Band V«.

Heft 2.

ENCYKLOPÄDIE U '/ ' 0 <ß K,

...    f ZT {./'**.

MATHEMATISCHEN

WISSENSCHAFTEN

MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN.

HERAUSGEGEBEN IM AUFTRAGE DER AKADEMIEN DER WISSENSCHAFTEN > ZU GÖTTINGEN, LEIPZIG, MÜNCHEN UND WIEN SOWIE UNTER MITWIRKUNG ZAHLREICHER FACHGENOSSEN.

CTn

CTn

IN SIEBEN BÄNDEN.

BAND I: ARITHMETIK ü. ALGEBRA, IN 2 TEILEN......

-    II: ANALYSIS, IN 2 TEILEN.

-    III: GEOMETRIE, IN 3 TEILEN

JrED. VON W. FR. MEYER IN KÖNIGSBERG H. BURKHARDT IN ZÜRICH UND

W. WIRTINGER IN WIEN.

W. FR. MEYER IN KÖNIGSBERG.

TTT    TXT _ ______    f F. KLEIN IN GÖTTINGEN UND

-    IV: MECHANIK, IN 2 1 EILEN.....{ C. H. MÜLLER IN GÖTTINGEN.

-    V: PHYSIK, IN 2 TEILEN..... A. SOMMERFELD IN MÜNCHEN.

-    n.umm,w.rnmm . . IftSSSMS

-    VI, 2: ASTRONOMIE...........

-    VH: GESCHICHTE, PHILOSOPHIE, DIDAKTIK !

K. SCHWARZSCHILD IN GÖTTINGEN. F. KLEIN N GÖTTINGEN UND t C. H. MÜLLER IN GÖTTINGEN.

BAND V2. HEFT $r

JR. (»ASS IK TÜBINGEN : ELEKTROSTATIK UND MAGNETOSTATIK......

P. PO OKELS IN HEIDELBERG: BEZIEHUNGEN ZWISCHEN ELEKTROSTATISCHEN UND MAGNETOSTATISCHEN ZUSTANDSÄNDERUNGEN EINERSEITS UND ELASTISCHEN UND THERMISCHEN ANDERERSEITS . .

S. 289

S. 350

AUSGEGEBEN AM 12. MARZ

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LEIPZIG, DRUCK UND VERLAG VON

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1907.

MB* Jeder Band ist einzeln käuflich.--Bisher erschien: Bd. I (vollständig); Bd. II1, Heit 1-6; Bd. II2, Heft 1; Bd. III2. Heft 1—B: Bd. III3, Heft 1-3; Bd. IVi, Heft 1—3; Bd. IVih, Heft 1; Bd. IV2, Heft 1-3; Bd. Vi, Heft 1—3; Bd. V*, Heft 1 nnd 2; Bd. VIi, Heftl; Bd. VI2, Heft 1.    ,

§pfr Einbanddecken in Halbfranz werden anf Bestellung mit dem Schlnßheft eines jeden Bandes zu wohlfeilen Preisen von der Verlagsbuchhandlung geliefert.

Unter der Fresse:

Band II. Teil 2. Elliptische Funktionen. Von J. Karkness in Montreal (Canada) und >¥. Wiftinger in Wien. — Automorphe Funktionen. Von R. Fricke in Braunschweig.

-    1. Prinzipien der Geometrie. Von F. Enriques in Bologna. — Die Begriffe „Linie“ und „Fläche“. Von II. v. Mangold! in Danzig. — Analysis situs. Von P. lleegaard in Kopenhagen und M. Dehn in Münster i. W. — Gegensatz von synthetischer und analytischer Geometrie in seiner historischen Entwickelung ira XIX. Jahrhundert. Von G. Fano in Turin. — Die Grupponikeorie als geometrisches Einteilungsprinzip. Von G. Fano in Turin.

1.    Elementare Dynamik der Punktsysteme und starren Körper. Von P. Stäckel in Hannover.

2.    Theorie cler hydraulischen Motoren und Pumpen. Von M. Grübler in Dresden. — Grundlegung der mathematischen Elastizitätslehre von C. H. Müller in Göttingen und A. Tirope in Danzig. — Allgemeine Theoreme der Elastizitätslehre (Integrationstheorie). Von 0. Tedone in Genua. — Spezielle Ausführungen zur Statik elastische» Körper. Von 0. Tedone in Genua und Ą. Timpe in Danzig. — Schwingungen elastischer Körper, insbesondere Akustik. Von H. Lamb in Manchester.

-    1. Kinetische Theorie der Materie. Von L. Boltzmannf und J. Nabl in Wien. — Kapillarität. Von II. Minkowski in Göttingen.

1. Höhere Geodäsie. Von E. Pizzettl in Pisa.

III.

IV.

IV.

V.

VI.

Aufgabe der Encyklopedie ist es, in knapper, zu rascher Orientierung geeigneter Form, aber mit möglichster Vollständigkeit eine Gesamtdarstellung der mathematischen Wissenschaften nach ihrem gegenwärtigen Inhalt an gesicherten Resultaten zu geben und zugleich durch sorgfältige Literaturangaben die geschichtliche Entwicklung der mathematischen Methoden seit dom Beginn d.es 19. Jahrhunderts nachzuweisen. Sie beschränkt sich dabei nicht auf die sogenannte reine Mathematik, sondern berücksichtigt auch ausgiebig die A n -Wendungen auf Mechanik und Physik, Astronomie und Geodäsie, die verschiedenen Zweige der Technik und andere Gebiete, und zwar in dem Sinne, daß sie einerseits den Mathematiker orientiert, welche Fragen die Anwendungen an ihn stellen, andererseits den Astronomen,^Physiker, Techniker darüber orientiert, welohe AntwortNv die Mathematik auf diese Fragen gibt. In 7 Bänden werden die einzelnen Gebiete in einer Reihe sachlich angeordneter Artikel behandelt; jeder Band soll ein ausführliches alphabetisches Register enthalten. Auf die Ausführung von Beweisen der mitgeteilten Sätze muß natürlich verzichtet werden. — Die Ansprüche an die Vorkenutnisse der Leser sollen so gehalten werden, daß das Werk auch demjenigen nützlich sein kann, der nur über ein bestimmtes Gebiet Orientierung sucht. — Eine von den beteiligten gelehrten Gesollschaftea niedergesetzte Kommission, z. Z. bestehend aus d,en Herren

W. v. Dyck-München, G. V. Escherich-Wien, 0. Hölder-Leipzig, F. Klein-Göttingen, V. v. Lang-Wien, ferner L. Boltzmann (f), H. v. Seeliger-München, H. Weber-Straßburg,

steht der Redaktion, die aus den Herren

H. Burkhardt-Zürich, Ph. Furtwängler-Bonn, F. Klein-Göttingen, W. Fr. Meyer-Königsberg, C. H. Müller-Göttingen,

K. Sohwarzschild-Göttingen, A. Sommerfeld-München, E. Wiechert-Göttingen und W. Wirtinger-Wien

besteht, zur Seite. — Als Mitarbeiter an der Encyklopädie beteiligen sich ferner die Herren

A. Voss-München A. Wangerin-Halle E. v. Weber-München W. Wirtinger-Wien E. Zermelo-Göttingen.

I. Band:

W. Ahrens-Magdeburg P. Bachmann-Weimar

J.    Bausohlnger-Berlin

G.    Bohlmann-Berlin

L. v. B ortke witsch - Berlin

H,    Burkhardt-Zürich E. Czuber-Wien

W. v. Dyok - München

D.    Hilbert-Göttingen 0. Hölder-Leipzig G. Landsberg -Kiel R. Mehmke-Stuttgart

W. Fr. Meyer-Königsberg i.P.

E.    Netto-Gießen

V. Pareto-Lausanne A. Pringsheim - München

K.    Runge-Göttingen

A. Schoenflies-Königsberg

Ph. Forchheimer-Graz Ph. Furtwängler-Bonn M. Grübler-Dresden L. Henneberg-Darmstadt

K.    Heun-Karlsruhe

G.    Jung-Mailand

F.    Klein-Göttingen A. Kriloff-Petersburg

H.    Lamb-Manchester A. E. H. Love-Oxford C. H. Müller-Göttingen J. Petersen-Kopenhagen

L.    Prandtl-Göttingen H. ReiBner-Aachen

A. Schoenflies - Königsberg ( P. Stäckel-Hannover 0. Tedone-Genua A. Timpe-Danzig E. Timerding-Straßburg i. E. A. Voss-München

G.    T. Walker - Simia (Indien) G. Zemplén-Budapest.

K. Runge-Göttingeu A. Schoenflies » Königsberg M. Schröter-München A. Sommerfeld-München E. Study-Bonn A. Wangerin-Halle W. Wien-Würzburg J. Zenneck-Braunschweig.

fif. Band:

R. Berzoiari-Pavia H. Burkhardt-Zürich G. Castelnuovo-Rom M. Dehn - Münster i. W.

F. Dingeldey- Darmstadt

F.    Enriques-Bologna

G.    Fano - Turin C. Guichard - Clermont-Fer-P. Heegaard-Kopenhagen K. Heun-Karlsruhe

G.    Kohn-Wien

H.    Liebmann-Leipzig

G.    Loria-Genua R. v. Lilienthai-Mtinsteri.W.

H.    v. Mangoldt-Danzig W.Fr. Meyer-Königsberg i.P.

E. Müller-Wien

J.    Néuberg-Lüttich E. Papperitz-Freiberg i. S.

K.    Rohn-Leipzig

M. Böcher^Cambridge, Mass.    Q-Soheffers-Charlottenburg    p    Qebye-München

G.    Brunei (f)    {. Sc oenflies - Kömgsberg    g£?s _“en

H.    Burkhardt-Zürich    S'&"ÄnrBnr    H.    Diesselhorst-Berlin

G.    Faber-Karlsruhe    "• s™on-Straßburg i. E.    $    Finsterwalder-München F. Cohn-Königsberg i. P.

R.    Fricke-Braunschweig    J-lg    R    Gans-Tübingen

H.    Hahn - Wien    J’    Bestock”    F'w- Hlnrlohsen® Aachen

K.    H* wel-Marturg⁶*¹    SteïtV-Ätenburg

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h. aneser-Kresiau    »-..łi.--    Th. LieblSCh-Göttingen

A. Krazer-Karlsruhe    ”• “■ Zeuthen-Kopenhagen    • • -    • -

L.    Maurer-Tübingen    ' Zindler

W.Fr, Meyer-Königsberg i.P.

W. F. Osgood-Cambridge,

P. Painlevé-Paris

S.    Pincherle-Bologna A. Pringsheim-München A. Sommerfeld-München E. Vessiot-Lyon

[rand

i.P.

H. Sohubert-Hamburg

D.    Seliwanoff-St. Petersburg

E.    Study-Bonn

K.Th. Vahlen-Greifswald H. Weber-Straßburg i.E. A. Wiman-Lund.

VI, 1. Band:

R.    Bourgeois-Paris

G.    H. Darwin-Cambridge

S.    Finsterwalder-München

H.    Hergesell-Straßburg S. Hough-Kapstadt

H. Meldau-Bremen J. M. Pemter-Wien P. Pizzetti-Pisa C. Reinhertz (t)

A. Schmidt-Potsdam W. Trabert-Wien E. Wiechert-Göttingen.

V. Band:

VI, 2. Band :

II. Band:

[Mass. M. Abraha L. Boltzim C. Cranz-S. Finster 0. Fischer

M. Abraham - Göttingen

L. Boltzmann (f)

G. H. Bryan-Bangor (Wales) A. Bem porad- Catania

E. W. Brown-Haverford C. Ed. Caspari-Paris C. V. L. Charlier-Lund

E. Anding-Gotha J. Bauschinger-Berlin

R. Emden-München

F.    K. ßinzel-Berlin

J. v. Hepperger-Wien

G.    Herglotz-Göttingen

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000299016

F.    R. Moulton-Chicago

G.    v. Niessl-Brünn S. Oppenheim-Prag L. Schulhof-Paris

K. Sohwarzschild-Göttingen E. Strömgren-Kiel K. Sundmann -Helsingfors E. T. Whittaker - Cambridge C. W. Wirtz-Straflburg i. E.

H.    v. Zeipel -Pułkowa.

Mathematische Annalen.

Herausgegeben von F. Klein, W. v. Dyck, D. Hilbert, 0. Blumenthal.

Neudruck der vergriffenen Bände.

Durch anastatischen Neudruck der seither vergriffenen Bände 3, 4, 5, 6, 7, 31, 32, 33, 50, 51, 52, 53, bin ich wieder in der Lage komplette Serien liefern zu können. Der Einzelpreis für diese Bände beträgt je 28 Mark.

Leipzig.

B. G. Teubner.

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Soeben erschien:

THEORIE

DES INTEGRALLOGARITHMUS

UND VERWANDTER TRANSZENDENTEN •

VON

De. NIELS NIELSEN

HOZENT DER KEINEN MATHEMATIK AN DEK UNIVERSITÄT KOPENHAGEN

[VI u. 106 S.] gr. 8.    1906. geh. n. JC 3.60.

Die mathematische Literatur des seit dem Erscheinen der Bücher von L. Mascheroni (1796) und J. Soldner (1809) verflossenen Jahrhunderts enthält zahlreiche Abhandlungen, die über den Integrallogarithmus und verwandte Funktionen handeln. Diese Arbeiten geben zwar verschiedene Anwendungen unserer Transzendenten und bringen auch hie und da numerische Tafeln sowie verschiedene neue Eigenschaften derselben; allein die systematische Untersuchung der oben genannten Funktionen scheint ganz und gar in diesem Zeiträume vernachlässigt zu sein, denn die gefundenen neuen Formeln und Lehrsätze stehen ganz vereinzelt da, ohne daß ein Versuch gemacht wird, diese Eigenschaften mit den früher gekannten zu vergleichen oder gar zu verknüpfen.

Namentlich scheint die, im Vorübergehen, von Schlömilch gemachte Beobachtung, daß der Integrallogarithmus und die Krampsche Transzendente als Spezialfälle in der später als Prymsche Q-Funktion bezeichneten Transzendenten enthalten sind, ganz und gar unbeachtet geblieben zu sein.

Ein charakteristisches Beispiel in dieser Beziehung bieten die interessanten Kettenbruchentwicklungen, die in der Theorie unserer Funktionen auftreten, dar; diese Entwicklungen, die schöne Untersuchungen von Laguerre und Tannery hervorgerufen haben, sind in der Tat, wie in Kapitel III meines Büchleins gezeigt wird, schon als Spezialfälle im Kettenbruche von Legendre enthalten.

Schon meine Untersuchungen über die Zylinderfunktionen haben meine Aufmerksamkeit auf den Integrallogarithmus und die damit verwandten Transzendenten gelenkt; diese Funktionen treten in der

Tat auch als Spezialfälle der dort vorkommenden Transzendenten auf; allein diese Untersuchungsmethode scheint eine viel zu weitschweifige zu sein. Später habe ich daher versucht, mit der Schlömilchschen Bemerkung als Ausgangspunkt, die schon bekannten, sowie verschiedene neue Eigenschaften unserer Transzendenten in systematischer Weise herzuleiten.

Möchte nun dieser Versuch weitere Untersuchungen und vor allem praktische Tafellegungen der ebenso wichtigen wie interessanten Transzendenten anregen!

Kopenhagen.

^fauoTt*^ i KRAKÓW

Inhalt.

Niels Nielsen.

Kapitel I.

Definitionen und analytische Eigenschaften.

Seite

§ 1. Der Integrallogarithmus....................

§ 2. Formeln von Mascheroni und Bessel...............

§ 3. Die Funktionen ci(æ) und si(a;). Integrale von Kramp und Fresnel.

§ 4. Anwendungen der Fakultätenreihe für P(x, v)..........

§ 5. Differentiation und unbestimmte Integration...........

§ 6. Die Funktion li(e-*) und die logarithmische Reihe........

§ 7. Die Funktionen ci(x) und si(æ) als Grenzwerte..........

11

13

15

Kapitel II.

Integraldarstellungen.

§    8. Integraldarstellungen der sechs Transzendenten.........

§    9. Herleitung einiger allgemeinerer Integrale...........

§ 10. Integrale von Laplace und Raabe...............

§ 11. Integrale von Schlömilch...................

§12. Integralbestimmungen durch L(x), C(x), S(x) und q(x).....

§ 13. Über das Produkt Q(ctx, v) • Q(ßx, q).............

§ 14. Über einen Integralsatz von Bessel..............

Kapitel HI.

Asymptotische Reihen und Kettenbrüche.

§ 15. Asymptotische Reihe für die ^-Funktion............

§16. Anwendungen........................

§ 17. Kettenbrüche von Laplace, Soldner und Legendre........

§ 18. Die Annäherungsbrüche des Legendreschen Kettenbruchs .    . .

§ 19. Verallgemeinerungen der Kettenbrüche von Laguerre und Tannery

Kapitel IV.

Bestimmte Integrale.

§ 20. Integrale mit der Exponentialfunktion.............

§ 21. Diskontinuierliche Integrale..................

§ 22. Analogien der Integrale der §§ 9 und 14...........

§ 23. Weitere diskontinuierliche Integrale ..............

§ 24. Das Analogon des zweiten Eulerschen Integrals.........

§ 25 Das Analogon des Laplace-Abelschen Integrals.........

17

20

23

25

27

30

33

35

38

40

43

45

47

49

51

53

54

Akc. Nr,

§ 26. Bestimmte Integrale mit Zylinderfunktionen ....

§ 27. Integrale mit der Lominelschen Funktion......

§ 28. Integralsatz von Sonin...............

§ 29. Weitere Integraldarstellungen der Eulerschen Konstante

59

62

64

67

Kapitel V.

Verschiedene Reihenentwicklungen.

71

§ 30. Partialbruchentwicklungen . . .

§ 31. Besondere Entwicklungen für si(rc)

§ 32 Fouriersche Reihen für verschiedene elementare Funktionen ....    75

§ 33. Fouriersche Reihen für log«, log I"(rc-f-1) und 'R(æ; —f- 1)

§ 34. Analogien der Bemoullischen Funktionen......

73

77

. 81

Kapitel VI.

Numerische Berechnung der sechs Transzendenten.

§ 35. Über die Addition der Argumente.............

§ 36 Weitere Formeln von Soldner und Bessel.........

§ 37. Tafeln für li(x), ci(æ) und si(œ)..............

§ 38. Tafeln für L(x), C(x) und S(x)..............

§ 39. Der Integrallogarithmus und die Zahlentheorie.......

Literaturverzeichnis.

83

. 85 . 88

90

92

A.    Theorie und Tafeln. ............

B.    Zahlentheoretische Anwendungen.......

C.    Anwendungen auf Wahrscheinlichkeitsrechnung

D.    Physikalische Anwendungen.........

95

100

101

102

105

Alphabetisches Register

Bestellzettel.

Bei

in

Buchhandlung

bestellt der Unterzeichnete hiermit aus dem Verlage von B. G. Teubner in Leipzig [zur Ansicht]:

Niels Nielsen, Theorie des Integrallogarithmus und verwandter Transzendenten. [VI u. 106 S.] gr. 8. 1906. geh. n. JL. 3.60

- Handbuch der Theorie der Gammafunktion.

[X u. 326 S.] gr. 8. 1906. geh. JL. 12.—

- Handbuch der Theorie der Zylinderfunktionen. [XIV u. 408 S.] gr. 8. 1904. geh. n. JL. 14.—

Unterschrift :

Ort, W ohnung :

Von Niels Nielsen erschien ferner im gleichen Verlage:

Handbuch der Theorie der Gammafunktion.

[Xu. 326 S.] gr. 8.    1906. In Leinwand geb. n. M. 12.—

Dies Handbuch versucht, eine Gesamtdarstellung der bis jetzt bekannten Eigenschaften und Anwendungen der Gammafunktion und verwandter Punktionen in strenger und doch möglichst elementarer Form zu liefern; es ist daher als der erste neuere Versuch dieser Art zu bezeichnen, denn merkwürdigerweise ist seit dem Traité von Legendre keine für ihre Zeit vollständige Darstellung dieser Theorie publiziert worden. Der erste Teil des Buches gibt ohne Zuhilfenahme bestimmter Integrale sondern ausschließlich durch Anwendung der Theorie analytischer Funktionen eine elementare Entwicklung der Eigenschaften von F(x) und verwandten Funktionen, indem r (x) mittels seiner Differenzengleichung definiert wird. Im zweiten Teile wird eine recht vollständige Theorie der beiden Eulerschen Integrale und der durch Gammafunktionen ausdrückbaren bestimmten Integrale, sowie ihrer Anwendung zur Herleitung der Reihen von Stirling, Kummer und Lerch gegeben; ebenso werden die beiden Mellinschen Umkehrprobleme und ihre Anwendung auf gewisse Funktionen-gattungen behandelt. Der dritte und letzte Teil untersucht die reziproken Gammafunktionen als Entwicklungsfunktionen durch eine Darstellung der von Schlömilch, Jensen, Pincherle und namentlich vom Verfasser ausgebildeten Theorie der Fakultätenreihen; hier findet sich wohl zum erstenmal eine "Würdigung der Methoden, die Stirling über solche Reihen angedeutet hat. Das Buch enthält endlich ein möglichst vollständiges Verzeichnis der reichen Literatur über die behandelten Theorien.

Handbuch der Theorie der Zylinderfunktionen.

[XIV u. 408 S.] gr. 8.    1904. In Leinwand geh. n. di. 14.—

von

asymptotisch wie    während sich Jv(x) und Yv(x)

|/i- ■ cos (æ -- (v -f \) y) und ~j/ï • sin (x — (v -f 1) y)

Der erste Teil gibt, größtenteils nach früheren Arbeiten des Verfassers, die systematische Theorie der Zylinderfunktionen, welche als Lösungen zweier Fundamentalgleichungen definiert werden, und einiger allgemeineren Funktionen, die späterhin großer Bedeutung werden. Außer den gewöhnlichen Zylinderfunktionen der ersten und zweiten Art Jv(x) und Yv(x) werden noch zwei Funktionen der dritten Art, nämlich H¹^ (x) — Jv (x) -j- i Yv(x) und (x) = J v (x) — i Yv (x), eingeführt ; diese Funktionen verhalten sich

bekanntlich wie

asymptotisch verhalten. — Der zweite Teil gibt eine neue, bisher noch nicht publizierte Theorie der bestimmten Integrale mit Zylinderfunktionen. Die altbekannten Resultate werden, nebst vielen anderen, durch allgemeine Methoden, in welchen die AT-Funktionen eine wichtige Rolle spielen, hergeleitet. Zahlreiche asymptotische Reihen werden entwickelt; u. a. wird der merkwürdige Satz bewiesen, daß die Quadratsumme (Jv{x))i -f- (Yv(x)y in der ganzen unendlichen x-Ebene, außer in x = 0, einen endlichen Wert hat; für v = yr gewinnt man dadurch die altbekannte Identität cos*# -f- sin*# = 1 als einfachsten Fall. — Der dritte Teil entwickelt, nach früheren Arbeiten des Verfassers, eine Theorie der Entwicklungen analytischer Funktionen in Reihen, die nach Zylinderfunktionen fortschreiten, d. h. Neumannsche und Kapteynsche Reihen und verschiedene andere. — Der vierte Teil behandelt die Darstellung willkürlicher Funktionen durch Zylinderfunktionen, d. h. Reihen von Schlömilch und Fourier nach Dini und Integrale von Neumann und Hankel. Nach früheren Arbeiten des Verfassers wird hier gezeigt, daß die Schlömilchschen Reihen sämtlich Nullentwicklungen gestatten. — Der Theorie folgen ein Anhang mit Hilfsfonnein und Zusätze und ein ausführliches Literaturverzeichnis über Theorie und Anwendungen der Zylinderfunktionen.

Eneyklopiidie

der Mathematischen Wissenschaften. V2. 2.

Seite 289 des Artikels Gans schließt unmittelbar an Seite 280 des Artikels Lorentz an; die Reihenfolge der Paginierung ist durch ein Versehen unterbrochen worden.

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V16. ELEKTROSTATIK UKD MAGKETOSTATIK.

Von

R. GANS

IN TÜBINGKN

Inhaltsübersicht.

1.    Einleitung.

2.    Elektromagnetische Theorie.

3.    Die Grundgleichungen der Elektrostatik und der Magnetostatik.

4.    Eindeutigkeit des Feldes. Vergleich mit der Fernwirkungstheorie.

5.    Allgemeine Eigenschaften des Feldes.

0. Superposition der Felder. Die Energie.

I. Elektrostatik.

A. Die Dielektrizitätskonstante ist im ganzen Raume eine und dieselbe Konstante.

7.    Systeme von Leitern. Kapazität. Potentialverstärker. Influenzmaschine. Plattenkondensator.

8.    Kräfte eines Leitersystems. Absolutes Elektrometer. Quadrantelektrometer. {). Zweidimensionale Probleme. Abbildung. Dichte der Elektrizität an Kanten.

10.    Anwendung auf das Schutzgitter.

11.    Anwendung auf den Kondensator.

12.    Kugel. Ellipsoid. Zylinder. Ring.

13.    Elektrische Bilder. Zwei Kugeln.

B. Die Dielektrizitätskonstante hat in verschiedenen Teilen des Raume,; verschiedene Werte.

14.    Ungeladene Dielektrika im Felde. Leiter als Grenzfall des Dielektrikums. Kondensator mit geschichtetem Dielektrikum.

15.    Influenz. Wahre und freie Elektrizität.

16.    Influenz auf Ellipsoid und Kugel. Clausius-Mossotti'sehe Theorie.

17.    Hohlkugel und Hohlzylinder im gleichförmigen Feld.

18.    Spannungen und Kräfte.

IS). Kräfte auf starre Körper.

20.    Elektromotorische Kräfte.

B.

21.    Kristalle.

22.    Rückstand.

Encyklop. d. math. Wissensch. V 2.

II. Magnetostatik.

28. Unterschiede der magnetostatischen und elektrostatischen Probleme.

24.    Gibt es wahren Magnetismus?

25.    Influenz. Wahrer und freier Magnetismus.

26.    Energie und Kräfte.

27.    Kräfte auf starre Körper.

28.    Magnetisches Moment. Horizontalintensität. Kompaß.

29.    Magnetische Doppelechicht.

30.    Kristalle.

31.    Ferromagnetische Körper.

32.    Hystérésis.

Literatur.

Man vergleiche die Literatur der Artikel II A 7b; V 12; Y 18.

G.    Green, An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism. Nottingham 1828, zitiert als „Essay“ und Ostwalds Klassiker Nr. 61. Auch abgedruckt in Mathematical Papers of the late George Green, herausgeg. von N. M. Ferrers, London 1871.

M. Faraday, Experimental researches in electricity, 3 vol. London 1839—1855 u. Ostwalds Klassiker.

A.    Reer, Einleitung in die Elektrostatik, die Lehre vom Magnetismus und die Elektrodynamik, herausgegeben von J. Plüclcer. Braunschweig 1865.

W. Thomson, Reprint of papers on electrostatics and magnetism, London 1872. Zitiert als „Reprint“.

J. C. Maxwell, Lehrbuch der Elektrizität und des Magnetismus. (Deutsche Übersetzung von: A treatise on electricity and magnetism, 2 vol. Oxford 1873), Berlin 1883. Zitiert als „Treatise“.

B.    Riemann, Schwere, Elektrizität und Magnetismus, Hannover 1876.

M. E. Mascart, Traité de l’électricité statique, 2 Bde. Paris 1876.

R. Clausius, Die mechanische Wärmetheorie, 2. 2. Auf!., Braunschweig 1879.

H.    v. Hclmholtz, Wissenschaftliche Abhandlungen 1, Leipzig 1882.

G. Kirchhoff, Gesammelte Abhandlungen, Leipzig 1882.

—    Vorlesungen über mathematische Physik 3, Leipzig 1891.

Mascart et Joubert, Lehrbuch der Elektrizität und des Magnetismus (deutsche Ausgabe: Berlin 1886).

F.    Neumann, Vorlesungen über die Theorie des Potentials und der Kugelfunktionen, Leipzig 1887.

—    Vorlesungen über die Theorie des Magnetismus, Leipzig 1881.

G.    Wiedemann, Die Lehre von der Elektrizität, 4. Aufl. Braunschweig 1889.

H.    Poincaré, Électricité et optique, Paris 1890 (deutsche Ausgabe: Berlin 1891).

H. Hertz, Untersuchungen über die Ausbreitung der elektrischen Kraft, Leipzig

1892.

P. Drude, Physik des Äthers auf elektromagnetischer Grundlage, Stuttgart 1894.

W. Voigt-, Kompendium der theoretischen Physik 2. Leipzig 1896.

A. Korn, Lehrbuch der Potentialtheorie. Berlin 1899.

H. Weber, Die partiellen Differentialgleichungen der math. Physik l, Braunschweig 1900.

E.    Cohn, Das elektromagnetische Feld, Leipzig 1900. Zitiert als „Elm. Feld“.

L.    Gfraetz, Elektrostatik usw. in Winkelmann'a Handbuch der Physik 2. Aufl. 4¹. Leipzig 1903.

J. Bosscha, Leerboek der natuurkunde 5. Magneetkracht en electriciteit. 1° stuk. Herausgegeben von C. II. Wind, Leiden 1903.

M.    Abraham u. A. Föppl, Einführung in die Maxwell sehe Theorie der Elektrizität, 2. Aufl. Leipzig 1904.

J. Wallentin, Einleitung in die theoretische Elektrizitätslehre, Leipzig 1904.

F.    Auerbach, Magnetismus. In Winkelmann'a Handbuch der Physik. 2. Aufl., 5¹. Leipzig 1905.

In Ostwalds „Klassikern der exakten Wissenschaften“ erschienen:

Nr. 13. Coulomb, Vier Abhandlungen über die Elektrizität u. den Magnetismus (1785—86), herausgegeben von W. König.

Nr. 53. C. F. Gauß, Die Intensität der erdmagnetischen Kraft auf absolutes Maß zurückgeführt (1832), herausgegeben von E. Dorn.

Nr. 61. G. Green, Ein Versuch, die mathematische Analysis auf die Theorien der Elektrizität und des Magnetismus anzuwenden (1828), herausgegeben von A. J. v. Oettingen u. A. Wangerin.

Nr. 69. J. C. Maxwell, Über Faradays Kraftlinien (1855—1856), herausgegeben von L. Boltzmann.

Nr. 81, 86, 87, 126, 128, 131, 134, 136, 140. M. Faraday, Experimentaluntersuchungen über Elektrizität (1832—1850), herausgegeben von A. J. v. Oettingen.

1. Einleitung. Die ursprüngliche Grundlage der Elektrostatik und Magnetostatik bildeten die Coulomb'sehen Gesetze¹). Wegen ihrer Ähnlichkeit mit dem Newton'sehen Gravitationsgesetze erscheinen die Gebiete der Elektrostatik und Magnetostatik demjenigen der Gravitation wenigstens in mathematischer Hinsicht eng verwandt. Dementsprechend ist es möglich, die Grundtatsachen aller drei Gebiete bis zu einem gewissen Grade der Vollständigkeit gemeinsam darzustellen, wie dies in Bd. II, Art. Potentialtheorie²) geschehen ist.

Der Standpunkt der Theorie wurde ganz anders, als Faraday die Dielektrizitätskonstante und die Permeabilität entdeckt hatte und in konsequenter Weise die Ansicht vertrat, daß bei allen elektromagnetischen Erscheinungen das Medium zwischen den aufeinander wirkenden Körpern von wesentlicher Bedeutung sei. Maxwell brachte die Faraday'sehen Gedanken in mathematische Form und stellte in zwei nach ihm benannten Vektorgleichungen die elektromagnetischen Erscheinungen dar. In der Maxwellschen Theorie müssen also Elektrostatik und Magnetostatik als Spezialfälle enthalten sein.

Wir werden infolgedessen, entsprechend dem heutigen Stande der Wissenschaft, von den Maxwell’sehen Gleichungen ausgehen.

Wegen der allgemeinen, mehr mathematisch gehaltenen Untersuchungen zur Potentialtheorie muß auf den genannten Artikel²) in Band 2 verwiesen werden; hier sollen hauptsächlich solche Arbeiten berücksichtigt werden, die unmittelbare Anwendung auf physikalische Probleme finden.

lauten³)

2. Elektromagnetische Theorie. Die MaxivelV sehen Gleichungen

c rot £> =    + 3,

. ~ *)

-crot® = ir;

Hier ist c eine universelle Konstante (Lichtgeschwindigkeit im Vakuum); @ resp. § elektrische resp. magnetische Feldstärke; 2) resp. 33 elektrische resp. magnetische Erregung (früher Polarisation oder Induktion genannt), 3 die elektrische Strömung.

Für isotrope, homogene Körper ist⁵)

® = £©,

33 = ii§,

3 —<*e.

£ heißt Dielektrizitätskonstante (für den Äther setzen wir s — 1), jr heißt Permeabilität oder Magnetisierungskonstante (für den Äther setzen wir /r = 1). ö heißt elektrische Leitfähigkeit⁰).

Bilden wir von (1) und (2) die Flächenintegrale über eine ge-geschlossene Fläche tf, so ergibt sich, daß

+J rJ*

(i)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(’)

.<*« = o.

(6')

Verläuft in (6) die Fläche 6 vollkommen in einem Isolator, so ist Çl&nd6 = e zeitlich constant;

für jede Fläche ist

3)    Ygl. V 13 Maxwellsche Theorie, Art. II. A. Lorentz, Nr. 6.

4)    Wegen der Vektorbezeichnungen und -beziehungen vgl. IV 2, 14 Geometrische Grundbegriffe Art. Abraham und V 13 Maxwellsche Theorie, Art. H. A. Lorentz, Nr. 3 u. 4.

6) Vgl. V 13 Maxwellsche Theorie, Art. II. A. Lorentz, Nr. 8.

6) Wegen der hier gewählten Einheiten vgl. V 13 Maxwellsche Theorie, Art. II. A. Lorentz, Nr. 7.

(V)

J 93 ndö = m

zeitlich konstant. Wir nennen diese Konstanten die von der Fläche eingeschlossene elektrische resp. magnetische Menge.

div SD = qc

(8)

und

(9)

div 33 = Qm

sind die elektrische resp. magnetische Dichte. Tritt auch Flächenladung auf, so ist deren Dichte

(8')

£)(*) — $ ⁽¹⁾ - a»

n    e

resp.

(9')

93„⁽²⁾ - 93n⁽¹⁾ = com.³)

(3), (4) und (5)

Multipliziert man (1) skalar mit (2) skalar mit addirt und integriert über ein beliebiges Raumstück S mit der Oberfläche <5, so erhält man⁴) mit Berücksichtigung von

cfmi

(10)

-gif + iii&)ds + /e&dS

als Ausdruck des Energieprinzips für homogene, isotrope Körper.

w

⁹⁹ e

c\— © ist der Poyntingsche Strahlungsvektor, )    —

und j\gffidS — Wm sind die elektrische resp. magnetische Energie⁴), tf (S² — Q ist die pro Zeiteinheit in der Volumeinheit entwickelte Joulesche Wärme.

3. Die Grundgleichungen der Elektrostatik und der Magnetostatik. Soll der betrachtete Zustand statisch sein, so muß d/dt = 0 sein, und es darf ferner keine Energieumsetzung stattfinden, d. h. es muß Q verschwinden. Das bedeutet aber: in Leitern gilt

(io

I.

oder

Aus (2) und (1) folgt dann rot (5 == 0,

Ia. rot £) == 0,

I'.

la'. ÜQ = — grad xp.

(S = — grad cp,

In Leitern ist wegen (11) cp konstant, cp und xp heißen elektrisches resp. magnetisches Potential.

Aus (8) und (9) wird durch Benutzung von F und Ia'

Aus (1) und (2) ergibt sich ferner, da diese Gleichungen überall Beziehungen zwischen endlichen Größen darstellen sollen, daß an Flächen G, in denen s und g unstetig sind, die Tangentialkomponenten von @ und stetig sind⁵). Ist s eine tangentiale Richtung an G, so muß

V    c Ti

ds ds ’

Va.

II.

lia. div g grad xp — —

diy e grad cp — — Qe,

Die elektrische resp. magnetische Energie schreibt sich

III.

We=fS₂ grad²cpdS,

III a. Wm =J^| grad² xpdS.

Ist e resp. g an einer Fläche G mit der Normalen n unstetig,

so folgt aus (8') und (9')

d(f,    dcp! _

— ~ œ‘>

IY.

IV a.

dxp₃    dipi

dtp! _dpp₂

ds ” ds

sein. Da — grad cp und — grad xp auch in der Unstetigkeitsfläche a die elektrische resp. magnetische Feldstärke darstellen sollen, welche durchweg endliche Größen sind, so müssen cp und xp auch an G, also im ganzen Baume stetig sein, da sonst die Normalkomponente der Feldstärken in G unendlich groß würde. Von dieser Darstellung weicht man nur ab bei Einführung der elektrischen und magnetischen Doppelschichten (s. unten Nr. 29).

Durch T und Ia' sind cp urifl xp nur bis auf eine willkürliche additive Konstante definiert. Gewöhnlich setzt man im Unendlichen cp und xp gleich Null, falls dort keine Ladungen gedacht werden. Hiermit ist es verträglich, daß man das Potential cp der Erde, die man für die meisten Probleme als sich ins Unendliche erstreckeod betrachten kann, gleich Null annimmt. Eine Ausnahme von der Bestimmung: cp und xp gleich Null im Unendlichen pflegt man bei der Behandlung homogener Felder zu machen, in denen das Unendliche selbst geladen erscheint und das Potential im Unendlichen unendlich groß wird, ln diesem Falle legt man einer willkürlichen Stelle im Endlichen das Potential Null bei.

Tatsächlich verzichtet man bei Einführung von Doppelschichten und von homogenen Feldern auf die Beschreibung der wahren Verhältnisse in der Doppelschicht resp. in unendlicher Entfernung.

Da die Energie endlich sein muß, so müssen grad cp und grad ip stärker als B~% im Unendlichen verschwinden, wenn Ii die Entfernung eines Punktes im Unendlichen von einem willkürlichen Punkt im Endlichen ist.

cp und ip müssen cdso im Unendlichm stärker als Ii—V* verschwinden.

I. bis Y. resp. Ia. bis Y a. bilden mit den Stetigkeitsbedingungen und der Unendlichkeitsbedingung die Grundgleichungen des elektrostatischen resp. magnetostatischen Feldes. Da die Gleichungen für cp und ip nicht simultan sind, ergibt sich die einfache Superposition eines elektrostatischen und eines magnetostatischen Feldes; ebenso super-ponieren sich ihre Energien, wir dürfen also jedes für sich behandeln.

Dagegen superponieren sich die Strahlungen nicht. Diese sind, wenn nur ein elektrostatisches Feld oder nur ein magnetostatisches Feld vorhanden ist, wegen Nr. 2 Null; überlagern sich aber ein elektrostatisches und ein magnetostatisches Feld, so ist die Strahlung im Allgemeinen nicht Null, wir müssen uns also die Energie nach der Poyntingschen Darstellung als in Bewegung befindlich vorstellen, allerdings in geschlossenen Bahnen, so daß der Energieinhalt jeden Volumelements unverändert bleibt. Die Poyntingsche Vorstellungs-Aveise erscheint im Falle solcher zusammengesetzter statischer Felder also gewaltsam ⁶).

4. Eindeutigkeit des Feldes. Vergleich mit der Fern Wirkungstheorie. Das Potential cp (oder ip) ist eindeutig gegeben durch die Dichten p und co; auf Leitern braucht nur die gesamte Elektrizitätsmenge e oder das Potential gegeben zu sein; denn die Differenz (f"—cp — cp' der beiden als möglich angenommenen Funktionen cp und cp' genügt solchen Bedingungen, daß in der durch partielle Integration leicht abzuleitenden identischen Gleichung (12) die rechte Seite Null wird.

(12)

J*~ grad² cp"dS — —-J*--- div s grad cp"dS dyx"

)da-j\*%-de-

Das zweite Integral rechts erstreckt sich über alle Unstetigkeitsflächen von £, das dritte über alle Leiterflächen und eine imendlich große Fläche, n ist im zweiten Integral rechts die Normalenrichtung auf 0, welche nach der mit dem Index 2 bezeichneten Seite weist, im dritten Integral die ins Dielektrikum hinein weisende Normalenrichtung.

. / (£ £?* J 2 U² dn

;--£i

dn

Also ist (p — qo. Dasselbe gilt auch, wenn die Begrenzung de» Raumes nicht im Unendlichen liegt, sondern wenn auf der Begrenzung <p oder depjdn gegeben ist, insbesondere wenn eine leitende Hülle den Raum begrenzt.

Hat e im ganzen Dielektrikum einen konstanten Wert, so gilt

wegen II.

(13)

A cp =

und wegen IV.

d<f>t öjp± coA

dn    dn    s

Ein Integral von (13) und (14) ist aber⁷)

(14)

(15)

( j*-dS+ f-^-de =

J 4:7csr ' J łnsr

cp -

Dieser Ausdruck genügt allen an (p gestellten Bedingungen; wegen der Eindeutigkeit der Lösung ist er also das einzige Integral. Ist e nicht konstant, so hat man die Darstellung (15) abzuändem (vgl. Nr. 15 (87)).

Durch Differentiation von (15) nach der beliebigen Richtung s folgt wegen I'.:

(16)

®' ⁼    T* ⁰⁰³*/.«)-

Da bei konstantem e die Feldstärke als „Kraft auf die Menge Eins“ definiert ist (vgl. Nr. 18 (94)), so ist (16) der Ausdruck des Coulomb-schen Gesetzes.

5. Allgemeine Eigenschaften des Feldes. Auf Grund der

Hauptgleichungen lassen sich über den Verlauf der einzelnen Erregungslinie (©-Linie) einige allgemeine Aussagen machen: bei stetigem e ist die ©-Linie stetig und stetig gekrümmt bis auf Flächen, auf denen Flächenelektrizität sitzt. Springt e an einer ungeladenen Fläche, so gilt wegen (8') und V.

(17)

*Æ⁽¹⁾ - *A⁽²⁾,

@0) = œ m,

tg (@i n\ _ «i. tg (®, n), c, ’

Dies ist das Brechungsgesetz der Erregungslinien; mit seiner Hilfe lassen sich Dielektrizitätskonstanten bestimmen⁸).

(18)

also

(19)

Da die Anssagen der vorigen und dieser Nummer auch für magnetische Erscheinungen gelten, wenn man s, (5, <p mit ₍u, ^), xl> vertauscht, so folgt aus (19) z. B., daß die magnetischen Erregungslinien aus Eisen (sehr großes g) fast senkrecht in die Luft austreten.

zu

Aus I. folgt f&sds = 0 für jede geschlossene Kurve, also können die ©-Linien keine geschlossenen Kurven sein, sie entspringen (münden) an Stellen positiver (negativer) Elektrizität, gehen von Stellen höheren Stellen niederen Potentials und stehen senkrecht auf den Äquipotentialflächen (Niveauflächen), also z. B. auch auf den Leiteroberflächen (vgl. I\).

Ist das Feld von einer leitenden Hülle umschlossen, so ist, da im Leiter © — 0 (11), das Flächenintegral ^„dä = 0, wenn 6 vollständig in der leitenden Hülle verläuft, d. h. es ist gleichviel positive und negative Elektrizität im Innern der Hülle. Die innere Oberfläche wird ebenfalls geladen sein, sie gehört mit zum Felde.

Trennt die leitende Hülle ein inneres Feld von einem äußeren, so gehört die innere (äußere) Oberfläche a. (ßa) der Hülle mit zum inneren (äußeren) Felde; ist die Gesamtladung der Hülle e, und ist e{ die Elektrizitätsmenge der Körper im Innern, so befindet sich nach obigem Satze auf die Elektrizitätsmenge — et-, also auf 6a die Menge et -f- e.

Nun ist das Feld im Innenraum, unabhängig von den ea, durch die gegeben. Sind diese speziell = 0, so ist, gleichviel welches Feld im Außenraum besteht, kein Feld im Innern vorhanden; diese Erscheinung nennt man die Schirmwirkung einer leitenden Hülle⁹).

Da, wie bemerkt, auf &. keine Elektrizität vorhanden ist, wenn im Hohlraum des Leiters keine Elektrizität sich befindet, so befindet sich alle Elektrizität eines Leiters auf seiner äußeren Oberfläche. Ein elektrisierter Leiter im Innern eines zweiten muß also bei der Berührung mit diesem seine gesamte Elektrizitätsmenge an ihn abgeben, da bei der Berührung das System nur einen Leiter bildet. Dieses Experiment der vollständigen Ladungsabgabe ist ein sehr genauer Beweis dafür, daß im Coulomb’sehen Gesetz die Potenz der Entfernung den Wert 2 hat¹⁰).

Einige wichtige Reziprozitäts- und Minimalsätze findet man in dem Artikel über Maxwellsche Theorie von H. A. Lorentz V 13, Nr. 27. Bis auf die über Leiter ausgesprochenen Sätze gelten alle mutatis mutandis auch für magnetostatische Felder.

6. Superposition der Felder. Die Energie. Durch die Werte q, cd und die Werte von e oder cp' auf Leitern ist das Feld (£' und damit auch die Dichte a auf den Leitern bestimmt (Nr. 4). Aus den Werten q", eo", e" oder cp" folge das Feld GŚ"; dann bestimmt sich aus

q = p'-f- q", co = co'-f- e = e-\-e" oder cp = cp'cp",

das Feld denn dieser Wert genügt wegen der Linearität der Gleichungen allen Bedingungen, wegen der Eindeutigkeit ist es also der einzig mögliche Wert.

Hieraus schließt man, daß das Potential cp der Ladungen e1?e₂,... die Form hat

(20)

cp — e₁cp₁-{- e₂cp₂,

wo die cpv von den ev unabhängige Ortsfunktionen sind.

Der Energieausdruck III. läßt sich auf Grund von (12), wenn wir dort cp statt cp" setzen, auf die Form bringen

(21)

W=i2e,p.

Die Energien zweier Felder überlagern sich nicht, sondern es kommt noch eine wechselseitige Energie

u=+ e'tp")

hinzu. Für diese wechselseitige Energie gewinnt man durch partielle Integration von fefë'fë" dS noch die folgenden Darstellungen:

(22)

ü —2e"<p' —2e’<p” =fi£@'g"d&

Aus (22) folgt: Bringt man die unendlich kleine Elektrizitätsmenge de zu einem Felde hinzu, so ist die Energiezunahme

dW = cp de,

also

(23)

dW V — it ’

Cavendish gemacht; es ergab sich bei einer späteren Wiederholung des Versuchs als Exponent 2 + 5 • 10“⁵. Eine Kritik der Theorie des Versuchs findet man bei S. J. Barnett, Phys. Rev. 15 (1902), p. 175.

d. h. das Potential eines Punktes (Leiters) ist gleich der Energie-Vermehrung, die auftritt, wenn man die unendlich kleine Menge de dem Punkte (Leiter) zufügt, geteilt durch eben diese Menge.

I. Elektrostatik.

A. Die Dielektrizitätskonstante ist im ganzen Raume eine nnd dieselbe Konstante.

7. Systeme von Leitern. Kapazität. Potentialverstärker. Influenzmaschine. Plattenkondensator. Es seien n Leiter in einer leitenden Hülle vom Potential Null eingeschlossen. Der vte Leiter habe das Potential Vv und die Elektrizitätsmenge evf dann ist wegen (20) (24)

Auflösung nach den eu ergibt

(25)

Wegen (24) und (23) ist

s    a

(26)

also auch

eti ==^a,ui Vi-

i = 1

₌ _L (*K)

\Be,J 0«, V⁰«/./

/uvt

(27)

Die ß heißen Potentialkoeffizienten, ein a mit verschiedenen Indizes heißt wechselseitiger (elektrostatischer) Induktionskoeffizient, a heißt • die Kapazität des Leiters g, sie ist gleich der Elektrizitätsmenge, welche auf dem Leiter sitzt, wenn sein Potential 1 ist, während die übrigen Leiter das Potential Null haben.

Mit Hilfe von (21) und (24) resp. (25) wird

(28)

reöp.

(29)

Wiv)=i22%,v„r,.

f.1 V

Erteilt man den geladenen Leitern virtuelle Verschiebungen, indem man auf jedem die gesamte Elektrizitätsmenge konstant läßt, so wird die Arbeit gleich der Abnahme der elektrischen Energie¹¹), d. h.

IA-- SW,,= - i22e„e,8ß„.

(30)

Die ß^v enthalten die Parameter, welche die Lage der geladenen Körper bestimmen.

Setzt man in (30) anstatt der e die V mit Hilfe von (25) ein,

so folgt

(31)

öa = + swlv) = + ł22v,r,i«„.

(.1 V

Die fragliche Arbeit ist also auch gleich der Zunahme der Energie bei konstant gehaltenen Potentialen. Natürlich betrachten wir dann kein vollständiges System, weil zum Konstanthalten der Potentiale Energie aus den zur Verfügung stehenden Reservoiren nachströmen muß. Die Kräfte, die sich aus (30) oder dem ganz gleichwertigen Ausdruck (31) ergeben, sind also quadratische Funktionen der Elektrizitätsmengen oder der Potentiale.

Da W wesentlich positiv ist, folgt, daß

“n

«21

«u ?

«ii al2 «äi a₃₂

«nl ««2 * • • «*n

positiv sein müssen. Die analogen Bedingungen bestehen für die ß.

Folgende Eigenschaften kommen den a und ß zu, wenn kein Leiter den anderen umschließt¹⁶):

1.    Die avv sind > 0; die avfl <0 (v 4= p) und ^aVfl > 0.

2.    Die ß sind > 0; ßvv > ßvfl.

3.    Durch Einführung neuer Leiter ins Feld, also auch durch Vergrößerung eines Leiters werden alle ßvv verkleinert.

4.    Wachsen alle linearen Dimensionen eines Leiters v unbegrenzt, so werden die ßv/l und ßvv Null wie das Reziproke dieser Dimension. Daraus folgt z. B., daß das Erdpotential sich nicht durch Ableitung von Ladungen in der Nähe der Erde ändert.

5.    Bei gleichmäßiger Vergrößerung aller Dimensionen des Feldes ändern sich die a in direktem, die ß in umgekehrtem Verhältnis der Lineardimensionen.

6.    Haben wir es mit nur zwei geladenen Leitern zu tun, und zwar so, daß alle Erregungslinien, die von einem ausgehen, auf dem anderen endigen (d. h. daß alle anderen Leiter unendlich weit entfernt sind, oder daß der eine Leiter den anderen vollständig umschließt), so ist

____ «11 = «82 = — «12 = «

16) Vgl. Maxwell, Treatise 1, Art. 89 b und 89 c.

und daher

e2 = — e\ — a ( Fs — Fj).

sR*it f, . a /,

f “ [t • grad &2]dS.

(5') das sind aber (wie man sofort erkennt, wenn man eine Koordinatenachse parallel der Feldrichtung legt) in der Tat die Komponenten eines Zuges (S2 parallel den Kraftlinien und eines gleichgroßen Druckes senkrecht zu denselben, also des für diesen Fall von Maxwell abgeleiteten Spannungssystems7). Die Gleichung (3) reduziert sich hier auf

(£),— Çt-rÿéW1 + 2v) “4* + 2M->

cos (n, z) du.

Encyklopädie der Elementar-Mathematik.

¹

   Vgl. V 12, Die Elementargesetze, Art. Beiff-Sommerfeld, Nr. 1.

²

   Vgl. II A, 7 b Potentialtheorie, Art. Burkhardt-Meyer.

³

   Vgl. V 13 Maxwellsche Theorie, Art. H.A. Lorentz, Nr. 11.

⁴

   Ygl. V 13 Maxwellsche Theorie, Art. H. A. Lorentz, Nr. 22. In der Bezeichnung weicht dieser Artikel von dem Lorentzschen insofern ab, als hier We und Wm die ganze elektrische und magnetische Energie des Feldes, dort die Energie der Volumeinheit bedeuten.

⁵

Vgl. V 13 Maxwellsche Theorie, Art. H. A. Lorentz, Nr. 6. Bomich und Fajdiga haben Wien Ber. 70 II (1875), p. 367 experimentell gezeigt, daß dünne dielektrische Überzüge die ponderomotorischen Kräfte nicht ändern Dies folgt aus der Theorie unter der Annahme, daß die Gleichungen auch in den Unstetigkeitsflächen gültig sind.

⁶

Vgl. V 18 Maxwellache Theorie Art. H. A. Lorentz Nr. 22 und Anmerkung 42). Auf die oben genannte Unzuträglichkeit hat zuerst H. Hertz hingewiesen. Ann. Phys. Chem. (3) 40 (1890), p. 577 ; Ges. Werke 2, p. 234, Leipzig 1892.

⁷

   Vgl. Potentialtheorie Art. Burkhardt-Meyer II A 7b, Nr. 2.

⁸

   W. v. Bezold, Ann. Phys. Chem. (3) 21 (1884), p. 401; die Theorie der Versuchsanordnung ist falsch, hierauf hat F. Lohnstein, Ann. Phys. Chem. (3) 44 (1891), p. 164 aufmerksam gemacht. Einwandsfrei ist die Versuchsanordnung von A. Pérot, Paris C. R. 113 (1891), p. 415.

⁹

   E. Älmansi, Line. Rend. (5) 13 [2] (1904), p. 12 behandelt den Fall hohler Leiter, deren Hohlraum durch Löcher mit dem Außenraume verbunden ist. Er

findet, daß die im Innern sitzende Elektrizitätsmenge e <    ist, wo V das

Potential des Leiters und a den Radius des kleinsten Kreises auf der Oberfläche bedeutet, durch den das betreffende Loch verdeckt werden kann.

¹⁰

   Maxwell, Treatise 1, Art. 74a. Das Experiment wurde zuerst von

¹¹

Damit man die Arbeit gleich der ganzen Energieabnahme setzen kann, muß man zeigen, daß die Joulesche Wärme bei einer Verschiebung unendlich klein gegen die übrige Energieänderung ist.. Dieser Beweis läßt sich führen; vgl. Kirchhoft, Vorlesungen 3, p. 76 ff. oder Cohn, Elm. Feld, p. 59.

(32)

e₂ = — e\ — a ( Fs — Fj).

Eine solche Anordnung heißt ein Kondensator, « ist seine Kapazität.

Wir betrachten n Kondensatoren im Baume, die so weit voneinander entfernt sind, daß sie sich gegenseitig nicht beeinflussen. Die beiden Leiter eines Kondensators nennen wir seine Belegungen. Wir können die einzelnen Belegungen auf verschiedene Weise miteinander verbinden. Die Kapazität sehr dünner Drähte ist gegen die endlicher Kondensatoren zu vernachlässigen¹).

a) Parallel geschaltete Kondensatoren. Wir verbinden je eine Belegung aller Kondensatoren miteinander und die anderen Belegungen auch miteinander, so daß wir zwei zusammenhängende leitende Flächen haben. Dann ist

em = a.(F, - V,).

ern =    =2“. ■ (v. - V.) = «(V, - V,).

Die Kapazität ist die Summe der Einzelkapazitäten.

b) Hintereinanderschaltung (.Kaskadenbatterie). Wir verbinden die zweite Belegung des vten Kondensators mit der ersten des (v -f- l)ten und laden die erste Belegung des ersten Kondensators aufs Potential Vt, die zweite Belegung des letzten Kondensators aufs Potential F,, dann ist das Potential der ersten Belegung des v -f- 1 ten gleich dem der zweiten Belegung des vten Kondensators:

Vv+t == V}*\

Ferner sind die absoluten Werte e der Ladungen aller Belegungen einander gleich, also ist

e,(²>

Fv⁽²⁾ - VW = -L-

folglich

r.-rt-e2'

Die reziproken Werte der Einzelkapazitäten addieren sich also zum reziproken Wert der Gesamtkapazität.

im Falle b) A = ~-'    n

na;

Sind alle n Kapazitäten a einander gleich, so ist die Gesamtkapazität A im Falle a) A —

Will man sich höhere Potentialdifferenzen verschaffen, als die zur Verfügung stehende Potentialquelle der Potentialdifferenz V liefert, so lade man eine Batterie in Parallelschaltung und schalte sie dann

in Kaskaden¹⁸): Da zuerst ne — nuV, wo a die Kapazität eines

einzelnen Kondensators der Batterie ist, und nachher e = — V ist,

’    n

so wird V — nV. Solche Anordnungen heißen Potentialverstärker. Die Energie einer Batterie ist wegen (21) und (32)

w = i 2e, v.; =    v,' -    ■

uv

Hier bedeutet Vv die Potentialdifferenz der Belegungen des vten Kondensators. Beim Potentialverstärker ist also in der ersten Schaltung die Energie —, in der zweiten -- ~ V'² ==    , d. h. die Energie

bleibt konstant, man erhält die Potentialerhöhung auf Kosten der zur Verfügung stehenden Elektrizitätsmenge.

Eine Influenzmaschine kann auch als Potentialverstärker oder Duplikator aufgefaßt werden. Das Prinzip ist folgendes¹⁹):

Zwei hohle Leiter A und B (vgl. Fig. 1) seien metallisch miteinander verbunden und auf dem Potential UQ, B und C seien gleichfalls miteinander verbunden und auf dem Potential V₀. Die beweglichen fg Leiter E und J können in A und G mit der Erde (Potential 0) und in B und D mit diesen verbunden werden. Ist E in A mit der Erde verbunden, so ist die Elektrizitätsmenge — aU0 auf E (a Kapazität des Kondensators, bestehend aus E und Ä), (nach (32)). Diese Ladung wird in B vollständig an B und C abgegeben (vgl. Nr. 5) und erhöht das Potential um--— U₀ (c Kapazität von B und C zu

sammen). Nach einer halben Umdrehung ist also

Vi==Vo-~U{

Nach der n ten halben Umdrehung ebenso

B\

TT/

Oe

Jj

i.

u₀-

-- v

c °‘

18)    Über Duplikatoren siehe W. Thomson, Proc. Royal. Soc. 1867 und Reprint Art. 352 und Art. 401—426; Historisches, Art. 427—429. Vgl. auch G. Plantés „Rheostatische Maschine“, Paris C. R. 85 (1877), p. 794 oder auch W. Kaufmann, Gott. Nachr. (1901), p. 143 und W. Hallwachs, Ann. Phys. Chem. (3) 29 (1880), p. 300.

19)    Vgl. Maxwell, Treatise 1, Art. 209 (hier finden sich auch historische Angaben) oder E. Cohn, Elm. Feld, p. 81.

oder

_ 5. TJ

C Un-li

K-v.-(K-, - u.-ù(i + •= <7.

-1

un = Ün

-1

Maxwell hat¹⁹) auch einen Duplikator angegeben, bei dem die ganze geleistete Arbeit in elektrische Energie verwandelt wird, indem das Auftreten von Funken dadurch vermieden wird, daß nur Leiter gleichen Potentials miteinander in Berührung kommen.

Stehen sich zwei Metallplatten von den Potentialen V₁ resp. V2 in dem kleinen Abstande a gegenüber, und legen wir die z-Achse in die Richtung der Plattenormalen, so wird an Stellen zwischen den Platten, die vom Rande weit entfernt sind,

i F, — Vl

<p = J⁷.+

Die Dichte folgt aus IV.

a₁ = — co₂

Sehen wir von den Rändern ab, wo die Elektrizitätsverteilung verwickelter ist, so ist auf der ganzen Fläche o

£łw.

(33)

ei    e2 -

ff.

d. h. die Kapazität ist (vgl. (32)) u == ~

Zwei Kondensatoren mit verschiedenen Dielektrizis haben also gleiche Kapazitäten, wenn s/s — tfa/aa ist. So kann man Dielektrizitätskonstanten vergleichen²⁰). Die genauere Formel für die Kapazität eines Kreisplattenkondensators mit Berücksichtigung der Streuung der Erregungslinien und der Elektrizität auf den einander abgewandten Seiten findet sich unten (Nr. 11).

Um bei absoluten Messungen mit einem Plattenkondensator möglichst unabhängig von der Randkorrektion zu sein, und um den Einfluß äußerer elektrischer Kräfte von den Kondensatorteilen zu eliminieren, hat W. Thomson²¹) einen sogenannten Schutzringkondensator konstruiert. Man nehme große Platten, trenne durch einen feinen Schnitt einen Teil der einen Platte, der weit vom Rande entfernt liegt, ab und sorge für leitende Verbindung beider Teile; dann ist die Kapazität des inneren Teils sehr nahe durch — ausgedrückt. (Die genauere Formel findet sich in Nr. 11.)

20)    L. Boltzmann, Wien Ber. 67® (1873), p. 17.

21)    W. Thomson, Reprint Art. 360.

8. Kräfte eines Leitersystems.

Absolutes Elektrometer.

Quadrantelektrometer. Die Arbeit bei einer virtuellen Verschiebung ist durch Nr. 7 (30) und (31) gegeben. Ist das Medium zwischen den Leitern homogen, so sind die ß der Dielektrizitätskonstante umgekehrt (vgl. (24) u. (15)), die a direkt proportional (vgl. (25) u. (15)); also sind die Kräfte bei gegebenen Elektrizitätsmengen (Potentialen) der Dielektrizitätskonstanten umgekehrt (direkt) proportional²).

Zur absoluten Bestimmung von Potentialen eignet sich der Thomsonschc Schutzringkondensator, das sogenannte absolute Elektrometer (vgl. Nr. 7 ³)). Aus (31) und (33) folgt

dw

da — —

=r— 8 a —

2 fia

d. h. die Kraft, welche den Plattenabstand zu verkleinern sucht, ist

(35)

si&-

Wegen des genaueren Wertes siehe Nr. 11. Man hängt die eine Kondensatorplatte an der Wage auf und kompensiert die Kraft (35) durch Gewichte.

:b/ (

Fig. 2.

Verzichtet man auf absolute Messung der Potentiale, so ist das Quadrantelektrometer von W. Thomson⁴) als das bedeutend empfindlichere Instrument vorzuziehen. Eine flache Metallbüchse ist durch zwei zueinander senkrechte Achsenschnitte in 4 Quadranten geteilt (Fig. 2). Je zwei diagonal gegenüberliegende Quadranten sind metallisch miteinander verbunden und befinden sich auf den Potentialen A und B, während eine biskuitförmige /B Scheibe, die „Nadel“, deren Ebene ' parallel Boden und Deckel der Büchse ist, und die frei um die vertikal stehende Achse der Büchse drehbar ist, auf dem Potential C sich befindet. Sind A, B, C einander gleich, so sind die Schlitze zwischen den Quadranten Symmetrieebenen der Nadel. Der ganze Apparat befindet sich in

einer Metallhülle vom Potential Null. Die Elektrizitätsmengen, die A, JB, C entsprechen, seien ea, eb, ec. Dann ist wegen (25) und (27)

(36)

ea = aaaA + aabB + aaß ) eb ~ aba A + «66 B -f- «6c C,

Wegen der unter 1. in Nr. 7 angegebenen Eigenschaften ist nun aw > 0, «v u < 0,    > 0. Daher kann man schreiben

(36')

= YaM ~ S) + r..(^ - C) + yBA, *6 - Ybaiß - A) + nc (5 - C) + y₆S, ec = ^c«    —    Ä)    +    ycb (C — B) + ycC,

wo alle y > 0 und yVjU =

Die Energie ist wegen (21)

(37)

W = ł{ya6(^ - ß)² + ^ - O)² + nc(ß- ^)²

+ ra^² + nß² + rcc'²}

Das Drehmoment auf die Nadel wird nach (31)

9i = ^

wo fr der Winkel ist, um den die Nadel aus der Ruhelage abgelenkt ist.

Die Konstruktion des Instruments läßt Schlüsse auf die Abhängigkeit der y von fr zu. Die breite Form der Nadel und die Schmalheit der Schlitze bewirken, daß von den Rändern der Nadel keine Erregungslinien nach den Rändern der Quadranten laufen, so daß sich bei einer unendlich kleinen Drehung dfr die Anzahl Erregungslinien, die zwischen B und C verlaufen, um einen dfr proportionalen Betrag vermehren. Aus Symmetriegründen ist

dVac

dagegen sind ya, yb, yc, yab von fr unabhängig, weil die Anzahl Erregungslinien, die von den Quadranten oder von der Nadel zur Hülle, sowie von einem Quadrantenpaar zum anderen gehen, durch die Drehung sich nicht verändern.

Also ist

d7bc

Die verschiedenen Schaltungsweisen der Quadranten und der Nadel

20

Encyklop. d. math. Wissensch. Y 2.

sind von Hallwachs2h) behandelt. Er berücksichtigt auch die Kontaktpotentialdifferenzen zwischen den Metallteilen (s. u. Nr. 20).

9. Zweidimensionale Probleme²⁶). Abbildung. Dichtigkeit der Elektrizität an Kanten. Wenn eine Verteilung der Elektrizität auf leitenden Zylinderflächen mit parallelen Erzeugenden vorliegt und die Querdimensionen klein sind gegen die Längenerstreckung der Zylinder, und wenn nur nach dem Zustand in den mittleren Teilen gefragt wird, so hängt das Problem allein von den zwei Variablen x und y ab, während es von der den Erzeugenden parallelen Variablen unabhängig ist.

Setzen wir

q² = (x — af + (y — b)², r² == (z — c)² -f- p²,

wo a, b, c die laufenden Koordinaten sind, so wird

— f-dö

nsj r

unendlich. Man kann cp aber durch Addition einer uuendlich großen Konstanten auf die Form

(39)

cp = —

—falgeds,

bringen. Diese Addition ist erlaubt, da cp nach Nr. 3 nur bis auf eine additive Konstante definiert ist. ds bedeutet ein Element der Spur der Zylinderflächen in der xy-Ebene.

Wegen der Form von (39) heißt qp das logarithmische Potential zum Unterschied von dem Potential cp der Nr. 4 (15), welches das Newtonache Potential heißt. cp genügt der Gleichung

(40)

dx* ^ dy* ’

25)    W Hallwachs, Ann. Phys. Chem. (3) 29 (1886), p. 1. Die Theorie ist vervollständigt unter der Annahme, daß bei Drehungen auch die höheren Potenzen des Drehwinkels mit in Betracht kommen. Dann ergibt sich außer dem oben an-gebenen konstanten Drehmoment noch eins, das dem Ablenkungswinkel proportional ist. Gouy, J. d. phys. (2) 7 (1888), p. 97 ; A. B. Chauveau, J. d. phys. (3) 9 (1900), p. 524. Die Theorie eines Bifilarquadrantelektrometers mit konstanter Empfindlichkeit gibt A. Hartwich, Königsberger Diss. 1888 oder Ann. Phys. Chem. (3) 35 (1888), p. 772.

26)    Ygl. auch C. Neumann, Untersuchungen über das logarithmische und Newtonsche Potential, Leipzig 1877.

welche auch der reelle Teil jeder Funktion % — cp -J- iip komplexen Arguments z = x -f- yi²⁷) befriedigt.

Liegen die leitenden Zylinderflächen sämtlich im Endlichen, so muß cp im Unendlichen wegen (39) die Form

(41)

haben, wo E = j a ds die Gesamtelektrizitätsmenge auf der Höheneinheit der Zylinder, R den Abstand von einem beliebigen festen

E

Punkt im Endlichen bedeutet, cp -f- —y lg R muß also im Unendlichen verschwinden.

Die Grundgleichungen der Cauchy sehen Funktionentheorie sind

dep dtp

ds    dn ’

dep _ dtp

ds ’

dn

wenn die zueinander senkrechten Richtungen s und n im Sinne der reellen und imaginären Achse aufeinander folgen. Aus der letzten dieser beiden Beziehungen ergibt sich, daß die Elektrizitätsmenge E auf der Höhe 1 zwischen zwei Punkten Sj und s₂ einer Randkurve — so wollen wir kurz die Spur eines Zylinders in der rr^-Ebene nennen — mit den Werten ip₁ und xp₂ sich durch die Formel

S₂

■h

(42)

ds = f(^2 — ^i)

ausdrückt.

Ist ein Zylinder mit beliebig gestalteter Basisfläche zum Potential • 9^0 geladen, so läßt sich das Potential außerhalb des Zylinders durch die Lösung einer Abbildungsaufgabe finden. Man braucht nämlich nur den Raum außerhalb der Randkurve s des Zylinders in der 0-Ebene auf den Innenraum des Einheitskreises in einer Ebene abzubilden, indem man eine Funktion w = u vi von z sucht, welche auf der Randkurve s den absoluten Wert 1 hat und für z — oo sich in der Form

(43)

(«i 4* 0)

entwickeln läßt. Durch

Gr-*)

(44)

ist dann das Problem gelöst, wenn der reelle Teil der Konstanten h

27) z ist hier nicht mit der früher so bezeichneten dritten Raumkoordinate zu verwechseln.

20*

ist durch das erste Glied der Entwicklung von w im Unendlichen gegeben.

Es ist wesentlich, daß nur ein Zylinder vorhanden ist, daß also der Raum außerhalb der Randkurve einfach zusammenhängend ist, da sonst die Abbildung auf den Einheitskreis nicht möglich wäre. Das Gleichgewicht der Elektrizität auf mehreren Zylindern mit kreisförmigem Querschnitt behandelt B. Riemann⁵) in einer Arbeit, die den ersten Anstoß zur Theorie der automorphen Funktionen gegeben hat.

In der Nähe einer Ecke vom Winkel (1 — a)ii (im Dielektrikum gerechnet) erhält man das Potential durch Abbildung der £-Ebene auf eine w-Halbebene mittels der Formel

(47)

w = (z — zQy-a,

so daß

(48)

l = Xo +    (* — V)¹⁻“

wird. Aus (42) berechnet sich die Elektrizitätsmenge auf der Höhe 1 über jeder endlichen Länge s der Randkurve, und aus (48) ergibt sich diese Menge als endlich, auch wenn die Kante sich auf dem betrachteten Stück befindet. Wegen (42) ist die Dichte der Elektrizität

gleich dem Faktor von i in € ~~ — e e'v = e    - (z — £₀)¹⁻“

gleich dem vorgeschriebenen Potentialwert <p₀ auf s ist. Denn aus (44) folgt

“P. + sfï'gM-

Wegen (41) und (43) muß rp₀ -f- lg i a, j = 0 sein, d. h. die

E

Kapazität der Längeneinheit des Zylinders (vgl. Nr. 7) — =

(44')

2ns

<P 0

, wo

y der Winkel ist, den die Kante mit der rr-Achse einschließt; die Dichte ist also unendlich klein (groß), wenn cc > 0 (< 0) ist, d. h. wenn die Kante des Zylinders ein-(aus-)springt.

Im dreidimensionalen Felde ergibt sich die Elektrizitätsverteilung in der Nähe einer scharfen Kante nach A. Sommerfeld⁶). Green⁷) beschäftigt sich mit der Frage der Elektrizitätsdichte an einer Kegelspitze, er findet daß die Dichte bei ein-(aus-)springenden Spitzen un-

endlich klein (groß) wird, und zwar gibt er auch die Stärke des Null resp. Unendlichwerdens in der Nähe der Spitze an.

Ganz allgemein läßt sich auch die Elektrizitätsverteilung auf einem unendlich langen Prisma von polygonaler Basis berechnen, da mit Hilfe der Schwarzachen Derivierten jedes Polygon sich auf den Einheitskreis abbilden läßt³¹). Mit diesem Problem identisch ist das des elektrischen Gleichgewichts auf den beiden Belegungen eines Kondensators, wenn diese Belegungen Prismen von polygonaler Basis mit parallelen Erzeugenden sind und die Basis sich ins Unendliche erstreckt, so daß das Dielektrikum ein einfach zusammenhängender Raum ist.

Ist das Potential auf der einen Belegung Null, auf der anderen konstant = <p₀, so besteht die Aufgabe darin, das Polygon in der £-Ebene — und zwar den Teil, welcher dem Dielektrikum entspricht — auf einen Streifen in der ^-Ebene abzubilden, der durch die imaginäre Achse cp — 0 und eine ihr Parallele cp — cp₀ begrenzt ist, so daß die eine Grenze des Streifens der Spur der einen Kondensatorplatte, die andere Grenze der Spur der anderen Platte entspricht.

Man bewerkstelligt dies³¹) durch Abbildung des Polygons in der £-Ebene und des Streifens in der ^-Ebene auf den Teil der ź-Ebene, der durch die reelle Achse und einen unendlich großeu Halbkreis auf der positiv imaginären Seite der t mit t — 0 als Zentrum begrenzt ist.

Den n Ecken des Polygons mögen die Punkte ax < a₂ < • • • < an auf der reellen Achse der £-Ebene der Reihe nach entsprechen. Dann wird durch

z — C f(al — t)~ («₂ — t)~a*. .. (an — t)~ an dt -j- Cx

(45)

- diese Abbildung erreicht. Die a sind durch die Polygonwinkel bestimmt, indem (1 — av)n resp. (ccv—l)n der vte innere Polygonwinkel ist, je nachdem der der vtenEcke in der 2-Ebene entsprechende Kreisbogen in der ć-Ebene, der den Punkt av von der Halbebene ausschließt, unendlich klein oder unendlich groß ist. C und Cx bestimmen sich, indem man willkürlich zwei aufeinanderfolgenden Ecken des Polygons zwei aufeinanderfolgende a zuordnet.

Ebenso läßt sich der Streifen in der ^-Ebene auf die f-Halbebene abbilden, und zwar durch die Funktion

(46)

(l +

wo

lg t für positiv reelle Werte von t reell zu nehmen ist.

31) H. A. Schwarz, J. f. Math. 70 (1869), p. 105; E. B. Christoffel, Ann. di mat. (2) 1 (1867); 4 (1870), siehe auch Potentialtheorie Art. Burkhardt-Meyer II A 7b Nr. 20.

Eliminiert man t aus (45) und (46), so ist z durch % und damit auch i durch z ausgedrückt. Der reelle Teil cp von % gibt das

Potential, der imaginäre Teil ÿ durch Anwendung von (42) die Elektrizitätsmengen auf der Höheneinheit der Prismenflächen.

'üt

Fig. 3.

Beispiel. Es mögen sich zwei unendlich lange, unendlich dicke und unendlich breite ebene Platten (zwei Viertelräume) im Abstande b gegenüberstehen, wie Fig. 3 es andeutet, die einen Schnitt senkrecht zur Längenerstreckung der Platten darstellt.

Den Punkten

0, +1

mögen die Punkte

t=-1,

entsprechen. Die Polygonwinkel in diesen Punkten der £-Ebene sind

3 7t

0,

3 TC

also ergibt (45)

-<’/e-r'

ät + Ct

oder bei richtiger Bestimmung von C und Cx

1 + bi {Vi -t¹ + %

(45')

yi -1* +1 j '

(45') und (46) stellen die Lösung des Problems dar.

Helmholiz⁸) hat durch die Abbildung zweier geradlinigen Schnitte (also einer zweifach zusammenhängenden Fläche), deren Endpunkte die Ecken eines Rechtecks bilden, auf einen Kreisring das Problem des Plattenkondensators behandelt, dessen Länge sehr groß gegen Breite und Plattenabstand ist. Die Endformel ist jedoch nicht richtig; sie ist von H. Weber⁹) verbessert.

10. Anwendung auf das Schutzgitter¹⁰). Eine geschlossene metallische Hülle schützt das Innere vor der Einwirkung eines äußeren

elektrischen Feldes (Nr. 5). Da das Innere dann aber der Beobachtung unzugänglich ist, soll untersucht werden, inwieweit eine Hülle sich durch ein Gitter ersetzen läßt, welches aus leitend miteinander verbundenen Drähten vom Radius c und dem Abstand a gebildet ist.

Befindet sich im Felde ein einziger mit der Elektrizitätsmenge E auf der Höheneinheit geladener metallischer Kreiszylinder, so ist das Potential symmetrisch um den Mittelpunkt

E ,

2ÏiloSr

E ,

2Ïïl0S²'

Die Niveauflächen sind mit dem Drahte konzentrische Kreiszylinder. i bleibt in der Nähe des Drahtes endlich, da (50) nur außerhalb des Leiters gilt, also | z \ c sein muß. Denken wir uns x aber durch (50) auch ins Innere des Drahtes analytisch fortgesetzt, so wird % in der Drahtachse logarithmisch unendlich.

Es mögen sich jetzt die Achsen der Gitterdrähte in den Punkten zv — -f- via (v — 0, 1, 2,. . .) befinden. Wenn c sehr klein gegen a ist, d. h. wenn ein Draht auf seinen Nachbardrähten nicht merklich durch Influenz die Verteilung ändert, so wird x, in der Nähe des bei zv befindlichen Drahtes sich durch

d. h.

(50)

(51)

<P = —

E

~ 2Vs l0g ~ O + fuüct- COni

darstellen lassen.

27t —

Die Funktion e a — 1 bildet den Punkt z = 0 auf die Punkte • zy ab und einen die Stelle z — 0 umgebenden Kreis in eine Reihe die Stellen zv umgebende Kurven, die um so eher als Kreise angesehen werden können, je kleiner der Radius des abgebildeten Kreises ist.

Da in der v^n Drahtachse (e a — l) wie log (z — zv), so gilt für das Gitter

genau ebenso unendlich wird

(51')

l) -}- funct

. cont.

(51') ist die Form des Potentials, auch wenn noch beliebige andere geladene Körper im Felde sind, von denen nur vorausgesetzt wird, daß dieselben in einer gegen den Drahtradius großen Entfernung sich befinden. Denn in der Nähe eines Drahtes überwiegt der erste

die Zeichnung Tafel 14; siehe auch H. Weber, Partielle Differentialgl. 1, p. 441, wo das Problem als Strömungsaufgabe behandelt ist.

Term von (51'), und dieser ergiebt ein Potential cp, welches auf den Drahtoberflächen annähernd konstant ist. Addieren wir zu (51') die konjugierte Funktion cp — iip, so erhalten wir

2 nx    ï

2e “ cos    I -f- funct. cont.

(52) cp - -

E ,    ( 4*7 . ₁

ins log le + ¹“

Lassen wir in (52) die funct. cont. fort, so wird für

E x

x = -j- oo : • • • cp — —

und für

X = — oo : • . • cp = 0;

d. h. wir haben den Fall, daß parallel der Gitterebene in großer Entfernung vom Gitter eine leitende Ebene steht, die mit der Dichte

— ~ geladen ist, auf der also sämtliche vom Gitter ausgehenden

Erregungslinien münden (auf dies Problem bezieht sich die Figur bei Maxwell³⁴)).

Sollen auf beiden Seiten des Gitters, und zwar in großer Entfernung von demselben, dem Gitter parallel, geladene Ebenen stehen, so brauchen wir nur in (52) für funct. cont. — Ctx -(- C₂ zu sub-

JE

stituieren. Setzen wir zur Abkürzung — 7^ = C, so erhalten wir

/ 4jt X

C log lea -j- 1 —

Die Konstanten C, Ct, C₂ lassen sich durch das Potential V₀ des Gitters, sowie durch die Potentiale V₁ und V₂ der beiden dem Gitter parallelen Ebenen, die in den Abständen bt und b₂ zu verschiedenen Seiten des Gitters stehen, ausdrücken.

Da V₀ das Potential des Gitters sein soll, so ergibt sich, daß für x = 0, y — c -f- va

(52')

cp =

27tx

2e a cos

2-

(53)

F₀-2Clog2sm^ + C,-

4 7t (Jj |    s~-*

wenn

Ct -t O * C

s * °8 2 sm v

Sind bx und b₂ positiv und groß gegen a, so sind die Ebenen x — -f- bx und x = — b₂ Äquipotentialflächen; da sie die Potentiale V₁ resp. V₂ und die Dichten co₁ und co₂ haben sollen, so folgt durch Elimination von C, Ct, C₂

? (h +    + b-~) = r, (l +    - rs - f₀ \,

~{K + f>.+^) = F,(i + L) - rt-f₀|.

Verbindet man das Gitter leitend mit der Ebene x — bX} so wird F₀ = V₁ und

T(ft. + Ä*+^)=F.-F'S-

Das Gitter wirkt also so, als wenn es nicht vorhanden wäre und dafür die Entfernung -f- &₂ auf bx -f- &₂    ~~ vergrößert wäre.

11. Anwendung auf den Kondensator. Da Formel (33) in Nr. 7 nur für die Kapazität eines Plattenkondensators mit ebenen Platten gilt, behandelt Clausius³⁵) den Fall, daß zwei gekrümmte parallele Leiterflächen, deren Hauptkrümmungsradien in einem bestimmten Punkte H und H sind, im Abstande a sich gegenüberstehen.

Wählt man die Tangentialebene in einem Punkte der ersten Platte zur xy-Ebene, den Berührungspunkt zum Koordinatenursprung und die Richtung der Hauptkrümmungslinien zu Koordinatenrichtungen x und y, so ist nach dem Taylorschen Satze

Setzen wir für z den Abstand a der Platten, so folgt

(55)

r,—

Schreitet man vom Koordinatenursprung in der Schnittlinie der #£-Ebene und der Oberfläche der ersten Platte unendlich wenig vorwärts, so ändert sich V nicht, also ist

(56)    + ($,*+©,£

= 0.

+ S)^+a-r + -

Da aber wo das obere (untere) Zeichen gilt, wenn die Kurve, in der die xz-Ehene die Platte schneidet, vom Raume zwischen den Platten betrachtet, konvex (konkav) ist, so folgt

1 dV_ Rx dz

) dx* ----

= 0.

J_/£ÜZ zr 2 \ '

Also ergibt sich

(57)

35) R. Clausius, Mechanische Wärmetheorie 2, p. 39 (2. Aufl., Braunschweig 1879).

ebenso ist (57')

Setzt man diese Werte in die Laplacésehe Gleichung ein, so erhält man

(58)

Schließlich substituieren wir und finden

diesen Ausdruck für    in (55)

Vl ~ Vl~ (wVt¹ + T(⁺ k ⁺ S/)] ----■

Da aber — für die Kapazität

£    gleich der elektrischen Dichte ist, so folgt

/Gjs

(59)

r± £)*%").

Beispiel: Von zwei konzentrischen Zylinderflächen mit den Radien B und B -f- a und der Höhe h werde durch zwei Ebenen, welche durch die Zylinderachse gehen und den Winkel y miteinander bilden, ein Teil abgeschnitten. Die Kapazität dieses Teils läßt sich nach dem Vorigen berechnen. Es ist nämlich, wenn wir (59) auf die kleinere Fläche anwenden, das obere Zeichen bei Bt zu wählen und Bt — B zu setzen; ferner ist B/ = oo, also finden wir

to

Denselben Wert hätten wir erhalten durch Anwendung von (59) auf die größere Fläche <î₂ = h(B a)y₁ dann hätten wir aber das negative Zeichen vor Bt zu nehmen gehabt.

Der Wert, den Clausius⁸⁷) durch eine sehr umständliche Methode für die Kapazität eines Kondensators aus zwei unendlich dünnen Kreisplatten ohne Vernachlässigung der modifizierten Verteilung in der Nähe der Ränder findet, stimmt mit der Kirchhoffschen Formel (s. u.) nicht überein, er ist durch die weitläufigen numerischen Rechnungen gefälscht.

Mit Hilfe einer bedeutend einfacheren und zuverlässigeren Methode, nämlich durch die konforme Abbildung geradliniger Polygone auf- ¹¹ 12 einander behandelt G. Kirchhoff³*) denselben Fall. Da die Methode bei ähnlichen Problemen Anwendung finden kann, soll sie kurz skizziert werden.

Der Plattenradius R soll als unendlich groß, Plattenabstand a und Plattendicke b als unendlich klein gegen R angenommen werden, so daß höhere Potenzen von a/R und b/R vernachlässigt werden können. Kirchhoff teilt den ganzen Raum in drei Teile: Raum 1 ist ein ringförmiger Raum, dessen Oberfläche aus Punkten besteht, deren Abstände von den Rändern der Platten unendlich klein gegen R, aber unendlich groß gegen a und b sind. Raum 2 ist der noch übrige Raum zwischen den Platten, Raum 3 der noch übrige Raum außerhalb der Platten.

Es möge jetzt y die Koordinatenrichtung senkrecht zu den Plattenebenen sein, dann ist im Raume 2 das Potential wenn es auf der einen Platte (?/ = -{- a/2) gleich -j- 1 und auf der anderen Platte (y = — a/2) gleich — 1 ist. In Raum 3 ergibt sich die Darstellung von cp nach Nr. 29 Gl. (131) als Potential einer Doppelschicht, deren Begrenzung ein Kreis vom Radius R um den Nullpunkt der Ebene y = 0 ist.

cp und seine Differentialquotienten müssen an der Grenze des Raumes 1 stetig in die in den Räumen 2 resp. 3 gültigen Werte übergehen. Durch diese Bestimmungen, sowie durch die Bedingung, daß cp in unendlicher Entfernung p vom Kondensator wie 1/p² verschwinden muß, ist cp eindeutig gegeben. Findet man also ein Potential, welches allen Bedingungen genügt, so ist es das durch die Aufgabe verlangte.

Da die Elektrizitätsmengen auf den Teilen der Platten, die zu Raum 1 und Raum 3 gehören, nur unendlich klein sind, so vernachlässigt man nur Glieder höherer Ordnung, wenn man in diesen Raumteilen die Bedingungen, denen cp zu genügen hat, nur annähernd (mit Vernachlässigung von Größen erster Ordnung) erfüllt. Dies gilt nicht nur für die Grenzbedingungen, sondern auch für die Differentialgleichung selbst, der cp zu genügen hat.

Unter dieser Vernachlässigung hat z. B. in Raum 3 das Potential der Doppelschicht auf den rückseitigen Grenzflächen der Platten Werte, die nicht genau -f- 1 resp. — 1 sind, da der Winkel, unter dem die ¹³

Doppelschicht von Punkten dieser Grenzflächen aus erscheint, von -J- 2n resp. — 2it in Größen erster Ordnung abweicht.

d*cp , dicp dx*

Unter denselben Vernachlässigungen muß cp in Raum 1 der Gleichung genügen

dp*

(61)

wo x — R — q endlich ist (p Abstand des betrachteten Punktes von der Kondensatorachse).

Die Vernachlässigung der höheren Potenzen von a/R und b/R kommt also darauf hinaus, daß im Raume 1 die Krümmung der Plattenränder unberücksichtigt bleibt, in Raum 2 die Werte gelten, die bestehen würden, wenn die Elektrizitätsmengen mit gleichförmiger Dichte auf den inneren Begrenzungsebenen der Platten verteilt wären und in Raum 3 die beiden Belegungen zu einer Doppelschicht mit entsprechend unendlich großer Ladung zusammenrückten.

Wegen (61) ist cp der reelle Teil einer Funktion w — cp -f- iij/ von g — x -f- y i. cp muß = -f-1 sein auf der inneren Grenzfläche der einen Kondensatorplatte, d. h. für x > 0; y — -f- y, ferner am Rande

dieser Platte, also für x = 0; y y ~ -J- b, und auf der äußeren Grenzfläche dieser Platte, also für #>0;t/ = y-f-&. 9? ist = — 1 auf der anderen Platte, also für x > 0; y — — y ; ferner für x = 0;

— — — b <*' y < — y, un(l für x > 0; y =--- — b. Es ist also

an.

das durch die soeben angegebenen geradlinigen Strecken begrenzte Flächenstück der #-Ebene auf den durch die Geraden cp = ± 1 der w-Ebene begrenzten Streifen abzubilden. Dies gelingt durch die Schwarz sehe Methode der konformen Abbildung geradliniger Polygone aufeinander (vgl. Nr. 9 und Anm. ³¹)). gibt ganz ähnlich wie in Nr. 9 (42) die Elektrizitätsverteilung auf den Platten

16 jr(a -f- 6) R

(62) a =

So erhält man als Kapazität

¹

Vgl. Kirchhoff, Vorlesungen 3, p. 24.

²

   Dieser Satz wurde von H. Helmholtz zuerst ausgesprochen J. f. Math. 72 (1870), p. 117; zur Bestimmung der Dielektrizitätskonstanten wurde er zuerst benutzt von P. Silow, Ann. Phys. Chem. (2) 156 (1875), p. 389.

³

   W. Thomson, Reprint Art. 358 u. Phil. Mag. (4) 8 (1854), p. 42.

⁴

   W. Thomson, Reprint Art. 345.

⁵

   B. Riemann, Ges. Werke, 2. Aufl., Leipzig 1892, p. 440.

⁶

   A. Sommerfeld, Proc. Lond. Math. Soc. 28 (1897), p. 395; vgl. Potentialtheorie Art. Burkhardt-Meyer II A 7b Nr. 9, p. 476.

⁷

   G. Green, Essay; s. Ostw. Klassiker Nr. 61, p. 66.

⁸

   H. Helmholtz, Beri. Ber. (18G8), p. 215 oder Wissensch. Abh. 1, p. 157, Leipz. 1882.

⁹

   H. Weber, Partielle Differentialgleichungen 1, p. 356. Eine eingehende Untersuchung dieses Falles findet sich auch hei F. Bennecke, Yerh. d. Leop. Carol. Ak. 51 (1887), p. 253; vgl. auch Maxwell, Treatise 1, Art. 202 und die Fig. Tafel 13.

¹⁰

   Ygl. Maxwell, Treatise 1, Art. 203 (genauere Behandlung Art. 206) u.

¹¹

   Maxwell, Art. 102 a schließt die Kapazität eines beliebigen Systems auch in Grenzwerte ein, wenn der genäherte Verlauf der Erregungslinien bekannt ist. Er benutzt dabei eine Methode, die von Lord Rayleigh, Theory of sound 2 (1878), p. 1G2, 170 herrührt.

¹²

   R. Clausius, Ann. Phys. Chem. (2) 86 (1852), p. 161.

¹³

G. Kirchhoff, Beri. Ber. 1877, p. 144 oder Ges. Abhandl., p. 101, Leipz. (1882). Für den speziellen Fall b/a = 0 auch Vorlesungen 3, p. 90.

sR*it f, . a /,

a*

“~ 1¹ + Ti* (lg

=^ a + *)“*)•

38a) N. Bulgakow, Mém. de l’acad. de St. Pétersbourg (8) 15 (1904), Nr. 3 geht von dem Potential zweier kongruenter abgeplatteter Rotationsellipsoide mit gemeinsamer Achse aus, auf denen er die Elektrizitätsmenge -\-e resp. — e so verteilt annimmt, wie sie ohne Vorhandensein des anderen Ellipsoids im Gleichgewicht wäre, und konstruiert hierzu die Äquipotentialflächen, von denen er sich dann zwei leitend denkt.

Um wenigstens für unendlich dünne Platten (b/a — 0) den Einfluß der Streuung der Erregungslinien an den Rändern, sowie den Einfluß der auf den äußeren Flächen und auf dem Rande selbst sitzenden Elektrizität zu veranschaulichen, ist der in (62) mit k bezeichnete Ausdruck für verschiedene Werte von a/R in der folgenden Tabelle wiedergegeben.

aJR

0.0001

0.0005

0.0010

0.0050

0.0100

0.0004

0.0017

0.0031

0.0131

0.0239

Nach demselben Prinzip wird sich auch der Einfluß der Enden beim Zylinderkondensator behandeln lassen. Die pro Längeneinheit gerechnete Kapazität eines sehr langen Zylinderkondensators ohne Berücksichtigung der Streuung an den Enden ergibt sich sofort aus der Laplacësehen Gleichung, indem man die Unabhängigkeit des Potentials von der z- und ^-Koordinate benutzt (z parallel der Zylinderachse, rp Azimut gegen eine feste Ebene durch die Zylinderachse)³⁹).

Kirchhoff³⁸) hat nach derselben Methode die genaue Theorie des Schutzringkondensators gegeben (vgl. Nr. 7). a und b bedeuten dasselbe wie oben, der Radius der ausgeschnittenen Kreisscheibe sei jR — c, der innere Radius des Schutzringes R -f- c, also die Schlitzbreite 2c. Wird b/c unendlich groß angenommen (sonst wird der Ausdruck komplizierter), so wird

J^(ßtgß + ]g cos ß + 4ą sin² (S)},

+ vr)'

sR²7t r J a \

wo c/o = tg ß und

*gß

lgg = 2(l +

Auch Maxwell⁴⁰) hat für den Schutzringkondensator eine Formel abgeleitet:

(64)

S (R - C)*7T

2 ac

{a -f y) ( R — c)

2 c

wo y genähert — lg 2 ist. (63) und (64) sind praktisch gleich

wertig⁴¹).

12. Kugel. Ellipsoid. Zylinder. Bing. Die Einführung krummliniger Koordinaten in die Laplacë sehe Differentialgleichung ermög-

39)    Maxwell, Treatise 1, Art. 126.

40)    Maxwell, Treatise 1, Art. 201.

41)    F. Himstedt, Ann. Thys. Chem. (3) 36 (1888), p. 126; 36 (1889), p. 759.

licht ohne weiteres die Lösung vieler Probleme⁴¹¹¹). So ergibt sich z. B. die Kapazität zweier konzentrischer Kugelschalen von den Radien

«i at

a₁ und a₂ als « =

ai—a₁

dem Grenzübergang a₂ — oo : • • • a — Arcea^.

Auch für Zylinder⁴²) und Ellipsoid⁴³) lassen sich durch Be

und für eine einzige Kugel entsprechend

nutzung von Zylinder- resp. elliptischen Koordinaten Potential und Kapazität bestimmen, durch Spezialisierung des Ellipsoids ergibt sich weiterhin die Kreisscheibe⁴⁴). Für die Dynamik eines kugelförmigen Elektrons ist der Satz wichtig⁴⁵), daß die elektrischen Energieen zweier Ellipsoide von gleicher Form, von denen das eine gleichförmig über sein Volumen geladen ist, während bei dem anderen die Verteilung der nämlichen Gesamtladung der Gleichgewichtsverteilung auf der Oberfläche des leitenden Ellipsoids entspricht, sich wie 6 : 5 verhalten.

Durch die Gleichung

x-\- y i =

₁_e*+iw b i + e*+itu

führe man anstatt x und y die Koordinaten A und a in die Gleichung Mep — 0 ein. Die Kurvenschar A = const. ist ein Kreisbüschel mit imaginären Schnittpunkten und den Punktkreisen y — 0, x = H~ co — const. ist der zu A = const. orthogonale Kreisbüschel. Läßt man diese Kurvenschar um die y-Achse rotieren, so erhält man ein System von Kreisringen, von denen jeder durch einen speziellen Wert A == const. gegeben ist. jRiemann*⁶) hat durch Benutzung dieser sogenannten Ringkoordinaten zuerst die Laplacesche Gleichung integriert.

41a) Ygl. Potentialtheorie Art. Burkhardt-Meyer II A 7 b, Nr. 22.

42)    W. Thomson, Reprint, p. 38 u. Phil. Mag. (4) 9 (1855), p. 531 mit Anwendungen auf Kabel und Leidener Flaschen; Maxwell, Treatise 1, Art. 129 behandelt ebenfalls konzentrische, unendlich lange Zylinder und das absolute Zylinderelektrometer. Wegen des letzteren siehe auch JE. Bichat u. JR. Blondlot, J. de phys. (2) 5 (1886), p. 325. Blavier, J. de phys. (1) 3 (1874), p. 115 u. 151 gibt die für elektrische Leitungen wichtige Theorie der Potentialverteilung bei nicht koaxialen Zylindern. Wegen der Theorie der Leidener Flaschen siehe auch Anm. 35. F. Breisig, Elektrotechn. Zeitschr. 19 (1898), p. 772 berechnet die Kapazität der Kabel bei Berücksichtigung der leitenden Erde. Kabel, die aus mehreren Drähten bestehen, behandelt T. Levi-Civita, Rend. R. Acc. dei Line. (5) 13 (1904), p. 375.

43)    Potentialtheorie Art. Burkhardt-Meyer II A 7 b, Nr. 15.

44)    Vgl. Anm. 43 und JH. Weber, Partielle Differentialgl. 1, p. 326, siehe auch R. Gans, Zeitschr. f. Math. u. Phys. 49 (1903), p. 298; 53 (1906), p. 434.

45)    Vgl. M. Abraham, Ann. Phys. (4) 10 (1903), p. 146.

46)    B. JRiemann, Ges. Werke 1876, p. 407; C. Neumann, Theorie der Elek-trizitäts- und Wärmeverteilung in einem Ringe, Halle 1864. A. Wangerin, Re-

Die Methode der partikulären Lösungen der Gleichung Mcp — 0 in krummlinigen Koordinaten ergibt Entwicklungen des Potentials nach Kugelfunktionen bei der Kugel und dem Rotationsellipsoid, nach JBessdschen Funktionen beim Zylinder, nach Riemannschen P-Funk-tionen (hypergeometrischen Funktionen) heim Ring⁴⁷). C. Neumann⁴⁶) und Wangerin haben sich weiter mit diesem Problem beschäftigt.

Durch Entwicklung nach Kugelfunktionen findet Maxwell⁴⁸) das Potential auf einem nahezu kugelförmigen Leiter.

13. Elektrische Bilder. Zwei Kugeln48a). Spiegelungsmethoden zur Befriedigung der Grenzbedingungen bei Randwertaufgaben sind auf allen Gebieten der mathematischen Physik für ebene Grenzflächen anwendbar, speziell auf dem Gebiete der optischen Erscheinungen, von denen der Name der Methode entlehnt ist. In der drei- bez. zweidimensionalen Potentialtheorie kann man aber auch an Kugel-bez. Zylinderflächen spiegeln, da es eine Besonderheit der Potentialgleichung ist, bei der Transformation durch reziproke Radien un-geändert zu bleiben; d. h. ist cp(r, fl, ifS) eine Lösung der Gleichung

^7, fl, ipj eine Lösung,

I Ci

<P

Ziep — 0 in Kugelkoordinaten, so ist auch die für r — c denselben Wert annimmt (oder ist cp (r, ty) eine zweidimensionale Lösung in Zylinderkoordinaten, so ist auch cp {~^} ipj

eine Lösung, die für r — c denselben Wert hat). Gibt die erste Lösung das Potential im Innern einer Kugel vom Radius c, so hat man in der zweiten Lösung das Potential für den Außenraum, und zwar in geschlossener Form, ohne daß man nach Kugelfunktionen entwickeln müßte.

Mit Hilfe dieser Methode hat W. Thomson⁴⁹) viele auf die Kugel bezügliche Probleme gelöst. Befindet sich z. B. im Punkte pt im Innern (Äußern) einer leitenden Kugelschicht vom Radius c, die sich

Auktion der Potentialgleichung für gewisse Rotationskörper auf eine gewöhnliche Differentialgleichung (gekrönte Preisschrift), Leipzig 1875, behandelt das Problem der Elektrizitätsverteilung auf einem Rotationskörper, dessen Meridian eine Lem-niskate ist. Ygl. die historische Bemerkung über das Ringproblem bei H. Weber, Partielle Differentialgleichungen 2, p. 406.

47)    Potentialtheorie Art. Burkhardt-Meyer, Il A 7 b, Nr. 14 u. 21, ebenfalls Kugelfunktionen Art. Wangerin, II A. 10, sowie E. Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, Berlin 1878.

48)    Maxwell, Treatise 1, Art. 145 a; s. auch G. L. Dirichlet, Werke 2, p. 87, Berlin 1897.

48“) Siehe auch Potentialtheorie Art. Burkhardt-Meyer II A 7b Nr. 16.

49)    W. Thomson, Cambr. and Dubl. Math. J. 1848, 1849, 1850; siehe auch Reprint Art. 55 ff. ; Art. 208 ff.

Man lege senkrecht zu den drei Parallelepipedkanten drei Scharen von Ebenen, durch die der ganze Raum in kongruente Parallelepipeda eingeteilt wird, von denen eins das gegebene ist. In jedem Spiegelbild von p bezüglich dieser Ebenen, welches die Koordinaten

lia -f- (— l)kx; mb -f- (— 1 )my'] nc -f- (— 1 )nz'

hat, wo h, m, n die Werte der ganzen Zahlen von — oo bis -f- °o annehmen, denken wir uns die Elektrizitätsmenge -f- 1 resp. — 1 angebracht, je nachdem Ti -f- m -f- n gerade oder ungerade ist. Dann ist

-f-oo -}-⁰⁰    -t⁻⁰⁰

(-1)

auf dem Potential Null befindet, die Elektrizitätsmenge et, so erhält man das Potential im Innen-(Außen-)raum der Kugel, indem man im harmonischen Pol p₂ von px die Elektrizitätsmenge e₂ = — ™

R,

an-

bringt und die Kugel fortdenkt. Hier bedeutet Rx den Abstand des Punktes px vom Zentrum. In Wirklichkeit rührt das Auftreten des Zusatzpotentials

ei

zu ——— von der Influenzelektrizität e₉ — —

4«^!    ¹    if,

auf der Oberfläche der Kugel her. In derselben Weise kann man die

Influenzwirkung eines geladenen Systems auf eine Kugel behandeln⁵⁰).

Wird der Kugelradius unendlich groß, handelt es sich also um die Influenz auf einer unendlich ausgedehnten leitenden Ebene, so geht die Abbildung durch harmonische Pole (Abbildung durch reziproke Radien, Inversion) in Spiegelung an der Ebene über. Die Elektrizitätsmenge im gespiegelten Punkty ist dann e₂ —— ex.

Durch wiederholt angewandte Spiegelung⁵¹) ermittelt man z. B. das Potential einer punktförmigen Elektrizitätsmenge 1, die sich im Punkte p(x, y, z) im Innern eines rechtwinklig parallelepipedischen leitenden Kastens befindet, der auf dem Potential Null ist; die Seitenebenen seien

47t f r₂

(65)

k——oo m——oo n=—oo

wo zur Abkürzung

(66) R² = [ha -f- (— l)kx — x)² -f- {mb -f- (— 1 )my — y} -f- {nc -j- (— 1 )nz — z}²

50)    W. Thomson, Reprint Art. 113; siehe auch Maxwell, Treatise 1, Art. 159.

51)    B. Riemann, Schwere, Elektrizität und Magnetismus p. 84; F. Rockels, Gött. Abh. 39 (1893), p. 21 (Preisschrift) wendet dies Prinzip auf zwei Kugeln in einem parallelepipedischen Metallkasten an, indem er die Kirchhoffschen Formeln für die Attraktion zweier Kugeln benutzt, vgl. Anm. ⁶⁶).

gesetzt ist. Die Summe (65) ist nur bedingt, d. h. bei geeigneter Anordnung der positiven und negativen Glieder, konvergent. Aus diesem Grunde empfiehlt sich die folgende Umrechnung. Da

— R?t dt

Vt

ist, so erhalten wir mit Vertauschung der Intégrations- und Summationsfolge die absolut konvergente Darstellung (67)

Die dreifache Summe zerfällt in das Produkt dreier einfachen Summen, deren jede sich durch Thetafunktionen ausdrücken läßt.

Thomson51 a) bestimmt die Elektrizitätsverteilung auf einem kreisförmigen Abschnitt einer ebenen oder sphärischen leitenden Fläche, die einer beliebigen Influenz ausgesetzt ist, mit Hilfe der Bildmethode.

Die Methode der Spiegelung läßt sich erweitern für den Fall, daß der halbe Raum die Dielektrizitätskonstante slt der andere halbe Raum die Dielektrizitätskonstante f₂ hat, und daß sich im ersten Halbraum im Punkte p₁ die Elektrizitätsmenge e₁ befindet. Man kann sich im Spiegelbild p.₂ von pt bezüglich der Grenzebene der beiden Halbräume die Elektrizitätsmenge — e₂ denken. Das Potential

e2

; das Po-

£,471»*, e₁énr₂

• Die Grenzbedingungen er-

in einem Punkte des ersten Halbraums ist ——

tential im zweiten Halbraum ist geben

fjéTtr,

e;=HTV!)-

Diese Methode ist nicht ohne weiteres auf eine dielektrische Kugel übertragbar. Versucht man dies, so erhält man als Bild eines elektrischen Punktes außerhalb einer Kugel erstens seinen harmonischen Pol und zweitens die Verbindungslinie dieses Pols mit dem Zentrum, die in bestimmt angebbarer Weise mit Elektrizität belegt ist. C. Neumann*³) hat dies Problem ausführlich behandelt und zwar für den

51*) W. Thomson, Reprint Art. 231; vgl. auch G. Kirchhoff, Vorlesungen 3, p. 57; Lipschitz, J. f. Math. 58, p. 152; 61, p. 1.

52)    Siehe z. B. M. Abraham u. A. Föppl, Theorie der Elektrizität, p. 150, Leipzig 1904. Durch mehrfache Spiegelung läßt sich auch die unendlich ausgedehnte dielektrische Platte behandeln, vgl. Th. Lohnstein, Ann. Phys. Chem. (3) 44 (1891), p. 164.

53)    G. Neumann, Hydrodynamische Untersuchungen, Leipzig 1883, p. 279.

21

Encyklop. d. math. Wiasensch. V 2.

ganz analogen Fall der magnetischen Bilder. Anstatt seines 4nie ist durchweg e — 1 zu setzen.

Das Problem der Elektrtzitätsverteilung auf zwei Kugeln von den Radien at und a₂, dem Abstande c der Zentren, die zu den Potentialen Cr und C₂ geladen sind, wurde zuerst von Poisson⁵⁴) behandelt, indem er das Potential cp sowie die Dichtigkeit der Elektrizität nach Kugelfunktionen entwickelt.

Das Potential wird symmetrisch um die gemeinsame Zentrale sein, welche als Polarachse eingeführt wird. Kennt man das Potential auf der Zentralen, so ist es auch in jedem anderen Punkte des Raumes bekannt; denn denken wir uns das Potential auf der Zentralen nach Potenzen des Abstandes vom Zentrum der ersten Kugel entwickelt:

Ï/-&-

ri > <*1,

rl <«1,

so

wird die allgemeine Lösung

(68)

ri < ⁽h>

wo Pv (cos tt) die Kugelfunktion vtei Ordnung erster Art bedeutet.

Der Abstand eines willkürlichen Punktes der Zentralen vom Zentrum der ersten Kugel sei x, der Abstand eines Punktes vom Zentrum der zweiten Kugel ?/; das Potential der auf der ersten Kugel befindlichen Elektrizität sei fix), das der auf der zweiten Kugel befindlichen g(y).

Ist x < at und ^'=    der harmonische Pol von x, so ist

=    wie am Anfang dieser Nr. bemerkt wurde; ebenso

o{yr) = y 9 (y ) •

Sind x und y derselbe Punkt innerhalb der ersten Kugel, also Y — c — x, so gilt

(69) ebenso

54) Poisson, Mém. de Finst. 12, 1, p. 1 (1811); 2, p. 163 (1811).

9iy) + tV) - 9(9) +    - c,

(70)

Gleichung (70) gilt für jeden Punkt y < a₂, also z. B. für y —

Substituiert man diesen Wert in (70), so kann g aus (69) eliminiert werden; man erhält für — at x <[ -f- a±

«i²(c x) \_p r\

' Ve²-«/ -cx) — Li—L‘

f{z) - ?

«2

— a₂² — cx

² C — X

Die Lösung dieser Funktionalgleichung ergibt f(x). Aus fix) erhält man die Dichtigkeit ca für x = ay, nämlich

(72)

£ (fJÉL _l 2df(x))

\ %    ' dx )x = ai

und die gesamte Elektrizitätsmenge E₁ auf der ersten Kugel

E₁ = 4ä£ö₁/‘(0).

Berühren die beiden Kugeln einander, so verhalten sich die Elektrizitätsmengen E₂ und E₁ auf denselben wie

(73)

(74)

E,

Ist a₂ sehr klein gegen a1} so wird

a₂* 3t²

«7* 7F

. oder die Dichte nach Trennung der beiden Kugeln

« 2 ₌ ff .

(74')

“i

Diese Resultate sind für die genaue Diskussion der Coulombschen Versuche zur Ermittlung des Coulombschen Gesetzes von Wichtigkeit, da die Influenz der beiden Kugeln aufeinander berücksichtigt werden muß. Die Dichtigkeit ca an den Punkten der beiden Kugeln, die einander am nächsten liegen, ist von Interesse, weil eine solche Anordnung als Funkenmikrometer zur Bestimmung von Funkenpotentialen benutzt wird. Schließlich gibt das Problem der Berührung einer kleinen und einer großen Kugel einen Anhalt über die Theorie der Probekugel⁵⁴“).

54a) Eine allgemeinere Behandlung der Theorie des Probekörpers: E. Almami, Nuov. Cim. (6) 4 (1902), p. 81, 280; 5 (1903), p. 242.

21*

Der Poissonschen Methode schließen sich die Entwicklungen von Plana™) und Kirchhoff5G) an. Die Kirchhoff\sehen Resultate für die Dichtigkeit weichen von denen Poissons und Planas für den Fall eines unendlich kleinen Abstandes der beiden Kugeln ab; der Grund liegt in unerlaubten Potenzentwicklungen bei letzteren.

Durch die Methode der elektrischen Bilder hat W. Thomson¹ 2 3) 1853 unter Benutzung des „Prinzips der sukzessiven Influenzen“ von Murphy*⁸) das Problem gelöst. (In spezieller Form als ein Verfahren sukzessiver Spiegelungen bereits oben bei dem Problem des rechteckigen Kastens benutzt.)

Das Murphysche Prinzip behandelt ganz allgemein die Influenz zweier Leiter, von denen der eine auf dem Potential 1, der zweite auf dem Potential Null ist, nach folgendem konvergenten Verfahren⁴). Man denke den zweiten Leiter fort und lade den ersten mit der Elektrizitätsmenge e₀, so daß auf ihm das Potential 1 entsteht. Diese Verteilung denke man sich nun fixiert; sie influenziere auf dem abgeleiteten Leiter 2 die Ladungsverteilung elf die man sich wiederum fest denkt, und berechne die durch el hervorgerufene Influenzladung e₂ auf dem ersten Leiter, während dieser abgeleitet gedacht wird, usf.; dann ist e₀ -j- e₂ -f- e₄ -f- * * • die Ladung des ersten, ex -f- e₃ -f- • • • die des zweiten Leiters; denn sie genügen allen an sie gestellten Bedingungen. Bei hinreichender Entfernung der beiden Körper wird das Verfahren auch numerisch gut brauchbar sein.

Da nun eine zum Potential Cx geladene Kugel nach außen so wirkt, als ob die Menge Cx =    im Zentrum konzentriert wäre,

so wird ihre fixiert gedachte Verteilung auf die zweite abgeleitete Kugel so wirken, als ob in dem Bild des Zentrums der ersten Kugel

bezüglich der zweiten die Menge — <h~r — — 4l%eGx

vorhanden

wäre, während die zweite Kugel fehlt. Von diesem Bild kann man wieder das Bild bezüglich der ersten Kugel konstruieren usf. Die

Summierung der Wirkung sämtlicher so konstruierten Elektrizitätsmengen gibt die Verteilung, wenn die erste Kugel auf dem Potential Clf die zweite auf dem Potential Null sich befindet. Dazu füge man in derselben Weise die Wirkung hinzu, die sich durch Ladung der zweiten Kugel zum Potential C₂ und Ableitung der ersten Kugel ergibt. Bei Thomson finden sich auch numerische Tabellen über Kapazität und Anziehungskraft zweier Kugeln⁵).

Die Methode der elektrischen Bilder zur Lösung des Zweikugelproblems wurde von F. Neumann⁶) und JRiemann⁷) aufgegriffen. Liouville⁸ 9) hat, angeregt durch die Thomsonsche Abbildungsmethode durch reziproke Radien, die Aufgabe darauf zurückgeführt, zwei sich ausschließende Kugeln als konzentrische abzubilden.

Schließlich sei noch die Methode der bipolaren Koordinaten erwähnt. Läßt man die in Nr. 12 erwähnte Kurvenschar um die x-Achse rotieren, so werden die Flächen X = const. Kugeln. Zwei Werten von X entsprechen die betrachteten Kugeloberflächen; diese Koordinaten stammen von Thomson¹⁰), die Methode wurde von

C. Neumann¹¹) weiter ausgearbeitet und z. B. auf die Influenz einer punktförmigen Elektrizitätsmenge auf zwei abgeleitete Kugeln angewandt64a).

B. Die Dielektrizitätskonstante hat in verschiedenen Teilen des Raumes verschiedene Werte.

14. Ungeladene Dielektrika im Felde. Leiter als Grenzfall des Dielektrikums. Kondensator mit geschichtetem Dielektrikum.

Wir betrachteten bisher den Fall, daß das Dielektrikum zwischen den Leitern homogen war, also e im ganzen Raume eine und dieselbe Konstante war, jetzt wenden wir uns der Frage zu, wie das Feld verändert wird, wenn in ein gegebenes Feld, dessen Dielektrikum die Dielektrizitätskonstante 1 hat, ein ungeladener homogener Körper der

Dielektrizitätskonstante s gebracht wird. Dabei soll die Elektrizitäts-Verteilung des ursprünglichen Feldes ungeändert bleiben. Im Innern des Körpers gilt:

(75)

an seiner Oberfläche

®»a—

wo die Indizes a und i die äußere resp. innere Seite der Oberfläche andeuten.

(76)

(76)

Aus (75) folgt mit Berücksichtigung von

^div £&dS{ = Jefäjdö = ß&nad<5 = 0.

Wird s unendlich groß, so folgt aus (76)

@ *= 0 71

mit (75) (vgl. Nr. 4)

ą = o.

(77) und (78) stimmen aber überein mit den Bedingungen, welchen das Feld eines an die Stelle unseres Nichtleiters gebrachten ungeladenen Leiters genügt. Genau das Analoge, wie bei der Bestimmung des Feldes, gilt auch bei den ponderomotorischen Kräften (vgl. Formel (95)). Der Fall des Leiters ist also in dem allgemeineren des Dielektrikums rechnerisch mit enthalten, nämlich für e — oo. Dies ist jedoch nur eine Rechenregel und sagt nichts über die Dielektrizitätskonstante der Leiter aus; letztere ist durch elektrostatische Versuche nicht zu ermitteln, da im Leiter stets das Feld Null ist.

Die allgemeinen Bedingungen im elektrostatischen Felde ergeben die Kapazität eines Plattenkondensators mit n planparallelen Schichten der Dicke av und der Dielektrizitätskonstante sv.

Da das elektrische Feld aus Sjmmetriegründen gleichförmig und parallel der Plattennormale ist, so folgt aus (F) für die Potentialdifferenz der Platten

(77)

(77')

und aus (77') zusammen

(78)

Fn- r,

V = 1

und da keine der dielektrischen Schichten geladen ist, folgt für die Dichte auf den Platten

— cjj; =    = ss(Sa = • • • eßv = • • • (vgl. IV und (17)).

Ist die Plattenfläche 6,

G>n =

so

berechnet sich die Kapazität a zu

Man kann also durch Veränderung eines Abstandes av eine gleichzeitige Änderung der Dielektrizitätskonstante einer Schicht hinsichtlich ihres Einflusses auf die Kapazität kompensieren ; so sind Dielektrizitätskonstanten bestimmt worden ⁶⁵).

Führt man die Elektrizitätsmenge e der Belegung ein, so erhält

man in der Formel Fn—    = e ^ ein Analogon zum O/mschen

s nennt man deshalb auch gelegentlich dielektrische Leitdielektrischen Widerstand.

Gresetz¹²). fähigkeit,

15. Influenz. Wahre und freie Elektrizität. Bevor wir zur Lösung bestimmter Probleme übergehen, wollen wir einige allgemeine Fragen erledigen, die uns zeigen, wie die Vor-Maxwellsch.e Theorie diese Fälle im Sinne einer Fernwirkung behandelt hat.

Es fragt sich, wie das Feld @₀ geändert wird, wenn statt Luff (s — 1) ein Körper aus anderem Material der Dielektrizitätskonstante € ins Feld gebracht wird, während die ElektrizitätsVerteilung p, o, e unverändert bleibt: dann ist (79) und für jede Leiteroberfläche

(80)

(81)

feSJe =j\,de.

Für das Zusatzfeld @1 = @ — @₀ folgt aus (79)

div @1 = div © — div ($₀ = — div (« — 1) (£ und ebenso aus (80)

(82)    =f<&,ds -j\je = -f(s - 1)

Setzen wir

^83)

so folgt

(84)

— div (e — 1) e = p',

div (51 = p', I ($„ dö — e.

@5 genügt denselben allgemeinen Bedingungen wie @ und (S₀, ist also durch die p', e eindeutig gegeben. Diese Werte sind wegen (83) zwar erst bekannt, wenn Gs gefunden, also die Aufgabe gelöst ist, aber die Form von (84) zeigt, daß 01 als das Feld gewisser gedachter Elektrizitätsmengen aufgefaßt werden kann, die nur dort sich befinden, wo der dielektrische Körper in die Luft eingebettet ist

(* + !)•

Nach Hertz¹³) heißen die q, co, e die wahren, die q', co', e die induzierten, die ç -j- q', co -j- co', e -f- e' die freien Dichten resp. Elektrizitätsmengen.

@₀ hat das Potential (vgl. Nr. 4 (15))

(86)

l V e 4je r

Wegen (84) lautet das Zusatzpotential

(86)

j_ y

in    ⁷

also

<P

(87)

d. h. man kann bei beliebigen dielektrischen Körpern im ganzen Felde auf Grund der vor-Faradayschen Anschauungen das Potential nach dem Coulombschen Gesetz berechnen, wenn man statt der wahren Elektrizitätsmengen die freien wählt. Während aber die wahre Elektrizität an der Materie haftet, tut dies die freie nicht, sie hängt vom Felde selbst ab.

16. Influenz auf Ellipsoid und Kugel. Clausius-MossottiscAe Theorie. Wird ein Ellipsoid der Dielektrizitätskonstante e in ein gleichförmiges Feld @₀ der Dielektrizitätskonstante 1 gebracht, so wird das Zusatzpotential¹⁴)

0xcoBnx (SqyCQB ny (S0gcosws\ dß

'1    . _    '    1    I Łnr ’

(88)

-/(

r-h+A

das Integral über die Ellipsoidoberfläche erstreckt. Hier bedeutet r den Abstand des Oberflächenelements dö vom Aufpunkt; es ist

(90)

a³ s — fr]*" s + 2

wo r der Radiusvektor vom Kugelzentrum zum Aufpunkt ist. Ist die Kugel leitend, so wird (vgl. Nr. 14) (90')

Die Kugel ist durch den Einfluß des äußeren Feldes polarisiert. Clausius¹⁵ 16) nahm wie Mossotti an, daß ein Dielektrikum aus solchen kleinen polarisierbaren leitenden Kugeln bestände, die voneinander isoliert seien. Diese Kugeln denkt er sich regellos im Körper verteilt; sie rufen je nach Konzentration und Größe verschiedene Dielek

trizitätskonstanten hervor. a³(s — l)/(e -J- 1) = ~ vd(s — !)/(« -j- 2)

ist ein Maß für die Störung, welche eine dielektrische Kugel ausübt,

3

wenn vd das Volumen der Kugel ist; — vt ist die Störung, welche die leitenden Kugeln vom Gesamtvolumen vl hervorrufen. Sollen diese Störungen einander gleich sein, so muß vt : vd — (« — l)/(f -f- 2) sein. Eine strenge Ableitung dieser Beziehung für einen beliebig geformten Körper aus (90) gibt Poincare.™) Da vt als Volumen der leitend gedachten Moleküle unveränderlich ist, so folgt

(91)

= const.,

%abcJ— 0

CO

łahcf(a* + X)L 0

co

C == ^ ahcj* (c* + X)L

o

Im Innern des Ellipsoïdes ist das Feld homogen, man hat nämlich für die Komponenten der Feldstärke die konstanten Werte

(89) g.~ r+fr’-iÿi» «,

(6* + X)L’

, L = Yiar -f- A) (b² -f- A) (c² + X) .

»y    CF

l + (e —lJjB» '

l + («-l)C

Ist das Ellipsoid eine Kugel, so wird a = b — c der Radius und A — B — C — \} dann ist im Innern

(89')

3©o

s + 2

Im Außenraum lautet das Zusatzpotential

£ — 1 1 s-J-2 d

wo d die mit Druck und Temperatur veränderliche Dichte des dielektrischen Körpers bedeutet. (91) ist unter dem Namen der Lorentz-Lorenz’&chen Gleichung bekannt¹⁷). Bei Gasen ist £ nahezu = 1, also s -f- 2 nahezu = 3, (91) ergibt also für Gase Proportionalität von £ — 1 mit dem Druck¹⁸).

17. Hohlkugel und Hohlzylinder im gleichförmigen Feld. Von Wichtigkeit, wenigstens für den analogen Fall des Magnetismus (Nr. 23) ist das Problem der Hohlkugel im gleichförmigen Felde, weil man im Innern des Hohlkörpers von hoher Dielektrizitätskonstante (Permeabilität) ein geschwächtes gleichförmiges Feld erhält.

Wir unterscheiden die Potentiale cpl7 <p₂, cpz, die für r < a17 % ? r > gültig sind, wo ax und a₂ die Radien der Hohlkugel sind.

<P

Da die Laplacesche Differentialgleichung überall gültig ist, hat überall die Form

= ]>J Pw(cos ff) (Anrn -f Bnr-(”+¹>) .

n—0

Die Konstanten bestimmen sich aus den Bedingungen, daß cp überall endlich und stetig ist, daß für r = oo

cp = -®₀xx-®₀yy-®₀,z

ist, wo die Konstanten @0a;, @02/, @₀₂ die Komponenten des ungestörten Feldes sind, und daß für

Die Durchrechnung ergibt für das Innere¹⁹):

r = a₂ : •.

(92)

® = @.-

2 (*-!)■/ _a,S

' 9 s \    a,³/

Im Innern bleibt das Feld also gleichförmig. Wird £ = oo, so wird @ = 0, wir haben die Schutzwirkung leitender Hüllen (vgl. Nr. 5). Für großes £ wird das Feld sehr geschwächt.

Für den unendlich langen Hohlzylinder, dessen Achse senkrecht zum Feld gerichtet ist, erhalten wir auf dieselbe Weise

18. Spannungen und Kräfte. 19. Kräfte auf starre Körper.

331

(93)

1-f

(g-i)⁸

4f v o₂V

Ein allgemeines Näherungs verfahren, welches bei einem beliebigen Körper in einem beliebigen Felde anwendbar ist, wird in Nr. 25 für den analogen magnetischen Fall entwickelt.

18. Spannungen und Kräfte. Aus der Abnahme der elektrischen Energie bei einer virtuellen Yerscbiebung ergeben sich die Kräfte elektrischen Ursprunges; sie lassen sich durch Spannungen aus-drücken²⁰).

Aus diesen erhält man die auf die Yolumeinbeit wirkende Kraft

(94)

f = p© — -|-©² grad s.

im homogenen Medium die Kraft

nur

(94) zeigt, daß die Feldstärke © auf die Elektrizitätsmenge 1 darstellt; in inhomogenen Medien kommt noch eine Kraft hinzu, die die Richtung des stärksten Gefälles der Dielektrizitätskonstanten hat.

An der Grenze eines Dielektrikums gegen Luft findet ein normal nach außen wirkender Zug statt (95) wo © die Feldstärke außerhalb des Körpers ist.

Ist s nahezu = 1, so ist der Zug von der Richtung, in der die Erregungslinien die Oberfläche treffen, unabhängig. Durch hydrostatischen Druck kann man die elektrischen Druckkräfte an der Grenze einer Flüssigkeit gegen ein Gas kompensieren und so £ bestimmen²¹). Ist die Umgebung nicht Luft, sondern ein Medium der Dielektrizitätskonstante £₀, so ist £ in (95) durch £/£₀ zu ersetzen und der ganze Ausdruck mit £₀ zu multiplizieren.

19. Kräfte auf starre Körper²²). Handelt es sich um die Kräfte auf starre Körper, so dürfen wir zu (94) die Kraft

(96)

f = p'© + -£©² grad £ addieren, weil diese bei der Integration über den ganzen Körper keinen Beitrag liefert (p' ist durch (82) definiert). Es folgt

f = (9 + (0®,

(97)

WO

q -j- q' — div ©.

© bedeutet also die Kraft auf die freie Elektrizitätsmenge 1. In der Elektronen theorie²³) ist, wie in der ursprünglichen Yor-Maxwdl-schen Theorie, die Dielektrizitätskonstante kein Grundbegriff, sondern sie wird durch das Verhalten der induzierten Ladungen (verschobenen Elektrizitätsmengen) erklärt; dort ist die Feldstärke in der Tat die Kraft auf die freie Elektrizitätsmenge 1, so daß das Coulotnbsche Gesetz in der Elektrostatik der Elektronentheorie mit £ = 1 ausnahmslos und allgemein gilt.

Ist der starre Körper ungeladen, so folgt aus (94)

f = — grad (f — 1);

wir führen anstatt grad s in (94) das damit identische grad (f — 1) ein, weil auf der Oberfläche des Körpers, d. h. außerhalb der Grenzschicht, s — 1 = 0 ist, und weil daher in der durch partielle Integration erhaltenen Gesamtkraft

(98)

grad

das hinzutretende Oberflächenintegral verschwindet. Ebenso ist das Drehmoment

¹

   Plana, Mem. della r. Acc. di Torino 7 (1845).

²

   G. Kirchhoff, J. f. Math. 59 (1861), p. 89 oder Ges. Abhandlungen p. 78; sehr konvergente Reihen gibt er Ann. Phys. Chem. (3) 27 (1887), p. 673 oder Ges. Abhandlungen Nachtrag, p. 131; vgl. auch JR. A. Herman, Quaterly Journ. of Math. 22 (1887), p. 204. JE. W. Barnes, ibid. 35 (1904), p. 155 löst das Problem mit Hilfe von F-Funktionen.

³

   W. Thomson, Reprint Art. 128 und Phil. Mag. 4, 5, p. 287 (1853).

⁴

   B. Murphy, Elementary principles of the theories of electricity, heat and molecular actions, Cambridge 1833, p. 93. Wegen Konvergenzbeweise siehe Potentialtheorie Art. Burkhardt-Meyer II A 7b Nr. 28 besonders Anm. 183; ferner A. Korn, Lehrbuch der Potentialtheorie, p. 354.

⁵

   W. Thomson, Reprint Art. 142.

⁶

   F. Neumann, Vorlesungen über die Theorie des Potentials und der Kugelfunktionen, p. 277, Leipzig 1887 (Vorlesungen vom Winter 1856/57).

⁷

   B. Biemann, Schwere, Elektrizität und Magnetismus, Hannover 1880;

2. Ausgabe, p. 189 (Vorlesungen vom Sommer 1861).

⁸

   J. Liouville, in Thomson, Reprint Art. 229 ff.

⁹

   W. Thomson, Reprint Art. 211, 212.

¹⁰

64“) Eine Zusammenstellung der Resultate Poissons und eine eingehende Behandlung zweier sich berührender Kugeln gibt J. B. Goébel, J. f. Math. 124 (1902), p. 157; 125 (1903), p. 267.

¹¹

   C. Neumann, Stationärer Temperaturzustand, Halle 1862; Hydrodynamische Untersuchungen, Leipzig 1883, p. 283.

¹²

Gordon, Phil. Trans. 1879, p. 417; Donie, Ann. Phys. Chem. (3) 40 (1890), p. 307; Winkelmann, Ann. Phys. Chem. (3) 38 (1889), p. 161; 40 (1890), p. 732; JE. Cohn, Ann. Phys. Chem. (3) 46 (1892), p. 135.

66) P. Drude, Physik des Äthers, Stuttgart 1894, p. 274 und Ann. Phys. Chem. (3) 57 (1896), p. 223.

¹³

   H. Hertz, Untersuchungen über die Ausbreitung der elektrischen Kraft, Leipzig 1892, p. 225 u. 236; Ann. Phys. Chem. (3) 40 (1890), p. 577.

¹⁴

   Ygl. Poisson, Mém. de le ac. de France 5 (1824), p. 492; vgl. auch Max-ivell, Treatise 2, Art. 437 ff. A. Neumann löst das Problem für Rotationsellipsoide Journ. f. Math. 37 (1848), p. 21. Die Induktion in einem unendlich langen Kreiszylinder behandelt G. Kirchhoff Journ. f. Math. 48 (1854), p. 348 und Ges. Abhandl., p. 193. Das für den Magnetismus wichtige Problem der Induktion in einem endlichen Kreiszylinder durch ein gleichförmiges Feld parallel der Achse hat G. Green gelöst Essay, p. 66, doch ist der Gültigkeitsbereich seiner Formel auf paramagnetische Körper beschränkt (vgl. Maxwell, Treatise 2, Art. 439).

¹⁵

   B. Clausius, Mech. Wärmetheorie 2, p. 62, Braunschweig 1879.

¹⁶

   Vgl. H. Poincaré, Électricité et optique 1, p. 48, Paris 1890; siehe auch G. Adler, Wien Ber. 992tt (1890), p. 1044 und den Art. über Elektronentheorie von H. A. Lorentz V 14 Nr. 43 u. 47.

¹⁷

   Eine optische Ableitung geben JR. Lorenz, Ann. Phys. Ohem. (3) 11 (1880), p. 77; 20 (1883), p. 19 und H. A. Lorentz, Ann. Phys. Chem. (3) 9 (1880), p 642.

¹⁸

   L. Boltzmann, Wien Ber. 69² (1874), p. 795.

¹⁹

   Mamvell, Treatise 2, Art. 431.

²⁰

   Vgl. Maxivellsche Theorie Art. H. A. Lorentz V 13, Nr. 23; Maxwell, Treatise 1, Art. 105; H. Hertz, Ann. Phys. Chem. (3) 41 (1890), p. 396; Faraday, Experimental researches in electricity, p. 409, London 1839. Näheres über diese Spannungen und die mit denselben zusammenhängenden Erscheinungen der sogenannten Elektrostriktion findet man in dem Art. von F. Pockels V 16.

²¹

   G. Quincke, Ann. Phys. Chem. (3) 19 (1883), p. 705.

²²

   Vgl. E. Cohn, Elm. Feld, p. 99.

²³

   Ygl. Elektronentheorie Art. H. A. Lorentz V 14, Nr. 2 u. 3.

(98')

f “ [t • grad &²]dS.

erhält

Ist s — 1 sehr klein, so kann man (£₀² anstatt (S² setzen und

(99)

’S = J—₂- grad %-dS.

Ein dielektrischer Körper wird also nach Punkten größter Feldstärke getrieben ¹).

Ist die Energie des Feldes W} und nennen wir W₀ die Energie, die unter gleichen Umständen vorhanden wäre, wenn der dielektrische Körper durch Luft ersetzt würde, so würde bei einer virtuellen Verschiebung des Körpers ö W₀ = 0 sein, weil in diesem Falle durch die Verschiebung nichts an dem Felde geändert würde; da aber <L4 = — dW ist, so gilt auch²)

multiplizieren und

zu

19. Kräfte auf starre Körper.

333

(100)

_ ó(W-W₀) -    • @₀)dS.

Für das Ellipsoid vom Volumen S im gleichförmigen Felde folgt hieraus (vgl. (89))

(101) ÔA = ÔS-^±S{

®L

«3„

)•

1 + (e-1)1t l + (t-l)JÎT l + (8 — 1)0

Ist das Ellipsoid um die vertikale c-Achse drehbar, und bildet die «-Achse mit der Horizontalkomponente den Winkel -fr, so ist daB Drehmoment zu wachsenden -O'

=    ²5sin2#

(101')

Al+B Aï+A

Mit a > b wird A < JB < 1 (vgl. Nr. 16), d. h. das Ellipsoid stellt sich im gleichförmigen Felde auf jeden Fall mit seiner großen Achse in die Feldrichtung. Ist die Umgebung nicht Luft, sondern hat sie die Dielektrizitätskonstante s₀, so ist (101') mit e0 e durch s/s₀ zu ersetzen; der soeben ausgesprochene Satz gilt, gleichgültig ob s ^ e₀ ist.

Ist £ — 1 klein, so folgt aus (100) die translatorische Kraft (vgl. (99))

Im Falle der Kugel wird aus (101)

5 = f £    g™«¹ ®o²;

ist die Kugel leitend, so hat man:

= iS grad @₀².

Durch Vergleich von $ und hat Boltzmann⁸⁰) an festen Körpern £ bestimmt. (101') wurde von Graetz und Fomm⁸¹) zur Bestimmung von Dielektrizitätskonstanten verwendet.

Ein Feld, welches von zwei gleichen, aber entgegengesetzten Elektrizitätsmengen, die auf der X-Achse gleich weit vom Nullpunkt entfernt sind, herrührt, hat in der Nähe des Nullpunkts die Form⁸²)

©₀² = const. a²x² — b²(y² -f z²).

80)    L. Boltzmann, Wien. Ber. 68² (1873), p. 81; 70* (1874), p. 307; Ann. Phys. Chem. (2) 153 (1874), p. 525.

81)    L. Graetz und L. Fomm, Ann. Phys. Chem. (3) 53 (1894), p. 85; 54 (1895), p. 626, ferner L. Lombardii, Nuov. Cim. (4) 2 (1895), p. 360 und Mem. d. Acc. di Torino (2) 45 (1895), p. 171.

82)    W. Thomson, Reprint Art. 670.

91 = —    (a- + ¥) sin 2» ■ E,

Bringt man in dieses Feld ein dünnes Stäbchen von kleinem s — 1, welches um den Coordinatenursprung in der rry-Ebene drehbar ist, so folgt aus (98')

(102)

wo K das Trägheitsmoment bezüglich der Drehungsachse ist. Das Stäbchen sucht sich also in Richtung des Feldes (& — 0) zu stellen. Setzt man in (102) s/sQ statt £ und multipliziert mit £₀ (f₀ Diel. Const. der Umgebung), so folgt, daß es sich senkrecht zum Felde stellt, wenn e < f₀. Diese Tendenz ist eine Eigenschaft der bestimmten Feldanordnung, nicht allgemein gültig, wie aus der Bemerkung nach (101') folgt⁸³). Das Drehmoment läßt sich zur Bestimmung von e benutzen. Voraussetzung ist: e nahezu 1.

20. Elektromotorische Kräfte. Sind Inhomogenitäten in den Leitern vorhanden, z. B. in der Grenzschicht zweier aneinander stoßender verschiedener Leiter, oder Temperaturgefälle in einem sonst homogenen Leiter, so muß man eine eingeprägte elektromotorische Kraft ©el annehmen. Es ist dann

I. rot@ = 0

(5')

3 =    + ®rf),

also in der Elektrostatik

(no

in Leitern.

Ferner gelten (3) und (8). Damit (11') mit I. verträglich ist, d. h. damit ein statischer Zustand existieren kann, muß

rot (£e‘ — 0 '

(103)

sein. Aus (103) folgt

(104)

/«?*-0

für jede geschlossene Kurve. (104) drückt das Gesetz der Forschen Spannungsreihe aus.

Die Energie bleibt We — J*| &²dS, aber jetzt befindet sie sich

Energie beträgt j*&pdS, die gesamte j&dS,

zum Teil im Innern der Leiter, wo wegen (11') @ nicht mehr verschwindet. Dieser Teil der Energie lautet also

/l™+/

S.’    8a

88) Vgl. E. Cohn, Elm. Feld, p. 118.

wo 8t den Innenranm, Sa den Außenraum der Leiter bedeutet. Da wir aus der Abnahme der Energie die Kräfte erbalten, so wird elektrische Arbeit bei Deformation der Leiter geleistet, und diese Kräfte zusammen mit den übrigen Kräften (z. B. elastischen Kräften und Kapillarkräften) bestimmen das Gleichgewicht.

Auf Grund dieser Darstellung läßt sich der Volta sehe Fundamentalversuch behandeln, ferner die Thomsomche Methode⁸⁴) zur Messung der elektrischen Differenz von Metallen. Die Resultate beider Methoden stimmen miteinander überein, aber sie stimmen nicht mit den Potentialdifferenzen aus Messungen der Peltierschen Wärme, die viel geringere elektrische Differenzen gibt; daher ist es wahrscheinlich, daß der größte Teil der elektrischen Differenz bei den Versuchen von Volta und Thomson in der Gasschicht an der Grenze Metall—Dielektrikum zu suchen ist. Von der letzteren Annahme ausgehend kann man die Erscheinungen darstellen, wenn man anstatt (3)

(3')

$ = *(ffi + d’d)

einführt, also eine im inhomogenen Dielektrikum wirksame elektromotorische Kraft, wie Lorentz das getan hat⁸⁵).

21. Kristalle. In Kristallen bleibt die Form der Maxwelhchen Gleichungen erhalten; nur gilt anstatt (3) die kompliziertere Beziehung

(3")

$ = (£)®“)

gilt allgemein:

Genau wie sich aus (1) und (2) We — J*y 0l²dS ergab (Nr. 2),

©

(105)

We = fdSf (SdS).

o

Ist das System konservativ, d. h. durch den augenblicklichen Wert von (£ bestimmt, so folgt eik = £kisr) und

(105')

w, = /«g.$)ds.

Durch die e ist ein Ellipsoid bestimmt, dessen Hauptachsen zu Koordinatenachsen gewählt werden sollen; dann geht (3") über in

84)    W. Thomson, Reprint Art. 400 und Phil. Mag. (5) 46 (1898), p. 82.

85)    Elektronentheorie Art. H. A. Lorentz Y 14, Nr. 44. Wichtig ist die Erklärung der Kontaktpotentialdifferenz auf elektronentheoretischer Grundlage : H. A. Lorentz, Amsterdam Akad. v. Wet. (1905), p. 556.

86)    Wegen der Bezeichnungsweise siehe Maxwell sehe Theorie Art. M. A. Lorentz V 13, Nr. B.

87)    Ygl. Maxivell, Treatise 1, Art. 101 f.

an

Es existiert auch hier ein Potential <p.87a) Anstatt (100) in Nr. 19 gilt

(106) sA = iif\( («, — i) @A.+(«,—i)®,®„+(«,—i)®,®* )

Wird eine anisotrope Kugel in ein gleichförmiges Feld @₀ gebracht, das parallel der æ-Achse gerichtet ist, so ist

(107)

also die Kraft

(108)

^ ®o, (vgl. Nr. 16 (89')),

3, = **Ę*8ŚiV Og¹- Nr. 19)*»).

Eine um die z-Achse drehbare Kugel erfährt in einem Felde @₀, dessen horizontale Komponente (S0Ä den Winkel # mit der x-Achse bildet, wegen (106) und (107) das Drehmoment88a)

(109)

9t-fr

22. Rückstand. Ob es dielektrischen Rückstand, der analog der magnetischen Hystérésis ist (Nr. 32), in reinen Materialien überhaupt gibt, ist nicht absolut sicher. Die Versuche widersprechen sich bei homogenen Körpern³ 4 5); dagegen hat Maxwell⁶) gezeigt, daß bei inhomogenen Körpern, in denen das Verhältnis der Dielektrizitätskonstante zur Leitfähigkeit s/6 Ortsfunktion ist, Rückstandserscheinungen auftreten müssen. Nimmt man an, daß die Erregung zur Zeit t proportional dem Wert der Feldstärke zu einer etwas früheren Zeit ist, so muß bei Schwingungen eines Körpers im Felde eine Dämpfung infolge der dielektrischen Hystérésis auftreten⁷).

II. Magnetostatik.

23. Unterschiede der magnetostatischen und elektrostatischen Probleme. In Nr. p sind die Grundgleichungen der Magnetostatik zusammengestellt, in Nr. 4 ist der Eindeutigkeitsbeweis erbracht, in Nr. 5 und 6 sind einige allgemeine Eigenschaften des Feldes und der Energie angegeben. Es wäre alles wörtlich aus der Elektrostatik zu entnehmen, indem man ($, cp, a, Qe, <oe, We durch .£),    [i, Qm, om,

Wm ersetzt, wenn nicht folgende wichtige Unterschiede beständen.

a)    Es gibt keine Leiter des Magnetismus, also kein in Strenge vollständiges Feld außer dem unendlichen Raum; doch wir sahen in Nr. 14, daß ungeladene Dielektrika von unendlich großer Dielektrizitätskonstante analoges Verhalten zeigen wie Leiter. So zeigt auch ein Körper von sehr hoher Permeabilität u (weiches Eisen) ähnliche Eigenschaften (Schirmwirkung) wie Leiter in der Elektrostatik. Die Schirmwirkung einer Hohlkugel und eines Hohlzylinders, die zum magnetischen Schutz von Meßinstrumenten gebraucht werden, berechnet sich genau wie in Nr. 17 (92) und (93). Näheres hierüber in dem Artikel von H. du Bois V 17.

b)    Wahre Dichten kommen nur in ferromagnetischen Körpern (Magneten) vor, aber es ist in jedem Magneten

Um — j QmdS = 0.

Deshalb kann man (110) setzen, wo der Faktor 93V die (eingeprägte) wahre Magnetisierung heißt, die nur in Magneten von Null verschieden ist. Integriert man nämlich (110) über einen ganzen Magneten, so ergibt sich Um — 0, weil 90^ auf einer den Magneten eng umschließenden Fläche bereits Null ist.

2JP ist durch nicht gegeben, sondern es können noch geschlossene 9JP-Linien in beliebiger Zahl und Anordnung hinzukommen, die aber, da sie quellenlos sind, kein pm ergeben (110), also wegen der Eindeutigkeit nichts zu § beitragen. Jedem Anfangspunkt einer ja^-Linie entspricht der Endpunkt einer JJP-Linie und umgekehrt.

an

Die Einführung von 9Jie ist vorteilhaft, da 9Jie im Magneten beliebig gegeben sein darf, nur daß 9JÎ* stetig und differenzierbar der Oberfläche in Null übergehen muß, während qjh der Bedingung Um = 0 genügen muß.

22

Encyklop. d. raath. Wissonach. V 2.

c) Während s immer >1 ist, ist in den paramagnetischen Körpern u > 1, in den diamagnetischen < l.⁹²) Diese Tatsache wurde Ton Faraday'*³) durch die Drehmomente in einem Magnetfelde .(der Form wie am Ende von Nr. 19) nachgewiesen. Es gilt auch hier die Bemerkung von der Nichtallgemeinheit der Erscheinung wie in Nr. 19.

24. Gibt es wahren Magnetismus? Diese Frage ist gleichbedeutend mit der, ob die Erregungslinien Endpunkte haben; die Antwort fällt verschieden aus, je nachdem die Erregung definiert wird⁹⁴).

In unserer Darstellung existiert wahrer Magnetismus⁰⁵); er ist gegeben durch die Beziehungen Qm = div 35, 35 =

Im Gegensatz hierzu zeigen wir, daß wir zwei analoge Vektoren 35' und §' definieren können, derart daß 0 = div 35', 35'= «§' wird. -Betzen wir nämlich

(111)

35' =    + me = $ +

ein (Sie heißt Magnetisierung, sie setzt sich additiv zusammen aus der induzierten Magnetisierung (tu — 1)§ und der wahren Magnetisierung 9J?e), so ist wegen IIa und (110)

(112)

div 35' = 0.

Ferner ist wegen Ia

(113)

3T\ !• /

= 0.

Setzen wir schließlich noch

(114)

so haben wir

•eg

(112')

div = 0,

(113')

rot — $/) = 0.

In dieser DarsteUnng gibt es keine magnetischen Mengen, man muß sich das Feld £)' durch Ampere’sehe Molekularströme erzeugt denken. ist als magnetomotorische Kraft zu deuten; diese bleibt

i)2) x — ——heißt Suszeptibilität; dieselbe kann also >0 und <[ 0 sein. 4 7t

93)    Faraday, Researches 2, p. 217.

94)    Maxwellsche Theorie Art. H. A. Lorentz V 13, Nr. 19; E. Cohn, Elm. Feld, p. 299; 11. Gans und 11. H. Weher, Ann. d. Phys. (4) 16 (1905), p. 172.

95)    Diese Darstellung weicht von der Lorentzsehen ab; siehe Art. Maxwelt-sche Theorie V 13, Nr. 15.

W = (fi — 1)§.

Ist im ganzen Raum a — 1, so ist (vgl. Nr. 15)

,u/

(115)

oder durch partielle Integration

96)    B. Gans und B. H.Weber, Ann. d. Phys. (4) 16 (1905), p. 172; B. H. Weber. Ann. d. Phys. (4) (1905), p. 178 und E. Kempken, Tübinger Diss. 1906 und Ann. d. Phys. (4) 20 (1906) p. 1017.

97)    Vgl. Anm. 96) und H. du Bois, Magnetische Kreise, p. 186, Berlin und München (1894).

98)    Poisson, Mém. de l’acad. de France 5 (1826), p. 247, 488; 6 (1827), p. 441, vgl. auch Maxwell, Treatise 2, Art. 385.

99)    W. Thomson, Reprint Art. 604.

100)    F. Neumann, J. f. Math. 37 (1848), p. 21; Vorlesungen über die Theorie des Magnetismus, Leipzig 1881.

101)    G. Kirchhoff', J. f. Math. 48 (1854), p. 348; Ges. Abhandlungen, p. 193

und p. 223.

22*

25. Influenz. Wahrer und freier Magnetismus.

339

konstant bei Veränderungen in der Konfiguration der Magnete¹'⁶). Während die Felddarstellung an Einheitlichkeit gewinnt, wenn man £)' einführt, da dann, gleichgültig, ob ein permanenter oder Elektromagnet vorliegt, div fi& — 0 und rot )p' gegeben ist, hat die Energie,

in ausgedrückt, die einheitliche Form \ f fiffidS, dagegen in £)' die Form \-J u&²dS magnet oder ein permanenter Magnet vorliegt. Für permanent magnetische Kreise gilt das Analogon des Ö/mschen Gesetzes⁹⁶) ebenso wie für elektromagnetische Kreise⁹⁷). Man kann a die

den magnetischen Widerstand

nennen⁶⁶). Nähere Ausführungen hierzu im Artikel V 17 von //. du Bois.

oder —

łJ li&²dSf je nachdem ein Elektro-

gnetische Leitfähigkeit,

Uff

25. Influenz. Wahrer und freier Magnetismus. Die Theorie

der magnetischen Influenz wurde von PoissonÿS) auf Grund molekularer Hypothesen über die Konstitution polarisierbarer Substanzen aufgestellt; von diesen Hypothesen machten sich W. Thomson"), F. Neu-), Kirchhoff⁸) und Duhem101 a) frei, indem sie die Theorie auf

100

mann

einige Erfahrungstatsachen gründeten, die heute ihren Ausdruck in den Maxivelhchen Gleichungen gefunden haben. Es gilt das Analoge wie in Nr. 15, die induzierte und freie Dichte drücken sich analog Entsprechend gibt es eine induzierte Magnetisierung

aus.

(115') wo der Strich am grad bedeuten soll, daß die Differentiationen nach den laufenden Koordinaten von S auszuführen sind.

(115') zeigt, daß der Magnet aufgefaßt werden kann als bestehend aus kleinen Elementarmagneten⁹⁸).

(116)

und

fWdS = m

(116')

fWdS = m'

heißen wahres und induziertes Moment (ersteres auch kurz: Moment)101 b) des Magneten.

Ist g 4= 1, so kommt zu noch hinzu, und wir haben

.    1 ’STT m -f m

t + Im = 4-r......

Im = l% 2 r ⁼ L J {m: Srad' t) dS> V°l (⁸⁶) und (¹¹⁶')-

(117)

wo

, vgl. (87),

Wird ein polarisierbares Ellipsoid (d. h. u 4= 1) in ein gleichförmiges Feld gebracht, so gelten die Analoga von (88) und (89). Aus (89) folgt für die induzierte Magnetisierung

•§0.r

(89,)

---\-B

ft — 1

fi —

Speziell für die Kugel ergibt sich das Analogon von (89'); aus dieser Gleichung folgt, daß die Erregungslinien in die Kugel hineingezogen oder aus ihr herausgedrängt werden, je nachdem    ist¹⁰²).

Denkt man sich in ein gegebenes Feld mit festen Magnetismusmengen, das sich aus einem Potential ableitet, einen polarisierbaren Körper gebracht, so muß das Potential ifj — ij>₀ -f- % des wirklichen Feldes außer der Laplaceschen Gleichung noch an der Oberfläche des Körpers der Gleichung

(118)

u dOi ₌ d±a ¹ dn dn

genügen, d. h. das Zusatzpotential £ genügt der Gleichung (119)

101b) Die bei magnetischen Messungen als Moment bezeichnete Größe ist in Wirklichkeit nicht das wahre, sondern das freie Moment (vgl. Nr. 27 und 28).

102) W. Thomson, Reprint Art. 632.

26. Energie und Kräfte. 27. Kräfte auf starre Körper,

341

Bei willkürlich gegebenem ip₀ läßt sich diese Gleichung in geschlossener Form bis jetzt nur in Spezialfällen integrieren. Poisson⁹⁸) führt dies für die Kugel und Hohlkugel durch Entwicklung von nach Kugelfunktionen aus, Somigliana⁹) und gleichzeitig Poggio¹⁰) kommen ohne solche Entwicklungen aus, sie erhalten das induzierte Potential direkt durch bestimmte Integrale. F. Neumann löst das Problem für das Rotationsellipsoid¹⁰⁰), Kirchhoff¹⁰¹) für unendlich lange Zylinder und den Kreisring; der Kreisring sowie das dreiachsige Ellipsoid sind von Giuliani¹¹) behandelt; C. Neumann¹¹) dehnt die Methode auf zwei Körper, speziell zwei Kugeln im Magnetfeld aus. Boggio¹⁰¹) nimmt das Zweikugelproblem auf und behandelt auch den Grenzfall, daß zwei Halbräume mit parallelen Begrenzungen einander gegenüberstehen.

Bei einem beliebig gestalteten Körper denke man sich % nach Potenzen von g — 1 entwickelt, also

X =    — i)vz{v),

V— 1

so folgen durch Substitution von (120) in (119) die Rekursionsformeln

Hai __ SÆ. ₌ ?Źo

dn dn dny

_ tf⁺¹⁾ _

dn    dn    dn ’

welche die Lösung haben (vgl. Nr. 4 (14) und (15))

(120)

(121)

<122)

1    / d% da

47t.J dn r *

7}' +1) =

4irJ dn r

Diese Methode der sukzessiven Induktionen stammt von Beer¹²) die Reihen von C. Neumann¹³ 14 15), L. Weber¹⁶), Rieche¹⁷), Wassmuth¹¹²)

^ v4- Anstatt dessen kann man auch ib nach Potenzen von ¹

Korn¹¹²*) sind Potenzreihen nach Potenzen von /x—1, -—- oder

ent-

wickeln, muß aber die Lösung für /x — oo, d. h. für den Fall, daß in ein gegebenes elektrostatisches Feld ein ungeladener Leiter gebracht wird, vorher gefunden haben¹¹⁸).

26. Energie und Kräfte. Die Energie drückt sich nach Nr. 6 (21) aus als

(21.)

und dies wegen (110) und Ia' als

Die Spannungen sind Analoga der elektrischen, sie ergeben Kräfte analog (94). Die magnetischen Drucke an der Grenze zweier Körper gehorchen den (95) entsprechenden Formeln. Auf Grund dieser Formeln hat Quincke¹⁸ 19 20 21) Permeabilitäten von Flüssigkeiten und Gasen bestimmt, indem er den magnetischen Druck durch hydrostatischen Druck kompensiert hat.

Über die magnetischen Spannungen und die sogenannte Magnetostriktion findet sich Näheres in dem Art. von I²². Pockels V 16.

27. Kräfte auf starre Körper. Wie in Nr. 19 ergibt sich durch Einführung der freien Mengen das Coulombsche Gesetz. Die Arbeit bei einer unendlich kleinen Verschiebung eines Magneten zu Stellen höherer Feldstärke ist

(123)

öA =/((S0l‘ + W) ■ S$₀)dS.ni)

Ist )p₀ im Magneten gleichförmig, so ist wegen (116) und (116')

(123')

àA = ((in 4- m') • d£₀).

(101), (101') und (102) gelten analog für den Magnetismus: man hat diese Formeln zur Bestimmung der Permeabilität benutzt²³ 24).

28. Magnetisches Moment. Horizontalintensität. Kompaß.

Gleichung (123) in Nr. 27 ist die Grundlage der Gaußschen Methode m) zur Bestimmung magnetischer Momente und der Horizontalkomponente der erdmagnetischen Kraft. Da aber die in (123') vorkommenden freien Mengen nicht an der Materie haften, ist die Theorie nicht ganz streng. Dorn²⁵) hat Korrektionen wegen der induzierten Momente angebracht.

Um das Feld eines symmetrisch um eine Achse magnetisierten Magneten (z. B. der Erde) außerhalb der Kugel, die ihn gerade umschließt, darzustellen, wählen wir seinen Mittelpunkt zum Ursprung eines Kugelkoordinatensystems, seine Achse zur Achse desselben. Ist R die Entfernung des Aufpunktes vom Ursprung, -fl der Winkel, den R mit der Polarachse bildet, so ist, da ip der Laplacesehen Gleichung im Außenraum genügt,

(124)

* - L 2 c^ms

n = 0

wo Pn die Kugelfunktion ntor Ordnung erster Art bedeutet.

Da die magnetische Verteilung in Punkten, die bezüglich der Ebene -fr = st/2 spiegelbildlich liegen, bis aufs Vorzeichen dieselbe sein soll, so fallen die geraden Indizes in (124) fort, es bleibt

(124')

2r + l *2 i+l

(cos #)    f),

wo die C gegebene Konstanten sind.

Um zu sehen, inwieweit dieser Magnet durch zwei punktförmige magnetische Mengen + m auf der Magnetachse im Abstande + i vom Mittelpunkt ersetzt werden kann, berechnen wir auch das Potential dieser Anordnung. Es ergibt sich

h z3,+1

_ß²h+i)

Die beiden ersten Glieder von (125) sind immer mit denen von (124') durch geeignete Wahl von m und l zur Deckung zu bringen, wenn man nämlich setzt

(125)

1 \ m "Vt

r7/    ~7t jLJ

(cos 9-).

G. Wiedemann, Ann. Phys. Chem. (2) 120 (1865), p. 8; v. Ettingshausen, Anu. Phys. Obern. (3) 17 (1882), p. 304; Wien Ber. (2) 96² (1887), p. 777; Eaton, Amu Phys. Chem. (3) 15 (1882), p. 225; Schuhmeister, Wien Ber. (2) 83² (1881), p. 46; S. Henrichsen, Ann. Phys. Chem. (3) 34 (1888), p. 180.

117) C. E. Gauß, Werke 5, Göttingen 1877, p. 79; Ostwalcls Klassiker

Kr. 53.

2 ml — Ct, 2mlz — Cs.

Nur wenn man sich auf die beiden ersten Glieder als Näherung beschränkt, sind Pole von bestimmter Lage und Stärke für den Magneten anzugeben. 6\ — m ist das (freie) magnetische Moment des Magneten¹¹⁸³).

Gauß nennt einen Punkt auf der Linie fr = 0 oder -fr = % in der ersten Hauptlage befindlich, in der Ebene fr = jt/2 in der zweiten Hauptlage befindlich.

Bildet der um eine vertikale Achse drehbare Magnet mit horizontaler Magnetachse den Winkel <p mit der Horizontalkomponente des gleichförmigen Feldes so ist nach (123') das Drehmoment

(126)

Die Direktionskraft - und damit j m j • ; $Qh j kann man durch Beobachtung der Schwingungsdauer des Magneten um seine Gleichgewichtslage bestimmen.

Durch die Ablenkungen eines kleinen Hilfsmagneten ergibt sich

ib — — ¹ nt ] • I ' • sin <jn.

m!

j-, so daß man nt und einzeln kennt¹¹⁹).

Vi

Bei der Behandlung der Theorie des Kompasses ist es notwendig, den von der Erdkraft in den Eisenteilen des Schiffes induzierten Magnetismus sowie den permanenten Magnetismus der Eisenmassen zu berücksichtigen. Nimmt man die Permeabilität des Eisens bei den schwachen in Betracht kommenden Feldstärken des Erdfeldes als konstant an, so überlagern sich die von den einzelnen Komponenten des Erdfeldes durch Induktion erzeugten Felder einfach. In der Theorie des Schiffsmagnetismus wählt man gewöhnlich die #-Achse in Richtung der Längsachse des Schiffes (positiv nach vom), die y-Achse nach Steuerbord (rechte Seite des Schiffes), die £-Achse kielwärts. Dann ist an der Stelle des Kompasses

(127)

X' = X + aX -f &r-f cZ+P, r= Y+dX + eY+fZ+Q,

Z = Z + gX+ hY+kZ+R.

X', Y', Z' sind die Komponenten der auf den Kompaß tatsächlich wirkenden Feldstärke, X, Y, Z die der ungestörten Stärke des Erdfeldes, wie es bei Abwesenheit des Schiffes vorhanden wäre; P, Q, B

118a) Vgl. E. Rieclce, Ann. Phys. Cliem. (2) 149 (1873), p. 62; (3) 8 (1879),

p. 299.

119) Ausführliches über die Theorie des Erdmagnetismus findet man bei E. Mascart, Traité de magnétisme terrestre, Paris 1900.

sind die durch den permanenten Magnetismus hervorgerufenen Feldstärken. Die Größen a,b,...k sind in jedem Schiffe Konstanten, die durch die Verteilung und durch die physikalische Beschaffenheit des weichen Eisens bestimmt sind. (127) ist die von Poisson¹*⁰) auf-gestellte Grundgleichung der Kompaßtheorie, aus ihr folgen alle für die Nautik wichtigen Beziehungen für die Kompaßabweichungen²⁶ 27).

Führt man in (127) die Horizontalintensität der tatsächlich vorhandenen Feldstärke, ein, nennt man Ç resp. £ den Kompaßkurs resp. magnetischen Kurs des Schiffes, d. h. die östliche Abweichung der Fahrtrichtung vom Norden der Kompaßrose resp. vom magnetischen Meridian und setzt man

t - r -

so daß ó die östliche Deviation der Nadel aus dem Meridian bedeutet, so gilt, wenn die Koeffizienten a bis k unendlich klein sind,

(128) Ö = 2t + «8 sin £' -f © cos £' + 2) sin 2 £' + @ cos 2 £'.

33 sin £' und (5 cos Ç wechseln, wenn der Kompaßkurs £' zwischen 0 und 2% variiert, je einmal das Zeichen, deshalb nennt man diese Glieder die semizirkulare Abweichung; © sin 2£' und © cos 2 £' wechseln dagegen zweimal das Zeichen, sie heißen die quadrantale Abweichung.

31, 2), © sind auf einem Schiffe Konstanten, während $8 und © mit dem Ort des Schiffes auf der Erde variieren, da sie Funktionen der magnetischen Inklination und Horizontalintensität sind.

P, Q und 11 werden durch permanente Magnete, a bis k durch weiche Eisenstäbe in der Nähe des Kompasses kompensiert²⁸).

29. Magnetische Doppelschichten²⁹). Für die Theorie der elektrischen Ströme ist eine besondere Art von Magneten wichtig: eine sehr dünne Schale, deren Flächenelemente dö heißen, von der Dicke h und der Permeabilität /ł, sei normal zur Schale magnetisiert. Die Magnetisierung sei 90V (129) heißt die Stärke der Schale. Im folgenden nehmen wir den für die Theorie der elektrischen Ströme einzig interessierenden Fall an, daß 0 für die ganze Fläche konstant ist.

Für die wechselseitige Energie der Doppelschicht (Stärke 0U Fläche ax) und eines beliebigen Feldes (Stärke §₂) folgt

(130)

58' ist durch (111) definiert.

Dieser Ausdruck ist nur von der Randkurve abhängig. Führt man die freie Magnetisierung    der Doppelschicht ein, so folgt

wegen (115' ) und (117)

(131)

da = 0r

4 7t '

wenn a der körperliche Winkel ist, unter dem die Doppelschicht vom Aufpunkte aus erscheint.

Aus (131) ergibt sich der konstante Sprung 0 des Potentials beim Durchschreiten der Doppelschicht.

Hat man zwei Doppelschichten 0L und 0₂, so ist

(132)

U — - <Wil2 = — <Vi₂l,

wo qx2 die Anzahl Erregungslinien sind, die die erste Doppelschicht, wenn 0X — 1 ist, durch ff₂ schickt. Eine für die Theorie der Ströme (wechselseitiger Induktionskoeffizient) wichtige Formel von F. Neumann ist

• dë₈)

(133)

*= Uit =

wo sx und s₂ die Kandkurven der Doppelschichten sind¹³⁴).

30. Kristalle. Die Anfänge einer theoretischen Behandlung rühren von Poisson™) her; als dann Pliickcr³⁰ 31 32) die experimentelle Grundlage geschaffen hatte, arbeitete W. Thomson³³) eine Theorie aus, die der in Nr. 21 gegebenen entspricht.

Nach der (109) entsprechenden Formel hat Stetiger³⁴) die Differenz der Permeabilitäten von Kristallen in verschiedenen Richtungen bestimmt.

Sehr viel komplizierter wird das Problem, wenn die Permeabilität g nicht mehr konstant, sondern von der Feldstärke abhängig ist, in den sogenannten ferromagnetischen Kristallen. Für die induzierte Magnetisierung macht Voigt³⁵) den Ansatz <134) wo die f Funktionen der Komponenten von § sind und zwar bei zentrisch-symmetrischen Kristallen gerade Funktionen; von diesen nehmen wir an, daß sie sich als Reihen darstellen lassen, die sich z. B. für das reguläre System wesentlich vereinfachen.

Es wird dann nämlich

<134') sy-©>-1 - W-hhr—•), w;=& (fi-1 - \ &*-**$■- *₈&⁴ - *4®,' $²-W--)•

Bei Berücksichtigung höherer Glieder findet also keine Isotropie mehr statt.

Auf Grund dieser Theorie, die Voigt auch auf nicht zentrisch-symmetrische Kristalle mit drei einander gleichwertigen aufeinander senkrechten zweizähligen Achsen erweitert, wird die Influenz in Ellip-soiden berechnet zur Diskussion der Versuche von Weiß129a).

31. Ferromagnetische Körper. Bei ferromagnetischen Körpern ist g Funktion von |§ . Von diesem Ansatz aus hat Cohn³⁶) die Theorie entwickelt. Aus den Grundgleichungen der Maxwell'sehen Theorie folgt, daß

4' »

<135)

Für das magnetostatische Feld bleiben Ia' und IIa besteben. Da aber p — f( j § j ) ist, so sind die Gleichungen nicht mehr linear, die Superposition zweier Felder findet folgt für die Spannungen

nicht mehr statt. Aus (135)

(136)

s.-?•&-/((*$ •<*$).

«

■ d$)> f>

/    • d§),

r = «ô² —

»,

= X = fi#.#,,

d. h. auf eine zu § senkrechte Fläche wirkt der normale Zug

— / (u^p • nf^p) — f (ÏQ ' c/u£)). und auf jede zu parallele Fläche-o    o

y

ein normaler Druck /(g£) • cü^)). Die Hauptspannungen sind also nicht mehr numerisch gleich.

Die Kraft auf die Volumeinheit ist (⁹⁴i)

Hier sind die Differentiationen von u bei örtlich konstant gedachtem Q vorzunehmen.

an-

32. Hysterese. Ist die Induktion 33 nicht durch den augenblicklichen Wert von § gegeben, sondern sind frühere Werte von mit maßgebend, so wird, wenn ,*p und 33 einen Zyklus von Werten genommen haben, die Energiemenge¹³¹)

(137) pro Volumeneinheit als Hysterese wärme abgegeben. Hier bedeutet ( / j, wie in der Thermodynamik üblich, das über den durchlaufenen Zyklus erstreckte Integral. Diese Größe ist immer positiv, da wachsenden £) kleinere 33 entsprechen als abnehmenden. Eingehend können wir die Hysterese nicht behandeln, einerseits da sie aus dem Rahmen der Statik, dann aber auch, weil sie aus dem der Maxwell'sehen Theorie^ herausfällt. (137) ist die einzige allgemein gültige Beziehung.

181) Warburg, Ami. Phys. Cbem, (8) 13 (1881), p. 14=0.

Man unterscheidet statische Hysterese, Wechselstromhysterese und Rotationshysterese ; bei ersterer ändert sich die Feldstärke nur sehr langsam, bei den beiden letzteren im allgemeinen schnell, und zwar bleibt bei der Wechselstromhysterese die Feldrichtung konstant, es variiert nur die Amplitude, während bei der rotierenden Hysterese die Stärke des Feldes konstant bleibt und nur die Richtung sich ändert. Literaturangaben und Kritisches findet man bei M. Wien¹³²), ein Referat über den Stand der Frage bei Warburg¹³³).

Weitere Ausführungen über Hysterese bringt der Art. Y 17 von H. du Bois.

132)    M. Wien, Ann. Phys. Chem. (3) 66 (1898), p. 859.

133)    E. Warburg, Rapports Congrès internat, de phys. 2, (Paris 1900), p. 509 und Phys. Zeitschr. 2 (1901), p. 367.

(Abgeschlossen im Oktober 1906.)

V 16. BEZIEHUNGEN ZWISCHEN ELEKTROSTATISCHEN UND MAGNETOSTATISCHEN ZU STAND SÄNDERUN GEN EINERSEITS UND ELASTISCHEN UND THERMISCHEN ANDERERSEITS.

Von

F. POCKELS

IN HEIDELBERG.

Inhaltsübersicht.

1.    Maxwellsches Spannungssystem im Dielektrikum.

2.    Bedeutung der Maxwellschen Spanuungeu für die Elektrostriktion.

3.    Spannungen, welche durch den Einfluß von Deformationen auf die dielektrischen Konstanten bedingt werden.

4.    Elektro striktion von Flüssigkeiten.

5.    Elektrostriktion isotroper fester Körper. Behandlung nach den Methoden der Elastizitätstheorie.

6.    Fortsetzung. Energetische Behandlung.

7.    Magnetostriktion.

8.    Piezoelektrizität und Elektrostriktion azentrischer Kristalle. Allgemeiner Ansatz.

9.    Spezialisierung für die einzelnen Kristallgruppen.

10.    Anwendung auf besondere Fälle.

11.    Polare Pyroelektrizität und reziproker Wärmeeffekt.

12.    Molekulartheorien der Pyro- und Piezoelektrizität.

13.    Zentrische Pyro- und Piezoelektrizität.

14.    Pyro- und Piëzomagnetisrnus.

Literatur.

W. Voigt, Kompendium der theoretischen Physik (Leipzig 1896), 2. Bd., 4. Teil, §§ 11—15 u. 20.

W. Voigt, Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle (Leipzig 1898), §§ 3 u. 6 und Zusätze Y—VII u. IX.

Winkelmanns Handbuch der Physik, 2. Aufl. (1905), Bd. 4, p. 162—168 (Elektrostriktion von L. Graetz) u. p. 766—793 (Pyro- u. Piezoelektrizität von F. Pockels); Bd. 5, p. 301—338 (Beziehungen des Magnetismus zur Mechanik von F. Auerbach).

G. Wiedemann, Die Lehre von der Elektrizität, 2. Aufl. (Leipzig 1894), Bd. 2 II Kap. 3. III Kap. 3, Bd. 3 B Kap. 7.

Th. Liebiseli, Physikalische Krystallographie (Leipzig 1891), Kap. 7 und 10.

F. PocJcels, Über die durch dielektrische und magnetische Polarisation hervorgerufenen Yolum- und Formänderungen (Elektrostriktion u. Magnetostriktion), Arch. Math. Phys. (2) 12 (1893), p. 57—95. (Historisch-kritische Übersicht.)

Wichtigste grössere Monographien über Teilgebiete :

P. Sacerdote, Recherches théoriques sur les déformations électriques des diélectriques solides isotropes. Paris, Thèses Nr. 1012. 1899. [Zitiert als Sacerdote, Thèse.]

an

W. Voigt, Allgemeine Theorie der piëzo- und pyroelektrischen Erscheinungen Kristallen, Göttingen, Abh. Ges. d. Wiss. 3G, 1890. [Voigt, Allg. Theorie.]

1. Maxwellsches Spannungssystem im Dielektrikum. Der zuerst von Faradoy ausgesprochenen Vorstellung, daß die scheinbaren Fernwirkungen zwischen elektrisch geladenen Körpern auf einen Spannungszustand im dielektrischen Zwischenmedium zurückzuführen seien, hat Maxicell*) einen exakten mathematischen Ausdruck gegeben, indem er zeigte, daß sich in der Tat ein Spannungssystem angeben läßt, welches die dem Coulombschen Gesetze entsprechenden ponderomotorischen Kräfte liefert und zugleich der Bedingung genügt, daß sich die Spannungen an jedem von elektrischer Ladung freien Volumelement eines homogenen Dielektrikums das Gleichgewicht halten, — einer Bedingung, ohne welche ein solcher Spannungszustand in einem flüssigen oder gasförmigen Medium gar nicht denkbar wäre. Jenes Spannungssystem besteht in einem isotropen Medium aus einem Zug parallel den elektrischen Kraftlinien und einem gleich grossen Druck in allen zu letzteren senkrechten Richtungen; das Maß für diesen Zug bezw. Druck ist Af®³⁷ 38, wrenn e die Dielektrizitätskonstante, (£ die elektrische Feldstärke in absolutem elektrostatischem Maße bezeichnet. (Vgl. H. A. Lorentz, Maxwellsche Theorie, V 13, Nr. 22.) Ein ganz analoges Spannungssystem ist den ponderomotorischen Kräften in einem magnetischen Felde äquivalent, soweit dieses nur isotrope, nicht ferromagnetische Körper ohne permanenten Magnetismus enthält.

Das allgemeinere Spannungssystem, welches in einem kristallinischen Medium (und mit Berücksichtigung der etwaigen Änderung der Dielektrizitätskonstante bezw. magnetischen Permeabilität durch Deformation des Mediums) anzunehmen ist, hat zuerst H. Hertz*) (für den Fall des magnetischen Feldes) aufgestellt; seine Ableitung ist in etwas modifizierter Weise in dem genannten Artikel Lorentz V 13, Nr. 23 wiedergegeben. Ein anderer Weg, den zuerst Hdmholtz⁸), dann Kirchhoff⁴) und Lorherg⁵) zur Berechnung der Spannungen in isotropen Körpern mit durch Deformationen veränderlicher Dielektrizitätskonstante eingeschlagen haben, führt in folgender Weise zu dem Spannungssystem in einem kristallinischen Dielektrikum.

Man berechne die durch beliebige, aber stetig verteilte virtuelle Verrückungen dt>;e, dby, â'og der materiellen Punkte des Dielektrikums erzeugte Variation der elektrischen Energie. Die letztere kann man, indem man zunächst alle etwa vorhandenen Unstetigkeitsflächen des Mediums durch stetige Ubergangsschichten und alle flächenhaften Ladungen durch dünne Schichten mit stetig variierender Baumdichte q ersetzt denkt, durch ein Raumintegral über den ganzen unendlichen Raum darstellen. Eine solche Form ist (vgl. Art. Gans über Elektrostatik und Magnetostatik V 15, Nr. 6) QcpdS, eine andere -V/(® • dS, wo (gemäß den im Art. Lorentz V 13 eingeführten Bezeichnungen) cp das elektrische Potenial, £) = (e)@ die elektrische Erregung ist. Für den vorliegenden Zweck ist es nun bequemer, nach dem Vorgänge von Hdmholtz (1. c.) den durch Kombination der beiden vorstehenden gebildeten Ausdruck

(i)

jw;ds =j {₉₉ -    • ®)} ds

zu benutzen, weil derselbe infolge der für cp geltenden Differentialgleichung

div (s) grad cp — — q

die Eigenschaft besitzt, bei einer beliebigen Variation des Potentials allein ungeändert zu bleiben, wenn man von einem elektrostatischen Gleichgeivichtszustande ausgeht. Man kann daher ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit bei der Berechnung von dW' das Potential cp von der Variation ausschließen, oder, mit anderen Worten, das Feld bei der Vornahme der virtuellen Verrückungen dt) als ungeändert bleibend ansehen. Die Variation von W' wird sich demgemäß aus drei Teilen zusammensetzen, die herrühren: 1) von der Veränderung der elektrischen Raumdichte, die ge-

3) Hdmholtz, Ann. Phys. Chem. 13 (1881), p. 385; Berlin Sitzungsber. 1881,

p. 191.

4)    Kirchhoff\ Berlin Sitzungsber. 1884, p. 137; Ann. Phys. Chem. 24 (1885), p. 52.

5)    H. Lorherg, Ann. Phys. Chem. 21 (1884), p. 300.

geben ist durch öq — — div pdt); 2) davon, daß an eine bestimmte Stelle x, y, z des Raumes und somit des als unverändert angenommenen Feldes ein anderes Massenelement gelangt, nämlich dasjenige, welches sich vorher am Orte x — d'ox, y— dö„, z— befand; 3) von den Veränderungen, welche die dielektrischen Konstanten shk (vgl. Art. Lorentz V 13, Nr. 8 und 22b) infolge der Verrückungen ö'ox, düÿ, dü, erleiden. Diese Änderungen dshk sind selbst von zweierlei Art. Erstens ändern sich nämlich die ehk durch die Drehung dr = rot (dö), welche das Massenelement infolge des Verrückungssystems erfährt, weil sie abhängig sind von der Orientierung des Koordinatensystems gegen die elektrischen Symmetrieachsen des Dielektrikums, d. h. gegen diejenigen Richtungen, in bezug auf welche sich die Koeffizienten thk der symmetrischen linearen Vektorfunktion ® = (f)@ auf £n, f₂₂, «3y reduzieren (vgl. Art. Abraham: Geometrische Grundbegriffe IV 14 Nr. 22); zweitens werden sie im allgemeinen auch durch die Deformation des Massenelements, welche mit dem Verrückungssystem verbunden ist, geändert werden. Diesen etwaigen Einfluss einer Deformation auf die Dielektrizitätskonstanten wollen wir jedoch vorerst von der Betrachtung ausschließen, und die Anteile der gesamten Spannungen, welche dadurch zunächst vernachlässigt werden, nachträglich (in Nr. 3) gesondert untersuchen. Dann sind diedfAi. also lediglich die durch unendlich kleine Drehungen Öix, ÖvtJ, dr, des Massenelements gegen die festen Koordinatenachsen bedingten Änderungen der shk, für welche man aus deren Transformationsformeln (cf. Art. Abraham IV 14, p. 42, 28) leicht findet:

== 2(«i₃dry — £₁₂dr,),

^£23 — (£22 - %)    - £12^ry H” £13^V>

dS üx    däüz

dz 8x

)’ 4t, —*(

Dabei bestimmen sich die Drehungskomponenten aus den Verrückungen gemäß den Formeln (vgl. Art. Abraham IV 14, Nr. IG): ddüz döt>y dy dz

dy )

Man erhält nun durch Zusammenfassung der genannten drei Variationen zunächst:

» jW;dS =J { - <p div (ęóO) + i (grad (g • î»r ,

+    2 - £33^r.E — £12^rÿ + f13^V) H----]} ^S,

Encyklop. d inath. Wissenscii. V 2.

oonst

• dü)

23

wo der Index y = const. bedeutet, daß sich die Differentiation nur auf die shk erstrecken soll. Indem man nun die Glieder, welche Differentialquotienten der Verrückungen als Faktoren enthalten, durch partielle Integration umformt, kann man die rechte Seite auf die

Form —J    -f-    -f- ^.ö\)z}dS bringen, wobei sich ergibt:

8,-»•.-Trat®-®),

= COUBt.

(3)

Nach dem Energieprinzip und dem Prinzip der virtuellen Verrückungen sind dann $y, die Komponenten der auf die Volumeinheit des Dielektrikums wirkenden Kraft. Ersetzt man hierin noch q durch div ® (gemäß Gl. VI' in V 13, Nr. 11), so kann man nach einfacher Umformung (wobei die Gleichung rot @ = 0 zu benutzen ist) schreiben

2 (®,®))

und die Komponenten der auf die Volumeinheit des Dielektrikums wirkenden ponderomotorischen Kraft sind somit in der Form gewonnen:

dAZ

(4)

er _ i ÖAy i _^

"y — dx + ’Jy + ~dJ’

dc de d°z

+ Jy + Tz>

dx

wobei gilt

(5)

' 4.-=K®.®.-«,®,-®.®,).-Ą = ł(®f®, - ®.®. - ®,®„), a = 4(8,æ, - e.æ, - e,®,). B.-c,- K®,®. + ®.®,)> c*=-A = ł(®,®, 4- ®»®,),

. A,== ł(®«®, + ®,®„)-

Diese Darstellung gestattet aber die Deutung, daß die resultierende ponderomotorische Kraft von einem Spannungszustand des Dielektrikums herrühre, dessen 0 Komponenten — in der nach

Kirchhoff üblichen Weise bezeichnet³⁹) (vgl. IY 14, Nr. 19) die vorstehenden Größen Ax, ... Bs, ... sind, welche nur von dein Felde und den dielektrischen Konstanten des Mediums an der betrachteten Stelle abhängen, wie es der Vorstellung der Feldwirkung entspricht. — Für isotrope Medien, wo    wird, gehen obige

Ausdrücke über in

¹

   Vgl. das magnetische Analogon bei W. Thomson, Reprint Art. 670.

²

   Ygl. Cohn, Elm. Feld, p. 85. Wichtig ist, daß in (100) @ nur in S bekannt zu sein braucht.

³

a) J. Curie, Ann. chim. phys. (6) 17 (1889), p. 385 bestimmte Dielektrizitätskonstanten von Kristallen, indem er senkrecht zu den Hauptachsen geschnittene Kristallplatten zwischen die Belegungen eines Kondensators brachte.

88)    L. Boltzmann, Wien. Ber. 70* (1874), p. 342. Ilomich u. Nowak, ibid. p. 380.

⁴

a) B. Fellinger, Ann. Phys. (4) 7 (1902), p. 333 bestimmt aus dem Drehmoment von Kristallellipsoiden im homogenen Felde Dielektrizitätskonstanten; die Methode ist der in Anm. 81) erwähnten analog. Ebenso Borei, Diss. Grénève 1893.

⁵

89)    Siehe die Literaturzusammenstellung bei L. Graetz, Winkelmanns Handbuch d. Physik 4¹, p. 157.

⁶

90)    Maxwell, Treatise 1, Art. 328.

⁷

91)    W. Schaufelberger, Ann. Phys. Chem. (3) 67 (1899), p. 307 ; F. Beaulard, Éclairage électrique 37 (1903), p. 404.

⁸

R) P. Duhem, De l’aimantation par influence, Diss. Paris 1888, verwendet die thermodynamischen Prinzipien.

⁹

   Somigliana, Rend, del r. Ist. Lomb. (2) 36 (1903).

¹⁰

   T.Boggio, ibid. (2) 37 (1904), p. 123; Nuovo Cim. (5) 11 (1906), p. 1

¹¹

   (t. Giuliani, Nuovo Ciin. (3) 11 (1882).

¹²

   C. Neumann, Hydrodynamische Untersuchungen p. 282, Leipzig (1883 vgl. auch JR. A. Herman, Quaterly J. of Math. 22 (1887), p. 204.

¹³

   T. Boggio, Rend, del r. Ist. Lomb. (2) 37 (1904), p. 405.

¹⁴

   A. Beer, Einleitung in die Elektrostatik, die Lehre vom Magnetismus und die Elektrodynamik. Braunschweig 1865, p. 155.

¹⁵

   C. Neumann, Untersuchungen über das log. und Neivtonsche Potential, Leipzig 1877.

¹⁶

   L. Weber, Zur magnetischen Induktion, Kiel 1877; Arch. Math. Phys

¹⁷

61 (1877), p. 286.

¹⁸

   E. Eiecke, Ann. Phys. Chem. (3) 13 (1881), p. 465; man beachte die Konvergenzfragen.

¹⁹

   A. Wassmuth, Ann. Phys. Chem. (3) 51 (1894), p. 367.

112a) A. Korn, München Ber. 31 (1902), p. 435.

²⁰

   Vgl. G. Kirchhoff, Vorlesungen 3, p. 160.

²¹

   G. Quincke, Ann. Phys. Chem. (3) 24 (1885), p. 347 ; H. du Bois, Ann. Phys. Chem. (3) 35, (1888), p. 137.

²²

   E. Cohn, Elm. Feld, p. 209.

²³

   H. A. Kowland, Americ. Joum. of science and arts (3) 9 (1873), p. 357;

²⁴

H. A. Kowland und W. Jacques, Joum. of science and arts (3) 18 (1879), p. 360;

²⁵

Dorn, Ann. Phys. Chem. (3) 35 (1888), p. 270.

²⁶

   Poisson, Mém. de l’inst. 5 (1824), p. 533; 16 (1838), p. 479.

²⁷

   Eingehend behandelt von F. J. Evans und A. Smith, Admiralty manuał for the déviations of the compass (7. Aufl.), London 1901; s. auch C. H. Wind, Magneetkracht en electriciteit, Leiden 1903, p. 381—396 und Anm. 119; E. JRottok, Die Deviationstheorie und ihre Anwendung in der Praxis (2. Aufl.), Berlin 1903, p. 43; Der Kompaß an Bord, herausgeg. v. d. deutschen Seewarte (2. Aufl.), Hamburg 1906; Lehrbuch der Navigation, herausgeg. vom Reichsmarineamt (2- Aufl.) 1, Berlin 1906, p. 53.

²⁸

   Wegen der Lage der Eisenstäbe vgl. die Rechnungen bei Maxwell, Treatise 2, Art. 441 und die Abbildungen bei Wind (Anm. 121).

²⁹

   Vgl. Potentialtheorie Art. Burkhardt-Meyer, Il A 7 b, Nr. 6.

³⁰

   Ygl. Femwirkung Art. R. Reiff und A. Sommerfeld, V 12, Nr. 5.

³¹

   Poisson, Mém. de l’acad. 5 (1821), p. 247, 488; 6 (1823), p. 441; Aun. Phys. Chem. (2) 1 (1824), p. 301; 3 (1825), p. 429.

³²

   J. Plücker, Ann. Phys. Chem. (2) 72 (1847), p. 315.

³³

   W. Thomson, Phil. Mag. (4) 1 (1851), p. 177; Reprint Art. 004. Man vgl. auch A.Becr, Einleitung in die Elektrostatik, Braunschweig 1865, p. 221; P. Duhem, Anin. 101“) ; W. Voigt, Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Kry stalle, Leipzig 1898.

³⁴

   F. Stenger, Ann. PhyB. Chem. (3) 20 (1883), p. 304; 35 (1888), p. 331.

³⁵

   W. Voigt, Gött. Nachr. 1900, p. 331; 1903, p. 17; Phys. Zeitschr. 4 (1903), p. 136; siehe auch S. Sano, Phys. Zeitschr. 4 (1903), p. 8; Wallerant, Paris C. R. 133 (1901), p. 630.

129°) P.Weiß, Paris C. R. 138 (1904), p. 35; 140 (1905), p. 1532 und p. 1587; J. de phys. (3) 5 (1895), p. 435; (4) 3 (1904), p. 194; 4 (1905), p. 469). In diesen Arbeiten finden sich auch thermodynamische Betrachtungen über die Magnetisierung von Kristallen.

³⁶

   E. Cohn, Elm. Feld, p. 510.

³⁷

   Maxwell, Treatise 1, § 105—111.

³⁸

   H. Hertz, Ann. Phys. Cliem. 41 (1890), p. 389.

³⁹

   Wir weichen hier, um mit der Lorentzschen Darstellung in V 13 Nr. 23 und V 15 Nr. 89 in Übereinstimmung zu bleiben, von der Kirchhoffschen Bezeichnung allerdings hinsichtlich des Vorzeichens ab, indem wir einen Zug, nicht einen Druck, positiv rechnen.

(5') das sind aber (wie man sofort erkennt, wenn man eine Koordinatenachse parallel der Feldrichtung legt) in der Tat die Komponenten eines Zuges (S² parallel den Kraftlinien und eines gleichgroßen Druckes senkrecht zu denselben, also des für diesen Fall von Maxwell abgeleiteten Spannungssystems¹). Die Gleichung (3) reduziert sich hier auf

(3')

3f = so© - W- grad woraus ersichtlich ist, daß auf das Innere eines homogenen isotropen Dielektrikums, sofern es keine wahre Ladung trägt, keine pondero-motorische Kraft wirkt.

Es möge noch hervorgehoben werden, daß die vorstehende vollständige Zurückführung der ponderomotorischen Kräfte auf ein System von Spannungen keineswegs notwendig ist, um die Erscheinungen der Elektro-striktion, d. h. der Deformation dielektrischer Körper im elektrischen Felde, zu erklären, und daß also auch nicht aus diesen Erscheinungen auf die Existenz der Maxwellschen Spannungen geschlossen werden kann. Nach der Fernewirkungstheorie würden die ponderomotorischen Kräfte (3) zum einen Teil herrühren von den nach dem Coulomb sehen Gesetz auf die wahren und die influenzierten oder scheinbaren elektrischen Ladungen ausgeübten Fernewirkungen, zum anderen Teil aber ebenfalls von Spannungen, die jedoch nur im ponderabcln Dielek-

23*

trihum vorhanden wären²). Diese letzteren Spannungen werden aus den unter (5) angegebenen erhalten, indem man von denselben diejenigen Spannungen subtrahiert, welche nach der Feldwirkungstheorie in dem gleichen Felde im freien Äther anzunehmen wären und aus den Ausdrücken (5) durch Gleichsetzung von 2) mit (5 hervorgehen. Speziell in isotropen Medien sind also die auch nach der Fernewirkungstheorie im ponderabelen Dielektrikum wirkenden Spannungen gegeben durch

Beispielsweise folgt aus (4) und (5), daß auf die zu den Kraftlinien senkrechte Grenzfläche zweier verschiedener Dielektrika (unterschieden durch die Indizes x und ₂) der Druck wirkt. Derselbe ist nach der Feldwirkungstheorie die Differenz der

Drucke — ^ Giq² und--y-@₂², nach der Fernewirkungstheorie da-

gegen setzt er sich zusammen aus der Differenz der Drucke

2

2 ¹

und — t> ¹ ©₂² und aus der durch    -f- ®₂)(®2 — ®i) gegebenen

Coulombschen Fern Wirkung auf die an der Grenzfläche influenzierte Belegung von der Dichte (Gs₂ — (Sq). Ist die Grenzfläche der Dielektrika dagegen den Kraftlinien parallel, so trägt sie keine influenzierte Ladung, und in der Tat wird dann die Differenz der beiderseitigen Drucke dieselbe, sei es, daß man diese nach (5') oder (6) berechnet, wTeil das Feld dann auf beiden Seiten der Grenzfläche übereinstimmt.

2. Die Bedeutung der Maxwellschen Spannungen für die Elektrostriktion. Wenn es nun auch für die Wirkungen der pon-deromotorischen Kräfte gleichgültig ist, ob man dieselben ganz oder nur teilweise auf Spannungen der Dielektrika zurückführt, so hat die erstere Auffassung doch den Vorzug der Einheitlichkeit und grösseren Einfachheit und soll daher im folgenden zugrunde gelegt werden.

Die Einführung des den ponderomotorischen Kräften äquivalenten Spannungssystems erweist sich besonders zweckmäßig zur Berechnung der Oberflächendrucke, welche sich ergeben, wenn man die bisher vorausgesetzten stetigen Übergangsschichten unendlich düuu werden,

also in Diskontinuitätsflächen (Trennungsflächen verschiedener Dielektrika oder eines Dielektrikums und eines Konduktors) übergehen läßt. Denn die Komponenten der auf die Flächeneinheit der Grenze zwischen einem Medium (1) und einem anderen (2) wirkenden Kraft sind einfach gegeben durch

W3L, = -Ä.-^,, 3

Vl12

— — .B, — B, , g. ---C„ — 0

i’i’

wo nt,n₂ die äußeren Normalen für die beiden Medien bedeuten, und An usw. sich in bekannter Weise durch die Ax, ... A ausdrücken, z. B. An — Ax cos (n, x) -(- A cos («, y) -f- Az cos (n, z) ist. Bei der Berechnung der Ax, ... ist zu berücksichtigen, daß die tangentialen Komponenten der elektrischen Feldstärke, und für Grenzflächen, die keine wahre Ladung besitzen, auch die normalen der elektrischen Erregung beiderseits übereinstimmen. Ist das angrenzende Medium ein Konduktor, so sind dort Ax,... Ay sämtlich Null zu setzen, und da die Kraftlinien die Konduktoroberfläche senkrecht treffen, so wirkt auf dieselbe die volle Spannung parallel den Kraftlinien, d. i. in einem isotropen Dielektrikum ~ ©², als normaler Zug. Aber auch an Grenzflächen zweier isotroper Dielektrika, die keine wahre Flächenladung besitzen, ist der resultierende Oberflächendruck stets normal gerichtet, auch wenn die Kraftlinien die Grenzfläche schiefwinklig treffen. Denn legt man die #-Achse in die Normale nx der Oberfläche des Mediums (1), und berücksichtigt, daß dann    = e₃®Ti und

= ©^, ©^ = ©2j ist, so erhält man aus (5'):

(.4., +    - aXi = (ąs + Li äjj)

■ 0')

K + K = o, c%+c„, = o,

d. h. es wirkt auf die Grenzfläche ein normaler Druck von vorstehendem Betrage, und zwar ist derselbe von (1) gegen (2) hin gerichtet, wenn % > f₂ ist.

Aus diesem Oberflächendruck erklären sich die bekannten Bewegungs-tendenzeu ungeladener dielektrischer Körper im elektrischen Felde (vgl. Art. Gans über Elektrostatik V 15, Nr. 18, 19). Außer diesen resultierenden Kräften und Drehungsmomenten wird aber ein solcher Körper im allgemeinen Deformationen erleiden, und diese sind es, mit denen wir es im vorliegenden Abschnitt allein zu tun haben. Um dieselben zu bestimmen, hat man die durch (4) und (7) gegebenen Volum- und Oberflächenkräfte 5 bezw. elektrischen Ursprungs als äußere Einwirkungen

in die Bedingungen des elastischen Gleichgewichts einzusetzen; dies ergibt, falls andere äußere Kräfte fehlen, für jeden Punkt im Innern die Gleichungen:

dXx dX

(8)

dx

dy

und für jede Stelle der Grenzfläche zweier Medien (1), (2):

(9)

Xni +    ;

worin die Xx)... Xnf ... die elastischen Spannungen bedeuten (über das Vorzeichen vgl. Anm. 6, S. 355).

Man könnte versucht sein, diese Gleichungen einfach durch die

Annahme

■Xi • • -1

; Yz = -Bs,...

zu lösen, also die Deformationen, die wir nach Kirclihoff mit xx1 ... yn ... bezeichnen, aus den durch (5) gegebenen Ax, ..B... gemäß den Formeln

— Xx = 'hl Ar + S12 Ą + S13^z 4- hi A + hÆ + ht; A,

zu berechnen, wo die shk die bei Auflösung der Grundgleichungen der Elastizitätstheorie (Gl. (49) in dem Art. Abraham IV 14) nach den Deformationskomponenten auftretenden Koeffizienten sind. Diese Annahme, welche bedeuten würde, daß die Maxwellschen Spannungen in jedem Volumelement des Dielektrikums durch entgegengesetzt gleiche elastische Spannungen kompensiert würden, ist aber, von ganz speziellen Fällen abgesehen, deshalb nicht zulässig, weil die so berechneten Deformationskomponenten xx,... y₂,... im allgemeinen nicht denjenigen 6 Bedingungsgleichungen (Gl. (33) im Abrahamschen Art. IV 14, Nr. 18) genügen würden, welche zwischen ihnen zufolge ihrer Definition (ebenda IV 14 (32)) durch die ersten Differentialquotienten der Verrückungen t)₂ nach x, y, z stets bestehen müssen; auch würden die ihnen entsprechenden öT, üy, ü. meist mit gewissen für die Oberfläche des Dielektrikums zu stellenden Bedingungen (Befestigungsbedingungen) unvereinbar sein. Für Flüssigkeiten ist die Unzulässigkeit der Annahme Xx — — Ax usw. ohne weiteres klar, da in solchen im Gleichgewichtszustände keine anderen Spannungen elastischen Ursprungs, als ein allseitig gleicher Druck, bestehen können, insbesondere also nicht solche, die das Maxwellsche Spannungssystem kompensieren würden.

Noch verkehrter wäre es, die Deformationen gemäß den linearen Grundgleichungen der Elastizitätstheorie aus den Maxwellschen Spannungen Ax)... selbst (statt aus — Ax, ...) zu berechnen. Obgleich dies selbstverständlich ist, da ja die Maxwellschen Spannungen nicht elastischen, sondern elektrischen Ursprungs sind, so scheint ein Hinweis auf dieses mögliche Mißverständnis doch angebracht, da dasselbe bisweilen zu Einwänden gegen die Zulässigkeit der Maxwellschen Anschauung von der Feldwirkung Anlaß gegeben hat⁹).

3. Spannungen, welche durch die Veränderlichkeit der dielektrischen Konstanten bedingt werden. Wie zuerst Helmholtz¹⁹) für Flüssigkeiten, dann Kirchhof/'¹¹) für isotrope feste Körper gezeigt hat, bedürfen die Maxwellschen Spannungen einer Ergänzung, wenn die dielektrischen Konstanten des Mediums sich durch Deformationen desselben ändern würden. Daß eine solche Veränderlichkeit des dielektrischen Verhaltens bei allen ponderabeln Körpern existieren wird, ist in hohem Grade wahrscheinlich; für einige Substanzen ist sie auch durch direkte Versuche nachgewiesen worden¹²).

Man kann nun die Änderungen der dielektrischen Konstanten jedenfalls in erster Annäherung den Deformationskomponenten proportional setzen und demgemäß die 36 Differentialquotienten

^Xx

d £a

dl±i =

12? •

• • dxy

(10)

dxx

- ^21 ?

26 ?

o±it

ï>X.r

OJis

61 ?

da:,,

als neue individuelle Konstanten des Dielektrikums einführen. Bei einem asymmetrischen Kristall sind dieselben sämtlich voneinander unabhängig (insbesondere brauchen, im Gegensatz zum System der Elasti zitätskonstanten, die Konstanten mit vertauschten Indizes nicht einander gleich zu sein). Besitzt das Medium Symmetrieeigenschaften, so verringert sich die Zahl der unabhängigen d

hkt

und zwar ordnen sich

9)    So z. B. ancheinend bei H. Poincaré, Electricité et optique, 1, chap. IV. Maxwell selbst warnte ausdrücklich vor diesem Mißverständnis (Treatise 1, § 110).

10)    Berlin Sitzungsber. 1881, p. 191.

11)    Berlin Sitzungsber. 1884, p. 187.

12)    So für Kautschuk von O. M. Corbino und F. Cannizzo (Rom Line. Rend. (5) 7* (1898), p. 286) und A. Lampa (Wiener Anz. 1902, p. 223), für Glas voi\ Corbino (N. Cim. (4) 4 (1896), p. 240) und A. Wüllner u. M. Wien (Ann. Phys. 11) (1903), p. 619), für Ebonit von U. Panichi (N. Cim. (4) 8 (1898), p. 89).

die 32 kristallographischen Symmetrieklassen nach dem System dieser Konstanten in 9 verschiedene Gruppen¹⁸). Für isotrope Körper wird

di2 d₂₁ — 0₁₃ — ô₈₁ — Ö

27

= <*32 - à

- ^55 - ^66 - ^2)7

während alle übrigen dhk verschwinden; von den beiden übrigbleibenden Konstanten d1} d.₂ bestimmt die erstere die Änderung der Dielektrizitätskonstante durch eine Dilatation parallel den Kraftlinien, die letztere diejenige durch eine Dilatation senkrecht zu den Kraftlinien.

Berücksichtigt man nun unter Benutzung von (10) bei der in Nr. 1 angegebenen Berechnung von dWe' die Veränderung der ebk durch die mit den virtuellen Verrückungen öö verbundenen Deformationen und formt die dadurch neu auftretenden Glieder, wie

a#»„

00»,

dy

usw., durch partielle Inte-

gration um, so kommen zu den ponderomotoriscken Kräften %x, $ } Anteile hinzu, welche von vornherein die Form haben

»£, i    ,    ?£.    '

dx ' dy ' dz ’ dx

dz ’ dx ' dy ' dz ’

also als von Spannungen herrührend erscheinen. Für diese die Maxwellschen ergänzenden Spannungen ergeben sich dabei nachstehende Werte³ 4):

A = -ł {J« ©./ + a*®; + 0«®.* + 2d₄₁@yą + 2ó₅₁ąą

+ 2 0.1 «A ) ,

dy

(H)

- mA² + 024©; + 084©/ + 2dM©yą

+ 20*®,®.+ 2dM®A)r

sie sind also, wie die Maxwellschen Spannungen, homogene quadratische Funktionen der Feldkomponenten. Für isotrope feste Körper nehmen sie nach dem oben über die äik gesagten die einfachere Form an:

(U')

Bz = ry = i(d₂

bestehen also aus einem Druck    in der Richtung der Kraft

linien und einem solchen ^-d₂(£² senkrecht zu diesen, oder anders ausgedrückt, in einem allseitig gleichen Drude 4 ó₂(£² und einem Zug parallel den Kraftlinien von der Größe -\{ß₂ — dx)(S². Im Gegensatz zu dem Maxivellschen ergibt dieses Spannungssystem auch für das Innere eines homogenen isotropen Dielektrikums eine resultierende Volumkraft, nämlich

(12)

3' = — ł(tfi + si) grad (®!)

und liefert zu den Oberflächen drucken Beiträge, welche im allgemeinen nicht senkrecht zur Oberfläche stehen, und deren X-Komponente ist:

(13)

§;=cos («, X) +

4. Elektrostriktion von Flüssigkeiten. Da in Flüssigkeiten irgendwelche Verrückungen der Teilchen die physikalischen Eigenschaften nur vermöge der mit ihnen verbundenen Dichteänderung

beeinflussen können, so wird d₂ = dj = wo — xx -j- yy -|- z₉ die

kubische Dilatation bezeichnet; somit erhält man statt der Gl. (11'), wenn der Index an d₂ = d) fortgelassen wird,

(11")

=    ß. = r, = 4 = o.

Die Ergänzungsspannungen bestehen hier also einfach in einem allseitig gleichen Drucke p — 4-d(S². Mit dieser, dem Quadrat der Feldstärke proportionalen Kraft strebt also die Flüssigkeit sich auszudehnen, bezw. falls d negativ ist⁵), sich zu kontrahieren. Ist nun das Gesamtvolum der Flüssigkeit keiner Beschränkung durch einschließende Wände unterworfen, so wird tatsächlich an jeder Stelle der Flüssigkeit die jenem Expansions- bezw. Kontraktionsbestreben entsprechende Volumänderung, nämlich

(14)

wo C der Kompressionsmodul ist, eintreteu. Diese Yolumänderung ist dann die einzige Wirkung der Ergänzungsspannungen, insbesondere liefern dieselben keinen Beitrag zu den Oberflächendrucken, da sie eben an jeder Stelle durch die obiger Dilatation entsprechende elastische Spannung kompensiert werden.

Die Versuche, welche angestellt worden sind, um die in Rede stehende Yolumänderung von Flüssigkeiten im elektrischen Felde nachzuweisen, haben infolge störender Nebenwirkungen bisher nicht zu sicheren Resultaten geführt⁶). Für Gase läßt sich die zu erwartende Druck- bezw. Volumänderung im voraus nach Sinn und Größe angeben⁷); denn bei ihnen ist erfahrungsmäßig s — 1 proportional der Dichte⁸), woraus für d der W’ert —(s — 1) folgt. Ist das Gas in einem Gefäß eingeschlossen, so muß also im elektrischen Felde sein Druck eine Verminderung vom Betrage — 1)@² erfahren. Eine solche Druckverminderung, welche mit der so berechneten der Größenordnung nach übereinstimmt, ist an Luft und Kohlensäure auch experimentell nachgewiesen worden⁹).

5. Elektrostriktion isotroper fester Körper. Ihre Behandlung nach den Methoden der Elastizitätstheorie. Für die Vergleichung der Theorie mit Beobachtungen bezw. die Bestimmung der Konstanten di, d₂ kommen praktisch nur solche Fälle in Betracht, wo das Dielektrikum die (relativ zu ihrer Flächenausdehnung dünne) isolierende Zwischenschicht eines Kondensators bildet, da nur bei dieser Anordnung die Feldstärke im Dielektrikum groß genug gemacht werden kann, um meßbare Deformationen hervorzubringen. Der weitaus größte Teil der Oberfläche des Dielektrikums wird dann von den Kraftlinien des elektrischen Feldes senkrecht durchsetzt, erleidet also — auch bei Berücksichtigung der Ergänzungsspannungen — nur einen senkrechten Druck oder Zug. Dabei sind die Fälle zu unterscheiden, ob die leitenden „Belegungen“ des Kondensators dem testen Dielektrikum direkt anliegen oder von demselben durch Luftoder Flüssigkeitsschichten getrennt sind. Im ersten Falle erleiden die in Rede stehenden Oberflächen des Dielektrikums den Druck

-f- d^®², wo beidemal @ die Feldstärke

©², im zweiten, wenn s die Dielektrizitätskonstante der flüssigen oder gasförmigen Zwischenschicht ist, zufolge Gl. (7') und dem in Nr. 4 Gesagten den Zug * (~~~ * '

innerhalb des festen Dielektrikums unmittelbar an seiner Oberfläche bedeutet. Dazu kommt noch die durch (12) gegebene Kraft auf das Innere des Dielektrikums, die nur im Falle eines ebenflächigen Kondensators (wo das Feld homogen ist) verschwindet. Es entsteht nun die Aufgabe, aus den so gegebenen Oberflächen- und Volumkräften die Spannungen und Deformationen im Innern des Dielektrikums zu berechnen, eine Aufgabe, welche rein elastizitätstheoretischer Natur ist. Streng gelöst ist dieselbe nur für den Hohlkugel- und unendlich langen Zylinderkondensator¹⁰). Für ersteren möge die Lösung hier für den Fall unmittelbar anliegender Belegungen mitgeteilt werden.

Sind r;, ra die Radien der inneren und äußeren Belegung, rpiy rp/f deren Potentiale, so ist die Feldstärke

^^11 r*    '

ri ra

folglich nach (12) die auf das Innere der dielektrischen Kugelschale wirkende Volumkraft :

(15)

CT-

?Vr ⁼⁼ (di + d₂) —5 ;

außerdem wirkt, wie aus (5') und (11') folgt, auf die innere bezw. äußere Begrenzung der normale, gegen das Dielektrikum hin gerichtete Druck :

(16)

i--*

Sa = łO -    ■

V ’

Aus den allgemeinen elastischen Gleichgewichtsbedingungen eines isotropen Körpers:

dXr dx„ dX,    a©.

— Tx + Ty + W ⁼    ^

folgt im vorliegenden halle, wo nach Symmetrie nur radiale Verrückungen ör = q vorhanden sind, welche gleich

d U(r)

dr

gesetzt werden

Gr2

und der analogen für r — ra zu bestimmen sind. Diese Berechnung vereinfacht sich erheblich in dem (wie oben gesagt) praktisch allein wichtigen Falle, daß ra — r. sehr klein gegen ri ist. Dann kann man in genügender Näherung setzen und erhält:

3T^2^*    + ‘2Ô*)’

(- f + ^2 - <?l) •

7i = —

^+3lc!r¹

4r² Lrv

(17) c>— %+^{\Är + 7*~

worin A, B Integrationskonstanten bezeichnen, die aus der Ober-fläehenbedingung für r — ri

3r/

■]}.

X -f 2 u \ 3

\rdr j

ri

r/

können,

oder, da hier # — — -4- — und somit AU =    4-

⁷    dr ¹ r    ar*    ¹

2 dU r dr

— &■ ist,.

1 d(rsç) r² dr

rdr •

rt

Durch nochmalige Integration ergibt sich nun:

oder nach Einsetzen von aus (15):

1 + 2 ft C2 12 u r₍.

Führt man statt der Konstanten Â und /r den Elastizitätsmodul fi (2 ft -f- 3 X)

fi -f- X

und das Verhältnis der Querkontraktion zur Längs-

ein, und berücksichtigt, daß in der 9t ~ 9a

dilatation

wird, wo d die Dicke

jetzt eingehaltenen Annäherung der Kugelschale bezeichnet, so findet man für die relative Zunahme

fles inneren Radius sehießlich²¹):

à⁸

t—*

Of

h-*-

und für die Dilatation des Dielektrikums in radialer Richtung:

¹

   Für den allgemeinen Fall, daß die Erregung nicht in die Feldrichtung lallt, hat Maxwell ein Spannungssystem angegeben (Treatise 2, § 641, 642), welches von dem obigen darin abweicht, daß nicht Bz — Cy, Cx —Az, Ay = Br ist. Diese Abweichung kommt daher, daß Maxwell diejenigen Anteile der Spannungen nicht berücksichtigt hat, welche infolge des Zusammenhanges des Mediums aus den auf die Yolumelemente ausgeübten Drehungsmomenten [3) • resultieren. (Vgl. auch V 13, Nr. 23, S. 110.)

²

Es ist wohl zu beachten, daß man durch Einführung der scheinbaren elektrischen Ladungen wohl dem Einfluß des Dielektrikums auf das Feld voll -ständig Rechnung tragen kann, aber die ponderomotorischen Kräfte nur insoweit richtig erhält, als es sich um ihre Gesamtwirkungen auf starre Körper handelt.

³

   Die Spezialisierung des Konstantensystems dhJc für die einzelnen Kristall-klassen findet sich z. B. in Voigts Kompendium d. theoret. Physik 1, p. 143—144. Sie ist genau dieselbe, wie für die Konstanten der inneren Reibung (vgl. ibid. 2,. p. 136) oder für dasjenige Konstantensystem, welches die Änderungen des optischen Verhaltens durch Deformationen charakterisiert (vgl. F. Pockels. Ann. Phys. Chem. 39 (1889), p. 152, 158).

⁴

   Die allgemeinen Ergänzungsspannungen, jedoch für das magnetische Feld und ausgedrückt durch die Komponenten der Erregung statt durch diejenigen des Feldes, hat zuerst H. Hertz aufgestellt (Ann. Phys. Chem. 41 (1890), p. 398,)

⁵

Dieser Fall ist der wahrscheinlichere, sowohl aus theoretischen Gründen, als nach Analogie mit der z. B. von W. Cassie (Phil. Trans. 1890, p. 1), D. Negreano (Paris C.K. 114 (1892), p. 345), F.Ratz (Zeitschr.phys.Chem. 19 (1896), p. 94), R. Abegg (Ann. Phys. Chem. 60, p. 54; 62, p. 256 (1897)) beobachteten Abnahme der Dielektrizitätskonstante durch Temperaturerhöhung.

⁶

   Dagegen will 1). Hurmuzescu (Arch. sc. phys. nat. Genève 4 (1897), p. 481) an Eisensalzlösungen im magnetischen Felde eine Kontraktion beobachtet haben.

⁷

   1). J. Korteiveg, Ann. Phys. Chem. 9 (1880), p. 59 ; G. Lippmann, Ann. vhim. phys. (5) 24 (1881), p. 159.

⁸

   Die analoge Annahme macht G. T. Walker (Aberration and other Problems connected with the electromagnetic field, Cambridge 1900) für dio magnetische Permeabilität von Flüssigkeiten auf Grund molekulartheoretischer Überlegungen. Er meint eine Bestätigung derselben in gewissen Beobachtungen Quinckes zu finden, welche aber in Wirklichkeit nur die Wirkung des Oberflächendruckes zeigen, also nach dem oben gesagten keinen Schluß auf die Konstante ô gestatten.

⁹

   2?. Gans, Habilitationsschrift Tübingen 1903.

¹⁰

G. Kirchhof}Ann. Phys. Chem. 24 (1885), p. 70; P. Sacerdote, Journ. de phys. (3) 8 (1899), p. 464; Thèse, p. 14.

(18)

(£),— Çt-rÿéW¹ + 2v) “⁴* + ²M->

in allen tangentialen Richtungen ist die Dilatation durch ^ gegeben. Aus der der Beobachtung¹) leicht zugänglichen Vergrößerung des inneren Volumens: 4titr*Qi könnte man hiernach eine Kombination der Konstanten und d₂ berechnen; indessen sind die vorliegenden Messungen an Kugelkondensatoren zu einer solchen Berechnung nicht verwertbar, teils weil sie durch Nebenwirkungen (wie Leitfähigkeit des als Dielektrikum verwendeten Glases) zu stark beeinflußt sind, teils wegen der Unsicherheit der Kenntnis vom elastischen Verhalten der benutzten Glaskugeln.

Es ist hervorzuheben, daß die Näherungsausdrücke (17') und (18) die tangentiale und transversale Dilatation des Dielektrikums nicht nur im Falle eines /fw^eflcondensators geben, sondern überhaupt für jeden geschlossenen Kondensator von sehr geringer, konstanter Dicke mit direkt anliegenden Belegungen Gültigkeit besitzen²). In der Tat ergeben sich jene Ausdrücke (18) und (17') für die Dilatationen direkt aus dem auf ein scheibenförmiges Element des Dielektrikums

21) Diese Näherungsformel ist schon vor Kirchhoff'a Arbeit durch eine speziellere Betrachtung von D. J. Korteweg abgeleitet (Ann. Phys. Chem. 9 (1880), p. 48).

wirkenden Druck |(« — dj)©² parallel und Zug Ą(s -f- d₂)©² senkrecht zu den Kraftlinien, sofern sich jedes solche Element unabhängig von den angrenzenden entsprechend deformieren kann; das ist aber bei konstanter Dicke der dielektrischen Schale ersichtlich der Fall, da dann die angegebene Dilatation in tangentialer Richtung überall die gleiche ist. Demnach wird die Formel (17') auch angewendet werden dürfen, um die relative Änderung des Durchmessers und der Länge eines sehr dünnwandigen, an den Enden irgendwie geschlossenen Zylinderkondensators zu berechnen, dessen innere und äußere Ober-tiäche in ihrer ganzen Ausdehnung mit Belegungen versehen sind. Für einen solchen Kondensator muß demnach zwischen den relativen Änderungen der Länge l und des inneren Volumens v die Beziehung bestehen (19) woraus ersichtlich ist, daß die Messungen der Volum- und Längenänderung zur gesonderten Bestimmung der Konstanten d\ und ö₂ nicht ausreichen, da sie beide nur die Kombination (1 — v)â₂ — väx liefern, welche die Änderung der Dielektrizitätskonstante durch einseitigen Zug senkrecht zu den Kraftlinien bestimmt. Zur Ermittelung von und d₂ selbst müßte etwa noch die (durch Gl. (18) bestimmte) Dickenänderung gemessen werden, wie es von Gantone versucht worden ist²'¹).

Fraglich kann es erscheinen, ob vorstehendes Resultat auch noch für Zylinderkondensatoren gilt, deren Belegungen nicht die ganze Oberfläche bedecken, und die an einem oder beiden Enden offen sind, wie sie bei vielen Beobachtungen angewandt wurden. Hier würde die strenge Berücksichtigung der Verhältnisse an den Rändern der Belegungen auf große analytische Schwierigkeiten führen.

6. Fortsetzung. Energetische Behandlung. In Fällen wie der zuletzt erwähnte verdient die zuerst von Lippmann und Korteweg³ 4), neuerdings systematisch von Sncerdote (in seiner These) auf Probleme der Elektrostriktion angewandte energetische Behandlungsmethode den Vorzug, welche auf die vollständige Lösung des elastischen Problems verzichtet und nur auf die angenäherte Berechnung gewisser direkt beobachtbarer Gesamtänderungen (z. B. derjenigen des inneren oder

Es sei e die Ladung, cp das Potential der einen Belegung, während die andere auf dem Potential Null erhalten wird; ferner q der auf den Zylinderkondensator ausgeübte äußere longitudinale Zug, dl dessen ganze Längenänderung. Unter Voraussetzung konstant gehaltener Temperatur kann der Zustand des Kondensators als eine Funktion der beideii unabhängigen Variabein cp und q angesehen werden. Die zur Erzielung einer Ladungs- und Längenänderung aufzuwendende Arbeit ist

äußeren Volumens oder der Länge des Kondensators) ausgellt. Als Beispiel für diese Methode sei hier die Berechnung der Längenänderung eines Zylinderkondensators mit anhaftenden Belegungen mitgeteilt.

dA = cpde -f- qdl — cp dcp -f ~ dqj -f- q dcp -f-

= (<p§~ -f + (<pĘ- + s$j)de-

Nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik muß die rechte Seite ein vollständiges Differential sein; die Bedingung hierfür ist:

(20)

dl

de

Ccp dq

oder, wenn man die Kapazität K = — einführt:

⁽f

(20')

di

cK

dcp dq

In erster Annäherung kann rJ^ jedenfalls als unabhängig von cp

angesehen werden; dann ergibt sich die durch die Ladung des Kondensators auf die Potentialdifferenz cp hervorgebrachte Längenänderung:

₉ d K

ÏVJÏ’

(21)

Öl= ¹

Nun ist, wenn Ï die Länge des belegten Teiles des Kondensators bezeichnet, in großer Annäherung (nämlich bei Vernachlässigung der

ijfl's

„Streuung“ der Kraftlinien): K —

log-®

und da ~ bei der Dehnung

des Hohlzylinders durch einseitigen Zug ungeändert bleibt, so folgt hieraus

1 dK_ l ^ i ¹

K Tï~ T dq + T dq

oder bei Einführung des Elastizitätsmodulus E und der S. 360 definierten Konstanten Ö1} d₂:

dK

(22')

dq

= JTgO + 0><1 — v> — Siv)’ und durch Einsetzen dieses Wertes in (21) erhält man

(23)

368 V 16. F. Pockels. Elektro- u. Magnetostriktion, Pyro- u. Piezoelektrizität usvir. 1 dK _

K dą — En(ra‘-r,')

Bei sehr geringer Wanddicke ra —    — d des Zylinderkondensators

somit nach (22):

(22)

ist nun K —

dg (1 — v) — v

T ⁼ (t) ‘ Yë(e + **(1 — v) ~ div)-

Man sieht, daß in dem Falle, wo die Belegungen des Kondensators sich nahezu über die ganze Länge des Zylinders erstrecken, dieses Resultat mit demjenigen übereinstimmt, welches nach dem S. 365 besprochenen Sacerdotesehen Satze aus Gl. (17') für einen beliebig gestalteten, geschlossenen, dünnwandigen Kondensator folgt. Die vorstehende Ableitung läßt aber erkennen, daß es für die Gültigkeit dieses Resultates bei nicht geschlossenen Zylinderkondensatoren wesentlich ist, daß die Belegungen an der Dilatation der dielektrischen Zwischenschicht teilnehmen, also auch für tangentiale Inanspruchnahme an derselben haften. Diese Bedingung war nun bei den meisten Beobachtungen an offenen Zylinderkondensatoren in der Tat erfüllt, und daher wurde auch, wenn die Volum- und Längenänderung gleichzeitig gemessen wurden, die Relation (19) gut bestätigt gefunden ⁵).

Für eine weitergehende Prüfung der Theorie kommen nur die Beobachtungen von Wüllner und M. Wien in Betracht, welche an einer Reihe zylindrischer Glaskondensatoren sowohl die Volumänderung durch Elektrostriktion, als auch die Kapazitätsänderung durch longitudinalen Zug bestimmt haben⁶). Aus beiden Bestimmungen läßt sich nach dem S. 366 und 368 gesagten, wenn noch E und e durch besondere Beobachtungen ermittelt sind, die Konstantenkombination d₂(l — v) — ötv ableiten, und es wurden für dieselbe auf beiden Wegen negative Werte von der gleichen Größenordnung gefunden, wodurch also die Theorie der Elektrostriktion bis zu einem gewissen Grade bestätigt wird. Die entgegengesetzten Resultate von Cantom und Sozzani⁷), welche aus Messungen der Längenänderung von Glas-

Zylinderkondensatoren für obige Größe positive Werte (entsprechend einer Zunahme der Dielektrizitätskonstante durch Zug senkrecht zu den Kraftlinien) fanden, dürften sich durch tatsächlich verschiedenes Verhalten verschiedener Glassorten erklären, welches auch schon aus den sehr verschiedenen numerischen Werten von (d₂(l— v) — hervorgeht, die Wüllner und Wien für verschiedene Glassorten erhielten.

7. Magnetostriktion. Die ponderomotorischen Kräfte, welche im magnetischen Felde § auftreten, lassen sich für Körper, deren magnetische Permeabilität g als unabhängig von der Feldstärke angesehen werden kann, in völlig analoger Weise ableiten und auf Spannungen zurückführen, wie es für die Kräfte im elektrischen Felde oben in Nr. 1 und 3 durchgeführt worden ist. In einem homogenen isotropen Körper liefern jene Spannungen die zu (12) analoge Volumkraft

%xX und 7t₂X die Änderungen von u

wo

— ł(«i + **) ^ (&²)> durch die Dilatation X parallel bezw. senkrecht zu den Kraftlinien bestimmen. Ferner erleidet die Oberfläche des Körpers, wenn er von Luft oder einer isotropen Flüssigkeit umgeben ist, deren Permeabilität gleich 1 gesetzt werden kann, zufolge (7') und (13) pro Flächeneinheit die Kraftkomponenten:

(24)

5, = ^ I + O - Oft.’ )cos (»>x)

wo ^ die Feldstärke innerhalb des betrachteten Körpers an seiner Oberfläche, n deren äußere Normale bedeutet.

Die Bestimmung der Deformation, welche diese Kräfte hervorbringen, hat Kirchhoff⁸) für den Fall einer Kugel, die in ein homogenes Magnetfeld gebracht wird, vollständig durchgeführt. Dieser Fall ist deshalb besonders einfach zu behandeln, weil das Magnetfeld innerhalb der Kugel homogen ist, nämlich

$-

3 H°

s-t-e’

wenn H° die Intensität des ursprünglichen homogenen Feldes ist, in welches die Kugel hineingebraclit wurde. Daher fallen die Volumkräfte fort, und bei Zugrundelegung eines Koordinatensystems, dessen

24

X-Achse parallel der Feldrichtnng und dessen Nullpunkt der Kugel-mittelpunkt ist, werden die Oberflächenkräfte nach (24):

ä ₌ (1H°Ÿ {(fl-¹),⁸ (IV 1 Jflni+fli ü)

(25)

\2 —{— fi,/ 1    2    \BJ '    2    ED

er ₌ /8g°V

\2 + fi/ 1    2 Rs

«    —¹ +    _ÿ \

"f"    2    B J '

JR bedeutet den Kugelradius. ^ ist analog zu gebildet. Nach den Gleichungen der Elastizitätstheorie ergeben sich hieraus für die Verrückungen irgend eines in der XE-Ebene liegenden Punktes der Kugel Ausdrücke von der Form

[öj x³ -j- b₁ ylx -f- cx R²x\

fl — 1 -f 9t,

' 2

+ W*f +

(26)

/35°y j(g-i)⁸

U+W \~t~

+ “■    <hy    \y\

wo ax, bx, cx, ax, bx, cx, a₂, aa, b₃ gewisse Verbindungen der Elastizitätskonstanten bezeichnen. Kirchhoff wendet diese Ausdrücke an, um die Deformation einer Eisenkugel im homogenen Magnetfelde zu berechnen, wobei er annimmt, daß die beiden letzten Glieder in der Klammer gegen das erste, mit (g — l)² proportionale, zu vernachlässigen seien. Abgesehen von der Bedenklichkeit dieser Vernachlässigung (da direkte Beobachtungen beim Eisen auf sehr große Werte von nx und ;r₂ schließen lassen) ist aber diese Anwendung der vorstehenden Formeln schon deshalb nicht statthaft, weil die bei ihrer Ableitung (analog zu der in Nr. 1 und 3 gegebenen für die Elektrostriktion) vorausgesetzte Darstellung der Energie bei „ferromagnetischen“ Körpern nicht gilt⁹). Denn bei solchen ist die magnetische Energie der Volumeinheit nach der Maxwellschen Theorie wegen der Abhängigkeit der Permeabilität g von nicht durch    gegeben, sondern

durch¹⁰):

Nr. 31.

SS

H' =

" m

/($<*») = ($»)-/(»<*$)■

Ü    0

Daraus folgen für die Maxwellschen Spannungen in einem ferromagnetischen Medium ohne Hystérésis an Stelle der analog zu gebildeten die nachstehenden Ausdrücke⁸¹):

(&')

(27)

und für die durch die Abhängigkeit des magnetischen Verhaltens von Deformationen bedingten Spannungen³²):

(28) K)m =

wo die Dilferentiationen bei konstant gehaltenem auszuführen sind. — Im Falle eines isotropen Mediums nehmen diese Ausdrücke die Form*) an:

(27')

(28')

(A)m = PL* —Jp§d§

0

9

= +f$xd (#*&) —J^yd^y +

0    0

(Ą)„ = (c,), =

S>

W» = — /Wl    + 5*2    + &<*&)}

0

W- = (r,)„-    +VW.

o

wo

,u und jTj, jr₂ Funktionen von | j sind.

32) & Ämo, Phys. Ztschr. 3 (1902), p. 401; F. Koläcek, Ann. Phys. 13 (1904), p. 1^ B. Gans, ibid. p. 634.

*) Ebenso wie wir statt {$£>$) kürzer schreiben, werden wir    statt

schreiben.

372 V 16. F. PocJcels. Elektro- u. Magaetostriktion, Pyro- u. Piezoelektrizität usw. Insgesamt wirkt hiernach, parallel den Kraftlinien der Zug:

(29) und senkrecht zu den Kraftlinien der Druck: (30)

Der mit Rücksicht auf die Beobachtungen wichtigste Spezialfall der Magnetostriktion ist die Längen- und Volumänderung eines dünnen Stabes oder Drahtes, der in ein homogenes Magnetfeld mit seiner Längsrichtung parallel zu dessen Kraftlinien hineingebracht wird. (Dieser Fall kann am einfachsten dadurch realisiert werden, daß man den Stab in der Achse eines langen Solenoids aufstellt, durch das man einen galvanischen Strom leitet.)

Die strenge Lösung dieses Problems, bei welcher auf die Gestalt der Stabenden und den davon mit abhängigen Kraftlinien verlauf daselbst Rücksicht zu nehmen wäre, ist noch nicht gegeben. Eine annähernde Behandlung hat Kolacek⁸²) in der Weise durchgeführt, daß er dem Stabe die Gestalt eines sehr gestreckten Rotationsellipsoids zuschreibt. Will man nur die, der Beobachtung allein zugängliche, gesamte Längen- und Volumänderung berechnen, — worauf sich schließlich auch Kolacek beschränkt —, so braucht man indessen gar keine spezielle Annahme über die Gestalt der Stabenden zu machen, sofern nur die Querdimensionen des Stabes sehr klein gegen seine Länge sind. Dann wird nämlich das Magnetfeld durch die Anwesenheit des Stabes nur auf einem relativ kleinen Teil seiner Länge merklich modifiziert und zwar in der Weise, als wenn bei unveränderter Permeabilität des von dem Stabe eingenommenen Raumes an den Stabenden zwei Pole von der Stärke (u — 1 )H°f angebracht wären, wo H₀ die ursprüngliche Feldstärke und f der Stabquerschnitt ist. Daraus folgt, daß die Dilatation des Stabes sich bestimmt aus einem longitudinalen äußeren Zug der gleich ist der Differenz der mit der ursprünglichen Feldstärke berechneten Werte von q im Luftraum und im Stabe, vermehrt um die vom Felde H° auf die fingierten magnetischen Pole ausgeübten Kraft pro Querschnittseinheit, sowie aus einem radialen Zug$r auf die Mantelfläche gleich der Differenz der Werte von p innerhalb und außerhalb des Stabes. Man findet in dieser Weise

H°

8, =f(j> 0

ohne den Einfluß von Deformationen auf g würde also eine allseitig

âv    dl .

gleiche Dilatation des Stabes resultieren und — = 3 • -j sein. Die

Beobachtungen haben gezeigt, daß diese Beziehung keineswegs besteht, und daß die Glieder mit Jtt, jr₂ sogar von überwiegendem Einiluß sind. Die Ausdrücke für die relative Längen- und Volumänderung, die sich aus obigem ^ und $r nach der Elastizitätstheorie berechnen, kann man folgendermaßen schreiben:

(32)

_ & — 2 vj$r _

l ' È

Öl

n°    h°

j (ß 1)$^© 4“

o    o

ii°

n°

e: -    - qw +An+² Id «<**>

0 0

wobei ql} qr einen longitudinalen bezw. radialen äußeren Zug bedeutet, und vorausgesetzt ist, daß die Elastizitätskonstanten nicht merklich

1_2p

von Q abhängen (andernfalls müßte —^— mit unter das Integralzeichen gesetzt werden). Diese Formeln sind identisch mit denen, die Kolâcék a. a. 0. für einen Stab von sehr gestreckt ellipsoidischer Form gefunden hat. Sie lassen sich übrigens auch durch eine rein energetische Behandlungsweise des Problems ableiten¹¹ 12 13). Dieselbe ergibt z. B. zwischen der .gesamten Längenänderung eines beliebig gestalteten Stabes im Magnetfelde einerseits und der Änderung seines gesamten longitudinalen magnetischen Momentes M durch einen gleichgerichteten Zug vom Gesamtbeträge Q andererseits die Beziehung:

di

. (33)

_ dM dH°~ dQ’

woraus dann für einen dünnen zylindrischen Stab als Näherung die erste Gleichung (32) folgt. Ebenso ergibt diese Methode für die Änderung des Gesamtvolums durch die Magnetisierung und des magnetischen Moments durch allseitigen Druck P unmittelbar die Relation:

(34)

dv

dM

dH⁰    dp

welche auf (32²) führt. Auch die Torsion eines longitudinal magnetisierten Drahtes läßt sich analog behandeln; es gilt, wenn T das Torsionsmoment, x der Torsionswinkel ist:

Der experimentellen Prüfung⁸⁴) sind diese Formeln, welche die beobachtbaren Gesamtwirkungen zueinander in Beziehung setzen, natürlich leichter zugänglich, als diejenigen der vollständigen Theorie.

Auf die überaus zahlreichen Beobachtungen über Magnetostriktion ferromagnetischer Metalle und über den Einfluß elastischer Deformationen auf die Magnetisierung kann hier nicht eingegangen werden; es sei dafür z. B. auf die Darstellung von F. Auerbach in Winkelmanns Handbuch der Physik, 2. Aufl., Bd. V, p. 301, verwiesen.

8. Piezoelektrizität und Elektrostriktion azentriseher Kristalle. Allgemeiner Ansatz. An Turmalin, Quarz und einer Anzahl anderer Substanzen, deren Kristalle durch das Fehlen eines Zentrums der Symmetrie ausgezeichnet sind, wurde zuerst von J. und P. Curie¹³) die Erscheinung der sog. Piezoelektrizität, d. h. der Erregung elektrischer Momente durch äußeren Druck, beobachtet. Eine allgemeine mathematische Theorie dieser Erscheinungen entwickelte W. Voigt in der eingangs zitierten Abhandlung, indem er die Annahme zu Grunde legte, daß die an irgend einer Stelle des Kristalles erregten elektrischen Momente lineare Funktionen der Deformationskomponenten sind⁸⁶), deren Form der krystallographischen Symmetrie entspricht. Lippmann zeigte für einen speziellen Fall auf Grund des Energieprinzips, daß die Piezoelektrizität das Auftreten von Deformationen im elektrischen Felde zur Folge haben muß, welche sich mit der Feldrichtung umkehren⁸⁷). Die allgemeinen Gesetze dieser Deformationen wurden dann von F. Pockéls¹⁴) unter Zugrundelegung der Forschen Theorie abgeleitet. ¹⁵ 16

84) Eine solche ist neuerdings in weitem Umfange ausgeführt worden von K. Honda und T. Terada (Phys. Zeitschr. 7 (1906), p. 465).

35) J. und P. Curie, Paris C. R. 91 (1880), p. 294, 383. Die Bezeichnung Piëzoelektrizitât stammt von W. Hankei (Abh. d. k. sächs. Ges. d. Wiss. 12 (1881), p. 462).

(35)

dr

dM

dIP df'

Beide Arten von Erscheinungen, die piezoelektrischen und die eben erwähnten reziproken, lassen sich in ihrem Zusammenhänge am besten darstellen, indem man die freie Energie der Yolumeinheit (oo) eines gleichzeitig homogenen Drucken und einem homogenen elektrischen Felde ausgesetzten, nichtleitenden Kristalles bei konstanter Temperatur als Funktion der sechs Deformationskomponenten xx, . . . yz, . . . und der elektrischen Feldkomponenten &x,    betrachtet¹⁴ 17). Die Entwicklung

von a nach Potenzen dieser Größen beginnt mit Gliedern, welche in den xx,. . . yz, . . . quadratisch sind und zusammen die elastische potentielle Energie % darstellen, und solchen, die in den    quadra

tisch sind und der zur Hervorbringung der elektrischen Momente der Volumeinheit (oder Polarisationen, vgl. den Art. H. A. Lorentz über Maxwellsche Theorie V 13 Nr. 13) s$x, ^ bei verschwindender Deformation aufzuwendenden Arbeit i(t entsprechen. Zufolge der Grund-aimahme der Elastizitätstheorie ist

X =    + cnxxyy H-----b c₁₆xxx₉

+ \C^Vy + * ' ‘ + C26VyXy

4-

Ferner gilt

(37)    4. = -*{(«„- l)gxs + (4-l)®f! + (4- 1)®.*

+ ²4®„®. +

da die bei Influenzierung der    geleistete Arbeit allgemein

durch — j\?ßxd&x -J- tyyd&y -f- $ß.d@₂) gegeben ist*) und folglich

d%’

md - (4 -1) + 4®, + 4«. -

sein muß; hierin bedeuten die e'hk die Dielektrizitätskonstanten bei verschwindender Deformation und sind mit den gewöhnlichen ehk also

Deformationen geschlossen werden, da erstere den letzteren zwar qualitativ, aber nicht quantitativ entsprechen; vgl. F. Pockels, Göttingen Abh. Ges. d. Wiss. 39 (1894).

nur dann identisch, wenn die elektrische Erregung nicht von Deformationen begleitet ist.

Bei Kristallen ohne Symmetriezentrum, bei denen eine Umkehrung aller drei Koordinatenrichtungen mit einer Änderung des Ausdruckes für die Energie verbunden sein kann, wird der letztere nun auch Produkte der xx} ... yt, ... und Ç£xf    enthalten

können. Indem man die höheren Glieder der Entwicklung, z. B. diejenigen von der Form

-ł { ^x(ßl\Xx 4-----b ^iexy) 4-----b    -j-----b ^46**) 4----1 f welche die in Nr. 3 d. Art. behandelten Erscheinungen geben würden, vernachlässigt, um die für azentrische Kristalle charakteristischen Vorgänge für sich zu betrachten, erhält man demnach folgenden Ansatz:

W = l 4- t &x(eUXx 4" enlf,j 4" ei3Zz 4~    4~ ei'^x 4“ eU>Xy)

(38)

— ®v(e2ixx -f- • • • 4- • * • 4- e2iyz 4" • • • 4- • • •)

Da allgemein —

3 co

dco

3o)

T%’ aas.

die gesamten elektrischen Mo-

mente ^x,    ferner

d(o

3 co

ty/'

• die gesamten inneren

Spannungen Sx>...} Hz,. . . sind, so folgt, wenn man noch die bei verschwindenden Deformationen influenzierten Momente mit (^y)d, (s^-)rf und die bei verschwindendem elektrischen Feld auftretenden (rein elastischen) Spannungen mit Xx, . . ., Yz, . . . bezeichnet,

^ = ($*)<* 4“ enXx 4-    enVy 4~    ^13gz 4- e\Sz    4“ ei5^    4-    eiaxy,

(39) ą, == ($y)d + enxx 4-    • ’ * 4"    • * ‘ 4- e2iVz    4- * • •    4-    • ' •    }

= ($*)<* + e3i Xx 4~    • • • 4-    • * • 4- euVz    4- ■••    +    •••    ;

8x = Xx-(en<Zx + en®y + e₅₁®s),

(40)

Hz= Yz

(eU®.r 4" e2i 4" e34®*)>

Das erste Gleichungssystem bildet die Grundlage der Forschen Theorie der Piezoelektrizität. Es ist dazu zu bemerken, daß die ersten Glieder der rechten Seite, welche die influenzierten Momente darstellen, im allgemeinen auch dann nicht verschwinden, wenn auf den Kristall nur mechanisch eingewirkt wird; denn im allgemeinen erfährt jedes Volumelement dann elektrische Einwirkungen von allen übrigen (Selbst-influenzierung des Kristalls), welche sich erst berechnen lassen, wenn die Form des Kristallstückes und die ganze Versuchsanordnung gegeben ist.

Bezeichnet man, wie in der Elastizitätstheorie üblich, mit chk bzw. shk die elastischen Konstanten, welche als Koeffizienten in den linearen Ausdrücken der elastischen Spannungen durch die Deformationen bzw. in den Ausdrücken der Deformationen durch die Spannungen auf-treten, wobei

6

2k)ckkshk = 1

ist, so folgt aus den Gleichungen (40)

Xx ⁼    + ⁽hl + d21 % + d31 ®

(41)

Vz — Vz + ^14 H“ ®z + ^34 ®

WO

dkk

(42)

gesetzt ist, und . . ., rjz, . . . ebenso aus den gesamten Spannungen S!x,. . . abgeleitet sind, wie xx, . . ., y., . . . aus den rein elastischen

also:

• •)

X,,.

(43)

~h ^yS12 + ' • • ~t" ^yS16-

Es bedeuten %xf. . .,    mithin die Deformationen, welche durch die

Spannungen Sx, ... bei fehlender elektrischer Einwirkung hervorgerufen würden, xx — |T,..., y, — yz,... dagegen diejenigen, welche bei fehlender mechanischer Einwirkung lediglich durch ein elektrisches Feld erzeugt werden, vorausgesetzt, daß sich die so bestimmten Deformationen jedes Volumelementes ungehindert durch die benachbarten her-stellen können (was freilich nur in besonderen Fällen, z. B. bei homogenem elektrischen Felde, zutrifft).

Ferner erhält man aus den Formeln (39) durch Einsetzen von (41) und Berücksichtigung von (43):

% = (&). + (« + daH, + duZ, + dull, + dls Z, + dleS,)

(44)    = (^Pj). + (d«nSx +•••+•••+ duH. + •••+■•■)

'P; — (¥.). +    +■■■+••■+    +•••+■••))

darin ist

WJ. = («<* +    + %£dlhe2h + ®,Zdlhe3h

==    — ¹ + £dlhelh) -f-    («J₂ + Zdlhe2h)

H~ (fl3 + ~dlhe3 h)

und bedeutet das bei verschwindenden Spannungen influenzierte Moment parallel der X-Achse. Aus vorstehender Gleichung und den analogen für ($ß )Ä, ($ß,)s ist zugleich der Unterschied zwischen den Dielektrizitätskonstanten £hk bei verschwindender Deformation und denjenigen ehk bei verschwindenden Spannungen (den Dielektrizitätskonstanten im gewöhnlichen Sinne) ersichtlich ; praktisch kommt dieser Unterschied wegen der Kleinheit der Produkte der Größen d und e in den bisher bekannten Fällen allerdings nicht in Betracht.

9. Spezialisierung für die einzelnen Kristallgruppen. Die allgemeinen Ausdrücke (39) oder (44) für die Komponenten des elektrischen Moments, welche 18 dem Kristall eigentümliche Konstanten¹⁸ 19) (die „piezoelektrischen Konstanten“ ehk bzw. „piezoelektrischen Moduln“ dhk nach Voigts Bezeichnung) enthalten, erfahren eine mehr oder weniger beträchtliche Vereinfachung, wenn der Kristall Symmetrieeigenschaften besitzt und das Koordinatensystem diesen entsprechend gewählt wird; denn es ergeben sich dann aus der Forderung, daß die skalare Funktion cj beim Übergang zu einem kristallo-graphisch gleichwertigen Koordinatensystem gleiche Koeffizienten behalten muß, eine Anzahl von Bedingungsgleichungen zwischen den Konstanten ehk bzw. dhk.iV) Das Vorhandensein eines Zentrums der Symmetrie schließt die hier betrachtete piezoelektrische Erregung überhaupt aus, da iß als polarer Vektor (vgl. Artikel Abraham über geometrische Grundbegriffe IV 14, Nr. 21) bei Umkehrung aller Koordinatenachsen sein Vorzeichen wechselt, die Deformationsoder Spannungskomponenten aber dabei unverändert bleiben. Nachstehende Zusammenstellung gibt für die azentrischen Kristallgruppen die spezielle Form der linearen Ausdrücke, welche nach dem Ansatz (44) die durch mechanische Einwirkung primär erregten elektrischen Momente ißx' = ^ — (iß*)* usw. als Funktionen der Spannungen darstellen. (Letztere werden in diesem Falle, nämlich bei verschwindendem elektrischen Feld, nach (40) mit den Xx,.

Ye, . . . identisch.) Jeder Kristallgruppe sind die Symbole der für sie wesentlichen Symmetrieelemente hinzugefügt, wobei Axn bzw. Sx” eine in die X-Richtung fallende w-zählige Symmetrieachse bzw. eine ebensolche Spiegeldrehungsachse, Ex eine zur X-Achse senkrechte Sym-

IV 14. m

9. Spezialisierung für die einzelnen Kristallgruppen.

379

metrieebene bezeichnet; aus diesen Symbolen ist zugleich die spezielle Wahl des Koordinatensystems in den einzelnen Fällen ersichtlich.

1.    Triklines System, Hemiëdrie. Allgemeine Gleichungen (44).

2.    Monoklines System, Hemiëdrie. Ez.

%J = dnXx + dn Yy + dl3Zz + duX₉,

= ^21 Xx + ^22    -f- dn Zt -f- ^₂₆ Xy ,

« + **Zm.

3.    MonoJdines System, Hemimorphie. AJ.

= df₁₄ Y₃ + d₁₅Zx,    = du Yz + dMZx,

W ⁼ d₃₁ Xx 4~ d3i Yy -f d₃₃Zz + d3&Xy.

4.    Rhombisches System, Hemiëdrie, A,²AJ.

= d»r” W = d»> */ - <4>•

5.    Desgl., Hemimorphie. AJEX.

^ = dlhz„,

W = f4l 4“ ^32 Yy 4“ ^33

Tetragonales System.

6.    Enantiomorphe Hemiëdrie. AJ AJ.

?/ = o.

^J = duYz, = - duz

7.    Hemimorphe Hemiëdrie. AJEX.

^ = dx,Zx, ^ = dVoYz, ^; = dz,(Xm+Yy) + d3iZBi

8.    Hemimorphe Tetartoëdrie. AJ. Superposition der Ausdrücke 6. und 7.

9.    Sphenoidische Hemiëdrie. SJAJ.

y;=.duY„ ; = duzt, sp;-dux,.

10.    Sphenoidische Tetartoëdrie. SJ.

⁼ du 4~ ^i5= — ^i5 Yz 4" duZx,

W =    - r.) + dxx„.

Rhomboëdrisches System.

11.    Enantiomorphe Hemiëdrie. A JAJ.

W = dn(xx-    + duY„ = ~dllz„-2dnxt, ąs/ =■ o

12.    Hemimorphe Hemiëdrie. AJEX.

?; = daZ,- 2ĄsXp, sp; = ĄS(Z? - X,),

$; = 4i(X«+ Tj + duZ.-

13.    Tetartoëdrie. AJ. Superposition der Ausdrücke 11. und 12.

Hexagonales System.

14.    Enantiomorpke Hemiëdrie. AfA². — Wie Gruppe (3.

15.    Hemimorpke Hemiëdrie. AfEx. — Wie Gruppe 7.

16.    Hemimorpke Tetartoëdrie. A,⁶. — Wie Gruppe 8.

17.    Hemiëdrie mit dreizäkliger Ackse. AfE.AJ.

$x' = dn(Xx-Yv), = — 2dnxy, $/ = 0.

18.    Tetartoëdrie mit dreizäkliger Ackse. AfEz.

- da(X, - Tt) - 2dtlX„, sp; = d,.₂ (X, - Y,) + 2dnX„,

Reguläres System.

19.    Hemimorpke Hemiëdrie. Sx² = Sy² — S² und

20.    Tetartoëdrie. A² = A² = A².

fJ = duYz, %; = duZx, «ß/ = duXy.

Für die enantiomorpke Hemiëdrie yersckwinden kier trotz Fehlens eines Zentrums der Symmetrie sämtlicke piëzoelektriscke Moduln.

Die linearen Ausdrücke, welclie nack (39) die durek gegebene Deformationen erregten Momente    usw. darstellen, speziali

sieren sick für die einzelnen Kristallgruppen in derselben Weise, wie die Ausdrücke (44), mit dem einzigen Unterschied, daß in den Fällen, wo die Z-Achse eine dreizählige Symmetrieachse ist, an Stelle von Xy nickt xy, sondern \xy zu setzen ist.

• ’T

10. Anwendung auf besondere Fälle. Die für die Beobachtung wichtigste Art piezoelektrischer Erregung ist diejenige durch die homogene d. h. im ganzen Kristall konstante Deformation, welche durch einseitigen Druck (ausgeübt auf die Endflächen eines prismatischen Kristallstücks) kervorgebracht wird. Hierauf können die Formeln (44) direkt Anwendung finden; denn hier sind ^x) .

47.,. .. unmittelbar gegeben, nämlich, wenn P die Größe des Druckes,. v\, vi> seine Richtungskosinus sind:

(46)

K. = — v²P, • • • Hz = — P-Um das piezoelektrische Verhalten eines Kristalls zu veranschaulichen, kann man die aus (44) und (46) für P = 1 und alle möglichen Druckrichtungen erhaltenen Momente als Vektoren von einem Punkte aus auftragen und die von deren Endpunkten erfüllte Oberfläche konstruieren. Diese „piezoelektrische Flächeu ist für spezielle Kristallgruppen (die hemimorphe Hemiëdrie des rhomboëdrischen und des regulären Systems) von E. Rieche²⁰) und W. VoigtiS), sodann

10. Anwendung auf besondere Fälle.

381

allgemein von F. Bi dl ingm a i er²¹ 22) untersucht worden. Letzterer zeigte, daß dieselbe in den meisten Fällen einem besonderen Typus der Steinerschen Fläche angehört. Sie ist vom 4. Grade und besitzt 3 Doppelgerade, die einen Punkt gemeinsam haben; sie verläuft ganz innerhalb des durch die Endpunkte der letzteren bestimmten Tetraeders, dessen Seitenflächen sie in Ellipsen berührt, und kann mit Hilfe des Doppelgeradenkreuzes in einfacher Weise konstruiert werden (vgl. § 12 der Bidlingmaierschen Dissertation). Das Doppelgeradenkreuz und das zugehörige Tetraeder muß der Symmetrie der Kristallgruppe entsprechen, und hierdurch ist die piezoelektrische Fläche für jede Gruppe (abgesehen von den noch willkürlich bleibenden Parametern) ihrer Natur nach angebbar. In den Gruppen des tetragonalen Systems mit Ausnahme derjenigen mit Spiegelachse, sowie in allen Gruppen des hexagonalen Systems, wo ein solches mit der Symmetrie verträgliches Tetraeder nicht möglich ist, entartet die piezoelektrische Fläche zu einem (in Bezug auf den Ausgangspunkt der Konstruktion exzentrischen) Rotationsellipsoid oder (wie z. B. bei der Gruppe 11, welcher der Quarz angehört) zu einer Kreisscheibe. In allen übrigen Fällen kann sie aus der regulären Steinerschen Fläche durch Dehnung, Drehung, Parallelverschiebung und Kollineation abgeleitet werden.

Es ist jedoch zu bemerken, daß die piezoelektrische Fläche für sich allein zur Charakteristik des piezoelektrischen Verhaltens bei einseitigem Druck nicht ausreicht, sondern daß noch die Zuordnung ihrer Punkte zu den die Druckrichtung repräsentierenden Punkten der Halbkugel hinzugefügt werden muß. In der Tat besitzt auch die allgemeinste, den symmetrielosen Kristallen zukommende piezoelektrische Fläche nur 15 Parameter, während die Anzahl der „piezoelektrischen Moduln“ dhk in diesem Falle 18 beträgt. Nur in höher symmetrischen Gruppen wird die Anzahl der Flächenkonstanten gleich derjenigen der Moduln.

Für die hemimorph-hemiëdrische und tetartoëdrische Gruppe des regulären Systems ist die Gleichung der Fläche, bezogen auf die hier den Würfelnormalen parallelen Doppelgeraden als Koordinatenachsen: (47)

und die Zuordnung ihrer Punkte zu durch die Proportion gegeben:

den Richtungskosinus von P ist

(48) woraus folgt, daß die beiden Ebenen, welche durch die Richtung von P einerseits, durch diejenige von iß andererseits und durch eine der Koordinatenachsen hindurch gelegt werden, mit einer der durch die letztere hindurchgehenden Koordinatenebenen komplementäre Winkel bilden. Liegt die Druckrichtung in einer Koordinatenebene, so fällt iß in die zu dieser senkrechte Symmetrieachse.

Eine andere geometrische Darstellung der piezoelektrischen Erregung durch einseitigen Druck hat W. Voigt angegeben²³). Sie beruht auf dem aus den Grundformeln (44) in Verbindung mit (46) leicht ersichtlichen Satze, daß der Druck P, welcher in beliebigen Richtungen wirken muß, um ein vorgeschriebenes Moment nach einer der 3 Koordinatenachsen zu erzeugen, durch das Quadrat des der Druckrichtung parallelen Radiusvektors je einer zentrischen Fläche 2. Grades gegeben wird, deren Gestalt und Lage durch die piezo

elektrischen Moduln vollständig bestimmt ist, während ihre absoluten Lineardimensionen der Quadratwurzel aus dem vorgeschriebenen Moment ißx — (iß*), bzw. ißy — ($y), oder ißc — (ißj, proportional sind. Diese 3 Flächen zweiten Grades, deren jede durch 6 Parameter bestimmt ist

sind ausreichend zur vollständigen Charakterisierung des piezoelektrischen Verhaltens. Man kann z. B. durch Aufsuchung der Schnittpunkte dreier solcher Flächen diejenigen Drucke nach Größe und Richtung bestimmen, welche ein vorgeschriebenes Gesamtmoment

erzeugen.

Dieselben Flächen 2. Grades können auch zur Veranschaulichung des reziproken Phänomens dienen; die reziproken Quadrate ihrer Radienvektoren geben nämlich die in deren Richtung durch ein bestimmtes, je einer Koordinatenachse paralleles elektrisches Feld erzeugte lineare Dilatation²⁴).

Da der Beobachtung an einseitig gepreßten rechtwinkligen Prismen nicht das Gesamtmoment, sondern die Komponenten nach den Prismenkanten, welche zugleich die auf den Prismenflächen auftretende, freie elektrische Flächendichte messen, unmittelbar zugänglich sind, so hat auch die geometrische Darstellung dieser Komponenten Interesse, insbesondere der Komponente iß/ nach der Druckrichtuug. Die Oberflächen, deren Radiusvektor r dieses longitudinale Moment iß/ für konstante Größe und alle möglichen Richtungen des Druckes repräsentiert, sind von Voigt für die besonders interessanten Gruppen 11., 12. und 19. (oder 20) der obigen Aufzählung untersucht und durch Modelle dargestellt worden²⁵). Ira Falle der regulären Gruppe 19. hat diese Fläche die Gleichung:

(49)

^]ß/ = — 3duPvtv₂v₃ oder r⁴ — — 3 dXĄPxyz\

sie besteht aus vier geschlossenen Flächenstücken, die nur im Nullpunkt Zusammenhängen, in den abwechselnden Oktanten liegen und natürlich symmetrisch in bezug auf die in dem betreffenden Oktanten liegende dreizählige Symmetrieachse (Oktaedernormale) sind. Von ähnlichem Typus, und ebenfalls nur der absoluten Größe nach von der Substanz des Kristalls abhängig, ist die ^'-Fläche bei der Gruppe 11., deren bekanntester Repräsentant der Quarz ist; hier gilt:

(50)    = dnPvt (v* — 3 v₂²) oder r⁴ = dnPx (x² - 3y²),

und die Fläche besteht aus drei geschlossenen, nur im Nullpunkt zusammenhängenden Stücken, welche in bezug auf die XY-Ebene und je eine der drei durch die Hauptachse (X-Achse) und die zweizähligen Symmetrieachsen gehenden Ebenen symmetrisch sind. Bei der Gruppe 12. endlich, welcher der Turmalin angehört, erhält man

(51)    = — P {d₂₂ v₂ (•v₂² — 3 vt²) -f (d₉₁ + dlh) vs (1 — v₃²) + d₃₃ v²}

und wird die Fläche r — ^5/ also aus derjenigen für 11. dadurch erhalten, daß man dem durch (50) gegebenen Radiusvektor noch eine vom Neigungswinkel gegen die Hauptachse allein abhängige Strecke hinzufügt; die Gestalt der Fläche ist hier von der Substanz des Kristalls abhängig. Für einen Vertreter der monoklinen Gruppe 3., die Weinsäure, hat T. Tamaru²⁶) die sämtlichen acht piezoelektrischen Moduln bestimmt und die Fläche des longitudinalen Moments diskutiert.

Die experimentelle Bestätigung der vorstehenden Formeln der Voigts,chen Theorie ist durch elektrometrische Messungen der auf den Flächen einseitig gepreßter Prismen auftretenden freien Ladungen von J. und P. Curie²⁷’⁰) und von Piecke und Voigt²⁸) an Quarz und Turmalin, sowie von Poel,eis²⁹) an dem regulär tetartoëdrischen Natriumchlorat erbracht worden.

Außer für den Fall der homogenen Deformation durch einseitigen Druck ist die primäre piezoelektrische Erregung noch für gewisse Fälle ungleichförmiger Deformation untersucht werden, so für die Biegung und Torsion eines Zylinders³⁰) und für die Deformation eines solchen durch gewisse auf die Mantelfläche ausgeübte Drucke³¹). Da in diesen Fällen die elektrischen Momente nicht mit einer Oberflächenbelegung allein äquivalent sind, so muß, um die beobachtbaren elektrischen Wirkungen des deformierten Kristallzylinders zu finden, das Potential der erregten elektrischen Verteilung berechnet werden. Voigt hat gezeigt³²), wie diese Aufgabe für einen unendlich langen Kreiszylinder auch mit Berücksichtigung der sekundären Wirkungen (Selbstinfluenz und Elektrostriktion) streng gelöst werden kann, und hat u. a. den für die Erklärung gewisser Beobachtungen³³) wichtigen Satz gefunden, daß ein solcher Zylinder von beliebiger kristallographischer Orientierung, wenn überhaupt, durch longitudinalen Druck oder Zug stets so erregt wird, daß sich seine Peripherie in zwei Hälften, und durch gleichförmige Biegung oder Drillung so, daß sie sich in vier gleiche Teile von entgegengesetzt gleichem elektrischen Verhalten teilt.

11. Polare Pyroelektrizität und reziproker Wärme-Effekt.

Schon lange vor Entdeckung der Piezoelektrizität war die Erscheinung bekannt, daß gewisse Kristalle (wie der Turmalin) infolge von Temperaturänderung elektrisch erregt werden, welche Eigenschaft man Pyrodelärmtät nennt³⁴). Als eigentlich pyroelektrisch sind aber nach Voigt nur diejenigen Kristalle zu bezeichnen, welche bei gleichförmiger, d. h. im ganzen Kristall konstanter Temperaturänderung elektrisch erregt werden. Sofern diese Erregung eine polare ist, wie in diesem Abschnitt vorausgesetzt werden soll, kann sie nur bei gewissen azentrischen Kristallgruppen auftreten, nämlich bei den Gruppen 1. und 2. der in Nr. 9 gegebenen Aufzählung und bei denjenigen mit einer ausgezeichneten polaren Symmetrieachse. Ungleichförmige Temperaturänderung kann hingegen dadurch, daß sie Spannungen verursacht, bei allen piezoelektrischen Kristallen elektrische Erregung hervor-rufen, und es ist die unter solchen Umständen beobachtete Elektrizitätsentwicklung vielfach auch als Pyroelektrizität bezeichnet worden.

Theoretisch behandelt ist diese scheinbare pyroelektrische Erregung von Voigt™) für den Fall oberflächlicher Erwärmung oder Abkühlung einer Kristallkugel, für welchen Beobachtungen an Quarz nach dem Kundtschen³⁵ 36 37) Bestäubungsverfahren von Röntgen™) Vorlagen.

Die primären wahren pyroelektrischen Momente, d. h. diejenigen, welche nicht von den die Temperaturänderung begleitenden Deformationen herrühren, sondern rein thermischen Ursprungs sind³⁸), lassen sich im allgemeinsten Falle für hinreichend kleine Temperaturänderungen x durch die Formeln

(52)

= r2r ;

darstellen. Die Konstanten r reduzieren sich in der Gruppe 2. auf zwei und in allen hemimorphen Gruppen auf eine einzige.

Im allgemeinen werden sich solche wahre pyroelektrische Momente mit scheinbaren, durch Deformationen hervorgerufenen, überlagern. Um dies zu berücksichtigen, stelle man die Momente in Erweiterung des Ansatzes (44) als Funktionen der Spannungen und der Temperaturänderung dar; dabei tritt letztere mit anderen Koeffizienten p1} p₂, ps multipliziert auf, welche mit den rh durch die Relationen

Ph =

(53)

verbunden sind, worin die ak die thermischen Deformationen des Kristalls (au a₂, az die Ausdehnungskoeffizienten parallel den Koordinatenachsen, a₄, a₅, a₆ die Änderungen der Winkel zwischen letzteren für 1° Temperaturerhöhung) bedeuten. Die Konstanten ph (die für dieselben Kristallgruppen verschwinden, bzw. sich auf eine oder zwei reduzieren, wie die rh) werden als die „pyroelektrischen Konstanten“

25

schlechthin bezeichnet, weil sie die unter gewöhnlichen Umständen (nämlich bei verschwindenden Spannungen) auftretende pyroelektrische Erregung bestimmen.

Mit Hilfe des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik läßt sich zeigen³⁹), daß mit ihrem Vorhandensein ein umkehrbarer Wärmeeffekt verknüpft ist, nämlich eine Temperaturänderung des bei ausgeschlossenem Wärmeaustausch in ein elektrisches Feld gebrachten Kristalles vom Betrage

(54)

C^ cs (jP1    ~ł~ Pi + Pt ®,) ?

am

falls T die absolute Temperatur, das mechanische Wärmeäquivalent, c die spezifische Wärme, s die Dichte des Kristalls ist. Diesen „elektrokalorischen Effekt“ haben Sträubet⁴⁰ 41) und Fr. Lange⁴²) Turmalin experimentell nachgewiesen und ihn nach Vorzeichen und absoluter Größe in Übereinstimmung mit vorstehendem theoretischen Resultat gefunden.

Es sei hier noch erwähnt, daß auch für isotrope oder zentrischsymmetrische kristallinische Dielektrika nach dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik eine Wärmewirkung der elektrischen Erregung zu folgern ist⁴³), sofern die Dielektrizitätskonstanten sich mit der Temperatur ändern; diese Wirkung ist aber dem Quadrate der Feldstärke proportional, kehrt sich also nicht mit der Richtung des Feldes um.

12. Molekulartheorien der Piëzo- und Pyroelektrizität. Zur Erklärung der Pyroelektrizität des Turmalins nahm Lord Kelvin⁴⁴'⁰) an, daß die Moleküle desselben ein mit der Temperatur veränderliches, permanentes elektrisches Moment besitzen, daß also ein solcher Kristall das elektrische Analogon zu einem permanenten Magneten sei. Diese Vorstellung hat Rieche⁴²) auf alle piëzo- und pyroelektrisch erregbaren Kristalle ausgedehnt, indem er jedes Molekül von einem System positiver und negativer elektrischer Pole umgeben annimmt, welche in den (als isotrope Kugeln behandelten) Molekülen selbst elektrische Momente influenzieren. Durch die mit elastischen oder thermischen Deformationen verbundenen gegenseitigen Lagenänderungen der Moleküle ändern sich auch die influenzierten Momente, und diese den Deformationen proportional zu setzenden Änderungen sind es nach der Rieche sehen Theorie, welche die beobachtbaren piëzo-oder pyroelektrischen Wirkungen verursachen; denn die etwa schon im Normalzustände vorhandenen permanenten Momente selbst wären durch eine kompensierende elektrische Oberflächenbelegung des Kristalls der Wahrnehmung entzogen. Rieche hat gezeigt, daß man auf Grund dieser Hypothese zu den allgemeinen Grundgleichungen der Voigtschen Theorie gelangt, wenn man den einzelnen azentrischen Kristallgruppen je nach ihrer Symmetrie eins der folgenden fünf Polsysteme oder gewisse Kombinationen derselben zuschreibt:

I. Das einachsige Polsystem, aus zwei entgegengesetzt gleichen Polen bestehend (für sich allein ausreichend in den Gruppen 1, 2, 3, 5, 7 und 15).

H. Das trigonale Polsystem: abwechselnd entgegengesetzte Pole in den Ecken eines regulären Sechsecks, dessen Mittelpunkt mit dem des Moleküls zusammenfällt (allein ausreichend für Gruppe 17).

III.    Das dihexagonale Polsystem: abwechselnd -f- und — Pole in den Ecken zweier regulärer Zwölfecke, die in zwei parallelen Ebenen liegen und um 30° gegeneinander gedreht sind.

IV.    Das ditetragonale Polsystem, analog dem vorigen, nur mit Achtecken statt Zwölfecken gebildet.

Y. Das tetraëdrische Polsystem, vier -j- und vier — Pole in den Ecken eines Würfels, die gleichnamigen die Ecken je eines regulären Tetraeders bildend (in den Gruppen 4, 9, 19, 20 allein auftretend).

Da diese Polsysteme zum Teil höhere Symmetrie besitzen, als die Kristalle der betreffenden Gruppe, und da ihre Wahl überhaupt einigermaßen willkürlich erscheint, so hat Voigt die Molekulartheorie der Piezoelektrizität in der Weise abgeändert, daß er über die Polsysteme selbst zunächst keine spezielle Annahme macht, aber ihnen Potentiale zuschreibt, welche die Symmetrie der Kristallgruppe besitzen⁴⁵). Spezielle solche Potentiale erhält man nach dem Bildungsgesetz⁴⁶)

'ł)

(55)

* difdlJdU... ’

d. h. durch wiederholte Differentiation des Neivtonschen Elementarpotentials nach bestimmten Richtungen l₀, l1} ... Entsprechende Polsysteme lassen sich leicht angeben; außerdem, daß sie der krystallo-graphisehen Symmetrie vollständig entsprechen, erscheint es als ein

Vorzug, daß sie selbst kein permanentes elektrisches Moment besitzen (sofern v > 2, was immer der Fall ist). Denn durch gewisse Beobachtungen⁶⁹) ist wahrscheinlich gemacht, daß ein solches selbst bei dem stark pyroelektrischen Turmalin nicht in merklicher Intensität existiert, bzw. nur von solcher Größenordnung ist, daß es bei einer von der gewöhnlichen nicht sehr verschiedenen Temperatur verschwinden würde.

Voigt hat (1. c. p. 669) noch eine von der vorstehenden etwas abweichende molekulartheoretische Erklärung der Pyro- und Piezoelektrizität gegeben, welche sich der Vorstellung der Elektronentheorie von der Konstitution der Atome besser einfügt, indem sie die ganze elektrische Wirkung der Moleküle ihren „Polsystemen“ zuschreibt und annimmt, daß sich die einzelnen „elektrischen Pole“ (Elektronen) desselben Moleküls infolge einer Temperaturänderung oder elastischen Deformation des Kristalls gegeneinander verschieben, und zwar verschieden gelagerte Pole in verschiedener Weise. Auch nach dieser Vorstellung können also durch Deformationen elektrische Momente erregt werden, wenn im Normalzustände des Kristalls keine solchen vorhanden sind, und sie führt ebenfalls zu den von der allgemeinen Forschen Theorie (vgl. Nr. 8) vorausgesetzten und durch die Erfahrung bestätigten linearen Beziehungen zwischen diesen Momenten und den sie erzeugenden Deformationen oder Spannungen.

13. Zentrische Pyro- und Piezoelektrizität⁷⁰). Nach der zuletzt erörterten Molekularvorstellung ist zu erwarten, daß auch zentrisch symmetrische Kristalle einer pyro- und piezoelektrischen Erregung fähig sein können, da ja auch ihre Moleküle mit Polsystemen behaftet sein werden, die durch Temperaturänderung und Deformation verändert werden können. Nur müssen hier die Polsysteme, der Kristallsymmetrie entsprechend, bei jeder Temperatur selbst zentrisch symmetrisch sein und dies auch im deformierten Kristall bleiben, da ja die Deformation eines Volumelements ein zentrisch symmetrischer Vorgang ist.

Die Moleküle werden hier also niemals elektrische Momente gewöhnlicher Art besitzen, und ihre elektrische Wirkung im Außenraum wird demnach ganz anderen Gesetzen folgen, als bei polar erregten Körpern. Das Potential eines solchen Polsystems ist allgemein durch eine Reihe von Gliedern von der Form (55) mit gerader Anzahl v der Differentiationen darstellbar und reduziert sich in hinreichend großer

69) W. Voigt, Göttinger Nachr. 1896, Heft 3; Ann. Phys. Chem. 60 (1896),

p. 368.

70) W. Voigt, Göttinger Nachr. 1905, p. 394.

woraus ersichtlich ist, daß ein zentrisches Polsystem hinsichtlich seiner Wirkung in großer Entfernung durch sechs Parameter charakterisiert wird. — Das Potential eines Kristallstücks, dessen Moleküle derartige Polsysteme enthalten, ist also gegeben durch das Raumintegral

a²¹

(⁵-⁷)

a⁸-

*3 dydz

Entfernung — also jedenfalls außerhalb des Kristalls — auf die Glieder mit v = 2. Diese kann man auf die Form bringen:

d*~

¹W

(56)

in

a²-

a²

rH ć-

³ W) ⁷

wo ü₂, l₃ drei zueinander senkrechte Richtungen, und mif m₂, m5 Konstanten sind, welche die Natur eines Tensortripels mit den Achsenrichtungen l₂, ls besitzen. Man kann obiges Potential deuten als dasjenige eines Polsystems aus je vier gleichstarken, paarweise entgegengesetzten Polen, die in der Reihenfolge -j----\- oder 1—|

auf den Geraden l1} l₂, l₃ angeordnet sind; die mu m₂, m₃, welche Voigt als Momente 2. Ordnung bezeichnet, sind dann die Produkte aus der Ladung des einzelnen Pols und den beiden Abständen eines der äußeren Pole von den beiden mittleren (welche letzteren man übrigens auch in einen Doppelpol vereinigt denken kann). Drückt man die Differentialquotienten von — nach den lh durch diejenigen nach den Koordinaten aus, so erhält man

a⁸-

(56') 4jt^₂ = mn -)-----1-----j- 2 m

² dl?

23

dydz

dx*

wo die Mhk die „Momente 2. Ordnung“ bezogen auf die Volumeinheit sind. Durch zweimalige partielle Integration kann man dasselbe umgestalten in

a—

(5V)

/'{(

(»,y)+Jflłcos(»,*)]-g£-f-----1—} dt

) cos (»,a04-----1----} ^

+ *£■) + - + -}"

rj

cos

dx ' dy ' dz

, JL / f±(

l ' 4kJ \dx \

BM

L11

dx

dM.

dy

¹²

Das zweite Oberflächen- und das Raumintegral stellen gewöhnliche Newtomche Potentiale einer Oberflächenbelegung und einer räumlich verteilten Ladung dar, die aber im Falle homogener Erregung (wie sie durch gleichförmige Temperaturänderung bzw. homogene Deformation erzeugt würde) verschwinden; das erste Oberflächenintegral hingegen bedeutet das Potential einer die Oberfläche des Kristalls bedeckenden elektrischen Doppelschicht, die analog ist den in der Magnetostatik betrachteten magnetischen Doppelflächen (vgl. Art. Gans Y 15, Nr. 29), von denen sie sich aber dadurch unterscheidet, daß die Richtung ihres elektrischen Moments nicht senkrecht zur Oberfläche ist, da dessen Komponenten:

usw.

{Mn cos (n, x) -j- Mn cos (n,y) -f- Mn cos (n, z)}

nicht proportional mit cos (n, x), cos (n, y), cos (n, z) sind.

Temperaturänderungen werden nun eine für die Beobachtung bemerkbare Erregung der betrachteten Art hervorbringen, sobald die Momente 2. Ordnung Mn, . . . Mu Funktionen der Temperatur sind. Die Richtungen l₂, l₃ sind in diesem Falle bei Kristallen von rhombischer oder höherer Symmetrie als kristallographisch ausgezeichnete Richtungen von vornherein bekannt. Wählt man dieselben als Koordinatenachsen, so wird aus (57):

d³-dx³

d³-

3 dS.

Man erkennt hieraus, daß bei regulären Kristallen, wo nach Symmetrie bei gleichförmiger Erwärmung stets Mt — M₂ = M₃ sein muß, W₂ im Außenraum verschwindet, so daß also bei regulären Kristallen (wie bei isotropen Körpern) eigentliche zentrische Pyroelektrizität nicht Vorkommen kann. Bei allen Kristallen des rhomboëdrischen, hexagonalen und tetragonalen Systems erfordert die Symmetrie, wenn man die Z-Achse in die ausgezeichnete Symmetrieachse legt, die Gleichheit von Mx und M₂, und es wird bei homogener Erregung (d. h. im ganzen Kristall gleicher Temperaturänderung):

(58)

^2 =T-

d³

dy³

(59)

T' =

L « - Mx)

a²¹

¹

   Derartige Beobachtungen sind zuerst von E. Euter angestellt worden (Paris C. R. 87 (1878), p. 828, 960, 1036; 88 (1879), p. 1260), sodann in großer Zahl von G. Quincke (Ann. Phys. Chem. 10 (1880), p. 165; 19 (1883), p. 573) und neuerdings mit noch sorgfältigerer Vermeidung der Fehlerquellen von A. Wüllner und M. Wien (Ann. Phys. 9 (1902), p. 1217).

²

   Ohne allgemeine Begründung ist dieser Satz ausgesprochen von P. Sacer-dote, J. d. phys. (3) 8 (1899), p. 468; Thèse p. 30. Wenn die Belegungen von der festen dielektrischen Schale durch eine Flüssigkeitsschicht von gleicher Dielektrizitätskonstante getrennt sind, wie es bei gewissen Versuchen von L. T.More (Phil. Mag. (5) 50 (1900), p. 198; (6) 6 (1903), p. 1; (6) 10 (1905), p. 676) der Fall war, so sind die Deformationen in entsprechender Weise aus den Ergänzungsspannungen allein zu berechnen. Es ist also ein Irrtum, wenn More aus den negativen Resultaten jener Versuche schließen will, daß die Maxwellachen Spannungen überhaupt nicht auf die ponderabele Materie wirkten. Abgesehen davon, scheinen seine Beobachtungen übrigens infolge der angewandten Messungsmethode auch an sich nicht zuverlässig zu sein (vgl. M. Cantone, N. Cim (5) 7 (1904), p. 126).

³

   M.Cantone und Fr. Sozsani, Milano Rend.Istit.Lomb. (2) 83 (1900), p. 1059; 34 (1901), p. 251. An Platten aus einer Harz- und Schellackmischung hat L. T. More die Dickenänderung allein, und zwar bei nicht anliegenden Belegungen, zu messen versucht, jedoch mit negativem Resultat (Phil. Mag. (6) 10 (1905), p. 670).

⁴

   ]). J. Korteweg, Ann. Phys. Chem. 12 (1881), p. 047; (}. Lippmann? Ann. chim. phys. (5) 24 (1881), p. 144.

⁵

   Z. B. G. Quincke, Ann. Phys. Chem. 10 (1880), p. 515.

⁶

   A. Wüllner und M. Wien, Ann. Phys. 9 (1902), p. 1217; 11 (190S), p. 619.

⁷

   M. Cantone, Iiom Rend. Acc. Line. (4) 4¹ (1888), p. 344, 471; 31. Ganione und Fr. Sozzani, Rend. Istit. Lomb. (2) 33 (1900), p. 1059; 34 (1901), p. 251; M. Cantone, ibid. 37 (1904), p. 164; Nuovo Cim. (5) 7 (1904), p. 126.

⁸

Kirchhoff, Berlin Sitzungsber. 1884, p. 1155 Ann. Phys. Chem. 25 (1885), p. 601; Ges. Abh. Nachtrag, p. 124.

Encyklop. d. math Wissensch. V 2.

⁹

   Aua demselben Grunde können die Formeln, welche Ganione für die Magnetostriktion eines Botationsellipsoids in einem zu seiner Rotationsachse parallelen Felde durch Übertragung der Kirchhoff sehen Behandlungsweise entwickelt hat [Rom Mem. Accad. Line. (4) 6 (1890), p. 485], auf dessen Beobachtungen an Ellipsoiden aus Eisen und Nickel nicht angewendet werden. Übrigens sind diese Formeln auch an sich unrichtig wegen eines Fehlers in der Lösung des elastischen Problems.

¹⁰

   Ygl. E. Cohn, Das elektromagnetische Feld, p. 512. Siehe auch Art. 15,

¹¹

F. Koläcek, Ann. Phys. 14 (1904), p. 177. Zuerst ist diese Betrachtungsweise wohl von J. J. Thomson angewendet worden in seinen Vorlesungen über

¹²

„Anwendungen der Dynamik auf Physik und Chemie“ Cambridge 1888 (Übers.

¹³

Leipzig 1890), Kap. 4.

¹⁴

   F. Pockels, N. Jahrb. f. Min., Beil.-Bd. 7 (1890), p. ‘224.

¹⁵

   Die Proportionalität der elektrischen Momente mit dem Druck wurde am Quarz und Turmalin von F. Nachtikal (Gött. Nachr. 1899, p. 109) in weiten Grenzen geprüft und sehr annähernd bestätigt gefunden.

¹⁶

   Gr. Lippmann, Ann. chim. phys. (5) 24 (1881), p. 164; Journ. phys. (1) 10 (1881), p. 391. Beobachtet und gemessen wurden solche umkehrbare Deformationen zuerst an Quarz von J. und P. Curie, Paris C. R. 93 (1881), p. 1137, 95 (1882), p. 914, wobei sich sehr gute Übereinstimmung mit den theoretischen Werten ergab. Aus den von Kundt (Ann. Phys. Chem. 18 (1883), p. 228) und Röntgen (Ann. Phys. Chem. 18, p. 213, 534) entdeckten Änderungen des optischen Verhaltens im elektrischen Felde kann hingegen nicht mit Sicherheit auf die

¹⁷

   Diese Art der Behandlung findet sich zuerst, jedoch z. T. fehlerhaft, bei P. Duhem (Leçons sur l’électricité et le magnétisme 2 (1892), p. 467), dann bei E. Eiecke, Gott. Nachr. 1893, p. 3—13, und W. Voigt, Gött. Nachr. 1894, Nr. 4, oder Ann. Phys. Chem. 55 (1894), p. 701, sowie in dessen Kompendium der theoretischen Physik 2, p. 104.

*) Daß diese Arbeit negativ ist, hängt mit der Tatsache zusammen, daß ein dielektrischer Körper nach dem Gebiete größter Feldstärke hingezogen wird. Vgl. Art, Gans V 15 Nr. 19.

¹⁸

   Eine Untersuchung von Voigt (Göttinger Nachr. 1900, p. 364) über den Charakter dieser Konstanten zeigt, daß sich dieselben durch Kombination eines Vektors, eines Tensors und einer gerichteten Größe 3. Ordnung darstellen lassen. (Siehe auch IV 14, Nr. 23 c.)

¹⁹

   Über die allgemeinen Prinzipien dieser Symmetriebetracktungeu vgl.

²⁰

E. Riecke, Göttinger Nachr. 1891, p. 223.

²¹

   W. Voigt, Vers. d. Naturf. u. Ä. 1891, II. Teil, p. 36—39.

²²

   F. Bidlingviaier, Diss. Göttingen 1900 (Geometrischer Beitrag zur Piezoelektrizität der Kristalle).

²³

   W. Voigt, Aun. Phys. Chem. 63 (1897), p. 376; Kristallphysik, p. 105ff.

²⁴

   W. Voigt, Ann. Phys. Chem. 63 (1897), p. 380.

²⁵

   W. Voigt, Vers. d. Naturf. u. Ä. 1891, II, p. 36. — Katalog math. Modelle usw., München 1892, p. 385.

²⁶

   T. Tamaru, Physik. Ztschr. 6 (1905), p. 379.

²⁷

   J. u. P. Curie, Paris C. R. 92 (1881), p. 186; 93 (1882), p. 204; Joum. de phys. (2) 1 (1882), p. 245.

²⁸

   W. Voigt, Ann. Phys. Chem. 45 (1892), p. 523.

²⁹

   I. Pockels, Göttingen Abh. Ges. d. Wiss. 39 (1894), II. § 4.

³⁰

   W. Voigt, Allg. Theorie usw. § 6—9.

³¹

   C. Somigliana, Ann. di ruat. (2) 20 (1892).

³²

   W. Voigt, Göttinger Nachr. 1894, Nr. 4.

³³

   W. C. Röntgen, Ann. Phys. Chem. 39 (1890), p. 16.

³⁴

   W. Fankel, dem man ausgedehnte Beobachtungen auf diesem Gebiete verdankt, gebrauchte die Bezeichnung Thermoelektrizität, welche aber wegen ihrer anderweitig schon festgelegten Bedeutung nicht zur Annahme gelangte.

³⁵

   W. Voigt, Allg. Theorie usw. § 11 und 12; Göttinger Nachr. 1894, Nr. 4, p. 26.

³⁶

   A. Kundt, Ann. Phys. Chem. 20 (1883), p. 592. Diese Methode ist sehr geeignet zur qualitativen Untersuchung der Pyroelektrizität.

³⁷

   W. C. Röntgen, Ann. Phys. Chem. 19 (1883), p. 513.

³⁸

   Das Vorhandensein wahrer Pyroelektrizität ist durch Messungen von W. Voigt am Turmalin nachgewiesen (Göttinger Nachr. 1898, Nr. 2; Ann. Phys. Chem. 66 (1898), p. 1030), wobei sich ergab, daß 20% der ganzen beobachteten Erregung „wahre“, 80% „falsche“ Pyroelektrizität waren. Es ist übrigens bemerkenswert, daß bei allen bisher daraufhin untersuchten pyroelektrischen Kristallen das Vorzeichen der Erregung mit demjenigen übereinstimmt, welches sich gemäß dem piezoelektrischen Verhalten aus der thermischen Deformation bestimmt (vgl. J. u. P. Curie, Paris C. R. 91 (1880), p. 294; W. C. Röntgen, Ann. Phys. Chem. 19 (1888), p. 513); daraus folgt, daß jedenfalls immer die „falsche“ Pyroelektrizität überwiegt.

Eucyklop. d. math. Wissensch. V 2.

³⁹

   Lord Kelvin, Math. phys. papers 1, p. 316, 1877.

⁴⁰

   B. Straubei, Göttinger Nadir. 1902, Heft 2.

⁴¹

68) Fr. Lange, Diss. Jena 1905.

⁴²

   E. Rieche, Göttingen Abhandl. d. Ges. d. Wiss. 38, 1892.

⁴³

   G. Lippmann, Ann. china, phys. (5) 24 (1881), p. 171.

⁴⁴

   Lord Kelvin, Nichols Cyclopaedia of Phys. Sc. 1860; Math. phys. papers 1, p. 315.

⁴⁵

   W. Voigt, Göttinger Nachr. 1893, p. 649.

⁴⁶

   Vgl. Art. Meyer-Burkhardt über Potentialtheorie II A 7b Nr. 4, p. 470.

25

cos (n, z) du.

Bei einem von lauter gleichartigen Flächen begrenzten Kristallpolyeder (z. B. einem Rhomboeder) tragen danach alle Flächen eine gleiche Doppelbelegung. Führt man in jeder Kristallfläche ein Achsensystem y ein, dessen £-Achse in deren Hauptschnitt (der Ebene (n, z)) liegt, so ist

ai

dz    dn

7 cos (n, z) -f

▼H

aa

cos (§,«),

Fall

wo die Summe über alle Flächen zu erstrecken ist. Der erste Teil der Summe ist das Potential einer den ganzen Kristall umgehenden, überall gleichen gewöhnlichen Doppelbelegung, welches im Außenraum Null ist; der zweite Teil läßt sich aber durch partielle Integration in Randintegrale überführen und stellt also das Potential linearer Ladungen der Kanten dar. Man hat hier also einen wo linienförmig verteilte elektrische Ladungen in der Natur Vorkommen können. Ähnliches ergibt sich auch für Prismen rhombischer Kristalle, deren Prismenkanten einer Symmetrieachse parallel sind; außer linearen Ladungen dieser Kanten, die bei den zur X-, Y-, Z-Achse parallelen Prismen mit M₃ —M₂, Ml —Mä, M₂ —Mx proportional (und für die vier Kanten desselben Prismas abwechselnd entgegengesetzt) sind, treten hier allerdings noch Doppelbelegungen der Endflächen auf.

Beobachtungen über zentrisch symmetrische pyroelektrische Erregung sind in großer Zahl beschrieben worden, doch handelt es sich dabei in den meisten Fällen um Kristalle, die nachweislich aus azen-trisch erregbaren Teilen in zentrischer Gruppierung zusammengesetzt sind, wodurch das elektrische Verhalten des ganzen Kristalls scheinbar zentrisch symmetrisch wird. Eigentliche zentrische Pyroelektrizität ist jedoch durch Beobachtungen von Voigt, die an passend geschliffenen Präparaten angestellt wurden, für Kalkspat, Dolomit, Topas, Baryt und Cölestin wahrscheinlich gemacht⁷⁰).

existiert.

derjenigen der azentrischen Piezoelektrizität, indem man die auf ein beliebiges Koordinatensystem bezogenen elektrischen Momente 2. Ordnung Mn, . . . Mi2 linearen Funktionen der Deformations- oder Span-nungskomponenten gleichsetzt, also entweder

Es ist danach zu erwarten, daß auch zentrische Piezoelektrizität Die Gesetze derselben erhält man nach Analogie

(61)

(60) V, =

- da

und man erhält aus (59) Ms - M₁

4tt

-j- cos {n, z) cos (I, z)

U, d^dn j;

f MU = <*UXx + «12 y y + «13    + «1PJZ + «15** + «16 ^

oder

Mn = ßnXx -f- ß₁₂Pj, -f- ß₁₃Zz -f- ßuYz -{- ßlbZx -j- ßuX

Die Zahl der konstanten Parameter dieser Ansätze, welche im

allgemeinen 36 beträgt, reduziert sich wegen der Tensornatur der Mhk durch Einführung der Symmetrieeigenschaften in analoger Weise, wie die der Konstanten der inneren Reibung oder der in Nr. 3 eingeführten Konstanten 8hk (vgl. Anm. 13). Es folgt daraus unter anderem, daß zentrische Piezoelektrizität auch bei regulären Kristallen und isotropen Körpern möglich sein würde. Die Anwendung des obigen Ansatzes (61') auf Prismen rhombischer Kristalle, deren Längsrichtung einer kristallographischen Symmetrieachse parallel ist, ergibt, daß durch longitudinalen Druck deren Längskanten abwechselnd entgegengesetzte Ladungen annehmen (analog wie bei der pyroelektrischen Erregung). Die Existenz dieser zentrischen piezoelektrischen Erregung hat Voigt durch Versuche an Topas, Baryt und Cölestin, sowie an Kalkspat, wahrscheinlich gemacht.

14. Pyro- und Piëzomagnetismus. Magnetische Erscheinungen, welche der Pyro- und Piezoelektrizität analog wären, sind mit Sicherheit bisher nicht nachgewiesen. Wenn sie überhaupt existieren, so sind sie zum Teil bei anderen Symmetriegruppen zu erwarten, als die analogen elektrischen Erscheinungen, weil das magnetische Feld die Natur eines axialen Vektors (vgl. Art. Abraham IV C 14, Nr. 3) besitzt, und sich daher bei der magnetischen Erregung den kristallographischen Symmetrieelementen ein Zentrum der Symmetrie superponiert. Pyromag-netismus, d. h. ein von der Temperatur abhängiges permanentes magnetisches Moment, könnten nach Symmetrie außer den triklinen und monoklinen Kristallen nur diejenigen rhomboëdrischen, hexagonalen und tetra-gonalen besitzen, bei welchen sowohl zur ausgezeichneten Symmetrieachse parallele Symmetrieebenen, als zu ihr senkrechte zweizählige Achsen fehlen (also z. B. die Kristalle der pœramorph-hemi'ëdrischen Gruppen). Piëzomagnetismus hingegen könnte bei allen Gruppen, mit Ausnahme der Holoëdrie, enantiomorphen und hemimorphen Hemiëdrie des regulären Systems, Vorkommen. Es sind hinsichtlich des piëzomagnetischen Verhaltens aber nur acht verschiedene Gruppen zu unterscheiden. Die entsprechenden Konstautensysteme sind von W. Voigt aufgestellt worden⁷¹). Durch die von demselben an verschiedenen Kristallen angestellten Versuche konnten bisher mit Sicherheit nur obere Grenzwerte für die etwa vorhandenen pyro- und piëzomagnetischen Momente nachgewiesen werden.

71) W. Voigt, Göttinger Nachr. 1901, p. 1—19; Ann. Phys. 9 (1902), p. 94.

(Abgeschlossen im Oktober 1906.)

GÓ

Soeben erschien:

GLEICHGEWICHTE DER STEREOMEREN

VON

W. MEYERHOFFER

WEIL. PROF. DR.

MIT EINEM BEGLEITWORT VON

Prof. Dr. J. H. VAN ’tHOFP

UND 28 FIGUREN IM TEXT

|1V u. 71 S.J gr. 8.    1906. geh. Ji 2.40. <

Dieser letzten Arbeit meines vieljährigen Mitarbeiters und Freundes möchte ich ein Wort auf den Weg mitgeben.

Einmal zeigt sie den eigentümlichen Charakterzug Meyerhoffers, aufgenommene Probleme hartnäckig zu verfolgen. Die 1892 gleichzeitig deutsch und französisch erschienene Stereochemie war seine erste größere zusammenfassende Arbeit; die jetzt, 14 Jahre später, erschienene Veröffentlichung auf demselben Gebiet sollte die letzte sein. Sie berührt dasjenige in der Stereo chemie, was allgemein auch den Nichtchemiker interessiert, näm lieh die Frage, ob die optische Aktivität eine Lebensäußerung ist, auf welchen Standpunkt sich bekanntlich Pasteur stellte. Die Entdeckung, daß die Trennung der entgegengesetzt aktiven

Isomeren und damit die Ausscheidung derselben eine Temperaturfrage ist und mit einer bei bestimmter Temperatur eintretenden Um Wandlungserscheinung zusammenhängt, brachte die Erscheinung in anderes Licht, und die vorliegende Arbeit gibt die Gesetze, welche diese Umwandlungserscheinung beherrschen. Dieselben bringen die Ausscheidung von optisch aktiven Verbindungen in nahen Zusammenhang mit der Spaltung von Doppelsalzen.

Dann aber macht sich noch eine gewisse Neigung zum Abstrakten, welche ebenfalls charakteristisch bei Meyerhoffer war, geltend, und ich möchte dem Leser empfehlen, sich dadurch nicht abschrecken zu lassen, besonders wo sich diese Eigentümlichkeit im Anfang zeigt. Die im ersten Kapitel gegebene Definition vom Gleichgewicht kann man sich vielleicht für später auflieben. Auch die mathematischen Entwickelungen kurz nachher auf S. 6 verdecken den überaus durchsichtigen Charakter des nachfolgenden. Derselbe ist wesentlich dadurch erzielt, daß die Maximaltension sowohl der Behandlung wie der graphischen Darstellung zugrunde liegt. Pietätshalber habe ich vorgezogen, dies alles einleitend zu bemerken und keine Änderungen vorzunehmen, die vielleicht der Autor nicht gebilligt hätte.

J. H. van ’tHoff.

Bestell-Zettel.

Bei

Buchhandlung in.........................................................................................................................-

bestellt der Unterzeichnete hiermit das im Verlage von B.G.Teubner in Leipzig soeben erschienene Werk [zur Ansicht]:

W. Meyerhoffer, Gleichgewichte der Stereomeren. Mit einem Begleitwort von J. H. van THoff und 28 Figuren im Text. [IV u. 71 S.J gr. 8. 1906. geh. Jt 2.40.

Ferner:

Unterschrift

Ort und Wohnung:

Inhaltsverzeichnis.

Gleichgewichte der Stereomeren.

I. Gleichgewicht und Stabilität . ..............

II.    Die räumliche Darstellung der Gleichgewichte anhy drischer Stereo

meren und ihre drei Projektionen.............

1.    Die Kurve der pt-Fläche................

2.    Die Kurve der [d -f- l) p-Fläche............

3.    Die Kurven der (d -)- l) t-Fläche............

A.    Schmelzerscheinungen bei Tartraten.........

B.    Labile Schmelzerscheinungen bei Tartraten......

C.    Schmelzpunkte der Tartrate bei Existenz eines Racemats. 11

D.    Schmelzerscheinungen der Tartrate bei Existenz von

Pseudoracematen..................

E.    Schmelzerscheinungen der Racemate bei Anwesenheit von

Mischkristallen...................

III.    Der Zustand der Stereomeren in flüssigen Phasen......

1 Flüssige Stereomeren. Existieren Racemkörper in flüssigem

Zustande? Siedepunkte von Stereomeren........

2. Lösungen von Stereomeren. Gefrierpunkte........

A.    Methoden der Thermochemie, der Leitfähigkeit und der

Volumchemie....................

B.    Gefrierpunkte...................

IV.    Löslichkeit kristallwasserfreier Stereomeren.........

V. Umwandlungserscheinungen bei kristallwasserhaltigen Stereo

meren.........................

1.    Methoden zur Bestimmung der Racematbildungstemperaturen. 38

2.    Räumliche und graphische Darstellung der Löslichkeitsergebnisse .........................

3.    Liste der untersuchten Racematbildüngstemperaturen . . .

VI.    Gleichgewichte bei mehreren asymmetrischen Kohlenstoffatomen. 46

VII.    Methoden zur Spaltung von Racematen..........

1.    Spaltung ohne chemische Änderung...........

A.    Spaltung durch Temperaturänderung, wobei das Stabilitäts

gebiet des Tartratgemisches erreicht wird......

B.    Durch Überschmelzung oder Übersättigung......

C.    Spaltung durch Einwirkung eines aktiven Lösungsmittels. 64

2.    Spaltung durch chemische Änderung...........

A.    Vertilgung der einen Tartratmodifikation durch lebende

Organismen....................

B.    Spaltung durch Einführung eines zweiten asymmetrischen

Atoms.......................

Anhang: Asymmetrische Synthese.........

VIII.    Diagnostik eines Inaktivums...............

1.    Schmelzpunkte....................

2.    Dichte........................

3.    Löslichkeit und Aktivität...............

4.    Thermochemische Methoden..............

6. Brunis Methode der Kryohydrate............

6. Tensionen.......................

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Verlag von B. G. Teubner in Leipzig.

Wissenschaft und Hypothese. Von Henri Poincaré, Membre de l’Institut. Autorisierte deutsche Ausgabe mit erläuternden Anmerkungen von F. und L. Lindemann in München. 2., verbesserte Auflage. [XVI u. 346 S.] 8. 1906. In Lein wand geb.    4.80.

Wenige Forscher sind sowohl in der reinen als in der angewandten Mathematik mit gleichem Erfolge tätig gewesen wie der Verfasser des vorliegenden Werkes. Niemand war daher mehr als er berufen, sich über das Wesen der mathematischen Schluß weisen und den erkenntnistheoretischen Wert der mathematischen Physik im Zusammenhänge zu äußern. Und wenn auch in diesen Gebieten die Ansichten des einzelnen zum Teil von subjektiver Beanlagung und Erfahrung abhängen, werden doch die Entwicklungen des Verfassers überall ernste und volle Beachtung finden, um so mehr, als er sich bemüht, auch einem weiteren, nicht ausschließlich mathematischen Leserkreise verständlich zu werden, und als ihm dies durch passende und glänzend durchgeführte Beispiele in hohem Maße gelingt. Die Erörterungen erstrecken sich auf die Grundlagen der Arithmetik, die Grundbegriffe der Geometrie, die Hypothesen und Definitionen der Mechanik und der ganzen theoretischen Physik in ihrer neuesten Entwicklung sowohl als in ihrer klassischen Form. Um dem allgemeinen Verständnisse noch mehr entgegenzukommen, sind der deutschen Ausgabe durch den Herausgeber zahlreiche Anmerkungen hinzugefügt, die teils einzelne Stellen des Werkes näher erläutern, teils durch literarische Angaben dem Leser die Mittel zu weiterem Studium der besprochenen Fragen an die Hand geben.

Der Wert der Wissenschaft. Von Henri Poincaré, Membre de l’Institut. Mit Genehmigung des Verfassers ins Deutsche übertragen von E. Weber. Mit Anmerkungen und Zusätzen von H. Weber, Professor in Straßburg i. E., und einem Bildnis des Verfassers. [Vu. 252 S.] 8. 1906. In Leinwand geb. M. 3.60.

Das Werk hat ähnlibhe Ziele wie das oben angezeigte „Wissenschaft und Hypothese“, bietet aber ein für sich abgeschlossenes Ganze.

Der geistvolle Verfasser gibt im ersten Teil eine Darlegung seiner Anschauungen, wie in uns die Vorstellungen von Raum und Zeit entstanden sein könnten. Der zweite Teil enthält eine Darstellung des gegenwärtigen Standes der Physik und der besonders durch die neuen Untersuchungen über Elektrizität hervorgerufenen Krisis, in der die früher für vollständig gesichert gehaltenen Prinzipien ins Wanken geraten sind, und die merkwürdigerweise auf die philosophischen Anschauungen der Zeit zurückgewirkt haben. Auch der Laie wird sich aus dieser Darstellung eine richtige Vorstellung von dem Inhalt der Fragen, um die es sich dabei handelt, bilden können. Der dritte Teil endlich mündet wieder in den Ausgangspunkt ein und kehrt zu der durch den Titel des Werkes gestellten Frage nach dem Wert der Wissenschaft zurück, indem er das Verhältnis der Wissenschaft zur Wirklichkeit einer Untersuchung unterwirft.

Die der deutschen Ausgabe beigefügten Anmerkungen haben teils den Zweck, Einzelheiten, die dem deutschen Leser vielleicht weniger zur Hand sind, zu erläutern, teils die behandelten Fragen noch aus einem etwas anderen Gesichtspunkt zu betrachten.

Die philosophischen Grundlagen der Wissenschaften. Vorlesungen gehalten an der Universität Berlin von Prof. Dr. B. Weinstein. [XIV u. 543 S.] 8.    1906. In Leinwand geb. JL 9.—

Das Buch enthält eine Auseinandersetzung über die Grundlagen der Wissenschaften, vornehmlich die Naturwissenschaften. Zunächst wird der Inhalt der Grundlagen untersucht und aus ihm ein System der Grundlagen abgeleitet. Darauf folgt eine Darlegung der psychischen Tätigkeiten, die für die Ermittlung der Grundlagen maßgebend sind. Nach Beschreibung der Art, wie bei Gewinnung von Grundlagen vorgegangen wird, folgt eine Auseinandersetzung der Beziehungen unserer Wahrnehmungen zur Außen- und Innenwelt, wobei insbesondere physiologische und psychologische Verhältnisse zur Sprache kommen. Hierauf werden die Hauptgrundlagen vom Standpunkte der Erfahrung und der Metaphysik einer genaueren Zergliederung und Untersuchung unterzogen. Insbesondere werden die Begriffe der Zeitlichkeit, Räumlichkeit, Substanzialität und Ursächlichkeit behandelt, ünd im Anschluß an diese wird das Wesen von Zeit, Raum, Substanz und Ursache dargelegt. Den Schluß bildet die Behandlung derjenigen Grundlagen, die der Welterhaltung und Weltentwicklung dienen, sowie der Grundlagen, aus denen Erklärungen der Natur- und Lebenserscheinungen fließen. Trotz strenger Wissenschaftlichkeit ist das Buch gemeinverständlich geschrieben, alle philosophischen Auseinandersetzungen sind durch Beispiele erläutert, und überall, wo eingehenderes Wissen erforderlich war, ist dieses zur Mitteilung gelangt. Großer Wert ist auf beste Sprache gelegt. Das Buch ist für die weitesten Kreise bestimmt. Es soll dem Gebildeten eine tiefere Einsicht in das Wesen der Wissenschaften und in den Wert der Wissenschaften vermitteln.

ABHANDLUNGEN ZUR GESCHICHTE DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN BEGRÜNDET VON MORITZ CANTOR. XXII. HEFT

Soeben erschien:

1811

BRIEFWECHSEL ZWISCHEN

C. G. J. JACOBI und M. H. JACOBI

HERAUSGEGEBEN VON

W. AHRENS

IN MAGDEBUBG

MIT ZWEI BILDNISSEN

[XX u. 282 S.] gr. 8.    1907. geh. Ji 6.90, in Leinwand geh. JC. 7.50

Ans dem Vorwort des Herausgebers.

Der glückliche Umstand, daß von C. G. J. Jacobi eine ausgedehnte Korrespondenz vorlag mit einem ihm durch die engsten Bande des Blutes wie des Geistes verknüpften Manne, der selbst eine hervorragende Stellung in der wissenschaftlichen Welt einuahm, schien mir nicht ungenutzt bleiben zu dürfen. Zwar sind viele der wichtigsten Stellen des vorliegenden Briefwechsels, insbesondere solche, welche die wissenschaftliche Entwicklung C. G. J. Jacobis betreffen, in dem bekannten Werk Koenigsbergers bereits veröffentlicht. Auf besonderen wissenschaftlichen Wert wird daher diese Publikation keinen Anspruch machen dürfen; man wird sie jedoch, wie ich hoffe, soweit es sich um C. G. J. Jacobi handelt, als eine nicht wertlose biographische Ergänzung zu dem Koenigsbergerschen Werk und andernteils als eine Vorarbeit für eine bisher nicht existierende, von anderer Seite jedoch geplante Biographie M. H. Jacobis ansehen. Wenn der Umstand, daß dem Briefwechsel der fach wissenschaftliche Charakter in der Hauptsache abgeht, vielleicht dazu beitragen möchte, den großen Mathematiker auch dem weiteren Publikum etwas näher

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig.

Wissenschaft und Hypothese. Von Henri Poincaré, Membre de l’Institut. Autorisierte deutsche Ausgabe mit erläuternden Anmerkungen von F. und L. Lindemann in München. 2., verbesserte Auflage. [XVI u. 346 S.] 8. 1906. In Leinwand geb. <4^4.80.

Wenige Forscher sind sowohl in der reinen als in der angewandten Mathematik mit gleichem Erfolge tätig gewesen wie der Verfasser des vorliegenden Werkes. Niemand war daher mehr als er berufen, sich über das Wesen der mathematischen Schlußweisen und den erkenntnistheoretischen Wert der mathematischen Physik im Zusammenhänge zu äußern. Und wenn auch in diesen Gebieten die Ansichten des einzelnen zum Teil von subjektiver Beanlagung und Erfahrung abhängen, werden doch die Entwicklungen des Verfassers überall ernste und volle Beachtung finden, um so mehr, als er sich bemüht, auch einem weiteren, nicht ausschließlich mathematischen Leserkreise verständlich zu werden, und als ihm dies durch passende und glänzend durchgeführte Beispiele in hohem Maße gelingt. Die Erörterungen erstrecken sich auf die Grundlagen der Arithmetik, die Grundbegriffe der Geometrie, die Hypothesen und Definitionen der Mechanik und der ganzen theoretischen Physik in ihrer neuesten Entwicklung sowohl als in ihrer klassischen Form. Um dem allgemeinen Verständnisse noch mehr entgegenzukommen, sind der deutschen Ausgabe durch den Herausgeber zahlreiche Anmerkungen hinzugefügt, die teils einzelne Stellen des Werkes näher erläutern, teils durch literarische Angaben dem Leser die Mittel zu weiterem Studium der besprochenen Fragen an die Hand geben.

Der Wert der Wissenschaft. Von Henri Poincaré, Membre de l’Institut. Mit Genehmigung des Verfassers ins Deutsche übertragen von E. Weber. Mit Anmerkungen und Zusätzen von H. Weber, Professor in Straßburg i. E., und einem Bildnis des Verfassers. [Vu. 252 S.] 8. 1906. In Leinwand geb. M. 3.60.

Das Werk hat ähnlibhe Ziele wie das oben angezeigte „Wissenschaft und Hypothese“, bietet aber ein für sich abgeschlossenes Ganze.

Der geistvolle Verfasser gibt im ersten Teil eine Darlegung seiner Anschauungen, wie in uns die Vorstellungen von Raum und Zeit entstanden sein könnten. Der zweite Teil enthält eine Darstellung des gegenwärtigen Standes der Physik und der besonders durch die neuen Untersuchungen über Elektrizität hervorgerufenen Krisis, in der die früher für vollständig gesichert gehaltenen Prinzipien ins Wanken geraten sind, und die merkwürdigerweise auf die philosophischen Anschauungen der Zeit zurückgewirkt haben. Auch der Laie wird sich aus dieser Darstellung eine richtige Vorstellung von dem Inhalt der Fragen, um die es sich dabei handelt, bilden können. Der dritte Teil endlich mündet wieder in den Ausgangspunkt ein und kehrt zu der durch den Titel des Werkes gestellten Frage nach dem Wert der Wissenschaft zurück, indem er das Verhältnis der Wissenschaft zur Wirklichkeit einer Untersuchung unterwirft.

Die der deutschen Ausgabe beigefügten Anmerkungen haben teils den Zweck, Einzelheiten, die dem deutschen Leser vielleicht weniger zur Hand sind, zu erläutern, teils die behandelten Fragen noch aus einem etwas anderen Gesichtspunkt zu betrachten.

Die philosophischen Grundlagen der Wissenschaften. Vorlesungen gehalten an der Universität Berlin von Prof. Dr. B. Weinstein. [XIV u. 543 S.] 8.    1906. In Leinwand geb. Ji. 9.—

Das Buch enthält eine Auseinandersetzung über die Grundlagen der Wissenschaften, vornehmlich die Naturwissenschaften. Zunächst wird der Inhalt der Grundlagen untersucht und aus ihm ein System der Grundlagen abgeleitet. Darauf folgt eine Darlegung der psychischen Tätigkeiten, die für die Ermittlung der Grundlagen maßgebend sind. Nach Beschreibung der Art, wie bei Gewinnung von Grundlagen vorgegangen wird, folgt eine Auseinandersetzung der Beziehungen unserer Wahrnehmungen zur Außen- und Innenwelt, wobei insbesondere physiologische und psychologische Verhältnisse zur Sprache kommen. Hierauf werden die Hauptgrundlagen vom Standpunkte der Erfahrung und der Metaphysik einer genaueren Zergliederung und Untersuchung unterzogen. Insbesondere werden die Begriffe der Zeitlichkeit, Räumlichkeit, Substanzialität und Ursächlichkeit behandelt, ünd im Anschluß an diese wird das Wesen von Zeit, Raum, Substanz und Ursache dargelegt. Den Schluß bildet die Behandlung derjenigen Grundlagen, die der Welterhaltung und Weltentwicklung dienen, sowie der Grundlagen, aus denen Erklärungen der Natur- und Lebenserscheinungen fließen. Trotz strenger Wissenschaftlichkeit ist das Buch gemeinverständlich geschrieben, alle philosophischen Auseinandersetzungen sind durch Beispiele erläutert, und überall, wo eingehenderes Wissen erforderlich war, ist dieses zur Mitteilung gelangt. Großer Wert ist auf beste Sprache gelegt. Das Buch ist für die weitesten Kreise bestimmt. Es soll dem Gebildeten eine tiefere Einsicht in das Wesen der Wissenschaften und in den Wert der Wissenschaften vermitteln.

ABHANDLUNGEN ZUE, GESCHICHTE DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN BEGRÜNDET VON MORITZ CANTOR. XXII. HEFT

Soeben erschien:

1811

BRIEFWECHSEL ZWISCHEN

C. G. J. JACOBI und M. H. JACOBI

HERAUSGEGEBEN VON

W. AHRENS

IN MAGDEBURG

MIT ZWEI BILDNISSEN

[XX u. 282 S.] gr. 8.    1907. geh. JC 6.90, in Leinwand geh. JL 7.50

Ans dem Vorwort des Herausgebers.

Der glückliche Umstand, daß von C. G. J. Jacobi eine ausgedehnte Korrespondenz vorlag mit einem ihm durch die engsten Bande des Blutes wie des Geistes verknüpften Manne, der selbst eine hervorragende Stellung in der wissenschaftlichen Welt einnahm, schien mir nicht ungenutzt bleiben zu dürfen. Zwar sind viele der wichtigsten Stellen des vorliegenden Briefwechsels, insbesondere solche, welche die wissenschaftliche Entwicklung C. G. J. Jacobis betreffen, in dem bekannten Werk Koenigsbergers bereits veröffentlicht. Auf besonderen wissenschaftlichen Wert wird daher diese Publikation keinen Anspruch machen dürfen; man wild sie jedoch, wie ich hoffe, soweit es sich um C. G. J. Jacobi handelt, als eine nicht wertlose biographische Ergänzung zu dem Koenigsbergerschen Werk und andernteils als eine Vorarbeit für eine bisher nicht existierende, von anderer Seite jedoch geplante Biographie M. H. Jacobis ansehen. Wenn der Umstand, daß dem Briefwechsel der fachwissenschaftliche Charakter in der Hauptsache abgeht, vielleicht dazu beitragen möchte, den großen Mathematiker auch dem weiteren Publikum etwas näher

zu bringen, so würde ich gerade dies mit Freuden begrüßen, da der in seinen Interessen, seinem Wissen und Treiben so vielseitige und überall bedeutende Mann auch außerhalb der Fachkreise weit größeres Interesse verdiente. Daß die Korrespondenz zweier Männer, die beide große Stellungen in der Wissenschaft und angesehene Positionen in zweien der größten Akademien innehatten, wohl als ein nicht unwichtiger Beitrag zur Gelehrtengeschichte angesehen werden darf, kam für den Entschluß, den Briefwechsel zu veröffentlichen, weiter in Betracht. Das nahe verwandtschaftliche Verhältnis der beiden Briefschreiber, die ungezwungene Art, mit welcher sich beide infolgedessen aussprechen, erhöht naturgemäß den psychologischen Wert der Briefe; sie spiegeln denn auch in der Tat beider Charaktere, die in mancher Beziehung recht verschieden waren, vorzüglich wider und erhöhen durch den so entstehenden Kontrast den Reiz der Lektüre. An dieser Stelle mag es gestattet sein, ein Wort über das Verhältnis

der beiden Brüder zueinander einzuflechten

Hochinteressant

ist es zu sehen, welches Interesse und welches Verständnis C. G. J. Jacobi den praktisch-technischen Aufgaben entgegenbringt und mit wie unerbittlicher Hartnäckigkeit und Schärfe er den Bruder gerade auf die praktisch-utilitarischen Forderungen, diese in richtigem Sinne verstanden, hinweist, er, der Mann der reinen Theorie, derselbe Mann, der den Mut hatte, in der englischen Industrie-Metropole zu allgemeinem Entsetzen den Satz aufzustellen, „es sei die Ehre der Wissenschaft, keinen Nutzen zu haben“, er, der sich schwerlich jemals mit naturwissenschaftlichen oder gar technischen Fragen näher hatte beschäftigen, hierfür insbesondere in seiner Studienzeit neben dem offiziellen Studium der Philologie und Philosophie und dem privaten der Mathematik nichts hatte übrig haben können.

Bei Veranstaltung dieser Herausgabe erfreute ich mich gütiger Unterstützung von verschiedenen Seiten. In erster Linie gebührt mein Dank Fräulein Margarethe Jacobi in Cannstatt, die . . . mich auch durch weitere Briefe, unter denen ich insbesondere zwei für die Anmerkungen verwertete Kollektionen von Briefen C. G. J. Jacobis an seine Frau, nämlich von der italienischen Reise (1843/44) und von der Marienbader Reise (1839), hervorhebe, freundlichst unterstützte. Ein reiches Material an Briefen und sonstigen Dokumenten, unter denen ich namentlich ein Tagebuch M. H. Jacobis, sowie seine Dienstliste anführe, stellte mir dessen Enkel, Herr P. N. v. Jacobi in Petersburg, aus seinem Familienarchiv, gütigst zur Verfügung.

Die Anhänge enthalten außer dem Verzeichnis der Schriften M. H. Jacobis (Anhang IV) zunächst als Anhang I die Widmung an Friedrich Wilhelm IV. aus den Opuscula mathematica C. G. J. Jacobis. Der Wiederabdruck (Anhang II) eines auch wohl in Fachkreisen durchweg unbekannten Artikels aus den „Grenzboten“, der eine, wenn auch gewiß nicht in allen Punkten treffende, so doch nicht uninteressante Schilderung von C. G. J. Jacobi als Lehrer und Politiker gibt, dürfte wohl als zweckmäßig anerkannt werden.

Dem Briefwechsel beigegeben sind die Porträts der beiden Brüder Jacobi. Das von Moritz J. ist nach einer bereits an anderem Orte publizierten Photographie hergestellt. Dagegen ist das hier beigegebene Porträt von C. Gr. J. Jacobi bisher nicht veröffentlicht.

Briefe müssen natürlich so weit erläutert werden, daß dem Leser nicht, wie bei vielen derartigen Briefausgaben der Fall ist, fortwährend Rätsel aufgegeben werden. Man wird jedoch mit Recht finden, daß zahlreiche Anmerkungen keineswegs unbedingt notwendig waren: Tritt in dem Koenigsbergerschen Werk das biographische Moment mehr zurück, so mußte es in diesem Buche, sollte es eine Ergänzung zu jenem bilden, besonders stark hervortreten. Dieser Gesichtspunkt mußte vornehmlich für die Anmerkungen in Frage kommen, in denen ich daher ein umfangreiches, oft anekdotenhaftes, bald hier, bald dort am Wege aufgelesenes Material unterzubringen bemüht war.

Im gleichen Verlage erschien:

CARL GUSTAV JACOB JACOBI

VON

LEO KOENIGSBERGER

FESTSCHRIFT

ZUR FEIER DER HUNDERTSTER WIEDERKEHR SEINES GEBURTSTAGES

MIT EINEM BILDNIS IN HELIOGRAVÜRE UND DEM FAKSIMILE EINES BRIEFES [XVin u. 554 S.] gr. 8.    1904. In Leinwand gebunden ^16.—

„Die vorliegende Biographie Jacobis ist eine derartig hervorragende Leistung, daß mau wünschen möchte, Herr Koenigsberger möchte sich entschließen, auch das Leben und das geistige Schaffen des unvergleichlichen Gauß in ähnlicher Weise darzustellen.“ (Prof. Dr. G. Holzmüller.)

„Durch dieses Werk, das geradezu als ein Muster einer Lebensbeschreibung gelten kann, hat sich der Verfasser den größten Dank aller seiner Fachgenossen verdient.“

(Wissenschaftliche Beilage der Leipziger Zeitung. 1905. Nr. 106.)

„Bür den Fachmann ist es ein Genuß, durch den oft humorvollen Briefwechsel unter jene mathematische Tafelrunde der dreißiger Jahre versetzt zu werden, die mit Jacobi als ihrem König das mathematische Leben jener Zeit beherrschten. Nur einer steht in unnahbarer Reserve seitwärts, der deus matheseos Gauß Die dramatisch spannende Entdeckungsgeschichte der elliptischen Funktionen hat durch zahlreiche Auszüge aus dom hochinteressanten Briefwechsel der Beteiligten eine lebendige Darstellung erhalten. Kurz, wir dürfen das Buch als eine schöne Bereicherung der biographischen Literatur begrüßen und den Freunden der Mathematik aufs beste empfehlen.“ (Mitteilungen der Deutschen Gesellschaft für Medizin u. Naturwissenschaften. 1905. Nr. 14.)

CARL GrUSTAY JACOB JACOBI.

Rede zu der von dein Internationalen Mathematiker-Kongreß in Heidelberg veranstalteten Feier der hundertsten Wiederkehr seines Geburtstages, gehalten am 9. August 1904

von

Leo Koenigsberger.

Mit einem Bildnis C. G. J. Jacobis. [40 S.] 4.    1904. geh. JC 1.20.

Von W. Ahrens erschienen im gleichen Verlage:

C. G. J. Jacobi als Politiker.

Ein Beitrag zu seiner Biographie.

[45 S.] gr. 8.    1907. geh. JL. 1.20.

Daß C. G. J. Jacobi sich in der Revolutionsära politisch betätigt hat, ist in Fachkreisen wohl allgemein bekannt. Eine eingehendere und anschauliche Schilderung dieser kurzen Lebensperiode, in welcher der berühmte Mathematiker im Vordergründe des politischen Lebens der preußischen Hauptstadt stand, existierte bisher nicht. Der Verfasser dieser Schrift gibt eine solche, wobei er sich auf die einschlägige, insbesondere auch die Tagesliteratur stützt und daneben vielfachen Gebrauch von dem gleichzeitig erschienenen „Briefwechsel zwischen C. G. J. Jacobi und M. H. Jacobi“ macht

Scherz und Ernst in der Mathematik.

Geflügelte und ungeflügelte Worte.

[X u. 522 S.] gr. 8.    1904 In Leinwand geh. JL 8.—

„Eine recht große Zähl von Zitaten knüpft an die Namen Gauß und Jacobi an.“

(Aus dem Vorwort des Verfassers.)

„Ich kann mir nicht anders denken, als daß dieses Buch jedem Mathematiker eine wahre Freude bereiten wird. Es ist zwar keineswegs bestimmt und auch nicht geeignet, in einem Zuge durchgelesen zu werden, und doch, als ich es zum ersten Male in die Hände bekam, konnte ich mich gar nicht wieder davon losreißen, und seit ich es unter meinen Büchern stehen habe, ziehe ich es gar oft hervor, um darin zu blättern.“ (Friedr. Engel, Literarisches Zentralblatt. 1905. Nr. 5.)

Gerade das vorliegende Buch

„ . . . Der Verfasser der „Mathematischen Unterhaltungen“ hat uns mit einem neuen, überaus fesselnden und originellen Werke überrascht, welches man als einen mathematischen „Büchmann“ bezeichnen könnte, wenn es nicht neben aphoristischen Bemerkungen auch längere Briefe und Auseinandersetzungen brächte. Beginnt man zu lesen, so möchte man das Buch nicht aus der Hand legen, bis man zum Ende gelangt ist, und dann werden viele wieder von vom beginnen. Jedem wird es Neues bringen, möge er noch so belesen sein. . gibt einen tiefen Einblick in das Ringen der Geister, und manchem wird durch manche kurze, treffende Bemerkung ein Licht über ganze Gebiete der Wissenschaft aufgehen. Man lernt abwägen zwischen verschiedenen Richtungen und Schulen, und manches imgerechte Urteil wird durch das Buch korrigiert.“ (Prof. Dr. Holzmüller in der Zeitschrift für lateinlose höhere Schulen,

16. Jahrg., p. 30 f.)

„Mit einiger Phantasie kann man dem Buche den Stoff und die Anregung für mehr als ein Drama entnehmen, dessen Handlung und Durchführung spezifisch mathematisch ist — der Schadenfreude gar nicht zu gedenken, welche es bereitet, große Geister in kleinen Dingen auch klein zu sehen, und der Genugtuung, daß die allergrößten auch in kleinen Dingen niemals kleinlich waren.“

(Monatshefte für Mathematik und Physik. 1905.)

„C’est un vrai complément, de toutes les histoires des mathématiques, que personne ne regrettera d’avoir mis dans sa bibliothèque.“    (P. Mansion, Mathesis 1905, p. 266.)

„Die in der deutschen, ja in der Weltliteratur noch vorhanden gewesene Lücke wird durch das vorliegende Buch in der glücklichsten Weise ausgefüllt. . . . Wir können diese Besprechung mit dem aufrichtigen Wunsche beschließen, daß das vortreffliche, auch äußerlich entsprechend ausgestattete Buch in Laienkreisen nicht minder wie in denen der Fachgelehrten sich bald der allgemeinsten Verbreitung erfreuen möge.“ (Münchner Allgemeine Zeitung. 1905. Nr. 268.)

Mathematische Unterhaltungen und Spiele.

[X u. 428 S.] gr. 8    1901.

In Originalband mit Zeichnung yon P. Bürck. JL 10.— Auch geheftet in 2 Teilen zu je JL 5.—

mit

. . Die äußerst schwierige Aufgabe, diese Dinge so zu behandeln, daß nicht nur der Laie Verständnis folgen kann, sondern daß auch das Interesse des Mathematikers von Fach gefesselt wird, hat der Verfasser in einer Weise gelöst, die der höchsten Anerkennung wert ist.*

(Friedr. Engel, Literarisches Zentraiblatt, Juli 1901.)

VERLAG VON B. G. TEÜBNER IN LEIPZIG

DIE TECHNISCHE MECHANIK

ELEMENTARES LEHRBUCH

FÜR MITTLERE MASCHINENTECHNISCHE FACHSCHULEN UND HILFSBUCH FÜR STUDIERENDE HÖHERER TECHNISCHER LEHRANSTALTEN

VON

P. STEPHAN

RE GIERUNG SB AUMEISTÏR

OBERLEHRER AN DER KGL. HÖHEREN MASCHINENBAUSCHULE ZU TOSEN

I. TEIL: MECHANIK STARRER KÖRPER

MIT 255 FIGUREN IM TEXT

[VIII u. 344 S.] gr. 8. 1904. In Leinwand geb. Mk. 7.—

II. TEIL: FESTIGKEITSLEHRE UND MECHANIK DER FLÜSSIGEN UND GASFÖRMIGEN KÖRPER

MIT 200 FIGUREN IM TEXT

[VIII u. 332 S.] gr. 8. 1906. In Leinwand geb. Mk. 7.—

Das vorliegende Buch schließt sich größtenteils dem Lehrplan für die preußischen höheren Maschinenbauschulen an und versucht, die technische Mechanik mit Hilfe elementarer Rechnungen in möglichst knapper Form darzusteHen. Um die Tragweite und die Anwendung der einzelnen Sätze zu zeigen, wurde ihnen eine große Anzahl ausführlich durchgerechneter Beispiele beigegeben, die, soweit möglich, der Praxis entnommen und häufig so gewählt wurden, daß sich daran eine weitere Diskussion anschließen kann, wie es bei einigen Beispielen auch angedeutet ist.

Diese Beispiele und einige wenige kurze Teile, die in der Fachschule hei der ersten Durcharbeitung des Ganzen über-

schlagen werden dürften, machen das Buch auch als Übungsbuch und Repetitorium für Studierende technischer Hochschulen brauchbar; es enthält etwa das Minimum dessen, was ein Student im Vorexamen wissen muß, und annähernd das Maximum dessen, was in einer höheren Maschinenbauschule mit Erfolg durchgearbeitet werden kann.

In dem zweiten Teil wird die Mechanik elastischer fester Körper in der für den Techniker besonders wichtigen Form der Festigkeitslehre, darauf die Mechanik flüssiger Körper, soweit sie für Maschinentechniker von Bedeutung ist, und schließlich die der gasförmigen entwickelt. Während die meisten elementaren Lehrbücher der Festigkeitslehre die einfachen Beanspruchungsfälle mit großer Ausführlichkeit erörtern, aber auf die überwiegend yorkommenden der zusammengesetzten Beanspruchung nur in einem, gewöhnlich recht kurzen, Anhang eingehen, werden hier gerade letztere, soweit sie mit den Hilfsmitteln der elementaren Mathematik zugänglich gemacht werden können, an Hand vieler der maschinentechnischen Praxis entnommenen Beispiele eingehend besprochen. In einigen Fällen mußten naturgemäß Näherungsrechnungen angegeben werden, die aber im Ergebnis von den genauen, nur mit Hilfe der höheren Mathematik durchzuführenden wenig abweichen. Der Abschnitt über gasförmige Körper ist ebenfalls rein mit Rücksicht auf die maschinentechnischen Anwendungen bearbeitet worden und bietet am Schluß neben den theoretischen Rechnungen über die Gasmaschine auch die Berechnungsgrundlagen der Dampfturbine in zeichnerischer Weise mit Hilfe des Boulvinschen Diagrammes.“

Aus Urteilen über den I. Teil:

(Literaturblatt zu Glasers Annalen für Gewerbe und Bauwesen. 56. Band. Heft 1.)

„Das Hilfsbuch wird dem Lehrplan für höhere Maschinenbauschulen durchaus gerecht. Besonders schätzenswert ist die Beigabe zahlreicher ausführlich durchgerechneter Beispiele zu den einzelnen Lehrsätzen, welche das Buch als Übungsbuch für Studierende sehr geeignet machen. Bemerkenswert ist ferner, daß Verfasser sich bemüht hat, die Bezeichnungen für die in den Formeln gebrauchten Größen aus dem Taschenbuch der „Hütte“ zu übernehmen.

.. So bestand die Aufgabe des Verfassers darin, aus dem großen sonst behandelten Stolf das auszuwählen, was für Maschinentechniker wichtig ist und elementar behandelt werden kann, und hauptsächlich die Anwendung der Lehrsätze auf maschinentechnische Beispiele zu zeigen. Diese Aufgabe hat der Verfasser in gelungener Weise gelöst. Die Lehrsätze sind in einfacher klarer Sprache vorgetragen und stets durch Zahlenbeispiele illustriert. In letzterer Hinsicht kann auch ein Studierender einer technischen Hochschule, der sich in die Anfangs-

gründe der technischen Mechanik einarbeiten und sich durch Lösen von Zahlenbeispielen üben will, manchen Nutzen ziehen. In dèn Zahlenbeispielen, unter denen zahlreiche dem Gebiet der Maschinenelemente und Hebezeuge entnommen sind, liegt für die Schüler der Hauptwert des Buches; mit der technischen Anwendung und der konki-eten Zahl haben sie ja späterhin stets zu tun. Erfahrungskoeffizienten sind in reichlicher Menge zu finden ...

(Dinglers Polytechnisches Journal. 86. Jahrgang. Heft 22.)

... Das Buch kann den Lehrern und Schülern höherer Maschinenbauschulen und mittlerer technischer Lehranstalten warm empfohlen werden.“

„... Gut eignet es sich für den Studierenden, bezw. Lehrer der Mathematik. Diese werden mit interessanten Kapiteln der angewandten Mathematik bekannt und, was mehr ist, sie werden an einer großen Anzahl gut gewählter Beispiele mit dem Stoffe vertraut. Es wird dadurch auch manches wertvolle Korn für die Lehrstunde abfallen...“

(Zeitschrift für das Realschulwesen. 31. Jahrgang. Nr. 7.)

„Jede technische Schule hat ihren Lehrer der Mechanik, und dieser ist bemüht, ein den Erfordernissen der Schule angemessenes Buch zu verfassen. Der Stoff ist daher auch allseitig erschöpft, und es erübrigt nur, bezüglich der Form und Wiedergabe denselben zu einem nützlichen und leicht verständlichen Werke zusammenzufassen. Dies ist dem Autor des vorliegenden Bandes in hohem Grade gelungen. Seine Abhandlung ist kurz, bündig, treffend; die Einteilung sowie die Figuren sind übersichtlich; die begleitenden 190 Beispiele sind sehr gut gewählt. Nebst-dem enthält das Buch eine Menge von der Praxis entnommenen nützlichen Angaben. Da auch die Ausstattung sehr vollkommen ist, muß das Lehrbuch als ein sehr gediegenes bezeichnet werden.“

(Zeitschrift des österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereins. 1904. Nr. 41.)

.. Besonders hervorzuheben sind die 190 größtenteils der Praxis entnommenen, ausführlich durch gerechneten Beispiele, sowie das ausführliche Sachregister. Alles in allem kann das Buch zur Einführung in die technische Mechanik wohl empfohlen werden. Auch der Mathematiker und Physiker wird es mit Interesse studieren, und der Lehrer kann manches darin finden, was zur Belebung des Unterrichtes mit Aufgaben aus der Praxis verwendet werden kann.“

(Dr. Robert Mayr in der Bayerischen Zeitschrift für Realschulwesen.)

„Einen besonderen Vorzug der Darstellung bildet die Klarheit und Schärfe der Disposition sowohl des Werkes im ganzen wie seiner einzelnen Abschnitte. Gleich in der Einleitung wird der Gegenstand in leicht verständlicher und scharf umrissener Form festgelegt und gegen die Phoro-nomie einerseits, gegen die Physik andererseits abgegrenzt. Es folgt, knapp aber anschaulich begründet, die Gliederung des Stoffes in fünf Hauptabschnitte und die Festsetzung des Einteilungsgrundes für ihre Unterabteilungen, von denen zunächst die Statik, dann nach einem einleitenden Abschnitte über die geometrische Bewegungslehre des Massenpunktes die Dynamik des letzteren bezw. starrer Systeme behandelt wird. Diese Anordnung darf man vom Standpunkte der Methode aus um so mehr billigen, als trotz der durch letztere begründeten Voranstellung der Statik vor den rein geometrischen Teil der Mechanik der systematische Aufbau des Ganzen klar erkennbar bleibt.

Von mustergültiger Klarheit und Schärfe, wie Plan, Anlage und Gliederung des Buches selbst, sind auch die gegebenen Definitionen so-

wohl der Sachen als der Methoden und der nach denselben durchgeführten Beispiele. Sie sichern dem Buche eine weit ausgedehntere Verwendbarkeit als der eines „elementaren Lehrbuches für mittlere maschinentechnische Fachschulen und eines Hilfsbuches für Studierende höherer technischer Lehranstalten“, sie eignen es vielmehr auch zu einem vorzüglichen Hilfsmittel für den physikalischen Unterricht an höheren, namentlich realistischen Schulen. Auch dieser wird sich, wo er kann, gern der einfachen Erklärungen und Methoden des Verfassers bedienen, weil sie ihm neben dem Vorteile möglichst bequemer praktischer Verwendung noch den didaktischen Gewinn leicht faßlicher, alle überflüssigen Einzelheiten ausschaltender Darstellung bieten.

Ferner kann auch ihm die reiche, nahe an 200 Nummern umfassende Sammlung vollständig entwickelter und durchgeführter Beispiele als Muster schulgemäßer Darstellung in Ausdruck und Form und als Fundgrube aus dem Leben gegriffener und darum das Interesse der Schüler packender Aufgaben empfohlen werden. Viele davon machen so wenig technische Voraussetzungen, daß sie glatt in den Primaunterricht übernommen werden können: Vor allem gilt dies natürlich von den Beispielen aus der reinen Phoronomie ; sie verdienen Berücksichtigung seitens der Schule namentlich auch deshalb, weil sie durch die Einführung und Benutzung graphischer Methoden und durch die grundsätzliche Durchführung des absoluten Maßsystems hervorragend geeignet erscheinen, die Hilfsmittel der neueren Technik dem weiteren Kreise der Gebildeten verständlich und zugänglich zu machen. Aber auch viele Aufgaben der eigentlichen mechanischen Abschnitte lassen sich, sei es sachlich, sei es nur methodisch, für den Unterricht auf der obersten Klasse wohl verwerten.“

Die Ausstattung des Buches ist vorzüglich.

(M. Schuster im Pädagogischen Archiv. 1905. Heft 3.)

Inhalt des I. Teiles.

Mechanik starrer Körper.

Erste Abteilung. Grundlehren und Statik des Massenpunktes .......................

I.    Abschnitt Einleitung. 1. Gegenstand der Mechanik.

2. Einteilung der Mechanik...............

II.    Abschnitt. Grundlehren von den Kräften. 3. Begriff

und Bestimmung der Kraft. 4. Vergleichung der Kräfte. 5. Wirkung und Gegenwirkung.............

III.    Abschnitt. Statik des Massenpunktes, a) Kräfte,

die an einem Punkt angreifen und in derselben Ebene wirken. 6. Zusammensetzung von Kräften, welche in dieselbe Wirkungslinie fallen. 7. Satz vom Parallelogramm der Kräfte. 8. Zerlegung von Kräften. 9. Gleichgewichtsbedingungen. b) Kräfte, die an einem Punkt angreifen und nach beliebigen Richtungen im Raume wirken. 10. Satz vom Parallelepiped der Kräfte. 11. Mittelkraft einer beliebigen Anzahl von Kräften, die in demselben Punkt angreifen. 12. Gleichgewichtsbedingungen.............

Zweite Abteilung. Statik starrer Körper.......

IV.    Abschnitt. Starre, frei bewegliche Körper, a) In einer Ebene wirkende Kräfte. 13. An einem Punkt an-

Seite

1—18

1—3

3—5

5—18

19—193

greifende Kräfte. 14. An verschiedenen Punkten angreifende Kräfte. 15. Sätze vom statischen Moment. 16. Rechnerische Bestimmung der Mittelkraft beliebiger, in einer Ebene wirkender Kräfte. 17. Kräftepaare. 18. Gleichgewichtsbedingungen für beliebige in einer Ebene wirkende Kräfte, b) Nach beliebigen Richtungen im Raum wirkende Kräfte.

19. In verschiedenen Ebenen liegende Kräftepaare. 20. Zusammensetzung beliebiger Kräfte im Raume. 21. Zusammensetzung und Mittelpunkt paralleler Kräfte im Raume. 22. Allgemeine Gleichgewichtsbedingungen, c) Der Schwerpunkt.

23. Schwerkraft, Gewicht, Schwerpunkt. 24. Spezifisches Gewicht, Gewichts- und Krafteinheit, Dichtigkeit. 25. Allgemeine Schwerpunktsätze. 26. Schwerpunkte von Linien:

Gerade Linie, Gebrochene Linie, Dreiecksumfang, Parallelogrammumfang, Kreisbogen. 27. Schwerpunkte von Flächen: Dreiecksfläche, Parallelogramm, Paralleltrapez, Beliebiges Viereck, Beliebiges Vieleck, Kreissektor, Kreissegment, Ellipsenhälfte, Parabelfläche, Fläche der Kugelzone und Kugelkalotte, Mantel der Pyramide und des Kegels.

28. Schwerpunkte von Körpern: Dreiseitige Pyramide, Beliebige Pyramide und Kegel, Prisma und Zylinder mit parallelen Endflächen, Kugelsektor, Kugelsegment. 29. Die Guldinsche Regel. 30. Zeichnerische Ermittlung des Schwerpunktes ........................

V.    Abschnitt. Statik starrer Körper von beschränkter Beweglichkeit, a) Widerstände fester Stützpunkte eines starren Körpers. 31. Auf einer Fläche festgehaltener materieller Punkt. 32. Gleichgewicht eines starren Körpers mit einem festen Stützpunkt. 33. Der Hebel. 34. Hebelwagen. 35. Starrer Körper mit zwei Stützpunkten. 36. Starrer Körper mit drei Stützpunkten, b) Unterstützung eines starren Körpers durch feste Flächen. 37. Stabilität eines auf einer Ebene ruhenden starren Körpers. 38. Die gleitende Reibung. 39. Die schiefe Ebene. 40. Bewegung in Keilnuten. 41. Der Keil, c) Um eine Achse drehbare Körper. 42. Das Rad an der Welle.

43. Die Rolle, Flaschenzüge. 44. Die Zapfenreibung. 45. Der

- Rollwiderstand. 46. Die Reibungsräder. 47. Die Schraube.

48. Das Schneckenrad..................

VI.    Abschnitt. Statik seilartiger, unelastischer Körper. 49. Die Seilreibung. 50. Die Bandbremse. 51. Riemen-und Seiltriebe. 52. Die Seilsteifigkeit und Kettenreibung.

53. Wirkungsgrad der Flaschenzüge. 54. Die Gleichgewichtslage eines freihängenden Seiles.............

Dritte Abteilung. Statik starrer Körpersysteme . . . 194—218

VII.    Abschnitt. Statik starrer Stabverbindungen.

55. Verbindung zweier Gelenkstäbe. 56. Verbindung dreier Gelenkstäbe. 57. Di’eiecksfachwerke ...........

VIII.    Abschnitt. Bewegliche Stabverbindungen. 58. Die

Briefwage und die Robervalsche Tafelwage. 59. Die Brückenwage. 60. Kniehebelpresse und Steinzange........

19—80

80—168

168—193

194—212

213—218

Vierte Abteilung. Dynamik des Massenpunktes. . . . 219—293 IX. Abschnitt.

Geometrische Bewegungslehre des Mas se np unkt es. 61. Bahn und Bewegung eines Punktes. 62. Gleichförmige Bewegung. 63. Ungleichförmige Bewegung.

64. Gleichförmig veränderte Bewegung. 65. Oscillations-bewegung. 66. Zusammensetzung von Bewegungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. 67. Normal- und Tangentialbeschleunigung................

X. Abschnitt. Grundlehren der Dynamik. 68. Das Beharrungsvermögen. 69. Zusammenhang zwischen Kraft, Beschleunigung und Masse. 70. Mechanische Arbeit, Leistung.

71.    Das Arbeitsvermögen................

Die Bewegung des Massenpunktes.

72.    Der freie Wurf. 73. Bewegung auf einer horizontalen

Ebene. 74. Bewegung auf einer schiefen Ebene. 75. Bewegung auf einer vorgeschriebenen krummlinigen Bahn. 76. Bewegung im wagerechten Kreise. 77. Bewegung im lotrechten Kreise. Mathematisches Pendel.................

219—246

246—264

XI. Abschnitt.

264—293

Fünfte Abteilung. Dynamik starrer Körper......

XII.    Abschnitt. Allgemeine Sätze und fortschreitende Bewegung. 78. Innere Kräfte, d’Alemberts Satz. 79. Satz von der Arbeit. 80. Satz von der Bewegung des Schwerpunktes 294—300

XIII.    Abschnitt. Drehbewegung. 81. Arbeitsvermögen eines Körpers bei der Drehung um eine feste Achse. 82. Allgemeine Sätze über Trägheitsmomente. 83. Bestimmung von Trägheitsmomenten homogener Gebilde : Gerader Stab, Rechteckige Platte, Dreieckige Platte, Kreisförmige Platte, Kugel,

Gerader Kreiskegel. 84. Die Winkelbeschleunigung. 85. Das physische Pendel. 86. Gleichzeitige Verschiebung und Drehung........................

XIV.    Abschnitt. Der Stoß. 87. Allgemeine Bemerkungen.

88. Der gerade, zentrische Stoß. 89. Der schiefe, zentrische Stoß. 90. Der exzentrische Stoß.............

Sachverzeichnis....................

294—339

300—324

324—339

340

Inhalt des II. Teiles.

Festigkeitslehre und Mechanik der flüssigen und gasförmigen Körper.

Erste Abteilung. Mechanik elastischer fester Körper 1—180 I. Abschnitt. Die einfachen Beanspruchungsfälle.

1. Nichtstarre Körper. 2. Elastische feste Körper. 3. Zugbeanspruchung. 4. Druckbeanspruchung. 5. Schubbeanspruchung. 6. Allgemeine Sätze über Biegungsbeanspruchung.

7. Trägheits- und Widerstandsmomente: Allgemeine Sätze,

Rechteck, Dreieck, Kreis, Ellipse. 8. Der Freiträger. 9. Der auf zwei Stützen liegende Träger. 10. Träger gleicher Biegungsfestigkeit. 11. Durchbiegung des Freiträgers.

12.    Durchbiegung des auf zwei Stützen liegenden Trägers.

13.    Auf zwei Stützen gelagerter, eingespannter Träger.

14.    Prismatischer Träger auf drei Stützen. 15. Biegung aus verschiedenen Stoffen zusammengesetzter Träger. 16. Verdrehungsbeanspruchung. 17. Zerknickungsbeanspruchung. .

1—96

96—144

IÎ. Abschnitt. Zusammengesetzte Beanspruchungen.

18. Zug oder Druck und Biegung, wenn die Formänderungen klein bleiben. 19. Zug oder Druck und Biegung bei erheblichen Formänderungen. 20. Biegung durch Kräfte, die in verschiedenen Ebenen wirken. 21. Biegung und Knickung.

22. Schubspannungen und Normalspannungen. 23. Zug- bzw.

Druck- und Verdrehungsbeanspruchung. 24. Biegungs- und Verdrehungsbeanspruchung...............

III.    Abschnitt. Stabförmige Körper mit gekrümmter Mittellinie. 25. Exzentrische Zug-oder Druckbeanspruchung 144—155

IV.    Abschnitt. Plattenförmige Körper und Gefäße.

26. Ebene kreisförmige Platte. 27. Ebene elliptische Platte.

28. Ebene quadratische Platte. 29. Ebene rechteckige Platte.

30. Ebene Zylinderböden mit Krempung. 31. Dünnwandige Gefäße unter innerem Druck. 32. Dünnwandige Gefäße unter äußerem Druck. 33. Schnell umlaufende Gefäße

155—180

Zweite Abteilung. Mechanik flüssiger Körper .... 181—243

V.    Abschnitt. Statik flüssiger Körper. 34. Allgemeine

181—203

Eigenschaften flüssiger Körper. 35. Gleichgewicht einer von allen Seiten fest umschlossenen Flüssigkeit. 36. Flüssigkeitsspiegel, Bodendruck. 37. Seitendruck. 38. Auftrieb. 39. Stabilität schwimmender Körper. 40. Gleichgewicht bewegter Flüssigkeiten......................

VI.    Abschnitt. Dynamik flüssiger Körper, a) Ausfluß aus Gefäßen. 41. Ideeller Ausfluß durch eine Bodenöffnung.

42. Ideeller Ausfluß aus Seitenöffnungen. 43. Entleerung von Gefäßen. 44. Wirkliche Ausflußgeschwindigkeit und -Menge.

45. Rückwirkung ausfließender Flüssigkeiten. 46. Stoßdruck der Flüssigkeiten, b) Bewegung in Rohrleitungen. 47. Hydraulischer Druck. 48. Einfluß plötzlicher Querschnittsänderungen. 49. Leitungswiderstand in zylindrischen Rohren, c) Einwirkung auf feste in der Flüssigkeit befindliche Körper.

50.    Druck strömender Flüssigkeiten gegen ruhende Körper.

51.    Widerstand bewegter Körper in Flüssigkeiten..... 203—243

Dritte Abteilung. Mechanik der Gase und Dämpfe. . 244—283

VII.    Abschnitt. Gleichgewicht der Gase. 52. Eigenschaften der Gase, spezifisches Volumen. 53. Mariotte-Gay-Lussacsches Gesetz. 54. Gasgemische. 55. Spezifische Wärme, mechanisches Wärmeäquivalent. 56. Isothermische Zustandsänderung. 57. Adiabatische Zustandsänderung. 58. Polytropische Zustandsänderung. 59. Kreisprozeß. 60. Der Carnotische Kreisprozeß. 61. Entropie; das Wärmediagramm . 244—320

VIII.    Abschnitt. Gleichgewicht der Dämpfe. 62. Ent

283—301

stehung und Eigenschaft der Dämpfe. 63. Das Boulvinsche Wärmediagramm....................

IX.    Abschnitt. Dynamik der Gase und Dämpfe. 64. Aus

301—320

fluß aus einer ebenen Wandöffnung. 65. Widerstandsverluste in Rohrleitungen. 66. Ausströmung aus Düsen......

321

Anhang. Tabellen...................

327

Sachverzeichnis.....................

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig.

Encyklopädie der Elementar-Mathematik.

Ein Handbuch für Lehrer nnd Studierende von

Dr. Heinrich Weher und Dr. Joseph Wellstein,

Professoren an der Universität Straßburg.

In 3 Bänden.

I. Elementare Algebra und Analysis.

Bearbeitet von H. Weber. 2. Auflage. Mit 38 Figuren im Text. [XVIII u. 539 S.] gr. 8. 1906. In Leinwand geb. n. Ji. 9.60.

II. Elemente der Geometrie.

Bearbeitet von H. Weber, J. Wellstein und W. Jaeobsthal. Mit 280 Textfiguren. [XII u. 604 S.] gr. 8.    1905. In Leinwand geb. n. Ji 12.—

III. Anwendungen der Elementar-Matliematik. [U. d. Pr.]

Das Werk verfolgt das Ziel, den künftigen Lehrer auf einen wissenschaftlichen Standpunkt zu stellen, von dem aus er imstande ist, das, was er später zu lehren hat, tiefer zu erkennen und zu erfassen und damit den Wert

dieser Lehren für die allgemeine Geistesbildung zu erhöhen. — Das Ziel dieser Arbeit ist nicht in der Vergrößerung des Umfanges der Elementar-Mathematik zu ersehen oder in der Einkleidung höherer Probleme in ein elementares Gewand, sondern in einer strengen Begründung und leicht faßlichen Darlegung der Elemente. Das Werk ist nicht sowohl für den Schüler selbst, als für den Lehrer und Studierenden bestimmt, die neben jenen fundamentalen Betrachtungen auch eine für den praktischen Gebrauch nützliche, wohlgeordnete Zusammenstellung der wichtigsten Algorithmen und Probleme darin finden werden.

Bestellzettel.

Bei der

Buchhandlung in .........................................................-.................-................—................-

bestellt der Unterzeichnete hiermit aus dem Verlage von B. G. Teubner in Leipzig [zur Ansicht]:

P. Stephan, Die technische Mechanik. In 2 Teilen. I. Teil. Mechanik starrer Körper. Mit 255 Figuren im Text. [VIII u. 344 S.] gr. 8.    1904. In Leinwand geb. Ji 7.—

II. Teil. Festigkeitslehre und Mechanik der flüssigen und gasförmigen Körper. Mit 200 Figuren im Text [VIII u. 332 S.] gr. 8.    1906. In Leinwand geb. Ji 7. —

Unterschrift :

Ort, Wohnung:

Soeben erschien:

VORLESUNGEN ÜBER DIFFERENTIAL- und INTEGRALRECHNUNG

VON

EMANUEL CZUBER

O. ö. PROFESSOR AN »ER TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZU WIEN

In 2 Bänden. 2., sorgfältig durchgesehene Auflage.

I.    Band. Differentialrechnung. Mit 115 Figuren im Text.

[XIV u. 560 S.] gr. 8.    1906. In Leinwand geb. n. M. 12.—

II.    Band. Integralrechnung. Mit 87 Figuren im Text.

[VIR u. 532 S.] gr. 8.    1906. In Leinwand geb. n. JC. 12.—

Bei der Abfassung dieses Werkes hat sich der Verfasser als Ziel gesteckt, eine Darstellung der theoretischen Grundlagen der Infinitesimalrechnung in organischer Verbindung mit deren Anwendungen, insbesondere den geometrischen, von solchem Umfange zu geben, als es einerseits für das Studium jener angewandten Disziplinen, in denen die Mathematik den Grund zu legen hat, erforderlich ist, und als es andererseits die Vorbereitung für das Eintreten in Spezialgebiete der Analysis voraussetzt. Er hatte in erster Linie die Bedürfnisse der Technischen Hochschulen im Auge, wo eine so geartete Behandlung des Gegenstandes allein am Platze ist, glaubt aber, daß auch Studierende der Mathematik im engeren Sinne von dem Buche mit Nutzen werden Gebrauch machen können; denn die reichliche Bedachtnahme auf die Anwendung der theoretischen Sätze soll nicht bloß dazu dienen, das Interesse an dem Gegenstände, das ja hier vorausgesetzt werden muß, wach zu erhalten, sie ist vielmehr geeignet, das Verständnis der Theorie zu fördern und zu vertiefen. — Bei der Auswahl und Behandlung der Beispiele wurde der Grundsatz festgehalten, daß es sich darum handelt, die theoretischen Sätze an denselben zu mannigfacher, durchsichtiger Anwendung zu bringen, durch sie aber auch zur Vermehrung des Wissensstoffes beizutragen. Zahlreiche Textfiguren unterstützen den Vortrag.

Vorwort zur zweiten Auflage.

Bei der Bearbeitung der zweiten Auflage hat die Gesamtanlage des Werkes eine Änderung nicht erfahren, da mir weder die Urteile der Kritik noch die eigenen seither gemachten Erfahrungen eine solche als notwendig erscheinen ließen. Hingegen ist alle Sorgfalt darauf verwendet worden, den Inhalt abzurunden und den Zwecken, für welche das Buch bestimmt ist, vollkommener anzupassen; wo es angezeigt schien, die Darstellung präziser zn gestalten und die Ergebnisse schärfer zu formulieren. Von größeren Erweiterungen des Inhalts seien erwähnt im I. Bande die hyperbolischen Funktionen, der Begriff der Funktion einer komplexen Variablen; im II. Bande die Eu 1er sehen Integrale, die Fourier sehen Reihen, Moment-und Schwerpunktsbestimmungen, die Sätze von Green. Die Einfügung historischer und literarischer Notizen wird manchem willkommen sein; auch die ziemlich zahlreichen, an passenden Stellen vorgelegten Probleme dürften zur Verwendbarkeit des Buches beitragen. So hoffe ich, die Absichten, welche mir bei der Anlage des Werkes vorschwebten, der Verwirklichung näher gebracht zu haben.

E. Czuber.

Wien.

Urteile.

„Auf dieses Werk, welches zu den besten seiner Art zu zählen ist, möchte ich die Aufmerksamkeit der Leser ganz besonders hinlenken. Obgleich das Werk in erster Linie für die Studierenden an technischen Hochschulen bestimmt ist, kann es doch auch den Mathematik-Studierenden der Universitäten warm empfohlen werden, da es den Anfänger in vortrefflicher Weise in die Infinitesimalrechnung einzuführen geeignet ist. Nicht minder aber sei das Werk Denen empfohlen, welche seit einer längeren Reihe von Jahren sich nicht mit der Infinitesimalrechnung beschäftigt haben und nun sofort eine modernen Anforderungen in bezug auf Strenge genügende Darstellung derselben kennen lernen wollen. Überall tritt in dem Werke das Bestreben des Herrn Verfassers zu Tage, den strengeren Untersuchungen, durch welche in den letzten Jahrzehnten die Analysis bereichert worden ist, Rechnung zu tragen und sich auf den Boden der modernen Forschung zu stellen, soweit dies in einem für Anfänger bestimmten Buche tunlich und durchführbar ist. Infolgedessen

findet man überall ein tieferes Eindringen in solche theoretische Betrachtungen, mit denen jetzt auch der Anfänger möglichst schueli vertraut werden muß. Um in dieser Beziehung nur einige Punkte hervorzuheben, nenne ich die Einführung der Irrationalzahlen nach Dedekind-Cantor, die Sätze über stetige und unstetige Funktionen, über den vor- und rückwärts genommenen Differentialquotienten, dann besonders den Abschnitt über Reihen mit variabelen Gliedern, die exakte Darstellung der Theorie der Extremwerte für Funktionen von mehreren Veränderlichen, und anderes mehr. Dabei sei aber betont, daß andrerseits jedes Übermaß fast durchweg glücklich vermieden ist und solche subtile Untersuchungen, für welche der Anfänger noch kein Interesse und Verständnis haben kann und welche erst dem bereits mit der Infinitesimalrechnung Vertrauteren von Nutzen und Wert sein können, nicht in das Werk aufgenommen sind. Ferner ist, was für den Anfänger nicht weniger wertvoll ist, auf die geometrische Interpretation der Formeln und Sätze ein Hauptgewicht gelegt und den Anwendungen, welche fast durchweg der Geometrie entnommen sind, ein breiter Raum gewährt. Ebenso ist die Auswahl der Beispiele, bei welchen gleichartige möglichst vermieden sind, eine recht geschickte, da jedes neue Beispiel den Leser in seinem Wissen fördert . . .“    (Zeitschrift für den mathematischen und natur

1900. Heft 1.)

wissenschaftlichen Unterricht.

(A. v. Braunmühl in den Blättern für das bayrische Gymnasialschulwesen.)

„Was ferner beide Bände vorteilhaft vor anderen ähnlichen Büchern auszeichnet, das ist die vorzügliche Auswahl und die klare Behandlung der zahlreichen, zum Teile völlig neuen Beispiele, welche namentlich die geometrischen Anwendungen der Methoden erläutern; und nach dieser Richtung kann nach Ansicht des Referenten gerade den Technikern niemals zu viel geboten werden. Für sie ist auch namentlich das Kapitel über Massenanziehung und Potential im 4. Abschnitte des II. Bandes von besonderem Werte, sowie die Anwendungen der Differentialgleichungen, deren Theorie man in gedrängtem Rahmen wohl kaum irgendwo besser dargestellt finden dürfte.“

„. . . Die Klarheit und Präzision der Darstellung, die strengwissenschaftliche Behandlung der einzelnen Partien, die stete Rücksichtnahme auf die Anwendungen, namentlich auf die Geometrie, welche wir gelegentlich der Besprechung des ersten Bandes mit Anerkennung hervor heben mußten, zeichnet auch diesen Band aus. Es ist das vorliegende Buch nicht nur im Sinne des Technikers, sondern auch des Fachmannes, der Mathematik um ihrer selbst willen betreibt, verfaßt; der ausgezeichnete Autor hat in allen Teilen seiner Entwicklungen gestrebt, jeder Theorie mehrere Seiten abzugewinnen, so z. B. hat er in der Lehre von den Differentialgleichungen die geometrische Bedeutung derselben stets im Auge gehabt . . .

... So scheiden wir von einem Werke, das uns schöne Stunden geistigen Genusses bereitet hat, und dies nicht nur wegen des reichen und gut gewählten Inhaltes, sondern wegen der überall lichtvollen Darstellung, die dem Buche sein besonderes Gepräge verleibt. Der Verfasser zeigt sich gerade darin als ausgezeichneter akademischer Lenrer, der auch maucher spröden Materie Leben zu geben vermag. Das Buch ist für die Hochschule geschrieben ; es soll den in die Tiefen der Mathematik Ein dringenden, dem Techniker auch ein verläßlicher Ratgeber bei späteren Detailforschungen sein, die es anbahnt. Daß es dem Autor gelungen ist, sein Buch in jeder Beziehung nützlich zu gestalten, wird ihm wohl jeder zugeben, der sich mit demselben beschäftigt hat. Möge der Verbreitungskreis der Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung von Prof. Czuber ein recht großer sein.“

(Zeitschrift für die österreichischen Gymnasien. 1899. Heft 12.)

Inhaltsverzeichnis.

I. Teil. Differential-Rechnung.

Erster Abschnitt.

Variable und Funktionen.

'SK zQo ZOO

W W K

Entwicklung des Zahlbegriffs

Variable..........

Funktionen........

S. 1—11

S. 13—15 S. 15—39

h co ^    io io

'SK zQO <UK zOo    zCK zOo

Zweiter Abschnitt.

Differentiation von Funktionen einer Variablen.

Der Differentialquotient und das Differential . . . . S. Allgemeine Sätze über Differentiation . . . Differentialquotienten der elementaren Funktionen . S. Allgemeine Sätze über den Zusammenhang einer Funktion mit ihrem Differentialquotienten . . .

Die höheren Differentialquotienten und Differentiale . S. Transformation der unabhängigen Variablen

. . S.

. . S.

42—49

52—57

58—74

78—84

85—90

94—97

Dritter Abschnitt.

Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen.

zCK

Partielle Differentialquotienten und Differentiale. Das totale Differential

zQO ujo zoo

03 tO

S. 100—110

Die höheren Differentialquotienten und Differentiale. S. 112—118 Differentiation zusammengesetzter und impliziter Funktionen .........

Transformation der Variablen

S. 122—139 S. 140—164

Vierter Abschnitt.

Reihen.

zoo zoo zoo zCK zOo

o* 03 to j-*

S. 159—191 S. 194—214

Reihen mit konstanten Gliedern Reihen mit variablen Gliedern.

Die Formeln und Reihen von Taylor und Maclaurin. S. 215—241 Die elementaren Funktionen einer komplexen Variablen S. 244—259 Die unbestimmten Formen

S. 261—277

Fünfter Abschnitt.

Maxi in a und Minima der Funktionen.

r-i    CO

zOo zOo    z/K

Maxima und Minima der Funktionen einer Variablen S. 280—299 Maxima und Minima der Funktionen mehrerer unabhängigen Variablen..............

Maxima und Minima von Funktionen mehrerer abhängigen Variablen..............

S. 302—316

S. 317—321

Inhaltsverzeichnis.

ZQO ZQO ZQO t/jT- ZÛO ZOO ZOO ZOO

co «a oi ü« jfk co R) k

Sechster Abschnitt.

Anwendung der Differential-Rechnung auf die Untersuchung von Kurven und Flächen.

A. Ebene Kurven.

Die Tangente und die Normale

Asymptoten.........

Gestaltung einer Kurve in der Umgebung eines Punktes S. 375—381 Verhalten zweier Kurven in der Umgebung eines gemeinsamen Punktes................

Länge eines Kurvenbogens. Bogendifferential. . . . S. 394—397

Krümmung ebener Kurven.........

Die singulären Punkte ebener Kurven ....

Einhüllende Kurven.............

S. 330—357 S. 359—372

S. 384—391

. . S. 399—417 . . S. 419-431 . . S. 433—439

B. Raumkurven und krumme Flächen.

tH

ui ce .b «o e-

Z0S    c#s von zffi z&i

Tangente und Normal ebene einer Raumkurve. Die erste Krümmung oder Flexion . .

Oskulationsebenen einer Raumkurve.

Krümmung oder Torsion.....

Tangenten und Tangentialebenen, Normalen und

Normalebenen einer krummen Fläche......

Einhüllende Flächen.....

Die Polarfläche einer Raumkurve Krümmung von Kurven auf krummen Flächen . . . S. 520—535

S. 539—559

Spezielle Kurven auf krummen Flächen

Die zweite

S. 446—455

S. 458—474

S. 476 - 486 S. 490—503 S. 507—516

II. Teil. Integral-Rechnung.

Erster Abschnitt.

Grundlagen der Integral-Rechnung.

Das bestimmte und das unbestimmte Integral. . . . S. 1—22 Grundformeln und -Methoden der Integral-Rechnung S. 24—35

Zweiter • Abschnitt.

Unbestimmte Integrale.

gJ-B

Bf*

g iS 3

^ H g

Hi

g-j s

'4 S g

S -a -ö

fl fl fl o o o

³³ «3

ÖD & bC © © © -ł-³ -4-3 -4-2

Ö fl fl

H H H

H ÇÎ CO

COS ZJQO ZOO

7:

r-

mmm

39—58

57—81

83—104

t4 co    *d    «d t>

Oft zjOo zjOo    voo    zoo Ufr

Dritter Abschnitt.

Einfache und mehrfache bestimmte Integrale.

Wertbestimmung und Schätzung bestimmter Integrale S. 106—121 Erweiterung des Integralbegriffs Integration unendlicher Reihen Differentiation durch Integrale definierter Funktionen S. 157—164 Integration durch Integrale definierter Funktionen.

Das Doppelintegral..............

Drei- und mehrfache Integrale...........

Analytische Anwendungen............

S. 122—138 S. 144—149

S. 170—191 S. 195-202 S. 204—220

iH (N* CO ^ *0 SO zJOn cOo cos cOs cos cos cos

Inhaltsverzeichnis.

Vierter Abschnitt.

Anwendungen der Integral - Rechnung.

Quadratur ebener Kurven Rektifikation von Kurven

S. 224—249 S. 250—254

Kubatur krummflächig begrenzter Körper.....S. 260—276

Quadratur krummer Flächen...........S. 277—295

Massen-, Moment- und Schwerpunktsbestimmungen . S. 294—801 Die Sätze von Green Das Potential .

S. 308—312 S. 315—335

H (N    CO rii O «O CO Ci

COVOOO COS C0O c&> C0J SjCD CO* CjOO

coo cos

. . S. 347—380 . . S. 384—388 . . S. 392—401 . . S. 402—405 . . S. 407—414 . . S. 419—438 . . S. 439—441 . . S. 447—466

Fünfter Abschnitt.

Differentialgleichungen.

A. Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Differentialgleichungen erster Ordnung. Allgemeines S. 338—343 Integrationsmethoden für Differentialgleichungen erster

Qrdnung ................

Singuläre Lösungen.............

Geometrische Anwendungen.........

Simultane Differentialgleichungen......

Differentialgleichungen höherer Ordnung . . .

Lineare Differentialgleichungen.......

Integration durch Reihen..........

Variationsrechnung.............

B. Partielle Differentialgleichungen.

Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. . . S. 468—495 Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung . . S. 497—531

Bestell-Zettel.

Bei.

Buchhandlung in........................................................................................................................................

bestellt der Unterzeichnete hiermit das im Verlage von B. G.Teubner in Leipzig soeben erschienene Werk [zur Ansicht]:

E. Czuber, Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. 2 Bände. 2., sorgfältig durchgesehene Auflage.

I.    Band. Differentialrechnung, geb. <K 12.—

II.    Band. Integralrechnung, geb. JC. 12.—

F erner :

Ort and Wohnung:

Unterschrift:

Geometrische Wahrscheinlichkeiten u. Mittelwerte.

Mit 115 Textfiguren. [VII u. 244 S.] gr. 8.    1884. geh. n. Mk. 6.80.

Das vorliegende Buch ist der erste Versuch einer systematischen Darstellung der geometrischen Wahrscheinlichkeiten und der damit eng zusammenhängenden geometrischen Mittelwerte. Der erste Teil, „Geometrische Wahrscheinlichkeiten“, zerfällt in drei Abschnitte, welche der Reihe nach willkürlich angenommene Punkte (in Linien, in Flächen, im Raume), willkürlich gezogene Geraden (in der Ebene, im Raume) und willkürlich gelegte Ebenen zum Gegenstände haben. Im zweiten Teile, „Geometrische Mittelwerte“ betitelt, ist von oiner weiteren Gliederung des Stolfes Umgang genommen worden; die Probleme sind hier nach den zu ihrer Lösung verwendeten Methoden geordnet.

Theorie der Beobachtungsfehler.

Mit 7 Textfiguren. [XIV u. 418 S.] gr. 8.    1891. geh. n. Mk. 8.—

Eine zusammenfassende Darstellung der wissenschaftlichen Grundlagen der Fehlertheorie und der auf sie gegründeten Ausgleichungsrechnung, wie sie dieses Buch zu geben versucht, soll einem doppelten Zwecke dienen: den Mathematiker in dieses durch Metaphysik und Analyse gleich interessante Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung einführen und demjenigen, den praktische Probleme mit der Ausgleichungsrechnung, diesem unerläßlich gewordenen Bindeglied zwischen Beobachtungen einerseits und den aus ihnen gefolgerten Resultaten andererseits, zusammenführen, ein möglichst umfassendes Bild ihrer Entwicklung nach der theoretischen Seite bieten. Die technische Ausführung der Rechnungen bei Lösung spezieller Aufgaben aus verschiedenen Gebieten der Anwendung fällt, hiernach nicht in den Rahmen des Buches.

Die Entwickelung der Wahrscheinlichkeitstheorie und ihrer Anwendungen.

A. u. d. T.: Jahresbericht der Deutschen Mathematik er-Vereinigung. VII, 2.

[VIII u. 279 S.] gr. 8. 1899. geh. n. Mk. 8.—

Die Schrift stellt sich die Aufgabe, den Entwicklungsgang der Wahrscheinlichkeitstheorie bis zu ihrem heutigen Stande in knappen Zügen zu zeichnen und auf die Anwendungsgebiete so weit einzugehen, als es sich dabei um theoretische Fragen handelt. Der philosophischen Seite des Gegenstandes wird mehr Aufmerksamkeit zugewendet, als dies sonst in mathematischen Schriften zu geschehen pflegt. Es erwies sich als zweckmäßig, nicht den historischen Gang, sondern die sachliche Gliederung zur Grundlage der Anordnung zu wählen. So werden denn der Reihe nach die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie; ihre Anwendung auf die Ergebnisse wiederholter Versuche; die Wahrscheinlichkeit (fer Ursachen beobachteter Ereignisse und das Schließen auf zukünftige Ereignisse; die Beurteilung vom Zufall abhängiger Vor- und Nachteile; die Anwendungen der Wahrscheinlichkeitstheorie auf Zeugenaussagen und Entscheidungen von Gerichtshöfen, auf die Resultate von Messungen, endlich auf die Statistik behandelt.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

und ihre Anwendung auf Fehlerausgleichung, Statistik und Lebensversicherung.

I. Hälfte. [304 S.] gr. 8. 1902. geh. n. JC. 12.—

H. Hälfte. [XY u. 290 S.] gr. 8. 1903. geh. n. jfC. 12.— Beide Teile zusammengeb. n. M. 24.—

Der Verfasser bietet in dem vorliegenden Buche eine Darstellung der Wahrscheinlichkeitstheorie und ihrer hauptsächlichsten Anwendungsgebiete: Fehlerausgleichung, mathematische Statistik und Lebensversicherungsrechnung.

In dem grundlegenden ersten Teil wird auf die fundamentalen Fragen der Wahrscheinlichkeitsrechnung eingegangen; eine große Auswahl von Problemen, darunter selbstverständlich die klassischen, ist dazu bestimmt, in den Geist der Wahrscheinlichkeitssätze und ihren richtigen Gebrauch einzuführen.

Der zweite Teil begründet die Fehlertheorie und die aus ihr entspringende Methode der kleinsten Quadrate; Beispiele aus verschiedenen Wissenszweigen geben eine zureichende Vorstellung von der Verwendung dieses wichtigen Instruments zur Bearbeitung von Beobachtungsergebnissen.

Im dritten Teil werden die modernen Hilfsmittel der wissenschaftlichen Beurteilung und Ausnützung von Erfahrungstatsachen auf statistischem Gebiete erörtert; die Probleme der Sterblichkeits- und Invaliditätsmessung stehen im Vordergründe der Betrachtung.

Der vierte Teil erklärt das Wesen und behandelt alle belangreichen Probleme der Lebensversicherungsrechnung; um auch einen Einblick in die Auswertung der hier maßgebenden Formeln und die auftretenden Zahlwerte zu gewähren, sind Tabellen und Rechnungsbeispiele in größerer Zahl ein gefügt.

„Gegenüber den bisher veröffentlichten Lehrbüchern der Wahrscheinlichkeitsrechnung sehe ich einen wesentlichen Fortschritt in der gegenwärtigen Darstellung darin, daß auf einem verhältnismäßig beschränkten Raume die klassische Wahrscheinlichkeitsrechnung und die modernen Anwendungen gleichzeitig dargestellt werden.

Als einen Fortschritt in der Disposition betrachte ich es ferner, daß die auf eine endliche Anzahl von Möglichkeiten sich beziehenden Wahrscheinlichkeiten und die sogenannten geometrischen Wahrscheinlichkeiten in einem und demselben Abschnitte, nämlich in I „Grundlagen . der Wahrscheinlichkeitsrechnung“ dargestellt sind.“

(Zeitschrift für Mathematik und Physik. 61. Band. Nr. 3.)

„Eine so eingehende, klare und selbst für einen in der Mathematik nicht gerade besonders Beschlagenen durchweg leicht verständliche Bearbeitung, .wie sie der bekannte Wiener Mathematiker ihr hier hat zu teil werden lassen, hat u. W. die Wahrscheinlichkeitsrechnung bisher noch nicht erfahren. Jedenfalls hat der Verfasser ein Standardwerk geschaffen, das in keiner Bibliothek, vor allem auch in keiner Versicherungsbibliothek fehlen darf und wird.“

(Annalen des gesamten Versicherungswesens. 34. Jahrgang. Nr. 7.)

£Ë

Soeben erschien:

1811

VORLESUNGEN AUS DER

ANALYTISCHEN GEOMETRIE

DER GERADEN LINIE, DES PUNKTES UND DES KREISES IN DER EBENE

VON

OTTO HESSE.

VIERTE AUFLAGE

REVIDIERT UND ERGÄNZT VON

S. GUNDELFINGER.

[VIII u. 251 S.j gr. 8. 1906. In Leinwand geb. 6 Mark.

Das vorliegende klassische Lehrbuch dient dem Studium der Geometrie, sowohl auf der Schule als auf der Universität.

Die behandelten Gegenstände, sowie die notwendigen Voraussetzungen sind der Sphäre des Schulunterrichts entnommen. Die einzige Ausnahme hiervon bildet die siebente Vorlesung. Sie durfte indes nicht wegbleiben, weil sie ein sprechendes Zeugnis ablegt für den innigen Zusammenhang der Geometrie mit der Algebra.

Die Vorlesungen sind wesentlich akademische. Darum beschränken sie sich nicht auf die in der Schule gezogenen Grenzen, sondern geben in erweitertem Rahmen ein Bild der Wissenschaft in ihrer jetzigen Form.

Ihre Aufgabe ist gefällig anzuregen und zu weiteren Entdeckungen zu ermuntern. Dabei können sie aber doch dem Zuhörer oder Leser die Mühe der Arbeit und des Nachdenkens nicht ersparen, ohne die man weder in der Wissenschaft noch in dem Leben Gewinn und Befriedigung hat.

In der vorliegenden vierten Auflage hat der Herausgeber zahlreiche Änderungen und Zusätze im Texte gemacht und einige Ergänzungen am Schluß des Buches für sich beigefügt.

Inhaltsverzeichnis.

I. Vorlesung: Einleitung. S. 1.

Das Wesen der analytischen Geometrie. — Das Koordinatensystem. —-Ausdruck der Entfernung zweier Punkte voneinander. — Der Flächeninhalt eines Dreiecks. — Ausdruck des Winkels, den zwei gerade Linien bilden.

II. Vorlesung: Die gerade Linie. S. 15.

Die Gleichung der geraden Linie in der allgemeinen und in der Normalform. — Der senkrechte Abstand eines Punktes von einer geraden Linie. — Die geraden Linien, welche die Winkel halbieren, die zwei gerade Linien bilden. — Sätze über Dreiecke.

III. Vorlesung: Harmonische Linien. Linien der Involution. S. 29.

Das anharmonische und das harmonische Verhältnis von zwei Linienpaaren. — Die Involution von drei Linienpaaren. — Allgemeinere Sätze über Dreiecke. — Konstruktion von harmonischen Linienpaaren und Linienpaaren der Involution.

IV. Vorlesung: Der Punkt. S. 48.

Definition der Linienkoordinaten und der Gleichung eines Punktes. — Die Gleichung des Punktes in der allgemeinen und in der Normalform. — Der Punkt, welcher eine begrenzte gerade Linie halbiert oder auf ihrer Verlängerung im Unendlichen liegt.

V. Vorlesung: Harmonische Punkte. Punkte der Involution. S. 57.

Das anharmonische und das harmonische Verhältnis von zwei Punktepaaren auf einer geraden Linie. — Die Involution von drei Punktepaaren. — Allgemeinere Sätze über Dreiecke. — Konstruktion von harmonischen Punktepaaren und Punktepaaren der Involution.

VI. Vorlesung: Zur Involution. S. 72.

Die Bedingungsgleichung der Involution in sieben verschiedenen Formen. — Sätze über Punktepaare auf einer geraden Linie.

VII. Vorlesung: Die Auflösung biquadratischer Gleichungen. S. 83.

Unter Voraussetzung des Satzes, daß die ganzen symmetrischen Funktionen der Wurzeln einer algebraischen Gleichung sich rational durch die Koeffizienten in der Gleichung darstellen lassen, gibt diese Vorlesung eine geometrische Anschauungvon der Auflösung biquadratischer Gleichungen.

VIII. Vorlesung: Linienpaare und Punktepaare. S. 95.

Die entwickelte Gleichung eines Linienpaares und eines Punktepaares. — Notwendige Bedingungen dazu. — Ausdruck für den Winkel, den ein Linienpaar einschließt. — Ausdrücke für harmonische Linienpaare und Linienpaare der Involution. — Länge der von einem Punktepaare begrenzten geraden Linie. — Ausdrücke für harmonische Punktepaare und Punktepaare der Involution.

IX. Vorlesung: Transformation der Koordinaten und die orthogonalen Substitutionen. S. 106.

Transformation recht-

Lineare Koordinaten -Transformation, winkliger Koordinatensysteme. — Orthogonale Substitutionen. — Elliptische Koordinaten-Transformation.

X. Vorlesung: Orthogonale Substitutionen, welche eine gegebene homogene Funktion der zweiten Ordnung zweier Variabelen auf die Quadrate zweier anderen Variabelen zurückführen. S. 126.

XI.    Vorlesung: Homogene Koordinaten. Dreieckkoordinaten. S. 140.

Homogene Koordinaten. — Dreieckkoordinaten.

Linienpaare,

-welche von drei Punkten in einer geraden Linie ausgelien. — Punktepaare auf drei von einem und demselben Punkte ausgehenden geraden Linien.

XII.    Vorlesung: Das Pascalsehe und das Brianchonsche Sechseck.

S. 157.

Die 60 Pascalschen Sechsecke mit denselben 6 Ecken und die 60 Brianchonschen Sechsecke, welche dieselben 6 geraden Linien als Seiten haben.

XIII. Vorlesung: Der Kreis. S. 183.

Normalform und allgemeine Form der Gleichung des Kreises. — Die Schnittpunkte einer geraden Linie und eines Kreises. — Harmonische Pole eines Kreises. Pol und Polare. Die Gleichung der letzteren. — Konstruktion der Polare. — Die Gleichung des Tangentenpaares von einem Punkte an den Kreis. — Die Kreisgleichung in Linienkoordinaten. — Harmonische Polaren des Kreises. — Die Gleichung des Pôles. — Die Gleichung des Punktepaares, in welchem eine gerade Linie einen Kreis schneidet.

XIV. Vorlesung: Das System von Kreisen, welche durch die Schnittpunkte zweier Kreise gehen. S. 194.

Die Gleichung des Systems von Kreisen, welche sich in denselben beiden Punkten schneiden. — Die gemeinschaftliche Sekante des Systems von Kreisen. — Grenzpunkte des Systems der Kreise. — Ein zweites System von Kreisen schneidet das gegebene System senkrecht. — Elegantere Form der Gleichung der Polare. — Die Ähnlichkeitspunkte zweier Kreise. — Die Gleichung des Tangentenpaares an zwei Kreisen. — Analytischer Ausdruck für das System von Kreisen, welche das gegebene System senkrecht schneiden.

XV. Vorlesung: Das System von Kreisen, welche von einem Kreise senkrecht geschnitten werden. Das Problem der Berührung eines Kreises an drei gegebenen Kreisen, S. 214.

. Das System von Kreisen, deren Gleichungen aus den Gleichungen von drei gegebenen Kreisen linear zusammengesetzt sind. — Das Zentrum der gemeinschaftlichen Sekanten von drei Kreisen. — Ein Kreis schneidet das System senkrecht. — Die vier Ähnlichkeitsachsen von drei Kreisen. — Das Problem der Berührung eines Kreises an dx-ei gegebenen Kreisen.

Zusätze des Herausgebers.

[1]    S. 8—9. Beweis der Zeichenregel für den Inhalt eines Dreiecks 230

[2]    S.28. Gl. 4). Über das „Abstandsverhältnis“ einer Geraden,

231

welche durch den Schnittpunkt zweier anderen Geraden geht ..............

[3]    S.32 Z.3. Geometrische Bedingung, unter welcher das Geraden

paar, welches zu zwei Paaren von Geraden gleichzeitig harmonisch liegt, reell oder imaginär ist .    .    231

[4]    S.44 Z.3. Lineare Relation zwischen vier linearen Ausdrücken

in Determinantenform

[5] S. 76. Fußnote. Über die Ableitung der sieben Bedingungsgleichungen der Involution durch die Theorie der

Determinanten .    .............

[5 a] Zum Schluß der 6. Vorlesung. Über die analytische Bedingung, unter welcher das Punktepaar, welches zu zwei gegebenen Punktepaaren harmonisch liegt, reell oder imaginär wird. Anwendung auf die zwei Doppelpunktepaare zweier gegebenen Involutionen .    .    .

Nähere Behandlung eines Geradenpaares mit unendlich ferner Spitze ............

Über eine Anwendung der Sätze 21) und 31) in Vorlesung 8)................

[s] S. 129. Einfachere Darstellung der Formeln für bestimmte

orthogonale Substitutionen.........

[9] S. 136. Darstellung der reziproken Funktion von

*Ko +² «01 xv+ an v%) - («² + y*)

in Determinantenform...........

Beweis der Gleichungensysteme 21) und 22) auf S. 173. Schlußbemerkung zur 12. Vorlesung .    .    .

[11]    S. 190. Ein unendlich fernes Punktepaar kann als ein Kreis

mit zwei Zentren aufgefaßt werden ...    .    .

[12]    S. 197. In einem Kreisbüschel gibt es im allgemeinen drei

ausartende Geradenpaare. Cosinus des Winkels

zweier Kreise ..............

[12a] S. 203. Konstruktion des Punktepaares (Strahlenpaares), welches zu zwei gegebenen Punktepaaren (Strahlenpaaren) harmonisch liegt..........

[13]    S. 216 Z. 19. Beweis des S. 216 Z. 19 gegebenen Satzes . .

[14]    S. 219. Glchg. 9). Bemerkung über orthogonale Kreise, die

gleichzeitig konzentrisch sind......;    .

[15]    Zu S. 224 — 229. Über das Taktionsproblem des Apollonius .

[6] S. 98.

234

237

238

238

[10]

239

239

241

241

243

245

245

245

BESTELL-ZETTEŁ.

Bei

Buchhandlung

bestellt der Unterzeichnete

hiermit ein Exemplar des im Verlage von B. G. Teubner in Leipzig erschienenen Werkes [zur Ansicht]:

0. Hesse, Vorlesungen aus der analytischen Geometrie der geraden Linie, des Punktes und des Kreises in der Ebene. 4. Auflage von S.Gundelfinger. [VIII u. 251 S.] gr. 8. 1906. In Leinwand geb. 6 Mark.

Ort, Wohnung:

Unterschrift :

Band V : Physik, in 2 Teilen. Redigiert von A. Sommerfeld in München.

* erschienen, f unter der Presse.

I. Teil.

Vorwort zu Band V von A. Sommerfeld in München. Inhaltsverzeichnis von Band V, Teil 1.

A. Einleitung.

*1. Maß und Messen: C. Bunge in Göttingen.

*2 Gravitation: J. Zenneck in Braunschweig.

B. Thermodynamik.

*3. Allgemeine Grundlegung der Thermodynamik:

G. H. Bryali in Bangor, Wales.

*4. Dissipation der Energie, insbesondere Wärmeleitung :

E. TV. Hobson - Cambridge u. H. Dießelhorst-Berlin. *5. Technische Wärmetheorie : M. Schröter in München und L. Prandtl in Göttingen.

C. Molekularphysik.

*6. Chemische Atomistik: F. W. Hinrichsen in Aachen und L. Mumlock in Dresden nebst zwei Beiträgen von E. Study in Bonn.

*7. Kristallographie : Th. Liebisch in Göttingen,

A. Schoenflie8 in Königsberg i. Pr. und 0. Miigge in Königsberg i. Pr.

f8. Kinetische Theorie der Materie: L. Boltzmann (t) und J. Nabl in Wien.

f9. Kapillarität: H. Minkowski in Göttingen.

10.    Die Zustandsgleichung mit besonderer Berücksichtigung graphischer Methoden : H. Kamerlingh-Onnes in Leiden.

11.    Physikalische und Elektrochemie: J. H. van’t Iloff in Berlin.

E. Teil.

Inhaltsverzeichnis von Band V, Teil 2.

D. Elektrizität und Optik.

Physikalische Grundlegung der Elektrizitätslehre.

*12. Standpunkt d. Fernwirkung, die Eiernentargesetze:

B. Beiff in Stuttgart und A. Sommerfeld in München. *13. Maxwells elektromagnetische Theorie: H.A.Lorentz in Leiden.

*14. Weiterbildung der Maxwellschen Theorie. Elektronentheorie: H. A. Lorentz in Leiden.

Mathematische Spezialausführungeu zur Elektrizitätslehre.

*15. Elektrostatik und Magnetostatik: B. Gans in Tübingen.

*16. Beziehungen zwischen elektrostatischer und magnetischer Zustandsänderungen einerseits und elastischen und thermischen andererseits: F.Pockels in Heidelberg.

17.    Stationäre und langsam veränderliche Felder: P. Debye in München und H. Dubois in Berlin.

18.    Basch veränderliche Felder: 31. Abraham in Göttingen.

19.    Beziehungen der elektrischen Strömung zu Wärme und Magnetismus: H. Dießelhorst in Berlin.

20.    Elektrotechnik: V. N.

23a. Allgemeine Methoden.

23b. Starkstromtechnik.

23c. Schwachstromtechnik.

Physikalische Grundlegung der Optik.

21.    Ältere Theorie: A. Wangerin in Halle a. S.

22.    Elektromagnetische Lichttheorie: W. Wien in Würzburg.

23.    Hineinspielen der Molekularphysik und der Elektronentheorie in die Optik: W. Wien in Würzburg nebst zwei Beiträgen: Magnetooptik: H. A. Lorentz in Leiden u. Spektralanalyse : C. Bunge in Göttingen.

Mathematische Spezialausführungen zur Optik.

24.    Strahlenoptik und optisohe Instrumente : S. Finster-walder in München.

25.    Wellenoptik (Interferenz und Beugung): N. N.

26.    Kristalloptik: F. Pockels in Heidelberg.

E. Schlußwort.

27.    Allgemeine physikalische Anschauungen und Methoden: A. Sommerfeld in München und G. Mie in Greifswald.

Sprechsaal für die Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften.

E. Netto, M. Noether, W. Osgood, K. Petr, S. Pincherle, C. Bunge, —.    =

Schmidt, A. Schoenflies, F. Schur, E. Study, Th. Vahlen, A. Wangerin, K. v. Wesendonck, W. Wirtinger.    W. Fr. Meyer, Königsberg i. Pr.-Maraunenhof, Herzog Albrechtallee 17.

Unter der Abteilung Sprechsaal für die Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften nimmt die Bed&ktion des Archivs der Mathematik und Physik (herausg. von E. Lampe, W. Franz Meyer und E. Jahnke) ihr aus dem Leserkreise zugehende Verbesserungsvorschläge und Ergänzungen (auch in literarischer Hinsicht) zu den erschienenen Heften der Encyklopädie auf. Diesbezügliche Einsendungen sind an den Unterzeichneten zu richten. Beiträge für den Sprechsaal haben bisher beigesteuert die Herren W. Ahreus, M. Bôoher, A. v. Braunmühl, T. J. I’A. Bromwich, H. Burkhardt, G. Eneström, H. Fehr, L. Henneberg, E. Jahnke, F. Klein, M. Koppe, M. Krause, Josef Kür-schàk, B. Lampe, A. Loewy, Gino Loria, J. Ltiroth, Otto Meißner, W. Fr. Meyer, E. Müller,

L. Saalsohütz. Carl

W. Fr. Meyer, Königsberg i. Pr. - Maraunenhof, Herzog Albrechtallee 17.

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ÎÎ zu pflegen ist dem Einzelnen heute nicht mehr möglich, aber an einem U Punkte sich über den engen Kreis, in den ihn heute meist der Beruf einschließt, zu erheben, an einem Punkte die Freiheit und Selbständigkeit des geistigen Lebens zu gewinnen, sollte jeder versuchen. Wege dazu zeigt:

B. G. Teubners Allgemeiner Katalog

II

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eine reich illustrierte, durch ausführliche Inhaltsangaben, Proben, Besprechungen eingehend über jedes einzelne Werk unterrichtende Übersicht aller derjenigen Veröffentlichungen des Verlages, die von allgemeinem Interesse für die weiteren Kreise der Gebildeten sind. Der Katalog liegt in folgenden Abteilungen vor, die jedem Interessenten auf Wunsch umsonst und postfrei übersandt werden :

1.    Allgemeines (Sammelwerke, 4. Geschichte. Kultur- 8. Volkswirtschaft. Handel

Zeitschriften, Bildungswesen).    geschickte. Kunst.    und Gewerbe. Fortbil-

2.    Klassisches Altertum (Lite- 5. Deutsche Sprache und dungsschulwesen.

ratur, Sprache, Mythologie, Literatur.    9. Pädagogik.

Religion, Kunst, Geschichte, 6. Neuere fremde Litera- 10. Mathematik. Technik. Recht und Wirtschaft).    turen und Sprachen.    Naturwissenschaften.

3.    Religion. Philosophie. 7. Länder- u. Völkerkunde. Vollständige Ausgabe.

Leipzig, Poststraße 3.

B. G. Teubner.

Verlag von B. ö. Teubner in Leipzig.

Abraham, Dr. M., Privatdozent an der Universität Göttingen, Theorie der Elektrizität. I. Band: Einführung in die Maxwellsche Theorie der Elektrizität. Mit einem einleitenden Abschnitte über das Rechnen mit Vektorgrößen in der Physik. Von Dr. A. Föpfl. Zweite, umgearbeitete Auflage von Dr. M. Abraham. Mit 11 Figuren im Text. [XVHI u. 443 S.] gr. 8. 1904. In Leinw. geb. n. Jt 12.— II. Band: Elektromagnetische Theorie der Strahlung. Von Dr. M. Abraham. [X u. 404 S.] gr. 8.    1905. In Leinw. geb. n. Jt 10. —

Ahrens, Dr. W., in Magdeburg, C. G. J. Jacobi als Politiker. Ein Beitrag zu seiner Biographie. (Erweiterter Sonderabdruck aus „Bibliotheca Mathematica“. 3. Folge. VH. Band.) [45 S.] gr. 8.    1907. geh. n. Jt 1.20.

Blaschke, Dr. E., Professor an der Technischen Hochschule zu Wien, Vorlesungen über mathematische Statistik. Die Lehre von den statistischen Maßzahlen. Mit 17 Textfiguren und 5 Tafeln. [Vni u. 268 S.] gr. 8. 1906. In Leinw. geh. n. Jt 7.40.

Bruns, Dr. Heinrich, Professor der Astronomie an der Universität Leipzig, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kollektivmaßlehre. [VHI u. 310 S. u. Anhang 18 S.] gr. 8.    1906. In Leinw. geb. n. Jt 8.40.

Czuber, Dr. Emanuel, Professor an der Technischen Hochschule zu Wien, Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. 2 Bände. 2., sorgfältig durchgesehene Auflage, gr. 8.

I. Band. Mit 115 Figuren im Text. [XIV u. 660 S.] 1906. In Leinw. geb. n. Jt 12.—

IL

Mit 87 Figuren im Text. [YIH u. 532 S.] 1906. In Leinw. geb. n. M. 12.—

Durège, Dr, H., weil. Professor an der Universität Prag,.E lern ente der Theorie der Funktionen einer komplexen veränderlichen Größe. In 5. Auflage neu bearbeitet von Dr. L. Maurer, Professor an der Universität Tübingen. Mit 41 Figuren im Text. [X u. 397 S.j gr. 8.    1906. geh. n. Jt 9. —, in Leinw.

geb. n. Jt 10.—

Felgentraeger, Dr. W., technischer Hilfsarbeiter bei der Kaiserl. Normal-Eichungs-Kommission, Theorie, Konstruktion und Gebrauch der feineren Hebelwage. Mit 125 Figuren im Text. [Vlu.310S.] gr. 8. 1907. In Leinw.geb.n.cÄ.8.—

au

Fischer, Dr. Otto, Professor an der Universität Leipzig, theoretische Grundlagen für eine Mechanik der lebenden Körper mit speziellen Anwendungen f den Menschen, sowie auf einige Bewegungsvorgänge an Maschinen. In möglichst elementarer und anschaulicher Weise dargestellt. Mit 67 in den Text gedruckten Figuren und 4 Tafeln. [X u. 372 S.] gr. 8.    1906. In Leinw.

geb. n. Jt 14.—

der

am University College zu London, Vorlesungen. Autorisierte deutsche

Fleming, J. A„, elektrische

Ausgabe von Professor Dr. E. Aschkinaß, Privatdozent an der Universität Berlin. Mit 53 Abbildungen. [IV u. 185 S.] gr. 8.    1906. geh. n. ^£4.20, in

Leinw. geh. n. Jt 5.—

-Telegraphie.

Gans, Dr. Richard, Privatdozent an der Universität Tübingen, Einführung in die Vektoranalysis. Mit Anwendungen auf die mathematische Physik. Mit 31 Figuren im Text. [X u. 98 S.] gr. 8.    1905. In Leinw. geb. n. Jt 2.80.

Gauss’, C. F., Werke. Weiterführung der von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen veranstalteten Gesamtausgabe von Gauss’ Werken.

VII. Band: Theoria motus und Theoretisch-Astronomischer Nachlaß.

(Parabolische Bewegung, Störungen der Ceres und der Pallas, Theorie des Mondes.) [680 S.] 4. 1906. kart. n. Jt 30.—

Hesse, Dr. O., weil. Professor am Kgl. Polytechnikum zu München, Vorlesungen aus der analytischen Geometrie der geraden Linie, des Punktes und des Kreises in der Ebene. 4. Auflage, revidiert und ergänzt von Dr. S. Gundelfinger, Professor an der Technischen Hochschule zu Darmstadt. [VIH u. 251 S.j gr. 8.    1906. In Leinw. geb. n. Jt 6.—

Jacobi, C.G. J., und M.H. Jacobi. Briefwechsel. Herausgegeben von Dr.W. Ahrens in Magdeburg. A. u. d. T.: Abhandlungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen. Begründet von Moritz Cantor. XXII. Heft. Mit 2 Bildnissen. [XX u. 282 S.] gr. 8.    1907. geh.

n. Jt 6.90, in Leinw. geb. n. Jt 7.50.

Lorentz, Dr. H. A., Professor an der Universität Leiden, Abhandlungen über theoretische Physik. Tn 2 Bänden. I. Band, 1. Lieferung. Mit 8 Figuren im Text. [298 S.] gr. 8.    1906. geh. n. JC 10.—

[Die 2. (Schluß-)Lieferung des I. Bandes erscheint im Frühjahr 1907.]

-...........—-— Versuch einer Theorie der. elektrischen und optischen Er

scheinungen in bewegten Körpern. Unveränderter Abdruck der 1895 bei J. Brill in Leiden erschienenen 1. Auflage. [III u. 138 S.] gr. 8.    1906. In

Leinw. geb. n. JC 3.20.

Love, A. E. H., M. A., D. Sc., F. IŁ. S., Professor an der Universität Oxford, Lehrbuch der Elastizität. Autorisierte deutsche Ausgabe unter Mitwirkung des Verfassers besorgt von Dr. A. Timpe, Assistent an der Technischen Hochschule zu Danzig. Mit 75 Abbildungen im Text. [XVI u. 664 S.] gr. 8.    1907. In Leinw.

geb. n. JC. 16.—

Meyerhoffer, Dr. W., weil. Professor an der Universität Berlin, Gleichgewichte der Stereomeren. Mit einem Begleitwort von Professor Dr. J. H. van t’Hoff in Berlin. Mit 28 Figuren im Text. [IV u. 71 S.] gr. 8. 1906. geh. n. JC 2.40.

H. Band.

In 3 Bänden.

Bei der

Neumann, Franz, gesammelte Werke. _

Herausgabe dieses Bandes sind tätig gewesen die Herren: E. Dorn (Halle), O. E. Meyer (Breslau), C. Neumann (Leipzig), C. Pape (früher in Königsberg), L. Saalschutz (Königsberg), K. VonderMühll (Basel), A. Wangerin (Halle), H. Weber (Straßburg). Mit einem Bildnis Franz Neumauns aus dem 86. Lebensjahre in Heliogravüre. [XVI n. 620 S.J gr. 4.    1906. geh. n. JC 36.—

Nielsen, Dr. Niels, Dozent der reinen Mathematik an der Universität Kopenhagen, Handbuch der Theorie der Gammafunktion. [X u. 326 S.] gr. 8. 1906. In Leinw. geb. n. JC 12.—

Theorie des Integrallogarithmus und verwandter Transzendenten. [VI u. 106 S.] gr. 8.    190G. geh. n. JC 3.60.

Osgood, Dr. W. F., Professor an der Harvard-Universität, Cambridge, Mass., V. St. A,, Lehrbuch der Funktionentheorie. In 2 Bänden. I. Band. Mit 150 Figuren im Text. [XII u. 642 S.] gr. 8.    1907. In Leinw. geb. n. JC 15.60.

Pockels, Dr. F., Professor an der Universität Heidelberg, Lehrbuch der KrFs-tall-optik. Mit 168 Figuren im Text und 6 Doppeltafeln. [X u. 519 S.]    gr/8.

1906. In Leinw. geb. n. JC 16.—

Poincaré, Henri, Membre de l’Institut, Wissenschaft und Hypothese. Autorisierte deutsche Ausgabe mit erläuternden Anmerkungen von F. und L. Lindemann. 2., verbesserte Auflage. [XVI u. 346 S.] 8. 1906. In Leinw. geb. n. JC 4.80.

der Wert der Wissenschaft. Mit Genehmigung, des Verfassers ins Deutsche übertragen von E. Weber. Mit Anmerkungen und Zusätzen von H. Weber, Professor in Straßburg i. E., und einem Bildnis des Verfassers. [V u. 252 S.]    8.    1906. In Leinw. geb. n. JC. 3.60.

Stolz, Dr. Otto, weil. Professor an der Universität Innsbruck, und Dr. J. Anton Gm einer, Professor an der Universität Innsbruck, Einleitung in die Funktionentheorie. Zweite, umgearbeitete und vermehrte Auflage der von den Verfassern in der „Theoretischen Arithmetik“ nicht berücksichtigten Abschnitte der „Vorlesungen über allgemeine Arithmetik“ von 0. Stolz. Mit 21 Figuren im Text. [X u. 598 S.] gr. 8.    1905. In Leinw. geb. n. JC. 15.—

Thomson, J. J., D. Sc. Lid. Ph. D. Er. S. Fellow etc., Elektrizitäts-Durchgang in G a s en. Deutsche autor. Ausgabe unter Mitwirkung des Autors besorgt und ergänzt von Dr. E. Marx, Privatdozent an der Universität Leipzig. Mit 187 Figuren im Text. [VH u. 587 S.] gr. 8. 1906. geh. n. JC 18. —, in Leinw. geb. n. JC 19,—

Weinstein, Dr. B., Professor an der Universität Berlin, die philosophischen Grundlagen der Wissenschaften. Vorlesungen gehalten an der Universität Berlin. [XHV u. 543 S.] 8.    1906. In Leinw. geb. n. JC 9.—

Wilczyński, E. J., A. M., Ph. D., Research Associate of the Carnegie Institution of Washington, Assistant Professor of Mathematics at the University of California, projektive differential geometry of curves and ruled surfaces. [VIII u. 298 S.] gr. 8.    1906. In Leinw. geb. n. „fC 10.—

Zeuthen, Dr. H. G., Professor an der Universität Kopenhagen, Geschichte der Mathematik im 16. und 17. Jahrhundert. Deutsch von Raphael Meyer. A.u. d.T.: Abhandlungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen. Begründet von Moritz Cantor. XVH. Heft. [Vm u. 434 S.] gr. 8.    1903. geh, n. JC 16.—, in Leinw. geb. n. JC 17.—

.....

Verlag von B. G. Teui

WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKOW î

Encyklopädie der Elen

Ein Handbuch für Lehrer i

Heinrich Weher,

Professor in Straßburg

und

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

In drei Bän

I.    Elementare Algebra und Analysis. Bearbeitet

figuren. [XVIII u. 539 S.]

II.    Elemente der Geometrie. B

Mit 280 Textfiguren. [XII u. 604 S.] gr. *___________

III.    Anwendungen der Elementar-Mathematik. [Erscheint im April 1907.]

Das Werk verfolgt das Ziel, den künftigen Lehrer auf einen wissenschaftlichen Standpunkt, zu stellen, von dem aus er imstande ist, das, was er später zu lehren hat, tiefer zu erkennen und zu erfassen, und damit den Wert dieser Lehren für die allgemeine Geistesbildung zu erhöhen. — Das Ziel dieser Arbeit ist nicht in der Vergrößerung des Umfanges der Elementar-Mathematik zu ersehen oder in der Einkleidung höherer Probleme in ein elementares Gewand, sondern in einer strengen Begründung und leicht faßlichen Darlegung der Elemente. Das Werk ist nicht sowohl für den Schüler selbst, als für den Lehrer und Studierenden bestimmt, die neben jenen fundamentalen Betrachtungen auch eine für den praktischen Gebrauch nützliche, ,wohlgeordnete Zusammenstellung der wichtigsten Algorithmen und Probleme darin finden werden.

gr. 8. 1906. J earbeitet von H,

11-351575

Druk. W. J. ^am. jdü. 1U.UOO.

„Zwei Momente müssen hervorgehoben werden, die dem Buche das Gepräge verleihen. Das eine liegt darin, daß die grundlegenden Prägen der Geometrie eine eingehende Behandlung erfahren, in einem Umfange, wie er in zusammenfassenden Werken sonst nicht anzutreffen ist . . . Das zweite Momeut ist in dem Umstande zu erblicken, daß die Verfasser es nicht darauf angelegt haben, eine pragmatische Vorführung des üblichen Vorrats an geometrischen Sätzen, Konstruktionen und Rechnungen zu geben, sondern daß es ihnen mehr darum zu tun war, an ausgewähltem Material die wissenschaftlichen Methoden der Geometrie zur Geltung zu bringen und überall auf die Grundfragen einzugehen. Ist so die theoretische Seite, namentlich in einigen Abschnitten, stark zum Ansdruck gekommen, so ist doch auch auf die praktischen Bedürfnisse Rücksicht genommen, die freilich erst mit dem dritten Bande ihre endgültige Befriedigung finden sollen; doch ist dafür an verschiedenen Stellen, so in der. Trigonometrie und in der analytischen Geometrie, schon vorgearbeitet worden ... So darf der Inhalt des zweiten Bandes der „Encyklopädie der Elementar-Mathematik“ als ein sehr reichhaltiger bezeichnet werden, der über die Grenzen dessen was an der Schule geboten werden kann, erheblich hinausftihrt, der aber auch — und das ist noch wichtiger und offenkundig der Hauptzweck des Werkes — eine Vertiefung des geometrischen Wissens vermittelt. Jüngere Lehrer der Mathematik werden das Buch gewiss oft mit Nutzen zu Rate ziehen, namentlich wenn sie im Unterrichte zu prinzipiell wichtigen Fragen kommen, um sich über die leitenden Gedanken zu orientieren.

Eines verdient noch besonders hervorgehoben zu werden: das ist die reiche Ausstattung mit schönen, sehr instruktiv gezeichneten Figuren. Der schwierigen Vorstellung der verschiedenen Formen sphärischer Dreiecke kommen die stereographischen Bilder der Euler’schen, Möbius’schen und Study’schen Dreiecke sehr zu statten.“    (Zeitschrift für das Realschulwesen. 81. Jahrg. Heft 5.)

EINLADUNG ZUM

IV. INTERNATIONALEN

MATHEMATIKER-KONGRESS

VOM 6.—II. APRIL 1908 IN ROM.

Der Ausschuß für die Vorbereitung des IV. internationalen Mathematiker-Kongresses:

P. Blaserna, Präsident. G. Castelnuovo, Generalsekretär. V. Reina, Kassier. V. Cerruti. A. Di Legge. G. Pittarelli. A. Sella. A. Tonelli. V. Volterra.

Wegen Progra Biblioteka Politechniki Krakowskie)

n Kongreß bezüglichen en an

100000299016

Italien).