferenzen-Quotienten und des Differential-Quotienten von großer Bedeutung, um zu beurteilen, in welchem Verhältnisse die Änderung der Funktion zu der Änderung des Argumentes steht. Ist z. B.

(1.)

y =/(«)

die Bleichung einer Kurve (Fig. 19), und legt man durch die benachbarten Punkte P und P± eine Sekante in der Richtung von P nach Pi, welche mit der positiven Richtung der X-Achse den Winkel ß bildet, dann wird, wie schon auf Seite 32 und 33 gezeigt wurde,

PR = QQi = OQ\ — OQ = x i — x, RP\ = QiT\— QP= yi — y,

also

(2.)

t gß = tgPPPi =

RPt

yi — y

PP

X\ — x

Dabei gibt der Differenzen - Quotient -¹    - ein Maß für

^    X\ — x

die Steigung der Kurve vom Punkte P bis zum Punkte Pi, d. h. dieser Ausdruck gibt an, in welchem Verhältnisse die Zunahme der Ordinate y zur Zunahme der Abszisse x steht.

Fig. 19.

Unter der Voraussetzung, daß die Funktion y = f(x) für den betrachteten Wert von x differentiierbar ist, nähert sich die Sekante Pl\ einer bestimmten Grenzlage TP, wenn der Punkt Pi dem Punkte P immer näher rückt und schließlich mit Q ,3 diesem Punkte zusammenfällt.

Eine solche Sekante, bei der zwei Schnittpunkte in einen Punkt P zusammenfallen, heißt „ Tangente“ und der Punkt P ihr „BerührungspunktBei diesem Grenztibergange werden die Strecken

PP, = xi — x und RP]_ = y\ — y verschwindend klein, der Winkel ß geht in den Winkel a über, und man erhält aus Gleichung (2.) die wichtige Formel

y\ — y dy

x\=xX,\ X

in welcher der folgende Satz enthalten ist:

Satz 1. Der Differential- Quotient ist gleich der trigonometrischen Tangente desjenigen Winkels a, welchen die geometrische Ta?igente im Kur cenpunkte P mit der positiven Richtung der X-Achse bildet, wenn y —f(x) die Gleichung der Kurve ist, und der Punkt P die Koordinaten x und y hat.

Wenn die Kurve im Punkte P steigt, so ist u ein spitzer Winkel (vergl. Fig. 20), also

plL

(3.)

t ga = lim

dx

p.

'a

(E)

dy

tg“ ⁼ 5>0;

Fig. 20.

Fig. 21.

ob

■X

und wenn die Kurve im Punkte P fällt, so ist a ein stumpfer Winkel (vergk Fig. 21), also

(5.)

cly

tga - dx

(Dabei sind allerdings nur die Winkel zwischen 0° und 180° berücksichtigt, weil auch nur solche Winkel hier in Betracht kommen können.)

In Figur 20 ist also im Punkte P der Differential-Quotient positiv, in Figur 21 ist er dagegen negativ.

Dies gibt

< 0.

dy

dz

Satz 2. Wenn eine Funktion y = fix) gleichzeitig mit x zunimmt, so ist die Ableitung für den betrachteten Wert von x positiv, wenn aber die Funktion abnimmt, während x zunimmt, so ist die Ableitung für den betreffenden Wert von x negativ.

Der Beweis dieses Satzes kann auch unabhängig von der geometrischen Deutung des Differential - Quotienten geführt werden.

Nimmt nämlich y mit x gleichzeitig zu, so wird

Xi — X > 0, yi — y > 0,

also auch

>0.

yi— V

X\-X

Dies gilt, wie klein auch xt — x werden mag, folglich wird

auch

(4 a.)

dx

$₌iimöao.

^=0*^1 &

Hierbei ist das Gleichheitszeichen dem Ungleichheitszeichen hinzugefügt, weil möglicherweise der Zuwachs von y im Vergleich zu dem Zuwachse von x eine verschwindend kleine Größe höherer Ordnung ist.

Nimmt y ab, während x zunimmt, so wird

X\ — x > 0

yi — y < o

also

yi—y

X\ — x

Dies gilt gleichfalls, wie klein xx— x auch werden mag, folglich ist

(5 a.)

ä-itoSizzüso.

dx Xl=x xx — x

Von dem angegebenen Satze gilt auch die Umkehrung:

Satz 3. Eine Funktion nimmt gleichzeitig mit x zu für alle Werte von x, für welche ~ positiv, und die Funktion nimmt

ab, icährend x zunimmt, für alle Werte von x, für welche — negativ ist.

Der Beweis folgt aus Satz 2 selbst ohne weiteres.

§ 14-

Einige Lehrsätze über Differential-Quotienten.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 18 bis 21.)

Satz 1.

Zwei Funktionen, welche sich voneinander nur

durch eine additive Konstante unterscheiden, haben dieselbe Ableitung, d. li. ist

9{x) =f O) + C, f(x) =/'(«)•

so wird

Beweis. Ist

so wird

g(x) =f(x) + c,

g{x + Jx) =f(x + Jx) + C

also

g[x + Jx) — g(x) =f (x + Jx) —fix), gjx + Jx)—g(x) ₌ f(x -f Jx) —fjx)

Jx

f{xfJx)—f{x)

Jx

gjxfJx)—g(x)

= lim

Jx=0

Bezeichnet man f(x) mit y, so wird

g(x) =y+Ç,

und die Gleichung (1.) nimmt die Form an

(1.) g\x) = lim

4x=0

Jx

Jx,

oder, wenn man Ax unendlich klein werden läßt,

(2-)

(la.)

d(y + C) _ dy

dx

dx

Satz 2. Wird eine Funktion y =f(x) mit einem, konstanten Faktor A multipliziert, so ist die Ableitung dieses Produktes gleich der Ableitung der Funktion y, multipliziert mit dem konstanten Faktor A, d. k. es ist d(Ay)

dy

dx

dx

Beweis. Setzt man

so wird

g(x) = Af(x),

also

g(x -- Ax) — g(x) = Af(x + Ax) — Af(x) = A [f(x + Ax)—f(x)\ f{x + Ax) —f(x)

g(x + Ax) — g(x)

Ax

= A-

Ax

g‘(?) = Afix).

Bezeichnet man nun wieder f(x) mit y, so wird

g(x) = Af{x) = Ay;

dadurch geht Gleichung (2.) über in

d(Ay)

(2 a.)

dx

dl.

dx

Satz 3. Die Ableitung einer Summe von zwei (oder von mehreren) Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen der einzelnen Funktionen ; d. h. es ist

dx

d {u -f- v)

du de dx dx

Beweis. Es seien

u — fix) und v — g(x) zwei beliebige Funktionen von x, und es sei

y = F(x) = u + v =f(x) + gix).

Es wird dann

F(x -f- Jx) — fix -f- Jx) -j- gix -)- Jx),

Jy = Fix + Jx) — F (f) = fix + Jx) —fix) fg(x -f Jx) —gif),

f) ₌ f(x + Jx) —fif) , fff ~r Jx) gif)}

Jx    Jx    Jx

dy

= lim

dx jx=o

oder

fix -)— Jx) f if)

Jx

+ lim

gjx. + Jx)—g(x)

Jx

=f\x)fff\x),

(3.)

diu -j- v)

dx

du dv dx dx

In derselben Weise läßt sich zeigen, daß der angegebene Satz auch für eine Summe von beliebig vielen Funktionen gilt; nur muß die Anzahl der Summanden eine endliche sein.

Vertauscht man u f v mit u — v, so findet man durch die gleichen Schlüsse die Gleichung

(4-)

dx

d (u — v) du dv dx dx

und damit

Satz 4. Die Ableitung der Differenz von zwei Funktionen ist gleich der Differenz der Ableitungen der einzelnen Funktionen.

§ 15.

Differentiation der ganzen rationalen Funktionen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 22.)

Aufgabe 1. Man soll die Ableitung von

V =fix) = xm

bilden, wenn m eine positive, ganze Zahl ist.

Auflösung. Aus Gleichung (1.) folgt ( )    yi =/Oi) = x")

( )    /O 1) —/(«) = xim — x"\

also nach Formel Nr. 13 der Tabelle

/Qi) — /Q)

(1.)

(⁴-)

xxm—xm

X\ — X

X\ — X 4- XyX

Dl—2

x{nr~x -j- x±m~²x -f- xxm~ax² -|----

dies gibt

(5.)

cly

clx

= lim

Xi=X

X\ — x

oder

= lim pim—1 + Xim~'²x -)- xtm^³x² -J----

Xi=X

-(- X\Xm~² -f- xm~x),

(6.)

dy

dx

= mx

Dasselbe Resultat kann man auch in folgender Weise er

halten.

Aus Gleichung (1.) folgt

(7.) ij -j- 4y =/p -f- dx) = (x -|- dx)m

. dx -f-

= Xm + —X

mim — 1)

———-—-x

also

dy — mx

. Jx -f-

mim — 1)

——......._—- x

(8.)

dy

— mx

mim

1)

— x

1 . 2

Geht jetzt dx in dx über, d. h. wird dx unendlich klein, so werden die Glieder auf der rechten Seite von Gleichung (8.) alle bis auf das erste unendlich klein, weil sie den Faktor dx enthalten. Die Gleichung (8.) geht daher über in

dl =

dx

(9.)

dx

mx

Der Wert m gleich 0 möge besonders berücksichtigt werden; ist nämlich f(x) = x° = 1, so wird auch

/Oi) = 1, also /Oi) —/0) ⁼ °> ./Qi) —f(x) = 0>

X\ — x

Deshalb wird

= lim f(xO —f(x) ₌ 0_

dx

Xy=X

X\ — x

Dasselbe Resultat ergibt sich aus Gleichung (9.), wenn man m = 0 setzt. Ebenso findet man

dC dx

d. h. die Ableitung einer Konstanten ist immer gleich 0. Aufgabe 2. Man soll die Ableitung von

y — æ⁴ + x³ -j- x

bilden.

Auflösung. Nach Formel Nr. 20 der Tabelle ist

dy d{xi) d(x³) dx

dx

dx

dx

dx

— ix³ -j- 3x² -f- 1.

Aufgabe 3. Man soll die Ableitung von

y = 3æ⁴ -j- llx² — Ix fi- 8

bilden.

Auflösung. Hier ist nach den Formeln Nr. 20 und 21 der

Tabelle

dy d(3æ⁴) , d(llx²)    d(7x) | d(8)

dx dx    dx

dx

dx

Ferner wird nach Formel Nr. 19 der Tabelle

folglich ist

d{3xd)    ₀ d{xS)

-^- - O ;

dx

d{ llx²)

₇    = 3 . 4æ³ — 12x³.

dx

dx

d{7f) = 7 dx dx

m₌₀

dx

dy

dx

d(x²)

dx

= 11.2x = 22x,

— 7    1=7

dx

- 12x³ -(- 22x —7.

In welcher Weise sich dieses Verfahren verallgemeinern läßt, soll die folgende Aufgabe zeigen.

Aufgabe 4. Man soll die Ableitung’ von

y — axn -[- a\xn~x -{- a₂xn~² + • • • + an—\x -j- an

bilden. •

d(an—\x)    d(an)

dx    dx

dx

Auflösung. Nach Formel Nr. 20 der Tabelle ist dy    d(axn)    d{a\Xn~¹) ^ d(a₂xn~²)

dx dx

und nach den Formeln Nr. 19 und 22 der Tabelle wird

d(an_xx)

= anx‘

dx

dx

— Q"n—1 T —    —1

dx

d(an) _ n

^ ’

folglich erhält man

4- (n

Da sich jede ganze rationale Funktion auf die Form

y = axn 4~ a\Xn~¹ 4- a₂xn~² + ’ " + an—1% 4“ an

bringen läßt, so ist damit gezeigt, wie man jede beliebige ganze rationale Funktion differentiieren kann.

dy

-r - = nax

dx

l)aixn—‘² 4- (w — 2)a₂xn—* 4r ’ •⁻ + an—i-

§ 16.

Differentiation einer Potenz mit negativem, ganzzahligen

Exponenten.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 22.)

Aufgabe. Man soll die Ableitung von

y = xm

(1.)

(2.)

eine negative ganze Zahl ist.

Auflösung. In diesem Falle ist

(3.)

(4.)

also

(5.)

y =fix) = x~n = ^ yi =/0i) =    = i

f(x i) — fix) = è

Xtn

X\n — xn

Xin xn

Xn\Xn

also nach Formel Nr. 13 der Tabelle

1 X\n — xn xnxxn xx-X

(6.)

fix l) —f(x)

X\-X

—— (xin~¹4- xxtn~² +----|- xn~%X\Ą- xn 1).

XnXxn

Dies gibt

(7.)

dy

₇ = lim

ClX    XX = X

f(x i) —f(x)

X\ — x

4- • nxn~x,

sjß 2w>    *

oder

(8.)

dy

dx

= — nx~n~x — mxm~x

Die Formel Nr. 22 der Tabelle bleibt also noch richtig, auch wenn m eine negative ganze Zahl ist.

§ 17.

Übungs-Beispiele.

l) y = 64 + 4,

dS = 30**.

dx

2) y — 6x⁵ — 4,

J- = 304.

dx

3) y = $4°,

dy

= 44.

4) y — 34 — 7^ + 9,

f =6*-7.

dy

5)    y = (2z — 5) (x² + 11z — 3),

Hier findet man das Résultat, indem man zunächst die Klammern auflöst und dadurch y auf die Form bringt

y = 2x³ -f- 17 x¹ — 61 x -f- 15.

6)    y = 5a;⁴— jx³ -)- 4x² — 3z Ą-7,    = 20a;³ — 11a;² + 8a; — 3.

7)    y = x*+12x³—29x²—61x-134,

dx

dy

dx

- 6x² -f- 34a; — 61.

= 4a;³ -f- 36a;² — 58a; — 61.

8) y — x³ — 5a;² + 8a; — 4,

d,J _

dx

3x² — 10a; + 8.

9) y — 3a;⁵ — Ix³ -j- 13a;,

dy

dx

= 15a;⁴ —21a;² + 13.

10) y — 5a;⁸ — 3a;⁶ -)- 2a;⁴ — 4a;² -f- 7,

dy

11) y =

co

» rli

8    10    12    13

¹²)    —-^T +

13) y= 2a;⁶ + 3a;—

11

a;⁶

— 40a;⁷ — 18a;⁵ -f- 8a;³—8a;.

=—■?+

=--+ , a;⁴ x⁶

1S**.8+J +

dx

dy

dx

dy

dx

0    84 , 117

a;⁸

a;¹⁰

66

a;⁷

14) y = 8a;⁷ — 10a;³ +

a;³

30    56

= 56a;⁶ —30a;²--z +

dx

av4

a;⁸

Aufgabe.

Funktion

§ 18.

Differentiation der logarithmischen Funktion

fix) = lo gx.

(Yergl. die Formel - Tabelle Nr. 23 und 24.)

Man soll die Ableitung der logarithmischen

(10

y =/(*) = io gx

Auflösung. In dem vorliegenden Falle ist (2.) fix) = log«, f ix + Jx) = log(« -j- Jx), f (x -j- Jx) —fix) — log[x -j- Jx) — log« = log(^t^)

/(* + Jx) —f(x)= loS (x + ~) ’

fH' ■ ':)■

oder

(3.)

(4.)

fix + dx) —fix) _ Jfjx)

Jx

Jx

Setzt man

(5.)

Jx

Jx

so ist

(6.)

dff) ₌

Jx

Nun wird aber n unendlich groß, wenn Jx unendlich Mein wird; deshalb ist

dx

(7.)

Diesen Grenzwert kann man leicht angeben, denn nach Formel Nr. 14 der Tabelle ist

(8.)

lim fl + -Y=«

n—oo\    ri /

folglich wird

(9.)

cly_d(\ogx) _ loge

dx

clx

Dabei ist die Basis des Logarithmen-Systems noch eine ganz beliebige; wählt man aber die Zahl e selbst zur Basis des Logarithmen - Systems, so ist

loge= 1,

so daß die Gleichung (9.) eine noch einfachere Form annimmt.

Die Logarithmen mit der Basis e heißen die „natürlichen Logarithmen“ und mögen in dem folgenden nur durch lognat oder der Kürze wegen mit ln bezeichnet werden.

Demnach ergibt sieb aus Gleichung (9.)

(9 a.)

d( In.-r)    1

dx

Bemerkung-,

In der kolleren Mathematik benutzt man fast ausschließlich die natürlichen Logarithmen mit der Basis e ; es ist aber sehr leicht, von dem einen Logarithmen - System zu einem anderen überzugehen.

Es bezeichne z. B. loga; den Briggs sehen Logarithmus von x mit der Basis 10, und Ina: den natürlichen Logarithmus mit der Basis e; dann ist

(10.)

y — loga: gleichbedeutend mit li)y —x

und

(11.)

z = lna; ist

ez = x.

(12.)

Daraus folgt

10?/ == e«.

Nimmt man auf beiden Seiten dieser Gleichung den natürlichen Logarithmus, so erhält man

(13.)

?/lnl0 = z, oder loga: =

Ina;

ln 10

Nimmt man dagegen auf beiden Seiten der Gleichung (12.) den Briggs sehen Logarithmus, so erhält man

y—zloge, oder loga; = lna; . loge.

Aus den Gleichungen (13.) und (14.) folgt zunächst

(14.)

= log e ;

ln 10

ferner geht aus derselben hervor, daß man die natürlichen Logarithmen sämtlich mit dem konstanten Faktor

loge

= 0,434 294 481 9

ln 10 ” 2,302 585 093 0 zu multiplizieren hat, um aus ihnen die entsprechenden Briggs sehen zu erhalten. Man nennt diesen Faktor loge geAVÖhnlich „den Modul der Briggs sehen Logarithmen.“

§ 19.

Differentiation der trigonometrischen Funktionen sinx und cosæ.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 25 und 26.)

(1.)

Aufgabe 1. Man soll die Ableitung von V =/0) = sina:

(9.)

CI CO

Auflösung. Aus Gleichung (1.) folgt

f(x-\- dx) = sin ix -j- dx),

fix -{- dx) —f(x) = 4fix) = sin (x + dx) — sin.?. Nun ist bekanntlich

= x f- d * *■ X

(tMt)

J (x)f = 2 sin    cos (x + ^

sin a — sin b = 2 sin

folglich wird

(4.)

oder, wenn man der Kürze wegen

dx = 2a

(5.)

setzt,

(6.)

df{x) = 2 sina: cos (x + z)

4fix)    sina:

J    cos (« + a) ,

ztx

(7-)

elf fff    dy _

dx

dx

lim

sina:

Z=0

t ,    \    .. sma

— COS (x 4- a) = cos x lim —

*    z=o ^

Nach Formel Nr. 1 der Tabelle ist aber sina

lim

2=0

folglich ist

(8.)

dy _ d (sin x)

dx

dx

- COS

Aufgabe 2. Man soll die Ableitung von y —f[x) = cos?

bilden.

Auflösung. Aus Gleichung (9.) folgt (10.) fix + dx) = cos(? -f- dx),

(11.) fix -(- dx) —fix) — df[x) — COS ix -f- dx) — COS x. Nun ist bekanntlich

cos a — cos b

folglich wird

Kiepert, Differential-Keclimmg.

// (*) = — 2 sin (('') sin (x -f f)

(12.)

oder, wenn man wieder

setzt,

(12 a.)

Jx = 2z

(13.)

Jfif) = — 2sins sin(a; -j- z)

sinz . .    ,    .

-sm (x -j- z),

j/(x)

Jx

(14.)

df(x)    dy

dx dx

= — sin x lim

sin z

z=0

oder

(15.)

dy d (cos x) dx dx

== — sin x.

Bemerkung.

Es wird hier nochmals darauf aufmerksam gemacht, daß in sinx und cosx die Größe x kein Winkel, sondern die Länge eines Kreisbogens ist. (Vergl. § 1, Seite 10.)

§ 20.

Differentiation der trigonometrischen Funktionen tgcc und ctg

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 27 und 28.)

(1.)

Aufgabe 1. Man soll die Ableitung- von

V =f0) = tgx bilden.

Auflösung. Aus Gleichung (1.) folgt

(2-)

(3.)

f{x + Jx) = tg(x + dx),

fix + Jx) fix) = Jfix) = tg(x -f- Jx) — tgx.

Nun ist bekanntlich

tga — tgb =

folglich wird

(4.)

Jf(x)

sin (a — b) cos a cos b. ’

sin(^) cos(;r + Jx) cos#

(5.)

Jf(x)

Jx

cos(« -j- Jx) cos«

sin (Jx)

• -:---*

/Ix

und da nach Formel Nr. 1 der Tabelle

sin {Jx)

wird, so ist

lim

Jx=0

Jx

(6.)

(7.)

df(x) ₌dyz= d(tgx) ₌_

dx dx dx COS²«,.

Aufgabe 2. Man soll die Ableitung von

y =fix) = ctsx

\— = 1 + tg²«.

bilden.

(8.)

(9.)

Auflösung. Aus Gleichung (7.) folgt

fix + Jx) == ctg(« -(- Jx), fix -r Jx) —f{x) = Jf{x) = Ctg (« + Jx) — ctg«. Nun ist aber bekanntlich ctg b =

ctg a

sin (a — b) sin a sin b ’

folglich wird

(10.)

sin {Jx)

sin(« + Jx) sin«

(11.)

ff{x)

sin (Jx)

Jx

sin (« + ^«)sin«

Jx

(12.)

df(x) dy d{ ctg«)

= — (1 + ctg²«).

dx

sin²«

Aus den Ergebnissen der Paragraphen 19 und 20 erkennt man, daß die Ableitangen der trigonometrischen Funktionen wieder trigonometrische Funktionen sind.

dx

dx

§ 21.

Differentiation der Produkte und Quotienten von Funktionen.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 29 bis 34.)

Aufgabe 1, Es sei

v = g{x) ;

man soll die Ableitung des Produktes

(1.)

u =f(x)

(2.)

y — F(x) = uv

=/0) 9(x)

bilden.

Auflösung. Aus Gleichung (2.) folgt

(3.)

F(x -f- Jx) — fix -)- Jx) g(x -f- Jx),

F{x-\- Jx)— F(x) = JF{x) =fix + Jx) g(x-\- Jx) —-fix) g(x),

oder

JF(x) =f(x + Jx) g(x + Jx) —fix) g(x + Jx)

+/0) öf + Jx) —fix) ffif ,

also

(5.)

J F (x)

Jx

g{x+Jx)

f(x+Jx)—f{x)

Jx

-/(*)

gjx-\-Jx)—gjx)

Jx

Nun ist

lim g(x + Jx) — g(x), lim

4x=0

fix + Jx) —fix)

Jx

=n*)i

lim

4x=i)

gjx + Jx)—gjx)

Jx

= f(x),

folglich wird

(6.)

dF(x) dy dx dx

oder

I,

(6 a.)

d(uv)

du

do

dx

~',Tx + uTx'

Dies gibt den Satz:

Ein Produkt von zwei Faktoren wird differentiiert, indem man jeden der beiden Faktoren einzeln differentiiert, mit dem andern Faktor multipliziert und die Summe dieser beiden Produkte bildet.

Beispiele.

1) y = (3 +4*)(2 —7*),

^ = 4(2 — Ix) — 7(3 + ix) = — 13 — 56*.

CvX

Von der Richtigkeit dieses Resultates kann man sich auch dadurch überzeugen, daß man nach Auflösung der Klammern

§ 21. Differentiation der Produkte und Quotienten.

y = 6 — 13a: — 28a;²

erhält, woraus sich unmittelbar derselbe Wert von

2)    y = (xi — 3z² + 11)sina:;

= (4a;³ — 6a-)sina: -f- (.+ — 3a:² +11)COSa".

3)    y = COSa;tga;;

= —sina: tg a; + -

sin²a: ,    1

COSa: ¹ COSa:

dy

dx

dy

dx

COSa:

C0S²a:

1 — sin²a;

COSa:

== COSa-,

dH

dx

ergibt.

Dieses Resultat hätte man noch einfacher finden können, indem man berücksichtigt, daß

tg a; =

sina:

COSa:

ist, denn dadurch wird

y = COSx tg’x = sina: und nach Formel Nr. 25 der Tabelle

dy

-rr- — COSa-.

dx

Aufgabe 2. Es sei

(7.)

u=f(x), v=ff(z), w = h{x)

man soll die Ableitung von

(8.)

y = uvw

bilden.

Auflösung. Indem man

(9.)

VW — X)\

setzt, erhält man

(10.)

y = uv i,

so daß nach der vorhergehenden Aufgabe dy du ! dvi dx ⁼ 'HTx^U

wird. Nun ist aber, gleichfalls nach der vorhergehenden Aufgabe,

(no

dx

(12.)

di\

de

div

dx

~Wdx + °~S, ’

folglich wird

(13.)

dy    d(uvw)

du

de

dx

dx

— VW —--j- UW ——\- UV

die

dx

dx

Dies gibt den Satz:

Ein Produkt von drei Faktoren wird differentiiert, indem man jeden dieser Faktoren einzeln differentiiert, mit den beiden anderen Faktoren multipliziert und die Summe dieser Produkte bildet.

Man erkennt leicht, daß sich diese Kegel auch auf Produkte mit beliebig vielen Faktoren übertragen läßt. Zum Beweise mögen die Gleichungen (6 a.) und (13.), indem man sie beziehungsweise durch uv und uvw dividiert, auf die Form

1 du 1 dv u dx v dx 1 d(uvw) 1 du | 1 'dv    1 dw

u dx v dx    w dx

(6 b.)

1 d (uv) uv dx

(13a.)

uviv dx

gebracht werden.

Dementsprechend kann jetzt durch den Schluß von n auf n -f- 1 die Richtigkeit der Gleichung d(uxu-i... um)

1 dum um dx

1 dux U\ dx

nachgewiesen werden. Gilt nämlich Gleichung (14.) für m = n, so wird

(14.)

tl\ ^2 • • • tim

dx

1 du 2 U‘i dx

d(U\U>l ...Uyl)

1 du\ ux dx

Ist hierbei un wiederum aus zwei Faktoren zusammengesetzt, ist z. B.

(14a.)

1 du-i

1 dUyi

UXU2 ... Uyi

dx

•-- -J-----1--7    — •

dx    un dx

Un = UV,

so wird nach Gleichung (6 b.)

1 dun 1 du 1 dv u,j dx u dx v dx

Deshalb geht Gleichung (14 a.) über in

(15.)

§ 21. Differentiation der Produkte und Quotienten. d {u\U₂ ...

U\U₂ ... un_±uv

1 du\ 1 du-i U\ dx in dx

dx

1 dun_!    1 du ^

dx ■ u dx

Mn—1

de .

dx’

daraus folgt, wenn man un statt u, un+1 statt v schreibt,

d(u,\u₂ .,.    }-i)

(15a.)

U\ ^2 « • •    tCfi-J-l

1 du\    1 du₂

U\ dx    u-i dx

dx

1 dzt/yi

un dx

1 dun+i Un+1

Gilt also Gleichung (14.) für m gleich n, so gilt sie auch für m gleich n -f- 1. Damit ist die allgemeine Gültigkeit der Gleichung (14.) nachgewiesen. Durch Multiplikation mit u\u₂...um erhält man aus derselben die Formel

d iw i iio... w

dx

(16.)

dx

u₂ u₃..

du,\

• Um ₇

dx

und damit den Satz:

“b U1 ■ • • um --b • • ' “b U\ U<1 . .. Um—1

du /ii

dx

Ein Produkt ton beliebig vielen Faktoren wird differentiiert, indem man jeden dieser Faktoren einzeln differentiiert, mit allen übrigen Faktoren multipliziert und die Summe dieser Produkte bildet.

Sind die m Faktoren alle einander gleich, ist also

— * * * —~    ^ j

so folgt aus Gleichung (16.)

dffj

(17.)

du

dx

= rnu

dx

Für den besonderen Fall, wo

U = X

ist, geht diese Gleichung in Formel Nr. 22 der Tabelle über, nämlich in

d (xm)

dx

— mx‘

Die Gleichung (17.) gilt vorläufig nur, wenn m eine positive ganze Zahl ist, sie bleibt aber, wie sogleich gezeigt werden soll auch noch richtig, wenn m eine positive gebrochene Zahl ist. Wird nämlich

(18.)

j oder mb = a

wo a und b positive ganze Zahlen sind, so folgt aus

(19.)

y — u

indem man beide Seiten der Gleichung in die btQ Potenz erhebt,

(20.)

yb — ua.

Unter der Voraussetzung, daß sich die Funktionen y und u differentiieren lassen, findet man, indem man beide Seiten der Gleichung (20.) mit Anwendung der in Gleichung (17.) ausgesprochenen Regel differentiiert,

(21.)

dy

du

du

bi/"¹    = au“"¹    = mbumi~¹

dx    dx    dx

Da aber aus Gleichung (19.) folgt, daß

yb—1 __ umb—m

ist, so geht Gleichung (21.) über in

du

m «/

bum]>-

du

— mbu¹¹¹¹¹—¹ -j- ;

dx

daraus folgt, wenn man beide Seiten dieser Gleichung durch bumb~m dividiert,

dx

(22.)

dy

du

= mu dx

dx

ein Resultat, das der Form nach mit Gleichung (17.) genau übereinstimmt.

Es gilt daher auch die Gleichung

d(xm)

(22a.)

noch, wenn m eine positive gebrochene Zahl ist.

Man kann sogar die Richtigkeit dieser Formeln noch zeigen,

dx

—- = mx

wenn

§ 21. Differentiation der Produkte und Quotienten, eine negative ganze oder gebrochene Zahl ist. Es wird dann

(24.)

y — um = u~~n =

un

also

(25.)

uny — 1.

Differentiiert man beide Seiten dieser Gleichung unter der Voraussetzung, daß die Funktionen y und u differentiiert werden können, so findet man nach der Regel für die Differentiation eines Produktes

•y + u'% = °-

oder, wenn man mit u multipliziert und für uny den Wert 1 setzt,

mr~

du

i

dx

du

n dx

+ un+ldf = 0,

dx

also

(26.)

dy

dx

— nie

du

du

dx

— mu

dx

Damit ist bewiesen, daß die Gleichung (17.) und deshalb auch die Formel Nr. 22 der Tabelle gilt, gleichviel ob m eine ganze oder eine gebrochene, eine positive oder negative Zahl ist.

Die Formel

d (um)

dx

----- mum~¹

du

dx

bleibt sogar auch dann noch richtig, wenn der Exponent m eine inkommensurable Zahl ist, wie an einer späteren Stelle gezeigt werden soll. (Vergl. § 23, Gl. (4.)).

Beispiele.

1) y = (2x³ — 7x² -f- Sx -f- ll)⁴;

dy

dx

= 4 (2a;³ — Ix¹ + 3x + ll)³(6a;² — 14a; + 3).

2) y = j/a² -(- x¹ — (a² -j- xr)² .

Setzt man

so wird

d² - ! x² = u,

oder

(27.)

y = u

clz 2

—X du

dx

rH |(M

. 2:r,

d,y d¹ -f- x¹

dx

Y a² + x¹

Ebenso findet man

(27 a.)

dyx¹—a²

dx

yx²—a²

3 ) y = y u²— æ² = (a² — æ²)² .

Setzt man liier

cd — x² = u

so wird wieder

y = u*,

dy

clx

i-i (N

—4- du u ² —

dx

= ^ («² — x<i) ² (—'2z),

oder

(28.)

dy cd—x¹

dx

y cd—x²

4) y — -j/(2x — 5)⁴ = (2z — 5)³ ;

dy

=    (2z — 5)³ . 2 — ~ ■y/2x — 5.

3

3    5 —    2 —

s)y=5a: — 4^⁵ + n^⁴⁺7^

dx

81«

'hi

dx

— 2x

3 y.

-X ⁶ 1

I-    3.    1    7    1 J.

s—2xs + ^i⁴ + -a:‘.

⁶) y =

l—i

= z~⁴;

dy

= — 4a;⁻⁵.

JL

7) y = ■/« =x!i;

dy 1 -f

JLz=dx

dx 4

8)    y= 4>

⁹)    y = li + bT/x—

-f- ô -f- d]/x

y⁷ a;

7.r⁵;

dy

dx 4X

dx

12

— 35a;⁴.

10) y =

_JL

j/a:

«a;

² -J- ô -j- ca:² ;

dy

dx

2 ]/x³    2

]/a:³

11) y = 12 Ą/x* — 7-y/x⁴ + 11a;

dx

l2a;T — 7xf + 1 la; — 8a: ¥; 9aT* —4aTT+11 + 12aT^=: ⁹

-1

ÿx

^= + 11

12

12) y = (2a:² — 3a: + 4) ]/(4a: — 3)³ . Setzt man

2a:² — 3a: —f- 4 = u

so wird

Y(4x — 3)³ = (4a; — 3)* = y = uv,

= 4z-3, ^ = |(n—3)t. 4 = 61/4^3,

du

do

= 8S + “S

3.    __

= (4a; — 3)² (4a; — 3) -f- (2a;² — 3a; + 4). 6|/4a: — 3 = V4a: — 3 [(4a: — 3)² + 6(2a;² — 3a; + 4)]

= ]/4a; — 3 (28a;² — 42a: + 33) .

13)    y = sina- — §sin³a; -f- 4sin⁵a; ;

^ = (1 — 2sin²a; + sin⁴a;) cos a; = cos⁵a;.

14)    y = COS a; — cos³a: + f C0S⁵a; — f cos⁷a; ;

= (1 — 3 C0S²a: -j- 3 C0S⁴a; — C0S⁶a:) (— sina:) = — sin⁷a\

dy

dy

15) y = 31g⁵x — 2 tg⁴^ — 5 tg³x -j- 41g²x ;

dy

^ = (I5tg'% — 8 tg³x — 15 tg‘²x -)- 8 tga") (1 + tgV)

= 15 tg⁶^ — 8 tg⁵« — 151g²x -f 8 tg x.

Aufgabe 3. Es sei

(29.)

«=/(*)> » = ?(*); man soll die Ableitung des Quotienten

(30.)

5 oder F{x) =

/o)

bilden.

ffix)

(31.)

Auflösung. Aus Gleichung (30.) folgt

f{x -f- z/.r) g(x +

_ /(* + 4*)

g(x + Jx)

F(x -f- 4x) —F(x) — J Ff)

/(*)

9{x)

fjx + Jx)g(x) — gjx + dx)f(x)

Dies gibt J F (x)

g{x + Jx) g(x)

<³²-) j*

g(xfJx)g(x)

fix + Jx)g(x) — g(x + Jx) ff)

• -:---5

Jx

oder, wenn man in dem Zähler auf der rechten Seite dieser Gleichung die Größe f{x)g(x) subtrahiert und wieder addiert,

(33.)

g(x + Jx)g{x) • f{x + Jx) g ix) —f(x)g{x)—g{x + 4x)f{x) ff(x)g(x)

J F(x)

Jx

Jx

f 0)

fjx + Jx) —/ ix)

Jx

gjx + Jx) — gjx)

Jx

Geht man zur Grenze über, indem man Jx unendlich klein werden läßt, so erhält man

f\x + Jx) —fix)

lim

Jx=0

deshalb findet man aus Gleichung (33.)

Jx

gjx 4- Jx) — gjx)

Jx—0

Jx

Dies gibt den Satz:

Die Ableitung eines Bruches ist gleich dem Nenner, multipliziert mit der Ableitung des Zahlers, weniger dem Zähler, multipliziert mit der Ableitung des Nenners, das Ganze dividiert durch das Quadrat des Nenners.

Beispiele.

sina: _ dg_cosx cos.r — sin x (— sinx)

cos².«

cos x ’ dx

cos'²« -f- sin²«

cos²:«

(34.)

oder

(34 a.)

g(x)g(*) •

dF(x)

= g(T)f(x)~~f{x)g‘{x),

dF(x)_dp _ g(x)f\x) —f{x)g\r) ?

dx dx    g(x) g(x)

dx

du

dv

V dx    U dx

dx

«²

cos²æ

Dieses Resultat stimmt mit Formel Nr. 27 der Tabelle überein, denn es ist

sinr

= tgar.

2) y = x~n =

COS#

1 dy xn . 0 — nx xn ’ dx

x2n

— nx~

Dieses Resultat stimmt mit Formel Nr. 22 der Tabelle

überein.

' 3) y =

Hier ist

z² — cd

x² -f- a?

u — x² — a²

also

o = x² + ad,

du

dx

= 2x

dv

s⁼²*’

cly {xd — cd) 2x — (x¹ — cd) 2« _

4 adx

dx

{xd -f- a²)²

{xl -j- a²)²

x -f- ]/«² + x²

4) y =

Hier ist

also

x H~ y a² -f- xr,

du

dx

do

X y a¹    X¹. -y- = 1

dx

y a² -j- x²

x — ]/a² + x²

]/a² -j- æ²

]/a² -j- x²

dy    (.r—y a² + x²) (x-)- y a² -j- x²) -f- (x -j- ]/V² -)- .z²) (#—)/«² -j- x²)

dx

(x — y a² -j- x²)²ya² -J- x²

— 2 a²

(x — y a² -(- x²)² y a² -j- x²

— 2 (x -j- y a² + x²)2 a² y a² -f- x²

II. Abschnitt.

Funktionen von Funktionen.

§ 22.

Differentiation einer Funktion von der Form f[<p{x)].

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 35 und 36.)

Es sei y irgend eine stetige Funktion von u, also

(1.)

V =/(«) >

und u sei wieder eine stetige Funktion von x, also

(2-)

u = (f{x),

dann ist y auch eine stetige Funktion von x, nämlich (3.)

Beispiele solcher „Funktionen von Funktionen“ sind y = ■}/4a:² — Ix -j- 11, y = sin(3a:), y = (sina:)⁴,

y = (log a:)", y = arcsin

io¹ ■ :

y — log (sin x)

Es ist die Frage, in welcher Weise solche Funktionen von Funktionen differentiiert werden können.

Vermehrt man x um Jx, so gehen die Größen x, u und y bezw. über in

x -(- Jx, u -f- du = (p{x -(- Jx), y -j- Jy =f{u -j-folglich ist

(4.)    Ju — (p{x -f- Jx) — f/(a:), Jy = f(u 4- Ju) —f{a) >

JF(x)    Jy f(u    Ju)—f(:u)

Jx

xlx

Jx

oder, wenn man auf der rechten Seite dieser Gleichung Zähler und Nenner mit du gleich <f (x -f- dx) — q>(x) multipliziert,

dy f(ii -f- Au)—fff) (p(z-\-Jr)—tyff) _

/ix

du

dx

folglich ist

(6.)

cly

dx

=/'(“) SP'OO

dy du du dx

Dies gibt den Satz:

Die Ableitung einer Funktion von einer Friktion ist gleich dem Produkte der Ableitungen beider Funktionen.

Aus diesem Satze erkennt man ohne weiteres, daß man mit den verschwindend kleinen Größen dx, dy, du,... ebenso rechnen darf, als wären sie bestimmte Zahlen. Man erhält dy du du dx

multipliziert.

Gleichzeitig ergibt sich hieraus, wie notwendig es ist, daß man sich stets darüber Rechenschaft gibt, nach welcher Veränderlichen differentiiert wird, denn die beiden Größen

nämlich

aus

dy

dx

indem man Zähler und Nenner mit du

dy

du

und

sind im allgemeinen wesentlich voneinander verschieden.

Eine etwas einfachere Form erhält der eben angeführte Satz, wenn man statt der Ableitungen oder Differential-Quotienten die Differentiale einführt.

Die Gleichung

Jf(r)

dy

f{x -f dx) —f{x)

----.

= lim

Jx=0

durch welche der Differential-Quotient einer Funktion y = f{x) erklärt wird, hat den Sinn, daß der Unterschied e zwischen

dem Differenzen-Quotienten

f\x) beliebig klein gemacht werden kann, wenn man nur dx hinreichend klein macht. Aus

f\x) = lim

Jx=0

dx

= lim

/x=0

dx

dx

f(x F dx) —fix)

dx

und der Funktion

fix -f Jx) —f(x)

~f\x) = £

Jx

folgt aber

(7.) Jy = Jf(x) =f{x + Jx) —fix) =f{x) .Jx + e.Jx.

Da nun e. Jx eine verschwindend kleine Größe höherer Ordnung wird, wenn Jx verschwindend klein wird, so darf man beim Übergange zur Grenze, so lange f‘(x) von Null verschieden ist, e. Jx vernachlässigen. Deshalb erhält man aus Gleichung (7.)

(8.)

dy — df{x) = f‘(x)dx.

Diese Größe, welche man das „Differential“ der Funktion y = fix) nennt, ist der unendlich kleine Zuwachs, welchen die Funktion erleidet, wenn die unabhängige Veränderliche x um die unendlich kleine Größe dx wächst.

Das Differential einer Funktion von einer unabhängigen Veränderlichen x ist also gleich der Ableitung, multipliziert mit dem Differential dieser Veränderlichen.

Man beachte den Unterschied zwischen der Ableitung und dem Differential einer Funktion, der sich aus dem hinzugefügten Faktor dx ergibt. Die Ableitung ist im Allgemeinen eine endliche Größe; das Differential dagegen ist unendlich klein.

Aus Gleichung (6.) folgt

(6 a.)

da aber

dy = f‘iu) (p‘{x)dx ;

du = f(x)dx ist, so findet man hieraus

(9.)

dy = f‘iu)clu,

d. h. man findet das Differential von y: indem man die Funktion u als die unabhängige Veränderliche ansieht.

Beispiele.

1) y = sin% = w³, wo u = sina;. Hier ist

dy = Su² du und du = cos xdx

also

dy

dy = 3 sin²a; cos xdx,    oder ^ = 3 sin²a; cos x.

Kiepert, Differential-Rechnung.

Ist y eine Funktion von u, u eine Funktion von v, und v eine Funktion von x, ist also

y =f (u). « = Ç(») » ® = V'O») ?

so wird auch y eine Funktion von v und deshalb auch eine Funktion von x; daher findet man nach dem vorhergehenden Satze

(10.)

dy =f‘(u)du, du = <p‘(v)dv, dv = xjj‘(x)dx,

oder

(11.) dy — f‘{u)du —f‘(u) (p‘{d)dc — f‘(u) (p\v) xjj\x)dx.

In dieser Weise kann man fortfahren und das Differential von y auch dann noch finden, wenn die Reihe der veränderlichen Größen, von denen jede eine Funktion der folgenden ist, noch länger wird.

Es sei z. B.

y — sinw, u = vm, v — a³ -j- x³,

oder

2) y = ln(l —• x²) = lnu

dy = —

J u

du —

WO u = 1 -X².

— 2 xdx

(— 2r)dx = —-

y = sin [(a³ -f- xy)m]

dann wird

also

dy = COS udu, du — mom~¹do₁ do = 3x‘~dx, dy = cos u . mvni~¹dv — cos u . mv d — 3mx²(a? -f- xz)m—1 COS[(a³ -j- #³)m] .

. 3x²dx,

dy

§ 23.

Übungs-Aufgaben.

i)

dy

du

y=um' ix

Dieses Resultat stimmt mit Formel Nr. 30 a der Tabelle überein. Daraus erkennt man, daß Formel Nr. 30a nur ein besonderer Fall von Formel Nr. 36 ist.

= mw

dx

2) y = sin (ma;).

Man setze

dann wird

mx — u,

oder

y = sin«, dy — cos udu, du = mdx, dy = m cos (mx)dx,

dy

dx

m cos {mx).

Hier ist

y = tg«,

wo

dy —

du

cos²« ’

du =

dx

also

dy

dx

dy

2 cos'²

dx

dy

2    cos²

3    (cosa; — sina;) 5y/(sina; + cos a;)²

4)    y = y/(sina; + cosa;)³;

5)    y — ln (sina;).

Hier ist

y = ln«, wo u = sina;, also dy — ^ > du = cosxdx,

dx

dy —

COS xdx

dy

sina;

dx

= ctga;.

6) y = ln (cosa;) ;

dy

dx ⁼ -**-

7) y = ln (tga;) ;

dy

dx sina; cosa;

8) y = ln (ctg*);

dy

9) y = ln (cos x -f sin x) ;

dx sin x cos x dy    — sina; cosa;

dx cosa; -p sina;

10) y = ln(|/«² + x² -f- ]/a² — a²). Man setze

u = J/a² -\- x² -\- }/a² — x²,

dann wird

— du,

du

dy =

oder

dy ₌

= ( X----- X -\fe =

V]/a² -\- x²    Ya² — x²/

xÇf a² — x² — Y a²    x²)dx

( Y a² -f- x² -)- Y a² — x²) Y a⁴ — x⁴

x(Y a² — x² — Y a² -j- x²)dx

Y a⁴ — x⁴

x(\/a² — x² — Y a² -f- x²)

(]/d¹ -j- x² + Y a² — x²) y a⁴ — x⁴

Indem man noch Zähler und Nenner auf der rechten Seite dieser Gleichung mit ]/a² -f x² — ]/a² — x² multipliziert, erhält man

dx

dy    —x(2a²—2 y a⁴ — x⁴)

a² -j- Y a⁴ — x⁴

dx

2 x²y a⁴ — x⁴

xYa⁴ — x⁴

11) y = ln (Ina;). Hier ist

y = ln w, wo u = Ina;

du

du —

dx

dy

a;lna;

dx x\nx

Jetzt kann man auch zeigen, daß die Formel Nr. 30a der Tabelle, nämlich die Formel

(1.)

d (um)

dx

— muj

du

dx ’

(2.)

auch dann noch richtig bleibt, wenn der Exponent m eine inkommensurable Zahl ist; zu dem Zwecke setze man z = um = ev, also y = I112 = m . ln?/,

folglich wird

(3.)

dy

1 dz

(4.)

1 du u dx

Dies gibt durch Multiplikation mit z = um

dz diu")

dx z dx m

du

dx dx

— mu

dx

§ 24.

Differentiation inverser Funktionen, insbesondere der zyklometrischen Funktionen und der Funktion ax.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 37 bis 44.)

Wie schon früher (§ 1) hervorgehoben wurde, kann man aus der Gleichung

(1.)

y =/(»

wenn y keine Konstante ist, durch Auflösung nach x eine Gleichung

(2.)

x = <p(y)

herleiten; man nennt dabei die eine Funktion die inverse der anderen, weil die eine aus der anderen durch Umkehrung entsteht. Beispiele dafür waren

y — bx y = sin^c y = cosx y = t gx y = ctgo;

und

* f= ¹⁽W>

x = arcsiny, x = arccos ?/, x = arctgy, x = arcctgy.

zu bilden, wenn nicht

dl

Es ist nun mitunter notwendig

y = f(x) gegeben ist, sondern die inverse Funktion x = (f{y). Dies geschieht, indem man beide Seiten der Gleichung (2.) nach x differentiiert; dabei muß man aber beachten, daß auf der rechten Seite der Gleichung eine Funktion von y steht, und daß y wieder eine Funktion von x ist. Es kommt dabei also Formel Nr. 36 der Tabelle zur Anwendung, wobei man erhält

dx

(3.)

oder

₁ = d<f(y). di ₌

dy dx

<p\y)

dy

dx ’

(4.)

1) Es sei

cly clx <p‘(y)

Beispiele.

(5.)

y =, arc sin x, dann findet man durch TJmhehrung der Funktion

(6.)

x = siny

und durch Differentiation dieser Gleichung nach x

(7.)

dv

! = cosy •    >

(8.)

dy

dx

cos y y i — sin²?/ oder mit Rücksicht auf Gleichung (6.)

(8 a.)

c? (arcsin«)

dx

y l — x²

Für alle Werte von «zwischen —1 und +1 gibt es einen

Tf    7t

Wert von y zwischen —— und + ^ * Da x = siny und der

Bogen y in diesem Intervalle gleichzeitig zunehmen, da also dx und dy gleiches Vorzeichen haben, so muß in Gleichung (8.) die Quadratwurzel mit dem positiven Vorzeichen genommen werden.

2) Es sei

(9.)

y = arccos«, dann wird in ähnlicher Weise wie vorhin « ■ cosy,

1 = — siny •

(10.)

(ii.)

dy

(12.)

dy

dx sin y oder mit Rücksicht auf Gleichung (10.)

------1_—?

yi — cos²y

§ 24. Differentiation inverser Funktionen. <r/(arc cos#)

(12 a.)

dx

]/l — #ż

Für alle Werte von x zwischen —1 und +1 gibt es einen Wert von y zwischen 0 und tc. Da # = cos y von +1 bis — 1 abnimmt, während der Bogen y von 0 bis tc zunimmt, da also dx und dy entgegengesetztes Vorzeichen haben, so ist in Gleichung (12.) das Vorzeichen der Quadratwurzel richtig bestimmt.

3) Es sei

(13.)

y - arc tg x

dann wird

(14.)

« = t gy

dy

(15.)    1 = (1 + tg²y) • Tx

(16.)

dy

dx 1 + t ghy ’

oder mit Rücksicht auf Gleichung (14.)

d (arc tg x)

(16 a.)

dx

1 -f- x¹

4) Es sei

(17.)

y = arc ctg x

dann wird

(18.)

3= Ctgy

dy

(19.)    1= —(1 + Ctty)'^

oder (20 a.)

d (arc ctg#)

dx

(20.)

dy

dx

1 + Ctg²*/ ’

1 x²

5) Es sei

(21.)

y = arc sec#

dann wird

(22.)

# = sec y =

(23.)

cos y

i cos y = —

= #■

dy

y = arc cosec x,

(25.)

(24.)

x~²

x~²

oder

(24a.)

dy x~²    _

dx~ sin?/    y 1 — cos²y    ]/ 1 — x~²

d (arc sec x)

dx

xY^-— 1

6) Es sei

dann wird

(26.)

x = cosec?/ =

(27.)

cos y

sin?/

. d,j _

sin?/ = ~ — x-

dx

dy

<²⁸-> s

oder

x~²

x~²

x~²

cos y

Y1 — sin²y

Vl — x~² ’

(28 a.)

d (arc cosec x)

dx

xY X² — 1

Man beachte, daß die Ableitungen der zyklometrischen

arcsec x,

Funktionen (arc sinx, arc cosx, arctgx, arcctgx arc cosec x) sämtlich algebraische Funktionen sind.

7) Es sei

(29.)

y ~ ax

dann wird, wenn man auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus nimmt

(30.)

lny = x . Ina

(31.)

dx

(32.)

dy

oder (32 a.)

d{ax)

dx

= a*lna.

Für den besonderen Fall, wo a gleich e (der Basis der natürlichen Logarithmen) wird, erhält man

Ina = Ine = 1, so daß die Gleichung (32 a.) übergeht in

(33.)

dx

(34.)

Ist C eine beliebige Konstante, so ist auch

d(Ce°)

dx

= Cex.

Dieses Kesultat ist deshalb bemerkenswert, weil Ce°, wie später gezeigt werden soll, die einzige Funktion ist, welche mit ihrer Ableitung übereinstimmt. Man nennt e° „die Exponential-Funktion¹¹.

§ 25.

Übungs-Beispiele.

1)    d{ax% — bx² -f- c) — x(3ax— 2b)dx.

2)    d(±xz — \x² -|-h — 5) = ([x² — 3x 4)dx.

3)    d(%x²

— Ix —

4:X — 7 —

D*-

⁴K^+£N

3x²

a²

a² x²,

dx.

5) 44

3x³

Ix

Ą/ X²    j/ X*

-(- 8~j/x^ = d (3xs — Ix

dx.

6) d \{ax2n — bxn -j- c)m] = mn (axln -

bxn -j- c)OT 1 (2axn — b)xn~¹dx.

7) rf(

»>

9) d[(a -f- x)ya — x] —

2;z²—5a:—(— 9

^ = g?[(2æ²— 5a:—]— 9) a] =

(4:X—5 )dx

(2x²—5 a:—|— 9)'²

(b — a)dx (b + x)²

(a — 3 x)dx

10) d\(a² -f- x²) ]/a² — x²\ =

2 Y a — x

x(a² — 3 x²)dx Y a² — x²

11) d[(2a² -j- 3a;²) y {a¹ — x²)³] — — 15 a;³}/ a²

x¹ . dx.

12) d(— X    ) =

V y a — bx² /

dx.

y(a — bx²)³

13)    — d(ax -f- a~x) = (ax — a~x) lll a . dx.

14)    d\(x — 1 )df\ — ax[l -j- (x — l)lna\dx.

15)    d(ex . xm) = ex . xm~'¹{x -j- 7n)dx.

16)    d\ex{x% — 3a;² -j- 6a; — 6)J = <? . x%dx.

ex(2 — x‘-)dx

(1 — a;)j/l—x²

18)    <^ln^a; y x² -j- a²^

19)    d\n(x -J- y x¹ — a²^

20)    d\n(-

\x

dx

Y x¹ -f- a²

dx

Yx² — a²

-j- ]/l -f-

^ = d[Ina; — ln {x -|- ]/l -f- x²)]

dx — dx _ « y 1 -y x²

21)    rfln(|/|£-^|) = d [| ln (te - 4) -1 ln (8* + 4)‘

12ö^a;

9a;² — 16

-*( ¹__¹ . \/x

2 \3a; — 4 Sx -\- 4:)

22)    «*in(l/£=|s)= rf[|ln(^-®»)-i-ln(«* + *»)

-(■

a² — a;²

aĄy)dx=

2 a²xdx

a⁴ — a;⁴

23)    c?ln^a + x -j- ]/ 2aa; -f- a;²^

24)    ^ln^

G?a;

j/2aa; -j- x²

=)

x'

2 dx

i—r

8(i—y#) y*

wobei

25) f/ln^

Y a² -f- x² — Y a² — x²

u = y a² -j- x² -f- y a² — x², v — y a?- -j- x¹ — |/a² — x²

du

dx

y a² ~f-x²    y a²—x²

x(Y a²—x² — y a² -j- x²)

y a⁴ — x⁴

dv

dx    y a² -J- x²    y a²—x²

x(ya²—x² -f- y<i²-\-xi)

y a⁴ — x⁴

oder

du

xc

dv

xu

y a +—x⁴    dx

d\w (—\ = d (lnw — lnü) = — — — \v J    u v

dx

y a⁴—x⁴

ist. Dies gibt

xudx

vYa4, — x⁴

xvdx

u Ya⁴ — x⁴

x (v² -f- u²)dx

uv]/a⁴ — x⁴

Nun ist

uv = a¹ — x¹ — (a² — x²) — 2x², u² -)- v² = a² -j- x² -f- 2 Y a⁴ — x⁴ -\-a² — x2 -j- a² -j- x² — 2 Y a⁴ — x⁴ -f- a² — x2 = 4a²,

folglich wird

d ln

4 a²xdx

2a² dx

2x² y a⁴ — x⁴

² -y (x + 4)³

x~y a⁴ — x⁴

26) djvsm

\ yjx—i)5 = d ln (x + 2) + J- ln (x + 4) -

>ra U*

ln (x — 1)

dx.

₌ ( ___

V3(:r + 2) o(z + 4) i(x—l))

27) f/sin(2^ -f- 5) = 2 cos (2x + 5)dx.

28)    dCOS (;mx) = — m sin (mx)dx.

29)    c?(sin²^) = 2 sin« cos xdx.

30)    d (sin³a; cosa;) = sin²a; (3 — 4 s\v?x)dx.

cos xdx

31)    sina;) ( sin³a; sin²x)

_ (5sina; — 6) COS xdx

sin³a;

1 + COSa;

2 sin xdx

32) d(j

₈₈) ^tg(|) = i[l+m)]

34) ^ctg (3a;) = — 3[1 + ctg²(3x)]dx.

— cosa;.

(1 — cosa;)²

dx.

35) d(tgmx)

m tg¹

cos²x

— dx — mtgm~¹x(l -f- t g²x)dx.

36) <7(4tg³x—Stg²x-{-6tgx) = (12tg²a;—6tgx-\-6)(l-j-tg²x)dx — 6(2tg⁴a; — tg³a; -j- 3 tg²x — tgx + 1 )dx.

37) d(excosa;) = ex(cosx — sinx)dx.

38) dsin (lnx) = cos (Ina;) . <7(lnx) —

cos (Ina;)

dx.

COS

(VI)

dx.

4 dx

“t¹ +tg²(ï+l)](ï+2jî

41)    d\o. (Ycos x) = c/(^lncosa;)

42)    d\n(^

1 -j- COS X

— COSa;

d(cosx)

toi I—■

tg xdx.

⁼ '^pn(l + cosa;) — in(l — cosa;)]

2 cosa;

d{\ -j- cosa;) d( 1 —cosa;)

2 dx

1 + cosa;

1 — cosa;

sina;

43) d\n tg|

tel

h*«GD—?

LO «

tg(|) cos^l)

dx

dx

2sin(|)c°s(|)

sin«

dx

44)    d ln jAtg

45)    d\n (y/sin³« cos³«) = d ln (sin«) + ~ ln (cos«)

sin«

dx

3/cos« sin« 4\sin« cos«

3

= — ctg(2«)</«.

Li

3 (cos²« — sin²«)«/«

4 sin« cos«

46)    c/(<?sinx) = esina: . «/(sin«) — esinæ . COS««/«.

47)    d(xecoax) = ecosa:(l — «sin «)«/«.

48)    d[eax . cos(w«)j = eax[acos(mx) — m sin (mx)]dx.

dx.

/yln^l-n n

49)    «/(a¹¹¹*) = alnx\na . r/(ln«) =--

50) «/arcsin!

d

/-©

dx

yd¹—«²

51) d arc tg    =

adx

52)

•H

. 1 ih + *. df x )

a -f- 2«    2 f x \a d~ x/

a Ą- x

₌ (« + «)]/« + x ________

2 (a -j- 2«)]/ « (a ^)²

adx

adx

2 (a -j- 2«) ]/«(a -f~ æ)

53) d\

a. arccos

ax —

«²J =

<=)

d{2ax— xx)

2|/2 ax — x²

adx

(a — «)c?«

xdx

}/2ax — x²    ]/2a« — a;²    ]/2a«—x²

54) y = «®, lny = «In«,

1 dy ₌

y dx

d{xf) = «*(1 -f- ln x)dx.

In dieser und in den folgenden Aufgaben ist y eine Potenz, bei welcher der Exponent noch eine Funktion von x ist. Man findet dann die Ableitung nach x am einfachsten, indem man ln y bildet und beide Seiten der Gleichung nach x differenziert.

55) y = «sin*,

lny = sin« . ln«,

d(xsinx) = xainx(~X

dy

dx

.    , sma:

= COS« . ln« H--

x

“f⁻ cos « .

ln xj

dx.

56) y = -$/x = xx ,

.    1 ,    1 dy 1 — ln «

ln y = - ln«, —f —

« y dx

— ln«

«²

d(-y/ x) = j/x —

«²

dx.

57) y — (xx')x — «(*"), lny = «² . ln« fi? [(«*)*] = «(**1 . «(1 -j- 2 lnx)dx = «a!*+¹(l -)- 2 ln «)d«.

- — = — -j- 2« . ln« = «(1 + 2ln«),

y dx

(/)

= « ,

58) y

lny = xx . ln«, nach Aufgabe 54, folglich wird

dL -

dx ^ + ]nx)lnx +

d j"#^ ) = #(* ) . #*[( 1 + ln#) ln# -f~ #~¹Jdr# = #**⁺*[(l -f- ln#)ln# -f- #~¹]J#.

59) y = (cOS#)sinæ,

ln y = sin# ln (cos#)

= cos# ln (cos#)

sin²#

COSÆ

^[(cos#)sin*] — (cos#)~14sinæ[cos²#ln(cos#) — sin²#]«?#.

60) y = arcsin (tg(~p“)J • siny = tg w. wo

cos y

dy

1 du 1    — 2a

dx    cos%u dx    cos²« [a + #)²

cos²«

cos²y = 1— tg²« =

cos²« — sin²« cos (2«) cos²«

oder

dy

dx

— 2«

cos«]/cos(2«) (a + xf

arcsin

WS)]=

— 2 adx

(a + #)² cos

cos

2 (« — #)

III. Abschnitt.

Hyperbolische Funktionen.

§ 26.

Erklärung der hyperbolischen Funktionen und Herleitung der wichtigsten Formeln.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 45 bis 68.)

Bei den technischen Anwendungen der höheren Mathematik benutzt man häufig die hyperbolischen Funktionen:

Cosinus hyperbolicus (ßof),

Sinus hyperbolicus (©in),

Tangens hyperbolica (2g),

Cotangens hyperbolica (Stg),

Secans hyperbolica (©ec),

Cosecans hyperbolica ((Sojec).

Diese Funktionen besitzen ähnliche Eigenschaften wie die trigonometrischen Funktionen und werden, wenn man die unabhängige Veränderliche mit u bezeichnet, durch die folgenden Gleichungen erklärt:

(1.)

(2.)

(3.)

Goj u — -,\{eu Ą- e~u), @inu = ^ (eu — e~u), eu — er*

©0 j u    eu -j- e~u ’

(£o[w eu -)- e~u

2g u =

<Binu

©in u

eu — e~~u

ßofecw =    —

©i nu

Da

eu

er* =

Indem man diesen Wert von eu in die Gleichungen (1.) bis (4.) einsetzt, erkennt man, daß sich die hyperbolischen Funktionen auch als rationale Funktionen von    darstellen lassen.

Mitunter werden auch andere Bezeichnungen gebraucht, indem man schreibt:

cosh statt    Gof,    sinh statt    ©in,

tgh

$9,    ctgh „    (Stg,

sech

©ec,    cosech „    ßofec.

Ihren Namen haben die hyperbolischen Funktionen davon, daß sie zu der gleichseitigen Hyperhel in einer ähnlichen Beziehung stehen wie die trigonometrischen Funktionen zum Kreise. (Yergl. § 28.) Man beachte daher sogleich die Analogie, welche die hier folgenden Formeln mit den trigonometrischen Formeln besitzen. Mit Hilfe der komplexen Größen wird später sogar gezeigt werden, wie diese Formeln aus den entsprechenden trigonometrischen Formeln unmittelbar hervorgehen.

Aus den Gleichungen (1.) folgt zunächst (£o[0 = 1, ©inO = 0,

So[ (— u) = (Sof (+ w), ©in (— u) = — ©in w.

Da die Größen eu und e~u = u reelle Werte hat, so ist Gojw stets positic.

Kiepert, DifferentiaL-Kechming.

ist, so lassen sich die hyperbolischen Funktionen sämtlich als rationale Funktionen von ew darstellen, ein Umstand, der bei den Anwendungen von großer Bedeutung ist.

Aus Gleichung (2.) folgt ferner, wenn man Zähler und Nenner des Bruches auf der rechten Seite mit eu multipliziert,

1 -f- STcjw 1 — Xqu ’

e2u- X

%0₎U =

oder, wenn man u mit ~ vertauscht,

’ ■+%(?>

e²" + 1

also e2n =

(5.)

eu =

tO §

immer positiv sind, so lange

(8.)

(9.)

Ferner folgt aus den Gleichungen (1.)

(Sof + ©in u = eu, (Sof « — ©in « = e~u]

deshalb wird

(10.)

(rope — ©in²« = 1

oder

(HO

(So)²« = 1 + <5in ²«.

Daraus erkennt man, daß

(So)²«i==:l und deshalb auch (Sofw^l.

Da eu mit u zugleich unendlich groß wird, so durchläuft (So)« alle Werte von 1 bis oo, wenn « alle Werte von 0 bis + ⁰⁰• oder von 0 bis — co durchläuft.

Aus

(12.)

©in²« = (So)²« — 1 erkennt man, daß ©in²« alle Werte von 0 bis oo durchläuft, wenn u alle Werte von 0 bis + °° durchläuft. Beachtet man noch die Gleichungen (7.), so findet man, daß ©in« alle Werte oo bis -f oo durchläuft, wenn w alle Werthe von —co bis + oo durchläuft*).

Multipliziert man die Gleichungen (1.) miteinander und fügt noch den Faktor 2 hinzu, so erhält man

von

1

2 ©in u (So[ u — — (e2u — e~²“)

oder

(13.)

©in(2«) = 2 ©in « (Sof«.

Erhebt man die Gleichungen (1.) ins Quadrat und addiert sie, so ergibt sich

(Sof²« + ©in²« = ~ (e2u -)- b—2m),

Li

oder

(14.)

(Sof (2«) = (So f²« + ©in²«, oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (11.) und (12.)

(So) (2m) = 1 + 2 ©in²« = 2 (Sof²« — 1.

(15.)

Indem man die Gleichung (11.) durch SopM dividiert, erhält

man

(16)

man

©ec²M + STg²M = 1.

Indem man Gleichung (12.) durch ©in²M dividiert, erhält

(17.)

Stg²M — So)ec²M = 1.

Dividiert man die rechte Seite von Gleichung (13.) durcli Sopw — ©in ²m = l,

so erhält man

2 ©tu u So|"m

SoPm — ©tn²M ’

oder, wenn man Zähler und Nenner auf der rechten Seite dieser Gleichung durch SopM dividiert,

(18.)

©in (2g) =

(19.)

©in (2 m)

2$£g u

1 — %QlU

(20.)

In ähnlicher Weise findet man aus Gleichung (14.)

<£of²M +©in²M_ 1 +%flV So pw — ©tn²M l — £g ²m

Sof (2 m) =

folgt

Aus den Gleichungen

2 ©0) u = eu -f- e_M, 2©inM — ew — e~'\

2 Sof v = ev + e~v, 2©inv — ev — e

(21.) 4So)m . Sof o = eu+v + eu~v + e-l“-*) + e-(“+«) = 2 Süf (m -f- v) *-j- 2 So) (u — o), (22.) 4©htM . ©in v — eu+v — eu~v — e—(«—») _|_ e—(«+») = 2 Sof (m -f- v) — 2 Sof (m — v).

Dies gibt

(23.)

(24.)

Sof(m + v) = So|m . Sof^ + ©iiîM. ©inw, Sof (u — v) = Sof m . So)" v — ©in m . ©in o. Setzt man noch

(25.)

U -f- V = a,

also

a + b

u —    -

so folgt aus den Gleichungen (21.) und (22.)

(26.)

4 Sin a . Sof o = ell+v + eu~v — e-(«-p) — *-(«+») = 2 ©in (u 4- v) + 2 Sin (u — v),

(29.)

(30.)    4 Sof u . Sin v = eu+v — eu~v -f- «—(«—«’) — e—(«+»)

Dies gibt

= 2 Sin (u + v) — 2 Sin (u — v).

CO CO

( 1.)    Sin(a + v) = Sinu . Sof« + Sofa . Sinv,

( 2.)    Sin(a — v) = ©inu. Sof^ — Sofa. Sin«.

Setzt man die Werte von u und v aus den Gleichungen (25.) und (26.) in die Gleichungen (29.) und (30.) ein, so erhält man (33.) Sin a + (Sin b = 2 ©in ("-!' -) • Sof (- —-) >

(34.) Sina — Sin b Schließlich wird

Eo[« + SofJ = 2ffiof(—hi)- go[(^yi), (28.) Sofo — 6o|i = 2@m(^±i)-6m('h=i).

(27.)

Ferner wird

= 2Sof(h±i).@i„(imi).

(35.) 5hg a — 5tg ô =

Sina. Sof &— Sofa Sin b Sin(a — b)

Sof a . Sof b

So) a . Sof b

(36.) Stga — Stgö =

Sof a. Sin b — Sina Sof b

. Sin a. Sin b

Sin (a — b) Sina. Sin b

(1.)

(2.)

§ 27.

Differentiation der hyperbolischen Funktionen.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 69 bis 72.)

Aus den Gleichungen

Sof U = ~ (eu -f e~u) , Sin u = ~ (eu — e~u),

£ £

Sin u

SÖ[ö"?

5£g u =

Stga =

Sofa

Sina

(3.)

du

(4.)

d(&mu)

du

= y (eu — e~u) — (Sin U,

— — (eu -(- er'“) = Go] u, 2

(5.)

d ($£g u)

GoPM — St n%

du

Go [hi

(6.)

^(Gtg u) _ Sin ²w— Go)²m

du

Sin%

Sin²w

§ 28.

Geometrische Deutung der hyperbolischen Funktionen.

(1.)

Setzt man bei den trigonometrischen Funktionen cos cp = x, sin (p — y,

Fig. 22.

so folgt aus der Formel (2.) cos² cp + sin²y = 1 die Gleichung (3.) z² + */² = l, d. h. x und ij sind die Koordinaten OQ und QP eines Punktes P, welcher einen Kreis mit dem Halbmesser 1 durchläuft. (Fig. 22.) Dabei wird der Winkel cp durch denBogen MPgemessen ; man könnte aber auch (p als den doppelten Flächeninhalt des Kreis-Sektors A OP erklären.

Macht man nämlich

s.

■x

Bogen P\A = Bogen AP, oder PiP = 2A P, so wird, weil der Halbmesser des Kreises gleich 1 ist,

(4.)    2Sektor AOP = Sektor PtOP = 4PiP. OA = AP = (p.

Legt man in den Punkten A und B an den Kreis die Tangenten, welche die Gerade OP bezw. in den Punkten T und S schneiden, so ist bekanntlich

(8.)

ßo ju — x, <Sinu = y,

Fig. 23.

(P

so folgt aus der Formel Nr. 52 der Tabelle, nämlich aus

(9.) ßo[²w— ©trt²« = 1, die Gleichung (10.) x² — iß = 1, x oder

(10a.) y ±Yx²— 1. Dieser Gleichung ent-, spricht eine gleichseitige \ Hyperbel, wie sie in Figur 23 dar gestellt ist. In der Integral-Rechnung wird gezeigt werden, daß dabei u der doppelte Flächeninhalt des Hyperbel - Sektors AOP ist, wenn der Punkt P die Koordinaten

(8 a.)

(5.)

t g(f = AT, ct g(p = BS.

Legt man ferner an den Kreis im Punkte P die Tangente, welche die Koordinaten-Achsen bezw. in den Punkten U und V treffen möge, dann ist in dem rechtwinkligen Dreieck OPU OP_ 1

~öü~ ou

(6.)

COS (p =

oder O U

COS<p

= sec (p;

und in dem rechtwinkligen Dreieck PV0 ist OP 1

ov~~ ov’

(7.) sin =

oder O V

= cosec cp.

sin (p

In ähnlicher Weise kann man auch die hyperbolischen Funktionen durch Strecken geometrisch darstellen, wenn man den Kreis mit einer gleichseitigen Hyperbel vertauscht. Setzt

man

x — OQ — ßo[w, y = QP = (St uw besitzt. Die Tangente im Scheitelpunkte A der Hyperbel treffe die Gerade OP im Punkte T, dann ist

A OAT00 a OQP

AT: QP = OA: OQ.

Da nun OA gleich 1 ist, so wird

QP y (Sinu

OQ    x    ßofw

Schneidet man ferner auf der Y-Achse die Strecke OB gleich 1 ab und legt durch B eine Parallele zur X-Achse, welche die Gerade OP im Punkte S treffen möge, so ist A OBS co APQO,

(HO

AT =

= u.

folglich verhält sich

BS: OQ= OB: QP.

Weil OB gleich 1 ist, so ergibt sich hieraus OQ    x    (Eofw

QP    y    Sinw

Legt man im Punkte P an die Hyperbel die Taugente, welche mit der positiven Richtung der X-Achse den Winkel a bildet und die Koordinaten-Achsen bezw. in den Punkten U und V treffen möge, so ergibt sich aus Gleichung (10.) oder (10 a.)

(12.)

BS =

= ©tgw.

(13.) tga =

cly

dx

±]/ x¹ — i y

? = ctg',p = tg (f-'/>)

d. h. u ist der Komplementwinkel zu <p. Deshalb sind auch die Dreiecke

PUQ, OPQ und VUO einander ähnlich, und man erhält

UQ : QP = QP: OQ

oder

(14.)

UQ =

QP²

Dies gibt

OQ

OU= OQ — UQ = x

x¹ — y²

oder mit Rücksicht auf Gleichung (10.)

Oür=- = 7FV = @cc«.

x liO) u

(15.)

Ferner verhält sich

VO : OU — OQ: QP — x : y,

VO =

OU .x

§ 29.

Umkehrung der hyperbolischen Funktionen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 73 bis 80.)

Es war schon hervorgehoben worden, daß in der Glei

chung

(1-)

x = Go) « = * (ßU + e~u)

die unabhängige Veränderliche « dem doppelten Flächeninhalt des Hyperbel-Sektors AOP gleich ist. Die Gleichung (1.) kann deshalb so gelesen werden, daß man « als den Flächeninhalt (area) bezeichnet, dessen hyperbolischer Kosinus gleich x ist. Dies gibt die Gleichung

(Sprich: Area Cosinusæ.)

u = SlrGo)£.

Diese Gleichung kann man noch auf eine andere Form bringen. Nach Formel Nr. 50 der Tabelle ist nämlich

(2.)

Go(« + ©in« = eu, also, wenn man dieselben Bezeichnungen wie in § 28 anwendet, « = ln(Go[« + ©in«) = \n(x -f- y).

Nun ist nach Formel Nr. 52 der Tabelle

(3.)

(4-)

(5.)

Go)²« — ©in²« = 1, oder x¹ — y² = 1,

also

(6.)

y = ©in« — zt y x² — 1.

Das obere oder untere Vorzeichen gilt hierbei, je nachdem « positiv oder negativ ist. Deshalb findet man aus den Gleichungen (2.) und (4.)

(7-)

u — StrGof x = ln (x ± yx¹ — l).

(8.)

In ähnlicher Weise folgt aus der Gleichung

y — ©tn « — i (eu — e~~u)

A

durch Umkehrung mit Rücksicht auf Gleichung (4.)

« = Str©iny = ln(x y).

Nun folgt aus Gleichung (5.)

x = d=y 1 + y², wobei aber nur das obere Vorzeichen gelten kann, weil x nach

(9.)

(10.)

Gleichung- (1.) stets positiv ist, so lang-e u reelle Werte hat. Deshalb geht Gleichung (9.) über in

(11.)

u = 2lr ©in y = ln (y -|- ]/l    y²).

Setzt man ferner

(12.)

©inw

« i*«

Go) u

so wird mit Rücksicht auf die Gleichungen (4.) und (5.) durch Umkehrung

(13.) u oder, wenn man in der letzten Klammergröße Zähler und Nenner durch x dividiert, (14.)

Setzt man endlich

Go \u

(15.)

©i nu

w = Gtg u —

= Sfc<Stg«, = In ix+y) =    )= ^“(^jf)’

so wird (16.) u

oder, wenn man in der letzten Klammergröße Zähler und Nenner durch y dividiert, (17.)

Bezeichnet man in allen 4 Fällen die unabhängige Veränderliche mit x, so gehen die Gleichungen (7.), (11.), (14.) und (17.) in die folgenden Gleichungen über:

(18.) u = StrGo[x = \n(x ±z]/x²— 1),

(gleichbedeutend mit x = Go) u),

(19.) u = ÿlï<&\nx = ln(.« -j-]/l + x²)

(gleichbedeutend mit x = ©inw),

(20.) u = %xX§x = ^ Inf-, 2    \1—xj

(gleichbedeutend mit x = S£g u),

(21.) u = %v£tQx = ±ln(^A)

2 \x 1/

(gleichbedeutend mit x = Gtg«)*

Die Umkehrungen der hyperbolischen Funktionen sind somit durch logarithmische Funktionen erklärt.

Aus

y = Str UojA

folgt mit Rücksicht auf Formel Nr. 69 und 52 a der Tabelle

dx

x = Uofy, -j- — ©in y = ± f/Uo) ²y— 1 = ± ]/æ² — 1

dy

also

(22.)

dy _ d{%r Sofa;)

dx

dx

y x²—i

Aus

y = %x<Bmx

folgt mit Rücksicht auf Formel Nr. 70 und 52 a, der Tabelle

x = ©tny

= ßofy = + ]/©in²y + 1 = + j/l + x²,

also

(23.)

dx

dx

Y1 -f- x²

Aus

y — iäv'£$x

folgt mit Rücksicht auf Formel Nr. 71 der Tabelle

x = %§y,

dx

also

(24.)

= 1 — ©9 %y = 1 — x2 dy d(%x%Q₎x)

dx

dx

1 — x²

Aus

y = Slrßtg^

folgt mit Rücksicht auf Formel Nr. 72 der Tabelle

also

x - ©tgy,

dx

₇ = 1 — (Stg ²y = 1 — x2 ay

dy    dyn rfëtgæ)

dx

dx

1 — x²

§ 30.

Beziehungen zwischen den hyperbolischen und den trigonometrischen Funktionen.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 81.)

Setzt man wieder

(L)

(Sofw = a;, ©in u = y, also x² — y² = l, so sind x und y die Koordinaten eines Punktes P, der die gleichseitige Hyperbel (Fig. 24) durchläuft. Legt man durch P eine Parallele zur X-Achse, welche die Scheiteltangente im Punkte B treffen möge, so nennt man den Winkel A OB gleich # den „transzendenten Winkel“, während die Veränderliche w, welche dem doppelten Flächeninhalt des Hyperbel-Sektors AOP (Fig. 23) gleich ist, „cler gemeinsame Winkel“ genannt wird. Es soll nun gezeigt werden, daß jede hyperbolische Funktion des gemeinsamen Winkels u einer trigonometrischen Funktion des transzendenten Winkels # gleich ist.

Zunächst folgt aus

Figur 24

Fig. 24.

oder

QP= AB

(2.) ©inw = tg#.

Dies gibt (3.) Sofec«

©i xw

= ctg-#.

Ferner ist

x=y i+y¹ = y i -f- tg²#

oder

cos#

(4-)

(5.)

©ecw =

(6.)

(Sof w == sec#;

— = cos#; (Sof w

©in w

©o i u

tg# . cos# = sin#:

(70

sin#

= cosec #.

Setzt man also

(8.)

©in u = tg 0-

TV

so wird für 0 < # < —

ó

©in u = tg#,

Gofw = sec#, ßtg u = cosec #

Aus den Gleichungen (2.) und (4.) folgt ferner

¹ + sin# cos# ’

(9.)

%ąu =sin#, ©ec«/ = cos#, (Sofecu = ctg#.

eu = (So)u -)- ©inw = sec# + tg# =

oder

cos^(d) + 2COS (I) sin(|) +    cos(|) + sin(£)

cos²

rus

■+*(!)

-<+!)•

also

(10.)

Andere Beziehungen, welche die nahe Verwandtschaft der hyperbolischen Funktionen mit den trigonometrischen begründen, werden sich in der Theorie der komplexen Größen ergeben.

IV. Abschnitt.

Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung.

§ 31.

Ermittelung von fin\x).

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 82 bis 84.)

(10

Wie schon früher gezeigt wurde, ist die Ableitung einer Funktion/^) im allgemeinen wieder eine Funktion von x. Es wurde deshalb auch das Zeichen f\x) eingeführt, so daß dy    df(x)

dx dx J K 1 wTar.

Man kann daher f‘{x) ebenso behandeln wie fix) selbst und untersuchen, ob fix) eine Ableitung besitzt. Ist dies der Fall, so bezeichnet man die Ableitung von fix) mit f“(x) und nennt sie die ■„zweite Ableitungü von fix). Es ist also

df\x)

In dieser Weise kann man fortfahren und erhält durch wiederholte Differentiation der Reihe nach die Gleichungen df“(x)

dx

(30

dßn-l)(x)

J~dT~ =/<W‘

Dabei heißt fn\x) die „nu Ableitung“ der Funktion fix).

Es ist nun auch von Interesse, zu untersuchen, nach welchem Gesetze die höheren Ableitungen von fix) aus fix) selbst gebildet werden können, ohne daß man die dazwischen liegenden Ableitungen benutzt.

Der erste Differenzen - Quotient war

(4.)

Jf{x)_f(x -f- Jx) — f(x)

Jx

Jx

Vertauscht man in diesem Ausdrucke x mit x f Jx unter der Voraussetzung, daß sich dabei Jx gar nicht ändert, so erhält man

f(x -(- 2Jx) —fix -|- Jx')

— (p(x + Jx).

Indem man Gleichung (4.) von der Gleichung (5.) subtrahiert und die Differenz durch Jx dividiert, ergibt sich

(5.)

Jx

(6.)

q>(x -j- Jx) — (p(x)    J(f(x)

Jx

Jx

Jx

f{x -f- 2 Jx) — 2 f(x -|- Jx) +f{x)

Jx²

Läßt man jetzt Jx verschwindend klein werden, so wird

J(f{x) df‘{x)

dfß)

Jx

ST

folglich ist

(7.) r{x) = lim

fix -f- 2Jx) — 2f{x -|- Jx) ~\~ fif)

Jx²

Jx=0

In ähnlicher Weise findet man

(₈.) f“{x) = lim /(g+³^)~~3/(^4-2Jx)-+2f{x+ Jx) ~/O),

Jx=0    d XA

~h (n — x)Jx\

(Dfix + Jx) q=/(«)j-

(9.) ßn\x) = Jim -jxĄf\x + nJx)

• dr

+ (2)/^ + (n — ²)Jx\--f“ ' '

Der Beweis dieser Formel kann durch den Schluß von n auf n4-1 geführt werden, möge aber hier übergangen werden, weil für das folgende nur der Fall, wo n = 2 ist, in Betracht kommen wird.

Man kann auch von dem Differentiale dy = f‘(x)dx ausgehen und das Differential von dy bilden.

(10.)

Dann bezeichnet man dieses neue Differential d(dy) mit d-y und nennt es das „zweite Differential von yu. Bei der Bildung von d-y muß man aber beachten, daß in Gleichung (10.) die unendlich kleine Größe dx einen von x unabhängigen Wert hat und deshalb bei der nochmaligen Differentiation als eine Konstante anzusehen ist. Deshalb wird

(11.)

d-y = d(dy) — d\_ f‘(x)dx] — d[f‘(x)\dx ; nach Formel Nr. 35 der Tabelle ist aber d[f\x)] =f“ff)dx,

folglich erhält man

(12.)

d\j — f“(x)dxi.

Hierbei soll dx¹ immer mit (dx)² gleichbedeutend sein ; man muß also dx² wohl unterscheiden von d(x-) = 2xdx.

Aus Gleichung (12.) folgt jetzt auch, daß

(12 a.)

d²y

dx¹

= f‘\x)

ist.

Unter dem dritten Differential von y versteht man das Differential von d'hy, also d(d²y) und bezeichnet es mit dsy. Deshalb wird

d³y — d(d%y) — d[f“(x)dx‘*\ = d\f"(x)\dxi,

oder

(13.)

dhy = f‘“(x)dx³.

Hier ist dx³ gleichbedeutend mit (dx)³ und wohl zu unterscheiden von d(x³) = 3x^dx.

Aus Gleichung (13.) folgt wieder

(13 a.)

dhy

dx³

In dieser Weise kann man fortfahren und findet dny = d(dn~xy) = ffn\x)dxn,

(14 a.)

dny

= ßn\x)

clx‘l

wobei dxn immer mit (dx)n gleichbedeutend sein soll.

§ sa.

Übungs-Beispiele.

(Vergl. die Formel- Tabelle Nr. 85 und 86.) Aufgabe 1. Man soll die höheren Ableitungen von

V =fix) = x⁴

bilden.

Auflösung.

dV

dx

— f‘{x) = 4a;³,

ßy dx²

= f“{x) — 4.3a;² = 12x²,

dhj

dx³

f‘\x) = 4.3.2.?; = 24a;,

4.3 . 2 . 1 = 24,

dhy

dxh

— 0.

Aufgabe 2. Man soll die höheren Ableitungen von

y = f{x) — 3a;⁵ — 7a;⁴ -f- 8a;³ -f- 11a;² — 6a; -j- 9

bilden.

Auflösung.

dy

dx

— f‘{x) = 15a;⁴ — 28a;³ -j- 24a;² -f- 22a; — 6,.

dhl

dx2 (Py dxA

dß

dx⁴

= f“{x) = 60a;³ — 84a;² + 48a; + 22,

= f1,1 (x) = 180a;² — 168a; + 48,

= fW(x) = 360a; — 168,

§ 32. Bildung höherer Ableitungen; Übungs-Beispiele. % =/»>(*) = 360,

dh,

dxe

=/⁽⁶⁾0) = o-

Aufgabe 3. Man soll die höheren Differentiale von

5.

bilden.

' VS

=/(*) = *“

Auflösung.

— 2 % '² dx,

dy =f‘{x)dx

d'²y =f“(x)dxl — d³y =f“‘(x)dx³ = ^ • dAy = f^{x)dxi = —

CO (M

²dx³,

CO 1 (N

toi I—¹

CO iw

dxn.

\    5

71 -f- 1 JX²

Aufgabe 4. Man soll die höheren Differentiale von

y =f(x) — xm

bilden.

Auflösung.

dy =f‘[x)dx = mxm~xdx, clhy =f“(x)dx⁷‘ — m(m — 1 )xm~‘idx², ■ d³y =f‘“(x)dxz = m[m — 1) (jn — 2)xm~³dx³, dny =fW(x)dxn = m{m — 1) (m — 2)... (m — n -f- 1 )xm~ndxn.

Ist hierbei m eine positive ganze Zahl, so ist also /("'Hx) eine Konstante, und die höheren Ableitungen werden alle gleich 0; in allen übrigen Fällen aber kann man die Differentiation bis ins Unendliche fortsetzen.

Aufgabe 5. Man soll die höheren Ableitungen von f(x) — ex

bilden.

10

Kiepert, Differential -Rechnung.

Auflösung.

f‘(x) — ex, f“{x) = e®,.. .f\x) — ex.

Die Ableitungen der Exponential - Funktion ex sind also sämtlich wieder gleich ex.

Aufgabe 6. Man soll die höheren Ableitungen von

y =f(x) = ax

bilden.

Auflösung.

f‘(x) = ax . ln a, f“{x) = ax . (Ina)²,.. .f(n\x) = ax . (ln a)n. Für a = e geht diese Aufgabe in die vorhergehende über. Aufgabe 7. Man soll die höheren Ableitungen von V =/0) = ln*

bilden.

Auflösung.

/'(*) =

/"(*) = — 1 . x~'\ f“‘(x) = + 1.2. x~s,

= (— 1)

. (n — l) ! x~H.

Die Richtigkeit der letzten Formel wird durch den Schluß von n auf n 4-1 bewiesen.

Aufgabe 8. Man soll die höheren Ableitungen von y — f(x) = sin x

bilden.

Auflösung.

f‘{x) = cosa; = sin^a; 4-    •

/“{x) = — sina; = sin^a; 4~ ff') > fl>\x) = — COSa; = sin^a; 4-    >

/⁽⁴⁾(x) = 4- sina; = sin^a; 4-    =fix).

Durch den Schluß von n auf n -f- 1 findet man, daß ganz

allgemein

Aufgabe 9. Man soll die höheren Ableitungen von

y —f{x) — cosa;

bilden.

Auflösung.

bilden.

Aufgabe 10. Man soll die höheren Ableitungen von y = f(x) = Sin x

bilden.

Auflösung.

f\x) = (£o)a;, f‘\x) — Sina;, f“‘{x) = ßofa;,... y(2n)(a;) = Sina;, _/(-w+¹)(a:) = (£o[a;.

Aufgabe 11. Man soll die höheren Ableitungen von

y =Ax) -- x

bilden.

Auflösung.

f\x) = Sina;, f“(x) = (Sofa;, f‘“(x) = Sina;,... A%n\x) = (Soja;, f^n+1\x) = Sina;.

Aufgabe 12. Man soll die höheren Ableitungen von

f{x) = exsina;

Auflösung.

f‘(x) = ex(smx + cos x) — Y 2 ex sin (x +    ?

f“(x) — y'2ex^sm^x + ^ + cos^z +    =

2 sin

f“\x) — 2 ex j^sin (x +    +cos^-j-^"^J = 2]/2er sin (x +    ?

f(n\x) = (ÿ2)uexsin (x +    •

Aufgabe 13.

höheren Ableitungen von

Es sei u = f(x), v = g{x) ; man soll die

y = F{x) = u dr z = /(a:) dr <?(4)

bilden.

Auflösung. Aus den Formeln Nr. 20 und 21 der Tabelle, nämlich aus

d{u dr v)

du , de

dx

dx

dr

dx

folgt durch wiederholte Differentiation

dn(u ± v)

dnu , dnv

dxn

dxn dxn

Beispiel. Es ist

F{x) =

folglich

F\x) = -— (x -f- 1)~² -f (x + 2)~²

x² -f- 3x -J- 2 x + 1

¹ , = (* + 1)

x -j- 2

i-i

F(n\x) = (— 1 )”nl (x + 1)~ = (— l)"n!

n—1

(* + D²

— (— 1 )nn ! (x -f- 2)

(x -f- 2)m+1 — (x f l)w+¹

(x² -f- 3x -|- 2)n+1

{x -j- 2)²

—n—1

Aufgabe 14. Es sei wieder u=f{x), v = g{x); man soll die höheren Ableitungen von

bilden.

y = F{x) = uv =f(x) . y ix)

Auflösung. Nach Formel Nr. 29 der Tabelle ist

F\x) =f{x)9‘(x) +/'(%(»,

folglich wird

F‘\x) =f(x)9“{x) + 2/'0)g\x) -\-f“(x)g(x),

F“\x) =f(x)g“‘(x) + ¥‘{x)g“{x) + ¥“(x)g‘(x) +/"'0%(*0,

F("\x) =.f(x)gW{x) + i^jf‘(x)r/n-¹\x) + (^)/"0) 9{n~²Kx)

------f(i)/(w-%)^(^) +f{nKx)g(x)-

Die Richtigkeit dieser letzten Formel wird durch den Schluß von n auf n -f- 1 bewiesen.

V. Abschnitt.

Herleitung und Anwendungen der Taylor sehen und der Mac-Laur irischen lleilie.

§ 33.

Entwickelung der ganzen rationalen Funktion f(x + h) nach steigenden Potenzen von h.

Ehe die Taylor sehe Reihe in ihrer allgemeinen Form hergeleitet wird, möge ein besonderer Fall behandelt werden, welcher dazu dienen soll, die später angewendeten Methoden zu erläutern.

Es sei

(1.)

fix) = ax⁴ -j- a\Xd -f- a^x¹ -j- a^x -j- «₄, also, wenn man mit h eine beliebige zweite Veränderliche bezeichnet,

(2.) f(x-\-h) = a{x-fhy-\-a^x-\-hy-\-a-i{x-\-hy-\-aiix-h/t)-\-ai, dann folgt aus Gleichung (2.) durch Auflösung der Klammern und durch Vereinigung aller Glieder, die mit gleichen Potenzen von h multipliziert sind,

(3.)

fix -f- h) = {ax⁴ -|- ctix* -f-    + a%x -f- a₄)

+ (4 ax* -j- 3«i«² + 2a<ix -j- «₃)ä -)- (6«æ² + Za\X -f- a^Jî1 -f- (4 ax + ah]h%

+ ah⁴.

Dieses Resultat hätte man schneller auf folgendem Wege finden können.

Man weiß, f{x-\- h) läßt sich auf die Form (4.) fix-\-h) = F(x)-\-Fi(x). h-Tlf x).    . FfFfc) . h⁴

§ BB. Entwickelung einer ganzen rationalen Funktion fix -|- h). 151

bringen, wobei die Koeffizienten F(x), F\(x), F₂(x), Fz(x), F₄(x) Funktionen von x sind. Um diese zu bestimmen, betrachte man h als einzige Veränderliche und differentiiere beide Seiten der Gleichung (4.) nach dieser Veränderlichen h.

Nach Formel Nr. 36 der Tabelle wird df(u)    df(u) du

dx    du    dx ’

oder, wenn man die unabhängige Veränderliche mit h bezeichnet,

du

=f,{u)'dh-

df{u)    df(u) du

dh du dh Betrachtet man für den vorliegenden Fall x als eine Konstante und setzt

u = x —j— h, also

du

dh

= 1,

so findet man, daß

df(x-\-h)    df(x-\-h) d(x + h)

d[x Ii) dh

(5.)

dh

f\x + h)

ist. Man erhält daher

(6.) f‘(x + h) = 1 . Fi(x) + 2F₂(x) . h -J- 3Fs(x). Id + 4F±{x). h³, und hieraus durch wiederholte Differentiation (7.) f“{x -)- K) = 1.2F₂(x) + 2.3Fa(x) . h -f- 3.4F^x) . h²,

(8.) /'"(x + h) = 1.2.3Fs(x) + 2.3.4F₄(x) . h,

(9.) /(% + ä) = 1.2.3.4+₄(V).

Setzt man in den Gleichungen (4.) und (6.) bis (9.) die Veränderliche h gleich 0, so findet man

oder F{x) =f{x)= axi-fa\x³-\-a-₁xl-\-azx-{-a

f‘(x) = 1 . Ft(x),

„ Ft(x) =

f'(v)

l!

4ax³f- 3ai x¹ + 2a₂x + as,

f“(x)

/"(*) = 1.22^*),

/'"(*) = 1.2.3Fz(x),

/<*>(*) =1.2.3.4Ft(x), „ Ft(x)=FM = «.

u Fz{x) g |

— 4a:z + «i,

Setzt man diese Werte von F(x), F±(z), F₂{x), Fa(x), Fjx) in die Gleichung (4.) ein, so erhält man in der Tat genau dasselbe Resultat wie in Gleichung (3.).

Es wird also

(3a.) f(x+h) =/(++

l!

3!

4!

Äh

Diese Entwickelungs-Methode, welche hier nur für eine ganze rationale Funktion 4ten Grades ausgeführt wurde, läßt sich ohne weiteres auf jede ganze rationale Funktion übertragen. Es sei jetzt also ganz allgemein

(10.)    f(x) = axn -f - a₁xn~¹ + a₂xn~‘l + ... + an—\X -)- aH

und deshalb (11.) f(x -f- Ä) = a(x + lij + ajx -)- h)n~¹ + ajx + h)

+ an —i (x -j- A) -(- aH ;

dann weiß man, daß sich j\x + A) durch Auflösung der Klammern und durch Vereinigung aller Glieder, welche mit derselben Potenz von h multipliziert sind, auf die Form (12.)/(*+A) = F{x)+Fjx). h+Fjx). F+Fjx). h*+Fjx). A⁴+.• •

+ Fn—\(x) . A" ¹ -j- Fn{x). h“

bringen läßt, wobei die Koeffizienten

F(x), Fjx), Fjx),... Fn_jx), Fn(x)

noch Funktionen von x sind. Um diese zu bestimmen, betrachte man wieder A als einzige Veränderliche und differentiiere beide Seiten der Gleichung (12.) zu wiederholten Malen nach A. Dadurch erhält man der Reihe nach die Gleichungen

f\x + A) = 1 . Fjx) + 2Fjx). h + 3F₃(x) . A² + 4Fjx) . A³

H----+ (» — l)Fn_x{x) . A,l~² + nFn(x). An—1,

f“{x + A) = 1.2Fjx) + 2.3Fjx). A -J— 3.4Fjx). A2 + ••• + (» — 2){n—l)Fn—X(x) .hn—³ -f- (n — 1 )nFn(x) .hn~², f“‘{x + A) = 1.2.3 Fjx) + 2.3.4 Fjx) . A + • ■ •

+(»■—3)(rc—2)(w—l)Fn_₁{x).hn~ij-ji—2)(n—l)nFn(x).hn~³,

/(% + A) = 1.2.3.4F₄+) -I----

+ (n — 4)(n — 3){n — 2)(n — l)Fn-i(x) . hn~'°

+ (n — 3 )(n — 2 )(n — 1 )nFn(x)hn~i,

+(M—¹)(a:+A)=1.2.3.. .{n—l)i⁷„_i(++2.3.4... (n—i)nFn(x).h, fW(x + A) = 1.2.3 ... + — l)nFn(x).

§ 33. Entwickelung einer ganzen rationalen Funktion    158

Setzt man jetzt in den Gleichungen (12.) und (13.) die Veränderliche h gleich 0, so findet man

n*)

1! ’

f(x) = F(x),

/'O) = 1 . F±(x),

oder F(x) = f[x), „ Fx(x) =

r_(x)

f“(x) = 1 . 2F%(x)

(14.)

/'"(*) =1.2.8Ą*),

/"V

_/'(⁴)(rr) = 1.2.3.4-F₄(.r)

/⁽⁴⁾(^)

4!    ’

/(«-^(ar) = (»— 1) ! Fn—\(x),

55 Fn—\{x) -

[n

1)!

/«(*)

5 5    Fn(x) -

Die Gleichung (12.) geht daher über in

(15.) f(x+h)=f{x)

1!

3!

Ä3+...+

f{n)(x)hn_

n\

Dasselbe Resultat erhält man auch auf folgendem Wege. Nach Gleichung (5.) wird

df\x -f h)

dh

=f‘(x -j- h).

In derselben Weise findet man, indem man h mit x ver

tauscht,

df(x -j- h)

dz =f,{x + h)’

folglich ist

dj\x -j- h) df(x -(- h)

dx

dh

=f\x + h)-

Man wird also miteinander übereinstimmende Ausdrücke erhalten, gleichviel ob man die rechte Seite von Gleichung (12.) nach x oder nach h differentiiert. Dies gibt

(16.) F\x) + F\{x) . h + F\{x). h² + F‘₃(x) . h* + ■ • •

+ F‘n-i(x) . hn 1 + F‘n(x) . hn ==

1 . Fi(x)F2F2(x). h-\-%Fz(x)h²-\-£Fi(x)h?-\-----\-nFH(x) .hn~x.

Für h = 0 findet man ans Gleichung (12.)

(17.)

F(x) =f(x)

und aus Gleichung (16.) (18.) F‘(x) = l.Fx{z) =

df(x')

dx

=/'0)

oder Fj_(x) =

fXA

1!

Wenn man jetzt in Gleichung (16.) F\x) gegen 1. Fx(x) forthebt und beide Seiten der Gleichung durch h dividiert, so erhält man

(16 a.) F\(x) -f- F\(x). h -j- F\{x). h² -j- • • •

+ F‘n^{x). hn~² + F‘n(x). k¹-¹ =

2F${x) -j- 3Fi(x) . h -f- 4F^x). h² J-----[- nFn(x). hn~².

Hieraus folgt, wenn man wieder h = 0 setzt, df‘(x)

F\(x) — 2Fi(x) =

dx

=/"(*)

oder F₂(x)

2!

Indem man dieses Verfahren fortsetzt, findet man der Keilte nach die Gleichungen

F‘₂(x) = 3F₃(z), oder Fz(x) =

F‘₃(x) = 4 F*(x),

„ Ft(z) =

fW(x)

4!

F‘n-i(x) = nFn(x)

., Fn(x) ■

f(nKx)

§ 34.

Anwendung auf den binomischen Lehrsatz für positive, ganzzahlige Exponenten.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 11.)

Wie wichtig die oben angegebene Entwickelung ist, kann man schon aus einem sehr einfachen Falle ersehen. Es sei nämlich

(1.)

/(*) = x'\

also

(2.)

j[x h) — [x A)“, wobei n eine positive, ganze Zahl sein soll. Nun ist nach Gleichung (15.) des vorhergehenden Paragraphen

3! /l3+-' +

o.) f(x+h)=f{x)+ £Vk+£M>f

In diesem Falle ist aber

f\x) = xn, fix) = nxn~x, j‘\x) = n(n — 1)^'—2,

— n[n—1 )(n—2)xn~~³, ...fW(x) = n{ii—1)... 3.2.1 = n\ folglich geht Gleichung (3.) über in

‘/l

(4.)    (x -|- h)n = xn -f-- j xn—¹h -f-

, n(n — 1) (n

n(n — 1)

2!

2)

xn~Vi²

3!

xn~W H— +

nl

n\

hn

xn~xh

G)

xH~

Vi² -f-    ³^³ ~f~ ' '

• + hn.

Setzt man noch

h = b,

x — a,

so erhält man den binomischen Lehrsatz, nämlich

/77l\    / ?fl\

(5.) {a-\-b)m=am+{ Ja*—+ f ₉ jam

-2£2_j_

\am 3^3 _f---,_j_

eine Formel, welche schon in § 9, aber auf andere Weise, hergeleitet worden ist.

§ 35.

Verallgemeinerung der gegebenen Entwickelungs-Methode.

Es ist nun die Frage, ob und in welcher Weise die hergeleitete Entwickelung einer ganzen rationalen Funktion f(x -f- h) nach steigenden Potenzen von h auch auf andere Funktionen übertragen werden kann.

Ohne jede Änderung ist eine solche Übertragung nicht möglich, denn es gilt der Satz: Ist

/'(•*), , /"(«) l!    2!

so ist f(x) eine ganze rationale Funktion nteH Grades.

Beweis. Aus Gleichung (1.) folgt für x = 0

/'(q);, , rmh21 /"t")

— A-f A\h + A-Jd -f- A₃h³ -(-■•• + Anhn, oder, wenn man h = x setzt,

(2.) f(x) = A + A±x + A^x¹ -f- A₃z³ -j- • • • + Anxn.

Und doch liegt eine solche Verallgemeinerung sehr nahe, denn man kann dieselben Schlüsse, welche in § 33 richtig waren, auch bei jeder anderen Funktion f(x -f- h) an wenden, von der man weiß, daß sie sich nach steigenden Potenzen von h entwickeln läßt, daß sie sich also auf die Form

(3.) f(x+h)=F(x)+F\{x).h+F₂{x).V+F₃{x).h³+Fi(x).V+ ■

bringen läßt. Man findet dann nämlich, indem man beide Seiten der Gleichung (3.) zu wiederholten Malen nach h differentiiert*), der Eeihe nach die Gleichungen

(!.) fix+h)=f(x)-r

/(*) =/( 0) +

l!

3!    *■ + -

/«(O)

hn

*) Dabei ist allerdings die Voraussetzung gemacht, daß die Summe auf der rechten Seite differentiiert wird, indem man jedes Glied einzeln differentiiert. Enthielte die Summe nur eine endliche Anzahl von Gliedern, so wäre diese Voraussetzung ohne weiteres richtig, enthält die Summe aber unendlich viele Glieder, so muß man erst beweisen, daß diese Voraussetzung gilt.

f\xfh)=l. Fi(x)+2Fdx).h+ZFz(z) .Jd+lFfx) .Ä³+ •• , f"(z+h)=1.2F₂(z) + 2 . 3Fä(x). h + 3.4Fi(z)Ä² + ■ • , /■"'(ar+Ä)^¹.² • 3-F₈(*) + 2.3AFfz)Â H----,

(4.)

Setzt man dann in den Gleichungen (3.) und (4.) die Veränderliche h gleich 0, so findet man genau so wie damals

(5.) F{x)=f(x), Fx(x) =

/'(*)

1! ’

/"(*)

F&) =

F,(x)

so daß Gleichung (3.) übergeht in

fix) f“{x)    f“‘(x)    J^\x)

Il A+-.2I Ä +

(6.) f(x+h) =/(*)

3!

4!

Ä⁴+---.

Nach dem soeben bewiesenen Satze ist es aber nicht möglich, daß diese Reihe an einer Stelle, z. B. heim (n + l)ten Gliede, ahhricht; sie kann nur, wie gezeigt werden soll, unter gewissen Bedingungen richtig sein, wenn man sie bis ins Unendliche fortsetzt.

Da fix + h) von

/(*).+ Ä + r(x)

f(n)( x)

hn

verschieden ist, wenn f{x) keine ganze rationale Funktion ist, so möge der Unterschied zwischen beiden Größen mit R bezeichnet werden. Es sei also R erklärt durch die Gleichung

(7.) R=f{z + h)—f(z)

7'0) k f“(f)

1!

2!

h- — --

f(nK*)h,

n\ ’

oder

(7 a.) 7(a: -(- A) —70*0 7

7'0*0A 1 7"0*0

1!

2! /i2 +-

/(“)(*)

Wird nun R für hinreichend große Werte von n beliebig klein, so darf man R vernachlässigen, so daß dann die Gleichung (7 a.) auch noch in dem Falle, wo fix) keine ganze rationale Funktion ist, sehr brauchbare Resultate liefert.

Man nennt die Summe auf der rechten Seite von Gleichung (7 a.) die Taylor sehe Reihe und R das „ Restglied der Tatjlor-schen Reihe“.

Wie notwendig die Untersuchung- dieses Eestgliedes R ist, soll zunächst bei einem einfachen Beispiele gezeigt werden.

Es sei

(8.)

also

(9.)

f(x) = - = X X

fix + h) =

und

(10.)

/"(*) = 1.2«-³,

f /'(*) = — !• z~‘²>

\ f‘“(x) = — 1.2.3z-*,... fW(x) =■ (— 1 )nn!x

—w—1

Setzt man diese Werte in die Gleichung (7a.) ein, so er

hält man

₊    ____+ (_₁)4^- + a

X¹ X* z*    '    ' xn+1

X + 7l X

Für x = 2, ä = — 1 gibt dies z. B.

+ -f - -f — ^ ‘ 8 ¹ 16

+ R-

Hier wird, wie man ohne weiteres erkennt,

toi t—¹

₂n+l

also beliebig klein für hinreichend große Werte von n.

In diesem Falle würde daher die Taylor sehe Reihe anwendbar sein. Setzt man aber

x — 2,

so findet man aus Gleichung (11.)

2 — 4 Jetzt ist

= -+ l + 2 + 4H-----h 2*-¹ + R.

R = — 2n

und wird, vom Vorzeichen abgesehen, sogar beliebig groß, wenn n hinreichend groß ist. Man darf also R nicht vernachlässigen, d. h. man darf in diesem Falle die Entwickelung nach der Taylor sehen Reihe nicht anwenden.

x+h J)[¹⁺^⁺( * )⁺(^)⁺''' ⁺ (^jj Der Ausdruck in der eckigen Klammer ist eine geometrische Progression, deren Summe man nach Formel Nr. 12 der Tabelle bilden kann. Da nämlich

i + q + ?² + ÿ³ 4-----ff =

h

so erhält man in diesem Falle, in welchem q gleich —- ist,

i—

h\n+¹

(13.)

1 — qn+1

1+A-

X

Daraus folgt

(14.)

Man kann in dem vorliegenden Beispiele das Restglied R audi für beliebige Werte von x und h sehr leicht bestimmen. Aus Gleichung (11.) folgt nämlich

(12.) * = +

li¹

hn

xn+i

(~j+i

x -J- h

Nun wird nach früheren Sätzen (vergl. § 9) die Potenz eines echten Bruches beliebig klein und die eines unechten Bruches beliebig groß, wenn man den Exponenten hinreichend groß macht, folglich wird hier R nur dann beliebig klein, wenn, abgesehen vom Vorzeichen, h kleiner als x ist.

Bei diesem Beispiele wird also die Taylor sehe Reihe nur anwendbar sein, wenn

h < ' .r ,

wobei man unter j h | und \x\ die absoluten Beträge (d. h. die Zahlenwerte, abgesehen vom Vorzeichen) von h und x versteht.

So leicht wie in diesem Beispiele ist im allgemeinen die Berechnung des Restgliedes R nicht ausführbar. Man braucht aber den wirklichen Wert von R auch gar nicht, sondern braucht

nur zu wissen, ob R für hinreichend große Werte von n beliebig klein wird.

Diese Untersuchung soll nun in den folgenden Paragraphen ausgefühit werden.

§ 36.

Mittelwertsatz.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 87.)

(1.)

Satz 1. Sind die Funktionen F(x) und F‘(x) in dem Intervalle von 0 bis h (d. h. für alle Werte von x, welche zwischen 0 und h liegen) stetig und endlich, und ist außerdem F(0) = 0 und F(Ji) = 0, so gibt es zwischen 0 und h mindestens einen Wert von x, für zoelchen F‘(x) verschwindet. (Satz von Rolle.)

Beweis. Nach Satz 2 in § 13 ist die Ableitung einer Funktion F(x) positiv, wenn die Funktion mit x zugleich zunimmt; dagegen ist die Ableitung negativ, wenn die Funktion abnimmt, während x zunimmt. Der Gleichung

(2.)

y = F(x)

entspricht nach Voraussetzung eine Kurve, welche die Abszissen-Achse in den Punkten 0 und A mit den Abszissen x = 0 und x = h

Fig. 25.

schneidet. (Fig. 25 und 26.)

Nimmt man an, daß der zwischen O und A liegende Teil der Kurve oberhalb der X-Achse verläuft (Fig. 2.5), so muß die Kurve, \ x vom Punkte 0 ausgehend, zunächst steigen, es muß also nach dem oben zitierten Satze zunächst F‘(x) > 0 sein. Damit die Kurve die X-Achse im Punkte A wieder erreicht, muß sie nachher fallen, es muß. also nachher F‘{x) < 0 sein. Da aber F(x) in dem betrachteten Intervalle nach Voraussetzung stetig und endlich ist, so muß F\x) nach Satz 13 in § 8 (Seite 57) beim

Übergange von positiven zu negativen Werten den Wert 0 annehmen. Dies geschehe für OQ gleich £, dann ist

(3-)

.F'(§) = 0, wobei 0 < § < h.

Die Tangente in dem zugehörigen Punkte P ist also parallel zur X-Achse.

Fig. 20.

■X

Nimmt man an, der zwischen 0 und A liegende Teil der Kurve verlaufe unterhalb der X-Achse (Fig. 26), so muß die Kurve zuerst fallen und nachher wieder bis zum Punkte A steigen. Dann wird also F\x) zuerst negative und nachher positive Werte annehmen.

Beim Übergange von den negativen zu den positiven Werten wird F‘(x) wieder nach Satz 13 in § 8 (Seite 57) gleich 0. Dies geschehe für OQ gleich ?, dann ist also auch in diesem Falle

(3 a.)

F‘($) = 0, wobei 0 < § < h.

Die Tangente im zugehörigen Punkte P ist wieder parallel zur X-Achse.

Liegt endlich der Kurven bogen OA zum Teil über, zum Teil unter der X-Achse, so braucht man nur den eben ausgeführten Schluß auf den Abschnitt der Kurve zwischen 0 und dem ersten Schnittpunkte mit der X-Achse anzuwenden.

Setzt man

(4.)

-Ar» i ^

also § = &h,

so liegt die Größe & zwischen 0 und 1, und die Gleichung (3.) geht über in

(5.)

F‘(@h) = 0, wobei 0 < & < 1.

Der Rolle sehe Satz läßt sich jetzt in folgender Weise verallgemeinern.

Die Funktionen f(x) und f‘(x) seien in dem Intervalle von a bis a -j- À stetig und endlich, und es sei

11

Kiepert, Differential-Rechnung.

(6.) F(x) = [f(a '+ h) —/(<¹)] x — [f (a + x) — f(dj]h¹) dann gelten für die Funktionen F(x) und

(7.)

F\x) — f(a + h) —f(a) —f\a + x). h

die Voraussetzungen des eben bewiesenen Satzes; es sind nämlich F(x) und F‘(x) in dem Intervalle von 0 bis h stetig und endlich, und es ist außerdem

F(0) = 0 und F(h) = 0,

folglich gibt es zwischen 0 und h einen Wert von x, er heiße wieder Gh, für welchen F‘(x) verschwindet. Deshalb findet man nach Gleichung (7.)

(8.)

F‘{Gh) = f(a -|- h) —f{d) —f\a -f- Gh). h — 0,

oder

(9.)

/(« i h\ — fia) = h ,f‘(a + 0h).

Setzt man noch

a -j- h — x, also h = x — a, so findet man aus Gleichung (9.)

(11.) oder (lia.)

(10.)

fix) —/(«) = ix

«)/'[« + ®(x

îF=m=na+@{x

a) J-

x —

Da 0 < © < 1, so wird für x > a

a < u F G{x — a) < a F (x — a) = x ; es ist also a F —a) ein Mittelwert. Der in den Gleichungen ( 9. )und (11.) ausgesprochene Satz wird deshalb „ Mittel-wertsatz“ genannt.

Die geometrische Deutung des Mittelwertsatzes erkennt man leicht aus Figur 27. Der Glei-'x chung

(12.)

Fig. 27.

(t

Q.

y =f\x)

(13.)

entspreche die Kurve APB; die Abszissen der Punkte A, P und B seien bezw.

0A₁ • — a, OQ = a -f- 0h,    0B\ = a -f- h,

dann haben diese Punkte bezw. die Ordinaten

A\A =f(a), QP =f(a -f- 0h), B\B =f(a + h).

Für die Tangente des Winkels a, den die geometrische Tangente im Punkte P mit der positiven Richtung der X-Achse bildet, erhält man dann nach Formel Nr. 17 der Tabelle

tg « =/'(« -P ©ä),

oder nach Gleichung (9.) (14.) tga=/\o + 0Ä)

/(« + h) —f(a) BXB — AXA ()B\ — OA,

= tg CA B,

CB

AC

also

d. h. die Tangente im Punkte P ist parallel zur Sehne AB.

Fig. 28.

Po

Der soeben bewiesene Satz sagt also aus, daß es zwischen den Kurvenpunkten A und B mindestens einen Punkt P gibt, dessen Tangente zur Sehne AB parallel ist.

Qi

Qs

Aus Figur 28 erkennt man, daß es unter Umständen sogar mehrere Kurvenpunkte Pi, Pi,... zwischen A und B geben kann, in denen die Tangente parallel zur Sehne AB wird.

Der Satz bleibt auch noch richtig für x < a, wie man in gleicher Weise zeigen kann.

11*

§ 37.

Das Restglied der    sehen Reihe.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 88 und 89.)

Jetzt seien die Funktionen fix), fix) und f“[x) in dem Intervalle von a bis a + h stetig und endlich, und es sei F(x) = [/(« + ]>) —/(») —f\a) • %²

— [/(« + x) — /(«) —/'(«) • dann sind auch die Funktionen -F(.r) und

(!•)

(2.) -F'(#) = [/(« + /*) —/(» —f\a).h]2x—[f{afx) —f{a)]!i²

stetig und endlich in dem Intervalle von x = 0 bis x = h. Dabei wird

F{ 0) = 0 und F(h) = 0, folglich erhält man nach dem Rolle sehen Satze (3.) F‘(Qh) =

[f(afh) —ff) —ff). h]20h—\f‘(afQlî)—f\a)]h² = 0. Nun war nach dem im vorhergehenden Paragraphen bewiesenen Mittelwertsatze

f{a + li) —fa) = h .ff -f Oh).

Vertauscht man in dieser Gleichung fix) mit f‘{x) und deshalb fix) mit fix), ferner h mit hx und O mit 0\, so erhält man

f\a + If —ff) = Ih .f"f f ©A), oder, wenn man hx = Oh setzt,

f\a + Oh) —fia) = O/i .ff

dabei liegen O und ©i und deshalb auch OOx zwischen 0 und 1. Mithin geht Gleichung (3.) über in

(5.) F‘i&h)=\ff-\-h)—ff)—f‘ia) • hfOh— Oh fff ©©AA²=0.

(4-)

Ox. Oh) ;

Dies gibt, wenn man beide Seiten der Gleichung durch 2Oh dividiert und der Kürze wegen O statt OOx schreibt,

ff + Oh)

(6.)

fia + h) —ffi) —fia). h

2!

h- = 0

oder

(6 a.)

/'(«)

1!

/"(« + ©A) ;,2

2!

wobei

In dieser Weise kann man fortfahren, indem man

(7.)

=. \/ia + ä) —/(»)

— f(a + x)—f{a)

n«)h    r(«)

1!

2!

A² #³

l!

2!

X² A³

Dabei seien die Funktionen /(#), /'(z), /“{%) und f“\x)

setzt.

in dem Intervalle von a bis a -f- A endlich und stetig, dann sind auch F(x) und

(8.) F%r) = /(a + h) —f(a)

/'<«) , /"(«) wr

-FSäx-\h,

2!

A² 3F²

l!

in dem Intervalle von 0 bis A stetig und endlich. Jetzt wird wieder

F(0) = 0 und F(h) = 0, folglich erhält man nach dem Rolle sehen Satze

(9.)    F'(0h) = f(a + h) —f{a) —

f(a) /"(fl)

1!

2!

h² 3©²A²

/"(«)

1!

©A A³ 0.

Vertauscht man jetzt in Gleichung (6.) fix) mit f\x) und deshalb fix) mit f“(x), f“{x) mit    , A mit Aj und © mit

©i, so erhält man

/'(« + Äl) —/'(«)

/"(«)

l!

2!

Ai²

oder, wenn man Ax = ©A setzt,

(10.) f‘(a + 0h) —f\a)

' f'U)

l!

©A =

f‘u(a + ©!©A)

2!

©²A²,

wobei 0 und 0t und deshalb auch 0\0 zwischen 0 und 1 liegen. Gleichung (9.) geht daher über in

(11.) F‘(0h) = [/(o + h) —/(o)    A

/'"(« + ©!©//)

/>)

2!

2!

0²Ä² # 7^3 ₌ Q.

Dividiert man beide Seiten dieser Gleichung durch 3&-h-und schreibt der Kürze wegen 0 statt 0i0, so erhält man

Æ+%

(12.) /(a + ä) —/(a)

/'O) 7    /"(«)

1!

2!

/z²

3!

oder

(12 a.) y (a + //) —./(«) +

wobei

/'(«) z , /"(«)

Ä² +

f“‘(a -f 0h)

3!

/*³,

0 < 0 < A.

Setzt man das Verfahren noch weiter fort, so findet man schließlich für jeden beliebigen Wert von n

(13.) f(a + h) =f(a) + — wobei

Ä2+...+

/(«)(«)

hn-+-B,

(14.)

Ä“+¹, 0 < 0 < 1.

Der Beweis wird durch den Schluß von m auf m — 1 geführt. Man setzt also voraus, daß die Gleichungen (13.) und (14.) richtig seien für. n gleich m, daß also

h -j-

(Dó.) f(a + h) — fia) +

/'(«)

/"(«)

/W(a)

1!

hm

/(m+i)(a -)- 0A)

(m -)- 1) !

sei, und zeigt, daß dann die Gleichungen (13.) und (14.) auch noch richtig bleiben für n gleich m -j- 1.

Beweis. Es sei

hm+1

(m -f-1J !

1!

/('«+!)(«.) (m + 1 ) !

so wird

(17.) F\x)

= /(ö+ä)—/(a)

/'(«) ₇    /<"*⁺¹>f«)

l! Ä "

_____

(m -j-1) !

1!

m!

hm+².

Unter der Voraussetzung, daß die Funktionen fix), f ‘(x), ß\x), ...f{m+x\x) und j {m+~Hx) in dem Intervalle von a bis a Ą-h stetig und endlich sind, sind auch die Funktionen F(x) und F‘(x) in dem Intervalle von 0 bis à stetig und endlich. Da außerdem noch

.F(O) = 0 und F(h) = 0

wird, so erhält man nach dem Bolle sehen Satze (18.) F‘{Gh)

= /(«+*)—f{a)

f(a)

ßm+Q(a)

(m V 1) !

km+t (w-(-.2)©m+¹Ä,w+1

f‘(a+0A)—f‘(a)

1!

0k----

/(»+!)(«)

ml

Vertauscht man jetzt in Gleichung (15.) f(x) mit f‘(x) und deshalb fix) mit f“(x), f‘\x) mit f“‘{x), ...ßm\x) mit ßm^\x) und/lm+h(^) mit f(m+²\x), ferner h mit Ih und © mit ©t, so erhält man

/'(a+Äi):=/'(«)+

, rx«)

1!

2!

^i² H-----1

ml

hr

y('»+2)(ß_|_@i^i)

[m -j- 1) !

oder, wenn man hx = Gh setzt,

(19.) /'(«+©*)—/»—■

./»

1!

©Ä—

/'"(«)

2!

©V⁵----

ßm+'){a)

(w V 1)!

wobei © und ©i und deshalb auch ©i© zwischen 0 und 1 liegen. Gleichung (18.) geht daher über in

(20.) F‘(®h) = f{a+h)—f(a)~

1!

(m + l) !

hm+x (m-|-2)0OT+¹Ä,"+¹

Qm+lfom+l ' frm+2— Q.

Dividiert man beide Seiten dieser Gleichung durch

(m -j- 2)&m+1hm+1

und schreibt der Kürze wegen wieder & statt 0±. 0, so erhält man

(21*) jya~rh)—j'(«)-r wobei

/K%)

1!

ïT

(m-f-1 ) !

-hm+iĄ~R,

(22.)

hm+².

0 < & < 1.

Diese Gleichungen ergeben sich aber aus den Gleichungen (13.) und (14.), wenn man n gleich m + 1 setzt. Damit ist die allgemeine Gültigkeit der Gleichungen (13.) und (14.) nachgewiesen.

Setzt man wieder

a -Ą- h — x ? also h = x — a, so gehen die Gleichungen (13.) und (14.) über in

(-3.) y(«) —y(«) +

/'(«)

/»

l!

2!

wobei (24.) R

n\

(x — a)'¹ + R,

=5

ß*+D[a -f- 0(x — o)]

(» + 1)!

(x — a)nJrl

0<© < 1.

Diese Gleichungen geben an, in welcher Weise man f(x) nach steigenden Potenzen von x — a entwickeln kann. Es ist dies die eine Form der Taylor schm Reihe. Die andere Form der Taylor sehen Reihe hndet man aus den Gleichungen (13.) und (14.), indem man a gleich x setzt. Dies gibt

(25.) f(x+h) =f(x)+

f‘(x)h + f“(x)

l!

2!

Ä²4-:-- +

fh\(x)

ul

hn 4- R,

/("+%+©Ä)

(» + 1)!

Diese Gleichungen gehen an, in welcher Weise man f(x-\-h) nach steigenden Potenzen von h entwickeln kann.

(26.)

ÄM+¹

0 < ©< 1.

Bemerkung.

Um die Form des Restes R leichter zu behalten, merke man sich,

daß R aus dem letzten Gliede und x mit x -f- Oh vertauscht.

hn entsteht, indem man n mit n-\-1

Läßt sich nun zeigen, daß 11 beliebig klein wird für hinreichend große Werte von n, so darf man R für unbegrenzt wachsende Werte von n vernachlässigen und schreiben

(23a.) f(x) =/(o) -f

/'(«)

l!

{x

f“(a)

2! (x-at

f“(a)

3!

(x

a)3 + ...,

(25 a.) f(x -)- h) — f(x) -f- - h

/"(*)

r\x)_

3!

h³ -|----,

wo die Punkte andeuten sollen, daß die Reihen bis ins Unendliche fortzusetzen sind.

§ 38.

Die Mac-Laurin sehe oder Stirling seht Reihe.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 90 und 90 a.)

Die Mac- Laurin sehe oder Stirling sehe Reihe ist nur ein besonderer Pall der Taylor sehen Reihe, den man erhält, indem man in den Gleichungen (23.) und (24.) des vorhergehenden • Paragraphen a gleich ü setzt. Dies gibt

/'(0) _ , /"(0)

1!

2!

x²-\-----h

ßß(o)

x¹¹ -f R,

Bezeichnet man nun den absoluten Betrag von x (d. h. den Wert von x, abgesehen vom Vorzeichen) mit x , und bestimmt die ganze Zahl g so, daß sie der Ungleichung

in die Faktoren

genügt, so zerlege man

f(n+1)(@x)

(» + 1) !

ist. Für n = 0 findet man hieraus

(2.)

xn+1 und 0 ^    + 1

(3.)

§ 39.

Entwickelung der Funktionen ex und ax und der hyperbolischen Funktionen 6of«/ und Stirn.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 91 bis 94.)

Aufgabe 1. Man soll die Funktion ex nach steigenden Potenzen von x entwickeln.

Auflösung. Hier ist

f(x) = ex,

f‘{x) = e»,

f\x) = ex,

also

(1.)

/(0) = 1, /'(0)=1, /"(o) = 1,

» f[n\ 0) = 1,

„    = e®x.

Setzt man diese Werte in die Mac-Laurin sehe Reihe

/W(0)

f(n\x) — ex, /(n+¹)(^) = ex,

/(«) =/(0) +

/'(O)

l!

2!

x² H-----1-

zn + R

ein, so erhält man

(2.)

ex

x²

_1 + n + 2!

wobei

(3.)

/(H-Df&g)

l» + 1) !

^w+l __

xn+i

eQx

(»+!)!

ff = x < ff + 1 x-»+¹

{n + 1)!

Es ist dann, wenn man vorläufig voraussetzt, daß x positiv ist,

(4.)

ff + 1

ein echter Bruch, und es wird

x

■—j—z < k

ff + 2

Daraus folgt

-----— < k*+

ff-hlffß2ff + 3 n + 1

(5.)

LOJ **

« ÖS

und F₂ =

ff-r 1 ff + 2

R = Ft. F₂. Fs, wobei F:i = e®x

ist. Die Faktoren

Fx =

X9

ff\

und F₃ = eGx

sind endliche Größen, während man kn+1~& und folglich erst recht den Faktor F₂ beliebig klein machen kann, indem man den Exponenten n1 — g hinreichend groß macht; deshalb wird auch R beliebig klein für hinreichend großes n.

^w+l

(n + 1)!

Vertauscht man x mit —x, so ändert der Faktor

höchstens sein Vorzeichen, und F₃ = e®x geht über in e~®x

bleibt also eine endliche Größe. Deshalb wird R auch dann beliebig klein für hinreichend großes n, wenn x einen negativen Wert hat.

Man kann daher in allen Fällen das Restglied bei dieser Entwickelung vernachlässigen, wenn man die Reihe bis ins Unendliche fortsetzt, und erhält

h-*

CO I—•

** ICO

j-J»

H-j «

Für x = 1 stimmt diese Gleichung mit Formel Nr. 15 der Tabelle überein.

Hieraus findet man auch sogleich die Entwickelung- der hyperbolischen Funktionen (lof u und ©inu nach steigenden Potenzen von u. Nach Gleichung (0.) ist nämlich

w⁴ uh 4 !    5 !

Vertauscht man in dieser Gleichung u mit —u, so erhält

(7.)

u'~

t'"=1 + r! + 2! +

man

e~u =1 —

U~ V? M⁴

uh

folglich ist

(9.)

ll~ w⁴ un

Go\u =

©inw = ~(eu — e~u) = ^ -f-

Diese Formeln könnte man natürlich auch direkt finden, indem man für die Funktionen

f{x) = Gof# und f{x) = ©in# die Entwickelung nach steigenden Potenzen von x mit Hülfe der Mac -Laurin sehen Reihe ausführte.

(eu + e~~u) = 1 -p - -F

2!

4!

+ ö! ⁺ '

(10.)

uA

3!

7!

Aufgabe 2. Man soll die Funktion ax nach steigenden Potenzen von x entwickeln.

Auflösung. Hier ist

f(x) = ax, f\x) = adna, f“{x) — a* (ln a )²

also

(HO

/( 0) = 1,

/'( o) = Ina, /"( 0) = (Ina)²,

f(n)(x) = aæ(ln a)n f(n+1)(x) = ax(lna)n+¹

„    ,/(M)(0) = (ln«)M,

„ f(n+1\Qx) = a®*(lna)w+¹.

Daraus folgt durch Anwendung der Mac-Laurin sehen Reihe

x ln a    x¹ (ln a)²

(12.) f{x) = ax = 1 +

1!

2!

xn(\wa)H

XI

wobei man in ähnlicher Weise wie vorhin zeigen kann, daß li beliebig klein wird für hinreichend große Werte von n. Dies gibt

§ 40. Entwickelung der Funktionen sin# und cosæ a;lna , x²(\na)²    a;³(lna)³

(13.) ax = 1 +

l!

2!

3!

Dasselbe Resultat hätte man auch aus Gleichung (6.) in folgender Weise finden können. Es sei

V = «*,

dann wird

folglich ist

lny = In(öU) = adna

also nach Gleichung (6.), indem man x mit afin a vertauscht,

a;lna I a;²(lna)² . a;³(ln«)³

1!

2!

3!

§ 40.

Entwickelung der Funktionen sincc und cosa?.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 95 und 96.)

Aufgabe 1, Man soll die Funktion sina; nach steigenden Potenzen von x entwickeln.

Auflösung. Hier ist

fix) = sina;, f‘{x) = cosa;, f“(x) = — sina; f“\x) — — cosa; fW(x) = sina;,

also

(1.)

/(0) = 0, /'(0) - 1, /"( o) = o,

r\o)

/⁽⁴⁾( 0) = 0,

Unter der Voraussetzung, daß n eine ungerade Zahl ist, wird daher

/W(0) = dt 1

( f(nKx) = ± cosa;, also ( f(»+i)(x) = rp sina;, „ ß*+x\&z) = q= sin(<9a;).

Dies gibt mit Hilfe der Mac-Laurin sehen Reihe

(3.)

sina; =

zb

w!

Heißt das letzte Glied, welches man für die Berechnung

n

von sina; benutzt hat, ± p und ist \x \ < n1, so ist der Rest, welcher vernachlässigt wird, nämlich

R=-F

—p-v • sin (0z),

n -j- 1

vom Vorzeichen abgesehen, immer nur ein Bruchteil dieses letzten Gliedes, so daß man für die Genauigkeit der Rechnung ein sicheres Maß erhält.

Aufgabe 2. Man soll nach dieser Formel sinl5°25'20" be

rechnen.

(4.)

(» + 1)!

sin (0x).

Nun wurde bereits im vorigen Paragraphen bei Entwickelung

xn+x

beliebig klein machen kann,

von ex gezeigt, daß man

wenn man nur n hinreichend groß wählt. Außerdem liegt sin(6U) zwischen — 1 und + 1, folglich kann 1Î vernachlässigt werden, wenn man die Reihe bis ins Unendliche fortsetzt. Dadurch erhält man

(» + !)!

(5.)

sina: =

si

HI

H-----•

Auflösung-. Die Länge des Bogens, welcher dem Zentriwinkel von 15° 25'20" in einem Kreise mit dem Halbmesser 1 entspricht, ist

x = 15

2776.3,141 592 65 32400

76

180 180 Deshalb wird

= 0,269 168 56.

l!

= 0,269 168 56

= 0,003 250 29

xb

5!

= 0,000 011 77,

= 0,000 000 02.

Die folgenden Glieder haben in den ersten 8 Dezimalstellen keine geltenden Ziffern mehr. Es wird daher

sin.? = 0,269 180 33 — 0,003 250 31

oder

sinl5°25'20" = 0,265 930 02.

Aufgabe 3. Man soll die Funktion cos? nach steigenden Potenzen von x entwickeln.

(6.)

Auflösung. Hier ist

' f{x) ⁼

/'(*)

sin x, f“{x) = — cos?,

/"''(?) = sin?, /«(?) = cos?,

also

,m = + u /'( 0) = 0 /"( 0) =

/"'( 0) = 0

/(i»(0) = + 1

Unter der Voraussetzung, daß n eine gerade Zahl ist, wird

daher

(7.)

(8.)

J /M(?) = ± cos?, also

j y(«+i)(x) = zp sin?,

Dies gibt mit Hilfe der Mac- Laurin sehen Reihe

?²

2Ï ⁺

/W(₀) = ± 1,

„    y(»+¹)(©^) = rp sin(©?).

cos? = 1 —

?⁶

6!

+----±

?M

+ R,

wobei

(9.)

?"⁺¹

sin (©?).

t» + t)!

Der Rest hat hier dieselbe Form wie in Aufgabe 1, nur war dort n eine ungerade Zahl, während hier n eine gerade Zahl ist. Man findet daher ebenso wie in Aufgabe 1, daß JR beliebig klein wird für hinreichend große Werte von n, und erhält

X . X x !

I----------- -.— -4— -• • •

2!T 4!    6!

Auch hier ist der vernachlässigte Rest nur ein Bruchteil des letzten von der Reihe beibehaltenen Gliedes.

(10.)

COS? =

rechnen.

Aufgabe 4. Man soll nach dieser Formel cos 15° 25' 20“ be

Auflösung. Da in diesem Falle

x = 0,269 168 56

ist, so findet man

“Dl

1 = 1,000 000 00,

= 0,036 225 86,

x⁴

4!

= 0,000 218 72,

6!

= 0,000 000 53.

Die folgenden Glieder haben m den ersten 8 Dezimalstellen keine geltenden Ziffern mehr. Es wird daher

C0S£ = 1,000 218 72 — 0,036 226 39,

oder

cos 15°25'20" = 0,963 992 33.

§ 41.

¹

Den Gleichungen y —fix) und y — Fix) entsprechen natürlich zwei verschiedene Kurven.

Berechnung von Tafeln für die Funktionen sin«⁰ und cos«⁰.

Es war für alle endlichen Werte von x

Ul

I—' •

CO

X¹

7!

*•)

cos#

rH

Hr

Dabei ist x die Länge des zugehörigen Kreisbogens, nämlich

an

(3.)

n «

⁼ 180 “ 2 ’ 90 '

wenn der entsprechende Zentriwinkel gleich «° ist. Da man nun für den Gebrauch zweckmäßigerweise die trigonometrischen Funktionen der Winkel in Tafeln zusammenstellen wird, so wird man den in Gleichung (3.) angegebenen Wert von x in die Gleichungen (1.) und (2.) einsetzen. Dadurch erhält man

ein für allemal ausreclmen kann, und zwar wird

= 1,570 796 33,

«    2-“o    3!

(5.) cos«⁰ =1 —

/7T y /«\³    1 //f\⁵ /«\⁵

V2/ ‘ \90/ ⁺ 5 ! \ 2 / ' \90/

/7r\² /«\²    1/tt\⁴ / « N⁴

\2/ ’ \9Ö/ ~r 4!\2/ ' \9Ö/

(')'(»)'+

/7r\²    1 /7T\³    1/tt\⁴

UJ’ 3IV2 J’ 4!v 2/ ’

6!

wobei man die numerischen Koeffizienten

TT,

2 ’ 2!

1 / 7r\²

2YK2) ⁼ J>233 700 55’

1 / 7T\³

3 ! \ 2/ ⁼

0,645 964 10,

1 y*\‘ 4! W

= 0,253 669 51,

1 /7r\⁵

5! \YJ

0,079 692 63,

1 / n \⁶

TW

05

0,020 863 48,

30

= 0,000 919 26,

¹ f'V

7! \ 2 /

0,004 681 75,

9!

= 0,000 160 44,

¹

l! \ 2 /

0,000 003 60,

1 /7T\¹³_

13 !\2 ) ~

0,000 000 06, cc

Bezeichnet man also —

1    / 77T

10.(2) = °’000 025 20’

/ Tir \12

f- ) = 0,000 000 47,

xl4

\ = 0,000 000 01.

12!

90

1 ( TT.

14! VW mit t, so wird

12

Kiepert, Differential-Rechnung.

Da man nur die Winkel zu berücksichtigen braucht, welche zwischen 0° und 45° liegen, so ist t immer kleiner als 0,5, so daß man bei der Berechnung nicht einmal die angeführten Glieder alle brauchen wird. Dabei ist es für die Genauigkeit des Endresultates von großer Bedeutung, daß t, t², i³,... sämtlich echte Brüche sind, weil deshalb die Fehler, welche bei den Koeffizienten durch Vernachlässigung der späteren Dezimalstellen entstehen, durch die Multiplikation mit t, t², t³,... nicht vergrößert werden.

oder

Ist z. B. a = 18, so wird t = 18 : 90 = 0,2, also sin 18° = 0,314 159 27 — 0,005 167 71 + 0,000 025 50 — 0,000 000 06 = 0,314 184 77 — 0,005 167 77,

sin 18° = 0,309 017 00.

COS 18° = 1,000 000 00 — 0,049 348 02 + 0,000 405 87 — 0,000 001 34 = 1,000 405 87 — 0,049 349 36,

oder

COS 18° = 0,951 056 51.

Aufgabe. Man soll eine Tafel herstellen, welche die Sinusse und Kosinusse aller Winkel von 10' zu 10' bis auf 6 Dezimalstellen genau berechnet enthält.

cd !>•

Auflösung. Bekanntlich ist ( )    sin(« =b ß) = sin« cos/ÿ ± cos« smß,

( )    cos(« do ß) = cos« cos/? sin« sin/?.

Ist dabei ß = 10', so ist der zugehörige Wert von t gleich

5 und man erhält aus Gleichung (4a.)

(8.)

sin 10' = 0,002 908 88,

wobei man nur das erste Glied zu berücksichtigen braucht, und aus Gleichung (5 a.)

(9.)

cos 10' = 1 — 0,000 004 23 = 0,999 995 77, wobei man außer der 1 wieder nur ein einziges Glied zu be-

rücksichtigen braucht. Indem man diese Werte in die Gleichungen (6.) und (7.) einsetzt, findet man

(10.) sin(« ± 10') = 0,999 995 77 sin« ± 0,002 908 88 cos«, (11.) cos(« ± 10') = 0,999 995 77cos« =F 0,002 908 88 sin«.

In ähnlicherWeise kann man sin(«dr20') und cos («±20'), sin(« ± 30') und cos(«±30') berechnen, wenn sin« und cos« bekannt sind.

« = 1°.

Es genügt also nach dieser Methode, sin« und cos« für 2°,    3°, ...45°

unter Anwendung der Gleichung (4 a.) und (5a.) auszurechnen. Die dazwischen liegenden Werte findet man dann in der angedeuteten Weise mit Hülfe der Formeln (6.) und (7.).

Die Rechnung wurde auf 8 Dezimalstellen ausgeführt, damit in den Endresultaten die ersten 6 Dezimalstellen sicher richtig sind.

In welcher Weise man diese Methode auch auf den Fall übertragen kann, wo es sich um eine Tabelle von Minute zu Minute oder von zehn zu zehn Sekunden handelt, erkennt man ohne weiteres.

§ 42.

Andere Formen des Restgliedes.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 88 bis 90.)

Dem Restgliede kann man noch andere Formen geben, die gleichfalls hergeleitet werden mögen, weil sie für spätere Anwendungen erforderlich sind.

Nach Gleichung (25.) in § 37 war

(1.) f{x+h) —fix)

1!“

2!

Kl -j----

Setzt man in dieser Gleichung für 11 den Wert ein, wie er dort in Gleichung (26.) angegeben ist, vertauscht dann aber n mit n — 1, so erhält man

(2.) f(x + h) =f(x) +

f‘(x)

f“(x)

1!

IC

ß'f~ßx)

[n — 1 ) !

hn~x 4

ßn){x + ®h)k

Indem man beide Seiten der Gleichungen (1.) und (2.) von einander subtrahiert, findet man

0 ₌ /W0)

hn 4- P

+ Qh)

hn,

oder

(3.)

/] f/    4' &h)-—fd)(fj\hn.

Diese Form des Restes ist der früheren z. B. dann vorzuziehen, wenn man nicht weiß, ob die (n 4- l)te Ableitung von fix) in dem betrachteten Intervalle stetig ist.

Auch hier ist & eine Zahl, welche zwischen 0 und 1 liegt; sie ist aber selbstverständlich verschieden von -der Größe &. welche bei der ersten Form des Restes auftrat. Es möge dies dadurch zum Ausdruck gebracht werden, daß man zu den beiden Größen & die Indizes 1 und 2 hinzufügt.

Es ist also

hn+x =

<**■> ‘-w

Setzt man in Gleichung (1.) x gleich a, so geht sie über in

f(a + —ßa) “T

1!

2!

4-

ßßa)

hn -f P,

wobei jetzt nach Gleichung (3 a.)

wird. Vertauscht man sodann noch h mit x — a, so erhält man die andere Form der Taylorsdien Reihe, nämlich

(x — a)² 4- • • •

• , f(n)(ß

(4.) f(x) — fia) +

ß(a)

1!

(x — a) -f

/"(«)

2!

n\

(x

a)n 4- P,

| y*W[a -f- 0-i{x — a)] — fW(a) j (a; — a)'\

Indem man endlich in den Gleichungen (4.) und (5.) a gleich 0 setzt, findet man für die Mac- Laurin sehe Reihe

(6.) /(*) =/(0)

/'(O)

/"( o)

1!

2!

•z² H-----h

/H(°)

a;w -J- iü

das Restglied in der Form R =

(7.)

[fW(Q₂x) —y(w)(0)Ja;w.

Eine dritte Form des Restgliedes erhält man in folgender

Weise.

Setzt man in Gleichung (1.)

(8.)

x -j- h = b, also h = b — X

so wird

(⁹-) f(b) = f(x) +

f‘(x)

1!

(b — x) -j-

/"(aQ

2!

(b — x)'¹ -)- • • • f(n\z)

(b — x)n -I- R,

oder

(10.) iü =/(ó) —/(«)

./»

f“(x)

l!

(/> — a;)² — • • •

y(")(aO

(ó — a:)n.

Wenn man hierbei festsetzt, daß b in der hier folgenden Betrachtung konstant bleibt, so ist R als eine Funktion der einzigen Veränderlichen x zu behandeln, d. h. man kann setzen

(11.)

R = (f(x).

dR

Dies gibt

dx

/'0) +

also

f“(x)

l!

f“(x)

1!

(b—x)—

(b—x)+

2!

2!

(b—x)'¹----

(b—xfĄ-----h

fW(x)

(n—1)! ß*+V(z)

fd)(x) (n—1)1

(b—x)

(b —- x)n

(b—x)n~l,

Wenn nun fix) mit seinen n + 1 ersten Ableitungen in dem betrachteten Intervalle stetig ist, so sind auch die Funktionen (f>{x) und (f\x) in diesem Intervalle stetig. Nach Formel Nr. 87 der Tabelle ist

f(a -f h) —f{a) = h .f\a + 0h), also auch, wenn man / mit y und a mit x vertauscht, (f{x -j- h) — (f'(x) — h . (p'(x -j- 0h), oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (8.)

(13.)

(f{b) — <p{x) — (b — x)(f‘ [x -f- Q(b — ad].

Nun folgt aber aus Gleichung (10.), daß R = 0 wird für x = b, daß also

(120

clx

= <f%x)

(b — x)n.

(f(b) = 0

ist. Ferner folgt aus Gleichung (12.), indem man x mit x + 0{b — x) vertauscht,

<f‘\x -\-Q(b—x) \ —

fin+x)\x-1- 0{b—x)~\

• \b—x

0{b—x)]n

nl

(1 — 0)n(b — x)n;

deshalb geht Gleichung (13.) über in f(n+x)\x 4- 0(b — x)]

(14.) (p{x) — R

(1 — 0)n{b — x)n+1.

(15.)

(1 — 0z)nhn+\

Auch hier ist 0 eine Größe zwischen 0 und 1, die aber zum Unterschiede von 0X und 0₂ mit 0₃ bezeichnet werden möge. Berücksichtigt man noch die Gleichungen (8.), so wird /(*+i)fc + 0,h)

Vertauscht man jetzt wieder x mit « und h mit x — a, so erhält man die andere Form der Taylor sehen Reihe, nämlich

/'(«)

(16.) fix) —f(d)

1!

(x — a) +

/"(«)

2!

(x

a)² + • * '

fCfa)

(x — a)n -f- R;

(1 — &z)n(x— a)n+x.

(17.) R

Indem man in diesen Gleichungen (16.) und (17.) a gleich 0 setzt, findet man für die Mac - Laurin sehe Reihe

, /(w)(0)

(18.) f(x) =/(0) +

■A°)

/"( 0)

l!

2!

n\

das Restglied in der Form

ßn+1\e₃x)

(19.)

&s)nxn+1.

Bemerkung.¹)

Diese Form des Restes ist nur ein besonderer Fall einer viel allgemeineren Form, die man auf folgende Weise findet.

Sind (p(x) und xp(x) zwei Funktionen, welche mit ihren Ableitungen <p‘(x) und xp‘(x) in dem Intervalle von a bis b stetig und endlich bleiben, und nimmt xp\x) innerhalb dieses Intervalles nur positive Werte an, so bleibt der Quotient

Q(x)

(20.)

•Ax)

xp\x)

in diesem Intervalle gleichfalls stetig und endlich, und die Funktion xjAx) nimmt mit x zugleich zu.

Wenn nun x das Intervall von a bis b durchläuft, so möge Q(x) für x — Xi seinen kleinsten Wert K und für x = an seinen grüßten Wert G erreichen. Es sei also

(21.)

Q(x i)

<Api)

K, Q(x-₂)

wobei xi und x₂ zwischen a und b liegen.

<p\x)

__ tp\xjj xp\x.₂)

Dies gibt für a "U x ßß b

= G,

oder

xß{x)

K>()

xp\x)

G-ßßO,

(22.)

(p‘(x) — Kxp‘(x) (A 0,    (p‘(x) — G xp'igi) gi 0.

(23.)

Diese Ausdrücke sind aber bezw. die Ableitungen von | « = <p(x) — <p(a) — K[xp{x) — xp(a)},

\ v — tp(x) — (f>{a) — G [xp(x) — ip(u)].

rp(x) — <p(a) xp{x) — xp{a)

Bezeichnet man

mit M, so gehen die Ungleichungen

184

§ 42. Andere Formen des Restgliedes. Da nach den Ungleichungen (22.)

(22 a.)

du

dv

ist, so muß u beständig zunehmen und v beständig abnehmen, wenn x zunimmt. Für x — a werden u und v beide gleich 0, folglich ist 0 der kleinste Wert von w, und 0 der größte Wert von v,

wenn x das Intervall von a bis b durchläuft; d. h.

u = ip{x) — (p(a) — K[xp(x) — r//(a)] = 0, v — (p{x) — <p(a) — G[rp(x) — i//(a)] ’A 0, oder, da xp{x) — xp(a) )> 0 für x )> a,

dx —

(24.)

(p{x) — <p(a)

X W    _

— xp(x) - xp[a) —

(24.) mit Rücksicht auf die Gleichungen (21.) über in

(24 a.)

<g\xx)

lp‘(xx) — M — xp‘(xo)

Nun ist aber

eine stetige Funktion, folglich gibt es nach dem

von x

in § 8 bewiesenen Satze 14 zwischen x^ und x% mindestens einen Wert er heiße |, für welchen

(25.)

wird. Da | zwischen x\ und liegt, so liegt es auch zwischen a und b, und man kann wieder

% — a 0(6 — d)

setzen, wobei 0    © ïS -f-1 ist. Dies gibt

(25 a.)

M__ y(«) — y(o)

xß(x) — xp{a)

rp‘[a -j- &(b — «)]

xp‘[a + @(6 — «)]

und für x = b

(26.)

(p‘[a -)- @(b — «)]

<p(b) — y(o) ___

xp(b) — xp(a) xp‘[a -f- &(b — a)}

Setzt man z. B.

xpix) — cx — (c — x)x

also xp‘(x) = x(c — xf

wobei    und x >0 sein möge, so sind die für ^(x) und i/f(x) fest

gestellten Bedingungen erfüllt, und man erhält aus Gleichung (26.)

cp‘[a + 0(6 —- o)]

<p(b) — V(a)

(c — af — (c — &)*

x [c — a

&(b — «)]*'

oder

(c — af — (c — bf

x—1

z [c — a — 0 (b —- «)]

Dies gilt, wie nahe auch c dem Werte von b liegen mag, folglich erhält man für lim c = b

(28.)

<p(P) — ?>(«) =

x(l — 0)

Für b ff x S « gelten ähnliche Schlüsse. Aus den Ungleichungen (22.) folgt dann wieder, daß u beständig zunimmt und v beständig abnimmt, wenn x zunimmt. Da jetzt aber x ff a. so ist 0 der größte Wert von u und 0 der kleinste Wert von v,

wenn x das Intervall von h bis a durchläuft. Dies gibt u = (f(x) -— tp(a) — K [ip(x) — xp{a)\ ff 0, v = (f(x) — <p{a) — G [ip(x) — xp(a)] :f 0.

Da jetzt x "ff a, so ist ipicc)— tp(a) < 0 ; deshalb folgt aus diesen Ungleichungen wieder

und

(fjx) — <p(a)

'Kx) — 'P(a) ~ G

tp¹ [a -f- 0(6 — a)}

(p(b) — rp(a) _ _^___

ip(b) — xp{a) xp‘{af- 0(6 —- «)]

Setzt man in diesem Falle

rp(x) = (x — cf — cx, also xp‘(x) = x(x — cf

wobei c ff b und z > 0 sein möge, so sind die für rp(x) und xp'(x) festgestellten Bedingungen wieder erfüllt, und man erhält

(f‘ [a -j- 0(6 — a)]

(6 — cf    cf

x\a — c -j- 0(6 — a)]x

oder

t • (p'[a + 0(6 — ö)];

— <p(a) =

(6 — cf — (q — cf

x[a — cf - 0(6 — a)f für lim c—b findet man also in Übereinstimmung mit Gleichung (28.)

Vih) — <*>(«) =

6 — a x(l — ©)*'

rp‘[a -f- 0(6 — «)].

Für a = x folgt hieraus

(29.)

x(l — &)

gleichviel ob x<5 oder b <x ist.

y.—l

(p‘ [x -j- @(b — x)\,

Setzt man jetzt wieder

(30.) (fix) = R =f(b) —/(*)

/'(«)

1!

(b-x)

/»

so wird

(31.)

dB

<p(b) = 0, 1P(*)=S=-

y (»+l)[,x R(b — ,7;)]

(32.)    <p‘ [x -j- ®{b — «)]

folglich findet man aus Gleichung (29.)

n /■("+!) [a: -j- &(b — x)]

K= 7771

(1 — 9)n(b — x)n

(33.)

(1 —e)«-*+i(6 —«)»+i.

Für •/. = 1 erhält man hieraus in Übereinstimmung mit Gleichung (14.) die dritte Form des Restes.

§ 43.

Der allgemeine binomische Lehrsatz.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 97 bis 99.)

Aufgabe. Man soll (1 -f x)m nach steigenden Potenzen von x entwickeln, gleichviel ob m eine positive ganze Zahl ist oder nicht.

Auflösung. Hier ist

(1.)

f(x) = (1 + xf\ f‘{x) = m( 1 -j- x) f“{x) = rn(m — 1) (1 -f- x)m~², f‘“(x)    - m(m — 1) (m — 2) (1 -j- x)m~³,

fW{x) — m(m — 1) .. (m — n -j- 1) ) 1 -|- x)m~~n, y(n+i)_ m(m — 1).. Jm — n-f- 1 )(m — n)(1 -f-x)m

also

/(0) -1,

/'( 0) = m,

(la.)

/"( 0) =    —

f“\0) == m{m — 1 ){ni — 2),

/■(”)(0) = m{m — 1)... (m — n + 1), j'{n+\)(@x) _    —i) ...(in——n){l-\-&x)m~M—1.

Dies gibt mit Hülfe der Mac-Laurin sehen Reibe

m(m—1 )(m—2)

(2.) (1+«)*=!

m(m—1)

x- -f-

1.2.3

-f- • • •

mim

1)... (m — n + 1)

-i+<7)*+0+C)*,+-+0+Ä>

wobei

(3.)    ^ -

m.(m,— 1)... (m — n -r 1 )(m

1.2.. n{n -f- 1)

a"*¹,

oder

(4.)

R =

• (1—©₃)”«M+1,

— 1).. ,(m—w + 1 )(m—n)( 1 -f- ©a#)

1 . 2 ...

je nachdem man die erste oder die dritte Form des Restes benutzt.

Erster Fall. Zunächst möge gezeigt werden, daß R beliebig-klein wird für hinreichend große Werte von n, wenn

(5.)

0 üEÎ x <    1.

Bezeichnet man mit g eine beliebige positive ganze Zahl, über deren Größe nachträglich passend verfügt werden soll, so kann man das Restglied nach Gleichung (3.) in drei Haupt-faktoren

(6.)

*1 =

m(m — 1)... (m

ff+l)

1 . 2 ... g

X0,

(7-)

F₂

~9„ m — g—1 <7 + 1

(1 -j- Gx)m

(8.)

F₃ = (1 -f- Ç)x)m—n~x —

(i-f- Oxy^¹

zerlegen, wobei der Einfachheit wegen G statt Gx geschrieben ist.

Der erste Hauptfaktor Fx enthält n gar nicht und bleibt endlich, wie groß auch g sein mag. Der dritte Hauptfaktor F₃ wird gleich 1, wenn von den beiden Größen G und x wenigstens die eine gleich 0 wird; F:i wird aber sogar beliebig klein für hinreichend große Werte von n, wenn G > 0 und x > 0.

Setzt man m -f- 1 = p, und ist

g >    — 1, also m Ą- 1 = /; Ar 0,

so wird

9    ₌ 9+1—P

9+ 1

9 + 1

m -^9— 1    9 + 2 — V

9+2    ' g+2

x^x,

x Fl x

n H- 1 —

P <r-

- x x,

folglich ist

m—n

—;— x — n —f- 1

(9.)

( 1)»—tf+l F₂ ^ Xn~9+X.

Da nun x < + 1 ist, so wird für hinreichend große Werte von n — g -f- 1 die Größe xn~9⁺¹ beliebig klein, folglich erst recht F>.

Ist dagegen

m < — 1, also m + 1 < 0, so erhält man, indem man m -f- 1 = —p setzt,

m—g    9_j' I ±P ₌ , , P

n -|- 1 + p

n -fl

n + 1

Alle diese Brüche sind größer als 1, da p> 0 ist, aber sie nähern sich dem Werte 1 beliebig. Da x <1 ist, so wird

> 1,

und man kann es erreichen,, wenn man nur g hinreichend groß macht, daß

wird, daß also

m-—q

7+ T

<-

ist. Dies gibt dann

9 + 2

— 9 — ²

-7-x < k

9 + 3

Deshalb wird

- ¹¹    7

- X < Æ.

» + 1

(10.)

also auch hier wird F₂ für hinreichend große Werte von w — g + 1 beliebig klein, da k ein echter Bruch ist.

Daraus folgt, daß auch

wenn

r = f₁.f₂. f₃,

1 und 0, ist also

(11.)

so wendet man die dritte Form des Restgliedes an, uni zu zeigen, daß R beliebig klein wird. Aus Gleichung (4.) folgt dann, wenn man der Einfachheit wegen & statt ©₃ schreibt und x = — z setzt,

ist, beliebig klein wird für hinreichend große Werte von n. Zweiter Fall. Liegt x zwischen -— 1 < x ^ 0

(12.) R =

wobei

m (m—1 )...( m—n -f-1 ) (m—n) ( 1—Qz)’^¹ ( 1—0)n(—z)nJrl 1.2... n{ 1 — 0zf (1—m)(z—&z)    (2—m)(z-—0z)

1 . (1 — 0zf (n — m) (z — 0z) n(l — 0 z)

— — mz{ 1—0 z):

Der erste Hauptfaktor Fx ist eine endliche Größe, ebenso der zweite Hauptfaktor F±. Ferner ist nach Ungleichung (11a.)

1 ^ 0 ^ 0Z,

O A c(l — 0) = z — 0z ’F z(l

0^1 — 0^1 — 0z,

0z),

folglich wird

— 0z

(lia.)

(13.)

0^z< + 1.

Auch hier zerlegt man R in drei Hauptfaktoren

F\ — — mz( 1 — 0z) m z—0z 2—m z—0z 1—0z 2    1—0z

/, 1 — Ą-' i (15.) F₃ = g - 1 — m 9 + 1

(14.)

Z-0Z

g—m

g    1— 0z

0z g -j- 2 — m z — 0z n — m 1 — 0 z    <7 + 2    1 — 0 z

z — 0Z

(16.)

Ist nun m As 0, so wird

g + l—m

Sl,

S1, •••

'A 1

also

—    0z\n-3

—    0z)

Da z ein echter Bruch ist, so wird zn~v beliebig klein für hinreichend große Werte von n — g, also erst recht F₃.

(17.)

«(i

'U Zn~9.

Ist dagegen m < 0, also —m > 0, so wird, wenn man hier — m — p setzt,

Diese Brüche sind zwar alle größer als 1, da p > 0 ist, nähern sich aber dem Werte 1 beliebig. Macht man daher g so groß, daß

1 — Gz z — Gz

oder

ist, so wird

g -f- 2 — m z — Gz 9+ 2

1 — Gz

< k,

<k.

n — m z — Gz

1 — Gz

Dies gibt

(18.)

Fa < kn~9.

Da k ein echter Bruch ist, so wird kn~v beliebig klein für hinreichend große Werte von n — g, folglich erst recht F₃.

Damit ist bewiesen, daß auch U beliebig klein wird für hinreichend große Werte von n, gleichviel ob m positiv oder negativ ist.

Durch Vereinigung des ersten und des zweiten Falles erhält man daher für

(19.)

1 X <C 1

die Entwickelung*

(20.) (1 + x)m = 1 + x +    )«³ H----•

Bemerkung. *)

Liegt m zwischen —1 und +°°) so läßt sich zeigen, daß diese Reihe auch noch füræ = -j-l gilt; liegt m zwischen ü und -ß°°> so gilt sie auch noch für x = — 1.

i *) Sollte der Inhalt dieser Bemerkung für den Anfänger noch zu schwer verständlich sein, so darf sie übergangen werden.

oder 0 < m -j- 1 <    x = + 1,

Beweis. Ist

— l<rn<-poo.

so gehen die Gleichungen (6.), (7.) und (8.) über in

(6a.)

m(m — 1)... (m.— g 1)

1.2...<7

(7a.)

m — g—1

(8a.)

V _    — 9    _

² g-f1 ' g + 2

Fa__ a + ®r_.

771 -

i-¹ s

(1 + Q)n+i

(— I)»»—0-H Fo

(21.)

Der erste Hauptfaktor I\ bleibt wieder endlich, der dritte Hauptfaktor wird gleich 1 für © = 0 und beliebig klein für © > 0. Ferner folgt aus Gleichung (7a.), wenn man die positive Größe m-\-l—p setzt, g +1 — p g + 2 — p n + 1 — p

9+1    '    9 + ^

Nun ist nach Formel Nr. 87 der Tabelle

f(x -f h) =f(x) + hf‘ (x -f 9h),

also für

fix) = xp+1, f\x) = {p + l)xp

erhält man

(22.)

(x + h)p+{ = xp+l -f (p + 1 )h(x + 9h)p,

und für x = 1

(23.)

(1 + h)P+l = 1 £ (p + 1)ÄCL + 9h)p.

Wenn nun h und p beide positiv sind, so ist

(l+9h)p^(l+h)p,

und die Gleichung (23.) geht über in die Ungleichung (l + Ä^⁺¹^l + (p + l)A(l + Af,

folglich ist

(24.)

(1 + /0P(1 -ph)^i.

Dies gibt für h

oder

(25.)

g + « + ly g + « — p

9 + a )    9 + u =

.<7 + «

9 + u +1.

y-

g + 'j — p^fg 2 y g + 2 ⁼ \g 3/ ’

n + 1 —p (n + 1 y « + 1    “ \w + 2/

Daraus folgt, wenn man alle diese Ungleichungen miteinander multipliziert, nach Gleichung (21.)

(20.)

d. h. Fo j wird beliebig klein für hinreichend große Werte von n, also auch R seihst.

Im zweiten Falle, wo die Voraussetzungen

0 < m < + °°,

gelten, benutze man diejenige Form für den Rest der Taylor sehen Reihe, welche in § 42, Gleichung (33.) gegeben worden ist, nämlich

(1 — 0)w—*-f 1 (J — #)»+!,

f(n-\-\)[x _|_ @(J — æ)J

x. n!

wobei x eine beliebige positive Zahl ist.

Indem man x mit 0 und b — x mit x vertauscht, findet man aus diesem Ausdrucke für den Rest der Mac-Laurin sehen Reihe die Form R ^/(”+l\9x) x . n !

Deshalb wird in dem vorliegenden Falle nach den Gleichungen (la.)

m(m — 1) . .. (m — n) (1 -j- P).v)m—n—l

x. . n !

g + l—p

9+1

mj’

Dies gibt für x = — 1

(27.)

R = (— l)«+i

(1 — ©)»»—*,

also für x — m

(28.)

(1 — m) (2 — m)... (« — m)

1.2 . . . n

= F\ • F₂,

wobei für

(29.)

(1 — m) (2 — m). . . (g — m)

1-2... g

eine endliche Größe ist. Dagegen wird unter Anwendung der im ersten Falle ausgeführten Untersuchung, wenn man p mit m vertauscht, Kiepert, Differential - Rechnung.

Da m unendlich viele Werte haben darf, so sind in dem binomischen Lehrsätze unendlich viele Reihenentwickelungen enthalten. Ist m eine positive, ganze Zahl, so geht die Reihe nicht bis ins Unendliche, sondern sie bricht nach dem m + lten Gliede ab.

Beispiele.

1) m = — 1.

(1 + *)-* = r

c: : ;)

g 4-1 — m g + 2 — ffl # # # n — ffl <7 + 2

d. h. F, wird beliebig Mein für hinreichend große Werte von n, folglich auch R.

(30.)

<7 + 1

= 1 — x Ą- x¹ — x⁹ -f- x⁴ -—f- •

to

(l++f² = ]/l + x = 1 +

Æ² , 1 . 3 x⁹ 1.3.5 x*

4 ”'”274 6 ~~2.4.6 8 ¹

3)

(1 + «) ² =

]/l -j- x

1 .3.5.7

. 1

= 1~2*

#²

1.3.5

2.4.6

a:³

2.4.6.8

Man kann den allgemeinen binomischen Lehrsatz auch auf die Entwickelung von (a + b)m anwenden.

ein echter Bruch, und

Ist nämlich a > b man erhält

oder

r , /m\ b , /m\ b² , /m\ = a"l1 + (l)a + (₂)? + (₈)

Sa |«

Ist dagegen | a \ < J b ' , so wird man erhält

ein echter Bruch, und

O + »)“ = 4”(l + )

¹

Der Anfänger darf diese Bemerkung übergehen, da von der darin enthaltenen Untersuchung nur selten Gebrauch gemacht werden wird.

i-[,+G)î+G)î+G)

oder

132.) (a+J)« = 4»+(“)

+(“W-²+(“>»4

Der binomische Lehrsatz kann auch benutzt werden zur Ausziehung von Wurzeln mit beliebigen Wurzel-Exponenten.

Beispiele.

1) V130 = (125 + 5f = 5(l + ~₅)ä = 5(1 + 0,04)“.

Nach dem binomischen Lehrsätze wird aber

2.5    a;³

3.6    9

(1 + xf = 1 +

hier ist also

OS| IO

— ~r

2.5.8 x*

3T6.9 12 '    ’

(1 -f    0,04)^ =    1,013 333    333 3 — 0,000 177    777 8

+    0,000 003    950 6 — 0,000 000    105 3

oder

+    0,000 000    003 1 — 0,000 000    000 1,

(1 -j- 0,04)³ = 1,013 159 403 8,

j/ÏSQ = 5(1 + 0,04)^ = 5,065 797 019 0.

Wegen Vernachlässigung der späteren Dezimalstellen ist in diesem Resultate die letzte Dezimalstelle um 15 Einheiten unsicher.

2)

■y/1000 = (1024 — 24)³ = 4^1

128

Nach dem binomischen Lehrsätze ist

4 x¹

(l + a;)⁵ = l +

4.9 x3 5 10 ¹ 5 . 10 1

4.9 . 14 xi

Oi

.1

(1-X')⁵ = 1 —

folglich wird

x¹

4.9 x³

5.10.15 20 4.9.14 .x⁴

H----->

10    5.10

lß

IO

.10.15

In ähnlicher Weise werden die folgenden Aufgaben gelöst:

3) y/220 = (216 + 4)¹ = 6 (l + —J¹=

6 . 1,006 135 122 799

= 6,036 810 736 794.

Die Unsicherheit in der letzten Dezimalstelle beträgt hier

bei 18.

oder

bei 8.

——Y =

128/

1 — 0,004 687 500 0

—    0,000 043 945 3

—    0,000 000 618 0 — 0,000 000 010 1 — 0,000 000 000 2,

f'lOOO = 4 . 0,995 267 926 4

3,981 071 705 6.

Die Unsicherheit in der letzten Dezimalstelle beträgt hier

4)

y/2106 = (2187 — 81) ^ = 3 (l —

(1 + xf = 1 + Łx

6.13

7.14.21

~ xz —

__^_X2

7    14

6.13.20

7.14.21.28

= 0,994 623 032 493, -^2106 = 2,983 869 097 479.

Die Unsicherheit in der letzten Dezimalstelle beträgt hier

bei 10 \.

Es kann Vorkommen, daß die Zahl, aus der die nte Wurzel gezogen werden soll, der nten Potenz einer ganzen Zahl nicht nahe liegt, und daß deshalb bei der vorhin angegebenen Methode ± x von dem Werte 1 wenig verschieden ist. Dann liefert die Anwendung des binomischen Lehrsatzes nur durch die Berechnung von ziemlich vielen Gliedern ein Resultat, das auf mehrere Dezimalstellen genau ist. Soll z. B. Ą/ 4b berechnet werden, so ist

7 . 27

7.14.27²

7 . 14.21.27³

3³ = 27 < 45 < 4³ = 64. Mail müßte daher entweder

^45 = ^27 + 18 = ä(l + |y

setzen, oder

f 64 - 19 = 4(1—

In dem einen Falle wäre x gleich

CO

in dem andern Falle

19

wäre x gleich — ^ man. von der Reihe

• Beide Werte von x sind so groß, daß

71 CO

(1 +*)*=! +

2.5.8 ä⁴

3.6.9 12

3.6

recht viele Glieder brauchen würde, um y⁷45 z. B. auf 10 Dezimalstellen genau zu berechnen.

Viel schneller kommt man aber zum Ziele, wenn man

■y⁷45 = \ j/ 8.45 = \ -^360 z    z

setzt, denn es wird dann ^45 =

^343 + 17 = (l

17

343

)'

Jetzt ist x gleich

17

343

also so klein, daß nur wenige

Glieder für die Berechnung von 10 Dezimalstellen erforderlich sind.

In ähnlicher Weise kann man sich allgemein helfen, um kleine Werte von x zu erhalten.

§ 44.

Der Logarithmus.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 100 bis 105.)

Setzt man

f(x) = ln x

so kann man die Mac-Laurinsehe Reihe nicht anwenden, weil f{x) und alle Ableitungen davon für x = 0 unendlich groß werden. Deshalb setzt man

also /(0) = 0,

»    = + B

» /»=- 1,

„ r\ o) = + i .2,

» /W(0) = —1.2.3,

/(«) = ln(l + x),

f\x) = (1 + x)-¹,

f“(x) = — i. (i + Fr²,

(l->

f“(x) = 1 . 2(1 + x)~³,

/⁽%) = — 1 • ² • 3(1 + x)-\

/(“)(#) = (—l)n~\n—1) ! (1-f- x)~”, f{n+i)(x) — ( 1 )ww! (1 -|- F)⁻"⁻¹,

also

(la.)

y(”+!)(== (— l)nw! (1    ©a:)—"—¹.

Durch Anwendung der Mac-Laurinsehen Reihe erhält man

dann

(2.) ln(l -f~ x) —

-j    =b ---|- R.

Auch hier kann man zeigen, daß R beliebig klein wird für hinreichend große Werte von n, wenn x zwischen — 1 und + 1 liegt.

Ist zunächst

(3.)

+ 1»

so wendet man die erste Form des Restes an und erhält

gM + 1

n -R 1    (1 -j- &x)n+¹

(4-)

f{n+l)(Qx) (n + 1)!

xn+l _

(— i)“

(-1)”

n -f- 1

/ x y+1 V i + ex)

Für x = 1 wird also

(» +1)(1+ ©)"⁺¹

1

' beliebig klein, seihst wenn 0 gleich 0 sein sollte, denn ^    ^

wird beliebig klein für hinreichend große Werte von n. Ist aber x ein echter Bruch, so ist

— 1 < x 25S 0,

(5.)

(rhü

<: xn+1.

dann wird B erst recht beliebig klein, da die Faktoren

1 + ©a: =

x, also

n -f- 1

beide beliebig klein werden.

und

(rfs)

»+1

Ist

so wendet man wieder die dritte Form des Restes an und

erhält, indem man x mit —z vertauscht, f(n+

(6.) B

(l—&y’xn+¹=(—i)M(i+©^)

—n—1

(1—G)nx},+1

•(r

— Gzy

(7.)

1 - 02

Nun folgt aus der Ungleichung (5.), daß 1 > 2 > 0,    1 ^    ^ Gz,    0^1 — 0 'S 1 — ©2

- 02

und deshalb

0 5^ 2(1 — G) — z — 02 S 2(1 — Gz)

ist, folglich wird

2- 02

L — Gz

wird beliebig klein für hinreichend große Werte von n. Dasselbe gilt daher auch für B.

Somit erhält man für

^2. und

(i

— Gzy

- 02

die Entwickelung

(8.)

ln(l + x) =

I co

Es ist z. ß.

-—i co

(8 a.)

4+ — ••

Für die numerische Berechnung⁻ der Logarithmen ist die Reihe in Gleichung⁻ (8.) noch nicht sehr geeignet, weil man sie

nur für die Berechnung¹ der Logarithmen von Zahlen zwischen 0 und 2 benutzen kami, und weil man sehr viele Glieder der Reihe braucht, um den Logarithmus auch nur auf einige Dezimalstellen genau zu erhalten.

Man kann aber aus dieser Reihe einige andere, für die numerische Berechnung weit geeignetere Reihen ableiten. Setzt

man z. B. in Gleichung (8.) x = - ? so erhält man

K¹⁺f)=lu(^)=ln(a+y)

J/³

2 a2 1 3a³

oder

(9.)    ln (a -f y) = Ina + | —

wenn ^ ein echter Bruch ist. Für y = 1 folgt hieraus

(9 a.)    ln (a + 1) = ln a + ^    1 1 1

Eine noch brauchbarere Reihe erhält man auf folgende Weise. Nach Gleichung (8.) ist

zy»    rpL    rpO

ln(l +■*) = + f—j +1"

#) = -

3 a³    4a⁴

2a²    3a³    4a⁴

+----

xb

~4 ⁺ 5 ~~

xA

Ü’l

ln(l

indem man beide Seiten dieser Gleichungen voneinander subtrahiert, findet man

(10.) ln(l+*)-ln(l-z) = to(tLV) _ ₂(*- + | + 5 + •••) •

Setzt man jetzt (11.) x = so wird

2 y+z'

also 1 + x

2y+ 2z 2y + « ’

1 x y -R'z /I -f x\ w x

iMi_ J = ln(y + 2)

deshalb geht Gleichung (10.) über in

— lny;

z³

(1 .) ln(?/-f-~) lny+2 2y-\-z ¹ 3(2y + z)³ ‘ 5(2y + 2)

Sind y und « positive Zahlen, so wird x ein echter Bruch; dann gilt also die durch Gleichung (12.) gegebene Entwickelung.

Diese Reihe wird besonders häufig angewendet für den Fall, wo z = 1 ist; dann wird nämlich

(12a.) ]n(y+l)-%+2(~_₁ , 8(2 +1), . ₅₍₂, + 1w

-]•

Um sich darüber Rechenschaft zn geben, mit welcher Genauigkeit man ln(y + l) erhält, wenn man die Entwickelung in

Gleichung (12a.) bis zu dem Gliede setzt, beachte man, daß

(13.) ln(l + x) = j

an—1

fort

(2rc— l)(2y -f 1)

ai 2    A> 3    /v2w—1.    rpjLyb

2 + 3-+- + 2^i“*+**•

1    /v2w

Z²

⁰⁵ co

(14.) ln(l—x) = — wird, wobei (15.) Ą = ist. Daraus folgt

»    +Ï+ +■■■+

Da nun

(2ra-J-l)(l-|-©i;c)2n+1

Zt 2 =

— 2;2n+¹

(2rc -j-1) ( 1—&2%)2n+1

rjßiiVl-1

(17.)

1 4- (")\X

___—-^

1 - 1--X

ist, so wird

R\ — R‘> —

R\ — R₂

1_T/ x \2M+¹    /    *    \

2« + 1 L\1 + 0\x)    ¹ Vl — O-ix)

k* + (r--J1

2w+l-

^2w+l

2w -j- 1

(1 — xfn+lJ ’

x2n+1

= äT+1

(18.) —

Setzt man jetzt wieder

2x2n+¹

(1 — x)2n+1 -F 1

(1 — æ)2n+7    = (2 n-\-1)(1—a:)2tt+1

(19.) x =

also 1 —

+ 1

so findet man aus Ungleichung (18.)

X 2y + 1 ’ 1 — x 2 y'

(20.)

Iii - K-2 L:

— (2n -j- 1) (2y)²"+¹

§ 45.

Berechnung der natürlichen Logarithmen.

Aufgabe. Man soll die natürlichen Logarithmen der Zahlen 1 bis 10 auf 8 Dezimalstellen genau berechnen.

Auflösung. Um in dem Resultate eine Genauigkeit von 8 Dezimalstellen zu erzielen, wird es gut sein, die Rechnung bis auf 10 Dezimalstellen durchzuführen.

Zunächst ist

(10

ln 1 = 0.

Ferner setze man in der Reihe

rH CO

2y+l 3(2y + l)³ ' 5(2y + l)5 ln2 = 2( ⁺S785 ⁺ 57F» ⁺ "')'

(2.) ]n(y+l) = lny + 2r

y = 1, dann wird

Nun ist

1:3 = 0,333 333 333 3, 1 : 3³ = 0,037 037 037 0, 1 : 3⁵ = 0,004 115 226 3, 1 : 3⁷ = 0,000 457 247 4, 1 : 3⁹ = 0,000 050 805 3, 1 : 3¹¹ = 0,000 005 645 0, 1 : 3¹³ = 0,000 000 627 2, 1 ; 3¹⁶ = 0,000 000 069 7, 1 : 3¹⁷ = 0,000 000 007 7, folglich ist

1 : 11 . 3¹¹ = 0,000 000 513 2, 1 : 13 . 3¹³ = 0,000 000 048 2, 1:15. 3¹⁵ = 0,000 000 004 6, 1 : 17 . 3¹⁷ = 0,000 000 000 5,

₉ ln 2 = 0,346 573 590 2

und

= ln2 -f- 2^

ln 2 = 0,693 147 180 4.

Setzt man in Gleichung (2.) y = 2, so erhält man

—¹--V

3 . 5* ^

(3.)

ln 3

Nun ist 1:5 = 0,2,

1 : 5³ = 0,008,

1 : 5⁵ = 0,00 0 32,

1 : 5⁷ = 0,00 0 012 8,

1 : 5⁹ = 0,000 000 512,

1 : 5¹¹ = 0,000 000 020 5, 1 : 5¹³ = 0,000 000 000 8, folglich ist

-    ą—y

5 . 5⁵ '    )

1:5 = 0,200 000 000 0, 1 : 3    .    5³    =    0,002 666    666 7,

1 : 5    .    5⁵    =    0,000 064    000 0,

1 : 7    .    5⁷    =    0,000 00 1    82 8 6,

1 : 9    .    5⁹    =    0,000 000    056 9,

1 : 11    .    5¹¹    =    0,000 000    001 9,

1 : 13    .    5¹³    =    0,000 000    000 1,

- -f-    1    ,

~ 3 . 53 1 5 . 5⁵

o/²    |    1

\5 ^ 3 . 53 r 5 . 5⁵

Oi h-i

H----= 0,202 732 554 2,

Dies gibt

H----^ = 0,405 465 108 4,

ln 2 = 0,693 147 180 4.

3n3 = 1,098 612 288 8.

Ferner wird

In4 = 2 . ln 2 = 1,386 294 360 8. Für y = 4 folgt aus Gleichung (2.)

= lné + 2(g + -370,-1- i V

(5.)

1:9= 0,111 111 111 1, 1 : 3 . 9³ — 0,000 457 247 4, 1 : 5 . 9⁵ = 0,000 003 387 0, 1 : 7 . 9⁷ = 0,000 000 029 9, 1:9.9®= 0,000 000 000 3,

dies gibt

*—I OS

CO I t-¹

3 . 93 1 5 . 9⁵

3 . 9³    5 . 9⁵

i----- 0,111 571 775 7,

• •    = 0,223 143 551 4,

ln4 = 1,386 294 360 8;

(6.)

hl 5 = 1,609 437 912 2.

Ferner ist

ln6 = ln2 + ln3 = 0,693 147 180 4 + 4,098 612 288 8,

oder

(7.)

ln 6 = 1,791 759 469 2.

Für y = 6 folgt aus Gleichung (2.)

In7 = ln6 + 2(h ₊

3.13“ ¹ 5.13⁵

+ -)■

Nun ist

1:13 = 0,076 923 076 9, 1 : 13³ = 0,000 455 166 1, 1 : 13⁵ = 0,000 002 693 3, 1 : 13⁷ = 0,00 0 0 0 0 0 15 9, folglich ist

1 : 13 = 0,076 923 076 9, 1:3. 13³ = 0,000 151 722 0, 1 : 5 . 13⁵ = 0,000 000 538 7, 1 : 7 . 13⁷ = 0,000 000 002 3,

r +ti^⁺6ïi3ï + - = ⁰-077075839 9’

CO

<ï + 3713-» + O* -)•    150 679 8-

ln 6 = 1,791 759 469 2;

dies gibt

(8.)

ln 7 = 1,945 910 149 0;

ln8 = 3 . ln2 = 3 . 0,693 147 180 4, also ln 8 = 2,079 441 541 2;

(9.)

ln 9 = 2 . ln 3 = 2 . 1,098 612 288 8,

also

(10.)    ln9 = 2,197 224 577 6;

ln 10 = ln 2 + ln 5 = 0,693 147 180 4 + 1.609 437 912 2,

also

(11.) ln 10 = 2,302 585 092 6.

Berücksichtigt man nun, daß die beiden letzten Dezimalstellen in den vorstehenden Rechnungen nicht mehr ganz zuverlässig sind, und behält man deshalb nur 8 Stellen bei, so ergibt sich als Resultat der Rechnung die folgende Tabelle:

ln 1 = 0,

(12.)

ln 2 = 0,693 147 18, ln 3 = 1,098 612 29, ln 4 = 1,386 294 36, ln5 = 1,609 437 91, ln6 = 1,791 759 47, ln 7 = 1,945 910 15, ln8 = 2,079 441 54. ln9 = 2,197 224 58, ln 10 = 2,302 585 09.

Will man hieraus die Logarithmen mit der Basis 10 berechnen, so hat man nach den Ausführungen in § 18 die gefundenen Werte mit dem Modul des Brigg a sehen Logarithmensystems, nämlich mit

0,434 294 48

(13.) log, = üLlO 2,302 585 09

zu multiplizieren.

Bezeichnet man also log, mit M, so erhält man für die Logarithmen mit der Basis 10 folgende Tabelle:

log-2 = Jf . ln 2 — 0,301 029 99, log-3 = M. ln 3 = 0,477 121 25, log4 = M. ln 4 = 0,602 059 99, log 5 = M. ln 5 = 0,698 970 00, log 6 = M . ln 6 = 0,778 151 25, log 7 = M . ln 7 = 0,845 098 04, log8 = M. ln8 = 0,903 089 98, log 9 = M . ln 9 = 0,954 242 51, log 10 = M. ln 10 = 1,000 000 00.

(14.)

Für die Berechnung der Logarithmen aller übrigen Zahlen mit der Basis 10 findet man aus Gleichung (2.) durch Multiplikation mit M

(15.) log 0+1)    +    + 3(^+1):

Dabei braucht man von der Reihe höchstens nur noch die drei ersten Glieder, wenn man auf 8 Dezimalstellen genau rechnen will. Bei etwas größeren Zahlen werden sogar schon die beiden ersten Glieder ausreichen. So ist z. B.

-)

ln58 = ln52 + 2(ïL + ÿ-Lp

¹ = 0,009 523 809 5,

105

3 . 105³

= 0,000 000 287 9;

folglich ist

ln53 = ln 52 + 2 . 0,009 524 097 4 = ln 52 + 0,019 048 194 8.

Hier hat schon das dritte Glied der Reihe in den ersten 10 Dezimalstellen keine geltende Ziffer mehr.

Allerdings darf man es sich nicht verhehlen, daß die Fehler, welche man durch Vernachlässigung der späteren Dezimalstellen begeht, bei diesem Verfahren um so größer werden, je weiter man es fortsetzt. Zu dem Fehler, der schon bei der Bildung von ln?/ begangen ist, tritt ein neuer Fehler bei der Bildung von

KSD-GV

ZAR ZAD s;!!

Dąbrowa

'iNiCZEJ

§ 45. Berechnung der natürlichen Logarithmen.

207

In (y +1) hinzu. Ist ferner die Zahl n, deren Logarithmus man bilden will, eine zusammengesetzte, ist z. B.

n — abc ..

so wird

lr\n = Ina + InZ» -f lnc -|----,

so daß der Fehler hei ln» gleich der algebraischen Summe der Fehler bei Ina, ln£, lnc,... ist.

Man muß daher die Logarithmen der Primzahlen 2, 3 und 5, die am häufigsten bei der Bildung zusammengesetzter Zahlen Vorkommen, ganz besonders genau berechnen und kann das in folgender Weise. Löst man die Gleichungen

ln(jjD⁼ ^n2—    — ln 5,

Inf 24 ) ⁼⁼ — ³^n2 — ln 3 + 2 ln 5,

1R (so) ⁼ — ⁴^n2 + 4 ln 3 nach ln 2, ln 3, ln 5 auf, so erhält man ln 2 = 7 ln

(16.)

ln 5

«■(s)+«■(£)•

ta3 = llln(ïf) ⁺ 81n(|) + 5ln(|i),

(ü)+-K!)+⁷0-

Nun ist aber nach Gleichmrg (2.), wenn man für y die Werte 15, 24 und 80 einsetzt und mit 20 Dezimalstellen rechnet,

(17.)

lnö = 16hl

ln

ln

Oi OS

31 ' 3.313 = 0,064 538 521 137 571 171 70,

(18.)

f2S) = i(¹

V24/    \49

+ -)

3.49⁸

= 0,040 821 994 520 255 129 56,

3.161³

= 0,012 422 519 998 557 153 30.

X10 \

o»

braucht man

Bei der Berechnung von lnfW und ln

von ln

hierbei nur 6 Glieder der Entwickelung, bei der Berechnung /81\

( —) sogar nur 4. Dadurch findet man V80/

ln 2 = 0,693 147 180 559 945 309 60, ln3 = 1,098 612 288 668 109 691 68, ln5 = 1,609 437 912 434 100 375 02, ln 10 = 2,302 585 092 994 045 684 62.

Es ist nicht zu verlangen, daß in diesen Resultaten die beiden letzten Dezimalstellen noch genau richtig sind; und zwar ist

bei

ln 2

ln 3

ln 5

ln 10

die obere Fehlergrenze ±48, ±67,    ±112, ±160,

und der wirkliche Fehler + 18,    + 28,    + 42,    --f- 60;

d. h. die hier angeführten Werte von ln 2, ln 3, ln 5, ln 10 sind in den letzten beiden Dezimalstellen bezw. um 18, 28, 42, 60 zu groß.

Es ist dem Anfänger sehr zu empfehlen, die hier angedeutete Rechnung wirklich durchzuführen.

Jetzt ist es auch möglich, ln7 sehr genau auszurechnen, demi es ist

7² =

• 2 • 5²,

also

2ln 7 = ln2 + 2 ln 5 — to.(^) •

Dabei ist nach Gleichung (2.) für y = 49 /50\ _ ₉ /_1    1    1

¹¹ \49/ ~~    \99    3 . 99:i + 5 . 99⁵

+ -)

= 0,020 202 707 317 519 448 40,

und wenn man die hier gefundenen Werte zugrunde legt, ln 2 + 2 ln 5 = 3,912 023 005 429 146 059 64,

also

ein Wert, der in den beiden letzten Dezimalstellen um 51 zu groß ist.

§ 46.

Partes proportionales.

Nach den Gleichungen (16.) und (18.) in § 44 war

2n—1

2u

• + =!

wobei

(2.)

R₁ — JU <

2 ( x \

⁼ 2 n -f- 1 \1 — x)

2n+l

ist. Dies gibt für n = 1, wenn man der Kürze wegen R statt i?,i — R) schreibt,

(3.)

ln(i-D=2a:+ą

WO

(4.)

Setzt man wieder

æ =---->

also

2y + *

2y

i_+ 5 ₌ y +

1 —x

so folgt aus Gleichung (3.)

in (y + «) = ln y + wobei nach Ungleichung (4.)

(5.)

2z

2y + «

-f- i?,

(6.)

z³

= 12y*

Ist also y > 10000, z^l, so wird

14

Kiepert, Differential-Rechnung.

d. h. Il hat in den ersten 13 Dezimalstellen keine geltende Ziffer mehr.

Darauf gründet sich bei dem Gebrauche der Logarithmentafeln die Berechtigung für die Interpolation durch die partes proportionales.

Sind z. B. in einer solchen Tafel die Logarithmen für alle fünfstelligen Zahlen angegeben, so kann man daraus doch noch den Logarithmus einer siebenstelligen Zahl a bis auf 7 Dezimalstellen genau finden, wie folgt.

Da es bei den Briggs sehen Logarithmen nur auf die Mantisse ankommt, so setze man bei der Zahl a das Dezimal - Komma hinter die fünfte Ziffer, nenne die Ganzen y und den übrig bleibenden Dezimalbruch z, dann ist

a = y + z, wobei y > 10000 und z < 1.

2z

Jetzt ist nach Gleichung (3.)

(8.)

2 y + z

ln (y + 1) = in y +    +lu >

ln a = ln (y + z) = ln y -f-

(9.)

wobei man aber die beiden Reste llz und Ri vernachlässigen darf, da beide in den ersten 13 Dezimalstellen keine geltende Ziffer haben. Setzt man daher

(10.)

4 = ln (y + 1) — ln y =

io

so wird

2y -f-1 ’

(11.)

ln a = ln y +

oder, wenn man die Gleichung

0 — z . /t —

2z

2z

addiert,

2y + i

(12.)

Ina = lny + z . J -j-

2z

2y + 2 2y + 1 2z(l — z)

(2y + z) (2y + l)

Dabei ist aber, da von den beiden Faktoren z und l — z der eine kleiner als | und der andere kleiner als 1 sein muß,

2:(1 — g)

(2y + z) (2y + 1)

<c

2z(l— z) 1

<Zd2 <

4 y%

4.10⁸

Setzt man also

ln a = lny -f- z . A,

so ist der Fehler so klein, daß er in den ersten 8 Dezimalstellen keine geltende Ziffer hat.

Man braucht also nur, um ln« zu erhalten, in den Tafeln ln y aufzuschlagen und den Ausdruck

z.4 = 2[ln(y + 1) — lny]

zu addieren, welcher unter dem Namen „partes proportionales“ in den Logarithmentafeln an der Seite angegeben ist.

Das Gesagte gilt zunächst für natürliche Logarithmen, da aber die Briggs sehen Logarithmen aus diesen entstehen, indem man sie sämtlich mit M = loge multipliziert, so gilt es in ähnlicher Weise auch für Briggs sehe ^Logarithmen und ebenso für jedes andere Logarithmen-System.

§ 47.

Methode der unbestimmten Koeffizienten.

Bei manchen Funktionen ist die Bildung der höheren Ableitungen sehr umständlich ; deshalb wählt man zur Entwickelung nach steigenden Potenzen von x einen etwas anderen Weg.

Nach der Mac - Laurin sehen Leihe wird

(1.) f{x) — A -f- A\x + A₂x² + A₃x³ +----f Anxn + R,

wobei

(2.) A =/(0)

A\ =

/'( 0)

A-i

/"( 0)

2!

wird. Aus Gleichung (1.) folgt aber durch Differentiation

dB

clx

(3.) f\x) = Ai -f- 2A₂x -j- 3A₃x² + •••-)- nAnxn~¹ +

Ist also die Entwickelung von f‘{x) bekannt, so findet man die Werte der Koeffizienten Alf A₂, A₃,... aus Gleichung (3.). Man muß aber noch zeigen, daß in der auf diese Weise gefun-- denen Entwickelung der Rest R beliebig klein wird für hin-

reichend große Werte von n. Deshalb soll der folgende Satz bewiesen werden:

dH

dx

Ist für hinreichend große Werte von n die Größe beliebig klein, so gilt dasselbe auch von H.

Beweis. Ist e eine beliebig kleine Zahl, so gilt für hinreichend große Werte von n die Voraussetzung

(4.)

dH

dx

also

dH

dH

dx

dx

oder

(4a.)

d(H — ex)

dx

< 0,

d (11    ex)

dx

> 0,

(5.)

deshalb nimmt H f ex mit x beständig zu, während H — ex beständig abnimmt, so lange x zunimmt. Für x = 0 sind aber beide Funktionen gleich 0, folglich ist für positive Werte von x H + ex > 0 und H — ex < 0,

oder

(5 a.)

— ex < H < -j- ex.

Für negative Werte von x findet man ebenso f ex <. H < — ex.

In beiden Fällen wird H beliebig klein, denn e ist beliebig klein und deshalb auch ex.

Dabei ist zu beachten, daß

(6.)

dH

dx

das Eestglied in der

Entwickelung von f‘(x) nach steigenden Potenzen von x ist. Man kann daher dem eben bewiesenen Satze auch die Fassung geben:

Läßt sich f‘(x) nach steigendeti Potenzen von x entwickeln, so gilt dasselbe auch von f(x).

Mit Hilfe dieses Satzes findet man z. B. sehr leicht die Entwickelung von

fix) — ln(l + x) = A + Age + A^x¹ -j- A₃x³ + • • • + Anxn -j¹ H,

denn es wird nach dem binomischen Lehrsätze für

— 1 C x < ~P 1

1—X-\-X²-X³ -P----P(—1):

lXn~¹ -p

dR

dx ’

folglich ist

2 A-2 — — 1,

A =/(0) = Inl = 0, Ai = l, und deshalb in Übereinstimmung mit Formel Nr. 100 der Tabelle

(8.)

Wenn — 1 < x < -p 1 ist, so wird dabei R beliebig klein, in der Entwickelung von fix) beliebig

weil das Restglied klein ist.

dR

dx

§ 48.

Entwickelung der Funktion arctg x nach steigenden Potenzen von x.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 106.)

Aufgabe. Man soll die Funktion arctg¹ x nach steigenden Potenzen von x entwickeln.

Auflösung. Hier ist

(1.) fix) = arctg x — A -P Axx -)- A-₂x² -f- A₃x³ -j-----p AnxnĄ-R,

dR

(2.) J ‘(x) — —- ^ — A\ -j- 2A-ix -p 3A3X² -f- • • ■ -f- nAnxn~⁷ -p ^

Nun wird aber nach dem binomischen Lehrsätze, wenn x ein echter Bruch ist,

(3.)

= 1 — x² x*

Xe -\----

folglich ist

4:A4. = 0,    5^5 - p- 1, . . .

X⁵ X⁷

A = /(0) = arc tg 0 = 0, A\ = 1, A-i = 0,    3A₃ —

und deshalb

arct gx =

§ 49.

Berechnung der Zahl n

durch Anwendung der Entwickelung von arctgæ.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 107 bis 109.)

Die Entwickelung von arctgx nach Potenzen von x ist sicher richtig, so lange x zwischen — 1 und -f 1 liegt. Es läßt sich aber auch beweisen, daß sie noch für x = ± 1 richtig bleibt³) Wenn dies der Fall ist, so findet man daraus unmittelbar den Wert von ~ > weil tg^0 gleich 1, also arctgl = — ist. Denn die Reihe gibt für x = 1

CO ; h-i

(!•)

11

R wird dabei beliebig klein für hinreichend große Werte

in der Entwickelung von f'(x)

von n, weil das Restglied beliebig klein ist.

dR

dx

- + -

3    5

Diese Reihe heißt die „Reihe von Leibniz¹¹.

Von dieser Reihe würde man sehr viele Glieder brauchen, wollte man die Zahl n auch nur auf wenige Dezimalstellen genau berechnen; man kann aber die Reihe so umformen, daß man Reihen erhält, welche für die numerische Berechnung der Zahl n sehr wohl geeignet sind. Aus Gleichung (1.) folgt nämlich

11

)+-

oder

(2.)

TH iCO

35

l+~>

und

-■ = i — A

4    V 3

oder

5 )    \7    97 V 11

13

Berücksichtigt man in Gleichung (2.) die ersten n Glieder und ebenso in Gleichung (3.), so findet man zwei Zahlen, zwischen

7t

denen — liegt. Das arithmetische Mittel zwischen diesen beiden

Näherungswerten wird daher schon ein wesentlich genaueres Resultat liefern. Deshalb addiert man die Gleichungen

= ²(

(2 a.)

1.3' 5.7

00

rH

LO

O'

05

co

rH

rH ; "H

co

¹ 9 . 11

und

(3a.)

²G .5 ¹ 7.9

11 . 13

dadurch erhält man

tC S

= l+2(- ¹

5.7    7.9

9 . 11    11 . 13

also

rf-

i+2. u

1.3.5

5.7.9

9 . 11 . 13

+ -)

oder

(5.)

1.3

2.4

3.5.7 ¹ 7.9.11 ¹ 11.13.15

Berücksichtigt man in den Klammern wieder n Glieder, so findet man aus Gleichung (4.) einen Wert, der zu klein ist, und aus Gleichung (5.) einen Wert, der zu groß ist. Deshalb nimmt man noch einmal das arithmetische Mittel, indem man die Gleichungen (4.) und (5.) addiert. Dies gibt

also

2’ / w = 2 + n3 + ²-⁴(

1.3.5

3.5.7

4-

Ü+

CD

7.9 . Il

•'Y

(6.) *r = 2 + ^ + 2.4.6

oder

(7.) n = 2 + j— +

— 2.4.6

2.4

1.3.5.7

5.7.9.11

•)’

co

1 .3. 5

3.5.7.9

7.9.11 . 13

In dieser Weise kann man fortfahren, wobei man immer stärker konvergierende Reihen erhält.

Noch schneller führen die folgenden Methoden zum Ziele. Setzt man

(8.)

tgw =

DO I

also

(9.)

tgv =

rH ICO

dann wird

u = arctgf-)’

v = arctgQ),

(10.) tg(w + v) =

tgw + tgü

y—i CO

Ith Ico

also

(11.)

Dies gibt

(12.)

oder

1 — tgutgv    1

¹ 2 '

— arctgl

= arctg^H- arctg(0

oder

3.23 1 5.2⁵

"K

t-H CO

3.33 1 5.3⁵

DO ! 1-1

t-H ] CO

t-H CO

rH | rO

Diese Reihe heißt die „Heike von Euler¹¹. Sie ist zur Berechnung von re schon weit geeigneter als die Reihe von Leibniz.

Machin hat eine Reihe zur Berechnung von n aufgestellt, welche für die numerische Berechnung noch zweckmäßiger ist. Er setzte zunächst

(15.)

tgu

r-l ' lO

: also

u = arctg^—^ •

Hieraus folgt

(16.)

12’

25

(17.)

tg (4m) - -

2 tg (2 m)

120

tg²(2w) i

25

119

144

Es ist demnach

tg(4w) > 1

,    u

also 4m > — • 4

Der Unterschied zwischen 4 u und klein; bezeichnet man ihn mit v, so wird

ist offenbar

sehr

(18.)

+ »,

TT

oder 4 u — v — —

und

(19.)

Deshalb erhält man

tg» = tg(4 u — j)

tg (4w) tg (j)

---?

l + tg(4w)tg(j)

oder

120

(20.)

tg» =

119

120

239

119

Dies gibt

■C = arcto (2^9) ’

und mit Rücksicht auf die Gleichungen (18.) und (15.)

(21.)

¹

. 13

²

n 5

Nun ist

1:9= 0,111 111 111 1, 1 : 9³ = 0,001 371 742 1, 1 : 9⁵ = 0,00 0 016 935 1, 1 : 9⁷ = 0,00 0 000 209 1, 1 : 9⁹ = 0,000 000 002 6, folglich ist

³

Der Beweis kann an dieser Stelle übergangen werden, weil die Folgerungen des Satzes hier nur geschichtliches Interesse haben. In den Beispielen auf Seite 250 (§ 53) wird der Beweis nacbgeholt.

(22.)

2 = 4« — e = 4aretg'(₅)— arctg(~)

oder

)    (239    3.239³

+ --)•

3.53 1 5.5⁵

(23.) f-<i

Will man also den Wert von 7r bis auf 8 Dezimalstellen genau berechnen, so findet man

1 : 13.5¹³= 0,000 000    000 1,

also

also

oder

arctg/jH = 0,200 064 057 0 — 0,002 668 497 2 = 0,197 395 559 8.

Ferner ist

1 : 239 = + 0,004 184 100 4 — 1:3 . 239³ = + 0,000 0 0 0 024 4,

arctg(_L) _ o,004 184 076 0.

Daraus folgt

= 4arctg(i)-arctg(i)

= 0,789 582 239 2 — 0,004 184 076 0,

= 0,785 398 163 2,

TT — 3,141 592 652 8.

Hierbei sind die beiden letzten Dezimalstellen nicht mehr

durch Ver-

sicher, weil schon bei Berechnung von arctg^-^

nachlässigung der folgenden Dezimalstellen ein kleiner Fehler begangen ist, der in der 10ten Dezimalstelle kleiner als 2| ist. Dieser kleine Fehler wird aber bei der Bildung von n mit 16 multipliziert, weil

n = lßarctg'Q^— 4 arc

^(239)

ist. Dazu tritt noch ein Fehler, der von 4arctg^^— ^ herrührt

und der in der letzten Dezimalstelle kleiner ist als 4. Der Gesamtfehler ist also kleiner als

44

IO¹⁰ *

Durch eine Rechnung- auf mehr, z. B. auf 20 Dezimalstellen findet man dies bestätigt; es wird dann nämlich n = 3,141 592 653 589 793 238 46.

Daraus erhält man ohne weiteres noch die folgenden Zahlen, welche in der Vermessungskunde häufig angewendet werden:

arcl⁰ =

~ = 0,017 453 292 519 943,

180

Q° =

180

arcl' =

— = 57,295 779 513 1;

7T

= 0,000 290 888 208 666

Q‘ =

180    .    60

180    .    60

TC

- = 3 437,746 770 784 9;

arcl" =

Tt

180.60.60 180.60.60

= 0,000 004 848 136 811,

= 206 264,806 247 096 4.

§ 50.

Entwickelung der Funktion arc sin x nach steigenden Potenzen von x,

(Vergl die Formel - Tabelle Nr. 110.)

Aufgabe. Man soll die Funktion arcsin^ nach steigenden Potenzen von x entwickeln.

Auflösung. Setzt man hier

(1.) fix) = arcsin x = A -f Axx -j- A₂x² -\----+ Anxn -f- R,

so wird nach dem allgemeinen binomischen Lehrsätze

dB

clx

IC —

(2.) /'(«) =

— (1 — x²)

1.3.5

2.4.6

Wenn «² kleiner ist als 1, so wird beliebig klein für

hinreichend große Werte von n, folglich gilt auch dasselbe für R. Aus den Gleichungen (1.) und (2.) findet man daher A = f{ 0) = arcsinO = 0,

A\ = 1,    2A₂ — 0,    3 A 3 =

folglich ist

toi l-i

4A4 — 0.    5A.5 —

(3.) arcsin« =    +    +

1.3.5

2.4.6

für — 1 < x < +1.

Auch diese Eeihe kann man zur Berechnung von n benutzen. Es ist nämlich

sin

tC

> also

= arcsin

—i Cm

IC

CO

folglich wird

2 ' 2    3.2³

1    1.3.5    1

. 4* 5.25 + 2 .4.6*7 2⁷

VI. Abschnitt.

Konvergenz der Reihen.

§ Öl.

Erklärungen und vorbereitende Beispiele.

Ist

(10

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 110.)

um =f(m)

eine gegebene Funktion der positiven ganzen Zahl m, so bilden die einzelnen Funktionsweise

oder

/(Q)» ./( 1). /(2),.. •/(»—!)

Wo 5    «1 5    . . . U,i—\ ,

(2.)

eine endliche Reihe, welche aus w Gliedern besteht, und deren Summe mit S* bezeichnet werden möge. Es sei also Sn — Uq -j- U\ + W2 + • ■ * + WM_1.

Wächst die positive ganze Zahl w ins Unbegrenzte, so wird aus der endlichen Reihe eine unendliche Reihe. Dabei kann es Vorkommen, daß sich Sn mit unbegrenzt wachsendem n einer bestimmten, endlichen Grenze S nähert, daß also

(3.)

lim Sn = S

n=oo

wird. In diesem Falle heißt die unendliche Reihe (oder kürzer: die Reihe) „konvergent“.

Dies gibt die

einer bestimmten, endlichen Grenze S nähert, welche die ,, Summe der Reihe¹¹ genannt wird.

Der Unterschied zwischen dieser Grenze S und der Größe Sn wird mit Rn bezeichnet und der „Rest¹¹ der Reihe genannt. Es ist also

(4.)

R n — S- Sn

oder S = Sn + Rn •

Satz 1.

Ist die Reihe konvergent, so wird also der Rest Rn beliebig klein, wenn man n hinreichend groß macht.

Davon gilt auch unter gewissen Voraussetzungen, die in Satz 5 angegeben sind, die Umkehrung.

Wird Sn mit n zugleich unendlich groß, so heißt die Reihe „divergentwird der Wert von Sn mit wachsendem n dadurch, daß er zwischen verschiedenen Werten hin- und herschwankt, unbestimmt, so sagt man, „die Reihe oszilliert

Dabei möge für die zunächst folgenden Untersuchungen die Voraussetzung gemacht werden, daß die Reihenfolge der Glieder in keiner Weise geändert werden soll.

Zahlreiche Beispiele für solche unendliche Reihen liefert der vorhergehende Abschnitt, in welchem die Taylor sehe und die Mac- Laurin sehe Reihe behandelt worden sind. Dort wurde auch bereits die Konvergenz der gebildeten Reihen dadurch geprüft, daß man untersuchte, ob der Rest Rn für hinreichend große Werte von n beliebig klein wird. Ist dies der Fall, so war die Reihe in der Tat konvergent, denn der Unterschied zwischen der Funktion fix h) und Sn wurde beliebig klein, d. h. Sn näherte sich der bestimmten, endlichen Grenze fff h) beliebig. So nähert sich z. B. für — 1 < x -f- 1

(5)

xd

*“1

H-----dt

xn

dem Grenzwerte

(6.)

A = ln (1 -j- x)

beliebig, wenn n ins Unbegrenzte wächst; denn es wird

Rn = S- Sn

beliebig klein für hinreichend große Werte von n.

Ein anderes Beispiel liefern die geometrischen Progressionen

Sn = A + Aq + Aq¹ -|-----Aqn~x =

(7.)

A(l — qn)

i—7~ ’

wenn q ein echter Bruch ist, denn dann wird sich nach Formel Nr. 12 a der Tabelle Sn der Grenze

(8.)

1— 2

nähern, wenn n unbegrenzt wächst. Auch hier wird die Differenz

Aqn

JRn — S— Sn — — beliebig klein für hinreichend große Werte von n.

—9.

Soll sich Sn mit wachsendem n einer bestimmten, endlichen Grenze S nähern, so müssen die Größen S—SH, S—A/i+1 und deshalb auch

(S— Sn) — (S— £^+1) =    — Sn — un

für hinreichend große Werte von n beliebig klein werden; dies gibt

Satz 2. Die Glieder einer konvergenten Reihe ?nüssen von einer bestimmten Stelle ab immer kleiner und schließlich unendlich klein werden.

Damit ist nicht gesagt, daß un+\ stets kleiner als un sein muß; es ist vielmehr sehr wohl denkbar, daß ab und zu auch größere Glieder auf kleinere folgen ; wenn aber n ins Unbegrenzte wächst, so muß un verschwindend klein werden, es muß also

(9.)

lim un = 0

n— oo

sein.

Diese Bedingung ist eine noticendig e, aber durchaus noch keine hinreichende; d. h. die Reihe kann sehr wohl divergieren oder oszillieren, obwohl diese Bedingung erfüllt ist, wie das folgende Beispiel zeigen soll.

In der sogenannten „harmonischen“ Reihe

r—I Ol

rH CO

1+    +    +    +5+-

werden die Glieder immer kleiner und schließlich unendlich klein; trotzdem kann man zeigen, daß Sn beliebig groß wird, wenn man nur n hinreichend groß macht, daß also die Reihe divergent ist.

Man setze zu diesem Zwecke

^=2+2+4+84-----b 2m~¹ — 2m,

dann wird

oder

sn

= 1+l⁺(? ⁺ ï)⁺(l⁺    +7+ )+'"

-4-f_¹_

¹ \2W-¹+1

QO

Ot l—¹

rH i 00

2»!—1 _j_ 2

)•

rH !00

-----4 1N)

\    ¹ mJ

oder

tO H-i

10 i-i

Da man jetzt m beliebig groß machen kann, so wird auch Sn beliebig groß, d. h. die Reihe

1-1

— + - + -■+ - + 4----'

1 ¹ 2 ¹ 3    1    1 ist divergent.

Soll sich Sn mit wachsendem n einer bestimmten, endlichen Grenze S nähern, so müssen die Größen

S — Sm,

S — Sm+P,

und deshalb auch (S — Sm)— (S—Sm+P), oder

(10.)    Sm = Um 4“ UmĄ.\ +- UmĄ-2 + ‘ ‘ ' + UjnĄ-p—1

für hinreichend große Werte von m beliebig klein werden, wie groß die ganze Zahl p auch sein mag. Dies gibt

Satz 3. Ist die Heike konvergent, so kann man m so groß macken, daß die Summe von p auf einander folgenden Gliedern

Setzt man m-\- p gleich n, so geht Gleichung (10.) über in

(10a.)

£>n -S.m = Um -j- Un-j- W,,re+2 -)-••■-)- Un

Läßt man jetzt p ins Unbegrenzte wachsen, so wächst auch n ins Unbegrenzte, und es wird

lim Sn — S.

Deshalb geht Gleichung (10 a.) über in

(11.)

S — Sm — Bm — lim (um -(- umĄ.i -(-••• -f- un—i) •

n—oo

Für unendlich große Werte von p findet man somit aus Satz 3 wiederum als besonderen Fall Satz 1.

Die in Satz 3 für die Konvergenz der Reihe angegebene Bedingung ist notwendig; sie ist aber auch hinreichend, denn von Satz 3 gilt auch die Umkehrung:

Satz 4. Ist von den Gliedern w₀, u\, u^, ... i keines unendlich groß, und wird'für hinreichend große Wirte von rn

(12.)    S\n+p Sm — Um -f- Um+l Mm+2 "F ' * '    um+p—1

beliebig klein, wie groß, man p auch nehmen mag, so ist die Pieihe konvergent.

Beweis. Weil u₀, ut, «₂,.. «m-1 endliche Größen sind, so bleibt auch ihre Summe Sm sicher eine endliche Größe, so lange nicht unendlich groß wird. Nach Voraussetzung kann man jetzt Sm+P — $m beliebig klein machen, d. h. es wird

oder

(13.)

Sjn € <C &mĄ-p    'm | £,

dem Werte Sm beliebig nahe.

wobei £ eine gegebene, beliebig kleine Größe ist. Setzt man wieder m — p gleich n, so erkennt man hieraus, daß die Reihe nicht divergent sein kann, weil Sn, wie groß auch p und m+p gleich n werden mögen, stets zwischen den endlichen Größen Sm — e und Sm + e liegt. Die Reihe kann aber auch nicht oszillieren, weil man die Größe e und deshalb auch das Intervall Sm — £ bis Sm + t, in welchem liegt, beliebig klein machen kann, wenn man m hinreichend groß macht. Die Reihe muß vielmehr konvergieren, und zwar liegt ihre Summe S für hinreichend große Werte von m

15

Kiepert, Differential-Rechnung.

Läßt man p unendlich groß werden, so geht Gleichung (12.)

über in

(12 a.) lim »Sb — Sm — Rm — lim (um -)- um+\ -\-um+₂ -)-••• ~\~un—1).

n=00

f, =00

Satz 5. üow den Gliedern Uq, U\, u₂,...u,„_i keines unendlich groß, und wird der Rest Rm für hinreichend große Werte von m beliebig klein, so ist die Reihe konvergent.

Beweis. Nach Voraussetzung ist

also

— s < Rm < ff',

Rm & R>n —b R»i ^ *Sb —j— £ ,

wobei 6 eine gegebene beliebig kleine Größe ist. Außerdem bleibt Sm eine endliche Größe, so lange m nicht unendlich groß wird. Nun ist aber

Rm b~ ■R'm — Rm b~ ßm b~~ um+1 b~ ’ ' ‘ b~ Un—l) -— ÜlU Sn,

71 — OO

71 = 00

folglich liegt lim Rn zwischen Sm — s und Rm + ć , d. h. es gelten für die Konvergenz der Keihe dieselben Schlüsse wie bei dem vorigen Satze.

Satz 6. Faßt man die aufeinander folgenden Glieder einer konvergenten Reihe mit der Summe R in Gruppen zusammeti, indem man

u₀ b_ U\

umx b“ ^»h+1 "T • • ’ H~    \ = Vi,

umt b~~ w«i₂+l b⁻ ' ’ ' “b ums— 1 = #2 >

setzt, so ist auch die Reihe v₀ -(- v₂-\- ••• konvergent, und ihre Summe ist ebenfalls S.

Beweis. Nach Voraussetzung nähert sich

Sn — Uq b- u\ b~ w2 + * " ~b un—1

mit wachsendem n der bestimmten endlichen Grenze S. Setzt man jetzt n = mq, so erkennt man unmittelbar, daß sich mit wachsendem q auch die Summe

t’o b⁻ ~b 'ü2 b~ * • ■ b~ vq—1

= Mo ~b u\ b~ u'i ~b * * ' b- u>nq—1 — uo b~ ui b~ M2 b~ * * * b~ un—1

derselben endlichen Grenze S' nähert.

Von diesem Satze gilt aber nur dann die Umkehrung, wenn alle Glieder der Reihe positiv sind (vergl. § 52, Satz 4); hat die ursprüngliche Reihe u₀ 4- ux + u-> -)-••• positive und negative Glieder, so ist sie durchaus nicht immer konvergent, wenn die Reihe v₀ + ®i +    + • • • konvergiert. Dagegen gilt

Satz 7. Setzt man wieder

w0 + U1

+ • • • ~r wi«i—i = l'o j

umL ~j- W»ł,+1 -R • ■ • “h urn.i—\ = »1,

uma -]- Um₂+1 "F : ‘ ' ~h um₃—1 — V'2,

■und ist die Reihe Vq F p ~    ■ divergent, so ist die Reihe

uv -(- ux -(- u-i -]- • • • ebenfalls divergent.

Beweis. Nach Voraussetzung wird

^0 “U “h ■ • ' H- Vq—1

mit wachsendem q beliebig groß, folglich auch

M0 f u\ F~ w2    • • • V" W,J_1 J

wenn man wieder n gleich mq setzt.

Von diesem Satze ist bereits bei Untersuchung der harmonischen Reihe Gebrauch gemacht.

In der Reihe wird Sn zwar nicht unendlich groß, aber Sn nähert sich mit wachsendem n keiner bestimmten Grenze, denn für gerade Werte von n wird Sn gleich Null und für ungerade Werte von n wird Sn gleich a. Deshalb oszilliert diese Reihe.

Die Reihe

(U.)

81

= 1 + - + - 4- 1 3    9    27

ist eine geometrische Progression und konvergiert, weil in diesem Falle

(15.)

q — ÿ < 1

ist. Ihre Summe ist daher nach Gleichung (5.)

(IG.)

t-H :

1—q

«i-

15*

Indem man zn den einzelnen Gliedern dieser Reihe die entsprechenden Glieder der oszillierenden Reihe

1—1+1—1+!—+

addiert, erhält man eine dritte Reihe ²_2 10 1    3 ' 9

und erkennt, daß die Summe Sn der ersten n Glieder dieser Reihe für gerade Werte von n sich wieder dem Grenzwerte f, für ungerade Werte von n aber dem Grenzwerte f beliebig1 nähert, wenn n hinreichend groß wird.

Deshalb oszilliert auch diese Reihe, d. h. Sn schwankt zwischen den Grenzwerten f und f hin und her.

Addiert man zu den einzelnen Gliedern der Reihe in Gleichung (14.) die entsprechenden Glieder der oszillierenden Reihe

CD

82

81

IC, h-*

IC : 1-*

IC I-»

IO! I—¹

so erhält man die Reihe

28 79 241 27 162 486

18

²“6

bei welcher lim Sn zwischen den drei Werten f, f und 2 hin-und herschwankt, je nachdem n die Form 3m, 3m + 1 oder 3 m + 2 hat.

In ähnlicher Weise kann man Reihen bilden, bei denen lim£,t zwischen beliebig vielen, ja sogar zwischen unendlich vielen Werten hin- und herschwankt.

Ein solches Schwanken oder „ Oszillieren“ kami nur emtreten, wenn die Reihe positive und negative Glieder enthält. Um diesen Fall auszuschließen, sollen zunächst nur Reihen mit lauter positiven Gliedern betrachtet werden.

§ 52.

Reihen mit lauter positiven Gliedern.

(Yergl. die Formel - Tabelle Nr. 112 und 113.)

Satz 1. Sind die Glieder einer Heike sämtlich positiv, so kann die Heike niemals oszillieren; sie muß enticeder konvergieren oder dicergieren ; d. h. entweder nähert sich Sn mit wachsendem n einer bestimmten, endlichen Grenze, oder Sn wird mit n zugleich unendlich groß.

Beweis. Könnte man    — Sm für hinreichend große

Werte von m beliebig klein machen, wie groß die Zahl p auch ' sein mag, so wäre die Reihe konvergent. Setzt man aber voraus, daß die Reihe nicht konvergiert, so kann man eine Zahl p finden, für welche

(i.)

⁼⁼⁼ Wm —[— UmĄ.\ —)— • • • —(— Um^.p—x = (l\

einen endlichen Wert hat, wobei ax > 0, weil ax die Summe von lauter positiven Gliedern ist. Setzt man noch der Kürze wegen m Ą- p gleich mx, so geht Gleichung (1.) über in

(la.)

Smi    ⁼⁼    •

Ebenso kann man, weil die Reihe nach Voraussetzung nicht konvergiert, eine Zahl p₁ finden, für welche

(2-)

-\-pi    V//?1 =- u~i

einen endlichen Wert hat. Setzt man noch mx -- px gleich m₂, so geht Gleichung (2.) über in

(2 a.)

— (i₂ •

In dieser Weise kann man fortfähren und in den Ausdrücken

m₂ + p₂ = m₉, m₃ -r pA = m₄, ... mq_x + Pt-1 *= die Zahlen p₂, p₉,...pq—x so bestimmen, daß (3-) &nii    := Ö3,    *S'm₄ *Vn₃ ⁼⁼⁼    mq ! ^mq_1 ⁼    ^2

endliche Größen sind, welche sämtlich größer als eine nicht beliebig kleine Größe a sind. Indem man die Gleichungen (1 a.), (2 a.) und (3.) addiert, erhält man daher

(4.)

Smq - Sm — U\ -J- Cl₂ • • • -f- Clq Aï q . a,

oder

(4 a.)

A m “h g . u.

Da man nun q so groß machen kann, wie man will, so wird auch Sm beliebig groß und wächst mit q zugleich ins Unendliche.

Dies Verfahren wurde bereits in § 51 benutzt, um zu beweisen, daß die harmonische Reihe ~ 4- 4 + ~ d- ] d—

• diver-

12    3    4

giert, und zwar war damals a gleich

Dem eben bewiesenen Satze kann man daher auch die folgende Fassung geben :

Satz 1a. Eine Reihe mit lauter positiven Gliedern ist konvergent , wenn Sn kleiner bleibt als eine endliche Größe G, wie groß n auch sein mag.

Denn wäre die Reihe divergent, so würde lim Sn unendlich

n=oo

groß, also auch größer als die endliche Größe G.

Daraus ergeben sich dann die folgenden Sätze:

Satz 2. Ist

eine konvergente Reihe mit lauter positiven Gliedern, und ist von einer bestimmten Stelle ab, z. B. für n iE m

un m vn,

so ist auch die Reihe

Uq -|~ ut ß ~\~ ■ ■ ■

(die lauter positive Glieder enthalten möge) konvergent.

Vn — t'o — V\ -f- • • • -f- Ü«_1

Beweis. Setzt man Un — Uq -f" U\ -(-••• “b Un— 1

so wird, weil nach Voraussetzung die Reihe v₀ + v± -f- v₂ -f * konvergent ist, für hinreichend große Werte von m

FmĄ-p    k m ⁼⁼ Vm, H-    —b    ~' ' ' S⁻ ^mĄ-p—1

beliebig klein, wie gross die Zahl p auch sein mag. Da nun

um ' V vm,    u)Uj\-\ iE- vm^-\,... urnj^p—j -V vmj^p—\,

so wird

Um+P V-m ⁼⁼ Um —)— UtnĄ-1 “f⁻ UmĄ.% d⁻ " ‘ ’ ~\~    VmĄ.p    ï »» . -r.

Es ist also Um+j, — Um für hinreichend große Werte von m erst recht beliebig klein, folglich ist auch die Reihe

M₀

XL\    (—

konvergent.

Satz 3. Ist et’we divergente Heilte mit lauter positiven Gliedern, und ist von einer bestimmten Stelle ab so ist auch die Heilte divergent.

Beweis. Wäre die Reihe w₀ + «i + u₂ + • •• konvergent, so müßte nach dem zweiten Satze auch v₀ -f v\ -j- v₂ -f • • ■ konvergent sein, und das widerstreitet der Voraussetzung.

Satz 4. (Umkehrung von Satz 6 in § 51.) Setzt man

wieder

Uq -j- U\

+ •••    i — ®o,

4~ ^»jj+1 -S ' ’ ’ 4~ ^»îjj—1 ⁼⁼ ®1) W/Ha 4“ ^0»2 + l —T" ■ ■ ■ 4~    —i ⁼⁼ ^2 J

und ist v₀ -j- t'i -j- f₂ -f- • • • e'lne konvergente Heike mit lauter positiven Gliedern und der Summe S, so konvergiert auch die

Heike Uq t mi 4 m2 4---- und hat dieselbe Summe S.

Beweis. Nach Voraussetzung wird für hinreichend große Werte von q die Summe

V<1 4“ Vq+1 4-----4 Vq+r— 1

beliebig klein, wie groß die Zahl r auch sein mag, folglich kann man die Zahlen m und r so wählen, daß die Glieder um,

wm+2, • • • wm+J3_i sämtlich in den Gruppen vq, vq+1,...

‘0>mĄ-1,

vq+/—i enthalten sind. Dabei kann es Vorkommen, daß die letzte Gruppe vq+r-i nicht vollständig erschöpft ist. Es wird daher

um 4“ um+1 4-----h um-\-p—1 44    4“ ^‘«+1 4“ ' * ‘ 4~ vq+r— 1 >

d. h. es wird auch um -f-    -)-••• -)-    beliebig klein,

wie groß die Zahl ^ auch sein mag, folglich wird die Reihe u₀ 4- u\ 4- uï 4- • • • nach Satz 4 in § 51 konvergent.

Enthielte die Reihe u₀'4- ux -\-u₂ 4----auch negative Glieder,

so wäre der Satz nicht mehr richtig, weil um + um+\ -f • • -

+ Um+p-1 möglicher Weise größer als vq -j- r?+i +----(- cî+,._t

sein könnte.

Satz 5. (Kriterium von Cauchy.)    jB'me

Wq -f- ^2 H⁻ • • •

mV lauter positiven Gliedern konvergiert jedenfalls, einer bestimmten Stelle ab, z. B. für n~> m,

(5.)

^OT+l

Un

wobei k eine von n unabhängige Konstante ist. Beweis. Nach Voraussetzung wird für nj^m

UfiĄ. 1 ^ Uyji J

also

Um ⁼⁼ W}» j — Umk,

(6.)

UmĄ-2 — UmĄ.\Ji V UmJi~ ^m+3 — 'amJrf' V UlrJi‘'

d. h. von einer bestimmten Stelle ab sind die Glieder der betrachteten Reihe gleich oder kleiner als die der Reihe

| Um7c -j— Umh~ —f~ UnJC —)— • • • 5

diese Reilie ist aber konvergent, denn sie ist eine geometrische Progression, bei welcher der Quotient k kleiner als 1 ist, und deren Summe daher nach Formel Nr. 12 a der Tabelle gleich

1 — k

wird. Deshalb ist nach Satz 2 auch die Reihe

‘ U₀ -j Ul j- u₂ -j- ■■ ■

konvergent. Gleichzeitig erkennt man aus dem Beweise, daß

j wird, wenn man die Reihe hinter

um

abbricht.

der Fehler kleiner als -dem Gliede u

Es ist zu beachten, daß die in Satz 5 aufgestellte Bedingung für die Konvergenz hinreichend, aber nicht notwendig ist, d. h. die Reihe ist sicher konvergent, wenn von einer bestimmten Stelle ab

Un 1 Un

ist, aber die Reihe kann sehr wohl konvergent sein, obgleich diese Bedingung nicht erfüllt ist.

Beispiele.

1)

2!

(n — 1) !

Hier ist

n\ ’ Un+1 (w + 1)! n\(n1) ’ also wird für positive Werte von x u„+1

Un —

xn

Xn . X

un

n -j- 1

wenn man n -j- 1 größer als # wählt, folglich ist die Reihe

x¹

1 + ï!+2! +

2. n.

für alle positiven endlichen Werte von x konvergent.

. 3 x5 2.4 5^

1.3.. . (2n—3) x

2.4.. . (2n-    2) 2rc—1

Da n eine beliebige ganze Zahl ist, so kann man in Satz 5

U-n-i-1

1    X³

2    3

2/i—1

noch n mit n — 1, also

., Un

mit —

un

vertauschen. In dem

vorstehenden Beispiele ist für n ^ 2

2/i—l

Mn—1 —-

1.3... (2n — 5) (2n — 3) x

2.4 ... (2» — 4) (2n — 2) 2n— 1 ’ _ 1.3 ... (2^— 3) (2n — 1) x2n+1 Un ~~    2.4... (2n — 2) (2»)    2» + 1 ’

folglich wird

u,

(2n — l)².?2 2n(2n + 1)

4+ ²

//

x¹

Ist x gleich 1, so nähert sich dieser Ausdruck mit wachsendem n dem Werte 1 beliebig, dann ist also die Bedingung

un

^k < 1

Un—1

nicht erfüllt, denn k muß um eine endliche Größe von 1 verschieden sein. Dies gilt auch, wenn k dem Werte 1 beliebig nahe liegt. Macht man z. B.

10’"

3

so wird für n > — • 10® der Ausdruck 2

Tat, es ist

(2 n

l)²

2n(2n -j-1)

> k. In der

(2 n

l)²

4/^² — -in 4- 1

2n(2n -f- 1)

2n{2n + 1)

4 n² — 4 n 2n(2n + 1) 2 n — 2

2 n -f- 1

Nach Voraussetzung ist aber

also

2n + 1 > 2n ^ 3 . 10“,

2^ + 1

10“ ’

(2« —1 f_    __ J

10“

2 n (2 n -f- 1)    1 ?

Damit ist noch nicht gesagt, daß für x gleich 1 die Reihe divergent ist; es läßt sich vielmehr ihre Konvergenz auf einem anderen Wege (vergl. 244) sehr wohl beweisen.

Ist dagegen

x² — k < 1

so wird auch

Un—i

in diesem Falle ist also die Reihe

Ss

1 . 3 2.4

1.3.5

2.4.6

» !«>

sicher konvergent.

(n — iy

np

3) Sn ⁼ Jp ~b

wobei p > 0 sein möge.

Hier ist fiir n > 1

Un—\ —

Xn

np

un —

xn+\

folglich wird

(» + l)*

un

gleich oder kleiner als ein echter Bruch k, wenn x gleich k ist. Die Reihe

X² , xz

P ¹ ±p 3P ist also konvergent, wenn x kleiner als 1 ist.

Satz 6. Eine Reihe mit lauter positiven Gliedern ist divergent, xvenn von einer bestimmten Stelle ab, z. B. für n ^ m

(7-)

Beweis. Nach Voraussetzung wird

Wfli —_um,

Mm-\-1 —    ?

(8.)

— ^m+1 V- Wm Utn-\- 3 —    j

Da nun die Reihe divergent ist, so ist die Reihe

M0 T T H----

nach Satz 3 erst recht divergent.

Die Reihen

. und

V>

x²

xz

3p

y bezw.

4+ ²

gleich oder größer als 1 werden.

Satz 7. Eine Reihe mit lauter positiven Gliedern ist konvergent, wenn von einer bestimmten Stelle ab, z. B. für n ^ m

(9.)

welche vorhin in den Beispielen 2 und 3 untersucht wurden, sind daher divergent, wenn x > 1 ist; denn man kann dann n

so groß wählen, daß auch die Größen

un

Un—1

i nämlich

X¹

■jZun ^ k < 1

r+-

(10.)

Beweis. Nach Voraussetzung ist für n m

un ':E kn,

folglich wird

(11.)

tim S fr", Utn+1 S &m+1, Um+2 S km+\

d. h. von einer bestimmten Stelle ab sind die Glieder der betrachteten Reihe gleich oder kleiner als die der Reihe

1 + k + k² + k* H----.

Diese Reihe ist aber konvergent, denn sie ist eine geometrische Progression, bei welcher der Quotient k kleiner als 1 ist, und deren Summe daher nach Formel Nr. 12 a der Tabelle gleich

wird. Deshalb ist nach Satz 2 auch die Reihe

Uq f U\ U‘2 -{-•••

konvergent.

Auch die in Satz 7 aufgestellte Bedingung ist für die Konvergenz der Reihe nur hinreichend, aber nicht notwendig, wie man aus dem folgenden Beispiele ersehen kann.

Soll man nämlich die Konvergenz der Keihe

L . JL+ 1 + ¹

V ^ 2² ' 32 1 4²

untersuchen, so setze man u₀ = 0, so daß

Sn =

(«— l)²

°+p'+2²+32H I"

wird ; dann ist für n ^ 1

Un —

nl

(n + l)²

und

Un-\-1

/ n \²

⁼ \n + 1/

Dieser Ausdruck nähert sich dem Werte 1 beliebig mit wachsendem n, wird also größer als jeder beliebige echte Bruch k. Die in Satz 5 aufgestellte Bedingung ist also nicht erfüllt, obwohl nachher bewiesen werden wird, daß die Reihe doch konvergent ist.

Ebensowenig ist die in Satz 7 aufgestellte Bedingung erfüllt, denn

j/v

] n²

= y n~‘l

ist zwar beständig kleiner als 1, nähert sich aber dem Werte 1 beliebig; es ist nämlich

log n.

log (yUn) = lOgCï w) =

Dieser Ausdruck wird aber mit -wachsendem n beliebig klein. Nimmt man z. B. die Zahl 10 als Basis des Logarithmensystems und setzt

n = 10w

so wird

(M ! §

io %y un =

folglich nähert sich logyun mit wachsendem m dem Werte 0

lo gn

10Hi

und deshalb y⁷un dem Werte 1 beliebig¹*). Satz 7 nicht unmittelbar verwendbar.

Daher ist auch

Setzt man aber

so wird

¹⁻¹ i SO r-H |3s

T—1 | cb

(2mf ^ (2m + 4)²

(2m + 2m — l)² ’

»o=l,

tH

4²

4²

₄2

t—I I

Vm <

(2m)²

w-

(2my 2m

Es ist also

IC h-*

und deshalb ist die Reihe

l²

h ⁺ T*⁺ i ⁺ V ⁺ '"

konvergent.

Satz 8. Eine Reihe mit lauter positiven Gliedern ist divergent, wenn von einer bestimmten Stelle ab, z. B. für n ^ m,

*) Die Größe n

nimmt für lim n = oo die unbestimmte Form

oo° an.

n/ ^

Ein vollständig strenger Nachweis dafür, daß limT/-r = l

n=oo f ft-

ist, wird an einer späteren Stelle (Seite 357) gegeben werden.

Beweis. Für den gegebenen Wert von m ist in diesem

Falle

(12.)

j/un ^ 1

ist

Um Gï 1 , Um-(-1    1 > ^m+2    1 r • • • j

da nun die Reihe divergent ist, so ist die Reihe

Uq U\ U-i ~\~

nach Satz 3 erst recht divergent.

Das zu Satz 7 gegebene Beispiel kann man sogleich verallgemeinern und den folgenden Satz beweisen:

Satz 9. Die Reihe

1—¹

3P

ist konvergent für p> 1. Beweis. Setzt man

Co =

®1 =

(13.)

2P

+i

v₂ =

4P

5P

öp

lp ’

Vm :

(2 my ¹ (2”*+ly

(2m+¹ — 1)P ’

dann wird

Vi <

r—I

1l

IO

tojto

K) 1-*

(14.)

t’₂ <

4P

4P

4P

4i>

rH |

tH

¹-----1-----j_ _=_ —

m\p 1    1 (Om\P

3:1

rH

p—1

•w

toi

s

r-.

tr

ö,

T-t

tO| t-¹

rl

|<N

öi

JL

nnd da nach Voraussetzung' p — 1 positiv sein soll,

Deshalb ist die Reihe

4+1

\p

2»

konvergent, wenn p > 1 ist. Satz 10. Die Reihe

h-

3P

ist divergent für p ^ 1.

Beweis. Setzt man in diesem Falle

rH

o:

dann wird

LO!« to! « to|« to | «

1-1 : ob

Vm ■

2    (2"i—1 + 1)p n (2m—1 -J- 2)p

+ -- + -ZW

(2m)p '

also

b» | » LNS I «

tol s

->

—__I--—

(2 m)p    (2 mY

oder > -— = 41_A

GO j _

oder v₃ >

cym—1

(2 mY    (2 my

oder vm >

■ 2"'

(2my

= (2”¹)¹-*,

-}/v₂ > 2¹~-P , y/vi > 21—^,    ... y/vm > 2¹-J;.

Dies gibt, da p^ 1 und deshalb 1—ist,

^/vm f 1, folglich ist nach Satz 8 die Eeihe

üo H- Ki + t-₂ +

(18.)

und deshalb auch die Eeihe

2~ ⁺

divergent.

Satz 11. Ist

Vq -f- V\ -(- V<i -)- V₃ -{-•••

eine konvergente Reihe mit lauter positiven Gliedern, und ist von einer bestimmten Stelle ab, z. B. für n ^ m,

(19.)

UcnJr\

U:

vn+l ---!

so ist auch die Reihe

On

Uq -j- U\ -j- U‘2 -f- u₃ ..

(welche gleichf alls lauter positive Glieder enthalten möge), konvergent.

Beweis. Nach Voraussetzung ist für n ^ m

f'ti

(19a.)

also für n = m

u,i+i S — •    ,

Um

Vm

Kiepert, Differential - Rechnung.

oder, wenn man

^»i+i — ~    ■    >

O m

mit A bezeichnet,

16

Daraus folgt, daß von einer bestimmten Stelle ab die Glieder der Reihe «₀ -F «i + «2 + • • • kleiner sind als die entsprechenden Glieder der Reihe Av₀ -j- Avt -j- Av₂ + • • • ; da aber ©0 -f- »1 + ®2 + • • • nach Voraussetzung eine konvergente Reihe ist, so gilt dasselbe von

(22.)

Mm, ■— A . Vm ,

^ M)nĄ-1 — A .

Ferner findet man aus Ungleichung’ (19 a.) für n m 2,...

(20.)

Dmf-l .

= m.

Mm-\-2 —

Mm\-1

* ©in+2 "jU A .    ,

(21.)

©m+1

— ^»i+2    _.— .

^»»+3 — ¹    ‘ VmĄ.3    >: >4 . t?n(p3j

^»t+2

Ao0 -j- Av 1 -)- Av₂ ~F • • • 5

deshalb ist auch nach Satz 2 die Reihe konvergent.

Satz 12. (Kriterium von Baabe) Eine Reihe mit lauter positiven Gliedern

Mq + Wi + «₂ + W3 -F • • •

ist konvergent, wenn von einer bestimmten Stelle ab, z. B. für n>m,

(23.)

ist.

w( I“

Mn

= P> ¹

Beweis. Aus der Voraussetzung folgt

WnA-l

Mn

oder

(24.)

Un+i ,:<z n —p

Mn

Setzt man jetzt v₀ = 0 und für n > 0

(25.)

©* = —; ’

nP

so ist die Reihe

— +

c0 — Ci -f    ' •—■ 0 -j-

\p    2 p

nach Satz 9 konvergent, weil p > 1 ist. Dabei wird

(26.)

«+i    / n Y

vn    + 1 /

Nun ist nach Formel Nr. 90 a der Tabelle

für

/O) =/(0) + s ./'(©«);

f{x) = (i + xy+¹, /'(*) = (/> + i) (i + xy erhält man daher

(1 — x)p+1 = 1 -j- ( p -f 1) (1 + Qx)p. x.

Da 0 < 6» < 1 ist, so ist für positive Werte von x Qx < x, also auch 1'-]- Qx < 1 + x, (1 -)- Qxy < (1 -f- xy, folglich wird

(i + xy+i <1 4- (p + i)(t -\-zy •x — 14“ {px-\-x)(i + xy,

oder

(27.)

(1 ~r x)v(l—px) < 1 1 —px <

(ihr

Setzt man in dieser Ungleichung x =    > so erhält man

(28.)

n — p    / n V

n    \n -f- 1/

oder mit Rücksicht auf Ungleichung (24.)

Un-\-1    ^^»41

(29.)

On

Es gilt deshalb in diesem Falle Satz 11, d. h. die Reihe

Wo -f- «1 -f- w-2 -f- W3 -f- ■ • •

ist konvergent.

Es sei

Beispiel.

rH

LO i-*

tc

CO

C»| l—

LC i-*

ce j

... (2n — 3)

...(2n — 2) 2 n — l’

dann wird für n > 2

16*

Uyi -

1.3... (2/4

5) (2n — 3)

2.4 .. (2/4 — 4) (2n — 2)    2n — i

«n+l —

1 . 3 ... (2 n

3) (2 n

2.4... (2/4 — 2) (2//)

1)._1

2» + 1

(2/4 — l)²

4/4² — 4/4 + 1

/4-²

44«

2/4 ('2/4 + l)

4/4² -)- 2/4

Dieser Ansdruck nähert sich mit wachsendem n der Grenze 1 beliebig¹; deshalb ist Satz 5 nicht anwendbar. Dagegen wird

4/4² 4/4 + 1

4/4² + 2/4

n ^1

44«-fl

)=K¹

6/4 — 1

4/4 + 2

2/4 — 3 _ 11    4(» —2)

4/4 + 2    10 ' 5(2/4+ 1)

Es ist also

n ^1

44«_)-i

uu

11

- 10

> 1 für /4 + 2,

und

6--

lim n ( 1 — oo L \

w=

folglich ist die Reihe

rH Ol

rH I CO

44«+1

44«

)-

lim

°°4 + -

rH 1 lQ

1.3.5

2.4.6

konvergent. Es war

arcsin« =

’"H CM

L ; CO

ln

+ ...

für

1 < « < + 1. Da die Funktion arcsin« stetig ist, und die Reihe auch noch für lim« = 1 konvergent bleibt, so gilt diese Entwickelung auch noch für « = 1, d. li. es ist

arcsinl =| = ł + ł.ł +

rH : LQ

1.3.5

2.4.6

Satz 13. Eine Eeihe mit lauter positiven Gliedern ist divergent, wenn von einer bestimmten Stelle ab, z. B. für n ^ w,

Uh

(30.)

ist.

(31.)

Beweis. Aus der Voraussetzung folgt

Mn 4-1

Mn-1-1

Mn

oder

Setzt man also

(32.)

(m — 1) um = A,

so ist

Um —

Um-1-1 bb

--}

m —1

{m — 1) um

mum+i

um+3 bb

(rn ~b 1) ^«( 4-2

m -b 2

>--5

— m -b 2

Da nun die Reihe

1-1 I 70

rH i ec

divergent ist, so ist auch die Eeihe

rH |(M

rH ! CO

w| tu

ht^| ^

divergent, folglich ist nach Satz 3

«o u\ H~ f u3 ■

erst recht divergent.

§ 53.

Reihen mit positiven und negativen Gliedern.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 114 und 115.)

Die Bedingungen, welche in dem vorhergehenden Paragraphen für die Konvergenz einer Eeihe anfgestellt wurden, bezogen sich immer nur auf ihre Glieder von einer bestimmten Stelle ab. Die ersten Glieder der Eeihe, d. h. die Glieder bis zu einer bestimmten Stelle, die noch im Endlichen liegt, sind nur der einen Bedingung unterworfen, daß keines von ihnen unendlich groß wird.

Auch in den folgenden Untersuchungen kommt es auf die Beschaffenheit der ersten Glieder nicht an. Wenn dabei also Beweise für die Konvergenz der Beihen unter gewissen Voraussetzungen geführt werden, welche für alle Glieder der Eeihe gelten, so bleiben diese Beweise auch dann noch richtig, wenn diese Voraussetzungen für die ersten Glieder der Eeihe aufgehoben werden.

Für Eeihen mit positiven und negativen Gliedern gilt zunächst der folgende

Satz 1. Eine Eeihe mit positiven und negativen Gliedern konvergiert, wenn die Summe der absoluten Betrüge konvergiert.

Beweis. Es sei

(1-)

Sm — Uq -f- U\ -f- a-i -(-    um__\ ;

hierbei seien die Glieder

U₀ , U\ ,    U'2 , u ^—\ ,

alle positiv, und die Glieder

-U₀“, U\‘j Ui“, • • • — u“

alle negativ. Setzt man also

(2.)

ud -j- U\ 4“ u<d —- - - —j— u'n—i — Sm‘ Uq“ 4- U\‘ 4~ ud‘ -f • • • -f u"r—i = Sm“, so wird für endliche Werte von m

(3.)

Nach Voraussetzung ist die Eeihe

2 = | w₀ ! + | «i | 4- | u₂ 4----

konvergent, folglich muß nach Satz 3 in § 51 für hinreichend große Werte von m

■**m-\-p    ⁼⁼ Um j d⁻    |    ^»«+2 \ ~1~ ' ' ' d~~ ^ m-yp—X

beliebig klein werden, wie groß die Zahl p auch sein mag. In der entsprechenden Summe

Sm+p £>m ■— Um d" UmĄ-1 d~ U>u+2 d~ ’ ' • “j⁻ Um+p—X

seien die Glieder positiv, und die Glieder

-Uv“

„,u    »i¹¹

U r-f lj    W v-j-2—1 seien negativ, dann ist

Wu -^ fi-f 1 dh ' ' ' d~ ^ fi-f*—1 — i^mĄ-p

weil diese Summe aus 2m+P — 2m hervorgeht, indem man die positiven Größen uß , w"r+i, ...w'Vh,-i fortläßt. Ebenso ist

—)— M    J —j⁻ ‘ ‘ " d⁻ ^ r-f A—1 — ■“«lï    “‘“tn j

folglich werden die Summen

^u/ + ^dju-j-i -f“ • • • d⁻ i und -)~ u“v+1 -f~ • • • -f- w'h-fA—i ebenfalls beliebig klein und deshalb erst recht

Sm+P- *Sm = Mu' d“    d⁻ • • • d~ WV+Z—¹-(w»d d~ w^r-fl +

• • • + “"v-fA—l),

wie groß die ganze Zahl p auch sein mag. Deshalb ist die Reihe u₀ + ux + w₂ -f- ••• nach Satz 4 in § 51 konvergent,

Dabei erkennt man aus Gleichung (3.), daß in diesem Falle lim Sm = lim S‘m — lim S“m

wird.

in = oo

7)1=00

7)1= CO

Eine Reihe mit positiven und negativen Gliedern kann aber auch dann noch konvergieren, wenn die Summe der absoluten Beträge divergiert.

Versteht man unter einer alternierenden Reihe eine Reihe, deren Glieder abwechselnd positiv und negativ sind, so gilt z. B.

Satz 2. (Kriterium von Leibniz.) Eine alternierende Reihe konvergiert, wenn der absolute Betrag der Glieder immer kleiner und schließlich unendlich klein wird.

Es nähert sich also    mit wachsendem m ebenfalls der

Grenze S, so daß

(11.)

Im Gegensatz zu der Bemerkung bei Satz 2 auf Seite 223 möge besonders liervorgehoben werden, daß hier un+1 stets kleiner als un sein muß. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so kann die Reihe auch divergieren.

Beweis. Nach Voraussetzung ist bei der alternierenden

Reihe

(4.)

Uq-Ui -j- U₂-Uÿ -)- Ui — -j--• • •

un+1 < un und lim un = 0.

n=.oo

Ordnet man daher in Gruppen zu je zwei Gliedern, so er

hält man

(5.)

&'c2m — (U₀ -    U\) -f- (u<i — W3) -j- • • • -j- iyU%n—2-W2w—1) ,

(6.)    1    *$2m ~f- ^'im — ^0    ß 1    ^2)    (m$    U4J

• • '    (U'hn—1    ^2m) •

Da hierbei die Klammergrößen sämtlich positiv sind, so

wird

(7-)

&ïm 0,    — $2m —b ^2m <C Wo

also

(8.)

0 < S2m <L Szm+l < W₀ .

Die Reihe

ßo Ml) + (w2 W3) -j- (Ul Ufi) -j- • • •

enthält lauter positive Glieder, und die Summe S2m der ersten m Glieder bleibt kleiner als die endliche Größe u₀, wie groß m auch werden mag, folglich ist die Reihe nach Satz 1 a in § 52 konvergent, d. h. S2m nähert sich mit wachsendem m einer bestimmten endlichen Grenze S. Aus

(9.) lim S2m = S = (w₀ — Mt) + (m₂ — «3) + (#4 — «5) + • ■ ■

m=00

folgt aber nach den Gleichungen (6.) und (4.)

lim iSa»»+i = lim S2m + lim u2m = S.

(10.)

m= 00

?n=00

m— 00

lim »Sw = S

wird, gleichviel oh n gerade oder ungerade ist ; d. h. die Reihe

U₀ — ux + u₂ —    -1-----ist konvergent und hat die Summe &

Da S durch Gleichung (9.) als eine Reihe mit lauter positiven Gliedern dargestellt werden kann, so ist die Summe S2m der ersten m Glieder derselben kleiner als S; es ist also

(12.)

S-2m < S.

(13.)

Man kann aber nach Gleichung (10.) S auch als Grenzwert von S2m+l darstellen und nach Gleichung (6.) auf die Form S = u₀ — («x — u₂) — («3 — ui) — bringen. Je mehr Glieder man von dieser Reihe nimmt, desto kleiner wird die Summe; deshalb ist

(14.)

N < $₂m fl <    —i .

Faßt man die Ungleichungen (12.) und (14.) zusammen, so findet man

(15.)

Da nun

(16.)    8'2m—1 ~— S2m = U2m—x Ulld S₂m-(-1    $‘2m ⁼⁼⁼ U2m

ist, so wird der Unterschied zwischen S und    kleiner als

u2m—i, und der Unterschied zwischen S und S2m wird kleiner als u2m. Es ergibt sich also aus den Ungleichungen (15.), daß der Unterschied zwischen S und Sn kleiner als un wird, gleichviel oh n gerade oder ungerade ist.

In Ungleichung (4.) war vorausgesetzt worden, daß ull+l < un für n ^ 0 ; die alternierende Reihe ist aber auch dann noch konvergent, wenn diese Bedingung erst von einer späteren Stelle ab erfüllt ist, da es auf die ersten Glieder der Reihe nicht ankommt.

Beispiele.

1) Die Reihe

H-

ICO

ist konvergent, und zwar ist nach Formel Nr. 101 der Tabelle ihre Summe gleich ln 2, obwohl die Reihe

divergent ist, wie schon in § 51 gezeigt wurde.

2) Die Reihe

¹ — ¹ _j--

5    7 ^

rH ■ f

4-

rH ! CO

X~3-

ist konvergent, und zwar ist nach Formel Nr. 107 der Tabelle

7t

ihre .Summe gleich — • Hierdurch ist auch der Nachweis geführt,

daß die Entwickelung von arc tgx in Formel Nr. 106 der Tabelle noch richtig bleibt für x = +1. Es folgt dies aus der Stetigkeit der Funktion arctgz für x = 1. Die Reihe

rH

4-

-H | CO

4-

Cn ! I-¹

4-

4-

ist dagegen divergent. Dies folgt schon daraus, daß

rH ! CO

rH I 1.0

H \ O"

4-

rH I O l

4-

rH

rH I 50

rH |00

oder

rH ! CO

r—i

4-

ic : i—‘

tC\ I—¹

T-i l CO

4-

Bei alternierenden Reihen kann ein eigentümlicher Umstand ein treten. Werden nämlich die absoluten Beträge der Glieder schließlich nicht beliebig klein, sondern nähern sie sich einer bestimmten, endlichen Grenze q, so werden sich die Differenzen

Un U)h+\

der Grenze Null nähern. Es kann also sehr wohl eintreten, daß sich mit wachsendem m

$2m — (u₀ Wj) -j- (ll-l us) • ⁴ “T (W2w(—2 u2m—l)

einer bestimmten, endlichen Grenze nähert. Dasselbe ist dann bei

N2«(+l — (*/₀-ul) 4“ (ß'2-uz) 4----

+ (^2»<—2 U-2m—l) 4- U<im — Sim 4~ u2m

der Fall; trotzdem ist die Reihe nicht konvergent, denn es ist nach Voraussetzung

lim (2m+1    in) — lilii U2m — O ,

7)1=00

7)1=00

d. h. die Summe der Reihe

u0-U\ + U₂-Us 4--

nähert sich zwei endlichen, um p von einander verschiedenen Grenzen, je nachdem man eine gerade oder eine imgerade Anzahl von Gliedern addiert. Eine solche Reihe wird, wie schon in § 51 hervorgehoben wurde, „eine oszillierende Reihe“ genannt.

Beispiele.

1) Bei der Reihe

a — a a — a -|-----

ist

a.

2) Bei der Reihe

s*

(M I rH

CO I (M

03 | U*.

iH | iH

LOj Hi

rH I CO

O» i H

1—I i so

2 m—1 2m

tH

H* I—>

rH Ol

1-1 I CO

~Gm —1

also

lim S2m = ln 2, lim = 1 + ln 2.

7)1=00

7)1=00

3) Addiert man zu den Gliedern der konvergenten Reihe

tO| H*

rH l-H

rH jQO

LO

die entsprechenden Glieder der Reihe

h-¹

r-l |(M

IO | l-i

rH

toi H-

tO 1-"

so erhält man die Reihe

Ol i i—l

1H IrH

o loo

rH

! r>\

rH CO

»O I CO I CO

63    127

128 ~~ 256

Bei dieser Reihe ist

limS^ = 2, lim£₃i»+i = 3, liin*S'3wi+2 = 2^;

m=oo

m=z oo

m=oo

diese Reihe oszilliert also zwischen drei verschiedenen Werten.

In ähnlicher Weise kann man Reihen bilden, bei denen lim Sn zwischen beliebig vielen Werten hin- und herschwankt, ja es kann Vorkommen, daß lim Sn ganz unbestimmt wird.

§ 54.

Bedingte und unbedingte Konvergenz.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 116.)

Bisher wurde die Annahme gemacht, daß bei den Gliedern einer Reihe eine bestimmte Ordnung festgehalten werde.

Bei einer Summe mit einer endlichen Anzahl von Gliedern ändert sich der Wert der Summe nicht, wenn man die Aufeinanderfolge der Glieder ändert; bei Summen mit unendlich vielen Gliedern aber, d. h. also bei unendlichen Reihen kann sich möglicherweise der Wert der Summe mit der Reihenfolge der Glieder ändern. Ist z. B.

und

Sm

+(

r-H ; -fl

) + (*

'oo

)+

4 rn — 3    4 m — 2    4 m — 1

—\

4 mj

s,:

“(ï + ï⁻ ) + (l ⁺ 7

f),

2 mj

(-¹    i

\4m — 3    4 m — 1

so wird

Sm‘ -Sm

-(

r-H r+l

tO | H-*

) ⁺ d⁺8~l)⁺

4 m — 2    4 m 2//?

r-l l-H

Ci '■ t—

—I loo

oder

SJ — Sm

_ Y1 l) (! ')■ ■ ■( ¹

Vl 2/    \3    4 /    \2m —

-1 2m

)]'

Nun wird aber

lim Sm = ln 2, lim (SJ — Sm) =

7)1=00

7)1 — 00

ln 2,

folglich ist

lim SJ = — ln 2 = — lim S„

Z    Li

1.1 1.1 1 ;

2 ⁺ 3    4 ~r 5    6 ^ '

4 + ^----

Die Reihen

und

- + - — - 4- - -f -

1    3    2    5    7

sind also beide konvergent und jede von ihnen enthält, wenn man sie nur weit genug fortsetzt, sämtliche Glieder, welche die andere enthält, aber ihre Summen haben verschiedene Werte, weil die Aufeinanderfolge der Glieder in den beiden Reihen eine verschiedene ist.

In diesem Beispiele bilden die positiven Glieder für sich eine divergente Reihe

ca i-¹

Ci I—i

und ebenso bilden die negativen Glieder für sich eine divergente Reihe

IH ! ÎO

Zwei Reihen, welche sich nur durch die Reihenfolge ihrer Glieder voneinander unterscheiden, müssen natürlich so beschaffen sein, daß jedes Glied der ersten Reihe gleichfalls in der zweiten Reihe, wenn auch an einer späteren Stelle, vorkommt. Bezeichnet man z. B. mit

Sn = Uq -f- U\ -j- U'i -j- • • • -j- Un—i

die Summe der n ersten Glieder in der einen Reihe und mit SVJ — ud -j~ U\ -j- uj    u‘v—i

die Summe der v ersten Glieder in der anderen Reihe, so kann man v immer so groß machen, daß alle in Sn enthaltenen Glieder w₀, ux, u₂, ... w„_\ auch unter den Gliedern von SJ wirklich Vorkommen.

Bei solchen Reihen gilt allgemein der folgende Satz 1. Bilden in der Reihe

W₀ -f- «i -f- U-i -f «₃ -f ’ • •

die positiven Glieds uß uß uß... für sich, und ebenso die negativen Glieder —uß, —uß, —u-i“,... für sich eine divergente Reihe, und wird

lim un — 0,

n — oo

so kann man die Glieder der Reihe so anordnen, daß sich die Summe der ersten n Glieder dem Grenzwerte K nähert, wo K eine beliebig gegebene Zahl ist.

Beweis. Setzt man

'SV — ud + ul‘ V U-2 -j- • • • -j~

Sv“ = uß -J- üß -J- U-ß -)-••• + w'V-1, so kann man unter der Voraussetzung, daß K positiv ist, die Zahl a so wählen, daß

S‘

— H- u\ -j- • • • -f- u‘u_2    -h < Uq -f- U\ -)-••• -j- w'a_i = Su‘

wird, denn man kann Sa‘ beliebig groß machen, weil nach Voraussetzung

lim Sf — oo

fl — OO

ist.

Jetzt lasse man auf Sa‘ die negativen Glieder — u₀“, — if, ----u“^i folgen, wobei man die Zahl ß so wählen kann, daß

S“ ß—\ = Uq“ -(- U\“ -(-••• -f- u“ ß—2 ^ Sa - -A <C Wo" -f- U\“ -(-•••

~r u“ß—i — Sß“

wird, denn man kann Sß“ beliebig groß machen, weil nach Voraussetzung

lim Sß — oo

V=-00

ist.

Dies gibt

Sa S“ ß.—i W K > Sa Sp“.

Jetzt lasse man y— a positive Glieder «J, u'a+t, ...u\_x folgen, wobei man die Zahl y so wählen kann, daß y > a und

S* y 1 Sa    - {Sa/ Sß‘) < Sy' Sa‘ Ua -\~u‘ a\. -f-u‘y_\

wird. Dies gibt

Sa‘ — Sp“ + (S'y-1 — Sa¹) ^ K < Sa‘ — Sp“ “jr {Sy¹ — Sa*).

Darauf lasse man wieder d — ß negative Glieder — u<“. — u“p.fi,----u“s-1 mit der Summe —(Sf — Sp“) folgen, so

daß

Sa* — Sp¹¹ + (SY‘ — Sa‘) — (Sdu — Sp“) gerade unter K sinkt. Indem man dieses Verfahren fortsetzt, erhält man

.....{Sp

Sa*)

Sa* — Sp“ + {Sy* — Sa*) — (S₀‘* — Sp*¹) + oder

sa* — Sp** + {Sy* — sa<) — {sd** — Sp“) +-----(sv“ — sx* *),

je nachdem man mit positiven oder mit negativen Gliedern aufhört. Diese Summe unterscheidet sich von K um eine Größe, welche bezw. kleiner als «V-i oder kleiner als w"r_i ist. Da nun aber

lim u*

a—i

= 0 und lim

[1 = 00

v=oo

= 0,

so kann man den Unterschied beliebig klein machen.

In ähnlicher Weise wird der Fall behandelt, wo K nega

tiv ist.

Erklärung. Eine Reihe, bei der sich die Summe der n ersten Glieder mit wachsendem n nur unter der Bedingung derselben endlichen Grenze nähert, daß die Aufeinanderfolge der Glieder eine bestimmte ist, heißt „bedingt konvergent“. Bleibt aber dieser Grenzwert derselbe, wie man auch die Glieder der Reihe anordnen mag, so heißt die Reihe „unbedingt konvergent“. Dabei gilt nun der folgende

Satz 2. Eine Reihe ist unbedingt konvergent, wenn nach Absonderung von Sn die Summe von beliebig vielen Gliedern,

welche aus den noch folgenden Gliedern willkürlich ausgewählt sind, beliebig klein wird für hinreichend große Werte con n. Beweis. Um zu zeigen, daß sich dann

(1.) Sn = Uq -j- U\ —J— • • • -j- Un—1, lind &v = Uq‘ -f- U\ -f- • - • + W'r_ 1

derselben endlichen Grenze nähern, kann man nach der früheren Erklärung v so groß wählen, daß die Glieder

u₀ j U\ ,    • • . tlpi—1

sämtlich unter den Gliedern

w₀' wß, ... w'r_i

enthalten sind. Außerdem kommen in Sv‘ noch beliebig viele andere Glieder

ur, us

ut

vor, so daß

(*•)

Sv‘ — Sn -)- Ur f-Usf-UtĄ----

wird. Nach Voraussetzung ist aber

lim (ur -j— ug -j- Uf. —)— • ■    == 0,

(3.)

n=oo

folglich wird

(4-)

lim Sv‘ = lim Sn ; d. h. unter der gemachten Voraussetzung nähert sich die Summe SH mit wachsendem n derselben Grenze, wie man auch die Eeihenfolge der Glieder bestimmen mag.

Diese Voraussetzung, unter welcher der eben bewiesene Satz gilt, wird offenbar erfüllt, wenn die Summe der absoluten Beträge konvergiert. Bezeichnet man nämlich mit | w den absoluten Betrag von u, und nähert sich

(5.)

= I UQ \ “T | U1 , f | lt2 1 + ’ • • ~r un—1 |

mit wachsendem n einer bestimmten endlichen Grenze 2, so wird für hinreichend große Werte von n

(«•)

~n+p 2n — | an | -j- j ww+i J -J- • • • -j- j un+p

beliebig klein, folglich erst recht

ur -)- Us -j- Ut -]- ' ■ •,

wobei u,., us, ut,... aus den Gliedern un, w,₍₊₁, ...w,t+i,_t willkürlich ausgewählt sind.

Hiervon gilt aber auch die Umkehrung:

Satz 3. Wird bei willkürlicher Auswahl der Glieder us, ut,... aus den Gliedern vn, un+...un+P—i die Summe

Uy -)- US -j- Ut “f" • • •

für hinreichend große Werte von n beliebig klein, so ist in der Reihe u₀ -f- Ui -f- u₂ -j- • • • die Summe der absoluten Beträge eine konvergente Reihe.

Beweis. Setzt man

Sn+p — Sn — un -j- un.j_i H-----h unĄ.p—i = If

und bezeichnet die Summe aller positiven Glieder, welche in Dp enthalten sind, mit Dp‘ und die Summe aller in Dp enthaltenen negativen Glieder mit —Df, so ist Dp = Dp — Df.

Nach Voraussetzung müssen Dp‘ und Df einzeln beliebig klein werden, folglich wird auch

3,4* — 3. = Df + Df beliebig klein für hinreichend grobe Werte von n. 2n und

—‘n+p

werte -, d. h. die Summe der absoluten Beträge ist konvergent.

Der vorhin ausgesprochene Satz deckt sich daher mit dem folgenden Satze:

Eine Reihe ist unbedingt konvergent, wenn die Summe der absoluten Beträge konvergiert ; und umgekehrt.

(7.)

(»■)

(9.)

(1-)

und

.(2.)

Zip

nähern sich daher mit wachsendem n demselben Grenz-

§ 55.

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division der Reihen. Wurzelausziehung.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 117.)

Satz 1. Sind

U — U(, —j- U\ -f- W2 —I— • • ■

V = v₀. + 01 -r v₂ H----

17

diese Reihen addiert, indem man die gleichstelligen Glieder addiert.; es wird also

(3.)    U -\~ V — (u₀ -f- Vq) -j- (u\ -)- V\) -j- (1(2 + ^2) + • • • •

Beweis. Setzt man

(4.)

(5.)

Gm — «0 -f~    -j~ u‘l ~T ' ' ' + um—1 j

Fm — t'o + '^1 -\~ V2    Vm—1)

so wird

(6.) £7?re -j- Fi» = (^0 + r₀)-f-(Mi-(-'ri)-f-(w2 + ü2)+ • • • ~\~{u)n—1 + 0»»—l).

Nun ist aber

lim ( Um + Fm) = lim I7m + limFm = U+ V,

(F)

m—00

m=oo

m—00

folglich erhält man aus Gleichung (6.), wenn m ins Unbegrenzte wächst, die konvergente Reihe

(8.) U -)- P = (w₀ -(- ®o) (Mi + üi) + O2 + f ₂) + • • .

In derselben Weise kann man auch drei und mehr Reihen addieren.

Satz 2. Sind wieder durch die Gleichungen (1.) und (2.) zwei (bedingt oder unbedingt) konvergente Reihen gegeben, so werden diese Reihen von einander subtrahiert, indem man die gleichstelligen Glieder voneinander subtrahiert, also

(9.)

U— V = (u₀ — »0) Hr Oi — ®i) + («2 — f 2) H----.

Der Beweis wird in derselben Weise wie bei der Addition

geführt.

Satz 3. Sind

(10.)

TI —■ Wj -f U\ -j- u% • • •

und

(11.)

F — Vq -j- ©i -J- ®2    • ■ •

zwei unbedingt konvergente Reihen, und ist «e₀ = u₀v₀,

Wi = U₀V1 -f- uiOo,

(12.)

«’2 = W₀Ü₂ + U\V\ -f- U₂V 0,

w« — UqVh -f- U\Vn—\ -f- U‘2üri—2 H⁻ • • ■ d⁻ ^m—1^1 ~i~ anVo, . so ist auch die Reihe

Wq -j— W\ —j— W₂ 4~ • • •

unbedingt koncergent, und ihre Summe TV ist gleich dem Produkte UV der Summen der beiden ersten Reihen.

Beweis.’ Es sei

Um    —    Uq    -j- U\ -J- W₂ -)-    • • • -\~ Urn—i,

(13.)

Vm    =    t‘o    -f- V\ -|- t*2 4“    • • ' 4~ vm—1 }

TUrn    —    Wq    -j- W\ -)- W₂ -f-    • * • Wm—\,

..«0, »1, ^'2 j • • •

und es mögen zunächst die Glieder u₀, ux, u2 alle positiv sein, dann ist für m = 2n

Uin . V‘2n = 1^2/1 4" (w1^2n—1 4~ ^2^211—2 4~ ' ' ' 4“ u2n—2®2 4“ W2w—l^l)

4“ ■ 4" (m2h—2v2n—1 4" w2>i—lt'2»i—2) 4“ m2k—l'Ł'2n—1 j

also

(14.)

Uln . U2rt > JT₂„.

Dagegen ist

TT 2n — Ui • Ui 4" (uoVn 4- wid’o) 4“ (^0Ü«+1 4~    4~ urV\ 4“ un+l^o)

4-----b (w0ł'2m—1 4~ ulv2n—2 4~ ’ * * 4“ u2n— 2^1 4~ u2n—lüo)j

also

(15.)

1U₂,i > Z7n . Fn.

Faßt man die Ungleichungen (14.) und (15.) zusammen, so erhält man

U2n • V₂n > TV 2n Ui « Ui • Ebenso kann man zeigen, daß

U-in-fl • V2n+1 1> TT2n4-\    U)i . J'n

(16.)

(16 a.)

ist. Läßt man aber n immer größer werden, so nähern sich die Produkte Un . Vn und U2n. U2)i, bezw. U₂„₊i. V2n+i nach Voraussetzung derselben endlichen Grenze U. V, folglich nähern sich auch die dazwischen liegenden Werte W2n bezw. TV2n+x einer bestimmten, endlichen Grenze TV, und es wird

(17.)

TU = U. V.

Diese Gleichung sagt aus, daß

Un . VH TT n — (uXVn—X 4- W₂yw_₂ 4~ * •''• 4" un—2®2 4~ u>i—l^l)

4-----h (un— 2^n—1 + Ww_iy,i_2) 4”    lün—1

beliebig klein wird, wenn man n hinreichend groß macht.

17*

Enthalten die Reihen ü und V positive und negative Glieder, sind sie aber, wie vorausgesetzt wurde, unbedingt konvergent, d. h. sind auch noch die Summen der absoluten Beträge konvergent, so nähert sich der Ausdruck Un.Vn — Wn, wie vorhin gezeigt wurde, mit wachsendem n dem Werte 0, wenn man die Größen u₀, ux, u₂, ... un—\, v₀, vx, v₂, ... v„-X sämtlich durch ihre absoluten Beträge ersetzt; er nähert sich also dem Werte 0 erst recht, wenn diese Größen teilweise negativ sind. Es wird daher auch in diesem Falle

(18.)

lim Wn = limUn.Vn= U. V.

11= oo

n=oo

Dabei ist auch

Wq Wi -\- W₂ -(-•••

eine unbedingt konvergente Reihe; denn ersetzt man die Größen

v₀, V], v₂, ... in den Gleichungen

M0 5 W1 j u2 j • •

Wo = U₀v₀,

WX = UoVX -f UXVo, W-2 = U₀V₂ + U\V\ +

wx\,..

durch ihre absoluten Beträge, so mögen dadurch die Größen w₀, wx, w₂,... in wo, wx, w₂,... übergehen. Bezeichnet man nun den absoluten Betrag von w₀ mit j iv₀ , den von wx mit ., so wird

(19.)

! too | = Wq, ! wx ^ wx,    | io₂ j 5^ v:₂,....

Jetzt enthält aber die Reihe

Wo -f- Wx -)- W-2' -f- • •

lauter positive Glieder und ist konvergent, folglich gilt dasselbe auch fiir d. h. die Reihe

Wo + WX -j- 102 + • • •

ist unbedingt konvergent.

Diejenigen Fälle, in denen dieses Verfahren für die Multiplikation der unendlichen Reihen noch anwendbar ist, obgleich die beiden Reihen

Xj = Uo -f- U\ -j- ii-i —|— • • • und V = Vq —(- v\ -J-    -j- • • •

nicht unbedingt konvergent sind, mögen liier übergangen werden, damit der Umfang des Buches nicht allzu groß wird.

Beispiel.

(20.)

U=l +

X-

1 !    2 ! ^ 3 !

V= 1+ V +

' 1 ! ^ 2 ! '

sind zwei unbedingt konvergente Reihen, folglich ist

(21.)

(22.) ü. V _ 1 + U + f,) + (

X-

xy

y-

Nun ist aber in diesem Falle xn~¹

(23.) ivn =

£«—2

____^ +____

(n — 1)! l!    (n—2)!

CM

X¹

yn

—2

^    2'1 * (n—2)\

n(n

1)

^    yn-1    yn

^ 1! (n—iy.^nl

2!

xn—1y2 _J_ . . .

n(n — 1)

2!

71

x^yn 2 -j- -y xyn~i -f-

(30.) nu₀An + [n — (m -f- l)]e^Aw_i -j- \n — 2(m -j- l)]u₂A

+ [n — 3(m + 1 )]usAn_s +----F [» — (n — 1 ){m + l)]un-iA

-f- [n — n{m -f- l)]unA₀ = 0,

oder

+ • • ■ + un—lA% -f- UnAo)

(27.)

U = Ao -j- Ai -{- A2 As -)-••• eine unbedingt konvergente Reihe, bei welcher nach den Regeln dér Multiplikation

A fi =

(28.)

ml

U(,tt0U\alU₂a² . . . Unan

V__

«₀! «i ! «2! •

ist. Die Summation erstreckt sich dabei auf alle Werte von a₂für welche

I    «0    + “rf ß2 "I-----h ⁼

I    a 1    -j- 2u₂ + 3a₃    + • • • +    nan    = n

wird. Deshalb kann an nur die Werte 0 und 1 annehmen, d. h. An ist inbezug auf un nur vom ersten Grade, ein Umstand, welcher für das Folgende von Bedeutung ist. Die ausführliche Ableitung des in Gleichung (28.) ausgesprochenen Gesetzes für die Bildung von An kann übergangen werden, weil für die Berechnung der einzelnen Glieder A₀, Alf A₂,... die rekurrierende Formel

a0l U]_

(29.)

..Un!

(31.) n(ii{)An -(- U\An—t -)- u₂A

— (m    Aw_i -f- 2u₂An—₂ -j- 3usAns —(— • • • 1—)— {n—l)^n_iAi

j~ nunAoj — 0

ausreicht, welche sogleich durch den Schluß von m auf m 1 bewiesen werden soll²).

Für n = 0, 1, 2, 3,... findet man z. B.

A0 — Uqh, {iiqA\ -j- U1A0) — (m -f- l)uiA₀ = 0,

2(wqA₂ -j- U\A\ -j- i^Ao) — (jn -j- Ÿ)(u\A\ -)- 2w₂Ao) = 0, (32.) • 3(uqAs -j- U\A% -)- u₂A\ -j- usAq) — (jn -)- 1 )(u\A₂ -f- 2u₂A\

-j⁻ 3U3A0) — 0,

folglich erhält man (24.) U.V= 1 +

l!

(25.)

(26.)

Durch Multiplikation der Gleichungen (26.) und (27.) findet man nämlich nach den Regeln für die Multiplikation der Reihen

wobei nach den Gleichungen (12.)

Bq — UqAq,

B\ = UqA\ Ą- u\Aç),

B₂ — UqA‘2 -j- U\A\ -{- u₂Aq ,

(33.)

(34.)

•— B₀ -(- B\ -J- B<l -f- • • •,

Bn — UoAn -j- u\An—.\ -F Ui An—2 F • • ■ ~F un^\A\ -j- unAo ist. Deshalb kann man die Gleichung (31.) auf die Form (3o.) nBn — (vi -f~ l)[^iAn—i ~F 2^2An—2 "F Su3A.11—3 -)-■■■

+ (n — l)un—\A\ + uunA₀] = 0 bringen. Vertauscht man in dieser Gleichung der Reihe nach n mit n — 1, n — 2, ... 3, 2, 1, so erhält man die Gleichungen

{n— l)Rw_1 — (m -J- 1)[miM„_2 -(- 2w2-<4M_3 -f~ 3U3A

+ (» — 1)m„_iM₀J = 0,

(u 2)Bn—₂ (m-j- 1)[MiM«_3    2U₂A,,_4 pL 3%Mr!_5 H----

+ (u-2)mm_2^o] — 0)

n—4

(36.)

3B3 — (jn -)- 1)[wiM-2 -)— 2u₂At - 3W3M0] — 0, 2B₂ — (m -f- l)[uiAt + 2u₂A₀] = 0 ,

Bi — (m -|- l)wiM₀ = 0.

Indem man die Gleichungen (35.) und (36.) bezw. mit uq, ui, m₂, U3, .-..un_3, un-2, Un—i multipliziert und dann addiert, ergibt sich

nu₀Bn -j- (n — 1 )uiBn—i + (n

2)^2-^«—2 -f~ ' ' "

F~ Su^₃B₃ -F 2un—2B-i -p Un—\Bi "F U\An_2 4- U2An—3 H----

+ Un—sAo + un_ 2 Al + Un—iAo)

~F 2u₂(UqAn—2 -F uiAn—3 ~F W2^n—4 "F " • • F 3-F F Un_₂Ao)

F 3w3(ii()An—3 -F U\A

(m -j- l)[ui(u₀A

F u₂A

n—5

d-----b UnsAo)

“h (u—2)wn_2(wo-^2 H⁻ UiAi -ß u-₂Ao) ~~h (u— 1)^«—i(^o-^i ~~b UiAtl)

—)— UUnU.oA()J = 0,

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (34.) (37.) nu₀Bn -f- (« — 1)miR„_i (n — 2)u₂B

«—2

-ß Sun^,B, -)- 2un—₂B₂ -ß un—\B\ — (in -ß 1)[wi-Öm—1 -J- 2u₂Bn—2 -ß Su,Z?n—3 ~~ß ■ • •

—)— (w. — 2)w,j—2R2 -ß (u — 1)uji—\B\ —|— iiunB^J = 0,

oder

(3 / a.) nu₀Bn —)— (n — (m -)- 2y^u\Bn—\ —ß (n — 2(m —(— 2y^U‘₂B + \_n    3(m -R 2)] u,Bn—, -ß • • •

~ \u—(n— 1 )(in2)]un—1 B\-)- [w—n(m -f- 2)] unBo=0. Dies ist aber die Formel, welche sich ans Gleichung (30.) ergibt, indem man m mit m + 1 und demgemäß die Größen A0, A1} A-i, ...An mit Bo, Bt, B₂, ...Bn vertauscht. Nun ist die Formel zunächst richtig für m = 1, denn für diesen Wert von m wird

A 0 = Uq

A‘2 — u2, ... An — un,

Ai = Ui,

so daß die Gleichung (30.) übergeht in

(30 a.) nu₀un -J- (n — 2)uiun—i -ß (n — 4)m₂mJ(_2 -|----

-(- (4 — w)mw_₂W2 -ß (2 — n)un—iUi -¹- nunu₀ — 0.

Diese Gleichung ist aber richtig, denn auf der linken Seite heben sich je zwei Glieder, von denen das eine ebensoweit vom Anfänge wie das andere vom Ende absteht, gegeneinander fort.

Deshalb ist die Gleichung (30.) auch richtig für m = 2, und deshalb dann auch für m = 3 und so fort, d. h. sie ist richtig für alle Werte von m.

Bei der Division der unbedingt konvergenten Reihe

W = 1C₀ -j- W\ -j- U'<2 + • • •

durch die unbedingt konvergente Reihe

£7 :== Uq ~ß U\ ~ß U‘2 —p • * *

wird eine Reihe

V = V₀ Vi -j- V-2 -+-•••

gesucht, für welche

UV = w

(38.)

wird. Zwischen den Gliedern dieser 3 Reihen gelten daher dieselben Beziehungen wie bei der Multiplikation, nur sind jetzt die Größen w;₀, wt, w₂,... gegeben, während die Größen v₀, vh c% ... gesucht sind. Diese findet man daher der Reihe nach aus den Gleichungen (12.); es ist nämlich unter der Voraussetzung, daß u₀ von 0 verschieden ist,

IC₀

also v₀ =

?c₀ = U₀C₀,

wx = l/₀Ox -f UtVo,

W\ - U\lJ₀

«0

IC'2 — UqV-2 -(- U\C\ -j- UoVo

Uh - Ml»l - W₂®o

? 5?

Wo

allgemein

also

Wn — ugcn -j-    -j- W₂®n_2 -j⁻ • • • -j- Unt>Q,

(39.)

|    —2    * ' *    MfiVQ

W₀

Läßt sich dann zeigen, daß die Reihe V — ®o    ~h • • •

gleichfalls unbedingt konvergent, ist, so ergibt sich aus der Berechnung der Größen ®₀, ®i, ®₂,..., daß UV = W sein muß. folglich wird

(40.)

fr

Schließlich kann man auch aus der Potenzierung durch Umkehrung die Wurzelausziehuvg herleiten. Ist nämlich die Reihe S — Go -A-i -j- A2 -(-••• gegeben, so findet man die Reihe

7/ 'S — U = Uq -f- U\ -j- W₂ -f- • • • , indem man nach und nach die einzelnen Glieder w₀, «i, w2j... so bestimmt, daß

(41.)

(42.)

wird. Dies ist mit Hilfe der Gleichung¹ (31.) leicht möglich, wenn man ans A₀ die mte Wurzel ausziehen kann. Es ist nämlich

(44.)

also u₀ = y A

A o = Uom,

und ferner nach Gleichung (31.) und (32.)

u₀Ai

UqA\ — mu\A₀ = 0, also —

2(u₀A₂ -r ui Ai) — (m -f l)uiAi — 2mu₂A₀ = 0

mA₀

also

2(uqA2 "G Ui AA — (ïïi —[~ 1 )uiAi

= --- J

2 mAo

allgemein n(u₀An + Ui A G⁻ ^ u₂ A

G- U₂An—2 + • • ' + Un—lAi)    (ui + l)[uiAn—i

ï)un—iAi] — nmunA₀ = 0,

also (45.) un = ( n(u₀An G- UiAn—i G~ u₂An—₂ G~ • • • ~G un—iAi)

— (?n -j- l)[uiAn—i + 2u₂An—2 G⁻ ■ ■ ■ + (u —1 )un—lAi]} nmAp.

Läßt sich dann zeigen, daß die Reihe TJ = w₀ G~ U\ G⁻ u% G~ ■ ■ • unbedingt konvergent ist, so wird

üm = A₀ + Ai G- A₂ G- • • ■ = S gleichfalls eine unbedingt konvergente Reihe, und es ist

ü = ys.

In dieser Weise kann man die algebraischen Operationen des Addierens, Subtrahierens, Multiplizierens, Dividierens und der Wurzelausziehung auf die unendlichen Reihen übertragen.

§ 56.

Begriff der gleichmäßigen Konvergenz.

Wie man schon aus den in den vorhergehenden Paragraphen angeführten Beispielen ersieht, können die einzelnen Glieder u₀,

«i, «2,... einer Reihe stetige Funktionen einer Veränderlichen x sein; es kann also

(1.)

Wo = fff) , Ui = /lO), w₂ = /₂(ä) , . . .

sein. Dann setze man

(20

(3.)

Snf) —fo(x) fff) ffff) + • ' • +/-l(*)

Rn{x) = fnf) +fn+l(x) + • • • .

Die Erklärung für die Konvergenz der Reihen, welche in § 51 gegeben wurde, gilt auch noch für solche Reihen. Demnach heißt die Reihe

fff) fji(x) fft(x) H----

konvergent für irgend einen Wert von x, wenn sich Sn(x) mit wachsendem n einer bestimmten, endlichen Grenze S nähert. Ist die Reihe nicht für einen einzelnen, bestimmten Wert von x konvergent, sondern für alle Werte von x zwischen a und b, so ist in diesem Falle S noch eine Funktion von x, welche mit fix) bezeichnet werden möge; es wird also

(4-)

ff) = ffx) f fff) fffx) -f----.

Nach den Ausführungen in § 51 ist die notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Reihe die, daß (5.) SmĄ.ff) Smf) = jm(x) -j⁻ fm-j-fx) ~f“ ' ' ' f fn+p—ff) für hinreichend große Werte von m beliebig klein wird, z. B. (vom Vorzeichen abgesehen) kleiner als die beliebig kleine Größe e, also

Rm+pf) Sm(f) <C £,

wie groß die Zahl p auch sein mag. Deshalb wird auch

lim Rn{x) = 0.

(6.)

(7-)

n=oo

Im allgemeinen wird die Reihe für verschiedene Werte von x verschieden stark konvergieren, d. h. die Anzahl der Glieder, welche man berücksichtigen muß, um den Wert von f{x) mit einer bestimmten Genauigkeit zu berechnen, wird je nach den verschiedenen Werten von x verschieden groß sein; oder mit anderen Worten: Ist die beliebig kleine Zahl £ irgendwie gegeben, so wird man im allgemeinen für die Zahl m ver-

schiedene Werte mXl m₂,    einsetzen müssen, um die Un

gleichung (6.) zu befriedigen, wenn die Veränderliche x das Intervall von a bis b durchläuft. Ist unter diesen Zahlen wi,

.. auch noch die größte eine endliche Zahl m, so lange

m₂, m₃

s nicht unendlich klein wird, so sagt man, die Eeihe sei in dem Intervalle .von a bis b gleichmäßig konvergent. Es gilt also die folgende

Erklärung. Die Reihe

heißt in dem Intervalle von a bis b gleichmäßig konvergent', wenn zu jeder beliebig kleinen Größe e eine ganze Zahl m so bestimmt icerden kann, daß für n ßi rn der absolute Betrag von Sn+P(x) — Sn(x) und deshalb auch der absolute Betrag von Rn(x) kleiner bleiben als 6, welchen Wert x auch in dem Intervalle von a bis b haben mag.

So ist z. B. die Eeihe

(8.) f{x) = cosx 4-

cos(2x) t cos(3x) cos(4x)

2]/2    ^ 3|/3    '    4]/4

gleichmäßig konvergent, denn nach Satz 9 in § 52 ist die Eeihe

1 4—¹ 4—- 4-

2]/2 ' 3]/3    4]/ 4

konvergent. Man kann daher die Zahl m so groß wählen, daß für n > m

(9.)

u.y u

4----< «

(u 4~ 1 )V‘n 4-1    (n -f- 2)]/n -f 2

wird. Da nun für jeden Wert von x COS (ccx) I a ]/a

ist, so wird für nT^m erst recht

cos(^) ! cos (n 4~ i)x ! cos(rc -f 2)x nY n

Aus dem Beweise sieht man, daß diese Eeihe außerdem auch unbedingt konvergent ist.

(10.)

«]/«

(11.) Rn{x) —

(n-fl)Yn-\-l (nJr2)YnJr2

Die Reihe ist daher noch für beliebig kleine Werte von x konvergent, denn man kann n so groß machen, daß nx f 1 doch noch beliebig groß wird, und erhält aus Gleichung (14.) fix) — limSn(x) = 1 für x> 0.

(17.)

71=00

(18.)

Um den Gegensatz hervorzuheben, möge auch noch ein Beispiel für die ungleichmäßige Konvergenz folgen. Es sei

(12.) /(*) = -- ?

x -f 1 (x 1)(2« + 1)    (2z -j- l)(3z -j- 1)

dann ist

(3.:    1 ) ( 4.r    1)    '

/iO) =

Mx) =

(2x — 1) (Sx + 1) " 2x — 1 3x + 1 ’

(13.)    /„(*) =

(»#-(- l)[(rc-f"i )z-j- lj    nx-f 1    («---I

Deshalb wird

(14.) Sn(x) —Mx) -j-,/1 (x) -vßix) + • • • -\-Jn—l(x) — 1

nx -f-1

(lo.)    $ m (x)

folglich wird für x>0

mx -j- 1

(m p)x 1

(16.)

Rm(x)

mx -j- 1

Ja, die Reihe ist sogar noch für x gleich 0 konvergent, weil dann sämtliche Glieder gleich Null sind, so daß man f(x) = 0 für limr = 0

erhält. Damit aber

Rin (f) —

mx -j- 1

wird, muß

(19.)

oder m >

ex

sein. Die Zahl m wächst daher ins Unbegrenzte, wenn x sich dem Werte 0 immer mehr nähert, folglich ist die Reihe für 0 S i < -- oo ungleichmäßig konvergent. Bezeichnet man dagegen mit a eine beliebig kleine, aber noch endliche positive Größe, so ist die Reihe für a ^ x + oo gleichmäßig konvergent.

Satz.

Sind die Funktionen fix), f (x), ß₂ (x),... für a < x < b stetig, und ist in diesem Intervalle die Reihe

(20.)

/(*) =/»(*) +/»(*) +/>(*) H—

gleichmäßig konvergent, so ist fix) für a<x<b eine stetige Funktion von x.

Beweis. Nach Formel Nr. 5 der Tabelle ist die Funktion f(x) stetig für alle Werte von x, für welche die Differenz

(21)

mit den positiven Größen y und ô zugleich verschwindend klein wird. Diese Bedingung wird hier erfüllt, denn solange n eine endliche Zahl bleibt, ist

(22.)

Snf) =ß{x) ffiif) +f₂(x) H-----\-fn-i(x)

eine stetige Funktion von x, weil fo(f), fi(x), ffx), ... stetige Funktionen sind; man kann also

Sn{x + y) — S„(x — ä) \ < e machen, wenn man nur y und ô hinreichend klein macht. Außerdem kann man nach Voraussetzung, wenn a<x—^ d< x    e <b

ist, für hinreichend große Werte von n auch

I Rn{x — Ö)<£ und Rn(x + y) <£

(23.)

(24.)

machen, folglich wird

J ! = f(x + y) —fi* — <*) I

= Sn (x -f- y) -\-Rn(x -(- y)— Sn(x — d)

Rn(x—8) \ < 3e,

d. h. J wird mit y und ô zugleich verschwindend klein, da man 3e beliebig klein machen kann.

57.

¹

+ y ,    + y)² , (x + y)³

2 !

Setzt man für U und V nach Formel Nr. 91 der Tabelle ihre Werte ein, so ergibt sich hieraus die bekannte Formel

exey = ex+ii'

In derselben Weise kann man auch das Produkt von drei oder mehr unbedingt konvergenten Reihen bilden.

Macht man die Faktoren eines solchen Produktes sämtlich einander gleich, so erhält man die Potenz einer Reihe.

Ist z. B. wieder

ü —- Uq —|- U\ -j~ U-2 -f“ ■ ■ ■

eine unbedingt konvergente Reihe, so wird auch

²

Sollte dem Anfänger der allgemeine Beweis Schwierigkeiten bereiten, so mögen zunächst die besonderen Fälle m — 2, 3, 4, . .. behandelt werden.

cjno

Konvergenz der Potenzreihen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 118 und 119.)

Unter einer Potenzreihe versteht man eine Reihe von der

Form

«o -ß a\X -ß a^x¹ -ß a₃z³ -ß • ■ -.

Von einer solchen Reihe gelten die folgenden Sätze:

Satz 1. Eine Potenzreihe konvergiert unbedingt für alle Werte von x, deren absoluter Betrag kleiner ist als die positive Größe r, wenn

lim

wird.

(1.)

Beweis. In dem vorliegenden Falle ist nach Voraussetzung

dnA-\

lim

n=oo

an

5 also lim

CtyiJr\X

n=oo

Cln

wenn

folglich erhält man für hinreichend große Werte von n man anxn mit un bezeichnet,

^k < 1.

■ ^n4-l

[ 'U'n

Dies ist aber nach Satz 5 in § 52 die hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Beihe

Ob die Reihe auch für x = -ß r oder für x = — r konvergiert, ist durch den Satz noch nicht entschieden.

Die Beispiele, welche bei Satz 5 in § 52 angeführt wurden, können auch hier benutzt werden. So ist die Reihe

1!

“Dt

-ß . . .

für alle endlichen Werte von x unbedingt konvergent, weil

Mn

= n -ß 1

Q + 1)!

Mn+l

mit n zugleich beliebig groß wird.

Die Keilte

«i

t 1 x³ 1 . 3 x⁵ t 1.3.5 ¹ 2 3t 2 . 4 5" 2.4.6

ist unbedingt konvergent für — 1 < # < -j- 1, weil

1    . 3 ... (2n — ft) (2w — 3)

2    . 4 ... (2» — 4) (2n — 2) 2n -— 1 1 . 3... (2» —3)(2»—.1)

2^+1

2.4... (2/i — 2)(2nj~

ist, Deshalb wird

an

2 n (2n -f- 1)

S LnS

(ln-|-l

(2« — l)²

^ 1, lim

Un

= 1.

M = OO^M+l

Die Reibe

x¹

X

1-1____u

¹ l* ¹ 2P ' 3P

ist unbedingt konvergent für — 1 < x < + 1, wenn p einen positiven Wert hat, denn hier ist

dn ■—

np

(In

> dn-\-\    /    . . ,

yl~\~ 1Y    1

dn

lim

)< = 00

Differentiiert man die einzelnen Glieder der Potenzreihe a₀ + dXx -f aff¹ + • • •, so erhält man wieder eine Potenzreihe do ~^r -A\x -f- Aff¹ -(-•••, wobei An — (n -]- l)ßn+i

ist. Daraus folgt

? •    -An i

lim | —— !

oo I    |

= lim

n “t“ 1 j an+l oo w -f- 2 dnĄ. 2

] dn

= lim

n—oo I    1 ;

und damit

Satz 2. Wird

dn

= r,

lim

n=oo ;    |

so ?s£ auch die Potenzreihe u\ -|- 2a^x -)- 3aff¹ + • • •, welche aus der ursprünglichen Potenzreihe durch Differentiation der einzelnen Glieder entsteht, für alle Werte von x zwischen — r und -j- r unbedingt konvergent.

Beispiel. Die Reihe

(2.)

1 -f- x -j- x² -f- • • • =

1 -X

ist unbedingt konvergent für — 1 < x < -- 1, weil

lim -

n=oo | an.(_i

ist, folglich gilt dasselbe auch für die Reihe

(3.)

S = 1 + 2x + 3x² + 4x³ H----.

Satz 3. Eine Potenzreihe konvergiert unbedingt für alle Werte von x, deren absoluter Betrag kleiner ist als die positive Größe r, wenn von einer bestimmten Stelle ab, z. B. für n>m,

(4-)

an | rn ^ g

ist, wobei g eine bestimmte endliche Größe bedeutet.

Beweis. Nach Voraussetzung ist für hinreichend große Werte von m

(5.)    | am | rm ^ g, | am+1 | rm+l S g, | am+2 | rm+² ^g,...,

folglich ist, wenn x vorläufig positiv genommen wird,

amxm

ami

(*)’

Sy

am^-\x

)»+l

Wi + l

m4-‘>

am 4-2%

Hi+2

?» +2

X

Da nun - nach Voraussetzung ein echter Bruch ist, so

wird die geometrische Progression

/x\m ,    /x\m+¹

'v)+,vJ

(7.)

'S «

?»+2

'S : «

g?

18

d. h. die Reihe

(8.) ist unbedingt konvergent.

In der Reihe wird nur das Vorzeichen der Glieder agv, a₃x³, a$x⁵,... geändert, wenn man x mit — x vertauscht. Der Satz gilt also für positive und negative Werte von x, wenn nur der absolute Betrag von x kleiner ist als r.

Aus Gleichung (7.) erkennt inan auch, daß der Fehler, welcher begangen wird, wenn man die Reihe beim mteri Gliede •m~¹ abbricht, kleiner ist als der absolute Betrag von

-s : «

1—

« v.

Satz 4. Eine Potenzreihe konvergiert unbedingt für alle Werte von x, deren absoluter Betrag (gleich oder) kleiner ist als die positive Größe r, wenn sie für x gleich r unbedingt konvergiert.

Beweis. Nach Voraussetzung ist die Reibe

| «o | + | «îr I + ! «2r² | H----

konvergent, folglich ist nach Satz 3 in § 52 die Reihe

i | H⁻ | a\x \ ~b | a%x² [ + ...

erst recht konvergent, weil für | x | :§ r

(9.)

j anxn ' f ; anrn \ .

Satz 5. Ist eine Potenzreihe a₀ + a\x -f- a^x¹ -)-••• unbedingt konvergent für x = r, so ist auch die Reihe a\ —j— tla^x —(— Sa^x^ —(— • • •

unbedingt konvergent für alle Werte von x, deren absoluter Betrag kleiner als r ist.

Beweis. Aus der Voraussetzung folgt, daß \an\rn verschwindend klein wird, wenn n ins Unbegrenzte wächst; deshalb bleibt für hinreichend große Werte von n, z. B. für n}>m,

! an j rn kleiner als die endliche Größe g. Aus

w—1

o

r—I

• I an I rn

folgt, wenn man zwischen — r und + r

! mit k bezeichnet, für alle Werte von x

I an | rn < ^ • nkn~x.

Da k < 1 ist, so sind nach Gleichung (3.) die Reihen

1 + 2k + 3k² + 4ä³ H---- und ^ (1 + 2k + 3k² + 4k* H----)

konvergent, folglich erst recht die Reihe

I j + 2 ! (loX J + 3 <-73+ I + ....

(11.)

uanxn

Satz 6. Ist die Reihe a{) + a\X + a₂+ + • • • für x gleich r dicergent, so ist sie auch für alle Werte von x divergent, deren absoluter Betrag größer ist als r.

Beweis. Wäre die Reihe für einen solchen Wert von x konvergent, so müßte dafür

lim ! anxn | = 0

n= oo

werden. Es müßten also die Glieder j anxn \ abnehmen und wären deshalb von einer bestimmten Stelle ab kleiner als die endliche Größe g, d. h. es wäre

anxn \ + g für n ^ m\

(12.)

dann müßte aber nach Satz 3 die Reihe auch für x gleich r unbedingt konvergent sein.

Faßt man die Sätze 4 und 6 zusammen, so erhält man den

folgenden

Satz 7. Gibt es überhaupt Werte von. x, welche von Null verschieden sind, und für welche die Potenzreihe a₀ + a\x + «2+ + • • • unbedingt konvergiert, so konvergiert die Reihe entweder unbedingt für alle endlichen Werte von x, oder es gibt eine positive Zahl r, welche die Eigenschaft besitzt, daß die Reihe unbedingt konvergiert für x < r, und daß sie divergiert für | x | > r.

18*

Werte von x konvergiert, so sei x± ein Wert von x, für welchen sie konvergiert, und x₂ sei ein Wert von x, für welchen sie divergiert. Man darf annehmen, daß xx und x₂ beide positiv sind, da die Reihe

(13.)

doch lauter positive Glieder enthält. Dabei muß nach Satz 4 .r₂ > X\ sein. Durchläuft jetzt die Veränderliche x das Intervall von xx bis x₂ stetig, so muß sie einen Wert r erreichen, fiir welchen die Reihe in Gleichung (9.) aufhört, konvergent zu sein; d. h. die Konvergenz der Reihe mit lauter positiven Gliedern geht über in Divergenz, wenn x den Wert r passiert. Dann ist aber nach Satz 4 die Reihe unbedingt konvergent für alle Werte von x, deren absoluter Betrag kleiner als r ist, und sie ist divergent für alle Werte von x, deren absoluter Betrag größer ist als r.

Was fur x gleich r geschieht, ist noch unbestimmt. So ist z. B. die Reihe

(14.)

H -I

% (N

ln (1 + x) —

konvergent für —1 < x < + 1 und divergent für x > 1. Hier ist also die Zahl r gleich 1. Für x gleich + 1 ist die Reihe

]n2 = j —    +

bedingt konvergent, und für x gleich

Satz 8. Ist r > 0, und ist die Potenzreihe f{x) — a₀ -f- axx -f- a₂x² -)-•••

(bedingt oder unbedingt) konvergent für x gleich r, so ist sie für 0 x ZS r gleichmäßig konvergent und stellt deshalb nach dem in § 56 bewiesenen Satze in diesem Intervall eine stetige Funktion dar.

Beweis. Ist s wieder eine beliebig kleine positive Größe, so ist nach Voraussetzung für hinreichend große Werte von m I Sm+P(r) — Sm{r) | = | amrm + am+xrm+' H----

+ Om+p-tr^'-¹ | < £,

Avie groß man p auch nehmen mag. Setzt man also

(15.)

(16.)

1.C ł-*

1-t i x>

i—i i -fl

+----

1 ist die Reihe divergent.

so wird

(18.)

kl I < £, I 0-2 I < e, I 0*3 I < «, ... \<Tp | < €.

cc

Bezeichnet man der Kürze wegen - mit Æ, so ist k 1, und man erliält

(19.) Sm+Jx) — Sm(x) = amxm + am+xxm+1 H-----b am+p-\xm+*~

- amrmkm + am+1rm+¹km+¹ -|-----\- am+p_xrm+P-xkm+P-x.

02,-..

(20.)

Ans den Gleichungen (17.) folgt I amrm - 0*1, am+1rm+x = g₂— (7t, am+2rm+² = <r₃

am+J,_₁rm+^-¹ = (Tp    (Tp—i,

deshalb geht Gleichung (19.) über in

(21.) Sm+Jx)—SJx) = GtkmJ (g₂—<ji)km^~x + (<r₃—<r₂)km+²-)----

-j- (öj> — (ri,_i)Äm+>_1 = oi(Æ”*— X'm+¹) -J- <r₂(jkw+1—A"+²)J----

—2

(17.)

§ 57. Konvergenz der Potenzreihen. amrm = fflt

amrm — am+1fm+¹ = <r₂,

««fw + ctm+xrm+1 + am+2rm+- = rr₃

+ Gp_X(km+P

Da der absolute Betrag einer Summe kleiner ist als die Summe der absoluten Beträge, und da

kn~¹ — kn = kn~\ 1 — k) ^ 0

ist, so wird

(22.) j Sm+P(x)—SJx) | ^| tf! | (km —km+x) + | <f₂1 (km+x —km+2) + • • ■ + | (Tp_i | (km+P~² — äw+-p-¹) + | rr„ | km+P-x, oder mit Rücksicht auf die Ungleichungen (18 )

(28.) | Sm+P(x) — SJx) | k e(km — km+x + km+1 — km+² -j----

-j- km+J,~² — km+p~l -f km+P~l) = skm.

Es wird also £„,+*,(#) — SJx) für hinreichend große Werte von m beliebig klein, gleichviel, welchen Wert x in dem Intervalle von 0 bis r haben mag, d. h. die Reihe ist in diesem Intervalle gleichmäßig konvergent.

Derselbe Satz gilt für das Intervall —r^üx^HO, wenn die Reihe für x gleich — r konvergent ist.

§ 58.

Konvergenz der periodischen Reihen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 120 und 121.)

Die Reihen von der Form

(1.)

o «0 ~I⁻ ö'i COS x —|— a₂C0s(2^) —j—    COS (3x) -j— • • •

+ b\ńnx -f- Z»₂sin(2^) -j- i₃sin(3^) nennt man „periodische Reihen“, weil die Glieder sämtlich denselben Wert behalten, wenn man x um ein Vielfaches von 2n vermehrt oder vermindert, weil sich also die Werte der Reihe periodisch wiederholen, wenn x um 2 n wächst.

Zunächst möge der einfache Fall betrachtet werden, wo die Koeffizienten a₀, ax, a₂, a₃, ... alle einander gleich und die Koeffizienten bx, é₂, b₃,... sämtlich gleich 0 sind; es sei also

(2.) Sn — Uq

^ + cos x + cos(2ic) + cos(3;r) -j-----\- COS(n — l)x •

Aus der bekannten Formel

sina — sin 6 = 2 sin

/a — b\ (a + b\

( v)“*( 2 )

2 m -f- 1

folgt für a (3.)    2 sin (^S) cos (mx) = sin

2m — 1

(2m -f- 1 \    . (2m—1 \

{ 1 V H 2    / *

j so erhält

Multipliziert man Gleichung¹ (2.) mit 2sin man daher

(4.) 2*S'nsin( )= a₀ sin

+ sin

H-----h jsin ^

. /2n — 1 \ = ^oSinf—--    x\

oder

2 sin

Wächst n ms Unbegrenzte, so schwankt der Wert von

sin^LW y ¹ x \ zwischen — 1 und + 1, nähert sich aber keiner

bestimmten Grenze, folglich ist die Reihe nicht konvergent.

Jetzt seien die Koeffizienten b1} b₂, b₃,... alle einander gleich, und die Koeffizienten a₀, at, a₂, a₃,... seien sämtlich gleich 0; es sei also

(6.)

SJ = éAsinz -j- sin (2x) -\----+ sin(rca:)].

Aus der bekannten Formel

cos6 — cosa = 2 sin

5.

Sn

. (2n — 1 \

«o smf—-—xj

(tMt)

2 m -f- 1

folgt für a =

lj

x,

2m — l

(7.)    2 sin sin (mx) =

cos

(2m — 1 \    (2m + 1 \

C—2—"d—cos C—ä— -'O ■

Multipliziert man Gleichung (6.) mit 2 sin man daher

(8.)    2SJ sin ( \ — bi [cos

j so erhält

4- cos

©-~©l

©—•©}

4- cos

(2n — 1 \    (2n -j- 1 \1

( 2    / C0S \ 2 x) |

oder

(9.)

ctg

K>! Sä

(^)

sii/ ^ \ /

eine Größe, die sich ebenfalls keiner bestimmten Grenze nähert, wenn n ins Unbegrenzte wächst, folglich ist auch diese Reihe nicht konvergent.

Bilden die Koeffizienten a₀, «i, a₂, a3j... oder bx, b₂, b₃,... eine steigende Reihe, so können sich Sn und Sn‘ mit wachsendem n schon deshalb keiner bestimmten, endlichen Grenze nähern, weil die Bedingung

lim un - 0 n—oo

nicht erfüllt wird. Man braucht daher nur noch zu untersuchen, ob die periodischen Reihen dann konvergent sind, wenn die Koeffizienten a₀, ax, a₂, a₃,... und bi, b₂, b₃, ... fallende Reihen bilden. Es sei jetzt also

(10.) Sn =    + «iCOSic-j- «2 cos (2%) + •••-)- an_xCOs(n— l)x,

wobei

(11.)

«o > ax > a₂ > ■ • • > «n-i > 0 und lima* = 0

n=oo

sein möge; dann wird nach Gleichung (3.) 2«,sin(!) = «„sin(0 + %[™(f)-®(f)]

+ o₂[Sm(f)-sin(|)]

H-----K an—X

f. /2n—1 \    . /2n—3 \1

oder

Lsm (~2~V - sm{ ~t~VJ ’

(12.)

2 Sn sin (

L-O ! «

(«o — ax) sin + {ax — a₂) sin + («₂ — a₉) sin -}----

-)- (ö»_2 — #n—i) sin ^———xÿ ■

In der Reihe

(13.) (<7o    ßl)-(-(«l-ß2)“h(öt2-ai)~\~ • • • ~h(an—2-an—l) = <%-an—1

sind sämtliche Glieder positiv, und die Summe der ersten n Glieder nähert sich mit wachsendem n der bestimmten, endlichen Grenze a₀, d. h. die in Gleichung (13.) angegebene Reihe ist unbedingt konvergent. Deshalb ist auch die in Gleichung (12.) angegebene Reihe unbedingt konvergent, da der absolute Betrag der einzelnen Glieder kleiner ist als die entsprechenden Glieder in der Reihe

(«o — #i) + (,ai — aï) -f" iP'i — ^3) + • • • •

Da noch

lim an_x sin (2n —= 0

n=00    \    /

fcSI ^

mit wachsendem n einer bestimm-

ist, so nähert sich 2 S„ sin ten, endlichen Grenze. Dasselbe gilt auch für S„ selbst, wenn man die Werte von x ausnimmt, für welche sin ^ ^ gleich 0 wird. Dies gibt

Satz 1. Die Reihe

}a₀ + axCOSX + «2C0S(2ä:) + az COS (3«) + • • •

«o,

ist konvergent für alle Werte von x, welche von 0, ± 2n: ±4re,... verschieden sind, wenn die Koeffizienten a₀, ax a₃,... positiv sind, und eine bis ins unendlich Kleine abnehmende Reihe bilden.

Indem man x mit x + n vertauscht, findet man, daß die

Reihe

—[- j öo —— u\ cos x —|- a₂ cos (fx) — 03 cos (3^) —)— — • • • unter denselben Bedingungen für alle Werte von x konvergiert, die von ±n, ± Srr,    verschieden sind.

Wenn die Koeffizienten bx, b₂, h,... positiv sind und eine bis ins unendlich Kleine abnehmende Reihe bilden, wenn also

(14.)

u—oo

b\ > ö₂ > ^3 > • • • > bn > 0 und limè„ = 0, so findet man in ähnlicher Weise aus

(15.)

Sn‘ = èisina: + b₂ sin (2x) -|-----f- bn sin (nx)

multi-

indem man beide Seiten dieser Gleichung’ mit 2 sin pliziert und Gleichung (7.) anwendet,

(16.) 26Vsin(|^ = öicos(0—(öi—ö₂)cos0^—(ös—ö₃)cos^^

bn) cos Çn ₂ ¹ Ą — bn COS    •

-----(bn.

Nun ist aber mit Rücksicht auf die jetzt geltenden Voraussetzungen die Reihe

(17.)

(öi — ö₂) -j- (ö₂ — Ö3) -j- (Ö3 — Ö4) -(-••• — öi unbedingt konvergent, folglich erst recht die Reihe

(Öl — ö₂)cos^—J -f- (ö₂ — ö₃) cos^~-^ -j- (ö₃ — ö₄) cos( -) -j- • • bei welcher die absoluten Beträge der einzelnen Glieder noch kleiner sind. Da hierbei noch sina;, sin(2a;), sin(3a:),... sämtlich gleich 0 sind für alle Werte von x, für welche sin verschwindet, so bleibt die Reihe

ö,sina; + ö₂sin(2a;) -f- ö₃sin(3a*) -J- •• • auch noch für diese Werte von x konvergent, und man erhält

Satz 2. Die Heike

öisina; + ö₂sin(2a;) + ö₃sin(3a;) -)----

ist für alle Werte von x konvergent, wenn die Koeffizienten öi, Ö2, ö₃,... positiv sind und eine bis ins unendlich Kieme abnehmende Heike bilden.

Indem man x mit x + n vertauscht, findet man, daß die

Reihe

öiSina; — ö₂sin(2a;) -j- ö₃sin(3a;)--j----

unter denselben Bedingungen für alle Werte von x konvergiert.

Beispiele.

1) Die Reihe

cos x    cos (2a;)    cos(3.r)

ist konvergent, wenn x von 0, ± 2tt, ±    ... verschieden ist.

1-f

CO

2). Die Reihe

sina; sin (2 z) sin (3a-) 1/1 ]/2

ist konvergent für alle Werte von x.

Die Methoden, durch welche es möglich ist, gegebene Funktionen durch solche periodische Reihen darzustellen, können erst in der Integral-Rechnung mitgeteilt werden.

VIL Abschnitt.

Maxima und Minima von entwickelten Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen.

§ 59.

Bedingungen, unter denen ein Maximum oder Minimum eintreten kann.

Entspricht der Gleichung¹

(1.)

y =/0)

die in Figur 29 oder in Figur 30 dargestellte Kurve, so liegt der Punkt 1\ höher und der Punkt P₂ tiefer als die benachbarten Punkte. Man nennt deshalb Px einen höchsten und P₂ einen

Fig. 30.

Fig. 29.

Fl

Pi

p*y

Qi

Q»

Q,

tiefsten Punkt der Kurve, wobei aber nicht ausgeschlossen ist, daß die Kurve in ihrem weiteren Verlaufe Punkte enthält, die noch höher liegen als P\ oder noch tiefer als P₂, da diese Punkte P\ und P> nur mit den benachbarten Punkten, d. h. mit den unmittelbar vorhergehenden und den unmittelbar folgenden Punkten verglichen werden. Die einem solchen höchsten Punkte Pi entsprechende Ordinate QXPX oder yx = f(xx) heißt dann ein

Maximum, und die einem solchen tiefsten Punkte I\ entsprechende Ordinate oder y₂ = f(xf heißt ein Minimum der Funktion y = fix).

Bezeichnet man mit a eine beliebig- kleine Größe, so sind die Ordinaten der Kuryenpunkte, welche dem Kurvenpunkte P mit den Koordinaten x und y = fix) benachbart sind fix — a) und f{x + a), und zwar ist fix — a) die Ordinate eines unmittelbar vorhergehenden und fix -f- a) die Ordinate eines unmittelbar folgenden Punktes.

Dieser geometrischen Deutung entsprechend sollen allgemein fix — a) und fix -)- a)

fix

„zu fix) benachbarte Werte“ genannt werden, und zwar ist d) „ein unmittelbar vorhergehender“, f(x -f a) „ein unmittelbar folgender benachbarter Wert“ der Funktion. Daraus ergibt sich dann auch die folgende Erklärung:

Thenn fix) größer ist als alle unmittelbar" vorher gehenden und folgenden Werte der Funktion, so heißt fix) „ein Maximum“; und wenn fix) kleiner ist als alle unmittelbar vorhergehenden und folgenden Werte der Funktion, so heißt fix) „ein Minimum “.

Im ersten Falle sind also die Differenzen Jx = f{x — d) —f{x) < 0 und J 2 = fix + «) —ff) < 0 ; im zweiten Falle sind

Jx = f\x — a) —fix) > 0 und = fix -f- a) —fix) > 0. Damit nun die Kurve (vergl. Fig. 29 und 30) einen solchen höchsten Punkt 1\ erreicht, muß sie vorher steigen und nachher fallen; und damit sie einen solchen tiefsten Punkt P₂ erreicht, muß sie vorher fallen und nachher steigen.

Aus diesen Erwägungen kann man die Bedingungen ableiten, unter denen f{x) ein Maximum oder Minimum wird.

In § 13 (Seite 86 und 87) war nämlich gezeigt worden, daß

dy _ sux\ p0Sitiv sein muß. wenn die Kurve mit der Gleichung

dx

dy

=f\x)

y = fix) in dem zugehörigen Punkte steigt, und daß ^ negativ sein muß, wenn die Kurve in dem zugehörigen Punkte

fällt. Unabhängig⁻ von der geometrischen Darstellung gab dies den Satz:

Wenn eine Funktion y =f(x) gleichzeitig mit x zunimmt, so ist die Ableitung für den betrachteten Wert vo?i x positiv; wenn aber die Funktion abnimmt, während x zunimmt, so ist die Ableitung für den betrachteten Wert von x negativ; und umgekehrt:

Eine Funktion fix) nimmt gleichzeitig mit x zu für alle Werte von x, für welche f‘{x) positiv ist, und die Funktion nimmt ab, während x zunimmt, für alle Werte von x, fur welche f‘(x) negativ ist.

Wenn also fix) ein Maximum werden soll, so muß f\x) aus dem Positiven in das Negative übergehen; wenn dagegen fix) ein Minimum werden soll, so muß fix) aus dem Negativen in das Positive übergehen.

Hieraus folgt, daß fix) nur für diejenigen Werte von x ein Maximum oder Minimum werden kann, für welche die Ableitung f‘{x) einen Zeichenwechsel erleidet. Setzt man voraus, daß fix) wohl unendlich groß werden kann, daß aber alle übrigen Fälle der Unstetigkeit ausgeschlossen sind, so tritt ein solcher Zeichen Wechsel nur dann ein, wenn f\x) entweder gleich Null oder unendlich groß wird.

Dies gibt den Satz:

Die Funktion fix) kann nur für diejenigen Werte von x ein Maximum oder Minimum werden, für welche fix) gleich Null oder unendlich groß wird.

dy

Aus der geometrischen Deutung der Ableitung, nämlich aus (Formel Nr. 17 der Tabelle)

dx

tg« =

folgt, wie auch aus den Figuren zu ersehen ist, daß in den Kurvenpunkten, welche einem Maximum oder Minimum entsprechen, die Tangente zur A-Achse oder zur F-Achse parallel sein muß.

Ist f\x) = 0, ist also die Tangente in dem zugehörigen Kurvenpunkte P parallel zur A-Achse, so liegen die dem Punkte

P benachbarteil Punkte sämtlich unterhalb oder sämtlich oberhalb dieser Tangente, je nachdem der Punkt P einem Maximum oder Minimum entspricht. (Vergl. Fig. 29.)

Ist f‘{x) = oo, ist also die Tangente parallel zur Y-Achse, so hat die Kurve in dem zugehörigen Punkte P eine nach oben oder nach unten gerichtete Spitze, je nachdem der Punkt P einem Maximum oder einem Minimum entspricht. (Vergl. Fig. 30.)

Die Kegel, welche sich aus den vorhergehenden Betrachtungen für die Aufsuchung der Maxima und Minima ergibt, ist daher die folgende:

Man ermittele diejenigen Werte von x, für welche f‘(x) gleich Null oder unendlich groß wird, und untersuche dann für die dadurch gefundenen Werte von x noch das Vorzeichen von f\x — d) und f‘(x -j- a).

Wird für hinreichend kleine Werte von a

f\x — d) < 0 und f\x -f- d) > 0,

so ist fix) ein Minimum, wie man aus den Figuren 31 und 32 erkennt, in denen

OQ\ = x — a und OQ₁ = xJra

sein möge.

Fig. 32.

Fig. 31.

NP/

p jy

Q, 0    Q7~-*

Q,

Q,

■X

Wird dagegen für hinreichend kleine Werte von a f\x — a) > 0 und f‘(x + d) < 0,

so ist f{x) ein Maximum, wie man aus den Figuren 33 und 34 erkennt, in denen wieder

OQt = x — a und 00,2 = x + a

sein möge.

Fig. 33.

Fig. 34.

Pf

p,,

p₂

Qi Q Qt

■x

Qf Q Qt

■X

Bemerkungen.

1) Es kann Vorkommen, daß f‘(x— a) und f\x-\-a) für hinreichend kleine Werte von a beide positiv sind, obgleich f'(x) = 0 (vergl. Fig. 35) oder obgleich f‘(x) = oo wird (vergl. Fig. 36). Ebenso kann es Vorkommen, daß f\x ■—o) und f‘(x-\-a) für hinreichend kleine Werte von « beide negativ sind, obgleich f‘(x) = 0 (vergl. Fig. 37), oder f‘(x) = oo wird (vergl. Fig. 38). In diesen Fällen ist f(x) weder ein Maximum noch ein Minimum. Die Kurven haben vielmehr in den zugehörigen Punkten einen Wendepunkt.

Fig. 35.

Fig. 36.

P*/

P*

-Pf

Pf,

-X

Q, Q

Fig. 37.

Fig. 38.

\P'

P]

Pii

Q, Q Q>

-x

Qf Q 0T~X

2) Wenn man für einen bestimmten Wert von x die Vorzeichen von f‘(x — a) und f'{x-\-a) untersuchen will, so ist es notwendig, die Größe a hinreichend klein zu wählen, um sichere Schlüsse über das

Auftreten eines Maximums oder Minimums ziehen zu können.

Wäre z. B. die Kurve, welche der Funktion

Fig. 39.

y =/(*)

entspricht, durch die Figur 39 dargestellt, so würde f(x) für x — OQ ein Maximum. Trotzdem erhielte man, wenn a so groß gewählt würde, wie es in der Figur geschehen ist.

Q,

f\x — a) <0 und f‘(x-\-a)> 0,

Aus diesen Ungleichungen würde man also den falschen Schluß ziehen, daß fix) ein Minimum sei.

Wenn man aber a hinreichend klein wählt, so ist auch in diesem Falle, wie man von vornherein erwarten konnte, die angegebene Regel bestätigt, d. h. es wird

f\x — a) > 0 und f\x -j- a) < 0, dem Umstande entsprechend, daß f(x) ein Maximum ist.

§ 60.

Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll untersuchen, für welche Werte von x die Funktion

y —    (x* — 9x² -(- lbx -f- 30) — f(x)

ein Maximum oder Minimum wird.

(1.)

(2.)

sind also

Auflösung. Ans Gleichung (1.) folgt

f\x) = i O² — Qx + ⁵) = i(x — 1) (x — ⁵)-

Die beiden Werte von x, für welche f‘{%) gleich Null wird,

x = 1 und x = 5.

Für diese Werte kann möglicherweise ein Maximum oder Minimum eintreten. Um zu entscheiden, ob das eine oder das andere wirklich stattfindet, bilde man nach Anleitung des vorigen Paragraphen

(3.)

to\ ö

und

/'(l + «) = \ (1 + « — 1)(1 + » - 5) = | (« - *)•

Für hinreichend kleine Werte der positiven Größe a ist

daher

(4.)

/'( 1 — «) > 0, /'(l + «) < 0

folglich ist

(6.)

/( 1) = ł(l— 9 + 15 + 30) = j = 6,1666...

ein Maximum.

Ebenso bilde man

und

(6.)

/'(5 — o) = 1(5 — a—1)(5 — a — 5) = — | (4 — a) ,/'(5 + a) — i(5 -j- a — 1) (5 -j- a — 5) = -f- g (4 + a)-

Für hinreichend kleine Werte von a ist daher /'(5 — a) < 0 und /'(5 + «) > 0,

folglich wird

(7.)

/(5) = |(125 — 225 -f 75 + 30) =    = 0,8333 ...

ein Minimum.

Man könnte jetzt noch fragen, für welche Werte von x die erste Ableitung f‘{x) unendlich groß wird. Diese Frage beantwortet sich aber nach Gleichung (2.) dahin, daß es keinen endlichen Wert von x gibt, für welchen f\x) unendlich groß wird.

Demnach sind x = 1 und x = 5 die einzigen Werte von x, für welche die Funktion ein Maximum oder Minimum werden kann.

Bemerkung.

Aus

Die Richtigkeit des gefundenen Resultates kann man durch die geometrische Deutung der Gleichung (1.) anschaulich machen, dieser Gleichung findet man nämlich

„    x =    —j— 7.

Fig. 40.

y = — 7,333 . . y — H⁻ 0,833 . . y = 4-5 y—-(- 6,166 . . y = -f ô,333 . . y = + 3,5 y = -f-1,666 . . y = -f- 0,833 . . î/ =*= + 2

y = + 6,166 . . .

Wenn man nach diesen Angaben die Kurve zeichnet, welche der Gleichung (1.) entspricht, so findet man in der Tat, daß dem Werte x^—OQ^ — 1 ein Maximum und dem Werte x% — OQ-₂ = 5 ein Minimum entspricht.

Der Anblick der Figur lehrt ferner, daß die Maximal - Werte durchaus nicht immer die größten Funktions-Werte sind, und daß die Minimal-Werte ebenso wenig die kleinsten Funktions-Werte zu sein brauchen. Die Maximal-Werte sind nur größer, und die Minimal-Werte sind nur kleiner als die benachbarten Werte der Funktion.

Aufgabe 2. Man soll untersuchen, für welche Werte von x die Funktion

Fl

Pi

Q,

Qi

-X

V ⁼ i(x3 — 6^² 4~ 12# + 48) = /"(«) ein Maximum oder Minimum wird.

(8.)

(9.)

wird, ist

Auflösung. Aus Gleichung (8.) folgt

f\x) = -J (3«² — 12« -f- 12) = •§(« — 2)².

Der einzige Wert von x, für welchen f‘(x) gleich Null

x = 2,

während /'(«) für keinen endlichen Wert von x unendlich groß wird.

Um zu entscheiden, ob für x gleich 2 ein Maximum oder ein Minimum eintritt, bilde man

/'(2 — a) = | (2 — a — 2)² = f a²

und

Es wird also

/'(2 + «) = | (2 + « — 2)² = -f a².

(10.)

/'(2 — a) > 0 und //(2 + a) > 0, folglich ist f{2) weder ein Maximum noch ein Minimum.

Da x = 2 der einzige Wert von x war, für welchen möglicherweise ein Maximum oder Minimum eintreten konnte, so

besitzt die Funktion überhaupt weder ein Maximum noch ein Minimum.

Gleichung (8.) gibt

Fig. 41.

für x = — 2,

y = — 1

V = + 3,625 „ x —    1,

y = + 6 y = + 6,875 „ x = -f- 1 y — -j- 7 y — H⁻ 7,125 „ x = + 3,

y = + 8

y = + 10,375 „ « = -)- 5, y = + 15

0,

■x

0> Q

Konstruiert man hiernach die Kurve, welche der Gleichung (8.) entspricht (Fig. 41), so findet man es bestätigt, daß f(x) für keinen Wert von x ein Maximum oder ein Minimum wird. Man sieht vielmehr, daß die Kurve für x gleich 2 einen Wendepunkt besitzt.

(11.)

Aufgabe 3. Man soll die Werte von x bestimmen, für welche y — m — b -p' (x — c)² = f(x) ein Maximum oder Minimum wird.

Auflösung. Die Gleichung (11.) kann man auf die Form

f{x) = rn — b(x — c) ⁵

(11a.)

bringen und erhält daraus

(12.)

Fig. 42.

öy⁷ (x — c)³

Hieraus folgt, daß f‘(x) für keinen endlichen Wert von x gleich Null werden kann. Dagegen wird (13.) f\x) = oo für x

Dies ist also der .einzige Wert von x, für welchen f(x) möglicherweise ein Maximum oder Minimum wird. Um ■x darüber zu entscheiden, bilde man

= C.

Unter der Voraussetzung, daß b eine positive Zahl ist, erhält

man also

(14.)

f\c — a) > 0 und f‘(c + a)< 0,

folglich wird (15.) ein Maximum. (Vergl. Fig. 42.)

Aufgabe 4. Von einem Rechteck ist der Umfang gleich 2c, wie groß muß man die Seiten machen, damit der Flächeninhalt ein Maximum wird?

Auflösung. Bezeichnet man die eine Seite AB mit x, so wird die andere Seite

Fig. 43.

(16.)

und

f\c — «) “

— 2b

h-y/ (c — a — c)³

+ 2b

5 j/a³

f\c + a) =

— 2b

— 2b

5-j/ (c -)- a — c)³

BC — c — x, und dei* Flächeninhalt (17.) F = f{x) = x(c — x) = cx — x²\ mithin liefert

(18.)

f\x) — c — 2^ — 0

den Wert

(19.)

X — ^c.

Um zu entscheiden, ob für diesen Wert von x wirklich ein Maximum eintritt, bilde man

und

tt) = /'(I — «) = c — (c — 2a) =

f\x + «)    c — (c + 2a) —

fX*

-f- 2a

— 2a.

Da f\x

a) > 0 und f\x + a) < 0 ist, so wird f(x) ein Maximum. Dies gibt den Satz:

Aufgabe 5. Von einem Dreieck ABC sind zwei Seiten b und c gegeben; wie groß muß der eingeschlossene Winkel sein, wenn der Flächeninhalt ein Maximum werden soll?

(20.)

Auflösung. Nennt man den eingeschlossenen Winkel x, so wird der doppelte Flächeninhalt des Dreiecks 2 F = bcsmx = f(x),

also wird

b,

Al

Fig. 44.

(21.)

to q

f‘(x) = bc cosx = 0 für x -

bc cos

( “O

bc cos

fei

>0

( +a)

tc! q

< 0,

m. ! q

d. h. der Flächen-

folglich wird fix) ein Maximum für x =

inhalt des Dreiecks wird am größten, wenn der von den gegebenen Seiten b und c eingeschlossene Winkel ein rechter ist.

§ 61.

Entscheidung Liber das Eintreten eines Maximums oder Minimums durch Untersuchung der höheren Ableitungen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 122.)

Die Fälle, wo f\x) unendlich groß wird, mögen in den folgenden Untersuchungen ausgeschlossen sein. Es soll vielmehr vorausgesetzt werden, daß die Funktion fix) mit ihren n ersten Ableitungen f\x), f"{x),.. ./^(x) stetig und endlich sei, wobei über die Zahl n noch später passend verfügt werden soll. Dann ist nach Formel Nr. 89 der Tabelle unter Anwendung der zweiten Form des Restes

- y [f(n\x -j- &h) —f(n\xy\hn.

Setzt man in dieser Entwickelung das eine Mal

(1.) fix + h) =f(x) +

(2.)

1!

und das andere Mal

so kann man dieselbe benutzen, um das Vorzeichen von (3.)    = fix — a) —f{x) und von = fix + «) —fix)

zu bestimmen. Sind nun diese Differenzen für hinreichend kleine Werte von a beide negativ, so wird f(x) offenbar ein Maximum; sind aber diese Differenzen beide positiv, so wird f(x) ein Minimum: haben endlich diese beiden Differenzen verschiedenes Zeichen, so tritt weder ein Maximum noch ein Minimum ein.

Für n = 1 erhält man aus den Gleichungen (1.) und (2.)

(4.) J = f\x + h) —f\x) =

f(x)

1!

Hierbei werde

(5.)

f‘{x -f- Qh) —fix) = a

gesetzt, dann erhält man

(4 a.)

fix + h) —fx) = ™ [fix) -f «].

Da a = 0 ist für h = 0, so wird wegen der Stetigkeit der Funktion f\x) die Größe « mit h zugleich beliebig klein. Ist also

(6.)

fix) gE 0,

so kann man h so klein wählen, daß a, vom Vorzeichen abgesehen, kleiner wird als fix). Das Vorzeichen der Klammergröße fix) + « wird deshalb mit dem Vorzeichen von fix) übereinstimmen. Ist a gleich ai für h = — a und « gleich te2 für h = + a, so folgt hieraus, daß

= fx — a) —fix) = — a [f\x) + «i]

und

^2 = fix + a) —f\x) — + a [f(x) + a₂] entgegengesetztes Vorzeichen haben, daß also weder ein Maximum noch ein Minimum eintreten kann, so lange die Ungleichung (6.) besteht.

Ein Maximum oder Minimum von fx) kann vielmehr nur eintreten, wenn

f\x) = 0

(7-)

ist. Die geometrische Deutung dieses Resultates gibt wieder den Satz:

Die Tangente in einem Kurvenpunkte, welcher einem Maximum oder Minimum entspricht, ist der X-Achse parallel.

Ist Gleichung (7.) befriedigt, so füge man noch die Voraussetzung hinzu, daß auch f“{x) für die betrachteten Werte von x stetig sei, und daß

(8.)

/"(*) g 0.

Nach den Gleichungen (1.) und (2.) wird dann für n gleich 2

J=f(,x+h)—Ax) =

1!

2!

!■[/"(*

oder mit Rücksicht auf Gleichung (7.)

(9.)

Id

J =/(* + Ä) —/(*) = äj [/"(*) + fl

wobei

(10.)

fu{x + Qh)—f"{z) = ß

gesetzt worden ist. Da ß = 0 ist für h = 0, so wird wegen der Stetigkeit von f“{x) diese Größe ß mit h zugleich beliebig klein. Man kann also h immer so klein wählen, daß ß, vom Vorzeichen abgesehen, kleiner wird als /"(#), daß also das Vorzeichen von f“{x) über das Vorzeichen der Klammergröße f“{x) + ß entscheidet. Ist ß gleich ßt für h = — a, und ß gleich ß₂ für A = -f a, so folgt hieraus, daß

a²

=f(x — a) —fix) = ₂ ;

und

dl

gleiches Vorzeichen haben, daß also ein Maximum eintritt, wenn f‘\x) negativ ist, während ein Minimum eintritt, wenn f“{x) positiv ist.

Dies gibt die folgende Regel:

Ist

f‘(x) — 0 und f“(x) < 0 so wird f(x) ein Maximum; ist dagegen

f\x) — 0 und f“(x) > 0

so ivird f{x) ein Minimum..

Es bleibt nur der Fall übrig, wo

f\x) = 0 und f‘\x) = 0.

Fügt man dann die Voraussetzung hinzu, daß f“‘{x) für die betrachteten Werte von x stetig sei, und daß

f“‘(x) < 0,

so folgt aus den Gleichungen (1.) und (2.) für n = 3

■f“{x] Id    +

O •

(11.)

(12.)

f(x + h) —f{x) =

f\x)

h+ 2!

\f“\x -f- &h) —f‘u(x)]h³

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (11.)

(13.)

h³

f\x + 1Î) —fix) = \f“vx) + /j ,

wobei

(14.)

f‘“[x + ®h)    = r ,

gesetzt worden ist. Da y = 0 ist für h = 0, so wird wegen der Stetigkeit von f“\x) diese Größe y mit h zugleich beliebig klein. Man kann also h immer so klein wählen, daß y, vom Vorzeichen abgesehen, kleiner wird als f“‘{x), daß also das Vorzeichen von f“‘{x) über das Vorzeichen der Klammergröße f“‘(x) + y entscheidet. Ist nun y gleich yx für h = — a, und y gleich y2 für h = -f- a, so folgt hieraus, daß

und

=f(x

a) —f(x) = —

a³

3!

[r» + n]

a³

■‘‘■I =/(* + o) —/(*) = + g I

[/“'(*) + n]

entgegengesetztes Vorzeichen haben, daß also weder ein Maximum noch ein Minimum eintreten kann, so lange neben den Gleichungen (11.) die Ungleichung (12.) besteht.

Ist dagegen auch f“‘(x) gleich Null, ist also

(15)

/'0) = o, /"(*) = o, /"'(*) = o

so füge man die Voraussetzung hinzu, daß f[i\x) für die betrachteten Werte von x stetig sei, und daß

(16.)

/⁽⁴⁾0) > o

wird. Jetzt folgt aus den Gleichungen (1.) und (2.) für n = 4, wenn man die Gleichungen (15.) berücksichtigt,

(17.) f(x+h)-f(x)=J^I,4 + d.[/W(^+®Ä)-/MK*W

Ä⁴

wobei

(18.)

f^\x -f- Oh) —f^\x) — d

gesetzt worden ist. Da â = 0 ist für h = 0, so wird wegen der Stetigkeit von f®{x) diese Größe â mit h zugleich beliebig klein. Man kann also h immer so klein wählen, daß â, vom Vorzeichen abgesehen, kleiner wird als fw(x), daß also das Vorzeichen von f(i)(x) über das Vorzeichen der Klammergröße f(i\x) -f ô entscheidet. Ist nun â gleich d₁ für h = — a, und ô gleich f)₂ für h — -j- a, so folgt hieraus, daß

=f(x

a) —/(*) =

«⁴

41

[,/(4,(x) 7^ di]

und

a⁴

^2 =f(x + a) —f{x) = ₄,

(’/⁽%) T d₂]

gleiches Vorzeichen haben, daß also f{x) ein Maximum wird, wenn f^\x) negativ ist, während f(x) ein Minimum wird, wenn f^\x) positiv ist.

In dieser Weise kann man fortfahren. Ganz allgemein findet man das folgende Resultat:

Es sei für einen bestimmten Wert von x (19.) f\x) = 0, f\x) = 0, f‘“{x) = 0,.. .ßn~x\x) = 0, f(n\x) dagegen sei von Null verschieden und für die betrachteten

Werte der Veränderlichen stetig; dann folgt aus den Gleichungen (1.) und (2.) mit Rücksicht auf die Gleichungen (19.)

(20.) f(x + h)—f{x) =

hn -f —-f(n\xj\hn

= ~\[f(n)(xi + *0,

wobei

(21.)

f(n\x -j- ©A) —f(n)(x) — v

gesetzt worden ist. Da v = 0 ist für h = 0, so wird wegen der Stetigkeit von f{n){x) diese Größe v mit h zugleich beliebig klein. Man kann also h immer so klein wählen, daß v, abgesehen vom Vorzeichen, kleiner wird als f^ix), daß also das Vorzeichen von f^n\x) über das Vorzeichen der Klammergröße f(n)(x) -j- v entscheidet. Ist nun v gleich vx für h = — a und v gleich v-2 für h = + a, so ergibt sich hieraus, daß

(1W

=/(« — a) —fix) = (— l)w^y [f{n\x) -h *i]

und

=/(« + a) —f(x) =

aH

[/(»)(,r) -f p₂]

gleiches oder entgegengesetztes Zeichen haben, je nachdem n gerade oder ungerade ist.

Daher wird f(x) ein Maximum, wenn n gerade und ßn\x) negativ ist; fix) wird ein Minimum, wenn n gerade und f^n\x) positiv ist. Wenn dagegen n ungerade ist, so wird fix) weder ein Maximum noch ein Minimum.

Dies gibt die allgemeine Regel:

Um die Werte von x zu bestimmen, für welche fix) ein Maximum oder Minimum wird, bestimme man die Werte von x, für welche f‘(x) gleich Null wird. Ein solcher Wert sei x, und fin\x) sei die erste spätere Ableitung, welche für diesen Wert von x nicht verschwindet ; dann ist fix) ein Maximum, wenn n gerade und fin\x) negativ ist; fix) ist ein Minimum, wenn n gerade und f^n\x) positiv ist. Dagegen tritt weder ein Maximum noch ein Minimum ein, wenn n ungerade ist.

Bemerkungen.

1)    Gewöhnlich wird n gleich 2, nur ausnahmsweise kommen auch größere Werte von n in Betracht.

2)    Aus dem Vorhergehenden folgt, daß vier wesentlich verschiedene Fälle eintreten können, wenn für irgend einen Wert von x

wird.

/'(*) = 0

I. Ist unter dieser Voraussetzung entweder f"(x) negativ, oder f'\x) gleich Null und die erste höhere Ableitung, welche von Null verschieden ist, von gerader Ordnung und negativ, so wird der entsprechende Wert der Funktion ein Maximum (vergl. Fig. 45).

Fig. 46.

Fig. 45.

Pf

p^

Q< Q Q₂

■X

Q, Q Qä X

II.    Ist unter der Voraussetzung, daß f\x) = 0 wird, entweder f"(x) positiv, oder f“(x) gleich Null und die erste höhere Ableitung, welche von Null verschieden ist, von gerader Ordnung und positiv, so wird der entsprechende Wert der Funktion ein Minimum (vergl. Fig. 46).

von un-

III.    Ist für einen Wert von x, für welchen f\x) — 0 wird, auch f“(x) — Q, und ist entweder f"\x) positiv, oder f“'(x) gleich Null und die erste höhere Ableitung, welche von Null verschieden ist, gerader Ordnung und positiv, so ist der entsprechende Wert der Funktion weder ein Maximum noch ein Minimum (vergl. Fig. 47).

Fig. 48.

Fig. 47.

P₂

Qi Q

Q₂

■X

T?

Q, Q 0T~X

IV. Ist für einen Wert von x, für welchen f‘(x) — 0 wird, auch f“(x) = 0, und ist entweder f“‘(x) negativ, oder f“\x) gleich Null und die erste höhere Ableitung, welche von Null verschieden ist, von un-gerader Ordnung und negativ, so ist der entsprechende Wert der Funktion weder ein Maximum noch ein Minimum (vergl. Fig. 48).

3) In den Figuren 47 und 84 ist der Punkt P ein Wendepunkt, und zwar steigt die Kurve in Figur 47 bis zum Punkte P und fährt unmittelbar hinter ihm fort, zu steigen. Im Punkte P seihst ist die Richtung der Kurve parallel zur X-Achse.

In Figur 48 dagegen fällt die Kurve bis zum Punkte P und fährt unmittelbar hinter ihm fort, zu fallen. Auch hier ist P ein Wendepunkt, in welchem die Richtung der Kurve zur X-Achse parallel ist.

§ 62.

Anwendungen.

Es möge diese Methode zunächst auf die Aufgaben angewendet werden, welche schon in § 60 behandelt worden sind; Aufgabe 3 daselbst kommt hier aber nicht in Betracht, weil hier nur die Fälle berücksichtigt werden, in denen f\x) stetig und endlich bleibt.

(i.)

Aufgabe h Für welche Werte von x wird die Funktion V ~    — 9«² w 15« + 30) —f{x)

ein Maximum oder Minimum?

Auflösung. Man bilde

(2-)

(3.)

f\x) = | («² — 6« + 5) = \{x — 1) (« — 5), f“{x) = x — 3

und bestimme die Werte von x, für welche f\x) gleich 0 wird. Dadurch findet man

0-)

x = 1 und x = 5.

Für diese Werte kann möglicherweise ein Maximum oder Minimum ein treten. Um darüber zu entscheiden, bilde man

(5.)

/"(!) = - 2 und f"(o) = -f- 2,

folglich wird

(6.)

(7-)

/(!) = 6,1666... ein Maximum, weil /"( 1) negativ ist, und /(5) = 0,8333...

Aufgabe 2. Für welche Werte von x wird die Funktion

V — i(^³ — 6a;² + 12a; + 48) —f(x)

ein Maximum oder Minimum?

(8.)

Auflösung. Man bilde

f\x) = U*² - ^ + 4) = f (x - 2)²,

/"(*) = \(x — *2) und bestimme die Werte von a;, für welche f\x) gleich 0 wird. Dadurch findet man nur den einzigen Wert

x — 2,

für den möglicherweise ein Maximum oder Minimum eintreten kann. Um darüber zu entscheiden, bildet man /"(2) und findet

(9.)

(10.)

(11.)

(12.)

/"( 2) = 0.

Deshalb muß man noch die dritte Ableitung

(13.)

/'"(*) = i

bilden. Da diese Ableitung sogar für jeden Wert von x von 0 verschieden ist, so tritt weder ein Maximum noch ein Minimum ein.

(Vergl. Fig. 41 auf Seite 292.)

(14.)

Aufgabe 3. Für welche Werte von x wird

f{x) = x{c — x) — cx — x¹

ein Maximum oder Minimum?

Auflösung. Man bilde

(15.)

f\x) = c — 2a;

(16.)

und bestimme den Wert von x, für welchen f\x) gleich 0 wird. Dadurch findet man nur den einzigen Wert

X — -£- C•

Da f“{x) für jeden Wert von x negativ ist, so wird fix) für x = ^c ein Maximum.

(17.)

(18.)

Aufgabe 4. Für welche Werte von x wird fix) = Æcsina;

ein Maximum oder Minimum?

Auflösung. Man bilde

(19.)

(20.)

f\x) = bc COS 2, f“{x) = — bcsmx und bestimme den Wert von x, für welchen f\x) gleich 0 wird. Dadurch findet man, weil der Dreieckswinkel x kleiner als n sein muß, den einzigen Wert

JT

(21.)

Um zu entscheiden, ob für diesen Wert von x wirklich ein Maximum oder Minimum eintritt, bildet man f“ und findet

(22.)

= — bc.

Da dieser Wert negativ ist, so wird Aufgabe 5. Die Funktion

toi a

ein Maximum.

fix) = Æ² — 2ax -f- b²

wird ein Minimum für x = a, und zwar wird fix) = b² — a².

Aufgabe 6. Die Funktion

f(x) — xd — 18 x² -f- 96 a" — 20

wird ein Maximum für x = 4 und ein Minimum für x — 8 ; dabei ist

/(4) = 140 und /(8) = 108.

Aufgabe 7. Die Funktion

f{x) = a + (x — cf

wird ein Minimum für x = c, und zwar ist

/(c) = a.

Aufgabe 8. Die Funktion

fix) — a -\- (x cf

hat weder ein Maximum noch ein Minimum.

Aufgabe 9. Die Funktion

i\x) = a + (x — c)n

wird ein Minimum für x = c, wenn n eine gerade Zahl ist ; sie ist dagegen weder ein Maximum noch ein Minimum, wenn n eine ungerade Zahl ist.

Aufgabe 10. Die Funktion

fix) — x\a — x)³ — azx² — 3 a²x³ -j- 3 ax* — xb

wird unter der Voraussetzung, daß a positiv ist, für x = 0 ein 2 a

Minimum, für x = — ein Maximum und für x = a weder ein o

Maximum noch ein Minim,um, obgleich f‘(a) — 0 ist.

Aufgabe 1h Die Funktion

fix) — {x — l)⁴(z + 2 )³

wird für x = 1 ein Minimum

ein Maximum

für x =

und für x = — 2 weder ein Maximum noch ein Minimum, obgleich f‘{— 2) = 0 ist.

Aufgabe 12. Die Funktion

wird für # = — ein Maximum.

Aufgabe 13. Die Funktion

wird für x = e ein Minimum.

Aufgabe 14. Die Funktion

fix) =    = xx

wird für x = e ein Maximum.

Aufgabe 15. Die Funktion

fix) =

wird für a; = — ein Minimum.

§ 63.

Vereinfachungen der Rechnung, wenn f‘(x) eine gebrochene Funktion ist.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 123.)

Hat f‘(x) die Form

(1.)

/' 0) =

P(x)

Q{x)’

so wird im allgemeinen f\x) zugleich mit P(x) gleich Null. Will man nun entscheiden, ob f(x) für einen Wert von x, für welchen P(x) gleich Null ist, ein Maximum oder Minimum wird, so muß man das Vorzeichen von

(2-)

/"(*) =

Q(x) P‘(x) — P(x) Q ‘(x)

Q(x)²

bestimmen. Nun ist aber für den betrachteten Wert von x die Funktion P{x) gleich Null, folglich wird

(3.)

/"(*) =

P\x)

Q(x)

Das Vorzeichen dieses Bruches kann man aber verhältnismäßig leicht bestimmen.

Beispiele.

Aufgabe 1. Für welchen Wert von x wird die Funktion

(4.)

ein Maximum oder Minimum?

Auflösung. Man bilde

/'(*)=pvi

Daraus folgt, daß P(x) und deshalb auch f‘(x) nur verschwindet für

(5.)

(1 — x) (1 + X) _P(x)

(1 + x²)²

Q(x)

(6.)

(7.)

x = -f- 1 und x = Für diese Werte von x wird aber

— 2x

/"(*)

1.

also

(1 -f- x²)²

20

Kiepert, Differential-Beclmung.

und

/"(+ 1) = -

Deshalb ist

tOj h-

nnd    !) = + — •

/(+ 1) — + ^ ein Maximum

u

/(—• 1) = — ein Minimum.

Ll

Aufgabe 2. Für welche Werte von x wird die Fmiktion

2 -— Sx -f- x2 2 -j- 3x -f- x²

f(x) =

ein Maximum oder Minimum?

Auflösung. /(+ V'2) wird ein Minimum

„ Maximum.

und f(—V2)    „

Aufgabe 3. Für welche Werte von x wird die Funktion

x³ + x

X⁴ — X² -)- 1

f(x) =

ein Maximum oder Minimum?

Auflösung. f(~\- 1) wird ein Maximum und /(— 1)    „

„ Minimum.

Aufgabe 4. Für welche Werte von x wird die Funktion

xz — x

f{x) =

Xi-X² -j- 1

ein Maximum oder Minimum?

Auflösung.

Ą^-)

und

/(-—2^~) werc*en Maxima>

— 1+75

) und /(

— 1 — ]/ö

^ werden Minima.

§ 64.

Verschiedene Aufgaben aus der Theorie der Maxima und Minima.

A. Maximum oder Minimum einer gegebenen Funktion. Aufgabe 1. Für welche Werte von # wird die Funktion

f{x) — ex -j- 2COS# + e~x

ein Minimum?

Auflösung. Hier wird

/'(#) = ex — 2 sin# — e~x = 0 fiir # = 0,

/"(#) = ex — 2 COS# e~x = 0 für # = 0,

/'"(#) = ex -f- 2 sin # — e~x = 0 für # = 0,

/(⁴)(#) = ex -f- 2cos# + e~x =/(#) = 4 > 0 für # = 0;

folglich tritt für # = 0 ein Minimum ein.

Aufgabe 2. Man soll eine positive Zahl c so in zwei Teile zerlegen, daß das Produkt aus der vierten Potenz des einen Teiles und der siebenten Potenz des anderen Teiles ein Maximum wird.

Auflösung. Bezeichnet man die beiden Teile von c mit # und c — #, so wird

(1.)

fix) — #⁴ (c — #)⁷

folglich ist

(2.)

f\x) — #³(c — #)⁶(4c—11#).

Die beiden Werte # = 0 und # = c, für welche /'(#) verschwindet, kommen hier nicht in Betracht, denn # = 0 liefert ein Minimum, weil /'(#) aus dem Negativen ins Positive übergeht. wenn # den Wert 0 passiert, und für # = c tritt weder ein Maximum noch ein Minimum ein, weil für hinreichend kleine Werte von a

f‘(c ■—- a) = (c — a)³ a⁶(— 7 cf 11 a) < 0,

und auch

f‘(c -f- a) — (c -|- «)³ö⁶(— 7c — 11a) < 0 ist. Dagegen tritt wirklich ein Maximum ein, wenn

ist, weil f\x) für diesen Wert von x verschwindet, und weil

(4.) f“{x) — x\c — æ)⁵(12c² — 80cx -f- 110a:²)

(3.)

4 c—llx — 0, oder x = —c

11

4³ . 7⁶ . c⁹

ll⁸

ist. Hier ergibt sich auch aus der Natur der Aufgabe, daß zwischen x = 0 und x = c ein Wert von x liegen muß, für welchen f(x) ein Maximum wird, denn die stetige Funktion fix) wird für x = 0 und für x = c selbst gleich 0 und ist für die dazwischen liegenden Werte von x positiv.

Aufgabe 3. Man soll die Zahl c so in zwei Teile zerlegen, daß das Produkt aus der mten Potenz des einen Teiles und aus der nten Potenz des anderen Teiles ein Maximum wird.

Auflösung. Ähnlich wie bei der vorigen Aufgabe ist hier

(5.)

die Funktion, welche für x = es wird

mc

m -f- n

ein Maximum wird, denn

< 0.

(m -j- n)m+H~³

Bemerkung.

Man erkennt, daß die vorhergehende Aufgabe, und ebenso Aufgabe 3 in § 62 nur besondere Fälle dieser Aufgabe sind.

B. Aufgaben aus der Planimetrie.

Fig. 49.

Aufgabe 4. In einen Kreis (Fig. 49) mit dem Halbmesser a soll ein Eechteck mit möglichst großem Flächeninhalt eingeschrieben werden.

Di

Auflösung. Bezeichnet man die eine Seite des Eechtecks AB mit 2x, so wird die andere Seite

BC = 2 y a² — x²,

also der Flächeninhalt

)    F = AB . BC — äxy a²— x²,

oo

)    F² = 16a;²(a² — x²) = 16 (a²x² — x⁴).

Soll F ein Maximum werden, dann muß auch F² ein Maximum werden, so daß man

(9.)

f(x) = a²x² — a;⁴

setzen kann. Dies gibt

d i-i

(12.)

f‘{x) — 2 a²x — 4a;³ = 2 x(a² — 2a;²) f"{x) = 2 a²— 12a;²,

— 4a²

folglich tritt für

(13.)

AB = BC = a y2 ein Maximum ein. Es gilt also der Satz:

Unter allen Rechtecken, welche einem Kreise eingeschrieben werden können, hat das Quadrat den größten Flächeninhalt.

Diese Aufgabe läßt sich sogleich in folgender Weise verallgemeinern.

Aufgabe 5. In eine Ellipse (Fig. 50) mit der Gleichung

b²x² -(- a²y² — a²b², oder y = — "[/a²—x²

soll ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt eingeschrieben werden.

Fig. 50.

Auflösung. Da die Diagonalen des Rechtecks sich gegenseitig halbieren, fällt nach bekannten Sätzen aus der analytischen Geometrie der Mittelpunkt des Rechtecks in den Mittelpunkt der Ellipse, und die Seiten des Rechtecks sind parallel zu den Achsen der Ellipse. Bezeichnet man also die Koordinaten der einen Ecke P des Rechtecks mit x und y, so hat das Rechteck die Seiten 2a; und 2y und den Flächeninhalt

f{x) = :c²(a² — #²)

setzen und erhält wie bei Aufgabe 4 ein Maximum, wenn x = -7= > y == —=

ist.

]/ 2    y 2

Aufgabe 6. In einen Kreis (Fig. 49) mit dem Halbmesser a soll ein Rechteck mit möglichst großem Umfange eingeschrieben werden.

Auflösung. Benutzt man dieselben Bezeichnungen wie in Aufgabe 4, so wird der vierte Teil des Umfanges

(14.)

Deshalb wird

4 xy = — ]/a² —.r².

1ßb^x“²

a²

(a² — .r²) ;

man kann also auch hier

±u = x +]/a²—£² = fix),

(15.) fix) =

1--/=

ya²—x²

Y a²— x2,—x F(x)

Ya²—x²

Q ix)

Hier wird Fix) = 0, wenn

(16.)

Y a²—x² — x = ——

1/2

ist; für diesen Wert von x wird

— X — Y a² — x²

(i7.) nx)

P\x)

— al/2

2]/2

Qix)

a² — x²

a²

folglich tritt ein Maximum ein. Dies gibt den Satz:

Unter allen Fechtecken, welche einem, Kreise eingeschrieben werden können, hat das Quadrat den größten Umfang.

Auch diese Aufgabe läßt sich in folgender Weise auf die Ellipse übertragen.

Aufgabe 7. In eine Ellipse mit der Gleichung

b²x² -|- a²y² — a²b²

oder y — —y a²—x²

d

soll ein Rechteck mit möglichst großem Umfange eingeschrieben werden.

Auflösung. Benutzt man dieselben Bezeichnungen wie in Aufgabe 5, so wird der Umfang

u = 4a; -f- 4y = 4a; -J~~~Va2 — a;² = ^ (ax -(- 5]/a² — x²).

Deshalb setze man

ax

/(*) =

daraus folgt

f\x) = a

bx

aya²—x²—bx P(a;)

]/a²—x2 Hier wird P(x) = 0, wenn

y«²—x²

Q{x)

ay a² — x² = bx

oder a⁴ = (a² -f- b²)x²,

a²

b²

x = ,    i y =    —-

y«²+6²    ya²-yb²

ist. Für diesen Wert von x ist Pix)

f"(*) -

ax + bya²—x²

Q[x)

a² —• x²

ab

folglich tritt ein Maximum ein.

Bemerkung.

Die Lösung der Aufgaben 4 und 6 wird noch etwas kürzer, wenn man den "Winkel CAB als Veränderliche einführt; es sollten aber an dieser Stelle trigonometrische Funktionen vermieden werden.

Fig. 51.

-F

Aufgabe 8. Von einem Dreieck ABC (Fig. 51) ist die Grundlinie AB gleich c und die Höhe HC gleich h gegeben; man soll in dieses Dreieck ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalte einzeichnen, so daß die eine Seite DE in der Basis AB liegt.

AB — c, HC = h.

Auflösung. Bezeichnet man die / f Höhe DG eines solchen Rechtecks aL—b—h mit x, so wird

oder

also

(18.)

(19.)

JC : HC = GF: AB

(A — x) : h — DE : c c[h — x)

DE =

Mithin ist der Flächeninhalt des Eechtecks JDEFG

xcjh — x)

[hx — x²).

Daher ist in dieser Aufgabe (20.) f\x) — hx — x², f‘(f) = h -—2x, f“{x) =

daraus folgt, daß f(x) ein Maximum wird für x =

to| s-

Das größte unter allen Eechtecken, welche sich in der angegebenen Weise in das Dreieck ABC emschreiben lassen, ist also dasjenige, dessen Höhe und Grundlinie halb so groß sind wie die Höhe und die Grundlinie des gegebenen Dreiecks. Der Flächeninhalt von diesem Eechteck ist

(21.)

ch

also halb so groß wie der Flächeninhalt des gegebenen Dreiecks.

Bemerkung.

In vielen Fällen erkennt man schon aus der Natur der Aufgabe, ob für die Werte von x, für welche f‘(x) verschwindet, ein Maximum oder Minimum eintritt. In das Dreieck ABC (Fig. 52) lassen sich z. B. unendlich viele Rechtecke emschreiben. Denkt man sie sich alle gezeichnet

und fängt man bei demjenigen an, dessen Höhe gleich h und dessen Grundlinie gleich Null ist (Fig. 51), das also mit der Höhe h des Dreiecks selbst zusammenfällt, so wird bei diesem Rechteck auch der Flächeninhalt gleich Null. Wenn dann die Höhe des Rechtecks kleiner wird, bP so wird die Grundlinie größer. Auf diese P D Weise gelangt man in Figur 52 zu den Rechtecken KLMN, DEFG, OPQR und endlich zu einem Rechteck, dessen Höhe gleich Null, und dessen Grundlinie gleich c ist, so daß auch bei diesem Rechteck der Flächeninhalt gleich Null wird.

Fig. 52.

nC\m

R,

aod kl

Daraus folgt, daß der Flächeninhalt dieser Rechtecke zuerst zunehmen und dann wieder abnehmen muß. Deshalb muß es wenigstens ein Rechteck in dieser Reihe von Rechtecken geben, dessen Flächeninhalt ein Maximum ist.

Da man aber aus Gleichung (20.) nur einen einzigen Wert von x,

nämlich x = — findet, für den ein Maximum oder Minimum eintreten 2

kann, so folgt, daß dieser Wert wirklich das Maximum liefert.

Durch derartige Überlegungen kann man in vielen Fällen die Bildung und Berechnung von f“(x) ersparen. So würden z. B. in Aufgabe 4 ganz ähnliche Erwägungen zum Ziele geführt haben.

Fig. 53.

Aufgabe 9. Von einem Kreissektor (Fig. 53) ist der gesamte Umfang u gegeben; wie groß muß man den Halbmesser machen, damit der Flächeninhalt ein Maximum wird?

Bezeichnet man den A'

Auflösung.

Halbmesser MA mit x, so wird der gesamte Umfang des Sektors

(22.)

u — 2x -|- AB, also AB = u — 2x.

(23.)

Der doppelte Flächeninhalt des Sektors ist daher 2 F = AB . x = (u •— 2x)x — ux — 2x² = fix)-,

folglich wird

(24.)

f\x) = u — 4x = 0 für x =    ?

(25.)

f“{x) = — 4 <C 0.

Der Flächeninhalt wird daher ein Maximum, wenn der Bogen des Sektors die Hälfte vom Umfange des Sektors ist.

Aufgabe 10. Man soll das kleinste unter allen Quadraten bestimmen, welche sich in ein gegebenes Quadrat AB CD (Fig. 54) einschreiben lassen.

Auflösung. Es sei EFGH eines der Quadrate, welche sich in das gegebene Quadrat einschreiben lassen. Bezeichnet man AB mit a und AE mit x, so wird

also

EB = AH = a — x,

HE² = x2, -f- {a — x)².

Dieser Ausdruck ist gleichzeitig ■o auch der Flächeninhalt des Quadrates EFGH, also die Funktion, welche ein f Minimum werden soll; daher ist (26.) f{x) = 2æ² — 2 ax + a².

Fig. 54.

Daraus folgt

(27.) f\x) = ±x—2a, f“(x) = 4;

]b die x4bleitung f‘{x) verschwindet also

nur für x = — • Da nun f“{x) für alle Werte von x den posi-

Li

tiven Wert 4 hat, so wird

(28.)

/(!)-

em Minimum. Die Punkte F, F, G, TI müssen daher in der Mitte von den Seiten des gegebenen Quadrates liegen, damit das eingeschriebene Quadrat EFGH möglichst klein wird.

Aufgabe 11. Von einem Dreieck ist die Summe zweier Seiten s = a -(- b gegeben und die dritte Seite c ; wie groß müssen die Seiten a und b sein, damit der Flächeninhalt ein Maximum wird?

Auflösung. Bekanntlich ist der Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seiten a, b, c

(29.) F — \Y(a -b -\- c)(b -j- c — a)(c -(- a — b)(a -f- b — c). Setzt man a gleich x und deshalb b gleich s — x, so wird

also

16jF² = (s -f- c)(s — c)(s -f- c — 2x)(c — s + 2x).

16-F²

(s + c)(s — c)

(30.)

ein Maxi-

Da F zugleich mit 16F² und mit mum wird, so wird man (31.) f{%) — (s + c — 2x)(c — s -)- 2x) — c² — s² -j- 4sx — 4x'2 setzen. Dies gibt

CO

f‘{x) = 4*' — 8x, f“{x) = — 8 < 0 ;

positiv ist, so wird F ein Maximum,

Da der Faktor

> d. h. also für a = b em Maximum ein.

folglich tritt fiir x =

Das Dreieck hat somit den größten Flächeninhalt, wenn es gleichschenklig ist.

Daraus folgt auch sogleich die Auflösung von

Aufgabe 12. Man soll unter allen Dreiecken mit gleichem Umfange dasjenige bestimmen, das den größten Flächeninhalt besitzt.

Auflösung. Ist e bereits bekannt, so muß nach Aufgabe 11 a = b

sein. Ebenso muß aber, wenn a bekannt ist,

b = c

(34.)

(35.)

sein; das gibt

(36.)

=

d. h. unter allen Dreiecken mit gleichem Umfange hat das gleichseitige den größten Flächeninhalt.

C. Aufgaben aus der Trigonometrie und Vermessungskunde.

Aufgabe 13. Von einem Dreieck ABC (Fig. 55) sind die Grundlinie AB = c und der Winkel / an der Spitze gegeben; wie groß müssen die anderen Winkel sein, damit der Flächeninhalt des Dreiecks ein Maximum wird?

Auflösung. Bezeichnet man den /

Dreieckswinkel « mit x, so wird der / dritte Winkel ß gleich 180° — (r + z) Af % und der Flächeninhalt ist

Fig. 55.

-B

(37.)

c² sin « sin ß _ c²sin x sin (y + x)

2 sin/

2 sin/

e²

2 sin/

wenn sin^sin(/ -j- x) ein Maximum wird; deshalb ist in dieser Aufgabe (38.) f{x) = sin# sin (y -j- x),

(39.) f\x) = cos x sin (y + x) -f cos (y -f- x) sin x = sin (y + 2x) (40.) ./"(#) = 2 COS {y 2x).

Für

y-\-2x = Tv = u-\-ßJry,

oder, da x gleich a ist, für

(41.)

x = a — ß

verschwindet /'(#), und f“(x) wird gleich — 2 < 0. Deshalb wird der Flächeninhalt ein Maximum, wenn das Dreieck ein gleichschenkliges ist.

Aufgabe 14. Yon einem Dreieck ABC (Fig. 56) ist die Grundlinie c und die Höhe h gegeben; wie groß müssen die

Fig. 56.

anderen Seiten sein, damit der Winkel y, welcher c gegenüberliegt, ein Maximum wird?

Ä‘

AH = x,    HB — c — x,

Auflösung. Die Höhe des Dreiecks teile die Grundlinie in die Abschnitte x und c — x, und den Winkel y teile sie in die Winkel § und y — § ; dann ist

(42.)

tgl —

t g(y-S) = ^,

also

tgy = tg[§ + (r — §)] =

tgg + tg(y —g)

1 — tg£ tg(y— I)

oder

(43.)

t gy =

hc

x(c—x)

h² — x (c — x)

Da die Ableitung von tgx, nämlich 1 + tg²# (vergl. Formel Nr. 27 der Tabelle) beständig positiv ist, so nimmt tgx mit x gleichzeitig zu, und zwar für alle Werte von x. Deshalb wird tg^ mit y zugleich ein Maximum oder Minimum. In der vorliegenden Aufgabe kommt es daher nur darauf an, x so zu bestimmen, daß

hc h²— x(c — x)

ein Maximum wird. Dieser Ausdruck ist aber ein Bruch, dessen Zähler eine positive Konstante ist. Deshalb wird der Bruch ein Maximum, wenn der Nenner ein Minimum ist. Man hat also zu setzen

(44.)

(45.)

f(x) = h² — x(c—x) = h² — ex + x², f‘(x) = — c + 2x, f‘\x) = 2.

Q

Daraus folgt, daß fix) für x — — ein Minimum wird. Für

Li

diesen Wert von x werden tgy und y ein Maximum, und das Dreieck wird wieder ein gleichschenkliges.

Aufgabe 15. Von einem Dreieck ist gegeben die Summe zweier Seiten, nämlich a-Ą-b gleich s, und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel y; wie groß müssen die Seiten a und b selbst sein, damit der Flächeninhalt des Dreiecks ein Maximum wird?

Auflösung. Bezeichnet man die Seite a mit x, so wird b gleich s — x, und man erhält für den doppelten Flächeninhalt des Dreiecks

(46.)

x) sin y.

2 F = x{s

Deshalb hat man in diesem Falle zu setzen (47.) f(x) = sx — x², f‘(x) = s — 2x, f\x) = — 2, s

folglich wird für x = — der Flächeninhalt ein Maximum.

Li

Aufgabe 16. Von einem Dreieck ist gegeben die Summe zweier Seiten, nämlich a -j- b gleich s, und der anliegende Winkel a; wie groß müssen die beiden anderen Winkel sein, damit der Flächeninhalt des Dreiecks ein Maximum wird?

Auflösung. Bezeichnet man den Dreieckswinkel ß mit x, so wird y gleich 180°—(«+«). Der Flächeninhalt des Dreiecks ist

c² sin u sin ß 2 sin y

(48.)

oder, weil nach dem Sinussatz

ssinr

sin a -J- sin ß

ist,

(48 a.)

s²sin« sin ß sin y 2(sin« + sin/?)² ’

also

=/(*)•

(49.)

sina: sin (a + x) s²sin« ~~ (sin« + sina:)²

s‘2    cc

Da nämlich der Faktor —-— positiv ist, so wird F mit

f[x) zugleich ein Maximum. Hieraus folgt nach einigen Umformungen

(50.)    f‘{x) =

sina [sin(a + 2a:) — sina:] _ P(x)

(sina -f- sina:)³

Q(x)

Damit f‘(x) verschwindet, muß

sin(a + 2a;) — sina; = 2 sin

sein. Da « -f- x größer als 0 und kleiner als n sein muß, so kann Gleichung (51.) nur befriedigt werden, wenn

« -f- 3a;

(51.)

/u x\ / u -\- 3a: \

(—)cosGiH⁼⁰

TZ

— j oder « + 3 x = n = cc-\-ß-\-y

A

ist. Dies gibt

(52.)

2x = 2ß = y = | (7T — a), x = ß = \(n — a).

Ob für diesen Wert von x wirklich ein Maximum von f(x) eintritt, findet man aus dem Vorzeichen von f“(x), wobei nach Formel Nr. 123 der Tabelle

(53.)

/"(*) =

.P'(x)

Q(x)

ist. Nun wird, weil « + 2a; gleich n — x ist,

P‘(x) = sin« [2cos(« -f 2#) — cos#]

(54.)

= — 3sin« cos# < 0,

(55.)

Q{x) = (sin« 4- sin#)³ > 0, folglich ist /"(#) < 0, und fix) ein Maximum.

Fig. 57.

i_rLn_n_n

Aufgabe 17. Wie hoch muß die Tür BF eines Turmes mit der Breite AB gleich a (Fig.

57) mindestens sein, damit man eine Leiter von der Länge DG d gleich / in den Turm hineinbringen kann?

Auflösung. Die Aufgabe hat nur einen Sinn, wenn / größer als a ist; dann muß ^ aber die Tür mindestens ebenso hoch sein, wie das Maximum der Geraden BE. Bezeichnet man den Winkel ACD mit #, so wird

(56.) AD = /sin#, AG = /cos#,

(57.) BC = AC— AB = /cos#;— a,

(58.) BE = BC. tg# = (/cos# — a) tg# = /sin# — atg# =/(#). Dies gibt

(59.)    /'(#) = /cos#

/ COS³# — a Pix)

COS²#

cos²#

Q{x)

Hier wird P(#) = 0, wenn

(60.)

/cos³# = a

wird. Setzt man noch

(61.)    / = À³, a = «³, also 2 = -y//,    « = y/ a

so folgt aus Gleichung (60.)

COS# = ? > f‘{x) ------

(62.)

P(x)

Â³ COS³# — a³

Q{x)

cos²#

(63.) /"(*) =

P‘M

— 3/cos²# sin#

cos²#

da # ein spitzer Winkel ist; folglich wird

Q{x)

= — 3/sin# < 0,

Aufgabe 18. In einen Kreisabschnitt über der Sehne AB (Fig. 58) soll ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt eingeschrieben werden.

Fig. 58.

Die Aufgabe

~G

Auflösung.

hat offenbar zwei Lösungen, weil man in den kleineren Kreisabschnitt und ebenso in

A,

G,

den größeren Kreisabschnitt ein solches Rechteck CD EF, bezw. C\DxE\Fx einschreiben kann. Für das Rechteck CDEF bezeichne man den gegebenen Winkel BMH mit a und den gesuchten Winkel FMH mit x, dann wird, wenn a der Halbmesser des Kreises ist,

(65.) MG = «cosa:, GF = a sina:, MZ = a cos«,

(66.) ZG = MG — MZ = «(cosa: — cos«), CF= 2asina:; der Flächeninhalt des Rechtecks CDEF ist also F = 2«²(cosa: — COS a) sin x.

(67.)

Deshalb setze man (68.) f{x) — cosa; sin x — cos « sina;,

(69.) f‘(x) = C0S²a;— sin²a;—C0S«C0Sa; = 2C0S²a;— C0SaCOSa;-—1. Hier wird also fix) — 0, wenn

(70.)

COSa: =

^ (cos « ± Y8 -j- cos²«).

a \ . — isma:

COSa:/

(64.) BE=f(z)=(l

= (3? — aH)V 1

ein Maximum.

“² = (p — a²)Yl² — «²

Nimmt mail hierbei das obere Zeichen, so wird cosa; positiv und deshalb x ein spitzer Winkel, dem Rechteck CDEF entsprechend. Dabei wird mit Rücksicht auf Gleichung (70.)

(71.) fu(«) = — 4cos« sina; + cos« sin«

= — sin«(4cos«— cos«) = — sin«y8 -f- cos²« < 0, folglich wird /(«) für den gefundenen Wert von « ein Maximum.

Soll das Rechteck in den größeren Kreisabschnitt eingeschrieben werden, so muß man den spitzen Winkel FMG mit dem stumpfen Winkel F\MG vertauschen, der wieder mit]« bezeichnet werden möge; es wird dann (65a.) MG\ = — «cos«, Gh-Fi = «sin«, ZM = «cos«,

F= 2«²(cos « — cos«) sin«.

(66a.) ZG\ = ZM -f- MG\ = «(cos« — cos«), C\F\ — 2«sin«'; der Flächeninhalt des Rechtecks C\D^EfF\ ist jetzt also (67 a.)

Deshalb wird man hier

(68 a.) (69 a.)

/(«) = cos« sin« — cos« sin«

/'(«) = cos «cos« — cos²« + sin²«

= — (2 cos²« — cos « cos« — 1) setzen. Hier wird /'(«) ebenfalls gleich 0 für

cos« = (cos« ± Y8 -f- cos²«)

(70 a.)

wobei man aber das untere Zeichen nehmen muß, weil « ein stumpfer Winkel ist. Dabei wird mit Rücksicht auf Gleichung (70 a.)

(71 a.) /"(«) — 4 cos « sin « — cos « sin«

= sin«(4cos« — cos«) = — sin«]/8 + cos²« < 0, folglich wird /'(«) für den gefundenen Wert von « ein Maximum.

Aufgabe 19. Es ist eine Gerade AM gegeben (Fig. 59) und außerhalb derselben ein Punkt B ; man soll auf der Geraden AM einen Punkt C bestimmen, so daß

(72.) S —p . AC + q . CB ein Minimum wird, wobei p < q vorausgesetzt werden soll.

Auflösung. Es sei der Winkel, den CB mit dem von B auf AM gefällten Lote BF bildet, gleich «, und es sei

Kiepert, Differential - Bechnung.

Fig. 59.

-x>

A'

TT

X

'E

-M

S = f{x) = p(AF— CF)+ q. CB = p(a-b tg*) + î~>

(73.)

FB = b

dann wird

(74.) /'(*) =

/jZ»

cos²# cos²#

ç-èsin^ _ ^(ysin#— />)

COS²#

P(z)

Q(x)

P(x) wird gleich 0, wenn

(75.)

sin# = —

ist; für diesen Wert von « wird

(76.)

f“{x) =

P'(#)    5 <7 COS#

bq

Q(#)

cos²#

cos#

> o,

folglich tritt ein Minimum ein.

Legt man AE unter dem aus Gleichung (51.) gefundenen Winkel x im Punkte A an die Gerade AM an und verlängert BC bis zum Schnittpunkte D mit der Geraden AE, so steht BD senkrecht auf AE, und es wird mit Rücksicht auf Gleichung (75.)

(77.)

S — p . AC -j- q . CB = ^sin# . AC -f- q . CB = q{ACsmx + CB) = q(J)C+ CB) = q. DB.

Aufgabe 20. Es ist eine Gerade AM gegeben (Fig. 60) und auf verschiedenen Seiten derselben zwei Punkte B und C\ man soll auf AM einen Punkt E bestimmen, so daß S=p.AD + q.BD + r. CE ein Minimum wird.

Auflösung. Es seien BBX und CCt die Lote, die man von B und C auf AM fällen kann, und es sei

j ABX = b, AC\ c,

( BXB — bx, C\C=Ci, AE = x,

(78.)

Fig. 00.

B, C, M

(79.)

dann wird

(80.) S = f(x) = px + <]V{b (81.) f\x)=p —

q{b — x)

x)² -j- b\² -f- l'Y (r. — x)² -f- Ci², r(c — x)

Y (b — x)'² -)- b\² Y(c — x)² -(- Ci²

= 0,

oder

wenn man den Winkel Bx DB mit v und den Winkel CiDC mit p bezeichnet,

(81a.)

p — q COS v — r cos p = 0.

Ist diese Bedingung- erfüllt, so tritt wirklich ein Minimum ein, denn es ist

/"(*) =

qb{²

rci²

> 0.

[(ö — x)² -|- bi²]³!²    [(c — x)² -)- Ci²]*/*

Der Wert von x und die Lage des Punktes D lassen sich aus der Gleichung (81.) oder (81a.) noch nicht in einfacher WTeise ermitteln, dagegen werden diese Gleichungen benutzt werden können zur Lösung der folgenden Aufgabe.

Aufgabe 21. Es sind drei Punkte A, B, C gegeben (Fig. 61); man soll einen Punkt D bestimmen, so daß

(82.)

ein Minimum wird.

S = p . AD + q . BD + r . CD

Auflösung. Die Gerade AD habe bereits die verlangte Richtung, dann ergibt sich, wenn man Winkel BDG = CDF mit /,

CDE = AD G mit p,

ADF = BDE mit v

Fig. 61.

J57

A‘

:D

bezeichnet, aus Gleichung (81a.) der vorhergehenden Aufgabe

(83.)

p — ^cos^ — r cosp = 0.

In derselben Weise, oder durch zyklische Vertauschung der Buchstaben p, q, r und X, p, v findet man (    )    q — rcosA—^cosv = 0,

(    )    r — p cos p — <7cos>l = 0.

Eliminiert man aus diesen beiden Gleichungen p, so erhält man q (cosp + cosż cosv) = r (cos v -f⁻ cos X cos p),

QO 00

(86.)

oder, weil

cos p = — cos (/ + v) = —: cos/ cos v + sin X sin v

ist,

cos^ = — cos(/ + p) — — cos/ cos p + sin X sin p

21*

q sin X sin v = r sin X sin g, oder

(86 a.)

Fig. 02.

(87.)    <7 : sin g = r : sin v.

Ebenso findet man (88.) p : sin2 = q : sin/*.

fr

G,

Beschreibt man um das Dreieck ADB den umschriebenen Kreis (Fig. 62) und verlängert CD bis zum zweiten Schnittpunkte C\ mit diesem Kreise, so sind in dem Dreieck ABC\ die Winkel bei A, B und C\ bezw. gleich 2, g und v, so daß man erhält

(89.)

(90.)

BC\ : C\A : AB = sin / : sing : sin»', oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (87.) und (88.) BCy : C\A : AB = p:q:r.

Fig. 03.

Daraus ergibt sich die folgende Konstruktion:

Br

Man errichte über AB auf der zu C entgegengesetzten Seite ein Dreieck ABC'i, dessen Seiten in Übereinstimmung mit Gleichung (90.) sich verhalten wie p : q : r, und beschreibe um dieses Dreieck den umschriebenen Kreis, dann schneidet die Gerade CCi diesen Kreis in dem gesuchten Punkte D.

Da in jedem Dreieck die Summe zweier Seiten größer ist als die dritte Seite, so folgt hieraus, daß die Aufgabe nur einen Sinn hat, wenn die drei Größen q r — p, r -j- p — q und p + q — r positiv sind.

Man kann natürlich auch über der Seite BC ein Dreieck BCA± und über der Seite CA ein Dreieck CAB± konstruieren (Fig. 63), so daß

(91.)

BC\ CA\ : AXB = BXC : CA : ABX =p:q:r ist. Durch den gesuchten Punkt D gehen dann auch die Geraden AAX und BB± und die Kreise, welche diesen Dreiecken BCAx und CABX umschrieben sind. Gleichzeitig erhält man für S eine geometrische Darstellung. Nach dem Ptoloniae-ischen Lehrsätze ist nämlich (Fig. 62)

(92.)

AD . BCX + BD . ACX = CXD . AB-nun ist aber nach Konstruktion

BC\ =

p . AB

q . AB

ACi =

folglich geht Gleichung (92.) über in A B

^ {p .AD ±jq . BD) = CXD . AB.

Dies gibt

(93.) S = p . AD + q . BD + r . CD = r{CD + DCt) = r . CC\. In derselben Weise findet man auch

(93 a.)

S = p . AAX und S = q . BBX.

Ein besonderer Fall ist der, wo

p = q = r = 1, also S = AD + BD -(- CD wird, ein Fall, der auch in Figur 63 berücksichtigt ist. Dann sind die Dreiecke BCAX, CABi, ABC\ gleichseitige Dreiecke, die Winkel X, g, v sind alle drei gleich 60°, so daß Winkel BDC = CDA = ADB 120°

S= AAX = BBt = CC\.

wird, und endlich ist (93b.)

Bemerkung.

1) Der gefundene Punkt D hat nur dann die Eigenschaft des Minimums, wenn von den Eckpunkten des Dreiecks keiner innerhalb der um die Dreiecke BCA±, CABAB(\ beschriebenen Kreise liegt. Läge z. B. C innerhalb des Kreises um ABC\, so würde aus den Ungleichungen AC< ADĄ- CD, BC< BD + CD, AC + BC <AD + BD,

wenn man sie bezw. mit den positiven Faktoren p -j- r — q, q F r — p, p F q — r multipliziert und dann addiert, folgen

p . AC F <1 • BC Fp . AD F q • BD —|— r . CD.

2) Die letzten drei Aufgaben haben ganz besondere Bedeutung für die Lehre vom Trassieren und bilden den Ausgangspunkt für eine Reihe von Aufgaben, deren Besprechung hier aber zu weit führen würde. (Man vergleiche Launhardt, Theorie des Trassierens, Hannover 1887.)

D. Aufgaben aus der Stereometrie.

Aufgabe 22. Man soll unter allen Zylindern, die sich in einen geraden Kegel einschreiben lassen, denjenigen bestimmen, welcher das größte Volumen hat.

Auflösung. Die Höhe des gegebenen Kegels (Fig. 64) CS sei h, der Halbmesser CB der Grundfläche sei r, die Höhe CE des eingeschriebenen Zylinders sei y, und der Halbmesser CD seiner Grundfläche sei x. Dadurch flndet man für das Volumen des Zylinders

Fig. 64.

Ai

e-

(94.)

V = x²ny.

Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke SCB und FI)B folgt CS: CB = DF: DB,

oder

h:r = y : r — x

folglich wird

(95.)

lm

(r — x) und V = —— x\r — x).

Die Funktion, welche ein Maximum werden soll, ist daher ^abgesehen von dem positiven konstanten Faktor

(96.)

f{x) = x\r — x) = rx? — x³.

Dies gibt

(97.) fix) = 2rx — 3x² = x(2r — 3x), fix) = 2r — Gx.

Die Ableitung f\x) verschwindet erstens für x = 0 und zweitens für x =

• Nun ist

o

f“{0) = 2r > 0,

folglich erhält man für x = 0 ein Minimum. In der Tat, der entsprechende Zylinder ist zu einer geraden Linie zusammengeschrumpft, und sein Volumen ist gleich Null. Dagegen wird

— 2r < 0

folglich wird /^~ ^ ein Maximum. Die Höhe y des zugehörigen

Cc : Sn

Zylinders ist nach Gleichung (95.) gleich ? und das Volumen wird nach Gleichung (94.)

4 rVin

(98.)

VilJT

Da das Volumen des gegebenen Kegels gleich —— ist, so

O

ist das Volumen des größten Zylinders, der sich in einen geraden

4

Kreiskegel einschreiben läßt, gleich — von dem Volumen des Kegels.

Aufgabe 23. Man soll unter allen Zylindern, welche sich einem geraden Kreiskegel einschreiben lassen (Fig. 64), denjenigen bestimmen, dessen Mantelfläche ein Maximum ist.

Auflösung. Wendet man dieselben Bezeichnungen an wie in der vorhergehenden Aufgabe, so erhält man für die Mantelfläche des Zylinders

(99.)

M — 2xny.

Nach Gleichung (95.) ist aber

h ₍    .

y = - (r — x)

folglich wird

2/m

— (rx — x²). r

Die Funktion, welche ein Maximum werden soll, ist daher

(100.)

deshalb wird (101.)

f(x) — rx — x²,

f(x) = r — 2x, f“(x) = — 2.

T

Daraus findet man, daß die Mantelfläche für x = — ein

2

Maximum wird.

Fig. 65.

Aufgabe 24. Ein zylindrisches Gefäß (Fig. 65) soll so geformt werden, daß es bei gegebenem Volumen eine möglichst kleine Gesamtoberfläche besitzt. In welchem Verhältnisse stehen dann die Höhe und der Halbmesser der Grundfläche?

Auflösung. Bezeichnet man den Halbmesser CB der Grundfläche mit x, die Höhe CB mit y, die Oberfläche mit F und das Volumen mit V, so wird

X²7t

(102.) V = x²rty, oder y =

F = 2xny -j- 2x²n — 2 Vx~x -f- 2x²7t —f(x),

(103.) also

(104.) f'ifl) — — 2Vx~² -f- 4xn = 2x~~²(2x³7t — V) — 0. Dies gibt mit Rücksicht auf Gleichung (102.)

2ÏI— -

] 27t

(105.)

2x³tc = V, y = 2x —

Für diesen Wert von x tritt wirklich ein Minimum ein, denn es wird dann

(106.)    f‘\x) ⁼ 4Fx~³ + 47t = 8rr -f- 4n — 12n > 0.

Die Gesamtoberfläche loird daher möglichst klein, wenn der Durchmesser des Grundkreises und die Höhe einander gleich sind.

Aufgabe 25. Ein zylindrisches Gefäß (Fig. 65) soll so geformt werden, daß bei gegebenem Volumen (nicht die Gesamtoberfläche, sondern nur) der Mantel und die eine Grundfläche zusammen ein Minimum werden.

Auflösung. In diesem Falle ist

(107.)

(108.)

fl {x) — 2xny -)- x²n = 2 Vx~x -f" x²rt, f‘(x) = — 2 Vx~² + -X7T = 0 für x³rr = V.

Dies gibt

(109.)

ifv

71

fl»

4Vx~³ -j- 2/r = Qtt > 0

und zwar tritt für diesen Wert von x wirklich ein Minimum ein, weil (110.)

Fig. 66.

wird. Hier muß also cler Halbmesser der Grundfläche der Höhe gleich sein.

Aufgabe 26. Man soll einer Kugel einen geraden Kegel (Fig. 66) ein- . schreiben, dessen Mantelfläche ein I Maximum ist.    '

Auflösung. Bezeichnet man den Ä Halbmesser BO der Kugel mit a, den Halbmesser AG von der Grundfläche des Kegels mit y, die Scheitelkante AS mit s und die Höhe CS mit x, so wird die Mantelfläche des Kegels

M — yns.

Nun ist aber nach bekannten Sätzen aus der Planimetrie

xfl = x (2 a — x), s² — 2 ax ;

(111.)

(112.)

deshalb wird (113.)

-y-

M² — 2ax²(2a — x)n².

Ist M ein Maximum, so gilt dasselbe von M², folglich hat man hier zu setzen (114.) dies gibt

fix) = x²{2a

x) — 2 ax² — x³\

fl'fl) — 4ax — Sx² = x(4a —- Sx) fl“ fl) = 4 a — 6x.

t gtp =

Für x — 0 wird f(x) ein Minimum, dagegen wird

32a³

Fig. 07.

Kt) - 27

D.

ein Maximum.

Aufgabe 27. In eine Kugel mit dem Halbmesser a soll ein Zylinder mit möglichst großer Gesamtoberfläche einbeschrieben werden. (Vergleiche Fig. 67.)

Auflösung. Bezeichnet man den Halbmesser der Grundkreise mit x und die Höhe des Zylinders mit y,

so wird die Oberfläche (117.)

F = 2x^n -f- 2x7ty.

Bezeichnet man ferner den Winkel BAC mit cp, so wird 2x = 2a cos cp, y = 2a sin cp , folglich geht Gleichung (117.) über in (117 a.) F = 2as%cos²y + 4a²yrsinf/i cos<p

= 2a¹n (cos²(p + 2 sin (p cos rp).

(118.)

(119.)

Deshalb setze man in diesem Falle

f(q>) — cosV + 2 sin (f cos (f

also

(120.) f\(p) = — 2 cos <p sin cp 4- 2 cos²cp — 2 sinV

= 2 cos (2 <p) — sin (2 cp)

(121.) f“{2(p) = — 4sin(2y)— 2 cos (2tp).

Ein Maximum oder Minimum kann daher nur ein treten,

wenn

(122.)

tg(2(p) = 2, oder

also

2t gv ₌

1-tgV

— l±Vö

----?

sin9>=2 y

COS rp = |j/

2 =±r

ist. Da (f ein spitzer Winkel sein muß, so kann hierbei nur das obere Vorzeichen gelten. Man erhält daher nach den Gleichungen (118.)

(123.) x — «cosy =

Vö’

y --- 2a sin (f = aj/2

Nun wird nach den Gleichungen (122a.) und (121.)

sin(2<P) = ^ /%) = —2}/5<0,

folglich tritt für die gefundenen Werte von # und y ein Maximum ein.

(124.) cos (2<p)

VI

E. Aufgaben aus der Physik und Mechanik.

Aufgabe 28. Man soll n galvanische Elemente so zu einer Batterie zusammenstellen, daß hei dem Widerstande R (Ohm) im äußeren Stromkreise die Stromstärke ein Maximum wird.

Auflösung. Jedes der n Elemente habe die elektromotorische Kraft e (Volt) und den inneren Widerstand r (O/m);

dann schalte man x Elemente hintereinander und y= — Elemente nebeneinander.

Batterie (125.)

und die Stromstärke wird nach dem Ohm sehen Gesetze

Dadurch wird der innere Widerstand der

(126.)

ex

7i ex

Die Stromstärke J wird ein Maximum, wenn

rx² + nR

ne

= rx + 7iRx~~¹ —f(x)

(127.)

ein Minimum wird. Dies gibt (128 ) f‘(x) — r — 7iRx “, f“(x) — 2nRx~2 Hier wird f‘(x) = 0, wenn man (129.) rx² = nR, oder W = R,

2nR

xs

> 0.

y*

nr

macht, und zwar wird f(z) für diesen Wert von x ein Minimum, weil f“(x) positiv ist.

Allerdings wird man die Aufgabe im allgemeinen nur näherungsweise lösen können, weil der gefundene Wert von x keine ganze Zahl ist. Es ergibt sich aber aus Gleichung (128.) die Regel:

Die Stromstärke wird möglichst groß, wenn man die Elemente so anordnet, daß der innere Widerstund dem äußeren Widerstande gleich ioird.

Aufgabe 29. Man soll aus einem Baumstamme mit kreisförmigem Querschnitte (Fig. 68) einen Balken mit rechteckigem

Fig. CS.

Querschnitte so ausschneiden, daß seine Tragfähigkeit ein Maximum wird.

Im

xß

Auflösung. Da die Tragfähigkeit T proportional zu der Breite x des Querschnitts und proportional zum Quadrate der Höhe y desselben ist, so wird

T = cxiß

wobei = d'² — x²,

T — cx{dl — x²) = c(d²x — xA) fix) = d²x — xA, f\x) — d² — 3x² = 0 für x =

wenn man mit d den Durchmesser AC des Kreises bezeichnet. Dies gibt (130.)

(131.)

/3

(132.)

(133.)

Für diesen Wert von x tritt ein Maximum ein, denn es ist f“{x) — — Gx <. 0.

Die Tragfähigkeit des Balkens ist daher ein Maximum, wenn

f\x) -

— cos A CAX — cos BCBx.

Aufgabe 30. Auf derselben Seite einer geraden Linie MN (Fig. 69) seien zwei Punkte A und B gegeben; man soll die Lage des Punktes C auf der Geraden MN so bestimmen, daß AC² -f- CB² ein Minimum wird.

Auflösung. Fällt man von A und B auf MN die Lote AA und BBi, dann sei A\A = a, B\B — b, AxB\ = l\ m setzt man also

Fig. 69.

Af

0 l-x B,

AiC=z, so wird CBX = l—x.

Dies gibt

(135.) AC² + CB² = u² + x² + b² + (l — xf =f(x) (136.) f‘{x) = 2x — 2(1 — x) = 4x — 21, f“{x) = 4,

folglich wird f(x) ein Minimum für x =

Punkt C in der Mitte zwischen A₁ und L\ liegt.

d. h., wenn der

Aufgabe 31. Auf derselben Seite einer geraden Linie MN (Fig. 69) seien zwei Punkte A und B gegeben; man soll die Lage des Punktes C auf der Geraden MN so bestimmen, daß AC N CB ein Minimum wird.

Auflösung. Die Funktion, welche hier ein Minimum werden

soll, ist

(137.) AC N CB = Ya² + z² + Yb² + (l — xf =/(*).

Dies gibt

(138.) f\x) =

Ya²-\-x²    Yb²-\-(J—x)²

(139.) f‘\x) =

a²

b²

[a²-1- x²)Y a² -(- x²    \b² -j- {]>—x)²] Y b²-j- (l— xj²

Um die Werte von x zu bestimmen, für welche f‘(x) verschwindet, beachte man, daß aus Gleichung (138.) folgt AXC CBx

AC CB

Dieser Ausdruck verschwindet, wenn der Winkel ACAX = BCBx.

(140.)

Die beiden Dreiecke ACAX und BCBX sind deshalb ähnlich, und es wird

x : a = (/ — x) : b ,

oder

(141.)

al

bl

x = —TT' a — b

Da bei dieser Bestimmung¹ von x die zweite Ableitung- von fix) nach Gleichung (139.), nämlich

« =----j—7 ?

a -j- b

BXB²

BÖ³

positiv ist, so wird AG + CB ein Minimum.

Wegen Gleichheit der Winkel ACAX und BCBX ist die gebrochene Linie ACB der WTeg, den ein Lichtstrahl nehmen würde, der von dem Punkte A ausgeht und von der Geraden MN nach B reflektiert werden soll.

(142.)

/"(*) -

AXÄ²

AC

3“ +

Dieser Weg ist demnach ein Minimum.

Aufgabe 32. Die Gerade MN (Fig. 70) trenne das Medium, in welchem das Licht sich mit der Geschwindigkeit c fortbewegt, von dem Medium, in welchem die Geschwindigkeit des Lichtes gleich d ist; in welchem Punkte C muß der Lichtstrahl die G erade MN treffen, damit er in der kürzesten Zeit vom Punkte A in dem ersten Medium zum Punkte B in dem anderen Medium gelangt, und nach welchem Gesetze wird er gebrochen?

Auflösung. Unter Benutzung derselben Bezeichnungen wie bei den beiden vorhergehenden Aufgaben wird in diesem Falle die Zeit tx, welche der Strahl braucht, um

Fig. 70.

■T

l-x

E, N

*s

AC

von A nach C zu gelangen, ——i und die Zeit t-₂, welche er braucht,

CB

um von C nach B zu gelangen, —j- ■

Setzt man also

(143.)

so erhält man

(145.)

oder

fXx) =

(144.) f(x) = tx + 4 = p]/a² + x²'4- q^b“¹ -j- (/ — x)2 P*_    q(l — x) = 0

a?    ]/d² -f- (/ — a:)²

CB

= p COS cc — q COS ß = 0,

(145 a.) fXx) =

p . AXC q . CB\

AC

wobei die Winkel AXCA und B^CB bezw. mit a und ß bezeichnet sind. Nennt man die Winkel, welche das Einfallslot im Punkte C mit den Strahlen AC und BC bildet, bezw. y und d, so wird

sin y sin d

p sin y = q sind, oder —-

also

(116.)

sin y : sin d = c : d.

In dieser Gleichung ist das Gesetz ausgesprochen, nach welchem der Strahl im Punkte C gebrochen wird.

Aus

(147.) /"(*) =

pa²

qb²

{a²-j- x²) ya² -f- x²    [b² -}- (/ — x)²jyb² (/ — x)²

__ p . A\Ar A g . 1ÇB1 BC³

folgt wieder, daß p . AC + q . CB ein Minimum wird.

ACS

VIII. Abschnitt.

Bestimmung von Ausdrücken, welche an der Grenze eine der unbestimmten Formen

oo, o°, oo°, i°° haben.

O: O

CO

oo

0 • oo

oo-

§ 65.

Ausdrücke von der Form {j*

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 124.)

yp)

Nähern sich in dem Bruche Grenze 0, wenn sich x dem Werte a nähert, so erhält dieser Bruch für x gleich a die unbestimmte Form ~ • Beispiele da-

/P)

Zähler und Nenner der

für kommen in der Differential-Rechnung sehr häufig vor. Schon die Erklärung des Differential - Quotienten (vergl. Formel Nr. 16 der Tabelle)

P-)

f\x) = lim iM=m

X₁₌x %1 - %

liefert den Grenzwert eines Ausdruckes von der Form

/'(„) = iim/»-/W •

47 x ' x==a X- CI

Indem man x mit a und xt mit x vertauscht, geht Gleichung (1.) über in

(2.) ebenso ist

Aus diesen Gleichungen folgt schon die Lösung der vorgelegten Aufgabe. Weil nämlich nach Voraussetzung (f{a) — 0 und ffi) = 0

(4.)

ist, so erhält man

(5.)

<f{x) — <pfi)

<rix) ₌ <r(x) — <rfi) ₌_

f(x) ffi) —ffi) ffi) —fiel) ’

also

(6.)

lim

x—a

(f(x)

fix)

lim

(f(x) — (ffi)

ffi)

lim

fix)—.ffi) f‘fi)

(fix)

indem

Man findet daher den wahren Wert von lim

man Zähler und Nenner einzeln dijferentiiert und in den Quotienten der Ableitungen x gleich a einsetzt.

fix)

Gleichung (6.) führt zu keinem brauchbaren Resultate, wenn ffi) und fila) entweder beide gleich Null oder beide unendlich groß werden. Deshalb möge Gleichung (6.) durch die folgende Untersuchung noch auf eine etwas andere Form gebracht werden.

Hilfssaiz 1. Verschwmdet die Funktion F(x), die mit ihrer ersten Ableitung F fix) in dem Intervalle von a bis b stetig und endlich sein möge, für x = a und für x — b, so gibt es zwischen a und b mindestens einen Wert von x — er heiße § —, für iveichen F\x) — 0 wird.

Dieser Satz ist nur eine andere Form des' Satzes von Rolle (§ 36) und folgt ohne weiteres aus Formel Nr. 87 der Tabelle, welche den in § 36 (Seite 162) bewiesenen Mittelwertsatz enthält. Danach ist nämlich, wenn man fix) mit F(x) vertauscht,

(7.) Ffi)—F{a) = ix — a) . F‘[a-\-&ix — a)], wo 0<6><+l, oder, wenn man x gleich b setzt,

(8.)

F{b) — Ffi) = fi — a). F‘[a + 0(b — a)].

Nun ist nach Voraussetzung

b ff a

F(a) — 0, F(b) = 0

folglich wird

(9.)

Fff) = F‘ [a -f- 0{b — a)\ = 0.

Den Sinn dieses Satzes kann man am besten erkennen, indem man die Funktion

y = F(x)

durch eine Kurve geometrisch darstellt, welche die X-Achse in den Punkten A und B schneiden muß, wenn man

(JA = a, OB = b

macht. (Fig. 71 und 72.)

Fig. 71.

Fig. 72.

Fl

ML-x

Wenn nun die Kurve (dem Falle F‘(a) > 0 entsprechend) im Punkte A steigt (Fig. 71), so muß sie, um die X-Achse im Punkte B wieder zu erreichen, nachher fallen, d. h. fur spätere Werte von x muß F‘(x) negativ sein. Da nach Voraussetzung F‘(x) in dem Intervalle stetig und endlich ist, so muß hei dem Übergänge vom Steigen zum Fallen auf der Kurve ein Punkt P mit der Abszisse OQ = 'Ę liegen, in welchem die Tangente zur X-Achse parallel ist, d. h. P'(§) ist gleich Null.

Wenn dagegen die Kurve (dem Falle F'(a) < 0 entsprechend) im Punkte A fällt (Fig. 72), so muß sie, um die X-Achse im Punkte B wieder zu erreichen, nachher steigen, d. h. für spätere Werte von x muß F‘(x) positiv sein. Auch hier muß also bei dem Übergange vom Fallen zum Steigen auf der Kurve ein Punkt P mit der Abszisse OP= § liegen, in welchem die Tangente zur X-Achse parallel ist, d. h. F'(£) ist auch in diesem Falle gleich Null.

Der Satz bleibt sogar auch dann noch richtig, wie man ohne weiteres erkennt, wenn die Kurve in dem Punkte A oder B, oder auch in beiden Punkten auf der X-Achse senkrecht steht, wenn also

jF'(a)=±ooJ oderP'(i)=±oo, oder.F'(a) = rtoo und F‘{b)=±oo.

Hilfssatz 2. Sind die Funktionen ff(x) und fix) mit ihren ersten Ableitungen (p‘(x) und f‘{x) in dem Intervalle von a bis b stetig und endlich, so gibt es zwischen a und b mindestens einen Wert von x, für welchen

(io.) wird.

Beweis. Die Funktion

(11.) F(x) = <p(x) — cp(a) —

(f{b) — rp(a)

fip) —/(«)

[f(x) —/(«)]

verschwindet für x = a und x = b und bleibt mit ihrer Ableitung F\x) nach den Voraussetzungen des Satzes in dem Intervalle von a bis b stetig und endlich, wenn f(b) von fia) verschieden ist. Deshalb gibt es nach dem ersten Hilfssatze zwischen a und b mindestens einen Wert von x, für welchen F\x) verschwindet. Nennt man diesen Wert wieder §, so erhält man also

oder

FftJ) = *>'($)

(fjb) — (f{a)

f(h) —/(«)

■/'($) = 0,

(12.)

<PÜ>) — (fja) ₌ qr'(jO ₌    — «)]

f\b) —fia) ~f‘(ß) — f [a +    — «)] ’

und wenn man b = x setzt,

(p(x) — (f (a)    f \a -j- @(x — a)]

flx) —/(«)    f[a + ©(« — «)]

(12 a.)

Diese Formel stimmt mit Gleichung (26.) in § 42 überein, wenn man die Buchstaben f und x bezw. mit ip und b vertauscht. Sie bleibt auch dann noch richtig, wenn (f\a) oder /'(«), oder (p\a) und f‘{a) unendlich groß werden.

Unter der Voraussetzung, daß

tj[a) = 0 und f(a) = 0 ist, geht Gleichung (12 a.) über in

(13.)

<f{x)    (p'[a + Q(x — a)] ₌ y'(g)

f{x) ~ f‘ [« + ©(» — «)]    /'(§)

Dies gilt, wie klein auch x — a sein mag, folglich wird (fix)

lim

x=af{x)

= lim

<r‘Cê)

*=«/'(£)

oder, da § mit x zugleich sich dem Grenzwerte a nähert,

= lim •

f\X)

Diese Gleichung geht ohne weiteres in Gleichung (6.) über, wenn (p\a) und /'(«) nicht beide gleich 0 sind oder nicht beide unendlich groß werden.

Aus Gleichung (14.) findet man sogleich, daß man das angegebene Verfahren noch zum zweiten Male anwenden muß, wenn auch

(14.)

lim

x=a

(f(x)

/O)

x=a

(15.)

— 0 und lim f\x) = 0

x=a

x=a

ist. In diesem Falle wird also

(16.)

lim

x=a

(f(x)

Ax)

= lim

Wird auch noch

(17.)

lim</>"(a;) = 0 und \imf“(x) = 0

x=a

x=a

so wendet man dasselbe Verfahren auf lim

/"(*)

an, indem

man Zähler und Nenner einzeln differenziert, und erhält

(18.)

lim

<r(x)

X— a

f(x)

lim

*=« f“\x)

Kommt man bei Fortsetzung dieses Verfahrens zu einem Bruche, der für lima: = a nicht mehr die unbestimmte Form ^

OO

oder — hat, so ist die Aufgabe gelöst. In diesem Falle ergibt

OO

sich die allgemeine Regel: Ist

(19.)

limr/(rr) = 0, lim(p‘(x) = 0, ... lim= 0

x=a    x—a

lim f(x) = 0, limf‘(x) = 0, ... limf(n~x\x) = 0

x—a

x=a

x=a

x=a

so ist

(20.)

q>l*)(x)    (p(n\d)

ß"Kx) ~~ß*Ka)

Bei dieser Herleitung dürfen \im.(pW{x) und limauch

lim

ff 0*0

x=aj' (%)

= lim

x—a

x=a

unendlich groß sein. Macht man aber die Voraussetzung, daß die Funktionen q(x) und f(x) mit ihren ersten n Ableitungen stetig und endlich bleiben für alle Werte von x, deren Unterschied von a beliebig klein ist, so kann man dasselbe Resultat auch durch Anwendung der Taylor sehen Reihe finden. Nach Formel Nr. 88 der Tabelle ist, wenn man n -f-1 mit n vertauscht,

«)² + ---

(21.) f(x) = f(d) +

f‘(a)

1!

(x — a) +    (x

(n — 1) !

(x — a)n~¹ -f-

fW[a -f- G(x — a)]

n\

(x — a)n ;

ebenso findet man

(22.) (p(x) = cp(a) +

ff'(ff)

(x — a)

ff"(«)

2~j (x — a)² + • • •

ą (”—!)(«)

(»-1)1

(x— a)

n—1

nl

(x — a)n.

Wenn aber die in den Gleichungen (19.) angegebenen Voraussetzungen gelten, so reduzieren sich diese Gleichungen (21.) und (22.) auf

(21a.)

/O) =

a A- G(x — a)]

(x — a)n,

(22 a.) folglich ist

<f(x)

Gi(x — «)]

n\

(x — a)n

(p(x) <fAn\a -f- 0±(x— a)\

f ix) ~ ßn)[a + ©(« — «)]

q\n)(x) (fM(a)

ßn)(x) ~~ ßn)(a) ’

ein Resultat, das mit Gleichung (20 ) übereinstimmt.

(23.)

und

(24.)

lim

x—a

/ 0*0

= lim

x=a

Bei dieser Untersuchung- ist die Voraussetzung gemacht, daß man die Ableitungen von <p(x) und f(x) bilden kann, namentlich aber, daß a ein endlicher Wert ist. Diese zweite Voraussetzung darf auch wegfallen; denn, wenn a unendlich groß wird, setze man

(25.)

also t - -

Sä 11—

dann wird

dcp(x)

(26.)

lim

(p(x)

x—co

f{x)

= lim

t=0

«H. I ¹

= lim

t= 0

dt

df{x)

dt

Da nun aber

drp(x)

dx

at    dt =

Ti! I“¹

l«L>

■f(x)

ist, so findet man, auch wenn man t als die unabhängige Veränderliche betrachtet, nach der angegebenen Kegel cp(x)

(27.)

lim

x = oo

f(x) Ü™ fix)

Dabei muß man die Funktionen rp'(x) und f‘{x) zunächst für endliche Werte von x bilden und dann x unendlich groß werden lassen.

§ 66-

Übungs- Beispiele.

1)    lim —

x=a %

2)    lim —

x=0

lim —

— an

vxn~x

— sin.r

x³

— = lim —-

a    1

= lim -

= nan~~x.

— COS;£

3xl

— cosx 0

= — = lim

sinx

3x²

6x

lim

sina;

6x

= lim

COS a;

r-H ;co

3) lim

ax — hx

= lim

o*lna—Ä*lnÄ

= Ina — ln b

x=0

„v arcsina;

= lim

4)    lim^

X=1 1

pX

5)    lim-

X—§

— xn

~.m

— = lim

mx⁷

— nxu~¹

— e~x

sina;

----- lim

ex e x

cosx

= 2.

.. tgx — sina; ..    ^

6) lim —-.-= lim —-

*=o x — Sina;    1

Nun ist aber

COS²a;

— cosa;

— COSa;

C0S²a:

folglich wird

COSa: =

1 — cos³a; _ (1 — cosa;) (1 -j- cosx -j- cos²a;) COS²a;

C0S²a;

.. tga;— Sina; ..    1 -f COSa; 4- C0S²a;

lim —-.-= lim —-s-¹-= 3.

x — smx    cos-x

= lima;’¹ = an.

sc=0

7) lim

xn — an

x=a ln(.rw) — ln [an)

= lim

nxn~x

8) lim-

x=0 X

Die Aufgabe 8 findet folgende geometrische Anwendung. In der Integral-Rechnung erhält man für die Oberfläche des Körpers, welcher durch Rotation der Ellipse um die große Achse entsteht, den Ausdruck

(1-)

F = 2 łPn -|-

2 a²bn

arc sin

= x setzt

oder, wenn man

arcsina:

(la.)

F = 2 b² re -(- 2 ab Tc •

Wenn nun die Ellipse in einen Kreis übergeht, wenn also e = Y a² — b² = 0 wird, so geht das Rotations-Ellipsoid in eine Kugel über, und das zweite Glied in dem Ausdruck für F erhält die Form ^ *

Benutzt man aber das soeben gefundene Resultat, so ergibt sich für die Oberfläche der Kugel aus Gleichung (1 a.) der bekannte Ausdruck

F = 4 a²n.

ln (1 + x) — ln ( 1 — x) _ 0

= lim

1 -j- x

9) lim

x=0

Auch dieses Resultat findet eine geometrische Anwendung. In der Integral - Rechnung erhält man für die Oberfläche des Körpers, welcher durch Rotation der Ellipse um die kleine Achse entsteht, und welcher Sphäroid genannt wird, den Ausdruck

= 2.

VJL h/ü±f) ₌ 2a%+^hl(1+a:>~ln(1=^ ■

e    \a — <?/    x

mit x bezeichnet. Geht nun die Ellipse

wenn man wieder

x = 0,

in einen Kreis über, wird also a — b,

• Benutzt man

so geht das Sphäroid in eine Kugel über, und das zweite Glied in dem Ausdrucke für F erhält die Form

aber das soeben gefundene Resultat, so ergibt sich für die Oberfläche der Kugel aus Gleichung (2.) der bekannte Ausdruck

F= 4a² Tr.

xn — 1    0

10) lim

X— 1 X    1

lim

nxn~x

/yfl

11) lim —

— nx -f- n — 1

x=.\

(x — l)²

= lim

nxn~x — n

= lim

2(x — l) n(n — l)xn~²

n(n — 1)

Die beiden letzten Aufgaben 10 und 11 finden Anwendung in der Kentenrechnung. Bezeichnet man nämlich mit Ry den Barwert einer Leibrente, die den Betrag 1 hat und einer Person im Alter von y Jahren am Anfänge eines jeden Jahres

den Barwert einer Leibrente

ausgezahlt wird, und mit Ry

von gleichem Betrage, die einer Person gleichen Alters in n Quoten am Anfänge eines jeden nul des Jahres ausgezahlt wird, so ist

n/

Yr

—nÿr + n—1

1 fr— 1 n²Y rn~¹ \j/r — wobei der Zinsfaktor r durch die Gleichung 100 r — 100 -f- Prozente erklärt wird. Der in Gleichung (3.) gegebene Ausdruck für

(3.) Ity

0-)

n²

\V~r -1 f

By

ist für die numerischen Berechnungen sehr unbequem; deshalb benutzt man gewöhnlich einen Näherungswert, den man erhält, indem man den Zinsfaktor r, welcher so wie so von 1 wenig verschieden ist, gleich 1 werden läßt. Setzt man dann noch

(5.)

xn, also Zr = x,

so wird

xn — nx-\-n — 1

(*— l)²

oder mit Rücksicht auf die in den Aufgaben 10 und 11 gefundenen Resultate

lim Ry

x—l

ÜS n²xn~x

x=i n²

(6.)

lim/Q

Eine genauere Untersuchung zeigt, daß dieser Näherungswert von dem wahren Werte sehr wenig verschieden ist.

12) lim—^—r~~— = f

x=il—xfmx 0

0    .. (lf\i\x)xx — 1    0

— = hm At !_x— = — »

— 1 -4- x—¹    0

lim

(1 -)- InaAr* — 1

— 1 -f x~x

= lim

(1 ~{-\y\.x)²xx -f- X? ¹

— x~²

= — 2.

13) lim

Yx — Ya Ą-Yx—a

2 Yx 2 Yx—a

oo

x=a

Yx² — a'¹

OO

Y x² — a²

= lim

Y x²— à² -j- Y x{x + «) Y 2a²

2 xY x

2oY a    ]/2a

§ 67. Ausdrücke von der Form —.

346

OO

In diesem Beispiele werden <p‘(a) und f\a) beide unendlich groß; es ist aber in § 65 ausdrücklich nachgewiesen worden, daß die angegebene Regel auch in diesem Falle noch richtig bleibt.

14) lim--. „

z=o cos x sura:

Nun ist aber

— cosa;

= lim

sina:

— sin³a: -j- 2sina: COS²a; 0

sina:

— sin³a; -f- 2 sin x COS²a; — sin²a; -j- 2 C0S²a;

folglich wird

lim -

x=0

— cosa: 1 (Vergl. Bemerkungen cosa; sin²a; 2 auf Seite 359.)

§ 67.

Ausdrücke von der Form £§.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 124.)

Werden die Funktionen ą(x) und f{x) beide fiir x gleich a unendlich groß, so wird

lim

oo

*=»/(a:)    °°

Um den Grenzwert zu ermitteln, dem sich in diesem Falle

nähert, setze man

x)

(1.)

<MX) =

(f{x)

(2.)

Mx) - -7-7

f(.x)

Aix) ’

dann folgt aus lim<p(a;) = oo und lim/(a:) = oo

X— a

x=a

(3.)

\mupi(x) = 0 und limft(x) = 0

x=a

X=(l

und man erhält

(4.)

lim

= lim

x—n

/ifaO ₌ 0 }

<fi(z) 0 ’

§ 67. Ausdrücke von der Form —.

CO

d. h. man hat diese Aufgabe auf die in § 65 behandelte Auf-gäbe zurückgeführt und damit bewiesen, daß sich ' ' für

(X)

a einem bestimmten, endlichen (oder unendlich großen)

diesem Grenswerte

Grenzwerte A nähert, wenn sich

/iQ)

rpi(x)

nähert. Daraus ergibt sich nach der damals gefundenen Kegel

(5.)

A = lim

<p(s)

= lim

/' iQ)

Nun ist aber

(p\(x)

f\x)

folglich wird (6.) A = lim

f{xf

(p\(x) =

q)‘(x)

f'{x) t <)²

f{xf <p‘(x)

= lim

f\x)

rp\x)

• lim

>)T

x)V

oder mit Rücksicht auf Gleichung (5.)

(6 a.)

A = A². lim

f'(x)

<p\x)

Unter der Voraussetzung, daß A von 0 verschieden ist, kann man beide Seiten dieser Gleichung durch A² dividieren und erhält dadurch

(’•)

¹    Ihn-'''

oder

(p\x)

(8.)

A = lim

<p(x)

= lim

<p‘(x)

f\x)

Es gilt hier also dieselbe Regel wie bei den Ausdrücken, welche an der Grenze die Form annehmen, d. h. man findet (x)

den Wert von lim -A, indem man Zähler und Nenner einzeln

differentiiert und in den Quotienten der Ableitungen x gleich a einsetzt.

Diese Regel bleibt auch dann noch richtig, wenn A den Wert 0 hat. Denn wenn man in diesem Falle den Ausdruck

(9.)

<r(x) __ f(x) + rf(x)

Ax)

/(*)

betrachtet, so erkennt man, daß er für x gleich a den von 0 verschiedenen Wert 1 hat. Dies ist nur dadurch möglich, daß auch der Zähler f{x) + <f(x) für x gleich a unendlich groß wird. Der Ausdruck nimmt daher an der Grenze die Form

oo

an, so daß man die eben ausgesprochene Regel an wenden darf. Dadurch findet man

oo

(10.)

lim

f(x) -f- <f{x)

x=a

f{x)

= lim

f‘(x) + tp'jz)

f\x)

oder

f\x)

- = 1 + lim

folglich ist auch in diesem Falle

(11.)

lim

ą{x)

f{x)

= lim

cp\x)

/'(*)

Werden limf‘(x) und hm(f\x) beide gleich 0, oder werden

x=a

x=a

sie beide unendlich groß, so findet man durch nochmalige Anwendung derselben Regel

(p‘(x)

f\x)

und kann so fortfahren, bis sich ein bestimmter Wert ergibt.

(12.)

lim

x=a

<p(x)

/w

= hm

= hm

/"(*)

Auch hier darf die Größe a unendlich groß werden, wie man durch die in § 65 ausgefiihrte Untersuchung zeigen kann.

§ 68.

Übungs-Beispiele.

hm

1) hm

*=2

tg(bx) oo

7t tg X

5cos²#

cos² (5#)

= hm

OO

cos² (ox)

= hm

5 cos²x    0

cos² (5x)    0 ’

COS²^

— lOcosz sin#

—10 cos (5#) sin (hx)

= hm

sin(2#) _ 0 sin (10#)    0 ’

wenn n> 1 ist;

n(n — 1)«M—2

/y«H-1

-, •    /( ŁO    , a

ex

lim

sin (2«)

sin (10«)

= lim

²) lim Jr =

oo v

X¹

8:8 818

= lim —

= lim

2 cos (2x) _ — 2    1

10 COS (10#)    —10    5

ex ~ °*

2x oo

— = lim

3)    lim — =

X=CO

4)    lim ^ = ~

x—oo ex 00

Zunächst möge vorausgesetzt werden, daß n eine positive ganze Zahl ist. Dann wird

ex

OO

ex

— 0.

lim

- = lim

nxri~~x

oo

oo

lim —-— = Jim

e*

Dieser Ausdruck wird entweder gleich

OO

oder

OO

OO

je nachdem n gleich 2 oder größer als 2 ist. Um die Aufgabe allgemein zu lösen, muß man Zähler und Nenner n Mal differen-tiieren und erhält dadurch

lim —

= 0.

nl    n\

ex

= hm — = —

e    oo

Dasselbe Kesultat findet man auch, wenn n eine positive gebrochene Zahl ist; denn in diesem Falle liegt n zwischen zwei ganzen Zahlen k — l und h, so daß

k — l<n<ck

wird, folglich ist

Tn

lim - - lim

<:x

ex

= lim

ex

oder

lim

xn

ex

= lim

—,— = lim — • lim

™k—n

ex

g.k—n

350

§ 68. Ausdrücke von der Form — • Übungs - Beispiele.

OO

Nun ist nach, dem Vorhergehenden

lim

xk

ex

und, da k — n positiv ist,

lim

= 0,

folglich ist auch

lim —

er

= 0.

Der Sinn dieses Resultates ist der, daß für hinreichend große Werte von x die Exponential-Funktion ex noch größer wird als jede beliebig hohe Potenz von x.

lnx

— = lim

¹ =0;

= lim

5) lim — =

x=oo %    ⁰⁰

dabei ist nur vorausgesetzt, daß n positiv ist, im übrigen darf n beliebig klein sein. Der Sinn dieses Resultates ist dann der, daß lnx für hinreichend große Werte von x zwar selbst beliebig groß wird, aber doch noch kleiner bleibt als jede beliebig niedrige Potenz von x.

uxn 1

nxu

OO

Setzt man n =

? so nimmt für positive Werte von m das soeben gefundene Resultat die Form an

lim

lnx

m/

x=ooy x

= 0.

6) lim

x—0

ln (tg x) ln [tg(3z)J

OO

— = lim

sin.r cos.v

OO

sin (3x) cos (3x)

= lim

= lim

sin (3x) cos(3.v) 3sin.r cos x

sin (6a;) _ 0

3 sin (2x)    0

lim

sin (6«)

3 sin (2x)

= lim

6cos(6;r) _ 6

6 cos(2x)    6

= 1.

§ 69.

Ausdrücke von der Form 0.oo.

Bei den Ausdrücken, welche an der Grenze die Form 0 . oo haben, kann man die Bestimmung¹ auf einen der beiden vorhergehenden Fälle zurückführen. Wird nämlich

(1.)

lim^(«) = 0, lim/(«) = oo ,

x~a

x=a

7) lim

x—0

lim

ln«

Ctg«

— sin²«

- OO

oo

= lim

Y — lim

— sin²# _ 0

= lim

sin²« — 2 sin« cos«

so setze man wieder

(2.)

9Pi(«) =

cp(x) ’

also </>(«) = —

(fl(x) '

(3.)

./iO) =

f\x)

also /(«) =

.Mx)

dann ist

lim^if«) = oo, lim/i(«) = 0.

x=a

x—a

Deshalb wird

(f(x)

(f{x) ./(«) =

ein Ausdruck, der für « = a die Form ~ annimmt; und

(5.)

Mx)

(6.)

(p{x) ./(«) =

Ax) ■

<pl(x)

wird ein Ausdruck, der für « = a die Form ^ annimmt. Daraus ergibt sich die Regel: Man bringe den Ausdruck auf

— oder auf die Form °°

0    J    oo

die Form

und behandle ihn, wie in

§ 70.

Übungs-Beispiele.

= l.

1) lim (x . ctgx) = lim ~ =    = lim j

le X    X

COS² X

lim

2) lim(a: — a) [ln(^ — a)]² = 0 .

a)]² = lim

2 Info—a)—-— x — a

oo

x=a

lim (x — a) [ln (x

x=a

[ln (x — a)]²_oo

(x — a)

oo

[ln(fo— a)]² _ \x — a)

lim

— (x — d)~²

= — 2 lim

ln(fo — a)

{x — a)—¹

OO

oo

— 2 lim

\n(x — a)

(x — a)

= — 2 lim

3) lim(x

Z=1

■>*(?)-

—{x — d)~²

x

= lim —

0 . oo

= + 2 lim(« — a) = 0.

2 sin²

x

lim—

•»(")

= lim

= —lim

/X7t\

\VJ

TV

TV

2 sin²

/xn\

V 2”/

Noch etwas einfacher hätte man diese Aufgabe in folgender Weise behandeln können. Es wird, weil sin= i ist,

lim (x — 1) tg =

lim

cos

/xn\

V2/

.. x = lim

COS

/XTV\

\2“/

.. X

Inn

cos

/X7V \ \2~)

= lim

sin

/xrv\

\2~)

oo . 0.

4) lim 2X tg    ^ =

x=oo    /

Die Lösung dieser Aufgabe wird einfacher, wenn man

V 2X

als Veränderliche einfiihrt. Dadurch wird

also

2X = — und limy = 0, y x=oo

lim 2X tg ( ^) = lim tg y =

x—oo    \ 6 /    y—0 y

at gV    v d

—— = lim-5- = a.

cos-y

lim

5) lim x (y⁷r — l) = oo. 0 = lim gesetzt ist,

x=oo

t=0

lim

atgy

O! O

rl— 1    0

. 1

WO t = —

1    .. r4nr

- = lim —= lnr.

Von diesem Resultate kann man wieder eine Anwendung machen. Nach Gleichung (3.) in § 66 war

lim

t—0

Ci)

¹ (rzrlyis

niyrn-Ayr—i/ y

oder, wenn man n mit x vertauscht,

(1.) Ry

ny r + n — 1

(1 a.) Ry

(v) y r(r — IfRy y r [r — 1 — s(-j/ r — 1)]

r[x(yr— 1)J²

[x (y r — l)]²

Wird nun die Zahl x immer größer und schließlich unendlich groß, so erhält man mit Rücksicht darauf, daß

\\mx(yr — l) = lnr, lim-j/r = limrx = 1

wird.

x—oo

(2.)

Ry

(s)

r — 1 — ln r

(lnr)²

§ 71.

Ausdrücke von der Form oo —oo.

Wird

(10

lim cp(x) = oo und limf(x) = oo

x—a

x=a

so nimmt der Ausdruck

Kiepert, Differential- Rechnung.

23

V P) —/P)

für x = a die unbestimmte Form oo — oo an. Den wahren Wert dieses Ausdruckes kann man wieder dadurch ermitteln, daß man

(2.)

<f{x) ’

also (f{x) =

?ip)

(3.)

/P) ’

also f(x) =

/ip)

setzt. Dann wird

(4.)

x=a

x—a

und man erhält

7ip) — yiQ) > 9>ip) . /ip)

(5.)    »(«)-/(*)/i(ie)

Dies ist aber ein Bruch, welcher für lim# = a die Form - -annimmt und nach der in § 65 angegebenen Regel bestimmt werden kann.

Mitunter gestaltet sich die Umformung noch etwas einfacher, wie es die folgenden Beispiele zeigen werden.

§ 72.

Übungs-Beispiele.

1} üïï(î^i

-0-

OO — OO

lim

— X 4- 1

x² — 1

= lim

2x

2) lim("—X ~ —    =

a,=ivr—1    \nxj

x\nx—x +1

oo — oo = lim

xlnx — x -j- 1 (X-l)\üx

\nx +l — l

Inx

(x — l)h\x

Inx -f-1— x-

ln x -f- 1 — x~x

= lim

X'

x~¹ -f- x~-²

= Um —= x 4- 1

4 siny

= lim

3) lim/

æ=0 \

1\

- I = oo — oo

X /

sina:

,. x — sin a: ..    1

lim-.-= lim ——

x sm x

.. X

= lim -

— sin x __ O

x sin x o ’

— COSa:

= lim

sina:-f ^cosa; 0 sina:

2 COSa:—a;sina:

4) limf

x=0 \

sin²a;

x² — sin²a; 0

lim

x² — sin²a;

a:² sin²a:

= oo — oo — lim

2a: — 2 sina: COS a:

2a; sin²a; + 2a:² sin x cosa; 0

x¹ sin²a;

= lim

oder, wenn man 2a; gleich y setzt,

x¹ — sin²a;

Hm

x=0

x² sin²a;

lim

4 y — 4 sin y

y=o

2y(l —cos y) + y^smy

= lim

4(1 — COS y)

2(1 — cos y ) + 4y sin y -j- y²cosy 0

6 sin y + 6y cos y — y²siny 0

= lim

4 cos y

12cosy — 8ysiny — y²cosy 12    3

Häufig wird man bei Behandlung der Ausdrücke, welche

oo    n

— j 0 . oo oder oo — oo oo

annehmen, am schnellsten zum Ziele kommeü, indem man sie so

für x =

a die unbestimmte Form -||-

umformt, daß sie für x = a die Form erhalten, dann Zähler

und Nenner mit Hilfe der Taylor'sehen Eeihe nach steigenden Potenzen von x — a entwickelt und Zähler und Nenner durch eine möglichst hohe Potenz von x — a dividiert.

Für die letzte Aufgabe erhält man z. B.

x² — sin²a; = (x — sin x) (x + sina;)

x³

”(*■

1!

x³ x5 3 ! ~ 5~!

=

\3 !

x²

öl

+—X²

x²

~3!

+-•)

23*

«²sin²«

—(S

«³

3l

•M

3!

Dies gibt

x¹ — sin²« x² sin²«

(è

«²

5I

+-■)(*

x²

3!

«²

3!

+-■)

₊-..J

also

lim

x=0

x² — sin²« 2 _ 1

~8!“ ä"

x² sin²«

§ 73.

Ausdrücke von der Form 0°, oo°, 1°°.

Formen

Nimmt der Ausdruck [<p(x)yw für « gleich a eine der

o°,

oo°.

an, so setze man

(1.)

[ (p(x)yw — u,

dann wird

(2.)

lnu = f[x). ln y(«),

also

(3.)

gin u __ ef(x). ln cf(x)

Ist nun

lim /(«) = 0, lim ą («) = 0,

x=a

x—a

so wird

lim fix). lnqp(«) = 0 . (— oo);

x—a

ist

lim/(«) = 0, limy(«) = oo

x=a

x—a

so wird

lim f{x) . ln (p{x) = 0 . oo ;

ist endlich

x=a

lim/(«) = oo, limy(«) = 1

x=a

so wird

x=a

lim j\x) . lny(«) = oo . 0.

x=a

Um den Wert von limw zu ermitteln, braucht man nur den Wert von lim (ln u) zu berechnen, der zunächst die unbestimmte Form 0 . (i oo) hat und sich deshalb nach den Angaben der vorhergehenden Paragraphen behandeln läßt.

1) lim (xx) = 0°.

x=0

§ 74.

Übungs-Beispiele.

ln#

lim ln u = lim ln (#*) = lim (#ln#) = lim —₁

— oo

oo

= lim

— x~l

= —lim

= 0,

folglich ist

limw = lin^#*) = e° = 1.

2) lim(#siaa:) — 0°.

x—0

lim ln u = limln(#sin*) = lim (sin x ln x) = lim

ln#

— oo

(sin x)

oo

= lim

cos#

- —lim

sin²# 0

#cos# 0

= —lim

sin²#

2 sin# cos#

cos# — #sin# 1

1-0

folglich ist

limm == lim(#sinx) = e° = 1.

3) lim

= 0°.

x=0

lim ln u = lim

4+2 ln#

• ln x \ =

lim

3 ln#

— oo

4 -j- 2 ln#

— oo

3

TT ?

=    = lim} =

4) lim(«K) = oo°.

X=OQ

ln«

lim ln?? = lim^ ln«^ = lim ^

OO

oo

= lim

& 1—¹

folglich ist

lim u = lim

Q)

= e° — 1.

5) lim y

n—oo J

= lim??

CS | §

lim ln w = — 2 lim

= oo°.

ln n

= — 2 lim

folglich ist

lim?/ =

e° — 1.

Die Bestimmung dieses Ausdruckes war in § 52 (Seite 237) erforderlich.

6) lim[(ctg«)sina;] = oo°.

n=0

lim ln u = lim [sin « ln (ctg «)] = lim

ln (cos «) — ln ( sin x)    oo

sin x cos x

(sin«/

oo

= lim

cos« sin.«

(sin«)⁻² cos«

= lim

sin«

cos²« 1

folglich ist

lim?/ = lim [ctg«)sina:] = <?° = 1.

7) lim(l + x)x = 1°°.

x—0

lim ln??

= lim — ln (1 + «) = «

lim

ln(l + z)

= lim

lim?? = lim(l + x)x = e¹ = e.

8) limfl +    =

|oo

æ=oo\    X /

vertauscht.

Diese Aufgabe wird auf die vorhergehende zurückgeführt, indem man x mit

Man beachte, daß in § 11 (Formel Nr. 14 der Tabelle) die Zahl e durch die Gleichung

e = lim^l + —) = lim("l + —\

n—ooV    W/ / ic=oo\    X /

erklärt worden ist.

lim Ina

9) lim (2 — —^

x=aW    a/

_ ^oo

lim

ln (2a—x)—Ina 0

•»©

= lim

2a-— x

sin²

(M

lim

/ X7l\

\2a)    2

2a — x

folglich ist

2 a sin²^|j ^

lim u = lim

(- )

Bemerkungen.

1. In vielen Fällen kann man Grenz-Ausdrücke von der Form

CO

oder — dadurch ermitteln, daß man Zähler und Nenner des Bruches, bevor man den Grenzwert von x einsetzt, durch einen passenden Faktor dividiert. So ist z. B. (vergl. Aufgabe 14 in § 66)

1 — cos x

1    1 — cos#

1 — cos#

cosa?sin²a? cos« 1 — cos²a;    cos a? (1 -ß cos a?)(l— cos x)

folglich wird

lim-1^_

x=o cos aj sin²#

cos#

= lim

cos x

• lim

rH !<m

2. Zu demselben Resultate hätte man auch, wie schon oben hervorgehoben ist, durch Entwickelung nach steigenden Potenzen von x gelangen können. Nach den Formeln Nr. 95 und 96 der Tabelle ist nämlich

1 — cos X =

X*

2T"4!

= x¹

(si

x¹

ÏT

•>

sin²a;

=(n

8!

+--M4

a;²

3Ï

■1’

dies gibt

1 — cos a?

1 x2 2Ï _ 4!

+----

sin“-.«

folglich ist

1 — cosa:

lim-

x=o cos x sin²a?

= lim ¹    . lim

&=0 COS OC ic=0

1 — cos x sin²æ

rH j(N

Ol

Zusammentreffen unbestimmter Formen.

Die Grenz-Ausdrücke, welche eine unbestimmte Form haben, sind durch die behandelten Fälle noch nicht erschöpft; die angegebenen Regeln reichen aber zur Erledigung der noch übrigen Fälle aus, die im wesentlichen nur Kombinationen der bereits besprochenen Grenz-Ausdrücke sind, wie die noch folgenden Beispiele zeigen sollen.

Nun ist aber

.. sm^ .. cosx

lim-= lim —-—

x=0

x    1

folglich ist und

lim ln u = lim

ln (sin x) — Ina; 0

= lim

ctg a; — x'

2a:

= lim

xcosx — sina:    0

2a:² sina;

= lim

— a:sina:

4a: sina: + 2a:² COS x

lim

— sina:

4 sin a; -f- 2a:COSa:

= lim

— cosa;

6 COSa: — 2 a: sina:

dies gibt

lim u = lim

⁶ 6/—

Ve

2) lim

x—oo

"In (gapi* /oo\<> x J \oo/

Hier ist

lim

ln(«a:)

= lim

folglich ist

lime^

= 0°,

lim ln u = lim

ln [ln(ax)] —Ina:

— oo

oo

= lim

1 ±

ln (ax) x

’-l I «

= lim

1 — ln (ax)

■— oc

x ln (ax)

oo

— lim

l+ln(aa:) a:[l -f- ln(aa;)]

OO

dies gibt

362

§ 75. Zusammentreffen unbestimmter Formen.

(i+xY

l°o-g

3) lim

x—0

Nun ist aber nach Aufgabe 7 in § 74

lim (1 -f- x)x = e >

X=U

folglich ist

lim

= lim

Aj~ x

(1 -f x) x Ll + X

— ln (1 + x) : x¹

= lim(l -f- x)x . lim

= e. lim

(1 + X)²    1 + X

2x

= e . lim

2x(l -\- x)'²

= e. lim

2(1 + xf

IX. Abschnitt.

Differentiation der nicht entwickelten Funktionen.

§ 76.

Differentiation einer Funktion von der Form F{u, v).

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 125 bis 129.)

Ist

(!•)

2 = jF(m, V )

eine Funktion von zwei Veränderlichen u und c, ist z. B. z — 3id — lv?v -(- 11 uv² -j- 2ü³,

so wird sich 2 im allgemeinen schon verändern, wenn sich nur u verändert, während v konstant bleibt, oder wenn sich nur v verändert, während u konstant bleibt. Man kann also, wenn z in bezug auf u eine stetige Funktion ist, in derselben Weise wie bei Funktionen von einer Veränderlichen den Differenzen-Quotienten bilden, dessen Grenzwert dann für verschwindend kleine Werte von Au den Differential-Quotienten oder die Ableitung liefert.

In diesem Falle bezeichnet man aber die Ableitung nicht öz

und nennt sie „die partielle Ableitung

mit

dz

sondern mit

du

von z nach u“, weil man bei dieser Operation nur u als Veränderliche betrachtet und dadurch die Veränderlichkeit der Funktion z beschränkt. In dem vorliegenden Falle wird also

du

(2-)

dz

— == 9u² — 14uü -f- llv².

Mit demselben Rechte kann man 0 so différai tiieren, daß man v als die einzige Veränderliche und u als eine Konstante betrachtet. In dem vorliegenden Beispiele wird daher

= — 7m² -f* 22«^ + 6t>².

(3.)

QjI Qj

Wie man also nach Formel Nr. 16 der Tabelle die Ableitung einer Funktion y = f(x) von einer Veränderlichen durch die Gleichung

(4.)

dy - lim /(^ + Jx) —f(x)

jdx=-0

dx

erklären kann, so kann man die partiellen Ableitungen einer Funktion von zwei Veränderlichen durch die Gleichungen

F(u 4- du, v) — F(u, v)

dz    dF(u, v)

du

= lim

Ju=0

du

^ de erklären.

dz dF(u, v)

dv

= lim

Jv—O

F(u, v + dv) — F(u, v)

dv

Der Kürze wegen bezeichnet man die partielle Ableitung

dF{u, v)

von F{u, v) nach der ersten Veränderlichen, also

du

5 mit

Fi(u, v) und die partielle Ableitung von F(u, v) nach der zweiten Veränderlichen, also    ^

die Gleichungen (5.) und (6.) die Form

F(u -j- du, w) — F(u, v)

mit Ffu, v). Dadurch erhalten

(5 a.)

(6 a.)

Fi[u, v) — lim -

Ju=0

Ffu, v) = lim -

Jv—O

du

F(u, v + dv) — F(u, v)

dv

Beispiele.

1) Z = UV’,

dz

du

Qj Qj

dz 1 dz

du

dv

3) z = lnl

dz

= ln u — lnt>; — ou

dz

dv

dz

]/u — Y'O

du

dz dv

Ausführlicher wird von den partiellen Ableitungen im dritten Teile dieses Bandes die Rede sein, der über die Funktionen von mehreren Veränderlichen handelt.

Hier soll nur der Fall in Betracht gezogen werden, wo u und v beide Funktionen von x sind, wo also

(7.)

u = cf (x), V = ip(z)

ist, so daß z als eine Funktion der einzigen Veränderlichen x angesehen werden kann.

Jetzt sind zwar die Veränderlichen u und © nicht mehr voneinander unabhängig, man könnte vielmehr aus den Gleichungen (7.) durch Elimination von x eine Gleichung zwischen u und v, nämlich

(8.)

f(u, ©) = 0

Öz    öz

herleiten, man kann aber trotzdem die Ausdrücke und

du    öv

bilden, genau so, wie sie durch die Gleichungen (5.) und (6.) erklärt sind, und für das Folgende verwenden.

Vermehrt man x um Jx, so gehen die Größen u, v, z bezw.

über in

(9.)

V -J- Jv = ip(x -f- Jx)

I u -)- Ju = q (x + Jx)

z -j- dz = F{ii    v -j- xfv) ;

daraus folgt

Ju — <p(x -f- Jx)-(f (x), Jv — \p(x -(- Jx)- lp(z) ,

(io.

Jz = F(u -f- Ju, © -f- Jv) — Fyu, v)

= F(u -j- Ju, v -]- Jv) — F(u, v + Jv)

+ F(u, v + Jv) — F(u, v), oder, wenn man v + Jv mit vt bezeichnet,

Jx

Jx

Jx

(10 a.) Jz = F(u -f- Ju, ©i) — F(u, ©i) -f- F(u, v -j- Jv) — F(u, v)t Jz __ F(u + Ju, ©i) —F(u, ©i) ^ F(u, v + Jv) —F(u, v)

oder

(11.)

dz F(u 4" du, 01) F(u, t‘i) du

dx

du

dx

F{u, v -(- dv) — F(u, v) dv

dv

dx

Geht man jetzt zur Grenze über, indem man dx verschwindend klein werden läßt, so werden auch, wenn cp{x) und ip(x) stetige Funktionen sind, nach den Gleichungen (9.) die Größen du und dv verschwindend klein, und man erhält

(f{x + dx) — q(x) du

(12.)

lim

jx=0

du

dx

= lim

Jx=0

dX

dx

(13.)

dv

lim

Jx=0

und da lim^i = v ist, (14.) lim

Jx—O

dx

= lim

Jx=0

ip(x -j- dx) — ip(z) dv

dx

dx

F(u + du, t'i) — F(u, t'i)

du

= lim lim

F{u -f-du, v\) — F[u, Vx)'

du

dz

Vi=V

Hierbei hat man allerdings angenommen, daß du zuerst verschwindend klein wird und nachher erst dv, während du und dv zugleich verschwindend klein werden. Man erhält aber auch dann noch dasselbe Resultat, wenn man zuerst dv verschwinden läßt, weil

F(u -j- du, t'i) — F(u, vi)

lim

wird.*) Ferner wird

du

F(u -f du, v) — F(u, v)

du

*) Noch strenger wird der Beweis durch Anwendung der Formel Nr. 87 der Tabelle, nämlich der Formel

f(a + h)-f(a) = h.f'(a + 9h)

geführt. Indem man f(x) mit F(u, v{), also f'(x) mit Fi(u, «,)> a mit u und h mit du vertauscht, ergibt sich hieraus

F(u -(- du, v\) — F(u, i'i) = du . F\(u -f- 0 . du, v\),

oder

lim -''u dui lù-F{u, Ł-;) __    q v\ _    ij).

Jx=0

du

Jx=0

(15.) lim

4x=0

F(u, v + 4v) — F(u, v)

Jv

= lim

Jv=0

F(u, v -f- 4v) —F[u, v)

Jv

dz

= F₂(«,v) = -^

Deshalb folgt aus Gleichung (11.)

dz    dz du , dz dv

dx    du dx ¹ dv dx

oder auch, wenn man beide Seiten dieser Gleichung mit dx multipliziert,

(16 a.)

(16.)

dz

dz

dv.

dz - -Tr— du 4-

du

In Gleichung (16.) sind mehrere Formeln, die schon früher hergeleitet worden sind, als besondere Fälle enthalten.

ov

Beispiele.

1) Es sei

(17.)

dann wird

dz

dz

du

dv

folglich ist in Übereinstimmung mit den Formeln Nr. 20 und 21 der Tabelle

(18.)

dz d (u ± v) du dv

- --- - - —f— —-—

dx dx

dx

dx

2) Es sei

(19.)

,z = uv,

dann wird

dz

dz

— u,

du V'

folglich ist in Übereinstimmung mit Formel Nr. 29 der Tabelle dz d (uv) dx dx

(20.)

3) Es sei

(21.)

dann wird

dv

-vTx

du , dv + uTx'

dz

dz

rH I

dx v dx v² dx

(22.)

dz

dx

4) Es sei

(23.)

dann wird

(24.)

5) Es sei

(25.)

dann wird

(26.)

6) Es sei

(27.)

dann wird

(28.)

du

V²

z = ln (uv) = ln u -)- ln v,

dz    1 dz    1

du    u J do

dz    d\n(uv) _ 1    du | 1 dv

u dx v dx

dx

dx

z = ln

dz

du

dz

dx

= ln u — lnw,

dz

dv

d\n

dx

z — uv

1 du 1 do u dx v dx

dz

du

= VUv~¹,

dz

-Tr— — uv An u

dv

dz    d (uv)

dx dx

— V ur

₁ du

de

dx

+ uv. ln u •

dx

Von dieser letzten Formel mögen noch einige Anwendungen gegeben werden.

7) Es sei

z — (sin x)

also

u = sin«

du

dx

= COSX,

de

dx 2]/ x

— ]/x (sin x)

y x-

dx

¹ cos x + (sin    x ln (sin x) —

2]/ x

"2a; COS a;

sina;

(sina;)

2]/x

8) Es sei + ln (sin a;) .

also

« = y'tga; = (tga;) *

= tga;, ü =

t/a; cos¹a; dx

dz 1 ,,    \ x

dX=~x (***)

f'tg^ ■

A-i

‘ SÄ + <***)■ to(1*"}(⁻?)

ln (tga;) J •

a;

sin a; cos x

9)

also

u — Ina;, v — tga;

dx

dx cos¹a;

dz

dx

= tga;. (InaO-i+fc* • j + (Ina;)⁴** . ln (Ina;) •

= (Ina:)¹»*

' tga;

ln (ln x)

a;lna; cos¹#

§ 77.

¹

= (Ina;)⁴«*,

Herleitung der allgemeinen Regel für die Differentiation der nicht entwickelten Funktionen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 180 und 131.)

Es sei wieder

(1.)

z = F(u, v)

24

Kiepert, Differential-Rechnung.

und es seien u und o beide Funktionen von x, die eine Ableitung besitzen, dann wird nach Formel Nr. 126 der Tabelle

dz da

(2-)

dz

dx

....... dz de

du dx do dx

oder

dz dF(U, o) da dF(u, o) do do dx

Hierbei ist u eine beliebige Funktion von x, folglich darf u auch gleich x sein. Dann geht Gleichung (2.) über in dz    dz dz do

dx    dx ¹ do dx

(2 a.)

(3.)

dx

du dx

Vertauscht man jetzt o mit y, so wird

(4.)

* = F(x, y),

wobei y noch eine Funktion von x, also

(5.)

y =f(x)

ist, und man erhält

(6.)

±₌êi _i_ dy

dx dx d

oder

dy dx '

(6 a.)

dF(x< y) _ dF(x, y) , dF(x, y) dy

dx

dx

dy

dx

oder

(7-)

dF(r, y)

dy

= Fix, y) + F₂(x, y) -j- ■

In diesem Falle ist also z erstens unmittelbar abhängig von x und außerdem auch noch mittelbar abhängig von x, indem 2 auch eine Funktion von y, und y wieder eine Funktion von x ist.

dz

Man nennt „die oolUt'dndige oder totale Ableitung von

und er-

Öz

dx.

z nach xu im Gegensätze zur partiellen Ableitung

sieht aus den Gleichungen (6.) und (6a.) auch, wie notwendig

dz

óz

es ist, die partielle Ableitung ^ von der totalen Ableitung ^

dadurch zu unterscheiden, daß man das eine Mal ein (rundes) d, das andere Mal ein (gerades) d schreibt.

Beispiele.

1) z = xlnx = xv, wo y = \ylx. Hier wird

dz

Tx = yxV

dz

dy

— xy\wx,

<fy₌ 1 ?

dx x

folglich ist

dz d (xlïlx) dx dx

yxv~x -j- xylnx •

= ln^ . xlnx~~x -)- x^¹*—¹. Inx — 2xlnx~¹. \w.x. 2) z = (t gx)x = yx, wo y = tg x.

Hier wird

dz

dz

dy

dx COS²#

folglich ist

dz d[{tgxY\ .    x

dx~~ dx “ V^ n2/_rcös%

yX—\ _    (tg^)*ln(tg^) -f

x(tgx)x~l.

COS²#

Gleichung (6 a.) oder (7.) kann man jetzt auch benutzen zur Differentiation von nicht entwickelten Funktionen. Ist z. B. y als Funktion von x durch die Gleichung

(8.)

F{x, y) = 0

gegeben, so kann man sich vorstellen, diese Gleichung sei nach y aufgelöst und dadurch auf die Form

(9.)

y =/(«)

gebracht. Man erhält daher nach Gleichung (7.) dF(x, y)

(10.)

dx

= Fi(z, y) + F₂(z, y) ^ •

Setzt man den Wert von y, welchen die Gleichung (9.) liefert, in die Funktion F(x, y) ein, so muß nach Voraussetzung

F(x, y) = 0

werden; deshalb wird erst recht

dF{x, y)

dx

so daß aus Gleichung (10.) folgt

(11.)

F₁{x,y) + F,(x}y)fx = 0

oder

(11a.)

Fx(x, y)dx + F₂(x, y)dy = 0.

Aus Gleichung¹ (11.) findet man jetzt unmittelbar

(12.)

dy _ Fi(x, y)

dx

Ft(x, y)

§ 78.

Übungs-Beispiele.

1) b¹x¹ -(- a¹y¹ — a¹b¹ = 0.

Hier ist

dy

F(x, y) = b¹x¹ -f- a¹y¹ — d¹b¹ dF(x, y)

= Fx(x, y) = 2b¹x

dy

= F₂(z, y) - 2a¹y,

folglich wird

dy _ Fx(x, y)

b¹x

dx

Hx, y)

a¹y

4) F(x, y) = ix¹ -)- y¹)¹ — a¹(x¹ — y¹) = 0 Fi{x, y) = 2(x¹ -f- y¹) . 2x — 2a¹x,

F₂(x, y) = 2'x¹ + y¹). 2y + 2 a¹y,

dy

x 2(x¹ -(- y¹) -— a¹

dx

y 2(x¹ + y¹) + a¹

5) F{x, y) = xhf -f- cos a: — sina; tgy — siny — 0, F]{x, y) = 2 xy³ — sina; — cos a; tgy, sina;

F₂(x, y) = 3x²y²

cos y

cos ²y

dy — 2 xyl + sina; + cos a; tgy

dx

3x²y²

sina;

— cosy

cos‘²y

f— 2 xy³ + sina;) cos² y + cos a; siny cos y Sx²y² cos²y — sina; — cos³y

⁶) F(xj V) = XY + sin y = 0,

Ft(x, y) = 2 xy*, F₂(x, y) = 4 x²y³ + cos y,

dy

2a;?/⁴

dx

4tx²ys -4 cos y 7) F(x, y) — sin x siny + sin x cos y — y = 0, Ft{x, y) = cos a; (sin y -f- cos y),

F₂(x, y) = sina; (cosy — sin y) — 1,

dy

cos a; (cos y + siny)

dx

sin x (cos y — sin y) — 1

In ähnlicher Weise findet man die Lösungen der folgenden Aufgaben.

dy ex — y

dx eV -f- x

8) ë¹ — e* -f- xy — 0 ;

dx

9) sin {xy) — <f-y — x²y — 0 ;

dy y [cos {xy) — exy — 2a;j x [a^-j— exy — COS (a;y)]

10) x² -f- y² — a² — 0 ;

dy

dx

§ 79.

Ableitungen höherer Ordnung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 132 und 133.) Der Kürze wegen setzt man häufig

dy

d²y = dp _

dx² dx F d³y    d²p    dq

dx⁶    dx²    dx

Aus der Gleichung

(1.)

dy

P==Zdx

y)

y)

folgt dann, daß p wieder eine Funktion von x und y ist, die man ebenso differentiieren kann wie in § 77 die Funktion 2; man erhält daher, indem man in Formel Nr. 130 der Tabelle, nämlich in

dz dz dz dy dx dx dy dx

z mit p vertauscht,

(2.)

dp dp dp dy

dx dx dy dx

oder

(2 a.)

dhj

dx¹

dp , dp d^ ⁺ öyP'

(3.)

In derselben Weise findet man aus g auch die dritte Ableitung von y nach x, denn es ist wieder nach Formel Nr. 130 der Tabelle, indem man z mit g vertauscht, dg    dg i dg dy

dx    dx dy dx

oder

(3a)

^y ₌ dg

Qji Cb

dx+ P'

Dies kann man beliebig fortsetzen. Man achte aber darauf, daß die Gleichungen (2.) und (3.) nur dann anwendbar sind, wenn p und g Funktionen von x und y sind.

dxĄ

§ 80.

Übungs-Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll die Ableitungen p und g bestimmen, wenn gegeben ist

(1-)

(2.)

x² — xy -j- y² — d¹.

Hier ist

F(x, y) = zL — xy + y‘l — a²

Fi{x, y) = 2x — y, F₂(x, y) = —x + 2,y

(3.)

also

(4.)

2x — y

Daraus folgt

(5.)

dp — 3 y

dx — (x — 2 y)²

(6.)

dp

3x

dj    (x — 2 yf

dp ,Sp —sV

^ dx dy P

3x

(x — 2 yf

oder

2x — y (x — 2 yf x — 2 y

(7-) i =

d²y    6(x² — xy -\- y²)

dx²

(x — 2 yf

Berücksichtigt man noch Gleichung (1.), so erhält man

(8.)

6 d¹

^    (x — 2y)³

Aufgabe 2. Es ist gegeben

(x — §)² + (y — yf — d² = 0,

man soll die Werte von p und q ermitteln.

Auflösung 1. Hier ist

F(x, y) = (x — §)² + (y — yf — a²,

. Fx(x, y) = 2(x — I),    F₂(x, y) = 2{y — rj)

(9.)

(10.)

(11.)

also

(12.)

¹ dx

Daraus folgt

(13.)

dp

dx

(14.)

dp

dy

(y — vf

„. x    dp dp

(iS.) ? = ₅- + g-p =

oder

x — | x — £

y — y (y — yf y—y

3a³

also

dy

— £)

Ycd —- (x — £)²

⁼F

]/a² — (x — §)

*    dx²

Va² — (x — §)² —(x — §)

d¹ — (x — §)²

ya²— (x — §)²

a²

oder

Ä ’

[a² — (x — §)²]²

(19.) q =

a²

(y — yf

ein Resultat, daß mit Gleichung (16.) übereinstimmt.

ist

Aufgabe 3. Man soll p, q und r bestimmen, wenn gegeben

(20.)

F{x, y) = y²

Auflösung. Hier ist

2 ax = 0.

(21.)

(22.)

F\{x, y) = — 2a,    F₂(x, y) = 2y

a dp „ dp    a

p = — j    — 0,

y dx

a² dq y% ’ dx ^

dy

Cb! Cb

Sa²

y⁴

(17.)

d^y

[x — g)² + (y — yf

(y — y)*

Auflösung 2. Dasselbe Resultat kann man hier auch durch Auflösung- der Gleichung (9.) nach y finden. Es wird nämlich

dx²

(y — yf

y = rj ± Y a¹ — (x — |)²,

(23.)

Aufgabe 4. Man soll p, q und r bestimmen, wenn gegeben ist b²x² -f- a²y² — a²b² — 0.

Auflösung. Hier ist

(25.)

2 b²x

b²x

2a²y

a²y

9. =

a²y

b²x / b²x \ a²y² \ a²y )

b²(a²y² -J- />²a;²)

a²è⁴

oder

a⁴«/³

«V³

(26.)

^    a²y³ ’

Daraus folgt

Oj Cb

= O,

Cb Cb

3//

a²y⁴

(27.)

3Ô⁴

T = -

a²?/⁴

V «W

3£⁶æ

§ 81.

Anwendung auf die Theorie der Maxima und Minima von nicht entwickelten Funktionen einer Veränderlichen.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 134 und 134 a.)

(1.)

Es sei y als Funktion von x gegeben durch die Gleichung F(x, y) = 0;

es sollen die Werte von x bestimmt werden, für welche y ein Maximum oder Minimum wird.

Beachtet man, daß man die Gleichung (1.) auf die Form

(2.)

y =-/(*)

bringen kann, indem man sie sich nach y aufgelöst denkt, so erkennt man, daß hier dieselben Regeln anwendbar sind, welche im VII. Abschnitt für die Aufsuchung der Maxima und Minima von entwickelten Funktionen gegeben worden sind; d. h. man bestimmt diejenigen Werte von x, für welche

/'(*)

dy

dx

verschwindet. Wird dann

d²y

dx²

= f“{x) für einen solchen Wert

dy

dx

dy

3x¹ — 3 ay

ay — x¹

dx

3 y¹ — 6ax

y¹ — ax

Schließt man den Fall aus, wo F₂(x, y) unendlich groß wird, so kann f ‘(x) nur dann verschwinden, wenn

(4.)

Fi{x, y) = 0

ist. Aus den beiden Gleichungen (1.) und (4.) findet man dann die Werte von x und y, für welche y möglicherweise ein Maximum oder Minimum wird.

Um zu entscheiden, ob für einen der gefundenen Werte von x wirklich ein Maximum oder Minimum eintritt, bilde man nach Formel Nr. 132 der Tabelle

/-w -%-+»?

dx öy dx

(5.)

von x negativ, so tritt ein Maximum ein ; und wird f“(x) für einen solchen Wert von x positiv, so tritt ein Minimum ein.

Dabei ist es aber in dem vorliegenden Falle gar nicht nötig, die Gleichung (2.) wirklich zu bilden, denn nach Formel Nr. 131 der Tabelle wird dy_

(3.)

dx

f\x) =

> FAx, y)

= p.

d%y _

dx¹

Setzt man der Kürze wegen

F^x, y) — F₁,    F₂{x, y) = F₂, ■

(6.)

dFt

~dx = Fn

dFt

dy

= Fn,

öF₂

= FU

dF,

-W— = ^22,

dy

so wird

(7.)

dp

Fi Fi\ — F\ F₂t    dp

FiFn — FtFn

dx

Fł

dy

Fł

also

(8.)

F₂ Ftt — F± F‘it

F2 F12-Ft F₂2 Ft

Fł

Fł

F₂

Dieser allgemein gültige Ausdruck vereinfacht sich in dem vorliegenden Falle, wo nur solche Werte von x und y in Betracht kommen, für welche

F\{x, y) == Ft = 0

ist. Deshalb wird hier <1 =/"(*) = —

Fn

F₂

(8 a.)

Haben also Fn und F> für das betrachtete Wertepaar x, y gleiches Zeichen, so ist/’"(#) negativ, und y wird ein Maximum. Haben dagegen FX\ und F\ entgegengesetztes Zeichen, so ist f“{x) positiv, und y wird ein Minimum. Dies gibt die Regel: Sind x und y so bestimmt, daß

F(x, y) — 0 und Fjx, y) — 0

werden, so ist y ein Maximum oder Minimum, je nachdem F2 und gleiches oder entgegengesetztes Zeichen haben.

Der Fall, wo die drei Gleichungen

F(x,y) = 0, Fx(x,y) = 0, Fjx, y) = 0 gleichzeitig gelten, möge hier ausgeschlossen werden, da er in einem späteren Paragraphen (bei der Untersuchung der Doppelpunkte) ausführlich behandelt werden soll.

Indem man x und y, und dementsprechend die Indizes 1 und 2 miteinander vertauscht, findet man hieraus auch die folgende Regel:

Sind x und y so bestimmt, daß

F(x, y) = 0 und F₂(x, y) = 0

werden, so ist x ein Maximum oder Minimum, je nachdem F\ und F₂2 gleiches oder entgegengesetztes Zeichen haben.

§ 82.

¹

F(x, y) = anx¹ + 2anxy -f a₂₂y¹ + 2anx + 2a₂₃y + «33 = 0. Setzt man hierbei noch fest, daß a₂₁ gleich a₁₂ ist, so wird F\{x, y) = 2(flu* + a₁₂y + a₁₃), F₂(x, y) = 2(a₂₁x -f a₂₂y + a₂₃),

anx -f a\₂y -f a₁₃. a2ix -j- o₂₂y -f- a₂₃

Übungs-Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll auf der Kurve (Fig. 73)

(1.)

F(x, y) = x³ -f- y³ — 3 axy — 0 einen Punkt P bestimmen, der höher liegt als die benachbarten Punkte.

Auflösung. Hier ist

(2.)

Fx(x, y) = 3æ² — 3 ay = 0 für y = — •

Setzt man diesen Wert in die Gleichung (1.) ein, so wird (3.) x³ -j- ^ — 3«³ = 0, oder x⁶ — 2a*xz — x³(x³ — 2a³) = 0.

Diese Gleichung wird zunächst befriedigt für x = 0 ; dann ist aber, wie später gezeigt werden soll, der zugehörige Wert

Fig. 73.

(4-)

von y ein Minimum. Ein Maximum kann also nur eintreten, wenn xz — 2a³ = 0,

oder

Q Q,

x — a-f/ 2, y = ay/é.

Es wird nämlich für diese

Werte

' F₂(x, y) = 3{y¹ — ax)

(5.)

= 3a²y/2 > 0,

Fu(x, y) = 6x = Qa-y/2 > 0;

da Fi und Fn gleiches Vorzeichen haben, so ist y — a-y/4 ein Maximum.

Das Maximum von x, dem ein äußerster Punkt P\ der Kurve entspricht, findet man in ähnlicher Weise, und zwar sind die Koordinaten dieses Punktes

(6.)

Xl = a-y/ 4,

yi — Cl -y/ 2 .

Die hier behandelte Kurve hat den Namen „Folium Cartesii

Aufgabe 2. Man soll den höchsten, bezw. den tiefsten Punkt der Ellipse (Fig. 74)

(7.)

F(x, y) = anx² + 2 anxy + a₂₂y² + a₃₃ = 0

bestimmen.

Auflösung. Hier ist

Q,

p,

Fig. 74.

Oh

(8.) Ft(x, y) = 2{anx + at2y) = 0

für

(9.)

«ii

y —--x.

«12

Dies gibt mit Rücksicht auf Gleichung (7.)

( 10.)«a(an«22-«²12)Z² ==-«²12«33 ,

oder

X = dz — w,

-«11033

wobei

«11«22-ß212

ist. Die Größe W wird sicher reell, denn Gleichung (7.) stellt bekanntlich nur dann eine reelle Ellipse dar, wenn «n«22 — «²i2 > 0 und au«33 < 0 ist. Aus den Gleichungen (9.) und (11.) folgt dann

(12.)

y = =F W.

Ferner ist

«11

(13.) Fu = 2an, F₂ = 2(aax + a₂₂y) = =F -2(g“a” ~~    - .

also

(14.)

= -+- 4(«n«22 — «²i₂) W.

Für das obere Vorzeichen wird daher y ein Minimum, weil dann Fn und F₂ ungleiches Vorzeichen haben; für das untere Vorzeichen dagegen wird y ein Maximum, weil dann Fn und Fi gleiches Vorzeichen haben.

Dieses Resultat wird durch Figur 74 bestätigt, bei der vorausgesetzt ist, daß «u und «i2 entgegengesetztes Vorzeichen haben. Hätten «u und ai2 gleiches Vorzeichen, so würden die vorstehenden Ausführungen unverändert bleiben, in der Figur würde aber der höchste Punkt P links von der Y-Achse und der tiefste Punkt Pi rechts von der Y-Achse liegen.

X. Abschnitt.

Vertausch ung der Abhängigkeit der veränderlichen Größen.

§ 83.

Bildung der Größen p, q und r, wenn x und y Funktionen von t sind.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 135.)

Ist y eine (entwickelte oder nicht entwickelte) Funktion von x, so ist es häufig von Vorteil, x als eine Funktion einer dritten Veränderlichen t auszudrücken. Dann wird nämlich auch y eine Funktion von t.

Beim Kreise ist z. B.

(1.)

x¹ -j- y² — a- — 0, oder y = ]/a²— x¹.

Setzt man nun

(2.)

x — acosć, so wird y = asint.

= — 1/ a² — x¹ ; a

Bei der Ellipse ist

(3.)

Wx² -)- a²y² — a²b² = 0, oder y setzt man hier wieder

x = acos£, so wird y = £sin£,

In beiden Beispielen wird der Punkt P mit den Koordinaten x und y die ganze Kurve durchlaufen, wenn die Veränderliche t alle Werte von 0 bis 2zr durchläuft.

In ähnlicher Weise kann man die Gleichung der Hyperbel

b'²x² — a²y² = a²b²

durch die Gleichungen

x —

ersetzen.

«So[£, y = b&int

Sind die Gleichungen

(5.)

* = y = #0

gegeben, so kann man umgekehrt durch Elimination von t eine Gleichung zwischen x und y herleiten, aus der man erkennt, daß man auch in diesem Falle y als eine Funktion von x betrachten darf.

(6.)

Es seien z. B. die Gleichungen der Zykloide x = a(t — sin t), y = a( 1 — cos t) gegeben (vergl. § 88, Aufgabe 8); dann wird

(7-)

acost = a — y, asinż = Y a²—a²C0S²t - Y^ay — y²,

(8.)

t = arc cos

folglich ist

(9.)

x = a arc cos

—V2ay—y²

Es ist nun die Frage, in welcher Weise man die Größen p, q und r bilden kann, wenn die Abhängigkeit zwischen x und y durch die Gleichungen (5.) gegeben ist.

Hier wird

(10.) Jx = (f(t + Jt) — <f(t),    J y = xp(t + Jt) — </>(/),

also

\p(t+ Jt) — ip{t)

Jt

Jy    ip(t + Jt) — W(t)

Jx (fit -j- Jt) — (f(t)    (f it -f- Jt) (f(t)

Jt

oder, wenn Jt und deshalb auch Jx und Jy unendlich klein werden,

(11.)

dV _ n _ dx ¹    (f\t)

dy dt dt dx

Dieses Resultat hätte man auch aus Formel Nr. 36 der Tabelle finden können, nach welcher

dy dy du dx du dx

wird, wenn y eine Funktion von u, und u eine Funktion von x ist. Man braucht für den vorliegenden Fall nur u mit t zu vertauschen und erhält

ip\t)

dy dy dt_ ₌    .. . ^ _1___

dx dt dx W } (f\t)    (f\t)

In derselben Weise kann man jetzt auch

dp

q = Tx

finden, denn es ist, wenn man in Gleichung (11.) y mit p vertauscht,

(12.)

d<ly _ dp __ 1 dx¹ dx

dp dt dt dx

Im allgemeinen wird diese Formel für die Bildung von q am meisten geeignet sein; man kann aber auch q durch die Ableitungen von und ip(t) ausdrücken, denn es ist

■

dt

<pW

folglich wird

(12a.) q

dx dly dy d²x (p\t) xp“{t) — ip\t) (f‘“(t) dt dt²    dt dt²

Diesen Ausdruck schreibt man noch bequemer in der Form

d²y dx d²y — dy d²x ^ dx¹    dx³    ’

wobei man sich aber bewußt bleiben muß, daß auf der rechten Seite dieser Gleichung x und y als Funktionen von t zu betrachten sind, daß also

(12b.)

ist.

dx = (p‘{i)dt, d²x — (f/‘(t)dt2 dy — ip‘(t)dt, d²y = ip“(t)dt²

Dieses Verfahren kann man noch fortsetzen, um die höheren Ableitungen von y nach x zu ermitteln. So ist z. B.

Usw.

§ 84.

Übungs-Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll die Größen p, q und r bilden, wenn gegeben ist

(1.)

(2-)

x = a&Q\t, y^b&mt.

dy = b Sof£ . dt, d²y — è@in t. dt²;

dq

(13.)

_ d*y dq    dt    dq dt

dx³    dx    dx    dt dx

dt

Auflösung. Aus den Gleichungen (1.) folgt j dx = a @itt t. dt,

\ cPx = aSof t. dt²,

deshalb wird

⁽⁸-) p = %=lä&^’

dx d.hy — dy d²x

(4.) q =

weil

abißvaH—^H)

dx³

a³ @in³ć

cd @in³^

Sof²ć — @in^= 1

ist. Einfacher findet man dieses Resultat aus der Gleichung

dp

(4 a.)

dp

dt

a @in²1

dx

a²@ürG

dt

Ferner wird

(5.)

dx

3 b (Sof t 1    _ Sb So) t

a²@in⁴£ a^ÀVit a³@in⁵^

Aufgabe 2. Man soll die Größen p und q bilden, wenn gegeben ist

(6.)

x = ait — sin t), y = a(l — cos t).

Kiepert, Differential-Rechnung.

25

Auflösung. Ans den Gleichungen (6.) folgt

(7.)

(8.)

dx — a( 1 — COS t)dt, dy = asintdf d²x = a sin t dt'¹,

d²y — azostdP-,

deshalb wird

dy

<⁹-> p = Tx

sin^

2sind) cosd)

cos

(I)

1 — COS t

2 sin²|

oder

sind)

(9 a.)

Ferner ist

r = ctg-(|)-

dxd²y — dyd²x ^    dx³

oder

a²(cos t — 1 )dt³

a³( 1 — COS^)³^³

(10.)

<1 =

a( 1 — COS t)²

4osiii⁴(l)

Dieses Resultat hätte man auch durch Differentiation von Gleichung (9 a.) finden können. Es ist nämlich dp    dp dt

^ dx    dt dx '

dp

detg (I)

dt

dt

2sinih)

und nach Gleichung (7.)

dt

folglich ist

dx    a(l—cosż)

2 a sin² (2)

9.

4 a sin⁴

Aufgabe 3. Man soll die Größen p und q bilden gegeben ist

dl.)

wenn

x = ctg t j y = sin³^.

Ferner ist

dp    dp dt

^ dx    dt dx

= (—12 sin³/cos¹ 2/ + 3 sin⁵/) (— sin²/),

oder

(14.) q = 3 sin⁵/(4 cos²/— sin²/) = 3 sin⁵/(4 — 5 sin²/).

Aufgabe 4. Man soll die Größen p und q bilden, wenn gegeben ist

(15.) x — a[m cos /—cos (ra/)], y = a[msin/-—sin(m/)].

Auflösung. Aus den Gleichungen (15.) folgt (16.) dx = ma[— sin/ -f- sin(ml)]dt, dy = wa[cos/ — COS(mt)]dt, oder, wenn man

(17.)

(12.)

also

Auflösung. Aus den Gleichungen (11.) folgt dt

dy = 3 sin²/ cos tdt

dx =

sin²/

(13.)

p-ÿ-

dx

= — 3 sin⁴/cos/.

m — 1 — n, m Ï — l

setzt.

(16a.)

= 2 ma sin cos (, dy — 2 ma sin    sin Ç ^dt,

dx

also

(18.)

o-ï—©-

Ferner ist

dp

dx

dt

2 cos²

Sr

dt

— 2masin(^^ cos •

(19.)

4masin^^ cos3(f)

Aufgabe 5. Man soll die Größen p und q bilden, wenn gegeben ist

(20.)

(21.)

x = «(cos t + t sin t), y = o(sinć — ćcos t).

Auflösung. Hier wird

dx — atzo&tdt

dy — atsmtdt.

(22.)

(23.)

*=s = t^-

dt    dp 1

q = 7i^

dp —

COS²/!

atCOS³/

Aufgabe 6. In der Gleichung du

x —--au = 0

dx J

ist x die unabhängige Veränderliche. Im Verlaufe einer analytischen Untersuchung wird es notwendig, durch die Gleichung

x — é

die Größe t als unabhängige Veränderliche einzuführen. Welche

Form nimmt dadurch die Gleichung (24.) an?

Auflösung. Zunächst ist

dx    , dt

-tr = et und

(24.)

(25.)

dt

dx

folglich wird

(26.)

dy dy dt dy dx dt dx dt

so daß Gleichung (24.) übergeht in e‘^e

—t

dt

— ay = 0,

oder

(27.)

dy

Aufgabe 7. In der Gleichung

(28.)

d-y

dy

dx¹

+ xqTx

COS²#

wird die Größe t als unabhängige Veränderliche eingeführt durch die Gleichung

(29.)

x = arctgć.

(30.)

Welche Form nimmt dadurch die Gleichung (28.) an? Auflösung. Aus Gleichung (29.) folgt

AJ = i + tg%=i + ą

tgx = t,

(31.)

dt

1 Ą-t² dx dydt_₌dy

dt dx dt    '

<*•■> .-î-fï-ec+'i+î-H"⁺^

(32.) p =

Setzt man diese Werte in die Gleichung (28.) ein, so erhält

man

‘d²y

dy

dy

⁽¹ +t2) + dt ‘ ²T¹⁺    +arctg*• y j-(i+^+(i+^²)-o,

oder, wenn man diese Gleichung durch 1 +1² dividiert,

+ (2^ + ys.rctgt)~ -f- 1 = 0.

dt²

(34.)

(1 + t²)

d²y

dt²

§ 85.

Behandlung des Falles, in welchem y die unabhängige Veränderliche wird.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 136 und 137.)

Ein besonderer Fall in der Vertauschung der unabhängigen Veränderlichen x mit einer anderen t ist der, wo t gleich y wird, d. h. wo die Größe y zur unabhängigen Veränderlichen gemacht wird.

Dieser Fall kommt z. B. vor, wenn man bei Kurven die Ordinate y als unabhängige Veränderliche ansehen will.

Nach Formel Nr. 135 der Tabelle ist

dx d'²y    dy d²x

d²y dt dfi    dt dt²

(1.)

dy

dx

und

dx¹

/dx\3 \dt)

Diese Gleichungen bleiben auch noch richtig, wenn man

(2.)

t = y

setzt; dann wird aber

(3.)

d²x dy _ d²y

dt ^    ’ W ⁼ dy*’ dt ~ l' ~d/P ⁼⁼ ° "

Die Gleichungen (1.) gehen daher über in

dx

d~x

(4.)

du 1

p = dx ⁼ Tx unä ¹

dhy

d²x

dy²

dx²

Dem entsprechend findet man durch Vertauschung von z

mit y

(5.)

fifo_ 1

c/r/ dy

dx²

dx

/^\³

Ans dem Werte von q kann man durch Differentiation auch den Wert von r finden. Es ist nämlich

(6.)

dx

r = dS =

dx d³x

dq

dy dy³

dy

(dx\4 \dy)

a(dfî

dy _ 1

dx

folglich wird

(?•)

r=d-JL

dx d³x dy dy³

dx³

/dx\⁵

\dy)

und dem entsprechend

(8.)

d³x

pr — 3 q²

In dieser Weise kann man mit der Bildung der höheren Ableitungen fortfahren.

§ 86.

Übungs-Beispiele.

Aufgabe 1. In der Gleichung

(IO

dx dx-

+ *(g)³-i = o

ist x die unabhängige Veränderliche; man soll die Gleichung so umformen, daß y die unabhängige Veränderliche wird.

Auflösung. Setzt man in die Gleichung (1.) die Werte von und nach den Gleichungen (4.) des vorhergehenden Paragraphen ein, so erhält man

cPx

Sl + z.-J:

clx / dx \³    /dx'f

dy \dy)    \dy)

oder

{-x + a)Tx

(2.)

(x + a)

d²x

dx

dy

dy

Cf)'-«-

(3.)

Aufgabe 2. In der Gleichung dx¹ \dx)

ist x die unabhängige Veränderliche; man soll die Gleichung so umformen, daß y die unabhängige Veränderliche wird.

Auflösung. Setzt man wieder für ein, so erhält man

dy_

dx

und

d-y

dx²

ihre Werte

d’²x

/dx \³    /dx'P    y

\dy) \dy)

oder

d‘²x

XW

^ dx ,    / dx \³

1 y(^) = 0-

Aufgabe 3. Man soll die ersten drei Ableitungen von x = arcsin?/ bilden.

Auflösung. Hier ist

(5.) y — sin«, p = cos?, q = —sin?, r=—cos?, folglich wird nach den Formeln Nr. 137 der Tabelle

dx

cos⁵?

dy

dH _ sin? d*x _ cos².? + 3 sin²? cos? ⁷ dy¹ cos³? diß

XI. Abschnitt.

Untersuchung von Kurven, die auf ein rechtwinkliges Koordinaten-System bezogen sind.

§ 87.

Tangenten und Normalen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 138 bis 144.)

Es sei

(!•)

y =/0)

die Gleichung einer Kurve (Fig. 75), auf welcher der beliebige Punkt P mit den Koordinaten x und y liegen möge.

Fig-. 75.

Legt man in diesem Punkte die Tangente TP an die Kurve und bezeichnet den Winkel, welchen diese Tangente mit der positiven Richtung der X-Achse bildet, wieder mit «, so ist nach Formel Nr. 17 der Tabelle

(2.)

dy

=/'(*)•

Ist nun die Gleichung der Tangente

(3.)

yl — mx' -f- /i,

so ist bekanntlich

(40

m = tg«.

Die laufenden Koordinaten sind mit x‘ und y‘ bezeichnet, weil x und y die Koordinaten des Berührungspunktes P sein sollen. Da die Tangente durch den Punkt P gehen muß, so ist auch

Die Abschnitte der Tangente und der Normalen, welche zwischen der Abszissen-Achse und dem Berührungspunkte P liegen, also die Strecken TP und PN, heißen auch kurzweg „Tangente“, beziehungsweise „Normale“. Man bezeichnet sie durch T und N. Die rechtwinkligen Projektionen TQ und QN dieser Abschnitte auf die Abszissen-Achse nennt man „Subtangente“ und „ Subnormale“ und bezeichnet sie durch St und Sn.

Es ist daher

I ² =

\ St =

(8.)

(5.)

wurde,

xjl — xj = m(x‘ — x).

Außerdem ist, wie schon in Gleichung (2.) und (4.) gezeigt

m = tg«

_ dy

ctg« = —

clx

dx- tg(90 »+«)=-deshalb geht Gleichung (5.) über in

y

Die gerade Linie PN, welche im Berührungspunkte auf der Tangente senkrecht steht, heißt „Normale“. Sie bildet mit der X-Achse den Winkel 90° + «. Deshalb ist die Gleichung der Normalen

(6.)

y‘ —

dy'

(7.)

y‘—y = —

dx

dy

(x‘ — X).

folglich wird

y = mx -f- g,,

N = PN, Sn = QN. Hieraus findet man ohne weiteres

(9.)

Sn =

dy

(10.)

St — y ctg « =

dx

ydy’

(ii.)

y_

cos «

= yV i '+ tg²^ = y

(12.)

^ = yyi+ctg% = yl/l+(|)².

Die beiden letzten Gleichungen kann man noch etwas einfacher schreiben. Haben die benachbarten Kurvenpunkte P und Pi (vergl. Fig. 19 auf Seite 85) bezw. die Koordinaten x, y und    y-\-Jy, so ist nach dem pytli agor äischen Lehrsätze

RE\³ = Pli- + BP? = Ix¹ + Jy\ oder, wenn die Punkte P und P\ einander unendlich nahe rücken, und wenn man die unendlich kleine Sehne PP\ durch ds bezeichnet,

(18.)

ds³ = dx³ -f- dy³,

!->+($■

Setzt man diese Werte in die Gleichungen (11.) und (12.) ein, so erhält man

(14.)

ds

ds

dx

y dx ’

ydy

dy

¹

p    dp dt

²

^ dx    dt dx

³

ydy =9 dx,

§ 88.

Anwendungen auf einzelne Kurven.

Aufgabe 1. Die Gleichung einer Parabel (Fig. 76) sei

(!•)

² .= 9x;

man soll für den Punkt P. die Abszisse

x — 4

hat, die Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente berechnen.

Fig. 76.

p.

Auflösung. Aus Gleichung

:.v

(1.) folgt

Für x gleich 4 erhält man also, wenn man nur den oberen Teil der Kurve berücksichtigt,

oder

(2-)

dy 9

p'

dx

(3.)

(4.)

■f = 36

(*Y = 1 + ± ₌

\ć/a;/    ¹ 16

Z-

(N IrH

Iß CO

f/s 5 ds dx 4 c/y

lO Ico

folglich wird

(5.)    Sn=QN=y\| =

tO| CO

f/a;

V dy ⁸

f/s

15

(6.) N=PN=yTx = -,

f/s

^=¹⁰-

(70

Aufgabe 2. Ein Kreis (Fig. 77) ist durch die Gleichung

F² -j- y² = 25

Fig. 77.

gegeben ; man soll für den Punkt P mit der Abszisse

x — — 3

die Größen Sn, St, N und T berechnen.

(7.) folgt

Auflösung. Aus Gleichung

2xdx -|- 2yf/y = 0,

oder

(8.)

dy

dx

Für x gleich — 3 erhält man also, da die Ordinate von P positiv ist,

(9.)

y² = 25 — 9 = 16

folglich wird

Ol IrH

»O i CO

. dy

y — dx~

ds

dx

co I ^ io ! co

(11.)

Sn =

St = y

16

(12.)

2V =

f/s

ydx = h

Die Normale muß, wie auch aus Sn = QN = 3 folgt, durch den Mittelpunkt 0 des Kreises hindurchgehen, d. h. der Punkt N fällt mit 0 zusammen.

Aufgabe 3. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente für die Parabel

(13.)

y² = 2 ax

berechnen. (Vergl. Fig. 76.)

Auflösung. Aus Gleichung (13.) folgt,

2ycly — 2 adx,

oder

(14.)

thj

dx

y¹

(dsS{ _ -,    , (dv^ 4 i «² _+ r

\dx) ' \dx) ^ y²

also

ds

(¹⁵-)

Dies gibt

= ^V®ï + y’.

ds ds dx dy dx dy

₌ lya-i + f.

= ai

Sn - QN = y

(16.)

St= TQ = y

2 ax

— 2x

ds

N = PN =

(17.)

yjx=Va?+yi'

= TP =

In den Gleichungen (16.) sind die folgenden Sätze ausgesprochen :

Satz 1. Die Subnormale ist bei der Parabel konstant.

Satz 2. Die Subtangente ist bei der Parabel doppelt so groß wie die zugehörige Abszisse. Die Subtangente der Parabel wird daher durch den Scheitel halbiert.

Diese beiden Sätze führen zu einer sehr einfachen Konstruktion beliebig vieler Punkte der Parabel. Beschreibt man

nämlich um den Brennpunkt F (vergi. Fig. 76) einen Kreis

mit dem beliebigen Halbmesser TF = FN = x -f- ~ und macht

OQ = TO, so schneidet die Gerade, welche durch Q parallel zur Y - Achse gezogen wird, den Kreis in zwei Punkten P und P‘ der Parabel. Dabei sind TP und TP‘ die Tangenten und PN und P‘N die Normalen in den Punkten P und P‘.

Auch die Gleichungen von Tangente und Normale lassen sich jetzt ohne weiteres angeben. Allgemein ist die Gleichung der Tangente

cly

y‘-y = dp‘~x')’

also hier

y‘ — V = | (x‘—x)

oder

(18.)

yy' — 'f = «(*'—*)•

Berücksichtigt man noch, daß nach Gleichung (13.) y2 gleich 2ax ist, so geht Gleichung (18.) über in

(18 a.)

yy‘ = a{x‘ + x).

Die Gleichung der Normale ist allgemein

(x‘ — x),

ÿ — y=7 —

dx

dy

also hier

y‘ — y = — | (F — *)

oder

(19.)

y(x‘ — X) + a(y'—y) = 0.

Aufgabe 4. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente für die Ellipse

(20.)

b²x²    ody² — idb² — 0

berechnen. (Vergi. Fig. 78.)

oder

Auflösung. Aus Gleichung' (20.) folgt durch Differentiation

2 b²xdx -f- 2 cdydy = 0,

Fig. 78.

(21.)

cly

b²x

dx

ahy

Löst man noch die Gleichung (20.) nach y auf, so erhält man

(22.) y= d=^Vd²~-x²,

folglich wird, wenn man nur das obere Vorzeichen berücksichtigt,

(23.)

dy

dx

y cd—x²

(a) -¹ + (ID

a⁴ — a²x² -f- b²x²

cd — e²x²

cd (cd — x¹)

wobei die Exzentrizität der Ellipse, nämlich die Größe y a²—b'1 mit e bezeichnet worden ist. Dies gibt

ds y cd — e²x² ds cls dx dx aycd — xl ’ dy dx dy

(24.)

cd(d² — x²)

]/ cd — e²x²

bx

folglich ist

(25.) Sn = QN = yd£ =

In der letzten Gleichung ist der folgende Satz enthalten: Bei allen Ellipsen mit derselben großen Achse 2a gehören zu gleichen Abszissen gleiche Subtangenten.

Diesen Satz kann man anwenden, um in dem Punkte P einer Ellipse, auch wenn dieselbe nicht gezeichnet vorliegt, wenn nur die große Achse bekannt ist, die Tangente zu konstruieren.

Auflösung. Man beschreibe über der großen Achse als Durchmesser einen Kreis, welcher von der Ordinate des Punktes P in einem Punkte P¹ getroffen wird. Legt man nun im Punkte

b²x

“ö*"’

St = TQ =

dx

Vdy

cd—x²

P‘ an den Kreis eine Tangente, welche die große Achse im Punkte T schneiden möge, dann ist TP die gesuchte Tangente, weil der Kreis und die Ellipse für die Punkte P‘ und P dieselbe Subtangente TQ haben müssen.

Ferner ist

N = PN =

(26)

T = TP =

ds    l>y cd —

y dx    a²

d s*    1 _________________

nv⁼-äzV{at-xl)(-ai-^-

e²x²

Die Gleichung der Tangente wird mit Rücksicht auf Gleichung (21.)

b²x

y‘ — y = —- -s- (*' — x)

cdy

oder

a'yy' — rfy¹ H⁻ à²xx‘ — b²x² = o.

Nun ist aber nach Gleichung (20.)

b²x² -f- a²y² — a²b²\

daher erhält man durch Addition der beiden letzten Gleichungen b²xx‘ -j- a²yy‘ = aPb²,

oder

(27.)

xx‘

yy‘

= 1.

Die Gleichung der Normalen wird

y‘ — y =

ahy

b²x

(x‘ — x),

oder

b²xy' — b²xy — a²yx‘ ~j- a²xy = 0,

oder

~ Ve'lxl — a4 aL

AT = PH =

(30.)

In ähnlicher Weise findet man für die Hyperbel (Fig. 79)

_f_₌,

à²    b²

Fig. 79.

P/

irx

b*x

(29.) Sn — QN — —- ?

a¹

St = TQ -

x² — «²

TP = i- ]/(x² — al) (eV — a⁴).

Die Gleichung der Tangente ist bei der Hyperbel

(31.)

xx‘

yÿ

dl

b‘

und die Gleichung der Normalen

(32.)

a?yx‘ -J- lßxy‘ — e*xy = 0.

Aufgabe 5. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale’und Tangente für die Sinuslinie

(33.)

y = sin.z

berechnen. (Vergl. Fig. 80.)

Fig. 80.

Auflösung. Aus Gleichung (33.) folgt

(34.)

dy

-V-- = COS(£.

dx

26

Kiepert, Differential-Bechnung.

Dies gibt

i»->    *

^    ^— l/i + cos'²;z;

dy COS x

ds

— Y1+ COS²a;,

deshalb wird

(36.) Sn = y = sina; cos x (37.) N =

St =

dx

= tg«,

y = sinæf/l -fcos²#, T=y<~ = tga^l-j-cos²#.

Aufgabe 6. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente für die Exponentiallinie

y — ex

(38.)

berechnen. (Vergl. Fig. 81.)

Fig. 81.

Auflösung. Aus Gleichung (38.) folgt (39.) s; = «* = 9, % =V1 +    = ri+y

dy

}/l -f ₌

dies gibt (4°.) Sn = yd£

\N^ydx = eXV[ +ß2x = yVi + y²»

7/ç    _ •

^y~dy ⁼    + ** =    + V¹-

Aus den Gleichungen (40.) folgt der Satz:

Die Subtangente ist bei der Exponentiallinie konstant.

Aufgabe 7. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente für die gemeine Kettenlinie

X\

a J, oder y =

-^•71

(41.)

St -

dx

ydy = ¹

T OQ

(42.)

■X

1/

berechnen. (Vergl. Fig. 82.)

Auflösung. Man kann zunächst die Gleichung der gemeinen Kettenlinie noch auf eine andere Form bringen. Es ist nämlich

Fig. 82.

Si | «

y² — «² = «² (£of²

= «² ©in²

also

s)

(43.) ±]/y² —«² =

O T OA = a.

a?

QX

to R

e )•

Durch Addition der Gleichungen (42.) und (43.) erhält man

— aea

y ± Vy² — a² — a

eC)+®inG)

oder

(44.)

x = «ln

y ± Yy2- a'i

Hierbei gilt das obere oder das untere Zeichen, je nachdem æ positiv oder negativ ist.

Der Kürze wegen möge in dem Folgenden vorausgesetzt werden, daß x positiv ist, dann findet man aus Gleichung (42.) durch Differentiation

(45.)

vt

cly

dx

— a² ■ tg «,

also

(46.)

ds

i- = Go

dx

ds

dy V y² — «²

Dies gibt

(47.)

St = TQ =

mx-PX-y^-Ç

Sn = QN = y ^    ^ Vf — cd

v dx a ' J

dx    ay

dy    Y yŁ — a²

T= TP = ds

^ dy Y y² — cd Aus Gleichung (45.) ergibt sich die Konstruktion der Tangente in einem Kurvenpunkte P, auch wenn die Kurve nicht gezeichnet vorliegt, in folgender Weise.

Man beschreibe über QP als Durchmesser einen Kreis (Fig. 82) und trage von Q aus die Sehne QS gleich a ab, dann ist die Gerade PS, welche die X-Achse im Punkte T schneiden möge, die Tangente im Punkte P, denn es wird

tgQTP — tg SQP =

SP _ yy² — a²

SQ

= tga.

Aufgabe 8. Man soll die Gleichungen der gemeinen Zykloide aufstellen. (Vergl. Fig. 83.)

Auflösung. Wenn ein Kreis auf einer geraden Linie rollt, ohne zu gleiten, so beschreibt jeder Punkt der Peripherie dieses Kreises eine gemeine Zykloide.

Fig. 83.

Fl

-X

O'

T 0 Q

Um die Gleichungen dieser Kurve zu bestimmen, mache man die Gerade OX (Fig. 83), auf welcher der Kreis rollt, zur X-Achse und lege die Y- Achse durch denjenigen Punkt 0, in welchen der die Zykloide erzeugende Punkt fällt, wenn der rollende Kreis in diesem Punkte die X-Achse berührt.

Eollt der Kreis, von dieser Anfangslage ausgehend, fort, bis sein Mittelpunkt nach M und der erzeugende Punkt nach P gelangt, so ist P ein Punkt der Zykloide mit den Koordinaten ()Q = x und QP=y.

(49.)

Ist ferner B der Berührungspunkt des Kreises um M, so nennt man den Zentriwinkel PMB den „ Wälzungswinkel“ ; er wird gemessen durch die Länge t des Kreisbogens, der in einem Kreise mit dem Halbmesser 1 demselben Zentriwinkel entspricht. Wenn man also den Halbmesser des rollenden Kreises a nennt, so ist der Bogen

(50.)

PB - at.

Dieser Bogen muß aber der Strecke OB gleich sein, auf welcher der Kreis fortgerollt ist, um aus der Anfangslage in die neue Lage zu kommen. Es ist also auch

(51.)

OB at;

ferner ist

QB = PB = asin*,

und deshalb

(52.)

x = OQ = OB — QB = a{t— sin t).

Da außerdem

BM = a und DM == acost

ist, so wird

(53.)

y= QP = BB = BM — BM = a(l —cos*).

Aus den Gleichungen (52.) und (53.) kann man noch die Größe t eliminieren. Man erhält dadurch, wie in § 83, Gleichung (9.) gezeigt wurde,

(54.)

x = a arccos

Bei der Untersuchung der Zykloide ist es aber bequemer, von den beiden Gleichungen

x = a(t — sin *), y = a{ 1 — cos t)

auszugehen.

Aufgabe 9. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente für die Zykloide

Ctg(l) = tg(*’

dy

(57.)

dx

wo a der Winkel ist, welchen die Tangente im Punkte P mit der positiven Kichtung der X- Achse bildet.

Aus Gleichung (57.) ergibt sich zunächst, daß

(58.)

(55.)

x = a(t— sin?), y = a l — cos?) = 2«sin²^^

berechnen. (Vergl. Fig. 83.)

Auflösung. Ans den Gleichungen (55.) folgt durch Differen-dx = <7(1 — cos ?) </? = 2asin2 dy = a sin tdt = 2a sin cos ^0 dt

tiation

(56.)

und daraus durch Division

dy sin? dx 1 — cos t

2 sin

CH.

to

dt,

(a )eos (-2 )

2 sin²

(I)

oder

a = 90° — -2

ist. Nun ist der Winkel PCB (Fig. 83) als Peripheriewinkel halb so groß wie der Zentriwinkel PMB, folglich ist

<£ PCB =

und

<$ PTB = 90° — PCB = 90° — - - «.

Li

Verbindet man also den höchsten Punkt C des Kreises um M mit dem erzeugenden Punkte P, so erhält man die Tangente der Zykloide im Punkte P.

Ferner ist

Sn —

oder

=2ai³⁰¹² (£K(!)=

Sn = a sin? — PJD — QB.

2 a sin

(I)C0S(I)’

Die Normale geht also durch den Punkt B, in welchem der Kreis um M die X-Achse berührt.

Dieses Resultat ist schon eine Folge des vorhergehenden, weil der Winkel CPB als Peripheriewinkel im Halbkreise ein rechter ist, und die Normale auf der Tangente im Berührungspunkte senkrecht steht.

(60.)

y Ty = ²«K£><)

St —

(0-^(1)-

sin²

also

*1*

‘53

ps

ro|

<§-1*

*1*

cos

to|

mit positivem Vorzeichen ge-

dabei ist die Wurzel aus

nommen, weil der Bogen s mit x zugleich zunimmt und deshalb dx und ds gleiches Vorzeichen haben. Dies gibt

(61.) N = PB =

ds

'J dx

2a sin²

sin

! »t.

= 2a sin

(62.) T = TP =

ds

²asin²(—)

cos

2^in(|)tg(0-

Aufgabe 10. Man soll die Gleichungen der gemeinen Epizykloiden und Hypozykloiden herleiten.

Auflösung. Wenn ein Kreis mit dem Halbmesser a auf einem festen Kreise mit dem Halbmesser na rollt, ohne zu gleiten, so beschreibt jeder Punkt auf dem Umfange des rollenden Kreises eine gemeine Epizykloide oder Hypozykloide, je nachdem die Berührung von außen oder von innen stattfindet.

PB — AB — na . t — a . nt.

Daraus folgt, daß Winkel

PMB = nt und PCB = ~

Ai

ist. Trifft die Gerade MP die X-Achse im Punkte R, so wird Winkel

XBM= (n + 1)*

als Außenwinkel des Dreiecks OMR. Bezeichnet man noch die Koordinaten des Punktes M mit x\, y\ und setzt

(63.)

n + 1 = m,

so wird

Th io

Findet die Berührung zunächst von außen statt (Fig. 84), so*mache man den Mittelpunkt 0 des festen Kreises zum Nullpunkte und lege die X -Achse durch denjenigen Punkt A, in welchem der die Kurve erzeugende Punkt der Berührungspunkt der beiden Kreise wird. Liegt dann beim Weiterrollen des beweglichen Kreises um M der Berührungspunkt in B, so nennt man Winkel AOB = t

den „ Wälzungswinkel des festen“ und PMB den „ Wälzung swinkel des rollenden Kreises“, wobei P ein Punkt der Kurve ist. Dann wird

AB = PB,

Fig. 84.

nt

nt

■X

S sl

oder, weil AB zum Zentriwinkel t und zum Halbmesser na gehört,

= OQ = O V-f- SP = x\ — acos(mt), = Q P = VM— SM = yx — asin (mt) ;

da

x, = OM ç,ost = mazost, — OMsmt = masint ist, so gehen die Gleichungen (64.) und (65.) über in x = a \ni COS t — cos (mtj\, y -- a[msintf —sin(wiż)].

(64 a.) (65 a.)

Dies sind die Gleichungen der Epizykloiden.

Fig. 85.

Ein besonderer Fall der Epizykloiden ist die Kardioide (vergl. Fig. 85), deren Gleichungen man aus den Gleichungen (64 a.) und (65a.) erhält, indem man n = 1, also m = 2 setzt.

Dies gibt

(66.) x = a [2 COS t — cos (2 ć)],

(67.) y = a\2 sint — sin(2<)].

-X

-H

Der feste und der rollende Kreis haben in diesem Falle denselben Halbmesser a.

In ähnlicher Weise findet man die Gleichungen der Hypozykloiden. Wendet man nämlich in Fig. 86 die entsprechenden Bezeichnungen an wie in Fig. 84 und nennt den Wälzungswinkel AOB des festen Kreises t, so wird in dem vorliegenden Falle wieder

Fig. 86.

AB - PB,

oder

PB — na . t — a .nt.

M/

NR Q V

Der Wälzungswinkel PALB des rollenden Kreises ist daher nt, so daß man erhält

<£ OMR — Tr — nt,

<£ I BM — tc — nt -f- t.

Bezeichnet man wieder die Koordinaten des Punktes AI mit x\,'y\ und setzt in diesem Falle

(68.)

n — 1 — m,

so wird

05 o

x — OQ — OV — PS = x\ — a cos (jt -y — Q P = VM — SM =yx — asin(^

mi)

mt)\

da aber

X\ — Oilfcosć = ma cos t

(69 a.) (70 a.)

y x = 0 if sin t — ma sini ist, so gehen die Gleichungen (69.) und (70.) über in x = a [m cos t -f- COS (m/)], y = a \m sin t — sin (mt) J.

Dies sind die Gleichungen der Hypozykloiden.

Ein besonderer Fall der Hypozykloiden ist die Astroide (vergl. Fig. 87), deren Gleichungen man aus den Gleichungen (69 a.) und (70 a.) erhält, indem man n = 4, also m = 3 setzt.

Fig. 87.

Dies gibt

(71.) x = a\§cost -j- cos(8£)],

• (72.) y = «[3 sin t — sin (3 /)].

F/

Da bekanntlich cos(3 G = 4cos³^— 3 cos G sin (3ź) = 3 sin t — 4 sin³?! ist, so gehen die Gleichungen (71.) und (72.) über in (71a.)    x — 4flCOS³G

(72 a.)    y = 4asin³<G

Einen anderen, besonders merkwürdigen Fall der Hypozykloiden erhält man für n = 2. Dann wird m = 1, und die Gleichungen (69a.) und (70 a.) gehen über in

(73.) x = a(cosć+ cos*) = 2acostf, y = « (sint — sin/) = 0, d. h. die Hypozykloide artet in den Durchmesser des festen Kreises aus, der mit der X-Achse zusammenfällt.

Aufgabe 11. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente für die Epizykloide

(74.) x — a\m cos t — cos {mt)\, y = a [m sin t — sin (mt)] berechnen. (Vergl. Fig. 84.)

Auflösung. Aus den Gleichungen (74.) erhält man durch Differentiation, wenn man m + 1 = n -j- 2 mit / bezeichnet,

GM!}"

| dy = wo \ cos t — cos (mt)\dt — ->ma sin    ,

dx = ma [— sin t -j- sin (mt)\ dt = 2 ma sin

(75.)

und daraus durch Division

(76.)

dg

= (£)-<*(£ + <)

oder, wenn man mit h eine noch passend zu wählende ganze Zahl bezeichnet,

(76 a.)

-j- t ± hu.

Daraus folgt, daß die Gerade PC, welche die X-Achse im Punkte T schneiden möge, Tangente der Kurve im Punkte P ist, denn Winkel XTC ist als Außenwinkel des Dreiecks TCO gleich Winkel

nt

TCO + COT = — + t,

Li

also gleich «. Da der Winkel CPB als Winkel im Halbkreise ein rechter ist, so muß PB die Normale im Punkte P sein. Dies gibt den Satz:

Die Tangente im Kurvenpunkte P schneidet den rollenden Kreis zum zweiten Male in einem Punkte C, loelcher mit dem Berührungspunkte B auf einem Durchmesser liegt; oder die Normale des Punktes P geht durch den Punkt B, in welchem der rollende Kreis den festen Kreis berührt.

dx , fit \

y ldy~ ^ Ct^ ( 2 / ’

(77.)    Sl-

l(N

cos²|

also, da für kleine Werte von t der Bogen s gleichzeitig wächst,

mit x und y

(78.)

ds

dx

COS

Sc

folglich wird (79.)

ds

COS

fco Sc

^ dy

sm

Aufgabe 12. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente für die PLypozykloide (80.) x = a\m cost -j- cos (ml)], y = a[msin t — sin (mt)~\ berechnen. (Vergl. Fig. 86.)

Auflösung. Aus den Gleichungen (80.) erhält man durch Differentiation, wenn man hier m — 1 = n — 2 mit l bezeichnet,

(81.) dx = ma\— snD— sin(mt)\dt — — 2wasin^~^C0S^^c/G (82.) dy = ma [cos t — COS (mt)]dt = '2 ma sin    sin Ç [^dt,

und daraus durch Division

(83.)

dy

= -tg(f)=-tg(f-*)’

oder, abgesehen von einem Vielfachen von n,

(83 a.) a =

Daraus folgt, daß die Gerade PC, welche die A-Achse im Punkte T schneiden möge, Tangente der Kurve im Punkte P ist, denn der Dreieckswinkel CTO ist gleich dem Außenwinkel

dem anderen Dreieckswinkel COT

nt

oder

*®l S.

TCB

^oder > weniger

(oder t), also

nt

— t — n — a.

CTO - -

Da der Winkel CPB als Winkel im Halbkreise ein rechter ist, so muß PB die Normale im Punkte P sein.

Man erhält daher hier denselben Satz wie bei der Epi-

zykloide

dy

— y tg

? St =

(84.) Sn=y-di

(D’-‘+(ä)'- ■+<)-

dx

yTy

= -yctg(f);

COS²

also

(85.)

ds

dx

cos

sin

wobei das Vorzeichen dadurch bestimmt ist. daß s für kleine Werte von t zunimmt, während x abnimmt, daß also dx und ds entgegengesetztes Zeichen haben. Dies gibt

( \    dv

(86.) N = y

ds

dx

cos

sin

Für die Astroide wird

n = 4, m = 3,

1=2,

also

x = a[3cos£+cos(3ć)] = 4acos⁸£, y = a[3sinć—sin(3ź)] = 4asin³ź,

dy

(87.)

di—**

Sn =—ytgtj St — —yctgt,

— = — 4«sin²£tgG T =    -    4«sin²^.

Aufgabe 13. Man soll die Gleichungen der Kreisevolvente herleiten. (Vergl. Fig. 88.)

Auflösung. Die Kreisevolvente entsteht durch Abwickelung eines Fadens von einem Kreise, wobei der Endpunkt des gespannten Fadens die Kurve durchläuft. Es sei B der Punkt, in welchem der Faden den Kreis verläßt, dann ist der Faden BP die Tangente des Kreises im Punkte B, und es wird die Gerade

N= —

COSĆ

BP = BA = at

wenn A der Endpunkt des aufgewickelten Fadens, a der Halbmesser des Kreises und t der Winkel AOB ist. Diesen Winkel N nennt man auch hier den „ WälzungswinkeP.

Fig. 88.

J?

Macht man den Mittelpunkt 0 des Kreises zum Anfangspunkt der Koordinaten, legt die A-Achse durch den Punkt A und zieht durch B die Gerade BC parallel zur Y- Achse und durch P die Gerade PD parallel zur X-Achse, so wird

OQ = x = OC + CQ = OC + BP,

QP=y = CD = CB — DB, oder, weil auch Winkel DBP gleich t ist,

(88.)

x = a (cos t -|- żsiiD), y — a(shD— £cosć).

Die Kreisevolvente entsteht, wie man unmittelbar aus Figur 88 erkennt, auch dadurch, daß eine Gerade BP auf einem Kreise abrollt, ohne zu gleiten. Jeder Punkt P der Geraden beschreibt dann eine Kreisevolvente. Diese Kurve kann deshalb auch als eine Epizykloide oder Hypozykloide betrachtet werden, bei welcher der Halbmesser des rollenden Kreises unendlich groß geworden ist.

Aufgabe 14. Man soll die Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente der Kreisevolvente berechnen. (Vergl. Fig. 88.)

Auflösung. Aus den Gleichungen der Kreisevolvente, nämlich aus den Gleichungen (88.), folgt

(89.)

dx = at cos t dt, dy = a t sin t dt

und daraus durch Division

(90.)

<J'J

dx

= tg« =t gl.

Dies gibt den Satz: Die Tangente TP im Kurvenpunkte P ist dem entsprechenden Kreishalbmesser OB parallel, und der den Kreis im Punkte B berührende Faden BP ist Normale der Kreisecolcente. Ferner wird

(91.)

(92.)

(93.)

(94.)

1 ds

cosH ’ hx cos t ’ ds    ds dx    1    cos t    1

dg    dx dg    CÖS t sin t

Sn = QN — gtgt, St — TQ = gctgt,

N = PN =

cost

snD

7' 7¹ p y

sin*

§ 89.

Konkavität, Konvexität, Wendepunkte.

(Yergl. die’ Formel- Tabelle Nr. 145 und 146.)

Erklärung. Legt man in einem Punkte P an eine Kurve die Tangente, so heißt die Kurve in diesem Punkte P nach oben konkav, wenn die dem Berührungspunkte P benachbarten Kurvenpunkte oberhalb der Tangente liegen. (Vergl. Fig. 89.)

Fig. 89.

Fig. 90.

PJ

P,

P,

Q,

q Q, Q QT~ X

Dagegen ist die Kurve im Punkte P nach oben konvex (vergl. Fig. 90), wenn die dem Berührungspunkte P benachbarten Punkte unterhalb der Tangente liegen.

Wenn endlich die Kurve mit wachsendem x im Punkte P von der Konkavität in die Konvexitität übergeht (vergl. Fig. 91),

oder wenn die Kurve mit wachsendem x im Punkte P aus der Konvexität in die Konkavität übergeht (vergl. Fig. 92), so heißt

Fig. 92.

■X

Fig. 91.

■X

der Punkt P ein „Wendepunkt“. Die Tangente in einem solchen Punkte heißt „ Wendetangente“. Bei einer Wendetangente muß daher die Kurve auf der einen Seite des Berührungspunktes oberhalb, auf der anderen Seite des Berührungspunktes unterhalb der Tangente liegen, wobei natürlich nur die benachbarten Teile der Kurve in Frage kommen^

Die Gleichung einer Kurve (Fig. 89) sei

(1)

y =f(x)>

und die Kurve sei in der Nähe des Punktes P nach oben konkav, dann ist nach der vorstehenden Erklärung T<iPi =■ Q2P2 — Q2 P% > 0

und auch

TtPx = Q\P\ — QiTx > 0,

wobei Pi und P₂ die dem Berührungspunkte P benachbarten Kurvenpunkte mit den Abszissen x — a und x -j- a sind, und wo die Schnittpunkte der Ordinaten QxPi und Q2P2 mit der Tangente Ti und 7\ heißen.

Nun ist nach Formel Nr. 89 der Tabelle

(2.) f(z + h)=f(x) +

/•(*)

l!

h -f-

/"(* + @h) „

21

also für h = -j- a

(3.) Q2P2 =/(« + a) =f(x) + -

n*)

1!

2!

und für h =

T±P± = QiPi —Qi =y •/"(* — ©ja).

(9.)

f\x)r. | f‘\x — exa)

1! ⁺

Ferner ist die Gleichung der Tangente im Kurvenpunkte P nach Formel Nr. 138 der Tabelle

(4.) QiPi = f{x — a) = f{x)

2!

a².

(»■)    y*-

y =    — *)’ oder y‘ =/(*) +/'(!!:) • 0' — ■rh

(6.)

Dies gibt für P =    -j- «

y‘ = Qi T, =f(x) — fix) . a

und für x‘ = x — a

(7.)

y‘ = Qi Tx =f{x) —fix). a.

Daraus folgt

(8.)

a²

P2P2 = Q2P2 — Q2 T2 = — ' f‘\x -f- Ga)

Damit die Kurve nach oben konkav ist, müssen für hinreichend kleine Werte von a die Strecken TK\ und TxPt positive Richtung haben. Das ist nur möglich, wenn fu{x + Ga) und f“ix — Gia) beide positiv sind.

Unter der Voraussetzung, daß fix) für die betrachteten Werte von x stetig ist, muß deshalb auch fu{x) positiv sein, und umgekehrt: ist/"(#) positiv, so werden auch /"(# + Ga) und f\x — ©i«) für hinreichend kleine Werte von a positiv sein.

Pie Kurve ist daher im Punkte P nach oben konkav, wenn

(10.)

d’Xy

dx²

=/"(*) > 0.

Die Gleichung einer Kurve (Fig. 90) sei wieder

V =/0)

die Kurve sei jetzt aber in der Nähe des Punktes P nach oben konvex, dann ist nach der vorstehenden Erklärung P-2, Ti = Qi Ti — Q1P2 > 0, oder 21P2 = Q^P-i — Q2 2 2    0 und auch

27

Kiepert, Differential - Rechnung.

wobei dieselben Bezeichnungen angewendet sind wie in Fig. 89. Daraus ergibt sich genau ebenso wie vorhin

~r(x~Gia).

ar

(11 )

+ @a),

Damit die Kurve nach oben konvex ist, müssen für hinreichend kleine Werte von a die Strecken 'L\P-i und T\PY negative Richtung haben. Das ist nur möglich, wenn f“{x + &a) und f“(x — a) beide negativ sind.

Unter der Voraussetzung, daß f“{x) für die betrachteten Werte von x stetig ist, muß deshalb auch f“{x) negativ sein, und umgekehrt: ist f“{x) negativ, so werden auch f“(x + &a) und f“(x — Qta) für hinreichend kleine Werte von a negativ sein.

Die. Kurve ist daher im Punkte P nach oben konvex, wenn

(12.)

d%V = dxl

In dem vorhergehenden sind die Fälle, wo f“{x) — 0 oder f“{x) — oo

wird, ausgeschlossen worden. Beide Fälle können im allgemeinen nur für einzelne Werte von x eintreten. Ist x ein solcher Wert, so hat man noch die Vorzeichen von f“{x — a) und f“(x -f- a) für hinreichend kleine Werte von a zu untersuchen und danach die folgenden 8 Fälle zu unterscheiden:

I- /"(*) = f“{x — a)> 0,    a) < 0.

In diesem Falle geht die Kurve im Punkte P (vergl. Fig. 91) von der Konkavität zur Konvexität über. Dasselbe gilt auch, wenn

II.    f“{x) = oo, f"(x — a) > 0, f“{x -f a)< 0 (vergl. Fig. 91).

Wird dagegen

III.    f“{x) = 0, f“(x—a) < 0, f“(x +«) > 0 (vergl. Fig. 92), oder

IV.    f“(x) = oo, f“(x —a) < 0, f“{x -f a) > 0 (vergl. Fig. 92), so geht die Kurve von der Konvexität zur Konkavität über.

In allen diesen Fällen ist der Punkt P ein Wendepunkt, weil sich die Kurve von der Konkavität zur Konvexität oder

von der Konvexität zur Konkavität wendet. Das Gesagte bleibt auch noch richtig, wenn die erste Ableitung f‘(x) in den Fällen II und IV für den betrachteten Wert von x unendlich groß wird, wenn also

f\x) = tg a == oo, oder « = 90°.

Die Wendetangente steht dann senkrecht auf der X-Achse. (Vergl. Fig. 93 und 94.)

Fig. 93.

Fig. 94.

\P,

Q, Q (h

—X

Qi Q Q2

■X

Fig. 95.

Ist aber

V.

f /"0) = G /" {x — a)> 0, j f \x -f a) > 0 (vergl. Fig. 95),

oder

f“(x) = 00, f“(x — a)>0, f‘\x + a) > 0,

so ist die Kurve unmittelbar vor dem Punkte P und ebenso unmittelbar nach dem Punkte P nach oben konkav; sie hat daher im Punkte P keinen Wendepunkt, und hat auch im Falle VI, wenn f\x) einen endlichen Wert hat, dieselbe Gestalt wie in Figur 95. Ist dagegen im Falle VI f‘{x) = tga = 00, also « = 90°, so steht die Tangente im Punkte P auf der X-Achse senkrecht, und die Kurve hat im Punkte P eine Spitze. (Vergl.

Fig. 96.)

VI.

öl

-x

Fig. 96.

P,

P*

VI!.

Ist endlich

f f“ 0) = 0 5 /"(* — «) < 0,

\ f“{x -f a) < 0 (vergl. Fig. 97),

Qi Q fe-

■x

oder

VIII. f“{x) = oo, f“{x— d) < 0, f“(x + a) < 0, so ist die Kurve unmittelbar vor dem Punkte P und ebenso

unmittelbar nach déni Punkte P nach oben konvex, so daß auch hier der Punkt P kein Wendepunkt ist. Die Kurve hat auch im Falle VIII, wenn fix) einen endlichen Wert hat, dieselbe Gestalt wie in Figur 97. Ist dagegen

f‘{x) = tgce = co, also a — 90°,

Fig. 97.

-x

Fig. 98.

NJP,

Qf Q Gz

-X

so steht die Tangente im Punkte P auf der -X - Achse senkrecht, und die Kurve hat im Punkte P eine Spitze. (Vergl. Fig. 98.)

Daraus ergibt sich jetzt die allgemeine Kegel für die Aufsuchung der etwaigen Wendepunkte einer Kurve

y =/(»•

Man ermittele die Werte von x, für welche f“(x) cjleich Null oder unendlich groß ivird. Ist x ein solcher Wert, so untersuche man das Vorzeichen vonf“(x— d) und von f“(x -}- a) für hinreichend Meine Werte von a. Man erhält dann einen Wendepunkt, wenn entweder

f“(x — a) > 0 und f“{x -f- a) < 0, oder wenn

f“{x — d) < 0 und fix -f- d) > 0; und zwar geht die Kurve bei wachsendem x im ersten Falle in diesem Wendepunkte von der Konkavität zur Konvexität mid im zweiten Falle von der Konvexität zur Konkavität über.

Haben dagegen f“(x — a) und f"(x-\-a) für hinreichend kleine Werte von a dasselbe Zeichen, so ist der Punkt kein Wendepunkt.

Bemerkung.

Es möge hierbei noch besonders hervorgehoben werden, daß sich die vorstehenden Betrachtungen nur auf Punkte der Kurve beziehen, welche im Endlichen liegen.

(1.)

§ 90.

Anwendungen auf einzelne Kurven.

Aufgabe 1. Man soll die etwaigen Wendepunkte der Kurve

y = b + (c — xf =f{x)

bestimmen. (Vergl. Fig. 99.)

Fig. 99.

71

Ol co

Auflösung. Aus Gleichung (1.) folgt ( )    f‘ix) = — 2>{c — x)\

( )    f‘\x) = + 6 (c — x).

Aus Gleichung (3.) erkennt man, daß es keinen endlichen Wert von x gibt, für den f“(x) = oo wird. Dagegen wird f"(x) = 0 für

(4.)

Q, Q q₂ x

X — c.

Der Punkt P, dessen Abszisse gleich c ist, kann also möglicherweise ein Wendepunkt sein. Um darüber zu entscheiden, beachte man, daß (5.) f“(c — a) = -j- 6a > 0, f“(c -f- a) = — 6a < 0 ist. Es findet also im Punkte P ein Übergang von der Konkavität zur Konvexität statt; folglich ist P ein Wendepunkt. (Vergl. Fig. 99.)

Aufgabe 2. Man soll die etwaigen Wendepunkte der Kurve

(6.)

y = b -F (z — c)⁴ =f{x)

bestimmen. (Vergl. Fig. 100.)

Fig. 100.

Auflösung. Aus Gleichung (6.)Jfolgt ( )    /' 0)= 4:{x — cf,

GO

( )    f“(x) = 12(s — cf.

Auch hier gibt es keinen endlichen Wert von x, für welchen f“{x) = oo wird. Dagegen wird f“{x) = 0 für

(9.)

Q,

X = c.

Für diesen Wert von x kann man möglicherweise einen Wendepunkt erhalten. Um darüber zu entscheiden, bilde man /"(c — a) = + 12a² > 0

(10.)

und

(10a.)

f“{c -f- a) = + 12a² > 0, folglich ist die Kurve auf beiden Seiten des betrachteten Punktes P nach oben konkav, so daß dieser Punkt kein Wendepunkt sein kann. (Vergl. Fig. 100.)

Aufgabe 3. Man soll die etwaigen Wendepunkte der Kurve

(11.)

y — m — b -j/ (x — c)² = fix)

bestimmen. (Vergl. Fig. 101.)

Auflösung. Aus Gleichung (11.) folgt

(12.)    f\x) =

2b

5- (x — c) ⁵

(13.)

6b

/"(*) = +26

_8

c) ⁵

6b

Fig. 101.

25 j/(x

Hieraus erkennt man, daß f“{x) für keinen endlichen Wert von x gleich Null wird, dagegen wird (14.)    f“(f) — ⁰⁰ für x — c.

Dieser Wert von x kann also möglicherweise einen Wendepunkt liefern. Um darüber zu entscheiden, „ bilde man

’A

°y

6b

und

(15a.)

25-j/a⁸

f“{c + d) =

> 0,

6b

25-^a⁸

wobei man b als positiv vorausgesetzt bat. Die Kurve ist also zu beiden Seiten des betrachteten Punktes P nach oben konkav; der Punkt P ist daher kein Wendepunkt der Kurve, sondern, wie man aus Figur 101 ersieht, eine Spitze.

(16.)

Aufgabe 4. Man soll die etwaigen Wendepunkte der Kurve y — m— b-y/ (x — c)³ = f(x)

bestimmen.

Auflösung. Ans Gleichung (16.) folgt

(17.)

(18.)

_7

25 ^ — cy

Auch hier wird f“{x) für keinen endlichen Wert von x gleich Null, dagegen wird

(19.)

f“{x) = oo für x = c.

Um zu entscheiden, ob dieser Wert von x wirklich einen Wendepunkt liefert, bilde man

/"(c — a) =

und

— 65 25 yV

f“{c + a) =

> 0.

+ 65 25y/ôï

Daraus erkennt man, daß im Punkte P mit den Koordinaten

(20.)

x = c, y — m

eine Wendung von der Konvexität zur Konkavität stattfindet, daß also der Punkt P ein Wendepunkt ist. (Vergl. Fig. 94.)

Aufgabe 5. Man soll die etwaigen Wendepunkte der Kurve

(21.)

bestimmen.

5²(5 — x) N

y =

Auflösung. Dimch Differentiation folgt aus Gleichung (21.)

(22.)

/'(*)

5² (,-r² — 25x — 5²)

(23.) fu{x) =

— 25²((r³ — 3bx¹ — 3b²x -|- 5³) (x¹ — 5²)³

Hier kann f"{x) für keinen endlichen, reellen Wert von x unendlich groß werden. Dagegen wird f“{x) gleich Null, wenn

(24.) x³ — 3bx} — 35²(r -|- 5³ = (x -f- 5) ([x² — 4bx -{— 5²) = 0

wird. Die Werte von x, für welche möglicherweise ein Wendepunkt eintritt, sind daher

Q2

Q₁ K 0

Da x² -f- £² für reelle Werte von x immer positiv ist, so braucht man nur zu untersuchen, ob

(27.)    (x² -f- b²ff‘\x) — — 2b²{x -j- b) (x² — 4bx -f- b²) = F{x)

für die angegebenen Werte von x das Vorzeichen wechselt. Zunächst ist für hinreichend kleine Werte von a ( F{— b — a) — -f- 2ab² (6b² + 6ab + a²) > 0,

I F{— b + a) = — 2ab²(6b² — 6ßö + a²) < 0 ;

deshalb ist der Punkt Px mit den Koordinaten xx, yx ein Wendepunkt, in welchem die Kurve von der Konkavität zur Konvexität übergeht.

Ferner ist für hinreichend kleine Werte von a j F(2b—bY3—a) = — 2ab²(3b — bY3 — a)(2by3 + a)<0, ^    ^ l F(2b — bY'à -[- a) = -\-2ab²{3b— bY 3 + ß) (2è]/â—a)>0,

folglich ist auch der Punkt P₂ mit den Koordinaten x₂, y-₂ ein Wendepunkt, in welchem die Kurve von der Konvexität zur Konkavität übergeht.

(30.)

(25.) xx =— £,    %2 = ^(2—]/ 3),

welche beziehungsweise den Werten

(26.) yi = + £, 2/2 = ^ (1 + ]/3) entsprechen.

On

I CO

cc

'-Ci I T+l

co

Fig. 102.

Endlich ist noch für hinreichend kleine Werte von a I F{2b + bY3—a) = + 2ab²(3b + 6]/ 3— ß) (2bY3 — a)>0, l F(2b -f- bY3 -f- ß) = —2ab²{3b + bY 3 -f- a) (23]/3 -f- ß)<0,

folglich ist der Punkt P₃ mit den Koordinaten x₃, y₃ gleichfalls ein Wendepunkt, in welchem die Kurve von der Konkavität zur Konvexität übergeht.

Es ist dabei noch zu beachten, daß die drei Wendepunkte Pi, P₂, P-i in einer geraden Linie liegen, weil

(31.)

*1 {y-i — y») + xï{y-i — yi) + «a(yi — yd = o

wird. (Vergl. Fig. 102.)

Aufgabe 6. Man soll untersuchen, in welchen Punkten die Parabel nach oben konkav, und in welchen Punkten sie nach oben konvex ist. (Vergl. Fig. 103.)

Fig. 103.

Auflösung. Die Gleichung der Parabel ist

(32.)

y² — 2 ax;

daraus folgt

(33.)

dy a d²y dx y ’ dx¹

Für positive Werte von y wird

ar

y6

dPy

(fe

■X

il egativ, und für negative Werte von y wird positiv. Die obere Hälfte der Kurve ist

daher nach oben konvex, und die untere Hälfte ist nach oben konkav. Einen Wendepunkt besitzt die Kurve nicht, da y niemals verschwinden kann.

dhy

dx²

dhy

dx²

für endliche Werte von

Aufgabe 7. Man soll untersuchen, in welchen Punkten die Ellipse und die Hyperbel nach oben konkav, und in welchen Punkten sie nach oben konvex sind. (Vergl. Fig. 104.)

(34.)

Auflösung. Die Gleichung der Ellipse ist b‘²x² -)- a-y² — a²5² = 0 ;

daraus folgt

(35.)

dy

dx

b'⁷x d²y a%y dx²

a²ys

Auch hier wird

d²y dx²

negativ für positive Werte von y und positiv für negative Werte von y. Die obere Hälfte der Kurve

Aufgabe 8. Man soll die Wendepunkte der Sinuslime bestimmen. (Vergl. Fig. 105.)

(38.)

Fiv. 104.

ist daher nach oben konvex und die untere Hälfte der Kurve ist nach oben konkav (Fig. 104). Einen Wendepunkt ^ besitzt die Kurve nicht, da

für endliche Werte von x

<Py

dx¹

und y niemals verschwinden

kann.

In ähnlicher Weise erhält man bei der Hyperbel die

Gleichungen

Wx¹ — «V — a²b² = 0, b²x d'²y a^y ’ dx²

und kann daraus dieselben Schlüsse ziehen wie bei der Ellipse.

(36.)

(37.)

dy

dx

a²y³

Auflösung. Die Sinuslinie hat die Gleichung y — sin#;

daraus folgt

(39.)

dy

dx

= cos#,

cPy^

dx¹

— sin#.

Fig. 105.

Die Kurve ist daher nach oben konvex, wenn 0 < x < n 2n < x < 3 Tr,... allgemein, wenn

2nn < # < (2n -j- l)7r

ist; und die Kurve ist nach oben konkav, wenn (2n -f- 1)tt < x < (2n -j- 2)tt

± 2 TT ,

ist, wobei n eine positive oder negative ganze Zahl bedeuten soll. Ein Wendepunkt tritt ein, wenn

x — 0

±3tv, ...

ist; die zugehörigen Werte von y sind sämtlich gleich 0, d. h.

die Wendepunkte liegen alle in der X-Achse.

§ 91.

Berührung (oder Oskulation) nUt Ordnung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 147.)-Erklärung. Unter der Voraussetzung, daß die Funktionen

/O), f\x), /"(*)> •••/(n+1,(a0>

g (x),    g‘{x),    g“(x),... g^+'jx)

endlich und stetig sind für den betrachteten Wert von x, haben zwei Kurven VW und RS (Fig. 106) mit den Gleichungen

(1.)

y =f(x) und y = ff(?)

in dem ihnen gemeinschaftlichen Punkte P eine Berührung foder Oskulation) nter Ordnung, wenn für den zugehörigen Wert von x nicht nur

(2.)

f{x) = g(x)

ist, sondern außerdem auch noch (3.) f(x) = g\x), f‘\x) = g“(x),... fW(x) = gW(x).

Mit welchem Rechte die Erklärung aufgestellt worden ist, ersieht man aus dem folgenden Satze :

Zwei Kurven

V —f{x) und y = g(x),

welche im Punkte P eine Berührung nter Ordnung haben, schmiegen sich in diesem Punkte enger aneinander an, als an jede andere Kurve, mit der sie im Punkte P keine Berührung von gleich hoher Ordnung haben.

R'

Fig. 106.

-s

Qi X

Beweis. Nach Formel Nr. 89 der Tabelle ist

(4.)

| Q\P\ =f(x + h) =f(x) +

f{*)k, /"(*)

1!

2 rÄS+

/w(^)

(» + 1) !

7^+1

gleichviel, ob h positiv oder negativ ist. Ebenso wird

(5.) QiP\ = g{x + A) = #(«) -f

, 9(n)(x)

9‘(x) h ^ 9“(x)

1!

2! A! + -

(» + 1)!

Aw+1,

folglich ist, weil nach Voraussetzung die Gleichungen (2.) und (3.) gelten,

(6.)

PiP't = ⁽AX + h) ~f(x + A

7iw+¹

0 + 1) !

[y(n+\x + ©iÄ) — ßn+'\x + Oh)}.

Da h eine beliebig kleine, positive oder negative Größe ist, so wird P\P\ eine beliebig kleine Größe von der (n -f- 1) Ordnung.

ten

Wenn man nun mit diesen beiden Kurven noch eine dritte

Kurve

V = 9>(s)

zusammenstellt, welche mit der Kurve

V =/0)

ten

Ordnung hat,

im Punkte P nur eine Berührung von der m wobei m < n vorausgesetzt wird, so ist für den betrachteten Wert von x

(7-)

/ 0) = <f(x), f\x) = <P\X), • • */⁽'%) = <f(m){x),

aber

f ('“+!) (^) ^ (f(nl+¹> (x) :

so daß für hinreichend kleine Werte von h auch

f(m+l)^x 0₂Ji) > (pi'n+VÇx + ©3h)

ist. Man findet dann in ähnlicher Weise wie vorhin

(8.)

ę(x + h) —f(x + h)

(9.)

Am+¹

(m +1) !

Diese Differenz wird nur beliebig Mein von der (m + l)ten Ordnung, weil der Ausdruck in der eckigen Klammer eine endliche (von Null verschiedene) Größe ist. Deshalb wird, vom Vorzeichen abgesehen,

(10.) PXP\ = g{x + h) —fix + h) < (f{x + h) —f{x + h), d. h. die Kurven y = fix) und y = g(x) schmiegen sich im Punkte P enger aneinander an als die Kurven y = fix) und

X ----- (f ix).

§ 92.

Anwendungen auf einzelne Kurven.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 148 bis 150.)

Aufgabe 1. Man soll durch den Punkt P einer Kurve mit der Gleichung

(!•)

v =Ax)

eine gerade Linie legen, welche mit der Kurve eine Berührung von möglichst hoher Ordnung hat.

Auflösung. Die Gleichung der geraden Linie sei

(2.)

y¹ — mx‘ -f- y,

wobei die laufenden Koordinaten mit x‘ und y‘ bezeichnet sind, weil die Koordinaten des Berührungspunktes x und y heißen sollen. Damit nun die Gerade durch den Punkt geht, muß

(3.)

y =/(*) = mx + y

sein. In diesem Falle ist also g{x) gleich mx f y, so daß die Gleichung f\x) = g‘{x) hier die Form hat

(4.)

du

dx

-p- — m.

Man hat hier nur über die beiden Größen m und y zu verfügen, und zwar sind diese Größen schon durch die Gleichungen (3.) und (4 ) vollständig bestimmt, denn es wird

Aus dem vorstehenden erkennt man auch, daß die Tangente mit der Kurve im allgemeinen nur eine Berührung erster Ordnung hat. Man kann aber sogleich die Bedingung angeben, unter welcher die Berührung eine Berührung von der zweiten Ordnung wird. Es ist hier nämlich g{x) — mx -j- g,    g‘(x) =

(7.)

9“0) - 0 >

folglich muß auch

(8.)

f"(x) = 0

sein, damit die Berührung höher als von der ersten Ordnung ist.

Diese Bedingung ist nur für einzelne Punkte der Kurve erfüllt, und zwar sind diese Punkte (nach Formel Nr. 146 der Tabelle) Wendepunkte, wenn f“{x) für den betrachteten Wert von x das Vorzeichen wechselt.

Aufgabe 2. Man soll die Gleichung eines Kreises bestimmen, der im Punkte P mit der Kurve

(9.)

dij

und g = 3/ — mx = y — so daß die Gleichung (2.) übergeht in

y‘—y

Dies ist aber die Gleichung der Tangente.

Die Tangente ist daher diejenige Gerade, welche sich im Punkte P der Kurve am engsten anschmiegt. Da außerdem jede Gerade in allen ihren Punkten dieselbe Richtung hat, so gibt die Tangente in dem betrachteten Punkte die Richtung der Kurve an.

(5.)

(6.)

dx

dx

v =/0)

eine Berührung von möglichst hoher Ordnung besitzt.

Auflösung. Ein Kreis mit dem Halbmesser q hat, wenn man die laufenden Koordinaten mit x‘, y‘ bezeichnet, bekanntlich die Gleichnng

(10.)

0' — §)² + {y‘

v)² — q² = 0,

wobei g nnd r\ die Koordinaten seines Mittelpunktes sind. Löst

y‘ = V ± Vq'² — (x — §)² = g{x).

man die Gleichung inbezug auf y‘ auf und setzt x‘= x, so erhält man

(10a.)

In der Gleichung des Kreises kommen also drei willkürliche Konstante §, y und q vor, über die man so verfügen kann, daß drei Bedingungen erfüllt sind. Deshalb ist es möglich, die drei Gleichungen

(11.) f(x) = g{x) = 1} ± y g² — (x — i f = y,

(12.)    f‘{x) = g‘{x) =

x — £

Vq²— (X — I)²

(13.)    f“(x)=g“{x) = -^

fe¹— (¹—§)¹]s

Q²    ¹)

(y — ny

durch passende Bestimmung von $, y und o zu befriedigen. Dabei sind x und y die Koordinaten des Berührungspunktes. Aus den Gleichungen (12.) und (10.) findet man

(14.)    « — £ = — (y — rj) f‘(x),

(15.)

q² = (x — £)² + (y — nY = (y — v)²[!    ,

so daß Gleichung (13.) übergeht in

f“(x) =

¹ +f‘(xY

Deshalb ist

(16.)

(17.)

(18.)

¹ +fJ(xY /"(¹) ’

x~ï = ~{y — y) f‘{x) =

₌ [1 +/'(^)²]³. f“{xY ’

f\x)

folglich wird

(i9.) f = ,-\i±iWfw, ,

1 + /'(¹)¹

/»

gesetztes Vorzeichen hat, damit q selbst positiv wird.

Da x und y die Koordinaten des Berührungspunktes sind, so mögen die laufenden Koordinaten des Kreises mit x‘ und y‘ bezeichnet werden, so daß er die Gleichung

(22.)

hat.

(20.)

/"(*)

Wenn man

„ ₌ %

^ dx

schreibt, so erhält man mit Rücksicht auf Formel Nr. 142 der Tabelle

statt f\x) und q

₌ d'²y

dx¹

statt f“{x)

x 0- + P²)P

/ds\2 \dx)P

(21.)

>? = y4

/ds \²

V(&/

(i + p²)⁴

\dx)

Hierbei wird man für o das obere oder das untere Vorzeichen wählen, je nachdem q mit

ds

dx

gleiches oder entgegen-

[x‘ — £)² + (y‘ — v)‘i — Ql = 0 Man nennt diesen Kreis den „ Oskulationskreis oder Krümmungskreis“ ; er hat, wie aus dem vorhergehenden folgt, im allgemeinen nur eine Berührung von der zweiten Ordnung mit der Kurve. In besonderen Punkten der Kurve kann aber auch eine Berührnng höherer Ordnung mit dem Krümmungskreise stattflnden. Die Bedingung dafür ist

Aufgabe 2.

(23.)

d*y

= 9“‘¥)

3q²(x — £)

(y — tf

dxA

In den Punkten der Kurve, für welche f*(x), oder f“(x) unendlich groß wird, bringe man die Gleichung derselben auf die Form

x = 9*(y)i

dann hat der Krümmungskreis im Punkte P mit der Kurve eine Berührung dritter Ordnung, wenn

d³x

(23 a.)

ist.

(/y³

(« — §)⁵

Sind æ und y Funktionen einer dritten Veränderlichen ż, also x = <p(t), y = V(t), so gehen, mit Rücksicht auf die Formeln Nr. 135 der Tabelle, die Gleichungen (21.) über in /ds \² dy \dt) dt

dx dhy_dy d²x    dxd²y — dyd²x

dt dt²    dt dt²

/ c/ä Y dx \dt) dt

(24.)

diPdy

(25.)

dx d²y dy d²x dt dt² dt dt²

ds²dx

dx dhy — d ²x

(dsA*

w*/

dxd²y — dyd²x

”    dx d²y dy d²x

dt dt² dt dt²

Aufgabe 3. Man soll eine Parabel bestimmen, deren Achse zur Y- Achse parallel ist, und welche mit der Kurve

a²y = x³

im Punkte P mit den Koordinaten x = a, y = a eine Berührung von möglichst hoher Ordnung hat.

Auflösung. Hier ist

(26.)

(27.)

x³    dy    3 x² d²y 6x d³y 6

'■    a² ’ dx a² ’ dx² a² ’ dx³ a²

Die Gleichung einer Parabel, deren Achse zur Y-Achse parallel ist, hat die Form

(28.)

Ax² + 2 By‘ + 2 Cx + ü = 0.

Kiepert, Differential -Rechnung.

28

Man kann hier also über die drei Größen

passend verfügen, so daß für x = a

df ₌ dg ₌ dy _

’ dx dx ’ dx¹ dx¹

(29.)

y‘ = y

dhj

wird. Dies gibt zunächst

(30.) Au¹ -j⁻ 2Ba -(- 2 Ca -)— D = 0,

(31.) A(x² — a²) + 2 B(y‘ — a) + 2C(x — a) — 0,

(32.) Ax -(- B + G = 0, oder Aa -f- 3B -f- C = 0,

,    , QB

---- 0, oder A Ą---

a

(33.) A + B

d²y‘

dx²

= 0.

Daraus folgt

(34.)

2(7= — yla

(35.)

6B = — Aa 3(x² — cd) — a(y‘ — a) — 3 a(x — a) — 0

3a;(rr — a) = a(y' — a).

oder (35 a.)

Nach Gleichung (6.) in § 91 war

PiP\ =

[g(n+V(x -j- OJi) — fW*)(x -j- ©Ä)J .

ä"*1 [n -f 1)!

Ist also n gerade, so wechselt 1\P\ mit h sein Zeichen, und ist n ungerade, so bleibt das Zeichen von 1\P\ unverändert, wenn auch h sein Zeichen wechselt; d. h. die beiden Kurven durchsetzen einander, wenn die Ordnung der Berührung gerade ist, und von den beiden Kurven verläuft die eine in unmittelbarer Nähe des Berührungspunktes ganz an derselben Seite der anderen, xoenn die Ordnung der Berührung ungerade ist.

Ein Beispiel hierfür liefert bereits die Tangente einer Kurve. Im allgemeinen ist die Berührung nur von der ersten Ordnung, dann liegen alle dem Berührungspunkt benachbarten Kurvenpunkte auf derselben Seite der Tangente. Ist aber die Berührung von der zweiten Ordnung, so ist der Berührungspunkt ein Wendepunkt der Kurve, und die Tangente ist eine Wende-

tangente, welche die Kurve im Berührungspunkte durchsetzt. (Vergl. Fig. 91 und 92 auf Seite 416.)

Ein zweites Beispiel liefert der Oskulationskreis oder Krümmungskreis, der sich einer Kurve im Punkte P möglichst eng anschmiegt.

Im allgemeinen wird die Berührung (nach Aufgabe 2) / von der zweiten Ordnung sein. / y Dann wird, wie Figur 107 ( im Punkte P zeigt, der Kreis die Kurve durchsetzen. Nur ausnahmsweise ist die Berührung von der dritten Ordnung. So ist z. B. in den Scheiteln der Ellipse, wie später gezeigt werden soll, die Berührung zwischen Krümmungskreis und Kurve von der dritten Ordnung; deshalb verläuft in unmittelbarer Nähe des Berührungspunktes der Kreis an derselben Seite der Kurve.

Fig 107.

M,

-M

-M₂

(10

§ 83.

Der Kontingenzwinkel.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 151.)

Es seien P, Pi, 1\ drei benachbarte Punkte der Kurve

V =/(4>

die zu den Koordinaten x = x,

X\ = X -f- dx,

X2 = X -f- 2dx gehören; dann ist (Fig. 108)

V =f(x), yi =f(x + 4x), y'i = fix + 2dx)

(2.)

RPi

tgß = t gRPPt = pR Ebenso findet man

f(x -f dx) —f(x)

dx

(3.) tgßi = tgSPiP = folglich ist

SP2    fix -j- 2 dx) —f(x + dx)

PtS

dx

(4.) tgfii — tgß

sin(/?i — ß) _f(p+2Jx)-2f{x+Jx) +/Q) '

COS/^1 COS,#

Jx

Fig. 108.

Dies gibt, wenn man ßt — ß mit /tß bezeichnet,

sin (Jß)

Jx COSßiCOSß f(x-\-2Jx)—2f{x-\-Jx)Ą-f{x)

(5.)

Jx²

T, Q

lim

xJx=0

sin {Jß)

Qt Qü sin (Da)

= lim

4x=0

lim (cos /^i) = lim (cos ß) = cos a

Jx=0

xJx=0

Jx

Jx

Läßt man jetzt Jx verschwindend klein werden, so geht ß in den Winkel « über, den die Tangente im Punkte P mit der positiven Richtung der ■x X - Achse bildet, und es wird

sin (Da) Ja du.

Jx dx

= lim

jx=o’ Da

und nach Formel Nr. 82 a der Tabelle

f(x -f- 2 Jx) — 2 f{x + Jx) 4-f{x)

lim

4x=0

folglich geht Gleichung (5.) über in

Jx²

(6.)

du

-ö— * -w- = f“{x) = cos²« dx

ä%y

dx²

Auf diese Gleichung wird man auch geführt, wenn man die Gleichung

(7.)

tg“ =f\x) = nach x differentiiert. Dabei ist

dij

dx

(8.)

C0S²a

- 1 + tg% =- 1 +(|;) - (£)’

weshalb man die Gleichung (6.) auf die Form

(9.)

/c/sV² da d'hg \dx) dx dx~

oder

da

dx

d'y

dx¹

/±Ÿ

\dxj

bringen kann. Der unendlich kleine Winkel da, den die beiden unendlich nahen Tangenten miteinander bilden, ist der unendlich kleine Zuwachs des Winkels a und wird der „Kontingenz-winhel“ genannt. Er gibt ein Maß für die Krümmung der Kurve im Punkte P, denn die Kurve ist um so stärker gekrümmt, je größer dieser Kontingenzwinkel da im Vergleich zu dem unendlich kleinen Bogen ds ist. Man nennt deshalb

dhj

(10.)

da da dx ds dx ds

dx²

die „Krümmung der Kurve“ im Punkte P. Dies gibt nach Formel Nr. 149 der Tabelle

(11.)

da 1

ds

d. h. die Krümmung der Kurve ist hier in derselben Weise erklärt wie in § 92. Man kann Gleichung (11.) auch unmittelbar aus Figur 108 finden. Die Lote, welche man in der Mitte der Seiten PPX und PiP₂ errichtet, schneiden sich nämlich in dem Mittelpunkte M des Kreises, der durch die Punkte P, Px, P2 hindurchgeht. Dabei ist

cos// =

■dx

ppt

COSßi =

dx

PxP-2

also, wenn dx verschwindend klein wird,

COS,#i

cos//

lim

= lim

PPI

PlPl

COS(« -j- da) _ COSW

oder

limPPi = lim Px P₂

und

A MKP\ m MKJ\,

<$ KMPX = <£ K\ MP\ = \da,

oder

da 1 ds q ’

d. h. q ist der Halbmesser des Kreises, der durch die Punkte P, P1} P₂ hindurchgeht.

§ 94.

Krümmung der Kurven.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 148 und 149.)

Der Kreis hat in allen seinen Punkten dieselbe Krümmung, und zwar ist die Krümmung um so größer, je kleiner der Halbmesser q des Kreises ist. Man setzt daher die Krümmung eines Kreises gleich dem reziproken Werte des Halbmessers,

also gleich — •

Q

Bei anderen Kurven ist die Krümmung in verschiedenen Punkten eine verschiedene. Um sie zu messen, wird man die Kurve mit demjenigen Kreise vergleichen, welcher sich in dem betrachteten Punkte unter allen Kreisen am nächsten an die Kurve anschmiegt.

Es gibt nämlich für jeden Punkt P einer beliebigen Kurve unendlich viele Kreise, welche die Kurve im Punkte P berühren. Unter diesen Kreisen gibt es jedoch, wie in § 92 gezeigt wurde, ehren, der sich an die Kurve näher anschmiegt als alle anderen. Dieser Kreis, der den Halbmesser q haben möge, heißt der

„Krümmungskreis“ ; man nennt dann Kurve in dem betrachteten Punkte“.

Der Wert von q und ebenso die Werte der Koordinaten § und rj des Krümmungsmittelpunktes wurden bereits in § 92 berechnet. (Vergl. die Formeln Nr. 148 und 149 der Tabelle.)

Der Krümmungskreis kann aber auch in folgender Weise erklärt werden. Die Gleichung des Kreises

sin

/da\ _ KP

V 2 / _ T

ds

„die Krümmung der

(1.)

(x — ly -y [y — y)² — q² = 0 enthält drei willkürliche Konstante l, y, y , welche man so bestimmen kann, daß der Kreis durch drei gegebene Punkte P, Pi, P₂ hindurchgeht. Dies gibt die drei Bedingungsgleichungen x² — 2lx l² y² — 2 rjy y² — q² = 0,

Xi² — 2'lxi -f l² + yy² — 2rjy₁ + y² — q² = 0, x₂² — 2lx₂ + l² + t/₂² — 2yy₂ + y² — o² = 0.

Indem man die Gleichungen (1 a.) und (2.) bezw. von den Gleichungen (2.) und (3.) subtrahiert, findet man hieraus (I.) xy — x² — 2l(xt — x)-\- y y — y² — 2y(yx — y) = 0,

(5.) x₂ ² — xy — 21 (x₂ — xy) + ył — yy — 2 y(y₂ — t/i) = 0, oder, wenn man Gleichung (4.) durch xy — x und Gleichung (5.) durch x₂— xx dividiert,

Xy + x — 21 + (t/1 + y — 2f])

(la.)

03 LO

(6.)

yi — u

Xy -X

(7.)

x₂ + xy — 21 + (t/2 + yi — 2 y) ^=

Aus diesen Gleichungen folgt durch Subtraktion

(yi + y —    —-f+ (y2-f-yi—2?)|^- y--

-Jb    Jb2

0.

(8.) x₂ — x oder, wenn man

(y₂ + yi — 2y)    —    + yi — ²?)

Diese Gleichungen gelten, wo auch die Punkte P, Py, P2 liegen mögen. Nimmt man sie auf der Kurve an und setzt, der Figur 108 entsprechend,

addiert,

(8a.) x₂—x+(ty₂—y) ~

JU\

(9.)

yi — V

-Xy

^i=D=o.

—xj

Xy — X + dx, X₂ — X -j- 2dx,

so gelten die Gleichungen

(10.) y =f(x), t/i =/(« +    t/2 —/(« + 2^)

und die Gleichungen (6.) und (8a-Ggehen über in

(6a.) 2x + Jx — 21 + (yy + y — 2r,)^X +-^—— - 0,

(8 b.) 2Jx + [fix + 2Jx) —f{x)]

fjx -f- Jx) —fjx)

Jx

+ iVz + y\ — 2 rj)

fix+ 2 Jx)—2fjxfJx) f fjx) ₌

Jx

(8c.) 14

oder, wenn man die letzte Gleichung durch 2 Jx dividiert, in fix -j- 2 Jx) —fix) fix + Jx) —f{x)

Jx

2 Jx

, . .    _ . /(^-]-2^) — 2f{xJrJx)-\-f{x)

+ ł fa + yi-2Vy-^-    ⁼ 0 •

Nun ist aber für lim Jx = 0

lim y ₂ = limyi = y;

sodann ist nach Formel Nr. 16 der Tabelle

lim

f(x + Jx) —f(x) dy

~ dx ~J (x>:

Jx

lim

dx=f,{x)'

und ebenso, wenn man Jx mit 2 Jx vertauscht, f(x + 2 Jx) —fjx) dy 2 Jx

endlich ist nach Formel Nr. 82 a der Tabelle

lim

fjx + 2 Jx) — 2fjxf Jx) ffjx) _ cPy

Jx¹

dx²

=/"(*)•

Deshalb erhält man aus den Gleichungen (6 a.) und (8 c.), wenn die Punkte P, Pi und P₂ einander unendlich nahe rücken, so daß sich Jx dem Grenzwerte 0 nähert,

(¹¹ )    (x—'§) + (y — ri)f‘(x) = 0,

(i )    1 +/'(P)² + iy — y)fl‘{x) = o.

Aus diesen Gleichungen findet man wieder in Übereinstimmung mit den Gleichungen (16.), (17.) und (18.) in § 92

1 +/'Qg)²    ,[1_±/WS

/"(*) ’ ÿ r<?)

(13.) y — y =

(14.)

[i +/'(p)²]

to;w

f“ix)

Der Krümmung skr eis (wie schon aus der Untersuchung in § 93 folgt) kann also auch erklärt werden als der Kreis, welcher durch drei unendlich nahe Punkte der Kurve hindurchgeht.

Dieser Satz ist nur ein besonderer Fall des allgemeinen Satzes, daß zwei Kurven » +1 unendlich nahe Punkte gemeinschaftlich haben, wenn sie eine Berührung nteT Ordnung besitzen.

§ 95.

Anwendungen auf einzelne Kurven.

(10

Aufgabe 1. Man soll den Krümmungskreis für die Parabel y² = 2 ax

bestimmen²).

Auflösung. Aus Gleichung (1.) folgt

(2.)

dy    a _d^y

^ dx    y ² ^ dx²

(3.)

a dy if- dx a² -)- y¹

y'²

Setzt man diese Werte in die Formeln Nr. 148 und 149 der Tabelle ein, so findet man

yl

. «/_A ₌

3/ V W

a- + y¹

oder

(4.)    ? = ² +

a² + 2ax

— a —I⁻ 3x

oder

(5.)

(6.)

ri = y +

a² + yV    y³\ ₌

y² V    a²/    y

(a² + y²)y

d¹

a²ÿ — a²y — jy³    y³

ł = ä² - ⁼

(a? + ff

a²

TJ — 0.

Für den Scheitel der Parabel werden x und y gleich 0, folglich ist in diesem Punkte

q = a, g = a

(7.)

In dem Scheitel hat auch der Krümmungskreis mit der Parabel eine Berührung von der dritten Ordnung. Da aber die Ausdrücke

3a³

a² d³y y³ ’ dx³

für x = 0, y = 0 unendlich groß werden, so wird es zum Beweise zweckmäßig sein, die Gleichung der Kurve auf die Form

x = t-

(8.)

dy a

dx y

to

yb

(9.)

’2a

zu bringen und zu zeigen, daß

(10.)

d³x

(x — §)⁵

dy³

wird. (Vergl. Formel Nr. 150 der Tabelle.) In der Tat, es wird

(11.)

& I⁵«

» | !—

d³x

dy³

und es wird

3g² (y — v) _

3cd (0 — 0)

(*-§)⁵

— a⁵

- 0;

Gleichung (10.) wird also befriedigt, woraus folgt, daß im Scheitel der Parabel eine Berührung dritter Ordnung mit dem zugehörigen Krümmungskreise stattfindet.

(12.)

Aufgabe 2. Man soll den Krümmungskreis für die Ellipse b²x² -)- ddy¹ —— a²b~ — 0

bestimmen.

(13.)

Auflösung. Aus Gleichung (12.) findet man

b²X

a²y ’ ^    dx²

Idx¹ -|- a*y²

dy

dx

cdy³

Y₌

\dx)

Setzt man diese Werte in die Formeln 148 und 149 der Tabelle ein, so erhält man

b⁴x² -1- a⁴y² /    b²x \ /    a²y% \

X    V    ö*y)\    1Ä)⁼

x(h⁴x² -f- ab/²)

a⁴b²

Mit Rücksicht auf Gleichung (12.) ist aber

(15.)

b⁴x² -)- a⁴y² = 5²(a⁴ — e²x²) — a²(b⁴ -(- e²«/²),

folglich wird (16.) § = x-

x(a⁴ — e²#²)    e²#³

_ _ a⁴ ’

a⁴

è⁴#² 4- a⁴u² / a²yz\

rA-[rJ-) = y

y(b⁴x² + ab/²)

a²b⁴

oder nach Gleichung (15.)

y(6⁴ + eV)

(17.) ^ = y —

e²y³

1^'

tc|cc

=F

(18.) <? = ±

(b⁴x² + «y)

cfiy*

(ô⁴æ² -f- a⁴y²)²

a⁴b⁴

Ferner ist

(19.)

d³y

dxA

=/“'(*) =

3 b⁶x    d^x

3a⁶y

a⁴yb

dy³

b⁴x⁵

folglich wird für x = 0, y = ± b

e²

5 = o, ⁴/ = =Fy’ e= >

= 0    3o²(a; — g) _

<£r³    ’    («/ — //)⁵

(20.)

(21.)

es wird also

3?²(^ — 5)

(y — r/)⁵

woraus nach Formel Nr. 150 der Tabelle folgt, daß in diesen beiden Scheiteln eine Berührung dritter Ordnung mit dem Krümmungskreise stattfindet.

In ähnlicher Weise findet man für x — ± a, y = 0

e²

(23.)

c/³#

es wird also

dyd

3 q\v — y) n

(x — I)⁵    ’

3 Q\y — y)

{x-ïf ’

woraus wieder nach Formel Nr. 150 der Tabelle folgt, daß auch in den beiden anderen Scheiteln der Ellipse eine Berührung dritter Ordnung mit dem Krümmungskreise stattfindet.

Diesen Umstand kann man benutzen, um eine Ellipse ziemlich genau zu zeichnen. Man konstruiert die Krümmungskreise in den 4 Scheiteln der Ellipse und verbindet die Kreisbögen, so weit sie sich der Ellipse eng anschmiegen, durch das Kurvenlineal miteinander. (Vergl. Fig. 107.)

(24.)

d³x

<!</

(25.)

Aufgabe 3. Man soll den Krümmungskreis für die Hyperbel

b²x² — a²y² — arb² = 0

bestimmen.

Auflösung. Die Rechnungen gestalten sich hier genau ebenso wie in der vorhergehenden Aufgabe, man hat nur + b² mit — b² zu vertauschen. Dadurch erhält man wieder

pł/y 3

(26.) S = -t .

_(b⁴x² -f- a⁴(/²) ^

e²y³

genau so wie bei der Ellipse, hier ist aber e² gleich a² + b², während bei der Ellipse e² gleich a²— b² war.

Aufgabe 4. Man soll den Krümmurigskreis für die Ketten

linie

(27.)

toi a

bestimmen.

Auflösung. Aus Gleichung (27.) folgt mit Rücksicht auf die Formeln, welche in § 88, Aufgabe 7 entwickelt worden sind,

p=È=Bin(:ci)=^îzriî-

(28.)

(30.)

ds

dx

= So¹

Setzt man diese Werte in die Formeln Nr. 148 und 149 der Tabelle ein, so erhält man

y¹ V y² — 0,2 0,2    y Y y²

(31.) ï

— a²

a²

(32.)

(33.) ' q = ±

y³ a²

^-a³ y ~

Es war aber auch die Normale

(34.)

^ dx a

(vergl. Gleichung (48.) auf Seite 404), folglich ist der Krümmungshalbmesser bei der Kettenlinie der zugehörigen Normale gleich; er hat aber die entgegengesetzte Richtung, wie man schon aus Gleichung (32.) erkennt.

(35.)

Aufgabe 5. Man soll den Krümmungskreis für die Zykloide x = a(t — sin t), y = a( 1 — cos t)

bestimmen.

Auflösung. Aus den Gleichungen (35.) folgt durch Differen

tiation

dy = asmtdt, d²y — acos^î . dt²,

(36.) dx = a( 1 — cos t)dt,

(37.) d²x — asin£. dt²,

(38.) ds² = dx² -f- dy² = 2a² (1 — cos t)dt² = 4a² sin²^ Jdt², (38 a.)    ds = 2a sin dt,

toi

(39.) dxd²y — dyd²x — —a²(l — COSt)dt³ — — 2a²sin²^ ^dt³. Dies gibt nach Formel Nr. 148 und 149 der Tabelle 4a² sin² • ashD

= a(t — sinż) + 2asuD,

— 2 a² sin²

(40.)

£ = a(t + sin ; 4a² sin² • a( 1 — cos t)

— 2a² sin²

to ot.

= a( 1 — cos t) — 2a(l — cos t},

oder

(41.)

rj — — a( 1 — COS t) = — y 8 a³ sin³

(42.)

to ot.

— 2a² sin²

IO

= H- 4 a sin

(48.)

Nun war aber (nach Gleichung (61.) in § 88) die Normale

ds    .

= 2 a sm

y dx

folglich ist der Krümmungshalbmesser doppelt so groß wie die Normale.

Noch etwas schneller kommt man auf folgende Weise zum Ziele. Aus den Gleichungen (36.) findet man

sin£

dy

P dx 1

- ctg(£)

cos t

d^y dp dt y dx² dt dx

(*y_i+J,._i₊₀tg^.)

2 sin²

(1) ²asK£)

4a sin⁴

sin²

tO] «.

cos

(l)-⁴°sin‘G)

sin,(!)sin(!)

= a(t -j- sin t),

4a sin⁴!

sin²

— a(l — cos;?) = — y,

— 4asin⁴i

to

sin³

LOI cs.

=-T4«sin(!).

Fig. 109.

Diese Resultate werden durch Figur 109 bestätigt.

Ist nämlich M der Mittelpunkt des Krümmungskreises für den Punkt P, so wird

PM = 2 PB

oder

PB = BM.

Daraus folgt

A BEM & A BQP,

und deshalb

v - KM = — MK = — QP = — y BK — QB = PD = «sin G

also

§ = OQ + 2QP = a(t—sin /) -f- 2asnD = a{t + sinż).

In ihrem höchsten Punkte hat die Zykloide mit dem zugehörigen Krümmungskreise eine Berührung von der dritten Ordnung, und der Halbmesser dieses Kreises ist gleich 4a.

(44.)

Aufgabe 6. Man soll den Krümmungskreis der Astroide

y = asnfO

x — «cos³#

bestimmen.

Auflösung. Aus den Gleichungen (44.) folgt durch Differen

tiation

(45.) dx =

3«cos²^shD . dt, dy = 3asin²i!cos^. dt,

(46.)

du

p=dx ⁼

tgG

ds

(48 a.)

dx

cos t

1 / sint\

-srl--- ]Sa cos⁴/ sin t = a cos³/ 4- 3« cos / sin²/,

)S²/ \ cos t)    ?

Dies gibt nach den Formeln Nr. 148 und 149 der Tabelle (49.) § = x

• 3«cos⁴/sin/ = 3acos²/sin/ + «sin³/

(47.)

1 dt cosH dx    3a cosH sin t

(48.)

d²y

q = W‘

(|)S=1+^ = 1 + tg!!: = coS

^ ’ = ,J + cok

(51.) Q = dz

COS H

^ • 3acos⁴/sin/ = -+- 3«sin/cos/.

(52.)

Aufgabe 7. Man soll den Krümmungskreis für die Kurve 3/², y = 3t— t³

bestimmen.

Auflösung. Aus den Gleichungen (52.) folgt durch Differen

tiation

dy = 3(1 — t²)df, d²x — 6 df, d²y = — 6 tdt¹,

(55.) ds² = dx¹ + dif = 9(1 + 2/² + t^dt² = 9(1 + /²)W, ds = 3(1 + t-)dt,

dxd'²y — dy d²x — — 18(1 — t²)dt³.

Setzt man diese Werte in die Formeln Nr. 148 und 149 der Tabelle ein, so erhält man

*—!fctfr¥îr!="ü«->;

S = |(1 +2—

(53.)

(54.)

(55 a.)

(56.)

oder

(57.)

dx = 6 tdt

9(1 + Z²)² . 6/

18(1 + /²)

= St — t³ — 3/(1 -F /²)

-t] = — 4

(58.)

(59.)

27(1 + Cf

— 18(1 + P)

| (! + <*)’•

Aufgabe 8. Man soll den Krümmungskreis der Epizykloide (60.) x = a[mcosć — cos(mć)], y = a[msmt—sin(mTî)] bestimmen.

Auflösung. Ans den Gleichungen (60.) folgt durch Differentiation, wenn man wieder m — 1 = n, m -f 1 = / setzt,

(61.) dx = ma[— sin t + sin(m/)]<& = 2 ma sin

(62.) dy = ma[-f cosć— cos(mt)]dt = 2ma&mÇ^sm(^jdt, (63.) p =

dy

dx

- tg|

ds

dx

COS!

toi St

(64.) q =

d^y dp dt dx² dt dx

COS^i

2 ma sin cos ^

4 ma sin ^^cos³^ ^

Setzt man diese Werte in die Formeln Nr. 148 und 149 der Tabelle ein, so erhält man

4ma . /lt\ . /nf\

¹

über die Bildung dieser Ableitungen vergleiche man § 80,

²

In dieser Aufgabe ist der Parameter der Parabel nicht wie gewöhnlich mit p, sondern mit a bezeichnet, weil p hier und in den

dy

folgenden Aufgaben gleich t— sein soll.

T“(iMï)

— «[mCOSïî — COS(mż)] -f-

2 ma

[cos(mć) — cos i],

oder, wenn man

(65.)

2a na 2ma

a--—

— a — ai

setzt

29

Kiepert, Differential - Rechnung.

(66.)

§ = a-i [m cos t -f- cos(m^)], 4 ma

sin

(IV©

= a[m sin t — sin(m()] -f

2ma

[sin(m^) — sin/J,

oder

(67.)

i\ = ax \m sin t -j- sin(mt)].

Endlich wird

(68.)

4 ma

. /nt\

sm(y)'

(69.)

Q = -4-

Aus Figur 84 auf Seite 408 erkennt man, daß PB =

wird, folglich ist

2asm(|)

2n + 2 n -f 2

Daraus ergibt sich eine sein¹ einfache Konstruktion des Kriimmungsmittelpunktes.

Aufgabe 9. Man soll den Krümmungskreis der Hypozykloide (71.) x = a[mcos£ + cos(m()], y = «[msiiD— sin(mć)] bestimmen.

Auflösung. Wenn man hier m-\-1 mit n und m— 1 mit / bezeichnet, so wird in ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe

(70.)

• PB.

(72.)

dx

= — 2 ma sin cos dt

(73.)

(74.)

dy ==• -f- 2 ma sin sin dt

/lt\ ds dx    ^ V 2 / dx

dy

COS

(75.)

d'²y

dx²

4 ma sin c°s³

dies gibt, wenn man

na

mit bezeichnet

00    -3    05

£ = «i[mcos£— cos(m£)] r\ = ax \m sin t -j- sin(mź)], 4 m«

Q = =F

-j- • PB. (Vgl. Fig. 86.)

Aufgabe 10. Man soll den Krümmungskreis der Kreis

evolvente

(79.)

x — «(cos£ + źsinż), y = a(smt— £cos£)

bestimmen.

Auflösung. Durch Differentiation der Gleichungen (79.) er

hält man

(80.) dx = atzost .dt, dy = atfsintf . dt,

Setzt man diese Werte in die Formeln Nr. 148 und 149 der Tabelle ein, so wird

(83.)    '% = x — ażsinż = «(cosć + żsinź) — atsmt = acost,

(84.) y = y atcost = a(smt— ^cos^) -f- aćcosć == «sinG q = ±at.

Daraus ergibt sich, daß der Punkt B, in welchem der abgewickelte Faden den Kreis verläßt (Fig. 88), der Krümmungsmittelpunkt ist.

(81.)

(82.)

(85.)

COSĆ

COS²; a/COS« at COS²/

§ 96.

Die Krümmungsmittelpunkts-Kurven oder Evoluten.

Wenn man sich die Krümmungskreise zu sämtlichen Punkten P, P\, Pi,... einer Kurve konstruiert denkt, so wird durch die zugehörigen Krümmungs-Mittelpunkte M, M\,    eine neue

Kurve bestimmt, welche man die „Krümmungsmittelpunkts-Kurve oder Evolute“ der gegebenen Kurve nennt. Durchläuft also ein Punkt die ursprüngliche Kurve, so durchläuft sein Krümmungsmittelpunkt die Krümmungsmittelpunkts-Kurve. Um die Gleichung

derselben zu finden, braucht man nur aus den drei Gleichungen

(1.)

y=f(x) oder y)= °>

(2.)

9.

f»

(3-)

1 + p²

v = y + —-—

1 +fJ(x)²

/»

die Größen x und y zu eliminieren, dann erhält man die gesuchte Gleichung zwischen £ und y.

Sind

x = <p(£) und ?/ = */;(£)

als Funktionen einer dritten Veränderlichen t gegeben, so werden auch

(4.)

dPdy

dxcPy — dy(Px dPdx

dxddy — dyd'lx

WW + ip'mwy)

Funktionen von t, so daß die Krümmungsmittelpunkts-Kurve schon durch diese beiden Gleichungen in zweckmäßiger Form gegeben ist, da man zu jedem Werte von t die zugehörigen Werte von £ und y findet.

Um die Beziehungen leichter zu erkennen, welche zwischen der ursprünglichen Kurve und der Krümmungs-mittelpunkts-Kurve bestehen, ersetze man die Kurve zunächst durch ein Polygon PPiP₂P₃ ... mit lauter gleichen, beliebig kleinen Seiten (vergl. Figur 110), dessen Ecken P, Pi, P₂... auf der Kurve liegen. Dann kann man die Mittelpunkte M, M1} J/₂,... der Kreise finden, die durch je drei aufeinander folgende Punkte P gehen, indem man die Seiten des

F’ig. 110.

P,

p4

Po

M,

-5

Ml

Mo

Polygons halbiert und in den Mittelpunkten R, Rx, R₂, ■.. Lote UM, RXMX, R₂M,auf den Seiten des Polygons errichtet. Dabei möge vorausgesetzt werden, daß für das betrachtete Kurvenstück vom Punkte P ab die Krümmungshalbmesser immer größer werden.

Kücken die Punkte P, T\, P₂, ... einander immer näher, so geht das Polygon PPXP₂... in die ursprüngliche Kurve und das Polygon MMXM₂... in die Krümmungsmittelpunkts - Kurve über. Dabei werden die Geraden PPX, PxP₂, P₂P$,... Tangenten der ursprünglichen Kurve, weil sie zwei unendlich nahe Kurvenpunkte miteinander verbinden, und die darauf senkrecht stehenden Geraden RM, RXMX, R₂M₂,... werden Normalen der ursprünglichen Kurve. Die Gerade RXMX geht aber auch durch M, die Gerade R₂M₂ geht auch durch Mx, usvv. Da nun auch die Punkte M, Mx, M₂,... einander unendlich nahe rücken, so sind die Geraden RM, RXMX, R₂M₂,... gleichzeitig Tangenten der Krümmungsmittelpunkts-Kurve, und man erhält

Satz 1. Die Normalen der ursprünglichen Kurce sind Tangenten der Kr ümmungsmittelpunkts- Kurve.

Dabei folgt aus der Kongruenz der Dreiecke RMPX und RXMPX, daß

RM = RXM

ist. Ebenso wird

RXMX = R₂MX , R₂ M₂ = RaM₂ , R3M3 — RX3R, Daraus ergeben sich die folgenden Gleichungen RXMX — RM = RXMX — RXM = MMX,

R₂M₂ — RXMX = R₂M₂ — R₂Mx = MXM₂,

(5.)

R3M3 — R₂M₂ = R3M3 — Ra M₂ = M₂M% ,

_ RaMa — Ra—1 Ma—X — RaMa    RaMu—i — Ma—1 Mu.

Aus diesen Gleichungen folgt durch Addition (6.) RaMa — RM = MMX + MXM₂ + M₂MZ H-----h M*-XMa.

Q, Qu Q

Rücken die Punkte P, Px, P₂,... einander unendlich nahe, so gehen RM, RXMX, R₂M₂,... in die Krümmungshalbmesser und das Polygon MMXM₂MZ... geht in den

Bogen a der Krümmungsmittelpunkts- Kurve über. Bezeichnet man daher den Unterschied zweier benachbarten Krümmungshalbmesser mit dg und die entsprechende unendliche kleine Seite des Polygons MM\MiMz... mit der, so wird da der unendlich kleine Zuwachs des Bogens a, und die Gleichungen (5.) und (6.) erhalten die Form

CÖ cé

(5 )    .    dg — da,

(6 )    Qa — g = er,

wobei a der Bogen der Krümmungsmittelpunkts-Kurve ist, welcher zwischen den beiden Krümmungshalbmessern g und ga liegt. Darin sind folgende Sätze ausgesprochen :

Satz 2. Die unendlich Meine Größe, um welche sich der Krümmungshalbmesser einer Kurve ändert, ist gleich der entsprechenden Änderung des Bogens der Krümmungsmittelpunkts-

Kurve.

Satz 3. Die Differenz zweier Krümmungshalbmesser ga und g gibt die Länge des Bogens er der Krümmungsmittelpunkts-Kurve zwischen g und ga.

Aus diesen beiden Sätzen folgt, daß die ursprüngliche Kurve ans der Krümmungsmittelpunkts Kurve durch Abwickelung (oder Aufwickelung) eines Fadens entsteht. Denkt man sich nämlich zunächst um das Polygon MMtM%MZ... Ma einen vollkommen biegsamen, aber nicht dehnbaren Faden gelegt, dessen Endpunkt sich in R befindet, so beschreibt der Endpunkt des Fadens zunächst einen Kreisbogen RR\, weil MR und MR\ gleich lang sind, und aus der gebrochenen Linie M\MR wird die gerade Linie M\R^. Dann beschreibt der Endpunkt des Fadens einen Kreisbogen R\R<i, und aus der gebrochenen Linie MßM\Rx wird die gerade Linie M₂Rp, usw.

Rücken die Punkte P, Pi, P₂,... einander unendlich nahe, so fallen die kleinen Kreisbögen RR±, PiP₂ ... mit der ursprünglichen Kurve zusammen, und man erhält

Man nennt deshalb auch die Krümmungsmittelpunkts-Kurve gewöhnlich die „Evolute“ und die ursprüngliche Kurve die „Evolvente“.

Da die Länge des Fadens noch beliebig ist, so folgt hieraus, daß bei der Abwickelung des Fadens unendlich viele Kurven entstehen. (Vergl. Fig. 111 auf folgender Seite.) Dies gibt

Satz 5. Jede Kurve hat eine einzige Evolute, aber zu jeder als Evolute angenommenen Kurve gehören unendlich viele Evolventen.

Diese Sätze ergeben sich auch durch Rechnung aus den Gleichungen

(7.)

g (1 + P*)P

und y = y -j-

1 +P²

Da y durch die Gleichung

y =f(x)

als Funktion von x erklärt ist, so sind auch die Größen

P =f‘ix) » y =/"(*) » r = f‘\x),

und deshalb auch § und y Funktionen von x. Durch Differentiation nach x findet man daher aus den Gleichungen (7.)

d'Ę    <f{l +3jö²)—p(l-'-pjr —3/>²<7² -f-/?(l+/>²)r

(8.)

dx

5²

(9.)

dt]

2pq² — (1 + p²)r __ Spq² — (1 -f- p²)r

dx = P +

Indem man diese beiden Gleichungen durcheinander dividiert, findet man

ql

(10.)

rH

dx

dy

Ist also wie gewöhnlich a der Winkel, den die Tangente TP in irgend einem Punkte P der Kurve y =f{x) mit der positiven Richtung der X-Achse bildet, und ß der Winkel, welchen die Tangente MN der Krümmungsmittelpunkts-Kurve in dem zugehörigen Punkte M mit der positiven Richtung der X-Achse bildet, so ist (Fig. 111)

dy

drj

dx

Fig. 111.

und deshalb nach Gleichung

P'

Pi

PL

(10.)

(ll.)tg/5f—^=tg(90°+«),

fît d. h. die beiden Tangenten TP und M.N bilden (hinreichend verlängert) einen

\_x rechten Winkel miteinander.

Die Gerade PM steht aber als Krümmungshalbmesser ebenfalls senkrecht auf der Tangente TP, sie muß daher mit MN zusammenfallen, da es durch den Punkt M nur eine Gerade gibt, welche auf TP senkrecht steht. Dies gibt wieder

Satz 1. Die Normalen der ursprünglichen Kurve sind zugleich Tangenten der Krümmungsmittelpunkts-Kurce.

Indem man die Gleichungen (8.) und (9.) in’s Quadrat erhebt und addiert, findet man

dp¹ -J- dri² (1 -j- p²) [3pq² — (14- p²)r]²

Pÿ

mJ

m3]

M,

(12.)

dx²

qi

und wenn man die Gleichung

(1 + p²f

differentiiert, erhält man

(13.)

dg

dx

[3pq² — (1 + p²)r'\]/]. 4- P¹

q²

Setzt man jetzt wieder das Bogenelement der Krümmungsmittelpunkts - Kurve

Y di² 4- drj² = da,

.so findet man aus den Gleichungen (12.) und (13.)

(14.)

da — Az dg.

(15.)

Dies gibt

Satz 2. Die unendlich kleine Größe, um welche eich der Krümmungshalbmesser einer Kurve ändert, ist gleich der entsprechenden Änderung des Bogens der Krümmungsmittelpunkts-Kurve.

Aus diesen Sätzen ergeben sich dann ohne weiteres auch die Sätze 3, 4 und 5 in derselben Weise wie oben.

§ 97.

Anwendungen auf einzelne Kurven.

(IO

Aufgabe 1. Man soll die Evolute der Parabel y² - 2ax

aufsuchen.

Auflösung. Nach den Gleichungen (4.) und (5.) in § 95 wird für die Parabel

(2.)

? = a + 3x, y

d¹

folglich ist

airf‘ = y⁶ — 8 a³x³ =

8a³(§ — «)³

27

oder

(3.) 27arj² = 8(£ — a)³, oder y = Az ^    ]/ßa(§ — a).

Da y nur reelle Werte haben kann, wenn £ — a 0, also § ^ a

ist, so beginnt die Kurve in einem Punkte S auf der A-Achse, welcher den Abstand a vom Scheitel hat. Sie erstreckt sich von da in zwei zur A-Achse symmetrisch gelegenen Zweigen bis ins Unendliche. (Vergl. Fig. 112 auf folgender Seite.)

Aus Gleichung (3.) folgt durch Differentiation

(40

drj _ 4(| — a)²

9 arj

3a

obere Zweig der Kurve ist nach oben konkav, und der untere Zweig der Kurve ist nach oben konvex.

Für

und für

Für ‘Ę = a wird also der Winkel a gleich 0, d. h. die beiden Zweige berühren im Punkte S die X-Achse, so daß die

Kurve im Punkte S eine Spitze hat.

Fig. 112.

dt]

Im übrigen hat ~~ dasselbe dg

Vorzeichen wie y, der Kurvenzweig übet' der X-Achse steigt daher und der unter der X-Achse ■x fällt beständig.

Ferner findet man aus Gleichung (4.) durch nochmalige Differentiation

Ml

■»■a

dar]²

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (3.) und (4.)

(5.)

d²rj 72ar]²(£ — a) — 16(£ — a)⁴ 2(§ — d)

81 a²y³

9 at]

Also auch

d²rj

de

hat dasselbe Vorzeichen wie y, d. h. der

x = 4 a wird y¹ = 8a²,

$ = 4a wird y² = 8a²,

folglich wird die Parabel in den Punkten mit den Koordinaten x = 4a, y — ± 2a ]/2 von ihrer Evolute geschnitten.

Aufgabe 2. Man soll die Evolute der Ellipse b²x² -f- a²y² — a²b² = 0

aufsuchen. (Vergl. Fig. 113, 114 und 115.)

Auflösung. Nach den Gleichungen (16.) und (17.) in § 95 wird für die Ellipse

(6.)

oder

x²

a² b²

t- =

(7.)

e²or

u⁴

und

e²yH

- rz >

/;⁴

oder

a?

ël

y³

b*

e²

also

# _ /a£\ ^

a~\Vj

ï₌_M.

« Ve²/

Setzt man diese Werte in die Gleichung- (6.) ein, so erhält man

(8.)

(■§)+&)-

1.

Da die Ellipse die beiden Koordinaten-Achsen zu Symmetrie-Achsen hat, so gilt dasselbe auch von ihrer Evolute.

Fig. 113.

e²

Für y = 0 wird g = ± — >

und für £ = 0    „

Dadurch erhält man die vier Schnittpunkte S₂, S₃, £* der Evolute mit den Koordinaten-Achsen, und zwar sind diese Punkte wieder Spitzen der Kurve, weil

I² S ^ und ^ s ^

S₂

M.

P,

Si

sein muß, und weil die Kurvenzweige in den angegebenen Punkten die X-Achsen, bezw. die K-Achsen berühren.

Hierbei sind drei Fälle zu unterscheiden, je nachdem a² > 2b², a² = 2b², oder a² < 2b2 ist. In dem ersten Falle wird die Ordinate des Punktes S₃

a² — b²

e²

>b,

d. h. die Spitzen S₃ und *S'₄ liegen außerhalb der Ellipse. (Vergl. Fig. 113.)

Es sei z. B.    ___

a = 30, b — 18, also e — }/ a² — b² =24, dann haben die Punkte Ä und S₃ bezw. die Koordinaten

e²

«H A

= 32.

h = - = 19,2, ^i = 0 und h = 0, i]₃ =

In dem zweiten Falle wird die Ordinate des Punktes £3

e² a² — b²

Fig. 114.

Fig. 115.

S₉

Sr

■Sr

\A

Sr

Sr

i.4

Si

d. h. die Spitzen S₃ und S4 sind zugleich die in der Y-Achse liegenden Scheitel der Ellipse. (Vergl. Fig. 114.)

Es sei z. B.

also a = yi² + e² = V800 — 28,28 .. dann haben die Punkte und S₃ bezw. die Koordinaten

b = e — 20

?i =

= 14,14..., rji = 0 und £3 = 0

= 20.

In dem dritten Falle wird die Ordinate des Punktes S₃

'S»

a² — b2 b <b’

d. b. die Spitzen S₃ und S₄ liegen innerhalb der Ellipse. (Vergl. Fig. 115.)

Es sei z. B.

b = 24, e — Y a² — b² — 18, dann haben die Punkte Si und S₃ bezw. die Koordinaten

a = 30

er

h = - = 10,8,    Î/1 = 0 und §₃ = 0,    r\₃ = - = 13,5.

Man kann übrigens diese Punkte Sh S₂, S₃, &₄ auch leicht konstruieren (Fig. 113), indem man von dem Punkte C mit den Koordinaten

x — a,

auf die Gerade AB mit der Gleichung-

x'

hä*‘ + *■

= 1, oder y‘ = —

welche durch die beiden Scheitel A und B der Ellipse hindurchgeht, ein Lot fällt. Dieses Lot, welches die Gleichung

(9.) y‘ — b — a- (x* — a), oder b(y‘ — b) = a(x‘ — d)

hat, schneidet die X⁻Achse in einem Punkte Si mit den Koordinaten

i y‘ = o

und die Achse in einem Punkte Si mit den Koordinaten x‘ — 0, y‘=—    •

(10.)

Aufgabe 3. Man soll die Evolute der Hyperbel

b²x‘² — dhj¹ — a²b² — 0 ,

oder

Fig. 116.

X¹

dl bl aufsuchen.

Auflösung. In ähn- \

licher Weise wie bei der -

vorhergehenden Aufgabe findet man hier

% F₂ )Ä2

■x

1.

Man untersuche die Eigenschaften und die Gestalt dieser Kurve (Fig. 116.)

Aufgabe 4. Man soll die Evolute der Kettenlinie

(12.) y = oder

toi Si

( -I a

\e

-±\

a k

e )

oder Yy² — d¹

- (.w )

(12 a.) aufsuchen.

— a¹ — a

Auflösung. Nach den Gleichungen (31.) und (32.) in § 95 wird für die Kettenlinie

(13.)

x yVy^ — a¹

7 = 2 y

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (12.)

(14.)

/ £

V = a\e" + «

/ 2x    2x\

a( F

4 Ve — e )=x

a /2x\

2®m(v>

Fig. 117.

Somit sind § und y als Funktionen einer dritten Veränderlichen x dargestellt, so daß man die Kurve punktweise konstruieren und ihre Eigenschaften untersuchen kann. (Vergl. Fig. 117.)

Da man die Gleichung der Ketten linie auf die Form

x — «In^

y ±V f — dl

-x

bringen kann, so ergibt sich aus den Gleichungen (13.) auch eine Gleichung zwischen '§ und rn nämlich

§ = aln^

r) ±yrj¹ — 4a²

2a

— 4 a¹

(15.)

Aufgabe 5. Man soll die Evolute der Zykloide x = a(t—snD), y = <7(1 — cos;!)

aufsuchen.

Auflösung. Nach den Gleichungen (40.) und (41.) in § 95 wird für die Zykloide

Diese Gleichungen, welche zur Konstruktion und Untersuchung der Evolute wohl geeignet sind, haben einige Ähnlichkeit mit den Gleichungen der Zykloide selbst, ja man kann sogar zeigen, daß die Evolute gleichfalls eine Zykloide ist. Dies geschieht, indem man ein neues Koordinaten-System einführt, dessen Abszissen-Achse 0‘X‘ parallel ist zur X-Achse, und dessen Ordinaten-Achse 0‘Y‘ parallel ist zur Y- Achse (Fig. 118). Dabei soll der neue Anfangspunkt 0* eine solche Lage haben, daß

(17.)

(18.)

§' = an + g, rf = 2a Ą- V wird. Dadurch gehen die Gleichungen (16.) über in — a{n Y t -j- sin t), rf = a( 1 -j- cos t).

(19.)

Setzt man jetzt noch

t — t‘ — n, also t‘ = 7t -J- t₁

so wird

(20.)

sin t = — sin t‘, cos t = — cos t', und die Gleichungen (18.) gehen über in §' == a(t; — sin t‘),    // = a( 1

Fig. 118.

(21.)

COS t*) .

pY

)Ll-x

0'

■X'

Diese Gleichungen stimmen genau überein mit den Gleichungen (15.); es sind nur die Buchstaben x, y, t bezw. vertauscht mit §', y‘, t\ d. h. die gemeine Zykloide ist ihrer Ecolute kongruent.

Nach dem Vorstehenden ist also die Zykloide OP HA (Fig. 118) eine Evolvente der beiden halben Zykloidenbögen OB und BA. Befestigt man in B einen biegsamen, aber nicht dehnbaren Faden und legt ihn um den halben Zykloidenbogen BMO, so wird das Ende 0 die Zykloide OPHA beschreiben, wenn man zunächst den Faden von dem Bogen BMO abwickelt und dann auf den Bogen BA aufwickelt, bis das Ende das Fadens in dem Punkte A anlangt.

Daraus findet man auch leicht die Länge des Zykloiden-bogens OB, denn die Länge des Fadens, der auf diesen Bogen aufgewickelt werden kann, ist

(22.)

OB = HB = 4a.

Der Bogen OB ist aber kongruent dem Bogen HA, und HA ist die Hälfte des ganzen Zykloidenbogens, folglich ist

(23.)

OPHA — 8 a.

Pie Länge des ganzen Zykloidenbogens ist daher 8-mal so groß wie der Halbmesser des die Zykloide erzeugenden Kreises.

In der Integral - Kechnung wird die Länge des Zykloidenbogens durch eine andere, allgemein verwendbare Methode ermittelt werden.

(24.)

Aufgabe 6. Man soll die Evolute der Astroide x = «cos³/, y = «sin³/

aufsuchen. (Vergl. Fig. 119.)

Auflösung. Nach den Gleichungen (49.) und (50.) in § 95 wird für die Astroide

(25.)

f § = «cos³/ -f 3« cos/sin²/, | i/ = 3« cos²/sin /-f asin³/.

F/

C\

Fig. 119.

TM

yH

Diese Gleichungen stellen, wie sogleich gezeigt werden soll, wieder eine Astroide dar, die aus der gegebenen entsteht, indem man a mit 2a vertauscht und die Koordinaten -Achsen um 2 y einen Winkel von 45° dreht. j Zwischen den neuen und den alten Koordinaten eines Punktes bestehen bei einer solchen Drehung der Achsen bekanntlich die Gleichungen

30

\ §' = £ cos 45° + /^sin 45°,

1 y' = — §sin45° + rj cos 45°,

oder, weil cos45° und sin45° beide gleich sind,

(26 a.)

(26.)

(27.)

(28.)

V2.r = S + V, V2.v' = — $ + *.

In diesem Falle erhält man deshalb

| ]/2 . §' = «(cos³?; + 3cos²ćsinć + 3cosćsin²ć -j- sin³;!) = a (cos;! + sin;!)³,

Y2 . rj‘ = a(sin³£—3sin²^cos^+ 3 sin ;! cos²;!— cos³;!) = a(sinź— cos;!)³.

Da aber

cos(^ — 45°) = cos £ cos 45° + sin^sin45° = C0S^    ,

sin(;!—45°) = sin £ cos 45°— cos ^ sin 45° = ist, so wird

sin t — cos t

j (cos;! 4- sinż)³ = 2]/2 . cos³(^— 45°),

{ (sin t — cos ty = 2]/2 . sin³(^ — 45°).

Bezeichnet man noch t — 45° mit t‘, so gehen die Gleichungen (27.) und (28.) über in

§' = 2acos³^',    r\‘ = 2a sin³-!'.

Hieraus erkennt man die Eichtigkeit der oben ausgesprochenen Behauptung.

(29.)

(30.)

Aufgabe 7. Man soll die Evolute der Epizykloide (31.) x = a\mco$t — cos(m^)], y = afrasin;! — sin(m^)] aufsuchen. (Vergl. Fig. 120.)

Auflösung. Nach den Gleichungen (65.), (66.) und (67.) in § 95 wird für die Epizykloide

(32.) £ = ax[mcost -f cos(mź)], y = ax[msmt + sin(m^)], wobei

(33.)

ax =

na

n -f- 2

Kiepert, Differential-Rechnung.

ist. Diese Gleichungen sind den Gleichungen der ursprünglichen Kurve so ähnlich, daß die Vermutung nahe liegt, die Evolute sei eine der Epizykloide verwandte Kurve. Durch Transformation der Koordinaten kami man diese Vermutung bestätigen. Dreht man nämlich die Koordinaten-Achsen um den Winkel v, so sind die neuen Koordinaten eines Punktes bekanntlich durch die Gleichungen

(34.)

§' = £cos« -f f]sinv, rj' = — |süiü -j- t\cosv gegeben. In dem vorliegenden Falle erhält man daher = ai[w(cosćcosw -f- snGsini>) -j- (cosm^cos ü + sinm^siny)], vf = at [m(—cosćsin^-f sinćcosg) + (—cosm^sin^-f sinm^cos»)], oder

35.)

J §' = ax \m cos(t — v) + COS(m^ — v)\, l rf — ai[msin(£— v) -f sin(m£

Setzt man nun

»)]•

(36.)

71

so wird, da m = n + 1 ist,

TT

— t‘ -j--? mt — o — mt‘ 4- n,

71

also

COS (mt — v) = — cos(w^), sin(m^ — v) = — sin {mV).

Fig. 120.

■o)

Deshalb gehen die Gleichungen (35.) über in

j £ '—■«i \m cos V— cos(w ')], |y=ai[msin£'— sin(mtf')]. Die Ecolute ist also wieder \ eine Epizykloide derselben Art, Jx nur die Dimension hat sich in dem Verhältnis von n -f- 2 zu n verkleinert, und die Richtung der Achsen hat sich um den

(37.)

TVinkel

fc; i 8

53

—j gedreht.

Jetzt kann man auch leicht die Länge des Epizykloiden-Bogens berechnen. In Figur 120 entstellt der Bogen AB durch Abwickelung des Bogens AG, folglich muß der Bogen AC die-selbe’Länge haben wie die Gerade CB. Nun ist aber

ri¹

n + 2U

CB = OB — OC = 0 + 2 )a

4(n -j- 1 )a __ 4(n -)- L)aj

Deshalb wird

(38.)

4(n + l)fli ^    ₌    + 1)« .

Ist n eine ganze Zahl, so besteht die Kurve aus 2n Bögen, welche dem Bogen AB kongruent sind; der Umfang Uder ganzen Epizykloide wird dann 8(n + 1 )a.

Ist z. B., der Figur 120 entsprechend, n = 3, so wird

16a

(38 a.)

U = 32a.

Ä = '₃

Aufgabe 8. Man soll die Evolute der Hijpozykloide (39.) x — a\ni cos t -j- cos(w^)], y = a\m$mt — sin(m^)] aufsuchen. (Vergl. Fig. 119.)

Auflösung. Nach den Gleichungen (76.) und (77.) in § 95 ward für die Hypozykloide

(40.)    '§ = «i[mcosć — cos(wîî)], rj = «ifwsin/ + sin(wîï)],

wobei

na

(41.)

na

ax = -r

n — 2

ist. Durch Drehung der Koordinaten-Achsen um den Winkel o findet man in diesem Falle

(42.)

j §' = a₁ \m cos(£ — o) — cos(m^ -j- «?)],

1    — «i \m sin(< — v) -f sin(m£ + v)].

Setzt man jetzt wieder

(48.)

7X

o = — und t— o = t‘, so wird, da hier m = n — 1 ist,

mt -f- o — mt‘ -j- n t

cos (mt -J- ») = — cos (mV), sin(m/f + v) ±= — sin(m^). Deshalb gehen die Gleichungen (42.) über in (44.) §' = a\[mcosV -f- cos(m£')], y' = at[msint‘ — sin(w^)].

Die Evolute ist also wieder eine Hypozykloide derselben Art, nur die Dimension hat sich in dem Verhältnis von n — 2 zu n vergrößert, und die Richtung der Achsen hat sich um den Winkel

— gedreht.

Auch hier kann man sehr leicht die Länge des Bogens berechnen und findet, ähnlich wie bei der vorigen Aufgabe, wenn n eine ganze Zahl ist, daß der Umfang der ganzen Hypozykloide

(45.)

U = 8 (n — 1 )a

ist.

Als Beispiel kann hier die Astroide dienen, welche man für den Fall n = 4 erhält. (Vergl. Fig. 119.)

(46.)

Aufgabe 9. Man soll die Evolute der Kreisevoloe?ite x — a(cost -f- ifëint), y = a(sint — tcost) aufsuchen. (Vergl. Fig. 88 auf Seite 414.)

Auflösung. Schon aus der Entstehung der Kreisevolvente durch Abwickelung eines Kreises kann man schließen, daß dieser Kreis die Evolute sein muß. (Vergl. Satz 4 in § 96.)

Dieser Schluß wird auch durch die Rechnung bestätigt, demi nach den Gleichungen (83.) und (84.) in § 95 wird für die Kreisevolvente/

(47.)

$ = aCOSŻ, rj = «sin/

also -

(48'.)    -

£2 _j_ ^2 _ a2 ?

und dies ist die Gleichung des Kreises, durch dessen Abwickelung die Kreisevolvente entstanden ist.

XII. Abschnitt.

Untersuchung yoü Kurven, welche auf ein Polarkoordinaten-System bezogen sind.

§ 98.

Tangenten und Normalen.

(YTergl. die Formel - Tabelle Nr. 152 bis 157.)

Fig. 121.

r.

Bei der Bestimmung der Lage eines Punktes durch Polarkoordinaten ist eine Gerade OX gegeben und auf dieser Geraden ein Punkt, O ; den Punkt 0 nennt man den „Nullpunkt“ oder den „Pol“, und die Gerade OX nennt man die „ Anfangsrichtung“ oder die „Polar-Achse des Koordinaten - Systems“.

QX

Ist nun ein Punkt P beliebig gegeben, so nennt man die positive Strecke OP = r den „Radius vectör¹¹ oder „Fahrstrahl“ und den Winkel cp, welchen OP mit der Anfangsrichtung bildet, das „Argument des Punktes P“. (Vergl. Fig. 121.)

Durch die Lage des Punktes P sind daher die beiden Koordinaten r und cp gegeben, und umgekehrt : Durch die beiden Koordinaten r und cp ist die Lage des Punktes P gegeben.

Macht man 0 zum Anfangspunkte eines rechtwinkligen Koordinaten-Systems und die Anfangsrichtung OX zur A-Achse, so ist der Übergang von rechtwinkligen Koordinaten zu Polarkoordinaten, wie man ohne weiteres aus der Figur erkennt, gegeben durch die Gleichungen

(1.)

x = r cos cp und y = rsin<p.

Diese Gleichungen bleiben auch dann noch richtig, wenn

TT

Dabei wird x negativ für < cp < ~ ?

Ł    ’-j

n < q> < 2 7T.

Daraus folgen dann die G-leicbungen

r = yx¹ Ą- y¹ und cp = arctg j

welche den Übergang von Polarkoordinaten zu rechtwinkligen Koordinaten vermitteln.

Ist irgend eine Gleichung

und y wird negativ für

(2.)

F(x, y) = 0

zwischen x und y gegeben, so erhält man daraus mit Hülfe der Gleichungen (1.)

F(rcoscp, rsmcp) = G(r, cp) = 0,

eine Gleichung zwischen r und cp. Ist umgekehrt irgend eine Gleichung

F(r, cp) — 0

zwischen r und cp gegeben, so findet man daraus mit Hülfe der Gleichungen (2.)

F ]/x² + y², arctg0jj = H(x, y) = 0,

eine Gleichung zwischen x und y. Daraus erkennt man auch, daß jeder Gleichung von der Form

(3.)

F(r, cp) = 0, oder r = f{cp)

eine ebene Kurve entspricht.

Auf einer solchen Kurve (Fig. 122) seien P und P\ zwei benachbarte Punkte, deren Koordinaten mit r, cp, bezw. mit

Fig. 122.

\P>

r + dr, cp + dcp bezeichnet werden mögen ; dabei soll durch die Bezeichnung sogleich ausgedrückt werden, daß die beiden Punkte einander be-

liebig nahe rücken dürfen. Beschreibt man um 0 mit dem Halbmesser OP

■x

gleich r einen Kreisbogen, welcher den Radius vector 0 P\ im Punkte Q treffen möge, dann ist OP\ = r + dr,

(4.)

also

OQ — r, QPX = dr, PQ = rdcp.

(5.)

Wenn die Punkte P und P\ einander unendlich nahe rücken, so darf man das kleine rechtwinklige Dreieck PQPi als geradlinig betrachten und erhält nach dem pythagoräischen Lehrsätze PP² = PQ² + QPi,

oder, wenn man den unendlich kleinen Bogen PPX wieder mit ds bezeichnet,

(6.)

ds¹ = dr¹ -|- Pdffi¹.

Ferner ist

(7.)

tg QP\P

QP rdcp

QPi

dr

Der Winkel QPXP ist der Winkel, den die Gerade PXP mit dem Radius vector OPi bildet; rücken aber die Punkte P und Pi einander unendlich nahe, so wird PXP die Tangente der Kurve im Punkte P (oder Pi), und der Radius vector 0PX fällt mit OP zusammen. Bezeichnet man also den Winkel, welchen die Tangente im Punkte P mit dem Radius vector OP bildet, mit g, so wird nach Gleichung (7.)

(7 a.)

tgp =

rdcp

dr

Fig. 123.

,P

Nennt man den Winkel, den die Tangente mit der positiven Richtung der X-Achse bildet, wieder a, so ist, wie man ohne weiteres aus Fig. 123 erkennt,

« = <P + P; tg« = t g{cp + p)

tgCf + tg fl 1 — tgcptgg

rdcp

dr

rdcp

1 —t gcp-

oder, wenn man Zähler und Nenner mit coscp.dr multipliziert,.

sin cp . dr -f- r cos cp . dcp cos cp . dr — rsin</> . dcp

(8.)

dr

tg« =

Durch den Übergang von rechtwinkligen Koordinaten zu Polarkoordinaten werden die in den Gleichungen (6.) und (8.) enthaltenen Resultate bestätigt. Da r durch Gleichung (3.) als Funktion von cp erklärt ist, so muß man auch x = r cos cp, y = rsmcp

als Funktionen von cp betrachten und erhält durch Differentiation

dx dr

Sÿ⁼⁼^cos’’-,'sm’’’

dy

dr

4=^sin^+rco^

oder

(9.)

dx — cos cp . dr — r sin cp . dcp dy = sin cp . dr -j- r COS cp . dcp.

Erhebt man diese beiden Gleichungen ins Quadrat und addiert sie, so findet man wieder wie in Gleichung (6.) dx¹ -|- dy¹ — ds² — dr² + rldcpl ;

durch Division erhält man in Übereinstimmung mit Gleichung (8.)

dy _

tg« =

dx

sin cp . dr + ?’COS cp, . dcp cos cp . dr — rsiny> . dcp

In einem beliebigen Punkte P der Kurve seien die Tangente und die Normale gezogen (Fig. 123), welche die im Punkte 0 auf dem Radius vector OP errichtete Senkrechte bezw. in den Punkten T mid N treffen mögen. Man nennt dann NP die Polar-Normale (iV),

NO die Polar - Subnormale (Sn),

PT die Polar-Tangente ( T),

OT die Polar-Subtangente (Si).

Bezeichnet man den Komplementwinkel von g mit v, so erkennt man aus Figur 123, daß v auch der Komplementwinkel von ONP ist. Deshalb wird

<$ ONP = g,

und man erhält mit Rücksicht auf Gleichung (7 a.)

(11.)

OT — St = rtgfi =

r²dtp

dr ’

OT OT

(10.)

dr

NO = Sa =

dtp ’

OP

tg= tg' ONP =

rdtp

NO NO dr

t g> = tgOPT = ()p

NP²

(12.)

ds

dtp ’

tg/i/ = tgPNT =

PT

NP

(13.)

PT = T = NXgp =

ds rd<p rds

dtp dr dr

§ 99.

Anwendungen auf einzelne Kurven.

Aufgabe 1. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente für die Archimedische Spirale

(1.)

r = atp

berechnen.

Auflösung. Die Archimedische Spirale entsteht, indem eine gerade Linie sich um einen ihrer Punkte O dreht, während ein anderer Punkt P auf ihr mit gleichmäßiger Geschwindigkeit fortrückt. Dadurch ist es auch leicht, die Kurve punktweise zu konstruieren. (Vergl. Fig. 124.)

Fig. 124.

,P

N/

Ans Gleichung' (1.) folgt nun

(2.)

Sn =

dr

dep

d. h. die Subnormale ist in allen Punkten der Kurve konstant; deshalb kann man in jedem beliebigen Punkte der Kurve sehr leicht Tangente und Normale konstruieren, auch wenn die Kurve nicht gezeichnet vorliegt. Ferner ist

rd(f

(3.)

tg^ =

dr

= <P-

Für (p gleich 0 werden auch r und y gleich 0, d. h. die Kurve geht durch den Anfangspunkt des Koordinaten-Systems und die Tangente in diesem Punkte der Kurve fällt mit der Anfangsrichtung zusammen.

(40

St =

r²dep

^»2

dr

a = a*²’

also

(5.)

ds

dtp

= a~y 1 -f- (f² = J/a² -f- r²;

= 9'Ÿ 1 A <p² =    y a² -f- r².

rds rdep ds dr    dr dtp

Aufgabe 2. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente für die hyperbolische Spirale

rep = a

(6.)

(7.)

berechnen.

Auflösung. Beschreibt man um den Anfangspunkt 0 eine Schar von Kreisen und schneidet auf ihnen, von der Anfangsrichtung (Polar-Achse) an gerechnet, Bögen von gleicher Länge a ab, so ist der geometrische Ort der Endpunkte, wie man aus Gleichung (7.) erkennt, eine hyperbolische Spirale. (Vergl. Fig. 125.) Da die Kurve unendlich viele, immer enger werdende Windungen um den Nullpunkt beschreibt, so nennt man den Nullpunkt „einen asymptotischen Punkt¹¹.

Ans Gleichung (7.)

Fig. 125.

folgt

(7 a.) r = acp~\

also

(8.) Sn —

dr

d(p

= — a(p~²

rpl

(9.)

tg^ =

rdcp

dr

= — <r,

(10.)

St =

r²d(p

dr

= — a.

Bei der hyperbolischen Spirale ist also die Subtangente konstant ; deshalb kann man für jeden beliebigen Punkt der Kurve sehr leicht Tangente und Normale konstruieren.

Ferner ist

also

ds

(11.)

(12.)

ar dr dtp

Für ą> gleich 0 ist r unendlich groß; man kann aber auch dann noch die Tangente an den zugehörigen Kurvenpunkt legen, obgleich er unendlich fern ist. Eine Tangente, deren Berührungspunkt unendlich fern liegt, heißt eine Asymptote. Die Asymptote der hyperbolischen Spirale ist die Gerade, welche man im Abstande a parallel zur Anfangsrichtung legen kann. Denn r fällt für (p gleich 0 in die Anfangsrichtung, die Subtangente also in die Gerade, welche im Anfangspunkte auf der

Anfangsrichtung’ senkrecht steht, und ihre Länge ist nach Gleichung (10.) gleich —a,

Aufgabe 3. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente der parabolischen Spirale

r² = a²(p

(13.)

oder r

= a y (f = a <fE

aufsuchen.

Auflösung. Aus Gleichung (13.) folgt

(14.)

Sn =

dr a —4 Tüf= 2V =

a²

(15.)

tg/j, =

rdcp 2 r²

dr

deshalb wird ebenso wie bei der Archimedischen Spirale r = 0, p = 0 für rp = 0. r²dą>    2 r³

(16.)

St =

dr

— 2 rp

(17.)

dy = bya> + i,A =

(18.)

T = Ntgp = ~ f/a⁴ + 4r⁴ = a]/(/:(l -f- 4<p²).

Aufgabe 4. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente der allgemeinen Spirale

r — a(pn

(19.)

aufsuchen.

Auflösung. Aus Gleichung (19.) folgt

dr

(20.) Sn — — = nacp rdcp <p

(21.) tgp =

dr

(22.) St- s

r²drp a<p

n+1

(23.)

ds

N = y— — Yn²a²(p

ln—2

dp

-(- a²<p2n = arp

yn² -f- <p²

T= Ntga = ^ ]/n² + cf¹ = - Yn² + ff-². n    n

(24.)

Man erkennt, daß in dieser Aufgabe die ersten drei Aufgaben als besondere Fälle enthalten sind, wenn man bezw.

»=+l, n = — 1, w = +

setzt.

Aufgabe 5. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente für einen beliebigen Punkt der loyarithmischen Spirale

(25.)

r =

berechnen.

Auflösung. Aus Gleichung (25.) folgt

(26.)

dr

Sn —    — aearP — ar.

dcp

Die Subnormale ist also dem Radius vector proportional, deshalb beschreibt der Endpunkt N der Subnormale eine Kurve, welche der ursprünglichen Kurve ähnlich ist. (Vergl. Fig. 126.) Da die Subnormale ON = r‘ mit der Anfangsrichtung den Winkel

TT

q>‘ = (p + w bildet, so wird die Gleichung der vom Punkte N beschriebenen Kurve

Fig. 120.

(26a.) r‘ = ae

Führt man jetzt noch die Größen a und

<p“ durch die Gleichungen

ln a .

a —-, ln« = aa, oder

aa

cp‘ -j- a —

TC    n

2 “ '>

ein, so geht Gleichung (26 a.) über in

= ea(P".

(26 b.)

r‘ =

Daraus erkennt man, daß die von dem Punkte N beschrie-

7t

bene Kurve, weim man sie um den Winkel « — — dreht, sogar

Li

mit der ursprünglichen Kurve zusammenfällt und deshalb mit derselben kongruent ist.

Ferner ist

(27.)

t gf* =

rdtp

dr

der Winkel //, den eine beliebige Tangente mit dem zugehörigen Radius vector bildet, ist also konstant.

(28.)

g r²d(p r

dr

folglich ist auch die Subtangente dem Radius vector proportional, so daß der Endpunkt T der Subtangente gleichfalls eine Kurve beschreibt, welche der ursprünglichen Kurve ähnlich ist. (Vergl. Fig. 126.) Auch von dieser Kurve kann man zeigen, daß sie der ursprünglichen Kurve sogar kongruent ist.

(|;)'=,2 + ($)2=,'²⁽¹⁺“²⁾’

also

dtp

(29.)

(30.)

T = N tg g =

rd<p ds

clr dtp

Es sind daher auch Normale und Tangente selbst dem Radius vector proportional.

Aufgabe 6. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente der Kurve

(31.)

rm

= aJ”cos(my)

aufsuchen.

Auflösung. Da in Gleichung (31.) die Größe m noch unendlich viele Werte haben darf, so sind in dieser Gleichung

unendlich viele Kurven inbegriffen, von denen einzelne hervorgehoben werden mögen.

I. m = l. Die Gleichung der Kurve ist

(32.5

r = a cos (f, oder r² = ar cos (p, also, wenn man zu rechtwinkligen Koordinaten übergeht,

x² -ff y² = ax >

(32 a.)

und dies ist die Gleichung eines Kreises mit dem Halbmesser ^ 5 dessen Mittelpunkt die Koordinaten

Li

> y = 0

hat. (Vergl. Fig. 127.)

Fig. 127.

1. Die Gleichung

II. m = der Kurve ist

(33.)

r~¹ = a,—¹ COS 9

oder

rcos<p - - a,

also, wenn man zu rechtwinkligen Koordinaten übergeht,

(33 a.)

x = a.

Dies ist die Gleichung einer Geraden, welche im Abstande a parallel zur Y- Achse gezogen ist. (Vergl. Fig. 127.)

III. m = 2. Die Gleichung der Kurve ist (34.) r² = a²cos(2</>), oder r⁴ = a²(r² cos²^ — r² sin²</)), also, wenn man zu rechtwinkligen Koordinaten übergeht,

(34a.)

(x¹ Y y²)² — a²(x² — y²) .

Dies ist die Gleichung der Lemniskate, einer Kurve, deren Gestalt man sehr leicht aus den Gleichungen (34.) und (34a.) erkennen kann. Zunächst folgt aus Gleichung (34.), daß die Kurve innerhalb eines Kreises mit dem Halbmesser a liegen muß, denn es ist r^a. (Vergl. Fig. 128.) Aus Gleichung (34 a.) erkennt man sodann, daß die Koordinaten-Achsen Symmetrie-Achsen der Kurve sind, weil nur die Quadrate von x und y in der Gleichung Vorkommen.

Fig. 128.

(35.)

Für (f> = O wird r = a\ ■B wächst (f, so wird r kleiner / und nimmt ab bis zn r = 0, wenn der Winkel ę ='45° geworden ist. Liegt y zwischen 45° und 90°, so wird — r² negativ, r selbst also imaginär; deshalb liegt kein reeller Punkt der Kurve zwischen der Geraden OB \ mit der Gleichung y = x \ und der Y- Achse.

IV. m = — 2. Die Gleichung der Kurve ist r~² = a~²cos(2y), oder r² cos(2y) = a²,

also

(35 a.) r²cos²(p—r²sin²<p = a², oder z²— y² = a².

Dies ist die Gleichung der gleichseitigen Hyperbel. (Vergl.

Fig. 128.)

y. m = + £. Die Gleichung der Kurve ist

oder r = a cos²( - -)

(36.)

r² = a¥cos^-|^ >

to 'S

Fig. 129.

daraus folgt 2 r² — 2arC0S²

(f)

= ar(l -j- COS (p) = ar -f- ar COS (f, 2 r² — ax — ar,

4r⁴ — 4axr² -|- a²x² — ah'²,

(37.)

oder

(7

4(x²    y²)² — 4ax(x² -f- y²) -f- a²x²

= a\x<l + y²),

also

4(x² -j- y²) (x² + y² — ax) — a²y².

Dies ist die Gleichung der Kardioide. (Vergl. Fig. 129.) Um die Übereinstimmung dieser Kurve mit der bei den Epizykloiden als Kardioide bezeichneten Kurve nachzuweisen, setze

(36 a.)

<p = n — 2,

dann folgt aus den Gleichungen (36.) und (37.)

cos t),

(38.)

2r

= 2asin²^^ = a( 1

2x ----- 2rc0Sf/> = — aC0S2(l — C0S2),

2 y = 2rsin</> = asin2(l — cos2). Transformiert man noch die Koordinaten, indem man 4 x‘ = a — 4x

setzt, so erhält man

4x' = a{ 1 + 2 cos t — 2cos²2) = a [2 cos t—cos (22)],

4y = a(2sin2 — 2sin2 cos 2) = a[2sin2 — sin(22)].

Diese Gleichungen gehen in die damals aufgestellten Gleichungen der Kardiode über, wenn man a mit 4a vertauscht. (Vergl. Fig. 85 auf Seite 409.)

YI. m =

Kurve ist

(«o j

Die Gleichung der

Fig. 130.

(42.)

^cos(t)

oder r cos²

to 'S

jp

2 r cos2 oder

also

= r + r cos (f = 2 a

r = 2a — x,

r¹ — x¹ A- y¹ = 4a² — 4ax -)- x², (42a.) y² = 4a² — 4ax - 4a(a — x).

Dies ist die Gleichung einer Parabel, deren Achse die X-Achse ist, und deren Scheitel die Koordinaten x = y = 0 hat. (Vergl. Fig. 130.)

Allgemein folgt aus der Gleichung (31.)

mr'

dr

also

d(f

31

Kiepert, Differential-Eecimung.

(43.)

Sn =

dr

am sin (mq)

|/ö2m_yïm

dq

oder

(43 a.)

dr

amr sin (mq)

dcp

rpTYl

— rtg(mq) ;

rdq

(44.)

folglich ist

— g — n — mq -J- hn, n — v = mq — hn — v\

oder

(45.)

(2h -f l)n

= mq

wobei h eine ganze, passend zu wählende Zahl ist. Dies gibt den Satz:

Der Winkel v‘ (oder n — v), den der Radius vector mit der Normale bildet, ist m-mal so groß wie der Winkel, den er mit der Anfangsrichtung bildet.

r²dq

(46.)

St =

dr

— — rctg(mq),

r2m

^ + =

a2m-

^»2 7)i—2

a2m

j.'2tn—2

(47.)

ds

am

(48.)

dq rm~x    COS (mq)

T = Ntgg =

sin (mq)

§ 100.

Krümmungskreis und Krümmungsmittelpunkts - Kurven.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 158.)

Ist die Gleichung einer Kurve in Polarkoordinaten gegeben, so kann man immer den Radius vector r als eine Funktion vom Argumente q betrachten; deshalb sind auch

x = rcosrp imd y = rsin<p

(1-)

Funktionen von y, so daß man durch Differentiation die folgenden Gleichungen erhält

dx dr dtp dtp dy dr

(2.)

cos (p — rsiny

(3.)

dtp

dtp

siny -f- rcosrp

(4-)

(5.)

d²x d²r d(p2 d²y d²r

dr

(6.)

(7-)

2 siny — r cos y sin y -f 2 y— cos y — rsin y

=«vcos’’-

d(p²    dcp²

dtp

(dxS{\ ( dV Y fds \²    /f/r\²

wo⁺wo⁼wo⁼wo⁺ ’

dy d²x    ^ / dr \²

dp dr~r + ²w)—’’

dx d²y dtp dtp²

d²r

ć/y²

Vertauscht man in den Formeln 148 und 149 der Tabelle t mit tp, setzt die hier gefundenen Werte ein und multipliziert in den Brüchen Zähler und Nenner mit <r/y¹, so erhält man

ds²dy

dxd²y— d yd²x ds²dx

dxd²y— dyd²x

= rcosy

(8.)

= rsin</>

ds²{r cos tpdtp-\- dr. sin y ) (r²dtp² -f- 2dr²—rd²r) dtp ds² (—rsiny dtp-\-dr.cßs tp) (r²dtp,² -j- 2 dr²— rd²r)dtp

(9.) Q = ±

ds¹

dss

(r² dtp² -f- 2 dr² — rd²r) dtp

Wenn man in diesen Gleichungen den Wert von r als Funktion von y einsetzt, so sind § und y als Funktionen der dritten Veränderlichen y dargestellt, was für die Untersuchung der Krümmungsmittelpunkts-Kurve oder Evolute ausreicht. Man kann aber auch noch y aus den beiden Gleichungen (8.) eliminieren und erhält dadurch eine Gleichung zwischen § und y.

Will man noch die Evolute in Polarkoordinaten darstellen, so hat man in dieser Gleichung zu setzen

(10.)

dxd²y — dyd²x

§ = F cos y'

y = Psiny'.

¹

t*

§ 101.

Anwendungen auf einzelne Kurven.

Aufgabe 1. Man soll den Krümmungskreis der Archimedischen Spirale

(IO

r = ay

(2.)

bestimmen. (Vergl. Fig. 124 auf Seite 473.) Auflösung. Aus Gleichung (1.) folgt dr = adcp, d~r = 0,

also

00

( )    ds² = r²dy>² -(- dr¹ = a\ 1 -j- (f²)d(p²,

( )    r²d<p² -j- 2c/r² — rc?²r = a²(2 -f* fp²)d(f².

Setzt man diese Werte in die Formeln 158 der Tabelle ein, so erhält man

S — ay COSy

a²( 1 + ff²) • a(ycosy + siny)

a²(2 + y²)

oder

(5.)

(6)

(7.)

Spirale

(8.)

7/ = ay sin y -|-

a²( 1 + y²) • a(— ff sin ff + cos y)

a²(2 + y²)

_ a [y cos y — (1 + ff²) sin y]

2 -j- y²

a [y sin y + ( 1 + ff²) cos y] ^    2 + y²

g(l + ff²)

Aufgabe 2. Man soll den Krümmungskreis der allgemeinen

r — a(pn

bestimmen.

Auflösung. Aus Gleichung (8 ) folgt durch Differentiation

(9.)

dr

d(f

= na(fn~¹

d²r

’ dtp¹

— n(n — l)a<pn—² ;

deshalb ist

(10.)

(11.)

(h- — r²dcp² Ą- clr² = a²cp2n~²(n² -f- cp²)d(p², r²dcp² -j- 2dr² — rddr — a²cp

\n(n -j- 1) + <p²J d<f².

Setzt man diese Werte in die Formeln Nr. 158 der Tabelle ein, so erhält man

2m—2

(12.)

Mil

(13.)

(14.)

n [r cos (p — (n² -j- cp²) a(pM—1 sin cp] n(n -f- 1) + cp²

»[mnqp + (n² -(- cp²) acpn—x cos (f] n(n -j- 1)    (f²

(:n²    (p²Ÿ

n(n + 1) -j- cp²

oxpn i

Aufgabe 3. Man soll den Krümmungskreis und die Evolute der logarithmischen Spirale (15.)

bestimmen. (Yergl. Fig. 126 auf Seite 477.)

Auflösung. Aus Gleichung (15.) folgt durch Differentiation

d²r

dtp2 ü drp

(16.)

dr

y = ea(P

—— = eaw . a — ar

dr

d<p

= a²r ;

deshalb ist

(17.)

ds² — r²dą² -f- dr² — r²( 1    a²)dcp²

(18.) r²d(p² -f- 2dr² — rd²r = r\ 1 -)- 2a² — a²)dcp² = r²(l + a²)dcp².

Setzt man diese Werte in die Formeln Nr. 158 der Tabelle ein, so erhält man

$ = r cos cp

r²(l + a²). r(cos rp + «siny)

r²(l + a²)

rj = r sin (p +

r²(l + a²). r(— sin</> + a cos cp)

r²(l + a²)

oder

(19.)    £ = — arsiny, rj — + ar cos cp.

(20.)

r³( 1 — a²)²

r²( 1 + a²)

= dr r ]/l -)- cd.

Es war aber (nach § 99, Gleichung- (29.)) auch die Normale

(21.)

,7..    _

d(f

N=-j— = rYl + a\

folglich ist der Krümmmigshalbmesser gleich der Polar-Normcde. Der Krümmungsmittelpunkt fällt daher in Figur 126 mit N zusammen.

Nach den Gleichungen (19.) wird

(22.)

£ = — ay, t\ — ax.

Hieraus erkennt man schon, daß die Evolute wieder eine log ar ithmische Spirale ist, bei der aber die Dimensionen a-mal so groß sind wie bei der gegebenen. Gleichzeitig sind auch noch die Koordinaten-Achsen um einen Winkel von 90° gedreht. In § 99 (Seite 478) ist sogar gezeigt worden, daß die Evolute der gegebenen Kurve ähnlich und außerdem auch kongruent ist.

Dasselbe Resultat findet man natürlich auch aus den Gleichungen (22.).

Aufgabe 4. Man soll den Krümmungskreis und die Evolute der Lemniskate

(23.)

r² = «²cos(2y)

bestimmen. (Vergl. Fig. 131.)

Auflösung. Durch Differentiation folgt aus Gleichung (23.)

(24.)

dr

= — a²sin(2<p) = — r²tg(2^),

T dep

und wenn man diese Gleichung nochmals differentiiert,

(25.)

(0+ r^₂ = -2a°C0S(2V) =

— 2 r².

Deshalb wird mit Rücksicht auf die Gleichungen (23.) und (24.) r²ds² — r²(r²d(f² -j- dr²) — Pdcp² -f- r²dr² — aid(f>²,

oder

ai

Ferner findet man aus Gleichung (25.)

/ dr \² d-r / rfrV f/ r/r \2 \d(p)~ rd(f = 2(^y Lv/r/Ty + r

d²r"

~cüj?_

/ dr \² ,    „    / ds \²

²W)+²’ =²w)’

folglich ist bei der Lemniskate

(27.)

o , ^ / dr V d²r n / ds \²

r~ + ²w)-r<v = ⁸w)

3«⁴

^»2

Setzt man diese Werte in die Formeln Nr. 158 der Tabelle ein, so erhält man

§ = rcosy — |^rcosy +    • sin^>

ł/ = rsm<f +    —rsin</> +    • cos^>

oder

(28.)

/ ^2

I § = — [2 cos(2</>) cos (p + sin(2y)sin<p] = [2cos(2<p)siny— sin(2#>) cos <?] =

2a²cos³</>

3r

2a²sin³<r

ds

(29.) q = dr I -J- = ±

d(f

CO

Fig. 131.

Aus den Gleichungen (28.)

folgt

(30.)

C0S</>

/3rg ~ \2aV

<p

/3 rij\s

smv - ~ W) ’

cos²</> + sin²g> =

©)' ■(»*

cos²r/i — sin²«/-' =

©)'w

+,*).

— rf ) = COS(2(f) =    ,

(31.)

cc'to

/2 a¹ \³

⁼ \śr) :

4 rl /2 a¹ \ ⁼ a*\3V)

<M'*5

folglich ist

(32.)

9(|ł+,ł)X?ł

,1) =

4 a¹.

Den beiden Scheiteln Ai und ^t₂ der Leraniskate entsprechen die Spitzen Sx und der Evolute, wobei

(33.)

s₂ 0 = 0S\ = 4 ® •

Zweiter Teil.

Einige grundlegende Untersuchungen aus der Algebra.

XIII. Abschnitt.

Theorie der komplexen Größen.

§ 102.

Erklärung der komplexen Größen.

(VergL die Formel-Tabelle Nr. 159 bis 167.)

Bekanntlich führt schon die Auflösung der quadratischen Gleichungen häufig auf imaginäre Wurzeln. Ist z. B.

x² -j- Qx -j- 13 = 0,

SO wird

* = — 3±V— 4 = — 3 ±2»,

wobei Y— 1 mit i bezeichnet worden ist. Aus ]/— 1 = i folgt

i⁴ = +1

(1.)    «* = —1, t* =

Es ist nicht nur von großem Vorteil, imaginäre Größen in die Rechnung einzuführen, sondern es stellt sich sogar bei vielen Untersuchungen die Notwendigkeit heraus, mit solchen Größen zu rechnen. Da die Bezeichnung „imaginär“ leicht die falsche Vorstellung erwecken könnte, daß die Rechnung mit imaginären Größen unzulässig sei, soll die Bezeichnung „imaginär“ oder „rem imaginär“ auf die Größen von der Form bi beschränkt werden; dagegen nennt man die Größen von der Form

a -f- b y— 1, oder a + bi,

wobei a und b reelle Größen sind, zum Unterschiede von den reellen Größen „komplexe Größen“, d. h. Größen, welche reelle und imaginäre Größen zusammenfassen. Man kann nun zeigen, daß sich alle Rechnungen mit komplexen Größen in derselben Weise ausführen lassen wie mit reellen Größen.

Man nennt a „den reellen Teil“ und b „den Faktor des imaginären Teils¹¹.

Wie die reellen Größen aus den beiden Einheiten +1 und — 1 gebildet sind, so werden die komplexen Größen aus den vier Einheiten

+ 1.

— 1,

gebildet. Auf die so erklärten Größen kann man ohne weiteres die Regeln der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, wie sie für reelle Größen gelten, anwenden. Daß Resultat dieser Operationen ist. wie sogleich gezeigt werden soll, wieder eine Größe von der Form A Bi. Daraus folgt dann die Berechtigung, mit komplexen Größen ebenso zu rechnen, wie mit reellen.

(2.)

!. Addition. Komplexe Größen werden addiert, indem man die reellen Teile zu den reellen und die Faktoren der imaginären Teile zu den Faktoren der imaginären Teile addiert, also (a -f- bi) -f- (c -f- di) — (a -f- c) -j- (b -f- d)i.

Das Resultat hat wieder die Form A + Bi.

II.    Subtraktion. Zwei komplexe Größen werden voneinander subtrahiert, indem man die reellen Teile und die Faktoren der imaginären Teile voneinayider subtrahiert, also

(3.)

(ia -j- bi) — (c -j- di) — (a — c) -f- (b — d)i.

Das Resultat hat wieder die Form A + Bi.

III.    Multiplikation. Zwei komplexe Größen werden miteinander multipliziert, indem mau jeden Teil des ei?ien Faktors mit jedem Teile des andern Faktors multipliziert, also

(4.)

(a -f- bi) (c -f- di) — ac -j- bei -j- a di -f- bdi2 = (ac — bd) -j- (ad -j- bc)i.

Auch hier hat das Resultat die Form A + Bi.

In dem besonderen Falle, wo c == a, d = — b ist, erhält man (a -J- bi) (a — bi) — a² -j- b².

Hier ist das Resultat sogar eine positive reelle Größe.

Zwei solche komplexe Größen, die sich nur durch das Vorzeichen des imaginären Teiles voneinander unterscheiden, heißen „konjugiert“-, es gelten für sie die folgenden Sätze:

1)    Die Summe zweier konjugiert komplexen Größen ist reell: {a -j- bi) -f- (« — bi) — 2a.

2)    Die Differenz zweier konjugiert komplexen Größen ist rein imaginär:

(6.)

(7.)

(a -f- bi) — (a — bi) = 2bi.

3) Das Produkt zweier konjugiert komplexen Größen ist reell und positiv:

(a ß bi) (a — bi) — a'² -)- IS¹.

Dieses Produkt heißt nach Gauß „die Norm von a -f bi“ und ebenso „die Norm von a — bi“. Um die Norm einer komplexen Größe zu bezeichnen, setzt man ein N vor dieselbe; es ist also

(8.)

N(a -j- bi) = N(a — bi) — a'² -|- b'².

Die Quadratwurzel aus der Norm, mit positivem Vorzeichen genommen, heißt „der Modul“ oder (nach Weierstraß) „der absolute Betrag“ der komplexen Größe. Das Zeichen dafür ist ein vorgesetztes M, oder es besteht aus zwei senkrechten Strichen, von denen die komplexe Größe eingeschlossen wird, also

(9.)

| M(a ß bi) = | aß bi \ = -j- jia² -(- b², \ M(a — bi)=\ a — bi\ = ß yadßW. Aus der Gleichung

(10.)

a — bi

a — bi

a G- bi (a -j- bi) {a — bi)    a² -f- b²

folgt der Satz:

4) Der reziproke Wert einer komplexen Größe ist gleich ihrer konjugierten, dividiert durch die Norm.

IV. Division. Bei der Division komplexer Größen multipliziert man Zähler und Nenner mit der zum Nenner konjugierten Größe, dann hat man nur noch durch eine reelle Größe, nämlich nur durch die Norm des Nenners zu dividieren. Dies gibt

c -f- di (c -f- di) (a — bi) ac -f- bd a -)- bi (a -|- bi) (a — bi) a² -)- b² a² -f- b2 Auch liier hat das Resultat die Form A -f- Bi.

ad — bc .

(HO

Da eine Potenz mit positivem, ganzzahligen Exponenten ein Produkt ist, so kann man auch eine komplexe Größe potenzieren; und zwar findet man

(12.) (a -j- bi)n = an —

an~²b² -j-

•]

+E)

an~x b —

i.

§ 103.

Einige Sätze über komplexe Größen. Moivre sehe

Formeln.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 168 bis 178.)

Da eine rein imaginäre Größe die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist, so kann eine reelle Größe, welche von 0 verschieden ist, niemals einer rein imaginären Größe gleich sein. Ist also

(1.)

a —J— b i ■— 0,

so müssen a und b einzeln gleich Null sein. Dies gibt

Satz 1. Sind zwei komplexe Größen einander gleich, so müssen die reellen Teile und ebenso auch die Faktoren der imaginären Teile einander gleich sein.

Beweis. Aus

(2.)

folgt

(a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i = 0.

Dies gibt aber

a — c = 0

Jede Gleichung zwischen komplexen Größen umfaßt daher zwei Gleichungen zwischen reellen Größen.

(3.)

(40

b — d = 0, oder a = c

b = d.

Die komplexen Größen lassen sich auch noch in einer anderen Form darstellen. Setzt man nämlich

a -f- bi | = -j- ]/a? -j- b² = r,

so wird r}=ia und r^b, folglich kann man zwischen 0 und 2n (bezw. zwischen 0° und 360°) einen Winkel y so bestimmen, daß

sin y =

(5.)

(6.)

COS (f - ----

•s I a

¹ $>

— ; dann wird

wird. Aus cos y = - folgt nämlich sin y =

aber stets das obere Zeichen gelten, wenn man festsetzt, daß der Winkel y

zwischen 0°    und    90° liegen soll für a > 0, b >

Dieser Winkel cp heißt das Argument der komplexen Größe a + bi. Durch Einführung dieser Bezeichnungen wird a + bi = r{ cos y + ï’siny).

Bekanntlich kann man den Winkel <p um ein beliebiges Vielfache von 360° vermehren oder vermindern, ohne daß sich die Werte von cos y und siny ändern. Versteht man unter dem Argumente rp nicht den Winkel, sondern den zugehörigen Bogen und bezeichnet man mit h eine beliebige positive oder negative ganze Zahl, so wird also

cos(y + 2 kn) = cos (p, sin(y + 2 hn) — siny.

Deshalb geht Gleichung (7.) über in

a + bi == r[cos(y + ihn) + *sin(y + 2hn)].

O O o" o

(7.)

(7 a.)

Multipliziert man jetzt die komplexen Größen ri(cosyi + î'sinyï) und r₂(cosy₂ + *siny₂) miteinander, so erhält man

ri(cosyi + t'sinyi) . r₂(cosy₂ + «siny₂) = n r₂ [(cos y i cos y₂ — sin y i sin y₂) + «(sin yi cos y₂ + cos y i sin y ₂)J = rtr₂ [cos(yi 4- y2) + *sin(yi + y₂)].

Diese nach Moivre genannte Formel gibt

Satz 2. Komplexe Größen werden miteina?ider multipliziert, indem man ihre absoluten Beträge miteinander multipliziert und ihre Argumente addiert.

Dieser Satz läßt sich ohne weiteres auf Produkte von drei oder mehr Faktoren übertragen; es ist also (9.) ri(cos^i + isin yi). r₂(cos y₂-f- «siny₂) . r₃(cos y₃ + * siny₃)

= rir₂r₃[cos(yi + y₂ + y₈) + *sin(yi + y₂ + y₈)].

(10.)

Sind die Faktoren alle einander gleich, so erhält man [r (cos y -j- «sin <p)\n = rn [cos(««y) + * sin(»y)] und damit zunächst für positive, ganzzahlige Exponenten

Satz 3. Eine komplexe Größe wird potenziert, indem man den absoluten Betrag potenziert und das Argument mit dem Potenzexponenten multipliziert.

Für r — 1 geht die Gleichung (10.) über in

cos (nep) + «sin(/«y) = (cos y + «sin y)M =

Durch diese Formeln, in denen das Multiplikationstheorem der trigonometrischen Funktionen ausgesprochen ist, lassen sich cos(««y) und sin(««y) als rationale Funktionen von cos rp und siny darstellen.

Es wird z. B. für n = 5, wenn man noch die Relation cos²y + sin²y = 1 anwendet,

cos(5y) = cos⁵y — 10 cos³y sin²y + 5 cos y sin⁴y = 16cos⁵y — 20cos³y + 5 cos y, sin(5y) = 5cos⁴ysiny — 10cos²ysin³y + sin⁵y = 16sin⁵y — 20sin³y + 5 siny.

Für die Division zweier komplexen Größen erhält* man jetzt ri(cosyi + * sinyi) _ n (cosyi + 2 sin y 1) (cosy₂ — *siny₂) r₂(cos ff 2 + isin ff 2) r<i (cos y₂ + i sin y ₂) (cos y ₂ — i sin y₂)

2*1 (cos yi cos ff 2 + sin yi sin y₂) + ?(sin y.i cos y₂ — cos yi sin y₂)

cos² y₂ + sin²y₂

oder

[cos(yi — y₂) + tsin(yi — y₂)] •

(13.)

ri(cos yi + i sin yi) r₂(cos y 2 + * sin y₂)    ?’²

Daraus folgt

Satz 4. Komplexe Größen werden durcheinander dividiert, indem man die absoluten Beträge durcheinander dividiert und, die Argumente voneinander subtrahiert.

Satz 3 macht es jetzt auch möglich, aus einer komplexen Größe die nte Wurzel auszuziehen. Unter -j/ r(cos y + isin <p) versteht man nämlich eine Größe A, deren nte Potenz gleich r(cos y + «sin y) ist. Diese Eigenschaft besitzt für ganzzahlige Werte von h die komplexe Größe

(14.) A = y r    + «'sin ( denn es wird nach Gleichung (10.)

An = r[cos(y -f 2hn) -j- ?‘sin(y -f 2hn)\

oder, weil

cos (ff + 2hn) = cos ff und sin(y + 2hn) = siny

Ql v.

An = r{ cos y -f i siny).

Dies gibt

(16.) y⁷:V(cosy+* siny) = y⁷r J^cos^^-²-—^ -f- esin^—    •

Dieser Ausdruck hat wieder die Form A -j- Bi.

Damit ist bewiesen:

Satz 5. Aus einer komplexen Größe icird die Wurzel gezogen , indem man sie aus dem absoluten Betrage zieht und das Argument durch den Wurzel-Exponenten dividiert.

Gleichzeitig sind hiermit auch die Potenzen, deren Exponent eine gebrochene Zahl ist, ebenso für komplexe Größen erklärt wie für reelle, indem man

(17.)

findet.

Da die ganze Zahl h unendlich viele Werte hat, so könnte man glauben, es gäbe unendlich viele Werte für die nte Wurzel aus r(cos(p + ^sintp). Dies ist aber nicht der Fall; setzt man nämlich

h — n -\- h‘,

(2±^) - c₀S(s+^‘i +    _ coS(?d|^)

*,(» + “») = sin^+f " ₊2^) = sin^+f'”)

o wird

cos

d. h. die Zahlen h und ti liefern denselben Wert der Wurzel, wenn ihre Differenz gleich n, oder gleich einem Vielfachen von n ist. Es gibt daher im ganzen nur n verschiedene Werte für die nte Wurzel aus einer komplexen Größe. Diese n verschiedenen Werte findet man aus Gleichung (16.), indem man der ganzen Zahl h z. B. die Werte 0, 1, 2, ...n — 1 beilegt.

Da unter den komplexen Größen die reellen Größen mit inbegriffen sind, so gelten diese Ausführungen auch für die Wurzeln aus reellen Größen. So ist z. B.

(■?)+«(¥)

j/1 = -j/cosO + * sin 0 = cos

ein Ausdruck, aus dem man die n verschiedenen Werte von y 1 findet, indem man

setzt.

h = 0, 1, 2,... n — 1

§ 104.

Geometrische Darstellung der komplexen Größen.

Wie man die reellen Größen durch Punkte oder Strecken in einer geraden Linie geometrisch darstellen kann, so kann man die komplexen Größen durch Punkte oder Strecken in einer Ebene darstellen. Dabei soll der folgende Grundsatz gelten:

Zwei Strecken sind einander gleich, wenn sie gleiche Länge und gleiche Richtung haben.

Dann bezeichne man mit +1 eine Strecke, deren Länge gleich 1 ist, und deren Richtung parallel ist zur positiven Richtung der X-Achse. Mit + i dagegen bezeichne man eine Strecke, deren Länge auch gleich 1 ist, deren Richtung aber parallel ist zur positiven Richtung der Y-Achse. (Vergl. Fig. 132.)

Fig. 132.

4 i-

tr~x

Damit ist natürlich noch nicht gesagt, daß -j- * dieselbe Bedeutung habe wie in den vorhergehenden Paragraphen, daß nämlich i gleich ]/ — 1 sei ; es sollen vielmehr die hier folgenden Untersuchungen zunächst ganz unabhängig von den vorhergehenden geführt werden.

Fig. 133.

jt—

Ö]

Demnach werde hier die komplexe Größe a-\-bi durch eine Strecke OP erklärt, welche den Anfangspunkt der Koordinaten O und einen Punkt P mit den Koordinaten OQ=^a, QP = b verbindet. (Yergl. Fig. 133.) Man gelangt nämlich vom Punkte 0 aus zum Punkte P, indem man a Einheiten in der Richtung der X-Achse und dann b Einheiten in der Richtung der Y-Achse durchläuft, oder indem man zuerst b Einheiten in der Richtung der Y-Achse und dann a Einheiten in der Richtung der X-Achse durchläuft.

So entspricht jeder komplexen Größe a -j- bi ein PunktJP in der Ebene und jedem Punkte P eine komplexe Größe a -f ln.

Durch die Gleichungen

-s ¹ a

sin^ =

(1.)

r = Ya² -j- b², cos cp

a -p bi = r(coscp -f «sin(p)

kann man auch Polarkoordinaten einführen. Dabei heißt r der „absolute Betrag der Strecke OP“, weil ihre absolute Länge gleich r ist, und der Winkel y heißt das „Argument der komplexen Größe“.

32

Kiepert, Differential-Eecłmung.

Die so erklärten komplexen Größen kann man nun durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division miteinander verbinden, indem man dieselben Regeln an wendet, welche für reelle Größen gebräuchlich sind, und zwar geschieht das in folgender Weise:

I. Addition. Will man die Addition zweier reellen Größen geometrisch ausführen, so trägt man auf einer Geraden, z. B. auf der X-Achse vom Anfangspunkte 0 aus eine Strecke OP ab,

Fig. 134.

P_

welche der einen Größe entspricht, und darauf vom Punkte P aus eine — zweite Strecke PR, welche der anderen Größe entspricht. Dadurch erhält man eine Strecke OR, welche die Summe der beiden gegebenen Größen geometrisch darstellt. In welcher Reihenfolge man die beiden Strecken aufeinander folgen läßt, ist dabei gleichgültig. (Vergl. Fig. 134.)

Fig. 135

G>

Q₂

Genau ebenso kann man zwei komplexe Größen ax + bxi und u-i -f- b₂i, welche durch die Strecken OPx und OP₂ geometrisch dargestellt sind, addieren. (Vergl. Fig. 135.) Man macht zu diesem Zwecke den Punkt 1\ zum Anfangspunkte einer Strecke PxR, welche der Strecke OP2 gleich ist, d. h. welche mit OP> gleiche Länge und gleiche Richtung hat. Dadurch erhält man ein Parallelogramm OP\RP₂, in welchem der Punkt R, bezw. die Diagonale OR die Summe der beiden gegebenen Strecken OPx und OP₂ ist.

Da die Seite P₂R der Seite OPx gleich und parallel ist, so hätte man auch P₂ zum Anfangspunkte einer Strecke P>U machen können, welche der Strecke OPx gleich ist, und wäre zu demselben Punkte R gekommen.

Wie man sehr leicht aus Figur 135 nach weisen kann, sind dabei die Koordinaten des Punktes R gleich ax -f- a₂ und bx -f- b₂, so daß er in der Tat der komplexen Größe

(«i -|- b\t) -|- [a₂ + b₂i) — (ßi -)- «2)    {b\ -f- b₂)i

(2.)

entspricht.

In dieser Konstruktion ist der Satz vom Parallelogramm der Kräfte enthalten. Stellen nämlich die Strecken OPt und OP2 durch ihre Länge und Eichtling die Intensität und Richtung zweier Kräfte mit demselben Angriffspunkte 0 dar, so haben dieselben mit der Diagonale OP des Parallelogramms OPiRP2 gleiche Wirkung. Dabei sind

«i und bi «2 „ h

„ bi -j- b₂ „

die Komponenten von OPi} » OP2, * OB.

ai -j- a₂

Die Komponenten der resultierenden Kraft findet man also, indem man die Einzelkräfte in ihre Komponenten zerlegt und die gleichgerichteten Komponenten addiert.

Man kann die Sätze über Addition ausdehnen auf Summen von beliebig vielen Summanden. Soll man z. B. die Strecken

al + b\i. a₂ -]- b₂1: .. .an “I⁻ bni

addieren, so erhält man für die Summe der beiden ersten Strecken einen Punkt R₂ mit den Ko-ordinaten at -f a₂ und bi + b₂, r für die Summe der drei ersten Strecken einen Punkt /?₃ mit den Koordinaten «1 + «₂ -f- «3 und bi + b₂ -f- b₃ ; in dieser Weise kann man fortfahren, bis man einen Punkt Prl mit den Koordinaten ax -f

und bi +    _

b₂ ff----+ bn erhält, welcher ⁰

der Summe entspricht (Fig. 136). Ist das Polygon OPiR₂Rs. ..Rn geschlossen, so daß der letzte Punkt Rn mit dem Anfangspunkte 0 zusammenfällt, so ist die Summe gleich Null; die Bedingung für einen geschlossenen Streckenzug ist daher A(a + bi) = 0,

a2 + ' • * + an

(3.)

Fig. 136.

r₃

R2

Ix/f

Pi,

S.3

s* x

32*

welche die beiden Bedingungen

2a = 0 und 2b = 0

in sich einschließt.

II. Subtraktion. Da eine Größe von der anderen subtrahiert wird, indem man die entgegengesetzte Größe addiert, so kann man die Subtraktion auf die Addition zurückführen und findet

(4.)    («i + bti) — (ö₂ + <V) = («l -f b\Ï) + (— a₂ — b₂i)

— (ai — &2) (bi — b<i)i.

III. Multiplikation. Für reelle Größen gilt die Regel: Das Produkt A . B entsteht aus B wie A aus der Einheit. Dieselbe Regel kann man auch bei der Multiplikation zweier komplexen Größen r^cosyi + ? sin 9P1) und r₂(cosya + «singpa), welche den Strecken 0P₁ und OP₂ entsprechen, anwenden.

Fig. 137.

El

XE'

Hat der Punkt E (Fig. 137) die Koordinaten a = 1 und b = 0, so entsteht die Strecke OPx aus der Einheit OE. indem man durch 0 eine Gerade legt, welche mit OE den Winkel bildet, und auf dieser Geraden die Länge der Einheit (OE) ri-mal abträgt. Ebenso findet man das Produkt der beiden Strecken OPx und OP₂, indem man durch den Anfangspunkt 0 eine Gerade legt, welche mit der Geraden OP₂ den Winkel (fX bildet, und auf dieser Geraden die Länge von OP₂ (also r₂) ri-mal abträgt. Dadurch erhält man einen Punkt R, welcher dem Produkte der beiden komplexen Größen entspricht.

Durch den Umstand, daß die beiden Dreiecke OEPx und OP₂R einander ähnlich sind, wird auch die Konstruktion des Punktes R verhältnismäßig einfach. Man mache zu diesem Zwecke das Dreieck OE‘P\ dem Dreieck OEPx kongruent und ziehe P₂R parallel zu E‘P\. Dabei hat die Strecke OR nach Konstruktion die Länge rxr₂ und bildet mit der positiven Richtung der X-Achse den Winkel ą>x (f2, so daß man erhält ?’i(cos<pi + «sinçpi) • r₂(cos<f>2 + ism cp₂)

(5.)

= r±r-2 [cos(^pi + cp₂) + i sin(^i + tp₂)].

Es gilt also auch hier der Satz: Komplexe Größen werden miteinander multipliziert, indem man die absoluten Beträge miteinander multipliziert und die Argumente addiert.

In dem besonderen Falle, wo

7t

to są

**“2

r± = 1, r₂ = 1, fpi =

ist, geht Gleichung (4.) über in

(6.)

i² = — 1.

Damit ist bewiesen, daß die komplexen Größen, welche in diesem Paragraphen geometrisch erklärt wurden, mV den früher betrachteten identisch sind.

IV. Division. Da die Division die Umkehrung der Multiplikation ist, so liegt in der eben angegebenen Konstruktion auch die Anleitung zur Division komplexer Größen. Soll man nämlich die den Strecken OB und OPx entsprechenden komplexen Größen durcheinander dividieren, so macht man wieder das Dreieck OP₂R (Fig. 137) ähnlich dem Dreieck OEPx, so daß P₂ und E homologe Punkte sind. Die Strecke OP₂ entspricht dann dem gesuchten Quotienten, und es gilt der Satz: Komplexe Größen iverden durcheinander dividiert, indem man die absoluten Beträge durcheinander dividiert und die Argumente voneinander subtrahiert.

§ 105.

Vier Sätze über die absoluten Beträge.

Satz 1. Der absolute Betrag der Summe zweier komplexen Größen ist (gleich oderj kleiner als die Summe der absoluten Beträge und (gleich oder) größer als die Differenz derselben.

Die Summe der beiden komplexen Größen

Beweis.

ri(cos^i + «sinyi) und r₂(cos <g₂ + «sin (f ₂) ist

(ricos^i + r-₂ cos <p₂) + hVisin + r₂sinçp₂); der absolute Betrage dieser Summe wird daher Y rf + r₂² -f- 2rp-2 cos(<?i — cp₂).

Dieser Ausdruck erhält seinen größten Wert, nämlich den Wert -j- r₂, wenn cos(</>i— y₂) = +1 wird; den kleinsten Wert dagegen, nämlich den Wert | r± — r₂|, erhält er, wenn cos(yi — (fi) = — 1 wird. Deshalb ist

(1.) | t’i — r₂ | ^ ]/ri² -f r₂² + 2r^₂ cos(</~i — (f₂) ^ rx -f- r₂.

Damit ist der Satz bewiesen.

Viel einfacher gestaltet sich der Beweis mit Hilfe der geometrischen Darstellung; denn da ist dieser Satz identisch mit dem Satze: In einem Dreiecke OP\R (Fig. 135) ist die Seite OR kleiner als die Summe und größer als die Differenz der beiden anderen Seiten OP\ und I\R.

Satz 2. Der absolute Betrag der Differenz zweier komplexen Größen ist (gleich oder) kleiner als die Summe der absoluten Beträge und (gleich oder) größer als die Differenz derselben.

Beweis. Man kann die Differenz auch als eine Summe auffassen, indem man die Größe, welche subtrahiert werden soll, mit dem entgegengesetzten Vorzeichen versehen, addiert. Deshalb folgt dieser Satz schon aus dem vorhergehenden Satze.

Man kann somit Satz 1 auch ohne weiteres ausdelmen auf die algebraische Summe beliebig vieler Größen.

Satz 3. Der absolute Betrag des Produktes zweier komplexen Größen ist gleich dem Produkt der absoluten Beträge.

Der Beweis des Satzes folgt aus der Gleichung (2.) ri(cosyi + isin^i) . r₂(cosy₂ + «siny₂)

= fir₂ [cos(yi + (f₂) + i sin(yt + <f₂)].

Satz 4. Der absolute Betrag des Quotienten ziceier komplexen Größen ist gleich dem Quotienten der absoluten Beträge.

Auch hier folgt der Beweis unmittelbar aus der Gleichung

[cos(r/>i — (f₂) + «sin(yi — (p₂) J.

?*! (cos </>i + isinę-i) T\

r₂(cos(f₂ + «Sin^₂j — r₂

§ 106.

Unendliche Reihen mit komplexen Gliedern.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 116 und 117.)

Erklärung. Eine unendliche Reihe

(«0 + kf) 4- (a\ -f- b\i) 4- («2 4~ hi) 4----,

bei der die einzelnen Glieder komplexe Größen sind, heißt konvergent, wenn die reellen Teile und die Faktoren der imaginären Teile für sich zwei konvergente Reihen bilden, wenn also die Reihen

(1.)

A — ßo 4~ fli 4" ß2 4----j

R — ^0 4~ ^1 4~ ^2 4~ • • • j

konvergent sind; und zwar heißt sie ,,unbedingt konvergent¹¹, wenn A und B unbedingt konvergente Reihen sind. Ihre Summe wird sich dann derselben Grenze

(2.)

S = A 4- Bi

nähern, wie man auch die Glieder der Reihe anordnen mag.

Satz 1. Eine Reihe (mit reellen oder komplexen Gliedern) ist unbedingt konvergent, wenn die Summe der absoluten Beträge konvergiert.

Beweis. Ist

(3.)    — | ao —h hi ,    ?’i = | U\ -f- b\i J, r% — | a<i -(- b<E \..

so konvergiert nach Voraussetzung die Reihe r₀ + rx -f- r₂ -f----.

Nun ist aber

All All

r₀ ^ | «o i r₀ ^ | k₀ |, r\ folglich sind die Reihen

|    I    I «1 I + I «2 I 4----J

j ^1 I "b ^2

erst recht konvergent, d. h. die Reihen

üq f- U\ a<i 4~ • • • und bo ~(- b\ 4~ ^2 4~ • ■ • sind nach Formel Nr. 116 der Tabelle unbedingt konvergente Deshalb gilt auch dasselbe für die Reihe

(«o + ÄoO 4“ (ßl 4“ ^1?) + (a2 + ^2*') 4— •

Der Wortlaut dieses Satzes stimmt genau überein mit dem letzten Satze in § 54 (S. 257, vergl. auch Formel Nr. 116 der Tabelle) ; dort handelte es sich aber nur um Eeihen mit positiven und negativen reellen Gliedern, während hier die einzelnen Glieder komplexe Größen sind.

Umkehrung. Ist eine Reihe mit komplexen Gliedern unbedingt konvergent, so konvergiert auch die Summe der absoluten Beträge.

Beweis. Unter Benutzung derselben Bezeichnungen wie in Satz 1 konvergieren nach Voraussetzung die beiden Eeihen

«o | 4~ , a\ ! 4~ i ß2 i 4~ • • •

und

folglich ist die Eeihe

U) 4- r± 4- r₂ 4----

erst recht konvergent.

Auch die Sätze, welche in § 55 für die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zweier unbedingt konvergenten Eeihen und über die Wurzelausziehung aus Eeihen mit reellen Gliedern bewiesen wurden, lassen sich jetzt auf Eeihen mit komplexen Gliedern übertragen. Dadurch erhält man die folgenden Sätze:

Satz 2. Sind

(4.) TJ = Uq -f- U\ -j- u% 4- • • • und V =    4~    4~ ^"2 4~ * ■ •

zwei fbedingt oder unbedingt) konvergente Reihen, so werden diese Beilien addiert, indem man die gleichstelligen Glieder addiert; es wird also

(5.)    TJ -j- V = (Uq    t'o) -j- (U\ -)- v-\) -(- (u₂ -J- u<i) -(-•••.

Ebenso findet man für die Subtraktion der beiden konvergenten Reihen

(6.)

U— y = («o — »o) + («i — ©i) 4- O2 — e₂) 4----.

In derselben Weise kann man auch die algebraische Summe von drei oder mehr konvergenten Reihen mit komplexen Gliedern bilden.

Satz 3. Sind

(7.) TJ = Uq 4- U\ —|— u₂ 4~ • • • und V = Vq 4~    4~ ^2 4~ * * ■

zwei unbedingt konvergente Reihen (deren Glieder jetzt auch komplex sein dürfen), und ist

W₀ = UqV 0,

Wt = U₀V1 + Mi»o,

W₂ = U₀V₂ + UXVX 4- u₂v0,

Wn — Uq Vn 4- U\Vn_\ 4“ • • • 4~ un—1 t'l 4~ un ^0

so ist auch die Reihe

4- wx 4- ^2 4----

unbedingt konvergent, e’Äre Summe TV ist gleich dem Produkte UV der Summen der beiden ersten Reihen.

Beweis. Nach Voraussetzung sind die Reihen

I uo | 4~ I ux \ 4“ ; w2 : 4---- und t v₀ j 4~ i vx ; 4~ I v2 \ 4~ • • •

konvergent. Bezeichnet man ihre Summen bezw. mit U‘ und V‘, und mit W‘ die Reihe, welche durch Multiplikation der beiden Reihen U‘ und V‘ entsteht, so kann man in diesen drei Reihen die Summen U‘n, VJn, W‘n der n ersten Glieder absondern und findet ebenso wie in § 55, daß

UnV n- -TV n = Iun—1 . \vn—i|4-(|mw—2) • \®n—■i|4~|^m—1 • \^n—2!) I ■ ■ ■ + (K| •    1 4" u2 ■ \Vn—2j4~----f-1Un—₂\.IÜ214"IUn—X|• |»11)

= j Un—X^n—X | 4~ (| un—2'ün—X \ 4~ | un—Xvn—2 |) 4“

für hinreichend große Werte von n beliebig klein wird; folglich wird nach den Sätzen des vorhergehenden Paragraphen der absolute Betrag von

Un Vn-Wn — ltn—\ Vn—\ -p (wn—2vn— 1 + t'H_o) -j----

+ (ut Vn—1 H⁻ Vfi—2 -p • • • "p Ww_2 t‘2 -p W«—1 t'i)

(8.)

erst recht beliebig klein, denn der absolute Betrag einer Summe ist kleiner als die Summe der absoluten Beträge. Es wird daher lim Wn = lim UnVn = UV

H =OQ

n=oo

Dabei ist auch w₀ 4- u\ -p w₂ -p • • • unbedingt konvergent; denn ersetzt man die Größen w₀, wi, «u,...,    «?i, ^2,... durch

ihre absoluten Beträge, so verwandeln sich die Größen wQ, w-i,

.. in w‘0, w\, wJ

w₂

und es wird

j = w'₀ , I W\ j ^ wh, I w₂ j ^ w/₂,....

Jetzt ist die Reihe w'₀ + wh + w'₂-j----konvergent, folglich

ist die Reihe

Wo I -p j W‘i I -p I W₂ I -p • • •

erst recht konvergent.

Daraus ergibt sich dann auch ohne weiteres, wie man das Produkt von drei oder mehr unbedingt konvergenten Reihen bilden kann.

Macht man die Faktoren eines solchen Produktes sämtlich einander gleich, so erhält man die Potenz einer Reihe. Ist z. B. wieder

(9.)

U — Uq -p 'U\ —p U₂ “p • • •

(10.)

eine unbedingt konvergente Reihe, so wird auch Üm — Ao -j- A\ -p A₂ -p A3 -p • • • eine unbedingt konvergente Reihe. Für die Bildung der einzelnen Glieder A₀, A1} A₂, A3,... gilt auch hier die in § 55 bewiesene Rekursionsformel

(11.) nu₀An -p [n — (m -)- 1 )]«!.!„_! + [n — 2(m -J- 1 )]u-₂A

~P \n — 3ign -p l)]^3 Ah—3 -p • • • -p [n — (?i—1) (gn -pl)]wn_iAi

-p [n — n{m -J- 1)J unA₀ = 0.

Aus der Multiplikation ergibt sich durch Umkehrung auch die Division, und aus der Potenzierung ergibt sich durch Um-

kehrung die Wurzelausziehung. Dabei gelten auch hier dieselben Beziehungen und Gleichungen wie die in § 55 für Reihen mit reellen Gliedern aufgeführten. Bei der Übertragung der Wurzelausziehung auf Reihen mit komplexen Gliedern ist mir noch zu beachten, daß die Größe

^0 = l^O

nach Formel Nr. 173 der Tabelle m verschiedene Werte besitzt.

(12.)

§ 107.

Funktionen einer komplexen Veränderlichen.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 174.)

Da man die Operationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division bei komplexen Größen in derselben Weise ausführen kann wie bei reellen, so kann man auch ganze und gebrochene rationale Funktionen von einer komplexen Veränderlichen

z = x -j- yi

bilden. Eine solche Funktion kann immer auf die Form

(1.)

(2.) f{z) = f(x + yi) = (f{x, y) + *ip(x, y) = u + vi gebracht werden, wenn man die Operationen, welche durch die Bildung der Funktion gefordert werden, wirklich ausführt. Dabei sind <p(x, y) und ip(x, y) wieder rationale Funktionen der beiden Veränderlichen x und y, die nur reelle Größen enthalten.

Auch irrationale Funktionen von x + yi kann man bilden, da es möglich ist, bei jeder komplexen Größe n Werte der Wurzel ntea Grades anzugeben. Außerdem kann man noch transzendente Funktionen von x + yi durch konvergente Reihen erklären. Beispiele hierzu bieten die Reihen

« + y* i 0 + y*)² , 0 + yif ,

2!

x + yi (x + yi)z (x -f- yi)b

1!

3!

l!

3!

2!

(x -f yi)²

(x + yi)⁴

usw., welche bezw. in ex, sinrr, cos^ übergeben, wenn y gleich 0 wird. Diese Reihen sind auch konvergent, weil die Summe der absoluten Beträge konvergiert. Auf die so gebildeten Funktionen lassen sich ohne weiteres alle Erklärungen und Sätze ausdehnen, welche in der Differential-Rechnung für Funktionen von einer reellen Veränderlichen gegeben worden sind. Namentlich kann man auch hier den Differentialquotienten, d. h. die Ableitung der Funktion wieder wie in Formel Nr. 16 der Tabelle durch die Gleichung

/'(*) =

df(z)

dz

= lim

/Qi) —f(z)

zL=z

Z\ — z

erklären. Handelt es sich z. B. um die Bildung der Ableitung von zn, so findet man in derselben Weise wie bei reellen Veränderlichen

d(zn)

Z[n — zn

— = lim (zff⁻¹ + ZZ\n~² -j-----\- Zn~²Zx + 2m_1)

Z    z₁=z

— nzn~x,

wobei zi = x\-f-yd sich dem Werte z = x-\-yi beliebig nähert, indem sich xt dem AVerte x und yx dem AVerte y beliebig nähern. Dabei ist

(3.)    dz — dx -j- idy, df(z) = d(u -(- vi) — du -f- idv,

so daß man es, abgesehen von dem Faktor i, auch hier nur mit den Differentialen reeller Größen zu tun hat.

Bemerkenswert sind hier aber noch die folgenden Formeln. Man kann f(z) als Funktion der beiden Veränderlichen x und y betrachten und erhält deshalb

df(z) df(z) dz äf(z) _df(z) dz

dz dy

dx

dz

dx

dy

oder

(4.)

df(z)

dx

= /'(*)

df(z)

dy

Dies gibt

(5.)

df{z)

df(z)

dx

dy

= f‘iß) —f(z) = o

oder mit Rücksicht auf Gleichung (2.)

(6.)

also

du . .de , .du    de

+ ^--3“ = 0

dy dy

dx ¹ dx

(7.)

du    de    du

dx    dy ’ dy    dx

de

§ 108.

Zusammenhang der Exponential-Funktion mit den trigonometrischen und den hyperbolischen Funktionen.

(Vergl. die .Formel-Tabelle Nr. 175 bis 185.)

Es sei eine Funktion f(z) erklärt durch die Gleichung'

+ ■ • • j

(1.)

/(*) — ¹ +

z²

co

+ 2!

wobei z jetzt auch komplexe Werte x -)- yi haben darf. Multipliziert man diese Reihe mit

1!

(2.)

*i³

so erhält man

J{Z) 'S (*l) — W0 + wl + W'2 + • • •

wobei nach Formel Nr. 117 der Tabelle

(3.)

W₀ = 1

z² z w* ⁼ 21 ⁺ "

Z\

1! ‘ 1 ! r 2 !

z , Z1

Wl = îT⁺n_

zi² z² -f- 2zzi -f- zi² (z -j- Zj)²

1!

2!

2!

wn =

Zn

zn~¹

(n — 1) ! ' 1 ! ⁺

zn 2

Zi²

(» — 2) ! ’ 2 ! ^

7X

⁼ CTr ⁺ r²”“‘2l + - (g + z\)n

n(n — 1)

2!

wird. Deshalb ist

(4-) /0)/01) = ¹ +

, {Z + Z l)²    , (Z + Zt)³

^    3!

1!

2!

H =f{z+zi).

Beschränkt man z und z\ auf reelle Werte, so wird

/(*) = *“, /(**= /(* + *0 = eZ+Zl

und Gleichung (4.) gibt die bekannte Relation

(5.)

ez . eZl = ez4Zl.

Man bezeichnet nun die durch Gleichung (1.) erklärte Funktion f(z) auch dann noch mit ez und nennt sie „Exponential-Funktion“, wenn z beliebige komplexe Werte annimmt, obgleich dann z kein eigentlicher Exponent mehr ist. Es ist also bei dieser Erweiterung des Begriffes die Funktion ez nicht mehr als eine Potenz aufzufassen, sondern als die Reihe

2³

1 H---f- ——k

^ 1! ^2! ^ 3!

Wie aber soeben gezeigt wurde, gilt auch dann noch die Gleichung (5.), in welcher das Additionstheorem der Exponential-Funktion ausgesprochen ist.

Um zu untersuchen, welchen Sinn ez für komplexe Werte von z hat, setze man zunächst x = 0, also z = yi; dann wird

= cos y -j- «siny.

Ebenso findet man für z = —yi

(7.)

e—y* = cos y — «siny.

Daraus folgt

(8.)

cos y =

e'A -f- e~yi

’ siny =

eyi — (.-y¹

Setzt man jetzt z = x yi, so wird nach Gleichung’ (5 )

(9.)

ex-\-yi _ exeyi _ e*(cOSy /silly) .

Ans diesen Beziehungen ergeben sich auch mit großer Leichtigkeit die Moi er e sehen Formeln (vergl. die Formel-Tabelle Nr. 169 bis 173).

Setzt man nämlich

ex\ = T\, exa = r-2

so wird

e*rh/)*' = ri(cost/i -f- «sinyi), ex₂+?/2* _ r₂(cosy% + «siny*); deshalb folgt aus Gleichung (5.)

ß*i+ii* _ g®i+y»*" = g(*i+^*)4 (y.i+ÿa)*'

oder

(10.)

ri(cos y\ + «Sinyi) . r₂(cosy-₂ + *siny₂) = rir₂[cos(yi + y-i) + isin(yi + yz)] •

Dadurch wird Formel Nr. 169 der Tabelle bestätigt. Ferner folgt aus Gleichung (5 )

ex+yi ' e—x—yi — gO — ]_

oder

(11.)

ex

(cos y — «siny);

deshalb wird

(12.)

ßX\+V\* gxa +J/a*

= g(*i—**)+(yi—y*)*'

oder (is-} =»Ccos(yi _ +isin(yi _ *)j •

Dadurch wird Formel Nr. 172 der Tabelle bestätigt.

Durch wiederholte Anwendung des Additionstheorems ergibt sich das Multiplikationstheorem der Exponential-Funktion, das in der Gleichung

(14.)

(eV'Y =

ausgesprochen ist. Diese Gleichung enthält aber zugleich auch das Multiplikationstheorem der trigonometrischen Funktionen, denn sie kann auch in der Form

(cos (f -j- isin cf)n = cos(ny) -f- ?sin(/*y)

geschrieben werden und liefert dann die Formeln Nr. 171 der Tabelle, nämlich

COS(ft<jp) = COSn(f' —

SS (M

cos n—'²cp sin²#>

(15.)

+ Q^cosN-4çpsin⁴</> sin(wy) = (^ cosn_1ÿ sin <p

Q^cosw~³</>sin³</> H-----.

Besonders zu beachten ist es noch, daß aus Gleichung (6.) für y = 2/7', 47T,... 2hn

gni ₌ 2 ?    e47Z» _    _ _ e1hni _ 2

folgt, wenn A eine beliebige positive oder negative    Zahl

ist. Ferner wird deshalb

(16.)

(17.)

gzĄ-Zhni __ gZ çllini __ gz

Die Exponential-Funktion hat also die Eigenschaft, daß sich ihr Wert gar nicht ändert, wenn man die Veränderliche 2 um ein Vielfaches von 2ni vermehrt. Man nennt deshalb 2 ni eine „Periode der Exponential-Funktion“ und ez selbst eine periodische Funktion“. In ähnlicher Weise sind auch die trigonometrischen Funktionen periodische Funktionen, und zwar ist ihre Periode 2zr; denn sie ändern ihren Wert nicht, weim man den Wert der Veränderlichen um ein Vielfaches von 2/r vermehrt.

Aus den vorstehenden Formeln erkennt man auch den inneren Grund für die nahe Verwandtschaft zwischen den trigonometrischen und den hyperbolischen Funktionen. Den Gleichungen (6.), (7.) und (8.) entsprechen nämlicli die Gleichungen

(7 a.) e~u = Go)m — (Sin u,

©in u =

(6 a.) eu = ßofw + ©in u, eu -j- e~u

(8 a.)

(£o)m —

eu — e u

(18.)

Setzt man u = cpi, so erhält man aus diesen Gleichungen

e⁽Pi -f- e~‘v*

(19.)

ßoj (</>«) = ©in (rfi) =

ev* — e-v*

— COS (p,

= «sin y.

Setzt man dagegen y = (fi, so findet man aus den Gleichungen (8.)

§ 108. Zusammenh. d. Funktionen ex, sina:, cosar, ©tna: und (Sofa:. 513 e—v -f eV

(20.)

cos(ÿfc) =

₂    =    \<p

. . .. e'_<p — e<p • e(p —

(21.)    sm(^) = —^

Daraus ergibt sich auch, wie man die Formeln für die hyperbolischen Funktionen aus den entsprechenden trigonometrischen Formeln ohne weiteres ableiten kann.

Setzt man der Kürze wegen

(22.) e⁽f‘ = cos(p + isinçp = s, e—v' ------ cos</>— ishup = t,

so wird

= «•’© tnçp.

Li

(23.)

s H- t = 2 cos y, s— t = 2fsiny, st = 1, < sm + tm =    + er™!* = 2 COS(m<j>),

sm — tm =    — e-™^ = 2i$m{m(p).

Nach dem binomischen Lehrsätze erhält man dann

KT)

s¹ t2>l~²

-KT)

sfin—l    fin ^

oder, wenn man auf der rechten Seite dieser Gleichung je zwei Glieder miteinander vereinigt, von denen das eine ebenso weit vom Anfänge wie das andere vom Ende absteht,

+ i²"-²)

(s + t)-n = (s2n + t2n)+ Ç^st(s

+ fin-^ Ą----

+ ( 2W)ä2<8(*

sntn.

Dies gibt mit Rücksicht auf die Gleichungen (22.) und (23.)

(24.)    22w(cosr/>)2n = 2cos(2rc<jp) -f (²i^2cos(2w — 2 )<jp

+ ^²^2cos(2/ï — 4)y G----

⁺(« T O2 cos(²v) + (T)⁻

Kiepert, Differential-Rechnung.

33

514 § 108. Zusammenh. d. Funktionen ex, sina?, cosa?, (Eirta? und (Sofa?. Ebenso findet man

(25.)

22»+1(cos y)2»+l _

2cos(2rc -f- l)y +    ^ ^2 008(2» — 1 )(f -1----

+ (^— i¹)²⁰⁰^³^) + (2n^l ^cos y.

Bildet man jetzt in ähnlicher Weise

(* —tf" = (s!” +    — ( J js<!(s

+(²₂>v

in—2

-f t2n~r)

+ t2n~⁴) H—

so findet man mit Rücksicht auf die Gleichungen (22.) und (23.)

(26.) (— l)n 22w(siny)2M = 2 cos(2wy) — Ç²^ 2 cos(2/?

+ (²^2cos(2n — 4) y--1----

+ (— ¹)n~¹(n²l₁)2cos(² <r) + (— ¹)w(^”)-

2 )y

Dagegen wird

2 h— 1

— ^H-i) _j-----

Berücksichtigt man jetzt wieder die Gleichungen (22.) und (23.) und dividiert beide Seiten der Gleichung durch i, so erhält man

(27.)

(— l)w22w+¹(siny-)2n+1 = ^2sin(2/? — 1 )(f +

2n -j- 1

2sin(2w + l)y — (

+ (— l)w-¹(²^_^l¹)2sin(3y) + (- 1 )'*(²”^" ^2 siny.

Ähnliche Formeln lassen sich auch für die hyperbolischen Funktionen herleiten.

Bemerkungen.

1.    Dem Anfänger wird dringend empfohlen, diese Formeln durch Zahlenbeispiele einzuüben, also die Ausdrücke für cos²(p, sin²<p, cos³</>, sin³</>, cos⁴(/>, sin⁴r/i,... wirklich zu bilden.

2.    Die vorstehenden Formeln finden in der Integral - Rechnung eine wichtige Anwendung.

§ 109.

Logarithmen der komplexen Größen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 186 und 187.) .

(1-)

Nach Gleichung’ (9.) des vorhergehenden Paragraphen war ex-\-yi _ ex _ eyi — ^(cosy    ismy) — u -f- ©*,

wo

u — excosy, v — exsiny reelle Größen sind. Hierbei waren x und y ganz beliebige Größen. Man kann aber auch die Gleichung (1.) befriedigen, wenn die Größen u und © beliebig gegeben sind, denn aus den Gleichungen (2.) folgt dann

| e-x = u¹ -(- V-. oder x = ^ ln(a² -p ©²),

y = arctg0, wobei man den Wert von y so bestimmen muß, daß o < y <

(2.)

(3.)

tgy =

oder

wenn « > o, © > 0,

< y < 7T,

a < 0, © > 0

2/ < 0, © < 0,

37T

u > 0, © < 0

Tr < y < -jp 3/r

— < y < 2rr,

ist, damit die Gleichungen (2.) befriedigt werden.

Für reelle Größen war nun der natürliche Logarithmus einer Zahl a der Exponent, zu welchem die Basis e erhoben werden muß, damit man a erhält, d. h. aus der Gleichung ea = a folgte u = Ina.

Man erkennt ans dem vorstehenden, daß man diese Erklärung jetzt ohne weiteres auf komplexe Größen ansdehnen kann, indem man aus Gleichung (1.) die Gleichung x -f- yi = ln(w -)- ci) ableitet. Dabei tritt aber der äußerst bemerkenswerte Umstand ein, daß der Logarithmus von u -f ci unendlich viele Werte haben kann, denn nach Formel Nr. 179 der Tabelle wird für ganzzahlige Werte von h auch

(4.)

(5.)

ex+yi+2hni = u _j_ Qi.

Dies gibt

ln(«! -j- vi) — x -j- yi -j- 2hni.

Liegt y zwischen — n und + tt, so nennt man x + yi den „Hauptwert von ln(w + vi)¹¹. Aus. diesem gehen alle übrigen Werte von ln(w + vi) durch Addition eines ganzzahligen Vielfachen von 2ni hervor.

Aus der Gleichung

(6.)

(U)

eni = coSTT -f isin/r = — 1

folgt z. B.

(8.)

ln(— 1) = Tti -)- 2hni = (2h -j- 1 )ni.

§ 110.

Zusammenhang der Funktionen \nx, arctgsc und

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 188 und 189.)

Nach Formel Nr. 100 der Tabelle ist für — 1 < x < -f 1

ln(l -f =

(1.)

Io

⁺ 3~~

ln(l

also

(2-)

ln

= + + +-)•

! co

Damals war x eine reelle Größe; jetzt gelten aber die zur Herleitung dieser Reihenentwickelung notwendigen Voraus-

Setzungen auch noch, wenn x eine komplexe Größe ist, deren absoluter Betrag kleiner als 1 bleibt. Setzt man z. B. x = (pi, wo fp eine reelle Größe zwischen —1 und -j- 1 sein möge, so erhält man

(3.)

1 + (fi

)-*■?

V³ , «SP5 3 ' 5

1,1 <

Dies gibt aber nach Formel Nr. 106 der Tabelle

0-)

= 2*'arctg<,.

Nach Formel Nr. 75 der Tabelle war

ar5£3* = lIn(r=s)’

folglich wird, wenn man x = (pi setzt,

StrXg(^) = 2lû(fïiGp) = «arc tg 9. Setzt man dagegen in

arctga; = y x = (pi, so findet man

(5.) ‘

(6.)

(7.)

x⁵ x¹

(8.)

XIV. Abschnitt.

Wurzeln einer algebraischen Gleichung fix) = 0.

§ in.

Existenz der Wurzeln einer algebraischen Gleichung f(x) = 0. Zerlegung einer ganzen rationalen Funktion nten Grades in n lineare Faktoren.

Es sei

(1.) fix) = axn -j- aixn—* -j- a-ixn~'² -\-----(- \X -j- an

eine ganze rationale Funktion nten Grades von x, wobei die Koeffizienten a, a1: a₂,...an reelle oder komplexe Größen sind; nur werde zunächst vorausgesetzt, daß a von Null verschieden sei, dann nemit man

f(x) = axn -j- tixxn~i -j- a₂xn~² + • • • + an—\X -f- a« = 0

„eine algebraische Gleichung wten Grades“.

Ist nun fix) für irgend einen reellen oder komplexen Wert von x nicht gleich Null, so kann man, wie sich streng nach-weisen läßt,*) die komplexe Größe h stets so bestimmen, daß

I/O + h) j < I/O)

wird. Auf diese Weise kann man nach und nach andere und andere Werte von x finden, für welche fix) \ kleinere und kleinere Werte annimmt, bis schließlich

lim f{x) | = 0, und deshalb auch limfix) = 0 wird. Ein solcher Wert von x wird „eine Wurzel der algebraischen Gleichung fix) = 0“ genannt. Es gilt also

Satz 1. Jede algebraische Gleichung besitzt Wurzeln.

Ist x-l eine Wurzel der Gleichung f{x) = 0, so wird (2.) fixi) = axiM + axx{l~x + a₂xf~² -\-----b all-₁x₁ -f an = 0.

Subtrahiert man die Gleichungen (1.) und (2.) voneinander, so erhält man

(3.) f(x) —f{xi) = f{x) = aixn — xxn) + ax(xn~x — xf-¹) +

a₂(xn-² — xxn-²) H-----b Ön-1(« *l) ,

+ •■■+*! ”-¹) H-----b xxn~²)

oder nach Formel Nr. 13 der Tabelle (3a.) fix) — ix — xx )[ô(æw—1 -f- x\x'l~~² ~b xfx -f- axifl~² -b xxxn~³ -b xfx

-f" an—ïix ~b XX) -b Cln—l] •

ten

Bezeichnet man die ganze rationale Funktion in — 1) Grades in der eckigen Klammer mit ffx), so wird daher

(4.) fix) = ix—xt)fi(z) = ix—xx)iaxn~x + bxxn~² -J-----b K-i),

wobei

b{— axi -j- ci\

b₂ — axf + U\XX + «2, •.. •

Damit ist der folgende Satz bewiesen:

Satz 2. Ist xx eine Wurzel der Gleichung fix) = 0, so ist fix) durch den Faktor x — x± ohne Rest teilbar.

Nach Satz 1 hat jetzt auch die Gleichung in—l)ten Grades ffx) = 0 Wurzeln. Eine solche Wurzel sei • x₂ ; dann ist nach Satz 2

(5.)

Mo = {x—xi)Mx)

wobei

fff) = axn~² + cxxn—³ + c₂xn~l + • • • + cn—2

eine ganze rationale Funktion in — 2)ten Grades ist. Ebenso findet man die Gleichungen

(6.) f₂(x) = (x—x₃)f₃(x) = (x—x₃) (axn~³ + dxxn~^Ą-----f- <4-s),

(7.) f₃(x) = (x—Xi)f\(x) = (x — x₄) (axn~* + etxn~⁵ -j-----f- e„_₄)

(8.) fn-Jf) = (Z-aSn-t)fn-l(x) = (x-Xn-\) (dX + k), (9.) fn—\{x) = a(x — xn), wobei x

ist. Multipliziert man die Gleichungen (4.) bis (9.) miteinander und hebt die Faktoren auf beiden Seiten fort, so erhält man

(10.)

f(x) — a(x — Xi) (x — x₂) (x — x₃)... (x — xn).

Daraus folgen die Sätze:

Satz 3. Jede ganze rationale Funktion nten Grades läßt sich in lineare Faktoren (d. h. Faktoren ersten Grades) zerlegen.

Satz 4. Jede Gleichung nteH Grades hat genau n Wurzeln. Aus Gleichung (10.) ersieht man nämlich, daß fix) = 0 wird für die n Werte

X = X\ , X — x₂

und daß fix) für keinen anderen Wert von x verschwinden kann. Denn wäre fix) = 0 für x = xn+i, wobei xn+i von x1} x₂, x₃, ...xn verschieden sein soll, so würde aus Gleichung (10.) folgen

(ll.) a{xn_)_i    X])ixnĄ-\ X2j(xnjri x₃) ... {xyi.j^x xn) = 0.

Dies ist aber ein Widerspruch, denn nach Voraussetzung sind sämtliche Faktoren dieses Produktes von 0 verschieden.

ten

Daraus geht auch hervor, daß die Zerlegung eindeutig ist. Läßt man die Voraussetzung, daß a von Null verschieden sei, fort, so folgt aus der Gleichung (11.), daß a = 0 sein muß und daß sich f(x) auf die rationale ganze Funktion (n — l) Grades

a\Xn~x -j- a₂xn~² -j-----[- an_\X + an

reduziert, welche für mehr als n — 1 Werte von x verschwindet. Daraus würde man wieder schließen, daß auch a₁ = 0 sein muss. Indem man diesen Schluß wiederholt, findet man

Satz 5. Verschwindet die ga?ize rationale Funktion nten

Grades

f(x) = axn + a\xn~¹ + • • • + an_tx + an für mehr als n verschiedene Werte von x, so müssen sämtliche Koeffizienten a, a\, a₂ > • • • i, an gleich 0 sein.

Weiß man z. B., daß

ax a\ — 0

wird für zwei verschiedene Werte von x, so kann man daraus schließen

«i = 0.

Oder wenn man weiß, daß

ax¹ -j- agx -f- a₂ = 0

wird für drei verschiedene Werte von x, so kann man daraus schließen

und

a = 0,

«i -    0,

Aus Satz 5 ergibt sich auch der

«2 = 0.

Satz 5a. Sind zicei ganze rationale Funktionen F{x) = Axtl -)- A\xn * -(- • • • -}- An—\X -j—An

G(x) = Bxn + B]Xn~x -|----+ Bn_\X -f- Bn

für mehr als n Werte von x einander gleich, so müssen die gleichstelligen Koeffizienten einander gleich sein, d. h. es muß A\ = B\,... An—i = Bn—i, sein. Der Beweis folgt aus Satz 5, indem man

A = B,

An — Bn

also

F(x) — G(x) =/ 0),

A—B = a, Ax — B\ = at

setzt.

• • An—i Bn—i —- an—i, An Bn — an

§ 112.

Gleiche Wurzeln einer algebraischen Gleichung.

Es ist nicht ausgeschlossen, daß unter den n Wurzeln xx, . xn einer Gleichung nten Grades auch etliche einander gleich sind. Ist z. B. x₂ = xx, so wird nach dem vorstehenden

x₂,..

( )    f(x) = (x — xff(x),

IO

( )    f\x) = -ix—xt)Mx) + & — xi)²J\(x)

= (x — x₁)[2f₂(x) -f- (x — Xi )f‘i(x)], oder, wenn man den Ausdruck in der eckigen Klammer mit (fix) bezeichnet,

(2a.)

f‘(x) = (x — xx)(f{x),

d. h. xt ist dann auch eine Wurzel der Gleichung

f\x) = 0.

Dieses Resultat kann man noch verallgemeinern. Ist x± eine «-fache Wurzel von fix) = 0, ist also z. B.

x\ = x₂ = Xu = ■ ■ • = xa, so wird nach dem vorstehenden

(3.)

(4-)

f(x) = (x — Xifffx),

f‘{x) = u(x Xi)a~fa{x) -f (x Xi )af‘a(x)

= (x — xx )“~¹ [afu(x) + {x — xx)f‘a{x)]

oder, wenn man den Ausdruck in der eckigen Klammer wieder mit (f{x) bezeichnet,

(4a.)

f\x) — (x-Xi)a~l(f{x) .

Dies gibt den

Satz. Ist Xi eine a-fache Wurzel der Gleichung fix) =    ,

so ist x\ eine (u—l)-fache Wurzel der Gleichung fix) =    ,

eine (a — di)-fache Wurzel der Gleichung f“(x) = 0,... und eine einfache Wurzel der Gleichung f^n~x\x) — 0.

Ein besonderer Fall hiervon ist der, daß

an = 0, ati—i = 0, «w_2 = 0,...    a+1 ⁼ 0

wird; dann reduziert sich die Gleichung des nten Grades auf

(5.)

f(x) = axn -J- aiXn~x -)----a„—uxa = 0

und hat die «-fache Wurzel x — 0.

Setzt man x = — j so geht die Gleichung fix) = 0 über in

“t“ an — 0>

Oi

t'¹

tn-\

oder, wenn man die ganze Gleichung mit tn multipliziert, in

(6.)

antn -J— an_i tn x -|— • • • -J— ad —J— a — 0.

Jeder Wurzel fa dieser Gleichung' entspricht eine Wurzel — der Gleichung fix) = 0. Wenn nun

ta

«1 = 0,    «2 = 0,... Cf a—i = 0

ist, so reduziert sich Gleichung (6.) auf

(6a.)

antn “f- On—\tn~¹ H----+.aja — 0

und hat die «-fache Wurzel t= 0, folglich werden in diesem Falle a Wurzeln der Gleichung fix) = 0 unendlich groß.

§ 113.

Auftreten komplexer Wurzeln einer Gleichung.

Die Wurzeln einer algebraischen Gleichung können reell sein, sie können aber auch zum Teil komplex, ja sie können auch sämtlich komplex sein. Über das Auftreten komplexer Wurzeln gilt aber der folgende

Satz 1.

Sind die Koeffizienten einer Gleichung nten Grades f(x) = 0 sämtlich reell, und ist X\ — g -j- hi eine Wurzel dieser Gleichung, so muß auch g — hi eine Wurzel derselben sein.

Beweis. Nach Voraussetzung ist

(!•)

f{x) = {x — xfifix) = (x — g — hi) f'fix).

Diese Gleichung gilt für alle Werte von x, folglich bleibt sie auch richtig, wenn man x auf reelle Werte beschränkt.

■f(x)

Bringt man dann — und Q reelle Größen sind, so wird

— = fi(x) auf die Form Pf Qi, wo P

X\

fix) = (x — g — hi) ( P + Qi).

Nun ist

(2.) {x—g—hi) {Pf Qi) = [{x—g)Pf Qh\ + [{x—g)Q—Ph]i, (3.) {x — g f hi) (P— Qi) = [{x — g)Pf Qh) — [{x—g)Q—Ph]i. Da aber

(4.)

g — hi) {P f Qi) =f(x)

eine reelle Größe ist, so muß sein, d. h. (x — g)Q — Pli muß für alle Werte von x gleich Null sein. Daraus erkennt man nach Gleichung (3.), daß auch {x — g + hi) (P— Qi) =f{x) wird. Die komplexen Wurzeln einer Gleichung nten Grades mit reellen Koeffizienten treten also paarweise auf, so daß jeder komplexen Wurzel die konjugierte Größe als eine zweite Wurzel der Gleichung zugeordnet ist.

(6.)

Dies gilt auch noch, wenn xx = g + hi eine mehrfache Wurzel der Gleichung ist; denn aus

f(x) = (x — g — hi)afa(x)

(7.)

folgt, wenn man fjfi) auf die Form Pa + QJ bringt, daß f(x) = (x — g — hi)a (Pa + Qai) ist. Da sich aber fix) nicht ändert, wenn man + i mit —i vertauscht, so ist auch

(8.)

ff) = (x-g + hi)a ( Pa- Qai) .

Daraus folgt unmittelbar

Satz 2. Sind die Koeffizienten der Gleichung nten Grades sämtlich reell, und ist n eine ungerade Zahl, so muß mindestens eine Wurzel der Gleichung reell sein.

§ 114.

Die elementaren symmetrischen Funktionen der Wurzeln.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 190.)

Erklärung. Eine Funktion der n Veränderlichen xu x₂,... xn heißt symmetrisch, wenn sie bei jeder beliebigen Vertauschung (Permutation) der Veränderlichen unverändert bleibt.

Die algebraischen Gleichungen liefern Beispiele für die symmetrischen Funktionen. Sind z. B. x\ und x₂ die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

fix) = x¹ — fi« + f₂ = 0,

so wird nach § 111

(1.) f[x) = ix — x\ ) ix — x₂) = x¹ — ix\ + x₂)x + X\X₂ ; folglich erhält man

Sind x1} x₂, xa die Wurzeln einer kubischen Gleichung f{x) = xs — fi#² + f₂x — f₃ = 0,

so wird nach § 111

(3.)

f(x) — (x-Xi) (x — x₂) (x — x₃)

oder, wenn man die Multiplikation ausführt,

(4.) f{x) = X³-(Xi -j~X₂ -j— X₃)X² + (#i#₂ + x\xi + x2xfx-#1#2#3 ,

folglich erhält man

(5.) fl = #1 + x2 + X₃ , f₂ = X\X₂ + XtXa -f X₂X₃, f₈ = X\X₂X₃ .

So kann man fortfahren und findet das folgende allgemeine Ergebnis. Sind #i, x₂,... xn die Wurzeln der Gleichung

(6.) fix) = x¹¹ — fl#”⁻¹ -f f2#”⁻² — f3#”⁻³ -f-----db fit = o,

so wird nach § 111

(7.)

fix) = {x-#i) (x — X₂) ix — x₃)...(x — xu) ,

oder, wenn man die Multiplikation ausführt,

(8.) fix) = Xn-(#1 + x2 H-----b X,)x"~X + (#!# 2 + X\X₃ +    ■ •

+ Xn-tXu)xn~²--f- • • • ± #1#2#3 - • • #)i •

Da die Ausdrücke auf der rechten Seite von Gleichung (6.) und Gleichung (8.) einander gleich sind für alle Werte von #, so müssen nach Satz 5a in .§ 111 die gleichstelligen Koeffizienten einander gleich sein, es wird also

fl = #1 ~b #2 ~b #3 ~b ■ ' ’ ~b Xn 5

f₂ = X\X₂ + X\X₃ +----b Xn-lXn,

(9.)

f3 — X\X₂X₃ ~b #i#-2#4 ~b * * * ~b xn—2#n—l#n>

u»

X\X₂X₃ ... Xn.

Die Größen fi, f₂, f₃,... fn sind, wie man ohne weiteres erkennt, symmetrische Funktionen der Wurzeln #i, x₂, x₃, ... xn, und zwar nennt man sie „die elementaren symmetrischen Funktionen¹*, erstens weil sie besonders einfach gebildet sind, namentlich aber, weil sich jede rationale symmetrische Funktion von #i, #₂,..-#» rational durch die Größen fi, f₂,... f » ausdrück en läßt.

Der Beweis dieses Satzes soll aber hier übergangen werden, da in dem folgenden keine Anwendung davon gemacht wird.

Jede algebraische Gleichung wtcn Grades

axn -f- <hxn—'¹ -f- a₂xn~- + • • • + an_xx -f- an = 0 kann man, indem man sie durch a dividiert, auf die in Gleichung (6.) angegebene Form bringen. Dadurch wird

(10.)

fl =

°\ z . a2 z — ’ Î2 = ~\-->    |3 =

a    a

Bei den folgenden Untersuchungen soll daher von vornherein vorausgesetzt werden, daß der Koeffizient von xn in f(x) gleich 1 sei.

Die Auflösung der allgemeinen algebraischen Gleichungen /Jen Grades durch Ausziehen von Wurzeln ist nur für n = 1, 2, 3 und 4 möglich. Ist ?/, As 5, so ist eine solche Auflösung nur ausnahmsweise möglich. Dagegen gibt es Näherungsmethoden, durch welche man die Wurzeln jeder algebraischen Gleichung mit beliebiger Genauigkeit berechnen kann. Von diesen Methoden mögen die einfachsten (unter Beschränkung auf die reellen Wurzeln) in dem folgenden Abschnitte erläutert werden.

§ 115.

Interpolationsformel von Lagrange.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 191.)

Aufgabe. Man soll die ganze rationale Funktion {n — 1)

ten

Grades

(1.)

y — Ao -f- A.\X -f- A^x* H-----b \xn 1

so bestimmen, daß sie für n gegebene Werte von x, nämlich für x gleich x1} x-,,... xn bezw. die vorgeschriebenen Werte yi, y-i, ...yn annimmt.

Auflösung. Die gesuchte Funktion ist

(²0 y =

(x—x₂)(x — x₃)... (x — xn) (xi-X₂)(xi-X₃) . . .(Xi-Xn)

(x X\) (X-X₃) . . . (x-Xfl)

(X-2 Xi)(x₂-X₃) . . ,(X₂-Xn) '/2

(x ^i) (x X₂) ... (x-X,x-\)

(xn    X\ ) (xn    X₂) . . (xn    Xn—i)

yi -f

Vn.

Diese Funktion ist in der Tat eine ganze rationale Funktion (n — l)ten Grades, denn jedes Glied ist vom Grade n — 1. Sie nimmt auch fiir die gegebenen Werte von x die vorgesckriebenen Werte an, denn für x = x₁ ist nur das erste Glied von Null verschieden und nimmt den Wert yx an, für x = x₂ ist nur das zweite Glied von Null verschieden und nimmt den Wert y-₂ an, usw. Für x = xn ist nur das letzte Glied von Null verschieden und nimmt den Wert yn an.

Man kann Gleichung (2.) noch auf eine einfachere Form bringen, wenn man

(3.)

f{x) = (x-Xx) (x-X₂) (X-xf ... (x-Xn)

setzt; dann wird

(4.) f‘(x) = (x—Xi)(x—xA). ..(x—xn)+(x—xx){x—x₃) ... (x—xn) H-----b — %i)(z — £•>)... {x — xH-X).

Dies gibt

f‘{X]) = (xx -Xi) (xt Xi) ... (xx — xn),

(5.)

f\Xi) — (x., Xi) {x₂ -x-i) ... (x-2 x„) ,

f‘(xn) = (Xn-XX) (xn —Xi) ... (xn-Xn_x) .

Mit Hilfe dieser Ausdrücke geht Gleichung (2.) über in

(6-) y =

fix) • 3/i

/ 0) • 3/2

Ax) • y»

(x — Xi) f\Xi) (X — Xi) f(x.₂)

{x-Xn) f(xn)

Beispiel. Man soll die Funktion

y = Ho Axx -(- A₂X' -j- Aax^ bestimmen, welche für die Werte

x = 1, x — 4, x = 6, x — 9

bezw. die Werte

annimmt.

3/ = ², 3/ = ⁵> 3/ = 3j 3/ = ⁶

Auflösung. Hier wird

(7.) y —

₉ (s — 4)^ — 6) (g — 9) (1 — 4) (1-ß) (1-9) 1 ) (x — 4) (x — 9) (6^—1) (6 — 4)(ö —'9)

(x

(x — 1 ) (x — 6) (x — 9) (4 — 1) (4 — 6) (4=9) (x — 1) [x — 4) (x — 6) (9 — 1) (9 —4) (9 — 6)’

oder

(8.)

10y — x³ — 15z² -j- 64z — 30.

Man kann der Interpolationsformel von Lagrange eine geometrische Deutung geben, wenn man x±, yü x₂, y₂\ ...zM, ya als die Koordinaten der Punkte Pi, P₂,... Pn betrachtet. Dann stellt die Gleichung (2.) eine Kurve dar, welche durch die Punkte Pi, P₂,... Pn hindurchgeht.

§ 116.

Interpolationsformel von Newton.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 192 und 193.)

Die in dem vorhergehenden Paragraphen behandelte Aufgabe, eine ganze rationale Funktion y =f{x) so zu bestimmen, daß sie für n gegebene Werte von x, nämlich für x gleich xx, x₂,...xn bezw. die vorgeschriebenen Werte yx, y%,...y» annimmt, läßt sich auch in folgender Weise lösen. Man setze (!■) V =

yy-\-Ai(x—Xi)-j~A₂(x—X\)(x—x₂)-\-A₃(z—Xi)(x—x₂)(x—x₃) + • • • + A„_,(z—x₁)(x—x₂) ■ ■ ■ (x—z,₍_i), wobei über die Koeffizienten A1} A2f...An-1 noch passend verfügt werden soll. Zunächst erhält y für x = xx den vorgeschriebenen Wert yx ; sodann findet man für x = x₂ aus Gleichung (1.)

(2.)

y-i = yi + A₂(x₂ — x i),

oder

(3.)

(4.)

~ (x³ — 19z² 4- 114^ — 216) + ~ (z³ — 16z² + 69z— 54)

(z³ —14z² + 49z—36) + -J- (z³—11z² + 34z—24), _LU    ~ U

X₂-X\

Für x = x-i wird

y-i = yi + Ax(x₃ — Xx) -f A₂(x₃ — Xx) {x-i — x₂)

(5.)

A<i =

(l/s — ÿl) —    — ^l)

(«8-x\) (*8-«2)

Indem man so weiter fortfährt und für x die Werte x₄, ..xn einsetzt, kann man die Koeffizienten J₃, A₄,... An_x

x$,.

der Reihe nach berechnen.

bei dem

Für das im vorigen Paragraphen durchgeführte Beispiel,

«i = lj ^2 = 4, x₃= 6, x₄ = 9, yi = 2, 1/2 = 5, 1/3 = 3, y₄=6 war, findet man also

(6.) y = 2-j-A^x—l)JrA₂(x—l)(x—4) + A₃(x—l)(x-—4)(x-—6). Dies gibt für x = 4

(7-)

5 = 2 + 3Ai, oder A± = 1 ;

für x = 6 wird

(8.)    3 = 2+5++5.2A2 ⁼⁼ 2+5+10.42, oder A2 = —

und fiir x = 9 wird

<N ! io

(9.) 6 = 2+8^4i+8.54₂+8.5.3+* — 2+8—16+120^3, oder

(10.)

10

Man erhält also in Übereinstimmung mit Gleichung (8.) in

§ 115

(11.) y = 2 + (s—l) —|(a:—l)(«—4) + -j^(«—l)(æ—4)(æ—6).

Besonders einfach wird diese Interpolationsformel, wenn (12.) X2 — xl = x₃ — x₂ = x₄ — x₃ = --- = xn — xn_i = h

wird; dann setze man

y-i — y\ =-Jyu

(14.) Jy7r-Ay₁ = A²y\, Ayz—Jy% =Ahj2, Jy₄—Ay₃ =J²y₃,..., (15.) A-y2—A'¹y\=Aiyi, 4hy₃—Jhy2 =Ahy₂, z1hj₄—Ahj₃ = /l*y₃,..

(13.)

yz — y2 = a y 2

yi—yz = Ay₃,..

•J

(16.) Jmy₂ — Amyx = Jm+'yt, Jmy₃ — Amy₂ = Am+ly₂, .. .

Kiepert, Differential - Rechnung.

34

Aus dieser Erklärung folgt durch Analogie mit dem binomischen Lehrsatz, wie man auch durch den Schluß von n auf auf n + 1 streng beweisen kann,

^²3/2 = 3/4 —23/3 + 3/2,...

(17.)    4\ i = 3/3 — 2yi + 3/1,

(18.)    4³y{ = 3/4— SyH + Sy₂—yu 4*yz = 3/5— 33/4 + 3^3—3/2, • ■ •

(19.) 4my\ = 3/m+i — (7)y« + (2 )

3/m—1

(3)^-2+

(T)

3/2 =F 3/1 •

Die Gleichungen (13.) bis (16.) kann man jetzt auch auf

die Form

(20.)    3/2 = 3/1+22/3/!,

(21.) Ay₂ = 4yx-\-4*yh 4yz = 4y₂Ar4’*y₂, 4y^ = 4yz+4²y₃,..., (22.) 4*y₂ = Jtyt+Jtyt, 4h/₃ = 4²y₂+4³y₂, 4hyi=4‘*y₃+4hj₃,...,

3/3—3/2+^3/2,

3/4 = 3/3+^3/3,-.

(23.) z/+/2 = ^*yi + Jm+1yi, 4mi/₈ = ^“3/2 + 4m+hy₂,... bringen. Dies gibt durch Addition je zweier untereinander stehenden Gleichungen (24.)    3/3 = y₁+24yl+4²y₁,

(25.) 22/3/3 = ^3/i+2^/²yi-\-4³yx, ^3/4 = 4tj₂Ą-24²y₂+4³yz,...,

3/4 = 3/2+2^3/2+-/²3/2,..

Addiert man auch hier wieder je zwei untereinander stehende Gleichungen, so findet man

(26.) 3/4=3/i+³^/3/i+3^²3/i+z/³3/₁, 3/s=3/2+³^3/2+³^²3/2+^³3/2;-• So kann man fortfahren und erhält schließlich

(27.) 3/m+i = 3/1 + (p )^3/i + (2)^ + (3)^ + ‘

+    ) 4m~¹yl +

4myi.

Setzt man jetzt wieder

+ +3+—X\)(x—x₂)(x—x₈) H----

+ An-\{X-Xt)(x-X₂) . . . (X-Xn-X) ,

so wird für x = x₂ = xx + h

(29.)

also

(30.)

§ 116. Interpolationsformel von Newton,

y-i = yt + -4iA,

-^1 =

2/2 — 2/i

^2/i

Für x = x₃ = x\ -f- 2A =    + A wird

2/3 = yi -(- 2.+A -j- 1.2A₂h?

(31.)

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (24.) und (30.) 2/i + 2^i +    = yx + 2dyx + 1.2+>ä²,

also

(32.)

^²2/i

1 . 2 A²

Für x = ar₄ = x\ + 3h = x₂ + 2h = x₃ -j- h wird yi == yi + 3^4+ + 2.3A₂h² +1.2.3+₃A³, oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (26.), (30.) und (32.) 2/i + 3^ 2/1 + 3 J²yx + ^+1 = i/i + 3^/yi + 3<4+i + 1.2.3+}A³,

(33.)

also

(34.)

A₃ =

X’yt

1.2.3 A³

In dieser Weise kann man fortfahren und erhält

(35.) y = yx +

Ayi • (x — x±) A^yx ,{x — xt)(x — x₂)

2 ! h?

Azyx . (x — x,)(x — x₂)(x — x₃)

3 ! A³

_}____

4n-xyv • (x

Xx) (X-X₂) . . . (x-Xn—x)

(n — l)!/«”-¹

Beispiel.

Es sei n = 5 und x\ = 3, x₂ =

Vi = ², 2/2 = dann bilde man zunächst z/yi = 4- 2 = 2, Ay₂ = 3—4 = — 1, Jy₃ = 2—3 =—1, Ay< = 5—2=3, Ahjx = — 1 —'2 = — 3, J^ = — 1+1 = 0, ^3 = 3 + l = 4, ^ = 0 + 3 = 3, A^y₂ = 4 — 0 = 4,

^/h/i = 4 — 3=1.

^3 =

2/3 =

03 Ol

to

•2-5    7,

2/5 = 5;

Folglich wird nach Gleichung (35.)

(36.) y — 2 + 2(x

³) — \ (x — ³) (x — 4)

+ \ (x — 3)(x — 4)(x — 5)

+ ~ (x — 3) {x — 4)(x — 5) (x — 6).

XV. Abschnitt.

Numerische Auflösung der algebraischen Gleichungen mit reellen Koeffizienten.

§ 117.

Teiler der ganzen rationalen Funktionen.

Erklärung. Eine ganze rationale Funktion F(x) heißt durch eine andere &{x) teilbar, wenn sich eine ganze rationale Funktion (p{x) so bestimmen läßt, daß F(x) gleich &(x).q>(x) wird. Dies gibt

Fix)

00

${x)

F{x) = &(x). (fix), oder

Ist ö{x) ein Teiler von F(x), so findet man (fix), indem man die Division nach den bekannten Regeln ausführt. Haben die Funktionen F(x), &(x) und q>(x) bezw. den Grad n, l und m, so ist daher

(20

n — l m.

Satz 1. Ist eine Funktion¹) F(x) durch eine andere desselben Grades teilbar, so ist der Quotient, eine Konstante.

Der Beweis folgt unmittelbar aus Gleichung (2.).

Satz 2. Ist &(x) ein Teiler der beiden Funktionen Ffx) und F>(x), so ist -O(x) auch ein Teiler von der Summe und der Differenz dieser Funktionen.

Beweis. Nach Voraussetzung ist

(3.)

Fx{x) = Ü(x) . (f\{x), Ffr) = ^(z) . yafc)

folglich wird

(F)

FiQ;) dt F₂(x) = #(*) [yi(«) dr gpafc)] •

Satz 3. Ist die Funktion Fix) durch iJ(x) teilbar, so owcä _/(#) . -F(æ) durch Dix) teilbar, wobei f{x) eine beliebige ganze rationale Funktion ist.

Beweis. Aus

(5.)

F(x) — ij( x) . (f ix )

folgt unmittelbar

(6.)

fix) . F{x) = d(x) .fix) . (f{x).

Von diesem Satze gilt aber nicht die Umkehrung.

Aufgabe. Man soll den höchsten gemeinsamen Teiler zweier Funktionen y und yx finden.

Dabei versteht man unter „dem höchsten gemeinsamen Teiler¹¹ einen gemeinsamen Teiler von möglichst hohem Grade.

Auflösung. Das Verfahren ist demjenigen analog, welches man an wendet, um den höchsten gemeinsamen Teiler zweier ganzen Zahlen a und b zu finden. Ist der Grad von yx niedriger (oder wenigstens nicht gröber) als der von y, so dividiere man y durch yx. Der Quotient sei qx und der Rest y₂, dann wird

(7.)

y —ÿi.yi + ya»

wobei der Grad von y₂ niedriger ist als der von yx. Ist y2 gleich Null, so ist y durch y y selbst teilbar, ist aber y₂ von Null verschieden, so ist nach Satz 2 und 3

(7 a.)

y₂ = y — qxyx

auch teilbar durch den höchsten gemeinsamen Teiler der Funktionen y und yx; und umgekehrt: der höchste gemeinsame Teiler von yx und y₂ ist auch ein Teiler von y.

Man hat jetzt also nur noch den höchsten gemeinsamen Teiler von yx und y₂ zu suchen. Zu diesem Zwecke dividiere man yx durch y₂. Dadurch erhält man

(8.)

y\ = q% • y₂ + y₃,

wobei der Grad von y₃ niedriger ist als der von y₂. Ist y3 gleich Null, so ist y₂ ein Teiler von yx und deshalb auch ein Teiler von y, und zwar ist dann y₂ der höchste gemeinsame Teiler von y und yx. Ist aber y₃ von Null verschieden, so setzt man dieses Verfahren fort, bis der Rest schließlich gleich Null wird, d. h. man bildet die Gleichungen

yx = ?2 .y₂ + y-i, y-2 = ?3 • y-& + yi,

(9.)

ym—3 ⁼    • ym—2 "T ym—1 ;

ym—2⁼⁼ y>n—i • ym—i ~\~ y

y in—1 ⁼⁼ Qm • ym ~|~ 0 .

Die Anzahl dieser Gleichungen ist eine endliche, denn der Grad der Funktionen y, yx, y₂, y₃,... wird immer kleiner. Entweder wird also die Division schon ohne Rest ausführbar sein, wenn ym noch eine Funktion von x ist, oder es wird ym eine Konstante.

Der letzte Divisor ym ist dann der höchste gemeinsame Teiler von y und yx.

Beweis. Nach der letzten Gleichung ist ym—\ teilbar durch

durch

ym, deshalb ist nach der vorletzten Gleichung auch y ym teilbar. Aus der drittletzten Gleichung folgt dann, daß auch ym-3 durch ym teilbar ist. Indem man so fortfährt, findet man, daß auch y und yx durch yrn teilbar sind.

Es ist aber ym auch der höchste gemeinsame Teiler von y und y1} denn hätten y und yx einen Teiler Ü(x) von höherem Grade, so wäre nach Gleichung (7a.) auch y₂ durch &(x) teilbar, und deshalb auch y₃ usw: Schließlich müßte auch ym durch &{x) teilbar sein. Das ist aber nicht möglich, wenn der Grad von &{x) höher ist als der von ym. Der Grad von O(x) kann also höchstens ebenso groß sein wie der von ym, dann ist aber der Quotient von ym und &(x) eine Konstante.

Gleichzeitig folgt aus diesem Beweise

Satz 4. Jeder gemeinsame Teiler der beiden Funktionen y und yx ist auch ein Teiler ihres höchsten gemeinsamen Teilers ym.

Erklärung. Zwei Funktionen y und yx heißen „relativ prim“, wenn ihr höchster gemeinsamer Teiler eine Konstante ist.

Beispiel 1. Es sei

y = x⁵ + 1, yx = x³— 1,

dann findet man durch Division

wo

y =x> .yx + y-i, yi = x .y₂ + 2/3, y₂ = (— x + l)y₃ + ÿi, WO yx = 2, yz = i{—x — l)yx.

Der höchste gemeinsame Teiler ist die Konstante 2, folglich sind die beiden Funktionen relativ prim.

Beispiel 2. Es sei

2,

y = x⁴ — 1, yx — x³ — 2x² -f- x dann findet man durch Division

y = (æ + 2)yx + y₂, wo y₂ = 3x² + 3,

=(!-!)

Der höchste gemeinsame Teiler ist hier also y₂ = 3x² -j- 3, oder, wenn man den konstanten Faktor 3 fortläßt, x²-j- 1. Es ist in der Tat

x* — 1 = (x² -f- l)(x² — 1), x³ — 2x² -f- x — 2 = (x² -)- l)(x — 2).

Satz 5. Ist yx relatio prim zu den beiden Funktionen y und f, so ist sie auch relativ prim zu ihrem Produkte f .y.

Beweis. Da yx relativ prim zu y ist, so muß in den Gleichungen (9.) die Größe ym eine Konstante sein. Indem man beide Seiten der Gleichungen (9.) mit dem Faktor / multipliziert, erhält man die Gleichungen

/•y = y i -/-yi +/-ya /•yi =    ./.y2 +/.ys

(io.)

/■y 2 = ?3 ./.y₃ +/.y₄

■ y • Vm—2 ■ - Çm—1 • / • l/m-i “b /• ym •

Hätten f.y und 3/1 einen gemeinsamen Teiler #(«), so wäre nach der ersten Gleichung S-(x) auch ein Teiler von f. 3/2, und deshalb nach der zweiten Gleichung auch ein Teiler von f. y3, usw. Aus der letzten Gleichung würde folgen, daß S(x) auch ein Teiler von f. ym ist. Da aber ym eine Konstante ist, so wäre &{x) ein gemeinsamer Teiler von / und 3/1, was der Voraussetzung widerstreitet.

Satz 6. Sind die Funktionen y und 3/1 relativ prim, ist aber f.y teilbar durch 3/1, so muß die Funktion f teilbar sein durch 3/1.

Beweis. Aus den Gleichungen (10.) folgt wieder, daß./. ym durch 3/1 teilbar sein muß, wenn f.y durch 3/1 teilbar ist. Da aber ym nach Voraussetzung eine Konstante ist, so ist die Funktion f teilbar durch 3/1.

Satz 7. Ist eine Funktion durch beliebig viele andere Funktionen teilbar, die paarweise zueinander relativ prim sind, so ist sie auch durch ihr Produkt teilbar.

Beweis. Nach Voraussetzung sei die Funktion u teilbar durch die Funktionen y und z, die zueinander relativ prim sind, es sei also

M=/-y-

Nun ist f.y nach Voraussetzung teilbar durch 2, folglich muß nach Satz 6 die Funktion,/ teilbar sein durch z\ es ist also

/ = g . z und deshalb u = g ,y .z.

Ist u durch n Funktionen 3/1, 3/2

.. yn teilbar, die paarweise zueinander relativ prim sind, so ist u nach dem eben geführten Beweise teilbar durch 3/13/2, und da 3/3 nach Satz 5 zu 3/13/2 relativ prim ist, so ist u auch teilbar durch 3/13/23/3.

So kann man fortfahren und zeigen, daß u durch yry₂yz ...yn teilbar ist*).

§ 118.

Gemeinsame Teiler der Funktionen fix) und ffx).

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 194 bis 196.)

In § 112 wurde gezeigt, daß die Funktionen//) und/'/) den Faktor /— xf^—¹ gemeinsam haben, wenn x₁ ein «-fache Wurzel der Gleichung f(x) = 0 ist, und zwar folgte aus

f(x) = (x — xxy .ffx),

ffx) = /— Zl)

a—1

• (f{x)

wobei

(3.)

(f{x) = affx) + / —Zi)/i'/).

Wäre (fix) noch durch x — xt teilbar, so wäre nach Gleichung (3.) ffx) durch x — x\ teilbar, d. h. //) wäre durch ix —    teilbar. Das soll in dem folgenden nicht der

Fall sein, es soll vielmehr

(*•)

fix) — ix — xx)ai ix — xf*... ix — xm)am . ipix) sein, wobei die Exponenten a1} a₂,... am alle größer als 1 sind, während ip(x) nur einfache lineare Faktoren enthalten möge, die von x — x1} x — x₂,...x— xm verschieden sind. Dann ist fix) durch die Faktoren

/-Xif-¹,    /-X-f“^¹, • ■ • Z-Xm)a>n~X

teilbar, und da diese Faktoren paarweise relativ prim sind, so ist f‘ ix) auch durch ihr Produkt teilbar ; es wird also (5.) f‘ Z) = Z «l)“¹⁻¹ Z xf-¹ . . . Z Xmfm-¹ . yfx) .

Dabei enthält nach den vorstehenden Ausführungen yfx) keinen der Faktoren x — xx, x — x₂,... x — xm\ und auch U>(x) ist zu yfx) relativ prim, denn die Ableitung ffx) enthält keinen der einfachen Faktoren von f\x). Folglich ist

(6.)

A/) = Z — xf^¹ Z — x₂)a^~¹... ix — Xm)am~' der höchste gemeinsame Teiler von //) und ffx), und die ganze rationale Funktion

(7.)

f{x)

'Jix)

= (x-Xi) (x — x-₂) ...(x-Xm) . lp(x)

hat nur noch einfache lineare Faktoren.

Daraus ergibt sich die Lösung der folgenden Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll eine Gleichung finden, welche dieselben Wurzeln hat wie f(x) = 0, aber jede nur einmal.

Auflösung. Man suche [den höchsten gemeinsamen Teiler S{x) von f(x) und f‘{x), dann ist

(8.)

f{x)

Hx) °

die gesuchte Gleichung.

Aufgabe 2. Man soll eine Gleichung finden, welche nur die mehrfachen Wurzeln von f(x) = 0 enthält, und jede nur einmal.

Auflösung. Man bestimme den höchsten gemeinsamen Teiler q(x) von f‘(x) und

f(x)

iJ(x) ’

dann ist

(9.)

q(x) = {x Xi) (x — X₂) . . . {x Xni) = 0

die gesuchte Gleichung.

Aufgabe 3. Man soll eine Gleichung finden, welche nur die einfachen Wurzeln von f(x) = 0 enthält.

Auflösung. Die gesuchte Gleichung ist

(10.)

/(*)

D{x) . q(x)

= ip{x) — 0.

Will man die sämtlichen Wurzeln der Gleichung f(x) = 0 berechnen, so kommt es also nur darauf an, die Wurzeln der Gleichungen (9.) und (10.) zu berechnen. Wenn f{x) — 0 mehrfache Wurzeln hat, so sind diese Gleichungen von niedrigerem Grade und haben nur einfache Wurzeln.

§ U9.

Obere und untere Grenze der reellen Wurzeln.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 197.)

Erklärung. Die obere Grenze der reellen Wurzeln einer Gleichung

(1.) f{x) = xn + aixn~¹ a₂xn-² -j-----j- an^x + an = 0,

in welcher die Koeffizienten sämtlich reell sind, ist eine Zahl L, die größer ist als alle reellen Wurzeln.

Eine solche Zahl L kann man leicht finden, wie zunächst an dem folgenden Beispiele gezeigt werden möge. Es sei x eine positive Wurzel der Gleichung

x⁶ + 5x⁴ — 7x² — 16a; 4- 27 = 0,

dann ist

x⁶ < x⁶ -j- 5x⁴ + 27 = Ix² + 16a; < 16(a;² + x + 1),

also

a;⁶ < 16

,r'! — 1

oder, wenn x > 1 ist,

x\x — 1) < 160³ — 1) < 16a;³,

folglich ist

x³(x — 1) < 16.

Nun ist x — 1 < x und (x — l)³ < x³; deshalb vfird (x — l)⁴ <C 16, x — 1 < -y/16 = 2, x < 3.

Hier ist also die obere Grenze L aller reellen Wurzeln

gleich 3.

In dem allgemeinen Falle, welchem die Gleichung (1.) entspricht, sei am = — bm der erste und ap = — bp (dem absoluten Betrage nach) der größte negative Koeffizient, es sei also

(1 a.) f{x) = xn + a,xn~x 4-----bmxn~m =t----bpxn~r

dr • • ■ 4~ an ⁼⁼ 0.

man schaift,

Ist x wieder eine reelle Wurzel dieser Gleichung, so findet , indem man alle negativen Glieder auf die rechte Seite

(2.) xn g xn + axxn~¹ ----- bmxn~m + • • • + bpxn~p + • • • ;

,rn—m-j-l _ i

+ ...+*+1)=*,—

X

deshalb ist erst recht (3.) xn < bp{xn~m + xn' oder, wenn x > 1 ist,

(4.)

xn(x — 1) < bp(xn~m+x — 1) < bpxn~m+l,

oder, wenn man beide Seiten dieser Ungleichung’ durch zn~m+1 dividiert,

(5.)

xm~'(x — 1) < bp.

Nun ist noch x — lex und deshalb (x-—l)1 deshalb findet man aus Ungleichung (5.)

(6.)

(x — 1 )m < bp, x — 1 < y bp,

also

(7.)

x < 1 -\-y'bp = L.

In derselben Weise kann man für die reellen Wurzeln eine untere Grenze — K angeben. Indem man nämlich in der Gleichung f{x) = 0 mit den Wurzeln xt, x₂, ...xn die Veränderliche x mit —x vertauscht, erhält man eine Gleichung

(8.)

fi(x) = xn — aixn~l -f- a₂xn~²--r • ■ ■ ±    - 0

mit den Wurzeln —xi, —x₂,----xn. Bestimmt man also für

diese Gleichung die obere Grenze K der Wurzeln, so ist —K die untere Grenze der reellen Wurzeln für die Gleichung

f{x) = o:

So findet man bei dem oben angeführten Zahlenbeispiel die Gleichung

fx(x) = æ:⁶ + 5x* — 7x² + 16« + 27 = 0,

für welche

m = 4, bp=l

ist; folglich wird

K= 1 + y/7 = 2,63.

Die reellen Wurzeln der gegebenen Gleichung liegen daher

zwischen

2,63 und + 3.

Vertauscht man in der gegebenen Gleichung x mit - und

•    x

sucht für die sich daraus ergebende Gleichung die obere Grenze L‘ und die untere Grenze —K‘ der reellen Wurzeln, so kann

zwischen

liegen.

₇ keine Wurzel der gegebenen Gleichung

und A

Für das vorgelegte Zahlenbeispiel wird die transformierte Gleichung

16

X⁶ —r Xh

27

27

27

= 0,

also

lß

L‘ = l +

16

27

cc t"

ebenso findet man

l7⁷ - 5 14 (/27 ¹ +9 — Y

o:

9

Die gegebene Gleichung hat also zwischen — - ’ - und -f-keine Wurzel.

§ 120.

Cartesische Zeichenregel.

(Tergl. die Formel-Tabelle Nr. 198.)

Satz 1. Hat die Gleichung f(x) — 0 lauter negative reelle Wurzeln, so sind die Koeffizie?iten der Gleichung sämtlich, 'positiv.

Beweis. Nach Voraussetzung ist

Xy — - a, X2 = — b, xs = — c

..xn = — l,

wobei die Größen a, b. c, .../ sämtlich positiv sind, folglich wird

(1.)

f(x) = {x + a) (x 4- b)(x + c)... (x + Î).

Führt man die Multiplikation aus, so kann in dem Produkt kein Minuszeichen auftreten, da die einzelnen Faktoren keines enthalten. Es kann auch keiner der Koeffizienten verschwinden.

In dem Ausdrucke

¹

Da in den folgenden Untersuchungen meist nur ganze rationale Funktionen in Betracht kommen, so möge der Leser, wenn nicht etwas anderes ausdrücklich hervorgehoben wird, unter Funktion immer eine ganze rationale Funktion verstehen.

f — 9 — hi) (x — g -f- hi) = x² — 2gx -f- (ff² -j- h²) ist das letzte Glied g² -f h² positiv. Auch in dem Ausdrucke {v — gi — hi) (x — ff! + hxi) (x — g₂ — h₂i) {x — g₂ + h₂i) ...

(x — ga — hai) (x — ffa + hai)

wird, wenn man ausmultipliziert und nach fallenden Potenzen von x ordnet, das letzte Glied

(gS + h²)(g₂² + h₂²)...(ga² + ha²)

positiv. Auch wenn man dieses Produkt jetzt noch mit (x + a) (x + b) (x + c)... (x -f-1) multipliziert und nach fallenden Potenzen von x ordnet, ist das letzte Glied

abc... l{gi² + hi²) (g₂² + h₂²) ... (g² + h²)

positiv. Dies gibt

Satz 2. Hat die Gleichung

(f{x) = xm + bixm—¹ + b₂xm-² -[-••• + bm—r—iXr+' + bm—rxr = 0 außer der Wurzel x = 0 nur negative und komplexe*) Wurzeln, so ist der Koeffizient des letzten Gliedes positiv.

Erklärung. Wenn zwei aufeinander folgende Glieder dasselbe Vorzeichen haben, so nennt man dies „eine Zeichenfolge haben sie aber das entgegengesetzte Zeichen, so nennt man dies „einen Zeichenwechsel“.    Etwa verschwindende Glieder,

d. h. Glieder, deren Koeffizient gleich Null ist, werden dabei einfach übergangen.

Satz 3. Die Anzahl der positiven Wurzeln einer Gleichung kann nie größer sein als die Anzahl der Zeichenwechsel; dabei ist die Differenz zwischen der Anzahl der Zeichenwechsel und der Anzahl der positiven Wurzeln eine gerade Zahl.

Beweis. Multipliziert man die Funktion

(2.)

cp(x) = xm + b\Xm~l + b₂xm 2 + • • • + bm_rxr,

*) Wenn hier von komplexen Wurzeln von der Form g A hi im Gegensatz zu den reellen Wurzeln die Iiede ist, so versteht man darunter Größen, bei denen der Faktor h des imaginären Teiles von Null verschieden ist.

welche nur positive Glieder enthalten möge und deshalb keinen Zeichenwechsel besitzt, mit x — a, so ergibt sich

(3.) (x—a)(f{x) = xm+l + (&i—a)xm-j-(ö₂—ab\)x‘

In diesem Produkte ist das erste Glied positiv und das letzte negativ, es muß also mindestens ein Zeichenwechsel ein-treten. Es ist aber auch möglich, daß zwischen xm+l und — obm—rxr negative und darauf folgende positive Glieder liegen, dann würden sogar 3, oder 5, oder noch mehr Zeichenwechsel eintreten; die Anzahl der Zeichenwechsel ist also stets eine ungerade Zahl 2v + 1.

Das bleibt auch noch richtig, wenn von den Koeffizienten bi, b<i,...bm-r einzelne gleich Null sind.

Beispiel. Es sei

(f(x) = x⁴ -j- 2x

dann hat

(x — 3) (f{x) = x⁵ — 3z⁴ -(- 2x² — 6x

sogar drei Zeichen Wechsel. Hat

H-----b bp-lxm~P+l—cpxm~P-----cm—rxr

(4.) <p{x) = xm -\-bxZ1 einen Zeichen Wechsel, so wird

(5.) (x

a)(f,{x) = xm+l -f- (bi — a)xm + • • • — (cp + abp—i)zm~pJrl

• ■ *    [” VlCm-yX’¹ .

In diesem Ausdrucke ist das erste Glied positiv, das Glied — (cp + abp—i)xm—p+l ist negativ und das letzte Glied acm_rxr ist wieder positiv, folglich treten mindestens zwei Zeichen Wechsel ein. Es können aber auch 4, oder 6, oder noch mehr Zeichenwechsel eintreten, indem zwischen xm+' und — (cp-\-abt)_i)xm—p+l noch negative und dann wieder positive Glieder liegen. Auch zwischen — (cp -f abp-i)xm-p+1 und acm-,-xr können noch positive Glieder liegen, auf die negative Glieder folgen; die Anzahl der Zeichenwechsel muß aber stets eine gerade Zahl 2^ + 2 sein, weil (x — a) <p(x) mit einem positiven Gliede anfängt und mit einem positiven G-liede schließt.

Hat

(6.)    cp(%) — Xm -f- hyXm~X    bp—\Xm~p+X-CpXm~p

-----e?_+ dqxm~i -|-----j- dm_rxr

zwei Zeichenwechsel, so wird

(7.)    (x — a)(f{x) = xm+1 -j- (b\ — d)xm -]-----(cp -f- abp_i)xm~p+¹

- • • • “f“ (dq -f~ (ICq—\)X,n    —)- • • • Cldm fX¹ .

In diesem Ausdrucke ist das erste Glied positiv, das Glied — (cp -f abp-i)xm-p+1 ist negativ, das Glied -f (dq -\- acq_^)xm~^x ist positiv und das letzte Glied — adm—rxr ist negativ, folglich treten mindestens drei Zeichenwechsel ein. Es können aber auch noch mehr Zeichenwechsel auftreten; dabei muß die Anzahl der Zeichen Wechsel stets eine ungerade Zahl 2v + 3 sein, weil {x — a)(f(x) mit einem positiven Gliede anfängt und mit einem negativen Gliede schließt.

(x

In dieser Weise kann man fortfahren und zeigen, daß - a)cf(x) mindestens einen Zeichenwechsel mehr hat als (fix). Sind nun «i, a₂,...ax die positiven Wurzeln der Gleichung f(x) = 0, ist also

(8.)

fix) = (x — a i) {x — a₂)... (x — ay) . (p{x)

wobei

(fix) — xm -j- b\Xm~x 4~ b₂xm~² -f- • • • + bm_rxr — 0 außer der Wurzel x = 0 nur noch negative und komplexe Wurzeln hat, so ist nach Satz 2 der Koeffizient bm—r des letzten Gliedes positiv, folglich muß die Anzahl der Zeichen Wechsel in (p{x) eine gerade Zahl 2v sein. Nach dem vorstehenden ist dann die Anzahl der Zeichenwechsel

in (x — ai)(p{x)

„ (x — ai) {x — a₂)(p(x)

2v —(- 2r± —(- 1,

2r -f- 2v\ —)- 2^2 —l⁻ 2,

„ (x—a^{x—a₂)...(x—ay)(p(x) 2v + 2vx + 2v₂-\-----f2vx+x,

wobei 2v + 2v± + 2v₂ + •: • + 2v* eine positive gerade Zahl ist, die auch gleich Null sein kann. Die Anzahl der Zeichenwechsel ist also mindestens gleich der Anzahl z der positiven Wurzeln und kann sich von * nur durch eine gerade Zahl unterscheiden.

Vertauscht man wieder x mit —x, so geht f(x) = 0 in eine Gleichung f\{x) = 0 über, bei der die Koeffizienten von xn~l, xn~z, xn~b,... und die sämtlichen Wurzeln das entgegengesetzte Zeichen haben wie in der gegebenen Gleichung. Ist nun die Anzahl der Zeichenwechsel in dieser Gleichung /, so kann sie höchstens X positive Wurzeln haben; deshalb hat die gegebene Gleichung höchstens X negative Wurzeln. Dabei kann sich auch hier die Anzahl der negativen Wurzeln von X nur durch eine gerade Zahl unterscheiden.

Ist das Polynom

(9.) fix) — xn -f-    ¹ -f- a<i,xn~² + • • • + an_iz -f- an

vollständig, sind also die Koeffizienten au a₂,...an sämtlich reell und von Null 'verschieden, so wird jede Zeichenfolge in f{x) zum Zeichenwechsel in f\(x), und jeder Zeichenwechsel in fix) wird zur Zeichenfolge in fi(x). Daraus ergibt sich

Satz 4. Ist das Polynom fix) vollständig, so ist die Anzahl der negativen Wurzeln nie größer als die Anzahl der Zeichenfolgen. Dabei ist die Differenz zwischen der Anzahl der Zeichenfolgen und der Anzahl der negativen Wurzeln eine gerade Zahl.

Satz 5. Ist das Polynom fix) vollständig, und sind sämtliche Wurzeln der Gleichung f{x) — 0 reell, so ist die Anzahl y. der positiven Wurzeln ebenso groß wie die Anzahl der Zeichenwechsel, und die Anzahl X der negativen Wurzeln ist ebenso groß wie die Anzahl der Zeichenfolgen.

Beweis. Die Anzahl aller reellen Wurzeln ist nach Voraussetzung

y. -j- X — n.

Ist nun die Anzahl der Zeichen Wechsel x' und die Anzahl der Zeichenfolgen so ist nach Satz 3 und 4 A A z, X‘ X.

Da aber A + X* ebenfalls gleich n sein muß, so ist

A -j— X‘ = 7 —j— X,

und das ist nur möglich, wenn

X‘ = X.

Satz 6. Verschwindet ein Glied von fix) zwischen zwei 'positiven oder zicei negativen Gliedern, so folgt daraus die Existenz zweier komplexen Wurzeln.

Beweis. Vertauscht man in f(x) das verschwindende Glied mit einem positiven Gliede, so werden die Zeichenkombinationen + 0 + und — 0 —

in

H—I—b und |--

übergeführt; inffx) dagegen gehen die Zeichenkombinationen d= 0 ± und =p 0 =£■

in

± =t= ± und + + qp

über. Durch das Verschwinden des eingesetzten Gliedes gehen also entweder in fix) oder in fff zwei Zeichenwechsel verloren. Die Summe der Zeichenwechsel in f{x) und fff) kann daher höchstens n — 2 sein, folglich ist auch die Anzahl der reellen Wurzeln von ff = 0 höchstens n — 2.

Ähnliches hätte man gefunden, wenn man das verschwindende Glied durch ein negatives Glied ersetzt hätte.

Man kann diesen Satz sogleich auf den Fall verallgemeinern, wo an mehreren Stellen ein Glied von f(x) zwischen zwei positiven oder zwischen zwei negativen Gliedern verschwindet. Die Anzahl der komplexen Wurzelpaare ist dann mindestens ebenso groß wie die Anzahl dieser Stellen.

Satz 7, Verschwinden in fix) zwei nebeneinander stehende Glieder, so folgt daraus ebenfalls die Existenz zweier komplexen Wurzeln.

Beweis. Vertauscht man in den 4 möglichen Zeichenkombi

nationen

+ 0 0 + + 00— —0 0 + —00 — die verschwindenden Glieder durch passend gewählte nicht verschwindende, so erhält man die Zeichenkombinationen

_j---1—1_

und erkennt, daß durch das Verschwinden der beiden Glieder zwei Zeichenwechsel in f(x) verloren gegangen sind, während in fff die Anzahl der Zeichen Wechsel dieselbe geblieben ist; folglich kann fif höchstens n — 2 reelle Wurzeln haben.

Auch hier kann der Satz auf den Fall verallgemeinert werden, wo an mehreren Stellen zwei aufeinander folgende Glieder verschwinden.

Beispiel. Es sei

fix) — xn — x¹¹ -f- 3a;⁸ + 12a;² — 19a; — 24 = 0,

also

fi(x) — a;¹² -|- x¹¹ -J- 3a;⁸ -j- 12a;² -J- 19a; — 24—0; hier hat f(x) nur drei und f\{x) nur einen Zeichen Wechsel, folglich hat die Gleichung f{x) = 0 höchstens drei positive und nur eine negative Wurzel; mindestens 8 Wurzeln sind komplex.

§ 121-

Der Sturm sehe Satz.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 199.)

Über die Intervalle, in denen die reellen Wurzeln liegen, gibt bereits Satz 13 in § 8 (Seite 57 bis 59) Auskunft. Danach gibt es zwischen xt und x₂ mindestens einen Wert von x, für welchen die stetige Funktion f(x) gleich Null wird, wenn fix) in diesem Intervalle das Zeichen wechselt, wenn also entweder

fixi) < 0 und f(x₂) > 0

oder

fixi) > 0 und f\x₂) < 0

ist. In dem vorliegenden Falle ist die Funktion fix) eine ganze rationale Funktion, nämlich

(1.) f[x) = axn -f- aix*¹—' -|- a₂xn—² + • • • + an^x + an.

Bei dieser und den folgenden Untersuchungen kommt es häufig vor, daß der Wert der ganzen rationalen Funktion fix) für irgend einen Wert von x, z. B. für x = xt berechnet werden soll. Dies geschieht in der Begel am einfachsten durch dasselbe Verfahren, welches bei der Division durch x — xt ausgeführt wird. Setzt man nämlich

(2.)    = öi -j- (iX\, b₂ = a₂ f b\X\, b% = a₂ -f- b₂X\,

... bn = ün —)— bn—iXi,

so findet man durch Ausführung der Division

(3.) f(x) = axn + aixn~¹ -f- a₂xv~² + • • • + aw_\x + an

— (x — x\)(axn~l + bixn~² + b₂xn~z -j-----(- bn-1) +

ctn

Un-1

Dabei erfolgt die Berechnung der Zahlen bu b₂,... bn—i, bn am einfachsten durch Addition der in dem folgenden Schema untereinander stehenden Zahlen: a ai a₂

ox\ b\X\ b₂X\ . . . byi—₂X\    byi—\X\

bn—i

bn •

b\ b₂ 63

Aus Gleichung (3.) ergibt sich dann ohne weiteres

(4.)

/Ol) = bn.

Beispiel. Es sei

f{r) = 40a:³ — 639a:² + 3029a: — 4032, dann findet man die Werte /(2), /(4), /(7), /(9) bezw. in folgender Weise

40    —639    + 3029    —4032

+ 80    —1118    + 3822

— 559    + 1911    — 210 =/(2)

40    — 639    + 3029    — 4032

+ 160 —1916    + 4452

— 479    + 1113    + 420 = /(4)

420 =/(7),

+ 360 — 2511    + 4662

— 279    + 518    + 630 =/(9).

Da

/( 2) =

210 < 0, /(4) =-+ 420 > 0, /(7) = — 420 < 0, /(9) = + 630 > 0 ist, so folgt gleichzeitig hieraus, daß in jedem der Intervalle 2 bis 4, 4 bis 7, 7 bis 9 eine reelle Wurzel der Gleichung /(*) =0 liegt.

Um die Anzahl der reellen Wurzeln der Gleichung- fix) = 0, welche in dem Interwalle von xx bis .r₂ liegen, genau zu bestimmen, hat Charles Sturm das folgende Verfahren angegeben.

Sucht man den größten gemeinsamen Teiler zwischen f(x) und f‘(x), so [erhält man nach den Angaben in § 117, wenn man die bei der Division sich ergebenden Reste bezw. mit —fi{x)i —/>(*),----fix) bezeichnet, das folgende Schema:

(5.) .

fix) = Qi{x) .f\x) —fix) f\x) = Q₂(x) .fix) —fix), fix) — Qiix) .fix) -fix).

fv-if) = Q^i(x) .f^\{x) —ffx), fu-lix) = Qfx) .fix).

Hierbei ist fix) der größte gemeinsame Teiler von f{x) und f‘{x). Die vorstehende Rechnung kann deshalb, wie bereits in § 118 gezeigt wurde, dazu benutzt werden, um die Auflösung der Gleichung fix) = 0 zurückzuführen auf die Auflösung der Gleichungen

(6.)

q(x) = 0 und

/O)

Ufr) . o[x)

- 0,

welche nur einfache Wurzeln besitzen. (Vergl. § 118, Gl. (9.) und (10.))

Setzt man in dem folgenden voraus, daß f(x) nur einfache Wurzeln hat, so ist ffx) eine Konstante, die mit f^ bezeichnet werden möge.

Verschwindet von den Funktionen

■ ■ -fix) i /*(*), f‘ix)

irgend eine, z. B. fix) für x — a, so muß

fy.-1(«) ^ 0 und fx+i(a) < 0

sein. Wäre nämlich fy.+i{a) = 0, so würde aus der Gleichung

fy.-i{a) = Qy.{a) ./*(«)—fx+1(«)

folgen, daß auch fx-ia) = 0 wäre. Dann wäre aber

/*-i(a) = Qx-i(a) .fy.-i(a) —fia)

ebenfalls gleich Null. Auf diese Weise würde man finden

/*+i(«) = °> /*(«) = o>    = o, .../'(«) = o, /(«) = o, d. h. æ = a wäre eine mehrfache Wurzel der Gleichung; fix) = o. Das widerstreitet aber der Voraussetzung.

Aus der Gleichung

(7.)

= Qfx) . fy_(x) fx+\{x)

folgt daher, wenn ffd) = 0 ist, (8-)

Man kann jetzt A so klein nehmen, daß f*-i{a ± h) dasselbe Vorzeichen hat wie/^_t(a), und daß fx+x(a±h) dasselbe Vorzeichen hat wie /*₊₁(a). Jetzt haben, wenn man mit z das Vorzeichen yon fx(a — h) und mit 2' das Vorzeichen von fy{a -f h) bezeichnet, nach Gleichung (8.) die Funktionen

H=

für x = a — h das Vorzeichen

dr 0

,, x a »

„ x = a + h „

Welche Vorzeichen 2 und 2' auch sein mögen, es findet bei den drei aufeinander folgenden Funktionen /*_l(x), fx{x), fx+i{x) für die betrachteten Werte von x stets nur ein Zeichenwechsel statt, d. h. es kann in der Reihe der Funktionen

Ił Ił

2'

Ił Ił

kein Zeichenwechsel verloren gehen, wenn x den Wert a passiert, für welchen f-fx) = 0 wird.

Werden für x = a mehrere Funktionen der .vorstehenden Reihe, welche „die Sturm sehe Reihe“ genannt wird, gleich Null, so kommt jede verschwindende Funktion zwischen zwei nicht verschwindende, so daß in der ganzen Reihe kein Zeichenwechsel verloren gehen kann.

Nur wenn fix) selbst für x = a verschwindet, verhält sich die Sache anders. Dann wird nach Voraussetzung f\d) ^ 0, und man kann h so klein machen, daß f\x) das Zeichen nicht wechselt, wenn x das Intervall von a — h bis af h durchläuft. Dagegen wird nach dem Tay forschen Lehrsätze (vergl. Formel Nr. 89 der Tabelle)

I f(a — h) =/(«) — h f/'O) + «t] = —h [/'(«) + «i] I/O + Ä) =./(«) + ä [/'(«) + «2] = + h [/'(«) + «₂J

(9.)

wobei f\a) -j- und f‘{a) + a₂ dasselbe Zeichen haben wie f‘(a). Deshalb haben die Funktionen

f{x) und f\x)

und

=F

für x = a — h das Zeichen ,, x = a —[- h ,,    ,,

Hier geht also wirklich ein Zeichenwechsel verloren. Das Ergebnis der vorstehenden Untersuchung ist daher folgendes: Alle Werte von x, für welche eine der Funktionen

• •■/»(*)» Mx) > /ty). f(x)

zwischen xt und x₂ verschwindet, seien in steigender Ordnung a, b, c, ...k, l, dann wechselt in den Intervallen von

xt bis a, a bis b, b bis c, ...k bis l, l bis x₂

keine dieser Funktionen das Zeichen, es kann also kein Zeichenwechsel verloren gehen, wenn x eines dieser Intervalle durchläuft.

Durchläuft aber x die Intervalle von a— h bis a-\-h, b — h bis b -\- h, .. .1—h bis / -f- h, so wird nur dann ein Zeichenwechsel verloren gehen, wenn a oder b,... eine Wurzel der Gleichung fix) = 0 selbst ist. Daraus folgt der

Satz. Die Gleichung f(x) = 0 hat in dem Intervalle von Xi bis x₂ genau so viele Wurzeln, wie die Reihe

fa, /a-lOl) , • • -MXi) , f₂(x 1), f\x i), fXi)

Zeichenwechsel mehr hat als die Reihe

fin f-x{x₂\ ...f{x₂), f₂{x₂), f(x₂), f{x₂). Beispiel. Wieviel reelle Wurzeln hat die Gleichung f{x) = x⁴ — 14x³ -j- 71x² — 154z + 120 = 0 in dem Intervalle von 1 bis 6?

Q₂(»    ₅

Auflösung. Hier ist

f\x) = 4z³ — 42z² + 142# — 154,

QiO)    4/₂(z) = 5z² — 35z + 59,

¹⁶*    ?» S/*.)-Ita-66,

16 /₄ = 9.

^    ,    25z    175

128

Ö3(*)=^4

Deshalb wird

16/4 = 9, 5/3(1)=—40, 4/₂(l)=+29,/'(l)=-50,/(l)=+24, 16/4 = 9, 5/₃(6)=+40, 4/2(6)=+29, /'(6)= + 50, /(6) =+24.

Die erste Reihe hat 4 Zeichenwechsel, während in der zweiten Reihe kein Zeichenwechsel auftritt; es gehen also 4 Zeichenwechsel verloren, wenn x das Intervall von 1 bis 6 durchläuft, d. h. die Gleichung 4ten Grades hat 4 reelle Wurzeln, die zwischen 1 und 6 liegen.

§ 122.

Die Netvtonsehen Näherungsformeln.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 200.)

Durch die in den vorhergehenden Paragraphen angegebenen Methoden kann man nicht nur die Anzahl der reellen Wurzeln genau bestimmen, sondern man kann auch durch Einsetzen von Zahlenwerten Werte von x finden, die den reellen Wurzelwerten ziemlich nahe liegen. Unterscheidet sich z. B. die Zahl a von einer Wurzel der Gleichung f(z) = 0 nur um eine kleine Größe h, so ist nach der Taylor sehen Reihe

(!•)    /(a + A)—f(?) +

/'(«)

/"(«)

1!

h+ ~2l

h² H----= 0.

h² und die folgenden Glieder für hinreichend

kleine Werte von h sehr klein werden, so kann man sie, ohne einen großen Fehler zu begehen, vernachlässigen. Deshalb findet man aus Gleichung (1.) näherungsweise

(2.)

1!

0,

oder h = —

J\a)

/»

folglich ist

(3.)

a‘ =

/(«)

ein zweiter Näherungswert!, der unter gewissen Bedingungen dem [wahren Werte von x näher liegt als a. Einen dritten Näherungswert findet man dann durch die Gleichung

(4.)

a“ = a‘

/(«')

/>')

Indem man dieses Verfahren, welches „die Newton sehe, Näherungsmethode“ genannt wird, fortsetzt, kann man sich dem wahren Werte von x beliebig nähern.

wenn

Dieses Verfahren führt aber nur dann zum Ziele

f»

K¹ und die folgenden Glieder in Gleichung (1.) wirklich

1

sehr klein sind. Deshalb hat Fourier die Newton sehe Methode noch in der folgenden Weise verbessert.

Man bestimme zwei Zahlen a und b so, daß zwischen a und b nur eine Wurzel der Gleichung f(x) = 0 liegt, und daß die Gleichungen f‘(x) = 0 und f“(x) = 0 in diesem Intervalle keine Wurzel haben. Dann müssen f(a) und f(b) entgegengesetztes Zeichen haben, weil f(x) für einen Wert von x zwischen a und b verschwindet. Dagegen hat /'(«) mit f‘(b), und ebenso / “(a) mit f“(b) gleiches Zeichen. Deshalb sind in bezug auf die Vorzeichen von f(x), f‘(x) und f“(x) 4 Fälle zu unterscheiden. Diesen 4 Fällen entsprechen die Figuren 138 bis 141, in denen

(JA) — a, OB\ = b, OQ = x

sein möge. In den Figuren 138 und 139 schneidet die Tangente des Kurvenpunktes B die X-Achse im Punkte T, und durch den Kurvenpunkt A ist eine Parallele AS zu TB gelegt; in den Figuren 140 und 141 schneidet die Tangente des Kurvenpunktes A die X-Achse im Punkte T, mid durch den Kurvenpunkt B ist eine Parallele BS zu TA gelegt.

'A

Im Falle I (Fig. 138) ist

/(«)< 0, /'(«)> 0, /"(<*) > 0,

/(*)> 0, /'(ö) > 0, /"(*)> 0, d. h. die Kurve tritt aus dem Negativen ins Positive und ist nach oben konkav.

Im Falle II (Fig. 139) ist

/(«)> 0, /(«)< 0, /»< 0,

/•(0)<0, /*'(£) <0, /"(*)< 0, d. h. die Kurve tritt aus dem Positiven ins Negative und ist nach oben konvex.

Fig. 141.

Fig. 138.

Fig. 139.

\B

A,_S

T B,

■X

A,

<2V

T_Bf

■X

Fig. 140.

v.4

A, T

S_B,

-X

Ö¹

A,_T

■X

JA

Im Falle III (Fig. 140) ist

f\a) > 0, /'(«) < 0,    /*"(«) > 0,

/(*)< 0, /'(*)<<>, /"(*)> 0, d. h. die Kurve tritt aus dem Positiven ins Negative und ist nach oben konkav.

Im Falle IV (Fig⁻. 141) ist

f(a) < 0, f'ta) > 0, /"(«) < 0,

f(i)> », f(i)> 0, /"W<0,

d. h. die Kurve tritt aus dem Negativen ins Positive und ist nach oben konvex.

Der konvexe Teil der Kurve ist demnach in den Fällen I und II der Ordinate B^B und in den Fällen III und IV der Ordinate A\A zugewendet. Deshalb heißt nach Fourier in den Fällen I und II der Wert b und in den Fällen III und IV der Wert a „die äußere Grenze“. Man beachte, daß in den Fällen I und II f\a) und /"(«) gleiches, und in den Fällen III und IV entgegengesetztes Zeichen haben.

Im Falle I setze man

(5.)

x = b — (b — x) = OQ, dann wird nach Formel Nr. 87 der Tabelle, wenn man a mit b vertauscht,

(6.)

/O) =f{b) — (b— x)f($) = o

wo § = b — Q(b — x) zwischen x und b liegt. Daraus folgt

(7.)

/(*)

oder x = b —

Sis

Da in dem betrachteten Intervalle f“{x) >0 ist, so wird

(8.) f\b)    > o

Dies gibt

also 0 <

(9.)

x } m

/■(?)

f‘iß)

= b‘cb.

Die Zahl b‘ =

b-Æ.

/'(*)

liegt also zwischen x und b, d. h.

sie liegt dem wahren Werte der Wurzel näher als b.

Setzt man

(10.)

a + (x — a),

so findet man in ähnlicher Weise nach Formel Nr. 87 der Tabelle

f(x) =/(«) + (x — «)/'(?) - 0

(11.)

wo = a + G(x — a) zwischen a und x liegt. Dies gibt

(12.)

/ 0)

/J(7) ’

oder # —

/(«)

“ /'(*) ’

Da in dem betrachteten Intervalle f“{x) >0 ist, und da f{a) < 0 ist, so wird

(13.)

0 </'(*) </'(*)

also

folglich ist

—/(«) ^ —./O) /'(*) /'(*)

(14.)

/(«)

“ /'(*)

/(«)

f\b)

= a! > «.

Man findet also

(15.)

a < a‘ <L x <. b‘ < b.

Diese Untersuchung läßt sich in folgender Weise geometrisch deuten. Die Tangente im Punkte B (Fig. 138) hat die Gleichung (16.)

für den Schnittpunkt T dieser Tangente mit der X-Achse findet man

oder

(17.)

* = 0T, y‘ = 0, also -f{b)=f\b){OT-b),

0T =

b-ÆI

m

= b‘.

Ferner hat die Gerade AS, welche zur Tangente TB parallel gezogen ist, die Gleichung (18.)

Für den Schnittpunkt S dieser Geraden mit der X-Achse findet man

x‘ — OS, y' = 0, also —f(a) — f‘(b){OS—a),

oder

(19.)

/(«)

‘ /'(*)

= a\

Gleichzeitig erkennt man, daß das Intervall zwischen a' und b‘ wesentlich kleiner ist als das Intervall zwischen a und b.

Indem man dieses Verfahren weiter fortsetzt, findet man

a“ = a‘

/(«')

(20.)

= a“ —

/w

/(«") n,

b“ —V —

/(*')

/(*")

/w ’

Die einzelnen Intervalle

(21.) k = b—a, k‘ = b‘—a‘, k“ = b“—a“, ... #*) = bG)—aG) werden immer kleiner und nähern sich schließlich dem Werte 0 beliebig¹. Nach den Gleichungen (17.) und (19.) ist nämlich

(22.) k‘ = b‘ — a‘ = b — Ä

Nach der Taylor sehen Reihe wird aber

$ —j-

/(■»)_,. f(i) -/(»).

/'(*)

/'(*)

/0) — f(b) = (x~ b)f‘(b) + ^ ₂ ^ /" [* + ©0 — ö)]

also für x = a

(23.)

k²

m -m = - vv) + ö/"(o

wo £ = ä -j- ©(q — b) — b — <2/. zwischen a und b liegt. Deshalb geht Gleichung (22.) über in

(24.)

k‘ = k — k -f

Wf‘%) 2f\b) •    2f\b)

Bezeichnet man mit G den größten Wert, den f“{x) in dem Intervalle von a bis b annimmt, und setzt

= G,

(25.)

so wird

f"(i) S G, /'(«) </'(*)> also k‘ s

k²G

k²G

oder

k‘ < C . Æ².

< G.Æ'² < G³. Z.;⁴,

Ebenso findet man lu^k‘².G k‘². G = 2/W<2/'(q)

< G. (Zr'')² < G⁷. <6⁸, >fc« < G. (Z;'")² < G¹⁵. k'e,....

Man erkennt, daß die Annäherung eine sehr starke wird wenn C. k c 1 ist.

Dieselben Formeln, welche für den Fall I hergeleitet sind, gelten auch für den Fall II, wie man leicht zeigen kann.

Für die Fälle III und IY, hei denen a die äußere Grenze ist, erhält man brauchbare Resultate, Wenn man in den Gleichungen (17.), (19.) und (20.) a,    bezw. mit b, b‘, b“, ...

vertauscht; man hat also zu setzen:

a‘ — a

/(«)

/'(«)

b‘ = b

/(*)

/'(«) ’

(27.)

a“ = a‘ —

/(«')

/'(<0 ’

h,_m

n*)

Hier haben /'(«) und f“(a) entgegengesetztes Zeichen. Macht man noch die Voraussetzung, daß /'"(#) zwischen a und b nicht verschwindet, so ist G entweder /"(«) oder f“{b) ; dann kann man die Zahl C für alle 4 Fälle durch die Gleichung (28.) erklären, wo K die kleinere von den beiden Größen f\a) und f\b) und G die größere von den beiden Größen /"(«) und f“(b) ist. Es gelten dann für alle 4 Fälle die Ungleichungen (29.) b — a = k, k‘ <C./c², k“ < C³. k\ k“‘ < C¹. k\ ....

Ist 0. k <1, so braucht man nur die Näherungswerte an der äußeren Grenze zu berechnen, denn aus den Ungleichungen (29.) ergibt sich, wie groß der Fehler höchstens sein kann.

Beispiel. Es sei

(30.)

f(x) — x³ — x² — 10# — 5 = 0, und es sei bekannt, daß die 3 Wurzeln dieser Gleichung bezw. in den Intervallen —2,4 bis —2,3; —0,6 bis —0,5 und 3,8 bis 4,0 liegen; man soll die 3 Wurzeln auf 4 Dezimalstellen genau berechnen.

Auflösung. Aus Gleichung (30.) folgt (31.) f{x) = 3#² — 2x — 10, /"(#) = 6# — 2, /'"(#) = 6.

Indem man beim Einsetzen der Zahlwerte das in § 121 angegebene Schema benutzt,, findet man zunächst für a = — 2,4 und b = — 2,3

fia)— 0,584, /'(«) = +12,08, /"(«)=—16,4, /'»=6, /(£)=+0,543, /'(A)= + 10,47, f‘\b)=—15,8, /"'(*)=6. Hier tritt also Fall IV ein; deshalb wird 0,584 12,08 0,543 12,08

Um die fernere Rechnung zu vereinfachen, setze man a‘ = — 2,352,    6' = — 2,344.

Dies ist erlaubt, weil man a‘ etwas kleiner und b‘ etwas größer annimmt als die bereits gefundenen Näherungswerte. Jetzt wird

(32.)

a‘=

b‘=

/(«)

a n*)

b-m=

f»

(33.)

= -2,4

— 2,3—

= — 2,4 + 0,048 34 = — 2,35166,

= — 2,3—0,04495 = — 2,34495.

(34.) /(«')= — 0,022942, f{b‘)= +0,066 940, f(a‘) =11,299 712, folglich ist

a“ — a‘ —

fV)

= —2,352 +

0,022 942

11,299 712

= —2,349 970,

0,066 940 11,299712

Da zwischen a“ und b“, aber näher an a“ liegt, so setze man

b“ = V

/V)

— 2,344

= — 2,349 924.

(35.)

= — 2,349 970.

Der Fehler wird dann kleiner als — a") = 0,000 023.

Für das zweite Intervall wird a = — 0,6 und b = — 0,5;

dies gibt

(36.) |

/(«) = + 0,424, f\a) —    7,72, /»= — 5,6, /'"(«) = 6,

/(4) = —0,875,/'(4)=— 8,25, /"(4) = —5, /» = 6. Hier tritt also Fall II ein; deshalb wird

«'=

/O)

0,6 +

0,424

8,25

0,6+0,051394 = —0,548 606,

0,375

f\b)

8,25

(37.)

Um die fernere Rechnung zu vereinfachen, setze man a‘ = — 0,549, V = — 0,545,

dann wird

(38.) /(a') = 0,023130, f(b‘) =—0,008 904, f‘(V) = — 8,018 925, folglich ist

0,023 130 8^18 925 0,008 904 8,018 925

Da oc<i zwischen a“ und b“, aber näher an b“ liegt, so setze man

a“ — a‘

bu --

(39.)

(40.)

/(O

/'(*')

v-m. /W

= — 0,549 +

= — 0,546 116,

= — 0,545

— —0,546 110.

a;₂ = —0,546 110.

Der Fehler wird dann kleiner als \{b“ — a“) = 0,000 003. Für das dritte Intervall wird a = 3,8 und b = 4 ; dies gibt //(«) =—2,568, /'(«) =+25,72, /» =+20,8, /"'(«)=8,

1/(0 =+3,    /'(4)=+80,    /"(*)= + 22, f“(b)=6.

Hier tritt also Fall I ein; deshalb wird 2,568

a‘ =

/(«)

a —

= 3,8-f

30

= 3,8 + 0,0856 = 3,8856,

// = h_= 40--—

f\b)    30

= 4,0 —0,1 - 3,9.

(41.)

Um die fernere Rechnung zu vereinfachen, setze man a‘ = 3,885, V = 3,9,

dann wird

(42.) /(a') = — 0,306 046, f(b‘) = + 0,109, f\b‘) = + 27,83, folglich ist

a" = a'

/(<*') _

/w

3,885

0,306 046

27,83

= 3,895 997,

0,109 27^83

Da ^3 zwischen a" und //', aber näher an b“ liegt, so setze man

b“ =

/,•

/W

= 3,9

= 3,896 083.

(43.)

= 3,896 083.

Der Fehler wird dann kleiner als -|(£" — a“) = 0,000 043.

Kiepert, Differential - Rechnung.

36

§ 123.

Näherungsmethode von Graeffe.

Sind in der Gleichung f(x) = 0 die absoluten Beträge der Wurzeln voneinander verschieden, und sind die absoluten Beträge der reellen Wurzeln größer'als die der komplexen Wurzeln, so kann man zur Ermittelung der reellen Wurzeln das folgende Verfahren anwenden.

Durch Vertauschung von x mit —x geht die Gleichung

(1.) f(x) = xn 4- ciiXn~l + a₂xn~² +----P an—\X + an

= (x-Xi) (x-X₂) (z -X₃) • ■ ■ (x-Xn) = 0

in

(2.) fi(x) = xn — diXn-¹ + d₂xn-²--p • • • zp dn—\X rb an

= (p! + «l)(« + *2) (« + *j) • • • {x -P Xn) = 0

über. Indem man die beiden Gleichungen (1.) und (2.) miteinander multipliziert, erhält man eine Gleichung (3.) z²" -p biX2n~² -p b₂x2n~⁴ -p • • • + bn~tx² -p bn

— (x²-Xi²) (x¹ — x₂²) (x² — x₃²) ■ ■ ■ (x² — xn²) — 0,

wobei bi = 2 a₂ — ai²,

(4-)

b₂ = 2a₄ — 2at a₃ -p d₂²,

b₃ = 21/₆ — 2«i d₅ -p 2a₂«4 — «3²

Am einfachsten findet man die Koeffizienten der Gleichung (3.), wenn man f{x) auf die Form

(la.) f{x) = (xn -)- d₂xn~² + aixn~i -j----) -f- (ayXn~x + d₃xn~z -)----)

= A Ą-B

bringt, wobei

A — xn + d₂xn 2 -p «4«w—4 + • • 5 B — a\.xn~' -p a₃xn~z + • • •

ist, dann wird

(2a.)

fi(x) = A — B =

und

Indem man x² = y setzt, geht Gleichung (3.) über in

(⁵-) y(y) = yn + hy"-¹ + %H_2 4-----b £«-iy + K

= (y — zi²) (y — x-i ) (y — a'²) •••(«/ — x>?) = o.

Multipliziert man diese Gleichung mit (6.) (—1 ),ly(—y)=y,l—àiÿ'-¹ 4-%H~²—|—=Fö,,_i; y±K = (y+xi²) (y4-xł) (y + xł) ■ ■ ■ (y 4- xn²) = o und setzt y² = z, so erhält man die Gleichung

(7.)

0" + dZn-' + C₂Zn 2 H-----h Cn_xZ + Cn

= {z-XX⁴) (z-X₂i) (z-X₃⁴) ■■■ (z-Xn⁴) = 0 .

Dieses Verfahren kann man beliebig fortsetzen und findet, wenn man die Zahl 2“ mit y bezeichnet, schließlich eine Gleichung

(8.)

wn -f p\WH 1 + p₂wr,~² 4- ... -f p„_xw + pn = 0 mit den Wurzeln x^, x^p, xy¹,... xna.

Sind alle Wurzeln reell, und ist

(9.)

^i² > x₂² > xs² > • • • > xn2 so wird nach den Ausführungen in § 114 (10.) -Pt = xPL 4- X-f 4- ^3U + • • • +

--[‘+ewïx+

(il.) 4- P2 = xx^x-f 4- xpLx?p 4-----h x^x-p 4-... 4- xy-xxP 4- • • •

= xrux₂!l

■+©++©++(uej+

= xrux₂u(l 4- £2),

(12.) —p₃ = x±ux₂Px^ 4- xxux₂uxip 4----

= Xx'lX₂lXpl

1 4- H---- =    4- £3)

(13.) ± pn = Xx^X-fX-P¹ . . . X,p .

Nun sind aber nach Voraussetzung die Größen

(x₂\r /.rA²    /x,X² /x,\²    /xS²    / xn \²

\Xx) ' Kx!/’ W/ \x₂)' \X₂)'    \Xn-x)

36*

lauter echte Brüche, deren Potenzen man beliebig klein machen kann, wenn man nur den Exponenten hinreichend groß macht. Deshalb kann man auch die Größen fj, e₂, es,... beliebig klein machen und findet mit beliebiger Annäherung

—jö₃ = xvuxpxß,

(14.)    —px = xvu, ß p₂ = xßxß

...±Pn = Xßxß . . . Xß.

Daraus folgt näherungsweise

(15.) *!'“ = oder

IM I tH

• • • Xß =

Pn

pn—1

log(±a:i) = —log(— pi)

Uj

(16.)

log (± x₂) = ] [log/?₂ — log (— px)], log(± Xi) = ~ [log(—pS) — logp₂]

log(db x„) = — [log(± j»„) — log(q= />*_i)].

£Aj

(17.)

Beispiel. Man soll die Wurzeln der Gleichung f(x) = x³ — x¹ — 10.-r — 5 = 0

berechnen.

Auflösung. Mit Hülfe des Sturm sehen Satzes kann man leicht nachweisen, daß die Gleichung zwei negative und eine positive reelle Wurzel hat, daß also das vorher angegebene Verfahren anwendbar ist. Aus

(æ³ — 1 Ox)² — (x² -f 5)² = 0

folgt dann die Gleichung

(18.)

iß— 2hß -j- 60y— 25 = 0, wo y = x². Ferner folgt aus

{iß + 90 y)² — (21 y² + 25)² = 0 (19.)    0³ — 261z² + 7050^ — 625 = 0, wo 0 = y² = z⁴.

(z³ + 7050z)² — (261z² + 6 2 5)² — 0

folgt die Gleichung

(20.) iv³ — 5402lw² + 49 376 250<e — 390 625 = 0, wo w — z² = yi — x⁸.

Deshalb wird

log(± Xi) = i log54 021 = 4,732 562 6 : 8 = 0,591 570 3, log(± X₂) = \ [log 49 376 250 — log 54 021]

O

= (7,693 518 1 — 4,732 562 6) : 8 = 2,960 955 5:8 — 0,370 119 4,

log(± x₃) = ^ [log 390 625 — log 49 376 250]

= (5,591 760 1 — 7,693 518 1) : 8 = (5,898 242 0 — 8) : 8 = 0,737 280 3 — 1.;

Daraus folgt

(21.)

Aus

( x± = ± 3,904 544, l x₂ = ± 2,344 874, [ x₃ = ± 0,546 110.

so muß xx > 0, x₂ < 0, x₃ < 0 sein. Aus der Vergleichung dieser Näherungswerte mit den in § 122 für die Wurzeln derselben Gleichung gefundenen Werten erkennt man, daß die Annäherung eine ziemlich starke ist.

Der große Mangel dieser Methode liegt darin, daß man zwar die Wurzeln mit beliebiger Genauigkeit berechnen kann, daß man aber für den Fehler keine zuverlässige Grenze angeben kann. Man wird daher im allgemeinen zunächst die Grae/fesche Methode benutzen, um für die Wurzeln Näherungswerte zu finden, und dann die Methode von Neivton und Fourier an wenden, wenn es darauf ankommt, bei der Berechnung- eine bestimmte Genauigkeit zu erzielen.

Sind auch komplexe Wurzeln vorhanden, so kann man die Methode von Graeffe noch zur Berechnung der reellen Wurzeln an wenden, deren absoluter Betrag größer ist als der absolute Betrag der komplexen Wurzeln.

Nach den Ausführungen in § 113 treten die komplexen Wurzeln paarweise auf. Ist z. B.

(22.)

xx = r(cos</> -f- *sin</>)

eine Wurzel der Gleichung f(x) = 0, so hat die Gleichung noch eine zweite Wurzel von der Form

(23.)

«sin (f).

xi = r(cosrp

Dies gibt

(24.) x-/¹ -f- x^ = ^[cosOu</)-f «shh/ty)] -j-V^fcos^g)—*sinfytg>)] = 2r'u cos( .

Hat jetzt die reelle Wurzel xx unter allen Wurzeln den größten absoluten Betrag, so kann man in der Gleichung.

-)---- = xru(l + «l)

2 r*¹ cos (pff)

die Größe sx für hinreichend große Werte von wieder beliebig klein machen, so daß man mit beliebiger Annäherung

(25.)

= ± Pi

erhält.

Ebenso kann man die Methode von Graeffe zur angenäherten Berechnung derjenigen reellen Wurzeln benutzen, deren absoluter Betrag kleiner ist als der absolute Betrag der komplexen Wurzeln, denn man kann diesen Fall auf den vorstehenden

setzt. Dann entsprechen den

zurückführen, indem man x =

gesuchten Wurzeln diejenigen reellen Wurzeln in der Gleichung

(26.) tnf — autn -f- an—Xtn 1 -(-•••    -ß a\t -f- 1 — 0, deren absoluter Betrag größer ist als der absolute Betrag der komplexen Wurzeln.

Man kann die Methode von Graeffe sogar so verallgemeinern, daß sie für die angenäherte Berechnung der komplexen Wurzeln geeignet wird. Die Auseinandersetzung des dazu erforderlichen Verfahrens würde aber hier zu weit führen.

XVI. Abschnitt.

Asymptoten einer Kurve.

§ 124.

Richtung der Asymptoten.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 201.)

Erklärung. Eine Tangente, deren Berührungspunkt unendlich fern liegt, heißt eine „ Asymptote“ der Kurve.

In diesem Falle ist Formel Nr. 138 der Tabelle, welche die Gleichung der Tangente angibt, nämlich

y‘-

y=dłx^'~x)’

nicht mehr anwendbar, weil in dieser Gleichung x und y (oder wenigstens die eine von diesen beiden Größen) unendlich groß werden. Auch kann die Differentiation von y nach x in diesem Falle nicht mehr [ausgeführt werden. Dagegen führen die in Abschnitt XIV ausgeführten algebraischen Untersuchungen zum Ziele.

Dabei möge die Bestimmung der Asymptoten einer Kurve mit der Gleichung

(1.)

F(x, y) = 0

auf den Fall beschränkt werden, wo F(x, y) eine ganze rationale Funktion nten [Grades ist, obgleich die meisten Schlüsse und Ergebnisse der [hier folgenden Untersuchung auch [dann noch richtig bleiben, wenn diese Beschränkung aufgehoben wird.

Zunächst beachte man, daß die Asymptote eine gerade Linie ist, deren Gleichung die Form

Ax‘ + By‘ + C = 0 haben muß. Ist B > 0, so erhält man hieraus

(2.)

(2a.)

y‘ — mx‘ y,

und ist A ^ 0, so erhält man (2h.) wobei

(3.)

m —--?

ist. Wird B = 0, so ist die Gerade parallel zur Y-Achse und hat die Gleichung

x‘ = Â,

während die Gleichung (2 a.) nicht benutzt werden kann. Wird A = 0, so ist die Gerade parallel zur X-Achse und hat die Gleichung

y‘ = V,

während die Gleichung (2b.) nicht benutzt werden kann.

Damit die Gerade (2a.) oder (2b.) durch den Kurvenpunkt P mit den Koordinaten x und y hindurchgeht, muß

y — mx -j- y und x = ly -f- À,

oder

(4.)

« rs

und l =

sein, wobei zunächst angenommen ist, daß der Punkt P im Endlichen liegt. Rückt aber P ins Unendliche, so wird

(4a.)

(4b.)

= limf—— -N)= limf-Y

x=oo\%    % /    X=00\'£/

= \im(— — -N)= lim/—Y î/=oo\ y    y J    y=oo\y/

Um nun die Größen lim

bezw. limQ^ zu berechnen, beachte man, daß x und y die Koordinaten eines ATwrwewpunktes

sind, daß man also die Werte von — und aus der Gleichung

x

der Kurve, nämlich aus

F(x, y) = 0

berechnen muß. Zu diesem Zwecke ordne man F{x, y) so, daß F{x, y) — Un -j- Un—i -j- • • • -j- Ui + U₀ — 0

(5.)

wird, wobei

Un = ayn 4- axxyn~x + a-ixlyn~‘l -(-••• + cin—\Xn~xy -f- an%n alle Glieder der nten Dimension,

Un-x = biyn~x + bixyn-² -|-----h bn-xxn~x

alle Glieder der in — l)ten Dimension,

Ui = ky -f-

die Glieder der ersten Dimension enthält, und U₀ eine Konstante ist.

Dividiert man jetzt beide Seiten der Gleichung- (5.) durch xn, so wird

F(z, y) _ Un [ Ur xn '

Ul

Uo

XH

xn

= 0.

Dabei ist

^ 4 = °(l) + a,(l) +a²(l)

n— 2

■j“ ‘ ‘ ' H“ an—ll

an

nur noch von

^ abhängig⁻. Dagegen wird

(7.)

ffn-t

Xn

- K9 + *0 + ‘.0

bn—l •

Läßt man jetzt x unendlich groß werden, so ist

(8.)

m.

und wenn m eine endliche Größe ist,

Un„ i

lim

xn

= 0.

Ebenso werden die Größen lim

Un—2

Ui

u₀

• • • lim —

1 m i?

gleich 0, so daß sich die Gleichung (5.) bei der Ausführung der angegebenen Operationen auf

xn

xn

(9.) lim ~ = amn -f axmn~x -j- a₂mw~² +----j- an-im +' an= 0 reduziert.

Die n Wurzein dieser Gleichung- entsprechen n Kichtungen, in denen unendlich ferne Punkte der Kurve liegen.

Eine Kurve ntm Grades hat daher n unendlich ferne Punkte und deshalb auch n Asymptoten, von denen aber einige imaginär sein können, dem Umstande entsprechend, daß die Gleichung (9.) imaginäre Wurzeln haben kann.¹)

Wenn in Gleichung (9.) der Koeffizient von mn, nämlich a, gleich 0 wird, so reduziert sich der Grad der Gleichung (9.) und somit auch die Anzahl ihrer Wurzeln, nicht aber die Anzahl der Asymptoten. Es wurde ja schon vorher darauf hingewiesen, daß die Gleichungsform

y‘ = mx‘ -(- ₍u

für die Asymptoten nicht immer verwendbar sei. Dieser Fall tritt ein, wenn a gleich 0 ist.

Dividiert man nämlich die Gleichung (5.) durch yn, läßt

dann y unendlich groß werden und beachtet, daß lim(^) = ist, so erhält man

Un

= anln -j- an—\ln 1 -j- an—² -j- • • ■ -j- a\l -(- a = 0.

(10.) lim

'S    n »n

y= oo y

Wird jetzt a gleich 0, so hat diese Gleichung die Wurzel

tu

und die entsprechende Asymptote steht auf der X-Achse senkrecht. Ist auch «i gleich 0, so läßt sich in Gleichung (10.) auf der linken Seite der Faktor l\ abtrennen, d. h. die Gleichung hat die Wurzel

/ = 0

zweimal¹, so daß zwei Asymptoten auf der X-Achse senkrecht stehen. Usw.

§ 125.

Lage der Asymptoten.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 201.)

Nachdem man im vorhergehenden Paragraphen aus der Gleichung (9.) einen Wert von m (oder aus der Gleichung (10.) einen Wert von l) bestimmt hat, kennt man erst die Richtung der Asymptote

y‘ — mx‘ -j- g, oder x‘ — ly‘ -J- / ;

um ihre Lage vollständig zu erhalten, muß man noch den zugehörigen Wert von g (bezw. /) aufsuchen.

Zu diesem Zwecke bestimme man die Punkte, in denen die Kurve von der Geraden geschnitten wird. Für die Koordinaten eines solchen Punktes gelten die Gleichungen

(1.)

(2.)

F(x, y) = 0 und y — mx -f- g gemeinschaftlich, also auch die Gleichung F(x, mx -f- g) = 0.

Diese Gleichung enthält nur noch die eine Unbekannte x und läßt sich, da sie höchstens vom rcten Grade ist, auf die Form

(2a.) F(x, mx -j- g) — Vxn -f- Fi^”⁻¹ -j- V₂xn~² -(-•••

+ Fn—ix -f- Vn — 0

bringen. Wie die Koeffizienten F, Fi, F₂,... gebildet sind, ergibt sich aus der Betrachtung der Ausdrücke

ün{x, mx + g), Un—i(x, mx + g), FM_₂(^, mx + g),..

in welche die Größen Un, Z7„_i, Z7M_₂,... übergehen, wemi man y gleich mx + g einsetzt. Es ist nämlich

Un{x, mx -f- g) =

a(mx -\- g)n -f atx{rnx + ’/u)'l_1 H-----h an_xxn~\mx + p) + anxn

= (amn -j- agnn~x -f----ß an-gn + an)xn

+ g[namn~¹ + (n — 1 )almn~² -\-----ß 2a„_₂w -ß an_i]xn

Un—i(x, wx -f- fi) = b(mx -f- fi)n~¹ + b\x{mx -j- fi)n~² -f- • • • + bn—₂xn~Hmx -f- fi)

+ i>n-\Xn-r

— (bmn~l + bxmn~² + • • • + bn—im -j- bn—^.xn~x + • • • . Daraus folgt

(3.) F = amn + axmn~¹ + • • • + an_xm + an,

H⁻ • • • “h an—l]

(4.) Fi = ft \namn~x -j- in — 1 )axm

+ (bmn~x -f bxmn~² +----f- bn^m -f- bn-1),

Da nun der Wert von m bereits so bestimmt ist, daß Gleichung (9.) in § 124 befriedigt wird, so ist schon deshalb

V — 0,

d. h. die Gleichung (2a.), nämlich die Gleichung

Vxn + VxXn~X + V₂xy,~² -]-•••+ Vn—\X + Vn = 0 hat bereits eine Wurzel

x = oo ,

oder mit anderen Worten, die Gerade

y‘ — mx‘ -f- {*>

geht bereits durch einen unendlich fernen Punkt der Kurve, welchen Wert auch fi haben mag.

Damit sie aber die Kurve in diesem Punkte berührt, muß man fi so bestimmen, daß auch noch eine zweite Wurzel der Gleichung (2a.) unendlich groß wird. Dies geschieht, wenn man

(5.)

Fi — 0

macht, indem man

(6.)

fi —

bmn~¹ -f- b\mn~² + • • • + bn—₂m -J- bn—\

nam

n—1

setzt.

-f- (n — 1) «lm

Die Regel, welche sich aus dieser Untersuchung für die Behandlung von Beispielen ergibt, ist daher folgende:

Man dividiert TJn durch xn und erhält dadurch, daß man

setzt, die Gleichung

limf-^ gleich

x=oo\xJ

lim

Un

OO •*'

= amn -f- axm

w—1

Ist m eine Wurzel dieser Gleichung¹, so setze man y = mx-\- g in die Gleichung

F{x, y) = 0

ein, von der man aber nur die Glieder Un + Uu-\ braucht, dividiert durch x"—¹ und läßt dann x unendlich groß werden. Dies gibt eine Gleichung ersten Grades für die Bestimmung von g.

Man hätte auch x mit y und infolgedessen m mit l und y mit / vertauschen können, um die Gleichung der Asymptoten in der Form

x‘ = ly' -j- b

zu erhalten. Diese Vertauschung ist sogar notwendig, wenn eine oder mehrere Asymptoten der Y- Achse parallel sind, d. h. wenn

Eine Modifikation der gegebenen Regel tritt nur ein, wenn die Gleichung

f(m) = amn -f- apmn~¹ + a₂mn~² -(-••• + an—\m -j- an — 0 gleiche Wurzeln hat, d. h. wenn unter den Asymptoten etliche zueiminder parallel sind; dann wird nach dem in § 112 bewiesenen Satze auch

f‘(m) — namn~x-\-{n— i)apnn~2Jr{n — 2)«2^,i—3 H-----b i = 0.

Der Wert von g ist deshalb entweder nach Gleichung (6.) unendlich, d. h. die zugehörigen Asymptoten rücken ins Unendliche, oder es wird auch

bm¹ -f- b\mn~² -f- b₂mn~³ -)-••• + bn—₂m -j- èn_i = 0.

In diesem Falle wird T\ gleich 0 für jeden beliebigen Wert von g, so daß man den Wert (oder vielmehr die beiden Werte) von g erhält, indem man

V₂ = 0

setzt. Ist auch V-₂ für jeden Wert von g gleich 0, und gilt dasselbe für V₃,... Va_x (nicht aber für Va), beginnt also die Entwickelung von F(x, mx + g) nach fällenden Potenzen von x mit Vaxn—a, so bestimme man g so, dass auch

Va — 0

wird. Dies ist dann eine Gleichung «ten Grades von g, dem

Umstande entsprechend, daß « Werte von m einander gleich sind, die aber zu u verschiedenen (zueinander parallelen) Asymptoten gehören.

Am besten wird der Anfänger diese Angaben durch die Ausführung an einigen hier folgenden Beispielen verstehen.

§ 126.

Anwendungen auf einzelne Kurven.

(1.)

Aufgabe 1. Man soll die Asymptoten der Hyperbel b²x² — a²y² — a²b² = 0

bestimmen. (Vergl. Fig. 142.)

Auflösung. Hier ist n gleich 2 und

b²x² — a²y²

(2.)

U₂

X²

x²

= b² — a²

(2a.)

lim

x=oo

■LS

= b² — a²m² — 0

also

Fig. 142.

(3.)

Die Gleichung der einen Asymptote ist daher

Ań

(4-)

y‘ =

Um auch noch den Wert von y zu bestimmen

man y gleich ~x-\-y in die Gleichung (1.) ein. Dadurch erhält man

setze

b²x² — b²x² — 2 aby x — a²y² — a²b² = 0, und wenn man durch x dividiert,

(5.)

2 aby

a²p² ~ - a²b²

= 0.

Läßt man jetzt x unendlich groß werden, so folgt hieraus — 2abfi - 0, oder y = 0.

(6.)

Die Gleichung der ersten Asymptote ist daher

y'=b-a*",

ebenso findet man für die zweite Asymptote die Gleichung

y‘ = — *'•

(7-)

(8.)

a ! Cr-

Aufgabe 2. Man soll die Asymptoten der Parabel

(9.)

if¹ — 2 px = 0

bestimmen.

Auflösung. Hier ist wieder n = 2 und

(10.)

r/₂

V¹

u₂

= m² = 0,

also

(11.)

m₂ = 0.

Form

m\ — 0,

Für beide Asymptoten findet man eine Gleichung von der

(12.)

y‘ = y-

Um die zugehörigen Werte von y zu bestimmen, setzt man y = y in die Gleichung (9.) ein und erhält

(13.)

y² = 2 px, y,\ = + 1/2 px, y 2 == —y~2px.

Läßt man jetzt x ins Unbegrenzte wachsen, so wachsen auch y\ und y<i ins Unbegrenzte, d. h. die beiden Asymptoten rücken ins Unendliche.

(14.)

Aufgabe 3. Man soll die Asymptoten der Kurve x³ + y³ — 3 axy — 0

bestimmen. (Vergl. Fig. 143.)

Auflösung. Bei dieser Kurve, welche man „Folium Cartesii“ nennt, ist n gleich 3 und

Un x³ -f-

(15.)

X³

X³

Si

(15 a.) lim —3 == 1 + m³ = (1 4- m) (1 — m -f- ni¹) = O,

u*

oo ^

also

mi = — 1, m₂ =

i + *y 3

2 ’

m₃

1 — »1/3

Die beiden imaginären Werte von m brauchen nicht berücksichtigt zu werden; die einzige reelle Asymptote erhält man, wenn man m gleich — 1 setzt. Dadurch wird

y — — x + i

und Gleichung (14.) geht für diesen Wert von y über in 3yx² — 3y²x -(- fi³ -j- 3ax¹ — 3d^x — 0.

Indem man diese Gleichung durch x¹ dividiert, findet man

.. 3

^ = 0.

(16.)

3 fi²

3y    3 d

Wenn jetzt x unendlich groß wird, so erhält man (17.)    3/i + 3d = 0,

oder

3dyL

Fig. 143.

Die Gleichung der reellen Asymptote ist daher

y¹ = —x‘ — d,

■x

(18.)

oder

(18 a.) x‘ + y‘ -f- a = 0.

(19.)

Aufgabe 4. Man soll die Asymptoten der Kurve x³ — 3 xy‘² — d³ = 0

bestimmen. (Vergl. Fig. 144.)

Auflösung. Hier ist n gleich 3 und

x³ — 3xy²

z³

£³

also

(20.)

lim — = 1 — 3m² = 0

.iK

37

Kiepert, Differential-Rechnung.

Da m die Tangente des Winkels a ist, den die Gerade

y == mx -j- y

mit der positiven Richtung der X-Achse bildet, und da

tg30°

ist, so bilden die beiden Asymptoten, welche den gefundenen Werten von ?n entsprechen, bezw. die Winkel + 30° und — 30° mit der positiven Richtung der X-Achse.

Setzt man nun

X' y

y = 7f

in die Gleichung (19.) ein, so findet man

(21.)

x³ — x³ — 2x²y Y 3 — 3xy? — a³ — 0

oder

(22.)

— 2// Y 3--“

x

a³

= 0.

Wenn jetzt x unendlich groß wird, so folgt hieraus — 2/*Y3 = 0

oder y, = 0.

Die erste Asymptote hat daher die Gleichung

(■23.)

y y 3 = x‘.

Ebenso findet man für die zweite Asymptote die Gleichung

y‘V s = —x¹.

Fig. 144.

(24.)

Um noch die dritte Asymptote zu erhalten, bilde mau

x³ — 3 xy¹

yi

■X

Dies gibt

U*

= l³ — 31 = 0.

(25.) lim ^3

Die drei Wurzeln dieser Gleichung sind

(26.) /=+|/3, l=—V3, /= 0.

Wie man ohne weiteres erkennt, führen die beiden ersten Werte auf die schon bekannten Asymptoten; dagegen liefert / = 0 eine dritte Asymptote. Man muß daher

x — Â

in die Gleichung (19.) einsetzen und erhält dadurch P — Sk/ — a* = 0,

oder

y'¹

— 3/ —

= 0.

daß

Läßt man jetzt y unendlich groß werden, so folgt hieraus

X = 0

wird, und daß die dritte Asymptote die Gleichung

x‘ = 0

hat. Dies ist aber die Gleichung der Y-Achse.

Aufgabe 5. Man soll die Asymptoten der Kurve x(x² — a²) — 2 y(y² — a²) — Sx/ — «³ = 0 bestimmen. (Vergl. Fig. 145.)

Auflösung. Hier ist wieder n gleich 3 und

x³ — 2 y³

(27.)

(28.)

(29.)

Fig. 145.

U;3

3 xy²

.r³

also

(7

-x

= 1 — 3m² — 2m³

(30.) lim

= (1 + m) (1 -f- m) (1 — 2m) = 0.

Die 3 Wurzeln dieser Gleichungen sind daher

(31.)

mi — — 1, m₂ = — L,

Bei dieser Kurve findet man zwei parallele Asymptoten, weil zwei Werte von m einander gleich sind. Um die zugehörigen Werte von y zu finden, setze man

y = —* +

in die Gleichung (29.) ein. Dadurch erhält man

x(x²—ö²)-)-2(a:—y)(x²—2^+,« ²—ß²)—3rr(rr²—-2₄M-iC —{—^t*²)—ß³ == 0,

oder

(32.)

(— 3ß² + 3fi²)x — 2|W³ -|- 2a²y — ß³ = 0.

Indem man diese Gleichung durch x dividiert und x dann unendlich groß werden läßt, findet man

(33.)

— 3ß² + 3/4² = 0, oder n==±a.

Die beiden entsprechenden Asymptoten haben daher die Gleichungen

y‘ = — x‘ -f- a und y‘ — — x‘ — a.

Für die dritte Asymptote hat man

2 x ~t~ ll

in die Gleichung (29.) einzusetzen. Dadurch erhält man

9

— fj-x² — 6[a²x —    -f- 2 a²fi

£

(34.)

(35.)

— ß³ = 0.

Indem man diese Gleichung durch x² dividiert und daim x unendlich groß werden läßt, findet man

y = 0,

(36.)

Fig. 146.

so daß die dritte Asymptote die Gleichung 2 y‘ — x‘

(37.)

besitzt.

Aufgabe 6. Man soll x die Asymptoten der Kurve (38.) xy² — x-\-2y—-1=0 - bestimmen. (Vergl. Fig. ' 146.)

Auflösung. Hier ist wieder n = 3 und

KO

oo"'

Us

lim — = m² = 0,    = 0, m₂ = 0, m₃ = oo.

Dabei findet man und y₂, indem man y = y in die Gleichung (38.) einsetzt. Dies gibt

xy² — x    2 fi — 1 = 0,

oder

2fi — l

(39.)

Die Gleichungen der drei Asymptoten haben daher die Form

y‘= t*i» Ÿ = p2»

a:' = 2.

y² 1 +

und für lima; = oo

¹

Unter einer imaginären Wurzel soll hier im Gegensatz zu den reellen Wurzeln eine komplexe Größe von der Form a -j- li verstanden werden, bei der 6^-0 ist.

( 0.)    fi² = 1,

(■!•)    = + f*a =— 1.

Ebenso findet man 2, indem man a; = 2 in die Gleichung der Kurve einsetzt. Dadurch erhält man

(42.) ly² — / + 2y—1 = 0, oder 2 -J- — und für limy = oo

(43.)

(44.)

2 = 0.

Die Gleichungen der drei Asymptoten sind daher

y‘ = + ¹, ÿ = — i,

x‘ = 0.

Aufgabe 7. Man soll die Asymptoten der Kurve

(45.) xy² -f- x²y — a³ = 0

bestimmen. (Vergl. Fig. 147.)

Fig. 147.

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei den vorhergehenden Aufgaben findet man hier drei Asymptoten mit den Gleichungen

J y‘ = o,

■X

(46.)

y‘ = — x‘ x‘ — 0.

Aufgabe 8. Uan soll die Asymptoten der Kurve

(47.)

xz xy² — ax² -j- aiß = 0

bestimmen. (Vergl. Fig. 148.)

Auflösung. Hier werden zwei Asymptoten imaginär, weil aus der Gleichung

ü₃

lim^r

= lim(¹+0=

1 -J- vr² = 0

folgt, daß

Fig. 148.

m\ — -j- i, m₂ — —    ?n₃ — oo

wird. Die dritte Asymptote ist reell und steht auf der X-Achse senkrecht. Dabei findet man aus Gleichung (47.), indem man x = X setzt,

Ż³ -f- Xy² — a/? -j- cuß = 0,

oder

X³ — aż²

= 0.

X -f- a -f-

Dies gibt für limy = oo X — — a ;

die einzige reelle Asymptote hat die Gleichung

x‘ -f- a = 0.

Die Gleichung (47.) kann man auf die Form

x]/a? — x2 a -f- x

bringen, woraus man erkennt, daß die X-Achse eine Symmetrie-Achse der Kurve ist, und daß die Kurve zwischen der Asymptote x‘ = — a und der Geraden x‘ = + « liegt. Aus

a² — ax — x1 (a -f- x) Y a² — x²

folgt, indem man x = 0 setzt, daß die beiden Tangenten im Nullpunkte die Winkel +45° und —45° mit der positiven Richtung der X-Achse bilden. (Vergl. Fig. 148.)

Aufgabe 9. Man soll die Gleichung der Zissoide des Diokles herleiten. (Vergl. Fig. 149.)

Auflösung. Die Zissoide des Diokles entsteht, indem man an einen Kreis mit dem Halbmesser a zwei parallele Tangenten

(48.)

(49.)

(50.)

(51.)

dy

dx

= tg a

mit den Berührungspunkten 0 und A legt, von 0 aus eine beliebige Sekante zieht, welche den Kreis zum zweiten Male im Punkte C und die andere Tangente im Punkte B schneiden möge, und von B aus die Sehne OC rückwärts auf der Sekante abträgt, so daß

PB — OC

wird, dann ist P ein Punkt der Zissoide.

Fig. 149.

Bezeichnet man den Winkel AOP mit (f und die Strecke OP mit r, so findet man aus den rechtwinkligen Dreiecken OAB und OCA

(52.) OB = also

COS (f

— > OC=2acos(p,

(53.)

OP = r = OB—00

cy

oder

(53a.)

COS (p

2asin²<p

(1 — COS %2(p)

COS (f

Daraus folgt, da

OQ — rcoS(p, QP=r$nup

ist,

(54.) x — 2asin²y, y =

2a sin³<p

cos (p

Indem man aus diesen beiden Gleichungen (p eliminiert, erhält man

(55.)

x³ fi- xy² — 2ay² — 0.

stimmen.

Aufgabe 10. Man soll die Asymptoten der Zissoide be

Auflösung. Schon aus der Entstehung der Zissoide ergibt sich, daß die Kreis - Tangente AB (vergl. Fig. 149) eine Asymptote der Zissoide sein muß. Dasselbe .Resultat findet man auch aus der Rechnung. Es ist nämlich

also

(57.)

«i = -f h m2 = — i

d. h. zwei Asymptoten sind imaginär, nur die dritte ist reell und steht auf der X-Achse senkrecht. Dabei findet man, indem man x = X in die Gleichung (55.) einsetzt,

X³ -f- /ly² — 2ay¹ — 0, oder X — 2a -j-    = 0 .

Dies gibt für lim y — oo

(58.)

(56.)

lim —Tr

£4=(i + ^)=i + “² = o

X — 2a;

folglich hat die reelle Asymptote die Gleichung

x‘ — 2a.

XVII. Abschnitt.

Theorie der Determinanten.

§ 127.

Einleitung in die Determinanten-Theorie.

Für viele Untersuchungen in der höheren Mathematik gewährt die Anwendung der Determinanten eine wesentliche Erleichterung, einerseits dadurch, daß die Rechnungen kürzer werden, andererseits dadurch, daß die Resultate eine übersichtlichere und leichter zu merkende Form erhalten.

Deshalb soll hier ein kurzer Abriß der Determinanten-Theorie eingeschaltet werden.

Auf die Ausdrücke, welche man Determinanten nennt, ist man durch die Auflösung von n linearen Gleichungen mit n Unbekannten geführt worden. Sind z. B. die beiden Gleichungen

(1.)

J «11 X\ H⁻ «12 &-i — C\ 5

I «21 1 A «22    :== «2

mit den beiden Unbekannten xi und x₂ gegeben, so findet man bekanntlich durch Elimination

(2-)

Xi —

C\ «22- «2 «12

- «1 «21 “b «2 «11

«1t «22 - «12 «21

«11 «22-«12 «21

Den gemeinschaftlichen Nenner dieser beiden Ausdrücke, nämlich die Größe

(3.)

«11 «12

xl — «u «22 - «12 «21

nennt man „die Determinante“ der Koeffizienten der beiden Gleichungen (1.). Die Determinante wird daher auch so ge-

«21 «22

schrieben, daß man die Koeffizienten in derselben Reihenfolge wie in den gegebenen Gleichungen aufschreibt und zwischen zwei senkrechte Striche einschließt.

Sind drei lineare Gleichungen

gegeben, so findet    man bei    der Auflösung für die drei Unbe

kannten «i, xo, x₃ Werte, welche den gemeinschaftlichen Nenner

/t — «ll(«22 «33--«23 «32) -j- «12(«23 «31 - «21 «33)

4" «13(«21 «32- «22 «3l)

haben. Diesen Nenner, welcher eine „ Determinante dritter Ordnung“ genannt wird, schreibt man wieder in der Form

«u a 12 «13

«21 «22 «23    }

(4.)

(5.)

(5 a.)

«31 «32 «33

wobei die Koeffizienten der gegebenen Gleichungen zwischen zwei senkrechte Striche eingeschlossen sind. Aus Gleichung (5.) erkennt man, daß

4 = -(- l)*«la «2/Î «3/

ist, wobei sich die Summation über alle Permutationsformen a ß y der Zahlen 12 3 erstreckt, und wobei das Vorzeichen (—1)A gleich 4- 1 oder —1 ist, je nachdem die Permutations-form u ß y aus 12 3 durch eine gerade oder ungerade Anzahl von Vertauschungen von je 2 Zahlen hervorgeht. Demnach sind die Glieder

«12 «23 «31

#13 #21 #32

«11 «22 «33}

mit dem Vorzeichen zn nehmen, weil die Reihenfolge der zweiten Indizes

1 2 3.    2 3 1.    3 1

Ol CU

bezw. durch

solche Vertauschungen von je 2 Zahlen aus der Permutationsform 12 3 hervorgehen. Vertauscht man nämlich in 1 2 3 die Zahlen 1 und 2 miteinander, so erhält man 2 13, und vertauscht man

0,

2,

dann die Zahlen 1 und 3 miteinander, so erhält man 2 3 1. Vertauscht man in 1 2 3 die Zahlen 1 und 3, so erhält man 3 2 1, und vertauscht man dann die Zahlen 1 und 2, so erhält man 3 12.

Die Glieder

«11 «23 «32 ,    «12 «21 «33 ,    «13 «22 «31

dagegen sind mit dem Vorzeichen — zu nehmen, weil die Permutationsformen

13 2

2 13,    3 2 1

aus 12 3 durch eine einzige solche Vertauschung hervorgehen; vertauscht man nämlich in 1 2 3 die Zahlen 2 und 3, so erhält man 1 3 2, vertauscht man in 1 2 3 die Zahlen 1 und 2, so erhält man 2 13, und vertauscht man in 12 3 die Zahlen 1 und 3, so erhält man 3 2 1.

In ähnlicher Weise kann man „Determinanten höherer Ordnung“ erklären. Der Erklärung mögen aber einige Sätze aus der Permutationslehre vorangeschickt werden.

§ 128.

Einige Sätze aus der Permutationslehre.

Erklärung. Das Permutieren besteht in dem Aufsuchen aller Stellungen, welche n Elemente a, b, c, ... h, l einnehmen können. Jede solche Stellung nennt man „eine Permutationsform“.

Die Anzahl der Permutationsformen bei 2 Elementen a und b ist 1.2 = 2!, nämlich a b und b a. Tritt ein drittes Element c hinzu, so kann man aus jeder dieser beiden Permutationsformen drei bilden, z. B. aus b a die drei Formen c b a, b c a, b a c,

indem man c an die erste, die zweite und die dritte Stelle setzt. Die Anzahl der Permutationsformen bei 3 Elementen a, b, c ist daher gleich 1.2.3 = 3 !.

Tritt ein viertes Element d hinzu, so kann man aus jeder dieser 3! Permutationsformen vier bilden, z. B. aus b a c die vier Formen

dbac, bdac, bade, baed,

indem man d an die erste, zweite, dritte und vierte Stelle setzt. Die Anzahl der Permutationsformen bei 4 Elementen ist daher gleich 1.2.3.4 = 41.

Indem man so fortfährt, findet man

Satz 1. Die Anzahl der Permutationsformen bei n Elementen ist n\

1.2.3...».

Vertauscht man nur zwei Elemente miteinander, so nennt man diese Vertauschung eine „ Transposition“.

Satz 2. Von zwei beliebigen Per mutationsformen I\ und P2 kann die eine aus der anderen durch fortgesetzte Transposition her geleitet werden.

Beispiele. Die Permutationsform e ab d c kann durch 3 Transpositionen in die Form abcde übergeführt werden, und zwar erhält man der Reihe nach die Formen

e ab d c

ab e d c

abcde.

Die Permutationsform f g ac d eb kann durch 5 Transpositionen in die Form abcdefg übergeführt werden, und zwar erhält man der Keihe nach die Formen

f g ac d eb, a b cf d e g,

agfcdeb, abfcdeg, ab c elf eg, abcdefg.

Aus diesen Beispielen erkennt man das Verfahren, das ganz allgemein zum Ziele führt. Es ist aber zu beachten, daß man eine Permutationsform Pi in eine andere P₂ in mannigfacher Weise durch Transpositionen überführen kann, und daß die Anzahl der verwendeten Transpositionen noch unendlich viele Werte besitzt. Dabei gilt aber der folgende

Satz 3. Kann man P\ in P₂ überführen, das eine Mal durch X, das a?idere Mal durch g Transpositionen, so ist X — g stets eine gerade Zahl.

Beweis. Es sei

F = (b — a) (c — d) (d — a)... (,k — a) (l — a) mal (c — b)(d—b)...(k — b) (l—b) mal (d — c)... (Je — c) (J — c)

mal (/ — k).

Bei der Bildung dieses Produktes hat man jedes Element von allen folgenden subtrahiert und die so entstandenen Differenzen miteinander multipliziert. Es soll nun untersucht werden, wie sich die Größe F ändert, wenn man zwei Elemente, z. B. q und s miteinander vertauscht. Alle Differenzen, in denen q und s gar nicht Vorkommen, bleiben unverändert. Ist ferner p irgend ein Element, das den beiden Elementen q und s vorangeht, so geht bei der Vertauschung von q mit s das Produkt {q—p)(s—p) in (s—p){q—p) über und behält denselben Wert. Steht das Element r zwischen q und s, so geht das Produkt (r — q) (s — r) in (r — s)(q— r) über und behält gleichfalls denselben Wert. Folgt endlich das Element t den beiden Elementen q und s, so geht das Produkt [t — q)(t — s) in (t — s) {t — q) über uiid behält auch denselben Wert. Nur durch den Faktor s—q, welcher bei der Vertauschung von q mit s in q — s übergeht, wird das Vorzeichen von F geändert, während der absolute Betrag von F derselbe bleibt.

Wenn man also zwei Elemente miteinander vertauscht, so ändert die Größe F nur das Vorzeichen.

Ebenso kann man zeigen, daß F bei jeder weiteren Transposition zweier Elemente nur das Vorzeichen ändert. Entsteht Fx aus F durch l Transpositionen, so ist daher

(2.)

Fx = (— 1Y F

(3.)

Bezeichnet man also die Werte von F, welche den Permutationsformen Pi und P> entsprechen, mit F± und P₂, und geht Pi in P₂ über, das eine Mal durch /, das andere Mal durch p Transpositionen, so gelten die beiden Gleichungen Fo = (......l)xFt und Fź = (— l)^Pi ;

daraus folgt

(4.)

(— 1)* = (— iy, oder k = p ± 2 w, wobei 2 w eine beliebige gerade Zahl ist.

Um zu bezeichnen, daß die Permutationsform P (z. B.

123...») in Pi (oder a ß y ... v) durch l Transpositionen übergeführt wird, schreibt man

(5.)

_ /P\ _ /I 3 ... "\Pi/~\a Y...v)

Satz 4. Gehl P in P\ über durch /, und geht 1\ in Po über durch g Transpositionen, so geht P in P₂ durch / -j- g ± 2w Transpositionen über. Ist also

(6.) 6 o yyird

(7.)

Der Beweis folgt unmittelbar daraus, daß P in P₂ tibergeht, wenn man zuerst P in Px und dann Pi in P₂ überführt.

Der Satz läßt sich ohne weiteres verallgemeinern; es

ist z. B.

(8.)

ffi-®+®+®

zb 2w.

Satz 5. Die n ! Permutationsformen von n Elementen lassen sich durch die Transpositionen zweier Elemente paarweise gruppieren.

Beweis. Durch die Transposition zweier Elemente, z. B. der beiden Elemente a und b, geht die beliebige Permutationsform 1\ in P₂ über, wobei Pi und P₂ voneinander verschieden sind. Ist nun die Permutationsform Qi von P± und P₂ verschieden, so geht Qi durch die Vertauschung von a mit b in Q₂ über, wobei Q₂ von Qi und auch von Pi und P₂ verschieden ist. Wäre nämlich Q₂ identisch mit Pi (bezw. mit P₂), so müßte Qi identisch sein mit P₂ (bezw. mit Pi). Ist ferner die Permutationsform Pi von Pi, P₂, Qi, Q₂ verschieden, so geht Pi durch die Vertauschung von a mit b in P₂ über, wobei Bo von Pi und auch von Pi, Po, Qi, Q₂ verschieden ist.

So kann man fortfahren, bis die sämtlichen Permutationsformen erschöpft sind

§ 129.

Bildung einer Determinante ^ter Ordnung aus 7t² Elementen.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 202.)

Eine „Determinante wter Ordnung“ möge durch die Glei

chung

Oll O12 ... Oirt

(10

021 O22 ... 02n

= -2(— l)/ola ö2/9 a-iy... am,

O«! Om2 .. . önw

erklärt werden. Die n² Größen ai₂,...aWM heißen „die Elemente der Determinante“ ; die Determinante d selbst ist eine Summe, bei der jedes Glied das Produkt von n Elementen ist. Dabei enthält ein solches Produkt aus jeder Zeile (Horizontalreihe) und aus jeder Kolonne (Vertikalreihe) ein und nur ein Element.

Der Exponent l ist die Anzahl der Transpositionen, durch welche die Permutationsform a ß y ... r in die Permutationsform

123...« übergeführt werden kann, also

(2.)

a ß y ...v\

12 3...»/

So ist z. B. für die Permutationsform 3 14 2 diese Zahl k gleich 3, und zwar erhält man nacheinander die Permutationsformen

3 1 4 2,    1 3 4 2,    1 2 4 3,    1 23 4.

Für die Permutationsform 3 2 5 1 4 ist k wieder gleich 3, und zwar erhält man nacheinander die Permutationsformen 3 2 514,    12534,    1 2 354,    1234 5.

Die Summation erstreckt sich über alle Permutationsformen u ß y ...v der Zahlen 123...«, folglich ist die Anzahl der Glieder gleich »! = 1.2.3...».

Dies kann man auch so zeigen. Nimmt man ein beliebiges Element der ersten Zeile au, so gibt es n mögliche Fälle, weil u dabei n Werte haben darf. Da ß von « verschieden sein muß, so gibt es bei der Auswahl von a₂ß aus den Elementen der zweiten Zeile nur noch n — 1 mögliche Fälle. Deshalb gibt es bei der

Auswahl von ayaa₂ß im ganzen n(n—1) mögliche Fälle. Ebenso erkennt man, daß itir die Auswahl von a3y aus den Elementen der dritten Zeile nur n — 2 mögliche Fälle und deshalb für die Auswahl von <zta«2i?<% im ganzen n(n—1 ) (n — 2) mögliche Fälle vorhanden sind.

Indem man so weiter fortfährt, findet man das oben angegebene Resultat.

§ 130.

Eigenschaften der Determinanten.

(Yergl. die Formel-Tabelie Nr. 203 bis 206.) Satz 1. Zwei Glieder (oder Terme)

(10

und

lO.

CO

7] = ('    1) &2ßy • • • @nvy

(2.)

2 2 = (— 1 ) !    «2;2₂ «3,-2 •

• • Q"nv 2

haben gleiches oder entgegengesetztes Zeichen, je nachdem die Transpositionszahl

(3.)

«ißiri • • • >T\

«2|#2 7 2 • • • » J

gerade oder ungerade ist.

Beweis. Es ist

Oiißi/i ... rA

123.. . J

«2^2^2 • • • _ /

123.. .»/    V

12 3.

. .n\

Wißt 72 • • • V<i/

folglich ist

(3 a.)

Q = X1 -)- Ź-2 dz 2w.

Sind Ai und /t₂ beide gerade oder beide ungerade, haben also Ty und T₂ gleiches Zeichen, so ist q gerade. Wenn dagegen von den beiden Zahlen ly und /₂ die eine gerade und die andere ungerade ist, wenn also Ti und T> entgegengesetztes Zeichen haben, so ist q ungerade.

Satz 2. Die Determinante J hat ebenso viele positive wie negative Glieder.

Beweis. Wenn die beiden Permutationsformen aißiYi--- vx und «₂ßara...v₂ durch eine einzige Transposition in einander übergehen, wenn also y = 1 ist, so haben nach Satz 1 die Glieder Tx und I\ entgegengesetztes Vorzeichen. Da man nun durch eine Transposition alle Permutationsformen paarweise gruppieren kann, so kann man auch die sämtlichen Glieder der Determinante paarweise gruppieren, so daß bei jedem solchen Paare das eine Glied positiv und das andere negativ ist.

Ordnet man in

(4.)

T — (— l)laXaa₂ßazY ...anv die Faktoren anders, so geht T über in

(4 a.)

T ⁼ ( lj^/a, ttgßJ üfry^ . . . Uly 1 .

Dabei folgt aus

'*=(

aXa a2|5 a%y ... anv

ö'Ay, • • •

)•

daß auch

iö

T—i

« ß ï • •• <*ißi r i...

”)

• vj

ist. Außerdem ist

Oi

îs. CO 7Q. <M 8 ’-i

’S

(?•) ? =(

Deshalb erhält man f g h ...l «ißiYi ...D

ifg -l) ₊ (

\12 ..V^v

123... aßy ...

a ß y . tXißiYi •

:: )

oder

(7 a.)

(8.)

ç =    +    2w> = A ± 2o ,

(- ï)? = (- iy.

38

Kiepert, Differential-Rechnung

Dies gibt

Satz 3. Sind in dem Gliede T die Faktoren beliebig geordnet, so ist das Vorzeichen ton T gleich (— 1)?, wobei q die Transpositionszahl zwischen den ersten und den zweiten Indizes ist.

Jetzt möge die Determinante aus an a₁₂ «13 ... a±n

(9.)

• a3n

a21 a22 a23 ■ ■ ■ a2n 4 — ! «31 «32 «33

an\ an2 Cln3 . . . (Inn \

hervorgehen, indem man die Zeilen beliebig miteinander und ebenso die Kolonnen beliebig miteinander vertauscht, d. h es sei

(Ifoc Ofß Cif y . . . ttfv

(io.)

Ji =

dga ® gß Ugy • • » UgV Oha O/iß Uhy ■ ■ • Uhv >

I Ulet Cllß dly . . . U>ly

wobei fg h... / und aßy...v irgend zwei Permutationsformen der Zahlen 12 3...» sind.

Die beiden Determinanten J und J± enthalten dann, abgesehen vom Vorzeichen, genau dieselben Glieder; denn ein beliebiges Glied von ist

(11.) wobei

;o

(12.)

_ /«i ßiri--- >’i

|U -I

V « ist. Das entsprechende Glied in J heißt

(13.)

I = (    1)' Ufa-y agßi ahy± . . . alvj

wobei nach Satz 3

(H.)

f g h... I «i ß± n... i-i

die Transpositionszahl zwischen den ersten und zweiten Indizes ist. Bezeichnet man jetzt

/ h ...l\ \ r • ••v)

mit /, so wird

« ß y...

^ dr    -j- À ± 2w,

(15.)

«i ft yi... *i f g h... I

folglich ist

(16.)

7\ = (— l/r,

und da diese Gleichung für alle Glieder der Determinanten Jx und A gilt, so erhält man

(17.)

^i = (— l)lA.

In dieser Gleichung ist der folgende Satz enthalten:

Satz 4. Vertauscht man in einer Determinante A die Zeilen beliebig miteinander und die Kolonnen beliebig miteinander, so geht die Determinante in sich selber über, multipliziert mit (— 1)*, wobei X die Transpositionszahl zwischen der neuen Aufeinanderfolge fgh...l der Zeilen und der neuen Aufeinanderfolge u ß y ...v der Kolonnen ist.

Hieraus ergibt sich als besonderer Fall

Satz 5. jEine Determinante ändert nur ihr Vorzeichen, wenn man zwei Zeilen oder zwei Kolonnen miteinander vertauscht.

Hat eine Determinante A zwei identische Zeilen oder zwei identische Kolonnen, so ändert sich A nicht, wenn man diese beiden identischen Keihen miteinander vertauscht. Andererseits erhält aber nach Satz 5 die Determinante bei dieser Vertauschung das entgegengesetzte Vorzeichen, folglich wird

(18.)

oder 2A = 0.

Dies gibt

Satz 6. Eine Determinante mit zwei identischen Zeilen oder mit zwei identischen Kolonnen ist gleich Null.

Satz 7. Eine Determinante ändert ihren Wert gar nicht, wenn man die Zeilen zu Kolonnen und die Kolonnen zu Zeilen macht.

Beweis. Die Vertauschung der Zeilen mit den Kolonnen entspricht einer Vertauschung der ersten Indizes mit den zweiten, so daß die Determinante

(19.)

4 = 2(— l)xa\aaißaZY ...anv hei dieser Vertauschung übergeht in

(20.)

4\ — ** (    HßiHyZ • • • &vn»

Die beiden Determinanten 4 und enthalten aber genau dieselben Glieder, nur sind die Faktoren der einzelnen Glieder in J nach den ersten und in nach den zweiten Indizes

geordnet.

Aus diesem letzten Satze erkennt man, daß jeder Satz, welcher sich auf die Zeilen einer Determinante bezieht, in gleicher Weise auch von den Kolonnen einer Determinante gilt. Um beide Fälle zusammenzufassen, möge in den folgenden Paragraphen der Ausdruck „Reihen“ ebenso für die Zeilen wie für die Kolonnen gebraucht werden.

§ 131.

Zerlegung der Determinanten.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 207 bis 211.) Zieht man aus der Determinante

«11 «i2 «13 . . . «in

«2i «22 a23 ■ • • a2n

«31 «32 a33 ... a 3n

—    (    1 )^ Q>\a ^2ß @3y • • • Unv

Cln 1 H>i2 ei)i3 • • • einn

alle Glieder heraus, die mit au multipliziert sind, so erhält man

(2.)

2 (    1)^11    H3y • • • Unv z= U'i 1 (    1)^ &2ß <^3y • • > 0>nv ;

wo sich die Summation auf alle Permutationsformen ß y ... v der Zahlen 2 3... n erstreckt, während X die zugehörige Transpositionszahl ist. Der Faktor von «n in Gleichung (2.) — er heiße an — ist daher

«22 «23 • • • «2ra

(3.)

«32 «33 • • • «3»

«w2 «w3 • • - «wm

er ist also eine Determinante (n—l)ter Ordnung¹, die aus J entsteht, indem man die erste Zeile und die erste Kolonne fortläßt.

Vertauscht man in J diej^ erste Zeile mit der zweiten,

so wird

Cl'l\ &'22 ^23 • • • ^ 2yi

ali a12 ^13 . . . (hn

(4.)

«31 «32 «33 • • «3m

« —J.

«wl «w2 «w3 • • • «MW

Bei dieser Determinante wird in gleicher Weise wie vorhin der Faktor von a2i eine Determinante (n — l)ter Ordnung, welche durch Fortlassen der ersten Zeile und ersten Kolonne aus der vorstehenden Determinante hervorgeht; folglich ist der Faktor «2i von a'n in der ursprünglichen Determinante J

«12 «13 • • • «ln «32 «33 • • • «3w

(5.)

a si = —

«w2 «w3 • • ■ «wm

und geht aus z! hervor, indem man die zweite Zeile und die erste Kolonne fortläßt und das Zeichen — 1 = (— 1)²⁺¹

(6.)

davorsetzt.

In ähnlicher Weise findet man den Faktor von a₃₁, a4i,.. allgemein den Faktor an von afi. Vertauscht man nämlich die fte Zeile mit der (f— 1) weiter, bis die Reihenfolge der Zeilen (bezw. der ersten Indizes)

ten

dann mit der (f—2)ten und so

ft h 2, .../— 1, /+ 1, ...n

geworden ist, so geht bei diesen f—1 Vertauschungen J in (— ly-'-J über, und das Element «/1 steht an erster Stelle. Daraus folgt, daß der Factor von aJX in J, nämlich

«»i2    «m3    • • •    ®»i«

aus J hervorgeht, indem man die/te Zeile und die erste Kolonne fortläßt und das Vorzeichen

(8.)

(-1)/-> - (- iy+

hinzugefügt.

Vertauscht man jetzt in J die rte Kolonne mit der (r — l)ten, dann mit der (r — 2)ten und so weiter, bis die Reihenfolge der Kolonnen (bezw. der zweiten Indizes)

r, 1, 2, ...r—1, r-j-1, ...n

geworden ist, so geht J in (—l)r~V/ über; jetzt kann man den Faktor afr von afr in gleicher Weise finden, wie vorhin den Faktor ccfl von afi. Daraus folgt dann, daß

«11    • • • al, r— 1 «1, r+1 • • .    Cl\n

(9.)    = (— !)/+>■

(7.)

«/i = (— i y-x

af—i, 2 af— 1, 3 • • • aJ—1, w ®/+t, 2 «/-fl, 3 • • • «/+1, n

«/—1,1 . . . «/— 1, r—1 «/—1, r+1 • • • «/— 1, « a/+1, t - • • af+1, r—1 «/fl, »-f¹ ••• «/fl, »i

| «nl * • •    ««, r—1    «■», rf 1    • • •    «»n

aus entsteht, indem man die /te Zeile und die rte Kolonne fort läßt und den Faktor (— 1 )J+r hinzufügt.

Diese Faktoren afr heißen „ Unterdeterminanten (n — l)ter Ordnung von 4“ und können auch noch auf die folgende Form gebracht werden. Durch f— 1 Vertauschungen können die Zeilen (bezw. die ersten Indizes)

1, 2, 3,'.../—1, / + 1, /+2,...n

in die Reihenfolge

/ + 1, 1, 2, 3, .../— 1, / + 2, ... rc gebracht werden. Durch weitere/—1 Vertauschungen erhält man die Reihenfolge

/ + 1, / + 2, 1, 2, .../    1, / + 3, ... n.

So kann man fortfahren, bis man durch (n—f) (f—1) Vertauschungen die „zyklische“ Reihenfolge

/+!,    2,... n, 1, 2,.../-l

erhält. Ebenso gelangt man durch (« —r) (r— 1) Vertauschungen der Kolonnen (bezw. der zweiten Indizes) zu der zyklischen Reihenfolge

r + 1, r-j-2, ...w, 1, 2 ,...?*— 1.

Wegen dieser Vertauschungen ist ufr mit

( !)(«—/)(/—!) + (» —»•)(»•— 1) — ( !)»'(/+»•)— 2»— /(/— 1) — r(r — 1)

zu multiplizieren. Da noch 2n, f(f—1) und r(r—1) gerade Zahlen sind, so geht dieser Faktor in

(— !)»(/+»•)

über. Deshalb wird das Vorzeichen von afr

(_\y*U'+»■)+/+»■ = (— i)(»*+!)(/+»■).

Dies gibt

(10.)    «/r = (— l)(w+i)(/+0

af+1, r+l «/+1, r-\ 2 . ■ • ß/+l, r—1 #/+2, r+l «/+2, r+2 • • • %+ 2, r—1

#/—1, r+l af— 1, r+2 • • • «/— 1, r—1

Ist n ungerade, also n -f- 1 gerade, so sind daher alle diese Unterdeterminanten mit dem positiven Vorzeichen zu nehmen.

Beachtet man, daß jedes Glied der Determinante J ein und nur ein Element der ersten Kolonne enthält, so findet man,

daß

(11.)

d ■— öu + #21 u₂₁ -j- «ai «3i —|— * * • —J— ani «»i

sein muß; denn es sind erstens alle Glieder von J durch die Summe auf der rechten Seite von Gleichung (11.) erschöpft, weil jedes Glied ein Element der ersten Kolonne als Faktor enthalten muß, und zweitens kommt in dieser Summe jedes Glied nur einmal vor, weil kein Glied zwei Elemente der ersten Kolonne als Faktoren enthalten kann.

Ebenso kann man die Determinante 4 nach den Elementen der ?,ten Kolonne zerlegen und erhält

(12.)

zf = ü\r (X±r -j- Ü2r «2r    ^3r ^3r ~j~ ‘ ‘ ' ~f~ &nr &nr •

Beispiel.

Es sei n = 3, also

«u «12 «i3 «21 «22 a23

«31 a32 a33

dann ist

«22 a23

«12 «13

a 12 a 131

CI32 «33

oder, wenn man die zyklische Anordnung der Unterdeterminanten benutzt

«32 «33 1

a 21 ;

$22 «23

«22 «23

«12 «i3

«32 «33

+ «31

+ «21

«22 «23 I

= «11 («22 «33-«23 «32) —U «2l(«32 «13-«33 «12) H⁻«31 («12 «23 — «13 «22)-

«32 «33

«12 «13

Da sich J nicht ändert, wenn man die Zeilen mit den Kolonnen vertauscht, so findet man in gleicher Weise eine Zerlegung von J nach den Elementen einer beliebigen Zeile und zwar wird

(13.)

J = «yi «/i -f- «/2 «/2 + «/3 «/3 +•••-(- a.f n Ufn .

Ordnet man z. B. für n = 3 die Determinante nach den Elementen der zweiten Zeile, so erhält man

«11 «13 ! «31 «33

«12 «13 «32 «33

oder bei zyklischer Anordnung

«32 «33 «12 «13

z/ =--«2i

«22

«11 «12

'— «23

«31 «32

«33 «31 «13 «11

Ist s von r verschieden, und vertauscht man in Gleichung (12.) die Elemente «ir, «2r,...«nr mit «tÄ, a2s,... am, so erhält man

z/ - «21

! + «22

«23

«31 «32

«11 «12

(14.)

41 — «iÄ «ir -(- «2« «2r “j" «3s w3r “f" ’ ' ' H⁻ «»* anr 5

wo z/i gleichfalls eine Determinante ist, welche aus J hervorgeht , indem man die Elemente der rten Kolonne durch die Elemente der 5ten Kolonne ersetzt. Dadurch wird aber eine Determinante, in welcher die Elemente der rten und der steri

Kolonne identisch sind. Deshalb wird ^ nach Satz 6 in § 130 gleich Null, und Gleichung (1-1.) geht über in (11a.) wenn r ^ s ist.

#ls #lr “b #2s #2r ~b #3s #3r “b • • • ~b ans unr — 0,

Ist ferner g von / verschieden, und vertauscht man in Gleichung (13.) die Elemente af1} «/2, ... afll mit agl, ag2, ... agn, so erhält man

(15.)

z/₂ = a gl Uj! -f- Ug2 Ufi -j-    -j- ' ■ * ~b agn afn ,

wo d₂ gleichfalls eine Determinante ist, welche aus J hervorgeht, indem man die Elemente der /ten Zeile durch die Elemente der gten Zeile ersetzt. Dadurch wird aber d₂ eine Determinante, in welcher die Elemente der /ten und der <yten Zeile identisch sind. Deshalb wird 4% nach Satz 6 in § 130 gleich Null, und Gleichung (15.) geht über in

(15a.) wenn f < g ist.

agt #/l + ag'2 #/2 ~b aiß #/3 ~b * * ' + agn Wfn = 0,

§ 132.

Anwendung auf die Auflösung von n linearen Gleichungen mit n Unbekannten.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 212.)

Sind n lineare Gleichungen mit n Unbekannten:

#11 xl “b #12 x2 ~b • • • ~\~ ainxn — c\ ,

(IO

#21 xl “b #22 x2 + ‘ ' ' ~b U-lnXn —    ,

ii\ X 1 j Cln“! x2 [    * ’ ' b #?wixu —

gegeben, so findet man xx, indem man die erste Gleichung mit an, die zweite Gleichung mit cc₂₁,... die nte Gleichung mit unl multipliziert und alle Gleichungen addiert. Der Koeffizient von xi wird dann nach Formel Nr. 208 der Tabelle (für r = 1)

(2.)

#11 £*11 + #21 #21 ~b • • • + #wl «wl —    1

während der Koeffizient von xs, wenn s von 1 verschieden ist, nach Formel Nr. 210 der Tabelle (für r = 1) gleich

a\s all “h a2s a21 H-----h eins «», 1 = 0

(3.)

ist. Man erhält daher bei der Addition

(4-)

J . X\ = «i«u -j- c^cih —)— • - - —(— cn ce„i, eine Gleichung-, aus der sich xt unmittelbar ergibt, wenn man auf beiden Seiten durch J dividiert.

Ebenso leicht findet man den Wert von xr, indem man die Gleichungen (1.) bezw. mit

(X\r, VI9r, . . . Olnr

multipliziert und dann addiert. Ist s von r verschieden, so wird bei der Addition der Koeffizient von xs nach Formel Nr. 210 der Tabelle

(5.)

«1» eX\f -j— «2s e&2r —I“ ■ • • “h eins ®»r — 0 J

nur der Koeffizient von xr wird nach Formel Nr. 208 der Tabelle

(6.)

ü\r C(\r —]— Cl^r ^2r “j⁻ * * * @nr    j

folglich erhält man bei der Addition

(7.)

ć.1 . Xr ==z C\ U\r G“ «2 d2r G⁻ ' " • G⁻ Wnr •

Wenn man in der Determinante

*4 -— ei\r W\r G~ ei2r Ot-ir G⁻ ' ' ' G~ einr

die Elemente der rten Kolonne alr, a2r,... anr durch die Größen ci, c₂,...cn ersetzt, so erhält man

C\ et\r G⁻ e?2 e*2r —f~ ■ ■ ■ G~~ G» cinr,

deshalb kann man Gleichung (7.) auch schreiben, wie folgt:

0\\ . . . «it ,—i C\ Cl\^ r-j_i . .. (l\n I «21 ... «2, r— 1 «2 «2, r+1 • • • «2n

(7 a.)

. Xr —

«11 «12 • • . ei\n «21 ei22 . . . ei2n

ein 1 «w2 • ■ • einn

j «nl • • • «w, r—\ Cn «„,    . . . «mw

Um xr selbst zu finden, muß man noch die beiden Seiten der Gleichung (7.) oder (7 a.) durch J dividieren, was nur unter der Voraussetzung geschehen darf, daß 4 von Null verschieden ist. Was geschieht, wenn J = 0 ist, möge einer späteren Untersuchung Vorbehalten bleiben.

§ 133.

Vereinfachungen bei Ausrechnung der Determinanten.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 213 bis 219.)

Satz 1.

Wenn alle Elemente einer Reihe bis auf eines afr verschivinden, so ist die Determinante gleich diesem einen Elemente Ufr, multipliziert mit der zugehörigen Unter déterminante (n — Ÿ)ter Ordnung afr.

So ist z. B.

• A\ C\

A\ 0 Gi

A 3 C3

A? B₂ C2 — R%

A* 0 Ci

Der Beweis des allgemeinen Satzes ergibt sich unmittelbar aus der Zerlegung der Determinante nach den Elementen der betreffenden Beihe.

Satz 2. Eine Determinante kann auf den nächst höheren Grad gebracht werden, indem man eine Zeile und eine Kolonne einschiebt, das den beiden eingeschobenen Reihen gemeinschaftliche Element gleich ± 1 setzt und die übrigen Elemente der einen eingeschobenen Reihe gleich 0 macht. Die übrigen Elemente der anderen eingeschobenen Reihe sind ganz beliebig.

Es ist z. B.

«11 «12 . . . «lit

(1.)

«2 t «22 • • • «2h

1 ii h ...

0 an a₁₂... aln

0 a21 «22 • • • «2n

&n\    • • * &nn

0 Ctn\ • • • Q>nn

wobei die Größen |t,    noch ganz beliebig sind.

Der Beweis des Satzes folgt unmittelbar aus der Anwendung von Satz 1. Stehen die beiden eingeschobenen Reihen am Rande der Determinante, wie in dem angegebenen Beispiele, so nennt man das Verfahren „Rändern der Determinante“.

j Clnl • • • $nr • • •    ]

Clfl 1 • • •

(3.)

Satz 3. Verschwinden alle Elemejite auf der einen Seite einer Diagonale, so reduziert sich die Determinante auf das erste bezw. auf das letzte Glied.

Es ist z. B.

(2.)

At B! C\ Dt 0 B‘2 C₂ D-2 0 0 c₃d₃

0 0    0 Di

=    B-2 C₃ Di.

Satz 1.

Der Beweis folgt aus der wiederholten Anwendung von

Satz 4. Haben sämtliche Elemente einer Reihe einen meinsamen Faktor, so kann man denselben vor die Determinante setzen.

ge-

Es ist also z. B.

&21 • • • Yfl/CL2 t* ... CI 2 ii

Un .. . U\r ... Uin

J $21 • • • $2r • • • $2n

Der Beweis folgt aus der Zerlegung der Determinante nach den Elementen der betreffenden Reihe.

Durch die Anwendung dieses Satzes kann man in vielen Fällen eine Determinante auf eine andere mit kleineren Zahlen reduzieren. So ist z. B.

I-¹ l-i 05 tO

ZD

lO O r—i ’-H

=3.4.5

8 13 25

13 1 4 7 2 2 13 5

Satz 5. Sind die Elemente einer Reihe denen einer parallelen Reihe proportional, so ist die Determinante gleich Null.

Es ist z. B.

Ai mAi Ci A₂ mA₂ 62    = m

I As mAz Cz

Der Beweis des Satzes folgt aus Satz 4 und Formel Nr. 205 der Tabelle.

(4.)

Ai Ai Ci

A₂ A₂ C-2

Aÿ A3 C₃

= 0.

Bn CnDn ...

An CnDn . . .

Satz 6.

Sind die Elemente einer Reihe Aggregate von gleich viel Gliedern, so ist die Determinante gleich der Summe mehrerer Determinanten, welche man aus der ursprünglichen erhält, indem man die einzelnen Teilreihen einsetzt.

Es ist z. B.

Ai -f- Bi, C\, D\, ...

A2 Bi) 0%) D-2, ..

(5.)

Ai Oi D\ ... A-2 0% D‘2 . . .

B! Ci A ...

B > Ci Di ...

An —|- Bn, Cn, Dn,...

Der Beweis des Satzes folgt ans der Zerlegung der Determinante nach den Elementen der betreffenden Reihe.

Satz 7. Eine Determinante ändert sich nicht, wenn man zu den Elementen einer Reihe ein beliebiges Vielfaches von den Elementen einer parallelen Reihe addiert.

Es ist also z. B.

$11 d 12 • • • d\Yi

(6.)

#21 #22 • • • #2n

au -f- malr: a\2 ... a\n

a2l "b Wiair , Ö22 . . . a2n

Uni j manr, Uni ... Unn

Der Beweis folgt aus der Verbindung der Sätze 5 und 6.

an\ a ni . . . Unn

In welcher Weise die vorstehenden Sätze benutzt werden können, mögen die folgenden Beispiele zeigen.

1) Es ist

xi—x₂, yi—yi Xi —x₃, yi —y₃

1 X\

0 xt — x₂, yi — y2 0 Xi — x₃, y\ — y₃

1 Xi yx 1 x₂ y₂ •

1 x₃ y*

Xi

2) Es ist

zi-—x₂, tji — y<i, Zi — z2 x\ — x₃, yi — yi, Zi — 23 Xi — Xi, yx — yi, Zi — Zi

Xi

1 X\

0 xt —    x₂,    y\    — y₂,    z₁ — z₂

0 Xi —    xa,    yi    — y₃,    *i— z₃

0 X\ ——    Xi,    yi    — yi,    Z\ — Zi

1 xx yx Zi |

1 x-2 y-2 z₂\

L x₃ yA za \

1 Xi yi Zi

zi

§ 134.

Multiplikation der Determinanten.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 210.)

Es sei

(1.)

«11 Cli2

«2 i «22

bn byi b-ii b₂₂

Cu C12

r21 C22 \

wobei

I Cu — «11 bu -)- «12 ^12 ;

\ C₂i = «21 $11 + 0-22 bi₂ ,

dann soll gezeigt werden, daß

A . B = C

ist. Es wird nämlich nach den Sätzen der vorhergehenden Paragraphen

(2.)

(3.)

C12 — «11 $21 + «12 l>22,

c22 — «21 b'2\ -|- «22 b-22,

«11 bu «12 ^12 , Ou b-2l + «12 b₂2 021 ^11 "f" a22 bi2 J «21 b-2i -f- «22 ^22 |

Oiibu, Oub-2\ I «11^11, «12^22, ^ «12^12j «11&21 ^ «12^12, «12^22 «2i^n, «21^21 \0-2ibu, 0₂₂b₂₂ «22^12, «21^21    «22^12, «22^22

j«H «12 |«21 0-22

Da nun aber die Determinanten mit zwei identischen Kolonnen gleich Null sind, so wird

— bub₂i

«11 «ii

«21 «21

+ bu b-2'2

+ bu b-2\

«12 Ou\ 0-22 «21

+ bi2 b-22

«12 «12

«22 «22 Î

(4.) G — Ó11 §22 j

= A . B.

«11 «12I «21 «22!

! 4* ^12 ^21

«12 «11

«11 «12

«22 «21

«21 «22

(4*11 ^22 - ^12 ^2l)

Es ist

Beispiel.

(5-)

oder

ac -)- bd, ad — bc bc -— ad, bd -|- ac

(5 a.)

(a² -j- Z»²)(c² -f- d²) — (ac -|- bd)¹ -f- (ad— bc).

Dies gibt den Satz: Multipliziert man die Summe zweier Quadrate wieder mit der Summe zweier Quadrate, so läßt sich das Produkt gleichfalls als die Summe zweier Quadrate darstellen.

In ähnlicher Weise, wie vorhin Determinanten 2ter Ordnung miteinander multipliziert worden sind, kann man auch Determinanten ?iteT Ordnung miteinander multiplizieren. Es sei jetzt

b\\ ^12... bin b-n b<i<i ... Z>2»

“11 “12 • • • «1n

Cu C12 ... Cin

(6.) A =

«21 «22 • • • «2n

, c=

«21 «22 • * • c2m

««1 «m2 • • • «MM

bnl ^/(2 • • • «*w

«nl «m2 .. • «wm

wobei

(7*)

«/r — «yi br 1 -f“ «/2 ^»-2 4"“ • • • 4~ «/»

sein möge. Der Kürze wegen soll Gleichung (7.) in der Form (7 a.) Cfr = J£<* üjabra, oder cfr = 2ßafpbrß,... oder Cfr — 2vafvbrv geschrieben werden, wobei die Summationsbuchstaben u,ß,...v die Werte 1 bis n durchlaufen. Dadurch erhält man

(8.)

^““«la^laj —’ß «1/9 b'ip , ... —v«ly bnv — ® «2a ^la j «2/9 ^2/9 5 • • •    «2v

anal>ia , — ,9 ü!wj3 §2/9 j • • • ■"*’ «mv

oder, wenn man die Determinante nach den Teilkolonnen zerlegt,

(9.)

C = I*2ß...2v

«la b\a , U\ß b<i^, . . . öiv «2a^laj «2/9 ?'2/9 j • • • «2v

(11.) ist, folglich geht Gleichung (9a.) über in

(12.)

wobei a, ß,...v alle Werte von 1 bis n durchlaufen, so daß die Summe im ganzen nn Glieder enthält. Die Gleichung (9.) kann jetzt aber auch in der Form

(ila • • • ®lv @2a @2ß • • • a%v

(9a.) C ■— ^b\ab<2,ß •. • bnv

j a,naanp ... (tnv

geschrieben werden, wobei das Summenzeichen verlangt, daß u, ß,...v einzeln alle Werte von 1 bis n annehmen. Man darf sich aber darauf beschränken, daß a, ß, ... v lauter verschiedene Werte haben, weil in Gleichung (9a.) die Determinante der a verschwindet, sobald von den Indizes a, ß,... v zwei einander gleich sind. Man braucht daher in Gleichung (9 a.) die Summation nur über die n ! Permutationsformen aß ... v der Zahlen 1 2 ... n zu erstrecken. Nun ist aber, wenn aß ... v eine Permutiationsform der Zahlen 12...» ist,

a ®l|î • • • alv <^2a^2ß • • • ®2r    _^

(10.)

dna^nß • • • dnv

«11 «12 • . • a\n

^21 a22 . . . a<in

• • • O'nn

= (-1M

wobei

C = A . 2{—)Pbla b2ß..bnv = A.B.

Dies gibt den Satz:

Zwei Determinanten nUr Ordnung werden miteinander multipliziert, indem man die Elemente der ften Zeile der ersten Determinante mit den gleichstelligen Elementen der rten Zeile der zweiten Determinante multipliziert, diese n Produkte addiert und aus den so erhaltenen rd Summen eine neue Determinante bildet.

Da man in jeder der beiden Determinanten A und B die Zeilen mit den Kolonnen vertauschen darf, so kann cfr auch die folgenden Werte erhalten:

§ 135. Homogene, lineare Gleichungen mit n Unbekannten. Cfr — a/1 b\r -f- a/2 b-ir -j- • • • -f- dfn bnr,

(13.)

oder

(14.)

Cfr ■— a\f bri -f- a-₂f b, 2 fi- • • • G~ an/ br

n,

oder

(15.)

Cfr — ai / b\r -|- (l₂f b'2r G~ • • • fi- «n/ bnr •

(1-)

§ 135.

Homogene, lineare Gleichungen mit n Unbekannten.

Sind n lineare Gleichungen mit n Unbekannten

' «n Xi + «12 Xi fi-----[- aln xn = Ci,

«21    + «22 #2 fi“ • • • fi“ «2n xn = c2 j

Cln\X\ -j- a„2#2 fi⁻ • • • fi~ dnnXn — cu

gegeben, so wird nach Formel Nr. 212 der Tabelle

/t . Xr = Ci dir —f- Co dÿr fi⁻ ‘ ' ' fi- Cn dnr •

(2.)

immer kleiner

Läßt man jetzt die Größen ct, c2 werden und schließlich ganz verschwinden, so erhält man die Gleichungen

. . Cn

(3.)

«11 fi «12 «"2 fi“ ' ‘ ' —fi «ln — 0 , «21 #1 -fi «22 «-2 G⁻ ’ ‘ ‘ G" «2n %n ⁼ 0 ,

«nl fi~ «w2 X₂    ann %n — 0 .

Diese linearen Gleichungen heißen homogen.

Gleichungen (3.) findet man in diesem Falle

4 . xr = 0 für r = 1, 2, 3,... n.

Wenn man nun weiß, daß die Gleichungen (3.) auch für solche Werte von xt, x₂,...xn gelten, die nicht sämtlich gleich Null sind, so folgt aus den Gleichungen (4.), daß

J = 0

Aus den

(4.)

sein muß. Dies gibt den Satz:

Kiepert, Differential-Rechnung

39

Wenn n lineare, homogene Gleichungen mit n Unbekannten für Werte der Unbekannten, die nicht sämtlich gleich 0 sind, gleichzeitig bestehen, so maß die Determinante A der Koeffizienten gleich 0 sein.

§ 136.

Anwendungen auf einzelne Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll die Bedingung- finden, unter welcher drei Gerade gi, g₂, g% durch einen Punkt gehen.

Auflösung. Man kann die Gleichungen (1.) A.\X-fD\yfG\ = 0, A₂x-\-B₂y-\- C₂ — 0, A₃x-\-B₃yf- C₃ = 0 der drei Geraden g±, g₂, g% homogen machen, indem man

(2.)

x\

— » y = —

x₃    x₃

einsetzt und dann die Gleichungen mit x₃ multipliziert. Dadurch gehen die drei Gleichungen (1.) über in

AiX 1 + B\X 0 + C\x₃ = 0,

(3.)

A₂x\ -)- B₂x, -f- C₂x₃ = 0,

AßXi -)- Bsx-2 -j- C₃x₃ — 0.

Dabei darf man noch für x₃ jeden beliebigen Wert setzen. Ist z. B. x₃ = 1, so wird

Xt — x

x₂ = y.

Da also die drei linearen, homogenen Gleichungen (3.) gleichzeitig gelten sollen für Werte von x1} x₂, x₃, die nicht alle drei gleich Null sind, so muJß die Determinante der Koeffizienten verschwinden. Die Bedingung dafür, daß die drei Geraden durch einen Punkt gehen, ist daher

At Bi Ci

(4.)

= 0.

A₂ B₂ C₂

A₃ B₃ 63

Aufgabe 2. Man soll die Bedingung finden, unter welcher vier Ebenen ei, e₂, e₃, «₄ durch einen Punkt gehen.

Auflösung. Man kann die Gleichungen

A\x -(- B\y -j- 612: -)- Dx = 0,

(5.)

A₂x -p B₂y -j- C₂z -p D2 = 0,

Agx -p Bgy -p Cgz -(- Dg — 0,

A 4.x -p B^y -f- G\Z -p D4 - 0 der vier Ebenen «1, £2, £3, £4 homogen machen, indem man

(6.)

x₂

5 y = — ?

Xi    X4

einsetzt und dann die Gleichnngen mit Xi multipliziert. Dadurch gehen die Gleichungen (5.) über in

A\X\ -j- B\x₂ -|- C\X3 -]- D\X4 = 0,

A%X\ -}- B₂X₂ ~p C2Xg -)- D%Xi = 0,

A gX\ -)- BgX-i -p CgXg -(- DgXi = 0 ,

A 4X1 ~p B4X2 —)— (JiXg —j— D4X4 = 0 .

Da diese linearen, homogenen Gleichungen gleichzeitig gelten sollen für Werte der Unbekannten xt, x₂, x₃, Xi, die nicht alle vier gleich Null sind, so muß die Determinante der Koeffizienten verschwinden. Die Bedingung dafür, daß die vier Ebenen durch einen Punkt gehen, ist daher

A\ B\ Ci D\

A₂ B> C2 D-2

Ag Bg Cg Dg

Ai Bi Ci Di

(7.)

(8.)

= 0.

Xi

Aufgabe 3. Man soll die Bedingung finden, unter welcher drei Punkte Plf P₂, Pg in einer Geraden y liegen.

(9.)

Auflösung. Hat die Gerade g die Gleichung Ax -f- By -{-(7=0, so liegen die drei Punkte P\, P₂, Pg auf dieser Geraden, wenn Ax i -p By\ -p C = 0,

< Ax2 -p By₂ -p C — 0,

Ax3 -p Byg -P C = 0

39*

ist. Hierbei sind x1} y₄, x₂, y₂\ x₃, y₃ die gegebenen Koordinaten der Punkte Pi, P₂, P₃, während die drei Größen A, B, C noch unbekannt sind. Man hat also drei lineare, homogene Gleichungen mit den drei Unbekannten A, B, C. Da diese Unbekannten nicht alle drei gleich Null sein dürfen, so können die Gleichungen (10.) nur dann gleichzeitig gelten, wenn die Determinante der Koeffizienten verschwindet. Die Bedingung, unter welcher die drei Punkte in gerader Linie liegen, ist daher

y\ 1

ru.)

x.₂yi 1    = 0.

x₃ y-i i

Aufgabe 4. Man soll die Bedingung finden, unter welcher vier Punkte Pi, P₂, P₃, Pi des Raumes in einer Ebene e liegen

(12.)

Auflösung. Hat die Ebene e die Gleichung Ax -f- By -\- Cz D — 0, so liegen die vier Punkte Ph P₂, P₃, P₄ in dieser Ebene, wenn ' Axi -(- By\ -j- Czx -f- D — 0,

(13.)

Ax ₂ + By₂ + Gz-2 + D = 0,

Ax₃ -(- By₃ -)- Cz₃ -f~ D = 0,

. Axi -f- Byi -f- Cz₄ -f- I) = 0

ist. Hierbei sind x₄, yx, z₄; x->, y-₂, z₂; x₃, y₃, z₃; x₄, y₄, z₄ die gegebenen Koordinaten der Punkte Pi, P>, P₃, P₄, während die vier Größen A, B, C, D noch unbekannt sind. Man hat also vier lineare, homogene Gleichungen mit den Unbekannten A, B, C, D. Da diese Unbekannten nicht alle vier gleich Null sein dürfen, so können die Gleichungen (13.) nur dann gleichzeitig gelten, wenn die Determinante der Koeffizienten verschwindet. Die Bedingung, unter welcher die vier Punkte in einer Ebene liegen, ist daher

(14.)

| xx y\ a 1 x₂ y₂ z₂ 1 x₃ y₃ z₃ 1 x₄ y₄ z₄ 1

Aufgabe 5. Man soll den Kreis bestimmen, der durch drei gegebene Punkte Pi, Pi, P₃ hindurchgeht.

(15.)

Auflösung. Hat der gesuchte Kreis die Gleichung (x — £)² + (y — v)² — Q- = o, so geht er durch die drei gegebenen    Punkte, wenn

ist. Diese drei Gleichungen mit den drei Unbekannten §, rj und q sind nicht linear. Zieht man aber die Gleichungen (17.) und (18.) von Gleichung (16.) ab, so erhält man zwei lineare Gleichungen

(19.)

f 2(.71 — Xi)‘Ę -f 2(2/1 — y-₂)rj = xł — x-² -f- ył — ył,

\ 2(.rt — x₃)'i + 2(yi — y₃)rj = xł — x₃² + ył — ył

mit den beiden Unbekannten g und rj. Indem man noch der Kürze wegen

(20.) xł ył = rł, xł + ył = rł, xł + ył = r₃2 setzt, findet man durch Auflösung der Gleichungen (19.)

(21.)

rł — r₂², yt — y2 ! rł — rł, y i — y₃

(22.)

—    ^2, yi — y-i

—    ^3, y\ — y*

• rj =

x\ — x₂, rł — rł x\ — x₃, rł — rł

Die Determinanten, welche hier auftreten, kann man, wie schon in § 133, Seite 605 gezeigt wurde, umformen und erhält dadurch

(21a.)

1 x₂ yt 1 x₂ y2 1 x₃ y₃

1 Xi yt

1 rł yt 1 rł y.2 1 rł y3 1 x-i rł

(22 a.)

2    1 x₂ yi • rj =    1 x₂ r₂²

1 x₃ rł

1 x₃ y₃

Wird

xx yt 1 x₂ y₂ 1 X₃ */3 1

1 xt yx 1 x₂ y2 1 x₃ y₃

so werden g und y unendlich groß, d. h. der Mittelpunkt des Kreises rückt ins Unendliche, und die drei Punkte P>, P3 liegen in gerader Liuie, wie schon in Aufgabe 3 gezeigt wurde.

Der Wert von q- ergibt sich aus Gleichung (16.), (17.) oder (18.), indem man die gefundenen Werte von § und y einsetzt.

Aufgabe 6. Man soll die Kugelfläche bestimmen, welche durch vier gegebene Punkte Pt, P₂, P₃, P₄ hindurchgeht.

Auflösung. Hat die Kugelfläche die Gleichung

(23.)

(x — §)² -f (y — yY + (z — çy — Y = 0,

so findet man die Werte von §, y, 'Ç in ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe die Werte von § und y, und zwar erhält man, wenn man der Kürze wegen

(24.)

xY + y Y + zY — rY, xY -f y Y + zY = rY, xY + y Y + zY = rY, xY + y Y + z Y = rY

setzt,

(26.)

(26.)

(27.)

1 Xi yx Zi 1 x-2 y₂ z₂

2 ₁ •£ =

1 x₃ y₃ z₃

1 Xi y₄ Zi 1 Xi IJi Zi

1 x₂ y₂ z₂

. y =

1 x₃ y% z3 1 Xi y₄ Zi 1 Xi yx Zi |

₉    1 x₂ y₂ z₂

1 x₃ y₃ z3 1 Xi y₄ z₄

•£ =

1 rY yi Zi 1 rY y₂ z2 1 rY yz z3 1 rY y₄ -4

1 Xi rY Zi 1 x₂ rY z2 1 x₃ rY z3 1 Xi rY z4 1 xi tji rY

1 x₂ y₂ rY I 1 x₃ y₃ rY

1 Xi y₄ rY

Wird

1 Xi IJi Zi

1 X₂ y-2 Z-2 1 x₃ y3 23

Xi yx Zi 1

1 Xi y4 Z4

x₂ y₂ z₂ 1 x₃ y₃ 23 1 X4 y 4 z₄ 1

so werden §, y, £ unendlich groß, d. h. der Mittelpunkt der Kugel rückt ins Unendliche, und die vier Punkte Pi, P₂, P₃, P4 liegen, wie schon in Aufgabe 4 gezeigt wurde, in einer Ebene. Den Wert von q findet man schließlich aus der Gleichung

(28.)

fei — s)ä + (2/1 — nf + fei —1')! = d‘.

Dritter Teil.

Funktionen von mehreren unabhängigen Veränderlichen.

XVIII. Abschnitt.

Differentiation der Funktionen von mehreren yon einander unabhängigen Veränderlichen.

§ 137.

Differentiation einer Funktion von zwei voneinander unabhängigen Veränderlichen.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 221.)

Eine Funktion von zwei oder mehr Veränderlichen wurde bereits in § 3 (Seite 23) folgendermaßen erklärt:

wetiłi

Eine veränderliche Größe z heißt eine Funktion der beiden Veränderlichen x und y für al<C.x<.U2, Z>i<y<£>2 jedem Wertsysteme x, y in den angegebenen Intervallen ein oder mehrere Werte von z nach einem bestimmten Gesetze zugeordnet sind.

Hier möge nur der Fall in Betracht gezogen werden, wo dieses Gesetz durch eine Gleichung zwischen x, y, z gegeben ist.

Besteht nämlich zwischen drei veränderlichen Größen x, y, z eine Gleichung, so wird man zweien von ihnen, z. B. x und y, beliebige Werte beilegen können; dadurch wird dann z die Wurzel einer Gleichung mit konstanten Koeffizienteh, so daß 2 nur noch eine Anzahl ganz bestimmter Werte haben darf.

Bei dieser Anschauungsweise sind also x und y die unabhängigen Veränderlichen, während z eine von x und y abhängige Veränderliche oder eine Funktion von x und y ist.

Man kann sich die Gleichung zwischen x, y und z deshalb auf die Form

(1.)

- =/0> y)

gebracht denken und erkennt, daß Veränderungen von z auf dreifache Art hervorgerufen werden können, nämlich

1)    indem sich x allein ändert,

2)    „

3)    „

T) V ii    n

„ x und y gleichzeitig ändern.

Den Unterschied zwischen diesen drei Fällen kann man sich am leichtesten durch die geometrische Deutung der Gleichung (1.) als Gleichung einer Fläche im Raume klar machen. Bleibt y konstant, so liegen die Flächenpunkte mit den Koordinaten x, y, z alle in einer Ebene, welche zur ZA-Ebene parallel ist und die Fläche in einer Kurve schneidet. Auf dieser Kurve kann daher der Flächenpunkt P nur fortschreiten, wenn man x als die einzige Veränderliche und y als eine Konstante betrachtet.

Ebenso kann der Flächenpunkt P nur auf einer Kurve fortschreiten, welche in einer zur FZ-Ebene parallelen Ebene liegt, wenn man y als einzige Veränderliche und x als eine Konstante betrachtet.

Sind aber x und y beide veränderlich, so kann der Flächenpunkt auf der Fläche nach allen beliebigen Richtungen fortschreiten.

Betrachtet man zunächst den ersten Fall, wo nur x als veränderlich und y als konstant angesehen wird, so kann man 2 wie eine Funktion der einzigen Veränderlichen x behandeln und auch ebenso differentiieren. Man bezeichnet dann aber, wie schon in § 76, Seite 363 hervorgehoben wurde, den Differential-

Quotienten nicht mit

dz

clx⁵

sondern mit

dz

öx

so daß man erhält

dz

~    = lim

OX

f{x + Jx, y) —f(x, y)

In dem zweiten Falle, wo nur y als veränderlich und x als konstant angesehen wird, findet man in derselben Weise

f(x, y + /ly) —f{x,, y)

(3.)

dz

= lim

Jy=0

Diese Größen werden die „■partiellen Ableitungen von 2 nach x und nach y:i genannt.

Dem entsprechend nennt man die Änderung, welche z dadurch erleidet, daß sich nur x um die Größe dx ändert, die „partielle Zunahme von z in Bezug auf xil und bezeichnet sie mit dxz. Es ist also

dy

Jy

(4.)

z + dxz =/(* + dx, y),

oder, wenn man hiervon die Gleichung (1.) subtrahiert,

f(x +dx, y) —f(z, y)

(5.) dxz =f(x fdx, y) —fix, y) =

/Ix

dx.

Ebenso nennt man die Änderung, welche z dadurch erleidet, daß sich nur y um die Größe à y ändert, die „partielle Zunahme von z in Bezug auf yli und bezeichnet sie mit dyz. Es ist also

(6.)

z + Jyz =f(x, y + dy),

oder, wenn man hiervon die Gleichung (1.) subtrahiert,

f(x, y + dy) —fjx, y)

(7.) dyz =f{x, y + 4 y) —fix, y) =

dy

dy.

Läßt man jetzt die Größen dx und dy unendlich klein werden, indem man sie durch ihre Differentiale dx und dy ersetzt, so werden auch die entsprechenden Änderungen von z, nämlich dxz und dyz, unendlich klein und heißen dann die „jpartiellen Differentiale dxz und dyz von z“. Dabei folgt aus den Gleichungen (5.) und (7.)

dxz — lim

dyz == lim 4y=0

In dem dritten Falle dagegen, wo sich x um dx und gleichzeitig y um dy ändert, nennt man die entsprechende Änderung

(8.)

(9.)

ßx + dx, y) —f{x, y)

dx

fjx, y + dy) —fjx, y)

dy

dz

dx = dx dx

dy —

dz

dy

dy.

zarza.c -

- :c

Qąfc>po\^a

Cf> ff

t-

O ^

Z $

C- cO

1J

§ 137. Funktionen von zwei Veränderlichen.

von z die „vollständige oder totale Zunahme von z“ und bezeichnet sie mit Jz. Es wird also

z + Jz = ff + Jx,y + Jy), oder, wenn man hiervon die Gleichung (1.) subtrahiert,

Jz = ff + Jx, y + Jy) —fix, y),

wobei Jx und Jy voneinander unabhängige Größen sind. Die hier folgenden Schlüsse gelten jedoch auch dann noch, wenn man diese Voraussetzung nicht macht, wenn also x und y und deshalb auch Jx und Jy voneinander abhängig sind.

Gleichung (11.) kann man auf die Form

Jz = fix + Jx, y + Jy) —fix, y + Jy)

+ ff, V + 4y) —fix, y)

bringen. Dies gibt, wenn man y -f J y der Kürze wegen mit y\ bezeichnet,

(12.) Jz = fix + Jx, yf) —fix, yf) -ff ix, y + Jy) —ff, y) fjx+Jx, yi) —ff, yi)

(10.)

(11.)

Jx

Jx

Jy

Jy.

Läßt man jetzt wieder Jx und Jy unendlich klein werden, so wird auch Jz unendlich klein und geht in das vollständige oder totale Differential von z über, welches man mit dz bezeichnet. Da nun

lim

ff + Jx, yi) —ff, y\) fff, y0

zdx=0

Jx

öx ’

lim -

4y=0

ff, y + Jy) —ff, y) ₌ äff, y)

dy

Jy

und limyi = y wird, so geht Gleichung (12.) über in dz=Sf(x,y)

(13.)

~ dx -} dx

dff, y)

oder

dy

dy

(14.)

dz —

dz

dx

dx -f-

dz

dy

dy = dxz -f- dyz.

Es gilt also der Satz:

Das totale Differential ist gleich der Summe der partiellen Differentiale.

Derselbe Satz ist auch in § 76, Gleichung’ (16a.) ausgesprochen; damals handelte es sich aber um eine Funktion

z — F(u, c)

von zwei veränderlichen Größen u und v, die nicht voneinander unabhängig, sondern beide wieder Funktionen von einer Veränderlichen x waren.

§ 138.

Aufgaben.

dz dz dx ’ dg

und dz 'er-

Aufgabe 1. Man soll die Werte von mittein für

(!•)

2 = xAyl.

ver-

Auflösung. Die partielle Ableitung nach x bildet man, indem man x als veränderlich und y als konstant betrachtet; und die partielle Ableitung nach y bildet man, indem man y als äuderlich und x als konstant betrachtet. Deshalb ist

(2-)

dz

dx

= 3xly²,

dz

dy

— 2 xAy

(3.)

dz —

dz

dx

dx -f-

dz

dy

Aufgabe 2. Man soll die Werte von mittein für

dy — 3x^y'dx -f- 2xAydy,

dz dz dx ’ dy

und dz er-

(4.)

z = yz -j- 4x²y -f- 2a;³.

Auflösung.

(5.)

dz

(6.)

dz

= 8xy -j- 6a;²

= 3 ijl + 4a;²,

dz — (8xy -f- 6xr)dx -(- (3y¹ -j- 4xF)dy.

dz dz dx ’ dy

dx

dy

Aufgabe 3. Man soll die Werte von mittein für

und dz er-

(10.)

(8.)

Auflösung. Hier findet man in ähnlicher Weise wie vorhin

öz

= 2ysmx,

öz

(9.)

—~ = iß cosa; dx J

dz — y^cosxdx -j- 2ysin.xdy.

dy

Aufgabe 4. Man soll die Werte von mittein für

Öz

dx ’ dy

und dz er-

2 = <eÿarcsina; + x-. lny.

Auflösung.

(11.)

dz

ey

dx y i — xl

+ 2a;. ln y,

dz

dy

Xr

= e'J arcsin x -j-    ₅

!/

(12.) dz — ^

e,y

y i — x¹

+ 2a;.

ln y^ dx + (^y arc sin x + ^ dy.

§ 139.

Differentiation der Funktionen von mehreren voneinander unabhängigen Veränderlichen.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 222 und 223.)

Das in § 137 angedeutete Verfahren läßt sich ohne weiteres auf Funktionen von drei oder von mehr voneinander unabhängigen Veränderlichen übertragen. Ist z. B. 2 eine Funktion von drei Veränderlichen u, v, w, ist also

(1.)

*=/(«> «0>

so kann man zunächst die partiellen Ableitungen bilden, indem man setzt

(2)

dz

= lim

du ju=0

f(u A Ju, r, iv) —y'(w, v, w)

(3.)

dz

— = lim

Jo=0

dv

dz

f(u, v -f- Jv, w)—f(u. v, w)

/Jv

— = lim

Jw=0

f(u, r, w -j- Jw) —f(u, v, w)

Ist endlich Jz die Änderung von z, wenn sich gleichzeitig u um Ju, v um Jv, w um Jw ändern, ist also

z -j- Jz —f{u -f- Ju, v -f- Jv, w -j- Jw),

so wird

(7.)

Aus den drei partiellen Zunahmen von z, nämlich aus Juz — f(u -f- Ju, v, w)—f (u, v, w),

Jvz — f{u, v -j- Jv, w) — f(p, v, w),

Jwz=f(u, v, w-\-Jw)-fff V, w)

erhält man sodann, indem man Ju, Jv, Jw durch die Differentiale du, de, dw ersetzt, die drei partiellen Differentiale von z, nämlich

dv, ön-z —

(5.)

(6.)

dz

duz = du, dvz =

dz

dv

dw.

Jz —f{u -)- Ju, 0 -f- Jv, w -j— Jw) f(u, V, w)

oder

(7 a.) Jz — f{u -f- Ju, 'cĄ-Jo^Ą- Jw) —f(u, o -|- Jv, w-\- Jw) —(- f (u, v -\- Je, w -(- Jio) —f(u, v, w + Jud)

+ f(u, V, w + Jw) —f{u, V, w).

Bezeichnet man der Kürze wegen o -r Jo mit ot und w-\- Jw mit so kann man diese Gleichung auf die Form

f(u + Ju, vi, uh) — f (u, vt, wt) Ju

(7 b.)

Jz

Ju

Jv

f(u, V -(- Jv, Wi) -f(u, V, W\)

/iv

Jw

f{u, V, w -j- Jw)-f{u, 0, w)

Jw

bringen. Geht man jetzt zur Grenze über, indem man Ju, Jv und Jw durch die entsprechenden Differentiale du, dv, dw ersetzt, so wird

lim c\ = v, lim w\ = v:,

und Jz geht über in das vollständiye (oder totale) Differential von z, nämlich in

(8.) dz —

df(u, v, w)

du

du -f

df(u. v, w)

dv

do -f-

df(u, v, w)

dw

dw,

oder

(8 a.)

dz =

dz

dz

du

de

de -j-

dz

Öw

dw.

Auch hier gilt also der Satz:

Das totale Differential ist yleich der Summe der partiellen Differentiale.

Beispiel.

Es sei

(9.)

2 = v^wsmu -j- ew . lnw;

dann wird

dz

ew

= v^wcosu -4- — ? du    u

(10.)

dz

do

= 2cwsmu,

dz

dw

= ü²sinw -f • lnw

also

(11.) dz — ^v²w cos u -f- —    2 ow sin udo -|- ff sin u-f-ew. ln u)dw.

In derselben Weise kann man

z = f{u 1 , W₂, . . . Un)

nach jeder der n Veränderlichen einzeln differentiieren, indem man die anderen Veränderlichen als konstant betrachtet. So erhält man die partiellen Ableitungen. Multipliziert man dann noch mit dem Differential der betreffenden Veränderlichen, so sind die Produkte die partiellen Differentiale von z, nämlich

(13.) dHz =

(12.)

dz

du-i

du\,    dH.jZ —

dz

du%)... dUyZ —

dz

dun.

du₂

Das vollständige (oder totale) Differential ist dann wieder gleich der Summe der partiellen Differentiale, also

d'Un,

(14.)

dz —

dz

dz

dz

du\ - j

dun.

dU‘2 ~j— ■ • • “j⁻

du₂

Dabei ist zunächst die Voraussetzung gemacht, daß die n Veränderlichen wi, u₂,...un voneinander unabhängig sind. Der Beweis für die Richtigkeit der Formel (14.) läßt sich aber auch

du\

äun

leicht auf den Fall übertragen, wo ux, u₂,... un sämtlich Funktionen von einer Veränderlichen t sind.

In diesem Falle sind jedoch, wie für n = 2 schon in § 76 gezeigt wurde, die Differentiale dux, du₂,... dun nicht mehr voneinander unabhängige Größen; es folgt vielmehr aus den Gleichungen

(15.)

Ul =    , U₂ = (f₂{t) , ...un = (pn{t)

daß (16.) dux = (fi(t)dt, du₂ = (f₂{t)dt, ... dun = (fn‘(t)dt

wird. Deshalb darf man in diesem Falle die beiden Seiten der Gleichung (14.) durch dt dividieren und erhält auf diese Weise

dz duH dun dt

(17.)

dz dz dux t dz du2 dt du\ dt du₂ dt

wenn ux

Die Formel (14.) bleibt sogar noch richtig u₂, ... un wiederum Funktionen von m Veränderlichen tx, t₂,... tm sind, wenn also

(18.)

U₂ =

tH (M

!    — fftiif 1 j ^2 j • . • ^m) •

Dabei muß natürlich m<in sein.

Setzt man nämlich diese Werte in die Gleichung (12.) ein,

so wird

(19.)

2 = F(^, t₂,...tm) eine Funktion von tx, U,... tm und deshalb, der Gleichung (14.) entsprechend,

(20.)

dz =

dz

dz

dz

dt\

du

dt‘i    -Qj- dtm.

Ebenso folgt aus den Gleichungen (18 ) di/a

dtfg

dtm

für u = 1, 2, 3,...n. Nun ist aber nach Gleichung (17.), wenn man zuerst tt, dann U_,... endlich tm als die einzige Veränderliche betrachtet,

(21.)

dua =

dua

dt i

dt\ -f-

du

dt-i -)- • • • -j-

dtm

dz dun dun dtx dz dun dun dt₂

(22.)

dz dun

dtlyi d tfyi

dz dz dux dz du2 dtm dux dtm du₂ ötm

Multipliziert man diese Gleichungen bezw. mit dtx, di29 ...dtm und addiert sie, so erhält man mit Rücksicht auf die Gleichungen (20.) und (21.)

(23.)

dz

dz

dz~ m:dUi+üdU2~i f

dz

dun

§ 140.

Wiederholte Differentiation einer Funktion von mehreren Veränderlichen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 224.)

Der Kürze wegen bezeichnet man gewöhnlich die partiellen Ableitungen durch Indizes. Ist z. B.

(1-)

« =/0> y),

so setzt man

dz_ _ df(x, y)

(2.)

dx

dx

dA — df(x’ y)

dy

dy

Nun sind f\(x, y), f₂(x, y) im allgemeinen wieder Funktionen von x und y, die man nochmals nach den einzelnen Veränderlichen differentiieren kann. Dadurch erhält man, wenn man die Ableitungen wieder durch Indizes andeutet,

d/ifo y)

(3.)

dx

=/nO, y),

y)

dy

=fn{x, y),

df₂(x, y)

dx

=.Mx, y)

y)

dy

y)-

Es gibt also im ganzen 4 zweite partielle Ableitungen einer Funktion von 2 Veränderlichen.

Kiepert, Differential-Rechnung.

Beispiel 1. Es sei

(4.)

2 =/(*> y) = xY — Sxiy + xy⁴

so erhält man durch Differentiation

(5)

dz

=/iO> y) = 2xyz — 12x?y + y\

dy

=f₂(x, y) = 3a;²y² — 3x⁴ -}- 4a;y³,

d.A(x, y)

dx

=fu(x, y) = 2y³ — 3Qxhy

dMx, y)

(6.)

dy

=/i20, y) = fay² — 12a;³ + 4y³,

d/aQ, y)

dx

=fn{x, y) = 6xy¹ — 12a;³ + 4 y³,

d.Mx, y)

dy

=fdx, y) = 6a;²y + 12xy².

Beispiel 2. Es sei

z = f(x, y) = sina;. lny -f-    . Ina;

dann erhält man durch Differentiation

(7.)

(8.)

=/ifo y) = cosa;. ln y +

dz ,,.    . siuz

g- =/»(*, y) = —

dMx, y)

+ <°?/lna-

ey

=fn(x, y) = — sina;. lny — ^

dx

COSa; , ey

(9.)

dy

d/âQ, y)

dx

> /    \ cosa;

=Mx, y) = ~y~ =fn(x, y) =

dMx, y)

dy

In diesen beiden Beispielen wird

/iafo y) =fn(x, y); es soll gezeigt werden, daß diese Beziehung ganz allgemein

sina;

y²

+ ey. Ina;.

(10.)

gilt, wenn ffx, y) und ffx, y) stetige Funktionen von x und y sind.

Zum Beweise setze man

(ii.)

•t iy) =/(* + K y) —fix. y),

also

(12.)

<f iv + fy = fix + h, y -\-k) ~f{x, y+ k).

Nun ist nach dem Taylor sehen Lehrsätze (vergl Formel Nr. 87 der Tabelle)

(13.)

<fiy + l!) — viv) = ¥iv + 0k).k, oder, wenn man die Werte aus den Gleichungen (11.) und (12.) einsetzt,

(18 a.) fix + h, y + k) —fix, y + k) —fix + h, y) +/(r, y) = [ffx + f y + GZ;) —fix, y + &k)\ . k.

Setzt man dagegen

(14.)

’!'(x) = fix, y + k) —fix, y)

also

(15.)

xpix + h) = fix + h, y + k) —fix + h, y), so folgt aus Formel Nr. 87 der Tabelle

(16.)

ifj(x f h) — d>ix) — fix + ®fl) • h > oder, wenn man die Werte aus den Gleichungen (14.) und (15.) einsetzt,

(16 a.) fix + h, y + k) —fix + h, y) —fix, y + k) +f{x, y) = [fix + ©i h, y + k) —ffx -f- ©i h, y) ]. h.

Durch Zusammenstellung dieser Gleichung mit Gleichung (13 a.) erhält man

(17.) [ff + Gfi, y + k) —fix + G fi, y)] . h =

[.ffv + h, y + &k) —ff y + &k)] •k,

oder, wenn man auf die beiden Größen in den eckigen Klammern nochmals Formel Nr. 87 der Tabelle anwendet,

(18.) ffx + ©i h, y + Gfc) . bk = ffx + ©3 h, y + Qk) . hk.

Dabei sind h und k hinreichend kleine, aber sonst beliebige Größen. Deshalb ist auch

(19.) ffx + G fi, y + ©₂Æ) = ffx 4- G fi, y 4- Qk).

Läßt man jetzt h und k gleich Null werden, so erhält man, weil die Funktionen fnfi, y) und _/₂fx, y) stetig sind,

(20.) fn{x,y)=fn{x,y), oder

< §)«©

Cb Qj

dy

dx

Dies gibt den Satz:

Wenn man eine Funktion

zuerst partiell nach x und dann partiell nach y differentiiert, so findet man dasselbe Resultat, welches man finden würde, indem man zuerst partiell nach y und dann partiell nach x differentiiert; oder mit anderen Worten: Die Reihenfolge, in welcher man die partiellen Differentiationen ausführt, ist gleichgültig.

Dieser Satz läßt sich natürlich verallgemeinern, nicht nur auf die zweiten partiellen Ableitungen der Funktionen von beliebig vielen Veränderlichen, sondern auch auf höhere partielle Ableitungen. Setzt man nämlich

/iO, y) =

Mx, y) =

dz

dy’

(21.)

M*, y) = -§r

d(p)

Ö²Z

d²z

fn(z, y) =

d²z

dy

dxöy ’

d‘

Cb¹ Cb

y_i

d²z

dy dx

so erhält der eben ausgesprochene Satz die Fassung

dy

(22.)

«(£) ä(|)

oder

d²z d²x dx dy dy dx

dy    dx

Bezeichnet man in [entsprechender Weise mit

dm+,'z

den

dxmdyn

Ausdruck, 'welchen man erhält, indem man z zuerst m-mal partiell nach x und dann n - ni al partiell nach y differentiiert, so gilt die Gleichung

d³z

d³z

Ö³z

dx- dy dx dy dx dy dx¹

und wenn man in ähnlicher Weise fortfährt,

(23.)

(24.)

dxm dyn dyH öxm

Ebenso setzt man, wenn

gegeben ist,

« - /(«, w)

dz

(²⁵0    =/i0,v, w),

Qjj Qj

= /a(«,    w),

=Muiw)

und kann diese Funktionen wieder nach jeder der drei Veränderlichen differentiieren. Dadurch erhält man

d²z

d²z_dj\(u, v, w)

du2 d²z

du

fn(u, c, w),

dudv

dv

-fu{u,v,w\

dudw

dfi(u, v, w)

du)

--frĄ(u,v,w),

d²z

dcdu

dfi{u, V, w)

du

■fn{u,v,w),

Auch hier läßt sich zeigen, daß

(26.)

[ /12O, », vS) =f₂₁ (u, v, w), < /«(«, », w) =/si(«, », m>), 1 /as(w, », w) = /s2(«,    *0)

ist, allgemein, daß

(27.)

ßm-\-n+pz

dumdvndivP    dvn dumdwp

Qm+n+pz

Qm+n+pz

dwpdum dvn

QmĄ-n-\-p z

ßm+n+pz

Qm-\-n-\-pz

duß‘dondum

dumdwpdon d on dwpdum

§ 141.

Vollständige Differentiale höherer Ordnung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 225.)

Es sei wieder

(!•)

² =/(*, y)

eine Funktion von zwei unabhängigen Veränderlichen, dann wird nach Formel Nr. 221 der Tabelle

(2.)

dz —

dz

dz

öx

dy

dy

das erste vollständige Differential von 2. Dabei sind dx und dy zwei voneinander und auch von x und y unabhängige, unendlich kleine Größen.

Unter dem zweiten vollständigen Differential von 2 versteht man nun das vollständige Differential des ersten vollständigen Differentials und bezeichnet es mit d'²z.

Um d²z zu bilden, braucht man also nur in Gleichung (2.) z mit dz zu vertauschen. Dadurch erhält man

d(dz)

(3.)

d²z = d(dz) -----

ö(dz)

&rdx +

dy

dy.

Weil nun aber dx und dy von x und y unabhängig sind, so findet man

(4.)

d(dz) d²z dx ⁼ dx2 CX ' dxdy d(dz) _ d²z    öhy

dy    dx dy    dy²

d²z

dy

Multipliziert man diese Gleichungen bezw. mit dx und dy und addiert sie dann, so erhält man

dH = 7^4 dx¹ + 2

(5.)

dH

d²z

dxdy -f

2 dy²-

dx dy

Wemi man auf der rechten Seite dieser Gleichung überall d'²z mit dz² vertauscht, so wird die rechte Seite ein vollständiges Quadrat, nämlich

dy

dy

⁽⁶° (Ê)dx2+² % %dx dy+(0^²=(I ■dx+% dv)-

Diesen Umstand benutzt man, um Gleichung (5.) auf eine einfachere Form zu bringen; man schreibt nämlich

(5 a.)

d²z

=(l dx+%dyJ’

wobei der eingeklammerte Exponent (2) bedeutet, daß man den ö z    dz

Ausdruck ^ dx -f dy wirklich ins Quadrat’ erheben, dann aber überall dz² mit d²z vertauschen soll.

dz

8xdx +

Man sagt bei der Ausführung dieses Verfahrens, daß dy „symbolisch“ ins Quadrat erhoben werde.

Oj Qj

Ebenso versteht man unter dem dritten vollständigen Differential von z, nämlich [unter d³z das erste vollständige Differential des zweiten vollständigen Differentials. Es ist also

f*+

(7.)

d³Z = d(d?z) -

d{d²z)

dy

dy.

Nun ist aber nach Gleichung (5.)

\d³z dx²dy

dx² dy -j-. 2

dx

d{d²z)

„ dy

folglich ist

(8.)

(9.)    ^ -

d³z dx³

d³z

dx³

dx³ -f- 2

dx² dy -f-

d³z

<9³£

dx²dy

cfe³-j-3

<5%

dx²dy

dx²dy-\- 3

dxdy

dxdy2 2 cfc dy¹ -f-

dx dy¹,

d³z

dy

dx\dy²-\

dÿ

oder, wenn man wieder die symbolische Bezeichnungsweise benutzt,

(9 a.)

_ /dz \dx

Auch hier bedeutet der eingeklammerte Exponent (3), daß

d³z

dx -j-

dz

öy

\(3)

dy) •

dz

dz

dy zuerst wirklich in die dritte Potenz erheben

und dann überall dz³ mit d³z vertauschen soll.

So kann man fortfahren und findet für das vollständige Differential

man ^ dx -f

dy

(10.)

dmz

dz

(dz ₇ .dz ₇

⁼ \didx+B~ydy)

dy in die mte Potenz erheben und

wobei man also -q- dx -f-

dann dz"¹ mit dmz vertauschen soll.

Die Richtigkeit dieser Formel für einen beliebigen Wert von rn wird durch den Schluß von n auf auf n --fl bewiesen. Nach dem binomischen Lehrsätze ist nämlich

dy

oder

-f----,

an-kfrk,

wobei das Summenzeichen - andeutet, daß 7c alle Werte von 0 bis n durchlaufen soll. Gilt also die Gleichung (10.) für m = n, so wird

(11.)

dnz

₌

ÄW

dnz

dxn~k dy

tdxn~kdyk.

Nun ist

— d{dnz)

&rdx +

Ö(c/Wz)

dy

dy,

dabei ergibt sich aus Gleichung (11.)

iWVdx

dn+1z

dxn~kJrXdyk dn+xz

dxH~k dyk+x

Ersetzt man die Glieder auf der rechten Seite dieser beiden Gleichungen durch die entsprechenden in der symbolischen Darstellung, so erhält man

(12.)

dx

d(dnz)

₌ S?{n\

SU/

dxn~k+¹dyk,

*-SG)

dxn~kdykJ^¹.

(13.)

SO

dxn~k+xdy

dxn~kJfldyk =

|r>s(3

dxH~kdy

ldxn-kdyk = dx

und

dzn+x

dxn~kdykJrX —

(14.)

ÖS

dy

^G)

ÓG¹

dxn~kdyk+1

5dz*—kdyk = diĄ~dx+ g't/y) .

dxn~kdy

Indem man die Gleichungen (12.) addiert, erhält man auf der linken Seite

(15.)

d(dnz)

rj(dnz)

dx

Öy

dy = dn+1z

auf der rechten Seite dagegen, wenn man d^z mit dzn+x vertauscht, mit Rücksicht auf die Gleichungen (13.) und (14.)

(i6.) (!? dx + | dy)(^x dx + p dyj= (g dx + g dy)

U+1

folglich ist unter Anwendung der symbolischen Bezeichnungsweise

(17.)

cln^z

(dz ₇    , dz ₇

Gilt also Gleichung (10.) für m — n - j- 1.

= n, so gilt sie auch für

Was in dem vorhergehenden für eine Funktion von zwei unabhängigen Veränderlichen gezeigt worden ist, kann man in ähnlicher Weise auch für Funktionen von n unabhängigen Veränderlichen zeigen. Dadurch findet man für

z =/(«i>    ,...«»)

zunächst in Übereinstimmung mit Formel Nr. 223 der Tabelle

d%L\ —|—

(18.)

(19.)

dz =

dz

dz

du?,

du₂ • • •

dz

du\

und durch wiederholte Differentiation

dun

dun

(20.)

d2z = (w₁dUi + =(w₁dUl +

dmz

dz

dz

du?,

dun

\(2) dun ) >

dz

dz

\M dun j •

du₂

Bei dem ersten vollständigen Differential von z war es gleichgültig, ob die Veränderlichen u1} n₂, ... un voneinander unabhängig sind Thier nicht, denn man erhielt, auch wenn u1: u₂, ... u„ sämtlich Funktionen von einer Veränderlichen t oder von mehreren Veränderlichen 4, h, 4« waren,

dun

dz =

dz

dux

du\

dz

dz

du₂ -j— • • • -j— — dun. dun

du₂

Bei den höheren vollständigen Differentialen aber bleiben die Gleichungen (20.) nur dann richtig, wenn uh u₂,...un voneinander unabhängig, oder wenn sie lineare Funktionen von neuen unabhängigen Veränderlichen 4, t₂,...tm sind. Ist z. B. wieder

(21.)

*==/(*> y).

lind sind

y = 'Pit)

beide Funktionen einer neuen Veränderlichen t, so erhält man zunächst

(22.)

ch =

dz

äxdx +

dz

dy

dy.

Hierbei sind aber dz und dy nicht mehr voneinander unabhängige Größen, sondern es ist

(23.)

dx — (p‘(t)dt, dy — \p‘(i)dt.

Deshalb kann man auch Gleichung (22.) auf die Form

(24.)

dz

dt

Cu Cu

dx

dt ⁺

dy

dt

••• als Funktionen [der einzigen

bringen. Da z und

dz dz dz dt ’ dz’ dy’

Veränderlichen t anzusehen sind, so erhält man durch nochmalige Differentiation nach t

d(m) * , <|)

dt dt

dy

d‘Lz

dz d²x    dz dhy

dt dt dz dt²    dy dt²

Nun ist aber nach Gleichung (24.), indem man z bezw. mit

öz    dz

oder mit vertauscht,

(25.)

di¹

dx

dy

<!)

(26.)

d²z dx d'²z dy dt    dz² dt dzdy dt

"(t)

d²z dz d²z dy dt dzdy dt    dy² dt ’

folglich [geht Gleichung (25.), wenn man wieder die symbolische Bezeichnungsweise anwendet, über in

/dz dx    dz dy\P)

\dx dt    dy dt )

(27.)

d²z

dt²

dz d²x dz dt²

dz dhy dy dt²

Indem man beide Seiten der Gleichung- mit dt² multipliziert,

gibt dies

(27 a.)

d²z

dz

_(dz    dz V²)

~\ßxdx+dydy) ⁺ dx

d²x -j-

dz

’dy

d^y.

Diese Gleichung unterscheidet sich also von der Gleichung (5a.) auch äußerlich dadurch, daß auf der rechten Seite noch

c) Z

die Glieder ^ d²x + ß- d²y hinzugetreten sind.

Ist

(28.)

z    u₂,...un)

und sind

(29.)

W2 —    5 • • • un —

sämtlich Funktionen einer neuen Veränderlichen t, so findet man in ähnlicher Weise

(30.)

dz

(31.)

dz = du\ -f-

^ = (^/“1 +

dz

dz

du₂

dun

dun

dz

du₂

du₂,-\-----h

dz

dun

\(2) du,, j

dz

dux

d²u\ -j-

dz

du₂

d²u₂ -)- • • -j-

dz

dun

d²Un

wobei

(32.)

j du\= (fx{t)dt, du₂ = <f₂(t)dt, ... du,, — (fn\t)dt,

\ d²u± = tfx‘(t)dt?, d²u₂ = (f₂“{t)dt²,... d²u„ — (fn“(t)dt².

Man erkennt aus den letzten Gleichungen leicht, unter welcher Bedingung die Größen

d²ut, d²u₂,... d²un,

oder

d²u„

d²u2 dt² ’ dt²

d²Ux

Iti²’

verschwinden. Dies geschieht, wenn

U\ = (t\t -)- b\j u₂ = a₂t -(- b₂,... u„ = (i,,t -f- b,, lineare Funktionen von t sind. Dann wird nämlich

(33.)

(34.)

du\

dt =al

dU‘2

-w = ‘h

dun

dt

Un

und

(35.)

d²ut

(36.)

d'hi₂ _ dt²    ’

In diesem Falle ist also wieder

d²un

d²z

dt²

dui

du\ —|—

dz

du₂

dU‘2 ~j~ • • •

dt²

= 0.

dz

dun

\(2) dun 1 :

oder

(37.) '

d²z

dt²

/ dz du\ \du2 dt

dz du>2    dz dun\fi}

du₂ dt    dun dt )

kommen.

Gerade dieser Fall wird aber in dem folgenden in Betracht

Gelten die Gleichungen (33.), so findet man jetzt auch ebenso wie früher

(38.)

dH

dt³

dz dui dz du2 dui dt du2 dt

dz dan dun dt )

(39.)

dz dun\Sm) dun dt )

)    /dz { dz    , dz \M

⁼ (är₁ai + ^‘'! + '" ⁺ ö^“v '

( dmz /

J dr ⁼ \

dz du-i dz du<2 du\ dt du‘₂ dt

§ 112.

Differentiation einer nicht entwickelten Funktion von zwei unabhängigen Veränderlichen.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 22S.)

Es sei 2 als Funktion von x und y durch die Gleichung F{x, y, z) = 0

gegeben, die man sich auf die Form

² =/(*> y)

gebracht denken kann. Wie bildet man dann

(1.)

(la.)

dz

dx

und

dz

Setzt man

(2.)

dF

dx Fl

dF

dy

= f₂

dF

dz

= f₃

und beachtet, daß z eine Funktion von x und y ist, so folgt aus Gleichung (1.) durch partielle Differentiation nach x dF[x, y, f{x, y)]

(3.)

dz

dx

⁼⁼-Fl + -F3fe⁼°

oder

dz

Fx

dx F\ ’

und durch partielle Differentiation nach y dF[x, y, f(x, y)]

(4.)

dy

= F₂ + Fs

= 0, oder

dz F₂

Ty = ~W

Beispiel.

Es sei

ö i «

to! L-0

fcOl to

C* I

tO| LO

H-¹

dann wird

2x

Fi a² ’

2y

2z

6² ’

c² ’

N I 5S

TO TO

?i i ^

TO TO

§ 143.

Nicht entwickelte Funktionen einer Veränderlichen, gegeben durch simultane Gleichungen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 227.)

(1.)

Es kommt häufig vor, daß y und 2 als Funktionen der einen Veränderlichen x gegeben sind durch zwei Gleichungen F(x, y, z) = 0 und G(x, y, z) = 0, welche gleichzeitig bestehen und deshalb „simultan“ genannt werden.

Jede der beiden Gleichungen |fur sich allein würde, geometrisch gedeutet, einer Fläche entsprechen; gelten sie aber gleichzeitig, so können ihnen nur die Koordinaten derjenigen Punkte genügen, welche auf beiden Flächen liegen, d. h. die

Gleichungen (1.) stellen zusammen die Schnittkurve der beiden Flächen dar.

Eliminiert man aus den Gleichungen (1.) die Veränderliche z, so erhält man die Gleichung

H(x, y) = 0, oder y = f(x).

Dies ist die Gleichung eines Zylinders, welcher die Schnittkurve in die X Y-Ebene projiziert. Eliminiert man aber aus den Gleichungen (1.) die Veränderliche y, so erhält man die Gleichung

(2.)

(3.)

K(x, 2) = 0

oder 0 = g(x).

Dies ist die Gleichung eines Zylinders, welcher die Schnittkurve in die XZ-Ebene projiziert. Da die Raumkurve, welche durch die beiden Gleichungen (1.) erklärt wird, auf diesen beiden Zylindern liegt, so ist sie auch die Schnittkurve dieser beiden Zylinder oder wenigstens ein Teil davon, denn die Zylinder können möglicherweise auch noch Punkte gemeinsam haben, die nicht auf der gegebenen Kurve liegen.

Es kommt hier zunächst nicht auf diese geometrische Deutung an, es sollte vielmehr die vorstehende Untersuchung nur zeigen, daß man y und 0 als Funktionen der einzigen unabhängigen Veränderlichen x betrachten darf. Deshalb ist es auch möglich, y und 2 als Funktionen von x zu differentiieren, und zwar kann

dy

dz

und ^ auch berechnen, ohne die Gleichungen (2.) und (3.) wirklich zu bilden.

Dies geschieht, indem man auf die Gleichungen (1.) die Regeln anwendet, welche in Formel Nr. 223 der Tabelle ausgesprochen sind, wobei man aber in diesem Falle die drei Veränderlichen ui, Ui, u₃ bezw. mit x, y, z und die unabhängige Veränderliche t, von der u\, u₂, us abhängig sind, mit x vertauschen muß. Dadurch eihält man

man

dx

dF_ dFdx dF dy dx dx dx ¹ dy dx

dFdz dz dx

= 0,

oder, wenn man wieder bezeichnet,

dF

dx

mit Ft

Cb Cb

dF

mit Fi, mit Fs

(4.)

Ft + F₂

cly

dz

dx

+ Fsdz = 0-

Ebenso findet man

(5.)

dy

G\ + G₂ — r G3

dz

dx

dx

= 0.

Aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich jetzt sehr leicht durch Elimination

(6.)

dy_Fa G\ — Fi Ga

dx    F₂ Ga — Fa G₂

und

dz F\ G₂ — F₂ Gi dx F‘i Ga — Fa G₂

Mit demselben Rechte, mit welchem in dem vorstehenden x als die unabhängige Veränderliche betrachtet wurde, kann man auch y als die unabhängige Veränderliche ansehen. Dadurch werden x und 2 Funktionen von y, und man erhält in Übereinstimmung mit den Gleichungen (6.)

F₂Ga — FaG2 dy ⁼ WGi~FGa

(7.)

dx

und

dz    Fi Go — F₂ Gi

dy    Fa Gi — Fi Ga

Macht man 2 zur unabhängigen Veränderlichen, so erhält

man

dy FaGi — Fi Ga

dx_F₂Ga — FaG₂

dz    Fi G₂ — F₂ Gi

Man kann die Gleichungen (6.), (7.) und (8.) zusammenfassen in der Formel

(9.) dx: dy : dz — (F₂Ga—FaG₂) : (F₃Gi—FiGa) : (FiG₂—F₂Gi),

(8.)

und

dz    Fi G₂ — F₂ Gi

oder

! F₂Fa ; . FaFi \ . , Ft F2 GiG₂

Übungs - Beispiele für den Gebrauch dieser Formeln finden sich bei den geometrischen Anwendungen in den folgenden Paragraphen.

(9 a.) dx : dy : dz =

! Go Ga

Ga Gi

XIX. Abschnitt.

Anwendungen auf die analytische Geometrie der Ebene und des Raumes.*)

§ 144.

Bestimmung der Tangenten und der Normalebenen bei einer Kurve doppelter Krümmung.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 228 bis 231a.)

Erklärung. Unter einer Kurve doppelter Krümmung versteht man eine Kurve, deren Punkte nicht alle in derselben Ebene liegen.

Im folgenden wird daher der Kürze wegen häufig der Ausdruck „Raumkurve“ statt „Kurve doppelter Krümmung“ gebraucht werden.

Aufgabe 1. Man soll das Bogenelement ds einer Raumkurve bestimmen und die Kosinusse der Winkel a, ß, y berechnen, welche ds mit den positiven Richtungen der Koordinaten-Achsen bildet.

Auflösung. Es seien P und Px zwei benachbarte Punkte auf der Kurve mit den Koordinaten x, g, z bezw.

(1.)

x\ = x + dx, yx — y -f- dy, zx = z -f- dz, wo wieder die Bezeichnungen dx, dy, dz andeuten sollen, daß die Punkte P und Px einander unendlich nahe rücken dürfen.

Legt man jetzt durch die Punkte P und Px Ebenen parallel zu den drei Koordinaten - Ebenen (vergl. Fig. 150), so erhält man ein rechtwinkliges Parallelepipedon mit den Seitenkanten dx, dy, dz und der Diagonale

(2.)

PPX — ds.

Da die Sehne PPi mit dem Bogen PPi znsammenfällt, wenn die Punkte P und P\ einander unendlich nahe rücken, so nennt man ds das „Bogenelement“ und erhält nach bekannten Sätzen aus der Stereometrie (3.) ds¹ = dx¹ -f- dy² + dz².

Fig. 150.

ÆJ

f.

Ferner ergibt sich ohne weiteres aus der Figur, daß

cos« =

dx

dy

(4.)

ds

COSß = ~Y~ i ds

■X

dz

COS y = —

ds

Qi,

ist, wobei a, ß, y die Winkel sind, welche das Bogenelement ds mit den positiven Richtungen der Koordinaten-Achsen bildet.

Aufgabe 2. Eine Raumkurve sei durch die Gleichungen F(x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0 gegeben; man soll im Kurvenpunkte P mit den Koordinaten x, y, z ihre Tangente bestimmen.

Auflösung. Die Gleichungen einer geraden Linie im Raume schreibt man gewöhnlich in der Form

x‘ = mz‘ -)-/«, y‘ — nz‘ -j- v.

Dies seien also auch die Gleichungen der gesuchten Tangente, wobei die laufenden Koordinaten mit x‘, y‘, 2' bezeichnet werden mögen, weil x, y, z die Koordinaten des Berührungspunktes P sind. Damit die Tangente durch diesen Punkt P geht, müssen die Gleichungen

(5.)

(6.)

(7-)

x — mz -f- y, y — nz -(- v

gelten, folglich erhält man für die Tangente die Gleichungen x‘ — x — m{z‘ — z), y‘ — y — n(z‘ — z).

Um noch die Koeffizienten m und n zu bestimmen, beachte man, daß die Tangente auch durch den Kurvenpunkt Pi hindurchgehen muß, welcher dem Punkte P unendlich nahe liegt und deshalb die Koordinaten

x₁ = x -J- dx, y\ y = dy, z\ — z -j- dz

Kiepert, Differential - Rechnung.

(8.)

(9.)

hat. Setzt man diese Werte in die Gleichungen (8.) ein, so erhält man

(10.)

dx — mdz, dy — ndz, oder, indem man durch dz dividiert und Formel Nr. 227 der Tabelle berücksichtigt,

(11.)

dx

F₂Gz — FzG₂

dy    FzG i — F\ Gz

^ ^ _ _____________ ____________ . .

dz F\ G₂ — F₂ Gi Die Tangente im Punkte P hat daher die Gleichungen

dz    Fi Gz — F₂ Gi

(12.)

dx

* — x =    —*)» y‘—y =

dy

dz

oder

(12a.) x‘—x =

F₂G«—FsG2 Fi G₂—F₂ Gi

FtGi—FiGt

(13.)

(z‘-2:).

(z‘—z), y'—y

Gewöhnlich schreibt man diese Gleichungen in der Form

₌ y‘~y ₌ z‘~z

dz

Fi G₂—F₂ Gi

x‘ — x

dx

oder (13 a.)

x‘-X

dy

y‘ — y

F₂ Gs — F\ G₂ P\ Gi — Fi Gz Fi G₂ — F₂ Gi

Aufgabe 3. Man soll die Ebene bestimmen, welche im Kurvenpunkte P mit den Koordinaten x, y, z auf der Kurve senkrecht steht.

Auflösung. Die Gleichung einer Ebene, welche durch den Punkt P hindurchgeht, ist

(14.)

A(x‘ — x) + B{y‘ — y) -j- C(z‘ — z) — 0.

Damit diese Ebene auf einer Geraden

x‘ — mz‘ -j- y, y‘ — nzl -]- v senkrecht steht, muß nach bekannten Sätzen aus der analytischen Geometrie des Baumes

(15.) sein. In dem vorliegenden Falle ist aber die Tangente die Gerade, welche auf der gesuchten Ebene senkrecht stehen soll, folglich gehen die Gleichungen (15.) mit Bücksicht auf die Gleichungen (11.) über in

so daß man für die gesuchte Ebene die Gleichung (x‘ — x)dx -j- (y‘ — y)dy -f- (z‘ — z)dz — 0

(16.)

oder

(16a.)    (P2G3 — F3G2) (x‘ — x) 4- (FsGi

PiG₃) (yJ — y)

+ {FxG* — F₂G₁)(A — z) = 0

erhält. Diese Ebene heißt die „Normalebene“ der Raumkurve im Punkte P.

Eine Kurve nn Raume kann auch durch drei Gleichungen von der Form

(17.)

(15a.)

dx A

dz

dg B

dz

* = /i09 » y = Mf), - = /»(*)

gegeben sein. Auf drei solche Gleichungen wird man z. B. geführt, wenn man aus den Gleichungen (5.) in der früher beschriebenen Weise (Gleichung (2.) und (3.) in § 143) die Gleichungen

(18.)

ableitet, die Funktion x    nach Belieben annimmt (z. B.

x = t macht) und diesen Wert von x in die Gleichungen (18.) einsetzt. Dann kann man die Gleichungen der Tangente im Kurvenpunkte P ohne weiteres auf die Form

x‘ — x

(13 b.)

y‘ — y

z‘ — z

dy

dz

dt

dt

und die Gleichung der Normalebene auf die Form

(16b.)    (*'-*)% + y-y)% + (*-'-*)§ = o

bringen.

§ 145.

Übungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Der Kegel

, y¹    z²

a² b¹    ć¹

schneidet die Kugel

4P

x² + V¹ ~f~ z1 — r² = 0

in einer Eaumkurye; man soll die Tangente und die Normal-ebene dieser Kurve im Punkte P bestimmen.

Auflösung. Hier ist

y²    z²

d2 + J²~7^

(1.)

G — x² -f- y¹ -)- z¹ — r²,

folglich wird

2x

(2.)

also

(3.)

2z

2//

Fs = -

F₂ =

. *1 =

. Gi = 2x, G'i - 2y, G₃ = 2«

a²

£² ’

c² ’

F2G3 — f₃ g 2

F3 Gi — Fi Gz —

b²

4xz    Axz

4 zx

c²

a²

c²a²

(c² -f- a‘²)

4;ry Atxy

4 xy a²b²

Dies gibt nach Formel Nr. 230 der Tabelle für die Tangente die Gleichungen

F1G2 — F2G1 =

b²

(a² — b²).

(4.)

b²c²(x‘ — x)

c²a²(y‘ — y)

a²b²(z‘

yz(b² -j- c²)

z)

zx{c² + a²) »    ■ xy{a² — é²)

oder

(5.)

c²(a² — b²)x [x‘ — x) = — a²(b² c²)z (z‘ — z), c²(a² — è²)y (y' — y) = -f⁻ ó²(c² -f- a²);? (P — 2).

Aus den Gleichungen (3.) folgt sodann nach Formel Nr. 231 der Tabelle für die Normalebene die Gleichung

4 zx c²a²

4 yz

(b²-f-c²)(V—x)—

(c²+a²)(y'—y)-

4 xy aLb²'

;(O²-A%~'-,) = 0,

b²c2 oder

(6.) a²yz(b2Jrc²)(x‘■—#)—b²zx(c²-\-a²)(y‘—y)—c²xy(a²—b²)(z‘-—^)=0, oder

(6 a.)    a²{b² -j- c²)yzx‘ — b²(c² + u²)zxy‘ — c²(a² — b'~)xyz‘ — 0.

Aufgabe 2. Die Schraubenlinie hat die Gleichungen + y¹ — a¹ = 0, y — x tg = 0,

(7-)

oder

x = a COS (p, y = asinp, z = cq>\

man soll die Tangente und die Normalebene im Kurvenpunkte P bestimmen.

Auflösung. Hier ist

F = x¹ 4- y- -— a-

(7 a.)

(8.)

G = y — x tg

folglich wird

F\ — 2x

(9.)

Fi — 2y, F₃ — 0;

(10.) G, = — tg

j G-i — 1, G₃ — —

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (7.) (10 a.) G\ — —^

Dies gibt

Gi — 1, Gz — —

0+0=

a²

cx

F2G3 — FzG-i — —

2a?y

cx

(11.)

F₃G1 — FiGz = +

2 a²x

2 a²

cx

F\ G-i — FiGi — 2x

2 y²

2 d¹

2a-c

cx

Die Gleichungen der Tangente sind daher nach Formel Nr. 230 der Tabelle

oder

cx{x‘ — x) cx(y‘

2dly

2a¹x

y) cx{z‘ — z)

- = -~—«-- ?

2dlc

(12.)

x‘ — X — —

Die Gleichung der Normalebene wird nach Formel Nr. 231 der Tabelle

und nach Formel Nr. 231a der Tabelle für die Gleichung der Normalebene in Übereinstimmung mit Gleichung (13.)

(16.)

— y(x‘ — x) +    — y) + d~—*) = o,

oder

xy‘ — yx‘ -f- c(z‘ — z) — 0.

Dabei ist noch

(17.)

oder

(13.)

oder (13 a.)

2a%y

ca?

(x‘ — a?) -f-

2 a²x

ca?

(V —y) —

2a²c

ca?

(*' — *) = o,

y(a?' — a?) — a?(y' — y) — c(;s' — z) — 0

<7(2' — c) = 0.

ya:' — xy‘

Weit einfacher findet man diese Resultate, wenn man von den Gleichungen (7 a.) ausgeht, aus welchen sich ohne weiteres

(14.)

clx

clz

dy

= — «siny = — y,

= a cos y =

d(f C

ergibt. Deshalb erhält man aus Formel Nr. 230 a der Tabelle für die Gleichungen der Tangente in Übereinstimmung mit den Gleichungen (12.)

dtp

dip

(15.)

x‘ — a?

y‘ — V

z‘ — z

ds² — dx² -f- dy² -f- dz² = (a² -)- c²)d(p²,

also

COS« =

dx

a sin y

ds

(18.)

Y a² -f- c²

cos/ÿ =    =    ___ »

ds    jTa¹ -f- c²

a cos y

dz

y a² + c²

Der Winkel y, d. h. die Neigung der Tange7ite gegen die Z-Achse ist konstant Deshalb ist auch die Neigung der Tangente gegen die X Y- Ebene konstant.

Aufgabe 3. Die Kugel

(19.)

X² _j_ y¹ -j- z²-a² — 0

wird von dem Zylinder

F₂G% — F-iGi = — 4 yz,

(23.)

(20.)

x² — ax Ą- y² — 0

durchbohrt; man soll die Tangente und die Normalebene der Schnittkurve im Punkte P mit den Koordinaten x, y, z bestimmen. Auflösung. Hier ist

F = x² -f- y¹ + z² — ci²,

(21.)

G — x² — ax -f- y²,

folglich wird

(22.)

j' F\ = 2x,

} Gi = 2x — a,

F₂ = G₂ =

r co a

Cb

= 2z

= 0,

also

F₃Gt — FXGS = 4 xz — 2 az,

F\G₂ — F₂Gx = 4 xy — 4 xy + 2 y a — 2 ay; dies gibt nach Formel Nr. 230 der Tabelle für die Tangente die Gleichungen

(24.)

x‘-X

y‘ — y

z‘-Z

oder

— 2 yz    z(2x — a)

ay

(25.)

j a{x‘ — x) = — 2 z{z‘ — z),

l av(y‘ — y)= i2x — aHz‘ —z)-

Hie Gleichung der Normalebene wird nach Formel Nr. 231 der Tabelle

2 yzx‘ — (2x — a)zy‘ — ayz‘ = 0.

Noch einfacher findet man diese Resultate, wenn man

* = |(1 + COS (f>) =

setzt; dann folgt aus Gleichung (20.)

(26.) 2 yz{x‘ — x) — (2x — a)z(yi — y) — ay{z‘ — z) = 0, oder (26 a.)

«COS²

(27.)

(28.)

sin (f = a sin

(IMf)

und aus Gleichung (19.)

(29.)

£ == a sin

S- KM

Dadurch erhält man

(30.)

dx

a .

-smçp

du a

3ÿ- 2COS4P’

dz

cos

dcp

Dies gibt nach Formel Nr. 230 a der Tabelle in Übereinstimmung mit den Gleichungen (24.) für die Tangente die Gleichungen

d(f

(31.)

x — x y — y

sin<p

COS (f

cos

(I)

Für die Normalebene findet man in Übereinstimmung mit Gleichung (26.) nach Formel Nr. 231a der Tabelle die Gleichung

(32.) — sin (p{x‘ — x) -f- cos (p(y‘ — y) -f- cos ^0 (P — z) = x‘ń\\(p + y‘ cos cp + z‘ cos(^0 = 0.

0,

oder (32 a.)

§ 146.

Schmiegungsebene, Hauptnormale und Binormale.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 232 bis 236.)

Jede Ebene, welche durch die Tangente der Raumkurve im Punkte P gelegt werden kann, ist eine Tangentialebene der Kurve in diesem Punkte. Unter allen diesen unendlich vielen Tangentialebenen gibt es eine, die sich der Kurve im Punkte P am engsten anschmiegt und deshalb „Schmiegungsebene“ genannt wird. Diese Ebene geht nicht nur durch die beiden unendlich nahen Punkte P und Pt der Raumkurve, sondern noch durch einen dritten unendlich nahen Punkt P₂.

Um die Gleichung der Schmiegungsebene zu finden, nehme man an, daß die Raumkurve durch die drei Gleichungen

(1-)

x=M), y=Mt), *=/3Ü) gegeben sei, und betrachte die Kurvenpunkte P, Pi, P₂, welche vden Werten

t, t\ = t -J- Jt, ti — t -p 2dt zugeordnet sind. Dann wird

( )    si=/i(*i), yi=Mk),

( )    ^2==/i(<2), y₂ =/₂(4),

Soll die Ebene mit der Gleichung

-4s' + By‘ + GP + D = 0 durch den Punkt P gehen, so muß

-4z -)- By Cz D — 0

oi co

~2 =fz{h).

sein. Dies gibt

(4.)

y) + C{zf — z) = 0,

— s) + P(y'

wobei P, y‘, z‘ die laufenden Koordinaten sind. Da die Ebene auch durch den Punkt Pi geht, so hätte man ihre Gleichung auch in der Form

(5.)

— *0 + B{y‘ — y\) + c{z‘ — «O = o

schreiben können; außerdem findet man aus Gleichung (4.)

-4(«i — s) + B(y i — y) + C(*i — 2) = 0.

Damit die Ebene aucli durch den Punkt P₂ geht, muß Gleichung (5.) für die Koordinaten dieses Punktes befriedigt werden; man erhält also

A(x₂ — Xi) + B(y₂— iji) + C(z₂ — zt) = 0.

Indem man Gleichung (6.) von Gleichung (7.) abzieht, findet man schließlich noch

(8.) A(x₂ 2xi -j- x) -f- B(y> — 2y± -f «/) -f C(z₂ — 2z\ -f- z) = 0.

Dabei ist nach Formel Nr. 16 der Tabelle

(6.)

(7.)

(9.) lim

= lim

ty — t

und nach Formel Nr. 82 a der Tabelle

ty - t

= lim

At—0

fi(t + Jt) —fi(t) dx

Jt

dt

(10.) lim —

— 2xi -f- x

ty=t

{ti — tf

fi(x + 2 Jt) — 2fj{x + Jt) Jrfi{t) d²x

= lim

Jt=0

Klicken also die 3 Punkte P, Pi, P₂ auf der Raumkurve einander unendlich nahe, indem Jt verschwindend klein wird, so muß man die Größen xx — x, yi — y, zt — 2 bezw. durch dy, dz und die Größen x₂— 2x\-\-x, y₂ — 2yi + y,

AP

dt²

dx

£2 — 2zt p z bezw. durch <Px, d²y, d²z ersetzen. Die Gleichungen (6.) und (8.) gehen dadurch über in Adx + Bdy -j- Cdz — 0,

Ad‘²x -f- Bd-y -(- Cd²z = 0.

Daraus findet man

(HO

(12.)

A    dyd²z — dzd-y    B    dzdP-x — dxd-z

C    dxd-y—dycPx' C    dxdhy — dyd²x

Setzt man also

dyd²z — dzdhy — P, ¹) dzd²x — dxd²z = Q, dxd²y — dyd²x = R,

so kann mau

(13.)

(14.)

A = P, B = Q, C = R setzen und findet für die Schmiegungsebene die Gleichung P{x‘ — x) -f- Q(y‘ — y)    — z) — 0.

Die Gerade, in welcher die Normalebene von der Schmiegungsebene geschnitten wird, heißt „Hauptnormale“ ; ihre Glei chungen sind also

(x‘ — x)dx -{- (1/ — y)dy -j- (z¹ — z)dz = 0, P(x‘ — x) + Q(y‘ — y) -f R{z‘—z) = 0, oder, wenn man y‘ — y, bezw. x‘ — x eliminiert, t    Rdy — Qdz

X ~X = Qdx—Pdy Pdz — Rdx Qdx — Pdy

(15.)

(16.)

y‘—y =

( - — ■- ) •

oder

(17.)

x‘ — x

v‘ — y

Pdz — Rdx Qdx — Pdy

Rdy — Qdz

Die Gerade, welche auf der Schmiegungsebene im Punkte P senkrecht steht, heißt „Binormale“; ihre Gleichungen haben die Form

§ 146. Schmiegungsebene, Hauptnormale und Binormale. x‘ — x — m(z‘ — z),

y' — y = n(z> —z),

wobei bekanntlich

fei fe

71 =

fe ©

sein muß; dies gibt

x‘ — x —

(18.)

fei fe

(z‘ —z), y‘—y =

fel£>

(z‘ —z),

oder

(19.)

x‘-X

y‘ — y_

z‘ — z

Es seien wieder a, ß, y die Winkel, welche die Tangente im Kurvenpunkte P mit den positiven Richtungen der Koordinaten-Achsen bildet, dann ist nach Formel Nr. 229 der Tabelle

cosß =

(20.)

dx

COS a — ~r j ds

dy

dz

cos,^-

Mit ß‘, y‘ mögen die Winkel bezeichnet werden, welche die Binormale mit den positiven Richtungen der Koordinaten-Achsen bildet, dann ist, wenn man

P- + Q² + P² = M²

ds ’

(21.)

setzt.

(22.)

COS«' =

cosß‘ ⁼ M’

COSr‘ M

*) Um die Winkel «, ß, y zu bestimmen, die eine Gerade g mit den Gleichungen

x — mz -J-    , y = nz -)- v

mit den positiven Bichtungen der Koordinaten-Achsen bildet, legt man durch den Nullpunkt die Gerade g‘ parallel zu g ; dann hat g‘ die Gleichungen

x — mz, y = nz.

Ist dann P ein beliebiger Punkt mit den Koordinaten x, y, z auf y‘, und legt man durch P Ebenen parallel zu den Koordinaten -[Ebenen, so findet man aus dem dadurch entstehenden Parallelepipedon, dessen Diagonale OP—r ist,

mz

COS CC = — =    ■■■■ ■. —— — = ..    ----------: . .    ■--2 ,

r    y x² + y² + z²    + ^ + ym«-f»a + l

cos y

y?n² -j- n² -)- 1

yrn¹ —)— n² -f-1

und in ähnlicher Weise cos/S

Mit a“, ß“, y“ mögen die Winkel bezeichnet werden, welche die Hauptnormale mit den positiven Richtungen der Koordinaten-Achsen bildet. Um die Kosinusse dieser Winkel zu berechnen, beachte man, daß aus Gleichung (14.) fürP = x -f dx, y‘ = y + dy, z‘ == z + dz unmittelbar

(23.)

Pdx -f- Qdy -j- Rdz — 0 folgt, und daß mit Rücksicht auf Gleichung (21.)

(24.) (Rdy — Qdz)² -j- (Pdz — Rdx)² -j- (Qdx — Pdy)²

= (P² + Q² + R²)(dx² + dy² + dz²) — (Pdx + Qdy + Rdz)2 = (P² + Q² + R²)ds² = M²ds²

wird. Deshalb findet man ohne weiteres aus den Gleichungen (16.)

COSa" =

Rdy — Qdz

(25.)

Mds

cos/P =

Pdz — Rdx

COS y“ =

Qdx — Pdy

Mds

Mds

¹

Mit T ist außerdem der betrachtete Punkt der Raumkurve bezeichnet worden; die beiden. Bedeutungen von P dürfen nicht mitein- ' ander verwechselt werden.

§ 147.

Krümmungskreis und Kontingenzwinkel, Torsionswinkel und Halbmesser der zweiten Krümmung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 237 bis 239.)

Der Kreis, welcher durch drei unendlich nahe Punkte P, Pi, P₂ der Raumkurve hindurchgeht, wird auch hier „Krümmungskreis“ genannt.

(1-)

Die Gleichungen eines Kreises im Raume sind bekanntlich A(x'-§) + B(y‘ — v)+ C(z‘— l) = 0,

(2.)

(x‘ — £)² + (y‘ — yf + (P — £)² — o¹ = o, wobei Gleichung (1.) die Ebene des Kreises darstellt; dann ist Gleichung (2.) die Gleichung einer Kugel mit dem Halbmesser q, deren Mittelpunkt M die Koordinaten £, y, 'Ç hat. Der Krümmungskreis hat ebenfalls den Mittelpunkt M und den Halbmesser q.

Da die Ebene des Kreises mit der Schmiegungsebene, welche durch die 3 unendlich nahen Punkte P, Pi, P₂ hindurchgeht, zusammenfällt, so wird

A = P, B = Q, C=R, so daß Gleichung (1.) übergeht in

p& — §) + Q{y‘ — y) + R{z‘ — t) = o.

Damit die Kugel durch die drei Punkte P, Px, P> hindurchgeht, müssen die Gleichungen

befriedigt werden. Indem man die Gleichungen (4.) und (5.) bezw. von den Gleichungen (5.) und (6.) abzieht, erhält man

(7.) (.Xi² — X²)— 2g (zt

+ (*/i² — */²) — 2?/ (</i — y) + (2i² — -²) — 2C(^1—-) = o,

(8.) (x₂² — x^) — 2 g(x₂ — x,)

+ (i/2² — yf) — 2 t](y₂ — yf + O2² — ^î²) — 2g(z₂—~i) = 0.

Dividiert man Gleichung (7.) durch tt — t und Gleichung (8.) durch U — h, so folgt hieraus

Xj —

k —

(3.)

x)

j + (yi + y — 27)

(zi -\- z 2g) —

+ (2/2 + 2/i — 2ÿ)

+ (~2 + *1    2 g) —

Indem man jetzt noch Gleichung (9.) von Gleichung (10.) abzieht und beachtet, daß

(x₂ -j- X\    2$) —

(9.)    (*! + a; — 2g)

(10.) (^2 + ^1

²»t

y-i — !P

— Zl

— *1

— = 0.

T~ = (p + «1 — 2g)

+ («2 + «1 — 2g)

ti — t

ist, so findet man

(11.)

(x₂ — x)

ti —

+ (y 2 — y)

x , , ,    ^c\(X 2

f+

ti —

+ (z2 — z)

zi

ti — t

+ (z2 + zi 2c) ^

Zi Zi

t\ — t

Aus den Gleichungen (9.) und (11.) folgt daher, wenn man Gleichung (11.) noch durch 2 dt dividiert und die Gleichungen

dx

x₁ — X

lim —--- =    >

ti=t t\ — t dt

lim(l

At—0\^2

— xi

Xi —

t\ —

(vergl. § 146, Gl. (9.) und (14.)) beachtet,

1

t ) dt

ddx

dt'¹

(12.)

dx

dij

dz

⁽¹³-) (ft)+(x—?) % + (y—n)

dhy

dp

d'²z

+~ °-

Schneller kommt man zu diesen Gleichungen, wenn man die früher entwickelten Regeln der Differentiation anwendet. Setzt man nämlich

(14.) F(x, y, z) == (x — §)² + (y — yf + (s — £)² — Q² = 0, so sind x, y, z und deshalb auch F(x, y, z) noch Funktionen von t. Bezeichnet man daher F(x, y, z) mit G(t). so gelten die drei Gleichungen

F(x, y, z) = G(t) = 0, F(xh yh zi) = G(k) = 0,

F(x2, y2, Z₂) = G(G) = 0,

G(t₂) — G(tj)_G(tj) — G(t) ₀

t₂ ■—-1\    t\ — t

0 und

weil die Kugel durch die drei Punkte P, Pi, P₂ hindurchgeht. Deshalb gelten auch die Gleichungen G(tj) — G(t) _

ti — t ~~

oder, wenn

ti — t = t₂ — h = dt

verschwindend klein wird, und deshalb die drei Punkte P, Pi und P₂ einander unendlich nahe rücken,

dG(t)

⁽¹⁵-)

dF(x, y, z)

dt

= 0 und

d²G _d*F(x, y,z)

dt²

dt'¹

d²z

+ ²⁽*~ - °’

oder

(16.)    (x — '£)dx -j- (y — y)dy + [z — "Ç)dz = 0,

(17.) (x — $)d²x -J- (y — y)d²y -f- (z — Ç)d²z -j- da² = 0.

Eliminiert man aus diesen Gleichungen x — , so erhält

man

(18.)

R(y — y) — <3(2; — t) + dxda² = ü

und in ähnlicher Weise

(19.)

P(z—t) — R(x— I) + dyds² =    ,

(20.)

Dies gibt in Übereinstimmung mit den Gleichungen (12.)

und (13.)

dx

dy

dz

+ 2(y    1) j7 + ²(* i) dt

= 0,

+ 2 (y — y)

d2y

dt²

Q(x — £) — P(y — y) -j- dz ds² =

Da die Schmiegungsebene ebenfalls durch den Punkt P hindurchgeht, so wird

(21.)

P{x — £) + Q(y — y) + R{z — £) = 0

folglich ist

(22.)

(P² -\- Q- R²){x — £) = (Rdy — Qdz)ds¹, (P² -L- Q² -f- R²)(y — y) — (Pdz — Rdx)ds², (P² + CP + R²){z — t) = (Qdx— Pdy)ds².

Bezeichnet man also P² + Q² + R- wieder mit M², so findet man

(23.)

\*

(Rdy — Qdz)da²

M²

(Pdz — Rdx)da²

’ =—w--’

( Qdx — Pdy)ds²

M²

folglich wird mit Rücksicht auf Gleichung (24.) in § 146

(24.) q² = (r — $)² + (y — yf + (« — £)² = oder

MW ⁶

Mi (25.)

Nun ist aber nach Formel Nr. 1 der Tabelle

oder lim sin 2 = lim 2,

lim

In dieser Formel ist auch der Ausdruck für den Krümmungshalbmesser o bei einer ebenen Kurve als besonderer Fall enthalten; denn bei einer ebenen Kurve wird

2 = 0, also auch dz = 0, d^z = 0,

deshalb werden auch P und Q gleich Null und Gleichung (25.) geht über in

d\'

= dz

ds³

dxd-y — dyd'lx

Den Wert von o, auf den es besonders ankommt, kann man auch fiir Kaumkurven mit Hilfe des Kontingenzwinkels de finden, den zwei unendlich nahe Tangenten miteinander bilden. Es seien wieder a, ß, y die Winkel, welche die Tangente im Kurvenpunkte P mit den positiven Richtungen der Koordinaten-Achsen bildet. Diese Winkel mögen in « + da, ß -j- dß, y -j- dy übergehen, wenn t in t -f dt übergeht. Um den Winkel de zu berechnen, lege man durch den Nullpunkt zwei Gerade OT und OTx von der Länge 1, die zu den beiden Tangenten parallel sind und deshalb ebenfalls den Winkel de miteinander bilden (Fig. 151). Dann hat T die Koordinaten cos«, cos/i, cos/, und Tt hat die Koordinaten

Fig. 151.

.L

0'

cos(</ ■[■ du) — cos« -j- d(cosu), (26.) < cos(ß + dß) — cosß -f- d(cosß),

. COS(^ + dy) = COS y -f- ö^(cos^).

Deshalb wird

TTi = Koos«}]² + KcosĄ]² + Kcos/)]².

Halbiert man jetzt den Winkel TO 7) = de durch die Gerade OL, so wird

(27.)

sin

§)-

TL

OT

sin 2 _

„ ~ U :=0 z

§ 147. Krümmungskreis, Kontingenzwinkel, Torsionswinkel. 657

folglich wird, da hier de ein verschwindend kleiner Winkel ist,

(29.)

2 sin

(t)-

de — TTi,

also

(30.)

Dabei ist

(31.)

de² = [c/(cos a)]² -f [d(cosß)]² + [t/(cos/)]².

</(cos «j = d('^ß) = rf(cos« = rf(^) = g(c°sr) = rf(|) =

dsd²x — dxd²s

ds²

dsd²y -— dyd²s

<&²

Ans

<fs² = dx² -(- dy² -f dz²

folgt sodann durch Differentiation

dsd²s = dxd²x A dyd²y -f- dzd²z

(32.)

also

ds(dsd²x — dxd²s) = dxld²x -f- dy²d²x -f- dz²d ²x

— dx²d²x — dxdyd²y — dxdzd²z = — dy(dxd²y— dyd²x) -f- dz{dzd²x—dxd²z),

oder

(33.)

ds(dsd²x — dxd²s) — Qdz — Rdy,

und dem entsprechend

ds(dsd²y — dyd²s) — Rdx — Pdz, ds(dsd²z — dzd²s) — Pdy — Qdx.

Deshalb geht Gleichung (30.) über in ds⁶ . de² = (Qdz — Rdy)² -}- (Rdx — Pdz)² -)- (Pdy — Qdx)²

= (P²+ Q²+R²) (dx² + dy² + dz²) — (Pdz + Qdy+Rdzf = M²ds²,

(34.)

(35.)

also

(36.)

de

ds

ds³

| H-»

42

Kiepert, Differential-Kechnung

Diesen Ausdruck nennt man die erste Krümmung’, während

de'

man unter der zweiten Krümmung die Größe versteht, wobei der „ Torsionswinkel“ de' der unendlich kleine Winkel ist, den zwei aufeinander folgende Schmiegungsebenen miteinander bilden. Da die Binormale auf der Schmiegungsebene senkrecht steht, so kann man de' auch als den Winkel erklären, den zwei aufeinander folgende Binormalen miteinander bilden. Nun seien wieder a‘, ß‘, y' die Winkel, welche die Binormale im Kurvenpunkte P mit den positiven Richtungen der Koordinaten-Achsen bildet. Diese Winkel mögen in «' -f du', ß‘ -j- dß', y' + dy‘ übergehen, wenn t in t -f- dt übergeht. Um den Torsionswinkel de' zu berechnen, legt man jetzt wieder durch den Nullpunkt

Fig. 152.

Bi

Hl

die beiden Geraden OB und OBx von der Länge 1, die zu den beiden Binormalen parallel sind und deshalb ebenfalls den Winkel de' miteinander bilden (Fig. 152). Der Punkt B hat dann die Koordinaten

•o

(37.) cos«' =

cos/?' =

cosr' = M

und Bx hat die Koordinaten

COS(ts' -j-    da‘)    =    cos a‘    -f c/(cOS «'),

(38.)

s. COS(/?' +    dß‘)    —    COS/?'    + d{COS/?'),

( COs(D +    dy‘)    =    COS y‘    + d(COS y‘).

Deshalb wird

BBi¹ = [d(cosa')f + [g?(cos/?')]² + [^(cosF)]²-Halbiert man jetzt den Winkel BOBx = de' durch die Gerade OH, so wird

(39.)

sin

BH

OB

hier sin^

da man aber auch erhält man de' = BBX, also

')

mit

t® ft?

vertauschen darf, so

(dd)² = [^(C0Sa')]² + [ć/(cOS/¥')J² + [^(COS/')]². Dabei ist

(40.)

also

d(cos «') -

MdP— PdM

M²

d{c,OSy‘) ==

»    ^(cos/?') =

MdR — RdM

MdQ — QdM

M²

iW²

(41.) Jf⁴(^e')²

= {MdP— PdM)² + {MdQ — QdM)² + (ilftfP — RdM)2 = M\dP² + ^Q² + <£ß²) + (P² -f Q² + R²){dM)2 — 2MdM{PdP -j- QdQ + RdR).

Nun ist

M² = P² + Q² + P², also iWilf = PdP + QdQ + RdR, folglich wird (42.) M\ds‘f

= M\dP² + dQ² + dR²) — M\dM)2 = (P² + Q²+R²){dP²+dQ²+ dR²)—{PdP+ QdQ+RdR)2 = {QdR — RdQ)² + {RdP— PdR)² + (PJQ — QdP)². Dabei ist

P = dyd²z — dzd²y, Q — dzd²x — dxd²z, R = dxd²y—dyd²x, dP — dydhz — dzd³y, dQ — dzd³x — dxdhz, dR = dxd³y—dyd³x, QdR — RdQ = dx{Pd³x + Qdsy + Rdhz),

(43.)

RdP— PdR = dy{ Pdhx -j- Qd³y -f- Rd³z),

PdQ — QdP = dz {Pd³x + Qdhy + RdQ).

Deshalb geht Gleichung (42.) über in

M\dt‘)² = ds²{Pd³x + Qdhy + Rdsz)² ,

und man erhält

(44.)

de' Pd³x 4- Qdhy + Rdhz P² + Q² + R²

ds

Die Kurve ist eben, wenn

(45.)

Pd³x 4- Qd³y -4 Rd³z — 0

ist. Setzt man

§ 148.

Die Schmiegungskugel.

(Yergl. die Formel - Tabelle Nr. 240.)

Durch vier aufeinander folgende Punkte P, P1} P₂, P₃ der Raumkurve kann man eine Kugel legen, welche die, Schmiegungskugel“ genannt wird und die Gleichung

(1.)

(x‘ — g')² + (y‘ — r/)² -f- (z‘ — £')² — r² = 0

haben möge. Um die vier Größen £', «/', £', r zu ermitteln, beachte man, daß Gleichung (1.) für die Koordinaten der Punkte P, Pi, P₂, P₃ befriedigt werden muß; d. h. es gelten nach den Ausführungen im vorhergehenden Paragraphen die Gleichungen

(2.) F(x, y, z) = {x— §')² + (y — ^')² + (z — £')² — r² = 0, (3.) dF(x, y, 2) = 2[(a: —    + (y — *f)dV + («— £')d*] = 0,

(4.) d²F(x, y, z) =

2[(x— %‘)d²x -f- {y—v‘)d‘²y + (z — V)d²z -f- ds²¹\ = 0,

(5.) dsF(x, y, z) =

2[{x—Q)d³x -j- (ij— r[)d³y -f- (z—t‘)dzz -)- 3dsd²s\ = 0.

Multipliziert man Gleichung (3.) mit d²yd³z— d²zd'y, Gleichung (4.) mit dhydz—d³zdy und Gleichung (5.) mit dyd²z — dzd²y, so ergibt sich durch Addition dieser drei Gleichungen (6.) (x — ‘§')(Pd³x -f- Qd³y + Pd³z) -f- (dhydz — d³zdy)ds²

-f- 3 Pdsd²s — 0,

oder

(7.)

dd

P² H- Q² + R2 Pd³x -j-    -j- Pc/³~

so heißt o' der Halbmesser der zweiten Krümmung⁻.

<⁴⁶-) *

i also

ds² . dP— 3Pdsd²s Pd³x -f- Qd³y -j- Rd³z ’

und in ähnlicher Weise findet man

(8.)

y — y' =

ds² . dQ — 3 Qdsd²s Pd³x -j- Qd³y -)- Rd³z ’

c/ó'² . c/P — 3 Rdsd²s

z — £' =

(9.)

Pc/³# -f- Qc/³// -(- Pc/³2

Daraus folgt

(10.) (Pc/³# -j- Qdhj Rd³z)²r² = (ds². dP— 3 Pdsd²s)²

-f- (ds² . c/Q — 3 QdstPs)² -f- (ds² . dH — 3 Rdsd²s)². Diesen Ausdruck kann man noch auf eine etwas einfachere Form bringen. Es war nämlich

ds³

cos «' = m und q =

folglich ist

cos«' _ P q ds3 deshalb geht Gleichung (10.) über in

(11.)

ds² . dP— SPdscPs

ds⁵

ds¹⁰

(Pc/³# -f- Qc/³?/ + Rdzf

(12.) r² =

Ferner ist

also

(13.)

ds³

ir

M²

^    Pc/³# —|— QcPy -f- Hd³z

C/ó⁶

Pc/³# -f- Qc/³y + Pc/³2 ’ çd(cos«') — cos«'. c/{>

folglich wird

O²

= ç>²{[c/(cos«')]² + [c/(cos ß‘)]² + [c/(cos/')]²}

-—2^c/ç>[cos«'c/(cos«') + cosß‘d(cosß‘) + cos/'c/(cos/')] + dq²{ COS²«' + COS²/?' + COsV).

de'

ds

Nun ist aber nach Formel Nr. 239 der Tabelle (15.) [c/(C0S«')]² + (//(cos/?')]² + [c/(C0S/')]² = (c/ć')², und außerdem ist

(16.)

cos²«' -f- cos²/?' + cos²/' == 1,

also

cos «yc/(cos u‘) + cosß‘d(cosß') + cos yW(cos 4) = 0, folglicli geht Gleichung (14.) über in

= Q²(de‘)² + dQ² = Qjds² + dq².

Mit Rücksicht auf die Gleichungen (13.) und (17.) findet man daher aus Gleichung (12.)

also

(18.)

§ 149.

Übungs-Aufgaben.

chungen

Aufgabe 1. Man soll für die Schraubenlinie mit den Glei

(1.)

x — acoscf, y = asin</’, z = ccp die Schmiegungsebene, die Hauptnormale, die Binormale, den Krümmungskreis, den Halbmesser der zweiten Krümmung und die Schmiegungskugel bestimmen.

Auflösung. Aus den Gleichungen (1.) folgt

dy — a COS (fd(f,

dz — cd(f

(2.) dx — — asincpdcp,

(3.) d²x — — a cos (fdq?, d²y = — a sin rpdcp², d²z = 0, (4.) d³x = + ashupdcp³, d³y = — a COS (fd(p³, dh = 0; folglich wird

(5.)

(6.)

oo

ds² — dx¹ -f- dy¹ -j- dz¹ — (a² -|- c²)d(f>², P = dyd²z — dzd²y — ac sin (pdcp³,

' Q = dzd²x— dxd²z — — acC0S(fd(p³, . JR, = dxd²y — dyd²x — a²d(p³,

M² = P² + Q² + R² = a\a² + c²)dcp\ Pd³x -f- Qd³y -(- JRd³z — a²cd(pe,

' Rdy — Qdz — a(a² -f- c²)C0Scpdcpi,

Pdz — Rdx = a(a² -\- c²) sin cpdcp⁴,

. Qdx — Pdij = 0.

Die Schmiegungsebene hat daher die Gleichung acsin cp{x‘ — x) — ac cos cp(y' — y) +    — z) — 0 >

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (1.)

cy(x‘ — x) — cx{y‘ — y) -f- «²(z‘ — z) = 0,

(9.)

oder

(10.)

c(yx‘ — xy‘)    a\z‘ — z) = 0.

Die Hauptnormale hat daher nach Formel Nr. 233 der Tabelle die Gleichungen x‘ — x

y‘ — y

Z' —2=0,

oder

(11.)

yx‘ — xy‘ — 0, z‘ — z — 0 ; d. h. die Hauptnormale geht stets durch die Achse der Schrauben-linie und ist parallel zur XY-Ebene.

Dieser Satz wird auch bestätigt durch die Berechnung der Winkel ß“, y“, welche die Hauptnormale mit den positiven Richtungen der Koordinaten-Achsen bildet, denn es wird Rdy — Qdz a{a? -)- c²) cos cp a(ci² -j- c²)

cos«" =

Mds

= COS cp

(12.) cos/*"

Pdz— Bdx

Mds

a{a² -f- c¹) sin<p _niin

⁼    a(a² + c²)    ~ Sm(f

COS y“ —

Qdx — Pdy

Mds

y‘—y

x‘-X

ac siny) — ac cos cp

Die Binormale hat nach Formel Nr. 234 der Tabelle die Gleichung

oder

z‘ — 2 a²

Die Winkel ß‘, y\ die sie mit den Koordinaten-Achsen bildet, werden bestimmt durch die Gleichungen

(13.)

x‘-X

y‘ — y

cy

cx

ry

(14.)

COS a‘ =    5

M a]/ a² -j- c2 Q    ex

M a y a? -)- c²

COS/?' =

cos y‘ = — =

J/

]/a² -|- c²

Der Winkel / ist also konstant, d. h. die Neigung der Binormale gegen die Z-Achse und deshalb auch gegen die X Y-Ebene ist konstant.

Ferner ist

(15.)

(a² X c²) Y a² + c2 a]/a² -f- c²

Per Halbmesser der ersten Krümmung ist also konstant.

Daraus folgt

ds³

= dr

= -j-

a² -f- c²

(16.)

^ = 0 und deshalb auch

d(f

rfp = o.

ds

Auch der Halbmesser der zweiten Krümmung ist konstant,

denn es wird

(17.)    =

Endlich ist

a²(a² -f- c²)    a² -j- c²

Pdsx -(- Qd³y -j- lld³z

a²c

also

(18.)

a² -f- c²

Die Schmiegung skugel hat denselben Halbmesser und deshalb auch denselben Mittelpunkt wie der Krümmungskreis.

Dies gibt nach Formel Nr. 237 der Tabelle (Rdy— Qdz)ds2 x    M²

(Pdz — Rclx)ds2 V    M²

(Qdx — Pdy)ds²

= a COS (f —

asin</> —

(a² -f- c²)²a COS (f a²(a² -f- e²)

(a² + c²)²a sin«p

a²(a² -j- c²)

M²

= c(p,

oder

— sinçp, £' = £ = a

(19.) g' = g =

71er Mittelpunkt der Schmiegungskugel, der mit dem Mittelpunkt des Krümmungskreises zusammenfallt, beschreibt also wieder eine Schraubenlinie, die aus der ursprünglichen entsteht,

vertauscht.

Aufgabe 2. Man soll für die Raiimktirve dritten Grades mit den Gleichungen

COS (p

C(f .

indem man a mit —

(20.)

ft

die beiden Krümmungshalbmesser, den Halbmesser der Schmiegungskugel und die Krümmungsmittelpunktskurve ermitteln.

Auflösung. Hier ist

K) bä M

dx =    dt,    dy -    tdt,    dz — ft dt,

d²x —    0,    cfty =    dft,    cftz = 2&7Ż²,

<7³r —    0,    <7³?/    =    0,    #2 = 2dft,

folglich wird

(24.) •

(25.)

ds² — dx¹ -f- dy¹ + dz² — [ft + ft -f- l)dft, P — ft dft.

(26.)

(27.)

(28.)

R = dft,

M² = P² + Q² + R² = (Ć⁴ + 4*? _j_ -f- Q<7³?/ -j- 72(/³0 — 2c^⁶,

' Rdy — Qdz = (2 ft -j- ^)^⁴,

/ćcfo; — (ft —-1)<7^⁴,

Qdx — Pdy — (— ft — 2 t)dft.

Q = — 2tdft.

Pdz

Dies gibt

(29.) o² =

cfo⁶_(^⁴ + ^²+ l)³

~Mft *⁴ + 4*²+l ’ ?

31²

Pd:ix -j- Qcfty -j- Rd³z

(/⁴+^²+i)yftfftf l Vftf Wf i

(ft + M ²+l),

H iCQ

2Q dt

dg _ 2(ft + ft+ l)²t(3ft + 21ft + 12ft—l)

(ft + 3ft + l)²

/dfft

\dt)

(ft + ft + l)ft(3ft + 2lftfl2t² — l)²

(ft + \ft + 1);

('• ± t¹ + iy<

^»2

t⁴ + 4^+1

(Ï⁴ 4- 4£² + l)²^² (4t⁶ + 2H⁴ + 12/² — l)²

oder

(31.) r² =

Schließlich wird

(Pult/ — Qdz)ds2 ^ =    J/2

4(*⁴ + 4t² + l)³

4 {t⁴ + *² + l)³ + ć²(4ć⁶ + 21t⁴ + 12t² — l)2 4(/⁴ i- 4 tr -|- 1)

{2P + t)(t⁴ + t² + 1)

*⁴ + 4^+1

* — £ =

folglich wird

(32.) ? =

2^⁵ +    „    — 2^⁸ — $ + 4/⁴ + 31² + 2

t⁴ + 4*² + 1    ’ V ~    2 (t⁴ + 4(² -f- 1)

(Pcfe — Pdx)ds2 2/-^ =-------

(Qtfe —- Pdy)ds²

M²

— 2Ć⁷ — (t⁴ — l)(t⁴ + t² + l)

t⁴ + 4^² + 1

(/³ + 2ć)(<⁴ + *² + 1)

t⁴ + 4£² + 1

4*⁷ + 13*⁵ + 10Ć³ + 6^

3 (t⁴ + 4^² • ; 1)

Aufgabe 3. Man soll von der sphärischen Lemniskcm mit den Gleichungen

(33.) x² -J- y² + 2² — a² = 0 und x² -f- y² — ax — 0

Fig. 153.

die Schmiegungsebene, die beiden Krümmungshalbmesser und den Halbmesser der Schmiegungskugel ermitteln.

P,

■x

Auflösung. Setzt man hier wieder wie in § 145

|(l + cos9>),

(34.)

a .

2 smy,

z = «sin (    ) > oder, wenn man y = 2t setzt, so findet man (35.) dx —— asm(2t)dt, dy — «cos(2/)ć//, dz = a cos/cf/,

(36.) d²x =— 2acos(2t)dt², d²y = — 2asin(2/)cft², d²z =— asin/d/², (37.) d³x — + 4«sin(2/)c//³, d³y =—4acos(2/)c//³, d³z =—acos/c//³, folglich wird

(38.)

(34a.) « = —[! + cos(2?!)] = a cos²/, y =

io a

sin (2/), 2 = asin/,

ds² — dx² -j- dy² -f- dz² = a²( 1 -\- C0S²t)dt²,

P = a²[—cos(2/)sin/+2sin(2/)cos/]<i/³ = a²sin/(l+2cos²/)o?/³, (39.) Q = d²[—2cos(2/) cos/—sin(2/) sint\dt³ = — 2a²cos³/c//³,

Pi = 2a²[sin²(2/) -j- cos²(2/)]t//³ = 2 a²dt³,

(    )    M‘² = P² + Q² + R² = a⁴( 5 + 3 COS ²t)dt⁶,

(    )    Pd³x -j- Qd³y -(- Rd³z — 6 a³ COS tdt⁶.

Dies gibt für die Gleichung der Schmiegungsebene (42.) {x‘ — x) sin /(I + 2 cos²/) — 2(y‘ — y) cos³t -j- 2(z‘ — z) = 0. Aus den Gleichungen (34.) und (34a.) folgt aber

(43.) (44.) y² — ax — x² — (a — x)x, z² — a² — x² — y² = a{a — x), folglich geht Gleichung (42.) über in

(45.) (x‘—x)z²(a-j~2x) — 2(y‘—y)axy-\-2a²z(z‘—z) — 0.

Dabei ist aber

— xz²(a -)- 2x) -|- 2axy² — 2a²z² = a\x — a) (x -f- 2a), folglich hat die Schmiegungsebene die Gleichung (46.) (x—a)(2x -J- a)xJ-j~ 2xyy‘—2azz‘ — a{x— a)(x + 2a) — 0. Ferner ist

(47.)

Q²

also

ds⁶ a²(l + COS²/)³    (a + x)³

⁼ M² = 5 + 3 COS²/ ⁼ 5 a + 3x

(48.)

(« + xjp a + x

(49.)

dg

Q~dt~

]/5a + 3x 6a² sin / cos/(I + cos²/)² (2 + cos²/) (5 + 3 cos²/)²

r — a.

(52.)

Dieses Besultat war zu erwarten, denn nach den Gleichungen (33.) geht ja die Kugel mit dem Halbmesser a durch alle Punkte der Kurve hindurch.

§ 150.

Tangenten, Tangentialebenen und Normalen an eine beliebige krumme Fläche.

(Vergl. die Formel-Tabelle -Nr. 241 bis 243.)

(1.)

Eine gerade Linie heißt eine Tangente der Fläche F(x, y, z) = 0 oder z = f(x, y), wenn sie durch zwei unendlich nahe Punkte der Fläche hindurchgeht.

Aufgabe 1. Man soll die Bedingungen finden, unter denen die Gerade

(2.)

x‘ = mz‘ + g, y‘ — nz‘ + v

die Fläche

(50.)

W{A² 36 sin²£cos²£(2 + cos²?!)²

\ds)

(5 + 3cos²+

(51.) e' =

^»2

oder

Pcßx + Q,dhj + Rd:iz

₌ „2 , g2(x +cos2*)3 ^ ^ s \ds) 5 + 3cos²?!

a( 5 + 3 cos²?!)    (5a + 3 x)z

6 cos?!

a² sin²/ (2 + cos²?!)2 5 + 3 COS²?!

- =/(«» y)

im Flächenpunkte P mit den Koordinaten x, y, z berührt.

Auflösung. Die laufenden Koordinaten der geraden Linie sind mit x‘, y‘, z‘ bezeichnet worden, weil x, y, z die Koordinaten des Berührungspunktes P sind. Damit nun die Gerade durch diesen Berührungspunkt P hindurchgeht, müssen die Gleichungen

x — mz + g, y = nz + v

(3.)

gelten. Daraus folgt

(4.)

x‘ — x — m(z‘ — z),    y‘ — y — n(z‘ — z).

Irgend ein Flächenpunkt P‘, welcher dem Punkte P benachbart ist, hat die Koordinaten

(5.) x‘ = x+dx, y‘ = y+Jy, z‘ =z-\-Jz=f{x+Jx, y+Jy), wobei noch dx und dy ganz beliebig und voneinander unabhängig sind. Damit nun die Gerade auch durch diesen Punkt P‘ hindurchgeht, müssen die Gleichungen

(6.)

dx — mdz und dy — ndz

befriedigt werden.

Läßt man jetzt dx und Jy unendlich klein werden, indem man sie bezw. durch dx und dy ersetzt, so rückt der Punkt P‘ dem Punkte P unendlich nahe. Dann wird auch dz unendlich klein, und zwar geht dz über in

(7.)

dz =

dz

dz

mdx +

Dadurch nehmen die Gleichungen (6.) die Form an

dy

dy.

dx

(8.)

= m dx -f- dy) ■> dy = nÇ l)dx -j-

Dies gibt

dz

dz

dz

dx

dx -j-

dz

dy

dy) •

dy = o,

l)dy — 0.

dz

Multipliziert man Gleichung (8.) mit n~Qx^ Gleichung (9.) dz

mit 1 —    so erhält man durch Addition und Fortlassung

dx

des Faktors dy

(9.)

dx

m =

dy

n~dxĄ-{n

dz

dy

dz , dz öz + nSy~1 Ist diese Bedingung erfüllt, so geht die Gerade x‘ — x = m{z‘ — z), y‘ — y — n(z‘ — z) durch zwei unendlich nahe Punkte der Fläche, d. h. sie ist eine

(10.)

= 0.

Tangente derselben.

Wenn die Gleichung der Fläche in der Form F(x, y, z) = 0

gegeben ist, so erhält man nach Formel Nr. 226 der Tabelle

Aufgabe 2. Die Gleichung einer krummen Fläche sei wieder F(x, y, z) = 0, oder 2 =^/0, y)\ man soll den geometrischen Ort aller Tangenten im Flächenpunkte P mit den Koordinaten x, y, z bestimmen.

(13.)

(11.)

dz

P₂

(12.)

_F\ dz dx Fs ’ dy Deshalb geht Gleichung (10.) über in Fxm -f- F₂n + P₃ = 0.

Fs

Auflösung. Da in Aufgabe 1 die Größen dx und dy voneinander unabhängig sind, so gibt es unendlich viele Tangenten der Fläche im Punkte P. Davon kann man sich auch dadurch überzeugen, daß man in den Gleichungen (10.) und (12.) den Wert von m noch beliebig annehmen und dann den Wert von n aus dieser Gleichung berechnen kann. Es wird nämlich

dz

1 — rn —

(14.)

öx

Ftm -f- F₃

dz

F₂

dy

Setzt man diesen Wert von n in die Gleichungen (4.) ein, so erhält man

(15.) x‘ — x — m(z‘ — z)

oder

iy‘ — y)    ~z^-

(15a.) x‘ — x = m(z‘ — z),    F₂(y‘ — y) = — (Fxm -f- F₃)(z‘ — z).

Diese Gleichungen stellen also eine Tangente im Flächenpunkte P dar, welchen Wert auch m haben mag. Eliminiert man jetzt aus diesen beiden Gleichungen m, so erhält man

(16.)

r) a.    f)/?

oder

(16a.)

Fx{x‘ — x) + F-i{y‘ — y) + Fs{z‘ — z) = 0.

Dies sind zwei verschiedene Formen für die Gleichung einer Ebene, in welcher alle Tangenten liegen, die im Punkte P an die Fläche möglich sind. Man nennt diese Ebene daher die „ Tangentialebene der Fläche im Punkte P‘.

Die Gleichung der Tangentialebene wird illusorisch, wenn Ft = 0, F₂ = 0, -Fs = 0.

(17.)

In diesem Falle, welcher allerdings nur ausnahmsweise ein-treten kann, liegen die Tangenten des Flächenpunktes P nicht mehr sämtlich in derselben Ebene.

So hat z. B. die Spitze des Kegels mit der Gleichung

(18.)

X¹

% Hs

die Koordinaten

(19.)

x — 0, y — O, z — 0 ;

für diese Werte von x, y, z wird aber auch

2x ^    2y

= 0, F₂ = -£ = 0,

(20.) F₁ =

a²

F₃ =

2z

= 0.

Man nennt einen Punkt der Fläche, für welchen die Gleichungen (17.) gelten, „einen Knotenpunkt1,1.

Die Gerade, welche auf der Tangentialebene im Berührungspunkte P senkrecht steht, heißt „Normale“ der Fläche; ihre Gleichungen sind, wie aus Gleichung (16a.) unmittelbar hervorgeht,

x‘-X

F*

Pi

F₂

(21.)

§ 151.

Übungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Ein Fllipsoid ist durch die Gleichung

+ ^ + -^ P ^ c²

gegeben; man soll im Flächenpunkte P mit den Koordinaten x, y, z die Tangentialebene und die Normale bestimmen.

Auflösung. Hier ist

7*2    Ziy2

^(X9 Z) ⁼ ^2 + £2

(1.)

a²

z²

Z²

C²

also

(2.)

Ft =

2x

a² ’

RP-y

F₃ =

deshalb wird nach Formel Nr. 242 der Tabelle die Gleichung der Tangentialebene

(3.)

x(x‘ — x) , y{y‘—y)

a²

b²

*(*' — *) __ c²    ’

oder, wenn man die Gleichungen (1.) und (3.) addiert,

0-)

xx‘

zz‘

Die Gleichungen der Normalen sind nach Formel Nr. 243 der Tabelle

(5.)

a\x‘ — x) b²{y‘ — y)    c²{z‘ — z)

Aufgabe 2. Ein elliptisches Paraboloid ist durch die Gleichung x¹ -j- a²y² — 2pz — 0 gegeben; man soll im Flächenpunkte P mit den Koordinaten x, y, z die Tangentialebene und die Normale bestimmen.

Auflösung. Hier ist

(6.)

F(x, y, z) = x² + d?y² — 2pz

also

Ft = 2x, F₂ = 2a²y, F₃ = — 2p, deshalb wird nach Formel Nr. 242 der Tabelle die Gleichung der Tangentialebene

(7.)

x{x‘ — x) + a²y(ÿ — y) —p(z‘ — z) = 0, oder, wenn man die Gleichungen (6.) und (8.) addiert,

xx‘ -f- a²yy‘ —p{z‘ -)- z) = 0.

(8.)

(9.)

Ist z. B.

x — 3a

y — 4, also 2pz — 9a² + 16«² = 25a²,

so geht Gleichung (9.) über in

6ax‘ + 8a²iy‘ = 2pz' -f- 25a².

Die Gleichungen der Normalen sind nach Formel Nr. 243 der Tabelle

(9 a.)

(io.)

x‘ — x

a-y

§ 152.

Krümmung der Flächen.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 244 bis 250.) Ist eine Fläche durch die Gleichung

« = /(*, y)

gegeben, so möge der Kürze wegen

(1.)

d²z

dz

dz

d²z

dx2 7 ’ dxdy ⁶ ’ dy2 gesetzt werden. Da durch jeden Punkt P der Fläche unendlich viele Kurven gehen, so kann man sich die Aufgabe stellen, die Krümmung aller dieser Kurven im Punkte P zu ermitteln. Dabei liegt aber der Krümmungskreis in der Schmiegungsebene; deshalb haben alle Kurven, die auf der Fläche liegen, durch den Flächenpunkt P gehen und dieselbe Schmiegungsebene in diesem Punkte haben, dieselbe Krümmung. Es genügt daher, die Krümmung aller ebenen Kurven zu untersuchen, welche aus der Fläche von einer durch den Punkt P gelegten Ebene ausgeschnitten werden. Eine solche ebene Schnittkurve möge der Kürze wegen in dem folgenden „Schnitt“ genannt werden.

Die Gleichungen des Schnittes seien (3.)    2' =/0', y‘), A(x‘ — x) + B(y‘ — y) + C(z? — z) = 0,

wobei x‘ y\ z‘ die laufenden Koordinaten sind, während x, y, z die Koordinaten des betrachteten Flächenpunktes P sind.

Dabei war nach Formel Nr. 237 der Tabelle ds⁶    (dx² -f- dy¹ -(- dz²)³

Q² + Jti² ~ ’

(2.)

(4-)

dx Pl dy

M²

d²z

wobei

(5.) P = dyd²z—dzddy, Q — dzd²x—dxd²z, R — dxd²y—dyd²x

war.

(6.)

(7.)

(8.)

(9.)

In dem vorliegenden Falle ist

dz — pdx + qdy,

d²z — dpdx -j- dqdy Ą- pd²x -f- qd‘ly, Adx G- Bdy -f- Cdz = 0,

Ad²x Bd²y -j- Cd²z = 0.

Kiepert, Differential -Rechnung.

43

Aus den Gleichungen (8.) und (9.) folgt P: A = Q : B = R:C, und aus den Gleichungen (6.) und (7.) findet man

dzd²z = d²z(pdx 4- qdy) — dz(dpdx -)- dqdy -f- pd²x -J- qd²y),

(10.)

also

dz(clpdx -fi- dqdy) = q(dyd²z — dzd²y) —p(dzd²x — dxd²z),

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (5.) und (10.)

Qp = pAq~BP,

dz(dpdx -j- dqdy) — Pq

folglich ist

(11.)

Adz(dpdx -f- dqdy) Aq — Bp Bdz{clpdx -f- dqdy) Aq — Bp Cdz(dpdx -f- dqdy) Aq — Bp

Dabei ist noch

dp = rdx 4- sdy, dq = sdx -j- idy,

also

(12.)

dpdx -j- dqdy — rdx² -p 2sdxdy -f- tdy²

(13.)    =

(dx² + dy¹ -f- dz²Y(Aq — Bp)²

(A² -f- B² -f- O²) (rdx² rf- 2sdxdy -j- tdy²)²dz²

Ferner folgt aus den Gleichungen

dy

(14.)

Adx -)- Bdy -f- Cdz = 0 und dz = pd.x -(- qdy A -\- Cp dz Aq — Bp dx B -f- Cq , dx B -j- Cq

Deshalb geht Gleichung (13.) über in (15.) <?² =

KB. + Cq)² + (A + OP? + {Ag - Bp)²]*

(A²+B²+ C²)[r(B-C Cq)²-—2ö(A + Cp)(B+ Cq)+t(AĄ-Cp)²]²

Unter den unendlich vielen Ebenen, welche durch den Punkt P hindurchgehen, mögen besonders diejenigen betrachtet werden, welche durch die Normale gehen. Die von einer solchen

Ebene ausgeschnittene Kurve nennt man „Normalschnitt¹¹. Die Gleichungen der Normale waren nach Formel Nr. 243 der Tabelle

x‘ — x y‘ — y

z‘ — z

Fa

F₂

Fa

oder (16.) x‘ — x + p(z‘ — z) — 0, y‘ — y -)- q(z‘— z) — 0.

Damit die Ebene e durch diese Gerade hindurchgeht, muß Ap(z‘ — z) Bq{z‘ — z) — C(z‘ — z) = 0

sein; dies gibt

(17.)

Ap -f- Bq — C = 0.

Da es unendlich viele Normalschnitte gibt, so kann man eine veränderliche Größe, z. B.

(18.)

dV _ ; dx~^

die man einen „variablen Parameter“ nennt, einführen. Zu jedem Werte von 1 gehört dann ein Normalschnitt Dabei ist nach den Gleichungen (14.) und (17.)

A -f- Bl + C(p + qÄ) = 0 und Ap -f- Bq — (7=0,

also

pq -r (1 +    B ₌ 1_-F p² -f pqX

q — pl , C    q — ph

Ä¹ -F B- + C² ₌ (1 + P² + ?²)f 1 + P¹ + 2;pgA + (1 + g²)Ä²]

{q—plf

(i • f~ + g²) ( p + yŹ) _

q~pl

(22.) dxl -|- dy¹ -)- dz¹ = dx¹ -)- dyl -f- (pdx -J- qdy)'¹

= dx\ 1 -f- P¹ + 2pqh    (1 + <?’²)Ä²],

(19.)

(20.)

(21.)

G'²

Aq — Bp

folglich geht Gleichung (13.) über in

(23.)    (>²

Dies gibt

[1 + ff² + 2pqk + (1 + q²)F]²(l Pp² 4- q²) (r + 2sÀ + tPf

(24.) q = ±

[1 + p² + 2/?yA + (1 + g²H²] V1 + P² + g² _

r “I⁻ 2>s/L —f- tX²

Der Krümmungshalbmesser ç ist also eine Funktion von /; man kann daher die Werte von X aufsuchen, für welche o ein Maximum oder Minimum wird. Zu diesem Zwecke setze man

do _ f/l + p² + <f dX (r -f- 2s X -f- tX²)

2 iO* +    + t/d) [2pq + 2(1 + q²)X]

— [1 +J»² + 2pqX + (1 + q²)X²J (25 + 2Ü)} gleich Null; dies gibt

(25.) (r + 25/ + t/?)[pq -f- (1 + f)X\

= [1 + f + 2p qX + (1 + q²)/d] (5 + tX), oder wenn man auf beiden Seiten dieser Gleichung

(5/ tX²)[pq + (1 + g²)'*-] == [pq’x + (1 + î²)^'²] (s + tx)

fortläßt,

(25a.) (r s’X)[pq + (l + î²)/] — (1 -\-p² d-pqX) (5 -j- tX).

Daraus folgt

1 + p² + 2pqX + (1 + g²)^-² _ pq + ( 1 + q²)X _ l+y²n pqX

r -f- 5/    ’

(26.)

r -f- 2svt -\- tX²

5 —J— tX

(25b.) [pqt— (1 + q²)s]X² + [(1 + p²)t— (1 -f q²)r]X

+ [(1 + p²)s—pq? ] = 0.

Nennt man die beiden Wurzeln dieser quadratischen Gleichung Xx und X₂, so wird

(1 Ą-p²)s—pqr pqt—{l + q²)s

(1 + p²)t—(l+g²)r pqt— (l+ÿ²)5

Da ein wirkliches Maximum und ein wirkliches Minimum vorhanden ist, so sind die Werte von Xx und X₂ reell. Für diese Werte von X wird nach den Gleichungen (24.) und (26.), wenn man das obere Vorzeichen nimmt,

₌ [Pg+(¹+g²M]^¹+/?2+g² ₌ (1 +_P²+pqd)V 1 +p²+q2 5 -j- tX

Eliminiert man aus dieser Gleichung X, so findet man die quadratische Gleichung

(29.) (0²—?g)(>²+ [(1 + ÿ²)r—2pqs-\~ (1 +p²)t]QVl+ P² + q²

— (1 + /?²+?²)² = 0,

(27.) Xx -f- X₂ —

(28.) q

X\X₂ =

r — 5/

deren Wurzeln qx und q₂ den Gleichungen

(30.) Çi -j- Qi —

s¹ — rt

(31.)

(1 -f p¹ + ff

QxQï =

genügen. Dabei entsprechen ot und o₂ dem Maximum bezw. dem Minimum von o. Die zugehörigen Normalschnitte nennt man „Hauptnormalschnitte“ ; (n und o₂ selbst nennt man die „ Hauptkrümmungshalbmesser''''.

Ist s¹— rt < 0, so haben ot und o₂ gleiches Zeichen, d. h. sie liegen in derselben Richtung der Normalen. Dies tritt z. B. beim Ellipsoid ein. Ist aber s² — rt > 0, so haben Qi und entgegengesetztes Zeichen, d. h. die zugehörigen Krümmungsmittelpunkte liegen auf entgegengesetzten Seiten der Fläche, ein Fall, der z. B. beim einschaligen Hyperboloid eintritt. Wird s¹ — rt = 0, so wird einer der beiden Hauptkrümmungshalbmesser unendlich groß.

Macht man den betrachteten Flächenpunkt P zum Anfangspunkt der Koordinaten, die Tangentialebene

z‘ — 2 = ?(x‘ — x) + q(y‘ — y) zur XY-Ebene und die Normale

s² — rt

(32.)

(33.) x‘ — x + p{z‘ — z) = 0, y‘ — y + ÿ(~' — z) = 0 zur Z-Achse, so wird

x — 0, y — 0 deshalb gehen die Gleichungen (32.) und (33.) über in (32a.)

(33a.)

(34.)

q = 0;

y' = o.

Die Ebene eines Normalschnittes hat dann die Gleichung

y' = ŹF,

und die Gleichungen der beiden Hauptnormalschnitte sind

xl = 0,

(35.)

y‘ = Xtx‘, wobei nach Gleichung (27.)

(36.)

y‘ = X₂x\

(37.)

wird. Dies gibt

Satz 1. Die Ebenen der beiden Hauptnormalschnitte stehen aufeinander senkrecht.

Der Einfachheit wegen kann man jetzt noch die Ebenen der beiden Hauptnormalschnitte zur XZ-Ebene und zur YZ-Ebene machen; dann wird nach Gleichung (27.)

X\ — 0,    À-2 — OO , X\ -j- ^2 = -

S

(38.)

— OO

also

(39.)

s= 0.

(40.)

Dadurch geht Gleichung (29.) über in rtQ² — (r + t)Q + 1 = 0 ;

dies gibt

(41.)

0i == — » r

02 = ₇

Ist « der Winkel, den ein Normalschnitt mit dem ersten Hauptnormalschnitte bildet, so hat seine Ebene die Gleichung y‘ = Ax\ wobei / = tg«

ist. Man findet dann aus Gleichung (24.) für das obere Vorzeichen

1 -f- X¹ 1 -j- tg²«

'S

tg²« cos²« , sin'²« ’

oder

02

(>2

(42.)

'S '

cos²« , sin²«

0i

02

•    {Eu 1er sehe Formel.)

Ist s² — rt < 0, so haben, wie schon oben gezeigt wurde, Q\ und Q-i gleiches Zeichen; deshalb folgt aus Gleichung (42.), daß auch q stets dasselbe Zeichen hat. Ist dagegen s²—rt> 0, so haben q± und £>₂ ungleiches Zeichen, dann kann man den Winkel « so bestimmen, daß

tg²« = — —

Ql

wird, wobei man noch « mit — « vertauschen darf. Daraus folgt Satz 2. Haben Qi und q-> verschiedenes Zeichen, so yibt es zwei Normalschnitte, deren Krümmungshalbmesser unendlich groß

(43.)

also

r-i ,

cos²« , sin²«

0i

02

werden. Die Winkel, welche ihre Ebenen miteinander bilden, werden durch die Ebenen der Hauplnormalschnitte halbiert.

Sind q und (/ die Krümmungshalbmesser zweier Normalschnitte, deren Ebenen aufeinander senkrecht stehen, ist also a‘ = a -f 90°, SO wird

und

cos«' = —sin«

sin «' =. cos «

cos²« sin²«

----j

Q2

cos²«' . sin²«'

sin²« , cos²«

Q‘

Qi

Q2

folglich ist

(44.)

dies gibt

rH

Satz 3. Die Summe der Krümmunyen je zweier Normalschnitte’, deren Ebenen aufeinander senkrecht stehen, ist konstant.

Ist der Schnitt ein schiefer, so kann man durch die Schnittlinie g der Tangentialebene und der schneidenden Ebene e eine Normalebene legen, welche wieder den Winkel « mit der Ebene des ersten Hauptnormalschnittes bilden möge, während der Winkel, den sie mit der Ebene e bildet, & heißen soll. Die Gerade g hat dann die Gleichungen

z‘ = o, y‘ = tg« . x‘.

Damit die Ebene e mit der Gleichung Ax‘ + By‘ + Cz‘ = 0

durch die Gerade g hindurchgeht, muß also

Ax‘ -f -Btg« . x‘ = 0, oder tg« = —

JD

sein; deshalb setze man

A = sin«

(45.)

(46.)

(47.)

B = —■ cos«.

Die Ebene e des schiefen Schnittes hat daher die _Gleichung z'sin« — y'cos« + Cz‘ = 0 und der durch g gelegte Normalschnitt hat die Gleichung Æ'sin « — y‘ cos« = 0,

(48.)

(49.)

dies gibt

(51.)    1 + C* = ~ = 1 + tg*$, also C = ± tg£.

Die Gleichung des schiefen Schnittes ist also, wenn man das obere Zeichen wählt,

(52.)

(50.) coSi?⁻ =

sin²« + cos'²«

1 _*) _

]/sin²« + cos²« -j- G²]/ sin²« -f- cos²« Vl + C'¹ ’

æ'sin«—y cos« -j- z‘tgH = 0.

Bezeichnet man den Krümmungshalbmesser des schiefen Schnittes mit q‘, den des zugehörigen Normalschnittes mit o, so findet man daher aus Gleichung (15.)

q‘² =

(ff² + ^f²)³

(A² + ff² -f- C²) (ff V + AH)² ( 1 -f- tg² A) (r cos² « +1 sin² «)²

cos²#

cos²«

( Ql

sin²«\²

oder mit Rücksicht auf Gleichung (42.)

g' = q cos #.

(53.)

(Satz von Meunier.)

Legt man durch die Normale des Flächenpunktes P sämtliche Normalschnitte, so bilden die zugehörigen Krümmungskreise eine Fläche vierten Grades, deren Untersuchung hier aber übergangen werden möge.

§ 153.

Die Krümmungsmittelpunktsflächen.

Zu den im vorigen Paragraphen entwickelten Sätzen gelangt man auch, indem man zu der Normale im Flächenpunkte

*) Den Neigungswinkel &■ zweier Ebenen t und mit den Glei

chungen

Aic' + By‘ + Cz' + D = 0 und Arx‘ + BlV‘ + <V + Ą = 0 findet man bekanntlich aus der Formel

cos (9- =

AA\ + BB{ + CC\_

y Ai -\-B*+C² ÿAi* + ff,² + Ci²

(7.) q = y (x‘ — x)² + {y‘—yf + (z‘—zf = (z‘ — z ]/l + /² + £²

Da diese Werte mit denen in Gleichung (28.) des vorhergehenden Paragraphen übereinstimmen, so ist dieser Abstand q der Krümmungshalbmesser, und der Schnittpunkt M ist der zugehörige Krümmungsmittelpunkt. Dies gibt

Satz 2. Die Normale im Flächenpunkte P wird von den benachbarten Normalen in den Krümmungsmittelpunkten der beiden Hauptnormalschnitte getroffen.

Die Mittelpunkte der größten und kleinsten Krümmungskreise für sämtliche Punkte der Fläche bilden selbst wieder eine Fläche, welche die ,,Krümmungsmittelpunktsflächeil genannt wird. Dabei gilt

Satz 3. Jede Normale der ursprünglichen Fläche trifft die Krümmungsmittelpunktsfläche in zwei Punkten, in denen sie diese Fläche berührt.

Beweis. Betrachtet man drei aufeinander folgende Normalen, sodaß die erste von der zweiten und die zweite von der dritten geschnitten wird, so liegen die beiden Schnittpunkte auf der Krümmungsmittelpunktsfläche und auf der mittleren Normale. Da sie außerdem einander unendlich nahe liegen, so ist die mittlere Normale eine Tangente an die Fläche. Dasselbe gilt von dem zweiten Punkte, den die Normale mit der Fläche gemein hat.

Die Normale im Flächenpunkte P heiße a und berühre die Krümmungsmittelpunktsfläche in den Punkten Mx und Jf₂, und zwar sei Mx der Schnittpunkt von a mit der unendlich nahen Normalen b, welche mit a in dem ersten Hauptnormalschnitte liegt. Dann wird ex die Krümmungsmittelpunktsfläche im Punkte M-2 berühren, denn sie hat mit dieser Fläche die beiden unendlich nahen Punkte gemein, in denen a berührt, und außerhalb dieser Geraden a noch den Punkt, in welchem die Fläche von b getroffen wird. Ebenso kann man zeigen, daß die Ebene £₂ des zweiten Hauptnormalschnittes die Krümmungsmittelpunktsfläche im Punkte Mt berührt. Dies gibt

P diejenigen Normalen aufsucht, welche der ersten Normale unendlich nahe liegen und dieselbe schneiden. Die Gleichungen der Normalen im Punkte P sind

x‘ — x -\~ p{z‘ — z) — 0, y‘ — i) -j- q{z‘ — z) — 0.

Für eine unendlich nahe Normale gelten daher die Glei-

(1.)

chungen

xl — x — dx -j- (p -)- dp) (z' — z — dz) — 0,

y' — y — dy + {q + dq) (z‘ — z — dz) = o.

Wenn sich die beiden Normalen in einem Punkte P‘ schneiden, so gelten für die Koordinaten dieses Punktes alle vier Gleichungen (1.) und (2.); deshalb gelten auch die Gleichungen

—    dx — pdz -(- (z‘ — z) dp = 0, ¹)

—    dy — qdz -f- (z‘ — z) dq — 0 ,

(2.)

(3.)

folglich wird

dx -f- pdz dy -f- qdz dp    dq '

oder, wenn man für dz, dp, dq ihre Werte einsetzt,

(40

z‘ —

(5.)

(1 + p²) dx -\-pqdy    pqdx + (1 + <f)dy

rdx -f- sdy    sdx -(- tdy

dy

Dies gibt, wenn man wieder

i + v¹ + pqL vq + (i + q²)¹

Z = -;-;--=--;-77--¹

r -f- sa    s t/L

Diese Gleichung stimmt mit Gleichung (26.) in § 152 überein, d. h. sie gibt dieselben Werte von /, welche den größten und den kleinsten Krümmungshalbmesser lieferten. Es gilt also Von allen Normalen, welche der Normale im Flächenpunkte P unendlich nahe Heyen, schneiden nur die in den Hauptnormalschnitlen diese erste Normale.

Dabei ist mit Rücksicht auf die Gleichungen (1.), (3.) und (6.) der Abstand des Schnittpunktes M vom Flächenpunkte P

(6.)

z' —

Satz 1.

dx

/ setzt,

Satz 4. Die Ebenen e± und €2 der beiden Hauptnormal-schnitte berühren die Krümmungsmittelpunktsfläche bezw. in den Punkten M-i und M\.

Da die Ebenen «1 und e₂ aufeinander senkrecht stehen, so

gilt noch

Satz 5. Der scheinbare XJmriß der Krümmungsmittelpunktsflache , in der Richtung einer Normalen gesehen, besteht aus zwei Kurvenästen, die sich rechtwinklig schneiden.

§ 154.

Das Krümmungsmaß von Gauß.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 251.)

Bei den ebenen Kurven wurde die Krümmung durch die de

Größe gemessen, wobei de der Kontingenzwinkel war, d. h.

de war der Winkel, den zwei unendlich nahe Tangenten miteinander bilden. Man kann aber auch unter de den Winkel verstehen, den zwei unendlich nahe Normalen miteinander bilden, und kann diesen Winkel durch den Bogen eines Kreises messen. Zieht man nämlich in einem Kreise mit dem Halbmesser 1 und dem Mittelpunkte O zwei Halbmesser, welche zu den beiden unendlich nahen Normalen parallel sind und auf dem Kreise den Bogen de ausschneiden, so ist die Krümmung im Kurvenpunkte P das Verhältnis dieses Kreisbogens de zu dem zugehörigen Kurvenbogen ds.

In ähnlicher Weise kann man im Baume ein Maß der Krümmung für eine Fläche

(1.)

* =/(*» y)

in jedem ihrer Punkte finden. Legt man nämlich zur Normale a im Flächenpunkte P mit den Gleichungen

(2.)

(3.)

x‘ — x -j- p(z‘ — z) — 0, y‘ — y -f- q {z‘ — z) = 0 durch den Nullpunkt 0 eine Parallele mit den Gleichungen x‘ -f- pz‘ = 0, y‘ + qz‘ — 0, so trifft diese die Kugelfläche mit der Gleichung

^2 _J_ y‘2 _j_ p2 = 1?

welche mit dem Halbmesser 1 um den Nullpunkt beschrieben ist, in einem Punkte P‘ mit den Koordinaten

(5.)

x‘ =

y‘ =

V i + f + q¹

Jedem Punkte P auf der Fläche entspricht ein Punkt P‘ auf der Kugel. Einer kleinen geschlossenen Kurve, welche auf der Fläche den Punkt P einschließt,’ entspricht daher auf der Kugel eine kleine geschlossene Kurve um den Punkt P‘. Wird der Flächeninhalt F bezw. F‘ dieser geschlossenen Kurven verschwindend klein, so kann man das Verhältnis von F‘ zu F als ein Maß für die Krümmung der Fläche im Punkte P ansehen.

Am einfachsten wird man für F das unendlich kleine Dreieck PP\P‘i auf der Fläche annehmen, bei welchem die Eckpunkte P, Pi, P₂ bezw. die Koordinaten

x, y, z\ x + dx, y, z + pdx; x, y + dy, z + qdy

Dieses Dreieck liegt in der Tangentialebene des

haben.

Punktes P, welche mit der IT- Ebene den Winkel y bilden möge. Projiziert man dieses Dreieck in die A T-Ebene, so erhält man ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten dx und dy und dem Flächeninhalt

(6.)

Fcosy = \dxdy.

Dem Dreieck PF\I\ auf der Fläche entspricht das Dreieck P'P'iP2 auf der Kugel, dessen Ecken bezw. die Koordinaten

P, y\ z';

(7.)

x\ — x‘ —(—

dx‘

dx

dy*

dz‘

dx, y\ = y‘ dx, ⁼ z‘ + ~öß.dx\

p₂ = x¹ -f-

dx‘

dy

dy,    y‘2 = y* +

öy‘

dy

dy,    z¹₂ = P +

dz‘

dy

dy

haben. Projiziert man dieses Dreieck in die AF-Ebene, so erhält man ein Dreieck, dessen Ecken bezw. die Koordinaten x\ yl ; x\, y\ ; x‘₂, y‘% haben. Da die Tangentialebene der Kugel im Punkte P‘ zur Tangentialebene der betrachteten

Fläche im Punkte P parallel ist, so ist der Flächeninhalt dieses Dreiecks

F‘ COS y = \{x\y‘i — y%) + x\(y\ — y‘) + x\{y‘ — y\)\

=    dy{x\ —x‘) —|| dx{x\ — x‘Ą ,

(8.) F‘ COS y — i dxdyÇ

dx‘ dy‘ dx‘ dy‘\ dx dy dy dx )

Dividiert man diese Gleichung durch Gleichung (6.), so er

hält man

F‘    dx' dy‘    dx‘ dy‘

F    dx dy    dy dx

Nun ist nach den Gleichungen (5.) dx‘    — ( 1 -j- y¹)r + VF

dx    (1 -|-p¹-f-<f) V1 -j-p²+y²

_____ Pyr—( i +P²)s    _____________________________

dx (i-|-^²-j-2'²)|/l-f-jo²+?² dy (l+P²+2'²)1//l+P²+<?²

(9.)

dx‘

__ ₌    — (1 ±_ ff :• pyj

dy    (1 -'rp2Jry'²) V i -\-p1Jry¹

dy‘

dy⁴

folglich wird mit Eücksicht auf Gleichung (31.) in § 152

(10.)

rt — s²

(1 + p² + ff

Yon dem Gänschen Krümmungsmaß wird besonders bei der Biegung der Flächen Gebrauch gemacht, wobei aber die Biegung so erfolgen soll, daß die Kurven zwischen je zwei Punkten weder verkürzt noch verlängert werden, und daß auch der Flächeninhalt der einzelnen Figuren derselbe bleibt. Es gilt dann der Satz, dessen Beweis hier aber übergangen werden möge.

jDas Krümmungsmaß bleibt bei der Biegung der Flächen unverändert.

§ 155.

Theorie der Umhüllungskurven oder Enveloppen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 252.)

Ist eine Gleichung zwischen x, y und w, nämlich F(x, y, u) = 0

gegeben, so stellt dieselbe für jeden konstanten Wert von u eine Kurve dar. Da es aber unendlich viele Werte von u gibt, so entspricht der Gleichung (1.) eine ganze Schar von Kurven. So entspricht z. B. der Gleichung

x² -)- y² — v? = 0

eine ganze Schar von konzentrischen Kreisen, da der Halbmesser u noch unendlich viele Werte haben darf. Der Gleichung

x²

a² u

entspricht eine Schar konfokaler Ellipsen und Hyperbeln. Der Gleichung

F(x, y, u) — ix — b cos w)² (y — Æsinw)² — a² — 0

i y2 b² -j- u

Fig. 154.

entspricht eine ganze Schar von Kreisen (vergl. Fig. 154), denn für jeden Wert von u erhält man einen Kreis, dessen Mittelpunkt die Koordinaten

§ = bcosu, rj = èsinw

7?

Qh N I Q

! hat. Zwischen § imd rj be-i steht daher die Gleichung

OM = b, ON = l NM = n-

(2.)

$² + V² — b² = 0, d. h. der Mittelpunkt M des Kreises durchläuft selbst wieder einen Kreis, welcher mit dem Halbmesser b um den Anfangspunkt 0 der Koordinaten beschrieben ist. Die Größe u nennt man dabei den „(variablen) Parameter.11 Sind nun u und = u -f- 4u zwei benachbarte Werte von w, so gibt die Zusammenstellung der beiden Gleichungen Fix, y, ii) = 0 und F(x, y, Mi) = 0 die Schnittpunkte der beiden entsprechenden Kurven.

Die Koordinaten dieser Schnittpunkte genügen daher auch den beiden Gleichungen und geben die Schnittpunkte der Kurve F{x, y, u) = 0 mit einer unendlich nahen Kurve.

Durch Elimination von u aus diesen beiden Gleichungen erhält man eine Gleichung zwischen x und y allein, nämlich

(5.)

S(x, y) = 0,

welche den geometrischen Ort aller Schnittpunkte von je zwei unendlich nahen Kurven der gegebenen Kurvenschar darstellt.

Dieser geometrische Ort ist eine Kurve, welche die „«/»-hüllende Kurve oder die Enveloppe“ genannt wird, da sie die sämtlichen Kurven der gegebenen Kurvenschar einhüllt. Es gilt nämlich folgender

Satz 1. Die Enveloppe hat in den Punkten, ivelche sie mit der zugehörigen Kurve

F(x, y, u) = 0

gemein hat, auch die Tangente mit dieser Kurve gemein.

Fig. 155.

Pf

C Ci c₂

(3.) F(x, y, u) = 0 und

F(x, y,u + Ju) — F(x, y, u) _

Ju

Läßt man jetzt Ju unendlich klein werden, so gehen diese Gleichungen über in

(4.)

F{x, y, u) = 0,

ÔF (x, j, u) ₌

du

Zum Beweise dieses Satzes betrachte man drei benachbarte Kurven C, Ci, C₂ des gegebenen Kurvensystems (vergl. Fig. 155), welche den Werten u, uh u₂ des Parameters entsprechen. Ein Schnittpunkt der Kurven C und C\ heiße P. Dieser Schnittpunkt gehe in den Punkt Pi über, wenn die Kurve C in Ci und die Kurve C\ in C2 übergeht. Die Punkte P und Pi liegen also beide auf der Kurve Ci und rücken einander unendlich nahe, wenn die Werte u, ut, u₂ unendlich wenig voneinander verschieden sind, d. h. wenn die Kurven C, Ci, C₂ einander unendlich nahe rücken.

S(x, y) = 0,

Gleichzeitig rücken die Punkte P und Pt auf die Kurve mit der Gleichung

weil sie Schnittpunkte von je zwei unendlich nahen Kurven der gegebenen Kurvenschar sind. Deshalb ist die Verbindungslinie dieser unendlich nahen Punkte P und P\ eine Tangente der Kurve C\ und gleichzeitig auch der Kurve

S(x, y) = 0.

Dadurch ist bewiesen, daß die beiden Kurven im Punkte P (oder in dem unendlich nahen Punkte Pt) eine gemeinsame Tangente haben, daß sie sich also im Punkte P berühren.

Was von C\ gilt, gilt ebenso von jeder beliebigen Kurve der gegebenen Kurvenschar. Es ist also hiermit bewiesen, daß die Kurve

S(x, y) = 0

sämtliche Kurven des gegebenen Kurvensystems berührt ; sie ist daher die Umhüllmigskurve oder Enveloppe.

Dasselbe Resultat findet man auch durch Rechnung. Die Gleichung

S(x, y) = 0

kann man nämlich aus den Gleichungen (4.) dadurch herleiten, daß man den Parameter u als Funktion von x und y darstellt, indem man die Gleichung

öF(x, y, u)

du

= 0 auf die Form u -■ y>(x, y)

bringt, und daß man sodann diesen Wert von u in die Gleichung F{x, y, u) = 0

einsetzt. Dies gibt also

(6.)

S(x, y) = F(x, y, u) für u = (f(x, y),

du

ÖF

Cb' Cb

Da nun aber für den betrachteten Punkt P mit den Koordinaten x, y

(7.)

ÖF

öu

ist, so gehen die Gleichungen (7.) über in

öS ÖF

dÿ-êÿ’

folglich hat nach Formel Nr. 131 der'Tabelle

(7 a.) .

öS ÔF

öx dx ’

(8.)

dy

di i »

öF

öx

dx öS ÖF

öy

ÖIJ

in dem betrachteten Punkte P für beide Kurven denselben Wert, d. h. die beiden Kurven haben in diesem Punkte dieselbe Tangente.

Es ist allerdings noch hervorzuheben, daß die Elimination von u aus den Gleichungen (4.) durchaus nicht immer die Gleichung einer reellen Kurve liefert.

Dies folgt schon daraus, daß nicht jede Schar von gleichartigen Kurven eine Umhüllungskurve besitzt. Bei den konzentrischen Kreisen

X² -}- y - — id = 0

z. B. schneidet kein Kreis den anderen in einem reellen Punkte, folglich gibt es für diese Kurvenschar auch keine Umhüllungskurve.

Ellipsen

Ebensowenig haben die einander benachbarten konfokalen

x¹

= i, (— y¹ < u < -)- °°)

a² -j- u ti¹ -\- u

©der die einander benachbarten konfokalen Hyperbeln

rr²

= 1,    (— d¹ < u < — IF)

b“¹ -j- u

reelle Schnittpunkte miteinander gemein, folglich gibt es bei dieser Kurvenschar auch keine Umhüllungskurve.

Dagegen schneidet jeder der Kreise

(9.) F{x, y, v) = {x — b cos w)² + (y — èsinw)² — cd■ = 0

Kiepert, Differential-Eeclinung.

44

den folgenden in zwei reellen Punkten. Deshalb gibt es in diesem Falle eine Umhüllungskurve. Dabei wird

2(x — b cos u) b sinw—2(y— b sinw)6 cos u = 0,

(10.) “■>

(x — b cos u) sin u = (y — b sin u) cos u,

xsmu = ycosu, also y = ztgu.

Setzt man diese Werte in Gleichung (9.) ein, so findet man (11.) (x—bcos u)²(l -f- tg²w) = a², oder (x—bcosu)² = a²cos²tf, folglich ist

oder (10a.) oder (10b.)

(12.)

also

x = (b ± d)cosu, y == (b ± a)sinw,

(13.)

x¹ -f- y² = (b ± ö)².

Nimmt man in diesen Gleichungen das obere Zeichen, so erhält man einen Kreis mit dem Halbmesser b -)- a; und nimmt man das untere Zeichen, so erhält man einen Kreis mit dem Halbmesser b — a. Die Umhüllungskurve zerfällt also bei diesem Beispiele in zwei konzentrische Kreise. (Vergl. Fig. 154.)

§ 156.

Übungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Ein System von geraden Linien (Fig. 156) sei durch die Bedingung bestimmt, daß die zwischen den Koordinaten-Achsen liegenden Abschnitte derselben die konstante Länge c haben. Man soll die Gleichung ihrer Umhüllungskurve aufstellen.

Auflösung. Es seien OA = a und OB = b die Abschnitte, welche die Gerade auf den Koordinaten-Achsen abschneidet, dann ist bekanntlich ihre Gleichung

(1.)

x + yT-1=0.

a b oder

bx -f- ay — ab — 0.

(3.) b = csinw; die Gleichung der Geraden AB geht daher über in

Der Abschnitt AB der Geraden zwischen den beiden Koordinaten-Achsen ist daher gleich j/a²-f£². Hat also dieser Abschnitt die konstante Länge c, und bezeichnet man den Winkel OAB mit u, so wird

(2.) a = ccosu, .

(4.)

F(x, y, u) = «sin u -(- ?/cosw — csim^cosw = 0.

Dabei ergänzt der Winkel u den Winkel «, welchen die Gerade AB mit der positiven Richtung der X-Achse bildet» zu 180°.

Um die Enveloppe dieser Schar gerader Linien zu finden, bilde man

S3

(5.)

dJE\x, y u)

du

Fig. 156.

= «cos u — ysinw — c( cos²w — sin²w) = 0.

Fig. 157.

S₂

K~a\

a

■s, Sj

Multipliziert man die Gleichungen (4.) und (5.) bezw. mit sinw und cosw, so erhält man durch Addition

(6.)

X — -f- CC0S³W.

Multipliziert man sie dagegen bezw. mit cosw und —sin«, so findet man durch Addition

(7-)

y = -f- csin%.

Wenn es sich, wie in der vorstehenden Aufgabe, um eine Schar gerader Linien handelt, wenn also die Gleichung

44*

vom ersten Grade in bezug auf ,x und y sein. Dann braucht man u nicht aus diesen beiden Gleichungen zu eliminieren, sondern wird x und y als Funktionen der dritten Veränderlichen « darstellen, eine Rechnung, die in den meisten Fällen sehr viel leichter auszuführen ist als die Elimination.

In der vorliegenden Aufgabe geben die Gleichungen (6.) und (7.) die Koordinaten des Schnittpunktes der dem Werte u entsprechenden Geraden mit der unendlich nahen. Dieser Punkt ist daher auch ein Punkt der Umhüllungskurve. Die Gleichungen

(8.)

F(x, y, u) = 0 in bezug auf x und y vom ersten Grade ist,

dF(x, y, «) ₌

dann wird im allgemeinen auch die Gleichung

du

x = ccos³«, y = csin³«

stellen also die Umhüllungskurve dar, wenn u alle Werte von 0 bis 2n durchläuft. Man kann aber aus diesen Gleichungen auch den Parameter u eliminieren. Erhebt man sie nämlich zur

Potenz

05 i CO

? so erhält man

■2

•2

x³ = -f- c³ cos²«, y³ = -j- c³ sin²« und wenn man diese Gleichungen addiert,

(9.)

-■

x³+y³=c³.

Dies ist die Gleichung der Umhüllungskurve, und zwar ist diese Kurve unter dem Namen „Astroide“ bekannt. (Vergl. Fig. 157.).

Aufgabe 2. Es ist durch die Gleichung (10.) F(x, y, u) = «cos (3«) -j- y sin (3«) — «cos« = 0 eine Schar von geraden Linien gegeben ; man soll die von ihnen eingehüllte Kurve bestimmen. (Vergl. Fig. 159.)

(11.)

Auflösung. Hier wird dF(x, y, u)

du

= — 3«sin(3w) + 3y cos(3«) + «sin« = 0.

Eliminiert man aus diesen Gleichungen y, bezw. x, so er

hält man

[ 3x = a [3 cos «<cos(3w) -f- sinwsin(3w)],

(12.)

\ 3y = a[3coswsin(3w)— sinwcos(3w)J.

Nun ist aber

coswcos(3m) —|— sin?4sin(3«) = cos(2w) 2cosmcos(3w) = cos(4w) -f- cos(2w) ;

ferner ist

coswsin(3«) — sinwcos(3w) = sin(2w) 2coswsin(3w) = sin(4w) -j- sin(2«),

folglich wird

(13.)

( Sx = a [cos(4«) + 2 C0s(2w)j,

\ 3y = a[sin(4w) + 2sin(2u)].

(14.)

Setzt man a = Sat und 2u = t -)- n, so wird f cos(2w) = — cos t,    sin(2w) = — sin G

\ cos(4w) = -f- cos(2/), sin(4w) = + sin(2ź), und die Gleichungen (13.) gehen über in (15.) x = — «i [2 cos£— cos(2ź)], y = —ai[2sin£— sin(2£)].

Fig. 158.

oTr

Q2

Dies sind bekanntlich die Gleichungen der Kar-dioide. Die Kardioide war ein besonderer Fall der Epizykloiden, welchen man erhält, wenn der Halbmesser des festen Kreises dem Halbmesser des rollenden Kreises gleich ist. Durch die vorliegende Aufgabe findet man also eine andere Erzeugungsweise der Kardioide, die sich dann auch so verallgemeinern läßt, daß man jede beliebige Epizykloide (oder Hypozykloide) erhält.

Die Gleichung (10.) stellt nämlich eine Gerade dar (vergl. Fig. 158), welche durch die beiden Punkte Py und P₂ mit den Koordinaten und

y₂ = asin(4w)

x₂ = a cos(4w)

hindurchgeht, denn diese Wertepaare von x und y befriedigen die Gleichung (10.). Nun wird aber

(16.)

xß -|- yr = à¹ und x₂l -j- y₂² = a²,

d. h. die Punkte P± und P₂ liegen beide auf einem Kreise, der mit dem Halbmesser a um den Anfangspunkt 0 der Koordinaten beschrieben ist. Dabei sind die Winkel, welche die Halbmesser 0PX und OP-i mit der X-Achse bilden,

< XOPt = 2u, ß XOP₂ = 4m = 2 XOPt.

Wenn sich also der Parameter u verändert, so bewegen sich die Punkte Px und P₂ beide auf diesem Kreise fort, der Punkt P₂ aber doppelt so schnell wie der Punkt Pt.

Dies gibt folgende Erzeugung der Kardioide:

Bewegen sich auf einem Kreise zivei Punkte P\ und P> so, daß P₂ doppelt so schnell läuft wie Pt, so umhüllt die Gerade P\P₂ eine Kardioide. (Vergl. Fig. 159.)

Fig. 159.

694

§ 156. Umhüllungskurven; Übungs-Aufgaben. Xi = aC0s(2u)

yi = a sin(2w)

In ähnlicher Weise können auch die anderen Epizykloiden erzeugt werden, wenn der Punkt P₂ auf dem Kreise »z -mal so schnell fortschreitet wie der Punkt Pt.

Dabei war bisher vorausgesetzt, daß die Punkte Pt und P₂ den Kreis in gleicher Richtung durchlaufen. Wenn sie aber den Kreis in entgegengesetzter Richtung durchlaufen, so umhüllt die Gerade Pt P2 eine ,,Hypozykloide“.

Man kann sich in folgender Weise von dem vorstehenden durch Zeichnung überzeugen. Man teile den Umfang eines Kreises in eine Anzahl gleicher Teile. (Vergl. Fig. 159.) Es

sei z. B. diese Anzahl gleich 48. Dann bezeichne man die Teilpunkte der Reihe nach durch die Nummern 0, 1, 2, 3, 4,... 47, 48,

wobei der Punkt 48 mit dem Punkte 0 zusammenfällt. Jetzt verbinde man die Punkte

1 und 2,    2 und 4,    3 und 6,..

allgemein k und 2k durch gerade Linien. Auf diese Weise erhält man 48 Tangenten der Kardioide, und zwar wird man daraus die Gestalt der Kardioide sicherer gewinnen, als wenn man die Kurve punktweise konstruiert hätte.

Verbindet man dagegen die Punkte k und mk durch Gerade, so erhält man eine andere Epizykloide, welche der Zahl m entspricht, mit großer Genauigkeit als die Enveloppe ihrer Tan

genten.

In ähnlicher Weise kann man auch die Ehjpozykloide als Enveloppe ihrer Tangenten zeichnen. In diesem Falle wird es zweckmäßig sein, die Anzahl der Teilpunkte auf dem Kreise etwas größer anzunehmen.

Fig. 160.

s.

Aufgabe 3. Es ist

eine Schar konzentrischer Ellipsen gegeben, deren Halbachsen mit den Koordinaten -Achsen zusammenfallen und die konstante Summe c haben; man soll die Gleichung der Enveloppe bestimmen.

(Vergl. Fig. 160.)

Auflösung. Die Gleichung einer Ellipse mit den Halbachsen a und 6 ist

b²x² -{- a²y² — a²b² — 0.

Da aber die Achsen veränderliche Länge und die konstante Summe c haben sollen, so setze man

a = u . und b = c — u.

Dadurch wird die Gleichung der gegebenen Kurvenschar (17.)    F(x, y, u) — (c — u)²x² -j- u²y² — u²(c — u)² = 0.

(18.)

Hieraus folgt durch partielle Differentiation nach u — 2 (c — u)x² -f- 2uy² — 2u{c — u) (c — 2u) — 0,

XI

oder, wenn man mit —— multipliziert,

Li

(c — u)ux² — u²y² -f- u\c — u) (c — 2u) — 0.

Indem man die Gleichungen (17.) und (18 a.) addiert, findet

(18 a.)

man

(c — u)cx² — (c — v)v? — 0

oder

(19.)

X² =

JŁ

■P'c

Setzt man diesen Wert von x² in die Gleichung (17.) ein,

so folgt

(20.)

(c — u)³

Vc

Deshalb wird

(21.)

2 2 2. x³ -j- y³ — e³ ,

d. h. die Enveloppe ist wieder eine Astroide.

Aufgabe 4. Es ist eine Schar von Parabeln durch die Gleichung

(22.)

F(x, y, u) — 4:c(y — ux) —(— (1 -j— u²)x² = 0 gegeben; man soll ihre Enveloppe bestimmen. (Vergl. Fig. 161.)

Auflösung. Hier ist

öF(x, y, u)

du

= — 4cx -f- 2ux² — 0.

2c

Dies gibt die beiden Lösungen (24.) x = 0 und

Die Enveloppe ist also wieder eine Parabel. Außerdem schneiden sich alle Parahein der gegebenen Schar im Punkte 0, welcher als ein Teil der Enveloppe zu betrachten ist und der Lösung durch Gleichung (24.) entspricht.

Aufgabe 5. Es ist eine Schar von Kreisen durch die Glei

chung

Setzt man diesen Wert von u in die Gleichung (22.) ein, so erhält man für die Enveloppe die Gleichung

(25.) #²-)-4 c(y—c)=0.

Fig. 161.

4,

j.

B.

Cj

,C

F(x, y, u) — (x — w)² -f- y¹ — 2 up —j— j»² = 0 gegeben; man soll die Enveloppe bestimmen. (Vergl. Fig. 162.)

Auflösung. Hier ist

BF(x, ;/. u)

(26.)

(27.)

du

= — 2(x — u) — 2p — 0

oder

(28.)

X = u —p.

Setzt man diesen Wert von x in die Gleichung (26.) ein, so wird

(29.) y = ±y2p{u—p).

Die Gleichungen (28.) und (29.) geben die Schnittpunkte des Kreises, der dem Parameter u entspricht, mit dem unendlich nahen. Diese Schnittpunkte werden erst reell, wenn

Fig. 162.

o-

(30.)

u>p.

Die Kreise selbst dagegen werden schon reell, wenn

(31.)

2u > p.

V

Liegt u zwischen — und p, so sind die Kreise zwar reell,

schneiden aber einander nicht. In diesem Falle enthält also die gegebene Kurvenschar unendlich viele Kurven, welche die benachbarten Kurven in keinem reellen Punkte schneiden.

Indem man schließlich noch u aus den Gleichungen (26.) und (28.) eliminiert, erhält man die Gleichung der Enveloppe, nämlich

(32.)

y² = 2 px

Dies ist die Gleichung einer Parabel.

§ 157.

¹

Die unendlich kleinen Größen höherer Ordnung dp dz und dqdz dürfen neben den unendlich kleinen Größen erster Ordnung vernachlässigt werden.

Doppelpunkte und isolierte Punkte.

(1.)

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 253.) Wenn eine Kurve, deren Gleichung F(x, y) = 0

sein möge, zweimal durch denselben Punkt hindurchgeht, so nennt man diesen Punkt einen „Doppelpunkt der Kurve“. So hat z. B. das Folium Cartesii mit der Gleichung xz + V* — 3 axy = 0

im Nullpunkte einen Doppelpunkt. (Yergl. Fig. 143 auf Seite 577.) Ebenso hat die Lemniskate mit der Gleichung r² = a² cos(2<jp),

oder

(x² -(- y²)² — a²(x² — y²) = 0

im Nullpunkte einen Doppelpunkt. (Vergl. Fig. 128 und 131 auf Seite 480 und 487.)

Um nun zu untersuchen, für welche Werte von x und y eine Kurve einen Doppelpunkt hat, braucht man nur zu beachten, daß in einem Doppelpunkte nicht eine, sondern zwei Tangenten an die Kurve möglich sind, denn man kann an jeden der beiden

Kurvenzweige, welche durch den Doppelpunkt hindurchgehen, eine Tangente legen. (Vergl. Fig. 163.)

Fig. 1C3.

ih

■x

T,

Streng genommen gibt es sogar in einem Doppelpunkte unendlich mele Tangenten, wenn man von der Erklärung ausgeht, daß jede Gerade, welche zwei unendlich nahe Punkte der Kurve miteinander verbindet, eine Tangente der Kurve ist. Danach würde jede Gerade, welche man durch den Doppelpunkt legt, als eine Tangente aufgefäßt werden können. Hier soll aber nur die Verbindungslinie von zwei unendlich nahen Punkten, welche auf demselben Zioeige der Kurve liegen, als eine Tangente angesehen werden.

Ist nun F(x, y) eine eindeutige Funktion von x und y, so gilt im allgemeinen dasselbe von dF(x,_ y)

dF{x, V) .

dy

es wird also für jedes Wertepaar x, y die Richtungstangente

(2.) Fjx, y) =

dx

und F₂(x, y) =

(3.)

tg« =

dy _ Fjx, y)

dx

y)

im allgemeinen nur einen einzigen Wert haben, so daß der zugehörige Kurvenpunkt nur ein einfacher Punkt sein kann.

Nur in dem besonderen Falle, wo Fjx, y) und Fjx, ij) beide gleich 0 sind, erhält der Ausdruck für tg« die unbestimmte

Form ~ ; dann kann also tg« möglichericeise mehr als einen

Wert haben. Die Methode, welche in § 65 zur Berechnung von Ausdrücken angegeben wurde, welche an der Grenze die

Form

^ annehmen, führt hierbei in folgender Weise zum Ziele.

Bezeichnet man wieder die zweiten partiellen Ableitungen durch Indizes, so folgt aus Gleichung (3.), indem man Zähler und Nenner einzeln differentiiert,

lim

dy

dx

= —lim

dy

Fu + Fadx

F‘i\ + ï'n

dy

dx

für

limjFi(«, y) = 0, MmF₂(x, y) = 0, also, wenn man nach Einsetzung der in Betracht kommenden Werte von x und y das Zeichen limes fortläßt,

oder

(*■)

dy

Fn + 2Fndx

+ Fn(fi)= ⁰

oder

(4 a.)

dy *12 ± YF\2² *11*22

dx

*22

Dasselbe Resultat findet man auch, indem man die Gleichung dF(x, y)

= Fi(x, y) + F₂(x, y)ÿ~ = 0

nochmals nach x differentiiert ; dann erhält man nämlich d²F(x, y) dFt(x, y) dFt(x, y) dy dx ~t_

(5.)

dx

(6.)

dx²

dy dx

oder

(6 a.)

+ i?22(*) ⁺ 'f’²^ = 0-

*11 + 2 F\2

dy

dx

Aus dieser Gleichung bestimmt man im allgemeinen gilt aber die Voraussetzung

d²y

dx⁸

(7.)

*i = 0,    *2-0

so erhält man wieder

(8.)

*11 -f~ 2*12

dy

dx

oder

(8 a.)

dy — F12 dt V Fyf — In F%2

dz

Hieraus erkennt man, daß unter der gemachten Voraussetzung zwei Werte, erhält, daß es also in dem betrachteten

Punkte zwei Tangenten an die Kurve gibt, deren Richtungen durch die Gleichung (8 a.) bestimmt sind.

Diese Untersuchung gibt daher den Satz:

Ist der Punkt D mit den Koordinaten x\ y ein DoppelpunJü der Kurve, so müssen die drei Gleichungen

F(x, y) = 0, Ft(x, y) = 0,    F₂(x, y) = 0

gleichzeitig befriedigt werden.

Die beiden Werte von

(9.)

dy

, , welche man aus der quadra-

dx

tischen Gleichung (8.) erhält, sind reell, wenn

I'vi — F\\ F%2 > 0 ;

sie sind dagegen imaginär, wenn

Frf — F\\ F22 < 0.

In dem ersten Falle erhält man einen eigentlichen Doppelpunkt mit zwei reellen Tangenten, in dem zweiten Falle aber sind die Tangenten imaginär.

Ein Beispiel möge zeigen, wie die Kurve in dem Doppelpunkte beschaffen ist, je nachdem der erste oder der zweite Fall eintritt. Es sei nämlich

Fix, y) = y- — {x — af (z

(10.)

(11.)

(12.)

*) = 0,

oder

(12a.) F(x, y) = y¹ — z³ -\- (2a -|- b)z² — (a² + 2ab)x + a²b — 0,

dann wird

(13.)

Fi (x, y) — — 3z² -j- (4a -f- 2b)x — (a² + 2ab) = (x — o) (— 3z —)- a -j- 2 Ô),

K <:c, y) = 2 y,

(14.)

F\\ — — Gz -j- (4ß -j- 2b'),    Fyi — 0

F22 — 2.

Für x — a, y = 0 werden also die drei Gleichungen F(x, y) = 0, Fx(x, y) = 0,    F₂(x, y) = 0

befriedigt, und man erhält

Fn = — 2 (ö — ö)

Deshalb wird nach Gleichung (8 a.)

^ = ± y « — Æ.

Ist a>b, so wird ]/a — ô reell; man kann in diesem Falle nicht nur die Tangenten in dem Doppelpunkte F) mit den Koordinaten x = a, y = 0 zeichnen, sondern es ergibt sich auch aus Gleichung (12.), oder aus der Gleichung

y = ± (* — a) ]/x — b

leicht die Gestalt der Kurve. Sie ist symmetrisch zur X-Achse, und y wird für Werte von x, die kleiner als b sind, imaginär, d. h. die Kurve liegt rechts von der Geraden, welche man

durch den Punkt B mit dem Koordinaten x = b, y = 0 parallel zur F-Achse ziehen kann. Diese Gerade wird von der Kurve im Punkte B berührt; und zwar gehen von B aus zwei symmetrische Zweige der Kurve, welche sich im Doppelpunkte I) schneiden, so daß die Kurve zwischen B und D eine Schleife bildet. (Vergl. Fig. 164.)

Ist dagegen a < b, so folgt aus der Gleichung

F i2 = 0,

F-n — 2.

(15.)

dy

(12b.)

Fig. Ifi4.

0-

y = db (x — a)J/x — b,

daß der Punkt F> mit den Koordinaten x = a, y = 0 wieder ein Punkt der Kurve ist. Für alle Werte von x, die kleiner als a sind, und für alle Werte von x, die zwar größer als a, aber kleiner als b sind, wird y imaginär, so daß auch hier die Kurve eigentlich erst mit dem Punkte B beginnt, dessen Koordinaten x = b, y = 0 sind. Der Punkt D ist daher in diesem

Falle ein ,,isolierter Punkt¹¹ oder „Einsiedler“. Ein solcher isolierter Punkt ist daher auch als ein Doppelpunkt anzusehen, in dem sich zwei imaginäre Kuryenzweige schneiden. Deshalb werden in diesem Falle auch die beiden Tangenten imaginär. (Vergl. Fig. 165.)

Für

45 — a

~D

Fig. 165.

B\

y=±

4(5—«)-i jb—a 3    \    3

hat die Kurve zwei Wendepunkte Wx und W‘i, wie man durch die früher angegebenen Methoden leicht bestätigen kann.

§ 158.

Übungs-Aufgaben.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 253.)

Aufgabe 1. Man soll beweisen, daß beim Folium Cartesii der Nullpunkt ein Doppelpunkt ist, und soll die Richtung der beiden Tangenten in diesem Punkte bestimmen. (Vergl. Fig. 166.) Auflösung. Hier ist

(!•)

F{x, y) = xs -|- y³ — 3 axy — 0,

also

J F\ (x, y) = 3 a;² — 3 ay,

\ f₂ («, y) = sy² — s™,

f F\\ = 6x,    F₁₂ = — 3a,

F₂2 = 6y.

Für x = 0, y = 0 werden die drei Gleichungen F{x, y) = 0,

Fi (*, y) = 0, F₂(x, y) = 0 gleichzeitig befriedigt, folglich ist der Nullpunkt ein Doppelpunkt. Um in diesem Doppelpunkte die

(2.)

(3.)

Fig. 1G6.

Richtung der Tangenten zu bestimmen, setzt man die Werte von Fn, jF₁₂, -F₂₂ in die Formel Nr. 253 der Tabelle ein. Dies gibt

(4.)

dy

dx

— -F12 Ar V Fr? — Fu F22

F22

Fn

— Fx2 -t- V Fv{¹ — Fu F22

oder

(4 a.)

dy

dx

= t gce = lim

æ=0

= lim

3a zb Y 9a² — 36 xy

æ=o 3a Y 9a² — 36 xy

Nimmt man in dieser Gleichung das obere Zeichen und setzt x = 0, y = 0, so erhält man aus der ersten Darstellungsweise

tg«l = CO,

während man nach der zweiten Darstellungsweise auf die unbestimmte Form ~ geführt wird.

Nimmt man dagegen das untere Zeichen, so erhält tga nach der ersten Darstellungsweise die unbestimmte Form »

(5.)

nach der zweiten Darstellungsweise findet man aber

tg«₂ - 0.

(6.)

Dies gibt

(7-)

«i = 90°, a₂ — 0°, d. h. die beiden Koordinaten - Achsen sind Tangenten in dem Doppelpunkte der Kurce.

Fig. 167.

--I2

Ui

Aufgabe 2. Man soll beweisen, daß bei der Lemniskate der Nullpunkt ein Doppelpunkt ist, und soll die Richtung der beiden Tangenten in diesem Punkte bestimmen.

Fig. 167.)

(Vergl.

45

(8.)

Auflösung. Hier ist

F(pr, y) = x* -[- 2x²y² -j- y⁴ — aPx² -j- a?y² — 0,

also

(9.) F\{x, y) = 4x³ -J- 4xy- — 2a²x, F₂{x, y) = 4x%y -f- 4y\-\- 2a?y,

(10.) F\\ = 12x2jr4y²—2a², F\₂ = 8xy, F₂₂ = 4x² + 12y² -f- 2a².

Für x = 0, y = 0 werden die drei Gleichungen Fix, y) = 0, Ft(x, y) = 0,    F₂{x, y) = 0

gleichzeitig befriedigt, folglich ist der Nullpunkt ein Doppelpunkt. Um die Richtung der beiden Tangenten in diesem Punkte zu bestimmen, beachte man, daß für x = 0, y = 0 Fn - — 2a²,    F₁₂ = 0,    F₂₂ = -f- 2a²

wird. Dies gibt nach Formel Nr. 253 der Tabelle — Fi2 ± V F₁₂l -— F\\F₂₂

(11.)

(12.)

dx

tg« =

F₂ 2

also

(13.)

«i = + 45°,    <*₂ = — 45°,

d. h. die beiden Tangenten im Nullpunkte halbieren die Winkel, welche die Koordinaten-Achsen miteinander bilden.

Durch fortgesetzte Differentiation der Gleichung F{x, y) = 0

erhält man der Reihe nach unter Anwendung der symbolischen Bezeichnungsweise die Gleichungen

dF(x, y)    dF    dF dy

dx    dx    dy dx    ’

(dF dF dy\M \dFd%l_r₎

Vcta ¹ dy dx) dy dx¹ ’

(14.)

(15.)

<PF(x, y)

dx²

(16.)

dsF{x, y)

dx³

dF dy\® / dy dx)    V

d'²F

dx dy

d²F dy\ d²i) dF d³y d^dx)dŻ2 + dyd^^°-

Kiepert, Differential-Eechnnng.

§ 158. Doppelpunkte; Übungs-Aufgaben. Bei einfachen Kurvenpunkten findet man aus Gleichung (14.) die Größe

706

dy

(15.) „

d'²y

” dx1 dhy .

” d& ’

ist aber der Punkt ein Doppelpunkt, so wird

(16.) „

Qj! Cb

= F\ 0®, y) = o

dann reduzieren sich die Gleichungen (15.) und (16.) auf

<3².F

d²Fdy\ dhy dx dy ^ dy¹ dx) dx¹

oder

(16b.)

dx + 3Fm(di) + Fm(%) + ⁸(^ + Ä 1)^ = 0-

Fm +

Da die Gleichung (14.) zur Berechnung von ~ illusorisch

wird, liefert Gleichung (15a.) die beiden Werte dieser Größe; aus Gleichung (16 a.) oder (16 b.) findet man dann die zugehörigen Werte von

d²y

dx²

Für die Lemniskate wird z. B.

(17.) Fm = 24x, Fin = 8 y, Fi₂₂ = 8a-,    F₂₂₂ = 24y,

Ausdrücke, welche für x = 0, y = 0 sämtlich verschwinden. Mit Rücksicht auf die Gleichungen (11.) und (12.) geht daher in diesem Falle die Gleichung (16b.) über in

, oder ± 6a²

d2y _ «

(18.) 3(0 + 2^M = 0

Die Werte von sind also beide gleich Null. Daraus

folgt, daß die beiden Kuroenzweige der Lemniskate, welche sich in ihrem Doppelpunkte schneiden, gleichzeitig Wendepunkte sind. (Vergl. Fig. 167.)

§ 159.

Mehrfache Punkte;

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 254.)

Wenn für ein Wertepaar x, y nicht nur die Gleichungen F(x, y) = 0, Fy (x, y) = 0,    F±{x, y) = 0

befriedigt werden, sondern außerdem auch noch die Gleichungen Fu{x, y) = 0, Fn(x, y) = 0,    F₂₂(x, y) = 0,

so ist es nicht mehr möglich, die Werte von ^ nach den Angaben der Formel Nr. 253 der Tabelle zu berechnen; dann reduziert sich aber die allgemein geltende Gleichung

fdF dFdy\W

\dx dy dy) \dxdy

(ÔF ÔF dy\W_ n Kdx^dydx) U’

+ ³i?¹²²(îl) + i;’²²²(s)= 0-

(i.)

d²F dy\d²y ÖF dsy öy² dxjdx² öy dxA

auf

(2.) oder

dy

(2a.) F\n -f- 3jFh2 ^

dy

vom dritten Grade

dx

Diese Gleichung ist in bezug auf

und liefert daher drei Werte dieser Größe. In dem zugehörigen Kurvenpunkte gibt es daher drei Tangenten der Kurve, woraus man schließen kann, daß drei Äste der Kurve durch diesen Punkt hindurchgehen.

Ein solcher Kurvenpunkt heißt daher ein „dreifacher Punkt der Kurve“.

(dF ÖF dy\W_

(3.)

\ dx    dy dx) ^ ’

dy

liefert. Der betrachtete Punkt ist

welche vier Werte von ₇

dx

dann ein „vierfacher Punkt der Kurve“, denn es gibt in diesem Punkte vier Tangenten an die vier verschiedenen Zweige der Kurve, welche durch diesen Punkt hindurchgehen.

In dieser Weise kann man fortfahren und kommt schließlich zu dem folgenden Kesultate:

Sind die nten partiellen Ableitungen von F(x, y) die ersten, welche für die Koordinaten x, y des Kurvenpunktes P nicht sämtlich verschivinden, so findet man aus der Gleichung

(4.)

Sind auch die dritten partiellen Ableitungen von F(x, y) sämtlich gleich Null, so kann man auch aus der Gleichung

(2 a.) noch nicht die Größe

dy

berechnen; dann gilt aber, wie

man durch nochmalige Differentiation der Gleichung (1.) erkennt, die Gleichung

dx

\dx dy dx)

n Werte von

dy

denen n Tangenten in dem betrachteten Punkte

Der Punkt

dx ’

an n verschiedene Zweige der Kurve e?itsprechen. P heißt dann ein „n-fâcher Punkt der Kurveu.

Beispiel.

Es sei

(5.)

F(x, y) = (^² + */²)³ — y(y² — 3x²) = o

die Gleichung der Kurve, dann wird

(6.)

F(x, y) = xe> fi Sx*y² + Sx²y* -p y⁶ — y³ -J- Sx²y, F\ = Sx⁵ -f- 12x³y² -f- Qxy* -j- Sxy,

F₂ = Sx* y + \2x²y³ + 6y⁵ — 3y² + 3x²,

Fx i = SOx* + 36 x²y² + Sy* + Sy,

< Fyi — 2^x³y -p 2\xif -f- Sx,

. F₂₂ = Sx* + 36x²y² + 30y* — Sy,

(8.)

f Fm = 120a:³ + 72xf, Fn2 = 72x>y + 24^³ + 6, 1 -F122 = 2 kr³ + 72^y², Fi₂₂ = 72^ + 120iß — 6.

Fig. 168.

Für x = 0, y = 0 werden die 6 Gleichungen

Ft = 0,

^12 = 0,

befriedigt, folglich ist der Nullpunkt ein dreifacher Punkt, in welchem man die Richtung der drei Tangenten aus Gleichung (2 a.) findet, indem man

F= 0 Fn = 0

f₂ = 0

F^ = 0

ß'

'c

(8 a.)

-Zfin — 0, Fii2 = 6,    Fi22 = 0 > Fi₂2 = — 6

einsetzt. Dies gibt

dy

“£-«( £)-■ oder, wenn man die drei Wurzeln dieser Gleichung mit tg«i tga₂, tg «₃ bezeichnet,

tg«i = 0, tg a₂ = + V 3,

«1 = 0°

(Vergl. Fig. 168.)

(9.)

(10.)

«₂ = 60°.

t gcc₃ = ~Y 3, cc₃ = 120°.

(IO

§ 160.

Spitzen oder Rückkehrpunkte.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 255.)

In Formel Nr. 253 der Tabelle, nämlich in der Gleichung — Fn ± Y Fn² — Fii F^₂

-^---5

dy

dx

F₂2

welche die Richtung der beiden Tangenten in einem Doppelpunkte lieferte, kann es Vorkommen, daß Fn¹ — FttFn — 0 wird, ohne daß die drei Gleichungen

(2.)

F\\ = 0, -Fi2 = 0, F<zi — 0

dy

dx

gleichzeitig erfüllt sind. Dann sind die beiden Werte von

einander gleich, d. h. die beiden Tangenten fallen in eine zusammen. Durch den betrachteten Punkt gehen daher zwei Zweige der Kurve, die sich gegenseitig berühren. Hierbei werden im allgemeinen die beiden Kurvenzweige nur auf der einen Seite des betrachteten Punktes reell sein, während sie auf der anderen Seite imaginär werden. Man kann sich diesen Fall

Fig. 109.

Fig. 170.

’S

S'

aus dem allgemeinen so entstanden denken, daß sich eine Schleife immer weiter zusammenzieht und schließlich zu einem Punkte zusammenschrumpft. (Vergl. Fig. 169 und 170.)

Man kann sich aber diesen Fall auch durch die folgende Rechnung klar machen. Es sei z. B.

(3.)

y = (fix) zk(x— a)f ip(x),

wobei (f{x) und rp(x) rationale Funktionen sein mögen, die für x = a nicht unendlich groß werden, so ist

dy

(4.)

dx

fix) ±

2ip(x) -f (x — ß)if'(x)

2 Vip(x)

Aus Gleichung (3.) findet man andererseits durch Fortschaffung des Wurzelzeichens

(5.)

Fix, y) = [y — (f{x)Y — ix — af if>(z) = 0,

Fiix, y)= — 2[y—(f(x)}rf ‘ix)—2ix—a)xp{x)—{x—afiplix), FJyX, y) = + 2[y—(fix)],

F± i = -f 2 y‘(xf

(7.)

% — 5p(*)]y"0*0 — ²⁽KX)

— ä(x — a)xp‘{x) — (x — a)²ip"(x),

' -^12 — -2<f‘{x) ,    F-22 — + 2.

Deshalb erhält man für x = a, y = </;(«)

(8.) -FO, y) = 0, -FiO, y) = 0, Fix, y) = 0 ;

(9.) FR = 2(p\af — 2ip(a), Fn = — 2 (f‘(a),    F₂₂ = + 2.

Ans den Gleichungen (8.) folgt, daß der Punkt mit den Koordinaten x = a, y = ff (a) ein Doppelpunkt ist, und aus den Gleichungen (9.) ergibt sich, daß für diesen Doppelpunkt

_ dy_— F\2 ± Y F\2² — jFii Ak

(10.) tg«

Dasselbe Resultat findet man noch leichter aus Gleichung (4).

Wenn sich nun der Faktor x — a noch einmal von der Funktion xp(x) absondern läßt, so daß für x Fvf — Fu F22 = 4 ip(a) = 0 wird, so fallen die beiden Tangenten im Doppelpunkte der Kurve in eine zusammen, imd die Kurve selbst hat in dem Doppelpunkte eine Spitze, wenn xp(x) mit x — a zugleich das Vorzeichen wechselt. Wird z. B.

ip(x) > 0 für x < a und ip(x) <0 für x > «, wobei (vom Vorzeichen abgesehen) nur hinreichend kleine Werte von x — a in Betracht kommen sollen, so sind die beiden Werte

nur dann reell, wenn x a ist ; sie werden imaginär, wenn x > a ist. Wird dagegen

ip(x) < 0 für x < a und ip(x) > 0 für x > a,

so sind die beiden Werte von y und von ^

wenn x ^ a ist; sie werden imaginär für x < a.

Die beiden Kurvenzweige haben daher in dem Doppelpunkte dieselbe Tangente und endigen in diesem Punkte, so daß der eine Kurvenzweig als die Fortsetzung des andern betrachtet werden muß. Ein solcher Punkt heißt demgemäß eine „Spitze oder ein Rückkehr punkt der Kurve“, und die zugehörige Tangente heißt „Rückkehrtanyente“.

(11.)

dx

F22

von y und von

dy

dx

nur dann reell,

Eine Spitze ist gewissermaßen der Übergang von einem eigentlichen Doppelpunkte zn einem isolierten Punkte, ebenso wie eine quadratische Gleichung mit zwei gleichen Wurzeln den Übergang bildet von einer quadratischen Gleichung mit zwei reellen Wurzeln zu einer mit zwei imagmären Wurzeln.

Beispiel 1. Das in § 157 gewählte Beispiel F(x, y) — y¹ — (x — a)² (x — h) = 0 liefert einen eigentlichen Doppelpunkt, wrenn a > b, einen isolierten Punkt, wenn a < b, und eine Spitze, wenn a = b ist. In der Tat, dann wird

(12.)

F(x, y) = y² — (z — «)³, y) = — ³0 — aT, F₂(x, y) = 2y,

Fn — — 6(a? — ö) j Fi2 = 0, Fm — 2, folglich ist für x — a, y = 0

F{x, y) = 0, Fx{x, y) = 0,    F₂(z, y) = 0

(13.)

(14.)

(15.)

und

(16.)

F\2² — F\\ F22 = 0.

Hier kann die Gleichung der Kurve auch in der Form y = ± (x — a)j/x — a geschrieben werden; dies gibt dann

Fig. 171.

(17.)

(18.)

dy

dx

³ i/

~ — 2 Vx~~a

und man erkennt, daß y nur reell ist, wenn x^>a, und daß für x = a die beiden Tangenten der Kurve mit der 'x X-Achse zusammenfallen. Der Punkt S mit den Koordinaten x = a, y = 0 ist daher eine Spitze der Kurve. (Vergl. Fig. 171.)

Beispiel 2. Nach den Gleichungen (36.) und (36 a.) in § 99 hat die Kardioide die Gleichung

e)

(19.)

r = «cos²

oder (vergl. Gl. (36 a.) auf Seite 480)

Man kann jetzt zeigen, daß diese Kurve im Nullpunkte einen Rückkehrpunkt (eine Spitze) hat, und daß die zugehörige Rückkehrtangente mit der X-Achse zusammenfällt. (Vergl. Fig. 172.)

Fig. 172.

In der Tat, hier wird (21.) F\{x, y) = 16a;³ + 16xy²

—    12 ax² — 4 ay²,

(22.) F₂(x, y) = 16x²y + 16y³

—    8 axy — 2 a²y,

(23.) Fn(x, y) = 48a;²+16y²—24ax,

(24.) F₁₂(x, y) = 32xy — Say,

(25.) F₂₂(x,y) = 16a;² + 48y²

—    8 ax — 2a².

Für x = 0, y = 0 erhält man daher

(26.) Fßc, y) = 0, F₂(x, y) = 0, Fn{x, y) = 0, Fvl(x, y) = 0, FAx, y) = — 2a²,

also

(27.) F₁₂² — Fn Fn = 0, tga

_<*y ₌

F\ 2

dx

F₂ 2

= 0, also ct = 0 ;

d. h. der Nullpunkt ist eine Spitze der Kurve, und die Tangente in diesem Punkte fällt mit der X-Achse zusammen.

Andere Beispiele für das Auftreten von Spitzen liefern die anderen Epizykloiden und Hypozykloiden, insbesondere die Astroide; ferner die Evoluten oder Krümmungsmittelpunkts-Kurven.

Gewöhnlich wird von den beiden Zweigen einer Kurve, welche in einer Spitze Zusammentreffen, der eine nach oben konkav und der andere nach oben konvex sein, so daß die gemeinsame Tangente zwischen beiden liegt, wie z. B. bei der Evolute der Parabel (Fig. 112 auf S. 458), der Ellipse (Fig. 113, 114 und 115 auf S. 459 und 460) und der Hyperbel (Fig. 116 auf S. 461). Diese Spitzen nennt man „Spitzen erster Artu. Es können aber auch die beiden Zweige, welche in einer Spitze

Zusammentreffen, auf derselben Seite der gemeinsamen Tangente liegen. Es sei z. B.

(28.)

y — x¹ ± x¹,

oder

(29.)

F(x, y) — y² — 2x²y -f- x* — x⁵ — 0.

Hier wird

(30.)    F\(x, ly) = — 4xy -f- 4a;³ — 5x⁴,    i^(#, y) = 2y — 2a;²,

(31.) .Fu = — 4y + 12a;² — 20a;³, Fi₂ = — 4a-, F& = 2.

Für a; — 0, y = 0 verschwinden F(a;, y), i^(ar, y), F₂(x, y), folglich ist der Nullpunkt ein Doppelpunkt. Dabei wird

(32.)

tg et =

dy — Fi2 ± Y Fi ₂² — F\ i F₂₂_

f₂₂    “ ’

d. h. die Tangenten an die beiden Kurvenzweige in diesem Doppelpunkte fallen mit der X-Achse zusammen. Deshalb hat die Kurve in diesem Doppelpunkte eine Spitze. Daß der Nullpunkt wirklich eine Spitze ist, erkennt man aus Gleichung (28.), weil y imaginär ist, sobald x negativ wird.

Ferner folgt aus Gleichung (28.)

⁵ J d%y _

> -

fr*.

Das doppelte Vorzeichen in den Gleichungen (28.) und (33.) entspricht dem Umstande, daß jedem Werte von x zwei Werte von y, also auch zwei Punkte der Kurve zugeordnet sind.

Im Nullpunkte fallen diese beiden Punkte zusammen und gleichzeitig auch die beiden Tangenten. So lange x < 1 ist, liegen auch beide Zweige der Kurve über dieser gemeinsamen Tangente, nämlich über der X-Achse, weil beide Werte von y positiv sind. Für kleine Werte von x,

(83.)

dy

dx

Fig. 173.

2x±2

dx‘

Wz

d. h. für x <

64

225

werden sogar

beide Werte von

dhy

dx¹

positiv,

d. h. beide Zweige der Kurve sind in der Nähe der Spitze nach oben konkav; erst für

cPl

dx²

64

wird

X 225

-æ =

d. h. der untere Kurvenzweig hat in dem zugehörigen Punkte einen Wendepunkt W, in dem er sich von der Konkavität zur Konvexität wendet.

Eine solche Spitze nennt man eine „Spitze zweiter Art11 oder „Schnabel-Spitze“. (Yergl. Fig. 173.)

XX. Abschnitt.

Herleitung der Taylor sehen Reihe für Funktionen yoii mehreren Veränderlichen. Homogene Funktionen, § 161.

Die Taylor sehe Reihe für Funktionen von mehreren Veränderlichen.

(Vergl.fdie Formel-Tabelle Nr. 256.)

Es^sei

(1.)

² =/0> y)

eine Funktion von zwei Veränderlichen, dann kann man f{x -f h, y -f- k) in ähnlicher Weise nach Potenzen von h und k entwickeln, wie früher (§35 und 37) fix -f h) nach Potenzen von h entwickelt wurde.

Man findet diese Entwickelung sehr leicht, indem man zu

nächst

ht statt h

kt statt k

schreibt und fix Ą- hi, y -f kt) nach steigenden Potenzen von t entwickelt. Dies geschieht nach der Mac-Laurinsehen Reihe* m folgender Weise. Man setze

(2.)

x -f- ht = u, y -f- kt = v, fiu, v) = F(t),

dann wird nach Formel Nr. 90 der Tabelle, wenn man / mit F und x mit t vertauscht,

(3.) F(t) = F(0) + lj*(0) + ^F"(0) + • • • 4- ^-F<">(0) + B.

Bei der Bildung von F‘(t), F“(t),... muß man beachten, daß für diese Rechnung t die einzige Veränderliche ist, während x, y, h, k konstant bleiben, daß also

(*•)

du

do

dt

— h.    -t- — k

dt

wird. Dadurch erhält man nach Formel Nr. 225 der Tabelle '    F(t)=f{u;v),

F‘(f\ — df(U’    _ Qf du    df^ dv^    df^ , df

dt    du dt    do dt    du ' do ’

\duh+d°k) ’

(5.)

F“(t)

dJ(^Lo)

dt²

FW(t) =

dnf(u, v)

dtn

\ÖU O0 J

Die Formel Nr. 225 der Tabelle ist hier anwendbar, weil u und v lineare Funktionen von t sind. Für t = 0 wird

(6.) u — x

df(u, v)

y) df(u, v)    df(x, y)

--~~~- '

ÔX

öv

dy

Dasselbe Resultat ergibt sich auch daraus, daß

du

dx

ist, weshalb auch für beliebige Werte von t

df{u, v) _ df{u, v)

df(u, v)

dx

du

du

d/Q, v) _ df(u, v)

df(u,v)

dy

do

do

wird. Ähnliches gilt für die höheren Ableitungen. Daraus folgt

Setzt man diese Werte in die Gleichung (3.) ein, so er

hält man

(8.)

-/,ÏÇ =/(* — /*■', .</ ; ki) = i + M    + !yC + C CI'* + %'•)

+ -ßj

(7-)

F{o) =/(«» y)> d/fe y)

F‘{ o) =

(0) = (

dA^j)_k

P“

d/O, y)

dx

d/O, y) z.J²⁾

' Qj

jPW

-(

df(*,y)h , àffay)

dx '

dy

\(«) Aj :

FW) (0t) =

df(x-\- 0hf, y-\-0ht)

dz

df(x+0ht, y+0Jct) \(W+Ü

*T V ‘

“(M‘+pr

wobei

(9.)

<n+¹

tn+1

(»+!)!

df(x-\-0ht, y-\-0kt)

dz

df(x-\-0ht₁ y-}-0kt)

(» + 1) !

oder, wenn man die zweite Form des Festes anwendet,

(io.).R=^[i*->(®,Q-.FW(o)]

_ tn V(df(x+0Jit, yĄ-0Jd), n\ [_\    dz

y)

df(x-\-0\ht, y-\-®\kt

dy

<3y

*)WJ •

Setzt man schließlich t gleich 1, so geht Gleichung (8.)

über in

In den vorstehenden Gleichungen ist wieder von der symbolischen Bezeichnungsweise Gebrauch gemacht, nach welcher z. B.

(U-) {jfxh+%k)

1^ + 2^ + !^

öx²    öx oy    dy²

=/ufo y)h² + 2fn{x, y)hk +/₂₂(^, yW

wird. Die Größe G liegt dabei immer zwischen 0 und + 1.

Diese Art der Entwickelung läßt sich ohne weiteres auf Funktionen von drei oder von mehr Veränderlichen übertragen. So ist z. B.

(12.) f(x + h, y+ h, z + l) =f{x, y, z)+^h + J

2!

¹ (£*+?*+! 0'

VlV+R.

dz

‘T

df(x-\-Gh,y-j~G/c)l , df(x-\-Gh,y-\-Gk)

wobei

(9 a.) R

n\

dx

(»+!)!

(10a.) R=ln^f(X+@^y+@^h

df(x, y)

oder

äx

h -f-

h-\

dy

df{x-\-Gdi,y+Sth) *jn)

dy

df(^ y)

■ ày V J

⁺ lÆh+%k+

Aus der Taylor sehen Reihe für Funktionen von mehreren Veränderlichen läßt sich dann auch die Mac-Laurinsehe Reihe herleiten. So braucht man z. B. bei Funktionen von drei Veränderlichen nur

§ 162.

Homogene Funktionen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 257.) Erklärung. Eine Funktion

(1-)

Z =f(x 1, X₂, ...Zn) von n Veränderlichen x\, x₂, ■ ■ ■ xn heißt eine „homogene Funktion mten Qradesu, wenn sie sich durch Multiplikation der sämtlichen Veränderlichen mit ein und demselben Faktor t in sich selbst verwandelt, multipliziert mit der mttn Potenz dieses Faktors.

Eine homogene Funktion mten Grades wird daher erklärt durch die Gleichung

(2.)

720

§ 162. Homogene Funktionen. y statt k

zu schreiben, um die Funktion nach steigenden Potenzen von x, y und z zu entwickeln.

x statt, h

z statt l

f{tXi, tx₂, • • • tXn) = tmf{xx, X₂ , ■ • • Xn).

So ist z. B.

f{x, y, z) = x³ — 2x²y — 4yz² — Ixyz eine homogene Funktion dritten Grades von x, y, z;

3x⁴ + z⁴

zs

/O, y, z) = x² + 3xy + -

und

'c

f{x, y, z) — ~/x⁴ + y⁴

3 xyz

y x²—z²

sind homogene Funktionen zweiten Grades von x, y, z;

z -X

yx²-j-y² yy²-\-z² ' Yz²f-x2 ist eine homogene Funktion nullten Grades von x, y, z.

fix, y, z) =

xfy

Satz 1. Pi vidiert man eine homogene Funktion mten Grades durch die mte Potenz einer ihrer Veränderlichen, z. B. durch xnm, so wird der Quotient nur von den n — 1 Verhältnissen der übrigen Veränderlichen zu dieser einen abhängen, d. h. der Quotient ist nur noch eine Funktion von n — 1 Veränderlichen

X\ X'2

Xfi—1

xn xn

Xn

Beweis. Nach Voraussetzung ist

f{tx\, tx₂... txn—\, txn) = tmf(x!, «s,...ä„-i, ®„);

- > so erhält man

setzt man in dieser Gleichung t =

Xn

,f(xi, X‘i) . . . Xn—1, Xn')

sr m

Satz 2. Aus einer nicht homogenen Funktion von n — 1 Veränderlichen (p {ii\, w₂, ... un—i) kann man eine homogene Funktion mUn Grades von n Veränderlichen machen. indem man

(3.)

= f(XS,    \ .

\Xyi Xfi    Xyi /

X\

U\ — — 1 U₂ —

x₂

Xn

Xn

⁵ * ' * Un—t —-

Xn—| Xn

setzt und die Funktion mit xnm multipliziert. Dabei ist der Exponent m noch ganz beliebig.

Beweis. Vertauscht man in

Xn—1

(4.)

/X]_

Xnm(p[ — 5 \Xn

Xn

) =f{xh xi

• • xn)

x\ mit txi, x₂ mit ₂, ...xn mit txn, so geht Gleichung (4.) über in

pn~. o %vn

mv(

X₂

Xn—1

Xn

Xn

folglich wird

f{txx, te₂, ... txn) =    , ar₂,... xn).

Ist (p(ut, u₂, ... w«_i) eine ganze rationale Funktion, so verfügt man über die beliebige Zahl m gewöhnlich so, daß auch die homogene Funktion f(x 1} x₂, ...x„) eine ganze rationale Funktion wird.

Man kann diesen Satz benutzen, um Gleichungen zwischen x, y oder zwischen x, y, z homogen zu machen, wodurch ihre Behandlung für viele Zwecke bequemer wird. Ist z. B. die Gleichung

(5.)

aux² + 2a₁₂xy + a-ny¹ + 2anx + 2 a₂₃y + a₃₃ = 0 gegeben, so setze man

46

Kiepert, Differential-Kechnung.

x = — > y = -

Xi

^3    «3

und multipliziere mit ^₃². Dadurch erhält man eine homogene Gleichung zweiten Grades mit drei Veränderlichen x±, x₂, x₃, nämlich

(6.)    -)- 2aX2X\X₂ “h ö22^2² ~j~ 2U\₃X\X₃ -j- 2ü₂₃X₂X₃ ~j~ U₃₃X₃- — 0.

Indem man

^3 = 1, also xx — x, x₂ — y

setzt, kann man dann jederzeit von den homogenen Gleichungen zu den nicht homogenen zurückkehren.

Satz 3. Die ersten partiellen Ableitungen einer homogenen Grades sind sämtlich homogene Funktionen

Funktion m

ten

(m — l)ten Grades.

Beweis. Bezeichnet man, wie gewöhnlich, df{x 1, x₂, ...xn)

dxa

mit ftt(x 1, x₂, ...xn)

und setzt

(7-)

txX = Ui, tx₂ = U₂, ... tx„ = Un,

so folgt aus der Voraussetzung, nämlich aus der Gleichung

f {ßX\, tx₂, ...txn) = tmf(x 1, x₂, ...Xn),

oder

(8.)

/(« 1, «2, ...«*) = tmf(xX , X₂, ■■■Xn)

durch partielle Diiferentiation nach xa

fa{ui, u₂, ... Un) . t = tmfa (*1 , X₂, ... Xn),

oder

(9.)

fa{tXi, te₂, • ■ • ^n) = tm~ifa(xX, #₂? d. h.    #₂, ... Xn) ist eine homogene Funktion (m — l)ten

Grades, wobei « die Werte 1, 2, ...n haben darf.

In derselben Weise kann man zeigen, daß jede zweite partielle Ableitung von einer homogenen Funktion mten Grades eine homogene Funktion (m — 2)ten Grades, allgemein, daß jede partielle Ableitung rten Grades eine homogene Funktion (m — r)ten Grades ist.

Differentiiert man Gleichung- (8.), indem man t als die einzige Veränderliche ansieht, so erhält man nach Formel Nr. 225 der Tabelle

/l(«l» «2, ...Un) .X1 + /₂(«l, «2, ...Un) .x₂ -j----

+ /«(«! , «2,    .. . un) . Xn = mtm~f\x 1, tf₂ , • • ■ £h) ,

oder für £ = 1

«2,    . «1 +/2O1, tf₂, . .. Xn) .X₂ -1----

+/»(« 1, »21 ... «*) .    = mf{x 1, ar₂, ...#»)•

Dies kann man noch einfacher schreiben, indem man f{x 1, «2, • ..^«) = 2 setzt; dann erhält man nämlich

(10.)

dz

dz

dz

Xldxl + X*d^ ⁺ "’+X’,dVn

= mz.

Beispiel.

Es sei

(11.)    2 = anX? Ar2anXXX₂ + a₂₂X>? + 2a₁₃XxX₃Ą-2a2ZX₂X₃-\- a₃₃X^,

und

#12 — «2 1,    «13 — «31 >    «23 — «32

dann findet man

dz

2(«n^i + «12^2 + «13^3),

(12.)

dz

dx₂

— 2 («21^1 + «22^2    «23^3)

dz

, dx3

2 («31^1 -(- «32#2 ~\- «33^3)j

(13.) x\

dz

dz

dz

dz, +X2d^ + X3dz,

= 2xt (anxi -f- a₁₂x₂    «13^3)

+ 2x₂ (a 2Xxx + a₂₂x₂ + a₂₃x₃) H⁻ 2x₃(u₃iXi -(- u₃₂x₂ -(- u₃₃x₃) = 2z.

46*

Durch diese Formeln kann man die Gleichung der Tangente einer ebenen Kurve und die Gleichung der Tangentialebene einer Fläche vereinfachen.

Es sei z. B.

(16.)

V =/(*)» oder F(x, y) = 0

die Gleichung einer Kurve wten Grades, so erhält man nach Formel Nr. 138 der Tabelle für die Tangente die Gleichung

y‘

oder

(17.)

724

§ 162. Homogene Funktionen. dz dz

dx i. dx₂ ’ dxn gene Funktionen (m — l)ter Ordnung sind, so folgt aus Gleichung

(10.), indem man z mit

Wenn man beachtet daß

dz

dxa

dz

wieder homo-

und m mit m — 1 vertauscht,

dH

dH

dx F

dx i dx2

-f- • • • --f- xn

dH

X\

dH

dH

dx i dxn dH

= (rn — 1)

dz

dx i’

dx i dx₂

dx 2²

= (m — 1)

dz

dx2 ’

dH

H- x<i

dH

dH

dz

= (m — 1)

Ćfoj

Multipliziert man diese Gleichungen bezw. mit^i, r₂, . ..#» und addiert sie, so erhält man unter Anwendung der symbolischen Bezeichnungsweise und mit Rücksicht auf Gleichung (10.)

dx₂dxn

dxn²

dx %

(«■) (

(5z

(5z

dz \(²)

Sj =B!(

dx 2

In dieser Weise kaun man fortfahren und findet

l)z.

(15.) (xr

(5z

dx !

F X₂

(5z

dx 2

i---- -\rxn

(5z \W .    .    .

-fa ) =™(m— !) • • ' (m—r+l)z.

F\(x, y) ix< — *) + F₂(x, y) {y‘ y) — 0.

Macht man jetzt aber die Gleichung (16.) homogen, indem man

Indem man zum Schlüsse

x₃ = 1, also Xi = x, x₂ — y, x\ = x‘, x‘₂ = y‘

setzt, gehen

Gi, G₂

G{xi, x₂, x₃)

bezw. in

Fi, F₂

(18.)

Xi

x₂

y = — x₃ ' x₃

setzt und mit x₃n multipliziert, so wird

(19.)

x₃n F 5 —) = G (xi, x₂, x₃) = 0.

\^3    X₃/

und x₂

Daraus erhält man durch partielle Differentiation nach x\

x₃n

x₃n *

Fl    —) = G₂(x! , X₂, X₃) .

\x₃ x₃ J

Deshalb geht Gleichung (17.), wenn man sie mit x₃n multipliziert und

X\

« « co I io

setzt, über in

(20.)

Gi (x\ — xx) + G 2 (x'o — x₂) = 0.

Nun ist aber nach Gleichung (10.)

GiXi -f G₂x₂ + G₃x₃ = nG(xi, x₂, x₃) = 0, folglich erhält man durch Addition der Gleichungen (20.) und (21.) für die Tangente die Gleichung

G\x‘i -j- G₂x‘₂ -j- G₃x₃ = 0.

(21.)

(22.)

Fix, y)

über. Diese Form für die Gleichung der Tangente ist einfacher als die bisher benutzte, denn die Gleichung (17.) ist in bezug auf x und y vom nten Grade, während die Gleichung (22.) nur vom (n — l)ten Grade ist.

Daraus ergibt sich durch partielle Differentiation nach xh

x₂ und x₃

Beispiel.

Macht man die Gleichung der Ellipse homogen, so er

hält man

(23.)

G (xi, x-i, xl) = b²x 1² + a²x₂² — a²b²x₃² = 0,

folglich wird

(24.)

Gi = 2b²xi,    G 2 = 2a²x₂, G₃ — — 2a²b²x₃,

so daß man für die Tangente die Gleichung b²x ix\ -f- alX2X,2 — dlb²x² = 0

(25.)

findet, die für xz — 1 in (25 a.)

b²xx‘ -f- a²yy‘ — a²b² = 0

übergeht.

Man erkennt, daß das hier allgemein erläuterte Verfahren bei den in § 88 behandelten Aufgaben bereits Anwendung gefunden hat.

Ist

(26.)

F(x, y, z) = o

die Gleichung einer Fläche nten Grades, so hat nach Formel Nr. 242 die Tangentialebene im Flächenpunkte P die Gleichung F\{x‘ — x) + F₂{y‘ — y) + F₀(z‘ — z) = 0.

Macht man Gleichung (26.) homogen, indem man

(27.)

Xl

%2

— i y = — >

Xi ° Xi

setzt und mit xf multipliziert, so erhält man (26 a.)

Xi

XinF(Xl : X'² ) —^ = G(xi, X‘i, x₃, Xi) = 0.

\i2/4    ^4/

x?-'F, (Î1

\Xi

Xin~'F₂ (—, V^4

xf-'Fn (-¹

\Xi

SS

SIS S IS

setzt, über in

(27 a.) Gx{x\ — xi) + G₂{x‘ ₂ — x₂) + G₃(x‘ ₃ — x₃) — 0.

Nun ist aber nach Gleichung (10.)

(28.) Gxxx + G₂x₂ -f- G₃x₃ -f- GiXi = nG(xh x₂, x₃, x\) = 0, folglich erhält man durch Addition der Gleichungen (27 a.) und (28.) für die Tangentialebene die Gleichung

(29.)

G\x\ -|- G₂x‘₂    G₃x‘₃ -f- GiXi = 0.

x₂ =

Indem man zum Schlüsse Xi ⁼⁼ 1, also xx = x,

x'i = x‘, #'₂ =    ,    x‘₃ = z‘

setzt, gehen

(x(æi, r₂, x₃, #₄), Gi, G₂, G₃

bezw. in

Fx, F₂, F₃

Deshalb geht Gleichung (27.), wenn man noch

~ X    1    X

— ? y — — ?

Xi    Xi

x\

x‘₂

z‘ =

x‘₃

Xi

y» z)

über. Diese Form für die Gleichung der Tangentialebene ist einfacher als die bisher benutzte, denn Gleichung (27.) ist in bezug auf x, y, z vom nten Grade, während Gleichung (29.) nur noch vom (n — l)ten Grade ist.

Beispiel.

Macht man die Gleichung des Ellipsoids

+ + à²    b² c²

homogen, so erhält man

G{xi, x₂, x₃, x^ =

(30.)

Xi²

a² ^ b²

x₃²

+ ~s — x< =°<

folglich wird

(31.)

Gi

2zi

g₂ = ²?f, g₃ =

b²

2x₃

». Gi = — 2xi

so daß man für die Tangentialebene die Gleichung

728

(32.)

§ 162. Homogene Funktionen. X\X\ , x-ix\ , x^x's

a²

£²

c²

— x^ = 0

findet, die für rr₄ = 1 in

yy‘

zz‘

(32 a.) übergeht.

Man erkennt, daß auch diese Vereinfachung bereits in § 151 zur Anwendung gekommen ist.

a¹

XXI. Abschnitt.

Maxirna und Minima der Funktionen von mehreren Veränderlichen.

§ 163.

Maxima und Minima der Funktionen

von zwei voneinander unabhängigen Veränderlichen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 258.)

Es sei

(i-)

² =/(*> y)

eine stetige Funktion der beiden voneinander unabhängigen Veränderlichen x und y\ man nennt dann z ein Maximum, wenn

/O, y) >/0 + K y + k)

wii'd für hinreichend kleine, im übrigen aber beliebige, positive oder negative Werte von h und k. Dagegen nennt man 2 ein Minimum, wenn für die angegebenen Werte von h und k

/(*> y) <fix + y + k)

wird. Um die Werte von x und y zu bestimmen, für welche z ein Maximum oder Minimum wird, muß man also untersuchen, für welche Werte von x und y die Differenz

(2-)

j =f{x + h, y + k) —f{x, y) beständig negativ, bezw. beständig positiv ist.

Zu diesem Zwecke entwickelt man J mit Hilfe des Taylor sehen Lehrsatzes nach steigenden Potenzen von h und k, wobei vorausgesetzt wird, daß f(x, y) und die vorkommenden Ableitungen davon für die betrachteten Werte von x und y stetig und endlich sind. Dann erhält man nach Formel Nr. 256 der Tabelle

(3.) f{x + h, y + k) =ff y) + (jfh +    R Î dabei ist, wenn man die zweite Form des Restes anwendet und bei © den Index 1 foriäßt,

(4.)

R = LAO + ©A y 4- ©*) —fix, y)]h + [Mx + ©A y + 0k)—fix, y)]k.

Da die Stetigkeit der Funktionen fix, y) und fix, y) vorausgesetzt wird, so kann man die absoluten Beträge der Differenzen

fix + 0h, y + Oh) —fix, y) = ax

und

fix + Oh, y + 0 k) —fix, y) = a₂

für hinreichend kleine Werte von h und k so klein machen, als man nur will, z. B. kleiner als die beliebig kleine Größe ce. dfix, y)

Wäre jetzt

dx

—fix, y) von Null verschieden, so könnte

man k = 0 und h so klein machen, daß

« < fix, y) \

wird. Da nun aber

(5.)

wird, wobei «i seinem absoluten Betrage nach noch kleiner ist als a, so hat

(6.)

J-ff y)h + R = h[f{x, y) + «J dasselbe Vorzeichen wie fix, y)h. Deshalb wechselt 4 mit h zugleich das Zeichen, ist also weder beständig negativ, noch beständig positiv. Daraus folgt, daß fix, y) nur dann ein Maximum oder Minimum werden kann, wenn

(7.)

ff y) = o

ist. Die Notwendigkeit dieser Bedingung erkennt man schon daraus, daß fix, y) ein Maximum bezw. ein Minimum bleiben muß, wenn man y als unveränderlich, also x als die einzige Veränderliche betrachtet. Wie nun fix) nur für Werte von x ein Maximum oder Minimum werden konnte, für welche ff) = 0 wurde (vergl. Formel Nr. 122 der Tabelle), so kann hier ff y) nur für Werte von x und y ein Maximum oder Minimum werden, für welche die Gleichung (7.) befriedigt ist.

Ebenso kann man jetzt aber auch zeigen, daß

Mx> y) = o

(8.)

sein muß. Aus den Gleichungen (7.) und (8.) findet man dann die Werte von x und y, für welche möglicherweise ein Maximum oder Minimum von f{x, y) eintritt.

Ob für die so gefundenen Wertepaare von x und y wirklich ein Maximum oder Minimum eintritt, darüber entscheidet in vielen Fällen schon der ^Charakter der Aufgabe, wie das folgende Beispiel zeigen möge.

Aufgabe. In der Ebene seien beliebig viele Punkte Pi, P₂,... P» mit den Koordinaten x1} %yx\ x₂, y₂\ ... x>, yn gegeben; ihre Massen seien bezw. M1} M₂,... Mn; man soll die Koordinaten eines Punktes P finden, so daß die Summe

M,. PP? + Mt. PP? H-----h M„ . PP?

ein Minimum wird.

Auflösung. Hier ist die Funktion, welche ein Minimum werden soll,

(⁹-) /0> y) = Mt[(x—xtf + (y—2/i)²J + M₂[(x—x₂f + {y—yif J H-----(- Mn[{x — xny + {y — ynf ],

also

(10.)

f\(x,y) = 2Mt(x — x₁)-\-2M₂(x—x₂) -ß----(- 2Mn(x—xH),

Mx,y) = 2Mx(y—yx) + 2M₂(y—y₂) -\-----ß 2Mn{y—yn).

Indem man

fr(x, y) = 0 und fi(x, y) = 0

setzt, findet man

M\X\ -j- M₂x₂ -j- • • • -j- Mnxn

(11.)

Mi + M₂Ą-----ß Mn ’

_ M\y\ -ß M₂y₂ -f- • • • -ß Mnyn .

^ M\ -ß M₂ -ß • • • -ß Mn

Da bei dieser Aufgabe sicher ein Punkt vorhanden ist, welcher die Eigenschaft des Minimums besitzt, und da man nur ein einziges Wertepaar von x und y findet, für welches die beiden notwendigen Bedingungen erfüllt sind, so muß dieses Wertepaar das Minimum liefern.

(13.)

So einfach ist aber die Entscheidung- im allgemeinen nicht. Dagegen ergehen sich für alle Fälle die folgenden Regeln.

Sind die Bedingungsgleichungen (7.) und (8.) befriedigt, so findet man durch die Entwickelung nach der Taylorsahm Reihe

2| (/n^² T" 2fuhk fnlT) -)- Ii,

wobei nach Formel Nr. 256 der Tabelle, wenn man n = 2 setzt und wieder die zweite Form des Restes anwendet,

¹    + ®h, y + 0k)

2! L\ “    —

(12.)

dx

h -j-

df(x + Gh, y + 0k) ^

öy

df(x, y)

dx

also

h + 8f{^v)kJ

2R = [fn{x + Gh, y + Gk)    y)]hl

+ 2[fn{x + 0h, y + Gk)—fn(x, y)]hk + \fn(x + 0h, y + 0k) —fa(x, y)]k2 ist. Da die Stetigkeit der Funktionen fu(x, y), fn(x, y), fn(x, y) vorausgesetzt wird, so kann man die absoluten Beträge der Differenzen

für hinreichend kleine Werte von h und k so klein machen, wie man nur will, z. B. kleiner als die beliebig kleine Größe ß. Dann wird

(14.)    2 | R \ < ß{h² + 2 | h | + k²) = ß(\h\ + ' k\)².

Setzt man jetzt

(15.) fu(x, y)h² + 2fi₂(x, y)hk fifn{x, y)k² = <p(h, k), so heißt diese homogene Funktion zweiten Grades „eine definite Form“, wenn sie für alle Werte von h und k, von denen wenigstens der eine von Null verschieden sein muß, entweder beständig positiv oder beständig negativ ist. Es soll nun durch die folgenden Untersuchungen gezeigt werden, daß 4 für hinreichend kleine Werte von h und k mit <?(h, k) gleiches Vorzeichen hat, wenn diese Funktion eine definite Form ist, daß also f{x, y) für die gefundenen Werte von x und y ein Minimum wird, wenn q{h,k) beständig positiv ist, und daß f\x, y) ein Maximum wird, wenn (ff, k) beständig negativ ist.

Setzt man zunächst Æ = 0, so wird <ff, k) =fnh²;

daraus erkennt man, daß (ff, k) nur dann beständig positiv sein kann, wenn

(16.)

fn > 0

ist. Diese Bedingung ist notwendig, aber noch nicht hinreichend; um auch die weiteren Bedingungen zu finden, unter denen (ff, k) eine definite Form ist, bilde man unter der Voraussetzung, daß fin > 0 ist,

ff(h, k) .fn = fin¹ id + ^fnfnhk fifvfk² -f- (fin f 22    fi2²)A²;

dies gibt

(17.)    <f(h, k) = i- [{fnh +fakf 4- {fn fn-fił)V} ■

Damit dieser Ausdruck für k = 0 positiv ist, findet man

wieder

fn > 0 ;

damit feiner (f {h, k) auch positiv ist, wenn man

fnh fifnk — 0,

oder h -

,/i2 k

setzt, muß außerdem

fn

(18.)

/u/22 —fn¹ > 0 sein. Diese beiden Bedingungen (16.) und (18.) sind noticendig, sie sind aber auch hinreichend; denn, wie man auch h und k bestimmen mag, (ff, k) ist dann immer positiv, so lange h und k nicht beide gleich 0 sind.

In derselben Weise kann man unter der Voraussetzung, daß /22< 0 ist, die Funktion q>(h, k) auf die Form

(19.)    (f(h, k) = j- [(/11/22 —fiffi¹ + (fnh fifnk)¹]

J 22

bringen. Dabei folgt aus den Bedingungen

fn > 0 und /n/22—/12² > 0, oder fn fn > fn² > 0 schon ganz von selbst, daß auch /₂2 > 0 sein muß.

Gelten die Ungleichungen (16.) und (18.), so kann man für hinreichend kleine Werte von h und k die oben eingeführte Größe ß kleiner machen als die Werte von

,/il/22— /l22 4/n

woraus sich ergibt, daß auch

und

,/ll./*22-f\T

4/22

ß <fn und ß <J22

ist. Dadurch wird für hf^O, k = 0 nach Ungleichung (14.) (f(h, k) = fnh² > ßh² > 2 R ,

(20.)

und für h = 0, kfff)

(21.)

(f{h, k) = fnk² > ßk² > 2 j iü I .

Ferner wird nach Gleichung (19.) für j h \ ^ | k | > 0 ./‘11./22 —,/l2²

(22.) cp(h, k) V:

/22

h² > 4:ßh² > ß( h -)- \k J )²>21 R

und nach Gleichung (17.) für | Æ | ^ | h | > 0 /11/22 —'/l2²

k²>±ßk²>ßCh.+ Æj)²>2[i2|.

(23.) ^)(A, k) >

Deshalb wird nach Gleichung (12.)

^ = 2 9"(^> ^) +

gleichviel, ob iü positiv oder negativ ist, mit <p(h, k) gleiches Vorzeichen haben, d. h. J ist beständig positiv.

Somit sind die Bedingungen

(24.) ffx, y) = 0, fix, y) = 0, fn > 0, /n/22 —/12² > 0 dafür, daß /(#, y) ein Minimum wird, auch hinreichend.

fn

Ebenso findet man aus Gleichung (17.), daß die Funktion (f(h, k) beständig negativ ist, wenn

fn < 0 und /u/22 — /12² > 0

ist. Aus fnfii >/12² > 0 folgt dann, daß auch /₂2 < 0 sein muß.

(25.)

Macht man jetzt die absoluten Beträge von h und k so klein, daß ß kleiner wird als die Größen

/n 5    —y 22,

§ 163. Maxima und Minima. /11/22 —/12²

/11/22 —/12²

4/11

4/22

so wird für ä < 0, Æ = 0 nach Ungleichung¹ (14.)

— (f(h, Je) — —fwli¹ > ßh- >2 R

(26.)

und für h = 0, /e^O

(27.)

— <£>(ä, A) = —/22Æ² > |tf>&² > 2 j i21.

Ferner wird nach Gleichung (19.) für h \ ^ | Je > 0

/n/22—/122 J22

(28.) —9p(ä, Æ) > —

Jd> ^ßh²^ß{\Ji\f\Je\f>2R

und nach Gleichung (17.) für j Je | ^ Ji j > 0 /11./22—/12²

(29.) —y(A, Ze) >

/n

/L²>4/^²^(|Äj + j£|)²>2|£ .

Deshalb hat auch in diesem Falle, gleichviel, ob R positiv oder negativ ist, J mit (f(h, Je) für hinreichend kleine Werte von Ji und Je gleiches Vorzeichen, d. h. J ist beständig negativ. Somit sind die Bedingungen

(30.) fix, y) = 0, f ix, y) = 0, fn < 0, /n/₂₂ —/12² > 0 dafür, daß fix, y) ein Maximian wird, auch Jiinreichend.

(31.)

Ist dagegen

/11/22— fił < 0, so ist (p{h, Je) Jeeine deßnite Form, denn für Je = 0 hat (p(h, Je) =

fnk

fnh? gleicJies Vorzeichen mit fn, aber für Ji =

fnh -\-fvJc = 0 wird nach Gleichung (17.)

_ ./11./22—Jrr

/11

oder

(32.)

(f{h, Je)

fn

Je²

und hat deshalb das entgegengesetzte Zeichen wie fn. Dabei wird für diese besonderen Werte von Ji und Je die Funktion (f (Ji, Je) über das Vorzeichen von J entscheiden, denn für Je = 0 wird

(33.)

2d =fuh² + [fli(x + QJi, y) —fii{x, y)]h?, wobei man den Ausdruck in der eckigen Klammer für hinreichend kleine Werte von Ji beliebig klein machen kann; und für fnh = —fvJe wird

ßB

(1/n i + l/l2 !)²

2 J R ; < ß(\ h | + | k :)²

(34.)

fu fï'l f 12~

B + 2 R

wobei nach Ungleichung (14.) in diesem Falle

2 vi =

fl l²

ist. Für hinreichend kleine Werte von Æ kann man aber den Ansdruck

(|/n | + \ fn ;)² <

fwfvt —fvi¹

fn²

machen. Deshalb wird, wenn

fn

/11/22 —fn² < 0

ist, f(x, y) weder ein Maximum noch ein Minimum, da d weder beständig negativ noch beständig positiv ist.

Ist endlich

(35.)

fnfn —fn¹ — 0, oder jnfn — fn so wird nach Gleichung (17.), wenn fn < 0 ist,

(36.)

(f(h, k) =

fn

ifnh -\-fnfy²,

oder nach Gleichung (19.), wenn /₂₂$0 ist, <f(h, k) =

(37.)

fn

{fnh ffnW-

In diesem Falle nennt man die homogene Funktion <j-(h, k) eine „semidefinite Form¹¹ ; sie verschwindet nämlich für h — 0,

fnf

k = 0 und außerdem noch für h = —

fn

während sie für

alle anderen Werte von h und k dasselbe Vorzeichen hat wie /u, bezw. wie/22. Deshalb kann jetzt q{h, k) nicht mehr für alle Wertsysteme von h und k über das Vorzeichen von 4 entscheiden. Man kann vielmehr über die Werte von h und k

so verfügen, daß (f (h, k) (vom Vorzeichen abgesehen) selbst dann kleiner als 2 \R wird, wenn man die absoluten Beträge von h und k beliebig klein macht.

Wie dies geschieht, möge zunächst bei einem Beispiele gezeigt werden. Es sei

(38.)

also

(39.) ft(x, y) = 8pqx— 2(p + q)y², f₂(x, y)— — ±{p+q)xy-\-4y*, fu(x, y) = 8p q, /i₂(«, y) = — 4(^ + q)y,

(40.)

Mx, y) = — Mp + q)x + 12iß.

Da die Funktionen fi(x, y) und f%(x, y) für x = 0, y = 0 beide verschwinden, so muß man untersuchen, ob für diese Werte von x und y ein Maximum oder Minimum eintritt. Aus den Gleichungen (40.) ergibt sich für x = 0, y = 0

(4L)    /„(O, 0) = 8pq, MO, 0) = 0, MO, 0) = 0,

also

(42.)

/n/22 —/12² — 0.

Die Bedingungen, welche bisher für das Eintreten eines Maximums oder Minimums aufgestellt worden sind, werden also nicht erfüllt.

Dagegen folgt aus

(43.) f(0 -+-/>, 0 + k) — f{h, k) = tyqh² — 2(p + q)hk² -f ä⁴, daß die Funktion <f(h, k), welche sich in diesem Falle auf das eine Glied 8pqh² reduziert, nicht immer über das Vorzeichen von (44.) J =f(hi k) —f(0, 0) = 4pqh'² — 2(p + q)hk² + /c4 entscheidet. Setzt man z. B.

(45.)

k² == 2/Æ,

wo man über die Größe l noch beliebig verfügen darf, so wird (46.) /I = 4 [pq — (p -[- q)l -f- l²]h² = 4(/ — p) (l — q)h².

Unter der Voraussetzung, daß p > ^ ist, wird deshalb J positiv, wenn l> p, oder l < q ist ; dagegen wird J negativ, wenn p > l> q ist. Obgleich also q (h, Je) niemals negativ werden kann, wenn p und q dasselbe Vorzeichen haben, wird J doch positive und negative Werte annehmen, so daß f(0, 0) weder ein Maximum noch ein Minimum ist.

Bemerkung.

In dem Falle, wo

/11/22—/12² — 6

47

ist, liegt die folgende, fehlerhafte Schlußweise nahe. Wenn z. B. f\i 0 ist, so folgt aus Gleichung (17.) für /u/22 —/12² = °, daß Kiepert, Differential - Rechnung.

(47.)

/u

ist, folglich hat (p(h, k) immer dasselbe Vorzeichen wie fu. Nur für fnh — —fnk wird q>(h, k) gleich Null und kann deshalb nicht mehr über das Vorzeichen von J entscheiden. Für diesen besonderen Wert

von h:k muß also das Vorzeichen von J noch untersucht werden, indem man

f 12 k

V + *) —fix, y)

nach steigenden Potenzen von k entwickelt. Da man es hierbei nur mit einer einzigen Veränderlichen k zu tun hat, und da unter den gemachten Voraussetzungen die Glieder erster und zweiter Dimension verschwinden, so wird

Ist C

0, so wechselt für hinreichend kleine Werte von k die Größe J mit k zugleich das Vorzeichen, so daß weder ein Maximum noch ein Minimum eintreten kann. Ist aber C = Ü, so tritt ein Minimum ein, wenn fn und D leide positiv sind, und ein Maximum, wenn fn und D beide negativ sind. Haben f\\ und B verschiedenes Vorzeichen, so tritt weder ein Maximum noch ein Minimum ein.

Daß diese Schlußweise fehlerhaft ist, lehrt schon das oben angeführte Beispiel, in welchem /(0, 0) weder ein Maximum noch ein Minimum ist, obgleich in

z/ = 4pqh? — 2(p -f- q)hk² -|- k⁴

alle soeben angegebenen Bedingungen für das Eintreten eines Minimums erfüllt sind. Es ist nämlich unter der Voraussetzung, daß p und q gleiches Vorzeichen haben,

1)    /,i/₂₂-/i2² = 0,

2)    fn =&pq > 0,

./n

3)    der Koeffizient C von k³ in der Entwickelung von J nach steigenden Potenzen von k ist gleich 0, weil h — —= 0

ist,

4) der Koeffizient B von /c⁴ in dieser Entwickelung ist gleich -j- 1, also positiv.

Der Fehler der angeführten Schlußweise liegt darin, daß für das Vorzeichen von J die Glieder höherer Dimensionen nicht nur in dem Falle den Ausschlag geben, wo (p(h, k) verschwindet, sondern auch schon dann, wenn <p(h, k) sich dem Werte 0 nähert, ohne daß h und k gleich 0 werden. Indem die Funktion ą>(h, k) für hinreichend kleine Werte von h und k beliebig klein wird von einer höheren als der zweiten Ordnung, kann sie, vom Vorzeichen abgesehen, kleiner sein als die Summe der Glieder dritter und höherer Dimensionen.

Will man in dem Falle, wo

/11/22—/12² = 0

ist, die Untersuchung, ob f(x, y) ein Maximum oder ein Minimum, oder keines von beiden ist, zu Ende führen, so muß man beachten, daß J eine Funktion von h und k F(h, k) ist, deren Vorzeichen für sehr kleine Werte von h und h bestimmt werden soll. Indem man zunächst annimmt, daß h einen sehr kleinen positiven oder negativen, aber konstanten Wert besitzt, kann man F{h, k) als eine Funktion der einzigen Veränderlichen k betrachten und nach den Regeln, welche für die Theorie der Maxima und Minima bei Funktionen von einer Veränderlichen gelten, die Werte von k bestimmen, für welche F(h, k) ein Maximum oder Minimum wird. Zu diesem Zwecke sucht man die Werte von k auf, für welche

öF(k, k)

dk

— F₂(h, F) = 0

wird. Von diesen Werten braucht man aber nur diejenigen zu berücksichtigen, welche zwischen den beiden konstanten Grenzen — h und + h liegen ; sie seien (der Größe nach geordnet)

ki = (f\{h), h =    ... km = ipm(h).

Ebenso kann man annehmen, daß k einen sehr kleinen positiven oder negativen, aber konstanten Wert besitzt, und F(h, k) als Funktion der einzigen Veränderlichen h betrachten. Indem man die Werte von h aufsucht, für welche

—^— = m, *) = 0

wird, findet man die Werte von h, für welche F(h, k) möglicherweise ein Maximum oder Minimum wird. Auch hier braucht man nur diejenigen Werte von h zu berücksichtigen, welche zwischen den beiden konstanten Grenzen —k und + k liegen; sie seien (der Größe nach geordnet)

hx = i!’i{k), /?2 = ip2{k), ... hn = il>n{k).

(48.)

Ergibt sich jetzt, daß die Größen j F(h, — h), F(h, ki), F(h, h), ... F(h, km), F(h,+h),

IF(-k,k), F(hhk),    F(+k,F)

47*

sämtlich negativ sind, so ist J für alle in Betracht kommenden Werte von h und k negativ, weil auch die größten Werte von J noch negativ sind. Ergibt sich aber, daß die in (4§.) angegebenen Größen sämtlich positiv sind, so ist d für alle in Betracht kommenden Werte von h und k positiv, weil auch die kleinsten Werte von J noch positiv sind. In dem ersten Falle wird also f{x, y) ein Maximum und in dem zweiten Falle ein Minimum.

Diese Bedingungen sind gleichzeitig auch die notwendigen : denn sind die unter (48.) angegebenen Größen teilweise positiv und teilweise negativ, so wechselt 4 das Vorzeichen, woraus dann folgt, daß f(x, y) weder ein Maximum noch ein Minimum wird.

Die vorstehenden Umformungen sind unter der Voraussetzung durchgeführt worden, daß fn ^ 0 ist. Fällt diese Voraussetzung fort, so wird im allgemeinen weder ein Maximum noch ein Minimum eintreten.

Ist nämlich

(49.)

fn = 0, fn >0, fn < 0

so wird

(50.)

(f(h, Je) = 2fnjhk + fif¹

y 22

\{fnh fj'i-fy —ffJt¹] •

für h =

dagegen sind die Vorzeichen von q (h, k) und

Für h = 0 hat daher q(h, k) mit/₂₂ gleiches Vorzeichen; M

fn fn ungleich.

(51.)

ln ähnlicher Weise kann man den Fall erledigen, wo /uSO, fn < 0, fxi — J) ist; man braucht nur die Indizes 1 und 2 und die Größen h und k miteinander zu vertauschen.

Ist ferner

(52.)

/ll —    /₂₂ = 0,

so wechselt

<?(h, k) = 2f\ihk mit h (und ebenso mit k) das Vorzeichen. Wenn also die Voraussetzungen (49.), (51.) oder (52.) gelten, kann weder ein Maximum noch ein Minimum eintreten. Denn J wechselt mit (f(h, k) zugleich das Vorzeichen, da die betrachteten Werte von (f (h, k) kleine Größen zweiter Ordnung sind und sich von nur durch kleine Größen dritter Ordnung unterscheiden.

(53.)

Die Fälle, in denen

(54.)

/n = 0,    /i2 = 0,    /22^0,

oder

(55.)

/u<0» /l2 = 0, /22 = 0

ist, geben

/n/22—/12² = 0

und sind oben schon ausführlich behandelt worden.

(56.)

Es bleibt daher nur der Fall übrig, wo /n = °, /12 = °) y22 = 0 ist; dann wird nach dem Taylor sehen Lehrsätze

(57.) oder

(57a.)    6^/ = ymÄ³ —j— 3JuJT'k -f- 3/i₂₂^>£² ~f- fmk? -j- 6-ZÜ,

wobei nach Formel Nr. 256 der Tabelle

(58.)

6 R= [/in    («    +    ©ä,    V    +    ©*) —/111 («,    y)]Ä⁸

+ 3 [/112    (a?    f    0h,    y    M    0k) — /‘112 (a;,    //V

+ 3 [/122    y    -j-    ©Æ) —/122 (.r,    y)\hk?

+ [fm    {x    +    0h,    y    +    0k) — /₂₂₂ (x,    y)]k³

ist. Da man die Stetigkeit der Funktionen /m (#, y), /n₂ (x, y), /122 (x , y), fm{x, y) voraussetzt, so kann man für hinreichend kleine Werte von h und k die absoluten Beträge der Größen, welche bei Gleichung (58.) in den eckigen Klammern stehen, kleiner machen als eine beliebige kleine Größe y, folglich wird 6 B\< y ( h - i • k |)³.

Sind die Größen /m, fn2, j\-n, f-m nicht alle vier gleich 0, und sind wi, u₂, u₃ die Wurzeln der Gleichung

(60.)

fl 11 W³ “h 3/n₂W² + 3/i22U / /222 — 0 J

so wird /inw³ + 3/ii₂m² + 3/122 u + fi22 für alle Werte von u, welche von ux, u₂ und u₃ verschieden sind, eine endliche Größe sein. Indem man für einen solchen positiven Wert von u

(61.)

f\\\V? -(- ?>Jl\ïU -[- 3/122^ 4-/222

{u + 1):

(62.)

macht und h = u .k setzt, wird, vom Vorzeichen abgesehen, finh? -)- 3/112h²k -j- 3/122 hh² -f-/222^3 = (,/lllM³ + 3/I12W² + 3/i22 U -\~f₂₂₂)B > Y (U + l)³^'³ > 6 £ •

Deshalb hat z/ das gleiche Vorzeichen wie (/in + 3fm'u2 + 3/122w+/₂22)^³, ein Ausdruck, der mit Æ das Vorzeichen wechselt; folglich hat J positive und negative Werte, so daß f(x, y) weder ein Maximum noch ein Minimum werden kann, wenn die Größen /m, /n₂, fi22, /222 nicht alle vier gleich 0 sind.

Gelten die 9 Bedingungen

(63.)

jfi = 0, f₂ = 0, /ii = 0, /12 = 0, /₂₂ = 0, \/in =    /112 = 0, /122 = 0, /₂22 = 0,

so findet man nach dem Taylor sehen Lehrsätze

J ~h.(%k + %k) +R■

ist eine homogene Funktion

(64.)

Der Ausdruck

g(h, k) vierten Grades von h und k und kann nach denSätzen der Algebra in zwei homogene Funktionen zweiten Grades g\(h, k) und g-i(h, k) zerlegt werden. Sind g\(h, k) und g₂(h, k) zwei definite Formen, so läßt sich zeigen, daß J für hinreichend kleine Werte von h und k gleiches Vorzeichen mit g(h, k) hat, daß also f(x, y) ein Maximum oder Minimum wird, je nachdem g{Ji, k) beständig negativ oder beständig positiv ist.

Diese Untersuchung wird jedoch nur in äußerst seltenen Fällen erforderlich sein und möge deshalb an dieser Stelle nicht weitergeführt werden.

Im allgemeinen wird man schon mit der folgenden Regel auskommen :

z — f(x, y) wird ein Minimum, wenn (65.) fi(x, y) = 0, /₂(x, y) = 0, fn > 0, /n/₂₂—fił > 0; und z =f(x, y) wird ein Maximum, wenn

(66.) j\(x, y) = 0, f₂(x, y) = 0, fn < 0, /u/₂₂ — j\ł > 0; dagegen wird z =f(x, y) weder ein Maximum noch ein Minimum, wenn zwar

(67.) fx(x, y) = 0, f₂(z,y) = 0, aber /u/₂₂ — /i2² < 0.

§ 164.

Geometrische Deutung der vorhergehenden Untersuchungen.*)

Die vorstehenden Untersuchungen werden anschaulich, wenn

man

(io

2=/0> y)

als Gleichung einer Fläche auffaßt. Nach Formel Nr. 242 der Tabelle hat dann die Tangentialebene im Flächenpunkte P mit den Koordinaten x, y, z die Gleichung

(2.)

Sind nun die Bedingungen

dx ⁼⁼^i^Xi y') ~ erfüllt, so reduziert sich Gleichung (2.) auf

z‘ — z = 0,

d. h. die Tangentialebene im Punkte P wird parallel zur X Y-Ebene. Setzt man jetzt noch (5.) x‘ — x -f- h, y‘ — y -f- k, also h — x‘ — x, so kann man die Gleichung der Fläche auf die Form

(3.)

(4.)

Gz

=M*, y) = o

k = y' — y,

(6.) gf =/(«', y‘) = z + ~ (fuh² + 2f2ihk +/₂₂A²) + [A, k\ bringen, wobei mit [h, k]₃ die Glieder dritter und höherer Dimension bezeichnet sind. Deshalb wird z‘ — z mit h und k zugleich unendlich klein von der zweiten Ordnung. Sind nun h und k wirklich beliebig klein und so bestimmt, daß z‘ — z einen konstanten Wert l beibehält, so ist

(7.)

z‘ — Z — l

die Gleichung einer Ebene, welche der Tangentialebene im Punkte P parallel ist und ihr beliebig nahe liegt. Für den Durchschnitt dieser Ebene mit der Fläche findet man aus Gleichung (6.) unter Vernachlässigung der beliebig kleinen Größen dritter und höherer Ordnung,

(8.)

f\th² -)- 2f\₂hk +/₂₂P —• 21

oder

(8a.) fn{x‘ — xf + 2fn{x‘ — x) {y‘ — y) +fn{y‘ — ijf = 2l.

Diese Gleichung stellt einen kleinen Kegelschnitt dar, welcher „der Dupin sehe Kegelschnitt“ oder die dem Flächenpunkte P entsprechende „Indikatrix“ genannt wird, weil man aus der Gestalt dieses Kegelschnittes über die Krümmung der Fläche im Punkte P Auskunft erhält ; und zwar ist bekanntlich die Kurve eine Ellipse, wenn

(9.)J

./n/₂₂ —fił > 0 wird. Damit aber diese Ellipse reell ist, müssen fn (und ebenso fn) mit l gleiches Zeichen liaben.|

Dies entspricht ganz der Anschauung. Ist nämlich 'der Punkt ein tiefster Punkt, dann muß in Gleichung (7.) die Größe l einen positieen Wert haben, weil die Tangentialebene nur bei einer kleinen Parallelverschiebung nach oben die Fläche in einer kleinen ellipsenartigen Kurve schneiden kann, d. h. es müssen die Bedingungen

(10.)

/u > 0 und /n/₂₂ —/12² > 0

befriedigt sein.

Ist der Punkt P ein höchster Punkt, so muß in Gleichung (7.) die Größe l einen negativen Wert haben, weil die Tangential-

ebene nur bei einer kleinen Parallelverschiebung’ nach unten die Fläche in einer kleinen ellipsenartigen Kurve schneiden kann, d. h. es müssen die Bedingungen

(11.)

/n < 0 und /n/₂₂ — ff > 0 befriedigt werden. In beiden Fällen nennt man den Punkt P „elliptisch

(12.)

Die Gleichung (8 a.) stellt dagegen eine Hyperbel dar, wenn /n/22 —/12² < 0, gleichviel, ob l positiv oder negativ ist. Die Sclmittkurve der Fläche mit jeder Ebene, welche zur Tangentialebene parallel ist und ihr sehr nahe liegt, hat dann in der Nähe des Flächenpunktes P die Gestalt einer kleinen Hyperbel, was nur dadurch möglich wird, daJß die Fläche im Punkte P sattelförmig ist.

In diesem Falle nennt man den Punkt P „hyperbolisch¹¹ und erkennt, daß P weder ein höchster noch ein tiefster Punkt der Fläche sein kann.

Die dem Flächenpunkte P entsprechende Indikatrix ist also eine Ellipse, wenn

./n/22 —ff > 0,

sie ist eine Hyperbel, wenn

/11/22 —ff < 0.

Von besonderem Interesse ist der Fall, wo

(13.)

/n/22 — ff = 0, oder /n/22 =ff wird; dann kann man die Gleichung (8a.) auf die Form /n²(P — xf + 2/11/12/' — x) (/ — y) +ff{y‘ —yf = 2/n/

bringen und erhält, indem man auf beiden Seiten dieser Gleichung die Quadratwurzel auszieht,

(14.)

fn{x‘ — x) + fn{y‘ — y) = dt Vzfa .1.

Die Indikatrix zerfällt daher in diesem Falle in zwei parallele Gerade. Ein solcher Flächenpunkt entspricht im allgemeinen weder einem eigentlichen Maximum noch einem eigentlichen Minimum ton z, wie folgendes Beispiel zeigen möge.

Es rotiere eine Parabel mit der Gleichung

(15.)

2p(z — c) = (x — a)²

um die Z-Achse (Fig. 174), dann hat die Rotationsfläche die Gleichung

(16.)

2p(z — c) = (YX² -1- y¹ — a)².

Fig. 174.

-Di

Bezeichnet man der Kürze wegen Yx² + y² mit r, so wird

(17.)

dr

dr

_ ₌ _ f ___ ₌ y}

öx r öy r

(r — a)²

z =f(x, y) = c +

Um einen höchsten oder tiefsten Punkt P der Fläche aufzufinden, muß man seine Koordinaten x, y, z so bestimmen, daß außer der Gleichung (18.) noch die beiden Gleichungen

(18.)

2p

pr

pr

(19.) fi(x, y)

befriedigt werden. Dies geschieht, indem man

(20.) x = acoscfi y = asiny, also r = a und z = c

setzt, wobei der Winkel cp noch beliebig ist. Nun ist aber

(23.)

/n/22 —/12² = 0.

Der Punkt P ist liier kein tiefster Punkt, denn er liegt auf dem Kreise, welchen der Scheitel der Parabel bei der Dotation beschreibt, so daß es allerdings Punkte in seiner unmittelbaren Nachbarschaft gibt, welche dieselbe Koordinate z haben und deshalb mit P in gleicher Höhe liegen. Aus dem vorstehenden Beispiele erkennt man auch, daß ein Flächenpunkt P durchaus nicht immer ein tiefster Punkt ist, wenn seine Tangentialebene zur X Y-Ebene parallel ist, und wenn die Schnittkurven der Fläche mit allen durch P gelegten vertikalen Ebenen nach oben konkav sind.

Verschiebt man die Tangentialebene im Punkte P um die kleine Größe l nach oben, indem man

(24.)

r³ — ay²

axy pr³

oder für die Koordinaten des Punktes P

(21.) fn =

pr'A

/l2 =

f 22 =

r³ — ax¹

pr³

(22.) /u =

cosV

’ fn =

sin</> cos<p

sinV

Z — C P l

setzt, so schneidet diese Ebene aus der Fläche zwei konzentrische Kreise mit den Gleichungen

(25.) x¹ -f- y¹ = (a -(- ]/2/?/)² und x¹ Ą-iß = {a — ]/2j9/)²

aus. Die Indikatrix besteht in diesem Falle also aus zwei parallelen Linien, da in hinreichender Nähe des Punktes P die beiden Kreise mit ihren Tangenten zusammenfallen.

§ 165.

Maxima und Minima der Funktionen von drei oder mehr unabhängigen Veränderlichen.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 259 und 260.)

Bei Funktionen von drei oder mehr unabhängigen Veränderlichen gestaltet sich die Untersuchung ganz ähnlich wie bei Funktionen von zwei Veränderlichen. Soll z. B.

u =fix, y, *)

(!•)

ein Maximum oder Minimum werden, so muß

(2.)

J =f(x + h, y + h z + t) —/(*> y, *)

(3.)

für alle hinreichend kleinen, positiven oder negativen Werte von h, k, l hei einem Minimum beständig positiv und bei einem Maximum beständig negativ sein. Aus der Entwickelung nach der Taylor sehen Eeihe findet man, daß dies nur möglich ist, wenn fi0, y, z) = o, /₂(>, y, z) = 0, ß(x, y, z) = 0

ist. Sind diese drei Bedingungen erfüllt, so folgt weiter aus der Entwickelung nach der Taylor sehen Reihe, daß für hinreichend kleine Werte von h, k, l die Differenz d dasselbe Zeichen hat wie (4.) (f{h, k, l) —/11A² -f- 2'fnhk fxJt¹ -(- 2J\Jil -f- 2/23kl

es sei denn, daß diese Funktion </>(/?, k, l) gleich Null wird für Werte von h, k, l, die von Null verschieden sind. Die Entscheidung, unter welchen Bedingungen (f{h, k, l) eine „definite Form“ ist, d. h. die Entscheidung darüber, ob q>(h, k, l) beständig positiv, bezw. beständig negativ ist, ergibt sich durch eine Umformung von (p{h, k, l) unter Anwendung der Determinantentheorie.

Es seien die Größen Dt, I)₂, D₃, an, «₃₂, «₃₃, h‘, k\ h“ durch die folgenden Gleichungen erklärt:

(5.) Di = /11

D₂

_ ! /n/12 /21./22

./11/12/13 D 3 — / 21/22/23 /31/32/33

(6.)    «31 =

/12/13 I /22/23 i

«32 =

13/11

23/21

Sv Sv

«33

/«/l2 [    ,,

/    = 'A,

/21/22 !

(7.) A' = A —

«31

«33

k‘ = k——l

«33

Ä" = Ä' +

/l2

/u

A';

dann wird nach den Formeln Nr. 209 und 211 der Tabelle

(8.)

(9.)

Da =/₃i «₃1 +/32 «32 “h/33 «33 j

/ll «31 +/l2 «32 +/13 «33 = 0, /2I «31 H~/22 «32 H~/23 «33 = 0.

Bringt man also Gleichung (4.) auf die Form <f(h, k, l) = h(f\\h -\- fnk -\~f\zl)

+ k^fc-Ji -\-f₂₂k +/23O

+ Kfzxh -\-ftak ~\~fzzl)

und setzt, den Gleichungen (7.) entsprechend, h — h‘ -\-

«33    «33

so erhält man mit Rücksicht auf die Gleichungen (8.), ‘(9.) und (10.)

(11-) f\f ~\~ f L2k +/13/ =Jllk/    -f- (/ll«31+/ 12«32_b/l3«33)

«33

=fnh‘ -\-fnk\

(12.) /21Ä Ą-jl-lkĄ-fczl = f%Jl⁴ -\~f₂₂k‘ -j--(₁/21«31_K/22«32_h/>23«33)

«33

=fi\k‘ -\-fnk

(13.) jH⁻ f Zlk J33/ =    Ą~fzJ? -f-    (y'31«31+y32«32_h/'33«33)

(4 a.)

«31

k - k‘

«32

l,

«33

—fz\h‘ Ą- jzik¹ -f-

DJ.

«33

folglich geht Gleichung (4 a.) über in

(14.) (f{h, k, 1) — h{fnh‘ +f₁₂k‘) -)- k(J₂\h' +J₂₂k‘)

DJ?

+ Kfz\h‘ -ffzzk') +

= h\fnh+f\zk-\-f vf)-\rk\f₂\h -\-f22 k-\-f>3/) +

«33

Dz?

«33

Dies gibt, wenn man die Gleichungen (11.) und (12.) nochmals anwendet, mit Rücksicht auf die Gleichungen (5.)

(15.)    k, /) = h\f\\h‘ -f-fnk') J- k\J₂Ji‘ -j-fmk?) -j-

oder

DJ?

D₂ ’

(16.)

DJ?

<p(h, k, l) =fnh“² + 2fnh'k‘ +M“> + ^ •

Jetzt ist noch, wie schon in § 163 gezeigt wurde,

/11/22 —/12²

/12

/n

kf

pV' + W

(17.)

(f{h, Je, l) = Dfi“² -f-

JJ 1    LJ 2

Damit dieser Ausdruck beständig positiv ist, damit also f{x, y, z) ein Minimum wird, müssen die drei Bedingungen

(18.)

I)\ > 0, I)₂ > 0, d₃ > 0

(19.)

erfüllt sein; und damit q{h, k, /) beständig negativ ist, damit also fix, y, z) ein Maximum wird, müssen die drei Bedingungen T)\ < 0, D₂ > 0, D₃ < 0

erfüllt sein.

Auch in diesem Falle ist (f{h, k, l) nur dann eine definite Form, wenn von den Determinanten I)i, D₂, I)3 keine gleich Null wird, doch möge die ausführliche Untersuchung hier übergangen werden.

(20.)

In ähnlicher Weise findet man, daß

u = f(x\ , x₂,... xn)

ein Minimum wird, wenn die ersten partiellen Ableitungen fi{x\, X₂,... xn), f₂{xx, x₂, ...xn),    .. .fjx 1, x₂,... xn) sämtlich

gleich Null sind, und ivenn außerdem

(21.)

A > 0,    D₂> 0, I)₃ > 0, ... Dn > 0.

Dabei ist

(22.)

/ll/l2 • • -fla /21/22 • • -fïa

faxfal • • y'(

für « = 1, 2,... 2«.

Dagegen wird u ein Maximum, wenn die ersten partiellen Ableitungen von fix 1, x₂,...xn) wieder sämtlich gleich Null und wenn die Determinanten Da mit geradem Index sämtlich positiv und die mit ungeradem Index sämtlich negativ sind.

Sind nämlich für ein Wertsystem x1} x₂,... xn die ersten partiellen Ableitungen /1, fi,.../» sämtlich gleich Null, so wird

(23.) A = f(x\ -(- h\, x₂ -F h₂,... xn -f- hn) —f ix\, x₂, ... xn)

^2 > • • • A.) ~f~    , ^2 1 • • • ^njg }

wobei der Rest der Taylor'sehen Reihe mit [hx, h₂,... hn]₃ bezeichnet ist, um anzudeuten, daß er mit den Größen hx, h₂, ... hn zugleich unendlich klein wird von der driften Ordnung. Die Differenz J wird für hinreichend kleine Werte von hx, h₂, . . . hn beständig positiv oder beständig negativ sein, wenn die homogene Funktion zweiter Ordnung

(24.) <p{hx, h₂, . . . äw) = hxijxihx -f- fnh₂ -f- • • •    j'xnhn)

+ h₂(f₂xhx fmh₂ -)-••• J'₂nhn)

“H hn( jnxhx -f- n“lh₂ -j- • • • -j-'fnnhn)

eine deßnite Form ist. Bezeichnet man wieder die Unterdeter-minanten von Dn mit «u, ... «*w, so erhält man nach den Formeln Nr. 209 und 211 der Tabelle

(2o.) Dn    f nl&n\ +    T" ’ * ' fnn^nn,

+ /r2 ««2 +----h/rn«»n = 0 fÜT V < n.

Daraus folgt, wenn man

Uni Unn

(26.)

hn, h₂ — h‘2 -f-

«»2

(27.)

CCnn

A.-1 = *Vl +    hn

Wnn

setzt, mit Rücksicht auf Gleichung (26.) für r < n

(28.) ßr\hx~\~frlh₂-\- • • •    frnhn — fr\h‘x Ffrß'lß ’ ’ ‘ ~\~ßr, n—\h‘ n— X

H--(jrlUnlFfrlUn2 -)-• • *-f-frn&nn)

Ufin

= frlh'x -{-frîh'l H-----h/r, «—1 h‘n_x,

und mit Rücksicht auf Gleichung (25.)

t?-1

(29.) jn\h\ Tl/'«2^2 + • * * +/nnhn —fnß‘ \ßßnß‘"lĄ    ~H f n, n—lh‘

H--(JnX<X«\+f nïCCn2-\-----\-fnnUnn)

nn

= fnxh‘l -\-J‘n‘lh‘₂ "f- ” ’ +/«, n—ß'n—l

Dnhn

Dn_x

Dies gibt

(30.) cp(Jii, h₂,... h„) =    + JvJi\ + • • * +/i, n—xh'n—x)

+ hlifilh¹! ff22^2 + • ' ‘ f% n—xJ^n—l) + hn{fn\h‘\ jn'Jl'ï 4~ ’ ' ' ~T fn, n—±h‘n—±)

oder, wenn man anders ordnet und /a(? mit ff vertauscht, (31.) (p(h\i hi, ... hn) —    -\-fv1h2 4“ ’ * ■ ~h fxnhf)

4~ h!i(J-i\h\ ~\~ f22h2 -j- ■ • • 4-/2nhn)

+ h‘n—\( fn—1,1 h\ 4~ f «—1,2 h-2 ~\~----\~f n—1, n^n)

Dnh„²

Indem man die Gleichungen (28.) noch einmal anwendet, findet man

(32.)

<p{h\, ll2 • • • hn) =

h\(fnh\ +fnh‘2 4~ • • • ff x,n-\h¹n—1) 4" h\{f2xh\ 4" frjl\ 4----f f2,n— \h‘n—l)

—xfn—X )

oder

(33.)    g>(h1} h₂,. . . hn) = (p(h\, h\,... h‘n-x, 0) +

K\

°’ ⁰⁾ + ~D

<p(h‘\, h“2,. . . h“n-%

bringen und so fortfahren, bis man erhält

<p(hx, h₂,.. . hn) = Dn—X D^2

(h'n-1)²

(34.)

(OVfCOV--

{h‘n—l)² +

Dn

Dn-X

Aus dieser Darstellung- ergeben sich dann ohne weiteres die oben aufgeführten Sätze.

§ 166.

Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll die Werte von x und y bestimmen, für welche

(1.)

⁰ =/fo y) =    + xy + y² — öx — \y + io

ein Maximum oder Minimum wird.

Auflösung. Hier ist

(2.)

(3.)

/iO> y) = 2x + y — 5, /2(s, y) — X + 2y — 4, fn = 2 /i2=l, fa = 2.

Die beiden ersten partiellen Ableitungen /i(#, y) und /₂(#, y) verschwinden nur für

(40

x = 2, y = 1,

und zwar wird z für diese Werte von x und y ein Minimum, weil /n = 2 > 0, /ii/₂₂ —/12² = 3 > 0.

Der Gleichung (1.) entspricht ein elliptisches Paraboloid. Aufgabe 2. Man soll die Zahl a so in drei Teile teilen, daß ihr Produkt ein Maximum wird.

Auflösung. Bezeichnet man zwei von diesen Teilen mit x und y, so wird der dritte a — x — y, und das Produkt, welches ein Maximum werden soll, ist

² =fixi y) = xy{a — x — y) = axy — x²y — xy¹.

Daraus folgt

/ /iO> y) = ay — 2xy — y² = y(a — 2x — y),

\ fz(x, y) = ax — x¹ — 2xy = x(a — x — 2y), f\\ —    2y,    fn = a — 2x — 2y, fn = — 2x.

Da die Werte x = 0, oder y = 0 hier nicht in Betracht kommen können, wie schon aus der Natur der Aufgabe hervorgeht, so erhält man, indem man fi(x, y) und fi{x, y) gleich Null setzt, die Gleichungen

Kiepert, Differential -Rechnung.

(5.)

(6.)

(7.)

(8.)

48

(9.)

a — 2x — y — 0

a — x — 2y = 0

welche nur für

o

rH

e Ico

co| a

befriedigt werden. Da für dieses Wertepaar

a m    2a s s    x 2 aV A

— g ’./22=--jj- ’ /11/22—712 ^-g > U>

(ll.)/n=—— <0, fn= so tritt ein Maximum ein.

Dieser Aufgabe kann man auch die folgende Fassung geben: Von einem rechtwinkligen Parallelepipedon ist die Summe aller Kanten gleich 4«; wie groß müssen die einzelnen Kanten sein, damit das Volumen ein Maximum wird?

Aus der vorstehenden Lösung sieht man, daß in diesem Falle das rechtwinklige Parallelepipedon mit möglichst großem Volumen ein Würfel ist.

Aufgabe 3. Man soll unter allen Dreiecken mit gegebenem Umfange dasjenige ermitteln, welches den größten Flächeninhalt hat.²)

(12.)

Auflösung. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist bekanntlich

F = ]/u(u — a) (u — b) (u — c),

wenn man die Seiten mit a, b, c und den Umfang mit 2 u bezeichnet. Setzt man

(13.)

so wird

(14.)

(15.)

c = 2u — x—y, u — c = xf-y — u F¹ = du — x)\u — y)(x + y — «),

also

F²

(16.) f(x, y) = — = (u — x) (u y) (x -j- y u)

= (u — x) [— u¹ -j- u(x -f- 2y) — xy — y²]

= (u — y) [— u¹ u {y + 2x) — xy — x²].

Da F mit f(x, y) zugleich ein Maximum wird, so bilde man

/iO, y) = (u — y) O — 2 x — y),

Mx, y) = (u — x) (2m — x — 2y).

(17.)

(18.)

Die Summe aller drei Seiten ist gleich 2u, und jede Seite muß kleiner sein als die Summe der beiden anderen Seiten, daß jede der Seiten kleiner sein muß als u. Deshalb dürfen in fi{x, y) und f₂(x, y) die Faktoren u — y, bezw. u — x nicht gleich 0 sein; man muß vielmehr

2 u — 2x — y = 0,    2 u — x — 2y = 0,

(19.)

oder

(20.)

SO

3 ’ V 3

setzen. Für diese Werte von x und y tritt auch wirklich ein Maximum ein, denn es ist

(21.)

fu = 2y — 2w = — ~ < o

(22.) /i2 = 2x + 2y — 3 u = —

f₂ 2 = 2x — 2 u — —

(23.)

> 0.

/11/22 —/12² =

Unter allen Dreiecken mit gleichem Umfange hat also clas gleichseitige den größten Inhalt.

Aufgabe 4. Von einem Dreieck sind die Koordinaten der Eckpunkte Pi, P₂, P₃, nämlich x1} yx\ x₂, y₂; x₃, yz gegeben;

48*

Fig. 175.

man soll die Koordinaten eines Punktes P finden, für welchen S = p . PPi + q . PP₂-\-r . PP3 ein Minimum wird. (Vergl. Fig. 175.)

Auflösung. Die Abstände des Punktes P von den Ecken seien s1} s₂, s₃, und die Winkel, welche diese Linien mit der positiven Bichtung der X-Achse bilden, seien

Pa

PU

öl

Si

<£ XS±P = (f i, <$XS₂P=cp₂, <$XS₃P = (p₃,

dann wird

(24.) «1 = yjx—xi)² + (y—yi)², s₂ = y(x — x₂f + {y — y₂f, «3 = V(z — x₃)² + (y — ya)²,

und es ist

S = p . «i + q . «2 + r . s₃ =/{x, y) die Funktion, welche ein Minimum werden soll. Nun ist für « = 1, 2, 3

(25.)

dsa

X-Xa

X-Xa

ÖX

(26.)

Ösa

y (X — xa)² + {y— ya)²

_y — y«

Sa

y — y*

also

dy V(x — xa)² + (y — yuf

Sa

(27.)

y)

\mx, y)

Daraus folgt fn{x, y) -

p(x—Xi)    q(x—x₂)    r(x — x₃)

s\

82

p{y—y\) , q{y—ya) , r(y—y₃)

*2

*3

pjy—yi)² , qiy—y*)² , r(y — y*)²

Sl³

«2³

6'3³

fn(x, y) =

p(x — x₁)(y—y₁) q(x — x₂)(y—y₂)

Sl³

Ä2³

r(x — x₃)(y— y₃)

Mx, y) =

P(x — Xi)²

q(x — x₂)²

r(x — x₃)²

«2³

sł

Um leichter zu erkennen, welche Bedeutung die in den Gleichungen (27.) und (28.) auftretenden Größen haben, lege man die X-Achse durch die Punkte Pi und P₂ und bestimme die positive Richtung der Y-Achse so, daß y₃ positiv wird (Fig. 176); dann fallen die Punkte Pi und P₂ bezw. mit S\ und A₂ zusammen, und es wird yx = 0, y₂ = 0.

Die folgenden Gleichungen gelten aber ebenso auch für Figur 175; man findet nämlich

Fig. 176.

Ip

?3

p,

p₂

'■*~x

(29.)

also

—X]_    X-X<x ,

-j coscp₂ =-? aber coscp3

•Sl    S₂

siny₂ = -—— j aber sin<7>₃ =—-s₂

Damit ein Maximum oder Minimum eintreten kann, muß

COSyi =

sin^i

x—~

«3

y- -//i

*'i

s3

(30.)

fx(x, y) = p cos cpi + y cos ÇP‘2 — r cos ÿs = 0,

(81.)

/₂(#, y) = ^sinr/-! + ysin<7>₂ — rsiny₃ = 0 sein. Aus diesen Gleichungen ergibt sich (32.) p : sin(^)₂ — cp₃) = q : sin (cp₃ — yi) = r : sin(^₂ — yi). Nun ist aber

ÇP2 </>3 —    S3PP2 = 180° <£ P2PP3J

cp$ —    —    P1PN3 = 180° — <ÿ P3PP1,

cp₂ — <pi = <£ P1PP2, folglich geht Gleichung (32.) über in

(33.)

p : sin P₂PP₃ = <7 : sin P3PP1 = r : sin PiPP₂.

Dieses Resultat stimmt mit der Lösung überein, welche in § 64 (Seite 323 bis 325) von dieser Aufgabe gegeben wurde. Dort sind außer der Konstruktion des Punktes P auch die Bedingungen erläutert worden, unter welchen der Punkt P die verlangte Eigenschaft des Minimums besitzt. Um aber die in §163 beschriebene Methode einzuüben, beachte man, daß nach den Gleichungen (28.) und (29.)

(34.) sis₂s₃fu = ps₂s₃sm²(fi + qs₃stsin²*/^ + rsis₂sin²<jp₃ > 0, (35.) si_s2s₃f±2 — —^^asin^icos^i — ^sisin^cos^

— rsis₂siny₃cosy₃,

(36.) StS^Szfn = P «2«3 C0S²yi + $'«3^iC0S²9'₂ + rs^COS²«/^ wird. Daraus findet man mit Rücksicht auf Gleichung (32.) (37.) 5i«2«₃(/n/22—/i2²) — qrs₁ sin²(y₂— y₃) + »7?Ä₂sin²(y₃— r/j)

+ pqs₃sm\<px — y₂) = y (/«i + ys₂ + rs₃)sin²(</-₂ — y₃) > 0,

folglich wird fix, y) ein Minimum.

CO 00

Aufgabe 5. Durch die Gleichungen (3 )    x = m\z -j— fi\, y =    ,

(3 )    x = m₂z f- y = n₂z + v₂

sind zwei Gerade gi und g₂ im Raume gegeben; man soll den kürzesten Abstand 1\P₂ zwischen gi und g₂ ermitteln.

Auflösung. Die Funktion, welche ein Minimum werden

soll, ist

(40.)

P\Pł = fi — x₂f + (yi — yf² + (*i — ztf,

wobei

Xi = mxzx + px x₂ = m₂z₂ -)- g2

y\ = «1*1 + vi,

y-2 = n₂z₂ + v-i

ist, folglich wird

(41.) xi—X2=m₁z₁—m2Z2Jrpi—y2, yi—y2=n₁z₁—n₂z₂Jrp₁—v₂\ dies gibt

(42.) PtP‘i = F(zi, z₂)

= (mtzi—m2Z2-\-gi—/u₂)² + (»i«i—«2*2 +^1—fi—zf¹. Damit diese Funktion ein Minimum wird, muß also

(43.) Fi(zi, z₂)

= 2{miZx—m2Z2-\-g\—^2)^1 + 2(raiZi—n₂z2 -\-vi — ^2)^1

+ 2(«1—Z₂) = 0

und

(44.) F₂{zi, z₂)

= — 2(r>Hzt—m₂z₂ + fix—[x₂)m₂—2{ii\zx — n₂z₂ -f- v₂ —v₂)n₂

— 2{zt—z₂) = 0

sein. Diese Gleichungen kann man auf die Form (43a.) (z»!² + ni² +1)^1—{mxm₂ + nin2 +. 1)^2 + nt\(jjbx—^2)

+ nx{v\ — v₂) = 0

(44a.) {mxm₂ + wi»2 + 1)21 — (m₂² -f ^2² +1)22 + ^2(^1 — j«₂)

+ ^2(^1 — V'i ) = 0

bringen und findet daraus, wenn man

(45.)

+ nx² + l)(w₂² + n₂² +1) — {mxm₂ + n\n₂ + l)2 = (oti — m₂y -(- {nx — n₂)² -j- {mxn₂ — m₂nx)² = D

setzt,

(46.) D .zx =

[(mx — m₂) + n₂{mxn₂ — m₂nx)\ {[Xx — ,«2)

—    [{n\ — n₂) — m₂{mxn₂ — m₂n^)\ (vx — v₂),

(47.) D .z₂ = — [{mx — m₂) + nx{mxn₂ — m₂n^j\ (fxx — ,«2)

—    [(wi — n2) — mx{mxn₂ — m₂nx)\ {vx —■ ^2) .

Für diese Werte von zy und z₂ wird F{zx, z₂) auch wirklich ein Minimum, denn aus den Gleichungen (43.) und (44.) findet man

(48.) Fxx = 2(wi² -f- ni² +1)>    F₁₂ = — 2{mxm₂ + ntn₂ -f- 1)

F₂₂ = 2 {m₂² + n₂² + 1),

folglich ist

(49.)

Fxx > 0 und FxxF₂₂ — Fi₂² = 4D > 0.

Um den kürzesten Abstand PxP₂ selbst zu berechnen, bilde man zunächst (50.) D{zx—z₂)={mxn₂—m₂nx) [—{mx~m₂){vx—r₂)-\-{nx—n₂){(x 1—(x₂)\ und beachte, daß man mit Eücksicht auf die Gleichungen (41.) die Gleichungen (43.) und (44.) auf die Form

(51.)

j mx{xx — x₂) + nx{yx — y2) + {zx — «₂) = 0,

I m₂{xx — x₂) + n₂{yx — 3/2) + (*i — *2) = 0 bringen kann. Daraus folgt

{mxn₂ — m₂nx){xx — x₂)    - {nx — n₂){zx — z₂)

760

(53.)

§ 167. Maxima und Minima mit Nebenbedingungen. {m₁n₂ — m₂n₁)(y₁ — y₂) = — (mt — m₂)(z₁ — z₂) ;

dies gibt (54.)    =

(zi — z₂f

(wi»2 — m₂n\Ÿ

Dizx — ztf

[(^1—W₂)²+(^l— tf^)² + (w«1^2 — ^2^-l)²] Km W(yl yz) (»1 «2) (jH ^2)] ²

also

(mi — m₂) (rt — y₂) — (»1 — w₂) (^1 — ,«2)

)/ {mx — m₂)² 4- (??i — w₂)² -j- (m ni — ^2^i)2 Die beiden Geraden gx und g₂ schneiden sich, wenn der Zähler dieses Ausdruckes gleich Null ist.

(55.) Px I\ = ±

§ 167.

Maxima und Minima mit Nebenbedingungen.

Bisher war immer die Voraussetzung gemacht worden, daß in der Funktion

(1-)

u =f{x 1, x₂, ...xn), welche ein Maximum oder Minimum werden soll, die n Veränderlichen voneinander unabhängig sind. Das wird aber bei den wenigsten Aufgaben der Fall sein. Soll man z B. die Zahl a so in drei Teile teilen, daß das Produkt dieser Teile ein Maximum wird, so ist die Funktion, welche ein Maximum werden soll,

u — xyz,

wo zwischen den drei Veränderlichen die Bedingungsgleichung

* + V + ² = a

besteht. Diese Aufgabe wurde in dem vorhergehenden Paragraphen so gelöst, daß man aus Gleichung (3.) den Wert von 2 berechnete und in die Gleichung (2.) einsetzte.

Dadurch erhält man

(2.)

(3.)

u = xy{a — x — y) =/(«, y), also eine Funktion, welche nur noch die beiden unabhängigen Veränderlichen x und y enthält.

In ähnlicher Weise kann man häufig zum Ziele kommen. Soll z. B. in die Ellipse

(4.)

Px¹ -f- Pÿ¹ — PP = 0 ein Dreieck PiP^Pz mit möglichst großem Flächeninhalte einbeschriehen werden, so hängt die Funktion

(5.)

2F = xx{y₂ — y₃) + x₂(y₃ — yx) + x₃{yl — y₂), welche ein Maximum werden soll, von sechs Veränderlichen xx, yt ; x₂, yï, x₃, y₃ ab. Diese sind aber nicht voneinander unabhängig, sondern sie müssen den drei Gleichungen (6.) Px^-\-a²yx²=a²P,    Px^-\-Py^ = PP, Px₃²-\-a²y₃² = a²P

genügen, damit die drei Punkte P1} P₂, P₃ auf der Ellipse liegen. Jetzt kann man aber aus den Gleichungen (6.) die Werte von yx, y₂, y3 bezw. als Funktionen von xx, x₂, x₃ ausrechnen und in den Ausdruck für 2F einsetzen. Dann hat man nur noch eine Funktion von drei unabhängigen Veränderlichen xx, x₂, x₃, welche ein Maximum werden soll.

In den meisten Fällen wird aber eine derartige Elimination viel zu umständlich sein, als daß man an ihre Ausführung denken könnte. Dagegen führt die folgende Methode im allgemeinen viel leichter zum Ziele.

Es sei wieder

(7.)

U = f(X 1) X2, ••• xn)

die Funktion, welche ein Maximum oder Minimum werden soll. Dabei seien die n Veränderlichen x1} x₂,... xn den m Bedingungsgleichungen

¹

h‘n-\(fn-l'lh* 1    f n-X^h¹2 4~ ’ - - 4~.A

DJff

Dn-X ’

Du

Dn-X

Da nun hierbei die homogene Funktion zweiten Grades ą{h‘i, h‘2,... h‘n—1, 0) nur noch n — 1 Veränderliche enthält, so kann man diese Funktion in ähnlicher Weise auf die Form

²

Am einfachsten läßt sich die Aufgabe lösen, wenn man zunächst annimmt, daß c und a -f- b — s gegeben sind, und die Seite a gleich x so bestimmt, daß der Flächeninhalt ein Maximum wird. Man hat es dann nur mit einer Funktion der einzigen Veränderlichen x zu tun und findet, daß das Dreieck ein gleichschenkliges sein muß, daß also a — b ist. In derselben Weise kann man « und b + c als gegeben ansehen und findet, daß der Flächeninhalt ein Maximum wird, wenn b — c ist; folglich muß, wenn nur a b -f- c = 2m gegeben ist, a = b — c sein, damit der Flächeninhalt ein Maximum wird.

In ähnlicher Weise kann man häufig Aufgaben aus der Theorie der Maxima und Minima für Funktionen von mehreren Veränderlichen zurückfuhren auf die Lösung von Aufgaben, bei denen die Funktion einer einzigen Veränderlichen ein Maximum oder Minimum werden soll. Wie dies z. B. bei der hier folgenden Aufgabe 4 möglich ist, ergibt sich aus Aufgabe 15 in § 64.

(fix [x\, x₂,... xn) — 0 (f₂ {xx, x₂,... x„) = 0

(8.)

(fm{xi, X₂,...Xn) = 0

unterworfen, wobei aber m < n sein muß.

Zunächst erkennt man, daß hier das früher (§ 165) angegebene Verfahren nicht mehr anwendbar ist. Entwickelt man nämlich/(#! + hx, x₂ -f- h₂,... xn -f- hn) nach steigenden Potenzen von hx, h₂,...hn, so erhält man allerdings wieder

d — f (xx -f- hx, x₂ h₂,... xn -f- hnj f(.xi ? x₂,... xn)

— f\h\ -|- flb₂ -)-••• -\-fnhn “b [^1? 7^2, . . . ^nj₂«

Wollte man jetzt aber

h₂ = 0, /?₃ = 0,... hn = 0 und hx <0 setzen und daraus schließen, daß /i = 0 sein muß, so würde man einen Fehler begehen, weil ja nur solche Werte von hx, h₂, ...hn in Betracht kommen dürfen, für welche auch die Gleichungen

(9.)

■ (fl Ol + 1>\, x₂fh₂,... fl?» + hn) = o ff2(x\ + hi, x₂ -j- hi, ... xn -j- hn) — 0

(Pm{% 1 "F h\ , ^2 4“ Ä₂, . . ■ xn -j- hn) — 0 befriedigt werden. Von den Größen 1h, h₂,...hn sind daher nur n — m, z. B. hm+1, hm+₂, ...hn willkürlich, während sich die Werte der m übrigen {hx, h₂, ...hm) aus den m Gleichungen (9.) ergeben.

Man kann aber trotzdem ein Verfahren finden, das dem früher angegebenen sehr ähnlich ist. Setzt man nämlich (10.) F{xx, x₂,...x„) =f{x i, a?₂,... xn) + h<p\(xx, z₂,... xn)

~f- lï.ffïiX'l, X₂, . . , 3?n) -J— • • • -f- kmffm(x 1, #2 , • • • ^n) > wobei źi, Â₂,... A» noch ganz beliebige Größen sind, so ist es gleichgültig, ob man das Maximum, bezw. das Minimum der Funktion fix i, x₂, ... xH) oder der Funktion F(xx, x₂,...xn) aufsucht, da doch nur solche Werte von xx, x₂, ... xn in Betracht kommen, für welche die Gleichungen (8.) befriedigt werden. Man kann jetzt aber noch über die m Größen X±, h₂,...lm passend verfügen und dadurch den Umstand, daß die Größen 1h, hi,...hm von den Größen hm+1, hm+i,...hn abhängig sind, ausgleichen. Um nämlich die Werte von xx, x₂, ...xH zu finden, für welche F{xu x₂,... xn) ein Maximum oder Minimum wird, muß man wieder

(11.) J = F(xl + hi, x₂fh₂,... xn + hn) — F(xx, x₂,... xn)

nach Potenzen von hx, h₂,... hn entwickeln. Dies geschieht nach

der Taylor sehen Reihe, und zwar erhält man

(12.) J = Fxh\ -f- F₂h₂ + ••• + Fnhn -f- \h±, h₂,... A«]₂,

wobei die ersten partiellen Ableitungen von F(xh x₂,...xn) nach xi, x₂,... xn bezw. mit Fx, F₂, ...Fn und der Rest mit [hx, h₂,...ä„]₂

bezeichnet sind. Damit nun F{xh x₂,... xn) ein Minimum wird, muß J für alle zulässigen, hinreichend kleinen Werte der Größen hi, li₂,... hn beständig positiv sein, und damit F(xh x₂,... x„) ein Maximum wird, muß J für alle zulässigen, hinreichend kleinen Werte der Größen h\, h₂,...hn beständig negativ sein.

Bezeichnet man jetzt

Ö(pa(xi , X₂ , . . . Xn)

mit

ÖXß

ff aß,

wobei a alle Werte von 1 bis m und ß alle Werte von 1 bis n annehmen darf, so kann man die m Größen X\, X₂,... lm so bestimmen, daß die m linearen Gleichungen

F\ = f\ -j-    -j- X₂(f 2i -j- • • • -f- Xm(fm\ = 0,

(13.)

F₂ —fi + Xi(f \₂ -j- X₂(f₂₂ H-----b Xm(fm2 = 0,

mm

fm “ł⁻    -(- X₂ff2m —Xm(p

befriedigt werden. Dadurch geht Gleichung (12.) über in (14.) // = FmĄ.\hmĄ.\ -j— FmĄ.₂hmĄ.₂ -j— ■ • • H⁻ Fnhn -j— \h\, h₂, ...hnJ₂. Da nun hm+1, hm+2,... hn willkürlich sind, so kann man

km-\-2 ⁼⁼ 0 , .. . Ilyi = 0

setzen, so daß sich die Größe J auf

(15.)

zi = JEmĄ.\hmĄ.\ —j— \h\, h2 j • • •    , 0,... 0)2

reduziert. Macht man jetzt hm+1 hinreichend klein, so müssen auch h\, h₂,... hm beliebig klein werden, wenn die Gleichungen (9.) befriedigt werden sollen. Wäre also Fm ±± von Null verschieden, so könnte man hm+1 so klein machen, daß, vom Vorzeichen abgesehen, Fm+1hm+1 größer würde als [h, h₂, ...hm+h 0, ...0]₂, daß also J dasselbe Vorzeichen hätte wie Fm+i hm+1. Diese Größe wechselt aber das Vorzeichen zugleich mit Am+1, folglich kann nur dann ein Maximum oder Minimum eintreten, wenn

Fm+1 = 0

ist. In derselben Weise kann man zeigen, daß auch Fm+2 = 0

sein muß. Dies gibt zur Bestimmung der n Größen xlf x₂,... xn außer den m Gleichungen (8.) noch die n — m Gleichungen

..Fn = 0

Fm-(-1 —fm^-lfMffX^ m+l~h^2^P2, m+1 H-----h^m<fm,m+l = 0

(16.)

Fm-l-2 =i/'m+2~i~^l^Pl, m+2-j-^2^>2, m+2~h ----hbntym, m+2 = 0

= 0.

mn

Fn —fn H⁻ ^lffln “b k₂ff2n ~b • • ' ~b ff Bei der Herleitung wurden allerdings die m Gleichungen (13.) zur Berechnung der m Größen Àlf X₂, ... 2m und die n Gleichungen (8.) und (16.) zur Berechnung der n Größen x1} x₂, ... xn benutzt. Man ist aber natürlich an diese Reihenfolge in der Ausführung der Rechnungen nicht gebunden, sondern hat nach dem vorhergehenden im ganzen m -f n Gleichungen, nämlich die Gleichungen

<fm{xi, X₂,...Xn) = 0,

(17.)

fl “b ^1 ff 11 H- k₂ ff 21 -(-••• H⁻ ff ml = 0,

fn +    ff ln ~b ^2 ff2n “b • * ' “b ^m ff

mn

= 0,

die gerade zur Berechnung der m + n Unbekannten M, Ä₂,... /m, «i, x₂, ...xn ausreichen.

Auf diese Weise findet man alle Wertsysteme der n Veränderlichen, für welche möglicherweise ein Maximum oder Minimum eintreten kann. Ob dann für ein so gefundenes Wertsystem wirklich ein Maximum oder Minimum ein tritt, geht in vielen Fällen schon aus der Natur der Aufgabe hervor. Deshalb möge hier die etwas weitläufige Entwickelung eines allgemein gültigen Kriteriums übergangen werden.

§ 168.

Aufgaben.

Aufgabe 1. Es soll das größte rechtwinklige Parallelepi-pedon gefunden werden, das einer Kugel mit dem Halbmesser a einbeschrieben werden kann.

Auflösung. Da der Mittelpunkt des Parallelepipedons zugleich auch der Mittelpunkt der Kugel sein muß, so ist der Durchmesser der Kugel, nämlich 2a, eine Diagonale des Parallel-v=fix, y,z) = %xvz

epipedons. Nennt man also drei aneinander stoßende Kanten 2x, 2y, 2z, so wird

(10

(20

die Funktion, welche ein Maximum werden soll, und (p(x, y, z) = x¹ -f ÿ² -f 2² — a² = 0 ist die Bedingung, welche zwischen den drei Veränderlichen stattfindet. In diesem Falle wird deshalb

(3.) F(x, y, z) =/+ ly = 8xyz + l{x² + y² + c² — a°-),

(4.) Fi = 8yz -)- 2/.x = 0, F<i = 8zx -(- 2'ky = 0, FA = 8xy -j-2/z=0. Dies gibt

(5.)

zx

xy

also mit Rücksicht auf Gleichung (2.)

j oder x — y

O*¹

= z = -T/3.

Der Würfel ist daher das größte rechtwinklige Parallel-epipedon, welches der Kugel einbeschrieben werden kann.

Aufgabe 2. Es soll das größte rechtwinklige Parallel-epipedon gefunden werden, welches dem Ellipsoid

(6.)

x² = y¹ — z² —

(7.)

ä*

einbeschrieben werden kann.

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei der vorigen Aufgabe findet man hier für die halben Seitenkanten die Werte

V», *=|vs.

Fig. 177.

(8.)

a

X = 3 V³’ V =

CD! Cn

Aufgabe 3. Unter allen Kegeln mit gleichem Volumen V denjenigen zu finden, welcher die kleinste Oberfläche hat.

Auflösung. Der Halbmesser der Grundfläche sei x, die Höhe sei y, und die Seitenkante sei z (vergl. Fig. 177); dann wird die Gesamtoberfläche

)D

oder

(14.)

x -j- z = y J/ 2.

Mit Rücksicht auf die Gleichungen (10.) erhält man daher z² = x² -j- y² — 2 y² — 2 Y2 xy -J- x², oder

(15.)

y = 2a:|/2, z = Sx, 3F=2a;³/r]/2

also (16.) ,ys - y = aÿÇ, ,Ki = â = 3|/-J

(17.)

(9.)

f{x, y, z) — x²n -f- xzn = nix2, -}- xz).

Dies ist die Funktion, welche ein Minimum werden soll. Zwischen x, y und 2 bestehen dabei noch die Bedingungsgleichungen

x²ny

x² -\- y² = z².

oder

(10.)

j <pt(z, y, z) = 3V —x²ny = 0,

l vfa, y, z) = x<1 + y¹ — z² = 0.

Dies gibt

(11.) F(x, y, z) — n(x² -f- xz) -)- Äi(3 V— x²ny)    A₂(æ² -f- y²—z²),

(12.)

F\(x, y, z) = n(2x -f- 2)’— 2l\nxy -J- 2A₂:r = 0, — k\7tx² -f- 2A₂y = 0, — 2A₂z - 0.

< F-,{x, y, z) = ^(■*, y, 2) = ttz

Durch Auflösung dieser Gleichungen findet man

(13.)

7TX —— J

2z

h-*

xz

x² -f- 2 xz -j- z² — 2 y²,

Die Gesamtoberfläche dieses Kegels ist dann 0 — 4x²ti = 2-j/9 V²tz .

Aufgabe 4. Von einem Viereck sind die vier Seiten a, b, r, d gegeben ; wie groß müssen die Winkel sein, damit der Flächeninhalt ein Maximum wird? (Vergl. Fig. 178.)

Auflösung. Ist AB CD das gesuchte Viereck, und setzt man

<£ ABC = #,    <£ ADC — y,

so wird

also

2 A ABC = ab sin#, 2 A ADC = cdsiny

(18.)

2F = /'(#, y) = ab sin x -f- cd siny.

Dies ist die Funktion, welche ein Maximum werden soll; dabei sind aber x und y nicht voneinander unabhängig, denn nach dem Kosinussatz wird

Fig. 178.

X-

\b

AC² = a? -f- b² — 2ab COS#, AC² — c² + d² — 2cdcosy,

A-

>c

dies gibt

■y

(19.) (f{x, y) = a² + b² — 2a£cos# — c² — d² -f- 2cdcosy — 0.

Setzt man daher

F(x, y) =/(*, y) + h(x, y),

so erhält man

(20.)

F\(x, y) = ab cos# -f- 2abXsinx = 0, F₂(x, y) = cdcosy— 2cdl$iny = 0,

oder

(21.)

cos# -f- 2 Asin# = 0 , cos y — 2 2siny = 0 und wenn man X eliminiert,

(22.)

siny cos# -f- sin#cosy = sin(# + y) = 0.

Da jeder der beiden Winkel # und y größer als 0° und kleiner als 180° sein muß, so kann diese Gleichung nur befriedigt werden für

(28.)

# + y — 180 °.

Wenn von einem Viereck die vier Seiten geyeben sind, so ist also der Flächeninhalt dann ein Maximum, wenn das Viereck einem Kreise einbeschrieben ist.

Den Wert von x findet man jetzt ohne weiteres aus Gleichung (19.), weil cosy gleich —cosa; ist. Dies gibt

(24.)

COS .r =

a² —|- b² — c² — d²

2(ab -j- cd)

(25.)

Aufgabe 5. Auf einer Ellipse mit der Gleichung (p(x, y) = b²x² -f- a²y² — a²b² = 0 sind zwei Punkte P± und P₂ gegeben; man soll auf der Ellipse

Fig. 179.

Pt

einen dritten Punkt P bestimmen, so daß der Flächeninhalt des Dreiecks PXP₂P möglichst groß wird. (Vergl. Fig. 179.)

Auflösung. Bezeichnet man die Koordinaten der Punkte Px, P₂, P bezw. mit xx, yx; x₂, y₂; x, y, so wird bekanntlich

der doppelte Flächeninhalt des Dreiecks PXP₂P

(26.)    2F — x(yx — y₂) + y(x₂ — xx) + xxy₂ — x₂yx =f(x, y).

Dies ist die Funktion, welche ein Maximum werden soll. Zwischen den beiden Veränderlichen x und y besteht dabei noch die Gleichung (25.), da der Punkt P auf der Ellipse liegen soll. Deshalb ist hier

(27.) F{x, y) = x(yx — y₂) + y{x₂ — xx) + xxy₂ — x₂yx + X(b²x² -)- a²y² — a²b²),

(28.)

F±{x, y) — yx y₂ -(- 2U²x = 0,

F₂(x, y) = x₂ — xx-\- 2la²y = 0.

Dies gibt durch Elimination von X

(29.)

b\x ! — x₂)x + a²(yx — y₂)y = 0.

Da die Punkte Px und P₂ auch auf der Ellipse liegen, so gelten die Gleichungen

b²xx² -j- a²yi² — a²b² = 0 und b²x₂² + a²y₂² — a²b²    0,

folglich ist auch

b\x i² — x₂²) +    — y₂²) = 0 ;

(30.)

d. h. die Gleichung (29.) wird befriedigt für

(31.)

x\ -j- x₂ yi~\-2 ’ V ~ 2 und stellt deshalb einen Durchmesser dar, welcher die Sehne PiP₂ halbiert. Nennt man die Endpunkte dieses Durchmessers P und P', so haben diese beiden Punkte die verlangte Eigenschaft des Maximums, denn nach der Lehre von den konjugierten Durchmessern sind die Tangenten in P und P' zu PiP₂ parallel. In dem Dreieck PiP₂P (und ebenso in dem Dreieck P₁P₂Pi) ist deshalb die Höhe größer als in einem jeden Dreieck PiP₂P//, welches dieselbe Grundlinie PiP₂ hat, dessen Spitze P“ aber auf der Ellipse dem Punkte P (bezw. dem Punkte P‘) benachbart liegt.

Aufgabe 6. In eine Ellipse soll ein möglichst großes Dreieck PiP₂P₃ einbeschrieben werden. (Vergl. Fig. 180.)

Fig. 180.

, V,

/&

Auflösung. Diese Aufgabe läßt sich unmittelbar auf die vorhergehende zu-rückführen, indem man z. B. die Punkte Pi und P₂ als / gegeben ansieht und den /

Ebenso

p₃

Punkt P₃ sucht. Die Ver- \ längerung des Halbmessers OP₃ muß daher die Sehne PiP₂ halbieren, muß die Verlängerung von OPi die Gerade P₂P₃, und die Verlängerung von OP₂ die Gerade P₃Pi halbieren, d. h. der Mittelpunkt 0 der Ellipse ist gleichzeitig der Schwerpunkt des gesuchten Dreiecks PiP₂P₃.

Da in jedem Dreieck der Schwerpunkt die drei Halbierungstransversalen im Verhältnis von 1 : 2 teilt, so kann man ein solches Dreieck PiP₂P₃ konstruieren, indem man auf der Ellipse einen Punkt Pi beliebig annimmt, den Halbmesser OP\ über 0 bis Nx verlängert, so daß

49

Kiepert, Differential -Rechnung.

PxO = 20N\

(32.)

yi _j/2 + y3

wird, und durch eine Parallele zu der Tangente im Punkte Px zieht; dann schneidet diese Parallele die Ellipse in zwei Punkten P₂ und P₃, so daß das Dreieck PiP₂P₃ seinen Schwerpunkt in 0 hat. Dabei sind nach der Lehre von den konjugierten Durchmessern die Koordinaten des Punktes iVT Xi x₂ + x₃

folglich gelten die Gleichungen

(33.)

^1 + ^2 + tf₃ = 0 und yi + y₂ + 2/3 = 0.

Da bei dieser Konstruktion der Punkt Pi noch ganz beliebig auf der Ellipse angenommen werden durfte, so findet man hierdurch unendlich viele Dreiecke, von denen aber sogleich gezeigt werden soll, daß sie alle gleichen Flächeninhalt haben. Der doppelte Flächeninhalt des Dreiecks PiP₂P₃ wird nämlich mit Rücksicht auf die Gleichungen (33.)

(34.)

2F =    — y₃) + x₂(y₃ — yx) -f x₃(yt — y₂)

= 3(xi y ₂ — x₂yx).

Da die Punkte Pi und P₂ auf der Ellipse liegen, gelten die Gleichungen

b²x₂l -)- a²y₂² — cdb²

b²xx² -f- a²yx² — a²b²

welche durch Multiplikation die Gleichung

(35.)

b^xx²x₂² -f- cäydy-l² -f- d¹b\x\²y₂¹ -(- x{ly{£) — a⁴3⁴

geben. Ferner hat die Tangente im Punkte Pi die Gleichung b²xxx‘ -j- ct²yxy‘ — a²b² — 0,

folglich ist die Gleichung der Geraden, welche man durch parallel zu dieser Tangente legt,

(36.)

2b²xxx‘ -j- 2a²yxy‘ + a²b² = 0.

(37.)

Da diese Gerade durch den Punkt P₂ hindurchgeht, so wird 2b²X]X‘i -{- 2a²yxy₂ = — a²b², und wenn man beide Seiten dieser Gleichung ins Quadrat erhebt, 4&⁴#i²#₂² -j- 8 a²b²XxX₂yxy₂ -f- 4a⁴^i²«/₂² = a⁴Z>⁴, oder mit Rücksicht auf Gleichung (35.)

4a⁴//⁴ — 4.a²b²{xFy^ -f- xö}y\²) -|- 8a²b²xiX^yiy₂ — a⁴£⁴

oder

(38.)    4(«iy₂ — ^i)² = 3a²£²,    2(^₂ — ®aÿi) =    j/3.

Dies gibt mit Rücksicht auf Gleichung (34.)

(39.)

4F= Sab j/3.

Der Flächeninhalt ist also unabhängig von der Lage des Punktes Pt, so daß es unendlich viele Dreiecke P^P^Ps gibt, welche gleichen Inhalt besitzen, und welche größer sind als alle übrigen der Ellipse einbeschriebenen Dreiecke.

Aufgabe 7. In eine Kugel mit dem Halbmesser a soll ein Zylinder mit möglichst großer Oberfläche einbeschrieben werden. (Vergl. Fig. 181.)

Fig. 181.

D.

Auflösung. Bezeichnet man die Halbmesser der Grundkreise mit x und die Höhe des Zylinders mit y, so wird die Oberfläche

(40.) F = 2x²n -f- 2xyn, also

(41.) f(x,y)=x²Fxy, wobei noch zwischen x und y die Gleichung

(42.)

(f (x, y) ■— 4x² fl- y- — 4a² = 0

besteht. Daraus folgt

(43.)

(44.)

(45.)

r(x, y) =f(x, y) + !?■(*, y), Fi(x, y) = 2x -f- y fl- 8kx — 0

y) =

2xy fl- y² — 4x² = 0,

x fl- 2 Xy — 0

oder

(45a.)

y = x{— 1 ± j/ö).

{x fl- y)² = 5x²

Da x und y beide positiv sein müssen, so kann hierbei nur das obere Vorzeichen gelten. Es wird also

49*

(45b.)

y = x(— 1 + Vs),

und mit Rücksicht auf Gleichung (42.)

(46.)    x²(10 — 2 Y5) = 4a², 20x² = a²(10 + 2]/5)

(47.)

s, = «]/₂

Vs’

(48.)

d‘

f{x, j) = *(* + y) =    ⁶ = -ö (f⁶ + x)-

Dasselbe Resultat war bereits in § 64, Aufgabe 27 (Seite 330 und 331) gefunden worden.

Aufgabe 8. Durch den Mittelpunkt 0 eines Ellipsoids

(49.)

x¹

V¹

ist eine Ebene

(50.)

ÿ2(®, y, z) = Az + By Ą- Cz = 0 gelegt; man soll die Achsen der von dieser Ebene ausgeschnittenen Ellipse bestimmen.

Auflösung. Verbindet man einen beliebigen Punkt P der Schnittkurve mit 0, so wird

(51.)

Oi*² = f(x, y, z) = x¹ + y² + z²,

wobei die Veränderlichen x, y, z den Gleichungen (49.) und (50.) genügen müssen. Unter diesen Halbmessern OP ist die große Halbachse ein Maximum und die kleine Halbachse ein Minimum. Man findet daher die beiden Achsen, indem man die Werte von x, y, z bestimmt, für welche f(x, y, z) ein Maximum oder Minimum wird. Hierbei ist

(52.)

(53.)

F(x, y, z) —f -p ''■i//1 -\ A₂y₂

Fi = 2z-\- a2

(54.)

Fi = 2y -f

2 Ivy

(55.)

E₃ = 2z -f

2 l\z

c²

also

Al₂a²

BX₂b2 b² H⁻ Ai

Mit Rücksicht auf die Gleichungen (50.) und (49.) folgt

(56.) 2x =

a'² -f- Ai

2y =

2z = —

GV²

c² + Ai

hieraus

(57.)

A²a²

BW

C²c²

= 0,

b² -f- Ai BW

a² -f- Ai

AW

c² + Ai C²c²

(a² + Ai)² ^ (6²4-Ai)2 + (C² + A!)²J Aus Gleichung (57.) findet man die beiden Werte von M und aus Gleichung (58.) die zugehörigen Werte von A₂. Indem man diese Werte von Ai und A₂ in die Gleichungen (56.) einsetzt, erhält man schließlich die gesuchten Werte von x, y, z.

(58.)

A₂²

= 4.

Gleichung (57.) kann man auf die Form (59.) (AW + BW + GVjAi²

+ [AW(b² + c²) + BW(c² + d²) + C²c²(a² + b²)]lx + (A² + B² + C²)aWc² = 0

bringen. Diese quadratische Gleichung hat zwei gleiche Wurzeln, wenn

(60.) [AW(b² + c²) + BW(c² + a²) + C²c²(a² + b²)f

— 4(A²a² + BW + C²c²)(A² + B² + C²)aWc² = 0 ist. Wird diese Gleichung befriedigt, so werden auch die Achsen der zugehörigen Ellipse einander gleich, d. h. die Ebene Ax + By -f- Cz = 0 schneidet aus dem Ellipsoid einen Kreis aus.

Jetzt kann man aber Gleichung (60.) auf die Form (60a.) AW(b² — c²)² + BW(c² — «²)² + CW(a² — b²)²

2B²CWc²(a² — b²)(a² — c²) -f- 2C²A²c²a² (b² — c²) (b² — a²) 2 A²B²a²b²(c² — a²)(c² — b²) — 0,

oder

(60b.) [AW(b²—c²) — C²c²(a² — b²)f + BW(a²—c²)[BW(a²—c²) 2 A²a²(b² — c²) -j- 2 C²c²(a² — £²)] = 0

bringen. Unter der Voraussetzung, daß a²>à²>c²>0 ist, sind beide Glieder auf der linken Seite dieser Gleichung positiv, oder mindestens gleich Null; die Gleichung kann also nur befriedigt werden, wenn die beiden Glieder einzeln gleich Null sind. Dies gibt

(61.)

A²a\b² — c²) = C²c²(a² — b²) und B — 0,

oder

(62.)

c² (a² — b²)

a²(b² — c²)

B = 0.

Durch die beiden Ebenen

(63.)

x]/c²{a² — b²) ± z]/a²(b² — c²) = 0 werden also Kreise aus dera Ellipsoid ausgeschnitten. Dasselbe gilt von allen Ebenen, die zu einer dieser Ebenen parallel sind.

Tafel für die Beziehung zwischen dem transcendenten Winkel ö und dem gemeinsamen Winkel u.

Grad

u — ln

^(ï + l)

*)

Grad

u = ln

/7T . b\;

tg (4⁺ä)|

0'    10' 20' 30' 40' I 50'    ^

0' ! 10' 20' 30' i 40' 50'

r—I

Q h o co 7t Vij vo f>oo OS Q

0,0000

0175

0349

0524

0699

OOOO o ^ Ln OJ tO o tO Ln ^ O tO OOOO 004»- vo

0874    0903    0932

1049    1078    1108

1225 1401 1577

OOOO    O

00 OS 4*- tO    H

m 4^- OvVO    H

Oi O Os h    Os

0,0145

0320

0495

067O

0845

45    8814    8855    8896    8938    8979

46

xi

12

13

14

7t « O ONOO m I CO H 00 VO N ON H CM h rt CM CM CM

0,1784 Q,x8i3 09x843 0,1873 1991 2169 2348 2528

1430

1607

to to to H A W HVO O Hji. ON

OOVO O M

1137

>-* C5N00 00

w on n m

O M CO io

1020

1195

i37;

1548

1725

15

2050

2229

2408

2588

0,1902

2 >8c ² *59 1138 2618

2648    2679    2709    2739    2769

27-99

16

17

iS

20

2830    2860    2890

3012 3195 3379

0,3564 0,3595 0,3626

3042 3072 3225 3256 3tQ9 344°

OJ ! LO OO LO to OS 4*. to HVO Ul s 00 o to I ^ ONU) O

2951

3133

3317

3502

0,3688

2982

3164

334Ï

3533

0,9063    0,9105    0,9147    o>9I°9    °'9²3I

47    0,9316    0,9359    0,9402    0,9445    0,9488

°>9575    0,9618    0,9662    0,9706    0,9750

49    0,9838    0,9882    0,9927    0,997g    1,0017

50    1,0107    1,0152    1,0198    1,0243    1,0289

4077 4462

48

51

5²

53

54

9021

0,9274

0,9531

0,9794

1,0062

1,0335

0614

0900

1192

1492

1799

IO (0 M H 00 Ln to VO 00 4^ tO O

U-4 ou

21C3

2437

2769

61    3524

62    3890    3952    4014

4T4°

63    4268    4332    4397    4462    4527

64    4659    4726    4793    4860    4928

21

22

23

24

25

2t

27

28

29

30

31

32

33

34

35

5127

5326

5160    5193

5359    5393

m Tt    ro    m    tsi    w    co voio

r^.VD    »O    rf    CO I    CO    <N CM CM

03 o    N    7t    10 |0O    o w 7t

co 74-    rt-    rt-    I    4-    in m in

0,37*9

3506

4095

428;

4477

467c

4865

506 i

5259

546^

0,5662

5696 573° 59°° 5935 6107 6142 6317 6352

6528

-tT I>*

vo vo t^CO c>. ON h- co 10 tOVO VO

5866

6073

6282

6493

6707

70    1,7354    1,744°    i,75²6    1,7612    i,77°°

7¹    i,7S77    1,7967    1,8057    1,8149    1,8241

,8617 1,8714 1,8811

3112

i,34⁶4

3828

4204

4593

4996

5414

66

67

69

ONOtn QOÜJ VO -f». Ois to CO

5775

6225

6149 6615 7102    7185

5849

6302

6695

6775

7269

72

73

74

1,8427 1,8522 I 1,9008 1,9108 1,9209 1,9s¹¹ I,94I4 1,9623 1,9729 1,9836 1,9944 2,0054

36

37

38

39

40

41

42

43

44

CO CO VO — CM TfvO 0\ Ov m ro m

co 10 o 00 m

74- t'N H Tt- OS

N O (N -t vo

t^co 00 00

0,7782

0,7820

m tj-co ro O O 7t N

00 00 00 00

00 00 00 00 TJln 10 O tO COLA OJ <3 VO 04

75    2,0276 2,0389 2,0503 2,0619 2,0736

76    2,0973

77    2,1721 7,2528

79    2 3404

80    2,4362    2,4531    2,4703    2,4878    2,5056

81    2,5421    2,5609    2,5800    2,5995    2,6193

82    2,6603    2,6814    2,7030    2,7250    2,7476

83    2,7942    2,8184    2,8431    2,8685    2,8945

84    2,9487    2,9769    3,0060    3,0359    3*0667

85    3*i3i3    3ii65²    3*2004    3.2368    3*2746

3,3547    3*3973    3,44i7    3,4883    3,537i

87    3,6425    3,6997    3,7604    3,8249    3,8939

88    4,0481    4,1352    4,2305    4,3359    4.4536

89    4,7413    4.9237    5,i468    5,4345    5,8400

78

86

2,1217 2,1340 2,1466 2,1983 2,2117 2,2252 2,28x2 2,2957 2,3104 2,3714 2,3872 2,4033

*,7788

1,8334

1,8909

1,9518

2,0164

2,0854

2,1593

2,2389

2,3253

2,419e

2,6396

2,7706

2,9212

3,0985

3,3138

3,5884

3,9681

4,

5872

,5331

45    8814    8855    8896    8938    8979I 9021

00

*) Aus den Gleichungen

(ginu = tg5-, (£ofw = sec3- (vergl. Formel Nr. 81 der Tabelle)

cos²

folgt e« = (£of « + @in u

1 -j- sin ^

(l)+

2 cos

(l)sin(l)+sül2(l)

cos 9-

cos²

(!)

— sin²

(!)

l + tg (I)

1— tg

^(t+y)

oder u

=ln [*6 (t + y)]

[Vergl. § 30, Gl. (10.)]

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

o,9

1,0

*,*

1,2

*,3

*,4

1,5

*,6

ï;⁷8

*,9

2,0

2,*

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3,0

3,¹

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

4,0

4,*

4,2

4,3

4,4

4,5

4,6

4,7

4,8

4,9

Tafel für die hyperbolische Funktion

©itt w = tg & für m = 0 bis m = 5,09.*)

0,0000    0X00

1002 1102 OI3 2115

0,3045 3*5° 0,4108    4216

0,1

0,2

0200

0500 0600

1506 1607 2526 2629 3572 3678 4653 47^4

6605

7838

9*50

0554

2063

3693

5460

738i

9477

1768

4276

7027 0049* 3372

7028

5552

6725

7966

9286

0700

VÛ ^ Ol W 10 OsCn 0\00 tO vo 004»* Os 10 M W Ol W IO

2COO

454°

73*7*

0367*

37²²

7414

vo vo if ro n vo Tf Os <N ■*+■ vo I 00 O rt-00 IO, vo 00 os O

2379

loi

102

5346 8202

0689* 1013* 134°* 4°75 4432 4792 7803

4035

4382

5831

6209

8198

0369*

2251

4806    5075

7609    7904

8196    8593

7213

1911 2941 4000

5098 113 6248 119 7461 125 8748 13? 0122*

104

108

143

*54

2862    3023    3190

166”

4558

6400

4735

6593

49*4

6788

181

8617    8829

0397*    0827*    1059*

8406

196

214

234

5620

8503

1671*

5*56 _

8993    9398

281

9806    4x3

4116

3666

8868

14,965    15,116    I5,268_    15,422    15,577    *5,734    *5,893    *6,053    *6,214    *6,37«

16,709    16,877    *7,047    *7,    *7.392    *7,567    *7,744    *7,9²3    *8,103

18 285"    18,470    18,655    *8,843    *9.    *9-224    *9,4*8    19,613    19,811    20,010

20211    20,415    20,620    20828    21,    21,249    21,463    21,679    21,897    22,**7

22,33g    22,564    22,791    23,020    23,    23,486    23,722    23,961    24,202    24,445

24,691    24,939    25,190    25,444    25.    25,958    26,219    26,483    26,749    27,018

27,564"    27,842    28,122    28,404    28,690    28,979    29,270    29,564    29,862

31,709    32,028    32,350    32,675    33,o°4

35,046    35,398    35,754    36,113    36,476

38,733    39,¹²²    39,5*5    39,9*3    4°,3*4

42.808    43,238    43,673    44,¹¹²    44,555

10,0179 II9I

27,290

22X2

^4 tO O O M OOiOJOJl-O (0 M W VO

8185

9*77

O vo 00^ Os Oscn Ui 4*. O O M4^ S hüi Oüi UM H    CO O OJ 10 Ul

882

I*

1107

1223

1351

1493

165

182

300

30,162    30,465    30,772    3*-°8*

33,336    33,67*    34,°°9    34,35*

36,843    37214    37,588    37,966

40,719    41,129    4*,542    41^60

45,455    45,9*2    46,374    84°    47,3*1    47,7^7_    48,267    48,752    49,²4²

49,737    50,237"    50,742    51,252    51,767    52,288    52,813    53,344    53,880    54,422

54,969    55,522    56,080    56,643    57,213    57,788    58,369    58.955    59,548    60,147

Ć0751    61362    61.979    62,601    63,231    63,666    64,508    65,157    65,812    66,473

67,^16    68,498    69,186    69,882    70,584    71,293    72,010    72,734    73,405

45,°°3

67,141

74,203 I 74,949

75,702

77,232

*) Die liier folgenden Tafeln sind entnommen der Hyperbel funktionen und der Kreisfunktionen. Ernst & Sohn in Berlin.

332

367

405

448

495

547

604

668

738

816

Ligowski, Taleln Verlag von Wilhelm

aus

0,1

0,2

o,3

0,4

0,6

Anhang. Tafeln für die hyperbolischen Funktionen.

Tafel für die hyperbolische Funktion

(Jof u = sec # für u = 0 bis u = 5,09.

1,0000

1,0050

1,0201

1,0453

i,o8n

1,1276

0001

0061

0221

0484

0852

1329

0002

0072

0243

0516

0895

1383

0,7

0,8

1,3

1,4

1700

1894

0005

0085

0266

0549

£939

1438

M Uj l*» tO

to co rt- Tt-O tN SOSO CS CS co s-

579°

7093

8568

0228*

2090

4174

OOO8

0013

so Ca WO 00 00 OOSO 4s so CO

1494

2119

2865

0113

0314

0619

1030

1551

0018

0128

0340

0655

1077

1609

0025

M o

M OS OJ H

to so Os-fn cn W su

no    o    o    o

H ^)    OJ    M    O

V) OJ    SO    Os    I OJ

4»» H    Ol    W    IW

0041

1669

I73O

0181

0423

0770

1225

1792

20

30

41

51

6T

1,6

1,8

2,6

2,8

3,0

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

4,0

4.1

4,2

4,3

4,4

4,5

4,6

4,7

4.8

4,9

1370

6674

6499

9090

1972

5173

2188

2947

2258

3030

2330

3114

3740    3835

4753

59J3

7233

8725

4862

3932

4973

6038

6164

4029

5085

6292

CS OS 00 OS

O Os cs os CS co to

2476

3286

7374

8884

7517

9°45

0764*

2691

4845

U O VOS OOSO to OS so -N O OS

OS'S 00 w

*

6421

7808

9373

1132*

3103

4229

5314

6552

M M

H o OO'')

^) W 00 os

133

Tf-SO t>. H NfO N lO so Os CS to

(OS ^ OS

Cn W so os 00 Ot Os so Ot oo -<*• so

Ot Ot W Ol

7247

9922

2897

6201

8727    9103    9483

os s. so m

SO ^ SCO so O co cs CI S M s

rn Os CO H

CO OS oo o

O Tf coco

COS CI N

07

66

2905

8373

9867

CS N NH

CO CO CS to Os ^ Os coco coco

5073

5305

7957

954°

1320*

3312

5538

WM MM H 00 Os Ca to so SO M

237

3166

3793

4426

5066

5871

6728

1831*

9316

7594

6749

7502

O206*

3212

6551

0255*

7760

0492*

8020

0782*

4362

8914

3954

9535

5712

2546*

OIOO*

8469

7716

3530

>.• ,.>4

0Ó47*

4797

9395

4487

0125*

6365

3268*

0905*

9352

8693

3852

7261

1043*

5236

9881

5026

0721*

7024

3998*

1712*

0244*

9680

I5,i49 I5,3or 15,455    15,610    15,766    15,924    16,084    16,245    16,408

i6,573    16,739    16,907    i7,°77    17,248    17,421    17,596    17,772    17,951    18,131

14,999

18,313

20,236

22,362

24,711

27,308

30,178

33,351

36,857

40,732

45,014

49,747

54,978

60,759

67,149

COCO    to M    O    COM    co cs

so Os    W VO    O    ^ Os    M-O

cs cs    co co I    ^    mvo

666

18,497

20,439

22,586

24,959

27,582

30,482

33,686

37,227

41,141

45,466

18,682

20,644

22,813

25,210

8 5,

O N N CO tN IO M-VO CO 00 o Tj-

19,059

21,061

23,273

25,719

27,860    28,139    28,422

30,788    31,097    31,409

34,024    34,366    34,711

37,601    37,979    38,360

41,554    41,972    42,393

45.923    46,385    46,851

50,247    50,752

55,S3i    56,089

61,370    61,987

67,823    68,505

CS W OS CO VO »O O OS CS SO so H

19,250 19,444 19,639 19,836 20,035 21,272 21,486 21,702 21,919

22,139 24,466

_____27,037

28,707    28,996    29,287    29,581    29,878

23,507    23,743    23 982    24,222

25,977    26,238    26,502    26,768

32,691    33oi9

36,127    36,490

39,925    40,326

___44,I23    44,566

47,3²i    47,797    48,277    48,762    49,252

Sin    N    S    N    OOSOstnCS    M    CO    VO    H

com    o    os    o    h -t co so co    o    cs    -«t-

t".co    os    os    m    csco^wm    cs    cs    es    cs

300

3r,7²5    32,044

35,060    35,412

38,746    39,135

42,819    43,250

ef m Os ro co co co s-

moo oo -t so so <n oo co mso

5i,777    52,297    52,823    53,354    53,890    54,431

57,221    57,796    58,377    58,964    59,556    60,155

63,239    63,874    64,516    65,164    65,819    66,481

69,889    70,591    71,300    72,017    72,741    73,472

Tafel

für die Briggs'sehen Logarithmen der hyperbolischen Funktion

@tnM = tg5- für u = 0 bis m = 5,09; um 10 vergrößert.

0,0

00

8,0000

30! !

4772 !    6022

6992 I 7784    8455    9036    9548    459

0,2

°,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

9,0007

9,3039

9,4836

9.6136

9-7l69 9,8039 9 88co

9,9485

10,0114

10,0701

0423

3254

0802

3459

1152

3656

1475

3844

4983

5125

5264

6249

6359

6468

7262

7354

8119

8199

5398

6574 7444 i 7533

2060 2325 4025 4199 4366 5529 5656 5781 6678 6780 6880

1777

vo 00 cs 00

CS o

in m o Ov

s- m o •+ m 00 cs 00 vo 00

cs S- VO N.

vo 2 £ 8

Ol Ov h Oi

8872

8942

955°

OI74

0758

9614

0234

0815

8277

9012

9678

8354

9082

9742

0294    0353

0871 1    0927

9805 0412

0982    1038    1093    1148

1203

81

72

66

61

57

_54_

!,I

!,2

1,3

1,4

1,5

1,6

!,7

1,8

!,9

2.0

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

10,125-10,17 _ 10,2300 IO,²797 10,3282

io,3758

10,4225

10,4687

IO,5¹43

10,6044

10,6491

10,6935

IO,7377

10,7818

57

88

1311

1840

1365

1892

1419

1472

1944 i 1995

2351

2846

333°

01 4. 4v- OJ M ^ JO 00 COOJ ^ O 00 OJ JO Ol

5640

2401

2895

r₃78~

3852

4318

4778

5234

5685

6089 6134 6535 6580 6979 7023 7421 7465

7862 7906

2451    2501

2944 I 2993

3426 I 3474

3899

4364

4824

5279

5730

6178

6624

7067

75°9

10 VO    w    w

w y    in    rj-

m O    m    O

uw    w    co

1578

2098

3946

44ïi

4870

5324

5775

6223

6668

7112

7553

795° I 7994 I

3521

cs m o ov in m Ov -*f Ov co co Tt- m

5820

CO fO VO N

vo m m 0\ cs c*. m in

VO iO Cx

8038

2600

3090

3569

M    00    o    00

CO it-    10    fO

vo    m    VO    —

h    CS    CS    CO

36i6

1684 I736 2250

2699 2748 3186 3234 3663 3711

2199

52

50

49

48

47

4039

4503

4961

5415

5865

6312

6757

7200

7642

8082

VO 0\ NO

00 Tt- o vo 0 m o -t-■vr -*** in in

59¹⁰

6357

68o2

7244

7686

4132

4595

5052

5505

5955

6401

6846

7289

773°

4179

4641

5098

555°

6OCO

^4 Ov Ov

'S W 00 4*. si W VO Jv 4“ OJ 0 0\

8126    8169    8213

46

46

45

45

44

45

45

44

44

44

2,6

2,7

2,8

2,9

3,0

10,8257 8301 10,8696 8740 10,9134 9178 io,957r 9615 11,0008 0051

m 'i* m 00 ^ to cs <n CO N cs vo 00 00 OV Ov

OO95

8389

8827

9265

9702

0139

VO VO 00 00 'S w 00 -t». -t' O 'S W Ovvo H OJ

OIÖ2

8477

8915

9353

9789

0226

8521

8959

8564

9003

g-sgô

9440

9833

9877

8608

8652

9046    9090

9484    9527

9920    9964

44

44

44

44

3,1

3,2

3,3

3,4

11,0444

11,0880

11,1316

11,1751

0575

1011

0488    0531

0923    0967

1359 M°3    J44Ö

1794 1838 1881

co -t o m m m ov ci vo O cv

OH HM

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

4,0

11,2186 2230

11,2621 2663 h,3⁰56 3099 11,349! 3534 n,3925 3969 11,4360 4403

4,1

4,2

4,3

4,4

4,5

4,6

4,7

4,8

4,9

n,4795

11,5229

11,5664

II 6098

11,6532

11,6967 11,7401 11,7836 11,8270

4838

S273

57°7

6141

6576

OOvj

w co ^ o

M V4 4X M

WVO Ol O

2273 2317 2360

2708 2752 279s 3143 3186 3230 3578 3621 3665 4012

4447 449° 4534 4881 4925 4968 53i6 5359 5403

575° 5794 5837

6185 6228 6272

4056    4099

OvOi tn Ol    4*-    A    W    OJ 10    »0    MM    MO

OJ0O4-O    Ol    M    ^4    10 CO    4    VO Ül    o OV

H co 4 m    o ovoj vo 01

C/IH OV CO    S    W    03    Wvo    4».    COW    00 JO

0270

0706

1141

1577

2012

2447

cs cs vo 00 m in 00

4621

5055

549°

S9²4

6359

6619

7°54

7488

7922

8357

0313

0749

1185

1620

2056

249t

2925

3360

3795

4230

4664

5099

5533

5968

6402

6663 I 6706

6750    6793

6836

t⁻*» w vo O

Ov CO VO O O m o tj-

O

m m o tj-00 00

m m o»

0793

1228

2969

3012 3404    3447

44

44

44

44

43

43

44

44

N    N    H    VO

■'t-    t-'N    M    Tt-

m    m    O    rt-

m    m    vo    vo

5186

cs m 00 VO O TT 10 vo vo

43

44

43

43

6880    6923

44

5,0

Tfoo CO

00 m »OOO

m vo O C'»    00 00

-St ff

7271

7705

8140

8574

7314

7749

8183

8617

CO CS vo m m ov cs vo CO N (N vo TO CO

43

44

44

43

8748

879:

8835 1    8878    8921    8965    9008

9052    9095

43

“H

*5

CD

Anhang. Tafeln für die hyperbolischen Funktionen.

für die Briggs'sehen Logarithmen der hyperbolischen Funktion

@of u = sec# für u = 0 bis u— 5,09.

■Sstsd* îs ssb sssd! ss ssb s-ss-rS t& s-iss,-» -:-:S stsi-S ss uî ⁼

0,0000

0,0022

0,0086

0,0193

0,0339

o,o5²²

0,0739

0,0987

0,1263

0,1563

0,l884

0,2223

0,2578

0,2947

0,3326

°,37I5

0,4x12

o,45i5

0,4924

o,5337

o,5754

0,6175

0,6597

0,7022

0,7448

0,7876

0,8305

0,8735

0,9166

0,9597

1,0029

1,0462

1,0894

1,1327

x,x76i

1,2194

1,2628

1,3061

x,3495

x,3929

1,4363

T,4797

1,5231

1,5665

21,6o99

x,6533

1,6968

1,7402

1,7836

1,8270

0000

000 r

0002

0003

0005

0008

0011

0014

0018

0026

°°95

0205

0355

0542

0031

0104

0037

0x14

0219    0232

0372    0390

0562

0583

0042

0124

0246

°407

0605

0049

0134

0261

0426

0626

0055

0145

0276

0444

0648

0062

0156

0291

0463

0670

0070

0168

0306

0482

0693

0078

0180

0322

0502

0716

H H    MO

ca 10 O *4 VO VO m ov 4*- (0 OJ K>

'9l7

W K) (OK) U) vo OV (0 Ov 00 h Ca Ca 4^ Ca 00

13

17

20

23

0786 0810 1040 1067 1321 1350 1625 1657 1950 1984

2293    2328

2651

2688

3022 3059 3403 3442 3794 3833

579⁶    ' 5838

49⁶5

Ca Ca Ca 4^ 4^-CO O Ov M 00 OV -£*■ CO CO

OvCO 0 OO

00 00 vo OO

SS

H H HO *4 -£*■ M OO 10 h 10 Ca

M o (0 VO

0884

1149

1440

J753

2018

2051

2086

't't Nw CO    COCO

vo 01 0.00

CO N O vt 00    01 vo

01 01 CO CO CO Tf-

Ca O

0 00

4=*- VO

5922

2309 276 t

3X35

3520

39’3

lOOO CO Cv CO OV 0^ LO Ol 01 CO CO

395²

6217

6640

7064

749¹

7919

ONN t-'. Tt- 01

moo o co vo oi vo H 10 ov vo vo o

8348    8391

8778

8821

9209 9²52 9641 9684 0073 0116

0505

0938

*4 ^4 Ov Ov Ca m vq OJ *4 Ca (0 O ^4 O 4*. H

^4 -4 Ov OV Ov - S W m vo Ov4*-

8005

O to

8048

0548

098 t

1371 1414 1804 1847 2237 2281

2671    ²7x4

3105    3148

3582

40l6

3538

397²

8864

T 891

4406    4450

4840

5²74

57°9

6143

6577

7OII

7445

7880

8314

OVCa Ca m >4 OJ 00 CO Ca m 00 OV (0    004*.

6620

7055

7489

79²3

8357

0202

4493    4537

4927

61

53

5795

6230

6664

7098

7532

7966

8401

1,8705    8748    8791    8835

497¹

5405

5839

6273_

6707

7x4i

7576

80I0

8444

8878

09x0

1177

0935

1206

1470

*785

2120

2470 2835 321 1 3598

3992

1501

1818

2154

H ’t 01 W

'O co com

ov 01 1000

26

29

33

2189

34

M Ov CO VO CI ''t" O CO t">. t'x 10 Ov Ci vo o N Ci CO CO 't-

VO 01 OV ¹ Ci O N 't CO CO

lOOO Ci vo 1 0

Ci CI CO CO ; Tt-

VO CO 00 OV 0 com cocoU-

4394

480I

4313 43s3 4719 47⁶° 5 r3° 5I72 5545 5587

59⁶4

7²35

7662

SSSïïP'S.aïk:: ^ 2'S- £

10 OS CO 00 CI vo H 10 o\ t 00 01    IO

CO 00 Ov Ov O Ohmmm 01 CO CO Tt- -rf

5014

5448

5882

6316

6751

7t85

7619

8053

8487

40

41

41

43

42

43

7278    7320

7705    7748

8563 8606 8994 9°37 9425 9468 9856 9900 0289 0332

vo vo vo 00

VO Ca O 0\ 4*. h 004*. W H o vo

°37S

42

43

43

8692

9I23

9554

9986

0418

0721

1154

1587

2021

I24I

I284

I7I7

2151

2584

3886

43go

43

43

43

‘ 43

44

43

43

44

43

44

43

43

43

43

43

5057

549²

5926

6360

6794

CO CO -4 Ca O OV JO CO VO OV to HS 10 OO

5101

5535

5969

6403

6837

5144

5578

6012

6447

6881

5188

5622

6056

6490

6924

7272

7706.

73T5

7749

7358

8140

8184

8574

8618

7793

8227

661

8965    9009    9052    9095

43

43

43

43

44

44

43

43

44

43

Tafel für die hyperbolische Funktion

£g u = sin d- für u = 0 bis u = 2,39.

0,0000

0,0997

°>I974

0,2913

0,3800

0,4621

0X00

1096

2070

3004

388s

OhMOiOON O OsVQ OWO (N H H O OS O h « CO CO

4700

4777

0,537°

0,6044

0,6640

°,7^3

Os Os Ui tO Os H 4k •h vo O 4k

h Ossi H

55ii

6i6g

6751

7259

0,7616

7658    7699    7739    7779

0300

0099

1684

2636

3540

4382

5154

o os

w>vo m co co i- o t mvo n*

•s-

7857    7895

⁰798

0898

I781

2729

3627

4462

5227

5915

6527

7064

7531

'S vj Os Ui Oi U W 10 h Ui h uivo 10 Uns OOOO 'S H 00 00 ho +> m 4k 4k 4- o so to 4k M 00

99

96

92

8,

79

64

56

49

42

7932

7969

0,8005

0,8337

0,8617

0,8854

0,9052

0,9217

o,9354

0,9468

0,9562

00 00 00 00 00 OsOJ o 'S 4k Os 4k UlWN h

8076

8397

8668

8896

00 00 00 00

vo Os-Jk H HO M H

sw o>o

CO CO W N Ns 00 LO H N* Os 00 00 00 CO

'flüNN tiOH fO H 't NOS 00 00 00 00

8210

85x1

S764

8977

^ cooo o\

N IO NOS

00 00 00 00

coco t^vo

8275

8565

8810

9069

9232

9367

9478

957¹

9087

9246

9379

9488

9579

9261

9J54

9302

9425

9527

06ll

90*5

9170

9x86

W W H

Os Os Os

9329

9447

8306

8591

8832

9033

9202

9342

9458

36

31

2Ó

22

19

15

12

IO

96x9

9545

9626

9554

9633

0,9640 9647 9654 9661 9668 9674 9680 9687 9693 9699

9743 9748 9753 9789 9793 9797 9827 9830 9834

0,9705

o,9757

0,9801

9710 9716 9722 9727 9732 9738 9762 9767 9771 9776 9780 9785 9805 9809 9812 9816 9820 9823

die Briggs¹ sehen Logarithmen der hyperbolischen Funktion

2g u = sin9- für u — 0 bis u — 2,39; um 10 vergrößert.

w'k>«    o»»vS,oi*£»h'o

— 00

8,9986

9,2953

9,4644

9,5797

9,6648

9,7300

9,7813

9,8222

9,855i

9,8817

9,9034

9,9210

9,9354

9,947r

9,9567

9,9646

9,97x0

9,9763

9,9806

9,9841

9,9870

99893

9,99I3

8,0000

0396*

3010

0771*

477°

6018

3159

4778

5894

6720

7357

7858

8258

8580

8841

9053

9226

9367

9482

9576

9653

9716

9767

9810

9844

9872

9895

99‘4

3355

4907

5987

6792

7413

7902

8293

8609

8864

9072

9241

9379

9492

9584

9660

9721

9772

9813

9847

9875

9898

9916

1115

3542

5031

6078

6861

7467

7945

8328

8637

9090

9256

9391

9502

9592

9666

9727

9776

9817

9850

9877

9900

9918

M33*

3720

5152

6166

6928

7520

7988

8362

8664

8909

9108

9271

9404

9512

9601

9673

9732

9781

9821

9853

9880

9902

9919

6986 I 7776 1729*    2004*

3890    4053

5268

5381

6252    6336

6994    7058

W vo (N M VO O + N N»00 00 00

H OSICH Ns 0) OS OS

U") O covo

Ns CO 00 00

'S OOVO to

8931    8952

VO VO SD vo VO Os 1 Ui 4s to m o I to « 00 to 00 ho Ul Ul OS

9 r44

9300

9427

9616

9679    9686

9738    9743

9785

9789

9824    9828

9856 I 9859

9882

9904

9921

953 j

2736*

4505

5698

455

217

139

9884

9905

9923

6417

6496

7121

7x82

6573

7242

99

_75

58

7671

8i09

8459

8743

8973

9161

9314

9438

9540

96²4

9692

9748

9794

9831

9862

9887

9907

9924

7720

7767

8147

8491

8768

8994

9177

9327

9450

9550

9631

9698

9753

9798

9834

9864

9889

9926

8185

8521

8793

9014

9194

9341

9460

9558

9639

9704

9758

9802

9838

9867

9891

9911

9927

46

37

3°

24

20

16

13

XI

Tabelle

der wichtigsten Formeln aus der Differential-Rechnung.

„ , smz

1. ) lim-

z=0    2

2. ) lim (X =fc Y) = lim X ± lim Y.

3. ) lim (X . Y) = lim X . lim Y.

4. ) lim(y) =

5. ) Eine Funktion

= 1.

[§ 4, Gl. (5.)]

[§ 5, Gl. (1.)] [§ 5, Gl. (2.)]

limX

lim Y ’

wenn lim Y < 0 ist.

[§ 5, Gl. (3.)]

V = f(x)

heißt für solche Werte von x stetig¹, für welche die Differenz

J =/0 + «)

mit den positiven Größen â und e zugleich unendlich klein wird.

[§ 8. Gl. (11.)]

n(n — 1) (n — 2) ... (n — k + 1)

[§ 9, Gl. (1.)]

/ n \    /n\ n

⁷'> u + i/ ujT+i *> ©+(©.)-(■©)■ »•> ©-(.-i)'

[§ 9, Gl. (2.)]

[§ 9, Gl. (4.)]

[§ 9, Gl. (5.)]

Die Formel Nr. 9 gilt nur unter der Voraussetzung, daß n eine positive, ganze Zahl ist.

10.) (1 + *)» = .

+    +    +o-

-+0+0+-

,    o , /m\

+ (₂>    +(i>

OT—1

11.)    (a 4- b)

[§ 9, Gl. (6.) und Gl. (8.)] = am + (™^)am~xb + Ç^am~²b² 4----

+ (7)^- + bm.

[§ 9, Gl. (9.) und § 34, Gl. (5.)]

to §

a²bm~²

Bei den Formeln Nr. 10 und 11 wird vorausgesetzt, daß m eine positive, ganze Zahl ist.

12.) S = A -F Aq -J- Aq² 4~----1- Aqn~

A(1 — qn)

i — q

[§ 10, Gl. (1.) und (2.)] 12a.) Ist q ein positiver oder negativer echter Bruch, und wird n unendlich groß, so ist

S = A -j- Aq 4- Aq¹ 4-    4----

[§ 10, Gl. (5.)]

13.) X\n~¹ 4- xxxn~‘l 4- x²x\n~z 4-----xn~²x\ -j- xn 1 —

X\n — xn

14.) e = lim(^l + —^ = limN* + lim Sk‘,

w=oo\    % / n—oo    w=oo

limÄ = l + 4 + iT + §T + -" ⁺ ^ lim Sk‘ < -~rr

wo

n— oo

71=00

k\k

X\-X

[§ 10, Gl. (3.) und (4.)]

k\ ’

lim Sk < e < limN* 4-    *

n=oo

n—oo

[§ 11, Gl. (2.), (5.), (7.), (11.) und (12.)]

i5.) «“i + n + è+è + '"

= 2,718 281 828 459....

16.) Die Ableitung (der Differential - Quotient) einer stetigen Funktion y = fix) ist

f ₌    =/'(*)_ lim

dx dx •/ \ /

fix + Jx) —f(x)

Jx=0

Jx

= lim

Xi—X

X\ — x

= lim

Xi=X

y^ — y

X\-X

[§ 12, Gl. (5.), (5a.), (5b.) und (6.)]

17.) Ist « der Winkel, welchen die Tangente einer Kurve mit der positiven Richtung der X-Achse bildet, so wird

₌ dl ₌

tg«

dx

/'(*)>

wobei y =f(%) die Gleichung der Kurve und x, y die Koordinaten des Berührungspunktes sind.

% + °)dv.

[§ 13, Gl. (3.)]

18.)

dx

dx

[§ 14, Gl. (la.)]

d{Ay)

¹⁹-> “S

dx

[§ 14, Gl. (2a.)]

20.)

21.)

d(u -f- v)    du    do

dx dx diu — v)    du    de

dx

[§ 14, Gl. (3.)]

dx

dx dx

[§ 14, Gl. (4.)]

22.)

dixm)

dx

= mx'

[§ 15, Gl. (6.) und Gl. (9.); § 16, Gl. (8.); § 21, Gl. (17.), (22a.) und (26.)]

23.)

dilogx) loge    di Ina;) 1

dx

dx

[§ 18, Gl. (9.) und (9a.)]

24.) log» = c/(sin x)

Ina:

ln(10)

= ln x . log e.

[§ 18. Gl. (13.) und (14.)]

25.)

dx

= C0Sa\

[§ 19, Gl. (8.)]

26.)

di cos z)

27.)

28.)

,    =—sina:.

dx

Ä = 1 + tg%-

-s-4 = -(1 + Ctg%)-

[§ 19, Gl. (15.)]

djtgx)

dx

dictgx)

dx

[§ 20, Gl. (6.)]

[§ 20, Gl. (12.)]

30.)

d(uv)

du do

~vdi+uTx' d{ti\ u-i... um)

[§ 21, Gl. (6a.)]

dx

U₂Us ...

du\

Um j dx

dui

+ u\ u3 ■ • • um

dum

d(um)

30a-) -&

+ • • • + U1U2 . . . Um_ 1

dx

[§ 21, Gl. (16.)] dx ' [§ 21, Gl. (17.), (22.) und (26.); § 23, Gl. (4.)]

du

31.)

dx

yd¹-\~x²

[§ 21, Gl. (27.)]

32.)

dyx^—a?

dx

Yx²—a²

[§ 21, Gl. (27a.)]

33.)

c?]/a²—ä²

dx

Yd²—xï

[§ 21, Gl. (28.)]

du

de

³⁴-) “à

Vdx~Udx

d¹

[§ 21, Gl. 34a.)]

35. ) dy — df(x) —f‘(x)dx.

36. ) Ist

so wird

y — f(u) un(^ u = <f{x)

[§ 22, Gl. (8.)]

du — (p‘(x)dx, dy = f‘(u)du — f‘{u)cp‘{x)dx,

oder

dy

dy du du dx

[§ 22, Gl. (6.), (6a.) und (9.)]

dy

37.) Aus x = q(y) folgt ^ g? (arcsin x)

⁽p\y)

. [§ 24, Gl. (4.)]

38.)

dx

y 1—z²

[§ 24, Gl. (8a.)]

39.)

(/(arccosic)

dx

yi— x¹

[§ 24, Gl. (12a.)]

^(arctgz)

41.)

d (arc ctg x)

dx

1 -\-x²

[§ 24, Gl. (20a.)]

42.)

d (arc secx)

dx

xYx² —1

[§ 24, Gl. (24a.)]

43.)

+arc cosec x)

dx

x]/x² — 1

[§ 24, Gl. (28a.)]

d{ax)

⁴⁴ ^    dx

= ß^lna,

d(ex)

dx

= ex.

[§ 24, Gl. (32a.) und (33.)]

45. ) Soj u = ^ (ew -f- e~u).

46. ) Sinw = ~ (eu — e~**).

47. )    %§u =

[§ 26, Gl. (1.)]

[§ 26, Gl. (1.)]

(Sin u

SöpT

48.) Secw =

So) u

Stg u =

Sofec u = —}— feutw

fein u

[§ 26, Gl. (2.) und (3.)]

[§ 26, Gl. (4.)]

49.) eu

¹ + Zs(f)

S <N

[§ 26, Gl. (5.)]

50. ) Sofw + <feinw = eu.

51. ) ©o\u — Sinw = e~u.

52. ) Soj²w — Sin²u = 1.

[§ 26, Gl. (8.)]

[§ 26, Gl. (9.)] [§ 26, Gl. (10.)]

52a.) Soj²w = 1 + Sin²^, Sin²u = Soj²w— 1. [§ 26, Gl. (11.) und (12.)]

53.) Sin(2w) = 2Sinw So)w.

[§ 26, Gl. (13.)]

54.) So)(2w) = ßoj²^ + Sin²w = 2©of²« — 1 = 1 + 2Sin²w.

[§ 26, Gl. (14.) und (15.)]

55. ) Sec²w + %o?u = 1.

56. ) Stg²w — Sofec²w = 1.

57. ) Sin(2w) =

[§ 26, Gl. (16.)] [§ 26, Gl. (17.)]

22+4

1 — 2g²<4

[§ 26, Gl. (19.)]

[§ 26, Gl. (20.)]

50

58. ) eo[(2«) = i^|g.

59. ) So) (u + v) — So+. So)+ + Sinw . Sin v.

Kiepert. Differential-Rechnung.

60. ) (Sof (u — v) = (So) u . (Sof v — 0irt u . 0in c.

61. ) 0tn(w -f- v) = 0mw. (Sof o + (Sofw. @ina.

62. ) 0tn (u — v) = 0in u . (Sof v — (So) u . 0tn v.

63. ) Sof a + Sof b = 2 ®°l(^—) • Sof (^=1*).

64. ) Sofa — Sof/) = 2 ®in(4±i) • ©in (^—)•

65. ) ©in« + ©inb = 2©in(—^—)• Sof(^-b)

66. ) ©in a — ©in 5 = 2 Sof(~2~) * @*n (~^“) *

67. ) 2g« — STcjè —

[§ 26, Gl. (24.)] [§ 26, Gl. (31.)] [§ 26, Gl. (82.)]

[§ 26, Gl. (27.)]

[§ 26, Gl. (28.)]

• [§ 26, Gl. (33.)]

[§ 26, Gl. (34.)]

0in(a — b)

(Sofa . (Sofb

[§ 26, Gl. (35.)]

68.) (Stg a — (Stg b = ä?((Sof u)

@tn (a — b)

0ina.@in6

[§ 26, Gl. (36.)]

69.)

du

= 0tna.

L§ 27, Gl. (3.)]

70.)

d(<5inu)

du

= (Sof ^.

[§ 27, Gl. (4.)]

(Sof 2a“1    %q2u'

—    =1 — (Stg²w.

@tn²a    ⁰

73.) x = Sofa ist gleichbedeutend mit

71.)

72.)

du

d(fötgu)

du

[§ 27, Gl. (5.)]

[§ 27, Gl. (6.)]

u — Vtu (Sof x — ln {x ± yx² — 1) = ± ln (x + ]/«² — 1).

[§ 29, Gl. (18.)]

74. ) x — @inw ist gleichbedeutend mit

u == 2tr ©in« = ln (x + ]/l[ + x²).

75. ) x = %gu ist gleichbedeutend mit

«-atÎ9 = |]n(j±î)-

76. ) x = (Stg« ist gleichbedeutend mit

[§ 29, Gl. (19.)]

[§ 29, Gl. (20.)]

77.)

dx

yx¹ — i

[§ 29, Gl. (22.)]

78.)

dx

y i -j- x²

[§ 29, Gl. (23.)]

79)

dx

1—x²

[§ 29, Gl. (24.)]

80.)

dÇâ r (Stcj x)

dx

1—x²

[§ 29, Gl. (25.)]

©in u = tg&

81.) Setzt man

so wird für 0 < /> <

STgw = sin 71, <Becu = cos#

©it\u = tg#,

(So[w = sec#

(Stgw = cosec #, (Sofecw = ctg#

82.) f\x) =

— ln[tg(7 + |)]-

dfß)

dx

[§ 30, Gl. (9.) und (10.)] df(n—^)(x)

dx

[§ 31, Gl. (2.) und (3.)]

82a.) f“{x) = lim

Jx=0

83.) c/²y =    = f“(x)dx²,

d³y — d(d²y) — f“‘{x)dx³

ßx + 2 dx) — 2ßx + Jx) +f{x)

Jx²

[§ 31, Gl. (7.)]

dny — d(dn~¹y) —ßn\x)dxn.

⁸⁴-) 0-/^*).

[§ 31, Gl. (11 ) bis (14.)]

[§ 31, Gl. (14a.)]

85.)

dn(u zb o) dnu dnv

dxn

dxn

dxn

[§ 32, Aufgabe 13.]

86.)

=ßx)9(n\x) +(i)/'0%(w-%)

+ Q)f"^9{n~²Kx) H-----f Qß^(x)ßx) +ßn)(x)9(x)

[§ 32, Aufgabe 14 ]

wenn u = f(x), v = y(x) ist.

87.) Sind die Funktionen f(x) und f‘{x) im Intervalle von a bis a + h stetig und endlich, so wird

/(« + h) — /(«) = h •/'(« + ®h),

oder

f{x)—f{a) = (x— a) ,f‘\a + G(x— aj\, wobei 0<©<-[-l.

[§ 36, Gl. (9.) und (11.)]

88.) fix) —fia) 4

n*)

f»

1!

0 — a) + ₇—T

/W(a)

n\

wobei

f (w+!)[a -f ©^ — a)]

(a; — a)M+¹

= ff {f[n)[a + &*(.x €/(w+1) [a -j- ©«(# — «)]

a)] —/(“)(«) } (^ — a)n

(i

©₃)M (æ — a)^¹.

Die Größen ©i, ©₂, ©₃ liegen zwischen 0 und 1.

[§ 37, Gl. (23.) und (24.); § 42, GL (5.) und (17.)]

f<*)h+ffïv ₊ ...₊ffÉ

n\

89.) f(x + h) =/(a?) +

R = ßff+px)Än+i =    [/W(^ + @2J) _/(.)(*)]*.

(1 — ©a)"^¹.

wobei

1!

+ Zł,

f(n+l)(x    G f l)

n\

Die Größen ©

1?

90.) /(*)=/(<>) +

©2, ©3 liegen zwischen 0 und 1.

[§ 37, GL (25.) und (26.); § 42, Gl. (3a.) und (15.)]

ßnm

/'(o) g, no)

wobei

1!

2! *+'' ⁺

n\

xn -j- R,

_ /(«+!) j@lX)

(» H- 1)1

_ /(”+!)(©,a:)

^w+1 = [/(n)(©2^) —/(M)(0)]^n

n\

(1 — 0₃)m^w+¹.

91.) e* = 1

z²

Æ³

2! ' 3

7/2    7/4    7/6

92. ) Cof« = *(«* + *-*) = ¹ + 2! + 4l + 67 + ' " •

93. ) ©in u = \ (eu — e~u) = — + -, + &,

w⁵ . u?

[§ 39, Gl. (6.)]

[§ 39, Gl. (9.)]

[§ 39, Gl. (10.)]

xlna £²(lna)²

Æ³(ln df ^⁴(ln «)⁴

2!

3!

4!

[§ 39, Gl. (13.)] [§ 40. Gl. (5.)]

96. ) cos® = l — 2] + ₄,

In den Formeln 91 bis 96 dürfen x und u jeden beliebigen endlichen Wert haben.

[§ 40, Gl. (10.)]

97. ) (1 4- x)m = 1 4-    + Q)^² +    H----

für — l < x < 4- 1-

98. ) (aĄ-b)m = am4" (^)am“¹3 +^^am-²è² +

für | 6 [ < | a |.

99. ) (aĄ-b)m = bm + (^ab™-¹ Ą-(^a?b

für | b |

100.) ln(l 4- x) — % —

[§ 43, Gl. (19.) und (20.)]

g co

\am~ ³è³ -)-•••

[§ 43, GL (31.)]

g co

•a³bm~³ 4-. ••

“ln* v

x³    r/;⁴

J-----L

' 3    4 '

[§ 43, Gl. (32.)]

für — 1 < x ^ 4-1-

“'4 !    '

102.) ln (a + y) = ln « +    £ + — •

für | y | < | a |.

101.) ln 2 =

I ! r—1

bS

[§ 44, Gl. (8.)]

[§ 44, Gl. (8a.)]

103.) ln(a+l)-lna + - — ±+ — —

4 a⁴

[§ 44, Grl. (9a.)]

z⁵

104.) ln(y+*) -lny+2[— -r â(2 +*₎₈    T • ■ •

für — 1 <

105. ) ln(y+l) = lny+2[~ t 8(2y +1)3 t üïfÿïf

[§ 44, Gl. (12a.)]

/y    ryà    ryO

106. ) arctg^ = r--+| für — 1 < x < + 1.

-+-+-—

3    5    7    9    11

[§ 49, GL (1.) und § 53, Beispiel 2 auf Seite 250.]

107.) f

108.)

< + 1.

[§ 44, Gl. (12.)]

■}

x¹

[§ 48, Gl. (4.)]

⁼(2+s)    G>⁺è)⁺Kè+ è)

[§ 49, Gl. (14.)]

¹⁰9.)^4(I

3.53 1 5.5⁵

)    (239    3.239³

[§ 49, Gl. (23.)]

„, .    . a: la:³ 1.3 a:⁵, 1.3.5

110.) arcsin^ r + -- + —- + 2-^

für — 1 < x < + 1.

[§ 50, Gl. (3.)]

[§ 51.]

111. ) Eine Reihe heißt „konvergent“, wenn Sn, die Summe der n ersten Glieder, sich mit unbegrenzt wachsendem n einer bestimmten, endlichen Grenze S nähert, welche die „Summe der Reihe“ genannt wird.

112. ) Eine Reihe mit lauter positiven Gliedern konvergiert, wenn von einer bestimmten Stelle ab, z. B. für n^m, eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

I.

un

II.    -j/un    k < 1,

II.

l.

[§ 52, Satz 6, 8 und 13.]

III. n ( 1 -

\ /

114.) Eine Reihe mit positiven und negativen Gliedern konvergiert, wenn die Summe der absoluten Beträge konvergiert.

[§ 53, Satz 1; vergl. auch Formel Nr. 116.]

[§ 53, Satz 2.]

115.) Eine alternierende Reihe konvergiert, wenn der absolute Betrag der einzelnen Glieder immer kleiner und schließlich unendlich klein wird.

116.) Eine Reihe ist unbedingt konvergent, wenn die Summe der absoluten Beträge konvergiert.

[§ 54, letzter Satz und 106, Satz 1.]

in. »(i

^ > 1.

Un /

113.) Eine Reihe mit lauter positiven Gliedern divergiert, wenn von einer bestimmten Stelle ab, z. B. für n7>m, eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

Wm+1

[§ 52, Satz 5, 7 und 12.]

I.

Ui

117.) Sind

U = uQ -j- ui -f u₂ + • • • und V = v₀ + v\ + v₂ -f • • • zwei unbedingt konvergente Reihen, und ist

Wo = U₀V₀,

W\ — UqVx -f- U^Vq ,

w-i = u₀v 2 + ugo\ + u<iv o

Wn — Wovn -f- U\Vn—x -f- • • • -\- Un—\V\ -f~ unVo

so ist auch die Reihe

Wo -j- W\ -f- W<1 -(-•••

unbedingt konvergent, und ihre Summe W ist gleich dem Produkte UV der Summe der beiden ersten Reihen.

[§ 55, Satz 3 und 106, Satz 3.]

118.) Eine Potenzreihe a₀ + a^x -f a^x¹ -j- a₃xz -j---- konver

giert unbedingt für alle Werte von x, deren absoluter Betrag kleiner ist als die positive Größe r, wenn

an

lim

n—oo

wird.

[§ 57, Satz 1.]

119.) Eine Potenzreihe konvergiert unbedingt für alle Werte von x, deren absoluter Betrag kleiner ist als die positive Größe r, wenn von einer bestimmten Stelle ab

I an | rn ^ g

ist, wobei g eine bestimmte endliche Größe bedeutet.

[§ 57, Satz 3.]

120.) Wenn die Größen a₀, a±, a₂, a₃, ... positiv sind und eine bis ins unendlich Kleine abnehmende Reihe bilden, so ist die Reihe

}a₀ + «îcosæ -f- a₂cos(2x) + «3 cos (3#) + • • • konvergent für alle Werte von x, welche von 0, ± 2n, ± 47t, ... verschieden sind; und die Reihe

|ö₀ — «iCOSrr + a₂C0S(2;z) — a₃COS(3:z) -\-----

ist konvergent für alle Werte von x, welche von ± n, ± Srr,

±5 tc ... verschieden sind.

[§ 58, Satz 1.]

121.) Wenn die Größen b1} b₂, è₃,... positiv sind und eine bis ins unendlich Kleine abnehmende Reihe bilden, so sind die Reihen

und

^isina; + b₂sm(2x) + è₃sin(3^) + £4 sin (4r) + • • •

èiSin.r — b₂sm(2x) -f h sin (fx) — bi sin (4a;) -j-----

[§ 58, Satz 2.]

für alle Werte von x konvergent.

[§ 61.]

122. ) Um die Werte von x zu bestimmen, für welche/(r) ein Maximum oder Minimum wird, bestimme man die Werte von x, für welche f\x) gleich Null wird. Ein solcher Wert sei x, und ßn\x) sei die erste spätere Ableitung, welche für diesen Wert von x nicht verschwindet; dann ist f(x) ein Maximum, wenn n gerade und f^n\x) negatio ist; fix) ist ein Minimum, wenn n gerade und f^n\x) positiv ist. Dagegen tritt weder ein Maximum noch ein Minimum ein, wenn n utigerade ist.

123. ) Ist

P(x)

Q(x) ’

f\X) =7

so wird für alle Werte von x, für welche P(x) verschwindet,

P'(x)

/"(*) =

Q(x)

[§ 63, Gl. (3.)]

124.)

lim

y(x)

x—a

wenn

lim<jp(V) = 0, lim </>'(æ) = 0,    ... lim y h (a;) = O

X—a    x=a

limfix) = O, limf‘(x) = O,    ... lim/>—^(.-r) = O ;

x=a

x=a

X—(l

x—a

[§ 65, Gl. (19.), (20.) und (24.)]

oder wenn

lim y (F) = co, lim (p\x) = oo,

x=a

x=a

limf(x) = oo, limf\x) = oo

x=a

x=a

125.) Ist

... lim<jp(w—V(x) — oo,

x=a

... lim= oo.

[§ 67, Gl. (12.)]

x—a

so wird

* = F(u, ®)»

dz

du

= lim

z/w=0

F(u -j- v) —- F(u, v)

du

= Ft(u> v),

dz

dv

= lim

4v=o

F(u, v -\- Jo) — F(u, v)

dv

126.) Ist

= Ffu, v).

[§ 76, Gl. (5.) und (6.), (5a.) und (6a.)]

^ = F(u, v),

lind sind u und v beide Funktionen von x, so wird

dz dz du dz do dx du dix do dx

oder

dz

dz = du + du

dz

do

de. [§ 76, Gl. (16.) und (16a.)]

127.)

</ln(wü) 1 du u dx

dx

1 de o dx

[§ 76, Gl. (24.)]

d\n.

1 du 1 do u dx v dx

129.)

d(uv)

dx

= vuv—¹

du

dx

do

+ uv . ln u — •

[§ 76, Gl. (28.)]

130.) Ist ^ = F(x, y) und y = f(x), so wird

dz dz , dz dy

dx dx dy dx

oder

dF(x, j)

dy_

dx

= Rfa y) + F*(x* y) -dx

also

dz

dz = dx 4-dx

dz

dy

dy,

oder

dF(x, y) = Ft(x, y)dx + F₂(x, y)dy. 131.) Ist F(x, y) = 0, so wird

P = T = -

dx

J- i (4 y)

F*{x, y)

[§ 77, Gl. (6.) und (7.)]

[§ 77, Gl. (12.)]

132.)

a ₌ ^l₌₌dP_,dLv

1 dx² dx dy ^ ' dq

⁺ FP'

[§ 79, Gl. (2a.)]

Cb Cb

133. )

134. ) Sind x und y so bestimmt, daß

F(x, y) = 0 und F±(xf y) = 0

werden, so ist y ein Maximum oder Minimum, je nachdem F2 und Fn gleiches oder entgegengesetztes Zeichen haben. [§ 81.] 134a.) Sind x und y so bestimmt, daß

F(x, y) = 0 und F₂(x, y) = 0

werden, so ist x ein Maximum oder Minimum, je nachdem Ft und F-x₂ gleiches oder entgegengesetztes Zeichen haben. [§ 81.]

135. ) Ist x = (f(t), y = ip(t), so wird

dF

[§ 79, Gl. (3a.)]

dy

dy dt dt dx

dt

oder

d²y

q~dtf

dy

¹⁸⁶-> * = *

dp

d‘ly    dp    dt    dp dt

q dx²    dx    dx    dt dx⁵

dt

(f'(t) W"(t) — ip‘(t) rp“(t)

<pW

dx d‘hy — dy d²x

dx³

[§ 83; Gl. (11.), (12.), (12a.) und (12b.)]

1    ,    d²y

=dx Uûd q==dä

dy

dx d³x

d³y    dy dy³

!©J.

dhc

dy²

/gG\³

\dy)

dx³

(dx^

\dy)

[§ 85, Gl. (4.) und (7.)]

pr — 3 q²

d²x

dx

q d³x dy²    p³ dy

138.) Gleichung der Tangente:

137.)

dy

[§ 85, Gl. (5.) und (8.)]

y‘ —

[§ 87, Gl. (6.)]

139.) Gleichung der Normale:

,    dx

y-y^-dy

(x‘ — x).

[§ 87, Gl. (7.)]

140. ) Subnormale (Sn) = y ^ •

ClOCr

141. ) Subtangente (St) = y

142. ) ds² = dx¹ -f- dy²,

[§ 87, Gl. (9.)]

[§ 87, Gl. (10.)]

(£)’=*©-‘+©

[§ 87. Gl. (13.) und (13a.)]

ds

143. ) Normale (N) = y— •

144. ) Tangente (T) = y

[§ 87, Gl. (14.)]

dx

dy

145.) Eine Kurve y = f(x) ist nach oben konkav oder konvex, =f“(x) größer oder kleiner als Null ist. Vor-

je nachdem

(Py

dx²

ansgesetzt ist, daß die positive Dichtung der Y-Achse nach oben geht; wird das Koordinaten-System nm 180° gedreht, so muß man das Wort „oben“ mit „unten“ vertauschen.

[§ 89, Gl. (10.) und (12.)]

146.) Ein Wendepunkt tritt ein, wenn für den zugehörigen Wert von x

d2y

dx²

=f“{x) = o, oder

d²y

dx¹

=/"(*) = ⁰⁰

[§ 89.]

wird und außerdem das Zeichen wechselt.

147.) Unter der Voraussetzung, daß die Funktionen

9ix), 9\x), 9“(x), • • • £(n+%)

endlich und stetig sind für den betrachteten Wert von x, haben zwei Kurven y = f(x) und y = g(x) im Punkte P eine Berührung (oder Oskulation) von der wten Ordnung, wenn für den zugehörigen Wert von x

f(x) = g(x), f\x) = g\x), f“{x) = g“(x), ... fl*)(z) = g(n\x).

[§ 91.]

148.) Der Mittelpunkt des Krümmungskreises hat die Koordinaten

~    (l+P²)P    ,

(ds \2 \dx)P

<Z

oder

, 1 + P² ,

y = y-\—= y +

(dsP dy \dt ) d,t

/ds\2 \dx)

dx dly dt dP dt, dp

dPdy

dy dlx    dx dhy — dy dPx

/ds \² dx \dt) dt

ds²dx

d²y    dy dlx

dt dt²    dt c/G

dx dhy — öb/

[§ 92, Gl. (21.) und (25.)]; § 94.]

149.) Der Halbmesser des Krümmungskreises ist

(i + fY

M\³

\dx)

oder

/c&\³

V^7

dx dhy dy d²x dt dt²    dt dt?

dxdhy — dy dlx

[§ 92, Gl. (21.) und (25.); § 94.] 150.) Der Krümmungskreis hat im Punkte P mit der Kurve eine Berührung dritter Ordnung, wenn d³y 3 q²(x— §)

(;y — vY

dxA

oder

dzx

3 g² (y — n)

dy*

{x — $)⁵

[§ 92, Gl. (23.) und (23a.)]

151.) Der Kontingenzwinkel da wird erklärt durch die Gleichungen

dhy

da

dx¹

dx

/ds'd

\dx)

und

da 1 ds Q

[§ 93, Gl. (9.) und (11.)]

[§ 98, Gl. (6.)]

152. ) ds² = dr² -j- r²dcp².

153. ) Nennt man den Winkel, den eine Tangente mit dem zugehörigen Kadius vector bildet, y. so ist

[§ 98, Gl. (7a.)]

.    rdff

dr

154. ) Polar - Subnormale (Sn) = ^ •

155. ) Polar-Subtangente (St) = rtgy =

ds

156. ) Polar-Normale (N) = -j- •

[§ 98, Gl. (10.)]

r²d(f

dr

[§ 98, Gl. (11.)]

d(f>

157.) Polar - Tangente (T) = N. tgy, =

rds

dr

[§ 98, Gl (13.)]

158.) Der Mittelpunkt des Krümmungskreises hat die Koordinaten

ds²dy

dx d²y — dy d?x

= rcos (p —

ds² dx

ds² (r cos (fd(f>-\- dr . sin cp) (r² d(f² -j- 2dr² — rd²r) dtp

dxd²y — dy d'lx

ds²{— rsin cp dcp -]- dr . cos cp)

= rsin</) -j-

und der Halbmesser des Krümmungskreises ist

{r²d(p² -(- 2 dr² — rd'²r) dcp

ds³

ds³

(r² dtp² -j- 2dr¹ — rd²r) dtp

163. ) N(a + bi) = N(a — bi) = a² + b².

164. ) | a -f- bi | — | a — bi\ = -f- ]/a² -f- b².

165. )

166.)

dx d²y — dy d²x

[§ 102. Gl. (5.)] [§ 102, Gl. (8.)] [§ 102, Gl. (9.)]

a — bi

[§ 102, Gl. (10.)]

c -j- di ac -j- bd

ad — bc

a -|- bi    a² -j- b²

a² -f- b²

i.

[§ 102, Gl. (11.)]

167.) (a + bi)n =

an —

an~²b² -f-

an~ ibi —

+ -]

an~¹ b —

[§ 102, Gl. (12.)]

168.)

wobei

a + bi = r(cos<p -f- «sinçp)

oder

r = -f- ]/a² + 6², cos y = ~ > sin rp =

a -f- 6/ = r [cos ((fi -f- 2/m) -f- /sin(<p + 2/m)],

wobei A eine beliebige positive oder negative ganze Zahl ist.

[§ 103, Gl. (5.), (6.), (7.) und (7a.)]

169.) ^(cos^i + Zsinçpi). r₂(cos cp₂ + /sinr/^) = = T\T\2 [cos (cfi -f- (f 2) -f- / sin (<f 1 -j- y₂)].

[S 103, Gl. (8.)]

170.) \r (cos(p + /sin</>)]M = ?w[cos (n<p).+ /sin (nrp)].

171.) COS (ncp) = COS n(f — Q^COSn_2çpsin²r/)

[§ 103, Gl. (10.)]

cosn_4#> sin⁴</>--]-•••,

sin(w^) = Q^cosn_1</>sin<p —Q^cosn-³<psin³<p -\-----.

[§ 103, Gl. (11.) und (12.)]

T\

— [cos (cpi — (f₂) + /sin (<pt — (f₂) ]. r₂

[§ 103, Gl. (13.)]

173.) j/f(cos<p + /siny) = 7/r [cos(* "^^^-f/sin^    >

wobei h eine beliebige ganze Zahl ist.

171.) Ist f(z) = f{x + yi) = u-\-vi eine Funktion der komplexen Veränderlichen x -f- yi, so wird du    öv du

dx    dy ’ dy    dx

172.)

?t(cos (f\ + /sin (fi)

r₂(cos y2 H- /sin (f 2)

[§ 103, Gl. (16.)]

do

[§ 107, Gl. (7.)]

175.) eyi = cos y + /sin y

e-y* = cos y — /sin?/.

[§ 108, Gl. (6.) und (7.)]

176.) cos y =

eyi _|i ff-yi

eyi — e-yi Sm» = —2i~

[§ 108, Gl. (8)]

177.) ex+yi = ^(cosy + /sin?/).

[§ 108, Gl. (9.)]

178. ) e2hni = 1, wenn h eine ganze Zahl ist.

179. ) ez+2hni = ez, wenn h eine ganze Zahl ist. [§ 108, Gl. (17.)]

180. ) Soft» = cos ?>, ©in(9p/) = /sin9).

[§ 108, Gl. (16.)]

181.) cos ((ft) = (So[y, sin(y/) = i&irup.

[§ 108, Gl. (20.) und (21.)]

22M(cos<y>)2M =

182.)

2 COS (2n(f) -f    2COS (2n — 2)rp +    2 cos (2n — 4)<p +

- ⁺ («-₁)2c03(2?'⁾+ (»”)•

22n+1 (cos y)²'¹^¹ =

2 cos (2rc + l)<p +    ^ 2 cos (2/? — l)</> -f

• • ’ + (²”_^ /) 2 COS (3 ę) + (2U^¹y COS rp.

(— l)n22M(sin9>)²” =

2cos(2 n(f) —    2 cos(2^ — 2 )(p +    2 COs(2^ — 4)<p--f-

• • + (- l)-‘ („ !(' J 2008(2,) + (- 1)" (²”)

183.)

184.)

185.)

[§ 108, Gl. (24.)]

[§ 108, Gl. (25.)]

• [§ 108, Gl. (26.)]

(— l)w22n+1(sinr/))2n+1 =

2 sin (2« -j- l)gp —    ^ 2sin(2» — l)çp -j--

• • + (— V^Cn — i) 2siu(³^) + (~ ¹)w(²^ ¹)²siny.

[§ 108, Gl. (27.)]

186.) Ans der Gleichung

gx+2/i _ u _|_ folgt ln(w -f- vi) — x -\- yi    2hni.

Dabei ist h eine beliebige positive oder negative ganze Zahl und

ln (iu² + ^²) ? y = arc tg

und zwar ist

- ? wenn u > 0, ü > 0

< y <7T

3 TT.

n < y < -j- ’

3tc

~Y<y <2u>

187. ) ln(— 1) = (2h + l)ni.

188. ) ln    ■= ²* arctgq.

wenn u < 0, v < 0,

w > 0, o < 0.

[§ 109, Gl. (1.), (3.) und (6.)] [§ 109, Gl. (8.)]

[§ 110, Gl. (4.)]

189.)    2g (qi) = i arctg q, arctg (qi) = i Sir 2g q.

[§ 110, Gl. (6.) und (8.)]

190.) Hat die Gleichung

f(x) = Xn \tXn~X -j- Uxn~'² Uxn~* H--• • ± fn = 0

so ist

.. xn

fl = ^’l + x2 + x3 + • • • + j

f2 = XiX₂ -f- X\X₃ + • • • + xn—\Xn j

f3 = XiX₂X₃ -f- X\X-i X± -)-••• -(- Xn—iXn—\Xn ,

die Wurzeln xi, x₂, x₃

[§ 114, Gl. (6.) und (9.)]

f n — XiX₂X₃ .,. xn.

191.) Die ganze rationale Funktion (n— l)ten Grades

_ (x-X₂) (x-Za) ■■■(x-Xn) ?    ,    (x-Xj) (x-X₃) • • • (x-Xn)

y (x±-x₂)(x₁-XS)- ■ -(xt-Xn) >Jl    1    (x2~    X\)(x₂-X₃)- • .(x₂-X»)'J '

+ ---H

(x Xi) (x X₂) . . .(x Xn—l)

(xn    Xi) (xH    x₂)... (xn Xn^i)

y»

f(x) • yi

f(x) ■ y-i

(x-Xi) f‘(xi)    (x — x₂) f‘(x₂)

1-----h

f 0) • yn

(x-Xn) f‘(xn)

nimmt für x = xt, x₂,...xn bezw. die vorgeschriebenen Werte yi, y₂, ...yn an. Dabei ist

f(x) — (x-Xi) (x-X₂) (x- X₃) ... (x-Xn) .

(Interpolationsformel von Lagrange. [§ 115, Gl. (2.), (3.) und (6.)]

192.) Die ganze rationale Funktion (n — l)ten Grades y = yi+Ai(x—xi)+Az(x—xi)(x—x₂)~{-A ₃(x—x₁)(x—x₂)(x—x₃) -f ----(- An-i(x-Xt) (x-X₂) ■■. (X-Xn—l)

nimmt für x = xu x₂, x₃,...xn bezw. die vorgeschriebenen Werte y1} y₂, yz,...yn an, wenn man die Koeffizienten Ai, A₂, A₃,... An—i der Reihe nach aus den Gleichungen

51

Kiepert, Differential - Rechnung.

y* = y\ + ^1(^2 — *1),

^3 = y\ + Ax(z* Zi) + A₂(x₃ Xi) (x₃ — z₂),

xA = 2/i -f- Ai(Xi — Xi) -f- A₂(x₄ — Xi) (x₄ — x₂)

+ A ₃(x₄ — Xi) (x₄ — x₂) (x₄ — z₃),

berechnet.

[§ 116, Gl. (1.) bis (5.)]

193.) Die ganze rationale Funktion (n — l)ten Grades

Jyi.(x—Xj)    Ahyj.(x—Xj)(x—x₂)

y=yr

2! A²

Azyi. (x—x^ (x — x₂) (x—x₃)

3! A³

An~xy\ • (x — Xj)(x — x₂)... (x—xn_j)

(n — 1) ! AM—1

nimmt für x = x₄, x₂, x₃,... xn bezw. die vorgeschriebenen Werte yx, y₂, y₃,...yn an, wenn

x₂ x₄ — x₃ x₂ = x₄ x₃ = • • • = xn    Xn—i = A

ist, und wenn man

Ay\ = 2/2 — 2/1, 4y% = 2/3 — yi, -^2/3 = 2/4 — 2/3, - • àhyi -- Jy₂ — Jyh J²y₂ = Jy₃ — Jy₂, J²y₃ = Ay₄ — Jy₃, .. jZyi = J²y₂ — A²yi, J*y₂ = A²y₃ —A²y₂, J³y₃ = A²y₄ — J²y₃,..

setzt.

(Interpolationsformel von Newton.) [§ 116, Gl. (12.) bis (16.) und (35.)] 194.) Ist S{x) der höchste gemeinsame Teiler von f(x) und f\x), so hat die Gleichung

Hx)

m=o

dieselben Wurzeln wie die Gleichung f(x) = 0, aber jede nur

einmal.

[§ 118, Gl. (8.)]

195.) Ist q(x) der höchste gemeinsame Teiler von

fix)

und

f‘(x), so enthält die Gleichung

q(x) = 0

nur die mehrfachen Wurzeln von f(x) = 0, und jede nur einmal.

196.) Die Gleichung

/ 0)

&ß) • Qß) °

enthält nur die einfachen Wurzeln von f(x) = 0. [§ H8, Gl. (10.)]

197. ) Ist in der Gleichung

fß) = xnU\Xn~x----bmxn~m ± ----bpXn—v ± • • • ± dn = 0

— bm der erste und — bp dem absoluten Betrage nach der größte negative Koeffizient, so ist

l = i + yjp

die obere Grenze aller reellen Wurzeln.

198. ) Die Anzahl der positiven Wurzeln der Gleichung

f{x) = xn -j- U\Xn -¹ -}- a₂xn~² -)- a₃xn~³ -]-••• + \X + an = 0

kann nie größer sein als die Anzahl der Zeichen Wechsel, und die Anzahl der negativen Wurzeln derselben Gleichung kann nie größer sein als die Anzahl der Zeichenwechsel in der Gleichung f\(x) — xn — a\Xn~x -f- a₂xn~²—a₃x

Dabei ist die Differenz zwischen der Anzahl der Zeichenwechsel und der Anzahl der positiven Wurzeln der Gleichung/(#) = 0 eine gerade Zahl. Dasselbe gilt natürlich für die Gleichung

(Cartfesî'sche Zeichenregel.) [§ 120, Satz 3.]

199. ) Hat die Gleichung f{x) = 0 nur einfache Wurzeln und ist

Aß) = 0.

[§ 119, Gl. (7.)]

71—3

-j--• • • —j“    —\X>    Cty\ — 0.

f{x) = Q\{x) ./'(*)—/a(«), f'ß) = Qfx) .f₂(x) —ß(x),

Aß) = Qiß) •/3W-/4W,

A~*ß} = Qp-lß) -fr~iß) —fuß) ,

fr-iß) = Qff -Aß),

wobei Aß) eine Konstante ist, so liegen zwischen xt und x2 genau so viele reelle Wurzeln, wie die Reihe

fr » A-ißi), ■■■Aßi), Aßi), f'ßi), fß 1)

Zeichen Wechsel mehr hat als die Reihe

frj fr-iN) ■■■Mß, Aß'A fß2)1 fß2).

[§ 121.]

51*

200.) Sind die Zahlen a und b so bestimmt, daß zwischen a und b nur eine Wurzel der Gleichung f(x) = 0 liegt, und daß die Gleichungen f‘(x) = 0 und f“{x) = 0 in diesem Intervalle keine Wurzel haben, so setze man

a‘ =

/(«)

a —

// =

h /w

h~m’

a“ = a‘

/(« o

f W) ’

b“ = b‘

/m

oder

bi

a“ — a‘

/oo

/'OO

b“ = b‘

je nachdem /'(«) und f‘{a) gleiches oder entgegengesetztes Zeichen haben. Die Intervalle von a bis b, a‘ bis b‘, a“ bis ... werden immer kleiner und schließlich beliebig klein.

[§ 122, Gl. (9.), (14.), (20.) und (27.)] 201.) Die Asymptoten y‘ = mx‘ + y einer Kurve F(x, y) = LT»(a?, y) +    y) Ą-----b Ut(x, y) + U₀ = 0

findet man, indem man die n Werte von m aus der Gleichung y)

lim

X— OO

xn

= lim

X— oo

ayn -f- «ixy‘

xn

= amn -f- a\mn~¹ -f- a₂mn—2 + • • • + a„ = 0 ausrechnet und darauf aus der Gleichung

lim

Fix,

x=oo

die zugehörigen Werte von y bestimmt.

Sind a Werte von m einander gleich, so liegen möglicherweise etliche von den zugehörigen Asymptoten im Unendlichen. Ist das nicht der Fall, so findet man die a zugehörigen Werte von y aus der Gleichung

lim

F(x, mx -j- y) ₌

In ähnlicher Weise erhält man durch Vertauschung von x mit y auch die Asymptoten, wenn die Gleichung derselben die Form x‘ — ly -f- A hat.

[§ 124 und 125.]

202.)

«21 «22 ... «2m

= -(- l)*«la «2,9 «3y • • • «nv

Uni ß?i2 • • • ^nn

wo

- ( ::: )

CS

tO Cfc

die Transpositionszalil zwischen den Permutationsformen a ß y... v und 123...« ist, und wo sich die Summation über alle n\ Permutationsformen a ß y ...v der Zahlen 1 2 3...« erstreckt.

[§ 129, Gl. (1.) und (2.)]

203.)

= (-!)*

«/« «/|3 «/y • • • «/v

ttga « gß Mgy . . . «gv M/ia «Àjî ®hy ■ • • «hv

«11 «12 «13 . . . «Im

«21 «22 «23 • • • «2»

«31 «32 «33 • • • «3u

«/a «i|S «/y ■ • • «/y

««1 ««2 «m3 • • • «mm

WO

[§ 130, Satz 4 und Gleichung (9.), (10.) und (17.)]

204.) Entsteht J\ aus 4 durch Vertauschung zweier parallelen Reihen, so ist

4x = — 4.

[§ 130, Satz 5.]

205.) Sind die Elemente zweier parallelen Reihen der Determinante identisch, so ist

4 = 0.

[§ 130, Satz 6.]

«11 «21 • • • «Ml

«11 «12 • • • «Im

.    [§ 130, Satz 7.]

«12 «22 • • • «m2

«21 «22 • • » «2m

207.) Ist afr der Koeffizient von afr in J, so ist

«11    •••    «1, r—1 «l,r+l •

«/—1, 1 • • • «/—1, r—1 «/—1, r+1 • • • «/—1, n «/+1, 1 • • • «/+!, r—1 «/-fl, r+1 • • • «/+1, «

««1 • • • «m, r—1

«m, r-fl

• • «MM

== (_ ;f)IM+l)(/+r)

«/-fl, r-fl «/-fl, rf 2 • • • «/-fl, r—1 «/+2, r-fl «/f2, r+2 • • • «/f 2, r-1

«/— 1, r-fl «/—1, r+2 • • • «/-1, r-1

[§ 131, Gl. (9.) und (10.)}

208. ) 4 — «lr«lr ~}~ «2r«2r H⁻ ’ * * dnr^nr-

209. )    = ß/i W/j -f- <3/2 W/2 -)- ' ' * “f- Ofn CCfn’

210. )

[§ 131, Gl. (12.)}

[§ 131, Gl. (13.)}

«1» «lr H⁻ «2i«2r “j“ * ' ' “f" «M««Mr — 0 fÜT V

S.

[§131, Gl. (14a.}}

211.)

ag\ W/1 / «</2W/2    • * ' -f- W/M — 0 für/2^ <7»

[§ 131, GL (15a.)}

212.) Sind die Gleichungen

«11    / «12^2 /•••■/ «1 »«V» — C1 »

«21 «h / «22 «"2 ~h ' ’ ‘ ~h «2m«m — <"2}

«Ml«T H⁻ «m2#2 +• • • + «MM#M - «M

gegeben, so wird unter der Voraussetzung, daß die Determinante der Koeffizienten von Null verschieden ist,

. Xr == C\ (X\r -f- C2 W2r -f- • • • -f- «M«Mr>

oder

«11 «12 • • • «Im

«21 «22 • . . «2m

. xr =

«11 • • • «1, r—1 «1 «1, r+1 • • • «Im «21 ... «2, r—1 «2 «2, r+1 • • • «2m

«Ml «m2 • • • «MM

«Ml > • • «m, r—1 «m «n, r+1 • • • «mm

[§ 132, Gl. (1.), (7.) und (7a.)]

m«i2 «12 . . . «1»

217.)

[§ 133, Satz 4.]

«11 • • • «lr ••• «1»

= rn

215.)

«11 «i2 «13 • • • «1 n 0 «22 «23 • • • «2n 0    0 «33 .. . «3W

== «11 «22 «33 • • • «MW •

[§ 133, Satz 3.]

214.)

«11 «12 ... «1«

«21 «22 • • . «2»

1 11 h ■■■ ln

0 «11 «12 . . • «lrt 0 «21 «22 • • • «2II

[§ 133, Satz 2.]

218.)

«11 «12 «13 . . . «l»

0 «22 «23 • • • «2» 0 «32 «33 • • • «3m

«22 «23 • •• «2n

= «11

«32 «33 • • • «3»

[§ 138, Satz 1.]

0 «m2 «m3 • • • «mm

««2 «m3 • • • «mm

«wl ««2 • • > «mm

0 «m1«m2 • • • «ww

0    0    0    ... «wm

216.) «ii ... malr ... «iM

«21 ... ma2r , . . «2)i

d'ti'i • • . 7Yldnr » • • dfifi

«Ml • ■ • «nr • • ■ «mm

ma,an • • • «2n

= 0.

[§ 133, Satz 5.]

77ldfi’2 du2 . . . dfifi

218.) ^4i + Ą, Ci, Bu ...

■^2 + ^2j C2, Di, . . .

^1 C\ Di ... ^2 C2 Di ...

B₁ C\ Di ...

Bi C2 Di...

An “f" Bn, On, Df,, . . .

A,t On Dn . . .

Blt Cn Dn

... I -[§ 133, Satz 6.]

219.) «11 «12 • • • «1» «21 «22 • • • «2n

«11 4~ mai,-, «12 ... «iw

«21 -f~ mUir, «22 • • • «2m

Cfr — Cl\f b\r -f- «2/^2r    ⁻ ' • H“ a„fbnr •

[§ 134, Gl. (6.), (7.) und (12.) bis (15.)]

221.) Ist

oder

oder

oder

WO

220.)

«Il « 12 . . . «1n

bn bn ... b\n bn ... b-in

«11 «12 • • • «Im

«21 «22 ... «2 m

«nl «m2 ... «mw

bn\ bn2 • . • Clyin

«wl Cn2 • • • «MW

Cfr — (Iji bri -f- Clj2 br2    • "f" «/» br

«/r — ö/l b\r -)- «/2 ^2r “f⁻ ' * ’ 4“ «/» bnr,

C/r = «1/^rl ~j- «2/^r2 H“ • • • “h anfbrn j

« =/fa y)

eine Funktion von zwei voneinander unabhängigen Veränderlichen £ und i/, so wird

dz

dxz — ^ dz, dyz —

dz

dz

dz = dx 4-dx

dz

dy

dy

dy

dy = dxz + dyz.

[§ 137, Gl. (8.), (9.) und (14.)]

222.) Das partielle Differential einer Funktion

² =/(« 1, «2 , • ■ • Un)

in bezug auf ua ist gleich der partiellen Ableitung von z nach ua, multipliziert mit dua, also

dz

duxz = dux

du₂z

dz

öu₂

du.2 j ... d unZ —

dz

dun.

dun

[§ 139, Gl. (13.)]

223.) Das vollständige (oder totale) Differential von

Z=J\Ulj «2,...««)

ist

dz —

dz

dz

du\

du 2 -j- • • • -f

dz

dun

dun

ÔU2

und zwar gleichviel, ob v1} u₂, ... un voneinander unabhängig

sind, oder ob u±, u₂, ... un selbst wieder Funktionen von einer oder von mehreren Veränderlichen sind. Wenn z. B. u1} u₂,... u» sämtlich Funktionen einer Veränderlichen t sind, so kann man auch schreiben

dz dz du\ dz du2 dt du\ dt du2 dt

224.)

oder

Q <|)

dy    dx

oder

dz dun dun dt

[§ 139, Gl. (14.), (17.) und (28.)]

d²z

d²z

225.) Ist

dxdy dydx ’ fn{x, y)    y). [§ 140, Gl. (20.) bis (22.)]

^ =f(ui, w₂, ...un),

und sind die Veränderlichen «i, w₂, • • • un voneinander unabhängig, so ist

dmz

/ dz ₇

=(svrf“¹⁴

dz

du₂

dun

\M

) •

Diese Formel bleibt noch richtig, wenn ux, u₂, ...un lineare Funktionen einer Veränderlichen t sind, wenn also

U\ = axt -)~ b\, u₂ — a₂t -\- b₂,... un = ant -f- bn dann kann man auch schreiben

dz du2 du₂ dt

dmz

dtm

dz du\ dux dt

dz d'Un-Sm} dun dt )

/ dz

“Use,+

226.) Aus der Gleichung

dz

dz

du₂

y»)

"n—

O llfi

[§ 141, Gl. (20.), (38.) und (39.)]

findet man

F(x, y,z) = 0

z Fx dz

~= — -pr» Qy~~Tz' ^¹⁴²> GL (³-) ^ ^

227.) Gelten die Gleichungen

F(x, y, z) = 0 und G(x, y, z) = 0

F₂

gemeinschaftlich, so wird

228.) Für das Bogenelement ds einer Raumkurve erhält man ds¹ = dx¹ -f- d>ß -f- dz¹.

COSß =

[§ 144, Gl. (3.)}

229.)

dx

COS iX = -y- 1 ds

dy

dz

ds

ds

wo a, ß, y die Winkel sind, welche das Bogenelement ds mit den positiven Richtungen der Koordinaten - Achsen bildet.

[§ 144, Gl. (4.)}

230.) Sind

F(x, y, z) = 0 und G (sc, y, z) = 0 die Gleichungen einer Raumkurve, so hat die Tangente im Kurvenpunkte P mit den Koordinaten x, y, z die Gleichungen

x‘ — x

dx

oder

dy

x‘ — x

y‘ — y

z‘ — z

F\Gz—F$G<i F₃G\ — F\Gz F\G₂— F₂G\

[§ 144, Gl. (13.) und (13a.)] 230 a.) Sind x, y, z Funktionen einer vierten Veränderlichen t, so hat die Tangente im Kurvenpunkte P die Gleichungen

x‘ — X

dx

y‘—y

z‘ — z

dy

dz

[§ 144, Gl. (13 b.)]

dt

dt

dt

231.) Gleichung der Normalebene

(xJ — x)dx -f- (y‘ — y)dy -j- (z‘ — z)dz — 0,

oder

(F₂G₃ — FzG^)(x‘ — x) + (FzGx — F\G^)(y‘ — y)

+ (FxG₂ — F₂Gx)(z‘ — z) = 0.

[§ 144, Gl. (16.) und (16a.)]

231a.) Gleichung der Normalebene

v-x)m+'w-y)Tt

dy

dz

+ (*'-*>* -0-

[§ U4, 61. (16b.)]

232.) Die Schmiegungsebene im Kurvenpunkte P hat die Gleichung

P(x‘ — x)-\- Q(y‘ — y) + R(z‘ — z) = 0,

wobei

P — dydlz — dztPy, Q = dzdlx — dxdlz, li — dxdhj — dyd²x.

[§ 146, Gl. (12.) und (14.)]

233.) Die Hauptnormale hat die Gleichungen

x‘ — x

Rdy — Qdz Pdz — Rdx Qdx — Pdy

y‘ — y

z‘ — z

[§ 146, Gl. (17.)]

234.) Die Binormale hat die Gleichungen

[§ 146, Gl. (19.)]

x‘ — x

235.) Sind u‘, ß‘, y‘ die Winkel, welche die Binormale mit den positiven Richtungen der Koordinaten-Achsen bildet, so ist

C0Sr'=M’

COS a‘ =

Q

cosß = ^ wobei

M² = P² + Q² + P². [§ 146, Gl. (21.) und (22.))

236.) Sind a", ß“, y“ die Winkel, welche die Hauptnormale mit den positiven Richtungen der Koordinaten-Achsen bildet, so ist

COS a“ =

> COS/?" =

Rdy — Qdz

Mds

]⁾dz — Rdx

Mds

COS/"

Qdx — Pdy

Mds

[§ 146, Gl. (25.))

237.) Der Krümmungskreis hat die Gleichungen

P{x‘ - g) + Q(y‘ —    + R(z‘ — 0 = 0,

{x‘ — $)² +    — ny + (z‘ — ty — ?² = 0,

wobei

(Rdy — Qdz)ds²

M¹

y—n =

(Pdz — Rdx) ds¹

( Qdx — Pdy) ds¹

ds³

M¹

— M

[§ 147, Gl. (2.), (3.), (23.) und (25.)]

238.) Bezeichnet man mit de den Kontingenz winke!, so wird

M 1

de

ds

ds³

239. ) Bezeichnet man mit dt! den Torsionswinkel, so wird

(dp)² = [c/(C0Su')]² -f- [cf(C0Sjtf')]² -f [ö?(cos p)]²,

oder

dp Pd³x -f- Qd³y -f- liddz 1

ds

M*.

wobei (/ der Halbmesser der zweiten Krümmung ist.

[§ 147, Gl. (40.), (44.) und (46.)]

240. ) Für den Halbmesser r .der Schmiegungskugel gelten die Formeln

( Pd³x -f- QcPy -f- liiPzf

r2

=+*‘iW'

241.) Die Gerade

[§ 148, Gl. (12.) und (18.)]

x‘ — x = m(z‘ -— z), y‘ — y — m(z‘ — z)

ist eine Tangente der Fläche

F(x, y, z) = 0, oder « =/(*, y),

wenn

Ftm + F//i -j- F₃ = 0, oder m

Cb Cb

dz

= 0.

242.) Die Tangentialebene der Fläche

F(x,y,z) = 0, oder z =f(x, y)

+ ndv~¹

[§ 150, Gl. (10.) und (12.)]

hat die Gleichung

oder

Fi{x‘ — x) + F₂(y‘ — y) + Fa(z‘ — z) = 0

z‘ — z =

Cb Qj

dz

(x‘ — x) + Q- (yl — y).

[§ 150, Gl. (16.) und (16a.)]

243.) Die Normale der Fläche im Punkte F hat die Gleichungen

x' — x    y‘ — y

oder

Ft

F₂

f₃ ’

dz

dx(z‘ — z) ⁼⁰

dz

V‘~ y + dy(Z‘~ Z)=z°'

[§ 150, Gl. (21.)]

244.) Ist q der Krümmungshalbmesser der ebenen Kurve, welche aus der Fläche z‘ =f(x\ y‘) durch die Ebene

A(x‘ — x) •+ B(y‘ — y) + C(z‘ — z) = 0 ausgeschnitten wird, so erhält man

.2_

[{B + Cq)² + (A -f- Cp)² + (Aq — Bp)²]³

(.A²-\- H²+ C ²)[r(B + Cqf—2s(A + Cp) (B + Cq) + t{A + Cp)²]²

wobei

Oj Oj

d²ż r = d^’

d'²z

Oj Oj

dxdy'1 [§ 152, Gl. (2.) und (15.)}

245.) Der Krümmungshalbmesser eines Normalschnittes ist

wobei

- [1 -f- p² '4* 2 pqX + (1 + <?²) ^²] Vi + p² + q2 r -j- 2sX -) - tX²

cly

dx

[§ 152, Gl. (18.) und (24.)]

246.) Nennt man die Werte von X, für welche der Krümmungshalbmesser des zugehörigen Normalschnittes ein Maximum oder Minimum wird, Xt und X₂, so findet man

X\ -f- X₂ —

(1 + P²)t— (1 + q²)r

pqt — (l -j- q²)s

X\X₂ =

(1 -f- p²)s — pqr pqt—{ 1 + q²)s [§ 152, Gl. (27.)]

247.) Sind (o und q₂ die Hauptkrümmungshalbmesser, so wird

[(1 + q²)r— 2pgs + (1 + P²)t] Vl + p² + ql 6² — rt

Ql + Q2 =

(1 + p² + q²)²

s² — rt

[§ 152, Gl. (30.) und (31.)]

248.) Ist q der Krümmungshalbmesser eines Normalschnittes, dessen Ebene mit dem ersten Hauptnormalschnitt den Winkel « bildet, so ist

1 cos²« . sin²«

-— • (Eulersehe Formel.) [§ 152, Gl. (42.)] Q-2

+ -•

249.) Sind q und qj die Krümmungshalbmesser zweier Normalschnitte, deren Ebenen aufeinander senkrecht stehen, so ist i    ¹ _ 1 . 1

Q    Q¹ Q i (?2

250.) Ist q' der Krümmungshalbmesser eines schiefen Schnittes, dessen Ebene mit der Ebene des zugehörigen Normalschnittes den Winkel & bildet, so ist

q' = q cos#,

wobei q der Krümmungshalbmesser dieses Normalsclmittes ist.

(Satz von Meunier.) [§ 152, Gl. (53.)]

251.) Das Gauß sehe Krümmungsmaß im Flächenpunkte P ist

rt — 6²

(1 +P¹ + ßf

[§ 154, Gl (10.)]

Ql Q 2

252.) Die Enveloppe (Umhüllungskurve) der Kurvenschar

F(x, y, u) = 0

erhält man durch Elimination von u aus den Gleichungen

dF(x, y, u) ₌

F(x, y, u) — 0 und

253.) Hat die Kurve F(x, y) = 0 im Punkte D mit den Koordinaten x, y einen Doppelpunkt, so müssen die drei Gleichungen F(x, y) = 0, Ft(x, y) = 0,    F₂(x, y) = 0

gleichzeitig befriedigt werden. Die beiden zugehörigen Werte

findet man dann aus der Gleichung

von

dy

dx

F\\ -(- 2Fm oder

dy

dx

+Hîh⁰’

oder

du

[§ 155.]

fdF dF dy f)_

\    dy dy) ’

dy_— F[2 ± VFyj2, -— F\iF'n

dx

Fn

^2w

und darauf die zugehörigen Werte von ~ aus der Gleichung

/dF , ÔF dW»)    / ĆPF    d²F dy\

\ dx ~r dy dx)    \dxdy    dy² dx)

dhy

dx²

[§ 157, G-J. (7.), (8.) und (8a.); § 158, Gl. (16a.)] ■254.) Hat die Kurve F{x, y) = 0 im Punkte D mit den Koordinaten x, y einen dreifachen Punkt, so müssen die sechs Gleichungen

F — 0, Fi = 0, F% = 0, jPu = 0, Fi 2 = 0, F-22 — 0 gleichzeitig befriedigt werden. Die drei zugehörigen Werte

von

dy

dx

findet man dann aus der Gleichung

/ÖF dF rfy\W \ dx    öy dx)

= 0.

[§ 159, Ql. (2.)]

255.) Hat die Kurve F(x, y) = 0 im Punkte D mit den Koordinaten x, y eine Spitze (einen Rückkehrpunkt), so müssen die vier Gleichungen

[§ 160, Gl. (2.)]

256.) f(x+h, v+/c) =f(x, y)+(K/<+^)+

(jLh+%¹)+K>

F(x, y) = 0, Fx(x, y) = 0, F₂(x, y) = 0 und Fu² — FnFT2 = 0 gleichzeitig befriedigt werden.

¹⁻¹ i 8

wobei

⁼ öTR)i(

1 V/öf(x+Qxh, yF&ih)

öf(x-\-Oh, y-\-Qk) , öf(x-\-Gh, y-\-Gk) \(W+Ü h -f- --5-    — k J

dx

dx

h~f

öy

öfjx+Gjh, y F ®i&)

öy

*)

(n)

ö#

df(x, V) z.

öy

[§ 161, Gl. (8a.), (9a.) und (10a.)}

257.)

² =f(X 1» *2, ...«n)

heißt eine ,,homogene Funktion mUn Gradeswenn / (fei, fe₂, ■. - fen) = *”/(*i, a-2,. • • «*») ;

-dann wird

ÖS

Öa:i

-p X<1

ÖS

Ös

Ö«2

öxn

= ms

H-----b x

Ös\(²⁾

[§ 162, Gl. (2.), (10.) und (14.)]

258.) [z = f(x, y) wird ein Minimum, wenn

/iO, y) = o, /2O, y) = o, /u > 0, /u/22 —/12² > 0 ;

.s = /(#, y) wird ein Maximum, wenn

/iO, y) = 0 » />(*, y) = 0, /u < 0, /u/22 —Z«² > 0 ; s = /(#, y) wird dagegen weder ein Maximum noch ein Minimum, wenn zwar

/iO, y) = 0, /2O, y) = 0, aber /n/₂₂ —/₁₂² < 0.

[§ 163, Gl. (65.) bis (67.)]

259.) u =f(x, y, z) wird ein Minimum, wenn

fi(x, y,z) = 0, /₂(>, y, z) = 0, ffx, y,z) = 0,

und wenn

A =fn > 0,

/11/12 /21/22 i

/11/12/13

> 0, A == /₂i/₂₂/₂₃ > 0; /31/32/33

w = /(-G 2/j 2) wird ein Maximum, wenn

/iO> y, z) = 0, /2O, y, 2) = 0, /₈(*, y, z) = 0,

und wrenn

A < 0, A> o, A<o.

[§ 165, Gl. (3.), (5.), (18.) und (19.)] 260.) u=f(x x, x₂, ... x„) wird ein Minimum, wenn f\[xx, x₂, ... Xn) = 0, ffx 1, X 2,...XH) = 0, ...fn(x 1, X₂,...Xn) = 0,

lind wenn

wobei

A > 0,... A > o

fllf 12... fia /21^22 ■ • /2a

ua

fa\fa2 ...fi

u = /'(zi,    ,... #«) wird ein Maximum, wenn wieder

fl{X\ ,X-2,... xn) = 0 , fi(x 1 ,x₂,... xn) = 0, . .    , a?₂, . . . Xn) = 0 ,

und wenn

Ar > 0 für r = 1, 2, — je nachdem n gerade oder ungerade ist.

Ar—1

oder

[§ 165.]

Druckfehler.

Seite 97, Zeile 7 v. o. lies Af(x) statt A (x)f. Seite 528, Zeile 6 und 4 v. n. lies Ax statt A₂.

Seite 628, Zeile 5 v. u. lies

d²z

ö²x

statt

„ARZĄD SZKOŁY (BóRN,Czk^»<f>eehnj^ Dąbrowa (ŚI. austr.J

dy dx

Druck von Gebauer-Schwetschke, Druckerei und Verlag

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