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Yerlag von B. 0. Teubner in Leipzig..

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Jahresberichte

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Deutschen Mathematiker-Vereinigung.

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Im Aufträge des Vorstandes bisher heransgegeben

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G. Cantor, W. Dyck, A. Gutzmer, G. Hauck, E. Lampe, A.Wangerin.

Jährlich ein Band. gr. 8. geh.

Hervorgegangen aus dem seit Jahren empfundenen Bedürfnisse nach einem engeren wissenschaftlichen und persönlichen Zusammenschlufs der Fachgenossen, hat sich die Deutsche Mathematiker-Vereinigung gebildet mit der Aufgabe: „in gemeinsamer Arbeit die Wissenschaft nach allen Richtungen zu fördern und auszubauen, ihre verschiedenen Teile und zerstreuten Organe in lebensvolle Verbindung und Wechselwirkung zu setzen, ihre Stellung im geistigen Leben der Nation nach Gebühr zu heben, ihren Vertretern und Jüngern Gelegenheit zu ungezwungenem kollegialischen Verkehr und zum Austausch von Ideen, Erfahrungen und Wünschen zu bieten*¹.

Dementsprechend bringen die Jahresberichte u. a. über die geschäftlichen Angelegenheiten und über die auf den Jahresversammlungen gehaltenen Vorträge Berichte, ferner alljährlich ein Verzeichnis der Mitglieder mit genauer Adressenangabe, Nekrologe über die im letzten Vereinsjahre verstorbenen Mitglieder und enthalten aufserdem gröfsere Referate über einzelne Zweige der gesamten mathematischen Wissenschaften. Diese Referate, welche den gegenwäi tigen Stand unserer bez. Kenntnisse in historischkritischer Darstellung zusammenfassen, dürften von besonderem wissenschaftlichen Werte sein; sie bietem jedem die Möglichkeit, einen Einblick in die geistigen Bestrebungen der Gegenwart zu gewinnen, wie ihn auch derjenige besitzen sollte, der durch seinen Beruf mehr oder weniger an der selbsttätigen Fortbildung der Wissenschaft gehindert ist.

In den bisher im Verlage von B. G. Teubner in Leipzig erschienenen Bänden [V. 1897/98. JC. 7.20; VI. 1899. JC. 8. — ; VII. 1899. JC 12.80] kamen folgende gröfsere Referate zum Abdruck:

W. Frz. Meyer: Die Fortschritte der projectiven Invariantentheorie im letzten Vierteljahrhundert. 1892.

Fr, Kötter: Die Entwicklung der Lehre vom Erddrnck. 1898.

A. Brill und M. Noether: Die Entwicklung der Theorie der algebraischen Funktionen in älterer und neuerer Zeit. 1894.

L, Henneberg: Über die Entwicklung und die Hauptaufgaben der Theorie der einfachen Fachwerke. 1894.

D,    Hilbert: Die Theorie der algebraischen Zahlkörper. 1897.

E.    Kötter: Die Entwicklung der synthetischen Geometrie. 1898.

G. Bohlmann: Übersicht über die wichtigsten Lehrbücher der Infinitesimal-Rechnung von Euler bis auf die heutige Zeit. 1899.

S. Finsterwal der: 1) Die geometrischen Grundlagen der Photogrammetrie.

2) Mechanische Beziehungen hei der Flächen-Deformation. 1899.

E. Czuber: Wahrscheinlichkeitsrechnung. 1899.

In Vorbereitung für die nächsten Bände:

R. Haussner: Numerische Auflösung von Gleichungen.

K. Heun: Die kinetischen Probleme der wissenschaftlichen Technik.

A. Kneser: Variationsrechnung.

R, Mehmke: Graphische Methoden.

A. Schoenflies: Die Mannigfaltigkeitslehre.

P, Stöckel: Allgemeine Dynamik.

E. Steinitz: Die Theorie der endlichen Gruppen.

Die Deutsche Mathematiker-Vereinigung zählt z. Z. 410 Mitglieder, von denen fast ein Drittel Ausländer sind. Die Mitglieder erhalten obige Publikation zu einem Vorzugspreise, worüber die Verlagsbuchhandlung B. G. Teubner in Leipzig Näheres mitteilt. Anmeldungen zur Mitgliedschaft nimmt Prof. Dr. A. Gutzmer in Jena, Schäferstrafse 3, entgegen. Der jährliche Mitgliedsbeitrag beträgt 2 Mark.

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UAL GRUNDLAGEN DER ALLGEMEINEN FUNKTIONENLEHRE

VON

ALFRED PRINGSHEIM

IN MÜNCHEN.

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Inhaltsübersicht.

I. Funktionen einer Veränderlichen.

1.    Veränderliche und Funktionen: Historisches.

2.    Fortsetzung: Der Euler'sehe Funktionshegriff.

3.    Fortsetzung: Der allgemeinste (Dirichlef sehe) Funktionsbegriff und derjenige der Funktionentheorie im engeren Sinne.

4.    Reelle Veränderliche.

5.    Allgemeinste eindeutige Funktion einer reellen Veränderlichen.

6.    Obere (untere) Grenze und Schwankung einer Funktion.

7.    Grenzwerte und Unbestimmtheitsgrenzen.

8.    Unendliche Werte der Function und des Arguments.

9.    Die stetige Funktion.

10.    Die differenzierbare Funktion.

11.    Die abteilungsweise monotone und die gewöhnliche Funktion.

12.    Die unbeschränkt differenzierbare und die analytische Funktion.

etc.

13.    Uneigentliche Funktionswerte. Die unbestimmten Darstellungsformen _o oo 0 ’ oo

14.    Unstetigkeitspunkte.

15.    Singuläre Stellen.

16.    Definition von Funktionen durch Grenzwerte. Gleichmässige Konvergenz.

17.    Gleichmässige Konvergenz unendlicher Reihen.

18.    Kondensation von Singularitäten.

19.    Funktionen mit unendlich vielen Unstetigkeiten.

20.    Stetige Funktionen mit unendlich vielen Singularitäten.

II. Funktionen, von mehreren Veränderlichen.

21.    Bereiche von n Veränderlichen.

22.    Funktionen von n Veränderlichen. — Stetigkeit.

2B. Simultane und successive Grenzübergänge.

24. Gleichmässige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion.

Encyklop. d. math. Wissensch. II.

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Litteratur.

Lehrbücher.

Leonhard Euler, Introductio in analjsin infinitorum. I. Lausannae 1748. Deutsch von Michelsen (Berlin 1788) und H. Maser (Berlin 1885).

Augustin Cauchy, Cours d’analyse de l’école polytechnique. — I. Analyse algébrique.

Paris 1821. Dtsch. von B. Huzler, Kgsb. 1828; C. Itzigsohn, Berlin 1885. Charles Méray, Nouveau précis d’analyse infinitésimale. Paris 1872.

„    „ Leçons nouvelles sur l’analyse infinitésimale. I. Paris 1894.

Budolf Lipschitz, Lehrbuch der Analysis. I. II. Bonn, 1877. 1880.

Ulisse Dini, Fondamenti per lateorica delle funzioni di variabili reali. Pisa 1878. Dtsch. Bearb. von J. Lüroth und A. Schepp u. d. Titel: Grundlagen für eine Theorie der Funktionen einer veränderlichen reellen Grösse. Leipzig 1892¹).

J. Thoviae, Elementare Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Halle 1880. Zweite Aufl. Halle 1898.

Axel Harnack, Die Elemente der Differential- und Integralrechnung. Leipzig 1881. Moritz Pasch, Einleitung in die Differential- und Integralrechnung. Leipzig 1882. Angelo Genocchi, Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale. Pubblicato con aggiunte di G. Peano, Tor. 1884; dtsch. v. G. Bohlmann-A. Schepp, Lpz. 1898. Otto Stolz, Vorlesungen über allgemeine Arithmetik. I. Allgemeines und Arithmetik der reellen Zahlen. Leipzig 1885. (Citiert als: Arithm. 1.)

Otto Stolz, Grundzüge der Differential- und Integralrechnung. I. Reelle Veränderliche und Funktionen. Leipzig 1893. (Citiert als: Grundz. 1.)

Jules Tannery, Introduction à la théorie des fonctions d’une variable. Paris 1886. Ph. Gilbert, Cours d’analyse infinitésimale. Partie élém. 4. éd. Paris-Brux. 1892. Harry Gravelius, Lehrbuch der Differentialrechnung. Berlin 1893.

G. Peano, Lezioni di analisi infinitesimale. I. II. Torino 1893.

Cam. Jordan, Cours d’analyse de l’éc. polyt. I. Calcul différentiel. 2. éd. Paris 1893. Ernesto Pascal, Esercizî e note critiche di calcolo infinitesimale. Milano 1895. Giulio Vivanti, Corso di calcolo infinitesimale. Messina 1899²).

Monographien.

Bernhard Bolzano, Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwei Werten, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege. Prag 1817.

Bernhard Bolzano, Paradoxien des Unendlichen, hsg. v. Fr. Prihonski. Lpz. 1851. Bernhard Riemann, Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonom.

Reihe. Habil.-Schr. von 1854, publ. Gott. Abh. 13,1867. (Ges.W. 1876, p. 213—253.) Hermann Hankel, Untersuchungen über die unendlich oft oscillierenden und unstetigen Funktionen. Univ.-Programm, Tübingen 1870; Math. Ann. 20 (1882), p. 63—112. (Die Citate beziehen sich auf diesen Wiederabdruck.) Paul Du Bois-Reymond, Die allgemeine Funktionentheorie. I (einz.). Tübingen 1882. Emile Borei, Leçons sur la théorie des fonctions. Paris 1898.

I. Funktionen einer Veränderlichen.

1. Veränderliche und Funktionen: Historisches³). Der Begriff der veränderlichen Grössen ( Variablen) und der Funktionen einer oder mehrerer Veränderlichen verdankt seine Entstehung und erste Ausbildung der Koordinatengeometrie. Die von Descartes⁴) und Fermat⁵) begründete Methode, jeden einzelnen Punkt einer Ebene durch zwei Koordinaten, d. h. schliesslich durch zwei bestimmte Zahlen eindeutig zu charakterisieren, liefert als arithmetisches Abbild einer ebenen Kurve ein unendliches System von (reellen) Zahlenpaaren (x, y) derart, dass jedem in betracht kommenden Werte x ein oder mehrere Werte y als „Funktion“ von x zugeordnet erscheinen, und diese Anschauung hat umgekehrt dazu geführt, ein durch irgendwelche arithmetische Beziehung in (x, y) definiertes y in seiner Eigenschaft als „Funktion11 von x zu untersuchen, d. h. die Wertveränderungen ins Auge zu fassen, welche y bei veränderlichem x erleidet. Die von den älteren Analysten angeblich⁶) als synonym mit Potenz gebrauchte Bezeichnung Punktion findet sich zuerst hei Gottfr. Wilh. Leibniz als Ausdruck für solche Längen (wie Abscisse, Ordinate, Tangente, Normale, Krümmungsradius und „unzählige andere“), die zu den einzelnen (als veränderlich gedachten) Punkten einer Kurve in bestimmten Beziehungen stehen⁷). In diesem Sinne zunächst von Jac. Bernoulli⁸) übernommen, wird sie bald darauf etwas allgemeiner von Joh. Bernoulli⁹) angewendet und gewinnt schliesslich bei letzterem die Bedeutung einer „aus einer Veränderlichen und irgendwelchen Konstanten zusammengesetzten Grosse“¹⁰)

oder, noch etwas prägnanter bei Leonh. Eider¹¹), eines aus den genannten Bestandteilen zusammengesetzten „analytischen Ausdrucksu.

2. Fortsetzung: Der Enler’selie Funktionsbegriff. Die zuletzt erwähnte Definition erscheint an der Spitze von Euler s Introductio¹²), der ersten zusammenhängenden Darstellung einer elementaren Funktionenlehre; sie umfasst zunächst nur den Begriff der sog. expliciten Funktion und wird von Euler alsbald dahin erweitert, dass y auch dann noch eine Funktion von x, und zwar eine implicite gegebene heisst, wenn zwischen x und y eine (eventuell nicht algebraisch auflösbare) algebraische Gleichung besteht¹³).

Im übrigen teilt Euler je nach der Beschaffenheit des definierenden Ausdrucks die Funktionen in algebraische und transcendente, sodann in eindeutige und mehrdeutige. Eine Funktion y heisst algebraisch, wenn sie aus x durch eine begrenzte Anwendung von Elementaroperationen (vier Spezies) und Radicierungen gewonnen werden kann, oder allgemeiner, wenn zwischen x und y eine algebraische Gleichung:

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= 0 vorliegt¹⁴); sie heisst transcendent, wenn trans-

cendente Operationen, d. h. nach Euler: „Logarithmen, Exponential-grössen und unzählige andere durch Integration resultierende“ in dem definierenden Ausdrucke Vorkommen¹⁵). Auch wenn man von der Unvollständigkeit dieser letzteren Definition absieht¹⁶ 17 18), so ist gegen diese Einteilung zweierlei zu bemerken, nämlich: 1) Eine Funktion im Euler’sehen Sinne, d. h. ein bestimmter analytischer Ausdruck kann in verschiedenen Intervallen teils algebraisch, teils transcendent sein¹⁷). 2) Der algebraische oder transcendente Charakter einer Funktion lässt sich überhaupt nicht erschöpfend durch den besonderen Typus des als Definition zulässigen analytischen Ausdrucks bezeichnen. Insbesondere können Ausdrücke, welche eine unbegrenzte Anzahl von Elementaroperationen in sich schliessen, auch algebraische Funktionen definieren¹⁸), sodass andererseits auch ihre etwaige Transcendenz in jedem Falle erst besonders bewiesen werden muss¹⁹). Nur soviel steht a priori fest, dass lediglich die Werte einer rationalen Funktion für jeden einzelnen Wert x durch eine begrenzte Anzahl von Anwendungen der vier Spezies berechnet werden können, alle übrigen Funktionen im allgemeinen²⁰') nur durch eine unbegrenzte Anzahl (also mit Hülfe von Grenzübergängen, sonst nur näherungswe ise)²¹).

3. Fortsetzung: Der allgemeinste (Dirichlet’sche) Funktionsbegriff und derjenige der Funktionentheorie im engeren Sinne. Der Anstoss zur weiteren Ausbildung des Funktionenbegriffes ging zunächst von der Physik aus. Durch Untersuchungen über das Problem der schwingenden Saiten, die von Jean Lerond d’Alembert begonnen wurden²²) und an denen sich sodann Euler, Ban. Bernoulli und Louis Lagrange beteiligten²³), wurde insbesondere Eider dazu geführt, sog. ivillkürliche Funktionen, z. B. lediglich graphisch gegebene (d. h. innerhalb eines Cartesischen Koordinatensystems durch eine aufs Geratewohl gezeichnete Kurve repräsentirte) Abhängigkeiten in die Lösungen einer gewissen partiellen Differentialgleichung einzuführen²⁴). Da die entsprechenden Lösungen bei Ban. Bernoulli in der Form trigonometrischer Leihen erschienen²⁵), so ergab sich die Alternative,

15) Ygl. 3.

x²    1 x* 1 • 3 x⁶

U) Beispiel: ä/=l + f—i-4 + ^4»

= -f- yi-f-x² för J a? J 01.

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dass entweder jede willkürliche Abhängigkeit durch eine solche Reihe darstellbar sein müsse, oder dass die Bernoulli sehe Lösung nicht die volle Allgemeinheit besitze²⁶). Naturgemäss neigte man sich zunächst der letzteren Ansicht zu, und nur Lagrange machte einen (unzulänglichen) Versuch, die Richtigkeit der er ster en wenigstens in beschränktem Umfänge²⁷) zu beweisen. Erst durch Jean Bapt. Jos. Fourier wurde dieselbe mit schärfster Betonung des willkürlichen (etwa graphischen) Charakters der darzustellenden Funktion ausgesprochen und durch formale Aufstellung der (nach ihm benannten) Reihenentwickelung, d. h. durch wirkliche Angabe der betreffenden Reihenkoeffizienten (in Form bestimmter Integrale)²⁸) annehmbar gemacht²⁹), schliesslich durch Hinzufügung des (sehr wesentlichen) Konvergenz-betveises von G. Lejeune-Dirichlet definitiv erwiesen³⁰).

Durch die Erkenntnis, dass jede (mit gewissen Einschränkungen³¹)) willkürlich vorgeschriebene, z. B. eine graphisch gegebene oder in verschiedenen Intervallen durch verschiedene Rechnungsvorschriften³²) definierte Abhängigkeit durch eine trigonometrische Reihe, also durch einen bestimmten analytischen Ausdruck im Sinne Euler’s, darstellbar sei, war sowohl die Möglichkeit einer Erweiterung, als auch die Notwendigkeit einer Einschränkung des Euler’sehen Funktionsbegriffes gegeben.

Denn einmal lag nun kein Grund mehr vor, die Definition der Funktion an die Rräexistenz eines einheitlichen analytischen (besser: arithmetischen) Ausdruckes zu knüpfen, insofern ja ein solcher im all-

gemeinen²⁹) a posteriori stets herstellbar erscheint³¹). Infolge dessen definierte Dirichlet³²) y als eine (eindeutige) Funktion von x im Intervalle (a, b), wenn jedem Werte a <jx <j b ein bestimmter Wert y entspricht, ohne Rücksicht darauf, in welcher Weise die Zuordnung der y -Werte zu den einzelnen x bewerkstelligt wird.

Andererseits bietet aber, wie die F.’sche Reihe lehrt, die Definition einer Funktion durch einen analytischen Ausdruck keinerlei Garantie für die Existenz gesetzmässiger, verschiedenen ^-Intervallen gemeinsamer Eigenschaften (etwa nach Art der algebraischen Funktionen). Hatte man es bisher als selbstverständlich angesehen, dass zwei Reihen, welche, in verschiedenen Gebieten konvergierend, die nämliche algebraische Funktion zur Summe haben³³), als Darstellungen einer einzigen Funktion gelten müssten, so fehlte in Wahrheit jedes allgemeine Kriterium dafür, unter welchen Umständen irgend zwei verschiedene, lediglich in verschiedenen einander ausschliessenden Intervallen einen bestimmten Sinn besitzende Ausdrücke als zu einer Funktion gehörig anzusehen seien; und was man unter der Fortsetzung“ einer Funktion verstehen solle, die zunächst nur durch einen Ausdruck mit beschränktem Existenzgebiet definiert erscheint. Diese Schwierigkeiten wurden erst durch die prinzipielle Einführung komplexer Veränderlicher und eine damit verbundene passende Einschränkung des Funktionsbegriffes gehoben. Die so geschaffenen speziellen Funktionsbegriffe, nämlich der Cauchy-Biemann’sehe der im komplexen Sinne differenzierbarenu) und der Lagrange-Weier strass’sehe der durch Potenzreihen darstellbaren analytischen Funktion, welche trotz der

31) Hierbei ist man keineswegs auf die F.’sche Reihe oder verwandte „Darstellungsformeln“ (vgl. II A 8) angewiesen. Nicht selten lassen sich Funktionen, welche von dem ursprünglichen Euler'sehen Funktionsbegriffe sehr weit entfernt zu sein scheinen, durch verhältnismässig einfache Grenzwertbildungen analytisch fixieren; so z. B. die von Dirichlet (Werke 1, p*. 132) angeführte Funktion y, welche für alle rationalen x: —c, für alle irrationalen: = d wird, durch.-y = (c — d) lim lim cos n\ nxm -f- d. Andere Darstellungsmittel s. 9, 18.

n=co m = co

32)    Werke 1, p. 135. — Eine dem Wortlaute nach ähnliche Definition bei Lacroix (a. a. O. p. 1) ist, wie die angeführten Beispiele erkennen lassen, noch keineswegs in dem allgemeinen Dirichlet'sehen Sinne zu verstehen.

— • • für \x \ < 1,

• • • I für \x\ >■ 1.

34)    Bei Aug. Cauchy (Exerc. d’anal. 4 [1847], p. 346) als monogenc Funktion, bei Biemann (Dissert. [1851] § 12; Werke, p. 23) schlechthin als Funktion (einer komplexen Veränderlichen) bezeichnet.

gänzlich verschiedenen Definitionsform im wesentlichen sich als äquivalent erweisen³³), bilden’ den ausschliesslichen Untersuchungsgegenstand der gewöhnlich als Funktionentheorie schlechthin bezeichnten Disziplin³⁴). Dagegen hat die allgemeine Funktionenlehre, unter Beschränkung auf reelle Veränderliche, die genaue Durchforschung des allgemeinsten (Dirichletfsehen) Funktionsbegriffes und der durch ihn geschaffenen Möglichkeiten sich zur Aufgabe gemacht³⁵).

4. Reelle Veränderliche³⁶). Unter einer reellen Veränderlichen (Variablen) versteht man ein Zeichen, gewöhnlich einen der letzten Buchstaben des Alphabetes³⁷ 38 39), dem successive verschiedene Zahlemverte (z. B. alle möglichen zwischen zwei bestimmten, alle rationalen, alle ganzzahligen) beigelegt werden. Die Gesamtmenge der letzteren, welche endlich, abzahlbar-unendlich oder von der Mächtigkeit des Linear-continuums^⁰) sein kann, wird der Bereich der Veränderlichen genannt und mag, wenn diese selbst x heisst, mit (x) bezeichnet werden. Da mit Annahme des Cantor-DedekincFschen Axioms*¹) das Gebiet der reellen Zahlen ein-eindeutig den Punkten einer Geraden zugeordnet werden kann, so erscheint eine gewisse lineare Punktmenge als geometrisches Abbild eines solchen Bereiches. Die Bezeichnungen Punkt oder Stelle x werden infolge dessen als synonym mit Zahlenwert x gebraucht, und zur Charakterisierung der möglichen Gestalten eines Bereiches bedient man sich mit Vorteil der in der Cantor'sehen Mengenlehre geschaffenen Terminologie⁴⁰).

Der Bereich (x) heisst endlich, wenn sämtliche \x\ unter einer bestimmten positiven Zahl liegen. . In diesem Falle besitzen die x in dem analogen Sinne wie die Terme einer abzahlbaren Menge (Zahlenfolge)⁴¹) eine bestimmte obere und untere Grenze G, g (welche aber nicht notwendig dem Bereiche (x) anzugehören brauchen)⁴²) und, wenn die Menge der x unendlich ist, mindestens eine (ebenfalls nicht notwendig zu ix) gehörige) Häufungsstelle (einen Grenzpunkt) a.⁴³) Gehört G (bezw. g) zu (x), so haben die x ein (reales)⁴⁴ 45) Maximum (bezw. Minimum); andernfalls ist G (bezw. g) allemal ein a (was in dem zuvor erwähnten Falle gleichfalls möglich, aber nicht notwendig ist).

Gehören zu (x) Werte, die jede positive Zahl A übersteigen, so heisst die obere Grenze der x -Werte -f- oo; da alsdann bei beliebig grossem A stets unendlich viele x der Beziehung x > A genügen müssen, so sagt man wohl auch: die „Stelleu -f- oo sei eine Häufungsstelle der xM) Das analoge gilt bezüglich der unteren Grenze und — oo.⁴⁶)

Die vorstehenden Definitionen und Sätze gelten sowohl für unabhängige als für abhängige Veränderliche (s. 5).

5. Allgemeinste eindeutige Funktion einer reellen Veränderlichen. Der in 3 erwähnte Dirichlet'sehe Funktionsbegriff bedarf, um arithmetisch brauchbar zu sein, auch wenn man grösstmögliche Allgemeinheit anstrebt, immerhin noch einer gewissen Einschränkung. Zunächst würde nach dem dort gesagten eine für irgend einen Bereich (x) bestehende Beziehung von der Form: y = fix) lediglich eine Art tabellarischer Zuordnung der einzelnen y zu den einzelnen x bedeuten. Sieht man aber von dem (kein besonderes Interesse gewährenden) Falle ab, dass (x) nur aus einer endlichen Zahlenmenge besteht, so kann die fragliche, nunmehr stets unendlich viele Data umfassende Zuordnung immer nur durch eine allgemeine arithmetische

Definition, d. h. durch eine geeignete JRechenvorschrift⁴⁹) im weitesten Sinne bewerkstelligt werden. Die letztere kann übrigens für verschiedene Intervalle oder Zahlklassen von (x) verschieden sein, sogar aus einer abzahlbar-unendlichen Menge von Einzelvorschriften bestehen⁵⁰).

Andererseits kann eine lediglich graphisch gegebene Abhängigkeit nur dann zur vollkommenen Definition einer Funktion y — f(x) dienen, wenn ihre Herstellung auf einem (geometrischen oder mechanischen) Gesetze beruht⁵¹), welches in eine llechenvorschrift transformiert werden kann⁵²). Dagegen definiert eine aufs Geratewohl gezeichnete Kurve in Wahrheit überhaupt keine bestimmte Funktion⁵³); denn durch blosse Messung ihrer Äbscissen und der zugehörigen Ordinalen können die Zahlenwerte der x und y bei der Unvollkommen-

49)    Die Rechenvorschrift muss so beschaffen sein, dass f(x) für einen irrationalen Wert x — a nicht von der speziellen Wahl der zur Definition von a benützten Zahlenfolge (av) abhängt: E. Heine, J. f. Math. 74 (1872), p. 180. Ygl. auch p. 181, Anm.

50)    Setzt man z. B. fest, dass

• • x = 0,

ffir:

• • • ■ y-=o,

y = x,

(wo n jede natürliche Zahl bedeutet), so ist durch diese abzahlbare Vorschriftenmenge y für jeden Wert des Intervalls 0 < x <( 1 eindeutig definiert. — Eine ausführliche Untersuchung der bezüglich der Definition von y bestehenden Möglichkeiten hat neuerdings T. Brodén angestellt: Acta Lund. 8 (1897), p. 1—7.

* 51) Dahin gehören die ebenen geometrischen Örter von Punkten, welche gewissen geometrischen Forderungen genügen, die trigonometrischen Funktionen der elementaren Trigonometrie, die von den Punkten irgendwelcher Mechanismen beschriebenen Bewegungscurven.

52)    Das Erzeugungsgesetz darf also eventuell auch in eine abzahlbare Menge von Einzelgesetzen zerfallen.

53)    Dem widerspricht nicht, dass die Ordinaten einer „gewöhnlichen“ (vgl. 11), etwa für — n < x <( -f- -Jt willkürlichen Kurve mit Hülfe einer Fourier-schen Reihe (scheinbar) arithmetisch als Funktionen der Äbscissen x dargestellt werden können. Denn die als Koefficienten auftretenden Integrale:

J*y ■    (nx) ■ dx sind in Wahrheit keine Zahlen, sondern lediglich Repräsen-

—n

tanten geometrisch (und für n^> 1 sogar nur approximativ) gegebener Flächenstücke (aus der blossen Zeichnung der Kurve y — f(x) kann nämlich diejenige von

yn — f(x) ■ (nx) nur näherungsweise hergestellt werden). Für die Existenz

der entsprechenden Flächenzahlen (vgl. IA 3, 12) ist allemal die arithmetische Bestimmtheit von y für jedes einzelne x des Intervalls — n <( x < -f- n erforderlich.

heit geometrischer Anschauung immer nur approximativ bestimmt werden⁴⁷). Hiernach gelangt man etwa zu folgender Definition:

y heisst eine im Bereiche (x) eindeutige Funktion von x, wenn für jeden einzelnen zu (x) gehörigen Wert x ein bestimmter Wert y arithmetisch definiert ist⁴⁸ 49).

Man nennt sodann x die unabhängige Veränderliche oder das Argument der Funktion y = f(x), welche auch als abhängige Veränderliche bezeichnet wird.

Die Ausdrucksweise: x konvergiere gegen einen gewissen Wert a — in Zeichen: lim x = a — besagt: x durchläuft die Werte irgend einer dem Bereiche ([x) angehörigen Zahlenfolge mit dem Grenzwerte a,5e) diesen selbst ausgeschlossen. Findet die Annäherung an a ausschliesslich von der Seite der grösseren bezw. kleineren Zahlen statt, so schreibt man nach dem Vorgänge von Firichlet (s. 7, Fussn. 68): lim x — a -f- 0 bezw. x — a — 0,⁵⁰)

Die unabhängige Veränderliche x heisst stetig im Intervalle (x₀, X), wenn sie alle reellen Zahlenwerte x₀ x X annimmt; sie heisst stetig im Innern des Intervalls (xQ, X) oder auch⁵¹): im Intervalle (xQ + 0, X — 0), wenn sie nur alle Werte x₀ < x < X annimmt⁵² 53 54 55). Unter der Umgebung einer im Innern von (x₀, X) liegenden Stelle a versteht man sämtliche Zahlenwerte eines beliebig kleinen Intervalls (a — d, a -f- d)} wo x₀ a — d < a -J- d X. Als rechts- bezw. linksseitige Umgebung wird sodann ein Intervall von der Form (a, a -j- d) bezw. (a — d, d) bezeichnet. Ist a = x₀ bezw. a = X, so kommt als Umgebung schlechthin immer nur die rechts- bezw. linksseitige in Betracht.

6. Obere (untere) Grenze und Schwankung einer Funktion.

131) Leçons sur le calc, diff., Paris 1829, p. 33.

18. Kondensation von

2v <x<2v + 1 (v = 0, ± 1, ± 2, . . .).

B. Einleitung.

k — 1,... i = 1,... n.

X(y0)

II. Punktionen von mehreren Variabein.

f(?) ~ (i)/■<> — *) + (I) fix ~ 2h)

J*f(x) dx.

r(x)-F*

n (‘+^~

y y i ? dx y ^;

g(gp-X)

Aussergewöhnliehe Anfangsbedingungen bei Gleichungen 1. Ordnung.

35. Allgemeiner Fall meromorpher Differentialkoeffizienten.

x<p (f) + yy> (y) + % (/) = 0.

Spezielle Theorieen für Gleichungen ntuI Ordnung.

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EDUARD VON WEBER

(12) S %u (xx •

Y%ip11 ipg Y2il>2 . . .5 ijjv = Y^ipv—i

fn U* o ... o

dW (xt. . . xmpx . . . pm) + 2 Pi ä Qi = 2Pi dqi.

(Pi — ti, f) = 0 (* = 1,2,... p)

Damit ein System von j- 1) partiellen Differential

(195)

(34)

Ą(f) =2 ocça(a)j

MAXIME BOCHER

(4) angewandt werden können. Die Funktion f möge, so lange cc<ix<iß, \y\<^L, \ y \ L', als eindeutige stetige Funktion ihrer drei unabhängigen Argumente vorausgesetzt werden76). Wir führen zunächst folgendes sehr allgemeine Theorem an:

d3v . d*v 9

— c ~ ~ff{ u. — w.) + ( w; — w:) + • • ■} (ei«,),.

(10)

d*u dxdy

= e~r (k > o).

ADOLF KNESER

V =J* Fdx = j"fdx

wobei t0, £0' die oberen Grenzen von £ und £' sind

J* =f\\f(%, y, p) + (y —p) fpfa y, p)} dx

(10)

cp + x

aöiAs)oos {mt ~nt+o,

I. Definition der allgemeinen Kugelfunktion.

(22)

22. Integraldarstellung von Qn.

VII. Lamé’sehe Funktionen.

47. Die Cylinderfunktionen als Grenzen der Kugelfunktionen.

Inhaltsverzeichnis.

»0 = F UW' (cos nx^

*o9 + »is.9 + »2 H b *A”9 = 0,

l) « (,Xn> 4) •• •

¹

Die schlechthin mit Dini und Paragraphemahlen bezeichneten Citate passen auf beide Ausgaben. Stellen, die sich nur in der deutschen Ausgabe finden, sind mit Dini-Lüroth und Seitenzahlen citiert.

²

Von den Lehrbüchern sind hier nur diejenigen angeführt, welche sich ausführlicher mit den Grundlagen der Funktionenlehre beschäftigen. Vgl. im übrigen die Litteratur von II A 2.

³

   Vgl. Klügel, Math. "Worterb. 2 (1805), p. 272. — M. Cantor, Gesch. der Math. 3, p. 348. — Hermann HanJcel, Math. Ann. 20 (1882), p. 63. — A. Brill und M. Noether, Jahresb. d. D. M. V. 3 (1894), p. 127. 140.

⁴

   Mené Descartes, Géométrie, Paris 1637.

⁵

   Pierre de Fermat, Ad locos pianos et solidos isagoge (Zeit der Abfassung unbekannt: M. Cantor, a. a. O. 2, p. 745): Varia op. math., Tolosae 1697, p. 1.

⁶

   S. z. B. J. L. Lagrange, Théorie des fonctions analytiques (Paris 1797), § 1 (Oeuvres 9, p. 16); S. F. Lacroix, Traité de cale. diff. et intégr. 1 (Paris 1797 bezw. 1810), p. 1. Eine wirkliche Bestätigung dieser Angabe habe ich bisher nicht auffinden können.

⁷

   Acta erud. 1692, p. 170; 1694, p. 316 (Opera, ed. Dutens 3, p. 266, 300, 302).

⁸

   Acta erud. 1694, p. 391 (Opera 1, p. 618. Vgl. auch: 2, p. 788).

⁹

   In einer zunächst an Leibniz im J. 1698 mitgeteilten Abhandlung (vgl. Comm, epist. 1, p. 386), publiziert: Par. Mém. 1706, p. 235 (Opera 1, p. 424), spricht Joh. Bernoulli schon von „beliebigen Funktionen der Ordinaten“.

¹⁰

   Par. Mém. 1718, p. 106 (Opera 2, p. 241).

¹¹

   Die Zeichen f(cc), f(ax-\-b) etc. wurden ebenfalls yon Euler eingeführt: Comm. Petrop. 7 (ad 1734/35), p. 186bls (d. h. eigentlich 196, da falsch paginiert). Ähnliche Bezeichungen (wie Tlx, <Dx, Ax) ungefähr gleichzeitig bei Alexis Clairaut: Par. Mém. 1734, p. 197. — Über die von Leibniz und Joh. Bernoulli angewendeten Funktionsbezeichnungen s. M. Cantor, Gesch. d. Math. 3, p. 438.

¹²

   Cap. I, § 4.

¹³

   A. a. 0. § 8.

¹⁴

   Ist n — 1, so heisst y rational; reduziert sich zugleich der Faktor von y auf eine Constante, so heisst die rationale Funktion eine ganze, sonst eine gebrochene (a. a. 0. § 8, § 9).

¹⁵

   In noch speziellerem Sinne hat Joli. Bernoulli den Ausdruck transcendente Funktionen gebraucht: Par. Mém. 1730, p. 79 (Opera 3, p. 174). Allgemeiner hat Leibniz als auf „quantitates transcendentes“ führend solche „problemata“ charakterisiert, „quae omnem aequationem algebraicam transcendant“ (Acta erud. 1686; Opera 3, p. 190).

¹⁶

   Vollständig lässt sich dieselbe in "Wahrheit nicht anders als negativ

¹⁷

fassen, etwa: Eine Funktion heisst in der Nähe irgend eines Wertes x transcen

¹⁸

dent, wenn sie daselbst nicht algebraisch ist.

¹⁹

   z. B. diejenige von y = x^² , y = ^--^- -|---— ■ - * == lg (1 -j- ic²)

für |icj < 1.

²⁰

   D. h. mit eventuellem Ausschlüsse besonderer Werte von x (solche sind z. B. für y — yx die Quadrate rationaler Zahlen, für y = 2X die ganzen Zahlen).

²¹

   Die Auffindung solcher, lediglich die Anwendung der vier Spezies (in unbegrenzter Anzahl) erfordernder Ausdrücke (z. B. unendliche Reihen, Produkte, Kettenbrüche — vgl. IA 3) zur Berechnung der nicht-rationalen Funktionen ist die eigentliche Fundamentalaufgahe der Analysis.

²²

   Berl. Mém. Année 1747, p. 214.

²³

   Näheres darüber in Bernh. Biemanris Habil.-Schrift : Werke p. 214 ff.

²⁴

   Berl. Mém. Année 1748, p. 69.

²⁵

   Ibid. Année 1753, p. 147.

²⁶

   Euler, ibid. p. 196.

²⁷

   Nämlich Darstellbarkeit einer analytisch gegebenen Funktion: Mise. Taur. 3 (1762—65), p. 221 (Oeuvres 1, p. 514); dagegen nur näherungsweise Darstellbark. einer graphisch gegebenen Abhängigkeit: Mise. Taur. 3, p. 261 (Oeuvres 1, p. 552). Vgl. auch Niemann’s Bemerkungen über die letztere Stelle (a. a. 0. p. 219).

²⁸

   Die fragliche Integraldarstellung der Koeffizienten findet sich übrigens schon bei Euler in einer Abh. aus dem J. 1777 (publ. 1798, N. A. Petrop. 11, p. 114).

²⁹

   In der Hauptsache schon in einem 1807 der Par. Akademie vorgelegten Memoire, von dem nur ein Auszug (von S. T>. Poisson) gedruckt worden ist: Bull. soc. philom. 1 (1808), p. 112 (Fourier, Oeuvres 2, p. 215); ausführlicher in einer Abhandlung von 1811 (publ. Par. Mém. 1819/20; vgl. insbes. p. 281, 326), deren Inhalt fast unverändert in die „Théorie analytique de la chaleur“ (1822) übergegangen ist: Chap. Ill, Sect. VI (Oeuvres 1, p. 187ff., vgl. insbes. p. 209, 230).

³⁰

   J.f.Math.4(1829), p. 157; Repert.Phys. 1 (1837), p. 152 (Werkel, p. 119.135).

³¹

   Vgl. II A 8.

³²

   Derartige Abhängigkeiten in geometrischer Deutung wurden von Euler als „curvae discontinuae, mixtae vel irreguläres“ bezeichnet (Introd. 2, Cap. I, § 9). — Über Ausdrücke wesentlich einfacherer Natur, welche nach Art der F.’sehen Reihen solche „curvae mixtae“ darstellen können, vgl. I A 3, B9, Fussn. 283.

³³

   Gewisse Zweifel, welche die Cauchy-Biemann’sehe Definition bezüglich des Fortsetzungsbegriffes noch übrig lässt (vgl. Herrn. Hankel, a. a. 0. p. 105, 109), sind freilich erst durch K. Weierstrass auf Grund seines FunktionsbegrifFes definitiv erledigt worden: Beri. Ber. 1880, p. 729 (Werke 2, p. 210). — Vgl. auch: Ph. L. Seidel, J. f. Math. 73 (1871), p. 300.

³⁴

   Vgl. II B 1.

³⁵

   Die durch Fourier’sche Seihen darstellbaren, innerhalb sehr weiter Grenzen ivillkürliclien reellen Funktionen lassen sich als Grenzfälle analytischer Funktionen auffassen: vgl. Hankel, a. a. O. p. 109; S. Pincherle (nach Weier strass) : Giorn. di mat. 18 (1880), p. 254. Im übrigen vgl. IIB 1 („Dirichlet’sches Prinzip“).

³⁶

   Die in dieser Nummer zusammengestellten Definitionen und Sätze, deren Ursprung im einzelnen sich wohl kaum genau feststellen lässt, dürften im wesentlichen aus Weier strass’ Vorlesungen in die Litteratur übergegangen sein.

³⁷

   Seit Descartes (Fussn. 2). Noch Fermat (Fussn. 3) schreibt (nach dem Vorgänge von Franc. Vieta [1540—1603], welcher allgemein Vokale zur Bezeichnung von Unbekannten benützte) A, E statt x, u.

³⁸

   Vgl. I A 5, 2.

³⁹

   Vgl. I A 3, 3, 4.

⁴⁰

   Vgl. insbes. 11, 15, 16; I A 5.

⁴¹

   Vgl. I A 3, 16.

⁴²

   Dieser von Weierstrass (s. Pincherle, a. a. 0. p. 242) besonders betonte Satz schon bei Berrih. Bolzano: Rein analjt. Beweis etc., p. 41 (vgl. Stolz, Math. Ann. 18 [1881], p. 257 ; auch Allg. Arithm. 1, p. 149. Stolz hebt hervor [p. 151], dass der Beweis kein Mittel liefert, um G, g zu bestimmen oder auch nur die Endlichkeit von G, g festzustellen). M. Pasch (Math. Ann. 30 [1887], p. 133) bezeichnet G(g) als obere (untere) Schranke und gebraucht den Ausdruck Grenze für Häufungsstelle (ferner: obere [untere] Grenze für oberen [unteren] Limes; s. 7).

⁴³

   Pincherle, a. a. 0. p. 237. — Vgl. auch: I A 5, 1.

⁴⁴

   Vgl. I A 3, 16, Fussn. 123.

⁴⁵

   Pincherle, a. a. 0. p. 241.

⁴⁶

   Eine andere Auffassung des Unendlichen s. 8.

⁴⁷

   Vgl. F. Klein, Erl. Ber. 1873, abgedr. Math. Ann. 22 (1883), p. 249.

⁴⁸

   Entsprechend für mehrdeutige Funktionen. — Im folgenden soll unter Funktion schlechthin immer eine eindeutige Funktion in dem oben angegebenen Sinne verstanden werden.

⁴⁹

   Vgl. I A 3, 13.

⁵⁰

   Entsprechende Bedeutung besitzen die Bezeichnungen : lim x = -f- oo, lim x = — OO.

⁵¹

   Nach Pasch, a. a. 0. p. 133. Entsprechende Bedeutung kommt den Bezeichnungen (x₀ -j- 0, X), (x₀, X — 0) zu.

⁵²

   Ist lim x₀ = — oo, lim X — -f- oo, so wird x auch unbeschränkt veränderlich genannt (Weierstrass). — Bolzano (vgl. Stolz, a. a. 0. p. 257) bezeichnet

⁵³

ein im Intervalle (x₀, X) stetig veränderliches x als frei veränderlich und nennt

⁵⁴

andererseits x stetig veränderlich, falls (x) Eigenschaften besitzt, die nicht nur

⁵⁵

(wie B. fälschlich annimmt) jeder über all-dichten, sondern auch gewissen imper -fecten in sich dichten Mengen zukommen (vgl. IA5, 11).

6. Obere (untere) Grenze und Schwankung einer Funktion.

Ist y=f(x) für jede einzelne Stelle des Intervalls (x₀, X) als bestimmte endliche Zahl definiert, so braucht fix) noch keineswegs „im Intervalle endlich“ zu sein, d. h. für x₀ x ff X numerisch unter einer festen Schranke zu bleiben¹). Ist aber diese Bedingung erfüllt, so besitzen die y (nach 5) eine bestimmte obere und untere Grenze G, g-, wenn nicht, so erscheinen je nach Umständen wieder die Symbole -f- oo bezw. — oo als obere bezw. untere Grenze der y. Im ersten Falle heisst die (niemals negative) Differenz 1) = G — g die Schwankung^) von fix) im Intervalle (x₀, X); im zweiten bezeichnet man die Schwankung von fix) als unendlichgross ÇD = -}- oo).

Pas analoge gilt bezüglich der unteren Grenze.

Die obere (untere) Grenze braucht, auch wenn sie endlich ist, für keinen einzigen Wert x = a von der Funktion y wirklich erreicht zu werden²); vielmehr gilt lediglich der folgende, von Weier strass³) herrührende Satz: 1st D (wo P — G beziv. — -f- oo) die obere Grenze der y im Intervalle (x₀, X); so giebt es daselbst eine, bezw. eine erste Stelle a, sodass für eine beliebig kleine Umgebung von a die obere Grenze der y den Wert D hat.

Der Satz lässt sich auch auf den Fall übertragen, dass y nur für irgendeine dem Intervalle (x₀, X) angehörige Punktmenge definiert ist⁴ 5).

7. Grenzwerte und Unbestimmtheitsgrenzen. Es sei f(x) definiert für einen gewissen (stetigen oder unstetigen) Bereich (x) mit der unteren Grenze und Häufungsstelle a; ob für a selbst, ist gleichgültig. Alsdann bestehen folgende Möglichkeiten:

I. Es existiert eine bestimmte Zahl b, sodass bei beliebig kleinem

e > 0:

(!) \h — f(x)\ < U

wenn :

x — a < â (d. h. hinlänglich klein). Man sagt in diesem Falle, f(x) habe für lim x = a -j- 0 (vgl. 5)

60)    Schon von C. F. Gauss bemerkt: Dissert. 1799 (Werke 3, p. 10). —

1, +1). Man hat

Beispiel: f(x) — (1 — xs) lim ^    ^-- im Intervalle (—

U«( i+)x” + i

6r = -j-l, g —— 1, welchen Werten f(x) in der Nähe von x — 0 beliebig nahe kommt, während f(0) = 0 ist. Vgl. dagegen 9, Satz II.

61)    Nach Biemann: Werke, p. 226. Die Schwankung im Intervalle (x₀ —f— 0, X—0) bezeichnet Pasch (a. a. 0. p. 139) als innere Schwankung.

Intervalle.

62) Beispiel: f(x) — lim —r in jedem die Stelle x — 0 enthaltenden

ÛO    1

n=

den Grenzwert (Limes) b, oder auch: f(x) habe bei x = a den rechtsseitigen (rechten, vorwärts gebildeten)⁵) Grenzwert b;6G) in Zeichen:

(2)

lim f(x) = b,⁶⁷) oder kürzer⁶): (2a) f(a-\-0) = b.

x—a-\- 0

Die notwendige und hinreichende Bedingung für das Eintreten dieses Falles lautet⁷):

x₂ — a < x± — a < d.

II. Man hat, wie gross auch M > 0 angenommen werden möge: f(x) > A bez. < — A,

Alsdann bezeichnet man -f- oo bezw. — oo als den fraglichen Grenzwert, in Zeichen:

(3)

(4)

wenn:

wenn :

x — a<d.

(5)

— oo.

lim f(x) = f(a -f- 0) = -f- oo bezw. =

x=a-f-0

Eine hinreichende Bedingung für das Eintreten des Falles I oder II bildet das monotone™) Verhalten von f(x) bei abnehmendem x. Bleibt zugleich I f(x)\ unter einer endlichen Schranke, so hat man allemal den Fall I⁸).

65)    Ich vermeide die vielfach (namentlich für Differentialquotienten) üblich gewordenen Ausdrücke vorderer (hinterer) Grenzwert, da dieselben nach dem Vorgänge von P. du Bois-Beymond (Math. Ann. 16 [1880], p. 120) eine dem natürlichen Sprachgebrauche genau entgegengesetzte Bedeutung gewonnen haben. Man bezeichnet nämlich darnach den in der Bichtung nach vorwärts gebildeten (rechten) Limes als vorderen, während ein Unbefangener darunter kaum etwas anderes, als den „auf der Vorderseite“, d. h. auf der Seite der kleineren Zahlen (links) gebildeten verstehen könnte. Von diesem letzteren Gesichtspunkte aus nennt z. B. C. Jordan (Cours d’anal. 1, p. 59) „discontinuité antérieure“ eine links auftretende, nach dem obigen Usus also „hintere“ Unstetigkeit.

66)    Der Begriff des Grenzwertes einer Funktion ist wohl zuerst von Weierstrass mit genügender Schärfe definiert worden: vgl. Stolz, Arithm. 1, p. 339, Anm. 4 zu IX. — Eine allgemeinere Definition, welche den Begriff der „Unbest.-Grenzen“ und des „Wertvorrats“ (s. Fussn. 72) mit umfasst, hat G. Peano aufgestellt: Riv. di mat. 2 (1892), p. 77; Lezioni d’anal. 1, p. 259.

67)    Der Sinn von Gl. (2) kann auch auf den Fundamentalbegriff des Limes einer monotonen Zahlenfolge (I A 3, 12, 18) zurückgeführt werden: „Die Gleichung lim f{x) — b besagt, dass für jede aus der Menge (oc) herausgehobene

x—a-j-0

monoton abnehmende Folge (xy), für welche lim xy = a, die Beziehung besteht:

lim f(xv) =

r=oo

dagegen keine monot. abn. Folge (xv) mit dem Grenzwerte a, welche einen kleineren oder grosseren lim f(xv) liefert⁹). Nimmt man also

V= CO

III. In jedem Falle besitzen die y für alle dem Bereiche (x) an-gehörigen Werte eines gewissen Intervalls (a -j- 0, a h), wo h > 0, eine (im allgemeinen von h abhängige) endliche oder unendlich grosse untere und obere Grenze yh, Yh. Da bei Verkleinerung von h offenbar yh niemals ab-, Yh niemals zunimmt, so existieren die Grenzwerte:

(6)

lim yh — B, lim Yh = B,n)

h=-j-cc

oo bedeuten). Alsdann heissen 13, JB die

^ Ä = -f- 0

(wo JB, JB eventuell auch + rechtsseitigen (rechten, vorwärts gebildeten) Unbestimmtheitsgrenzen¹⁰ 11)

oder Limites (Grenzwerte) von f(x) für x — a und zwar B der untere, B der obere Limes, in Zeichen¹²):

(7)

x=a-j-0

wofür ich (nach Analogie

lim f(x) — B, lim f(x) — B,

x=a-f- 0

von (2a)) kürzer schreibe:

(8)

f{a + 0) = B, f(a -j- U) — B.

Der Sinn dieser Beziehungen kann auch folgendermassen erklärt werden: Aus dem Bereiche (x) lassen sich zwei monoton abnehmende Folgen (Xy), (xv") mit dem Grenzwerte a so herausheben, dass: lim f(xy) = B, lim f(xv") = B,

(9)

r= oo

v== oo

s > 0 beliebig klein an, so finden bei hinlänglich kleinem h für alle x und für geivisse (jedesmal wirklich vorhandene) x', x" des Intervalls (a -j- 0, a -}- h) die Beziehungen statt:

(10)

B — s< f(x) < B + s,

B — s< fix') <B+s, B — e< fix") <B+s ,⁷⁵)

Hieraus erkennt man weiter, dass die Fälle I, H dann und nur dann eintreten, wenn: B — B, d. h. man hat alsdann:

(11)

fia -{- 0) = fia -J- 0) = f{a -f- 0).

In analoger Weise lassen sich der linksseitige (linke, rückwärts gebildete) Grenzwert und die entsprechenden Unbestimmtheitsgrenzen bezw. die Bedeutung der Symbole:

(12) lim f(x) = f(a—0), lim f(x) = f(a—0), lim f(x) = f(a — 0)

x=a—0

x—a — 0

x=a— 0

definieren. Im Falle f(a -f- 0) = f(a — 0) = b bezw. = + oo schreibt man kürzer:

(13)

lim f(x) — b ⁷⁶) bezw. = -}- oo .

x=-a

Im übrigen ist hervorzuheben, dass die Existenz einer solchen Beziehung in keiner Weise die Beschaffenheit von f(a) selbst präjudiziert: f(a) braucht überhaupt nicht definiert zu sein⁷⁷) oder kann von f(a4-0) verschieden ausfallen⁷⁸). Im letzteren Falle ist also ausdrücklich zwischen dem Befinitionswerte und dem Grenzwerte (bezw. den Grenziverten) von f(x) für x — a zu unterscheiden⁷⁹).

75)    Die Limites B, B können bei der Annäherung von x an a unendlich oft erreicht, überschritten oder auch niemals erreicht werden. (Beispiele für die

genannten drei Möglichkeiten: sin —, (1 -j- xT) ■ sin —, (1 —xs) ■ sin — für

cc    oc    sc

lim x = + 0.)

76)    Für das Rechnen mit solchen Grenzwerten gelten analoge Regeln, wie für Grenzwerte von Zahlenfolgen (vgl. I A 3, 17). Hauptsatz: Ist

lim fv(x) = bv (v = 1, 2,... »),

so hat man:

x=a

lim B{f₁{x), f₂ (x),... fn(x)) = Bfa , bz, ... ÔJ,

x=a

wenn B, eine rationale Funktion ihrer Argumente bedeutet und der Nenner von B(blt bs, ... bn) nicht Null ist (Stolz. Arithm. 1, p. 168).

__i

77)    Beispiele: x ■ sin e x‘l (vgl. 13) für x — 0.

nx²

für x — 0.

78)    Beispiele: Jim (j^s)". <»-*) .1“ ^»+1

79)    Sind f(a-f-0), f(a — 0) verschieden, so existieren für f(a) die folgenden

8. Unendlich grosse Werte der Funktion uud des Arguments.

Man sagt; f(x) habe für x = a den Wert oo (ohne Hinzufügung eines Vorzeichens)⁸⁰), wenn (/'(a))— 1 = 0 ist⁸¹). Die in diesem Falle für x — a fürs erste überhaupt nicht definierte Funktion fix) gilt dann auf Grund dieser Festsetzung daselbst als „uneigentlich definiertMan hat hiernach wohl zu unterscheiden⁸²) zwischen der Beziehung:

(14)

f{a) = oo

und den in voriger Hummer erklärten:

(15)

lim fix) = f(a 4- 0) = + oo ,

x=a + 0

x—a + 0

(16) lim f(x) = f(a -f- 0) = — oo, lim f(x) — f(a + 0) = -j- oo.

x=a + 0

In ähnlicher Weise bedeutet die Beziehung:

(17)

f(po) = b hezw. = oo,⁸⁰)

dass:

(17a)

f(~)

' \y/y=o

während die Bedeutung von:

= b, hezw.

Wï)U

(18)

lim f{x) — b bezw. = -f- oo,

x= + oo

(19) lim f(x) — B bezw. = — oo, lim fix) — B bezw. — -j- oo

x^±a>    ~~    *=±oo

nach Analogie der in 7 gegebenen Grenzwert-Definitionen fest-

vier Möglichkeiten: 1) f(a) nicht definiert. 2) f(a) von f(a + 0) verschieden. 3) f(a) = f(a -)- 0).    4) f(a) == f(a — 0). Beispiele:

— 1    crn_1

--2) x ■ lim -- 3) x ■ lim

n = cc xn + l

nxn —

ex~x

1}TH

e*—¹ _J_ 1

sämtlich für x — 1.

80)    Das Symbol oo erscheint hier also als ein „eigentliches“ Unendlich in dem I A 3, p. 69 näher definierten Sinne.

81)    Diese Festsetzung ist lediglich eine passende Modifikation der von Weierstrass für analytische Funkt, gegebenen Begriffsbestimmung: Werke 2, p. 81.

82)    So ist z. B. für f(x) — lim

71 —

k=c» nx¹¹ -j- 1

ri-

xn — n

oo xn -f- n

nx

» nx* -f 1

: f(0) = 0, f(+ 0) = + OO, 0) = — OO;

für f(x) = lim : f{0) = oo, /’(+0) = 0.

CO fvJj

Die Bezeichnungen (14), (15) [ebenso (17), (18)] werden auch in neueren Werken nicht immer streng auseinander gehalten, was für manche Untersuchungen (z. B. in der Theorie der Fourier’schen Reihen) dringend erforderlich scheint.

71 —

zusetzen ist⁸³). Als notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz von : lim f(x) = b bezw. = -f- oo erscheint dabei (vgl. (3))

(20) J f(x₂)—/>(£t?₁)j <C £ bezw. > B für: x₂ > xx > J.,⁸⁴)

(wo E > 0 beliebig klein, JB > 0 beliebig gross vorzuschreiben, A > 0 hinlänglich gross zuzuordnen ist).

Zur genaueren Charakterisierung des „Endverlaufesu eines f(x), für das bei lim x = -f- oo (bezw. = — oo) verschiedene Unbestimmtheitsgrenzen existieren, hat Du Bois-Reymond neben diesen beiden konstanten Limites zwei bestimmte (f(x) gewissermassen begleitende) monotone Funktionen definiert, die er als Unbestimmtheits-Enveloppen bezeichnet⁸⁵).

9. Die stetige Funktion. Eine Funktion f(x) der stetigen Veränderlichen x heisst stetig für x = a (an der Stelle, im Funkte a), wenn f(a) bestimmt definiert ist und zu beliebig kleinem s > 0 allemal ein d>0 existiert, sodass⁸⁶):

(21)

I f(x) — f(p)\ < £ für: \x — a\ < ó .

Diese letztere Bedingung ist nach 7 mit der folgenden identisch⁸⁷):

(22)

f(a + 0) = f(a)

und kann, mit Benützung des allgemeinen Konvergenzprinzipes (3), auch ersetzt werden durch⁸⁸):

83) Beispiele: Für fix) = lim

ist: /(oo) = 0,

lim f{x) — 1.

Für f{x) = lim —

ist: /(oo) = OO, lim f{x) = 0.

x=+ oo

84)    Ygl. I A 3, p. 66, 68.

85)    Funktionenth. p. 275.

86)    Diese Definition (im wesentlichen zuerst wohl bei Bolzano [a. a. 0. p. 11; ygl. Stolz, a. a. 0. p. 261] und Cauchy [Anal, algébr. p. 34]) verlangt nur, dass jedem beliebig kleinen stetigen Intervalle (a — h, a -\-h) eine überall-dichte Wertmenge y = f(x) entspricht. Dass dabei, wenn x das Continuum (a — h, a -f- h) wachsend durchläuft, auch f(x) sich kontinuierlich ändert, d. h. beim Übergange von irgend einem Werte yx zu einem anderen ys alle Zwischenwerte wirklich annimmt, kann als Folgerung aus der obigen Definition bewiesen werden (s. Satz III). Dagegen genügt, wie schon Bolzano hervorgehoben hat (vgl. Fussn. 97), nicht umgekehrt die letztere Eigenschaft, um die Stetigkeit von fix) in dem

für

durch Ungl. (21) festgestellten Sinne zu definieren. Beispiel: f {x) — sin ~

x ^ 0, /(0) = 0 (unstetig bei x — 0, obschon alle Werte von — 1 bis -f- 1 ohne Sprung [unendlich oft] durchlaufend); einen allgemeineren Typus ähnlicher Art giebt Barboux, Ann. éc. norm. (2), 4 (1875), p. 109.

87)    S. z. B. Dini, § 30; Stolz, Arithm. 1, p. 179.

88)    Du Bois-Beymond, Funkt.-Th. p. 232.

Encyklop. d. math. Wissensch. II.

(24)

f(a -f- 0) = f(a), bezw. f(a — 0) = f(a) .⁹⁰)

Ist f(x) für jeden einzelnen Punkt von (x0} X) stetig (wobei für x0 bezw. X nur die Rechts- bezw. Xmfe-Stetigkeit verlangt wird), so besteht der folgende (für die Begründung des Integralbegriffes fundamentale) ⁹¹) zuerst von E. Heine ausgesprochene⁹²) und bewiesene⁹³) Satz :

I. Es existiert zu beliebig kleinem s > 0 ein (für das ganze Intervall gültiges) d > 0, sodass:

(25)

(23)

l/’k₂) —    £ für:

<*.

x₂ — a

Der Punkt a heisst ein Stetigkeitspunkt⁸⁹) von fix).

Besteht die erste Ungleichung (21) nur für: 0<jx— bezw. O < a — x < d, so heisst f(x) für x — a rechts (vorwärts) bezw. links (rückwärts) stetig. Dabei wird also nur:

I f(x₂) — f(xf)\ < s, wenn nur: \x₂ — xt \ < d.

Man bezeichnet diese Eigenschaft durch den Ausdruck: fix) sei im IntervallM) (x₀, X) stetig, oder ausführlicher: f(x) sei daselbst gleich-massig⁹⁵) stetig.

89)    Ibid. p. 231; J. f. Math. 79 (1875), p. 22.

90)    Ygl. Fussn. 79, Beisp. 3), 4). — Weier strass' sches Beispiel einer durchweg rechts stetigen (und differenzierbaren, s. 10), für ganzzahlige x links unstetigen Funktion: y — x— E(x), wo E(x) die grösste in x enthaltene ganze Zahl vorstellt.

91)    Vgl. I A 3, 12, Fussn. 82.

92)    J. f. Math. 71 (1870), p. 361. (Dort zunächst für Funkt, zweier Verändert)

93)    J. f. Math. 74 (1872), p. 188; die gegenteilige, nicht ganz verständliche Bemerkung bei Eini-Lüroth scheint auf einem Irrtume zu beruhen. — Andere Beweise bei Eini § 41 (angeblich nach G. Cantor) und Earboux (a. a. 0. p. 73). Alle diese unmittelbar auf der Eefinition der Punktstetigkeit (Ungl. (21)) beruhenden Beweise sind indirekt. Ein von J. Lüroth (Math. Ann. 6 [1873], p. 319) für Funkt, zweier Veränderl. geführter, von Pasch (Diff.-ß. p. 58) und Stolz (Arithm. 1, p. 191) auf den vorliegenden Fall übertragener, direkter Beweis stützt sich auf den „Minimumsatz“ II.

94)    Manche Autoren definieren eine Funktion als „im Intervall stetig“, wenn sie für jeden einzelnen Punkt stetig ist (worauf dann die in I. ausgesprochene Eigenschaft als „gleichmässige“ Stetigkeit bezeichnet wird). Mir scheint dies schon aus dem Grunde nicht zweckmässig, weil andererseits die sehr verwandten Bezeichnungen „im Intervalle endlich“ und „für jede einzelne Stelle des Intervalls endlich“ thatsächlich verschiedene Bedeutung haben (s. 6, Fussn. 60). — Du Bois-Beymond bezeichnet die gleichmässige Stetigkeit als Streckensietigkeit (lineare St.) und benützt die Bezeichnungen „gleichm. St.“ oder „St. in gleichem Grade“ in wesentlich anderem Sinne (Funkt.-Th. p. 241 ; J. f. Math. 100 [1887], p. 336, 340).

95)    Ungleichmässige Stetigkeit, d. h. die Notwendigkeit, 8 zur Erzielung der Relation (25) unbegrenzt zu verkleinern, kann also nur in unmittelbarer Nähe eines Unstet.-Punktes eintreten.

Weitere charakteristische Eigenschaften stetiger Funktionen sind in den folgenden Sätzen enthalten:

II. Ein für (x₀, X) stetiges f(x) besitzt daselbst immer mindestens ein (reales) endliches Maximum M bezw. Minimum m ; d. h. es existiert eine endliche obere und untere Grenze M bezw. m und eine oder eine erste Stelle a bezw. b, für welche f(a) — M: f(b) = m wird¹³).

III. Ist f{xx) = yx, f(x₂) = y₂

so nimmt f(x) im Intervalle (xx, x₂) jeden Wert zwischen yx und y₂, also im Intervalle (x0f X) jeden Wert m <jy M an¹⁴).

IV.    Eine stetige Funktion ist im Intervalle (x₀, X) vollständig bestimmt, wenn sie für eine daselbst überall dichte Punktmenge gegeben ist¹⁵ 16).

V.    Ist f(xj stetig für x — a, F(y) stetig für y = f(a), so ist F(f(xj) stetig für x = «.") Sind die fv(xj (v — 1, 2, . . . n) stetig für x = a, so gilt das gleiche für R(fx{x), f₂(x), . . . fnjx)), wo R eine rationale Funktion bedeutet, deren Nenner für x = a von Null verschieden ist¹⁷).

Was die Darstellung beliebiger stetiger Funktionen durch analytische Ausdrücke betrifft, so kommt zunächst diejenige durch Fourier sehe Reihen (bezw. Integrale) in Betracht; doch giebt es immerhin stetige Funktionen, welche nachweisbar für unendlich viele überall dicht liegende Punkte heine solche Darstellung zulassen¹⁸). Hingegen hat

Weier strass eine Methode angegeben, vermöge deren jede für ein begrenztes oder unendliches Intervall beliebig definierte, endlich bleibende, stetige Funktion durch eine unbedingt und in jedem endlichen Intervalle auch gleichmässig (s. 17) konvergente Reihe ganzer rationaler Funktionen darstellbar ist¹⁹). Damit ist aber gezeigt, dass jede stetige Funktion schliesslich unter den ursprünglichen Euler’sehen Funktionsbegriff fällt, während sie andererseits in ihrer vollen Allgemeinheit über die mit jenem Begriffe früher verbundenen Vorstellungen weit hinausreicht (s. 10—12, 20).

10. Die differenzierbare Funktion. Setzt man:

(26)

f(a + h) — f(a) = (>(+ A) ■ <p(a, dz *),

so kann das Kriterium für die Stetigkeit von f(gc) im Punkte a dahin gefasst werden, dass p(+ 0) • cp(a, + 0) = 0 sein muss. Lässt sich nun q (+ h) als gleichzeitig mit + h monoton der 0 zustrebends Funktion so auswählen, dass cp(a, + h) für ein gewisses Intervall 0 <jh <j Ö endlich und von Null verschieden bleibt, so kann die Schnelligkeit des Verschwindens²⁰) von p(+ h) für lim h — 0 aie Mass der Stetigkeit von f(x) für x — a gelten: p(+ h) wird darnach geradezu als der Stetigkeitsgrad von f(xj im Punkte a bezeichnet²¹).

Andererseits kann man in Gl. (26) q (+ K) als mit h monoton der 0 zustrebende Funktion willkürlich annehmen und sodann den Stetigkeitscharakter von f(x) für x — a durch das Verhalten von g>(a, + h) für lim h — 0 bestimmen. Die Erfahrung hat gelehrt, dass die Wahl p(+ kf) = + h, also:

(27)

cp(a, + h) —

±h ’

sich als besonders wertvoll erweist. Ist f(x) für (a — h, a-\- h) eindeutig definiert, so existieren, ohne weitere Hinzufügung irgendwelcher spezielleren Annahmen, nach 7 stets die vier Limites:

cp(a, + 0),    <p(a, + 0), cp(a, — 0), cp(a, — 0),

(28)

welche nach dem Vorgänge von Dini¹⁰⁵) die vier Derivierten von für x = a genannt werden (und zwar der Reihe nach: die rechte untere, rechte obere, linke untere, linke obere)¹⁰⁶). Existieren dann insbesondere (als endlich oder unendlich) die Grenzwerte: <p(a, -f- 0), (p(a, — 0), so werden dieselben als rechte bezw. linke Derivierte bezeichnet. Ist schliesslich noch q>{a, -f- 0) = <p(a, — 0) (endlich oder mit gleichem Vorzeichen unendlich), so heisst cp(a, -f- 0) ee; f (a) schlechthin die Derivierte (die Ableitung, der Differentialquotient) von f(x) für x — a.¹⁰⁶)

f{x)

Besitzt eine Funktion für jede Stelle von (x₀, X) eine bestimmte (endliche oder unendlich grosse) Derivierte (wobei speziell für x₀ nur die Existenz der rechten, für X die der linken Derivierten erforderlich ist), so heisst sie daselbst differenzierbar¹⁰⁷); sie heisst abteilungsweise differenzierbar, wenn die fragliche Eigenschaft mit Ausschluss einer endlichen Anzahl von Punkten besteht¹⁰⁸).

Während die Existenz einer eindeutigen endlichen Derivierten f (a) (sogar schon die Endlichkeit der vier Derivierten) allemal die Stetigkeit von f{x) für x — a involviert, so braucht offenbar fix') im Falle f\a) = -f- oo (bezw. == — oo) für x = a nicht stetig zu sein. Es ist daher kein Pleonasmus, wenn man ausdrücklich von stetigen differenzierbaren Funktionen spricht, man müsste denn, wie zuweilen geschieht¹⁰⁹), die Stetigkeit von vornherein in die Definition der Differenzierbarkeit aufnehmen.

Umgekehrt hat man früher die (zum mindesten abteilungsweise) Differenzierbarkeit einer stetigen Funktion als etwas selbstverständliches angesehen, späterhin (A. M. Ampère, 1806) sie zu beweisen versucht¹¹⁰). Indessen ist durch Riemann’s und Herrn. HankeVs Untersuchungen,

105)    A. a. 0. § 145.

106)    Auch: vordere (hintere) statt: rechte (linke): vgl. Fussn. 65. Ausführlicheres s. II A 2, 2, 4, 5. Manche Autoren gebrauchen nach dem Vorgänge von Lagrange die Bezeichnung Derivierte (Ableitung) nur für Differentialquotienten analytischer Funktionen.

107)    Du Bois-Beymond bezeichnet die differenzierbaren Funktionen auch als „orthoide“. Funktionenth. p. 132.

108)    Man sagt allgemein, mit unerheblicher Modifikation einer von C. Neumann (Über die nach Kreis-, Kugel-, Cyl.-Funkt, fortschr. Entw., Leipzig 1881, p. 27) eingeführten Ausdrucksweise: eine Funktion besitze eine gewisse Eigenschaft in einem gewissen Intervalle abteilungsweise, wenn sie dieselbe mit Ausschluss einer endlichen Anzahl von Punkten besitzt. (.Neumann sagt statt dessen: wenn sich das Intervall in eine endliche Anzahl von Teilintervallen mit der fraglichen Eigenschaft zerlegen lässt. Diese Fassung führt zu gewissen Unzuträglichkeiten, z. B. bei der Definition der abteilungsweisen Stetigkeit.)

109) S. z. B. Stolz, Grundzüge 1, p. 32.

110) Näheres: Il A 2, 4.

noch drastischer durch ein von Weierstrass gegebenes erstes Beispiel einer nirgends differenzierbaren stetigen Funktion die Unhaltbarkeit jener Ansicht dargethan worden¹¹⁰).

fix)

11. Die abteilungsweise monotone und die „gewöhnliche“ Funktion. Selbst der Begriff der in einem Intervalle (x₀, X) stetigen differenzierbaren Funktion deckt sich noch keineswegs mit dem geometrischen Bilde, welches man früher (an die Analogie der algebraischen oder gewisser elementarer transcendenter Funktionen anknüpfend) schon mit der Vorstellung jeder überhaupt stetigen Funktion zu verbinden pflegte, d. h. mit der Existenz einer entsprechenden „gewöhnlichen“ Kurve. Darunter wird eine kontinuierliche Linie verstanden, die für jedes in Betracht kommende endliche Intervall aus einer endlichen Anzahl konvexer (d. h. von keiner Gferaden in mehr als zwei Punkten geschnittener) Bögen¹¹¹) ohne Ecken und Spitzen, eventuell auch noch aus einer endlichen Anzahl geradliniger Stücke besteht²²). Als eine für die Existenz eines solchen geometrischen Abbildes jedenfalls notwendige Bedingung erscheint die abteilungsweise Monotonie von (Abwesenheit unendlich vieler Maxima und Minima in jedem endlichen Intervalle)²³) — eine Eigenschaft, die selbst in Verbindung mit der Stetigkeit keineswegs allemal die Differenzierbarkeit einschliesst — vice versa. Bezüglich der Umgebung einzelner Funkte geht dies aus sehr einfachen Beispielen hervor²⁴ 25 26 27). Durch Untersuchungen von Weier strass, H. A. Schwarz, Dini und A. Koepcke ist aber festgestellt worden, dass selbst in ganzen Intervallen ein Zusammentreffen der

111) Bedingung für die Darstellbarkeit eines im Intervalle (æ₀, X) stetigen fix) durch einen konvexen Bogen s. Stolz, Arithm. 1, p. 194; vgl. auch Grundz. 1, p. 35.

fraglichen Eigenschaften nicht stattzufinden braucht, d. h.: 1) Es giebt stetige monotone Funktionen, welche in keinem noch so kleinen Intervall durchweg differenzierbar sind²⁵). 2) Es giebt stetige differenzierbare Funktionen, welche in keinem noch so kleinen Intervalle monoton sind²⁶). Hiernach erscheint von den drei Bedingungen der Stetigkeit, Differenzierbarkeit und abteilungsweisen Monotonie für die Darstellbarkeit von f(x) durch eine „gewöhnliche“ Kurve keine entbehrlich. Da aber etwa vorhandene unendlich viele Maxima und Minima unter Umständen schon durch blosse Koordinatendrehung²⁷) beseitigt werden können, so muss noch ausdrücklich die abteilungsweise Monotonie gegen jede als Abcissen-achse gedachte Richtung gefordert werden. Stetige differenzierbare Funktionen mit dieser letzteren Eigenschaft werden nach Du Bois-Reymond (a. a, 0. p. 32) als gewöhnliche bezeichnet.

12. Die unbeschränkt differenzierbare und die analytische Funktion. Eine Funktion heisst im Intervalle (xQ) X) unbeschränkt differenzierbar, wenn sie daselbst durchweg Derivierte jeder beliebigen Ordnung¹¹⁸) besitzt. Selbst eine durchweg unbeschränkt differenzierbare Funktion braucht — zum mindesten in der Umgebung einzelner Punkte — noch nicht den Charakter einer gewöhnlichen zu besitzen²⁸). Solche Punkte können auch in endlichen Intervallen unendlich oft Vorkommen, dagegen erscheint es auf Grund allgemeiner Eigenschaften der Deri-

115) Ein derartiges Beispiel (ans einer Funktion von der Art der unmittelbar zuvor erwähnten durch „Kondensation“ [s. 18] gebildet) hat wohl zuerst Weierstrass in seinen Vorlesungen mitgeteilt; publ. erst 1882 durch Gr. Cantor (Math. Ann. 19, p. 591. Auch Dini-Lüroth, p. 200, 5). Inzwischen hatte bereits Schwarz (Genève Arch. 1873, p. 33; Ges. Abh. 2, p. 269) ein anderes Beispiel und Dini (a. a. 0. § 131) einen allgemeineren Typus solcher Funktionen angegeben.

116) A. Koepclce, Math. Ann. 35 (1890), p. 104 (nach zwei, noch mit gewissen Mängeln behafteten Vorarbeiten: ibid. 29 [1887], p. 123; 34 [1889], p. 181). K. giebt dort zunächst eine unbegrenzt fortsetzbare geometrische Konstruktionsvorschrift, später (Hamb. Mitteil. 2 [1890], p. 128) einen analytischen Ausdruck (zweifach unendliche Sinusreihe). Du Bois-Beymonä hatte auf Grund eines geometrischen Raisonnements die Existenz solcher Funktionen für unwahrscheinlich

erklärt (a. a. 0. p. 32; die gegenteilige Ansicht bei Dini, § 200 am Schlüsse). Ein früher von Herrn. Harikel (a. a. 0. p. 83) gegebenes Beispiel hat sich als unrichtig erwiesen (es fehlt nicht nur der Beweis dafür, dass die Oscillationen sich nicht möglicherweise kompensieren, sondern das letztere findet sogar that-sächlich statt: vgl. 20, Fussn. 223).

117)    Oder auch durch Addition einer passenden Linearfunktion: vgl. 20.

118)    Vgl. IIA 2, 6.

vierten²⁹) definitiv ausgeschlossen, dass dieselben irgendwo überall dicht liegen.

Wenn man andererseits früher allgemein annahm, dass eine für a und eine gewisse Umgebung von a unbeschränkt differenzierbare Funktion auch analytisch, d. h. für jene Umgebung durch eine konvergente Reihe nach ganzen positiven Potenzen von (x — a) darstellbar sein müsse, so hat sich diese insbesondere von Lagrange vertretene, von Cauchy lediglich durch den Hinweis auf ein nicht in jeder Hinsicht beweiskräftiges Beispiel angefochtene Ansicht³⁰) durch neuere Untersuchungen als völlig unhaltbar erwiesen — sogar in dem weiteren Umfange, dass fix) für alle Stellen (x₀, X) unbeschränkt differenzierbar sein kann, ohne auch nur für eine einzige analytisch zu sein³¹). Das unterscheidende Merkmal, welches die analytischen fix) aus der Gesamtheit der unbeschränkt differenzierbaren heraushebt, besteht in gewissen genau angebbaren Beschränkungen, an welche das etwaige Unendlichwerden von ffn~> (x) für lim n = oc gebunden ist³²).

Eine Funktion besitzt überall da, wo sie analytisch ist, auch den Charakter einer gewöhnlichen; in wieweit dies allenfalls für lediglich unbeschränkt differenzierbare Funktionen gilt, scheint nach dem oben gesagten noch nicht völlig aufgeklärt³³).

13. Uneigentliche Funktionswerte. Die unbestimmten Formen j, etc. — Die vorangehenden Betrachtungen zeigten, welche spezielleren Eigenschaften zur blossen Stetigkeit hinzutreten müssen, um successive immer vollkommnere Funktionsklassen zu umgrenzen. Entsprechend sollen jetzt die verschiedenen Möglichkeiten hervorgehoben

13. Uneigentliche Funktionswerte. Die unbestimmten Formen ~^ etc.

werden, welche Unterbrechungen der Stetigkeit und schliesslich die vollständige Degeneration einer Funktion zur total unstetigen hervorbringen können.

Da eine notwendige Bedingung der Stetigkeit von fix) für x = a in der wohldefinierten Existenz eines endlichen f(a) besteht, so wird zunächst fix) für x — a allemal als unstetig zu gelten haben, wenn fix) zwar für unendlich viele Punkte in der Umgebung von x = a existiert, dagegen fia) überhaupt nicht definiert ist. Ist nun aber in diesem Falle: f(a-\-0)=fia — 0) = b (endlich)³⁴), so pflegt man fix) dadurch an der Stelle a stetig zu machen, dass man ihr daselbst den Wert b beilegt; fix) heisst alsdann im Punkte a uneigentlich definiert³⁵), b ein uneigmtlicher (singulärer¹²¹ *), indirekter³⁶!7b)) Funktionswert.

Der Fall, dass fix) für x — a nicht (eigentlich) definiert erscheint,

tritt insbesondere dann ein, wenn f ix) = für x — a die Form

oder ~ ³⁷) annimmt. Die Hauptregel zur Bestimmung der ent-

sprechenden Grenzwerte

, welche statt mit einer der zuvor

pQ + o)

-ipig + 0)

erwähnten Benennungen häufig weniger passend als die „wahren Werte“ jener „unbestimmten Ausdrücke“ bezeichnet werden, beruht auf der

<p 0»)

unter gewissen Voraussetzungen erweisbaren Beziehung: lim —-r-r

x — a y \x)

und rührt, für den Fall

lim

y (x)

, von Joh. Bernoulli³⁸) her. Eine

X —

völlig ausreichende Begründung³⁹) erfuhr sie, ebenfalls zunächst nur

für den Fall —, erst durch Cauchy¹³¹) (mit Benützung des sog. erweiterten Mittelwertsatzes der Differentialrechnung¹³²). Dagegen erweist sich die Behandlung des zuerst wohl von Euler¹³³) betrachteten Falles ~ selbst bei Cauchy¹³¹) und seinen Machfolgern¹³⁵) als unzulänglich¹³⁶). Eine vollkommene Lösung hat erst Stolz gegeben¹³⁷), zunächst mit Benützung eines auf den Gfrenzübergang lim x = -f- ⁰⁰ bezüglichen Hülfsatzes (s. unten: Gl. (31), bald darauf¹³⁸) auch ohne dieses Hülfs-mittel, auf Gfrund eines von Du Bois-Reymond¹³⁹) und V. Rouquetm) bewiesenen, von letzterem in nicht ganz einwandfreier Weise zur Be-handlung des Falles — herangezogenen Lemmas von der Form:

fix)

lim

= lim f (x). Die Verwertung des von Du Bois-Reymond

X=

X= oo

beim Beweise jenes Lemmas benutzten Gedankens führte schliesslich zu einem direkteren Beweise der fraglichen Regel, wie er sich wohl zuerst bei Cenocchi-Peano, sodann ähnlich bei J. Tannery und, etwas

allgemeiner gefasst, bei Stolz findet¹⁴¹). Darnach gilt schliesslich die Beziehung:

(29)

cp(x)

lim

x=a-(-0

wenn der rechts stehende Grenzwert existiert und:

y{x)

lim

x—a-j- 0

auch derjenige von    sein müsse, beruht auf einer ungerechtfertigten Vertau

schung zweier successive auszuführenden Grenzubergänge: vgl. W. F. Osgood, Ann. of Math. 12 (1897), p. 68.

¹

ein im Intervalle (x₀, X) stetig veränderliches x als frei veränderlich und nennt

²

(wie B. fälschlich annimmt) jeder über all-dichten, sondern auch gewissen imper -fecten in sich dichten Mengen zukommen (vgl. IA5, 11).

³

   Pincherle, a. a. 0. p. 249.

⁴

   Vgl. Pasch, a. a. 0. p. 134. — Andere Verallgemeinerung des betr.

⁵

Grundgedankens s. Pasch, Diff.-R. p. 46.

⁶

   Die Bezeichnungen f(a-f-0), f(a — 0) stammen vonDirichlet: Werke 1,

p. 156. — Im Falle a = 0 schreibt man: /*(-}-0),    —0).

⁷

   Über Bedeutung und Beweis dieses Satzes {„des allgemeinen Konvergenzprinzips“) s. IA 3, 18.

⁸

   Vgl. I A 3, 13.

⁹

   Vgl. die vollkommene Analogie mit den entsprechenden Definitionen für Zahlenfolgen : I A 3, 15.

¹⁰

   Man kann mit Pasch (a. a. 0. p. 134) B auch als die obere Grenze der yh, B als die untere Grenze der Yh bei unbegrenzt abnehmendem h (0 excl.) definieren. Diese Definition bat den Vorteil, dass man unmittelbar den allgemeinen Fall III behandeln kann, ohne (wie im Text bei Gl. (6)) auf I, II zu rekurrieren. Andererseits scheint mir die im Text gegebene Herleitung (vgl. Stolz, Aritbm. 1, p. 162) die Entstehung der Begriffe „unterer“ und „oberer Limes“ deutlicher zur Anschauung zu bringen.

¹¹

   Nach Du Bois-Beymond (vgl. IA 3,15, Fussn. 118). Letzterer hat übrigens den fraglichen Begriff zunächst nur für Zahlenfolgen (wie schon Cauchy und Abel) und allenfalls für Funktionen bei imendlich wachsendem Argument. Zur Beurteilung des Verhaltens von Funktionen für eine bestimmte Stelle x — a ist er wohl zuerst von Dini (§ 140) bei der Definition der vier Derivierten (vgl. IIA 2, 5) benützt worden, erst später gelegentlich einmal von Du Bois-Beymond (Funkt.-Th. p. 230). Bis dahin operiert er im entsprechenden Falle mit dem C. Neumann entlehnten komplizierteren Begriffe des Wertvorrats von f(x) für x — a (s. z. B. Münch. Abh. Kl. II, 12¹ [1875], p. 124; Math. Ann. 16 [1880], p. 120), d. h. der Gesamtheit aller möglichen lim f(xj) für lim xv = a.

r = 00

¹²

   Pasch (a. a. 0. p. 134) schreibt: lim inf, lim sup statt: lim, lim.

¹³

   Von Weierstrass herrührender und in seinen Vorlesungen besonders betonter Satz. Bei Pincherle (a. a. 0. p. 249) findet sich nur der allgemeinere Satz von 6. — Beweis bei Pini, §47; Stolz, Arithm. 1, p. 188. — Mit Benützung des fraglichen Satzes lässt sich die gleichmässige Stetigkeit auch durch die Beziehung charakterisieren : D < s für j xt — x₁ j <) d, wo D die Schwankung von f(x) (s. 6) in jedem beliebigen Intervalle (x₁, x₂) bedeutet.

¹⁴

   Bolzano (a. a. 0. p. 17; Stolz, a. a. 0. p. 262; desgl. Arithm. 1, p. 185). Anderer Beweis bei Cauchy, Anal, algébr. p. 460, 463.

¹⁵

   Wohl zuerst von Heine für die Menge der rationalen Zahlen ausgesprochen und bewiesen: a. a. 0. p. 183. Der Satz gilt aber auch schon für jede überall dichte Teilmenge der rationalen Zahlen, z. B. für die dyadischen (d. h. endlichen dyadischen Brüche): vgl. J. Thomae's Beweis für die Identität des elementar-geometrischen und des analytischen sin x (El. Funkt.-Th. [1898], p. 83). — Beweis des allg. Satzes bei Pini, § 43, 44. — Genauere Untersuchung der durch Zuordnung von y (v = 1, 2, 3, . ..) zu einer überall dichten Menge xv bestimmten „limitären“ Funktion bei T. Brodén, J. f. Math. 118 (1897), p. 2; Acta Lund. 8 (1897), p. 7.

¹⁶

Cauchy, Anal, algebr, p. 43.

¹⁷

   S. z. B. Stolz, Arithm. 1, p. 180.

¹⁸

   Pu Bois-Reymond, Münch. Abh. Kl. II, 12* (1876), p. 100; Math. Ann. 10 (1876), p. 442. Im übrigen vgl. II A 8.

¹⁹

   Beri. Ber. 1885, p. 633, 789. Einfacherer Beweis und Übertragung auf Funktionen zweier Yariabeln bei E. Picard, Traité d’anal. 1 (1891), p. 258. — Ganz elementare Methode zur Darstellung nach gebrochenen rationalen Funktionen: C. Bunge, Acta, math. 7 (1885), p. 387. — Entwickelung nach ganzen trans-cendenten Funktionen: L. Maurer, Math. Ann. 47 (1896), p. 278.

²⁰

   Ygl. I A 3, 19.

²¹

   Thomae, Abr. einer Theorie der kompl. Funkt. Halle 1870, p. 40. 50; 2. Aull. 1873, p. 9. — Du Bois-Beymond, Zur Gesch. der trig. Reihen, Tübingen 1880, p. 41; Funktionenth. p. 239.

²²

   In wieweit diese Begriffsbestimmung die sog. geometrische Anschaulichkeit einer Kurve im idealistischen Sinne nach sich zieht, bleibt dahingestellt (s. z. B. 20 am Ende); es liegt wohl in der Natur der Sache, dass eine befriedigende allgemeine Definition für diese Eigenschaft nicht gegeben werden kann. Bei empiristischer Raumanschauung kann eine anschauliche d. h. anschaubare Kurve immer nur ein approximatives Bild einer Funktion geben: ihr entspricht nach F. Klein’s Ausdrucksweise (vgl. 5, Pussn. 54) nicht eine Funktion, sondern ein Funktionsstreifen.

²³

   Du Bois-Beymond (J. f. Math. 79 [1875], p. 33) bezeichnet solche Funktionen als „der Dirichlet’sehen Bedingung genügend“. (Dirichlet, Werke 1, p. 131).

²⁴

Setzt man: f(0) = 0, sonst: fix) = xn • sin ~ {n 2), so ist f{x) bei

²⁵

x — 0 stetig und differenzierbar, aber mit unendlich vielen Maxima und Minima

²⁶

behaftet. Setzt man dagegen: f(0) = 0, sonst f(x) = x ^1 + sin (lg æ²)^ ,

²⁷

so ist f(x) durchweg stetig und monoton, aber für x = 0 nicht differenzierbar.

²⁸

   Beispiel: f(0) = 0, sonst: fix) = e ^ sin — bei x = 0.

²⁹

   Dini § 130. Würde man also versuchen, aus Funktionen der in 119) angeführten Art durch Kondensation (s. 18) solche zu bilden, welche die fragliche Singularität für Stellen einer überall dichten Menge besitzen sollen, so müssen sich dann eben allemal jene unendlich vielen Oscillationen so weit kompensieren, dass f(x) in jedem kleinsten Intervalle Monotonie-Stellen aufweist. Ygl. 20.

³⁰

   Ygl. meine hist. Bern.: Chicago Congr. Papers 1893 (publ. 1896), p. 288.

³¹

   Ygl. 18, Fussn. 2 und IIA 2, 14, 15. — Ein unbeschränkt differenzier-bares f(cc) kann auch stellenweise einseitig analytisch sein: Pringsheim, Math. Ann. 44 (1894), p. 54.

³²

   Pringsheim, Chicago Congr. Papers p. 294; Math. Ann. 44, p. 74.

³³

   L. Maurer (Math. Ann. 41 [1893], p. 377) giebt lediglich hinreichende Bedingungen für die unbeschränkte Differenzierbarkeit abteilungsweise monotoner Funktionen (vgl. p. 382, Bedingung 4)). — Allgemeine Darstellung der unbeschränkt differenzierbaren, nicht analytischen fix) als Summen analytischer Funktionen und unbeschränkt differenzierbarer Fourier’scher Reihen: E. Borei, Ann. éc. norm. (3) 12 (1895), p. 42. Übertragung auf Funktionen zweier Veränderl. : ibid. 13 (1896), p. 79.

³⁴

   Beispiel s. Fussn. 77.

³⁵

   In etwas anderem Sinne ist dieser Ausdruck in 8 gebraucht.

³⁶

127 a) Cauchy, Anal, algebr, p.45.    127b) Du Bois-Reymond, Funkt.-Th. p. 224.

³⁷

   Gleichgültig, ob (in dem zu Anfang von 8 Gl. (14) (15) erörterten Sinne): qp(a)~oo, ip{a) = oo, oder aber: lim <p (#) =-j-oo, lim i/>(x) = + oo.

a:=a + 0

³⁸

   Sie findet sich zwar (in geometrischer Einkleidung) schon vor der Publikation durch Bernoulli bei G. Fr. de VHospital (Anal, des inf. petits, Paris 1696, § 163), wird jedoch später ausdrücklich von ersterem reklamiert: Acta erud. 1704, p. 375 (Opera 1, p. 401). Daselbst giebt B. auch schon die Vervollständigung der Regel für den Fall cp (a) — 0, cp' (a) = 0. (Vgl. M. Cantor 3, p. 219, 239.)

³⁹

   Die früher übliche, übrigens auch noch in manchen modernen Lehrbüchern (z. B. Schlömilch, Compendium 1, § 31) zu findende Herleitung, mit Hülfe der im Falle cp (g) — ty (a) — 0 bestehenden Identität:

cp(a-\-h) qp(a-f-Ä) — cp(a) y>(a-\-h) —

'ÿ(a-j-Â)    h    '    h

131)    Leçons sur le calc, diff., Paris 1829, p. 33.

132)    Vgl. II A 2, 6. Die Benützung des „verallgemeinerten“ Mittelwertsatzes, d.h. der Taylor’schen Entwickelung mit Bestglied (Il A 2,11) gestattet ebenfalls eine

strenge, jedoch in den Voraussetzungen beschränktere Erledigung des Falles ^

(s. z. B. Jordan, Cours 1, p. 270); sie versagt dagegen fast vollständig im Falle — •

133)    Inst. calc. diff. (Petrop. 1755), p. 756.

134)    A. a. 0. p. 41.

135)    S. z. B. Cauchy-Moigno, Calc. diff. (1840), p. 41; J. A. Serret, Calc. diff. (1879), p. 182; Ch. Hermite, Cours d’anal. (1873), p. 200.

136)    Vgl. Stolz, Math. Ann. 14 (1879), p. 230.

137)    A. a. 0. p. 238, 239.

138)    Math. Ann. 15 (1879), p. 556.

139)    Ann. di mat. (2), 4 (1871), p. 346; Math. Ann. 16 (1880), p. 550.

140)    Nouv. Ann. (2), 16 (1877), p. 113.

141)    Genocchi-Peano, Calc. diff. (1884), p. 178 (deutsche Ausg. p. 164); Tannery, Introd. (1886), p. 262; Stolz, Grundz. 1 (1893), p. 77. — Ein etwas vereinfachter, auf engeren Voraussetzungen beruhender Beweis bei Osgood, a. a. 0. p. 76. — Verallgemeinerung der Gültigkeitsbedingungen bei Stolz, a. a. 0. p. 81. 82.

#=«+o

y}{a)

liefert für lim h — 0 die fragliche Regel nur dann, wenn cp' (a), ip' (a) existieren und weder gleichzeitig verschwinden, noch unendlich werden. Der Schluss, dass

sodann im Falle cp (g) — ip' (a) — 0 der „wahre Wert“ von

<P' ja)

ip' (a)

, nämlich

cp"(a)

<(«)’

18. Uneigentliche Funktionswerte. Die unbestimmten Formen V

, ⁰⁰ etc. 27

’ OD

Entweder I. lim cp (x) = lim cp (x) = 0 ; cp(x), cp (x) stetig für

x=a-\-0    x—a-j- 0

(a, a -f- h) ] <p(x), cp(x) differenzierbar, cp'(x) von Null verschieden für (a -|— 0, a -f- I'd).

Oder II. Zum mindesten lim cp (x) — + oo ; cp (x), cp (x) stetig und

x = a-{-0

differenzierbar, cp' (x) von Null verschieden und gleich bezeichnet für (a -j— 0, a —j— Ji).

Der Satz in dieser Fassung liefert auch die nötigen Hülfsmittel für den Fall, dass lim cp' (x) = lim cp' (x) = 0 bezw. = + oo u-s. f-¹). Auch kann er durch einfache Substitutionen unmittelbar auf die Grenzüber-gänge lim x — a — 0 bezw. = + oo übertragen werden.

Einen anderen Ausgangspunkt für die in Rede stehenden Betrachtungen liefert der Cauchy’’sehe Satz²):

(30)

lim

cp(x)

= lim (cp{x -(-1) — cp (x)), falls der Grenzwert

x=+*> X

rechts existiert, und dessen von Stolz herrührende Verallgemeinerung³): Ist cp (x) endlich für jedes endliche Intervall (x₀,X), cp (x) monoton für x P> x₀ und entweder lim cp (x) — lim cp (x) = 0 oder zum

X—-+-CC    x=-pcc

mindesten lim cp(x) = + oo, so wird:

X = ~l~ OO

X—-p 00

(31)

lim

*=4-oo

cp (x + h) — cp (x)

(h konstant),

lim

*=4-co

falls der Grenzwert rechts existiert. —

Weitere unbestimmte Formen, wie 0 • oo, oo — oo wurden ebenfalls bereits von Euler⁴) behandelt. Von Cauchy stammen die auf die Fälle oo° und 1 - ⁰⁰ bezüglichen Sätze:

lim (cp (xj) = lim

X — +CO

Grenzwert rechts existiert¹⁴⁶); und:

(32)

x—-f- cc

cp(x)

, wenn lim cp (x) > 0 und der

(33)

lim

a; = + oo

(H-*)'—•”)

An späterer Stelle¹⁴⁸) giebt er allgemeine Regeln zur Zurückführung

auf die Fälle , — • Sie beruhen auf o ’ oo

von 0 • oo, 0°, oo°, 1 - æ den Umformungen:

(34) cp(x) ■ ijj (x) =

cp(x)

ip(x)

cp{x) ¹ cp(x)

cp(x)Vfà = e v (*) ■ <p ix)

und sind in fast alle Lehrbücher der Differentialrechnung übergegangen. Die Form oo — oo wird gewöhnlich mit Hülfe der Transformationen :

e<p (*) ey(z)

(35)    <p(x) — ijj (x) —

'ipjx) l — y(x) 1 ipix)-¹ -cp (x)-¹

oder = lg -

— rp(x)

g— <p O)

= 1g

auf den Fall ^ bezw. lg-^-, lg ^ zurückgeführt¹⁴⁹).

14. Unstetigkeiten (Diskontinuitäten). Unstetig heisst f(x) für x — a, sobald f(x) für unendlich viele Punkte in der Umgebung von x = a definiert und die Stetigkeitsbedingung: | f(afrh)—f(a) | < e, für h<Cd, aus irgendwelchen Gründen nicht erfüllt ist. Nimmt man an, dass f(x) für alle Punkte einer gewissen Umgebung von x — a definiert sei (d. h. entweder von vornherein oder vermöge irgendwelcher nachträglichen Festsetzungen), so ergeben sich folgende Möglichkeiten:

A. Endliche Diskontinuitäten — wenn f(a + 0) ¹⁵°) endlich und f (a) gleichfalls endlich oder überhaupt nicht definiert ist. Man unterscheidet nach Dini (§ 31):

I. Diskontinuitäten erster Art (gewöhnliche Diskontinuitäten). Sie erfordern, dass f(a -f- 0), f(a — 0) beide bestimmte Zahlen vorstellen und:

146)    Anal, algebr, p. 53.

147)    Résumé des leçons calc. inf. (Paris, 1823), p. 4. Das zur Berechnung

angewendete Prinzip (d. h. der Nachweis der Beziehung: lim (l -f- —\ —

.    l\ + r    æ = +cc \ XJ

lim (1 4; —, wo v positiv ganzzahlig) liefert eine Illustration zu derFussn. 67 gegebenen Erklärung von lim f{x).

148)    Leçons sur le calc. diff. (1829), p. 43. Teilweise auch schon bei Euler (a. a. O.), Sim. L’Huilier, Lacroix u. a.

149)    z. B. Stolz, Grundz. 1, p. 84; Pascal, Cale, infinites. 1 (Milano 1895), p. 211.

150)    Die Bezeichnung f(a + 0) bedeutet, dass in dem betreffenden Zusammenhänge sowohl f(a + 0), als f{g + 0) zu setzen ist. Vgl. IA 3, Fussn. 115.

14. Unstetigkeiten.

29

1)    entweder f(a -(- 0) = f(a — 0), dagegen f'(a) davon verschieden¹⁵¹); in diesem Falle besitzt fix) an der Stelle x = a eine hebbare¹⁵²) d. h. durch Abänderung des einen Wertes fia) zu beseitigende Unstetigkeit;

2)    oder f(a -j- 0) ^ f(a — 0) ; alsdann erleidet f(x) bei x — a einen „gewöhnlichen“ (endlichen) Sprung, gleichgültig ob: fia) —f(a -f- 0), == fia — 0), ^ f{a + 0)¹⁵³) oder nicht definiert ist¹⁵⁴). In den beiden ersten Fällen ist f (a) nach rechts bezw. links stetig; in den beiden letzten kann f(x) durch passende Abänderung bezw. Definition von fia) dazu gemacht werden.

II. Diskontinuitäten (Sprünge) zweiter Art finden statt, wenn /*(»-{- 0) und fia -j- 0) bezw. f\a — 0) und fia — 0) verschieden aus-fallen, was offenbar nur möglich ist¹⁵⁵), wenn f(x) rechts bezw. links von a unendlich viele Maxima und Minima (Oscillationen¹⁵⁶)) besitzt. Findet eine solche Diskontinuität nur auf einer Seite statt, so kann fix) auf der anderen stetig¹⁵¹) oder mit irgend einer anderen Diskontinuität behaftet sein.

Als Mass des Sprunges oder als Sprung schlechthin bezeichnet Dini (§ 34) den grössten der Werte |/’(« + 0)—f(a) | ; der grössere der Werte | f(a + 0) — fia) | bezw. | f(a — 0) — ffa) | heisst dann der rechte hezw. linke Sprung¹⁵⁸). Zweckmässiger definiert man mit Du Bois-Beymond¹⁵⁹) und Pasch¹⁶⁹) als Sprung von fix) hei x — a

151)    Der in 13 besprochene Fall, dass f(a -J- 0) = f(a — 0) == b, dagegen f(a) nicht definiert ist, gehört, genau genommen, auch unter den Begriff der hebbaren Unstetigkeit.

152)    Bezeichnung von Biemann: Werke p. 21. — Beispiele s. Fussn. 78. Allgemeine Darst.-Methoden : Pringsheim, Math. Ann. 26 (1886), p. 86).

153)    Besonders häufig ist der für Fourier’sche Reihen etc. (Il A 8) charakteristische Fall: f{a) = y ifia — °) + fia + 0)) .

154)    Beispiele zu allen vier Möglichkeiten s. Fussn. 79.

155)    Ygl. 7, Fall I. II. — Dini, § 32.

156)    Der zuweilen in gleichem Sinne gebrauchte Ausdruck „Schwankung“ (s. z. B. Dini-Lüroth p. 76) wird hier besser vermieden, da derselbe seit Biemann eine andere spezifische Bedeutung (vgl. 6) erlangt hat. ⁵

xn

• lim

__® — ¹ «=oo xn-\-n

158)    Dabei hat also im Falle I fia + 0) die Bedeutung von f(a + 0).

159)    Funkt.-Th. p. 229; Math. Ann. 30 (1887), p. 139. Pasch (und ähnlich Du Bois-Beymond) bezeichnet als Sprung bei a die untere Grenze der Schwankungen in jedem Intervalle (a — h, a -f- h), was dem Sinne nach mit der im Texte gegebenen Definition übereinstimmt. (Das analoge gilt für P.’s Definition der „Schwingung“ von f(x) bei x — ai)

bei x — 1.

die Differenz f\ (d) — f₂ (a), wo f (a) die grösste der Zahlen f(a + 0), fia), dagegen /₂ (a) die kleinste der Zahlen f(a + 0), f(a) bedeutet; die entsprechende Festsetzung gilt dann bezüglich des rechten bezw. linken Sprunges. Als Schwingung von f(x) für x — a bezeichnet man nach Pasch⁶) die Differenz (a) — cp₂ (a), wo cpx (a) die grössere der Zahlen f(a + 0), dagegen <p₂ (a) die kleinere der Zahlen f(a + 0) yorstellt ; die Differenzen f(a + 0) — f(a -(- 0) bezw. f(a — 0) — f(a — 0) gelten dann als rechte bezw. linke Schwingung⁷).

JB. Unendliche Diskontinuitäten finden statt, wenn mindestens einer der 4 Limites f(a + 0) unendlich wird oder f(a) — oo ist (s. 8). Im letzteren Falle kann sogar f(a -j- 0) = f(a — 0) endlich, also die unendliche Diskontinuität hebbar sein. Im übrigen sind hier folgende Typen zu unterscheiden:

I.    Gewöhnliche Unendlichkeitsstellen, dadurch charakterisiert, dass

fix') auf beiden Seiten von a monoton verläuft, f[a -j- 0) = + 00 un(^ fia — 0) = + oo (aber f(a -f- 0), fia — 0) nicht notwendig gleich bezeichnet), f (aj uneigentlich (d. h. f(a)~l = 0) oder garnicht definiert ist. Bezüglich der Graduierung eines derartigen Unendlichwerdens gelten die analogen Bestimmungen, wie für monotone Zahlenfolgen⁸). Hervorzuheben ist hierbei, dass der Charakter von x = a als gewöhnliche oo-Stelle von f\(x),    (x) noch keineswegs die Vergleichbarkeit von

f (a), f%{d) (d. h. die

j involviert⁹).

Existenz von lim

fifr)

II.    Unendlichkeitsstellen mit Oscillationen sind von den gewöhnlichen nur dadurch unterschieden, dass die Voraussetzung der Monotonie von fix) zum mindesten auf einer Seite von a nicht erfüllt ist. Die

15. Singuläre Stellen.

31

auftretenden Oseillationen können dabei endlich, unendlich gross oder unendlich Mein sein¹⁶⁴).

f(a -f- 0)

III. Als Stellen unbestimmten Unendlichwerdens lassen sich alle diejenigen bezeichnen, für welche f(a) nicht eigentlich definiert ist, von f(a -j- 0) bezw. f(a — 0) von f(a — 0) verschieden und zum mindesten einer dieser Limites unendlich ausfällt¹⁶⁵).

Weitere Modificationen sind in der Weise möglich, dass f(a) selbst eigentlich definiert erscheint, im übrigen sich alles, wie in I—III verhält¹⁶⁶); oder dass eine der bezeichneten Diskontinuitäten nur auf einer Seite auftritt, auf der anderen f(x) stetig oder mit einer anderen Diskontinuität behaftet ist.

15. Singuläre Stellen. Man sagt, x = a sei eine singuläre Stelle für fix), oder auch, fix) habe an der Stelle x = a eine Singularität, wenn fix) daselbst ein den Definitionsbedingungen nicht entsprechendes Verhalten zeigt. Der Begriff der singulären Stelle ist daher in der allgemeinen Funktionenlehre kein an und für sich feststehender¹⁶⁷), sondern er hängt wesentlich davon ab, welchen besonderen Bedingungen f(x) von vornherein unterworfen wird. Immerhin hat sich wohl ziemlich allgemein der Usus herausgebildet, für die generelle Begriffsbestimmung der „singulären Stellen“ reeller Funktionen den Charakter der „gewöhnlichenu Funktion zu Grunde zu legen. Darnach pflegt man also darunter zu verstehen: UnstetigJceitspunkte jeder Art, Stetigkeitspunkte mit unendlich vielen Oseillationen gegen irgend eine Richtung, Stellen mit unendlich grossen bezw. rechts und links verschiedenen Derivierten oder solche ohne bestimmte rechte bezw. linke Derivierte.

Man bemerke, dass ein    solches Unendlich    sehr    wohl    mit    demjenigen    an    einer

gewöhnlichen oo-Stelle „vergleichbar“ sein kann. Jede der genannten drei Funktionen wird für x — 0 „gerade so unendlich“ wie -, •

165) Beispiele:

164) Beispiele:

(1 + x)n

¹ sin“ - - lim

« » = 00 (l-f«f+ 1

166) Dieser Fall tritt wiederum besonders häufig bei Fourier’schen Reihen etc.

sin“

a M.

(m= 1, 2) bei # —0.

• cos —

auf (vgl. Fussn. 82). Beispiele: Sinusreihen für x ³

• cos —--bei x — 0 .

x

167) Anders in der engeren Funktionentheorie, wo es sich ein für allemal nur um analytische bezw. monogene Funktionen handelt.

16. Definition von Funktionen durch Grenzwerte, massige Konvergenz. Die Anwendung der vier Spezies in begrenzter Anzahl liefert lediglich rationale fix), deren singuläre Stellen ausschliesslich gewöhnliche oo- Stellen in endlicher Anzahl sind. Dazu kommen bei den nicht-rationalen algebraischen fix) noch gewöhnliche oo-Stellen für f' (x), ebenfalls in endlicher Anzahl. Die analytische Darstellung von Funktionen, welche Singularitäten der genannten Art in unbegrenzter Anzahl oder irgend welche andere Singularitäten besitzen, beruht also allemal auf der Benützung von Grenzprozessen. Als einfachste Darstellungsform dieser Gattung erscheint die folgende:

Gleich-

(36)

f(x) = lim fn ix),

n = oo

wo fn(x) (n — m, m —j— 1, m -\- 2, • • ■) eine unbegrenzte Folge rationaler oder durch irgendwelche andere Rechnungsvorschriften (eventuell auch wiederum durch Grenzübergänge) definierter Funktionen bedeutet; sie enthält als spezielle Fälle die Definition eines fix) durch irgend einen der gewöhnlichen unendlichen Algorithmen (Reihen, Produkte, Kettenbrüche) und kann auch unmittelbar in jeden solchen übergeführt werden¹⁶⁸). Bezüglich der Bedeutung einer Definitionsgleichung von der Form (36) gilt folgende Festsetzung: Ist a irgend'eine bestimmte Zahl, für welche die Folge fn (a) konvergiert¹⁶⁹), so hat man: f(a) = lim fn(a) ; oder, wenn etwa a eine Irrationalzahl

71 = CO

bedeutet, also selbst als Grenzwert einer rationalen Folge erscheint: f(a) — lim (lim fn (x)). Die Gesamtheit der Stellen x — a, für welche

n= co x=a

jener Grenzwert als endliche Zahl existiert, bildet dann den Konvergenzbereich von lim fn ix) und den Definitionsbereich der Funktion f{x), welche also für jede Stelle dieses Bereiches völlig eindeutig definiert ist¹⁷⁰). Im allgemeinen wird es zweckmässig erscheinen, dem

168)    Vgl. IA3, 43, 58.

169)    IA 3, 18, 14.

170)    An dieser, namentlich auch von Weier strass (s. z. B. Werke 2, p. 201) betonten Begriffsbestimmung muss festgehalten werden, wenn nicht bezüglich der Definition von Funktionen durch unendliche Algorithmen Verwirrung eintreten soll.

lim Sl cpv (x)

71= CO Jmmtd

0

Darnach hat z. B. die Summe der Fourier’sehen Beihe: lim f (x) —

71= CO

überall, wo sie konvergiert, einen einzigen bestimmten Wert, insbesondere an einer Sprungstelle der dargestellten Funktion F(x) durchaus eindeutig den Wert:

(F (a — 0) + F(a + 0)), nicht aber, wie eine Bemerkung von Du Bois-Bey-

mond (Math. Ann. 7 [1874], p. 254) gedeutet werden könnte, jeden Wert von

Definitionsbereiche von f(x) auch diejenigen Grenzstellen des Kon-vergenzhereich&s von lim fn(x) hinzuzufügen; für welche eigentliche Divergenz17 x) stattfindet.

Ist eine dem Konvergenzbereiche von lim fn (x) angehörige Stelle x = a ein Stetigkeitspunkt von fn (x) für jedes einzelne (noch so grosse) n, so braucht deshalb fix) für x = a nicht stetig zu sein; d. h. man hat

nicht notwendig: lim (lim fn(%)) — lim (lim fn(x))m). Eine hinrei-

n — o© xx—a    x—a xn — oo

chende (aber keineswegs notwendige) Bedingung hierfür besteht darin.

dass die Beziehung:

(37)

\fn+q(x) — fn(x) I < £

oder die damit gleichwertige:

(38)

I f(x) — fv {x) I < s (v ^ n)

bei beliebig kleinem s > 0 für alle x eines angebbaren Intervalls a —    durch Wahl eines bestimmten n befriedigt werden

kann. Man sagt alsdann, lim fn(x) konvergiere gleichmässig in der

7l = CO

Umgebung von x — a (wohl auch bei oder, weniger korrekt: für x — ai). Entsprechend lässt sich die gleichmässige Konvergenz für die lediglich rechte bezw. linke Umgebung von x = a definieren. Die Konvergenz heisst in der Nähe von x — a ungleichmässig, wenn die (in dem eben betrachteten Falle nur von e abhängige) Zahl n in der Weise von x abhängt, dass sie bei unbegrenzter Annäherung an die Stelle a unbegrenzt vergrössert werden muss¹⁷³).

F (a — 0) bis F (a -j- 0). Letzteres gilt lediglich für den allgemeineren („simultanen“ [s. 23]) Grenzwert:

lim fn(oc). (Vgl. auch: A. Sachse, Diss.

co, x—a

Göttingen 1879, p. 17 oder Ztschr. Math. Ph. Suppl, zu 25 [1880], p. 243; Du Bois-Reymond, Zur Gesch. der trig. Reihen [1879], p. 18.) — Auch die von L. Schlaefli (J. f. Math. 72 [1870], p. 284; Univ.-Progr. Bern 1874, p. 15) gegen jene eindeutige Wertbestimmung der F.’schen Reihe erhobenen Einwendungen beruhen

n—

auf einer unscharfen Auffassung des Symbols    cpv (x)

o

d. h. lim cpv (x).

71 —CG

0

171) Man hat also an einer solchen Stelle d : f(d) = -\~oo bezw. = — oo.

vyr / l U

Beispiel: fn(x) =    » als0 f(x) ⁼ ^/*(*) ⁼

für \x\ ]> 0;

/( 0) = + OO.

172)    S. Fussn. 79, Beisp. 2)—4).

173)    Beispiele: fn(x) = t Grenzwert unstetig, der zweite stetig); ausserdem die in Fussn. 172 zitierten.

nx

bei x = 0 (der erste

Konvergiert lim fn (x) gleichmässig bei jeder einzelnen Stelle x₀ ^ a ^ X (bei x0 vergiert lim fn (x) auch „im Intervall“ (x₀, X) gleichmässig, d. h. die Bedingung (37) bezw. (38) kann dann bei vorgeschriebenem e für alle x von (xQ, X) durch ein und dasselbe n befriedigt werden¹⁷⁴).

mindesten rechts-, bei X linksseitig), so kon-

zum

17. Gleichmässige Konvergenz unendlicher Reihen. Setzt man:

fn (x) =    cpr (x), d. h. Cp₀ (x) = f) (x), sonst : cpv (x) = fv (x) — _ i (x),

0

CO

so definiert¹⁷⁵) die Beziehung (37) bezw. (38) (wo jetzt: f(x) —    yv (x))

o

fix) folge,

die gleichmässige Konvergenz der betr. Reihe¹¹⁶) für die Umgebung von x — a. Gerade in diesem speziellen Zusammenhänge wurde man zuerst auf die Notwendigkeit des fraglichen Begriffes geführt, der sich späterhin für die gesamte Funktionenlehre als fundamental erwiesen hat (vgl. auch 24). Der von Cauchy¹¹¹) ausgesprochene Satz, dass aus der Stetigkeit der einzelnen cp, (x) allemal diejenige von beruhte auf der irrigen Supposition, dass jede in der Umgebung von x — a konvergierende Reihe daselbst eo ipso gleichmässig konvergieren müsse, und wurde zunächst von N. H. Abel unter Hinweis auf die bei

x = 0 imstetige Reihe:    (— l)¹'⁻¹ •    als unzutreffend erkannt¹⁷⁸).

Letzterer zeigte sodann¹⁷⁹), dass den Summen konvergenter Potenz

174)    Ygl. Weierstrass, Beri. Ber. 1880, p. 271 (Werke 2, p. 203). — Prings-heim, Math. Ann. 44 (1894), p. 80.

175)    Die von A. Cayley (Edinb. Proc. 19 [1893], p. 203; Coli. Papers 13, p. 936) gegen diese Definition erhobenen Einwendungen scheinen mir auf einem Missverständnisse zu beruhen.

176)    Hervorzuheben ist, dass die gleichmässige Konvergenz einer Reihe weder deren unbedingte Konvergenz involviert, noch umgekehrt. So konvergiert z. B.

⁰⁰ <

vu-ir-¹

x*-\- v

zwar gleichmässig in jedem reellen Intervall, aber durchweg nur

(ttA k°“™-siert

GO

bedingt-, und

i

zwar für jedes reelle x un-

1 -f- x²

bedingt, aber bei x — 0 ungleichmässig.

177)    Anal, algébr. (1821), p. 131. — Durch passende Einschränkungen berichtigter Satz bei Du Bois-Beymond, Math. Ann. 4 (1871), p. 135.

178)    J. f. Math. 1 (1826), p. 316 Fussn. (Werke 1, p. 224).

179)    A. a. 0. p. 314 (bezw. p. 223). Anderer Beweis von Dirichlet: J. de math. (2), 7 (1863), p. 252 (Werke 2, p. 303). Ein weiterer auf Reihen mit zwei Veränderlichen bezüglicher Stetigkeitssatz Abel’s (a. a. 0. Lehrs. V) ist in seinen Voraussetzungen unvollständig; näheres Pringsheim, Münch. Ber. 27 (1897), p. 351.

17. Gleichmässige Konvergenz unendlicher Reihen.

35

reihen (mit eventuellem Einschluss der Konvergenzgrenze) in der That Stetigkeit zukomme, indem er hier direkt die Existenz derjenigen Eigenschaft nachwies, welche jetzt als gleichmässige Konvergenz bezeichnet wird. Die Grundlage zur allgemeinen Formulierung des fraglichen Begriffes lieferten zuerst G. G. Stokes¹⁰) und Ph. L. Seidel¹¹) durch den Nachweis des folgenden Satzes: „Sind für x — a die einzelnen cpv(x) zwar stetig, dagegen (SV* (x) unstetig, so muss die Reihe bei unbegrenzter Annäherung von x an die Stelle a „unendlich langsam“ (Stokes¹² 13)) bezw. „beliebig langsam“ (Seidel) konvergieren.“ Auch Cauchy¹⁸⁸) hat späterhin, wohl unabhängig von den beiden eben genannten, seinen oben erwähnten falschen Stetigkeitssatz berichtigt und bei dieser Gelegenheit das Wesen der gleichmässigen Konvergenz vollkommen scharf charakterisiert. Die Bezeichnung „gleichmässige“ Konvergenz¹⁴ 15 16) dürfte von Weierstrass herrühren, durch dessen Vorlesungen die einschneidende Bedeutung und Unentbehrlichkeit dieses Begriffes wohl zuerst zu allgemeiner Erkenntnis gelangte.

Die von Seidel¹¹) und auch noch sehr viel später von Heine als unaufgeklärt bezeichnete Frage, ob umgekehrt die Stetigkeit der Reihensumme die gleichmässige Konvergenz nach sich ziehe, wurde von G. Darboux185a), Bu Bois-Reymond185b) und G. Cantor¹⁸⁵⁰) durch

der von Stokes weiterhin daraus gezogene

nur

Konstruktion geeigneter Beispiele im verneinenden Sinne entschieden¹⁸⁶). Dagegen kann man auf die gleichmässige Konvergenz von allemal dann schliessen; wenn cpv(x)\ konvergent und stetig ist¹⁸⁷).

2<pv (?)

Andererseits wird unmittelbar erkannt, dass es für die Stetigkeit von 2 <Pv (%) — lim fn (pc) schon hinreicht, wenn (neben der Stetigkeit der einzelnen fn(tàj) die Bedingung (37) nur für lim q — oo oder, was auf dasselbe hinausläuft, die Bedingung (38) zu jedem £>0 nur für einen oder einige Werte v besteht. Dini bezeichnet diese Eigenschaft als einfach gleichmässige Konvergenz¹⁸⁸).

Als notwendige und hinreichende Bedingung für die Stetigkeit von lim fn (x) hat C. Arzelà die Eigenschaft der „streckenweise gleich-massigen¹¹ Konvergenz („convergenza in egual grado [oder uniforme] a tratti“) aufgestellt. Sie verlangt die Existenz der Beziehung (38) nur in folgendem Umfange: Jedem e > 0 und ganzzahligem n > 0 lässt sich ein d>0 und rii>n so zuordnen, dass zu jedem x des Intervalls (a — Ô, a -j- Ö) mindestens ein (eventuell mit x veränderliches) v des Intervalls (n, n ) vorhanden ist, für welches I fix) —f(xv) I < £ wird¹⁸⁹). — (Über die mit dem Begriffe der gleich-massigen Konvergenz in engem Zusammenhänge stehende Differentiation und Integration unendlicher Reihen vgl. II A 8.)

¹

   Doch braucht er keineswegs nach einer begrenzten Anzahl von Anwendungen zu einem Resultate zu führen. Beispiele, bei denen der Satz versagt oder von vornherein nicht gilt, findet man bei Pascal, Esercizî p. 240 ff. — Vgl. auch: H. Laurent, Traité d’anal. 1 (1885), p. 372.

²

   Anal, algebr, p. 48. — Vgl. auch IA 3, 18.

³

   Stolz, Arithm. 1, p. 176. (Unter etwas engeren Voraussetzungen: Math. Ann. 14 [1879], p. 232, 234). — Weitere Verallgemeinerungen giebt Stolz : Math. Ann. 33 (1889), p. 243, im Anschluss an einen Satz von J. L. W. Jensen (Par. C. R. 106 [1888], p. 833).

⁴

   A. a. 0. p. 757. Trotz der im wesentlichen schon bei Euler richtigen Auffassung solcher Symbole sucht L. Mascheroni in der von ihm besorgten 2. Ausg. von Euler, Inst. calc. diff. (Ticini, 1787, 2, p. 813) zu beweisen, dass allemal 0° = 1 sei. G. LibriÇS. f. Math. 10 [1833], p. 305) giebt einen neuen „Beweis“ hierfür und „beweist“ ferner, dass 0X nur einen der drei Werte 0, 1, oo annehmen könne.

⁵

   Beispiel : f( 1) = 1, sonst: f(x) = sin

⁶

   A. a. 0. p. 139. Beziehungen zwischen den Sprüngen und Schwingungen innerhalb eines Intervalls (x₀, X) ibid. p. 139—142, 149.

⁷

   Auch als Amplitude der rechts- bezw. linksseitigen Oscillationen bezeichnet (Dini § 56). In gleichem Sinne gebraucht G. Ascoli (Line. Atti (2), 2 [1874/75], p. 869) die. Bezeichnungen: „Oscillatione a destra (sinistra)“, während er unter: „Oscillatione di f{x) nel punto au dasjenige versteht, was im Text als Sprung von f(x) für x = a bezeichnet ist.

⁸

   Vgl. IA 3, 19; IA 5,17 ; im übrigen: Du Bois-JReymond, Ann. di mat. (2), 4 (1870/71), p. 338; J. f. Math. 74 (1872), p. 294; Math. Ann. 8 (1874), p. 363, 574; desgl. 10 (1876), p. 576; desgl. 11 (1877), p. 149. Verallgemeinerung der Vergleichung verschiedener Unendlich bei Pincherle: Bol. Mem. (4), 5 (1885), p. 739.

⁹

Beispiel: f\ {x) = (l -f j sin (lg , fÀ (x) = ~ bei x = 0. Vgl.

auch: Stolz, Math. Ann. 14 (1874). p. 132; Pringsheim, ibid. 37 (1890), p. 593.

¹⁰

   Cambr. Trans. 7 (1847), p. 533 (Math, and pbys. papers 1 [1880], p. 236).

¹¹

   Münch. Abh. II Kl. 7 (1848), p. 381.

¹²

   Die von R. Reiff (Gesch. der unendl. Reihen, Tübingen 1889, p. 209) an dem Stokes'schen Beweise geübte Kritik scheint mir unzutreffend. Der Beweis selbst ist richtig, fehlerhaft ist Schluss, dass aus der Stetigkeit der Reihensumme auch umgekehrt die Gleich-Massigkeit der Konvergenz folge, während Seidel diese Frage als eine offene erklärt. Dagegen geht Stokes insofern über Seidel hinaus, als er zuerst das wirkliche Eintreten der „unendlich verzögerten“ Konvergenz an höchst einfachen, seitdem typisch gewordenen rationalen cpv(x) direkt nachweist.

¹³

   Par. C. R. 36 (1853), p. 454.

¹⁴

   Manche Autoren z. B. Heine (J. f. Math. 71 [1870], p. 353); H. A. Schwarz (Ges. Abh. 2, p. 272) bedienen sich des Ausdrucks: Konvergenz in gleichem Grade. Bei Weier strass in zwei von 1841/42 (also vor Stokes und Seidel) datierten, aber damals nicht publizierten Aufsätzen, steht Werke 1, p. 67, 70 „gleichmässig“, p. 73, 81 „gleichförmig“ konvergent. — Du Rois-Rey-mond bezeichnet (Beri. Ber. 1886, p. 359) als „stetige Konvergenz“ dasjenige, was hier (Nr. 16) als „gleichmässige Konvergenz für jede einzelne Stelle“ definiert wird. Und er nennt späterhin (J. f. Math. 100 [1887], p. 336) „stetige Konvergenz im Intervalle“, was hier als „gleichmässige Konvergenz im Intervalle“ bezeichnet wurde.

¹⁵

a) Ann. École norm. (2), 4 (1875), p. 79. — b) Münch. Abh. II Kl.

¹⁶

12¹ (1875), p. 120 Fussn. — c) Math. Ann. 16 (1880), p. 268.

Singularitäten. Auf dem Umstande, dass

cc

eine gleichmässig konvergente Reihe f(x) = <pv (x) mit beliebiger,

o    11

für ein gewisses Intervall gleich bleibender Annäherung durch cpv (x)

o

cc

ersetzt werden kann, beruht die Möglichkeit, solche f(x) — cpv (x) _ o

18. Kondensation von

<PV (x) =

186) Einfachstes Beispiel (im wesentlichen nach G. Cantor) :

bei x = 0. (Vgl. auch Fussn. 173.)

vx

(v -f- l)x

1 + (v + l)³x²

187)    Dini § 99. — Vgl. auch Pringsheim, Math. Ann. 44 (1894), p. 82; Pascal, Esercizî p. 147.

188)    A. a. 0. § 91. Darboux (a. a. 0. p. 77) nennt eine Reihe schon in diesem Falle „gleichmässig“ konvergent schlechthin. Beispiele von Reihen, welche lediglich einfach gleichmässig konvergieren: Dini-Lüroth, p. 138 Fussn. (nach V. Volterra, Giorn. di mat. 19 [1881], p. 79); J. Tannery, Introd. p. 134. (Die daselbst auf Dini bezügliche Angabe ist ungenau.) J. Bendixson, Stockh. öfv. 1897, p. 605.

1 + v*x²

189) Bol. Rend. Aprile 1884, p. 8. Die im Text angegebene (auf der Deutung von x und — als rechtwinklige Coordinaten beruhende) Benennung findet sich erst : Line.

Rend. (4), 1 (1885), p. 326. Geometrische Darstellung verschiedener, durch ungleich- , massige Konvergenz erzeugter Möglichkeiten: Osgood, N. Y. Bull. (2), 3, p. 59.

zu konstruieren, welche auch die Unstetigkeiten oder sonstigen Singularitäten aller einzelnen cpv (x), eventuell also auch (hei geeigneter Wahl der cpv (xj) unendlich viele, überall dicht (pantachisch) liegende Singularitäten besitzen. Das hiermit angedeutete Prinzip¹⁹⁰) pflegt man nach Hankel¹⁹¹) als dasjenige der Kondensation von Singularitäten zu bezeichnen. Das erste Beispiel dieser Art gab Riemann (Habil.-Schrift, 1854) durch Aufstellung der in jedem kleinsten Intervalle mit (gewöhnlichen) Sprüngen behafteten (nichtsdestoweniger

integrablen¹⁹²)) Funktion f(x) =^y

i

193

). Das nach ausdrücklicher

Angabe Hankel’s (a. a. 0. p. 77) aus diesem Beispiel hervorgegangene

H.’sche Kondensationsprinzip beruht auf der Bildung von Reihen der Form: f(x) = 2cv • cp ( sin vnx), wo die cv positive Zahlen mit gewissen Konvergenzeigenschaften vorstellen, cp (y) eine für y — 0 mit irgend einer Singularität behaftete, im übrigen für (— 1, -j- 1) analytische Funktion bedeutet. Da sin vnx für alle reellen x nur das Intervall (— 1, -j- 1) durchläuft und sin vnx — 0 wird, wenn

x = ~ (m, n natürliche Zahlen und rel. prim) und v — k • n

(k= 1, 2, 3, • • •), so haben für jedes rationale x = ™ unendlich viele

Reihenglieder cv • cp (sin vnx) die fragliche Singularität, die dann unter geeigneten Bedingungen auch der Summe f(x) zukommt und somit bei letzterer an allen rationalen Stellen auftritt. Durch den Umstand, dass die zu irgend einer einzelnen Stelle gehörige Singularität allemal unendlich vielen Reihengliedern zukommt, ist freilich die Möglichkeit einer Kompensation nicht ausgeschlossen, und, soweit es sich nicht um gewöhnliche Sprünge handelt¹⁹⁴), der Nachweis des Gegenteils mit Schwierigkeiten verknüpft, die von Hankel nicht durchweg genügend berücksichtigt worden sind. Einige seiner Resultate sind daher mit Recht von Ph. Gilbert¹⁹⁵) angefochten worden und erst Hini

190)    Dabei kann an die Stelle der Reihe auch jeder andere unendliche Algorithmus treten (Bern, von Dini, § 118 am Schlüsse).

191)    A. a. ü. p. 69.

192)    Vgl. 19, Fussn. 208 — im übrigen IIA 2, 81.

193)    Werke p. 228. Dabei bedeutet (x) den pos. oder neg. Überschuss von x über die nächste ganze Zahl JE {ic) bezw. E(x -\- l) und speziell die 0, wenn

x — E{x) -\- ~ • Übrigens kann (x) bezw. (vx) auch durch eine einfache trigono-

u

metrische Reihe dargestellt werden: Du Bois-Reymond, J. f. Math. 79 (1875), p. 26.

194)    Ygl. Darhoux, a. a. 0. p. 80.

195)    Brux. mém. cour. 23 (1873), p. 1. — Ygl. auch Darhoux, a. a. 0. p. 106.

(§ 107—115) hat die Tragweite der HankeVsehen Methode mit genauer Unterscheidung der verschiedenen Singularitäten-Möglichkeiten in genügender Weise festgestellt.

Im übrigen leidet jene Methode an dem weiteren Übelstande, dass die als Argumente von cp auftretenden sinvnx (v = 1, 2, 3, • • •) wegen der mit wachsendem v unbegrenzt sich verdichtenden Oscilla-tionen eine an sich unnötige Komplikation herbeiführen, und dass zunächst immer nur die rationalen Stellen als Träger der betr. Singularität erscheinen¹⁹⁶). Die von G. Cantor gemachte Entdeckung der Abzählbarkeit gewisser überall dichter Mengen (zu denen neben den rationalen die allgemeineren algebraischen gehören¹⁹⁷)) führte zu einer wesentlich einfacheren, im Prinzip von Weier strass herrührenden und von G. Cantor zuerst publizierten¹⁹⁸) Kondensationsmethode, nämlich zur Bildung von Reihen der Form f(x) =2cv ■ cp (x — av)} wo (av) irgend eine abzahlbare (eventuell überall dichte) Menge, (cv) eine Folge positiver Zahlen mit passenden Konvergenzeigenschaften bedeutet, cp (y) nur für y = 0 mit einer Singularität behaftet ist, die dann bei f(x) an allen Stellen der Menge auftritt¹⁹⁹).

Das der oben zitierten Riemann’sehen Funktion zu Grunde liegende Kondensationsverfahren erscheint direkt nachgebildet in dem von Schwarz gegebenen Beispiel einer monotonen, stetigen, für unendlich viele überall dichte x nicht-differenzierbaren Funktion²⁰⁰); in seiner typischen Gestalt: f(x) — ^cv ■ cp (yx) nebst der Verallgemeinerung: f(x) — ^cv ■ cp (mvx) findet es sich bei Darboux (a. a. 0. p. 90).

196)    G. Cantor, Lit. Centr.-Bl. 1871, p. 150.

197)    Vgl. IA 5, 2.

198)    Math. Ann. 18 (1882), p. 588. Vgl. auch Dini-Lüroth, p. 188 ff.

199) Ist cp (y) — typ (y), wo die ip/x (y) durchweg stetig und cp (0) ledig-o

lieh imstetig infolge ungleichmässiger Konvergenz von ^ cpfi (y) bei y — 0, so

wird

— ar) bei geeigneter Wahl der c , av pantachisch unstetig. Unter gewissen Cautelen kann man aber mit Vertauschung der Sum-

• %(P —

av) = (pM (x), wo jetzt die

o

mationsfolge setzen : fix) =    cv

o o

cp (x) als gleichmässig convergente Reihen stetige Funktionen von x sind. Man erhält also eine aus stetigen Gliedern bestehende Reihe mit pantachisch unstetiger Summe, sodass an Jeeiner Stelle die Konvergenz eine gleichmässige sein kann. (Gelegentlich eines Beispiels bemerkt von M. Lerch, Giom. di mat. 26 [1888], p. 375.)

200) Ges. Abh. 2, p. 269. Vgl. Fussn. 116.

V,

Eine gelegentliche Bemerkung Biemann's (in Bezug auf die Reihe: Jj^sin v\-nx: Werke, p. 250) hat wohl auch zuerst auf die Betrachtung von Reihen der Form:    ■ sin v\-nx, ^cv ■ cos v\ • itx

und der etwas allgemeineren: ^>cv-sinmvx, ^cv • cos mvx (wo m

natürliche Zahlen >1) geführt, welche je nach Wahl der cv

mv

mv-l

in Bezug auf Existenz der ersten Derivierten unendlich oft oder sogar durchaus sich singulär verhalten2or), oder aber Derivierte jeder Ordnung besitzen, ohne für irgend eine Stelle analytisch zu sein¹ 2). Dabei zeigt sich, dass die Auswahl der Zahlen mv noch einer erheblichen Verallgemeinerung fähig ist und dass auch sin mvx, cos mvx durch gewisse cp(mvx) von allgemeinem Charakter ersetzt werden können³).

Ein auf Bildung unendlicher Produkte basierendes Kondensationsverfahren hat neuerdings T. Brodén zur Darstellung von Funktionen mit überall dichten Nullstellen angewendet⁴).

19. Funktionen mit unendlich vielen Unstetigkeiten (in endlichen Intervallen). Bezüglich der Terminologie finden sich hier bei verschiedenen Autoren Abweichungen, welche auf die Formulierung gewisser Hauptsätze entscheidenden Einfluss ausüben und leicht zu Missverständnissen Anlass geben können. Hankel (p. 91) bezeichnet als punktiert unstetig solche Funktionen, bei denen Sprünge > 6 nur „zerstreut, d. h. nirgends überall dicht Vorkommen. Damit stimmt Dini’s Definition zwar nicht dem Wortlaute, wohl aber dem Umfange nach überein⁵). Dagegen nennt A. Harnack⁶) f(x) nur dann punktiert unstetig, wenn die Stellen mit Sprüngen > 6 eine „diskrete“ (besser: „unausgedehnte“) Menge²⁰⁷) bilden (wie z. B. bei der Riemanri-sclien Funktion in 18)²⁰⁸). Während ferner Hankel als linear unstetig jede Funktion bezeichnet, die in einem endlichen Intervalle unendlich oft unstetig wird, so versteht Harnack²⁰⁶) darunter nur solche Funktionen, bei denen die Stellen mit Sprüngen > 6 eine lineare“ (besser: „ausgedehnte“) Menge²⁰⁷) bilden. Diese letztere Begriffsbestimmung ist andererseits umfassender²⁰⁹), als die von Hankel eingeführte und von Fini dem Umfange nach acceptierte Definition der total unstetigen Funktionen, d. h. derjenigen, bei denen zum mindesten in irgendwelchen Teilintervallen Sprünge > a überall dicht Vorkommen (Hankel) oder, was auf dasselbe hinausläuft²⁰⁵), keine Stetigkeitspunkte liegen (Fini).

Eine endlich bleibende, unendlich oft oder selbst pantachisch unstetige, abteilungsweise monotone Funktion ist immer nur punktiert unstetig (sogar in dem engeren Harnacüsehen Sinne)²¹⁰): die Stellen mit Sprüngen > 6 können nämlich hier stets nur eine endliche Menge bilden. Das letztere gilt auch für eine umfangreichere Klasse von Funktionen, welche von C. Jordan zuerst als fonctions à oscillation limitée211a), später als fonctions à variation bornée211h) bezeichnet und neuerdings (auf Grund einer anders lautenden, aber dem Umfange nach gleichwertigen) Definition von E. Study als „Funktionen mit beschränkter Schwankung“ genauer untersucht worden sind²¹²). Sie besitzen die charakteristische Eigenschaft, (auf unendlich viele Arten) als Summe (Differenz) zweier entgegengesetzt- (gleichartig-) monotoner Funktionen darstellbar zu sein, sind integrabel und bei Abwesenheit „äusserer Sprünge“ (d. h. wenn f(x) niemals das Intervall

(f(x — 0), fix -f 0))

207)    Ygl. I A 5, 15, insbes. Fussn. 71.

208)    Darnach ist der Satz: „Jede punktiert unstetige Funktion ist integrabel“ — bei Harnack richtig, bei Hankel dagegen falsch, wie St. Smith (a. a. 0. p. 149, § 17) mit Recht hervorgehoben hat (auch Dini, § 188; V. Vol-terra, Giorn. di mat. 19 [1881], p. 80). HankeVs, Fehlschluss beruht auf der irrigen Supposition, dass jede nirgends dichte Menge auch unausgedehnt sein müsse (vgl. Harnack, Math. Ann. 19, p. 239).

209)    Sie umfasst nämlich auch diejenigen Funktionen, bei denen die Stellen mit Sprüngen )> c eine zwar nirgends dichte, jedoch ausgedehnte Menge bilden, die also bei Hankel-Dini noch zu den punktiert unstetigen gezählt werden.

210)    Ygl. Dini, § 66. 186, 6. Hierher gehören gewisse monotone diskontinuierliche Abbildungen des Linearkontinuums, die von Harnack (Math. Ann. 23 [1884], p. 286), G. Peano (Riv. di Mat. 2 [1892], p. 41) und A. Schoenflies (Gott. Nachr. 1896, p. 256) betrachtet worden sind. — Eine nicht-monotone Abbildung ähnlicher Art bei Lüroth, Math. Ann. 21 (1883), p. 419.

211)    a) Par. C. R. 92 (1881), p. 229. — b) Cours d’anal. 1, p. 54.

212)    Math. Ann. 47 (1896), p. 298; vgl. insbes. p. 312.

verlässt), auch rektifizierbar⁷). Zu den punktiert unstetigen, integrablen Funktionen gehören ferner (nach Dini, § 151. 186, 4) alle diejenigen, welche nur Unstetigkeiten erster Art haben, oder bei denen pantachische Unstetigkeiten zweiter Art nur rechts bezw. links auftreten.

Die Unstetigkeiten einer punktiert unstetigen Funktion können, auch wenn sie überall dicht Vorkommen, hebbar sein⁸), sofern man diesen Ausdruck auf eine unendliche abzahlbare Menge von Unstetigkeiten ausdehnen will. Analytische Ausdrücke für (integrable und nicht-integrable) punktiert unstetige Funktionen lassen sich auf Grund der in 18 beschriebenen Methoden in mannigfacher Weise her-stellen⁹). Irrig ist jedoch Sankel’& Ausspruch (p. 94), dass jedes punktiert unstetige f(x), welches an den Sprungstellen a der Beziehung

genügt: f(a) — ~{f(a — 0) -j- f(a —j— 0)}, durch eine Fourier’sehe

Reihe darstellbar sei¹⁰).

Das erste Beispiel einer total unstetigen Funktion rührt von Dirichlet her¹¹): f(xf) = c, f(x₂) = d, wo xt alle rationalen, x₂ alle irrationalen Zahlen bedeutet. Trotz der totalen Diskontinuität (vollständigen Abwesenheit von Stetigkeitspunkten) sind die Sprünge in dem oben erwähnten Sinne hebbar, da die xx eine abzahlbare Menge bilden¹²). Der von Hankel (p. 98) für dieses f(x) (bei c — 0, d — 1) gegebene analytische Ausdruck leidet an dem Mangel, dass f(x) an allen rationalen Stellen nicht eigentlich definiert erscheint. Dasselbe gilt bezüglich eines anderen von H. gegebenen Beispiels¹³). Analytisch

darstellbare Beispiele total unstetiger Funktionen mit nicht-hebbaren Unstetigkeiten erhält man, wenn man eine nicht-hebbar punktiert unstetige Funktion zu der Dirichlet'sehen addiert oder mit ihr multipliziert.

20. Stetige Funktionen mit unendlich vielen Singularitäten (in endlichen Intervallen). Die stetigen Funktionen mit unendlich vielen Oscillationen oder „InVariabilitätszügen“¹⁴) in einem endlichen Intervalle kann man nach Dini (§ 134) zweckmässig in reducible und irreducible einteilen. Die ersteren verlieren durch Addition oder Subtraktion von Funktionen mit hinlänglich grosser, endlicher Derivierten, inbesondere von passenden Linearfunktionen ihre sämtlichen Oscillationen bezw. Invariabilitätszüge, oder, was auf dasselbe hinausläuft, sie lassen sich in zwei monotone (auch nirgends konstante) endlich bleibende Komponenten zerlegen¹⁵). Hierfür ist notwendig und hinreichend, dass die vier Derivierten von f(x) durchweg > — A oder < A (A eine bei. positive Zahl) ausfallen¹⁶ 17); alsdann wird nämlich: f(x) -f- Ax bezw. f{x) — Ax monoton zu- bezw. abnehmend. Ein f(x) dieser Art kann, auch wenn die Oscillationen pantachisch auftreten, in jedem Punkte eine bestimmte endliche Derivierte besitzen; doch hat alsdann f (x) stets pantachische Unstetigkeiten 2ter Art, muss in etwaigen Stetigkeitspunkten — 0 sein und ist nirgends integrabelm). Andere bemerkenswerte Fälle liefern diejenigen f(x), bei denen in pantachi-schen Punkten eine bestimmte endliche Derivierte, in anderen ebenfalls pantachischen eine endliche rechte und davon verschiedene linke Derivierte (geometrischer Typus der „Ecke“) ¹⁸) oder eine unendliche

Derivierte mit konstantem Vorzeichen („Wendepunkt mit vertikaler Tangente“)²²⁵) existiert²²⁶).

Da jedes aus einem reducibel-oscillierenden f(x) hergeleitete monotone cp(x) — f(x) -j- Ax in Bezug auf Unstetigkeiten, Unendlichwerden oder Nichtexistenz von Derivierten sich gerade so verhält, wie f(x) selbst, so ergehen sich für ein gegebenes stetiges und monotones cp(x) aus der Betrachtung aller möglichen f(x) = cp (x) — Ax (— oo < A < —J— oo) bestimmte Kriterien bezüglich der Existenz und Beschaffenheit der Derivierten (Dini, § 143, 162).

Zu den durchweg MTedW^'öeZ-oscillierenden Funktionen gehören insbesondere diejenigen, bei denen in pantachischen Punkten entweder die oberen und unteren²²⁷) oder die rechten und linken²²⁸) Derivierten mit verschiedenem Vorzeichen oo ausfallen.

Eine merkwürdige Klasse stetiger F(x) entsteht durch Integration stetiger, pantachisch (reducibel oder irreducibel) oschlierender f(x). Ein solches F(x), das noch überdies monoton ausfällt, wenn man f(x) als durchweg gleichbezeichnet annimmt, besitzt überall eine stetige Derivierte F'(x) = f(x), ohne geometrisch anschaulich zu sein²²⁹). Denn f(x) nimmt in jedem kleinsten Intervalle mindestens einen Wert unendlich oft an2S0), d. h. die Kurve y — F(x) müsste, ohne aus geradlinigen Stücken zu bestehen, in unendlich vielen Punkten jedes kleinsten Intervalls gleichgerichtete Tangenten besitzen.

225)    Beispiel (einer bereits monotonen Funktion dieser Art) von Weier strass (Math. Ann. 19 [1882], p. 591): f(x) = ^,cĄx—aff. Vgl. auch Dini-Lüroth, p. 199, 4. — Brodén (Stockh. öfv. 53 [1896], p. 585) zeigt an einem etwas allgemeineren Typus dieser Gattung, dass ausser für die abzahlbare Menge der „primären“ Stellen av auch für eine nicht-abzählbare Menge „sekundärer“ Stellen : f (x) = + oo wird. — Anderes Beispiel hei Hankel, a. a. 0. p. 84, IV.

226)    Doch kann eine stetige Funktion nicht in allen Punkten eine bestimmt oder unbestimmt (d. h. auf der einen Seite positiv, auf der anderen negativ) unendliche Derivierte haben: Dini, § 71, 135; J. König, Monatsh. f. Math. 1 (1890), p. 12; Dini-Lüroth, p. 303.

227)    Z. B. die Weierstrass'sehe nirgends differenzierbare Funktion (II A 2, Nr. 4; vgl. auch: König, a. a. 0. p. 11).

228)    Geometrisch: Typus der Spitze mit vertikaler Tangente. Beispiele:

cv(x — afÄ,    ■ (sin vnx)s. (Das zweite von Hankel, a. a. 0. p. 84, III.

Verbesserung der unzulänglichen H.’schen Analyse bei Darboux, a. a. 0. p. 106. Vgl. auch Dini, § 116, 4 )

229)    Koepcke, a. a. 0. p. 137.

230)    Beweis dieses (keineswegs selbstverständlichen) Satzes von König: a. a. 0. p. 7 (vgl. auch Dini-Lüroth, p. 302). — Koepcke, Hamb. Mitt. 3 (1899), p. 376.

II. Funktionen von mehreren Veränderlichen.

21. Bereiche von n Veränderlichen. Legt man den n Zeichen x1} x₂, . . . xn successive verschiedene Zahlen werte hei, so bildet der Inbegriff der auf diese Weise resultierenden Wertsysteme (x1} x₂, .. . xn) den Bereich oder das Gebiet (x) der n Veränderlichen xlf x₂, ... xn. Jedes einzelne Wertsystem (%, a₂,. . . a„) ~ a heisst, mit Benützung geometrischer (nur für n — 1, 2, 3 reale Bedeutung besitzender) Ausdrucksweise: eine Stelle oder ein Punkt¹⁹) (genauer: ein arithmetischer Punkt)²⁰) einer n-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit¹⁹) oder des n-dimensionalen (ebenen arithmetischen) Baumes²⁰) (== Gesamtheit aller möglichen für: —    v — 1, 2, ... n — zustande

kommenden Wertsysteme (xl7 x₂,. . . xn)). Entsprechend wird sodann av als die vte Koordinate des Punktes a, die Zahl

-f- ]/(oq — bff -f- • • • -f- (an — bn)²

\a,b\ — I a₁

als die Entfernung ab der Punkte a und b bezeichnet; statt dieser „Entfernung“ erscheint es mitunter bequemer, den „Unterschied“²¹) bx I “f~ ' ' ‘ -f~ \an — bn\ oder auch die einzelnen Koordinatenunterschiede I av — bv I in Betracht zu ziehen. Unter der Umgebung {a, ę) eines Punktes a wird alsdann die Gesamtheit aller Punkte x verstanden, für welche ax bezw. a, x\ oder auch die einzelnen \ar — xv\ unter der positiven Zahl q liegen²² 23 24 25 26 27).

Da jeder Bereich (x) von n Veränderlichen eine Punktmenge im Cantor'sehen Sinne bildet, so gelten auch hier (wie in 4) die

\av~K\

von

grundlegenden Definitionen und Sätze der Mengenlehre. Insbesondere besitzt jeder aus unendlich vielen Punkten bestehende Bereich (x) mindestens einen (nicht notwendig zu {x) gehörigen) Grenzpunkt (eine Häufungsstelle)²³); er heisst abgeschlossen™), wenn er alle Grenzpunkte mitenthält, endlich™), bleiben, beschränkt oder begrenzt, wenn er nicht aus allen möglichen Punkten x besteht. Wird im letzteren Falle mit (y) derjenige Bereich bezeichnet, der alle nicht zu (x) gehörigen Punkte umfasst, so erscheinen als (immer vorhandene²⁶)) Begrenzungspunkte²⁷) von (und zugleich auch von {yj) alle diejenigen Punkte x bezw. y, für welche jede beliebig kleine Umgebung mindestens einen Punkt y bezw. x (und somit unendlich viele) enthält. Ist nicht jeder Punkt von (x) ein Begrenzungspunkt²⁴⁰), so gehören zu (x) auch innere Punkte, d. h. solche, für die eine aus lauter x-Punkten bestehende Umgebung existiert; jeder innere Punkt von (y) ist sodann ein äusserer Punkt von (x). Der Bereich (x) heisst zusammenhängend²⁴¹), wenn zu jedem £>0 zwischen zwei beliebige zu (x) gehörige Punkte x⁽⁰⁾, X eine endliche Anzahl (m) von ^-Punkten: x^) so eingeschaltet werden kann, dass    <; £ bezw. \x^\ a^+i) j < e (0 <C g < m, #(m+x)=X);

die \xv\ unter einer endlichen Schranke

wenn

(x)

er heisst stetig (ein Kontinuum ©w), wenn er abgeschlossen²⁸) und

235)    Satz von Weier strass : Pincherle, a. a. 0. p. 241; Jordan, a. a. 0. p. 23. — Man bemerke, dass die Bezeichnung: „a ist Häufungsstelle von Punkten x“ keineswegs allemal bedeutet: „sämtliche Koordinaten a,.... an sind beziehentlich Häufungszahlen von x₁, . . . xnu-, sondern nur: „mindestens eine Koordinate av ist Häufungszahl der x“. Ist (x) nicht endlich (s. im Text), so kann eventuell „die Stelle oo“ als (einzige) Häufungsstelle auftreten (vgl. 4 und Pincherle, p. 235).

236)    Jordan (a. a. 0. p. 19) gebraucht in diesem Sinne das Beiwort „parfait“ (welches also nicht mit dem Cantor'sehen „perfekt“ — abgeschlossen -f- in sich dicht zusammenfällt). E. Borei (Leçons sur la théorie des fets. p. 36) sagt dafür : „relativement parfait“ {„parfait“ schlechthin oder „absolument parfais — dem Cantor’sehen „perfekt“)-, Ch. Biquier (Ann. Éc. norm. (3), 7 [1890], p. 266): „complet“; Burkhardt (Funkt.-Th. p. 75): „in sich geschlossen“.

237)    Jordan (p. 23): „Ensemble borné“-, Biquier (a. a. 0.): „Espace limité“.

238)    Beweis bei Jordan, p. 20.

239)    Man beachte den Unterschied zwischen „Grenzpunkt“ und „Begrenzungspunkt“ {„point limite“ und „point frontière“). Ein Grenzpunkt x ist nur dann zugleich Begrenzungspunkt, wenn er kein innerer Punkt von (x) ist; ein isolierter Punkt x ist allemal Begrenzungspunkt, aber kein Grenzpunkt.

240)    Besteht z. B. {x) aus allen Punkten mit rationalen Koordinaten, so sind alle möglichen Punkte Begrenzungspunkte von (#); es existieren für dieses (x) weder innere, noch äussere Punkte.

241)    „D'un seul tenant“ {Jordan, p. 25); „in sich überall dicht“ {Burkhardt,

p. 75).

zusammenhängend ist; die xl7 x₂, . . . xn heissen sodann in stetig veränderlich. Man bemerke, dass diese Definition keinerlei Aussage über die im (£„ wirklich vorhandenen Dimensionen enthält: sie umfasst alle möglichen Kontinua lter bis wter Dimension und deren (eventuell auch nur punktweise) zusammenhängende Kombinationen im w-dimen-sionalen Raume²⁴³), erfordert also insbesondere nicht einmal die Existenz innerer Punkte. In der (allgemeinen und engeren) Funktionenlehre wird da, wo es sich um Funktionen von n Veränderlichen handelt, unter „Kontinuumu schlechthin zumeist ein engerer Begriff verstanden²⁴⁴), der passend als homogenes ^-dimensionales Kontinuum IIn im w-dimen-sonalen Raume bezeichnet werden könnte und durch eine engere Art des Zusammenhanges irgend zweier, dem Innern oder der Begrenzung von Hn angehöriger Punkte x₀ und X charakterisiert ist: derselbe muss nämlich durch eine endliche Anzahl innerer Punkte x^ in der Weise vermittelt werden, dass sdv+ï) in einer zu Hn gehörigen Umgebung von liegt²⁴⁵).

Einen allgemeinen Satz über die Begrenzung eines solchen Hn hat E. Ehragmm²⁴⁴) zunächst für n = 2 bewiesen und sodann entsprechend für beliebige n formuliert. Darnach muss die Begrenzung eines „perfekt und zusammenhängend“ (a. a. 0. p. 576): eine abgeschlossene und zusammenhängende Menge ist aber eo ipso perfekt. — Die von Bolzano (Paradoxien, § 38) gegebene, auch noch von Pincherle (a. a. 0. p. 236) acceptierte Definition passt auch auf imperfekte zusammenhängende Mengen, ja sogar auf den Inbegriff beliebig (auch unendlich) vieler getrennt liegender Mengen dieser Art, z. B. auf alle rationalen Zahlen x, die der Bedingung genügen:

¹

   Diesem Typus gehört u. a. die in 10 erwähnte Weierstrass’ sehe Funktion an. Ferner vgl. Parboux, a. a. 0. p. 107; Pini, Ann. di mat. (2), 8 (1877), p. 137; Pini-Lüroth, p. 229; Lerch, Prag. Ber. 1886, p. 571; desgl. J. f. Math. 103 (1888), p. 126; Ch. Cellérier, Darboux Bull. (2), 14 (1890), p. 152.

²

   Lerch, J. f. Math. 103, p. 136. — Cellérier, a. a. O. p. 158. — Prings-heim, Math. Ann. 42 (1893), p. 182; 44 (1894), p. 51; 50 (1898), p. 444.

³

   Pini, Ann. di mat. (2), 8 (1877), p. 130. — Pini-Lüroth, p. 218. — Parboux, Ann. École norm. (2), 8 (1879), p. 195. — Lerch, a. a. O. p. 126.

⁴

   Math. Ann. 51 (1898), p. 299.

⁵

   Pini (§ 62) nennt Funktionen punktiert unstetig, wenn sie in jedem kleinsten Intervalle Stetigkeitspunkte besitzen ; in der That liegen dann die Stellen mit Sprüngen ]> 6 nirgends dicht — vice versa (vgl. Hankel p. 90; Pini § 63—65). Der von St. Smith (Bond. math. Proc. 6 [1875], p. 150, § 18) gegen die Gültigkeit dieses „vice versa“ erhobene Einwurf wendet sich unzutreffender Weise gegen die (von Hankel garnicht gemachte) Behauptung, dass allemal Stetigkeits-Intervalle existieren müssten.

⁶

   Math. Ann. 19 (1882), p. 242; 24 (1884), p. 218.

⁷

   Vgl. Scheeffer, Acta math. 5 (1885), p. 51; Study, a. a. 0. p. 313; im übrigen: III D 1.

⁸

   Beispiele bei Hankel, p. 97; Dini, § 116, 8; ferner Dini-Lüroth, p. 199.

⁹

   Vgl. Hankel, p. 94; Darboux, a. a. 0. p. 89; Dini, § 116, ausserdem Dini-Lüroth, p. 198; Volterra, a. a. 0. p. 82; Brodén, a. a. 0. p. 310. — (Satz von Volterra: Zwei punktiert unst. Funkt, müssen in jedem kleinsten Intervall gemeinsame Stetigkeitspunkte haben. Daraus ergeben sich für Summen, Produkte, gleichm. konvergente Reihen von punkt. unst. Funkt, analoge Sätze, wie für stetige Funktionen.)

¹⁰

   Das braucht nicht einmal dann der Fall zu sein, wenn f(x) integrabel ist. Der von Hankel fälschlich herangezogene Riemannsche Satz (Werke, p. 239) besagt nur, dass ein als integrabel vorausgesetztes f(x) überall da durch die entsprechende Fourier'sehe Reihe dargestellt wird, wo dieselbe konvergiert ; diese kann aber (sogar für stetige fix)) auch pantachisch divergieren (vgl. Fussn. 101).

¹¹

   Vgl. Fussn. 31. Die dort gegebene analytische Darstellung dürfte aus dem im Texte angegebenen Grunde der Hankel'sehen vorzuziehen sein. Vgl. auch: R. Reiff, Böklen Mitt. 3 (Tübingen 1890), p. 90; Pascal, Esercizî, p. 4.

¹²

   Analoge Definition für den Fall, dass die Mengen (æ,), (xf) beide nicht-abzahlbar, bei J. Thomae, Ztschr. Math. Phys. 24 (1879), p. 64.

¹³

   A. a. 0. p. 107. Vgl. auch: Brodén, Stockh. öfv. 53 (1896), p. 602.

¹⁴

   „Tratti di invariabilita“ (Dini, § 54), d. h. Intervalle, in denen f(x) konstant ist.

¹⁵

   Sie gehören also in die allgemeinere Klasse der Funkt, mit beschränkter Schwankung (19).

¹⁶

   Dini, § 133. 134. — Eine sehr viel engere Bedingung (Existenz einer integrablen Derivierten) bei Du Bois-Beymond: Zur Gesch. d. trig. Reihen, p. 32. Dieselbe kann indessen im Falle pantachisch auftretender Oscillationen nach dem im Texte gesagten niemals erfüllt sein.

¹⁷

   Dini, § 130, 200. — Da das in Fussn. 116 erwähnte HankeVsche Beispiel eine durchweg integrable Derivierte besitzt (vgl. Darboux, Ann. Éc. norm. (2), 4 [1875], p. 109), so folgt mit Notwendigkeit, dass es nirgends pantachische Oscillationen haben kann. Ein brauchbares Beispiel liefert dagegen die Koepcke'sehe Funktion (11, Fussn. 116); vgl. insbes. Math. Ann. 29 (1887), p. 135. (Über den bei dieser Gelegenheit hervortretenden Unterschied in der Tragweite der Begriffe: „Bestimmtes und unbestimmtes Integral“ s. II A 2, 36.)

¹⁸

   Beispiele:    ⁸ • |sin (Dini, § 116, 1),    ^c„ - jx — av\ (Dini-

Lüroth, p. 198, 1).

¹⁹

   Biemann, Werke p. 255. 259; Pincherle (nach Weier strass), a. a. O. p. 234; E. Jürgens, Jahresb. d. D. M. V. 7 (1899), p. 50. — Neuere allgemeine Untersuchungen über «-dimensionale Mannigfaltigkeiten bei W. Dyck, Math. Ann. 32 (1888), p. 457 (mit zahlreichen Litteraturangaben), 37 (1890), p. 273; H. Poincaré, J. éc. polyt. (2), 1 (1893), p. 1 ; H. Minkowski, Geometrie der Zahlen (Leipzig 1896). Im übrigen vgl. auch: II B 1, 2. III A 3, 4.

²⁰

   G. Cantor, Math. Ann. 21 (1883), p. 574; Acta math. 2 (1883), p. 409, 7 (1885), p. 105.

²¹

   Übersetzung des C. Jordan'sehen „écart“ (Cours d'anal. 1, p. 18). — Minkowski operiert mit dem von ihm eingeführten allgemeineren Begriffe der „Strahldistanz“ S(ab) (a. a. O. p. 1), welcher ab, \a, & |, Maximum als spezielle Fälle enthält.

²²

   Diese drei Definitionen sind in der Hauptsache gleichwertig, d. h. einer

²³

bestimmten Umgebung in einer der fraglichen Bedeutungen entspricht stets eine

²⁴

solche in den beiden andern. (Im Falle n — 2 erscheinen als Begrenzungen

²⁵

dieser drei Umgebungsformen : ein Kreis um a mit dem Radius q , ein diesem

²⁶

eingeschriebenes bezw. umschriebenes Quadrat mit parallel zu den Koordinaten-

²⁷

axen stehenden Diagonalen bezw. Seiten.)

²⁸

G. Cantor, von dem diese Definition herrührt (vgl. IA5, 16), sagt:

2v <x<2v + 1 (v = 0, ± 1, ± 2, . . .).

243)    Z. B. für n — 2: jede begrenzte oder geschlossene Linie; zwei auseinander liegende Kreisflächen, die sich berühren oder durch eine oder mehrere Linien verbunden sind; beliebig viele begrenzte Linien, deren jede von einer der vorhergehenden geschnitten wird, etc.

244)    So z. B. bei Weierstrass (Werke 2, p. 203): Kontinuum (für n — 2) = zusammenhängendes, (von Punkten, Linien) begrenztes Flächenstück. Analog für beliebige n a. a. 0. p. 155 und E. JPhragmén, Acta math. 7 (1885), p. 43. Dabei wird häufig (vgl. z. B. : G. Mittag-Leffler, Acta math. 4 [1884], p. 2; A. Hurwitz, Zürich. Kongr.-Yerh. [1898], p. 94) die Begrenzung ausdrücklich nicht zu dem betreffenden „Kontinuum“ gerechnet (welches also nach Cantor's Terminologie — a. a. 0. p. 590 — als „Semikontinuum“ zu bezeichnen wäre). — Burkhardt’s Definition eines (zweidimensionalen) „kontinuierlichen Bereiches“ (a. a. 0. p. 75, Y, XI) ist zu weit: sie passt auch auf mehrere Flächenstücke, die nur punktweise Zusammenhängen oder durch Linien verbunden sind.

245)    Ausschliesslich in diesem Sinne erscheint die Bezeichnung „zusammenhängend“ bei Biemann (s. Werke p. 9, Art. 12). — Burkhardt (p. 75, IX) gebraucht „zusammenhängend“ im Sinne des Cantor'sehen „zusammenhängend -f-abgeschlossen“ (also = „kontinuierlich“).

jeden H₂, für welches äussere Punkte existieren, eine abgeschlossene zusammenhängende Menge P₁ ohne innere Punkte enthalten, welche überdies, wenn H% endlich ist, in ein aus beliebig zu verkleinernden Quadraten gebildetes ringförmiges Gebiet eingeschlossen werden kann; umgekehrt: enthält eine abgeschlossene Menge ein P₁ dieser Art, so zerlegt sie die Ebene in mehrere getrennte Kontinua, von denen mindestens eins im Endlichen liegt. Den (besonders für die engere Funktionentheorie fundamentalen) zweiten Teil dieses Satzes hat C. Jordan™) unter der allgemeineren Voraussetzung abgeleitet, dass an die Stelle jenes P1; durch dessen geometrische Qualifikation ein wesentlicher Teil des zu beweisenden Satzes schon in die Voraussetzung verlegt wird, eine analytisch defmirte, lediglich stetige und einfach geschlossene Kurve tritt¹ 2) : xt — <px (t),    = <p₂ (i), wo (pt (t), cp₂ (f) stetige Funktionen

für t₀<it T und die Gleichungen cpx(t') = <Pi(t"), im Intervalle (t0f T) die einzige gemeinsame Lösung: V — tQ, t"= T zulassen. Einen elementareren Beweis hat A. Schoen flies²⁴¹⁸) für den speziellen Fall gegeben, dass <px(t), <p₂(£) abteilungsweise stetige und monotone Derivierte besitzen.

22. Punktionen von n Veränderlichen. Stetigkeit. Ist zu jeder Stelle x=(x±,...xn) eines gewissen Bereiches (x) eine Zahl z = f(xx, . . . xn) eindeutig arithmetisch definiert, so heisst z eine im Bereiche (x) eindeutige Funktion der n (unabhängigen) Veränderlichen x1}. . . xn.³ 4) Obschon, infolge der ein-eindeutigen Abbildbarkeit⁵) des %-dimensionalen Kontinuums auf das eindimensionale : 0 ^ y 1,

gébung von a2} ... anj desgleichen eine stetige Funktion x₂ für x₂ — a2 und alle xly x₅,... xn einer gewissen Umgebung von at, a?j,... an, u. s. f.

Aus der Stetigkeit von f(xly... xn) für jede einzelne Stelle a im Innern und auf der Begrenzung eines Bereiches (x) {Punktstetigkeit) folgt dann wiederum die (gleichmässige) Stetigkeit im Bereiche (x) {Gebietsstetigkeit)⁶ 7), die Existenz eines endlichen Maximums und Minimums™), sowie der Satz⁸), dass f{xly... xn) jeden Wert zwischen irgend zwei einmal angenommenen: f{aly ... an) — b, f{af, ... an') — V wirklich annimmt und zwar unendlich oft (nämlich auf jeder zwischen a und a im Bereiche (x) verlaufenden „stetigen Kurve“: x₁ — cp₁(t), ... Xn (pn(t)) •

23. Simultane und successive Grenzübergänge. Sind aly ... an

beziehentlich Häufungszahlen von xx,...xn, so sagt man, f{xly... xn) habe beim simultanen (unabhängigen) Grenzübergange: lim xx = aly... lim xn — an den Grenzwert {Limes) c bezw. -f- oo (—oo), in Zeichen:

(40)

lim

■••Xn=an

wenn jedem beliebig kleinen s > 0, bezw. jedem beliebig grossen A > 0 eine Umgebung {a, q) zugeordnet werden kann, sodass:

(41) I f(xly.. . xn) — c\ < E, bezw. f{xx,... xn) > A (< — A) für alle zum Bereiche (x) gehörigen Punkte von Grenzübergang heisst stetig, wenn zung eines stetigen Bereiches (x) liegt.

Die vorstehenden Beziehungen gestatten sodann wiederum die folgende Verallgemeinerung(vgl.7,III). DieFunktionswerte z = f(x₁ xn) besitzen für alle zu (x) gehörigen Punkte einer beliebigen Umgebung (a, q) (a selbst ausgeschlossen) eine (im allgemeinen von q abhängige) endliche oder unendliche grosse untere und obere Grenze z„, ZQ. Da,

f{x₁,... Xn) = c, bezw. -{- oo (— oo),

{a, p) ⁹). Der a im Innern oder auf der Begren-

(39 a)

f{x

1’ •

bei Verkleinerung von q, zq niemals ab-, ZQ niemals zunimmt, so existieren allemal die Grenzwerte: (42) lim zQ — C, lim ZQ — C (C, C endlich oder + oo) ,

ç>=0    ^ = o

welche alsdann als der untere und obere Limes (die Unbestimmtheits-grenzen)¹⁰) von f(xx, . . . xn) für den fraglichen Grenzübergang zu bezeichnen sind, in Zeichen:

(43)

lim

f(xx, ...xn) = C,

xi —ai i • • • xn~~an

lim

*1 = «1 ,•••**=««

f(x-i) * • •    — ü ■

Der besondere Fall (40) ist alsdann wiederum durch die Beziehung C — C charakterisiert (vgl. 7, (ll))¹¹).

Neben dieser allgemeinsten Art eines simultanen Grenzüberganges kommen noch spezielle¹²) simultane, sodann successive Grenzübergänge in Betracht. Wählt man als Grenzstelle a die Stelle 0 (was nötigenfalls allemal mit Hülfe einer linearen Substitution zu erreichen ist), so sind für den einfachsten Fall n — 2 alle möglichen Grenzübergänge in folgender Weise darstellbar:

(A)

lim f(xx, x₂),

x, = 0, x₂ = 0

lim f(xx, cp (xx)), lim f(cp (x₂), x₂), lim f (<px (t), cp₂ (0)

2^=0    x₂ = 0    t — 0

(wo lim cp(x) — 0, lim cpv(t) = 0); æ=o    t—o

lim lim f(xx, x₂),

(B)

(C)

lim lim f(xx, a?₂).¹³)

x₂=0 a:₁=p

x, =0 x₂ — 0

Uber den Zusammenhang dieser drei Grenzwert-Formen lassen sich folgende Aussagen machen:

I. Existiert (A) (d. h. im Sinne von Gl. (40), also endlich oder bestimmt unendlich), so existiert auch jeder Grenzwert von der Form (B)

x₂ — 0 x, — 0

und stimmt mit (A) überein¹⁴). Das analoge gilt für die Grenzwerte (C) im Sinne der folgenden Gleichung¹⁵):

lim lim f(x1} x₂)

(44)

lim lim f(x±, x₂)

*i = ° x₂=0

lim f(x±, x₂),

d. h. die inneren Grenzwerte: lim f(xlf x₂), lim f(xi? ⁰⁰2) brauchen

xt = 0    a:₂ = 0

zwar für keinen von 0 verschiedenen Wert x₂ bezw. xt zu existieren, sodass also lim f(xx, x₂), lim f(xx, x₂) etc. verschieden ausfallen

art=0    x₁—0

können¹⁶); aber auch in diesem Falle führen die Grenzübergänge lim lim f(x1} x₂), lim lim f(xx, x₂) etc. zu dem Endwerte:

X*=⁰ x 0

a:₂=0 ^=0

lim f(xt, #₂).¹⁷)

æ₁=0, x₂—0

II. Aus der Existenz eines bestimmten Grenzwertes (B) für beliebig viele verschieden gewählte cp(xx), cp(x₂) bezw. cpx(t), cp₂(t) folgt noch nicht diejenige von (A) (vgl. das zweite Beispiel Fussn. 254). Diese ist offenbar (nach I) definitiv ausgeschlossen, wenn für irgend ein cp der Grenzwert (B) nicht existiert, oder wenn für verschiedene cp verschiedene Grenzwerte (B) zum Vorschein kommen. Den letzteren, unter der Voraussetzung, dass (x) ein stetiger Bereich, als „Stetigvieldeutig-heit“ von f(x₁, x₂) für den Punkt (0, 0) bezeichneten Fall hat Du Jßois-Beymond zunächst mit Hülfe einer wesentlich auf geometrischer Anschauung beruhenden Methode¹⁸) ausführlich untersucht und die hierbei sich ergebenden Beziehungen zwischen den Grenzwerten von der Form (B) und (C) später auch rein analytisch formuliert und bewiesen¹⁹).

III. Die Nichtenistenz eines Grenzwertes (C), sowie die Existenz zweier verschiedener²⁷°) Grenzwerte (C) zieht allemal die ATïc/afexistenz von (A) nach sich. Die Existenz zweier gleicher Grenzwerte (C) ist aber für diejenige von (A) keineswegs hinreichend (vgl. die Beispiele Fussn. 254). Die Möglichkeit, aus der Existenz des einen Grenzwertes (C) auf diejenige von (A) und somit auch auf diejenige des anderen Grenzwertes (C) zu schliessen, ergiebt sich mit Hülfe der folgenden Verallgemeinerung des in 16 eingeführten Begriffes der gleichmässigen Konvergenz.

(45)

24. G-leichmässige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion. Ist: lim f(xX} x₂) = F(xx) für 0 \xx\ Xx,

x^=0

so sagt man²⁷¹), f(xX) x₂) konvergiere bei lim x₂ — 0 gleichmässig gegen die Grenzfunktion F(xf), wenn (Fixf—f {xx, x₂)) bei lim x₂ = 0 gleichmässig gegen Null konvergiert²⁷²), d. h. wenn zu jedem e > 0 ein â > 0 gehört, sodass:

(46)

\F(xf) — f(xx, x₂)\ <£ für 0<K|<d und für alle xx des Intervalls 0 \xx\ ff X₁.²⁷³) In diesem Falle hat man, falls lim F(xx) existiert:

X,—0

270)    Beispiel: f{xx, xf) = —~--

271)    Dini, § 286 (Dini-Lüroth, p. 532). Stolz, Math. Ann. 26 (1886), p. 83; Arithm. 1, p. 198.

272)    In dem 16 diskutierten Sinne, sofern man an der Stelle der ganzzahligen Veränderlichen v mit der Grenzstelle -}- oo die stetige Veränderliche xt mit der Grenzstelle 0 treten lässt. (Vgl. die Analogie von (38) und (46).) Darnach

f(x) als gleich-

kann auch die gleichmässige Konvergenz einer Seihe <Pv(x) —

n    0

massige Konvergenz von    cpv (x) = fn (x) gegen die Grenzfunktion f(x) für

lim n = oo, bezw. vermöge der Substitution n — solche von lim f(x, t) definiert werden, wobei es schliesslich noch freisteht, die

s=-|-0

zunächst unstetige Veränderliche s durch eine stetige zu ersetzen und f(x, s)

⁰ 1

j und fn{x) = f{x, e), als

passend zu interpolieren, etwa: f(x, s) = fn(x) -f-    --nj {fn_^x(x) — fn(x)},

=    Du Bois-Reymond, Beri. Ber. 1886, p. 359; J. f. Math. 100 (1887),

p. 331. Den Begriffen: „Stetigkeitspunkt, Unstetigkeitspunkt, Stetigkeitsgrad“ von f(x, f) entsprechen alsdann die Bezeichnungen: „Konvergenz-Stetigkeitspunkt, -Unstetigkeitspunkt, Konvergenzgrad“ der Reihe ff cpv{x).

273) Entsprechende Definitionen für einseitige Grenzübergänge.

jedes f(xX) . . . xf) auch als Funktion der einen Veränderlichen y aufgefasst werden kann²⁵¹), so erscheint es, wegen der Unstetigkeit jener Abbildung, für die Beurteilung eines f(xx, . . . xn) in der „ Umgebung“ irgend einer Stelle a = (a₁₇ ... an) notwendig und auch wirklich durchführbar, gewisse für die fix) geltende Fundamentalsätze mutatis mutandis ausdrücklich für die f(xx, . . . xn) zu beweisen den Weierstr ass’s ch en Satz (s. 6) über die obere und untere Grenze²⁵²). Sind sodann die xv in einem gewissen Bereiche (x) stetig veränderlich, so heisst f(xx,. . ■ xn) stetig252a) im Punkte a, wenn zu jedem s > 0 ein q > 0 existiert, derart dass:

I f{xx,. . .xn) — f(ax,. . . an)\ < s

für alle zum Bereiche (x) gehörigen²⁵³) Punkte x der Umgebung (a, q). Es genügt nicht, wenn f(xx, a₂,. . . an), f(ax, x₂,. . . an) etc. stetige Funktionen der einzelnen Veränderlichen xl7 x%, . . . für xx = ax x₂ — a₂, . . . sind²⁵⁴). Es genügt sogar nicht einmal²⁰), mit Cauchy (Anal, algebr, p. 37) anzunehmen, f(xx, x₂, . . . xn) sei eine stetige Funktion von xx für xx — ax und für alle x₂, ... xn einer gewissen Um-

so zunächst

(39)

251)    Ygl. Stolz, Arithm. 1, p. 197; Bord, a. a. 0. p. 123.

252)    Genocchi-Peano, Art. 100, Satz 5.

252a) Pincherle, a. a. 0. p. 247. H. A. Schwarz, J. f. Math. 74 [1871] (ges. Abh. 2, p. 178).

253)    Vermöge dieses Zusatzes erledigt sich auch der Fall, dass a der Begrenzung von (x) angehört.

254)    D. h. für n = 2: wenn fix,, xf) im Punkte {a,, a₂) nach zwei aufein-

m o) = o

ander senkrechten Richtungen stetig ist. Beispiel: f{x,, x₂) =

x,x₂

xC-\-x₂

iunstetig im Punkte (0, 0), obschon f(x,, 0) = 0, f(0, x₂) = 0, also beide stetig). — Es genügt nicht einmal, wenn die Stetigkeit in allen möglichen Richtungen vorhanden ist (wohl zuerst von Thomae bemerkt: Ahr. einer Theorie der kompl. Funkt., 2. Aufl., Halle 1873, p. 15). Beispiel (nach Genocchi-Peano, Art. 123):

f(x,, x%) =

x, x₂

~₄ ('unstetig im Punkte (0, 0), obschon fix,, cx,), f(cx₂, x₂),

x,s-j-xs

wo — oo <( c < -f oo, für x,=0 bezw. x₂ — 0 stetig sind). — Dagegen genügt die „gleichmässige“ Stetigkeit in allen Richtungen: Arzelà, Bologna Rend. Aprile 1883, p. 3. Vgl. auch Fussn. 255.

24. Gleichmässige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion.

53

(47)

lim f(pcx, x₂) = lim F(xx), d. h. = lim lim f(xX) x₂),

*i=0, *₂ = 0    *i = 0    *i = 0 *₂ = 0

und daher (nach (44)):

(48)

lim lim f(xx, x₂) — lim lim f(xX) xf).

*i=o *₂=o

Zugleich ist die Bedingung (46) in Verbindung mit der Stetigkeit von f(xx, xf) als Funktion von xL (für 0 ff, \xx \ Xx und jedes einzelne x2 des Intervalles 0 < \x₂\ < d) hinreichend (aber nicht notwendig²⁷⁴)) für die Stetigkeit von F(xx) im Intervalle (—X1} -f- Xx). Als notwendige und hinreichende Bedingung hiefür erscheint dann wiederum die von Ar seid definierte „streckenweise gleichmässige“ Konvergenz ²⁷⁵) von lim f{xx, xf) gegen F(xx), nebst der Stetigkeit von f(xXy x₂) als Funk-

*i=Ö

tion von xx für jedes einzelne x₂ einer abzahlbaren Menge mit der Grenzstelle 0.

Der Begriff der gleichmässigen Konvergenz gegen eine Grenzfunktion lässt sich auch auf f(xX) •••#») bei beliebigem n übertragen²⁷⁶). Für den Fall n — 3 hat Arzélà die „schichtenweise gleichmässige“ Konvergenz („convergenza uniforme a strati“) als direkte Verallgemeinerung der „streckenweise gleichmässigen“ eingeführt²⁷⁷); dieselbe bildet dann insbesondere die notwendige und hinreichende Bedingung für die Stetigkeit einer Reihe von der Form: ^⁽pv(xxy xf) bezw. X(pv(xx -j- x₂i) und kommt u. a. bei der Feststellung des „analytischen“ Charakters von Reihen der letzteren Art in Betracht²⁷⁸).

274)    Vgl. 17 (speziell Fussn. 186) und die Beispiele Fussn. 254.

275)    Vgl. 17 am Ende und Fussn. 189 (im übrigen: Arzelà, 1. c. p. 6).

276)    Jordan, Cours p. 48.

277)    Bologna Bend. 1887—88, p. 25.

278)    Vgl. II B 1.

II A 2. DIFFERENTIAL-UND INTEGRALRECHNUNG.

VON

A. VOSS

IN WURZBURG.

In halts Übersicht.

1. Historisches.

A. Litteraturnachweise.

B. Einleitung.

C. Differentialrechnung.

I. Funktionen einer Variabein.

2.    Vordere und hintere Derivierte.

3.    Die Derivierten der elementaren Funktionen.

4.    Existenz der Derivierten.

5.    Die vier Derivierten der Funktion eines stetigen Arguments.

6.    Die höheren Derivierten.

7.    Der Mittelwertsatz nach Cauchy, Darboaæ und Weierstrass.

8.    Die Differentiale.

II. Funktionen von mehreren Variabein.

9. Die partiellen Derivierten und das totale Differential.

10. Die höheren partiellen Derivierten.

III. Anwendungen.

11.    Die Taylor'sehe Entwickelung für Funktionen einer Variahein.

12.    Ausdehnung auf mehrere Variable.

13.    Verallgemeinerungen.

14.    Die Taylor’sehe Reihe.

15.    Analytische Funktionen einer reellen Variabein.

16.    Maximum und Minimum einer Funktion.

17.    Extreme der Funktionen einer Variablen.

18.    Extreme bei mehreren unabhängigen Variablen.

19.    Der semidefinite Fall nach Peano und Scheeffer.

20.    Die Arbeiten von Stolz.

21.    Die Arbeiten von v. Bantscher.

22.    Bedingte Extreme.

23.    Definite homogene Formen.

24.    Independente Darstellung höherer Derivierten.

D. Integralrechnung.

I. Funktionen einer Variabein.

a) Das unbestimmte Integral.

25.    Die unbestimmte Integration.

26.    Die rationalen Funktionen.

27.    Transcendente Funktionen.

28.    Algebraische Funktionen vom Geschlechte Null.

29.    Methode von Aronhold.

30.    Schlussbemerkung.

b) Das bestimmte Integral.

31.    Das bestimmte Integral nach Cauchy, Biemann und Darboux.

32.    Integrable Funktionen.

33.    Eigenschaften des bestimmten Integrals.

34.    Der erste Mittelwertsatz.

35.    Der zweite Mittelwertsatz.

36.    Der Fundamentalsatz der Integralrechnung und die Integrationsoperationen.

37.    Uneigentliche Integrale.

II. Funktionen von mehreren Variabein.

38.    Das «-fache Integral.

39.    Ermittelung desselben durch successive Integration.

40.    Integrale geometrischer und mechanischer Grössen.

41.    Transformation der mehrfachen Integrale.

42.    Der Diskontinuitätsfaktor von Dirichlet.

HI. Anwendungen.

43.    Integration totaler Differentiale.

44.    Integrabilität der Differentialausdrücke.

45.    Der Satz von Green in der Ebene.

46.    Der Satz von StoJces.

47.    Der Satz von Green und seine Anwendungen.

48.    Die Differentiation zu allgemeinem Index; ältere Arbeiten.

49.    Die Arbeiten von Biemann, Grünwald, Most und anderen.

50.    Die mechanische Quadratur.

51.    Die elementaren Summationsmethoden.

52.    Die Gauss’ sehe Methode, Jacobi's und Christoffel' s Arbeiten.

53.    Erweiterungen von Heine, Mehler und anderen.

54.    Markoff's Darstellung.

55.    Erweiterung auf mehrfache Integrale.

E. Anhang.

56.    Planimeter und Integratoren.

57.    Das Amsler’sehe Planimeter.

58.    Die Präzisionsplanimeter.

59.    Die Integraphen.

60.    Harmonische Analysatoren.

61.    Die graphischen Methoden.

Litteratur.

1) Ältere Werke.

G. W. Leibniz, Mathematische Schriften, hrsg. v. C. J. Gerhardt, Lond. u. Berl. 1849—1863.

Joh. Bernoulli, Opera omnia, 4 Bde. Lausanne u. Genf 1742.

De VHospital, Analyse des infiniment petits, Paris 1696, 1715, 1735.

J. Newton, Opuscula, 3 Bde. Lausanne 1714.

*BrooTt Taylor, methodus incrementorum, Lond. 1717.

*J. Stirling, Methodus differentials, Bom 1730.

*C. Maclaurin, Treatise of fluxions, Edinburgh 1742.

L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, 2 Bde. 1748; deutsch v. A. C. Michelson, Berl. 1788—90; F. Maser, Berlin 1885.

—    Institutiones calculi differentials, Petrop. 1755 (Calc, diff.); dtsch. v. A. C. Michelson, Berl. 1790—93.

—    Institutiones calculi integrals, 3 Bdev Petrop. 1768—1770.    2. Ausg. 1792—

1794 in 4 Bdn., deutsch von Salomon, Wien 1828—1830 (4 Bde).; zitiert ist unter der Abkürzung (Calc. int.) die Ausg. yon 1768 u. Bd. 4 der von 1794.

J. A. Cousin, Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, Paris 1796.

J. L. Lagrange, insbesondere Leçons sur le calcul des fonctions, 2. éd. 1806; oeuvr. 10 (calc. des fonct.), Théorie des fonctions analytiques (1797) 2. éd. 1813, oeuvr. 9 (Th. des fonctions).

S. F. Lacroix, Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, 2. éd. Paris t. I, 1810; t. Il, 1814; t. III, 1819 (Lacroix, traité).

2) Neuere Werke.

A. L. Cauchy, Cours d’analyse algébrique, Paris 1821; deutsch von B. Hutzler, Königsb. 1828; Itzigsohn, Berlin 1885.

—    *Bésumé des leçons à l’école polytechnique, Paris 1823.

—    Leçons sur le calcul différentiel, Paris 1829 (Calc. diff.); dtsch. v. *H. Schnuse, Braunschw. 1836.

—    Exercices de Mathématiques, 1, 1826.

—    *Bésumés analytiques, Turin 1833.

—    Exercices d’analyse et de physique mathématique, 4 Bde. 1839—1847.

S. F. Lacroix, Traité de calcul différentiel et intégral, 5. éd., Paris 1837, 8. éd.

mit Noten von Hermite, Serret, 1878/79.

F. Minding, Handbuch der Differential- u. Integralrechnung, 1, Berlin 1836.

F. Moigno, Leçons sur le calcul différentiel, Paris, t. I, 1840; t. II, 1, 1844; t. IY, 1, 1861 (Moigno).

A. de Morgan, Differential and integral Calculus, London 1842.

*D. Gregory, Examples of the progresses of the differential and integral calculus, Cambridge, 2 Bde., 1841—46.

0. Schlöniilch, Handbuch der Differential- und Integralrechnung, 3 Lieferungen. Greifswald 1847/48.

A.    Cournot, Traité élémentaire de la théorie des fonctions et du calcul infinitésimal, 2 Bde., éd. 2, Paris 1857.

B.    Hoppe, Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung, Berlin 1865.

—    Theorie der independenten Darstellung der höheren Differentialquotienten, Leipzig 1845.

L. Natani, Die höhere Analysis, Berlin 1867.

G. F. Meyer (nach Dirichlet), Vorlesungen über die Theorie der bestimmten Integrale zwischen reellen Grenzen, Leipzig 1871.

J. Bertrand, Traité de calcul différentiel et intégral, 2 Bde., Paris 1864—1870.

Ch. Hermite, Cours d’analyse de l’école polytechnique, 1. Bd., Paris 1873.

J. A. Serret, Cours de calcul différentiel et intégral. Paris, 2 Bde., éd. 1, 1868, éd. 2, 1880; deutsch bearb. von A. Harnack, 2 Bde., Leipzig 1884/86 (Serret-Harnack), 2. Aufl. 1896 von G. Bohlmann.

J. Thomae, Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale, Halle 1875 (Thomae, Einleitung.)

J. Hoüel, Cours de calcul infinitésimal, 4 Bde., Paris 1878—1881.

J. Todhunter, Treatise on the differential Calculus, 8. ed. London 1878.

B. Lips chit z, Lehrbuch der Analysis, 2 Bde., Bonn 1877/80.

E. Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, 2. Aufl., 2 Bde., Berlin 1878/81.

J.    Worpitzky, Lehrbuch der Differential- u. Integralrechnung, Berlin 1890.

A. Harnack, Die Elemente der Differential- u. Integralrechnung, Leipzig 1882. (Harnack, Elemente.)

M. Pasch, Einleitung in die Differential- u. Integralrechnung, Leipzig 1882.

A.    Genocchi u. G. Peano, Calcolo differenziale, Torino 1884. (Genocchi-Peano, Calcolo); dtsch. von G. Bohlmann u. A. Schepp, Lpz. 1898/99.

*U. JDini, Eondamenti per la teorica delle funzione di variabili reali, Pisa 1878. (Dini, Fondamenti).

H. Laurent, Traité d’analyse, Paris, 1—7, 1885—1891.

K.    Weierstrass, Abhandlungen aus der Funktionenlehre, Berlin 1886.

J. Tannery, Introduction à la théorie des fonctions d’une variable, Paris 1886. (Tannery, Introduction.)

Ch. Possé, Sur quelques applications des fractions continues algébriques, Paris 1886.

Ch. Sturm, Cours d’analyse de l’école polytechnique, 8. éd. Prouhet, 2. Bde., Paris 1884, 9. éd. A. St. Germain, 1888; deutsch von Th. Gross, Berlin 1897.

P. Mansion, Résumé du cours d’analyse infinitésimale de l’université de Gand, Paris 1887.

*G. Teixeira, Curso de analyse infinitesimal, Porto 1888/1889; 3. Aufl. 1892/94.

É. Picard, Traité d’analyse, 1, Paris 1891. (Picard, traité.)

U. Dini, Grundlagen für die Theorie der Funktionen einer veränderlichen reellen Grösse, deutsch von J. Lüroth u. A. Schepp, Leipzig 1892. (Dini-Lüroth.)

Ch. Hermite, Cours deM. Hermite, rédigé parM.Andoyer, Paris, éd. II, 1883, éd. IV, 1891.

0. Stolz, Grundzüge der Differential- u. Integralrechnung, Leipzig, Bd. 1, 1893, Bd. 2, 1896. Bd. 3 in Vorbereitung 1899. (Stolz, Grundzüge.)

B.    Biemann, Gesammelte Werke, hsg. von H. Weber und B. Dedekind, 2. Aufl. von H. Weber, Leipzig 1892.

C.    Jordan, Cours d’analyse de l’école polytechnique, 2. éd. 3 Bde. Paris 1893— 1896. (Jordan, Cours.)

O. Schlô'milch, Compendium der höheren Analysis, 2 Bde., 4. Aufl. Braunschw. 1895.

L.    Kronecker, Vorlesungen über die Theorie der einfachen und mehrfachen Integrale, hsgeg. von E. Netto, Leipzig 1894. (Kronecker, Vorl.)

A.A. Markoff, Differenzenrechnung, dtsch. v. Th. Friesendorf u. E. Prümm, Lpzg. 1896.

E. Pascal, Calcolo infinitesimale, 3 Bde., Milano 1895.

G. Peano, Lezioni di Analisi infinitesimale, 2. Vol. Torino 1893.

Ph. Gilbert, Cours d’Analyse infinitésimale, 4. éd. Paris et Bruxelles 1892.

L.    Carnot, Métaphysique du calcul infinitésimal (1799), 6. éd., Paris 1860.

C. J. Gerhardt, Die Entdeckung der höheren Analysis, Halle 1855.

H. Weissenborn, Die Prinzipien der höheren Analysis, Halle 1856.

A. HarnacJc, Über den Gebrauch des Unendlichen in der Mathematik, Festschrift, Dresden 1887.

P. du Bois-JReymond, Allgemeine Funktionentheorie, Tübingen 1882.

M.    Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 3 Bde., Leipzig, Bd. 1

2. Aufl. 1894; 2, 1894; 3, 1894—1897.

F.    Klein, Über Arithmetisierung der Mathematik, Gött. Nachr. 1895, p. 82.

G.    Bohlmann, Übersicht über die wichtigsten Lehrbücher der Infinitesimalrechnung, Ber. d. M. 6, 1899.

Eingeklammerte Bezeichnungen bedeuten die für häufiger zitierte Schriften gewählten Abkürzungen. Ein ²¹ zeigt an, dass die betreffende Schrift nicht von mir selbst eingesehen und benutzt werden konnte. Lehrbücher sind — bis auf einige wenige Ausnahmen — in das vorstehende Verzeichnis nicht mit aufgenommen worden.

¹

   Cours d’anal. 1, p. 90. — Der fragliche Satz wurde früher als selbstverständliche Folge der Anschauung betrachtet.

²

   Obschon bei dieser analytischen, von A. Humvitz (a. a. 0. p. 102) unabhängig von der fraglichen Parameterdarstellung mehr geometrisch formulierten Definition der „stetigen Kurve“ auch ein H₂ unter diesen Begriff fallen kann, sofern nur seine Punkte in einer bestimmten ^Reihenfolge genommen werden (wegen der eindeutigen stetigen Abbildbarkeit der Punkte einer Strecke auf diejenigen eines Quadrats: G. Peano, Math. Ann. 36 [1890], p. 157; JD. Hilbert, ibid. 38 [1891], p. 459), so ist dieselbe doch in gewissem Sinne weniger allgemein als die z. B. von Burkhardt (a. a. 0. p. 75, X) acceptierte, auch dem obigen P₁ zu Grunde liegende Begriffsbestimmung durch ein Cantor'sches ohne innere Punkte (vgl. Fussn. 86 und I A 5, 16 Fussn. 90). Übrigens besitzt eine „einfach geschlossene“ stetige Kurve der gedachten Art, vermöge der im Text gegebenen bezw. der entsprechenden Bedingung bei Hurwitz, allemal eo ipso dem Charakter der A/mdimensionalität.

³

   Gott. Nachr. 1896, p. 79.

⁴

   Definition und Klassifikation der f(xx, . . . x ) ganz nach Analogie der f(x) bei Euler: Introductio 1, cap. V.

⁵

   Vgl. I A 5, 2, Fussn. 13.

⁶

   Ygl. 9, Satz I und Fussn. 93. — Beweis für beliebige n bei Genocchi-Peano, Art. 100, Satz 7; Biquier, a. a. 0. p. 272; Jordan, Cours d’anal. 1, p. 49.

⁷

   Ygl. 9, Satz II. — Beweis für n= 2: Larboux, Darb. Bull. 3 (1872), p. 307; für bei. n: Genocchi-Peano, Art. 100, Satz 6; Biquier, a. a. O. p. 282.

⁸

   Darboux, a. a. 0. p. 309; Verallgemeinerung bei Jordan, Cours p. 51. (Vgl. 9, III. Auch IY und V lassen sich von f(x) auf f(x₁,.. . x^ übertragen.)

⁹

   Danach kann die Stetigkeits-Definition (39) auch folgendermassen formuliert werden (vgl. 9, Gl. (22)):

lim

Xy—a,, ... xn=an

mit dem Zusatze, dass f(aly . . . an) eine bestimmte Zahl sein muss. Die Bemerkung von Darboux (a. a. 0. p. 309), dass die beiden Definitionen (39) und (39 a) nicht vollkommen gleichwertig seien, erscheint mir nicht recht verständlich.

Encyklop, d. math. Wissensch. II.

¹⁰

   Die Übertragung dieses Begriffes auf die f(xx,... xn) hat sich namentlich für die Theorie der mehrfachen Integrale als wertvoll erwiesen. Ygl. IIA 2, 38, 39. — Man kann C bezw. C auch als die obere bezw. untere Grenze der Zq bezw. Z bei veränderlichem q (q = 0 excl.) definieren: vgl. 7, Fussn. 71.

¹¹

   Analog lassen sich dann Grenzwerte und Unbest.-Grenzen für Grenzübergänge, wie: lim xv = av -f- 0 (v = 1, 2, n) oder lim xv = -j- oo (für einzelne oder alle v), definieren.

¹²

   d. h. solche, bei denen die xv als von einander bezw. von m (m<fn) Hülfsvariablen (Parametern) abhängig erscheinen.

¹³

   Deutlicher geschrieben: lim (lim fix,, x^j), lim (lim fix,, xf).

X,—0 x₂ = 0

¹⁴

   Folgt unmittelbar aus der Definition von (A): Ungl. (41). Geometrisch: Existiert der Grenzwert (A), so kommt er auch allemal zustande, wenn der Punkt (xx, x₂) auf einer beliebigen Kurve der Nullstelle zustrebt.

¹⁵

   Über die Bedeutung der Schreibweise: lim vgl. IA 3, 15, Fussn. 115.

¹⁶

   Beispiel: Man setze ip (x) — sin — und speziell 1p(0) = 0, sodann: f(cc,, xf) — (x, -j- xf) • ip (xf) • ip ixf) ■

¹⁷

   Vgl. Pringsheim, Münch. Ber. 27 (1897), p. 105; 28 (1898), p. 63. — Der daselbst nur für Zahlenfolgen mit der Grenzstelle -f- 00 bewiesene Satz lässt sich leicht auf den hier vorliegenden Fall übertragen.

¹⁸

   Abbildung der Schnittkurve zwischen der Fläche z = f(xx, xf) und einem „unendlich dünnen“ um die z-Axe beschriebenen Kreiscylinder auf einen konzentrischen Cylinder vom Radius 1 oder auf die Ebene x,-{-x₂ — l, und Diskussion dieser Abbildungskurve („Limitale“) : J. f. Math. 70 (1869), p. 10.

¹⁹

   Math. Ann. 11 (1877), p. 145. Vgl. auch J. f. Math. 94 (1883), p. 278.

²⁰

Zuerst von Heine hervorgehoben: J. f. Math. 71 (1870), p. 361. (Vgl. die vorigen Beispiele.) Es muss noch die Bedingung hinzukommen, dass die Stetigkeit in Bezug auf jedes einzelne xv eine gleichmässige ist für alle in Betracht kommenden xx, . . . xv_x,    . . , xn. Die auf diese Weise resultierende,

mit Ungl. (39) gleichwertige Formulierung der Stetigkeitsdefinition bietet den Vorteil, dass sie häufig die Stetigkeit eines arithm. Ausdruckes fçx unmittelbar aus derjenigen seiner einzelnen Bestandteile cp, ix,), q>₂ (x₂), . . . erkennen lässt. Vgl. Harnack, DilF.-R. p. 91.

²¹

Es ist wohl nicht überflüssig, die Auffassung des Infinitesimalbegriffes bei den im Texte angeführten Mathematikern durch einige Äusserungen derselben zu erläutern.

1)    J. Neivton, Principia (1687), Amsterd. Ausg. 1723, p. 33: Ultimae rationes illae, quibuscum quantitates evanescunt, révéra non sunt rationes quan-titatum ultimarum, sed limites, ad quos quantitatum sine limite decrescentium rationes semper appropinquant, et quos proprius assequi possunt, quam pro data quavis differentia . . . Igitur in sequentibus, si quando facili rerum conceptui consulens dixero quantitates quam minimas vel evanescentes vel ultimas, cave intelligas quantitates magnitudine decrescentes, sed cogita semper diminuendas sine limite.

2)    G. W. Leibniz, Manuscr. v. 26. März 1676 (Mathemat. Schriften ed.

C. J. Gerhardt, 5, p. 217): Videndum, an exacte demonstrari possit . . quod differentia non tantum sit infinite parva, sed omnino nulla, quod ostendetur, si constet, eousque semper posse inflecti polygonum, ut differentia assumta etiam infinite parva minor fiat error; und Philosoph. Schriften ed. Gerhardt, 6, p. 90 (Essai de Théodicée [1710]): et les infinies ou infiniment petits n’y signifient que les grandeurs qu’on peut prendre ainsi grandes ou ainsi petites que

B. Einleitung.

1. Historisches. In der Entwickelung der Infinitesimalrechnung lassen sich folgende, allerdings oft gleichzeitig neben einander fortwirkende Epochen unterscheiden¹):

I.    Die Anfänge der Infinitesimalrechnung im Zusammenhang mit den Problemen der Quadratur, der Tangentenkonstruktion und dem umgekehrten Tangentenproblem, von 1600—1668.

II.    Die Fluxionsmethode J. Newton's¹) (1643—1727) und der Algorithmus der Differentialrechnung von G. W. Leibniz²) (1646— 1716).

III.    Die systematische (formale) Ausbildung der Infinitesimalrechnung durch Joh. Bernoulli (1667—1748), L. Euler³) (1707—1783) und J. L. Lagrange⁴) (1736—1813); der Versuch des letzteren, dieselbe auf rein algebraischer Grundlage zu entwickeln.

IV.    Die Begründung der Infinitesimalrechnung durch A. L. Cauchy (1789—1857) mittelst der schon von C. Maclaurin und J. d’Alembert⁵) wieder hervorgehobenen Methode der Grenzen⁵), und die formalen Fortschritte durch C. G. J. Jacobi’s (1804—1851) Arbeiten über die Differentialgleichungen.

V.    Die rein arithmetische Durchforschung der Infinitesimalbetrachtungen durch B. Biemann's (1826—1866) Begriff des bestimmten Integrals, in Verbindung mit dem allgemeinen Funktions-l’on voudra, pour montrer, qu’une erreur est moindre que celle qu’on a assignée, c'est à dire, qu’il n’y a aucune erreur ... ou bien on entend par l’infiniment petit l’état de évanouissement ou du commencement d’une grandeur. Dagegen auch (1695, Act. erud.) Gerhardt, 5, p. 322: Caeterum aequalia esse puto non tantum, quorum differentia est omnino nulla, sed quorum differentia incompara-biliter parva.

3)    L. Euler, Inst. cale. int. 1755, praefatio: Hic autem limes, qui quasi rationem ultimam incrementorum constituit, verum est objectum calculi differentials (p. XIV), dagegen p. X u. XI: quod nihilum jam hic litera co exhibitur, id in calculo differential! quia tit incrementum quantitatis x spectatur, signo dx repraesentari ejusque differentiale vocari solet.

4)    J. L. Lagrange, Calcul des fonctions = (oeuvres 10, p. 7) : Le calcul des Fonctions sert de plus à lier le calcul différentiel immédiatement à l’algèbre, u. p. 8: Au reste je ne disconviens pas, qu’on ne puisse par la considération des limites, envisagées d’une manière particulière démontrer rigoureusement les principes du calcul différentiel . . . mais l’espèce de métaphysique, que l’on est obligé d’y employer est, sinon contraire, du moins étrangère à l’esprit de l’Analyse (vgl. auch p. 269); ferner „sur la métaphysique du calcul intégral“, Mise. Taur. 2, 1760 = oeuvres 7, p. 598: H en est ici comme dans la méthode des infiniment petits, ou le calcul redresse lui-même les fausses hypothèses . . . L’erreur est détruite par une autre erreur ... La méthode de Newton est au contraire tout à fait rigoureuse. Noch stärker äussert sich L. Carnot (1753— 1823), Métaphysique de l’analyse infinitésimale 1799 (èd. IV, Paris I860): l’analyse infinitésimale n’est autre chose qu’un calcul d’erreurs compensées (p. 119, 122, 136).

5) J. d’Alembert in der Encyclopédie méthodique (Mathématiques, Paris, éd. von 1784) unter dem Worte différentiel, 1, p. 522; 2, p. 77, 310; vgl. auch JR. Simson, de limitibus quantitatum et rationum fragmentum, Glasguae 1776.

A. L. Cauchy, Par. C. R. (1843) = oeuvres (1) 8, p. 12 : On échappe aux difficultés, quand on considère une fonction dérivée comme la limite entre les accroissements ... On pourrait nommer différentielle de la variable indépendante l’accroissement de cette variable et différentielle de la fonction donnée le produit de la dérivée par la différentielle . . . Ähnlich auch im Calc, différentiel (1829).

begriff (K. Weier strass [1815—1897]) und der Mengenlehre (P. du Bois-Reymond [1831—1889], G. Cantor, U. JDini und andere).

Diese rein arithmetische Begründung der Infinitesimaloperationen, welche für die gegenwärtige kritische Periode der Mathematik charakteristisch ist, hat zu der Erkenntnis geführt, dass die meisten auf Grund der älteren Arbeiten, deren Hauptzweck die formale Erweiterung der Methoden war, gewonnenen Sätze nur eine durch ganz bestimmte Voraussetzungen beschränkte Gültigkeit besitzen. Während diese Betrachtungen für die Hauptsätze der Differentialrechnung gegenwärtig zu einem gewissen Abschluss gebracht sind, eröffnet sich noch ein weites Feld insbesondere für die Theorie der uneigentlichen Integrale. Es soll in der folgenden, die Entwickelung der Infinitesimalrechnung im 19. Jahrhundert vorwiegend behandelnden Übersicht versucht werden, neben der Darstellung der formalen Operationen auch namentlich die kritischen Gesichtspunkte hervortreten zu lassen.

C. Differentialrechnung.

I. Funktionen einer Variablen.

2. Vordere und hintere Derivierte. Ist y = f(x) eine im endlichen Intervalle a, b definierte, d. h. eindeutige und endliche Funktion, und x und x-j-Ax zwei Punkte desselben, denen y und y-\- Ay als Funktionswerte zugehören, so heisst das Verhältnis

A y_fix -f Ax) — f(x)

Ax

der Differenzen quo tient von fix), gebildet für die Stelle x. Falls nun ein (zunächst auch endlicher) völlig bestimmter Grenzwert

lim^

Ax

existiert, unabhängig von der Art, wie das positive oder negative Ax gegen Null konvergiert, so hat f(x) an der Stelle x eine Derivierte²) oder Ableitung³), oder einen vollständigen Differentialquotienten⁴),

der durch nach Leibniz (Manuscr. v. November 1676, Gerhardt,

Funktion⁵ 6 7 8 9 10 11), doch kann man, wenn der Funktionswert an einer bestimmten Stelle einen (endlichen oder auch unendlichen) Sprung macht, die Derivierte daselbst in bestimmter Weise als unendlich an-sehen, andererseits auch für x — oo von einem Grenzwert der Derivierten reden; so namentlich für den Fall, wo f(x) bei Annäherung an x = a stetig über alle Grenzen wächst. — Ist abgesehen von besonderen Punkten des Intervalles eine Derivierte für jeden Punkt derselben vorhanden, so bezeichnet man die hierdurch definierte derivierte Funktion¹²) durch

Entdeckung d. h. Analys. p. 140) bezeichnet wird; f(x) heisst daselbst differentiierbar¹³ 14). Ergeben sich zwei verschiedene Grenzwerte, je nachdem Ax entweder nur alle positiven oder nur alle negativen Werte durchläuft, so hat f(x) bezüglich eine einseitige, vordere oder hintere¹⁰) rückwärts oder vorwärts genommene¹¹) Derivierte, dérivée à droite où à gauche¹²) derivata a destra o a sinistra¹³); f(x) ist dann vorwärts oder rückwärts differentiierbar¹⁴). Notwendig ist für die Existenz einer Derivierten zunächst die Endlichkeit und Stetigkeit der

rn vV)

D{y), Vf{x), die Funktion heisst dann daselbst differentiierbar¹⁵).

y = const., D{y) = 0, y = e, y = xn,

3. Die Derivierten der elementaren Funktionen. Die Differentialrechnung im engeren Sinne beschäftigt sich mit dem Falle, wo eine Derivierte vorhanden ist. Ihre erste Aufgabe ist die Ermittelung derselben für die einfachsten Funktionen²⁰). So ergeben sich die Formeln

D(y) = c,

D(y) = nxH~x}v)

Die Betrachtung der allgemeinen Potenz, der Exponential- und loga-rithmischen Funktion erfordert die Untersuchung des Grenzwertes

lim

(1 + ü

für n — -f- oo.

Wird derselbe durch e bezeichnet²²), so folgt

lim

= ex,

und zugleich ergiebt sich

D(y) = ax loge («),

y = ax,

y = logaO), D{y) = — logae.

Die Differentialquotienten der goniometrischen Funktionen y = sin x, Dy = cos x, y — cos x, D(y) = — sin x

beruhen auf den Grenzwerten²³)

lim

/sin x\ _ ^

VIT/ ⁼ ’

lim

für x = 0.

Die Derivierten der Kreisfunktionen (des Logarithmus) lassen sich

x'—X

x"—X

wie auch \x' — x\ und \x" — x] kleiner als ein genügend kleines h angenommen werden, L. Kronecker; nach L. Scheeffer, Acta math. 5, p. 296 (1885).

20)    L. Euler, Calc. diff. praef. p. VIII: Calculus differentials est methodus determinandi rationem incrementorum evanescentium.

21)    Für negative und gebrochene n, wo der binomische Satz ausreicht, schon bei Leibniz, nova methodus . . . 1664 (Act. erud. — math. Schriften 6, p. 223). Die Differentiation der allgemeinen Exponentialfunktion zuerst bei Joh. Bernoulli, Acta erud. 1697 — opera 1, p. 183.

22)    Euler, Introductio 1, p. 90; Inst. calc. diff. p. 160; von P. S. Laplace (Theorie des probabilités == oeuvres 7, p. 44) wird noch c geschrieben. Eine Übersicht über die verschiedenen Formen dieser Grenzgleichung bei 0. Stolz, Grundzüge 1, p. 10—11. Vgl. IA3, 17; IIAl, Fussn. 147.

23)    Nach M. Cantor, Gesch. d. Math. 3, p. 396 ist B. Cotes die exakte Behandlung dieser Grenzwerte zuzuschreiben.

auch durch den Satz gewinnen, dass die Derivierte der inversen Funktion²⁴) der reziproke Wert der Derivierten der ursprünglichen Funktion ist; so findet man:

y = arc tg x, D(y) = ^ ,x„

Die Leibniz' sehen Formeln²⁵)

y = arc sin æ, B (y) = ÿ=^-s

B(cu) = cB(u),

B(u -f- v    w    = B(u) -f- B(v) -f- B(w) -)-•••

B(uv) = uB(v) -}- vB(u)}

vD(u) — uD(v)

reichen dann zur Differentiation jeder rationalen Funktion der elementaren Funktionen aus.

4. Existenz der Derivierten. Dass eine stetige Funktion mit eventueller Ausnahme einzelner Stellen überhaupt eine Derivierte besitze, wurde zunächst wohl als selbstverständlich angesehen, jedenfalls nicht weiter untersucht. Erst A. M. Ampère warf die Frage auf, warum gerade das Verhältnis von A y zur ersten Potenz des Zuwachses Ax einen bestimmten Grenzwert liefere²⁶) und versuchte zu beweisen²⁷), dass eine stetige Funktion, abgesehen von einzelnen Stellen, immer differentiierbar sein müsse; doch gelang ihm nur der Nachweis, dass bei einer nicht konstanten Funktion der Differentialquotient nicht beständig -}- oo oder — oo sein könne. Zu der Erkenntnis von stetigen Funktionen, welche an unendlich vielen Stellen eines Intervalls oder an allen Stellen derselben nicht differentiierbar sind, führte zuerst der Biemann’sehe Integralbegriff²⁸), insbesondere die Riemanrisehe, an allen rationalen Punkten unstetige, aber gleichwohl integrabele Funktion, deren Integral an allen rationalen Stellen des Intervalles eine Derivierte nicht besitzt²⁹); ferner das HankeVsehe Prinzip der Kondensation der Singularitäten³⁰) (II A 1, 18). Die volle Entscheidung

24)    Die oft vernachlässigte Begriffsbestimmung der inversen Funktion bei 0. Stolz, Grrundzüge 1, p. 38 ; allg. Arithm. p. 186.

25)    Leibniz, nova methodus = math. Schriften 5, p. 220, 222.

26)    J. éc. polyt. cah. 13, p. 148 (1806).

27)    Ebenda p. 154; vgl. Dini-Lüroth, p. 88, 298. Letzter Versuch dieser Art von Ph. Gilbert, Brux. mém. 8°, 23 (1872).

28)    Hab.-Schrift Gott. 1854, publ. Gött. Abh. 13 (1867) = Werke p. 213.

29)    Daselbst p. 228. Vgl. IIAl, 11 u. 18.

30)    Progr. Tübingen 1870 == Math. Ann. 20, p. 63; allgem. Encyklopädie von Ersch u. Gruber, Artikel „Grenze“, 90, p. 189 (1871).

gab aber wohl erst das von K. Weier strass³¹) unter Anwendung eines passend ausgewählten Grenzüberganges für das gegen Null konvergierende A(V) ein wurfsfrei durchgeführte, später von geometrisch erläuterte Beispiel der Funktion

Ch. Wiener³²)

y — ^ an cos ( bnjtx), o

welche für (0 < a < 1, b ungerade und ganz) an keiner Stelle eine

3

Derivierte besitzt, wenn abf>l-\-~7C ist, dem sich bald viele andere anreihten.

5. Die vier Derivierten der Funktion eines stetigen Arguments.

dass D+f(x), D_|_ f(x) ;

D+ f (x)

Die durch diese Untersuchungen bezeichnete Prüfung des allgemeinen Funktionsbegriffes hat dazu geführt, den Begriff der Derivierten erheblich zu erweitern. Die unteren und oberen Limites (II A 1, 7)³³) des rechtsseitigen Diflferenzenquotienten der in der Nähe von h = 0 eindeutigen (und endlichen) aber nicht mehr notwendig stetigen Funktion y bezeichnet man als vordere untere und vordere obere Derivierte an der Stelle #;³⁴) ähnlich ist der Begriff der hinteren oberen und unteren Derivierten zu fassen. Die vier Derivierten werden bei Dini-Lüroth³⁵) mit f\Xy Xx-, A/, Xx' bezeichnet; ausdrucksvoller erscheint die Bezeichnung von Pasch, für die sich doch wohl die Scheeffer’sehe Schreibart der Dini’schen X empfiehlt, so (D~f(x), D—f(x)) die vorderen (hinteren) oberen und unteren Derivierten bezeichnen. Hat dann z. B. bei einer stetigen Funktion nur solche Unstetigkeiten, dass lim D+f(x -j- e) und lim D+f(x — s) an jeder Stelle für s — 0 existieren, so gehen den nun geltenden Gleichungen

D+f(x) = D₊ f{x), D-f(x) = D- fix)

zufolge die vier Derivierten in die vordere und hintere über. Ist endlich eine derselben durchweg stetig, so fallen die drei anderen mit ihr zusammen und bilden die Derivierte im Sinne von 3.³⁶)

31)    In Yorlesungen seit 1861 (vgl. H. A. Schwarz, Ges. Abh. 2, p. 269); zuerst veröffentlicht von P. du Bois-Beymond, J. f. M. 79, p. 29 (1875); weitere Litteratur bei Dini-Lüroth, p. 204; E. Pascal, Esercizi p. 124—128.

32)    J. f. Math. 90, p. 221 (1881) nebst der Entgegnung von Weierstrass, Funktionenlehre p. 100 (ges. W. 2, p. 228).

33)    Unbestimmtheitsgrenzen bei P. du Bois-Beymond, Progr. Freiburg 1870; Münch. Abh. 12, p. 125 (1876); vgl. im übrigen I A 3, 15 u. II A 1, 7.

34)    Nach L. Scheeffer, Acta math. 5, p. 52 (1884); im wesentlichen schon bei U. Dini, Fondamenti § 145 (1878). Ygl. Dini-Lüroth, Kap. 11 u. 12.

35)    Dini-Lüroth, p. 261; Scheeffer, Acta math. 5, p. 281.

36)    Dini, Fondamenti p. 196; Dini-Lüroth, p. 267, 270—273.

Will man — bei stetiger erster Derivierten — zu höheren übergehen, so bleiben diese Begriffe nicht mehr anwendbar; unentbehrlich sind sie namentlich in der Integralrechnung.

6. Die höheren Derivierten. Hat die Derivierte wieder eine Derivierte, so heisst diese die zweite Derivierte und wird durch

bezeichnet; man gelangt so zu dem Begriffe der ntea Derivierten vermöge der formellen Beziehung dfy dxn

Die zweite Derivierte kann man auch durch den zweifachen Grenzprozess

hk

lim lim j

*=o a=o ¹

definieren. An Stelle dieses nicht bequem brauchbaren Ausdrucks kann nicht allgemein der speziellere

lim (

h — o '

f(x + 2h)-2f(x + h) + f(x)

r-

rn

gesetzt werden. Denn dieser Ausdruck hat zur Grenze nur dann wenn f"{x) existiert, und kann, wenn dies nicht zutrifft, selbst sehr wohl noch einen bestimmten Wert haben³⁷). Dieselbe Bemerkung bezieht sich auch auf die Definition der höheren Differentialquotienten:

~~ = lim f(x + nh) — (”)/’(*+(**—*)*)+(2)    —2)A) + — die man durch vollständige Induktion ableitet.

7. Der Mittelwertsatz nach Cauchy, Darboux und Weierstrass.

Der FundamentalsaU oder Mittelwertsatz der Differentialrechnung, Rolle-scher Satz, Théorème des accroissements finis. Schon aus geometrischen Betrachtungen (Parallelismus der Tangente in einem Punkte des Kurvenbogens mit seiner Sehne) ergiebt sich der Satz:

f(p) — f(a) = (b — a)f[a Ą- 6(b — a)] 0 < 0 < 1.

37) Vgl. A. Harnack, Math. Ann. 23, p. 2G0; desgl. 0. Stolz, Grundzüge 1, p. 93, sowie E. Pascal, Esercizî p. 174.

Encyklop. d. math. Wiasensch. II.

Der Beweis setzt voraus, dass die für a<^x <,b endliche und stetige Funktion f(x) im Intervalle a < & überall eine Derivierte besitzt, die auch an einzelnen Stellen bestimmt unendlich werden darf. Er wird nach O. Bonnet³⁸) auf den speziellen Fall f(b) — f(a) — 0 zurückgeführt und ergiebt sich hier aus dem Weierstrass'sehen Satze (II A 1, 9, II), dass bei einer stetigen Funktion wenigstens eine bestimmte Stelle des Gebietes vorhanden ist, für die sie ihre obere oder untere Grenze wirklich annimmt.

So tritt der Satz an die Spitze der Differentialrechnung, während er bei Lagrange noch als spezieller Fall der Taylor’sehen Entwickelung erscheint³⁹).

Hieraus ergiebt sich nun: Eine in dem ganzen Intervalle endliche und stetige Funktion, die für a < x < & eine Derivierte hat, muss, wenn sie nicht konstant ist, in jedem Teile desselben Stellen mit endlichen, von Null verschiedenen Derivierten enthalten. Und so folgen die auch für die Integralrechnung fundamentalen, von JDini und Scheeffer aufgestellten Sätze: Wenn die Derivierte entweder beständig oder mit Ausnahme einer abzahlbaren Punktmenge (III A 5, 2), wo über die Beschaffenheit derselben nichts feststeht, Null ist, so ist die Funktion im ganzen Intervalle konstant. Weiss man daher von zwei solchen stetigen und endlichen Funktionen, f(x) und F(x), dass ihre als endlich und bestimmt vorausgesetzten Derivierten im Intervalle bis auf eine abzahlbare Menge übereinstimmen, so ist ihre Differenz f(x) — F(x) — const.

Stelle der Gleichheit

Unter Benutzung des allgemeinen Begriffes der Derivierten kann man aber diesen Satz auf den Fall ausdehnen, wo an der Derivierten schlechthin, die Gleichheit eines der vier Paare entsprechend bezeichneter Derivierten der Nr. 5 vorausgesetzt wird⁴⁰).

Dagegen ist f(b) > f(a), wenn unter den zuvor angegebenen Voraussetzungen die Derivierte im allgemeinen positiv, d. h. nicht immer Null ist.

38)    J. A. Serret, Calcul diff. 1, p. 17 (1868); vgl. die Bemerkungen von

G. Peano (Calcolo p. XIY) und die Litteratur daselbst. Nach 5 besteht der Satz auch dann, wenn f(x) samt seiner vorderen Derivierten stetig ist; so schon bei J. Thomae, Einleitung p. 10 (1875), dann bei A. Harnack, Elemente p. 181. Man vergleiche übrigens den Bonnet'sehen Beweis mit den älteren Darstellungen; bei 0. Schlömilch, Handbuch der Diff. (1847) beruht derselbe auf einem eigentlich der Integralrechnung angehörigen Grenzübergange, auch wird 0 der zu umfassenden Bedingung 0 < 6    1 unterworfen (daselbst p. 126).

39)    Théorie des fonct. p. 67.

40)    L. Scheeffer, Acta math. 5, p. 282. Der zur Begründung erforderliche Fundamentalsatz Scheeffer’s daselbst p. 184 (1884).

7. Der Mittelwertsatz nach Cauchy, Darboux und Weierstrass.

67

Bei Ampère, dem es darauf ankam, den Rest der Taylor’schen Entwickelung in zwei bestimmte Grenzen einzuschliessen, findet sich dieser Satz in der Form, dass [/’(fr) — /*(»)] - (p — «) stets zwischen dem grössten und kleinsten Werte von f'(x) (im Intervall a, V) liege⁴¹). Bei Cauchy⁴²) tritt zuerst der erweiterte Mittelwertsatz für zwei mit ihren Derivierten stetige Funktionen f(x) und F(x) auf in der Form:

B<

F{b)-F{a)

m-m falls A und B die extremen Werte von F'(x) : f (x) im Intervalle sind; dann in der Form⁴³)

F(x -f- h) — F(x) F'(x + 6h) f{x+h)-m — f'(x+dh)>

wobei jedoch vorauszusetzen ist, dass die Derivierte von f(x) innerhalb des Intervalles x, x -f- h weder unendlich noch Null wird. Die Beweise dieser und ähnlicher Sätze⁴⁴) führt man am bequemsten mit Hülfe der Relation⁴⁵)

f(£) ?>'(£) ^'(ö

f(a) rp(a) ip(a) = 0,

m <p(p) *<p)

die in einer allgemeineren Form den Bonnet'sehen Satz ausdrückt.

Die unmittelbare Ausdehnung des Mittelwertsatzes auf die Komplexe Funktion f(t) einer reellen Variablen t giebt nur eine weniger brauchbare Formel⁴⁶). Man kann aber unter der Voraussetzung eines für a<^t<^b stetigen f(t) zeigen, dass der Punkt

m-m

nicht ausserhalb irgend einer geschlossenen konvexen Linie liegen

41)    A. M. Ampere, J. éc. polyt. 1806, p. 153. Der Ampère’sche Satz ist von H. A. Schwarz für ein System von n Funktionen verallgemeinert, Ann. di mat. (2) 10, 1880 = Ges. Abh. 2, p. 296. Eine andere Erweiterung bei Fini-Liiroth, p. 101.

42)    Calc, differ, p. 33—34.

43)    Ebenda p. 37 (desgl. Moigno, leçons sur le calcul différ. 1,1p. 33 [1840]), auch mit der Bemerkung, dass an den Endpunkten x, x -f- h die Stetigkeit von F'(x) nicht erforderlich sei.

44)    Vgl. z. B. B. J. Avez, Teixeira Jorn. 11, p. 187 (1892).

45)    G. Peano, Calcolo p. XIV. Der erweiterte Mittelwertsatz besteht demnach unter der Voraussetzung, dass die für a bis b stetigen Funktionen F(x) und f(x) zwischen a und b Derivierte besitzen und f (x) daselbst nirgends oo oder 0 wird.

46)    Vgl. z. B. P. Mansion, Cours d’Analyse p. 97.

kann, welche die Kurve x, y, wo x-\-yi—f(t), umschliesst¹⁶). Und für y als obere Grenze von j f (t) | wird also \l \ < y, erreicht nun für t — T den Wert y, so folgt

If (01

wo j A | < 1. Hieraus ergiebt sich für die Funktion einer komplexen Variabein z, die in allen Punkten der Kurve z₀zt von der Länge L mit ihrer Derivierten endlich und stetig ist,

wo g die obere Grenze von | f'z j ; also insbesondere auch /'0i) — /“(%) ==k(zx~ z₀) f\zQ + 6 (zx — 0O)]

wie G. Darboux¹⁷) schon früher durch eine geometrisch-phoronomische Betrachtung gefunden hatte.

Die Ausdehnung des Mittelwertsatzes auf höhere Differenzenquotienten (wohl zuerst durch Riemann eingeführt)¹⁸) wurde von

H. A. Schwarz¹⁹) in dem Satze ausgesprochen: Wenn der Grenzwert

lim T h — 0 L

f(x -\-h) — 2 f(x) -f f{x — h)

lA

der für a <^x <^b stetigen Funktion f(x) für jedes a < æ < & Null ist, so ist f(x) eine lineare Funktion. Die Fortsetzung dieser Untersuchungen für höhere Differenzenquotienten ist von A. Harnack gegeben²⁰).

Die Ausdehnung des Mittelwertsatzes²¹) auf Funktionen von mehr Variabein möge vorgreifend gleich hier bemerkt werden. Aus der Identität

f{xx + h1} x₂ -f h₂) — f(x1} x₂) = f(xt + x₂ + h₂) — f(x₁ + hlf x₂)

+ f(x. 1 + K x₂) — fill, x₂)

= f(xt + hu x₂ -f h₂) — f(xx, x₂ + h₂) -f f(xu x₂ -f h₂) - f{xxx₂) folgt

p. 394.

f(xx -\-h1} x₂ + h₂) — f(x₁, x₂) =    x₂ -f 8₂h₂)

+ \^x₁f(x₁ -f- Q-Jht %%)

= h₁DXlf(x₁ -j- ViK) x2 H⁻ K) + h₂DXif(xi, x₂ -f- 7]2h₂)) also unter Voraussetzung der Existenz der Derivierten nach x₁...xn für jeden Punkt des Gebietes xx. .. xn die Darstellung des Zuwachses als eine Summe von mit den Zunahmen der unabhängigen Variabein multiplizierten Derivierten; in der unsymmetrischen Form dieser vielgestaltigen Identitäten liegt der Grund des unsymmetrischen Charakters der Bedingungen, welche weiterhin (10) für das totale Differential sich ergeben.

8. Die Differentiale. Die Differentiale, deren sich Leibniz bé-diente, um die Differentialrechnung möglichst einfach zu begründen, erscheinen gegenwärtig in der eigentlichen Theorie als überflüssig²² 23), wenn auch bei der hergebrachten Bezeichnung in der Integralrechnung und der Lehre von den Differentialgleichungen schwer zu entbehren und in den Anwendungen auf Geometrie und Mechanik in gleich einfacher Weise kaum durch eine andere Darstellung zu ersetzen. Nach Cauchy ^ heisst in der Gleichung A(f(x)) = Axf'(x) -f- RAx,

falls R mit Ax gegen Null konvergiert, f (x) A x das Differential von f(x) und wird mit df(x) bezeichnet; hiernach ist dann auch für Ax selbst dx zu schreiben, so dass

df(x) = f (x) dx

wird²⁴), während der Zuwachs A fix) durch die frühere Gleichung ausgedrückt bleibt. Ähnlich sind auch die Definitionen der höheren Differentiale d²(x) etc. aufzufassen.

Für die Anivendungen auf Geometrie und Mechanik bleibt es dagegen bequemer, dx, dy etc. als Bezeichnungen für die gegen Null konvergierenden Grössen Ax, Ay, . . . anzusehen, dergestalt, dass die Gleichungen zwischen den Differentialen erst dann einen vollkommen richtigen Sinn erhalten, wenn man den entsprechenden Grenzübergang nach Division mit einem als Einheit gewählten Differential als ausgeführt ansieht, womit zugleich ihre Verhältnisse in die Symbole ~⁵⁶) etc. wieder übergehen⁵⁷).

Hierbei wird es nötig, die „Ordnung des Unendlichkleinwerdens“ der Differentiale genau zu beachten, was schon Leibniz⁵⁸) als einen wesentlichen Teil seines Algorithmus ansah; die strenge Festsetzung dieser Begriffe brach sich allgemein wohl erst mit Cauchy Bahn⁵⁹); gute Vorarbeiten findet man schon bei S. L’Huilier⁵⁸*).

II. Funktionen von mehreren Variabein.

9. Die partiellen Derivierten und das totale Differential. Bei

einer Funktion der Variabein x, y, z, . . .

u = f{x,, y,0...)

kann man die partiellen Differentialquotienten und die partiellen Differentiale ohne weiteres definieren⁶⁰). Die ersteren bezeichnete Euler durch⁶¹)

56) Als Symbol bezeichnet schon S. L’Huilier (Princ. calc. diff. expositio p. 36 (Fussnote 59a) den Differentialquotienten —■ ; später B. Bolzano (1847)

d CG

(die Paradoxien des Unendlichen, Leipzig 1851, p. 67). Über die verschiedene Auffassung der „unendlich kleinen Grössen“ vgl. die Zusammenstellung bei P. Mansion, Résumé du cours d’analyse, p. 212—224. Eine formale Theorie der unendlich kleinen Grössen, bei der die 4 Spezies für dieselben erklärt werden, stellte 0. Stolz auf, Innsbr. Ber. 14, p. 21 (1884), Arithmetik 1, p. 205 (1885).

57)    P. du Bois-Beymond missbilligt diese Vorstellung, Funktionenth. p. 141.

58)    Leibniz, historia et origo calculi differentialis, ed. Gerhardt 9, 5, p. 394.

59)    Cauchy, Analyse algébr. p. 27—34 (1821); Exerc. de math. 10, p. 145 (1826). Unter diesen Voraussetzungen ist noch immer Leibniz' Äusserung zutreffend: Quoniam tarnen methodus directa brevior et utilior ad inveniendum, sufficit cognita semel reducendi via postea methodum adhiberi, in qua incom-parabiliter minora negliguntur, ed. Gerhardt, 5, p. 322.

59 a) S. L’Huilier, Principiorum calc. diff. et int. expositio, Tubingae 1795, praefatio p. II; Exposition élémentaire des principes des calculs supérieurs (Berlin, Decker, 1786), insbes. p. 31 u. ff.

stehen ist

60) Hierbei ist zu beachten, dass unter

df(xy)

für y = b nicht zu ver-

sondern

iim f(x + h’ v) — f(x> y)

y — b, h — 0

lim h=o

f(x + h,b)-f(x,b)

d u d u dx ' dy

zu schreiben (traité 1, p. 243, 1810), ein Gebrauch, der sich in Frankreich lange erhalten hat (so noch Ch. Hermite, Cours d’analyse 1873); gegenwärtig auch dort bei A. Picard, C. Jordan, G. JDarboux u. a. die Jacobi'sehe Schreibart.

61) Euler, Calc. diff. p. 195. Lacroix schlug vor, einfacher

/du\    /du\    /dsu\    / d*u \    /d³u\

\dx)’ \dy) ’    \dxi) ’ \dxdyj ’ \dys) i

Lagrange bei zwei Variabeln durch⁶²)

Jacobi⁶³) durch

u , uk ^ u , xi-y,    5

du du dx’ dy’

d²u d*u dx? ; dxdy ’

die Cauchy'sehe Bezeichnung⁶⁴), bei der dxu als partielles Differential nach x, also dxii — T)x(u)äx und ähnlich dxdy(u) geschrieben wird ist gegenwärtig wohl aufgegeben.

Wird nun das totale Differential als Summe der Differentiale definiert, so wird die Frage nach dem Zusammenhang des Zuwachses von u mit den partiellen Differentialen durch den Satz vom totalen Differential beantwortet. Aus dem Mittelwertsatze Nr. 7 folgt nämlich, falls sämtliche erste partielle Derivierte stetige Funktionen in x, y, . . . sind:

du

Au = j^Ax -f-

du

du

A y + gjAs + ---

—f-    A x —|—    A y —J— _jR> A z -{— • • •,

dy

wo jedes Bi mit Ax, A y . . . gegen Null konvergiert, so dass das totale Differential bis auf Glieder höherer als erster Ordnung die Änderung von u darstellt. Eine genauere Prüfung der beim Beweise erforderlichen Voraussetzungen insbesondere für zwei Variabele zeigt,

dass der Satz schon dann gilt, wenn

der Stelle x, y exi-

an

du du dx’ dy

stieren und eine dieser Funktionen in der Umgebung derselben in beiden Variabein stetig ist⁶⁵). Analoge Sätze lassen sich auch für mehr Variable und höhere Differentiale aufstellen, scheinen aber bisher nur selten besonders formuliert zu sein²⁵).

Endlich folgt die Hauptregel des Differentiierens²⁶);

,    ’S¹ V du dy;

du —    d y] ‘ dxk dXk>

62)    Lagrange, oeuvres 9, p. 144.

63)    C. G. J. Jacobi, J. f. Math. 22 = Werke 3, p. 395, 396; auch 4, p. 145 = J. f. Math. 23. Nach P. StäcJcel ist der Jacobi'sehe Vorschlag schon 1786 von A. M. Legendre gemacht (Ostivald, Klassikerhibliothek Nr. 78, p. 65 (1896).

64)    Cauchy, Exercices d’analyse 3, p. 16 (1844).

65)    J. Thomae, Einleitung p. 37 ; vgl. auch O. Hôlder, Diss., Stuttgart 1882,

p. 69.

falls u eine Funktion der Variabein yx...ym, deren jede von xx...xn abhängt, unter der jedenfalls hinreichenden Voraussetzung der Stetigkeit sämtlicher (ersten) Differentialquotienten, durch welche der Algorithmus der formalen Differentialrechnung zum Abschluss gelangt. Die Differentiation der impliciten Funktionen pflegte man früher auf dieselbe zu begründen, doch zeigt diese Darstellung nur²⁷), wie unter Voraussetzung der Existenz und Stetigkeit der Derivierten dieselbe gefunden werden kann, während die eigentliche Frage darin besteht, zu präzisieren, wann durch eine Gleichung von der Form

f{xxx^... xn, y) = 0

y als stetige Funktion der x-t so definiert wird, dass existiert.

Bei der gegenwärtigen Ausbildung der funktionentheoretischen Grundlagen hat dies keine Schwierigkeit²⁸). So folgt der Fundamentalsatz: Ist f(x, y) nebst seinen beiden ersten Derivierten nach x, y in der

Nähe der Stelle x₀, y₀, für die f(x₀, y₀) = 0, stetig, und daselbst

8£ , df dj ₀

dx ' dy dx

nicht Null, so existiert in der Nähe von x₀, y₀ eine einzige stetige Funktion y = (pipe), welche die Gleichung f(x, y) — 0 identisch befriedigt, für x — xQ den Wert y₀ annimmt und eine Derivierte nach x besitzt. Letztere kann nunmehr nach der Hauptregel durch die Gleichung

gefunden werden.

Alsdann erhält man durch den Schluss von n auf n -{- 169a) das allgemeine Theorem über die Existenz der durch die Gleichungen

fi(xx . • • xn, yx ... ym) 0 . .. fm(xx • • • xn, yx ... ym) 0 definierten Funktionen yx ... ym:

In der Nähe der Stelle x?, yT, i = 1,... n, k — 1,... m, für die jene Gleichungen erfüllt sind, existiert ein einziges System von in xx, ... xn stetigen Funktionen yx,... ym, welche jene Gleichungen befriedigen und erste Derivierte nach xx, ... xn besitzen, falls die ersten Derivierten der f nach den x und y in der Nähe dieser Stelle stetig sind, und die Funktionaldeterminante (41) der f nach den y daselbst nicht Null ist; man erhält diese Derivierten aus den Gleichungen

i V dJ* dJi ₌ o

jAJ dys dxt

¹

Es ist wohl nicht überflüssig, die Auffassung des Infinitesimalbegriffes bei den im Texte angeführten Mathematikern durch einige Äusserungen derselben zu erläutern.

1)    J. Neivton, Principia (1687), Amsterd. Ausg. 1723, p. 33: Ultimae rationes illae, quibuscum quantitates evanescunt, révéra non sunt rationes quan-titatum ultimarum, sed limites, ad quos quantitatum sine limite decrescentium rationes semper appropinquant, et quos proprius assequi possunt, quam pro data quavis differentia . . . Igitur in sequentibus, si quando facili rerum conceptui consulens dixero quantitates quam minimas vel evanescentes vel ultimas, cave intelligas quantitates magnitudine decrescentes, sed cogita semper diminuendas sine limite.

2)    G. W. Leibniz, Manuscr. v. 26. März 1676 (Mathemat. Schriften ed.

C. J. Gerhardt, 5, p. 217): Videndum, an exacte demonstrari possit . . quod differentia non tantum sit infinite parva, sed omnino nulla, quod ostendetur, si constet, eousque semper posse inflecti polygonum, ut differentia assumta etiam infinite parva minor fiat error; und Philosoph. Schriften ed. Gerhardt, 6, p. 90 (Essai de Théodicée [1710]): et les infinies ou infiniment petits n’y signifient que les grandeurs qu’on peut prendre ainsi grandes ou ainsi petites que

²

   A. L. Cauchy, Calc, differ. (1829), p 18: Cette limite, lorsqu’elle existe ... Das Wort derivare ist von Leibniz gebildet {M. Cantor, Gesch. d. Math. 3, p. 182), das Wort differentiate desgl. (Leibniz, ed. Gerhardt, 5, p. 266), vgl. auch L. Euler, Inst. cale. diff. p. 115.

³

   A. L. Crelle, Sammlung math. Aufsätze 1, p. 199 (Berl. 1821); Differential- und Integralrechnung heissen daher hier auch Ableitungs- und Zurückleitungsrechnung.

⁴

   0. Stolz, Grundzüge 1, p. 3.

⁵

   P. du Bois-Beymond, J. f. Math. 79, p. 32; daselbst auch der Begriff der gewöhnlichen Funktion, die in Bezug auf keine Richtung in der betreffenden Stelle oo viele Maxima oder Minima besitzt. (Vgl. I A 1, 11.)

⁶

   Desgl. Math. Ann. 16, p. 221 (1880).

⁷

   J. Thomae, Einleitung p. 8 (1875).

⁸

   J. Tannery, Introduction p. 65.

⁹

   Dini-Lüroth, p. 87; p. 273 für die linke und rechte Derivierte die Bezeichnung d(x) und d₁(x).

¹⁰

   Als mittleren Differentialquotienten bezeichnet P. du Bois-Beymond gelegentlich den Grenzwert

lim

«2 = 0, «₂ = 0

Math. Ann. 16, p. 220.

¹¹

   Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz der Derivierten sucht A. Harnack zu formulieren (Elemente p. 33ff.); eine hinreichende Bedingung bei O. Stolz, Grundzüge 1, p. 35; allgemeinere Untersuchungen bei Dini-Lüroth, p. 257.

¹²

   A. L. Lagrange, J. éc. polyt. 6 (1805) = oeuvr. 7, p. 327.

¹³

   Lagrange, Theorie des fonctions = oeuvres 9, p. 33.

¹⁴

   Cauchy, ausführlich z. B. in den Exerc. de math, et de phys. 3, p. 9—17 (1844). Ältere Bezeichnungen des Differentialquotienten bei Lacroix, 1, p. 147 ; ganz ungebräuchlich geblieben sind die Bezeichnungen von Crelle (1821).

¹⁵

   Gleichmässig in einem Intervalle differentiierbar heisst eine Funktion, wenn nach Annahme eines beliebig kleinen ô immer

¹⁶

   0. Stolz, Grundzüge 2, p. 69, wo der Satz Weierstrass zugeschrieben wird.

¹⁷

   J. de math. (3) 3, p. 291 (1876); dort eigentlich in der Form des erweiterten Satzes von Cauchy.

¹⁸

   B. JRiemann (1854), Werke p. 232.

¹⁹

   J. f. Math. 72, p. 141 (1870) = Ges. Abh. 2, p. 341; Erweiterung bei Dini-Lüroth, p. 122.

²⁰

   A. Harnack, Math. Ann. 23, p. 244—284 (1883/84); vgl. auch die Ausdehnung des Ampère'sehen Theorems für den zweiten Differenzenquotienten bei 0. Holder (Math. Ann. 24, p. 183 [1883/84]).

²¹

   Eine andere Erweiterung nach Darboux bei J. Tannery, Introduction

²²

   So schon d’Alembert in der Encyclopédie math. 1, p. 523; A. Harnack, Festschrift, Dresden 1887, p. 1; ähnlich auch 0. Stolz, Grundz. 1, p. 18. Ganz neuerdings H. Poincaré, rev. enseign. math. 1 (1899), p. 196.

²³

   A. L. Cauchy, Exerc. d’analyse et de phys. 3, p. 7—16 (1844) = oeuvr. (1) 8, p. 12 ff. ; vgl. auch Ch. Hermite, Cours d’analyse, p. 65 (1873) u. C. Jordan, Cours 1, p. 62; Du B ois-Reymond, Allg. Funktionenth. p. 82, 128.

²⁴

   Daher wurde früher f (x) auch wohl Differentialkoeffizient genannt (S. F. Lacroix, traité 1, p. 147 [1810]; Cauchy, Calc. diff. p. 18).

²⁵

   Sie finden sich bei JR. Bettazzi, Giorn. di mat. 22, p. 133 (1884).

²⁶

   P. du Bois-Beymond, Funktionentheorie p. 136; 0. Stolz, Grundz. 1, p. 136.

²⁷

   Ausdrücklich hervorgehoben z. B. bei 0. Stolz, Grundz. p. 168.

²⁸

   Vgl. Genocchi-Peano, Calcolo p. 149—151; U. Dini, *Analisi 1, p. 163 (1878), sowie 0. Stolz, Grundz. 1, p. 162.

69a) So ausführlich bei Genocchi-Peano, p. 153ff.; mit Hülfe der Integralrechnung bei B. Lipschitz, Analysis 2, p. 598.

dxi

k — 1,... i = 1,... n.

man

Für die sog. Ausdrücke von unbestimmter Form 0*oo etc. vgl. II Al, 13.⁷⁰)

d²u

diu

10. Die höheren partiellen Derivierten. Bei den rationalen Funktionen überzeugt man sich leicht davon, dass der Wert der höheren partiellen Derivierten unabhängig ist von der Reihenfolge der Differentiation. Die Untersuchung der allgemeinen Gültigkeit dieses Satzes kommt auf die des Fundamentodsatzes der zweiten partiellen Derivierten:

dxdy dydx

zurück. Noch Cauchy begründete denselben durch die jEWeFsche Überlegung⁷¹), dass

der formalen Darstellung nach eine in

Ahi

AxAy

Ax und A y symmetrische Funktion ist, ohne den hierbei erforderlichen doppelten Grenzübergang besonders zu untersuchen⁷²). Es lassen sich aber leicht Beispiele angeben, in denen der Satz nicht zutrifft⁷³). H. A. Schwarz stellte zunächst fest, dass derselbe einwurfsfrei begründet werden kann, wenn die vier zweiten Derivierten nach x und y stetige Funktionen von x, y sind, und zeigte sodann, dass schon die Stetigkeit einer zweiten Derivierten nach x und y in diesen beiden Yariabeln hinreichend ist, wenn zugleich die beiden ersten Derivierten auch in x und y stetig sind⁷⁴).

Nach Thomae genügt es jedoch schon, wenn % ⁼⁼⁼ und

stetige Funktionen von x und y sind⁷⁵); noch umfassendere Bedingungen hat Diniu) angegeben.

70)    J. Tannery, Introduction p. 250—267, sowie die Beispiele bei E. Pascal, Esercizi p. 233—248.

71)    Calc. diff. p. 192; ähnlich auch bei 0. Schlömilch, Handbuch 1, p. 126.

72)    Calcul differ, p. 220; Exercices d’analyse 3, p. 33 (1844).

73)    Vgl. z. B. H. A. Schwarz, Schweiz. Yerhandl. 1873, p. 259 = Ges. Abh. 2, p. 280; Genocchi-Pecmo, Calcolo p. 174; über die ältere Litteratur des Satzes siehe H. A. Schwarz, a. a. O. p. 275.

74)    Schwarz, a. a. O. p. 284; der von H. Blanchet, J. de math. 6, p. 65 (1841) für den Satz gegebene Beweis kann wohl nicht als völlig streng angesehen werden.

75)    J. Thomae, Einleitung p. 22 (1875). Vgl. G. Peano, *Mathesis 10, p. 153 (1890).

76)    U. Pini, *Analisi infinitesimale 1, p. 122 (1878). Man vgl. die zusam-menfassende Darstellung bei O. Stolz, Grundz. 1, p. 146 ff, wo auch die formale Erweiterung auf höhere Derivierte, p. 151—155.

Bei der Erweiterung dieser Betrachtungen auf höhere Derivierte versteht man unter der Ordnung derselben die Gesamtzahl aller auszuführenden Differentiationen. Geschehen diese nur nach einer Variabein, so erhält man die reinen Differentialquotienten; alle übrigen werden als gemischte bezeichnet. Auch hier besteht der Satz von der Unabhängigkeit des Wertes von der Reihenfolge der Operationen unter analogen Voraussetzungen wie vorhin. Erst vermöge desselben erhält das Symbol

rxm

dx\ dx'f ■ - • dx*nn

einen bestimmten Sinn; zugleich ergeben sich nun auch die entsprechenden Bemerkungen für die Existenz der höheren Differentiale⁷⁷).

Man findet nun auch die höheren Derivierten des Funktionensystems Vi • • • Vm bei 9. Unter Voraussetzung der Stetigkeit sämtlicher zweiter Differentialq. der f nach den x und y existieren auch die zweiten

aus den m Glei-

Derivierten der y nach den #; man erhält die

d x{ c Xj

chungen, die für k = 1,. . . m aus der Schlussgleichung von 9 durch Differentiation nach Xj hervorgehen, u. s. w.

III. Anwendungen.

11. Die Taylor’sche Entwickelung für Funktionen einerVariabeln.

Der Taylor'sehe Satz, ursprünglich von B. Taylor durch die Methode der endlichen Incremente gefunden⁷⁸), erscheint erst nach der Mitte des 18. Jahrhunderts als eines der Fundamentaltheoreme der Differentialrechnung ⁷⁹).

77)    0. Stolz, Grundzüge 1, p. 155—160.

78)    Brook Taylor, *Methodus incrementorum 1717, p. 21—23 (vgl. indess Joh. Bernoulli’s berechtigte Priorität von 1694, Opera omn. 1, p. 125); ähnlich ist auch die Herleitung bei L. Euler (Calc. diff. p. 333) und J. L. Lagrange (Beri. Nouv. mém. [1772] = Oeuvr. 3, p. 445), aber dort auf n Variable erweitert, und in die symbolische Form

Au

f. du . du ^du ,

= e^ + tldï+id7 ⁺ --

— 1

gebracht, vgl. P. S. Laplace (Par. Mem. 1770 [80], p. 105); ähnlich auch bei F. Lacroix (traité 3, p. 60 [1819]).

79) Die Bezeichnung Theorema Taylorianum wird auf S. LJ Huilier zurückgeführt. Indess sagt derselbe in der Exposition élémentaire (1786), p. 47 nur ,,le beau Théorème que Taylor a le premier développé . . .“; in dem Princ. Cale, diff. (1795) Cap. III, p. 48 heisst es „Theorema quod Taylorianum dicitur“, woraus eher zu folgen scheint, dass die Bezeichnung schon damals in Gebrauch gewesen.

11. Die Taylor’sche Entwickelung für Funktionen einer Yariabeln. 75 Die Taylor’sche Entwickelung (der verallgemeinerte Mittelwertsatz)

fix + h) = f(x) + hf'(x) + • ■ • +    f"(s) + S

ist von der Taylor’sehen Reihe zu unterscheiden. Zur Bestimmung des Restgliedes Rn sind die verschiedensten Methoden angewandt worden; eine der ältesten ist wohl die von d’Alembert⁸⁰), der wenigstens formal den Best durch ein w-faches Integral ausdrückte. Laplace ermittelte denselben durch die Methode der partiellen Integration⁸¹); Lagrange’s Bestformel¹ 2) in der Theorie des fonctions beruht ebenfalls auf einer Integration. Erst bei Ampère⁸⁸) und Cauchy³) erscheint der Satz als eine Folge der Mittelwertsätze.

In einer verhältnissmässig sehr allgemeinen Form hat so 0. Schlö-milch zuerst den Best bestimmt⁸⁵). Ist nämlich fix) eine mit den n — lteu Derivierten im Intervalle x bis x -j- h stetige Funktion und

existiert die nte Derivierte innerhalb desselben ebenfalls, so ist für a — x -J- h

cp(k) — f(a—h)-\-—f'(a — k) -\- —f" (a—k)-j-----j-

F”¹

(»—1)!

fn—¹(a—k)

eine von k = 0 bis k — h stetige Funktion, für die cp (0) =* f(a) und

rp'Çk) = —

F"~¹

(n — 1) !

fn(a — k)

wird, und auf die der erweiterte Cauchy’sehe Mittelwertsatz (7)

cp(k) = (p(0) -f

ip'(dk)

cp' (dk)

80)    J. d'Alembert, Recherches sur différents points importants du système du monde 1, p. 50 (nach Lacroix, traité 3, p. 396).

81)    P. S. Laplace, Théorie analytique des probabilités (1812) — oeuvres 7,

p. 193.

gefunden mit M und N

und N

den Rest die beiden Grenzen M

als den extremen Werten von f^nJrr>x im Intervalle x, x-\-h.

84)    So im Calcul differ. (1829), wo die Lagrange'sehe und die Cauchy sehe Restformel p. 75 gegeben werden (auch schon früher in den Exercices de math. 1, p. 27, 28 [1826]).

85)    0. Schlömilch, Handbuch 1, p. 177; J. de math. (2) 3, p. 384 (1858); daselbst auch p. 121 die unabhängig von Schlömilch gefundene Formel von E. Loche aus den Mém. de l’Acad. de Montpellier (1858). Noch allgemeiner ist die Formel von É. Boche ib. 1863.

(w + 1)!

(♦» + !)!

angewendet werden kann, falls die sonst willkürliche, von 0 bis h endliche und stetige Funktion ip(x) eine für keinen Wert zwischen 0 und h verschwindende oder unendlich grosse Derivierte hat. Hieraus folgt, wenn man a — x -f- h, k = h setzt,

f"~\x) + R,

hn~l

(» — 1) !

/•«(a + d'A),

T>    hn-H 1-ey-¹

y'(l — 0')h (n — 1)!

und für die jedenfalls gestattete Annahme ih(x) — xp

Rn =

hn (1 — 0)

p (n — 1) !

fn(x -f- Oh)

sowie für p — n, p — 1

Un —

fn(x -f- 6 h)

Un =

hn(i —e)n~x

(■n — 1) !

fn(x -}- Oh)

als Schl'ômilch'sehe, Lagrange¹ sehe und Cauchy'sehe Form des Restes, wobei 0 jedesmal seinen besonderen Wert (> 0, < 1) hat. Die nte Derivierte von f(x) braucht innerhalb x, x -f- h nicht durchweg endlich zu sein; ebenso ist nicht nötig, dass fn(x) an den Grenzen des Intervalles existiert⁸⁶); das allgemeinere Theorem, dass die Existenz f'(x) ... fn~¹(x) an der Stelle x-\-h nicht erforderlich ist, findet

É. Roche gegebenen Formel

von

sich bei 0. Stolz vermöge einer von bewiesen⁴ 5). — Von den auf der Integralrechnung beruhenden Ableitungen des Satzes mag hier ausser der oben erwähnten auf der Methode der partiellen Integration fussenden von Laplace, welche neuerdings durch L. Kronecker⁶) eine formal elegante Darstellung erhalten hat, noch die von C. Jordan⁷) erwähnt werden; sie führen zu der Integralform des Restes

x-\-h

dt •

(n — 1) !

12. Ausdehnung auf mehrere Variable. 13. Verallgemeinerungen.

77

die den formalen Vorzug besitzt, von einer unbestimmten Grösse 6 frei zu sein.

12. Ausdehnung auf mehrere Variable. Ist f(x, y) eine Funktion, welche sämtliche partielle Derivierte wter Ordnung besitzt, so kann man durch zweimalige Anwendung der Taylor¹ sehen Entwickelung nach Lagrange⁸) für y -\-h, x -f- Ti eine analoge erhalten, bei der indessen der Rest eine unbequeme Form annimmt⁹). Eine übersichtlichere Formel erhält man nach Cauchy¹⁰), wenn man vermöge der Substitution h — thx, Ti — t\ die auf die Funktion einer Variabein t zurückgeführte Funktion f(x, y) im Intervall 0 bis t entwickelt. So entsteht

fix -f h, y -}- Ti) = fix, y) -f- (h+ Jc^j

+ ł^0 + ^ + ^] + - + A

Rn ==

^{h"B⁽-x+0h’!/+ek)+"]’

doch muss man jetzt die Stetigkeit der n -j- 1 nteu Differentialquotienten in x, y voraussetzen¹¹). Die einzelnen Koeffizienten lassen sich durch die symbolische Bezeichnung

⁺ f

darstellen; die Erweiterung auf n Variable erhellt hieraus von selbst.

13. Verallgemeinerungen. Vermöge der Darboux'sehen Erweiterung des Mittelwertsatzes ergiebt sich die Taylor’sche Entwickelung für Funktionen einer komplexen Variabein, wobei dem Lagrange'sehen Rest nur ein Faktor hinzuzufügen ist, dessen Betrag < 1 ist¹²).

Eine andere Erweiterung der Taylor’schen Entwickelung entsteht durch die Betrachtung der Ampère’sehen Lnterpolationsfunktionen¹³) f{xtx₂ ... xn). Man erhält so die Formel¹⁴)

/O) = f'M + O —    1^2) + O — ^1) O — xf)fixvx₂X₃)

H-----(x — xf) • • • (x — %n — 1) f(x±    • • • Xn)

(x — xf) {x — xs) ■■■(x — xn)

wo I ęin Mittelwert yon x1} .. . xn, x ist, falls f(x) eine Derivierte ntei Ordnung in diesem Intervalle besitzt. In dieser Formel ist als spezieller Fall die von Crelle^) betrachtete Verallgemeinerung der Taylor’sehen Entwickelung enthalten (vgl. IE). Der Mittelwertsatz ist überhaupt von fundamentaler Bedeutung für alle Restbestimmungen, so z. B. auch bei dem Rest der Lagrange'sehen Reihe¹⁵ 16 17 18) (in Integralform bei Fopoff")), sowie bei einer exakten Begründung der weitreichenden formalen Entwickelungen H. Wronshi's ¹⁰°). Aber die steigende Komplikation dieser Restausdrücke selbst vermindert ihre Anwendungsfähigkeit, wie schon die Theorie der Lagrange’schen Reihe gezeigt hat, und damit auch das Interesse an denselben. — Weitere Verallgemeinerungen der Taylor’sehen Entwickelung in der Theorie der Funktionen einer komplexen Variabein II B 1.

14. Die Taylor’sclie Reihe. Die Taylor’sehe Reihe geht aus der Taylor’scheu Entwickelung hervor, wenn sämtliche fW(x) für jedes endliche n endliche bestimmte (wenn auch nicht beständig unter einer festen Grenze liegende) Werte haben (Voraussetzung Vf), und zugleich das Restglied Rn mit wachsendem n gegen Null konvergiert (Voraussetzung F₂). Denn alsdann wird

IC

fix -|- Ji) = f(x) -f- hf (x) -f- Y f" (#) + ••• in inf.¹⁹)

Da der Inhalt von V₂ wegen der völlig unbekannten Grösse 6 nicht unmittelbar beurteilt werden kann, haben sich bis in die neuere Zeit über die Frage nach den notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Gültigheit der Taylor’sehen Reihe unrichtige Vorstellungen erhalten. Abgesehen davon, dass Lagrange die Voraussetzung V₁ als hinreichend ansah, wurde auch die Ansicht desselben, dass die Reihe, wenn sie konvergiere, notwendig auch den Wert f(x-\-h) darstelle¹⁰²), erst spät in Zweifel gezogen, obwohl bereits Cauchy¹⁰³) darauf aufmerksam machte, dass für e æ2 in der Nähe von x = 0 die Reihe den Wert Null besitzt, also nicht die Funktion darstellt, und andererseits die prinzipielle Art, in der P. L. Dirichlet die analoge Frage bei den trigonometrischen Reihen untersucht hatte, sowie die Möglichkeit, dass bei konvergenter Reihe der Rest nicht verschwindet, zur Vorsicht hätte mahnen können.

Erst Du JBois-Beymond suchte analytisch vollständig definierte Funktionen zu konstruieren, für die trotz V₁ die Reihe divergiert¹⁰⁴); in völlig strenger Weise aber hat A. Pringsheim die Existenz von Funktionen nachgewiesen, bei denen trotz Vx die Reihe divergiert¹⁰⁵), oder honvergiert, aber zur Summe nicht die erzeugende Funktion der Derivierten hat¹⁰⁶), oder bei denen nur eine einseitige EntwickelbarJceit an einer Stelle besteht¹⁰⁷). Und während Du Bois-Beymond noch 1876 den Ausspruch that: „Von den notwendigen Bedingungen für die Taylor’sche Entwickelung, falls dergleichen existieren, haben wir nicht die geringste Vorstellung“¹⁰⁸), konnte A. Pringsheim¹⁰⁹) 1893 den folgenden Satz aussprechen:

Damit die für 0 <ih <C B eindeutige Funktion f(x -f- h) daselbst darstellbar sei durch die Taylor’sche Reihe ist notwendig und hinreichend,

102)    Theorie des fonctions chap. 5, § 30 = oeuvr. 9, p. 65; Calcul des fonct. Leçon 3 = oeuvr. 10, p. 72.

103)    Cauchy, Calc. diff. p. 105 ; über das Cauchy’sche Beispiel vgl. A. Pringsheim, Math. Ann. 44, p. 51.

104)    P. du Bois-Beymond, Math. Ann. 21, p. 119 (1876).

105)    A. Pringsheim, Math. Ann. 42, p. 159 (1893) [auch Münch. Ber. p. 211 (1892]).

106)    Ebenda p. 161, 165.

107)    Pringsheim, Math. Ann. 44, p. 54 (1894); vgl. auch Chicago Congr. Pp. p. 295 (1893). Aus einer im Nachlass von Ch. Cellérier Vorgefundenen Note (Bull. Darb. 14, p. 142 [1890]) geht hervor, dass C. sich vielleicht schon vor 1885 mit diesen Fragen beschäftigt hat.

108)    Math. Ann. 21, p. 109 (Münch. Abh. Nov. 1876). Notwendig und hinreichend ist freilich neben Vt das Verschwinden des Integralrestes, aber man kann daraus nicht auf bestimmte Eigenschaften der vorgelegten Funktion schliessen. Vgl. Pringsheim, Math. Ann. 44, p. 60.

109)    Math. Ann. 44, p. 57—82 (August u. Dezember 1893); vgl. auch E Pascal, Esercizi p. 196—207.

1)    dass f(x) für a < x < a -f- R endlich sei und für x = a rechtsseitige, für a < x < a -f- R vollständige Diflferentialquotienten jeder endlichen Ordnung besitze;

2)    dass für irgend einen positiven oder negativen ganzzahligen Wert p (inch p = 0) der Ausdruck

lim(VTF/'⁽”(a + *)*”

gleichmässig gegen Null konvergiere für alle h, k des Gebietes 0 <h£h + k£r<R,²⁰)

oder auch, dass das Cauchy'sehe Restglied für jeden einzelnen den Bedingungen 0 <ih<^r genügenden Wert h und alle 0 (O<0<^1) mit n gleichmässig verschwinde²¹), während dieselbe Forderung für den Lagrange'sehen Rest eine unnötige Beschränkung enthalten würde²²).

15. Analytische Funktionen einer reellen Variabein. Demgemäss bilden nun die analytischen Funktionen einer reellen Variahein eine besondere Klasse K₀ innerhalb der Klasse K der unbeschränkt differentiierbaren Funktionen einer reellen Variabein²³). Während die Funktion eines komplexen Argumentes innerhalb eines Kreises dann schon analytisch ist, wenn sie daselbst eindeutig, endlich und stetig und monogen (d. h. im komplexen Sinne gleichmässig differen-tiierbar) ist²⁴), wird für die Funktionen einer reellen Veränderlichen ausser der Forderung unbeschränkter Differentiierbarkeit noch erforderlich das Vorhandensein gewisser Eigenschaften des Unendlichwerdens von fn(x) für n = oo.

Hierdurch ist zugleich die prinzipiell verschiedene Bedeutung bezeichnet, die die Theorie der analytischen Funktionen komplexen Arguments gegenüber der Lehre von den Potenzreihen einer reellen Variabein einnimmt.

Die Untersuchung der nicht K₀, sondern nur K angehörigen Funktionen ist durch É. Borei neuerdings in Angriff genommen²⁵).

16. Maximum und Minimum einer Funktion. Unter dem absoluten Maximum oder Minimum (Extremum²⁶)) einer Funktion in

112) p. 76.

111) p. 73.

einem gewissen Gebiete möge hier ihre obere oder untere Grenze, falls sie dieselbe erreicht, verstanden werden. Zur Bestimmung derselben lassen sich nur allgemeine arithmetische Vorschriften an wenden. In den meisten Fällen handelt es sich dagegen um die relativen Extreme, d. h. um die Frage, wann an einer bestimmten Stelle ein absolutes Extremum in Bezug auf einen dieselbe umgebenden beliebig kleinen Bereich vorhanden ist, um ein „extremum inter propinquos“ nach Du Bois-JReymond’s Bezeichnung²⁷).

Für eine Funktion der n unabhängigen Variabein x1}... x„ entsteht so als Forderung eines relativen Minimums

f(%i -f- h1} x₂ -j- 7^₂, • • • xn -f- hn) — f(x 1} • • • xn) > 0

für alle |/&,-]<£, mit Ausnahme von \ = h₂ — • • • = hn — 0. Werden unter den xL... xn noch gewisse Bedingungen festgesetzt, so entstehen die Extreme mit Nebenbedingungen (bedingte Extreme). Von 0. Stolz²⁸) werden noch eigentliche und uneigentliche Extreme unterschieden; die letzteren finden statt, wenn in der obigen Ungleichung neben dem Zeichen > für gewisse hi beständig auch das Zeichen == vorkommt; als Beispiel kann die beständig positive Funktion

/*(» = (x sin

in der Umgebung von x — 0 dienen.

Bei der Untersuchung der Extreme mittelst der Differentialrechnung setzt man meistens die Existenz vollständiger Derivierten in dem ganzen Umfange, in dem diese gebraucht werden, voraus. Solche Extreme kann man gewöhnliche nennen²⁹ 30); von ihnen ist im folgenden fast ausschliesslich die Rede, obwohl die aussergewöhnlichen Extreme (z. B. bei einseitigen ersten Derivierten, nicht vorhandenen zweiten Derivierten etc.) häufig genug in den Anwendungen auftreten ¹²°).

17. Extreme der Punktionen einer Variabein. Bei Funktionen einer Variabein folgt aus dem Fundamentalsatze der Differentialrechnung (7) sofort, dass wenn eine Derivierte vorhanden ist, dieselbe notwendig verschwindeil muss, wenn an der betreffenden Stelle ein relatives Extremum stattfinden soll, und dass bei einseitigen Deri-vierten dieselben nicht von gleichem Vorzeichen sein können¹²¹).

Ist nun f (xQ) — 0 und f (x) im Intervalle x₀ + h so beschaffen, dass es an der Stelle x₀ von positiven zu negativen Werten übergeht, so ist f(x) daselbst ein Maximum. Diese Regel¹²²), welche die Existenz des Extremums auch dann zu entscheiden gestattet, wenn f (x₀) nicht vorhanden sein sollte¹²³), verwandelt sich, wenn f"(x₀) existiert, in die Bedingung, dass das Maximum (Minimum) dem Falle entspricht. Verschwinden dagegen mit f(x₀) auch noch

f"(x₀),. ,.fn~x{xQ),

während fn(x₀) =(= 0 ist, so ist sicher bei ungeradem n kein Extremum vorhanden, während bei geradem n das Maximum (Minimum) dem negativen (positiven) Vorzeichen von fn(x₀) entspricht123a); dies Kriterium versagt nur dann, wenn für x₀ alle Derivierten Null sind¹²⁴).

18. Extreme bei mehreren unabhängigen Variabein. Auch bei Funktionen von mehr Variabein ist für die Existenz eines gewöhnlichen Extremums notwendig das Verschwinden der sämtlichen ersten Derivierten¹²⁵). Aber erst Lagrange¹²⁶) lehrte zunächst bei zwei Variabein, dann allgemein, vermöge der Transformation der Glieder zweiter Ordnung in der Taylor’sclaen Entwickelung f(X1 + iu • " Xn + i*) = f(%1, • * • Xn) + Y ^ dx.:'dxk + ' ' '

auf eine Summe von Quadraten, den Fall des Maximums von dem des Minimums unterscheiden, und auch der Cauchy’sche Satz¹²⁷), dass, unter Voraussetzung der Entwickelung

f(X1 + il? • • -00n + i») = f(%x,    (fz) + (/s) H-----H (/») "f R» + l >

121)    0. Stolz, Grundzüge 1, p. 200.

122)    Cauchy, Calc, differ, p. 63.

123)    Ein derartiges Beispiel bei A. Harnack, Math. Ann. 23, p. 261.

123a) Diese Regel nach Lagrange, Mise. Taur. 1 = oeuvr. 1, p. 4 schon bei Maclaurin.

124)    L. Scheeffer, Leipz. Ber. (1886) — Math. Ann. 35, p. 542. Für den Fall einseitiger nt6T Differentialquotienten ist das Kriterium erweitert bei 0. Stolz, Grundz. 1, p. 207.

125)    Für zwei Variable bei L. Euler, Calc. diff. p. 648.

126)    Mise. Taur. 1 (1759) — oeuw. 1, p. 1—20, insbes. p. 7 ; Th. des fonct. p. 263.

127)    Calc, differ, p. 234.

19. Der semidefinite Fall nacli Peano und Scheeffer.

83

in der (ff) das Glied Dimension in Rn-\-i den Rest bedeutet, für den Fall des Verschwindens sämtlicher

bei geradem n und definitem Charakter von (fn) mit Sicherheit auf ein Extremum zu schliessen ist, dagegen bei ungeradem n ein solches nicht stattfindet, findet sich schon bei Lagrange12S).

19. Der semidefinite Fall nach Peano und Scheeffer. Den

wahrscheinlich bei Untersuchungen über krumme Flächen schon früher bemerkten Fall, wo die quadratische Form

d*f

d*f

dæ₂

5 la

3 CC j

semidefinit ist³¹ 32), d. h. für gewisse Werte von ^ und |₂ verschwindet, die nicht beide Null sind, während sie für alle anderen Wertsysteme von £1; |₂ von unverändertem Zeichen ist, finde ich zuerst ausdrücklich hervorgehoben von Gergonne³³). Uber denselben haben sich bis in die neueste Zeit unrichtige Vorstellungen erhalten, weil man die Entscheidung der Frage nach der Existenz des Extremums von dem Verhalten der Funktion für diese besonderen Inkremente abhängig zu machen suchte³⁴). Erst Peano wies die Unrichtigkeit dieser Vorstellung nach durch das Beispiel

f(vg) = (xf* — 2pxf) (x^ — 2qx₂), p > 0, q > 0,

bei welchem ein Minimum für die Stelle 0, 0 nicht vorhanden ist.

Unabhängig von Peano war L. Scheeffer von seiten der Variationsrechnung aus zu einer kritischen Untersuchung der Extreme veranlasst worden. Sein Satz, durch den die Unmöglichkeit, allgemein durch die Betrachtung einzelner Entwickelungsglieder die Entscheidung zu gewinnen, darget-han wurde, lautet³⁵): Lässt sich eine positive ganze Zahl n und eine positive Zahl a finden, so dass die extremen

Werte von f(xxx₂) auf jedem um den Punkt (0, 0) mit dem Radius r < d beschriebenen Kreise absolut genommen grösser als arn sind, so kommt die Untersuchung auf das Verhalten der ganzen rationalen Funktion Gn hinaus, die aus den n-{- 1 ersten Gliedern der Lagrange-schen Entwickelung von f in der Nähe von 0, 0 gebildet wird. Die weitere Diskussion ist einfach³⁶), wenn Gn eine ganze homogene Funktion ist; im allgemeinen Falle führt ein der Puiseux'sehen Untersuchung der singulären Stellen einer algebraischen Funktion nachgebildetes Verfahren zum Ziel, das nach einer endlichen Zahl von Operationen seinen Abschluss findet, falls nicht Gn das Quadrat einer rationalen Funktion von |₁₇ |₂ zum Faktor hat³⁷).

20.    Die Arbeiten von Stolz. Da die Scheeffer'sehen Gesichtspunkte, soweit sie die Durchführung der Operationen betreifen, sich nicht unmittelbar auf mehr als zwei Variable ausdehnen lassen, formulierte 0. Stop in Verfolgung des Lagrange'sehen Gedankens, bei zwei Variabein die Untersuchung auf eine einzige zurückzuführen³⁸), zunächst den Scheeffer'sehen Satz für n Variable, und gebraucht eine Methode, welche bei drei Variabein, allerdings nicht ohne Komplikation, zur Entscheidung führt³⁹).

21.    Die Arbeiten von v. Dantscher. An einen anderen Punkt der Scheeffer'sehen Arbeit knüpfte v. Dantscher an⁴⁰). Zur Existenz eines etwa bei dem Punkte 0, 0 stattfindenden Extremums genügt es nicht, dass die Funktion f(x, y) auf jeder durch den Nullpunkt gehenden Geraden ein Extremum besitze; ja es kann hierzu nicht einmal die entsprechende Eigenschaft auf allen rationalen Kurven, die durch den Nullpunkt verlaufen, ausreichend sein⁴¹). Achtet man jedoch auf die beiderseitige Ausdehnung des Intervalles auf jeder solchen Geraden, in dem die Funktion grösser oder kleiner ist als ihre Nachbarwerte, so gelangt man zu einer sicheren Entscheidung⁴²). Bezeichnet man nämlich diese Geraden durch

x — Xq, y — g,Q, X* -f- gf — 1

und ist auf jeder derselben für alle Werte eines gleichen Intervalles

— Pxn < Q < + qxM f(^Q, łię) — f(0, 0) < 0, sq ist ein wahres Maximum vorhanden, wenn die untere Grenze der kleinsten der positiven Zahlen p, q von Null verschieden ist.

Und hieraus ergiebt sich eine Methode der Untersuchung, welche ebenfalls nach einer endlichen Zahl von Operationen abschliesst oder die Unmöglichkeit eines solchen Abschlusses zu erkennen giebt⁴³). Die Fortbildung dieser Untersuchung für mehr als zwei Variable scheint aber gegenwärtig noch nicht zum Abschluss gelangt zu sein.

22. Bedingte Extreme. Soll f(x,₁x₂ . . . xn) ein Extremum sein, während die Bedingungen

9>i = 0, <Ps = 0. • - • W = 0 (& < ») bestehen, so kann man, falls h der x durch die übrigen als aus-drückbar angesehen werden, diesen Fall auf den der unabhängigen Variabein zurückführen. Aber schon Lagrange hat diese unzweckmässige und bei mehreren Variabein gar nicht ausführbare Behandlung durch seine Methode der Midtiplikatoren ersetzt, nach welcher die notwendigen Bedingungen durch die Gleichungen

df

dxi

dxt

= 0 (i — 1, 2 ... n)

erhalten werden⁴⁴). Bereits Cauchy⁴⁵) bemerkt, dass wegen der Ver-tauschbarkeit von f mit jedem der (p eine Reziprocität in den Extremen hervortrete, aber erst A. Mayer hat diesen — in den einfachsten Fällen natürlich oft bemerkten und namentlich bei den isoperimetrischen Problemen (II A, 9) hervortretenden — Reziprocitätssatz genau präzisiert⁴⁶). Bestehen nämlich zwischen den n-j-1 Variabein

#0, ^1 • • • ^71

Bedingungen

<Po = 0, . . . cpr == 0, in denen wenigstens ein Parameter y₀ vorkommt, so besteht zwischen der Lösung der Aufgabe, x₀ zu einem Extremum für konstantes y0 zu machen, und der reciproken durch Vertauschung von x₀ und y0 entstehenden, die Beziehung, dass, wenn

¹

   Théorie des fonctions 1813, éd. 2 (éd. 1, 1797), p. 67: d’où resuite ce théorème nouveau remarquable par sa simplicité et généralité . . .

²

   Ampère begründet so das Lagrange'sehe Resultat in den Leçons sur le

³

calcul des fonct. (J. Éc. polyt. cah. 12 [1805]); ib. cali. 13 (1806) werden für

⁴

   Vgl. J. Tannery, Fonctions d’une variable, p. 246.

⁵

   0. Stolz, Grundzüge 1, p. 97—100.

⁶

   L. Kronecker, Beri. Ber. 1884, p. 841—862.

⁷

   G. Jordan, Cours 1, p. 245. Bei diesen Ableitungen ist jedoch die Stetigkeit der wten Ableitung vorauszusetzen, falls man nicht in eine genauere Erörterung der Integraloperationen eintreten will. Hinsichtlich der Interpretation der Taylor’schen Entwickelung vgl. man auch : J. Plücker, mechan. Deutung d. T. Satzes, Diss. Marburg, 1823 = Werke 1, p. 41 ; A. Möbius, Leipz. Ber. 1844 = Werke 4, p. 627.

⁸

   Théorie des fonctions p. 134.

⁹

   Die vollständige Ausführung bei Ö. Stolz, p. 143.

¹⁰

   Calc, differ, p. 244 (1829); kurz zuvor war durch A. M. Ampère (Gerg. Ann. 17, p. 317 [1827]) die Taylor’sche Entwickelung mit Hülfe des Mittelwertsatzes in eben dieser Form für n Variable allgemein aufgestellt.

¹¹

   Peano, Calcolo p. 145 (p. XXV); desgl. O. Stolz, Grundzüge 1, p. 161.

¹²

   Darboux, J. de math. (2) 3, p. 294 (1876); P. Mansion, Brux. S. sc. 9. B (1885/86), p. 37; die genaueren Voraussetzungen hei 0. Stolz, Grundz. 2, p. 93.

¹³

   Siehe die Litteratur bei G. Peano, Calcolo p. XXI.

¹⁴

   Vgl. Hermite, J. f. Math. 84, p. 70, 79; R. Lipschitz, Par. C. R. 96, p. 119 (1878).

¹⁵

   A. L. Crelle, J. f. Math. 22, p. 249 (1839); es ist dies die durch den Rest ergänzte ursprüngliche Formel Taylor’s; andere Beweise bei J. Caque (J. de math. 10, p. 379 [1845]); 0. Schlömilch (Zeitschr. Math. Phys. 2, p. 269 [1857], 25, p. 48 [1880]).

¹⁶

   Vgl. z. B. Glashart, Amer. J. 4, p. 282 (1881).

¹⁷

   A. Popoff, Par. C. R. 53, p. 798 (1861).

¹⁸

   Expose des méthodes générales de H. Wronslci, par A. Leauté (J. de math. (3) 7, p. 185 (1881) u. flgde. Bde. Vgl. auch E. Marchand, Sur le changement des variables, Ann. éc. norm. 3, p. 137, 343 (1886), sowie über Wronslci's Arbeiten im allg. die Encyclopédie math, par A. de Montferrier 3, p. 401.

¹⁹

   Der Fall x = 0 giebt die nach Colin Maclaurin (*Treatise on fluxions, § 828, Edinburg 1742) unnötigerweise besonders benannte Reihe J. Stirling's (1717).

²⁰

a. a. 0. p. 68.

²¹

113)    p. 79. Vgl. IIA 1,12.

²²

114)    Über den prinzipiellen Unterschied in der Tragweite dieser Bedingung

²³

und derjenigen der unbeschränkten Differentiierbarkeit (im reellen Sinne) vgl.

²⁴

Prmgsheim, a. a. 0. p. 58.

²⁵

   Vgl. IIAl, Fussn. 124.

²⁶

   B. Baltzer, Elem. d. Math. 5. Aufl. 1, p. 217; P. du Bois-Beymond, Math. Ann. 15, p. 564 (1879).

²⁷

   Du Bois-Reymond ebenda p. 565. Die Terminologie in der Lehre der Maxima und Minima ist eine sehr schwankende. Am verbreitetsten ist wohl der Gebrauch, die relativen Extreme des Textes absolute oder Extreme schlechthin, die bedingten relative zu nennen, so z. B. R. Lipschitz (Analysis 2, p. 306); A. Mayer, Leipz. Ber. p. 122 (1889); 0. Stolz, Grundz. 1, p. 200. Dagegen heissen nach G. Peano (Calcolo diff. p. 191) die absoluten Maxima des Textes relative und umgekehrt; C. Jordan (Cours 1, p. 22) setzt obere Grenze und Maximum als gleichbedeutend. Den relativen Charakter der Extreme in der Differentialrechnung hat schon J. d’Alembert betont (Encyclopédie math. 2, p. 367 [éd. 1784]).

²⁸

   Grundzüge p. 200, 211.

²⁹

   A. Mayer, Leipz. Ber. 33, p. 28 (1881) gebraucht diesen Ausdruck in einem etwas anderen Sinne.

³⁰

   Über derartige Fälle vgl. man z. B. E. Pascal, Esercizi p. 215—222 (1895).

Encyklop. d. math. Wissensch. II,

³¹

   Th. des fonctions p. 266. Ein strenger Beweis dieses Satzes zuerst bei Peano (Calcolo p. 197); etwas kürzer bei L. Scheeffer (Math. Ann. 37, p. 557); vgl. C. Jordan (Cours 1, p. 377); mit der Ausdehnung auf implicite Funktionen von A. Mayer (Leipz. Ber. 41, p. 124 [1889]).

³²

   Nach der von L. Scheeffer (Math. Ann. 35, p. 555 [1885]) eingeführten Bezeichnung.

³³

   Gerg. Ann. 20, p. 331 (1830).

³⁴

   So noch bei Serret-Harnack Bd. 1; berichtigt im Bd. 2, 1, p. 380 mit Beziehung auf Peano's Beispiel (Calcolo diff. p. XXIX [1884]).

³⁵

   L. Scheeffer, Leipz. Ber. 1886 = Math. Ann. 35, p. 554; vgl. O. Stolz, Grundz. 1, p. 211. Letzterer dehnte den von Scheeffer nur für zwei Variable bewiesenen Satz auf n aus (Wien. Ber. 99, p. 499 [1890]); Grundz. 1, p. 237.

³⁶

   Scheeffer, a. a. 0. p. 566.

³⁷

   Scheeffer, p. 572. Vgl. auch, die Darstellung bei C. Jordan, Cours 1, p. 381.

³⁸

   Theorie des fonctions p. 256.

³⁹

   Wien. Ber. 99, p. 496 (1890); 100, p. 1167 (1891); 102, p. 85 (1893). Vgl. auch die Darstellung in Grundz. 1.

⁴⁰

   V. v. Dantscher, Math. Ann. 42, p. 89 (1893).

⁴¹

   L. Scheeffer, Math. Ann. 35, p. 548.

⁴²

   v. Dantscher, a. a. 0. p. 91.

⁴³

   A. a. O. p. 102, 109, 131.

⁴⁴

   Lagrange, Th. des fonct. p. 268; Mécanique analytique = oeuvr. 11, p. 78.

⁴⁵

   Cauchy, Calc, differ, p. 250, 252.

⁴⁶

   A. Mayer, Leipz. Ber. 41, p. 308 (1889).

X(y₀)

Vo = Y(xo)

den extremen Wert von x₀ liefert, umgekehrt die Auflösung dieser Gleichung

einen extremen Wert von y₀ bei konstantem x₀ bestimmt, dessen

•    $ cc •

Charakter sich vollständig durch bestimmen lässt.

Da die allgemeinen Methoden Scheeffer’s eine besondere Behandlung für jeden einzelnen Fall erfordern, suchte A. Mayer¹) ferner in verschiedenen Arbeiten solche Fälle auf, in denen, wie auch im semidefiniten Falle, die Benutzung der Entwickelungsglieder höherer Dimension notwendig und allgemein durchführbar wird. Von der, bis jetzt nicht völlig bewiesenen, Voraussetzung ausgehend, dass ein Extremum sicher vorhanden sei, wenn ein solches auf allen analytischen Kurven

Xi =    + *&⁽¹⁾ + W²⁾ -f • • •

durch den betreffenden Punkt £>■ stattfindet, ergiebt sich, dass für ganze Funktionen zweiter und dritter Ordnung die Untersuchung der dritten und vierten Variation in Bezug auf t (d. h. des Entwiekelungs-koeffizienten der entsprechenden Potenz von t) bereits „im allgemeinen“ hinreichend ist.

23. Definite homogene Formen. Wann ist nun eine ganze rationale Funktion, insbesondere eine homogene Form definit oder semidefinit oder indefinit? Diese Frage lässt sich für die quadratischen Formen mittelst ihrer Transformation auf eine Summe von Quadraten beantworten, und führt zu einem eleganten, auch in dem Falle, wo noch lineare Bedingungen zwischen den Variabein bestehen, übersichtlichen Kriterium² 3). Die bereits von Lagrangeu⁶) gegebene Anregung, den definiten Charakter höherer Formen allgemein zu charakterisieren, ist neuerdings durch 1). Hilbert weiter gefördert. Während eine definite (positive) binäre Form (I B 2) immer als Summe zweier Quadrate darstellbar ist, lässt sich eine solche biquadratische ternäre Form

23. Definite homog. Formen. 24. Independente Darst. höherer Derivierten. 87

durch die Summe dreier Quadrate darstellen⁴), aber unter den definiten Formen einer (geraden) Ordnung n von m Variabein, abgesehen von den drei besonderen Fällen n — 2, m beliebig; n beliebig, m = 2; n — 4, m — 3, finden sich immer auch solche, die überhaupt nicht als eine endliche Summe von Quadraten sich darstellen lassen⁵). Die Entscheidung für höhere Formen ist also überhaupt keine zum Falle n — 2 analoge Aufgabe der Formentheorie148a), sondern die Frage ist nach dem Extremum der homogenen Function Gn(x1}.. . xn) unter der Bedingung

X\ + x% H-----b Xn ~ 1

zu stellen.

24. Independente Darstellung höherer Derivierten. Da für

y = cp(x), fix) — F(y) die Gleichung

/■(») (x) =    Xt"FM (j/), 4 = 1,..

k

besteht, in der die Xkn von der Form des F(y) unabhängige Funktionen 7cten Grades der 1, 2 ... n — k -f- lten Derivierten von cp{x) sind, so kann man dieselben aus den linearen Gleichungen bestimmen, die aus n für F(y) passend gewählten Funktionen (z. B. Potenzen von y) entstehen. Dies ist von Hess⁶) mit Benutzung der Determinantentheorie geschehen; zweckmässiger ist das auf der Vergleichung beider Seiten der obigen Gleichung mit Hülfe der Taylor’schen Reihe beruhende Verfahren Hoppe’s⁷ 8) und U. Meyer’s¹⁶¹). Schlömilch gab. dann⁹) die Formeln für die von ihm als zweites Hauptproblem be-zeichnete Aufgabe, die F^(y) durch die fW(x) auszudrücken, d. h. die independenten Formeln zur Vertauschung der unabhängigen Variabein; erst Steinbrück¹⁰) wies auf die selbstverständliche Identität

IIA2. Differential- und Integralrechnung, der beiden Fragen bin, vermöge der neben der obigen Gleichung auch

88

*■<•>(*) =

wird. Ein wesentlicher Fortschritt aber ergab sich, als nach Götting’s Entwickelung der Potenz yk 154) Most den wten Differentialquotienten mittelst des Cauchy’sehen Integrals in die Betrachtung einführte¹¹ 12); eine Konsequenz davon war die Erweiterung des Problems auf die Derivierten einer Funktion von beliebig vielen Variabein. Übrigens ist die Integraldarstellung nur ein Durchgangspunkt, denn es genügt, falls y = cp (x) und F (y) als konvergente Potenzreihen vorausgesetzt werden, in der Entwickelung von f(x -j- |) den Koeffizienten von

JL

nl b

zu nehmen; derselbe ist nach dem polynomischen und Taylor’schen Satze gleich

n*)=FlFl<3)

wobei

h ! 4 ! • •

h + h H----- Ie,

h\ “f“    + •••==»,

womit Faà di Bruno’s Formel¹³) gefunden ist.

Die Jfosfschen Resultate hat neuerdings Königsberger elementar nach der Methode der vollständigen Induktion hergeleitet¹⁴). Erwähnt sei noch eine Untersuchung von Fr. Meyer¹⁵) über den algebraischen Charakter der Bruno’sehen Formel.

D. Integralrechnung.

I. Funktionen einer Variabein.

a) Das unbestimmte Integral.

25. Die unbestimmte Integration. Euler definiert die Integralrechnung folgendermassen: Calculus integralis est methodus, ex data differentialium relatione inveniendi relationem ipsarum quantitatum,

et operatio, qua hoc praestatur, integratio yocari solet¹⁶). Gegenwärtig pflegt man dagegen aus der eigentlichen Integralrechnung die Lehre von den Differentialgleichungen (II A 4—8) auszuscheiden, und dieselbe auf den Fall zu beschränken, wo aus der funetio derivata die funetio integra (primitive F. nach Lagrange's Bezeichnung¹⁷)) gesucht werden soll.

Der Ausdruck¹⁸)

Giebt es überhaupt zwei stetige Funktionen F(x) und 0(æ), deren Differentialquotient (allgemeiner deren vorwärts genommene Derivierte) f(x) ist, so ist nach dem Fundamentalsatze der Differentialrechnung Fix) — O ix) = const.

const.

J*f(x)dx -j-

stellt daher alle Integralfunktionen der bezeichneten Art von f(x) vor, wenn J*f{x)dx irgend eine derselben bedeutet; er heisst das unbestimmte Integral von fix). Aus den Formeln der Differentialrechnung (3) ergeben sich so die für die Elemente der Integralrechnung ausreichenden Formeln

xn dx —

xn+1

n-f-1

dx

= arctg x -f- C,

dx

— arc sina; -f- C,

y 1 — x²

J^cosx dx = sin x -j- (7; Jsinxdx — — cos a; -f- O,

J"*exdx = e* -f- C.

Wird die Integralfunktion so bestimmt, dass sie für x — a verschwindet, so heisst das Integral ein bestimmtes, und wird durch

X

bezeichnet¹⁹).

J*f ix) dx

Ist also F(x) eine der stetigen durch das unbestimmte Integral

J*fix) dx dargestellen Funktionen,

so wird

J — Fix) — F(a)\

für den Substitutionsprozess auf der rechten Seite werden häufig die Zeichen

gebraucht.

26. Die rationalen Funktionen. Das Integral einer Funktion ergiebt sich, sobald durch eine der folgenden Methoden: Zerlegung der Funktion in eine Summe einfacherer, Substitution einer neuen Yariabeln, partielle Integration, Differentiation resp. Integration nach einem Parameter etc., von denen die drei ersten unmittelbar mittelst der Differentialrechnung begründet werden können, das vorgelegte Integral auf die elementaren Integrale zurückgeführt werden kann.

Die Integration der irreducibeln rationalen gebrochenen Funktionen¹⁶⁴) Fix) : f(x), bei denen F(x) von vorneherein von niedrigerem Grade als fix) vorausgesetzt werden soll, beruht auf der Partialbruchzerlegung

x — a

_[-----... A -L . . .

'    ' x—b '    ’

F(x)

(x — a)a (X —

wo «,&,... die Wurzeln von fix) — 0 und A, B, . . . Konstanten sind, zu deren Berechnung die von Lagrange¹⁶⁵) herrührende Entwickelung

(x — a)

- -1-----1-

a '    ' x— a

F(x + h)

fix-\-h) ■ (x — a — h) h—¹

her (Theorie analyt. de la chaleur p. 252 [1822] = oeuvr. 1, p. 226) Nach Lacroix, 3, p. 468 schrieb Euler

Kronecker (Vorlesungen p. 1) beanstandet die Bezeichnung „bestimmtes“ Integral; schon der Bearbeiter des Artikels Integralrechnung in Ersch und Gruber’s Encyclopädie Teil 19, p. 183 (1841) schlug den Namen „abgegrenztes Integral“ vor.

163)    Eingeführt von F. Sarrus (Gferg. Ann. 14, p. 197 (1823); auch Par. sav. ehr. 10 (1848); man vgl. auch Moigno 4, 1, p. XI und 1, sowie Cauchy, Exercices d’analyse 3, p. 100 (1844).

164)    Leibniz und Joh. Bernoulli, Act. erud. 1702/3 {Leibniz, math. Schriften 5, p. 350; J. Bernoulli, opera 1, p. 393); vgl. auch Dirlcsen, J. f. Math. 1, p. 53 (1826); L. A. Crelle, J. f. Math. 9, p. 32 (1832).

165)    Lagrange, Berl. nouv. mém. 1792/93 = oeuvr. 5, p. 640.

nach Jacobi's²⁰) Bezeichnung angewandt werden kann. Bei komplexen Wurzeln von f(x) tritt hiernach das Resultat in imaginärer Form auf. Man vermeidet dies bei reellen Funktionen durch paarweises Zusammenfassen der komplex konjugierten Teile; diese sehr weitläufige Behandlung wird vereinfacht durch die Methode, die komplexen Partialnenner in der Form

Atx Bt (,x — a)² -J- b²

An_₁X-j- Bn —

(ix — a)²-f ft²)

((x — a)²-f b*)n~

anzusetzen²¹), doch müssen auch hier noch die einzelnen Glieder durch partielle Integration auf logarithmische und Kreisfunktionen reduziert werden.

Diese Rechnungen werden vermieden durch den von Baltser wieder hervorgehobenen Ansatz²²) /

+2^+2

Bkx + Ck

F (x) d .F, (x)

fix)    dx f (x)

(f₁ (x) der grösste gemeinsame Teiler von fix) und f'(x), F₁(x) eine ganze Funktion, deren Koeffizienten, ebenso wie die Bk, Ck durch Auflösung linearer Gleichungen zu bestimmen sind). Lässt man an Stelle dieser Formel den Ausdruck

ix—bky + Gk

F{x)

fix)

*(D +

dx

treten, wo Q das Produkt der einfachen Wurzelfaktoren von fix), P der grösste gemeinsame Faktor von f(x) und f'(x), M (und N) von niedrigerem Grade sind wie P (und Q), so gelangt man zur Bemerkung von Hermite²³), dass diese letzte Zerlegung rational ausgeführt werden kann, ohne die Wurzeln von f(x) zu kennen, so dass

diese selbst nur zur Kenntnis des aus ^ entspringenden transcendenten

Integralteiles erforderlich sind. Im übrigen gehören diese Partialbruchzerlegungen in das Gebiet der Algebra, der es obliegt, zu zeigen, dass die angegebenen Entwickelungen 1) auf eine einzige Art möglich

sind²⁴), 2) durch rationale Operationen ausgeführt werden können, sobald man die irreducibeln reellen Faktoren von f(x) als bekannt voraussetzt²⁵). (Vgl. I B 1 a, 2. 5. 14). Eine dem heutigen Standpunkt entsprechende Behandlung der Integrale rationaler Funktionen ist wegen der Vieldeutigkeit der Integrale erst auf Grund der Theorie der Funktionen einer komplexen Variabein möglich.

27. Transcendente Funktionen. Auf den Fall der rationalen Funktionen lassen sich die Integrale der rationalen Funktionen von den goniometrischen oder der Exponentialfunktion durch Substitution zurückführen. Insbesondere gilt das auch noch von der rationalen ganzen Funktion

f(x, e?x, ehx,... sin ax, cos ax; sin ßx, cos ßx,.. .), deren Berechnung in Analogie mit der Theorie der Integrale doppeltperiodischer Funktionen Hermite ausführlich dargelegt hat²⁶).

28. Algebraische Funktionen vom Geschlechte Null. Die Integrale irrationaler Funktionen von der Form

J—J*f(xy)dx,

wo f eine rationale Funktion von x und y = yax² -f- 2bx -j- c ist, lassen sich nach verschiedenen Gesichtspunkten behandeln. Erstens kann man durch die hei den hyperelliptischen Integralen überhaupt gebräuchlichen Methoden das Integral zunächst auf die Form²⁷)

fix) y aX

bringen und dann die rationale Funktion von x in Partialbrüche zerlegen. So gewinnt man die Entwickelung

JL(?sM)v+    V

dx\fx{x))^ ^ x-ar y ^

y((x — ck)*+ck³)’

F(x) 1 f(x) y

wo F₁(x) und fx(otf) teilerfremd sind, in völliger Analogie mit der Entwickelung der rationalen Funktionen.

Zweitens kann man durch eine geeignete Substitution²⁸) die Irra-

27. Transcend. Funkt. 28. Algebr. Funkt, v. Geschl. 0. 29. M. v. Aronhold. 93 tionalität überhaupt beseitigen und damit das Problem auf das der Integration einer rationalen Funktion zurückführen. Diese Methode erweist sich als ein Spezialfall der allgemeineren über eine Kurve vom Geschleckte Null erstreckten Integrale. (Vgl. IIB3a.)

29. Methode von Aronhold. Alle diese Operationen liefern aber selbst in den einfachsten Fällen zunächst keine Einsicht in die formentheoretische Natur des Endresultates. Die prinzipielle Untersuchung des Integrales J, falls zwischen x und y eine allgemeine Gleichung zweiten Grades besteht, nahm zuerst S. Armhold¹⁷⁵) vor. Er beseitigt die Zerlegung in Partialbrüche, das wiederholte Rationalmachen, und setzt an Stelle desselben eine Zerlegung in exakte Differentiale, für die der Zusammenhang zwischen y und x gleichgültig ist¹⁷⁶). Durch die Einführung homogener Koordinaten (die hier zum ersten Male zur Untersuchung transcendenter Funktionen benutzt werden) gelingt es zugleich, den algebraischen Aufbau der Resultate mit der Methode der Formenbildung zu beherrschen. Indem Aronhold so jedes Differential in die Masche Form

TT (x,, x₂, xs) A

bringt, wo TT eine gebrochene Funktion — lter Ordnung, A die Determinante (£xdx), /*(£, x) aber gleich

df

= /■(& x)i

wenn unter f(x±x₂x₃) = 0 die Gleichung des Kegelschnittes verstanden wird, auf den sich das Differential bezieht, lässt sich das Fundamentalintegralm)

w ~J*fW

U = Ui Xi,

als Logarithmus darstellen, und aus diesem gewinnt man durch den Armhold’sehen d-Prozess¹⁷⁸) wieder das Integral

da, a— Sa; Xi,

175)    Beri. Ber. 1861; J. f. Math. 61, p. 95 (1863), (1862). Diese Arbeit gab den Anstoss zu den Untersuchungen von Clebsch (J. f. Math. 63, 64) und der Theorie der Abel’schen Funktionen von Clebsch und Gordan (Leipz. 1866), sowie zu der ganzen Entwickelung der algebraischen Integrale in homogenen Koordinaten.

176)    Diese Methode ist daher auch für höhere Irrationalitäten anwendbar; die von Aronhold in Aussicht gestellte Fortsetzung für hyperelliptische Integrale ist aber nicht erschienen.

177)    Daselbst p. 101.

178)    Desgl. p. 106,

endlich hieraus durch symbolische Substitution das Integral einer jeden ganzen rationalen Funktion von x, y.¹¹⁹)

30. Schltisslbenaerkung. In den Fällen, wo die unbestimmte Integration sich nicht auf die besprochenen Fälle zurückführen liess ¹⁸°), suchte man entweder durch Reihenentwickelung das Integral zu ge-von dessen Existenz man auf Grund der Newton'sehen Be-

winnen,

Differentialquotienten fix) hat¹⁸¹), oder dasselbe

zum

merkung überzeugt war, dass der Flächeninhalt der Kurve mit der Ordinate f(x)

angenähert durch Summation zu ermitteln²⁹ 30 31 32). In prinzipieller Weise scheint man aber vor Cauchy die Existenzfrage überhaupt nicht gestellt zu haben. Selbst bei dem Satze, durch den die Leibniz' sehe

Summation

fix) — f(a) = dif'Oi + ^Sidi

vermöge des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung begründet wird³³), vermisst man nicht selten den Beweis, dass die so gewonnene Funktion wirklich zur Derivierten f (x) habe³⁴). Und bei einer Durchsicht auch der ausführlicheren Lehrbücher der Integralrechnung tritt deutlich hervor, wie sehr die Begründung der Integralrechnung in diesem Teile der Litteratur bis in die neuere Zeit vernachlässigt worden ist³⁵).

b) Das bestimmte Integral.

31. Das bestimmte Integral nach Cauchy, Riemann und Darboux. Durch Joh. Bernoulli's und L. Euler's Ausbildung der formalen Integralrechnung war der ursprüngliche Begriff derselben als der des calculus summatorius von Leibniz¹⁸⁶) zurückgedrängt worden. Erst Cauchy ging auch hier wieder auf die ursprünglichen Vorstellungen zurück und definierte das Integral zwischen den Grenzen a und b durch den Grenzwert

b

(1)J*f(x) dx = lim \(xt

— a)f(a) +    H-----h (& — Xn)f(Xn)],

zunächst unter der Voraussetzung eines im ganzen Intervalle stetigen und endlichen fix).¹⁸⁷) Von dieser Beschränkung befreite erst B. Bie-mann¹⁸⁸) den Integralbegriff durch die Frage nach den notwendigen und hinreichenden Bedingungen, unter denen für eine im Intervalle endliche Funktion jener Grenzwert ein vollkommen bestimmter, von der Art der Einteilung des Intervalles völlig unabhängiger ist. Zugleich tritt an die Stelle von (1) die Definition¹⁸⁹)

OL

lim [(% — a)f(lx) + (x₂ — xjffa) -J-----(b

wo irgend einen dem Intervalle Xk+i — xk — Axk angehörigen Wert bedeutet. Bezeichnet nun 0* die obere, ok die untere Grenze von f(x) in diesem Intervalle, l)k = Ok — ok die Schwankung des Funktionswertes, so muss notwendig¹⁹°)

(2)

lim Di A xk = 0

186)    Leibniz, math. Schriften 3, p. 118. Bei Euler wird der Summenbegriff nur zur angenäherten Berechnung des Integrals herangezogen. Ygl. auch Calc. int. p. 3, scholium 1: hoc signum J' vocabulo summae efferri solet, quod ex conceptu parum idoneo, quo integrale tanquam summa omnium differentialium spectatur, est natum. Dagegen beruhen die Integrationen bei P. Fermat (Varia opera [1679], p. 44), Wallis u. anderen auf dem eigentlichen Summenbegriff. Über neuere Berechnungen bestimmter Integrale auf Grund dieser Vorstellung vgl. Dirichlet bei G. F. Meyer, p. 9—15 (1858); Dini-Lü/roth, p. 341; Lipschitz, Lehrb. d. Analysis 2, p. 109; E. Netto, Ztschr. f. Math. Phys. 40, p. 185 (1895).

187)    A. L. Cauchy, J. éc. polyt. cah. 19, p. 571 u. 590 (1823); auch schon im „Résumé des leçons etc.“ von 1823, p. 81. (Vgl. I A 1, Fussn. 81.) Vgl. auch P. L. Dirichlet (Repert. Phys. 1, p. 153 [1837] = Werke 1, p. 135).

188)    B. Biemann, Hab.-Schr. Gött. 1854 (publ. 1867) = Werke p. 213.

189)    Ebenda p. 225. Noch allgemeiner kann man in der Integraldefinition des Textes unter f (£k) irgend einen zwischen Ok und ok gelegenen Wert verstehen, gleichgültig, ob die Funktion denselben wirklich annimmt oder nicht. Vgl. z. B. G. Ascoli, Ann. di mat. (2) 23 (1895), p. 68.

190)    Desgl. p. 226.

sein, und diese Bedingung, die man auch so aussprechen kann: Die Summe der Intervalle, in denen die Schwankungen grösser sind wie eine bestimmte positive Zahl d, muss durch Verkleinerung der Intervalle kleiner gemacht werden können, wie eine noch so kleine Zahl e, ist zugleich die hinreichende für die Existenz des Grenzwertes in dem oben angegebenen Sinne.

Der Biemann’sehe Beweis³⁶) hierfür ist erst durch Thomae³⁷ 38) und Du Dois-Beymond³⁹) mittelst des bereits von Cauchy benutzten Prinzipes der Superposition der Teilungen völlig ausgeführt worden. Eine Funktion, welche der oben angeführten Bedingung (2) in einem gewissen Intervalle genügt, heisst daselbst integrierbar oder integrabel.

G. Darboux⁴⁰) und fast gleichzeitig Thomae und G. Ascoli⁴¹) haben die Biemann'sehe Vorstellung noch erweitert. Unter allen Umständen haben die beiden Summen

20k&xk, J£ok&xk

völlig bestimmte untere und obere Grenzwerte S und s; diese heissen oberes und unteres Integral bei Pasch³⁹), Integrale par excès et par défaut bei C. Jordan196 a), und können nach V. Volterra und G. Beano zweckmässig durch:

b b

s, s

bezeichnet werden196b).    a ®

32. Integrable Funktionen. II. Hankel⁴²) unterschied punlctiert unstetige Funktionen, d. h. solche, deren Stetigkeitspunkte überall dicht liegen, und total unstetige; erstere erklärte er als integrierbar, letztere nicht. Eine exakte Darstellung dieser Unterscheidungen gelang erst auf Grund der yon G. Cantor ausgebildeten Mengenlehre¹⁹⁸). Stetige Funktionen von integrabelen Funktionen sind wieder integrabel¹⁹⁹); andererseits ist ein Produkt sicher nicht integrabel, wenn ein Faktor integrabel ist, der andere nicht²⁰⁰).

33. Eigenschaften des bestimmten Integrals. Diese Auffassung des Integrationsprozesses, welcher hiernach den sehr beschränkenden Forderungen der Stetigkeit und Fifferentiierbarkeit in der Biff.-Rechn. gegenüber als eine Operation von der grössten Allgemeinheit erscheint, erfordert es nun, dass die aus der älteren Integralrechnung bekannten Sätze, welche auf der Umkehrung der Differentiation beruhen, aufs neue begründet werden. Schon Dirichlet²⁰¹) machte auf die Cauchy-sehen Sätze aufmerksam, nach denen

beb

j f(x)dx — I f(x)dx -f- j f(x)dx,

J⁴fi(x) dx = jfi (x) dx,

ist; in systematischer Weise ist aber diese Forderung namentlich durch Du Bois-Reymond gestellt worden²⁰²). Die Abschätzung eines Integralwertes geschieht mittelst der beiden „Mittelwertsätze“.

34. Der erste Mittelwertsatz²⁰³) bezieht sich auf das Integral bilden, während A. Harnack den HankeVsehen Begriff der punktierten Unstetigkeit so veränderte, dass der Wortlaut des Textes richtig bleibt (Math. Ann. 19, p. 242; 24, p. 218). Ygl. II A 1, 19, insb. Fussn. 208.

198)    Aufzählung integrabeler Funktionen bei Dini-Lüroth, p. 332—341.

199)    P. du Bois-Beymond, J. f. Math. 79, p. 23 (1874), dann Math. Ann. 16, p. 112 (1879) und 20, p. 122 (1881); für uneigentliche Integrale bestehen diese Sätze zum Teil nicht.

200)    Ähnliche Untersuchungen für das Doppelintegral bei 0. Stolz, Math. Ann. 26, p. 83 (1884).

201)    Dirichlet, Werke p. 136 (1837). *

202)    Münch. Abh. 12, p. 161 (1876). Dem gegenwärtigen Standpunkt würde es entsprechen, diese Forderung so zu stellen, dass dabei immer oberes und unteres Integral unterschieden wird.

203)    P. G. L. Dirichlet in Repert. Phys. a. a. O. p. 152 = Werke 1, p. 138. Der Satz selbst ist natürlich weit älter und findet seinen geometrischen Ausdruck darin, dass ein zwischen zwei Abscissen begrenztes Flächenstück einer

Encyklop. d. math. Wissensch. II.

b

J*f(x)cp(x)dx

unter der Voraussetzung, dass cp (x) im Intervall a — b sein Zeichen nicht ändert und cp(x) und f(x) integrabel sind. Ist dann M die obere, m die untere Grenze von fix), so hat man

b    b

J*(p (x) dx<^J<^ M j‘<p(x)dx

oder, falls f(£) den unbekannten Mittelwert von m, M für |=a-|-0(A—a) wirklich annimmt (0    6    1),

b

f(J) J*<p(x)dx.‘m)

Aus diesem Satze folgt, dass das bestimmte Integral eine stetige Funktion seiner oberen Grenze ist. Er gilt aber auch für komplexe Funktionen f(x) einer reellen Variabein, wenn man auf der rechten Seite nach Darboux²⁰⁵) einen Faktor l hinzufügt, dessen Betrag < 1 ist und kann in dieser Form dann überhaupt auf Funktionen einer komplexen Variabein ausgedehnt werden²⁰⁶) (IIB 1).

Af(a)    Sf(a)

J — f(a) J*cp (x) dx

a

X

genügt, wo A und B die Extreme der stetigen Funktion J*p{x)dx

a

sind, blieb aber zunächst trotz der von Bonnet gemachten Anwen-

35. Der zweite Mittelwertsatz ist zuerst von O. Sonnet²⁰¹) in der Form ausgesprochen worden, dass das Integral J (34), falls fix) im Intervalle a — b nicht zunimmt und positiv (oder Null) ist, der Bedingung

oder auch

Kurve gleich einem Rechteck ist, das zur Höhe eine mittlere Ordinate hat; so schon bei Newton.

204)    Eine Verallgemeinerung des Satzes bei Dini-Lüroth, p. 361; eine andere bei Du Bois-Beymond, Math. Ann. 7, p. 605 (1874).

205)    Darboux, J. de math. (2) 3, p. 294. Über die Erweiterung der Integralsätze auf komplexe Funktionen einer reellen Veränderlichen siehe 0. Stolz, Grundz. 2, p. 157—169. Eine andere Erweiterung des Mittelwertsatzes rührt von Weierstrass her, vgl. Ch. Her mite, Cours d’analyse p. 47, 2. éd. (1881).

206)    Hermite, a. a. O. p. 50.

207)    O. Bonnet, Brux. Mém. 23, p. 8 (1849); J. de math. 14, p. 249 (1849).

düngen auf die Theorie der Fourier’sehen Reihe⁴³) unbeachtet. Yon der Beschränkung, dass f(x) sein Zeichen nicht ändern dürfe, befreit man ihn durch die Betrachtung, dass bei monoton zunehmendem fix) die Fonnet’sehe Regel auf f(b — 0) — f (x), hei monoton abnehmendem fix) auf f{x)—f(b — 0) angewandt werden kann; so erhält man den von Weierstrass in seinen Vorlesungen unabhängig von Bonnet durch partielle Integration bewiesenen Satz:

£ &

J = fia -j- 0) Ç(p{x)dx -f- fip — 0) J*cp{x)dx

a    £

Erst P. du Bois-Beymond hat die Bedeutung des Satzes gerade für die allgemeinen Fragen der Integralrechnung betont. Sein erster allerdings nicht übersichtlicher Beweis⁴⁴) wurde bald durch Hanhel⁴⁵) mittelst des auch von Bonnet benutzten Abel’sehen Hülfssatzes⁴⁶) vereinfacht. Erst 1875 aber befreite sich Du Bois von der Voraussetzung⁴⁷), dass (p (x) nur eine endliche Anzahl von Zeichenänderungen erfahren dürfe⁴⁸). Neuerdings hat 0. Holder den Satz noch einmal in möglichst präziser Form gegeben⁴⁹).

36. Der Fundamentalsatz der Integralrechnung und die Integrationsoperationen. Da für die stetige Funktion F(x)

Fix) — J' fix) dx

der Differenzenquotient gleich dem Mittelwert von fix) im Intervalle x, x -f- Ax ist, so hat Fpx) überall da, wo fix) stetig ist, die Derivierte fix).⁵⁰) Ist dagegen fix) an der Stelle x nicht stetig, jedoch f (x —j— 0) vorhanden, so ist die vorwärts genommene Derivierte von F(x) gleich f(x -f- 0) und entsprechendes gilt eventuell für die hintere Derivierte. Umgekehrt aber ist diese Bedingung nach Thomae²¹⁶) nicht notwendig für die Existenz einer (vorderen) Deri-vierten. Und ist f(x) im allgemeinen, d. h. mit Ausnahme einer abzahlbaren aber nicht ausgedehnten Menge von Punkten des Intervalles stetig, F(x) ferner irgend eine stetige und endliche Funktion, deren vordere Derivierte überall mit fix) resp. fix -f- 0), wo f(x) oder f{x -J- 0) existiert, übereinstimmt, so ist

Fix) — F(a) — Çf(x)äx

womit das unbestimmte Integral mit Hülfe des bestimmten gewonnen ist²¹⁷). Diesem Fundamentalsatz der Integralrechnung, der in speziellen Fällen bereits von Dini ausgesprochen, dann von Du Rois-Reymond²¹⁸) verallgemeinert wurde, kann man nach Dini-Lüroth²¹²) folgende Form geben:

216)    J. Thomae, Gött. Nachr. p. 696 (1893), entgegen der z. B. bei Dini-Lüroth (1892), p. 369 ausgesprochenen Ansicht.

217)    Bei der hier massgebenden historischen Entwickelung durfte die Betrachtung der formalen Integralrechnung vor der Lehre vom bestimmten Integral nicht fehlen. Der gegenwärtigen Ausbildung der Theorie scheint es aber zu entsprechen, diesen Teil erst da zu behandeln, wo aus dem Begriff des „bestimmten“ Integrals der des „unbestimmten“ gewonnen ist, um so von vornherein den Dualismus im Integralbegriff zu vermeiden. Allerdings ist — abgesehen von sehr berechtigten didaktischen Einwendungen — hierbei zu berücksichtigen, dass der Bernoulli'sehe Integralbegriff (Joh. Bernoulli, Lect. math. 1691/92; Opera 3, p. 387: Integrales, id est eae quantitates, quarum sunt differentiales) umfassender ist als der Biemann'sehe. Diese schon von Dini ausgesprochene Ansicht hat V. Volterra durch Beispiele von Funktionen bestätigt, welche eine nicht integrable Derivierte haben, so dass für die letztere ein Integral im Sinne Biemann's nicht existiert. Ygl. V. Volterra, Giorn. di mat. 19, p. 333 (1881) und Dini-Lüroth, p. 381. Ygl. auch II A 1, Fussn. 223.

218)    Litt, bei Pasch, a. a. 0. p. 152, 154. An Stelle der Gleichung:

F(x) — F(a) =JF\x) dx

tritt in diesem Falle die (sie umfassende) Ungleichung

fF’ (x) dx    F(x) — F{a) <LfF\x) dx,

siehe A. Pringsheim, Münch. Ber. 29 (1899) p. 57; ein etwas allgemeinerer Satz dieser Art schon bei Pasch, a. a. 0. p. 153. Ygl. auch L. Scheeffer, Acta math. 5, p. 282 (1884); desgl. p. 183.

219) Dini-Lüroth, p. 377, 379. Ygl. M. Pasch, Math. Ann. 30, p. 153.

Wenn die endliche und stetige Funktion F(x) so beschaffen ist, dass eine ihrer vier Deriyierten endlich und integrabel ist, so sind es auch die drei anderen und das bestimmte Integral dieser vier Funktionen zwischen den Grenzen a — x ist gleich F(x)— F(a)] zugleich mit der Umkehrung, dass die vier Derivierten der Integralfunktion

F(x) = j* f(x)dx

selbst zum Integralwerte bis auf eine Konstante wieder F(x) haben.

Bei der Substitution einer neuen Variabein t an Stelle von x durch eine Beziehung x = cp(t) ist vorauszusetzen⁵¹), dass cp(t) im Intervalle stetig wächst (monoton ist) und eine endliche integrabele Deri-vierte besitzt; dann gilt die Formel

b    tL

J* f(x) dx — J^ f(cp(tj)cp'(t)dt.

io

Am eingreifendsten äussert sich der Riemann’sche Integralbegriff bei der partiellen Integration. Indem Du Rois-Reymond⁵²) die Leibniz’ sehe Formel

b    b    b

Çudv = Jid(uv) — J^vdu,

welche bei u und v eine Derivierte voraussetzt, in die Gestalt

b    x    b    b    b    x

J*f (x)    y (x) dx^ dx = j‘cp(x)dx J* f(x) dx— j'yÇx)^ Ç f(x)dx~^dx

cp(x) und f(x)

brachte, entsteht ein ganz allgemeines Integrationstheorem, bei dem nur als integrabele Funktionen vorausgesetzt zu werden brauchen⁵³); der Beweis kann auch hier durch die Methode der partiellen Summation geführt werden⁵⁴).

Die Frage nach der Differentiation eines Integrals (resp. der Integration desselben) nach einem Parameter kann man unter den allgemeinen Gesichtspunkt bringen⁵⁵), wann

b    b

lim ( f f(x, y) clx) = ( lim f(x, y) dx

y—a±0    '    afy,2/=a±0

gesetzt werden darf. Hierbei kommt, wenn es sich um hinreichende Kriterien handelt, der Begriff der gleichmässigen Konvergenz gegen die Grenzfunktion in Betracht (IIA 1, 16). Bei der Bildung der Derivierten nach einem Parameter y hat man schon längst bemerkt, dass die Leibniz' sehe Regel⁵⁶) häufig versagt, weil z. B. die Derivierte nicht mehr integrabel ist⁵⁷). Setzt man in

f(x, yA y) —fix, y)dx

Ay

f{x, y) + Ay — fix, y) = A y

df(x,y)

dy

+ &y-M,

df

so wird es sich darum handeln, wann bei integrabelem das Integral

fMdx

kleiner als e genannt werden kann für alle A y < rj. Sicher ist diese Forderung erfüllt, wenn der Differentialquotient eine stetige Funktion von x, y in den bezüglichen Intervallen ist⁵⁸). Diese sehr eng gefasste Bedingung kann dahin erweitert werden, dass der Differenzen-

quotient

Ay

îm allgemeinen (d. h. mit Ausschluss einer Menge vom

Inhalt 0 (vgl. I A 5 u. II A 1)) gleichmässig gegen den integrabelen Differentialquotienten konvergieren muss.

37. Uneigentlicłie Integrale. Lässt man die Voraussetzung der Endlichkeit von fix) oder des Intervalles (ab) fallen, so verliert der JRiemann'sehe Integralbegriff seine Bedeutung⁵⁹ 60). Wächst f(x) für x = b über alle Grenzen, so setzt man

b    b — s

j fix)dx — lim f fix)dx ’J    8 = 0 J

falls die rechte Seite eine bestimmte Bedeutung hat, und analog falls f(x) für x — c unendlich wird,

b    c — s    b

f = lim J -f- lim f ;

a    a    c-j-77

ebenso verfährt man, wenn das Intervall unendlich wird. Alle diese durch einen neuen Grenzprozess definierten Integrale heissen uneigentliche Integrale, Integrales définies généralisées bei C. Jordan, Integrali improprii. Vgl. im übrigen II A 3, 2.

¹

   A. Mayer, Leipz. Ber. 41, p. 129 (1889), daselbst der Ausdruck des Scheeffer’sehen Theorems für bedingte Extreme; desgl. Leipz. Ber. 44, p. 54 (1892); vgl. auch die älteren Arbeiten in Leipz. Ber. 33, p. 28 (1881); daselbst p. 42 Bemerkungen über den schon von Cauchy (Calc. diff. p. 233) angeführten Fall, wo die notwendigen Bedingungen des Extremums für eine kontinuierliche Mannigfaltigkeit von Werten bestehen. (Vgl. S. Spitzer, Arch. Math. 22, p. 187 [1854].)

²

   In den Grundzügen (abgesehen von Lagrange) schon bei Cauchy (Calc, differ, p. 246); zum ersten Male für n unabhängige Variable bei J. J. Sylvester (Lond. Trans. 143, p. 481 [1853]; auch Phil. mag. 1852); Beweis der Sylvester-schen Formel bei B. Williamson (Quart. J. 7, p. 48 [1872/73]). Die Behandlung von F. Bichelot in den Astr. Nachr. 48, p. 273 (1858) wurde in kürzerer Weise dargestellt durch F. Brioschi (Ann. di mat. (1), 2 p. 61 [1859]); sodann durch 0. Stolz, mit spezieller Beziehung auf die Theorie der Extreme, Wien. Ber. 68, p. 1063 (1868); man vgl. auch 0. Stolz, Grundz. 1, p. 248.

³

   Th. des fonctions, p. 266.

⁴

   B. Hilbert, Math. Ann. 32, p. 342 (1888).

⁵

   Ebenda p. 344.

148a) Ygl. indess den weiteren Satz von B. Hilbert, Acta math. 17, p. 169 (1893), nach dem jede ternäre definite Form als Quotient zweier Summen von Quadraten von Formen darstellbar ist.

⁶

   E. Hess, Zeitschr. Math. Phys. 17, p. 1—12 (1872); für mehr Variable ähnlich bei F. Mertens, Krakau. Ber. 20, p. 251 (1890).

⁷

   B. Hopjpe, Theorie der independenten Darstellung der höheren Differentialquotienten , Leipz. 1845 (J. f. Math. 32, p. 78); erste allgem. Behandlung der Aufgabe, von welcher z. B. noch J. f. Math. 32, p. 1 (1846) durch Schlömilch ganz spezielle Fälle betrachtet werden.

⁸

   U. Meyer, Arch. Math. 9, p. 96 (1847).

⁹

   0. Schlömilch, Leipz. Ber. 1857; Zeitschr. Math. Phys. 3, p. 65 (1858); Kompendium 2, p. 16 (1879).

¹⁰

   G. Steinbrück, Diss. Berl. 1876, p. 2.

¹¹

   B. Gotting, Math. Ann. 3, p. 276 (1870).

¹²

   B. Most, Math. Ann. 4, p. 499 (1871).

¹³

   Faà di Bruno, Ann. fis. mat. (1855), erweitert bei Most, a. a. 0. p. 502. Durch die im Texte angedeutete, übrigens schon von S. F. Lacroix (traité 1, p. 325 [1810]) angegebene Methode wird eigentlich die Ausbildung einer besonderen Theorie überflüssig.

¹⁴

   jL. Königsberger, Math. Ann. 27, p. 473 (1886).

¹⁵

   Fr. Meyer, Math. Ann. 36, p. 435, 453 (1890); man vgl. auch Mon.h. 1, p. 33 (1890).

¹⁶

   Euler, Inst. calc. int. l,p. 1(1768); ähnlich Calc. diff. praefatio p.VIII(1755).

¹⁷

   Lagrange, Fonct. analyt. = oeuvr. 9, p. 33.

¹⁸

   Das Zeichen J'(eigentlich ein $ = Summe, vgl. Fussn. 186) stammt von Leibniz, dem Begründer der Integralrechnung (Joh. Bernoulli, opera 1, p. 96; vgl. auch dessen Lectiones mathematicae, opera 3, p. 387), Manuscr. v. 29. Okt. 1675 (Gerhardt, Entdeckung der höheren Analysis p. 125); zum ersten Mal gedruckt in der Geometria recondita 1686 (Leibniz, math. Schriften 5, p. 226); zu allgemeiner Anwendung kam es seit 1696, wo Joh. Bernoulli {Leibniz, Schriften 7, p. 262) dasselbe annahm.

¹⁹

   Diese Bezeichnung der Grenzen des Integrals rührt -von J. B. Fourier

²⁰

   C. G. J. Jacobi, Diss. Berol. 1825 = Werke 3, p. 12; auch. 6, p. 27. Der Koeffizient Aa ist immer gleich Fia): fia), wo f ix) = f(x):(x — a)a.

²¹

   So schon hei Euler, Calc. int. 1, p. 24 (Salomon); Lacroix, traité 2, p. 15 (1814); desgl. F. Minding, Handbuch der Diff.- u. Integralrechn. 1, p. 167 ; so auch noch bei J. Hoüel, 2, p. 390 (1878).

²²

   B. Baltzer, Leipz. Ber. p. 535 (1873), mit dem Hinweis auf Newton’s quadratura curvarum (1704); das Verfahren indessen weit früher schon von Weier strass bei ähnlichen Reduktionen gebraucht.

²³

   Hermite, Ann. Éc. norm. (2) 1, p. 215 (1872), Cours d’analyse p. 265 (1873).

²⁴

   Ch. Duhamel, Cours d’analyse, 2. éd. 1847, deutsch y. H. Wagner, Braunschw. 1855, Teil I, p. 192.

²⁵

   Erschöpfende Darstellung hei Genocchi-Peano, Calcolo, p. 261—266 und 0. Stolz, Grundz. 1, p. 275—304; 2, p. 104—108.

²⁶

   Hermite, Cours d’analyse p. 258, 320—380.

²⁷

   Vgl. die Auseinandersetzung dieses von K. Weierstrass in Vorlesungen behandelten Verfahrens bei 0. Stolz, Grundz. 1, p. 305—333; 2, 109—155.

²⁸

   So schon bei Euler, Calc. int. 4, p. 17 (Salomon); vgl. auch z. B. Genocchi-Peano, p. 268.

²⁹

   Die Erweiterung der Methode auf höhere Fundamentalintegrale etc. p. 133. Kurze Darstellung des' Aronhold'sehen Verfahrens bei Harnack, Elemente p. 219; desgl. bei O. Stolz, Gfrundz. 2, p. 148—154 (1896); vom Standpunkt der homogenen Koordinaten aus bei F. Lindemann, Vorlesungen über Geometrie von A. Clebsch, p. 766 (1876), sowie S. Gundelfinger, Vorlesungen aus d. anal. Geom. der Kegelschnitte, Leipzig 1895, p. 415.

³⁰

   Bei Joh. Bernoulli, lect. math, de meth. integralium, Opera 3, p. 371, wird die Existenz des Integrals vom Erfolge der Integration abhängig gemacht.

³¹

   Newton, de quadratura curvarum (1711), Opuscula 1, p. 125 u. p. 212.

³²

   Euler, Calc. int. 2, p. 200.

³³

   Diese den Übergang zum Cauchy'sehen Integralbegriff zweckmässig vermittelnde, auch heute noch übliche Darstellung (vgl. z. B. Harnack, Eiern, p. 184; Dini-Lüroth, p. 318; Picard, traité 1, p. 2) findet sich schon bei A. de Morgan (Differential and integral calculus, London 1842, p. 100); von wem mag sie herrühren?

³⁴

   So z. B. bei J. A. Serret, Cours de calcul diff. et integral 2, p. 3 (1880); erst in A. Harnack's Bearbeitung 2¹, p. 5 (1884) finden sich die nötigen Ergänzungen. Den Cauchy'sehen Integralbegriff findet man bereits in F. Minding’s Handbuch 1, p. 158, 160 (1836) benutzt.

³⁵

   Etwa bis auf B. Lipschitz’ Lehrbuch der Analysis (1880), doch bildet schon Schlömilch's Handbuch der Diff.- u. Integralrechnung (1847—48) eine Ausnahme, vgl. z. B. Integr.-R. p. 3.

³⁶

   p. 227.

³⁷

   J. Thomae, Einleitung p. 11—13; hierzu die Bemerkungen von P. du Bois-Beymond (Ztschr. Math. Phys. 20, h.-l. A. p. 123); vgl. auch J. Thomae, ib. 21, p. 224 (1876).

³⁸

   J. f. Math. 79, p. 259 (1874); vgl. auch A. Harnack, Elemente p. 253 bis 258; Dini-Lüroth, p. 323—332.

³⁹

   Nach Vorgang von V. Volterra, Giom. di mat. 19, p. 340 (1881) ; M. Pasch, Math. Ann. 30, p. 151 (1887), sowie G. Peano, Lezioni 1, p. 139 und Ann. di mat. (2) 23, p. 157 (1895); 0. Stolz, Monatsh. 7, 1896, p. 291; 8, 1897, p. 95.

196a) C. Jordan, Cours 1, p. 34.    196b) Vgl. neben Fussn. 196 Pringsheim,

Münch. Ber. 28, p. 65 (1898).

⁴⁰

   G. Darboux, Ann. éc. norm. (2) 4, p. 64 (1876) [datiert v. März 1873, Januar 1874],

⁴¹

   J. Thomae, Einl. p. 12 (1875); G. Ascoli, Line, atti, Juni 1875, p. 863.

⁴²

   Progr. Tübingen 1870 = Math. Ann. 20, p. 89. Nach Dini (1878); vgl. Dini-Lüroth, p. 341, sind zunächst nur diejenigen endlichen Funktionen integrierbar, deren Unstetigkeiten in eine Punktmenge erster Art (abzahlbare Menge) fallen, dann diejenigen, deren Unstetigkeiten eine unausgedehnte Menge

⁴³

   Bonnet, a. a. O. p. 13 u. 18. Bemerkungen über die Geschichte des Satzes bei Pringsheim, Ztschr. Math. Phys. 39, p. 66 (1894); desgl. von A. Wan-gerin, daselbst 28, h.-l. A., p. 109 (1883).

⁴⁴

   J. f. Math. 69, p. 81 (1869), (1868).

⁴⁵

   PL. Banket, Ztschr. Math. Phys. 14, p. 436 (1869).

⁴⁶

   N. H. Abel, J. f. Math. 1, p. 314, Satz III == oeuvr. 1, p. 222.

⁴⁷

   Beweise unter dieser Voraussetzung von Hankel, a. a. O.; G. F. Meyer, Math. Ann. 6, p. 315 (1872); C. Neumann, Kreis-, Kugel- u. Cyl.-Funkt. (Leipz.

1881) p. 28.

⁴⁸

   Du Bois-Beymond, J. f. Math. 79, p. 42 (1875); vgl. auch J. Thomae, Ein! p. 18 (1875). Die Voraussetzung, dass f(x) monoton sei, ist dagegen eine notwendige, vgl. z. B. L. Kronecker, Vorlesungen 1, p. 63.

⁴⁹

   0. Bolder, Gott. Anz. p. 519 (1894), anderer Beweis von E. Netto, Ztschr. Math. Phys. 40 (1895), p. 180.

⁵⁰

So bei Moigno nach Cauchy, 2¹, p. 4 (1844); Darboux, ann. éc. norm. (1875) p. 75.

⁵¹

   Ygl. z. B. J. Tannery, Introduction p. 328; Dini-Lüroth, p. 497. C. Jordan dehnt diese Regel noch auf das obere und untere Integral aus, Cours 1, p. 35.

⁵²

   P. du Bois-Beymond, Münch. Abh. 12, p. 129 (1876).

⁵³

   Auch dies ist nicht notwendig, wenn man das obere und untere Integral unterscheidet.

⁵⁴

   J. Thomae, Ztschr. Math. Phys. 20, p. 475—478 (1875).

⁵⁵

   Ygl. Dini-Lüroth, p. 530; desgl. E. Hossenfelder, Programm Strasburg i. Westpr. Nr. 41 (1891).

⁵⁶

   Leibniz, Commercium epistolicum Leibnitii et Joa. Bernoulli 1684—1699 (Lausanne 1745) 1, epistoła 59.

⁵⁷

   In Vorlesungen wohl zuerst von Lirichlet hervorgehoben, vgl. Vorlesungen über die im umgekehrten Verhältnis wirkenden Kräfte [1856/57], herausgegeben von F. Grube, Leipzig 1876, p. 9.

⁵⁸

   J. Thomae, Einl. p. 20—22. Daselbst auch ein Beispiel, wo der Satz unrichtig wird, obwohl die Derivierte integrabel ist.

⁵⁹

   JRiemann, a. a. 0. p. 226.

⁶⁰

   So bei Cauchy, J. éc. polyt. cah. 19, p. 572 (1828); aber schon 1814 treten bei Cauchy die singulären Integrale auf (vgl. ib. p, 572).

II. Punktionen von mehreren Variabein.

38. Das w-fache Integral. Die Aufgabe, zu der Funktion f(xy) die primitive Funktion zu suchen, kann analog wie bei einer Variabein durch das Symbol

ff 'fix, y)dxdy

bezeichnet werden; sie führt naturgemäss auf einen wiederholten Integrationsprozess, und bot keine besonderen Schwierigkeiten dar, wenn auch das Verhältnis, in dem diese Auffassung zu der Volumbestimmung steht, nicht immer ganz klar erschien²³⁰). Riemann selbst hat in seiner Habilitationsschrift den Begriff des mehrfachen Integrals nicht berührt; die Cauchy'sehe rein arithmetische Definition lässt sich aber auch hier zu Grunde legen und in Riemann'& Sinne verallgemeinern. Doch ist auch heute noch die Theorie der mehrfachen Integrale nicht allgemein zu solcher Durchführung gediehen²³¹). Der Grund hierfür liegt, abgesehen von dem erforderlichen mehrfachen Grenzübergange, mit darin, dass hier die — allerdings auch schon bei einer Variabein notwendige — genaue Definition des Bereiches erforderlich wird, über welchen der Prozess der bestimmten Integration

Ç f(xx, x₂ ... Xn) dxx dx%.. . dxn

n

lim ^ f(xx -j- 6₁Ax₁, x₂ + ^Axi} ... xn -f- 0nAxn)Ax₁ . .

. Axn

sich zu erstrecken hat²³²). Es sind hiermit die allgemeinen Unter-

230)    Vgl. die Bemerkungen von Du Bois-Reymond, J. f. Math. 94, p. 275 (1883); neuerdings bei Ch. Méray, Par. C. R. 128 (1899), p. 913 eine neue Auffassung des Doppel- (mehrfachen) Integrals.

231)    Diese Äusserung von Du Bois (ebenda, insbesondere mit Rücksicht auf die uneigentlichen Integrale) scheint auch heute noch nicht unzutreffend.

n

232)    Die Bezeichnungsweise J'fdx, ... dxn an Stelle von jj ... f fdxx ... dxn hei F. Lacroix, traité 3, p. 397.

sucłiungen über die Theorie der w-fachen Mannigfaltigkeit bezeichnet, wie sie bereits K. Weierstrass in seinen Vorlesungen in den sechziger Jahren behandelte, die aber erst durch G. Cantor in seinen Arbeiten über unendliche Punktmannigfaltigkeiten (I A 5; II A 1, 21) zu voller Schärfe ausgearbeitet sind. Dabei wird man, insbesondere in Rücksicht auf die Anwendungen, an einer der Geometrie entlehnten Ausdrucksweise festhalten, wie dies neuerdings in systematischer Weise von

von

C. Jordan geschehen ist. Was man dabei als Entfernung zweier Punkte Xi, y, bezeichnet, ist an und für sich gleichgültig. Man kann darunter j 'Sixi— y,)² verstehen; einfacher erscheint aber der Jordan eingeführte Begriff des écart Xi — y, j.¹) Wird so das Integrationsgebiet hinsichtlich seiner Begrenzung, seiner innern und äusseren Ausdehnung²), seiner Messbarkeit (Quadrierbarkeit, Integra-bilität) definiert, und der Integrationsprozess zunächst auf quadrierbare Gebiete eingeschränkt, so ergiebt sich die Möglichkeit, ein beliebiges Gebiet E in Elementargebiete Ae zu zerlegen und den Beweis zu führen, dass die Bedingung für die Existenz des Integrals wieder die Riemann'sehe wird, so dass auch hier notwendig und hinreichend ist, dass die Summe der Elemente, in denen die Schwankungen der Funktion grösser als <? sind, durch Verkleinerung der Elemente kleiner gemacht werden kann, als eine noch so kleine Zahl³). Dabei gilt wieder der erste Mittelwertsatz⁴).

39. Ermittelung desselben durch successive Integration. Insbesondere für das eigentliche Doppelintegral hat schon Eu Bois-Rey-mond die wesentlichsten Gesichtspunkte skizziert. Während der Hauptsatz, dass ein solches durch zwei einfache, in der Reihenfolge vertauschbare Integrationen nach x und y gefunden werden kann, bei ihm auf einer allgemeinen Grenzwertformel beruht, suchte Harnack⁵) durch direkte Summationsbetrachtung diesen Satz zu begründen⁶). Dabei findet aber die begriffliche Schwierigkeit statt, dass

39. Ermittelung desselben durch successive Integration.

105

die Existenz des Riemanrisehen einfachen Integrals nach einer der Variablen unbekannt ist, so dass die bei Harnack gegebene Darstellung als definierter Integrationsprozess gar nicht ausführbar ist. Daher bewies Stolz²³⁹) zunächst den folgenden spezielleren Satz: Wenn für

das

Integral J — j f(oc,y)dxdy bezogen auf eine „konvexe“ Fläche mit den extremen Abscissen (und Ordinaten) a, a'; (b, b') f(x, y) als Funktion von x auf jeder zur x-Axe parallelen Sehne im allgemeinen integrierbar ist, so ist die auf solche Art erhaltene Funktion

X2

j f(x,y)dx

im Intervalle (b, b') nach y integrierbar und liefert den Wert J.

In voller Allgemeinheit aber hat erst C. Jordan²⁴⁰) durch Unterscheidung des Darboux’sehen oberen und unteren Integrals die begriffliche Reduktion des w-fachen Integrals auf n successive Integrationen nachgewiesen und insbesondere für das Doppelintegral völlig ausgeführt, während wieder sein spezielles Theorem über die Ausführung²⁴¹) des Integrationsprozesses die Stolz’sehe Bedingung unnötig einengt. Dem gegenwärtigen Standpunkt der Theorie scheint es zu entsprechen, wenn unter Voraussetzung der Existenz des Doppelintegrals im Sinne Riemanri!s, und unter Anwendung der Nr. 32 erwähnten Bezeichnung das Theorem (der Einfachheit halber für ein Rechteck x₀, x- y₀, y) so gefasst wird, dass stets

■ dx

gesetzt werden kann241 a).

weg f^> 0 nicht auf die Existenz von J j'f.dxdy geschlossen werden: Prings-heim, Münch. Ber. 29, p. 47 (1899). Bedingung für die Existenz jener Beziehung ohne vorausges. Existenz von J'j'f.dxdy bei C. Arzelà, Bologna Mem. (5), 2, p. 143 (1892). Erstes Beispiel, bei dem trotz ff> 0 nur J'dxJ'f. dy existiert, dagegen nicht J'dyJ'f.dx,J' jf. dxdy, bei Thomae, Ztschr. Math. Phys. 23, p. 67 (1878), allgemeiner bei Pringsheim, a. a. 0. p. 52.

239)    0. Stolz, Math. Ann. 26, p. 93 (1884).

240)    C. Jordan, J. de math. (4) 8, p. 69 (1892); Cours 1, p. 42—45, unabhäng. v. Jordan auch bei Arzelà, a. a. O. p. 136.

241)    Ebenda 1, p. 45.

241a) Pringsheim, Münch. Ber. 28, p. 69, (1898). Erstes Beispiel, wo der

Il A 2. Differential- und Integralrechnung. Das Integral mit rechteckigem Gebiet

106

insbesondere ist eine stetige Funktion der beiden Variabein, welche partielle Derivierte nach x und y und ein totales Differential besitzt, und es ist auch der Satz

d*J

d*J

dxdy dydx

gültig, falls in der Umgebung von x, y f eine stetige Funktion der beiden Variabein x, y ist²⁴²).

40. Integrale geometrischer und mechanischer Grössen. Der

Inhalt eines ebenen Flächenstückes, das durch die Gleichungen

% =    y = <p(0

einer einfachen Mannigfaltigkeit mit der x-Axe bestimmt ist, erhält nun durch diese Betrachtungen seine vollständige Definition, ebenso das Volumen eines Körpers. Nicht so unmittelbar ist das der Fall bei der Bogenlänge einer Kurve und der Oberfläche eines körperlichen Raumes.

L. Scheeffer⁷) hat zuerst ausreichende Kriterien angegeben, unter denen die „Länge“ eines Kurvenbogens sich definieren lässt; dieselben sind neuerdings von G. Jordan⁸) wiedergefunden und von E. Study⁹) verschärft und erweitert worden. Dass die ältere Darstellung des Inhaltsbegriffes einer krummen Fläche Modifikationen erfordert, hat zuerst H. A. Schwarz betont¹⁰); eine auf rein arithmetischen Grundlagen beruhende Entwickelung des zweidimensionalen Kontinuums im Raume ist wohl zuerst von 0. Holder¹¹) ausgeführt, dessen Arbeit C. Jordan unbekannt geblieben zu sein scheint. Die in der Mechanik

y

Satz in dieser Form noch gilt, obschon J’f(x, y) dy für unendlich viele pantachische

Vo

x nicht existiert: Du Bois-Beymond, a. a. 0. p. 278; allgern. Bringsheim, Münch. Ber. 29, p. 42, (1899).

242) Darnach, Elemente p. 317, wo der Satz noch etwas allgemeiner ge

fasst ist.

40.    Integr. geom. u. mech. Grössen. 41. Transf. d. mehrf. Integr. 107

üblichen Definitionen der Masse, Dichtigkeit und der aus diesen abgeleiteten Begriffe haben ihre genauere Fassung durch Cauchy erhalten²⁴⁸); aber auch diese werden den schärferen Bestimmungen der Gegenwart sich nicht mehr entziehen können, insbesondere in Rücksicht auf Stetigkeit und Differentiierbarkeit²⁴⁹).

41.    Transformation der mehrfachen Integrale. Die formalen Prozesse, welche erforderlich sind, um ein w-faches Integral

J*f(xx . . . xn) dxx dx₂ . . . dxn

unter der Voraussetzung, dass das Integrationsgebiet etwa auf das durch

F(xxx₂ ... xn) 0

abgegrenzte Gebiet zu erstrecken ist, zu berechnen, sind allgemein wohl zuerst von Ostrogradshy ²⁵°) dargestellt worden. Fast immer führt aber dieser primitive Weg wegen der Ermittelung der successiv einzuführenden Integrationsgrenzen zu Weitläufigkeiten, die man durch eine zweckmässige Gebietseinteilung, d. h. durch eine Transformation zu vermeiden sucht.

Die Transformation des Poppelintegrales hat zuerst Euler²⁵¹), die des dreifachen Lagrange²⁵²) behandelt, der bereits die ausgeführten Formeln für Polar- und allgemeine krummlinige Koordinaten angiebt. Aber erst Jacobi™) gab die allgemeine Transformation des w-fachen Integrals unter der Voraussetzung, dass an Stelle der unabhängigen Variabein Xi eben soviele neue yi treten, die mit ihnen durch die Beziehungen

yt ~—    ' • ■ ^n) j    i • • • yn)

so verbunden sind, dass zu jedem xx ... xn eindeutig definierte Werte der yi und umgekehrt gehören; so wird

j*\f • dx± ... dxn =Jif(ti • • ■ 4’n)Adyi . . .dyn,

248)    Moigno, Leçons de mécanique analytique 1 (statique), p. 140. Das von Lagrange (oeuvr. 11, p. 85) für solche mehrfache Integrale benutzte Zeichen S ist neuerdings von C. Jordan wieder zu allgemeinem Gebrauche eingeführt worden (Cours 1, p. 37).

249)    Vgl. z. B. L. Boltzmann, Vorl. üb. d. Prinzipe d. Mechanik 1, p. 26 (1896).

250)    M. Ostrogradshy, J. f. Math. 14, p. 332 (1836).

251)    L. Euler, *Petr. N. Comm. 14, 1759 [70], p. 72; Inst. calc. int. 4, p. 416.

252)    Lagrange, Beri. nouv. mém. 1773, p. 125 = oeuvr. 3, p. 624; auch Laplace, mécanique céleste 2, p. 3.

253)    Jacobi, J. f. Math. 12 (1833) = Werke 3, p. 233; J. f. Math. 22 (1841) = Werke 3, p. 436,

wo A die Jacobi'sehe Determinante

D(xt ...xn)

B (Vi ■ ■ ■ y»)

nach Dońkin's¹² 13 14) Bezeichnung ist (I A 2). Da hierbei das Produkt dxx . . . dxn durch A dyx . . . dyn zu ersetzen ist, wird man, wenn (wie gewöhnlich) die Integrationen durch positive Inkremente vollzogen werden, voraussetzen, dass rechterhand der absolute Wert von A benutzt wird, der überdies an keiner Stelle des Gebietes Null sein darf. Diese bereits von Euler²⁶⁶) gemachte, von Jacobi nicht ausdrücklich wiederholte Bemerkung hat neuerdings Kronecker²⁶⁶) wieder hervorgehoben. Zugleich hat man die Jacobi'sehe, auf dem Zusammenhang korrespondierender Differentiale beruhende Ableitung durch andere Betrachtungen ersetzt, wobei für zwei Variable insbesondere der Greerüsehe Satz zur Anwendung kommt¹⁵ 16). Hierbei wird man im allgemeinen die Transformation so zu wählen haben, dass die Bestimmung der Integrationsgrenzen für die einzelnen Variabein übersichtlich wird. Von diesem Gesichtspunkt aus gewinnen die Einteilungen mehrdimensionaler Gebilde durch krummlinige Koordinaten Bedeutung; namentlich das von Jacobi erfolgreich verwandte System der elliptischen Koordinaten²⁶⁸). Andererseits sind hier zu erwähnen die besonderen Transformationen, welche zur Ermittelung der Oberfläche des Ellipsoids und verwandter Aufgaben von Catalan, Schlömilch und anderen benutzt sind¹⁷ 18).

42. Der Diskontinuitätsfaktor von Dirichlet. Auf einem anderen Wege suchte P. L. Dirichlet²⁶°) die Schwierigkeiten zu beseitigen,

welche die Begrenzung des Gebietes hervorruft. Handelt es sich z. B. um das Integral

3

J'cp • f ■ dxdydz,

ausgedehnt über das Innere S der etwa ganz im Endlichen liegenden geschlossenen Fläche F, so kann man an Stelle von F jede andere S völlig umschliessende Begrenzung £ wählen, falls man an Stelle von cp eine Funktion 0 substituiert, die im Innern von S mit cp übereinstimmt, in dem Gebiet zwischen S und £ aber gleich Null ist. Eine solche Funktion heisst nach Dirichlet ein Diskontinuitätsfaktor²⁶¹). Dabei wird man z. B. £ als eine Kugel ansehen können; in den meisten Fällen wird es sich aber empfehlen, £ ins unendliche auszudehnen; allerdings werden dabei die Integrale uneigentliche, und die Berechtigung der weiteren Operationen ist jedesmal besonders zu rechtfertigen. Solche Diskontinuitätsfaktoren liefert der Cauchy’sehe Fundamentalsatz der Theorie der Funktionen einer komplexen Variabein²⁶²), die Theorie der Fourier¹ sehen Integrale (II A 8), die Potentialtheorie²⁶⁸) etc. Dirichlet selbst²⁶⁴) hat zunächst den Faktor

2    / sin cp

nj cp 0

1 ,    0 <g < 1,

cos (g<p)dcp =    9 = 1,

■ 0 ,    1 <g,

d. h. den reellen Teil von

co

I f

0

angewandt, so in der Abhandlung über die Attraktion des Ellipsoids, wo das über alle positiven Koordinaten werte

erstreckte Potential

in die Form

ćiJ

dxdy dz

dx dy dz

0    — co

261)    Oder diskontinuierlicher Faktor, Werke 1, p. 400, 384.

262)    Ygl. z. B. Kronecker, Vorlesungen 1, p. 175.

263)    Ebenda in ganz allgemeiner Form, p. 271.

264)    Dirichlet, a. a. 0.

verwandelt wird, dessen Behandlung freilich noch einen gleich zu besprechenden Kunstgriff erfordert, durch den die Entfernungspotenz q~ (p—i) jn (jag Integral einer Exponentialfunktion verwandelt wird; desgleichen bei dem Dirichlet’sehen²⁶⁵) durch I~-Funktionen ausdrück-baren Integral. Zur Bestimmung des Potentials zweier Ellipsoide gebrauchte Mertens²⁶⁶) den schon von Dirichlet²⁶⁷) angegebenen Faktor

f (m)

,+

e(k+a)x

27E

-00

(Je -f i X)m

0, x < O, xm'~x, x > O,

wo k und m positiv sind. Den Fall m — 1 hat Kronecker²⁶⁸) in seinen Vorlesungen in einer Reihe von Anwendungen behandelt. In naher Beziehung zu dem Dirichlef sehen Verfahren steht übrigens die Cauchy von Moigno²⁶⁹) zugeschriebene Methode, bei welcher in dem Integrale

n

f.

wenn der reelle Teil von g positiv ist und Q sein Zeichen nicht wechselt, für Q > 0

mf

o

¹ e~CLt dt

gesetzt wird, was zum Ziele führt, wenn P ein Produkt, Q eine Summe von Funktionen je einer der Variabein x, y . . . ist, dagegen die Bestimmung der Integrationsgrenzen (im allgemeinen) nicht vereinfacht und daher auch fast immer nur bei konstanten (ins unendliche ausgedehnten) Grenzen Verwendung findet.

III. Anwendungen.

43. Integration totaler Differentiale. Die notwendige Bedingung,

damit

Pdx -f- Qdy

265)    Dirichlet, a. a. 0. p. 389. Dies Integral ist alsbald von J. Liouville (J. de math. (1) 4, p. 225) direkt ermittelt, ja noch verallgemeinert; vgl. 0. Schlö-milch, Ztschr. Math. Phys. 1, p. 75; Lpz. Ber. 1857, p. 22; B. Most (Ztschr. Math. Phys. 14, p. 422); man vgl. auch Liouville's Arbeiten J. de math. (2) 1, p. 82, 289 (1856), sowie G. F. Meyer, p. 564—628.

266)    F. Mertens, J. f. Math. 63, p. 360 (1864).

267)    Dirichlet, a. a. 0. p. 401. In etwas anderer Form tritt dieser Faktor bei F. G. Mehler (J. f. Math. 40, p. 321 [1862]) auf.

268)    Kronecker, Vorlesungen 1, p. 215—-228.

269)    Moigno, Calcul integral 2 , p. 256 (1844); übrigens schon bei Dirichlet, a. a. 0. p. 386.

£P

ein totales Differential dz sei, ist nach dem Fundamentalsatze der zweiten Deriyierten (10)

8y dx

Dass sie auch hinreichend ist, damit die Integralfunktion z existiere, . war schon Euler™) bekannt, der

setzt, wenn ip aus der Gleichung

ry = Q-w-J‘Pdx

genommen wird, welche einen von x unabhängigen Wert für Und ebenso ist der Differentialausdruck

dip

dy

liefert.

ein exaktes Differential, wenn die

.^⁷ Xi dxi n(n — 1)

Bedingungen

8X{ dxk

dxk dx{

bestehen. Jedoch zeigte Jacobi¹⁹ 20 21) mit Hülfe seiner Identität, dass diese Bedingungen auf 2n — 1 andere reduziert werden können. Da die Ermittelung der Integralfunktion auf dem Euler'sehen Wege umständlich wird, verlangt Cauchy™) die Bestimmung derjenigen Funktion z, welche sich für x{ = Xi auf eine Konstante z° reduziert, und gab die Lösung in der Form

X

Z = Z₀

-f f.'x?⁾dx₁ +f.Xi1]dx₂ -f f XPdx, -j----,

X,⁰    x₂°    xa°

zu er-

wobei in X^k~¹⁾ jedesmal xX} x₂ . . . i durch x® . . . %°k_1 setzen sind.

Durch die auf der Anwendung des Green’sehen Satzes beruhende Betrachtung bei Lipschitz²² 23) hat Moreram) dem Cauchy’sehen Satze eine andere Fassung gegeben, indem er, falls die Xi eindeutige end-

liehe und stetige Funktionen mit integrabelen Derivierten in einem gewissen Monodromiegebiete G sind, nachweist, dass

f^Xdx

vom Integrationswege den obigen Bedingungen zufolge unabhängig wird, sobald derselbe ganz innerhalb G verläuft. Man kann daher Xi = xf -f- (Xi — Xi°)t setzen und einfach das Integral der Funktion einer Variabein t suchen.

44. Integrabilität der Differentialausdrücke. Eine weitere Fortbildung erhalten die formalen Integrationsprozesse durch die Betrachtung von Differentialfunktionen mit höheren Derivierten. Schon Euler²⁴) hatte mit Hülfe der Variationsrechnung gefunden, dass die notwendige und hinreichende Bedingung, damit

fix, y, y, y"• • • y[n))

ein vollständiges Differential nach x ist, durch die Gleichung

?f_JL (K\ . JL (K\ _

dy dx\8y') ' dx² \dy")

ausgedrückt wird. Lagrange’s, Bemerkung²⁵), dass f notwendig von der Form

P + QyW

sein müsse, führte zu dem weiteren Satze, dass die Euler’sehe Bedingung n einzelnen Bedingungen äquivalent ist. Erst Joachimsthal²⁶) aber gab den Beweis für diese Behauptung und fügte hinzu, dass diese

Bedingungen sich auf — (n -}- 1) resp. -f- 1 reduzieren, jenachdem

n eine ungerade oder gerade Zahl ist. Es bestehen keine Hindernisse, die von Euler sofort auf den Fall, wo f mehrere von x abhängige Funktionen y, z, u . . . und deren Derivierte enthält, verallgemeinerten Untersuchungen, bei denen an Stelle der einen Gleichung dann ebenso viele entsprechende für y, z, u . . . treten, .auf Funktionen mit zwei oder mehr unabhängigen Veränderlichen auszudehnen.

45. Der Satz von Green in der Ebene. Als Green'sehe Sätze bezeichnen manche²⁷ 28) gegenwärtig alle diejenigen Theoreme, durch welche über ein Gebiet E erstreckte Integrale in solche transformiert werden, die sich auf die Begrenzung von E beziehen. Betrachtet man erstens das Integral

//(

dxdy,

ap __dQ

dy dx

ausgedehnt über ein zunächst einfach zusammenhängendes ebenes Flächenstück (III A 4) E, dessen Randelemente durch die Charakteristik B bezeichnet werden, unter der Voraussetzung, dass jeder der beiden Dififerentialquotienten eine in E integrabele Funktion ist278a) und P und Q stetig sind, so erhält man durch partielle Integration

J = —j* {PB ix) + QB(y))

bei positiver Umlaufung von E.m) Diese Gleichung spricht den

dP

Green'sehen Satz für jede (allerdings erst auf die Form

dQ

dy

dx

zu bringende) Funktion f aus. Besteht daher im ganzen Innern — etwa mit Ausnahme von Punkten mit der Flächengrenze Null279a) — die Gleichung

dP

so ist das Integral

dy

W=fPD(x) + QD(y) = 0.

Dieses Theorem, den Cauchy’sehen Integralsatz²⁹) kann man auch dahin auffassen, dass das Kurvenintegral280a) W, genommen zwischen irgend zwei in E liegenden Punkten A und B, unabhängig von dem Integrationswege wird; es erhält bei festem A einen nur von B ab-

DopjpeÜntegrale    dxdy,    dxdy, eine Voraussetzung

über

hängigen Wert und stellt, abgesehen von den oben ausgeschlossenen Stellen, eine Funktion der oberen Grenze vor, deren partielle Deri-vierte P und Q sind³⁰), womit man auf die Integration der totalen Differentiale zurückgeführt wird. Dass auch umgekehrt nur dann, wenn

die Bedingung    — 0 erfüllt ist, W unabhängig vom Wege

wird, hat Picard durch Variation von W, Pringsheim auf elementarere Weise gezeigt³¹).

46. Der Satz von Stokes. Eine ähnliche Betrachtung bezieht sich auf das über den zunächst einfach zusammenhängenden Raum R erstreckte Integral

/ g+

dY

dy

-f-    dxdydz,

welches unter der Voraussetzung, dass die äussere Normale der Oberflächenelemente der Begrenzung dco mit den Axen der Koordinaten die Cosinus cos a, cos ß, cos y bildet, in die Gestalt des über die Begrenzungsfläche erstreckten Integrales

J — j (X cos cc -j- Y cos ß -f- Z cos y) da

gebracht wird³²). Ist also im ganzen Innern von R

₊ |I ₊ _^ = 0

' dy ‘ dz ’

so ist W stets gleich Null. Setzt man zur Erfüllung der letzten Gleichung

dQ

dx ⁷

dB cP dx dz ’

so wird das so erhaltene Integral F, erstreckt über ein Flächenstück E im Innern von R, dessen Begrenzung L ist, nur abhängig sein von der Natur der Kurve _L.³³) Den Beweis hierfür hat zuerst Stokes³⁴) gegeben, welcher zeigte, dass in der That die Gleichung

y(Rdx -j- Qdy -f- Rdz)

L

46. Der Satz v. Stokes. 47. Der Satz v. Green u. s. Anwendungen. 115

bestellt, wobei das Integral jetzt in bestimmtem Sinne³⁵) über L zu erstrecken ist. Seine hydrodynamische Deutung als displacement function³⁶), circulation und surface integral of rotation³⁷) kann hier nur erwähnt werden. Die formale Verallgemeinerung auf krummlinige Koordinaten allgemeinster Art hat Picard durchgeführt³⁸); ähnliche Betrachtungen finden sich neuerdings bei vielen anderen Autoren ³⁹°).

47. Der Satz von Green und seine Anwendungen. Aus der

Gleichung J — W entspringt nun endlich (über die analoge Betrachtung in Bezug auf die Gleichung

^ dxdy = — JPdx -f- Qdy

/(

dP dQ

dy

dx

(vgl. II B 1) durch die Annahme

dV

Y= U~

dv

dy ’

der spezielle Green'sehe Satz im Raume; nämlich

cz

^ dxdy dz -j- J* UA(V)dxdydz cos yj da,

welcher unter der Voraussetzung stetiger erster Derivierten und eines

32 Y    ?,*V

endlichen integrabelen AV =    -j- ^ -f- jedenfalls gültig,

derenfalls aber weiter zu untersuchen ist. Durch Vertauschung von U mit V und unter Benutzung der gebräuchlichen Abkürzungen folgt dann auch das Theorem⁴⁰)

C(du dV ■ du 8V. du dV' J \dæ dx ' dy dy '

dz dz

PTTrdV    . dV a .

J pLâïcosa + Tycos'î +

dV

dz

an-

f{U&(V) — VA(U))dxdydi = j^L)dm,

vgl. II A 7 b.

Analytische Anwendungen des Satzes auf die Transformation von Differentialausdrücken. Während Laplace die Transformation von AV für Polarkoordinaten durch direkte Rechnung ausführte²⁹²), zeigte Jacobi, wie dieselbe ganz allgemein durch Variation des ersten Diffe-rentialparameters von Lame'²⁹³) auch für eine beliebige Zahl von Variabein sich ergiebt. Die eigentliche Quelle aller dieser und ähnlicher in der mathematischen Physik erforderlichen Transformationen mittelst der Prinzipien der Invariantentheorie gab im Anschluss an E. B. ChristoffeVs Untersuchungen²⁹⁴) jedoch erst Gundelfnger²⁹⁵). Einen Teil dieser Fragen beantwortet²⁹⁶) nun auch der Green'sehe Satz (und ähnlich das Gauss'sehe Theorem²⁹⁷), (vgl. II A 7 b), da nach der Gleichung

J*A(V) dxdydz =— J*

dV

dn

Tr- dco

die Bedingung für das Verschwinden von AF auf das des einfacheren Oberflächenintegrales reduziert werden kann, welches nun für ein durch krummlinige Koordinaten begrenztes Raumelement auszuführen ist²⁹⁸); wie man sieht, leistet hier die geometrische Auffassung dasselbe, was in allgemeinerer Gestalt durch die Invariantentheorie der Differentialausdrücke (II A 4) geliefert wird.

48. Die Differentiation zu allgemeinem Index; ältere Arbeiten.

Wir gedenken hier noch der Bestrebungen, den Differentiations- und Integrationsprozess unter einem einheitlichen Gesichtspunkt zusammenzufassen, der Differentiation mit allgemeinem Index, durch welche eine allgemeine formale Behandlung des bezüglichen Problems erreicht werden soll.

Um den Differentialquotienten zu beliebigem, auch komplexem, Index g zu definieren, d. h. Operationen zu gewinnen, die für ganze

Ztschr. Math. Phys. 12, p. 117 (1867), sowie E. Beltrami, Bol. mem. (2) 8, 1868; A. Gutzmer, J. de math. 5, p. 420 (1889).

292)    Laplace, Par. Mém. 1782, p. 135.

293)    G. Lamé, J. éc. polyt. cah. 23, p. 215 (1834); Jacobi, J. f. Math. 36, p. 113 (1848) = Werke 2, p. 199.

294)    E. B. Christoffel, J. f. Math. 70, p. 46 (1869).

295)    S. Gundelfinger, J. f. Math. 85, p. 295 (1878).

296)    E. Heine, Kugelfunktionen 1, p. 307, 2. Ausg. 1878.

297)    Biemann, Vorlesungen über Schwere etc. p. 128.

298)    Vgl. die Note von W. Fr. Meyer, Math. Ann. 26, p. 513 (1885)

r(— v)

48. Die Differentiation zu allgemeinem Index; ältere Arbeiten.

117

positive resp. negative g sich auf die ft-fache Differentiation resp. Integration reduzieren und soweit wie möglich dem ZeiömVschen Algorithmus sich anschliessen, kann man entweder eine geeignete für positive g bestehende Formel, wie z. B.

D£xn — n(n — 1) • • • (n — g -f- \)xn~<“,⁴¹ 42)

(i)

oder

(2)

Bf cos x = cos (x -f- g y) ) ³⁰°)

(3)

Bfernx = m^emx

für beliebige g als gültig ansehen, oder aber auf den Begriff des höheren Differentialquotienten resp. des Integrals als Grenzwert zurückgehen. Auf dem ersten Gesichtspunkt beruhen die Betrachtungen von

und anderen. Den Übergang zur Arbeiten Liouvîttés⁴³) ein, der gehend, zu der Definition

Leibniz und Joh. Bernoulli™¹), Euler⁴⁴), Fourier⁴⁵), Lagrange⁴⁶)

zweiten Behandlungsweise leiten die von der Formel (3) zunächst aus-

(4) Dff(x) = (- 1Y lim    l)*-‘ L A f{x + (i

h — 0    k=1    \    /

-1) h)

gelangt⁴⁷), aus der weiter sich die Integraldarstellung

(5) Df f(x) =

00

o

ergiebt. Bei Liouville ist zu beanstanden die vorausgesetzte Ent-wickelbarkeit der Funktion nach Potenzen der Exponentialfunktion, ferner, dass der Begriff der unbestimmten Integration festgehalten wird, wodurch die Hinzufügung besonderer Funktionen, wie sie auch schon bei der mehrfachen Integration auftreten, der komplementären Funktionen, nötig wird⁴⁸).

49. Die Arbeiten von Biemann, Grünwald, Most und anderen.

Diese Beschränkungen und Komplikationen sind, wenn man von

B. Biemann absieht, der in einer Jugendarbeit dieselben auf einem anderen Wege zu vermeiden suchte⁴⁹), zuerst von A. K. Grünwald⁵⁰) beseitigt, der auf Grund von Liouville's Formel (4) den Grenzwert

¹

   Jordan, Cours 1, p. 18. Vgl. II A 1, 21 u. Fussn. 233.

²

   0. Stolz, Math. Ann. 23, 1884, p.. 152; Wien. Ber. 1062a, 1897, p. 461. Jordan, Cours 1, p. 28 (étendue extérieure et intérieure d’une domaine); champ mesurable p. 78; vgl. die Bemerkungen bei Harnack-Serret, 2¹, p. 221, 267.

³

   Thomae, Einl. p. 33 für das Doppelintegral; desgl. 0. Stolz, Math. Ann. 26, p. 90 (1884).

⁴

   Thomae, Einl. p. 34.

⁵

   P. du Bois-Reymond, J. f. Math. 94, p. 277—279. Harnack-Serret, . 2¹, p. 284, Vervollständigung beider Beweismethod. bei Pringsheim, Münch. Ber.

28, p. 69 (1898).

⁶

   Aus der Beziehung J'dx J'f. dy —JdyJf. dx darf, auch wenn durch-

⁷

   L. Scheeffer, Acta math. 5, p. 49 (1885).

⁸

   C. Jordan, Cours 1, p. 90—108.

⁹

   E. Study, Math. Ann. 47, p. 313 (1896).

¹⁰

   H. A. Schwarz, J. de math. (3) 6, p. 111 (1880), Gesamm. Abh. 2, p. 292; auch bei Dermite, Cours d’analyse, éd. 2, p. 35 (1881).

¹¹

   0. Dölder, Diss. Tüb. (Stuttgart 1882), p. 20 ff., insbesondere p. 31; Jordan, Cours 1, préface p. VI und p. 146—150; vgl. auch Darnach-Serret, 2¹, p. 294—301.

¹²

   W. F. Donkin, Lond. Trans. (1854) 144, p. 72.

¹³

   Euler, Inst. calc. int. 4, p. 433 (,Salomon 4, p. 409).

¹⁴

   Kronecker, Vorlesungen 1, p. 235; vgl. auch dessen Bemerkungen J. f. Math. 72, p. 155 (1869); É. Picard, traité 1, p. 131.

¹⁵

   J. A. Gmeiner, Monh. 4, p. 217 (1893); desgl. die interessante, auch der Erweiterung fähige Darstellung von E. Goursat (Bull. Darb. (2) 18, p. 72 [1894]). Vgl. auch C. Jordan (J. de math. (4) 8, p. 94 [1892] und Cours 1, p. 138—146), sowie die Ableitung bei J. Bertrand, Calcul intégral p. 225.

¹⁶

   J. Haedenkamp, J. f. Math. 22, p. 184 (1841); Jacobi, Vorles. über Dynamik 1842/43 — Werke, Supplementbd., p. 198 ff.

¹⁷

   Vgl. die Arbeiten von E. Catalan, J. de math. (1)4, p. 323; B. Lobatto, ib. (1) 5, p. 115; 0. Schlömilch, Ztschr. Math. Phys. 1, p. 376; 6, p. 207, sowie die Darstellung bei G. F. Meyer, Vorl. üb. best. Integrale, p. 437—549 (1871); Moigno, Calcul intégral 2¹, p. 228—256; L. Natani, Höhere Analysis, p. 137 ff.

¹⁸

   P. L. Dirichlet, Berl. Ber. (1834) = Werke 1, p. 383; auch J. de math. (1) 4, p. 164 (1839).

¹⁹

   Euler, Inst. calc. int. 3, p. 517 (Petersb. 1770).

²⁰

   C. Gr. J. Jacobi, J. f. Math. 23 (1842) = Werke 4, p. 250.

²¹

   Moigno, 2¹, p. 489.

²²

   Analysis 2, p. 569.

²³

   G. Morera, Math. Ann. 27, p. 403 (1886). Über die Übertragung der Differential- und Integraloperationen auf das komplexe Gebiet vgl. man die (erste) systematische Darstellung bei 0. Stolz, Grundz. 2, p. 1—208.

²⁴

   Euler, Petrop. N. Comm. 15, p. 35. Bereits von Lexell, Condorcet direkt bewiesen. Andere Beweise bei Lagrange, oeuvr. 10, p. 365, J. Bertrand, J. de math. 14, p. 123 (1848); noch allgemeiner daselbst von F. Sarrus, p. 131. Über Sarrus Arbeiten vgl. Gerg. Ann. 14, p. 179 (1823); Par. C. R. 1, p. 115 (1835); 28, p. 439 (1849).

²⁵

   Leçons sur le calcul des fonctions, p. 421 = oeuvr. 10, p. 374.

²⁶

   F. Joachimsthal, J. f. Math. 33, p. 95 (1848); Programm von 1844. Zu demselben B.esultat gelangte gleichzeitig J. L. Baabe, J. f. Math. 31, p. 195, 212 (1846).

²⁷

   A. Harnack, Elemente p. 327; E. Pascal, Calcolo' integrale p. 156. Als Prinzip indess so nicht bei G. Green (1828), dort nur der Satz Nr. 47 des Textes (J. f. Math. 44, p. 360).

278a) Nach Pringsheim, Münch. Ber. 29, p. 55 (1899) genügt schon die Existenz der

dy,    dx ist dann unnötig.

²⁸

   B. Biemann, Werke p. 14 (1851).

279a) Genauere Untersuchung bei Pringsheim, Münch. Ber. 25, p. 59 (1895).

²⁹

   Par. C. R. 23, p. 251 (1846).

280a) Der Begriff des Kurvenintegrals ist wohl erst durch die Betrachtung der komplexen Ebene entstanden, seine ausführliche Definition z. B. bei É. Picard, traité 1, p. 70. Ygl. auch Pringsheim, Münch. Ber. 25, p. 48 (1895).

Encyklop. d. math. Wissensch. II.

³⁰

   Vgl. J. Thomae, Einl. p. 41; auch bei Picard, traité p. 81, Pringsheim, a. a. 0. p. 63.

³¹

   É. Picard, traité 1, p. 75; Pringsheim, a. a. 0. p. 60.

³²

   Eine bloss formale Verallgemeinerung erhält man, wenn statt X, Y, Z die mit c multiplizierten analogen Werte X', Y\ Z’ eingesetzt werden.

³³

   Die Umkehrung auch hier bei É. Picard, traité 1, p. 115.

³⁴

   G. Stokes, *A Smiths prize paper, Cambridge university calendar (1854); vgl. Thomson u. Tait, treatise on natural philosophy 1, p. 143, ed. 2 (1879).

³⁵

   Z. B. Picard, traité p. 118; desgl. G. Königs, J. de math. (4) 5, p. 324 (1889). Der bei H. Hankel (Preisschrift, Gott. 1861) gegebene Beweis ist wohl auf Biemann's Vorlesungen zurückzuführen (Biemann, Vorlesungen über Schwere etc., 1861, herausg. v. K. Hattendorff, 2. Ausg. p. 252 [Hann. 1880]); ein anderer Beweis bei J. C. Maxwell, treatise on electricity etc. 1, p. 26 (1873).

³⁶

   Thomson u. Tait, treatise 1, p. 144.

³⁷

   W. Thomson, on Vortex motion, Edinb. Trans. 25, p. 217—260 (1869); vgl. auch W. K. Clifford, Elements of dynamics, London 1878, p. 197.

³⁸

   É. Picard, traité 1, p. 115 und J. de math. (4) 5 (1889), p. 145; bei diesen Untersuchungen handelt es sich um exakte Differentiale auf einer krummen Fläche im Sinne der Funktionentheorie.

³⁹

   S. z. B. *A. Maggi, Atti delP Accademia di Catania (4) 4, 1892; *Ph. Gilbert, Brux. soc. scient 16, A, p. 2 (1892) etc.

⁴⁰

   Weitere formelle Ausdehnung des Green"sehen Satzes bei Thomson u. Tait, treatise 1, p. 167; seine Ausdehnung auf n Variable bei C. Neumann,

⁴¹

   L. Euler, Petrop. Comm. 5, p. 55 (1730/31); vgl. Lacroix, 3, p. 409; so auch bei PJi. Kelland, Edinb. Trans. 14, p. 567, 604 (1840); 16, p. 241 (1849); desgl. A. Buchwaldt, Tydskrift (3) 5, p. 1 u. 95 (1875).

⁴²

   S. B. Fourier, Théorie de la chaleur (1822) = oeuvr. 1, p. 508.

⁴³

   J. Liouville, J. éc. polyt. cah. 21, p. 1 u. 71 (1832); cah. 24, p. 17 (1835); cah. 25, p. 58 (1836); desgl. J. f. Math. 11, p. 1; 12, p. 273 (1834); 13, p. 219 (1835).

⁴⁴

   Euler, a. a. 0.

⁴⁵

   Fourier, a. a. 0.

⁴⁶

   Die ältere Litteratur bei C. W. Borchardt, Beri. Ber. 1868 — Werke p. 483, 486.

⁴⁷

   Liouville, J. éc. polyt. cah. 21, p. 107.

⁴⁸

   A. a. 0. p. 95.

⁴⁹

   B. Biemann [1847], Werke p. 332.

⁵⁰

   A. K. Grünwald, Ztschr. Math. Phys. 12, p. 441 (1867).

lim F(ux%h) — lim hr^

h = 0    A = 0

f(?) ~ (i)/■<> — *) + (I) fix ~ 2h)

in welchem x, a, | komplexe Zahlen, n ganz und positiv so ins unendliche geht, dass x — nh = u wird, als die begrenzte, auf dem geradlinigen Intervall x, u genommene £te Ableitung der (eindeutigen endlichen und stetigen) Funktion f(x) bezeichnet¹). Dabei ergiebt sich die Formel²)

Dß fix) = fAi) ff® O -    8t(i) 5 - 1,

und damit die schon von Biemann³) erhaltene Erweiterung des Liouville'sehen Integrals, dessen Grenzen x, oo sind. Für andere komplexe | ergiebt sich ein weitläufigerer Ausdruck⁴). B. Most⁵) ging an Stelle von (4) von dem Grenzwert aus, durch den das mehrfache bestimmte Integral definiert werden kann; wichtiger erscheint aber die bei ihm und Grünwald's, Letnikoff's späteren Arbeiten⁶) auftretende Benutzung des komplexen Integrals, durch welches der |te Differentialquotient von vornherein nach Cauchy definiert werden kann. So ergiebt sich die allgemeine Formel⁷)

ol"if{x)=

-L ß

mJ i

(x — t)

S-i

f(t) dt,

bei der das Integral um den Verzweigungspunkt x auf beliebigem

49. D. Arb. v. Riemann, Grunwald, Most u. a. 50. D. mechanische Quadratur. 119

Wege von u aus auf einer Schleife geführt wird. Für    > 0

kann dasselbe durch ein gewöhnliches Integral ausgedrückt werden; andernfalls ist dasselbe durch partielle Integration in geeigneter Weise umzuformen. Für diesen Prozess gelten nun z. B. die Formeln⁸ 9)

ax

(XX

..r u

B $ e

— co

— ax

, x>0,

h?.«⁻" - (- 4»

womit zugleich die bei Liouville auftretenden Widersprüche beseitigt werden, während die formale Gleichung⁸¹⁷) nur unter gewissen Einschränkungen bestehen bleibt und im allgemeinen g und v auch nicht vertauscht werden dürfen.

Unter den zahlreichen neueren Behandlungen des Gegenstandes, die sich auf formal verschiedene Gesichtspunkte, resp. die von Grünwald nicht behandelte Erweiterung auf Funktionen beziehen, die bei u nicht mehr endlich und eindeutig sind, nennen wir noch die Arbeiten von K JBochow¹⁰), P. Lindner¹¹ 12) und insbesondere

A. Krug™).

50. Die mechanische Quadratur. Da ein bestimmtes Integral sich im allgemeinen nicht durch zu bequemer Berechnung geeignete Formeln ausdrücken lässt, ist es die Aufgabe der mechanischen Quadratur, Methoden zur näherungsweisen Berechnung der bestimmten Integrale anzugeben. Man kann hier dreierlei verschiedene Gesichtspunkte unterscheiden: 1) die elementaren Summationsmethoden, 2) die durch Gauss nova methodus eingeschlagene Richtung, 3) die Euler-sche Summätionsformel¹³); über die letztere siehe IE.

51. Die elementaren Summationsmethoden entsprechen der Definition des bestimmten Integrals selbst, nach welcher man das

Intervall in eine hinreichende Anzahl von Abschnitten zu zerlegen hat. Für den Inhalt eines solchen B Flächen Streifens AB ab von der Breite 2 h bildet unter der Voraussetzung, dass die Begrenzung AB stets konkav zur x-Axe liegt, das Trapez AB ab eine untere Grenze; eine obere ergiebt sich durch das dem mittleren Punkt C entsprechende Trapez AB'ab, mit dem Inhalte }    2hy₂. Zerlegt man also ein Kurven

diagramm des Inhalts F in 2n solche Streifen von der Breite h mit den Ordinaten Fi, Y₂, Y₃ . .. Y2n, Y2n.i-i,

so ist eine obere Grenze M— 2hg, während als untere Grenze durch verschiedenartiges Zusammenfassen in einfache und Doppelstreifen

m₁ = 2gh — hd

m₂ = 2hu -f- h{Yx -f- Y2njr1]

4[r₁ + rSn+] +% + »)]

„ = ¥, + ■■■ + ¥,.

g— Y₂ -f- Yi -f- • • • -j- Y2n

d = \[Y₁ — ¥₁ + ¥,.— r₂»₊₁]

B'

À.

für

Vig. 1

m₃ =

genommen werden können. Die Poncelet'sehe Tangentenformel setzt dann

die Trapezformel

F = 4(M + M,) = 2% -\hd,

Y (-^ + m%) ~ ^[(J7 ~h M) 4"    4" ^a.+ i)]i

die Parmentier'sehe Formel³²²)

-f mj = 2hg — ~ dh,

die Simpson'sehe Formel³²³)

822) Th. Parmentier, Nouv. ann. 14, p. 370 (1855).

323) Th. Simpson, Mathematic, dissertations, p. 109 (London 1743).

51. D. elem. Summationsm. 52. D. Gauss’sche M., Jacobi’s u. Christoffel’s A. 121

F = \[M+ 2ms] = ±h[2u + ig + Yx + 7,„

J;

der hierbei begangene Fehler ist in den beiden ersten Fällen mit h², im dritten und vierten bezüglich mit h³ und W proportional¹⁴).

52. Die Gauss’sche Methode, Jacobi’s und Christoffel’s Arbeiten.

Zur Berechnung des Integrals

(1)

b

y f{x)dx,

dessen Grenzen man gleich 0, 1 {Jacobi), + 1 {Gauss, Christoffel), + Y (A. Andrae) wählen kann, ersetzte schon Newton¹⁵) f{x) durch

eine für die n Werte x — a,, i — 1,... n, mit f(x,) übereinstimmende ganze Funktion n—lten Grades F{x). Setzt man

cp (x) = (x — af) {x — a₂) • • • (x — an) C,

so ist nach der Lagrange'sehen Interpolationsformel¹⁶)

f (ai)    <p(x)

tp’ (ar) x — at

(2)

(3)

und man erhält als angenäherten Wert von J durch Substitution von F{x) an Stelle von f{x)

(4)

J — Jśj A,: f{a,-),

so dass der Koeffizient

(5)

Ai =

b

/<

cp(x) dx

(X - a)<p'(at)

unabhängig von f{x) ein für allemal bestimmt werden kann¹⁷). Ist das Intervall 0, 1 in n — 1 gleiche Teile geteilt, so erhält man insbesondere die bereits von Cotes¹⁸) für n bis 11 angegebenen Koeffizienten. Die Formel (4) liefert den genauen Ausdruck von J, so lange

p. 202.

fix) eine ganze rationale Funktion, deren Grad < n ist. Gauss³²⁹) hat zuerst gezeigt, wie man durch geeignete Wahl der ai erreichen kann, dass die Formel exakt bleibt, falls der Grad < 2n ist³³⁰).

Ist überhaupt f(x) in eine Potenzreihe

f(x) — a₀ -f- axx -{- a₂x² -{-••• entwickelbar, so muss in diesem Falle die Gleichung

(6)

^A;\a₀ -f- axOi -f- a₂a² —f— • • - —f- a%n—ia2n~l)

x2    x2n\b

== a₀x + «! y + • • • + «2w—i YT \a

für alle Werte der a bestehen. Hieraus folgt, falls man die n Grössen als Wurzeln der Gleichung

ansieht und pk —

Ä+l

setzt, das Gleichungssystem

CoPk + CiPk+i +----h cnpn+k = 0, k = 0, 1, • • • n — 1;

mithin zur Bestimmung der at- die Gleichung

/y*    /y»7l

tAs • • • «X/

— 0:

JPl * • • Pn Pn +1

Pn—1 Pn • • • P%n — 1

doch bleibt dann zu beweisen, dass’ die Wurzeln dieser Gleichung alle reell sind und in das Intervall a, h fallen³³¹).

Setzt man nach Jacobi ³³²)

fix) = Q(x)q>(x) + B(x),

329)    C. F. Gauss, Gott. Comm. rec. 3, 1816 [1814] == Werke 3, p. 168. Dort übrigens nicht nur die Cotesischen Koeffizienten, sondern auch ihre weiteren Korrektionsglieder; über Druckfehler bei Gauss vgl. Heine, Kugelf. 2, p. 9.

330)    Sie besitzt dann den Präzisionsgrad 2n — 1 (Gauss, a. a. O. p. 181, Badau, a. a. O.)

331)    Dies ist zuerst von F. Joachimsthal, J. f. Math. 48, p. 386, 411 (1854) mit Hülfe der Sturm'scheu Reihe gezeigt. Die 2 n Gleichungen (6) des Textes hat W. Scheibner benutzt, um auch die weiteren Resultate von Gauss mit Hülfe von Kettenbruchentwickelungen herzuleiten (Leipz. Ber. 8 [1856], p. 73). Die Heranziehung transcendenter Operationen ist überhaupt nicht unbedingt erforderlich, wie neuerdings von K. Heun (Progr. 1. höh. Bürgersch. Berl. 1892, p. 3) gezeigt ist; nach A. Hurwitz (Fortschr. d. Math. 24, p. 271) besteht der algebraische Charakter des Problems darin, eine binäre Form 2 n—lter Ordnung auf eine Summe von n Quadraten linearer Formen zu transformieren.

332)    C. G. J. Jacobi, J. f. Math. 1, p. 301 (1826) = Werke 6, p. 5.

dx =

(y == <h)

123

52. Die Gauss’sche Methode, Jacobi’s und Christoffels Arbeiten.

wo B(x) eine ganze Funktion vom Grade < w— 1, so muss, falls für jedes den 2n — lten Grad nicht übersteigende Polynom fix') die Gleichung

bestehen soll,

b

J — J*B(x) dx

a

b

j”* Q(x)<p(x)dx

sein, daher müssen die n Bedingungen

b

j*xh(p(x) dx

h — 0, • • • n — 1,

bestehen. Hieraus findet Jacobi ¹⁹)

(?)

cp(x) = C

(l (x — a)n (x — b)n,

dxn

womit zugleich evident wird, dass die Wurzeln von cp ix) sämtlich reell sind und innerhalb a, b liegen²⁰).

Eine eingehendere Untersuchung erfordert nicht allein die Abschätzung des von den Gliedern höherer als 2n — lter Ordnung von f{x) abhängigen Fehlers²¹), sondern auch die Bestimmung der Koeffizienten Ai in (5), welche den aus (6) folgenden Wurzeln entsprechen. Die hierauf bezüglichen Resultate von Gauss beruhen im wesentlichen darauf, dass für

M'd) =/

b    b

ff—

J x—y    x__y

die rechte Seite, welche eine ganze Funktion n — lten Grades von y ist, als ganzer Teil der nach absteigenden Potenzen von y entwickelten Funktion

viy) log (~z~)

dargestellt wird²²).

Diese Resultate hat zuerst Christoffel vereinfacht und erweitert²³). Unter Voraussetzung einer Potenzreihe für fix) setzt sich der Fehler

aus den Partialfehlern Axv, die bei der Berechnung von xv (v > n) mit Hülfe von (4) auftreten, zusammen. Setzt man demgemäss

Axv =

xvdx —

71    V    U

"STT ai Ccp(x)dx

¹    a

~ai ’

so hat man als erzeugende Fehlerfunktion³³⁸)

b

1 h* cp(x)dx

<P(z)J z — x

(8)

»V+1 ~

und, unter Voraussetzung der Grenzen + 1, falls

gewählt wird,

(9)

9(*)-£r(» + i)£(**-i)*

___¹    . 339"\

1 — af (cp' a-f ¹

-4,; =

Christo ffeVs Erweiterung³⁴⁰) des Gauss’sehen Verfahrens besteht darin, dass die Funktion rp(x) vom (m -(- n)t&n Grade so bestimmt werden soll, dass sie für n gegebene willkürliche Werte verschwindet und die Formel (4) den Präzisionsgrad 2m -f- n — 1 erreicht; sie kann nützlich werden, wenn f(x) für irgend welche auch ausserhalb des Intervalles liegende Werte bekannt ist. In Analogie mit (7) er-giebt sich

— l)mV

dxm

<p 0) =

wo V ein bis auf einen konstanten Faktor durch die n gegebenen Werte bestimmtes Polynom ist.

53. Erweiterungen von Heine, Mehler und anderen. Eine weitere Verallgemeinerung der Gawss’schen Methode besteht in der Betrachtung des Integrales

(10)

an Stelle von (1).

Setzt man wieder für f(x) die Werte (3) ein, so

338)    So schon bei Gauss, a. a. O. p. 181. Die théorie des fonctions géné-trices stammt von Laplace, Théor. des probabilités (1812) — oeuvr. 7, p. 8, 88.

339)    Christoffel, a. a. O. p. 69. Daselbst auch der von Gauss (Werke 3, p. 192) gefundene Ausdruck für Ar Tabelle der und ai für n — 1 bis n— 7 bei Gauss, Werke 3, p. 192, für n=l bis n — 10 bei Radau, a. a. 0. p. 301; Tabelle für die Korrektionen, wenn f(x) den 2wton Grad erreicht, daselbst p. 302.

340)    Christoffel, a. a. 0. p. 62.

58. Erweiterungen von Heine, Mehler und anderen.

125

ergiebt sich für die Ai eine ganz analoge Darstellung; die erzeugende Funktion (8) enthält unter dem Integralzeichen ebenfalls den Faktor if(x) und es ist zu bewirken, dass

j <p (x) ip (x) xh dx, h — 0, • • • n— 1,

(10 a)

verschwindet, wenn der Präzisionsgrad 2n — 1 erreicht werden soll⁸⁴¹). Dazu hat man nach Heineu2) für g>(x) den nten Näherungsnenner des in einen Kettenbruch entwickelten Integrals

(11)

f* ip(x)dx

a —J z — v zu setzen. Und ist Z(x) der zugehörige Zähler, so ergiebt sich als an genäherter Integral wert

z(ai) <p\ai)

wobei die Wurzeln a* von <p(x) = 0 sämtlich reell sind und innerhalb des Intervalls der Integration liegen, wenn ip (x) innerhalb desselben sein Zeichen nicht wechselt, wie jetzt vorausgesetzt werden soll. Den Fall if> = ( 1 — a?)*(l -j- xY hatte (Grenzen + 1) mit der notwendigen Bedingung X, — 1 bereits Mehler²⁴ 25 26) behandelt, wobei die Christoffel-sche Formel (9) fast unverändert wieder auftritt, und gleichzeitig für

X — y =— ~ die Formel²⁷)

+i

(12)

dxf(x)

ÿi — x³

f(a0’

1

= cos

(2* + V)n

entsteht. Dieses auch von Hermite²⁸) hergeleitete Resultat veranlasste Tchebycheffu6), die Form derjenigen Funktionen 'ip(x) zu bestimmen,

di mat. (2) 8, p. 1 [1876]).

343)    F. Mehler, J. f. Math. 63, p. 152, 154 (1863).

344)    A. a. 0. p. 157.

345)    Hermite, Cours p. 452; daselbst p. 450 auch die Hauptresultate von Christoffel, vgl. auch Radau, p. 316', sowie A. Markoff, Math. Ann. 25, p. 430 (1885).

für die das Integral (6) durch Je 'Sf(ai) ausdrückbar wird. Der Fehler wird dabei im allgemeinen von der n -f- ltei1 Ordnung ausfallen; in der That zeigte auch Posse ³⁴⁷), dass die Annäherung auf einen Rest

2nter Ordnung nur für 4>(x) — (1 —x²)    ² stattfindet.

Um die Glrenzen der Integration auf 0 bis oo auszudehnen, setzte Radau³⁴⁸) in

co

yf(x) dx o

f(x) = e~xF{x). Wird

nun

wieder F(x) nach der Lagrange'sehen Formel ersetzt, so zeigt eine ganz analoge Behandlung, dass ^AjF(aJ) ein angenäherter Wert vom Präzisionsgrad 2n — 1 ist, wenn

= 0, • • • n — 1

Çe~xdxcp(x)xh, h

verschwindet, sodass nach der KronecJeer'sehen Identität³⁴⁸⁸)

zu setzen ist. Ähnlich wählt E. Gourier³⁴⁹) für die Grenzen + oo die Funktion

.T<r⁺¹C~V

y(x) =

dxn+l

Den Fall, dass f(x) in eine Reihe entwickelbar ist, deren Exponenten eine arithmetische Reihe mit ganzzahliger Differenz bilden, während das Anfangsglied einen beliebigen Exponenten hat, hat F. August durch Substitution auf die Jacobi’sehe Darstellung zurückgeführt³⁵⁰).

54. Markoff’s Darstellung. Eine ganz andere Behandlung des GWss’schen Problems ergiebt sich, wenn man von vornherein nicht

von der angenäherten Formel (3), sondern von der exakten Interpolationsformel 13 ausgeht. Sucht man eine Funktion F(x) vom Grade '2n — 1, welche an n zu bestimmenden Punkten at ... an die Kurve f(x) berührt, so ist

2nl ’

f(x) — F(x) = ((p (x)f

wo I ein Mittelwert von ax . .. an, x, und es wird

347)    Ch. Posse, Nouv. ann. (2) 14, p. 49 (1875).

348)    E. Radau, Par. C. R. 97, p. 157 (1884). 348a) Vgl. Fussn. 333.

349)    E. Gourier, Par. C. R. 97, p. 79.

350)    F. August, Arch. Math. 56, p. 72 (1881).

51. Markoff’s Darst. 55. Erweiterung auf mehrf. Integrale.

127

F(x) =    Pi(x) + 2a«) ⁽MX) ■

Demgemäss erhält man jetzt

fF(x)ff(x)dx =    Aif(a,•) -f 2 Bff'(cif.

Verlangt man nun, dass die Koeffizienten

Bi =

ip(x) (cp(X)ffdx

(x — a) (cp'aff

verschwinden sollen, so folgen wieder die Bedingungen (10a). Und so ergiebt sich A. Markoff's Formel²⁹)

j f(x)il>(x)dx = ^

*(««)

v («■<•)

f(ai) -f-

f²Vi)

2 n\

b

J [<p 0*01² ^0*0 dx,

a

in welcher (p(x) den wten Näherungsnenner des Integrales 6 (11), Z(x) den zugehörigen Zähler bedeutet. Diese Betrachtung stellt nicht allein den Fehler formal völlig dar, sondern zeigt auch, dass die Annäherung den Präzisionsgrad 2n — 1 erreicht, weil thatsächlich eine Funktion konstruiert wird, die 2n Punkte mit der gegebenen gemein hat, und giebt hierdurch den eigentlichen Zusammenhang der Gauss-sehen und Newton'sehen Methode zu erkennen.

55. Erweiterung auf mehrfache Integrale. Durch Einführung des komplexen Integrationsgebietes hat Callandreau für das über eine beliebige Kurve innerhalb des Konvergenzkreises der analytischen Funktion f(x) erstreckte Integral die Gauss’sehe Entwickelung ausgeführt³⁰). Eine Ausdehnung auf reelle mehrdimensionale Gebiete scheint dagegen zuerst von Maxwell versucht zu sein, der das Integral

fff(ax -{-by -f- c) dx dy

in Analogie mit der GWss’schen Theorie behandelte³¹). P. Appell hat neuerdings diese Betrachtungen wieder aufgenommen³²). In dem Integrale wo 4> eine im Integrationsgebiete integrierbare Funktion von konstantem Zeichen, f nach Potenzen von x und y entwickelbar ist, wird man f durch ein Polynom ersetzen können, dessen Wert an n vorgeschriebenen Stellen mit f übereinstimmt. Diese letzteren sind nun wieder so zu bestimmen, dass der Fehler in den Gliedern möglichst hoher Dimension auftritt. Hierbei ergiebt sich die Möglichkeit einer zur Jacobi'sehen Behandlung des früheren Problems analogen; zugleich aber treten Schwierigkeiten hervor, wenn die Bedingung aufrecht erhalten werden soll, dass diese Stellen dem Integrationsgebiet angehören sollen, wozu der positive Charakter von ijj nicht mehr ausreicht.

E. Anhang.

56. Planimeter und Integratoren. Instrumente, welche die Ausführung von Integrationen durch mechanische Hülfsmittel bewirken, werden besonders dann wichtig, wenn es sich um — zunächst zweidimensionale — Gebiete handelt, deren Begrenzung nur graphisch gegeben ist. Insbesondere gestatten die Planimeter, den Flächeninhalt einer ebenen oder sphärischen Kontur durch Umfahren³³) derselben mit dem sogenannten Fahrstift an einer Rolle, der Integrir-rolle, abzulesen.

Man kann drei Perioden in der Entwickelung der Integratoren unterscheiden: 1) die älteren Planimeterkonstruktionen von 1814— 1850; 2) das Amsler'sehe Planimeter 1854 und die Konstruktion von Apparaten ohne Gleitbewegung (J. C. Maxwell 1851); 3) die auf allseitiger Verwendung der Kinematik beruhenden neueren Apparate (Präzisionsplanimeter, Integratoren der verschiedensten Art), etwa seit 1870.

Die kinematischen Prinzipien dieser Apparate (umfassend zuerst von J. Amsler³⁴) dargelegt) beruhen fast durchweg³⁵) entweder auf der Anwendung einer Rolle mit glattem Rande, deren Drehung um ihre Axe (den Stab oder Fahrarm) die erzeugte Fläche misst, oder auf der Benutzung von geeigneten auf einander rollenden Flächen (Ebene, Kugel, Kegel, Cylinder)³⁶).

56. Planimeter u. Integratoren. 57. Das Amsler’sche Planimeter. 129

Die geometrische Theorie beruht im ersten Falle auf der Erzeugung des Flächeninhaltes durch eine Strecke von unveränderlicher Länge l, deren Enden die Kontur der Fläche durchlaufen (Stab der Rolle). Bei der Translation des Stabes über eine parallelogramma-tische Figur ist die Drehung der Rolle der erzeugten Fläche proportional; will man auf diese Art beliebige Flächenstücke, z. B. ein von der X-Axe, zwei Ordinaten und der Kurve begrenztes Stück messen, so muss die Veränderlichkeit der Ordinaten durch eine entsprechende Drehung der Rolle kompensiert werden. So beim Kegelplanimeter Gonnellà’s³⁵⁹), dem Scheibenplanimeter Oppikofer’s (1826), und den Instrumenten³⁶⁰) von Ernst (1836), Wetli (1849) und Hansen (1853). Bei der Rotation des Stabes um das eine Ende ist ebenfalls die Drehung der Rolle dem erzeugten Inhalt proportional; wird auch hier die Veränderlichkeit des Radius vector eines im Sinne der Polarkoordinaten betrachteten Flächenstücks in geeigneter Weise kompensiert, so entstehen die seltener ausgeführten Polarkoordinatenplanimeter (vgl. die soeben besprochenen Orthogonalkoordinatenplanimeter ³⁶¹).

57. Das Amsler’sche Planimeter³⁶²), an Einfachheit und Eleganz auch heute noch unübertroffen (erste Konstruktion 1854), entsteht, wenn Anfang A und Ende Ä des Stabes l auf zwei geschlossenen Kurven C, C'\ geführt werden. Sind (Figur 2, s. pag. 130) x, y\ x, y die Koordinaten der entsprechenden Punkte A, A'} Fy F' die Inhalte von C, C, ferner ay ß die Winkel von l und der Tangente an C in A' mit der X-Axe, ist endlich Ä B' = ds, so wird

Y (xdy — ydx) = ~ {x'dy'— y'dx') -f- ~ d{x' sin a~y cos a)

Z²

— Ids sin (u — ß) -f- y

also, wenn beide Punkte A und A' gleichzeitig die Anfangslage wieder annehmen³⁶³),

359)    T. Gonnella,*Antologia di Firenze 18 (1825); opusc. mat., Firenze 1841. Erstes Planimeter jedoch von J. M. Hermann (1814) nach C. M. Bauernfeind (Polyt. J. 137, p. 82 [1855]). Vgl. A. Favaro, Wien. Allg. Bauz. 38 (1873), p. 68.

360)    C. M. Bauernfeind, *Ber. polyt. Vereins für Bayern 1853, p. 130—147; A. p. 114—118; vgl. auch die Litteratur bei W. Jordan, Vermessungskunde, Stuttgart 1893, p. 117.

361)    Nach Henricüs Terminologie a. a. 0. p. 496.

362)    A. p. 44—48. Unabhängig davon das 1855 von Müler von Hauenfels erfundene sehr ähnliche Instrument (Katalog math. Apparate und Modelle, München 1892, p. 190, weiterhin zitiert unter K. M. A.).

363)    Geometrische Begründung dieser Gleichung bei A. p. 58; J Avisier,

Encyklop. d. Math. Wissensch. II.

F= F' — l

jsin (a — ß) ds + y J

da.

Das erste Integral rechts wird durch die totale Drehung der Rolle F

(BL

TB

da.

,/

<ÄTp

Mg. 2.

gegeben, das zweite hat den Wert 0 oder 2n7t. Wählt man für C einen Kreis, so entsteht das Polarplanimeter Amsler’s (Figur 3).

fO

___y '⁷

fü

à,_

fiÉÜ

: -i - --- sFFa

--Jh

fl

Mg. 3.

Amsler’sches Planimeter nach Gr. Coradi.

58. Die Präzisionsplanimeter. Die Genauigkeitsfehler dieses und ähnlicher Instrumente beruhen — abgesehen von den durch Übung zu vermeidenden, sowie den mechanischen Ungenauigkeiten der Kon-

Zeitschr. f. Instr. 1884, p. 12; desgl. A. Avisier, Ueber den Flächeninhalt und das Yolum etc. und über mechanische Integrationen, Schaffhausen 1880, p. 5, (auch mit Erweiterungen für den Raum p. 17).

58. Die Präzisionsplanimeter. 59. Die Integraphen.

131

struktion⁸⁶⁴) — wesentlich auf dem veränderlichen Einfluss der Unterlage, auf der die Rolle sich ah wälzt, und der gleitenden Bewegung derselben³⁷ 38). Dies veranlasste die Konstruktion von Planimetern, bei denen die Rolle auf einer unveränderlichen Unterlage geführt wird, und zugleich die Gleitbewegungen ganz oder fast ganz fortfallen. So entstanden die Präzisionsplanimeter von Amsler, F. Hohmann-Coradi (erste Ausführung 1880, das freischwebende Präzisionsplanimeter 1882—1884, das Kugelrollplanimeter³⁹ 40)); durch grosse Genauigkeit zeichnen sich namentlich die neuen Instrumente von G. Goradi

367

aus

Die bereits von J. Amsler⁴¹) angegebene Erweiterung der Planimeter zu Integratoren für Flächenmomente und Trägheitsmomente, für die mechanische Ermittelung von Potentialfunktionen und Attraktionskräften⁴²) ist neuerdings von den verschiedensten Seiten fortgebildet; man vgl. die Angaben im K. M. A. von 1892, p. 197—224.

59. Die Integraphen. Während die Planimeter den Inhalt einer geschlossenen Kurve abzulesen gestatten, zeichnen die Integraphen

direkt die Integralkurve z = Çy dx, welche zu einer gegebenen Diffe-

rentialkurve y = f{x) gehört. Nach früheren Vorschlägen von Zmnrko (1864)⁴³) und J. Thomson⁴⁴ 45), Cayley³¹²) ist zu vielseitiger Ausführung gelangt der Integraph von Abdank-Abakanowicz 1882 (erstes Modell

yon G. Coradi angeführte Instrument (Figur 4) besteht (Fig 5 s. p. 133) erstens aus dem in der X-Riclitung auf Laufrollen U beweglichen Wagen TF, dem längs BB beweglichen Wagen W mit

18 7 8) ⁴⁶ 47). Das

1z

lull

\A

fl

wmm

1«

«an

ÜI

"ii

h;'v

■AIM),

mm

PgjPp

Mp.

PP

SE»

rata.

PSa

=P: ■

Ï5P

PP

Uig. 4.

Integraph von Abakanowicz nach G. Coradi.

dem auf der Dilïerentialkurve C zu führenden Fahrstifte F, zweitens aus der scharfrandigen Rolle B fàU) welche vermöge des Parallelogramms ah cd und des durch die festen Punkte A und B der Wagen W und TW gehenden geschlitzten Lineals, auf dem das Gleitstück G verschieblich ist, ihre Bewegungsrichtung stets dem Lineal parallel erhält⁴⁸), während der Punkt M durch einen längs PP' verschiebbaren

Frühere Konstruktion von W. Thomson (Lord Kelvin)⁸⁷⁷); durch partielle Integration der Integrale vereinfachter Apparat von 0. Henrici³⁷⁸)j; besonders leistungsfähig scheint ein neuerdings von Michelson und Stratton mit Benutzung von Spiralfedern konstruiertes Instrument³⁷⁹).

finden³⁸¹). Sie bilden aber

nur

61. Die graphischen Methoden. In engster Verbindung stehen damit die Integratoren von linearen Differentialgleichungen, wie sie ebenfalls von W. Thomson 1876 ³⁸°) angegeben sind. Die kinematischen Hülfsmittel aller dieser, wenn auch unabhängig entstandenen, Apparate beruhen auf den von J. Amsler 1856 ausgesprochenen Ideen und scheinen bestimmt, bei den Aufgaben der modernen Naturforschung noch vielfache Verwendung zu einen kleinen Teil der graphischen Methoden³⁸²) überhaupt, deren konsequente Verfolgung immer mehr Einfluss auf eine Umbildung der mathematisch-technischen Hülfsmittel zu gewinnen scheint.

377)    W. Thomson, Lond. Roy. Proc. 24 (1876) = Treatise 1, p. 493—496. Man vergleiche indessen J. Amsler's frühere Versuche A. p. 107—113.

378)    K. M. A. p. 131, 213. Erster Versuch von Henrici 1889, Abbildung des von G. Coradi nach 0. Henrici und A. Sharp konstruierten Instrumentes

K. M. A. Nachtrag p. 34; vgl. Der harmon. Analysator konstr. von G. Coradi, Zürich 1894, desgl. K. M. A. p. 125, Gott. Nachr. 1894, p. 30 und Phil. mag. 1894, p. 110.

379)    A. A. Michelson und S. W. Stratton, Phil. Mag. (1898), p. 85.

380)    Treatise 1, p. 493—504; speziellere Ausführung hei A. Amsler, Schaffhausen 1880, p. 52—60.

381)    Nach H. S. Hele-Shaw (Lond. Trans. 176, p. 365) soll bereits J. V. Poncelet 1834 ähnliche Prinzipe benutzt haben.

382)    Vgl. z. B. *Nehls, Graphisch-mechanisches Integrieren, Leipzig 1885, 2. Ausg. ; *E. Massau, Ann. de l’association des ingénieurs 1, 2, Brux. 1878; 3, Liège 1884; ferner die Litteratur im K. M. A. p. 99, 202—207, 211—212 etc.; desgl. *H. S. Hele-Shaw, Proc. civil eng. 1885.

Berichtigungen und Nachträge.

S. 56, Z. 12 u. 14 v. o. lies Michelsen statt Michelson.

S. 56, Z. 10 v. u. lies processes statt progresses.

S. 61, Z. 6 v. o. lies ou statt où.

S. 61, Pussn. 15 füge hinzu: für komplexe Variable bei Pringsheim, Münch. Ber. 25, 1895, p 303.

S. 62, Z. 7 v. o. lies cx statt ex.

S. 70, Fussn. 58 streiche 9 hinter Gerhardt.

S. 71, Fussn. 67 füge hinzu: Bei nur einer unabhängigen Variabelen fällt natürlich die Bedingung der Stetigkeit der Derivierten der y; weg.

S. 81, Fussn. 118 lies Grundzüge 1.

S. 88, Z. 7 v. u. lies Ann. fis. mat. 6.

II A3. BESTIMMTE INTEGRALE

VON

G. BRUNEL

IN BORDEAUX.

Inhaltsübersicht.

1.    Eigentliche bestimmte Integrale.

2.    Uneigentliche bestimmte Integrale.

3.    Kennzeichen der absoluten Konvergenz der bestimmten Integrale.

4.    Nicht absolut-konvergente bestimmte Integrale. Nicht-monotone Integranden.

5.    Eigenschaften der uneigentlicben bestimmten Integrale.

6.    Integration unendlicher Reiben

7.    Bestimmte Integrale, die einen Parameter enthalten.

8.    Mehrfache bestimmte Integrale.

9.    Verschiedene Methoden zur Auswertung der bestimmten Integrale.

10.    Cauchy’scher Satz.

11.    Integration rationaler Brüche zwischen den Grenzen —oo und -j-oo.

12.    U-Funktion.

13.    Euler’sehe Konstante.

14.    Integrallogarithmus.

15.    B-Funktionen.

16.    Andere Integrale, welche auf Gammafunktionen zurückführbar sind.

17.    Anwendungen der bestimmten Integrale in der Reihenlehre.

18.    Bernoulli’seine Zahlen.

19.    Besondere bestimmte Integrale.

20.    Gauss’sehe Summen.

Litteratur.

Allgemeine Lehrbücher.

Dini, Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali. Pisa, 1878; dtsch u. d. T. : Grundlagen der Theorie der Funktionen einer veränderlichen Grösse, hsg. von Lüroth und Schepp, Leipzig, 1892.

A. Harnack, die Elemente der Differential- und Integralrechnung. Leipzig, 1881. 0. Stolz, Grundzüge der Differential- und Integralrechnung. Erster Teil. Leipzig, 1893.

C. Jordan, Cours d’Analyse de l’École Polytechnique, deuxième édition. Paris, t. I, 1893; t. II, 1894.

Spezielle Lehrbücher.

D.    Bierens de Haan, Expose de la théorie, des propriétés, des formules de trans-formation et des méthodes d’évaluation des intégrales définies. Amsterdam, 1862.

G.    F. Meyer, Vorlesungen über die Theorie der bestimmten Integrale zwischen reellen Grenzen (nach P. G. Lejeune-Dirichlet). Leipzig, 1871.

J. Thomae, Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale. Halle, 1875.

L. KronecJcer, Vorlesungen über Mathematik. I. Bd. Vorlesungen über die Theorie der einfachen und vielfachen Integrale, hsg. von E. Netto. Leipzig, 1894.

Monographien.

H.    Limbourg, Théorie de la fonction Gamma. Gand, 1859.

G. Brimel, Monographie de la fonction Gamma. Bordeaux, 1885 (auch Bord. Mém.).

E.    Schenkel, Kritisch-historische Untersuchungen über die Theorie der Gammafunktionen und Eulerschen Integrale, Uster-Zürich, 1894.

J. H. Graf, Einleitung in die Theorie der Gammafunktion und der Eulerschen Integrale. Bern, 1895.

L. Saalschütz, Vorlesungen über die Bemoullischen Zahlen. Berlin, 1893.

D. Bierens de Haan, Tables d’intégrales définies. Amsterdam, 1858.

1. Eigentliche bestimmte Integrale. Bezeichnet man mit f(x) eine in einem gegebenen Intervall integrable Funktion, mit a, ~b zwei Zahlen dieses Intervalles, so ist das Zeichen:

b

J*f(x)dx

bereits II A 2, 31 definiert und es sind auch dort folgende Eigenschaften desselben angeführt:

beb

J"f(x)dx — J*f(x)dx + J*'f(x)dx\

a)

b — e’

= lim

s=*0, s' = 0

I f(x) dx\

aĄ-s

d) wenn fk integrable Funktionen von x (in endlicher Anzahl) und Ck Konstante sind, so ist auch:

f(x) — Gx(x) -f- C₂f₂(x) + • • •

integrabel und es ist:

Wagen W" geführt wird. Für die von M oder J beschriebene Kurve C' wird daher

dz

dx AD5 g '    fvdx

so dass M oder J die Integralkurve beschreibt⁴⁹).

kX

Cr

/f

c.

di

w"

a,

L<Û

ZF

Mg. 5.

60. Harmonische Analysatoren (Harmonie analysers) konstruieren graphisch die Koeffizienten der Fourier sehen Reihe, d. h. die Integral

2 jt

j f{X)

0

cos (nx)dx,

2 7t

-- J f (x) sin (nx) dx.

1. Eigentl. bestimmte Integrale. 2. Uneigentl. bestimmte Integrale. 137 e) die Mittelwertsätze;

f)

wenn F(x) eine Funktion ist, die f(x) zur Derivierten hat, ist:

b

ff(x)dx = F(b)

a

g)

2. Uneigentliclie bestimmte Integrale⁵⁰). Wenn eine Funktion f(x), ohne zwischen a und b integrabel zu sein, zwischen a -\- e und b integrabel ist, wie klein auch s sein mag, so hat der Ausdruck:

b

ff(x)dx a + s

für jeden Wert von s einen bestimmten Wert. Wenn dann dieser Wert für lim £ = 0 gegen einen festen Grenzwert konvergiert, so versteht man unter dem „uneigentlichen bestimmten Integral“:

b

Jf(x) dx

eben diesen Grenzwert. Ebenso, wenn f(x) an der unteren Grenze oder an beiden Grenzen aufhört, integrabel zu sein, so definiert man

b

f f(x)dx durch die Gleichung:

a

b

J*f(x) dx

a

b

J*f(x) dx =

— lim

f'=

b—t’

i / fix) dx,

o J

— lim = 0,S'=0t

b — t’

a-j-c

vorausgesetzt, dass die rechts stehenden Grenzwerte existieren (II Al, 23).

Allgemeiner: wenn f(x) im Intervall (a...b) integrabel ist, ausser in der Umgebung einer endlichen Zahl von Punkten c1: c₂ ... cn, so

b

definiert man pf(x) dx durch die Gleichung :

by Cj c«£    6    Cj ' '

f=/+/+-+f= lim f+,

a a Ci    cn    a

lim

=o,«₂=o

C1 f2

/+'

h

■J

cn~l~sn

in der alle geforderten Grenzübergänge als von einander unabhängig zu verstehen sind.

Es kann Vorkommen, dass die rechte Seite dieser Gleichung nur für eine specielle Art des Grenzübergangs einen Grenzwert hat, z. B. nur für

Sx ,    • • • £n £/i •

Diesen Grenzwert nennt A. Cauchy²) den Hauptwert (valeur principale)

b

des Integrals Çf(x) dx.

Endlich mögen die Punkte cx, c₂,... eine unendliche abgeschlossene (I A 5, 11) Menge bilden³). Zerlegen wir das Intervall in Teilintervalle, deren jedes < ö ist. Diejenigen von ihnen, %&!, a₂b₂, ... die weder in ihrem Innern, noch an ihrer Grenze einen der singulären Punkte c1} c₂ . . . enthalten, bilden einen Bereich Z), für den die Gleichung gilt:

b-

Çf(x') dx = 'S^y f(x) dx

(V)    a£

Lässt man d gegen Null convergieren, so nimmt der veränderliche Bereich D allmählich alle nicht singulären Punkte des Intervalls ab

in sich auf. Wenn unter dieser Voraussetzung das Integral Çf(x)dx

(D)

gegen einen bestimmten Grenzwert konvergiert, verstehen wir unter

b

yf(x)dx eben diesen Grenzwert.

Für die Existenz dieses Grenzwerts ist notwendig und hinreichend

2)    Résumé des leçons calc, inf., Par. 1823, p. 96; J. éc. polyt. cah. 19, 1823, p. 572. — Riemann bemerkt a. a. 0.: „Solche Festsetzungen mögen für einzelne Klassen von Untersuchungen zweckmässig sein, sind jedoch, schon wegen ihrer grossen Willkürlichkeit, zu allgemeiner Einführung kaum geeignet“. Z. B. gilt die Formel 1, h) für sie nicht.

3)    C. Jordan, cours d’analyse 2, p. 90.

(IA3, 13; IIAl, 16), dass man zu jedem s ein rj so bestimmen kann, dass stets:

j yf(x) dx —yfix) dx j

(-Dl)

(Ą)

ist, sobald die Bereiche Dt und D₂ zu Werten von d gehören, die kleiner als r\ sind.

6

Integral y f(x) dx heisst absolut oder unbedingt

a b

y I f(x) I dx

Das so definierte konvergent, wenn auch:

einen bestimmten Wert hat; andernfalls nur bedingt konvergent (I A 1,31).

Was bestimmte Integrale zwischen unendlichen Grenzen betrifft, so definiert man ebenso die Symbole:

bezw. durch:

00    ö    - 'J - CO

yfix)dx,    yfix)dx,    Çfix)dx

-CO

-CO

oo    b    b    b    -f-co    b

f= lim r, f= lim (] f= lim f,

J b=a> J J a—— ce J J    a=—<x> J

— GO

— oo 6=-)-co a

mit analoger Unterscheidung zwischen bedingter und unbedingter Konvergenz.

Auch wenn die beiden Grenzwerte:

CO

yfix) dx und yfix) dx

-CO

nicht existieren, kann doch der Grenzwert:

lim / fix) dx

b — oo J

vorhanden sein. Man nennt ihn dann den Hauptwert⁵¹) des Integrals

-f-CO

y fix) dx.

-CO

3. Kennzeichen der absoluten Konvergenz der bestimmten Integrale. JB. Miemann5a), J. Worpitzhy5b), P. du Bois-Reymond⁵⁰),

A. Pringsheim',d), 0. Stolz⁶*) haben sich mit der Aufstellung von Kriterien für die absolute Konvergenz bestimmter Integrale und mit der Untersuchung der Tragweite der von Riemann gegebenen Kriterien beschäftigt.

b

Zur absoluten Konvergenz von ff(x) dx ist hinreichend die Existenz

einer solchen positiven Zahl g<C 1, dass (b — x)flf(x) für lim x = b — 0 einen endlichen Grenzwert oder endliche Unbestimmtheitsgrenzen (IIAl, 7) hat. Notwendig hierzu ist, wenn f(x) im Intervalle (a...b) sein Zeichen nicht wechselt, dass ( b—x)f(x) für lim x — b — 0 den Grenzwert 0 oder mindestens eine Unbestimmtheitsgrenze 0 hat. Nimmt man jedoch an, dass (b—x) fix) für lim x — b — 0 einen Grenzwert hat, so erscheint das Verschwinden desselben unter allen Umständen als eine notwendige Bedingung der absoluten Konvergenz 6

¹

   A. a. 0. p. 451.

²

   p. 455.    9î(|) bezeichnet den reellen Teil von

³

   Biemann, a. a. 0. p. 340.

⁴

   Grünwald, a. a. 0. p. 457.

⁵

   B. Most, Ztschr. Math. Phys. 16, p. 190 (1871).

⁶

   A. W. Letnikoff, vgl. Fortschr. d. Math. 6, p. 167; 14, p. 206; Grün-ivald, Prag. Ber. 1880, p. 276; desgl. H. Laurent, Nouv. Ann. (3) 3, p. 240 (1883).

⁷

   Most, a. a. 0. p. 193.

⁸

   p. 197.

⁹

   p. 199.

¹⁰

   K. Bochow, Diss. Halle 1885.

¹¹

   P. Lindner, Progr. Cöslin 1890, Nr. 125.

¹²

   A. Krug, Wien. Denkschr. 57, p. 151 (1889); vgl. auch E. Schimpf, Progr. Bochum 1885, Nr. 318, und v. Schäwen, Progr. Strasburg i. W.-Pr. 1881 u. 1882.

¹³

   Monographieen : P. Mansion, Brux. soc. scient. 2, p. 231 (1881); vgl. A. Harnack, Civiling. 28⁴ (1882).

E. Heine, Kugelfunktionen 2, p. 1—29 (1879).

B. Badau, J. de math. (3) 5, p. 283 (1879).

A. A. Markoff, Differenzenrechnung, St. Petersh. 1891, dtsch. von T. Friesendorff u. E. Prümm, Leipzig 1896, 1, p. 1—97.

Ch. Possé, Sur quelques applications des fonctions continues. Paris 1886.

¹⁴

   Chévilliet, Par. C. R. 78, p. 1841 (1874); desgleichen a. a. O. Mansion u. Harnack. Vgl. im übrigen IE.

¹⁵

   Newton (1711): Invenire lineam curvam generis parabolici, quae per data quotcunque puncta transibit, Methodus differentialis = Opusc. 1, p. 271, auch p. 275.

¹⁶

   Lagrange, Leçons élémentaires 1795 = oeuvr. 7, p. 285. Vgl. IB la, 3.

¹⁷

   Die durch 6 — a dividierten sind also die Gewichte, die den einzelnen f(ai) beizulegen sind (Radau, p. 284).

¹⁸

   R. Cotes, ^Harmonia mensurarum, Cantabrigiae 1722; Gauss, Werke 3,

¹⁹

   In kürzerer Form bei L. Kronecker, Beri. Ber. 1884, p. 841.

²⁰

   Jacobi, a. a. O. p. 8; doch für die Grenzen 0,1. Bei Gauss erscheint rp{x) in der Gestalt der hypergeometrischen Funktion F[n-f-1, —n, 1, x].

²¹

   Jacobi, a. a. O. p. 10.

²²

   Ygl. z. B. H. Schellbach, J. f. Math. 36, p. 192 (1836),

²³

   E. B. Christoffel, J. f. Math. 55, p. 61 (1858).

²⁴

   Hierdurch ist die Funktion cp (x) nten Grades eindeutig bestimmt, wenn ip(x) im Intervall a, b sein Zeichen nicht wechselt. Für andere ip(x) kann es mehrere, ja seihst unendlich viele, Polynome geben; vgl. z. B. P. Appell, Toul. Ann. 4, p. H 11 (1890).

²⁵

   E. Heine, J. f. Math. 67, p. 315 (1867); Kugelfunkt. 1, p. 291; 2, p. 20.

²⁶

Der Zusammenhang mit der Kettenbruchentwickelung tritt schon bei Gauss auf,

²⁷

der das einfachere Problem aus viel weiter reichenden Prinzipien hergeleitet

²⁸

hatte, Werke 3, p. 117, 185. Man vgl. auch die Christo ffeVachen Resultate (Ann.

²⁹

   So Math. Ann. 25, p. 428 (1884), aber dort mit Benutzung der Hermiteschen Interpolationsformel (J. f. Math. 84, p. 79) hergeleitet; so auch bei Ch. Posse a. a. O. p. 78; die vereinfachte Darstellung bei A. Markoff, Differenzenrechnung p. 80, nebst weiteren Verallgemeinerungen; vgl. auch Posse, a. a. O. p. 80—89.

³⁰

   JE. Callandreau, Par. C. R. 84, p. 1225 (1877).

³¹

   J. C. Maxwell, Cambr. Proc. 3, p. 39 (1877).

³²

   P. Appell, Toul. Ann. 4, H (1890).

³³

   Mathematisch, aufgefasst handelt es sich also um eine an der Begrenzung auszuführende Operation zur Ermittelung des Doppelintegrals, d. h. um eine kinematische Deutung des Green'sehen Satzes.

³⁴

   J. Amsler, Zürich. Viert. 1, p. 44—48 (1856); (auch sep. Schaffhausen 1856), weiterhin zitiert mit A. ; desgl. mit der Ausdehnung auf sphärische Figuren Zeitschr. Instr. Berlin 1884, p. 11.

³⁵

   Eine Ausnahme macht das theoretisch und praktisch gleich interessante Beilplanimeter von Prytz (1887) (vgl. 0. Henrici, Brit. Ass. 1894, p. 516 —520, sowie Hill, Phil. mag. 1894, p. 265).

³⁶

   A. p. 65.

³⁷

   Theoretische Erörterungen über die Fehler bei F. H. Beitz, Zeitschr. f. Vermess. 7, p. 264 (1878); P. Wilski, ib. 21, p. 609 (1892); G. Coradi, praktische Anleitung zum Gebrauch des einfachen Polarplanim., Zürich 1892; Zusammenfassung bei 0. Henrici, Brit. Ass. 1894, p. 510—512.

³⁸

   A. p. 131; schon J. C. Maxwell (Edinb. Trans. 4 = Coll. pap. 1, p. 230) gab 1855 ein Instrument ohne Gleitbewegung an; vgl. auch das Planimeter von J. Stadler (K. M. A. p. 184); ein anderes Instrument beschreibt J. Amsler, Ztschr. f. Instrum. 1884, p. 21.

³⁹

   Theorie bei F. Lorber, Zeitschr. f. Instrum. 1882, p. 327; Zeitschr. f. Vermess. 17, p. 161 (1888).

⁴⁰

   Die Kugelplanimeter Coradi, Beschreibung u. Anleitung z. Gebrauch etc. von G. Coradi, Zürich 1889, Litteratur im Vorwort; Genauigkeitstabellen daselbst p. 32; ferner: ,,Die Planimeter Coradi“, Zürich 1895.

⁴¹

   A. p. 101—107.

⁴²

   A. Amsler, Repert. Phys. 15 (1879), p. 389.

⁴³

   Über Zmurko’s Integrator (1861 erfunden, 1881 von G. Coradi ausgeführt) vgl. K. Skibinslci, Wien. Denkschr. 53, p. 35 (1887). Von Ż. stammt auch die von Abakanowicz benutzte Eigenschaft der Integralkurve.

⁴⁴

   J. Thomson, Bond. Roy. Proc. 24 (1876) == Treatise on natural philosophy, 1, p. 488, 2. ed.

⁴⁵

   A. Cayley, Brit. Ass. 1877.

9*

⁴⁶

Abdank-Abakanowicz, Les intégraphes et la courbe intégrale, Paris 1889, deutsch mit Zusätzen von E. Bitterli, Leipzig 1889; dort p. 51 weitere Litteratur.

⁴⁷

   Auf diesem schon von J. Avisier, A. p. 65 angegebenen Prinzipe beruht auch das Planimeter von Hine und Robertson, Henrici, Brit. Ass. 1894, p. 515, K. M. A. im Nachtrag (ohne pag.).

⁴⁸

   Auf andere Art wird der Parallelismus erreicht im Integrator von C. V. Boys, Phil. mag. Mai 1881.

⁴⁹

Verwendung des Integraphen zur Lösung mathematischer Fragen bei Abakanowicz, p. 84ff.; K. M. A. p. 201.

⁵⁰

Die Unterscheidung der bestimmten Integrale in eigentliche und uneigentliche ist von Biemann klar ausgesprochen, ges. W. p. 225 [1854, zuerst publ. 1867]. C. Jordan (Cours d’anal. Il, ch. 2 bezeichnet die uneigentlichen Integrale als „intégrales définies généralisées“.

⁵¹

Fussnote 2 gilt auch für diesen Fall.

5a) Ges. W. p. 229. — b) Über die Endlichkeit von bestimmten Integralen, 1867. — c) J. f. Math. 76, 1872, p. 88.

von

J*f(x) dx.

Setzt man mit P. du Bois-Regmond (a. a. 0. p. 79):

P = lo0)> logJ) = Jj(p), log(logi)) = ZjO) .. /

x)f(x)

so kann man in dem vorhergehenden Satz (b—xfl f(x) und (b durch:

bezw.

(b x'f Lr    fix)

(b—xf Ll    f(x) '

ersetzen.

Zur absoluten Konvergenz von J*f(x) dx ist hinreichend die Existenz

einer solchen positiven Zahl g > 1, dass x^f(x) bei lim x — -f-einen endlichen Grenzwert oder endliche Unbestimmtheitsgrenzen hat. Notwendig hierzu ist, wenn f(x) im Intervall («•••-}- oo) sein Zeichen nicht wechselt, dass xf{x) bei lim x = -f- oo den Grenzwert 0 oder mindestens eine Unbestimmtheitsgrenze 0 hat. Nimmt man an, dass xf(x) bei lim x = -f- oo einen Grenzwert hat, so ist sein Verschwinden unter allen Umständen notwendige Bedingung der absoluten Konvergenz von Çf(x)dx.

In diesem Satz kann man xf fix) und xf(x) bezw. durch Lf (x)f{x) und l}r (x) f(x) ersetzen.

P. du Bois-Reymond⁶¹¹) und Rringsheim6h) haben gezeigt, dass selbst für monotone f(x) (I A 3, Fussn. 95) die logarithmischen Kriterien nicht immer zur Entscheidung über die Konvergenz ausreichen. Prings-heim beweist: Wird f(x) für x = 0 ohne Maxima und Minima unend-

a

lich, so ist für die Konvergenz von j f(x) dx unter allen Umständen

0

notwendig, dass lim x fix) — 0. Dagegen gibt es keine mit verschwindendem x noch so langsam ins Unendliche wachsende Funktion

^ (v) von ^er Beschaffenheit, dass auch lim xip    Null

müsste. Vielmehr lassen sich zu jeder solchen Funktion ^ Funktionen fix) angeben, für welche das betreffende Integral konvergiert, während die obere Unbestimmtheitsgrenze des obigen Ausdrucks einen beliebig (d. h. auch unendlich) grossen Wert besitzt.

Beispiele von absolut konvergenten bestimmten Integralen:

Sind P(x) und N(x) zwei rationale ganze Funktionen von x, von den Graden p und n, ohne gemeinsamen Teiler, so hat das Integral

werden

/ Wife-)    *n dem a grösser sein soll als die grösste reelle Wurzel

der Gleichung Nix) — 0, einen bestimmten Wert, wenn ni>p -j- 2 ist.

-, in dem y und v

CO

Æ'“-¹

Das Euler sehe Integral erster Art I    ,

J (1 + x)

positive Zahlen sind, hat nur einen Sinn, wenn g < v ist.

co

Das Euler’sehe Integral zweiter Art j‘e~xxa~x hat einen bestimmten

Wert für jedes positive a. Das Auftreten der oberen Grenze oo bringt keine Einschränkung für den Wert von a mit sich.

7t

Das Integral Çlog

sin ax dx hat einen Sinn für 0 < a < 1;

77

sin x

X‘U

dx

COS X

cd¹

dx

r> 77 <C 2;

77    77 P 1 j

6a) a. a. 0. p. 88.

b) Math. Ann. 37, p. 593.

4. Nicht absolut-konvergente bestimmte Integrale. Nichtmonotone Integranden. Die beiden letzten Integrale geben für 0<^1 Beispiele von bedingt konvergenten Integralen. — Wenn f{x) mit wachsendem x unendlich oft sein Zeichen ändert, bezeichnen wir mit x1} x₂ . . . die zwischen a und oo gelegenen ISJullstellen von f(x)\ dann gestattet die Zerlegung¹):

xn+1

Xx X₂

in inf.

CO '

Das

IntegralJ*

sin x 7 -dx

acr

co

a > 0 hat einen Sinn für [i > 1.

COS X

r>

xtl

dx ,

ff{x)äx =/+/+••■+/+••• +

a    a xy    xa

in vielen Fällen, über die Konvergenz des links stehenden Integrals zu entscheiden.

CO

Aber das Integral J*f(x) dx kann

auch einen bestimmten Wert

haben, ohne dass f(x) sein Zeichen wechselt und ohne dass es für lim x — oo gegen 0 konvergiert. J. Thomae8a) hat Beispiele solcher Integrale gegeben; P. du JBois-EeymondSb) das Beispiel:

co

yara6sin2“(ia;

o

Ph. Gilbert zeigt⁸⁰), dass das Integral:

co

J (sin² TtacJfW dx,

o

<p(x) positiv ist und von einem bestimmten Wert X an mit x beständig wächst, konvergent ist unter der Bedingung

wo

lim

cp(x)

OO <p(x + !)

<1.

x=

Überhaupt ist es auf unendlich viele Arten möglich, eine Funktion so zu bestimmen, dass sie beständig positiv bleibt, dass sie von einem gegebenen Werte von x an in jedem noch so kleinen Intervalle

f(x)

4. Nicht absolut-konv. best. Integr. 5. Eigensch. d. uneigentl. best. Integr. 143

00

unendlich oft unendlich gross wird und dass doch das Integral: J*f(x) dx

o

einen bestimmten Wert hat. Ch. de la Vallée-Poussin²) gibt die folgenden einfachen Beispiele:

co

ß

log sin² ax

1 -J- a?²

dx —

CO

ß

log cos² ax

1 + X*

dx =

CO

log cos² ax

æ²(l -j-æ²)

ea +

dx = — it log —’

co

ß

0

log cos² ax

æ²

dx = — ait.

5. Eigenschaften der uneigentlichen bestimmten Integrale.

Die uneigentlichen bestimmten Integrale besitzen vermöge ihrer Definition die Eigenschaften (a) und (b) der eigentlichen (1); die Eigenschaften (c), (d) und (e) ergeben sich daraus unmittelbar ebenso wie bei diesen. Was die Eigenschaft (f) betrifft, so ist zu bemerken: Wenn F(x) eine Funktion ist, die f(x) zur Ableitung hat, so reduziert sich die Differenz:

F(x) —J‘f{x) dx,

deren Ableitung in jedem der Intervalle a, c1} c₂ ... cn, b konstant gleich Null ist, in jedem dieser Intervalle auf eine Konstante k, Je,, hA... kn * (diese Konstanten können von einander verschieden sein). Sei dann:

A = (kn—kn—i) -f- (kn—i—kn—2) H-----h (*1 — k) = kn — k,

b

y fix) dx

so hat man:

= Fib) — F(a) — A.

Die Regel für die teilweise Integration (g) erfährt eine analoge Modifikation: sie wird:

6    b

Jfix) cp'ix) dx+yfix) (pix) dx = [fix) tpix-y — A,

a    a

wo A die Summe der Sprünge (IIA 1,14) von f(x)<p(x) ist. Wenn eines der Integrale der linken Seite einen bestimmten Wert hat und wenn die rechte Seite endlich ist, hat auch das andere Integral links einen Sinn, und dieser wird durch die vorstehende Formel gegeben. Die Formel (h), Einführung einer neuen Integrationsvariabein, lässt sich auf jedes Intervall an wenden, in dem das gegebene und das transformierte Integral einen Sinn haben; ferner, unter den angegebenen Konvergenzbedingungen, auf jedes Integral, das einen Grenzwert liefert³ 4).

6. Integration unendlicher Reihen. Die gliedweise Integration unendlicher Reihen nach der Formel:

ft    ft co    oo 6

j*f(x)dx=J fn (x) dx = ^ Çfn (x) d x

a    a O    0 a

bietet keine Schwierigkeit, wenn die zu integrierende Reihe im Intervall gleichmässig konvergiert. Aber die Gleichmässigkeit der Konvergenz ist keineswegs eine notwendige Bedingung für die Zulässigkeit der gliedweisen Integration u).

7. Bestimmte Integrale, die einen Parameter enthalten. Die

Untersuchung derjenigen bestimmten Integrale, die ausser der Integrationsvariabein noch einen andern veränderlichen Parameter unter dem Integralzeichen enthalten, ist fundamental für die Fragen der Differentiation und Integration „unter dem Zeichen“.

Eine der zuerst sich darbietenden Fragen ist: Sei:

ft

3%) =f 'f(x, y) <p(?) dx

ein (eigentliches oder uneigentliches) bestimmtes Integral; sei vorausgesetzt, dass für alle Werte von x zwischen a und b f(x, y) für

6. Integr. unendl. Reihen. 7. Best. Integr., d. e. Param. enth. 8. Mehrf. b. I. 145

lim y — h -f- 0 einen bestimmten Grenzwert g ix) habe; unter welchen Bedingungen darf man setzen⁵):

b    b

lim

Jf(oc, y) cp(x) dx =J*g(x)<p(x) dx?

Daran schliesst sich die Frage nach den Bedingungen, unter denen man unter dem Integralzeichen differentiieren, d. h.:

b    b

dy

^Jf{x,y)dx=J

setzen darf⁶). — Die Integration unter dem Zeichen führt ausserdem auf die Untersuchung der mehrfachen Integrale.

8. Mehrfache bestimmte Integrale. Ch. de la Vallée-Poussin gelangt in Beantwortung einer von der société scientifique de Bruxelles gestellten Preisaufgabe⁷) zu folgenden Resultaten:

Sei die gleichmässige Konvergenz (équiconvergence) eines Integrals folgendermassen definiert:

OO

Çf{x, a) dx heisst in dem endlichen Intervalle (a

. . . b) des Parameters a gleichmässig Jconvergent, wenn man jeder positiven Grösse s

eine Zahl N' so zuordnen kann, dass j J*f[x,a)dx^ < s ist für jedes cc

N

des Intervalls (a<a<&) und für jedes N>N\ Man spricht von gleichmässiger Konvergenz in einem willkürlichen Intervall, wenn diese Bedingung für jeden Wert von b erfüllt werden kann; in einem unbegrenzten Intervall (A • • • oo), wenn sie durch einen und denselben Wert von N' erfüllt werden kann für jedes a > A. Die Konvergenz heisst im allgemeinen gleichmässig, wenn die Bedingungen für eine

10

endliche Anzahl Werte von a nicht mehr erfüllt sind. Dies vorausgesetzt, besteht die Gleichung:

co co    oo co

J*day f(x, a) dx = J*dx J*f(x, a) da,

a p    p a

wenn

die folgenden Bedingungen erfüllt sind⁸):

co

1) Für lim x=oo konvergiert j*fix, a) dx im allgemeinen gleich-

massig in einem willkürlichen Intervall (a ... Ä).

00

2) Für lim x — oo konvergiert dxj^f(x, a) da gleichmässig in

einem unbegrenzten Intervall (A • • • oo).

co

3) Für lim a — oo konvergiert J*f(oc, a) da im allgemeinen gleich

mässig in einem willkürlichen Intervall (p...N).

00    X

4)    Für lim a — oo konvergiert Jda J*fix, a) dx gleichmässig in

a

einem unbegrenzten Intervall (jp ■ • • oo).

co co    00 co

5)    Eines der beiden Integrale Çda Çf{x, a) dx,j‘dx Çf(x, a) da

hat einen bestimmten Sinn.

Wenn das Doppelintegral    a)dxda, in dem x von p bis q

und a von a bis b variiert, einen bestimmten Sinn hat, lässt es sich durch zwei successive Integrationen berechnen, so dass man hat:

b q

jsj ffx, a) dx da —J‘da J*fix, a) da

Gilt das auch noch für lim 6 = oo, lim q = oo? Ch. de la Valle'e-Poussin⁹) gibt folgendes Beispiel für das Gegenteil: Sei f(x,a) = fia)

—, wenn a = dem irreducibeln Bruch Dann ist das Doppelintegral, wenn x und a von 0 bis oo

und: = 0 für irrationale a, = —

⁷ n

m . .

— ist.

co

variieren, bestimmt und zwar =

0; ebenso ist J*fia) da o

= 0. Dagegen

co

— 0 für irrationale und unendlich gross für rationale a;

ist J*f(a) dx

o

co

also hat^*da [~ f(ct) dxJ keine Bedeutung, o o

Es ist daher erforderlich, die mehrfachen Integrale für sich, unabhängig von ihrer Entstehung durch successive Integrationen zu untersuchen. Diese Untersuchung muss sich auf die Begriffe der Mengenlehre (I A 5, III) stützen¹⁰). C. Jordan hat die von G. Darboux¹¹) eingeführten Begriffe der Integrale „par défaut“ und „par excès“ ausgedehnt und gezeigt, dass die w-fache Integration einer integrabeln Funktion über einen messbaren Bereich auf n successive einfache Integrationen zurückgeführt werden kann¹²).

Was die Bedingungen betrifft, unter denen die Transformation der mehrfachen Integrale durch Einführung neuer Variabein ausgeführt werden kann, so seien:

x = cp(u,v), y = cpx(u,v)

die Transformationsformeln, die den Bereich E' der Variabein x, y in den Bereich E der Variabein u, v überführen; dann ist für die Geltung der Transformationsformel:

^ f{%) y) dxdy = ^ F(u, v)\J\dudv

E'    E

hinreichend, dass:

1)    jedem Punkt x,y ein Punkt u,v und umgekehrt entspricht;

2)    die Ableitungen von cp und <px im allgemeinen stetig sind und die Funktionaldeterminante J im allgemeinen von Null verschieden ist; beides in dem Sinne, dass die Menge der Punkte von E\ für die Ausnahmen eintreten, den Inhalt 0 hat (IA5, 15);

3)    dass das umzuformende Integral einen endlichen bestimmten Wert hat.

II A 2, Bl.

Für die fundamentale. Formel:

xo Vo

f f f(x, y) dxdy

x Y

■■f dx j f(x, y) dy

*0 Vo Y X

f dy f fix, y) dx

Vo xo

hat A. Pringsheim eine „vereinfachte Darstellung der zu einer vollkommen strengen Auffassung und Begründung dieser Formel dienenden Betrachtungen“ gegeben¹³).

Ch. de la Vallée-Poussin untersucht, ebenfalls unter Benutzung der Mengenlehre, den Fall, dass die unter dem Integralzeichen stehende Funktion Unstetigkeiten darbietet¹⁴), sowie den Fall bedingter Konvergenz ¹⁵).

9. Verschiedene Methoden zur Auswertung der bestimmten Integrale. Wenn es möglich ist, ein bestimmtes Integral, das von einem oder mehreren Parametern abhängt, durch sog. elementare Funktionen dieser Parameter auszudrücken, so kann ein solcher Ausdruck durch sehr verschiedene Methoden gefunden werden¹⁶). Eine Zusammenstellung von solchen Resultaten findet sich in Bierens de Haan's Integraltafeln¹⁷); hier seien nur die folgenden erwähnt:

Die

9 a. Bestimmte Integrale aus unbestimmten abgeleitet. Gleichung

J*fix) dx — (pipe) -f- C

führt zu dem bestimmten Integral:

b

J fix) dx

= cp (b) — epia),

von

49, 1892, p. 5. — Die Zusammenstellung bei W. Baska, Sammlung von Formeln, Braunschw. 1888, p. 220ff., ist mit Vorsicht zu benutzen.

wenn die Funktion tp(x) im Intervall (a . . . b) eindeutig und stetig ist; andernfalls kann der Gebrauch dieser Formel zu Fehlern führen. Ein Beispiel hieftir bietet das Integral²⁵):

+ cc

(idx

Erwähnt seien noch:

-00

oo

dx

dx

1 -f- æ²

00

/•

0

e~px dx = —

(wenn 9t (p) > O)²⁶).

9 h. Auswertung bestimmter Integrale mit Hilfe ihrer Definition als Grenzwerte von Summen. Die Formel:

+    pd = b

n—0

b

j*f(x) dx

= lim

<y=o

— a,

gestattet die direkte Ableitung der folgenden Formeln:

x*dx —

bx+1 — ax+1

7i -f* 1

cx dx —

cb -ca

log c

00

/ sina? , n

, / - dx — —

0

7t

J log (1—2ax-f-cc²) dx — I

o

i

Jlog r(x) dx = -0

7t log a²,

7t,

1⁰¹1 > 1.

M<1’

2 log 27t,

da die auftretenden Summationen leicht ausgeführt werden können²⁷). 9c. Substitution neuer Variabein. Setzt man in dem Integral:

CO

/ sin x dx

J «

o

x=py, so erhält man:

00

\p\

25)    G. F. Meyer, Bestimmte Integrale p. 67. —Ein Zeichen, das + 1 oder — 1 bedeutet, je nachdem g positiv oder negativ ist, ist unentbehrlich. Kronecker (Vorlesungen) gebraucht sgn (i.

26)    9i(p) bedeutet den reellen Bestandtheil der komplexen Grösse p.

27)    Vgl. auch E. Netto, Ztschr. Math. Phys. 40, 1895, p. 180.

Ebenso wird erhalten:

oo    oo

ka

fe~kx oc?~¹ dx = — fe~ x x?—¹ dx =

J    *“ J

0 0

Wenn die beiden Integrale:

■Jf(7+ $***¥•

0

co

(a> 0)

eine Bedeutung haben, so besteht die Relation²⁸):

P — Q log a.

9d. Teilweise Integration. Für 91(a) > 0 ergibt sich aus der Gleichung:

~aex Jo

a h*

00

J e~xxadx

o

die Relation:

r(a) = lr(«+i).

Dieselbe Methode liefert die Relation:

7t

7t

J* sin* x dx o

sin”⁻¹ xdxj

sie führt zu der Formel von Wallis:

TC

_ A 2 4 4 A 6 T Tïïïlï'"'

Das Integral:

CO

— bx

—ax

(a—b)e

— ax

dx

oder allgemeiner das Integral:

co

A

0

— bx

—ax

ax

(a—by e

ax

Xn

1 xn~l

2! xn

(a— S)”"¹ e (n—1)!    x

— ax

dx,

(a, b reell und positiv) lassen sich ebenso erhalten.

28) Die Substitution — -f- — — y führt zu einer Zerlegung der Integrale in

Bestandteile und damit zum Beweis der Relation. Besser ist es, x = aeu zu substituieren (J. Liouvüle, J. de math. (2), 1869, p. 300).

und folglich:

7t

9e. Differentiation unter dem Integralzeichen. Das Integral:

gibt:

i

J xp dx o

p+l

xp log xdx =

Auf dieselbe Weise lässt sich:

co

dx

(x*+a*)n

bestimmen. — Ans dem Integral

7t

dx

Tt

a² cos² x -f- ba sin² x 2ab

leitet man durch Differentiation ab:

7t

7t

cos* x dx

sin² xdx

Tt

(a² cos² x -\- b² sin² x)

4a³b ’

(a² cos² x -f- &² sin² %)*    4ab³

dx

(a² cos² x -j- ö² sin² æ)

aÄ (h² + V) ‘

Durch Fortsetzung dieses Verfahrens erhält man¹⁸) eine Reihe weiterer Integrale, insbesondere:

7t

Y

Si.

o

dx

(a² cos² x -j- &² sin² x)n

9f. Integration unter dem Integralzeichen. Das Integral:

Xpdx = —r P+ ¹

gibt:

(a:p — 1) da;

log x

= log (p + 1).

Ebenso erhält man aus:

00

/•

o

— ax

dx — —

durch Integration in Bezug auf a zwischen den Grenzen a und b:

00

ß

o

— bx

— ax

dx = log a — log b.

Dasselbe Verfahren führt von:

co

/*sin zx

J x

0

dx = ~

zu

oo

ß

o

cos qx — cos px

x*

9g. Auflösung einer Gleichung. Aus:

7t    7t    7t

Çx sin“ xdx —J*(je—x) sin“ xdx — kJ*sin“ x dx 0 0 0

folgt:

7t

Jt = y J*sin“ x dx\

o

ebenso aus:

7t

ß

0

x sin x

1 -f- COS² X

dx —

7t

ß

ü

(71—x) sin x

1 -J- COS² X

dx =

7t

0

sin x

1 -f- cos² a;

dx ,

7t

Ą = f/:

0

sin x

1 -f- cos² x

dx =

Ist ferner:

J₃ — Çlog sin x dx, 0

so ist auch:

7t

cos x dx

ß= flog

und folglich:

»! a

2 Jg = j*(log sin 2x — log 2) dx 0

JS = ~Y log2.

= Js-

log 2 J*dx, 0

dx

9. Verschiedene Methoden zur Auswertung der bestimmten Integrale. 153 Setzt man in dem Integral:

log (1 + x) i -f x²

dx

Ti

x = tg cp und dann —--cp für cp, so erhält man:

7t

7t

f !og (1 + tg <p) dcp =J log [l + tg — ?>)] dcp 0 0

7t

7t

=/i°g

1 -f- tgqp

dcp =

■J*log 2 dcp

o

-J,

und folglich:

<7, = flog 2.

Setzt man endlich:

CO

J'erP*dx,

o

so erhält man:

K² =

co    co    co    co

Jix J*q-p&^+v'¹) dij=JdzJ'e-**V-+*)xdx 0 0 0 0

00

,f±___

J 2p 1 + z* 4p

0

dz

7t

(indem man y — zx setzt); also:

9h. Integration von Differentialgleichungen. Aus:

arc ig a x x~]/l — x²

dx

erhält man:

du

7t

da 2 -j/j _|_ ai’

also u — y log (a + ]/l 4" °?) •

Aus:

V=J

9i. Zerlegung des Integrationsintervalls. Man findet:

U7t    n — 1    n — 1 Tt

-J*x log sin¹⁹ xdx=^j j*% log sin ¹⁹ xdx=^ f(jîjr-j-Æ)logsin ¹⁹ xdx

ü    x=0 y.Tt    x = 0 0

n¹⁹ log 2    (2x-j- 1) = — n¹⁹n¹⁹ log 2 .

x=0

Ebenso:

It

7t

00

/*sin

J x

0

clx=

= fsin x    -j— ¹

J lx ' n

-X Tt-\-X 2tT-X

• • -J dx=J i

dx=\-

9k. Reihenentwicklung unter dem Integralzeichen²⁰).

i *•

(\tegx)

J 1-*

2«—1

dx =

c

2 / xPQogx)

P = 0 0

2n—1

dx=(—1)

22« — 2

— x*nBn, (vgl. 18),

dx =

x=0    %

In vielen Fällen hat man mehrere dieser Methoden zugleich anzuwenden.

10. Der Satz von Cauchy. Obwohl der Theorie der Funktionen komplexen Arguments (II B 1) angehörig, muss seiner Anwendungen wegen der Satz hier Erwähnung finden: Wenn die Funktion f(x) und ihre Ableitung f (x) im Innern und auf der Begrenzung eines zusammenhängenden Bereiches eindeutig und stetig sind, so ist das Integral

0.

ff(?) dz, in positivem Sinne erstreckt um die ganze Begrenzung, gleich c

Sind z. B. in der Ebene vier Punkte ABBA' gegeben, entsprechend den komplexen Grössen:

a, a -f- ib, — a -f- ib, — a,

so ist das Integral f e~~z,ldz, genommen längs des so bestimmten

Parallelogramms, gleich Null. Lässt man die Seiten AB und AB' ins Unendliche rücken, so konvergieren die längs dieser Seiten genommenen Integrale gegen 0 und man erhält folglich:

+ 00

+ CC

J*e~x2~2ibx+b* dx — fe~x2dx — ]/jc

— 00

— 00

und daraus:

+ G0

-fco

Sr*

cos

2bxdx — yït e~b*,    f e~x2 sin 2bxdx — 0.²¹)

— co

— co

11. Integration rationaler Brüche zwischen den Grenzen—oo und -f-oo. Damit das Integral:

-)-cc

— OO

in dem cp(x) und f(x) rationale ganze Punktionen von x ohne gemeinsamen Teiler sind, eine Bedeutung habe, ist notwendig (3), dass der Grad von f um mindestens zwei Einheiten höher ist als der von cp, und dass keine ISTullstelle des Nenners reell ist. Man erhält dann den Wert des Integrals durch Zerlegung in Partialbrüche (IIA 2, 26):

cp(x)

9>(«)    ¹

f{x)

f (cc) x — a ’

unter a = k -{- yi irgend eine Wurzel der Gleichung f(x) — 0 verstanden. Man folgert daraus³⁴):

4-co

-00

wo das obere Zeichen für positive, das untere für negative ja gilt. Cauchy'& Satz gestattet dieses Resultat in der andern Form:

-fco ■

-00

darzustellen, in der    die Summe der Residuen bedeutet, die zu

den in der oberen Halbebene gelegenen Polen von cp (x) : f(x) gehören. Speziell erhält man daraus die Formeln:

00

tf l x2 9

x²p

dx —

TZ

2q sin

2j? + 1

- Tt

2q

j°X*P-x2r

— X2q

dx — ~ (cot “Ą■ ¹ n 2q \    2q

— cot

2r+¹ \ 2 q *)

Briot und Bouquet, 2me éd., p. 141 ff. ; Forsyth, § 25 ; Harkness und Morley, treatise p. 164; Kronecker, Vorl. I, p. 52, 157); ferner bei J. Schönholzer, Progr. Kantonssch. Bern 1877; U. Bigler, Arch. Math. (2) 9, 1890, p. 60; Frech Progr. Deutsch-Krone, 1891; V. Jamet, Nouv. Ann. (3) 15, 1896, p. 372; E. Fabry, ib. p. 504.

34) Ygl. z. B. G. F. Meyer, best. Int. p. 74.

(für positive ganze Zahlen p,q,r, p<iq, r<Cq). Überhaupt gelten für beliebige echte Brüche a, b die Formeln:

dx = n (cot an — cot bn),

(*xa 1 ,    %    Cxa 1 — xb 1

J 1+X x sin an’ J 1—x 0 0

-,

o

— ara

dx = n cot an.

12. r~Funktion. Das Problem der Interpolation der Reihe: 1, 2, 6, 24, 120 . . . hatte die Aufmerksamkeit von Chr. Goldbach und

D. Bernoulli auf sich gezogen; wahrscheinlich durch den letzteren wurde L. Euler veranlasst sich mit der Frage zu beschäftigen. Er gelangte sofort zu der Darstellung eines beliebigen Terms durch das bestimmte Integral²²):

dx.

12 a. Verschiedene Definitionen der Gammafunktion. A. M. Legendre35a) nennt Euler’sches Integral zweiter Art oder Gammafunktion das von dem Parameter a abhängige Integral:

GO

(1)

r (a) = J^e~x xa~¹ dx. 0

Dasselbe hat Bedeutung, wenn der reelle Teil von a positiv ist. Durch Einführung neuer Variablen erhält man die beiden Formen:

i

(2)

und:

(3)

r^===zS(iog 7) dy

0

r(a) = yeftz e~eZ dz.

-GO

Euler hat neben der Form (2) auch schon die Form (1) benutzt²³). Gauss erklärte (3) für die beste Definition²⁴). Das Zeichen r stammt von Legendre; Gauss’ Bezeichnung 77(a—1) ist nicht allgemein ac-ceptiert worden, obwohl sie der Beziehung der Funktion zu den Fakultäten deutlicher Ausdruck giebt.

Das bestimmte Integral definiert eine eindeutige Funktion von a für jedes a mit positivem reellen Bestandteil. Aus dieser Definition der Funktion r(a) in einer Halbebene kann man die Existenz einer in der ganzen Ebene eindeutigen analytischen Funktion ableiten, die mit der ersteren in deren Definitionsbereich übereinstimmt. Setzt man nämlich, unter œ eine reelle positive Grösse verstanden:

r(a) = P(a) -f- Q(a), PO) =fie~x

o

x?—

¹ dx, Q(a) = J*e~xxa~ ¹dx,

so ist Q(a) in der ganzen Ebene eindeutig, endlich und stetig; P(«) ist durch das Integral auch nur für 9$0) > 0 definiert, aber man erhält durch Entwicklung des Faktors e~x in eine Reihe den Ausdruck:

1 coa+²

172 a-f 2

der für jeden Wert von a konvergiert, der nicht Null oder eine negative ganze Zahl ist³⁸). 0. Schlömilch³⁹) nennt P(a) „unvollständige Gammafunktion“ und giebt für sie eine für kleine Werte von co brauchbare Entwicklung. Für grosse a und kleine œ ist auch die Formel von Hocevari0) nützlich:

coa

a -j- 1

co²

Für grosse œ dient die semikonvergente Entwicklung: Q(a) = log co[aa

C. F. GaussAr) wählt die Formel:

+ 0—1)+ 0— 1) 0    2)cj“-³ H----].

n ! na

zur

Definition der Funktion r(a), bezw. 12(a — 1), da sie für alle

38) Bis auf die Bezeichnung schon bei Legendre (exerc. 1, p. 239); dann bei A. de Gasparis, Nap. Rend. Sept. 1867; aber erst F. E. Prym (J. f. Math. 82, 1877, p. 165) hat die bemerkenswertesten Konsequenzen aus dieser Zerlegung ge-(Vgl. Ch. Hermite, cours autogr., 15me leçon, p. 138 der 4me éd., 1891,

zogen.

und J. f. Math. 91, 1881, p. 332.) L. Bourguet (thèse Paris 1881: Ann. ée. norm. (2) 10, 1881, p. 175) giebt eine Darstellung der Resultate von Prym und Hermite und eine Entwicklung von P(a) in eine Reihe nach negativen Fakultäten.

39)    Compendium 2, p. 261.

40)    Ztschr. Math. Phys. 21, 1876, p. 449.

41)    Gott. Comm. rec. 2. 1813 == ges. W. 3, p. 145.

Werte des Arguments eine bestimmte Bedeutung hat²⁵). Man gelangt zu ihr von der Definition durch ein bestimmtes Integral aus mit Hilfe der Gleichung:

e~x = lim (l —-)W

Die Gauss’ sehe Formel führt unmittelbar zu der Reihenentwicklung²⁶ 27):

co

log (a r(a)) = ]? [a log (l + -^) — log (l + -)] ■

71 = 1

Statt neue Definitionen der Gammafunktion durch unendliche Reihen oder Produkte einzuführen, kann man auch die Definition durch ein bestimmtes Integral so modifizieren, dass sie für jeden Wert des Arguments Bedeutung erhält. Das Verfahren beruht auf einer Idee von B. BiemannM): statt das Integral von einem singulären Punkt der integrierenden Funktion zu einem andern zu erstrecken, führt man es auf einem Wege um die singulären Punkte herum.

H. Hankel²⁸) und U. Bigler²⁹) haben das ausgeführt. Man kann als Definition nehmen:

r{a)

yecx~adx,

indem man den Integrationsweg vom Punkt oo der Halbaxe der negativ reellen Zahlen ausgehen, den Nullpunkt in positivem Sinn umkreisen und zu seinem Ausgangspunkt zurückkehren lässt. Der Wert von x~a = e~alogx ist in jedem Punkte eines solchen Weges definiert, sobald man den Wert von log x für einen besonderen Punkt desselben festlegt, z. B. den Logarithmus im Schnittpunkt des Weges mit der Halbaxe der positiv reellen Zahlen reell nimmt. Ein solches Integral heisst Schleifenintegral46a) ; es definiert eine Funktion von a für jedes a. Man kann von dieser Definition aus zu den früheren durch die Gauss’sche Formel oder das Euler’sche Integral gelangen

Man kann auch r(a) selbst durch ein Schleifenintegral mit demselben Integrationsweg darstellen³⁰):

r{°) —

■ ■ - Cexxa~~¹dx-

2* sin an J

Dagegen ist in der Gleichung³¹):

J*e~x xa~¹ dx

2nieftia

r(l-a)

der Integrationsweg eine Linie, die vom Punkt oo der Halbaxe der positiv reellen Zahlen im negativen Sinn um den Nullpunkt herum zu ihrem Ausgangspunkt zurückführt; im Schnittpunkt —t des Weges mit der Halbaxe der negativ reellen Zahlen ist als Wert von log x der Wert log t -f- ni zu nehmen.

12 b. Eigenschaften der F-Funktion. Man hat die Funktionalgleichung:

(i)

r(a-f-1) = a JP(a).

Sie genügt übrigens nicht zur Definition der F Funktion; jede Funktion der Form:

F{a) = r(a) (p(a)

genügt derselben Gleichung, wenn rp(a) eine periodische Funktion der Periode 1 ist.

Ist a gleich einer positiven ganzen Zahl n -j- 1, so hat man³²): r(n-f-1) = 1 • 2 • 3 • • • n — n\.

Ist a — 0 oder gleich einer negativen ganzen Zahl, so hat man:

oo .

m = r{-n) =

genügt.

00

sin ax dx

7t

folgt:

dv

ń + ¹⁹° = ⁰>

Aus:

also v = y Y it e~2a.

7t

dx

(P + 2 tg¹⁹ x)H

erhält man:

und daraus:

(— l)”“¹ dn~lJx (n — 1)! dj»*⁻¹

Jn

1.3.5 ... (2n —3)

dn~x

2.4.6 ... (2w — 2)

__I (-1)"    _^L    _    _

(n — 1)! 2]/q dpn~~1    f PY

2 (M)'

$. D. Poisson³³*■), E. Catalan30b) und J. A. Serret30c) haben die Differentialgleichung untersucht, der das Integral:

00

/ö

sin ccx dx

(1 -f- x*)n x

oder vielmehr die Funktion:

co

u = / e~x' 0

cos

a¹⁹

X*

00

f e~x'

0

a¹⁹ sm

dx = yVx g~

dx = y Y7t e~~a^'¹⁹ sin (a ]/2).

a |/ä~

COS

Eine zweite Fundamentaleigenschaft ist durch die „relation des compléments“ gegeben:

(2)

r(a) r(l—a) = ^—i

v v ' sin an¹

sie giebt speziell eines der ersten Resultate Euler’s in dieser Theorie:

¹

Über die Frage, ob diese Zerlegung stets zulässig ist, vgl. man F. Hocevar, Monatsh. 4, 1893, p. 177 und W. F. Osgood, Amer. J. of m. 19, 1897, p. 155.

8a) Zeitschr. Math. Pliys. 23,1877, p. 68. — 8b) Math. Ann. 13, 1878, p. 251. — 8C) Brux. soc. sei. 12, 1887, p. 46; Darb. Bull. 12, 1888, p. 66.

²

Brux. soc. sei. 16, 1892, p. 7. Die beiden ersten Beispiele erscheinen in fast identischer Form in Bierens de Haan’s recueil, table 415; sie stammen von Bidone,

³

L. Kronecker (Vorlesungen p. 25) hat den Satz ausgesprochen, dass jedes uneigentliche Integral, das überhaupt einen Sinn hat, durch eine geeignete Transformation in ein eigentliches Integral umgewandelt werden kann.

E. Netto (ib. p. 342) bemerkt mit Recht, dass Kronecker diesen Satz nicht bewiesen hat und fügt hinzu: Im Palle dass der Integrand beim Unendlichwerden sein Vorzeichen nicht ändert, lässt sich die Richtigkeit des Satzes leicht nach-weisen. Vgl. auch H. Padé, Ann. éc. norm (3), 6, 1889, p. 349.

⁴

P. du JBois-Beymond, Münch. Abh. 12, 1876, Berl. Ber. 1886, p. 359; U. Fini, Fondamenti, 1878, p. 397; L. Kronecker, Berl. Ber. 1878, p. 541; D. Seliwanoff, Bull. soc. math. 10, 1882, p. 147 ; 0. Stolz, Math. Ann. 26, 1885, p. 82 und Grundzüge p. 425; C. Arzelà, Line. Rend. (1) 1, 1885, p. 262, 321, 532, 566; (5) 6, 1897, p. 290; W. F. Osgood, Amer. J. of m. 19, 1897, p. 155.

⁵

   G. F. Meyer, Best. Integrale p. 181 und Math. Ann. 6, 1874, p. 317; C. Arzelà, Line. Rend. (4) 1, 1885, p. 532 und Bol. Rend. 1888—89; E. Hosseri-felder, Progr. Strasburg Westpr. 1891. Ygl. die Darstellung bei Stolz, Grundzüge p. 440.

⁶

   Ygl. die in Fussn. 11 genannten Arbeiten, sowie 0. Schlömilch, Compendium 1, § 92; J. Thomae, Integrale, § 31; W. F. Osgood, Monatsh. 7, 1896, p. 90.

⁷

   Brux. soc. sei. 16, 1891—92, p. 150. Der Berichter C. Jordan bemerkt ib. p. 124 mit Recht, dass der Wortlaut der Aufgabe („en assignant les conditions précises qui limitent l’application de la règle de Leibniz“) in ihrer ganzen Allgemeinheit ebensowenig eine vollständige Lösung zulässt, als die Frage nach einem allgemeinen Kriterium für die Konvergenz und Divergenz der Reihen (I A 3, BO).

Encyklop. d. math. Wisaenach. II.

⁸

   ib. p. 166.

⁹

   ib, p. 179.

¹⁰

   H. Hankel, Progr. Tübingen 1870, abgedr. Math. Ann. 20, 1882, p. 63; P. du B ois-Reymond, J. f. Math. 79, 1874, p. 38; A. Harnack, Math. Ann. 19, 1882, p. 238; 24, 1883, p. 217; Elemente der Diff. u. Int. R. p. 309; M. Pasch, Math. Ann. 30, 1887, p. 132.

¹¹

   Ann éc. norm. (2) 4, 1875, p. 57; vgl. auch V. Volterra, Giorn. di mat. 19, 1881, p. 76; M. Pasch, Math. Ann. 30, 1887, p. 144; G. Peano, Torino Atti 18, 1883, p. 439; Ann. di mat. (2) 23, 1895, p. 153 und G. Ascoli, Line. Atti (2) 2, 1875, p. 863; Ann. di mat. (2) 23, 1895, p. 67.

¹²

   J. de math. (4), 8, 1892, p. 69; cours d’anal. 1, p. 42; 2, p. 66. Vgl.

¹³

   Münch. Ber. 1898, p. 59.

¹⁴

   J. de math. (4) 8, 1892, p. 421.

¹⁵

   ib. p. 453; vgl. auch 0. Stolz, Wien. Ber. 107, 1898, p. 207.

¹⁶

   Bierens de Haan, exposé de la théorie . . . des intégrales définies, Amsterdam 1862; F. Gebensleben, Progi’. Nordhausen 1887.

¹⁷

   Trotz sorgfältiger Vorarbeit enthält die 1. Aufl. dieses wertvollen Sammelwerks zahlreiche Inkorrektheiten, die teils aus den benutzten Quellen herrühren, teils Folge der bei einem derartigen Unternehmen unvermeidlichen Schreib- und Druckfehler sind. In der 2. Aufl. sind viele (nicht alle) davon verbessert, dafür sind die Litteraturnachweise weggelassen. Vgl. die Korrekturen

C. F. Lindman, Stockh. Handl. Bih. 10, 1885; Stockh. öfv. 47, 1890, p. 353;

¹⁸

B. Tortolini, J. f. Math. 34, 184, p. 101.

¹⁹

1 -f- x¹⁹)n x

In der mathematischen Physik³⁴) kommen die Integrale vor:

²⁰

   Weitere Beispiele bei B. Mildner, Wien. Denkschr. 48., 1884*, p. 317.

²¹

   Weitere Beispiele in den funktionentheoretischen Lehrbüchern (z. B.

²²

   Brief von Euler an Goldbach vom 8. I. 1730, corresp. math. phjs. éd. P. H. Fuss (St. Pétersb. 1843), 1, p. 13.

35a) Exercices de calcul integral 2 (Paris 1814), p. 4.

²³

   Instit. calc. integr. 4, p. 337 (nach einem Mscr. a. d. J. 1781).

²⁴

   Ges. W. 3, p. 230 (aus dem Nachlass).

²⁵

   Über Gauss’ Gründe bei der Wahl dieser Definition vgl. man seinen Brief an Bessel vom 21. XI. 1811, Briefwechsel p. 162. — Die Formel selbst findet sich schon bei Euler in einem Briefe an Goldbacli von 13. X. 1729, corresp. math. phys. p. 3; Euler ist erst von ihr ans zu der Integraldarstellung gelangt.

²⁶

   J. Liouville, Par. C. R. 35, 1852, p. 319; die Formel ist eine einfache Umformung einer von Chr. Gudermann (J. f. Math. 29, 1845, p. 209) gegebenen.

²⁷

   Man vgl. Biemann’s Auffassung der Perioden algebraischer Integrale, sowie das nachgelassene Fragment XXIH [1863], insbes. die Figuren p. 428 der 2. Aufl. der ges. W.; eine Andeutung auch Nr. IV, art. 7 a. E. p. 82 [1857].

²⁸

   Ztschr. Math. Phys. 9, 1864, p. 7. Vgl. auch C. Schellenberg, Diss. Gött. 1892, p. 10.

²⁹

   J. f. Math. 102, 1888, p. 237.

46a) A. Clebsch und P. Gordan, Abel’sche Funktionen (Lpz. 1866), p. 82.

³⁰

   F. Pochhammer (Math. <Ann. 35, 1890, p. 497; 41, 1893 [91], p. 157) bezeichnet das in dieser Gleichung auftretende Integral mit P{a).

³¹

   F. Klein, autogr. Yorl. hypergeom. Funkt., 1894, p. 138.

³²

   Statt des Zeichens nl hatte Euler A benutzt; in England schreibt man häufig In. Eine unmittelbare Verallgemeinerung führt zu dem Ausdruck:

a (a -f- d) (a -f- 2 çl) ■ ■ ■ (a -f- (n—1) d),

der von C. Kramp (réfractions astronomiques, Strassb. 1799, chap. 3) mit an'd, von B. L. Crelle (J. f. Math. 7, 1831) mit (a, -f- d)n und für d — 1 von Vandermonde (Par. Hist. 1772, p. 489) mit [a]” bezeichnet wird. Die Untersuchungen über diese allgemeinen Fakultäten von Bessel (ges. Werke 2, p. 342), J. A. Eytelwein (Grundlagen der höheren Analysis), A. Müller (J. f. Math. 11), L. Oettinger (ib. 33, 35, 38, 44), M. Ohm (ib. 39), J. A. Baabe (ib. 43, 48) führten auf Schwierigkeiten, die ihre Aufklärung erst durch Weier strass’ (Progr. Progymn. Deutsch-Crone, 1843 = ges. W. 1, p. 87; J. f. Math. 51, 1856 = ges. W. 1, p. 153) Aufstellung der notwendigen und hinreichenden Bedingungen zur Definition solcher Funktionen fänden.

³³

a) J. éc. polyt. cah. 16, 1838, p. 222; N. Bull. soc. philom. n° 50. 30b) J. de math. 5, 1840, p. 110.    30c) ib. 8, 1843, p. 1.

³⁴

31) Ygl. z. B. B. Biemann, part. Diff.-Glchgen p. 134 (3. Aufl. p. 140).

r(x)-F*

und führt auch zu der folgenden Formel Euler’s⁵⁰) :

71-1

Eine Verallgemeinerung der letzteren ist die Formel von Gauss⁶¹):

n — 1    1

r(nd).

— na

(3)    r(a)r(a+±).--r(a+,^i) = (2z;) * n»»

Weierstrass⁶*) giebt die Relation:

lim

r (a -f- n)

71 —

* ( n—1)! na

die zusammen mit der Funktionalgleichung die T- Funktion definiert.

0. Holder⁶⁶) endlich hat gezeigt, dass die T-Funktion keiner algebraischen Differentialgleichung genügt.

12c. Reihenentwicklung von log E Die Definition von Gauss:

na

r(a -f- 1) = lim

führt unter der Voraussetzung \a \ <1 direkt zu der Entwicklung:

50) Ygl. Darb. Bull. (2) 4, p. 209. — Von den verschiedenen Definitionen der T-Funktion aus sind verschiedene Beweise dieser Euler’schen Formeln gegeben worden.

■ 51) Ges. W. 3, p. 149. — Legendre hatte einen speziellen Fall dieser Formel gefunden; er beweist die allgemeine Formel mit Hilfe der Reihenentwicklungen der Ableitungen von logP(a-)-l) (exerc. 2, p. 16). J. Liouville (Par. C. R. 42, 1856, p. 501 und J. de math, (2) 1, 1856, p. 82) nahm vielfache Integrale zu Hilfe; N. Sonine (Bull. soc. math. 9, 1881, p. 162) funktionentheoretische Betrachtungen. Andere Beweise bei P. G. Lejeune-JDirichlet (J. f. Math. 15, 1836, p. 258 = ges. W. 1, p. 279), W. A. Stern (J. f. Math. 21, 1840, p. 377), Ph. Gilbert (Brux. Mém. 41, 1875, p. 55). A. L. Cauchy (exerc. d’anal. 2, 1841, p. 390) hat sich allgemeiner mit der Aufsuchung linearer Gleichungen zwischen den verschiedenen Werten von log F (a) beschäftigt.

52)    J. f. Math. 51, 1856 = ges. W. 1, p. 193.

53)    Math. Ann. 28, 1886, p. 1; vgl. auch E. H. Moore, ib. 48, 1897, p. 70.

11

Encyklop, d. math. Wissenach. II.

162

mit:

IIA 3. Bestimmte Integrale.

log r(ö+l) = -)/fl-f|5₂ö²-Y Ssa³ -j- ~ /V⁴----

log»] — 0,5772156649 015328 •••,

y — lim [1 + 4- + 4 + T + -”

n~ oo L    "

72 — 1

y ist die Euler’sehe Konstante (vgl. unten Nr. 13). Diese Entwicklung ist von Euler gegeben, der auch die ersten Koeffizienten Sp berechnet hat⁵⁴); Legendre berichtigte einige Rechenfehler Euler’s, gab die Werte der Sp von p—2 bis p — 35 auf 16 Dezimalen genau⁵⁵) und stellte die rascher konvergierenden Entwicklungen auf⁵⁶):

log F(a + 1) = y log

log T(a+ 1) = y log

an

sin an

an

sin an

a³

- -j- a(l — y) -f- y (1 — 5S)

12d. Die Funktion ÿÇa). Setzt man⁵⁷):

d log r(a)

da

so hat man z. B.

speziell:

1>(a) = li™ [logg- — —

a - j- 1

_i_i

a ~h/xj ’

^(1) = — y-

Aus den Relationen zwischen EFunktionen erhält man entsprechende Relationen zwischen den aus ihnen abgeleiteten, so z. B. für die Prym’sehen Funktionen (12 a) mit ca — 1 :

P(a -(- 1) = aP(a) — y

Q(a + 1) = aQ(d)

Für ^(a) geben die drei Relationen (1), (2), (3) von Nr. 12 b bezw. :

54)    Inst. calc. diff. p. 800.

55)    Exerc. de calc. int. 2, p. 65.

66) ib. 1, p. 296.

57) Gauss hatte dieselbe Funktion mit W(a-f-1) bezeichnet (ges. W. 3, p. 152), Legendre mit cp (à) und Z'(a) (exerc. 2, p. 16 und 52), Bierens de Haan (Integraltafeln) ebenfalls mit Z'(a), J. Pli. M. Binet (J. éc. polyt. cah. 27, 1839, p. 245) mit P (g). Cauchy, Guderniann und seitdem die meisten Autoren gebrauchen ip(a). — Für Ausdrücke von ip(a) vgl. man auch Legendre (Exerc. 2, p. 17) und Gudermann (J. f. Math. 29, 1845, p. 208).

12. r~ Funktion.

163

(1)

oder allgemeiner, für ganzzahlige n:

ÿ(a + n) — a) +    4-----h

ip(a) — ^ (1 — a) — — 3T cot tut 5

(3) il/(a) 4- ^(«4- ~) 4-----h ^(«4- “^) = W^M“ wlogw.

(la)

(2)

(ł -f- w — 1⁵

Die Fimktion ^(a) gestattet die Entwicklung nach Fakultäten:

1    œ(a: — 1)

2    a (a -(- 1)

aus ihr erhält man die Darstellung von ^(1 -f- a) durch ein bestimmtes Integral⁵⁸):

t(a + x) = if/(a) +

1 x(x — 1) (x — 2)

3 a(a + 1) (a-f- 2)

i

^(1 + a) = ^(1) +J o

r dy,

die zeigt, dass 4>(x) — ^(1) für rationale Werte von x sich durch Kreisbogen und Logarithmen ausdrücken lässt⁵⁹). Man hat nämlich für p < q :

t(j) =^(¹)

Y cot ~ — log q -f- cos log ^2 — 2 cos

4“ COS

log ^2    2 cos ~~j 4----

(g — P «

^(f) = ^(!)

fci^log(2

- y cot y — l°g <14“ cos ~~ log (2 — 2 cos y)

— 2 cos

j (für ungerade #);

+ cos log (2

(g — 2)jp«

— 2 cos

t) + -

Ł^)+ (-!)» log 2

f^log(2

— 2 cos (für gerade g).

Mit Hilfe von (la) lässt sich dieses Resultat auf jeden rationalen Argumentwert ausdehnen.

-f- cos

58)    Legendre (Exerc. 2, p. 46) hatte einen kaum genügenden Beweis dieser Formel gegeben; seitdem verschiedene Beweise von Cauchy (J. éc. polyt. cah. 28, 1841, p. 147), Cisa de Grésy (Tor. mem. 1821, p. 209), N. Lobatschefsky (Kasan Abh. 1835) und Schlömilch (Arch. Math. 4 und 9, sowie Studien 1, p. 6).

59)    Gauss, ges. W. 3, p. 155 (ohne Benutzung des bestimmten Integrals).

11*

Man kann auch    selbst durch ein bestimmtes Integral aus-

drücken¹):

/(

o

1 I u

log« '    1

ua~

du

oder, von der Definition von r(a) durch ein bestimmtes Integral aus²) :

^ =/(v

0

e~va \ — e~V

dv

oder endlich³):

i

i>(a) =J (e

o

i-l

X _ QßCL

x{x — 1)

Für a = 1 erhält man Integraldarstellungen der Euler¹ sehen Konstanten. Aus der Malmste'n’sehen Gleichung

00

hat Schlömilch⁴) die Kummer'sehe Tieihe⁵) direkt abgeleitet: log F(a) = (1 — a) log n -J- y ^---aj--log sin a%

sin 2na%.

.    1 log 2n

' it    n

12e. Die Funktion %(a). Aus der Darstellung von ip (aj als Grenzwert der Differenz zweier ins Unendliche wachsenden Ausdrücke erhält man die für alle a konvergente Reihenentwicklung⁶):

X(a) = d‘l0er(a) ■

da²

(a-j-n)

Diese Funktion %(a) ist also in der ganzen Ebene regulär, ausser in

den Punkten 0, —1, —2---, die Pole sind. Sie hat folgende Eigenschaften :

(i)

lia +1)    %(a) —

(2)

*(«) + *(!-«) = (s^)s (³) x(a) + x («+ *) -t-----h x(a + ~rL) = »²ńna)-

Von ihrer Reihenentwicklung aus gelangt man zu neuen konvergenten Entwicklungen für ip (a) und log JT (a) :

a -f- «)    ’

t(a) — — y + (l —i) + (y—j^tï) -I-----1-

lo«ï>TÏ) = r« + PosC¹ + ®)-®] + ' ' ' + [lo8 (* + v) —ï] + ' ' und von da zu der Produktentwicklung⁶⁶):

= e*

r(a + l)

aus der hervorgeht, dass 1 : r(a -f- 1) eine in der ganzen Ebene reguläre Funktion ist. Man kann sie als Definition der F Funktion nehmen⁶⁷).

12f. Angenäherte Berechnung von F(a) für grosse Werte des Arguments. Von der TFh^s’schen Formel:

2    2    4    4    6

2~ T ' T * Y ' T * ~b

66) Schon Euler (vgl. die in der Fussn. 35 und 42 genannten Briefe an Goldbach) und Gauss (ges. W. 3, p. 145) hatten Faktorenzerlegungen dieser Art angegeben; F. Newman (Cambr. Dubl. J. 3, 1848, p. 59) hatte F (à) auf die Form gebracht:

ea

r(a) =

e~ya

a 1 -f- a

1 + T

die von Schlömilch (Studien 1, p. 45) von der GWss’sehen Definition aus wiedergefunden wurde. Aber erst Weierstrass (J. f. Math. 51, 1856 = ges. W. 1, p. 153) hat ihre prinzipielle Wichtigkeit, nicht nur für die F- Funktionen, sondern überhaupt für die gesamte Theorie der analytischen Funktionen (II B 1) hervorgehoben und die Regularität von 1 : F(a) in der ganzen Ebene aus ihr abgeleitet. (Diese Regularität kann andererseits auch leicht aus den Eigenschaften der Prym' sehen Funktionen P(a) und Q(a) gefolgert werden. Pour guet, thèse p. 29.)

67) Eine Anwendung auf eine Verallgemeinerung der relation des compléments bei Hj. Mellin, Acta math. 3, 1883, p. 102 und 322." aus gelangt J. A. Serret⁷) für ganzzahlige Werte von a zu der Formel:

a\ = r(a -j- 1) = ]/2ät e~aa^ 2    £)’

wo £ eine positive Grösse und lim£ = 0 ist. Auf demselben Wege

a = oo

gelangt man, ebenfalls für ganzzahlige a, zu der Reihenentwicklung: log r(a + 1) = y l°g 2tc a (a -f- yj log a

Diese Entwicklung hat aber für alle Werte von a Bedeutung, ausgenommen 0 und die negativen ganzen Zahlen, und ihre zweite Ableitung ist =    1)—2, stimmt also mit der zweiten Ableitung

von log r(a -f- 1) überein. Die beiden Seiten stimmen also für jedes a überein und die Näherungsformel gilt für jedes a.⁸)

Cauchy hat die Näherungsformel zum Beweis der Gawss’schen Relation benutzt⁹ 10). Eine andere Anwendung der Näherungsformel und der GWss’schen Relation führt zu der Gleichung'¹)

d —1

J* log r(a)da

log 27t -f- a log a — a.

Aus

a + n-j

r(a -f-n) — ]/2jt e~a~n (a -f- n)

folgt für lim n = oc die We 1er strass' sehe Relation (12 c). Ähnlich hat man für die Prym’sehen Funktionen:

12. r~ Funktion.

167

71 =

oo r(n)na

lim

oo r(n)na

= 0, lim

n —

man kann daher mit ihrer Hülfe eine Funktion konstruieren, die den Bedingungen:

oo r(n) aa

S(a -f- 1) == aS(d) -j- l, lim

genügt¹¹), r selbst erscheint dabei als einfachste von diesen Funktionen.

12 g. Die Funktion W (a). Setzt man¹²):

log r(a) = (a — log a — a + j log (2n) -f m (a),

so erhält man aus der Mohnstén’sehen Gleichung (12e) für die Funktion W (d), die für lim a = oo gegen 0 konvergiert, die Darstellung¹³)

1    \    dx

— ) e~ax —

2    /    æ

Jeder Reihenentwicklung von 13(d) entspricht eine solche von log jT(a-f-l). Nun führt die Integraldarstellung von 55(a) zu der Entwicklung:

W(a) —

3l1

1.2 a

(2n — 1)2n dn~x

+ (-1 ye

Bn-}-1

(2w-f l)(2w + 2) a2n+1

in der Blf    die Bernoulli’sehen Zahlen (vgl. unten 18) bedeuten:

aus ihr erhält man die Stirling’sehe Formel¹⁴):

(8n + l)(S»+2) „*»+>

Bricht man sie bei einem bestimmten Gliede ab, so erlaubt das Restglied, den Fehler abzuschätzen¹⁵). Limbourg¹⁶) hat gezeigt, dass die Glieder abnehmen bis zu demjenigen, dessen Ordnungszahl zwischen

13.

— und na -j- — liegt, wenn a das Argument ist. Bour-

unter Yer-

i ³

7t Cl “T” —T 4

3

32jta ,

logr(a-f l) = y-log2sr —a + (a-\- y)loga

+ ••• + (— l)”“¹

B, 1    B, 1

1.2« 3.4 «³

(2w — 1) 2w a2n~¹

guet¹⁷) giebt als Wert der Ordnungszahl na -j- —

nachlässigung von Gliedern höherer Ordnung¹⁸).

Man kann¹⁹ 20) den Ausdruck von c5(a) auf die Form bringen:

m(a) =

CO

wß

0

ex(x— 2)4- 2-j-x ^

— ax

x\l — ex)

dx

und durch Entwicklung der im Zähler stehenden Exponentialfunktion die Formel von BinetS1):

CO

(n    (ap|,f+¹

L y ¹

• ³^ («4-p)

log r(a + 1) = y log 2n — a + (a -f y) log a + ••• +

î>=i

erhalten, die konvergiert, wenn jeder der absoluten Beträge j a -f- 1 j, \a 4- 2 I • • • > 1 ist,- die sich aber nicht zu numerischer Berechnung eignet. Auch die öfters Féaux zugeschriebene Entwicklung:

2(o(a) — r7s2^~3~ï

riilirt yon Binet⁸²) her.

Man kann auch, wenn man:

— y) (2 — y) • • • (m — 1 — y) dv

setzt, von der Integraldarstellung:

io (a) = —

_L_\ (iz-Jtkdt

log (1 — t)J log (1 — t) aus zu der für alle a, besonders gut für hinlänglich grosse a, konvergenten Reihenentwicklung gelangen⁸³):

log T(a -fl)

00

- | log 2* -«+(« + f log a -Jp; a(a + 1)...(a+w—, •

Binet hat auch noch eine andere Reihenentwicklung derselben Art²¹): 2cö(a) =

am

a -f- 1    2 {a-\- l)(a-f-2)    3 (a-f-l)(a-f-2)(a-f-3)    ’

ihre ersten Koeffizienten b₀, \ . . . &₁₀ sind von Bourguet gegeben worden²²).

12 h. Berechnung der Gammafunktion. Die Funktionalgleichung zeigt, dass es zur Berechnung der Gammafunktion für alle reellen Werte des Arguments ausreicht, sie für alle Werte in einem Intervall =1 zu kennen, z. B. zwischen 0 und 1 oder zwischen 1 und 2. Die „relation des compléments“ erlaubt dieses Intervall auf die Hälfte zu reduzieren. Die Gauss’sche Relation führt zu weiteren Reduktionen: für n = 2 erlaubt sie zu zeigen, dass es genügt, r(a)

= 0 bis a = ~ zu kennen; für n — 3, dass es genügt, JT(a) 1    5.7

= 0 bis a — -r und von a = bis a — — zu kennen, d. h.

18    18 18    ’

von a

von a

82)    Par. C. R. 9, 1839, p. 158.

83)    J. Binet, J. éc. polyt. cah. 27,1839, p. 339 und Schlömilch, Compendium

2, p. 260.

in zwei Intervallen, deren Ausdehnung zusammen = y ist²³). Die

allgemeine Frage der Bestimmung von solchen Intervallen ist von Hoppe in Angriff genommen worden²⁴), aber noch nicht gelöst.

Wir haben gesehen, dass    ~Y^ Für gewisse Werte

von a drückt sich F(a) durch elliptische Integrale aus, z. B. für

Y, T ²⁵)5 ferner für ⁰⁼⁼T’Y’l’l2>L²⁶ 27^ Le9endre 90) Fat

sich mit der Reduktion der Werte F auf eine möglichst kleine

Anzahl von Transcendenten beschäftigt, auch bereits gezeigt, dass es sich für n — 12 um elliptische Transcendenten handelt. Durch Induktion gelangt er zu dem Satze: die Anzahl der fundamentalen Transcendenten ist gleich der Anzahl der Zahlen, die prim zu n und

nicht grösser als ~ n sind²⁸).

Die Formeln von Euler und Legendre (12 c) erlauben die Berechnung einer Tabelle von log F (a) ; doch ist der Gebrauch der Stirling-schen Formel vorzuziehen. Will man z. B. log F(a) auf 12 Dezimalstellen genau haben, so genügt es, a > 5 zu nehmen und 7 oder 8 Glieder dieser Entwicklung zu berechnen.

iööö gegeben92)>

zu

1000

zuerst mit 7, dann mit 12 Dezimalen²⁹). Bessel³⁰) gibt Tafeln von log r(a) : ]/2jt. Gauss hat durch Nicolai Tafeln von und von ^(a) zu 18 Dezimalen von zu

Legendre hat Tafeln von log F(a) von ¹

log r(a) zu 20 — berechnen lassen³¹).

Die Funktion F(a) hat ein Minimum für:

a == 1,46163 21451105;

sie hat ausserdem je ein Maximum oder ein Minimum zwischen 0

12. r- Funktion. 13. Euler’sche Konstante.

171

und — 1, zwischen — 1 und — 2, u. s. w. Deren Lage ist näherungsweise durch die Formel gegeben⁹⁵):

Die Funktion -=4-r r(d)

als in der ganzen Ebene reguläre Funktion,

lässt sich in eine für alle a konvergente Reihe entwickeln. Bourguet⁹⁶) gibt die in den folgenden Entwicklungen auftretenden Koeffizienten:

j^ = ata -f- a₂a² -f- a₃a³ -f- * • • ;

^    -r)* a(a +l)(l+Ą» + Vł-)!

r (a) = P (a) -f- c₀ -f- c₁ a -j- c₂ a² -f- • • • 5 r(a) = a(a"^_ J) (1 + Qa + C₂a² + •••)•

13. Die Euler’sche Konstante. Die Zahl y, die in der Entwicklung von log r(a-j- 1) auftritt, ist nach den Zahlen % und e eine der wichtigsten Konstanten der Analysis. Man bezeichnet sie gewöhnlich als Euler’ sehe, auch wohl als Mäscher oni’sehe⁹⁷) Konstante oder als Konstante des Integrallogarithmus.

Euler und die Bernoulli's haben sich wiederholt mit der harmonischen Beihe beschäftigt; sie fiel dadurch auf, dass sie allein unter den Reihen der Form 'Sl(r~n divergent ist⁹⁸). Jakob Bernoulli") schreibt seinem Bruder Johann die Entdeckung der Divergenz der

Reihe 1    ^—{— -^- -j— * ♦ - zu; aber erst Euler hat die Beziehung

zwischen der Summe 1+    -----f-~ und logw¹⁰⁰) entdeckt.

95)    Ch. Hermite (J. f. Math. 91, 1881, p. 336) und Bourguet (Tor. Atti 16, 1881, p. 758).

96)    Thèse p. 38; Darb. Bull. (2) 5, 1881, p. 43; Acta math. 2, 1883, p. 261. Vgl. auch Schlömilch, Ztschr. Math. Phys. 25, 1880, p. 35, 351.

97)    So G. Bauer, J. f. Math. 57, 1859, p. 28; Hj. Mellin, Stockh. Öfv. 1883, p. 19. — Bezeichnungen: C bei Euler, Legendre, Lindman u. a.; 0 bei Euler; A bei Bierens de Haan, tables. Die von Mascheroni gewählte, y, hat den Vorteil, dass sie an die F- Funktion erinnert, ohne doppeldeutig zu sein.

98)    Vgl. Glaisher, on the history of Euler's constant, Mess. (2) 1, 1872, p. 25.

99)    In der Diss. von Fritz, Basel 1689 (Jac. Bernoulli op. [1744], 1, p. 38), sowie ars conjectandi, 1713, p. 250.

100)    Petrop. Comm. 7, 1734/35 [40], p. 156.

Er gibt die Formel:

und findet näherungsweise:

y = 0,577218.

Später³²) gelangt er zu der Formel: in der die B die Bernoulli’schen Zahlen (18) sind. Für x = 10 findet er:

y = 0,57721 56649 015325.

Er gibt auch den Ausdruck:

Endlich³³ 34 35 36) sucht er ohne Erfolg zu erkennen, ob y nicht der Logarithmus einer andern bemerkenswerten Zahl ist; da dies nicht gelingt, giebt er noch die Formeln:

1—y = Y Ä — t + yfi—0 + 4-(Ą — 0 "ł----f

*r-x = (t + t

T*) + (ł+T + (t+t

2- 2Iog2-y = (4 4 S₂- 4) + (I. IĄ-

ł*)

ł)

21og2 + r=(i log 2 — y

Y~ T‘YYr^) + (l

+(fsO+"

T“T'6^S4 + "'!

i—log 4—y

Mäscher onim) berechnete y auf 32 Stellen. Soldner m) fand einen von der 20. Stelle an abweichenden Wert. Daher liess Gauss¹⁰⁰) durch Nicolai die Rechnung wiederholen; die schon von Euler benutzte

Formel — die zweckmässigste, obwohl sie nur semikonvergent ist — gab für x — 50 und x = 100 y auf 40 Stellen genau; Soldner’s Angabe fand sich bestätigt¹⁰⁶). Lindman³⁷), der Nicolai’s Rechnung nicht kannte, erhielt für x — 20 und x = 100 bezw. 24 und 34 richtige Stellen; Oettinger³⁸) für x = 10, 20, 50, 100 bezw. 18, 25, 34 und 41; endlich Shanks³⁹) für x = 10, 20, 50, 100, 200, 500, 1000 bezw. 21, 28, 39, 46, 54, 59 und 59 Stellen. Zuletzt giebt Shanks 80 und 110 Stellen an; aber Glaisher bemerkt⁴⁰), dass nur die 59 ersten sichergestellt sind:

y = 0,57721 56649 01532 86060 6512090082

40243 10421 59335 93992 35988 0577 • * •.

Man kann für 0 < g < 1

= lim |~1 + — -f — -f-----1— --\

rt=oD L    2¹“    ¹

x¹

Yf*

— f*_

als ein Analogon zur Euler’schen Konstanten betrachten⁴¹). Glaisher giebt Werte von y^ auf 6 Stellen genau⁴²). Aus y^ kann man yi—/( mit Hilfe eines Satzes von Schlömilch⁴³) berechnen. Man kann diese yfl als mit Riemanris £-Funktion (I C 3, II) verwandt betrachten⁴⁴).

Noch sei die von N. Sonine⁴⁵) gegebene Entwicklung von y erwähnt, deren Restglied eine einfache Form hat:

y = ¹ + Y + Y+--- + ^-l° g(M+l)

+§(■- V C¹ - 2_Si+1) I (" + i)~"

j=i

+ (- O' O - 2-2l,+I) ff (» + Y + £)~!r>

0 < i < S= < 0,20478.

27cj/2e

106) Gleichwohl wurde Mascheroni’s Angabe noch wiederholt. In dem von Grunert herausgegebenen Supplement zu Klügel’s Wörterbuch finden sich beide Angaben.

Jeder Darstellung von ^(a) durch ein bestimmtes Integral entspricht eine ebensolche Darstellung von y.

Aus der Formel:

OO

ß

o

dx

1 -j- a?v æ

hat Bierens de Haan¹¹⁰) die folgende hergeleitet:

cos x —

00

COS X

0.

— cos#) — = (l--M

' « \    2a/

V-

Funktion

14. Integrallogarithmus. Die schon von Euler¹¹⁷) untersuchte

dx

log a

é dt

log#

— log a

hat Soldner¹¹⁸) als Integrallogarithmus bezeichnet. Die Definition hat zunächst einen bestimmten Sinn nur wenn a positiv reell und < 1 ist. Für a reell, > 1 hat man li (a) durch 'den Hauptwert (2) des Integrals, also durch:

— 00

li (a) — lim

i — o    a

r Cdx . Cdx

loL/log*⁺Jl 0    1 + 0

definiert. Die hieraus entspringenden Schwierigkeiten hat Bessel¹¹⁹) gefühlt und Gauss¹²⁰) mit Hülfe des ihm schon damals geläufigen Begriffs des komplexen Integrationswegs aufgeklärt und beseitigt. Er schlägt vor, an Stelle des Integrallogarithmus die Funktion:

a

f‘ex- 1 o X

dx

einzuführen und giebt an¹²¹), dass diese die Punkte:

a = 3,183297 + 6,896441 i und x = 3,796 + 13,296 i zu Nullpunkten hat.

116)    Théorie . . . p. 671.

117)    Instit. calc, integr. 1, cap. 4, § 228.

118)    Theorie et tables (Tune nouvelle fonction transcendante, München 1809; vgl. Zach, monatl. Corresp. 23, 1811, p. 182. — Mascheroni (vgl. Fussn. 103) sagt: Hyperlogarithmus ; T. Caluso (mem. soc. it. 12, 1805, p. 268) Logologarithmus.

119)    Königsb. Arch. 1812, p. 1, 239.

120)    Briefwechsel mit Bessel (publ. 1880) pp. 114—120, 126, 128, 156, 163, 171, 177 (a. d. Jahren 1810—1812).

121)    ib. p. 159 und 173.

14. Integrallogaritbmus. 15. Betafunktionen. Die schon yon Euler gefundene Entwicklung: lie⁻¹ = y + log £

+----

1.1! ¹ 2.2!    3.3!

enthält die Euler’sche Konstante y (13).

Die Untersuchung des Integrals Jezz~xdz, genommen auf Weg in der Ebene der komplexen Grösse z, führt u. a. zu dem Resultat¹²²):

en

1 für x > 0 — für x = 0 , 0 für x < 0,

d. h. zu einem einfachen Beispiel eines Dirichlet’schen diskontinuierlichen Faktors (II A 2, 42).

Der Integrallogarithmus verdankt seine Wichtigkeit vor allem seiner Rolle in der Zahlentheorie. Gauss bemerkt in einem Brief an Encke¹²³) „dass die Anzahl aller Primzahlen unter einer gegebenen Grenze n nahe durch das Integral:

y+»

h J +ïi

d(x + yi)

y—— co

flog n

ausgedrückt wird“. Vgl. im übrigen I C 3.

Tafeln des Integrallogarithmus sind von Bessel und von Gauss berechnet worden.

15. Betafunktionen. Das Integral:

dn

(1)

i

Jx^il

0

— x)q~xdx

war schon von Wallis, Neivton ¹²⁴); Stirling¹²⁵) untersucht worden; aber die ersten wichtigen Arbeiten über das Integral

i

fxr-'i 1

0

±-l

— xn) n    dx

verdankt man Euler, der es mit ¹²⁶) °der mit (p, q) ¹²⁷)

bezeichnete

und wiederholt die Reduktionsformeln behandelt hat, die für dasselbe

122)    Vgl. Kronecker, Integrale, 12. und 13. Vorlesung.

123)    Gauss ges. W. 2, p. 444 (a. d. J. 1849, publ. 1863). Vgl. dazu die Tabellen auf pp. 438—443.

124)    Brief an Oldenbourg vom 24. VIII. 1676.

125)    Methodus difterentialis sive tractatus ... de interpolatione, 1730, p. 125.

126)    Petrop. N. Comm. 16, 1772, p. 91.

127)    Petrop. N. Acta 5, 1779, p. 86.

n zwischen den zu verschiedenen ganzzahligen Werten von p und q gehörenden Werten des Integrals bestehen. Für das Integral (1) hat Legendre¹²⁸) den Namen „Euler’sches Integral I Art“, Binet¹²⁹) die Bezeichnung B (p, q) eingeführt.

Einführung einer neuen Variabein führt zu der Relation¹³⁰):

i

= S(q,p),

xf~xdx —Jyq~¹( 1 —y)p~xdy o

die bei der symmetrischen Darstellung:

i

dz

B(p,q)=ri+i)P+,

selbstverständlich ist.

Die Euler’schen Integrale I. Art sind keine selbständigen Transcendenten, sondern drücken sich durch F-Funktionen aus⁴⁶):

r(P) r(q)

r(p + q)

B{p, q) =

Durch das Euler’sche Integral I. Art wird die Funktion B (p, q) nur in dem durch die Bedingungen:

«Gp)>0, fftfa) >0

gegebenen Gebiet definiert. Zur Ausdehnung dieser Definition auf andere Werte kann man sich entweder der Darstellung durch F-Funktionen bedienen oder direkt, wie bei diesen (12 a), einen geschlossenen Integrationsweg einführen⁴⁷). Man bezeichnet nämlich als Doppelumlauf einen Weg, der jeden der beiden Punkte 0 und 1 je einmal im positiven und einmal im negativen Sinne umkreist; man erhält einen solchen z. B., indem man von einem beliebigen Punkte aus-

128)    Exerc. 1, p. 221; 2, p. 3.

129)    Éc. polyt. cah. 27, 1839, p. 131.

130)    Beweis für p -{- q — 1 bei Euler, allgemein bei Legendre, exerc. 1,

p. 222.

15. Betafunktionen. 16. And. Integr., welche auf. Gammaf. zurückf. sind. 177

gehend erst 1 in positivem, dann 0 in positivem, hierauf 1 in negativem, endlich 0 in negativem Sinne umkreist und dann zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Ein solcher Weg ist auch auf der zu der algebraischen Irrationalität :

10 = uP —¹ (1—m)î — ¹

gehörenden Riemann’schen Fläche (IIB 1, 21 ; IIB 2) geschlossen. Bezeichnet man ihn mit G, so hat man:

—u)q~¹du — (1—e*i7tp)(l—e2i7tq)B(p,q). c

Der Punkt oo ist auch ein Verzweigungspunkt der genannten Riemann’schen Fläche. Aus Symmetrierücksichten ist es vorteilhaft, ihn mit in Betracht zu ziehen und zu diesem Zwecke homogene Veränderliche einzuführen; die Funktion B(p, q) erscheint dann als einfachster Fall der hypergeometrischen Integrale⁴⁸).

Der Zerlegung der P-Funktion in ein Produkt von Primfaktoren (12 e) entspricht für B(jp,q) der Ausdruck:

■*> r    ,    P-rQ ł

¹

   ib. p. 155.

²

   Lejeune-Dirichlet, J. f. Math. 15, 1836, p. 260 = ges. W. 1, p. 275; J. A. Grunert, Arch. Math. 2, 1842, p. 266 Schlömilch, Studien 1, p. 4; M. Schaar, Brux. mém. cour. 22, 1846; G. J. Malmstén, J. f. Math. 35, 1847, p. 55.

³

   Dirichlet a. a. 0.

⁴

   Compendium 2, p. 255.

⁵

   J. f. Math. 35,1847, p. 1; vgl. auch Ph. Gilbert, Brux. mém. 41, 1875, p. 16.

⁶

   Gauss, ges. W. 3, p. 154. Wie A. Genocchi (Brux. Bull. 36, 1873, p. 557) bemerkt, ist diese Formel eine unmittelbare Konsequenz von Euler's, Resultaten betr. „functiones inexplicabiles“. Hermite (Cours lithogr.) zeigt, dass man sie zum Ausgangspunkt der Theorie der Gammafunktionen nehmen könnte.

⁷

Par. C. R. 50, 1860, p. 662; cours d’algèbre 2, nr. 391; calc, intégr.,

nr. 536.

⁸

   Zuerst hatte sich J. Stirling (methodus differentials, 1730) mit der angenäherten Bestimmung von log (c* !) und allgemein von log [a(a-\-z)...(«-{- nz)~\ beschäftigt. Die Beweise von Euler und Legendre Hessen zu wünschen übrig; die Frage wurde daher von Cauchy (exerc. d’anal. 2, 1841, p. 386); J. Liouville (J. de math. 4, 1839, p. 317); Binet (Par. C. ß. 9, 1839, p. 157 und J. éc. polyt., cah. 27, 1839, p. 220); J. L. Baabe (J. f. Math. 25, 1843, p. 147 und 28, 1848, p. 10) und Malmstén (ib. 35, 1847, p. 55) wieder aufgenommen.

⁹

   Exerc. de math. 2, 1827, p. 91.

¹⁰

   Baabe (J. f. Math. 25, p. 149 und 28, p. 12); M. A. Stern (Gott. Studien, 1847); Malmstén (J. f. Math. 25, p. 75); E. G. Björling (Stockh. öfv. 1856, p. 181; Bierens de Haan (Arch. Néerl. 8, 1873, p. 135 und Amsterd. Versl. 7, 1873, p. 12); E. Liebrecht (Arch. Math. 59, 1876, p. 218). Ygl. auch M. Lerch (Giorn. di mat. 26, 1888, p. 39) und Ch. Hermite (Prag. Ber. 1888, p. 365).

¹¹

   F. Prym, J. f. Math. 82,1877, p. 165; L. Bourguet, thèse p. 16; A. Prings-heim (Math. Ann. 31, 1887, p. 460); L. Scheeffer (J. f. Math. 97, 1884, p. 230);

M. Lerch, Prag. Ber. 1889, p. 188.

¹²

   Die Funktion s(a), die oft nach Gudermann genannt wird, wurde zuerst von G. Plana (Tor. Mem. 24, 1820, p. 410) eingeführt, dann von Binet (J. éc. polyt. cah. 27, 1839, p. 225) wiedergefunden. Sie heisst y(a) bei Binet, ® (a) bei Cauchy (Par. C. R. 16, 1843, p. 422), co(a) bei E. Catalan (ib. 77, 1873, p. 198).

¹³

   Vgl. J. Liouville (J. de math. 4, 1839, p. 318); Cauchy (exerc. d’anal. 2, 1841, p. 384); M. Schaar (Brux. mém. cour. 22, 1846, p. 6); M. A. Stern (Gött. Studien 1847, p. 134); A. Genocchi (Brux. Bull. 21, 1854, p. 84); Schlömilch (Studien 1, p. 53; Compendium 2, p. 249).

¹⁴

   Methodus differentialis 1730. Die Formel ist ein spezieller Fall einer von Mac-Laurin gefundenen und gewöhnlich Euler zugeschriebenen Summenformel (I E). Sie gehört zu den semikonvergenten Reihen, über die man IA 3, 38 vergleiche. Andere, konvergente Entwicklungen, wie die von Binet (J. éc. polyt. cah. 27, 1839) gegebenen bieten nicht dieselben Vorteile.

¹⁵

   Ygl. Cauchy (exerc. d’anal. 2, p. 395 und Par. C. R. 39, 1854, p. 133); Schaar (Brux. mém. cour. 22); Baabe (J. f. Math. 25 und 28); J. Liouville (J. de math. 17, 1852, p. 448); Malmstén (J. f. Math. 35, 1847, p. 55); G. Bauer, ib. 57, 1859, p. 256); A. Genocchi (Brux. Bull. 21, p. 84; Ann. mat. fis. 3, 1852, p. 406; 5, 1854, p. 150; ib. (2) 2, 1859, p. 367); O. Bonnet (Par. C. R. 50, 1860, p. 863); Ph. Gilbert (Brux. mém. 41, 1875, p. 20); Ch. Hermite (Tor. Atti 14, 1875, p. 95); L. Bourguet (thèse p. 65).

¹⁶

   Théorie de la fonction Gamma, Gand 1859.

¹⁷

   Thèse p. 27.

¹⁸

   Ygl. auch T. J. Stieltjes (J. de math. (4), 5, 1889, p. 425); Hermite (J. f. Math. 105, 1889, p. 201, wo auch eine andere Entwicklung derselben Art gegeben ist, und Amer. J. 17, 1895, p. 111); Hermite und Lerch (Prag. Ber. 1895); Lerch (Prag. Rozpr. 3, 1894 nr. 28; 5, 1896, nr. 14 und 23).

¹⁹

   Bourguet a. a. O.

²⁰

   J. éc. polyt. cah. 27, 1839, p. 226.

²¹

   ib. p. 231.

²²

   Thèse p. 59. Wegen der Funktion 55(a) vgl. man noch A. Genocchi (Brux. Bull. 21, 1854, p. 84; 36, 1873, p. 550; Ann. mat. fis. 2, 1859, p. 380); M. de Tilly (Brux. Bull. 35, 1873, p. 30); Ph. Gilbert (Brux. mém. 41, 1875, p. 14); M. Lerch (Prag. Ber. 1893, Nr. XXVI).

²³

   Legendre, exerc. 2, p. 26.

²⁴

   J. f. Math. 40, 1850, p. 152.

²⁵

   TJ. Bigler, J. f. Math. 102, 1887, p. 250.

²⁶

   J. W. L. Glaisher, Mess. (2) 24, 1895, p. 27.

²⁷

   Exercices, passim.

²⁸

   Vgl. E. Catalan, Brux. mém. 42, 1878, p. 14; G. Plana (J. f. Math. 17, 1837, p. 198) und besonders M. A. Stern (ib. 67, 1867, p. 114).

²⁹

   Exerc. 1, p. 302; 2, p. 86.

³⁰

   Ges. W. 2, p. 350.

³¹

   Vgl. den Brief von Gauss an Bessel vom 5. V. 1812, sowie Gauss’ ges. W. 3, p. 154, 161.

³²

   Petrop. N. Comm. 14, 1769, p. 153.

³³

   Petrop. Acta 5, 1781, p. 45.

³⁴

   Adnotationes ad Euleri Calculum Integralem, 1790.

³⁵

   Théorie d'une nouvelle fonction transcendante, München 1809.

³⁶

   G-es. Werke 3, p. 154 und Briefwechsel Gauss-Bessel, p. 150.

³⁷

   Arch. Math. 29, 1857, p. 238.

³⁸

   J. f. Math. 60, 1862, p. 375.

³⁹

   Lond. Roy. Proc. 15, 1867, p. 429 ; 16, 1868, p. 154 und 299 ; 20,1872, p. 29.

⁴⁰

   ib. 19, 1871, p. 514.

⁴¹

   Mess. 24, 1894, p. 24.

⁴²

   Lond. Math. Proc. 4, 1872, p. 48.

⁴³

   Zeitschr. Math. Phys. 23, 1878, p. 135.

⁴⁴

   E. Cahen, Bull. soc. math. 22, 1894, p. 227.

⁴⁵

   Warsch. Nachr. 1889, Nr. VIII.

⁴⁶

   Euler, calc. integr. 4, p. 93 u. 252; Legendre, exerc. 2, p. 6; Poisson,

J. éc. polyt. cah. 16, 1813, p. 404; C. G. Jacobi, J. für Math. 11, 1834, p. 307; Dirichlet, ib. 15, 1836, p. 266; G. Plana, ibid. 17, 1837, p. 25; Binet, J. éc. polyt. cah. 27, § 15; Cauchy, ibid. cah. 28, 1841, p. 147; N. Lobatschefsky, Kas. mém. 1835, p. 1; Schaar, Brux. mém. cour. 22, 1846; E. Catalan, Par. C. R. 47, 1858, p. 545; Bealis, Giorn. di mat. 9, 1871, p. 345 ....

⁴⁷

   So unabhängig von einander C. Jordan (cours, d’anal. 3, 1887, nr. 208); P. A. Nelcrassoff (Mosk. Samml. 14, 1888; vgl. Math. Ann. 38, 1891, p. 511); L. Pochhammer (Math. Ann. 35, 1890, p. 470; 36, 1890, p. 84; 37, 1890, p. 500); bei letzterem auch der Name Doppelumlauf. Vgl. auch U. Bigler, J. f. Math. 102, 1888, p. 237.

⁴⁸

   F. Klein, Yorles. üb. d. hypergeom. Funktion, 1894, p. 118, 153ff.; C. Schellenberg, Diss. Gott. 1892, p. 16.

B(P>

n (‘+^~

r—1 l    > _

oo (    P )    ⁰⁰ i    Q \ ’ den man als Definition von B(p, q) für alle Wertepaare (p, q) an-sehen kann, in denen weder p noch q Null oder eine negative ganze Zahl ist¹). Andere Entwicklungen sind von Binet²), P. Mansion³) und J. Beaupain⁴) gegeben worden.

16. Andere Integrale, welche auf Gammafunktionen zurück-führbar sind. Einfache Vertauschungen der Integrationsvariahein führen zu einer Reihe weiterer Integrale⁵), von denen nur die wichtigsten erwähnt seien. Das Integral:

i

J*xp~x (1

0

— xm)q~i dx — —

! r(D • r£+.*)

das schon Euler betrachtet und dessen Ausdruck durch JT-Funktionen Legendre gegeben hatte, giebt unmittelbar:

7t

sinm~¹x eosn~¹x dx

, HtMt)

( m -f- n\

\ 2 J

IV. H. Abel¹⁵⁹) hat die Formeln gegeben:

i

fi

J (x + af+f

xa 1 (1 —x)ß ¹

dx —

i mm.

«/*(! +*)“ m + ß) ’

dx

cd

(1—x^x1 a(xAa)

sin an ■ a1 01 (1 — d)

die erste führt auf die von Schlömilch¹¹⁰) gegebene Formel:

7t

dß = ~

1 I\a) rjb) ² ma n? r(a + &)

r cos2a x0 sin²^ *0 eJ (m cos² 0w sin² 0)“"^

Legendre¹¹¹), Cisa de Gre'syllla), Binet141 b)„ Stern¹¹¹ c) und

E. E. Kummer141 d) sind mit Hülfe des Ausdrucks von ip(a-j-1) durch ein bestimmtes Integral (12 d) zur Bestimmung von Integralen gelangt, in denen die zu integrierende Funktion log x im Nenner enthält:

J¹

(1 - xa) (1 - xh)

(1—*)log

dx — log

r(a + b+1) .

r(«+i) r(&+i)»

= log

xa(l — aß) (l — xc) dx

(1— ®)log —

r(a + l) r(a + J-fc+l)_ r(a+&+i) r(«-fc+1);

ebenso für eine grössere Anzahl Faktoren der Form 1 — xb. Speziell für b — c — d — ■ ■ ■ — 1 erhält man ⁶ 7 8 9

12

16. Andere Integrale, welche auf Gammafunktionen zurückfiihrbar sind. 179

i

Çx' (x

J log X 0

00

— l)n

dx — —

1 )ne~zcls

(— !)p Q) loS (» + a + 1 — P) •

p =0

Erwähnt seien noch die Formeln von Schlömilch¹⁴²) :

00

I cos b

J ~x"

0

dx —

fe”⁻¹

00

ß

sin

bn~¹

7T

==

2 cos —?

2

sowie die von J. A. Serretu3) und E. E. Kummer¹⁴⁴):

r(n)

r(n)

cossin”⁻x6 cos y,0 dd —

ro—w) r(w)

mt

r(E)

cos —

cose—n—iQ sin”⁻¹6 sin pd dd —

r(fi—n) r(n)

sin ^-¹⁴⁵)

Als Beispiele vielfacher Integrale, deren Auswertung mit Hilfe der Gammafunktionen gelingt, seien die von P. Gr. Lejeune-Dirichlet¹⁴⁶) gegebenen erwähnt, die zur Bestimmung der Volumina, Schwerpunkte, Trägheitsmomente gewisser Flächen führen. Man hat:

¹ dx₁ dx₂ • • • dxn =

r(Pl) r(PG • • • r(Pn) r(¹+Pi-\-p*+--+pn)’

wenn das Integral über alle positiven Werte der Variabein XtX^ - • ■ xn erstreckt wird, für die

• • • X‘

n

Pn~

ist: ferner:

142)    Arch. Math. 6, 1845, p. 200.

143)    J. de math. 8, 1843, p. 489.

144)    J. f. Math. 17, 1837, p. 210 und 20, 1840, p. 1.

145)    Über die Ermittelung der Integrale

71

ßin'«

0

6eaodd und

7t

Jlinme cosn6ea0d6 0

ygl. man A. R. Forsyth, Quart. J. 27, 1895, p. 216. Tafeln des ersteren, Brit. Ass. Rep. 1896, p. 70.

146) Berl. Abh. 1839, p. 61 = ges. W. 1, p. 391; J. de math. (1) 4, 1839, p. 164 = Par. C. R. 8, 1839, p. 156 = ges. W. 1, p. 375.

12*

f* ¹ • • • t?nn 1 ät\ dt₂ • • • dt ft

fff*

di

?1 ?2 ' al a2 '

- ft.

mx ■ ■ ■ mn

r 11 + — H-----b —)

V »h    m /

di

wenn das Integral über alle positiven Werte der Variabein t erstreckt wird, für die:

nii

?n₂

mn

<1

ist. Lejeune-Dirichlet hat dieselbe Methode auf die Bestimmung der Anziehung eines homogenen Ellipsoids angewendet¹⁴⁷).

J. Liouville¹¹⁸), Raabe148a), Most148b) und E. Catalan148e) haben vielfache Integrale allgemeineren Charakters als die vorhergehenden untersucht¹⁴⁹).

17. Anwendungenderbestimmten Integrale in derReihenlehre. Die Formel:

GO

na

-¹- e

r(“) J

0

xa~x dx

führt zum Beweis der folgenden von M. A, Stern¹⁵⁰), J. Steiner¹⁰⁰a) und G. F. Meyer150b) gegebenen Sätze: Schliesst man die Einheit nicht nur als Basis, sondern auch als Exponent von der Betrachtung aus, so ist die Summe der

1)    reziproken Potenzen aller ganzen Zahlen — 1;

2)    reziproken Potenzen aller geraden Zahlen = log 2;

3)    reziproken ungeraden Potenzen aller Zahlen En -f- 3:

71

y log2;

4)    reziproken geraden Potenzen aller Zahlen 4n-\-3: —    log 2;

5)    reziproken geraden Potenzen aller Zahlen 4n-j-2: —    •

147)    Ygl. auch F. G. Mehler, J. f. Math. 60, 1862, p. 321; F. Mertens, ib. 63, 1864, p. 369; 70, 1869, p. 1 ; F. Grube, ib. 69, 1868, p. 359.

148)    J. de math. 4, 1839, p. 225. — 148a) J. f. Math. 28, 1844, p. 19. — 148b) Zeitschr. Math. Phys. 14, 1869, p. 422. — 148°) J. de math. (1) 4, 1839, p. 323.

149)    Ygl. G. F. Meyer, Best. Int., 2. Buch und L. Pochhamner, J. f. Math. 107, 1891, p. 246.

150)    J. f. Math. 10, 1833, p. 209. — 150a) ib. 13, 1835, p. 361. — 150b) Arch. Math. 41, 1864, p. 220 und Best. Int. p. 366.

17. Anwendungen d. best. Integr. in d. Reihenl. 18. Bernoulli’sche Zahlen. Die JEuler’sche Gleichung:

00

(1 >«>0; 0>O)

xa 1 sin Ox dx — sin ^

Q°    2

führt zu der Beziehung¹⁰)

zwischen den beiden Reihen:

00

(- l)w

f(a) — y-,

00

(-1)*

Dieselbe Bestimmungsweise lässt sieb auch auf allgemeinere Reihen an wenden¹¹).

Die Funktion tp (12 d) kann zur Summierung mehrerer bemerkenswerter Reihen dienen¹² 13); z. B.:

4-----U .......?.

¹    b —)— ne

T + T*(v + n + ¹)

b b -f- c ‘ b -J- 2c

fe-f- (2n-\- l)c

* (t + b i

=ï+LHL+”+¹)

ŁHŁ+0

und für lim n = oo :

b -f c 2cr \2c '    2/

b b -f- c' b -j- 2c speziell:

6(6 + c) + T[* (è + 4) (Te +¹)] >

1_|

18. Bernoulli’sche Zahlen¹⁰¹). Wir sind den Bernoulli’sehen Zahlen schon in der Stirling’schen Formel (12 g) und bei der Berechnung der Konstanten y (13) begegnet. Sie haben sich zuerst

Jacob Bernoulli154 a) bei der Bestimmung der Summe ganzer positiver Potenzen von aufeinanderfolgenden Zahlen dargeboten; sie sind die in den Formeln:

i=i

2 m -f~ I

+ç+Cr)^

/2m\ B, ,

( 3 )t* *

2 ^2w,+1

2 m -f 2

x2w-fl

auftretenden Koeffizienten R.¹⁴ 15) Jacob Bernoulli findet die Werte:

b^Ł’ bz⁼L’ b*=jö> b^Ł’^

L. Euler¹⁶'⁰⁶) giebt die 15 ersten, Ohm156a) die 31 ersten, Adams156b) die 62 ersten. Sie treten in einer Reihe von Entwicklungen als Koeffizienten auf, z. B.¹⁷):

x-

X⁴

X⁶

= 1 +

/V»    /y>    /w-

feotf = l-Ąfj-Ąfi-Ąfi

daraus ergiebt sich zwischen den Bernoulli’schen Zahlen und den Summen der Reihen:

x ex 1 2" ex — 1

x⁶

S2m = ¹ + ₂ht + ₃2

— _L

Î rn »

4²

Lj----

5 m

die Relation:

(2 m) !

Die Bernoulli’schen Zahlen sind alle positiv; sie wachsen von der vierten an und zwar so, dass:

Bm

m²

lim ^- = -J

m = <x>-tSm— 1    ⁷¹

wird. — Erwähnt seien noch die Entwicklungen:

tgz = 2»(2³-l)Ą £ + 2*(2‘-l )B₂ f' +    + -

cosec x =

i + 2(2-l)Ą^ + 2(2»-X)Ąf*

a?⁵

+ 2(2°— 1)Ą gi + •"}

i sin a?

log—= -

log cos Æ =-

In der Entwicklung:

² T! x2 2(2>-l)

O 3    /y»4 Od /yj6

“    73    » T) «/>

6 !

2³(2¹-1)^

a;²

a;⁴

2⁵(2⁶—1)

a:⁵

tg (t + y) = sec x + tg x =¹ + n* + Z₂ fy + Fs §7

sind die Koeffizienten von ungeradem Index, die man auch Tangentenkoeffizienten nennt, mit den Bernoulli’schen Zahlen durch die Relation verbunden:

22w(22m— 1) 7? —----- J->m-

y 2 m — 1 =

Die Koeffizienten von geradem Index heissen Sekantenkoeffizienten oder JMer’sche Zahlen. Alle diese Koeffizienten sind ganze Zahlen; die 30 ersten hat W. Scherk¹⁸) berechnet.

Die vorhergehenden Entwicklungen führen zu Rekursionsformeln zwischen den Bernoulli’schen Zahlen, zwischen den Euler’schen und auch zwischen beiden¹⁹). Die älteste derselben rührt von A. de Moivre²⁰) her:

1 + (2B*5I_1) -Bm-S--1----

+ (-¹)”-I(2»±¹

sie erlaubt jedes der B aus allen vorhergehenden zu berechnen. Andere Formeln²⁰*) erfordern zu dieser Berechnung nur eine geringere An-

Bm-

m--—

) = 0:

zahl der vorhergehenden. Auch kann man Bm linear durch die Produkte Bk Bm_je ausdrücken¹⁶¹). Scherlc16 2) und Stern¹⁶²*) haben speziell

die Relationen zwischen den Bernoulli’schen und den Euler’schen Zahlen untersucht. — Die linearen Relationen führen zur Darstellung der Bernoulli’schen und Euler’schen Zahlen in Determinantenform¹⁶³).

Die Tafeln von Bierens de Haan¹⁶⁴) enthalten eine Reihe von Integralen; deren Auswertung mit Hilfe der Bernoulli’schen Zahlen gelingt. Man hat z. B.¹⁶⁵)

OO

x2    ¹ dx

e2nx-l

Diese Formel hat K. Carda¹⁶⁶) aus dem Cauchy'sehen Satz durch ein Verfahren abgeleitet, ähnlich dem von Kronecker zur Bestimmung der Gauss’schen Summen. Er integriert

¹d(x-{- iy)

(x + iy)

2 m —

e2n(x-\-iy)_ j

zuerst längs der x-Axe von (p, 0) j^O < p < yj bis (a, 0) [a > p];

(a, 1c)

dann parallel der y - Axe his (a, h) \h eine ganze Zahl]; von geradlinig bis (p, 7r) ; auf einem Viertelkreis mit dem Radius p bis (0, Ji — p); geradlinig bis (0,1c—1-f-p); auf einem Halbkreis im ersten Quadranten mit dem Radius p bis (0,Jc—1 — p); u. s. w.; schliesslich auf einem Viertelkreis von (0, p) zum Ausgangspunkt (p, 0) zurück. Die Summe aller dieser Integrale ist 0. Für lim a = oo und lim p = 0 erhält man hieraus:

der Rekursionsformel qo = 0 eine geeignete lineare Kombination von ihr und den vorhergehenden, l)nopm + *m—iVm—i 4-----f- l₁ cp₁ = 0, einführt.

161)    Euler, Calc. diff. 2, § 119 ff. u. § 171.

162)    Math. Abhandl., 1725. — 162a) J. f. Math. 26, 1843, p. 88.

163)    R. Haussner, Zeitschr. Math. Phys. 39, 1894, p. 183. — Andere Darstellungen bei P. S. Laplace, Par. mein. 1777, p. 99; J. A. Eytelwein, Berl. Abh. 1816, p. 28; Li. Kronecker, J. de math. (2) 1, 1856 und J. f. Math. 94, 1883, p. 268; G. Bauer, ib. 57, 1860, p. 256 und 58, 1861, p. 292; Worpitzky, ib. 94, 1883, p. 203; E. Lucas, théorie des nombres, livre 2; L. Saalschütz, Vorles., 2. Abschnitt.

164)    Vgl. z. B. Tafel 111, 117—125, 138, 145, 157—159, 161, 164, 173, 180, 184, 185, 275, 293, 303—306, 308, 310, 312, 314, 317, 319, 324, 325, 332, 336—342,

.351, 352, 359, 375, 380 und 410.

165)    Binet, J. éc. polyt. cah. 27, 1839, p. 123; G. Plana, Tor. mem. 1828; Malmsten, J. f. Math. 35, 1847, p. 55; Schlömilch, Arch. Math. 3, 1843, p. 9 und 12, 1849, p. 130.

166)    Monh. 5, 1894, p. 321.

^ Źl2m +1 =

2 m -f- 2

;.=i

und daraus durch Vergleich mit der Formel von Jacob Bernoulli die zu beweisende.

Die schon von Malmstén¹⁶⁷) betrachteten Funktionen:

^2 a -j- 2    ^,2 a -f-1

2«+ 2

K2al⁺¹)

1 /2n + 1\

T\ 3    )

B" (x) =

2« + l

Bxx2a —

(₂:±ö

, +t(²i°)^*,-i-t(s⁰)^—

(—l)a_1/ 2 a

B₂x2a~²

2a

Ba x

hat Baabe¹⁶¹ a) als Funktionen von Jacob Bernoulli bezeichnet. Untersuchung dieser an und für sich interessanten Funktionen führt zu weiteren Darstellungen der Bernoulli’schen Zahlen¹⁶⁸).

Wie 2(2m—1) Bm (s. o.) sind auch die folgenden Ausdrücke ganze Zahlen¹⁶⁹):

2*"»(₂*»_₁)

Die

Bmj

a2m(a2m-l)

B,

n,

(a2 m — l) (&2w— 1)

Bm, a(a2m—l)Bm,

wenn a und b zu einander teilerfremde positive Zahlen bedeuten; ferner:

Bm, wenn a prim zu m ;

a(a2rn — l)

a(a2m — l)

Bm, wenn a prim zu 2m.

Sind a,b .. .1 diejenigen Primzahlen, deren um die Einheit kleinere Nachbarn die Zahl 2m teilen, so ist:

Bm + (-!)»+> [|+ i ■+ j-+ ■ ■ ■ + 4] = (- !)"•+> Ä,„

eine positive oder negative ganze Zahl¹⁷⁰). Adams¹¹¹) hat diese Eigen-

167)    J. f. Math. 35, 1847, p. 55. — 167a) ib. 42, 1851, p. 348.

168)    Schlömilch, Zeitschr. Math. Phys. 1, 1856, p. 193; G. Bauer, J. f. Math. 58, 1861, p. 292; Ch. Hermite, ib. 79, 1875, p. 339; J. Worpitzlcy, ib. 94, 1883, p. 203.

169)    B. Lipschitz, J. f. Math. 96, 1884, p. 1.

170)    Gleichzeitig von Chr. v. Staudt (J. f. Math. 21, 1840, p. 372) und Th. Clausen (Astr. Nachr. 17, 1840, p. 352) gefunden.

171)    J. f. Math. 85, 1878, p. 269.

schaft zur Berechnung der Bernoulli’schen Zahlen benutzt. Ch. Hermite¹⁷²), M. A. Stern172a), R. Lipschitz172b) haben Rekursionsformeln für die Am gegeben.

E. E. Kummer hat den Beweis des letzten Fermat’schen Satzes (IC) in sehr ausgedehnten Fällen auf die Eigenschaften der Bernoulli’schen Zahlen gestützt¹⁷³).

19. Besondere bestimmte Integrale. Dirichletlu) hat die allgemeine Formel bewiesen:

/;

-f cc

— CO i

dd = ^e-lc

-GC

........j.._ TJ_i_

<*+ *>\if (kh + I)*».’

in der c eine reelle positive Konstante sein muss, die l,h,hx...a,ax... auch komplexe Grössen mit positivem reellen Bestandteil sein können. Man kann daraus eine andere Formel Dirichlet's ableiten¹⁷⁵):

+ CO

— cyi

• •• dy

J v± + y⁹~ L (k+yif (*. + y if¹ J L(l°g(h + yïï)b (log Ayi))*¹

— 00

7t

e~lc (k+T)a(kx-f i)B» • • • (log(/> + Z))⁶ (log + i))b> ■ • •

Von der Formel Legendre’s:

cc

/;

o

sin nix

2t£;e

dx — —

1 em -f 1 _1_ 4 em_1 2 m

hat Th. Stieltjes¹⁷⁶) die folgende Verallgemeinerung gegeben; sei: so ist:

172)    J. f. Math. 81, 1876, p. 93. — 172a) ib. 84, 1878, p. 267. — 172 b) ib. 96, 1884, p. 1.

173)    Beri. Ber. 1847, p. 132 und J. f. Math. 35, 1850, p. 117; Beri. Ber. 1857, p. 275 und Berl. Abh. 1857, p. 41. — Weitere zahlentheoretische Eigenschaften der Bm s. IC 3.

174)    J. f. Math. 4, 1829, p. 94 = ges. W. 1, p. 109.

175)    Ygl. auch M. Lerch, Casopis 22, 1893, p. 298.

176)    Amsterd. Yersl. (3) 2, 1886, p. 210.

co

f(e~x)

— e~px

— (wenn p :ee 1 mod. 4),

cc

Jl

f(e~x)

— e~px

cos

(fr)**

(wenn

3 mod. 4).

Erwähnt seien noch¹⁷⁷) die Formel von Jacobi:

7t

I /'(cos x) 0

cos nx dx —

7t

ffiP (

tJ

cos x) sin²* xdx

und die von Kummer:

(*(2# cos 0e*’⁰) e2ike dO

7t

1

sin hn j*(1—g)k~¹f(xz) dz o

~~T

20. Gauss’sche Summen. Einer der 6rm«ss’schen Beweise für das Reziprozitätsgesetz der quadratischen Reste (ICI) beruht auf der Auswertung der Summen:

p — 1    2 h‘l 7t i

+    * - V

h= 0

cos

2h²n .    . 'SJ •    2/t²7r

—■ 4- % > sm--

n ¹    n

Je nachdem nämlich die Zahl n von der Form ist:

hat man:

4p 4p -f- 1 4p -f- 2 4p -f- 3 G₁= yn    ]/n

G2 = ]/w    0

Yn.

Gauss hat wahrscheinlich schon in seinem 17. Jahre den Wert der Reihen, abgesehen vom Vorzeichen, gefunden, dessen Bestimmung ihm, wie aus der Abhandlung „summatio quarumdam serierum singu-larium“¹⁷⁸) und aus einem Briefe an Sophie Germain™) hervorgeht, unsägliche Mühe machte¹⁸⁰).

A. L. Cauchy hat zwei Methoden zur Bestimmung des Vorzeichens der Gauss’schen Summen gegeben; die eine ist nur für Primzahlen

177)    Im Text konnten nur einige besonders merkwürdige Beispiele Erwähnung finden; im übrigen muss auf die Tafeln von Bierens de Haan und auf die Observations dazu von Lindman (vgl. Fussn. 24) verwiesen werden.

178)    Gött. Comm. rec. 1, 1811 = ges. W. 2, p. 9; ib. p. 154.

179)    Oeuvres phil. hrsg. 1879 und Brief von Gauss hrsg. von Boncompagni, 1879.

180)    Kroneclcer, Beri. Ber. 1880, p. 686', 854; Vor!. 1, p. 118.

anwendbar, die andere allgemeinere beruht auf der Betrachtung der Jacobi’schen Thetareihen²¹).

Lejeune-Dirichlet²²) hat gezeigt, dass man die Summen der beiden

Reihen :

2sÿn cs COS — n

. 2s²tt 2j c- sm s

bestimmen kann, sobald man die Summe der (endlichen oder unendlichen) Reihe:

kennt.

F(a) — cx -f“ cx cos a -f- c₂ cos 2a -f- • • •

Einen sehr einfachen, auf dem Cauehy’schen Satz beruhenden Beweis hat L. Kroneclter²³) gegeben, indem er:

/* “ (•* + *»*

dy

/_e

/ 1 _ £ni(x-\-iy)

auf folgendem Wege integriert: erst von (0,—yf) nach (0,—y₀) in gerader Linie; dann auf einem Halbkreise um (0, 0), dessen Inneres links lassend, nach (0, £/₀); in geraden Linien nach (0, yf), von da

nach {^-n, y^j, von da nach i^-n, y₀^; auf einem Halbkreise um

0^, dessen Inneres links lassend, nach    —y^j] in geraden

Linien nach    —y^j und von da nach (0, yf)] ausserdem noch um jeden der Punkte ([k, 0), für welche 1c eine positive ganze Zahl ist, in einem Kreise vom Radius y₀, das Innere links lassend. Dabei bedeutet n eine positive ganze Zahl, y₀ und yl positive Grössen. Für lim y₀ = 0, lim yx = oo erhält man:

Trrll"!-

n — 1 2 IPrti

k = 0

Mehrfache Gauss’sehe Summen hat H. Weber eingeführt²⁴).

IIA4a. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN; EXISTENZ DER LÖSUNGEN

VON

P. PAINLEVÉ

IN PAPIS.

Inhaltsübersicht.

Definitionen und Fundamentalprobleme. Stand der Theorie vor Cauchy.

Methode von Cauchy-Lipschitz.

Prinzip der Methode.

Vervollkommnung- durch Lipschitz.

Genaue Bestimmung des Konvergenzintervalls.

Erste Integrale eines Differentialsystems.

Anwendung der Methode auf das komplexe Gebiet.

Fall stetiger Differentialkoeffizienten, die der Lipschitz'$chen Bedingung nicht genügen.

Methode der snccessiven Annäherungen.

9. Prinzip und Resultate der Methode.

10. Korollare.

Methode des calcul des limites.

11.    Prinzipien und Resultate dieser Methode.

12.    Fortbildung der Methode.

13.    Eindeutige Bestimmung der Integrale durch die Anfangsbedingungen.

14.    Erweiterung des Konvergenzbereichs der Methode.

15. Methode der Variation der Konstanten.

16. Methode der Aufsuchung erster Integrale.

Gewöhnliche singuläre Anfangsbedingungen.

17.    Anfangswerte, für welche einige der f. meromorph und unendlich sind.

18.    Anfangswerte, für welche einige der f. algebraisch verzweigt sind.

19.    Algebraische Differentialsysteme.

20.    Anwendung auf Gleichungen 1. Ordnung.

21.    Algebraische Gleichungen 1. Ordnung.

22.    Vergleichung mit der Theorie der Enveloppen; Historisches.

23.    Ausdehnung auf Differentialgleichungen beliebiger Ordnung.

Aussergewöhnliche Anfangsbedingungen bei Gleichungen 1. Ordnung.

24.    Untersuchungen von Briot und Bouquet über xy — ax -J- by

25.    Allgemeiner Fall, in dem y' meromorph und von der Form 0/0 ist.

26.    Untersuchungen von Picard.

27.    Methode von Poincaré und Ergänzungen zu ihr.

28.    Fall eines algebroïden f.

29.    Anwendung auf das reelle Gebiet.

30.    Untersuchungen von Bendixson und Horn.

31.    Picard’s Untersuchung der Gleichungen 2. Grades.

Aussergewöhnliche Anfangsbedingungen bei beliebigen Differentialsystemen.

32.    Allgemeiner Satz von Poincaré.

33.    Ergänzungen.

34.    Bestimmung besonderer Klassen von Integralen in Ausnahmefällen.

35.    Allgemeiner Fall meromorpher Differentialkoeffizienten.

36.    Anwendung auf das reelle Gebiet.

37.    Reelle asymptotische Lösungen.

Litteratur.

F. Moigno, Leçons sur le calcul différentiel et intégral (d’après Cauchy), t. 2, Paris 1844.

B. Lipschitz, Lehrbuch der Analysis, 2, Bonn 1880.

A. B. Forsyth, Treatise on differential equations, Cambr. 1889; dtsch. von H. Maser, Braunschw. 1889.

L. Königsberger, Lehrbuch der Theorie der Differentialgleichungen, Leipz. 1889. H. Poincaré, Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, 1, Paris 1892; 3, 1899.

F. Picard, Traité d’analyse, 2, Paris 1893; 3, 1895.

Ch. Méray, Leçons nouvelles sur l’analyse infinitésimale, 3, Paris 1897.

P. Painlevé, Leçons sur la théorie analytique des équations différentielles, professées à Stockholm, Sept., Oct., Nov. 1895, lith., Paris 1897.

1. Definitionen und Fundamentalprobleme. Die Theorie der Differentialgleichungen ist zugleich mit der Infinitesimalrechnung entstanden. Indem Leibniz und Newton die beiden Fundamentaloperationen der letzteren — Integration und Differentiation — einführten und ihre Reziprocität erkannten, haben sie damit zugleich die einfachste Differentialgleichung, nämlich die Gleichung dy/ dx — f(x) integriert. Die Integration solcher Gleichungen, die sich unmittelbar auf Quadraturen zurückführen lassen — wie:

dy __ Y(y) dny _ f(.    _

dx X{x) > dxn    T W

war die fast unmittelbare Folge. Die Untersuchung der elementarsten

Differentialgleichungen physikalischer, astronomischer und geometrischer Probleme beschäftigte die Nachfolger von Leibniz und Newton bis zum Beginn dieses Jahrhunderts.

Man nennt Differentialgleichung jede Relation zwischen einer unabhängigen Veränderlichen x, einer oder mehreren Funktionen y (x), z(x), . . . dieser Veränderlichen, und ihren Ableitungen bis zu einer gewissen Ordnung. Eine Gesamtheit solcher Relationen heisst System von Differentialgleichungen oder einfach Differentialsystem. Ein Differentialsystem integrieren heisst: alle Systeme von Funktionen y(x), z(x),. . . bestimmen, die diesem System Genüge leisten. Man weiss seit dem Ende des vorigen Jahrhunderts²⁵), dass man mit Hilfe von Differentiationen und Eliminationen ein solches System sowohl ersetzen kann durch eine Gleichung: dny dxn

(1)

dy

V)

dxn-v’

dn~

dx ’

als auch durch ein System von Gleichungen erster Ordnung, die nach den Ableitungen aufgelöst sind:

₍ix ~ fiipi Vxj Vs ; • • ? IJn) (ß — 1; 2, . ., ri).

Die Gleichung (1) verwandelt sich in ein System (2), wenn man

(2)

dy{

¹

   G. F. Meyer, best. Int. p. 96; A. Fringsheim, Math. Ann. 31,1887, p. 480.

²

   J. éc. polyt. cak. 27, 1839, p. 285.

³

   Brux. Bull. (3) 16, 1888, p. 545.

⁴

   Ann. éc. norm. (3) 9, 1892, p. 309. Brux. mém. cour. 53, 1894, p. 1.

⁵

   Vgl. Bierens de Haan, tables, passim.

Encyklop. d. math. Wissenach. II,

⁶

   J. f. Math. 2, 1827, p. 22 = oeuvr. éd. Sylow et Lie 1, p. 253.

⁷

   Höhere Analysis p. 86.

⁸

   Exerc. 2, p. 111. — 141a) Tor. mem. 1821, p. 209. — 141b) J. éc. polyt.

⁹

cah. 27, p. 123. — 141°) Gött. Studien, 1847. — 141d) J. f. Math. 17, 1837, p. 228.

¹⁰

   Schlömilch, Zeitschr. Math. Phys. 3, 1858, p. 130.

¹¹

   Vgl.    Meyer, Best. Int.    p.    376 ff. — Andere Anwendungen bei Lejeune-

Dirichlet,    J. f.    Math. 17, 1837,    p.    57 = ges. W. 1,    p. 257; Schlömilch, Com

pendium 2, p. 277; Limbourg, théorie de la fonction gamma, p. 220.

¹²

   Vgl.    Lejeune-Dirichlet,    J.    f. Math. 17, 1837,    p. 57 = ges. W. 1, p. 257;

P. Appell,    Par.    C. R. 86, 1878,    p.    953; Ed. Weyr,    Casopis 21, 1892, p. 161;

C. F. Lindman, Stockh. Öfv. 50, 1893, p. 563; F. Rogel, Prag. Ber. 1895.

¹³

   Litteraturverzeichnis von G. S. Ely, Amer. J. of math. 5, 1882, p. 228.

¹⁴

a) Ars conjectandi, 1713, p. 96.

155)    Vielfach werden die aufeinanderfolgenden Bernoulli’sehen Zahlen mit Bx, Bs, B₅ . . . bezeichnet.

¹⁵

156)    Calc, di ff. 2, 1755, § 122. — 156a) J. f. Math. 20, 1840, p. 11. —

¹⁶

b) ib. 85, 1878, p. 269.

¹⁷

157)    Euler, calc. diff. 2, § 1 14.

¹⁸

   Mathematische Abhandlungen, Berlin 1825.

¹⁹

   Vgl. L. Saalschütz, Vorlesungen üb. d. Bernoulli’schen Zahlen. Berl. 1893.

²⁰

   Miscellanea analytica, 1730. Formeln derselben Art geben C. G.J. Jacobi, J. f. Math. 12, 1834, p. 263 ; M. A. Stern, ib. 26, 1843, p. 90 und 84, 1878, p. 267; 0. Schlömilch, Arch. Math. 3, 1843, p. 9; A. Göpel, ib. p. 64; H. F. Scherk, Math. Abh. 1825; G. F. Meyer, Diss. Gott. 1859. — Nach M. Cantor’s. Bericht (Gesch. der Math. 3, p. 333) ein solcher Satz auch schon bei Jac. Bernoulli.

160a) L. Seidel, Münch. Ber. 7, 1877, p. 157; M. A. Stern, Gott. Abh. 23, 1878; E. Haussner, Gott. Nachr. 1893, p. 777, neuerdings F. Eogel, Prag. Ber. 1895. — Sie ergeben sich hier wie in ähnlichen Fällen daraus, dass man statt,

²¹

   Par. C. R. 10, 1840, 560; J. de math. 5, 1840, p. 154; Lebesgue, J. de math. (2) 1, 1856, p. 392. Umgekehrt kann die Bestimmung der in der Transformationstheorie der Thetafunktionen auftretenden Konstanten auf die Theorie der Gauss’schen Summen gegründet werden.

²²

   Abh. Berl. 1835, p. 391 = W. 1, p. 237; J. f. Math. 17, 1837, p. 57 = W. 1, p. 257; ib. 21, 1840, p. 1 = W. 1, p. 473.

²³

   J. f. Math. 105, 1889, p. 267, 345; Vorl. 1, p. 162. Vgl. auch Hamb. Mitt. 3, 1890, p. 32, sowie G. Landsberg, J. f. Math. 111, 1893, p. 234. Vgl.

F. Mertens, Beri. Ber. 1896, p. 217.

²⁴

   J. f. Math. 74, 1871, p. 24.

²⁵

   Der Beweis findet sich in den Lehrbüchern (z. B. C. Jordan 3, p. 3). Das ursprüngliche System ist im allgemeinen mehreren Gleichungen (1) oder mehreren Systemen (2) äquivalent, die jedes für sich zu behandeln sind. Ygl. C. G. J. Jacobi, J. f. Math. 64, 1865, p. 297 (ges. W. 5, p. 193). Ygl. auch Nr. 19 und Fussnote 48.

dVn

dVl

(3)

dx    yn

y    y i ? dx    y ^;

setzt. Die rechten Seiten von (2) können von andern unbekannten Funktionen yn+i(x), yn+%{x), . . . abhängen, die ihrerseits ganz willkürlich sind. Sind sie einmal gewählt, so ist das Problem, die Gleichungen (2) zu integrieren, in denen dann die /) gegebene Funktionen von x,yx,..,yn sind; sie heissen die Differentialkoeffizienten des Systems (2).

Jedes System von Funktionen yx{x), y^{x),. . . (bezw. jede Funktion y{xf), das die Gleichungen (2) (bezw. 1) befriedigt, heisst ein partikuläres Integral oder eine Lösung von (2) (bezw. I)¹). Die ganze Zahl n heisst die Ordnung des Systems (2) oder der Gleichung (1).

2. Stand der Theorie vor Canchy. Wenn ein System von Funktionen yx(x), . . . yn(x) von n Konstanten abhängt, so kann man durch Elimination der Konstanten aus den Funktionen und ihren Ableitungen ein System (2) (im allgemeinen und höchstens von der Ordnung n) ableiten, das die vorgelegten Funktionen befriedigen. Besitzt umgekehrt ein vorgelegtes System (2) immer unendlich viele Lösungen, die von n willkürlichen Konstanten althängen? Die ersten Differentialgleichungen, die integriert wurden, liessen das erkennen, und kein Mathematiker des 18. Jahrhunderts zweifelte daran. Genauer ausgedrückt: sie nahmen an, dass eine und nur eine Lösung yx(x), . . . yn{x) von der Art existiert, dass die Funktionen y„■ für x — x₀ willkürlich vorgeschriebene Werte y? annehmen; diese Lösung nannten sie das allgemeine Integral von (2). S. F. Lacroixh) stellt den Satz als evident hin; die Methode, die er zur Berechnung der fraglichen Lösung giebt, besteht darin, dass er durch Differentiation der Gleichungen (2) die Werte der successiven Ableitungen der y-, für x = x0 bestimmt und dann die nach steigenden Potenzen von x — x₀ entwickelt. Aber er giebt kein Mittel zum Beweis der Konvergenz dieser Reihen oder zur Aufsuchung der Fälle, in denen sie divergieren. Allerdings giebt er²) Beispiele, in denen die Werte x₀, y\} . . . y'j singuläre Werte für die Funktionen /)■ sind und in denen jenen „Anfangsbedingungen“ mehrere verschiedene Lösungen genügen. Er bezeichnet³) als partikuläre Lösungen diejenigen, die man heute gewöhnlich singuläre Integrale nennt; d. h. solche, für die die Werte x, yl,. ., yn bei beliebigem x singuläre Werte für die Differentialkoeffizienten fi sind. Aber alle Beweise blieben noch auszuführen, alle Ausnahmefälle noch zu präzisieren. Erst A. Cauchy hat der allgemeinen Theorie der Differentialgleichungen eine unzerstörbare Grundlage gegeben; im folgenden soll daher an die Darstellung jeder seiner Methoden die Besprechung derjenigen späteren Arbeiten angeschlossen werden, die sie vervollkommnen und ergänzen.

Methode von Cauchy-Lipschitz.

3. Prinzip der Methode. Die einfachste der Methoden Cauchy's besteht darin, dass er die Differentialgleichungen näherungsweise als

2. Stand d. Th. vor Cauchy. 3. Cauchy’s Methode. 4. Vervollk. d. Lipschitz. 193

Differenzengleichungen behandelt⁵). Seien xQ, . ., y® reelle Werte von x,yX)..,yn, von der Beschaffenheit, dass die Differentialkoeffizienten fi und ihre ersten Ableitungen dfi/cyl . . . dfi/dyn reelle eindeutige stetige Funktionen sind für alle reellen Werte der oc,y1}..,yn, die den Ungleichungen:

(4)

y, — y\ I <:b, .., I yn — fn\£l>

x — x₀ J a

genügen; sei ferner M das Maximum des absoluten Betrags der f in diesem Bereich. Das System gestattet eine und nur eine Lösung yx(x), • • ; Vn(x), die in der Umgebung von x₀ stetig ist und für x = x0 den Anfangsbedingungen yx — y\- • • yn = y°n genügt. Diese Lösung ist stetig mindestens in dem Intervall:

(5)

I x — x₀ I < l,

wenn l die kleinere der beiden Zahlen a und b/M bezeichnet. Zum Beweis zerlegt Cauchy das Intervall x₀x in m Teilintervalle x₀xlf

xm—\X und setzt, für den Fall einer Gleichung:

(6)

V)

der Reihe nach:

(7)

Vi = Vo + (»i — xo) f(xo, 2/o) ; 2/₂ = 2/i + («2 — xi) f{xi, 2h),

ym ym — 1 “f“ {x    xm— l) f (%m — 1; 2/m —l)*

Wenn m über alle Grenzen wächst und dabei jedes Teilintervall unbegrenzt abnimmt, konvergiert ym(x) unter der Voraussetzung (5) gegen eine Grenzfunktion y(x), und diese genügt der Gleichung (6) und den Anfangsbedingungen; Cauchy zeigt auch, dass sie die einzige ist, die das thut. — Die Methode ist genau dieselbe für ein System (2) von der Ordnung n.

4. Vervollkommnung durch Lipschitz. R. Lipschitz⁶) hat Cauchy’s Methode wiedergefunden und die von Cauchy geforderten Stetigkeits-bigen Integrale yx(x), • •, yn(x) partikuläre Lösungen; P. S. Laplace gebraucht in früheren Abhandlungen dieselben Namen im umgekehrten Sinne. Vgl. Nr. 20.

5)    Cauchy hat diese Methode [deren Prinzip sich schon bei Euler findet, Inst. calc. int. 1, 1768, p. 493] zwischen 1820—30 an der École polytechnique vorgetragen; seine Vorträge sind damals autographiert, aber nie veröffentlicht worden. Die Methode ist von Cauchy selbst kurz resümiert zu Anfang einer 1835 lithographierten, exerc. d’anal. 1, 1840, p. 327 wieder abgedruckten Abhandlung; ausserdem kennt man sie durch G. Coriolis (J. de math. 2, 1837, p. 229) und Moigno (2, leç. 26, 27, 28, 33).

6)    Darb. Bull. 10, 1876, p.149; Lehrbuch p. 504; Ann. di mat. (2)2,1868, p. 288.

13

Encyklop. d. math. Wissenseli. II.

bedingungen erweitert. Man braucht nicht die Existenz und Stetigkeit der dfi/difj vorauszusetzen; es genügt, wenn die (im Gebiet (4) eindeutigen und stetigen) Funktionen f) für alle Wertsysteme (x,yx,.., yn), (x, vtx,. ., rjn) des Gebietes (4) der Ungleichung (8) J fi{x, yx,... yn)—fi(x, rjx,... tjn) | < kx j yt - rjx | -f-----\-kn\yn-r\n |

genügen, in der die k numerische Konstanten bedeuten.

C. Bunge¹) hat diese Resultate anders abgeleitet und eine einfache Abschätzung des bei jedem Schritt auftretenden Fehlers gegeben, sowie ein der Simpsonsehen Regel (II A 2, Nr. 51) analoges Verfahren zur Abkürzung der Rechnung. V. Volterra⁴ 5) giebt ebenfalls einen andern Beweis, der die Lipschitz¹ sehe Bedingung etwas erweitert (vgl. 8); diese Methode ist von G. Ficciati⁶) graphisch interpretiert worden.

5. Genaue Bestimmung des Konvergenzintervalls. Das Intervall, in dem das Cauchy-Lipschitz’sche Verfahren konvergiert, ist im allgemeinen grösser als unter (5) angegeben. Namentlich hat P. Pain-levé ⁷) gezeigt, dass man l ersetzen kann durch X, die kleinere der beiden Zahlen

& (^x 4- + ■ ■ ■ + K)

(9) a und

log 1 +

M₀

^1 + ^2 + ' ' ‘ + kn

dabei bedeutet M₀ das Maximum des absoluten Betrags der f(x,y®, • ■,y/l) für \x — x₀ I < a. In vielen Fällen ist X > l. Sind z. B. die /*• und die dfi / dyj für \x — x₀ ] < a und alle y stetig und sind ausserdem die I dfi/dyj | kleiner als eine endliche Grösse A, so ist die zweite der Grössen (9) unendlich und die den Anfangsbedingungen genügende Lösung ist im ganzen Intervall J x — x₀ | < a stetig und einzig⁸).

Nennen wir allgemein das System (2) regulär für ein Wertsystem x — xQ, y — y\, .., yn — y°n, wenn für diese Werte die Lipschitz’schen Bedingungen erfüllt sind, im andern Falle diese Werte für das System singulär ; nennen wir ferner eine Lösung yx (x),. ., yn (x) im Intervalle (xx .. . x₂) regulär, wenn in diesem Intervall die Funktionen yx (x),.., y1L(x) stetig sind und keines der Wertsysteme ix, yx(x), . ., yn(x)) für das System (2) singulär ist. Sei endlich (xx . . . x₂), wo xx <Cx₀<Zx2;

5. Gen. Best. d. Konvergenzintervalls. 6. ErsteJntegr. e. Differentialsystems. 195

das grösste Intervall, in dem die durch die Anfangs werte xQ, y\₇.y® definierte Lösung regulär ist. In jedem Intervall, das nicht ganz dem Intervall (xx . . . x₂) angehört, hört dann diese Lösung im allgemeinen auf, stetig oder einzig zu sein. Um ihr Ziel vollständig zu erreichen, muss eine Methode zur Berechnung der Lösungen des Systems (2) das ganze Begularitätsintervall (xx . . . x₂) zum Konvergenzintervall haben. E. Picard⁹) und P. Painlevé¹⁰) haben gezeigt, dass das für die Methode von Cauchy und Lipschitz der Fall ist. Sie giebt infolge dessen eine Entwicklung der Lösung in Reihen, die im ganzen Intervall (x₁ . . . x₂) konvergieren. Painlevé hat daraus Reihen von Polynomen in x, x₀, y®, . . , y°n abgeleitet, die im ganzen Regularitätsintervall konvergieren und die Lösung darstellen.

6. Erste Integrale eines Differentialsystems. Nach dem Vorhergehenden gehört zu jedem regulären System von Anfangs werten eine und nur eine Lösung:

(10)

(i = 1, 2,.., n)

von (2). I Benclixson¹¹) untersucht diese Funktionen cp; von Variabein unter der Voraussetzung, dass die f- stetige erste Ableitungen nach den y haben. Genauer ausgedrückt: seien a, ß1} . ., ßn solche Werte von x, yx>. ., yn, dass im Bereich x — a j < a,

die fi und die df-Jdyj stetig, die    seien; sei l die kleinere

der Zahlen a und b/M, seien x, xQ, y^, . ., yQn Werte, die dem Bereich

(* + 2)

(H)

I Vl — ßl I < h, • • * I Vn

ßn j < b

(12)\x — a\<~, \xQ — u\<\₇ \y\—ßx\<--,-'-\yl — ßn\<\ angehören. Dann sind die cp, und ihre 1. Ableitungen im Bereich (12) stetig und die Werte der cp; gehören seihst diesem Bereich an. Vertauscht man die Rollen der beiden Wertsysteme (x, yv, .., y„) und (&o, yx> • • ? y„), so sieht man: das allgemeine Integral von (2) lässt sich auf die Form bringen:

(13)

(i = 1, 2,.., n),

fPi(pC{))    Vd • • i Vn) ⁼⁼ Vi

in der dem x₀ ein numerischer Wert beizulegen ist und die cp; mit ihren ersten Ableitungen stetige Funktionen sind. Diese cp; genügen der partiellen Differentialgleichung:

13*

Umgekehrt wird jedes Integral F von (14), das stetige erste Ableitungen hat, erhalten, indem man für F eine willkürliche Funktion G von <plf cp₂, . . . cpn nimmt.

Man bezeichnet als erstes Integral oder einfach als Integral¹²) von (2) jede Relation:

(15)

Fix, !/,,    = const.,

die durch jede Lösung von (2) erfüllt wird. Das ist dann und nur dann der Fall, wenn F ein Integral von (14) ist. Jedes System (2), das den angegebenen Stetigkeitsbedingungen genügt, lässt also n unabhängige (I B 1 b, 19) erste Integrale zu, die das allgemeine Integral von (2) definieren und aus denen man alle andern ersten Integrale ableiten kann. Die Probleme (2) und (14) sind also äquivalent; die Existenz der Integrale der linearen homogenen partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung ist damit bewiesen.

Diese Sätze, die seit dem Beginn der Integralrechnung angenommen waren, gelten demnach, sobald die f und die df/dyj stetig sind.

Insbesondere lässt eine Gleichung 1. Ordnung:

(16)

dy — fix, y) dx — 0, wenn f und df/dy in einem gewissen Bereich stetig sind, einen integrierenden Faktor zu, m. a. W. es existiert eine Funktion M(x, y) von der Art, dass M(dy —f dx) ein exaktes Differential (II A 2,43) ist.

7. Anwendung der Methode auf das komplexe Gebiet. Ist das

System S analytisch, so lässt sich, wie E. Picard¹³) gezeigt hat, die Cauchy-Lipschitz’sche Methode ohne Modifikationen auf die Untersuchung der analytischen Integrale des Systems (2) anwenden. Seien x, yv . ., yn komplexe Variable, xQ, y⁶, . ., yfn Werte, für die die f. holomorph (II B 1, 2) sind. Sei von x₀ aus ein Weg l mit stetiger Tangente gezogen, und seien die Punkte x dieses Weges durch die Länge s des Bogens x₀x festgelegt: dann ist längs l das System (2) äquivalent mit 2n reellen Differentialgleichungen mit der unabhängigen Variabein s. Indem man auf dieses System die früheren Resultate anwendet, erhält man die Sätze:

I. Es giebt eine und nur eine holomorphe Lösung yt (x), . ., yn(x) von (2) von der Art, dass für x = xQ wird: yl = y\,.., yn — y V

p. 1363.

(14)

ÖF

dF

dF

dF

dVn

= 0.

7. Anwend. d. Methode etc. 8. Fall stetiger Differentialquotienten etc. 197

Wenn die Funktionen ft im Bereich (4) holomorph und dem absoluten Betrag nach < M sind, sind die y(x) holomorph in dem Kreise \x — x₀ | < l, wo l die kleinere der Grössen a und b/M bedeutet.

II. Ausser dieser holomorphen Lösung giebt es keine andere Lösung von der Art, dass yx (x), . ., yn (cc) bezw. gegen y\,. . ,y® konvergieren, wenn x auf einem Weg von endlicher Länge gegen x₀ konvergiert. (Vgl. Nr. 13 a. E.)

Nennen wir eine Lösung yx(x), . ■ ,yn(x) analytisch-regulär für einen Wert xx, wenn die Funktionen yx(x), . . , yn(x) für x — xx und die Funktionen ft für x = xx, y₁ — y₁ (xx), .., yn=yn(%t) holomorph sind; sei ferner G ein Weg mit stetiger Tangente, der in x₀ beginnt, und x₀% der grösste Bogen von G, längs dessen die durch die Anfangswerte (x₀, yx, . ., yf) definierte Lösung analytisch-regulär ist. Die Cauchy-Lipschitz’sche Methode giebt diese Lösung jedenfalls längs des ganzen Bogens x₀1, unter Umständen noch darüber hinaus. Nimmt man speziell für G eine beliebige Halbgerade und bezeichnet mit A die von während G sich um x₀ dreht, überstrichene Fläche, so giebt die Methode die Lösung für das ganze Gebiet A und erlaubt sie in Reihen zu entwickeln (Nr. 14).

8. Fall stetiger Differentialquotienten, die der Lipschitz’schen Bedingung nicht genügen. Genügen die f nur der Bedingung, im Bereiche (4) stetig zu sein, so existiert mindestens eine den Anfangsbedingungen xQ) y°,... entsprechende Lösung yt(x) .. . yn(x) von (1), im allgemeinen aber unendlich viele, wie zuerst G. Peano¹⁴) bewiesen hat. Genauer gesagt: das System (1) und die Anfangsbedingungen bestimmen zu jedem (zu x₀ benachbarten) Wert von x eine stetige Mannigfaltigkeit von Werten (yx, . ., yf) ; wenn diese sich auf ein einziges Wertsystem reduziert, dann und nur dann entspricht den Anfangsbedingungen eine einzige Lösung. Dazu ist die Lipschitz'sehe Bedingung ausreichend, aber nicht notwendig. Peano's Abhandlung, die mit der Symbolik des Logikkalkuls (VII A 4) geschrieben ist, ist

von

von

G. Mie¹⁵) in gewöhnlicher Sprache erläutert, ihre Resultate sind Ch. de la Vallée-Poussin¹⁶), C. Arzelà¹⁷ 18) und W. P. Osgood n)

vereinfacht und vervollständigt worden.” Die beiden ersteren dehnen JB. Riemanris Definition des bestimmten Integrals (IIA 2, Nr. 31), d. h. des Integrals der Differentialgleichung dy/dx — f{x), auf das Integral der Gleichung dy/dx = f(x,y) aus; daraufhin beweisen sie die Existenz der Integrale für den Fall, dass f stetig nach y, unstetig aber integrabel nach x ist. Osgood findet: wenn f(x, y) in der Umgebung von (Xq , y₀) stetig ist, so definieren die Anfangsbedingungen (x₀, y₀) unendlich viele Lösungen; die entsprechenden Kurven bedecken den Streifen der Ebene vollständig, der zwischen einer grössten Lösung y = Y(x) und einer kleinsten Y₀(x) liegt. Wenn Y(x) und Y₀(x) zusammenfallen, dann und nur dann definieren die Anfangsbedingungen (xQ, y₀) eine einzige Lösung. Das tritt jedenfalls ein, wenn die Lipschitâsehe Bedingung erfüllt ist, aber auch wenn:

oder:

\f&, Vi) — f(?} y) I < ß \vi — y\ log Yyi-Yl

\f^rVx) — fix> y)\<^\vi y\ i°g \ÿ;-y\

u. s. w., wo h eine positive Konstante bedeutet.

l0«Iog ünhrr

Methode der suecessiven Annäherungen.

9. Prinzip und Resultate der Methode. Eine zweite Methode ist seit langer Zeit von den Astronomen gebraucht worden; den Beweis ihrer Konvergenz hat für einen speziellen Fall J Liouville²²) gegeben. Dass auch Cauchy sich mit ihr beschäftigt hat, wissen wir durch Moigno ²³), der sie folgendermassen darstellt: „Sei (der Einfachheit wegen) eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung vorgelegt: (17) [X(x) stetig für \x — x₀ j < a] ; seien x₀, y₀, y₀' die gegebenen Anfangswerte; sei, als erste Annäherung,

Vi = yd — %> + y₀

gesetzt, dann:

(y₈(«o) = do, y$(xo) = yd)t

= X(x)y,

(18)

dx²

|jr = X (%₂,    (y₃ (x₀) = iy₀, y₃ (x₀) = y₀')

u. s. w. Die y₂₎ y₃₎. . . bestimmen sich durch successive Quadraturen;

22)    J. de math. 2, 1836, p. 19; 3, 1838, p. 566.

23)    Traité 2, p. 702.

sie konvergieren gegen eine Grenzfunktion y, die Lösung von (17).“ Die Stetigkeitsbedingungen, unter denen die Methode anwendbar ist, giebt Moigno nicht an. Eine analoge Methode haben J. Caque2i), L. Fuchs¹⁹ 20) und G. Pecmo²¹) auf lineare Differentialgleichungen beliebiger Ordnung angewendet.

E. Picard²²) hat die Methode wiedergefunden. Sei zur Vereinfachung der Schreibweise in (2) y, z,... w statt y1} y₂,. . . yn gesetzt; die Lipschitz’schen Bedingungen (Nr. 4) seien für die Anfangswerte erfüllt. Sei (wie in Nr. 3) l die kleinere der Grössen a und b/M, h die kleinere der Grössen l und (fcx -J- Ä₈ -f- • • ■ -f- &n)—1. Picard setzt:

(19)

TP = fi(*> Vo> • * >wo) • • • FP = /«(*,    wo);

• • 7 Wl) • • •    = fn(x,    Wi)

mit der Bedingung, dass die Funktionen (yt, ztl, (y₂, z%,... w₂),... für x = x₀ die Werte (y₀, z₀, . . . w₀) annehmen. Picard zeigt, dass die Funktionen yp, zp, . ., wp, solange x zwischen x₀ — h und x₀ -(- h liegt, für limp = oo gegen Grenzfunktionen y ix), z(x), .. .w(x) konvergieren, die eine den Anfangsbedingungen genügende Lösung des Systems (2) geben. Übrigens kann man als erste Annäherung statt y₀, z₀,. . . w₀ irgend ein System von stetigen Funktionen Y(x'), Z(x), . . . W(x) benutzen, die für x = xQ bezw. die Werte y₀, z₀, . . . w0 oder benachbarte Werte annehmen.

Wendet man die Methode auf das System:

dy

(20)

dx y ’

an und benutzt als erste Annäherung:

y = y*(p — «o) + Voi y = vdt so erhält man die von Moigno mitgeteilte Methode Cauchy’s.

I.Bendixson²³) und E. LindelÖf²⁴) haben gezeigt), dass die Methode in dem Intervall (x₀ — l • • • x₀ -j- V) konvergiert, das grösser sein kann als (x₀— h • • • x₀ -f- Ä); letzterer auch (vgl. Nr. 5), dass sie konvergiert und dass die von ihr gelieferte Lösung die einzige ist in dem Intervall (x₀ — A ••• x₀ A)³⁰).

Zur genauen Bestimmung des Konvergenzintervalls der Methode kennt man kein Mittel. Es giebt Fälle, in denen sie im ganzen Regu-laritätsintervall (Nr. 5) konvergiert, und andere, in denen sie nicht soweit konvergiert, als die Taylor’sche Entwicklung der Lösung³¹).

Auf das komplexe Gebiet lässt sich diese Methode wie die erste übertragen³²).

10. Korollare. Wenn die /.} stetige erste Ableitungen nach y, z, . . .w haben, so ergiebt sich auch aus dieser Methode, dass die cp, (Glchg. 13) stetige erste Ableitungen haben und Integrale der Gleichung (14) sind³³). Für den Fall, dass die ft stetig sind, ohne der Lipschitz'schen Bedingung zu genügen, hat I Bendixson³⁴) gezeigt: wenn die Methode von Picard konvergiert, definiert sie eine Lösung von (2); aber es giebt dann im allgemeinen noch andere denselben Anfangsbedingungen entsprechende Lösungen (Nr. 8). Speziell für den Fall einer Gleichung erster Ordnung, in der f(x, y) für (x₀₎ y₀) positiv ist und mit y wächst, definiert die Methode von Picard immer eine Lösung.

Methode des calcul des limites.

11. Prinzipien und Resultate dieser Methode. Die noch zu besprechenden Methoden setzen das System (2) wesentlich als analytisch

Traité 3, p. 88. Vgl. auch C. Juel, N. Tidsskr. 4, 1893, p. 10 und D. Sintzow, Kasan Ges. (2) 3, 1893, p. 138.

30)    Vgl. auch G. Peano, Nouv. ann. (3) 11, 1892, p. 79; Tor. Atti 33, p. 9 und 0. Niccoletti, Line. Rend. Dez. 1895, p. 316.

31)    P. Painlevé, Bull. soc. math. 27, 1899, p. 152.

32)    Picard, Par. C. R. 118, 1894, p. 457; Traité 3, p. 98. Vgl. auch 0. v. Lićhtenfels, Monatsh. 1890, p. 275.

33)    Picard bei G. Darboux, Théorie des surfaces 4, Paris 1896, p. 363; Bull. soc. math. 25, 1897, p. 35. Picard setzt voraus, dass die ersten Ableitungen der f. der Lipschitz’schen Bedingung genügen. Diese Einschränkung haben 0. Niccoletti (Tor. Atti 33, 1897, p. 746) und G. v. Escherich (Wien. Ber. 168, 1899, p. 622) beseitigt und so mit Hülfe der Methode der successiven Annäherungen dasselbe Resultat erreicht wie Bendixson (Fussn. 14) und Peano mit der Methode von Cauchy-Lipschitz. Sie zeigen überdies, dass Picard's, Reihen gliedweise differentiiert werden dürfen. — Über die Anwendung der Methode auf solche Differentialgleichungen 2. 0., bei denen die Werte von y für zwei Werte von x vorgeschrieben sind, vgl. man II A 7 a, Nr. 5.

34)    Stockh. Öfv. 1897, p. 617.

voraus. Seien also x, yt, . . . yn komplexe Variable, x₀, y°, ... y°n Werte derselben, für die die ft holomorph sind. Wenn das System (2) eine für x = x₀ holomorphe Lösung zulässt, so giebt es nur eine solche Lösung, und die Werte der successiven Ableitungen der yt für x — x0 lassen sich durch wiederholte Differentiation der Gleichungen (2) berechnen; man kann also die Taylor’schen Entwicklungen der gesuchten Lösung aufstellen. Aber den Beweis, dass die so gebildeten Reihen einen bestimmten Konvergenzkreis haben und wirklich eine Lösung darstellen, hat zuerst A. Cauchy ²⁵ 26 27) gegeben. Seine Methode beruht auf der Einschränkung (limitation) der absoluten Beträge der Ableitungen einer analytischen Funktion (II Bl, Nr. 3, 39): sind die ft holomorph und die ] ft | < M im Bereiche (4), so ist für alle ganzen Zahlen p, q, ... s :

(21)

gp+H-----\-sf_

plq\...sl dx*dy\. . . dysn

Infolge dessen zeigt die Vergleichung des Systems (2) mit einem Systeme (2'), in dem alle ft gleich der „fonction majorante“

(22)

(l-'

— x₀

Vn —

sind, dass das System (2) eine den Anfangswerten x₀, y[, . . , y°n genügende und in dem Kreise \ x — xQ \ < p holomorphe Lösung besitzt, wenn:

Q~a{l-e

(23)

gesetzt wird.

Cauchy hat die Ungleichungen (21) aus der Theorie der Integrale komplexer Funktionen abgeleitet; sein Beweis ist von Briot und Bouquet beträchtlich vereinfacht worden⁸⁶). K. Weierstrass³¹) und CJi.Méray³⁸) haben den Cauchy’schen Satz ebenfalls aus den Ungleichungen (21) abgeleitet, aber diese ohne Integralrechnung nur aus der Theorie der Potenzreihen bewiesen. Überdies beweist Weierstrass’ Verfahren den folgenden yon Cauchy implicite angenommenen Satz³⁹): „Seien a,ßx,...ßn Werte von x, yx, . ., yn, für welche die holomorph sind, so sind die Funktionen <pi (10) analytische Funktionen ihrer n -j- 2 Argumente und für x — a, x^—ax, y\ — ßlf . ., y° — ßn holomorph.“ Aus diesem Satz folgt: Löst man die Gleichungen (10) nach den yj auf, m. a. W. vertauscht man (xf yx,.., yn) mit (x , y\, . ., y⁹), so sind die entstehenden Funktionen (13), in denen dem x₀ der numerische Wert ax zu belassen ist, n für x — cc, yx = ßx,yn — ßn holomorphe erste Integrale von (2); sie genügen der Gleichung (14). Jedes für x — a, yx — ßX) . . ,yn — ßn holomorphe Integral dieser Gleichung lässt sich als für <px = ßx, . ., cpn — ßn holomorphe Funktion G(cpx, cp₂, .., (pn) darstellen. Die 'Existenz solcher holomorphen Integrale von (14) ist damit betviesen.

Weierstrass’ Darstellung ist von L. Königsberger⁴⁰) vereinfacht

worden.

12. Fortbildung der Methode. Die in (23) angegebene untere Grenze für den Konvergenzradius der Reihen wird im allgemeinen überschritten. E. Eicarrf⁴¹) hat zunächst aus der Darstellung von Briot und Bouquet die unabhängige Variable beseitigt und dadurch gezeigt, dass man an Stelle von q die (für das neue System zu

setzen kann; später (Nr. 7) hat er p

bildende) Grösse

durch die grössere l der Zahlen a und b/M ersetzt (die in jedem Fall > q ist). P. Stächet⁴²) bemerkt, dass man in (21) M im allgemeinen durch eine kleinere Grösse G ersetzen kann. E. Lindelöf⁴³) endlich gewinnt einen Konvergenzradius lx durch eine elementare Darstellung der Prinzipien des calcul des limites: lx bedeutet die kleinere der beiden Grössen a und b/Mx, Mx das Maximum (im Bereich 4)

abhängig von Cauchy, aber damals nicht publiziert). Dann J. f. Math. 51, 1856, p. 1 (ges. Werke 1, p. 198).

38)    Par. C. R. 40, 1855, p. 787; Précis d-’analyse infinit., Dijon 1865; Leçons nouvelles, Paris 1897.

39)    Ges. W. 1, p. 81. — Cauchy beweist den Satz aus seiner Theorie der linearen partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung (Nr. 10).

40)    J. f. Math. 104, 1889, p. 174; Lehrbuch p. 25.

41)    Cours lithogr., Paris 1886/87, p. 292.

42)    Par. C. R. 126, 1898, p. 203.

43)    Acta Fenn. 26, 1896.

der Werte, die man erhalt, wenn man in den Entwicklungen der f nach Potenzen von x — xQ, y₁ — y®, . . ,yn — y°n alle Glieder durch ihre absoluten Beträge ersetzt.

Die Existenz der impliciten Funktionen ist eine unmittelbare Folge²⁸ 29): Seien Hi{x, ylf . ., yn), (i — 1,2, . ., n), n holomorphe Funktionen, die für x = x₀, y₁ — y^, . ., y — y° Null sind und deren

¹

   „Partikuläres Integral“ ist der klassische Terminus. Der Name „Lösung“, den Lagrange und einige seiner Zeitgenossen gebrauchten, ist von H. Poincaré wieder aufgenommen worden (Acta math. 13, 1890, p. 9; Méc. cél. 1, p. 8) und soll auch im vorliegenden Artikel gebraucht werden.

²

   Traité, Paris 1810, p. 2; Traité élément., Paris 1828, p. 419.

³

   Lacroix bezeichnet diese Lösungen als partikulär im Gegensatz zum allgemeinen Integral und als Lösungen (nicht als Integrale), weil ihre Bestimmung (bei Gleichungen erster Ordnung) keine Integration verlangt; J. Lagrange (1774; oeuvr. 4, p. 1) nennt diese Lösungen partikuläre Integrale und die belie-

⁴

   Math. Ann. 44, 1894, p. 437; 46, 1895, p. 167.

⁵

   Giorn. di mat. 19, 1881, p. 333.

⁶

   Politecn. 41, 1893, p. 493 u. 537.

⁷

   Bull. soc. math. 27, 1899, p. 149. Die Grenze X war zuerst von E. Lindelöf hei Gelegenheit der Methode von E. Picard (Nr. 9) angegeben worden.

⁸

   I. Bendixson, Stockh. öfv. 1893, p. 599; E. Lindelöf, J. de math. (4) 10, 1894, p. 117; E. Picard, Traité 3, p. 88—93.

⁹

   Par. C. R. 128, 1899, p. 1363.

¹⁰

   In Vorlesungen am Coli, de France, 1896/97; Par. C. R. 128, 1899, p. 1505; Bull. soc. math. 27,1899, p. 151. Vgl. auch die Fussn. 7 citierten Arbeiten von Runge.

¹¹

   Bull. soc. math. 24, 1896, p. 220. Vgl. auch G. Peano, Tor. Atti 33, 1897, p. 9, sowie Nr. 10 a. E.

¹²

   „Erstes Integral“ ist der klassische Terminus; H. Poincaré sagt einfach Integral.

¹³

   Darb. Bull. (2) 12, 1888, p. 148; Traité 2, p. 309; Par. C. R. 128, 1899,

¹⁴

   Math. Ann. 37, 1890, p. 182; Tor. Atti 21, p. 677.

¹⁵

   Math. Ann. 43, 1893, p. 533.

¹⁶

   Brux. mém. cour. 47, 1893, und Brux. soc. sc. 17, 1893, p. A. 8; vgl. auch V. Volterra, Fussn. 9.

¹⁷

   Bol. mem. (5) 5, 1895, p. 225; 6, 1896, p. 131.

¹⁸

   Monatsh. 9, 1898, p. 332.

¹⁹

   J. de math. (2) 9, 1864, p. 185 (Par. thèse).

²⁰

   Ann. di mat. (2) 4, 1870, p. 36.

²¹

   Math. Ann. 32, 1888, p. 450; Tor. Atti 22, p. 437.

²²

   J. de math. (4)6, 1890, p. 145; (4) 9, 1893, p. 217; J. éc. polyt. cah. 60 1890, p. 89; Traité 2, p. 301; Bull. soc. math. 19, 1891, p. 61; Nouv. ann. (3) 10, 1891, p. 197.

²³

   Stockh. ôfv. 1893, p. 599.

²⁴

   Par. C. R. 118, 1894, p. 454; J. de math. (4) 10, 1894, p. 117; Picard,

²⁵

   Zuerst in den lithographierten Abhandlungen von Turin (Okt. 1831, 1832, März 1833) und Prag (1835; Oeuvres (2), t. 15; erstere zum Teil wieder abgedruckt exerc. d’anal. 2, 1841, p. 41, letztere ib. 1, 1840, p. 327 ; dann Noten in Par. C. R. vom 5./4. und ll./ll. 1839, 22./6., 26./10., 2./11. und 9/11. 1840,

6. und 7. 1852, 9. und 10. 1846 [oeuvr. (1) 7]. Ygl. auch Moigno 2, p. 747.

²⁶

   Par. C. R. 36, 1854, p. 264 u. 334; 39, 1855, p. 368, 755 u. 795; 40, 1856, p. 123; J. éc. polyt. cah. 36, 1856, p. 86 u. 131. Letztere Abhandlung auch in H. Fischer’s, deutscher Übers, von Briot’s und Bouquet’s Theorie der doppeltperiod. Funkt., Halle 1862, p. 403.

²⁷

   Ges. Werke 1, p. 67, 75 (a. d. J. 1842 und nach einer Note p. 84 un-

²⁸

   Ygl. namentlich Cauchy, Par. C. R. Nov. 1839, Okt. 1846.

²⁹

   Darb. Bull. (2) 23, 1899, p. 68.

Fimktionaldeterminante (IB 1, 21) ist. Die Gleichungen:

für diese Werte nicht 0

g(gp-X)

V(3h>---yn)

(24)

{i = 1, 2,.., n)

definieren ein und nur ein System von Funktionen yt (x),. ., yn(oc), die für x = x₀ holomorph und bezw. gleich y^, . ., \fn sind. E. Lindelöf 4ö) beweist neuerdings die Existenz dieser impliciten Funktionen durch ein einfaches Rekursionsverfahren und leitet daraus den Satz von Cauchy für ein Differentialsystem (2) ab.

13. Eindeutige Bestimmung der Integrale durch die Anfangsbedingungen. Dass das System (2) ausser der Cauchy’schen Lösung keine andere den Anfangsbedingungen genügende holomorphe Lösung zulässt, ist klar. Aber giebt es vielleicht ausserdem noch nicht holomorphe Lösungen von der Art, dass yx(x), . ., yn (x) bezw. gegen y\, ■ ■ ,yQn konvergieren, wenn x sich längs eines gewissen Weges C dem xQ nähert?¹) Dass diese Frage zu verneinen ist, wenn der Weg C der Bedingung unterworfen wird, eine endliche Länge zu haben, haben Briot und Bouquet²) für eine Gleichung 1. Ordnung, Picard³) für ein beliebiges System (2) gezeigt; es folgt auch aus der Cauchy-Lipschitz’schen Methode (Nr. 3 ff.). Aber bei der fundamentalen Bedeutung des Satzes für die Theorie der Differentialgleichungen war es wichtig ihn zu beweisen, ohne dass dabei dem Weg C eine Einschränkung auferlegt wird⁴). Unter dem Ausdruck: „der (von einem

Punkt xx ausgehende) Weg C nähert sich dem Punkt x₀u ist zu verstehen: zu jeder (noch so kleinen) Grösse e gehört ein Punkt x' von C, jenseits dessen der Weg C im Innern eines Kreises y vom Mittelpunkt x0 und Radius s bleibt⁵). Ferner ist unter dem Ausdruck: „eine (in allen Punkten von C ausser x₀ holomorphe) Funktion y ix) konvergiert gegen y₀, wenn x auf C sich dem y₀ nähert“ zu verstehen: zu jeder (noch so kleinen) Grösse rj gehört eine andere s von der Art, dass j y(x) — y₀ | < rj bleibt für jeden Punkt x auf C jenseits des eben bestimmten Punktes x (vgl. II A 1, Kr. 23 B). Dann kann man zeigen: die Lösung von Cauchy ist die einzige, die gegen y°1} y\, . ., y°n konvergiert, wenn x auf einem bestimmten Weg C gegen xQ konvergiert⁶). Den ersten Beweis dieses Satzes hat E. Picard⁷) veröffentlicht; er setzt die Existenz der impliciten Funktionen und die der Integrale der linearen homogenen (analytischen) partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung als bewiesen voraus. Einen anschaulichen Beweis giebt P. Painlevé⁸) : die Transformation yt — <p,: (x, x₀, Yt, , ., Yn) — die cpi sind durch (10) erklärt — verwandelt das System (2) in das System dYi/dx — 0 (i = 1, 2,. ., w); für dieses ist das Theorem evident.

14. Erweiterung des Konvergenzbereichs der Methode. Der

Bereich, in dem die Methode konvergiert, ist im allgemeinen beträchtlich kleiner, als der der Cauchy-Lipschitz'sehen Methode; diese besitzt also von den drei besprochenen Methoden den grössten Konvergenzbereich. Ersetzt man jedoch im calcul des limites die Taylor’schen Reihen durch die neuerdings von Gr. Mittag-Leffler⁹ 10) eingeführten Reihen, so erhält man die Lösung in dem ganzen zu x₀ gehörenden „Holomorphiestern“.

Methode der Variation der Konstanten.

15. Eine vierte, von Cauchy⁶⁵) vorgeschlagene Methode multipliziert alle Differentialkoeffizienten f (Nr. 1) mit e und entwickelt die

Differenzen yt — yf nach steigenden Potenzen von s. Cauchy knüpft dieses Verfahren an die (auf das vorige Jahrhundert zurückgehende) Methode der Variation der Konstanten: Vorausgesetzt die f) seien analytische Funktionen eines Parameters s, holomorph für x = xQ, V\ ~    'yn~£ vorausgesetzt ferner, man kenne die Lösung

y. — (p.(x, xQ, y⁶, y°n) des Systems (2) für e — 0. Die Einführung der neuen Variabein Y, durch:

(25)

(*' =■ 1, 2

Vi ⁼⁼ Cpi. (x; Xo?    ; Vn)

transformiert das System (2) in ein System (2'), dessen Differential-koeffizienten e zum Faktor haben; dann kann man die Differenzen Y{ — yf nach Potenzen von e entwickeln.

In dieser allgemeinen Form fällt das Prinzip dieser Methode mit dem folgenden Satze zusammen, den H. Poincaré™) seinen Untersuchungen über astronomische Mechanik zugrunde gelegt und zuerst explicite und vollständig bewiesen hat: Seien die f; analytisch von e abhängig; sei (für e = 0) yx(x), . . . yn (x) die den Anfangswerten x₀, y^,..,y°n entsprechende⁴⁶) Lösung; sei À ein Bereich¹¹ 12 13 14), dem x₀ angehört und in dem (einschliesslich der Grenzen) die Funktionen yt (x) holomorph sind; seien endlich die/) holomorph für x = xxi yi — ÿx(pcx), . .. yn — yn(xf), sobald xx ein (innerer oder Grenz-) Punkt des Bereiches A ist. Dann ist die den Anfangswerten xQJ y\,. ., y\ entsprechende Lösung für hinlänglich Meine s im Bereiche A holomorph und lässt sich nach Potenzen von e in eine für | e | < rj und jedes x des Bereiches A honvergente Beihe entwickeln.

Das Theorem bleibt bestehen, wenn xQ und die y? für e = 0 holomorphe Funktionen von e sind; ferner wenn die f von mehreren Parametern analytisch abhängen.

E. Picard™) und E. Lindelöf™) beweisen den Satz mit der Methode der successiven Annäherungen (Nr. 9); er folgt auch leicht aus der Cauchy-Lipschitz'sehen Methode (Nr. 3). Beide Methoden führen zu einem entsprechenden Satze für nicht analytische Funktionen reeller Variabein.

Methode der Aufsuchung erster Integrale.

16. Aus den besprochenen Methoden ergiebt sich die Existenz der Integrale linearer homogener partieller Differentialgleichungen

1. Ordnung (seien sie analytisch oder nicht); vgl. Nr. 6. Umgekehrt hat Cauchy¹⁵) durch seinen direkten Beweis der Existenz der Integrale solcher Gleichungen (II A 5 a, Nr. 1) eine neue Methode zur Lösung des Systems (2) gegeben.

Gewöhnliche singuläre Anfangsbedingungen.

17.    Anfangs werte, für welche einige der f meromorph und unendlich sind. Bei der Untersuchung von Singularitäten der f\ (Nr. 1) beschränken wir uns auf solche, die auch bei algebraischen Funktionen Vorkommen können. Sollen dann die f in der Umgebung der Anfangsstelle (xQ, y°, .., y°) eindeutig sein, so müssen sie dort meromorph, d. h. von der Form P, / Q sein, in der Q und die P, dort holomorph sind und Q dort Null ist. Wenn mindestens eine der Grössen

FiXxo>    y°n\ etwa pi(xo> y°i>- •>Ä niclit 8’leichNull ist> heisst

die Singularität (xQ, y°, . ., y°) eine gewöhnliche Singularität des Systems (2). Ihre Untersuchung bietet keine Schwierigkeit; es genügt, yt zur unabhängigen Variabein zu machen, um zu zeigen, dass die Anfangswerte (x₀, y°x, . ., yf) eine Lösung yt(x), y₂(x), . ., yn(x) definieren, die x — x₀ zum algebraischen Verzweigungspunkt hat; ausser den Zweigen dieser Lösung giebt es keine, die gegen y°, . ., y°n konvergierte, wenn x sich auf einem bestimmten Wege dem x₀ nähert¹⁶). Nur der Fall ist auszunehmen, dass in der Lösung x(yf), y₂{yf), ■ • , Vnigh) die Funktion x(yf) sich identisch auf x₀ reduziert; dann giebt es keine den Anfangsbedingungen entsprechende Lösung des Systems (2).

18.    Anfangswerthe, für welche einige der f algebraisch verzweigt sind. Wenn die f in der Umgebung von (xQ, y°, ••, y°) vieldeutig sind, permutieren sich n. V. (17) in dieser Umgebung nur eine endliche Anzahl s ihrer Werte unter sich, und die symmetrischen Funktionen der s Zweige eines jeden f sind meromorphe Funktionen für x=xQ, y₁=y°, ••fyn=y°n. Man kann dann (IBlc, 2) die fi durch einen Parameter u ausdrücken, der mit den Variabein x, yn • •, yn durch eine Gleichung der Form verknüpft ist:

(26) As(x,y₁,---yn)us-)rAs-x(x,y₁,---yn)us-¹-]-----f-M₀(^,«/i,---^)=O, in der die A für x = x₀, yx = y®, ■ • • yn = y°n holomorph sind. Die fi sind dann yon der Form:

(27)

fi =

Q(æ,yn-■ ,yn) ’

in der die P,; rationale ganze Funktionen (s—l)ten Grades von u bedeuten, deren Koeffizienten ebenso wie Q für x — x₀, yx — y°, • • • yn = y°n holomorph sind. Betrachten wir x, yx, . . . yn als komplexe Koordinaten eines imaginären Punktes im Raume von n -f- 1 Dimensionen, so sind die Verzweigungspunkte von u gegeben durch eine Relation

(28)

1 Dimen-

G(?,ylf •••«/«) = 0, in der G für x = xQ, y₁ — y^₇ • • • yn — holomorph und Null ist. Diese Gleichung (28) stellt eine n- dimensionale Fläche dar, deren Doppelpunkte (Punkte, in welchen sämtliche ersten Ableitungen von G Null sind) eine Mannigfaltigkeit von höchstens n sionen bilden.

Sei (xQ, y°x, . . . yfj kein Doppelpunkt. Dann lässt sich die Gleichung (28) nach einem der yi} etwa ylf [oder nach x\ auf lösen; die so erhaltene Funktion yx = ip(x, y₂, . . . yn) [oder x — %(yi, ... «/„)] ist für die Anfangs werte holomorph, und die Transformation yt—y>— Y3 [oder x — % — Xs] reduziert (2) auf ein System (2'), dessen Differentialkoeffizienten für die neuen Anfangswerte meromorph sind. Wenn diese neuen Anfangswerte für (2') regulär sind oder eine gewöhnliche Singularität bilden, so heisst auch (xQ,yQx, ... yfj eine gewöhnliche Singularität von (2). Die den Anfangswerten entsprechende Lösung von (2) hat dann x₀ zum gewöhnlichen Punkt oder zum algebraischen Verzweigungspunkt.

Es kann Vorkommen, dass nach dieser Transformation eine Potenz von Y [oder X] im Zähler und Nenner der f auftritt. Man kann sie heben, muss aber dann zu den aus den Lösungen von (2') entspringenden Lösungen von (2) noch diejenigen hinzunehmen, die die Gleichung Y = 0 [X ===== 0], d. h. (28) erfüllen. Diese Lösungen heissen singuläre Integrale¹⁷), weil alle ihre Punkte singuläre Punkte für die f sind. Unter Berücksichtigung von (28) erkennt man, dass sie einem Differentialsystem von höchstens (n — l)ter Ordnung genügen¹⁸), das man aufstellen und wie das System S diskutieren kann.

Die gewöhnlichen Singularitäten des Differentialsystems führen also immer höchstens auf algebraische Singularitäten der Lösungen⁶⁴). Die aussergewohnlichen Singularitäten (Nr. 24ff.) thun das nicht⁶⁵); sie bilden aber höchstens eine Mannigfaltigkeit von n — 1 Dimensionen im Gebiet der n -f- 1 Variabein (x, yi . ■ ■ yn)•

Übrigens kann man alle Fälle, in denen die algebr did sind, auf den Fall zurückführen, dass sie meromorph sind, wenn man die Ordnung des Systems um eine Einheit erhöht⁶⁶): man braucht nur u als Variable hinzuzunehmen und die Gleichung (28) einmal vollständig zu differentiieren. Wenn die f; holomorph sind und der Punkt (a?₀,y\) ■ •, yQn) ein einfacher (konischer) Doppelpunkt von (28) ist, gelingt diese Reduktion ohne Erhöhung der Ordnung des Systems⁶⁷).

Sind eine oder mehrere der x₀,y\, . ., y⁶ unendlich, so führe man 8. — yr¹, bezw. £ = x~¹ als neue Variable ein. Unter Umständen empfiehlt sich statt dessen eine andere Transformation, z. B. eine projektive in den n -f- 1 Variabein x, y1} . ., yn.m)

19. Algebraische Differentialsysteme. Jedes algebraische Differentialsystem (2) lässt sich durch algebraische Operationen auf die Normalform bringen :

(29)

_ Pj(x,yir-,yn’u)

dx ~ 8H(x,yir ■ ,yn, u) ⁷

dyt

du

.ten

in der u ein Parameter ist, der mit x, y±, . ., yn durch die Gleichung Grades in u:

(30)

H(x} y\, . ., yn, u) 0

verbunden ist⁶⁹). Gewöhnliche Singularitäten des Systems sind dann die Punkte der Fläche dH/du = 0, aussergewöhnliche die singulären Punkte dieser Fläche.

(a, ß rational und > 1)

dx dy₁ dy₂ dys

ys ~yf~lü

durch y₂ = 0, ys — 0 und jede Funktion yt = cp(x) erfüllt.

64)    Für zweiwertige fi findet sich diese Diskussion, in ganz anderer Form, bei Picard, Traité 3, p. 52; allgemein bei Painlevé, Leçons p. 49, 417. Vgl. Königsberger, Lehrbuch p. 416.

65)    Z. B. y = Y2 y/x, y' = y/x² für x = 0, y = 0.

66)    Königsberger, Lehrbuch p. 416.

67)    Poincaré (Nr. 28) für eine Gleichung 1. Ordnung.

68)    Painlevé, Leçons p. 417.

69)    Jacobi (vgl. Fussn. 1); Weierstrass bei Königsberger, Lehrbuch p. 11.

19. Algebraische Differentialsysteme. 20. Anwend, auf Gleich. 1. Ordnung. 209 Sind die ft rational:

(31)

fi =

■P,-(«byn--,yw) po (®iyn--.y*)’

die P Polynome, so sind nur diejenigen Punkte aussergewöhnlich singulär, für die alle P gleichzeitig Null sind. Deren ist nur eine endliche Anzahl, wenn die Polynome P die allgemeinsten ihres Grades sind.

20. Anwendung auf Gleichungen 1. Ordnung. Betrachten wir in der Gleichung:

(32)

% = fO, y)

x und y als komplexe Koordinaten eines Punkts der (x, y)-Ebene, so giebt jede Lösung eine Integralkurve.

Sei nun zunächst f(x,y) bei x₀,y₀ meromorph und unendlich,

also <p(x,y) = jT-¹—: dort holomorph und Null. Ist dann cp(x₀, y)

identisch Null, so hat die Gleichung (32) keine den Anfangsbedingungen entsprechende Lösung; die Gerade x = x₀ ist die einzige Integralkurve, die durch (x₀, y₀) geht. Ist aber cp (x₀, y₀) nicht identisch Null, so definieren die Anfangsbedingungen eine Lösung der Form:

(33)

(v > 1, a =4= 0) ;

y — y₀ = a(x — x₀)v -f—

die einzige Integralkurve, die durch den Punkt (x₀, y₀) geht, hat ihn zum einfachen Punkt mit vertikaler Tangente¹⁹).

Sei ferner fix, y) algebröid für x = xQ, y — y₀- Sei (x, y—g(x)) für beliebiges x ein Yerzweigungspunkt von f, um den herum s Werte von f sich permutieren und der für lim x — x₀ gegen (x₀, y₀) konvergiert. Dann ist, von Ausnahmewerten x₀ abgesehen, g(x) holomorph ²⁰) für x₀ ; setzt man y— g (x) — Ys, so erhält man für hinlänglich kleine Y eine Entwicklung der Form:

(34)

~ = «,(*) Y‘ + at+1(x) V'+> + • •    (♦ 10),

in der    .. . für x₀ holomorph sind. Dann sind vier Fälle zu

unterscheiden²¹) :

1) i 0 ; dann ist die den Anfangsbedingungen genügende Lösung

14

eine (s — i)-wertige (s — i    s) Funktion, deren Zweige sieh um x₀

herum permutieren:

(35)

y — 9W + «(* — *o)s

Durch den Punkt (x₀, y₀) geht eine einzige Integralkurve, die ihn zur Spitze²²) mit s Zweigen (für i < 0 mit vertikaler Tangente) hat.

2) 0 O’< s—1; die Kurve y — g(x) ist eine durch (x₀,y₀) gehende Integralkurve, die in dem allgemeinen Integral y—<p(%,XQ,y^ nicht enthalten ist; ausser diesem singulären Integral geht durch (xQ, y₀) noch eine Integralkurve, die in (x₀, y₀) die erste berührt und ihn zur Spitze mit s — i Zweigen hat. Die singuläre Integralkurve y — g(x) ist zugleich Enveloppe und Ort der Spitzen der Integralkurven.

3)    i = s — 1. Auch hier ist die Kurve y — g{x) ein singuläres Integral, das im allgemeinen Integral nicht enthalten ist; durch den Punkt (xQ, y₀) geht ausserdem eine zweite Integralkurve, die die erste in ihm berührt und für die (x₀, y₀) ein gewöhnlicher Punkt ist. Die Kurve y = g(x) ist Enveloppe der Integralkurven.

4)    i > s — 1. Durch (x₀, y₀) geht keine andere Integralkurve als die singuläre y — g(x). Diese ist in dem allgemeinen Integral enthalten und eine Art mehrfacher Lösung von (32): durch einen zu ihr benachbarten Punkt (xlf ?/,) gehen s Integralkurven, die alle mit ihr zusammenfallen, wenn der Punkt (xly y^) auf sie rückt. —

Ist M(x,y) ein integrierender Faktor (Nr. 6) von dy—fdx, so macht das singuläre Integral y = g(x) [sofern es existiert] M unendlich. Umgekehrt liefert die Gleichung 1/M — 0 Lösungen von (32), unter denen die singulären stets auftreten. Die allen Gleichungen 1/_M=0 gemeinsamen Lösungen sind notwendig singulär.

Die dieser Diskussion sich entziehenden Punkte (x₀,y₀) sind ausser-gewöknliche Singularitäten; sie können in einem Gebiet, in dem f(x,y) algebroïd ist, nur isolirt auftreten.

21. Algebraische Gleichungen 1. Ordnung. Ist y' eine rationale Funktion von x und y\

Pfo, y)

Qi®, y) ’

P und Q Polynome, so sind die aussergewöhnlichen Singularitäten

(36)

y' =

die Schnittpunkte von P = 0 und Q — 0. Durch jeden andern Punkt geht eine und nur eine Integralkurve ; und diese hat ihn zum einfachen Punkt. Q = 0 ist der Ort der Punkte dieser Kurven mit vertikalen Tangenten, gilt analoges.

Für unendlich grosse Werte von x oder y

Sei ferner die Gleichung von der Form:

(37)    F(y', y, x) = Amy'm -f Am_₁y'm~¹ -j-----\- A₀ = 0,

die A Polynome in x und y. Auch hier ist die Anzahl der ausser-wesentlichen Singularitäten begrenzt. Von ihnen abgesehen entsprechen jedem Paar von (endlichen oder unendlichen) Anfangswerten (x₀, y₀) Lösungen y(x) oder x(y)f und diese haben in (x₀, y₀) höchstens einen algebraischen singulären Punkt.

Durch einen Punkt (x₀, y₀) von allgemeiner Lage gehen m Integralkurven mit verschiedenen Tangenten. Sei aber II(x, y) = 0 die Resultante der beiden Gleichungen F(y) — 0, dF/dy — 0, und G(x, y) ein irreducibler Faktor von JR(x, y). Im allgemeinsten Fall sind längs der Kurve G — 0 r Wurzeln y von (37) einander gleich, etwa = Y'f rx andere = Yx u. s. w.; die r ersten zerfallen in v Cyklen, jeder gebildet aus Zweigen, die sich um G herum unter einander permutieren. Für die s Zweige eines jeden Cyklus gilt die Diskussion⁷⁴) von Nr. 20; sind speciell die r zu Y' gehörenden Cyklen alle von der Ordnung 1 und genügt die Kurve G = 0 der Gleichung (37) nicht, so ist sie Ort von Punkten, in denen Integralkurven einander berühren.

22. Vergleichung mit der Theorie der Enveloppen. Historisches.

Wenn die Gleichung (37) die allgemeinste ihres Grades ist, ist R — 0 Ort der Spitzen der Integralkurven. Zur Existenz eines singulären Integrals ist nothwendig, dass die Gleichungen:

(38)

fei i

kn I «

für jedes x verträglich sind. Sei y — g(x), y — h(x) ihre gemeinsame Lösung; dann ist diese Bedingung auch hinreichend, wenn dF/dy und dF/dx für y = g, y = h nicht identisch Null sind⁷⁵).

x    -J- y

; für y — 0 sind zwei Werte von y unendlich, zwei Null; für die ersteren ist y = 0 Ort der Spitzen, für die letzteren singuläres Integral und Enveloppe.

75) Singuläre Lösungen der Form x — Const, lassen wir bei Seite. Wenn solche existieren, erhält man sie durch Vertauschung von x mit y.

74) Sei z. B. y =

Vy

14*

Der einfachste und allgemeinste Fall ist, dass längs G — 0 (oder y — g (x)) nur zwei Werte von y zusammenfallen. Ist dann

y -j- ~'ee 0 für y — g Çx), y = g ix), so ist die Kurve ein Oft

d F o F

gewöhnlicher Spitzen. Ist y -J-    = 0, aber

y = g, so ist die Kurve singuläres Integral (im allgemeinen Integral nicht enthalten) und Enveloppe der Integralkurven; die Berührungs-

d F

punkte sind gewöhnliche Punkte der letzteren. Ist

dy

=!= 0 für y — g,

dy 8x

y — g, y — g, SO ist die Kurve y — g ix) Ort der Punkte, in denen Integralkurven einander berühren, ausser wenn G = 0 der Differentialgleichung genügt; in letzterem Fall ist y — g(x) eine doppeltzählende gewöhnliche Lösung.

Demnach haben die Integralkurven keine Enveloppe, wenn die Gleichung (37) die allgemeinste ihres Grades ist. Andererseits: das allgemeine Integral von (37) lässt sich auf die Form bringen:

(39)

y=<p(x, C),

analytische

unter cp eine — im allgemeinen unendlich vieldeutige Funktion verstanden. Wenn dann die Gleichung ëcpjdC = 0 für einen Wert C = B(x) erfüllt und die Funktion cp für willkürliche x und C = .B(x) holomorph oder algebroïd ist, so lehrt die allgemeine Theorie der Enveloppen, dass y — cp ix, Jß{x)) Enveloppe der Kurven (39) ist. Demnach würde für die allgemeine Gleichung (37) die Gleichung dcpfdC — 0 keine solche Lösung C = JB(x) zulassen.

Geht man aus von einer Kurvenschar:

(40)

H(x, y, G) = 0,

wo H das allgemeinste Polynom seines Grades in x, y, C ist, so ist die Differentialgleichung dieser Schar algebraisch in x, y, y, von einem gewissen Grade p, und hat ein singuläres Integral. Aber sie ist eben nicht die allgemeinste ihres Grades.

(37) (für m > 1)

Übrigens kann das allgemeine Integral von algebraisch sein, ohne dass ein singuläres Integral, also ohne dass eine Enveloppe existiert; so z. B. für:

(41)

= (x- Cf;

2    1    3

y

ó yx

es kann seihst Vorkommen, dass weder eine Enveloppe, noch ein Ort der Spitzen auftritt, sondern nur eine vielfache gewöhnliche Lösung — so für:

(42)

==-2]//, ÿ =

Der Begriff des singulären Integrals war Leibniz (1694) und Taylor (1715) nicht entgangen; Clair aut⁷⁶) und Euler stellen ihn in helles Licht, ebenso später d'Alembert⁷⁷), Laplace⁷⁸), Condorcet⁷⁹); die erste allgemeine Behandlung der Frage hat Lagrange⁸⁰) gegeben. Er gelangte von der Theorie der Enveloppen aus zu der Ansicht, dass im allgemeinen ein singuläres Integral vorhanden sei. Dagegen bemerkte Cournot⁸¹), dass im allgemeinen ein Ort der Spitzen und keine Enveloppe der Integralkurven auftritt; dasselbe ergab sich implicite aus der Darstellung von Briot und Bouquet⁸²). Der scheinbare Widerspruch ist von A. Cayley⁸³) und G. Barboux⁸⁴) gehoben worden; letzterer hat die verschiedenen Möglichkeiten (Spitze, Enveloppe, Berührung der Integralkurven) geometrisch erläutert. Die vollständige analytische Behandlung ist für den Fall einer Doppelwurzel y von E. Picard⁸³) gegeben, für den allgemeinen Fall, unter der Voraus-

76)    Die sogenannte Clair aut’sehe Gleichung (Par. Hist. 1734, p. 209; vgl. II A 4 b, Nr. 9) ist der einfachste Typus einer Gleichung 1. Ordnung mit Enveloppe. Sie tritt zuerst bei einem von Eider (Berl. Hist. 1756) gestellten Problem auf (ebene Kurven, für die das Produkt der Abstände der Tangenten von zwei festen Punkten konstant ist). Euler hatte auch bemerkt (Inst, calc. int. 1, 1768, p. 351), dass man das singuläre Integral erhält, indem man den reçiproken Wert des integrierenden Faktors = 0 setzt.

77)    Par. Hist. 1769, p. 84.

78)    Par. Hist. 1775, p. 620 (oeuvr. 8, p. 327).

79)    Calc. int. p. 67 und Tor. Mem. 4, p. 7.

80)    Berl. Mém. 1774; oeuvr. 4, p. 1. An Lagrange schliessen sich u. a. S. D. Poisson, J. éc. polyt. cah. 13, 1806, p. 60 und E. Catalan, ib. cah. 31, 1847

p. 271 an.

81)    Théorie des fonctions, 2, Paris 1841, p. 343; vgl. J. Boussinesq, analyse infinitésimale 2², Paris 1890, p. 233. Die von Geographen und Geodäten vielfach besprochene Streitfrage der lignes de thalweg hängt damit zusammen.

dF

82)    J. éc. polyt. cah. 36, p. 193 (vgl. Nr. 28). Die Diskussion von Briot

und Bouquet gilt nur für den Fall, dass, für (x₀, y₀, %’),

0 ist, aber nicht

dy

d F    8 F

——- -j- y —— ; die andern Fälle werden auf den (komplizierteren) zurückgeführt, o oc    o y

dass y die Form 0/0 hat, unter der Voraussetzung, dass die gesuchten Integrale algebroi'd sind.

83)    Philos. Mag. 32, 1866, p. 379; Mess. 2, 1873, p. 17; 6, 1877, p. 29.

84)    Par. C. R. 70, 1870, p. 1332; Darb. Bull. 1873, p. 58; Par. sav. [étr.] 27, 1883, n°. 2. Vgl. auch eine ältere Abhandlung von Serret, J. de math. (1), 18, 1855, p. 1. — Der anscheinende Widerspruch zwischen der Theorie der Enveloppen und der der Differentialgleichungen hat zahlreiche Diskussionen veranlasst; vgl. z. B. E. Catalan, Par. C. R. 1, 1870, p. 50; G. Barboux, ib. p. 267; M. Hamburger, J. f. Math. 112, 1893, p. 205.

85)    Cours lithogr., Paris 1886/87, p. 330; Traité 3, p. 44. Nach Moigno 2, p. 445 hatte Cauchy schon bemerkt, dass die Existenz eines singulären Integrals

Setzung, dass x in der Gleichung nicht auftritt, von Briot und Bouquet⁸⁶) in grossen Zügen skizziert, von L. Fuchs⁸¹) für beliebige Gleichungen durchgeführt worden. Das Hauptergebnis dieser Diskussion ist, dass die aussergewöhnlichen Singularitäten einer Gleichung (32), in denen allein nicht-algebraische Singularitäten der Integrale auftreten können, isoliert sind. Sie ist im Detail von M. Hamburger⁸⁸) und P. Painlevé⁸^) dargestellt worden⁹⁰).

23. Ausdehnung auf Differentialgleichungen beliebiger Ordnung. Die vorhergehende Diskussion überträgt sich von selbst auf Gleichungen beliebiger Ordnung. Wenn das System (2) von allgemeinster Art, ist die Fläche G — 0 (Gleichung (28)) Ort der Spitzen der Integralkurven im (n -j- l)-dimensionalen Raume. Wenn die Gleichung G = 0 mit dem System (2) verträglich ist, existieren singuläre Integrale oder Lösungen; die Anzahl der in ihnen enthaltenen willkürlichen Konstanten kann 0, 1, 2, . . . n — 1 sein⁹¹). Picard⁹²) zeigt, dass eine solche singuläre Integralkurve im allgemeinen Enveloppe der „partikulären“ Integralkurven und selbst nicht im allgemeinen Integral enthalten ist; in Ausnahmefällen sind diese Lösungen im allgemeinen Integral enthalten und sind dann vielfache gewöhnliche Lösungen.

E. Goursat9S) verknüpft die Theorie der singulären Lösungen folgen dermassen mit der Theorie der Enveloppen: Sei z. B. für n — 3 eine (algebraische) Kongruenz von Raumkurven gegeben. Diese Kurven lassen sich auf unendlich viele Arten in Scharen mit je einem Para-die Verträglichkeit der drei Gleichungen (38) bedingt. Ausserdem ist y — g(x) dann und nur dann wirklich singulär, d. h. nicht im allgemeinen Integral enthalten, wenn y — g in Bezug auf y — g unendlich klein von niedrigerer als der 1. Ordnung ist.

86)    J. éc. polyt. cah. 36, 1856, p. 208.

87)    Beri. Ber. 1884, p. 702.

88)    J. f. Math. 112, 1893, p. 205.

89)    Leçons p. 49. Vgl. auch die Lehrbücher von Forsyth und Königsberger.

90)    Specielle Gleichungen 1. Ordnung behandeln M. Schmidt, Diss. Giessen 1885; Fine, Amer. J. of math. 12, 1890, p. 295. Vgl. auch J. Glaisher, Mess. (2) 12, 1882, p. 1; W. Kapteyn, Darb. Bull. (2) 12, 1888, p. 135; W. Johnson, Mess. (2) 16, 1886, p. 186 und Ann. of math. 3, 1887, p. 33; Miss Maddison, Quart. J. 28, 1896, p. 311. Über Integrale, die zugleich singulär und partikulär sind, vgl. man M. Pétrovitch, Par. thèse 1894.

91)    Das Differentialgleichungssystem (von niedrigerer als der nt0H Ordnung), das die singulären Lösungen definiert, kann weniger Gleichungen als Funktionen enthalten; vgl. Fussn. 63.

92)    Traité 3, p. 56.

93)    Amer. J. of math. 11, 1889, p. 329.

23. Differentialgl. bel. Ordnung. 24. Untersuch, von Briot und Bouquet. 215

meter anordnen, deren jede eine Enveloppe hat. Diese Enveloppen jT hängen im allgemeinen von einem Parameter ah und erzeugen eine oder mehrere Flächen G (x, y, z) = 0. Das die Kongruenz definierende Differentialsystem (2), (das dann keineswegs das allgemeinste seines Grades ist), hat die Kurven jT zu singulären Integralen²³).

¹

   Im folgenden sagen wir von einer solchen Lösung: „sie entspricht den Anfangswerten x₀, y}, . . ,yj“.

²

   J. éc. polyt. cah. 36, 1856, p. 31.

³

   Cours lithogr., Paris 1886/87, p. 299.

⁴

   Man kann sich eine analytische Funktion vorstellen, die nur im Bereich A zwischen zwei den Punkt x₀ umwindenden Spiralen definiert (und holomorph) ist und längs jedes im Innern von A verlaufenden, dem x₀ sich nähernden Weges C gegen y₀ konvergiert. Jeder solche Weg hat eine unendliche Länge, wenn die beiden Spiralen eine unendliche Länge haben,

⁵

   Dabei kann C eine stetige Tangente haben und x ein Asymptotenpunkt von ihm sein; dann kann seine Länge unendlich sein.

⁶

   L. Fuchs (Beri. Ber. 1886, p. 279) bestreitet diesen Satz. Er verbindet mit den Worten „dem x₀ sich nähern“ einen andern Sinn; in seinen Beispielen benutzt er Wege, die abwechselnd dem x₀ sich unbegrenzt nähern und dann wieder um ein Endliches von ihm entfernen.

⁷

   Traité 2, 1892, p. 314. — Weierstrass scheint den Satz vorgetragen zu haben, doch finde ich nirgends eine Andeutung seines Beweises.

⁸

   Leçons p. 394.

⁹

   Par. C. R. 128, 1899, p. 1212; vgl. II B 1, Nr. 36 a.

¹⁰

66) Par. C. R. 11, 1840, p. 1, 629, 730; 15, 1842, p. 101, 141, 188.

¹¹

   Acta math. 13, 1890, p. 9; Méc. cél. 1, p. 48; Poincaré giebt den Satz als eine Erweiterung des Satzes von Cauchy.

¹²

   Dieser Bereich kann eine Linie sein; in den Anwendungen ist er meist ein Stück der Axe der reellen Zahlen.

¹³

   Par. C. R. 118, 1894, p. 760; Traité 3, p. 157.

¹⁴

   Par. C. R. 118, 1894, p. 454; J. de math. (4) 10, 1894, p. 117.

¹⁵

   Par. C. R. 35, 1842, p. 35, 44, 85; Moigno 2, p. 722.

¹⁶

   Briot und Bouquet, J. éc. polyt. cali. 36, 1856, p. 46; Fonctions doublement period., Paris 1857 (dtsch. v. H. Fischer, Halle 1862), Art. 247 (2e éd., 1875, p. 325); H. Poincaré, J. de math. (4) 2, 1886, p. 151; Königsberger, Lehrbuch p. 347.

¹⁷

   Vgl. Fussn. 4 und Nr. 22.

¹⁸

   Unter Umständen enthält dieses System weniger Gleichungen als unbekannte Funktionen. So wird z. B. das System;

¹⁹

   Vgl. Briot uncl Bouquet (Fussn. 47).

²⁰

   Wenn g(x) nicht holomorph bei x₀ , aber die inverse Funktion x = h (y) holomorph bei yu ist, oder wenn x = x₀ für jedes y ein Verzweigungspunkt von f ist, lasse man x und y ihre Rollen wechseln. Sind g(x) und h(y) für x₀ , y0 beide irregulär, so ist (x₀, y₀) eine aussergewöhnliche Singularität.

²¹

   Vgl. die historischen Angaben Nr. 22.

Encyklop. d. math. Wissensch. II.

²²

Als Spitze wird im folgenden jeder vielfache Punkt der Kurve von der Art bezeichnet, dass sich (bei beliebiger Wahl der Axen) mindestens zwei durch ihn gehende Kurvenzweige y = y, (x), y = y % (x) bei einem Umlauf um ihn per mutieren.

²³

   Vgl. auch Serret (J. de math. (1) 18, 1855, p. 1); A. Mayer (Math. Ann. 22, 1883, p. 368); Fine, Fussnote 90; Dixon, Lond. Trans. (1875, A), p. 523 ;

M. Hamburger, Beri. Ber. 1899.

Aussergewöhnliehe Anfangsbedingungen bei Gleichungen 1. Ordnung.

24. Untersuchungen von Briot und Bouquet über die Gleichung:

(43)

*p(p) y)j ^ L.

xy' = ax -f- by -f- • •

Wenn f (x, y) (Nr. 20) meromorph und von der Form 0/0 ist, so genügen schon die ältesten Beispiele, wie xy' — ccy, zu zeigen, dass die verschiedensten Umstände auftreten können: es kann mehrere, selbst unendlich viele, den Anfangsbedingungen entsprechende Lösungen geben, und der Anfangspunkt kann für diese Lösungen gewöhnlicher Punkt, algebraischer oder transcendenter singulärer Punkt sein. Die ersten allgemeinen Untersuchungen hierüber verdankt man Briot und Bouquet¹); sie finden für Gleichungen der Form (43) in der Umgebung von (0, 0):

1)    Ist b keine positive ganze Zahl, so giebt es eine und nur eine holomorphe Lösung y(x), die mit x verschwindet.

2)    Ist b eine positive ganze Zahl, so giebt es im allgemeinen keine solche Lösung; wenn es eine giebt, giebt es unendlich viele, die von einer willkürlichen Konstanten abhängen. Für b— 1 ist dazu erforderlich und hinreichend, dass a == 0 ist; für b > 1 reduziert die Transformation y — ctx -j- c%x* -f- • • • + x*~xz die Gleichung auf den Typus

cl z

xFx~ ax g ~t~ ' * '5 c^e Bedingung ist dann a — 0.

Der Beweis von Briot und Bouquet beruht auf dem Gebrauch der fonctions majorantes (Nr. 11): die Gleichung erlaubt die Maclaurin’sehe Reihenentwicklung der Lösung formell aufzustellen; Vergleichung mit der Entwicklung der durch yt = cp (x, yx) definierten impliciten Funktion yx giebt eine untere Grenze für den Konvergenzradius.

Giebt es ausser den holomorphen Lösungen von (43) noch andere, die gegen Null konvergieren, wenn x auf einem Wege C der Null sich nähert? Für Wege von endlicher Länge, die sich nicht unendlich oft um Null winden, finden Briot und Bouquet:

Ist 9I(&)<^0, so giebt es keine solchen Lösungen. Ist sJî(&)>0, so giebt es unendlich viele Lösungen y(x), die mit x gegen Null konvergieren. Für sie ist der Punkt x = 0 ein transcendenter singulärer Punkt, ausser in zwei Fällen: wenn b reell, positiv und rational (aber nicht ganz) ist, ist x — 0 algebraischer Verzweigungspunkt; wenn b eine positive ganze Zahl ist und a — 0, sind diese Lösungen für x — 0 holomorph.

Für b — 0 giebt es eine holomorphe mit x verschwindende Lösung. Was die für x — 0 nicht holomorphen Lösungen betrifft, die gegen 0 konvergieren, wenn x auf einem Wege von endlicher Länge und limitiertem Argument der Null sich nähert, so behaupten Briot und Bouquet, es gebe keine solchen (von Ausnahmefällen abgesehen). Nach den Untersuchungen von Bendixson und Horn für das reelle Gebiet (Nr. 30) ist diese Behauptung ungenau.

Briot und Bouquet betrachten auch den Typus:

(44)

(6 + 0 ));

xrn — ax -j- by -f- • • •

sie zeigen, dass er keine holomorphen mit x verschwindenden Lösungen zulässt, ausser in Ausnahmefällen, in denen transcendente Bedingungen erfüllt sind.

25. Allgemeiner Fall, in dem y meromorph und von der Form 0/0 ist. Für den allgemeinen Fall:

■Pfe y) Q(x,y)

(45)

' _ "''J ^ 1jJ "J----

beschränken sich Briot und Bouquet auf die Bestimmung derjenigen Lösungen y ix), die mit x von angebbarer Ordnung unendlich klein werden. Sei y(x) — x^\c-f- «(#)], lim é — 0. Die möglichen Werthe

x = 0

von fi ergeben sich durch eine dem Newton’sehen Polygon (IIB 2) analoge Regel; nur können hier zwei Ecken des Polygons zusammenfallen und g infolgedessen irrational oder imaginär sein. Abgesehen von diesem Fall, der Briot und Bouquet entgangen ist²), sind die möglichen Werte von fi rational und in endlicher Anzahl vorhanden. Sei fi—pjq’i die Transformation:

(46)

x = &, y = £*(e-j-0)

reduziert im allgemeinen die Gleichung auf die Form (43). Aber in vielen Fällen ist auch die neue Gleichung noch von der Form (45).

25. Allgem. Fall, in dem y meromorph etc. 26. Untersuch, yon Picard. 217

y 6*0

von

Dass man in jedem Fall nach einer endlichen Anzahl von Schritten die verschiedenen möglichen algebro'iden Entwicklungen von einander trennen kann, hat erst L. Autonne⁹⁶) gezeigt: es giebt eine ganze Zahl v von der Art, dass, wenn man x — Xv setzt, alle Entwicklungen nach ganzen steigenden Potenzen von X fortschreiten. Einige dieser Entwicklungen können eine willkürliche Konstante enthalten.

Bemerkenswert ist der Fall, dass man mit den Anfangswerten x — ö, y = 0 eine der Gleichung (45) formell genügende Maclourin’sehe Reihe bilden kann, die aber divergiert; es gilt das z. B. für Gleichungen der Form:

(47)

= ax + by h—•

E. Borei⁹¹) zeigt auf Grund der Theorie der „summierbaren Reihen“, dass (wenigstens in gewissen Fällen) eine solche Entwicklung in einem gewissen Winkelraum E, dessen Scheitel im Ursprung liegt, eine Lösung der Differentialgleichung darstellt, für die der Ursprung transcendenter singulärer Punkt ist und die im Ursprung Ableitungen beliebig hoher Ordnung hat, wenn man die Veränderlichkeit von x auf den Winkelraum E beschränkt³ 4 5). Diese Ableitungen haben dieselben Werte, wie die aus (47) durch successive Differentiationen erhaltenen.

Die genannten Abhandlungen sind die einzigen, die eine strenge Untersuchung der Differentialgleichung (45) im komplexen Gebiet für die Anfangswerte (x = 0, y — 0) geben "). Doch ergeben sich aus den Untersuchungen von Horn und Bendixson über das Verhalten im Reellen (Nr. 28) einige evidente Folgerungen auch für das komplexe Gebiet.

26. Untersuchungen von Picard. Die Methode von Briot und Bouquet giebt kein Mittel zur Reihenentwicklung der nicht holomorphen Integrale von (43), die mit x verschwinden; erst E. Picard⁶) und H. Poincaré⁷) haben durch zwei verschiedene Methoden, die

(h )> 0, A, B holomorph für x — 0)

7, 8; (4) 1.

beide von „fonctions majorantes“ (Nr. 11) Gebrauch machen, den Satz bewiesen:

Wenn in (43) b weder eine positive ganze¹⁰²), noch eine negative reelle Zahl, noch Null ist, lassen sich die mit x verschwindenden Lösungen nach steigenden Potenzen von x und u = xb in Reihen entwickeln, die für hinlänglich kleine \x\ und \xb\ konvergieren.

(43)

Picard's Methode beruht auf der Einführung einer Hilfsfunction (p{x, u) von zwei Veränderlichen x, u, die einer partiellen Differentialgleichung genügt und für u = xb in die gesuchte Lösung von übergeht.

ax -(- by -f- • • •

(48)

27. Methode von Poincaré; Ergänzungen. Poincare’s Methode (vgl. auch Nr. 32) umfasst den allgemeineren Fall, dass in der Gleichung: dy _ P(p,y)___

dx Q(x, y)    ax + ßy-j-• • ■

die beiden Kurven P — 0, Q = 0 einen einfach zählenden Punkt gemein haben. Dann sind die beiden Wurzeln Xlf A₂ der Gleichung:

a — X

(49)

b — X

beide von Null verschieden. Ist dann. X = A₂ : X₁ weder eine positive ganze Zahl, noch der reciprohe Wert einer solchen, noch eine negative reelle Zahl, so gehen durch (0, 0) zwei Integralkurven, die diesen Punkt zum gewöhnlichen Punkt haben und sich in ihm nicht berühren. Seien gx -j- hy -j- • • • = 0, yx -\- xy -f- • • • = 0 ihre Gleichungen, so lässt sich das allgemeine Integral von (48) auf die Form bringen:

(gx + hy-]----)

[yx+%y-]----f

sodass X und Y für (0, 0) holomorph sind. Setzt man Y—t, X = ctx, so sieht man, dass sich x und y für hinlänglich kleine |£| und \ctx\ nach Potenzen von t und ctx entwickeln lassen; c bedeutet eine willkürliche Konstante. Lassen wir x in seiner Ebene in bestimmter Richtung gegen Null konvergieren: ist 91(A) > 0, so konvergieren alle hinlänglich kleinen Anfangswerten (x₀, y₀) entsprechenden Integrale gegen Null; ist aber 91(A) ^0, so konvergiert keine Lösung y(x) [oder x(y)] gegen Null, ausser den beiden holomorphen; aber man kann x auf Wegen, die im Nullpunkt keine Tangente haben, so gegen Null konvergieren lassen, dass unendlich viele Lösungen y(x) gegen Null konvergieren¹⁰³).

102)    Für den Fall eines pos. gz. b vgl. man Nr. 27.

103)    Hat die Gleichung die Form (43), so ist <x — 1, ß — 0, X, «= 1, la = b, l = b, Y— x, x — t\ man erhält so wieder die Sätze von Nr. 24.

(50). Const. =

(1 -\-lx+my-\----) =

X(x, y)

[Y2/)]

27. Methode von Poincaré; Ergänzungen.

219

Ist A oder 1/A eine positive ganze Zahl, so geht durch (0, 0) eine in diesem Punkt reguläre Integralkurve; und zwar nur eine, wenn nicht eine algebraische Bedingung erfüllt ist. Im letzteren Palle gehen durch ihn unendlich viele, die von einer willkürlichen Konstanten abhängen. Das allgemeine Integral lässt sich auf die Form bringen:

(51)

X(x, y )

-f- h log X(x, y) — Const.,

in der h eine rationale Funktion der ersten Koeffizienten von P und Q bedeutet, S, X holomorphe Funktionen, die für (0, 0) Null werden; die Kurve X — 0 ist die durch den Ursprung gehende singuläre Integralkurve. Setzt man X — t, so kann man x und y nach steigenden Potenzen von t und t log t entwickeln. Für h = 0 haben alle Integrale den Nullpunkt zum gewöhnlichen Punkt. Speziell für h = 0, A = 1 haben sie in ihm getrennte Tangenten; er heisst dann ein diJcritischer Punkt⁸).

Für A = 1 sind diese Sätze von II. Poincaré ⁹), I. Bendixson ¹⁰), E. Picard¹¹), für k—p oder =p~x von J. Horn¹²) und E. Lindelöf m) abgeleitet worden.

Ist A reell negativ, so gehen immer noch zwei (und nur zwei) reguläre Integralkurven durch den Ursprung; aber es ist im allgemeinen nicht mehr möglich, das allgemeine Integral in der Form XY~? darzustellen. I. Bendixson no) bringt in diesem Fall die Gleichung (48) auf eine Form, in der a = 1, ß = 0, a — 0, b = k ist; indem er dann xy~l — p1_;-, log (y : x) = u setzt, erhält er für das allgemeine Integral eine Entwicklung:

(52) p -j- q²A₂(u) -f- qbA₅(u) -{-••• + QiAi(u) -f- • • • = Const.; die Ai sind für u — 0 holomorph und die Reihe konvergiert für [pj < Ô, \a\ < G\ G kann willkürlich gewählt werden, d hängt von G ab und konvergiert mit G~¹ gegen Null. Dulacm) bringt die Gleichung (48) auf die Form:

(53)

xdy -\- y dx [— A -j~ xy{ 1 -|----)] = 0

und entwickelt dann das allgemeine Integral so:

(54)

yxl[l + (pt{x)y + <pz(x)y² ----] = Const.;

die rp sind Polynome in x und xx, wenn A irrational, in x und log x, wenn X rational ist. Die Reihe (54) konvergiert für j?/J<d, |0pj<6r (wenn x = pe':e); lim d(G) = 0.

G = co

Ben Fall X — — 1 untersucht Poincaré¹¹²), den allgemeineren eines negativen rationalen X Bendixson¹¹⁰) und BulacU1). In diesen Fällen müssen unendlich viele Bedingungen erfüllt sein, wenn das Integral auf die Form XY~~X — Const, soll gebracht werden können¹¹³).

Mag die negative Zahl X rational sein oder nicht, so giebt es (ausser den beiden regulären Lösungen) keine Lösung y(x) [oder x(y)\, die mit x[y] so verschwindet, dass lim dy/dx existiert, oder die verschwindet, wenn x auf einem Wege C der Null zustrebt, der im Nullpunkt eine bestimmte Tangente hat. Aber giebt es für andere Wege C, z. B. für eine den Nullpunkt umwindende Spirale, andere Lösungen, die mit x verschwinden? Die meisten Autoren waren geneigt, die Frage zu verneinen; Bulac1U) zeigt jedoch, dass es für negativ rationale X unendlich viele Lösungen giebt, die auf einem passenden Wege nach Null konvergieren; ausgenommen den ganz speciellen Fall, dass das Integral auf die Form X Y~x — const, gebracht werden kann.

Bulac¹¹¹) untersucht auch den Fall 1 = 0. In diesem geht durch den Ursprung eine Integralkurve (und im allgemeinen nur eine); unendlich viele Integrale verschwinden mit x, wenn x auf einem passenden Wege der Null zustrebt. In besonderen Fällen geht durch (0, 0) eine zweite Integralkurve; die Gleichung lässt sich in diesen Fällen auf die Form (43) bringen, im allgemeinen auf die Form:

(55)

(x-\----) dy -f- ym dx — 0.

28. Fall eines algebroïden f. Diejenigen aussergewöhnlichen Singularitäten, für welche f algebroïd (und nicht meromorph) ist, sind noch sehr wenig untersucht. Die Methode von Briot und Bouquet (Nr. 24, 25) führt im allgemeinen die Aufsuchung der Lösungen, die

112)    J. de math. (4) 1, 1885, p. 170.

113)    Sind P, Q Polynome, so zerfallen diese Bedingungen in unendlich viele Systeme, deren jedes nur eine endliche Anzahl Bedingungen enthält; dass eines dieser Teilsysteme erfüllt sei, ist notwendig und ausreichend, damit das Integral die verlangte Form hat. Aber man kennt kein Mittel, diese Teilsysteme zu bilden.

114)    Fussn. 111. — Für l = — 1 waren solche Lösungen im reellen Gebiet von Poincaré (Nr. 29) erhalten worden; nämlich für Gleichungen:

x -j- • • •

VT⁷⁷-'

für die der Ursprung ein „foyer“ ist.

28. Fall eines algebr, f. 29. Anwend, auf cl. reelle Geb. 30. Unters, etc. 221

im Anfangspunkt eine bestimmte Ableitung haben, auf die Untersuchung einer Gleichung der Form (43) zurück; doch treten zahlreiche Ausnahmefälle auf. In allen Fällen erlaubt sie alle für x = x0 algebro'iden Lösungen zu bestimmen, wie kompliziert auch die algebraische Singularität von f(x,y) bei (x₀y₀) sein mag. Eine Lücke im Beweise hat erst L. Automne⁹⁶) ausgefüllt.

Zur Untersuchung der Lösungen, die mit x Null werden, aber x — 0 zum transcendenten Punkt haben, hat nur in einem Fall

H. Poincaré¹³) ein Mittel angegeben: Sei dy/dx = H(x, y, z), mit F(x, y, z) — 0; H und F holomorph für (0, 0, 0) und dieser Punkt ein Doppelpunkt der Fläche F — 0. Die Transformation:

V = ~ (! - *)> t=l — e

führt die Frage auf die Untersuchung von dg/dt, = <p(|, g) zurück, wo cp für |j = 0, g — 0 meromorph ist.

29.    Anwendung auf das reelle Gebiet. Sind in der Gleichung (48) die Koeffizienten von P, Q alle reell und fragt man nur nach ihren reellen Integralkurven — Poincaré nennt sie Charakteristiken — so sind zwei allgemeine Fälle zu unterscheiden:

1)    kx und k.₂ reell. Ist k — k₂ jkx > 0, so gehen durch den Punkt (0,0) unendlich viele Charakteristiken; er heisst dann Knotenpunkt (noeud) der Differentialgleichung. Ist k < 0, so gehen durch (0, 0) nur¹⁴) zwei Charakteristiken; er heisst dann Sattelpunkt (col).

2)    kx und k₂ konjugiert imaginär. Keine Charakteristik geht durch den Ursprung, aber die Charakteristiken umwinden ihn und er ist für sie asymptotischer Punkt; er heisst Brennpunkt (foyer). Ausgenommen ist nur der Fall, dass k — — 1 ist und das allgemeine Integral sich auf die Form X Y = Const, bringen lässt (was unendlich viele Bedingungen erfordert) ¹⁵); die Charakteristiken bilden dann geschlossene Kurven, die den Nullpunkt umgeben, ohne durch ihn hindurchzugehen. Er heisst dann Mittelpunkt (centre).

30.    Untersuchungen von Bendixson und Horn. Das Verhalten der reellen Integrale von Gleichungen der Form (44) in der Umgebung

des Ursprungs ist von I. Bendixson¹⁶) und J. Horn¹⁷ 18 19) vollständig festgestellt worden. Sie bestimmen unter Anwendung der (verallgemeinerten) Methode von Picard (Nr. 0) alle Charakteristiken, die durch den Ursprung gehen. Deren Zahl ist unendlich, ausser wenn m ungerade und &< 0 ist; in diesem Fall geht durch den Ursprung, ausser der Achse x — 0, nur eine Charakteristik rechts von der Achse und eine links von ihr. Wenn m ungerade und b > 0 ist, bedecken die Charakteristiken eine gewisse Umgebung des Ursprungs vollständig; wenn m gerade ist, liegen sie alle bis auf eine auf derselben Seite der «/-Achse. Für alle diese Charakteristiken y—(p{x) hat man Reihenentwicklungen; Horn hat auch eine asymptotische Darstellung mit Hilfe halbkonvergenter Reihen (I A 3, 38) gegeben, die der Gleichung (44) formell genügen.

Für h gleich Null treten ganz andere Verhältnisse auf. Bendixson und Horn bestimmen für m = 1 (durch ziemlich komplizierte Entwicklungen) alle Charakteristiken der Gleichung: (56) die durch den Ursprung gehen. Ihre Zahl ist unendlich, ausser wenn q ungerade, b < 0 ist (in diesem Fall gehen durch den Ursprung nur die beiden regulären Charakteristiken). Ihre Verteilung hängt von der Parität von q und dem Vorzeichen von b ab.

Ist endlich b — 0, m beliebig, also die Gleichung:

(⁵⁷) xm ff = xia 4—] + hvq+l l¹ 4—]=f(x, y), (& + °);

so kennt man keine Darstellung der vom Ursprung ausgehenden Charakteristiken, aber ihre qualitative Untersuchung ist von Bendixson¹'²⁹) vollständig durchgeführt. Es giebt (ausser wenn q gerade, m ungerade und b < 0 ist) unendlich viele solche Charakteristiken; ihre Verteilung hängt von der Parität von m und q und dem Vorzeichen

von b ab und entspricht der der Charakteristiken von xm = byq+¹.

Bendixson's qualitative Methode verlangt nicht, dass f(x, y) für (0, 0) holomorph ist, sondern nur, dass es die Lipschitz?sehe Bedingung (Nr. 4) erfüllt.

Für den ganz allgemeinen Fall der Gleichung (45) zeigt Ben-dixsonin), dass die durch den Ursprung gehenden Charakteristiken

81. Picard’s Untersuchung etc. 82. Allgemeiner Satz von Poincaré.

223

entweder alle Spiralen sind, oder alle im Ursprung eine Tangente haben. Für die Typen (44), (56), (57) tritt nur der zweite Fall ein. Mit Hilfe einer endlichen Anzahl yon einfachen Transformationen [analog zu (46)] bestimmt er diese Charakteristiken oder führt ihre Untersuchung auf die Typen (44), (56), (57) zurück. Die qualitative Untersuchung dieses allgemeinsten Typus ist damit vollständig erledigt.

31. Picard s Untersuchung der Gleichungen 2. Grades in y'.

E. Picard¹'²²) diskutiert die reellen Charakteristiken einer Gleichung der Form:

(58) (axĄ-by-\—Jr2{a₁x-\-h₁ y-\—)-^-\-(^os-\-h₂y-\—)=~0.

die durch den Ursprung gehen. Sie haben notwendig eine bestimmte Tangente im Ursprung, und die Transformation y — tx führt ihre Untersuchung auf die der mit x verschwindenden Lösungen einer Gleichung der Form (43) zurück. Ausgenommen ist nur der Fall, dass die Koeffizienten a, b, %, bx, a.₂, b₂ gewissen Gleichungen genügen. Je nach Umständen berühren die Charakteristiken im Ursprung eine bestimmte Richtung oder drei verschiedene.

Aussergewöhnliche Anfangsbedingungen bei beliebigen Differential-

systemen.

32. Allgemeiner Satz von Poincaré. Sei ein Differentialsystem beliebiger Ordnung vorgelegt, dessen Differentialkoeffizienten (Nr. 1) für die gegebenen Anfangswerte die Form 0/0 haben. Seien im Interesse der Symmetrie die Ordnung des Systems mit n — 1, die Yariabeln (komplexe Koordinaten eines Punktes im Raum von n Dimensionen) mit x₁₇ x2f • ■ ■ xn bezeichnet; in der Umgebung der Anfangswerte (0, 0, • • • 0) habe das System die Form: dxx

allæl + al2X2 H-----+ al nXn + ' ' '

Bezeichnen P1; P₂, . . . Pn die Nenner dieser Brüche, so ist der Ursprung im einfachsten und allgemeinen Fall ein einfacher Schnittpunkt der Flächen P₁ = 0, P₂ — 0, • •, Pn — 0. Dann sind die Wurzeln A A2j An der Gleichung:

(59)

dx ₂

dxn

a2\æX d '

anlXX+

122) Traité 3, p. 217; Math. Ann. 46, 1895, p. 521. — Picard wendet seine Diskussion an auf das schon von A. Cayley (Philos. Mag. 26, 1863, p. 373, 441 ; coll, papers 5, p. 115) und G. Darboux (Par. C. R. 97, 1883, p. 1133; Ann. éc. norm. (3) 6, 1880, p. 385; Théorie des surfaces 4, Note 7) behandelte Problem der Krümmungslinien, die durch einen Nabelpunkt gehen; je nach Umständen sind deren unendlich viele, drei, oder nur eine. Der letzte Fall tritt bei den Flächen 2. Ordnung ein.

du 2

dn 1

(60)

A(A) =

an — A

ai2

alle von Null verschieden.

H. Poincaré™) setzt jeden der Brüche (59) = dt/t und sucht die Integrale der partiellen Differentialgleichung (Nr. 16):

(61)

Pi

dF

dF

dt

= 0.

Der calcul des limites (Nr. 11) beweist die Existenz von n verschiedenen Integralen der Form

Fi = r2tT,

(62)

(<-1,2,...»),

Ti holomorph für (0,0 ... 0), wenn folgende 3 Bedingungen erfüllt sind:

a)    stellt man die A* (die komplex sein können) durch Punkte der Ebene dar, so giebt es eine Gerade durch den Ursprung, die alle A; auf derselben Seite lässt;

b)    alle „Elementarteiler“ (I B 2, Nr. 3) von A(A) sind verschieden (was namentlich dann der Fall ist, wenn alle A* verschieden sind);

c)    zwischen den A* besteht keine Relation der Form:

(63)

Pl K H⁻ Pï ^2 “f" * • • H⁻ Pn^n — A<;

in der die p nicht-negative ganze Zahlen sind, deren Summe > 1 ist.

Das allgemeine Integral des Systems (59) lässt sich dann in der Umgebung des Ursprungs durch die (n — 1) Gleichungen:

Ti¹ TZXi = Const.

darstellen; ausser den hierdurch definierten Integralkurven gehen keine andern durch zum Ursprung benachbarte Punkte.

Bezeichnet man mit C; willkürliche Konstante und setzt 6; — Citxi (i — 1, 2, • • • n), so lassen sich die Lösungen von (59) in der Form darstellen: X; — cp; (ß1} . . . 0n), in der die cp für (0, 0,... 0) holomorph sind. Setzt man alle Q bis auf eines = 0, so erhält man n holomorphe Lösungen, die durch den Ursprung gehen; ausser ihnen giebt es keine andern. Die Existenz der holomorphen Lösungen ergiebt sich auch¹²⁴) aus einer Verallgemeinerung der Methode von Briot und Bouquet, und zwar auch für den Fall, dass nur die Bedingungen (b) und (c), nicht aber (a) erfüllt sind.

(64)

(» = 2, 3, ■ • • *»)

123)    J. éc. polyt. cah. 45, 1878, p. 13; Par. thèse 1879. Vgl. auch Königsberger, Lehrbuch p. 352; Picard, traité 3, p. 1 ; M. Liapunoff, Chark. Mitt. (2)1,1888.

124)    H. Poincaré, J. de math. (4) 2, 1886, p. 154.

38. Ergänzungen.

225

Auf Grund der Darstellung (64) lässt sich das Verhalten der Integralkurven in der Umgebung des Ursprungs untersuchen¹²⁵). Der Eintritt der verschiedenen Möglichkeiten hängt (wie in Nr. 24) von den Vorzeichen der reellen Teile der V ab; sind diese z. B. alle positiv, so konvergiert jede Integralkurve, die durch zum Ursprung benachbarte Punkte hindurchgeht, gegen den Ursprung, wenn x gegen Null konvergiert, ohne dass dabei sein Argument unbegrenzt wächst.

33. Ergänzungen. Seien die Bedingungen (a) und (c) von Nr. 32 erfüllt, aber nicht (b). Dann zeigt I Bendixson ¹²⁶), dass jedem zur Wurzel l gehörenden Elementarteiler der Ordnung j j unabhängige Integrale der Gleichung (61) entsprechen von der Form:

Tj+Tj

(65) Zj- T* + Til°st

tx

log *4-----f~

tl

in der die T bei (0, 0, ..., 0) holomorph sind. Elimination von t giebt n — 1 unabhängige erste Integrale von (59) und damit das allgemeine Integral.

bildet JE. Lindelöfm)

Sind (a) und (b), aber nicht (c) erfüllt n Integrale von (61) der Form St~z] dabei bedeutet S ein Polynom in log t, dessen Koeffizienten für (0, 0, . . ., 0) holomorph sind; daraus leitet er die Existenz von n — 1 ersten Integralen von (59) ab, eines von der Form TxeR — Const. [Tx holomorph, R meromorph für (0, 0, . . ., 0)], andere (0, 0, . . ., 0) meromorph.

Den allgemeineren Fall, dass nur (a) erfüllt ist, behandelt J. Horn12S). Zu jeder Wurzel lk gehören zwei Zahlen j*¹²⁹) und iik von der Art, dass man das allgemeine Integral auf die Form bringen kann:

von

so

der Form 2\    ¹ Tt¹, andere endlich für

(66) Xi    (pi (ßXj $2, ‘ ’ ’ ; @m) (j 1;    * '>    ^    jk ^ ^)j

in der die cpi für (0, 0, . . .) holomorph sind und

0X = tx (log t)h, d₂ = tl (log t)h+l, • • •, Qj = tl (log t)h+j~¹

(analog für die andern Wurzeln) gesetzt ist. Die theoretische Möglichkeit einer solchen Entwicklung folgt aus den Sätzen von Bendixson

125)    Königsberger (Lehrbuch p. 390) untersucht im Detail den (zu Nr. 24 analogen) Fall =xx.

126)    Stockh. Öfv. 11./4. 1894.

127)    Acta Fenn. 22, 1897.

128)    J. f. Math. 116, 1896, p. 265; 117, 1896, p. 104, 254.

129)    jk ist das Maximum der Grade der zu lk gehörenden Elementarteiler;

2hist <;n-

Encyklop. d. math. Wissensch. II.

15

und Lindelöf für die von ihnen behandelten Fälle¹⁸⁰); Horn zeigt, dass man ihre Koeffizienten nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten aus dem System (59) berechnen kann.

34. Bestimmung besonderer Klassen von Integralen in Ausnahmefällen. Auch wenn die Bedingung (a) (Kr. 32) nicht erfüllt ist, kann man — zwar nicht von allen, aber doch — von einigen Integralen analytische Darstellungen angeben.

Seien die Wurzeln A1; k₂, • • - , km (m < n) auf einer Seite einer Geraden JD durch den Ursprung gelegen; seien diese Wurzeln alle einfach und durch keine Relation der Form:

(J = 1, 2, • • • oder m)

(67) ih kL -f- i>2 ^2    ' ' ' -f“ Prn km = kj

verbunden (jp1} p₂, . . ., pm nicht negative ganze Zahlen, deren Summe > 2 ist). Setzt man 6₁ = Cxtx\- ■ ■,Bm = Cmtl,n, so giebt es Lösungen von (59) von der Form:

(68)

Xi — cp, (ß\ ) ' ' ' ; @m))

in der die <pe- für (0,0,..., 0) holomorph sind; diese Lösungen enthalten m — 1 unabhängige Konstanten²⁰).

Allgemeiner: seien unter den m Wurzeln , . . ., km nur r verschiedene A1; Ag, . . ., kr, seien aber alle zugehörigen Elementarteiler von (60) einfach. Setzt man dann:

6₁ = ł¹ ■ • ■ 6r = łr,

so existieren Lösungen von (59) von der Form:

Xi — cpi (6

. ., 6r),

in der die <pt- für (0, 0, . . ., 0) holomorph sind und m — 1 unabhängige Konstanten enthalten¹²⁸).

Gehören zu den m Wurzeln At, k₂, . . ., Xm nicht lauter einfache Elementarteiler oder bestehen zwischen ihnen Relationen der Form (67), so erhält man Entwicklungen der Form (66) mit m—1 unabhängigen Konstanten¹²⁸). Dabei dürfen auch mehrere der nicht berücksichtigten Wurzeln Null sein.

Man kann die Gerade D stets so wählen, dass m > wird.

’ — 2

130) Für den Fall, dass die Bedingungen (a) und (b) erfüllt sind, beweist auch schon Königsberger (Lehrbuch p. 402) die Möglichkeit einer solchen Entwickelung.

Auch A. Liapimoff hat (für den Fall, dass die m Wurzeln einfach sind) Reihenentwicklungen gegeben, die m — 1 Konstanten enthalten. Sie schreiten nach Potenzen der tl‘ fort, mit Polynomen in log t als Koeffizienten.

¹

   J. éc. polyt. cah. 36, p. 161; vgl. Picard, traité 3, p. 23; Königsberger, Lehrbuch p. 352,

²

Vgl. L. Autonne, Lyon. Ann. 3¹, 1891; J. éc. polyt. (2), cah. 2, 1897, p. 51; cah. 3, p. 1; J. Horn, J. f. Math. 113, 1894, p. 50.

³

   Ann. éc. norm. (3), 16, 1899, p. 95.

⁴

   Vgl. J. Horn (J. f. Math. 120, 1898, p. 1), der mit einer andern Methode den singulären Punkt x = 0 der linearen Differentialgleichung:

xhJtly = A(x) y Ą- B(x)

untersucht.

⁵

   C. Björling (Arch. Math. (2) 4, 1886, p. 358) hat eine allgemeine Untersuchung der Gleichung (45) versucht.

⁶

   Par. C. R. 87, 1878, p. 430, 743; Bull. soc. math. 12, 1884, p. 48.

⁷

   J. éc. polyt., cah. 45, 1878, p. 13; Par. thèse 1879; J. de math. (3)

⁸

   L. Autonne, a. a. 0. (Fussn. 96).

⁹

   Pal. Rend. 5, 1891, p. 161. — 106) Stockh. Öfv. 51, 1894, p. 141. — 107) Traité 3, p. 30.

¹⁰

108) J. f. Math. 116, 1896, p. 265. — 109) Acta Fenn. 22, 1897.

¹¹

110)    Stockh. Öfv. 13ä, 1895.

¹²

111)    Par. C. R, 129, 1899, p. 276.

¹³

   J. de math. (4) 1, 1875, p. 199.

¹⁴

   Diesen (von Poincaré als richtig angenommenen) Satz hat zuerst Picard bewiesen, traité 3, p. 201; die andern Resultate verdankt man Poincaré, J. de math. (3) 7, 1881; 8, 1882; (4) 1, 1885. Vgl. Picard, traité 3, p. 198 ff.

¹⁵

   Vgl. Fussn. 113. Die Funktionen X, Y haben hier konjugiert komplexe Koeffizienten.

¹⁶

   Stockh. öfv. vom 9./2., 9./S., 13./4. 1898.

¹⁷

   J. f. Math. 118 und 119, 1898; Math. Ann. 51, 1898, p. 346, 360.

¹⁸

   Stockh. Öfv. 13./4. 1898. Auch Horn wendet gelegentlich qualitative Überlegungen an.

¹⁹

   Stockh, öfv. 9/11. 1898.

²⁰

Der Satz ist auf verschiedene Arten von H. Poincaré (Acta 13, 1890, p. 30); E. Picard (traité 3, p. 17; die Beweismethode schon Par. C. R. 87, 1878, p. 430, 743); X. Königsberger (Lehrbuch p. 390); J. Horn (Fussn. 128); A. Lia-punoff (Fussn. 99) bewiesen.

35.    Allgemeiner Fall meromorpher Differentialkoeffizienten.

Der Fall, dass der Ursprung mehrfacher Schnittpunkt der Flächen Pi = 0 (Kr. 32) ist, ist noch wenig untersucht. In Erweiterung des Verfahrens von Br lot und Bouquet (Kr. 24) führt Königsberger¹) die Untersuchung der im Ursprung holomorphen Integrale von (59) im allgemeinen auf dasselbe Problem für den Fall zurück, dass P₁ — xt und der Anfangspunkt einfacher Schnittpunkt der Flächen P, — 0 ist. Aber es treten zahlreiche verschiedenartige Ausnahmefälle auf.

Kr. 25. E. Le Roy² 3)

Koch sei auf die Fälle hingewiesen, in denen aus den Gleichungen (59) die Koeffizienten einer Entwicklung sich berechnen lassen, die dem System formell genügt, aber divergiert. Uber deren Bedeutung vergleiche man den Schluss von hat dieses Verfahren auf die Untersuchung der irregulären Integrale linearer Differentialgleichungen angewendet.

36.    Anwendung auf das reelle Gebiet. Seien jetzt im System (59) die Variabein und die Differentialkoeffizienten reell. In allen Fällen, in denen man die Form des allgemeinen Integrals in der Umgebung des Kullpunkts kennt, bietet die Diskussion der Charakteristiken (Kr. 29) keine Schwierigkeit. Für n — 3 unterscheidet Poincaré¹³¹) fünf Fälle:

1)    Die 3 Wurzeln A1? >l₂, k₃ sind reell und haben gleiches Zeichen. Dann gehen alle Integralkurven, die dem Ursprung nahe kommen, durch ihn hindurch (noeud).

2)    Die 3 Wurzeln sind reell und haben verschiedene Zeichen. Dann gehen durch den Ursprung unendlich viele Charakteristiken, die eine Fläche bilden, und eine isolierte (cot).

3)    Zwei Wurzeln A₂, k₃ sind konjugiert komplex und ihre Summe hat dasselbe Zeichen wie kv Dann sind die Charakteristiken Spiralen oder Schraubenlinien, die den Ursprung zum asymptotischen Punkt haben (foyer).

hat das entgegengesetzte Zeichen wie X1 ristiken, die eine Fläche bilden, haben den Ursprung zum asymptotischen Punkt; eine isolierte Charakteristik geht durch ihn hindurch (col-foyer).

4) Zwei Wurzeln X₂, X₃ sind konjugiert komplex und ihre Summe

Unendlich viele Charakte-

5) Die Wurzeln X₂, l₃ sind konjugiert rein imaginär. Der Ursprung ist dann foyer oder col-foyer, ausser in einem ausgezeichneten Fall, in dem unendlich viele. Bedingungen erfüllt sind. In diesem letzteren Falle geht durch den Ursprung nur eine Charakteristik, und er ist von unendlich vielen geschlossenen Charakteristiken umgeben, die eine Fläche bilden (centre).

Poincaré untersucht auch den Fall, dass die Flächen Px = 0, P₂ = 0, P₃ = 0 sich längs einer Linie schneiden; er zeigt, dass eine solche Linie in Bogen zerfällt, deren Punkte bezw. sämtlich noeuds, sämtlich foyers oder sämtlich cols sind, während die Trennungspunkte höhere Singularitäten sind.

37. Reelle asymptotische Lösungen. Die besprochenen Resultate bilden den Ausgangspunkt der Untersuchungen von Poincaré über die asymptotischen Lösungen der Gleichungen der Dynamik (III D 8) und von Liapunoff⁴) über die Stabilität des Gleichgewichts. Seien die Quotienten (59) = dt gesetzt und sei angenommen, dass die so erhaltenen Gleichungen die Bewegung eines materiellen Systems mit k Parametern (Freiheitsgraden) xx, x₂, . . ., x^ vorstellen, während Xk+i, .y,xn die Geschwindigkeiten sind (n = 2k). Den Anfangsbedingungen t — t0} xx

—    x₂ = •••= xn — 0 entspricht keine andere Lösung als xx — x₂

—    ■ ■ - — xn — 0. Wenn also reelle Charakteristiken durch den Ursprung gehen, können sie nur beschrieben werden, indem t dabei unbegrenzt zu- (oder ab-) nimmt. Solche Lösungen heissen zum Ursprung asymptotisch. Die Existenz einer einzigen solchen Lösung beweist, dass xt = x₂ — • • • = Xk — 0 eine instabile Gleichgewichtslage ist. Daraus folgt: Stabilität des Gleichgewichts verlangt, dass alle Wurzeln X der Gleichung (60) rein imaginär sind. Haben die Kräfte ein Potential V(x₁x₂ . . . xn) — man darf annehmen, es sei im Ursprung Kuli — so beginnt seine Entwicklung mit Gliedern (mindestens) zweiter Ordnung; sei ü₂(x₁, x₂, . . ., xf) das Aggregat dieser Glieder. Dasselbe lässt sich als algebraische Summe von j (<^ k) verschiedenen Quadraten darstellen (I B 2, Kr. 3). Wenn nicht vor jedem dieser Quadrate das Minuszeichen steht, giebt es asymptotische Lösungen.

37. Reelle asymptotische Lösungen.

229

Im allgemeinen Fall ist j — Je und das Gleichgewicht ist nur stabil, wenn V für xx = x₂ = • • • = xk — 0 ein Maximum ist; diese (bekanntlich hinreichende) Bedingung ist also dann auch notwendig.

Die Resultate Liapunoff's sind von A. Kneser ¹³⁶), J. Hadamard¹³⁷) und P. Painlevé¹³⁸) wiedergefunden und ergänzt worden. Kneser zeigt für Je = 2, dass unendlich viele, von 2 willkürlichen Konstanten abhängende asymptotische Lösungen existieren, wenn U₂ Summe zweier positiven Quadrate ist. Painlevé behandelt den Fall, dass I7₂ (xlf x₂) sich auf ein negatives Quadrat reduziert, ohne dass V Maximum ist, sowie den Fall, dass V mit Gliedern der Ordnung m > 2, IIm (x1} x₂) beginnt und die Gleichung Hm = 0 keine mehrfachen reellen Wurzeln x% : xt hat. (Beide Fälle entziehen sich der Diskussion von Liapunoff) Im ersten Fall existiert eine asymptotische Lösung und diese kann die einzige sein. Im zweiten Fall: wenn Hm in der Umgebung des Ursprungs >0 ist, existieren unendlich viele, von zwei willkürlichen Konstanten abhängende asymptotische Lösungen; wenn die Gleichung nm = 0 l reelle Wurzeln x₂:x₁ hat, existieren mindestens l asymptotische Lösungen; wenn Tlm in der Umgebung des Ursprungs negativ ist, ist das Gleichgewicht stabil. Die so gefundenen asymptotischen Lösungen lassen sich nicht durch die Entwicklungen von Poincaré, Horn und Liapunoff (Nr. 33, 35) darstellen.

Die verschiedenen qualitativen Methoden von Kneser, Hadamard und Painlevé verlangen nicht, dass die P, (59) holomorph, sondern nur, dass sie mit ihren ersten Ableitungen in einer gewissen reellen Umgebung des Nullpunkts stetig sind.

136')    J. f.    Math.    115, 1895, p.    308;    118, 1897, p. 186.

137)    Par.    C. R.    124, 1897, p.    1503;    J. cle math. (5) 3,    1897, p. 332.

138)    Par.    C. R,    125, 1897, p.    1021.

TI A l b. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN; ELEMENTARE INTEGRATIONSMETHODEN

VON

E. VESSIOT

IN LYON.

Inhaltsübersicht.

1.    Fundamentale Probleme. Definitionen.

2.    Historischer Überblick. Formale Integrationstheorieen.

3.    Einführung neuer Yariabeln. Äquivalenzprobleme. Rationelle Integrationstheorieen.

Gleichungen erster Ordnung.

4.    Methode der Trennung der Yariabeln.

5.    Methode des Euler'sehen Multiplikators.

(>. Methode von Lie.

7.    Diskussion. Vergleichung der Transcendenten. Algebraische Integration.

8.    Jacobi’sehe und Biccati'sehe Gleichung.

9.    Unaufgelöste Gleichung; Integration durch Differentiation.

10. Geometrische Interpretationen; Verwendung homogener Koordinaten.

Systeme von Gleichungen 1. Ordnungj allgemeine Theorieen.

11.    Multiplikatorensysteme.

12.    Der Jacobi’sche Multiplikator.

13.    Methode von Lie: Integration von Systemen mit bekannter Transformationsgruppe.

14.    Integration von Systemen, von denen man Differential- oder Integralinvarianten kennt.

15.    Yai’iationssysteme.

Spezielle Methoden für Gleichungen wtor Ordnung.

10. Methode des Euler'schen Multiplikators.

17.    Fälle der Graderniedrigung.

18.    Lie'sehe Theorie. Gleichungen, die Gruppen von Punkttransformationen gestatten. Y er allgemeinerungen.

19.    Unaufgelöste Gleichungen. Typen integrabler Gleichungen.

Spezielle Klassen von Gleichungen und Gleichungssystemen,

a) Die lineare Gleichung wter Ordnung.

20.    Allgemeine Begriffe; Fundamentalsysteme von Lösungen.

21.    Gleichungen mit konstanten Koeffizienten. Gleichungen von Lagrange. Methode von d'Alembert.

22.    Gleichungen mit zweitem Glied. Methode der Variation der Konstanten.

23.    Erniedrigung der Ordnung der Gleichung. Gemeinsame Lösungen zweier linearen Gleichungen.

24.    Gleichung mit gegebenem Fundamentalsystem. Symbolische Methoden.

25.    Rationale Differentialfunktionen der Lösungen eines Fundamentalsystems. Invariante Funktionen. Transformation.

26.    Associierte Gleichungen. Adjungierte Gleichung.

27.    Gleichungen zweiter Ordnung.

b) Lineare Systeme.

28.    Ausdehnung der vorhergehenden Theorieen auf Systeme linearer Gleichungen.

c) Lie’sche Systeme und Verallgemeinerungen.

29.    lAe’sche Systeme. Ihre verschiedenen Definitionen. Ihre Integrationstheorie.

30.    Allgemeinste Systeme mit Fundamentallösungen. Gleichungen höherer Ordnung mit Fundamentalsystemen erster Integrale. Verallgemeinerung der .ZA'e’schen Systeme.

31.    Systeme von partiellen Differentialgleichungen mit Fundamentallösungen.

32.    Verschiedene Klassen von Gleichungen.

Äquivalenzprobleme.

33.    Formulierung des Problems. Einführung der Differentialinvarianten. Allgemeine Methoden.

34.    Invarianten der linearen Gleichungen.

35.    Invarianten verschiedener Klassen von Gleichungen.

Rationelle Integrationstheorieen.

36.    Rationalitätsbereich. Irreducibilität.

37.    Rationelle Integrationstheorie der linearen Gleichungen.

38.    Ausdehnung der Theorie auf die JAe’schen Systeme. Theorie von J. Drach für beliebige Systeme von Gleichungen 1. Ordnung.

Litteratur.

Alle allgemeinen Lehrbücher der Differential- und Integralrechnung (vgl. p. 56); namentlich Euler, Inst. calc. integr. 1,2,4; Lacroix, Traité 2; C. Jordan, t. 3; E. Picard, t. 3; J. Boussinesą, Cours d’analyse infinitesimale, Par. 1887; dann die p. 190 angeführten Lehrbücher von Forsyth, Koenigsberger-, ausserdem

G. Boole, Treatise on differential equations, Cambr. and Lond. 1865 (mit supplementary volume).

Speziell für lineare Gleichungen:

F. Klein, Autogr. Vorlesungen über höhere Geometrie 2, Göttingen 1893, und über lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung, Göttingen 1894.

L. Schlesinger, Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen, Leipzig 1895/98.

L. Sauvage, Theorie générale des systèmes différentiels linéaires et homogènes, Toul. Ann. 8 und 9; auch separat, Paris 1895.

Für die Tie’sehe Theorie :

S. Lie, Vorlesungen über Differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen Transformationen, bearb. u. herausgeg. von G. Scheffers, Leipzig 1891.

Über Integration durch bestimmte Integrale vgl. man II B 3, über algebraische Integration und überhaupt die funktionentheoretischen Methoden II B 5; über Approximationsmethoden IIA 4 a (bes. Nr. 4) und 7 a, sowie auch die Artikel über astronomische Mechanik im IY. und Y. Band; über die Gestalt von Kurven, die durch Differentialgleichungen definiert sind (III D 8) ; über mechanische Integration IIA 1, Nr. 61.

1. Fundamentale Probleme. Definitionen. Die Probleme, mit denen sich die Theorie der Differentialgleichungen beschäftigt, sind bereits II A 4 a, Nr. 1 angegeben; hier sei nur noch zugefügt:

(1)

Unter dem allgemeinen Integral eines Systems nter Ordnung: dxi

gx ~    \x; Ü ? • • ? ^n)

versteht man eine Lösung:

Xi = B; (x\ ax, .., an)

(2)

(t== 1, 2,.., n),

die wesentlich von n willkürlichen Konstanten ax, a₂,. . ., an abhängt. Die Punktionen Bi sind nicht vollständig definiert; denn man kann in ihnen die a-, durch n willkürliche Funktionen von n andern willkürlichen Konstanten ersetzen, d. h. die allgemeinste Punkttransformation auf die a-,. ausüben.

A. Cauchyr) und C. G. J. Jacobi⁵ 6 7) haben gezeigt, dass das so gestellte Problem nicht zu trennen ist von dem der Integration der homogenen linearen partiellen Differentialgleichung:

(3)

Lf =

“f“    Xl) ■ • ) %n) fix. ^

i— 1

(vgl. II A 4 a, Nr. 6 und 16; II A 5, Nr. 11). Man weiss in der That seit Lagrange⁵), dass die Auflösungen der Gleichungen (2) nach den Konstanten ein Fundamentalsystem von Lösungen von (3) geben, d. h. ein System von n unabhängigen Lösungen dieser Gleichung. Umgekehrt erhält man das allgemeine Integral von (1), indem man n Funktionen gx (x, xX) . . ., xf) . . . zn (%, xx,. . ., xn), die ein Fundamentalsystem von Lösungen von (3) bilden, willkürlichen Konstanten gleichsetzt. Übrigens leitet man aus einem partikulären Integralsystem das allgemeinste durch Ausübung der allgemeinsten Punkttransformation auf die z her. Die Gleichung (3) heisst zu dem System (1) äquivalent oder ihm associiert. Erstes Integral oder einfach Integral von (1)

von

(5) für einen entsprechenden Wert der Konstanten a erfüllt wird.

heisst jede Gleichung, die man erhält, indem man eine Lösung von (3) einer willkürlichen Konstanten gleichsetzt; abkürzungsweise auch oft eine solche Lösung selbst.

Die Differentialgleichung nter Ordnung:

(4)

dy

dx’

dn~xy

⁷ dxn~x.

wird auf ein System nteT Ordnung zurückgeführt, indem man:

(5)

dy

y Xi’ dx "

dn' xy ⁷ dxn~x

- Xn

setzt; sie bildet also für die Integrationstheorieen nur eine besondere Klasse von Systemen nter Ordnung. Ein erstes Integral von (5) ist

dn~xy ⁷ dxn~x

also eine Relation cp (x₇ y,

dy

dx’

^ = a, die von jeder Lösung

Allgemein heisst ktes Integral oder Integral ktex Ordnung eine Relation:

(6)

dy

dn~

«*) = o,

v\x> y> Tx>-

die von jeder Lösung von (5) für entsprechende Werte der a erfüllt wird. Endlich das allgemeine Integral von (5) ist definiert durch eine Relation der Form cp (x, y | a₁₇ . . ., an) == 0 und stellt folglich eine Familie von oon ebenen Integralkurven vor. — Diese Definitionen übertragen sich sofort auf beliebige Systeme von Gleichungen höherer Ordnung.

⁷ dxn

2. Historischer Überblick ; formale Integrationstheorieen. Man

hat sich ursprünglich zum Ziel gesetzt, das System (1) durch Funktionen 6 zu integrieren, die nur eine endliche Anzahl von Zeichen der algebraischen Operationen und der „elementaren Transcendenten“ enthalten sollten („explicite Integration“). In dieser Form ist das Problem, von ganz speziellen Fällen abgesehen, unlösbar, wie aus den Untersuchungen von N. H. Abel und J. Liouvüle über die durch Gleichungen der Form dy/dx = f(x) definierten Transcendenten (II B 2) hervorgeht. Doch schon die Mathematiker des 18. Jahrhunderts waren von dieser Unmöglichkeit überzeugt und hatten daher ein weiteres Problem in Angriff genommen: das der Integration durch Quadraturen, bei dem nur verlangt wird, die 6 durch eine endliche Anzahl algebraischer Operationen und unbestimmter Integrale auszudrücken. Auf dieses Problem beziehen sich die Methoden der Trennung der Variahein (Nr. 4) und des integrierenden Faktors (Nr. 5). Dass auch das neue Problem im allgemeinen nicht lösbar ist, ist seit langem angenommen und von J. Liouvüle zuerst bewiesen worden (Nr. 8 und 37) (vgl. II B 5). In der Tliat liaben die klassischen Integrationstheorieen thatsächlich nur die Reduktion des Systems (1) von der Ordnung n in wohlbestimmten Fällen auf einfachere Probleme derselben Art zum Ziel. So führt man in den klassischen Fällen der Ordnungserniedrigung das Problem auf die Integration einer Gleichung niedrigerer Ordnung und auf Quadraturen zurück; bei der Methode des Euler-schen Multiplikators für Gleichungen höherer Ordnung erniedrigt man die Ordnung um eine Einheit, sobald der Multiplikator bekannt ist; die Methode des Jacobi¹ sehen Multiplikators erlaubt, unter gewissen Voraussetzungen, die Integration durch Quadraturen zu vollenden.

Erst seit wenigen Jahren betrachtet man als ein wesentliches Element der zu erzielenden Vereinfachungen die Natur der Hülfs-systeme, auf die man das vorgelegte System zurückführt. Dieser neue Gesichtspunkt ist das Resultat der fortschreitenden Entdeckung zahlreicher Eigenschaften verschiedener Klassen von Gleichungen, deren Untersuchung allmählich zu einem wichtigen Teil der allgemeinen Theorie geworden ist; namentlich der linearen Gleichungen (II B 4), der kanonischen Systeme der Dynamik (IV), endlich der JRiccati'sehen Gleichung (der einfachsten Gleichung 1. Ordnung, die sich nicht durch Quadraturen integrieren lässt).

Die von S. Lie geschaffene allgemeine Theorie der Transformationsgruppen (IIA 6) und ihr Annex, die Theorie der Differential-invarianten, haben sowohl die allgemeinen Integrationstheorieen, als die Untersuchung spezieller Klassen von Gleichungen entscheidend gefördert. Lids Theorie der Integration von Systemen, die bekannte Transformationsgruppen zulassen (Kr. 13), erlaubt nicht allein, die meisten klassischen Methoden auf ein Prinzip zurückzuführen, sondern auch aus der Struktur der als bekannt vorausgesetzten Gruppe präcise Folgerungen über die Natur der zur Integration des vorgelegten Systems ausreichenden Hülfssysteme zu ziehen. Zu gleicher Zeit sind die Lid sehen Systeme oder Systeme mit Fundamentallösungen (Nr. 29) eingeführt worden, von denen die linearen Systeme und die Riccati’sche Gleichung nur ganz spezielle Fälle sind, und für die es regelrechte Integrationsmethoden giebt. Endlich sind auch die kanonischen Systeme der Dynamik spezielle Fälle sehr allgemeiner Systeme, deren Untersuchung sich an die der unendlichen Gruppen anschliesst.

Schliesslich kommt die Gesamtheit dieser formellen Integrationstheorieen auf die beiden folgenden Probleme hinaus: 1) aus vorher bekannten allgemeinen Eigenschaften eines Differentialgleichungssystems möglichsten Gewinn für seine Integration zu ziehen; 2) besondere

Klassen von Differentialgleichungen zu definieren und ihre Eigenschaften zu untersuchen.

3. Einführung neuer Variabein. Äquivalenzprobleme. Rationelle Integrationstheorieen. Die allgemeinste und älteste Integrationsmethode ist die Methode der Einführung neuer Variabein oder der Transformation der Differentialsysteme. Sie besteht in der Aufsuchung einer Transformation des Raumes von n -f- 1 Dimensionen:

(7) x = F(x, x1, .., xn), Xi = Fi(x, Xi, .. , xn)    (i =1,2,.., n), die das System (1) in ein schon integriertes System von besonderer Form überführt. So aufgefasst ist die Methode dermassen vag, dass sie kaum den Namen einer Methode verdient: zwei beliebige Systeme (1) lassen sich durch unendlich viele Transformationen (7) in einander überführen. Gleichwohl hat sie nicht nur zahlreiche spezielle Resultate geliefert, sondern man kann mit S. Lie sagen, dass sie die gemeinsame Grundlage aller formalen Integrationstheorieen bildet, die nur zum Ziele haben, sie für die einzelnen Fälle zu präzisieren. Jede dieser Theorieen untersucht in der That ein besonderes Integrationsproblem: aus den speziellen Umständen dieses Problems folgt, dass das vorgelegte System durch Transformationen, die einer speziellen Gesamtheit von solchen angehören, in ein schon integriertes System übergeführt werden kann; die Eigenschaften dieser Gesamtheit von Transformationen bestimmen die Natur der zur Lösung des vorgelegten Problems erforderlichen Integrationen. Von diesem allgemeinen Prinzip aus, dass jedes Integrationsproblem einem Transformationsproblem äquivalent ist, hat Lie eine systematische Untersuchung der vorliegenden Integrationsprobleme unternehmen können⁸).

Die Transformationsmethode führt namentlich dann auf präcise Fragestellungen, wenn man zu entscheiden verlangt, ob zwei Differentialsysteme derselben Klasse sich in einander transformieren lassen mit Hülfe einer Transformation einer (endlichen oder unendlichen) Gruppe, deren Transformationen alle Systeme dieser Klasse in Systeme derselben Klasse überführen. Die Lösung dieser Aquivalenzprobleme hängt eng mit der Theorie der Differentialinvarianten zusammen (Nr. 33).

Endlich seien als „rationelle Integrationstheorieenu 9) gewisse neuere Theorieen bezeichnet, deren Ziel ist, die Natur der Vereinfachungen

anzugeben, die die Integration eines vorgelegten speziellen Systems im Vergleich mit der des allgemeinsten Systems derselben Klasse zulässt; genauer gesagt, folgende drei Fragen zu beantworten:

1)    Wann ist ein System als ein spezielles System der vorgelegten Klasse anzusehen und was für verschiedene Kategorieen spezieller Systeme enthält diese Klasse?

2)    Welche Vereinfachungen bieten sich bei der Integration für jede dieser Kategorieen dar?

3)    Wie kann man methodisch entscheiden, ob ein vorgelegtes System speziell ist, und wenn ja, zu welcher Kategorie es gehört?

Die zweite Frage fällt in den Rahmen der formellen Integrations-theorieen; die dritte lassen wir hier bei Seite, da sie einerseits gegenwärtig in den meisten Fällen keine entscheidende Beantwortung erlaubt, andererseits die Hülfsmittel der Theorie der Funktionen komplexer Veränderlicher erfordert.

Gleichungen erster Ordnung.

4. Methode der Trennung der Variabein. Das einfachste System (1) ist dasjenige (n — 1), das aus einer Gleichung erster Ordnung besteht:

(8)

oder symmetrischer:

(8 a)

dx

dy

«(«» y)

Das allgemeine Integral ist z (x, y) — a, wenn z das Integral der äquivalenten Gleichung:

a(f) = «(*, y)% + ß{x, y)j-y = o

ist. Leibniz und seine unmittelbaren Schüler haben den Fall untersucht, dass l Produkt einer Funktion von x und einer Funktion von y ist. Die Gleichung kann dann geschrieben werden:

(9)

L(f)

bezw.

(9a)

(10)

P (x) dx -f- Q (y) dy = 0

und ihr allgemeines Integral ist:

(H)

jP(x) dx Arj*Q(y)dy = const.,

wo nur noch die angegebenen Quadraturen auszuführen sind. Man sagt in diesem Fall, in der Gleichung (8) seien die Variabein getrennt.

4. Meth. d. Trennung d. Variabein. 5. Methode d. Euler’schen Multiplik. 237

Die Methode der Trennung der Variabein, die die Schule von Leibniz auf diese Bemerkung gründete, besteht in der durch Einführung neuer Variabein zu bewirkenden Zurückführung der vorgelegten Gleichung auf eine andere, in der die Variahein getrennt sind. Sie gelingt u. a. für die homogene Gleichung:

G)

(12)

dy

vermittelst der Substitution y = ux (Joh. I Bernoulli) und für die lineare Gleichung:

(13)

ff = A(x)y + Bix)

vermittelst der Substitution y — ue^A {x)dæ (Jac. 1 Bernoulli). Man verallgemeinert die Methode, indem man die vorgelegte Gleichung durch Einführung neuer Variabein auf einen schon erledigten Fall, z. B. (12) oder (13), zurückzuführen sucht. Erwähnt sei die Gleichung von Jac. I Bernoulli:

B [<fS

fei

die durch die Substitution u = ym auf eine lineare zurückgeführt wird¹⁰).

5. Methode des Euler’schen Multiplikators. Eine zweite Methode¹¹) gründet sich auf die Thatsache, dass das Integral z durch eine Identität der Form:

(15)

dz = M(x, y) \a (x, y)dy — ß (x, y) dx\

definiert ist. Kennt man also den Multiplikator oder integrierenden Faktor M(x, y), so erhält man z durch eine Quadratur. Die allgemeine Bestimmung eines Multiplikators ist nicht leichter als die eines Integrals; denn sie verlangt die Integration der Gleichung:

d (Mcc)

(16)

dx

d(M ß)

dy

= 0.

Euler zeigt, dass deren allgemeine Lösung M = M₀cp(z₀) ist, wenn M₀ irgend einen Multiplikator, z₀ ein erstes Integral und <jp eine willkürliche Funktion bedeutet. Daraus folgt: der Quotient zweier Multiplikatoren ist ein Integral, wenn er keine Konstante ist.

In gewissen speziellen Fällen kann die Form der Gleichung dazu führen, Multiplikatoren besonderer Form zu versuchen, die sich dann wirklich bestimmen lassen. Z. B. hat die lineare Gleichung (13) einen Multiplikator, der Funktion von x allein ist und sich durch eine Quadratur bestimmt: M—e~^Ädx. Auf diese Weise konnte Euler seine Methode mit Erfolg nicht nur auf diejenigen Beispiele anwenden, die seine Vorgänger durch Trennung der Variabein behandelt haben, sondern auch noch auf viele andere. So fand er z. B. für die Gleichung :

(17)

ydy-f- [A(x)y -j- B(x)]dx = 0

verschiedene Fälle der Integrabilität¹²).

Aber die fruchtbarste Idee Euler’s, war, das umgekehrte Problem zu behandeln, d. h. Gleichungen zu suchen, die Multiplikatoren von gegebener Form haben. Er erhielt so zahlreiche, freilich fast durchweg sehr spezielle Resultate¹³).

6. Methode von Lie. S. Lie bemerkte¹⁴), dass die meisten durch die vorhergehenden Methoden integrierten Gleichungen durch je eine eingliedrige Transformationsgruppe und also durch je eine infinitesimale Transformation in sich übergeführt werden. So gestattet die Gleichung (12) die Gruppe: x = mx, ÿ — my; (13) die Gruppe: ÿ — y + me^Adx. Er wurde so zu folgendem Problem geführt: Man kennt (durch ihre endlichen Gleichungen) eine eingliedrige Gruppe, die die Gleichung (8) invariant lässt; welchen Gewinn kann man daraus für deren Integration sielten? Lie zeigt, dass es genügt, die Gruppe auf ihre kanonische Form: X — X, Y = Yt zu bringen; in denselben neuen Variabein hat die Gleichung (8) die integrable Form dY/dX — A(X). Die Reduktion der Gruppe auf ihre kanonische Form erfordert im allgemeinen eine Quadratur¹⁵).

Später¹⁶) nahm Lie das Problem wieder auf unter der Voraussetzung, dass von der Gruppe, die die Gleichung (8) oder (8 a) in sich überführt, nur eine infinitesimale Transformation i (/•) = g (a?, y) + v (x, y) Jy

(18)

bekannt sei. Er findet, dass in diesem Fall der reciproke Wert von A == ar\ — ß% ein Multiplikator von ady — ßdx ist. Eine Quadratur genügt daher zur Integration der Gleichung. Die allgemeinste infinitesimale Transformation, die (8 a) bezw. (9a) invariant lässt, ist definiert durch eine Identität der Form¹⁷):

(19)

(Af, Tf) = ç(.x,y)-A(f)

die zur Bestimmung von |, rj ein System partieller Differentialgleichungen liefert. Man kann diese Untersuchung vereinfachen, indem man nur Transformationen der Form Tf =y(x,y) ~~ berücksichtigt,

was keine wesentliche Beschränkung ist; aber dann ist die Bedingung, dass I/17 ein Multiplikator von (8) ist. Die Methode von Lie ist also der von Euler (Nr. 5) genau äquivalent; aber sie ist im allgemeinen leichter anwendbar. Lie hat aus ihr eine geometrische Interpretation des Multiplikators abgeleitet¹⁸).

Endlich stellt Lie seine Methode noch in anderer Form dar¹⁹): Die Identität (19) zeigt, dass die Gleichungen

(20)

A/’= 0, T f=l

eine Lösung gemein haben; diese wird durch eine Quadratur erhalten, durch dieselbe, auf die auch der Multiplikator 1/A führt. Die Gleichungen (20) sind die analytische Übersetzung der 1. Methode von Lie, die die Methode der Trennung der Variabein (Nr. 4) systematisiert. Man hat also damit auch das Band zwischen den beiden klassischen Methoden.

Nach Euler¹ s Beispiel behandelt Lie auch das inverse Problem: Alle Gleichungen 1. Ordnung zu bestimmen, die eine gegebene eingliedrige Gruppe zulassen. Hier kann man die allgemeine Lösung angeben, nämlich: & (J₀, J-ß) = 0, wenn 0 eine willkürliche Funktion, J₀ die Invariante der Gruppe, J± ihre Differentialinvariante 1. Ordnung bedeutet. Diese beiden Invarianten berechnen sich durch Eliminationen, sobald man die endlichen Gleichungen der Gruppe kennt²⁰).

7. Diskussion. Vergleichung der Transcendenten. Algebraische Integration. Wie man sieht, haben die drei besprochenen, im Grunde äquivalenten Methoden einen gewissen Charakter der Unbestimmtheit gemein: er liegt in der voraufgehenden Aufsuchung, sei es der Transformation, die zur Trennung der Yariabeln führt, sei es eines Multiplikators, sei es einer infinitesimalen Transformation, die die Gleichung invariant lässt. Sie haben auch thatsächlich nur sehr wenige Resultate geliefert; ihr Hauptnutzen liegt in der Bildung von Typen integrabler Gleichungen, von denen sich die interessantesten schon in Euler⁷s Integralrechnung finden.

Andrerseits ist über diese Methoden zu bemerken, dass sie häufig die wahre Natur des Integrals maskieren, indem sie direkt auf die Integration durch Quadraturen zustreben. So giebt die Methode der Trennung der Yariabeln die Integrale der Gleichungen:

dy

dx

(21)

P{x)

= 0 (P ein Polynom 1. oder 2. Grades),

(22)

dx

dy

yp(x) yp(y)

— 0 (P ein Polynom 1., 2., 3. oder 4. Grades)

in transcendenter Form, während diese Integrale thatsächlich algebraisch sind. Das folgt für (21) und für (22), wenn P vom 1. oder

2. Grade ist, aus der Theorie der Exponential- und Kreisfunktionen. Für (22), wenn P vom 3. oder 4. Grade ist, hat es Euler bewiesen, dessen Namen diese Gleichung behalten hat. Er entwickelt daraus, unter dem Namen der Vergleichung der Trans cen den ten, eine Theorie, welche die der elliptischen Funktionen (IIB 6 a) im Keim enthält. Man hat später verschiedene Verfahren zur Integration der Euler’schen Gleichung angegeben; der wahre Grund des erwähnten Satzes liegt in dem Abel’sehen Theorem (II B 2), das auch zu Verallgemeinerungen führt.

Im übrigen vergleiche man wegen der algebraischen Integration der Gleichungen 1. Ordnungen den Abschnitt II B 5.

8. Jacobi’sche und liiccati’sche Gleichung. Von speziellen Untersuchungen, die nicht unter die allgemeinen Methoden fallen, sind die wichtigsten:

Eie Gleichung von C. G. J. Jacobi¹⁷) :

(23) P (x, y)dx -f- Q (x, y) dy -f- B (x, y) {x dy — y dx) = 0 (P, Q, R Polynome ersten Grades) hat das Integral:

(24)

jjh—h yh—ii yyK—i* = const., wobei U, V, W Polynome 1. Grades, A1? /t₂, As die Wurzeln einer

17) J. f. Math. 24 (1842), p. 1 ; Ges. Werke 4, p. 25G.

8. Jacobfsche und Riecati’sche Gleichung.

241

Gleichung 3. Grades bedeuten. J. A. Serret1H) hat mit Hülfe der Methode von d’Alembert (Nr. 21) die Form des Integrals für die Fälle gegeben, dass diese Hülfsgleichung gleiche Wurzeln hat. Daran knüpfen sich die Untersuchungen von G. Darboux²¹ 22) über algebraische Integrale der Gleichungen 1. Ordnung.

Die Riccati’sehe Gleichung:

(25)

dl= A(x)y* + B(x)y + c(x)

verdankt ihren Namen dem speziellen Falle:

-f- ay²³ — bxm

(26)

(a, b konstant),

der von Graf J. Riccati²³) untersucht wurde. Dieser letztere lässt sich durch elementare Funktionen integrieren, wenn m —

ilc

2Jfc±l

(Je eine positive ganze Zahl), und steht im übrigen in naher Beziehung zu den Ressel’sehen Funktionen (II B 4 b, Nr. 44). Die allgemeine R.'sche Gleichung lässt sich nicht durch Quadraturen integrieren; das wurde von J. Liouville20a) für die spezielle Gleichung (26) angegeben und folgt auch aus dem entsprechenden Satz über lineare Gleichungen (Nr. 37), sowie aus de Maximovitsch’s ²⁴) Bestimmung von durch Quadraturen integrierbaren Klassen von Gleichungen der Form: dy/dx = F(x, y, rj (x), . ., 7]n(x)) (rj1} . ., rjn unbestimmte Funktionen, F eine bestimmte Funktion seiner Argumente). Das allgemeine Integral der R.’schen Gleichung hat die Form:

C(p (x) -f- 1p (x)

(27)

c%(x) + (0{x)

wenn c die Integrationskonstante bedeutet; m. a. W. das Doppelverhältnis von irgend 4 partikulären Integralen ist konstant. Diese Eigenschaft, die für die R.’sche Gleichung charakteristisch ist, scheint erst in den letzten Jahren hervorgehoben worden zu sein²⁵); doch ergiebt sie sich unmittelbar aus der schon Euler bekannten That-sache, dass man bei Kenntnis eines partikulären Integrals yx die

16

Gleichung durch die Substitution y = yx -f- u~l in eine lineare überführen kann.

9. Unaufgelöste Gleichung. Integration durch Differentiation.

Ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung in unaufgelöster Form:

(28)

F G y’d£) = o

gegeben, so muss man sie, um die allgemeinen Methoden anwenden zu können, im allgemeinen erst nach dy / dx = y auf lösen. Diese Auflösung kann unausführbar sein; man vermeidet sie oft durch eine Erweiterung der Transformationsmethode, indem man eine Transformation anwendet, die auch y enthält. Man nennt das Integration durch Differentiation. Die älteste dieser Transformationen²⁶) besteht darin, dass man y an Stelle einer der alten Variabein, z. B. von y, einführt; man hat dann y und dy aus (28) und den Gleichungen:

a ni

(29) dy — y dx — 0, dF = | dx -f-    dy -j- dy = 0

zu eliminieren. Man erhält eine Differentialgleichung 1. Ordnung zwischen x und y ] man sucht ihr allgemeines Integral V(x, y, a) — 0 und hat dann nur y zwischen F — 0 und V — 0 zu eliminieren. Diese Transformation führt zum Ziele bei fax dt Alembert'sehen Gleichung:

¹

   Lehrbuch p. 347.

²

   Par. C. Pt. Jan. 1899. — Übrigens werden die Singularitäten linearer Differentialgleichungen, die schon länger bekannt sind und der Untersuchung der Singularitäten der allgemeinen Gleichungen vielfach den Weg gewiesen haben, in II B 4 noch ausführlich besprochen.

³

   J. de math. (4) 2, 1886, p. 151.

⁴

Das allgemeine Problem der Stabilität der Bewegungen, Charkow 1892 (russ.); J. de math. (5) 3, 1897, p. 81.

⁵

   Par. C. R. 2 (1836), p. 85; Oeuvr. (1) 5, p. 236. Er bezeichnet (3) als charakteristische Gleichung.

⁶

   J. f. Math. 23 (1841), p. 1—104; Ges. Werke 4, p. 149.

⁷

   Ygl. II A 5, Fussn. 58.

⁸

   Leipz. Ber. 47 (1895), p. 269; 48 (1896), p. 390.

⁹

   J. Drach (Par. thèse 1898, p. 30) gebraucht in einem analogen Sinn den Ausdruck: „logische Integration“.

¹⁰

   Über die Bibliographie dieser Nummer vgl. man z. B. Lacroix, Traité 2 oder M. Cantor, Geschichte der Mathematik 3 (Leipz. 1898), Kap. 100.

¹¹

   L. Euler, N. Comm. Petr. 8 (1760), p. 3 und 17 (1772), p. 105, sowie Inst, calc. int. 2. — Die Idee des Multiplikators scheint auf A. Clairaut, Par. Hist. 1739 und 1740 zurückzugehen.

¹²

   Die Gleichung (17) ist seitdem noch vielfach untersucht worden; so von

N. H. Abel (Oeuvr. 2, p. 26) ; Minding [Petersb. Mem. (7) 5,1862, p. 1] ; F. Z. Elliot, Ann. éc. norm. (3) 7 (1890), p. 101; Korkine, Math. Ann. 48 (1897), p. 317.

¹³

   Hier reihen sich an: N. Alexejeff, Intégration des équations différentielles, Moscou 1878; A. Winckler, Wien. Ber. 99 (1890), p. 457, 875.

¹⁴

   Über alle hier auftretenden Begriffe aus der Theorie der kontinuierlichen Transformationsgruppen vgl. man II A 6.

¹⁵

   F. Klein und S. Lie, Math. Ann. 4 (1871), p. 50.

¹⁶

   Christ. Förh. 1874, p. 242.

¹⁷

   Wegen der Definition des Jacobi’schen Klammerausdrucks vgl. man II A 6, Nr. 5.

¹⁸

   a. a. 0. Vgl. Lie-Scheffers, Differentialgleichungen, Kap. 9, wo auch verschiedene Anwendungen.

¹⁹

   Vgl. z. B. Lie-Scheffers, p. 96.

²⁰

   Lie-Scheffers, p. 138.

²¹

   Calc. diff. et int. 2, p. 431.

²²

   Bull. soc. math. 1878, p. 72.

²³

   Acta erud. 1722. Schon d'Alembert, Beri. Hist. 1763 [70], p. 242 gebraucht den Namen in dem jetzt üblichen allgemeineren Sinne.

20a) J. de math. 6 (1841), p. 1.

²⁴

   Par. C. R. 101 (1885), p. 809.

²⁵

   E. Picard, Ann. éc. norm. (1) 6 (1877), p. 341; Ed. Weyr, Prag. Abh. (6) 8 (1875) [77], p. 30. Die Wichtigkeit der Riccati’schen Gleichung ergab sich schon aus den Untersuchungen von 0. Bonnet über Regelflächen. Vgfl. G. Darboux, Théorie des surfaces 1, chap. 2 und E. Picard, Traité d’analyse 2, p. 329.

Encyklop. d. math. Wissenseh. II.

²⁶

   J. d’Alembert, Beri. Hist. 1748.

x<p (f) + yy> (y) + % (/) = 0.

indem sie sie auf den linearen Typus zurückführt; ein spezieller Fall von dieser ist die Clair aut'sehe Gleichung¹):

(31)

y — xy + i (y) = 0,

mit dem allgemeinen Integral:

y — ax + i (a) = 0.

Man wendet sie überhaupt immer an. nach x, mutatis mutandis) auflösen lässt.

wenn F — 0 sich nach y (oder

Allgemeiner kann man, wenn F, G, H drei unabhängige Funktionen sind,

(32)

X = G(x, y, y), Y= H(x, y, y) setzen; man eliminiert aus diesen Gleichungen, den daraus abgeleiteten dX = dG, dY = dH und aus (28) und (29) x, y, y, dx, dy, dy ; ist V (X, Y, a) — 0 das allgemeine Integral der so erhaltenen Transformierten in X, Y, so hat man noch y aus F — 0 und V = 0 zu

9. Unaufgelöste Gleichung. Integration durch Differentiation.

243

eliminieren. Eine solche Transformation lässt sieli z. B. anwenden, wenn F(x, y, y') = 0 in x, y, y eine rationale Fläche vorstellt²).

Man kann speziell Berührungstransformationen (III D 7) anwenden, d. h. die allgemeinsten Transformationen, die jede Gleichung 1. Ordnung in eine andere Gleichung 1. Ordnung und zugleich jede Lösung der ersteren in eine Lösung der letzteren überführen. Um Schwierigkeiten zu vermeiden, muss man dabei unter einer Lösung von F = 0 jede Elementmannigfaltigkeit Mx (II A 5, Nr. 9) verstehen, deren sämtliche Elemente 1. Ordnung die Gleichung F = 0 erfüllen³). Man kann dann das Integrationsproblem folgendermassen auffassen: eine Berührungstransformation zu finden, die F — 0 auf Y= 0 reduziert. Für die Rechnung kommt das auf die Aufsuchung eines von F verschiedenen ersten Integrals von (29), d. h. einer Lösung der zu diesem System äquivalenten (Nr. 1) Gleichung⁴):

(33)

VF, n = o.

Denn wenn U(x, y, y) diese Lösung ist, ist die verlangte Transformation:

■y T? y' - c U

’    ~ dy-dy

(34)

x= u,

und das allgemeine Integral von F = 0 ist definiert durch F = 0,

U = a.

In dieser Form ist die Methode von S. Lie³) gegeben; doch hat man schon lange das Verfahren der Integration durch Differentiation geübt, indem man die Gleichung F = 0 durch das System 2. Ordnung (29) ersetzte. Da man von diesem schon ein erstes Integral F kennt, liegt es nahe, die Methode des Jacobi’schen Multiplikators (Nr. 12) auf dasselbe anzuwenden. Hierauf sich beziehende Untersuchungen von

J. Liouville⁵), Malmstén ⁶), E. Laguerre⁷) liefern durch Quadraturen integrable Typen, die willkürliche Funktionen enthalten. Analoge Typen geben die Zie’schen Theorieen⁸) (Gleichungen, die eine gegebene infinitesimale Berührungstransformation zulassen). A. Mayer⁹) bestimmt die Bedingung dafür, dass eine Gleichung, die eine willkürliche Funktion enthält, sich durch eine von dieser willkürlichen Funktion unabhängige Berührungstransformation auf den linearen Typus zurückführen lässt.

Unmittelbar integrabel sind Gleichungen der Form cp(U{x, y, y), V (:x, y, y)) = 0,

wenn U, V zwei erste Integrale einer Gleichung 2. Ordnung sind³³). Ihr allgemeines Integral ist definiert durch die Gleichungen U = a, V = b, cp (a, b) = 0, zwischen denen noch y zu eliminieren ist. Die Bedingung, der U, V genügen müssen, ist [U, V] — 0, sodass sich das Resultat aus der vorhergehenden Methode von Lie ableiten lässt³⁴).

10. Geometrische Interpretationen. Verwendung homogener Koordinaten. Häufig ist es vorteilhaft, die Gleichung 1. Ordnung durch ein Gleichungssystem zu ersetzen. Selbst für die Normalform (8a) substituiert man oft das System³⁵):

(34)

I? = «(*,«/), |f = ?(*,»),

was vom Lie’schen Standpunkt auf die Bestimmung der endlichen Gleichungen der von der infinitesimalen Transformation (9 a) erzeugten eingliedrigen Gruppe hinauskommt. Ein anderes Beispiel davon giebt der Gebrauch der homogenen Koordinaten³⁶): die Differentialgleichung 1. Ordnung drückt eine Beziehung zwischen einem beliebigen Punkt einer Integralkurve und ihrer Tangente an ihm aus und) kann folglich auf die doppelt-homogene Form gebracht werden:

(35)

<&(x, y, z\u, v, w) = 0, in der x, y, £ die homogenen Koordinaten des Punktes, u, v, w die der Tangente bedeuten. Der „aufgelösten“ Gleichung entspricht der Fall, dass 0 die Form hat:

(36)

A (x, y, z)u -J- B (cc, y, z) v -j- C(x, y, z) w = 0, in der A, JB, G homogen und von demselben Grade m sind³⁷). Man kann diese Gleichung durch das System

33)    J. Lagrange, Leçons sur le calcul des fonctions, leçon 16; Oeuvr. 10, p. 220.

34)    Vgl. Lie-Engel, Trf.-Gruppen 2, Kap. 1.

35)    Vgl. z. B. die von L. Euler (Inst. cale. int. 4, p. 481), J. Lagrange

(Oeuvres 2, p. 6), G. Darboux angewandten Methoden zur Integration der Euler-schen Gleichung (Nr. 7).    ,

36)    A. Clebsch, Gött. Abh. 17, 1872 und Math. Ann. 5 (1872), p. 427 (vgl. Clebsch-Lindemann, Geometrie 1, Leipz. 1876, p. 963); G. Darboux, Bull. soc. math. 6 (1878), p. 68; vgl. auch Fouret, Par. C. R. 78 (1874), p. 837.

37)    m = 1 giebt die Jacob’s ehe Gleichung (Nr. 8); vgl. A. Clebsch und P. Gordan, Math. Ann. 1 (1869), p. 359.

dx : dy : dz — A : B : G, d. h. durch die associierte Gleichung:

(37)

(38)

AdJ- +S^ + Cd^ = 0

dx ¹ dy

ersetzen; von dieser muss man ein homogenes Integral 0tor Ordnung suchen. Zu diesem Zweck kann man einen Multiplikator y bestimmen, der der Jacobf sehen Relation:

d(fiA) d(yB) , o(fiC)

dx

dy

dz

genügt; sorgt man dafür, dass er homogen von der Ordnung —(ni-j-2) wird, so ist das Differential: ein exaktes Differential (II A 2, Nr. 43); indem man es integriert, erhält man das gesuchte allgemeine Integral.

Über die Beziehungen zu Clebschfs Theorie der Konnexe vgl. man

III C 10.

Eine andere geometrische Interpretation hat S. Lie gegeben¹⁰): er betrachtet F (x, y, y) — 0 als Gleichung einer Fläche, auf welcher die dem linearen Komplex dy — y dx — 0 angehörenden Kurven zu bestimmen sind. Von dieser Bemerkung aus kann man die Theorie der singulären Integrale (II A 4 a, Nr. 20) synthetisch entwickeln.

Systeme von Gleichungen 1. Ordnung; allgemeine Theorieen.

11. Multiplikatorensysteme. Das klassische Verfahren zur Integration des allgemeinen Systems (1) besteht in der successiven Erniedrigung der Ordnung des Systems. Zu diesem Zweck sucht man ein erstes Integral z(x, xx, x₂, . ., xn) — a und eliminiert mit dessen Hülfe eine der Unbekannten, z. B. xn, aus dem System (1). Man erhält so ein System (n — l)ter Ordnung in x, x1} . . , xn—i, das man ebenso weiter behandelt. So aufgefasst zerfällt die Integration in n successive Operationen, nämlich: Bestimmung eines Integrals eines Systems nter Ordnung, eines Integrals eines Systems (n — l)tor Ordnung, u. s. w., endlich des Integrals einer Gleichung 1. Ordnung. — Allgemeiner: kennt man k erste Integrale von (1), so kann man es durch Eliminationen auf die Ordnung n — Je reduzieren.

Die Aufsuchung eines ersten Integrals z kann mit Hülfe von Multiplikatorensystemen geschehen; denn da es durch eine Identität der Form:

(39)

dz =

Pi Yd Xi — li dx]

i= 1

definiert ist, kann es durch eine Quadratur erhalten werden, sobald die Multiplikatoren p,- so bestimmt sind, dass die rechte Seite von (39) ein vollständiges Differential wird. Diese Multiplikatoren — eine unmittelbare Verallgemeinerung des Euler’sehen Multiplikators (Nr. 5) — hat C. 6r. J. Jacobi¹¹ 12) untersucht; ihre allgemeine Bestimmung ist nicht leichter, als die direkte Integration des vorgelegten Systems. Jacobi macht eine interessante Anwendung auf das lineare System ntGr Ordnung:

(40)

dXi —    ^ aih (x) xh + bi (x) dx = 0 (i =1,2,.., n).

LA = 1    J

Man kann hier für die p, Funktionen von x allein suchen; denn diese bestimmen sich durch ein gleichfalls lineares System, das ad)ungiertei0) des vorgelegten, nämlich:

dpi -{- ^ pj aji{x) dx = 0. j=i

Ist das System (40) homogen, d. h. sind alle bi(x) identisch Null, so sind die beiden Systeme (40) und (41) adjungierte des anderen.

Gewöhnlich beschränkt man sich auf eine solche Wahl der pi} dass die lineare homogene Kombination der Gleichungen (1):

(41)

zu

einander reciprok, jedes das

(42)

pi (dXi — lidx) — 0

i = 1

eine „exakte Gleichung“ (II A 5, Nr. 19) wird; man erkennt das daran, dass ihre linke Seite nur von zwei Funktionen u, v der Variabein x, xx, . ., xn und ihren Differentialen du, clv abhängt. Man erhält so eine Gleichung 1. Ordnung zwischen u und v, deren Integration ein

12. Der Jacobi’sche Multiplikator.

247

erstes Integral des Systems (1) liefert. Da es dabei nur auf die Verhältnisse der ft{ ankommt, kann man einen von ihnen willkürlich wählen. Diese Methode hat J. dAlembert¹³) auf das lineare System (40) angewendet; indem er gn = 1 setzt und für ft1? . ., (in—i Funktionen von x allein sucht, bringt er die Kombination (42) auf die Form :

(43)

du

dx

/ n — 1    .    , n—1    » n — 1

U\    i°in -f- ««» I - I /,    -f" l>n I - %h = 0

w=i    '    >    '?:=!    ' k= i

mit :

W = [li Xn — \ -f- xn)

i = 1

(44)

~f~ fii a;.h -j-

i—1

(ä = 1, 2,.

d-n h fDł

n — 1).

iu l 7 • • 7

bestimmt, die ein System (n — l)ter Ordnung bilden¹⁴). Ist dieses integriert, so bleibt eine lineare Gleichung in u, und die Integration

Die Kombination (43) wird eine exakte Gleichung, wenn man aus den Gleichungen &h — 0 (h — 1, 2, . ., n — 1)

wird durch zwei Quadraturen vollständig.

Man kann ferner auf diese Methode eine neuerdings von A. Guld-berg¹⁵) vorgeschlagene Methode zur Integration der gewöhnlichen Differentialgleichung wter Ordnung zurückführen.

Im allgemeinen Fall sind die partiellen Differentialgleichungen, denen die ftt- genügen müssen, kompliziert; aber es reicht aus, eine partikuläre oder selbst singuläre Lösung von ihnen zu kennen. So führt die Methode von d’Alembert, falls die aik Konstante sind, zum Ziele, indem man für die ft, konstante Werte nimmt, die den Gleichungen = 0 genügen. — Dieselbe Bemerkung gilt für den Euler-schen Multiplikator (Nr. 5).

12. Der Jacobi’sche Multiplikator¹⁶) ist ebenfalls eine Verallgemeinerung des Euler'sehen, aber von ganz anderm Gesichtspunkt. Sei das System (1) in der symmetrischen Form gegeben:

dx₁

al(Xi0> Xl' • • » xn)

(45)

dx₀

dxn

&₀(x₀, X₁, . . , Xn)

248 II A 4 b. Gewöhnliche Differentialgleichungen; elem. Integrationsmethoden, sodass die associierte Gleichung (3) wird:

(46)

Af a’: (xo

i = 0

Wenn z1} z₂, . . , zn ein Fundamentalsystem von Lösungen von Af — 0 bilden, so existiert (IIA 5, Nr. 12) ein Multiplikator M, der der Identität genügt¹⁷):

(47)

M • Af —

^ (fi ^1 ' ^2 » ‘ ⁻ ’ ^n) d(&₀, Xlf %2> ■ - t⁷

was auch f sein mag; umgekehrt, wenn M, z1} z%, . ., zn eine solche Identität befriedigen, bilden z1} z%, . ., zn ein Fundamentalsystem von Lösungen von Af — 0. Diese Identität ist also die Definition der Jacobi’sehen Multiplikatoren des Systems (45); sie ist äquivalent mit der linearen partiellen Differentialgleichung:

(48)

o dxi

= 0.

(Für n — 1 kommt man auf den Euler’sehen Multiplikator zurück.) Auch hier ist der Quotient zweier Multiplikatoren ein Integral; und die singulären Lösungen des Systems genügen der Gleichung M~¹ = 0. Führt man an Stelle der x₀, xlf . ., xn neue Yariabeln y₀, yx, . in das System ein, so ist

• ; Vn

(49)

d(x₀, xt, .., xn)

ë(y₀,3/j, • •, yn)

ein Multiplikator des transformierten Systems. Sind k der y,- erste Integrale des gegebenen Systems, so reduziert sich das transformierte auf die Ordnung n — k und N ist ein Multiplikator des reduzierten Systems. Für k = n — 1 führt dieses Resultat zum Satz vom letzten Multiplikator: Wenn man n — 1 Integrale und einen Multiplikator kennt, bestimmt sich das letzte Integral durch eine Quadratur. Setzt man ausserdem noch voraus, dass eine der Yariabeln in den Gleichungen des Systems nicht explicite auftritt, so bestimmt sich entweder schon das vorletzte Integral durch eine Quadratur, oder das letzte bestimmt sich ohne Quadratur. Dieses letzte Resultat liefert für die Dynamik das Prinzip des letzten Multiplikators.

Jacobi hat diese Theorie auf das lineare System (48) angewendet, das den Multiplikator:

Nr. 19.

S. Lie¹⁸) gestellte Problem: Das

(50)

-/i

e d h==1

ahhdx

zulässt; er hat ferner aus ihr abgeleitet, dass die Integration der Gleichung:

d*y dx²

nur noch eine Quadratur erfordert, sobald man ein erstes Integral kennt. Aber die wichtigsten Anwendungen beziehen sich auf die kanonischen Gleichungen von W. II. Hamilton:

dfU djH dy, _

dt    dytf dt

(51)

(52)

+ A(x)

dy

dx

dH

dx.

in denen H eine Funktion von xlt x₂₎ • ., xn, y1} y%,. •, yn und t ist; sie lassen eine Konstante als Multiplikator zu. Sie enthalten als spezielle Fälle die Gleichungen der Mechanik (IY 7), die der Variationsrechnung (II A 9) und die Gleichungen der Charakteristiken der partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit einer Unbekannten (II A 5, Nr. 28 ff.).

Malmstén¹⁹) hat durch Kombination der Theorie des Multiplikators mit der Methode der Vertauschung der Variabein formell allgemeinere Resultate erhalten und zahlreiche Anwendungen durchgeführt, namentlich auf Gleichungen 3. und 2. Ordnung, sowie auch auf solche 1. Ordnung unter Benutzung der Methode der Differentiation (Nr. 9). Z. B.

d<p(y, y)

äy(y, y)

=y"t(y,y)

lassen sich die Gleichungen durch Quadraturen integrieren, sobald man ein erstes Integral kennt.

dx

= i’iy, y) und

dx

13. Methode von Lie: Integration von Systemen mit bekannter Transformationsgruppe. Ist ein System (45) gegeben, so kann es Vorkommen, dass man infolge der Natur des Problems, das auf dieses System führt oder infolge der Form seiner Gleichungen, Transformationen kennt, die das System in sich überführen und von willkürlichen Konstanten abhängen. Durch Differentiationen leitet man aus ihnen infinitesimale Transformationen ab, die das System invariant lassen. So entspringt das von System (45) m integrieren, wenn man q infinitesimale Transformationen:

kennt, die das System invariant lassen. Die Bedingung dafür, dass das System die infinitesimale Transformation Xf zulässt, ist: sobald z ein Integral von A/’= 0 ist, muss auch Xz ein Integral sein; und es muss folglich eine Identität der Form:

(54)

(Xf, A f) =: Q (Xqj ; tön) ' existieren. Wenn das System X±f und X₂f gestattet, gestattet es auch die infinitesimale Transformation (Xxf, X₂f). Endlich wenn eine Identität der Form:

2-1

(55) Xq(f ) uh(x₀, x1; . . , xn) Xh (f) + 6(x₀,    .., xf) t\f

h=1

besteht, ist jede der Funktionen uh entweder eine Konstante oder ein Integral von A f = 0. Auf Grund dieser Sätze kann man in gewissen Fällen die Anzahl q der bekannten infinitesimalen Transformation vermehren, die das System invariant lassen und ohne Integration eine gewisse Anzahl erster Integrale erhalten, mit deren Hülfe man die Ordnung des Systems erniedrigt. Überdies: wenn Xf das System invariant lässt, hat X f -j- x (x₀, xx, ... xn) A f dieselbe Eigenschaft, was auch t sein mag; man kann infolge dessen voraussetzen, dass das Glied mit df/dx₀ in Xxf, . . ., Xqf fehlt. Nach Vornahme aller dieser Vereinfachungen hat man ein dem ursprünglichen Problem analoges vor sich, bei welchem aber die infinitesimalen Transformationen eine endliche Gruppe G bilden, deren Ordnung höchstens gleich der Ordnung des Systems ist. Wir können also voraussetzen, dass das für die Xkf gilt, und dass überdies die Gleichungen A/’=0, X₁f = 0, . ., Xqf — 0 von einander unabhängig sind. Ist dann q<n, so bestimmt man die n — q Integrale des vollständigen Systems Af — 0, X₁f = 0, . ., Xqf = 0, was die vorherige Integration eines gewöhnlichen Systems der Ordnung n — q erfordert; indem man dann die Ordnung von Af=0 mit Hülfe dieser ersten Integrale erniedrigt, kommt man auf den Fall zurück, dass die Ordnung der Gruppe gleich der des Systems ist. Wir setzen also q = n voraus.

In diesem Falle hat man zunächst den allgemeinen Satz, dass die Determinante:

(56)

(53)

Xhf~ '/>’ lhi (X₀

i= 0

x\i •

où

a₀ CC 4 • • • O^n £l0 In • • • n

die nicht identisch Null ist, der reciproke Wert eines Jacobi'sehen Multiplikators (Nr. 12) des Systems ist. Aber noch mehr: Wenn die Gruppe G nicht einfach (II A 6, Nr. 17) ist, kann man das Problem auf eine Folge von Problemen derselben Art mrückführen, in denen Systeme niedrigerer Ordnung und einfache Gruppen auf treten; wenn die Gruppe G einfach ist; ist die Integration des Systems äquivalent mit der eines Hülfssystems, das einer besondern durch die Struktur der Gruppe definierten Klasse angehört. Lie beweist diese Resultate zuerst unter der Voraussetzung, dass man die endlichen Gleichungen der Gruppe G kennt. Sei zu diesem Zwecke G₁ eine maximale invariante Untergruppe von G, von der Ordnung nx. Man führt als neue Variable vx = n — nx unabhängige Invarianten dieser Gruppe Gx ein; diese sind als Funktionen der unabhängigen Variabein (z. B. x₀) definiert durch ein System der Ordnung vx, mit einer einfachen Gruppe, die mit G/Gx bezeichnet werden kann²⁰). Ist dieses System integriert, so bedient man sich seiner ersten Integrale zur Erniedrigung der Ordnung von (45); dieses System reduziert sich so auf ein System der Ordnung nx mit einer zu Gx holoedrisch isomorphen Gruppe, das ebenso weiter zu behandeln ist. Hat man also eine normale Zerlegung G, Gx, G₂, . ., Gm von G, ist nk die Ordnung von Gk und nk—i — nk = vk, so hat man eine Folge von Hülfssystemen der Ordnungen vlf v₂, . . , vm zu integrieren; das 7cte von ihnen (k=l, 2, ..}m) gestattet eine Gruppe der Ordnung vk und der Struktur Gk—X/Gk (für welche die zu (56) analoge Determinante =j= 0 ist). Alle nor_ malen Zerlegungen von G liefern, abgesehen von der Reihenfolge, dieselben Zahlen vk und dieselben Strukturen der einfachen Hiilfs-

gruppen.

Die Natur der Hülfssysteme ist leichter nach einer andern, im Prinzip von E. Vessiot²¹) herrührenden Methode zu erkennen, die ausserdem den Vorteil hat, dass sie nur die infinitesimalen Trans

formationen von G benutzt. Seien XVl+xf, XVl_f_₂f, X,nf die von Gx ; dann ist identisch :

Vj    %

(57)    (X„ X*) = y clt. X, +F K+i

ó‘ = l

j=i

wobei die Konstanten ciks die Struktur der einfachen Gruppe (G/Gx) definieren. Sei:

(58)

df

(k = 1, 2,. ., vx)

1=1

irgend eine Gruppe yx dieser Struktur, also (Y;, Y f) — S Ci k* T Integriert man dann das vollständige System (II A 5, Nr. 13):

(59) Af=0, X₁f = Y₁f, Xnf= Y,J, X,1+l/-=0,..,X„/=0,

so erhält man p Integrale von A f — 0 ; da sie die willkürlichen y enthalten, geben sie, für jedes p, vx unabhängige erste Integrale von Af—0. Indem man sie als neue Variable einführt, erniedrigt man die Ordnung von (45) und erreicht zugleich, dass die Gruppe Gx, ebenso wie das transformierte System, nur die nx beibehaltenen Variabein enthält. Damit ist die erste Reduktion vollzogen und man kann ebenso fortfahren. Integriert man überdies das System (59) nach der Methode von A. Mayer (II A 5, Nr. 17), so kommt man auf eine Gleichung der Form:

(60)

df

dt

die mit einem System:

(61)

dyl

dt

*'i

k= 1

-, yP)

(Z=l,2,..,p)

äquivalent ist — was die angekündigte Form für die Hülfssysteme ist. Die Ordnung dieses Systems wird möglichst klein, wenn man für yx eine Gruppe der angegebenen Struktur in möglichst wenigen Veränderlichen wählt; man erhält dann einen kanonischen Typus des der Struktur G/Gx entsprechenden Hülfssystems. — Von einem andern Gesichtspunkt aus kann man für yx immer eine lineare Gruppe wählen, z. B. die zu der Struktur G/ Gx adjungierte Gruppe (II A 6, Nr. 15). Die Anwendung der Lie’sehen Theorie kann also immer so geschehen, dass alle Hülfssysteme linear sind. Ist vx — v₂ = ■ ■ • — vm— 1, ni. a. W. ist die Gruppe integrabel, dann geschieht die Integration bloss durch Quadraturen²²).

E. Cartan²³) hat die gruppentheoretischen Probleme behandelt, von deren Lösung die Anwendung der Lie ’sehen Methode abhängt: Bestimmung und Eigenschaften der Normalreihen von Untergruppen; Reduktion der Struktur einer Gruppe auf eine kanonische Form; Bestimmung der einfachsten Hülfssysteme.

14. Integration von Systemen, von denen man Differentialoder Integralinvarianten kennt. Zur Vereinfachung des Systems (45) kann man auch noch aus anderen Umständen Nutzen ziehen. Man kann z. B. voraussetzen, man kenne irgend ein System von partiellen Differentialgleichungen, das durch die Integrale eines geeignet ausgewählten Fundamentalsystems von A/‘=0 befriedigt werden kann. Diesen Fall behandelt E. Vessiot²⁴) auf Grund Lie¹ scher Theorieen: die Voraussetzung ist äquivalent mit der der Kenntnis gewisser Differentialinvarianten der infinitesimalen Transformation A f, aus welchen man im allgemeinen neue ableiten kann. Die Integration lässt sich zurückführen auf die eines Systems Eg. von partiellen Differentialgleichungen, deren allgemeinste Lösung aus einer partikulären durch die allgemeinste Transformation einer gewissen endlichen • oder unendlichen Gruppe G abgeleitet werden kann (Nr. 31). Vessiot zeigt auch, dass die Voraussetzung mit der folgenden äquivalent ist: Man kennt die Definitionsgleichungen einer endlichen oder unendlichen Gruppe G, die /Kf=0 invariant lässt; man kann dann zunächst diese Gruppe zu bestimmen suchen und hat hierauf noch das Problem von Nr. 13 vor sich.

Man kann ferner voraussetzen, dass man Integralinvarianten von A f kennt. Darunter versteht man einfache oder mehrfache Integrale der Form²⁵ 26):

dxn 8ixk

(62)    3 —ff- • J*® (xo, Xl>-, Xn, dxQ’-‘’dxk_x ’ dxy-

—1)

die unverändert bleiben bei allen Transformationen der von A f erzeugten eingliedrigen Gruppe. Die Bedeutung dieser Integralinvarianten für die Integration von A/'= 0 ist von H. Poincaré⁵⁴) klargestellt

worden; er hat hauptsächlich Integralinvarianten 1. Ordnung untersucht, die ganze Funktionen der Ableitungen sind, und Anwendungen auf die Gleichungen der Mechanik des Himmels gemacht. Yon seinen

x1} . ., xn) dx/c eine

Resultaten seien erwähnt: Ist $ =

r* n

■- / 2ßk(xo £=0

so ist ^ «* ßk

k = 0

S =JM(Xq, x1} . ., xn) dx₀ ■ dx₁ • • • dxn eine Integralinvariante sei, ist notwendig und hinreichend, dass M für A(f) — 0 ein Jacobi’scher Multiplikator (Nr. 12) ist. Cr. Koenigs⁶⁵) untersucht die Beziehung zwischen der Existenz einer Integralinvariante der Form C'S ßt dxi-und der Reducibilität des Systems (45) auf ein kanonisches System vermöge einer Punkttransformation. Seine Resultate waren vorher in anderer Formulierung von S. Lie⁶⁶) erhalten worden, der seitdem auch gezeigt hat⁵⁷), wie seine Theorie der Differential!nvarianten den Schlüssel zur allgemeinen Bestimmung der ikfe^rahnvarianten giebt. Der Unterschied zwischen beiden Problemen ist, dass es nicht notwendig Integralinvarianten von jeder Vielfachheit und jeder Ordnung giebt, sodass man hier verschiedene Klassen von Gleichungen unterscheiden muss. Jedes so sich ergebende Problem lässt sich systematisch nach den Methoden von Lie behandeln; man wird im Grunde immer auf die Bestimmung einer Gruppe aus ihren Definitionsgleichungen geführt. Unter den von Lie im Detail behandelten Fällen sei erwähnt der eines Systems 2. Ordnung, für das man eine doppelte Integralinvariante 1. Ordnung kennt: man erhält dann entweder einen Jacobi'sehen Multiplikator; oder einen Multiplikator und die Bestimmung eines ersten Integrals durch eine Gleichung 1. Ordnung; oder einen Multiplikator und ein Integral.

15. Variationssysteme. Poincaré⁶⁸) hat die Bestimmung der Integralinvarianten eines Systems (1) verknüpft mit der Untersuchung des ihm zugeordneten „Variationssystemsd. h. des linearen Systems:

Ł *

Integralinvariante,

(n-f 1)

(63)

d£k

dx

ein erstes Integral; damit

55)    Par. C. B. 121 (1895), p. 875.

56)    Norw. Arch. 2 (1877), p. 10.

57)    Leipz. Ber. 49 (1897), p. 342 und 369. — Andere Untersuchungen über Integralinvarianten: G. Żorawśki, Krak. Ber. 1895; E. Cartan, Bull. soc. math. 24 (1896), p. 140; A. Hurwitz, Gött. Nachr. 1897, p. 71.

58)    Méthodes nouv. [Fussn. 55] 1, chap. 4 und 3, chap. 22.

das die 1. Variationen öxx — £x(x)dt, . ., dxn = £n(x)ât definiert, die man an irgend einem partikulären Integral xx = xx (x), . ., xn = xn (x) anbringen kann, wenn man zur Vereinfachung dx — 0 voraussetzt. Schon C. G. J. Jacobi²⁷) hat für dieses System den Satz gegeben: Wenn man in (63) xx, . ., xn durch die allgemeine Lösung von xx = 6x(x\ax,..,an),.., xn=6n(x j ax,..,an) ersetzt, so ist die allgemeine Lösung von (63):

(1),

(64)

£k SjCh

h=i

(h = 1, 2,.., n),

wo cx, c₂, . ., cn die willkürlichen Integrationskonstanten sind.

Dieses Variationssystem, das hauptsächlich in der Mechanik Anwendung findet, ist eng verknüpft mit der Bestimmung der infinitesimalen Transformationen der Form:

(65)

X/'    ^    •

*=i

• ; Xn)

df

dxk’

die (1) invariant lassen. In der That ergiebt sich zu jeder solchen infinitesimalen Transformation aus jeder Lösung von (1) eine entsprechende von (63), wenn man £h —    (x, xx(x), .., xn(xj) (Je = 1,2,..,w)

(1) und (63)

setzt. Andrerseits: hat man n erste Integrale des aus zusammengesetzten Systems, die unabhängige Funktionen von £x,..,sn sind, und setzt man sie willkürlichen Konstanten cox, . ., con gleich, so erhält man daraus Gleichungen:

(66)

£fc    I\lc (pC, XXx . • y Xn I COXj • • , COn)

deren zweite Glieder den allgemeinsten Wert von X/‘ geben, wenn man in ihnen cox, co₂, . . , ion durch n beliebige Integrale des Systems (1) (die auch Konstante sein können) ersetzt.

¹

   A. Glair aid, Par. Hist. 1734. Eine V erallgemeinerung bei E. Goursat, Bull. soc. math. 23 (1895), p. 88; Untersuchung der Transformierten in y' bei L. liaffy, ib. p. 50.

²

   Halphen, Par. C. R. 87 (1878), p. 741. — Ebenso wird F(y, y) = 0 behandelt, wenn F — 0 eine rationale Kurve darstellt.

³

   Vgl. z. B. Lie-Engel, Trf.-Gruppen 2, Kap. 1, § 8.

⁴

   Wegen der Definition des Poisson'sehen Klammerausdrucks [ ] vgl. man II A 5, Nr. 24.

⁵

   J. de math. 20 (1855), p. 143.

⁶

   J. de math. (2) 7 (1862), p. 314.

⁷

   Bull. soc. math. 6 (1878), p. 224 (Oeuvr. 1, p. 409).

⁸

   Ygl. z. B. Lie-Scheffers, Berührungstrf. 1, p. 111.

⁹

   Leipz. Ber. 1890, p. 491.

16*

¹⁰

Vgl. z. B. Lie-Scheffers, Berührungstransformationen 1, p. 182. In etwas modifizierter Form in L. Autonne’s Untersuchungen über algebraische Integration, Par. C. R. 105, Nov. 1887.

¹¹

   J. f. Math. 23 (1842), p 1—104; Ges. Werke 4, p. 236; Euler hatte sich solcher Multiplikatoren für n = 2 und n = 3 bedient, doch ohne ihre Existenz allgemein zu behaupten.

¹²

   Jacobi, J. f. Math. 27 (1844), p 199 und 29 (1845), p. 213 u. 333; Ges. Werke 4, p. 319.

¹³

   Berl. Hist. 1748 [50], p. 283; vgl. auch Par. Hist. 1768 und 1769.

¹⁴

   Wegen der Eigenschaften solcher Systeme vgl. man Nr. 29.

¹⁵

   Par. C. R. 121 (1895), p. 49.

¹⁶

   An der Fussn. 39 citierten Stelle ist die Theorie entwickelt, mit den meisten Anwendungen.

¹⁷

Wegen der Bezeichnung der Funktionaldeterminante vgl. man I B 1 b

¹⁸

   Christ. Forh. 1874, p. 255; Math. Ann. 11 (1877), p. 464 und bes. 25 (1885), p. 71; vgl. Lie-Scheffers, Differentialgleichungen, Kap. 20 und 24.

¹⁹

   J. de math. (2) 7 (1862), p. 257. Wegen der Anwendungen der Jacobi’schen Methode vgl. man auch Andrejewslci, Par. C. R. 68 (1869), p. 716 und A. Winckler, Wien. Ber. 80 (1879), p. 948.

²⁰

   Man kann die Ordnung dieses Hiilfssystems reduzieren, indem man an Stelle der Invarianten von G, die einer Gx enthaltenden Untergruppe von G einführt. Aus den so bestimmten ersten Integralen leitet man durch Differentiationen alle diejenigen ab, die das Hülfssystem des Textes liefert {Lie, Math. Ann. 25 [1885], p. 71, vgl. unten Nr. 87).

²¹

   Toul. Ann. 8 (1894), H p. 29; vgl. Lie-Scheffers, Differentialgleichungen p. 554 und 568.

²²

Lie, Math. Ann. 25 (1885), p. 71; dort ist auch für eine grosse Anzahl von Fällen die Reducibilität auf lineare Systeme angekündigt. — Lie hat • wiederholt (z. B. Leipz. Ber. 47 [1895], p. 261 und 506) versichert, seine Theorie liefere alle Vereinfachungen der Integration, die aus den Voraussetzungen folgten; aber er hat nie einen vollständigen Beweis veröffentlicht.

²³

   JE. Cartan, Par. thèse 1894 und Amer. J. of math. 18 (1896), p. 1.

²⁴

   Par. C. R. 128 (1899), p. 544. Man kann das Problem auch mit den Theorieen von J. Drach (Nr. 38) in Verbindung setzen.

²⁵

   Enthält $ die Ableitungen von xk,    .., xn nach xQ, xx, .., xk_₁

bis zu irgend einer Ordnung m, so heisst $ eine Tc-fache Integralinvariante mt0r

Ordnung.

²⁶

Acta math. 13 (1890), p. 46 und Méthodes nouvelles de la mécanique céleste 3, Par. 1899, p. 1.

²⁷

   Vorlesungen über Dynamik 12 (Ges. Werke Suppl.-Bd., p. 90). Vgl. Serret, Cours 2, p. 568.

Spezielle Theorieen für Gleichungen ntuI Ordnung.

16. Methode des Euler’schen Multiplikators. Die allgemeinste Methode zur Integration einer Gleichung nteT Ordnung:

(67)

^ = F(X v é! dLZlï)

dxn    V ’ dx’ • ■ ’ dxn-l) besteht in der Aufsuchung eines ersten Integrals, das man dann ebenso behandelt, u. s. w. Zu diesem Zwecke hat L. Euler¹) den Begriff

Sie sind von Euler mit Hülfe der Variationsrechnung, seitdem von vielen Autoren direkt erhalten worden²). Sind sie erfüllt, so erhält man W durch eine Quadratur. Eine von ihnen besagt, dass V in yW vom ersten Grad sein muss.

Sei nun (67) in der etwas allgemeineren Form gegeben:

(69) F(x,y,y,..,yW)=A(x,y,y)y^ +B(z,y,y,..,y(n~¹⁾)=0.

Euler's, Methode besteht dann in der Aufsuchung eines Multiplikators M (x, y, y, . ., yfn~0) von der Art, dass V = tAF den Bedingungen (68) genügt. Ist dann V — dW/dx, so ist W = a das gesuchte erste Integral.

Die partiellen Differentialgleichungen, denen M genügen muss, sind kompliziert; doch hat Euler einige Anwendungen auf Gleichungen

Begriff der adjungierten Gleichung³). In der

zum

des Multiplikators (Nr. 5) verallgemeinert : seine Theorie beruht auf der Bestimmung der Bedingungen, unter denen eine „Differential-

x v ty ^

,y’ dx’ • •' dx”

^ die totale Ableitung ei dy dn~ly\

funktion niGV Ordnung“ V ^

Differentialfunktion (n — l)ter Ordnung W ^

Sie bestehen darin, dass identisch sein muss:

W ff-1 @)£ (ä>-°<r- Ê)

ner

ist.

2. und 8. Ordnung durchgeführt. Die interessanteste bezieht sich auf lineare Gleichungen; sie führt, auf eine solche Gleichung wter Ordnung verallgemeinert

That, suchen wir zu der linearen Gleichung:

Po(æ)jfn+Pl(X)

einen Euler'sehen Multiplikator z, der nur von x abhängt, so muss er der ebenfalls linearen Gleichung genügen:

(70)

dn~ly

dxn

H-----f-Pn(x)y = 0

(71)

Sie heisst die Lagrange’sche Adjungierte von Übrigens ist Euler's Methode

(70).

nur

eine spezielle Anwendung der

Methode der Multiplikatorensysteme (Nr. 11). Ist nämlich Y — dV/dx und setzt man:

dY = Xdx + Ydy + Y'dy'Ą-----f- Y^dyW,

so ist der Ausdruck:

dYw

Y d x + Y{nXßyin ~v — yW dx) + Yd ~ *)

+--- + [r'-dF +

ein exaktes Differential einer Funktion der als unabhängige Veränderliche zu betrachtenden Grössen x, y, y, .., yd—Cß*) daraus folgt, dass jeder Euler’sche Multiplikator von F — 0 mit einem Multiplikatorensystem des äquivalenten Systems:

(72) A dyd— ^ -\-Bdx — 0, dyd—%)—y^n~r>dx — 0,...,dy—y'dx — O äquivalent ist.

17. Fälle der Graderniedrigung. Einige Fälle von Graderniedrigung der Gleichung (67) sind seit langer Zeit bekannt⁶⁴). Die hauptsächlichsten sind: 1) die Gleichung hat die binomische Form

dßy

dxn

turen integrieren, die man mit Hülfe partieller Integration auch durch nebeneinanderstehende ersetzen kann. 2) Eine der Yariaheln tritt nicht explicite auf, z. B. y, man erniedrigt auf die Ordnung (n — 1), indem man y als Hülfsunbekannte einführt; es bleibt dann noch eine Quadratur zur Bestimmung von y. 3) y und seine Ableitungen bis yd—¹) inch treten nicht explicite auf; führt man yd) als Hülfsunbekannte ein, so hat man eine Gleichung der Ordnung n — &; es bleibt dann noch eine binomische Gleichung der Ordnung Je. 4) Die Gleichung ist homogen in Bezug auf y und seine Ableitungen: die Substitution x = ez führt auf den Fall (2).    5) Die Gleichung ist homogen in

Bezug auf x, y, dx, dy, d²y, . . ., dny\ die Substitution x — eu, y = veu führt ebenfalls auf (2).

S. Lie bemerkte⁶⁵), dass in jedem dieser Fälle die Gleichung invariant bleibt bei den Transformationen einer endlichen Gruppe, näm-

d² Y’"

dx²

(dyd—²)—yd ~D dx) j----](ßy — y dx)

dx

= f(x) ; sie lässt sich dann durch n übereinanderstehende Quadra-

63)    Ygl. z. B. die Fussn. 61 citierten Abhandlungen von Joachimsthal und von Stoffel und Bach.

64)    Ygl. die Lehrbücher, sowie Allan Cunningham, Mess. 17 (1887), p. 118 und 18 (1888), p. 122.

65)    Gott. Nachr. 1874; Norw. Arch. 8 (1883), p. 167, 249, 371; 9 (1884), p. 431. Die 2 ersten Abh. aus Norw. Arch. 8 wieder abgedruckt Math. Ann. 32 (1888), p. 213.

Encyklop. A. math. Wissensch. II.

17

lieh: x = x, ÿ = y -}- a im Falle (2); x — x, ÿ — y -f- a₀ -J- axx -f-•••-)- ah—tXk~¹ im Falle (3) und, für k = n, im Falle (1); x — x, y — ay im Falle (4); x — ax, y — ay im Falle (5). Er wurde so zur Theorie der Gleichungen höherer Grade geführt, die Gruppen von Punkttransformationen in x und y gestatten.

18. Lie’sche Theorie. Gleichungen, die Gruppen von Punkttransformationen gestatten. Verallgemeinerungen. Eine Differentialgleichung ntei Ordnung (n >- 1) gestattet im allgemeinen keine kontinuierliche Gruppe von Punkttransformationen; wenn doch, so ist die Gruppe endlich, und wenn n — 2, enthält sie höchstens 8 Parameter⁴). Die Gleichungen D mit einer Gruppe G von Transformationen in sich zerfallen in Klassen, je nach dem Typus von G (II A 6, Nr. 17); die Gleichungen jeder Klasse lassen sich durch Punkttransformationen in einander überführen. Da Lie die verschiedenen Typen von Punkttransformationen bestimmt hatte, ergab sich die Bestimmung der zugehörigen Gleichungen T> unmittelbar aus der Theorie der invarianten Funktionen und Gleichungen. Ausser gewissen exceptio-nellen Gleichungen, die durch Nullsetzen gewisser Determinanten erhalten werden, sind die Gleichungen D von der Form:

(73)

’ dJ ’ dJ²’ •

in der J, S die beiden Differentialinvarianten niedrigster Ordnung von G, eine willkürliche Funktion bedeuten. Für jeden der so erhaltenen Gleichungstypen hat Lie ein Integrationsverfahren gegeben: man erniedrigt erst die Ordnung auf k Einheiten, indem man J und iv5 als Variable einführt; es bleibt dann eine Gleichung der Form F (J, 3) = 0 zu integrieren, für die sich spezielle Vereinfachungen ergeben (Integration durch Quadraturen oder Reduktion auf lineare Hülfsgleichungen). Als spezielle Typen erhält man die linearen Gleichungen und diejenigen, die die allgemeine projektive Gruppe zulassen. Letztere sind auch von Halphen und Sylvester in ihren Arbeiten über Differentialinvarianten (der projektiven Gruppe) und Recipro-kanten (I B 2, Nr. 20) eingeführt und untersucht worden.

Ein anderer bemerkenswerter Typus, nämlich:

W—M

ist u. a. von H. A. Schwarz untersucht66a).

Ist irgend eine Differentialgleichung y orgelegt, so kann man durch Differentiationen und Eliminationen entscheiden, ob sie eine Gleichung D ist, und wenn ja, die Definitionsgleichungen ihrer Gruppe G bilden und den Typus bestimmen, zu dem sie gehört. Das ist ein Aguivalenzproblem, da es sich darum handelt zu entscheiden, ob die Gleichung durch eine Punkttransformation in eine spezielle Gleichung übergeführt werden kann; aber es ist nur in wenigen Fällen ganz explicite mit Hülfe der Differentialinvarianten gelöst (Nr. 33—35). Um dann die vorgelegte Gleichung zu integrieren, kann man die Transformation suchen, die die Gruppe G in ihre kanonische Form überführt⁶⁷). Man kann auch ihre infinitesimalen Transformationen ableiten, einer linearen Hülfsgleichung hinauskommt, und dann Lie’s allgemeine Methode zur Integration von Differentialsystemen mit bekannter Gruppe (Nr. 13) anwenden, von der die hier besprochene im Grunde nur eine spezielle Anwendung ist.

aus den Definitionsgleichungen von G was auf die Integration

Diese Theorie ist folglich verallgemeinerungsfähig. So hat Lie⁶⁸) in gleicher Weise die Gleichungen nter Ordnung untersucht, die eine Gruppe von Berührungstransformationen zulassen. Das Problem hat nur für n > 2 Bedeutung; denn zwei Gleichungen 2. Ordnung lassen sich stets durch oo viele Berührungstransformationen in einander überführen. Lie hat speziell die Gleichungen ntev Ordnung untersucht, die sich durch eine Berührungstransformation in den linearen Typus überführen lassen; ihre Integration verlangt die einer linearen Hülfsgleichung wter Ordnung (nur für n — 3 die einer 4. Ordnung).

Überhaupt ermöglicht die Zfi’e’sche Theorie für jede Gruppe G in beliebig vielen Variabein die Diskussion der bei dieser Gruppe invarianten Gleichungen oder Gleichungssysteme beliebiger Ordnung.

19. Unaufgelöste Gleichungen. Typen integrabler Gleichungen. Die Methoden zur Behandlung nicht aufgelöster Gleichungen 1. Ordnung (Nr. 9) übertragen sich leicht auf Gleichungen wter Ordnung. So kann man

(74)

x = è Ou y, y y-, y{n)), Y = y (x, y, y',.., yW)

setzen, unter |, rj beliebige Funktionen verstanden, und dann zwischen diesen Gleichungen, der gegebenen, und den aus ihnen durch Differentiation abgeleiteten x, y, y, . ., yeliminieren.

67) S. Lie an den Fussn. 65 citierten Stellen, sowie Math. Ann. 25 (1885),

p. 120.

68) Christ. Förh. 1881, 1882, 1883,

17

Speziell hat man eine zu den Lagrange'sehen Gleichungen (Nr. 9) analoge Klasse von Gleichungen der Form⁵) & (U, V) = 0, wo U(x, y, y, ■ ■ , y(w)) = a und V(x, y, y, . ., y(n)) = b zwei erste Integrale einer Gleichung (n -|- l)ter Ordnung sind. Ein erstes Integral einer solchen Gleichung wird erhalten, indem man y(n) und eine der Konstanten zwischen U — a, V = b und G>(a,b) — 0 eliminiert. Man kann auch, in Verallgemeinerung einer Idee von Gleichungen der Form Q(Ulf U%, . .} Un+1) = 0 betrachten, wenn Ui = ai, • ., Un+1 = an+i (n -j- 1) erste Integrale derselben Gleichung (n -(- l)ter Ordnung sind; man erhält hier unmittelbar das allgemeine Integral, indem man y, y", . ., yW und eine der Konstanten aus U₁ — ax, . ., Un-)_i = an+1 und    u₂, . ., an+1) = 0 eliminiert.

Cr. Monge⁶),

Spezielle Klassen von Gleichungen und Gleichungssystemen.

a) Die lineare Gleichung nteT Ordnung.

20. Allgemeine Begriffe; Fundamentalsysteme von Lösungen. Von speziellen Klassen von Differentialgleichungen ist am frühesten die der linearen Gleichungen untersucht worden. Die Eigenschaften der linearen homogenen Gleichungen nter Ordnung :

dn~

(75)    P(y)=p₀(x)

dTjg

dxn

dxn

il 4-----h Pn{x)y = 0

bieten die grösste Analogie zu denen der algebraischen Gleichung «ter Ordnung:

(16)

f(x)

a₀xn -f- a^x⁷ 8 9 10—¹ + • • • -f- an = 0

dar. Wie die letzteren mit denen des Polynoms f(x) verknüpft sind, so hängen jene von den Eigenschaften des Differentialausdrucks P(y) ab, in dem y als unbestimmte Funktion zu behandeln ist⁷). So entspricht der Taylor’sehen Formel (I B 1 a, Nr. 6) hier die Formel :

1 dz l dx

■    1 d*s

'1-2 dx⁸

(77)    P(y0) = zP(y)+~

P\y)

n • dxn

. aus P(y) nach demselben Algorithmus abzu-. aus fix). Diese Formel ermöglicht um eine Einheit, sobald man eine partikuläre Lösung yx kennt; denn setzt man y = yxz, so enthält die Gleichung für z z nicht mehr explicite⁸). Genügt yx zugleich den Gleichungen P(y) = 0, P'(y) — 0,, Päc~r>fy), m. a. W. sind yx, xyx, x²yx, . ., xk~~¹yx gleichzeitig Lösungen von (75), so erniedrigt sich der Grad um Je, Einheiten; dieser Fall entspricht dem einer 7i>fachen Wurzel von (76).⁹) Man kann so die Ordnung successive um 1c Einheiten erniedrigen, wenn man Je partikuläre Lösungen kennt ; aber man muss dazu yoraussetzen, dass diese Lösungen linear unabhängig, d. h. durch keine homogene lineare Relation mit konstanten Koeffizienten verknüpft seien. Die Bedingung dafür ist, dass die Determinante:

P\y), P"(y),.. leiten sind, wie f'(x), f" (oc), . . die Graderniedrigung von

wo

(75)

(78)

A(yi> y₂,.., yf) =

J? S?

• • • Vk

■ • • y'k

y\

(*-D

... vi

nicht identisch Null ist¹⁰). Man beweist mit Hülfe der allgemeinen Methoden von A. Cauchy (Il A 4 a, Nr. B, 9, 11) oder des speziellen Verfahrens von L. Fuchs (II B 4), dass die Gleichung (75) unter gewissen Bedingungen, die wir hier stets als erfüllt voraussetzen, Systeme von n linear unabhängigen Lösungen hat; man nennt sie Fundamentalsysteme⁷⁵). Jedes Fundamentalsystem lässt sich auf die Form bringen:

vxJv₂ dxj? . .Jvn dx,

(79) yx = vx, y₂= vxßdx,. .

in der keine der Funktionen vx, v₂, . ., vn identisch Null ist. J. Lagrange hat bewiesen¹¹), dass:

■,Vn =

(80)

y =2 Ckyk

k = 1

die allgemeine Lösung ist, wenn yx, y₂, . ., y,t ein Fundamentalsystem partikulärer Lösungen bilden und cx, c₂₎ . ., cn willkürliche Konstante d/dx steht. Ygl. auch den Cours von Stmm und für neuere Untersuchungen die Bücher von Boole.

72)    J. d’Alembert, Mise. Taur. 3 (1762/65) [66], p. 381 der 2. Paginierung.

73)    Brassinne in einer Note zu Sturm's Cours.

74)    0. Hesse, J. f. Math. 54 (1857), p. 227; E. Christoffel, ib. 55 (1858), p. 293.

75)    Der Terminus scheint von L. Fuchs (J. f. Math. 66 [1866], p. 121) her

zurühren.

sind. Diese Form des allgemeinen Integrals ist für die linearen homogenen Gleichungen charakteristisch, sie ist mit der Thatsache identisch, dass die Gleichung (75) (ausser der infinitesimalen Transformation y

(k — 1, 2, . . , n) zulässt. Die lineare Gleichung gehört also zu den Gleichungen D der Nr. 18.¹²)

df

oy

7) /*

) eine Gruppe von Transformationen der Form rjkÇcc)

21. Gleichungen mit konstanten Koeffizienten. Gleichungen von Lagrange. Methode von d’Alembert. Sind die Verhältnisse von p₀, p₁, . . , pn konstant, so kann die Gleichung (74) geschrieben werden:

(81)

P(y) = ^ w dxn

dn~

¹ dxn

zf + * • • "f" bn y = 0,

wo \,b2,. ., bn Konstante sind; man nennt sie dann Gleichung mit konstanten Koeffizienten. Sie lässt sich durch elementare Funktionen integrieren. Denn setzt man:

(82)

f(x) = xn + M”⁻¹ H-----b

und bezeichnet mit m eine Konstante, so hat man:

(83)

P(ewx) = ewxf(a), P'(ewx) = ewxf' (co),. . . ;

also giebt jede Wurzel der „charakteristischen Gleichungu f(co) = 0 eine Lösung y = e,J)X, und jede k-fache Wurzel k Lösungen e0JX, xeMX, . . , xk~¹ewx. Man erhält so n Lösungen und bewéist, dass sie linear-unabhängig sind. Dieses Resultat verdankt man L. Euler¹³ 14) ; den Fall gleicher Wurzeln hat zuerst J d-Alembert™) nach einer in vielen analogen Fällen (z. B. Nr. 8) brauchbaren Methode behandelt, die seinen Namen behalten hat. Er geht von der Euler’schen Form

n

des allgemeinen Integrals y = c^e'kX mit ungleichen co aus und

k = 1

sucht daraus Grenzformen für den Fall abzuleiten, dass die Wurzeln zusammenfallen. Am einfachsten ist es zunächst, nur zwei Wurzeln co₁ und co₂ zusammenfallen zu lassen; man muss dann die c durch solche Funktionen der a ersetzen, dass y für cx = c.₂ unbestimmt wird und man seinen „wahren Wert“ (II A 1, Nr. 13) zu bestimmen hat. Man schreibt zu diesem Zweck:

21. Gl. mit konst. Koeffizienten. Gl. von Lagrange. 22. Gl. mit 2. Glied. 263

y = ci e"’i ‘r -j- c'₂ -

(84)

co₂.r

--b cde'”iX + • • • + cnemnx}

roi

wo c±' = cx -f- c₂ und c₂' = (co₂ — co₁) c₂ als neue willkürliche Konstante angesehen werden können; der Grenzübergang für oj₂ = co₁ hat keine Schwierigkeit. Ebenso geht man vom Fall einer doppelten zu dem einer dreifachen Wurzel über u. s. w.

Sind die konstanten Koeffizienten reell, so kann man die 2& Partikularlösungen, die zwei konjugiert-komplexen /^-fachen Wurzeln co = a + ßi der Gleichung f(co) = 0 entsprechen, durch Lösungen der reellen Form xheax cos ßx, xheax sin ßx (h = 0, 1, 2, . ., Je — 1) ersetzen.

Ist pk = Akix -f- b)n~~k, unter b und den Ak Konstante verstanden¹⁵), so führt die Substitution x -f- b = eł die Gleichung in eine solche mit konstanten Koeffizienten über.

Eine andere allgemeine Klasse linearer Gleichungen, die sich durch elementare Funktionen integrieren lassen, hat G. H. Halphen angegeben¹⁶).

22. Gleichungen mit zweitem Glied. Methode der Variation der Konstanten. Die allgemeine Form der nicht homogenen linearen Gleichung (Gleichung „mit zweitem Glied“) ist:

(85)

P(j2) == q(x).

Kennt man von ihr ein partikuläres Integral z₍₎ und setzt z = £₀ -J- y, so kommt man auf jP(y) = 0 zurück. Also erhält man das allgemeine Integral: indem man zu #₀ das allgemeine Integral der entsprechenden Gleichung „ohne zweites Glied“ addiert¹⁷). Diese Form des Integrals ist für die vorliegende Klasse charakteristisch; sie entspricht dem Umstand, dass (85) eine Gruppe von Transformationen der Form rjk (x) zulässt.

Umgekehrt: kennt man das allgemeine Integral von P(y) — 0, so erhält man das von (85) durch Quadraturen, wie J. Lagrange aus seiner Methode der Variation der Konstanten¹⁸) abgeleitet hat. Es ist das eine spezielle Form der Methode der Einführung neuer Veränderlieber. Man benutzt sie zunächst, um aus einer partikulären Lösung Xi — c3i (x j at, . ., ap) eines beliebigen Systems (1), die p willkürliche Konstante al7 a₂, . . , ap enthält, allgemeinere abzuleiten; zu diesem Zweck führt man an Stelle von p der x,, z. B. von xx, . ., xp, die Funktionen ux, u₂, . . , up ein, die man erhält, wenn man in p der Gleichungen, die die bekannte partikuläre Lösung definieren, die at durch diese neuen Yariabeln % ersetzt. In dieser Form hat Lagrange die Methode benutzt, um die Ordnung von P(y) = 0 zu erniedrigen,

n

wenn man p partikuläre Integrale y*, also die Lösung y = ^ ak yk

k = 1

kennt. Ein anderer Fall der Anwendbarkeit dieser Methode ist: die Gleichungen eines Systems (1) enthalten gewisse Parameter m₁, m₂, mr ; man kennt das allgemeine Integral für specielle Werte , mh,... in⁰ dieser Parameter: man führt dann als neue unbekannte Funktionen diejenigen ein, die durch die allgemeinen Integralgleichungen dieses speziellen Falls definiert sind, wenn man in ihnen die Integrationskonstanten eben als neue Variable ansieht. Um diese Methode hier anzuwenden, bilde man die Gleichung P(z) = mq(pc). Für m — 0

n

kennt man das allgemeine Integral z — ^ ck yk ; es ist dann auch

k = 1

1. Die Substitution

.,n

z{i) =2 ck yf für » = l, 2,.

k = 1

(86)

ukyk

^(0 =

führt zu dem Gleichungssystem

(⁸⁷> =

k

in — 2)

d u^

dx

°> Po 2Vk

d u.

(n- 1) _*

dx

= mq(x)

(in dem man m = 1 setzen kann). Dieses System lässt sich im allgemeinen durch n nebeneinanderstehende Quadraturen integrieren, in speziellen Fällen durch eine geringere Anzahl.

Dieses Resultat gilt speziell auch für die binomische Gleichung dn8/äxn — q(x)', A. Cauchy u) zeigt, dass es auf die Formel:

(88)

z — J]p(cc, x)da

hinauskommt, wenn <p(a, x) das den Anfangsbedingungen y — 0, y = 0, . ., y(n~²'> = 0, y^-V — q(a) für x — a genügende Integral ¹⁹ 20 von P(y) = 0 ist. Er giebt auch²¹), als Anwendung seiner Residuentheorie, das allgemeine Integral für den Fall konstanter pQ, px, .., p„ in einer expliciten Form, die man übrigens auch direkt erhalten kann.

Da das Integral von P(z) = mq(x) durch das von (85) mit gegeben ist (man braucht nur in diesem z durch z/m zu ersetzen), so kann man an Stelle der Gleichung mit 2. Glied die homogene Gleichung (n -f- l)ter Ordnung

(89)

q(x)

dP(e)

dx

— q (x)P(z) — 0

setzen, die man durch Elimination von m erhält. Alle n Lösungen von P(z) = 0 genügen ihr; man erhält also ihre (n -f- l)te Lösung durch eine Quadratur. Durch eine ähnliche Überlegung lassen sich ganz allgemein die beiden angegebenen Formen der Methode der Variation der Konstanten auf einander zurückführen (ygl. auch II A 4 a, Nr. 15).

Auch durch Anwendung der Methoden yon Lie kann man diese Resultate wiederfinden²²).

23. Erniedrigung der Ordnung der Gleichung. Gemeinsame Lösungen zweier linearen Gleichungen. Man kann die Ordnung der Gleichung P (y) — 0 auch jedesmal dann erniedrigen, wenn man eine andere lineare Gleichung kennt, die mit ihr Lösungen gemein hat. Es ergiebt sich das aus einer zur Theorie der Division und des grössten gemeinsamen Teilers von Polynomen (I B 1 a, Nr. 12) analogen Theorie²³). Seien A(y), B(y) zwei Ausdrücke derselben Form wie P(y), der zweite nicht von höherer Ordnung als der erste. Setzt man zur Vereinfachung voraus, dass die ersten Koeffizienten aller dieser Ausdrücke sich auf 1 reduzieren, so kann man durch rationale Operationen zwei analoge Ausdrücke Q(y) und R(y), den zweiten von niedrigerer Ordnung als B(y), so bestimmen, dass identisch:

(90)

A(y) = Q(B{y)) -f- q(x) ■ B(y)

wird. Dann ist jede gemeinsame Lösung von A = 0 und B — 0 auch Lösung von R = 0, und umgekehrt. Man erhält so durch ein zur Bestimmung des grössten gemeinsamen Teilers analoges Verfahren eine lineare Gleichung C (y) = 0, deren Lösungen die sämtlichen gemeinsamen Lösungen von A — 0 und B — 0 sind. Die Voraussetzung lässt sich also ersetzen durch die, dass P(y) = 0 alle Lösungen einer linearen Gleichung 7cter Ordnung S(y) = 0 zulässt und dass folglich eine Identität der Form P(y) — T(S(y)) besteht, in der T(y) einen linearen DifFerentialausdruck (n — /t;)ter Ordnung bedeutet. Man bestimmt n — Je linear unabhängige Lösungen u1} u₂, . ., un—k von T(u) = 0 und hat dann noch die Gleichungen mit zweitem Glied S(y) — uh (]t =1,2,.., n — Je) zu integrieren, was die Integration von S(y) — 0 und Quadraturen verlangt⁸⁸).

A(y) — 0 und B(y) — 0 hat Cr. von

Man kann daraus auch ein zum Descartes’schen Verfahren der Befreiung einer algebraischen Gleichung von mehrfachen Wurzeln (I B 1 b, Nr. 14) analoges Verfahren ableiten. — Andere Methoden zur Elimination von y aus Escherich88a) gegeben.

24. Gleichung mit gegebenem Fundamentalsystem. Symbolische Methoden. Die lineare Gleichung, die ein gegebenes Fundamentalsystem von Lösungen: yx, y₂, . . , yn besitzt, ist:

P(y) == A(y, y1} y₂, . ., yn) = 0

mit der in (78) angegebenen Bedeutung von A.⁸⁹) Man erhält daraus Ausdrücke der Verhältnisse : p₀ durch die yx,. ., yn und ihre Ableitungen in Form von Determinantenquotienten, entsprechend den Ausdrücken der Koeffizienten einer algebraischen Gleichung durch ihre Wurzeln (IB3b, Nr. 1). Speziell hat J. Liouville⁹⁰):

man die Formel von

(91)

Pi

d !og A (yx, yt, . ., yn)

Po

dx

Die Gleichung P(y) = 0 lässt sich auch noch auf andere Formen bringen. Für p₀= 1 und A (y,, . . , yk) = AÆ hat man:

^n    d —1 d

\-i dx \Än

Nimmt man das Fundamentalsystem in der Form (79), so hat man⁹¹):

_ P(y^ ⁼ dxVn dAcVn-idx‘"dxVi y'

88)    Vgl. auch L. W. Thomé, J. f. Math. 76 (1873), p. 273 und G. Fröbenius, ib. p. 256; 80 (1875), p. 321 und 85 (1878), p. 185.

88a) Wien. Denksehr. 46 (1882), p. 61 u. 47 (1883), p. 1.

89)    G. Libri, J. f. Math. 10 (1833), p. 185.

90)    J. de math. (1) 3 (1838), p. 349, vgl. Brassinne a. a. 0.; E. Christoffel, J. f. Math. 55 (1858), p. 296. Der Satz findet sich für den Fall einer Gleichung 2. Ordnung schon bei N. H. Abel, J. f. Math. 2, p. 22 = Oeuvr. 1, p. 251.

91)    G. Fröbenius, J. f. Math. 76 (1873), p. 256 und 77 (1873), p. 245

(92)

(93)

m=

dx

d_ ___

dx A₂ As dx A,

Aus diesen Resultaten folgt, wie Cr. Floquet⁹²) gezeigt hat, dass man symbolisch schreiben kann:

P(y)    AnAn—i • • • A^Q/),

indem man AB(y) für A{B(y)) setzt. Dabei ist:

d log (r₁ v₂ . . . vk)

(94)

d . A* da;    Ai,_₁ '

dx

(95) Ak(y) =    — aky, ak =

Die Formel (94) entspricht der Zerlegung eines Polynoms in Linearfaktoren. Für die Gleichung mit konstanten Koeffizienten (Nr. 21) sind die ak die Wurzeln der charakteristischen Gleichung. Den allgemeineren Fall vertauschbarer (I A 6, Nr. 1) Ak führt Floquet auf den der konstanten Koeffizienten zurück.

Diese symbolischen Zerlegungen geben neue Methoden92a) zur Integration der Gleichungen mit zweitem Glied (Nr. 22). Im Falle konstanter Koeffizienten hat man:

(96)

dx

a-){L

aufzulösen. Setzt man, als Definition:

(97)

dx

aj ¹ u

eaxJe

— ax

u dx,

so erhält man:

/ d

⁰ ~~ \dx

Man beweist, dass sich die übereinanderstehenden Quadraturen trennen lassen durch eine zur Zerlegung der rationalen Funktionen in Partialbrüche (I B 1 a, Nr. 2; II A 2, Nr. 26) analoge Formel:

(98)

\—i (ä    \-i (d

^) KdTx ~^)    ■■■{dx

(On) ¹ q(x).

(99)

k~ 1

) ¹q@).

Wie für rationale Funktionen lässt sich das Resultat auf mehrfache Wurzeln der charakteristischen Gleichung erweitern.

25. Rationale Differentialfunktionen der Lösungen eines Fundamentalsystems. Invariante Funktionen. Transformation. Auch die Theorie der rationalen Funktionen der Wurzeln einer algebraischen Gleichung (IB 3 b) hat ihr Analogon in der Theorie der linearen Differentialgleichungen. Das allgemeinste Fundamentalsystem yt, y₂, . ., yn der Gleichung (75) lässt sich aus einem speziellen y₁, . ., yn durch die Gleichungen:

92) Ann. éc. norm. (2) 8 (1879), Suppl. (Par. thèse), p. 49. Ygl. auch E. Grünfeld, J. f. Math. 98 (1885), p. 333.

92a) Vgl. Fussnote 71.

ableiten, die die allgemeine homogene lineare Gruppe JT (II A 6, Nr. 20) definieren. Diese Gruppe spielt also hier dieselbe Rolle, wie die Grappe der Vertauschungen von n Buchstaben für die algebraische Gleichung Aer Ordnung. Die Pk/po sind als Funktionen der y und ihrer Ableitungen Differentialinvarianten der Gruppe F, und jede mit den y und ihren Ableitungen gebildete Differentialinvariante von F ist Funktion der pk/po und ihrer Ableitungen allein; ist sie überdies eine rationale Funktion der y, ihrer Ableitungen und des x, so ist auch ihr Ausdruck in den Pk/po, ihren Ableitungen und dem x rational. Jede relative Differentialinvariante von F ist das Produkt einer rationalen Funktion der pkfpo und ihrer Ableitungen in

-fpjpodx ₉₃^

(100)

*-2*

k = 1

atk Vk

(i = 1,2,.. ,n)

Sei allgemeiner R irgend eine Differentialfunktion, die rational aus yx, . ., yn, ihren Ableitungen und x gebildet ist. Ihre Eigenschaften sind verknüpft mit denjenigen ihrer Gruppe9d), d. h. derjenigen Untergruppe G von F, bei der die Form dieser Funktion ungeändert bleibt. Die aus R durch die allgemeine Transformation von r abgeleitete Funktion — man nennt sie den allgemeinen Wert von F — ist die allgemeine Lösung einer in R und seinen Ableitungen rationalen Differentialgleichung W (R) = 0, deren Koeffizienten rationale Funktionen der Pk/po, ihrer Ableitungen und des x sind. Man nennt lF (R) = 0 eine Transformierte oder Resolvente von P(y) = 0; sie ist von der Ordnung n² — r, wenn r die Zahl der Parameter von G ist.

Sei S eine andere Differentialfunktion, derselben Natur wie R, und H ihre Gruppe. Ist H ganz in G enthalten, so lässt sich R rational in S, den Pk/po, ihren Ableitungen und dem x ausdrücken. Allgemein genügt R einer rationalen Differentialgleichung, deren Koeffizienten rationale Funktionen von S, den Pk/po, ihren Ableitungen und von x sind, und deren Ordnung gleich ist der Differenz zwischen der Parameterzahl von H und der der grössten gemeinsamen Untergruppe von G und H.²⁴ 25).

Wenn S keine Transformation von U ausser der identischen zu-

26. Associierte Gleichungen. Adjimgierte Gleichung.

269

lässt, lässt sich jede Funktion R, also auch jedes der Integrale Vt, ■ ■ , yn rational durch S, die Pk/po, ihre Ableitungen und x aus-drücken. Speziell gilt das für die Funktion S = uxyx -f- u₂y₂ -f- • • • -f- u„ yn, in der die ut unbestimmte Funktionen von x bedeuten; sie genügt einer linearen homogenen Gleichung der Ordnung n² (allgemeine Resolvente)²⁶).

Nimmt man:

(101) £ = R{y) = ux(x)    (x)    G-----\~Un(x)y, unter %, u₂, . . ,un rationale Funktionen von x, den pk/po und ihren Ableitungen verstanden, so erhält man eine lineare Resolvente Q(ß), die im allgemeinen wie P(y) von ntei Ordnung ist. Die Lösungen von P(y) = 0 und Q(z) = 0 entsprechen einander durch die Relation z — R(y) und auch durch eine umgekehrte derselben Form y = S (z). Man hat also hier das Analogon zur Tschirnhausen-Transformation (I B 2, Nr. 19). Zwei lineare Differentialgleichungen P(y) = 0 und Q(P) = 0 heissen von derselben Art²⁷), wenn sie in dieser Weise mit einander Zusammenhängen.

26. Associierte Gleichungen. Adjungierte Gleichung. Nach den eben erwähnten sind die einfachsten Resolventen diejenigen, denen die Minoren der Determinante A (t/x, . ., yn) genügen. Diese Determinante selbst genügt der Gleichung 1. Ordnung (91). Alle aus denselben m Zeilen von A entnommenen Minoren genügen einer und derselben Gleichung und bilden von ihr ein Fundamentalsystem von Lösungen; ersetzt man die m Zeilen durch m andere, so erhält man Gleichungen derselben Art (Nr. 25). Man kann sich also für jedes m auf die Untersuchung derjenigen Gleichung beschränken, der A (yx, y₂, . . , ym) genügt; sie heisst die (n — m)te Associierte von P(y) = 0. Die Lösungen eines Fundamentalsystems von ihr sind (ausser für m — 1 und m = n — 1) durch homogene ganze Relationen mit konstanten Koeffizienten verbunden. Die Eigenschaften dieser Associierten sind vielfach behandelt worden²⁸); sie dienen u. a. zur Untersuchung der Reducibilität der linearen Gleichungen (Nr. 36 und II B 4).

Die (n — l)te Associierte ersetzt man gewöhnlich durch die (leicht aus ihr abzuleitende) Gleichung, für die ein System von JFundamental-lösungen ist:

• • 1 Vk—Xi y*+i. • • ■> Vk)

AC*/n ya,yn)

0k = (— 1)M+*

(102)

C. G. J. Jacobi²⁹ 30) zeigt, dass sie mit der Laqranqésehen Adjunqierten ") P'(e) = 0 identisch ist;

(103)

* dM>n-k^

heisst der zu P(y) adjungierte Ausdruck. Seine Eigenschaften ergeben sich aus der Identität:

(104) in der:

*P{y) — yP'i*)

dP(y, e)

dz

(105)

dh(pn_kz)

h, k

dxh

ist. Die Adjungierte der Adjungierten ist wieder die ursprüngliche Gleichung. Mit Hülfe des Fundamentalsystems (102) lässt sich die Lösung der Gleichung mit 2. Glied P(y) = q(%) in der expliciten Form darstellen:

(106)

y =2 ykfq.(x)ekdx.

k = 1

Die allgemeine Form der Ausdrücke gerader Ordnung, die mit ihren Adjungierten identisch sind, ist³¹):

P{y) = Q'QXy)-,

(107)

dQ(y)

die der Ausdrücke ungerader Ordnung, die ihren Adjungierten entgegengesetzt gleich sind³²):

(108)

Ist P(y) — MxM₂ . . . Mk(y) und sind Mt', M₂', . ., Mk bezw. die Adjungierten von M₁, M2f.., Mk, so ist P' (z) — Mk Ml-1 ...Mi (#).³³)

27. Gleichungen zweiter Ordnung.

271

Diese Verhältnisse erlauben eine geometrische Darstellung10ä). Man betrachtet die Gleichungen Xi = yi(x) (i = 1,2, , n), unter y₁,..,yn ein Fundamentalsystem von Lösungen von P(y) — 0 verstanden, als Gleichungen einer Kurve des (n — 1)-dimensionalen Raumes in homogenen Koordinaten. Der Übergang von einem Fundamentalsystem zu einem andern kann als Transformation der homogenen Koordinaten gedeutet werden-, man kann also sagen, dass die Gleichung P(y) — 0, vom projektiven Gesichtspunkt, eine bestimmte Integralkurve definiert. Die adjungierte Gleichung giebt diese Kurve dualistisch; die asso-ciierten Gleichungen geben sie in den verschiedenen Arten von Tangentialkoordinaten, die es im Bn—i giebt. — Auch für andere Fragen ist diese Darstellung nützlich³⁴ 35). — Zu beachten ist übrigens, dass die Kenntnis der Integralkurve nur die Verhältnisse der Integrale giebt; zur Bestimmung dieser selbst bedarf es dann noch einer Quadratur.

27. Gleichungen zweiter Ordnung. Die Gleichung 2. Ordnung:

(109)

p2 (y) = Po    + h ff + y= 0

hat spezielle Eigenschaften. Ihre Transformierte in z — d log y/dx ist eine JRiccati’sehe Gleichung; ist sie integriert, so bedarf es noch

der Quadratur e SPi/Podx₋ Setzt man in der Riccati’sehen Gleichung dz j dx — A -f- Bz -f- Gz² umgekehrt z = —

, so erhält man

1 dy Cy dx

für y eine Gleichung P₂ (y) — 0.³⁶) — Diese Sätze lassen sich auf die lineare Gleichung ntev Ordnung und ihre Transformierte in d log y / dx übertragen. Vermittelst dieser Transformation hat J. Liouville bewiesen, dass die Gleichung

(109 a)

d*z

dx²

sich für k(x) — n(nV) durch elementare Funktionen integrieren lässt, wenn h eine Konstante, n eine ganze Zahl ist105a). Auf diesen Integrabilitätsfall lassen sich die meisten bekannten Fälle zurückführen 105 b).

Darüber hinaus hat Moutard m) alle Gleichungen der Form (109 a) aufgestellt; von denen ein Integral eine rationale ganze Funktion des Parameters h ist. Seine Lösung beruht auf der Betrachtung gewisser Folgen von Gleichungen P₂ (z) = 0 von der Art, dass man, sobald man von einer von ihnen ein partikuläres Integral kennt, alle vorhergehenden successive integrieren kann106a). Diese Methode ist verwandt mit der Methode von Laplace für lineare partielle Differentialgleichungen

2. Ordnung (IIA 5, Nr. 59). Zu ihr analog ist eine Methode von J. Cels³⁷ 38) für die lineare Gleichung nteI Ordnung, bei der die zu P(y) = 0 gehörige Folge dadurch erhalten wird, dass man abwechselnd von jeder Gleichung ihre Lagrangdsehe Adjungierte und ihre „Adjungierte der ersten

Zeile“ (d. h. die Transformierte in A , • •,

dVn-1

dx bildet.

Über das Verhalten der Integrale linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung im reellen Gebiet, die Lage ihrer Nullpunkte u. s. w. vgl. man II A 7 a; über spezielle Klassen solcher Gleichungen und die ihnen genügenden Funktionen II B 4 und 4 b.

b) Lineare Systeme.

28. Ausdehnung der vorhergehenden Theorieen auf Systeme linearer Gleichungen. Die linearen Systeme³⁹), deren allgemeine Form ist:

(110)

dx.

dx

- x, °i* (x) • xk = Hx) »

k=1

haben ähnliche Eigenschaften wie die linearen Gleichungen. Betrachten wir zunächst das homogene System:

(111)

aik(x)xk = 0

*=i

Es besitzt Fundamentalsysteme, gebildet aus n Lösungen x-, = xh(x) (h, i = 1, 2,. ., n), deren Determinante A = \xki\ nicht identisch Null ist. Die allgemeine Lösung ist:

(112)

Xi =

C'h Xjii

mit den n willkürliclien Konstanten ch ; diese Form der allgemeinen Lösung ist für die linearen Systeme charakteristisch. Kennt man eine oder mehrere partikuläre Lösungen, so kann man die Ordnung des Systems erniedrigen, z. B. mit der Methode der Variation der Konstanten (Nr. 22). m Lösungen (m <( n) sind linear unabhängig, wenn die aus ihnen gebildeten Determinanten mter Ordnung nicht alle identisch Null sind.

Sind die aik konstant, so giebt es Lösungen der Form = mie(ox (i = 1, 2, . ., n), in denen co Wurzel der charakteristischen Gleichung:

co, $₁₂,

(113)

f(co) —

a21 )

(%22    (Oy... (%2 n

an 2

. .. ann w

Mn 1

und die Konstante sind, deren Verhältnisse sich aus Bleichungen 1. Brades berechnen. Hat f (go) nur einfache Wurzeln, so- ist die Integration damit vollzogen. Der Fall mehrfacher Wurzeln hängt im Brande von der Weier strass’sehen Elementarteilertheorie (I B 2, Nr. 3) ab⁴⁰). Man kann auch d’Alembert’s Multiplikatormethode (Nr. 11) und seine Methode des Brenzübergangs (Nr. 23) benutzen. Die Methode von Laplace⁴¹ 42), der Residuenkalkül von Cauchym) geben andere Formen der Lösung. Die Frage steht übrigens zur Frage nach den kanonischen Formen für — sei es endliche, sei es infinitesimale — lineare Transformation in naher Beziehung⁴³).

Durch die Benutzung symbolischer Bezeichnungen ist es Vaschy⁴⁴) gelungen, den Fall eines nicht aufgelösten Systems von n linearen homogenen Bleichungen mit konstanten Koeffizienten und n unbekannten Funktionen allgemein zu behandeln. Die Resultate gleichen in ihrer symbolischen Bestalt denjenigen der Theorie der algebraischen Bleichungen ersten Brades.

Das nicht homogene System (HO) lässt sich durch Quadraturen

18

integrieren, sobald das entsprechende homogene System (111) integriert ist113a). Man beweist das durch die Methode der Variation der Konstanten (Kr. 22), durch die Methode Anwendung des adjungierten Systems (Kr. 11).

Cauchy (II B 4) oder durch

von

Man kann diese Resultate auch an die Lié sehe Theorie (Kr. 13) anknüpfen; das System (110) gestattet eine Gruppe der Form:

(114)

X* (/') = Xki (x)

i = 1

df

dx{

(Je = 1, 2,. ., n)

das

System (111) ausserdem noch Xf = ^ Xj ~ • (Vgl. Kr. 29.)

Man kann das lineare System bilden, das n gegebene w-tupel von Funktionen von x, x, = xki(x) (k, i — 1, 2, . ., n) zu einem System von Fundamentallösungen hat; es lautet:

¹

   Inst. calc. int. 2, p. 97.

²

   Euler, ib. 3, p. 425; Condorcet, Du calcul integral; Lexell, Petrop. N. Comm. 15 und 16; Lagrange, Calcul des fonctions (Oeuvr. 10, p. 364); J. Bertrand, J. éc. polyt. cab. 28 (1841), p. 364; J. Baabe, J. f. Math. 31 (1846), p. 181; F. Joachimsthal, ib. 33 (1847), p. 95; Stoffel und Bach, J. de math. (2) 7 (1862), p. 49; A. Windeier, Wien. Ber. 88 (1883), p. 820.

³

   J. Lagrange, Mise. Taur. 3, 1762/65, p. 179 (Oeuvr. 1, p. 471).

⁴

Über diese Frage und allgemeinere analoge vgl. man Lie, Leipz. Ber. 46 (1894), p. 322 und Fr. Engel, ib. p. 297.

66a) J. f. Math. 75 (1872), p. 292 (Ges. Abh. 2, p. 220).

⁵

   Ygl. die Note III (von J. A. Serret) zu Lagrange’s Leçons sur le calcul des fonctions und J. A. Serret, J. de math. 18 (1853), p. 1.

⁶

   Par. Hist. 1783, p. 719.

⁷

   Die erste Idee der symbolischen Darstellung einer solchen Differential

⁸

operation geht auf B. Brisson zurück, J. éc. polyt. cah. 14 (1808), p 197 [a. d.

⁹

J. 1804] ; A. Cauchy hat sie auseinandergesetzt und erweitert (Exerc. de math.

¹⁰

(1827); Oeuvr. (2)7, p. 198); er gebraucht die Bezeichnung f(D)y, in der D für

¹¹

Mise. Taur. 3 (1762/66) [65], p. 181 der 2. Paginierung; Oeuvr. 1, p. 473.

¹²

   Vgl. z. B. Lie-Scheffers, Differentialgleichungen, Kap. 16.

¹³

   Mise. Berol. 7 (1743), p. 193 und Inst. calc. int. 2, sect. 2.

¹⁴

   Vgl. z. B. den Art. Tangentes des Dictionnaire des xnathém. der Encyclopédie méthodique. — Das Verfahren kann durch den Satz von Poincaré, II A 4 a, Nr. 15, gerechtfertigt werden.

¹⁵

   J. Lagrange, Mise. Taur. 3 (1762/65) [66], p. 190 der 2. Paginierung; Oeuvr. 1, p. 481.

¹⁶

   Par. C. R. 92 (1881), p. 779.

¹⁷

   J. d’Alembert, Mise. Taur. 3 (1762/65) [66], p. 381 der 2. Paginierung

¹⁸

   Berl. nouv. mém. 1774 und 1781 (Oeuvr. 4, p. 111; 5, p. 123).

¹⁹

Oeuvr. (2) 7, p. 40, 198; Par. C. R. 8 (1839), p. 827, 845, 889, 931.

²⁰

Vgl. z. B. H. Laurent, Traité cTanalyse 5, p. 141.

²¹

   Oeuvr. (2) 6, p. 253, 316 und (2) 7, p. 40. Ygl. die Methode von Laplace (II B 4).

²²

   Ygl. z. B. Lie-Scheffers, Differentialgleichungen, Kap. 16.

²³

   Gr. Libri, J. f. Math. 10 (1833), p. 185; Brassinne in einer Note zu Sturms Cours.

²⁴

Diese Sätze rühren von P. Appell her, Ann. éc. norm. (2) 10 (1881),

p. 400.

²⁵

E. Vessiot, Par. thèse 1892 (Ann. éc. norm. (3) 9, p. 197). — Die Sätze übertragen sich auf einen beliebigen Rationalitätsbereich (Nr. 86).

²⁶

   E. Picard, Par. C. R. 96 (1883), p. 1131 und Tout. Ann. 1 (1887), A.

²⁷

   H. Poincaré, Acta math. 5 (1884), p. 212. Ygl. L. Schlesinger, Lineare Diff.-Gl. 2, p. 118.

²⁸

   L. Fuchs, Beri. Ber. 1888, p. 1115; A. B. Forsyth, Lond. Trans. 179 (1888), p. 420; J. Cels, Ann. éc. norm. (3) 8 (1891), p. 341; E. Borel, ib. 9 (1892), p. 63; E. Grünféld, J. f. Math. 115 (1895), p. 328; A. Gutzmer, Hab.-Schr. Halle 1896.

²⁹

   J. f. Math. 32 (1846), p. 189 (ges. Werke 2, p. 127).

³⁰

   Ygl. Nr. 16 und W. H. Abel, Oeuvr. 2, p. 47.

³¹

   C. G. J. Jacobi, J. f. Math. 17 (1837), p. 68 (ges. Werke 4, p. 39). Vgl. Fussn. 98. Vgl. G. Frobenius, J. f. Math. 85 (1877), p. 192; G. Darboux, Théorie des surfaces 2, p. 109. — Die sich selbst adjungierten Gleichungen sind für die Variationsrechnung wichtig (vgl. IIA 9).

³²

   G. Darboux, Theorie des surfaces 2, Par. 1889, p. 121.

³³

   L. W. Thomé, J. f. Math. 76 (1873), p. 277; G. Frobenius, ib. p. 263; E. Grünfeld, ib, 98 (1885), p. 333.

³⁴

   E. Borél, Ann. éc. norm. (3) 9, 1892.

³⁵

   G. H. Halphen, Par. sav. [étr.] (2) 28(1884), p. 115; S. Lie, Christ. Förh. 1883, Nr. 12.

³⁶

   Vgl. z. B. G. Darboux, Theorie des surfaces 1, Par. 1887, p. 23.

105a) J. de math. 6 (1841), p. 1. Vgl. auch L. Euler, Mise. Taur. 3 (1762/65), II p. 60.

105b) Vgl. wegen solcher Fälle u. a. Hargreave, Lond. Trans. 1848, p. 31, sowie das Buch von Boole.

³⁷

   Par. C. R. 80 (1875), p. 729.

106a) Ygl. L. Euler, Mise. Tarn*. 3 (1762/65), p. 88.

³⁸

   Ann. éc. norm. (3) 8 (1891), p. 341; Par. C. R. 115 (1892), p. 1057; 116 (1893), p. 176.

³⁹

   Ihre Untersuchung geht auf J. d'Alembert zurück [Fussn. 42], Yg], Natani, Die höhere Analysis; L. Königsberger, Lehrbuch, Kap. Ill; L. Sauvage, Toni. Ann. 8 und 9 (1894/95).

⁴⁰

   L. Sauvage a. a. 0. und J. de math. (3) 10 (1884), p. 387.

⁴¹

   Vgl. z. B. JE. Picard, Traité d’analyse 3, p. 395.

⁴²

   A. Cauchy, Par. C. R. 8 (1839), p. 827, 845, 889, 931. Vgl. z. B.

H. Laurent, Traité d’analyse 5, p. 294; eine andere Darstellung bei J. Collet, Grenoble Ann. 6 (1894), p. 309.

⁴³

   Lie-Engel 1, p. 585.

⁴⁴

   Par. C. R. 116 (1893), p. 491; vgl. C. Jordan, Cours d’analyse 3.

Encyklop. d. math. Wissensch. II.

d Xk d X1 k dx dx

dXnk

dx

(115)

xx

(k = 1, 2,. ., n).

Xn

Xn 1    ' ' ' Xnn

Hieraus sind die Ausdrücke der a^i durch die xki und ihre Ableitungen zu entnehmen. Es sind Invarianten der linearen homogenen Gruppe der Ordnung

Xkj =

Ckh Xfij

k== 1

die hier die Rolle der Gruppe JT von Kr. 22 spielt. Alle Theorieen von Kr. 22 übertragen sich fast ohne Modifikation¹ 2). Unter den transformierten Systemen tritt das adjungierte System von Jacobi (Kr. 11) auf:

+2

*=i

{i= 1,2,.., n);

ein Fundamentalsystem von Lösungen von ihm ist gegeben durch:

Jl ia

A

Der Liouville’sehen Formel (91) entspricht hier114a):

A c12

A dx

(116)

(117)

<%ki8k = 0

(h, i=l,2,.., n).

an.

c) Lie’sche Systeme und Verallgemeinerungen.

29. Lie’sche Systeme. Ihre verschiedenen Definitionen. Ihre Integrationstheorie. Die linearen Systeme sind ein spezieller Fall der Lie’sehen Systeme¹¹*), deren allgemeine Form ist:

(119)

dx.

@k(t) %>ki } ^2 > • • 5 “ün)

k= 1

Dabei bilden die r unabhängigen infinitesimalen Transformationen:

dt

\ df

>    • • 1 Xn)

eine „dem System (119) associierte“ Gruppe G. Die äquivalente par tielle Differentialgleichung (Nr. 1) ist:

(120)

X*/ = lki{pc₁

i—1

(k = 1, 2,.., r)

(121)

Äf

= dJL

d t

~f®k(t) Xi / = 0. * = 1

Das System (119) wird linear, wenn G in der allgemeinen linearen Gruppe, linear und homogen, wenn G in der homogenen linearen Gruppe enthalten ist; es reduziert sich auf eine RiccaWsehe Gleichung (Nr. 8), wenn G die projektive Gruppe in einer Variabeln ist; auf eines der Systeme — 0 (Nr. 11), zu denen die Anwendung der d’Alembert’sehen Multiplikatorenmethode auf Systeme linearer Gleichungen führt, wenn G die projektive Gruppe in n — 1 Variabein ist. In ihrer allgemeinen Form treten solche Systeme als Hülfssysteme in der Z^Vschen Theorie der Integration der Systeme mit bekannter Gruppe (Nr. 13) auf.

Sind die dk(t) konstant, so definieren die Gleichungen (119) die endlichen Gleichungen einer Transformation von G in kanonischer Form. Lie zeigt³ 4), dass die Bestimmung dieser kanonischen Gleichungen, wenn man die endlichen Gleichungen von G in irgend einer Form kennt, höchstens Quadraturen verlangt. Es ist das die Verallgemeinerung des Satzes über lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten; ein spezieller Fall davon ist auch die Integrabilität der Jacobi’schen Gleichung (Nr. 8).

Lie hat auch⁴) die Bedeutung dieser Gleichungen für seine Integrationstheorie hervorgehoben und Andeutungen über die Benutzung der Kenntnis von ersten Integralen, oder partikulären Integralen, oder Relationen zwischen solchen gegeben.

18*

Wieder aufgetreten sind solche Systeme als die allgemeinsten Systeme mit Fundamentallösungen, d. h. solche, deren allgemeines Integral sich in der Form schreiben lässt:

'S*.

«? II

te

cs

in der Xn, • •, %i«; xPi, ■ - , xpn p beliebige (nur Ungleichungen unterworfene) Lösungen bedeuten, die das bilden, was man ein Fundamentalstem nennt; in der ferner . ., c„ die Integrationskonstanten sind und die Funktionen <P das t nicht explicite enthalten und von der Auswahl des Fundamentalsystems nicht abhängen. Für n — 1 sind diese Systeme⁵ 6) unter der Voraussetzung algebraischer & von L. Königsbergeru8), ohne diese Einschränkung von JE. Vessiot⁷ 8) bestimmt worden; den allgemeinen Fall behandeln A. Guldbergm), E. Vessiot⁹) und S. Lie¹⁰) ; letzterer hat das definitive Resultat gegeben und bewiesen.

Auch G. Bohlmann ¹¹) hat die Lie’schen Systeme wiedergefunden bei der Frage nach den Klassen von Systemen, die Integrationsmethoden zulassen, d. h. Systemen der Form:

dxi

(123)

Hi(xi,.., xn I {t),.., Or(tyj

0‘= 1,2,..,»)

(in der die 6k unbestimmte, die Hi aber bestimmte Funktionen ihrer Argumente bedeuten) und mit allgemeinem Integral der Form:

0' = 1, 2,.., »)

(124) Sli (x1}. . ,xn,t\ u₁(t), . . , Ur(fy) = Ci

in der die Natur der Funktionen li nur von der der H abhängt, während die ut analytisch bestimmt sind, sobald man den 6 spezielle Formen beilegt (z. B. durch Differentialgleichungen, deren Koeffizienten aus den 0k und ihren Ableitungen gebildet sind).

Endlich ist noch eine charakteristische Eigenschaft der Systeme (119), dass man ihr allgemeines Integral auf eine solche Form bringen kann, dass die Integrationskonstanten in ihm ebenso auftreten, wie die

Variabein in den endlichen Gleichungen der Gruppe G. D. h. sind diese endlichen Gleichungen:

(125)

Xi    fi (xj , . . , xn I a^ , . ., ov) (i — 1)    , j n),

so hat das allgemeine Integral von (119) die Form:

(126) x. = f!(x\,..,xl\al (t), .aß))    (i = 1, 2,.., n),

wo die x°, . ., die willkürlichen Konstanten sind und die ak (i) definiert sind durch das Lie’sche Hülfssystem:

(127)

(4=l,2,..,r),

dcik

j=1

für das die zugehörige Gruppe die erste Parametergruppe (II A 6; Nr. 14) von G ist. Aus dieser Bemerkung, die man als Anwendung der Methode der Variation der Konstanten ansehen kann, hat E. Vessiotm) eine Theorie der Integration der Lie’schen Systeme abgeleitet, unter der Voraussetzung, dass die endlichen Gleichungen von G bekannt seien: Zwei Lie’sche Systeme sind äquivalent, d. L die Integration des einen zieht die des andern nach sich, wenn die zugehörigen Gruppen holoedrisch isomorph und die Funktionen 6k (t) in beiden Systemen dieselben sind. Die Integration des Systems (119) geschieht mit Hülfe von der des adjungierten linearen Systems:

(128)

*=1 * = 1

Ciks Ci

für das die zugehörige Gruppe die adjungierte Gruppe (II A 6, Nr. 15) von G ist. Nach dieser Hülfsintegration hat man höchstens eventuell noch Quadraturen auszuführen, nämlich wenn G ausgezeichnete infinitesimale Transformationen enthält. Ist G nicht einfach, so kann man die Integration von (119) auch durch die einer Folge Lie’scher Systeme mit einfacher Gruppe ersetzen.

Die Sätze von Nr. 25 über lineare Systeme lassen sich auf alle Loschen Systeme übertragen.

Setzt man die endlichen Gleichungen von G nicht als bekannt voraus, so enthält die Integration von (119) als speziellen Fall die Bestimmung dieser endlichen Gleichungen — ein Problem, für das Lie¹² 13) wesentliche Resultate gegeben hatte. E. Vessiot¹⁴) führt den allgemeinen Fall auf die in Nr. 13 dargestellte Lie’sehe Theorie zurück, indem er zuerst die Gruppe der infinitesimalen Transformationen der Form -fix- (t) Xkf bestimmt, die das System (119) invariant lassen (vgl. Nr. 28). Man schliesst daraus speziell, dass die Integration von (119) sich immer auf die von linearen Hülfssystemen zurückführen lässt, wenn G transitiv (II A 6, Nr. 11) ist; und auch wenn G intransitiv ist, sobald man ihre Invarianten berechnet hat.

30. Allgemeinste Systeme mit FundamentaHösungen. Gleichungen höherer Ordnung mit Fundamentalsystemen erster Integrale. Verallgemeinerung der Lie’schen Systeme. Man kann den

Begriff der „Differentialsysteme mit FundamentaHösungen“ erweitern, indem man zulässt, dass die unabhängige Variable explicite im Ausdruck der allgemeinen Lösung durch partikuläre Lösungen auftritt. Aber man muss dann, ausser für n = 1, eine Zusatzhypothese einführen. Ein System:

(129)

dx{

d ł Hi (^1 ) • - , OC-n, f)

(i = 1, 2,.., ri)

ist ein System mit FundamentaHösungen, wenn man Relationen der Form : (130) Xj, — (x±i , • • , <£l n’i • • j ‘Z'ply • • y %pn’i t I G. f • • ) Gi) (f lj • • > %) kennt, die das allgemeine Integral geben, sobald man in ihnen xn,... xln ; • • ]Xpij . ., xpn durch p Partikularlösungen ersetzt, und die so beschaffen sind, dass die Gleichungen:

•Fl n j • • j G/p x, ■

%p n ; t I Q/jc 1, . . , G/Jc n ) = 1, ²> ■ ‘ , n)

(131) Xjcj — (xn, •

(Je = 1, 2, . ., p ;

eine Gruppe definieren, deren Parametergleichungen von t unabhängig sind. Unter diese Definition fallen alle Transformierten der linearen

Gleichungen¹²⁷) und der Lie’schen Systeme. Solche Systeme lassen sich immer vermittelst Lie’scher Hülfssysteme integrieren¹²⁸).

In anderer Weise verallgemeinert A. Guldberg¹²⁹) die Lie’schen Systeme, indem er Systeme von Gleichungen höherer Ordnung sucht, die Fundamentalsysteme erster Integrale zulassen. Es sind das Systeme:

(132)

dPX;    /

dxt

•> Mn y dt 7 * • >

dp 1xn

än

deren allgemeines Integral sich auf die Form bringen lässt:

127)    Vessiot, Thèse p. 31.

128)    Vessiot, Toul. Ann. 8, H p. 30; vgl. einen Satz von T. Levi-Civitä, Lomb. Rend. 1895.

129)    Par. C. R. 117 (1893), p. 215.

dxt

während die Gleichungen:

dp~¹xi dtp~x

tyki Xx ,

(i = h 2, -

(134)

’ dtp~

(133)

dp xxf

dt?-¹

^i (tyiiy • • • ) tyx»7 • • • j tysi) • • jtysn \ cx,•.,c»), (t —1,2,.., m)

• • J xn, dt , • .

n ; Tc = 1, 2, . ., s)

s partikuläre erste Integrale darstellen. Die Bestimmung und Integration solcher Systeme knüpft sich ebenfalls an die Theorie der Transformationsgruppen.

Eine dritte Verallgemeinerung der ThVschen Systeme liefern die unendlichen Gruppen; nämlich Systeme der Form¹⁵):

(135)

d x;

dt ~    •

Xn I 0

(i = 1, 2, . ., n),

wo die Familie vom Parameter t abhängender infinitesimaler Transformationen:

(136)

Xtf = li (xx, . . ,xn\t)

i= i

ganz in einer (von der Gruppe aller Punkttransformationen verschiedenen) unendlichen Gruppe G enthalten sind. Zu dieser Klasse gehören u. a. die kanonischen Systeme der Mechanik (Kr. 12). Auch hier treten die willkürlichen Konstanten im allgemeinen Integral ebenso auf, wie die Variabein in den endlichen Gleichungen der Gruppe G. — Man kann auch sagen: die äquivalente Gleichung:

Lf

(137)

hat n Lösungen, die den Definitionsgleichungen der endlichen Transformationen von G genügen (vgl. Nr. 14).

31. Systeme von partiellen Differentialgleichungen mit Fundamentallösungen. Anwendungen. Von noch allgemeinerem Gesichtspunkt aus ist ein System mit Fundamentallösungen jedes System Ua partieller Differentialgleichungen:

(138)

Fk (xx,.

dZn

.,Xm, 0lf..,0n, dXi, " , dXm ,

dessen allgemeine Lösung aus einer partikulären durch die allgemeine Transformation z. = cp. (z[, . ., z°n) einer (endlichen oder unendlichen)

Gruppe G hervorgeht¹³¹). Die Systeme der Definitionsgleichungen der endlichen Transformationen von G sind ein spezieller Fall davon. Allgemein ist ein System UG nichts anderes als ein System, das die Gruppe G zulässt und dessen Lösungen durch G transitiv vertauscht werden. Die Bildung aller solchen Systeme hängt also ah von der Bestimmung der Typen von Gruppen G und der allgemeinen Theorie der Differentialinvarianten ; sie werden, von gewissen Ausnahmssystemen abgesehen, erhalten, indem man ein System passend gewählter Differentialinvarianten gleich gegebenen Funktionen von xx, . ., xm setzt.

Ist die Gruppe G endlich, so fällt die Integration von HG unter die bereits behandelten Probleme. Ist die Gruppe G unendlich und nicht einfach, so lässt sich die Integration von UG zurückführen auf die einer Folge von Systemen derselben Art, die einfachen Gruppen entsprechen; diese einfachen Gruppen ergeben sich auch hier aus der normalen Zerlegung von G in eine Folge von Gruppen, deren jede ausgezeichnete Maximaluntergruppe der vorhergehenden ist (IIA 6, Nr. 6; 17). Anzahl und Struktur derselben sind bis auf die Reihenfolge von der angewandten Zerlegung unabhängig¹³²). Ist G unendlich und einfach, so sucht man die Anzahl der unbekannten Funktionen zx, z%, . ., zm auf ein Minimum zu reduzieren; man kommt so zu Systemen UG, die man als nicht mehr weiter reduzierbar und als die der Struktur von G entsprechenden kanonischen Systeme ansehen darf¹³³).

Die Systeme UG sind uns bereits in Nr. 14 begegnet. Lie¹³¹) hat ferner das folgende allgemeine Problem auf die Integration solcher Systeme zurückgeführt: Wenn man die Definitionsgleichungen einer Gruppe G und die allgemeine Form seiner infinitesimalen Transformationen kennt, die Gleichung Xf = 0 zu integrieren, wenn Xf irgend eine infinitesimale Transformation von G ist. Dieses Problem umfasst als spezielle Fälle die allgemeine Theorie der Zusehen Systeme (Nr. 29), die Lid sehe Theorie von Nr. 13, die Systeme vom Schluss von Nr. 27 und die partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung (IIA 5, IV). Auch die Theorie des Jacobi’schen Multiplikators (Nr. 12) kann man ihm unterordnen: die Kenntnis eines Multiplikators M des Systems

(45) giebt die äquivalente Gleichung:

(139)

Xf

in der Xf eine infinitesimale Transformation der Gruppe von Punkt-

131)    S. Lie, Leipz. Ber. 1895, p. 261 und J. Drach, Par. thèse 1898, p. 90.

132)    J. Drach, Par. thèse 1898, p. 104.

133)    Über diesen letzten Punkt spricht sich Lie sehr unbestimmt aus.

transformationen ist, die die Volumina ungeändert lässt. So konnte Lie beweisen, dass die Theorie des letzten Multiplikators die ganze Vereinfachung giebt, die aus der Kenntnis eines Multiplikators M für die Integration des Systems resultiert. Er hat auch von demselben Gesichtspunkt aus die Integration eines Systems nteT Ordnung wieder vorgenommen, von dem man einen Multiplikator und eine infinitesimale Transformation kennt¹³⁴): entweder man leitet daraus ein oder mehrere erste Integrale ab ; oder man vollendet die Integration durch 2 Quadraturen, nachdem man n — 2 erste Integrale bestimmt hat; oder man erhält das letzte Integral ohne Quadratur, nachdem man n — 1 erste Integrale bestimmt hat.

32. Verschiedene Klassen von Gleichungen. Die vorhergehenden Klassen von Differentialsystemen sind alle erhalten worden, indem man die eine oder die andere der beiden folgenden Haupteigenschaften der linearen Gleichungen zu verallgemeinern suchte: 1) sie besitzen Fundamentalsysteme von Lösungen, d. h. ihre Lösungen sind in gewissem Sinne nicht von einander unabhängige Transcendente; 2) man weiss, in welcher Art die willkürlichen Konstanten im allgemeinen Integral enthalten sind.

Die nähere Betrachtung dieser zweiten Eigenschaft hat noch zur Untersuchung anderer Gleichungsklassen geführt: z. B. Gleichung

2. Ordnung, deren allgemeines Integral eine lineare gebrochene Funktion der beiden Integrationskonstanten ist¹³⁵) und die Gleichungen höherer Ordnung mit allgemeinem Integral der Form:

(140)

^ClkUk(x)

in der die Konstanten «/•, bk durch eine geeignete Anzahl homogener Relationen verbunden sind¹⁶). P. Painlevé¹⁷) zeigt, dass jedes System (1), dessen allgemeine Lösung rational von willkürlichen Konstanten abhängt, sich durch lineare Hülfssysterne integrieren lässt; er untersucht auch allgemeiner die Systeme (1), deren allgemeine Lösung von den Konstanten algebraisch abhängt (II B 5).

Man hat auch die der Jacobi'sehen Gleichung (Nr. 8) eigentüm-

134)    Math. Ann. 11 (1877), p. 508; Norw. Arch. 9 (1884), p. 441.

135)    Hazzidakis, J. f. Math. 90 (1881), p. 174; E. Vessiot, Tout. Ann. 9

(1895), F.

liehe Form des allgemeinen Integrals zu verallgemeinern gesucht, z. B. Gleichungen behandelt, deren allgemeines Integral die Form hat¹⁸):

M{x) n[Xi —

i= 1

(141)

m‘ — Const.

Andere Klassen kommen im folgenden zur Sprache.

ÄquivalenzproMeme.

33. Formulierung des Problems. Einführung der Differentialinvarianten. Allgemeine Methoden. Sei eine Klasse C von Differentialsystemen nteT Ordnung (1) definiert durch die allgemeine Form ihrer Systeme, indem die rechten Seiten des allgemeinen Systems der Klasse in bestimmter Weise von einer gewissen Anzahl willkürlicher Elemente (Funktionen oder Parameter) abhängen. Es gebe ferner eine (endliche oder unendliche) Transformationsgruppe G von der Art, dass jede ihrer Transformationen jedes System von C in ein System derselben Klasse transformiert, doch ohne dass jedes System von C in jedes andere durch eine Transformation von G übergeführt werden könnte. Zwei Systeme von C heissen dann (gegenüber G) äquivalent, wenn es mindestens eine Transformation von G giebt, die das eine in das andere überführt; das Aquivalenzprohlem verlangt die Aufsuchung der notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, dass zwei Systeme von C äquivalent sind¹⁹). Die Lösung dieses Problems hängt ab von der Bestimmung der DifferentiqMnvarianten der Klasse C gegenüber der Gruppe G: jeder Transformation von G entspricht eine Transformation der willkürlichen Elemente, von denen das allgemeine System der Klasse abhängt; diese Transformationen bilden eine zu G isomorphe Gruppe y, und um die Differentialinvarianten dieser Gruppe y handelt es sich²⁰). Sie lassen sich alle durch Differentiationen vermittelst gewisser Differentialparameter aus

einer endlichen Anzahl von Fundamentalinvarianten ableiten; die Äquivalenz zweier allgemeinen Systeme der Klasse drückt sich aus, indem man eine endliche Anzahl von Invarianten des einen Systems den entsprechenden Invarianten des andern Systems gleichsetzt²¹). Diese allgemeinen Äquivalenzkriterien können illusorisch werden für gewisse singuläre Kategorieen von Systemen der Klasse, die durch (invariante) Relationen zwischen den willkürlichen Elementen definiert sind. Für jede dieser Kategorieen ist das Problem nach denselben Prinzipien zu behandeln, indem man es nur, wegen jener Relationen, mit einer geringeren Anzahl willkürlicher Elemente zu thun hat.

Die Differentialinvarianten der Klasse C lassen sich als Differentialinvarianten der Gruppe y nach den allgemeinen Methoden von Lie bestimmen: d. h. durch algebraische Operationen, wenn man die endlichen Gleichungen von G oder wenigstens die Definitionsgleichungen ihrer endlichen Transformationen; durch Integration vollständiger Systeme, wenn man nur die infinitesimalen Transformationen von G benutzt. Eine andere allgemeine Methode besteht in der Reduktion der Anzahl der willkürlichen Elemente, indem man über die in der allgemeinen Transformation von G enthaltenen Unbestimmten so verfügt, dass einige (passend gewählte) von jenen feste Werte erhalten; die in der so gewonnenen reduzierten oder kanonischen Form des allgemeinen Systems noch übrig bleibenden willkürlichen Elemente bilden ein System von Fundamentalinvarianten der Klasse²¹).

IFÎPF-Diese für die Diskussion der Aquivalenzbedingungen sehr bequeme Methode hat den Nachteil, dass sie die Invarianten in komplizierter, gewöhnlich irrationaler oder selbst transcendenter Form liefert. Man sucht deshalb zugleich Systeme rationaler Invarianten (wenn es solche giebt), indem man die andern Methoden oder für jeden Fall geeignete spezielle Prozesse anwendet. Die „absoluten“ Invarianten, von denen bisher allein die Rede war, erscheinen dabei im allgemeinen als Quotienten von Potenzen „relativer“ Invarianten, d. h. solcher, die sich bei der allgemeinen Transformation von G multipliziert mit einem Faktor reproduzieren, der nur von den willkürlichen Elementen dieser Transformation abhängt.

Für die Integration sind diese Äquivalenzsätze insofern nützlich, als sie zu jedem speziellen System der Klasse C, das man integriert hat, eine Kategorie ebenfalls integrabler Systeme liefern, nämlich die mit ihm äquivalenten.

(143)

y — y • v(x)) x = Ï (x)>    (£> V willkürlich).

Man muss n 3 voraussetzen, denn für n — 1 und n = 2 sind zwei Gleichungen (142) immer äquivalent gegenüber dieser Gruppe. Sie ist die umfassendste Gruppe von Punkt- (und auch von Berührungs-) Transformationen in x, y, die die Klasse von Gleichungen (142) invariant lässt²² 23).

bis auf eine projektive Transformation

nur

34. Invarianten der linearen Gleichungen. Das älteste Beispiel zu der vorhergehenden Theorie bilden die linearen Gleichungen:

~²y

dxn~²

(142)

dny

y i n(n — P

, ,dn

PAx)~r

j-----\-pn(x)y=0.

dxn 1

Man erhält damit eine neue Analogie mit der Theorie der algebraischen Gleichungen (Invariantentheorie der binären Formen, II B 2). Die willkürlichen Elemente sind hier die Koeffizienten px, p₂, . die Gruppe G ist die unendliche Gruppe:

dxn

Pn ;

Die von E. Laguerre 1!3) eingeführten relativen Invarianten reproduzieren sich multipliziert mit einer Potenz von dx/dx, deren Exponent der Index der Invariante heisst. Fr. Brioschi legte den Grund zu ihrer Bestimmung²⁴). G. H. Halphen²⁵) nahm ihre allgemeine Untersuchung wieder auf, indem er sie mit den schon vorher von ihm untersuchten projektiven Differentialinvarianten der ebenen und Raumkurven in Verbindung setzte. Zwei gegenüber der Gruppe (143) äquivalente Gleichungen (142) haben nämlich dieselbe Integralkurve (Kr. 26), und diese ist definiert; die projektiv-invarianten Eigenschaften der Integralkurve drücken sich also aus durch gegenüber der Gruppe (143) invariante Eigenschaften der Differentialgleichung. Halphen gab eine Methode zur Bildung von Invarianten vermittelst einer Beziehung zwischen den Gleichungen 2ter und nteT Ordnung; den Begriff des Gewichts und seine Beziehung zum Index; die allgemeine Form der Invariante vom Gewicht 3, d₃ ; und später²⁶) die allgemeine Form der Invarianten für n = 4. Für die Anwendungen auf die Integration gebraucht Halphen eine reduzierte Form mit p₁ = 0, 0₃ == 1; er untersucht die Integration derjenigen Gleichungen, die sich durch Transformationen (143) auf Gleichungen mit konstanten Koeffizienten oder auf solche zurück-

führen lassen, deren allgemeines Integral eine (durch rationale oder elliptische Funktionen ausdrückbare) eindeutige Funktion ist.

A. R. Forsyth U7) wendet eine andere (schon von Cockle für n — 3, von Laguerre für den allgemeinen Fall benutzte) Normalform an; sie ist durch px — 0, p% — 0 definiert und wird durch Integration einer Hülfsgleichung 2. Ordnung und eine Quadratur erhalten. Für diese reduzierte Form erhält man den expliciten Ausdruck von n — 2 Invarianten ö₃,    . ., 6nf von durch den Index angegebenem Gewicht,

die in den pk und ihren Ableitungen linear sind; dieser Ausdruck ist von n unabhängig. Sie sind = 0, wenn das allgemeine Integral von (142) die allgemeine binäre Form .wten Grades von zwei unabhängigen Lösungen einer Gleichung 2. Ordnung ist; (142) lässt sich dann vermittelst einer Hülfsgleichung 2. Ordnung integrieren. Forsyth giebt geregelte Verfahren, um aus diesen Invarianten durch Differentiationen alle andern abzuleiten. Die Invarianten 0₈,. ., dn sind rational und ganz in den Koeffizienten von (142); sie bestehen im allgemeinen Fall aus einem von Fr. Brioschi²⁷ 28) bestimmten linearen Teil und einem Teil, dessen sämtliche Glieder p₂ oder eine seiner Ableitungen zum Faktor haben.

Die Gleichungen (142), die Transformationen der Form (143) gestatten, bilden eine spezielle Kategorie. Sie sind von P. Appell²⁹) behandelt worden; ihre Bestimmung ergiebt sich auch aus den allgemeinen Sätzen von Lie (Nr. 18). Man kann sie auf Gleichungen mit konstanten Koeffizienten zurückführen³⁰).

35.

Invarianten verschiedener Klassen von Gleichungen.

B. Liouville ³¹) hat die Klasse von Gleichungen :

(144)

= c₀ + 3 cty + 3 c₂y² + c₃y³

(c₀,    , c₂, c₃ willkürliche Funktionen von x) gegenüber der Gruppe :

x = l(x), y = y ■ rj(x) -f g (a?)

(145)

untersucht und das Bildungsgesetz einer Reihe rationaler ganzer relativer Invarianten gegeben. P. Appell³²) hat diese Untersuchung mit Hülfe der reduzierten Form dY/dX = Yä -(- $(X) wieder auf-

genommen'; in der X und £s absolute, aber irrationale Invarianten sind. Für alle unter einander äquivalenten Gleichungen der Klasse gilt eine und dieselbe Gleichung F(ß, d^s/dx) — 0, die sich mit . Hülfe der Invarianten von 11. Liouville in rationale Form bringen lässt. Beide Autoren geben verschiedene Integrabilitätsfälle: Reduci-bilität auf konstante Koeffizienten und auf spezielle Gleichungen, die sich durch Quadraturen oder eine Iiiccati ’sehe Gleichung lösen lassen. Elliot³³) untersucht den singulären Fall, dass das Polynom c₀ -j- 3 c₁ y -}- 3c₂y* -f- c₃y³ eine Doppelwurzel y hat; er führt auf die Gleichung y dy = dx -j- yX(x) (Nr. 5).

P. Appell¹⁵²) untersucht allgemeiner, gegenüber derselben Gruppe (145), die Klasse von Gleichungen:

pn(y)

(146)

dy

«o + «i y + —f- anyn

dx

Qp(y)

\ + K y-\-----(-\yv

(die ak, bk willkürliche Funktionen von X] p < n — 2); er benutzt die durch an—i == ap+i = 0, an — bp — 1 definierte reduzierte Form. Für p — n — 2 ist eine andere reduzierte Form erforderlich. Appell wendet diese Resultate hauptsächlich auf Gleichungen an, die auf solche mit konstanten Koeffizienten reduzierbar sind.

P. Painlevé³⁴) untersucht die Klasse von gegenüber der Gruppe:

(147)

Gleichungen (146)

x = i(x), y =

yd(x) + œ(x)

(1, 7], £, 6, co willkürlich) — ein von dem vorigen nicht wesentlich verschiedenes Problem. Er benutzt zuerst eine der Appell’schen analoge kanonische Form zur Bestimmung von Gleichungen der Klasse, die Untergruppen von (147) zulassen; diese Gleichungen, die Riccati’sche ausgenommen, lassen sich durch Quadraturen integrieren. Da diese kanonische Form den Nachteil hat, dass es unendlich viele äquivalente reduzierte Formen giebt, so giebt Painlevé die Mittel zur Bildung von andern, die diesen Nachteil nicht haben; dadurch wird die Lösung des Äquivalenzproblems erleichtert. — Diese Theorie lässt sich, wie Painlevé angiebt, auf die in y und dy/dx rationalen Gleichungen

1. Ordnung mit unbestimmten von x abhängenden Koeffizienten ausdehnen.

P. Appell³⁵) und P. Pivereau³⁶) untersuchen die in y und seinen

Ableitungen rationalen ganzen homogenen Gleichungen höherer Ordnung mit unbestimmten Koeffizienten, gegenüber der Gruppe (143) nach der Methode der reduzierten Formen. Die Hauptanwendungen beziehen sich auf Gleichungen, die auf solche mit konstanten Koeffizienten reduzierbar sind; Gleichungen, die einen von x allein abhängigen Euler’schen Multiplikator (Nr. 5) zulassen; endlich Gleichungen mit allgemeinem Integral der Form (140).

Die Gleichung:

(148)

y" = «o ys — % y,% + \ y — K («₀, at, b₀, bt unbestimmte Funktionen von x und y) ist auf ihr Verhalten gegenüber der Gruppe aller Punkttransformationen in x und y untersucht worden. S. Lie³⁷) giebt die Bedingungen dafür, dass sie mit y" — 0 äquivalent ist und führt in diesem Fall die Integration auf die einer linearen Gleichung 3. Ordnung zurück. R. Liouville³⁸) giebt das Bildungsgesetz der rationalen relativen Invarianten dieser Gleichung, verschiedene reduzierte Formen für sie, mehrere Fälle der Integrabilität, endlich Anwendungen auf die Theorie der geodätischen Linien. A. Tresse³⁹) hat diese Resultate mit Lie ’sehen Methoden wiedergefunden.

E. Vessiot ⁴⁰°) untersucht die Invarianten und die reduzierten Formen der Gleichung:

(149) a(yy"—y²) -f- by"-f- cyy -f- dy'-\-pxs-\- ąx² -{- rx -j- s — 0 gegenüber der Gruppe (147).

C. Żorawski⁴¹) bestimmt die Invarianten der allgemeinen Gleichung 1. Ordnung gegenüber den unendlichen Untergruppen der Gruppe aller Punkttransformationen in x und y.

A. Tresse⁴²) endlich giebt sehr vollständige Resultate über die Invarianten der allgemeinen Gleichung y" — F (x, y, y) gegenüber der Gruppe aller Punkttransformationen. Er führt relative Invarianten ein, die sich reproduzieren multipliziert mit Potenzen zweier bestimmten Faktoren; mit dreien dieser Invarianten kann man eine absolute bilden. Diese Invarianten sind rational; mit Hülfe von vieren von ihnen und von drei Differentialparametern kann man sie alle successive bilden. Tresse leitet daraus, ausser den allgemeinen Äquivalenzbedingungen, die Bedingung dafür ab, dass eine Gleichung

2. Ordnung eine, 2, 3 oder 8 unabhängige infinitesimale Transformationen zulässt. Gleichung (148) ist ein spezieller Fall; wirklich singulär ist aber nur der Fall der auf y" = 0 reduzierbaren Gleichungen, für die alle Invarianten = 0 sind.

Rationelle Integrationstheorieeil.

36. Rationalitätsbereich. Irreducibilität. Die rationellen Inte

grationstheorieen sind der Galois’sehen Gleichungstheorie (I B 3 c) nachgebildet. Ihr gemeinsames Prinzip ist die isolierte Aufsuchung einer Lösung durch die eines Fundamentaisjstems von Lösungen (Nr. 30) zu ersetzen; ihr Erfolg ist daher an die Existenz solcher Systeme geknüpft.

Die Definition einer speziellen Gleichung beruht auf dem Begriff des Rationalitätsbereichs ⁴³) (I B 3 c, Nr. 1 und Fussn. 2). Ein solcher Bereich [R] ist definiert durch eine gewisse Anzahl Elemente, die seine Basis bilden, und eine gewisse Anzahl fundamentaler Operationen. Die Elemente sind hier: alle Konstante, gewisse unabhängige oder abhängige Variable und gewisse bestimmte oder unbestimmte Funktionen dieser Variabein. Die Operationen sind hier, wenn nichts anderes angegeben, die rationalen algebraischen Operationen und die Differentiation. Dem Rationalitätsbereich [R] gehört jede Funktion an, die sich aus den Elementen seiner Basis durch eine endliche Anzahl der

fundamentalen Operationen ableiten lässt. Enthält die Basis keine Funktion, sondern nur unabhängige Variable, so ist [R] der absolute Rationalitätsbereich. Leitet man aus einem Bereich [R] einen andern [R'J dadurch ab, dass man zu der Basis von [R] eine gewisse Anzahl Funktionen hinzufügt, so sagt man: man hat diese Funktionen dem Bereich \ R\ adjungiert (I B 3 c, Nr. 7).

Eine rationale⁴⁴) Differentialgleichung F{%, y, y— 0 heisst in einem Bereich R (dem x und y angehören) irreducibel, wenn sie im algebraischen Sinne irreducibel ist (I B 1 b, Nr. 5) und wenn sie mit keiner ebenfalls rationalen Gleichung niedrigerer Ordnung ein Integral gemein hat; andernfalls reducibel. Die erste Idee einer Ausdehnung des Irreducibilitätsbegriffs auf Differentialgleichungen gehört G. Fro-

86. Rationalitätsber. Irreducib. 37. Rationelle Integrationstheorie etc. 289

benius ¹⁶°), die vorstehende Form der Definition L. Königsberger¹⁶⁶). \on den Resultaten des letzteren seien die beiden folgenden erwähnt:

Wenn eine rationale Gleichung eine Lösung mit einer irreducibeln Gleichung gemein hat, genügen ihr alle Lösungen der letzteren.

Wenn zwei rationale Gleichungen Lösungen gemein haben, so giebt es eine irreducible Gleichung, der alle diese gemeinsamen Lösungen und nur diese genügen; man erhält sie durch einen Algorithmus, der zu dem des grössten gemeinsamen Teilers analog ist.

Man schränkt zuweilen den Irreducibilitätsbegriff ein, indem man den betrachteten Gleichungen noch andere Bedingungen als die der Rationalität auferlegt, z. B. die, linear und homogen zu sein. Im letzteren Fall und bei Beschränkung auf den absoluten Rationalitätsbereich ist man in der That im Stande zu entscheiden, ob eine vorgelegte Gleichung reducibel ist oder nicht¹⁶⁷).

37. Rationelle Integrationstlieorie der linearen Gleichungen. Die lineare Gleichung nteT Ordnung ist die erste, für die eine rationelle Integrationstheorie entwickelt worden ist — eine neue Analogie dieser Gleichung mit der algebraischen Gleichung nteT Ordnung. Wir setzen voraus, ihre Koeffizienten plf p₂, . ., pn seien gegebene Funktionen von x\ dass sie dem betrachteten Rationalitätsbereich [Ii] angehören, ist Definition. Dieser Bereich enthält ausserdem die Variable x, die unbestimmten Funktionen yt, y₂, ■ - , yn und kann ausserdem noch andere gegebene Funktionen von x enthalten. Damit ist definiert, was unter einer rationalen Differentialfunktion V der y zu verstehen ist. Ersetzt man in einer solchen yx, y₂, . ., yn durch die Integrale yf> (x), . ., y°n(x) eines ein für allemal gewählten Fundamentalsystems, so geht V in eine Funktion V₀(x) über, die man den numerischen Wert von V nennt. Er kann in [R] rational sein oder nicht.

Man führe nun in V eine lineare homogene Substitution:

C{ k yk

(150)

mit konstanten Koeffizienten aus; V geht über in eine neue rationale Differentialfunktion V, und diese hat einen numerischen Wert V₀. Wenn V als Funktion aller darin auftretenden Unbestimmten mit V

165)    J. f. Math. 76 (1873), p. 234; 80 (1875), p. 183.

166)    J. f. Math. 91 (1881), p. 199; 92 (1882), p. 291. Vgl. auch sein Lehrbuch, p. 61 u. 155.

167)    J. Bendixson, Stockholm Öfv. 49 (1892), p. 279; E. Betce, Math. Ann. 45 (1894), p. 278.

19

Encyklop. d. math. Wissenach. II.

identisch ist, so sagt man: V ist bei (150) formal invariant ; wenn V₀ als Funktion von x allein mit V₀ identisch ist, sagt man: V ist hei (150) numerisch invariant. V kann bei (150) numerisch invariant sein, ohne formal invariant zu sein⁴⁵).

Eine Gleichung heisst in [it] speziell, wenn irgend eine rationale Differentialfunktion V einen rationalen numerischen Wert hat. Die verschiedenen nach dieser Definition möglichen Arten von Spezialfällen ergehen sich aus dem fundamentalen Doppelsatz: Der Gleichung entspricht mit Beziehung auf den Rationalitätsbereich R eine Untergruppe G- der allgemeinen homogenen linearen Gruppe in n Veränderlichen mit folgender Doppeleigenschaft: 1) Jede rationale Differentialfunktion V, deren numerischer Wert rational ist, gestattet numerisch alle Transformationen von G; 2) jede Funktion V, die numerisch alle Transformationen von G gestattet, hat einen rationalen numerischen Wert. Diese Gruppe heisst die Transformationsgruppe oder Rationalitätsgruppe der Gleichung⁴⁶). Durch eine solche Gruppe G ist jede spezielle Gleichung G charakterisiert. Da übrigens das Fundamentalsystem 'ifQ)(x),...,y⁰n{x) beliebig gewählt werden kann, ist G nur bis auf eine lineare homogene Transformation, m. a. W. nur seinem Typus nach definiert. Man kann auch sagen: jede spezielle Gleichung ist charakterisiert durch eine von den Lösungen eines Fundamentalsystems erfüllte bekannte⁴⁷) Relation der Form

&(x,y1} ..,yn, ffr, •••) = q(x),

in der Si eine Funktion von V ist, die (formal und numerisch) alle Transformationen von G und keine andern zulässt, und in der q(x) dem Bereich [R] angehört. Si heisst eine charakteristische Invariante von G.

Die hieraus entspringende Integrationsmethode⁴⁸) besteht in der

37. Rationelle Integrationstheorie der linearen Gleichungen.

291

successiven Reduktion der Gruppe G durch Adjunktion neuer, durch Hülfsgleichungen definierter Funktionen von x zu [iü]. Sei G₁ eine ausgezeichnete Maximaluntergruppe von G und eine charakteristische Invariante von 6rx ; genügt als Funktion von Sl einer rationalen Differentialgleichung. Ist diese integriert, so genügt die Adjunktion eines ihrer Integrale zur Reduktion der Rationalitätsgruppe auf Gt. Man gelangt zu demselben Resultat, wenn man alle Integrale der Gleichung adjungiert, der eine charakteristische Invariante irgend einer GL enthaltenden Untergruppe von G als Funktion von Sl genügt; dieser Umstand erlaubt Gleichungen niederer Ordnung zu benutzen. Diese Hülfsgleichungen haben Fundamentalsysteme von Lösungen; man kann daher ihre Integration ersetzen (Nr. 30) durch die einer linearen Hülfsgleichung, deren Transformationsgruppe einfach und zu G/Gt isomorph ist¹⁷²).

Ist die Gruppe auf Gx reduziert, so fährt man ebenso fort.

Die Tragweite dieser Methode ergiebt sich aus folgendem Satz: Wenn die vollständige Integration einer rationalen Hülfsgleichung die Gruppe G reduziert, so reduziert sie sie auf eine invariante Untergruppe ¹⁷³). Es kann also keine vorteilhaftere Methode als die vorhergehende geben. Man schliesst daraus insbesondere: P(y) — 0 ist dann und nur dann durch Quadraturen integrierbar, wenn ihre Rationalitätsgruppe eine integrable Gruppe (II A 6, Nr. 17) ist¹⁷⁴). Daraus folgt, dass die allgemeine lineare Gleichung nt6T Ordnung für n > 1 und folglich auch die allgemeine Riccati’sehe Gleichung nicht durch Quadraturen integrierbar sind¹⁷⁴). Algebraisch integrierbar ist P(y) = 0 dann und nur dann, wenn seine Rationalitätsgruppe nur eine endliche Anzahl von Transformationen enthält¹⁷⁴).

Die besprochene Integrationsmethode ist eng mit dem folgenden Problem verknüpft: Die Gleichung P(y) = 0 (oder ein lineares System nteI Ordnung) zu integrieren, wenn man weiss, dass die Lösungen eines Fundamentalsystems eine oder mehrere Relationen der Form Fk (yt, y.₂, . ., yn) — 0 (Je — 1, 2,. ., m) erfüllen. Am häufigsten ist der Fall untersucht, dass diese Relationen algebraisch und homogen sind. G. Darboux ¹⁷⁵) hat gezeigt, welche Rolle dabei die Kovarianten des Systems algebraischer Formen Fk spielen. Laguerre und nament-

172)    Vessiot, Toul. Ann. 8 (1894), H p. 29.

173)    Für den Fall, dass die Hülfsgleichung Fundamentalsysteme von Lösungen besitzt, giebt den Satz Vessiot, Thèse p. 44; allgemein Picard, Traité 3, p. 562.

174)    Vessiot, Thèse p. 43, 46, 68.

175)    Par. C. R. 90 (1880), p. 524, 596.

19*

lich Halphen™) haben die Beziehungen des Problems, besonders für quadratische Relationen, zur Theorie der Invarianten linearer Differentialgleichungen untersucht. L. Fuchsm) behandelt das Problem vom funktionentheoretischen Gesichtspunkt; seine Resultate sind nach dieser Richtung von Wallenberg⁴⁹ 50 51) vervollständigt worden. E. Picard ⁵²) zeigt, wie sie sich sehr naturgemäss aus der vorhin entwickelten Theorie ergeben. S. Lie⁵³) endlich zeigt, dass man die Frage sehr vollständig behandeln kann, indem man sie auf die Untersuchung eines Differentialsystems zurückführt, das eine bekannte Transformationsgruppe zulässt.

38. Ausdehnung der Theorie auf die Lie’sehen Systeme. Theorie von J. Drach für beliebige Gleichungen 1. Ordnung.

E. Vessiot⁵⁴) zeigt, dass sich die vorangehende Theorie in ihren wesentlichen Punkten auf jede Klasse Lie’scher Systeme (Nr. 29) übertragen lässt. Man kann sich auf den Fall beschränken, dass die zugehörige Gruppe G einfach transitiv ist; die zu ihr reciproke einfach transitive Gruppe (II A 6, Nr. 10) spielt dann dieselbe Rolle, wie die allgemeine lineare Gruppe in der vorangehenden Theorie.

E. Picard⁵⁵) macht einige Angaben über die Mittel, um dio Methode, vermöge deren er die allgemeinen Sätze von Nr. 37 gewonnen hat, auf Gleichungen beliebiger Ordnung auszudehnen.

J. Drach⁵⁶) endlich skizziert eine rationelle Theorie der Integration der allgemeinen Systeme (1) oder vielmehr der associierten partiellen Differentialgleichung (3). Die auftretende Gruppe ist die aller Punkttransformationen:

Zi F{ (#j , Z% f • • ; ^n) 7

die die Relation zwischen irgend einem Fundamentalsystem von Lösungen von Lf — 0 und dem allgemeinsten solchen System geben

(151)

38. Ausdehn. d. Th. auf d. Lie’schen Syst. Th. v. J. Drach für bei. Gl. 1.0. 293

Man hat rationale Differentialfunktionen V zu betrachten, die mit z1} z₂, . . , zn und ihren partiellen Ableitungen nach x, xt,. ., xn gebildet sind. Die Eigenschaften einer jeden von ihnen sind mit der Natur der Untergruppe von (151) verbunden, die sie invariant lässt; man hat insbesondere Sätze, die zum Satz von den symmetrischen Funktionen und zum Satz von Lagrange (I B 3 c, Nr. 16) analog sind.

Ein System (1) ist speziell, wenn (3) mit irgend einem System von Relationen verträglich ist, die man erhält, indem man irgend welche Funktionen V rationalen Funktionen von x, xx, . ., xn gleichsetzt. Der Charakter eines jeden speziellen Systems wird präzisiert durch die Thatsache der Existenz einer Untergruppe G von (151), deren sämtliche Differentialinvarianten rationelle Werte in x,x₁,..,xn erhalten, sobald man in ihnen die Unbestimmten zx, z₂, . ., zn durch die Lösungen gewisser Fundamentalsysteme von (3) ersetzt. Diese Untergruppe ist die Rationalitätsgruppe von (1).

Daraus ergiebt sich von neuem eine Integrationsmethode, die in der fortschreitenden Reduktion dieser Rationalitätsgruppe in ausgezeichnete Untergruppen besteht — einer normalen Zerlegung dieser Gruppe gemäss. Die auftretenden Hülfssysteme sind allgemeine Systeme partieller Differentialgleichungen mit Fundamentallösungen (Nr. 31); die ihnen zugeordneten Gruppen sind einfach, und ihre Struktur ist durch die normale Zerlegung von G definiert.

II A 5. PARTIELLE DIFFEREETIALGLEICHUEGEN

VON

¹

a) Ygl. u. a. L. Königsberger, Lehrbuch, p. 122.

114) E. Vessiot, Toul. Ann. 8 (1894), H p. 29.

²

a) C. G. J. Jacobi, Werke 4, p. 403.

³

   Math. Ann. 25 (1885), p. 124.

⁴

   Vgl. z. B. Lie-Engel 3, p. 624.

⁵

   Für diesen Fall hatte schon Ed. Weyr einige Resultate gegeben. Ygl. Prag. Abh. (6) 8 (1875/76).

⁶

   Acta math. 3 (1883), p. 1.

⁷

   Ann. éc. norm. (3) 10 (1893), p. 53.

⁸

   Par. C. R. 116 (1893), p. 964; J. f. Math. 115 (1895), p. 111.

⁹

   Par. C. R. 116 (1893), p. 1112.

¹⁰

   ib. p. 1233; Leipz. Ber. 45 (1893), p. 341; 48 (1896), p. 394. Ygl. auch Lie-Scheff'ers, Transformationsgruppen, Kap. 24.

¹¹

   J. f. Math. 43 (1894), p. 207; 115 (1895), p. 89.

¹²

   Toul. Ann. 8 (1894), H.

¹³

   Vgl. z. B. Lie-Engel 3, p. 518, 798 u. s. w.

¹⁴

   Toul. Ann. 10 (1896), G.

¹⁵

E. Vessiot, Par. C. R. 125 (1897), p. 1019.

¹⁶

   P. Appell, Par. C. R. 12. und 19./11. 1888; 24./3. 1890; J. de math. (4) 5 (1889), p. 361; P. Bivereau, Par. thèse 1890.

¹⁷

   Par. C. R. 116 (1893), p. 173 und leçons de Stockholm, p. 392.

¹⁸

   Minding, Petersb. Mém. (7) 5 (1862), p. 1; Elliot, Ann. éc. norm. (3) 7 (1890), p. 101; Kojalowitsch, Diss. Petersbg. 1894; Sonin, Petersb. Bull. 1895; Korkin, Math. Ann. 48 (1897), p. 317 und Par. C. R. 122, 123 (1896); P. Pain-levé, ib. und leçons de Stockholm. Ygl. auch E. Haentzschel, J. f. Math. 112 (1893), p. 148; W. Heymann, ib. 113 (1894), p. 84.

¹⁹

   Die Einführung der „erweiterten Gruppe“ (II A 6, Nr. 18) zeigt, dass man nur mit einem speziellen Fall des allgemeinen Problems der Äquivalenz zweier Mannigfaltigkeiten gegenüber einer Gruppe zu thun hat. Ygl. S. Lie, Christ. Förh. 1883, 1884; Lie-Scheffers, Kontinuierliche Gruppen, Kap. 23, § 4.

²⁰

   Über den Begriff der Differentialinvariante und seine Geschichte vgl. man I B 2, Nr. 20. — Der allgemeine Begriff gehört S. Lie an, Math. Ann. 24 (1884), p 537.

²¹

Dass eine endliche Anzahl Fundamentalinvarianten stets ausreicht beweist A. Tresse, Par. thèse 1893, p. 42 (Acta math. 18 (1894), p. 1).

²²

   Lie, Christ. Förh. 1881.

²³

   Par. C. R. 88 (1879), p. 116 und p. 224. Ygl. auch Cockle, Quart. J. 1876.

²⁴

   Bull. soc. math. 7 (1879), p. 105.

²⁵

   Par. sav. [étr.] (2) 28 (1884), p. 1.

²⁶

   Acta math. 3 (1883), p. 325.

²⁷

   Lond. Trans. 179 (1888), p. 377.

²⁸

   Acta math. 14 (1890/91), p. 233.

²⁹

   Acta math. 15 (1891), p. 281.

³⁰

   Über die Anwendung der Invarianten linearer Gleichungen vgl. man auch noch L. Berzolari, Ann. di mat. (2) 25 (1897).

³¹

   Par. C. R. 6./9. 1886 und 12./9. 1887; Amer. J. 10 (1888), p 283.

³²

   J. de math. (4) 5 (1889), p. 361.

³³

   Ann. éc. norm. (3) 7 (1890), p. 101.

³⁴

   Par. C. R. 110 (1890), p. 840; Mém. sur les équ. diff. du 1er ordre, Paris 1890 (Ann. éc. norm. 1892).

³⁵

   J. de math. (4) 5 (1889), p. 361.

³⁶

   Par. thèse 1890.

³⁷

   Norw. Arch. 8 (1883), p. 372.

³⁸

   Par. C. R. 28./11. 1887 und J. éc. polyt. cah. 59 (1889), p. 7.

³⁹

   Par. thèse 1893 [Acta math. 18 (1894), p. 1],

⁴⁰

   Toul. Ann. 9 (1895), F. Dieselbe Gleichung ist von andern Gesichtspunkten aus von E. Picard, J. de math. (4) 5 (1889), p. 277 und G. Mittag-Leffler Acta math. 18 (1894), p. 233 untersucht worden.

⁴¹

   Krak. Ber. 26.

⁴²

   Preisschriften der Jablonowski’schen Gesellschaft, Leipzig 1896.

⁴³

   JE. Vessiot, Par. thèse 1892.

⁴⁴

   d. h. F soll dem Bereich R angehören.

⁴⁵

   Die Wichtigkeit dieser Unterscheidung hat F. Klein betont, autogr. Yorl. über höhere Geometrie 2 (1893), p. 299. Ygl. auch E. Beke, Math. Ann. 49 (1897), p. 573.

⁴⁶

   Den Begriff der Transformationsgruppe einer linearen Gleichung verdankt man E. Picard [Par. C. R. 96 (1883), p. 1131 und Toul. Ann. 1 (1887), A]; er wurde darauf geführt durch Untersuchungen über die Reducibilität der allgemeinen Resolvente (Nr. 25). Picard’’s erste Formulierung des Fundamentalsatzes wurde von E. Vessiot vervollständigt (Par. thèse 1892). Da auch dessen Analyse noch gewisse Schwierigkeiten bestehen liess, vervollständigte Picard [Par. C. R. 121 (1895), p. 789; Traité 3, p. 536] seinen Beweis in der Art, dass er zu der Formulierung des Textes gelangte.

⁴⁷

   Wegen der wirklichen Bestimmung der Rationalitätsgruppe vgl. man F. Marotte, Par. C. R. 124 (1897), p 608; 126 (1898), p. 715 und Par. thèse 1898, p. 44.

⁴⁸

   Vessiot, Thèse p. 39.

⁴⁹

   Vgl. Fussn. 143 und 145.

⁵⁰

   Acta math. 1 (1882), p. 321; Beri. Ber. 1882, p. 703 und 1890, p. 409. Vgl. L. Schlesinger, Diss. Berl. 1887.

⁵¹

   J. f. Math. 113 (1894), p. 1; 114 (1895), p. 181.

⁵²

   Traité 3, p. 550.

⁵³

   Leipz. Ber. 1891, p. 253; 1896, p. 396.

⁵⁴

   Toul. Ann. 8 (1894), H p. 21.

⁵⁵

   Par. C. R. 1895.

⁵⁶

   Par. C. R. 8./5. 1893, 14./1. 1895, 26./10. 1897; Par. thèse 1898. Brach giebt Betrachtungen über das logische Wesen des Integrationsproblems und die Definition der Transcendenten ; er verallgemeinert ferner den Begriff der Redu-cibilität für beliebige Differentialsysteme. — Vgl. auch Vessiot, Par. C. R. 128 (1899), p. 544.

EDUARD VON WEBER

IN MÜNCHEN.

Inhaltsübersicht.

I. Allgemeine Eigenschaften der Differentialsysteme.

I.    2. Existenz der Lösungen; passive Systeme.

3.    Mayer'sehe Systeme.

4.    Das allgemeine Integral.

5.    Singuläre Integrale.

6.    Intermediäre Integrale.

7.    Vollständige Integrale.

8.    Verschiedene Formen des allgemeinsten Differentialsystems.

9.    Lie's Verallgemeinerung des Integralbegriffs.

10.    Transformationen der Differentialsysteme.

II.    Die linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung mit

einer Unbekannten.

11.    Die lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung.

12.    Der Jacobi’sehe Multiplikator.

13.    Vollständige Systeme.

14.    Systeme totaler Differentialgleichungen.

16. Jacobi's Integrationsmethode.

16.    Die Hauptintegrale.

17.    Die Lie-Mayer'sehe Transformation.

III. Das Pfaff’sche Problem.

Historisches; Pf aff' s Reduktionsmethode.

Grassmann's Methode; das Fundamentaltheorem.

Integraläquivalente ; die allgemeinste Normalform.

Transformationen eines Pfaff'schen Ausdrucks.

Reduktionsmethoden von Clebsch und Lie.

Methode von Frobenius.

Die Theorie der Berührungstransformationen als Spezialfall der Theorie des Pf aff' sehen Problems.

Die Jacobi'sehe und die Mayer'sche Identität.

Verallgemeinerung der Frobenius'sehen Theorie.

Beziehungen zwischen Pfaff'sehen Ausdrücken und infinitesimalen Transformationen.

IV. Hie nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung mit einer Unbekannten.

28.    Methoden von Lagrange und Pf aff.

29.    Methode von Cauchy.

BO. Jacobi’s erste Methode.

31.    Die Hamilton-Jacobi’sehe Theorie.

32.    Variation der Konstanten; die charakteristischen Kurven.

33.    Singuläre Integrale.

34.    Die charakteristischen Streifen; Abbildung und Klassifikation der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung.

35.    Homogene Elementkoordinaten.

36.    Jacobi's zweite Methode.

37.    Lie’s Verallgemeinerung von Jacobi’s zweiter Methode.

38.    Involutionssysteme.

39.    Spezielle Involutionssysteme.

40.    41. Funktionengruppen.

42. Die Bäcklund’sehe Theorie.

V. Höhere Differentialprobleme.

1) Differentialsysteme mit zwei unabhängigen Veränderlichen.

43.    Klassifikation der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung hinsichtlich ihrer Charakteristiken erster Ordnung.

44.    45. Erste Integrale einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung. 46. 47. Die Charakteristiken höherer Ordnung einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung.

48.    Die Charakteristiken der partiellen Differentialgleichung ntar Ordnung.

49.    Beziehungen zwischen zwei partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

50.    Harboux’sehe Systeme; Involutionssysteme.

51.    Die Darboux-Lévy’sehe Integrationstheorie und ihre Verallgemeinerungen.

52.    Differentialsysteme erster Ordnung mit mehreren Unbekannten.

53.    Die Methode von Laplace und ihre Verallgemeinerungen.

54.    Verwertung des Gruppenbegriffs für Differentialgleichungen.

2) Differentialsysteme mit m unabhängigen Veränderlichen.

55.    Die Charakteristiken der partiellen Differentialgleichung nter Ordnung.

56.    Involutionssysteme mit einer Unbekannten.

57.    Die Verallgemeinerung der Monge-Ampere’sehen Theorie.

58.    Lineare Differentialsysteme erster Ordnung mit n Unbekannten.

59.    Nichtlineare Differentialsysteme erster Ordnung mit n Unbekannten; Normalsysteme.

60.    Systeme Pfaff’scher Gleichungen.

Litteratur.

Lehrbücher.

George Boole, A Treatise on Differential Equations, Cambridge & London 1865 (mit Supplementary Volume).

Paul Mansion, Théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre, Paris 1875, deutsch von H. Maser, Berlin 1892.

A. Johnson, Treatise on ordinary and partial Differential Equations, New-York 1880.

Andrew Russell Forsyth, A Treatise on Differential Equations, second ed. London 1889, deutsch von H. Maser, Braunschweig 1889.

Derselbe, Theory of Differential Equations, pt. I: exact equations and Pfaff's problem, Cambridge 1890 ; deutsch von H. Maser, Leipzig 1893 („Forsyth A“).

Émile Goursat, Leçons sur l’intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre, Paris 1891, deutsch von H. Maser, Leipzig 1893 („Goursat A“).

Derselbe, Leçons sur l’intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre, I. Bd. Paris 1896, IL Bd. Paris 1898 („Goursat B“).

Sophus Lie und Georg Scheffers, Geometrie der Berührungstransformationen, I. Bd., Leipzig 1896 („Lie-Scheffers, Btr.“).

Étienne Delassus, Leçons sur la théorie analytique des équations aux dérivées partielles du premier ordre, Paris 1897.

Eduard von Weber, Vorlesungen über das Pfaff’sehe Problem und die Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, Leipzig 1900.

Vgl. auch C. G. J. Jacobi’s Vorlesungen über Dynamik, herausgeg. von A. Clebsch, Berlin 1866 = Werke, Supplementband, Berlin 1884; ferner S. Lie und F. Engel, Theorie der Transformationsgruppen, Leipzig 1888—93, 3 Bände („Lie-Engel, Tr.“); G. Darboux, Leçons sur la théorie générale des surfaces, Paris 1887—96, 4 Bände, bes. Bd. 2, Livre IV, sowie die Lehrbücher der Differential- und Integralrechnung, z. B. Ch. Méray, Leçons nouvelles sur l’analyse infinitésimale, prem. partie, Paris 1894; G. Jordan, Cours d’analyse de l’École polytechnique, tome III, Paris 1896.

Monographien.

Paul du Bois-Reymond, Beiträge zur Interpretation der partiellen Differentialgleichungen mit drei Variabein, erstes (einziges) Heft, Leipzig 1864.

L. Natani, Die höhere Analysis in vier Abhandlungen (aus Hoffmann- Natani, Math. Wörterbuch), Berlin 1866, dritte Abhandlung.

Man vergleiche auch die zusammenfassenden Darstellungen von:

V. G. Imschenetslcy, Sur l’intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre, Paris 1869 = Arch. math. 50, p. 278, 369 (1869).

Derselbe: Etudes sur les méthodes d’intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre, a. a. O. 54, p. 209 (1872), übers, im Anhang zu der deutschen Ausgabe von Mansion.

J. Graindorge, Mémoire sur l’intégration des équations aux dérivées partielles des deux premiers ordres, Liège & Paris 1872 (== Liège Mém. (2) 5).

Gaston Darboux, Mémoire sur les solutions singulières des équations aux dérivées partielles du premier ordre, Par. sav. [étr.] 27 (1883) („Darboux, sol. sing.“).

Litteratur bei Mansion. Anhang, und Forsyth, Theory ofDiff. Equ. pt. I, Anhang.

I. Allgemeine Eigenschaften der Differentialsysteme.

1. Existenz der Lösungen. Eine Relation zwischen den unabhängigen Variabein xx . . . xm, den unbekannten Funktionen z₁ ... zn

dieser Variabein, und einer endlichen Zahl ihrer partiellen Ableitungen nach den x heisst eine partielle Diff erentialgleichung ; als ihre Ordnung bezeichnet man die Ordnung der höchsten darin auftretenden Ableitungen. Ein System partieller Differentialgleichungen

(1) cpk(x₁,...xm, ZX...Zn, *1,1,0...0    = O¹) (ft = l,2,...)

werde kurz ein Differentialsystem genannt. Wir nehmen an, dass in den Gleichungen (1) die Ableitungen von Z; bis zur rfen Ordnung einschliesslich enthalten seien, dass also die linken Seiten dieser Gleichungen von den Variabein:

(2)

X\ . . . Xn, Z\ . . . Z n, Z;t...aln

abhängen. Giebt es n analytische Funktionen Z\...zn der Variabein xf die sich an einer Stelle x° . . . xf in gewöhnliche Potenzreihenla)

00    <» «o

(X\ — Xi)“' ■ • • (Xm —

(3)

*-2~2

a1 = 0    a .„ = 0

entwickeln lassen, und das Differentialsystem (1) identisch befriedigen, so werden sie zusammen als ein Integral oder eine Lösung von (1) bezeichnet, und (1) heisst ein integrdbles System. Das Differentialsystem (1) integrieren heisst alle seine Lösungen bestimmen. Jede Lösung von (1) erfüllt auch die unendlich vielen Gleichungen, die man erhält, wenn man die Gleichungen (1) nach xr ... xm wiederholt partiell unter der Annahme²) differentiiert, dass die Zi und ihre Ableitungen Funktionen der x sind.

Die von A. Cauchy³) aufgeworfene und in Spezialfällen gelöste Frage nach der Existenz der Integrale erledigte Sophie v. Kowalewslcy⁴) für ein Differentialsystem (1), das aus n Gleichungen besteht und in der Form

a«l + " -Kn

1) Es wird

— gesetzt.

la) Vom Standpunkt der Analysis reeller Grössen sind bisher nur wenige spezielle Kategorieen von Differentialproblemen untersucht (Il A 7); eine Übertragung der Cauchy-Lipschitz'sehen Existenztheoreme (IIA 4 a, Nr. B) auf beliebige partielle Differentialsysteme ist noch nicht durchgeführt.

2)    Solche Differentiationen nennen wir im Folgenden „Derivationen“, die dadurch entstehenden Gleichungen die „Derivierten“ von (1).

3)    Bes. Par. C. R. 15, p. 44, 85, 141 (1842) = Werke (1) 7, p. 17, 33, 62.

4)    J. f. Math. 80, p. 1 (1875); s. auch G. Darboux, Par. C. R. 80, p. 101, 317 (1875); L. Königsberger, J. f. Math. 109, p. 261; 112, p. 181; Math. Ann 42, p. 485; P. Stäckel, J. f. Math. 119, p. 339.

alle regulär sind. Vermöge der aufgestellten „Anfangsbedingungen“ kennt man nämlich in den Reihenentwickelungen (3) alle Koeffizienten für die «₁ < r. ist; sodann liefern die Gleichungen (4) und

(4)

=    • • • Xm, Sx . . . Zrn, • • • ^k,ßv..ßm • • •)    (*=!,...*)

auflösbar¹) ist; bei einem algebraischen²) System bedient man sich zu dieser Auflösung zweckmässig einer Verallgemeinerung der von C. Weierstrass für gewöhnliche algebraische Differentialgleichungen gebrauchten Normalform³). Die Gleichungen (4) besitzen ein und nur ein System an der Stelle x\ . . . x⁽⁾m regulärer Integralfunktionen e

dzi dizi dn~¹zi

Yx ’ gx ² ' ’ --i vermöge x₁ = X® bezw. in die an

derart, dass Zi

dxt

der Stelle x? . . . x" regulären, sonst aber willkürlichen Funktionen

Xi, %?,

tionen Ui an der Stelle

• • • Xi

in-1)

übergehen; dabei ist vorausgesetzt, dass die Funk-

(Xi)⁰ • • • (xj°, Ą

k,ßy ...ßm

ßm

ihre Derivierten der Reihe nach alle übrigen Koeffizienten. Die Potenz-reihen (3) sind also formal bestimmt⁴); ihre Konvergenz wird nach einem von Cauchy stammenden Prinzip („Calcul des limites“, vgl. Fussn. 3 und II A 4a, Nr. 9) bewiesen, indem man dem System (1) ein ähnliches, in geschlossener Form integrierbares an die Seite stellt, und für dieses die Existenz eines nach Potenzen der Grössen xh — x®h entwickelbaren Systems von Integralfunktionen darthut, deren Koeffizientenmoduln alle grösser sind, als die entsprechenden der Reihen (3).

2. Fortsetzung; passive Systeme. Die Frage nach der Existenz der Lösungen eines Systems (1) mit beliebig vielen Gleichungen, Unbekannten . . . zn und Independenten xx . . . xm erledigten zunächst noch unter speciellen Annahmen C. Méray und C. Iiiquier⁵), sowie C. Bonriet⁶ 7 ), sodann allgemein Biquiern) und A. Tresse⁸).

Nach Tresse kann jedes System (1) durch Auflösung nach gewissen Ableitungen (2) eine kanonische Form erhalten, in der nur Gleichungen

(5)

^’>“1 ••• arrt - ^*'»«1 ■■■am (X1 ' * 'X™> ZX ‘ "ZkAf“ßm" ')

in ißit

ai ■■■

von folgender Beschaffenheit auftreten: Keine der rechts vorkommen-den Grössen z]C}ß₁...ßm tritt auf einer der linken Seiten auf; für jede a vorkommende Grösse Zk,ßx...ßm ist ß; A ^ccr. gilt das Gleichheitszeichen, so ist Je ^ i, und im Falle Je — i die erste nicht verschwindende der Differenzen ßx — al7 ß% — cci} .. . positiv. Eine andere Art der Auflösung, die die vorstehende als Spezialfall enthält, hatte Biquier⁹) angegeben. Die in den Gleichungen (5) links stehenden Grössen¹⁰ 11) und ihre unendlich vielen Ableitungen nach den x heissen nach Biquier principal, alle übrigen Grössen Zk,ßx ...ßm parametrisch. Jede der ersteren lässt sich mittels des Systems (5) und seiner Derivierten als Funktion der parametrischen Grössen und der x ausdrücken, aber möglicherweise auf mehrere verschiedene Arten. Das System (1) oder (5) heisst passiv (Méray-Biquier), involutorisch oder ein Involutionssystem (Lie), wenn für jede prinzipale Grösse diese verschiedenen Darstellungen identisch sind; dazu ist notwendig und hinreichend, dass dies für eine gewisse endliche Zahl prinzipaler Ableitungen der Fall istlö). Die Bedingungen der Passivität finden sonach ihren Ausdruck in einem System partieller Differentialgleichungen, denen die ißi,ax...am als Funktionen der x und der parametrischen Grössen zu genügen haben, oder auch, für die unaufgelöste Form (1) des Differentialsystems, in einer Anzahl partieller Differentialgleichungen, die von den Funktionen (pk vermöge (1) zu erfüllen sind.

Damit ein System (1) mit n Unbekannten und p <in Gleichungen passiv sei, ist hinreichend, dass gewisse nach den höchsten Ableitungen zi>ai ...am genommene Funktionaldeterminanten (IB lb, Nr. 20) der <pk nicht vermöge (1) verschwinden¹²), und n — p seiner Integralfunktionen Zi können dann im allgemeinen willkürlich angenommen werden.

Ist ein Differentialsystem S, das auf die kanonische Form (5) gebracht sei, nicht passiv, so folgt durch je einmalige Derivation der Gleichungen (5) nach x₁ . . . xm ein System S', das möglicherweise für einige der links stehenden Ableitungen je zwei verschiedene Darstellungen liefert; ihre Vergleichung führt zu neuen Relationen S". Erteilt man dem Differentialsystem (S, S', S") die kanonische Form, und verfährt mit dieser wie mit S, etc., so gelangt man nach einer endlichen Anzahl von Schritten entweder zu Widersprüchen, ev. Relationen zwischen den x allein, und S ist dann nicht integrabel; oder zu einem passiven System, auf dessen Integration die von S zurückgeführt ist.

reduzieren; dabei ist

•••ßm

1 • • • ßm

Ein passives System (5) besitzt ein und nur ein System an der Stelle x% . . . x®n regulärer Integralfunktionen zt . . . zn der Eigenschaft, dass sich die parametrischen Grössen 0k,ß₁...ßm für x₁=x®,---xm =x^ bez. auf willkürlich gewählte Konstante z\ vorausgesetzt, dass die xfi in (5) an der Stelle x^, ... x°,... zQk sich regulär verhalten und die arbiträr gewählten Reihen

k,••• fim

(xx — xlY¹ ■ ■ ■ (xm — X^Ym

Y “k

•ÄV •••'*-

einen endlichen Konvergenzbezirk besitzen. In der That sind die Potenzreihen (3) durch die gemachten Annahmen und mit Hilfe der Gleichungen (5) und ihrer Derivierten formal eindeutig bestimmt. Riquier¹³) führt den Konvergenzbeweis mittels Cauchy’s Calcul des limites, indem er zuvor das gegebene Differentialsystem durch Einführung gewisser Ableitungen der z{ als neuer Unbekannter auf ein Differentialsystem besonderer Form („système franc“) reduziert; E. De-lassus¹⁴) leistet dasselbe für eine von ihm angegebene Modifikation der Tresse’sehen Normalform (5) durch Zurückführung des Problems auf eine Reihe Kowalewsky’scher Systeme (4). Man kann den Anfangsbedingungen eine Form geben, in die nur eine endliche Zahl von Konstanten und arbiträren Funktionen der x eingeht¹⁵).

Das „Cauchy’sehe Problem“ (JDarboux), d. h. die Aufgabe, ein Integral mittels der zu seiner Bestimmung notwendigen und hinreichenden Anfangsbedingungen zu ermitteln, lässt sich nach dem obigen stets durch Reihenentwickelungen lösen. Für die letzteren kann man bisher nur bei einigen speziellen Klassen linearer¹⁶) Differentialsysteme unter gewissen Voraussetzungen eine von der Wahl der Anfangsbedingungen unabhängige Konvergenzgrenze angeben und die analytischen Fortsetzungen verfolgen¹⁷).

3.    Mayer’sche Systeme. Lassen sich mittels des passiven Systems (5) und seiner Derivierten alle Ableitungen der Zi von einer gewissen Ordnung s ab durch die x, z und die Ableitungen bis zur s — lten Ordnung ausdrücken, m. a. W. ist die Zahl der parametrischen Grössen endlich (= v), so hängt die allgemeinste Lösung von einer endlichen Zahl v willkürlicher Konstanten ab, und (1) oder (5) heisst ein Mayer'sches System (vgl. Nr. 16). Umgekehrt ist jedes Funktionensystem Zi, in das eine endliche Parameterzahl eingeht, die allgemeinste Lösung eines und nur eines Mayer’sehen Systems.

Die allgemeinste Lösung jedes andern passiven Systems enthält nach dem obigen eine unbegrenzte, abzahlbare (I A 5, Nr. 2) Menge von arbiträren Konstanten.

4.    Das allgemeine Integral. Ein Funktionensystem zx ... zn, welches durch ein irgendwie von Parametern und arbiträren Funktionen abhängendes Gleichungensystem (K) zwischen den Variabein xx . . . xm, zx ... zn definiert ist, heisst nach A. M. Ampère¹⁸) das allgemeine Integral eines Differentialsystems (1), wenn es, solange die willkürlichen Elemente keinen Bedingungsgleichungen unterliegen, ausser den Gleichungen (1) und ihren Derivierten keine andern Differentialgleichungen erfüllt, d. h. wenn sich aus (K) durch unbegrenzt wiederholte Derivation nach den x und Elimination der willkürlichen Elemente alle Relationen (1) und ihre Derivierten, und nur diese ergeben. Darboux¹⁹) ersetzt diese Forderung durch die weitergehende, dass jede Lösung des Cauchy'sehen Problems auch aus (K) durch Spezialisierung der darin enthaltenen Willkürlichkeiten erhältlich sein

linear sind.

soll²⁴); ein in diesem Sinne allgemeines Integral ist auch nach Ampère allgemein, nicht aber²⁰) umgekehrt. Oft bezeichnet man die Relationen (K) selbst als das allgemeine Integral (oder auch: die allgemeinen Integralgleichungen) des Differentialsystems (1). Jede Lösung zx . . . zn, die aus den allgemeinen Integralgleichungen (K) durch Festsetzung von Bedingungsgleichungen für die willkürlichen Elemente erhalten wird, heisst ein partilmläres Integral.

Für eine partielle Differentialgleichung wter Ordnung mit einer Unbekannten z und zwei unabhängigen Variabein x, y ist im einfachsten Fall das allgemeine Integral definiert durch n-f- 1 Relationen zwischen x, y, z, n Variabein p1; ... Qn, n Gruppen von je vL Funktionen <Pn (Qi), <Pi2 (Qi), ■ • • 9Vt- (v)    (* = 1 ' • * n)

(wobei die Funktionen <pi/c jeder Gruppe je einem System von Vi — 1 gewöhnlichen Differentialgleichungen mit der Independenten genügen²⁶), sodass je eine Funktion jeder Gruppe arbiträr bleibt), sowie einer endlichen Anzahl von Ableitungen der <p. Die Differentialgleichungen mit dieser Integralform (z. B. alle partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit einer Unbekannten und zwei Independenten) fasst man nach Ampère2r) zu einer „ersten Klasseu zusammen.

In den allgemeinen Integralgleichungen eines Differentialsystems (1) können arbiträre Funktionen auch unter „partiellen Quadraturen“ Vorkommen, deren Integrand ausser der Integrationsvariabein noch andere Veränderliche enthält²⁸); die Theorie der linearen Differentialgleichungen bietet hiefür zahlreiche Beispiele²⁹). So stellt É. Borei, einer Idee von Delassus folgend³⁰), die Gesamtheit der in einem gewissen Bereich regulären Integrale einer hinsichtlich z und seiner Ableitungen linearen partiellen Differentialgleichung mit m Independenten x durch einen einzigen, von der arbiträren Funktion cp abhängenden

2 7t

Ausdruck J*f(xx... xmu) 9o(a) da dar. 0

24)    Hierzu können indes für verschiedene Wertgebiete der x verschiedene Formelnsysteme (K) nötig sein.

25)    Delassus, Darb. Bull. 1895, 1, p. 37; „Goursat B“ 2, Art. 178.

26)    Nach M. Lévy (Par. C. R. 75 [1872], p. 1094) lassen sich die Zahlen v{ auf 2 oder 1 reduzieren; die Argumente der cpik können auch zum Teil identisch sein. Vgl. auch „Goursat B“ 2, Kap. 8, wo noch etwas allgemeinere Integralformen betrachtet werden (Nr. 51).

27)    A. a. 0. p. 558 ; seine Definition ist etwas enger.

28)    Ampère, a. a. O. p. 557.

29)    Vgl. z. B. B. Brisson, J. éc. pol. 7, cah. 14, p. 191 (1808); S. D. Poisson, ebenda 12, cah. 19, p. 215(1823); A. Weiler, J. f. Math. 51, p. 105 (1856) u. a. m.

30)    Darb. Bull. 1895, 1, p. 122; Delassus, ebenda p. 37.

5. Singuläre Integrale. Ein Funktionensystem

&i    fi (p^x *^2 ‘ ‘ "    ) (ß     . . . %)

heisst ein singuläres Integral des Differentialsystems S, wenn die Gleichungen (6) lauter solche Wertsysteme x₁ ... xm, zr . . . z^ax... definieren, die zwar die Gleichungen (1) erfüllen, für die aber die rechten Seiten keiner möglichen kanonischen Auflösung (5) des Systems S ausnahmslos regulär sind; ein singuläres Integral kann also nicht direkt durch die Methode der Nr. 2 mit Hilfe von Reihenentwickelungen gewonnen werden. Doch giebt es immer ein Gleichungensystem St in den Yariabeln (2), das die Relationen S umfasst, aus diesen durch gewisse Differentiationen nach den Yariabeln zijai...am gewonnen wird, und dem alle etwaigen singulären Integrale S und nur diese genügen³¹); S₁ kann selbst wieder singuläre Integrale besitzen etc., und man gelangt so zu der Unterscheidung von einfach, zweifach,... singulären Integralen³²).

Ersetzt man in einem Differentialsystem nter Ordnung S mit einer Unbekannten z diese letztere durch z -f- ez, und dementsprechend durch + £^at. so folgt durch Nullsetzen aller Koeffizienten der ersten Potenzen von e das „Hilfssystem“ S' partieller, in z und seinen Ableitungen linearer Differentialgleichungen ni6T Ordnung, das alle zu einer gegebenen Lösung z unendlich benachbarten Lösungen von S definiert³³); z ist eine singuläre Lösung³⁴), wenn die zugehörigen Gleichungen S' entweder ein allgemeines Integral z besitzen, dem ein geringerer Grad yon Allgemeinheit zukommt als bei einer beliebigen Lösung z, oder hinsichtlich z und seiner Ableitungen nicht unabhängig bleiben, event, identisch³⁵) erfüllt sind. Die Bedingungen hierfür liefern mit S zusammen das vorhin definierte Differentialsystem Sl} das für eine partielle Differentialgleichung niee Ordnung

f(pcl • ■ • Xm, Z, • • • Zalai...am •••) — ()

(6)

arn • • •

und entwickelt nach Potenzen von e,

(?)

n)

so lautet:

31)    S. z. B. Königsberger, J. f. Math. 109, p. 290.

32)    „Delassus“ Art. 22.

33)    Darboux, Par. C. R. 96, p. 766; Surf. 4, Note XI.

34)    Diese Definition der singulären Lösungen giebt Poisson, J. éc. pol. 7, cah. 13, p. 114 (1806) in Verallgemeinerung einer Idee A. M. Legendre’s (Par. mém. 1790, p. 218); vgl. „Boole“, Suppl. Vol. p. 70.

35)    Dass dies für jedes Integral z eintritt, lässt sich durch algebraische Umformung von S vermeiden.

df

i — O df A- V,

¹    fil-firn    h

(*'=!,■•

df

••• Pm

(ht «2-*- = 0,    ^a = n).

Ein singuläres Integral wird im allgemeinen nicht durch Spezialisierung irgend einer Form des allgemeinen erhalten; doch kann es Lösungen gehen, die sowohl singulär als partikulär sind.

6. Intermediäre Integrale. Als intermediäres Integral (oder ZwischenintegraX) eines Differentialsystems 8 bezeichnet man ein Differentialsystem S' mit denselben Unbekannten und Independenten dann, wenn das allgemeine Integral von S' nicht nur von einer endlichen ²⁰) Konstantenzahl abhängt und das System S erfüllt, ohne mit dessen allgemeinem Integral identisch zu sein; S ist dann eine algebraische Folge von S' und seinen Derivierten. Oft nennt man „intermediäres Integral“ auch nur die nicht aus 8 folgenden Gleichungen eines Differentialsystems S' der genannten Eigenschaften. Ein Differentialsystem braucht nicht notwendig intermediäre Integrale zu besitzen.

Enthalten die Relationen S' so viele Parameter und arbiträre Funktionen, dass jedes nicht singuläre Integral von S mindestens eine partikuläre Form des Systems S' erfüllt, so heisst S' ein allgemeines intermediäres Integral.

Eine partielle Differentialgleichung vter Ordnung mit einer Unbekannten ist im Falle v < n ein intermediäres Integral (oder „n — vtes Integral“) einer Gleichung der Form (7), wenn diese vermöge der Gleichung vter Ordnung und ihrer Derivierten identisch erfüllt ist. Alle etwaigen Æten Integrale einer Gleichung (7) werden durch Integration eines Systems partieller Differentialgleichungen /cter Ordnung mit einer Unbekannten ermittelt²¹); insbesondere erhält man alle etwaigen ersten Integrale von (7) durch Aufsuchung der gemeinsamen Integrale eines Systems partieller Differentialgleichungen 1. Ordnung, worin die Grössen xi} z, und die Ableitungen von z bis zur n — lten Ordnung inch als Independente figurieren²²).

7. Vollständige Integrale. Enthält das Differentialsystem (1) die Ableitungen von zt bis zur r/en Ordnung einschliesslich, so ver-steht man unter einem vollständigen Integral des Systems (1) ein von den arbiträren Konstanten c₁ ... cv abhängendes Funktionensystem:

(8)

&i    f i ilx    Cj^Cÿ . . . Cv) (i — 1,2,... w)

von der Beschaffenheit, dass die Elimination der c* aus (8) und aus den Gleichungen:

g«l H-----h“

alle Relationen (1) und nur diese liefert. Die Anzahl v der arbiträren Konstanten ist also gleich der Zahl der Grössen

(10) Z± ’ * ■ #n, &i,    ...

(9)

am

1 ' ‘ ‘ am

vermindert um die Anzahl der Gleichungen (l)²³).

Für ein Mayer' sch es System (Nr. 3) und nur für ein solches koinzi-dieren die Begriffe „vollständiges“ und „allgemeines“ Integral. Jedes andere Involutions system (Nr. 2) S besitzt unbegrenzt viele verschiedene vollständige Integrale. Fügt man zu S die derivierten Gleichungen bis zu irgend welcher Ordnung hinzu, so entsteht ein Involutionssystem S', dessen vollständige Integrale mehr als v arbiträre Konstanten enthalten. Ein vollständiges Integral desjenigen Involutionssystems, das aus der Differentialgleichung (7) durch Hinzufügung aller ihrer Derivierten bis zur n -f- kten Ordnung einschliesslich entsteht, wird auch als ein vollständiges Integral vom Range k der Gleichung (7) bezeichnet²⁴). Ein vollständiges Integral vom Range k der Differentialgleichung

dz dz d²z d²z d*z dx’ dy’ dx²’ dxdy’ dy²

enthält darnach 2Jc 6 arbiträre Konstanten²⁴).

Ein Differentialsystem, das mindestens ein vollständiges Integral besitzt, heisst nach LieA1) unbeschränkt integrabel; ein solches System (1) ist dadurch charakterisiert, dass es in einem Involutionssystem enthalten ist, das ausser (1) keine Gleichung in den Variabein (2) allein umfasst.

2. Ordnung:

)-°

f (oc, y, z,

40)    J. König, Math. Ann. 24, p. 505; vgl. Jacobi’s Integrale mit „überzähligen“ Konstanten, Werke 5, p. 404.

41)    Leipz. Ber. 1895, p. 71.

8. Verschiedene Formen des allgemeinsten Differentialsystems.

Jedes Differentialsystem S lässt sich dadurch, dass man gewisse Ableitungen 0ttax...a als weitere Unbekannte betrachtet, durch ein Differentialsystem S' mit denselben Independenten x{ ersetzen, das nur die ersten Ableitungen der Unbekannten enthält. Indem man zu S die Derivierten bis zu einer gewissen Ordnung hinzufügt, sodann gewisse Ableitungen der Zi als weitere Unbekannte einführt, lässt sich S insbesondere durch ein in den ersten Ableitungen lineares Differentialsystem :

m p

22

i i

duç dxk

ersetzen, worin ux ... up die Unbekannten, und die ai} aiks Funktionen von xx . . . xm, ux ... up bedeuten; Biquier hat gezeigt, dass jedes beliebige passive System S durch ein passives System der Form (11) ersetzt werden kann⁴²).

Nach Biquieru) kann man ferner jedes passive System S mit den Unbekannten zx... zn ersetzen durch n Differentialsysteme SxS₂---Sn derart, dass Sv nur die x{ und die Unbekannten zx ... zv und ihre Ableitungen enthält, und sich nach Substitution eines beliebigen Integrals zx . . . zv—i des Differentialsystems (SX7 S₂, ... Sv— i) in ein passives System mit der einen Unbekannten zv verwandelt; die Integration von S ist so auf diejenige einer Reihe von Differentialsystemen mit m Independenten und je einer Unbekannten zurückgeführt.

Setzt man z — zx £x + •••-}- zn %n, drückt man ferner mittels der

3 Z •    *    •

Gleichungen Zi — ^j die Ableitungen z^ax...am durch die Ableitungen

(H)

Uiks

-f- ai = 0 (i — 1,2, • • •)

von z aus, und fügt man dem System (1) die Relationen

d*z

hinzu, so ist die Integration des Differentialsystems (1) zurückgeführt auf diejenige eines Differentialsystems mit den Independenten xx... xm, %x... und einer Unbekannten z; insbesondere lässt sich also jedes beliebige Differentialsystem ersetzen durch ein in den zweiten Ableitungen lineares Differentialsystem 2. Ordnung mit einer Unbekannten⁴³).

Eine andere Formulierung des allgemeinsten Differentialproblems ergiebt sich aus der Theorie der Systeme totaler Differentialgleichungen.

Man sagt: Je Relationen zwischen den Variabein xxx₂ ... xv befriedigen das System linear unabhängiger totaler Differentialgleichungen

42)    Ann. éc. norm. 1893, p. 359; Systeme dieser Art betrachtet auch Bourlet; vgl. Fussn. 5, sowie die von Bäcklund, Math. Ann. 17, p. 321 ff. und v. Weber, J. f. Math. 118, p. 154ff. behandelten Spezialfälle.

43)    J. Drach, Par. C. R. 125, p. 598 (1897).

8. Verschied. Formen des allg. Differentialsyst. 9. Lie’s Integralbegriff. 307

¹

   Für n — 1 kann diese Form, ev. durch ganzlineare Trf. der x stets hergestellt werden, nicht aber für n^> 1; s. C. Bowlet, Ann. éc. norm. 1891, Suppl, p. 48.

²

   Auf solche Systeme hat Königsberger (J. f. Math. Ill, p. 1, 156; Berl. Ber. 1894, p. 989; Math. Ann. 20, p. 587; 39, p. 285) den Irreducibilitätsbegriff der Algebra übertragen; auf eine (weitergehende) Definition dieses Begriffs für beliebige algebraische Differentialsysteme gründet J. Drach (Ann. éc. norm. 1898, p. 243) seine der Galois’ sehen Theorie nachgebildete „intégration logique“ eines algebraischen Differentialsystems ; vgl. IIA 4 b, Nr. 36, 38.

³

   Kowalewsky, a. a. 0; Königsberger, J. f. Math. 109, p. 263.

⁴

   Dass hierdurch allein die Konvergenz nicht gesichert ist, wenn das System nicht die Form (4) besitzt, zeigt S. v. Kowalewsky an einem Beispiel (1. c. p. 22).

⁵

   Ann. éc. norm. 1890, p. 23.

⁶

   Ygl. Fussn. 5.

⁷

11'' Ann. éc. norm. 1893, p. 65, 123. 167; Par. sav. [étr.] 32.

⁸

   Acta math. 18, p. 1 (1894).

⁹

   Ann. éc. norm. 1893, p. 66; er nennt seine kanonische Form harmonisch oder orthonom.

¹⁰

   Es können sich auch Grössen ^>0...o= zk darunter befinden.

¹¹

   Biquier, Ann. éc. norm. 1893, p. 77 ff.

¹²

   Ygl. z. B. die unter Fussn. 4 citierte Arbeit von Stachel.

¹³

   Ann. ée. norm. 1893, p. 123.

¹⁴

   Ann. éc. norm. 1896, p. 421.

¹⁵

   Délassas, a. a. 0.; Riquier, Ann. éc. norm. 1897 p. 259.

¹⁶

D. h. solcher, die hinsichtlich der Unbekannten und ihrer Ableitungen

¹⁷

   J. Horn, Acta math. 12, p. 113; 14, p. 337; Königsberger, J. f. Math. 112, p. 199.

¹⁸

   J. éc. pol. 10, cah. 17, p. 549 (1815); vgl. Imschenetzky, Arch. Math. 54, p. 209, Kap. 1.

¹⁹

   „Surfaces“ 2, p. 98.

²⁰

   Mitunter ist es nützlich, diese Beschränkung fallen zu lassen, z. B. von intermediären Integralen eines Mayer’sehen Systems zu sprechen; Delassus, Ann. éc. norm. 1897, p. 195.

²¹

   A. V. Bäcklund, Math. Ann. 11, p. 240 (1877).

²²

   Bez. solcher intermediärer Integrale einer Gleichung nt0T Ordnung, die von höherer als der «teu Ordnung sind, vgl. z. B. Nr. 50.

²³

Wann n Funktionen z{ mit m-n arbiträren Konstanten das vollständige Int. eines Systems von n partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit n Unbekannten zi und m Independenten bilden, zeigt Königsberger, Math. Ann. 44,

²⁴

p. 17.

. . xv) dxs = 0

(12) S %u (xx •

i

oder bilden ein Integraläquivalent (Integral) derselben, wenn die aus ihnen entnommenen Werte von k der Yariabeln x in (12) substituiert hinsichtlich der übrigen x und ihrer Differentiale Identitäten liefern. Schreibt man die k Relationen in der Form Xi = fiixk+i . . . xf), so erhält man für die k unbekannten Funktionen f) ein System S von r(v — k) partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung. Unterliegen also die Koeffizienten £is keinen Bedingungsgleichungen, so darf k nicht kleiner sein als vr:(r-{— 1); von den f sind dann Ä(r-j-l)—rv willkürlich wählbar, die andern als Integrale von S definiert⁴⁴).

Umgekehrt lässt sich die Integration jedes Differentialsystems S auf diejenige eines Systems totaler Differentialgleichungen zurückführen. Es enthalte S z. B. nur eine Unbekannte z und deren Ableitungen Zax...a bis zur wten Ordnung einschliesslich, und es sei N die Anzahl der Grossen

(13) xx. .. xm} Zifi.,.o, • • • &<xx... am • • • a.i ^ j , • • •    — Oj 1,... w) .

Jedes Integral von S ist dann definiert durch ein N — m-gliedriges⁴⁵) Gleichungensystem zwischen den Variabein (13), das die Relationen S umfasst, alle totalen Differentialgleichungen der Form

(14)

'S    •••&•—L A+l, ßi+l,-ßmdxi

1

— 1; ßx---ßm = 0,l,---n — l)

auflösbar ist.

am

erfüllt, und nach den N — m Variabein z, zai.

9. Lie’s Verallgemeinerung des Integralbegriffs. Von der zuletzt genannten Beschränkung befreit Lie*⁶) die Definition des Integrals durch Einführung des Begriffs „Flächenelement nter Ordnungu des Raumes

44)    Forsyth, Theory of diff. equ. 1, Kap. 13.

45)    D. i. aus N — m unabhängigen Gleichungen bestehendes. Obige Definition des Integrals wurde für den Fall n = 1 zuerst von J. F. Pfaff (Fussn. 104) ¹

gegeben.

mit den Punktkoordinaten z, xx . . . xm. Man versteht darunter ein beliebiges Wertsystem (13); die N Grössen (13) selbst heissen die Koordinaten des Flächenelements. Zwei unendlich benachbarte

Elemente xif z, zai ...«m und xt + dxi} z -f- dz ... zai... + dzai ...am ••• heissen vereinigt liegend, wenn sie den Gleichungen (14) genügen. Eine v-fach ausgedehnte Schar von Flächenelementen nt6r Ordnung, die den Gleichungen (14) genügt, so dass also jedes Element der Schar mit allen Nachbarelementen vereinigt liegt, heisst eine Element-Mv (Elementmannigfaltigheit, -verein), insbesondere eine „Element- Mf“,

ter

wenn die Mannigfaltigkeit der zugehörigen „Punkte“ z,xx. . . xm p-fach ausgedehnt ist; man hat q < r; v < w.46a) Eine Element -M$ ist darnach definiert durch ein N—n-gliedriges, den totalen Differentialgleichungen (14) genügendes Relationensystem zwischen den N Variabein (13), worunter sich m — q -f~ 1 Gleichungen in z, xx... xm allein befinden. Das allgemeinste Gleichungensystem dieser Art wird ohne Integration gefunden; die m — q -f- 1 Relationen in z, xx ... xm sind willkürlich wählbar. Eine Element-Mx° oder -Mf, d. h. ein System von einfach unendlich vielen Flächenelementen n Ordnung, deren jedes mit dem unendlich benachbarten vereinigt liegt, heisst ein Streifen nter Ordnung, eine Element -Mm eine Fläche des Raumes

Ein Flächen element erster Ordnung¹) z, xt . . . xmPi • • • Pm ist definiert durch einen Punkt zx\ ... xm des Rm+i und eine durch ihn gehende Ebene

t % -P% (£i    *^i) "j“ ' ' ‘ "j“ PmQsm Xm) wobei £, die laufenden Koordinaten bedeuten. Die allgemeinste, aus Flächenelementen erster Ordnung bestehende Element-M⁹m, d. h. das allgemeinste aus m-f-1 Gleichungen bestehende Integraläquivalent der totalen Differentialgleichung

dz —px dxx — • • • — PmdXm — 0

wird erhalten, indem man zu m — q -f- 1 beliebigen, von z nicht freien Relationen: ²

9. Lie’s Verallgemeinerung des Integralbegriffs.

309

(»’“I, 2,..

&,-(#, Xi.. . xm).= 0

diejenigen p Gleichungen hinzufügt, die durch Elimination der k aus dem System

(Je = 1,... m)

— Pk =

d xk

entstehen; es giebt darnach, den Werten p = 0, 1, ... m entsprechend, m -j- 1 Kategorien von Element - Mm ; durch eine Berührungstransformation (vgl. die nächste Kr.) kann man jede Element-in eine Mm verwandeln.

Jede aus Flächenelementen nter Ordnung bestehende Element-AU, die einem Ditferentialsystem S der nUm Ordnung mit einer Unbekannten genügt, m. a. W. jedes N — v-gliedrige Gleichungensystem in den N Yariabeln (13), das die Relationen S enthält und die totalen Differentialgleichungen (14) befriedigt, heisst eine Integral-Mv (auch Integralgebilde, -Mannigfaltigkeit, -verein), im Falle v = m auch kurz ein Integral des Differentialsystems $; demgegenüber handelt es sich bei der altern Definition des Integrals nur um die Integralflächen.

Ein Werthsystem (13), das den Relationen 8 genügt, heisst ein singuläres oder ein nichtsinguläres Flächenelement des Differentialsystems S, je nachdem es die Gleichungen des in Nr. 5 definierten Systems Sx alle oder nicht alle erfüllt; eine Integral - Mv von S heisst singulär, wenn sie die Gleichungen SL befriedigt.

Eine Gleichung ntei Ordnung mit einer Unbekannten und m Independenten besitzt eine und nur eine Integral-Mm, die eine beliebig gewählte nicht singuläre Integral-Mm—i enthält³); diese letztere Bestimmung lässt sich durch Einführung neuer Veränderlicher auf die Form der Anfangsbedingungen der Nr. 1 zurückführen⁴ 5). Dasselbe gilt für jedes Involutionssystem ntei Ordnung mit einer Unbekannten; während aber die allgemeinste Integral-Mm—i einer Gleichung ntei Ordnung ohne Integration gefunden wird (indem man den N — m Definitionsgleichungen einer beliebigen Mm die Gleichung nteT Ordnung hinzufügt), verlangt die Ermittelung einer Integral-Mm—i für ein System von Gleichungen nteT Ordnung im allgemeinen gewisse Integrationen.

Ein Involutionssystem ntex Ordnung mit einer Unbekannten und m Independenten ist nach Lie⁴⁰) durch die Eigenschaft charakteri-

siert, dass jede seiner Integral -Mq (q < m) mindestens einer Integral -Mm angehört.

Vollständiges Integral eines Gleichungensystems S zwischen den N Yariabeln (13) heisst jetzt jede Schar von Integral-Mm, die so viele Parameter enthält, dass jedes nicht singuläre Flächenelement von S einer und nur einer Mm der Schar angehört, m. a. W. jedes N—m-gliedrige Gleichungensystem in den N Yariabeln (13) und v arbiträren Konstanten, das die totalen Differentialgleichungen (14) erfüllt, und aus dem sich durch Elimination der Konstanten alle Relationen S und nur diese ergeben. Ein vollständiges Integral besteht im allgemeinen aus Flächen, kann also die Form (8), (9) erhalten; die Zahl v der arbiträren Konstanten ist wie in Nr. 7 definiert.

Versteht man mit Lie⁶⁰) unter einem Flächenelement ein Wert

system ⁶ 7 8)

X\ . . . Xm , Z\ . . . Zn ) Pli • • • Pmn

dzi

Pa ~~ 0«.

und nennt man zwei benachbarte Flächenelemente vereinigt liegend, wenn sie die Gleichungen

dZi =2Pik dxk    (i — 1 .. n)

erfüllen, so lassen sich die Begriffe „Element-Mvu (vm), „Streifen“, „Integral“, „vollständiges Integral“, sowie Lie’s Definition des Involutionssystems⁴⁹) ohne weiteres auf Differentialsysteme 1. Ordnung mit n Unbekannten, mithin, da auf diese Form jedes Differentialsystem zurückgeführt werden kann (Nr. 8), auf beliebige Differential-Systeme übertragen. Eine naheliegende Verallgemeinerung dieses Ansatzes führt zu der von Bäcläund⁶²) in den einfachsten Fällen begonnenen Untersuchung von Gleichungensystemen, welche die Koordinaten der Flächenelemente 1. Ordnung zXiPi, z'xlpl. . . mehrerer m -j- 1-dimensionaler Räume enthalten.

(III D 7) eine

10. Transformationen der Differentialsysteme. Unter einer Berührungstransformation der 2m -f- 1 Yariabeln z,xi . . . xmpi . . ■ pm oder des Raums    {z, xk . . . xm) versteht man

Transformation

(15) z'=Z(zx₁...xmp₁...pm)’ xi'=Xi(z...pmy, Pi'=Pi(z...pm) (i=l...m),

10. Transformationen der Differentialsysteme.

en

deren rechte Seiten für jedes beliebige Wertsystem der zxipi und ihrer Differentiale eine Identität der Form

d Z Px cl • • •    Pm (lXm = q (zxx... Pm) (dz    dxd) (q Ep 0)

befriedigen. Durch n — 1-malige Erweiterung⁵³) der Transformation (15) erhält man Formeln der Gestalt:

*®1 ■am ⁼ -P«!    Xi . . . Xm, . . . Zßx...ßm . . .)

Jtßi t

(°Ü f ... CCm = 0fl}2f ... U) 2*i ^ n 5

die mit (15) zusammen eine Transformation der N Yariabeln (13) darstellen.

Die n — 1-fach erweiterten Berührungstransformationen sind dadurch charakterisiert, dass sie irgend zwei benachbarte, vereinigt liegende Flächenelemente nter Ordnmig des Raums Rm + i(zxi . . . xm) wieder in zwei benachbarte vereinigt liegende Elemente des Rm+i(dxi...Xm) verwandeln; sie sind die einzigen, umkehrbar endlichdeutigen Transformationen der N Variabein (13), bei denen jede Element-üf,, wieder in eine Element-iR,,,⁵⁴) und jedes Involutionssystem S wieder in ein Involutionssystem S' übergeht.

Dagegen hat Bäcklund⁹) „Flächentransformationen“

x- = Xi(x i...xm, Z\.. .Zßx ...ßm • • •); z — Z(xx...) (JSßi^n)

betrachtet, vermöge deren jeder Mm des Raumes z xx,. . xm eine Mm von Elementen 1. Ordnung des Raums z'x[ . . . x'm, aber jeder Mm des letzteren eine gewisse Schar von Mm des ersteren entspricht, und die durch sie vermittelten Beziehungen zwischen den Differentialsystemen beider Räume untersucht.

Zwischen den Flächenelementen zweier Involutionssysteme nieT Ordnung mit einer Unbekannten können Beziehungen stattfinden, vermöge deren jedem Integral des einen Systems ein und nur ein Integral des andern entspricht¹⁰); dagegen können, falls w > 1, ausser etwaigen erweiterten Berührungstransformationen umkehrbar endlich

53)    „Tr.“ 2, p. 378—383.

54)    Bäcklund, Math. Ann. 9, p. 297; Engel, Leipz. ßer. 1890, p. 203;

s. III D. 7.

deutige Beziehungen dieser Art nur dann stattfinden, wenn jedes der beiden Involutionssysteme aus mehr als einer Gleichung besteht¹¹ 12).

II. Die linearen partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit einer Unbekannten.

11. Die lineare partielle Differentialgleichung 1. Ordnung.

(16)

Sind g₂ . . . irgend welche Funktionen der Variabein xltx₂... xm, und hat man die allgemeinen Integralgleichungen des simultanen Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen (II A 4) dxj . dx₂ . • • • . dxffi — (q • ^>2 ■ ' ' " ■

auf die Form:

(17)

/1 (*T 1 ^2 • • • %m) dl • . . ; /m — 1 (^1 %2 • • • ^m) Cm — 1

gebracht, so nennt man die /) „Integrale“ des Systems (16); sie sind durch die Eigenschaft charakterisiert, dass ihre totalen Differentiale dfi vermöge (16) verschwinden, sind also partikuläre Integrale der linearen homogenen partiellen Differentialgleichung

(18)

df

df

dx₁

Das allgemeine Integral dieser Gleichung ist eine arbiträre Funktion von /I . . . fm-1.

Umgekehrt, kennt man m—1 unabhängige partikuläre Lösungen fi von (18), so können die allgemeinen Integralgleichungen des Systems (16) in der Form (17) geschrieben werden. Die beiden Integrationsprobleme (16), (18) sind also äquivalent⁶⁸); das simultane System (16) heisst zu der partiellen Differentialgleichung (18) adjungiert (vgl. Nr. 13, sowie II A 4 b, Nr. 1).

Sind die Quotienten gf :    an der Stelle x^ . . . x®m regulär, so

besitzt die Gleichung (18) ein und nur ein System von m — 1 Partikularlösungen ¹³) h\, Ji2, . . . hm und für xx =» x⁵ bez. in x2} xs . . . x übergehen, also die Form

(19)    +    —    (i=2...m)

besitzen, worin die gewöhnliche Potenzreihen der xk — x°k bedeuten;

dXm

-i?

die an der Stelle xQ regulär sind

(21) i

H“ • * * + im

dx,

dxx

mit den Unbekannten xm—,t+i... xm und den Independenten x\... xm—k.

Die durch (16) definierten m — 1-fach unendlich vielen Kurven des Raums Hm(xlX2 . . . xm) heissen die Integralkurven⁶⁴) des simultanen Systems (16) oder auch die Charakteristiken6ö) der partiellen Differentialgleichung (18) oder (20). Die allgemeinste Integralfläche von (20) wird also von irgend ocm~², die allgemeinste Integralmannigfaltigkeit des Differentialsystems (21) von irgend oom~k

60)    Natani, J. f. Math. 58, p. 302.

61)    Berl. nouv. mém. 1779, p. 152 = Werke 4, p, 624; ebenda 1785, p. 174 = Werke 5, p. 543.

62)    Eine Übertragung dieses Satzes auf eine gewisse Klasse partieller Differentialgleichungen 1. Ordnung mit mehreren Unbekannten giebt M. Hamburger, J. f. Math. 100, p. 399; vgl. Nr. 58.

63)    Jacobi, J. f. Math. 2, p. 317 = Werke 4, p. 1; Werke 4, p. 229; vgl. Nr. 58. Die Verallgemeinerung für vollständige Systeme (Nr. 18) giebt N. Sal-tykow, J. de math. (5) 3, p. 423 (1897); Mayer, Leipz. Ber. 1899, p. 16.

64)    Oder „Bahnkurven“ der eingliedrigen Gruppe Xf, „Tr.“ 1, p. 99: ¹⁴

vgl. II A 6.

die hi lieissen die Hauptintegrale⁶⁰) der Gleichung (18) hinsichtlich xx~x\- Ist die Funktion 0(x₂... xnf) an der Stelle x°... xf regulär, so ist <&(hi . . . hm—i) diejenige, an der Stelle x° reguläre Integralfunktion von (18), die vermöge x₁ — x° in <&(%₂ . . . xn() übergeht (Nr. 1). Sind die h. auch man die m — 1 Gleichungen hi — xf+1 folgendermassen auf lösen:

Xi = xl + (Xx — a;}) ^.(Xx — x⁰l,x₂ — x°₂...xm — x°m)    (i=2...m);

die rechten Seiten sind diejenigen Integralfunktionen des simultanen Systems (16), die sich vermöge xx = x° auf die vorgeschriebenen Constanten x'% . . . x'm reduzieren.

Eine willkürliche Relation zwischen den /) (oder hi) definiert nach Lagrange⁶¹) das allgemeine Integral xrn der nicht homogenen linearen partiellen Differentialgleichung⁵⁸)

dxm

an

der Stelle xffx'₂ . . . x' regulär, so kann

dxm ~^Xm-

mit der Unbekannten xm und den Independenten x±.. .xm—\⁶²); k derartige Relationen liefern das allgemeine Integral xm—k+\-->xm des Differentialsystems⁶³)

(20)

= Im

Charakteristiken erzeugt¹⁵). Eine Fläche des JRm, in deren Punkten einige oder alle algebraische Verzweigungen besitzen, ist im allgemeinen Ort von Singularitäten (Spitzen) der Charakteristiken¹⁶), in Spezialfällen eine singuläre¹⁷), nicht von Charakteristiken erzeugte Integralfläche der Gleichung (20).

Lie¹⁸) nennt die Ermittelung eines partikulären Integrals fL der Gleichung (18) eine „Operation m — 1“. Führt man k bekannte Lösungen ft statt ebenso vieler x in (18) ein, so verwandelt sich Xf in einen Ausdruck mit m — Je Termen, und die Aufsuchung eines k -f- lten Integrals fordert eine Operation m — k — 1. Durch Einführung der tn — 1 Integrale f als neuer Independenten und eine Quadratur geht Xf über in das Symbol einer infinitesimalen Translation (II A 6) des umgekehrt ist mit dieser Reduktion die

Integration von (18) geleistet¹⁹). Lie hat gezeigt, welchen Nutzen man hierbei aus dem Umstand ziehen kann, dass die infinitesimale Transformation Xf einer Gruppe angehört, die entweder in endlicher²⁰ 21) Form vorliegt, oder nur durch ihre Definitionsgleichungen¹⁹) und infinitesimalen Transformationen gegeben ist.

12. Der Jacobi’sche Multiplikator. Die Funktionaldeterminante von f,f\... fm—i ist für jedes f mit p • Xf identisch; die von der Wahl der Lösungen f abhängende Funktion p heisst ein Jacobi’scher¹⁹) Multiplikator der Gleichung (18) oder des simultanen Systems (16)? und genügt der nichthomogenen linearen partiellen Differentialgleichung

(22)

8 xx

dxm

8 X2

Umgekehrt, erfüllt p diese Gleichung, so giebt es immer m Lösungen /) von (18) derart, dass die Funktionaldeterminante von f, ft-- /L—i mit ₉Xf identisch wird. Der Quotient zweier Multiplikatoren ist konstant oder eine Lösung von (18). Geht durch

12. Der JacobTsche Multiplikator. IB. Vollständige Systeme.

315

Einführung neuer Variablen yx . . . iym, deren Funktionaldeterminante hinsichtlich der x mit V bezeichnet sei, Xf in X'f über; so ist p : V, in den Variahein y; ausgedrückt₇ ein Multiplikator von X'f— 0-Kennt man einen Multiplikator p und m — 2 unabhängige partikuläre Lösungen /i . . . fm—2, so erhält man fm—i durch eine Quadratur („Prinzip des letzten Multiplikators“)™). Dass sich für die Bestimmung von fi ... fm—2 aus der Kenntnis von p allein kein weiterer Vorteil ziehen lässt, folgt nach Lie¹⁴) daraus, dass p Xf wegen (22) die allgemeinste infinitesimale Transformationen derjenigen (unendlichen) Gruppe des Bm ist, die die Volumina nicht ändert.

13. Vollständige Systeme. Ein gemeinsames Integral mehrerer (linear unabhängiger) Gleichungen²² 23 24 25)

(23)

xtf=

i

dt

^- = 0

dxk

(7 = 1,2, . . y)

erfüllt auch alle durch Klammeroperation (IIA 6, Nr. 5) daraus entstehenden :

df

(XiXi) =    (XiZks — Xk%i3)

(24)

= o,²⁴)

dx₃

die durch Elimination der 2. Ableitungen von f aus den ersten Deri-vierten von (23) folgen. Sind die Ausdrücke (X;Xk) für jedes f lineare Kombinationen der Xsf, dann und nur dann ist das System (23) passiv (Nr. 2) und heisst ein u-gliedriges vollständiges System (Clebsch). Der allgemeine Fall wird auf diesen durch Hinzufügung der Relationen (24) und erneute Klammerbildung etc. zurückgeführt. Die Eigenschaft des Differentialsystems (23), vollständig zu sein, bleibt erhalten bei beliebigen Transformationen der xi} sowie wenn man die Xif durch irgend y unabhängige Linearkombinationen Y,f ersetzt; diese lassen sich so wählen, dass sie ein „Jacobi’sches System“ (Clebsch) bilden, d. h. dass alle ( Y{ Yf) identisch Null sind; z. B. indem man das System (23) wie folgt auf löst:

(25)

m—e ns

(7c=l ,2, ...fi);

die Bedingungen der Vollständigkeit sind dann

0    (i, k — 1,... fi] s = 1,2, ... m — g).

(26) Yiaks — Ykais

Das allgemeinste, mit dem vollständigen System (23) äquivalente Jacobi’sehe System Yxf = 0, . . . Y^f = 0 wird erhalten⁷⁷), wenn man g Funktionen <pi . . . cp^ beliebig, aber so wählt, dass die Determinante der fi² Ausdrücke Xi(pk nicht identisch Null ist, und die Gleichungen

Xlf=^X<pt-Ykf

1

(»' = 1,2, •••(*)

nach den Ykf auf löst; es ist dann Yk<p; gleich 1 oder 0, je nachdem die Indices i, h gleich oder verschieden sind; die Annahme (pfl == xu führt auf (25).

<Pl = Xi . .

Ist g = m, so wird das System (23) nur durch konstantes f erfüllt. Führt man im Falle g < m die Integrale x% . . . xfl u,_,_j_ i . . . um der ersten Gleichung des Jacobi’sehen Systems (25) neben x₁ als neue Independente in die g — 1 andern Gleichungen (25) ein, so verwandeln sich diese in ein von xx freies g—1-gliedriges Jacobi'sches System; a — 1-malige Wiederholung dieses Verfahrens führt zu einer Gleichung mit m — g -f- 1 Independenten, deren Integrale, in den x ausgedrückt, m — g hinsichtlich xfl -\-iXfl 4.₂ • • • xm unabhängige Partikularlösungen fi .. . fm—n des vollständigen Systems (23) oder (25) liefern. Umgekehrt, besitzt das System (23) m — g unabhängige Lösungen, so ist es vollständig. Das allgemeine Integral von (23) ist eine arbiträre Funktion der f{. Durch das vollständige System (23) ist somit eine „Zerlegung“ des Raums Bm(xi . . . xm)¹⁸) in oom~g-fach ausgedehnte Punktmannigfaltigkeiten

(27)

fl(X\X2 . . . Xm) Ci . . . fm—u(X\Xj<% . . . Xrn) Cm — ^

definiert, welche die Charakteristiken des vollständigen Systems (23) heissen. Umgekehrt gehört zu jeder Raumzerlegung (27) ein ganz bestimmtes vollständiges System (23). Jeder Punkt P des Bm liegt auf einer und nur einer Charakteristik, die auch die durch P gehenden Charakteristiken (Nr. II) aller partiellen Differentialgleichungen der Form = 0 enthält. Irgend oom~Charakteristiken des vollständigen Systems erzeugen die allgemeinste „Integralfläche“ des Systems (23).

77)    Clebsch, J. f. Math. 65, p. 257.

78)    Lie-Engel, „Tr.“ 1, Kap. 6 und 7.

Funktionen fi . . .fm flächen des vollständigen Systems (23) einzeln invariant⁷⁸).

Die infinitesimalen Transformationen Xxf, ... X^f lassen die also aucli alle Charakteristiken und Integral-

Man sagt₇ das vollständige System (23) gestattet die infinitesimale Transformation Aff¹⁹) wenn Af jede Lösung, Charakteristik, Integralfläche von (23) bez. wieder in eine solche überführt; dazu ist notwendig und hinreichend, dass alle Klammerausdrücke (X{A) Linearkombinationen der Xsf seien. Welche Vereinfachungen sich für die Integration vollständiger Systeme ergeben, die bekannte infinitesimale Transformationen bez. Gruppen gestatten, hat Lie²⁶ 27) gezeigt.

Die m — /r-zeitige Funktionalmatrix der fi und die fi-zeitige Matrix der Koefficienten sind korrespondierend²⁸); der Quotient q zweier komplementärer Determinanten derselben heisst ein „Lie’scher²⁹) Multiplikator“ des vollständigen Systems (23) ; für g — 1 ist er mit dem Jacobi sehen, für g = m — 1 mit dem Eider’sehen Multiplikator (nächste Kr.) identisch. Ist (23) ein Jacobisches System, so ist q ein Jacobi scher Multiplikator jeder der Gleichungen (23)³⁰) ; kennt man m — g — 1 Lösungen und einen ihVschen Multiplikator eines Jacobi sehen Systems, so folgt die letzte Lösung durch Quadratur³¹).

14. Systeme totaler Differentialgleichungen. Es giebt m —- g linear unabhängige Funktionensysteme rjkx . . . rjkm derart, dass

..m — g)-,

das Differentialsystem (23) und das System totaler Differentialgleichungen

(28)

Va = y^r]kSdxg = 0 (k = 1,2, . . .m — g)

bestimmen sich wechselseitig³²) und heissen adjungiert. Ist das Jacobi sehe System (25) mit (23) äquivalent, so sind die Gleichungen

dxß+h = ylakhdXk (A=l, 2,..

mit (28) äquivalent. Ist f eine Lösung des Differentialsystems (23), so ist df eine lineare integrable Kombination V., der Differentialausdrücke V,, und umgekehrt; f heisst dann auch ein Integral der totalen Differentialgleichungen (28). Ist (23) vollständig, dann und nur dann besitzt das System (28) m — g unabhängige Integrale (oder integrable Kombinationen) und wird unbeschränkt integrabel genannt; die Relationen (27) definieren für beliebige Werte der c,: ein Integraläquivalent (Nr. 8) des Systems (28) und werden als dessen allgemeines Integral bezeichnet. Ist insbesondere g = m — 1, so besteht das zu (23) adjungierte System aus einer totalen Differentialgleichung, die „exakt“ ist, d. b. deren linke Seite durch Multiplikation mit einer Funktion p, dem „Euler’sehen Multiplikator“⁸⁶), die Form df\ annimmt.

Ist Xf —^jti eine beliebige infinitesimale Transformation (IIA 6,

Nr. 4) und V = Smdx; irgend ein Differentialausdruck, so ist die „charakteristische Funktion“ A = rji eine simultane Invariante der infinitesimalen Transformation Xf und von V,⁸⁷) m. a. W. geht bei

und V in

(29)

— (0

df

beliebiger Variabeintransformation Xf in X'f = '/^l |/

Srjf dxf über, so verwandelt sich gleichzeitig A in n/. Darnach ist das System (28) mit seinem adjungierten System (23) oder, was dasselbe besagt, mit der „adjungierten Schar infinitesimaler Transformationen“

d x[

(30)

invariant verknüpft.

Hat das Symbol X V die Bedeutung

XV

dr\i

^dxk,

d*k

so sagt man, der Differentialausdruck V, bezw. die Gleichung V = 0, gestattet die infinitesimale Transformation Xf,⁸⁸) wenn XV identisch verschwindet, bezw. in der Form p ■ V darstellbar ist; ebenso sagt man, das System (28) gestattet die infinitesimale Transformation, wenn alle Ausdrücke XVS in der Form J^p^V* dargestellt werden können. Das System (28) ist dann und nur dann unbeschränkt in-

86)    J. Collet, Ann. éc. norm. 1870, p. 59; H. Laurent, Nouv. Ann. de math. (3) 6, p. 19; „Forsyth A“ Kap. 1.

87)    Engel, Leipz. Ber. 1896, p. 414.

88)    Lie, Norw. Arch. 2, p. 156 (1877); Leipz. Ber. 1896, p. 405; Engel, ebenda p. 413 ff., und 1889, p. 157 ff.

tegrabel, wenn es alle infinitesimalen Transformationen der adjungierten Schar (30) gestattet. Die Bedingungen hierfür finden für die aufgelöste Form (29) ihren Ausdruck in den Identitäten (26) ³³), für die unaufgelöste Form darin, dass die m — ft Bilinearformen

(s

ii    ^

= 1, ... w —ft; H g

d%i dvak

dxk

vermöge der Relationen

Vs iUi

0, ^ rjgk vk = 0 (s = 1

verschwinden³⁴), m. a. W., dass in den m — ft schiefsymmetrischen Matrices:

. . m — ft)

^lm

0 ...0

(s — 1, 2,... m — ft)

• •    V}m—ft,m 0    . . . 0

Vm—n, 1

alle 2m—2ft-j-2-reihigenHauptunterdeterminanten identisch null sind.

15. Jacobi’s Integrationsmethode³⁵ 36). Hat man das vollständige System (23) nach Nr. 13 mittels der arbiträren Funktionen cpx(p₂... cpu durch ein äquivalentes Jacobi'sches System

(31)

Y₂f = 0, . .. YiUf= 0 ersetzt, und bedeutet ipx ein Integral von Yxf = 0, das keine Funktion von cp2 . . . cpu allein ist, so sind auch alle Funktionen

¹

Für n= 1 s. „Tr.“ 2, Kap. 4; „Goursat A“ Kap. 10; „v. Weber“ Kap. 7; für n ]> 1 vgl. die Arbeiten von Bäcklund (Fussn. 55); E. v. Weber, Math. Ann. 44, p. 458; 0. Biermann, Leipz. Ber. 1896, p. 665; J. Beudon, Ann. éc. norm. 1896, Suppl. Die Grundlagen für die geometrische Deutung der partiellen Differentialgleichungen wurden von G. Monge, O. Bonnet (Fussn. 181, 186, Nr. 82) und P. Du Bois-Beymond („Beiträge“) geschaffen; Geschichtliches hierüber s. bei „Lie-Scheffers, Btr.“ p. 514f.

²

a) Diese letztere Ungleichung gilt stets für n = 1, für n^>l nur dann, wenn von gewissen trivialen Gleichungensystemen (z. B. Vereinen, deren sämtliche Elemente ntei Ordnung dasselbe Element n — lter Ordnung enthalten), abgesehen wird; m-fach ausgedehnte Vereine von Elementen ntsI Ordnung, deren zugehörige Elemente 1. Ordnung ebenfalls eine Element-bilden, können im Falle £ <( m in den Koordinaten (13) nicht dargestellt werden; die betr. Modifikation der Elementkoordinaten wurde von F. Engel (Fussn. 251) für den Fall m — n — 2 angegeben.

³

   S. z. B. Bäcklund, Math. Ann. 13, p. 414.

⁴

   Z. B. „Goursat B“ 1, p. 26.

⁵

   Leipz. Ber. 1895, p. 71.

⁶

   Leipz. Ber. 1895, p. 111.

⁷

   Ein solches wird auch „Mm-Element“ des Raums x₁... xm z₁. .. zn (Bäcklwiä, Math. Ann. 17, p. 286), im Falle m— 1 „Linienelement“ des Raums xzx... zn genannt; vgl. „Lie-Scheffers, Btr.“ Abschn. 2.

⁸

   Math. Ann. 17, p. 285, bes. p. 305; 19,- p. 387.

⁹

   Math. Ann. 9, p. 297; 11, p. 199; 13, p. 69; 15, p. 39; 17, p. 285; 19, p. 387; den einfachsten Tall betrachtet schon „Du Bois-Reymond“ p. 166.

¹⁰

   Vgl. Nr. 52; s. daselbst auch Beispiele für Beziehungen zwischen zwei Differentialsystemen, bei denen jedem Integral des einen eine Schar von Integralen des andern entspricht; das allgemeinste Transformationsprinzip dieser Art formuliert Delassus, Ann. éc. norm. 1897, p. 238.

¹¹

   Bäclclund, Math. Ann. 9, p. 312; 19 p. 399—406.

¹²

   Lagrange, Beri. nouv. mém., 1779, p. 121 = Werke 4, p. 585, 624; ebenda 1785, p. 174 = Werke 5, p. 543; Jacobi, „Dilucidationes etc.“ J. f. Math. 23 = Werke 4, p. 147; Historisches bei „Mansion“, § 5 und 6; ,,Lie-Scheffers, Btr.“ p. 514 ff.

¹³

   Jacobi, Werke 4, p. 196.

¹⁴

Vgl. Nr. 82, Fussn. 182.

¹⁵

   „Lie-Scheffers Btr.“ p. 516.

¹⁶

   Goursat, Amer. J. of math. 11, p. 329.

¹⁷

   Du Bois-Reyrnond, „Beitr.“ p. 31 f.; Darboux, „Sol. sing.“ p. 77; über die Definition der sing. Lösung mittels des Multiplikators (nächste Nr.) vgl. Jacobi, Werke 4, p. 358—364; H. Weber, J. f. Math. 66, p. 233 f. Ygl. II A 4 a, Nr. 22.

¹⁸

   Math. Ann. 11, p. 530.

¹⁹

   S. z. B. Leipz. Ber. 1895, p. 269.

²⁰

   Ebenda 1889, p. 287; „Tr.“ 3, Kap. 26.

²¹

   „Theoria novi multiplicatoris etc.“, J. f. Math. 27, p. 199; 29, p. 213, 333 = Werke 4, p. 317; vgl. „Boole“ Suppl.-Yol. Kap. 31; L. Boltzmann, Math. Ann. 42, p. 374.

²²

   Seine Anwendungen in der Dynamik s. bei Jacobi, 10.—18. Vorl. über Dynamik; vgl. auch II A 4 b, Nr. 12.

²³

   Leipz. Ber. 1895, p. 293.

²⁴

   Jacobi, Werke 5, p. 39 ff. ; Boole, Lond. Trans. 1862, p. 437; „Boole“ Suppl.Vol. Kap. 25, 26; A. Clebsch, J. f. Math. 65, p. 257 (1865); „Tr.“ 1, Kap. 5.

²⁵

   Das Gleichungensystem (23), (24) ist mit dem System (23) invariant verknüpft, Engel, Leipz. Ber. 1889, p. 165; vgl. Nr. 60.

²⁶

   Lie, Math. Ann. 11, p. 494; 24, p. 542; „Tr.“ 1, Kap. 8; Mayer, Leipz. Ber. 1893, p. 697.

²⁷

   Math. Ann. 11, p. 494 ff. ; 25, p. 71; Leipz. Ber. 1893, p. 343; 1895, p. 506; vgl. Lie - Scheffers, Vorlesungen über Differentialgleichungen etc., Leipz. 1891.

²⁸

   Vgl. z. B. Gordan-Kerschensteiner, Invariantentheorie, Leipz. 1885,1, p. 95.

²⁹

   Math. Ann. 11, p. 501 (1877).

³⁰

   Mayer, Math. Ann. 12, p. 132.

³¹

   Ebenda p. 140 ; über den Zusammenhang zwischen den Lösungen, Lie’schen Multiplikatoren und den inf. Transf., die ein vollst. System gestattet, vgl. Lie, Math. Ann. 11, p. 506; Leipz. Ber. 1895, p. 313.

³²

   Dieser Zusammenhang wurde zuerst von Boole entwickelt, Lond. Trans. 1862, p. 437; „Boole“ Suppl. Vol. Kap. 25; vgl. Mayer, Math. Ann. 5, p. 448; die begriffliche Deutung desselben s. bei Engel, Leipz. Ber. 1889, p. 158.

³³

   Sie wurden von F. Deahna, J. f. Math. 20, p. 340 (1840), gegeben.

³⁴

   G. Frdbenius, J. f. Math. 82, p. 267 (1876); eine geometrische Interpretation für m — 3, [i — 2 giebt A. Fbss, Math. Ann. 16, p. 556.

³⁵

   J. f. Math, 60, p. 26 — Werke 5, p. 29; 33. Vorl. über Dynamik; Clebsch,

³⁶

J. f. Math. 65, p. 260.

^2

Y%ip11 ipg    Y₂il>₂ . . .5 ijjv = Y^ipv—i

Integrale von Yxf — 0; ist il>v die erste dieser Funktionen, derart, dass Y^r in der Form %((p2<p3 •••    .--ipv) dargestellt werden

kann, so giebt es immer eine Funktion %₁ der gleichen Grössen, die auch die Gleichung Y₂f— 0 erfüllt; sie ist definiert als ein beliebiges Integral des simultanen Systems

dg>₂ : dipx : • • • : dipv = 1 :    : • • • : ipv : %.

Dann sind auch %₂ = Yä%x, %₃=Y₃%₂ etc. Integrale der beiden ersten Gleichungen (31). Durch Wiederholung der vorigen Schlussweise gelangt man zu einem gemeinsamen Integral der drei ersten Gleichungen (31) u. s. w.; schliesslich erhält man, ausgehend von der Funktion ij>lf durch Integration gewisser simultaner Systeme, mindestens eine Lösung des Jacóbi'sehen Systems (31).

Ein ähnliches, im allgemeinen vorteilhafteres Integrationsverfahren giebt A. Weiler¹) unter Zugrundelegung einer besonderen Normal-form für das vollständige System (23).

16. Die Hauptintegrale. Benutzt man bei der ersten der Reduktionen, durch die nach Nr. 13 für das Jacobi'sehe System (25) die Existenz der Lösungen erschlossen wird, die Hauptintegrale⁹³) der ersten Gleichung (25) hinsichtlich oc = x° (Nr. 11), und verfährt man bei den weiteren Reduktionen analog, so gelangt man, falls die an der Stelle x\ . . . xQm regulär sind, zu m — g an dieser Stelle regulären Integralen hx h% . . . Jim

aik

(32)

—f*}

rp    - /vU    rp - /v>U

eA/j^ —— (X/j • • • tAS ^    eA/^

die sich vermöge

bez. auf x^+i . . . xm reduzieren und die Hauptintegrale des vollständigen Systems (23) (oder des adjungierten Systems (28)) hinsichtlich x₁ — x° . . . x — x®t heissen; dann ist 0(h₁ . . . hm_ ) diejenige Lösung von (23) oder (25), die sich vermöge (32) auf die willkürlich vorgeschriebene Funktion (Xp+x . . . xm) reduziert²). Löst man die Gleichungen

f<(xi ■■■**) =f,(«%■■■ O (* = i>2. •■•»-rfO

der durch den Punkt x\. . . x°m gehenden Charakteristik des vollständigen Systems (23) (Nr. 13) in der Form (33)    hs(xj... xmĄ .. . aj) = x°ft+s (s = 1, 2,... m — g)

auf, so sind die hs die Hauptintegrale. Die Funktionen

rp    - h ( rp 0    rpO rp    rp \

XH + S    s’ • • XmX\ ’ • • X(i)

der Yariabeln xx...x sind an der Stelle x\ . . . x⁰^ regulär und reduzieren sich vermöge (32) bezw. auf die Konstanten # ⁹ + g ; sie er

arbiträre

ft+*

füllen das System (29) identisch, bilden also, wenn die x°

92)    Zeitschr. Math. Phys. 8, p. 264 (1863); 20, p. 271 (1875); 39, p. 355 (1894); vgl. Clebsch a. a. 0.; Mayer, Math. Ann. 9, p. 347.

93)    H. Grassmann (Nr. 19); L. Natani, J. f. Math. 58, p. 302; Lie, „Tr.“ 1,

Kap. 5.

Konstanten bedeuten, das allgemeine Integral des wegen (26) passiven Differentialsystems ⁹⁵)

dX,. + K dxk

Jedes Mayer'sehe System (Nr. 3) kann auf die Form (34), also auf die Integration eines vollständigen Systems zurückgeführt werden⁹⁶).

17. Die Lie-Mayer’sche Transformation. Führt man mit Liedl) und Mayer⁹⁸) in das Jacobi'sehe System (25) mittels der Formeln

xi = xl + yj X2 = x\ + vm ■ • • *> = xl + yjJu

statt Xi . . . X/u die y ein, wodurch a;k in \aik] übergehe, so ist

m —f.i

(34)

(35)

(36)

df

dVi

— O'kh

Qi = 1, 2, ... m -—    h — 1 ... y).

+ yh ([fti J + y-i [_a2h\ -f- • • • -f- y,u [«,«/<])

df

^X/u+h

eine der transformierten Gleichungen. Deutet man nach Lie ?/₂ . . . y,x als Parameter, t/i, x^+i... xm als Koordinaten eines beliebigen Punktes auf einer der oo'“⁻¹ ebenen, m — y -{- 1-fach ausgedehnten Punktmannigfaltigkeiten Mm—p + tj deren Grleichungen aus (35) durch Elimination von yx folgen, und die einen „Büschel“ mit der „Axe“ (32) bilden-, bestimmt man ferner auf jeder Mm—^ + i diejenige Charakteristik der zugehörigen Gleichung (36), die einen festen Punkt P der Axe enthält (Nr. 11), so erzeugen diese oo<(i ~ ¹ Kurven die durch P gehende Charakteristik des Jacobi'sehen Systems (25) ") ; darauf beruht es, dass die m — a Hauptintegrale der Gleichung (36) hinsichtlich yx — 0 nach Elimination der y mittels (35) direkt in die Hauptintegrale des Jacobi'sehen Systems (25) hinsichtlich xt — x = x°u übergehen. Die Integration des vollständigen Systems (23) oder (25) ist so auf diejenige einer einzigen Gleichung (36), bezw. des ad-jungierten simultanen Systems von m — a -j- 1 gewöhnlichen Differentialgleichungen zurückgeführt ¹⁰°).

95)    Mayer, Math. Ann. 5, p. 448; C. Bouquet, Darb. Bull. 1872, p. 265; Méray a. a. O.; C. Bourlet, Ann. éc. norm. 1891, Suppl, p. 6 ff. ; Delassus, ebenda 1897, p. 109, bes. p. 129.

96)    Bourlet a. a. O. p. 15; Lie, „Tr.“ 1, Kap. 10.

97)    Christ. Forb. 1872, p. 28.

98)    Math. Ann. 5, p. 458 f. (1872), wo eine etwas allgemeinere Transf. statt auf (25) auf das adjungierte System (29) angewendet wird.

99)    Durch eine ähnliche Überlegung hatte schon Du Bois-Beymond die Integration einer exakten totalen Differentialgleichung auf diejenige eines Systems * gewöhnlicher Differentialgleichungen zurückgeführt, „Beiträge“ § 1; J. f. Math. 70, p. 299 (1869); Math. Ann. 12, p. 123.

100)    F. Schur reduziert die Integration der unaufgelösten Form (23) auf diejenige eines Systems von m gew. Diff.gleichungen, Leipz. Ber. 1892, p. 177.

Encyklop. d. math. Wissenach. II.

21

Aus jeder Lösung von (25) ergiebt sich vermöge (35) eine solche von (36), aus jedem Integral der letzteren durch algebraische Prozesse¹⁰¹) mindestens eine Lösung von (25). Die Integration eines u-gliedrigen vollständigen Systems mit q bekannten Integralen erfordert je eine Operation m — ja — q, m — g — q — 1, . . . 2, 1.

III. Das Pfaff’sche Problem.

18. Historisches; PfafFs Reduktionsmethode. WährendL.Euler¹⁰²) eine totale Differentialgleichung:

(37)

0 = ^ig,: (xyX₂ . . . Xm)dXi = A, 1

die nicht exakt ist, also nicht durch eine Relation der Form f— const, erfüllt werden kann, als unzulässig betrachtet, bemerkt Gr. Monge¹⁰³), dass sich die Gleichung (37) stets durch m — 1, ev. weniger Gleichungen in den x befriedigen lässt. Durch den Nachweis, dass wenn m = 2n oder 2n — 1 ist, A auf eine Form F₁df₁ -f- • • • -j- Fndfn mit nur n Differentialelementen gebracht, daher schon durch n Gleichungen der Gestalt

dip

t(fi • • • fn) = 0, Fy : F₂ : ■ ■

.Tr _ dip ' dip '

■ • * dft ' du • ■ '

zum Verschwinden gebracht werden kann, legte J. F. Ff aff¹⁰⁴) den Grund zu der Theorie der Gleichung (37); diese wird daher als Ffafffsdie Gleichung, ihre rechte Seite als Ffaff’scher Ausdruck bezeichnet; die Aufgabe, die Gleichung (37) durch die kleinstmögliche Zahl von Relationen zwischen den x zu integrieren (oder auch, A auf eine Form mit der kleinstmöglichen Zahl von Differentialelementen zu bringen), heisst das Ff aff’sehe Problem.

Im Falle m — 2n führt Ff aff statt der x neue Variable t,yy... yrn ~ i so ein, dass identisch:

(38) A = MA' = M(t,yy, y₂. . . ym_t) ^bffyv y% . . . ym^f)dyi.

i

Als Funktionen von t, yy . . . ym—i betrachtet genügen dann die x einem System von Differentialgleichungen¹⁰⁵) der Form:

101) Mayer, Math. Ann. 5, p. 463; vgl. „Groursat A“ Art. 32; „Delassus“

Art. 28.

102)    Inst. Calc. Int. 3, p. 7 f.

103)    Par. Mém. 1784, p. 502, bes. p. 535.

104)    Berl. Abh. 1814—15, p. 76; vgl. C. F. Gauss, Gött. Anz. 1815, p. 1025.

105)    Vgl. Jacobi, J. f. Math. 2, p. 347 (1827) = Werke 4, p. 19; Mayer, Math. Ann. 17, p. 523.

rn

dxk a,k ~8t

(39)    2

1

m

(40)    2! “* ~St

1

aik — aki~dxk dxi

)•

Ist, wie Pf aff annimmt, die Determinante | «,•* | nicht identisch Nul], so sind die y, als Funktionen der x betrachtet, die Integrale der Differentialgleichung :

df

df

oder des adjungierten simultanen Systems dxk : dxg ■ • • ! dxm = wobei q, r\₂ . . . rjm die Lösungen des Gleichungensystems

(41)

(42)

(43)

aik t]k -j- QCii == 0

i

(i = 1, 2, . . . m)

bedeuten. Um diese Gleichungen aufzulösen, verstehe man unter oci . . . «2v irgendwelche 2v Indices, unter ßi ... ß2v eine Permutation derselben, die durch T Transpositionen entsteht (I A, 2 Nr. 3) und definiere das Pf aff’sehe Aggregat (ccx a₂ . . . a2v)³) mittels der Gleichungen :

(al CC% . . . Cizf) — (    l)r(/3₁ ß₂ . . . ßzv),

(«1 0C₂ . . . U2r) = 2(^1 <*₂) («3 ai • • • a2v)

wo 2J eine Summe von 2v—1 Gliedern bezeichnet, die aus dem hingeschriebenen durch nullmalige, einmalige, . . . 2v — 2-malige cyklische Vertauschung der Indices cc₂... aiv entstehen. Setzt man dann

(iJe) = — (hi) = aa, (oi) = — (io) = aL

P = (1, 2,. .. 2n); 77* = (1, 2 ... h — 1, 0, Je -f- 1 . .. 2ri),

(h h, = 1, 2, . . . m),

so sind die Funktionen

bezw. den Ausdrücken TI

P pro-

Vk, Q

portional. Wählt man für die y₍ die Hauptintegrale⁴) der Gleichung (41) hinsichtlich xm — 0, so sind die &,• auf der rechten Seite von (38) den Funktionen ai (y₁ y₂ . . . ym—i 0) proportional.

1 wendet man die vorige Reduktion auf

Im Falle m = 2n

k,

die ersten m — 1 Terme von A an, worin xm als Konstante gilt, und modifiziert hinterher⁵) den Koeffizienten von dxm. Wiederholte Anwendung beider Reduktionen liefert für A in allen Fällen eine Form mit n Differentialelementen.

19. Grassmann’s Methode; das Fundamentaltheorem. H. Grass-mann⁶) hat Pf aff’s Reduktion (38) auf den Fall übertragen, dass die linearen Gleichungen (43) nicht unabhängig sind. Bedeuten x, x1} x₂ bezw. die Rangzahlen⁷) der drei Matrices

& 11 • • •

Qj\\ . . .

(A)

a-m i . . . amm

;    (B)

5 (w I aik

ai . . . am

und ist x eine gerade Zahl 2k, so ist auch xt = x₂ = 2 h, ist x = 2 À — 1, so ist xt — 2/l und x₂ = 2 j1 — 2;⁸) % ist m und heisst nach Frobenius⁹) die Klasse des Ff aff’sehen Ausdrucks A. Der Fall x = 2k kann durch die Bedingungen

(1₇ 2 . . . 2A) =|= 0;

(1, 2,... 21, g, 0) = 0

der Fall x = 2k — 1 durch die Bedingungen (1, 2, ...2k — 2) e|e 0;

(1, 2,...2k-2,Q,a) = 0

charakterisiert werden. Ein Ausdruck A mit m Variabein und x = m heisst bedingungslos. Ist x = 1, so ist A ein exaktes Differential, im Falle x — 2 ist die Gleichung A = 0 exakt.

Es giebt m-x-j-1 linear unabhängige Lösungensysteme %.. gmç der Gleichungen (43), also ebensoviele Gleichungen der Form

x₀f=0, X₁f=0,...Xm_,f=0-

m — x derselben, etwa die folgenden

XJ= 0, X₂f = 0,.. .    0

(44)

(45)

(46)

(47)

(1,2...21-1, 0)=f=0,

(q, 6 = 0, 2k -j- 1,. . . ni),

(0, 1, 2,...2A — 1) =0,

(q, 6 = 2k — 1, 2k, . . . ni)

ui

entsprechen den m — x Lösungensystemen der Gleichungen

(48)

= 0, J£aikyk = 0    (i    — 1, 2, . . . m).

Nach Grassmann müssen zum Bestehen    der    Identität (38) die    y als

Funktionen der x bei geradem x einer in dem System (46), nicht aber in (47) enthaltenen part. Differentialgleichung, bei ungeradem x einer Gleichung des Systems (47) genügen. Der Gebrauch der Hauptintegrale erlaubt auch hier die Verhältnisse der b; in (38) ihrer Form nach von    vornherein anzugeben (s. die    vor.    Nr.). Wiederholte Anwendung    dieses Verfahrens, das nur für x    — 2A — 1 — m    nicht

anwendbar ist, liefert für A eine Form <?A1? wo Ax einen bedingungslosen Ausdruck in 2 A — 1 Variabein bedeutet, also nach der vor. Nr. auf eine Form mit A Differentialelementen reduziert werden kann. Ist also x = 2 A oder 2 A — 1, so besitzt A eine reduzierte Form

(49)

M(dfx — tpxdfx — (pzdfz-----(px—i dfx—f),

worin die /), cpx unabhängig sind, und umgekehrt¹⁰) ; M ist als Funktion der cp, /' darstellbar oder nicht, je nachdem x ungerade oder gerade ist.

Versteht man unter y₁,y₂...ym—x die Integrale einer linearen homogenen partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung, die eine Linearkombination der Gleichungen (46), nicht aber der Gleichungen (47) ist, so erhält A bei ungeradem x nach Einführung neuer Variabler t, yv y₂ • • . ym-i die Form¹¹):

dp (t, y₁...ym-

} y% • • • Ihn — l) äy;.

Dieser Satz liefert in Verbindung mit Grassmann''s Verfahren das Fundamentaltheorem¹²): Je nachdem der Rang x der Matrix (A) gleich 2 A oder 2 A — 1 ist, kann der Pf aff' sehe Ausdruck A die eine oder die andere Normalform

(50)

(51)

n\d%x -f- rt₂d%₂ -f- • • • -j- stxdlx,

dix — Midi x — n₂dl₂ — • — rti-tdlx-i erhalten, wo die 7t, | beidemale x unabhängige Funktionen der x bedeuten¹³).

Drückt man durch Identifizierung des Ausdrucks A mit der einen oder andern dieser Normalformen die a,-, a!k mit Hilfe der 7t;, aus¹⁴ 15), so folgt die Umkehrung dieses Theorems, sowie der Satz: Bei geradem x

nx

• • • — lly), bei ungeradem x die Funktionen i-x...

ni

sind tv |₂ . . . & ~

7tx ...    i¹⁶) Integrale des Systems (46); in beiden Fällen sind

die x Funktionen %, | und ebenso die Funktionen M, f, tp der reduzierten Form (49) Integrale von (47); die beiden Gleichungensysteme

(46) und (47) sind also vollständig (Nr. 13).

Führt man x beliebige Lösungen yx ... yx des vollst. Systems (47) statt ebenso vieler x als neue Variabein in A ein, so entsteht ein bedingungsloser Ausdruck in den Variabein yx ... yx-, führt man x — 1 Integrale yx . . . yx—\ von (46) ein, so erhält A bei geradem x die Form qAx, bei ungeradem x die Form dtp -f- A1; wo Ax einen bedingungslosen Ausdruck in yx . . . yx—i bedeutet, und tp durch Quadratur gefunden wird¹⁷).

20. Integraläquivalente; die allgemeinste Normalform. Ist

x = 2/1 oder 2 A — 1, so wird die Pf aff' sehe Gleichung A = 0 durch A und nicht weniger Relationen zwischen den x Funktionen n, | der Normalform erfüllt¹⁸ 19 20); das allgemeinste Integraläquivalent dieser Art folgt durch Elimination der q; aus:

dcPk

= 7ti (s = 1, . . . g; i = 1, . . . A);

g ist eine bei. Zahl A; die cps sind arbiträr; bei ungeradem x ist 7tx ” — 1 zu setzen. Bei geradem x wird A = 0 möglicherweise auch durch die Relationen %x = 0, ■■ • 7tx = 0 erfüllt. Ausserdem können ev. auch noch singuläre Integraläquivalente existieren, vermöge deren entweder alle a; oder alle x-reihigen Determinanten der Matrix (A) verschwinden12S).

Aus einer speziellen Normalform (50) bez. (51) erhält man die allgemeinste¹²³)

(52)

%    + ^2 d^    Ttid%,x,

bezw. (53) d%x — itfd%f — 7tfd%f-----sri-i

durch eine homogene Berührungstransformation¹²⁴) der 21 Variabein 7t{, %i, bezw. durch eine Berührungstransformation der Form¹²⁴)

(54) 11 — {u -f- H, Tti — Tli :    = Bi

(i = 1, 2,. . . A - 1),

wo die Sl, ni} Bi Funktionen von • • • lu—i • • • ^i—i bedeuten. Ebenso folgt aus einer speziellen reduzierten Form (49) die allgemeinste

M (dfx — tpfdff — ... — ąfX-i dfx-1) durch eine gewöhnliche Berührungstransformation der 2/1— 1 Variabein fi,f\- • ■ fi —ityi • ■ •    Für £/ (ebenso für /j' im Falle eines

geraden x) kann dabei ein beliebiges Integral des Systems (46), bei ungeradem x für ff irgend eine Lösung von (47), also, wenn x = 2/1 — 1 — m, eine arbiträre Funktion der x genommen werden.

21. Transformationen eines PfafTschen Ausdrucks¹²⁵). Die Klasse x ist die einzige Invariante des Pfaff’sehen Ausdrucks A bei beliebiger Transformation der x, m. a. W.: nennt man einen Ausdruck A' in den Variabein xf . . . x'm mit A äquivalent, wenn A durch eine Variabeintransformation in A' verwandelt werden kann, so bestehen die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Äquivalenz von A und A' darin, dass A' ebenfalls die Klasse x besitzt. Ist unter dieser Annahme der Ausdruck (52) bez. (53) (worin die tc, £' Funktionen der xf bedeuten) die allgemeinste Normalform von A', ferner (50) bezw. (51) eine spezielle von A, so erhält man die allgemeinste Transformation von A' in A, wenn man die x Relationen £' —%,% —7t und m — x beliebige Grleichungen in x, x nach den xf auflöst. Die einzige Invariante der Pf aff'' sehen Gleichung A = 0 ist der Rang 21 hinreichenden Bedingungen dafür, dass r gegebene Relationen in den x den Ausdruck A annullieren, bez. auf einen Ausdruck mit m — r Variabein und vorgeschriebener Klasse reduzieren, und über die damit zusammenhängende Aufgabe, r gegebene Relationen durch die kleinstmögliche Zahl von Gleichungen zu einem Integraläquivalent von A = 0 zu ergänzen, s. mein Buch, Kap. IX, § 4 und Cartan a. a. 0. (vgl. auch Nr. 26). Auch das letztere Problem gestattet eventuell singuläre Lösungen (Cartan p. 285).

123)    Clebsch, J. f Math. 60, p. 196, 220; dass man nicht zwei Normalformen verschiedener Klassen identisch setzen kann, zeigt Lie (Arch. 2, p. 343 ff.) unabhängig vom Pundamentaltheorem.

124)    ite, „Tr.“ 2, p. 135; ebenda p. 125 ff.

125)    Frobenius, a. a. 0. § 25—27.

der Matrix (B) (Nr. 19); d. h. ist für A und A' diese Zahl dieselbe und 'S Ff dfi eine reduzierte Form von A mit X Termen (Nr. 19), SFldfl die allgemeinste derartige Form von A', so ist A' vermöge jeder Variabeintransformation, die die Gleichungen fl — f) ; Ff: . . : Fx = F₁: . . :Fx umfasst. Bedeutet A' das in den x geschriebene A, so erhält man aus dem vorigen die allgemeinste Transformation des Pfaff'sehen Ausdrucks A, bezw. der Pfaff’sehen Gleichung A = 0 in sich.

pA

22. Reduktionsmethoden von Clebsch und Lie. Ordnung und Zahl der zur Herstellung der Normalform von A nötigen Operationen lassen sich bedeutend verringern. L. Natani²¹) und A. Clebsch¹¹⁵) wählen, einer Jacobi'sehen Idee²²) folgend, für das in dem Ausdruck (50) bezw. (51) ein beliebiges Integral des vollst. Systems (46), und schaffen mittelst der Relation = cx eines der x aus A weg, wodurch (;*•, sr*, A bez. in I,-¹) %'i \ A⁽¹⁾ übergehen. Dann ist A(i) ein Ausdruck x— 2ter Klasse mit m — 1 Variabein²³) und besitzt die Normalform:

7CjX)di,il) bezw. di⁽P

—'S

zu einem Ausdruck A⁽²⁾ x — 4ter Klasse in

ist ein beliebiges Integral des zu A⁽¹) gehörigen, dem System (46) analogen m — x -j- 2-gliedrigen vollst. Systems in m — 1 Independenten, und geht in |₂ über, wenn man die Konstante cx durch ersetzt. Die Wegschaffung eines der x aus A(l) mittels der Gleichung £i¹⁾= e₂ führt ebenso

— 2 Variabein etc. Man erhält bei geradem x durch X = —

solcher Reduktionen die    worauf . . . itx sich aus der Ver

gleichung von A mit (50) ergeben. Bei ungeradem x liefern X — 1 Reduktionen die Funktionen |₂, . . .    — i und einen Ausdruck A(A~ ^

der Klasse 1, d. h. ein exaktes Differential, worauf ^ durch Quadratur, die Tti wie vorhin folgen.

Clebsch ermittelt je ein Integral |i,    £j²⁾ • • • der successiven

vollst. Systeme mit Hilfe der Jacobi'sehen Methode (Nr. 15). Nach der Methode der Nr. 17 erfordert diese Bestimmung für x = 2X je eine Operation x — 1, x — 3, ... 3, 1, für x = 2X — 1 je eine Ope-

(55) Xy.j-s    Xy-\~s -f⁻ (Xy xff y%-\-

(s — 1, 2, . . . m — x).

Lie²⁴°) übt diese Trf., statt auf das vollst. System (46), direkt auf A aus, wobei die yy.+s als Konstante gelten, verwandelt so A in einen bedingungslosen Ausdruck A' mit den x Variabein x1} x₂, . . . xx, aus dessen Normalform die von A durch blosse Eliminationen (bei ungeradem x ausserdem noch mittels einer Quadratur) erhalten wird, und wendet das analoge Verfahren- immer von neuem auf die Vf aff'sehen Ausdrücke an, die aus A' durch die successiven Reduktionen der Clebsch'sehen Methode hervorgehen.

23. Methode von Frolbenius²⁵ ).

Der Differentialausdruck 'Sü;häx:dxi- heisst die bilineare Covariante des Vfaff'sehen Ausdrucks A; unterwirft man nämlich die Xi irgend einer Transformation X; = (pi (xt . . . xm), und dementsprechend die beiden Systeme von Differentialen dxt und dxi den Transformationen:

(i = 1, 2,. . . m),

dxf — yi:    dxjc ; Ô xf —    d xk

so verwandeln sich die drei Differentialausdrücke

(56)

ration x — l,x — 3, ... 4, 2 und eine Quadratur²⁶). Ist x\ . . . x°m eine Stelle, an der alle Koeffizienten a,i von A regulär sind, und bei geradem x die Vf aff' sehen Aggregate (44), bei ungeradem x die Aggregate (45) nicht verschwinden, so lässt sich das vollst. System (46)

nach den Ableitungen

df_ df

dx* Vxx+1 dxm

der aufgelösten Form sind an der Stelle x° . . . Xm regulär; die Trf. von Nr. 17 lautet dann:

df

auflösen, und die Koeffizienten

J?aidxt- 2atdXi; ^fj£aik dxiöxk

gleichzeitig in die folgenden

fSaf dxf ; ^af dxf ; 2S fSa ;.k dxfdxf    ( aik —

daf

Mi

da'

dxf

21*

K, %

Ist ferner A in der Form

(57)

• ^rn) dfi . . . Xm )

darstellbar, so verschwinden die drei Ausdrücke (56) identisch vermöge der Relationen

JE fik dxk = 0; Efik dxk=0    (i

= 1 • • • r- fik

dxk

und umgekehrt. Die Aufgabe, alle bei beliebiger Transformation der x invarianten Eigenschaften von A zu finden, bezw. den Ausdruck A auf eine Form (57) mit der kleinstmöglichen Zahl r von Differentialtermen zu bringen, führt also zunächst zu dem rein algebraischen Problem (I B 2, Nr. 3), die Invarianten des Formensystems

jEi^i ^7 J JE ^ i 5 jEi 'J^J Q'i k Vk

(58)

(ßik == - aki),

bei beliebigen kongruenten linearen Transformationen der beiden Variabeingruppen u und v anzugeben131 a), bezw. die 3 Formen (58) durch die kleinstmögliche Zahl r von Relationenpaaren

EfikUk = 0; JEfikVk — 0

(* = h ²; • • • r)

zum Verschwinden zu bringen, wobei die ai} aik, fik Konstante bedeuten. Der Rang % der Matrix (A) (Nr. 19) erweist sich als die einzige Invariante des Formensystems (58). Bezeichnet man ferner mit 2 A den Rang der Matrix (B) (Nr. 19), und mit (B^) die Matrix

0 a\2 ... Olm ax fix ■ ■ ■ f/ul i

öd

^ H* g

to

a o

s s

° ° f⁵

o o

¹

J. f. Math. 65, p. 260.

²

Ygl. auch Méray, Ann. éc. norm. 1890, p. 217; über den Zusammenhang der Hauptintegrale mit den endlichen Gleichungen der p-gliedrigen Gruppe Y,f. .. Y f (HAß) vgl. F. Schur, J. f. Math. 108, p. 313 (1891).

1    fA,

³

   Diese Ausdrücke (in England „Pfaffians“ genannt) finden sich schon bei Pfaff ; das Symbol (aL. . cc2v) rührt von Jacobi her, a. a. 0.; vgl. A. Cayley, J. f. Math. 38, p. 93 (1849) — Papers 1, p. 410; J. f. Math. 57, p. 273 (I860) — Papers 4, p. 359; Quart. J. 26, p. 195 (1893) = Pap. 13, p. 405.

⁴

   Jacobi, J. f. Math. 17, p. 156 = Werke 4, p. 120 ff.; J. Binet, Par. G. R. 15, p. 74 (1842).

⁵

   Gauss a. a. O. p. 1028 (ges. Werke 3, p. 233).

⁶

   Ausdehnungslehre 1862 = Werke l², p. 345—379; vgl. Engel's Note, ebenda p. 482 ff.; s. auch Gauss a. a. O.; Darboux, Darb. Bull. 1882, 1; p. 14,49; „Forsyth A“, Kap. 4.

⁷

   d. i. die Ordnungen der höchsten nicht identisch verschwindenden Minoren; I A 2, Nr. 24.

⁸

   Frobenius, J. f. Math. 82, p. 230 (1877); diese Sätze finden sich implicite schon bei Grassmann.

⁹

   a, a. Q. p. 291.

¹⁰

   Grassmann, Werke l², p. 355tf., p. 483; vgl. Jacobi, J. f. Math. 29, p. 242 = Werke 4, p. 426 ff. ; Natani, J. f. Math. 58, p. 314 (1860).

¹¹

   Für m — K — 21 — 1 vgl. Jacobi, a. a. O. = Werke 4, p. 424; Darboux (Fussn. 109); diese Reduktion von A habe ich in meinem Buch (Kap. IV, § 3) als „Jacobi’sche Reduktion“ bezeichnet.

¹²

   Es wurde von Clebsch (J. f. Math. 60, p. 193, 1862) nur postuliert, i. J. 1876 gleichzeitig von Lie (Norw. Arch. 2, p. 338) mittels zweier aus Clebsch's Theorie entnommener Hilfssätze, und direkt von Frobenius (Fussn. 111; vgl. Nr. 28), später von Darboux (Fussn. 109) und von Engel (Fussn. 155) bewiesen.

¹³

   Eine funktionentheoretisch schärfere Formulierung siehe in meinem Buch, Kap. 6, § 3.

¹⁴

   Clebsch, a. a. 0. p. 205, 222.

¹⁵

   Jacobi, J. f. Math. 17, p. 155; 29 p. 252 = Werke 4, p. 120, 437.

¹⁶

   Für m —x — 3 vgl. Jacobi, J. f. Math. 29, p. 241 = Werke 4, p. 425; „Lie-Scheffers Btr.“ p. 198 ff.

¹⁷

   Frobenius, a. a. 0. p. 314.

¹⁸

   Lie, „Tr.“ II, Kap. 4.

¹⁹

   Engel in Bd. 1* von Grassmann's Werken p. 472f. ; vgl. mein Buch,

²⁰

Kap. 7, § 2; É. Cartan, Ann. éc. norm. 1899, p. 239. über die notwendigen und

²¹

   J. f. Math. 58, p. 318.

²²

   Ebenda 27, p. 253 = Werke 4, p. 438; vgl. Cayley, J. f. Math. 57, p. 273 — Papers 4, p. 359.

²³

   Einen direkten Beweis dieses Satzes siehe in meinem Buche. Kap. 6. § 1; vgl. auch Engel (Fussn. 155).

²⁴

   Lie, Christ. Forh. 1873, p. 320; Norw. Arch. 2, p. 368 ff.

²⁵

   J. f. Math. 82, p. 230, vgl. auch G. Morera, Tor. Mem. 18, p. 521 (1882); über die Einführung zweier verschiedener Systeme von Differentialen vgl. Binet (Fussn. 107); Natani, J. f. Math. 58, p. 307; eine Darstellung der Frobenius’schen Theorie mittels symbolischer Methoden giebt É. Cartan (Fussn. 122).

²⁶

   Wählt man bei ungeraden k für eine Funktion, die das System (47), nicht aber (46) erfüllt, also im Falle u = 2X — 1 — m eine arb. Funktion, so hat die Klasse r.— 1, und obige Methode führt durch je eine Operation

— 2 .. 3, 1 auf Grassmann's Form mit ~ (k -f-1) Termen; vgl. Clebsch, J. f. Math. 60, p. 224 ff.

fn U*    o ... o

so ist r = A, und die Konstanten fik müssen so bestimmt werden, dass auch (B*) den Rang 2 A besitzt. Hat man die fhi (h < g) so bestimmt, dass die Matrices (Bx), (B₃) . . . (B,₍_i) alle den Rang 2 A besitzen, so erhält man durch Nullsetzen aller 2 A -j- 1-reihigen Determinanten von (B^) für die Unbekannten f^i fn2 • • • f/um ein System von m — 2A g linearen homogenen Gleichungen; diese verwandeln sich, wenn die ai} aik, fik ihre frühere Bedeutung erhalten, in ein

m — 2k -f- g - gliedriges vollständiges¹) System mit der Unbekannten fu und den Independenten xx . . . xm, das ausser fx . . . ffl—i noch 2 k — 2g -f- 1 Integrale besitzt, solange g k. Es folgt so aufs neue Grassmann's Theorem, dass A auf k und nicht weniger Differentialelemente reduziert werden kann. Das vollständige System für fx ergiebt sich auch durch Nullsetzen aller k -J- 1-reihigen Determinanten des Schemas:

fxi fx2 • • • firn

umgekehrt, drückt man mit J. Zantschewsky²) aus, dass solcherweise für fi ein m — A-gliedriges vollständiges System erhalten wird, so kommt man auf das obige Verfahren zur Bestimmung von fx . . . fx—i zurück; noch einfacher ergiebt sich dies Verfahren, wenn man nach Nr. 14 die Bedingungen dafür aufschreibt, dass das System A == 0, dfx = 0,. .. dfi—i — 0 unbeschränkt integrabel ist³ 4).

Ist P das Pf aff' sehe Aggregat (1, 2,... 2k) (Nr. 19) und definiert man das Symbol Pik durch die Gleichungen:

(—iy+*+ipik==(\₎2₎...i-l,i+l...lc-l,k + 1...21) (i<k)

0    (i, k = 1, 2,... 21),

Pile == - Pik'-, Pi

setzt man ferner:

2X    2 X

i    i

2X

(59)

so kann man das vollständige System, dem /)t zu genügen hat, im Falle k = 2k so schreiben:

Pk df

tti    r, —L

P dxk’

(60)

( 0 = (f) = No/*; f= 0,.. . Xm^f = 0 (vgl. Nr. 19), (fi 0 = 0, (ft f) = 0, ...fa-tf) = 0.²)

(61)

Hat man fx...f\ bestimmt, so erhält man für A eine Normalform Fx dfx -f- F2 df -f- • • • -j- Fx dfx,

worin die P, durch Vergleichung dieses Ausdrucks mit A bestimmt werden. Das vollständige System für fx ist mit (46) identisch; man

erhält zur successiven Bestimmung der f- die Methode der Nr. 22, wenn man [i — 1 der xf mittels:

fi — ci ' ' ' fu—1    cft—i

aus dem vollständigen System (60) wegschafft⁵ 6).

so:

Im Falle x == 2 X — 1 lautet das vollständige System, dem fu zu genügen hat

0, X₂f = 0, • • • Xm-xf= 0,

Yfif\ = 0, [f,f] = 0,...[/*„_*/] = 0,¹³¹)

wenn gesetzt wird:

(62)

ton

V k

2/ Zk- -

1 1

dcp df

Wk dĘ

und Q das Aggregat (0,1 ,...2X— 1) bedeutet, während die Qik ähnlich wie die Pik definiert sind. Man erhält durch je eine Operation x,x — 2, ... 3, 1 (vgl. Fussn. 128) eine reduzierte Form (61).

Um auch im Falle x = 2 A — 1 eine Normalform zu erhalten⁷), kann man entweder f\ so bestimmen, dass der Ausdruck A' = A — df\ die Klasse 2X— 2 besitzt⁸), und A' nach dem obigen auf eine Normalform bringen; oder man ermittelt X— 1 Funktionen f\.. .fx—i derart, dass die Matrix (Ch_i), die aus (B^_i) durch Streichung der m -j- ltea Zeile und Spalte entsteht, den Rang 2/1 — 2 besitzt; /j ist dann ein beliebiges Integral von (46), und das vollständige System, dem zu genügen hat, entsteht aus (46) durch Hinzufügung der Relationen :

y ypJ±dAd±

P dxk dxl

worin P' das Aggregat (1, 2 . . . 2 A — 2) bedeutet und die Pf ähnlich wie die Pik definiert sind. Sind /j . . . fx—i bestimmt, so findet man für A eine Normalform

dfx -f- F₁ dft    Fk—i dfx—i,

worin f\ durch eine Quadratur, die F; sodann durch Vergleichung

24. Die Th. d. Berührungstransf. als Spezialfall d. Th. d. PfafF’schen Probl. 333

dieses Ausdrucks mit A ermittelt werden. Die Methode kann auf die der Nr. 22 zurückgeführt werden.

24. Die Theorie der Berührungstransformationen als Spezialfall der Theorie des Pfaff’schen Problems. Führt man die jc Funktionen n, £ der Normalform (50) bez. (51) statt ebensoyieler x als neue Independente ein⁹ 10), so erhält man für (/*), {(ff), [<jp/] bezw. die Ausdrücke:

dtp üf _ dl, 0«,’

'S? ~ 1L.    df

.a he

Vi (M - 1A__LL (d<p _i_ -

2i ■ Os. + **»D s-ah. + ^hJ

Für den P/h/f’sehen Ausdruck    -f- • • • -(- jpOT mit den

2m Variabein xf,pi haben also die Symbole (59) folgende Bedeutung:

df ui

(63)

(f) =

i

K.

ßP,

(spf )    8ps dxs

Cv>

Für den Pf aff' sehen Ausdruck dz —px dxt — • • • — pm dxm hat man :

(64)

IL (I? i « AX

dps \dxs^Ps8z)

Aus der vorigen Nr. erhält man jetzt leicht folgende, von Lie herrührende Sätze¹¹):

Damit 2 m unabhängige Funktionen X, P, der Variabein x, p die

Identität

(65) Px dXx -j- P₂ dX₂ -j-----(- Prn dXm s- p₁ dxx -(- 2h H-----bPmdxm

erfüllen, also die rechten Seiten einer homogenen Berührungstransf or-mation

x/=Xr, p/=Pi bilden, ist notwendig und hinreichend, dass sie den Identitäten

(66) (XiXf) = (PiPf) =.(PiXf) = 0; (PÆ) = 1 (i,h=l-m-i=^k)

genügen, und dass die Xi in den p homogen militer Ordnung, die Pi homogen erster Ordnung seien. Ist eine beliebige Funktion der

x, p und in den pt homogen militer Ordnung, so kann man m — 1 weitere Funktionen X₂ . . . Xm so bestimmen, dass eine Identität der Form (65) stattfindet, und 1 • • • m — 1 die Funktion .X^-pi ein Integral des g -f- 1-gliedrigen vollständigen Systems

zwar

ist für jeden Index g der Reihe

(67)

=    (*1,0 = 0 • • • (X„f) = 0

mit den bekannten Lösungen Xt ... Xfl, wird also durch eine Operation 2 m — 2 g. — 1 gefunden.

Damit 2m -f- 2 Funktionen q, Z, Xiy P?: der Variabein z, xif pL die Identität:

(68) dZ —

m    /    m    \

x! Pi dXf = q I dz — y Pi dXj j 1    \    1

(9 =\= 0)

erfüllen, damit also die Gleichungen

z' = Z • xl = Xi, p[ = Pi (i = 1,2, • • ■ m)

eine Berührungstransformation darstellen, ist notwendig und hinreichend, dass die Identitäten:

IXiXt] - [XiZ] = [PiXk] EEE [PiPa] = 0 (i,Tc=l,2-m-,i=j=k), [PiXjEEEç; [PiZ] = QPi,

(70) [«, X] + p = [«, P₍] + ₉ dZ EEE [(, Ż] + P ~z -    = 0 «)

stattfinden. Ist Xt beliebig gegeben, so kann man die Funktionen X₂ • • • XmZ so bestimmen, dass eine Identität (68) besteht, und zwar ist    eine Lösung des vollständigen Systems

[X₁,f] = 0...[X„f] = 0,

von dem die Lösungen X₁ . . . Xu bereits bekannt sind; hat man so die Xi durch je eine Operation 2m — 1, 2m — 3, ■ • • 3 gefunden, so erhält man Z durch eine Operation 1, und die Funktionen P,: und q durch Auflösung linearer Gleichungen.

Damit 2m unabhängige Funktionen X; P; der 2 m Variabein xx . . . xm, Px ... pm eine Identität der Form

(69)

(71)

(72)

dSlfa . . . XmPx . . . pm

)    Pi dXi = ^pi dxi

erfüllen, ist notwendig und hinreichend, dass sie die Bedingungen (66) erfüllen; ist X± beliebig vorgegeben, so kann man X₂ . . . Xm so

143) Diese drei letzten Identitäten folgen mittels der Mayer'sehen Identität (nächste Nr. 25) aus (69).

25. Die Jacobi’sche u. d. MayeFscbe Identität. 26. Verallgemeinerung etc. 335

bestimmen, dass eine Identität (72) stattfindet und zwar ist eine Lösung des Jacobi’sehen Systems

(73)

f) — o ■ (xu /*)'f= o,

welches die Integrale XL ... Xfl besitzt, wird also durch eine Operation 2 m— 2 g gefunden. Si erhält man dann durch eine Quadratur, die Pi aus (72) durch Auflösung linearer Gleichungen.

25. Die Jacobi’sche und die Mayer’sche Identität. Die Klammersymbole (63) genügen den Identitäten:

(74)

(75)

(ftsptyj) + (<p(tf) +

((f) <p) + (f(<p)) + (<pf) = ((f<p))•

Erstere heisst die Jacobi'sehe¹²) Identität; letztere ist ein Spezialfall der Mayer'sehen¹³) Identität:

[f\9*i\ +1+ [>[/>]]=+§f im+ff im-

Aus (74) folgt das Poisson'sehe¹⁴) Theorem, wonach aus zwei bekannten Lösungen ip und % der linearen homogenen partiellen Differentialgleichung (tpf) — 0 eine dritte in der Form (tpx) erhalten wird¹⁵). Die Identitäten (74), (75) gelten auch, wenn die Klammersymbole die Bedeutung (59) haben; sie dienen dann im Falle x — 2/L — m nach Clebsch¹⁶) dazu, aus bekannten Integralen der partiellen Differentialgleichung (/*) = 0 neue abzuleiten, auch Jacobi's ¹⁷) Sätze über den Multiplikator dieser Gleichung zu beweisen.

26. Verallgemeinerung der Frobenius’schen Theorie¹⁸). Sind die Funktionen fx . . . fht beliebig gegeben und eliminiert man aus A mittels der Relationen

fi — ci > - f2    c2 ' ’ ’ fft —

g von den Variabein x, so verwandelt sich A in einen Pfaff'sehen Ausdruck mit m — g Variahein und der Klasse u -f- ⁶ — 2g, wenn

2 6, 2 6 bez. die Rangzahlen der Matrices (B^) (C,,)¹⁹) bezeichnen, und es ist <? die kleinste Zahl derart, dass À in der Form Fx dfx -f- • • • -f- Fft dffi -f- FftĄ. i dfft+x    Fa dfa

dargestellt werden kann; 6 ist gleich 6 oder 6 — 1; im letztem Falle kann man erreichen, dass Fa 1 wird. Mittels eines Determinantensatzes von J. J. Sylvester²⁰) lassen sich die Schemata (B„) (C„) ersetzen durch Matrices, deren Elemente gewisse aus fx... fu gebildete Klammer-symbole sind. So erhält man z. B. den Satz:

Der Pf aff' sehe Ausdruck dz —px dxx — ■ • • —pmdxm reduziert sich vermöge der Relationen

(i =1,2,... p)

(76)

fi(z, XLX₂ . . . Xm px . . .Pm) = 0 auf einen Ausdruck in 2m -\~ 1 — a Yariabeln und mit der Klasse 2 (p -f- m — p) -j- 1 oder 2 (p -j- m — p) -f- 2,

wenn die Matrix

(7, h 1,2, • • • p)

vermöge (76) den Rang 2q besitzt, .und das Symbol [ ] die Bedeutung (64) hat. Damit also die Gleichungen (76) eine Element-iHf₂TO+i—fi definieren (Mr. 9), ist notwendig und hinreichend, dass 2p — 2m — 2 der Rang der Matrix (77) sei²¹); damit p — m-j- 1 Relationen (76) eine Element -Mm darstellen, ist notwendig und hinreichend, dass alle Ausdrücke [/",/*] vermöge (76) verschwinden, m. a. W.: enthalten die m-j-1 Definitionsgleichungen einer Element-Mm die Relation cp (z, xx...pm) = 0, so gestatten sie die infinitesimale Transformation \cpf\²²)

27. Beziehungen zwischen Pfaff’schen Ausdrücken und infinitesimalen Transformationen²³). Die allgemeinste infinitesimale

die den Bedingungen

(77)

ii im ii

df

Transformation Xf ~

0    : A- XA 0 (vgl. Nr. 14)

dx.

genügt, hat die Form

(vgl. Nr. 19),

(78)    Qt^lf “f- P₂X₂ f    Qm — y_Xm — Xf

27. PfafiPsche Ausdrücke u. inf. Trfen. 28. Meth. von Lagrange u. Pfaff. 337

wo die Qi arbiträre Funktionen bedeuten; die allgemeinste infinitesimale Transformation, die bei geradem x den Bedingungen Oee^; IAeePA²⁴) und bei ungeradem x der Bedingung

ZA EE dA²⁵)

genügt, hat die Gestalt :

(79)

Qo^-of “1“    f • ■ • “f- Qm — xXm — xf‘i

man erhält so den Satz, dass die beiden Differentialsysteme (46) und

(II A 6), die

(47) vollständig und mit A invariant verknüpft sind, und hieraus eine einfache invariantentheoretische Begründung der Theorie des Pfaff’sehen Problems²⁶). So ergiebt sich z. B. die Pfaff-Grass-manrisehe Reduktionsmethode (Nr. 18, 19) unmittelbar aus der That sache ²⁷), dass die Pfaff'sehe Gleichung À — 0 in den Fällen x = 2 X bezw. 21—1 durch alle Transformationen der eingliedrigen Gruppe von einer infinitesimalen Transformation der Form (79) bezw. (78) erzeugt ist, in sich übergeführt wird (Nr. 21).

IY. Die nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung mit einer Unbekannten.

28. Methoden von Lagrange und Pfaff. Nachdem L. Euler²⁸) verschiedene spezielle Kategorien von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen der Form

dz\ 4 dy)

dz

f(x, y, e, p, q) = 0, [p

integriert hatte, gelang es zuerst J. L. Lagrange²⁹), die allgemeine Gleichung (80) auf Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen zurück-

(80)

dx’

22

zuführen. Er sucht zu diesem Zweck eine zweite Relation <p(xyzpq)=c derart, dass nach Elimination von p und q die totale Differentialgleichung dz — p dx -j- qdy exakt wird (Nr. 14); die Integration der letzteren ergiebt sodann ein vollständiges Integral V (xyzc) = c der Gleichung (80). Die Funktion cp ist ein von f unabhängiges Integral des simultanen Systems:

(81)

dx : dy : dz : — dp : — dq

dp dq ^ dp ' * dq    ' dz dy ' * dz

Die partielle Differentialgleichung 1. Ordnung mit windependenten:

F(Z, Xx, . . . Xm, p1} . . .pm) = 0 Ui

wurde zuerst von Ff aff¹⁰⁴) auf gewöhnliche Differentialgleichungen zurückgeführt. Um die allgemeinste Integralfunktion z von finden, hat man diese Gleichung auf die Form

0 = pm -j- 1p (#, X-y, X₂, . . . Xm, Pu p g; • • • Pm— l) zu bringen, sodann die totale Differentialgleichung

(84) 0 = dz — 2h dxx —p₂ dx₂-----pm—i dxm_ t -f- ip dxm (= V)

auf eine Form mit m Dififerentialelementen zu reduzieren (Nr. 18) und in allgemeinster Weise durch m Relationen zu erfüllen (Nr. 20), aus denen z, px, . . . pm—i als Funktionen der x berechnet werden. Das erste Ff aff' sehe Hülfssystem (Nr. 18) schreibt sich hier so:

dx. d^p dpi

dxm ~ dpf dF~m ~ ~ dĘ

(82)

(83)

(85)

dip

V,! »

dz

dxi,

(82)

zu

dip

2jPh

i

(i = 1, • • • m — 1);

seine Integration ist äquivalent mit derjenigen des Systems:

dxk

dt dpjf dt    dxk    Pk dz ’

(Je = 1 . .. w);

dies System besitzt nämlich das Integral F, und die Elimination von pm mittels (83) und von dt führt auf die Gleichungen (85).

Jacobi¹⁶²) gelangt zu dem System (86) u. a. durch die Bemerkung, dass jedes Integral z von (82) und seine Ableitungen p-, dem Dififeren-tialsystem

(86)

dF dpk

dF

dF

711

2»

i

dF

dPh

dF dz    dF    dF dp₇-

dph dxh    dph ⁷ 2j!phdFh ~-

dF

dF

162) J. f. Math. 2, p. 317 (1827) = Werke 4, p. 1.

29. Methode von Cauchy.

339

genügen, also (Nr. 11, Fussn. 63) durch (82) und m andere Relationen³⁰ 31) zwischen den Integralen der linearen homogenen Differentialgleichung:

definiert werden.

29. Methode von Cauchy. A. CauchyXĘA') hat gezeigt, dass es zur Integration von (82) ausreicht, das simultane System (85) oder (86) zu integrieren. Ist durch die Gleichungen

(87)

s = f(xlx,...x„), p, = f,(xl... xm) ff, = Mj

ein Integral von (82) definiert, und führt man statt der x neue Variable³²) t, u₂, us, . . . um so ein, dass die x bei konstanten u den ersten m der Gleichungen (86) genügen, so erfüllen die durch (87) definierten Funktionen z, p₍ der Variabein t von selbst die übrigen Gleichungen (86); sind also x⁰., z°, p? diejenigen Funktionen der Parameter u, auf die sich Xi, f, bezw. für t = 0 reduzieren, ferner:

(88)

xi = !<(*> <••• z°,PÏ ■ ■ -p£), z = t(t,xl-- •),

Pi =    (*, *$•••)

diejenigen Integralfunktionen des Systems (86), die für t — 0 bez. in in x?, z°, p? übergehen, so ergiebt die Elimination der t, u aus (88) wieder die Relationen (87).

Für beliebige Inkremente der t, u besteht eine Identität der Form³³) (89)    I* ee g(dz° —J^pl dxf) + 0 öF(z°x°i • • • pl).

(90)

(91)

Erfüllen demnach die x°z°p° als Funktionen der u die Gleichungen F(z°x»...x°, pl..p») = 0, dz° — p°₁dx°₁----— p^dx^ = 0,

22*

so genügen die durch (88) definierten Funktionen der m Variabein t, Ui identisch der Bedingung (82) und:

(92)

dz — pt dxx-----pm dxm = 0.

Führt also die Elimination der t, u aus (88) auf m -j- 1 Gleichungen der Form (87), so sind die /} die Ableitungen von f, und f ist ein Integral von (82).

Die Integration von (82) ist so darauf zurückgeführt, die Grössen x{). z° p°. als Funktionen von m — 1 Parametern u derart zu bestimmen, dass die Relationen (90), (91) erfüllt sind, m. a. W. die Pf aff' sehe Gleichung (91) in allgemeinster Weise durch die Gleichung (90) und m --J— 1 weitere Relationen zwischen den xQ.z°pQ. zu befriedigen, was ohne Integration möglich ist (Nr. 9). Solche m -f- 1 Relationen sind z. B. die folgenden:

dep

(i—l-m—1);

die Elimination von t, xQ. z°p°. aus (88), (90), (93) giebt dasjenige Integral z, das vermöge xm — xfn in cp (xl.. .xm_f) übergeht (Nr. 1).

Dies Integral erhält man auch, wenn man von dem simultanen System (85) die hinsichtlich x = xf genommenen Hauptintegrale

(94)    TÇk(z,x₁...xm p₁...pm^f), i(z,xx...); )?k{z,--) (Jc=l...m—1) bestimmt, und die x°.z°pP aus (90), (93) und den Gleichungen

(95)    h = ä = *°5 Pk=P°k (Ä = 1, 2,-• -1)

(93) x* = const.; z° = cp (x\ • • •    p°. =

eliminiert.

30. Jacobi’s erste Methode³⁴) ist ein Spezialfall der Cauchy-schen³⁵) und beruht darauf, dass der Pf aff' sehe Ausdruck V auf der rechten Seite von (84) schon durch die erste Pf aff' sehe Reduktion in der Normalform

(96)

V EEE

⁹ {di~r>2 ^hd^

erhalten wird, wenn man die Hauptintegrale (94) des Pf aff' sehen Hülfssystems (85) gebraucht (Nr. 18, Fussn. 107). Dabei sind die drei Fälle zu unterscheiden: a) Die Funktion ip ist von z nicht unabhängig;

30. Jacobi’s erste Methode.

341

ß) il> ist

von z frei³⁶) und in den p₍ nicht homogen erster Ordnung; y) ip ist von z frei und in den pt homogen erster Ordnung.

Im Falle ß) ist in (96) der Faktor p —1, die g, p sind die Hauptintegrale hinsichtlich xm — des „kanonischen“ ³⁷°) Systems

(Je —    2, • • • m — 1)

(97) dxk = dxm- dpk = — ^ dxm

und j hat die Form z — U,³⁸) wo U aus dem Integral³⁹)

xm

(98)

dip

Ä-k

0

dtp

¹ dPm-1

hervorgeht, wenn man vor der Integration die xk und pk mittels der Gleichungen

(Je = 1 • • • m —.1)

lk = ak- p* = bk

durch xm und die arbiträren Konstanten ai} bi ausdrückt? nachher die bi durch die p* ersetzt. Im Falle y) ist 1 = 2, die p* und g* sind in den p homogen erster bez. nullter Ordnung und der Pfaff-sche Ausdruck

Vt

Px dxk —(- • • • -f- Pm—i dxm—i    dxm

besitzt die Normalform pt d^ -J- • • • -f- pTO—i^£m—i- Diese Sätze stimmen mit der Thatsache⁴⁰) überein, dass der Ausdruck V im

Falle a) die Klasse 2 m, in den Fällen ß), y) die Klasse 2 m — 1 besitzt, während die Klasse von Vx im Falle ß) gleich 2m —1, im Falle y) gleich 2 m — 2 ist (Nr. 19).

• öS

Die m Relationen £* = ak, % — am liefern durch Elimination von px . .pm — i i. a. ein vollständiges Integral (Nr. 7)

(9 )    0 = 0(xx x₂ .. . xm, a, a.₂ . . . am)I

(100)

der gegebenen Gleichung (83), das im Falle ß) die Form z = W(xxx₂ . .. xm, ax ... am-1) + am

hat. Doch kann diese Elimination auch mehrere⁴¹) Relationen in 8, xx . . . xm ergeben, z. B. stets im Falle y). Da aber wegen (96):

V = Q \d Qj — ^ph £a) + JElh dpk\, so erhält man stets ein vollständiges Integral der Form (99), wenn man aus der Grleichung

S Pl £l ■ ■ '    pm — 1 £m — 1 — Um.

(101)

geschrieben werden.

Damit die Gleichung (99) ein vollständiges Integral von darstellt, ist notwendig und hinreichend, dass sich die Gleichungen

die pi, was stets möglich, mittelst der Gleichungen pk = ak eliminiert⁴²). Im Falle y) kann jedes vollständige Integral in der Form 8 — am—i • V(xx x₂ . . . xm, ax ci₂ . .. 0/m—2) ~f" dm

(83)

(102)

8=0,

Pi =

dĘ>'

• ■ pm-1 =

dæm

nach ax . . . am auflösen lassen und durch Substitution der erhaltenen ^ ^ die Relation (83) entsteht. Durch diese

Ausdrücke in pm —

Substitution verwandelt sich dann der Ausdruck

(103)

dai+da* —f-dam

in eine Normalform des Pf aff’ sehen Ausdrucks V, woraus nach einer Bemerkung der Nr. 19 (Fussn. 119) folgt, dass die Relationen:

(104) 8=0, Pi —j- + h

Vam

^ =0 (i — 1, • • • m — 1)

nach den arbiträren Konstanten a, b aufgelöst, die allgemeinen Integralgleichungen des simultanen Systems (85) liefern; insbesondere erhält man im Falle ß) aus einem vollständigen Integral (100) die allgemeinen Integralgleichungen des kanonischen Systems (97) in der Form¹⁷⁶):

dW

dx.

CD 'CO

(i= 1, • • • m — 1).

31. Die Hamilton-Jaeobi’sche Theorie ¹⁷⁶). Der Fall der dynamischen Differentialgleichungen ist in den Resultaten der vor. Nr. als Spezialfall enthalten und bildete für Jacobi’s Untersuchungen den Ausgangspunkt.

Es seien q₁ . . . qm Funktionen der Variabein t, und qi . . : qm ihre Ableitungen; damit dann die Variation des Integrals

t

S=fr(t,q₁ ..

■ qm, qi ■ • ■ qm) dt

unter der Voraussetzung verschwinde, dass die Variationen von t, qi} q[ an den Integrationsgrenzen Null seien, ist notwendig und hinreichend, dass die q,. dem System simultaner Differentialgleichungen 2. Ordnung:

= 0 (s == 1,2, • • • m)

(105)

d_ d V d V dt dq's dqs

genügen. Ist U(t,q±... qm, px . . . pm) die Funktion, die aus Pi qi • • • ~f- Pm qm — y

entsteht, wenn man daraus die ([;, mittels der Gleichungen

(106)

ÔV

P‘ - di',

eliminiert, so besteht zwischen dem kanonischen System dqs    dH    dps

~dt ~ Jps’    ~dt

dem System (105) und der partiellen Differentialgleichung

(107)

dH

(s = l,

(108)

dz

di

folgender Zusammenhang:

176) Hamilton, Lond. Trans. 1834, p. 247; 1835, p. 95; Jacobi, 19. und 20. Vorlesung über Dynamik, und die nachgelassene Abh., Werke 5, p. 217—395; ygl. A. Cayley’s Report on Theoretical Dynamics, Rep. Brit. Ass. 1857, p. 1—42 und die Lehrbücher der Mechanik, z. B. F. Tisserand, Mécanique céleste, I. Introduction (Paris 1889); P. Painlevé, Leçons sur l’intégration dés équ. diff. de la mécanique (Paris 1895).

Aus den allgemeinen Integralgleichungen von (107) erhält man diejenigen von (105), indem man die p{ mittelst (106) eliminiert, und umgekehrt aus den Integralgleichungen von (105) die von (107) durch Elimination der f. Hat man das System (107) in der Form

(109),

pï---pI) (*—i,•••*»)

(109),

p, — *,(<>*>«?•••<> p\---pI)

integriert, wo die Funktionen x., jc. sich für t = t bez. auf' cf, p{). reduzieren, so gewinnt man für die partielle Differentialgleichung (108) folgendermassen ein vollständiges Integral

* = «!•••!£) + c

mit den arbiträren Konstanten cf., c. Man eliminiere die q. mittelst (106) aus V, wodurch das Integral S die Form:

s=/(

t

annimmt, ersetze unter dem Zeichen J die q;, pt durch ihre Ausdrücke (109), eliminiere nach ausgeführter Quadratur die p., p°. mittelst (109)¹⁷⁷) und bezeichne die so aus S entstehende Funktion mit

Die Gleichungen (109),, (109)₂ lassen sich dann in der äquivalenten Form¹⁷⁸)

(i = 1,2, • • • in)

dil

dq₍

= —Pi

schreiben. Allgemeiner ergeben sich aus einem beliebigen vollständigen Integral

z — & (t, q~i • • • qm} c, . . . Cm) —f- c

der Gleichung (108) die allgemeinen Integralgleichungen des Systems (107) in der Form:

(110)

d$>

di. ~ p‘>

de,

17^) Über den funktionentheoretischen Sinn dieser Eliminationen vgl. mein Buch, Art. 381, 382. Hinsichtlich der Independenten r, qP genügt SÎ einer der Gleichung (108) ganz ähnlichen partiellen Differentialgleichung; vgl. Hamilton u. Jacobi, a. a. O.

178) Hamilton beweist diese (z. T. aus der vor. Nr. folgenden) Sätze mittelst des Ausdrucks für die Variation 8S\ vgl. auch Jacobi a. a. 0. und E. J. Bouth, Dynamik der Systeme starrer Körper (dtsch. Aus g., Leipz. 1898, 2, Kap. 10).

Die drei Integrationsprobleme (105), (107), (108) sind also völlig äquivalent⁴³).

Ist t die Zeit, und sind qx . . . qm die Lagrange'sehen Koordinaten eines dynamischen Problems mit m Freiheitsgraden, ferner

E (t, Ol • • ’ Om Q,1 • • • Om)

die lebendige Kraft des Systems, U(t,q₁...qm) die Kräftefunktion, endlich V = T -j- U, so sind die Gleichungen (105) mit den Lagrange-schen Differentialgleichungen der Bewegung identisch, und die Lösung des dynamischen Problems ist darauf zurückgeführt, ein vollständiges Integral der „Hamilton’sehen 'partiellen Differentialgleichung“ (108) zu finden; H wird unter der Annahme, dass die Bedingungsgleichungen des Problems von t nicht abhängen, also T in den qf homogen ist, vermöge (106) mit T — U identisch und heisst die „Hamilton’sehe Funktion" (Jacobi), il die „Principalfunktion“ (Hamilton) des dynamischen Problems.

Betrachtet man gleichzeitig zwei dynamische Probleme, das „ungestörte“ Problem mit der Hamilton’sehen Funktion H, dessen allgemeine Integralgleichungen durch (110) gegeben seien, und das „gestörte“ Problem mit der Hamilton’sehen Funktion H-\-H1} und führt man statt der qt mittels (110) die neuen Variabein ct-, y, ein, wodurch H₁ in Hff (t, c₁ . . . cnt yt • . ■ ym) übergeht, so verwandeln sich die Differentialgleichungen des gestörten Problems

8PS

dt

dL₌Z(H+H₁) dps dt

wiederum in ein kanonisches System:

ch;

dH;

dt dcs

durch diese Gleichungen sind die Änderungen definiert, welche die (im ungestörten Problem konstanten) Grössen ci} y,; im Laufe der Zeit durch den Zutritt der „Störungsfunktion“ Hx erleiden. Die ct, y{ werden kanonische Elemente des ungestörten Problems genannt179a); solche kanonische Elemente sind z. B. die Hauptintegrale des simultanen Systems (107) hinsichtlich £ = 0.179b) Die durch (110) vermittelte

(111)

dcs

d7s

dt

Vvs

(s= 1 • • -m);

Beziehung zwischen den c, y und den p, q ist eine Berührungstrans-formation179 c), und die partiellen Ableitungen der c, y nach den

р,    q genügen den für die rechten Seiten einer solchen charakteristischen Relationen¹⁷⁹¹¹); denkt man sich die p, q als Funktionen der

с,    y ausgedrückt, so bestehen zwischen den Ableitungen der c, y und denen der p, q einfache Beziehungen179e).

Die allgemeinste „kanonische Substitution“179f), d. h. Variabeintransformation:

9i = Qi (t, qx ■ • ■ qm P\ • • • Pm), Pi = Pi (t. . . pm), die jedes kanonische System (107) wieder in ein solches verwandelt, ist von Z7e179g) angegeben worden; sie ist, falls die jQ, P von t frei sein sollen, eine Berührungstransformation, genügt also einer Identität:

¹

   Frobenius, a. a. 0. § 19 und 22; vgl. M. Hamburger, Arch. Math. 60, p. 203 (1877).

²

   Ann. éc. norm. 1896, p. 267.

³

   S. mein Buch, Kap. 9, § 1.

⁴

   Für x = 2 l — m vgl. Natani, J. f. Math. 58, p. 321; Clebsch, ebenda 60, p. 243; 61, p. 146 (1862).

⁵

   Den umgekehrten Weg zeigt Clebsch, J. f. Math. 60, p. 232—242 für den Fall m — w.

⁶

   Natani, a. a. 0. p. 312 f. ; Hamburger, a. a. 0. p. 203 ff.

⁷

   Frobenius, a. a. 0. § 26.

⁸

   Über die Änderung der Klasse bei Subtraktion eines Differentials oder Multiplikation mit einer Funktion der x (bes. für homogene a₍.) vgl. Frobenius, J. f. Math. 86, p. 1 (1879) und mein Buch Kap. 3, § 2; Kap. 5, § 3.

⁹

   Ygl. mein Buch, Kap. 10, § 3; für % — 21 — m Clehsch (Fussn. 135).

¹⁰

   In dieser Bedeutung findet sich das Symbol (epf) schon bei S. D. Poisson, J. éc. polyt. 8, cah. 15, p. 266 (1809).

¹¹

   Ygl. III D 7 und Lie „Tr.“ 2, Kap. 5; A. Mayer, Math. Ann. 8, p. 304 (1875); mein Buch, Kap. 11.

¹²

   J. f. Math. 60, p. 42 = Werke 5, pag. 46; eine begriffliche Deutung s. bei Lie, „Tr.“ 2, p. 278—280.

¹³

   Math. Ann. 9, p. 370; vgl. auch „Goursat A“ Art. 142.

¹⁴

   J. éc. polyt. 8, cah. 15, p. 281, Art. 7 (1809); Jacobi’s Werke 5, p. 47, vgl. Nr. 41 (Fussn. 234 a).

¹⁵

   Über die Tragweite dieses Theorems, bes. für die Dynamik, vgl. J. Bertrand, J. de math. (1) 17, p. 393 (1852).

¹⁶

   J. f. Math. 60, p. 246; 61, p. 160.

¹⁷

   J. f. Math. 29, p. 236 = Werke 4, p. 420; vgl. II A 4 b, Nr. 12,

¹⁸

   Mein Buch, Kap. 9, § 4; É. Cartan, Fussn. 122.

¹⁹

   (C ) entsteht aus (B₍₍) durch Streichung der m -f- lten Zeile und Spalte.

²⁰

   Phil. Mag. 1851, p. 279; vgl. Fróbenius, J. f. Math. 86, p. 54.

²¹

   A. V. BäcJclund, Math. Ann. 11, p. 412 (1877).

²²

   Lie, „Tr.“ 2, Kap. 4; für den Pf aff'sehen Ausdruck px dxx -)-----f-Pm^xm

gelten analoge Sätze, vgl. Lie ebenda und mein Buch a. a. 0.

²³

   Lie, Norw. Arch. 2, p. 156-(1877); Leipz. Ber. 1896, p. 405; Engel, ebenda p. 413; vgl. mein Buch Kap. 10.

²⁴

   Die Gesamtheit der inf. Transf., die der Gleichung XA = qA genügen, wurde in Spezialfällen von G. Vivanti (Pal. Rend. 12, p. 1, 1898), allgemein von mir (ebenda p. 133) angegeben; vgl. mein Buch a. a. O.; F. Engel, Leipz. Ber. 1899, p. 296; über infinitesimale Berührungstransformationen vgl. III D 7 und Lie, „Tr.“ 2, Abt. 3.

²⁵

   Über die allgemeinste infinitesimale Transformation, die einer Gleichung der Form XA EEdSi genügt, vgl. mein Buch a. a. 0.

²⁶

   Engel, a. a. 0.; mein Buch, Kap. 10, § 2; vgl. auch die analogen Formulierungen von G. Darboux (Fussn. 109).

²⁷

   W. de Tannenberg, Par. C. R. 120, p. 674 (1895).

²⁸

   Institutiones calculi integralis, 3, Petersb. 1770. Untersuchungen über die von z freien, in p, g quadratischen Gleichungen (80) giebt G. Elliot, Ann. éc. norm. 1892, p. 329.

²⁹

   Beri. Nouv. Mém. 1772 = Oeuvres 3, p. 546; Historisches bei Jacobi, J. f. Math. 23, p. 3 = Werke 4, p. 151; „Lie-Scheffers Btr.“ p. 514, 516ff.

Encyklop. d. math. Wissenseh. II.

³⁰

   Wie diese zu bestimmen sind, damit die p. die Ableitungen von z werden, zeigt L. Boltzmann, Wien. Ber. 72, 2. Abt., p. 471 (1875).

³¹

   Bull. soc. philomath. 1819, p. 10; Par. C. R. 14, p. 740, 769, 881, 952, 1026 (1842) = Oeuvres (1) 6, p. 423, 431, 444, 459, 467.

³²

   Ygl. auch Ampère, J. éc. polyt. 10, cah. 17 und bes. 11, cah. 18, p. 1—34 u. 43 f. (1820); seine Darstellung der Theorie (für m — 2) beruht auf der Betrachtung der in das allgemeine Integral eingehenden willkürlichen Funktionen (s. Nr. 4 und 48); sie wurde von E. Padova (Collectanea matematica, Mailand 1881, p. 105) auf den Fall eines beliebigen m übertragen.

³³

   Ygl. auch Binet, Par. C. R. 14, p. 654 (1842).

³⁴

   J. f. Math. 17, p. 97 (1837) = Werke 4, p. 57, bes. p. 104.

³⁵

   Vgl. die Bemerkungen Cauchy's, Par. C. R. 14, p. 881 (1842) = Werke (1) 6, p. 444, und Exercices d’anal, et de phys. 2, p. 239 (Paris 1841).

³⁶

   Jacobi giebt zwei Methoden, um jede Gleichung (82) durch eine solche zu ersetzen, die die Unbekannte nicht explicite enthält; die erste besteht darin, z durch eine Relation V(z xl ... xm) = 0 zu definieren, wodurch (82) in eine Gleichung mit der Unbekannten V und den Independenten z, übergeht (Jacobi, J. f. Math. 23, p. 18 = Werke 4, p. 166; vgl. „Goursat A“ Art. 16, „Delassus“ Art. 23. Eine Verallgemeinerung für höhere Differentialprobleme giebt L. Königsberger, J. f. Math. 109, p. 338 ff.) ; über die zweite Methode (J. f. Math. 60, p. 1 = Werke 5, p. 1; 31. Vorlesung über Dynamik = Werke Suppl, p. 237) vgl. A. Mayer, Math. Ann. 9, p. 366; „Mansion“ § 1.

³⁷

   W. B. Hamilton, Lond. Trans. 1834, p. 247; 1835, p. 95; vgl. 1m-schenetzlcy, Arch. Math. 50, p. 428 und die nächste Nr.

m

³⁸

   y, p:clx, wird also ein exaktes Differential, wenn man für die pi ihre

i

aus (82) und aus %k — ak folgenden Werte einsetzt; vgl. A. Cayley, Math. Ann. 11, p. 194 = Papers 10, p. 134.

³⁹

   Diese Quadratur lässt sich unmittelbar ausführen, wenn ein vollständiges Integral von (82) bereits bekannt ist {Mayer, Math. Ann. 6, p. 166; „Goursat A“ Art. 56, Remarque).

⁴⁰

   S. G. Morera, Lomb. Rend. (2) 16, p. 637, 691 (1883) und mein Buch, Kap. 12, § 2.

⁴¹

   J. A. Serret, Ann. éc. norm. 1866, p. 153 ff.

⁴²

   A. Mayer, Math. Ann. 3, p. 435 (1871); das Verfahren ist mit dem der vor. Nr. identisch, wenn cp in (93) durch am -f- ax xx —f- ■ • • + am_1 ersetzt wird. Andere Methoden geben G. Darboux, Par. C. R. 79, p. 1488; 80, p. 160 (1875) = Darb. Bull. (1) 8, p. 249; J. Bertrand, Par. C. R. 82, p. 641 (1876); J. Farkas, ib. 98, p. 352.

⁴³

Über die Anwendung dieser Theorie auf die isoperimetrischen Probleme s. Jacobi, Werke 5, p. 465.

179 a) Hamilton, Jacobi (Fussn. 176); über die älteren Störungstheorieen (Lagrange, Laplace, Poisson etc.) vgl. Cayley's Report.

179b) Diese Elemente und die zugehörigen Störungsgleichungen (111) betrachtet schon Lagrange, Mécan. anal. 1, 2ae partie, sect. 5, § 2.

dW (xt. . . xmpx . . . pm) + 2 Pi ä Qi = 2Pi dqi.

32. Variation der Konstanten; die charakteristischen Kurven.

Nach Nr. 30 erhält man aus einem beliebigen vollständigen Integral (99) der Gleichung (83) das allgemeinste Integral, indem man den Ausdruck (103) in allgemeinster Weise durch m Relationen zwischen den cii, Xi, 2 annulliert, d. h. aus r (< m) beliebigen Gleichungen

(112)

(s = 1,2,... r)

*fs (flx    ' ' * ^tn) 0

sowie aus (99) und aus den Relationen

(113)

dcp₂

dcpr

fiep,

= 2l w, + ^    ^-----!" K

(i=l ,2,...»)

die a, X eliminiert (J. L. Lagrange's „Variation der Konstanten“¹⁸⁰)). Die so erhaltene Integralfläche erscheint sonach als Umhüllungsgebilde der oom~r Flächen, die aus der Schar (99) durch die r Gleichungen (112) ausgeschieden werden, und es giebt den Werten r = 1 entsprechend m (nicht wesentlich verschiedene) Kategorien von Integralflächen. Ist:

179°) Lie, Norw. Arch. 2. p. 129 (1877).

179d) Hamilton, Jacobi a. a. 0.; Donkin, Liouville, Bout (Fussn. 212); E. Schering, Gott. Abh. 18 (1873); 19 (1874); s. auch Nr. 36.

179e) Jacobi, J. f. Math. 30, p. 117 = Werke 4, p. 137; Werke 5, p. 317. 179f) Jacobi, Werke 4, p. 136; 5, p. 369ff.; Schering a. a. O.

179g) a. a. 0.; daselbst wird auch die allgemeinste Transformation aufgestellt, die ein bestimmtes kanonisches System (107) wieder in ein solches verwandelt.

180) S. Fussn. 161 und Berl. Hist. 1774 = Werke 4, p. 5, bes. p. 62ff. ; Leçons sur le calcul des fonctions (Paris 1806) p. 353. Ausnahmefälle, wo die Elimination der a, X mehr als eine Relation in den z, x liefert, s. bei Darboux, „Sol. sing.“ p. 98.

347

32. Variation der Konstanten; die charakteristischen Kurven.

(oc y z ab) = 0

ein vollständiges Integral der Gleichung (80), Nr. 28, so ist nach dem Vorhergehenden die allgemeinste Integralfläche V die Enveloppe¹⁸¹) von irgend oo¹ durch eine Relation b = cp (a) aus obiger Schar ausgeschiedenen Flächen, von denen dann jede die benachbarte nach einer „charakteristischen Kurveu 182) schneidet, wird also von oo¹ charakteristischen Kurven erzeugt, die ihrerseits eine Kurve, die „Rückkehrkante“ der Fläche F¹⁸³) umhüllen; durch jeden Punkt von F geht eine und nur eine charakteristische Kurve. Es giebt oo³ (nur bei einer linearen Gleichung (80) blos oo²) charakteristische Kurven; sie sind durch die Gleichungen

0 = 0,

(114)

+ ⁼⁼⁰

definiert. Die Bedingung dafür, dass zwei benachbarte dieser Kurven sich schneiden, ist db — cda — 0.¹ 2 3 4) Eine beliebige oo¹-Schar von charakteristischen Kurven, deren jede die benachbarte schneidet, erzeugt eine Integralfläche, insbesondere bilden alle oo¹ Kurven, die denselben Punkt P(x y z) enthalten, das „Integralkonoid“⁵) mit der Spitze P; die Tangenten dieser oo¹ Kurven im Punkte P sind die Erzeugenden des „Elementarkegels“ mit der Spitze P.⁶) Dieser Kegel wird durch eine gewisse „Monge’sche Gleichung“⁷)

cp(xy z dxdy dz) = 0

(115)

definiert und ist die Enveloppe der oo¹ Ebenen mit der Gleichungsform:

£_ g =p(£ — x) + q(rj — y)

(116)

deren Koeffizienten p, q die Gleichung (80) erfüllen; nur bei einer

linearen Gleichung artet der Elementarkegel in ein Ebenenbüschel aus. Die Rückkehrkanten der Integralflächen erfüllen die Monge¹ sehe Gleichung (115); umgekehrt geht durch jede Kurve, die keine charakteristische Kurve ist und (115) erfüllt, eine und nur eine Integralfläche, deren Rückkehrkante sie ist¹⁸⁸); jede solche Kurve heisst eine „Integralkurve“ (.Lie ¹⁸⁹)) der partiellen Differentialgleichung (80).

Eine Integralfläche ist dadurch charakterisiert, dass sie in jedem ihrer Punkte P von dem zugehörigen Elementarkegel berührt wird, und zwar nach der Tangentenrichtung der durch P gehenden, auf V gelegenen charakteristischen Kurve.

Berührt eine Integralkurve eine Integralfläche von (80), so berührt sie dieselbe wenigstens zweipunktig; befinden sich also unter den Integralkurven die oo³ Geraden eines Komplexes, so sind auf jeder Integralfläche die oo¹ charakteristischen Kurven zugleich Haupttangentenkurven ¹⁹°).

Die Begriffe charakteristische Kurve, Elementarkegel, Integralkonoid übertragen sich ohne weiteres auf eine Gleichung (82) mit m Independenten.

33. Singuläre Integrale. Der Ausdruck (103) wird auch durch die Annahme:

(117)

-o,...2*-o

? Gam

zum Verschwinden gebracht. Ist die Flächenschar (99) beliebig gegeben und (82) die zugehörige Differentialgleichung, die durch Elimination der a aus (99) und den Gleichungen Ri =

dax

CV>

d ai

folgt, so

erfüllt die durch Elimination der a aus (99), (117) sich ergebende Enveloppe W der Schar (99) die partiellen Differentialgleichungen

= 0 (7 = 1,2,... ni),

(118)₂ !” ;-f Pi

ist also ein singuläres Integral¹⁹¹) (Nr. 5) von

(118),

au a»

= 0;

(82). Die Fläche W

188)    Es giebt i. a. c©² Integralflächen mit je einer Bicuspidalkante, Dar-boux, „Sol. sing.“ p. 47.

189)    Math. Ann. 5, p. 151 ff. ; vgl. Du Bois-Reymond, „Beiträge“, Kap. 7, 8, 11; Darboux, „Sol. sing.“ p. 36—58.

190)    Lie, Math. Ann. 5, p. 154, 189; ebenda p. 192, 196 werden . solche partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung betrachtet, auf deren Integralflächen die char. Kurven Krümmungs- oder geodätische Linien sind; vgl. Lie-Scheffers, „Btr.“ Kap. 9 und 14; Du Bois-R., „Beiträge“ p. 127 f.

191)    J. L. Lagrange, Beri. nouv. mém. 1774 = Werke 4, p. 5; vgl. Darboux, Sol. sing.; F. Casorati, Lomb. Rend. (2) 9, p. 522 (1876).

ist nicht von charakteristischen Kurven erzeugt⁸); sie wird in jedem Punkt P von oom~¹ charakteristischen Kurven berührt, und diese erzeugen eine in P berührende Fläche der Schar (99). Die Integralfläche, deren Gleichung durch Elimination der a und X aus (99), (112), (113) entsteht, berührt W längs einer m-r-fach ausgedehnten Punktmannigfaltigkeit und ist durch Angabe der letzteren bestimmt⁹).

Eine beliebig vorgegebene Gleichung (82) besitzt kein singuläres Integral¹⁰); die Elimination der p aus (82) und (118)1; bezw. aus (82) und (118)₂ liefert im allgemeinen zwei verschiedene Flächen, die Orter von Punkt- bezw. Tangentensingularitäten der oom Flächen (99) sind, und die erstere dieser Flächen ist Spitzenort der charakteristischen Kurven¹¹). Fallen beide in eine Fläche W zusammen, so ist diese,

falls sie nicht der partiellen Differentialgleichung

ein singuläres Integral¹²) von (82) und Enveloppe der ocm Flächen eines vollständigen Integrals, die aber in ihren Berührpunkten mit W auch Singularitäten besitzen können. Singuläre Integrale, für die

== 0, kann es unendlich viele geben¹³); in allen Fällen erledigt

dF

dz

dF

dz

— 0 genügt,

sich die Frage nach den etwaigen singulären Integralen durch die Aufsuchung aller gemeinsamen Integrale des Differentialsystems (82),

(118) (vgl. Nr. 38).

34. Charakteristische Streifen; Abbildung und Klassifikation der partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung. Versteht man

Die oo2m nichtsingulären Flächenelemente von (82) ordnen sich

mit Lie (Nr. 9) unter einem Integral oder einer Integral-Mm der Gleichung (82) jedes m -f-1 - gliedrige Relationensystem in z, pi: das (82) umfasst und die Pf aff' sehe Gleichung (92) erfüllt, und nennt man ein Wertsystem zxiPi, das (82) befriedigt, ein singuläres bezw. nichtsinguläres Flächenelement, je nachdem es allen oder nicht allen Relationen (118)1; (118)₂ genügt, so ergiebt sich für die Cauchy'sehe Theorie (Nr. 29) folgende Deutung und Verallgemeinerung ¹⁴) :

p. 264.

zu oo2w~¹ „charakteristischen Streifen“ 1. Ordnung (Nr. 9) oder „Charakteristiken“ zusammen, welche durch das simultane System (86) oder dessen Integralgleichungen (88) definiert sind; durch jedes nichtsinguläre Flächenelement mit den Koordinaten zQx®p⁰. geht ein und nur ein solcher Streifen (88) hindurch. Die zu einer Charakteristik gehörige Punktmannigfaltigkeit ist eine charakteristische Kurve. Enthält eine Integral-Mm das nichtsinguläre Element E, so umfasst sie die ganze durch E gehende Charakteristik; jede nichtsinguläre Integral-Mm ist sonach von oo™⁻¹ Charakteristiken erzeugt, m. a. W. ihre m -f- 1 Definitionsgleichungen gestatten die infinitesimale Transformation :

dPh

(119)

(vgl. den Schluss von Nr. 26, Fussn. 154)), oder was dasselbe besagt,

o />

die infinitesimale Berührungstransformation: [Ff] — F(s. III D 7).

Liegen zwei benachbarte Fläch en elemente von (82) vereinigt, so befinden sich die von ihnen ausgehenden Charakteristiken wegen (89) ihrer ganzen Ausdehnung nach in vereinigter Lage. Die oov~¹ Charakteristiken, die bezw. von den Elementen einer Integral-ATr_i aus-laufen, bilden also eine Integral-Mv, die für v < m eine „v-dimen-sionale Charakteristik“ oder „charakteristische Mvu genannt wird. Die Integration von (82) ist sonach geleistet, wenn man die Charakteristiken, oder auch die endlichen Gleichungen der eingliedrigen Be-

rührungstransformationsgruppe [F¹/’]—F^ kennt; die allgemeinste

Integral -Mm ergiebt sich durch Ausübung der oo¹ Transformationen dieser Gruppe auf eine beliebige nichtsinguläre Integral -Während so durch eine nichtsinguläre und nichtcharakteristische Integral-    eine Integral-Jfm eindeutig festgelegt ist, giebt es

oox Integral-Mm, die dieselbe charakteristische Mm—i enthalten. So führt z. B. im Falle der Gleichung (80) die Bedingung dafür, dass die Relationen

df

+ C/l + ^ + s^ = 0, g + sg+.g + ig-O,

dp — r dx -j- s dy’ dq = sdx -f- tdy rst unbestimmt lassen, auf die Definitionsgleichungen (81) der Charakteristiken zurück¹⁵). Durch die Gleichung (80) werden nicht nur jedem Punkt xys oo¹ durch ihn gehende Ebenen, sondern auch jeder

Ebene (116) oo¹ auf ihr gelegene Punkte xyz zugewiesen ¹⁶), die eine Kurve x bilden; die Definitionsgleichungen (81) der Charakteristiken drücken dann aus, dass in jedem Element E einer Integralfläche von (80) die Tangentenrichtungen der charakteristischen Kurve und der auf der Ebene von E gelegenen Kurve x konjugirt sind¹⁷).

Die Relationen (95) der Nr. 29 stellen mit (83) zusammen ebenfalls die von dem Flächenelement zQx⁰.p°. ausgehende Charakteristik dar; ebenso werden die oo2w—1 charakteristischen Streifen mit Hülfe eines vollständigen Integrals (99) durch die Gleichungen (83), (104) definiert¹⁸).

Als vollständiges Integral der Gleichung (83) hat man nach Nr. 9 jedes m -j- 1-gliedrige Gleichungensystem der Form

(120)    = 0,    x₁.. .xmpx.. .pm-i) = Ci (* = 1,2,...»»)

zu betrachten, das für beliebige konstante c, eine Element-Mm definiert; dazu ist notwendig und hinreichend, dass die Pf aff' sehe Gleichung (84) sich auf die Form:

Um — 1 d fiim — i - 0

(121)    dBm — nxä%x — Ihäü2

bringen lasse; die 77} ergeben sich, wenn man die B kennt, durch Auflösung linearer Gleichungen, und die oo2m—1 Charakteristiken sind durch die Relationen:

Pm -j— ^ == 0, Bi — Ci, IIk = yk (i = 1 . . . m; k = 1 . . . m — 1)

definiert. Nach Nr. 30 lässt sich also aus einem beliebigen vollständigen Integral ein solches von der Form (99) durch gewisse Eliminationen herstellen. Die m -f- 1 Definitionsgleichungen der allgemeinsten nichtsingulären Integral-Mm erhält man, wenn man die Pfaff'sehe Gleichung (121) nach Nr. 9 durch m Relationen in den B, n erfüllt und (83) hinzufügt; Lagrange's Variation der Konstanten ist ein Spezialfall dieser Methode.

Das in Nr. 30 gefundene vollständige Integral    ...£ x

==    besteht aus allen Integralkonoiden, deren Spitzen in der

Ebene xm — x°m = 0 liegen. Die Integralkonoide brauchen nach Nr. 30 (vgl. Fussn. 174) keine Flächen zu sein, können vielmehr in Element-id/^ (q < m, vgl. Nr. 9) ausarten, z. B. bei jeder Gleichung (83) vom Typus y) (Nr. 30), sowie bei der in den p linearen Gleichung; in dem letzteren Falle (und nur in diesem) giebt es nicht oom+⁴, sondern blos oom Integralkonoide, bestehend aus den Element-Mrl, die sich bezw. an die oom charakteristischen Kurven (Nr. 11) anschliessen.

Jede Darstellung (121) der Rfaff'sehen Gleichung (84) liefert eine Abbildung der partiellen Differentialgleichung (83)¹⁹), die darauf beruht, die 2 m — 1 Grössen #, 17 als Koordinaten der Flächenelemente eines Raums Bm mit den Punktkoordinaten &m, jüh ... &m—i zu deuten; jedem Flächenelement und jeder Element-des Raums Rm entspricht dann eine Charakteristik, bezw. eine Integral - Mv der Gleichung (83) und umgekehrt. Insbesondere lassen sich die Grössen g, £;, p; der Nr. 30 als Elementkoordinaten desjenigen Raums Rm(h £i • • • £m—i) deuten, der aus dem Rm.\-i(ß,    . . . xm) durch die

des

Gleichung xm — x°m ausgeschieden wird; dann entspricht jeder Charakteristik von (83) dasjenige Flächenelement des Rm, das sie aus dem Rm ausschneidet, und jeder Integral-Mv diejenige Element-Mr Rm, die sie aus diesem ausschneidet²⁰).

Der Übergang von einem bestimmten vollständigen Integral (120) zu einem andern²¹) (also auch von einer bestimmten Abbildungsart der Gleichung (83) zu einer andern ²²)) vollzieht sich durch eine beliebige Berührungstransformation der 2 m — 1 Variabein 77.²³)

Klasse, lauter Element - M’f “¹ +¹

ten

Nach Lie ²⁴) lassen sich die partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung hinsichtlich ihrer vollständigen Integrale folgendermassen klassifizieren: Eine Gleichung 1. Ordnung gehört zur v wenn eines ihrer vollständigen Integrale aus besteht und v die grösste derartige Zahl ist. Einen Spezialfall hier-

von bilden die Gleichungen, deren sämtliche Integralkonoide in Element'‘^~¹ degenerieren ²⁵); in diesem Fall (und enthalten je oov—1 charakteristische Streifen dieselbe charakteristische Kurve. Die Zahl v ist eine Invariante der partiellen Differentialgleichung gegenüber allen (erweiterten) Pnnkttransformationen des Raums 7C-fi {z, xx . . . xm). Die mi& Klasse besteht aus den in den p linearen Gleichungen (s. oben), die m -{- lte aus den Gleichungen der Form F (z, xx . . . xm) = 0, deren Integral - Mm ohne Integration gefunden werden. Die Gleichungen der 2ten, 3t9u . . . m — lteu Klasse heissen semilinear²⁶); die in den pi homogenen Gleichungen gehören im allgemeinen zur 2ten Klasse.

in diesem)

nur

vom

35. Homogene Elementkoordinaten. Im Falle einer Gleichung Typus y):

Pm

Pj_ Ps m’ V Pt

kann man die x,p als homogene Elementkoordinaten²⁷) des Raums xx . . xm deuten. Ein Flächenelement ist dann der Inbegriff eines Punktes xx...xm und einer durch ihn gehenden Ebene (Sh,-(h—xî) — 0. Zwei Nachbarelemente liegen vereinigt, wenn sie die Gleichung px dxx + p₂ dx₂ -f----b Pm dxm = 0

erfüllen, und eine Element- Mv ist definiert durch 2 m — v — 1 Relationen in den x, p, die die Gleichung (123) erfüllen und in den p homogen sind. Die Gleichung (122) integrieren heisst, alle ihre In-tegral-Mm — i, d. h. alle Element-Mm—i finden, deren m Definitionsgleichungen die Relation (122) enthalten. Jedes vollständige Integral

Pz Ps

m,

liefert eine Normalform J^Hid&i des Ausdrucks Vx in Nr. 30, und umgekehrt. Die oo2m—3 Charakteristiken sind jetzt durch die Relationen

SV = C\ • • • film—i = cm—lj Hi : II2 : • • • : Um — 1 = yi • • • • ’ Ym — i

dargestellt; bezüglich der Erzeugung der Integrale durch die Charakteristiken gilt analoges wie früher. Der Übergang von einem bestimmten vollständigen Integral (124) zu einem andern geschieht durch eine homogene Berührungstransformation der 17, &

(122) F

(123)

Xi, x% • • • X

p 1,

— 0 oder pm -f- ip — 0

(124) pm ~b 1/1 = 0, & (xx •

• -x

• •m—1)

Das vollständige Integral (124) liefert nach Hinzufügung von z — c ein vollständiges Integral im früheren Sinne. Ist (101) ein vollständiges Integral im Sinne von Nr. 30, so ist V{x\ ...xma± ...am_g) = am—i ein vollständiges, aus oom — 1 Flächen bestehendes Integral in der gegenwärtigen Bedeutung und umgekehrt.

Durch die Substitution p.g

z = xm-\-i wird die Grleichung

— ⁽li

(82) vom Typus a) oder ß) auf den hier betrachteten Fall reduziert; diese Umformung bietet den Vorteil, dass nunmehr auch solche Integral -Mm von (82) in Betracht kommen, deren zugehörige Punktmannigfaltigkeiten durch Relationen in xx... xm allein bestimmt sind, deren m -f- 1 Definitionsgleichungen also, in den x, qi geschrieben, die Gleichung qm+i — 0 umfassen.

36. Jacobi’s zweite Methode²⁸ 29) zur Integration einer partiellen Differentialgleichung :

(125)

■Nj (xx X<£ . . • Xm/p\p% . . . Pm) -

gründet sich auf den Satz (vgl. Nr. 24): Genügen m Funktionen Xx . . . Xm der Variabein Xip,: den Identitäten

(126)

0 ES (HĄ 21S)    («,* — !... m),

X-i(xxX2 . . . Xmpxp₂ . . . Pm) Q>i (^    1) 2, . . . g)

in der Form px = \x...pfx = hxi ³⁰) auf, so hat man (pi — hi,pk—hk) = 0,

so verwandeln die aus den Gleichungen Xi = cti entnommenen Werte der p den Ausdruck 'Spi- dxt in ein exaktes Differential äV(xx ... xmai .. . am), und es ist z == V -f- a ein vollständiges Integral von (125) mit den arbiträren Konstanten ax, a₂, \. . am. Sind a (< m) hinsichtlich^...^ unabhängige Funktionen Xl...Xfly die den Bedingungen (126) genügen, bereits bestimmt und löst man die Gleichungen (127)

von

und das ft-gliedrige Jacobi'sehe System (p{ — hh f) = 0 ist mit dem System (73) der Nr. 24 gleichbedeutend; es besitzt 2m —,2p pt ■ ■ ■ Pfi nicht abhängende Integrale, die das Jacob i'sehe System

dlh df dxk dpk

= 1,2,... p)

M + l

erfüllen. Aus einem beliebigen, von^+i nicht unabhängigen Integral

Cp {Xy . . . Xm,    . . . PmCti • . . Cf'/u)

dieses Systems erhält man X^+i,³¹) indem man die a₍ durch die X,-ersetzt. Hat man so die Funktionen Xy . . . Xm bestimmt, so genügen sie einer Identität der Form (72), und zwar entsteht £1 aus der oben definierten Funktion V, indem man die X für die a einsetzt.

Darnach erfordert die Integration des kanonischen Systems (107), oder, was nach Nr. 31 dasselbe besagt, der Hamilton¹ sehen partiellen Differentialgleichung (108) eines dynamischen Problems je eine Operation 2m, 2m — 2, ... 4, 2 und eine Quadratur; man gelangt durch diese Methode direkt zu einem System kanonischer Elemente (Nr. 31). Sind die lebendige Kraft T und die Kräftefunktion U, also auch die Hamilton'sehe Funktion H von t frei, so reduziert sich die Integration von (108) auf diejenige der Gleichung³²):

dz

H(qy . . . qrn, Py ■ ■ ■ Pm) = Ä (Pi = g - ; h = arb. Const.)

da aus jedem vollständigen Integral z = W(qy.. . qm c±... Cm—x, h) -j- c dieser Gleichung ein vollständiges Integral z = W—ht -j- c der Gleichung (108) erhalten wird, verlangt also je eine Operation 2m — 2,2m — 4, ...2 und eine Quadratur.

Um die partielle Differentialgleichung

(129)

Xy(z,Xy...Xm,P₁...Pm) = a₁

zu integrieren, hat man m Funktionen X₂ . . . Xm, Z der Variabein zXißi derart zu bestimmen, dass die Identitäten [ZX/] = [X,: Xi:\ 0 stattfinden und die Gleichungen

Z — am-(_i

(130)

Xj = ay, X₂ = a.₂.. . Xm = am,

nach p₁ . . .pm, z auflösbar sind³³). Der hieraus folgende Ausdruck für z ist dann ein vollständiges Integral von (129). Man kann die Integration so einrichten, dass die m ersten Gleichungen (130) nach px ... pm aufgelöst werden können; dann wird die Pf aff' sehe Gleichung (92) nach Ersetzung der p,: exakt, und ihre Integration liefert ein vollständiges Integral von (129); für m — 2 ist dies Laqranqe's Methode (Nr. 28).

Xx — ax, X₂ — a₂... Xm — am bilden ein vollständiges Integral im Sinne von Nr. 35.

Aus dem Umstand, dass der Ausdruck (X₁,f), wenn Xx eine beliebige Funktion der 2 m Yariabeln x{pi bedeutet, die allgemeinste infinitesimale Transformation der unendlichen Gruppe aller Berührungstransformationen der 2m Variabein XiPi darstellt, schliesst Lie³⁴ 35), dass eine weitere Vereinfachung des Integrationsgeschäfts unmöglich ist.

37. Lie’s Verallgemeinerung von Jacobi’s zweiter Methode³⁶). Bei Zugrundelegung von Lie's, allgemeinerer Definition des Begriffs: „vollständiges Integral“ kann man, wenn eine Differentialgleichung (129) gegeben ist, bei der Herstellung eines Funktionensystems Xi} Z, Pi, das der Identität (68) genügt, von der Bedingung absehen, dass die Gleichungen (130) nach px . . .pmz auflösbar seien; diese Gleichungen bilden dann ein vollständiges Integral im allgemeineren Sinne. Die Methode erfordert wie die der vor. Nr. je eine Operation 2m — 1,2m — 3, ...3,1. Im Falle der partiellen Differentialgleichung (125) verlangt die Herstellung der Identität (72) je eine Operation 2m — 2,2m — 4, ... 2 und eine Quadratur; ist Xx in den p{ homogen nullter Ordnung, so kann man den Funktionen X₂ . .. Xm dieselbe Bedingung auferlegen; ihre Ermittelung geschieht dann durch je eine Operation 2m — 3, 2m — 5, ... 1, sie genügen der Identität (65) und die Gleichungen (131)

38. Involutionssysteme. Eine gemeinsame Integral-ilfOT mehrerer Gleichungen :

Fi(zx₁x₂ . . . XmPi . . . Pm) — 0 (i 1; 2, . . .) erfüllt auch alle Relationen [Fi i⁷*] = 0 ; ²²°) wiederholte Anwendung

(132)

dieses Satzes führt entweder zu mehr als m-\- 1 unabhängigen Relationen, und es giebt dann keine gemeinsame Integral-Mm des Differentialsystems (132), oder zu einem Involutionssystem, d. h. zu y (<i m -f- 1) Gleichungen Ft = 0, vermöge deren alle [Fi Fk\ verschwinden²²¹). Es lässt sich stets erreichen, dass diese Ausdrücke identisch verschwinden; man sagt dann: die Funktionen Fi sind „in-volutorischu („in Involution“). Im Falle y — m -f-1 giebt es nur eine, eben durch die Gleichungen F; = 0 dargestellte gemeinsame Integral- Mm. Ist y<Lm, so kann man das Involutionssystem in der Form (127) schreiben, worin die a, arbiträre Konstanten bedeuten. Die Integrale von (127) werden erhalten, indem man m — y -f-1 Funktionen

(133)

Xft -j-1, Xju -)- 21 • • • Xm, Z nach Nr. 21 derart bestimmt, dass eine Identität (68) stattfindet (bezw. eine Identität (72), wenn die X₁ . . . X^ von z' nicht ab-hängen), und sodann zu den Gleichungen (127) irgend m — y -j- 1 Relationen hinzufügt, die der Pf aff’ sehen Gleichung

(134)

PmdXm — 0

dZ P-f-1 dX.fi-f-i genügen; insbesondere findet man so ein von m — y -f-1 arbiträren Konstanten 0,^+1 ... am+\ abhängendes „vollständiges Integral“ (130) des Involutionssystems (127).

Unter den Charakteristiken des Involutionssystems (127 ) ²²²) versteht man jede durch Gleichungen der Form:

wobei die a^+i, b^+i arbiträre Konstanten bedeuten. Die linken Seiten dieser Gleichungen sind die Integrale des /a-gliedrigen vollständigen Systems (71); daher werden die Charakteristiken von (127) auch durch die Gleichungen

Xx = ax, . ■ • XfL = afi ;    (i = 1,2, ... 2m — 2^ + 1)

dargestellt, wenn die cP,- irgendwelche von einander und von Xx ... XM unabhängige Lösungen des vollständigen Systems (71) bedeuten. Die Charakteristiken sind charakteristische Mv jeder einzelnen der partiellen Differentialgleichungen (127) (s. Nr. 34).

Ein Flächenelement z, XiPi, das für ein bestimmtes Konstantensystem ax . . . afl den Gleichungen (127) genügt, möge singulär oder

Xf —- ax, ... Xm — am, Z — am _j_ 1 ; P^ 1 — b^ -f-1 j . .. P bm definierte Element-iK

operation für zwei Differentialgleichungen beliebiger Ordnung giebt É. Gombescure, Par. C. R. 78, p. 1212 (1874).

221)    É. Bout, J. éc. polyt. 22, cah. 39, p. 171 f. ; A. Mayer, Math. Ann. 4, p. 88 (1871).

222)    Lie, Gott. Nachr. 1872, p. 321; Math. Ann. 9, p. 245 (1876).

nur

von

alle oder nicht alle Gleichungen

nichtsingulär heissen, je nachdem befriedigt, die durch Nullsetzen der g-reihigen Unterdeterminanten

es

des Schemas

(135)

ax,.

cpt

ax. ax.    dXf dx.

dp)«’    dz ’ ‘ " dxm

(i = 1, 2,... g)

entstehen. Durch jedes nichtsinguläre Flächenelement geht eine und eine Charakteristik des Involutions systems (127); eine Integral-Mm, die ein nichtsinguläres Flächenelement E enthält, umfasst die ganze, E ausgehende Charakteristik. Liegen zwei benachbarte Flächenelemente von (127) vereinigt, so gilt dies auch von den durch sie gehenden Charakteristiken. Die oo¹'⁻'“ Charakteristiken, die bez. durch die Elemente einer gemeinsamen Integral -Mv—^ der Gleichungen (127) hindurchgehen, erzeugen eine Integral-Jf,.; da die gemeinsamen Integral-Mm—^ ohne Integration gefunden werden, so ist die Integration des Involutionssystems (127) geleistet, wenn man alle Lösungen des vollständigen Systems (71) kennt (Lie’s verallgemeinerte Cauchy’sehe Methode).

Die Pf aff'sehe Gleichung (134) vermittelt eine Abbildung²⁰³) (vgl. Nr. 34) des Involutionssystems (127) im Raume Bm—Iu +1 mit den Punktkoordinaten (133), wobei jeder Charakteristik bezw. Integral -Mm des Involutionssystems ein Flächenelement bezw. eine Ele-des Raums    entspricht und umgekehrt. Der

Übergang von einer bestimmten Abbildungsart zu einer beliebigen andern, oder, was dasselbe ist, von einem vollständigen Integral (130) zu einem andern, geschieht durch eine Berührungstransformation der 2m — 2g -J- 1 Variabein Z,    Pfi+k-

Eine etwas andere Auffassungsweise desselben Sachverhalts fliesst aus der Bemerkung, dass bei einer beliebigen Berührungstransformation der Variabein z,XiPi jedem Involutionssystem J ein Involutionssystem J' (Nr. 10), jeder Charakteristik oder Integral-Mv von J eine ebensolche von J' entspricht ³⁷), mithin die Charakteristiken bezw. Integral-Mm des Involutionssystems (127) durch die Berührungstransformation

z' = Z, xi = Xi ; pi' = P (7 = 1,2,... w) aus den Charakteristiken bezw. Integral -Mm des besondern Involu-tionssystems :

(136)

(137)

xi = ai, X2 = % • • • xe — an hervor geben. Aus demselben Gründe kann man, wenn irgend eine Berührungstransformation (136) bekannt ist, die Integrale aller partiellen Differentialgleichungen der Form cp (Z, A₁... Xm) — 0 ³⁸) und aller aus mehreren solchen Gleichungen bestehenden Involutionssysteme ohne Integration finden.

Da jedes ^-gliedrige Involutions system auf die Form (137) gebracht werden kann³⁹), so besitzt ein Involutionssystem gegenüber allen Berührungstransformationen der Variabein z, xtpi ausser der Zahlet keine Invariante; dasselbe gilt für die von z unabhängigen Involutionssysteme hinsichtlich aller Berührungstransformationen der Form: z' = Z + U(x,p) ; Xi' = Xi (x, p) ; p- = P* (x, p).

Die erste Gleichung des Systems (127) lässt sich, wenn irgend eines ihrer vollständigen Integrale bekannt ist, durch eine Berührungstransformation auf die Form xt' — ax bringen, wobei sich die übrigen Gleichungen (127) in ein p—1-gliedriges Involutionssystem mit den Variahein z, x₂ ... x'rnp₂ ... pm verwandeln; durch Wiederholung dieses Prozesses ergiebt sich A. Korkin's ⁴⁰) Methode zur Integration eines Involutionssystems.

Die etwaigen singulären ⁴¹) Integrale des Involutionssystems (127) sind die gemeinsamen Integral-Mm der Gleichungen (127) und der Relationen, die aus dem Schema (135) durch Nullsetzen aller n-reihigen Determinanten hervorgehen.

Ist ein Involutionssystem (127) gegeben, dessen linke Seiten von z frei und in den p-t homogen nullter Ordnung sind, so kann man wie in Nr. 37 m — p weitere Funktionen X^_|_i . . . Xm von derselben Beschaffenheit derart bestimmen, dass die Identität (65) besteht; unter Zugrundelegung des Integralbegriffs der Nr. 35 ergiebt sich dann eine ganz analoge Theorie wie vorhin, wenn die Begriffe „Charakteristik“ und „vollständiges Integral“ entsprechend modifiziert werden. Gegenüber allen homogenen Berührungstransformationen der 2m Variabein x,p besitzt ein Involutionssystem (127) dieser Art nur die Invariante p.

sehe Methode (s. die vor. Form

39. Spezielle Involutionssysteme. Die verallgemeinerte Cauchy-Nr.) nimmt für ein Involutionssystem der

(138)    Pi - Xx . . . Xm, P/.1-Ą-1 • • • Pvi) (j 1;    . . . p)

folgende Gestalt an: Sind die 4>. an der Stelle z°, x\ . .. pQm regulär, so besitzt das vollständige System

¹

   Diese geometrische Deutung der Variation der Konstanten rührt von 6r. Monge her, Application de l’analyse à la géométrie, 5rae éd., Paris 1850, p. 421, 432; vgl. Du Bois-Reymond, „Beiträge“, 1. u. 3. Abschn. ; „Lie-Scheffers Btr.“ Kap. 11.

²

   Monge sagt: „Charakteristik“ a. a. O. p. 432; vgl. Nr. 34 des Textes.

³

   Monge, a. a. O.; vgl. Darbouæ, „Sol. sing.“.

⁴

   Über die Beziehungen zwischen dieser Gleichung und der Monge'sehen Gleichung (115), und überhaupt zwischen einer beliebigen nicht integrabeln Pfaff'sehen und einer Monge'sehen Gleichung vgl. Lie, Leipz. Ber. 1897, p. 704 ff.

⁵

   Du Bois-Reymond, „Beiträge“ p. 62; die Integralkonoide wurden schon von O. Bonnet, Par. C. R. 45, p. 581 (1857) betrachtet.

⁶

   O. Bonnet, a. a. O.; Lie-Scheffers, „Btr.“ Abschn. Ill; Geschichtliches ebenda p. 518 f.

⁷

   S. Fussn. 103 ; Lie-Scheffers, „Btr.“ Kap. 7 ; Du Bois-Reymond, „Beiträge“ p. 22; Lie, Leipz. Ber. 1897, p. 687.

⁸

Dass es nur ein solches Integral geben kann, zeigt Lie, Math. Ann. 9,

⁹

   Ygl. H. Weber, J. f. Math. 66, p. 227 f.

¹⁰

   Darboux „Sol. sing.“, p. 113.

¹¹

   Darboux a. a. 0., p. 146 ff. ; 172 ff.

¹²

   H. Weber a. a. 0., p. 216 ff.; Darboux a. a. 0., p. 177, 185.

¹³

   Darboux a. a. 0., p. 193 ff.

¹⁴

   Von Lie seit 1871 entwickelt; vgl. „Tr.“ 2, Abt. 1; Lie-Scheffers, „Btr.“, Kap. 12; Historisches ebenda, p. 518 und 564 Anm.

¹⁵

S. auch Goursat, Acta math. 19, p. 285.

¹⁶

   Dieser dualistische Charakter (Darboux, „Sol. sing.“, p 17) tritt besonders hervor, wenn man Clebsch’sche Konnexkoordinaten, d. h. homogene Punkt- und Ebenenkoordinaten xlxixsxi, ux ut us ui, die durch die Relation

's>'u.X- — 0 verknüpft sind, als Elementkoordinaten gebraucht und die partielle Differentialgleichung 1. Ordnung demgemäss als „Hauptkoincidenz“ eines Raumkonnexes auffasst; überdies erscheinen dann alle im Endlichen und Unendlichen gelegenen Fläch en elemente gleichberechtigt; vgl. Clebsch- Lindemann, Geometrie I 2, Abt. 7; „Sol. sing.“ p. 238.

¹⁷

   Monge, „Applications“ p. 430; Darboux, „Sol. sing.“ p. 23.

¹⁸

   Die Lösung des Cauchy’sehen Problems (Nr. 2) mittelst eines vollständigen Integrals giebt A. Mayer, Math. Ann. 3, p. 452.

¹⁹

   Lie-Scheffers, „Btr.“ p. 535 ff.; A. V. Bäcklund, Math. Ann. 9, p. 313.

²⁰

   Lie-Scheffers, „Btr.“ p. 544 ff.

²¹

   Jacobi, Werke 5, p. 420, 431; H. Weber, J. f. Math. 66, p. 201. Ygl. auch Jacobi, Werke 5, p. 369—377, wo aus einem bestimmten System kanonischer Elemente eines dynamischen Problems das allgemeinste derartige System abgeleitet wird (Nr. 31).

²²

   Lie-Scheffers, „Btr.“ p. 548.

²³

   Über da>. Verhalten des etwa vorhandenen sing. Integrals bei dieser Transform, vgl. H. Weber a. a. 0., p. 231; Darboux, „Sol. sing.“ p. 102—108.

²⁴

   Gott. Nachr. 1872, p. 473.

²⁵

   Vgl. S. Lie, Leipz. Ber. 1895, p. 85.

²⁶

   Die Fälle m = 3, v — 2 und m = 4, r~«2,3 hat A. V. Bäcklund studiert, Math. Ann. 17, p. 285 (1880).

²⁷

   Lie, „Tr.“ 2, p. 108 f.

Enoyklop. d. math. Wissens eh. II.

²⁸

   Die Methode wurde von Jącobi schon 1836 angegeben (Brief an Encke, J. f. Math. 17, p. 68 = Werke 4, p. 41, bes. p. 52 ff.; (vgl. 30.— 34. Yorl. über Dynamik und J. f. Math. 60, p. 1 [nachgelassene Arbeit] = Werke 5, p. 1; für m = 3 vgl. Werke 5, p. 439), später unabhängig von W. F. Donkin (Lond. Trans. 1854, p. 71; 1855, p. 299); J. Liouville (J. de math. 20, p. 137,1855) und É. Bour (ebenda p. 185 = Par. sav. [étr.] 14, p. 792; J. éc. polyt. 22, cah. 39, p. 149, 1862) gefunden; vgl. P. Gilbert, Brux. Ann. 5², p. 1(1881); G. Boole, Lond. Trans. 1863, p. 485; J. Collet, Ann. éc. norm. 1870, p. 7; 1876, p. 49; H. Laurent, J. de math. (3) 5, p. 249 (1879).

²⁹

   Im folgenden haben die Symbole (yty) und [<pip] immer die in Nr. 24 angegebene Bedeutung.

³⁰

   A. Mayer (Math. Ann. 6, p. 165) bezeichnet ein solches System als ein „Jacobi’sches“.

³¹

   Ygl. die Darstellung von J. König, Math. Ann. 23, p. 504, wo statt der Systeme (128) die adjungierten Systeme totaler Differentialgleichungen (Nr. 14) gebraucht werden. JacoU benutzt zur Bestimmung je einer Lösung der successiven Jacobi'sehen Systeme (128) oder (73) das Verfahren der Nr. 15; andere Methoden sind von A. Weiler (Fussn. 92) und A. Clebsch (J. f. Math. 65, p. 263) gegeben worden.

³²

   JacoU, 21. Vorl. üb. Dynamik.

23*

³³

   Ygl. V. G. Imschenetzky, Arch. Math. 50, p. 304.

³⁴

   Math. Ann. 11, p. 529 ff'.; Leipz. Ber. 1895, p. 265; vgl. den Schluss von Nr. 11.

³⁵

   Sie entstehen durch Elimination der 2. Ableitungen von z aus den ersten Derivierten des Systems (132); eine Verallgemeinerung der Klammer-

³⁶

   Math. Ann. 8, p. 240.

³⁷

Die Berührungstransformationen sind die einzigen Transf. dieser Art; doch giebt es ausser Berührungstransformationen stets noch andere, die zwei bestimmte u-gliedrige Involutionssysteme ineinander (oder ein bestimmtes Involutionssystem in sich) derart überführen, dass jeder Charakteristik oder Integral-Mm bezw. wieder eine solche entspricht; Lie, Christ. Forh. 1873, p. 242; Lie-Scheffers, „Btr.“ p. 581 if. ; A. V. Bäcklund, Math. Ann. 9, p. 313.

³⁸

   Diesen Satz giebt für m=2 schon G. Monge, Par. Hist. 1784, p. 174ff. ; vgl. A. de Morgan, Cambr. Trans. 9, p. [136] (1854); einen Spezialfall dieser Theorie bildet die „verallgemeinerte Clairaut'sehe Gleichung1,1 : Lie-Scheffers, ,,Btr.u p. 265 f., 518 Anm.; Darhoux, „Sol. sing.“ p. 205 ff.

³⁹

   Lie, Math. Ann. 8, p. 215.

⁴⁰

   Par. C. R. 68, p. 1460 (1869); s. A. Mayer, Math. Ann. 6, p. 173 (1873).

⁴¹

   „Goursat A“ Art. 117; „Delassus“ Art. 22.

(Pi — ti, f) = 0    (* = 1,2,... p)

2 m — 2 p -f- 1 von px...ph unabhängige Lösungen £,    xM+k,

die sich vermöge:

/y» ... .. /y»0    sy> /y>0

tA/+ ——    • • • tv    cAs

1    1    n

bezw. auf z, x^+u, P/u+k reduzieren, und es besteht die Identität:

(139)

dz — dxx-----tu dx^ —^ph dxh m) = p (d£—^ 7Chd%h).

n-\-i

. . xP regulär,

Ist die Funktion cp (x und hat man

. . x ) an der Stelle x°

ms    u

H+*

so erhält man durch Elimination von P/u+i.. .pm aus den Gleichungen

t=“ *P (l/U -f- 1 ‘ ' Im) 5 ftp -f- k

dcp(^ ₊ f-Q

{h = 1 • •. • m — pj

dasjenige, an der Stelle x^ . . . xQm reguläre Integral z des Differential-systems (138), das vermöge (139) in cpfan+i . . . xm) übergeht¹ 2).

Pi    hi(xxx2.. . xmPpx.. .prn) (i = 1, 2,... p)

Die Integration jedes Involutionssystems partieller Differentialgleichungen 1. Ordnung kann auf die eines Involutionssystems der Form (140)

zurückgeführt werden ³). Führt man hierin statt der xx... mittels der Formeln (35) Nr. 17 die neuen Variabeln t)i ein, wodurch hi in hl übergehe, so ist eine der transformierten Gleichungen:

(141)

= hx + y₂ V + • • * + Vb K >

und dasjenige Integral g derselben, das sich vermöge yx — 0 in cp (^+i • • • %m) verwandelt, giebt nach Elimination der mittels (35) das Integral der Gleichungen (140), welches sich vermöge (139) auf cp reduziert (Lie’s⁴) „Fundamentaltheorem“). Dadurch ist die Integration des u-gliedrigen Involutionssystems (140) auf diejenige einer einzigen partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung (141) mit m — fi-f-1 Independenten zurückgeführt ⁵); das Verfahren beruht auf derselben geometrischen Thatsache, wie die Methode der Nr. 17 und geht in letztere über, wenn die h, in den p homogen und linear sind. Um darnach z. B. die Gleichung pt — cp (xx... xmp₂.. .pm) zu integrieren, bestimme man eine zu ihr involutorische Gleichung f (x, p) = a und führe dies Involutionssystem auf eine partielle Differentialgleichung 1. Ordnung mit m — 1 Independenten zurück; durch Wiederholung dieses Verfahrens gelangt man schliesslich zu einer Gleichung 1. Ordnung mit einer Unabhängigen, deren vollständiges Integral durch Quadratur erhalten wird und mit Hilfe blosser Eliminationen je ein vollständiges Integral aller vorhergehenden Gleichungen liefert. Die Methode verlangt dieselben Operationen wie die zweite Jacobi’sehe; ist cp in den p homogen 1. Ordnung, so kann man für f eine homogene Funktion nullter Ordnung in den p wählen, und analog bei den folgenden Reduktionen, wodurch die nötigen Operationen um je eine Einheit erniedrigt werden. Man kann auch das Verfahren nach dem kten Schritte abbrechen und die erhaltene partielle Differentialgleichung 1. Ordnung mit m — h Independenten nach Cauchy’s Methode integrieren.

40. Funktionengruppen⁶). Haben s unabhängige Funktionen fi, f%, ■■■ fs der 2m Variabein xx . . . xmpx . . . pm die Eigenschaft, dass

alle Klammerausdrücke (fi fi) als Funktionen von ft . . . f, dargestellt werden können, so nennt man den Inbegriff aller Funktionen cp(ft eine s-gliedrige Funktionengruppe G-y das System der linearen partiellen Differentialgleichungen:

(142)

ist dann (und nur dann) vollständig, und die Lösungen desselben bilden eine 2m— s-gliedrige Funktionengruppe G', die Polargruppe von 6r; die Polargruppe von G' ist wieder G. Jede Funktion yon G, die auch in G' enthalten ist, also mit allen Funktionen yon G in Involution liegt (Nr. 38), heisst eine ausgezeichnete Funktion von G. Ist 2v der Rang der schiefsymmetrischen Matrix

(143)

II (fifk) Il M =■ 1,2,... s), so sind s — 2v unabhängige ausgezeichnete Funktionen u₁...us^^v in G enthalten: die linearen Relationen

K C/i/v) + K (fzfi) + • • • + G(fsf) = 0 (i — 1, 2, • • • s)

besitzen s — 2v unabhängige Lösungensysteme JSf . . . und die Gleichungen

(144) *<*>(£/) + A®(f₉f) + • • • + W/) = 0 (k = 1, . • • s-2v)

bilden ein s — 2v-gliedriges vollständiges System, das mit dem System (uif) = 0 äquivalent ist, und u. a. die Lösungen f±...fs besitzt.

Für s > m ist v > s — ist v = s — m, dann und nur dann besteht eine Identität⁷)

(14o) dx-y -f- • • • -f— pm dxm

dV(xj • • • xmpi • • • pm

un-

worin V durch eine Quadratur, die durch Auflösung linearer Gleichungen gefunden werden. In allen Fällen giebt es 2m abhängige Funktionen P,:, X₍ derart, dass die Identitäten (66) Nr. 24 stattfinden, und die Gruppen Gy G' bezw. in den- kanonischen Formen ( )    P\, -^1 5 P$, -^2 , • • • Pr, Xv J Xv_|_i, N„_)_2j • • • X,_ r |

Ps r -j-1, -Xs — r -f-1 • • • Pm , X.m | X.v _f_ i, Xt. _j_ 2 , • . . Xs — v

erscheinen; Xr_pi... XÄ_V sind die ausgezeichneten Funktionen. Gegenüber beliebigen Berührungstransformationen der Variabein x, p besitzt also G nur die beiden Invarianten s und 2v.

Im Falle v = s — m, und nur in diesem enthält G m-gliedrige Involutionssysteme, z. B. das folgende: X, X . . .

Die Gruppe G heisst homogen, wenn die s Ausdrücke

(146)

H%

dPh

PhdPh>

in G enthalten sind. Sind dann alle f] in den p homogen nullter Ordnung, so bilden sie ein s-gliedriges Involutionssystem. Andernfalls kann G in der Form NX,N₂, ... Ns—i,H geschrieben werden, wo die Ni in den p homogen nullter, und H homogen 1. Ordnung ist. Die s — 2v ausgezeichneten Funktionen von G sind alle oder nicht alle homogen nullter Ordnung, je nachdem der Rang 2v' der mit den Elementen (146) geränderten Matrix (143) gleich 2v oder 2v -f- 2 ist. Ist 2v'—2v, so besitzen die linearen Gleichungen

Ph

Hi

dPh

= 0 (i = 1 • • • s)

s — 2v -J- 1 unabhängige Lösungen Differentialgleichungen :

(147)

und die partiellen

mp+• • •+mn+£ft=⁰

(Ä — 1, .--s — 2v + l)

bilden ein s — 2v -f- 1-gliedriges vollständiges System, dem u. a. auch die Funktionen fx . . . fs genügen. Ist G homogen, so giebt es immer 2 m unabhängige Funktionen P, X,- derart, dass die Beziehungen (66) stattfinden, die P, in den p homogen erster, die X;, homogen nullter Ordnung sind, und dass G in der einen oder der andern kanonischen Form:

P\, A) ; .. . PV} Xv] Xv+1, . . . Xs Px,Xx-, . . . P„, Xv; Pr+l, • • • Ps-v

erscheint, je nachdem 2v' gleich 2v oder 2v -f- 2 ist; gegenüber allen homogenen Berührungstransformationen der x, p besitzt also eine homogene Gruppe G nur die Invarianten s, 2v, 2v’.

Ist si>m und v = v' — s — m, dann und nur dann besteht eine Identität²³⁴) :

(148) px dxx —f— * - * —{— prn dxm eee Wx dfx -f- <P₂ Hi -f" • • • Fs dfs.

In diesem Fall (und nur in diesem) enthält G m-gliedrige Involutionssysteme nullter Ordnung, z. B. das folgende* Xx, X₂, . . . Xs _ v.

41. Fortsetzung. Ist ein g-gliedriges Involutionssystem der Form fi(xxx₂ .. . xmpxp₂ . . . pm) = Ci (i = 1,2,... q) zur Integration vorgelegt, und sind <p, ^ Lösungen des Jacobi'sehen Systems :

(149)

bezw.

— VI

(150)

m=o, (f,n=o,... (ftf)=o

so ist nach dem Poisson'sehen Theorem (Nr. 25) auch (cp cp) eine Lösung234 a) 5 sind also fq-p1}fq+₂, ■ ■ ■ fr bekannte Integrale von (150), so gilt dasselbe von allen Punktionen f\ ... fr .. . fs der kleinsten Gruppe G, in der f.. .fr enthalten sind. Umfasst G w-gliedrige Involutionssysteme, d. h. ist s > m und 2v — 2s — 2m der Rang der Matrix (143), so besteht die Identität (145) und die Punktionen fx...fs,    z—V

gehen zusammen alle Lösungen des vollständigen Systems [fxf] = 0, ..

• • [/)/"] = 0, womit die Integration des Involutionssystems (149) nach der verallgemeinerten Cauchy'sehen Methode erledigt ist (Nr. 38). Enthält G kein m-gliedriges Involutionssystem, so besitzt das vollständige System (144) ausser ft . . fs noch andere davon unabhängige Lösungen; die Ermittelung einer solchen Lösung fs+i fordert eine Operation 2q = 2m — 2s -f- 2v. Die Anwendung des analogen Verfahrens auf die von f± . . . fs + i erzeugte Gruppe fordert eine Operation 2q — 21 (l 1) etc. Hat man solcherweise so viele Funktionen fs-\-i . • ■ fs' gefunden, dass das vollständige System, das zu der von /i . .. fs' erzeugten Gruppe G' in derselben Beziehung steht wie (144) zu G, ausser /^ ... keine Integrale besitzt, so enthält G' m-gliedrige Involutionssysteme, und die Integration ²³⁵) von (149) fordert noch eine Quadratur²³⁶).

zu

Sind fx . . . fq in den p homogen nullter Ordnung, so ist mit cp gleich auch P i eine Lösung von (150); sind also fq+1 . . . fr

bekannte Lösungen, so gilt dasselbe von allen Funktionen fx ... fs der kleinsten homogenen Gruppe G, welche die Funktionen fx . . . fr umfasst. Hat man s^>m und v — v'— s — m, d. h. enthält G w-gliedrige Involutionssysteme nullter Ordnung, so besteht eine Identität (148), und die Funktionen ft...fs, y?g+i ■ ■ . liefern alle Lösungen von (150), womit die Integration von (149) geleistet ist. Andernfalls sei zunächst 2i/=2v-f-2; dann lässt sich aus dem Umstand, dass G homogen ist, kein Vorteil ziehen, und es ist das vorige Verfahren

234a) Eine Verallgemeinerung bei H. Lament, J. de math. (2) 17, p. 422 (1872); vgl. „Goursat A“, Note II.

235)    In dieser Theorie • sind Jacobi's Sätze über die Multiplikatoren von Gleichungen der Form [Ff\ = 0 oder (ft f) — 0 (J. f. Math. 29, § 19 = Werke 4, p. 413; 18. Vorl. über Dyn.) als Korollare enthalten, s. Lie, Math. Ann. 11, p. 519; andere Spezialfälle behandeln Jacobi, J. f. Math. 60, p. 143 = Werke 5, p. 151 und Gr. Boole, Lond. Trans. 1863, p. 495—501.

236)    Lie’s ursprüngliche Methode (Math. Ann. 8) erfordert die Bestimmung der ausgezeichneten Funktionen von G.

anzuwenden. Ist aber 2v' = 2v, sind also alle ausgezeichneten Funktionen von G militer Ordnung, so bestimme man durch eine Operation 2 m — 2 s -j- 2 v — 1 ein von fx ... fs unabhängiges Integral fs + 1 des vollständigen Systems (147); dann sind alle ausgezeichneten Funktionen der von fx ... fs + i erzeugten homogenen Gruppe wieder homogen der nullten Ordnung etc. Hat man so die Funktionen fs + i . . ■ fi derart bestimmt, dass das vollständige System, das zu der von fx... /y erzeugten homogenen Gruppe G' in derselben Beziehung steht, wie (147) zu G, ausser fx.--fs' keine Lösungen besitzt, so enthält G' m-gliedrige Involutionssysteme militer Ordnung, und die Integration (149) ist erledigt⁸).

von

Lie⁹ 10) hat gezeigt, dass die vorstehenden Theorieen die bestmögliche Ausnützung bekannter Lösungen fq+i . . . fr des Systems (150) gewährleisten.

Ist cp eine Lösung von (150), so gestattet dieses vollständige System die infinitesimale Transformation (cp /‘); mittels dieser Bemerkung erhält Lie2S9) die Sätze dieser Nummer auch aus seiner Integrationstheorie der vollständigen Systeme mit bekannten infinitesimalen Transformationen.

Enthält die vorhin genannte homogene Gruppe G nicht lauter Funktionen, die in den p homogen militer Ordnung sind, so kann sie die Form cpx, <p₂ . . . cps erhalten, wo alle cp in den^p homogen erster Ordnung sind. Dann gestattet das homogene Involutionssystem (149) die infinitesimalen homogenen Berührungstransformationen (cpx /’)... (cp, /'), mithin alle Transformationen der von ihnen erzeugten unendlichen ¹¹) Transformationsgruppe. Erteilt man einem Involutionssystem

(loi) Fi (z, Xx . . . Xm—1) Px • • • Pm — l) — C*

nach Nr. 35 die homogene Gestalt (149), so verwandelt sich jede infinitesimale Berührungstransformation der Variabein z, xx.. .xm—\, px . . . p,a—\, die das System (151) invariant lässt, in eine infinitesimale homogene Berührungstransformation, die das System (149) in sich überführt; die Theorie der homogenen Gruppen lehrt dann, wie man bekannte infinitesimale Berührungstransformationen¹²), die ein Involutionssystem (151) invariant lassen, für dessen Integration verwertet.

23

So beruht die Vereinfachung, welche die Integration einer die Unbekannte z nicht explicite enthaltenden Gleichung darbietet, darauf, dass

eine solche Gleichung die infinitesimale Translation

LieU2) hat die allgemeinere Frage behandelt, welche Vorteile sich für die Integration einer Gleichung 1. Ordnung mit bekannten infinitesimalen Punkttransformationen ergeben. Eine Klassifikation und Integrationstheorie aller Gleichungen 1. Ordnung mit 2 Independenten, die bekannte endliche Gruppen von Punkttransformationen gestatten, hat W. de Tannenberg²*³) nach Lie’s Angaben²⁴⁴) durchgeführt.

42. Die Bäcklund’sclie Theorie ²⁴⁵). Sind g (< 2 m) unabhängige Gleichungen (152)

gegeben, und ist 2 k ²⁴⁶) die Ordnung der höchsten vermöge (152) nicht identisch verschwindenden Determinanten der Matrix jj    ||,

so besitzen die Gleichungen (152), falls k > g — m, ooœ gemeinsame Integraldie zusammen alle durch (152) definierten Flächenelemente umfassen und von „charakteristischen“ Mannigfaltigkeiten erzeugt werden, und im Falle k — g — m einfach unendlich viele Integraldagegen kann nicht jedes Flächenelement, das den Gleichungen (152) genügt, einer gemeinsamen Integral dieser Gleichungen angehören. Ist g m -f- 1 und k — g — m — 1, so definieren die Gleichungen (152) eine Element -Jf₂w-|-i Theorie der Involutionssysteme (Nr. 38) ist in diesen Sätzen als Spezialfall (k = 0) enthalten.

Fi(p, xl ... xmp,...pj = 0

df

dz

gestattet.

—/<•

Die

V. Höhere Differentialprobleme.

1. Differentialsysteme mit zwei unabhängigen Veränderlichen.

43. Klassifikation der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung hinsichtlich ihrer Charakteristiken erster Ordnung. Die

Relationen

(153) F(x, y, z,p, q, r, s, f) = 0 (r = s =    t =

dsz

dyi

242)    Math. Ann. 5, p. 200; „Lie-Scheffers Btr.“ Kap. 13.

243)    Toul. Ann. 5 (1891).

244)    „Tr.“ 3, p. 128, Anm.

245)    A. V. Bäcklund, Math. Ann. 11, p. 412 (1877); mein Buch Kap. 14, § 5; die Theorie ist ein Spezialfall der „verallgemeinerten Frobenius'sehen Theorie“ des Bfaff'sehen Problems, vgl. Nr. 26.

246)    Man hat stets fi —

dp — rdx    sdy, dq = sdx -j- tdy

(154)

bestimmen im allgemeinen eine diskrete Zahl von Wertsystemen r,s,t; durch einen Streifen S von Flächenelementen 1. Ordnung des Raumes _R₃ (xyz) geht also ²⁴⁷) im allgemeinen eine diskrete Zahl von Integralflächen der partiellen Differentialgleichung (153). Bleiben die Werte r st für irgend zwei benachbarte Flächenelemente xyzpq und x -j- dx ■ ‘ ' 2 “f“ dq des Streifens S vermöge (153), (154) unbestimmt, so heisst letzterer eine „Charakteristik erster Ordnung“ der partiellen Differentialgleichung (153). Deutet man x . . . q als Parameter, r s t als Punktkoordinaten eines R₃, also die Gleichung (153) als eine oo⁵-Schar von Flächen F, die Relationen (154) als die Gleichungen einer Geraden des Komplexes (jc), der aus allen zu den Erzeugenden des Kegels

(155)

rt — s² = 0

parallelen Linien besteht, so ergiebt sich folgende Klassifikation²⁴⁸) der Gleichungen (153):

(156)

a) Die Gleichung (153) hat die Ampèr ë sehe24y) Form Hr + 2Ks + Lt+ M+ N(rt — s²) = 0 (.H, K. . . Funktionen von xyzpq);

jede Fläche F enthält zwei verschiedene Scharen von je oo¹ Geraden des Komplexes (x); demgemäss giebt es zwei verschiedene Systeme von Charakteristiken 1. Ordnung; das eine ist definiert durch (157)x dz=pdx-\-qdy\ Ndp~yLdx-\-A,₁dy=0] Ndq-{-X₂dx-\-Hdy=0 (l1} X₂ = — K± ]/K² — HL—MN)\ das andere durch die Gleichungen (157)a, die sich durch Vertauschung von A₂ ergeben. Im Falle der Monge’sehen ²⁵°) Gleichung, d. h. für N= 0, sind die Systeme (157)₁, (157)₂ bez. zu ersetzen durch die beiden Systeme 260a):

(lhA)idy=hdx]HkidpĄ-Ldq-{-MXidx==0,dz==pdx-{-qdy (i=1,2).

247)    É. Goursat, Acta math. 19, p. 291 = „Goursat B“, 1, Art. 16.

248)    Goursat, a. a. 0. p. 297 = „Goursat B“, 1, Art. 87.

249)    J. éc. pol. 11, cah. 18, p. 84 (1820); vgl. de Morgan, Cambr. Trans. 9, p. 515 (1854), bes. Art. 20 u. 23; L. Natani, „Analysis“ p. 365—380; É. Bour, J. éc. pol. 22, cah. 39, p. 186 (1862); G. Boole, J. f. Math. 61, p. 309 (1863) = „Boole“, Suppl. Vol. Kap. 28, 29; Imschenetzky, Arch. Math. 54, p. 209 (1872) = „Mansion“, deutsche Ausg., Anhang 2; „Goursat B“ 1, Kap. 2; A. Cayley, Quart. J. 26, p. 1 (1893) = Pap. 13, p. 358.

250)    Par. Hist. 1784, p. 118; vgl. A. M. Legendre, ebenda 1787, p. 309.

250a) Für den Fall, dass eine oder beide Funktionen H, L verschwinden

vgl. „Goursat B“ 1, Art. 25.

b) Die Gleichung (153) stellt Komplexkegel von (x) oder Tangentialebenen von solchen dar, hat also die Form (156), wobei E} — HL — MN = 0; die beiden Charakteristikensysteme sind identisch.

c)    Die Flächen F sind Developpable, deren Erzeugende dem Komplex (x) angehören, aber keine Kegel; die Gleichung (153) entsteht durch Elimination von a aus 2 Gleichungen der Form:

(159)    r -f- 2as -f-    + %ty(xyzpqci) = 0, s -f- ła -j- ip'a — 0;

es giebt ein doppeltzählendes Charakteristikensystem 1. Ordnung, definiert durch 3 Gleichungen:

(160)    dz=pdx-\- qdy\ q>x(xf... q, dx,... dq) — 0, cp₂ (x,... aq) — 0.

d)    Die Flächen F sind Regelflächen des Komplexes (x), weder vom 2. Grad noch Developpable; es giebt ein einfach zählendes Charakteristikensystem erster Ordnung, definiert durch 3 Gleichungen der Form (160).

e)    Jede Fläche F enthält eine diskrete Zahl von Komplexlinien; es giebt oo⁴ Charakteristiken 1. Ordnung.

f)    Der allgemeine Fall.

Für die Kategorien b) und c) und nur für diese hat man vermöge (153)

(161)

ART— S² ~0 (R

etc.j.

dF

” dr

Bei einer beliebigen Berührungstransformation des Raums Rz(xyz) geht jede Charakteristik 1. Ordnung wieder in eine solche, also jede partielle Differentialgleichung 2. Ordnung in eine Gleichung derselben Kategorie über.

Eine aus oo² Flächenelementen xy zpqrst bestehende Element-M₂ (Nr. 9), die keine Fläche bildet, schliesst sich entweder an einen Streifen 1. Ordnung, oder an ein Flächenelement 1. Ordnung an; dagegen kann eine Element -M₂ 2. Ordnung, deren Flächenelemente 1. Ordnung ebenfalls eine oo²-Schar bilden und sich an eine Kurve des R₃ anschliessen oder denselben Punkt enthalten, in den Koordinaten xy ... t nicht dargestellt werden (vgl. Nr. 9, Fussn. 46a).

F. Engel²⁵¹) gebraucht daher statt r s t die homogenen Koordinaten — q:u, — 6\u, — t :u und eine 5te Koordinate v, die mit den vorigen durch die Relation q i — <?² -(- w v = 0 verknüpft ist. Dann ist u — 0 diejenige partielle Differentialgleichung 2. Ordnung, die alle Kurven des R₃ zu Integralen hat; die Ampère’sehe Gleichung wird in den Koordinaten q 6 x u v linear und homogen. Die Monge’sehe Gleichung

ist in q 6 x u linear und homogen und dadurch charakterisiert, dass sie die oo³ „Punkte“ des B₃ zu Integralen hat. Da sich die Koordinaten ç> ... v bei jeder erweiterten Berührungstransformation des Bs linear und homogen transformieren, so verwandelt sich eine Monge’sehe Gleichung bei beliebiger Berührungstransformation im allgemeinen in eine Ampère’sehe; umgekehrt erhält die Gleichung (156) durch jede Berührungstrsf., die oo³ ihrer Integralflächen in die Punkte eines Bf transformiert, die Monge’sehe Form ¹³ 14).

44. Erste Integrale einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Jede Integralfläche einer Gleichung 2. Ordnung der ersten 4 Kategorien ist von oo¹ Charakteristiken 1. Ordnung erzeugt, und zwar im Falle a) auf zwei verschiedene Arten; umgekehrt ist jede M₂ von Flächenelementen x y z p q, die aus oo¹ Charakteristiken besteht, ein Integral von (153). Die Charakteristiken eines intermediären Integrals f(xyzp q) = 0 (Nr. 6 und 34) sind unter denjenigen der Gleichung (153) enthalten; ersetzt man demnach in den Definitionsgleichungen der Charakteristiken 1. Ordnung von (153) d|e dx,.. .dq durch ihre Werte (81), so ergiebt sich für f ein System 2 partieller Differentialgleichungen 1. Ordnung mit den Independenten x ... q.2o3) Man findet alle ersten Integrale f— 0 durch Aufsuchung aller Funktionen f, die das System U vermöge f = 0 erfüllen. Jede Lösung f des Systems 2J liefert ein erstes Integral:

(162)

/' (x y z p q) — const, der partiellen Differentialgleichung (153) und umgekehrt.

Bei der Kategorie a) erhält man so zwei Systeme 2JX und bestehend aus je zwei linearen partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung, die zu dem System (157^ bezw. (157)₂ adjungiert sind (Nr. 14). Ist (162) ein erstes Integral der Gleichung (156), so ist df eine integrable Kombination eines der Systeme (157)x, (157)₂, und umgekehrt. Ist df eine integrable Kombination des einen Systems (157), so gehören die Charakteristiken der partiellen Differentialgleichung (162) dem andern Charakteristikensystem von (153) an, und umgekehrt. Sind ux, u₂ bezw. Lösungen von 2J1} so sind die partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung: ux = cx und u₂ — c₂ involutorisch ¹⁵).

24

Zwei Lösungen u, v desselben Systems 27; sind dann und nur dann involutorisch, wenn Xx =    ; dann liegt der Fall b) vor, und die

Systeme 27; koincidieren zu einem einzigen vollständigen System, das also ausser u, v eine dritte (mit u und v inyolutorische) Lösung w(xyzpq) besitzt. Umgekehrt, ist das System 2X vollständig, so ist es mit 27₂ identisch, und seine 3 Lösungen u, v, w sind involutorisch. Die Gleichung (156) hat dann zwei verschiedene allgemeine erste Integrale v — cp (u), w = i/> (u) ;¹⁶) ihre allgemeinste Integral-df₂ ergiebt sich nach Ermittelung von u, v, w als Umhüllungsgebilde von irgend oq¹ der dreifach unendlich vielen Element-Mp.

u = v = b, w = c.

Eine Gleichung (153) dieser Art ¹⁷) ist durch Berührungstransformation äquivalent mit r = 0, oder mit rt — s² = 0, oder mit der Gleichung, deren allgemeines Integral aus allen „Kurven“ des H₃ ixyz) besteht (s. d. vor. Hummer).

Besitzt eine Gleichung (156) der Kategorie b) ein erstes Integral (162), so wird sie durch eine Berührungstransformation, deren Aufstellung mit der Integration von (162) äquivalent ist, auf eine von s und t freie Form gebracht ¹⁸).

45. Fortsetzung. Existieren für eine Gleichung (156) der Kategorie a) zwei Lösungen u, v des Systems 271? so besitzt die Gleichung (156) ein allgemeines erstes Integral:

(163)

u(xyzpq) = cp \v(xyzpq)\, und wird durch Derivation (Fussn. 2) dieser Gleichung nach x, y und

p

Elimination von wiedergewonnen. Es giebt eine und nur eine

Gleichung der Form (163), die einen beliebig gegebenen Streifen S der 1. Ordnung enthält, und auf deren Integration die Lösung des Cauchy'sehen Problems, d. h. die Bestimmung der durch S gehenden Integralfläche zurückkommt.

Besitzt auch 27₂ zwei Lösungen u v, existiert also ein zweites allgemeines intermediäres Integral u — i\) (v ), und hat man u und u ermittelt, so erfordert die Aufsuchung von v und die Integration der partiellen Differentialgleichung (163) je eine Quadratur ¹⁹); alle Glei-

chungen (156) dieser Art sind durch Berührungstransformationen mit s = 0 äquivalent. Hat nur eine Lösung, so erledigt sich die Integration jeder Gleichung der Form (163) durch eine Operation 1.

Die Gleichung (156) kann durch Berührungstransformation von einer der Ableitungen r, t oder von beiden befreit werden, je nachdem nur eines der Systeme    H₂ oder beide je eine Lösung be

sitzen ²⁵⁹).

Eine Gleichung der Kategorie e) kann ein erstes Integral (162), eine Gleichung der Kategorie f) höchstens ein solches der Form /’ = 0 besitzen.

Bilden für eine Gleichung (153) der Kategorie c) oder d) die beiden partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung des Systems 2J zusammen mit der durch Klammeroperation (Kr. 38) daraus abgeleiteten Relation ein dreigliedriges Involutionssystem, so besitzen sie eine Lösung mit zwei arbiträren Konstanten a, b, die Gleichung (153) also ein erstes Integral der Form²⁶⁰):

V (x y zp ą a b) = 0.

Durch Variation der Konstanten folgt hieraus ein allgemeines erstes Integral, mithin die Lösung des Cauchy'sehen Problems für (153) durch Integration eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen.

dV dV

Die Elimination von a und b aus (164) und ^ = 0,    — 0 liefert

unter Umständen ein singuläres erstes Integral. Nach A. V. Bück-lund²⁶¹) erhält

chung zwischen x y z p q durch eine Flächentransformation (Nr. 10): (165) x — I, y — rj,... ą = x (£, rj,.. .xFunktionen von xyzpąrst).

Soll das System 2J involutorisch sein ²⁶²), die Gleichung (153) also ein erstes Integral mit 3 arbiträren Konstanten besitzen, so gehört (153) zur Kategorie c) und die Funktion ÿ in (159) genügt einer gewissen partiellen Differentialgleichung 2. Ordnung mit den Independenten xyspqu] dann bildet jedes erste Integral der Form (164) zusammen mit den Gleichungen:

= a.

(Nr. 44)

(164)

man

jede Gleichung (153) dieser Art aus einer Glei-

(166)

dV

ob

(a, b, a, b' arbiträre Konstante)

259)    Ampère, a. a. O. p. 122, 154 ff.

260)    Lagrange, Beri. Mém. 1774 = Werke 4, p. 89; Goursat, Par. C. R. 112,

p. 1117.

261)    Math. Ann. 11, p. 213—226.

262)    N. J. Sonin, Mosk. Math. Ges. 1874, übers, von Engel in Math. Ann. 49, p. 417, bes. § 7; H. A. W. SpecJcman, Amsterd. Versl. 1892, p. 465; „Goursat B“ 1, Art. 93—96.

24

ein Involutionssystem. Ist W (x y z a t> a h') — 0 das Resultat der Elimination von p und q aus den Gleichungen (164), (166), so hat das allgemeine Integral von (153) die Form:

W[x, y, z, a, cp (a), cp' (a), cp (a)] = 0, dW

(167)

dW , dii'

da

8cp

<P +

8 cp'

<P" +

cp' = 0.²⁰)

46. Die Charakteristiken höherer Ordnung einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Durch A-malige Derivation der Gleichung (153) nach x und y erhält man Relationen der Form:

h-\- 2

etc. ).

ds2

dx* dys

Ein „Streifen vtei Ordnung der partiellen Differentialgleichung (153)“, d. h. ein System von oo¹ Werten x y zp ... z*, das den Relationen

(169)* dz* = z+x • dx -f-    • dy (i = 0, 1, . . . Je)

für Je = 0,1, ... v — 1, sowie den Gleichungen (153) und (168)* für h = 1, 2,. . . v — 2 genügt, bestimmt im allgemeinen einen und nur einen ihn umfassenden Streifen v -f- lter Ordnung von (153); ist er aber eine Charakteristik vter Ordnung²¹), d. h. genügt er einem der beiden Relationensysteme:

a) dy — Ajdx — 0; b) dz* —    + AjZ^lj dx = 0;

c) Rdzh_₁ -f (8— RAj)dzvh + Mv~_\ dx = 0 (i = 0,1,.. .k] k = 0,l,. .

(170>

i = 1,2

(171)

• v — 1; h= 1,2,... v), worin Ax, A.₂ die Wurzeln der charakteristischen Gleichung RA² — SA -f T= 0 bedeuten, so lassen die Gleichungen (168v_i) und (169„) die v lt0!1 Ableitungen von z unbestimmt. Die Relationen (170),- c) reduzieren sich vermöge (168„_₂) [im Falle v = 2 vermöge (153)] auf nur eine unabhängige; eines der Differentiale dz*, dz*,... dz* bleibt also vermöge (170); willkürlich. Jede Charakteristik vtev Ordnung enthält je eine

46. 47. Die Charakteristiken höherer Ordnung der p. Diffgl. 2. Ordnung. 373

Charakteristik v — lter, v — 2ter,... 2ter Ordnung und ist, falls At =f= A₂, auf einfach unendlich vielen²²) Charakteristiken v -f- lter Ordnung enthalten²³ 24). Jede nichtsinguläre Integralfläche wird von je oo¹ Charakteristiken vter Ordnung jedes der beiden Systeme (170); erzeugt; die zugehörigen beiden Systeme von je oo¹ Kurven heissen die charakteristischen Kurven ²⁶⁷) der Integralfläche. Längs jeder Charakteristik vteI Ordnung haben oo⁰⁰ Integralflächen eine Berührung vter Ordnung. Durch 2 beliebige Charakteristiken vter Ordnung, die verschiedenen Systemen angehören und ein Flächenelement vter Ordnung gemein haben, ist eine und nur eine Integralfläche von (153) festgelegt ²⁵).

47. Fortsetzung. Jede Charakteristik erster Ordnung einer Gleichung (156) der Kategorie a) ist auf einfach unendlich vielen Charakteristiken 2. Ordnung enthalten, und jede der letzteren enthält eine solche der 1. Ordnung; bei der Kategorie d) steht das Charakteristikensystem 1. Ordnung zu dem einen der beiden Charakteristikensysteme 2. Ordnung in derselben Beziehung. Für A₁=el A.2j d. h. für eine Gleichung der Kategorie b) oder c) genügt zwar jeder Streifen 2. Ordnung, der eine Charakteristik 1. Ordnung umfasst, den Definitionsgleichungen der Charakteristiken; doch geht durch eine gegebene Charakteristik 1. Ordnung bloss eine Integralfläche. Eine Ausnahme bilden nur²⁶) die Ampère' sehe Gleichung mit zwei intermediären Integralen v — (p (u), w — ip (u) (Fussn. 255), und die Sonin⁷sehe Gleichung (Fussn. 262); für diese giebt es oo⁵ ausgezeichnete Charakteristiken 1. Ordnung, von denen alle nichtsingulären Integralflächen erzeugt werden; die auf nichtsingulären Integralflächen gelegenen Charakteristiken vter Ordnung bilden eine ausgezeichnete oc2r+³- Schar, und jede ausgezeichnete Charakteristik 1. Ordnung ist auf oo² ausgezeichneten Charakteristiken 2. Ordnung, jede der letzteren auf oo² ausgezeichneten Charakteristiken 3. Ordnung etc. enthalten.

48. Die Charakteristiken der partiellen Differentialgleichungen »ter Ordnung. Der Charakteristikenbegriff überträgt sich sofort auf eine Gleichung Ordnung ²⁷⁰):

(172)    F(xy zpqr . . . z\ ... z% ... #") = 0 yzk

dzk

dxidyk~i^

Eine Charakteristik n -f- vter Ordnung ist ein Streifen, der die Gleichung (172) und die derivierten Gleichungen bis zur n -f- v Ordnung erfüllt, derart, dass für irgend zwei benachbarte Elemente des Streifens die Gleichungen (169m_j_„) und die Derivierten n-j- v -j- lter Ordnung von (172) die höchsten Ableitungen unbestimmt lassen. Es giebt entsprechend den n Wurzeln A, der charakteristischen Gleichung:

ten

(173)

— A* — — A*-¹-1-----f- (— 1)

dzn₀

dz\

Ord-

n im allgemeinen verschiedene Charakteristikensysteme n -f- v nung (v — 0, 1, 2, . . .), auf die alle Sätze der Nr. 46 mit Ausnahme des letzten Anwendung finden. Auch die Theorie der Charakteristiken 1. Ordnung einer Gleichung 2. Ordnung hat hier ihr Analogon²⁷¹) : Ein Streifen n—1. Ordnung heisst eine Charakteristik n — 1. Ordnung, wenn für irgend zwei benachbarte Elemente n— 1. Ordnung desselben die Gleichung (172) nach Substitution der aus (169„_i) folgenden Werte von z" . . . znn__₁ unabhängig von znn erfüllt ist. Von den sich so ergebenden Kategorien von Gleichungen nter Ordnung ist nur L. Natani’s ²⁷²) Verallgemeinerung der Ampère'sehen Gleichung:

-«+i) = °

näher untersucht. Die Elimination von    aus den Gleichungen

(169*_i) und (174) führt auf zwei in dx, dy, dz\~x . . . dznnz\ homogene nicht lineare Gleichungen, die, falls nicht alle B;k gewissen, von den A, Af. Bik oder höchstens²'⁴) zwei verschiedene Paare linearer homogener Gleichungen in dx, dy, dz^-¹ erfüllt werden, dagegen dann und dann, wenn alle Bik = 0, in n verschiedene lineare Gleichungspaare ²⁷⁵)

270)    Ygl. Du Bois-Reymond, „Beiträge“ p. 198, Bäcklund (Fussn. 55) und meine Arbeiten (Fussn. 264).

271)    Ygl. meine Arbeit, Math. Ann. 47, p. 236.

272)    „Analysis“, p. 380—388.

273)    M. Hamburger, J. f. Math. 81, p. 272 (1876).

274)    A. V. Bäcklund, Math. Ann. 13, bes. p. 97.

275)    G. Monge, Par. Hist. 1784, p. 155 ff.

(174) A +    +

(A, A., Bjk Funktionen

von

ter

0, unter

zu erfüllenden Bedingungen ²⁷³) durch ein

nur

48. Die Charakteristiken d. part. Diffgl. nter Ordn. 49. Beziehungen etc. 375

zerfallen. Jede Charakteristik n — 1. Ordnung ist im allgemeinen auf oo¹ Charakteristiken nter Ordnung enthalten, und umgekehrt umfasst jede Charakteristik nter Ordnung eine solche n — 1. Ordnung. Gestatten die linearen Definitionsgleichungen eines Charakteristikensystems n— 1. Ordnung der Gleichung (174) eine integrable Kombination df(x, . . .    ⁴, . . .    so ist f = c ein erstes Integral von

(174); besitzen sie 2 integrable Kombinationen df, df, so existiert ein allgemeines erstes Integral f — cp (/"). Eine in den znt nicht lineare Gleichung (174) kann demnach höchstens zwei, eine lineare Gleichung n verschiedene allgemeine erste Integrale obiger Form besitzen ²⁷).

Sind . . . Qn die Argumente der im allgemeinen Integral (Nr. 4) einer Gleichung nter Ordnung der „ersten Klasse“ auftretenden arbiträren Funktionen cpik, so definieren die Relationen

p₁ = const., . . . Qn — const.

auf jeder Integralfläche bez. die zu den Wurzeln Ax . . . An von (173) gehörigen n Systeme charakteristischer Kurven. Enthalten die aus den allgemeinen Integralgleichungen zu berechnenden Ausdrücke für p, g, r, . . . znn keine höheren Ableitungen der arbiträren Funktionen q>ik(çi) als die Integralgleichungen selbst, so kann man durch geeignete Wahl der cpik 00e0 Integralflächen bestimmen, die eine gegebene Integralfläche V längs der charakteristischen Kurve qx = w-fach berühren; dagegen giebt es 00e0 Integralflächen, die F längs der Kurve p, = p'j nur n — 1-fach berühren, wenn die Ausdrücke für p ... z" Ableitungen der Funktionen cplk enthalten, die in den Integralgleichungen nicht Vorkommen. Aus der letzteren Annahme folgert A. M. Ampère ²⁸) die Bedingungen für das Auftreten eines Charakteristikensystems n — 1. Ordnung und die Definitionsgleichungen des letzteren.

49. Beziehungen zwischen zwei partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Sollen zwei partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung:

(175)

Fx{xyzpqrst) = cx\ F₂(xy ... t) = c₂

für beliebige cx c₂ nach der ZJe’schen Bezeichnungsweise⁴¹) ein unbeschränkt integrables System bilden, d. h. oo⁴ Integralflächen gemein haben, so müssen die sechs durch zweimalige Derivation von (175) folgenden Gleichungen 4. Ordnung sich hinsichtlich der 4t0U Ableitungen

auf nur 5 unabhängige reduzieren²⁹), was bei gegebenem Fx eine lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung für F% ergiebt³⁰). Die Integration von (175) fordert dann die eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen (Nr. 3 u. 16, Fussn. 96) und liefert ein vollständiges Integral mit 5 arbiträren Konstanten für Fx = cx. Wenn eine Gleichung nteT Ordnung F(xy ... 0^) == c mit Fx = cx oo²”+1 Integralflächen gemein haben soll, so muss die Funktion F eine gewisse lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung mit den Independenten xy ... 0nn erfüllen ³⁰).

Die Gleichungen (175) bilden für beliebige oder nur für zwei bestimmte Werte cx ą ein Involutionssystem ³¹), je nachdem sich die 4 durch einmalige Derivationen aus ihnen folgenden Gleichungen

3. Ordnung identisch oder nur vermöge (175) auf drei unabhängige reduzieren. Stellt die Kurve (175) des Raums Mä(r s t) (vgl. Nr. 43) ein Involutionssystem dar, so repräsentiert die von ihren Tangenten erzeugte Developpable eine Gleichung 2. Ordnung der Kategorie b) oder c), die einem der am Schlüsse von Nr. 47 genannten Typen angehört, und umgekehrt³²); die Integrale des Involutionssystems (175) sind singuläre Lösungen dieser Gleichung 2. Ordnung.

Die charakteristischen Gleichungen (Nr. 46) der beiden involuto-rischen Gleichungen (175) haben eine Wurzel^, die Gleichungen (175) selbst eine Schar von oo⁵ Charakteristiken 2. Ordnung des ersten Systems gemein. Oskulieren sich zwei gemeinsame Integralflächen von (175) in einem Punkte, so thun sie dies längs einer der gemeinsamen Charakteristiken. Kann das Involutionssystem (175) auf eine in r s t lineare Form ³³) gebracht werden, so enthalten je oo¹ gemeinsame Charakteristiken 2. Ordnung denselben Streifen 1. Ordnung, und es giebt oo⁴ gemeinsame Charakteristiken 1. Ordnung, die sich zu ocCJ: Flächen zusammenordnen lassen, insbesondere mit den Charakteristiken eines gemeinsamen intermediären Integrals (162) identisch sein können. Durch jeden gemeinsamen Streifen 2. Ordnung der in-volutorischen Gleichungen (175) geht eine und nur eine, von oo¹ der

49. Beziehungen etc. 50. Darboux’sche Systeme; Involutionssysteme. 377

gemeinsamen Charakteristiken 2. Ordnung erzeugte Integralfläche, die sonach durch eine der Cauchy’sehen ganz analoge Methode³⁴) gefunden wird (Nr. 34).

Um das Involutionssystem (175) zu integrieren, kann man auch mit Lie ³⁵) alle Gleichungen V(xy z pq) = a aufsuchen, die mit dem System (175) je oo² Integralflächen gemein haben, was auf eine semilineare Gleichung 1. Ordnung (Nr. 34, Fussn. 208) für die Unbekannte V führt. Oder man ermittelt nach N. Sonin ³⁶) durch» Integration einer linearen partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung mit den Independenten xy zp qr st eine Gleichung 2. Ordnung der Form F₃(x ... t) = c₃, die mit dem System (175) ein Integral mit 3 Konstanten c₄ c₅ c₆ gemein hat, und gewinnt dadurch ein vollständiges Integral der Gleichung F₁ = c₁, das von den arbiträren Konstanten c₂ ... c₆ abhängt, und dessen Flächen sich zu Scharen von je einfach unendlich vielen derart zusammenordnen, dass sie ihre Enveloppe nach je einer Kurve oskulieren³⁷).

Für ein beliebiges vollständiges Integral einer Gleichung 2. Ordnung existiert kein entsprechender Prozess, und die Variation der Konstanten führt hier im allgemeinen zu keiner Vereinfachung des Integrationsgeschäfts³⁸); das gleiche gilt a fortiori für höhere Differentialprobleme³⁹). Auch die Theorie der singulären Lösungen einer partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung (Nr. 33) hat bei partiellen Differentialgleichungen höherer Ordnung im allgemeinen kein Analogon ⁴⁰).

50. Darboux’sche Systeme; Involutionssysteme. Hat man eine Gleichung 2. Ordnung und eine Gleichung nter Ordnung⁴¹):

(176) Fx (x . . . t) = ct ; F₂ (xy zp . . .    . . . *£) = c₂ (w ^ 2)

und reduzieren sich die n -(-2 aus (176) durch Derivation folgenden Gleichungen n -f- lter Ordnung auf n -f- 1 unabhängige, dann und nur dann haben die beiden charakteristischen Gleichungen von F₁ = cx und i^₂ = c₂ eine Wurzel die Gleichungen (176) selbst oo²”+1 Charakteristiken nteT Ordnung des ersten Systems gemein; durch jeden gemeinsamen Streifen nteT Ordnung der Gleichungen (176) geht dann eine und nur eine von den gemeinsamen Charakteristiken erzeugte Integralfläche. Die Gleichung F₂ = c₂ ist also dann ein intermediäres Integral (Nr. 6) von F₁ — ct, d. h. sie hat mit dieser Gleichung oo⁰⁰ Integralflächen gemein. Gilt dies für beliebiges c₂, dann und nur dann ist dF₂ eine integrable Kombination der totalen Differentialgleichungen , die das zur Wurzel A₂ gehörige Charakteristikensystem nteT Ordnung der Gleichung Fx = cx definieren (Nr. 46). Bilden die Gleichungen (175) für beliebige ą c₂ ein Involutionssystem, so steht Fx zu F₂ — c₂ in der analogen Beziehung.

¹

   Über die Klasse dieses Pf aff sehen Ausdrucks vgl. G. Morera (Fussn. 173) und mein Buch Kap. 13, Art. 363; die Betrachtung obiger Identität führt zu einer leicht ersichtlichen Verallgemeinerung der in Nr. 80 gegebenen Sätze (2V. SaltyJcow, J. de math. (5) 3, p. 423 (1897); Par. C. R. 128, p. 166, 225, 274, 1550 (1899)).

²

   Seine Existenz folgt aus der Passivität des Systems (138); es kann nach É. Delassus (Ann. éc. norm. 1897, p. 117) auch durch successive Integration von n partiellen Diff.-Gl. 1. Ordn. mit m — /r -(- 1 Independenten erhalten werden; für m = 2, ft = 2 vgl. Darboux, „Surfaces“ 2, p. 258.

³

   A. Mayer, Math. Ann. 8, p 313 (1875); Lie, Math. Ann. 9 p. 275 f.

⁴

   Christ. Forh. 1872, p. 28; Gott. Nachr. 1872, p. 321; Mayer, Math. Ann. 6, p. 162 (1873).

⁵

   Diese Methode ist natürlich auch auf ein System der Form (138) anwendbar ÇDelassus, Ann. éc. norm. 1897, p. 118; dessen Buch p. 38); F. Schur führt die Integration der unaufgelösten Form des Involutionssystems (127) auf ein System gewöhnlicher Diff.-Gl. zurück, Leipz. Ber. 1892, p. 182; 1894, p. 38.

⁶

   S. Lie, Christ. Forh. 1873, p. 16; Math. Ann. 8, p. 215, ebenda 11, p. 464; „Tr.“ 2, Abt. 2; vgl. „Goursat A“ Kap. 12; mein Buch Kap. 14.

⁷

Dieser Satz ist in der verallgemeinerten Frobenius'sehen Theorie (Nr. 26) als Spezialfall enthalten; vgl. mein Buch Kap. 14.

⁸

   Über die Gestalt, die diese Theorie für solche Involutionssysteme annimmt, die z explizite enthalten, vgl. mein Buch Kap. 14.

⁹

   Math. Ann. 11, p. 540, 544 f.

¹⁰

   Ebenda p. 521—529 (vgl. Nr. 18, Fussn. 80).

¹¹

   Vgl. Lie, Math. Ann. 24, p. 554, Anm.; „Tr.“ 2, Kap. 16; s. auch III D 7.

¹²

   S. auch Bäcklund, Math. Ann. 15, p. 50—62; mein Buch Kap. 14, § 4.

¹³

   Auf diese einfache Bemerkung reduziert sich A. V. Imschenetzlys „Methode der Variation der Konstanten“, a. a. 0. Kap. 4; vgl. Lie, Christ. Forh. 1872, p. 24.

¹⁴

   „Goursat B“, 1, Art. 90.

¹⁵

   Diese Beziehung benützt Monge (Par. Hist. 1784, p. 168) zur Integration der part. Differentialgl. 1. Ordnung.

Encyklop. d. math. Wissensch. II.

¹⁶

   Boole, Lond. Trans. 1862, p. 451 f.; Suppl. Yol. p. 123, J. f. Math. 61, p. 309; Lie, Math. Ann. 5, § 19; „Goursat Bu, Kap. 1.

¹⁷

   Die Verallgemeinerung für m Independente giebt J. Kürschak, Math, u. naturw. Ber. aus Ungarn, 14, p. 285 (1898); 8. Nr. 57.

¹⁸

   Ampere, a. a. 0. (Fussn. 249) p. 126 ff.

¹⁹

   Lie, Norw. Arch. 2, p. 1 (1877); vgl. Leipz. Ber, 1895, p. 498.

²⁰

   Wie man W zu bestimmen hat, damit die Relationen (167) das allgemeine Integral einer Gleichung der Form (153) darstellen, s. bei Goursat, Acts math. 19, p. 331 ff.

²¹

   A. V. Bäcklund in den oben (Fussn. 55) citierten Arbeiten ; „Goursat B“, Kap. 4; Lie, Leipz. Ber. 1895, p. 61; meine Note, Math. Ann. 44, p. 466 (1894) und 47, p. 230 ; die Charakteristiken 2. Ordnung betrachtet schon G. Monge, Par. Mém. 1784, p. 190; vgl. T)u Bois-Beymond’s „Beiträge“, Kap. 5 u. 16.

²²

   S. meine Arbeit, Math. Ann. 47, p. 234 f.

²³

   Diese letzteren werden ohne Integration ermittelt, wenn das betr. Charakteristikensystem eine Invariante v -f- lter Ordnung (Nr. 51) besitzt, „Coursât B“, 2, Art. 165.

²⁴

   Monge (Applic. p. 471) nennt sie Charakteristiken; die Gleichungen 2. Ordnung, auf deren Integralflächen diese Kurven die Kriimmungs- oder Asymptotenlinien sind, betrachtet Lie, Math. Ann. 5, p. 209—233; s. auch Du Bois-Reymond's „Beiträge“ p. 129f. ; E. Stephan, Ann. éc. norm. 1866, p. 1.

²⁵

   „Goursat B“ 1, Art. 82—85; einen Spezialfall des Theorems giebt Dar-houx, „Surfaces“ 2, p. 92.

²⁶

   S. meine Note, Par. C. R. 124, p. 1215; Goursat, ebenda p. 1294 (1897).

²⁷

   Bäcklund, a. a. O.; M. Falk, Ups. Nor. Act. 1872, p. 1.

²⁸

   J. éc. pol. 10, cah. 17, p. 590 ff; vgl. „G-oursat B“ 1, Art. 98, 99.

²⁹

   Bäcklund, Math. Ann. 15, p. 50.

³⁰

   Sonin (Fussn. 262); J. König, Math. Ann. 24, p. 501 (1884).

³¹

   Systeme dieser Art hat gelegentlich Du Bois-B. („Beiträge“ p. 177), dann G. Daröoux, Ann. éc. norm. 1870, p. 163 = Par. C. R. 70, p. 675, 746 betrachtet; vgl. Sonin, König, a. a. 0; Bäcklund (Fussn. 274); L. Bianchi, Line. Rend. (4) 2, p. 218, 237, 307; J. Beudon, Ann. éc. norm. 1896, Suppl. Art. 14; meine Note Münch. Ber. 25, p. 101 (1895).

³²

   Goursat, Par. C. R. 122, p. 1258 (1896); J. éc. pol. (2), cah. 3, p. 75 (1897).

³³

   S. Bäcklund, Math. Ann. 13, p. 73 f. und die ausführliche Darstellung bei Goursat, J. éc. pol. a. a. 0.

³⁴

   Nack W. de Tannenberg (Par. C. R. 120, p. 674) findet diese That-sache auch darin Ausdruck, dass das mit dem Involutionssystem (175) äquivalente System Pfaff scher Gleichungen (Nr. 8) eine eingliedrige Gruppe gestattet (Nr. 60).

³⁵

   Leipz. Ber. 1895, p. 70 ff.

³⁶

   A. a. 0. (Fussn. 262) § 20.

³⁷

   Für die Übertragung von Monge’s Enveloppentheorie auf diesen Fall s. meine Arbeit, Math. Ann. 47, p. 254; Beudon, a. a. 0. (Fussn. 280) Art. 15 und Par. C. R. 128, p. 1215 (1899).

³⁸

   Lagrange, Werke 4, p. 101; „Goursat B“ 1, Art. 21.

³⁹

   Die von V. Sersawy (Wien. Denkschr. 53, 1887) und L. Königsberger (J. f. Math. 109, p. 313—319, 321—328) entwickelten und als allgemein hingestellten Methoden zur Variation der Konstanten gelingen nur in speziellen Fällen, die sich einfacher mittels der Charakteristikentheorie erledigen lassen.

⁴⁰

   Vgl. meine Arbeit, Math. Ann. 46, p. 1.

⁴¹

   Darboux (Fussn. 280); Bäcklund, Math. Ann. 13, p. 76; 15, p. 45f.;

Damit ein System von    j- 1) partiellen Differential

gleichungen ntei Ordnung ein Involutionssystem²⁹¹) bilden, sodass durch jeden gemeinsamen Streifen nter Ordnung eine Integralfläche des Systems hindurchgeht, ist notwendig und hinreichend, dass die 2Je Derivierten n -f- lter Ordnung nur Je -j- 1 unabhängige Relationen darstellen. Irgend Je verschiedene erste Integrale einer Natani ’sehen Gleichung n -j- lter Ordnung (Nr. 48), die bez. Je verschiedenen Charakteristikensystemen ntei Ordnung der letzteren angehören, bilden ein Involutionssystem²⁹²). Für Je = n -j- 1 hängt das allgemeine Integral des Involutionssystems von einer endlichen Konstantenzahl, für Je<^n von n — Je-f-1 arbiträren Funktionen ah; im letzteren Fall besitzt das Involutionssystem n — Je -j- 1 Systeme von Charakteristiken nteT und höherer Ordnung, die zu den Charakteristikensystemen einer partiellen Differentialgleichung n — Je-f- lter Ordnung ein vollkommenes Analogon bilden.

Lie29S) nennt ein System partieller Differentialgleichungen beliebiger Ordnung, die ein Integral mit r arbiträren Funktionen gemein haben, ein „Darboux’sches System rter Klasseu. Die Bedingungen für ein solches erhält man, indem man ausdrückt, dass die derivierten

Sonin a. a. O. (Fussn. 262) § 22 ff.; ein Beispiel für n — 3 giebt J. Beudon, Par. C. R. 120, p. 902.

291)    S. meine Arbeit, Münch. Ber. 25, p. 423 (1895).

292)    Büchlund, Math. Ann. 11 u. 13, a. a. 0.

293)    Leipz. Ber. 1895, p. 71.

51. Die Darboux-Lévy’sche Integrationsth. und ihre Verallgemeinerungen. 379

Gleichungen einer gewissen Ordnung genau r der. höchsten Ableitungen von z willkürlich lassen; dies gilt dann von selbst für die höheren Derivierten. Im Falle r — 1 wird das allgemeine Integral stets nach einer der Cauchy'sehen ähnlichen Methode durch Integration von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen gefunden.

51. Die Darboux-Levy’sche Integrationstheorie und ihre Verallgemeinerungen. Ist du(x, y, 2, p, ... z) . . . zH) eine integrable Kombination der Definitionsgleichungen des einen der beiden Charakteristikensysteme nteT Ordnung der partiellen Differentialgleichung (153), so heisst u nach Goursat ¹) eine „Invariante nter Ordnung“ \on (153). Sind die Wurzeln Alf A₂ verschieden, so gelten für die zu derselben Wurzel Ax gehörigen Invarianten folgende Sätze ¹).

Eine Invariante ntei Ordnung muss einem System von zwei homogenen linearen partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung genügen, in denen xyzpq und diejenigen 2ten, 3teu, . . . nten Ableitungen von z, die vermöge (153) und ihrer Derivierten willkürlich bleiben, als unabhängige Variable figurieren; wird auch von den etwaigen Invarianten lter, 2ter. . . n — lter Ordnung befriedigt. Für n > 2 giebt es höchstens eine zur Wurzel A± gehörige Invariante ntor Ordnung; sie kann auf eine in den nt6n Ableitungen lineare Form gebracht werden. Ersteres gilt auch für n — 2 im Falle der Ampère’sehen Gleichung, oder wenn eine Invariante 1. Ordnung vorhanden ist. Die Gesamtzahl der zu At gehörigen Invarianten nteT und niederer Ordnung ist höchstens n -f- 1. Diese Zahl wird dann und nur dann erreicht, wenn die Gleichung (153) ein erstes Integral mit 2 arbiträren Konstanten besitzt; dann ist nämlich die Zahl der Invarianten erster und zweiter Ordnung zusammen 3, und es giebt je eine Invariante 3ter, . . . nieT Ordnung. Gehören zu A± zwei verschiedene Invarianten u, v, ²) so erhält man deren eine unbegrenzte Reihe:

dv j

(177)

dv

u’ Vl d« ’    y;2 ":7" du ' ">

indem man darin die Differentiale dz, dz) durch ihre Werte aus (170)j b) ersetzt. Umgekehrt, giebt es mehr als eine zu At gehörige Invariante, so kann man zwei derselben, u, v so wählen, dass jede zu

Ax gehörige Invariante in der Form cp(u, v, vt, v₂, . . . vk) dargestellt werden kann.

Ist (153) von r und t frei, so gehören zu At, A₂ bezw. die Invarianten x und y, und jede andere Invariante hat die Form:

■■B)w- f(x’w’*’%'"dÿ2xy

dz

<pyx,y,z,^ •

Sind für jedes der beiden Charakteristikensysteme von (153) zwei Invarianten u, v bezw. u, v vorhanden, d. h. besitzt die Gleichung (153) zwei verschiedene allgemeine intermediäre Integrale (Nr. 6):

(178)

(153) kommt auf

U = (p(v ')] U = 1p (v ), so bilden diese für jede Form der arbiträren Funktionen cp und xp mit (153) zusammen ein im Zh'e’schen Sinne (Fussn. 41) unbeschränkt integrables System, und die Integration von diejenige gewöhnlicher Differentialgleichungen hinaus (JDarboux¹'s Methode ²⁸⁰)). Dies gilt aber nach M. Lévy ³ 4) auch, wenn nur ein intermediäres Integral u — cp (y) existiert ; ist nämlich n seine Ordnung, so kann man cp auf eine und nur eine Art so bestimmen, dass die partielle Differentialgleichung u — cp(y) durch einen gegebenen Streifen «ter Ordnung der Grleichung (153) erfüllt wird, also die durch ihn festgelegte Integralfläche V der Gleichung (153) mit dieser gemein hat⁵), worauf V selbst durch Integration eines von der Wahl des Ausgangsstreifens abhängigen Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen gefunden wird.

Besitzt eine Gleichung 2. Ordnung mit zwei verschiedenen Charakteristikensystemen ein allgemeines Integral der Form⁶): x=Vi    ,u₂,cp₁ (ux), cpx(cc x),... cp^A (ax), cp₂ (a₂), cp₂(a₂)... cp₂{q\a₂), Fv... Fi),

d⁼⁼V₂ (ax... Fi) 5 z=V₃ (a₁...F₁),

worin die cex ec₂ unabhängige Parameter, die cp, arbiträre Funktionen, die cpi deren Ableitungen bedeuten, und die F, als Integrale eines für jede Form von cpx, cp₂ unbeschränkt integrabeln Systems totaler Differentialgleichungen

dF; =^j ^ik{y₁,a₂,cp₁,cpx ...cp₂,cp₂'...F₁...Fl)dak

1,2

definiert sind, so existieren für jede Wurzel Alf A₂ je zwei unab-

51. Die Darboux-Lévy’sche Integrationsth. und ihre Verallgemeinerungen. 381 hängige Invarianten⁷), und umgekehrt; hierher gehören alle Gleichungen (153) von Ampere’s erster Klasse (Nr. 4). Geht nur «₂, nicht aber ccx auf die angegebene Art in V/, Qik ein, so besitzt nur das erste Charakteristikensystem zwei Invarianten, und umgekehrt.

Die Forderung, dass eine partielle Differentialgleichung (153) durch gewöhnliche Differentialgleichungen integrierbar sei, setzt sich unter Zuhilfenahme gewisser Axiome in die andere um, dass jeder charakteristische Streifen 2. Ordnung des einen der beiden Systeme durch Verschiebung längs beliebiger ihn enthaltender Integralflächen nur eine endlichgliedrige Mannigfaltigkeit von Lagen anzunehmen im Stande sei⁸). Diese geometrische Eigenschaft deckt sich vollkommen mit der Existenz zweier zu dem andern Charakteristikensysteme gehöriger Invarianten⁸).

Damit für eine Gleichung 2. Ordnung mit koincidierenden Wurzeln AX} A₂ eine Invariante wter Ordnung existiere, muss das Gleichungssystem 2JW (s. oben) nach Goursat ein vollständiges System sein²⁹⁴); die Bedingungen hierfür sind von der Zahl n unabhängig und drücken aus, dass die Gleichung (153) einer der am Schluss von Nr. 47 genannten Kategorien angehört; es sind dies die einzigen, zu Ampère’s erster Klasse gehörenden partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung mit nur einem Charakteristikensystem.

Ist die Funktion u der Variabein x,y,z,p,

zv eine zu

V

der Wurzel Ai von (173) gehörige „Invariante“ der partiellen Differentialgleichung (172), d. h. du eine integrable Kombination der Definitionsgleichungen des iten Charakteristikensystems vtei Ordnung (Nr. 48), so genügt u einem System linearer homogener partieller Differentialgleichungen 1. Ordnung, worin diejenigen Grössen x . . . zvv, die vermöge (172) und der derivierten Gleichungen willkürlich bleiben, die Independenten darstellen. Sind ux . . . uk bez. zu At ... Ak gehörige Invarianten beliebiger Ordnung, so bilden die Gleichungen:

(c. arb. Konstante)

F(x₁...znn) = 0, u₁ = c₁...uk = ck

für k < n ein JDarboux’sches System (Nr. 50) der Klasse n — k, für k — n ein unbeschränkt integrables System mit einer endlichgliedrigen Schar von Integralflächen. Gehören zu jeder der Wurzeln Ax . . . Ak

zwei verschiedene Invarianten u-n Vi, d. h. giebt es Je verschiedene allgemeine intermediäre Integrale:

(179) ut = ept(%), u% = <p₂(v₂)(pk(vk) (cpx...cpk arb. Funktionen),

so kommt die Lösung des Cauchy'sehen Problems für die Gleichung (172) auf die Integration Je -f- 1-gliedriger Darboux'scher Systeme der Form (172), (179), also für Je = n oder Je — n — 1 auf Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen hinaus ⁸⁰²).

Diese Methode lässt sich auf Involutionssysteme⁹) partieller Differentialgleichungen, überhaupt auf jedes Darboux'sehe System übertragen.

52. Differentialsysteme erster Ordnung mit mehreren Unbekannten. Bilden v (<2w, aber n) hinsichtlich der Grössen p, q unabhängige Gleichungen

dZi

dz,

q,'~ dy

(180) Fi(x,y,z₁...zn,p₁,q₁,...pn,qn)=0 ^=1

ein Involutionssystem¹⁰), und verschwinden vermöge (180) in der „charaJeteristiscJien Matrix“ :

x⁹*

SF,

dPk

(i = 1,... v; Je = l ... n)

nicht alle w-reihigen Determinanten identisch¹⁰*), so haben die letzteren genau 2n — v Linearfaktoren l — A,- gemein³⁰³⁰); dementsprechend giebt es 2n — v Systeme charakteristischer Streifen¹¹), die durch ebensoviele Systeme P/byf’scher Gleichungen in x, y,

(n = etc.)

Pk, qk definiert sind. Man erhält diese Systeme, wenn man ausdrückt, dass die 2n Gleichungen:

dpk — rkdx -f- Sk dy, dqk = skdx -j- 4 dy

(180) die

zusammen mit den 2v derivierten Gleichungen von Grössen rk s* 4 unbestimmt lassen. In ähnlicher Weise kann man

charakteristische Streifen 2ter und höherer Ordnung, sowie, falls die Gleichungen (180) in den pk} qk linear³⁰⁵) sind, 2n — v Systeme charakteristischer Kurven des Raums Rn+2(x y zx ... zn) durch Systeme totaler Differentialgleichungen definieren. Die etwaigen integrabeln Kombinationen der letzteren führen zu einem der Darboux-Lévy’sehen Methode ganz ähnlichen Integrationsverfahren. Im Falle v — 2n — 1 geht durch jedes gemeinsame Flächen element xyzipkqk der Gleichungen (180) ein und nur ein charakteristischer Streifen 1. Ordnung, und die Integration von (180) vollzieht sich wie bei der Cauchy’sehen Methode (Nr. 34) mit Hülfe eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen³⁰⁶).

Durch Derivationen und Eliminationen aus zwei Gleichungen der Form

(i = 1, 2)

Fi (x, y, zl7 *₂, pX7 qX7 p₂, q₂) = 0 erhält man nach A. V. Bäcldund³⁰⁷) für die Unbekannten zx und z2 im allgemeinen bezw. zwei Systeme Jl7 J₂ von je 2 involutorischen, in den höchsten Ableitungen linearen partiellen Differentialgleichungen

3. Ordnung; zwischen den Flächenelementen 2. Ordnung der beiden Räume (zx x y) und (z₂ x y) besteht dann eine umkehrbar eindeutige Beziehung derart, dass jeder Integralfläche von Jx eine solche von J2 entspricht, und umgekehrt. Doch können sich die Systeme Jx und J2 auch auf je eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung reduzieren; jedem Integral von Jx entsprechen dann höchstens oo¹ Integrale von J₂, und umgekehrt³⁰⁸). Analoges gilt für jede durch 4 Relationen vermittelte Beziehung zwischen den Flächenelementen x y z p q und x y z p q zweier Räume³⁰⁹).

305) Den Fall linearer Systeme mit n Gleichungen und n Unbekannten behandelt M. Hamburger, J. f. Math. 81, p. 243 (1876); Systeme charakteristischer Kurven existieren auch für gewisse allgemeinere Differentialsysteme, die in den Grössen p,n q-, p; qk — pk qi linear sind, und ein Analogon zu den Ampere sehe,w und Natanïsehen Gleichungen (Nr. 43 und 48) bilden; ein System dieser Art (und nur ein solches) kann ein allgemeines Integral der Form cfi (ux Vj) = 0, qp₂ (u₂ va) = 0, . . . cpn(un vn) == 0 besitzen, worin die cp; arbiträre Funktionen, die ui v. Funktionen von x y zx .. . zn bedeuten; vgl. Hamburger, a. a. 0. Das System von zwei linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit 2 Unbekannten untersucht L. Königsberger, Math. Ann. 41, p. 260.

306)    S. auch Lie, Christ. Forh. 1880, p. 1; Leipz. Ber. 1895, p. 85.

307)    Fussn. 52; eine Verallgemeinerung s. bei „Goursat B“ 2, p. 292.

308)    Über diese Beziehung zwischen 2 Gleichungen 2. Ordnung vgl. „Goursat B“ 2, Art. 194 ff.

309)    Bäcklund, a. a. 0.; vgl. G. Darboux, „Surfaces“ 3, p. 438; „Goursat B“

Art. 202 ff.

53. Die Methode von Laplace und ihre Verallgemeinerungen.

Führt man in eine lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung: (181) Rr-\-Ss -\-Tt-\-Pp-\-Qq-\-Zz = 0 (R...Z Funktionen von xy)

die Integrale der Differentialgleichungen dy = A, dx {i — 1,2, vgl. Nr. 46) als Independente ein; so erhält sie die Form:

(A)

d²z

dz

dz

dxdy

dy

-f- cz = 0.

db

Zwei Gleichungen der Form (A) heissen äquivalent³¹⁰), wenn die eine durch Substitution eines Ausdrucks z — q (x y) • z in die andere übergeführt werden kann; dazu ist notwendig und hinreichend, dass die „Invarianten“ ³¹°)

-f- ab — c; Tt = ^ -f- ab — c

für beide Gleichungen bez. dieselben sind. Die zu (A) adjungierte³¹¹) Gleichung

(V)

d²z

dz

*£+(•

dxdy a dx

hat die Invarianten Ti, Ti; für h = Ti ist (A) mit (A') äquivalent und kann die Form s — hz erhalten.

Die Anwendung der Darboux-Lévy’^oh.en Theorie auf (A) führt zu der schon von P. S. Laplace³¹²) gegebenen „Cascadenmethode“. Mittels der Formeln

dx

(182)

dz

dz

(183)    Z-!=\^-\-bz

* = dj + az'

erhält man nach Elimination von z aus (A) und (182), bezw. aus (A) und (183) für zt bezw. Z— i je eine Gleichung (Ax), (A_i) derselben Form¹²) wie (A), deren Invarianten \, hx bezw. h—i, Ti— i in einfacher Weise von Ti, Ti ah hängen. Die Wiederholung des Verfahrens liefert im allgemeinen eine nach zwei Seiten unbegrenzte Serie von Gleichungen:

(184)

bezw. mit den Invarianten ... Ti- 2; Ti— ₂ ; h—X, Ti—i^Ti,^-,^, Tip,... ; die Anwendung derselben Methode auf irgend eine Gleichung (184) oder

... (A_₂), (A_i), (A), (A,), (A₂)...

310)    Darboux, „Surfaces“ 2, p. 23 ff.

311)    Darboux, a. a. 0. p. 71 ff.

312)    Par. Hist. 1773, p. 341; s. z. B. Darboux a. a. 0. p. 23; „Goursat B“2,

Kap. 5.

5B. Die Methode von Laplace und ihre Verallgemeinerungen.

385

zu

eine mit ihr äquivalente Gleichung giebt eine äquivalente Serie. Aus (A') folgt ebenso eine Serie . . . (ALi) (A') (Ai) . . ., wobei (AL.*) (A,;) adjungiert ist. Aus dem allgemeinen Integral irgend einer Gleichung (184) folgt dasjenige aller übrigen durch Quadraturen und Differentiationen. Ist hv eee 0, dann und nur dann bricht die Serie (184) nach rechts hin mit (Ar), also die zu (A') gehörige Serie nach links mit (Al_„) ab, und (A) besitzt ein allgemeines intermediäres Integral¹³) :

•v-J-1

= 9>(î0

(cp arbiträr),

a₀(x y) • 0    Ot(xy)

i

sowie ein durch Quadraturen erhältliches allgemeines Integral: * « io. X + à . X' + ... +    + .B,

wo X eine arbiträre Funktion von x und die £,: bestimmte Funktionen von x, y bedeuten, während in B eine arbiträre Funktion Y von y im allgemeinen unter partielle Quadraturen eingeht. Umgekehrt, hat das allgemeine Integral von (A) diese Form, so bricht die Serie (184) spätestens mit (A„) ab; dazu ist notwendig und hinreichend¹⁴), dass ein System von v -j- 1 partikulären Integralen von (A) existiere, das einer linearen homogenen Identität genügt, deren Koeffizienten, ohne sämtlich konstant zu sein, nur von x abhängen.

Analoges gilt, wenn im Vorigen die auf x bezüglichen Buchstaben mit den auf y bezüglichen vertauscht werden.

Verschwinden hv, Jc—U (wobei im Falle h = h auch y — v), dann und nur dann bricht die Serie (184) nach rechts mit (Av), nach links mit (A_„) ab, und (A) hat ein allgemeines Integral:

z — a₀X -j- axX' -(-•••-{- avXY -\- b₀YbxY -)-••• -j-    Y^\

gehört also, ebenso wie (A'), zu Ampère’s erster Klasse (Kr. 4).

Nach Moutard¹⁵) und Darboux¹⁶) kann man für jedes Zahlenpaar y, v die allgemeinste Gleichung (A) dieser Art, sowie ihr allgemeines Integral und die zugehörige Laplace'sehe Serie explicite darstellen, für h Je insbesondere aus dem einfachsten Typus

8*z

dxdy

= 0 durch ein Rekursionsverfahren¹⁷) ableiten.

Lässt sich die Gleichung (153) nach der Darboux-Lévy'sehen Methode integrieren, so erhält man das allgemeine Integral der Hülfs-gleichung (Nr. 5, Fussn. 33) mittels der Laplacësehen Methode¹⁸).

Die Laplacë sehe Methode überträgt sich auf Gleichungen (A), deren rechte Seite in einer beliebigen Funktion von x, y besteht, sowie nach A. M. Legendre ¹⁹°) direkt auf Gleichungen der Form (181).²⁰)

dz

O c.

3 ö- wieder einer Gleichung 2. Ordnung

cy

Ist £ ein partikuläres, z das allgemeine Integral von (A), so genügt die Funktion £

der Form (A), auf deren Integration die von (A) zurückkommt²¹). Wiederholung dieser und der Laplacë sehen Transformation führt auf den allgemeinsten Ausdruck:

8'z

dy'

(A, Bi, C{ Funktionen von

xy),

der vermöge (A) das allgemeine Integral einer linearen Gleichung

2. Ordnung derselben Form darstellt ²²). Diese und andere Methoden²³), um aus einer Gleichung (A) eine neue derselben Form abzuleiten, auf deren Integration die von (A) zurückkommt, ergeben sich als Spezialfälle der von Bäcklund (Nr. 52, Fussn. 308 und 52) studierten Beziehung zwischen zwei partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung.

Eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung, die ein allgemeines Integral der Form:

z = f{x,y, x, x',... x<*>, r,r,...r®)

besitzt, kann, von trivialen Fällen abgesehen, durch Einführung neuer Variabein auf die Form (A) oder auf die von J. Liouville integrierte Gleichung s = aeb* (a,b konstant) ²⁴), oder endlich auf die Form:

d*Z dxdy

gebracht werden²⁵), wo die Koeffizienten M, N gewissen Bedingungen unterliegen, und deren Integration auf die einer Laplace'sehen Gleichung (A) zurückkommt²⁶).

54. Verwertung des Gruppenbegriffs für Differentialgleichungen. Alle Transformationen der unendlichen Gruppe von Punkttransformationen:

(185)

z = ç(xy) ■ z, x'=l(xy)^ y' = v(xy)

und nur diese führen jede lineare partielle Differentialgleichung (181) wieder in eine solche über²⁷). Die Frage, ob zwei Gleichungen der Form (181) durch eine Transformation (185) in einander transformiert werden können, erledigt sich nach Cotton ²⁸) und JBurgatti ²⁹°) durch die Betrachtung zweier den Darboux'sehen h, h analoger Invarianten. In allen Fällen entscheidet sich die Frage, ob zwei Differentialprobleme durch eine Transformation einer gegebenen Gruppe in einander über-führbar sind oder nicht, durch die Vergleichung einer endlichen Zahl der Differentialinvarianten³⁰), die sie der Gruppe gegenüber besitzen. Hierauf gründet sich z. B. eine Klassifikation³¹) aller Differentialsysteme in drei Variabeln x y z gegenüber der Gruppe aller Punkttransformationen oder aller Berührungstransformationen des i?₃.

Nicht jedes System partieller Differentialgleichungen mit der Unbekannten z und den Independenten x₁ x% . . . xm gestattet eine infinitesimale Berührungstransformation des Raumes jRm_|_i(0, xx .. . #OT) ³²); die Existenz einer solchen Transformation ist im allgemeinen an das Bestehen gewisser Relationen³³) zwischen den zugehörigen Differentialinvarianten geknüpft. Jede bekannte infinitesimale Punkt- oder Berührungstransformation des Bm+i, die ein Differentialsystem in sich überführt, liefert eine partielle Differentialgleichung 1. Ordnung, die mit dem System die bei der infinitesimalen Transformation in-

Varianten Integralgebilde gemein hat³⁴); die Bestimmung der letzteren kommt auf die Integration eines Differentialsystems mit weniger als m Independenten hinaus. Ähnliches gilt für ein Differentialsystem mit mehreren bekannten infinitesimalen Transformationen, die vertauschbar sind, oder überhaupt eine Gruppe bilden³⁵). Analoge Theorien hat Lie ³⁴) für Differentialsysteme 1. Ordnung mit mehreren Unbekannten entwickelt. Für Differentialprobleme mit bekannten infinitesimalen Transformationen in sich lässt sich darnach in vielen Fällen die Existenz gewisser Arten von partikulären Integralen a priori ³⁴) feststellen.

Gestattet eine partielle Differentialgleichung nter Ordnung mit drei Variabein x y z eine unendliche Gruppe von Berührungstransformationen des R₃ (x y z),³⁶) so kann man mittels der Differentialinvarianten der Gruppe andere Differentialsysteme aufstellen, die mit der gegebenen Gleichung Darboux’sehe Systeme bilden, insbesondere im Falle n — 2 ³⁷) die Gleichung 2. Ordnung nach der Darboux-Lévy'sehen Methode integrieren³⁸).

Weitergehende Integrationstheorien³⁹) ergeben sich für Differentialsysteme mit unendlicher Gruppe, wenn man ein volles System von Differentialinvarianten der letzteren als neue Variable einführt. So lässt sich die Integration eines Darboux’’sehen Systems Ver Klasse (Kr. 50), das eine von l arbiträren Funktionen ab hängende unendliche Gruppe von Berührungstransformationen gestattet, unter gewissen Voraussetzungen auf die Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen und eines Darboux'sehen Systems Je — lteT Klasse reduzieren; ein anderes Beispiel liefern die Differentialprobleme mit einem System von Fundamentallösungen⁴⁰) ^    £n, mittels deren sich das

allgemeine Integral zL ... zn durch Relationen der Form Zi — <p,;(£i •••£«) ergiebt, die eine Transformationsgruppe darstellen.

2) Differentialsysteme mit m unabhängigen Veränderlichen.

55. Die Charakteristiken der partiellen Differentialgleichung

ntei Ordnung. Auf einer Integralfläche z = f(xx x₂ . . . xrn) einer partiellen Differentialgleichung Ver Ordnung:

(186) F(x₁...xm,z,zi,o...o,.-.^₁.../?m---) = 0    vgl. Nr. l).

wird durch Hinzufügung einer Relation xx = cp(x₂. . . xm) eine m — 1-fach ausgedehnte Elementmannigfaltigkeit definiert; durch Angabe der letzteren ist dann die Integralfläche eindeutig festgelegt. Genügt aber cp der partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung S, die durch Nullsetzen der charakteristischen Form

(187)

dF

1 a2 ■ ■ ■ am

... Ê®«

*1

(tt-l -(- • • • -f- ttm = n)

erhalten wird, nachdem man darin z und seine Ableitungen mittels z — f als Funktionen der x dargestellt, und    bezw. durch

ferner xx durch cp ersetzt hat, dann und nur dann

dcp

dcp

dxm

dx ₂

ist die entsprechende Elementunbegrenzt vielen Integralflächen von (186) gemeinsam, da alle ihr zugehörenden Flächenelemente n -f- lter Ordnung die m ersten Derivierten von (186) erfüllen; sie wird eine „m — 1 -dimensionale Charakteristik“ der partiellen Differentialgleichung (186) genannt⁴¹) und mit Cm — i bezeichnet.

Durch eine auf der Integralfläche z — f beliebig gewählte Element-gehen n im allgemeinen verschiedene dieser Charakteristiken hindurch. Berühren sich zwei Integralflächen mit gemeinsamer Cm — i in einem Flächenelement der letztem n -j- n-fach, so thun sie dies längs der ganzen Cm—i- Die Charakteristiken Cm—i sind, unabhängig von der gerade betrachteten Integralfläche, durch ein System partieller Differentialgleichungen 1. Ordnung mit den abhängigen Variabein Xi, z, 01O...O; • • • z₀,...o,n und den Independenten x% . . . xm definiert. Indem man zu der Gleichung (186) die Derivierten bis zu einer beliebigen Ordnung hinzufügt, lassen sich ebenso wie im Falle m = 2 Charakteristiken der Ordnung n -f- 1, n -|- 2, • • • definieren.

Für spezielle Gleichungen (186) kann es eintreten⁴²), dass jede Cm—i sich aus oo¹ m — 2-dimensionalen charakteristischen Mannigfaltigkeiten Cm—2 zusammensetzt, deren Gesamtheit dann durch ein

System partieller Differentialgleichungen 1. Ordnung mit m — 2 Independenten definiert ist. Eine noch speziellere Klasse von Gleichungen (186) ergiebt sich, wenn sich jede Cm—2 von je 00¹ Charakteristiken Cm—3 erzeugen lässt, etc. Indes kennt man kein Beispiel einer Gleichung (186), deren allgemeinste Integralfläche sich aus oom~v Charakteristiken Cv(m — 1 >    1), nicht aber aus oom~V+¹ Charakteristiken

Cv—x zusammensetzen lässt³⁴⁴).

( 'Scc; ^ n) definiert; die Anzahl der Gleichungen

• • • am

Zerfällt die charakteristische Form (187) in n Linearfaktoren³⁴⁵), also die zu einer beliebigen Integralfläche gehörige partielle Differentialgleichung S (s. oben) in n lineare partielle Differentialgleichungen, so bestimmen die „charakteristischen Kurven" einer jeden der letzteren auf der Integralfläche ebensoviele Systeme von Streifen nteT Ordnung, welche „eindimensionale Charakteristiken“ oder „charakteristische Streifen“ von (186) heissen, und mit C₁ bezeichnet werden sollen. Die Charakteristiken C₁ sind, unabhängig von der betrachteten Integralfläche, durch n Systeme linearer, totaler Differentialgleichungen in den Variabein Xi, Z, Zax

von

eines solchen Systems ist um m kleiner als die Zahl der Differentiale dx;. dz, dZctx . „ x ( 'S a < n). Jede nichtsinguläre Integralfläche (186) besteht aus m — 1-fach unendlich vielen Ct eines jeden der n Charakteristikensysteme. Die allgemeinste Cv (v = 2, 3, • • • m — 1) ist von oü¹'“¹ Charakteristiken C₁ erzeugt. Für Gleichungen (186) dieser Art lassen sich auch charakteristische Streifen jeder beliebigen Ordnung n -)- k durch Systeme totaler Differentialgleichungen definieren ⁴³). Die etwaigen integrablen Kombinationen dieser Systeme führen wie im Falle m = 2 zu partiellen Differentialgleichungen, die mit (186) in Involutionsbeziehung stehen; doch ist eine entsprechende Übertragung der Darboux-Levy’sehen Methode bisher nicht durchgeführt worden⁴⁴).

56. Involutionssysteme mit einer Unbekannten. Ein System von p (<^ vn) partiellen Differentialgleichungen (186) ist dann und nur

344)    Das von Bäcklund, Math. Ann. 15, p. 83 f. gegebene Beispiel einer Gleichung 2. Ordnung hat die genannte Eigenschaft nur hinsichtlich einer partikulären Integralschar, vgl. Math. Ann. 17, p. 326.

345)    S. Bäcklund a. a. O.; V. Sersawy, Wien. Denkschr. 49², p. 60 ff.,

bes. p. 81.

347) Ygl. die (nach Methode und Ergebnis nicht einwandfreien) Ansätze Sersatcy's a. a. 0., und die Andeutungen von Forsyth a. a. O.

56. Involutionssysteme mit einer Unbekannten.

391

dann involutorisch⁴⁵), wenn die u m ans ihm durch Derivation folgenden Gleichungen n -f- lter Ordnung sich auf nur pm ~ g (g — 1)

das durch eine partielle Differentialgleichung

unabhängige Gleichungen reduzieren. Die g charakteristischen Formen haben dann einen Faktor n — lte‘l Grades gemein; demgemäss giebt es auf jeder gemeinsamen Integralfläche ein System gemeinsamer Charakteristiken Cm 1. Ordnung vom Grade n — 1 in den Ableitungen definiert ist, im Falle n = 2 insbesondere oom—1 gemeinsame eindimensionale Charakteristiken. Ein Involutionssystem von m Gleichungen 2. Ordnung in m Independenten besitzt⁴⁶ 47) eine von endlicher Konstantenzahl abhängende Schar charakteristischer Streifen 2. Ordnung, aus denen sich alle Integralflächen des Systems erzeugen lassen; die Integration des letzteren kommt sonach auf die Herstellung der allgemeinsten Integral-Mm—t und die Integration eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen hinaus. Bilden Ti Gleichungen 2. Ordnung mit jeder einzelnen der partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung: % = cx, ... um— cm—k + i je eiu & -f- 1-gliedriges Involutionssystem, so bilden sie ein solches mit allen Gleichungen der Form

CpiU'D Uy , . . . Um-£_|_l) - 0-

die

J. Beudon³⁶⁰) hat involutorische Gleichungen der Form (186) betrachtet, deren Zahl um v (< m) kleiner ist als die Anzahl der «ten Ableitungen von z. Ein solches System besitzt eine endlich-gliedrige Schar von Charakteristiken Cm _ v derart, dass durch jedes gemeinsame Flächenelement nier Ordnung der gegebenen Gleichungen eine dieser Cm—v festgelegt ist. Die oov Charakteristiken Cm bez. durch die Flächenelemente einer Integral-Mv des Systems hindurchgehen, erzeugen die allgemeinste Integral-. Die Involutionssysteme partieller Differentialgleichungen 1. Ordnung (Nr. 38) und die Darbouod sehen Systeme erster Klasse (Nr. 50) sind Spezialfälle dieser Theorie.

Besitzen zwei Gleichungen (186), ohne involutorisch zu sein, soviele gemeinsame Integralflächen, dass jedes ihrer gemeinsamen

Flächenelemente n -f- lter Ordnung wenigstens einer Integralfläche angehört⁴⁸), d. h. bilden die gegebenen Gleichungen mit ihren 2 m Derivierten zusammen im üe’schen Sinne (Fussn. 41) ein unbeschränkt integrables System, chungen 1. Ordnung, die auf einer gemeinsamen Integralfläche bezw. die Charakteristiken Cm—i der gegebenen Gleichungen definieren, in-volutoriseh; jede gemeinsame Integralfläche ist also dann im Falle m — 2 von einfach unendlich vielen, im Falle m > 3 von oo⁰⁰ gemeinsamen Charakteristiken Cm—i der gegebenen Gleichungen 2. Ordnung erzeugt.

so

sind die beiden partiellen Differentialglei-

57. Verallgemeinerung der Monge-Amp ère’sehen Theorie ⁴⁹ 50) (Nr. 43—45). Damit eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung:

(188) P (x^ . . . %m} 2, Pi • • • Pmj hl? ^12? ' • ‘ ^mnt) — 0

ein allgemeines erstes Integral der Form:

(ut U₂ . . . Um) = 0

besitze, worin cp eine arbiträre Funktion und die u,- Funktionen von x₁ . .. xm, 2, px .. . Pm bedeuten, muss ihre linke Seite eine lineare Funktion der Determinante \ rik \ und ihrer Minoren m— lter, m — 2ter,..

.. lter Ordnung sein; ferner müssen ihre Koeffizienten gewissen Relationen genügen, welche aussagen, dass die Gleichung (188) zwei verschiedene Systeme „charakteristischer Streifen 1. Ordnung“ besitzt, die bezw. durch zwei Systeme ü₁, ZJ₂ von je m -j- 1 Pf a ff' sehen Gleichungen in Xk, 2, pi definiert sind; endlich muss m integrable Kombinationen dux, . . . dum zulassen. Durch eine Berührungstransformation kann man stets erreichen, dass die Form hat:

rtt =

dH

dX j dxk

(189)

dz =

^ ph dxh ; dpi -f ^ aih dxh = 0

i    i

(i = 1, • • • m\ cc/h Funktionen der x, z,p)\

ZJ₂ entsteht hieraus, indem man überall a!k und uki vertauscht, und (188) hat die Form:

11?ik “f* OCiJc I == 0 3o°) (i, h = 1,2, • • • m).

t (VX V2 • • • Vm) = 0.

Gestattet auch U₂ m integrable Kombinationen dviy so besitzt die Gleichung (188) noch ein zweites allgemeines intermediäres Integral:

(190)

Jede partielle Differentialgleichung 1. Ordnung dieser Form ist dann mit jeder Gleichung (189) involutorisch. Ist das System Zlt unbeschränkt integrabel, d. h. gestattet es w-fl integrable Kombinationen dux, . . . dum.j_i, so ist es mit 2J₂ identisch; umgekehrt ist dies der Fall, und giebt es m integrable Kombinationen dui} so existiert stets noch eine m -f- lte. ⁵¹) Die Gleichungen ut — cx, • • • wm-f-i = cTO+i stellen dann oow+¹ Mannigfaltigkeiten Mm von Flächenelementen 1. Ordnung dar, und die allgemeinste Integral-Mm von (188) ist das Umhüllungsgebilde von irgend oo¹ derselben ⁵²).

Eine partielle Differentialgleichung 3. Ordnung mit m Independenten und einem ersten Integral (189) ⁵³), wo die Ui Funktionen von Xi, z, pi, rik bedeuten, hat eine partikuläre Form, die in den dritten Ableitungen bis zum Grade m ansteigt; besitzt eine Gleichung dieser Form noch ein zweites intermediäres Integral (190), so bildet jede Gleichung (190) mit jeder Gleichung (189) ein Involutionssystem 2. Ordnung, und es giebt drei verschiedene Systeme charakteristischer Streifen 2. Ordnung, derart, dass jede Integral-der gegebenen Gleichung 3. Ordnung je oom—1 Streifen eines jeden der drei Systeme enthält. Zwei dieser Systeme sind durch lineare totale Differentialgleichungen definiert, die bezw. die integrabeln Kombinationen du,: und dV{ zulassen. Analoges gilt für Gleichungen beliebiger Ordnung mit intermediären Integralen. Zerfällt insbesondere die charakteristische Form einer hinsichtlich der höchsten Ableitungen linearen Gleichung nter Ordnung in n Linearfaktoren ⁵⁴ 55), so giebt es ebensoviele durch Pf aff’sehe Gleichungen definierte Systeme charakteristischer Streifen n — lter Ordnung, und es können dementsprechend 1, 2, 3, . . . selbst n verschiedene allgemeine Integrale auftreten; irgend h Integrale verschiedener Systeme bilden ein Involutionssystem n — lter Ordnung.

Bäcklundsb8) hat auch Gleichungen der Form (188) betrachtet, die ein erstes Integral mit m arbiträren Konstanten zulassen (für n — 2, m = 2 vgl. Nr. 45).

58. Lineare Differentialsysteme erster Ordnung mit n Unbekannten. M. Hamburger⁵⁶) giebt eine Integrationstheorie des Differentialsystems :

(191)

PiksPks — Qi

1 1

(•'

— 1    Pks —    ; Pa-s, Qi Funktionen von xx--- xm zx ■ ■ ■ zn

mit den Unbekannten zx...zn und den Independenten xx...xm, unter der Voraussetzung, dass die Funktionen Piks im Falle m>2 gewissen algebraischen Bedingungen unterliegen, die u. a. aussagen, dass die Determinante

(192)

(i,k= 1, • • • n)

in n hinsichtlich lx . . . Xm lineare Faktoren zerfällt. Diesen Faktoren entsprechen dann ebensoviele Systeme 2J,- von je m -j- 1 Pfaff’sehen Gleichungen in den x, z. Eine eindimensionale Punktmannigfaltigkeit des Raumes Pm+n (%x . . . xm zt . . . zn), die ein solches System befriedigt, kann als „charakteristische Kurve" des Differentialsystems

(191)    bezeichnet werden. Jedes Integralgebilde

(j\ ' ' ‘ ffim) ) ‘ ' '    (ß'i ' ’ ' Xm)

enthält oom~¹ charakteristische Kurven eines jeden der n Systeme. Besitzt jedes System 27t- m integrable Kombinationen dun, du. ..duim, so erhält man das allgemeine Integral von (191) durch Auflösung der Gleichungen

(193) cpi(un, Ui2, • • • Uim) = 0 (i = 1, • • • w; cpt, • • • cpn arb. Funktionen) nach zx ... zn. Die Methode ist auch auf den Fall mehrfach zählender Linearfaktoren von (192) anwendbar, vorausgesetzt, dass jeder P-fache Faktor k — Uach in allen n — Greihigen Unterdeterminanten von

(192)    aufgeht. Ist unter dieser Annahme insbesondere k — n, so hat das System (191) die von Jacobi⁶³) betrachtete Form:

dxm

und seine Integration kommt nach Nr. 11 auf diejenige eines einzigen Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen⁵⁷) zurück.

= Qi (i=

58. Lineare Differentialsysteme 1. 0. 59. Nichtlineare Differentialsysteme 1.0. 395

Damit n Gleichungen 1. Ordnung mit n Unbekannten Zi ein allgemeines Integral (193) besitzen ³⁵⁹), müssen ihre linken Seiten eine partikuläre Form haben, die in den pik bis höchstens zum Grade m ansteigt, und ihre Koeffizienten gewisse Identitäten befriedigen; auf diese Klasse von Differentialsystemen überträgt sich ohne weiteres der Begriff „charakteristische Kurve“ und die obige Integrationsmethode.

59. Nichtlineare Differentialsysteme erster Ordnung mit n Unbekannten; Normalsysteme. Das System von N (< m ■ n) involutorischen, hinsichtlich der pik unabhängigen Gleichungen 1. Ordnung mit n Unbekannten zx ... zn und m Independenten xx . . . xm:

( ■1 ) F; (xx • • • Xm, Zx • • • Zn , pi j • • "Pu, ni)    0 (i

dz;

= 1,2,—jN; pik = ist für den Fall näher untersucht³⁶¹), dass es sich in der Form:

Pik fik (ß'x • • • *£mi Zx . . . Zn - - •Prs • • •)

(h — 1,• • • /r;    und k = p-(- 1, i = 1,2,• • • v)

auflösen³⁶²) lässt, worin N — pn -f- v (p<Cm, v<_n) gesetzt wird. Die Bedingungen der Passivität (Nr. 2) von Folge, dass die Gleichungen, die durch Nullsetzen aller n -reihigen Determinanten der „charakteristischen Matrix“ ³⁶³)

(194)

(194) haben

u. a. zur

ëPks

i = 1, • • • N; k = 1, • • • w; Piks

erhalten werden, im Raume Pm—i mit den homogenen Punktkoordinaten Ax... lm eine m — p — 1-dimensionale Punktmannigfaltigkeit M vom Grade n — v darstellen. Jedes der p „Teilsystemeu

(J.)

Pis — fis'-, Pj,n+1 ⁼ fj,fi+i (}*= 1, • • • w; j = 1, • • • v) bildet für sich ein Involutionssystem, wenn X\ . . . æs_i, xs+i . . . x^ als Parameter gelten. Das System (J) heisst ein „Normalsystem“, wenn die Piks gewissen algebraischen Bedingungen genügen, die u. a. zur Folge haben, dass M in n — v lineare Punktmannigfaltigkeiten zerfällt. Jedes System (Js) bildet dann gleichfalls ein Normalsystem, und (J) besitzt n — v im allgemeinen verschiedene Systeme „charakte- ⁵⁸ 59 60 61 62 63 64

ristischer“ ja-fach ausgedehnter Integralmannigfaltigkeiten CM, die durch lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung mit den Independenten xt . . . xfl und den abhängigen Yariabeln x/t+1 . . . xm, ... sn, Pik, im Falle y = 1 also durch n — v Systeme 27,- Pfaff-scher Gleichungen in xk, 0, pik definiert sind. Jedes Integralgebilde des Normalsystems (J) ist von je oom~e- Charakteristiken eines jeden der n— v Systeme erzeugt; die einzelne 0« enthält je oo^~1 Charakteristiken Gx jedes Teilsystems (Js), und die Systeme (JJ, (J₂), . . . (Ju) stehen sonach zu einander in einer ähnlichen Beziehung, wie die Gleichungen eines ft-gliedrigen Inyolutionssystems von partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit einer Unbekannten (Nr. 38 und 39).

Im Falle v — n—1 geht durch jedes Flächenelement des Normalsystems (J) nur eine Cund die Integration von (J) vollzieht sich mittels gewöhnlicher Differentialgleichungen, nachdem zuvor die allgemeinste Integral-durch Integration eines Differentialsystems in m — g Independenten ermittelt worden. Die Integration von (194) wird mit Hülfe der Lie-May erhöhen Transformation (Nr. 17) auf den Fall y — 1 zurückgeführt³⁶⁴). Besitzen in diesem letzteren Fall die n — v Pfaff’sehen Systeme 27,: eine genügende Anzahl integrabler Kombinationen, so lässt sich die Integration von (J) auf Probleme in weniger als m Independenten, eventuell auf Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen reduzieren.

In der Theorie der Normalsysteme sind die meisten Integrationstheorien partieller Differentialprobleme, insbesondere die Darboux-Lévy’sehe Theorie und ihre Verallgemeinerungen (Nr. 51), sowie die Beudorisehen Systeme (Nr. 56, Fussn. 350) als Spezialfälle enthalten.

60. Systeme Pfaff’scher Gleichungen. Die mit dem Systeme Pfaff’scher Gleichungen:

(S)

dxmĄ.s — alsdx₁ -j- • • • -j— amsdxm (s— 1,---n — m; ais Funktionen von x₁---xn) invariant verknüpfte adjungierte Schar infinitesimaler Transformationen (Nr. 14) hat die Form:

¹

   „Goursat B“ 2, Kap. 7; Par. C. R. 123, p. 680 (1896); vgl. auch Sonin a. a. O. (Fussn. 262).

²

   Gehören die Invarianten u, v zu derselben Wurzel Al, so haben die Gleichungen u = c, v — c' oc* gemeinsame Integralflächen, wenn sie eine solche besitzen, „Goursat B“ Art. 144.

³

   „Goursat B“ Art. 145.

⁴

   Par. C. R. 75, p. 1094 (1872); vgl. Sonin, König a. a. 0.; Speckman (Fussn. 262); V. Sersawy, Wien. Denkschr. 49², p. 7—33 (1885).

⁵

   Lie, Leipz. Ber. 1895, p. 65.

⁶

   „Goursat B“ 2, Art. 184.

⁷

   De Boer (Harl. Arch.. 27, p. 355) bestimmt alle nach der Darboux-schen Methode integrierbaren Gleichungen der Form f (r,s, t) = 0 ; Goursat (Par.

G. R. 127, p. 854 [1898], Toul. Ann. (2) 1, p. 31 [1899]) alle nach Darboux integrierbaren Gleichungen der Form s — fix y z p q).

⁸

   S. meine Arbeit, Münch. Ber. 20, p. 425 (1896), „Goursat B“ 2, Art. 185.

⁹

   S. meine Arbeit, Münch. Ber. 25, p. 423; vgl. die von M. Falle (Fussn. 276), M. Hamburger, J. f. Math. 93, p. 201 (1882) und V. Sersawy, Wien. Denkschr. 49², p. 33—60 behandelten Spezialfälle dieser Theorie.

¹⁰

   S. meine Arbeit, J. f. Math. 118, p. 123 (1897); für den Spezialfüll p = 0 vgl. M. Hamburger, J. f. Math. 93, p. 188 (1882).

303a) Der Fall, dass die Zahl v und der Rang der char. Matrix beliebig sind, lässt sich auf den obigen zurückführen, s. meine Arbeit Münch. Ber. 29,

p. 231 (1899).

303b) Über den Fall vielfacher Wurzeln und die Beziehungen zur Elementarteilertheorie s. meine vorhin citierte Arbeit; vgl. auch Hamburger (Fussn. 303 u. 305).

¹¹

Für v = 2, n — 2 vgl. auch Bäclclund, Math, Ann. 19, p. 389 ff.

¹²

„Goursat B“ 2, Art. 187—193 betrachtet die allgemeinste Gleichung (153), aus der sich durch die Substitution z, — ą wieder eine Gleichung 2. Ordnung für z. ergiebt; die Laplace'sehe Methode erscheint als Spezialfall dieser Theorie.

¹³

   „Goursat B“ 2, Art. 168.

¹⁴

   „Goursat B“ Art. 109—112; Par. C. R. 122, p. 169 (1896).

¹⁵

   In einer verloren gegangenen Arbeit, s. Par. C. R. 70, p. 834; J. Bertrand ebenda, p. 1068 (1870).

¹⁶

   „Surfaces“ 2, p. 46 und 122; vgl. O. Niccoletti, Line. Rend. (5) 6, p. 307 (1897).

¹⁷

   Ebenda p. 157; Moutard, J. ec. pol. 28, cah. 45, p. 1 (1878).

¹⁸

   „Goursat B“ 2, Note 1.

¹⁹

   Par. Hist. 1787, p. 319; vgl. Imschenetzky, Arcli. Math. 54, Art. 67—74.

²⁰

   Nach Darboux (Surfaces 4, p. 267) auch auf gewisse Involutionssysteme linearer Gleichungen 2. Ordnung mit mehreren Independenten.

²¹

   L. Lévy, J. éc. pol. 56, p. 63 (1886); eine geometrische Interpretation s. bei Darboux, Surfaces 2, p. 219; die Laplacë sehe Transf. ist in dieser als Grenzfall enthalten, Darboux a. a. 0. p. 177.

²²

   Darboux, Surfaces 2, p. 164 ff.

²³

   A. a. 0. p. 179 ff. ; „Goursat B“ Art. 194 ff. ; 0. Niccoletti, Pisa Ann. 1897; Tor. Atti 32 (1897).

²⁴

   J. de math. (1) 18, p. 71 (1853); sie gestattet eine unendliche Gruppe von Punkttransformationen, und ist die einzige nach Darboux-Lévy integrierbare Gleichung der Fonn s = f (z); Lie, Norw. Arch. 6, p. 112 (1881).

²⁵

   Moutard (Fussn. 316); H. W.L. Tanner, Mess. Math. 5, p. 53 (187 6) É. Cosserat in Darboux Surfaces 4, p. 405.

²⁶

   Vgl. „Goursat B“ 2, p. 250.

²⁷

   Analoges gilt für lineare partielle Differentialgleichungen jeder Ordnung und Independentenzahl; P. Stäckel, J. f. Math. 114, p. 116 (1895); vgl. Lie, Leipz. Ber. 1894, p. 322.

²⁸

   Par. C. R. 123, p. 936 (1896).

²⁹

   Line. Rend. (5) 5*, p. 433 (1896).

³⁰

   Lie, Math. Ann. 24, p. 537 (1884) ; A. Tresse, Acta math. 18, p. 1 (1894).

³¹

   Lie, a. a. O. p. 572.

³²

   A. V. BäcMund, Math. Ann. 15, p. 63.

³³

   Lie, Math. Ann. 24, p. 578.

³⁴

   Lie, Leipz. Ber. 1895, p. 90—112.

³⁵

   Laplace'sehe. Gleichungen 2. Ordnung mit infinitesimalen Transformationen in sich klassifiziert und integriert Lie, Norw. Arch. 6, p. 328 (1881).

³⁶

   J. Beudon, Par. C. R. 118, p. 1188 (1894); „Goursat B“ Art. 173.

³⁷

   Die partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung, die unendliche Gruppen von Punkttransformationen gestatten, klassifiziert P. Medolaghi, Ann. di mat. (3) 1, p. 229 (1898).

³⁸

   Dieser Satz ist nicht umkehrbar, „Goursat B“ 2, p. 196.

³⁹

   Lie, Leipz. Ber. 1895, p. 112.

⁴⁰

   Ebenda p. 282; J. Brach, Par. C. R. 116, p. 1041 (1893).

⁴¹

   A. V. BäcTdund, Math. Ann. 13, p. 411 (1878); vgl. auch J. Beudon, Par. C. R. 124, p. 671 (1897); É. Goursat, ib. 126, p. 1332 (1898), doch sei die Priorität Bäclclund’s ausdrücklich hervorgehoben.

⁴²

   Bäclclund, a. a. 0.

⁴³

A. JR. Forsyth, Lond. Trans. A, 1898, p. 1 giebt im Falle n = 2, m — 3 die Definitionsgleichungen der charakteristischen Streifen 2. und 3.

⁴⁴

Ordnung.

⁴⁵

   Bäcklund, Math. Ann. 13, p. 104—107, 423, 427; Math. Ann. 15, p. 78.

⁴⁶

   Bäcklund, Math. Ann. 13, p. 107; die in den zweiten Ableitungen linearen Systeme dieser Art bestimmt und integriert J. Beudon, Ann. éc. norm. 1898, p. 229; die betr. Resultate lassen sich ohne weiteres auf m-gliedrige Involutionssysteme von linearen Gleichungen beliebiger Ordnung übertragen.

⁴⁷

   Ann. éc. norm. 1896, Suppl. = Thèse, Paris 1896; in J. de math. (5) 5, p. 351 (1899) betrachtet Beudon diejenigen Differentialsysteme mit einer Unbekannten, deren allg. Int. eine arb. Punktion von q « m) Yariabeln enthält; vgl. die von Bäcklund, Math. Ann. 19, p. 410f. behandelten Spezialfälle.

⁴⁸

   Bäcklund, Math. Ann. 15, p. 69—74.

⁴⁹

   Bäcklund, Math. Ann. 11, p. 236; 13, p. 99 ff. ; II. W. L. Tanner, Lond. math. Proc. 7, p. 43, 75 (1875—76); G. Vivanti, Lomb. Rend. (2) 29, p. 777 (1896); ebenda 32 (1899); A. B. Forsyth, Cambr. Trans. 16³, p. 191 (1898); É. Goursat, Bull. soc. math. 27 (1899).

⁵⁰

   Goursat, a. a. O.

⁵¹

   Für den Fall m = 3 vgl. G. Vivanti, Math. Ann. 48, p. 474.

⁵²

   Vivanti, a. a. 0. ; J. Kürschak (Fussn. 256).

⁵³

   Bäclclund, Math. Ann. 13, p. 104.

⁵⁴

   Diesen Fall betrachtet schon Monge, Par. Hist. 1784, p. 161; vgl. A. M. Legendre, ebenda 1787, p. 323; M. Falk, Tidskr. f. Mat. Upsala4 (1871); E. Combescure, Par. C. R. 74, p. 798 (1872).

⁵⁵

   Math. Ann. 11, p. 240.

⁵⁶

   J. f. Math. 100, p. 401 ff. (1887); für den Fall m = 2 vgl. Fussn. 305.

⁵⁷

   Analoges gilt für eine von Hamburger angegebene Klasse nicht linearer Systeme 1. Ordnung in n Unbekannten, J. f. Math. 110, p. 167—173.

⁵⁸

S. meine Arbeiten: Par. C. R. 123, p. 292 (1896); Leipz. Ber. 1897,

⁵⁹

p. 329; Math. Ann. 49, p. 543.

⁶⁰

362)    Die Existenz der Lösungen eines passiven Systems der Form (194) hat

⁶¹

für den Fall v — 0 J. König (Math. Ann. 23, p. 520), allgemein C. Bourlet (Ann.

⁶²

éc. norm. 1891, Suppl, p. 43) untersucht.

⁶³

363)    Dieser Begriff überträgt sich auf jedes beliebige Differentialsystem,

⁶⁴

vgl. Be Pistoye, Par. C. R. 78, p. 1102 (1874).

Pi^-if ~h Q%A%f -f- • • • -f- QmAmf

(195)

Schreibt man

(xr

dxi

(%si

df

;)

k s — ak i s — H,’ ak s    Ak a; $

60. Systeme Pfaff’scher Gleichungen, und ist m — h der Rang der m-zeiligen Matrix:

$121    • * • $l?wl

$122 ' ' ' $lm2

$211 O

' ' $2ml

$212 O

• • ¹ $2m2

S O

fco

$ml3 * *

$ml2 $œ22    9

so giebt es, entsprechend den h Lösungensysteinen $ . . . der Gleichungen

k s    0 j    ttks èk (ß —- 1, * * * M    VYl, 4    1; ' " 1^)

h linear unabhängige, der Schar (196) angehörende infinitesimale Transformationen die das System ungeändert lassen (Mr. 14). Die Schar

Qi^if + • * ‘ + QhXhf

ist mit dem System (S) invariant verknüpft¹); führt man die Integrale y₁ ■ . ■ yn—\ irgend einer der partiellen Differentialgleichungen Xif = 0 statt ebensovieler x als neue Variable in (S) ein, so verwandelt sich dieses in ein System, das nur mehr die Variabein yx . . . yn—\ enthält²). Die Gleichungen X₁f = 0, • • • Xhf = 0 bilden ein vollständiges System; führt man dessen Integrale yx . . . yn—h in (S) als neue Variable ein, so entsteht ein System, das nur mehr die y₁ . . . yn—h enthält; eine weitere Reduktion der Variabeinzahl ist unmöglich³).

Das Gleichungensystem

(s — 1, 2, • • • n — m)

d xm _j- ÿ —    (i]ç s dxjc 5 d Xfn _j_ s — s ^

$iks dXi dX]ç 0

Die (triviale) Thatsache, dass es keinen Sinn hat, die in der Theorie des Pfaff'sehen Problems zum Ziele führenden Methoden rein formal auf beliebige Systeme Pfaff'scher Gleichungen übertragen zu wollen, bildet das Ergebnis der Untersuchungen von O. Biermann, Zeitschr. Math. Phys. 30, p. 234 (1885) und A. B. Forsyth (Theory of Diff. Equations 1, Eap. 13).

367) S. meine Arbeit, Leipz. Ber. 1898, p. 207,

ist mit (S) invariant verknüpft⁴). Also sind die Rangzahlen K\ 2v, die bezw. den Matrices

(196')

Cf'i ks

1

(i — 1, • • • s = 1, • • • n ■— m)

(i, k — 1, • • • m)

von

für beliebige x, k, g zukommen, Invarianten des Systems (S); K beisst der Charakter, 2v der Rang von (S) ³⁶⁷). Nennt man Dt, _D₂, ... I)p die nicht identisch verschwindenden AT-reihigen Unterdeterminanten (196), und ersetzt man in den D; die lk durch die dxk, so bilden die Gleichungen

(197)    dXm+i = J£aksdXki Di = 0 (s=\,'--n —

ein mit (S) invariant verknüpftes System totaler Differentialgleichungen⁵).

Das Differentialsystem

(198)    Aif= 0, Ai(Akf) — Ak{Aif) = 0    (i, k, = 1, 2,...m) ist mit (S) ebenfalls invariant verknüpft⁶); dasselbe gilt also von dem zu (198) adjungierten Pfaff'sehen System (SA), das in dem System (S) enthalten ist und das abgeleitete System des letzteren heissen möge.

Im Falle K = 0 ist auch 2v = 0, die aiks verschwinden, und (S) ist mit (S₁) identisch und unbeschränkt integrabel.

1 Gleichungen, das Differentialsystem (198) also aus m -J- 1 unabhängigen Gleichungen, und zwar ist dies System vollständig, also (S₂) unbeschränkt integrabel³⁶⁷), wenn der Rang 2v >2; dann kann (S) die Normalform:

Im Falle K = 1 besteht (S₁) aus n

dz2v-\-i —£V+idz\-\- zVĄ.₂d z₂-\-•—j-02vdzvj dz2^+2⁼⁼ 0?”mdz₂—0 erhalten, worin die Funktionen Z\ . . . z₂v+n—m unabhängig sind, besitzt also ausser den Zahlen 2v und n — m keine weiteren Invarianten. Ist dagegen K = 1, 2v = 2, so besitzt (S) eine reduzierte Form:

m — 1).

dy₂ = yn—m-j-2 dyx ; dy₂+s=- (p{yly₂- ■ .yn-m+2)dy1 (s= 1,2, ••

Ist (S₂) das abgeleitete System von

(SJ, (S₃) dasjenige

von

(S₂) etc.,

und besitzen diese Systeme alle den Charakter 1, d. h. bestehen sie bezw. aus n — m — 2, n — m — 3,. . . Gleichungen, bis man zu einem System (S„_TO_r_i) gelangt, dessen abgeleitetes System unbeschränkt integrabel ist, dann und nur dann besitzt (S) eine Normalform³⁶⁷) :

dz2 = 0, dz₃ — 0,. .. dzr+1 = 0,

dZr~j-2 Zr-\- 3 dß\ J dZrĄ- 3 Zr-f-4. dz i, . . . dzn — m _j_ i Za — m-\- 2 dz\,

worin die Zi unabhängige Funktionen der x sind, und es giebt ausser den Zahlen r und n — m keine weiteren Invarianten von (S). Insbesondere kann jedes zweigliedrige Pf aff ’sehe System in 4 Variabein, das keine integrable Kombination besitzt, auf die Normalform dz₂ = z₃dz₁ ; dz₃ — z±dzx

gebracht werden³⁶⁵).

Die Frage nach dem vollen Invariantensystem von (S) im allgemeinen Fall K = 1, 2v = 2, sowie für die Fälle K > 1 harrt noch der Erledigung⁷).

Auf die Zahl K gründet sich eine Klassifikation der Differentialsysteme, bezw. der mit ihnen äquivalenten Systeme Pf aff' scher Gleichungen (Nr. 8). Der Fall K = 0 umfasst z. B. alle Mayer'sehen Systeme (Nr. 3), der Fall K — 1, m = 3 alle Darboux'sehen Systeme erster Klasse (Nr. 50) ⁸).

'

.

■

*

Äl

IIA 6. KONTINUIERLICHE TRANSFORMATIONS-

GRUPPEN

L. MAURER

VON

und

H. BURKHARDT

IN ZÜRICH.

IN TÜBINGEN⁹).

Inhaltsübersicht.

1.    Einleitung.

2.    Definitionen.

B. Die grundlegenden Differentialgleichungen.

4.    Umformung der Differentialgleichungen. Infinitesimale Transformationen.

5.    Integrabilitätsbedingungen. Zusammensetzung.

6.    Untergruppen.

7.    Isomorphismus.

8.    Ähnlichkeit.

9.    Transformation einer Gruppe in sich.

10.    Reciproke Gruppen.

11.    Transitivität. Primitivität.

12.    Invarianten.

18. Differentialinvarianten.

14.    Parametergruppen.

15.    Adjungierte Gruppe.

16.    Bestimmung aller Gruppen von gegebener Variabein- und Parameterzahl.

17.    Bestimmung aller Typen der Zusammensetzung einer Gruppe.

18.    Bestimmung aller Gruppen von gegebener Zusammensetzung.

19.    Über den analytischen Charakter der Punktionen fv(x\a).

20.    Besondere Arten von endlichen kontinuierlichen Gruppen.

21.    Gemischte Gruppen.

22.    Unendliche kontinuierliche Gruppen.

Litteratur.

S. Lie, Theorie der Transformationsgruppen (unter Mitwirkung von Fr. Engel), 1, Lpz. 1888; 3, Lpz. 1893 („Lie-Engel“).

S. Lie, Vorlesungen über kontinuierliche Gruppen, bearb. u. herausgeg. von G. Scheffers, Lpz. 1893 („Lie-Scheffers“).

26

F. Klein, Einleitung in die höhere Geometrie, autogr. Vorl., 2, Gott. 1893.

Zur ersten Einführung: S. Lie, Math. Ann. 16 (1880), p. 441; J. M. Page, Ann. of math. 8 (1894), p. 117; E. Picard, Traité d’analyse 3, Par. 1897, chap. 17.

Über die Anwendungen der Theorie auf komplexe Zahlensysteme, Integrationstheorie und Geometrie vgl. man bezw. die Abschnitte IA4; IIA 4b und 5; IIIBl, C8undD7.    _

1. Einleitung. Das anschaulichste Beispiel einer kontinuierlichen Transformationsgruppe bietet die Gesamtheit der Bewegungen des Baumes. Wird eine Raumfigur durch Bewegung ohne Formänderung in eine neue Lage gebracht, so drücken sich die Cartesischen Koordinaten eines jeden ihrer Punkte in der neuen Lage als lineare Funktionen seiner ursprünglichen Koordinaten aus. Die Koeffizienten dieser Substitution unterliegen noch Bedingungen, sodass sie durch nur 6 willkürliche Parameter ausgedrückt werden können: es giebt 6fach unendlich viele (oo⁶) Bewegungen. Der Ersetzung zweier aufeinanderfolgenden Bewegungen durch eine einzige Bewegung entspricht die Zusammensetzung zweier solchen Substitutionen zu einer neuen, die dieselbe Form besitzt und nur andern Werten der Parameter entspricht.

Diese Dinge sind natürlich seit lange bekannt, aber zu einer scharfen Formulierung der hier in Betracht kommenden Verhältnisse und zu einer prinzipiellen Auffassung derselben ist man erst gelangt, nachdem sich aus den Untersuchungen über Gruppen von Buchstabenvertauschungen der allgemeine Begriff einer Gruppe von Operationen (I A 6, Nr. 15) entwickelt hatte. So hat C. Jordan bereits 1867 alle Gruppen von Bewegungen (d. h. alle in der Gruppe aller Bewegungen enthaltenen Untergruppen) bestimmt¹⁰). Dann haben F. Klein und

son-

îmmer um

der Gruppe handelt; dass Abbildungen die Gruppe, also auch die Geometrie bestehen lassen¹¹). Von dem daraus sich ergebenden Problem der Diskussion aller möglichen Gruppen hat S. Lie die kontinuierlichen Gruppen in Angriff genommen, d. h. diejenigen, bei welchen

S. Lie den Gruppenbegriff in die Mitte der mathematischen Forschung gerückt und zunächst für alle geometrischen Untersuchungen dargelegt: dass nicht das Element, aus welchem man eine Mannigfaltigkeit erzeugt, deren charakteristische Eigenschaften bestimmt, dern einzig die Gruppe; dass es sich für invariante Eigenschaften Herstellung Von Körpern mittelst der Transformationen

die auftretenden Parameter als stetig veränderlich³) behandelt werden; indem ihm aus seinen früheren Untersuchungen nicht nur zahlreiche Beispiele solcher Gruppen geläufig, sondern auch in den Begriffen der infinitesimalen Transformation und der Funktionengruppe, sowie in den Klammerausdrücken die hauptsächlichsten Werkzeuge zu ihrer Bearbeitung bereits zur Hand waren⁴). Als wesentlichstes Resultat seiner Untersuchungen ergab sich die Erkenntnis, dass von solchen Gruppen in gewissem Sinne nur eine endliche Anzahl wesentlich verschiedener existiert.

2. Definitionen. Es sei ein System von n Funktionen¹² 13) der n Variabein xlf x%, . . ., xn und der r Parameter a1} a%, . . ., ar :

3)    Bei den endlichen diskreten Gruppen yon IA 6 werden den Parametern nur eine endliche Anzahl, bei den unendlichen diskreten Gruppen von IIB6c nur eine abzahlbare Menge verschiedener Werte beigelegt. — Ausserdem ist noch der Fall möglich — aber noch nicht untersucht — dass eine Gruppe auch bei Beschränkung der Parameter auf einen gewissen Bereich zustande kommt; ein Beispiel Lie-Engel 1, p. 163.

4)    Lie's Untersuchungen bezogen sich zunächst auf einzelne (geometrische) Transformationen der verschiedensten Art, unter denen bald die Berührungstransformationen (Gott. Nachr. 1871, p. 201) hervortreten. Die gruppentheoretischen Begriffe erscheinen zuerst in der gemeinsamen Arbeit von F. Klein und S. Lie [Math. Ann. 4 (1871), insbes. p. 53 ff.; vgl. auch Par. C. R. 70 (1870), p. 1222, 1275]; statt des Wortes Gruppe wird dort „geschlossenes System“ gebraucht. Zwar ist zunächst nur von Gruppen die Rede, deren sämtliche Trans

formationen untereinander vertauschbar sind ; doch wird p. 56 ausdrücklich gesagt, dass das nicht wesentlich ist. Von den allgemeinen Begriffen und Sätzen seiner Theorie gab Lie [abgesehen von den Andeutungen Christ. Forh. 1871, p. 243 und Math. Ann. 5 (1872), p. 254] die erste Skizze Gott. Nachr. 1874, p. 529. In den ersten Bänden des Norw. Arch. 1876 ff. folgt dann die zusammenhängende Darstellung mit Beweisen. 1879 waren die Methoden soweit ausgebildet, dass Lie ihre Tragweite an dem Problem der Klassifikation der Flächen nach der Transformationsgruppe ihrer geodätischen Kurven (Progr. Christiania) erproben konnte. — Über die Entwicklung von Lie's Ideen vgl. seine eigenen Angaben Math. Ann. 16 (1880) p. 525; 24 (1884), p. 538, 540,

man

547; Lie-Engel 1, p. 4; 3, p. XV, 665; Leipz. Abh. 21 (1895), p. 45; Leipz. Ber. 1895, p. 56, 262; 1896, p. 131. Dazu F. Klein, The Evanston Colloquium, N. Y. and Lond. 1894, confer. II u. III, sowie M. Noether, Math. Ann. 53 (1900), p. 1. Für Einsicht in die Korrekturbogen dieses letzteren Nekrologs sind wir dem Verfasser zu besonderem Dank verpflichtet.

26

A Ol, a?a, . . • , Xn I «1; «2, • • • , «r) gegeben, das folgenden Bedingungen genügt:

(y = 1,2,. . .,n)

(1)

A)    die fv seien als Funktionen der x betrachtet von einander unabhängig ;

B)    sie genügen nicht einer Relation der Form:

dfv

dfv

0= 1,2, . . .,n),

(²) + -----hAr

..,Ar Funktionen der Parameter a bedeuten⁶). Einem bestimmten Wertsystem der Parameter entspricht dann eine Transformation:

in der A

2, •

dar

(3)

Xy — fV O I Ci)

0 — 1,2,.. ., n)

und der r-fach unendlichen Mannigfaltigkeit der Parameterwerte eine r-fach unendliche Schar von Transformationen. Wir nehmen weiter an, dass für diese Schar das Associationsgesetz (IA1, Nr. 2) gilt, d. h.:

C) aus den Grleichungssystemen (3) und:

(4)

x'v = fv (x I h)

(j- = 1, 2,...,»)

ergeben sich die Gleichungssysteme:

(5) x'v = fv(x I c) ; ce=<pç(a\b) (v = 1,2,...,»; q = l,2,...,r),

in denen, wie durch die Bezeichnung angedeutet ist, die r Funktionen cp nur von den beiden Parametersystemen a₂ ,...,ar und b1} abhängen.

Endlich nehmen wir an, dass die Transformationenschar die identische Transformation⁷) enthalte, d. h.:

Beweise bei Fr. Schur, Math. Ann. 41 (1892), p. 509 und Lie-Engel 3, p. 365. — Wie die Sätze zu modifizieren sind, wenn man sie für den Gesamtverlauf analytischer Funktionen aussprechen will, darüber sind wohl nur die Fussn. (17) und (28) zu erwähnenden Sätze bekannt.

6)    Andernfalls könnten die fv als Funktionen von weniger als r Parametern dargestellt werden.

7)    Lie hatte ursprünglich [Gott. Nachr. 1874, p. 531; Norw. Arch. 1 (1876), p. 19] beweisen zu können geglaubt, dass jede kontinuierliche Gruppe die identische Transformation enthalte. Später erkannte er, dass sein Beweis implicite Voraussetzungen über die Natur der auftretenden Funktionen enthielt und dass es möglich ist, dass die identische Transformation auf der Grenze (Engel bei Lie, Christ. Forh. 1884, Nr. 15) oder ausserhalb {Engel bei Lie-E. 1, p. 163) des Definitionsbereichs dieser Funktionen liegt. Daher nahm Lie die Forderung des Vorkommens der identischen Transformation, bezw. der inversen zu jeder auftretenden Transformation mit in die Definition auf [Math. Ann. 16 (1880), p. 445]. Übrigens lässt sich jede kontinuierliche Gruppe durch Einführung neuer Parameter und analytische Fortsetzung so umformen, dass die identische

8. Die grundlegenden Differentialgleichungen.

405

D) für ein bestimmtes Wertsystem der Parameter — „die Anfangswerte": at = a\, a₂ = a\, ar = a°r sei:

(6)

x'v — fv(x I a°) = xv.

Es ist dann:

—    .,r)

(7) <pQ(at, aa, ..., ar\a\, a\,..., af) = aQ

also ⁸) :

(8)

dcpQ(a\a°) daa

Hieraus folgt, dass die Funktionaldeterminante (II A 1, Nr. 41):

(9)

£>(<?!, <P₂» • • •» <Pr)

D((*1, «2, . . <Hr)

nicht identisch Null ist; dasselbe gilt für die Funktional déterminante:

(10)

D(bt, ..., br) ‘

Aus D) ergiebt sich ferner, dass die zu (3) inverse Transformation xv — fv(x\a) ebenfalls der Schar angehört; die zugehörigen Parameter ä sind durch die r Gleichungen bestimmt:

(p = l,2,...,r).

(11) fpQ(«!, og, ar\äi, äg, .. ., är) = aj

Wenn die Bedingungen A)—D) erfüllt sind, definieren die Gleichungen (3) eine endliche⁹) Twntinuierliche Transformationsgruppe G; sie wird nach der Zahl der verfügbaren Parameter als r-gliedrige Gruppe¹⁰) oder als Gruppe der Ordnung r bezeichnet.

3. Die grundlegenden Differentialgleichungen. Da nach Voraussetzung A) die Funktionaldeterminante:

(12)

D (X^ , X₂ , . . ., X„)

nicht Null ist, so kann man Funktionen Mqx so bestimmen, dass die Gleichungen erfüllt sind:

Transformation in sie einbezogen wird (Lie, Christ. Forh. 1884, Nr. 15; Lie-Engel, 1, p. 160; 3, p. 574; Lie, Leipz. Ber. 1891, p. 319; Fr. Schur, Math. Ann. 15 (1889), p. 197 [Dorpater Festschrift]). Vgl. aber Fussn. 3.

8)    Das Symbol s^a hat den Wert 1 oder 0, je nachdem q und 6 gleich oder ungleich sind.

9)    Endlich mit Rücksicht auf die endliche Anzahl willkürlicher Parameter; die Anzahl der Transformationen selbst ist unendlich.

10)    Lie, Norw. Arch. 1 (1876), p. 154.

(13)

dfv(æ I a)

n

+ 2 MQl(X\a)

;.=i

dfv{x I a)

dxx

(v=l,2,...,w; p=l,2,...,r).

Betrachten wir in den Gleichungen (5) die x, a und b als unabhängig variabel, die x, x' und c als Functionen von ihnen, so ergiebt sich einerseits:

(14)

daQ

dx'n

andererseits :

(15)

dx';

da

v    y dæv dco

a    éi Sc° dai

und hieraus folgt:

(16)

d_KdÇo

dxi daQ’

Ersetzt man die Parameter a durch ihre Anfangswerte a°, so wird Ci = bi,. . . cr — br. Die Werte, welche die Mai (x \ a) und die dCo/ddę infolge dieser Substitution erhalten, werden mit %ai(x), bezw. ctQa(b) bezeichnet; die ersteren hängen nur von den x, die letzteren nur von den b ab. Aus (16) wird dabei:

(17)

%i{x) =2 ocQa(b)Moi (x I b)

0—1

und an Stelle der Gleichungen (13) treten die Gleichungen:

(18)

aQ ° (a)

dfv(x\a)

0=1

daa

o=l    *-

Die %çi genügen (wegen B) keinem Relationsystem der Form: C1Î11 + c^i -f- • • • -f- er%ri = 0

(19)

(A=l ,2,...,»)

mit von den x und dem Index X unabhängigen Koeffizienten; und die Determinante der Funktionen „ (a) ist wegen D) nicht Null¹⁴).

Differentialgleichungen definiert

von

Durch die Differentialgleichungen (18) und die Anfangsbedingungen (6) sind die Funktionen fv vollkommen bestimmt (IIA 5, Nr. 1). Diese Differentialgleichungen sind für die Gruppe charakteristisch', ein derartiges System

— sofern es vollständig (II A 5, Nr. 13) ist — immer eine r-gliedrige Transfornaationsgruppe¹²).

Aus den Gleichungen (16) und (17) folgt noch:

(20)

a(c)    «?*(«)

durch diese Gleichungen und die Anfangsbedingungen:

Ci =    C₂ —    • • • , Cr = br für % = d\, d₂ — d®, . • . , dr — d°r

sind die Funktionen cQ — cpQ (a, b) vollkommen bestimmt.

Infinitesimale

4. Umformung der Differentialgleichungen. Transformationen. Durch Auflösung der Gleichungen (18) nach den dfv/ddQ ergebe sich:

êfv(æ\à)

2 2

0=1 1=1

Nun folgt aus den Gleichungen (3):

dfv{x I a)

dxx

tU Sfv(x I a)

{ dxX

dxx +2 2    (X)daQ ;

(J = l o=l

betrachtet man also die x als konstant, die x als Funktionen der a, so folgt:

dxx

daQ

—    &op(d)<Źo/. (x) .

(7=1

Andererseits enthält die Gruppe die zur Transformation (3) inverse xv = fv (x I a) ; es ist also auch:

und hieraus folgt:

(21)

wenn nämlich:

(22)

- 2j (a) %>al ix ) 5 0=1

r

~2j ^at (a)%ai(.x ) ?

(7 = 1

== — $ot(a)

LP'

gesetzt wird¹³).

12) Diese „ Umkehrung des ersten Fundamentalsatzes“ ist von Lie zunächst implicite gegeben, Lie-Engel 1, p. 153; dann explicite von Fr. Schur, Math.

nur

Ann. 35 (1889), p. 169; einfacher ib. 38 (1891), p. 265. Lie's eigener Beweis bei Lie-Engel 3, p. 558 und Lie-Scheffers p. 372.

13) Die Form (21) der Differentialgleichungen wird von Lie vorzugsweise

Da für die Anfangs werte der Parameter:

also

dfv

- Iov(%)

gebraucht (explicite wohl zuerst Christ. Forh. 1884, Nr. 15; ihre Auflösung nach den I Norw. Arch. 1 (1876), p. 162. — Die £ sind Lösungen eines Systems partieller Differentialgleichungen („Definitionsgleichungen der Gruppe“) ; Lie, Norw. Arch. 8 (1883), p. 384.

Die Theorie der binären Formen liefert zu den Entwicklungen des Textes

71

das folgende einfache Beispiel: Die Binärform F =    —l)vxrun~~vvv~¹

V = 1

werde durch die Substitution (S) : u — atl u -f- o₁₂P, v = «₈₁ u -f- anv' in

n

F' — ^in— l)vx'vu'n~~v v’v~¹ transformiert. Der Gruppe der Substitutionen

v — l

(S) entspricht eine ebenfalls 4-gliedrige Gruppe linearer Substitutionen, die den Zusammenhang zwischen den Koefficienten x und x vermittelt (IB2, Nr. 2,18). Dieselbe ist bestimmt durch jedes der beiden Systeme von Differentialgleichungen : dx'v    dx'    dx’v

1}    + “¹² dä^ = Dl1 ’    2) a21 äöii + a2i

dx’v    dx’v    cx’v

³⁾    “>*    + *»* S^    W - ⁴⁾ “>■ 0^ + ^

[Hier haben die Symbole Da die von S. Aronhold, J. f. Math. 62 (1863) p. 288 festgesetzte Bedeutung] ; bezw. :

dx’v    dx'v    dx'v    dx'v

⁴⁾    sr. +    0-^7 - <" - »K - ²>    ^ + “>■ gj- - (” - ‘K

aa₂₁

(I)

(II)

= (n~v)x'v+1, 4) «₁₂

P ^22

d

dxÿ

— -Dâl (a?v).

«2

Die Gleichungen (I) entsprechen den Gleichungen (18), die Gleichungen (II) den Gleichungen (21) des Textes.

Durch die Substitution (6\) : w' = &uw"+ &₁₂P', »'= ö₂₁ w"-f 62Sü" gehe F¹' in F" über; durch die aus S und St zusammengesetzte Substitution (Ss): u = cn u" -j- c₁₂v", « — c₂₁ m" -f- c₂₂ «" wird F¹ direkt in F" transformiert. Die Substitutionskoeffizienten c genügen den folgenden 16 Differentialgleichungen, die den Gleichungen (20) des Textes entsprechen:

dcx    dciu

⁰¹¹    + a'² da.~ ⁼    + ⁶^2ci2) »

dcXfl    d>cx

"²¹ SÖ^ ⁺ “22    = C*1^1C21 + £M2C22> »

“21    + 022    = f^2(^lc21 + *u2C22) •

(Das Symbol ist Fussn. 8 erklärt.) ist, so ist für Werte der Parameter, die von den Anfangswerten unendlich wenig verschieden sind, in erster Annäherung:

0 = 1, 2, . .., n).

Ç —¹

Setzt man hier (aç — a®) = — eQSt und betrachtet die e als konstant, St als variabel, so erhält man die infinitésimale Transformation ¹⁴) :

(23)

fr - Xy -j⁻ S t eQ y ($) .

Für eine beliebige Funktion I (x) von x1} x%,..., xn ergiebt sich dann:

F(x) - F(x) = SF(x) = ät^    (x)

o — l r=l

dF(x)

dxv

oder, wenn zur Abkürzung:

X^)SĄ = MF)

gesetzt wird:

~ = e,2,(f) + e₂X₂(F) + • • • + e,Xr(I).

Den rechts stehenden Ausdruck gebraucht Lie als Symbol für die infinitesimale Transformation (23)¹⁵). Indem man sie unendlich oft wiederholt¹⁶), erhält und wenn man zwei Gruppen als nicht verschieden ansieht, falls die eine durch Einführung neuer Parameter in die andere übergeführt werden kann, so ist die Gruppe durch die r infinitesimalen Transformationen:

(24)

man

endliche Transformationen der Gruppe¹⁷);

Xx{F), X₂(F), ..., XrÇF)

vollkommen bestimmt. Lie sagt deshalb: die Gruppe wird von diesen infinitesimalen Transformationen erzeugt.

(25)

14)    Die infinitesimalen Transformationen und die Erzeugung der endlichen Transformationen der Gruppe durch ihre unendlichmalige Wiederholung gehören

Lids ursprünglichem Ideenschatz [Par. C. R. 70 (1870), p. 1222; Math. Ann. 4 (1871), p. 56; Christ. Forh. 1871, p. 193].

15)    Christ. Forh. 4 (1874), p. 258.

16)    Zu arithmetisch exakter Fassung dieser Vorstellung bedarf es nur der Sätze von II A 4 a, Nr. 8. Vgl. auch Nr. 18.

17)    Man erhält so alle innerhalb eines Funktionenelementes gelegenen Transformationen der Gruppe [Lie, Norw. Arch. 1 (1876), p. 171]. Über Modifikationen dieses Satzes bei Aufgebung der Beschränkung auf ein Funktionen-

zu

5. Integrabilitätsbedingungen. Zusammensetzung. Die Differentialgleichungen (18) bilden ein „vollständiges System“ (IIA 5, Nr. 13); es müssen daher Gleichungen der Form bestehen¹⁸):

(26)    2U 1 — 1 X

(²⁷)    2    ~dĘ ~ %aX j'Ę-) =^>jCçoAiv

= 1,

Mo i

dccay.

* da*

(v = 1, 2,    n).

Die Gleichungen (27) kann man auch in der symbolischen Form schreiben:

(XeX„) = XQX„(f) - x„xs(f) = Y Cç„X,(f).

t—1

Aus den Zusätzen zu (18) ergiebt sich, dass die cqot weder von den x, noch von den a abhängen, also reine Konstante sind. Sie genügen den Gleichungen:

(28)

Cq at--Ca Qi ;

= 1,2

(29)    (Cqo(jiCfitx -j⁻ CaifiCfiQx ~j⁻ C^q^Cfxay) — 0    %

fi = l

Die Gleichungen (29) ergeben sich aus der „Jacobi’sehen Identität¹⁹) : (30) ((XQXa)Xt) + {{XaXr)XQ) + ({XtXjXo) = 0.

element vgl. man Fr. Engel, Leipz. Ber. 1892, p. 279; E. Study, ib. 1893, p. 659; L. Maurer, ib. 1894, p. 215; H. Taber, N. Y. Bull. (2) 2 (1896), p. 336.

18) Für r = 2, n = 1 S. Lie, Norw. Arch. 1 (1876), p. 36; allgemein Math. Ann. 16 (1880), p. 461. — Die Klammerausdrücke waren Lie aus der Theorie der linearen partiellen Differentialgleichungen (IIA 5, Nr. 8, 18) geläufig; dann erscheinen bei ihm die Gleichungen (27) als Ausdruck dafür, dass die infinitesimale Transformation S~¹T~¹ST der Gruppe angehört [Norw. Arch. 1 (1876), p. 193]. Dieser Beweis wird Math. Ann. 24 (1884) p. 556 vereinfacht und 1872 als Zeitpunkt seiner Entdeckung angegeben; die seiner exakten Durchführung zunächst entgegenstehenden Schwierigkeiten werden Leipz. Ber. 1891, p. 321 [von Engel redigiert] durch Unterscheidung der Begriffe: „unendlich kleine“ und „infinitesimaleu Transformation beseitigt. — Anderer Beweis Lie, Leipz. Ber. 1890, p. 460.

Die Umkehrung dieses „zweiten Fundamentalsatzes“ für n = 2 Lie, Norw. Arch. 1 (1876), p. 41; für jedes n ib. p. 172 noch unter zwei Einschränkungen, die erst 3 (1878), p. 94 beseitigt werden. Ygl. Lie-Engel 3, p. 659. Ein anderer Beweis Leipz. Ber. 1890, p. 463; Lie-Engel 1, p. 156 und 3, p. 583; Lie-Scheffers 3, p. 386 ; in synthetischer Form Leipz. Ber. 1890, p. 472 (Lie-E. 3, p. 591 ; Lie-Sch. 3, p. 391). Bei Fr. Schur, Math. Ann. 33 (1888), p. 54 ergiebt sich die Umkehrung aus der Eigenschaft der Gleichungen (27), dass sie die Integrabilitätsbedingungen sind.

19) Lie, Norw. Arch. 1 (1876), p. 52; ein einfacher Beweis von Engel bei

5. Integrabilitätsbedingungen. Zusammensetzung. 6. Untergruppen. 411

Die Konstanten cQOt bestimmen die „Zusammensetzung“ der Gruppe; sie sind jedoch nicht vollkommen bestimmt, wenn die Gruppe gegeben ist. Ersetzt man nämlich die Differentialgleichungen (18) durch r lineare Kombinationen derselben (I B 2, Nr. 27), so tritt an Stelle des Systems der Konstanten cQat ein äquivalentes Konstantensystem.

Jedem System von Konstanten cQat, das den Gleichungen (28) und (29) genügt, entsprechen unendlich viele r-gliedrige Transformationsgruppen ²⁰).

6. Untergruppen. Heben wir aus den oor~¹ infinitesimalen Transformationen, die der vorgelegten r-gliedrigen Gruppe G angehören, q von einander unabhängige heraus:

(31) Zx(f) — e*i.Xi(/) -j- ex^X‘i^f) -f- • • • -j- exrXr(f) (x=l,2,...,g) und nehmen wir an, dass sie Relationen von der Form genügen:

i

(32)

fi=i

wo die y-sAfi Konstante bedeuten. Dann erzeugen diese q infinitesimalen Transformationen eine q-gliedrige Gruppe Gx, die als Untergruppe der Gruppe G zu bezeichnen ist²¹).

Gx ist „invariante Untergruppe“²²) von G, wenn Relationen der Form bestehen:

Lie-E. 1, p. 95. Über die gruppentheoretische Bedeutung der Identität vgl. Engel, Leipz. Ber. 1887, p. 89. — Die Gleichungen (29) geben die vollständigen Integrabilitätsbedingungen der Gleichungen (27) : Fr. Schur, Math. Ann. 35 (1889), p. 174.

20) Lie's ursprünglicher Beweis für diese „Umkehrung des dritten Fundamentalsatzes“ [Norw. Arch. 1 (1876) p. 192; Math. Ann. 16 (1880), p. 495; 25 (1885), p. 94] besteht in der Bildung der adjungierten Gruppe (Nr. 15), gilt also nur für den Fall, dass diese wirklich r-gliedrig ist (Lie-E. 3, p. 598). Ein zweiter Beweis bildet eine UemTwwwjfstransformationsgruppe der gegebenen Zusammensetzung (Christ. Forh. 1888, Nr. 13; ohne Benutzung der betreffenden Terminologie dargestellt bei Lie-E. 3, p. 509 und Lie-Sch. 3, p. 396). — Über Schur's Beweis vgl. Fussn. 19 und 76.

21) Die in einer Gruppe enthaltenen Untergruppen sind durch die Konstanten der Zusamensetzung vollkommen bestimmt; ihre Aufsuchung ist ein algebraisches Problem [Lie, Norw. Arch. 1 (1876), p. 178], — Dass für 2^4 jede mehr als ^-gliedrige Gruppe 2- gliedrige Untergruppen besitzt, beweisen Lie, Norw. Arch. 1 (1876), p. 171 für q = 1, p. 192 für 2 = 2; Lie-Engel 1, p. 591 für 2 = 3; Fr. Engel, Leipz.2Ber. 1886, p. 92 für 2 = 4.

22) Lie, Norw. Arch. 3 (1878), p. 104; der Name „invariante Untergruppe“ ib. p. 457*. Vgl. Math. Ann. 25 (1885), p. 77. Wegen der Unterscheidung von „invariant“ und „ausgezeichnet“ vgl. man Fussn. 54.

=    x= l,2,...,q).

i

(33) (XSZ,) =2

fl = l

Diese Bezeichnung ist mit der in der Theorie der diskreten Gruppen üblichen (1 A 6; Nr. 16) in vollkommenem Einklang.

Die infinitesimalen Transformationen (XQXa) erzeugen¹⁵ 16) eine invariante Untergruppe der Gruppe G, die als „Hauptuntergruppe“ u) oder „Derivierte“¹⁷) bezeichnet wird. Diese Gruppe kann übrigens auch mit G selbst zusammenfallen.

Wenn die p infinitesimalen Transformationen

¹

   F. Engel, Leipz. Ber. 1889, p. 157.

²

   M. Hamburger, J. f. Math. 110, p. 158 (1892); W. de Tannenberg, Par.

³

C. R. 120, p. 674 (1895); der Satz enthält die Pfaff- Gr assmann' sehe Reduktionsmethode einer Pfaff'sehen Gleichung als Spezialfall (s. Nr. 27). Über die Bedingungen, die ausdrücken, dass die oben mit h bezeichnete Zahl )> 0 ist, vgl. auch Grassmann, Werke l², Nr. 511, und Engel's Bemerkungen dazu ebenda p. 479 f.

⁴

   F. Engel, Leipz. Ber. 1890, p. 192.

⁵

   Ebenda p. 197.

⁶

   Über diese und andere invariante Bildungen und deren geometrische Deutung vgl. die beiden citierten Arbeiten Engel's.

⁷

   Für den Fall n = 6, n — m — 2 giebt Duport (Liouv. Journ. (5) 3, p. 17, 1897) reduzierte Formen.

⁸

   Über die Bedeutung der bilinearen Kovarianten für die Theorie der Differentialprobleme mit 2 Independenten vgl. meine Arbeiten: Münch. Ber. 25, p. 101 (1895) ; ebenda p. 423.

⁹

Der Text rührt grösstenteils von L. Maurer, die Anmerkungen grösstenteils von H. Burkhardt her.

Encyklop, d. math. Wissensch. H.

¹⁰

   Par. C. R. 65 (1867), p. 229; Ann. di mat. (2) 2 (1869), p. 168, 320. Die sich hieran schliessenden Untersuchungen kommen in III A 3 und Y 7 zur Sprache.

¹¹

   F. Klein, Programm Erlangen 1872 (abgedruckt Math. Ann. 43; Ann. éc. norm. (3), 8; Ann. di mat. (2) 17; N. Y. Bull. 2; Prace mat. fis. 6).

¹²

Lie hatte ursprünglich die Frage nach der Natur der auftretenden Funktionen ganz bei Seite gelassen, dann unter dem Einfluss von Fr. Engel sich auf reguläre Elemente analytischer Funktionen beschränkt. Doch giebt er bereits Leipz. Ber. 1888 p. 17 an, dass der grösste Teil der Sätze gilt, wenn man nur gewisse Stetigkeitsforderungen [etwa solche wie II A 4 a, Nr. 4] stellt, insbeson

¹³

dere dass jede transitive Gruppe (Nr. 11) mit einer analytischen ähnlich ist;

¹⁴

Eie, Norw. Arch. 1 (1876), p. 50 für n = 1, r — 3; p. 162 allgemein. Eine „synthetische“ Ableitung dieser .Resultate bei Lie-Engel 3, p. 549 und Lie-Scheffers p. 377.

¹⁵

   Lie, Norw. Arch. 8 (1883), p. 390. — Übertragung auf diskrete Gruppen : W. Ahrens, Leipz. Ber. 1897, p. 621.

¹⁶

   W. Killing, Math. Ann. 31 (1887), p. 252.

¹⁷

   Lie, Leipz. Ber. 1888, p. 19.

(34)

Q = 1

ebenfalls eine Untergruppe G₂ von G erzeugen und wenn dabei die Relationen bestehen:

(35) [Y,Zy) — 0 (g = 1, 2,..*>; * = 1, 2,.. .,q),

dann ist jede Transformation T von Gt mit jeder Transformation U von G₂ vertauschbar¹); symbolisch ausgedrückt TU = UT (I Â 6, Nr. 1). In diesem Fall heissen die Untergruppen Gt und G₂ ver-tausehbar, und diese Bezeichnung wird auch auf die erzeugenden infinitesimalen Transformationen übertragen: F«(/’) heisst vertauschbar mit Zx(f)²).

7. Isomorphismus. Zwei r- gliedrige Gruppen, die gleichen oder äquivalenten Systemen von Konstanten der Zusammensetzung entsprechen, heissen „gleichzusammengesetzt“³) oder „holoedrisch isomorph“ (1 A 6, Nr. 14).

Eine Gruppe U, die von q < r von einander unabhängigen infinitesimalen Transformationen Yt(f), Y₂(f), . . . Yq(f) erzeugt ist, heisst zu G meriedrisck isomorph⁴), wenn r in f enthaltene infini-

tesimale Transformationen Zt(f), Z₂{f), ... Zr(f) — die natürlich nicht alle von einander unabhängig sein können — den Gleichungen genügen:

(36)

r=1

In diesem Fall muss G eine invariante Untergruppe der Ordnung r — q enthalten, der in der Gruppe T die identische Transformation entspricht.

8. Ähnlichkeit. Die r-gliedrige Gruppe G (3) wird durch die Substitution:

(37) ev = Fv(xt, x₂

• • y ‘■t'jî) y &v    Fy Çx^ , X₂ , . .

in die „ähnliche“ r-gliedrige Gruppe H:

%'v), (v=l,2,...,»)

(38)

z'v = 9v(z\a)

infinitesimalen Transformationen (25), die

transformiert³⁰). Den die Gruppe G erzeugen, entsprechen die r infinitesimalen Transformationen :

(39)

df

r=l

die die Gruppe H erzeugen; dabei ist:

(40)

QV -

Die Gruppen G und H sind gleichzusammengesetzt. Wenn im Falle n~>r die Matrix

(41)

Il içl; y y %>Qn II

(<f = 1, 2, . . ., r)

vom Range r (I B 1 b, Nr. 12) ist, so ist auch die Matrix:

(p = 1, 2, . . ., r)

(42)

II %Qly ; ■ ■ ‘ > %>Qn II

von demselben Range. Ist diese Bedingung für zwei gleichzusammengesetzte Gruppen erfüllt, so sind sie einander ähnlich.

Ist die Matrix (41) vom Range Je < r₇ so ist nicht nur auch die Matrix (42) vom Range h, sondern auch die Matrix

Norw. Arch. 3 (1878), p. 104 gegebenen Sätzen; explicite ausgesprochen ist sie Math. Ann. 25 (1885), p. 77. Beweise bei Lie-JEngel 1, p. 418; 3, p. 661.

30) Lie, Gött. Nachr. 1874, p. 530. — Kriterien für die Ähnlichkeit zweier Gruppen vermöge einer Berührungstr&nsfovm&tion : Lie, Norw. Arch. 1 (876), p. 145. Welche Bedingungen, diese Art von Ähnlichkeit vorausgesetzt, dann noch hinzukommen müssen, damit Ähnlichkeit vermöge einer Punkttransformation stattfindet, giebt Lie, Norw. Arch. 3 (1878), p. 125 an.

(43) U 1^,1 J • • • ; Üçraj £(>2 j • • • >    ||    (? =: 1? ^ ; • • • }

für alle den Gleichungen (37) genügenden Werte der Variabein x und z. In diesem Fall kann aus der gleichen Zusammensetzung der Gruppen G und H nur dann auf ihre Ähnlichkeit geschlossen werden ; wenn man dem Gleichungssystem, das diesen Rang der Matrix (43) liefert, genügen kann, ohne dass Relationen zwischen den x allein oder zwischen den z allein auftreten⁵).

9. Transformation einer Gruppe in sich. Die Gruppe H fallt mit der Gruppe G zusammen — die Substitution (37) transformiert also die Gruppe G in sich selbst — wenn für die Funktionen £ Gleichungen der Form gelten:

(44)    £g,(Ä> = ^    (q = 1, 2, . ..,r; v = 1,2,

0=1

in der die hça Konstante bedeuten. Ist insbesondere: (45) so wird durch die Substitution (37) jede Transformation von G nicht nur wieder in eine Transformation y on G, sondern in sich selbst übergeführt. In diesem Fall wird die Transformation (37) als mit der Gruppe G vertauschbar bezeichnet⁶).

An Stelle der einzelnen transformierenden Substitution (37) lassen wir nun die allgemeine Substitution:

(46) zv = Fv(x i, xs,...,xn\blf h• A) = Fv(x | b) {y = 1,2,..., n) einer Gruppe F treten; jT sei erzeugt von den q infinitesimalen Transformationen :

df

dxv

(47)

V = 1

Die allgemeine Substitution (46) der Gruppe jT transformiert die Gruppe G dann und nur dann in sich selbst, wenn die aus (40) und (44) folgenden Gleichungen:

(48) 2/m*)

;.=i

=i

in denen die Grössen hQa Funktionen der Parameter b bedeuten, für beliebige Werte dieser Parameter erfüllt sind. Indem man diese Glei-

chungen nach den b differenziert und die Differentialgleichungen der Gruppe (Nr. 3) berücksichtigt, erkennt man, dass sie gleichbedeutend sind mit einem System der Form:

(49)    — x*?yxotXt(f) (k

r=l

1, 2,..., Q 1, 2,..., t) ,

in der die yx^t Konstante bedeuten⁷).

Die allgemeine Substitution yon JH transformiert jede einzelne Substitution von G in sich selbst — die beiden Gruppen sind vertauschbar —, wenn ihre erzeugenden infinitesimalen Transformationen den Gleichungen genügen⁸):

(50)

(YxXQ) = 0

10. Reciproke Gruppen. Ein besonderes Interesse bietet der Fall, dass für die Gruppe G n — r ist und überdies die Determinante :

(51)

(q, v = 1,2, ..f)

nicht identisch Null ist. Einer solchen Gruppe G entspricht eine vollständig bestimmte, ebenfalls r-gliedrige Gruppe F, die mit ihr vertausch bar ist. Man gelangt zu ihr durch folgende Überlegung⁹): Die Differentialgleichungen:

df

dx    • ' ’>    0

(p = 1, 2, ..., r)

sind von einander unabhängig und bilden ein vollständiges System. Bezeichnen wir mit IIt (x\g), üä(x | z), • • •, Ur{x | g) r unter einander unabhängige Lösungen derselben, mit blf b₂, . .., br verfügbare Parameter. Die Gleichungen:

nQ (x I e) = bQ

definieren eine oor-Schar von Substitutionen, die eine jede Transformation der Gruppe G in sich überführen; denn die Grössen g genügen als Funktionen der x den Gleichungen:

(^2)    y(X\ p X%p • • • p Xu)

(53)

V~1

(p = 1, 2, ..., r)

(⁵⁵) 2\M

a/

(? = 1

genügen, so lassen sich die r Grössen IIQ(y\x) als Funktionen der 2r Grössen TIQ(x\z), üQ(z \ y) dar stellen. Daher ergiebt sich aus den Gleichungssystemen :

(56)

nQ{x\z) = bQ, IIQ (z\y) = cQ ein Gleichungssystem der Form:

(57)

nQ(y \x) = %Q(b\c),

8zv

%Qv(z) ^>T

;.=i

(?;    1, 2,    r).

Die Schar hat überdies Gruppencharakter. Da nämlich die 3r Funktionen nq(x\z), nç(z I y), nQ(y I x) den r Differentialgleichungen :

(54)

dxx

w. z. b. w„

Denken wir uns die erzeugenden infinitesimalen Transformationen der Gruppen G und JT:

df

?    X(/) — x? v'X'

df

M=1

so gewählt, dass für ein bestimmtes Wertsystem (æ₁=æ°,æ₂=æ°-”Æw=æ°): £ov(x‘°) = £(jv und ^r«) = £ov für 9, v = 1, 2, ..., r wird. Dann gelten für die Konstanten der Zusammensetzung der Gruppen G und r die Gleichungen:

(58)

av —

Hçv(x°)

8x9

8x°    ’

y^av —

8yav(x°) 8yav(æ°)

8x9

dx%

(9, <Ï, V = 1, 2, . . r);

es ist ferner wegen (X? Kff) = 0:

Also:

(59)

Cqa v — Yq av •

Die Gruppen G und r gehören somit zu äquivalenten Systemen von Konstanten der Zusammensetzung; sie sind also gleichzusammengesetzt, folglich auch ähnlich. Lie bezeichnet sie als reciproke Gruppen³⁶).

11. Transitivität. Primitivität. Die Gruppe G ist transitiv³⁷), wenn man die Gleichungen:

36)    Der entsprechende Satz in der Theorie der diskreten Gruppen bezieht sich auf die „reguläre Form einer Gruppe“ (I A 6, Fussn. 75).

37)    S. Lie, Christ. Forh. 1884, Nr. 15; Norw. Arch. 10 (1885), p. 355. „Transitivität im Infinitesimalen“ schon ib. 4 (1879), p. 375.

0=1,2;...,w)

(60)

yv = fv(x I a)

bei willkürlich gegebenen Werten von x1} x₂,. . ., xn und y1} y₂, ..., yn durch geeignete Verfügung über die Parameter a1} a₂, . . ., ar befriedigen kann. In diesem Falle giebt es keine Funktion, die den r Differentialgleichungen :

(61)

genügt.

Xe(f)=2ie,(x)§t = 0

V = 1    V

((> = 1,2, . . ., r)

Es kann der Fall eintreten, dass man durch geeignete Wahl der Parameter nicht nur den Gleichungen (60), sondern auch noch den k — 1 analogen Gleichungssystemen:

(62) y W = fv(x{K) 0)    0 = 1, 2,. . ., w; n = 1, 2,..., k — 1),

in denen die x^ und die «/(*) gegeben sind, genügen kann. Lie hat gezeigt, dass Ä; <X -f- 2 ist und dass für k — n -f- 2 die Gruppe G von der Ordnung n(n -f- 2) und mit der projektiven Gruppe in n Variabein (Nr. 20) gleichzusammengesetzt ist¹⁰).

Halten wir an der Voraussetzung fest, dass die Gruppe G transitiv sei und nehmen wir überdies an, die Funktionen:

^çlO)> <sq 2 0) ;    ')    0) (q ⁼⁼ 1> 2, . . . , T)

0 = 1, 2, ..., w)

(63)

hängen nur von x1} x₂, . . ., xm ab; dann lassen die Gleichungen (2) erkennen, dass , x₂, . . ., x'm von xm-[-i, xm+%, . . xn unabhängig sind. Jede Substitution von G wird daher die durch die Gleichungen: Xju — const.

charakterisierte Mannigfaltigkeit in eine den Gleichungen x^ = const, genügende Mannigfaltigkeit transformieren.

Die erzeugenden infinitesimalen Transformationen X, (/“) von G stehen zu dem System der Differentialgleichungen:

(64)

df

df

— 0,•• •

0?    dxm + 2

in der Beziehung, dass die Grössen X, (&) diesen Gleichungen genügen, sobald die Funktion 0 selbst ihnen genügt. Transformiert man nun G in eine ähnliche Gruppe G', so treten an Stelle der r infinitesimalen Transformationen Xç(f) gewisse andere r infinitesimale Transformationen Xç(f) und an Stelle des Systems (64) tritt ein System von n — m linearen homogenen Differentialgleichungen:

dx

m-f-1

400 = 0, ą(f)=o,...,cn_m(f) = o.

(65)

Dabei sind wieder, wenn cP ein Integral dieses Systems ist, auch die Integrale desselben. Diese Beziehung findet ihren Ausdruck in den Relationen:

= 1,2,. ..,n— m;

(66) (C,X₍;)=_2'V'‘C,(/')

,“=1

in denen die wxirgend welche Funktionen der Variabein sind. Gruppen dieser Art bezeichnet Lie als imprimitiv ; transitive Gruppen, denen diese Eigenschaft nicht zukommt, heissen primitiv¹¹).

12. Invarianten. Wenn es nicht möglich ist, den Gleichungen (60) bei gegebenen Werten der x und y zu genügen, so heisst die Gruppe Gr intransitiv. In diesem Fall giebt es Funktionen, die den Differentialgleichungen (61) genügen; sie werden als Invarianten der Gruppe bezeichnet. Eine Invariante wird durch jede Substitution der Gruppe in sich selbst transformiert¹²).

Durch die allgemeine Substitution (60) der Gruppe G wird ein Gleichungssystem :

(67)

®i(x) = o, #20*0 = o,..ox(x) = o

in ein Gleichungssystem

VM = 0, %(y) = 0, ..V,(ÿ) = 0 transformiert. Ist das letztere System gleichbedeutend mit dem System :

®ifr) = 0, ®„(jr) = 0, .®„(y) = 0,

so heisst das Gleichungssystem (67) invariantiv gegenüber der Gruppe G.

Lie gebraucht auch den Ausdruck „das System (67) gestattet die Gruppe Gu41).

Das System (67) ist sicher invariantiv:

2)

1) wenn die Funktionen &x, 3>₂, .. ., Invarianten sind; wenn es die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür ausdrückt, dass die Matrix (41) einen bestimmten Rang erhält.

Auf diese beiden Fälle kann der allgemeine Fall zurückgeführt werden. Nehmen wir zunächst an, die Matrix (41) bleibe vom Range r, wenn man die x den Gleichungen (67) unterwirft; dann können diese Gleichungen durch Relationen zwischen den Invarianten von G vollständig ersetzt werden.

xn — als Funktionen der übrigen xx, x₂, . .., Xh

Nehmen wir zweitens an, infolge der Gleichungen (67) reduziere sich der Rang der Matrix (41) auf p. Dann heben wir aus dem System (67) zunächst solche Gleichungen heraus, die für diese Reduktion erforderlich und hinreichend sind und bezeichnen diese mit (67a), die übrigen — sofern noch welche vorhanden sind — mit (67b). Durch die Gleichungen (67a) werden eine Anzahl von Variabein x etwa Xh -(-1, Xji 2,. bestimmt; an Stelle der r-gliedrigen Gruppe G in n Variabein tritt eine ebenfalls r-gliedrige Gruppe r in ln Variabein¹³ 14).

13. Differentialin Varianten. Es sei zunächst eine einzelne Substitution

0 = 1,2y n)

(68)

~ (y =1,2, n) bezeichnet, dagegen mit    (y

Xy — f y ”^2 y * * * y vorgelegt. Durch irgend ein Gleichungssystem seien die Variabein xm+lf xm+₂, • • •, %n als Funktionen von xx, x₂, . . ., xm definiert. Dementsprechend sind die Variabein x'm.j-i, x'm+₂, ■ ■ -, xn als Funktionen von xx, x%, xm zu betrachten. Die unter der Voraussetzung von einander unabhängiger xx, x₂, . . ., xn gebildeten Differentialquotienten einer Funktion F nach diesen Variabein werden im folgenden mit

= 1; %

diejenigen, die unter Berücksichtigung' des funktionalen Zusammenhangs zwischen xm+x, . . ., xn und xt, .. ., xm gebildet sind. Ent-

sprechend sind die Bezeichnungen ~ und — sei zur Abkürzung gesetzt:    v    v

zu verstehen. Fer-

ner

X=l, P = 1,

(dx'm+A

27*

\ H /

(A = 1, 2, . . ., w — m; fi == 1, 2, ..., m)

ist. Durch Auflösung dieser Gleichungen nach den p ergiebt sich, wenn man die dx't/dx^ durch ihre aus (68) folgenden Werte ersetzt, ein Gleichungssystem der Form:

(69) pu=giv(xi, X%, . . ., Xn\pn, p1Sf . . .,pn^m,m) = g*v(%\p)

(A = 1, 2, ..., n — m; p, = 1, 2, . . ., m).

Die durch die Gleichungen (68) und (69) dargestellte Substitution bezeichnet Lie als erweiterte Substitution¹⁵). — Die Ausdrücke g\v hängen in keiner Weise von den Beziehungen zwischen den i, • • -,xn und den x1; x₂, . . ., xm ab.

Man kann in der Erweiterung der Substitution (3) fortfahren, indem man auch noch die zweiten Differentialquotienten berücksichtigt; u. s. w.

Lassen wir an Stelle von (68) die allgemeine Substitution (3) der Gruppe G treten, so erhalten wir an Stelle von (69) Gleichungen der Form:

(70)

Um die p\fl als Funktionen der x und der p darzu stellen ; benutzt man, dass:

dx'm+z nsj dx'm+x

m    ,    „    ,    m    „    , n—m

■Sft!W$-Z*-lk+2

h\

V ^ )

dxfx

Px/x

doc't

dxm+x-

}h, = gir(x\p\a)-, sie stellen zusammen mit (3) die allgemeine Substitution einer mit G gleichzusammengesetzten Gruppe GW dar — der ersten Erweiterung der Gruppe G. Durch Hinzufügung der zweiten Ableitungen gelangt man zur zweiten Erweiterung 6r⁽²⁾, die ebenfalls mit G gleichzusammengesetzt ist. U. s. w.¹⁶)

Um die charakteristischen Differentialgleichungen (Nr. 3) von GW aufzustellen, gehen wir von den Differentialgleichungen (21) von G aus. Für [i — 1, 2, . . ., m folgt aus ihnen:

(71) andererseits ist für v — m -j- A, k — 1, 2, . . ., n — m:

dx'm+x\ _    Yd Pu fdscĄ    , /0_ dxj\~ '

ex,u daQ J jfjj \_daQ \dxj    Kdx^dajy

also (unter Änderung des Summationsbuchstabens im ersten Gliede rechts):

(72)

Vergleichung von (71) und (72) giebt, da die Funktionaldeterminante:

D(xt, x2, ..xm)

D(xt, x₂, . .., xm)

nicht verschwindet:

(73)

dPlx ^    fttom+x¥)\ V ' (d%0l(x')\

^ =2 *.(*) Lf——; -2 »> [rssr)

w; Â = 1,2,..

(p = 1» 2,. . .,y; *= 1,2, ..

und hier ist:

(74)

Kal¥)

dx'y

+2¹

, dial(x)

Pr y

dK

v==l

Die Differentialgleichungen (21) und (73) mit den zugehörigen Anfangsbedingungen definieren die Gruppe 6r⁽¹⁾. Auf analogem Wege gelangt man zu den für die Gruppe G® geltenden Differentialgleichungen, u. s. w.¹⁷).

Wenn die Gruppe intransitiv ist, so besitzt sie eine Anzahl von Invarianten und unter diesen giebt es sicher solche, die nicht nur von den x, sondern auch von den p abhängen. Diese werden als Differentialinvarianten von G bezeichnet¹⁸). Ebenso führt die

Gruppe G⁽²\ wenn sie intransitiv ist, zu Differentialinvarianten, die auch noch die zweiten Derivierten enthalten; u. s. w.

Schreitet man in der Reihe der erweiterten Gruppen hinreichend weit fort, so muss man sicher einmal zu intransitiven Gruppen gelangen; es besitzt also jede endliche kontinuierliche Gruppe Differentialinvarianteni¹⁹).

14. Parametergruppen. Führen wir drei bestimmte Substitutionen S(d), S(b), S(c) der Gruppe G, die den Parametersystemen:

Cl> C2 ) • • * ; Cr

,. • •, br ;

entsprechen, nach einander aus. Sie setzen sich zu einer ebenfalls der Gruppe G angehörenden Substitution S(s) zusammen, der das Parametersystem s1} s₂, . . ., sr entsprechen möge; symbolisch:

S(s) = 8(a) 8(b) 8(c).

Fassen wir S(a) und S(b) in ein Produkt S(p) — 8(a) S(b) und ebenso 8(b) und 8(c) in ein Produkt S(q) = S(b) S(c) zusammen, sodass:

8(s) = S(p) 8(c) = 8(a) %);

zwischen den Parametersystemen &; c; p\ q] s bestehen dann die Gleichungen (vgl. (5)):

(75) \)pQ=(pQ(a\b)', 2) qQ = qp?(&|c); 3) sç= ç>e(p|c); 4) s?==<pQ(a\q)

(p = l,2,...,r).

Betrachten wir die a, p, s als Variable, die b, c, q als Parameter: die Substitutionen (75, l) und (75, 3), die derselben oor-Schar angehören, setzen sich zu der Substitution (75,4) zusammen, die dieser Schar ebenfalls angehört; die Gleichung (75, 2) bestimmt die Parameter der resultierenden Substitution.

Betrachten wir die c, q, s als Variable, die a, 6, p als Parameter: (75, 2) und (75, 4) setzen sich zu (75, 3) zusammen, diese drei Substitutionen gehören derselben oor-Schar an; (75, 1) bestimmt die Parameter der resultierenden Substitution.

Jede der beiden r-gliedrigen Substitutionenscharen hat also Gruppencharakter; Lie unterscheidet sie als erste und zweite Parameter gruppe^). Bezeichnen wir mit:

(p = 1, 2,. . ., r)

Uç =    (a±,    1 * * * > ®r)

die Parameter der zu 8(a) inversen Substitution, sodass S(d) = S(a) und sei entsprechend S(b) — 8(b)~¹, S(p) = S(p)~¹. Aus S(p) = 8(a) S(b) folgt dann S(p) = S(b) 8(a), also: pQ = cpQ(b\ a). Betrachten wir die a, p, ä, p als Variable, die b, b als Parameter. Transformieren wir die allgemeine Substitution der 1. Parametergruppe po — cpq (a J b) durch die Substitution ä„ — yQ (a), pç = yQ (p) und führen wir gleichzeitig an Stelle der b neue Parameter b = %Q (b) ein, so geht sie in die allgemeine Substitution der 2. Parametergruppe Po = (po (b J a) über. Die beiden Parametergruppen sind also ähnlich ²⁰ 21). Sei wie oben S(p) — S(a) S(b) und ferner: 8(p) = S(c) S(p), S(ä) = 8(c) 8(a), folglich S(p') = S(ä) 8(b).

Dann ist:

cpQ{c\a)] A)p'ç=(pç(c\p)

(76) 1) pç=(pç(a\b)-, 2) pę=yQ(a\b)-, 3)<y

0 = 1, 2, . ,., r)-Hier betrachten wir die a,p, ä,p als Variable, die b, c als Parameter; dann lassen sich diese Gleichungen dahin interpretieren: transformiert man die allgemeine Substitution (76, l) der 1. Parametergruppe durch die allgemeine Substitution (76, 3, bezw. 4) der 2. Parametergruppe, so geht sie in sich selbst (nämlich in 76, 2) über. Die beiden Parameter gruppen sind also reciproke Gruppen²²).

Aus (20) folgt, dass die 2. Parametergruppe von den infinitesimalen Transformationen:

¹

   Lie, Norw. Arch. 3 (1878), p. 102; 7 (1882), p. 180; Math. Ann. 24 (1884), p. 557.

²

   So schon Christ. Forh. 1872, p. 25.

³

   Lie, Norw. Arch. 1 (1876), p. 185. — Beschränkt man sich nicht auf Funktionenelemente, so muss man zwischen „gleichzusammengesetzt“ und „holoedrisch isomorph“ unterscheiden (Fr. Engel, Leipz. Ber. 1893, p. 695).

⁴

   Lie-Engel 1, p. 293. — Die Übereinstimmung dieser Definitionen mit den in der Theorie der diskreten Gruppen üblichen folgt aus den von Lie,

⁵

   Lie, Christ. Forh. 1884, Nr. 8; Math. Ann. 25 (1885), p. 96.

⁶

   Abweichend von der in der Theorie der diskreten Gruppen zuweilen gebrauchten Ausdrucksweise, nach der eine Operation S schon dann mit einer Gruppe G vertauschbar heisst, wenn sie diese Gruppe in sich transformiert.

⁷

   Lie, Norw. Arch. 3 (1878), p. 104.

⁸

   Lie bezeichnet diesen Satz Math. Ann. 24 (1884), p. 557 als „seinen alten Satz“. Explicite ausgesprochen ist er vorher nirgends; doch vgl. Norw. Arch. 3, p. 102.

⁹

   S. Lie, Christ. Forh. 1882, Anhang p. 18; 1883, Nr. 10, p. 3; Math. Ann. 25 (1884), p. 407.

¹⁰

Lie-Engel 1, p. 632; der Beweis richtig gestellt 3, p. 297. — Charak-terisirung der Transitivität einer r-gliedrigen Gruppe durch r gebrochene Zahlen 3, p. 746.

EncyMop, d, math. Wissensch. II.

¹¹

   Christ. Forh. 1884, Nr. 15; Norw. Arch. 10 (1885), p. 375; Leipz. Ber. 1888, p. 18. Ausführung bei Lie-Engel 1, p. 220. — Jede primitive Gruppe ist asystatisch, d. h. die grösste Untergruppe, die einen Punkt von allgemeiner Lage ungeändert lässt, lässt nicht auch noch eine durch den Punkt gehende Mannigfaltigkeit ungeändert [Lie, Norw. Arch. 10 (1885), p. 375], Doch giebt es auch imprimitive asystatische Gruppen (ib.). Die Entscheidung, ob eine Gruppe systatisch ist, ergiebt sich aus den Gliedern 1. Ordnung in den Reihenentwicklungen ihrer infinitesimalen Transformationen für die Umgebung eines Punktes von allgemeiner Lage (ib. p. 379).

¹²

   Der in der Algebra der linearen Transformationen geläufige Begriff der Invariante (I B 2, Nr. 2) ist von Klein und Lie von Anfang an in die allgemeine Theorie herübergenommen worden {Klein, Progr. Erl. § 1; Lie, Christ. Forh. 1884, Nr. 15). — Lie spricht auch von „Invarianten mehrerer Punkteu gegenüber der Gruppe (60), d. h. Invarianten der aus (60) und (62) gebildeten Gruppe [.Lie-Engel, 1, p. 218; vgl. auch W. Killing, Math. Ann. 35 (1889), p. 422], Die Invarianten von mehr als r Punkten lassen sich stets durch die Invarianten von r oder weniger Punkten ausdrücken {Lie, Leipz. Ber. 1889, p. 288).

¹³

   So schon Christ. Forh. 1872, p. 26 (von einer einzelnen Transformation).

¹⁴

   Diese Sätze waren Lie aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen (Il A 5, Nr. 54) geläufig; die Ausführung Lie-Engel 1, Kap. 14.

¹⁵

   Auch diese Vorstellung — dass mit den Punkten eines Raumes von beliebig vielen Dimensionen zugleich seine Linien-, Flächen- u. s. w. Elemente mit transformiert werden — gehört zu Lie's ursprünglichem Ideenschatz. Vgl. z. B. Christ. Forh. 1871, p. 84, wo die Sache bereits als selbstverständlich behandelt wird.

¹⁶

   Lie, Norw. Arch. 8 (1883), p. 193; Math. Ann. 24 (1884), p. 550. Der Name „Erweiterungu Lie-Engel 1, p. 523. Vgl. auch K. Żor emski, Krak. Ber. 24 (1893), p. 34.

¹⁷

   Lte-Engel 1, p. 541.

¹⁸

   Lie, Math. Ann. 21 (1884), p. 539; A. Tresse, Par. C. R. 114 (1892), p. 948, 1256; E. Lindelöf, Fenn. Acta 20 (1893), p. 1. Differentialinvarianten projektiver und damit zusammenhängender Gruppen sind schon früher betrachtet worden; vgl. IB2, Nr. 20. — Werden die xm,1L von der Gruppe G nicht mit transformiert, so sagt man statt Differentialinvariante auch wohl Differential-parameter (G. Lamé, Coordonnées curvilignes, Paris 1859, p. 5). Ygl. Lie-Scheffers p. 739. Durch die Differentialparameter kann man aus bekannten Invarianten neue ableiten. Vgl. I B 2, Nr. 22.

¹⁹

Lie, Christ. Fork 1882, Nr. 21, p. 8; 1883, Nr. 18, p. 4; Math. Axm. 24 (1884), p. 566.

Mit den Differentialinv&ria,nten stehen in engem Zusammenhang die Inte-gmünvarianten \H. Poincaré, Acta math. 13 (1899), p. 52; Mécanique céleste, 3 (1899), p. 1; K. Żorawsky, Krak. Denkschr. 28 (1895), p. 232; E. Cartan, Buli. soc. math. 24 (1896), p. 140; S. Lie, Leipz. Ber. 1897, p. 342, 368; A. Hurwitz, Gott. Nachr. 1897, p. 71]. Ygl. auch I B 2, Fussn. 141.

Über invariante Differentialgleichungen und Systeme von solchen vgl. man IIA 4 b, Nr. 13 und IIA 5, Nr. 54.

²⁰

   Christ. Forh. 1884, Nr. 15; Norw. Arch. 10 (1885), p. 358 (nur die erste). Vgl. Lie-Engel 1, p. 401; 3, p. 638. — Die Parametergruppen entsprechen den „regulären“ endlichen diskreten Gruppen (I A 6, Fussn. 75).

²¹

   Lie-Engel 3, p. 640.

²²

   Engel bei Lie-Engel 1, p. 429.

(77)

Ą(f) =2 ocça(a)j

erzeugt wird¹). Die erzeugenden infinitesimalen Transformationen der 1. Parametergruppe ergeben sich hieraus vermöge der Ähnlichkeit beider Gruppen.

Da die Determinante | ccQ a j nicht Null ist, sind die beiden Parametergruppen transitiv.

15. Adjungierte Gruppe. Aus den Gleichungen (18) und (21) ergeben sich durch Elimination der dx'v/daQ Gleichungen der Form:

r    n    ,

(78) lqv(x) = pQ0 ^ %„X (z) ~

$ = 1; 2, . .

_x=\

die Koeffizienten pQ a sind Funktionen der a. In diesen Gleichungen ersetzen wir:

(7=1

^ Ioa(^) ^7 durch eQ, ^x(x) durch e'

und erhalten eine Schar linearer Substitutionen:

(q = 1; 2, • • -, r).

(79)

Cq —Pq a 6(7

(7=1

Diese Schar hat Gruppencharakter²); sie heisst die zu G adjungierte Gruppe³). Sie wird erzeugt von den infinitesimalen Transformationen ²) :

(80)

EçOO —^Z ^/T caqtea ß

0=i t=i

df

Die adjungierte Gruppe ist zu G isomorph²). Der Isomorphismus ist holoedrisch, wenn G keine ausgezeichnete infinitesimale Transformation enthält, d. h. keine, die mit allen infinitesimalen Transformationen von G vertauschbar ist⁴). Giebt es dagegen Je unter einander unabhängige ausgezeichnete infinitesimale Transformationen, so ist der Isomorphismus meriedrisch⁵); die adjungierte Gruppe ist dann von der Ordnung r — Je.

Die adjungierte Gruppe ist intransitiv ; denn wegen cQat =— caQt

(28) ist

(81)

Ei(f) + es £•,(/■) H-----\-eXr(f) = 0.

Sie besitzt also mindestens eine Invariante.

16. Bestimmung aller Gruppen von gegebener Variabeln-und Parameterzahl. Um eine Übersiebt über alle überhaupt möglichen Transformationsgruppen zu erhalten, fasst Lie zunächst alle unter einander ähnlichen Gruppen in einen Typus zusammen. Dann ergeben sich drei Integrationsprobleme⁵⁶):

A)    alle r-gliedrigen Gruppen einer n-fachen Mannigfaltigkeit zu bestimmen;

B)    alle endlichen kontinuierlichen Gruppen einer n-fachen Mannigfaltigkeit zu bestimmen;

C)    alle r-gliedrigen Gruppen zu bestimmen.

Von diesen Problemen ist B) das schwierigste, C) lässt sich auf

A) zurückführen, indem es für jedes r genügt, eine begrenzte Anzahl Werte von n zu betrachten.

Wesentliches Hülfsmittel der Untersuchung ist die Unterscheidung der infinitesimalen Transformationen nach ihrer Ordnung für einen Punkt (x®,    ,..., Æ⁹) von allgemeiner Lage, d. h. nach der Ordnung

der Reihenentwicklungen der %aQ in der Umgebung eines solchen Punktes. Ist X; von der Ordnung si} Xk von der Ordnung sk, so ist (XiXk) mindestens von der Ordnung s,- -j~ sk—l.⁵⁷)

Für n — 1 giebt es nur drei Typen von Gruppen⁵⁸):

1)    die eingliedrige x — x -j- a;

2)    die zweigliedrige x — a±x -f- a₂ ;

3) die dreigliedrige x' =

a₁ x -f- a2 asx 1

Auch für n > 1 giebt es „in einem gewissen Sinne“ nur eine begrenzte Anzahl von Typen⁵⁹).

Frage, ob lineare Gruppen von jeder vorgeschriebenen Zusammensetzung existieren, ist noch unerledigt; vgl. aber W. Ahrens, Leipz. Ber. 1897, p. 859.

56)    Diese Formulierung giebt Lie, Leipz. Ber. 1888, p. 15. — Die Aufgabe, alle Gruppen linearer Transformationen anzugeben, hatte er bereits Christ. Forh. 1871, p. 243 gestellt.

57)    Lie, Norw. Arch. 3 (1878), p. 126. — Bei seiner ersten Bestimmung aller Gruppen der Ebene hatte Lie einen anderen Satz benutzt, ib. p. 116. Ygl. auch Lie-Engel 3, p. 666.

58)    Lie, Gott. Nachr. 1874, p. 531; Norw. Arch. 1 (1876), p. 20; auf anderem Wege Math. Ann. 16 (1880), p. 449; noch anders Lie-Engel 3, p. 7 und p. 11.

59)    Lie, Gött. Nachr. 1874, p. 540 (ohne Beweis). Die primitiven Gruppen

17. Bestimmung aller Typen der Zusammensetzung einer Gruppe.

Die Bestimmung aller Typen der Zusammensetzung, d. h. aller wesentlich verschiedenen Systeme von Konstanten cQOt, die den Gleichungen (28) und (29) genügen, ist ein algebraisches Problem⁶⁰). Seine Lösung beruht hauptsächlich auf den Eigenschaften der „charakteristischen Determinante“⁶¹) :

Cq H Cq

9

Cq 12 Cq

9

CqIv Cq

9

ßl säjj Cq 21 Cq Q

Cq 22 Cq    (O . . . Cq r g Cq

9    9

(82) A(m)

= (— &)r + JKi(e)0

Cq2 r Cq

9

ö)"“¹ + %2^) (—

(Das absolute Glied ist Null wegen (28)). Die Anzahl derjenigen unter den Funktionen die imter einander unabhängig sind, heisst der Ebene (n = 2) werden ebendort p. 538 summarisch aufgezählt; alle Gruppen der Ebene Norw. Arch. 3 (1878), p. 125 und Math. Ann. 16 (1888), p. 455, in einigen Details vereinfacht Norw. Arch. 10 (1885), p. 74; in integrierter Form von W. Fr. Meyer, Chic. Congr. Pap. 1893 [96], p. 198. Seine Bestimmung aller Gruppen des Raumes (n — 3) [Norw. Arch. 3 (1878), p. 94; 10 (1885), p. 111,124; Lie-Engel 3, p. Y] hat Lie nicht vollständig veröffentlicht; die primitiven werden Lie-Engel 3, p. 122 abgeleitet, grosse Klassen von imprimitiven ib. p. 141, die viergliedrigen von JR. Koch, Diss. Leipz. 1898. Die primitiven Gruppen für n — 4 bestimmt J. M. Page, Diss. Leipz. 1888 [Amer. J. of math. 10 (1888), p. 345 ; ein Nachtrag Ann. of math. 9 (1894), p. 60*]; die Gruppen des i?₄, für die zwei Punkte eine, mehr als zwei Punkte keine wesentliche Invariante haben, G. Kowalewski, Leipz. Ber. 1898, p. 60. Für n — 5 giebt G. Kotoalewski ib. 1899, p. 68 die primitiven Gruppen, 1898, p. 103 die imprimitiven der eben genannten Art.

Man kann auch nur solche Gruppen als unter einander ähnlich behandeln, die durch eine reelle Transformation in einander übergeführt werden können; dann spalten sich einzelne Typen in Gestalten (Lie-Engel 3, p. 369). Für n — 1 und n = 2 vgl. auch S. Sulzberger, Diss. Leipz. 1889.

60) S. Lie, Norw. Arch. 1 (1876), p. 178. Alle Typen der Zusammensetzung für r — 2, 3, 4, sowie die nicht integrabeln für r — 5, 6: Lie-Engel 3, p. 713. Christ. Forh. 1884, Nr. 9, p. 3 giebt Lie an, er habe alle Typen für r <[ 7 bestimmt.

61) Auf diese Determinante führt die Frage nach den zweigliedrigen Untergruppen, in denen eine gegebene eingliedrige invariant enthalten ist \Lie, Norw. Arch. 1 (1876), p. 53 für n — 1, r = 3; eine Andeutung des allgemeinen Satzes ib. p. 179]. W. Killing hat sie an die Spitze seiner Untersuchungen über Zusammensetzung gestellt [Math. Ann. 31 (1887), p. 259], Die Resultate dieser Untersuchungen haben sich bei der Nachprüfung durch E. Cartan [Par. C. R. 110 (1893), p. 784, 962; Leipz. Ber. 1893, p. 395; Par. thèse 1894] bestätigt gefunden, die benutzten Htilfssätze nur zum Teil.

der Hang der Gruppe⁶). Die Funktionen i sind der adjungierten Gruppe gegenüber invariant, genügen also den r Differentialgleichungen⁷):

(83)

0=1 t = 1

df

Es müssen also für eine Gruppe vom Range l mindestens l Wurzeln der Gleichung Ara = 0 gleich Null sein⁸). Sind alle Funktionen % Null, so ist die Gruppe vom Hange Null; die erzeugenden infinitesimalen Transformationen einer solchen Gruppe können so gewählt werden, dass die zwischen ihnen bestehenden Relationen die Form erhalten⁹):

(84)

r— 1)

= 1, 2, . .

= 0+1, <j 4- 2, ..

r) '

Andererseits zerfallen (vgl. I A 2, Nr. 16) alle Gruppen in einfache, die keine invariante Untergruppe besitzen, und zusammengesetzte, denen eine solche zukommt¹⁰ 11). Die zusammengesetzten kontinuierlichen Gruppen kann man weiter in drei Unterabteilungen zerlegen:

A) Eine Gruppe Gr der Ordnung r heisst integrabel⁶¹), wenn sie folgende Eigenschaft hat: Gr hat eine invariante Untergruppe G>_i der Ordnung r — 1, G>_i eine invariante G>—2 u. s. f. bis zur G₁. — Konsequenterweise sind die eingliedrigen Gruppen den integrabeln beizuzählen¹²).

Die Gruppen vom Range Null sind integrabel¹³); umgekehrt hat jede integrable Gruppe entweder selbst den Rang Null oder es gilt dies wenigstens für ihre Derivierte (Nr. 6)¹⁴ 15).

B)    Eine Gruppe heisst halb-einfach¹¹), wenn sie keine integrable invariante Untergruppe besitzt.

C)    Alle übrigen Gruppen bilden die dritte Unterabteilung.

Für eine gegebene Rangzahl l giebt es im allgemeinen gerade vier Typen der Zusammensetzung einer einfachen Gruppe¹⁶); sie gehören bezw. zu den Ordnungszahlen:

1(1 + 2), 1(21 + 1), 1(21—1), 1(21 + 1).

Die Gruppen dieser Typen sind bezw. isomorph mit der projektiven Gruppe des Br-, der Gruppe einer quadratischen Mannigfaltigkeit in 21+1] und in 21 Variabein; endlich der Gruppe eines linearen Komplexes im B%i (vgl. Nr. 20).

Ausnahmen finden nur in folgenden Fällen statt: Für l — l fällt der dritte Typus als eingliedrig weg, die drei andern sind isomorph. Für 1 — 2 ist der 3. Typus nicht einfach, der 2. und 4. isomorph. Für 1 = 3 ist der 1. und 3. Typus isomorph. Für 1 = 2, 4, 6, 7, 8 existiert ausserdem noch je ein Typus einfacher Gruppen, bezw. von der Ordnung 14, 52, 78, 133, 248.¹⁷)

Jede halb-einfache Gruppe enthält eine Reihe invarianter Untergruppen 6r1; 6r₂, . . ., Gq (q~+2), von denen jede einfach ist; keine zwei derselben haben eine infinitesimale Transformation gemein; die erzeugenden infinitesimalen Transformationen einer jeden von diesen

Untergruppen sind mit den erzeugenden infinitesimalen Transformationen der übrigen vertauschbar; die Summe der Ordnungen von G G2,    , Gq ist gleich der Ordnung von G. Die Gruppe G zerfällt

also in das direJcte Produkt (I A 6, Nr. 16) der Untergruppen G

denen jede mit jeder vertauschbar ist¹⁸).

von

G₂ , . . . , Gq ,

Für die Gruppen der Klasse C) gilt der Satz: Ist die umfassendste invariante integrable Untergruppe G₁ von G von der Ordnung r — m, so ist mit G eine Gruppe U der Ordnung m meri-edrisch isomorph, die einfach oder halb-einfach ist¹⁹).

18. Bestimmung aller Gruppen von gegebener Zusammensetzung. Um alle Gruppen von gegebener Zusammensetzung zu erhalten, muss man sich zuerst eine einfach transitive derartige Gruppe verschaffen. Am einfachsten ist es, zunächst die Parametergruppe, die zu der vorgelegten Zusammensetzung gehört, zu bilden²⁰). Die Darstellung der infinitesimalen Transformationen der Parametergruppe gestaltet sich verschieden, je nach der Wahl des Parametersystems. Lie benützt ein Parametersystem, das er als kanonisch bezeichnet; er gelangt dazu auf folgendem Wege.

Seien wieder

df

(p = 1, 2, . . ., r)

V = 1

die infinitesimalen Transformationen irgend einer Gruppe von der verlangten Zusammensetzung²¹). Seien l₁, A₂, . . . Ar willkürliche aber feste Werte: wir bilden die infinitesimale Transformation:

"h    + • * ' + krXr(f).

Sie erzeugt eine eingliedrige Gruppe, die man durch die Differentialgleichungen : (85)

c=¹

und die Anfangsbedingungen:

(86)

Xy — Xy für t — 0

definieren kann. Nach Ausführung der Integration kommen t und die A nur in den Verbindungen:

(87)

e^ - A^ t , Cg - Ag t , • ■ • , Cy. - Ay t

vor; behandelt man diese als unabhängig variabel, so stellen die aus (85) entspringenden Integralgleichungen:

(88) Xv - fv (%1 y X%y ... y Xn \ f 7 • • • ;

eine r-gliedrige Gruppe dar²² 23). Das System der Parameter e bezeichnet Lie als kanonisches Parameter system™)-, es ist bestimmt bis auf eine lineare Transformation, der die e unterworfen werden können²⁴). Bildet man aus diesen kanonischen Parametern eq statt der aQ die Funktionen ipat von Gleichung (22) und setzt:

(89)

t Tpot (0 ^7 ^2 ^ 7 ‘ •

so genügen die so bestimmten Funktionen Wat den linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten²⁵):

m) = k, *■

(90)

A*0<_ dt ~ £at

+2 2 w⁹'-*

^=i t—i

und den Anfangsbedingungen:

W₀,t = 0 für t — 0

(ö, T — ly 2y ... y r)y

lassen sich also durch rationale ganze Funktionen von t und gewissen Exponentialgrössen der Form ect ausdrücken (II A 4 b, Nr. 21). ²⁶) Aus den ihat erhält man die aat und damit die infinitesimalen Transformationen der Parametergruppe in kanonischer Form (Glchg. 77).²⁷)

Das kanonische Parametersystem bietet den Vorteil, dass jede Untergruppe durch lineare Gleichungen zwischen den Parametern

auch dann, wenn hei geeigneter Wahl des Parametersystems eine rationale Darstellung möglich wäre⁸⁶). Man vermeidet dies durch eine andere Darstellung der Parametergruppe, indem man die allgemeinen Substitutionen der r von X₁(/’), X₂ (f), . . ., Xr{f) erzeugten eingliedrigen Gruppen nach einander anwendet⁸⁷).

definiert ist⁸⁴). Dem stellt der Nachteil gegenüber, dass die Funktionen fv (x I a) im allgemeinen⁸⁵) transcendente Funktionen der Parameter werden

In den Parametergruppen kennt man zwei einfach transitive zu einander reciproke Gruppen in r Variabeln. Wenn man überhaupt zwei derartige Gruppen G und jT kennt, kann man ohne Integration für jeden Typus r - gliedriger Gruppen der gegebenen Zusammensetzung die infinitesimalen Transformationen eines Repräsentanten finden⁸⁸).

Seien Xx{f), X,(f), . .Xr(f) und Yx(f),    Yr(f) die

erzeugenden infinitesimalen Transformationen von G und F, Yx(f), Yt(f), . . ., Ym(f) die erzeugenden infinitesimalen Transformationen einer Untergruppe mter Ordnung Fx von T, ux,u₂, . . ., ur~m von einander unabhängige Invarianten von

r — m rx ,⁸⁹) Wegen (50) ist

84)    Fr. Schm, Math. Ann. 35 (1889), p. 187.

85)    Nur für Gruppen vom Range Null tritt eine Ausnahme ein.

ax -j- ß yx -f- 1

86)    Z. B. lautet die kanonische Darstellung der Gruppe x =

x    __ e(ui₂ — ojj) e₃ x ~ ai

x' -COj    X — 03g

dabei bedeuten tu,, cas die beiden Wurzeln der Gleichung ex -j- egco -{- esca² = 0.

87)    L. Maurer, Math. Ann. 39, p. 421.

88)    Fr. Schur, für die kanonischen Parametergruppen Leipz. Ber. 1890, p. 4; allgemein Math. Ann. 38 (1890), p. 280. Andere Ableitungen bei Fr. Engel, Leipz. Ber. 1891, p. 585; Lie-Engel 3, p. 798 [mit Hülfe einer bereits Math. Ann. 25 (1884), p. 81 benutzen Schlussweise]. Lie hatte ursprünglich nur gezeigt, dass zur Bestimmung der endlichen Gleichungen aller transitiven Gruppen von gegebener Zusammensetzung die Integration simultaner Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen ausreicht, sobald man die endlichen Gleichungen einer solchen Gruppe kennt (Christ. Forh. 1884, Nr. 9 [ohne Beweis]; Norw. Arch. 10 (1885), p. 353. Ygl. Lie-Engel 1, Kap. 22 ; 3, Kap. 27. An der letzteren Stelle wird gezeigt, dass höchstens Quadraturen erforderlich sind). Ygl. auch Lie, Leipz. Ber. 1890, p. 490. — Übrigens ist in den betr. Arbeiten nicht überall klar ersichtlich, welcherlei Operationen als „ausführbar“ angesehen werden sollen.

89)    Die Bestimmung dieser Invarianten verlangt eben die Quadraturen, von denen in Fussn. 88 die Rede ist (vgl. Lie-Engel 3, p. 663). Wie sie vermieden werden können, wenn man nur die infinitesimalen Transformationen der gesuchten Gruppe zu kennen verlangt, ist ib. p. 798 gezeigt. Yon Schur werden diese Invarianten überhaupt nicht benutzt.

du’x

gleichzeitig mit ux auch Xa(ux) Invariante von ri} also Funktion von ulf u₂₎ . . ., Ur—m ■ Das Resultat der Substitution von xx, x'%, . . x'r an Stelle von xt, x₂, . . ., xr in die Funktion Ux werde mit u'x bezeichnet. Dann folgt aus (21):

fiTJ- tyoqip) Źav(%) — Ipaęip) Xa(u’x)

r.

daQ

V = 1 (T

0=1

(A = 1, 2, ..., r — m; p = 1, 2,..., r).

Diese Differentialgleichungen mit den zugehörigen Anfangsbedingungen: u'x = ux, u'x = U2, ... ,u'r—m — ur—m für die Anfangs werte der Parameter definieren eine mit G und F isomorphe Gruppe G' in r — m Variabein. Der Isomorphismus ist holoedrisch, wenn keine in F invariante Untergruppe enthält.

Die Bestimmung aller Typen von intransitiven Gruppen in n > r Variabein, für welche die Matrix (41) vom Range r ist, bietet keine Schwierigkeit. Jedem Werte von n entspricht ein einziger Typus. Ist n durch r teilbar, etwa = Jcr, so braucht man nur k kogrediente Gruppen (62) neben einander zu stellen. Ist dagegen (k — 1) r < n < kr, so setze man zwischen den Invarianten dieser Gruppen irgend welche unter einander unabhängige kr — n Relationen fest²⁸).

19. Über den analytischen Charakter der Funktionen fv (x j a).

Wenn die infinitesimalen Transformationen einer Gruppe und der zugehörigen Parametergruppe bekannt sind, so kann man die in Nr. 2 eingeführten Funktionen fv (x | a) und cpQ (a | b) durch Potenzreihen darstellen, die innerhalb bestimmter Gebiete konvergieren. Aber über den analytischen Charakter der Funktionen fv und <p? geben diese Reihenentwicklungen keinen Aufschluss. Hierüber sind zur Zeit nur wenige Sätze bekannt. Um sie bequem aussprechen zu können, nenne ich ein System von r² Grössen p^a regulär, wenn die Determinante I Pqo — Sqo g> I, (p, 6 = 1, 2, . . ., r), entweder durch cor teilbar ist, oder wenn sie nur für ganzzahlige Werte von co Null wird und in diesem Fall nur Elementarteiler 1. Ordnung (I B 2, Nr. 3) hat. Dann gelten die Sätze:

1) Wenn die Funktionen fv(x\a) von den Variabein x und den Parametern a algebraisch abhängen, so kann man unter den zur Gruppe gehörenden äquivalenten Systemen der Zusammensetzung eines der Art auswählen, dass jedes der p Systeme:

regulär ist²⁹ 30).

2) Wenn eine lineare Gruppe der Ordnung r algebraisch ist, so kann man ihre erzeugenden infinitesimalen Transformationen

Mf.) -2 2

/u — 1 r = l

(92)

* Ci

• • • Cçirl

(q = h ²> ■ • •> r)

df

f* dxv

so wählen, dass ihre Koeffizienten rationale Funktionen der Parameter werden und dass zugleich ihre Parametergruppe die Form besitzt: (9d) O'/.i = (Pfi (ct>i ; a%, . . ., am j bi,    , . . .} bm~J (ft = 1, 2, ..., m'j,

in der die cp^ rationale Funktionen ihrer Argumente sind²⁹').

20. Besondere Arten von endlichen kontinuierlichen Gruppen.

Von besonderen Gruppen seien erwähnt:

1) Die n(n -f- 2)-gliedrige projektive Gruppe in n Variabein³¹):

Xy =

(94)

avlXl + av2X2 H-----1~ arnXn + aV) n_|_i

an + l,læl + an + l,2æ2 H-----k a« + l,nXn~f ¹

und ihre Untergruppen (2—9)³²):

(95)

2) Die n(n j~ l)-gliedrige allgemeine lineare Gruppe³³): xv = aviXi -(- av2X2 -j⁻ ■ ■ ■ “P avnxn -{- ay>n-)_i.

3) Die w²-gliedrige homogene lineare Gruppe³⁴):

(96)

Xy = av\X\ -p av2 X2 ~p • • • —p avnxn.

28

4)    Die spezielle lineare Gruppe,

bestehend aus den-

5)    Die spezielle lineare homogene Gruppe) jenigen Transformationen von (2), bezw. (3), deren Determinante = 1 ist⁹⁷).

6)    Die Gruppe einer quadratischen Mannigfaltigkeit F% (xvx2y.,xn)=0, bestehend aus denjenigen projektiven Transformationen, die diese Mannigfaltigkeit in sich transformieren⁹⁸).

7)    Die Gruppe der Bewegungen und Ähnlichkeitstransformationen (Gruppe der Euklidischen Geometrie).

8)    Die Gruppe der Bewegungen allein.

9)    Die n(2n -f- l)-gliedrige Gruppe, die einen linearen Komplex, d. h. eine schiefsymmetrische bilineare Gleichung ^ 1h „ Xi v,, = 0 (pn — 0, Piu — —Pu;.) mit kogredienten Yariaheln, oder was dasselbe ist, eine Pfaff’sche Gleichung der Form ^ (M„ Xi dx,, = 0 in sich transformiert⁹⁹).

Ausserdem 10) die Gruppe der Transformationen durch reciproke Radien¹⁰⁰).

11) Die Gruppe der Transformatioren, die eine (definite) quadratische Differentialform 'S fi]r dx,- dxt invariant lassen¹⁰¹).

Kontinuierliche Gruppen von CVemowatransformationen hat F. Enriquez ¹⁰²) untersucht.

21. Gemischte Gruppen. Es giebt auch Gruppen von Transformationen, die den Bedingungen A) —D) von Nr. 2 genügen, ohne durch ein einziges Gleichungssystem der Form (1) darstellbar zu sein. Jede solche Gruppe 01 zerfällt in eine endliche oder unendliche Anzahl von Scharen, von denen jede durch ein solches System dargestellt werden kann, von denen aber nur eine eine Gruppe G ist (Beispiele: die Gruppe alle Bewegungen und Umlegungen; die Gruppe p. 117. In integrierter Form W. Fr. Meyer, Chic. Congr. Pap. 1893 [96], p. 195. — Ein Satz über solche Transformationen Engel, Leipz. Ber. 1897, p. 249.

97)    Lie-Engel 1, p. 557.

98)    Ygl. IB2, Nr. B. Ihre G-liederzahl ist Z (2 Z —(- 1) für n — 2l -f- 1, 1(21 — 1) für n — 21. Bestimmung ihrer grössten Untergruppen: H. Werner, Diss. Leipz. 1889 (Math. Ann. 35, p. 113). — Ihre Invarianten: E. Study, Leipz. Ber. 1897, p. 443. — Alle Untergruppen für n = 4 : Lie-Engel 3, p. 198.

99)    Bestimmung ihrer Untergruppen für n — 4: E. Knothe, Diss. Leipz. 1892 (Norw. Arch. 15, p. 97).

100)    Vgl. III A 7. Die Ähnlichkeit dieser Gruppe mit (10) vermöge einer Berührungstransformation gehört zu Lie's frühesten Entdeckungen: Par. C. Ii. 71 (1870), p. 579; Christ. Forh. 1871, p. 85; Math. Ann. 5 (1871), p. 145.

101)    Lie, Norw. Arch. 10 (1885),'p. 389, 411. Vgl. III Al.

102)    Line. Rend. (5) 2ł (1893), p. 468, 532.

der linearen homogenen Transformationen, deren Determinante eine kte Einheitswurzel ; oder eine ganze Zahl; oder eine rationale Zahl ist; die Gruppe der Transformationen einer quadratischen Form in sich). Ist die Anzahl dieser Scharen endlich, so haben sie alle dieselbe Parameterzahl und bestehen aus Transformationen, die G invariant lassen¹⁰³).

Man nennt solche Gruppen gemischte¹⁰⁴), auch wohl komplexe¹⁰⁵)

Gruppen.

22. Unendliche kontinuierliche Gruppen. Von unendlichen kontinuierlichen Gruppen sind diejenigen untersucht, in deren Gleichungen:

(97)

Je Fi (ß'l }    ; • • • ; Xn)

die Funktionen F₁,F₂,...,Fn die allgemeinsten Lösungen eines Systems von einer endlichen Anzahl partieller Differentialgleichungen¹⁰⁶):

(98) W.i

0Si

fL    \_n

»V o'V’ ' ’ 7 — u

dx, ’

sind. Eine solche Gruppe enthält infinitesimale Transformationen

(99)

i— 1

df

und die von ihnen erzeugten eingliedrigen Gruppen³⁵); dabei sind die Funktionen die allgemeinsten Lösungen eines Systems von einer endlichen Anzahl linearer partieller Differentialgleichungen³⁶). Umgekehrt definiert ein solches System die infinitesimalen Transformationen einer unendlichen Gruppe, wenn es 1) passiv (II A 5, Nr. 2), 2) kein Mayer'sches System ist (ib. Nr. 3) und wenn 3) durch Bildung

103)    Lie, Norw. Arch. 6 (1881), p. 106; Lie-Engel 1, p. 310; 3, p. 572; vgl. auch W. Ahrens, Leipz. Ber. 1897, p. 368 und Math. Ann. 50 (1897), p. 518. — Aufzählung aller algebraischen gemischten projektiven Gruppen für n— 1 Klein, Höh. Geom. 2, p. 278.

104)    Klein, ib. p. 22.

105)    E. Picard, Traité d’analyse 3, p. 514.

106)    S. Lie, Christ. Forh. 1889, Nr. 7; Leipz. Ber. 1891, p. 317 (red. von

Engel).

28*

des Klammerausdrucks (Nr. 5) aus irgend zwei Lösungen immer wieder eine Lösung sich ergiebt³⁷). Jede derartige Gruppe besitzt Differentialinvarianten, wenn man genügend viele Hülfsvariable mit hinzunimmt, die von der Gruppe nicht transformiert werden³⁸ 39).

Hat eine unendliche Gruppe grösstmögliche Transitivität im Infinitesimalen, so besteht sie entweder aus allen Punkttransformationen, oder aus allen denjenigen, die die Raum- (bezw. Flächen-) Inhalte invariant lassen, oder aus denjenigen, die deren Verhältnisse invariant lassen m).

27

IIA 7a. RANDWERTAUFGABEN BEI GEWÖHNLICHEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

VON

¹

   Lie, Christ. Forh. 1884, Nr. 15; Lie-Engel 1, p. 407.

²

   Lie, Norw. Arch. 1 (1876), p. 191. — Die Einführung der adjungierten Gruppe kommt darauf hinaus, dass man die infinitesimalen Transformationen von G als Elemente einer linearen Mannigfaltigkeit auffasst [Lie, Math. Ann. 25 (1884), p. 94]. Ausführliche Behandlung der adjungierten Gruppe Lie-Sch., Kap. 18. Übertragung des Begriffs auf diskrete Gruppen (Gruppe der kogre-dienten Isomorphismen einer Gruppe mit sich selbst, IA 6, Nr. 18) bei W. Ahrens, Leipz. Ber. 1897, p. 616.

³

   Engel, Leipz. Ber. 1886, p. 88.

⁴

   Leipz. Ber. 1895, p. 271 unterscheidet Lie alle Gruppen in aristokratische und demokratische, je nachdem sie ausgezeichnete Operationen enthalten oder nicht. — Betreffend die Unterscheidung von „ausgezeichnete“ und „m-varianteu infinitesimale Transformationen vgl. man Lie-Scheffers, p. 465 und p. 485.

⁵

   Lie, Christ. Forh. 1884, Nr. 15; Math. Ann. 25 (1884), p. 93. Ursprünglich war es übersehen worden [so noch Math. Ann. 16 (1880), p. 495], Die

⁶

   Killing, Math. Ann. 31, p. 266.

⁷

   Killing u. Engel, ib. p. 262.

⁸

   Killing, ib. p. 267.

⁹

   Killing, ib. p. 287. Über Gruppen vom Range Null vgl. man auch

K. A. Umlauf, Diss. Leipz. 1891. — Übertragung des Begriffs auf diskrete Gruppen: W. Ahrens, Leipz. Ber. 1897, p. 621.

¹⁰

   Den Satz von C. Jordan über die „Konstanz der Faktoren der Zusammensetzung“ (I A 6, Nr. 17) hat S. Lie (Leipz. Abh. 1888, p. 562; Beweis bei E. Vessiot, Ann. éc. norm. 1892, p. 203), den von 0. Holder hat Fr. Engel (Lie-Engel 3, p. 765) auf die endlichen kontinuierlichen Gruppen übertragen. Über die Ausführung der Zerlegung vgl. E. Cartan, Amer. J. of math. 18 (1896), p. 1.

¹¹

   Lie, Christ. Forh. 1874, p. 273; der Name Leipz. Ber. 1888, p. 19. Unter den endlichen Gruppen entsprechen die ,,auflösbaren“ (I A 6, Nr. 23) den integrabeln. — Eine Gruppe ist stets integrabel, wenn sie keine mit der projektiven Gruppe einer Geraden (oder eines Kegelschnitts) isomorphe Untergruppe (Kegelschnittsgruppe) enthält (Engel, Leipz. Ber. 1887, p. 95; vollständiger ib. 1893, p. 360).

¹²

   Anders Lie-Engel 3, p. 683.

¹³

   K. A. Umlauf, . Diss. Leipz. 1891, p. 35.

¹⁴

   E. Cartan, Thèse p. 45,

¹⁵

   Killing, Math. Ann. 34 (1888), p. 74.

¹⁶

   Dass diese vier Typen einfache Gruppen liefern, hat Lie gezeigt: für den ersten Christ. Forh. 1884, Nr. 15; Math. Ann. 25 (1884), p. 130, ausführlicher Lie-Engel 1, p. 560; für den zweiten und dritten Norw. Arch. 10 (1885), p. 412; für den vierten Leipz. Ber. 1889, p. 325. Dass es, abgesehen von den angeführten Ausnahmefällen, keine andern einfachen Gruppen giebt, hat W. Killing behauptet [Math. Ann. 33 (1888), p. 25], E. Cartan bewiesen (Thèse p. 94).

¹⁷

   Die beiden von Killing, Math. Ann. 33 (1888), p. 30 angegebenen Systeme

für l = 4, r = 52 gehören zu demselben    Typus (Cartan, Thèse p.    94). —    Beispiele von Gruppen des zu l = 2, r —    14    gehörenden    Typus geben    Cartan,    Par.

C. R. 116 (1893), p. 784 und Engel, ib.    p.    786.

¹⁸

   Killing, Math. Ann. 34 (1888),    p.    75; Cartan,    Thèse p. 53.    — Vgl.    über

halb-einfache Gruppen auch einen Satz von L. E. Dickson, N. Y. Bull. (2) 3.

¹⁹

   Killing, Math. Ann. 36 (1889), p. 184; Beweis bei Gartan, Thèse p. 108.

²⁰

   Fr. Schur, LeipZ. Ber. 1889, p. 231; Math. Ann. 35 (1889), p. 173. Lie hatte zuerst die adjungierte Gruppe, später eine Gruppe von Berührungstrans-formationen zu diesem Zwecke benutzt; vgl. Fussn. 20.

²¹

   Man beachte, dass für die folgenden Schlüsse nur die Existenz einer solchen Gruppe, nicht die Gruppe selbst als bekannt vorausgesetzt zu werden braucht. Ygl. darüber L. Maurer, Münch. Ber. 1888, p, 118; Lie-Engel 3, p. 796.

²²

   Lie, Norw. Arch. 1 (1876), p. 168.

²³

   Lie-Engel 1, p. 171; Leipz. Ber. 1890, p. 478. — Die Reduktion einer Gruppe auf ihre kanonische Form verlangt höchstens Quadraturen (Lie, Leipz. Ber. 1889, p. 281). Vgl. auch Lie-Engel 3, p. 624.

²⁴

   Lie-Engel 3, p. 609.

²⁵

   Engel, Leipz. Ber. 1891, p. 311. Lie hatte vorher Gleichungen derselben Art für die dW/dt gefunden und aus ihnen dieselben Schlüsse gezogen (Leipz. Ber. 1890, p. 482).

²⁶

   Sie sind also ganze transcendente Funktionen von t.

²⁷

   Aus Fussn. 82 folgt, dass diese <xar Quotienten ganzer transcendenter Funktionen sind, wie zuerst Fr. Schur, Leipz. Ber. 1890, p. 4; Math. Ann! 38 (1890), p. 271 auf anderem Wege bewiesen hat. Ihren gemeinsamen Nenner stellt Engel, Leipz. Ber. 1892, p. 43 als unendliches Produkt dar. Es folgt dann weiter, dass sich überhaupt die Komponenten der infinitesimalen Transformationen jeder transitiven Gruppe durch solche Quotienten ausdrücken, wenn die Gruppe auf kanonische Form gebracht ist (Fr. Schur, Leipz. Ber. 1890, p. 7 ; Math. Ann. 38 (1890), p. 276). In allen bisher untersuchten Fällen hat man für diese Komponenten rationale ganze Funktionen der Koordinaten und gewisser Exponentialgrössen, deren Exponenten rationale ganze Funktionen 1. Grades sind, erhalten (vgl. Lie-Engel 3, p. 177). Bei primitiven Gruppen traten bis jetzt keine Exponentialgrössen auf (ib. p. 313).

²⁸

Die Bestimmung der übrigen. Typen ist noch nicht durchgeführt; einige Andeutungen giebt Lie, Norw. Arch. 10 (1885), p. 369; Lie-Engel 1, p. 457.

²⁹

   L. Maurer, Math. Ann. 39 (1891), p. 435.

³⁰

   L. Maurer, Mtinch. Ber. 1888, p. 145; Beweis ib. 1894, p. 297.

Zu dieser Nr. vergleiche man auch noch die Problemstellung Lie-Engel 3, p. 812; ferner E. Cartan, Par. C. R. 120 (1895), p. 544,

³¹

   Lie-Engel 1, Iiap. 26; 3, Kap. 2, 5, 9—13; Lie-Scheffers, Kap. 1—11; F. Marotte, Par. C. R. 129 (1899), p. 580. Ygl. III A 5.

³²

   Aufzählung aller Untergruppen für n = 1 Lie, Norw. Arch. 3 (1878), p. 145; für n — 2 ib. 10 (1885), p. 90 und p. 101; in integrierter Form, mit Zufügung der charakteristischen invarianten Differentialgleichungen, W. Fr. Meyer, Chic. Congr. Pap. 1893 [96], p. 188. Untergruppen für n = 3 Lie, Norw. Arch. 7 (1882), p. 445; 10 (1885), p. 111; Lie-Engel 3, Kap. 12 u. 13. — Dabei werden zwei Gruppen nur dann zu demselben Typus gerechnet, wenn sie durch eine projektive Transformation mit einander ähnlich sind. — Ygl. auch die Sätze von E. Study bei Lie-Engel 3, p. 785.

³³

   Lie-Engel 1, p. 557. Früher gebrauchte Lie „lineare Gruppe“ in dem Sinne, in dem hier „projektive Gruppe“ gebraucht ist.

³⁴

   Lie-Engel 1, Kap. 27; Lie-Sclieffers p. 134, 491. Vgl. IB 2. — Alle ihre Untergruppen für n — 2 Lie, Norw. Arch. 10 (1885), p. 103; für n = 3 ib.

Encyklop. d. math, Wissensch. II.

³⁵

   Christ. Forh. 1889, Nr. 7; Leipz. Ber. 1891, p. 317.

³⁶

   Leipz. Ber. 1891, p. 358. Ursprünglich hatte Lie diesen Satz als „Axiom“, bezw. als Definition an die Spitze seiner Untersuchungen gestellt: Christ. Forh. 1883, Nr. 12; Math. Ann. 24 (1884), p. 553 („Definitionsgleichungen der Gruppe“). — Über diese Gleichungen vgl. man auch Engel, Math. Ann. 27 (1886), p. 1; Leipz. Ber. 1894, p. 25; P. Medolaghi, Ann. di mat. (2) 25 (1897),

p. 320.

³⁷

   Christ. Forh. 1889, Nr. 7; Leipz. Ber. 1891, p. 379.

³⁸

   Math. Ann. 24 (1884), p. 539; Leipz. Ber. 1891, p. 371.

³⁹

   Leipz. Abh. 21 (1895), p. 81 (von Engel redigiert). — Aufzählung aller unendlichen Gruppen von Punkttransformationen für n — 2 ib. p. 51 ; aller primitiven solchen Gruppen für n — 5 bei G. Kowalewski, Leipz. Ber. 1899, p. 143.

MAXIME BOCHER

IN CAMBRIDGE, MASS.

Inhaltsübersicht.

Die fundamentalen Fragestellungen und ihre Entstehung aus der mathematischen Physik.

Die grundlegende Abhandlung von Sturm und das Oscillationstheorem im Falle eines Parameters.

Weiteres über den Fall eines Parameters.

Ausdehnung der #twrm’schen Resultate auf Differentialgleichungen höherer Ordnung.

Das Oscillationstheorem im Falle mehrerer Parameter.

Exkurs über polynomische Lösungen.

Die seit 1890 von partiellen auf gewöhnliche Differentialgleichungen übertragenen Methoden.

Litteratur.

Man vergleiche die bezüglichen Kapitel der folgenden Bücher:

E.    Mathieu, Cours de Physique mathématique, Paris 1873.

Lord Rayleigh, Theory of Sound, Lond. 1877, deutsch von Er. Neesen, Braunschw, 1880, 2d ed. revised and enlarged 1894.

F.    Rockels, Über die partielle Differentialgleichung du -\- ksu = 0, Leipzig 1891. M. Bocher, Über die Reihenentwicklungen der Potentialtheorie, Leipzig 1894.

F. Klein, Über lineare Differentialgleichungen der zweiten Ordnung, autogra-

phiertes Vorlesungsheft, Gött. 1894.

E. Picard, Traité d’Analyse 3, Paris 1896.

1. Die fundamentalen Fragestellungen und ihre Entstehung aus der mathematischen Physik. Es werden uns im folgenden gewöhnliche reelle Differentialgleichungen zweiter Ordnung¹) beschäftigen. Die allgemeine Lösung einer solchen Gleichung enthält zwei Integrationskonstanten (II A 4 a, Nr. 6); die wir als Parameter ansehen wollen. Ausserdem möge die Differentialgleichung selber Je Parameter enthalten. Bezeichnen wir also durch ylf y₂, . . ., yn beliebige Lösungen unserer Differentialgleichung, so kommen in denselben Je-\-2n Parameter vor. Fassen wir n Segmente der x-Axe a₁b₁, a₂b₂, . . ., anbn ins Auge, so subsumieren sich die Randwertaufgaben unter die Frage, ob und auf wie mannigfaltige Weisen diese Je2 n Parameter so bestimmt werden Jeönnen, dass die Lösung y{ (i = 1, 2, .. ., n) innerhalb des Segmentes cm lg nebst ihrer ersten Ableitung stetig verläuft, und in den Endpunkten a{ und bi gewisse Grenzbedingungen erfüllt.

Das hiermit bezeichnete recht ausgedehnte Feld ist bis jetzt nur zum kleinen Teil bearbeitet. Es sind hier hauptsächlich zwei Fälle, welche schon behandelt sind, die wir mit a) und c) bezeichnen. Seiner grossen Wichtigkeit halber stellen wir aber noch als besonderen Fall b) einen Speziallfall von c) hin.

a)    n — 1, Je — 0. Die Grenzbedingungen bestehen darin, dass die Lösung der Differentialgleichung in den Endpunkten des Segmentes willkürlich vorgeschriebene Werte annehmen soll.

b)    n = Je — 1. Die Differentialgleichung wird als linear und homogen vorausgesetzt. Die Grenzbedingungen bestehen darin, dass der Quotient yf/y₁ beliebig vorgeschriebenen (vielleicht unendlichen) Werten in den Endpunkten des Segmentes sich nähert²).

c)    n = Je > 1. Die Differentialgleichung wird als linear und homogen vorausgesetzt, und die Grenzhedingungen sind dieselben wie in b).

Diese Fragestellungen verdanken ihr Entstehen der mathematischen Physik.

In dem Falle a) ist diese Beziehung zur Physik blos eine indirekte, indem das Problem als Analogon ähnlicher Probleme bei den partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physik³) in Angriff genommen wurde, und zwar erst in den letzten Jahren von E. Picard. Diese Untersuchungen Picard’s, sowie auch die Anwendungen derselben, welche er auf die Randwertaufgabe b) machte, werden wir in Nr. 7 besprechen.

Die Aufgabe h) geht in das 18. Jahrhundert zurück. Man hat in der mathematischen Physik häufig von einer Randwertaufgabe bei einer partiellen Differentialgleichung auszugehen. Zur Lösung derselben bildet man zunächst Produkte, welche der partiellen Differentialgleichung genügen und deren Faktoren je nur eine Variable enthalten. Jeder dieser Faktoren genügt dann einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung und es handelt sich hierbei in den einfachsten Fällen gerade um die Randwertaufgabe b)⁴). In komplizierteren Fällen kommt in derselben Weise die Randwertaufgabe c) vor; doch ist G. Lamé (1839)⁵) der erste gewesen, der einen solchen Fall behandelt hat.

Diese Methode physikalische Probleme zu behandeln, war schon

L. Euler in ziemlich allgemeinen Fällen bekannt⁶); doch weder Euler noch seine Zeitgenossen, mit Ausnahme von J. le R. d’Alembert (s. u.), haben die Notwendigkeit einer Behandlung der sich hier aufdrängenden Fragen erkannt. Es wurde vielmehr von ihnen die Möglichkeit der in b) betrachteten Parameterbestimmung aus physikalischen Gründen, oder gar aus blosser Analogie mit einfacheren Fällen, stillschweigend angenommen. Auch J. Fourier (der auf diesem Gebiet als Euler’s Nachfolger anzusehen ist) geht nicht viel tiefer, obgleich er in einzelnen Fällen eine analytische Behandlung versucht⁷ 8).

cPy

E’Alembert⁹¹) dagegen, wie oben bemerkt, hat die Notwendigkeit einer analytischen Behandlung erkannt. Derselbe geht von dem Problem einer schwingenden ungleichförmigen Saite aus, welche auf die Gleichung führt:

=    • y,

dx²

wo cp(x) eine gegebene positive Funktion bedeutet. D’Alembert fragt,

ob man den Parameter l so bestimmen kann, dass diese Gleichung eine Lösung zulässt, welche in a und in b verschwindet ohne identisch zu verschwinden. Um diese Frage zu beantworten führt er die obige Gleichung in eine Riccati’sehe Gleichung (II A 4 b, Nr. 8, 27) über durch Einführung der neuen abhängigen Variablen s — y'/y. Indem er diese Gleichung untersucht kommt er zu dem Resultat⁹), dass die gewünschte Parameterbestimmung stets möglich ist, und zwar so, dass die betreffende Lösung y zwischen a und b nicht verschwindet. Dass es aber nur einen solchen Parameterwert giebt, wird nicht erwähnt; ebensowenig ist von den unendlich vielen Parameterwerten die Rede, welche man bekommt, wenn man Nullstellen von y zwischen a und b zulässt.

Mit dieser Ausnahme ist die Randwertaufgabe b) bezw. c) nicht nur nicht in Angriff genommen worden, sondern nicht einmal formuliert bis zum Jahre 1833 bezw. 1881, aus welchen Jahren die Arbeiten von C. Sturm bezw. F. Klein stammen, welche bezw. in Nr. 2 und 5 besprochen werden sollen. Während aber die Veranlassung zur Klein-schen Arbeit in der mathematischen Physik lag¹⁰), ist es nicht so klar, dass dies bei Sturm der Fall gewesen ist¹¹), obwohl er die Beziehung seiner Resultate zur mathematischen Physik selbstverständlich erkannte, und sehr bald in diesem Sinne in Verbindung mit J. Liouville Anwendungen davon machte. Er ist ursprünglich¹²) von endlichen Differenzengleichungen (IE) ausgegangen, und hat erst hinterher die hier gewonnenen (übrigens nicht publizierten) Resultate auf Differentialgleichungen übertragen.

In noch einer anderen Richtung haben die Entwicklungen des vorigen Jahrhunderts auf unsere Randwertaufgaben b) und c) vorbereitend gewirkt. Es handelt sich um eine Arbeit von P. S. Laplace¹³), der, von einem Problem der Attraktionstheorie ausgehend, ein gewisses dreifaches Integral, welches eine Funktion der drei Polarkoordinaten (r, To, ff) ist, behandelt (II A 7 b, Nr. 21). Dieses Integral entwickelt er in eine Reihe, von der jedes Glied ein Polynom in sin H und cos-O’ als Faktor enthält. Anstatt aber diese Polynome direkt auszu-werthen, wie es in einem einfacheren Falle A. M. Legendre¹⁴ 15) gethan hatte, macht Laplace die Bemerkung, dass dieselben Differentialgleichungen genügen, welche, wenn man g = cos O' setzt, die Form haben:

[r

dp

-c*

Hierbei weiss Laplace von vornherein, dass die zwei Parameter i und n ganze Zahlen sind, und die Differentialgleichung hat bei ihm nur den Zweck, die Berechnung dieser ganzen rationalen Funktionen von (.i und y 1—g² zu erleichtern. Von einer Randwertaufgabe ist keine Rede. Es liegt aber nahe, das Laplace’sche und namentlich andere ähnliche Probleme¹⁰) so in Angriff zu nehmen, dass man n als ganzzahlig voraussetzt, i aber so zu bestimmen versucht, dass die Differentialgleichung eine Lösung besitzt, welche für die Werte p — + 1 (d. h. für die Endpunkte des für p in Betracht kommenden Intervalles) endlich bleibt, wobei man es mit einer nur wenig modifizierten Randwertaufgabe b) zu thun hat. Hierbei stellt es sich heraus, dass die notwendige und hinreichende Bedingung für eine solche Lösung darin besteht, dass dieselbe eine ganze rationale Funktion von p und ]/1 — p² ist. Die Randwertaufgabe wird also hier dadurch gelöst, dass wir die Werte von i bestimmen, für welche die Differentialgleichung eine ganze rationale Funktion von p und ]/l — p2 als Lösung zulässt. Dies sind, wie man durch eine leichte Rechnung bestätigt, die ganzzahligen Werte von i.

An diese Laplace’sche Abhandlung schliessen sich die Untersuchungen von Lame'¹⁶) an über die nach ihm benannte Differentialgleichung. Die darin vorkommenden Parameter sucht Lamé so zu bestimmen, dass die Gleichung eine Lösung zulässt, welche, abgesehen von gewissen einfachen irrationalen Faktoren, ein Polynom ist. Das hiermit bezeichnete Problem hat, wie in Nr. 5 näher auseinandergesetzt wird, eine ganz ähnliche Beziehung zur Randwertaufgabe c), wie die soeben besprochene Laplace’sche Arbeit zu b). Diese speziellen Untersuchungen haben dann auf die allgemeineren in Nr. 6 besprochenen geführt.

Jetzt betrachtet Sturm nur den Fall, dass mit wachsendem A in dem Punkte x — a die Funktion KÎ—Jy monoton wächst¹⁷) und dass für

jeden in Betracht kommenden Wert von x die Funktion G monoton abnimmt, K aber monoton wächst. Dann folgert er¹⁸ 19), indem er die Differenz A₂ — Ax als unendlich klein annimmt:

1)    dass die Wurzeln von y mit wachsendem A monoton wachsen;

2)    dass für jeden in Betracht kommenden Wert von x K*~/y monoton wächst²⁰ 21).

Durch diese Sätze ist man im Stande, die Lösungen zweier Differentialgleichungen der Form (1), welche keinen Parameter A enthalten, mit einander zu vergleichen, falls nur die Funktion G der ersten Gleichung nirgends grösser, die Funktion K der ersten nirgends kleiner ist als die entsprechende Funktion der zweiten Gleichung; denn man kann ja offenbar, und zwar auf unendlich viele Weisen, eine Gleichung der Form (1) hinschreiben, welche einen Parameter A enthält und die sich auf die zwei gegebenen Gleichungen für zwei Werte von A reduziert, während die Funktionen G und K sich zwischen diesen Werten von A monoton ändern.

Einfache Sätee werden erhalten, wenn man auf diese Weise die gegebene Gleichung mit einer Gleichung vergleicht, in welcher K und 6r konstant sind, welche also durch elementare Funktionen gelöst werden kann. Auf diese Sätze gestützt kommt Sturm schliesslich auf folgendes sogenannte²²)

Oscillationstheorem²⁰): Lassen wir A mischen zwei (endlichen oder unendlichen) Werten A' und l" variieren (A'<A"). Hierbei möge mit wachsendem A die Funktion G monoton abnehmen, K aber monoton wachsen; und zwar möge das Verhältnis G/K von -j- oo bis —oc abnehmen. Seien ferner f\ (A) und f₂ (A) zwei willkürlich gegebene Funktionen, welche mit A monoton ivachsen. Bann giebt es einen und nur einen Werth A = A, für welchen die Gleichung (1) eine Lösung y besitzt, welche in dem Intervall a < x < & eine beliebig vorgeschriebene

•    •    $ y

Anzahl von Malen verschwindet, und für welche die FunMion K ^—/y

in den Punkten a und h resp. die Werte f\ (A) und —f₂ (A) annimmt.

Für gegebene Randbedingungen, d. h. für gegebene Funktionen f\ und f\, giebt es also eine unendliche Reihe von Parameterwerten A₀, I,, A₂,.. . (sog. ausgezeichnete Parameterwerte [F. Pockels loc. cit.}), welche man vermittelst des Oscillationstheorems bestimmt, je nachdem man verlangt, die betreffende Lösung der Differentialgleichung solle keinmal, einmal, zweimal u. s. w. im Intervalle verschwinden. Diese Parameterwerte bilden offenbar die Gesamtheit der reellen im Intervalle (A'A") liegenden Wurzeln einer leicht hinzuschreibenden transcendenten Gleichung. Für einen jeden dieser ausgezeichneten Parameterwerte besitzt die Differentialgleichung, dem Oscillations-theorem zufolge, eine (und abgesehen von einem willkürlich bleibenden konstanten Faktor offenbar nur eine) Lösung, welche in a und h den gewünschten Grenzbedingungen genügt. Dieselben heissen (F. Pockels) ausgezeichnete Lösungen, und mögen mit y₀, yt, y₂,... bezeichnet werden, wobei der Index jedesmal die Anzahl der Nullstellen angiebt. Dann beweist Sturm den Satz:

Die Wurzeln zweier zu denselben Grenzbedingungen gehörigen aufeinanderfolgenden ausgezeichneten Lösungen yn und yn+i separieren sich gegenseitig.

Die hier angeführten Sätze von Sturm erschöpfen keineswegs die in dieser Abhandlung gewonnenen Resultate; es sei noch z. B. auf seine Untersuchungen betreffs der Wurzeln des Ausdrucks Kdy/dx-f-py hingewiesen, wobei p eine der Ungleichung GK-\-p² — Kdp/dx> 0 genügende Funktion von x bedeutet²¹).

3. Weiteres über den Fall eines Parameters²³). Bald nach dem Erscheinen dieser Sturm’schen Abhandlung sind eine Reihe von Arbeiten von Sturm und von J. Liouville erschienen²⁴), welche

26) Noch andere Resultate dieser Abhandlung sowie auch der sofort zu citierenden Arbeiten von Sturm und Liouville werden in II A 8 und II B 4 be

sprochen.

demselben Gegenstände gewidmet sind. Es wird aber in ihnen, seines grösseren physikalischen Interesses wegen, nur der Fall in Betracht gezogen, in welchem K von A unabhängig ist, während Gr die Gestalt hat lg — l, wobei g und l positive Funktionen von x allein bedeuten. Auch werden f± und f‘% als von A unabhängig und zwar als positiv angenommen. Bei solchen speziellen Voraussetzungen kann man natürlich die ursprünglichen Sturm’schen Sätze spezifischer gestalten. So z. B. findet man hier durch Anwendung einer Methode von S. D. Poisson²⁹), dass die obenerwähnte transcendente Gleichung zur Bestimmung der ausgezeichneten Parameterwerte (welche jetzt in A analytisch ist) keine imaginären Wurzeln besitzt. Es bilden also die ausgezeichneten Parameterwerte, da das Intervall A'A" jetzt mit der ganzen A-Axe zusammenfällt, die Gesamtheit der Wurzeln dieser Gleichung. Dieselben sind, wie man leicht nachweist, sämtlich positiv; auch sind sie sämtlich einfache Wurzeln³⁰). Schliesslich findet man³¹), dass für grosse n sich ykn asymptotisch durch nn/Z ³²) darstellen lässt, wo:

b

C yg/K dx.

Wir wollen noch folgende, allerdings von Liouville nicht gemachte Bemerkung hier anknüpfen. Es handelt sich um die Frage, wie sich die ausgezeichneten Parameterwerthe ändern, wenn das Intervall ab unbegrenzt wächst. In dem einfachen Falle, wo man es mit einer Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten zu thun hat, häufen sich diese Parameterwerte auf der ganzen positiven Hälfte der A-Axe in der Weise, dass auf einem beliebigen Stück dieser Axe beliebig eine spezielle nicht homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung behandelt, welche freilich durch trigonometrische Funktionen gelöst werden kann.

29)    Bull. Soc. Philomath. 1826, p. 145; vgl. auch Sturm, J. de math. 1 (1836), p. 384 ff. Dieser Poisson’sche Beweis besteht aus einer einfachen Anwendung der in Nr. 2 gegebenen Integralformel.

30)    Man vgl. z. B. den zuletzt citierten Aufsatz von Sturm.

31)    J. Liouville, J. de math. 2 (1837), p. 30.

32)    Der Fall, in welchem die ausgezeichneten Lösungen in einem Endpunkte des Intervalles ah verschwinden, in dem anderen aber nicht, bildet eine Ausnahme. In diesem Falle wird "J/l~ asymptotisch durch die Formel in + I)*/Z dargestellt.

Eine Näherungsformel anderer Art für die ausgezeichneten Parameterwerte giebt M. Badakovié (Monatsh. für Math. u. Phys. 5 [1894], p. 228). Dieselbe bezieht sich auf alle Werte von n\ dafür aber nur auf den Fall K= 1, l — 0,    =/j —oo, g eine zwischen a und h nur wenig variierende Funktion.

viele Parameterwerte zu liegen kommen. Man möchte vermuten, dass ähnliches in dem allgemeinen Falle gilt. Dass dem aber nicht so ist, hat W. Wirtinger zuerst hervorgehoben³³). Dies kann man vielleicht am einfachsten an einem von Wirtinger nicht besprochenen Fall sehen, nämlich dann, wenn das Verhältniss g/K bei zunehmen-

CO

stark gegen Null konvergiert, dass J*~]/g/Kdx

dem x so

einen end-

liehen Wert hat. Hier schliesst man aus der oben geschriebenen asymptotischen Darstellung, dass sich die Parameterwerte bei zunehmendem Intervall ab überhaupt nicht häufen³⁴). Interessanter aber ist der von Wirtinger behandelte Fall: K = 1, l = 0, /j =    = oo,

g = einer geraden periodischen Funktion. Hier beweist Wirtinger, dass die ausgezeichneten Parameterwerte bei zunehmendem Intervall ab sich freilich häufen, dass sie aber im allgemeinen nur gewisse Stücke der positiven Hälfte der A-Axe immer mehr ausfüllen, die übrigen Teile der Ä-Axe aber ganz leer lassen³⁵).

Wir kehren jetzt zur grundlegenden Abhandlung Sturmis zurück.

Wie zu jener Zeit üblich war, spricht sich Sturm nicht näher über die Natur der in seinen Beweisen vorkommenden Funktionen aus. Dieselben sollen jedoch jedenfalls stetige Funktionen ihrer Argumente sein; und es geht auch aus dem Grange der Beweise hervor, dass sie auch zum Theil als differenziierbar angesehen wurden. Für die Richtigkeit der erhaltenen Sätze ist aber diese letzte Annahme nicht nötig. Andererseits hat die moderne Entwicklung mathematischer Strenge die Beweise von Sturm als nicht in allen Punkten einwandsfrei erkennen lassen. Neuerdings³⁶) hat Referent es unter-

33)    Math. Ann. 48 (1896), p. 387.

34)    Um diesen Schluss streng zu gestalten bedarf es noch einer besonderen Überlegung, welche aber, jedenfalls unter gewissen einschränkenden Annahmen, mit Leichtigkeit streng durchgeführt werden kann.

35)    Diese Untersuchungen schliessen sich an das Problem der Schwingung einer unendlich langen Saite an, und Wirtinger drückt sein Resultat dadurch aus, dass er sagt, die Schwingung würde im allgemeinen in der Ausdrucksweise der Optik einem Bandenspektrum entsprechen.

Diese Frage steht offenbar in engster Beziehung zu dem weiter unten besprochenen Fall, in welchem sich das Intervall ab bis an einen singulären Punkt der Differentialgleichung erstreckt, denn der Punkt x — oo ist ja im allgemeinen ein singulärer und zwar ein irregulärer Punkt der Differentialgleichungen B 4).

36) N. Y. Bull., April, Juni und Oktober 1898. Die hier gegebenen Beweise lassen sich zum Teil vereinfachen; vgl. eine vorläufige Mitteilung vom Referenten N. Y. Bull., Dec. 1899, p. 100.

nominell , die Hauptresultate Sturm’s auf feste Grundlage zu stellen, wobei sich ergiebt, dass die Methoden von Sturm im wesentlichen beibehalten werden können. Bei seiner Behandlung hat Referent sich auf Gleichungen der Form:

dÿy

= <p-y

dxi

beschränkt (einen Fall, der auch von Sturm besondere Berücksichtigung gefunden hatte), denn auf diese Form kann jede Gleichung (1) sowohl durch Änderung der unabhängigen als auch der abhängigen Variablen gebracht werden³⁷).

Die Frage, ob die Sturm’schen Sätze noch in dem Falle bestehen bleiben, dass ein Endpunkt (oder beide Endpunkte)³⁸) des betreffenden Intervalls singulärer Punkt der Differentialgleichung wird, ist in mehreren Fällen und durch verschiedene Methoden untersucht worden³⁹). Wir führen hier nur folgende zwei Hauptsätze an, bei denen man es mit Differentialgleichungen mit analytischen Koeffizienten zu thun hat, die in dem Endpunkte a des betreffenden Intervalles einen regulären singulären Punkt (vgl. II B 4) mit reellen Exponenten haben. Wir setzen der Einfachheit halber voraus, dass der andere Endpunkt b ein nicht-singulärer Punkt ist.

Nimmt man als Grenzbedingung in dem Punkte a an, dass die Lösung der Differentialgleichung zum grösseren Exponenten gehört, so bleiben die Sturm’schen Sätze bestehen⁴⁰).

Nimmt man als Grenzbedingung in dem Punkte a an, dass die Lösung der Differentialgleichung eine beliebig vorgeschriebene lineare Verbindung mit konstanten Koeffizienten der zu den zwei Exponenten gehörigen Lösungen ist, so bleiben die Sturm’schen Sätze bestehen, falls (a) die Exponentendifferenz in a kleiner ist wie 1; (ß) die Exponenten von dem Parameter A unabhängig sind*¹).

37)    Eine zweite Beschränkung der Allgemeinheit liegt darin, dass die oben durch f (1) und fs (X) bezeichneten Funktionen als Konstanten vorausgesetzt werden; doch ist es leicht, von diesem speziellen zum allgemeinen Falle vermittelst der zwei ersten Theoreme des zweiten Aufsatzes überzugehen.

38)    Auch die Möglichkeit, dass singuläre Punkte innerhalb des Intervalles auftreten, wird vom Referenten in Betracht gezogen.

39)    L. Schlafli, Math. Ann. 10 (1876), p. 137; das oben citierte Buch des Referenten, p. 174 ff.; F. Klein, Lin. Diff.-Gl. d. 2. Ord. p. 429; M. B. Porter, 1ST. Y. Bull., Mai 1897; F. B. Van Vleck, N. Y. Bull., Juni 1898; M. Bocher,

N. Y. Bull., Okt. 1898.

40)    Wohl zum ersten mal ausgesprochen von M. B. Porter, N. Y. Bull., ²⁵

Mai 1897.

Zum Schluss kommen wir noch auf die modifizierte Form der Randwertaufgabe b) zu sprechen, wobei anstatt die Werte von y jy in a und b vorzuschreiben, man verlangt, dass die Gleichungen bestehen:

y (<*) = y Q>) y y W = y (P)-⁴²)

Auf diese Fragestellung wurde Fourier geführt, indem er das Problem der Wärmeleitung in einem dünnen in sich zurücklaufenden Draht untersuchte⁴³). Indem er aber den Draht als gleichförmig voraussetzt, handelt es sich bei ihm um einen von unserem Standpunkte aus trivialen Fall.

Das allgemeine hier bezeichnete Problem scheint nicht behandelt worden zu sein. Der spezielle Fall, in welchem die Koeffizienten der Differentialgleichung in den Punkten a -f- £ und b — \ dieselben Werte besitzen, lässt sich leicht auf die gewöhnliche Randwertaufgabe b) zurückführen⁴⁴). In der That braucht man nur das halbe Segment a x (a -\- b)/2 ins Auge zu fassen und entweder in beiden Endpunkten y = 0 oder in beiden Endpunkten y = 0 als Randbedingung vorzuschreiben.

In diesem Problem tritt uns zum ersten Mal die Möglichkeit entgegen, dass sog. zweifache ausgezeichnete Parameterwerte (F. Pockets toc. cit.) auftreten; d. h. Parameterwerte, für welche zwei linear unabhängige und folglich sämtliche Lösungen der Differentialgleichung ausgezeichnete Lösungen sind. Im Falle konstanter Koeffizienten z. B. sind alle ausgezeichnete Parameterwerte zweifache.

4. Ausdehnung der Sturm’schen Resultate auf Differentialgleichungen höherer Ordnung. Eine solche Ausdehnung auf gewisse lineare Differentialgleichungen vierter Ordnung ist schon durch das physikalische Problem der Schwingung elastischer Stäbe und Platten angezeigt, aber nur einige Spezialfälle sind hier behandelt worden⁴⁵). Handelt es sich um die harmonischen Schwingungen eines unhomogenen elastischen Stabes, so hat man es mit der Differentialgleichung: dieser Sätze vgl. man eine vorläufige Mitteilung des Referenten, N. Y. Bull., April 1900.

42)    Diese Randwertaufgabe stimmt offenbar mit, folgendem Problem überein: Für welche Werte des Parameters 1 besitzt eine homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, deren Koeffizienten periodische Funktionen von x sind, mindestens eine Lösung mit derselben Periode? Vgl. p. 462 oben.

43)    Theorie de la chaleur, p. 239.

44)    Vgl. das oben citierte Buch des Referenten, p. 181 ff.

45)    Man findet die meisten dieser Fälle in Lord Rayleigh's Theory of Sound. Vgl. auch G. Kirchhoff, Beri. Ber. Okt. 1879 und F. Meyer zw Capellen, Ann. Phys. Chem. (2) 33 (1888), p. 661.

2. Die grundlegende Abhandlung von Sturm¹ ') und das Oscilla-tionstheorem im Falle eines Parameters. Sturm geht von der allgemeinen homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung aus, welche er in der Gestalt schreibt:

d(xp)

\ dx)

(1)

dx

-f- Gy — 0.

Hierbei bedeuten K und G beliebige Funktionen von x und von einem Parameter X, welche jedoch in dem in betracht gezogenen Intervall a <^x nicht unendlich werden dürfen. Auch darf K in diesem Intervall nicht verschwinden ²⁶ 27); und wird also der Einfachheit halber als positiv vorausgesetzt.

Es wird nun eine bestimmte Lösung von (1) dadurch ausgewählt, dass man verlangt, y und

lieh gegebenen Funktionen von X gleich sein²⁸). Sturm beschäftigt sich nun mit der Variation der Funktion y mit X. Insbesondere stellt er sich die folgenden zwei Fragen: 1) Wie variieren die Wurzeln von y mit X? 2) Wie variiert mit X das Verhältniss

() y

Kfix/y> weim man x aIs Konstante ansieht? Zur Beantwortung

dieser Fragen leitet er aus der Differentialgleichung die auch sonst nützliche Formel ab ²⁹) :

dy

dx

sollen im Punkte a gewissen willkür-

®(x) — 0(a) = f y(x, Xx) ■ y (x, X₂) [G(x, Xa) — G (x, Xx)~] dx

dy(x, *,) dy(x, lt)

dx

dx

\K{x, X₂) — K(x, X^)\dxf

wo

®(x) == y(x, X₂)K(x, Xx)

dx

— y{x, Xx)K(x, A₂)

dy(x, h)

dx

d*Kd*y

dx⁴

= igy

zu thun, wo K und g positive von X unabhängige Funktionen von x bedeuten, und es handelt sich darum, den Parameter X so zu bestimmen, dass die Differentialgleichung eine Lösung besitzt, welche in jedem Endpunkte a und b des Stabes eine der drei Grenzbedingungen erfüllt:

festgeklemmtes

Ende

= 0,

gehaltenes m ^ Ende

d-y

dx²

= 0;

^„0

dx* ⁷

freies

Ende dfy_^

dx³

Lord Rayleigh giebt⁴⁶), auf allgemeine mechanische Prinzipien gestützt, einige Resultate hier an, welche enge Analogie mit den Sturm’schen Sätzen besitzen. Neuerdings⁴⁷) ist diese Frage für den Fall K= Const., durch Anwendung Picard’seher Methoden (vgl. Nr. 7), von A. Davidoglou in Angriff genommen.

Eine etwas andere Randwertaufgabe hat J. Liouvüle behandelt⁴⁸), und zwar gleich für Differentialgleichungen beliebiger Ordnung von der Form:

d • Kd ■ L • • • d • M d ■ Ndy

dx

+ Xy = 0,

wobei K, L,. . ., M, N n — 1 von dem Parameter X unabhängige positive Funktionen von x bedeuten. Er beweist folgendes Oscilla -tionstheorem:

Man kann den Parameter X auf eine und, nur auf eine Weise so bestimmen, dass die Differentialgleichung eine Lösung besitzt, welche in dem Intervall a b eine beliebig vorgeschriebene Anzahl n von Wurzeln besitzt, und in dem Punkte a den Grenzbedingungen:

Ndy

y = A,

KdL-dMdNdy

dx

dx⁷¹-¹

in dem Punkte b der Grenzbedingung:

46)    Theory of Sound 1, § 187.

47)    Par. C. R., 12. März u. 7. Mai 1900. Vgl. auch Par. C. R., 12. Febr. 1900, wo gewisse Differentialgleichungen dritter Ordnung von demselben Mathematiker behandelt werden.

48)    J. éc. polyt., cah. 25 (1837), p. 85; J. de math. 3 (1838), p. 255 u 561. Es handelt sich hier hauptsächlich um die dritte dieser Abhandlungen, von denen die zweite nur eine kurze Voranzeige ist, während die erste als eine Vorarbeit anzusehen ist, indem dort nur die spezielle, durch Exponentialfunk-

tionen lösbare Gleichung = Xy behandelt wird.

<*y + ß

N dy

Kdli- ■ ■ dMdNdy

dx

dxn 1

genügt. Hierbei bedeuten A, Li, ..., I) sowie auch a, ß, ... v positive (oder auch mit Ausnahme von JD zum Teil verschwindende) Konstanten.

Bezeichnet man den hiermit bestimmten Parameterwert durch Xn, so hat man eine unendliche Reihenfolge von ausgezeichneten Parameterwerten A₀,    X₂, . . . Dieselben sind, wie Liouville nach weist,

sämtlich positiv und der Grösse nach geordnet. Schliesslich separieren sich die Wurzeln zweier aufeinanderfolgenden ausgezeichneten Lösungen gegenseitig.

Obwohl diese Sätze den Sturm’schen durchaus analog sind, so fand sich Liouville jedoch genöthigt eine neue Beweismethode zu ersinnen, denn hier versagt die Integralformel von Nr. 2. Statt dessen bedient sich Liouville einer Methode, welche derjenigen ähnlich ist, die beim Beweise des Fourier'sehen Satzes über reelle Wurzeln algebraischer Gleichungen angewandt wird (I B 3 a, Nr. 4). Gerade wie bei Sturm stützt sich dieser Liouville’sche Beweis auf die That-sache, dass für grosse Werte von X die Lösungen der Differentialgleichung viele Wurzeln in dem Intervall ab besitzen. Dass dem so ist, sieht man in dem Falle, dass K, L, . . ., M, N Konstanten bedeuten, aus der explioiten Lösung der Differentialgleichung, welche in diesem Fall durch Exponentialfunktionen dargestellt werden kann. Der Übergang von diesem speziellen zum allgemeinen Fall ist aber von Liouville in sehr unbefriedigender Weise durchgeführt.

5. Das Oscillationstheorem im Falle mehrerer Parameter³⁰). Der

in Nr. 1 mit c) bezeichnete Fall ist erst im Jahre 1881 ³¹) von Klein in bewusster und expliciter Weise, wenn auch nur für eine spezielle Differentialgleichung behandelt. Zwar enthalten mehrere Differentialgleichungen, welche schon im vorigen Jahrhundert Vorkommen, zwei Parameter³²); aber hiervon ist stets einer anderswo bekannt³³), und es handelt sich nur noch darum, den zweiten vermittelst des Sturnischen Oscillationstheorems zu bestimmen. Andererseits haben die Arbeiten Lamé's³⁴), wie wir sofort sehen werden, eine ganz ähnliche Beziehung zur hier vorliegenden Frage, wie die in Nr. 1 besprochene Abhandlung Laplace's zum Sturm’schen Oscillationstheorem; denn bei

Lame ist überhaupt von keiner Randwertaufgabe die Rede, und doch liefern seine Resultate nebst denjenigen seiner Nachfolger in unmittelbarster Weise die Lösung der Randwertaufgabe c) in einem Spe-zialfall.

Klein geht in dem soeben citierten Aufsatz von der Lamé’sehen Gleichung aus, und zwar im wesentlichen in der Form:

_- ij ₌ o

4(æ — ejioc — e₂)(x—es) y    ;

cPy dxs

a. R

-1— — (—¹--1---

¹    2 \x — e₁ ¹ x —

e2

wo e₁ < e₂ < e₃, und betrachtet zwei Segmente der x-Axe a₁bl und a₂b₂, von denen jedes in einem, und zwar nicht beide in demselben, der Intervalle exe₂, e₂eä, e₃oo liegt. Er stellt folgendes Oscillations-theorem auf³⁵):

Man Jcann die reellen Parameter A und B, und zwar nur in einer

Weise, so bestimmen, dass die Lamé’sehe Gleichung zwei Lösungen yx und y₂ besitzt, von denen yx in den Punkten ax und b₁ verschwindet und zivischen diesen Punkten eine beliebig vorgeschriebene Anzahl von Nullpunkten besitzt, während y₂ in den Punkten a₂ und b₂ verschwindet und zwischen diesen Punkten eine beliebig vorgeschriebene Anzahl von Nullpunkten besitzt.

Dieses Theorem beweist Klein durch geometrische Betrachtungen, welche keinen Anspruch auf vollständige Strenge machen. Er betrachtet nämlich die Hilfsgerade y — Ax -(- B, und indem er sein Augenmerk auf das eine Segment axbx richtet, untersucht er wie diese Gerade sich bewegen kann, damit die gewünschte Lösung yx existiert. Er findet, auf gewisse Resultate Sturm’s gestützt³⁶), dass zu diesem Zweck diese Gerade eine gewisse Hüllkurve umhüllen muss, deren Gestalt er näher untersucht. Indem er dann das zweite Segment a₂b₂ in ähnlicher Weise betrachtet, findet er eine zweite Hüllkurve ; und aus der Gestalt und gegenseitigen Lage dieser zwei Kurven schliesst er, auf die geometrische Anschauung allein gestützt, dass diese zwei Kurven stets eine und nur eine gemeinsame Tangente besitzen. Die Gleichung dieser Tangente giebt dann die gewünschten Werte von A und B. Der hiermit skizzierte Beweis ist vom Referenten³⁷) in analytische Form gesetzt und streng durchgeführt³⁸).

Um an die Lamé’schen Resultate Anschluss zu erhalten lässt Klein die zwei Segmente mit den Intervallen ete₂ und e₂e₃ zusammenfallen. Bedeuten ferner sl7 s₂, e₃ unabhängig von einander nach Belieben 0 oder 1, so stellt Klein sich die Aufgabe, die Parameter A und B so zu bestimmen, dass die Lamé’sche Gleichung zwei Lösungen yx und y₂ besitzt, von denen yx in den Punkten ex und e₂ bezw. zu den Exponenten sx/2 und s₂/2 gehört, während y₂ in den Punkten e₂ und e₂ bezw. zu den Exponenten e₂/2 und e₃/2 gehört. Das etwas erweiterte Oscillationstheorem lehrt uns, dass es unendlich viele solche Wertepaare Af B giebt, welche sich durch die Anzahl von Nullstellen der entsprechenden Funktionen yt und y₂ in den Intervallen e₁e₂ und e₂e₃ unterscheiden. Andererseits sieht man aber aus einer leichten funktionentheoretischen Überlegung⁵⁸), dass die zwei Funktionen yx und y₂ (welche sich nur durch einen imaginären konstanten Faktor unterscheiden) die Gestalt haben:

Y(x — ej*' (x — e₂y*(x —    0 (x),

wo 0 ein Polynom in x bedeutet. Man wird also ebenfalls auf das gewünschte Wertepaar A, B geführt, wenn man diese Parameter so bestimmt, dass die Gleichung eine Lösung von dieser Form besitzt; und hierin besteht gerade die ursprüngliche Fragestellung Lamé's. Insbesondere bemerke man die Beziehung des Oscillationstheorems zu dem kurz vorher ebenfalls von Klein gefundenen Satze über die Verteilung der Wurzeln der Lamé’schen Funktionen⁵⁹).

In einer Vorlesung (Wintersem. 1889—90)⁶⁰) hat Klein das Oscillationstheorem nach zwei Richtungen hin erweitert: einmal indem er eine verallgemeinerte Form der Lamé’schen Gleichung in Betracht zog, wobei sich keine neuen Schwierigkeiten einstellen; dann aber namentlich dadurch, dass er für Lamé’sche Gleichungen höherer Ordnung⁶¹) vermutungsweise ein Oscillationstheorem ausspricht, wobei, der grösseren Anzahl von Parametern entsprechend, eine grössere Anzahl von Segmenten vorkommt. In dem einfachsten Falle, wo drei

die Differentialgleichung du -f- Jc^u = 0, p. 118. Derselbe ist nur zum Teil streng durchgeführt.

Untersuchungen über die asymptotischen Werte der Parameter A, B in dem Falle einer sehr grossen Anzahl von Nullstellen von yx sowie auch von y2 finden sich bei C. Jaccottet, Dissertation Göttingen 1895.

58)    Ygl. das vorhin citierte Buch des Referenten p. 213.

59)    Math. Ann. 18, p. 237 ff. Man vgl. II B 4 b, Nr. 36.

60)    Ygl. Gött. Nachr. 1890, p. 91 ff.

61)    Ygl. II B 4 b, Nr. 40, 42.

Parameter vorhanden sind, wurde ein geometrischer Beweis gegeben³⁹), wobei man mit Hüllflächen an Stelle von Hüllkurven operiert. In den complizierteren Fällen würde diese Beweismethode auf Räume höherer Dimensionen führen und folglich, da die Anschauung eine wesentliche Rolle spielt, ihre überzeugende Kraft (auf Strenge macht sie keinen Anspruch) verlieren.

Etwas später⁴⁰) sprach Klein die Vermutung aus, das Oscillationstheorem könne unter gewissen Umständen auf andere überall regulär lineare Differentialgleichungen ausgedehnt werden. Hierzu war er hauptsächlich durch gewisse Resultate von Stieltjes veranlasst, welche in einem Spezialfall die Richtigkeit seiner Vermutung darthun, die wir aber erst in Nr. 6 besprechen werden. Wir wollen, um das Klein’sche Theorem auseinanderzusetzen, von der allgemeinen homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung ausgehen, welche überall regulär ist:

(3)

— + (■

dx² ' \

' f(x) L x — e\

x—e₁

H-----f-

1 —*’n—*n\dy

x~en

dx

j-Cn—2Xn 2-|-----y — 0,

wo

f(x) = (x — ef)(x — e₂) • • • (x — e„).

Wir setzen voraus, dass die Koeffizienten dieser Gleichung für reelle Werte von x reell sind. Dann können wir die Klein’schen Vermutungen folgendermassen als Theorem zusammenfassen:

Betrachten wir die k -f- 1 Intervalle (k <i n — 2) «₀&₀, a₁b₁, . akbk, welche folgenden drei Bedingungen genügen:

1)    «o K ^    ^    ^    1 ~    ^

2)    kein singulärer Punkt soll innerhalb, sondern höchstens an dem Ende eines dieser Intervalle liegen;

3)    die singulären Punkte, welche an den Endpunkten dieser Intervalle liegen, sollen reelle Exponenten haben, deren Differenz dem absoluten Betrage nach kleiner als 1 ist.

Ferner mögen m₀, mx, ..., mk beliebige ganze positive Zahlen oder Nidl bedeuten.

Dann kann man, wenn man die anderen in der Differentialgleichung vorkommenden Grössen als gegeben betrachtet, die Parameter .Ck auf eine und nur auf eine Weise so bestimmen, dass die Gleichung (3) k -f- 1 Lösungen y₀, y₁, ..., y^ besitzt derart, dass yt genau mal in dem Intervall «;<;£< bi verschwindet, und in jedem Endpunkte dieses Intervalls einer beliebig vorgeschriebenen linearen Verbindung der zu diesem Punkte gehörigen Fundamentallösungen⁶'¹) proportional ist.

C₀, C

Lässt man in einigen Segmentenendpunkten die Bedingung fallen, dass die in ihnen vorkommenden Exponentendifferenzen dem absoluten Betrage nach kleiner als 1 sind, so bleibt das Theorem unverändert bestehen, falls man nur in jedem solchen singulären Punkte verlangt, die betreffende Funktion yt solle derjenigen Fundamentallösung proportional sein, welche zum grösseren Exponenten des betreffenden Punktes gehört.

Dieses Theorem ist vom Referenten bewiesen worden⁴¹ 42) und zwar als Spezialfall eines ähnlichen Theorems, welches sich auf die Gleichung :

^ +    {%(%) + if>(x)[CkXk-f- •• • + Gtx + Cq] } y — 0

bezieht, worin die Funktionen p, %, ÿ nicht einmal analytisch zu sein brauchen, sondern nur gewissen Bedingungen genügen müssen.

0. Exkurs über polynomische Lösungen. Indem E. Heine die Resultate Lame's auf die von ihm eingeführten Lamé’schen Gleichungen höherer Ordnung auszudehnen versuchte, wurde er dazu geführt, folgendes allgemeinere Problem in Angriff zu nehmen⁴³):

Es bedeute ein Polynom fp-\-l)ter Ordnung in x; % und ff aber Polynome in x, deren Ordnungen p bezw. p—1 nicht übersteigen, ik und % werden als gegeben angesehen und es wird gefragt, ob bezw. auf wie viele Weisen das Pohjnom ff so bestimmt werden kann, dass die Differentialgleichung :

* Ix* + * Fx +    —⁰

eine polynomische Lösung der nten Ordnung besitzt.

Diese Frage beantwortet Heine durch direktes algebraisches Rech-Er findet, dass im allgemeinen (d. h. wenn die Polynome i/j und x in keiner Weise spezialisiert sind) es

nen.

\n, p] =

(n -j- 1) (n -J- 2) • • • (n -f- p — 1)

1 • 2 • • • (p-l)

verschiedene Bestimmungen von giebt. Um aber diesen Satz auf einen speziellen Fall anzuwenden bedarf es jedesmal des Nachweises, dass durch die eingetretene Spezialisierung die Anzahl der Funktionen & nicht verkleinert worden ist, und einen solchen Nachweis hat in der That Heine für den ihn besonders interessirenden Fall der Lamé-schen Gleichungen höherer Ordnung gegeben. Allgemeine Fragen dieser Art, sowie die sich hier anschliessenden Realitätsfragen bleiben bei Heine unerörtert.

Diese sämtlichen Fragen hat T. J. Stieltjes⁴⁴) unter gewissen einschränkenden Annahmen auf überraschend einfache Weise erledigt. Setzt man nämlich voraus, dass die Polynome if und % reell sind, dass die Gleichung ip = 0 lauter getrennte reelle Wurzeln: a₀ < ax < • • • < ap hat, und ferner, dass wenn man %/y in Partialbrüche zerlegt:

“o

at

x — a₀

x — a,

— ) ap

die a sämtlich positiv (nicht Null) sind, so beweist Stieltjes, dass es stets \n, p] verschiedene reelle Polynome giebt, für welche die Differentialgleichung ein Polynom nten Grades als Lösung besitzt; dass diese polynomischen Lösungen nten Grades sämtlich reelle Wurzeln haben, die in dem Intervall a₀ap liegen, und dass sie sich gerade durch die Verteilungsweise dieser Wurzeln in den einzelnen Intervallen a₀a₁, a₁a₂,... Up—iUp unterscheiden. Diese polynomischen Lösungen sind von Klein⁴⁵) Lamé’sehe, von E. B. Van Vleck⁴⁶) Stieltjes’sehe Polynome genannt worden.

Stieltjes leitet den Beweis seines Satzes aus der Bemerkung ah, dass die Wurzelpunkte dieser polynomischen Lösungen die Gleichgewichtslagen angeben für ein System von n beweglichen Einheitsmassenpunkten, welche von p -\- 1 festen in a₀, at, ..., ap liegenden Massenpunkten von den Massen «₀/2, cct/2, ..., ccp/2 abgestossen werden, wobei die Abstossungskraft den Massen direkt, der Entfernung umgekehrt propoi’tional ist. Dieser Beweis schliesst sich unmittelbar an die mechanische Anschauung, beruht aber nicht darauf, sondern ist in strenger analytischer Form durchgeführt.

Um nun die Beziehung des Stieltjes’schen Satzes zum Oscilla-tionstheorem auseinanderzusetzen sei bemerkt, dass man es in jenem Satze mit der allgemeinen überall regulären Gleichung zu thun hat, deren singuläre Punkte sämtlich reell sind, während ein Exponent eines jeden solchen Punktes Null, der andere algebraisch kleiner wie 1 ist. Es gehören also die Stieltjes’schen Polynome in allen singulären Punkten zum Exponenten Null, und dieser Exponent ist nur dann der kleinere in dem betreffenden Punkte, wenn in diesem Punkte die Exponentendiflferenz < 1 ist. Der Stieltjes’sehe Satz subsumiert sich also als spezieller Fall unter das Klein’sehe Oscillationstheorem.

Diese Betrachtungen sind vom Referenten⁴⁷) dadurch erweitert, dass auch komplexe Grossen in Betracht gezogen werden, wobei man es mit Punktsystemen in einer Ebene zu thun hat.

Es sei noch eine Ergänzung des Stieltjes’schen Satzes durch E. B. Van VlecJc⁴⁸ 49) erwähnt, wonach auch die dadurch bestimmten Polynome & lauter reelle Wurzeln haben, die in dem Intervall a₀ap liegen.

Schliesslich kommen wir auf die Fälle zu sprechen, welche jenseits der sog. Stieltjes’sehen Grenze liegen, in welchen also einige der Grössen a negativ sind. Hier gilt im allgemeinen der Stieltjes’sehe Satz nicht mehr. Diese Fälle sind von E. B. Van VlecJc⁷³) untersucht, welcher, indem er von dem Stieltjes’sehen Falle ausgeht, die Grössen er₀, . . ., ap stetig abnehmen lässt und dann zusieht, wie die Wurzeln der betreffenden polynomischen Lösungen sich ändern. Hierbei sind zweierlei Momente zu berücksichtigen :

1) zwei reelle polynomische Lösungen können imaginär werden, aber nur dann, wenn sie vorher identisch geworden sind, und also nur, wenn man sich so weit von dem Stieltjes’schen Fall entfernt hat, dass zwei reelle polynomische Lösungen dieselbe Wurzel Verteilung bekommen haben:

2) die Wurzel Verteilung von reell bleibenden polynomischen Lösungen kann sich ändern. Dies kann entweder dadurch geschehen, dass eine Anzahl von Wurzeln zusammenfällt (was notwendig in einem der Punkte a₀, . . ., ap, oo geschehen muss) und zum Teil imaginär wird; oder aber dadurch, dass Wurzeln, welche reell bleiben, von einem Intervall in ein anderes übergehen.

Man braucht also zunächst (d. h. so lange die polynomische Lösung reell bleibt) nur zu untersuchen, wann und wie die Wurzeln durch die singulären Punkte a0} . . ., ap, oo hindurchgehen. Auf diese Weise kann man in den einfachsten Fällen die Wurzelverteilung der polynomischen Lösungen genau bestimmen.

Man bemerke, dass diese Untersuchungen über das Gebiet des Klein'sehen Oscillationstheorems hinausgehen, und folglich als Vorarbeiten zur Weiterbildung dieses Theorems angesehen werden können.

behandeln⁵⁰)', be-

*l₌f(x y dA\ dx² ' V’ dx)

7. Die seit 1890 von partiellen auf gewöhnliche Differentialgleichungen übertragenen Methoden⁵¹). Nachdem F. Picard die vorher von H. A. Schwarz⁵²) zu demselben Zweck angewandte Methode der successiven Approximationen dazu benutzt hatte, von der Randwertaufgabe der Potentialtheorie ausgehend, ähnliche Probleme bei gewissen anderen partiellen Differentialgleichungen zu merkte er, dass dieselben Methoden auch auf die gewöhnliche Differentialgleichung :

¹

Nur in Nr. 4 kommen Gleichungen höherer Ordnung vor.

²

   Diese Grenzbedingungen werden in etwas allgemeinerer, sowie auch in modifizierter Form in Nr. 3 besprochen.

³

   Als ursprünglicher Ausgangspunkt möge hier die fundamentale (erste) Randwertaufgabe der Potentialtheorie erwähnt werden. Ygl. II A 7 b, Nr. 17.

⁴

   Es sei noch bemerkt, dass diese Randwertaufgabe bisweilen auch direkt (d. h. ohne Vermittelung einer partiellen Differentialgleichung) auftritt. Als Beispiel hierfür möge die Bestimmung der Gleichgewichtsfiguren einer unhomogenen Saite bei Vernachlässigung der Schwere dienen, welche in einer Ebene liegt, die sich gleichförmig um die Verbindungslinie der festgehaltenen Endpunkte der Saite dreht. Hierbei muss man, um auf eine lineare Gleichung zu kommen, die Länge der Saite als nur wenig grösser als die Entfernung der Endpunkte voraussetzen.

⁵

   J. de math. 4 (1839), p. 126.

⁶

   Vgl. Petrop. N. Comm. 10 (1764) [66], p. 243.

⁷

   So ist z. B. in § 284 der Théorie de la chaleur (Paris 1822) von einer Differentialgleichung die Rede, welche durch Kreisfunktionen gelöst werden kann, aus deren bekannten Eigenschaften die Möglichkeit der Parameterbestimmung sofort folgt. Ferner in § 307 betrachtet Fourier einerseits unnötigerweise die imaginären Parameterbestimmungen, welche selbst wenn sie existierten, hier nicht in Betracht kommen würden; andererseits schliesst er auf die Möglichkeit reeller Parameterbestimmungen, wie es scheint, durch die Annahme, eine transcendente Gleichung habe stets unendlich viele reelle oder imaginäre Wurzeln!

⁸

   Berl. Hist. 1763 [70], p. 244.

⁹

Die Behandlung enthält eine leicht auszufüllende Lücke.

¹⁰

   Und zwar in dem Bestreben, durch Betrachtung eines allgemeineren Falles neues Licht auf den Appendix B der Natural Philosophy von Thomson und Tait zu werfen.

¹¹

   Die algebraischen sowie auch die mathematisch-physikalischen Tendenzen Sturm's gehen auf Fourier zurück. Wie innig verschmolzen diese zwei Tendenzen bei Sturm waren, sieht man aus dessen früheren Arbeiten im Bull, de Férussac 11, 12.

¹²

   Vgl. J. de math. 1 (1836), p. 186.

¹³

   Par. Hist. 1782 [85], p. 113.

¹⁴

   Par. sav. [etr.j 10 (1785), p. 411.

¹⁵

   So z. B. in dem ebenfalls von Laplace (Connaissance des tems pour Tan 1823 (1820), p. 249 ff. und Méc. cél. livre XI (oeuvr. 5, p. 82) behandelten Problem der Wärmeleitung in einer Kugel.

¹⁶

   J. de math. 4 (1839), p. 126.

¹⁷

   Die Ansdrücke „monoton wachsen“, „monoton abnehmen“ (II A 1, Nr. 11) schliessen die Möglichkeit des Konstantseins nicht aus.

¹⁸

   Loc. cit. p. 116, 117.

¹⁹

   Diese Sätze leitet Klein, wenn auch nur in speziellen Fällen, aus mechanischen Betrachtungen ab; vgl. dessen: Lineare Differentialgleichungen der zweiten Ordnung, p. 268 ff., 1894.

²⁰

   Wir sprechen dieses Theorem gleich etwas allgemeiner aus, wie es

²¹

Sturm thut.

²²

   Dieser Name rührt von Klein her; vgl. Grött. Nachr. März 1890.

²³

   Wegen der neuerdings von Picard angewandten Methode um einige Resultate Sturm's abzuleiten vgl. Nr. 7.

²⁴

   C. Sturm, J. de math. 1 (1836), p. 373; C. Sturm u. J. Liouville, ib. 2 (1837), p. 220; J. Liouville, ib. 1 (1836), p. 253, 269; 2 (1837), p. 16, 418, 439. Diese Abhandlungen sind hauptsächlich deshalb von Bedeutung, weil die Reihenentwicklungen nach den ausgezeichneten Lösungen in ihnen zum ersten mal behandelt werden. Vgl. II A 8.

Es möge hier erwähnt werden, dass die Liouville’sche Arbeit 2, p. 439

²⁵

M. Bocher, N. Y. Bull., Okt. 1898. Wegen einer weiteren Ausdehnung

²⁶

   September 1833 der Pariser Akademie vorgelesen; J. de math. 1 (1836), p. 106—186 abgedruckt.

²⁷

   Ygl. jedoch, was die Endpunkte a und b des Intervalles angeht, p. 108 der Sturm’schen Abhandlung.

²⁸

   In den weitaus meisten physikalischen Anwendungen sind diese Funktionen von X blosse Konstanten. In einigen Problemen ist dies jedoch nicht der Pall, vgl. z. B. 0. Heaviside, Electrical Papers 1, p. 142 ff.

²⁹

   Vgl. z. B. IIA 8, wo die Formel zur Bestimmung der Koeffizienten in Reihenentwicklungen, welche nach Lösungen linearer Differentialgleichungen fortschreiten, sich unter die hier gegebene Formel als Spezialfall subsumiert. Es treten derartige Spezialfälle dieser Formel vielfach vor dieser Sturm’schen Abhandlung auf.

³⁰

   Wegen der Beziehung zur Theorie der Kreisbogenpolygone vgl. II B 4.

³¹

   Math. Ann. 18, p. 410.

³²

   So z. B. die bei Laplace vorkommende Gleichung. Ygl. Nr. 1.

³³

   Und zwar oft durch Anwendung des Sturm’schen Oscillationstheorems auf eine andere Differentialgleichung, welche ebenfalls diesen Parameter enthält.

³⁴

   Vgl. Nr. II B 4 b, namentlich 38, 34, 36.

³⁵

   Diese Formulierung wird schon m derselben Abhandlung nach verschiedenen Richtungen hin verallgemeinert. Insbesondere dürfen sich die Segmente in den singulären Punkten umbiegen.

³⁶

   Auf die Abhandlung von Sturm bezieht sich Klein nicht, sondern leitet die gewünschten Resultate auf geometrische Weise ab.

³⁷

   N. Y. Bull., April 1898, p. 307 ff.

³⁸

   Man vgl. auch eine modifizierte Form des Beweises bei Pockets : Über

³⁹

   Aber erst später veröffentlicht; vgl. z. B. Klein, Lin. Diff.-Gl. p. 403 ff.

⁴⁰

   In seinen Lin. Diff.-Gl. 1894, p. 427 ff. Man vgl. auch das autogra-phierte Heft von 1891 über Differentialgleichungen, welches aber viele von Klein nachher als unrichtig erkannte Vermutungen enthält.

⁴¹

   Ygl. II B 4. Es sei noch erwähnt, dass, da die Exponenten eines nicht singulären Punktes 0, 1 sind, diese Bedingung im Falle eines nicht singulären Punktes darauf hinauskommt, dass man dort den Wert des Verhältnisses y'/y beliebig vorschreibt.

⁴²

   N. Y. Bull., Mai u. Okt. 1898.

⁴³

   Beri. Ber., Jan. 1864; Heine's Kugelfunktionen, Berlin, 2. Aufl. 1 (1878), p. 472 ff. Man vgl. auch Klein, Lin. Diff.-Gl. p. 191 ff.

⁴⁴

   Acta math. 6 (1885), p, 321.

⁴⁵

   Lin. Diff.-Gl. p. 191.

⁴⁶

   N. Y. Bull., Juni 1898.

⁴⁷

   Ygl. dessen Buch: Reihenentwicklungen u. s. w. p. 214ff., sowie auch

N. Y. Bull., März 1898. Siehe auch Klein, Lin. Diff.-Gl. p. 201 ff

⁴⁸

   N. Y. Bull., Juni 1898.

⁴⁹

   Diese Van VlecJc'sehe Arbeit ist niemals veröffentlicht worden. Man vgl. aber Klein, Lin. Diff.-Gl. 2. Ord., p. 226 ff, wo ein Teil der Van VlecJc'sehen Resultate auf mechanischem Wege abgeleitet ist (Van VlecJc selber hatte nur analytische Methoden gebraucht). Im Falle p — 2 sind die Resultate zum Teil implicite in viel allgemeineren Untersuchungen Van VlecJc's (Amer. J. of math. 21 (1899), p. 126) enthalten.

⁵⁰

   Vgl. II A 7 c, Nr. 5.

⁵¹

   Vgl. insbesondere folgende Arbeiten Picard's: J. de math. (4) 6 (1890), p. 197; (4) 9 (1893), p. 228; Par. C. R., 19. Febr. 1894, 9.April 1894, 23. April 1894, 14. Febr. 1898. Eine zusammenfassende Darstellung findet man in Picard's Traité d’analyse 3 (1896), p. 94 ff.

⁵²

   Fenn. Acta 15 (1885), p. 315 = Ges. Abh. 1, p. 244.

(4) angewandt werden können. Die Funktion f möge, so lange cc<ix<iß, \y\<^L, \ y \ L', als eindeutige stetige Funktion ihrer drei unabhängigen Argumente vorausgesetzt werden¹). Wir führen zunächst folgendes sehr allgemeine Theorem an:

Für ein hinreichend²) kurzes in dem Intervall a ß gelegenes Intervall a b giebt es eine und (falls man nur den Fall | ij \ < L, | y \ < L' betrachtet) nur eine Lösung von (4), welche innerhalb dieses Intervalls nebst ihrer ersten Ableitung stetig verläuft und in den Punkten a und b bezw. die den Ungleichungen \A\<L, \JB \ < L genügenden, sonst aber willkürlichen Werte A und B annimmt.

Es wird bei der Herleitung dieses Satzes, sowie auch im folgenden, der Algorithmus der successiven Approximationen in folgender Weise angewandt³):

Man geht aus von einer Anfangsfunktion y₀ (welche in verschiedenen Fällen verschieden gewählt wird) und berechnet die Approximationen ylf y2, .. . durch die Gleichungen:

= f(x, yi~i, y'i-1)

dx*

Eine jede dieser Gleichungen wird so integriert, dass die Lösung in den Punkten a und b die gewünschten Werte A und B annknmt. Kann man nun beweisen, dass sich diese Funktionen yi einer Grenzfunktion gleichmässig (IIA 1, Nr. 16) nähern, so folgt, dass diese Grenzfunktion die gewünschte Lösung von (4) ist⁴).

Dieselbe Methode kann man auf Systeme von Differentialglei

chungen:

(i= 1, 2, . . ., m)

d%

dx²

anwenden, wonach man ein dem soeben ausgesprochenen analoges Theorem bekommt.

Des weiteren handelt es sich um Spezialfälle von (4), nämlich:

(«)

(ß)

d*y dx²

= cp{x)y,

00

Diese Gleichungen wollen wir der Reihe nach besprechen.

(ci) Hier lässt sich die Randwertaufgabe a) von Nr. 1 stets und nur auf eine Weise lösen, und zwar durch die Formel:

y=f(b a~b a)

In dem besonders wichtigen Falle A — B — 0 ist diese Formel, wie H. Burkhardt bemerkte⁵), mit der Theorie der eindimensionalen Green’sehen Funktion in Verbindung zu bringen. Unter der Green-schen Funktion G(x, |) des Gebietes ah versteht Burkhardt nämlich die in a und h verschwindende Funktion von x, welche zwischen diesen Punkten, abgesehen von dem Punkte £, nebst ihrer ersten Ableitung eindeutig und stetig verläuft und der Differentialgleichung d²y/dx² == 0 genügt, während im Punkte x — £ die Funktion G stetig ist, dG/dx aber zwei um —1 verschiedene Werte besitzt.

Wenn f(x) zwischen a und h negativ ist, sieht man aus der oben geschriebenen Formel, dass die in a und h verschwindende Lösung von (ci) zwischen a und h positiv ist, und dass, wenn f durch eine algebraisch kleinere Funktion ersetzt wird, diese Lösung in jedem Punkte von ah zunehmen wird.

Dieser Fall (ci) ist deshalb wichtig, weil die hier gewonnenen Resultate immer wieder zu benutzen sind bei Anwendung der Methode der successiven Approximationen in den Fällen (ß) und (y).

(ß) Da wir es hier mit einer linearen Differentialgleichung zu thun haben, so lässt die in Nr. 1 mit a) bezeichnete Randwertaufgabe im allgemeinen eine und nur eine Lösung zu; eine Ausnahme tritt nur dann ein, wenn die in a verschwindende Lösung der Differentialgleichung auch in h verschwindet. Dieser Fall kann nicht ein-treten, so lange cp in dem ganzen Intervall ah positiv ist. Wir wollen von nun an cp als negativ voraussetzen. Ferner betrachten wir zunächst nur den Fall, in welchem das Intervall al) so kurz ist, dass die in a verschwindende Lösung von (ß) weder zwischen a und b, noch in b verschwindet; oder, was auf dasselbe hinauskommt, wir beschränken uns auf den Fall, in welchem (/3) eine Lösung besitzt, die im ganzen Intervall (mit Einschluss der Endpunkte) positiv ist. Diese Lösung kann, wie Picard beweist, durch die Methode der successiven Approximationen dargestellt werden.

Des weiteren giebt Picard im engen Anschluss an die obenerwähnte Schwarz’sche Arbeit ein Kriterium dafür, ob der hier betrachtete Fall eintritt oder nicht. Hierzu betrachtet er die Konstanten : b

Wn = —

Çcp(x)un(x)äx,

wo u₀ — 1 und die successiven nach der oben beschriebenen Methode gebildeten Approximationen ul7 u₂, ... in den Punkten a und b verschwinden. Die Quotienten cn = Wn/Wn—\ nähern sich bei wachsendem n einem Grenzwert c ; wenn c < 1, verschwindet die in a verschwindende Lösung von (ß) weder zwischen a und b, noch in b; wenn c > 1, verschivindet diese Lösung zwischen a und b, und wenn c = 1, verschwindet sie in b, aber nicht zwischen a und b. Im letzten Falle erscheint diese in a und b verschwindende Lösung als Grenze der Funktionen un.

Die Konstante c hängt einerseits von den Werten der Funktion cp, andererseits von der Länge des Intervalls ab ab; und zwar findet man, dass diese Konstante zunimmt einerseits wenn die Funktion cp durch eine algebraisch kleinere Funktion ersetzt wird, andererseits wenn das Intervall ab durch ein grösseres ersetzt wird. Hieraus folgt, dass die Wurzeln der in a verschwindenden Lösung bei algebraisch abnehmendem cp sich sämtlich nach dem Punkte a hin bewegen werden. Hierdurch wird ein Spezialfall eines in Nr. 2 besprochenen Sturm’schen Theorems von neuem bewiesen.

Ersetzt man die Gleichung (ß) durch die Gleichung:

(ßl

lcp(x)y,

so wird c durch Ac ersetzt. Folglich hat (ß') für A = 1/c, und für keinen anderen Wert von A, eine Lösung, welche in a und b, nicht aber zwischen diesen Punkten verschwindet. Hierdurch ist also nicht nur die Existenz des in Nr. 2 durch A₀ bezeichneten ausgezeichneten Paranieterwertes durch eine ganz neue Methode erwiesen ⁶), sondern auch ein Ansatz zur Berechnung dieses Parameterwertes gewonnen.

Bezeichnen wir durch ya und yb die Lösungen von (ß '), welche bezw. in a und b verschwinden, so fallen dieselben für X — 1/c zusammen. Lassen wir X über diesen Wert hinaus wachsen, so bewegt sich die Wurzel von ya, welche ursprünglich in b lag, nach links, während die Wurzel von yb, welche ursprünglich in a lag, sich nach rechts bewegt. Diese zwei Wurzeln werden sich für einen bestimmten Wert von X treffen, und hierdurch erhalten wir den zweiten ausgezeichneten Parameterwert X₁. Auf ähnliche Weise fortschreitend weist Picard die Existenz der anderen ausgezeichneten Parameterwerte nach.

Die Lösung von (/F), welche in a und b beliebig vorgeschriebene Werte A und B annimmt (wobei A und B nicht beide verschwinden dürfen), ist in der ganzen Ebene der komplexen X, abgesehen von den Punkten X₀, Xt, X₂,..., eine eindeutige analytische Funktion von X. Für diese ausgezeichneten Werte besitzt dieselbe, wie Picard nachweist, einfache Pole. Von diesem Umstande ausgehend erhält Picard ein Grenzverfahren zur Berechnung dieser ausgezeichneten Parameterwerte ⁷).

(y) Hier wird zunächst vorausgesetzt, dass die in der Differentialgleichung vorkommende Funktion fix, y) für a x <^b und für alle Werte von y eindeutig und stetig ist, und dass f{oc, 0) — 0. Ferner soll cf/dy in diesem Gebiete existieren und negativ sein. Schliesslich soll diese Ableitung dem absoluten Betrage nach abnehmen, wenn y durch positive Werte wächst oder durch negative Werte abnimmt. Dann beweist Picard unter anderen folgende Sätze:

Existiert eine Lösung von (y), welche in a und in b positive Werte annimmt und zwischen a und b nicht verschwindet, so kann diese Lösung durch die Methode der suecessiven Approximationen dargestellt werden.

Wenn die in a verschwindenden Lösungen der zwei Hilfsglei-

chungen :

*1 _ |t£l

dx²    Ldyjy=o

■y,

in a bezw. ß zum ersten mal wieder verschtvinden⁸ 9) , und a <C c < ß ist, so giebt es eine und nur eine Lösung von (y), welche in a und c verschwindet, zwischen diesen Punkten aber positiv bleibt. Diese Lösung kann man durch die Methode der successiven Approximationen erhalten.

Einige spezielle Resultate, welche sich auf den Pall beziehen, dass die gesuchte Lösung nicht überall positiv ist, übergehen wir. Insbesondere verweisen wir auf die Aufsuchung von periodischen Lösungen in dem Palle, dass f eine periodische Funktion von x be

deutet ^

Für den Fall, dass in der Gleichung (y) f eine überall positive

Funktion bedeutet, welche mit y zusammen wächst, beweist Picard die Sätze:

Es giebt niemals zwei verschiedene Lösungen von (y), welche in a und in b dieselben Werte annehmen.

Bedeutet M eine positive Konstante, und hat man für negatives y die Ungleichung \df/dy\<.M, so kann man eine Lösung von (y), welche in a und in b verschwindet¹⁰), durch die Methode der successiven Approximationen finden, wenn die Länge des Intervalls ab kleiner ist wie n/YM.

Hat man ein längeres Intervall und bildet man die successiven Approximationen y₁, y₂, y₃, . . ., welche in a und in b verschwinden, so werden sich die Approximationen ungerader Ordnung einer Grenze u, die Approximationen gerader Ordnung einer Grenze v gleichmässig nähern¹¹). Diese zwei Funktionen stimmen aber, wie Picard an einem Beispiel nachweist, nicht immer überein. Sie genügen dann auch nicht der Gleichung (y), sondern den zwei Gleichungen:

<Py dx²

Die Methode der successiven Approximationen ist also nicht immer anwendbar um eine Lösung und b verschivindet. Dass aber eine solche Lösung stets existiert, weist Picard nach, indem er eine Methode für ihre Berechnung an-

= f(x, u).

~=f(x V) dx² T \X, V),

von

(y) zu finden, welche in a

giebt, welche der Schwarz’schen Methode des alternierenden Verfahrens¹²) genau nachgebildet ist.

Diese Picard’schen Untersuchungen betreffs der Gleichung (y) gestatten eine Verallgemeinerung einerseits, wie H. Burkhardt bemerkt hat¹³), durch Zulassung allgemeinerer Grenzbedingungen; andererseits, wie Picard selbst gezeigt hat, durch Betrachtung von Systemen von Differentialgleichungen.

Wir heben noch ausdrücklich hervor, dass bei den Picard’schen Untersuchungen singuläre Punkte der Differentialgleichung nicht auf-treten.    *

IIA 7 b. POTENTIALTHEORIE

(THEORIE DER LAPLACE-POISSON’SCHEN DIFFERENTIALGLEICHUNG)

VON

HEINRICH BURKHARDT und W. FRANZ MEYER

IN ZÜRICH.

IN KÖNIGSBERG, OSTPR.

Inhaltsübersicht.

1.    Definition des Potentials.

2.    Die Laplace-Poisson’sehe Differentialgleichung.

3.    Stetigkeit. Verhalten im Unendlichen.

4.    Abgeleitete Potentiale.

5.    Flächenpotential.

6.    Potential einer Doppelschicht.

7.    Potential von Linien und Punkten.

8.    Logarithmisches Potential.

9.    Analytische Fortsetzung.

10.    Niveauflächen und Kraftlinien.

11.    Verallgemeinerungen des Potentialbegriffs.

12.    Green'sehe Formeln.

13.    Gauss' allgemeine Lehrsätze.

14.    Entwicklung des Potentials nach Kugelfunktionen.

15.    Potential von Kugel und Ellipsoid.

16.    W. Thomson's elektrische Bilder.

17.    Randwertaufgaben; Eindeutigkeits- und Existenztheorem.

18.    Green'sehe Funktion.

19.    Die Poissonschen Integrale.

20.    Entwicklung nach trigonometrischen Funktionen.

21.    Entwicklung nach Kugelfunktionen.

22.    Allgemeinere Entwicklungen.

23.    Gauss' Versuch, das Existenztheorem zu beweisen.

24.    Thomson-Dirichlet'sches Prinzip.

25.    Kritik desselben.

26.    Methode der Approximation durch Polygone bezw. Polyeder.

27.    Methode des arithmetischen Mittels.

28.    Kombinatorische Methoden.

29.    Spezielle Methode für analytische Randkurven.

30.    Hülfssätze zu Konvergenzbeweisen.

31.    Die Balayagemethode.

Litteratur.

Lehrbücher.

John H. Pratt, Treatise on attraction, Laplace’s functions and the figure of the earth. 3. ed. Cambr. and Lond. 1865.

JR. Clausius, Die Potentialfunktion und das Potential, Leipz. 1859, 4. Aufl. 1885; franz. von *E. Folie, Brux. 1870.

E. Betti, Teorica delle forze che agiscono secondo la legge di Newton, Pisa 1865. B. Biemann, Schwere, Elektrizität und Magnetismus, hsg. von K. Hattendorff, Hann. 1875. *2. Ausg. 1880.

P. G. Lejeune-LHrichlet, Die im umgekehrten Verhältnis des Quadrates der Entfernung wirkenden Kräfte, hsg. von F. Grube, Leipz. 1876, 2. Aufl. 1887. E. Betti, Teorica delle forze Newtoniane, Pisa 1879; dtsch. mit Zusätzen u. d. Titel: Potentialtheorie und ihre Anwendungen von W. Fr. Meyer, Stuttgart 1885.

E.    Mathieu, Theorie du potentiel et ses applications à l’électrostatique et au magnétisme, Paris 1885/86; dtsch. von H. Maser, Beri. 1890.

F.    Neumann, Potential und Kugelfunktionen, hsg. von C. Neumann, Leipz. 1887. B. 0. Peirce, The Newton Potential Function, Boston 1888.

*J. A. Bonifacio, Theoria da funcçào potencial e do potencial, Porto 1890.

P. Appell, Attraction et fonction potentielle, réd. par Charliat, Paris 1892.

*A. J. da Silva Bastos, Sobre a equaçào de Laplace a très variaveis, Coimbra 1895.

H. Poincaré, Théorie du potentiel Newtonien [1894/95], réd. par E. le Boy et

G. Vincent, Paris 1899.

A. Born, Lehrbuch der Potentialtheorie, Beri. 1899.

Ausserdem vgl. man die Lehrbücher der bestimmten Integrale (Dirichlet, Kronecker), der Kugelfunktionen (Heine 2, Ferrers, Byerly), der Funktionentheorie (C. Neumann, Picard 1 u. 2, Forsyth), der Mechanik (Somoff 2, Schell 2, Kirchhoff), speziell der Statik (Bouth 2, Minchin 2), der mathematischen Physik (:Thomson und Tait l², von Lang, Voigt 1, Besal 2), der physischen Astronomie (Besal, Tisserand 2), der Geodäsie (Helmert), endlich der einschlägigen einzelnen physikalischen Disziplinen.

Monographien.

0. Schlömilch, Der Attraktionskalkül, Halle 1851.

G. Lamé, Les fonctions inverses des transcendantes et les surfaces isothermes, Paris 1857.

G. Lamé, Les coordonnées curvilignes et leur diverses applications, Paris 1859.

C. Neumann, Untersuchungen über das logarithmische und Newton’sche Potential, Leipz. 1877 [vgl. den Auszug, Math. Ann. 13 (1878), p. 255]; citiert: „C. Neumann 1877“.

A. Harnack, Grundlagen der Theorie des logarithmischen Potentiales, Leipz. 1887.

E. Häntzschel, Reduktion der Potentialgleichung auf gewöhnliche Differentialgleichungen, Berl. 1893.

M. Bocher, Reihenentwicklungen der Potentialtheorie (m. Vorwort von F. Klein), Leipz. 1894 (weitere Ausführung einer Gott. Preisschrift, 1893).

Die mit * bezeichneten Werke sind den Verfassern nicht zugänglich

gewesen.

30

Encyklop. d. math. Wissensch. II,

C. Neumann, Allgemeine Untersuchungen über das Newton’sche Prinzip der Fernewirkungen, Leipz. 1896.

Für die ältere Geschichte vgl. man die Excerptensammlung von J. Todhunter: History of attraction and the figure of the earth, 2 vol., Lond. 1873.

Neuere Bibliographie: M. Bacharach, Abriss der Geschichte der Potentialtheorie, Gött. 1883.

1. Definition des Potentials. Dass die Komponenten der auf einen Punkt wirkenden Kraft nach drei rechtwinkligen Koordinaten-axen sich in vielen Fällen als Differentialquotienten einer und derselben Funktion nach den Koordinaten dieses Punktes darstellen lassen, war schon vor W B. Hamilton v) bekannt, der für eine solche Funktion den Namen Kräftefunktion eingeführt hat. Insbesondere gilt das, wie

J. Lagrange ²) zuerst bemerkt hat, für die Komponenten der Anziehung, die ein endliches System von Massenpunkten m; nach dem Newton-schen Gesetze auf einen andern Punkt g ausübt; die zu differenzierende Funktion ist hier, bei geeigneter Wahl der Einheiten:

(1)

Si =

mx fi

rl unter r; die Entfernung des anziehenden Punktes vom „Aufpunkt“³) g verstanden. Lagrange²) hat diesen Satz sogleich auch auf den Fall ausgedehnt, dass die anziehenden Massen kontinuierlich⁴) im Raume verteilt sind; ist dann dm ein Massenelement, d. h. das Produkt aus einem Volumenelement dt in eine gegebene Funktion der Koordinaten,, die Dichtigkeit⁵) q , so tritt an die Stelle von (1) das (über alle von Massen eingenommenen Raum teile zu erstreckende) Integral:

(2)

= g V.

Si =

flJHm

1)    Lond. Trans. 144 (1834¹), p. 249. Hamilton hat übrigens dort nur An-ziehungs- und Abstossungskräfte zwischen materiellen Punkten im Auge.

2)    Par. sav. jetr.] 7, 1773 (Oeuvr. 6, p. 349). Ygl. A. S. Hathaway, N. Y. Bull. 1 (1891), p. 66. — Die Funktion £1 tritt schon bei I). Bernoulli, Beri. Hist. 1748 [50], p. 361 in der Energiegleichung auf.

3)    Ein kurzer Name für den Punkt, in welchem der Wert des Potentials gerade betrachtet wird, ist wünschenswert. L. Boltzmann (z. B. York über Maxwell’s Theorie 1, Leipz. 1891, p. 113) sagt Aufpunlct; E. Beltrami (Ann. di mat. (2) 10 (1880), p. 52) : „punto potenziatou.

4)    Über die Bedeutung dieser Ausdrucksweise äussern sich vom atomi-stischen Standpunkt aus J. Boussinesq, J. de math. (3) 6 (1880), p. 89; H. Poincaré, Amer. J. of math. 12 (1890), p. 284; vom entgegengesetzten L. Kremecker, Vorlesungen 1, p. 286, 290; Korn p. 9. Ygl. auch Heine 2, p. 31.

5)    In der Gravitationstheorie ist dieselbe stets ^ 0, in der Elektrostatik

Für dies V hat G. Green⁶) den Namen Potentialfunktion, C. F. Gauss¹) den Namen Potential eingeführt.

ß ist auch gleich der Arbeit, die aufgewendet werden müsste, um den Aufpunkt aus seiner Lage ins Unendliche zu bringen⁸); insofern steht das Potential in naher Beziehung zur potentiellen Energie. Das

Potential zweier Massen auf einander, Vdu, ist die Arbeit, die erforderlich wäre, um die eine Masse entgegen der Anziehung der andern ins Unendliche zu bringen⁹).

Die Definition yon V bezw. ß behält auch dann noch einen bestimmten Sinn, wenn der Aufpunkt dem Integrationsgebiet selbst angehört; es sind auch dann noch die Ableitungen von ß gleich den Kraftkomponenten. Dass beide Behauptungen eines besonderen Beweises bedürfen, hat wohl Gauss zuerst bemerkt¹⁰).

2. Die Laplace-Poisson’sche Differentialgleichung. P. S. Laplace n) hat zuerst angegeben, dass V als Funktion der Polarkoordinaten des Aufpunkts der partiellen Differentialgleichung genügt:

d\Vr) __1

¹    I gin^

(3)

= 0;

a / • -dFx .    1 d²V

'»(sm^^j-f- sin²# <V

später¹²) giebt er auch die entsprechende Gleichung für rechtwinklige Koordinaten: und der Lehre vom Magnetismus kann sie )> 0 oder < 0 sein. — Das Vorzeichen von Sl wird verschieden gewählt.

6)    Essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism, Nottingham 1828; abgedr. J. f. Math. 39, 44, 47 (1850—54); Papers (London 1871), p. 22; dtsch. von A. Wangerin, Ostwalds Klass. Nr. 61.

7)    Allgemeine Lehrsätze über . . . Anziehungs- und Abstossungskräfte (Beob. d. magn. Vereins f. 1839, Leipz. 1840), art. 3 (ges. Werke 5, p. 200; Ostwalds Klass. Nr. 2; franz. J. de math. 7 (1842); engl. Taylor’s scientif. mem., Apr. 1842).

8)    C. F. Gauss, Allgem. Theorie des Erdmagnetismus (Beob. d. magn. Vereins für 1838, Leipz. 1839), art. 6 (Werke'5, p. 129); Clausius versteht unter Potential diese Arbeitsgrösse, unter Potentialfunktion das V.

9)    Clausius § 63. Dort auch § 64 Erläuterung des Begriffs des Potentials einer Masse auf sich selbst.

10) Allg. Lehrsätze [Fussn. 7] art. 6 (Werke 5, p. 202). Neuerdings O. Holder, Diss. Tüb. 1882, p. 6; J. Weingarten, Acta math. 10 (1887), p. 303; C. Neumann, Leipz. Ber. 42 (1890), p. 327; G. A. Maggi, Lomb. Rend. (2) 22 (1889), p. 647; N. Cim. (3) 33 (1893), p. 79, 106; L. Kronecker, Vorlesungen 1 (1894), p. 274.

11)    Par. Hist. 1782 [85], p. 135 (oeuvr. 10, p. 302).

12)    ib. 1787 [89], p. 252 (oeuvr. 11, p. 278). Die Transformation der Gleichung in beliebige krummlinige Koordinaten giebt P. G. Lamé, J. éc. polyt. cah. 23

30*

g⁸ F , 0*F g⁸ F gæ⁸ ' gy⁸ ~r" g«²

(4)

die seinen Namen behalten bat. Ihre linke Seite stellt eine gegenüber orthogonaler Transformation der Koordinaten invariante Funktion, einen Differentialparameter¹³) vor, wie wohl G. Laméu) zuerst ausgesprochen hat. Für dieselbe sind die Bezeichnungen I)V (Fourier), âV (Poisson), A V (Murphy), A₂ V (Lamé), A² V (Betti), — V² V (Tait), V²F (Gibbs) in Gebrauch.

Die Gleichung (4) tritt auch in andern Teilen der mathematischen Physik auf; es genügt ihr das Geschwindigkeitspotential¹⁵) der Hydrodynamik inkompressibler Flüssigkeiten ; ferner die Temperaturverteilung in einem Körper ohne Wärmequellen, falls sie stationär ist¹⁶); endlich die Verteilung stationärer galvanischer Ströme in einem körperlichen Leiter¹⁴). Für eine innerhalb eines bestimmten Gebietes eindeutige und stetige Lösung derselben haben W. Thomson und P. G. Tait den Namen „vollständige harmonische Funktion dieses Gebietes“ vorgeschlagen ¹⁵) ; neuerdings wird „vollständige“ vielfach weggelassen¹⁶). C. Neumann¹⁷), H. A. Schwarz¹⁸) und E. B. Christoffel¹⁹) haben die Stetigkeitseigenschaften näher präcisiert, die man für weitere Schlüsse (Nr. 12 ff.) voraussetzen muss.

Gleichung (4) gilt nur, wenn der Aufpunkt ausserhalb der an-(1834)* p. 260; einfacher W. Thomson, Cambr. Math. J. 4. 1843 (math. phjs. papers 1, p. 25). Vgl. auch Dirichlet-Grube § 18; W. Franz Meyer, Math. Ann. 26 (1886), p. 509 und Zusatz 1 zu Betti ■ H. Petrini, Diss. Upsala 1890, sowie Fussn. 159.

13)    Differentialinvariante der orthogonalen Gruppe nach S. Lie’s Terminologie [I B 2, Nr. 22; II A 6, Nr. 18].

14)    Coord, curvil. p. 5.

15)    Vgl. z. B. J. Lagrange, Mise. Taur. 3 (1762/65), Nr. 42 (Oeuvr. 1, p. 444). Der Name eingeführt von PL. Helmholtz, J. f. Math. 55 (1858), (ges. Abh. 1, p. 101).

16)    J. Fourier, Theorie anal, de la chaleur (Par. 1822), art. 123 (Oeuvr. 1,

p. 101).

3. Stetigkeit. Verhalten im Unendlichen.

469

ziehenden Massen liegt (da nur dann die Differentiationen unter dem Integralzeichen vollzogen werden dürfen). Innerhalb der Masse gilt an ihrer Stelle die Poisson'sehe Gleichung:

(5)

A₂ V — - 4:7t Q

in der q die Dichtigkeit im Aufpunkt bedeutet; das hat S. D. Poisson ²⁰ 21) am Fall der Kugel konstanter Dichte erkannt, Gaussu) zuerst einwandfrei²²) bewiesen. In der Hydrodynamik (analog in der Wärme-und der Elektricitätslehre) bedeutet (5) das Vorkommen von „Quellen“ oder „Senken“.

Geht man nicht von Fernkräften zwischen Punkten, sondern von Spannkräften in einem kontinuierlichen Medium aus, so sind die Differentialgleichungen dieser Nr. das Primäre; q ist dann durch Gleichung (5) definiert, die Integraldarstellung (2) wird aus ihr abgeleitet ²³).

3. Stetigkeit. Verhalten im Unendlichen. Wenn die Funktion q in verschiedenen Gebieten verschiedenen Gesetzen gehorcht, stellt auch V in diesen Gebieten verschiedene analytische Funktionen (IIA 1, Nr. 12), bezw. Stücke von solchen vor. Aber die Werte dieser verschiedenen Funktionen schliessen sich längs der Grenzflächen stetig an einander an, und Gleiches gilt auch noch von den Werten ihrer ersten Ableitungen nach den Koordinaten; die zweiten Ableitungen dagegen erleiden in den Grenzflächen endliche Stetigkeitssprünge²⁴).

Erstrecken sich die anziehenden Massen nicht ins Unendliche d. h. ist ausserhalb einer Kugel von genügend grossem Radius überall q = 0, so bleiben:

*y.*w    »’§£’ ^>■■■

unterhalb endlicher Grenzen, wenn der Aufpunkt ins Unendliche rückt²⁵).

4.    Abgeleitete Potentiale. Lässt man zwei Punkte von entgegengesetzt gleicher Masse in bestimmter Richtung l einander unendlich nahe rücken und gleichzeitig die Masse in geeigneter Weise ins Unendliche wachsen, so erhält man als Grenzwert ihres Potentials:

(⁶) f¹81 (t) = f* {'⁰⁰⁸ « y (t) +cos 0 h (v) +cos (t) 1 >

unter g eine Konstante, unter a, ß, y die Neigungswinkel der Richtung l gegen die Koordinatenaxen verstanden. Man stellt durch ein solches Potential die Wirkung einer magnetischen Molehel von der „Axe“ l und dem „Moment“ g dar²⁶).

Wiederholung derselben Operation führt zu höheren abgeleiteten Potentialen²⁷); solche treten in der Theorie der Pyro- und der Piezoelektrizität auf²⁸).

Wie in Nr. 1 führt Integration derartiger Potentiale von Molekeln zu gleichartigen Potentialen ausgedehnter Körper.

5.    Flächenpotential. In der Elektrostatik ist man veranlasst anzunehmen, dass freie Elektrizität nur auf den Oberflächen der Leiter vorhanden ist. Aus den sich hierauf beziehenden Untersuchungen Poisson's ²⁹) hat Green³⁰) den Begriff des Flächenpotentials :

jjH“

entwickelt; dco bedeutet darin das Flächenelement, r dessen Abstand vom Aufpunkt, q die Flächendichtigkeit. Seine Werte zu beiden Seiten der Fläche schliessen sich stetig an einander an; dasselbe gilt auch von den Werten seiner Ableitungen nach in der Tangentialebene liegenden Richtungen³¹ 32). Dagegen weisen die Ableitungen nach

dv

der Normale in der Fläche einen Stetigkeitssprung auf: sind nämlich nlf n₂ die Normalen beider Flächenseiten, beide von der Fläche weg gerichtet, so ist in jedem Punkt der Fläche:

= - 4 7t Q.

Msf

(8)

-ïz—b

dn±

Diese Gleichung heisst die Coulomb - Poisson’sehe; in der That hat Ch. A. Coulomb³²) gezeigt, dass der eine der beiden Differentialquotienten (Kraftkomponenten) Null ist, wenn der andere zu p proportional ist. Allgemein wurde der in ihr enthaltene Satz von Poisson ³⁶) formuliert, von Laplace³⁷) (nicht streng) und A. Cauchy³³ 34) bewiesen; die vorstehende Form hat ihr Green3d) gegeben.

Die Diskontinuitäten der zweiten Ableitungen von (7) hängen von der mittleren Krümmung (III D 2) der Fläche ab. Die von clV/dn² hat Green³⁵) für Niveauflächen (vgl. Nr. 10) gefunden und P. Paci³⁶) von da auf beliebige Verteilungsgesetze übertragen; die der übrigen hat C. Neumann³⁷) bestimmt.

6. Potential einer Doppelschicht. Denkt man sich eine Fläche, statt wie in Nr. 5 mit nach dem Newton’schen Gesetze anziehenden Massen, mit magnetischen Molekeln belegt, deren Axen überall in die Flächennormale fallen, so erhält man das von H. Helmholtz³⁸) als

35)    Par. Hist. 1788 [1791], p. 676.

36)    Par. mém. 1811 [12], p. 30.

37)    An der eben citierten Stelle von Poisson mitgeteilt. Das Prinzip des Beweises für den Fall der Kugelfläche schon bei Lagrange, Mise. Taur. 1 (1759), p. 142 (in einer Note zu einer Abhandlung von Daviet de Foncenex; oeuvr. 7, p. 591).

•O' bedeutet den Winkel zwischen der Normale und der Richtung nach dem Aufpunkt, (da)x die scheinbare Grösse des Elementes da, vom Aufpunkt aus gesehen. Ein solches Potential kommt demnach einer normal zu ihren Oberflächen magnetisierten Schale zu; auch die an der Berührungsfläche zweier verschiedenen elektrischen Leiter auftretende Potentialdifferenz, sowie die elektromagnetische Wirkung eines geschlossenen Stroms lassen sich so darstellen⁴³).

W

a wy

Wählt man den Aufpunkt auf der Fläche selbst, so ist das Integral W ein uneigentliches, konvergiert aber unter geeigneten Voraussetzungen über g und ff unbedingt (II A 2, Nr. 15) ⁴⁴). Von dem so erhaltenen Wert Ww und von einander sind die Grenzwerte Wiu verschieden, welchen W zustrebt, wenn der Aufpunkt von der einen (a) oder der andern Seite (i) her dem betreffenden Flächenpunkt sich nähert; es ist nämlich (für flieht-singuläre Flächenpunkte) :

(10)

Wacu — We =We— Wicu = ~ 2X[l,

wenn die Normale von i nach a positiv gerechnet wird⁴⁶). Der Differentialquotient von W nach der Normale ändert sich beim Durchgang durch die Fläche stetig³⁹), die Differentialquotienten nach andern Richtungen nicht³⁹).

C. Neumann hat (unter Voraussetzung gewisser Stetigkeitseigen-

Fiir fi = 1 stellt das Integral die scheinbare Grösse der Fläche, vom Aufpunkt aus gesehen, dar (Gauss a. a. O.).

44)    Vgl. Poincaré p. 69, 104, 218.

45)    H. Helmholtz (vgl. Fussn. 43), ges. Abh. 1, p. 490. — Die für singuläre Flächenpunkte eintretenden Modifikationen hat für fi — 1 Gauss, Allg. Lehrsätze (Fussn. 7), Art. 22, für allgemeine u C. Neumann, 1877, p. 135 angegeben.

46) Helmholtz, Ges. Abh. 1, p. 489. Über die Stetigkeitsbedingungen, unter denen der Satz richtig ist, sowie über die andernfalls eintretenden Modifikationen

vgl. man C. Neumann [Fussn. 43]; G. A. Maggi, N. Cim. (3) 34 (1893), p. 85; A. Tauber, Monatsh. 8 (1897), p. 79; 9 (1898), p. 77; A. M. Ljapunoff, Par. C. R. 125 (1897), p. 694; Chark. Mitt. (2) 6 (1897), p. 129; J. de math. (5) 4 (1898),

p. 266.

selbständiges Element in die Theorie eingeführte Potential einer Doppelschicht:

(9)

dir ⁴)

dn

- dco =

da =

schäften der Fläche und der Funktionen q und y) die Ableitungen der über eine geschlossene Fläche erstreckten Integrale V (Glchg. 7) und W (Glchg. 9) nach den Koordinaten als Summen von Potentialen je einer einfachen und einer Doppelschicht dargestellt⁴⁰); JE. Beltrami hat die für ungeschlossene Flächen zutretenden Randintegrale angegeben⁴¹).

7. Potential von Linien und Punkten. Wie vom Körper- zum Flächenpotential, kann man von diesem zum Linien-⁴²) und zum Punktpotential herabsteigen und so zum Ausgangspunkt (Nr. 1) zurückkehren. Zur Untersuchung von Linienpotentialen geben „lineare“ galvanische Ströme Veranlassung. E. B. Christoffel⁴³) hat die allgemeinen Eigenschaften der Funktionen untersucht, die sich als Summen von Potentialen aller vier Arten darstellen lassen.

8. Logarithmisches Potential. Aus den Potentialen von parallelen geraden Linien, bezw. von cylindrischen Flächen und Körpern entstehen, wenn man dieselben beiderseits ins Unendliche sich ausdehnen lässt, durch einen geeigneten Grenzübergang⁴⁴) Funktionen, welche von nur zwei Koordinaten abhängen und Differentialgleichungen der Form:

¹

   Auch andere Bedingungen werden dieser Funktion zum Teil auf erlegt, so z. B. die Existenz und Endlichkeit ihrer partiellen Ableitungen nach dem zweiten und dritten Argument.

²

   Dieses wird durch drei Ungleichungen näher präzisiert; vgl. Traité d’analyse 3, p. 96, 97.

³

   Nach einer Bemerkung von P. Painlevé, Bull. soc. math. 27 (1899), p. 150, wären die sämtlichen Picard’schen Resultate (natürlich nur soweit als sie sich nicht explicite auf diese Methode beziehen) dadurch abzuleiten, dass man, statt die Methode der successiven Approximationen zu benutzen, die Cauchy’sche Methode zur Integration reeller Differentialgleichungen benutzt (vgl. II A 4, Nr. 5) ; eine Methode, welche nach einer Bemerkung von Painlevé (1. c.) und Picard (Par. C. R., 5. Juni 1899) den grösstmöglichen Konvergenzbereich besitzt.

Die Methode der successiven Approximationen, welche in anderen Gebieten der Mathematik von jeher angewandt wurde (vgl. z. B. Fourier, Theorie de la chaleur § 286, 287), ist zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen wohl zuerst von J. Liouville (J. de math. 1 [1836], p. 255) benutzt worden. Wie sie da angewandt wird, hat diese Methode aber keine besondere Beziehung zur Randwertaufgabe, denn die Approximationen werden so bestimmt, dass sie in einem einzigen Punkte gewisse Anfangsbedingungen erfüllen. Vgl. II A 4 a, Nr. 9. In der von uns gebrauchten Gestalt (wo die Approximationen durch Grenzwerte in zwei Punkten bestimmt werden) scheint die Methode nur einmal vor den Picard’schen Arbeiten benutzt worden zu sein, nämlich von J. Liouville, J. de math. 5 (1840), p. 356.

⁴

   Wir verweisen noch auf ein von Picard (Par. C. R. 9. April 1894) gegebenes Theorem, wonach, wenn f eine analytische Funktion von x, y, y und einem Parameter l ist, die durch die hier besprochene Methode bestimmte Lösung ebenfalls eine analytische Funktion von l sein wird.

⁵

Bull. soc. math. 22 (1894), p. 71. Burkhardt geht hier insofern über die Picard’schen Arbeiten hinaus, als er für die Gleichung (a) eine allgemeinere Randwertaufgabe, ebenfalls unter Benutzung einer Green’schen Funktion, behandelt.

⁶

   Natürlich nur in dem Falle, dass die entsprechende ausgezeichnete Lösung in a und in b verschwindet.

⁷

   Diese Untersuchungen Picard’’s über die Gleichung (ß) sind von A. JDa-vidoglou (Par. C. R. 1900, 12. Febr., 12. März, 7. Mai) auf gewisse lineare Differentialgleichungen dritter und vierter Ordnung übertragen.

⁸

   Wir setzen voraus, dass diese Punkte beide im Intervall ab liegen.

⁹

   Traité d’analyse 3, p. 142. Vgl. auch H. Poincaré, Les méth. nouv. de la mécanique cél. 1, Paris 1892, chap. 3.

¹⁰

   Die Beschränkung auf die Grenzwerte Null in a und b ist keine wesentliche, denn auf diesen Fall wird der allgemeine Fall durch die Substitution z — y ax ~ß zurückgeführt.

¹¹

   Vgl. Traité d’analyse 3, p. 146, sowie wegen der gleichmässigen Konvergenz Par. C. R., 14. Febr. 1898.

¹²

   II A 7 b, Nr. 28.

¹³

   Bull. soc. math. 22 (1894), p. 74.

¹⁴

   G. Kirchhoff, Ann. Phjs. Chem. 75 (1848), p. 189 (Ges. Abh. p. 36).

¹⁵

   Treatise on natural philosophy (Cambr. 1873, 2. ed. 1886), Ajap. B, b (zunächst für die Kugel).

¹⁶

   G. Lamé (fonctions inverses, p. 5) sagt: „paramètre thermométrique“; C. Neumann, Unters. 1877: „kanonische Potentialfunktion“, Vorl. über Abel’sche Integrale (2. Aull. 1884), sowie Leipz. Abh. 14 (1888), p. 565: „Fundamentalfunktion“.

¹⁷

   Math. Ann. 3 (1870), p. 325.

¹⁸

   Zür. Viert. 15 (1870), p. 114 (abgedr. J. f. Math. 74, p. 220; Ges. Abh. 2, p. 177).

¹⁹

   Gott. Nachr. 1871, p. 445. — Vgl. Korn p. 180, 215, 403.

²⁰

   N. Bull, philom. 3 (1813), p, 388.

²¹

   Allg. Lehrs, (vgl. Fussn. 7), Art. 9, 10.

²²

   Wenn q differentiierbar ist. Spätere Beweise haben allgemeinere Voraussetzungen; vgl. ausser den bei Bacharach p. 8—11 angeführten noch 0. Holder, Diss. Tübingen 1882, p. 10; H. Morem, Lomb. Rend. (2) 20 (1887), p. 302; C. Neumann, Leipz. Ber. 1890, p. 327; G. A. Maggi, N. Cim. (3) 33 (1893), p. 249; L. Kronecker, Berl. Ber. 1891, p. 881; Vorlesungen 1 (1894), p. 279;

H. Petrini, Par. C. R. 130 (1900), p. 233. Bei Kronecker p. 289 auch ein entsprechender Satz für das Potential zweier Massen auf einander.

²³

   Vgl. CI. Maxwell, Cambr. Trans. 10 [1855/56], p. 27 (Scient, pap. 1, p. 155; dtsch. von Boltzmann, Ostw. Klass. Nr. 69).

²⁴

   Gauss, Allg. Lehrsätze (Fussn. 7), Art. 6—9; er giebt die Sätze übrigens nicht als neu. Den Begriff der analytischen Funktion und überhaupt die schärferen Definitionen der neueren Funktionentheorie hat H. Bruns (Diss. Berol. 1871) hier eingeführt.

²⁵

   P. Gr. Lejeune-Dirichlet, J. f. Math. 32 (1846), p. 80 (Werke 2, p. 10), wo diese Sätze aber nicht als neu gegeben werden. Daselbst auch die Umkehrung dieser Sätze in Gestalt eines auf den ganzen Raum bezogenen Eindeutigkeitstheorems (Nr. 17); vgl. dazu A. Tauber, Monatsh. 9 (1898), p. 86.

²⁶

   S. D. Poisson, Par. mém. 5 (1821/22) [26], p. 265 [lu 2. 2. 1824].

²⁷

   CI. Maxwell, Treatise on electricity and magnetism, Oxf. 1873 (deutsch von Weinstein, Berl. 1883), Art. 129.

²⁸

   Vgl. z. B. W. Voigt, Theor. Physik 1, p. 165.

²⁹

   Par. mém. 1811 [12], p. 1 [lu mai/août 1812].

³⁰

   Essay [Fussn. 6], Art. 4.

³¹

   Poisson, Par. mém. 1811 [12], p. 33; Gauss, Allg. Lehrsätze, Art. 13—18;

³²

vgl. Fussn. 27.

³³

   Bull. soc. philom. 1815, p. 53.

³⁴

   Essay [Fussn. 6], Art. 4. — Neuere Beweise bei 0. Holder, Diss. Tüb. 1882, p. 41; G. Morera, Lomb. Bend. (2) 20 (1887), p. 543; G. A. Maggi, Lomb. Rend. (2) 24 (1891), p. 87, 220, 960; N. Cim. (3) 33 (1893), p. 251; 34 (1893), p. 22; Poincaré p. 104; Korn p. 44. — Eine unter allgemeineren Bedingungen gültige Formulierung bei P. G. Lejeune-Dirichlet, Beri. Ber. 1846, p. 211 (ges. Werke 2, p. 19); vgl. A. M. Ljapunoff, J. de math. (5) 4 (1898), p. 255.

³⁵

   Essay Art. 8.

³⁶

   Giom. di mat. 15 (1877), p. 289.

³⁷

   Math. Ann. 16 (1880), p. 432; Beweise von E. Beltrami, Ann. di mat. (2) 10 (1880), p. 59; Th. Horn, Zeitschr. Math. Phys. 26 (1881), p. 145; G. A. Maggi, Lomb. Rend. (2) 22 (1891), p. 785; für die Ebene C. Neumann, Leipz. Abh. 14 (1888), p. 615. — Neuerdings Poincaré p. 232; Korn p. 49. — Die dritten Ableitungen bei P. Paci, Gen. Atti 1892, p. 593; Pal. Rend. 8 (1894), p. 33.

³⁸

   Ann. Phys. Chem. 89 (1853) (ges. Abh. 1, p. 491). — Übrigens treten Integrale der 2. und 3. Form (9) (für g == 1) schon bei Gauss auf, Werke 5, p. 9 (a. d. J. 1813), solche der ersten Form bei Green, Essay [Fussn. 6], Art. 7.—

³⁹

B. Lipschitz, J. f. Math. 58 (1861), p. 8; vgl. die Fussn. 42 citierten Schriften. Neuerdings G. A. Maggi, N. Cim. (3) 33 (1892), p. 85; Poincaré p. 252; Korn p. 49; bei letzterem p. 52 auch* die Diskontinuitäten der 2. Ableitungen.

⁴⁰

   Math. Arm. 16 (1880), p. 435; ausführlicher [für das logarithmische Potential, Nr. 8] Leipz. Abh. 14 (1888), p. 606.

⁴¹

   Ann. di mat. (2) 10 (1880), p. 46.

⁴²

   So schon Green, Essay (Fussn. 6), Art. 12. Ygl. Clausius § 37, 38.

⁴³

   J. f. Math. 64 (1865), p. 321. Vgl. Korn p. 21.

⁴⁴

   P. S. Laplace, Mécanique céleste 1, Par. 1799, II 13 (Oeuvr. 1, p. 161). Über Potentialtheorie im eindimensionalen Gebiet vgl. man H. Burkhardt, Bull, soc. math. 22 (1894), p. 71; I. Schütz, Deutsche M.-V. 7 (1899), p. 117.

(11)

A₂V =

d³v . d*v ₉

w +    Q

genügen. Sie treten bei verschiedenen physikalischen Problemen auf, wenn von der Abhängigkeit der vorkommenden Grössen von der dritten Koordinate abgesehen werden darf¹). Eine solche Funktion wird dargestellt durch das über einen Teil der xy-Ebene erstreckte Integral:

u    lo%Tda’

(12)

in welchem q eine Funktion der Koordinaten (Dichtigkeit einer fingierten Masse), da ein Flächenelement, r die Entfernung desselben von der durch den Aufpunkt gelegten Parallelen zur z-Axe bedeutet. Sie kann als das Potential angesehen werden, das einer Anziehung umgekehrt proportional der ersten Potenz der Entfernung entspricht. Mit C. Neumann⁵⁴) bezeichnet man ein solches Potential als loga-rithmisches (das in Nr. 1—7 betrachtete dann als Newton’sches).

Das logarithmische Potential von auf Kurven ausgebreiteten einfachen und Doppelbelegungen ist analog wie in Nr. 5, 6 zu definieren⁵⁵). Die Stetigkeitseigenschaften dieser Potentiale sind denen der entsprechenden Newton’schen analog; nur werden sie im Unendlichen nicht Null, sondern logarithmisch unendlich. Auch ist zu beachten, dass r~¹ stets > 0 ist, log r sein Zeichen wechseln kann⁵⁶).

In einem Gebiete, in welchem p = 0 ist, ist wegen Gleichung (11):

dx —J—

du

dx

dtj

ein vollständiges Differential (II A 2, Nr. 43); infolge dessen existiert dort eine (bis auf eine additive Konstante bestimmte) „zu u konjugierte harmonische Funktionu :

(13)

/ 7 duj i du j \

v=J[-¥ï/x + rxdy)’

und es ist u -f- iv eine analytische Funktion des komplexen Arguments x -f- iy [II B 1] ⁵⁷). Von hier aus haben die der „Funktionentheorie“ geläufigen Fragestellungen auf die Potentialtheorie zurückgewirkt.

9. Analytische Fortsetzung. So ist die dort geläufige Frage nach der analytischen Fortsetzung eines zunächst nur innerhalb eines begrenzten Gebietes definierten Funktionszweiges auch auf die New-anderer Übergang zu Funktionen von nur zwei Variabein bei E. Beltrami, Lomb. Rend. 1878; Bol. Mem. (4) 2 (1881), p. 461; (4) 4 (1883), p. 211.

54)    J. f. Math. 59 (1861), p. 335.

55)    C. Neumann, Unters. 1877, p. 13, 117.

56)    ib. p. 72.

57)    B. Biemann, Diss. Gott. 1851 (Werke, p. 15). — Dass u -j- iv — f(x jriy) sein muss, wenn udx — vdy und udy -f vdx gleichzeitig exakte Differentialien werden sollen, hat wohl zuerst J. L. d’Alembert gefunden, Essai . . de la résistance des fluides, Par. 1752 p. 60.

torischen Potentialfunktionen übertragen worden. R. Lipschitz²) fand zunächst für das homogene Ellipsoid den Satz: Die Fläche der Fokalellipse eines solchen kann so mit Masse belegt werden, dass deren Potential (Nr. 5) ausserhalb des Ellipsoids mit dem Potential desselben übereinstimmt, folglich innerhalb diejenige analytische Fortsetzung dieses Potentials darstellt, welche auf Wegen gewonnen wird, die die Fläche der Fokalellipse nicht schneiden. Dabei sind, wie schon Gleichung (8) zeigt, die zu beiden Seiten dieser Fläche auftretenden Funktionswerte, obwohl sie in der Grenze übereinstimmen, nicht unmittelbar analytische Fortsetzungen von einander durch die Fläche hindurch. Man gelangt daher durch weitere Fortsetzung dahin, die Funktion als eine unendlichwertige anzusehen; die Fokalellipse ist ihre Verzweigungslinie in demselben Sinne, in welchem man bei Funktionen eines komplexen Arguments von Verzweigungspunkten spricht (IIB 1, Nr. 11). Irgend eine in ihr ausgespannte Fläche kann dazu dienen, einen Zweig dieser unendlichwertigen Funktion eindeutig festzulegen, indem man dem Aufpunkt verbietet sie zu überschreiten; die Fläche der Fokalellipse ist unter diesen Flächen insofern als „natürliches Diaphragma“ ³) ausgezeichnet, als an ihr der durch sie isolierte Funktionszweig beiderseits gleiche Werte annimmt.

W. Stahl⁴) und H. Bruns⁵) haben auf Anregung von K. Weierstrass weitere Fälle untersucht; Bruns hat den allgemeinen Satz, dass die Fortsetzung des äusseren Potentials eines homogenen Körpers überall da möglich ist, wo die Oberfläche desselben regulär ist⁶).

Physikalische Bedeutung hat diese Mehrwertigkeit der Fortsetzung von Potentialfunktionen einmal bei Geschwindigkeitspotentialen in mehrfach zusammenhängenden Räumen⁷); dann auch in Fällen wie der folgende: Eine von galvanischem Strom durchflossene Spirale kann durch zwei magnetische Platten an ihren Enden ersetzt werden; diese geben dasselbe Potential im Aussenraum, aber einen andern Zweig im Innenraum des Cylinders, auf dem die Spirale liegt.

Von endlich wertigen Potentialfunktionen hat P. Appell⁶¹) ein Beispiel, A. Sommerfeld⁸ 9) eine systematische Darstellung gegeben.

10. Niveauflächen und Kraftlinien. Die Flächen, längs welcher das Potential je einen konstanten Wert hat, treten bei C. Madamin¹⁰) als „level surfaces“, bei A. Clair aut¹¹) als surfaces de niveau auf (gelegentlich der Untersuchungen über die Gleichgewichtsfigur einer rotierenden Flüssigkeitsmasse, deren Teilchen sich nach dem New-ton’schen Gesetz anziehen). Die aus dem Potential resultierende Anziehungskraft ist in jedem Punkt einer solchen Fläche zu ihr normal und hat den Wert dV/cn, ist also dem Abstand des Punktes von „der unendlich benachbarten“ Niveaufläche umgekehrt proportional¹²). Die orthogonalen Trajektorien (III D 2) der Niveauflächen haben folglich die Eigenschaft, dass in jedem ihrer Punkte die Kraftrichtung mit der Tangente zusammenfällt; man nennt eine solche Linie nach

M. Faraday Kraftlinie¹³). Versteht man unter V ein Geschwindigkeitspotential (Nr. 2) einer stationären Strömung, so ist die Strömung überall zu den Niveauflächen senkrecht; die orthogonalen Trajektorien der Niveauflächen werden Stromlinien, dV/dn giebt die Geschwindigkeit der Strömung. Legt man durch alle Punkte einer geschlossenen Kurve Kraft-, bezw. Stromlinien, so erhält man eine Kraft-, bezw. Stromröhre¹⁴); eine der letzteren heisst Einheitsstromröhre, wenn durch ihren Querschnitt in der Zeiteinheit die Einheit der Flüssigkeitsmenge strömt. — Statt von der Anzahl der Einheitsröhren, die etwa eine Fläche treffen, spricht Faraday¹⁵) von der „Anzahl der Strom-, bezw. Kraftlinien“.

Beim logarithmischen Potential vertauschen sich Niveaukurven und Kraftlinien, wenn man zum konjugierten Potential (Gleichung 13) übergeht. Beide Systeme zusammen „teilen die Ebene in unendlich kleine Quadrate“ ¹⁶).

11. Verallgemeinerungen des Potentialbegriffs. Auf mehrfach ausgedehnte Räume ist die Potentialtheorie schon von Green¹⁷), auf nichteuklidische von E. Schering¹⁸) übertragen worden. Ein allgemeiner Potentialbegriff kommt zu Stande, wenn man die Kraft einer beliebigen Funktion der Koordinaten von Aufpunkt und Kraftcentrum gleichsetzt¹⁹); speziell erwähnt sei das „zweite Potential“ G. Lame’s²⁰), das einer Anziehungskraft direkt proportional der Entfernung entspricht.

Setzt man in Gleichung (2) statt der „skalaren Ortsfunktion“ p einen variabeln Vektor und versteht die Summationen geometrisch (III B 3), so entsteht ein Vektorpotential²¹).

Neuere Physiker haben die Bezeichnung „Potential“ auf die verschiedensten Funktionen übertragen, deren Ableitungen in den Differentialgleichungen physikalischer Probleme auftreten (kinematisches, thermodynamisches u. s. w. Potential); diese bleiben hier ausser Betracht, da sie andern mathematischen Gesetzen gehorchen.

12. Green’sche Formeln. Eine Reihe fundamentaler Sätze der Potentialtheorie beruhen auf der Umformung von Raumintegralen in Oberflächenintegrale. Von solcher hat Gauss schon 1813²²) vielfach

Gebrauch gemacht; systematisch ist sie von Green²³) angewendet, dessen beide Grundformeln bereits IIA 2, Nr. 47 angegeben sind. Genügen U, V beide der Laplace’sehen Differentialgleichung, so folgt:

^ da = 0 .

Setzt man andererseits U — 1 und versteht unter V das Potential von Massen, die innerhalb des betrachteten Raumes liegen, so erhält man:

(14)

//(

r~ — u

3n

CC> et)

(15)

wenn unter M die Gesamtmasse verstanden und die Normale positiv nach Innen gerechnet wird²⁴). Setzt man U — V gleich dem Potential von Massen ausserhalb des betrachteten Raumes, so folgt:

(16)

//>•

dV

— da —

8n

///!©'+ ©'+(©')

dt.

Sind U, V oder ihre Ableitungen in dem betrachteten Raume nicht überall stetig, so sind die Umgebungen der Unstetigkeitsstellen aus dem Gebiete, auf das die Raumintegrale sich beziehen, auszuscheiden und die Oberflächenintegrale über die zu dieser Ausscheidung dienenden Flächen mit zu erstrecken. Wird speziell²⁵ 26) U in einem Punkte (a, fr, c), dem Pol, unendlich wie r~x, wo:

r = y(x — af -f (y — fr)² + (c — zf,

so ist dieser Punkt durch eine Kugel auszuscheiden. Lässt man den Radius dieser Kugel unendlich klein werden, so erhält man die „modifizierte Green’sehe Formel“**):

13. Gauss’ allgemeine Lehrsätze. Mit dem Green’schen Essay decken sich zum Teil die „allgemeinen Lehrsätze“ von Gauss⁷). Er geht (Art. 19) aus von der unmittelbar ersichtlichen allgemeinen Formel :

(20)

in der Fi den Wert des Potentials der Massen M im Punkte m{, vx den des Potentials der Massen m im Punkte My bedeutet. Indem

von

(17)

fff UA₂Vdr+ffü

dV

dn

fff V^Udr+ffv

du

da — 4;r F₀,

in der V₀ den Wert von V im Pol bedeutet. Genügen U, V beide der Laplace’schen Differentialgleichung, so folgt²⁷):

(18)

//(

4*F₀ = speziell für U — r~x selbst²⁸)

dn

//(

d (r~~ b

sodass eine beliebige harmonische Funktion eines Gebietes (Nr. 2) als Summe der Potentiale einer einfachen (Nr. 5) und einer Doppelschicht (Nr. 7) sich darstellen lässt. Aus diesen Gleichungen folgt, dass jede harmonische Funktion eines Gebietes im ganzen Innern (II Al, Nr. 21) desselben eine analytische Funktion (ib. Nr. 12) der Koordinaten des Aufpunktes ist²⁹).

Für mehrwertige Potentialfunktionen mehrfach zusammenhängender Bereiche erfordern die Green’schen Gleichungen Zusatzglieder, auf deren Notwendigkeit H. Helmholtz³⁰) aufmerksam gemacht und die dann W. Thomson³¹) angegeben hat.

Für das logarithmische Potential sind die entsprechenden Sätze yon B. Riemann³²) entwickelt worden.

(19)

4tfF₀ =

dn

er dieselbe, bezw. die entsprechende Integralformel auf den Fall anwendet, dass das zweite Massensystem mit der konstanten Dichtigkeit 1 auf einer Kugelfläche vom Radius R ausgebreitet ist, findet er (Art. 20):

ff Vdco = 4:7i(RM⁰ -f- R? V°) ;

(21)

V bedeutet dabei das Potential irgend welcher Massen, V° den von ausserhalb der Kugel gelegenen Massen erzeugten Bestandteil desselben, M° die Summe der innerhalb gelegenen Massen. Für M° — 0 folgt insbesondere (Art. 21):

(22)

Vo =

±R²nffVcico ’

d. h. der Wert, den das Potential irgend welcher ausserhalb der Kugel gelegenen Massen im Kugelmittelpunkt besitzt, ist das arithmetische Mittel aus seinen Werten an der Kugeloberfläche („Gauss’scher Satz des arithmetischen Mittels“)³³). Aus dieser Formel leitet Gauss den ebenfalls häufig nach ihm benannten Satz ab ³⁴) : Das Potential von Massen, die ausserhalb eines zusammenhängenden Raumes liegen, kann nicht in einem Teil dieses Raumes einen konstanten, in einem andern einen davon verschiedenen Wert haben. Es folgen die hier mit (15) und (16) bezeichneten Gleichungen ; die letztere führt (Art. 25) zu der Folgerung: Wenn in allen Punkten der Grenzfläche eines begrenzten, von Massen freien Raumes das Potential einerlei Wert hat, so gilt dieser Wert auch für sämtliche Punkte dieses Raumes selbst; — sowie zu einem analogen, wenn auch nicht ganz so einfachen Satz für einen ins Unendliche sich erstreckenden Raum (Art. 26)³⁵).

14. Entwicklung des Potentials nach Kugelfunktionen. (Vgl. II B 4 b.) Fasst man in der Entwicklung des Potentials nach Potenzen der Koordinaten mit positiven ganzzahligen Exponenten, die nach Nr. 12 möglich ist, sobald der Ursprung ausserhalb der anziehenden Massen

Sinne.

liegt, die Glieder gleicher Dimension zusammen, so erhält man eine Entwicklung der Form:

(23)

$r.,

in der jedes einzelne Glied Vn, das eine homogene rationale ganze Funktion nten Grades der rechtwinkligen Koordinaten des Aufpunktes ist, für sich der Laplace’sehen Differentialgleichung (Nr. 2) genügt. Man nennt eine solche Funktion eine räumliche Kugelfunktion n Ordnung³⁶). Führt man räumliche Polarkoordinaten q, ff, (p ein, so erscheint Vn als Produkt aus p7i in eine Funktion Fw(ff, cp) von ff und cp allein, die Kugelflächenfunktion³⁷) (gewöhnlich einfach Kugelfunktion) ntei Ordnung genannt wird; die allgemeinste solche Funktion enthält 2n-\- 1 Konstanten linear und homogen³⁸). Es genügt dann auch Yn (ff, cp) der Laplace’schen Differentialgleichung und ist die allgemeinste Losung dieser Gleichung, die gleich dem Produkt aus

in eine homogene rationale ganze Funktion der rechtwink-

Q~in

ligen Koordinaten ist³⁹). Infolge dessen treten in der Entwicklung des Potentials nach fallenden Potenzen von p ebenfalls die Yn als Koeffizienten auf:

(24)

17    <7 *.<*,*)

.4,

Die einzelnen Glieder dieser Entwicklung entstehen aus p~1 durch Anwendung des Verfahrens von Nr. 4.⁴⁰ 41).

Ist Vn das Potential gegebener Massen, so drücken sich die Yn durch die über die Massen genommenen Integrale:

(25)

Yn (ff, cp) —fffgFn^y)^^d₉'d,'dcp'

31

aus, in welchen Pn das nte Legendre’sche Polynom (II B 4 b; Nr. 2) bedeutet und:

cos y — cos & cos -f- sin tl sin cos ( cp — cp')

ist⁴¹). Die Entwicklung konvergiert, wenn der Aufpunkt weiter vom Ursprung entfernt ist, als irgend ein Punkt der anziehenden Massen, unter Umständen auch noch darüber hinaus.

Dabei ist Y₀ = M (gleich der Summe der anziehenden Massen); ferner, wenn der Ursprung in den Schwerpunkt der anziehenden Massen verlegt ist:

Y₂ = ±(A + B+C-3J),

(26)

Yt = 0,

unter A, B, C die Hauptträgheitsmomente des Massensystems, unter J sein Trägheitsmoment um die durch den Aufpunkt gehende Axe verstanden ⁴²).

Ist die Masse auf einer Kugelfläche verteilt und nimmt man an, dass die Entwicklungen (23) und (24) auch noch auf dieser konvergieren und dort gliedweise differentiiert werden dürfen, so liefert die Coulomb-Poisson’sche Gleichung (8) die Entwicklung der Dichtigkeit — also einer vorgegebenen Funktion des Ortes auf der Kugel — nach Kugelfunktionen⁴³).

15. Potential von Kugel und Ellipsoid. Dass eine homogene Kugelschale auf einen in ihrem inneren Hohlraum gelegenen Punkt keine Wirkung ausübt, auf einen äusseren dieselbe, wie wenn ihre ganze Masse im Mittelpunkte vereinigt wäre, hat schon Newton gezeigt⁴⁴). Das Interesse der Astronomie forderte weiter die Bestimmung des Potentials, bezw. der Anziehung eines homogenen Ellipsoids; das Problem blieb ein beliebter Kräftemesser der wetteifernden

Methoden, auch nachdem dem ursprünglichen Interesse durch Gleichung (26) genügt war. Die Anziehung auf einen innern Punkt hatte P. S. Laplace⁴⁵) durch einfache Integrale ausgedrückt; auch hatte er den gewöhnlich nach Maclaurin⁴⁶) genannten Satz, der in der jetzt üblichen Terminologie so lautet: „Die Potentiale konfokaler Ellipsoide auf einen und denselben äusseren Punkt verhalten sich wie ihre Massen“, allerdings auf einem Umweg⁴⁷), bewiesen und dadurch das äussere Problem auf das „innere“ zurückgeführt. Dieselbe Reduktion hat J. Ivory⁴⁸) mit Hülfe eines andern Satzes (III C 4) ausgeführt; dagegen giebt er für die Lösung des „inneren“ Problems noch Reihenentwicklungen ohne Beweis ihrer Konvergenz. C. F. Gauss⁴⁹) transformiert zunächst die dreifachen Integrale, welche die Anziehungskomponenten geben, in Oberflächenintegrale [Potentiale von einfachen (teor. III) und von Doppelschichten (teor. VI)]; Einführung geeignetei Koordinaten auf der Fläche⁵⁰) giebt eine zur weiteren Behandlung taugliche Form dieser letzteren; Vergleichung der Werte für zwei konfokale Ellipsoide giebt das genannte „Maclaurin’sehe“ Theorem und damit die Reduktion der Doppelintegrale auf einfache (elliptische) Integrale⁵¹).

M. Chasles hat dann in Verallgemeinerung von Sätzen, deren erster Ursprung auf Newton zurückgeht, gezeigt, dass für das Potential einer von zwei konzentrischen ähnlichen und ähnlich gelegenen Ellip-soiden begrenzten, unendlich dünnen homogenen Schicht die äussere Begrenzungsfläche und alle zu ihr konfokalen äusseren Ellipsoide

31 *

Niveauflächen (Nr. 10) sind⁵²), und einen neuen geometrischen Beweis des „Maclaurinschen“ Satzes gegeben⁵³). Damit war die Reduktion auf ein einfaches Integral ebenfalls erreicht⁵⁴).

G. Lejeune-Dirichlet bediente sich eines diskontinuierlichen Faktors (II A 2, Nr. 42), um die Integration statt über das Ellipsoid-yolumen über den ganzen Raum erstrecken zu können⁵⁵).

Das Resultat ist für einen inneren Punkt:

cg

(27 a) V =

WO

0

ci} -f- s

v*

z*

ds

für einen äusseren :

Z*

ds

ß* + s V* + *J V(ccs+S)(ß*+S)(y* + S)

dabei bedeuten x, y, z die Koordinaten des Aufpunktes, u, ß, y die Halbaxen des Ellipsoids, M seine Masse, 6 die (einzige) positive Wurzel der Gleichung:

Xs

ß* + G

-f

— 1 = 0.

Das Potential zweier Ellipsoide auf einander hat F. Mertens⁵⁶)

bestimmt.

16. W. Thomson’s elektrische Bilder. Befinden sich in zwei Punkten Massen von entgegengesetzten Vorzeichen, so ist unter den Niveauflächen des von ihnen erzeugten Potentials eine Kugel. Sind m₂ die Massen beider Punkte, r1} r₂ ihre Entfernungen vom Kugelmittelpunkt, a der Kugelradius, so ist:

r₁ r₂ — a²,    m₁:m₂ — r₁\ a = a : r₂.

W. Thomson, der diese Theorie zuerst entwickelt hat¹¹³), nennt die beiden Punkte „elektrische Bilder“ von einander, die geometrische Verwandtschaft zwischen ihnen ist die der „reäproken Badienvehtoren“ (III A 7). Aus den für diese geltenden geometrischen Sätzen folgt dass die von „korrespondierenden Massensystemen“ auf „korrespondierende Punkte“ ausgeübten Potentiale sich wie die Quadratwurzeln aus den Abständen dieser Punkte vom Kugelcentrum verhalten, dass

V(r, ff, cp) eine Potentialfunktion ist, ~V , ff

also, wenn

ebenfalls eine solche ist. Durch diesen Satz hat Thomson eine Reihe scheinbar schwieriger Aufgaben der Potentialtheorie auf andere zurückgeführt, deren Lösung auf der Hand liegt.

Der entsprechende Satz in der Theorie des logarithmischen Potentials gestaltet sich nicht ganz so einfach, wenn man von Potentialen gegebener Massenverteilungen ausgeht¹¹⁴); redet man aber nur von Lösungen der partiellen Differentialgleichung A₂F = 0, so lautet er kurzweg: mit V (r, cp) zugleich ist auch V(a²r~¹, cp) eine solche Lösung. Er erscheint dann als Spezialfall des allgemeinen Satzes:

Eine Aufzählung der zahlreichen andern Bestimmungen des Potentials gegebener Massen Verteilungen ist hier nicht möglich; vgl. die in Fussn. 111 erwähnten Litteraturzusammenstellungen.

Für das Potential eines von der Kugel wenig abweichenden Körpers hat

P. G. L. Dirichlet eine einfache Formel gegeben, Berl. Abh. 1850, p. 114 (ges. Werke 2, p. 87).

Den „Körper grösster Anziehung“ hat G. de St. Jacques de Silvabelle, Par. sav. [étr.] 1 (1750), p. 175 (a. d. J. 1745) bestimmt; vgl. auch J. Playfair, Edinb. Trans. 6 (1812) [1807], p. 187* und Th. Knight, Lond. Trans. 122 (1812), p. 283. Neuerdings A. Sella, Line. Rend. (5) l¹ (1892), p. 350; 2¹ (1893), p. 90; 3¹ (1894), p. 436; 3² (1894), p. 47; N. Pierpaoli, ib. 2¹ (1893), p. 130; 3¹ (1894), p. 173; A. Ragnoli, sui corpi di massima attrazione, Spoleto 1895*; E. Lampe, Berl. Phys. Ges. 15 (1896), p. 84.

113)    J. de math. 10 (1845), p. 368; 12 (1847), p. 256; Papers on electr. and magn. p. 144; treatise [Fussn. 16] l², art. 510. — Unabhängig von Thomson bei C. Neumann, Lösung des allg. Problems etc., Halle 1861. — Für homogene Koordinaten (Potentialformen) F. Klein bei F. Pockels, Au-\- lciu=0 (Leipz. 1891), p. 197 und bei Bocher, p. 17.

114)    C. Neumann, Unters. 1877, Anhang.

mit V(x,y) zugleich ist auch F(£, y) eine Lösung von A₂F=0, wenn £ -j- iy eine analytische Funktion eines der beiden komplexen Argumente x + iy ist⁵⁷).

17. Randwertaufgaben; Eindeutigkeit»- und Existenztheorem.

Die Green’schen Formeln (18), (19) stellen den Wert, den eine harmonische Funktion (Nr. 2) eines Bereiches in irgend einem Punkte desselben annimmt, durch die Werte von F und dV/dn auf der Begrenzung des Bereiches dar. Bei willkürlicher Annahme dieser „Randwerte“ gehen jene Formeln zwar immer eine harmonische Funktion, diese nimmt aber auf der Begrenzung andere als die vorgesehriebe-nen Werte an. Dagegen führten physikalische Erfahrungen zu der Überzeugung, dass es genügt, F allein vorzuschreiben, wenn man noch bestimmte Stetigkeitseigenschaften fordert. Wirken z. B. auf einen zur Erde abgeleiteten Konduktor äussere elektrische Massen, so stellt sich auf seiner Oberfläche eine bestimmte Verteilung der Elektrizität her, deren Potential in allen inneren Punkten dem der einwirkenden Massen entgegengesetzt gleich ist⁵⁸); d. h. mathematisch ausgedrückt: sind auf einer geschlossenen Fläche die Werte eines Potentials äusserer Massen vorgeschrieben, so giebt es stets eine und nur eine harmonische Funktion des von der Fläche umschlossenen

Bereiches, deren Randwerte jenen Werten entgegengesetzt gleich sind. Hier sind die vorgegebenen Randwerte die eines Potentials äusserer Massen, woraus über den Grad ihrer Willkürlichkeit zunächst nichts folgt.

Andererseits zeigt die Erfahrung, dass in einem Körper, dessen Oberfläche auf nach der Zeit konstanter, mit dem Ort variabler Temperatur gehalten wird, eine stationäre Temperaturverteilung sich einstellt⁵⁹). Das giebt denselben mathematischen Satz; die Randwerte erscheinen aber jetzt als ganz willkürlich.

Man kam so zu den beiden Sätzen⁶⁰):

I.    (Eindeutigkeitssatz): Eine harmonische Funktion eines begrenzten ¹¹⁹) Bereiches ist eindeutig bestimmt durch die Werte, die sie auf der Begrenzung annimmt.

II.    (Existenzsatz): Biese letzteren Werte können willkürlich vorgegeben werden; es giebt dann jedesmal eine zugehörige harmonische Funktion.

Es entstand die Aufgabe, diese zunächst nur durch die Erfahrung approximativ gegebenen Sätze zu beweisen, bezw. die Voraussetzungen über a) die Stetigkeit der gesuchten Funktion und ihrer Ableitungen; b) die Natur des Bereichs; c) die gegebenen Randwerte zu präzisieren, unter denen der Beweis sich führen lässt.

Die Angabe von Methoden, die in geeigneten Fällen die Berechnung der gesuchten Funktion mit der erforderlichen Genauigkeit gestatten, also die wirkliche Lösung der „Bandwertaufgabeu 12°), ist dann ein weiteres Problem, für das noch verhältnismässig wenig geschehen ist.

Physikalische Probleme führen noch auf zwei weitere Randwertaufgaben und die zugehörigen Eindeutigkeits- und Existenztheoreme. Soll die stationäre Strömung in einem Gebiet bestimmt werden, wenn die in jedem Moment durch jedes Oberflächenelement einströmende Flüssigkeitsmenge gegeben ist, so heisst das: eine harmonische Funktion des Bereiches zu finden, wenn die Randwerte von dV/dn gegeben

sind [natürlich so, dass    da — 0 ist, vgl. Gleichung 15]

zweite Bandwertaufgabe⁶¹). Soll die stationäre Temperaturverteilung in einem Körper bestimmt werden, der nach dem Newton’schen Erkaltungsgesetze Wärme an eine Umgebung abgiebt, deren Temperatur nach der Zeit konstant, nach dem Ort veränderlich ist, so heisst das es sind die Randwerte von V -\- h Konstante) — dritte Randwertaufgabe⁶²).

cV

ên

vorgeschrieben (h eine [positive]

danke, Sätze, die in einem Anwendungsgebiet der Differentialgleichung As V— 0 physikalisch evident sind, auf die andern zu übertragen, ist von W. Thomson (Fussn. 62) bestimmt formuliert und vielfach verwendet worden. Doch tritt er auch schon bei M. Chasles auf, vgl. z. B. J. éc. polyt. cah. 25 (1837), p. 297.

119)    Bei ins Unendliche sich erstreckenden Bereichen sind noch Voraussetzungen über das Verhalten der Funktion im Unendlichen zu machen.

120)    Der Name „problème de Dirichlet“ ist historisch nicht zu rechtfertigen ; viel eher noch „Green’s problem“ {Thomson und Tait, treatise [Fussn. 16], 2,

Nr. 499).

18. Green’sche Funktion. Green hat die allgemeine erste Randwertaufgabe mit Hülfe seiner Gleichung (18) auf einen speziellen Fall derselben reduziert. Gelingt es nämlich, U so zu bestimmen, dass es auf der ganzen Begrenzung Null wird, so giebt die entstehende Gleichung ¹²³) :

hff

(29)

V—dco

on

den Beweis des Eindeutigkeitssatzes und einen Ansatz zum Beweis des Existenzsatzes¹²⁴). Die Existenz der Funktion U erschliesst Green physikalisch: sie ist gleich dem Potential einer in (a, b, c) befindlichen Masse 1 plus dem Potential der Belegung, die dieser Punkt auf der Oberfläche induziert, wenn sie zur Erde abgeleitet ist. Sie heisst Green’sche Funktion des Bereichs¹²⁵); andere Autoren¹²⁶) gebrauchen diesen Namen für G — U —    ¹, d. h. für das Potential

jener Belegung, der Green’sehen Belegung ¹²⁷), allein. Beide Funktionen bleiben ungeändert, wenn man Pol und Aufpunkt vertauscht¹²⁸).

Für das logarithmische Potential gelten analoge Sätze¹²⁹), ausserdem noch der folgende: Ist U₁ das zu der Green’schen Funktion U konjugierte Potential (Nr. 8), so vermittelt e~u~üii die konforme Abbildung (II B 1, Nr. 6, 18) des gegebenen Bereichs auf die Fläche des Einheitskreises in der Weise, dass das Bild des Pols in den Nullpunkt fällt¹³⁰).

Auch für die zweite und dritte Randwertaufgabe sind „Green-sehe Funktionen“ angegeben, bezw. postuliert worden¹³¹).

(oeuvr. 1, p. 122). Dabei ist h~j> 0 vorauszusetzen; für h<C 0 gilt das Eindeutigkeitstheorem nur bei Ausschluss gewisser (für jeden Bereich in unendlicher Anzahl vorhandener) ausgezeichneter Werte von h\ U. Dini, Ann. di mat. (2) 5 (1873), p. 333; allgemeiner F. Pockels, A«-fi:²tt = 0, Leipz. 1891, p. 185.

123)    Essay [Fussn. 6] Art. 5. Man erinnere sich, dass U den Punkt 0 zum Pol haben sollte.

124)    Auf diesem Ansatz beruhen Methoden zur Integration anderer Differentialgleichungen; vgl. II A 7 c, Nr. 4.

125)    B. Biemann, York § 23; Fr. Neumann (Vorl. p. 239) sagt: charakteristische Funktion.

126)    C. Neumann, Allgem. Lösung des Problems etc., Halle 1862, p. 82.

127)    C. Neumann, Unters. 1877, p. 345.

-128) Green, Essay [Fuss. 6] Art. 6.

129)    Vgl. die Gegenüberstellung bei C. Neumann, Unters. 1877, Kap. 1.

130)    B. Biemann, Diss. Art. 21 (ges. Werke p. 39).

131)    B. Lipschitz, J. f. Math. 58 (1861), p. 7 (mit Hülfe der Schlussweise von Gauss [Nr. 23]); C. A. Bjerknes, Skand. Forh. 1868; Christ. Forh. 1871, p. 350; E. Beltrami, Bol. mem. (3) 1870/73; Principii dell’ idrodinamica razionale,

18. Green’sche Funktion. 19. Die Poisson’schen Integrale.

489

Man kann Gleichung (29) übrigens so deuten, dass jedem Randpunkt ein Elementarpotential zugewiesen und von allen diesen die Summe gebildet wird¹³²).

19. Die Poisson’schen Integrale. Für die Kugel, bezw. den Kreis erlaubt die Methode von W. Thomson (Nr. 16) die Green’sche Funktion sofort anzugeben, man findet

1    a² -,    -,    1    , a²

~ — y, bezw. log - — log y,

wenn a der Kugel-(Kreis-)Radius, r, r die Entfernungen des Aufpunktes vom Pol und von dessen Bildpunkt sind. Man erhält damit als Lösung der ersten Randwertaufgabe für Kugel und Kreis die Poisson’schen Integrale:

A_ ff y

injj ar³

• die S. D. Poisson ¹³³) ursprünglich’ durch die Methode der Reihenentwicklungen (Nr. 20, 21) gefunden hat; in ihnen bedeutet q die Entfernung des Aufpunktes vom Kugel-, bezw. Kreismittelpunkt, V den für do, bezw. dö vorgegebenen Randwert. Für das zweite hat C. Neu-) die Formen gegeben:

(30)

dco,

a* — q³

aP

da,

mann

134

(31) fi- der Winkel zwischen r und der Normalen des Elements da, (def)x und (dd)c die scheinbaren Grössen von da, vom Aufpunkt, bezw. Kreismittelpunkt aus gesehen; H. A. Schwarz™) giebt die Form:

r=éfrde'’

^Bologna 1873, p. 370; U. Dini, Line. mem. (2) 3 (1876), p. 129; Fr. Neumann, Vorl. p. 272; F. Klein bei Fr. PocJcels, Att-f Fm = 0, Leipz. 1891, p. 253.

132)    Man vgl. die entsprechende Auffassung anderer Integraldarstellungen bei W. Thomson, Encyclop. Britann. 1880 (math. phys. papers 2, p. 44).

133)    Für zwei Variable in noch nicht ganz derselben Form J. éc. polyt. cah. 18 (1820), p. 422; für drei ib. 19 (1823), p. 150; später noch öfter. Das erste Integral (30) kommt bereits bei J. Lagrange [ib. 15 (1809), p. 63 (oeuvr. 7, p. 363)] gelegentlich der Untersuchung der Anziehung eines nahezu kugelförmigen Körpers vor; auch sein Grenzwert für q — a wird dort bestimmt (durch partielle Integration, p. 65). Es steht auch in naher Beziehung zu der Fussn. 99 erwähnten Formel von Laplace.

134)    AbeFsche Funktionen, 2. Aull. (Leipz. 1884), p. 410.

135)    Bei L. Schlaf li, Progr. Univ. Bern 1874, p. 10; (vgl. Schwarz, ges. Abh. 2, p. 360).

dtf die Projektion von dö vom Aufpunkt auf den gegenüberliegenden Bogen des Kreises.

Den Beweis der Richtigkeit seiner Formel für beliebig vorgegebene stetige Randwerte hat Poisson im wesentlichen schon selbst geführt, ihn auch gegen Einwendungen J. Ivory's⁶³) aufrecht erhalten⁶⁴). Auch wenn der Aufpunkt einem Randpunkt in beliebiger Weise sich nähert, konvergiert das Integral gegen den vorgeschriebenen Randwert⁶⁵). Der Fall einzelner Stetigkeitssprünge in den Randwerten lässt sich durch Subtraktion einer Summe von Arcustangens-Funktio-nen auf den Fall stetiger Randwerte zurückführen⁶⁵).

20. Entwicklung nach trigonometrischen Funktionen. Die

Lösung der Randwertaufgabe für den Kreis (vom Radius 1) kann auch dadurch geschehen, dass man die Randwerte, sofern das möglich ist, in eine trigonometrische Reihe entwickelt⁶⁶):

(32)

es ist nämlich dann:

(33)

co

(an cosncp -f- bn sinego);

cc

rn (an cos n q> -f- bn sin n cp) .

Die Koeffizienten an, bn bestimmen sich durch Integrale (II A 8):

in

a°=Lj rdi>’

0

in

an — ~ j Vcos n cp dcp o'

) bn —

in

-- j*V sin nqpdqp o

aus Poisson’s Untersuchungen geht hervor, dass die mit diesen Integralen gebildete Reihe (33) auch in solchen Fällen konvergiert und die Aufgabe löst, in denen die Reihe (32) nicht konvergiert⁶⁷).

20. Entwickl. nach trigonometr. Funkt. 21. Entwickl. nach Kugelfunkt. 491

Es wird also hier eine Lösung der Differentialgleichung A₂ V — 0 von einem gewissen Grad der Allgemeinheit dargestellt durch eine Reihe, deren einzelnes Glied seihst dieser Gleichung genügt und dabei ein Produkt aus einer Funktion von r allein und einer Funktion von cp allein ist.

21. Entwicklung nach Kugelfunktionen. Soll in analoger Weise, unter r, ff, cp Polarkoordinaten im Raume verstanden, der Gleichung A₂F=0 durch ein Produkt aus einer Funktion Ii(r') und einer Funktion F(ff, cp) genügt werden, so muss R = arn -f- ßr Y eine Kugelflächenfunktion wter Ordnung (Nr. 14) sein140a). Innerhalb der Einheitskugel überall eindeutig und stetig ist dieses Produkt, wenn n eine positive ganze Zahl, ß = 0 und rn Yn eine rationale ganze Funktion der rechtwinkligen Koordinaten, also eine vollständige räumliche Kugelfunktion ist. Gelingt es dann, eine gegebene Oberflächenfunktion in eine nach den Kugelflächenfunktionen fortschreitende Reihe ^ Yn zu entwickeln, so ist (SV” Yn die Lösung der zu-

Yn die der zweiten¹⁴²) ;

'sri rw+¹

gehörigen ersten Randwertaufgabe¹⁴¹), ^

i-f-.....Yn die der dritten¹⁴³).

h-\~n

Für Körper, die von je zwei Flächen eines jeden der drei orthogonalen Systeme r — Const., <p — Const., ff = Const, begrenzt sind, haben Thomson und Tait den entsprechenden Ansatz angedeutet¹⁴⁴). Unter diesen allgemeinen Ansatz subsumieren sich zahlreiche vorher und nachher — meist unabhängig von ihm — ausgeführte Spezial-nntersuchungen¹⁴⁵).

betonte Auffassung ist neuerdings von A. Sommerfeld (Diss. Königsb. 1891) und E. Le Roy, Par. thèse 1898 (J. éc. norm. (3) 16, 1899), p. 152, Nr. 60 wieder hervorgehoben worden.

140a) Poisson, Par. mém. 5 (1821/22 [26], p. 306, Nr. 22.

141)    Poisson, J. éc. polyt. cah. 19 (1823), p. 150.

142)    F. Neumann, Vorl. p. 273.

143)    U. Pini, vgl. Fussn. 122.

144)    Treatise [Fussn. 16], 1, appendix B, litt, f, g, m, o, e'.

145)    Vgl. Bacharach, p. 61 ff.; Bocher, p. 239 ff. Von den hierher gehörigen Spezialfällen sei wegen seiner Wichtigkeit für die Anwendungen der von zwei Kugeln erwähnt; vgl. z. B. F. Neumann, Vorl. p. 277 oder Riemann-Hattendorff, p. 189. Er ist zuerst von S. D. Poisson behandelt, Par. mém. 1811 [12] p. 34. Vergleich der Methoden von Poisson und Riemann bei Th. Kötteritssch, Elektrostatik, Leipz. 1872, p. 177. — Das Problem dreier Kugeln hat E. Neumann in Angriff genommen, Leipz. Ber. 1896, p. 634; J. f. Math. 120 (1899), p. 60.

22. Allgemeinere Entwicklungen. In allgemeineren Fällen kommt es zunächst auf Einführung zweckmässiger Koordinaten von der Beschaffenheit an, dass längs jenes Teiles der Begrenzung je eine derselben konstant ist, und dass ausserdem A₂V sich einfach in ihnen ausdrückt und durch ein Produkt von Faktoren befriedigt werden kann, deren jeder nur von einer Koordinate abhängt¹⁴⁶). In diesem Sinne hat G. LaméU7) die elliptischen Koordinaten (III C 4) und die Lamé-schen Polynome (II B 4) zur Integration der Laplace’schen Gleichung für das Ellipsoid verwendet. Das ist dann nach verschiedenen Richtungen verallgemeinert worden¹⁴⁸).

Für einen Körper beliebiger Gestalt hat H. Eoincaré14ü) „fonctions fondamentales“ (die dann nicht mehr wie bei Lamé in Faktoren zerfallen) durch Minimumseigenschaften (analog den in Nr. 24 zu besprechenden) definiert und nach ihnen fortschreitende Reihenentwicklungen postuliert.

Die Existenz jener Funktionen und die Konvergenz dieser Entwicklungen sind dann von E. Le Roy bewiesen worden149a).

23. Gauss’ Versuch, das Existenztheorem zu beweisen. Einen Beweis des Existenztheorems (Nr. 17) für beliebig gestaltete Körper hat zuerst Gauss zu geben versucht¹⁵⁰): Sei eine Masse M so über die Oberfläche des Körpers verteilt, dass auf jedes Element da von ihr die Masse mda (m > 0) kommt; sei V das Potential dieser Verteilung, U eine gegebene Funktion auf der Oberfläche. Es wird dann „offenbar“ — sagt Gauss — unter allen möglichen Verteilungsarten eine geben, für welche ein Minimum des Integrals:

(34)

Si =    ( V— 2 U)mda

stattfindet. Giebt man das zu, so kann man mit Gauss ohne Schwierigkeit zeigen:

146) Eine etwas allgemeinere Bedingung bei A. Wangerin, Beri. Ber. 1878,

p. 153.

147)    Par. sav. [étr.] 5 (1838), p. 174 = J. de math. 2 (1837), p. 147; ib. 4 (1839), p. 351. Ygl. die angeführten Monographien Lamé’s.

148)    Vgl. Bacharach, p. 61, sowie die Monographie von Häntzschel. Die Untersuchungen F. Klein's über das allgemeinste hierher gehörige dreifach orthogonale Flächensystem, das der konfokalen Cykliden, sind von M. Bocher (s. Litteratur) dargestellt und ergänzt worden.

149)    Acta math. 20 (1896), p. 118, 124; vgl. Poincaré, Potentiel, p. 348.

149a) Ann. éc. norm. (3) 14, 1897 (Par. thèse 1898, p. 131). Vgl. auch

W. Stekloff, Par. C. R. 126 (1898), p. 1022; 128 (1899), p. 279, 588, 808, 984; Benaux, ib. 129 (1899), p. 545; S. Zaremba, J. de math. (5) 6 (1900), p. 47.

150)    Allg. Lehrs. [Fussn. 7] Art. 29 ff.

22. Allg. Entwickl. 28. Gauss’ Versuch. 24. Thomson-Dirichlet’sches Prinz. 493

1)    dass bei solcher Verteilung die Differenz V— U in allen denjenigen Teilen der Fläche, die wirklich mit Masse belegt sind, einen konstanten Wert hat;

2)    dass in dem speziellen Fall U — 0 kein Teil der Fläche unbelegt bleiben kann, dass es also eine Verteilungsart giebt, die keinen Teil der Fläche frei lässt⁶⁸) und aus der ein auf der ganzen Fläche konstantes Potential hervorgeht⁶⁹);

3)    dass man durch Zufügung eines Multiplums der zweiten Verteilung die Konstante des ersten Satzes zu Kuli machen kann, sodass man eine Verteilung erhält, deren Potential V auf der ganzen Oberfläche = U ist.

Damit würde also nicht nur der Existenzsatz bewiesen, sondern auch gezeigt sein, dass die gesuchte harmonische Funktion sich als Potential einer einfachen Oberflächenschicht (Nr. 5) darstellen lässt.

Beweis der Existenz der Lösung der zweiten Randwertauf-

zum

24. Thomson-Dirichlet’sches Prinzip. Des Schlusses auf die Existenz des Minimums eines Integrals bedient sich auch W. Thomson ⁷⁰)

gäbe (Nr. 17): sie wird gelöst durch die Funktion, die das über den Körper erstreckte dreifache Integral

(35)

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unter der Nebenbedingung

(36)

/y>

dv

da — A

dn

(bei geeigneter Bestimmung der Konstanten Ä) zu einem Minimum macht. Ebenso stützt P. G. L. Dirichlet⁷¹) seinen Beweis der Existenz einer Lösung der ersten Randwertaufgabe auf den Ausspruch: es ist „einleuchtend“, dass unter allen Funktionen V, die im Innern einer geschlossenen Fläche sich nebst ihren ersten Derivierten überall stetig ändern und auf der Oberfläche die vorgeschriebenen Werte annehmen, es eine (oder mehrere) geben muss, für die das über den ganzen Innenraum erstreckte Integral (35) seinen kleinsten Wert erhält. In England wird diese Schlussweise als Thomson’sches Prinzip⁷²) bezeichnet ; B. Biemann⁷³) hat sie als Dirichlet’sches auf die Theorie des logarithmischen Potentials und die mit ihr eng verknüpfte Theorie der analytischen Funktionen komplexen Arguments übertragen und zugleich auf Funktionen mit vorgeschriebenen Unstetigkeiten ausgedehnt. In der That gelang es ihm (vgl. II B 2, Nr. 12), aus diesem Prinzip die Existenz algebraischer Funktionen und ihrer Integrale auf beliebig vorgegebener Riemann’scher Fläche abzuleiten und überhaupt zur Untersuchung ausgedehnter Funktionsklassen von ihren Eigenschaften aus den Weg zu bahnen.

25. Kritik des Thomson - Diriehlet’schen Prinzips. Aber eben diese Erfolge veranlassten zur Prüfung des Fundaments: die von

K. Weierstrass vorgenommene Revision der Grundlagen der Variationsrechnung (II A 9, Nr. 9) ergab die Unhaltbarkeit desselben in der vorliegenden Form⁷⁴). Man kann nicht ohne weiteres behaupten, dass es eine den Stetigheits- und Oberflächenbedingungen genügende Funktion geben müsse, für die ein Integral, dessen Elemente alle positiv sind, ein Minimum ist; man kann zunächst nur behaupten, dass es für ein solches Integral eine untere Grenze (I A 3, Nr. 16) giebt, der es beliebig nahe kommen kann, die aber entweder überhaupt niemals wirklich erreicht wird oder doch nur, sofern man auf eine der Nebenbedingungen (Stetigkeit, stetiger Anschluss an die Randwerte) verzichtet⁷⁵).

Übrigens bleibt von dem Thomson-Dirichlet’schen Prinzip der vielfach⁷⁶) nützliche Satz bestehen, dass die Lösung der Randwertaufgabe, wenn sie existiert und einen endlichen Wert des Integrals liefert⁷⁶*), das Integral (36) zu einem Minimum macht.

Erst ganz neuerdings hat D. Hilbert159 h) mitgeteilt, dass es ihm gelungen sei, die Existenz stetiger Lösungen für zahlreiche Probleme der Variationsrechnung, insbesondere auch für die hier in Frage stehenden, zu beweisen.

26. Methode der Approximation durch Polygone bezw. Polyeder. Nach der Beseitigung des Dirichlet’schen Prinzips hat den ersten Beweis für einen speziellen Fall des Existenzsatzes (in der Ebene) IL A. Schwarz ⁷⁷°) gegeben. Christoffel⁷⁸) und Schwarz⁷⁹) selbst hatten die allgemeine Form der Funktionen gefunden, die die konforme Abbildung geradlinig begrenzter Polygone auf die Kreisfläche vermitteln, und Weierstrass hatte Schwarz einen Beweis⁸⁰) dafür mitgeteilt, dass es stets möglich sei, die in diese allgemeine Form eingehenden Konstanten so zu bestimmen, dass man die Abbildung eines gegebenen Polygons erhält. Darauf gestützt beweist Schwarz die Existenz der Green’sehen Funktion für jedes einfach zusammenhängende, ganz im Endlichen liegende Gebiet, das die Ebene nirgends mehrfach überdeckt und dessen Begrenzung überall nach aussen konvex ist, indem er der Reihe nach zeigt: dass ein solches Gebiet durch eine Folge von Polygonflächen approximiert werden kann, deren jede der vorhergehenden ganz angehört; dass die Green-schen Funktionen dieser Polygone für einen bestimmten im Innern des Gebietes liegenden Punkt als Pol in allen inneren Punkten desselben [gleichmässig, II A 1, Nr. 17] gegen eine Grenzfunktion konvergieren; dass diese Grenzfunktion die Green’sche Funktion des gegebenen Bereiches ist.

165

A. Harnack⁸¹ 82) hat auch nicht-konvexe Bereiche der Methode zugänglich gemacht, indem er das Gebiet durch Polygonflächen approximiert, deren jede der folgenden ganz angehört; auch gieht er an wie man die Methode auf den Raum (und auf mehrdimensionale Gebiete) ausdehnen kann, wenn der Fall des Polyeders durch die in Nr. 27 und 28 zu besprechenden Untersuchungen vorher erledigt ist.

Die konforme Abbildung des gegebenen Bereiches auf eine Kreisfläche verlangt ausser der Kenntnis der Green’schen Funktion noch die der zu ihr konjugierten; die bei nichtanalytischer Begrenzung hier auftretenden Schwierigkeiten⁸³) haben A. Harnack⁸⁴), P. Pain-levé⁸⁵), G. Neumann⁸⁶ 87) und Fr. von JDalwigk169a‘) behandelt.

27. Die Methode des arithmetischen Mittels. Ein zweiter Ansatz zum Beweis des ersten Existenztheorems, und zwar direkt für den allgemeinen Fall, weist zurück auf einen älteren Ansatz von A. Beer¹¹⁰), der seinerseits an die Gauss’sche Fassung des Problems (Nr. 23) anknüpft. Beer schreibt zunächst die Green’sche Formel (19) :

(38)

■7?dir

dn selbst eine harmonische Funktion ist. Für sie ist also analog:

8 V, dm dn r

V    =__

VI    4«

u. s. w.; man erhält schliesslich durch die Gleichung:

(39)

V == —

V dargestellt als Potential einer einfachen Oberflächenschicht von der Dichtigkeit (40)

Die Konvergenz dieser Entwicklung hat Beer nicht dargethan⁸⁸); auch verlangt sie Kenntnis der Oberflächenwerte von V (in 38) und dV/dn (in 40), sodass der Beweis der Existenztheoreme durch sie nicht erbracht werden kann⁸⁹).

C. Neumann's Methode des arithmetischen Mittels⁹⁰) verfährt in gewissem Sinne umgekehrt wie Beer : statt bei jedem Schritt denjenigen Teil der Green’schen Formel, der als Potential einer Doppelschicht dargestellt ist, auf den nächsten Schritt hinauszuschieben, behält er diesen bei und schiebt den andern hinaus, sodass die Lösung der ersten Randwertaufgabe schliesslich in der Gestalt des Potentials einer Doppelschicht erscheint. Er bildet, von den gegebenen Randwerten ausgehend, der Reihe nach die Funktionen⁹¹):

32

(37)

Vo = ~

wo:

und erhält dann die gesuchte Funktion dargestellt durch die unendliche Reihe:

(42)

—    0+ (W— W') + (W"—W"') H-----

¹

   Z. B. bei galvanischen Strömen in unendlich dünnen, ebenen, leitenden Platten, vgl. G. Kirchhoff, Ann. Phys. Chem. 64, 1845 (ges. Abh. 1, p. 1). Die Differentialgleichungen analoger Strömungen auf krummen Flächen haben G. Kirchhoff, Beri. Ber. 1875, p. 487; C. Neumann, Math. Ann. 10 (1876), p. 567; A. Töpler, Ann. Phys. Chem. 160 (1877), p. 375 aufgestellt; vgl. dazu E. Beltrami, Ann. di mat. (2) 1 (1867), p. 329. F. Klein (Riemann’s Theorie, Leipz. 1882) macht von solchen Strömungen Gebrauch, um algebraische Funktionen komplexen Arguments und ihre Integrale zu konstruieren (II B 2, Nr. 14). — Ein

²

   J. f. Math. 61 (1863), p. 22. Die Ausdrucksweise von Lipschitz ist im Text durch die in der Funktionentheorie jetzt allgemein übliche ersetzt.

³

   F. Klein bei Th. Glauner, Diss. Gött. 1894, p. 15, 26. Lipschitz sagt „Potentialfläche“, Th. Kötteritzsch, Elektrostatik (Leipz. 1872) I § 11 „Kardinalfläche“.

⁴

   Diss. Heidelb. 1870; J. f. Math. 79 (1875), p. 265.

⁵

   Diss. Berol. 1871; J. f. Math. 81 (1876), p. 349.

⁶

   Vgl. dazu S. v. KowaleivsJci, Acta math. 15 (1891), p. 45, sowie P. Pain-levé, Toul. Ann. 2 (1887), p. 77.

⁷

   TL. Helmholtz, J. f. Math. 58, 1858 (ges. Abh. 1, p. 105). Vgl. übrigens J. d'Alembert, Opuscules math. 5, Paris 1768, p. 13.

⁸

   Math. Ann. 30 (1887), p. 155.

⁹

   Lond. math. Proc. 28 (1897), p. 395. Vgl. auch H. S. Carslaw, ib. 30 (1899), p. 121.

¹⁰

   Treatise on fluxions (Edinb. 1742) Art. 640.

¹¹

   Figure de la terre (Par. 1743, 2. Abdr. 1808), Kap. 5. — Gauss, Allg. Lehrs, (vgl. Fussn. 7) Art. 4, sagt: Gleichgewichtsfläche.

¹²

   M. Chasles, J. éc. polyt. cah. 25 (1837), p. 305. Chasles leitet aus diesem Satz die „natürliche Belegung“ [Fussn. 152] für jede Fläche ab, die als Niveaufläche des Potentials irgend einer Massenverteilung bekannt ist [Par. C. R. 8 (1839), p. 209]. — Eine Art Umkehrung giebt J. Bertrand, ib. 107 (1888), p. 985. — Die Bedingung dafür, dass ein Flächensystem als ein System von Niveauflächen angesehen werden kann, giebt G. Lamé, Par. sav. [étr.] 5 (1838), p. 175, [J. de math. 2 (1837), p. 147],

¹³

   Zuerst Lond. Trans. 141 (1831), p. 2 (Nr. 114). Mathematisch formuliert wurden Faraday's Vorstellungen von W. Thomson, Cambr. math. J. 1, 1842 (anonym), abgedr. Philos. Mag. (4) 7 (1854), p. 502 und Papers on electr. p. 1. Vgl. auch M. Chasles, J. éc. polyt. cah. 25 (1837), p. 366 und Connaiss. des temps 1845 [1842], p. 24; CI. Maxwell, Cambr. Trans. 10 (1856), p. 27 [s. Fussn. 26].

¹⁴

   Canal orthogonal bei Chasles tube of force bei Faraday.

¹⁵

   Z. B. Lond. Trans. 161 (1851), Nr. 3117, 3122.

¹⁶

   Diese Ausdrucksweise scheint aus der Weier strass'sehen Schule zu stammen. Vgl. z. B. G. Holzmüller, Isogonale Verwandtschaften (Leipz. 1882, p. 80). Vgl. auch III D 3.

¹⁷

   Cambr. Trans. 1835 (Papers p. 190).

¹⁸

   Gott. Nachr. 1870, p. 311; 1873, p. 149. — Weitere Litteratur beider Fragestellungen bei JBadiarach p. 75—78; neuerdings L. Kronecker, Vorlesungen 1, p. 268; A. Gutzmer, Diss. Halle 1893; H. Poincaré, Acta math. 22 (1898), p. 104.

¹⁹

   J. Boussinesq, Application des potentiels (Paris 1885), p. 264 Fussn.; C. Neumann, Unters. 1895.

²⁰

   Elasticité des corps solides, Par. 1852, § 27. Vgl. auch E. Mathieu, J. de math. (2) 14 (1869), p. 378; Potentiel 1, p. 77, sowie A. Gutzmer, Diss. Halle 1893.

²¹

   CI. Maxwell, Treatise [Fussn. 26] 2, Art. 404.

²²

   Gott. Comm. rec. 2, 1813 (Werke 5, p. 1). — Vgl. auch J. L. Lagrange, Mise. Taur. 2, 1760/61, Art. 45 (Oeuvres 1, p. 263).

²³

   Essay [Fussn. 6] art. 3. — Man vgl. auch die doch wohl von Green unabhängigen Entwicklungen bei J. M. C. Duhamel, J. éc. polyt. cah. 22 (1833), p. 69 und G. Lamé, ib. p. 204 [prés. 8. 5. 1829]. Unter Benutzung krummliniger Koordinaten leitet E. Beltrami diese Sätze ab, Bol. mem. (4) 6 (1885), p. 408.

²⁴

   Die Gleichungen (15) und (16) sind von Gauss [Fussn. 7] gegeben; die zweite ist dort ganz ebenso bewiesen, wie Green seine allgemeine Formel beweist. Gleichung (15) auch bei M. Chasles, Conn, des temps 1845 [1842], p. 26. Ableitung der Gauss’schen Formeln aus den Green’schen bei Fr. Neumann, Yorl. p. 198; Untersuchung des gegenseitigen Verhältnisses der Gauss' sehen und der Green'sehen Formeln bei E. Beltrami, Bol. mem. (3) 9 (1878), p. 456. — Durch Anwendung der Formeln (15) auf Kraftröhren gelangt man von den Differentialgleichungen zu den Fernkräften zurück (vgl. den Schluss von Nr. 2).

²⁵

   D. h. wenn U — r—1 in der Umgebung des Poles die Stetigkeitsbedingungen (Fussn. 18) erfüllt und lim(U—r~ *) == 0 wird bei jeder Art der Annäherung des Aufpunktes an den Pol.

²⁶

   Essay Art. 3, Gleich. 3.

²⁷

   ib. Art. 5.

²⁸

   ib. Art. 7; vgl. auch E. Beltrami, Bol. mem. (3) 9 (1878), p. 469.

²⁹

   B. Riemann, Diss. Gött. 1851, Art. 10 (Werke p. 21) für zwei Variable; H. Bruns, J. f. Math. 81 (1876), p. 349 für drei.

³⁰

   J. f. Math. 55 (1858), p. 29, 31 (ges. Abh. 1, p. 105, 108).

³¹

   Edinb. Trans. 25 (1869), p. 239.

³²

   Diss. Gött. 1851 [also bald nach dem Abdruck des Hauptteils Green's Essay (Fussn. 6) im J. f. Math.] Art. 7—10 (Werke p. 12 ff.); vgl. dazu C. Neumann, J. f. Math. 59 (1862), p. 335 und Abel’sche Integrale, 1. Aufl. (Leipz. 1865), p. 53 ; G. Simart, Par. thèse 1882.

³³

   Gauss schliesst aus Gleichung (22), dass das Potential ausserhalb der anziehenden Massen weder Maximum noch Minimum, also ein Punkt unter dem Einfluss dieser Massen nirgends in stabilem Gleichgewicht sein kann. In der letzteren Form war der Satz 1839 von S. Earnshaw (Cam-br. Trans. 7, p. 97) gegeben worden.

³⁴

   Art. 22. Der Beweis von Gauss schliesst nicht jeden Zweifel aus; der Satz folgt daraus, dass jede harmonische Funktion analytisch ist (Nr. 12). Vgl. C. Neumann, 1877, p. 9.

³⁵

   Das sind also „Eindeutigkeitssätze“ in dem unter Nr. 17 zu besprechen-

³⁶

   Spherical harmonic bei W. Thomson und P G. Tait, Treatise [Fussn. 16], I¹, appendix B, a.

³⁷

   ib. b.

³⁸

   ib. j.

³⁹

   ib. g.

⁴⁰

   Cl. Maxwell, Treatise [Fussn. 26] Art. 130; Beweis bei J. J. Sylvester, Phil. Mag. (5)2 (1876), p. 305; Thomson und Tait, a. a. 0. Art. j (der 2. Auflage). — In der Theorie des logarithmischen Potentials entsprechen den Entwicklungen (23) und (24) die Entwicklungen von Funktionen komplexen Arguments nach steigenden, bezw. fallenden Potenzen desselben; die Gegenüberstellung z. B. bei C. Neumann, Unters. 1877, p. 8.

⁴¹

   In dieser Form ist die Entwicklung von P. S. Laplace gegeben worden, Par. Hist. 1782 [85], p. 136; p. 140 auch die Entwicklung (23) (oeuvr. 10, p. 364, 370).

Encyklop. d. math. Wissenach. II.

⁴²

   In dieser Form bei J. Mac Cullagh, Dubl. Trans. 22, 1855 [53] (Coli, works p. 360).

⁴³

   In ähnlicher Weise hat P. S. Laplace diese Entwickelbarkeit gefunden, Par. Hist. 1782 [85], p. 145 (oeuvr. 10, p. 373); er benutzt eine Gleichung

dV

zwischen V und y— • Dass seine Entwicklungen auf verschiedenen unbewiesenen

Voraussetzungen beruhen, hat schon J. Ivory, Lond. Trans. 122 (1812), p. 1; 132 (1822), p. 19 bemerkt; vgl. auch Taegert, Progr. Gymn. Cöslin 1871. Die entsprechende Ableitung der Fourier’schen Reihe bei W. Voigt, Line. rend. (5) 8¹ (1899), p. 93.

⁴⁴

   Principia I, sect. 12. Dass der erste Teil des Satzes nur für das Newton'sehe Gesetz gilt, ist für die Elektrizitätslehre fundamental (H. Cavendish, Lond. Trans. 61¹, 1771 [72], p. 592 [Researches p. 8]).

⁴⁵

   Théorie du mouvement et de la figure des planètes, Paris 1784, p. 89; vgl. auch Par. Hist. 1782 [85], p. 120 (oeuvr. 10, p. 349).

⁴⁶

   C. Maclaurin hatte Spezialfalle dieses Satzes bewiesen und die näherungsweise Richtigkeit desselben für wenig von der Kugel abweichende Ellipsoide behauptet; vgl. F. Grube, Zeitschr. Math. Phys. 14 (1869), p. 261; Progr. Gymn. Schleswig 1883 und 1888, sowie Todhunter, Art. 259.

⁴⁷

   Théorie du mouvement (Fussn. 101), p. 83 ff. Er sagt (p. 85): „ce résultat seroit très-difficile à démonstrer à priori“. Vgl. auch Par. Hist. 1782 [85], p. 127 (oeuvr. 10, p. 357), wo die inzwischen eingeführte Bezeichnung der Kugelfunktionen benutzt wird. Genau genommen fehlt der Beweis, dass die benutzten Reihen bis an die Oberfläche heran konvergieren.

⁴⁸

   Lond. Trans. 119 (1809), p. 345. Der Ivory'sehe Satz gilt auch bei andern Kraftgesetzen, S. D. Poisson, Bull. soc. philom. 3 (1812), p. 180.

⁴⁹

   Gott. Comm. rec. 2 (1813) (ges. Werke 5, p. 1).

⁵⁰

   Derselben, deren sich auch Ivory bedient hatte.

⁵¹

   J. Somoff hat nach der Methode von Gauss das Potential selbst bestimmt, St. Petersb. Bull. 19 (1873), p. 215, und Mechanik 2, p. 192; vgl. übrigens Gauss' Werke 5, p. 296 (a. d. Nachlass).

⁵²

   J. éc. polyt. cah. 25 (1837), p. 254 und 266; vgl. Rapport sur les progrès de la géométrie en France (Par. 1870), p. 101. Der erste Theil des Satzes für ein wenig von der Kugel abweichendes Ellipsoid schon bei S. D. Poisson, Par. mém. 1811 [12], p. 25.

⁵³

   Par.    C.    R. 5 (1837) , p. 842; J. éc. polyt. cah.    25 (1837), p. 257 ; Par. sav.

[étr.] 9 (1846),    p.    629. Ygl. den    Rapport von Poisson,    Par. C. R. 6 (1838), p. 808.

⁵⁴

   Im Zusammenhang hat Chasles seine Untersuchungen J. de math. 5 (1840), p. 465 dargestellt.

⁵⁵

   Par.    C.    R. 8, p. 156;    J. de math. 4, p. 169; Beri. Ber. p. 18; Berl.

Abh. p. 61 (1839)    (ges. Werke    1, p. 375, 381, 391).    Ygl. auch die Darstel

lungen in den von F. Grube und von G. F. Meyer herausgegebenen Vorlesungen Dirichlet' s über Potentialtheorie und über bestimmte Integrale. — Der Nachweis der Zulässigkeit der von Dirichlet vorgenommenen Vertauschungen der Integrationsreihenfolge bringt Umständlichkeiten mit sich; vgl. Kronecker, Yorl. 1, p. 322. — Dirichlet hat auch die fertigen Formeln mit Hülfe seines Eindeutigkeitssatzes verifiziert, vgl. Fussn. 28.

Die Abhandlungen von Laplace, Ivory, Gauss, Chasles und Dirichlet sind von A. Wangerin deutsch herausgegeben worden, Ostw. Klass. Nr. 19.

Weitere Angaben über die sehr ausgedehnte Litteratur der Frage bei Bacharach, p. 61 und bei W. Schell, Mechanik 2, Leipz. 1880, p. 309, 320.

⁵⁶

   J. f. Math. 63 (1864), p. 360, nach Andeutungen von Dirichlet, Berl. Abh. 1839 p. 78 (ges. Werke 1, p. 409).

⁵⁷

   C. Neumann, J. f. Math. 59 (1861), p. 348; 1877, Kap. 2. — Von dem Übergang von f(x-\-iy) zu f (x — iy) (allgemeines Prinzip der Spiegelung) haben B. Riemann, Gott. Abh. 13 (1867) (ges. Werke Nr. 17, Art. 5, 12), H. A. Schwarz, Bestimmung einer speziellen Minimalfläche, Berl. 1867 (ges. Abh. 1, p. 9), F. Klein und H. Poincaré (vgl. IIB 6 c) vielfach Gebrauch gemacht.

⁵⁸

   Dieser Satz ist von C. A. Coulomb (Par. Hist. 1786 [88], p. 67; 88 [91], p. 671) experimentell gefunden, von S. D. Poisson (Par. mém. 1811 [12] p. 3) an die Spitze seiner Elektrizitätstheorie gestellt worden. Vgl. Green, essay [Fussn. 6] Art. 8.

⁵⁹

   J. Fourier, vgl. Fussn. 14.

⁶⁰

   Die nicht immer scharf auseinander gehalten worden sind. Der Ge-

⁶¹

   W. Thomson, vgl. Fussn. 69; G. Kirchhoff, Ann. Phys. Chem. 75, (1848), p. 192 (ges. Abh. p. 39); Riemann-Hattendorff, p. 226.

⁶²

   J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur (Par. 1822), Art. 146 ff.

⁶³

   Phil. Mag. (2) 1 (1827), p. 324.

⁶⁴

   ib. (2) 2 (1827), p. 11.

⁶⁵

   F. E. Prym, J. f. Math. 73 (1871), p. 380; TI. A. Schwarz, Zürich. Viert. 15 (1870), p. 113 [J. f. Math. 74 (1872), p. 220; ges. Abh. 2, p. 186; vgl. die Nachträge p. 360]; P. du Bois-Reymond, Darb. Bull. (2) 3 (1879), p. 351; C. Neumann, Leipz. Abh. 14 (1888), p. 591. Vgl. auch W. Veitmann, Zeitschr. Math. Phys. 26 (1881), p. 4; A. Harnack, Grundlagen p. 101, 129; J. Riemann, Par. thèse (Ann. éc. norm. (3) 5 (1888), p. 26); L. Kronecker, Vorlesungen 1, p. 86. — Man kann sich zum Beweise des erstgenannten Satzes auch eines Lemmas von P. Painlevé bedienen, Toul. Ann. 2 (1889), p. 19.

⁶⁶

   Poisson, J. éc. polyt. cah. 19 (1823), p. 433; Fourier, Théorie de la chaleur (Fussn. 14), Kap. 3 und 7, behandelt in dieser Weise zahlreiche Beispiele von rechtwinklig begrenzten Körpern unter speziellen Randbedingungen.

⁶⁷

   Diese von Poisson wiederholt, z. B. J. éc. polyt. cah. 18 (1820), p. 422,

⁶⁸

   Zu diesem Satz vgl. man auch E. Picard, Traité d’analyse 1, p. 180.

⁶⁹

   Eine solche Verteilung stellt sich auf einem mit Elektrizität geladenen und dann sich seihst überlassenen Konduktor ein; C. Neumann 1877, p. 71, 843 nennt sie „natürliche Belegung¹¹. Vgl. G. Bobin, Ann. éc. norm. (3) 3 (1886), Suppl. — M. Chasles nahm noch 1839 (Par. C. R. 8, p. 211) an, es gebe mehrere solche Belegungen.

⁷⁰

   In einem Zusatz zu der französischen Übersetzung [J. de math. 12 (1847), p. 496] einer in Cambr. Dubl. math. J. 3 (1848), p. 84 erschienenen Abhandlung (die selbst von einer andern Differentialgleichung handelt); Papers on electr. and magnetism p. 143. Vgl. übrigens G. Green, Cambr. Trans. 5 (1835), p. 401 (Papers p. 192).

⁷¹

   Zuerst veröffentlicht von L. Natani, Math. Wörterbuch 5, Berlin 1866, p. 602; dann von Hattendorff und von Grube ; neuerdings Weierstrass, ges. Werke 2, p. 49.

⁷²

   Zuweilen wird jedoch unter diesem Namen das Prinzip der elektrischen Bilder (Nr. 16) verstanden.

⁷³

   Diss. Art. 16 (ges. Werke p. 30); J. f. Math. 54 (1857) (ges. Werke p. 97). — Übrigens wird in der funktionentheoretischen Litteratur (auch schon bei Biemann selbst) unter Dirichlet’schem Prinzip häufig der Existenzsatz selbst, zuweilen auch der Eindeutigkeitssatz mit verstanden.

⁷⁴

   Seit dem Ende der 50er Jahre. Im Drude scheint die erste Andeutung darüber bei H. A. Schwarz, J. f. Math. 70 (1869), p. 120 (ges. Abh. 2, p. 83), die erste präzise Auseinandersetzung bei H. Bruns (Diss. Berol. 1870, p. 12) vorzuliegen. Vgl. auch die Note von E. Heine, Gott. Nachr. 1871, p. 375 [Math. Ann. 4 (1870), p. 626], Eine von Weierstrass 1870 in der Beri. Akad. gelesene Note ist erst 1895 in ges. Werke 2, p. 49 veröffentlicht worden. — Auch Dirichlet soll Steiner's, geometrischen Untersuchungen über Maxima und Minima gegenüber schon ähnliche Bedenken geäussert haben (E. Lampe, Bibi. math. (3) 1, p. 134).

⁷⁵

Mit der unteren Grenze statt des Minimums ist für die weiteren Schlüsse nichts anzufangen; wenn man nur weiss, dass der Wert eines Integrals kleiner gemacht werden kann als jede angebbare Grösse, so kann man daraus allein über die Werte der unter dem Integralzeichen stehenden Funktion nichts schliessen.

⁷⁶

   Z. B. für die Einführung anderer Koordinaten in die Differentialgleichung, C. G. J. Jacobi, J. f. Math. 36 (1848), p. 115 (ges. Werke 2, p. 196). Auch für Konvergenzbeweise z. B. bei Poincaré, Acta math. 20 (1896), p. 69, sowie E. Le Boy, Arm. éc. norm. (3) 16 (1899) (Par. thèse 1898, p. 107).

159a) Ein Beispiel, in dem letzteres nicht zutrifft, giebt F. E. Prym, J. f. Math. 73 (1871), p. 361.

159b) Deutsche M.-Y. 8 (1899), p. 184.

⁷⁷

   Progr. polyt. Schule Zürich f. 1869/70 (mit unwesentlichen Änderungen ges. Abh. 2, p. 108).

⁷⁸

   Ann. di mat. (2) 4 (1870), p. 1; vgl. Gott. Nachr. 1870, p. 288, 359.

⁷⁹

   J. f. Math. 70 (1869), p. 107 (ges. Abh. 2, p. 80).

⁸⁰

   Dieser Beweis ist nicht veröffentlicht worden ; Schwarz hat sich später den Beweis durch Anwendung der kombinatorischen Methoden (Nr. 28) geführt gedacht, ges. Abh. 2, p. 140, 146, 167. Neuerdings hat E. Phragmén einen von L. Schläfli, J. f. Math. 78 (1873), p. 63, gegebenen Ansatz zu einem direkten Beweis vervollständigt, Acta math. 14 (1890), p. 229. Für das Dreieck vgl. man H. A. Schwarz, J. f. Math. 70 (1869), p. 130 (ges. Abh. 2, p. 97).

⁸¹

   Leipz. Ber. 1886, p. 152 (Math. Ann. 85, p. 24); Grundlagen p. 116. Man vgl. auch die Untersuchungen von E. Ritter über die Stetigkeit der Green-schen Funktion bei stetigen Abänderungen des Bereiches, Math. Ann. 45, 1894, insbes. p. 480.

⁸²

   Leipz. Ber. 1886, p. 164 (Math. Ann. 35, p. 37).

⁸³

   Ähnliche Schwierigkeiten treten auf, wenn man von der Lösung des im Text besprochenen speziellen Falles der Bandwertaufgabe mit Hülfe der Gleichung (29) zu der des allgemeinen Falles übergehen will. Man vgl. darüber H. A. Schwarz, Zürich. Viert. 15 (1870), p. 116 [J. f. Math. 74 (1872) p. 224 = ges. Abh. 2, p. 183, 184] (für den Fall des Kreises); A. Harnack, Leipz. Ber. 1885 (Math. Ann. 35, p. 32); Grundlagen p. 121—139; sowie Fussn. 180.

⁸⁴

   Grundlagen p. 148.

⁸⁵

   Par. C. R, 112 (1891), p. 653.

⁸⁶

   Leipz. Abh. 14 (1888), p. 662. — 169a) Habilit.-Schrift, Marburg 1897.

⁸⁷

   Ann. Phys. Chem. 98 (1856), p. 187; Elektrostatik (Braunschweig 1865), p. 455. Vgl. C. Neumann, 1877, Kap. 6.

⁸⁸

   Für konvexe und nicht „zweisternige“ Flächen giebt C. Neumann den Konvergenzbeweis, 1877, p. 230.

⁸⁹

   Abgesehen von dem Fall, dass die gegebenen Oberflächenweide die eines Potentials äusserer Massen sind, sodass man nicht nur die F, sondern auch die dV/dn kennt. Bei elektrostatischen und magnetischen Problemen ist das in der That der Fall; vgl. C. Neumann, 1877, p. 243.

⁹⁰

   Leipz. Ber. 1870, p. 50 (Math. Ann. 11, p. 264); 1877, Kap. 5; Leipz. Abh. 13 (1887), p. 707.

⁹¹

   co bedeutet einen Punkt der Oberfläche, f den Wert der Funktion f in diesem Punkt (vgl. Glchg. 10), dm ein in co gelegenes Flächenelement, (dco)x seine scheinbare Grösse vom Aufpunkt aus gesehen, C eine durch die Methode selbst definierte Konstante (lim W$). Im Falle des Auftretens von Kanten oder

n ⁼⁼⁼ co

Ecken sind die Formeln etwas zu modifizieren, vgl. C. Neumann, Unters. 1877, p. 179. C. Neumann giebt gleichzeitig die Formeln für den Aussenraum eines Encyklop. d. math. Wissenscb. II.

—    c ~ ~ff{ u. — w.) + ( w; — w:) + • • ■} (ei«,),.

In der That gelingt es ihm zu beweisen, dass diese Reihe im Innern des betrachteten Bereiches konvergiert, eine harmonische Funktion vorstellt und bei Annäherung des Aufpunktes an die Oberfläche stetig in die vorgegebenen Randwerte übergeht; vorausgesetzt, dass die Fläche überall konvex und nicht „zweisternig“, d. h. nur aus zwei Kegelmänteln zusammengesetzt ist. H. Poincaré¹¹⁵) hat den Konvergenzbeweis, unter Voraussetzung der Existenz der gesuchten Funktion , auch für nicht überall konvexe stetig gekrümmte Flächen geführt.

Nahe verwandt mit der Neumann’schen Methode, jedoch mit ihr und unter einander nicht identisch, sind die Methoden von 6r. Kirch-hoff¹⁷⁶), G. Bobin¹¹¹) und W. Stekloff¹¹«).

Will man die gesuchte harmonische Funktion als Potential einer einfachen Schicht darstellen (vgl. Nr. 23), so sind noch Untersuchungen über das Verhalten ihrer Ableitungen bei Annäherung an die Begrenzung erforderlich¹⁷⁹); ebenso, wenn man die Existenz der Grreen’sclien

(41)

* — jiff u. (<*«)

W'= -

IV" =

konvexen Bereiches; er führt ferner auch die Lösung der „zweiten“ Randwertaufgabe auf Grund einer Bemerkung von H. Helmholtz, Ann. Phys. Chem. 89 (1853), p. 230 (ges. Abh. 2, p. 481) auf seine Lösung der ersten zurück. (Vgl. auch W. Stekloff, Par. C. R. 130 (1900), p. 480).

175)    Acta math. 20 (1896), p. 59. Für den Fall, dass im Innern der Fläche ein Punkt existiert, für den alle (d<o)x dasselbe Zeichen haben, hat A. Korn p. 235 den Poincaré’schen Beweis von der erwähnten Voraussetzung befreit. Ein Verfahren, durch das man sich auch von dieser letzten Beschränkung noch befreien kann, deutet Gh. Noble nach D. Hilbert, Gött. Nachr. 1896, p. 191, an, ein anderes W. Stekloff, Par. C. R. 130 (1900), p. 396,826 (vgl. dazu: A. Korn, ib. p. 557,1238).

176)    Acta math. 14 (1890), p. 180.

177)    Par. C. R. 104 (1887), p. 1834; vgl. Picard, Analyse 1, p. 188; Korn, p. 344; A. M. Ljapunoff, J. de math. (5) 4 (1898), p. 241; W. Stekloff, Par. C. R. 128 (1899), p. 580.

178)    Par. C. R. 125 (1897), p. 1026.

179)    C. Neumann, Unters. 1877, p. 295; Leipz. Ber. 1878, p. 48; Leipz.

Funktion auf diesem Wege nachgewiesen hat und nun Gleichung

(29) zur Lösung der Randwertaufgabe für allgemeinere Fälle benutzen will1S0).

Auf das logarithmische Potential ist die Methode von G. Neumann selbst, auf mehrdimensionale Gebiete von E. Riquier¹⁸¹) übertragen worden.

Im Falle der Kugel, resp. des Kreises unterscheiden sich die Ww nur um eine konstante Differenz von den Uw, sodass schon die beiden ersten Glieder der Reihe die (natürlich mit dem Poisson’schen Integral, Nr. 19, zusammenfallende) Lösung geben.

28. Kombinatorische Methoden. Die Lösung der Randwertaufgaben für kompliziertere Bereiche kann aus den als bekannt vorausgesetzten Lösungen derselben für einfachere Bereiche vermittelst kombinatorischer Methoden erhalten werden. Eine solche hat bereits 11. Murphy¹⁸²) für das Newton’sche Potential benutzt; sie ist dann von JR. Lipschitz¹⁸³) auf allgemeinere Probleme angewandt worden. Soll z. B. eine harmonische Funktion gefunden werden, welche auf einer Fläche a gegebene Werte w, auf einer andern ß den Wert 0 hat und ausserhalb der von diesen beiden Flächen begrenzten Körper

Abh. 14 (1888), p. 644; W. StekJoff, Par. C. R. 125 (1897), p. 1026; A. M. Lja-punoff, J. de math. (5) 4 (1898), p. 299, 305; Korn, p. 340, 410. Das Problem einer solchen Darstellung ist von G. Robin, Ann. éc. norm. (3) 3 (1886), suppl. p. 16 direkt in Angriff genommen worden; seine Entwicklungen konvergieren für Körper, die von der Kugel hinlänglich wenig abweichen.

180) A. Harnack, Leipz. Ber. 1886 (Math. Ann. 35, p. 32); J. Riernann, Par. thèse 1888 (Ann. éc. norm. (3) 5, p. 72); C. Neumann, Leipz. Abh. 14 (1888), p. 675; S. Zaremba, Ann. éc. norm. (3) 14 (1897), p. 257; A. M. Ljapunoff, J. de math. (5) 4 (1898), p. 307. Über das Verhalten der Potentialfunktionen beim Auftreten von Stetigkeitssprüngen der Randwerte in Ecken oder Spitzen der Randkurve vgl. man H. A. Schwarz, Berl. Ber. 1870 (ges. Abh. 2, p. 153); C. Neumann, Unters. 1877, p. 301; Harnack, Grandi, p. 131, 141; J. Riemann, p. 53.

181)    Par. thèse, 1886.

182)    Elementary principles of the theories of electricity, heat and molecular actions, 1, Cambr. 1823, p. 93. Auch W. Thomson hat an sein „Prinzip der elektrischen Bilder“ (Nr. 16) kombinatorische Methoden angeschlossen, Philos. magaz. 1853 (papers on electr. p. 86); vgl. treatise [Fussn. 16] 2.

183)    J. f. Math. 61 (1863), p. 12; vgl. dazu C. Neumann, Unters. 1877, p. 312, und Abel’sche Funktionen, Leipz. 1884, Kap. 18. Der Beweis ist nur für den an der zuletzt genannten Stelle allein behandelten Fall einwandfrei, dass eine der beiden Flächen (Kurven) cc, ß eine Kugel (ein Kreis) ist. — Eine andere Methode hat Th. Kötteritzsch gegeben, Zeitschr. Math. Phys. 16 (1871), p. 125 und Elektrostatik, Leipz. 1872, p. 224.

32 *

den Stetigkeitsbedingungen genügt, so bestimme man der Reihe nach diejenigen harmonischen Funktionen: ux, u₂ • ■ ■ des Aussenraumes 5t von a und vl7 v₂ • • • des Aussenraumes S3 von ß, welche durch die Randwerte :

auf a:

Ux —

auf ß:

Vx — — Ux

v₂ — — u₂

V3 = — %

u₂ = — vx

— v₂

definiert sind: dann ist:

(43) die Lösung. Der Konvergenzbeweis ¹⁸³) beruht darauf, dass un, v„ für lim n = oo gleichmässig (II A 1, Nr. 17) gegen 0 konvergieren.

Im Falle des logarithmisehen Potentials modifiziert sich das insofern, als hier nicht u„ und vn selbst, sondern nur die Schwankungen (II A 1, Nr. 6) dieser Funktionen mit wachsendem n unbegrenzt abnehmen. Infolge dessen ist u (43) noch nicht selbst die gesuchte Funktion, sondern seine Werte auf 51 unterscheiden sich von den vorgeschriebenen um eine Konstante, und es bedarf noch eines besonderen, von C. Neumann¹) angegebenen Kunstgriffs, um diese zu beseitigen.

Weiter sind (gleichzeitig von C. Neumann² 3) und H. A. Schwarz18G) auch Fälle in Betracht gezogen worden, in welchen die Begrenzungen der Bereiche 51 und 53 sich schneiden und nun übergegangen werden soll zu einem Bereich, der aus allen Punkten besteht, die 51 und 53 gleichzeitig angehören (Neumann) oder aus allen, die 51 oder 53 oder beiden angehören (Schwarz).

Dieselben Methoden lassen sich auch auf die analogen Aufgaben im Raume anwenden⁴).

In Verbindung mit der Methode des arithmetischen Mittels⁵) erlauben die kombinatorischen Methoden den Existenzsatz für jede

29. Spez. Meth. für anal. Randkurven. 30. Hülfssätze zu Konvergenzbew. 501

Fläche, bezw. für jeden Körperraum⁶ 7) zu beweisen, deren Begrenzung mit jeder Geraden nur eine endliche Anzahl einzelner Punkte oder Strecken gemein hat.

29. Spezielle Methode für analytische Randkurven. In der

Ebene kann man die Anwendung der kombinatorischen Methoden auch durch einen von H A. Schwarz ¹⁹°) gegebenen Ansatz vorbereiten, wenn die Begrenzung des Bereiches, für den die Randwertaufgabe gelöst werden soll, aus einer endlichen Anzahl regulärer Kurvenbogen besteht. Ein solcher Bogen wird analytisch dargestellt durch zwei Gleichungen x — cp (t), y — in denen <p und analytische Funktionen (II Al, Nr. 12) der Hülfsvariabeln t bedeuten, deren Ableitungen nicht gleichzeitig Null werden. Werden dann in der Gleichung: (44) dem t auch komplexe Werte beigelegt, so vermittelt sie die konforme Abbildung eines in der t-Ebene gelegenen, einerseits von der Axe der reellen t begrenzten Kreisabschnitts auf ein bestimmtes, einerseits von jenem Bogen begrenztes Stück der (x -f- iy) -Ebene. Bildet man noch den Kreisabschnitt auf eine volle Kreisfläche ab, so hat man damit (Nr. 18) die Green’sche Funktion für jenes Stück der (x-\- iy)-Ebene und kann also die Randwertaufgaben für dasselbe lösen. Indem man dies für jedes Stück der Randkurve ausführt und die etwa übrig bleibende Fläche mit Kreisen überdeckt, besitzt man die Vorbedingung zur Anwendung der kombinatorischen Methoden.

30. Hülfssätze zu Konvergenzbeweisen. Aus den Schlüssen, mittelst deren Schwarz und Neumann die Konvergenz ihrer Approximationen (Nr. 26—28) beweisen, hat A. Harnack zwei allgemeine Sätze formuliert:

Sei eine unendliche Folge harmonischer Funktionen eines Bereiches gegeben, u1} u₂, u₃, . . ., die bei Annäherung an die Begrenzung gleichmässig stetig (II A 1, Nr. 22) in Randwerte ü₂, ü3} . . . übergehen. Konvergiert dann die Reihe -f- ü₂ -j- • • • auf der ganzen Begrenzung gleichmässig (II A 1, Nr. 17) gegen eine Grenzfunktion so konvergiert die Reihe üx -f- w₂ -j- • • • im ganzen Bereiche gleichmässig gegen eine harmonische Funktion u, die an der Begrenzung gleichmässig stetig in ü übergeht, und darf gliedweise beliebig oft dilferentiiert werden⁸).

Konvergiert eine Reihe positiver harmonischer Funktionen eines Bereiches in irgend einem Punkt im Innern desselben, so konvergiert sie im ganzen Innern gleichmässig gegen eine harmonische Funktion⁹ 10).

31. Die BalayagemetLode. Während die in Nr. 26—28 besprochenen Methoden die gesuchte Funktion jedesmal durch eine Folge von Näherungsfunktionen approximieren, die alle der Differentialgleichung A₂m = 0 genügen und von denen jede besser als die vorhergehende die Rand- oder die Stetigkeitsbedingungen erfüllt, benutzt H. Poincare's „méthode du balayage“im) Näherungsfunktionen, die alle die Randbedingungen befriedigen und von denen jede besser als die vorhergehende der Gleichung A.₂u = 0 genügt. Er konstruiert zu diesem Zwecke eine abzahlbare (I A 5, Nr. 2) Reihe von Kugeln Glf C₂, CZr.., die ganz im Innern des betrachteten Bereiches S liegen und ihn in der Weise ausfüllen, dass jeder Innenpunkt von S im Innern mindestens einer dieser Kugeln liegt. Er geht dann aus von irgend einer Funktion F₀, die in einer S umschliessenden Kugel T gewissen Stetigkeitsbedingungen genügt und auf der Oberfläche von S die vorgeschriebenen Werte besitzt. Ist dann A₂F₀ überall 0, so betrachtet

— ~ A₂F₀ als Dichtigkeit einer Verteilung positiver Massen.

er q =

Ist W₀ deren Potential (Nr. 1), so ist WQ — F₀ eine innerhalb T harmonische Funktion. Nun wird die Kugel Cx „ausgekehrt", d. h. die in ihr vorhandenen Massen werden so auf ihrer Oberfläche verteilt, dass das Potential ausserhalb C₁ nicht geändert wird; dadurch wird es innerhalb Gx verkleinert. In dieser Weise werden der Reihe nach die Kugeln Gx C₂ 6) C₂ C₃ Cx C₂ C₃ CL C₁, . . . ausgekehrt; ist Wx das Potential nach der xteu Operation, so wird gezeigt, dass F₀ — W0 -f- lim Wx die Aufgabe löst. — Der Fall, dass A₂ F₀ nicht überall < 0

X—cc

ist, wird auf den eben besprochenen durch geeignete Superposition zurückgeführt.

Auf das logaritlimisehe Potential ist die Methode von A. Parafm) übertragen worden. —

Wie die in den letzten Nummern dargestellten Methoden sich auch für andere Differentialgleichungen fruchtbar erwiesen haben, wird im folgenden Artikel darzustellen sein.

194) Par. thèse 1892 (Tout. Ann. 6, H).

IIA 7c. RANDWERTAUFGABEN IN DER THEORIE DER PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

VON

A. SOMMERFELD

IN AACHEN.

In haltsübersicht.

1. Abgrenzung des Gegenstandes.

I. Allgemeine Theorie der Randwertaufgaben bei partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung in zwei unabhängigen Variabein.

2.    Klassifikation der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Der elliptische, hyperbolische und parabolische Typus.

3.    Der Green'sehe Satz und die Green’sehen Funktionen.

4.    Eindeutigkeitsfragen, vornehmlich bei elliptischen Differentialgleichungen.

5.    Existenz der Lösungen von Differentialgleichungen des elliptischen Typus für hinreichend kleine Gebiete. Die Methode der successiven Approximationen.

Existenz der Lösungen von Differentialgleichungen des elliptischen Typus für beliebige Gebiete. Alternierende Methode, Methode der ringförmigen Gebietserweiterung, Auskehrungsmethode etc.

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Existenz der Lösungen von Differentialgleichungen des hyperbolischen Typus. Über den analytischen Charakter der durch partielle Differentialgleichungen definierten Funktionen.

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14.

II. Randwertaufgaben bei besonderen Differentialgleichungen.

Die Gleichung Au -f- k?u = 0.

Die Existenz der ausgezeichneten Lösungen. Exakter Nachweis derselben bei H. A. Schivarz und H. Poincaré.

Die Gleichung Au — Jc³u — 0.

Die Gleichung Au = keu.

Die Gleichung der schwingenden Saite und ihre Verallgemeinerungen.

Die Wärmeleitungsgleichung.

Litteratur.

Ein zusammenfassendes Lehrhuch über die hier gemeinte Theorie der partiellen Differentialgleichungen giebt es einstweilen nicht; doch ist zu hoffen, dass

E.    Picard's Cours d’analyse (Bd. 1 1891, Bd. 2 1893, Bd. 3 1896, Paris), wenn

vollständig erschienen, ein solches darstellen wird. Als Monographien kommen

namentlich in Betracht:

G.    Monge, Application de l’analyse à la géométrie. 1. Aufl. Paris 1795, 5. Aufł. (herausg. von J. Liouville) Paris 1850 („Appl.“).

J. B. Fourier, Théorie analytique de la chaleur. Paris 1822 (oeuvr. 1 ; deutsch v. B. Weinstein, Berl. 1884; engl, von A. Freeman, Cambr. 1878).

S. D. Poisson, Théorie mathématique de la chaleur. Paris 1835.

G Lamé, Leçons sur la théorie de la chaleur. Paris 1861.

P. du Bois-Beymond, Beiträge zur Interpretation der partiellen Differentialgleichungen. Leipzig 1864 („Beiträge“).

B. Biemann, Partielle Differentialgleichungen und deren Anwendung auf physikalische Fragen, herausgeg. von K. Hattendorff, 1869, 3. Aufl. Braunschw. 1882.

Lord Bayleigh, The Theory of Sound. 1. Aufl. London 1877, 2. Aufl. 1894. In’s Deutsche übersetzt von F. Neesen, Braunschw. 1880.

F.    Pockets, Über die partielle Differentialgleichung AuĄ-Fu — 0. Leipzig 1891.

H.    Poincaré, Théorie analytique de la propagation de la chaleur, Paris 1895.

1. Abgrenzung des Gegenstandes. Dass es im Gebiete der partiellen Differentialgleichungen zweiter und höherer Ordnung mit der Aufsuchung des sogenannten allgemeinen, mit willkürlichen Funktionen behafteten Integrals (II A 5) nicht gethan ist, sondern dass daneben die Frage nach der Anpassung des Integrals an gewisse Rand- oder Grenzbedingungen eines besonderen eingehenden Studiums wert ist, wurde vor allem durch das Erscheinen von Fourier's Theorie de la chaleur (1822) in überzeugender Weise dargethan. Ausgesprochen findet sich dieser Gedanke z. B. bei Biemann¹¹)] in der neueren Litteratur wird er namentlich durch wichtige Arbeiten von H. A. Schwarz, E. Picard und H. Poincaré vertreten.

Das Problem der Integration einer partiellen Differentialgleichung unter vorgegebenen Grenz- und Stetigkeitsbedingungen wird in diesem ebenso wie in den vorangehenden Artikeln als Randwertaufgabe bezeichnet. Die ergiebigste Quelle solcher Probleme ist die mathematische Physik, mit der die zu besprechenden Theorieen der Mehrzahl nach Zusammenhängen. Dabei erweist sich die physikalische Fragestellung besonders deshalb als fruchtbar, weil sie neben

506 II A 7 c. Randwertaufgaben in der Theorie der partiellen Differentialgleich,

dem Probleme selbst meist auch einen Fingerzeig über seine Möglichkeit und über den Weg, auf dem die Lösung zu suchen ist, liefert. Indessen kann es sich im vorliegenden Artikel nur um die abstrakt mathematische Seite der Theorie handeln. Auf ihre physikalische Bedeutung wird nur insofern eingegangen werden, als dies für das Verständnis erforderlich ist.

Für die Zwecke der physikalischen Anwendung geht man natürlich auf solche Randwertaufgaben aus, welche sich in einer numerisch befriedigenden Weise lösen lassen. Dieses Ziel, wenngleich auch bei der theoretischen Behandlung stets im Auge zu behalten, lässt sich einstweilen nur in sehr speziellen Fällen erreichen. Die Methode, welche hierbei in der Regel eingeschlagen wird, besteht in der Herstellung besonderer, dem jeweiligen Problem angepasster Reihenentwickelungen. Wir werden das allgemeine Prinzip dieser Methode in Nr. 13 und 14 zur Sprache bringen. Alle Einzelausführungen müssen aber teils den Bänden IV und V der Encyklopädie, theils dem folgenden Artikel überlassen bleiben, der speziell von Reihenentwicklungen handelt. Der Gesichtspunkt der numerischen Ausführbarkeit wird daher, dem vorläufigen Stande der Theorie entsprechend, in diesem Referate mehr als an sich wünschenswert zurücktreten.

Dieselben Fragen, wie für eine einzelne, hat man (besonders im Hinblick auf die Anwendungen) für Systeme von partiellen Differentialgleichungen zu stellen. Da indessen eine allgemeine Theorie solcher Systeme vom Standpunkte der Randwertaufgaben noch nicht vorliegt, werden wir uns hier im wesentlichen auf die einzelne Differentialgleichung beschränken. Wegen der Systeme der Elastizitätstheorie und der Maxwell’schen Gleichungen muss gleichfalls auf die Bände IV und V verwiesen werden.

Es verdient hervorgehoben zu werden, dass gerade in der Physik neben den eigentlichen Randwertaufgaben vielfach Probleme von etwas allgemeinerem Charakter auftreten. Eine Randwertaufgabe im gewöhnlichen Sinne wird sich ergeben, wenn irgend ein physikalischer Zustand, der z. B. durch eine lineare partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten reguliert wird, in einem begrenzten Körper untersucht werden soll und dabei der Zustand auf der Oberfläche vorgeschrieben ist. In Wirklichkeit spielt nun aber auch meist die ganze Umgebung des Körpers mit. In dieser wird der Zustand durch eine (z. B. nur in den Konstanten abgeänderte) zweite Differentialgleichung bestimmt. Berücksichtigt man aber die Umgebung, so ist der Zustand auf der Oberfläche nicht mehr willkürlich vorzuschreiben, sondern muss gemäss gewissen Oberflächen-

bedingungen (Beziehungen zwischen dem Zustande ausserhalb und innerhalb der Oberfläche) selbst erst ermittelt werden. Die Aufgabe besteht dann in folgendem: Gegeben für ein gewisses Gebiet des Baumes eine, für ein anderes eine zweite Differentialgleichung; gesucht zwei Lösungen dieser beiden Gleichungen, welche sich längs der Grenze beider Gebiete den Oberflächenbedingungen gemäss an einander schliessen.

Auch diese Formulierung würde noch weiter zu modifizieren sein, wenn man, wie man es in der Physik gerne thut¹²), die Trennung verschiedener Medien als keine ganz scharfe ansieht, sondern einen kontinuierlichen Übergang der Eigenschaften von dem einen zu dem anderen Medium voraussetzt. Dann hat man für den ganzen unendlichen Raum nur eine Differentialgleichung mit Koeffizienten zu integrieren, die variabel sind und insbesondere an der Trennungsfläche zweier verschiedener Medien rapid wechseln. Diese vom physikalischen Standpunkte einfachere Formulierung bedeutet aber mathematisch eine erhebliche Erschwerung. Jedenfalls liegt sie ausserhalb des uns im folgenden gesteckten Gesichtskreises.

Über die Randwertaufgaben der Potentialtheorie wurde bereits im vorhergehenden Artikel berichtet. Aufgabe des gegenwärtigen Artikels ist es hauptsächlich, darüber zu berichten, inwieweit sich die für die Differentialgleichung des Potentials seit lange bekannten Sätze auf allgemeinere Differentialgleichungen übertragen lassen. Das Hauptaugenmerk wird dabei auf die Frage nach der Existenz der Lösungen zu richten sein. Diese Frage kommt für die Zwecke der physikalischen Anwendungen ja kaum in Frage, zumal da die partiellen Differentialgleichungen der Physik vom Standpunkte der Molekulartheorie aus vielfach nur als bequeme Abkürzungen für partielle Differenzengleichungen¹³) anzusehen sind, für welche letztere die Existenzfrage trivial ist. Dagegen bildet sie vom reinmathematischen Standpunkte aus den Kern oder wenigstens die Grundlage der ganzen Theorie.

Die Existenz der Lösungen partieller Differentialgleichungen ist bereits in Artikel II A 5 zur Sprache gekommen, jedoch von einem wesentlich anderen Gesichtspunkte aus. Dort handelte es sich lediglich um die analytischen Lösungen analytischer Differentialgleichungen. Die Methode bestand, im Anschlüsse an Cauchy, in der Aufstellung von Potenzentwickelungen; dementsprechend wurden auch die in die Lösung eingehenden willkürlichen Funktionen als analytisch vorausgesetzt. Die hier zu entwickelnden Methoden reichen weiter, über das Gebiet der analytischen Funktionen hinaus. Sie lassen feinere Unterschiede der Differentialgleichungen erkennen, welche bei der Methode der Potenzreihen verloren gehen.

Da die systematische Theorie der Randwertaufgaben ziemlich jung ist — man kann sie aus dem Erscheinungsjahre (1885) einer grundlegenden Arbeit von H. A. Schwärs (vgl. Nr. 10) datieren — so weist sie noch fühlbare Lücken auf, welche an geeigneter Stelle namhaft gemacht werden sollen. Die zur Zeit gesicherten Resultate sollen dafür etwas ausfürlicher, mit Andeutung der Beweise, referiert werden; sie beziehen sich hauptsächlich auf Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Variabein, auf welche wir uns zunächst beschränken werden.

I. Allgemeine Theorie der Randwertaufgaben bei partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung in zwei unabhängigen

Yariabeln.

2. Klassifikation der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Der elliptische, hyperbolische und parabolische Typus.

Die partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung in zwei unabhängigen Veränderlichen, für welche Randwertaufgaben behandelt sind, haben der Hauptsache nach die folgende Form:

dhi

d*u _

dy²

A, JB, C sind Funktionen der beiden reellen Variabein x und y, A, _B, C und F werden je nach Bedarf als stetig oder als stetig und differenzierbar etc. vorausgesetzt.

Eine oberste Einteilung dieser Gleichungen liefert der von G. Monge¹⁴) geschaffene CharakteristiJcenhegriff, über welchen in IIA 5 Nr. 43 gehandelt ist. Im Fall einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung versteht Monge unter einer Charakteristik eine im Raum der x, y, u verlaufende Kurve, längs welcher sich zwei consekutive Integralflächen der Differentialgleichung schneiden und berühren. Während nun im allgemeinen die Projektion dieser Kurve auf die x, y- Ebene von der Auswahl des Integrals u abhängt, ist diese Pro-

(1)

dx dy

+ <?

F (x, y, u,

du du dx’ dy

)•

jektion im Falle der Gleichung (1) davon unabhängig und schon durch die Differentialgleichung allein bestimmt. Im folgenden soll der Kürze halber diese 'projizierte Kurve selbst als Charakteristik bezeichnet werden.

Zur Bestimmung der Charakteristiken dient nach Monge¹⁵) die gewöhnliche Differentialgleichung zweiten Grades:

(2)

Cdx² — 2Bdxdy -j- Ady² = 0.

Es giebt also zwei Scharen von Charakteristiken, deren jede durch eine gewöhnliche Differentialgleichung ersten Grades bestimmt wird¹⁶).

Schreibt man längs einer Kurve jT, die keine Charakteristik ist und auch von keiner solchen berührt wird, die Integralwerte u und die Werte des in Richtung der Normalen von jT genommenen Differentialquotienten willkürlich vor, so lassen sich aus der Differentialgleichung alle höheren Ableitungen berechnen, indem die Determinante derjenigen linearen Gleichungen, welche successive die höheren Ableitungen bestimmen, gerade mit der linken Seite der Charakteristikengleichung (2)

dy, O dx, dy 2B, C

oder mit einer Potenz derselben übereinstimmt und daher längs der Kurve jT von Null verschieden ist¹⁷).

Ist r dagegen selbst eine Charakteristik, so sind die folgenden Ableitungen durch Angabe von u und Dafür sind in diesem Falle umgekehrt die letztgenannten Grössen nicht völlig willkürlich. Die Zuwächse d^U

du

nicht völlig festgelegt.

du

dx

und d 7— müssen nämlich

dy

du

beim Fortschreiten längs der Charakteristik der folgenden Bedingung genügen

du

Ad 75— • dy 4- Cd • dx = Fdxdy. dx J ¹ dy

Die Charakteristiken sind in einem gewissen Gebiete der x, y-Ebene imaginär, reell verschieden oder reell zusammenfallend, je nachdem in diesem Gebiete:

AC—B²> 0, AC—B²<0, AC—B² = 0.

Nach dem Vorgänge von P. du Bois-Beymond⁸) unterscheidet man diese drei Fälle als elliptischen, hyperbolischen und parabolischen Typus.

Die einfachsten Beispiele dieser drei Typen sind:

d*u dx2 d²u dx dy d²u _ dx²    dy

Die allgemeine Gleichung (1) lässt sich nun immer so transformieren, dass ihre linke Seite in die linke Seite einer der drei vorstehenden Gleichungen übergeht⁹). Es genügt zu dem Zwecke statt x und y neue Variable £, V einzuführen, welche, unter cp(x,y)= const, und '4>(x, y) — const, die Gleichungen der beiden Scharen von Charakteristiken verstanden, folgendermassen zu definieren sind:

Elliptischer Typus

Hyperbolischer „

Parabolischer

-J-    — 0 (Potentialgleichung),

= 0 (Gl. der schwingenden Saite), (Gl. der Wärmeleitung).

du

Ï 4- iy = <p(x, y) l — irj = y>(x, y)

I = <p(x, y) rj=^(x, y) i = <p(x, y) = ip(x, y)

elliptischer Typus,

| hyperbolischer Typus,

parabolischer Typus.

. n = y

Die Wahl der neuen Variabein wird also so getroffen, dass den Charakteristiken nach der Transformation im elliptischen Falle die Minimalrichtungen, im hyperbolischen die beiden, im parabolischen Falle die eine der beiden Koordinatenrichtungen entspricht.

Es ergeben sich so die folgenden „Normalformen“ für die Differentialgleichungen der drei Typen: d²u

dl²

(3)

d²u

di drj

d²u

w

= F(£, V> u, ff,    , elliptischer Typ

V,u> ff; ff); hyperbolischer Typus, rj,u, ff), parabolischer Typus.

US,

8)    J. f. Math. 104 (1889), p. 241.

9)    Wohl zuerst von P. S. Laplace, Par. Hist. 1773 (oeuvr. 9, p. 21) bewiesen. P. du Bois-Beymond kommt darauf 1. c. Kap. III ausführlich zurück.

Ist die Ausgangsgleichung linear, so ist es auch die Normalform. Hat sie überdies konstante Koeffizienten, so können auch die Glieder

mit und ~ zum Fortfall gebracht werden¹⁸ 19). Dasselbe trifft zu,

wenn die Gleichung linear und sich selbst adjungiertn) ist (s. die folgende Nr.).

Der Unterschied zwischen den drei Typen besteht natürlich nur im reellen Wertegebiet der Yariabeln x und y (bezw. £ und rf)\ hier ist er aber ein durchgreifender.

In der That sind die Randwertaufgaben, welche man sich bei den verschiedenen Typen von Differentialgleichungen zu stellen hat, ganz verschieden:

Bei den elliptischen Differentialgleichungen betrachtet man einen beliebigen, begrenzten Bereich der x,y-Ebene, schreibt für dessen Begrenzung die Werte von u (oder eine entsprechende Bedingung) vor und fragt nach den Werten von u im Innern des Gebietes. Durch eine Reihe physikalischer Beispiele sowie durch die Theorie der Potentialgleichung wird die Möglichkeit dieser Randwertaufgabe plausibel gemacht. Wegen des wirklichen Beweises vgl. Nr. 5 und 6.

Über die Formulierung der bei hyperbolischen Differentialgleichungen zu stellenden Randwertaufgaben²⁰) hat P. du Bois-Beymond Untersuchungen angestellt, die jedoch nur als erste Orientierung auf diesem Gebiete gelten können.

Teils bedient er sich einer geometrischen Methode²¹), durch welche die Integrale Schritt für Schritt im Unendlichkleinen aufgebaut werden, teils setzt er Potenzreihen²²) an, wobei es aber nur zur Koeffizientenbestimmung, nicht zum Konvergenzbeweise kommt.

Die Resultate, zu denen Du Bois-Beymond gelangt, sind folgende: (wir beziehen uns der einfacheren Ausdrucksweise wegen auf die Normalform der hyperbolischen Differentialgleichung, wo also die

Charakteristiken g = const., rj = const, geradlinig und senkrecht gegen einander verlaufen):

1)    Man gebe sich längs eines beliebigen, von keiner Charakteristik zweimal geschnittenen Kurvenstückes AB die Werte von u und ^ ; dann existiert eine und nur eine Lösung u der Differentialgleichung, welche auf AB die vorgeschriebenen Werte von u und liefert; diese

Lösung ist im Innern desjenigen Bechtecks definiert, welches von den durch A und B verlaufenden Charakteristiken gebildet wird. („Aufgabe der ersten Art".)

2)    Man gebe sich die Werte von u [nicht auch die von in

zwei aneinander stossenden Seiten eines Charakteristikenrechtecks; dann existiert wiederum u im Innern dieses Bechtecks und ist eindeutig bestimmt. („Aufgabe der zweiten Art")

Denkt man sich u als dritte Koordinate im Raume, so ist bei den Aufgaben der ersten Art die Fläche u(x,y) so zu konstruieren, dass sie durch eine gegebene Raumkurve unter gegebener Neigung hindurchgeht, bei den Aufgaben der zweiten Art ist sie in einen Rahmen von zwei sich schneidenden Raumkurven einzuspannen.

Unstetigkeiten dürfen in den vorgeschriebenen Randwerten nicht Vorkommen, wenn anders die gesuchte Lösung stetig und die Differentialgleichung ausnahmslos erfüllt sein soll; Unstetigkeiten pflanzen sich nämlich den Charakteristiken entlang in das Bechteck hinein fort. Im übrigen können die Randwerte willkürlich gewählt werden.

Wie weit diese Sätze heutzutage bewiesen werden können, wird in Nr. 7 besprochen werden.

Den Begriff der Charakteristiken sucht Du Bois-Beymond dadurch zu vertiefen, dass er sie (auf Grund der angegebenen Sätze) spontane Grenzen der Integraloberflächen nennt.

Er hält es auch für möglich²³), die „einläufige Randbedingung" {ein Kurvenstück AB von den oben angegebenen Eigenschaften, auf

dem u und gegeben ist) durch eine „zweiläufige" zu ersetzen

(zwei Kurvenstücke, auf denen nur u gegeben ist), was er durch die Bemerkung zu stützen sucht, dass sich der Fall der einläufigen aus dem der zweiläufigen Randbedingung durch Zusammenrücken der beiden Kurven herleiten lässt. Zu den zweiläufigen Randbedingungen rechnet Du Bois-Beymond auch den Fall einer geschlossenen Kurve, auf der die Werte von u allein vorgeschrieben sind. Hiernach

wäre es also möglich, auch für hyperbolische Differentialgleichungen eine Randwertaufgabe zu stellen, welche der für elliptische angegebenen völlig analog wäre. Ein Beweis für diese Vermutung liegt einstweilen nicht vor.

Uber die allgemeinste mögliche Randwertaufgabe bei den parabolischen Differentialgleichungen ist nichts bekannt. Die vorhandene Litteratur bezieht sich ausschliesslich auf den speziellen Fall der Wärmeleitungsgleichung; vgl. Nr. 14.

3. Der Green’sche Satz und die Green’schen Punktionen. Der

Green’sche Satz, dessen zahlreiche Folgerungen für die Potentialtheorie bekannt sind (vgl. II A 7 b, Nr. 12), ist im Grunde die rein formale Umrechnung eines Doppelintegrals in ein einfaches [bez. eines w-fachen in ein (n—l)-faches]. Für allgemeinere lineare Differentialgleichungen bietet eine Verallgemeinerung jenes Satzes, die hier gleichfalls mit dem Namen Green's belegt werden soll, dieselben Vorteile dar. Diese Verallgemeinerung knüpft an den Begriff der ad-jungierten Differentialgleichung¹⁶) an. Die besonderen Vereinfachungen, welche sich im Falle der Laplace’schen Gleichung oder z. B. im Falle der Gleichung Hu-\-h?u = 0 bei den HeImholtz’sehen Untersuchungen¹⁷) einstellen, beruhen hauptsächlich darauf, dass diese Gleichungen sich selbst adjungiert sind.

Gegeben sei ein linearer Differentialausdruck zweiter Ordnung in zwei unabhängigen Veränderlichen

d*u dxdy

Man integriert das Produkt vL(u) über ein beliebiges Gebiet B der x, «/-Ebene unter der Voraussetzung, dass u und v bis zu ihren zweiten partiellen Ableitungen inch stetige Funktionen sind. Dann ergiebt sich durch partielle Integration (die Doppelintegrale sind über das Innere, die einfachen über den Rand yon B zu erstrecken):

(4) L(u) = A

d*u 8x²

+ 2B

+ C^ + Sd^x + Edé + Fu.

dy

(5)    vL(u)dxdy = JJ*uM(v)dx dy -j- Ç(Qdy — Pdx),

M(v) =

dsAv

dx⁹

B{v

-4-

CO ICC)

d*Bv , d*Cv dDv dEv dxdy

Q = A(v

du

dx

+ Fv,

+ {D~

dx

dy

dv

— u cT dx

dB dC

dx

dy

dA dB dx dy

UV.

16)    G. Darboux, Theorie générale des surfaces, 2, art. 357 u. ff. (1889) oder P. du Bois-Reymond, J. f. Math. 104 (1889), Kap. 2, welche beide auf Riemann fussen: Über die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite. Ges. Werke 8, § 8. Du Bois-Reymond sagt Multiplikatorgleichung statt Adj un gierte.

17)    II. von Helmholtz, J. f. Math. 57 (I860), p. 1 = Ges. Werke 1, p. 303.

Encyklop. d. math. Wissensch. II.

33

M(v) ist der zu L(u) adjungierte Differentialausdruck, M(v) = 0 die zu L (u) = 0 adjungierte Differentialgleichung. Umgekehrt ist auch L (u) der adjungierte Differentialausdruck you M(v) etc. Genügt v der adjungierten Differentialgleichung M(v) — 0, so reduziert sich

Randintegral Ç(Qdy — Pdx). Genügt

J'J*vL(u)dxdy

auf das

ausserdem auch u der Gleichung L(uj — 0, so wird (unter Voraussetzung der angegebenen Stetigkeitseigenschaften):

J* (Pdx — Qdy) = 0.

Pdx—Qdy ist dann in dem ganzen Gebiete R ein vollständiges Differential. In jedem Falle hat man:

(6)

J*j*(vL(u) — uM(vj) dxdy = J*(Qdy — Pdx).

Dies ist die Verallgemeinerung des Green’sehen Satzes der Potentialtheorie, der für A — C — 1, B=D=E=F= 0 erhalten wird.

Der Begriff des adjungierten Differentialausdrucks und die hieran anknüpfende Formel (6) lässt sich auch auf lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung und auf mehr als.zwei unabhängige Variable übertragen¹⁸).

Von Wichtigkeit wegen ihres Vorkommens in der mathematischen Physik und in der Variationsrechnung sind insbesondere diejenigen Differentialgleichungen, welche mit ihrer Adjungierten identisch sind. Eine in diesem Sinne „sich selbst adjungierte“ Differentialgleichung zweiter Ordnung lässt sich immer folgendermassen schreiben :

(7)

L(u) = M{u) =

8 / du .    8u\    .    8 / 8u .    8u\    .    ^

8x r¹¹ Fx + °¹² Fy) + Fÿ V2X Fx + 0,22 Fÿ) + a°U ^ ’

wobei sich die Koeffizienten a₀ und aik in leicht ersichtlicher Weise durch die ursprünglichen Koeffizienten A, B, . ., F ausdrücken lassen und wo — a₂₁ ist. (Unterdrückt man die letztere Bedingung, so kann jede lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung in diese Form gebracht werden, wie L. Bianchi¹⁹) zeigt.) Im Falle einer sich selbst adjungierten Differentialgleichung zweiter Ordnung lässt nun der Green’sche Satz die folgende weitergehende Formulierung zu:

) + Ü22f” % + aouv) dxdy

/YY 8u 8v ,    /8u 8v , 8u 8v

JJ \ ¹¹ 8x 8x * ^¹² \8x 8 y ‘ 8 y 8x

(8)' = jj vL(u)dx dy -(- J*[pdx—gdy)

J fuM(v)dx dy -f- j [pdx — qdy)

18)    G. Darboux, 1. c.

19)    Line. Rend (4), 5² (1889), p. 35,

du

mit den Abkürzungen

du .

P = a21V + aMV

,    dv .

P = tt21W + «22W

du

dy ’

<1 = ailM + «12 U ^ ⁻

8y⁷

Diese Gleichung entspricht der dreigliedrigen Form des Green’sehen Satzes der Potentialtheorie und geht in diese für «u = «₂₂ = 1, «i2 = «gl = 0 über.

Für das Folgende unterscheiden wir zwischen elliptischem und hyperbolischem Typus und setzen die Gleichung in der Normalform voraus.

I. Elliptischer Fall²⁴). Die Normalform einer linearen Differentialgleichung lautet (s. die vorige Nr.):

L(u) = z/m + «|^ + &|^ + cm = 0,    [/I

Die adjungierte Gleichung wird dann

M(v) = Av — ^

~ ITT + CV == °*

Man postuliere nun die Existenz einer Lösung v der adjungierten Gleichung, welche in einem beliebigen Punkte (|, rj) logarithmisch unendlich wird, d. h. welche gleich U log r -j- V ist, wo r den Abstand des Punktes (|, rf) von (x, y) bedeutet, U und V in dem zu betrachtenden Gebiete II durchweg stetige Funktionen sind und etwa U (I, vj) — 1 ist. Bei der Anwendung des Green’schen Satzes ist der Punkt (I, rj), welcher im Innern des Gebietes 11 gelegen sei, durch eine Kurve (z. B. einen Kreis) von der Integration auszuschliessen. Gleichung (5) liefert dann, wenn man diese Kurve auf den Punkt (§, rf) zusammenzieht :

dx

(9)

2nu(£,, łj) = —J*^vL(u)dxdy +/[■

du

dn

— u Fn “ł“ (a C0S (.n> x) ^ C0S (w? y)) uv\ ds-

Die Normale n wird positiv nach dem Äusseren des Gebietes gerechnet; das Integral ds ist über den ganzen Rand des Gebietes, entgegen dem Sinne des Uhrzeigers zu erstrecken. Je nachdem die gesuchte Lösung u der homogenen Gleichung L(u) = 0 oder der nicht homogenen L(u) gleich einer gegebenen Funktion von x und y unterworfen wird, giebt die vorstehende Formel eine Darstellung für u lediglich als Randintegral oder als Summe eines Rand-und eines Flächenintegrals. Diese Darstellung verlangt die Kenntnis einer Lösung v der adjungierten Gleichung mit beliebig gelegener logarithmischer Unstetigkeit für das ganze Innere des Gebietes

und die Kenntnis von u und für die Berandung desselben. Sie

verallgemeinert die Gleichung (18) von II A 7 b. Indessen entspricht die Annahme, dass auf dem Rande des Gebietes sowohl die Werte

von u wie die von

gegeben sind, nicht der in der vorigen Nr. für den elliptischen Typus aufgestellten Randwertaufgabe. Vielmehr

du

bedingen sich hier u und

dn

gegenseitig, so dass nicht über beide

willkürlich verfügt werden kann. Um eine Darstellung von u zu erhalten, in die lediglich die Randwerte von u eingehen (es sei jetzt L(u) = 0), muss man die Funktion v so spezialisieren, dass sie das Analogon der Green’sehen Funktion in der Potentialtheorie bildet. Unter der Green'sehen Funktion G(x, y, |, rf) für eine beliebige lineare Differentialgleichung L(u) — 0 vom elliptischen Typus und für ein beliebiges Gebiet 11 hat man zu verstehen eine Funktion der vier Variabein x, y, £, y, welche 1) in den Variabein x, y der adjungierten Gleichung M(Gj = 0 genügt, welche 2) für x = è,, y — ri wie log r unendlich wird, während sie sich in allen anderen Funkten von F stetig verhält, und welche 3) auf dem Fände des Gebietes verschwindet. In die vorige Gleichung statt v eingetragen, liefert sie eine Darstellung von u durch die Randwerte von u allein, nämlich (mit Rücksicht auf L(u) — 0)

¹

   Leipz. Ber. 1870, p. 264 f., insbes. p. 304.

²

   Leipz. Ber. 1870, p. 360.

³

   Zürich. Viert. 15 (1870), p. 113, 272 (ges. Abh. 2, p. 133); Ber], Ber. 1870, p. 767 (ges. Abh. 2, p. 160). Schwarz nennt die Methode „Grenzubergang durch alternierendes Verfahrenu. Vgl. auch J. liiemann, Par. thèse 1888 (Ann. éc. norm. (3) 5, p. 327).

⁴

   C. Neumann, Unters. 1877, p. 313; ausgeführt von Korn, p. 299.

⁵

   Für die in der Theorie der algebraischen Funktionen auftretenden Aufgaben (II B 2, Nr. 15) reicht das Poisson’sche Integral aus.

⁶

   Vgl. auch F. Klein bei Pockels [Fussn. 122], p. 262; Korn, p. 299.

⁷

   Beri. Ber. 1870, p. 172 (ges. Abh. 2, p. 149).

⁸

   Leipz. Ber. 1886, § 1 (Math. Ann. 85, p. 22). Ygl. übrigens C. Neumann, Unters. 1877, p. 201, 306; Leipz. Ber. 1878, p. 73; Leipz. Abh. 13 (1887), p. 818; P. Painlevé, Par. thèse 1887 (Toul. Ann. 2, p. 12). Der Satz hängt enge mit einem funktionentheoretischen Satz von Weierstrass (II B 1, Nr. 6) zusammen. — Die bei Poincaré, Theorie p. 212 zugefügte Einschränkung, dass die u alle positiv sein müssten, ist bei diesem Satz überflüssig.

⁹

   Leipz. Ber. 1886 (Math. Ann. 35, p. 23).

¹⁰

   Par. C. R. 104 (1887), p. 44; Amer. J. of math. 12 (1890), p. 216; vgl. Theorie, p. 260. Eine etwas modifizierte, für den Raum wie für die Ebene gültige Darstellung bei E. Le Boy, Ann. éc. norm. (3) 14 (1897), p. 434 (Par. thèse 1898).

¹¹

In der Selbstanzeige seiner Abhandlung: Über die Fortpflanzung ebener Luftwellen bei endlicher Schwingungsweite, Gott. Nachr. 1859, Nr. 19 = ges, Werke, 2. Aufl. p. 176, Leipzig 1892.

¹²

   Ygl. z. B. H. Hertz, Ges. Werke II, 220. Leipzig 1892.

¹³

   Diese Auffassung bildet bei den älteren Autoren meist den Ausgangspunkt. Ygl. z. B. Fourier, Par. Mém. 5, 1821/22 [26] (oeuvr. 2, p. 94). Neuerdings wird sie besonders nachdrücklich betont von L. Boltzmann, Ann. Phys. Chem. 60 (1897), p. 231; 61 (1897), p. 791. — Vgl. auch IE, Pussn. 30.

¹⁴

Appl. Vgl. besonders § VIII; § X, 1; § XXI, 5.

¹⁵

   Appl. § X.

¹⁶

   Bei Monge liegt in dieser Hinsicht ein merkwürdiges Missverständnis vor. Er schreibt: „In allen Fällen, wo sich die Charakteristikengleichung in

Bezug auf ^ rational in Linearfaktoren spalten lässt, giebt es zwei getrennte

Charakteristiken, deren besondere Gleichungen sich hinschreiben lassen. Im allgemeinen Falle dagegen sind die beiden Charakteristiken Zweige ein und derselben Kurve und diese Zweige schneiden sich immer in dem Flächenpunkte, den man betrachtet.“ Appl. § X, I.

¹⁷

   P. du Bois-Reymond, Beiträge § 86.

¹⁸

   Laplace, J. éc. polyt. cah. 15 (1809), p. 235.

¹⁹

   JE. Picard, Acta math. 12 (1889), § 4. Das Wort „selbstadjungiert“ kommt bei Picard nicht vor; die dort gegebene Bedingung „durch Nullsetzen der ersten Yariation eines Doppelintegrals entstanden“ kommt aber thatsächlich auf dasselbe hinaus.

²⁰

   Die Anwendung des Wortes „Randwertaufgabe“ auf den hyperbolischen Fall ist eigentlich nicht ganz zutreffend, da sich die Aufgabe der Form nach mit der Aufsuchung des sogenannten allgemeinen Integrals deckt. Sie soll aber der Kürze halber in diesem Artikel beibehalten werden.

²¹

   In den oben citierten Beiträgen.

²²

   J. f. Math. 104 (1889), p. 241.

²³

Beitr. § 83.

²⁴

Die folgenden Ausführungen zum elliptischen Falle hat Ref. in der Litteratur nicht vorgefunden. Sie konnten aber der Vollständigkeit wegen hier nicht fehlen.

33

ds,

(10)

also dieselbe Gleichung wie in der Potentialtheorie [II A 7 b, Gl. (29)].

In derselben Weise kann man sich eine Green’sche Funktion H (x, y, rf ) für die adjungierte Gleichung M(v) — 0 gebildet denken. Setzt man dann in den Green’schen Satz (5) diese Funktionen G und H für v und u ein, so ergiebt sich:

m, v, r, v) = £(r, ^ s,

Der entsprechende Satz der Potentialtheorie (II A 7 b, Fussn. 115), dass die Green'sehe Funktion bei Vertauschung von Fol und Auf punkt un-geändert bleibt, ist also bei einer nicht sich selbst adjungierten Differentialgleichung dahin zu modifizieren, dass bei dieser Vertauschung

auch die Bolle der ursprünglichen und der adjungierten Gleichung aus-getauscht ivird. Zugleich zeigt die vorstehende Gleichung, dass die Green’sche Funktion G{x, y, |, rf), welche in den Variabein x, y der adjungierten Gleichung genügt, in den Variabein fj, r\ die ursprüngliche Differentialgleichung befriedigt. Von dem Vertauschungssatze hat H. V. Helmholtz hei der (sich seihst adjungierten) Gleichung z/w -f-    = 0 einen ausgedehnten Gebrauch gemacht; s. Nr. 9.

Ist nicht u sondern ^ (oder auch eine lineare Verbindung beider etc.) auf der Begrenzung gegeben, so ist die der Green’schen Funktion aufzuerlegende Randbedingung in entsprechender Weise abzuändern.

Übrigens bietet die Herstellung der Green’schen Funktion und ihr Existenzbeweis im allgemeinen dieselben Schwierigkeiten dar, wie die allgemeinere Randwertaufgabe, bei welcher auf der Begrenzung beliebige Funktionswerte vorgeschrieben werden, so dass durch ihre Einführung keine wesentliche Vereinfachung der Integrationsaufgabe, sondern nur eine vielfach bequeme Umformung derselben erreicht wird.

II. Der hyperbolische Typus. Die entsprechenden Entwickelungen im hyperbolischen Falle verdankt man Biemann¹⁶). Die Normalform der linearen hyperbolischen Differentialgleichung ist

du

L(u) =

dy

diu dx dy

ihre Adjungierte lautet:

M(v) =

-f- cv = 0.

dzv    d(av)    d(bv)

dy

~dx dy dx

Eine Lösung der adjungierten Gleichung mit Unendlichkeitsstelle zu postulieren ist hier unthunlich, weil nach der vorigen Nr. zu vermuten ist, dass Unstetigkeiten nicht isoliert auftreten, sondern sich längs der Charakteristiken fortpflanzen. Dafür ist hier aber auch die Aufgabe eine andere, wie im elliptischen Falle, nämlich die folgende: Gegeben sind u und als stetige und differenzierbare Funktionen *

der Bogenlänge s auf einer Kurve C, welche von keiner Charakteristik zweimal geschnitten wird. Gesucht wird der Wert einer diesen Randwerten entsprechenden stetigen Lösung von L(u) — 0 oder etwas allgemeiner von L(u) gleich einer gegebenen Funktion von x und y in irgend einem Punkte P (£, rj) des dem Kurvenstücke C umschriebenen Charakteristikenrechteckes.

Biemann wendet in diesem Falle den Green’schen Satz (5) auf ein Gebiet an, welches begrenzt ist von C und den durch P gehenden Charakteristiken x = %, y = y. Die Schnittpunkte dieser Geraden mit C mögen bez. A und P heissen, v sei irgend eine stetige Lösung der adjungierten Gleichung M(v) — 0. Aus Gleichung (5) folgt dann:

C/

Mg. i.

r.a.v)

■a?

ffvL(u)dxdy

-f(Qdy — Pdx) -J- Çq dy — j*Pdx. c    i    i

Das erste Integral rechts ist über C von B nach A, das zweite über die Charakteristik x — £ von P bis B, das dritte über die Charakteristik y — y von A bis P zu nehmen. Die

Ableitungen und als bekannt angesehen werden. Aus dem zweiten und dritten Integral und ~ durch partielle Integration entfernen und es ergiebt sich die zu (9) analoge Gleichung:

(uv)p =

lassen sich

du

dx

du

dy

können, da u und

du

dn

längs C gegeben sind,

au

Y ((UV)A + (uv)b) —JJ vL(u) dxdy -\- j (Qdy

-/“ (§i - “*) *y +fu(w^~iv)

f    n

dx.

— Pdx)

Hier knüpft nun Biemann’’s Definition einer charakteristischen Funktion an, welche die Green’sehe¹) heissen und mit G(x, y, |, y) bezeichnet werden möge: 1) Im Innern des Gebietes APB soll G, was die Variabein x, y anbelangt, der adjimgirten Gleichung M(G) — 0 genügen. 2) Längs der Charakteristiken x = £ bez. y — y soll gelten:

dG

(12)

~ — a G = 0 bez. ?ß- — bG = 0. dy    dx

(3) Im Punkte (|, y) möge G — 1 sein.

Führt man nun in (11) diese Funktion G statt v ein, so findet

(13)

sich Up — m(£, y) direkt ausgedrückt durch die Werte von u und ~ längs G und man erhält, wenn u der Gleichung L(u) — 0 genügt: u(l, y) = — ((uG)a + (uG)b) +f(Qdy — Pdx).

c

Riemann leitet seine Methode mit den folgenden Worten ein, welche eine sehr allgemeine Auffassung derselben erkennen lassen: „Um Funktionen zu bestimmen, welche linearen partiellen Differentialgleichungen und linearen Grenzbedingungen genügen, kann man ein ganz ähnliches Verfahren anwenden, wie wenn man zur Auflösung eines Systems von linearen Gleichungen sämtliche Gleichungen mit unbestimmten Faktoren multipliziert, addiert und diese Faktoren dann so bestimmt, dass ans der Summe alle unbekannten Grössen bis auf eine herausfallen.“

In dem akustischen Problem, von dem Riemann ausgeht, ist

speziell

const.

x-\-y

c — 0,

die Green’sche Funktion wird in diesem Falle als bestimmtes Integral resp. als hypergeometrische Reihe dargestellt.

Aus den Gleichungen (12) folgen durch Quadratur unmittelbar die Werte, die G selbst auf den Geraden x — % und y = rj annimmt, nämlich

(12')

G = en

y

Ja dy

und G =

fb dx

J .

Man kann daher sagen: Durch die Riemann’sche Methode wird von den beiden p. 512 für hyperbolische Gleichungen genannten Aufgaben eine Aufgabe der ersten Art für die Gleichung L — 0 (nämlich die

du

Bestimmung von u mittels der Werte von u und längs C) zurückgeführt auf eine Aufgabe der zweiten Art für die adjungirte Gleichung M — 0 (nämlich die Bestimmung von G mittels der eben angegebenen speziellen Werte längs der Charakteristiken PA und PR). Die Vereinfachung, welche in dieser Zurückführung liegt, ist nicht unbeträchtlich.

Wiederum kann man eine zweite Green’sche Funktion H(x, y, £', rj') bilden, welche zu der adjungierten Gleichung M = 0 in derselben Beziehung steht, wie G zu L — 0; setzt man diese Funktion H statt u und G statt v in Gleichung (5) ein und wählt als Integrationsgebiet das Charakteristikenrechteck, dessen zwei gegenüberliegende Ecken von den Punkten P(£, rf) und $(£', rj') gebildet werden, so er-giebt sich

22) G. Darboux, 1. c. art. 359 und P. du Bois-Eeymond, 1. c. p. 289.

also dieselbe Regel über die Vertauschung der beiden Variabeinpaare, wie bei den elliptischen Differentialgleichungen, sowie das Gesetz, dass eine Green’sche Funktion, welche in dem einen Variabeinpaare der Gleichung L — 0 genügt, in dem andern Variabeinpaare die adjun-gierte Gleichung M = 0 befriedigt.

Auf nicht-lineare Differentialgleichungen lassen sich die Green’sehen Methoden nicht ausdehnen.

4. Eindeutigkeitsfragen, vornehmlich bei elliptischen Differentialgleichungen. Die Untersuchung der Frage, ob eine Lösung, wenn sie existiert, durch gewisse Daten eindeutig festgelegt ist, bietet im allgemeinen weit geringere Schwierigkeiten dar, wie die Frage, ob sie existiert, und soll daher zuerst besprochen werden. Für den elliptischen Fall, auf den sich die diesbezüglichen Untersuchungen in der Hauptsache beschränken — der hyperbolische Fall wird mit wenigen Worten am Ende dieser Nr. erledigt werden — formuliert sich die Frage so: Giebt es zwei verschiedene mit ihren ersten Ableitungen stetige Lösungen ut und u₂ einer elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung, welche auf der Begrenzung eines vorgegebenen geschlossenen Gebietes in dieselben vorgegebenen Bandwerte übergehen?

Diese Frage wird, wenn die Differentialgleichung insbesondere linear ist, offenbar mit der folgenden identisch: Giebt es eine Lösung u = ut — u₂ der Differentialgleichung, ivelche auf der Begrenzung des Gebietes Null und im Innern im allgemeinen von Null verschieden ist?

Zur Beantwortung dient, wenn die Differentialgleichung linear ist, in vielen Fällen die folgende Überlegung, welche auch in der Potentialtheorie benutzt wird: Man multipliziere die bereits in die Normalform transformierte Differentialgleichung:

Au a

du

du

dx

dy

-f- cu = 0

mit u, integriere das Produkt über das Innere des Gebietes, wende unter Voraussetzung der nötigen Stetigkeitseigenschaften in geeigneter Weise partielle Integration an und berücksichtige, dass u auf dem Rande des Gebietes verschwinden soll; aus der so erhaltenen Gleichung

1    da

2    dx

'2 dy

cj u²1 dxdy = 0

schliesst man sofort, dass u identisch verschwinden muss, falls die quadratische Form unter dem Integralzeichen eine definite [I C 2, Nr. h 13)] ist, d. h. falls

£+£>*■

In diesem Falle ist also die Eindeutigkeit der Randwertaufgabe bewiesen.

Ist dagegen die letztgenannte Bedingung nicht erfüllt, so lassen sich doch in Gleichung (14) linkerhand unter Umständen Glieder hinzufügen, welche bei der Integration fortfallen, also die rechte Seite nicht verändern, und welche die unter dem Integralzeichen stehende

§ s*

zu einer definiten machen. Der

quadratische Form in u, ,

Schluss auf das identische Verschwinden von u ist dann ebenso wie vorher gegeben. Durch diesen Kunstgriff beweist E. Picard² 3) die Eindeutigkeit der Randwertaufgabe für jede lineare Differentialgleichung des elliptischen Typus hei einem Gebiet von hinreichend Meinem JElächen-inhalte.

Eine genauere Präzision und Abschätzung der erforderlichen Kleinheit des Gebietes giebt, allerdings in einem etwas weniger allgemeinen Falle, Ed, Le Roy™).

Zn demselben Satze wie Picard gelangt L. Bianchi⁴) von der p. 514 genannten Normalform der linearen Differentialgleichung aus, wobei die Anzahl der unabhängigen Variabein sogar beliebig sein darf.

Ein anderes Verfahren, welches ebenfalls in der Potentialtheorie ein Analogon hat, besteht darin, dass man zeigt: die Lösung der (als linear und homogen vorausgesetzten) Differentialgleichung kann kein positives Maximum und kein negatives Minimum besitzen⁵). Alsdann ist offenbar die Existenz einer auf dem Rande verschwindenden Funktion ausgeschlossen und somit abermals die Eindeutigkeit bewiesen. Auf die in die Normalform transformirte Gleichung Du -j- a — -f- b ~ cu = 0 ist dieser Schluss anwendbar für jedes Gebiet, in

dem c < 0 ist. In einem Punkte nämlich, wo u einen positiven Maximalwert (bez. einen negativen Minimalwert) annimmt, müsste

d*u

was vermöge der Differentialgleichung unmög-

du

<( 0, cu < 0 (bez. ~    0

d*u

w

du du dx dy d*u

dy*

lieh ist. Ist dagegen c > 0, so kann nur die Unmöglichkeit eines negativen Maximums, sowie die eines positiven Minimums behauptet werden, was für den Eindeutigkeitsbeweis belanglos ist. Hat man

= 0 und ausserdem

0, cu > 0^ sein,

<0

endlich identisch c = 0, so ist sowohl ein positives wie ein negatives Maximum oder Minimum ausgeschlossen und der Eindeutigkeitssatz tritt wieder    in Kraft.    (Vgl.    hierzu als einfachste    Beispiele    die    Gleichungen    du— Mu —    0 und    du -f- Mu = 0 in Nr. 11 und    9,    sowie

die Gleichung du — 0.)

Allgemeiner ausgesprochen lautet der Satz folgendermassen⁶) : Die Lösung der Differentialgleichung

3iu 3xi

ist für ein gewisses Gebiet eindeutig durch Randwerte bestimmt, wenn in diesem Gebiete entweder F identisch Nidl ist oder beständig das entgegengesetzte Vorzeichen wie A (also auch wie G) hat.

Auf mehr als zwei unabhängige Variable ist diese Schlussweise von Th. Moutard⁷) ausgedehnt, wobei sich insbesondere für die in den zweiten Differentialquotienten homogene lineare Gleichung

■ T) 3    u i    3 u i T. 3 u i -jp 3 u    i 77f

-4-2B w-w—h C • + D 5—f- E    4- Fu —    0

' dxöy dy    dx ¹ öy ¹

3*u

3 Xi 3xk

ergiebt, dass ihre Lösungen kein Maximum oder Minimum in demjenigen Gebiete der Variabein xx, x₂, • • • xn haben können, in welchem die Form

eine definite ist.

Bei einer nicht-linearen Differentialgleichung lässt sich im allgemeinen nicht einmal für ein hinreichend Meines Gebiet behaupten, dass es nur eine Lösung der Randwertaufgabe geben könne⁸). Dagegen gelingt dieses E. Picard⁹) bei der speziellen Gleichung

du = F(u, x, y),

welche also von den ersten Differentialquotienten frei ist, sogar für ein beliebiges Gebiet, unter der Annahme, dass F mit wachsendem u wächst.

Noch allgemeiner zeigt Ed. Le Roy¹⁰), dass auch bei der Differentialgleichung

nur eine Lösung möglich ist, falls für alle in Betracht Jcommenden

Werte der fünf Variabein

> 0 ist und übrigens hinsichtlich der

Existenz und Stetigkeit der ersten partiellen Differentialquotienten die nötigen Bedingungen erfüllt sind.

Sehr viel leichter erledigt sich der hyperbolische Fall bei Zugrundelegung der p. 512 genannten Randwertaufgaben.

Zunächst lässt sich nach einer Bemerkung von 0. Niccoletti¹¹) der Fall einer nicht-linearen Differentialgleichung auf den einer linearen reduzieren. Für die letztere folgt aber die Eindeutigkeit der Randwertaufgabe unmittelbar aus der Riemann’schen Darstellung der Integrale mittels einer Green’schen Funktion (vgl. die vorige Nr., Gl. (13)). Ist nämlich die Existenz dieser Funktion bewiesen (Nr. 7), so erkennt man hinsichtlich einer Randwertaufgabe der ersten Art, dass die einzige Funktion, welche auf der Kurve C zugleich mit ihrem nach der Normale genommenen Differentialquotienten verschwindet, die Null ist, dass es also bei nicht verschwindenden Randwerten von u und

du

dn

Au =

Fix,

y, w,

$ ! SS cc> «à

^1 <50

<sg I §

nur eine Lösung der Aufgabe geben kann. Entsprechendes gilt für die Aufgaben der zweiten Art.

o. Existenz der Lösungen bei Differentialgleichungen des elliptischen Typus für hinreichend kleine Gebiete. Die Methode der successiven Approximationen. In Nr. 2 wurde die für elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung zu stellende Randwertaufgabe im Anschlüsse an die Ergebnisse der Potentialtheorie formuliert. Den Nachweis der Lösbarkeit dieser Aufgabe hat E. Picard (s. u.), auf einer grundlegenden, etwas spezielleren Arbeit von H. A. Schwarz (s. Nr. 10) weiterbauend, für grosse Klassen von Differentialgleichungen erbracht.

Die vorgelegte Differentialgleichung, welche in dem zu betrachtenden Gebiet R durchweg elliptisch sein soll, möge zunächst auf ihre Normalform

Au —

f(x,

du

y> u> dx’

QDl

transformiert werden. F bedeute eine beliebige Funktion, von der nur vorausgesetzt wird, dass sie endliche und stetige erste Differentialquotienten nach x und y für alle in dem Gebiete R gelegenen Werte

dieser Variabein, sowie nach u, v = und w = w~ für alle zwischen

du

den Grenzen — L und -J- L gelegenen Werte von u, v, w besitze. Dann kann nach dem Mittelwertsatze geschrieben werden:

(15) ; F(u₂, v₂, w₂)—F(uv v±, w±) |<| %—ux IA+ \v₂ — v₁ \ B+ \w₂—wx\C,

wo die A, B, C endliche Zahlen sind.

Für ein hinreichend Meines Gebiet gelingt dann der Existenzbeweis nach der Methode der successiven Approximationen. Dieses den Näherungsniethoden zur numerischen Auflösung der Gleichungen nachgebildete Verfahren wird von altersher in den Störungsrechnungen der Astronomen (vgl. Bd. VI) zur Anwendung gebracht. In grosser Allgemeinheit wurde es für die partiellen Differentialgleichungen der Mechanik von A. Cauchy³³) formuliert und ziemlich gleichzeitig von J Liouville auf gewöhnliche Differentialgleichungen angewandt (s. Art. IIA 7 a, Nr. 7 oder diesen Art. Fussn. 86)). Nach der praktischen Seite hin (zur Korrektion gefundener erster Annäherungen) haben sich die Physiker häufig eines entsprechenden Verfahrens bedient³⁴). Die theoretische Verwendung zur Begründung der Existenz der Lösungen einer partiellen Differentialgleichung rührt wesentlich von H. A. Schwarz³⁵) her.

Im vorliegenden Falle gestaltet sich die Methode so³⁶): Man bestimmt eine unendliche Reihe von Näherungsfunktionen ul} u₂, %, ■ ■ durch die Gleichungen:

(16)

Aux — 0,

Au₂ = I (x,

Au₃ = f(x, y,

y, ux

dut dut dx ’ dy

du₂ du₂\

U2' Jiï’ 'dÿ)

und durch die Bedingung, dass jede dieser Funktionen auf der Begrenzung von B die vorgeschriebenen Randwerte³⁷) annehmen, im Innern von R eindeutig und stetig sein soll. Dies ist nach den Sätzen

38) Par. C. R. 10 1840, p. 957; 11, p. 1 = Ges. Werke (1) 5, p. 236 u. 249.

34)    Z. B. Lord Rayleigh, Th. of Sound § 90.

35)    Fenn. Acta 15 (1885) = Ges. Abh. 1, p. 241 u. ff.

36)    E. Picard, J. de math. (4) 6 (1890), p. 145, chap. 1.

37)    Die den Randwerten aufzuerlegenden Stetigkeitsbedingungen werden von Picard genauer bezeichnet in Par. C. R. 128 (1899), p. 1487; 130 (1900), p. 447 und 1085.

der Potentialtheorie möglich, da man die Green’sche Funktion der Potentialtheorie G(x, y, £, y) als bekannt ansehen kann. Ist das Gebiet überdies hinreichend klein, so bleiben die sämtlichen Werte

für alle Punkte von Ti unterhalb einer endlichen

du.

dui

dy

dx I ’

Grenze L, inbezug auf welche F die oben genannte Eigenschaft haben möge. Sofern sich die u;, einer Grenze nähern, kann diese durch die Reihe dargestellt werden:

(17)

u — ux -f- (u₂ — ux) -J- (us — u₂) -j- • • •.

Die Differenzen %_j_i — u;. genügen dabei der Differentialgleichung

1 dUj_t

dx ’ dy

A (ui+l — Ui) = F (x, y, u,,,

d ui dui dx ’ dy

) — F (x,y, Ui

—ly

und der Randbedingung u{.pi — % = 0. Die Potentialtheorie liefert für dieselben die folgende Darstellung:

'M'i -f-1

U{ =

— 1) ■

• •)] &    y7 %7 v) d%dy,

wo in der Klammer die Funktionen uif m*_i mit den Argumenten I, y zu nehmen sind. Diese Darstellung lässt aber mit Rücksicht auf die Ungleichung (15) erkennen, dass I u₂ — ux I < MF

1% — «al < M (AN + BN + CM) F I— us\<M (AN -f BN -{- CM)² F

I un — Un-! I < M (AN -f BN + CM)—² F

F (x, y, ux

duj duj

’ dx’ dy

innerhalb des Gebietes R, M den Maximalwert des Integrales

ist: dabei bedeutet F den Maximalwert von

~ JjJ Gd%dy, N den der beiden Integrale ^ J'J' ^^d^dy, J'j' ^jAdtdy, während A,B,C den in

(15) definierten Sinn

haben. Fie Grössen M und N nehmen nun, wie aus den Eigenschaften der Green’schen Funktion hervorgeht, mit abnehmender Grösse des Gebietes m Null ab. Mithin kann man durch hinreichende Verkleinerung des Gebietes erreichen, dass AN -f- BN -f- CM ein echter Bruch wird, dass also un — un—i mit wachsendem n verschwindet und dass die Reihe (17) für alle Punkte des Gebietes gleichmässig nach einer Grenze u konvergiert. Diese Grenze u nimmt auf dem Rande die vorgeschriebenen Randwerte an und genügt im Innern, wie man

Man bemerke noch, dass bei völliger Allgemeinheit der Differentialgleichung die Beschränkung auf ein hinreichend kleines Gebiet nicht nur durch die Methode des Beweises, sondern durch die Natur der Sache gegeben ist. In der That kennt man Differentialgleichungen (s. insbes. Nr. 9), deren Integration hei ganz beliebig vorgeschriebener Randwertverteilung unmöglich wird, sobald das Gebiet gewisse „kritische Grössen“ erreicht.

(allerdings nicht ohne einige Weitläufigkeiten) zeigen kann, der vorgelegten Differentialgleichung. Die Lösbarkeit der Randwertaufgabe für ein hinreichend kleines Gebiet ist somit in allgemeinster Weise dar-gethan.

Das Wort „hinreichend kleines Gebiet“ braucht nicht so verstanden zu werden, dass der Umfang des Gebietes hinreichend klein sei, es genügt vielmehr, wenn sein Inhalt unter einer gewissen Grenze liegt. Die vorangehenden Schlüsse gelten beispielsweise ebensowohl für ein genügend schmales ringförmiges Gebiet, wie für ein Gebiet, welches ganz innerhalb eines Kreises von genügend kleinem Radius enthalten ist³⁸). Diese Bemerkung wird in der folgenden Nummer zur Geltung kommen.

6. Existenz der Lösungen von Differentialgleichungen des elliptischen Typus für beliebige Gebiete. Alternierende Methode, Methode der ringförmigen Gebietserweiterung, Auskehrungsmethode etc. Um

den Existenzbeweis für Gebiete von beliebiger Grösse zu erbringen, beschränkt sich E. Picard⁵⁰) auf die folgende Gleichungsform

Du = F (u, x, y),

in der F eine Funktion bedeutet, die für alle Werte von u endlich und stetig ist, welche ausserdem positiv ist und mit wachsendem u wächst.

Die Methode der successiven Approximationen führt in diesem Falle nicht direkt zum Ziele. Konstruiert man nämlich die Näherungsfunktionen uly u.₂, . . . (s. Nr. 5), so konvergieren die Näherungsfunktionen ungerader Ordnung in abnehmendem, die gerader Ordnung in wachsendem Sinne je nach einer Grenze, deren Zusammenfallen sich nur bei hinreichender Kleinheit des Gebietes beweisen lässt. Die beiden so entstehenden Grenzfunktionen v und w sind durch die Beziehungen verknüpft:

Dv — F {w, x, y)₇ Dw — F (v, x, y),

38) E. Picard, J. de math. (5) 2 (1896), p. 295.

während keine von ihnen der ursprünglich vorgelegten Gleichung zu genügen braucht.

i’

Picard³⁹) zieht daher die für die Potentialtheorie ausgebildete Methode des alternierenden Verfahrens heran (vgl. IIA 7 b, Nr. 28). Man betrachtet zwei Gebiete mit den Begrenzungen C und r, für welche die Randwertaufgabe einzeln gelöst werden kann (also z. B. zwei hinreichend kleine Gebiete).

ff

Es handelt sich darum, die Lösung der Randwert-aufgabe für das ganze durch die Bögen b und ß &( & begrenzte Gebiet zu konstruieren (vgl. die Fig. 2).    \J

Zu dem Zweck werden zwei unendliche Serien    \

Fig. 2.

von Funktionen u1} u%,... v1} vs, . . . für das Innere von C und r nach folgender Regel gebildet: Man legt Ui auf b und v, auf ß die in der Randwertaufgebe vorgeschriebenen Werte bei und macht % auf a und auf a denjenigen Werten gleich, welche bez. Vi—t und Ui auf diesen Bögen annehmen; (die Werte, welche man der Ausgangsfunktion ut auf a beilegen will, können dabei willkürlich gewählt werden). Unter den oben für F angegebenen Bedingungen nähern sich nun die Ui und V{ je einer Grenze u und v, welche in dem von a und a eingeschlossenen Gebiete zusammenfallen. Die Bandwertaufgabe für das zusammengesetzte, von b und ß begrenzte Gebiet, und also überhaupt für jedes Gebiet, in dem F den obigen Bedingungen genügt, ist somit gelöst. Der Beweis lässt sich auch auf den Fall ausdehnen, wo F zwar wächst mit wachsendem u, aber nicht dauernd positiv ist, sondern für u = 0 verschwindet.

Einfacher noch ist eine Methode der ringförmigen Gebiets-enveiterung³⁸). Man geht hierbei aus von einer Kurve C, für deren Inneres man die Randwertaufgabe bei der eingangs genannten Differentialgleichung lösen kann. Im Innern von C wird eine Kurve F, im Aussern eine Kurve G' so gewählt, dass der ringförmige Bereich zwischen C' und F hinreichend geringen Inhalt hat und also auch für diesen die Randwertaufgabe durch successive Approximationen ge-

Aw + 2B

39) Vgl. Fussn. 30 sowie Acta math. 12 (1889), wo das alternierende Verfahren auf die Differentialgleichung du— p(x, y)u = 0 (p < 0) angewandt, und J. éc. polyt. cah. 60 (1890), wo dasselbe zur Untersuchung der allgemeinsten linearen elliptischen Differentialgleichung mit analytischen Koeffizienten: d²u d*u du du

M~y + CW+:D^⁺ ^J+FU =

herangezogen wird. Im letzteren Falle zeigt sich, dass das Verfahren immer dann zum Ziele führt, wenn eine der beiden Bedingungen F = 0 oder AF<^ 0 erfüllt ist, welche nach Nr. 4, p. 522 die Eindeutigkeit der Aufgabe garantieren.

löst werden kann. Es handelt sich darum, eine Lösung für das ganze Innere von C' herzustellen, welche auf C' gegebene Werte annimmt.

für

.Fig. 3.

Zu dem Zwecke konstruiere man für das Innere von C eine Serie von Funktionen u₁₇ u₂, . . das ringförmige Gebiet C T eine Serie vl7 vi7 . . . nach folgendem Gesetz: ux wird auf G willkürlich angenommen, vx wird auf J¹ gleich u1} auf G' gleich den gegebenen Randwerten gesetzt. Sodann wird u₂ auf C gleich den Werten von vx daselbst gemacht und v₂ auf F gleich u₂, auf C gleich den gegebenen Randwerten genommen u. s. f. Alsdann konvergieren die % bez. je nach einer Grenze u und v, welche in dem Ringgebiete CT identisch sind und welche zusammen die Lösung für das Innere von G' ergeben. Man kann also Schritt für Schritt die Grenzkurve erweitern und so den Existenzbeweis für beliebige Gebiete erbringen.

Die Methode der ringförmigen Gebietserweiterung hat gegenüber der alternierenden Methode den Vorzug, dass sie sich ohne weiteres auf den Fall einer Differentialgleichung von mehr als zwei unabhängigen Variabein und durchaus elliptischem Typus übertragen lässt. Desgleichen lässt sich die Methode der successiven Approximationen auf diesen Fall bei hinreichender Kleinheit des Gebietes ausdehnen. Die hierzu nötigen Vorarbeiten, welche gewisse Ungleichungen für die Green’sche Funktion der Potentialtheorie eines räumlichen Gebietes beweisen, hat S. Zaremba¹² 13) geliefert.

Auch die Poincaré’sehe Auskéhrungsmethode (s. IIA 7 b, Nr. 31) lässt sich von der Potentialtheorie auf andere Differentialgleichungen verallgemeinern. So behandelt Ed. Le Roy*¹) die folgende Gleichung in drei unabhängigen Variabein

(18)

Zlu + aji + ¹⁾

du

du

du

dz

= fu,

welche sich als Vereinfachung der allgemeinsten Differentialgleichung des stationären Wärmeflusses:

(19)

du

■Ju + a^ + i

du

dy

+ e~ = F(x, y, t,u)

ergiebt. Hier bedeuten a, b, c die Ableitungen einer Funktion g bez. nach x, y, die Funktion f und die Ableitung

dF

du

werden für alle

Die Anwendung der Auskehrungsmethode auf Gleichung (18) gestaltet sich wie in der Potentialtheorie. Man konstruiert in geeigneter Weise eine abzahlbare Reihe von Kugeln CX} C₂,. . . Gi}... im Innern des Gebietes R und eine sie alle umschliessende Kugel T. Darauf wird eine Reihe von Näherungsfunktionen Wx, W₂, . . . Wi, ... so gebildet, dass TF) im Innern von G-, der Differentialgleichung (18) genügt, auf der Oberfläche von 0* und in dem zwischen 6) und T enthaltenen Raume dagegen mit Wi—t zusammenfällt. Die Ausgangsfunktion W₀ wird folgendermassen festgelegt: Man denke sich die auf der Oberfläche von R vorgeschriebenen Randwerte durch ein Polynom P von gewissen Vorzeicheneigenschaften gegeben — dies ist gestattet, weil sich der allgemeine Fall einer beliebigen Randwertverteilung durch Superposition aus solchen speziellen Polynomen zusammensetzen lässt — und bestimme WQ dergestalt, dass die Funktion P—fF₀ im Innern von T der Gleichung (18) genügt und auf der Oberfläche von T gleich P wird. Alsdann zeigt sich, das die Funktionen W₀, Wx, W₂,... nach einer bestimmten Grenze IF konvergieren (es ist nämlich für jeden Punkt von R beständig 0 < Wi IF*_i) und dass sich aus dieser Grenze die Lösung u des Problems folgendermassen bestimmt:

dem Gebiete R angehörigen Werte von x, y, z als positiv vorausgesetzt.

u = P — W₀ + W.

Voraussetzung für die Anwendbarkeit der Auskehrungsmethode ist, dass die Integration der Gleichung (18) für den Fall einer Kugel im voraus erledigt ist. Dies gelingt¹⁴ 15) durch die vorher auseinandergesetzten Methoden: successive Approximationen bei hinreichender Kleinheit der Kugel und daran anschliessende allmähliche Gebietserweiterung.

Gleichung (19)

Um endlich den Übergang von Gleichung (18) zu zu vermitteln, schlägt Ed. Le RoyiS) die folgende Methode der analytischen Fortsetzung ein. Er betrachtet zunächst die mit dem Parameter %x behaftete Gleichung

4ut -j- a j-J + h + c    F(x, y, z, ux)

und zeigt, dass diese durch ein geeignet geleitetes Näherungsverfahren in einem beliebigen Gebiete R bei beliebiger Randwertverteilung integriert werden kann, falls %x eine durch die Grösse des Gebietes

34

a i d u₉ i 7 d M, i

und die Beschaffenheit der Funktion F bestimmte Grenze nicht überschreitet. Darauf wird die Gleichung

d W₂

= (£ + lùF(x> y> *> u2~)

dz

herangezogen und zu ihrer Integration ein Näherungsverfahren eingeschlagen, bei welchem die vorher bestimmte Funktion ux als Ausgangsfunktion dient. Dies Verfahren konvergiert wieder, wenn | unterhalb der vorher für ermittelten Grenze liegt. Der Bereich, in welchem der nunmehrige Parameter £₂ = £ -f- liegen darf, hat sich somit gegen vorher verdoppelt. Durch Wiederholung dieses Verfahrens lässt sich der Bereich des Parameters weiter und weiter ver-grössern, so dass insbesondere z. B. t,n = 1 genommen und die Integration der Gleichung (19) geleistet werden kann.

Von demselben Gedanken macht auch H. Poincaré bei seinen in Nr. 12 zu referierenden Untersuchungen einen ausgedehnten Gebrauch.

7. Existenz der Lösungen von Differentialgleichungen des hyperbolischen Typus. Die vorgelegte hyperbolische Differentialgleichung möge, sogleich in der Normalform geschrieben, lauten:

F (x, y,

du du

(20)

U’ dx’ dyj '

d²u dxdy

Die bei einer solchen Gleichung zu stellenden Aufgaben sind in Nr. 2 (pag. 512) aufgeführt.

I. Es handle sich zuerst um eine „Aufgabe der ersten Art“, bei der u und längs einer Kurve C vorgeschrieben sind. Dabei wird

vorausgesetzt, dass C von keiner Charakteristik zweimal geschnitten wird, d. h. dass von den rechtwinkligen Koordinaten x, y eines auf C variabeln Punktes jede eine monotone Funktion der anderen ist.

$ flÀi

Die auf C vorgeschriebenen Werte von u und ^ bedürfen keiner

anderen Einschränkung, wie der der Endlichkeit und Stetigkeit und der Existenz und Stetigkeit ihrer ersten Ableitungen. Auch hier wird der Existenzbeweis von E. PicardM) durch die Methode der successiven Approximationen erbracht.

Wie im elliptischen Falle die Gleichung Au = 0 bez. Au = f(x, y), dient hier als Hülfsmittel zur Konstruktion der Näherungsfunktionen

= 0 (Gleichung der freien Saitenschwingungen) d*u

die Gleichung

d*u dxdy

= f (x,y) (Gleichung der erzwungenen Saiten-

dxdy

bez. die Gleichung

44) J. de math. (4) 6 (1890), chap. II.

Schwingungen), deren Integrale sofort hingeschrieben werden können (ygl. Nr. 13).

Die Definition der successiven Näherungsfunktionen *e₂, u₃,... ist folgende: Sie genügen der Reihe nach den Differentialgleichungen

= 0,

' d²u^

dxdy

(21)

d*u₂

dxdy

du-L

⁷ dx ⁷ dy)⁷

d*u₃

dxdy

F (x, y, ux

F (x y u — —

V ’    ²⁷ dx ⁷ dy/’

welche sämtlich zur Klasse der Gleichungen der (freien oder erzwungenen) Saitenschwingungen gehören, sowie der Bedingung, auf C

du

die für u und vorgeschriebenen Werte anzunehmen. Durch diese Angaben sind die Näherungsfunktionen in demjenigen Charakteristikenrechteck bestimmt, welches dem Kurvenstücke AB umschrieben ist (vgl. Fig. 1 von pag. 518). Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Näherungsfunktionen u;. und %_j_! in irgend einem Punkte x, y dieses Rechtecks kann darauf nach Nr. 13 pag. 558 durch die Formel dargestellt werden:

Ui-fl — Ui —

//K«

du; dui

WJv

du;_t dui__₁

— l?

d T]

-)} dUn,

in welcher sich die Integration über ein Gebiet erstreckt, welches einerseits von der Kurve C, andererseits von den durch den Punkt x, y gehenden Charakteristiken x = const., y = const, begrenzt wird. Genügt nun F der Ungleichung (15), so kann aus der vorstehenden Darstellung geschlossen werden

aß

I U{.pi — Ui I <! F ÇA aß -}- Bß -f- Ca) hier bedeutet F den Maximalwert, den die Funktion F (x, y, u1} ^

in dem dem Kurvenstücke ÀB umschriebenen Charakteristikenrechteck annimmt, a und ß sind die Seiten dieses Rechtecks, während A, B, C den früher in (15) definierten Sinn haben.

Darauf betrachte man die Grenzen, denen sich die Näherungsfunktionen Ui mit wachsendem Index nähern und stelle sie durch die folgende Reihe dar:

(22)

U — Wj -f- (w₂ — u-f- (w₃ — w₂)

Ist Aaß -j- Bß -j- Ca <C 1, was allemal durch Verkleinerung des Kurvenstückes AB und dementsprechende Verkleinerung der Recht-

34*

ecksseiten a und ß erreicht werden kann, so konvergiert die Reihe (22) gleichmässig im Innern des Charakteristikenrechtecks (a, ß). Sie genügt überdies der Differentialgleichung (20) und erfüllt auf C die vorgeschriebenen Randbedingungen. Die Methode der successiven Approximationen führt also hei einem hinreichend Meinen Kurvenstück zum Ziele und bestimmt die Lösung innerhalb des dem Kurvenstück umschriebenen Charakteristikenrechtecks.

Eine Bemerkung von E. Lindelöf¹⁶) ermöglicht es 0. Niccoletti¹⁷), den Beweis für die Konvergenz des Approximationsverfahrens sogleich bei beliebiger Grösse des Kurvenstücks G zu erbringen, vorausgesetzt dass die Ungleichung (15) in dem dadurch entstehenden vergrösserten Gebiete Gültigkeit behält.

II. Zur Behandlung der „ Aufgaben der zweiten ArC wendet JF. Picard*¹⁸) abermals successive Approximationen an. Er bildet die Näherungsfunktionen u1} u2f . . . genau nach der früheren Regel (s. Gleichung (21)). Die Grenzen für die Konvergenz der Reihe (23) werden dabei nur durch die Stetigkeitseigenschaften der Funktion F und ihrer ersten

$ H/    •    •

und 7^ bedingt: wenn insbesondere

partiellen Ableitungen nach u,

F und . . . für alle Punkte des vorgelegten Charakteristikenrecht-

—    dudu

ecks und für alle Werte von u, ₀

’ dx’ dy

endlich und stetig sind, fällt

der Konvergenzbereich des Verfahrens mit dem ursprünglichen Charakteristikenrechteck zusammen, wie gross man dieses auch nehmen möge.

Ein Beispiel hierzu liefert die Gleichung

¹

P. du-Bois Reymond sagt statt dessen „Hauptintegral der Differentialgleichung“ (1. c. p. 285).

²

   Par. C. R. 1888; J. de math. (4) 6 (1890), chap. I, § 1 und J. de math. (5) 2 (1896), § 1.

³

   Ann. de l’éc. norm. (3) 14 (1897), p. 379; chap. 1, § 12, p. 394.

⁴

   Rom Line. Rend. (4) 5² (1889), p. 35.

⁵

   A. Paraf, Tout. Ann. 6 (1892), p. 1.

⁶

   E. Picard, J. éc. pol. cah. 60 (1890), p. 89, wo indessen der Beweis nur unter der nicht notwendigen Annahme erbracht wird, dass die A, B, ■■ F analytische Funktionen von x und y sind.

⁷

   J. éc. pol. cah. 64 (1894), p. 55.

⁸

   E. Picard, J. de math. (4) 6 (1890); Introduction, p. 140.

⁹

   ibid. chap. 3, p. 173.

¹⁰

   1. c. chap. 1, § 13, p. 399.

¹¹

Nap. Atti (2a) 8 (1896), p. 1.

¹²

   Bull. soc. math. 24 (1896), p. 19 und J. de math. (5) 3 (1897), p. 311.

¹³

   Ann. éc. norm. (3) 14 (1897), p. 379 (Par. thèse 1898); chap. III, § 22.

¹⁴

   Ibid. § 17 u. 18.

¹⁵

   Ibid. cbap. IY.

Encyklop. d. math. Wissensch. II.

¹⁶

   Vgl. IIA 4 a, Fussnote 29.

¹⁷

   Nap. Atti (2) 8, 1896, p. 1.

¹⁸

   Note I in G. Darboux, Theorie générale des surfaces 4, p. 353 (1896) und Bull. soc. math. 22 (1894), p. 103.

= sin u,

d*u dxdy

welche in der Theorie der Flächen von konstantem negativen Krümmungsmasse vorkommt und von L. Bianchi*¹) mittels successiver Approximationen in der eben angedeuteten Weise behandelt ist.

Die Aufgaben der zweiten Art lassen sich auch durch Potenzreihen lösen²). Indessen erweist sich die Methode der successiven Approximationen der Methode der Potenzreihen insofern überlegen,

als sie im allgemeinen einen grösseren Konvergenzbereich besitzt wie diese und erheblich weniger Voraussetzungen über die funktionentheoretische Beschaffenheit der vorkommenden Funktionen verlangt. So müssen die Funktionen cp(x) und ^(y), welche man auf den Charakteristikenstücken für u vorschreibt, bei der Lösung durch Potenzreihen analytisch sein, während es bei der Methode der suc-cessiven Approximationen genügt, diese Funktionen mit Einschluss ihrer ersten Ableitungen als stetig vorauszusetzen. Nimmt man dagegen bei den successiven Approximationen die Annahme hinzu, dass die betr. Funktionen analytisch sind, so reicht die Gültigkeit der Methode ins komplexe Gebiet hinein: man erhält in der komplexen x-und ?/-Ebene als Konvergenzgebiet je einen Kreis, welcher von grösserem Radius ist, wie der Kreis, in dem man die Konvergenz der entsprechenden Potenzentwickelung⁴⁷) nach weisen kann.

8. Über den analytischen Charakter der durch partielle Differentialgleichungen definierten Funktionen. Der wesentlichste Unterschied zwischen den Lösungen der Differentialgleichungen vom elliptischen und hyperbolischen Typus beruht in folgendem (in dieser Allgemeinheit allerdings noch nicht bewiesenen) Satze: Die stetigen Lösungen einer elliptischen Differentialgleichung sind notwendig analytische Funktionen der unabhängigen Variabein, die stetigen Lösungen einer hyperbolischen Differentialgleichung sind es im allgemeinen durchaus nicht. Voraussetzung des Satzes ist natürlich, dass die in der Differentialgleichung selbst vorkommenden Funktionen analytisch (IIA1, Nr. 12) sind, insbesondere also bei einer linearen Differentialgleichung,

dass die Koeffizienten von u, ~ , • • • analytische Funktionen von x

und y bedeuten. (Und zwar heisst eine Funktion in einem gewissen Gebiete R analytisch in x und y, wenn sie an jeder Stelle x₀, yQ im Innern des Gebietes in eine nach positiven Potenzen von x — xQ, y — y₀ fortschreitende Reihe entwickelt werden kann.) Im folgenden sollen diejenigen Resultate zusammengestellt werden, welche die Richtigkeit des Satzes in besonderen Fällen bestätigen oder damit in Zusammenhang stehen.

I. Für die elliptischen linearen Differentialgleichungen, auf welche sich die einschlägigen Untersuchungen im wesentlichen beschränken, lässt sich der Inhalt des in Rede stehenden Satzes folgendermassen näher präzisieren: Selbst bei ganz willkürlich vorgeschriebenen nicht analytischen Randwerten von u auf der Begrenzung von R wird die Lösung im Innern von R eine analytische Funktion von x und y, wenn die Koeffizienten der Differentialgleichung innerhalb R analytische Funktionen von x und y sind.

Zum Beweise bietet sich am natürlichsten der Green’sche Satz aus Nr. 3, Gleichung (9) dar. Kennt man nämlich irgend eine Lösung v der adjungierten Gleichung M(v) = 0, welche im Innern von R an einem beliebigen Punkte wie log r unendlich wird und sich im übrigen durchweg analytisch verhält, so zeigt die genannte Gleichung unmittelbar, dass jede Lösung u der vorgelegten Gleichung L (u) — 0, welche den der Ableitung des Green'schen Satzes zugrunde liegenden Voraussetzungen entspricht, analytisch wird. In der That kommen in dieser Gleichung die Variabein x und y nur unter den Funktions-

3 V    •    •    •

Zeichen v und ^ vor. Ob die Begrenzung von R eine analytische

Kurve ist und ob die auf ihr vorgeschriebenen Randwerte analytischer Natur sind, ist dabei völlig gleichgültig.

Die angedeutete Schlussweise hat H. Weber³) zum Nachweise eines etwas spezielleren Resultates benutzt. Er zeigt nämlich im engsten Anschlüsse an Riemann⁴), dass alle stetigen Integrale der Differentialgleichung Au -f- läu — 0 beliebig oft differenziert werden können; die hierbei erforderliche Lösung v lautet einfach v — Y₀(]cr), wo Y₀ die Bessel’sche Funktion mit logarithmischer Unendlichkeitsstelle (II A 4 b, Nr. 45) bedeutet.

Allgemein beweist E. Picard⁵) für eine beliebige Differentialgleichung vom elliptischen Typus mit analytischen Koeffizienten:

A è w 1 ç\ -T) O I 3 U I 7~l C U I Tr~| 3 îl ■

A TT-ï    +    2R 5—5—k G    ô—» +    E ô—k    E 5—k Fie

ox2    1 oxcy ¹    ćy ¹ ex ¹ cy

(AC — B² > 0),

dass ihre Integrale, falls sie samt ihren Ableitungen der ersten und zweiten Ordnung stetig sind, zugleich auch analytisch werden. Die Beweismethode besteht in der wirklichen Herstellung der Lösung durch successive Approximationen. Der Satz dehnt sich auch auf lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung aus, deren Koeffizienten in einem gewissen Gebiete der xy-Ebene analytische Funktionen sind und deren Charakteristiken (vgl. Nr. 15) in demselben Gebiete durchweg imaginär verlaufen. Der Beweis ist von E. Picard⁶) angedeutet.

Uber das Gebiet der linearen und selbst über das der Differentialgleichungen von analytischer Form reicht der folgende Satz⁷) hinaus: Wenn in der Gleichung

Au = F(x, y, u),

du

ê u

(deren rechte Seite also von ^ und

die Variabein x, y und u partielle Differentialquotienten bis zur (n — l)tea Ordnung inch besitzt, so besitzt u solche bis zur ni&a Ordnung. Ist insbesondere F eine analytische Funktion, so existieren alle Differentialquotienten von u- dieselbe Schlussweise wird vermutlich genügen, um in diesem Falle die analytische Beschaffenheit von u nachzuweisen.

dy

frei ist), F in Bezug auf

Es ist klar, dass es bei allgemeiner Wahl der Randwerte nicht gelingen kann, die Lösung einer elliptischen Randwertaufgabe über das ursprüngliche Gebiet hinaus der Differentialgleichung gemäss stetig fortzusetzen, weil alsdann längs des Randes der analytische Charakter der Lösung verletzt wäre.

Bezeichnet man eine Linie, über welche hinaus diese Fortsetzung unmöglich wird, als singulär, so darf man hiernach sagen: Die singulären Linien können im Falle einer elliptischen Differentialgleichung, wenn anders die Randwertaufgabe in allgemeinster Weise lösbar ist, eine beliebige Gestalt und Lage haben. Bezeichnet man ferner einen Punkt, in dessen Umgebung die Entwicklung nach positiven Potenzen von x — Xq und y — y₀ versagt, als singulär, so wird man vermutlich hinzufügen dürfen: Auch die singulären Punkte können bei den Lösungen der elliptischen Differentialgleichungen jede beliebige Lage haben; wenigstens liegt diese Vermutung der obigen Definition der Green sehen Funktion (p. 516) zu Grunde und wird in speziellen Fällen (Au — 0, Au -j- k²u = 0) bestätigt.

Die Tendenz der elliptischen Differentialgleichungen, aus beliebig vorgeschriebenen Randwerten im Innern des Gebietes analytische Funktionen zu machen, kann dazu dienen, nicht-analytische stetige Funktionen mit beliebiger Genauigkeit durch analytische zu approximieren. Einige der Potentialtheorie entlehnte Beispiele hierfür giebt E. Picard⁸). In demselben Sinne benutzt ÜT. Weier strass⁹) die parabolische Wärmeleitungsgleichung, welche sich in dieser Hinsicht den elliptischen Differentialgleichungen an die Seite stellt. Weierstrass zeigt, dass man zu einer willkürlichen stetigen Function einer Variabein f(x) (Anfangszustand der Temperatur in einem eindimensionalen Wärmeleiter) durch Lösung der Wärmeleitungsgleichung eine Funktion von x und t (Temperaturzustand nach Verlauf der Zeit t) hinzukonstruieren kann, welche jene bei hinreichend kleinem t beliebig genau approximiert (vgl. auch Nr. 14).

F(x, t )

II. Dass bei einer hyperbolischen Differentialgleichung von einer entsprechenden Tendenz nicht die Rede sein kann, zeigt ohne weiteres, im Falle die Differentialgleichung linear ist, die Riemann’sche Darstellung ihrer Lösungen durch eine Green’sche Funktion (s. Gl. (13) von p. 518). Man überzeugt sich zunächst, dass die Green’sche Funktion selbst eine analytische Funktion von x und y wird, wenn die Koeffizienten der Differentialgleichung und also auch die für die Green’sche Funktion auf den Charakteristiken vorgeschriebenen Randwerte (s. Gl. (12')) analytisch sind. In der Riemann’schen Darstellung kommen nun ausserhalb des Integralzeichens die Terme (u Cf)a und (u'G)B vor, welche von den willkürlich vorgeschriebenen Werten von u in A und B abhängen. Denkt man sich die Werte von u längs der Kurve C (vgl. Fig. 1) einerseits als Function von x: u = (p{x), andrerseits als Funktion von y: u — il>(y) gegeben, so hat man uA = uB = <p(£). Ist überdies, wie wir voraussetzen wollen, C eine analytische Kurve, so werden GÄ und GB analytische Wertefolgen auf C. Aus Gleichung (13) geht daraufhin hervor, dass w(|, rj) nur dann eine analytische Funktion von | und y sein wird, wenn <p(|) in | und tp{rj) in rj analytisch ist. Ob also die Lösungen einer hyperbolischen Differentialgleichung analytisch werden, hängt durchaus von der Wahl der Bandwerte von u und (wie wir hinzufügen können) von

du

ab. Bei willkürlicher Wahl dieser Elemente und bei analytischer

Beschaffenheit von C werden die Lösungen jedenfalls nicht analytisch sein.

Die Umkehrung dieses Satzes beweist Et. Delassus⁵⁷) und sogleich für lineare Differentialgleichungen beliebiger (der pten) Ordnung: Wenn längs einer keine Charakteristik berührenden analyti-

als analytische

zwar

d*-¹

du

dnp

sehen Kurve C die Werte von u, —, • • ■

? dn

Funktionen etwa der Bogenlänge vorgeschrieben sind, wenn ferner in der Umgebung von C die Koeffizienten der Differentialgleichung analytische Funktionen von x und y sind und die höchsten Koeffizienten nicht gleichzeitig verschwinden, so lässt sich ein die Kurve C vollständig umgebendes Gebiet G abgrenzen, in dem eine den an-

gegebenen Bedingungen genügende analytische Lösung der Differentialgleichung existiert. Die Eigenart der hyperbolischen Differentialgleichungen zeigt sich dann darin, dass es daneben noch andere Lösungen geben wird, die auf C ebenfalls den vorgeschriebenen Bedingungen genügen, ohne mit jener analytischen Lösung überall in G zusammenzufallen. Zwei Lösungen einer hyperbolischen Differentialgleichung zweiter Ordnung, welche in einem gewissen Gebiete übereinstimmen, brauchen nur in dem kleinsten, dem Gebiet umschriebenen Charakteristikenviereck identisch zu sein. Zwei Lösungen einer elliptischen Differentialgleichung dagegen, welche in irgend einem Gebiete zusammenfallen, fallen durchweg zusammen.

Unter Zugrundelegung speziell einer analytischen Lösung entsteht die Frage nach den Singularitäten der Lösung, d. h. nach denjenigen Kurven oder Punkten der x, y-Ebene, über welche hinaus oder um welche herum die Potenzentwicklung der Lösung versagt. Diese Frage ist gleichzeitig von J. Le Roux¹⁰) und Et. Délassas¹¹) studiert. Beide Verfasser unterscheiden zwei Arten von singulären Linien, nämlich solche, die durch die Koeffizienten der Differentialgleichung bestimmt werden (feste oder wesentliche Singularitäten) und solche, die der speziellen Lösung eigenthümlich sind und durch Abänderung der Grenzbedingungen getilgt werden können (bewegliche oder zufällige Singularitäten). Feste Singularitäten können z. B. längs solcher Linien auftreten, wo ein Koeffizient der Differentialgleichung singulär wird, oder wo die Koeffizienten der höchsten in der Gleichung vorkommenden Differentialquotienten gleichzeitig verschwinden. Das wesentliche Resultat bezieht sich aber auf die beweglichen singulären Linien und lautet so: Dieselben fallen nothwen-digerweise mit Charakteristiken zusammen¹²). Mit Bezug auf die singulären Dünkte ergiebt sich ferner — ganz im Gegensatz zu den elliptischen Differentialgleichungen — : Isolierte singuläre Punkte von beliebiger Lage können überhaupt nicht auftreten-, sie sind vielmehr an die singulären Stellen der Koeffizienten der Differentialgleichung gebunden.

Auch die Singularitäten der parabolischen Differentialgleichungen scheinen in der Regel ganze Linien zu erfüllen und mit den Charakteristiken der Differentialgleichung zusammenzufallen¹³). So giebt es z. B. keine Lösung der Wärmeleitungsgleichung, welche lediglich in einer endlichen Anzahl im Endlichen gelegener Punkte singulär ist.

Mit der im allgemeinen nicht-analytischen Beschaffenheit der Integrale einer hyperbolischen Differentialgleichung hängt der folgende Umstand zusammen: Es seien längs einer Kurve C die Werte von u

und in der Weise vorgeschrieben, dass sie im übrigen gleich Null

und nur auf einem Stücke AB der Kurve von Null verschieden sind; dann ist das Integral u der Gleichung nur in demjenigen Gebiete von Null verschieden, welches begrenzt wird von den durch A und B verlaufenden divergierenden Charakteristiken.

Die Differentialgleichung sei beispielsweise die verallgemeinerte Gleichung der schwingenden Saite⁶²) (vgl. Nr. 13):

q(/) Jt* —p(ß)

d*u

W’ in welcher t die Zeit und z den Ort auf der Saite bedeutet. Die charakteristischen Kurven der z, (-Ebene sind dann durch die Formel gegeben:

Yq (z) dz = + Y piß) dt.

Die Kurve C falle mit der z-Axe zusammen und es sei der Saite im Anfangszustande (t — 0) eine Störung erteilt, welche sich auf das Segment AB der Saite beschränkt. Diese Störung greift mit wachsendem und abnehmendem t immer weiter um sich, so jedoch, dass sie nur den Raum zwischen den Charakteristiken 6), C₂ bez. Cß, Cß in Mitleidenschaft zieht, während ausserhalb dieses Raumes Ruhe herrscht. Den

dz -i..    • i

längs einer der genann-

-3-

C(t-o)

c;

Wert von ten Charakteristiken kann man als die

Fig. 4.    .

(rechtsseitige oder linksseitige) Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Störung ansprechen. Er ist = -f- ~J/

der Charakteristikengleichung gemäss durch t ausgedrückt denkt, gleich einer bestimmten, durch die Differentialgleichung definierten Funktion von t. (Konstant wird die Fortpflanzungsgeschwindigkeit im besonderen bei der gewöhnlichen Gleichung der schwingenden Saite: q = const., p — const.) In entsprechender Weise kann

P(t)

e0)

, d. h. wenn man noch z

man

bei jeder linearen hyperbolischen Differentialgleichung, wenn die eine der unabhängigen Variabein die Zeit, die andere eine räumliche Abmessung bedeutet, von einer bestimmten, endlichen, aus der Charakteristikengleichung zu entnehmenden Fortpflanzungsgeschwindigkeit reden.

Anders bei einer elliptischen (oder parabolischen) Differentialgleichung. Hier bringt es der analytische Charakter der Lösungen mit sich, dass jede irgendwo yorgeschriebene Randbedingung die gesammte Werteverteilung der Lösung beeinflusst, indem der Wert, den die Lösung in einem beliebigen Punkte annimmt, mit den Werten, die sie in jedem anderen Punkte besitzt, innerlich analytisch verknüpft ist. Z. B. ist es bei einer analytischen Lösung ausgeschlossen, dass sie in einem gewissen Gebiete gleich Null, in einem anderen von Null verschieden ist. Stellt also wieder die eine unabhängige Variable die Zeit, die andere eine räumliche Abmessung vor, so erstreckt sich eine anfängliche, partielle Störung des Ruhezustandes sogleich über das ganze in Betracht kommende räumliche Gebiet. Will man hier überhaupt von einer Fortpflanzungsgeschwindigkeit reden, so muss man sie als unendlich gross bezeichnen.

An diese Verhältnisse knüpft J. Boussinesq¹⁴) die folgende physiologische Bemerkung an: Die Eindrücke, welche unsere höheren Sinnesorgane, Auge und Ohr, empfangen, werden durch Differentialgleichungen reguliert, welche nach der Art und Weise, wie räumliche und zeitliche Differentialquotienten in dieselben eingehen, zum hyperbolischen Typus zählen und daher eine endliche Fortpflanzung bedingen. Dagegen werden unsere niederen Sinnes Wahrnehmungen, insbesondere der Temperatursinn, durch Differentialgleichungen vom parabolischen Typus beherrscht, denen eine unendliche Fortpflanzung entspricht. Es ist aber klar, dass nur bei endlicher Fortpflanzung eine Sonderung der aus verschiedenen Quellen stammenden Erregungen möglich ist, dass also nur hyperbolische Differentialgleichungen ein klares Bild der Aussenwelt vermitteln können, während sich bei parabolischen und elliptischen Differentialgleichungen, gerade wegen des analytischen Charakters ihrer Lösungen und der damit zusammenhängenden unendlichen Fortpflanzung, die äusseren Erregungen in ihrer deutlichen Wirkung auf unsere Organe gegenseitig beeinträchtigen. Es scheint also, dass die höhere oder niedere Beschaffenheit unserer Sinne durch den Typus der zugehörigen Differentialgleichungen bedingt wird.

II. Randwertaufgaben bei besonderen Differentialgleichungen. 9. Die Gleichung z/m -J- 7c²m — 0. Die Gleichung z/m -f- 7c²m = 0

ist nächst der Laplace’schen die wichtigste und bestuntersuchte partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung vom elliptischen Typus. Abgesehen von ihrem hervorragenden physikalischen Interesse reguliert mehr oder minder direkt alle stationären Schwingungsvorgänge der Akustik, der Elastizitäts- und Elektrizitätstheorie — ist sie auch deshalb von Wichtigkeit, weil sie ein einfachstes Beispiel dafür liefert, dass die Lösung der Randwertaufgabe für gewisse Gebiete unmöglich werden kann. Eine zusammenfassende Monographie ist über diese Gleichung von F. Pocketsu) herausgegeben worden.

Während sich die älteren Autoren mit der Aufstellung einzelner partikulärer Integrale begnügten, giebt H. von Helmholtz die erste prinzipielle Untersuchung über ihre Lösungen¹⁷). In den akustischen Problemen, von denen Helmholtz ausgeht, bedeutet m das Geschwindigkeitspotential einer in harmonischer Bewegung begriffenen Luft-

2 fJX/

masse, k — ~ ist eine durch die Elastizitätsverhältnisse der Luft

und die Schwingungsfrequenz bestimmte Konstante, l die Wellenlänge; da es sich bei Helmholtz um dreidimensionale Gebiete handelt,

ist z/ gleich

punkten“), wo äussere und zwar periodisch veränderliche Kräfte von der Amplitude q wirken, ist Gleichung (23) (Analogon der Laplaceschen Gleichung, II A 7 b, Gl. (4)) zu ersetzen durch

z/m -J- k²u = — 4tcq,

(Analogon der Poisson’schen Gleichung II A 7 b, Gl. (5)). Aus den einfachsten Partikularlösungen von (23) holtz die über ein räumliches Gebiet erstreckten Integrale F sin kr

J r

(23)

(23')

von

sie

d² d² d²

-f- 2yt “t⁻ Fz²‘    denjenigen Stellen („Erregungs-

dx²

und

cos kr

bildet Helm-

q dt,

r cos kr

J ~

q dt,

denen das erstere durchweg der Gleichung (23), das zweite inner-

64) Über die partielle Differentialgleichung du -f- k²u = 0. Mit einem Vorwort von F. Klein. Leipzig 1891. Der Gegenstand des Pockels’sclien Buches geht übrigens teilweise über diese Gleichung hinaus und betrifft (vgl. p. 20 desselben) die allgemeine sich selbst adjungierte lineare Differentialgleichung 2. Ordnung vom elliptischen Typus.

halb des Integrationsgebietes der Gleichung (23'), ausserhalb desselben der Gleichung (23) genügt, sowie die Oberflächenintegrale

I cos kr

J r

d cos kr -,

-— <9 do,

welche als Geschwindigkeitspotentiale einer einfachen und einer Doppelbelegung von Erregungspunkten bezeichnet werden und sich hinsichtlich ihrer Stetigkeit ebenso wie die entsprechenden elektrostatischen Potentiale (vgl. II A 7 b, Nr. 5 und 6) verhalten. Die Anwendung des Green¹ sehen Satzes zeigt dann, dass sich jede in einem gewissen Gebiete ausnahmslos stetige Lösung von (23) darstellen lässt als Wirkung einer auf der Oberfläche des Gebietes angebrachten einfachen und doppelten Schicht von Erregungspunkten. Eine Lösung mit

einer einzelnen Unendlichkeitsstelle vom Charakter ------ , welche an

der Oberfläche des Gebietes geeigneten Bedingungen genügt (vgl. Nr. 3, p. 517), spielt für dieses Gebiet die Rolle der Green’schen Funktion. Den für eine solche Funktion gütigen Vertauschungssatz drückt Helmholtz so aus: „Wenn in einem teils von endlich ausgedehnten festen Wänden begrenzten, teils unbegrenzten Raume Schall im Punkte a erregt wird, so ist das Geschwindigkeitspotential in einem anderen Punkte l) so gross, als es in a sein würde, wenn dieselbe Schallbewegung in b stattfände.“

An diese Helmholtz/schen Sätze knüpft JE. Mathieu⁶⁵) an; doch scheinen seine Resultate nicht überall zuverlässig zu sein⁶⁶).

Im Gebiete zweier unabhängiger Variabein ist unsre Differentialgleichung von H. Weher⁶¹) studiert worden. Einer der Weber’schen Sätze wurde bereits p. 534 erwähnt. Mit diesem hängt der folgende Satz zusammen, welcher offenbar für alle Differentialgleichungen mit lediglich analytischen Integralen gültig sein wird: Wenn längs eines

endlichen, übrigens beliebig kleinen Linienstückes u und

schwindet, so ist u identisch gleich Null; oder: Wenn u und ^

längs eines solchen Linienstückes bekannt ist, so ist u in der ganzen Ebene bestimmt. Weber leitet ferner das folgende Analogon zum Gaussischen „Satz des arithmetischen Mittels“ (vgl. II A 7 b, Nr. 13) ab: Der Mittelwert aller derjenigen Werte, welche eine beliebige stetige

6 do,

dn

du

dn

ver-

du

65)    J. de math. (2)    17 (1872), p.    265, und théorie du    potentiel    (Paris

1885/86, deutsch von H.    Maser, Berlin    1890), Kap. 10.

66)    Ygl. die Kritik    derselben bei    F. Fockeïs 1. c. p. 314    u. ff.

67)    Math. Ann. 1 (1869), p. 1.

Lösung u auf der Kreisperipherie vom Radius r annimmt, ist gleich dem Werte, den u im Mittelpunkte des Kreises besitzt, multipliziert in die Grösse J₀(kr), wo J₀ die Bessel’sche Funktion (II A 4 b, Nr. 44) bedeutet. Hieraus folgt weiter, dass jede Lösung u in jedem Kreise, dessen Radius gleich oder grösser ist als die kleinste Wurzel p der Gleichung J₀(Jcq) — 0, das Vorzeichen wechseln muss, dass also in jedem solchen Kreise eine Linie verläuft, längs der u verschwindet. Die ganze Ebene ist solchergestalt von Nulllinien jeder einzelnen Lösung der Differentialgleichung durchfurcht; wo mehrere, z. B. n Nulllinien (oder im Raume n Nullflächen) zusammenstossen, geschieht dieses stets unter dem gleichen Winkel ~ •¹⁵)

Weber wendet sich dann zur Randwertaufgabe und zeigt leicht, dass diese in allgemeinster Form sicher dann nicht lösbar ist, wenn für das betreffende Gebiet eine Lösung (77) existiert, ivelche im Innern desselben stetig und am Rande gleich Null ist. Der Green’sche Satz verlangt in diesem Falle nämlich:

(24)

„

“aïïÆs==°;

die Randwerte u dürfen also nicht willkürlich vorgeschrieben werden, sondern müssen der vorstehenden Bedingung gemäss gewählt werden. Ist dies geschehen, so ist andrerseits die Lösung der Aufgabe nicht eindeutig bestimmt; demi neben einer bestimmten Lösung u genügt auch, unter A eine willkürliche Konstante verstanden, u -f- lU den vorgeschriebenen Randwerten und sonstigen Bedingungen.

Die Lösungen U werden harmonische Funktionen (Poincaré)¹⁶), ausgezeichnete Lösungen (Rockels)¹⁷), Fundamentalschwingungen (Lord

8U

-f- h U — 0 (/& > 0, wenn dn die

Rayleigh)¹⁸) genannt. Statt der Randbedingungen U — 0 kommen 3 U

dn

auch die Bedingungen ^ — 0,

positiv nach aussen gerechnete Normale bedeutet) vor.

Das Haupttheorem über unsere Differentialgleichung besagt nun, dass es bei gegebener Gestalt des Gebietes unter Zugrundelegung einer der drei vorgenannten Randbedingungen stets unendlich viele, diskret liegende Werte von k² giebt, für welche ausgezeichnete Lösungen möglich sind. Die Hauptaufgabe besteht in der Berechnung dieser k² und der zugehörigen ausgezeichneten Lösungen.

Ihre physikalische Bedeutung im Falle eines zweidimensionalen Gebietes, an dessen Grenze die Bedingung U — 0 gilt, ist folgende: Man denke sich eine Membran, welche in einen festen Rahmen von der Gestalt der Gebietsberandung eingespannt ist. Dann bestimmen die Werte von lc² die Perioden der unendlich vielen rein harmonischen Eigenschwingungen, deren die Membran fähig ist, d. h. die Höhen der von der Membran ausgesandten Eigentöne. Die zugehörigen U geben die maximale Deformation der Membran bei Ausführung einer dieser Eigenschwingungen. Im Falle eines dreidimensionalen Gebietes, auf dessen Oberfläche — 0 vorge schrieb en ist, denke man

sich die Grenze des Gebietes als feste Wand und das Innere mit Luft erfüllt. Die rein harmonischen Eigenschwingungen dieser Luftmasse sind wiederum durch die U, die Tonhöhen durch die zugehörigen

dU

-f- hü = 0 endlich kommt bei

dn

Jä bestimmt. Die Randbedingung

den Problemen der Wärmeleitung vor, wo die in Rede stehenden Lösungen diejenigen Anfangszustände der. Temperatur bedeuten, welche sich bei freier Ausstrahlung des Körpers mit wachsender Zeit in der Weise ändern, dass sie sich mit einem Exponentialfaktor von der Form e—at multiplizieren.

Die Richtigkeit des Haupttheorems kann man durch folgende, schon von D. Bernoulli⁷²) benutzte mechanische Überlegung plausibel machen: Ein mechanisches System von n Graden der Freiheit besitzt genau n Eigenschwingungen, in denen es ohne äusseren Arbeitsaufwand um eine Gleichgewichtslage mit hinreichend kleinen Amplituden herumoscilliert, und dementsprechend n (verschiedene oder teilweise zusammenfallende) Perioden der freien Schwingung. Eine Membran, ein mit Luft gefüllter Raum etc. ist aber ein mechanisches System von unendlich vielen Graden der Freiheit. Diesem werden also unendlich viele Eigenschwingungen zukommen.

Einen analytischen Beweis des Haupttheorems, der aber in der vorliegenden Form gleichfalls nicht den Anspruch auf Strenge machen kann und denselben Einwänden unterliegt, wie der Beweis des Dirichlet’schen Prinzipes durch Riemann (vgl. II A 7 b, Nr. 25 auch wegen der Beseitigung dieser Ein wände durch JD. Hilbert), formuliert

H. Weber⁷³). Er betrachtet die über das Gebiet R erstreckten Integrale

72)    Petrop. Comm. 6 (1738), p. 116 und Petrop. Nov. Comm. 19 (1775) besonders p. 246 ; in allgemeinster Fassung bei Lord Rayleigh, Theory of Sound, Kap. IY, § 69 ff.

73)    1. c. § 5 ff. Der Text schliesst sich an § 7 an.

und stellt sich die Aufgabe, unter allen Funktionen u, welche an der Grenze von li verschwinden, diejenige, U, zu finden, für welche A = 1 und B so klein wie möglich wird. Die Variationsrechnung (II A 9, Nr. 24) zeigt, dass diese Function Ul der Differentialgleichung AUx -f- kx Ut — 0 genügen muss, in welcher k² gerade gleich dem fraglichen Minimalwerte von B ist. Nimmt man also an, dass das aus lauter positiven Elementen bestehende Integral B seine untere Grenze wirklich erreicht, so ist die Existenz der ersten ausgezeichneten Lösung Z7j bewiesen. Um in derselben Weise die zweite ausgezeichnete Lösung U₂ zu erhalten, legt Weber der Funktion u ausser den bisherigen noch die folgende Bedingung

J uTJxdx dy — 0

auf. Der unter diesen Umständen kleinstmögliche Wert von B liefert den Wert von k₂²] die Funktion u = U₂, für welche dieser kleinstmögliche Wert angenommen wird, genügt der Differentialgleichung AU₂ -j- k₂ U₂ — 0 und stellt die zweite ausgezeichnete Lösung dar. Um die dritte zu gewinnen, wird die Bedingung

J*uU₂dx dy

dU

= 0,

-Jil¹ dx dy,

/{© + ©

dx dy

hinzugenommen u. s. f. Übrigens behandelt Weber durch eine geringe Abänderung dieser Schlussweise auch die Grenzbedingungen

O

y -f- hü — 0, sowie die allgemeine Randwertaufgabe, bei der an der

Grenze von R beliebige Werte von u vorgeschrieben sind, letztere unter der Voraussetzung, dass k² von den vorher gefundenen ausgezeichneten Werten &x², /%% • • • verschieden ist.

In dem Buche von F. Pocketsu) erscheint (bis auf je einen konstanten Faktor) A als kinetische, B als potentielle Energie einer

in der Schwingung u sin begriffenen Membran; die Weber’sche

Betrachtung wird von diesem Standpunkte aus durch das Hamilton-sche Prinzip der Mechanik nahegelegt.

Auf dreidimensionale Gebiete ist die Weber’sche Betrachtung mit geringen Modifikationen von H. Poincaré¹⁹ 20) übertragen, der sich die

Bedenklichkeit der Methode nicht verhehlt, sie aber benutzt, um Grenzen aufzusuchen, zwischen denen, unter Voraussetzung ihrer Existenz, die Zahlen Je* liegen müssen. Poincaré entwickelt die Bedeutung der Methode an dem Bilde der Wärmeleitung und zeigt, dass sich beim Übergänge von einem kontinuierlichen zu einem molekular konstruierten Medium die partielle Differentialgleichung in ein System gewöhnlicher linearer Gleichungen und die Bestimmung der ausgezeichneten Werte von Je² auf ein Hauptachsenproblem im Raume von Bm Dimensionen (unter m die Anzahl der Körpermoleküle verstanden) reduziert.

Über den exakten Beweis des Haupttheorems wird in der nächsten Nummer berichtet werden. Hier mögen zunächst einige Ergebnisse über die Abhängigkeit der ausgezeichneten Werte h² von der Gestalt des Gebietes zusammengestellt werden.

H. A. Schwarz²¹) beweist, dass sich hei stetiger Gebietsänderung der kleinste ausgezeichnete Wert Ttx² stetig verändert und dass er bei fortgesetzter Verkleinerung des Gebietes unbegrenzt wächst. Dieselbe Thatsache drückt Lord Rayleigh²²) so aus, dass er sagt: Eine Verringerung der Trägheit bewirkt bei einem beliebigen mechanischen System eine Verkleinerung der Perioden der Eigenschwingungen. (Im Falle einer Membran ist nämlich eine Gebietsverkleinerung mit einer Verringerung der schwingenden Masse und einer Vergrösserung von Je,: mit einer Verkürzung der Perioden der Eigenschwingungen gleichbedeutend.) Den Beweis liefert Lord Rayleigh nur für Systeme von endlichen Freiheitsgraden. Derselbe Autor spricht auch den Satz aus, dass unter allen Gebieten von gleichem Flächeninhalt dem Kreise der kleinste Wert k ² zukomme²³).

Kreis, Kreissektor, Kreisring etc.,

Für die folgenden ebenen oder räumlichen Gebiete sind die ausgezeichneten Lösungen bekannt: Rechteck und rechtwinkliges Parallelepipedon — trigonometrische Funktionen Kugel, Kugelsektor etc. — Bessel’sche Funktionen in Kombination mit trigonometrischen oder Kugelfunktionen —, Gebiete, welche von vier konfokalen Kegelschnitten bez. von sechs konfokalen Flächen zweiten Grades begrenzt werden — Produkte von Funktionen des elliptischen Cylinders²⁴) bez. von verallgemeinerten Lamé’schen Funk-

35

tionen²⁵). Eine systematische Aufzählung aller dieser Fälle giebt M. Bocher²⁶).

F“);

Es kann Vorkommen, dass einem und demselben Werte k? mehrere Funktionen U entsprechen („mehrfach ausgezeichneter Wert von beim Rechteck tritt dies ein, wenn die Seiten desselben kommensurabel sind, in welchem Falle sich zahlentheoretische Fragen anschliessen²⁷).

10. Die Existenz der ausgezeichneten Lösungen.

Nachweis derselben bei H. A. Schwarz und H. Poincaré. Eine Untersuchung über Minimalflächen führte H. A. Schwarz³⁵) auf die Frage, ob die Differentialgleichung

i

dx² "■

Exakter

d*y>

(i. + *' + yY

in einem gegebenen, ganz im Endlichen gelegenen Gebiete B nur durchweg von Null verschiedene stetige Lösungen besitze oder ob im Innern des Gebietes eine Kurve verlaufen könne, auf der eine stetige Lösung den Wert Null annehmen kann. Im ersten Fall stellt ein gewisses Minimalflächenstück ein wirkliches Minimum des Flächeninhalts dar, im zweiten Falle nicht. Der Grenzfall, in dem die genannte Nullkurve mit dem Rande des Gebietes zusammenfällt, bedarf dabei hinsichtlich seiner Bedeutung für die Minimalflächentheorie (III D 5) einer besonderen Untersuchung. Indem Schwarz diese Frage verallgemeinert, untersucht er die Gleichung d²u dx²

(25)

dy²

d*u

w

in der f eine in B positive, analytische Funktion von x und y bedeutet.

Eine Lösung u dieser Gleichung, welche im Innern von B stetig und auf dem Rande gleich 1 ist, stellt er formal durch ein Verfahren successiver Approximationen her, welches für alle späteren Untersuchungen von Picard u. a. (vgl. Nr. 5 und 6) vorbildlich geworden ist. u erscheint dabei als Summe der folgenden unendlichen Reihe von Näherungsfunktionen:

Uq — 1, u1} u%,... un — 2n

hjfV’rt

jt

un _ ! ix, y) G {x, y, x, y) dx d y,

in der G die Green’sche Funktion der Potentialtlieorie für das betr. Gebiet bedeutet. Die Frage der Konvergenz macht die Einführung der folgenden durchaus positiven Integrale nötig:

Wq, W₁₉ W₂,...,Wn=ff(x, y) Un (x, y) dx'dy,

R

zwischen denen die Ungleichungen bestehen

wt ' wa . ws „ w₀< w±< tt₂ < '    < g>

unter g den grössten Wert der Näherungsfunktion % verstanden. Die Reihe der Quotienten

hat also eine endliche obere Grenze

K-1

(I A 3, Nr. 16), welche Schwarz mit c bezeichnet. Diese charakteristische Konstante c giebt den gewünschten Aufschluss über die Konvergenz der Reihe 'Sur.

Wenn nämlich c < 1 ist, so konvergiert die Reihe in dem betrachteten Gebiete gleichmässig und stellt die gesuchte Lösung der Differentialgleichung (25) dar.

Der Satz lässt sich auch folgendermassen fassen:

Wenn c beliebig und |||<1 Je, so konvergiert die Reihe Stltk gleichmässig in R und stellt eine Lösung der Differentialgleichung

(25')

zlu -J- I f (x, y) u = 0

dar, welche im Innern von R stetig ist und auf dem Rande den Wert 1 annimmt.

Schwarz macht darauf |£| = l/c, in welchem Falle die Reihe 'St¹ U;. divergiert. Das allgemeine Glied derselben nähert sich nämlich mit wachsendem Stellenzeiger einer von Null verschiedenen Grenze, welche Ut heissen möge und welcher die folgenden Eigenschaften zukommen:

Für alle Innenpunkte von R ist Ul endlich und stetig (sogar analytisch, wenn f (x, y) eine analytische Funktion von x und y ist) und genügt der Gleichung

ft

JU₁ + \*f(x,y)U₁=0, (V

auf dem Rande wird Ul = 0.

Die vorstehenden Sätze sichern zunächst im Falle 111 < — die

Lösbarkeit der Randwertaufgabe: eine im Innern von R stetige, auf dem Rande den Wert 1 annehmende Lösung von (25) anzugeben; (bei beliebig vorgeschriebenen Randwerten braucht der Beweis nur wenig modifiziert zu werden). Gleichzeitig liefern sie den Beweis für die Existenz der ersten ausgezeichneten Lösung Ut und gestatten,

35

den zugehörigen ausgezeichneten Wert kx² = 1/c wirklich zu berechnen. (Die in der vorigen Nummer betrachtete Differentialgleichung ergiebt sich einfach, indem man f (x, y) — 1 setzt.) Übrigens sind die Schwarz’sehen Entwickelungen allgemein genug, um sogleich den Fall eines die Ebene mehrfach überdeckenden Bereichs mit einer endlichen Anzahl von Windungspunkten zu umfassen.

Das Schwarz’sche Verfahren ist von E. Picard²⁸) einen Schritt weiter geführt. Picard untersucht die Natur der Reihe 'Stiu; als Funktion von £ und zeigt, dass dieselbe für £ — k³ —\/c einen einfachen Pol besitzt, dass nämlich die Differenz

Fi

ś -V

durch eine Potenzreihe in £ mit grösserem Konvergenzradius dargestellt wird, wie die ursprüngliche Reihe 'StiUi. Dieser Konvergenzradius liefert den zweiten ausgezeichneten Wert Ł/.

Den vollständigen Beweis der Existenz sämtlicher ausgezeichneter Lösungen verdankt man H. Poincaré²⁹*). Den historischen Sachverhalt kennzeichnet dieser im Anschluss an den zweidimensionalen Fall einer schwingenden Membran gelegentlich folgendermassen³⁰): Schwarz hat die Existenz des Grundtons einer Membran bewiesen, Picard die des ersten Obertones; er selbst beweist die der höheren Obertöne.

Poincaré betrachtet ein dreidimensionales, von analytischen Flächen begrenztes, nicht unendlich ausgedehntes Gebiet und legt in diesem die Gleichung

(25")

z1u -f- £w -j- f — 0

zu Grunde, in der £ eine komplexe Variable, f eine gegebene Funktion des Ortes bedeutet. Die Lösung u dieser Gleichung, welche auf der Oberfläche des Gebietes verschwindet, wird nach dem Schwarz’schen Verfahren aus den Funktionen u₀, ux, u₂,. . . in der Form

u = uQ -f- £wj -|- £²m₂ ~h • * *

zusammengesetzt. Das wichtigste Theorem Poincare's besagt nun, dass die durch dieses Funktionselement definierte Funktion der komplexen Variabein £ in der ganzen £ - Ebene den Charakter einer rationalen Funktion besitzt, (meromorph ist). Zum Beweise betrachtet Poincaré neben u die folgenden Teilreihen:

u — u₀

«l —

(26)

— 1 - Up~2

Vp - Mp_i -}-    -f" |2³¹fp+l    =

und setzt aus ihnen mit den disponibeln Konstanten au a₂, . . . ap die neue Reihe zusammen:

(27)

W — CiU —J— Ci^ V<2 "I⁻ • • • CCp Vp ,

ten

deren Konvergenzradius bei hinreichend grossem p und geeignet gewählten cc,; beliebig gross gemacht werden kann. Aus den Gleichungen (26, 27) folgt dann eine Darstellung von u als Quotient einer in £ beliebig weit konvergenten Potenzreihe und eines Polynoms (p — 1) Grades

Die Wurzeln des letzteren sind die Pole der meromorphen Funktion u, deren absoluter Betrag kleiner ist wie der Konvergenzradius von

(27). Sie liegen sämtlich auf der reellen positiven Achse der |-Ebene und sind für die meromorphe Funktion u Unendlichkeitspunkte erster Ordnung. Ihre Anzahl wächst mit wachsendem p ins Unendliche³¹).

Seien

t _ 7. 2    7. 2    7.2

diese Pole und

r>    ? ^2 )••• y "P

A± , A% U> ,..., Ap—i Up—i die zugehörigen Residuen der meromorphen Funktion u. Dann genügen die U den folgenden Bedingungen:

A Ui -(- ki² Ui — 0 . . . (im Innern des Gebietes),

Ui — 0 . . . (auf der Oberfläche des Gebietes), j ZT? dt — 1 . . . (bei passender Wahl der Ai).

Die Funktionen U sind also ausgezeichnete Lösungen der Differentialgleichung Au -j- kfu = 0 oder, nach der Bezeichnung Poincare’s, harmonische Funktionen. Die Konstanten k? stellen die ausgezeichneten Werte von k² dar, und bestimmen die Tonhöhen der öetr. Eigenschwingungen.

Ausser der Existenz der ausgezeichneten Lösungen ist hiermit zugleich die Lösbarkeit der folgenden allgemeinen Randwertaufgabe für alle Werte von k² ausser für Je² = kf, k², . . . und für jedes beliebige und beliebig grosse Gebiet II bewiesen: Gesucht wird eine Lösung der Differentialgleichung /dw -\-k²w = 0, welche im Innern des Gebietes B stetig ist und auf der Oberfläche desselben vorgegebene Werte annimmt. In der That, bestimmt man 1) eine Funktion v durch die Bedingung, dass v im Innern yon B die Gleichung ziv = 0 befriedigt und auf der Oberfläche die für w vorgeschriebenen Werte annimmt und 2) eine Funktion u dadurch, dass u im Innern von B der Gleichung /du -f- k²u -j- k²v = 0 genügen und auf der Oberfläche von B verschwinden soll, so ist w = v -j- u die Lösung der genannten Randwertaufgabe. Die Existenz von v ist aber aus der Potentialtheorie bekannt, während u genau die von Poincaré konstruierte meromorphe Funktion ist, falls man k² mit | und k²v mit f identifiziert.

Der Gedankengang des Poincaré’schen Beweises entspricht einem (schon von Laplace ausgesprochenen und in England vielfach nach Sir John Herschel benannten) Prinzip der Mechanik, nach welchem die Perioden der freien Schwingungen eines mechanischen Systems diejenigen sind, deren erzwungene Schwingungen ausarten und unendliche Amplituden annehmen. In der That bedeutet (25") die Gleichung einer Schwingung, welche durch eine periodisch veränderliche Kraft von der Amplitude f angeregt wird, während die ausgezeichneten Lösungen freie Schwingungen darstellen, welche, einmal eingeleitet, ohne äussere Kraft dauernd fort-bestehen können. Die Schwingungszahlen der letzteren, welche den Grössen ki proportional sind, werden nun, nach dem „Herschel’schen“ Prinzip sowohl wie nach dem Poincaré’schen Beweise, durch diejenigen Werte von ]/| berechnet, für welche die erzwungene Schwingung u unendlich wird. Ähnlich liegen die Verhältnisse in dem zweidimensionalen Falle (schwingende Membran) bei Schwarz. Die Lösung u, welche auf dem Rande den Wert 1 annimmt, entspricht abermals einer erzwungenen Schwingung, bei weicher die periodisch wirkende äussere Kraft auf den Rand wirkend zu denken ist und überall dieselbe Amplitude 1 hat. Das Unendlichwerden dieser Lösung für £ = k² zeigt wieder an, dass die Periode dieser erzwungenen Schwingung gleich einer freien Schwingungsperiode der Membran geworden ist. Im eindimensionalen Falle (schwingende inhomogene Saite, gewöhnliche Differentialgleichung) kommt derselbe Gedanke sogar schon bei J. Liouville⁸⁶) vor. Liouville zeigt, dass die Reihe

uo "f" £% +    ~f" * * •?

deren einzelne Koeffizienten uL successive aus der Gleichung d²u.

dx*=—f(x)    (f>°)

bestimmt werden, für jeden Wert von £ konvergiert, der kleiner ist als eine bestimmte Wurzel einer gewissen transcendenten Gleichung, durch welche die ausgezeichneten Lösungen („Sturm’schen Funktionen“) der Differentialgleichung

(PU

dxs

+ Wf(x) U=0

bestimmt werden.

Yon hier aus gewinnt auch die Bedingung (24), welcher die vorzuschreibenden Randwerte unterworfen werden müssen, wenn Je ein ausgezeichneter Wert ist, eine einfache Bedeutung. Sie besagt nämlich⁶⁴), dass die den Randwerten entsprechenden, auf die Begrenzung der Membran wirkenden Kräfte so gewählt werden müssen, dass sie keine Arbeit leisten.

Poincaré macht es fernerhin sehr wahrscheinlich⁸⁴), dass sich seine

Methode auf die Randbedingung -f- hu = 0 ausdehnen lässt, dass

also auch in diesem Falle die erzwungene Schwingung u eine mero-morphe Funktion von £ ist und dass sich die freien Schwingungen TJi, welche bei dieser veränderten Randbedingung möglich sind, als Residuen von u berechnen lassen.

Auf die Gleichung A A (u) — Uzu = 0, welche bei der schwingenden Platte dieselbe Rolle spielt, wie die Gleichung Au -)- Fu — 0 bei der schwingenden Membran, sind die Poincaré’schen Resultate von 6r. Lauricella³²) übertragen. Dass auch die allgemeinen dreidimensionalen Probleme der Elastizitätstheorie diesen Methoden zugänglich sind, zeigen G. Lauricella³³ 34) sowie, in einigen vielversprechenden Noten, E. und F. Cosseratsd).

11. Die Gleichung Au — l(?u = 0. Von der vorhergehenden Gleichung unterscheidet sich die jetzige namentlich dadurch, dass bei ihr ausgezeichnete Lösungen unmöglich sind. Die allgemeinen Sätze aus Nr. 4 zeigen nämlich, dass keine Lösung dieser Differentialgleichung ein positives Maximum oder ein negatives Minimum besitzen könne. Daraus folgt, dass es keine stetige Lösung giebt, die auf der

Begrenzung eines geschlossenen Gebietes Null und im Innern von Null verschieden ist, und ferner, dass es nur eine Lösung geben kann, die in einem geschlossenen Gebiete stetig ist und auf der Begrenzung gegebene Werte annimmt. Dies gilt sowohl für ein drei- wie für ein zweidimensionales ganz im Endlichen gelegenes Gebiet. Die entsprechenden Sätze beweist C. Neumann³⁵) auch für ein dreidimensionales unendliches Gebiet, welches im Endlichen durch eine geschlossene Oberfläche begrenzt wird (d. h. also für das Äussere einer solchen Oberfläche), unter Hinzunahme der weiteren Voraussetzung, dass die Lösung u in allen unendlich fernen Punkten ein und denselben konstanten Wert besitze, welcher, wie sich herausstellt, kein andrer , wie der Wert Null sein kann.

Dass es andrerseits bei vorgeschriebenen Randwerten stets eine Lösung der Differentialgleichung giebt, folgt aus den allgemeinen Theoremen von Nr. 5 und 6, sowie aus der vorstehend besprochenen Arbeit von H. Poincaré. Neumann³⁵) beweist dieses durch seine Methode des arithmetischen Mittels (II A 7 b, Nr. 27). Er betont dabei, dass sich die Anwendung dieser Methode merkwürdiger Weise hier viel einfacher gestaltet, wie in der Potentialtheorie. Ebenso wie dort wird hier die Annahme gemacht, dass die Begrenzungsfläche S des fraglichen (dreidimensionalen) Gebietes B etwa mit Ausnahme einzelner ebener Bestandteile durchweg honvex sei. (Übrigens hat sich in der Potentialtheorie gezeigt, dass das Neumann’sche Verfahren auch ohne diese Annahme konvergiert, vgl. II A 7 b, Nr. 27; dasselbe wird vermutlich auch hier zutreffen.) Die Grösse des Gebietes unterliegt keinen Beschränkungen. Es wird sowohl die Randwertaufgabe für das Innere wie für das Äussere der konvexen Oberfläche gelöst.

An die Stelle des Newton’schen Potentials 1 Jr tritt im vorliegenden Falle die folgende charakteristische Lösung der Differentialgleichung

¹

   Line. Rend. (5) 3¹ (1894), p. 143 = Vorles. über Differentialgeometrie Kap. 17, § 298 der deutschen Ausgabe (Leipzig 1899).

²

   G. Darboux, Théorie générale des surfaces, 2, art. 364.

³

   Math. Ann. 1 (1869), p. 1, § 1.

⁴

   Diss. Göttingen Art. 10 (1851) == Ges. Werke, 2. Aufl., p. 20.

⁵

   J. éc. polyt. cah. 60 (1890), § 1—4.

⁶

   Par. C. R. 121² (1895), p. 12.

⁷

   E. Picard, J. de math. (4) 6 (1890), chap. I, § 6.

⁸

   Par. C. R. 112 (1891), p. 183.

⁹

   Berk- Ber. 1885², p. 633 u. 789.

¹⁰

   Ann. éc. norm. (3) 12 (1895), p. 227»

¹¹

   Vgl. Fussnote 57 und J. de math. (5) 4 (1898), art. 28 ff.

¹²

   Inhaltlich denselben Satz spricht J. Horn, Math. Ann. 33 (1889),

¹³

p. 313 aus.

¹⁴

Cours d’analyse, 2, art. 460, p. 448. Paris 1890. Die Boussinesq’schen Ausführungen sind im Texte etwas frei wiedergegeben.

¹⁵

   F. Pockels, 1. c. p. 225.

¹⁶

   Pal. Rend. 8 (1894), p. 88. Sonst wird der Terminus in anderm Sinn gebraucht (II A 7 b, Nr. 2).

¹⁷

   1. c. p. 3.

¹⁸

   Th. of Sound.

¹⁹

   1. c. p. 51 ff.

²⁰

   Amer. J. of math. 12 (1890), p. 211 und Theorie analytique de la propagation de la chaleur. Paris 1895, chap. 15, p. 239.

²¹

   In der Fussnote 35 genannten Arbeit; vgl. p. 260 der Ges. Werke.

²²

   1. c. § 88.

²³

   1. c. § 211.

²⁴

   Diese treten im Anschluss an die vorliegende Gleichung zuerst bei E. Mathieu, J. de math. (2) 13 (1868) auf; über einen speziellen Fall derselben (Funktionen des parabolischen Cylinders) vgl. II. Weber, 1. c., § 9 ff., p. 27.

Encyklop. d. math. Wissensch. II.

²⁵

F. Klein bei Pockels 1. c. p. 133 und Bocher p. 254 (s. die nächste

Fussnote).

²⁶

   Über die Reibenentwickelungen der Potentialtheorie, Leipzig 1894, p. 256.

²⁷

   Vgl. G. Lamé, Élasticité des corps solides, Paris 1852, 10me leçon; Riemann-Hattendorff, Partielle Differentialgleichungen. 3. Aufl. Braunschweig 1882, § 95, p. 253.

²⁸

   Par. C. R. 117 (1895), p. 502.

²⁹

   Pal. Rend. 8 (1894), p. 57.

³⁰

   Par. C. R, 118 (1894), p. 447.

³¹

Herr V. Volterra machte deu Ref. darauf aufmerksam, dass der Poincare' sehe Beweis an dieser Stelle eine Lücke hat. Es könnte nämlich sein, dass bei der zu Grunde gelegten Funktion f alle Nullstellen von P von einer gewissen Stelle ab durch gleichzeitiges Verschwinden des Zählers von u aufgehoben würden. Volterra füllt diese Lücke aus, indem er f passend abändert. Vgl. hierzu G. Lauricella, Ann. di mat. (2) 26 (1897), p. 112, Anm. und E. Le Moy, Par. thèse 1898, Nr. 54, 55 (Ann. éc. norm. (5) 14, 1897).

³²

   Tor. Mem.    (2)    46 (1896), p. 65 und Nuovo    Cimento    (4) 4 (1896), p. 134.

³³

   Tor. Mem.    (2)    45 (1895), p. 295.

³⁴

   Par. C. R.    12.    April, 18. April, 8. August    1898.

³⁵

Allgemeine Untersuchungen über das Newton'sche Prinzip der Fernwirkungen. Leipzig 1896. Kap. 9.

= e~r (k > o).

Bildet man mit dieser das Integral

r,J

d cp (r)

do,

erstreckt über irgend eine konvexe Fläche S, indem man den Anfang des Fahrstrahls r in einen festen Punkt der Fläche legt und den Endpunkt bei der Integration die ganze Fläche überstreichen lässt, so gilt

8n

f',f"

der Hülfssatz, dass dieses Integral stets Meiner als 1 wird (während es in der Potentialtheorie für cp(r) = ~ stets gleich 1 ist).

Neumann bildet nun der Reihe nach die folgenden über die Fläche S erstreckten Integrale:

dcp (r)

w=kf

dn

fdo, w-±f

8 cp (r)

dn

fdo, w" = ±f

dn

fdo,..

in welchen f die vorgeschriebenen Randwerte der gesuchten Lösung, . . diejenigen Werte bedeuten, welche W, W, . . . auf S annehmen; der Endpunkt des Fahr Strahls r überstreicht wieder die Fläche S, der Anfangspunkt liegt in einem beliebigen inneren oder äusseren Punkte x, y, z. Alle diese Integrale genügen der Differentialgleichung und erleiden einen Sprung von der Grösse + f, + f, 4~ f".. wenn man sich vom Innern oder Äussern her auf die Grenzfläche S begiebt. Alsdann liefert die Reihe

U=w-W'+ W" - W'" + •.. die Lösung der Randwertaufgabe für das Innere, und gleichzeitig u = —W—W— W" - W'"----

die für das Äussere der Fläche S. Diese Reihen konvergieren nämlich auf Grund des angegebenen Hülfssatzes und genügen vermöge ihrer Bildungsweise der Differentialgleichung und der Randbedingung.

12. Die Gleichung zlu — keu (k > 0). Diese Gleichung kommt in der Theorie der Flächen von konstantem negativen Krümmungs-mass (III D 5, 6) vor ; sie besagt, dass die Fläche vom Linienelement ds² ==    (dx² -j- dy²) das konstante Krümmungsmass —kf be

sitzt. Das besondere Interesse, welches sich an ihre Integration heftet, rührt indessen davon her, dass das sog. Fundamentaltheorem in der Theorie der automorphen Funktionen (vgl. IIB 6 c) auf die Existenz ihrer Lösungen basirt werden kann, wie zuerst von H. A. Schwarz²¹) durch Stellung einer diesbezüglichen Preisaufgabe angedeutet wurde.

Der Existenzbeweis für die Lösungen dieser Differentialgleichung in einem hinreichend kleinen sowie in einem beliebigen, ganz im Endlichen gelegenen Gebiet bei vorgeschriebenen Werten auf dem Rande desselben ist in den allgemeinen Sätzen von Nr. 5 und 6 enthalten. Auch ist es nach Nr. 4 klar, dass die Randwertaufgabe eindeutig bestimmt ist.

Was man indessen im Hinblick auf die funktionentheoretischen Anwendungen zu wissen wünscht, ist etwas anderes. Hier wird

üD Gott. Nachr. 1890, p. 216.

die Existenz einer Lösung verlangt, welche auf einer unberandeten Riemannschen Fläche eindeutig ist, der Differentialgleichung genügt und im allgemeinen stetig verläuft mit Ausnahme einer endlichen Anzahl vorgeschriebener, teils im Endlichen teils im Unendlichfernen gelegener logarithmischer Unendlichkeitsstellen, deren Multiplizitäten an gewisse Ungleichungen geknüpft sind.

Dass stets eine und nur eine diesen Bedingungen genügende Lösung der Differentialgleichung existiert, ist zuerst von E. Picard⁹²) bewiesen worden. Picard zeigt zunächst, dass die Randwertaufgabe für ein ganz im Endlichen gelegenes Gebiet durch Einführung der logarithmischen Unstetigkeiten nur unwesentlich erschwert wird. Trennt man nämlich die Glieder, welche das logarithmische Unendlichwerden verursachen, von der gesuchten Lösung ab, so ergiebt sich für den übrig bleibenden stetigen Bestandteil U die Differentialgleichung AU = &eu, in der © eine positive Funktion von x und y bedeutet. Die Integration dieser neuen Gleichung kann aber nach den allgemeinen Sätzen aus Nr. 6 in demselben Umfange für erledigt gelten, wie die der ursprünglichen Au = keu. Sodann führt Picard den Fall, wo eine Randwertaufgabe für das Äussere einer ganz im Endlichen gelegenen Kurve vorgeschrieben ist, durch eine Inversion auf den Fall zurück, wo eine entsprechende Aufgabe für das Innere einer solchen Kurve gestellt ist. Ist endlich die Möglichkeit der Integration für das Gesamtgebiet der schlichten Ebene bewiesen, so macht der Übergang von dieser zu der Riemanrischen Fläche keine wesentliche Schwierigkeit; viel mühsamer ist der Übergang von der begrenzten zu der unbegrenzten schlichten Ebene. Diesen bewerkstelligt Picard durch ein Verfahren „ringförmiger Verschmelzung“.

Man schlage zwei konzentrische Kreise C und C' (C'<C G), welche beide die im Endlichen gelegenen logarithmischen Unstetigkeiten ein-schliessen. Nach den vorhergenannten Sätzen über begrenzte Bereiche ist es möglich, eine Lösung u zu konstruieren, welche auf C gegebene Randwerte annimmt und im Innern von C bis auf die vorgeschriebenen logarithmischen Unstetigkeiten stetig ist, sowie eine Lösung v, welche auf C' gegebene Werte hat und sich im Aussern bis auf die im unendlich fernen Punkte vorgeschriebene Unstetigkeit stetig verhält. Man bildet nun zwei Reihen von Näherungsfunktionen ulf u₃, • • vlf v₃, • • nach folgendem Gesetz: Für vt schreibe man auf C' diejenigen Werte vor, welche U/ auf C' annimmt, für |_i auf C diejenigen, welche Vi dort besitzt. Für die Konvergenz des Verfahrens kommt alles darauf an, die Ausgangswerte von % auf C passend zu wählen; sie werden so bestimmt, dass sie in ihrer Gesamtheit zwischen zwei hinreichend grossen negativen Zahlen enthalten sind; ferner werden die Radien von C und C ' hinreichend gross und hinreichend wenig verschieden angenommen. Alsdann gelingt der Beweis, dass die Reihe der u und die der v je nach einer Grenze konvergiert und dass diese Grenzen in dem Kreisringe zwischen C und C ' zusammenfallen. Der Existenz-beweis ist damit für die schlichte Ebene erbracht und lässt sich, wie erwähnt, auf die Biemann’sehe Fläche leicht übertragen.

Einen zweiten Beweis, der auf ganz anderen Prinzipien beruht, hat II. Poincaré⁹³) gegeben. Poincaré legt von vornherein die ganze unberandete Biemann’sehe Fläche zu Grunde, die er sich nach dem Vorgänge F. Klein’s als beliebig gekrümmtes, nirgends verzweigtes räumliches Gebilde denkt („Klein’sche Fläche“, vgl. II B 2). Die gesuchte Lösung u wird dann eine Funktion des Ortes auf dieser Fläche; der spezielle Ausdruck z/m, welcher bei der aus ebenen Blättern bestehenden Riemann’schen Fläche auftrat, ist hier durch den allgemeinen Ausdruck des zweiten Differentialparameters Du zu ersetzen. Werden noch alle Unstetigkeiten, welche der Lösung u aus funktionentheoretischen Rücksichten auferlegt werden mögen, von dieser in geeigneter Weise abgetrennt, so findet Poincaré für den übrig bleibenden stetigen Bestandteil U die Differentialgleichung

(28)

DU — &eu — 0, in der © und 0 gegebene Funktionen sind und © > 0 ist. Es handelt sich darum, zu zeigen, dass dieser Gleichung durch eine auf der ganzen Klein’sehen Fläche ausnahmslos eindeutige und stetige Funktion genügt werden kann.

Zum Beweise betrachtet Poincaré eine ganze Reihe von Differentialgleichungen, welche durch successive stetige Abänderung aus einander hervorgehen. Die erste derselben ist die Potentialgleichung, welche für die zu Grunde gelegte Fläche DU — 0 lautet; die letzte ist Gleichung (28). Es wird nun immer gezeigt, dass eine auf der Fläche eindeutige und stetige Lösung je für die folgende Differentialgleichung angegeben werden kann, wenn sie für die vorhergehende gefunden ist.

Eine Lösung der Potentialgleichung mit zwei beliebig vorzuschreibenden logarithmischen Unendlichkeits- und zwei Nullstellen liefert der reelle Teil G eines zu der Fläche gehörigen Integrals dritter Gattung mit rein imaginären Perioden (IIB 2, Nr. 16). Dieser spielt für die Fläche

die Rolle einer Green’schen Funktion. Aus G lässt sich eine überall endliche Lösung der Differentialgleichung DU — cp in der Form eines

über die Gesamtfläche erstreckten Oberflächenintegrals ^J*Gcpdco

herstellen; cp ist dabei eine im übrigen willkürliche Funktion des Ortes, welche nur der Bedingung gcpdco = 0 zu genügen hat.

Sodann lässt Poincaré die Gleichung DU = cp übergehen in

(29)

DU — cqU cp

mit Hülfe der Zwischenform

(29')

Dît — XrjU -f- cp -f- X(cp — cp) ;

rj und cp bedeuten abermals willkürliche, auf der Fläche definierte Funktionen des Ortes, welche nur gewissen Stetigkeitsbedingungen zu genügen haben; A ist ein Parameter. Gleichung (29') lässt sich durch eine Potenzreihe in A integrieren, deren einzelne Koeffizienten Ui als successive Lösungen der Gleichung DUi— cp,: erhalten werden; die Konvergenz dieser Reihe erfordert zunächst, dass A unterhalb einer durch die Grösse von rj bestimmten Grenze liegt. Durch mehrmalige Wiederholung solcher Entwickelungen wird indessen die Konvergenzgrenze schliesslich bis zu A = 1 herausgeschoben, wobei dann Gleichung (29') in Gleichung (29) übergeht.

(30)

Darauf betrachtet Poincaré die Gleichung DU= ®(eü — a),

(31)

in der a eine positive Konstante, ® wie in Gleichung (28) eine positive Funktion des Ortes ist. Diese gestattet die triviale Lösung U = log cc. Durch Abänderung von (30) ergiebt sich DU = ®eü — cc® — Xcp

(31)

(cp eine positive Funktion, A ein Parameter). Als Lösung von wird nun abermals eine Potenzreihe in A angesetzt, welche für A = 0 in log cc übergeht und deren Koeffizienten sich als successive Lösungen von Gleichung (29) berechnen lassen. Die Reihe konvergiert für ein gewisses Wertgebiet A; durch Wiederholung der Entwickelung kann die Lösbarkeit von (31) für ein beliebiges A dargethan werden.

Gleichung (31) stimmt aber mit der vorgelegten Gleichung (28) überein, wenn man cc® -f- Xcp — 0 setzt. Die Existenz der fraglichen Lösungen jener Gleichung ist somit auf einem zweiten Wege bewiesen.

Übrigens geht der Poincaré’sche Beweis insofern über den Picard’schen hinaus, als Poincaré gewisse Singularitäten, denen in den funktionentheoretischen Anwendungen die sog. parabolischen Zipfel

(cycles de troisième espèce, IIB 6 c, Nr. 5) entsprechen, zulässt, während sie Picard ausschliefst.

13. Die Gleichung der schwingenden Saite und ihre Verallgemeinerungen. Die einfachste Differentialgleichung von hyperbolischem Typus, die der schwingenden Saite bei konstanter Dichte q und konstantem Drucke p, lautet, wenn äussere Kräfte nicht wirksam sind:

(32)

d*u_ diu

wofür man auch bei passender Wahl der Zeit- und Längeneinheit schreiben kann:

dtu_diu

(32')

In den neuen Yariabeln x = z -J- t, y — z — t nimmt sie die „Normalform“ an:

(32")

d*u

dxdy

= 0,

(Gleichung der freien Saitenschwingungen).

Die älteste und einfachste Lösung dieser Gleichung ist die d’Alembert’sehe ¹):

u = tp(x) t(y).

Wegen der älteren Geschichte des Problems sei auf B. Biemann²) verwiesen. Eine anschauliche „Konstruktion“ der Lösung giebt \G. Monge³).

Um die d’Alembert’sche Lösung dem Falle anzupassen, wo u und

längs einer Kurve C vorgeschrieben sind, welche von keiner der Charakteristiken x = const., y = const, zweimal geschnitten wird, be-

8 Vj

dn

rechne man aus den Werten von u und mit Zuhülfenahme der

als Funktion von y-

8 %

Kurvengleichung ^ als Funktion von x und

dann bestimmen sich die Terme cp und ^ der d’Alembert’schen Lösung durch blosse Quadratur.

Handelt es sich andrerseits um eine Saite, längs welcher zeitlich und örtlich veränderliche Kräfte angreifen, so lautet die Differentialgleichung in der Normalform:

d*u dxdy

('Gleichung der erzwungenen Saitenschwingungen). Zu der d’Alembert-schen Lösung tritt in diesem Falle noch das Glied hinzu

= F(x, y)

àUn

erstreckt über dasjenige Gebiet, welches von der Kurve C und den durch den fraglichen Punkt x, y gehenden Charakteristiken eingeschlossen ist. Man folgert dies z. B. aus der allgemeinen Gleichung (11), wenn man v — 1 nimmt.

In dem wirklichen Problem der schwingenden Saite liegen die Verhältnisse etwas anders, wie sie in der allgemeinen Theorie der hyperbolischen Differentialgleichungen (s. Kr. 7) vorausgesetzt werden. Die Saite habe die Länge l und sei an den Enden festgeklemmt. Für

t — 0 wird u und

Die

längs der Saite willkürlich gegeben.

„Kurve C“ der x, «/-Ebene wird in diesem Falle mit der Geraden x — y — 0 identisch und zwar mit demjenigen Stücke derselben, welches von 0(x = 0,y = 0) bis P (x = l, y = l) reicht. Auf diesem

Stücke ist u und gegeben. Nach der allgemeinen Theorie ist die

Lösung nur in dem Rechteck OQPQ' bestimmt (vgl. Fig. 5). .cc-y-o Im vorliegenden Falle wird aber

/' (t>= Oj

7>'

///

O'

{///

die Lösung für den unendlichen Streifen O'OPP' verlangt. Dabei ist zu berücksichtigen, dass nicht

du

nur längs OP u und , sondern

auch längs O' 0 und PP' (wegen Festklemmung der Endpunkte) u = 0 gegeben ist⁹⁷). Die letztere Bedingung erfüllt man durch ein gewisses „Spiegelungsverfahren“⁹⁸),

Fig. 5.

97)    HWeber machte den Ref. darauf aufmerksam, dass die Begrenzung O'OPP' nicht mehr der Bedingung genügt, von jeder Charakteristik nur einmal geschnitten zu werden. Die Charakteristiken, welche OP schneiden, treffen nämlich teils auch O'0, teils PP'. In je zwei solchen zusammengehörigen

Punkten können dann aber die Werte von u und ^ nicht mehr willkürlich

on

vorgeschrieben werden; sie müssen einer Bedingung genügen, die H. Weber in einer Neubearbeitung von Riemann-Hattendorff, Part. Differentialgl. der Physik, entwickeln wird, und die im vorliegenden Palle erfüllt ist.

98)    Riemann-Hattendorff 1. c. § 75, p. 197.

indem man die längs OP vorgeschiebenen Werte von u und

«à

auf

der Verlängerung von OP in geeigneter Weise symmetrisch wiederholt. So erhält man für die beiderseits unendlich verlängerte Gerade

CD Cd

OP solche Werte von u und

, welche die Lösung u in der ganzen

x, «/-Ebene eindeutig bestimmen und welche die für die Geraden O'0 und PP' vorgeschriebene Bedingung u = 0 von selbst erfüllen.

Ganz verschieden hiervon ist eine Behandlung, die von D. Bernoulli") herrührt und auf dem Gedanken beruht, dass sich die allgemeinste Bewegung der Saite durch Superposition rein harmonischer Bewegungen (Eigenschwingungen) zusammensetzen lässt, einem Gedanken,- der von Euler ¹⁰°) geradezu als Bernoulli’sches Prinzip bezeichnet wird und der von Fourier später präzisiert und verallgemeinert worden ist. Hier ist die Reihenfolge, in welcher die für den Anfangszustand (t = 0) und für die Endpunkte der Saite (z = 0, 8 — 1) vorgeschriebenen Bedingungen erfüllt werden, die umgekehrte. Man sucht zuerst solche Partikularlösungen der Differentialgleichung (32), welche der Bedingung u — 0 für 8 = 0 und 8 = 1 genügen, nämlich

cos

. nnz sin -5—

an zweiter Stelle bildet man aus ihnen unendliche Summen (Fourier’sehe Reihen), welche den für t = 0 vorgeschriebenen Werten von u und

dt

(! U genügen. (Vgl. IIA 8.)

Entsprechend dem hyperbolischen Charakter der Differentialgleichung pflanzen sich Unstetigkeiten in den vorgeschriebenen Anfangswerten oder in ihren Differentialquotienten ins Innere des Integrationsgebietes fort. Hieraus folgt, dass z. B. im Falle der gezupften

Saite für t = 0 in einem Punkte unstetig^ die Differentialgleichung längs eines ganzen Linienzuges der x, «/-Ebene nicht erfüllt ist. Auf die eigentümlichen Schwierigkeiten, welche sich hieraus für die Lösung durch Fourier’sehe Reihen ergeben, sind F. Lindemann⁴ 5 6) und A. Harnack⁷) eingegangen.

Eine erste Verallgemeinerung der vorangehenden Gleichung ist die Differentialgleichung der schwingenden Saite im widerstehenden Mittel,

welche von der sog. Telegraphistengleichung (der Differentialgleichung, die nach der älteren Theorie die Ausbreitung des elektrischen Potentials in einem Kabel reguliert) und von der Differentialgleichung für eine nur von einer räumlichen Koordinate abhängige Lichtschwingung in einem absorbirenden Medium nicht verschieden ist. Man kann ihr bei passen

der Wahl der Längen- und Zeiteinheit eine der folgenden Formen geben:

(33)

8²v

oder

dt*

8z²

(33')

oder endlich

d*u 8²u    .    , a rr t\

ß 2%    (u 4 Ve )

dt*

(33")

8*u

dxdy

-f- u = 0, (x — z -f- t, y — z — t).

Sie hat auch deshalb ein Interesse, weil sich die allgemeinste lineare hyperbolische Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten (vgl. pag. 511) auf diese Form bringen lässt.

Die Integration dieser Gleichung ist von H. Poincaré10S) durch Fourier’sehe Integrale, von E. Picardm) nach der Riemann’schen Methode (vgl. Nr. 3) ausgeführt. Es wird angenommen, dass für t — 0

gleich Null sind, aus

und beliebiges s die Werte von u und

genommen im Intervalle a < z < b. Die „Kurve C“ in der x, y-Ebene fällt wieder mit x — y — 0 zusammen. Die Green’sche Funktion G(x, y, |, rf) wird einfach gleich der Bessel’schen Funktion J (]/ (x — £) (y —~qj) (II A 4 b, Nr. 44). In der Riemann’schen Darstellungsweise (s. Gl. (13)) zerlegt sich u von selbst in zwei Bestandteile, deren erster als reguläre, ohne Formveränderung fortschreitende Welle, deren zweiter als eine Art Residuum aufgefasst werden kann, das von der regulären Welle zurückgelassen wird.

Die Differentialgleichung einer schwingenden Saite von (örtlich) variabler Dichte ę und (zeitlich) wechselnder Spannung p wird unter dem Namen der „harmonischen Gleichung“ von G. Darboux¹⁰⁵) und W. Wirtinger⁶²) studiert. Sie lautet:

8iu

(34)

c>0)

8t*

= p{ 0

d²u

8 z*

103)    Par. C. R. 117 (1893), p. 1027 und Théorie analytique de la propagation de la chaleur, Paris 1895, § 75—84, p. 134.

104)    Par. C. R. 118 (1894), p. 16 und Bull. soc. math. 22 (1894), p. 2. Wesentlich dieselben Resultate hat schon Laplace, Par. Hist. 1779, mémoire sur les suites § 29 (oeuvr. 10, p. 60).

105)    Th. gén. des surfaces, 2, art. 406 ff., Paris 1889.

oder, wenn man die Parameter der schon pag. 538 berechneten Charakteristiken als Koordinaten x, y einführt :

d*u dxdy

Zur Integration derselben bieten sich zwei Methoden dar, von denen die eine mit der d’Alembert’schen, die andere mit der Bernoulli-schen Methode zusammenfällt, wenn man zu dem speziellen Palle p = const., p — const, übergeht.

Bei der ersten Methode handelt es sich darum, die Green’sche Funktion im Sinne lliemanris herzustellen. Wirtinger bemerkt dabei¹⁰⁶), dass die successiven Approximationen, welche die Existenz der Green-sehen Funktion beweisen, im vorliegenden Falle so schnell konvergieren (von der Ordnung, in welcher die aufeinanderfolgenden Glieder der Bessel’schen Reihe abnehmen), dass sie auch zur numerischen Berechnung dienen können.

Bei der zweiten Methode geht man von geeigneten partikulären Integralen der Differentialgleichung aus. Der Umstand, dass p nur von z und p nur von t abhängt, ermöglicht es, Gleichung (34) durch ein Produkt einer Funktion y(z) von z und einer Funktion s(f) von t allein zu integrieren. Diese Funktionen bestimmen sich durch die beiden gewöhnlichen Differentialgleichungen:

+ k²Q(z)y = 0,

in denen k einen disponibeln Parameter bedeutet. Nimmt man p und p als positive Funktionen an, was ja durch ihre physikalische Bedeutung nahe gelegt wird, so fallen die Gleichungen (35) in die Klasse der Sturm'sehen (vgl. Art. II A 7 a, Nr. 2). Es seien nun die Partikularlösungen yx, y₂ bez. sx, s₂ von (35) so bestimmt, dass für z — 0 Vi = Vi =    & = 1? Vz = 0 bez- für £ = 0 sx = 0, sx= 1,

s₂ = 1, s₂' = 0 wird. In der Theorie der Sturm’schen Differentialgleichungen wird bewiesen, dass es eine unendliche diskrete Reihe von Parameterwerten kx, k₂,. . . giebt, welche z. B. der Gleichung yx(l, k) — 0 genügen. Bildet man daher unter Zugrundelegung irgend eines dieser „ausgezeichneten Parameterwerte“ das Produkt Ui = yx (z, ki) {a-, sx (t, ki) -j- h/, s₂ (t, kî)},

so hat man eine Partikularlösung von (35), welche der für die Enden der Saite (z = 0 und z = l) geltenden Bedingung (u = 0) genügt. Bildet man sodann eine unendliche Reihe aus solchen Partikular-

(34')

(35)

= [ç>0 + y) +    — y)]u-

d*s

dt*

-f- k²p (f) s = 0,

106) In der Fussn. 62) genannten Arbeit p. 374.

Encyklop. d. math. Wissensch. II.

36

lösungen, so lässt sich diese zur Darstellung willkürlicher Funktionen verwenden (vgl. den folgenden Art.) und man kann die Koeffizienten di, bi so wählen, dass u = 'Sit; den für t = 0 vorgeschrieben Anfangsbedingungen entspricht. Die Lösung des Problems wird nach dieser Methode also durch eine Reihe gewonnen, welche in beiden Variabein z und t den Charakter einer Sturm-Liouville sehen Reihe besitzt.

Wirtinger zeigt auch⁶²), wie man durch Reihenentwickelung der Green’schen Funktion einerseits oder durch Summation der Sturm-Liouville’sehen Reihe andrerseits von der einen zur anderen Methode übergehen kann.

In dem besonderen Falle p = const, oder p = const, gehen nach den Differentialgleichungen (35) die Sturm’schen Funktionen y oder s in trigonometrische über und die Reihe wird in einer der beiden unabhängigen Variabein vom Charakter der Fourier’schen. Setzt man gleichzeitig p ===== const, und p = const, voraus, so wird die Reihe in beiden Variabein eine Fourier’sche und man hat die Bernoulli’sche Lösung des elementaren Problems der schwingenden Saite.

14. Die Warmeleitungsgleichung. Die Wärmeleitungsgleichung ist die einzige Gleichung von parabolischem Typus, welche genauer behandelt ist und auch bei dieser bezieht sich die Untersuchung nur auf diejenigen speziellen Gebiete, welche für die physikalische Anwendung Interesse haben, so dass über die allgemeine Form der bei dieser und überhaupt bei parabolischen Differentialgleichungen möglichen Randwertaufgabe nichts bekannt ist.

Es handle sich zunächst um die Wärmeleitung in einem linearen Leiter (bez. um einen Vorgang, der nur von einer räumlichen Koordinate x abhängt). Die Gleichung lautet dann

du

dt ~ °⁷

(36)

d³u dx²

wo t (bei passender Wahl der Einheit) die Zeit bedeutet. Das ausschliesslich betrachtete Gebiet in der (x, t)- Ebene besteht aus einem Streifen, der durch die Geraden t = 0, x — 0; x = l begrenzt wird¹⁰⁷). Auf dem Rande dieses Streifens sind die Werte von u vorgeschrieben.

107) Ygl. indessen L. Saalschütz, Astr. Nachr. Nr. 1321 (1861) § 12 ff. und J. Stefan, Wiener Ber. 98, 2 a (1889), p. 473, 616, 965 und Wiener Monatshefte 1 (1889), wo das Gebiet von einem Stücke der x-Axe, von der positiven t-Axe und dem Parabelbogen x = c yt begrenzt und auf der Begrenzung u vorgeschrieben wird. Dies Problem entspricht der Wärmeleitung in einer Wassersäule, die an schmelzendes Eis grenzt, wobei sich die Grenze x zwischen Wasser und Eis nach dem Gesetze x = c Yt fortschiebt.

Gesucht wird u im Innern des Streifens für t > 0. Die Aufgabe entspricht der Temperaturbestimmung in einem unendlich dünnen Stabe von der Länge l, für welchen die Anfangstemperatur in jedem Punkte und die Temperatur an den Enden für jede spätere Zeit gegeben ist, während die übrige Oberfläche des Stabes vor Wärmeabgabe geschützt wird. In dieser Aufgabe ist der Fall der Halbebene (t > 0) eingeschlossen, welcher der Wärmebewegung in einem beiderseits unendlich langen Stabe entspricht. Statt an den Endflächen die Temperatur direkt zu geben, kann man hier freie Ausstrahlung in einen Raum von der (ev. variabeln) Temperatur ut bez. u₂ vorschreiben, was nach dem Newton’sehen Erkaltungsgesetz die Bedingungsgleichungen

(37)

du

-{- h(u — ut) — 0,

CU Cu

-j- h(u — u₂) — 0 (für x = 0 und x — l)

mit sich bringt. Auf noch eine andere Grenzbedingung wird man geführt, wenn man die Enden des Stabes x = 0 und x — l zusammengebogen denkt, also die Wärmeleitung in einem Ringe untersucht; dann lautet die Grenzbedingung dahin, dass die Werte von u in je zwei gegenüberliegenden Punkten der Begrenzungsgeraden x = 0 und x — l des vorher genannten Streifens übereinstimmen müssen: u(0,t) = u(l,t). Das letztere Problem ist schon von Fourier⁸) gelöst; dabei treten die elliptischen fl-Funktionen zum ersten Mal in der Analysis auf. Desgleichen behandelt Fourier⁹) und vor ihm Laplace¹⁰ 11) den Fall der Halbebene (Wärmebewegung in einem beiderseits unendlich langen Stabe). Eine Form der Lösung, welche Fourier hierfür angiebt, lautet

hJF®e “ **•

unter F (!) die von ! = — oo bis | = -J- oo willkürlich vorgeschriebene Anfangstemperatur verstanden. Lord Kelvinm) deutet dieselbe sehr anschaulich als Superposition unendlich vieler Einzelwirkungen, welche

1    (X — g)²

je von der Stelle | ausgehend nach dem Gesetze (tc t) ² e räumlich und zeitlich fortgepflanzt werden.

Der Fall eines Stabes von endlicher Länge, welcher an seinen Endflächen frei ausstrahlt, wird von Fourier gelegentlich des dreidimensionalen Problems eines durch Ausstrahlung sich abkühlenden

36

Würfels¹²) erledigt. Die Methode ist für Fourier und seine Nachfolger charakteristisch. Fourier beginnt mit einer Partikularlösung der Gleichung (36) yon der Form: a cos kx e~In dieser wird Ti so gewählt, dass die Grenzbedingungen (37) (die bei Fourier 1. c. übrigens etwas spezieller lauten) erfüllt sind. Es ergiebt sich für Ti eine transcendente Gleichung, von der bewiesen wird, dass sie unendlich viele reelle Wurzeln Jcn besitzt: schliesslich ist noch der Nachweis erforderlich, dass eine willkürliche Funktion (die vorgeschriebene Anfangstemperatur) in eine trigonometrische Reihe von der Form 'Sdn cos linx entwickelt werden kann.

du

-ßj — 0 genügt, dass sie in einem willkürlichen Punkte |, t

__y ___(g — £)²

unendlich wird wie (t — r) ² e ⁴(^ —r) und ausserdem geeignete Randbedingungen erfüllt.

Über den funktionentheoretischen Charakter der Lösungen geben folgende Sätze einigen Aufschluss:

In dem Probleme des Ringes und des beiderseits unendlich ausgedehnten Stabes ist, wie auch der Anfangszustand F(x) zur Zeit t — 0 beschaffen sein möge, die Lösung der Differentialgleichung für t > 0 eine analytische Funktion sowohl von x wie von t.¹³) Dagegen ist dieses für t = 0 auch in solchen Stellen x nicht notwendig der Fall, wo der Anfangszustand selbst als analytische Funktion gegeben

ist. Ein Beispiel dafür giebt S. Kowalewski¹⁴) [nämlich F(x) — r~rx bei x = 0]. Hiermit hängt die von Lord Kelvin ¹⁵) und P. Appell¹⁶)

Um Aufgaben mit komplizierten auf solche mit einfacheren Randbedingungen zu reduzieren, leistet auch hier der Green’sche Satz¹⁷) und die Einführung einer Green’sehen Funktion¹⁸) gute Dienste. Letztere ist so zu definieren, dass sie der zu (36) adjungierten Gleichung d²u

dx²

behandelte Frage zusammen, ob ein gegebener Temperaturzustand F(x) als Folge eines früheren angesehen werden kann. Dies ist im Allgemeinen nicht möglich. Eine notwendige (aber nicht hinreichende) Bedingung besagt, dass in diesem Fall F(x) eine ganze transcen-dente Funktion von x sein muss. Verfolgt man irgend eine Lösung u der Wärmeleitungsgleichung der Zeit nach immer weiter rückwärts, so stösst man notwendig einmal auf eine Unendlichkeitsstelle, es sei denn, dass sich u auf eine Konstante reduziert.

Die den willkürlichen Funktionen in den oben genannten Problemen aufzuerlegenden Stetigkeitsbedingungen behandelt A. Harnack¹⁹).

Es ist vielfach²⁰) bemerkt worden, dass, wenn man die Differentialgleichung durch Potenzreihen auflöst, in den Koeffizienten derselben zwei oder eine willkürliche (in diesem Falle natürlich analytisch zu wählende) Funktion auftreten, je nachdem man die Reihe nach Potenzen von x oder von t ordnet. Der Grund hiervon liegt in dem parabolischen Charakter der Differentialgleichung.

Das allgemeine Problem der Wärmeleitung, welches bei einem beliebigen dreidimensionalen räumlichen Gebiet B auftritt und welches auch als „Fourier’sches Problem“ bezeichnet wird, ist folgendes: Gesucht wird diejenige Lösung u der Wärmeleitungsgleichung, welche für t — 0 im Innern von B in eine willkürlich vorgeschriebene Funktion des Ortes übergeht und für t > 0 auf der Oberfläche von B

•    •    $ 1Â/

der Bedingungsgleichung der freien Ausstrahlung ^ -J- ha — 0 genügt.

Die von Fourier selbst (wenn auch zum Teil nicht in voller Allgemeinheit) behandelten Gebiete sind²¹) die Kugel, der Kreis-cylinder, das rechtwinklige Parallelepipedon. Von G. Lamé²²) wurden einige ebenflächig begrenzte Gebiete hinzugefügt, welche sich durch besondere geometrische Symmetrie auszeichnen.

Ganz allgemein fasst H Poincaré²³) das Fourier’sche Problem an. Seine Lösung gilt für ein beliebiges dreidimensionales (als endlich vorausgesetztes) Gebiet B und wird in den soeben genannten speziellen Fällen mit den von den älteren Autoren gefundenen Lösungen

identisch. Sie lehrt daher nicht nur die Existenz, sondern auch in jedem Falle die geeignetste Berechnungsweise der Lösung kennen.

Poincaré stützt sich auf die Existenz der ausgezeichneten Lösungen der Differentialgleichung A U -f- &² U = 0 für das in Rede stehende Gebiet. Da diese einstweilen nur unter der besonderen Randbedingung U = 0 vollständig bewiesen ist (vgl. pag. 549), so ist auch die Poincaré’sche Lösung des Fourier’schen Problems nur in dem Falle lückenlos, wo als Randbedingung u = 0 vorgeschriehen, wo also in der allgemeineren Bedingung der freien Ausstrahlung h gleich oo genommen wird.

Es werde nun die im Innern des Gebietes vorgeschriebene Anfangstemperatur u₀ in eine Reihe nach den ausgezeichneten Lösungen U1} U2} • • • des Gebietes R entwickelt:

u₀ = -<4j L) -j- ALj TJ% —• • •.

Die Koeffizienten bestimmen sich dabei durch die Formel

A.n —0 ü-IndT,

Welche Voraussetzungen über die Funktion u₀ zu machen sind, damit die Möglichkeit und die Konvergenz dieser Entwickelung bewiesen werden kann, wird im folgenden Artikel erörtert werden.

Die Poincaré’sche Lösung des Fourier’schen Problems lautet dann

einfach:

u = Ax QerV* + Ą F^~kłt ----;

sie stellt ganz im Sinne Fourier's die gesamte Wärmebewegung als Überlagerung einer unendlichen Reihe von Partialbewegungen dar, deren jede wesentlich durch die geometrische Beschaffenheit des Gebietes bestimmt ist.

Von Poincaré weicht Éd, Le Roy²⁴) in seiner schon mehrfach genannten Behandlung der Wärmeleitungsgleichung insofern ab, als er die Möglichkeit der Lösung direkt durch die Auskehrungsmethode beweist und die Entwickelung nach ausgezeichneten Lösungen nur zur Formulierung der Schlussresultate benutzt. Er umgeht auf diese Weise gewisse Schwierigkeiten des Poincaré’schen Verfahrens.

15. Schlussbemerkungen betr. die Differentialgleichungen von höherer als der zweiten Ordnung und mehr als zwei unabhängigen Variabein. Den ersten Schritt zur Kenntnis solcher Differentialgleichungen bildet die Übertragung des Charakteristikenbegriflfes.

A>

Die Differentialgleichung sei

dpu

dpu

ut (    du

F\x’,y’u’dx,"‘

LA

dy*-¹)'

dpu

dp-

+ • • • + A₁

¹ dxp 1dy

Die Gleichung der Charakteristiken lautet dann nach Monge¹²⁵)

8xp

8yp

A₀dyP — A₁dyp~¹dx + • • • + (— 1 )pApdxp = 0.

Durch jeden Punkt der x, y-Ebene gehen p reelle oder imaginäre, verschiedene oder teilweise zusammenfallende Charakteristiken. Dementsprechend wird man von einem rein elliptischen Typus, von einem rein hyperbolischen und parabolischen Typus sprechen, je nachdem alle p Charakteristiken imaginär, reell verschieden oder zusammenfallend sind. Ausserdem werden sich alle möglichen Zwischentypen ergeben.

Eine hyperbolisch-parabolische Gleichung ist z. B. die folgende:

n -f- m = p, i= !, ², • • -,P — 1,

7c = 1, 2,..., p — i— 1.

Ihre p Charakteristiken sind sämtlich reell; n derselben fallen in die x-, m in die «/-Richtung. Auf diese Gleichung dehnt Et. Delassus¹²⁶) die Riemann’sche Integrationsmethode der hyperbolischen Differentialgleichungen (s. Nr. 3) aus. Die Green’sche Funktion G(x, «/; |, y), auf deren Berechnung die Lösung von (38) bei vorgeschriebenen

^Mp—i längs eines beliebigen, keine Charakteristik berührenden Kurvenstückes zurückgeführt werden kann, genügt den folgenden Bedingungen: Sie ist eine Lösung der zu adjungierten Gleichung und sie befriedigt längs der Charakteristik x — I bez. y — rj n bez. m Bedingungsgleichungen zwischen den Werten der Funktion und ihren p — 1 ersten Differentialquotienten. Der Vertauschungssatz von p. 519 tritt auch hier in Kraft. Die Existenz der Green’schen Funktion folgt aus ihrer Darstellung durch successive Approximationen.

Über den funktionentheoretischen Charakter der Lösungen von Differentialgleichungen mit lauter reellen Charakteristiken wurde schon p. 537 im Anschluss an die Arbeiten von Et. Delassus und J. Le Doux berichtet.

(38)

dpu

8xn dym

Aa

di+ku

dxx 8y

du

Werten von • u, ^,

(38)

p. 510.

125)    Appl. § XXI, 5.

126)    Ann éc. norm. (3) 12 (1895), Suppl. Vgl. auch Par. C. R. 117 (1893),

Den anderen äussersten Fall bilden die Differentialgleichungen mit lauter imaginären Charakteristiken, welche selbstverständlich von gerader Ordnung sein müssen. Eine allgemeine Theorie derselben steht noch gänzlich aus (vgl. indessen ein p. 534 genanntes Resultat von E. Picard). Nur einige spezielle Fragen bei speziellen Gleichungen dieser Art sind hier zu erwähnen.

Als einfachste Gleichung höherer Ordnung bietet sich A Au — 0 oder allgemeiner (A)nu — 0 dar. Erstere Gleichung tritt zuerst bei jE. Mathieu²⁵ 26-) im Anschluss an ein Problem der Elastizitätstheorie auf. Eine Darstellung derjenigen Funktionen, welche dem Newton-schen Potentiale 1/r entsprechen , giebt A. Gutzmerm). T. Levi-Cività²⁷) behandelt die Transformationen der Gleichung in sich (Inversion der unabhängigen, verbunden mit einer multiplikativen Änderung der abhängigen Variabein) und führt die Randwertaufgabe für ein beliebiges Gebiet auf unendliche Determinanten (I A 3, Nr. 58) zurück²⁸). Hieran schliessen an V. Volterra129a), E. Almami129b) und T. Boggio129c). Den Satz über die Vertauschbarkeit von Pol und Aufpunkt bei den Green’schen Funktionen dieser Gleichung beweist

T. Boggio²⁹).

Einige Randwertaufgaben für spezielle Gebiete (Kreis, Kreisring etc.) lösen G. Lauricella³⁰), F. d’Arcais²⁸), E. Almami²⁸), T. Levi-Cività²⁸), V. Volterra²⁸).

In allen behandelten Fällen zeigt es sich, dass man bei der Differentialgleichung A Au = 0 auf der Grenze eines geschlossenen

Gebietes u und ~ willkürlich vorschreiben kann. Dasselbe wird im

cn

allgemeinen von einer beliebigen Differentialgleichung vierter Ordnung von durchaus elliptischem Typus gelten. Ebenso kann man bei der Gleichung Anu — 0 sowie aller Voraussicht nach bei einer beliebigen durchaus elliptischen Differentialgleichung der 2ntm Ordnung ausser u die n — 1 ersten normalen Ableitungen auf der Begrenzung des Gebietes im allgemeinen willkürlich wählen und alsdann eine im Innern des Gebietes eindeutige und stetige Lösung finden, welche

auf der Begrenzung den vorgeschriebenen Bedingungen genügt. Durch, den Zusatz „im allgemeinen“ soll dabei angedeutet werden, dass es (ygl. Nr. 10) unter Umständen gewisse kritische Gebiete geben wird, für welche die allgemeine Regel für die Möglichkeit der angegebenen Randwertaufgabe eine Ausnahme erleidet.

Die allgemeine lineare Differentialgleichung vierter Ordnung von elliptischem Typus mit konstanten Koeffizienten wird von C. Somi-gliana³¹) untersucht. Dieselbe lässt sich durch lineare Transformation der unabhängigen Variabein stets in die Form setzen:

d*u

_____= 0

dx² dy² ' dy*

Ein spezielles Integral dieser Gleichung, welches mit einer logarith-mischen Unstetigkeit behaftet ist, ermöglicht die Darstellung einer beliebigen stetigen Lösung für ein gegebenes Gebiet durch ein Randintegral im Sinne der Gleichung (9).

Differentialgleichungen mit drei unabhängigen Variabein sind in der mathematischen Physik die Regel; insofern in diesen die höchsten Differentialquotienten in der Verbindung des zweiten Differentialparameters zlu Vorkommen, sind sie denselben Methoden zugänglich, wie die Gleichungen mit zwei unabhängigen Variabein (vgl. p. 528 und p. 548). Allgemein wird man bei drei unabhängigen Variabein statt der Charakteristiken oder „charakteristischen Linien“ „charakteristische Flächen“ haben, welche z. B. bei der linearen Differentialgleichung pter Ordnung:

di+j+ku

ijk

dxl dyj dzk

gegeben sind durch die partielle Differentialgleichung erster Ordnung:

und die Gleichung haben F(x, y, z) = const.

Diese Flächen können wieder reell oder imaginär sein und man kann dementsprechend Gleichungen vom elliptischen, hyperbolischen oder allgemeiner vom elliptisch-hyperbolischen Typus unterscheiden.

Ein Gegensatz zu dem Falle zweier unabhängiger Variabler rührt davon her, dass die Charakteristikengleichung im allgemeinen nicht mehr in Linearfaktoren zerlegbar sein wird, sodass man im allgemeinen garnicht von n unterschiedenen Scharen von Charakteristikenflächen

sprechen kann. Mit denjenigen besonderen Gleichungen, wo diese Zerlegung möglich und im Reellen möglich ist, beschäftigt sich Et. Delassus¹²). Zu derselben Kategorie gehören diejenigen Gleichungen , auf welche L. Bianehi¹³⁴) und in allgemeinster Weise 0. Niccoletti¹³⁵) die Riemann’sche Integrationsmethode ausdehnen und für welche sie die Möglichkeit der p. 512 aufgeführten, entsprechend modifizierten Randwertaufgaben beweisen.

Nicht zerlegbar ist die Charakteristikengleichung z. B. im Falle der

Differentialgleichung

-j- welche yon V Volterra¹³⁶)

willkürlich gegeben

hinsichtlich ihrer Charakteristikeneigenschaften studiert ist. Werden x, y und t als räumliche rechtwinklige Koordinaten gedeutet, so sind die Charakteristikenflächen Rotationskegel von dem Offnungswinkel 2 arc tg a mit einer der ^-Richtung parallelen Achse. Die Bedeutung derselben für die Integration der Differentialgleichung ergiebt sich z. B. aus folgendem Satze, dessen Analogon für zwei unabhängige Variable p. 512 ausgesprochen ist: Wenn auf einem Flächenstücke <7 des Raumes (x, y, t) die Werte von u und

sind, so lässt sich der Wert von u in jedem Punkte x,y,t bestimmen, welcher zur Spitze eines Charakteristikenkegels genommen werden kann, der aus <7 ein durch den Kegel vollständig begrenztes Gebiet ausschneidet.

134)    Line. Rend. (5) 4¹ (1895), p. 1.

135)    Nap. Atti (2a) 8 (1895), Nr. 2.

136)    Acta math. 18 (1894), p. 161.

(Abgeschlossen im April 1900.)

Nachtrag. Der Existenzbeweis für die p. 515 postulierte Lösung v = U log r -j- V bei einer beliebigen linearen Differentialgleichung von elliptischem Typus mit analytischen Koeffizienten ist dem Ref. inzwischen von T>. Hilbert mitgeteilt worden. Die Funktionen U und V werden dabei als Potenzreihen in x und y dargestellt, U genügt der homogenen Gleichung M(TJ) — 0 (s. p. 515), V derselben Gleichung mit geeignetem zweiten Gliede. Näheres s. bei E. R. Hedrick, Diss. Göttingen 1901. Der p. 534 oben angegebene Weg zum Nachweis des analytischen Charakters der Lösungen einer linearen elliptischen Differentialgleichung ist hiernach allgemein gangbar. Auch die Existenz der p. 516 postulierten Green’schen Funktionen ist, die Lösbarkeit der gewöhnlichen Randwertaufgabe vorausgesetzt, erwiesen.

IIA 8. VARIATIONSRECHNUNG

VON

¹

   Berl. Hist. 1747, p. 214.

²

   Gott. Abh. 13 (1867) = Ges. Werke, 2. Auf!., XII, p. 227 (a. d. J. 1854).

³

   J. éc. polyt. 8, cah. 15 (1809).

⁴

   Petrop. Nov. Comm. 19 (1775), p. 239.

⁵

   ibid. p. 341.

⁶

   Freiburg Naturf. Ges. 7 (1879), p. 500.

⁷

   Math. Ann. 29 (1887), p. 486.

⁸

   Th. de la chaleur, chap. 1Y.

⁹

   1. c. chap. IX, vgl. speziell art. 374.

¹⁰

   J. éc. pol. cah. 15 (1809), p. 241.

¹¹

   Mathem. and Phys. Papers 2, art. 72, p. 41.

¹²

   1. c. chap. VHI.

¹³

   K. Weierstrass, Beri. Ber. 1885², p. 633 u. 789. S. auch H. Poincaré, Th. anal, de la propagation de la chaleur, Paris 1895, chap. 5.

¹⁴

   J. f. Math. 80 (1875), p. 22.

¹⁵

   Cambridge Math. J. 4, Febr. 1844 = Math. phys. pap. 1 (Cambridge 1882), Art. 11, p. 39.

¹⁶

   J. de math. (4) 8 (1892), p. 187. Die Appell’schen Resultate sind auf den Fall zweier und dreier räumlicher Koordinaten von E. Lacour, Toul. Ann. 9 (1895), p. 1 und A. Boulanger, Bull. soc. math. 25 (1897), p. 11, ausgedehnt worden.

¹⁷

   B. Minnigerode, Diss., Göttingen, 1862; E. Betti, Soc. Ital. Mem. (3) 1 (1867), p. 165.

¹⁸

   A. Sommerfeld, Math. Ann. 45 (1894), p. 265.

¹⁹

   Ztschr. Math. Phys. 32 (1887), p. 91.

²⁰

   Poisson, J. éc. polyt. cah. 13, p. 110; Fourier, 1. c. art. 399; P. du Bois-Reymond, Beitr. p. 211; Le Roux, Darb. Bull. (2) 19, p. 127.

²¹

   1. c. chap. V—VIII. Das Fourier’sche Verfahren lässt sich ohne erhebliche Schwierigkeit auf alle in Nr. 9 (Schluss) genannten Gebiete übertragen.

²²

   Théorie de la chaleur, Paris, 1861.

²³

   Amer. J. of math. 12 (1890), p. 211 = Th. anal, de la propagat. de la chaleur, Paris 1895, chap. 15 ff. und namentlich Pal. Rend. 8 (1894), p. 57.

²⁴

Ann. éc. norm. (3) 15 (1898), troisième partie, p. 107.

²⁵

   J. de math. (2) 14 (1869).

²⁶

   J. de math. (4) 6 (1890), p. 405 und Diss. Halle 1893.

²⁷

   Yen. Atti (7) 9 (1897—98), p. 1399.

129a) Yen. Atti 57 (1899).

129b) Ann. di mat. (3) 2 (1899), p. 1.

129c) Ven. Atti 59 (1900), p. 497.

²⁸

   Ibid. 33 (1898), passim.

²⁹

   Tor. Atti 35 (1900).

³⁰

   Tor. Atti 31 (1896), p. 1010.

³¹

Ann. di mat. (2) 18 (1890), p. 59. Entsprechende Ausführungen desselben Yerf. für eine elliptische Differentialgleichung beliebiger Ordnung mit konstanten Koeffizienten finden sich 1. c. 22 (1894), p. 143, § 2.

ADOLF KNESER

IN BERLIN.

Inhaltsübersicht.

Ständige Bezeichnungen :

Jn=fif(x’ y> y'i • • • » y{n))dx.

b

Un f{x, yx

■ - , y,o yi'f-. y^dx\

für Un ist m die Anzahl der Bedingungsdifferentialgleichungen.

1.    Begriff der Variationsrechnung.

2.    Infinitesimalbetrachtungen von Euler.

3.    Einführung des Zeichens 8 durch Lagrange.

4.    Allgemeine Variationsformel von Euler; reine und gemischte Variationen.

5.    Spezielle Variation durch Änderung eines Parameters.

6.    Notwendige Bedingung für 8Jn = 0.

7.    Theorie der Integrabilität.

8.    Euler's, Multiplikatormethode für 8US=0, m — 1.

9.    Der Multiplikator bei isoperimetrischen Aufgaben.

10.    Die Multiplikatoren und notwendige Bedingungen für 8Un — 0.

11.    Formale Entwicklungen; Jacobi-Hamilton’sehe Methode.

12.    Zweite Variation von J₁ nach Legendre.

13.    Transformation von 8iJn nach Jacobi. .

14.    Beweis der formalen Sätze von Jacobi durch Hesse und Frobenius.

15.    Transformation von 8iUn nach Spitzer, Clebsch, Mayer, Lipschitz.

16.    Das Vorzeichen von 8²Un nach Mayer ; konjugierte Punkte.

17.    Die auf konjugierte Punkte bezügliche notwendige Bedingung des Extremums von Jj nach Erdmann.

18.    Scheeffer's neue Methode; Ausdehnung des Satzes von Erdmann.

19.    Kritische Untersuchungen; Begriff der Variation.

20.    Hinreichende Bedingungen des Extremums von Jx nach Scheeffer.

21.    Hinreichende Bedingungen nach Weierstrass-, das isoperimetrische Problem im engeren Sinne.

22.    Höhere Variationen; hinreichende Bedingungen bei variablen Grenzen.

23.    Steiner's Sätze über Figuren extremen Flächeninhalts; diskontinuierliche Lösungen.

24.    Mehrfache Integrale; Transformation der ersten Variation.

25.    Zweite Variation und hinreichende Bedingungen des Extremums von Doppelintegralen.

26.    Übersicht der Beispiele und Anwendungen.

Lehrbücher.

gau-

dentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti, Lausanne und Genf 1744. Teilweise übersetzt von P. Stäckel, Ostwald’s Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 46, Leipzig 1894.

J. H. Jellett, An elementary treatise on the calculus of variations. Dublin

L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi

1850, deutsch von C. H. Schnuse, Braunschweig 1860.

L. Stegmann, Lehrbuch der Variationsrechnung und ihrer Anwendung bei Untersuchungen über das Maximum und Minimum, Cassel 1854.

F. Moigno, L. Lindelöf, Leçons sur le calcul différentiel et intégral, 4, Calcul des variations, Paris 1861.

J. Dienger, Grundriss der Variationsrechnung, Braunschweig 1867.

Carll, A treatise on the calculus of variations, New York und London 1885.

J. Sabinin, Kursus der Variationsrechnung (russisch), Moskau 1893.

E. Pascal, Calcolo delle variazioni e calcolo delle differenze finite, Mailand 1897. (Hauptsächlich referierend, mit reichhaltigen Litteratur angab en.) Übersetzung Leipzig 1899.

A. Kneser, Lehrbuch der Variationsrechnung, Braunschweig 1900. Der Inhalt dieses Werkes ist im folgenden nicht berücksichtigt.

Unter den Lehrbüchern der Analysis, welche die Variationsrechnung behandeln, seien die von Sturm (2), Serret (2), Jordan (3) hervorgehoben; vgl. ferner Encyclopaedia britannica, Art. Infinitesimal calculus. Ältere hier nicht erwähnte Lehrbücher citieren Pascal und Todhunter (s. u.).

Geschichte: F. Giesel, Geschichte der Variationsrechnung (erster Theil), Torgau 1857 (bis zu Lagrange).

J. Todhunter, A history of the progress of the calculus of variations during the nineteenth century, Cambridge und London 1861. (Ausführliche Referate der wichtigsten Arbeiten bis zu Hesse)

G. Eneström, Framställning af striden om isoperimetriska problemet, Upsala 1876 (Upsala universitets Ärsskrift).

P. Stäckel, Anmerkungen zu Übersetzungen in Ostwald’s Klassikern der exakten Wissenschaften, Nr. 46, 47, Leipzig 1894.

M. Cantor, Geschichte der Mathematik, 3, Leipzig 1899.

1. Begriff der Variationsrechnung. Während die Differentialrechnung auf die Änderungen einer Grosse achtet, welche durch kleine Wertänderungen einzelner sie bestimmender Variahein hervorgerufen werden, ist die Variationsrechnung die Lehre von den Änderungen solcher Grössen, deren Wert von veränderlichen funktionalen Verhältnissen abhängt, bei kleinen Abänderungen dieser Verhältnisse, und die hierdurch bestimmten Inkremente der abhängigen Grösse heissen Variationen. Unter einer kleinen Abänderung eines funktionalen Zusammenhangs zwischen irgend welchen Veränderlichen verstehen wir die Herstellung eines neuen Zusammenhangs von der Beschaffenheit, dass jedem bei der ursprünglichen Abhängigkeit möglichen Wertsystem ein bei der neuen mögliches, welches von jenem nur wenig abweicht, entspricht, und dass dieses Entsprechen eindeutig umkehrbar ist. Für entsprechende Wertsysteme werden die entsprechend gebildeten Differentialquotienten der Veränderlichen bis zu einer gewissen Ordnung hinauf in beiden funktionalen Verhältnissen nur wenig von einander abweichen; wie gross jene Ordnung ist, ist Sache der Definition, sodass verschiedene Festsetzungen hierüber dem Begriff der Variation verschiedenen Inhalt geben. (Nr. 19).

Die hauptsächlichste Anwendung der Variationsrechnung, welche bisweilen geradezu als ihr Gegenstand bezeichnet wird, ist die Lösung der Aufgabe, eine Grösse, deren Werth von veränderlichen funktionalen Verhältnissen ab hängt, durch bestimmte Verfügung über diese zu einem Extremum, d. h. zu einem Maximum oder Minimum zu machen.

2. Infinitesimalbetrachtungen von Euler. Eine allgemeine Methode zur Behandlung derartiger Extremumsaufgaben giebt L. Euler in seinem grundlegenden Werke, nachdem von J. Newton, Joh. I. Bernoulli, Jac. I. Bernoulli und Euler selbst einzelne hierher gehörige Probleme gelöst waren. Soll das Integral

b

Jn =ff{x, y, y-,

in welchem a und b gegeben, f eine bekannte Funktion seiner Argumente und y eine unbekannte Funktion yon x ist, durch passende Wahl von y ein Extremum werden, so bildet Euler¹) eine spezielle Variation von y, indem er y für einen bestimmten Wert von x durch y -)- £, gleichzeitig das Integral J und die Ableitungen yW durch die endliche Summe und die Differenzquotienten, deren Grenzwerte sie sind, ersetzt. Er erhält dann als Zuwachs des Integrals Jn:

• • • I = £ Ax ■ M,

cc,

eAx I

d df . d¹ df dx dy' ' dx² dy"

wobei Ax die konstante Differenz zweier aufeinanderfolgender Werte von x bei der Bildung der bezeichneten Annäherungswerte bedeutet. Euler schliesst hieraus, dass die Differentialgleichung M — 0 eine notwendige Bedingung für das Extremum des Integrals Jn ist. Die Schwäche seiner Argumentation liegt in der Vertauschung der Grenzübergänge lim s = 0 und lim Ax = 0.

3. Einführung des Zeichens ó durch Lagrange. J.L. Lagrange²) betrachtet zuerst Variationen von allgemeiner Natur. Es sei Z irgend eine Grösse, welche aus x, y, z, dx, dy, dz, d²x, ... in gegebener Weise zusammengesetzt ist, wobei Lagrange implicite annimmt, dass zwischen x, y, z zwei endliche Gleichungen bestehen, also eine einfache Mannigfaltigkeit von Werthsjstemen (x, y, z) vorliegt; den Fortgang längs dieser bezeichnen die Differentiale d. Wird dieselbe unendlich wenig abgeändert, so erhalte Z den Zuwachs ó Z. Lagrange setzt als leicht ersichtlich die Gleichungen

(1)

ddZ — ddZ

sfz=föz

an; aus ihnen folgt, wenn u irgend eine in Z vorkommende Grösse ist,

(2)

J*Zdöu — Zdu—J* du-dZ,

sodass man jede unter dem Integralzeichen auftretende Variation eines Differentials durch partielle Integration wegschaffen und speziell setzen kann

ôfz=M+f (Pdx + Qdy -f Röz);

dabei -hängt M nur von den Werten der Variationen und ihrer Differentiale an den Integrationsgrenzen ab, P, Q, Li aber enthalten keine Variationen und sind der Identität

(3)

Pdx + Qäy + Rde = 0

unterworfen³). Soll nun J Z durch passende Bestimmung des Zusammenhangs zwischen x, y, z zu einem Extremum werden, so schliesst Lagrange aus der Unabhängigkeit der Variationen von x, y, z, dass die Gleichungen

M—0, P=Q = R = 0

bestehen müssen, von denen die letzten drei sich nach (3) auf zwei Differentialgleichungen reduzieren, welche y und z als Funktionen von x bestimmen, während die erste Gleichung eine Beschränkung für die Werte der x, y, z und ihrer Differentiale an den Integrationsgrenzen ausdrückt.

Lagrange hat in seiner zweiten Abhandlung⁴) diese Betrachtungen

a. a. 0.

3. Einf. d. Zeichens d durch Lagrange. 4. Allgem. Variationsforme] v. Euler. 575

auf den Fall einer einfachen Mannigfaltigkeit im Gebiet beliebig vieler Variablen ausgedehnt und dabei zugelassen, dass der Integrand auch von den Integrationsgrenzen abhänge, und für die Grenzwerte der Variablen und ihrer Differentiale irgend welche Relationen vorgeschrieben sind.

4. Allgemeine Variationsformel von Euler; reine und gemischte Variationen. Euler hebt im Anschluss an die Arbeiten von Lagrange hervor⁵), dass wenn eine Kurve als Variation der andern betrachtet werden soll, beide punktweise eindeutig auf einander bezogen werden müssen. Die erste Formel (1) leitet er dann aus der Betrachtung ab, dass wenn Z und Z -j- dZ die Werte von Z in zwei benachbarten Punkten A und B der ursprünglichen Kurve sind, in den entsprechenden Punkten A' und B' der variierten Kurve die variierten Grössen Z-f- dZ, Z-\-dZ-\-d(Z-\-dZ) erhalten werden. Andrerseits vermehrt der direkte Übergang von A' zu B' die Grösse Z -f- àZ um ihr Differential, sodass

Z+ dZ+ ô(Z+ dZ) = Z+dZ+d(Z+ÖZ)

und damit die erste Gleichung (1) resultiert; die zweite folgt aus dem Begriff der Variation sofort⁶ 7). Aus diesen Grundeigenschaften der Variation schliesst Euler :

// döy

— y

„ dSx dx ’

,_ dSy , dSx

y dx y dx ’

und, wenn

gesetzt wird,

co = dy — y'àx, w = öz — zdx

dyW — y(v+Vdx — ojW, dz^ — ^r+i) dx — »W.

Ist ferner f irgend eine Funktion von x, y, y, y', . . ., z, z, so ergiebt sich durch partielle Integration nach Formel (2):

b    b

(4) ô J f dx ==J*(Mco    Nw)dx-1- fdx -f- ^(Rvtow -j- SvwW) >

wobei

d² df dx²dy"

Bv —

df__d_ df_

dy    dx dy'

__d_    df__

dy(v+1)    dx dy(v-⁺²⁾ ^ dx² dy{v+3)

df

d²    df

gesetzt ist, und N, Sv aus diesen Ausdrücken hervorgehen, indem man y durch z ersetzt. S. Poisson⁸) fügt auf der rechten Seite der Gleichung (4), einen Gedanken :von Lagrange (Nr. 3) aufnehmend, die Glieder

b    b

dJrdX

öajlLdx+ähJ d*

hinzu. Die Verallgemeinerung für den Fall beliebig vieler unbekannter Funktionen von x liegt auf der Hand.

Die Grösse co ist, wie Poisson⁹) bemerkt, der Zuwachs, den y erfährt, wenn man mit konstantem x von der ursprünglichen zur varriierten Kurve übergeht; sie wird bisweilen¹⁰) als „reine“ Variation von der „gemischten“ dy, bei welcher x zugleich variiert, unterschieden. Variiert man also so, dass dx = 0, so hat man co = dy und

d. h. das Zeichen der Variation ist mit dem des Differentialquotienten vertauschbar, wenn die Variable, nach der man differenziert, un variiert bleibt. Im folgenden bis Nr. 20 einschliesslich ist nur von „reinen“ Variationen die Rede.

5. Spezielle Variation durch. Änderung eines Parameters.

In einer den oben erwähnten nachfolgenden Abhandlung¹¹) hat Euler die Variation nicht als neuen Begriff dem Differential zur Seite gestellt, sondern als Spezialfall des letzteren zu begreifen gesucht, indem er annimmt, dass der Übergang von einer Kurve zu einer benachbarten bewirkt wird durch Änderung eines Parameters t, der in die Gleichung der Kurve eingeht; entspricht diese dem Wert t = t₀, so setzt Euler

*» = (§f)f>

und erreicht hierdurch, dass die formalen Grundeigenschaften des Zeichens d sofort als bekannte Eigenschaften des Differentials erscheinen. Dass hiermit der Begriff der Variation spezialisiert wird, hat Euler gewusst¹²); diese Spezialisierung ist unschädlich, solange es sich um Herleitung notwendiger Bedingungen des Extremums

6. Spezielle Variation e. Parameters. 6. Notwendige Bedingung für SJn = 0. 577

handelt, hat aber vielfach mangelhafte Schlussweisen verschuldet, wo man sie bei der Herleitung hinreichender Bedingungen festhielt (Nr. 19). Lagrange benützt dieselbe in der Funktionsrechnung¹³) durchgehends und so ist sie in die Mehrzahl der späteren Lehrbücher übergegangen. In der Theorie der analytischen Funktionen¹⁴), wo er sich mit hinreichenden Bedingungen beschäftigt (Nr. 12), arbeitet Lagrange dagegen mit dem allgemeinen Begriff der Variation.

6. Notwendige Bedingung für öJn = 0. Variiert man so, dass an den Grenzen die Grösse öy nebst einer angemessenen Anzahl ihrer Ableitungen verschwindet, so folgt aus der Formel (4) die speziellere:

b

öJn = fMöydx,

aus welcher als notwendige Bedingung des Extremums (vgl. Nr. 2) die Gleichung

(5)

M= 0

folgt. Eine genauere Begründung dieses Schlusses beginnt Lagrange¹⁵), indem er y in Jn durch y -f- su ersetzt, und s eine kleine Konstante, u eine Funktion von x sein lässt; die erste Variation ist dann der Inbegriff der in s linearen Glieder, wenn man nach Potenzen von s entwickelt. Der Zuwachs von Jn kann daher positiv und negativ, Jn also kein Extremum sein, wenn nicht djn verschwindet. Dass hieraus bei der für öy vorliegenden Willkürlichkeit auf (5) geschlossen werden kann, ist oft, z. B. noch von Moigno-Lindelöf, als selbstverständlich angesehen. Eine formale Ableitung dieses Resultats versucht schon Lagrange¹⁵). Einen im Grunde ausreichenden Beweis giebt Stegemann¹⁶)- für den Fall, dass M im ganzen Integrationsintervall nicht verschwindet, setzt er:

(x — «)“(& — x)v

öy =

kann.

wodurch bei passender Wahl der Exponenten eine genügende Anzahl der Grössen öy, öy , . . . an den Grenzen zum Verschwinden gebracht werden und öjn von Null verschieden wird. Hieraus folgt, dass M auch in keinem Teil des Intervalls a .. .b von Null verschieden sein Ähnlich sind die demselben Zweck dienenden Betrachtungen

37

yon E. Heine¹¹) und P. du Bois-Reymond¹⁷ 18), welche hervorheben, dass M als stetige Funktion von x vorausgesetzt werden muss. Auf Anregung von Weier strass setzt Zermelo¹⁹), wenn M nur für x = x0 nicht verschwindet und a < x₀ < b ist,

dy = s (x — a)m(b — x)me-?(x~xo) ;

nimmt man q hinreichend gross, so überwiegt der von der Umgebung des Wertes x₀ zu dem Integral öJn gelieferte Beitrag alles übrige und macht dJn von Null verschieden. — Bei mehreren, z. B. zwei unbekannten Funktionen erhält man ebenso statt der Gleichung (5) das System

M= 0, N = 0

als notwendige Bedingungen des Extremums.

Als weitere notwendige Bedingung ergiebt die Formel (4) sodann, dass die Summe der vor das Integralzeichen tretenden Glieder verschwinden muss für alle mit den Bedingungen der Aufgabe verträglichen Grenzwerte der Variationen. Diese werden im allgemeinen durch gewisse Gleichungen aneinander gebunden sein, welche man nach Lagrange²⁰) ähnlich wie bei den Problemen des gewöhnlichen relativen Extremums (II A 2, Nr. 22) in Rechnung ziehen kann.

7. Theorie der Integrabilität. Aus der Formel (4) für den Fall einer einzigen variierbaren Funktion schliesst Euler²¹), dass das Bestehen der Identität M — 0 die hinreichende und notwendige Bedingung für die Integrabilität der Funktion f, d. h. dafür ist, dass bei einer willkürlichen Funktion y eine mit f durch die Gleichung

dF

dx

= f(x, y, . . .)

verbundene Funktion F(x, y, y, . . .) existiert.

J. Bertrand²² 23 24) hat die Erwägungen Euler’s, näher ausgeführt und auf den Fall mehrerer Funktionen ausgedehnt. Die meisten mit dieser Theorie der Integrabilität beschäftigten Autoren, Lagrange²²), Boisson²¹) u. a. bestreben sich, die Variationsrechnung zu eliminieren,

sodass es hier genügt, auf die eingehende historische Darstellung von J. Todhunter²⁵) zu verweisen.

8. Euler’s Multiplikatormethode für ÔU₂ = 0, m= 1. Im dritten Buche der Methodus inyeniendi²⁶) behandelt Euler, allmählich zu allgemeineren Fragen fortschreitend, schliesslich die Aufgabe, das Extremum des Integrals

b

.., yW)dx

ff(x, ”, y, y, y"

(6)

I ; dg_ I 0_L

dx ' dv ' dv

ist, welche für x = b verschwindet, und y an einer einzigen Stelle um s wächst, den Zuwachs

zu bestimmen, wenn v durch eine Differentialgleichung erster Ordnung v — g(x, v, y, y', y",.. ., yW) = 0 gegeben ist. Durch eine höchst scharfsinnige Infinitesimalbetrachtung von der in Nr. 2 geschilderten Art gelangt er zur Methode des Multiplikators, d. h. er zeigt, dass die Grösse W, wenn X diejenige Lösung der Gleichung

(?)

(df_ i ₃ dg\ , dx \dy    dy'J 1

)}

df

dg

dy{n)

^ J dxn\dy{n)

erhält, sodass als notwendige Bedingung des Extremums folgt P== 0.

Dies Resultat beweist man leicht mittelst des Zeichens d ; Lagrange hat es in seiner ersten Arbeit²⁷) für zwei nach verschiedenen Richtungen spezialisierte Fälle obiger Aufgabe gethan; Euler giebt sodann²⁸) für das allgemeine Integral W bei der Annahme (6) die Transformation

b    b

(8)    ôW=fdxô(f+X(g — v'))= f Pôydx + [R—Xôv]ba, wobei R nur von dy und den Ableitungen dieser Grösse abhängt. Wenn diese Grössen an den Grenzen und dv für x = a verschwinden, so ergiebt die Gleichung

X(b) = 0,

37*

dass d W sich auf das Integral allein reduziert; hieraus folgt P = 0, da für dy ausser den angegebenen keine weiteren Beschränkungen nötig sind. Dabei ist öv für x = b im allgemeinen von Null verschieden; nur wo dies durch die Bedingungen der Aufgabe zugelassen wird, kann Euler's Ableitung als streng gelten, z. B. für die von ihm gelöste Aufgabe der Brachistochrone im widerstehenden Mittel²⁹). — Die Gleichung (9) für den bezeichneten Fall dürfte der Kern eines im allgemeinen unrichtigen Satzes von C. Delaunay³⁰) sein.

In dem speziellen Falle f — g, den auch Lagrange behandelt, löst die PWeFsche Methode die Aufgabe, y so zu bestimmen, dass eine für x = a gegebene Lösung der Differentialgleichung (7) für x = b einen extremen Wert annimmt. Diese sehr allgemeine Art von Aufgaben, auf welche Euler³¹) und Lagrange³²) mehrfach hin-weisen, ist von A. Mayer³³) auf Differentialgleichungen gebracht (s. Nr. 15). Euler giebt als Beispiel die Bestimmung der Kurve, auf welcher ein mit Reibung fallender Punkt die grösste Geschwindigkeit erreicht³⁴).

haben scheint (s. u.). Nach allem erscheint es

zu

Lagrange dehnt in seiner zweiten Abhandlung³⁵) die angedeutete Methode auf den Fall aus, dass höhere Ableitungen von v in f und g Vorkommen, hat aber sonst die Theorie des Multiplikators, so vielfach er ihn, besonders in der Mechanik benutzt hat, nicht weiter gefördert. Die isoperimetrischen Aufgaben glaubte er durch obige Betrachtungen der Multiplikatorenmethode zugänglich gemacht zu haben, während Euler für die besondere Natur dieser Aufgaben ein gewisses Gefühl gehabt

nicht gerechtfertigt, die Multiplikatorenmethode nach Lagrange allein zu benennen.

9. Der Multiplikator bei isoperimetrischen Aufgaben. Isoperimetrisch im weiteren Sinne nennt man die Aufgabe, Jn zu einem Extremum zu machen, wenn für ein anderes Integral

En =

b

f g(x, y, y, •

. ., yW)dx

ein fester Wert vorgeschrieben ist oder mehrere solcher Bedingungen

29)    Meth. inv. Kap. III, § 46, p. 126.

30)    J. éc. polyt. 17, cah. 29 (1843), p. 85.

31)    Meth. inv. Kap. I, § 37, p. 17 ; Kap. IY, § 7, p. 133.

32)    Oeuvres 1, p. 350.

33)    Leipz. Ber. 30 (1878), p. 16. S. a. Jermakoff, Kiew Univ.-Nachr. 29, Dez. 1889, p. 105.

34)    Meth. inv. p. 122.

35)    Oeuvres 2, p. 40.

gegeben sind5 ist speziell Jn ein Bogen-, Kn ein Flächenintegral oder umgekehrt, so hat man das isoperimetrische Problem im eigentlichen, engern Sinne. Eine notwendige Bedingung für ein solches begrenztes Extremum erhält man nach Euler, indem man

(10)

8 tfn -J— A d Kn = 0

setzt, wobei A eine gewisse Konstante bedeutet. Er beweist dies²⁹), indem er nach der in Nr. 2 skizzierten Weise zwei aufeinanderfolgende Ordinaten y um s und rj vermehrt.

Ein anderer Beweis von Euler besteht darin³⁰), dass er ÖJn und 8Kn als lineare Formen der verschiedenen Werte von dy ansieht, und davon ausgeht, dass lineare Formen sich um einen konstanten Faktor unterscheiden, wenn das Verschwinden der einen stets die andere zum Verschwinden bringt. Ist nach partieller Integration

b

I Mt8ydx,

b

8Jn = f M8ydx,    öKn =

so ergiebt sich, dass M : M₁ konstant sein, d. h. die Gleichung (10) bei passender Wahl von A für willkürliche Variationen bestehen muss.

Einen strengeren Beweis hat J. Bertrand³¹ 32 33) gegeben. Derselbe ist dem ersten Euler¹ sehen Beweise verwandt und unterscheidet sich von ihm hauptsächlich dadurch, dass y an zwei beliebigen nicht benachbarten Stellen so variiert wird, dass 8Kn verschwindet. Einen andern Beweis giebt C. Sturm in seinen Vorlesungen³⁹); indem er Mx8y — cp'(x) ansetzt und unter cp irgend eine an den Integrationsgrenzen verschwindende Funktion versteht, bewirkt er, dass 8Kn verschwindet und nach partieller Integration

dx

8Jn — —

wird, woraus sich (10) ergiebt. P. du Bois -Reymond⁴⁰) giebt auf Anregung von Beiff einen Beweis, der dem Bertrand?sehen nahe verwandt ist; ein zweiter Beweis geht von folgendem Gedanken aus. Sind 8ty und 8₂y irgend zwei Variationen, die nebst einer angemessenen Anzahl ihrer Ableitungen an den Grenzen verschwinden, dvJn, dvKn die der Variation dvy entsprechenden Variationen der Integrale, so verschwindet dKn, wenn

dy = à^yd^Kn — d^yd^Kn-,

bildet man den zugehörigen Wert von djn, welcher ebenfalls verschwindet, so ergiebt sich (10). Einen diesem verwandten Beweis giebt L. Scheeffer³⁴), indem er, einem Gedanken von Weier strass folgend, ansetzt dy = dty    xd%y,    wobei x eine    Konstante ist;    soll

dKn verschwinden, so ergiebt sich x    — x₀ d₁Kn, wobei x₀ eine von    y

unabhängige Grösse ist. Setzt man mit diesem Werte von x die Gleichung dJn = 0 an, so erhält man (10) für dy — 0\y.

Alle diese Beweise versagen in dem Ausnahmefall, dass längs der variierten, d. h. der    gesuchten    Kurve dKn    verschwindet.    Die

Ausdehnung auf den Fall    mehrerer    Bedingungen    oder Unbekannten

ist überall leicht.

10. Die Multiplikatoren und notwendigen Bedingungen für

dUn = 0. A. Mayer³⁵) hat darauf hingewiesen, dass das in Kr. 8 erörterte Problem des Integrals W wesentlich neue Methoden erfordert, wenn der Werth von v für x = b vorgeschrieben ist, wie es z. B. der Fall ist bei dem von Euler gelösten Problem der Brachistochrone im widerstehenden Mittel, wenn die Endgeschwindigkeit gegeben ist³⁶). Dann gilt noch die Gleichung (8), wenn l irgend eine Lösung der Gleichung (7) ist; ebenso erhält man, wenn man f = g setzt und y irgend eine Lösung der homogen gemachten Gleichung (7) ist,

àv=f Qdydx + [s — ydvja,

wobei S ein Ausdruck derselben Art wie B ist. Hieraus ergiebt sich, da dv für x = b verschwinden soll, eine Gleichung, welche die Freiheit der Variation dy, abweichend von Kr. 8, beschränkt; wird angenommen, dass eine Anzahl Grenzwerte dy, dy,... verschwinden, so hat man

b    b

dW — ÇPdydx = 0, Ç Qdydx — 0,

d. h. sobald die zweite Gleichung gilt, folgt die erste. Auf dieses Gleichungssystem sind die bei der isoperimetrischen Aufgabe benutz-wobei = A —{— p-c gesetzt ist, sodass ^ eine bestimmte Lösung der Gleichung (7) bedeutet. Diese spezielle Wahl des Multiplikators trifft auch Euler in dem erwähnten Beispiel. Mayer führt die Untersuchung für den allgemeinen Fall des Integrals:

b

Un =

'f f{.X) Vl} Vs t    Vl } y% 7 • ' • ’ Vn)

mit den Bedingungsgleichungen

(11) cpQ (xy y1} y%,.. ., yn} y^, y₂,..., yM) — 0, (p = 1,2,..., m)

durch und zeigt zum ersten Mal in strenger Weise, dass die Gleichungen

(12)

= 0, F — f -j- Aj9?i -j- A₂<p₂ -f- • • • -f- kmcpm

dF__d dF

dyv    dx dy'v notwendige Bedingungen des Extremums sind, wobei v — 1 und die Grössen Funktionen von x sind, welche zusammen mit den n Unbekannten aus den n -j- m Gleichungen (11), (12) im allgemeinen zu bestimmen sind. —.Auf das Problem des Integrals TJn kann der Fall, dass höhere Differentialquotienten Vorkommen, durch Einführung neuer Unbekannten und neuer Bedingungsgleichungen von der Form y'v — Vv+i = 0 reduziert werden, wie A. Clebsch bemerkt hat³⁷). — A. Mayer hat ferner gezeigt³⁸), dass die Multiplikatorenmethode anwendbar ist, wenn nicht ein bestimmtes Integral, sondern die Lösung einer Differentialgleichung ein Extremum werden soll (Nr. 8).

Der Fehler aller älteren Ableitungen der Euler’schen Regel bestand darin, dass man glaubte, bei dem Problem des Integrals Un stets n — m Variationen dyv als frei verfügbar ansehen zu können, während sie doch dadurch beschränkt sind, dass für x = b alle n Variationen dyv verschwinden sollen. Dieser Fehler ist noch in neuester

ten Schlüsse anwendbar; Mayer erhält nach der von Scheeffer gegebenen Methode, wenn c eine Konstante ist, die Gleichung

P _j_ c Q — 0 d (f ~f- h ff) _ ^ d (f + K flO

dy

dx

dy

Zeit wiederholt.

Einen wesentlich neuen Beweis der Gleichungen (12), hei welchem nicht auf die isoperimetrische Aufgabe zurückgegangen wird, hat B. Twrksma³⁹) gegeben. Er betrachtet, was bei der Ableitung

notwendiger Bedingungen erlaubt ist, ein spezielles System von Variationen

dxa

in welchem z eine willkürliche Funktion bedeutet; setzt man diese Werte in die Gleichungen

àyv = ccvqz -j-

d(ccv iS)    d*(<xv2z)

dx

dx²

H-----h

ein, so ergeben sich durch partielle Integration lineare Bedingungsgleichungen für die Funktionen cc, deren Anzahl bei passender Wahl des Exponenten 6 gleich der Anzahl der Grössen cc ist. Bringt man zum Ausdruck, dass die linearen Formen der Grössen cc, welche die linken Seiten dieser Gleichungen sind, linear abhängig sind, dass es also von den a unabhängige Multiplikatoren giebt, deren Produkte in die Koeffizienten einer beliebig fixierten Grösse cc in jenen Formen die Summe Kuli ergeben, so bemerkt man durch einfache Rechnung, dass diese Multiplikatoren sich durch m Grössen A und ihre ersten Ableitungen ausdrücken, wodurch die Gleichungen (12) resultieren.

Sowohl Mayer wie Turlcsma⁴⁰) weisen auf gewisse Ausnahmefälle hin, welche sich den Beweisen für die Multiplikatorregel entziehen, übrigens aber noch nicht genau formuliert sind; hierher gehört der am Ende von Kr. 9 erwähnte Ausnahmefall, sowie das von Lindelöf - Moigno und J. Vieille⁴¹), von letzterem im wesentlichen richtig, erörterte Problem, zwischen zwei parallelen Ebenen eine Linie von gegebener Länge so zu ziehen, dass die durch sie gehende, auf den Ebenen senkrechte und von ihnen begrenzte Cylinderfläche ein Minimum ist.

Die ganze Theorie des Multiplikators lässt sich offenbar auf den in der Mechanik (Kr. 26) vorkommenden Fall übertragen, dass anstatt der Gleichung öUn — 0 verlangt wird, dass das Integral einer linearen Form von Variationen verschwinden soll; denn in diese Gestalt wird die Grösse â Un immer zuerst gebracht.

11. Formale Entwicklungen; Jacobi-Hamilton’sche Methode.

Die Untersuchung der Vortheile, welche die Form der Differentialgleichungen in den Problemen der Variationsrechnung für die Integration darbietet, beginnt mit der unbewiesenen Bemerkung C. G. J. Jacobi's,⁴²), dass die Jacobi-Hamilton'scbe Methode der Dynamik (II A 5, Nr. 31) auf das Problem dJ₁ — 0 anwendbar sei. M. Ostro-gradsky⁴³) hat für ein Integral J, welches beliebig viele durch keine Bedingungsgleichungen verbundene Unbekannte und beliebig hohe Ableitungen derselben enthält, gezeigt, dass die Differentialgleichungen des Problems dJ= 0 auf die Hamilton'sehe, kanonische Form gebracht werden können, und dass ihre Integration durch die einer nicht - linearen partiellen Differentialgleichung ersetzt werden kann; die Ableitung des letzteren Resultats entspricht dem von Hamilton gemachten Übergang vom Prinzip der kleinsten Aktion zu dem der variierenden Aktion sowie der von Jacobi herrührenden Vereinfachung dieser Methode50a). Ostrogradsky hat ferner für das bezeichnete Problem Entwicklungen gegeben, welche der Jacobi-Poisson'sehen Theorie der Variation der Konstanten in der Dynamik analog sind.

A. Clebsch⁴⁴) hat sodann bemerkt, dass die Differentialgleichungen des Problems d ün — 0, wenn m beliebig ist, im allgemeinen gestatten, die Unbekannten yv, Â,, durch x und 2n willkürliche Konstanten aV) dann aber auch letztere durch n willkürliche Konstanten av und die n Grössen yv auszudrücken. Je nachdem ein von den Unbekannten abhängiger Ausdruck V in der ersten oder zweiten Form dargestellt wird, werde er durch V oder (V) bezeichnet. Setzt man z. B.

¹

Meth. inv. Kap. 1, § 53, p. 26; Kap. 2, § 56, p. 71.

²

   Mise. Taur. 2³, p. 173 (1762). Oeuvres 1, p. 335. Übers, von Stäckel, Ostwald’s Klass. Nr. 47. Zeitlich geht vorher eine briefliche Mitteilung an Euler, s. Cantor, Zeitschr. Math. Phys. (2) 23, Hist.-lit. Abt. p. 1. Lagrange, Oeuvres 14.

³

   Oeuvres 1, p. 347.

⁴

   Mise. Taur. 4* (1771), p. 163. Oeuvres 2, p. 37. Übers, von Stäckel

⁵

   Inst. cal. integralis (ed. II, Petrop. 1793), 3, Appendix § 13, 14, p. 387 ; § 42, p. 399.

⁶

   A. a. 0. § 37, 75, p. 397, 416.

⁷

   A. a. 0. § 86, p. 423.

⁸

   Par. Mém. 12 (1832), p. 236.

⁹

   Fussn. 8 p. 241.

¹⁰

   Stegmann § 56, p. 281.

¹¹

   Petrop. N. Comm. 16 (1772), p. 35; Inst. calc. int. 4, suppl. XI.

¹²

   Petrop. N. Comm. 10 (1766), p. 55.

¹³

   Oeuvres 10, p. 399.

¹⁴

   Oeuvres 9, p. 301.

¹⁵

   Oeuvres 9, p. 298.

¹⁶

   Lehrbuch § 24, p. 90.

Encyklop. d. math. Wissensch. II.

¹⁷

   Math. Ann. 2 (1870), p. 188.

¹⁸

   Math. Ann. 15 (1879), p. 297, 305.

¹⁹

   Untersuchungen zur Variationsrechnung, Diss. Berlin 1894, p. 41.

²⁰

   Oeuvres 10, p. 422.

²¹

   Meth. inv. Kap. I, § 34, p. 15 ; Petrop. N. Comm. 10, p. 134.

²²

   J. éc. polyt. 17, cah. 28 (1841), p. 249.

²³

   Oeuvres 9, p. 317; 10, p. 364.

²⁴

   Par. Mém. 12, p. 261.

²⁵

   History p. 505.

²⁶

   Kap. IH, § 6, 19, 31, 38, p. 118; Kap. IY, § 7, Nr. IV, V p. 133

²⁷

   Oeuvres 1, p. 347, 350; 10, p. 419.

²⁸

   Petrop. N. Comm. 10, p. 79.

²⁹

   Metb. inv. Kap. V, § 27, p. 184.

³⁰

   Petrop. N. Comm. 10, p. 89.

³¹

   J. de matb. (1) 7 (1842), p. 55.

³²

   Cours d’analyse publ. p. Proubet (5. éd., 1877), 2, p. 330. S. a. Serret-Harnaćk, Diff.- u. Int.-ftecbn. 2S, p. 359.

³³

   Matb. Ann. 15 (1879), p. 310.

³⁴

   Math. Ann. 25 (1885), p. 583.

³⁵

   Math. Ann. 26 (1886), p. 74.

³⁶

   Meth. inv. Kap. V, § 52, p. 204.

³⁷

   J. f. Math. 55 (1858), p. 267.

³⁸

   Leipz. Ber. 47 (1895), p. 129.

³⁹

   Math. Ann. 47 (1896), p. 33. S. a. Fussn. 118.

⁴⁰

   Math. Ann. 26, p. 80; 47, p. 40.

⁴¹

   Calc. des var. p. 299; J. Vieille, Cours complémentaire d'analyse et de mécanique, p. 118 (1851).

⁴²

   Werke 4, p. 50.

⁴³

   Petersb. Mém. (6) 4 (1850), p. 385. 50a) Il A 5, Fussn. 178.

⁴⁴

   J. f. Math. 55 (1858), p. 260, 337.

V =J* Fdx = j"fdx

womit auch (F) definiert ist, so ergiebt sich durch einfache Differentiationen

(13)

Ff

dy’v

(dV\ /dv\ a \dy)’ (daj ß

wobei ßv neue Konstanten sind. Da nun

v—l    v

so kann man aus dieser Gleichung und den ersten n Gleichungen (13) die Grössen yv eliminieren und so eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung für ( V) erhalten. Ist irgend ein n Konstanten enthaltendes

Integral dieser letzten Gleichung gegeben, so geben die letzten n Gleichungen (13) die Funktionen ÿv, womit dann die Gleichungen (11), (12) gelöst sind. Damit ist die Jacobi-Hamilton¹ sehe Methode auf das Problem dUn— 0 ausgedehnt. Mayer⁵²) hat auch die kanonische Form der Differentialgleichungen desselben gegeben. — Jacobi hat in seinen Vorlesungen die obige Methode für das Problem dTJn — 0 im Falle m = 0 entwickelt¹ 2) und in einer aus dem Nachlass publizierten Abhandlung³) den Multiplikator des Gleichungssystems djn — 0 bestimmt und für einen etwas allgemeineren Fall untersucht.

Die Frage, wann eine gegebene Differentialgleichung als aus einem Problem dJn= 0 hervorgegangen betrachtet werden kann, haben B. Imschenetzhy ⁴), N. Sonin⁵), G. Barboux⁶), A. Hirsch⁷) untersucht; Hirsch beantwortet diese Frage zuerst vollständig, indem er vom Algorithmus der adjungierten linearen Differentialausdrücke Gebrauch macht.

12. Zweite Variation von J₁ nach Legendre. Als zweite Variation eines Integrals Un oder Jn bei festen Grenzen und Grenzwerten der n Unbekannten bezw. der Unbekannten und ihrer n — 1 ersten Ableitungen {à⁹Un, à'⁹Jn) bezeichnen wir das von a bis b genommene Integral der doppelten Summe aller in den Variationen dyv, ày'v bezw. öy, öy, . . ., öy{-n~^ quadratischen Glieder, welche in der Taylor'sohen Entwicklung des variierten Integranden, d. h. beziehentlich der Ausdrücke

f(x, y₁ + öyx, • • -,yn + öyn, yf+ öyf,. ..,y'n + öyn), f{x, y -f- dy, y -f öy,..., y^ -f öyW) auftreten. Legendre⁸ 9), bei dem dieser Begriff zuerst erscheint, nennt zweite Variation das Integral des einfachen Inbegriffs der quadratischen Glieder; aber nur die obige Definition lässt sich mit dem Algorithmus der höheren Variationen in Einklang bringen (Nr. 22); sie geht wesentlich auf Jacobi") zurück. Bei den späteren Autoren findet sich bald die eine, bald die andere Definition.

Der Hauptzweck, dem die zweite Variation dienen soll, ist die Aufstellung hinreichender Bedingungen des Extremums; dazu sucht man zunächst das Zeichen der zweiten Variation zu bestimmen. Legendre transformiert zu diesem Zweck d²J1} indem er den verschwindenden Ausdruck

[«vt =/

a

b

(14) ö*Jl = fdx{£ldy'* + 2(

addiert:

d(cc8y²)

dx

dx =

b

J*dx(2adydy' -j- a dy²)

d²f

dydy

und setzt für die Grösse a folgende Differentialgleichung an:

(15)

ay

\2

f «) =0;

dydy’

alsdann ist die quadratische Form, welche in der Gleichung (14) unter dem Integralzeichen steht, das Quadrat eines reellen, in dy und dy' linearen Ausdrucks multipliziert mit d²f: dy'². Die zweite Variation hat also das Vorzeichen dieser Grösse. Analog zeigt Legendre, dass die Grössen

d²L

ay

dy"²

gleiches Zeichen haben. Für die isoperimetrische Aufgabe J% (Nr. 9) bei gegebenem Wert K% zeigt V. JBrunacci¹⁰), indem er einen Irrtum Legendre’s berichtigt, nach der von diesem gegebenen Methode, dass die Grössen

d²j

ay

dy"²

gleiches Zeichen haben.

Lagrange¹¹) hat eine wichtige Modifikation der Legendre’sehen

Untersuchungen gegeben, die freilich wenig Beachtung fand; er setzt nicht die Gleichung (15) an, sondern setzt nur ihre linke Seite positiv. Dann hat auch noch die quadratische Form auf der rechten Seite der Gleichung (14) bei beliebigen reellen Werten von dy ein konstantes Zeichen, solange dies von d²f:dy'² gilt; sie reduziert sich aber nicht auf ein einziges Quadrat. Man kann aus dieser Betrachtung in aller Strenge schliessen, dass bei hinreichender Beschränkung des Integrationsintervalls und konstantem Zeichen der Grösse d²f : dy2 das Integral Jx wirklich ein Extremum ist, da bei der angegebenen

wobei ty — u, Av gegebene und Bv von u unabhängige Funktionen von x sind. Dieses von Jacobi ohne Beweis gegebene Lemma be-

weisen

Beschaffenheit der quadratischen Form gegen sie alle höheren Glieder in der Entwicklung von fix, y -\-ày, y -f- êy) yernachlässigt werden können, während der Schluss Legendre’s vom konstanten Zeichen der Grösse Ö² Jt auf das Eintreten eines Extremums anfechtbar ist (Nr. 20). Lagrange weist ferner darauf hin, dass die Legendre’sehe Transformation nur dann möglich ist, wenn a für das ganze Integrationsintervall als stetige Funktion bestimmt werden kann.

13. Transformation von d²Jn nach. Jacobi. Diese Schwierigkeit erledigt Jacobi¹²), indem er zeigt, dass die Integrale der Gleichung (15) durch blosse Differentiation gefunden werden können, sobald die Gleichung

df d dl ₌ o

dy

dx dy'

integriert ist. Enthält die allgemeine Lösung die Konstanten cx und c% und sind C weitere Konstanten, so setzt Jacobi

„ n df i n U    ä^7

d²f

1 d²f du ' u dy'² dx ’

kann man also die Grössen C so bestimmen, dass u im Integrationsgebiet nicht verschwindet, so ist a eine in diesem Gebiet stetige Lösung der Gleichung (15).

Bei dem allgemeinen Jn geht Jacobi von folgendem Lemma aus. Ist y eine Lösung der Gleichung

dydy

d(Ax y")

° = Ay + -iLc

dxn

= Y,

so ist der mit einer unbestimmten Funktion u gebildete Ausdruck

dnUnuW)}

dxn f

y J Au -f

d(A, u)

dx

integrabel und sein Integral von der Form

Bt' -f-

dx

dx⁷¹-¹

V. Lebesgue¹³), C. Delaunay¹⁴), F Minding¹⁵) durch Rechnung, wobei letzterer explizite Ausdrücke der Grössen B angiebt;

Bertrand¹⁶) und F. EisenloJir¹⁷) auf Grund der Integrabilitätstheorie, indem sie mehrfach den Schluss anwenden, dass eine Grösse von gewisser Form, wenn sie integrabel ist, identisch verschwindet; E. Heine¹⁸) mittelst des gleichzeitigen Gebrauchs zweier von einander unabhängiger Variationen. — Jacobi macht sodann die Bemerkung, dass die zweite Variation in die Form

b

d²Jn = J" öMdydx

gebracht werden kann (M in der Bedeutung von Nr. 4); es kann dies leicht aus der Art, wie man in jeder Taylor’sehen Entwicklung die quadratischen Glieder aus den linearen ableitet, geschlossen werden. Wenn es nun gelingt, dM auf die Form Y zu bringen, so nimmt d²Jn nach Jacobi’s unbewiesener Angabe auf Grund des Lemmas durch mehrfache partielle Integration die Form

(16)

ô²Jn =

r    a y

J dy(n)dyM

œ²dx

an, wobei m eine lineare Form der Grössen dy,dy,...,dy^ ist. Diese Formel findet sich für n — 2 schon bei Legendre. Hat also

d*f

dy{n)dy{n)

ein konstantes Zeichen, so gilt von d²Jn dasselbe.

Bei der angedeuteten Transformation braucht man Lösungen der linearen Gleichung Y — 0 oder dM— 0 mit der Unbekannten dy\ da mit dem Symbol d in den Ausdruck M genau so operiert wird wie mit dem Zeichen der Ableitung nach irgend einem Parameter, so hat man sofort als allgemeine Lösung der Gleichung öM= 0 den Ausdruck

(17)

*y=2c’lc;’

r = l wenn cv die in der Lösung der Gleichung M — 0 vorkommenden Integrationskonstanten, Cv neue Konstanten sind. Für n — 2 werden bei der Herstellung der Formel (16) zwei Ausdrücke (17) gebraucht, welche zusammen acht Konstanten G enthalten; sie treten aber in solchen Verbindungen auf, dass schliesslich die Form co nur ebenso viel, nämlich drei willkürliche Grössen enthält wie bei Legendre. Die von Jacobi angegebenen Resultate für n = 2 hat Eisenlohr ⁷⁰) zuerst korrekt abgeleitet; benselben Fall behandeln G. Mainardi⁷¹) und

F. Brioschi⁷²). Dass allgemein ô M auf die Form Y gebracht werden kann, hat Delaunay⁷³) gezeigt. S. Spitzer⁷⁴) geht von der Formel (16) aus, ohne auf ihre Herstellung durch partielle Integrationen zu achten, schliesst aus ihr, dass die Ausdrücke (17) auch Lösungen der linearen Gleichung œ — 0 sein müssen, und bestimmt hierauf die Koeffizienten der Grössen ây,ây',... in oo; er führt die Rechnungen für n — 1, 2, 3 durch und zeigt, dass die Konstanten C in jenen Koeffizienten in gewissen Verbindungen auftreten. Die Anzahl der unabhängigen unter ihnen erweist sich in diesen Fällen gleich der Ordnung des Gleichungssjstems, welches sich ergiebt, wenn man ansetzt

(18)

. .., yW) dx =

w+/v w

J dytodyto

dx

unter öS eine quadratische Form von dy, dy',. . ., dy^—^ versteht, und die Koeffizienten der Formen &r und œ als Unbekannte ansieht. Dieses System ist die Verallgemeinerung der Legendrdsehen Gleichung (15). — Spitzer behandelt auch die Form der zweiten Variation in den Ausnahmefällen, wenn die Differentialgleichung M = 0 von niedrigerer als der 2nton Ordnung ist⁷⁵).

14. Beweis der formalen Sätze von Jacobi durch Hesse und Frobenius. 0. Hesse™) beweist und vervollständigt die Resultate von Jacobi, soweit sie formaler Natur sind. Er giebt zuerst die allgemeine Ableitung der Formel (16) durch partielle Integration; es dient dazu ein Algorithmus gewisser linearer Differentialausdrücke 3P) WX}... deren erster dadurch definiert ist, dass dM — W(dy). Sind u, v, w, s, . .. n Integrale der Gleichung ^(z) = 0; setzt man ferner

# = w*i, = W,

(19) v — uvx, w = uw und beschränkt jene Integrale durch die -^n(n — 1) Bedingungen

70)    Fussn. 68, p. 13.

71)    Ann. fis. mat. 3 (1852), p. 149, 379.

72)    Ann. fis. mat. 3, p. 322.

73)    Fussn. 65, p. 211.

74)    Wien. Ber. 12 (1854), p. 1027; 14 (1855), p. 41.

75)    A. a. O. 12, p. 1031, 1040; jEuler, Meth. inv. Kap. I, § 6, 26, 44.

76)    J. f. Math. 54 (1857), Werke, p. 413.

14. Beweis der formalen Sätze. 15. Transformation von S²Un.    591

’Pi«) = v.M = y,«) = ■ • • = o,

sodass sie nur n² -f-    -j~ 1) Konstanten enthalten, so ist nach

Hesse für z = Öy

dx.

ay

dy{n)dy{n)

Der Integrand kann nach (19) als Quotient der Quadrate zweier aus z, u, v, . . . und den Ableitungen dieser Grossen gebildeten Determinanten dargestellt werden. In diesen treten die noch übrigen Konstanten der Integrale u, v,..., wie M. Stern¹⁹) gezeigt hat, in

Y«(« -f 1) unabhängigen Verbindungen auf, sodass im ganzen die

Hesse’sehe Transformation ~n(n -j- 1) Parameter, d. h. soviel wie die

Form &r Koeffizienten enthält. Eine elegante Ableitung der ganzen Jacobi-Hesse’sehen Theorie mittelst des Algorithmus der adjungierten linearen Differentialausdrücke giebt G. Frobenius²⁰).

15. Transformation von d² Un nach. Spitzer, Clebsch, Mayer, Lipschitz. S. Spitzer²¹) ist der erste, der d² ü₂ für m — 0 betrachtet. Durch eine Betrachtung, welche der an die Gleichung (18) geknüpften analog ist, zeigt er, dass d²U₂ konstanten Zeichens ist, wenn von den Grössen

ay

■)

ay ay ay

dyr’ dy^dys* \dyt'dy%

die erste von a bis b konstanten Zeichens, die zweite positiv ist, und beweist, dass die sechs Koeffizienten der Form To in dem Analogon der Gleichung (18) durch ebenso viele Differentialgleichungen erster Ordnung bestimmt sind, deren Integrale durch die den Ausdrücken (17) analogen Grössen dargestellt werden können.

A. Clebsch stellt für das allgemeine Integral Un mit beliebig vielen Bedingungsgleichungen (m>0) analoge Untersuchungen an²²), welche A. Mayer vereinfacht hat²³). Die Variationen öyv mögen an den Integrationsgrenzen verschwinden, und es sei £l(u,r) der Koeffizient von y£2 in der Entwicklung von F, wenn man yv durch

yv -f- suv, Aę durch -f- sr^ ersetzt; der obere Index Null bedeute die Substitution uv = öyv, r? =    Dann ist

X    XX

d²j*fdx — d² f* Fdx — J*ß° dx,

da die Glieder mit d ko rechts von selbst wegfallen. Ist nun B eine quadratische Form mit den Koeffizienten ß/xv = ßv/u und den Argu-

und den

d*F

03 r = Uv -j— CCv\Ux -f⁻ • • " “j— MvnMny

menten uv, A eine andere mit den Koeffizienten Jyr~dyrv Argumenten

so macht Clebsch den Ansatz

m

i    \d&

• * -j“ '^Qn'U'n)    >

(20) £l(ux, r) = A -f- B'(?q ~f~ C^xUi -f- •

da

da offenbar

so

<50

Mp -j—

w/)’

da⁰

drQ

ist nach (20)

ä²Un =

b

J* A°dx,

(21)

Die Transformation (20) beweist also, wenn sie möglich ist, folgendes. Das Vorzeichen d²Un ist bei den Bedingungsgleichungen depo — 0 konstant, wenn die Form A° bei den Bedingungen (21) ein konstantes Vorzeichen hat und nicht anders verschwindet, als wenn alle Grössen g>° verschwinden.

Die Gleichung (20) ergiebt nun durch Vergleichung der Koeffizienten von u und r

(22)

d*F

tyjy*

r == 1

ccvx

d*F

₀ 'SA d*F ph* ~Zi dy* oy'v “vl

^    CCvh •

r= 1

dVh    dy'v

V = 1

Die letzten beiden Systeme erlauben die Grössen a und C durch die ß auszudrücken, während für letztere das Gleichungssystem (22) eben-soviele Differentialgleichungen erster Ordnung ergiebt, wie ihre Anzahl beträgt. Die Transformation (20) ist also möglich und hängt

yon

~ n (n -f- 1) willkürlichen Parametern ab. Diese Differential-

^2 y •

Lösung des Gleichungssystems

gleichungen sind aber als integriert anzusehen, sobald die Gleichungen des Problems dZ7M = 0, d. h. die Gleichungen (12) integriert sind. Enthalten nämlich die Lösungen der letzteren die Konstanten und sind y neue Konstanten, so ist die allgemeine

(24)

duv

d dsi ₀ dSl _0 dx du'v ’ drę

folgende

uv= yx

OS ICC)

(25)

da2 n

d ho

— -----

denn wendet man das Zeichen d auf die Gleichungen (12) an, so erhält man

dSi°__d da⁰

ddyv    dx ddy'v

dSl° däTQ

woraus sich das obige Resultat ergiebt, wenn man d durch irgend ein Zeichen d : da ersetzt. Die Gleichungen (24) bestehen aber, wie man aus der Gleichung (20) sieht, auch wenn

G>V — 0, Tq -J- CqxUx -f- • • • -J- CqnUn = 0.

Die Lösungen dieser Gleichungen sind daher auch in der Form (25) enthalten. Hat man n verschiedene Lösungen derselben, so kann man die Grössen « und C, mithin nach dem obigen auch die Grössen ß berechnen.

Es bleibt also die Aufgabe übrig, n verschiedene Grössensysteme

(25)    und Grössen ß

(26)    bestehen; möglich ist eine solche Bestimmung nach dem obigen sicher. Differenziert man nun die Gleichung (20) nach u'v, so folgt

der Annahme (26) und (24) l dSl da

Y dÜT - dü~ - Pvl Ml '    M2 + • ' • + ßvnUn,

= 0,

= 0,

(26)

aus

(27)

so zu

bestimmen, dass die Gleichungen (22), (23),

und umgekehrt folgen hieraus bei der über die Form A eingeführten Voraussetzung die Gleichungen (26) bei der Annahme (24). Es sind also n solcher Systeme zu finden, dass die letzten Gleichungen

38

Encyklop. d. math. Wissensch. II.

ergeben und dabei, wenn jene Systeme durch ulv, rlv-u2v, riv; ... bezeichnet werden, die Determinante D = S+ unu?? ••• nicht verschwindet. Die Forderung ßVfl = ß/iiv erweist sich auf Grund der Gleichungen (27) als äquivalent mit der andern, dass allgemein

du't

ßvfl - ß

fj. v

Unn

du'ar

sei, wenn Si durch die Substitution uv = rv — in Si^ übergeht. Aus den Gleichungen (24) folgt übrigens leicht, dass für irgend zwei Integralsysteme uv die linke Seite der letzten Gleichung konstant ist.

Eine Methode, von den Gleichungen (28) ausgehend auf kürzerem Wege die Transformation (20) abzuleiten, hat B. Lipschitz für ein spezielleres Problem angegeben⁸²). Mayer hat dieselbe⁸³) auf die obige allgemeine Aufgabe angewandt und ihr folgende Form gegeben. Aus der Homogeneütät der Funktion Si folgt, dass die Formel

(28)

v=l X

Uq y

-) = 0

V '

(29)

2a(u,r) = ^-2lu,

da

gilt, sobald uv, r,, Lösungen der Gleichungen (24) sind. Sodann wird, wenn uv beliebig gegebene Funktionen von x sind, angesetzt

+-2

gv^v/uf

v—1

mittelst der Gleichung (29) wird Si unter der Annahme, dass gv Konstante seien, gebildet und dann die aus der Yariabilität dieser Grössen entspringende Modifikation angebracht. So ergiebt sich eine der Formel (20) äquivalente, in welcher

j.1 - UfJ,    Qv^v/UL 5

V~1

dabei ist wegen der zweiten Gleichung (24)

d<Pv

rày\

V ’ \ T Wyj

82)    J. f. Math. 65 (1866), p. 26.

83)    J. f. Math. 69 (1868), p. 237.

sodass, wenn uv — dyv gesetzt wird, also dcp^ — 0 ist, die Gleichungen

(Q = 1

Bestehen. Lipschitz giebt ferner für das von ihm behandelte Problem eine spezielle den Gleichungen (28) genügende Bestimmung der Konstanten yr. Später hat Mayer gezeigt²⁴), dass diese ganze Theorie ohne grosse Modifikationen gültig bleibt, wenn Uv nicht durch eine Quadratur, sondern durch eine Differentialgleichung definiert ist (Kr. 8).

Clebsch²⁵) giebt die allgemeinste Lösung der Gleichungen (28) vermittelst der verallgemeinerten Jacobi -Hamilton’sehen Methode und zeigt, dass man immer setzen kann

y/n,n-f-r    -f" C%vy/j,2 “f⁻ ' ' * ~f⁻    fin (^7 V 1, 2,. . Vl) ,

wobei c^y — cv/x. Die Konstanten    fallen dann aus den Aus

drücken ßur von selbst weg, und Clebsch erhält für diese sehr übersichtliche Determinantenausdrücke, die aus den Ableitungen von V

zusammengesetzt sind und genau ~(n ~h willkürliche Konstanten

cuv enthalten, wie es zu erwarten ist. Mayer²⁶) untersucht direkt die Verbindungen, in welchen die Grössen y in den durch (27) definierten Ausdrücken ßuv Vorkommen und zeigt analog den spezielleren Resultaten von Stern (Nr. 14), dass die Anzahl der unabhängigen unter diesen Verbindungen ~{n l)n ist.

16. Das Vorzeichen von ä² TJn nach Mayer; konjugierte Punkte.

Für das Transformationsproblem (20) genügt es, n bestimmte Systeme uv zu finden, welche den Gleichungen (28) genügen, und für D einen von Null verschiedenen Wert ergeben. Dies leistet Mayer²⁷), indem er die Gleichungen

(30)

Vv —

dF

dy'r

in denen die Striche nach Nr. 11 zu deuten sind, nach a1} a₂,..., a%n auf löst. Sind die erhaltenen Ausdrücke (aß), (a₂),. . ., so kann nach Mayer gesetzt werden

38*

(P) ⁵

/*=*,

setzt man nämlich (av) für av in den Gleichungen (30) und differenziert die erhaltenen Identitäten nach yv und vVJ so sieht man; dass für x — xx alle Grössen uu v verschwinden, womit die Gleichungen

(28), deren linke Seiten von x nicht abhängen, bewiesen sind. Bei dieser Wahl der Grössen y erhält man ferner

I) =

(a2).---»(g8n))

0(yi» (yi)x==Xl

d(a±, a₂,...,da2n)

• • > (yn)x=Xi) _

der zweite Faktor rechts wird durch A(x, xx) bezeichnet.

Die Grösse D erscheint nun nach (27) als Nenner in den Ausdrücken ß- die Gleichung (20) kann also nur dann zur Transformation von ä² Un benutzt werden, wenn D in dem ganzen Intervall von a bis b von Null verschieden ist. Dies vorausgesetzt können aber die Grössen nur dann in dem ganzen bezeichneten Intervall verschwinden, wenn alle Grössen dyn identisch verschwinden. Denn andernfalls hätten die Differentialgleichungen cov = 0, deren allgemeine Lösungen in der Form

uv =    -j— C^U2v -f⁻ ■ ■ ■ “I⁻ Cnu

dargestellt werden, ein System von Lösungen, welche an zwei Stellen gleichzeitig verschwänden, sodass an diesen Stellen D — 0 sein müsste, entgegen der Voraussetzung. Bei den für die Form A° und die Grösse D eingeführten Voraussetzungen ist also, wie J. Richelot bemerkt hat²⁸ 29), die Variation d²Un nur dann gleich Null, wenn alle Variationen von dyr identisch verschwinden. Hieraus ergiebt sich auf Grund der Bemerkungen am Anfang von Nr. 15 und der Gleichung (20) folgender Satz von Mayer⁸²):

(I)    Die quadratische Form A —    co\(l cov sei für a<^x<^b

konstanten Zeichens und von Null verschieden, so lange die Argumente den Gleichungen

n 2—

(9 = !, 2, • • .,*»)

ÿ?ïLm

unterworfen sind und nicht sämtlich verschwinden.

(II)    Für a<x<^b sei A (a, x) von Null verschieden.

Alsdann ist die Transformation von Clebsch (20) möglich; d² Un ist von Null verschieden und hat das Vorzeichen der Form A für alle Variationen, die den Bedingungsgleichungen äcpQ =0 genügen und an den Integrationsgrenzen, nicht aber identisch verschwinden.

Der Ausdruck A (a, b) hat aber eine Bedeutung unabhängig von der ganzen Transformationstheorie und ermöglicht es, einen Gedanken wieder aufzunehmen, der von Jacóbi ausgesprochen, aber lange weit weniger als die in Nr. 13 erwähnten Entwicklungen formaler Natur beachtet worden ist. Jacobi sagt³⁰), dass das Integral Jn aufhört ein Extremum zu sein, sobald die betrachtete Kurve, längs deren dJn verschwindet, die betrachtete Extremale, wie wir sagen wollen, mit einer ihr unendlich nahe benachbarten Extremale in zwei Punkten, welche dem Integrationsgebiet angehören, eine Berührung (n—l)ter Ordnung hat. Hier ist schon die Anschauungsweise der modernen Variationsrechnung in Gebrauch, welche darin besteht, dass man die Gesamtheit der den Differentialgleichungen des Problems genügenden Mannigfaltigkeiten oder Extremalen ins Auge fasst. Jacobi wendet seine Bemerkung an auf das Integral der Aktion bei der Planetenbewegung und hat dieses Beispiel sowie das der geodätischen Linien in seinen Vorlesungen ausführlich besprochen³¹). Nach einem misslungenen Versuch von Eisenlohr³²) leitet Hesse³³) das Jacobi'sehe Resultat für n — 1 ab, wenigstens soweit es sich um das Zeichen der zweiten Variation handelt; er giebt folgende Bedingungsgleichung für zwei Punkte der angegebenen Beschaffenheit, deren Abscissen a und b sind:

ri*i • n i -cm m

Le    L»%-L₌„ LSa,l.

= 0;

(31)

er leitet sodann durch eine ganz einfache Rechnung aus der Differentialgleichung des Problems dJ₁ = 0 ab, dass der Quotient dy dy

2V .....

dy'*

festes Zeichen besitzt, d. h. unter der Bedingung (I). Die Gleichung (31) kann also nur dann bestehen, wenn q in dem Intervall von a bis b alle Werte von — oo bis -j- oo mindestens einmal durchläuft. Ist dies nicht der Fall, so kann man offenbar die Konstanten Cx und C₂ (Nr. 13) so bestimmen, dass u in dem ganzen Intervall nicht

^ dax ' da₂

den Sinn seiner Änderung beibehält, solange

ein

verschwindet, die Legendre’sehe Transformation von S⁹J₁ also in der Jacobi’sehen Form möglich ist.

Diese Resultate sind auf das Integral Jn sowie auf das einfachste isoperimetrische Problem von C. E. Lundström³⁴) ausgedehnt worden, allerdings ohne völlig ausreichende Begründung; er hebt hervor, dass bei isoperimetrischen Problemen das Extremum dann aufhört, wenn der betrachtete Bogen in zwei Punkten mit einer unendlich nahen Extremale, d. h. den Differentialgleichungen des Problems genügenden Kurve, welche für das die isoperimetrische Bedingung liefernde Integral Kn zwischen jenen beiden Punkten bis auf unendlich kleine Grössen höherer Ordnung denselben Wert ergiebt, eine Berührung (n—l)ter Ordnung hat, sodass sich ein Analogon der Gleichung (31) ergiebt. Beim absoluten Extremum des Integrals Jn tritt an Stelle der Determinante (31) eine solche von der Ordnung 2n, deren Elemente die für x — a und x = b genommenen Ableitungen der Grössen y, y, . .    y(n~¹'> nach den 2n Integrationskonstanten sind. Etwas ver

von

allgemeinert finden sich diese Resultate auch in einer späteren Arbeit Lundström³⁵).

Für das allgemeinste Problem des Integrals Un bei beliebig vielen Bedingungsgleichungen schliesst Mayer³⁶) schon vor Lundström’& Publikationen aus der Form der Grösse A als Funktionaldeterminante, dass, wenn A (a, x) — 0, von den Mannigfaltigkeiten erster Ordnung im Gebiet der Grössen xf y1} . . .,yn, welche den Differentialgleichungen des Problems genügen und die Wertsysteme (a, y³⁷,..., y⁹n) und (x, yir.-, yn) enthalten, zwei im allgemeinen verschiedene zusammenfallen ; diese nennt man nach Weierstrass konjugierte Punkte. Die Bedingung (II) kann also auch so formuliert werden: Das Integrationsgebiet darf keinen zu dem Anfangspunkt (a, y⁹,...,y⁹) konjugierten Punkt enthalten.

Ist dagegen A (a, b) — 0, so folgt aus der allgemeinen Beziehung der Grössen D und A zu einander, dass die Gleichungen (24) ein System von Lösungen zulassen, bei welchen alle Grössen uv für x = a und x — b verschwinden. Nach (29) ist aber, wenn dyv — euv gesetzt wird, d²Un = 0 ; dieses Resultat wird von gewissen Bemerkungen Hesse’s⁹¹) und Jacobi’s³⁸) gestreift. Hieraus schliesst man leicht, dass wenn der zum Anfangspunkt konjugierte Punkt dem Integrationsgebiet nicht angehört, dasselbe kein Paar konjugierter Punkte enthält, da andernfalls d² Un auch bei den Bedingungen (I), (II) schwinden könnte.

ver-

Da bei dieser ganzen Untersuchung die Grössen dyv an beiden Grenzen verschwinden sollten, sind Probleme der in Nr. 8 besprochenen Art ausgeschlossen. Für diese ist bis jetzt nicht nur keine hinreichende Bedingung des Extremums, sondern auch nichts über das Zeichen der zweiten Variation bekannt.

Bei isoperimetrischen Aufgaben vereinfacht sich, wie Mayer") gezeigt hat, die Bedingung (I) und die Determinante A (a,x), wenn man die in diesem Falle konstanten Multiplikatoren und die gegebenen Werte der die Bedingungen ausdrückenden Integrale unter die Konstanten av aufnimmt. Mit der von Mayer für diesen Fall abgeleiteten Form von A (a, x) im wesentlichen identisch ist die von W. Howe ¹⁰°), G. Hormann³⁹ 40 41 42), II. Venske m) nach Weier strass angegebene.

Illusorisch würden diese Entwicklungen, wenn A (a, x) identisch verschwände. Mayer hat darauf hingewiesen, dass dies unmöglich ist, wenn das Problem dUn = 0 bei gegebenen Grenzwerten im allgemeinen lösbar sein soll. Indessen fehlt noch eine genaue Angabe, welche Eigenschaften die Funktionen f, cp haben müssen, damit A(a, x) sicher nicht identisch gleich Null sei. Für m — 0 hat L. Scheeffer gezeigt, dass A (a,x) nicht identisch verschwindet⁴³).

17. Die auf konjugierte Punkte bezügliche notwendige Bedingung des Extremums von Jx nach Erdmann. G. Erdmann ⁴⁴) hat zuerst nachgewiesen, dass beim Integral Jx ein Extremum sicher nicht vorhanden ist, sobald das Integrationsgebiet ein Paar konjugierter Punkte enthält. Es sei etwa A [a, x₀) = 0, a < x₀ < &; da für das Integral Jx der Quotient q (Nr. 16) zwischen zwei konjugierten Punkten alle Werte von — oo bis -j- oc durchläuft, folgt leicht, dass es einen Wert xx geben muss, für den A(xx,b) = 0, a < xx < #₀; und es sei xx < x% < x₀. Dann kann man die Grösse u (Nr. 13) so bestimmen, dass sie für x — a verschwindet, für x — x₂ den positiven Wert e

x₂ffx fff b-, die Formel (29) ergiebt dann, dass d²J₁ und

annimmt, zwischen a und x₂ aber nicht verschwindet; ferner so, dass sie für x = b verschwindet, für x — x₂ den Wert £ annimmt, zwischen x₂ und b aber nicht verschwindet; in letzterem Falle heisse sie ü. Dann setzt Erdmann öy — eu für affx<^x₂₎ dy — sü für

d'% ent-

dy

gegengesetzte Zeichen haben, J₁ also Inkremente verschiedenen Vorzeichens erhalten kann.

Auf verwandten Prinzipien beruht der Beweis dieses Resultats, welchen Weier strass in seinen Vorlesungen gegeben hat104a).

wenn

an-

Das Integral J₁ hört aber auch schon auf, ein Extremum zu sein, die Endpunkte Pa und Pb des Integrationsgebiets konjugiert sind. A. Kneser¹⁰⁵) hat nämlich gezeigt, dass die Schar der durch Pa gehenden Extremalen eine in Ph beginnende Enveloppe hat und dass das längs dieser, etwa von M bis N genommene Integral j fix y y)dx gleich der Differenz der Integrale längs der Kurven PaM und PaN ist, welche der definierten Schar angehören. Hieraus folgt, dass immer beliebig nahe der ursprünglichen Kurve PaPb gelegene Kurven vorhanden sind, längs deren das Integral J fdx genau den Wert Jx nimmt.

O'vy

und hierdurch wird die Einführung der Grössen dyh : dav auf eine andere Weise als bei Jacobi und seinen älteren Nachfolgern (Nr. 13) motiviert.

18. Scheeffer’s neue Methode; Ausdehnung des Satzes von Erdmann. L. Scheeffer¹⁰⁶) betrachtet zuerst grundsätzlich die Gesamtheit aller „Minimalkurven“, d. h. den Differentialgleichungen eines Problems genügenden einfachen Mannigfaltigkeiten oder, wie wir auch hier sagen, Extremalen, und wendet als neues Untersuchungsmittel die Konstruktion von Extremalen durch gegebene Punkte an. Allerdings sind bei der analytischen Durchführung die betrachteten Kurven nicht genau als Extremalen anzusehen, sondern weichen von solchen um Grössen höherer Ordnung im Verhältnis zu den Variationen ab. Diejenige Extremale, an der das Extremum eines Integrals Jn oder Un untersucht werden soll, sei (S. Eine von ihr unendlich wenig abweichende Extremale erhält man durch Variation der Konstanten

Scheeffer betrachtet nun folgende spezielle Variation ö₀ der

104a) S. Kobb, Acta math. 16, p. 111. 105 Math. Ann. 50 (1897), p. 27.

106) Math. Ann. 25 (1885), p. 522.

18. Scheeffer’s neue Methode; Ausdehnung des Satzes von Erdmann. 601

Kurve (5. Es seien A₀, A₂ zwei ihrer Punkte, A₁ liege ihr unendlich nahe; für AM sei x — x^, and x₀<Cxx<C.x₂. Durch A₀ und Ax werde eine, durch Ax und A₂ eine andere Extremale gelegt, und A₀AXA₂ als Abänderung der Kurve (S zwischen A₀ und A₂ betrachtet. Ist rjv die Differenz der Werte, welche yv für x = xv auf (£ und im Punkte Ax annimmt, so hat man bei Vernachlässigung unendlich kleiner Grössen höherer Ordnung eine der beiden Gleichungen

dy

da fi

2 n

do yv⁼⁼    fi

dy

"V. - ilf

da fi

je nachdem xQ<ix<Cx₁ oder xt<Cx<Cx₂, und die Konstanten b, c sind durch folgende Forderungen bestimmt: für x = x₀ verschwinden alle 0

für x — x₂ alle Wv, und für x — xx ist 0V — Wr — rjv. Diese Bestimmung ist möglich, wenn A(x₀, xx) und A(xt, x₂) nicht verschwinden. Die Ausdrücke 0V und Wv genügen als Funktionen von x₀ bei passender Wahl von r?, für uv gesetzt, den Gleichungen (24); setzt man ferner

V,

Utv — 0

ttffv —

so bestehen die Gleichungen (28), da ihre linken Seiten für das Argument x₀ verschwinden. Überhaupt sind die Grössen 0V mit den von Lipschitz und Mayer betrachteten Grössen uv (Nr. 15) identisch, wenn man in diesen xx für x setzt. Nach Formel (29) reduziert sich d₀² Un auf den integrierten Teil; lässt man xx gegen den zu x^ konjugierten Punkt x₀ konvergieren, so zeigt die Ausrechnung, dass d₀² Un ■ A(x0} xf) sich einer im allgemeinen nicht verschwindenden Grösse unbegrenzt annähert, und zwar einer und derselben, gleichviel ob lim (xx — x₀) — + 0. Ändert also A (x₀₎ xx) für xt = x₀ sein Zeichen, so gilt dasselbe von d₀²C4, und Un ist in dem Intervall von xQ bis x₂ sicher kein Extremum. Soll also TJ„ ein Extremum sein, so darf A(a, x) für a <Cx <i b sein Zeichen jedenfalls nicht wechseln. Ersetzt man daher das Verschwinden durch den Wechsel des Zeichens, so wird (II) eine notwendige Bedingung des Extremums.

Ebenso sucht Scheeffer die Notwendigkeit der Bedingung (I) darzuthun, indem er Ax festhält, A₀ und A₂ aber zusammenrücken

d*F 'dy'fi'dy'r

Indessen sind bei der so modifizierten Variation die Grössen öy'v nicht mehr sicher kleine Grössen, was implicite bei allen bisherigen Betrachtungen vorausgesetzt wird, sodass dieser Teil von Scheeffer’s Untersuchung einer Ergänzung bedarf¹⁰⁷).

lässt, wodurch sich d₀² ün auf die Form J‘

rjur]v reduziert.

Liegt ferner Ax auf einer Kurve A₀A₂, welche als Variation von ß betrachtet werden kann und der Variation öyv = r\v entspricht, so zeigt der erwähnte Ausdruck von ö₀²Un in Verbindung mit einer Rechnung, die mit der Mayer-Lipschits’sehen (Kr. 15) identisch ist, dass die Differenz der zweiten Variationen längs beider Bögen A₀A1 folgende Form hat:

wobei

xx

d² Jfdx

Xq

Xj    xx

wffdx=f2

Xq    Xq

d*F

03 v 03 ,

03r =

d%

dxt

/y,    dyv\

\ Zj dx dau

\et = l    U/ x—xx

und für diese Grössen aus denselben Gründen wie in Nr. 15 die Gleichungen (21) gelten. Führt man eine ähnliche Betrachtung für die beiden Bögen A₁A₂ durch, so hat man eine anschauliche Deutung für die Transformation der zweiten Variation in die spezielle Form von Mayer (Nr. 16), wodurch diese vor der allgemeineren Transformation von Clebsch bevorzugt erscheint.

19. Kritische Untersuchungen; Inbegriff der Variationen. In

den von Nr. 12 an besprochenen Arbeiten gilt es, soweit vom Extremum eines Integrals Jn oder Un die Rede ist, für selbstverständlich, dass der Zuwachs des Integrals bei Variation der unbekannten Funktionen, wenn die erste Variation verschwindet, das Vorzeichen der zweiten Variation besitzt; ist dieses konstant, so folgert man, dass das Integral wirklich ein Extremum besitzt. Noch Scheeffer glaubt durch die Betrachtung der zweiten Variation die Bedingungen (I) und (II) als hinreichend für das Extremum nachgewiesen zu haben, weist aber in einer zweiten Arbeit⁴⁵) nachdrücklich darauf hin, dass auch wenn die zweite Variation ein konstantes Zeichen hat und nur verschwindet, wenn alle dyv identisch verschwinden, das Extremum noch nicht als gesichert angesehen werden kann. Der Fehlschluss der gewöhnlichen Argumentation beruht auf folgendem. Variiert man z. B. bei dem Integral Jt eine Extremale in der speziellen von Euler (Nr. 5) angegebenen Weise, indem man y durch y -j- eu ersetzt, so erhält man für verschiedene Werte der Konstanten s eine Schar benachbarter Kurven. Innerhalb dieser Schar ist, wenn die zweite Variation konstantes Vorzeichen besitzt, ein Extremum von Jt für die Extremale gesichert, da die zweite Variation den Wert

besitzt, dJ± : de aber für e — 0 verschwindet. Aber hieraus folgt noch nicht, dass Jl auch innerhalb der Gesamtheit aller denkbaren Scharen ein Extremum ist; es könnte sein, dass man immer von einer Schar zu einer anderen übergehend eine Reihe von Kurven konstruierte, welche sich der Extremale unbegrenzt annäherten und das Zeichen des Zuwachses von Jx von dem Zeichen der zweiten Variation verschieden machten. Dies trifft bei einem von Scheeffer gegebenen Beispiel wirklich ein, und zwar wenn man wie gewöhnlich dy und dy' als kleine Grössen ansieht (s. u.).

Eine zweite kritische Bemerkung Scheeffer's bezieht sich auf die Natur der Variationen dyv ; er hebt angeregt durch Weier strass hervor, dass ebenso wie die Variationen selbst, auch ihre Ableitungen dy’v als kleine Grössen anzusehen sind, wenn die Variationsrechnung bestehen soll. Euler, Lagrange und ihre nächsten Nachfolger haben diese Voraussetzung als selbstverständlich angesehen und stillschweigend eingeführt, indem sie z. B. setzen

äf(x> y,y) = jf₎Sy-]r^Sy'',

denn nur bei kleinen Inkrementen aller variierten Grössen kann man mit dem Zeichen d nach den Regeln des Differentialzeichens operieren. Legendre⁴⁶ 47) zeigt, dass man beim Problem der Rotationsfläche kleinsten Widerstandes zu einer durch die gewöhnlichen Regeln erhaltenen Extremale eine ihr beliebig nahe verlaufende Zickzacklinie konstruieren kann, längs deren das betrachtete Integral kleiner wird als längs der Extremale, während die zweite Variation positiv ist. Todhunteruo) hat zuerst allgemein bemerkt, dass die Voraussetzung, dy' sei klein, den Begriff der zulässigen Variationen und damit des Extremums spezialisiere, und dass diese Voraussetzung in der Variationsrechnung gemacht werden müsse; er betrachtet ebenfalls an Beispielen Variationen, bei denen die Grössen dy endlich sind, und weist darauf hin, dass die erhaltenen Resultate denen der Variationsrechnung widersprechen können. Derartige Widersprüche erklären sich dadurch, dass der Begriff des Extremums einerseits in der Variationsrechnung, andrerseits bei speziellen Untersuchungen von der Art der Legendre¹ scheu, verschiedenen Inhalt hat. Dieser Begriff hängt davon ab, mit was für „benachbarten“ Mannigfaltigkeiten man die gesuchte vergleicht. Vergleicht man z. B. den Wert von Jx längs einer Kurve mit dem Wert längs einer andern, deren Punkte den entsprechenden (Nr. 4) der ersteren nahe liegen, während die Tangenten entsprechender Punkte endliche Winkel bilden können, und verlangt, dass die Differenz der Werte von Jx längs der beiden Kurven ein vorgeschriebenes Zeichen habe, so hat man den weiteren, von Weierstrass (Nr. 21) untersuchten Begriff des Extremums. Verlangt man dagegen, dass in entsprechenden Punkten die Tangenten nahezu parallel seien, so kommt man auf den gewöhnlichen, engeren Begriff, der in der Variationsrechnung zu Grunde gelegt wird und werden muss, wenn nicht der Formalismus der Variationsrechnung zusammenbrechen und schon die Formeln (1) ihre Gültigkeit verlieren sollen. Für den Fall des Integrals Jn hat E. Zermelom) die verschiedenen Arten von Nachbarschaft systematisch unterschieden.

Ob man Extrema der engern oder weitern Art betrachten will, ist natürlich zunächst freigestellt. In vielen Fällen entscheidet die Natur der Extremumsaufgabe selbst darüber; z. B. hat F. August¹¹²) gezeigt, dass bei dem Problem der Fläche kleinsten Widerstandes die physikalische Bedeutung der Aufgabe verlangt, die Variationen, bei denen öy' nicht klein ist, und damit die Legendre¹ sehe Zickzacklinie auszuschliessen. Ebenso führen die dynamischen Anwendungen der Variationsrechnung mit Notwendigkeit auf die speziellere Variationsart, da die Geschwindigkeiten ebenso wie die Koordinaten kleine Änderungen erfahren. Die geometrischen Extremumsaufgaben haben im allgemeinen bei beiden Variationsarten einen Sinn.

20. Hinreichende Bedingungen des Extremums von Jx nach Scheeffer. L. Scheeffer¹¹³) hat in einer früheren Arbeit, ebenso wie dem Anschein nach Weierstrass¹¹⁴), die Theorie der zweiten Variation deshalb für mangelhaft erklärt, weil die allgemeinere Variationsart sich ihr entzieht. Sodann hat Scheeffer aber bemerkt (Fussn. 108), dass jene Theorie auch bei der spezielleren Variationsart in ihrer älteren Form nicht ohne weiteres hinreichende Bedingungen des Extremums ergiebt, und hat solche für Jx aus der Jacobi'sehen Form der zweiten Variation nach einer neuen Methode abgeleitet. Aus dieser Form folgt zunächst, wenn ut, — dy gesetzt wird, und c² eine von dy unabhängige, positive Konstante bedeutet,

111)    Untersuchungen p. 28.

112)    J. f. Math. 103 (1888), p. 22.

113)    Math. Ann. 25 (1885), p. 594.

114)    Schwarz, Gres. math. Abh. 1, p. 235.

20. Hinreichende Bedingungen des Extremums von Jl nach Scheeffer.

605

b

|d*Ji| >c“ /ï*dx.

Ist nun der nach den quadratischen Gliedern folgende Rest in der nach dy und dy fortschreitenden Taylor'sehen Entwicklung von f(x, y -f dy, y -f- dy'), sind ferner cx und c₂ Konstante, so hat man

b

fs

₃ dx

, b    b

< ci (£o + So) ! ftfdx -\-f

^ a    a

dx\,

¹

   J. f. Math. 69, p. 241.

²

   Neunte Vorl., Werke Suppl, p. 143.

³

   Werke 5, p. 465. Zuerst abgedruckt in der ersten Auflage der Dynamik. S. a. Werke 5, p. 282.

⁴

   St. Pét. Bull. 31 (1886), p. 283.

⁵

   Warschau Univ. Nachr. 1886.

⁶

   Theorie générale des surfaces 3 (1894), p. 53.

⁷

   Math. Ann. 49 (1897), p. 49.

⁸

   Par. Hist. 1786 (1788), p. 7; Ostwald’s Klass. Nr. 47.

⁹

   Werke 4, p. 42.

¹⁰

   Mem. dell’ istituto nazionale italiano l² (1806), p. .191.

¹¹

   Oeuvres 9, p. 304.

¹²

   J. f. Math. 17 (1837); Werke 4, p. 41.

¹³

   J. de math. (1) 6 (1841), p. 17.

¹⁴

   J. de math. (1) 6 (1841), p. 209.

¹⁵

   J. f. Math. 55 (1858), p. 300.

¹⁶

   J. éc. polyt. 17, cah. 28 (1841), p. 276.

¹⁷

   Untersuchungen über Variationsrechnung, Mannheim 1853.

¹⁸

   J. f. Math. 54 (1857), p. 68.

¹⁹

   Gott. Abh. 13 (1868), p. 53.

²⁰

   J. f. Math. 85 (1878), p. 185.

²¹

   Wien. Ber. 14, p. 57.

²²

   J. f. Math. 55 (1858), p. 254, 335.

²³

   Beiträge zur Theorie der Maxima und Minima einfacher Integrale, Leipzig 1866.

²⁴

   Leipz. Ber. 30 (1878), p. 22.

²⁵

   J. f. Math. 55 (1858), p. 344.    S. a. Frobenius [Fussn. 78],

²⁶

   Beiträge [Fussn. 81], p. 32.

²⁷

   J. f. Math. 69, p. 249.

²⁸

   Mayer, Beiträge [Fussn. 81], p. 52; J. f. Math. 69, p. 255.

²⁹

   Beiträge [Fussn. 81], p. 57. S. auch G. von Escherich, Wien. Ber. 97, H% p. 1416 (1888); 98, ITa, p. 1463 (1889).

³⁰

   Werke 4, p. 46.

³¹

   Werke, Suppl, p. 46.

³²

   Untersuchungen [Fussn. 68], p. 15.

³³

   J. f. Math. 54 (1857), p. 259.

³⁴

   Utkast tili isoperimetriska problemers fullständiga solution, Upsala 1866, p. 31, 98.

³⁵

   Distinction des maxima et des minima dans un problème isopérimétri-que, Nova acta soc. Upsaliensis, (3) 7 (1869).

³⁶

   Beiträge [Fussn. 81], p. 60.

³⁷

   Werke, p. 451.

³⁸

   Werke, 4, p. 45.

³⁹

Math. Ann. 13 (1878), p. 53.

⁴⁰

   Diss. Berlin 1887, p. 5.

⁴¹

   Diss. Göttingen 1887, p. 10.

⁴²

   Diss. Göttingen 1891, p. 13.

⁴³

   Math. Ann. 25 (1885), p. 564.

⁴⁴

   Zeitschr. Math. Phys. (2) 23 (1878), p. 367.

⁴⁵

Math. Ann. 26 (1886), p. 197.

⁴⁶

   Ostwald’s Klass. 47, p. 72.

⁴⁷

   Researches in the calculus of variations, London und Cambridge 1871, p. 169, 269; History p. 3, 426. Ygl. Euler, Inst. calc. int. 3, p. 407 (ed. II).

wobei t₀, £₀' die oberen Grenzen von £ und £' sind. Weiter beweist Scheeffer das Lemma

dx

für willkürliche Funktionen £; daraus folgt

b

(32)

dx < C₂ (£₀ -J- £₀ )• a

Die Grössen £₀, £₀' werden aber unendlich klein, wenn dies von den oberen Grenzen der Grössen dy, dy' gilt; da nun die genaue Gleichung

b

Jl +!«! + fjR>dx

b

ff(x,y + öy, y +dy')dx

besteht, so lehrt die Gleichung (32), dass der Zuwachs des Integrals das Zeichen der zweiten Variation hat, sobald dy, dy' im ganzen Integrationsgebiet hinlänglich klein genommen werden. Damit sind für das Integral Jx die Bedingungen (I), (II) als hinreichend für das Bestehen eines Extremums im gewöhnlichen, engeren Sinne nachgewiesen. Dasselbe Ziel erreicht Kneser ¹) für das engere Extremum des Integrals TJn (m beliebig) auf Grund der Theorie der Transformation der zweiten Variation mittelst der von Lagrange (Nr. 12) gegebenen Modifikation der Legendre'sehen Theorie.

Hier werde noch auf einige verfehlte oder ergänzungsbedürftige Versuche, hinreichende Bedingungen des Extremums abzuleiten, hingewiesen. C. JE. Lundström ²) sucht die Bedingungen (I), (II) (Nr. 16) für den Fall des Integrals Jn ohne die Transformation der zweiten Variation abzuleiten ; er beweist, indem er die Ordnungen der Kleinheit von

d*f

ây und ây' vergleicht, dass bei hinreichend engem Integrationsintervall

2 übereinstimmen. Dass dies aber

die Vorzeichen von Ö²Jn und

(dyw)

auch noch gilt, solange das Intervall den zum Anfangspunkt konjugierten nicht umfasst, wird nur bewiesen vermittelst der keineswegs selbstverständlichen Annahme, es gebe, wenn man an einer bestimmten Stelle a zu integrieren beginnt, eine erste Stelle ai von der Beschaffenheit, dass die zweite Variation des von a bis erstreckten Integrals Jn verschwinden kann, ohne dass dy identisch verschwindet. Auf sehr ähnlichen Bahnen bewegen sich die Versuche von E. Culver -wellm) und B. Turksma³ 4). W. Jermakoff⁵ 6 7) geht aus von der verallgemeinerten Jacobi -Hamilton'sehen Methode; er untersucht aber nicht, in welchem Umfang die Lösungen der partiellen Differentialgleichungen existieren; die Bedingung (II) tritt infolge dessen gar-nicht auf, während doch ihre Notwendigkeit nach Scheeffer und Erdmann feststeht.

21. Hinreichende Bedingungen nach. Weierstrass; das isoperimetrische Problem im engeren Sinne. K. Weier strass m) sieht x und y als Funktionen eines Parameters t an, wodurch es ermöglicht wird, auch solche Kurven ins Auge zu fassen, längs deren y nicht eine eindeutige Funktion von x ist. Es wird dabei eine willkürliche Funktion eingeführt, und gewisse Ausdrücke müssen als von dieser unabhängig nachgewiesen werden, was Zermelo m) für den Fall des Integrals Jn durchgeführt hat. Bei der folgenden Darstellung ist von dieser formalen Neuerung abgesehen und die bisherige Bezeichnung beibehalten.

Weierstrass geht, um eine hinreichende Bedingung des Extremums zu erhalten, von der Betrachtung des Aggregats

(33)

(A₀Ai) -j- (A₁A₂) (AqA₂)

aus, wobei die Klammer (AflAv) den Wert des gegebenen Integrals Un bedeutet, wenn man längs der die AM und Av verbindenden Ex-

p. 241.

21. Hinreichende Bedingungen nach Weierstrass; d. isoperimetr. Probl. etc. 607

tremale integriert; die überstrichene Klammer die analoge Bedeutung hat; wenn man längs einer beliebigen A₀ und A₂ verbindenden Kurve (&' integriert. Speziell wird der Fall ins Auge gefasst; dass Ax an A₂ unendlich nahe heranrückt; sodass die Extremale A₀A₁ als Variation von A₀A₂ mit Verschiebung des einen Endpunktes angesehen werden kann. Wendet man die Euler’sehe Variationsformel (4) an und setzt längs der Kurve (V allgemein dyv : dx=pv, so ergiebt sich

dy'v

x=x₂

(AA) — (A A) = Sx(f + (j>v — y'r) dF Nun ist offenbar

also

(AA) \ßxF(oc, yx,... y yn, pxy . . ., Pnj\x=x^

(AA) + (AA) - (AA) = {Edx)x=Xi,

wenn gesetzt wird

E — F(xf yX}...} yn y y±}...} yA) F(oc, yx7... ₇ yn y px y •..₇ Pn)

dF(x,...,yx...y'n)

dy'v

V = 1

Liegt nun Ax irgendwo auf der Kurve 6' und ist Ax der auf dieser von Ax nach A₀ hin benachbarte Punkt; so kann man die letzte Formel auf das Aggregat

(AA') + (A'A) — (AA)

anwenden; welches als Differential der Grösse (33) angesehen werden kann₇ wenn Ax längs der Kurve (S' von A₂ nach A₀ hin läuft. Ist daher die Grösse Edx konstanten Zeichens; so gilt dasselbe von dem bezeichneten Differential und der Grösse (33) ₇ mithin auch₇ wenn Ax in die Lage A₀ rückt, von der Differenz

X₂

(AA)~

(A₀A₂) = djf dx.

x₀

Da nun (£' nur dann als Variation der Extremale A A °der S auftreten kann, wenn

(34)

0 = 1,2,

Wq fa} Vl) • • • ; Vn ? P\ j • • • > Pn) = 0

da ferner die Konstruktion der Extremalen A A nur dann eindeutig bestimmt ist, wenn © zwischen A₀ und A₂ kein Paar konjugierter Punkte enthält, so schliesst Weier strass : wenn die Grösse Edx unter der Voraussetzung (34) längs des betrachteten Extre-malenstücks ein konstantes Zeichen hat und die Bedingung (II) erfüllt ist, so ist ein Extremum sogar im weiteren Sinne vorhanden; denn es wird nicht benutzt, dass in entsprechenden Punkten von 6 und GT die entsprechenden Grossen dyv : dx wenig von einander abweichen.

Nimmt man dagegen an, die Differenzen pv — y'v seien klein, womit man auf den gewöhnlichen, engeren Begriff des Extremums zurückkommt, so läuft das Weier strass* sehe Kriterium auf die beiden Bedingungen (I), (II) hinaus. Denn unter dieser Voraussetzung ist dx stets negativ, und man kann offenbar entwickeln:

ë = -2

d⁹-F(xyy)

fl, V

Wpdy'v

te* — y'e) te — y'v) H—,

wobei die weggelassenen Glieder in den Grössen pv — y'v von mindestens dritter Dimension sind, und die Gleichungen (34) ergeben in Verbindung mit den gegebenen Gleichungen <p? (x, . . ., y'n) = 0

— y'v) + • * • >

0 -2

v — 1    v

wobei die weggelassenen Glieder in den Grössen pv — y'v von mindestens zweiter Dimension sind. Die Grösse E hat also jetzt ein konstantes Zeichen, sobald die Bedingung (I) erfüllt ist; die Bedingungen (I), (II) wären somit als hinreichend für das Eintreten des Extremums nachgewiesen.

Eine authentische Darstellung dieser Weier strass'sehen Untersuchungen liegt nicht vor121 a) ; Zermelo (Fussn. 19) hat sie für den Fall des Integrals Jn durchgeführt. Die Hauptschwierigkeiten, welche bei einer solchen Darstellung zu überwinden wären, dürften folgende sein: 1) der Nachweis, dass die Extremalen A₀A₁ konstruiert werden können, oder dass die Determinante A nicht identisch verschwindet; 2) der Nachweis, dass E nicht längs einer Kurve (V überall verschwinden kann. Übrigens betrachtet Weierstrass nicht direkt die Grösse E, sondern eine davon durch einen gewissen Faktor unterschiedene Grösse E, welche für so definiert wird, dass die Grösse (33), wenn A₁ unendlich nahe bei A₂ liegt, und ds das Bogenelement der Kurve (£' ist, den Wert Eds erhält.

Beispiele (£4, m = 1) für die Weier strass ’sehe Methode giebt H. A. Schwarz¹²²); in seinem Beweis des Satzes, dass der Kreis

121a) Auf Vorlesungshefte ist im vorliegenden Referat keine Rücksicht genommen, da dies für den Leser ohne Nutzen wäre, ausserdem auch die handschriftliche Tradition sehr unsicher ist.

122) Grött. Nachr. 1884, Ges. Abh. 2, p. 327.

22. Höhere Variationen; hinreichende Bedingungen bei variablen Grenzen. 609 kleineren Umfang hat als jede geschlossene Linie von gleichem Flächeninhalt, kommt die Methode dadurch zur Geltung, dass, wenn A₀A₂ ein Bogen der variierten Kurve ist, ein Kreisbogen A₀A₁ konstruiert wird, der mit seiner Sehne dieselbe Fläche wie der erstgenannte Bogen A₀A₂ einschliesst; eine analoge Konstruktion wird benützt beim Beweis des Satzes, dass unter den Rotationsflächen gegebenen Volumens die Kugel die kleinste Fläche hat.

Weier strass hat übrigens bewiesen⁸), dass bei Jt die Grösse E nicht konstanten Zeichens sein kann, wenn f(x, y, y) eine rationale Funktion von y ist. In diesem Falle, der offenbar beim Problem der Rotationsfläche kleinsten Widerstandes eintritt, kann also nur von einem Extremum im engeren Sinne die Rede sein. Für n > 1 gilt der Satz nicht mehr, wie Zermelo zeigt.

22. Höhere Variationen; hinreichende Bedingungen bei variablen Grenzen. Die bisher besprochenen hinreichenden Bedingungen des Extremums beziehen sich auf den Fall fester Integrationsgrenzen und lehren nichts, wenn es sich darum handelt, das Extremum bei variablen, gewissen Bedingungen unterworfenen Grenzwerten zu sichern. Notwendige Bedingungen auch für diesen Fall hat schon Lagrange (Nr. 3) aufstellen gelehrt; Todhunter⁹) scheint zuerst den Zuwachs, der unendlich klein zweiter Ordnung ist, bei variablen Grenzen in einem speziellen Falle explicite aufgestellt zu haben. Lundström¹⁰) hat sodann ohne völlig ausreichende Begründung die hinreichenden Bedingungen des Extremums bei variablen Grenzen angegeben. Später hat man den Algorithmus der höheren Variationen herangezogen.

Offenbar kann die Variation irgend einer Grösse du als eine Funktion von x angesehen und selbst wieder variiert werden, d. h. vermehrt um eine willkürliche Funktion von x, die im Verhältnis zu du selbst klein ist und durch d²u bezeichnet wird; ebenso kann man von dieser eine im Verhältnis zu ihr kleine Variation dsu bilden u. s. f. Die Operationsregeln für das wiederholte Zeichen d werden dann ebenso wie für das einfache mit denen des Differentialzeichens identisch sein. Eine klare und zugleich hinreichend allgemeine Erörterung dieses Begriffs der höheren Variationen scheint trotz mancher Diskussionen¹¹) nicht vorzuliegen. Erdmann¹²) giebt

eine Erörterung auf Grund des in Nr. 5 erwähnten speziellen Begriffs der einfachen Variation und setzt

dku = dtk, dł ’

womit die Operationsregeln gesichert sind. Man erhält so z. B., wenn dx = 0:

d²Jx =

b

sfdx (

df

df

dy'

dy)

b

-jdx{

daf

daf

dy²

dydy'

dydy -[

daf

df

dy

dy

die mit ä²y, à² y behafteten Glieder lassen sich aber durch partielle Integration wegschaffen, wenn dJx — 0, sodass in diesem Falle die zweite Variation von Jl dieselbe Bedeutung hat, wie bisher.

Im Fall variabler Grenzen erhält Erdmann für Ö²Jt einen komplizierteren Ausdruck; die Verallgemeinerung für das Integral Un hat Mayer¹³) gegeben. Erdmann führt die bei der Jacobi-Hessésehen Transformation (Nr. 13) gebräuchlichen Grössen ein, und leitet mit Hülfe des so erhaltenen Ausdrucks von d¹⁴Jx hinreichende Bedingungen des Extremums bei variablen Grenzen ab. Er wendet seine Methode mit Erfolg an auf das Beispiel einer Kurve gegebener Länge, welche mit einer festen Kurve einen extremen Flächenraum einschliessen soll, während der Endpunkt auf der festen Kurve nach Belieben gewählt werden kann; ferner auf das Problem der kürzesten Linie zwischen gegebenen Kurven. Eine etwas speziellere Fassung gab Mayer¹²²) der Aufgabe des Extremums bei variablen Grenzwerten, indem er unter allen Extremalen, die den Grenzbedingungen genügen, diejenige sucht, welche das Integral zum Extremum macht. In dieser Fassung hat man im Grunde ein Problem des gewöhnlichen Extremums vor sich, dessen Lösung, wie Mayer zeigt, durch Benutzung der Jacobi-Hamilton’sehen Methode erleichtert werden kann. Erdmann hat diese schon früher erwähnte Problemstellung beanstandet¹⁵); in der That liefert eine Extremale noch nicht mit Sicherheit ein Extremum unter allen Kurven überhaupt, wenn sie unter allen Extremalen ein Extremum ergiebt. Später hat Mayer¹²²) die Aufgabe auch in der allgemeineren Fassung betrachtet und hinreichende Bedingungen des Extremums abgeleitet; es sind dieselben wie sie sich bei der spezielleren Aufgabe ergeben. Mayer betrachtet u. a. das Beispiel der Kurve gegebener Länge, deren Schwerpunkt möglichst tief liegt, während einer ihrer Endpunkte einer gegebenen Kurve angehört. Dass man bei der Ableitung dieser Kriterien vom Zeichen der Glieder zweiter Dimension auf das des ganzen Zuwachses schliesst, ist in demselben Umfang wie beim gewöhnlichen Extremum berechtigt.

Die Betrachtungen Erdmann's über höhere Variationen, um über das Extremum bei einem durch zwei konjugierte Punkte begrenzten Extremalenstück zu entscheiden, können nicht als völlig ausreichend angesehen werden aus denselben Gründen, wie die älteren Untersuchungen über die zweite Variation (Nr. 19).

23. Steiner’s Sätze über Figuren extremen Flächeninhalts ; diskontinuierliche Lösungen. J. Steinerm) hat die isoperimetrische Aufgabe im engeren Sinne nach fünf verschiedenen geometrischen Methoden behandelt, von denen die zweite und dritte auf den mit elementaren Mitteln ableitbaren Extremumseigenschaften der in und um den Kreis beschriebenen Polygone, die übrigen auf den Symmetrieeigenschaften des Kreises beruhen. Alle diese Methoden geben ein Verfahren, eine nicht kreisförmige Figur des gegebenen Umfangs zu verkleinern, zeigen aber nicht, dass die fortgesetzte Wiederholung dieses Verfahrens konvergiert, d. h. zu einer bestimmten Grenzfigur führt, ein Mangel, der übrigens z. B. bei der vierten Methode leicht zu heben sein dürfte. Steiner behandelt dann eine grosse Anzahl von Aufgaben, in denen das Minimum des Inhalts bei gegebenem Umfang unter der Voraussetzung gewisser Schranken gesucht wird, d. h. es wird festgesetzt, dass die gesuchte Kurve ein gewisses Gebiet nicht überschreiten, oder mit gewissen Linien Teile oder einzelne Punkte gemein haben soll. Eine spezielle Aufgabe dieser Art hat schon Legendre¹⁶ 17) mittelst der Variationsrechnung behandelt. Steiner bestätigt an allen von ihm behandelten Aufgaben eine Gruppe von Sätzen, die er ohne Beweis ausgesprochen hatte¹⁸), indem er statt des gewöhnlichen isoperimetrischen Problems die Aufgabe nimmt, auf einer beliebigen Fläche die Kurve kürzesten Umrings zu konstruieren, d. h. die Kurve, deren Umfang bei gegebener Fläche minimal ist. Diese Kurven hatte vor Steiner schon F. Minding¹⁹) behandelt; und mit Benutzung der Gemss’schen krummlinigen Koordinaten durch Variationsrechnung gezeigt; dass die gesuchten Kurven konstante geodätische Krümmung besitzen. Die allgemeinen Steiner-schen Sätze sind nun folgende. Wenn auf irgend einer Fläche eine Figur von gegebenen Umfang und maximalem Inhalt die Seiten irgend eines krummlinigen Polygons nicht überschreiten soll; aber mit ihnen Punkte oder Strecken gemein haben darf; so sind die freien Teile des Umfangs der gesuchten Linie Kurven kürzesten Umrings mit gleichen Werten der konstanten geodätischen Krümmung; jede Seite des Vielecks wird von den an sie stossenden freien Teilen der gesuchten Kurve berührt oder unter gleichen Winkeln geschnitten; und zwar tritt; was Steiner bei allen Beispielen bestätigt; Berührung ein; wenn die Kurve durch ein endliches Stück mit der Vielecksseite zusammenfällt. In der Ebene sind natürlich die Kurven kürzesten Umrings Kreisbögen; deren Radius das Reziproke ihrer geodätischen Krümmung ist; ebenso auf der Kugelfläche, für welche Steiner ebenfalls Beispiele behandelt.

Minding²⁰) hat für die auf Rotationsflächen abwickelbaren Flächen ein erstes Integral der Gleichung der Kurven kürzesten Umrings abgeleitet; er behandelt ferner die Aufgabe, die geschlossene Kurve kürzesten Umrings bei gegebener Fläche zu konstruieren, die verschiedenen Beschränkungen unterworfen wird, z. B. innerhalb einer von zwei Breitenkreisen begrenzten Zone der Rotationsfläche liegen, oder zum Teil gegeben sein soll; die erhaltenen Resultate können als Bestätigung der Steiner'sehen Sätze angesehen werden. Minding beweist ferner²¹), indem er die Kurven kleinsten Umrings als Gleichgewichtsfiguren eines unausdehnbaren Fadens bei einer zur Fläche tangential, zum Faden normal wirkenden konstanten Kraft ansieht, die Steiner'sehen Sätze, ohne jedoch den Fall zu betrachten, dass die Kurve kürzesten Umrings und die Polygonseite einen von Null verschiedenen Winkel bilden, und dehnt die bei den Rotationsflächen durchgeführten Betrachtungen auf alle Flächen aus, für welche man eine Schar geschlossener Linien kürzesten Umrings kennt.

Todhunter²²) hat für eine Reihe von Einzelaufgaben des Extremums isoperimetrische und andere Untersuchungen durchgeführt, welche den Steiner’sehen analog sind, indem er davon ausgeht, dass schon wenn Anfangs- und Endpunkt gegeben sind, oft eine sie verbindende Extremale nicht konstruiert werden kann. Dasselbe gilt noch mehr, wenn Beschränkungen anderer Art vorliegen, z. B. Schranken, welche nicht überschritten werden sollen. Er versucht in solchen Fällen durch Kombination verschiedener Extremalen ein Extremum zu erreichen; die erhaltenen Kurven sind im allgemeinen diskontinuierlich, d. h. mindestens einige der Unbekannten oder ihrer Ableitungen haben einzelne Unstetigkeiten. Ohne die den Steiner’sehen analogen Sätze anders als teilweise und induktiv zu erhalten, hebt er doch²³) als den allgemeinen analytischen Charakter der Extremumsaufgaben mit Beschränkungen hervor, dass die Variationen der Unbekannten wenigstens streckenweise, z. B. an den Schranken, Ungleichungen unterworfen sind, wodurch die in Nr. 6 besprochenen Schlüsse ihre Gültigkeit verlieren. In einigen Aufgaben138a) wird auch der Begriff des Extremums dadurch beschränkt, dass die gefundene Kurve nur mit andern verglichen wird, in denen die Konkavität nach derselben Seite gerichtet ist u. dgl.

E. Heine²⁴ 25) hat als von Weierstrass herrührend den Satz angegeben, dass wenn djn verschwinden soll und man längs einer diskontinuierlichen Kurve integriert, die Grössen R₀, Bx, . . . (Nr. 4) in jeder Unstetigkeitsstelle stetig bleiben müssen. Für n = 1 also würde dies von der einen Grösse df:dy' gelten. Erdmannuo) hat sodann bewiesen, dass für n — 1 die beiden Grössen

df

,    , df

dy’

stetig sein müssen; seine Argumentation geht über die von Heine gegebene hinaus, indem er nicht, wie dieser, dx in den Unstetigkeitsstellen = 0 setzt. Natürlich gelten seine Schlüsse nur, wenn blos eine endliche Anzahl von Unstetigkeiten zugelassen werden. — Derselbe Satz findet sich in den Mittheilungen von Harris Hancock²⁶) über Weierstrass’ Untersuchungen in etwas modifizierter Form. Erdmann behandelt ferner die Aufgabe, Jx zu einem Minimum zu machen, wenn die gesuchte Kurve auf ein gewisses Gebiet beschränkt bleiben soll. Dieses werde dadurch definiert, dass in ihm die Gleichung y = (p{x, z) für s reelle Werte ergebe, sodass y(z) = 0 die Glei-

f y dy

chung der Grenzlinie ist; dann kann die gestellte Aufgabe dadurch ersetzt werden, dass man das Extremum des Integrals

Jx =j*)fix, <p(%, z), cp ix)) dx

aufsucht, dessen Extremalen durch die Gleichung

dy

df iK\ ₌ o

dx dy')

definiert werden, in welcher man y durch cp(x, z) ersetzt. Indem er auf diese Gleichung den erwähnten Satz anwendet, schliesst Erdmann, dass die Lösung der Aufgabe aus Stücken der Grenzkurve und Extremalen des Integrals Jx zusammengesetzt sein müsse, und dass zwei endlich ausgedehnte Linienstücke dieser beiden Arten sich berühren müssen, wo sie Zusammentreffen. Die Angaben über den Fall, dass zwei Extremalenstiicke in einem Punkt der Grenzlinie Zusammentreffen, sind nicht vollständig. Für die Sicherung der ganzen Argumentation wären über das analytische Verhalten von cp(x, z) in den betrachteten Wertsystemen genauere Voraussetzungen zu machen. Für die kürzeste Linie in einem beliebig begrenzten Flächenstück hat Darboux ²⁷ 28) eine Reihe von Sätzen bewiesen, speziell dass ein der kürzesten Linie angehöriges Begrenzungsstück von dem sich anschliessenden geodätischen Bogen berührt wird.

Weierstrass u3) scheint aus der Definition des Zeichens E (Nr. 21) folgenden Satz abgeleitet zu haben. Es seien AB und CB zwei Extremalenstiicke eines Integrals Jx mit isoperimetrischer Bedingungsgleichung Kt = const., B ein Punkt der Begrenzung; die Sinus der Winkel, welche die Begrenzung in B mit den Bögen BA und BC macht, verhalten sich, wenn die Kurve ABC das Integral zum Extremum macht, wie die Grössen E, die man im Punkte B für AB erhält, indem man p durch die Richtung BC, und für CB, indem man p durch die Richtung BA definiert. Damit ist ein bisher noch nicht vollständig erledigter Teil der Steiner’’sehen Sätze verallgemeinert. Weierstrass scheint ferner bewiesen zu haben, dass ein Ex-tremalenstück, wenn es mit einem Stück der Grenzlinie zusammen das Integral zum Extremum macht, dieses Stück berühren muss, d. h. dass der von Erdmann aufgestellte Satz auf isoperimetrische Aufgaben übertragen ist.

24. Mehrfache Integrale; Transformation der ersten Variation.

Bei Doppelintegralen, welche über eine unbekannte Fläche erstreckt

werden und bei den analogen Aufgaben für höhere Mannigfaltigkeiten ist die Fragestellung und der Zusammenhang zwischen dem Extremum und dem Verschwinden der ersten Variation derselbe wie bei einfachen Integralen, doch sind die meisten Darstellungen hier noch weniger streng. Lagrange²⁹) bildet die Variation eines Doppelintegrals, wenn z eine unbekannte Funktion von x und y und p, g ihre ersten Ableitungen sind, unter der Annahme dx— dy — 0, d. h. es wird die variierte Fläche auf die ursprüngliche durch Parallele zur #-Axe eindeutig bezogen. Alsdann ist das Zeichen d mit dem der partiellen Differentiation nach x und y vertauschbar, und man erhält, da die zweite Formel (1) auch für Doppelintegrale gilt,

(35)

dj=d jjdxdy f{x, y, z, p, q)

=jjdx dy dz ^ +ffdxdy^(^öi) + ff dxdy f

cf    d /d_f\ _ <f (d£\\

dz dx \dp) dy \dq_j)

dz

wobei die Differentiation nach x und y auch auf z, p, q, dz erstreckt wird.

Wird nun die Projektion der Fläche auf die Ebene z — 0 von den Linien y = const, in den Punkten 1 und 2 getroffen, so hat man in leicht verständlicher Bezeichnung;

dieser Ausdruck verschwindet, wenn dz an der Grenze des Integrationsgebiets verschwindet, ähnliches gilt vom letzten Gliede der rechten Seite in (35), und eine Argumentation analog der in Nr. 6 angedeuteten ergiebt als notwendige Bedingung des Extremums

A (dJ\ ₌ 0

dy\dq)

(37)

ß_f\

dz dx \dp)

Nach einem misslungenen Versuch von Euler³⁰ 31) hat Poisson¹*⁶) die Variation des Integrals J ohne die Voraussetzungen dx — dy = 0 gebildet, indem er x, y, z als Funktionen von zwei der Variation nicht unterworfenen Parametern u, v ansieht, sodass die Zeichen d : du und d : dv mit d vertauschbar sind. Er erhält auf diese Weise ein Analogon der Euler'sehen Formel (4), und zwar auch für den Fall, dass Ableitungen beliebig hoher Ordnung Vorkommen.

Gauss³²) bringt zuerst die Glieder von der Form (36) für spezielle Integrale, darunter das Oberflächenintegral, in eine zur Diskussion geeignete Form, sodass die Betrachtung der Extrema bei variablen Integrationsgrenzen möglich wird. Er führt eine bestimmte Fortgangsrichtung auf der Begrenzungslinie ein; hierdurch gelingt es ihm, die beiden Glieder auf der rechten Seite der Gleichung (36) auf dieselbe Form zu bringen und das ganze Integral in ein längs der Begrenzungslinie in der festgesetzten Richtung erstrecktes umzuwandeln. Es ist dies eine von Gauss vielfach angewandte Betrachtung, welche auch den Grem’schen Umwandlungen von Flächenintegralen in Linienintegrale (II A 2, Nr. 45)

Grunde liegt. Poisson (Fussn.

zu

146) führt die Gauss’ sehe Betrachtung für allgemeine Integrale J durch und untersucht die Folgerungen, die man allgemein aus der Gleichung dJ — 0 bei variablen Grenzen ziehen kann, z. B. wenn die Grenzlinie auf einer gegebenen Fläche liegen soll, und stellt Schätzungen darüber an, inwiefern die bei der Integration der Gleichung (37) auftretenden willkürlichen Funktionen durch Grenzbedingungen bestimmt werden. Er betrachtet den Fall, dass unter dem Integralzeichen dxdy mit dem Quadrat der mittleren Krümmung multipliziert ist; ein etwas allgemeineres Integral tritt in Poisson’s Theorie der elastischen Platte auf, welche von Kirchhoff (s. Nr. 26) erweitert und berichtigt ist. — OstrogradsJcy³³) dehnt Poisson’s Untersuchungen, besonders auch die Verwandlung von Integralen verschiedener Vielfachheit in einander auf Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimensionen aus. Mit der formalen Umgestaltung der ersten Variation vielfacher Integrale beschäftigen sich ausgedehnte Untersuchungen von Sarrus³⁴) und Cauchy ³⁵°) sowie eine Note von Lindelöf³⁶).

25. Zweite Variation und hinreichende Bedingungen des Extremums von Doppelintegralen. Versuche, hinreichende Bedingungen des Extremums abzuleiten, sind nur für den Fall einer festen Grenze des Integrationsgebiets angestellt. V. Brunacci³⁷) hat die Untersuchung von Legendre (Nr. 12), und zwar in der ihr von Lagrange gegebenen Modifikation, auf das Doppelintegral J übertragen. Unter der Annahme (37) hat man offenbar

25. Zweite Variation u. hinreichende Bedingungen d. Extrem, v. Doppelintegr. 617 A = J Jf(x, V, 8 +de, p + dp, q + dq)dxdy — J =f f dx dy (y cp + b),

wobei eine quadratische Form von dz, dp, dq bedeutet und B die Yariationen nur in mindestens dritter Dimension enthält. Brunacci addiert nun zu A die Grösse

J'j dxdy ^

djadz²) d(ßlHl\ dx ' dy ) ’

welche = 0 ist, da óz am Rande des Integrationsgebiets, welches natürlich dasselbe wie bei J sein soll, verschwindet. Es ergiebt sich so

fj dx dy (j ip + Bj,

wobei 4> eine quadratische Form derselben Argumente wie qp ist; * setzt man

d*f

D — dH HC

’ ¹~dpid<f

t>0 =

Y) — j) (HL

~ Vl W + Tx + d x)

_L_ 2 —(_-

' dpdq\dzdq

dp²

d*f

d²f

+ «)

( ay y

\dpdq)

HL(JHL + ß]

dps \dzdq ' "/

_ 8Y (_HLL I \²

dqf \dz dp    /

dz dp

so ist die Form if> definit positiv oder negativ, je nachdem das erste oder zweite der folgenden Ungleichungssysteme gilt:

(38) D₀ >0, D± > 0, Z>₂ >0; D₀< 0, Dt > 0, D₂ < 0.

Da D₂ die Determinante der Form 4> ist und nicht verschwindet, so kann man, was Brunacci nicht ausführt, zeigen, dass A und ip dasselbe Zeichen haben, J also ein Extremum ist. Man hat also, wenn Dt > 0, a und ß als stetige Funktionen so zu bestimmen, dass _D₀jD₂ > 0, was offenbar bei hinreichender Beschränkung des Integrationsgebiets möglich ist. Mit der Untersuchung von Brunacci stimmt die von Delaunay³⁸ 39) im wesentlichen überein, erstreckt sich aber auch auf den Fall, dass der Integrand höhere Ableitungen enthält.

Clebsch154:) bringt die zweite Variation auf eine zur Beurteilung des Zeichens geeignete Form, indem er die quadratische Form im Integranden durch eine andere von weniger Argumenten ersetzt. Für das obige Integral J kann man setzen:

deren rechte Seite ans dJEf entsteht, wenn man m für dz setzt. Sie hat daher die Lösung

dz

ëcv

In einer weiteren Abhandlung¹⁵⁵) bringt

wenn z der Gleichung (37) genügt und die Konstanten cv enthält; Cv sind weitere Konstanten. Die zweite Variation ist also unter den Voraussetzungen D₀>0, D₁>0 sicher positiv, sobald eine im ganzen Integrationsgebiet nicht verschwindende Grösse m existiert. Die Kurve m = 0 auf einer der Gleichung (37) genügenden Fläche, welche demnach der Umfang des Integrationsgebiets nicht erreichen darf, wenn das Zeichen der zweiten Variation nicht unsicher werden soll, kann also als Schnitt zweier benachbarter, der Gleichung (37) genügender Flächen angesehen werden und entspricht den konjugierten Punkten bei einfachen Integralen.

Clebsch abgeleitet.

von

j*j dx dy cp(dz, dp, dq)

gy d_ /^\ d_/d£\ , gy (d_

d qd p d x\m) d y\m) ' d q²\d y m) J ’

wenn für m folgende Bedingungsgleicłiung besteht:

gy__g_ _ay___g_ gy

dz² dxdzdp dydzdq

(39)

\ ,__g_ /gy dm

) ' dx \gp² dx

■ d²f dm\ ' dpdq dy )

+ ±(.__

' dy \dqdp dx

o²f dm . d²f dm

dq² gt/

Clebsch die zweite Variation eines beliebig vielfachen Integrals mit beliebig vielen Unbekannten und Bedingungsdifferentialgleichungen auf eine zur Beurteilung des Zeichens geeignete Form; er verfolgt einen ähnlichen Gedankengang, wie bei den einfachen Integralen. Auf eine andere, den Lipschitz- Mayer sehen Entwicklungen (Nr. 15) verwandte Art hat Sabinin⁴⁰ 41) die Resultate

Gr. Kobb ⁴²) führt in das Integral J die Poisson'sehen Parameter u, v ein, sodass z nicht eine im ganzen Integrationsgebiet eindeutige Funktion von x und y zu sein braucht. Er stellt hinreichende Bedingungen des Extremums auf, von denen die ersten beiden mit den Bedingungen von Brunacci (38) identisch sind, die letzte aber verlangt, dass eine gewisse Grösse E, welche der für einfache Integrale von Weierstrass (Nr. 12) eingeführten analog ist, ein konstantes Zeichen haben soll. Es ist aber zu bezweifeln, ob diese Bedingung für den yon Kobb betrachteten Fall etwas besonderes verlangt; es werden nämlich nur Variationen betrachtet, bei welchen in entsprechenden Punkten die Tangentialebenen der ursprünglichen und der variierten Fläche einander nahe liegen, und für den hierdurch definierten Begriff des Extremums sind die Bedingungen von Brunacci allein schon hinreichend. — Kobb weist ferner den Zusammenhang der Gleichungen Z)₂ = 0 und (39) nach, woraus leicht geschlossen wird, dass Z)₂ > 0, wenn eine im Integrationsgebiet positive Lösung der Gleichung (39) existiert. Der Zusammenhang zwischen der rechten Seite dieser Gleichung und H (s. o.) führt ferner auf Grund einer der Formel (14) analogen Darstellung der zweiten Variation zu dem Satze, dass diese sowohl positiv wie negativ werden, ein Extremum also nicht vorhanden sein kann, wenn das Integrationsgebiet eine geschlossene Kurve m — 0 umfasst. — In einer zweiten Abhandlung giebt Kobb einen strengen Beweis der Multiplikatorregel für den Fall, dass ein Integral derselben Form wie J einen gegebenen Wert haben und dann J zum Extremum gemacht werden soll; dieser Beweis ist dem in Nr. 9 erwähnten Scheeffer-Weierstrass ’sehen verwandt. Kobb überträgt ferner die Weierstrass-sche Verallgemeinerung eines Steiner’sehen Satzes (Nr. 23) auf Doppelintegrale.

Schon Lagrange⁴³) hat die Methode der Variationen auf das Integral des Flächeninhalts angewandt und die partielle Differentialgleichung der Minimalflächen aufgestellt. Ein Bericht über die ausgedehnte Theorie derselben gehört nicht hierher⁴⁴). Die Frage, wann eine Minimalfläche ein Minimum der Fläche liefert, ist von H. A. Schwarz behandelt⁴⁵). Er bringt die zweite Variation des Inhalts einer Minimalfläche durch passende Wahl der unabhängigen und abhängigen Variablen auf die Formen

ffwĄI -y§?)'+(

8w:

.)

§ Um

(1 + ^ + 73²)

w_ ë*pŸ\

dr\ ip drj) ) ?

dw

wobei tp eine Lösung der Gleichung

. d²i/; .

(40)

aa²

8 ip

(i +1² + rfy

ist und w am Rande des Integrationsgebiets verschwindet. Diese

Transformation ist der von Clebsch gegebenen (s. o.) offenbar verwandt, indem sie wie diese die Zahl der Quadrate unter dem Integralzeichen vermindert. Hat man eine im Integrationsgebiet nicht verschwindende Grösse ip, so ist die zweite Variation positiv. In einer späteren Arbeit⁴⁶) hebt Schwarz hervor, dass aus dem Zeichen der zweiten Variation nicht mit Sicherheit auf das Eintreten des Minimums geschlossen werden könne, und beweist, dass ein Minimalflächenstück einen minimalen Inhalt hat verglichen mit allen benachbarten Flächen, welche dieselbe Randlinie haben und aus einer endlichen Anzahl analytischer Flächen zusammengesetzt sind, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: das betrachtete Minimalflächenstück kann in eine Schar ihm beliebig nahe kommender Minimalflächenstücke eingebettet werden, von denen je zwei einander unendlich nahe in ihrer ganzen Ausdehnung stets um unendlich kleine Strecken gleicher Ordnung abstehen. Die hierzu führende Betrachtung ist eine Anwendung der in Nr. 21 besprochenen Methode von Weierstrass auf den Fall des Flächenintegrals. Schwarz stellt sodann eine eingehende Untersuchung über die Integration einer allgemeinen Klasse partieller Differentialgleichungen an, zu denen die Gleichung (40) gehört, und über die Bedingungen, unter denen diese Gleichungen ein in einem gegebenen Bereich nicht verschwindendes Integral besitzen. Schwarz⁴⁷) und A. Otte162 a) haben ferner die Frage nach dem Eintreten des Minimums an verschiedenen speziellen Fällen untersucht⁴⁷). Dass bei variablen Grenzen sogar der Flächeninhalt einer Minimalfläche in gewissem Sinne ein Maximum sein kann, hat Steiner⁴⁸) bemerkt.

26. Übersicht der Beispiele und Anwendungen. Als reichhaltigste Sammlung von der Variationsrechnung zugänglichen Extremumsaufgaben ist noch heute Euler's klassisches Werk zu nennen. Sodann sind eine Abhandlung von K. Schellhach⁴⁹) und eine schon erwähnte Arbeit von Lundström (Fussn. 94) zu erwähnen; unter den Lehrbüchern neueren Datums steht das von Moigno und Lindelöf oben an. Schellhach benutzt allerdings nicht den Formalismus der Variationsrechnung, sondern Infinitesimalbetrachtungen von der in Nr. 2 erwähnten Art; er betrachtet auch eine Anzahl von Problemen mit variablen Grenzwerten, geht aber nirgends über die Aufstellung notwendiger Bedingungen hinaus, während Lundström mehrfach Ansätze zur Ableitung hinreichender Bedingungen macht. Ausführliche Monographien der Brachistochrone und verwandter Probleme lieferten J. N. Haton de la Goupillière⁵⁰) und E. Vicaire⁵¹). Wir erwähnen noch die isoperimetrischen Aufgaben von S. Bumowski ⁵²), H Kiessling⁵³) und 6r. JDarboux⁵⁴). Ohne eine Zusammenstellung der bisher bearbeiteten Einzelaufgaben⁵⁵ 56) zu versuchen, können wir dieselben, abgesehen von den rein analytischen, welche bisher keine grosse Bedeutung gewonnen haben, in drei Gruppen anordnen: die geometrischen, diejenigen mechanischen, in denen durch die Extremumsforderung ein zu den Daten des mechanischen Vorgangs gehöriges funktionales Verhältnis bestimmt wird, und diejenigen mechanischen, in welchen der Be-wegungs- oder Gleichgewichtszustand durch ein Extremum wie das der potentiellen Energie, Aktion oder des Hamilton’sehen Integrals definiert wird. Bei den ersten beiden Gruppen ist die Thatsache des Extremums von vornherein der Gegenstand des Interesses und die Ableitung notwendiger und hinreichender Bedingungen direkt gefordert. Bei der dritten Gruppe handelt es sich zunächst darum, aus dem Verschwinden der ersten Variation eines begrifflich einfachen Integrals die Differentialgleichungen des mechanischen Vorgangs abzuleiten; die Aufstellung hinreichender Bedingungen des Extremums wird erst erforderlich, wenn man dazu übergeht, die Stabilität des Gleichgewichts- oder Bewegungszustandes zu untersuchen.

Bei den Aufgaben der ersten beiden Gruppen ist die Bestimmung der konjugierten Punkte und damit die Aufstellung hinreichender Bedingungen des Extremums nur in verhältnismässig wenigen Fällen durchgeführt, z. B. von L. Lindelöfm) für die Kettenlinie als Meridian der kleinsten Rotationsfläche und für die gewöhnliche Brachistochrone, von Lienger⁵⁷) für die Rotationsfläche kleinsten Widerstandes, von Lundström (Fussn. 95) und Mayer⁵⁸) für die Kettenlinie als Linie tiefsten Schwerpunktes bei gegebener Länge, von Howe und Hormann (Fussn. 100, 101) für die kleinste Rotationsfläche gegebenen

Aufgaben, wobei aber Todhunter unvollständig ist und fehlerhafte allgemeine Behauptungen aufstellt⁵⁹). Vom isoperimetrischen Problem im engeren Sinne ist in Nr. 21 und 23 die Rede gewesen. Für die geodätischen Linien, welche auch als Lösung einer Aufgabe der dritten Gruppe auftreten, hat 0. Bonnet⁶⁰) gezeigt, dass die konjugierten Punkte durch die Nullstellen der Integrale der Gleichung

-f- xu — 0

Venske⁶¹ 62) für einen speziellen Fall der kürzesten

Volumens,

Raumkurve von konstanter erster Krümmung, von Todhunter m) und

von

Sonin (Fussn. 56) für das Integral Çyf(y')dx, und einige andere

d²u

dss

bestimmt werden, wenn x das Krümmungsmass, s den geodätischen Bogen bedeutet. Daraus folgt, dass wenn längs einer geodätischen Linie das Krümmungsmass negativ ist, überhaupt kein Paar konjugierter Punkte vorhanden sind, wie auch Jacobi in seinen Vorlesungen ohne Beweis bemerkt⁶³). Ferner untersucht diese Punkte E. B. Christoffel⁶⁴), für Flächen zweiter Ordnung Jacobi ⁶⁵°) und H. von Mangoldt⁶⁶).

Zu der dritten der bezeichneten Gruppen gehört erstens jede Aufgabe der Statik, in welcher es sich um das Gleichgewicht einer stetigen, in ihrer Gestalt veränderlichen Mannigfaltigkeit materieller Punkte handelt; hier fordert das Prinzip der virtuellen Verschiebungen, dass das Integral einer linearen Form von Variationen gleich Null gesetzt werde. Nachdem im Anschluss an D. Bernoulli Euler⁶⁷) die Gestalt einer elastischen Feder durch Extremumsbetrachtungen bestimmt hatte, wandte Lagrange⁶⁸) seine Methode der Variationsrechnung auf die Statik der biegsamen und elastischen Fäden sowie der Flüssigkeiten an; bei letzteren⁶⁹) ist seine Anwendung der Multiplikatormethode bis heute noch nicht ausreichend begründet, da eine Differentialgleichung zwischen den Variationen selbst als Bedingung vorgeschrieben wird, während die Anwendung jener Methode auf einfache Mannigfaltigkeiten durch die neueren Untersuchungen im allgemeinen zu rechtfertigen sein dürfte. Hierher gehört auch die Untersuchung von Gauss (Nr. 24) über Kapillarität. — Ein Extrenmms-problem liegt nur dann vor, wenn ein durch die Lage des Punktsystems allein bestimmter Ausdruck der potentiellen Energie vorhanden ist. Ist diese in der Gleichgewichtslage ein Minimum, so ist das Gleichgewicht stabil; die Bestimmung der konjugierten Punkte würde also zur Beurteilung der Stabilität nöthig sein. Es scheint aber diese Untersuchung nur da durchgeführt zu sein, wo die statische Aufgabe mit einer der oben erwähnten Aufgaben der ersten beiden Gruppen zusammenfällt.

Ein Problem der Dynamik gehört zur dritten Gruppe, sobald man die Bewegungsgleichungen aus dem Prinzip der kleinsten Aktion oder dem Hamilton'sehen. Prinzip ableitet. Ersteres, vielleicht schon von Leibniz aufgestellt, erscheint in seiner engeren Form bei Euler⁷⁰) für den Fall der Bewegung eines Punktes, allgemein bei Jacobi⁷¹); in dieser Form setzt es die Existenz eines von der Zeit unabhängigen Potentials voraus und reduziert die Bestimmung der Bahnkurven eines dynamischen Problems, wie B. Lipschitz⁷²) eingehend erörtert, auf die Bestimmung der geodätischen Linien in einer Mannigfaltigkeit von gegebenem Bogenelement, wobei die Länge dem Aktionsintegral entspricht. W. Thomson und P. Tait⁷³) haben diese Anschauung für spezielle Fälle benutzt.

Lagrange⁷⁴) hat dem Prinzip der kleinsten Aktion eine weitere Form gegeben, bei welcher kein Potential zu existieren braucht. Das Verhältnis der weiteren zur engeren Form des Prinzips der kleinsten Aktion ist vielfach diskutiert; wesentlich ist für erstere, wie 0. Bodri-gues⁷⁵°) zuerst betont hat, dass die Zeit variiert werden muss, was in den Entwicklungen von Lagrange nicht zum Ausdruck kommt, ihnen aber auch nicht widerspricht. Mayer⁷⁶) hat den Zusammenhang der beiden Formen mit einander und dem Hamilton'sehen. Prinzip klargelegt, indem er zeigte, dass bei einem sehr allgemeinen Variationsproblem drei diesen Prinzipien entsprechende Ansätze gemacht werden können. 0. Holder191 a) hat beide Prinzipien aus einer allgemeinen, dem d’Alembert'sehen Prinzip äquivalenten Formel durch Spezialisierung der Variationen abgeleitet, und den Begriff der variierten Bewegung genauer erörtert.

Das Hamilton¹ sehe Prinzip, welches der von Lagrange in seiner Mechanik benutzten Umformung des d’Alembert'sehen Prinzips verwandt ist, unterscheidet sich von dem Aktionsprinzip dadurch, dass die Zeit un variiert bleibt; als Beispiele für die Multiplikatorenmethode in Verbindung mit dem Hamilton'sehen Prinzip seien G. Kirchhoff's¹⁹²) ursprüngliche Darstellungen der Theorie schwingender Platten und Stäbe, sowie der Bewegung eines starren Körpers in einer Flüssigkeit hervorgehoben.

Ein dem Hamilton'sehen formal ähnliches Prinzip, welches sich auf stationäre Bewegungszustände bezieht und die Form des Potentials als variierbar voraussetzt, hat 11. Clausius aufgestellt und den Begriff der auszuführenden Variation erörtert¹⁹³).

Die konjugierten Punkte bei dem Jacobi'sehen Aktionsintegral haben Thomson und Tait (Fussn. 188) als kinetische Brennpunkte betrachtet und auf den Zusammenhang derselben mit der Frage der kinetischen Stabilität hingewiesen. Darboux¹⁹⁴) hat für die Bewegung eines Punktes in der Ebene gezeigt, dass das Hamilton-sche Integral, erstreckt über ein hinreichend kurzes Zeitintervall, ein Minimum ist. 1). Bobyleff¹⁹⁵) hat die zweite Variation des Hamilton-schen wie des Jacobi' sehen Aktions integrals allgemein auf eine zur Beurteilung des Zeichens geeignete Form gebracht und für hinrei-reichend kleine Integrationsgebiete als positiv nachgewiesen; er hat ferner die konjugierten Punkte der bezeichneten beiden Integrale betrachtet und als kinetische Brennpunkte der gleichzeitigen und der konservativen Wege unterschieden; letztere sind die Verallgemeinerung der Thomson-Tait'sehen Brennpunkte, erstere sind Lagen des Massensystems, zwischen denen zwei unendlich wenig verschiedene Übergänge des Systems in derselben Zeit möglich sind. Bobyleff wendet seine Betrachtungen auf Beispiele an; unter diesen kommt auch ein solches vor, bei dem die lebendige Kraft in den Geschwindigkeiten lineare Glieder enthält. B. Turksma¹⁹⁶) hat ebenfalls die konjugier-

191°) Gott. Nachr. 1896, Heft 2. Das. sowie bei Mayer weitere Litteratur.

192)    Ges. Abh., p. 237, 285, 376.

193)    Ann. Phys. Chem. 92, p. 433 -, J. de math. (2) 17, p. 193.

194)    Théorie générale des surfaces 2, p. 451.

195)    Berichte (Sapiski) der Akad. St. Petersburg 61 (1889), Beilage 5.

196)    Diss. [Fussn. 118], p. 69.

ten Punkte des Hamilton'sehen Integrals betrachtet und für den freien Fall und die Planetenbewegung bestimmt; er stellt sie als tautochrone Brennpunkte den konservativen d. h. auf das Aktionsintegral bezüglichen gegenüber.

Extreme von derselben Form wie beim Prinzip der kleinsten Aktion werden in der theoretischen Optik, ausgehend von der Emissionstheorie, auf Grund des Prinzips der kürzesten Zeitdauer der Lichtbewegung gefordert, wenn der Brechungsindex eine Funktion des Ortes ist. Ein Beispiel dieser optischen Interpretation einer Aufgabe der Variationsrechnung liefert schon J. Bernoulli’s Behandlung der Brachistochrone¹⁹⁷); allgemein ist dieselbe von W. R. Hamilton gegeben, der sie zum Ausgangspunkt der allgemeinen dynamischen Untersuchung macht¹⁹⁸); die kinetischen Brennpunkte erscheinen dabei als Verallgemeinerung der optischen.

197)    E. Mach, Die Mechanik in ihrer Entwickelung, p. 400 (2. Aufl.).

198)    F. Klein, Deutsche Math.-Yer. 1, (1891/92), p. 35. S. auch P. Appell, Traité de mécanique rationelle 1, p. 215.

(Abgeschlossen im September 1900.)

Il A 8 a. WEITERENTWICKLUNG DER VARIATIONSRECHNUNG IN DEN LETZTEN JAHREN

VON

E. ZERMELO UND H. HAHN

IN GÖTTINGEN.

1.

2.

8.

4.

5.

6.

Inhaltsübersicht.

Die Grundlagen der Weierstrass'sehen Theorie.

Notwendige und hinreichende Bedingungen im einfachsten Falle. Isoperimetrische Probleme.

Allgemeinere Probleme.

Beispiele und Anwendungen.

Existenzfragen.

1. Die Grundlagen der Weierstrass’schen Theorie (vgl. II A 8, Nr. 21, Kneser). Die Weiterentwickelung der Variationsrechnung seit dem Jahre 1900 steht vorwiegend unter dem Einflüsse der Weierstrass-schen Theorie, die in A. Kneser's Lehrbuchex) zuerst eine systematische Darstellung gefunden hat. Die formale Grundlage dieser Theorie, die Umformung der Integraldifferenz A J vermittelst der IVFunktion, wird hier in ihrer geometrischen Bedeutung für sich untersucht und es wird ihr Zusammenhang mit der Hamilton-Jacobi'sehen Theorie der Dynamik nachgewiesen. Ein „Feld“ wird nach Kneser²) definiert durch eine einparametrige Schar y — f(x, a) von Extremalen, d. h. von Lösungen der zu dem Integral:

J=ff(x,y,y)dx

1)    Lehrbuch der Variationsrechnung, Braunschweig 1900. (Im Folgenden stets als „Lehrbuch“ zitiert.) Eine sehr übersichtliche und exakte Darstellung dieser Theorie giebt auch W. F. Osgood, Ann. of math. (2) 2 (1901), p. 105.

2)    Lehrbuch § 14. Doch bedient sich Kneser hier immer der „homogenen“ Parameterdarstellung der Kurven, von der wir hier absehen, um die Formeln zu vereinfachen und besseren Anschluss an die Arbeiten anderer Forscher zu gewinnen.

1. Die Grundlagen der Weierstrass’schen Theorie.

gehörenden Lagrange'sehen Differentialgleichung:

df d 8f

dy dx dy

soweit auf ihnen der Ausdruck ~ nicht verschwindet, sodass sie einen

Bereich der Ebene einfach überdecken. Vergleicht man innerhalb eines solchen Feldes die Integralwerte J auf benachbarten Extremalen, so reduziert sich die erste Variation dJ vermöge der Differentialgleichung auf die vom Integralzeichen freien „Grenzglieder“, welche von der Verschiebung der Endpunkte herrühren. In jedem Punkte des Feldes giebt es aber eine Verschiebungsrichtung, für die auch die entsprechenden Grenzglieder verschwinden, und die Kurven, welche in jedem ihrer Punkte diese Richtung besitzen, bedecken wieder das ganze Feld und werden als die „Transversalen“ des Feldes bezeichnet³). Dabei gilt der Satz, dass alle Extremalenbögen zwischen zwei Transversalen gleiche Integral werte J ergeben⁴), eine Verallgemeinerung des (rawss’sehen „Orthogonalitätssatzes“ über geodätische Linien⁵). Extremalen und Transversalen bilden somit ein neues krummliniges Koordinatensystem innerhalb des Feldes, wobei der Parameter a der Extremalenschar und der Integralwert u längs einer Extremalen, gerechnet von einer festen Transversalen bis zu einem variabelen Endpunkte ⁶), als Koordinaten erscheinen. Mit Hülfe dieser Transformation lässt sich nun die Differenz A J der Integrale J längs einer Feld-extremalen und einer beliebigen innerhalb des Feldes verlaufenden „Vergleichskurve“ c darstellen durch das Integral der Weier strass’sehen J?-Funktion, genommen über die Vergleichskurve⁷).

3)    Kneser braucht diesen Ausdruck nicht, sondern spricht von „Kurven, die von den Extremalen transversal geschnitten werden“.

4)    Lehrbuch § 15. Man vgl. auch Darboux, Théorie des surfaces 2, Nr. 521 ff. und Nr. 544 ff.

5)    Gauss, Disq. c. superf. curv. 15—16.

6)    Als Funktion von x und y betrachtet genügt u einer gewissen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung, die eine Verallgemeinerung der Jacobi-Hamilton’ sehen Gleichung der Dynamik darstellt. Ist umgekehrt u(x, y) eine beliebige Lösung dieser Differentialgleichung, so können die Kurven u = const, als Transversalen einer Schar von Extremalen aufgefasst werden, die durch Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung gefunden wird. Kennt man eine Lösung u(x, y, c) unsrer partiellen Differentialgleichung,

die eine willkürliche Konstante c enthält, so liefert die Gleichung = const.

die Gesamtheit der Extremalen. Lehrbuch § 19. Vgl. auch Darboux, Theorie des surfaces 2, Nr. 538f. und II A 8, Nr. 11 {Kneser).

7) Lehrbuch § 20. Als Vergleichskurven gelten dabei alle Kurven, deren

Dieselbe Umformung erreicht H. Hilbert*) auf folgendem Wege. An Stelle des gegebenen Integrales: betrachtet er das folgende:

¹

   Math. Ann. 51 (1898), p. 321.

²

   Fussn. 94, p. 28; Fussn. 95, p. 10, 20.

³

Lond. Trans. 178 (1888), p. 95; Proc. London math. soc. 23 (1892),

⁴

   De eerste en tweede variatie van enkelvoudige integraalen en hare toepassing op het beghinsel van Hamilton en dat der kleinste werking, Amsterdam 1894, p. 18, 22.

⁵

   Kiew Univ.-Nachr. 31, September 1891.

⁶

   Zermelo, Untersuchungen [Fussn. 19]; Harris Hancock, Annals of math. 9 (1895/96), p. 180; 10, p. 81; 11, p. 20; Mayer, Leipz. Ber. 48 (1896), p. 438.

⁷

   Zermelo, Untersuchungen p. 2.

⁸

   Zermelo, Untersuchungen [Fussn. 19], p. 62.

⁹

   History, p. 330.

¹⁰

   S. Fussn. 95, p. 24.

¹¹

   Schnuse, Einleitung der Übersetzung von Jellett.

¹²

   Zeitschr. Math. Phys. 22 (1877), p. 324; 23 (1878), p. 370; 26 (1881),

p. 75.

¹³

   Leipz. Ber. 36 (1884), p. 29.

¹⁴

   Leipz. Ber. 48 (1896), p. 436.

¹⁵

   Zeitschr. Math. Phys. (2) 23, p. 362.

¹⁶

   J. f. Math. 18 (1839), Werke 2, p. 75; J. de math. (1) 6; J. f. Math. 24, Werke 2, p. 177, 243.

¹⁷

   Ostwald’s Klass. Nr. 47, p. 76.

¹⁸

   Beri. Ber. 1839, Werke 2, p. 165.

¹⁹

   J. f. Math. 5 (1830), p. 297.

²⁰

   Petersb. Bull. 21 (1876), p. 252; 24 (1877), p. 328; 25, p. 190. Mélanges math. 5.

²¹

   J. f. Math. 86 (1879), p. 279.

²²

   Researches [Fussn. 110J.

²³

   Researches, p. 14.

138®) Researches, p. 76.

²⁴

   Math. Ann. 2, p. 190.

²⁵

   J. f. Math. 82 (1877), p. 21.

²⁶

   Ann. of math. 11, p. 31.

²⁷

   Théorie générale des surfaces, 3, p. 106 f. S. auch E. B. Christoffel, Beri. Abh. 1868, p. 129.

²⁸

   Vgl. Kobb, Acta math. 17 (1893), p. 343.

²⁹

   Oeuvres 1, p. 353.

³⁰

   Inst. calc. int., Appendix § 141, p. 464 (ed. II).

³¹

   Par. Me'm. 12 (1832), p. 290, 294.

³²

   Gott. Comm. 7, Werke 5 (1830), p. 60.

³³

   J. f. Math. 15 (1839), p. 332.

³⁴

   Par. sav. [étr.] 10 (1848), p. 1.

³⁵

   Exercices d’anal, et de phys. math. 3 (1844), p. 50.

³⁶

   Par. C. R. 50 (1860), p. 85.

³⁷

   Memorie dell’ istituto nazionale italiano 2 (1810), p. 121.

³⁸

   J. éc. polyt. 17, cah. 29 (1843), p. 90.

³⁹

   J. f. Math. 55 (1858), p. 270.

⁴⁰

   J. f. Math. 56, p. 122.

⁴¹

   Petersb. Bulb 15 (1871), p. 70.

⁴²

   Acta math. 16, p. 65; 17 (1892/93), p. 321.

⁴³

   Oeuvres 1, p. 353.

⁴⁴

   Darhoux, Surfaces 1, p. 267.

⁴⁵

   Beri. Ber. 1872, ges. Abh. 1, p. 151.

⁴⁶

   Fenn, acta 15 (1885), ges. Abh. 1, p. 222.

⁴⁷

   Gött. Abh. 34 (1887), ges. Abh. 1, p. 270. 162a) Diss. Göttingen 1894.

⁴⁸

   Beri. Ber. 1840, Werke 2, p. 176.

⁴⁹

   J. f. Math. 41 (1851), p. 293.

⁵⁰

   Par. sav. [étr.] 27 (1883) Nr. 4; 29 (1884).

⁵¹

   Par sav. [étr.] 31 (1885).

⁵²

   Petrop. N. coxmn. 8 (1763), p. 189.

⁵³

   Progr. Berlin 1866.

⁵⁴

   Surfaces 3 (1894), p. 149.

⁵⁵

   Ein Verzeichnis giebt Pascal p. 190.

⁵⁶

   Moigno-Lindelöf, p. 209, 231.

⁵⁷

   Grundriss p. 25.

⁵⁸

   Math. Ann. 13 (1878), p. 65,

⁵⁹

   Researches, p. 95.

⁶⁰

   Par. C. R. 40, p. 1311; 41 (1855), p. 32.

⁶¹

   Diss. Gott. 1881, p. 24.

⁶²

   Researches, p. 28.

⁶³

   Werke 7, p. 72.

⁶⁴

   Berl. Abh. 1868.

⁶⁵

   Werke, Suppl, p. 47.

⁶⁶

   J. f. Math. 91, p. 23. Das. weitere Litteratur.

⁶⁷

   Meth. inv, p. 245, Additam. I.

⁶⁸

   Oeuvres 11, p. 77, 145 ff.

⁶⁹

   Oeuvres 11, p. 210.

⁷⁰

   Meth. inv. p. 311, Additam. II.

⁷¹

   Werke, Suppl, p. 41.

⁷²

   J. f. Math. 74 (1872), p. 116.

⁷³

   Treatise on natural philosophy l¹, §§ 358—361, p. 428 (ed. II).

⁷⁴

   Oeuvres 1, p. 376; 11, p. 315.

⁷⁵

   Correspondance sur l’école polytechnique 3, p. 159.

⁷⁶

   Leipz. Ber. 38 (1886), p. 343.

J* =f\\f(%, y, p) + (y —p) fpfa y, p)} dx

und sucht p als Funktion von x und y so zu bestimmen, dass dieses Integral J* vom Integrationswege unabhängig wird. So ergiebt sich für p die partielle Differentialgleichung:

(ff + P ff) Up + Vfpy + fpx~ /ÿ —'

deren Charakteristiken die Extremalen des Problems, d. h. die Lösungen der entsprechenden Lagrange'sehen Differentialgleichung sind, und man erhält eine Lösung p₇ indem man eine beliebige einparametrige Schar yon Extremalen zu Grunde legt und in jedem Punkte x, y ihres Feldes

längs der durch den Punkt gehenden Extremalen

dy

dx

die Ableitung

bildet. Für jede so bestimmte Funktion p wird also das Integral <7* vom Wege unabhängig; dieses Theorem bezeichnet Hilbert als den „Unabhängigkeitssatz“. Das „Feldintegral“ J* verschwindet dann auf jeder Transversalen des Feldes; auf jeder Feldextremalen aber reduziert es sich auf das „Grundintegral“ J⁹) und ist daher, als Funktion des oberen Endpunktes betrachtet, identisch mit der Kneser'sehen Funktion u. Vermöge des Unabhängigkeitssatzes lässt sich nun das Grundintegral über einen Extremalenbogen ausdrücken als das Feldintegral J* über eine Vergleichskurve c (siehe Fussnote 7)), und die Subtraktion der beiden Integrale J und J* über dieselbe Kurve c liefert schliesslich die Weierstrass'sehe Transformation der Integral-differenz A J.

2. Notwendige und hinreichende Bedingungen im einfachsten Palle. Aus der Weier strass¹ sehen Umformung der Integraldifferenz schliesst man, dass ein Extremalenstück einen grösseren oder kleineren

Anfangs- und Endpunkt auf denselben Transversalen des Feldes liegen, wie Anfangs- und Endpunkt des zu vergleichenden Extremalenbogens.

8)    Mathematische Probleme, Vortrag gehalten auf dem internationalen Mathematikerkongress zu Paris 1900, Gött. Nachr. 1900, p. 291; Comptes rendus du deuxième congrès international des mathématiciens p. 106 ; Archiv Math. Phys. (3) 1 (1901), p. 231 (mit einigen Zusätzen).

9)    Beide Bezeichnungen finden sich bei Hilbert nicht.

Kriterium11 a), das ein definites Vorzeichen der Funktion Extremalen erfordert.

Integral wert ergiebt als jede V ergleicliskurve c, längs deren die E-Funktion ein beständig positives oder negatives Vorzeichen besitzt.

Unterscheidet man nun mit Kneser¹⁰) ein „starkes“ und ein „schwaches“ Extremum, je nachdem nur die Punkte oder auch die Tangentenrichtungen der Vergleichskurven den entsprechenden der Extremalen benachbart sein müssen, so ergiebt sich innerhalb des Feldes für das starke Extremum das Weier strass sehe Kriterium als notwendig und hinreichend, nach welchem das Vorzeichen der E-Funktion definit sein muss für eine willkürliche Richtung der Vergleichskurve¹¹). Für das schwache Extremum dagegen braucht dieses Kriterium nur für hinreichend kleine Abweichungen der Tangentenrichtungen erfüllt zu sein, und ist dann äquivalent dem Legendrësehen

längs der

d*f

dy

Das Problem reduziert sich hiernach, im Falle vorgeschriebener Endpunkte, auf die Frage, ob das betrachtete Extremalenstück mit einem Felde umgeben werden kann. Bei einem hinreichend kleinen Extremalenbogen ist dies immer der Fall; und die Grenzen, an denen diese Eigenschaft aufhört, bestimmen sich durch das Jacobi’sehe Kriterium der „konjugierten Punkte“ (II A 8, Nr. 16 u. 17, Kneser). Dass dieses Kriterium auch notwendig ist, beweist Kneser¹²) durch Betrach-

10)    Lehrbuch § 16—17.

11)    Doch vgl. hierzu ein Beispiel von 0. Bolza (Bull. Am. math. soc. (2) 9 (1901), p. 1), sowie die sich darauf beziehenden Bemerkungen von E. It. Hedriclc (Bull. Am. math. soc. (2) 9 (1901), p. 245). W. F. Osgood (Amer. Trans. 2 (1901), p. 273) beweist für den Fall des starken Extremums weiter: Bezeichnet J den von der Extremale gelieferten Integralwert und S ein gewisses die Extremale umgebendes Gebiet, so muss jede Schar ganz in S gelegener Kurven, die mit der Extremale Anfangs- und Endpunkt gemein haben, und deren Integralwerte gegen J konvergieren, die Extremale zur Grenzkurve haben. Auf Grund dieses Satzes erweitert Osgood die Klasse der zulässigen Vergleichskurven mit Hülfe einer geeigneten Verallgemeinerung des Begriffes des Kurvenintegrals. Vereinfachungen des Osgood’schen Beweises geben O. Bolza (Amer. Trans. 2 (1901), p. 422) und E. Goursat (Amer. Trans. 5 (1904), p. 110).

lla) Diese Bezeichnungsweise weicht von der in Kneser's Lehrbuche ab, da dort auch von einem Legendre'sehen Kriterium für das starhe Extremum gesprochen wird.

12)    Lehrbuch § 25; vgl. auch II A 8, Nr. 17, Kneser, sowie E.Zermelo, Diss. Berl. 1894, p. 96. Über das Verhältnis dieser Methode zu den älteren, die zweite Variation benützenden vgl. Lehrbuch, p. 105. — Die Untersuchung eines von zwei konjugierten Punkten begrenzten Extremalenbogens durch Betrachtung der dritten und vierten Variation hat A. Korn (Münch. Ber. 1901, p. 76) kürzlich von Neuem aufgenommen, wobei er wieder zu den Erdmann'sehen Kriterien (IIA 8, Nr. 22, Kneser) gelangte.

tung der Enveloppe, die zu den vom Anfangspunkte der Integration ausgehenden Extremalen gehört: er zeigt, dass es in jeder Nähe eines von zwei konjugierten Punkten begrenzten Extremalenbogens Kurven giebt, die dem Integrale denselben Wert erteilen, wie die Extremale. Dieser Beweis versagt, wenn die Enveloppe auf der betrachteten Extremalen einen Rückkehrpunkt besitzt, der seine Spitze dem Integrationsintervall zukehrt. W. F. Osgood¹), der unabhängig von Kneser diesen Umstand bemerkte, zeigt, dass in diesem Ausnahmefalle der von zwei konjugierten Punkten begrenzte Extremalenbogen noch ein Extremum liefert.

Eine ganz analoge Schlussweise gilt, wenn der Anfangspunkt der Integration auf einer vorgeschriebenen „Grenzkurve“ M variieren kann; man hat dann ein Feld von Extremalen zu verwenden, welche die Kurve & transversal schneiden²). Der erste Punkt, in dem die betrachtete Extremale die Enveloppe dieses Feldes berührt, heisst der zur Kurve & gehörige „kritische Punkt“³); in ihm hört die Extremale auf, ein Extremum zu liefern⁴). Er liegt immer diesseits des zu dem Schnittpunkte unsrer Extremale mit der Kurve gehörigen konjugierten Punktes; seine Lage hängt nur ab von der Krümmung der Kurve & in diesem Schnittpunkte⁵).

Sind beide Endpunkte 1, 2 auf zwei Kurven    variabel, so

müssen beide Grenzkurven die Extremale transversal schneiden, und

123;

der kritische Punkt dlf der zur Kurve gehört, darf, wenn ein Extremum stattfinden soll, weder in das Integrationsintervall 12 noch zwischen 2 und den zu gehörenden kritischen Punkt d₂ fallen. Die Notwendigkeit dieser letzten neu hinzukommenden Bedingung beweist G. A. Bliss¹⁸), indem er einen Punkt 3 zwischen dt und d₂ auf der Extremalen annimmt, sodass diese bei der Anordnung \2d₁?>d2 zwar zwischen fö'₂ und 3, aber nicht mehr zwischen Yj und 3 ein Minimum des Integrales liefert. Dann giebt es also eine benachbarte Kurve 1'2'3, welche föj und Y₂ in 1' und 2' schneidet und für welche zugleich aber J₂,₃ > J₂₃, sodass sich in der That:

^23 ⁼ ^12

123

Jvr ~ ^i'2's

ergiebt. Liegt dagegen d₂ zwischen 2 und dlf während im ganzen betrachteten Intervalle das Legendre¹ sehe, bezw. das Weier strass* sehe Kriterium erfüllt ist, und ist 1'2' eine willkürliche benachbarte Yer-gleichskurve zwischen und $₂, so kann man ihren Endpunkt 2' so mit dem zwischen dx und d₂ liegenden Punkte 3 verbinden, dass umgekehrt J₂,₃ < J₂₃, aber JV2,₃ > Jm und somit JV2, > J₁₂ wird, d. h. die Extremale 12 liefert hier wirklich ein Minimum¹⁸*¹). Ein zugleich notwendiges und hinreichendes Kriterium, das auch für den Fall gilt, wo d₁ und d₂ zusammenfallen, erhält Bliss endlich durch Betrachtung der Kurve T, welche durch 2 geht und von allen Extremalen transversal geschnitten wird, die auf Äj transversal stehen. Es wird nämlich ein Minimum dann und nur dann stattfinden, wenn diese Transversale T, welche Y₂ in 2 berührt, in der Umgebung von 2 ganz auf der einen, zugekehrten Seite von $₂ liegt, vorausgesetzt, dass auf 12 überall das Legendre'sehe bezw. das Weierstrass'sehe Kriterium erfüllt ist und im Punkte 2 ausserdem /*> 0 ist.

3. Isoperimetrische Probleme¹⁹) (II A 8, Nr. 9, Kneser). Die Anwendung der Weierstrass'sehen Ideen auf isoperimetrische Probleme findet sich in vollständiger Durchführung zuerst bei Kneser²⁰). Das

18)    Math. Ann. 58 (1904), p. 70.

18a) G. A. Bliss selbst (1. c.) beweist sein hinreichendes Kriterium nicht wie angegeben, sondern durch Benutzung der auf transversal stehenden Feld-extremalen 1'2' und durch zweimalige Differentiation des entsprechenden Integrales Jr2, = J(y) nach dem Parameter y des Feldes. Bezüglich analoger Untersuchungen von G. Erdmann und A. Mayer vgl. II A 8, Nr. 22 {Kneser).

19)    Die isoperimetrischen Probleme sind als Spezialfall in dem im nächsten Abschnitte behandelten allgemeinen Probleme enthalten, so dass alle dort angegebenen Sätze auch im Falle des isoperimetrischen Problèmes ihre Anwendung finden. An dieser Stelle werden nur diejenigen Untersuchungen erwähnt, die sich speziell mit dem einfachsten isoperimetrischen Probleme befassen.

20)    Lehrbuch § 32—42.

einfachste Problem dieser Art verlangt, unter allen, zwei gegebene Punkte verbindenden Kurven, welche dem „isoperimetrischen Integrale":

K =fg 0, y, y) dx

einen vorgeschriebenen Wert erteilen, diejenige zu finden, für welche das Integral:

J =ff{x, y, y)dx

ein Extremum wird. Da hier die zugehörige Lagrange'sehe Differentialgleichung :

dy

d(f+lg) dd(f+lg) dx dy

den Multiplikator A (die „isoperimetrische Konstante") als Parameter enthält, so bilden die von einem festen Punkte ausgehenden Ex-tremalen eine zweiparametrige Schar und in der Umgebung des Ausgangspunktes ein räumliches Feld⁶), wenn man den Wert des isoperimetrischen Integrales als dritte Kaumkoordinate einführt. In diesem Felde gelten die analogen Transformationen wie im einfachsten Falle. Doch ist diese „ Weier strass' sehe Konstruktion" nur möglich, wenn die Yergleichskurve, als Raumkurve betrachtet, ganz innerhalb des räumlichen Feldes verläuft⁷). Wenn daher auch das Weier strass' sehe und das Legendre'sehe Kriterium für das starke und das schwache Extremum auf den isoperimetrischen Fall übertragen werden können⁸), so ist dabei das „starke" Extremum nur in dem modifizierten Sinne aufzufassen, der eine räumliche Nachbarschaft der verglichenen Kurven, also auch hinreichend kleine Abweichungen des isoperimetrischen Integrales in entsprechenden Punkten erfordert.

Auch das Jacobi’sehe Kriterium lässt sich in entsprechender Form auf isoperimetrische Probleme übertragen. Dass die so erhaltene Bedingung notwendig ist, beweist Kneser, indem er aus der zweipara-metrigen Extremalenschar, die das Feld bildet, eine einparametrige Schar so auswählt, dass sie eine Enveloppe besitzt, wodurch dann dieselben Schlüsse ermöglicht werden wie im einfachsten Falle⁹). In einer späteren Abhandlung24a) giebt Kneser einen anderen Beweis durch Betrachtung der zweiten Variation.

22) Vgl. Lehrbuch § 38.

Es sei noch bemerkt, dass bei allen diesen Entwickelungen vorausgesetzt ist, dass die untersuchte Extremale nicht gleichzeitig Extre-male des isoperimetrischen Integrales im Sinne des absoluten Extremums sei ; eine Behandlung dieses Ausnahmefalles liegt bisher nicht vor²⁵).

4. Allgemeinere Probleme. Eine vollständig durchgeführte Übertragung der Weierstrass’sch&n. Methoden auf einfache Integrale mit beliebig vielen unbekannten Funktionen, zwischen denen Bedingungsdifferentialgleichungen bestehen, liegt bisher nicht vor. Doch liesse sich unter Verwendung aller von den verschiedenen Autoren bisher erhaltenen Resultate, auf deren Wiedergabe wir uns hier beschränken, eine solche Theorie wohl hersteilen. Einen Ansatz nach dieser Richtung geben die Untersuchungen von A. Kneser²⁶). Er beweist, dass innerhalb eines Feldes von Extremalen, dessen Existenz vorausgesetzt wird, die dem Weier strass ’sehen und Legendre’ sehen Kriterium analogen Bedingungen für ein starkes, bezw. schwaches Extremum hinreichen. Unter derselben Voraussetzung beweist A. Mayer für dieses „allgemeine“ Problem den HilberAschen Unabhängigkeitssatz²⁷) sowie seinen Zusammenhang mit der Integration der Jacobi-Hamiltorisehen partiellen Differentialgleichung, die zu dem Variationsprobleme oder dem entsprechenden Lagrange'sehen Differentialgleichungssysteme gehört.

Mit demselben allgemeinen Probleme beschäftigt sich Gr. v. Esche-rich in einer Reihe von Abhandlungen²⁸). Er geht aus von der Betrachtung des durch Variation der Lagrange’sehen Gleichungen entstehenden linearen Differentialgleichungssystemes, das er als „accesso-risches System“ bezeichnet²⁹). Aus einer zwischen gewissen Lösungen desselben bestehenden Identität ergiebt sich unmittelbar die Über-

den aber O. Bolza mit Hülfe einer von H. A. Schwarz in seinen Vorlesungen vorgetragenen Methode erledigt (Math. Ann. 57 (1903), p. 44). Ein ganz allgemeiner Beweis für das Jacobi'sehe Kriterium ergiebt sich aus den unten besprochenen Arbeiten von G. v. Escherich. Vgl. H. Hahn, Math. Ann. 58 (1904), p. 166.

25)    Nach mündlichen Mitteilungen von C. Carathéodory können in solchen Ausnahmefällen diskontinuierliche Lösungen des Variationsproblems auftreten, die den entsprechend modifizierten Weier strass’sehen Methoden noch zugänglich sind.

26)    Lehrbuch §§ 56—61. Das dort behandelte Problem ist etwas allgemeiner als das im Text angegebene.

27)    Leipz. Ber. 1903, p. 131 = Math. Ann. 58 (1904), p. 235. Der Fall zweier unbekannter Funktionen auch bei N. Gernet, Diss. Gött. 1902.

28)    Zusammengefasst in Wien. Ber. 110 (1901), p. 1355, wo sich v. Escherich der homogenen Darstellung durch einen Parameter bedient. Vgl. Fussn. 2).

29)    Über seine Lösungen wird eine grosse Anzahl von Sätzen bewiesen: Wien. Ber. 107 (1898), p. 1234 ff., 1294 ff.; ibid. 110 (1901), p. 1367 ff. Als besonders wichtig erweist sich dabei der für dieses System geltende Green’sehe

führung der zweiten Variation in die von Clebsch angegebene „reduzierte" Form³⁰) (II A 8, Nr. 15, Kneser), aus der nun weiter das Legendre'sehe Kriterium als notwendige Bedingung folgt³¹). Für das Folgende wird nun diese Bedingung als erfüllt vorausgesetzt, und es wird ein „Hauptfall" und ein „Ausnabmefall" unterschieden⁸²). Im Hauptfalle hat, wie gezeigt wird, die Mayer'sehe Determinante A(x} x₀) (II A 8, Nr. 16, p. 596, Kneser) (die „Determinante des dem Punkte x₀ konjugierten Systèmes") im Punkte x₀ eine isolierte Nullstelle, d. h. ein genügend kleiner von x₀ ausgehender Extremalen-bogen lässt sich mit einem Felde im Weierstrass'sehen Sinne umgeben, während im Ausnahmefalle A(x, x₀) identisch verschwindet³³). Im Hauptfalle lässt sich also (durch die Nullstellen von A(x, x₀)) zu jedem Punkte x₀ ein konjugierter Punkt definieren, und die Notwendigkeit des Jacobi'sehen Kriteriums wird nun auf zwei verschiedenen Wegen bewiesen³⁴). Ferner giebt v.Escherich durch Betrachtung der zweiten Variation einen Beweis, dass auf einem keine zwei konjugierten Punkte enthaltenden Extremalenbogen ein definites Zeichen der quadratischen Form, in welche die zweite Variation transformiert wird, ein schwaches Extremum zur Folge hat, m. a. W., dass innerhalb des Feldes das Legendre sehe Kriterium für ein schwaches Extremum hinreicht³⁵).

Mit analogen Methoden behandelt H. Hahn den Fall, dass unter den Bedingungsgleichungen des Problems auch endliche Gleichungen Vorkommen³⁶).

Satz (1. c. 107, p. 1244), insbesondere die in demselben auftretende bilineare Differentialform ip(z, r; u, q).

30)    1. c. 110, p. 1390 ff. Vgl. auch 1. c. 107, p. 1242 ff. und 108, p. 1278 ff.

31)    1. c. 107, p. 1383 ff.; 110, p. 1396 ff.

32)    Der Ausnahmefall tritt dann und nur dann ein, wenn die betrachtete Extremale zugleich Extremale für ein einfacheres Variationsproblem ist (H. Hahn, Math. Ann. 58 (1904), p. 148), oder anders gesprochen, wenn ein gewisses überbestimmtes System linearer Differentialgleichungen eine von Null verschiedene Lösung besitzt (G. v. Escherich, Wien. Ber. 108 (1899), p. 1287 ff).

33)    Wien. Ber. 108 (1899), p. 1299; 110 (1901), p. 1405.

34)    Wien. Ber. 110 (1901), p. 1409 ff. Der eine dieser Beweise ist eine Übertragung des Erdmann-Weier strass’sehen Beweises (Lehrbuch § 28) auf unser allgemeines Problem ; der zweite giebt eine exakte Durchführung der von L. Scheeffer (Math. Ann. 25 (1885), p. 522) verwendeten Methode. Die dabei festgehaltene Voraussetzung, dass die Bedingungsgleichungen, denen die Variationen unterliegen, durch die linearen Glieder ihrer Taylor'sehen Entwickelungen ersetzt werden können, ist im „Hauptfalle“ immer zulässig (JET. Hahn, Math. Ann. 58 (1904), p. 158).

35)    Math. Ann. 55 (1902), p. 108.

36)    Monatsh. Math. Phys. 14 (1903), p. 3.

Einen auf wesentlich anderen Grundlagen beruhenden, allerdings nicht ganz allgemeinen Beweis des Jacobi ’sehen Kriteriums liefert A. Kneser¹⁰ 11) durch eine Verallgemeinerung der von ihm im einfachsten Falle benutzten Schlussweise, welche auf der Existenz gewisser Enve-loppen beruht.

Es sei endlich noch eine von H Hahn⁸⁸) gegebene Methode zur Aufstellung des Lagrange’sehen Differentialgleichungssystemes erwähnt, welche nicht von vornherein voraussetzt, dass die gesuchte Kurve zweimal dilferentiierbar sei, sondern aus der Existenz stetiger erster Ableitungen auch die der zweiten Derivierten folgert¹² 13).

Aus allen diesen Untersuchungen geht hervor, dass, solange es sich um einfache Integrale handelt, das Auftreten mehrerer unbekannter Funktionen unter dem Integralzeichen zwar eine grössere Komplikation der Rechnungen und Beweise zur Folge hat, dass aber die Resultate den für den Fall einer unbekannten Funktion erhaltenen durchaus analog bleiben. J. Hadamar d^¹) macht nun darauf aufmerksam, dass dies bei mehrfachen Integralen nicht mehr durchaus der Fall ist. So ist es bei mehrfachen Integralen mit mehreren unbekannten Funktionen für das Eintreten eines Extremums nicht notwendig, dass die „reduzierte“ quadratische Form, in welche nach Clebsch40 a) die zweite Variation transformiert werden kann, definit sei¹⁴).

5. Beispiele und Anwendungen. Die Fruchtbarkeit der von Weierstrass eingeführten neuen Methoden zeigt sich besonders darin, dass sie die vollständige Erledigung klassischer Variationsprobleme gestatten, die vorher nur unvollkommen behandelt werden konnten, und umgekehrt geben diese speziellen Aufgaben wieder sehr häufig

Anlass zu neuen Fragestellungen und neuen Gesichtspunkten und damit auch zur Weiterentwickelung der allgemeinen Theorie.

So behandelt A. Kneser¹⁵) das Newton!sehe Problem von der Rotationsfläche kleinsten Widerstandes und zeigt, dass ein schwaches Extremum vorhanden ist, wenn der Rotationskörper an der Spitze unter dem Randwinkel 45° durch eine kreisförmige Scheibe abgestumpft wird¹⁶). Derselbe Autor erledigt¹⁷) das „Problem der Dido“, zwei nicht vorgeschriebene Punkte einer gegebenen Kurve durch eine zweite Kurve von gegebener Länge so zu verbinden, dass der von beiden eingeschlossene Flächeninhalt ein Maximum wird. Das sogenannte „isoperimetrische Problem auf einer Fläche“ oder das „Problem der Kurven kürzesten Umrings“ wird behandelt von J. R. Whitte-moreih) und 0. Bolm¹⁸*): es soll auf einer gegebenen Fläche die kürzeste Linie gefunden werden, die zwei vorgeschriebene Punkte einer gegebenen Kurve verbindet und mit dieser einen gegebenen Flächeninhalt einschliesst- als Lösung ergeben sich bekanntlich die Kurven konstanter geodätischer Krümmung. Eine ausführliche Theorie der geodätischen Linien auf einer Ringfläche giebt G. A. Bliss¹⁹).

Ferner beweist A. Kneser²⁰) die Stabilität des Gleichgewichtes schwerer hängender Fäden. Wird nämlich um die Kettenlinie, welche die potentielle Energie des Fadens zu einem Minimum macht, ein Gebiet S abgegrenzt, und wird der Faden so gebogen, dass er nicht mehr ganz in S liegt, so besitzt die Zunahme seiner potentiellen Energie eine von Null verschiedene untere Grenze²¹). Mit Hilfe dieses Satzes führt die von Systemen mit einer endlichen Anzahl von Freiheitsgraden her bekannte Dirichlet’sehe Schlussweise (IV 1, Nr. 45, Fussn. 275, Voss) auch hier zum Ziele.

Als eine wichtige Ergänzung des Jacobi’sehen Kriteriums beweist

G. Darboux²²) und später JE. Zermelo²³) einen Satz, nach welchem der Bogen einer geodätischen Linie im allgemeinen schon vor dem nächsten konjugierten Punkte auf hören muss, die „allerkürzeste“ Verbindungslinie seiner Endpunkte zu sein, sondern zuletzt nur die kürzeste unter den benachbarten darstellt. Zermelo zeigt ferner, dass innerhalb eines begrenzten einfach zusammenhängenden ebenen Bereiches die kürzesten Verbindungslinien zweier Punkte (II A 8, Nr. 23, Kneser)50a) immer eindeutig bestimmt sind, und er betrachtet schliesslich auf einer vorgelegten Fläche z = cp (x, y) die „kürzesten Linien von begrenzter Steilheit“

^ a^s Beispiel eines Problems mit Diflerentialunglei-

chungen. Es treten hier diskontinuierliche Lösungen auf, wie dies hei Ungleichungen in der Regel der Fall zu sein scheint.

Um auch die isoperimetrischen Probleme mit Doppelintegralen der allgemeinen Methode zugänglich zu machen, behandelt J. 0. Müller²⁴) als wichtigstes Beispiel die schon von H. A. Schwarz²⁵) bewiesene Eigenschaft der Kugel, eine kleinere Oberfläche zu besitzen als alle geschlossenen Flächen vom gleichen Volumen, indem er, entsprechend dem Weier strass'¹ sehen Ideengange, ein Feld von Kugeln konstruiert und mittelst desselben den Wert der Kugeloberfläche darstellt durch ein Flächenintegral über eine beliebige geschlossene Vergleichsfläche gleichen Volumens, wobei der Integrand beständig < 1 ist. Dasselbe Theorem ergiebt sich übrigens bei H. Minkowski²⁶ 27) als Spezialfall eines viel allgemeineren Satzes über Volumina und Oberflächen konvexer Körper.

Eine Aufgabe die als Umkehrung eines Problèmes der Variationsrechnung bezeichnet werden kann, löst G. Hamel²⁴), indem er alle Geometrien, d. h. alle Massbestimmungen in der Ebene aufstellt, für welche die geraden Linien die kürzesten sind. Es kommt dies darauf hinaus, das allgemeinste Integral j f (x, y, y) dx aufzufinden, welches durch die Geraden der Ebene zu einem Minimum gemacht wird. Hierdurch ist der Anschluss an diejenigen Untersuchungen gewonnen, die zu einer vorgelegten Differentialgleichung die zugehörigen Variationsprobleme suchen²⁸). Hamei geht insofern über diese hinaus, als er

verlangt, dass auch die hinreichenden Bedingungen der "Variations-rechnung erfüllt seien.

Eine Anwendung der Variationsrechnung auf die Theorie der partiellen Differentialgleichungen geben Yoshiye⁵⁶) und E. R. Hedrick⁵⁷), indem sie, einen von JD. Hilbert in seinen Vorlesungen gegebenen Gedanken ausführend, nach weisen, dass die Gleichungen der charakteristischen Streifen einer partiellen Differentialgleichung erster oder zweiter Ordnung immer übereinstimmen mit den Lagrange¹ sehen Gleichungen eines gewissen Variationsproblemes.

6. Existenzfragen. Während die klassische Methode der Variationsrechnung von einer gegebenen Lösung der Lagrange¹ sehen Differentialgleichung ausgeht, das Randwertproblem also als gelöst betrachtet und nun untersucht, ob diese Lösung wirklich ein Extremum liefert, stellt sich L). Hilbert⁵⁸) die Aufgabe, in gewissen Fällen von vornherein die Existenz einer Kurve oder Fläche von grösstem oder kleinstem Integralwerte zu beweisen, welche dann auf Grund dieser Eigenschaft die Differentialgleichung unter den gegebenen Randbedingungen erfüllen muss und damit einen Schluss auf die Lösbarkeit des Randwertproblemes gestattet.

ist diese Theorie durchgeführt bei JDarboux, Theorie des surfaces 3, Nr. 604—606, wo u. a. der Satz bewiesen wird, dass zu jeder Gleichung y" — cp(x, y, y') sich unendlich viele Integrale    y, y)dx finden lassen, deren Extremalen die

Lösungen der Gleichung sind (vgl. hierüber auch J. Kürschdk, Math. Ann. 56 (1903), p. 163). — A. Hirsch (Math. Ann. 49 (1897), p. 49) beweist weiter: Wenn der aus der Gleichung F(x, y, y, ..., y^n) — 0 abgeleitete lineare Diffe-

n

rentialausdruck

„sich selbst adjungiert“ ist (IIA 4 b, Nr. 26, Vessiot),

;t=o

lässt sich durch Quadraturen ein Integral J*f(x, y, y',..., y(n) dx finden, dessen Extremalen durch die Gleichung F — 0 gegeben sind. Es wird ferner die Gültigkeit eines analogen Satzes für partielle Differentialausdrücke der zweiten Ordnung mit zwei oder drei unabhängigen Veränderlichen bewiesen; die Vermutung, es gelte dies für eine beliebige Anzahl unabhängiger Veränderlicher, wurde von W. Hertz (Diss. Kiel 1903) für n — 4, 5 bestätigt. Weitere Litteratur dieses Gegenstandes giebt Hamei. — Hierher gehört auch das von A. Guldberg (Christiania Skrift. 1902, Nr. 7) behandelte Problem, das allgemeinste Integral y6 (æ, y, y) d x aufzufinden, das invariant bleibt bei einer kontinuierlichen Gruppe von Transformationen. Es zeigt sich, dass für solche Integrale die Lagrange'sehe Gleichung sich auf Quadraturen oder auf eine Gleichung erster Ordnung zurückführen lässt.

56)    Math. Ann. 57 (1903), p. 185.

57)    Ann. of math. (2) 4 (1903), p. 141, 157.

58)    Deutsche Math.-Ver. 8 (1900), p. 184.

Seinen Gedankengang entwickelt Hilbert zunächst an dem Beispiel der kürzesten Linien auf Flächen. Da die Bogenlängen aller zwei gegebene Punkte der Fläche verbindenden Kurven eine untere Grenze l besitzen, so existiert eine unendliche Folge von Kurven, deren Bogenlängen diesen Wert l zur Grenze haben. Diese Kurven konvergieren aber gegen eine Grenzkurve, von der sich beweisen lässt²⁹), dass sie diffe-rentiierbar ist und die minimale Bogenlänge l besitzt. Dieselbe Schlussweise überträgt Ch. A. Noble³⁰ 31) unter gewissen einschränkenden Voraussetzungen auf einfache Integrale, die eine oder zwei unbekannte Funktionen und deren erste Ableitungen enthalten.

Hilbert⁰¹) selbst verwendet seine Methode zu einer strengen Begründung der als „Dirichlefseh.es Prinzip“ bekannten Beweismethode (II A 7 b, Nr. 24 u. 25, BurTchardt u. Meyer), auf Grund deren Biemann die Existenz der überall endlichen Integrale auf einer vorgelegten Biemann’sehen Fläche erschloss (II B 2, Nr. 12, Wirtinger). Es handelt sich hier darum, die Existenz einer auf der ganzen Biemann¹ sehen Fläche regulären Potentialfunktion u(x, y) nachzuweisen, welche entlang einer geschlossenen, die Fläche nicht zerstückelnden Kurve C, die man immer aus geraden, den Koordinatenaxen parallelen Stücken bestehend annehmen kann, den Sprung 1 erleidet. Bildet man für alle beliebigen dieser Randbedingung genügenden Funktionen das über die ganze Fläche erstreckte „Dirichlefsehe Integral“:

ff{(^y+(^)Vxdÿ’

so haben die Integralwerte eine untere Grenze d. Es sei nun Ut, U₂, U₃, . . . eine Folge von Funktionen, deren Dirichlef sehe Integrale die Grenze d ergeben, und die etwa so gewählt seien, dass die über ein gewisses Stück der x-Axe erstreckten Integrale J Undx sämtlich den

Wert Null haben. Dann lässt sich aus ihnen eine andere Folge ul} w₂, u.ä, . . . so auswählen, dass für beliebige (a, b) der Grenzwert:

x y

v(x, y) =

lim i / undxdy

n— co J J a b

existiert und eine stetige Funktion von x und y darstellt, solange das Integrationsgebiet keinen Verzweigungspunkt enthält und von der Kurve C nicht geschnitten wird. Der von (a, b) unabhängige Ausdruck:

æ-j-s y + ti

u(x, y) =

div

dxdy

lim lim

= 0, J7 — 0 71 = CO

h,J fu-dxdy

ist dann die gesuchte Potentialfunktion, wie folgendermassen bewiesen wird. Für eine willkürliche Funktion £ und ein beliebiges Rechteck H muss die Gleichung bestehen:

dt dun dy dy

j dxdy = 0,

lim f f(p-

n = œJ J

(R)

welche hier dieselbe Rolle spielt, wie das Verschwinden der ersten Variation in der klassischen Variationsrechnung. Durch partielle Integrationen und Ausführung des Grenzüberganges unter den Integralzeichen erhält man den Satz, dass eine Funktion w, für welche

= v(x,y) ist, für willkürliche £ der Gleichung genügen muss:

d*w

//

a⁶£

Aw dxdy — 0,

dx³ dy³

und hieraus folgt³²), dass Aw die Form haben muss:

Aw = Xy² + X'y + X" + Yx² -f Y'x + Y",

wo X, X', X" nur von x abhängen, Y, Y'f Y" nur von y. Durch Hinzufügung leicht zu bildender Integrale kann man daher aus w eine Funktion z ableiten, die der Gleichung Az — 0 genügt und mit u und v durch die Beziehung verbunden ist:

_ d²v

dx³dy³ dxdy

wodurch die Potentialeigenschaft von u erwiesen ist.

Nach Hilbert’sehen Prinzipien behandelt E. R. Hedrick³³) die

(R)

dez

= u(x, y),

b

Randwertaufgabe für die Liouville’sehe Gleichung Au — en (II A 7 c, Nr. 12, Sommerfeld). Ch.M. Mason64,) gelangt durch Betrachtung des

einfachen Integrales Jy^dx mit der Nebenbedingung:

a b

(A(x) > 0)

f*A(x)y²dx — 1

zu einer Behandlung der gewöhnlichen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung y" -f- AA(x)y = 0 (II A 7a, Bocher). Er bestätigt die in der Physik aus blossen Analogiegründen zugelassene Annahme, dass zu jeder „homogenen“ Randbedingung unendlich viele „ausgezeichnete“ Werte von A gehören, und insbesondere, dass es bei periodischem A{x) unendlich viele Werte von A giebt, für welche die Gleichung periodische Lösungen besitzt⁶⁵).

64)    Diss. Gott. 1903, p. 29 ff. Diese Beweismetliode ist nachgebildet der von JA. Weber (Math. Ann. 1 (1869), p. 1) auf die partielle Differentialgleichung der schwingenden Membran (IIA 7 c, Nr. 9, Sommerfeld) angewandten Betrachtungsweise. Ihre Durchführung hei Mason ist aber nicht überall einwandfrei.

65)    1. c. p. 52 ff.

(Abgeschlossen im Januar 1904.)

IIA 9 a. TRIGONOMETRISCHE INTERPOLATION (MATHEMATISCHE BEHANDLUNG PERIODISCHER NATURERSCHEINUNGEN)

VON

H. BURKHARDT

IN ZÜRICH.

Inhaltsübersicht.

1.    Bezeichnungen.

2.    Hülfsformeln.

3.    Vorgeschichte.

I. Erscheinungen mit einer bekannten Periode.

4.    Die Begründung der trigonometrischen Interpolation für äquidistante Argumente durch Fr. W. Bessel.

5.    Trigonometrische Interpolation für beliebige Argumente.

6.    Trigonometrische Interpolation für sehr zahlreiche Argumente.

7.    Das Verfahren von Leverrier.

8.    Interpolation ausgefallener Beobachtungen.

9.    Berechnung des Mittelwertes einer periodischen Funktion.

10.    Behandlung der Extreme bei trigonometrischer Interpolation.

11.    Berechnung des Ganges einer periodischen Erscheinung während einer längeren Periode aus Mittelwerten für kürzere Zeiträume.

12.    Verwendung der trigonometrischen Interpolation zu mechanischer Quadratur. Berechnung der Koeffizienten trigonometrischer Entwicklungen aus möglichst wenig Beobachtungen.

18. Trigonometrische Interpolation von Funktionen zweier Argumente.

II. Separation mehrerer bekannter Perioden.

14.    Vorbemerkungen, insbesondere über theoretische und praktische Inkommen-surabilität.

15.    Elimination von säkularen Störungen.

16.    Separation zweier Perioden von gleicher Grössenordnung.

17.    Verfahren in komplizierteren Fällen. Die harmonische Analyse der Gezeiten.

18.    Bestimmung der Komponenten aus Beobachtungen der Extrema allein.

19.    Abgekürztes Verfahren.

20.    Zusammenfassung mehrerer periodischer Terme zu einem einzigen von veränderlicher Amplitude und Phase.

III. Aufsuchung versteckter Periodizitäten.

21.    Die Methode von Lagrange.

22.    Die Sätze von Nervander und Buys-Ballot.

23.    Pulling und Pushing.

24.    Neuere Ansätze.

25.    Kritik vom Standpunkte der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

IY. Hiilfsmittel zur Ausführung der Rechnungen.

26.    Rechenschemata für spezielle Werte der Anzahl Beobachtungen.

27.    Tabellen und Schablonen.

28.    Instrumentelle Hülfsmittel zum Rechnen mit den Formeln.

29.    Hülfsmittel zur Ableitung der Formeln (harmonische Analysatoren).

30.    Hülfsmittel zur Trennung verschiedener Perioden und zur Aufsuchung versteckter Periodizitäten.

Litteratur.

Ein zusammenfassendes Lehrbuch über den ganzen hier behandelten Fragenkomplex existiert nicht; die einzelnen Untersuchungen sind von Vertretern der verschiedenen Anwendungen nach Bedürfnis behandelt worden, sehr häufig ohne Kenntnis davon, dass sie bei Gelegenheit einer anderen Anwendung bereits erledigt waren.

Eine ausführlichere Darstellung der historischen Entwicklung findet sich bei H. Burkhardt, Jahresbericht d. M.-V. 10, 1902, § 25, p. 228—342; eine spezielle Geschichte der meteorologischen Anwendungen bei A. Schmidt, Progr. Gotha 1894.

1. Bezeichnungen. Als periodisch mit der Periode T (im engeren Sinne) wird eine Funktion einer unabhängigen Veränderlichen t zunächst dann bezeichnet, wenn sie sich bei Vermehrung des Arguments um T nicht ändert, wenn also für jedes t:

(i)

f(t + T)=m

ist. Die einfachsten Funktionen dieser Art sind diejenigen, die die Gleichung einer „einfachen harmonischest Schwingung“ geben:

(2) y = A cos kt B sin kt — R sin (kt -J- a) — R cos k(t — t₀) ;

k — 2it/T hèisst Schwingungszahl, A und B Koeffizienten, B Amplitude³⁴), R² Intensität, a Phasenkonstante, t₀ Epoche (des Maximums). Eine Funktion, deren Periode ein Submultiplum von T ist, ist zugleich eine Funktion von der Periode T; desgleichen eine Summe von solchen Funktionen. Eine Summe von einfachen Schwingungen, deren Perioden alle Submultipla von einer von ihnen sind, heisst eine

bezeichnet.

zusammengesetzte Schwingung; der zur grössten Periode gehörige Bestandteil, in erweitertem Gebrauch eines akustischen Terminus, Grundton, die übrigen seine Obertöne. Dass jede analytische periodische Punktion durch eine zusammengesetzte Schwingung dargestellt werden kann, kann vermittelst der Substitution z — ê³⁵ aus dem Laurent? sehen Satze (II B ,1, Nr. 9, Osgood) abgeleitet werden*) ; die Frage, wie weit auch nicht analytische Funktionen eine solche Darstellung zulassen, ist für die hier zu besprechenden Aufgaben irrelevant.

Wo im folgenden von solchen periodischen Funktionen im engeren Sinne die Rede ist, wird zur Vereinfachung der Formeln stets angenommen, die Einheit, in der die Variable t gemessen wird, sei so gewählt, dass die Periode des Grundtons gleich ist³⁶).

der Form (2)

In weiterem Sinne wird hier eine Funktion auch dann noch als periodisch bezeichnet, wenn sie sich durch eine Summe von Termen ihren Komponenten — ausdrücken lässt, auch ohne dass die Perioden der einzelnen Komponenten Submultipla von einer von ihnen zu sein brauchen.

Im folgenden wird die (an und für sich natürlich unbestimmte) Aufgabe³⁷) behandelt, von einer solchen Funktion einen analytischen Ausdruck zu finden, wenn zu einer Anzahl Argumentwerte t die zugehörigen Funktionswerte yfl gegeben sind. Diese Werte    sollen

dabei kurz als die Beobachtungen bezeichnet werden, die Werte t^ als ihre Argumente oder auch als ihre Termine. Das Intervall zwischen dem ersten und dem letzten Beobachtungstermin heisst der Beobachtungszeitraum.

2. Hülfsformeln. Von den für das Rechnen mit trigonometrischen Interpolationsformeln fundamentalen Relationen

mt

^ sin gt

sin —-

2

(3)

. t

Sill — 2

mt

cos gt

u — 0

cos —— sin

(m -J- 1) t

. t ™ï

oder

Y +2 cos ^ ,“=1

(2»+iy

2 sin —

ist die erste der Sache nach in einem Satz des Archimedes⁴) enthalten, die zweite in der zweiten Form von W. Snellius⁵) gegeben, Die allgemeineren Formeln:

(4)

sin (a -f- [it)

ju = 0

m

cos (a -j- (i t) —

sin

cos

/ mt\

(“⁺t)

sin ¹⁾*

. t sin —

(•+t)

sin £±11*

sin —

gewinnt L. Euler⁶), indem er die linken Seiten als rekurrierende Reihen auffasst. Der bequemste Weg, um sie ohue Benutzung komplexer Grössen zu erhalten, ist Multiplikation der linken Seiten (nicht mit 2 sin t oder 2 cos t, sondern) mit 2 sin t/2 und Umformung der auftretenden Produkte je zweier trigonometrischen Funktionen in Summen von solchen⁷).

um 1860 in England in Gebrauch gekommen zu sein; einen bestimmten Urheber kann ich für ihn nicht angeben. Er hat übrigens Sinn nur für die unter I zu besprechenden Aufgaben; seine Anwendung auf die unter II zu besprechenden ist eine — wohl nicht mehr auszurottende — Gedankenlosigkeit.

4)    De sphaera et cylindro, prop. 22; Opera ed. Heiberg 1, p. 98. Vgl. G. Eneström, Bibi. math. (3) 2 (1901), p, 444.

5)    Doctrinae triangulorum canonicae libri quatuor, 1627 (posthum), prop. 3, p. 44; vgl. A. Braunmühl, Geschichte der Trigonometrie 1, Leipzig 1900, p. 240.

6)    Mise. Berol. 7 (1743), p. 133. — Introd. in analysin infinitorum 1, Laus. 1748, Nr. 259, p. 218 erhält Euler die Formeln (4) als Differenzen zweier divergenter unendlicher Reihen; Petrop. N. Comm. 18 (1773) [74], p. 26 durch Benutzung der Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen reeller und Exponentialfunktionen rein imaginärer Argumente.

Auf Identitäten der im Text erwähnten Art, bezw. auf entsprechende Relationen für Summen von Potenzen trigonometrischer Funktionen lässt sich auch ein Teil der 1746 von M. Stewart ohne Beweis mitgeteilten „general theorems“ zurückführen. Vgl. darüber L. Ellis, Cambr. Math. J. 2 (1841), p. 271; T. S. Davies, Edinb. Trans. 15 (1844), p. 573 (p. 603 Angaben über ältere mir nicht zugängliche Litteratur); Cambr. Dubl. math. J. 1 (1846), p. 229; P. Breton (de Champ), J. de math. 13 (1848), p. 281.

7)    Diese Bemerkung A. J. LexelTs (Petrop. N. Comm. 18 (1773) [74], p. 38) ist später vielfach nicht beachtet und von Dippe (Arch. Math. 7 (1846), p. 110) aufs neue gemacht worden.

wenn weder x -j- A, noch x — A = 0 (mod n), = ■ y> bezw. 4—, wenn x -f- A = 0 oder x — A = 0 (mod n), n , bezw. 0, wenn x -f- A = 0 und x — A = 0 (mod n),

(6) <

Setzt man in den Gleichungen (3) t= 2xn/n, unter x eine ganze Zahl verstanden, so erhält man:

n — 1

0 für x eJe 0, n für x = 0

und daraus wieder mit Hülfe der Umformung von Produkten trigonometrischer Funktionen in Summen:

n — 1

(5)

. 2KV7t

7, sin —

*mml    n

cos

2kvtt

(mod n)

r=l

MI iM

COS

2 KV 7t

cos

2Xv7t

2KV7t .    2 Xv7t

sin-

Sill

2si

2 KVTt

cos

2 Xv%

= 0 in jedem Falle.

3. Vorgescliichte. Das Problem, eine gegebene Funktion y = f(t) in eine Reihe der Form

(?)

y = J£A cos yt

,w = 0

zu entwickeln, behandelt schon A. Clairaut³⁸) als Interpolationsproblem : Er setzt für t der Reihe nach die Werte

(8)

2 7t 4:7t    &7t

m ⁷ m J m

und erhält so wegen (5) zunächst:

(9)

A₀ = —

u m

1    J. /2 V7t\

n AmJ ' \ m /

V

Dieselbe Formel liefert ihm auch die übrigen Koeffizienten, wenn vorher in dem Produkt f(t) cos yt die Produkte je zweier Kosinus durch Summen ersetzt werden. Andererseits wurde J. L. Lagrange bei seinen ersten Untersuchungen über Saitenschwingungen, auf das Problem geführt, ein System von Gleichungen der Form

m—1

¹

   Amer. Trans. 2 (1901), p. 166. Es wird dort auch gezeigt, dass heim Probleme der kürzesten Linien auf dem Rotationsellipsoide dieser Ausnahmefall thatsächlieh eintritt. Übrigens findet sich ein Hinweis auf die Möglichkeit eines solchen Rückkehrpunktes schon bei H. Poincaré, „Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste“ 3 (1899), Nr. 371, anlässlich einer Diskussion des Prinzips der kleinsten Wirkung. Ein regulärer Punkt der Enveloppe aller durch einen Punkt gehenden Extremalen (trajectoires) wird dort als „foyer ordinaire“ bezeichnet; ein Rückkehipunkt, der seine Spitze dem Integrationsintervalle zukehrt, als „foyer en pointe“, ein nach der entgegengesetzten Richtung liegender Rückkehrpunkt als „foyer en talon“.

²

   Dass sich ein die Kurve $ transversal schneidender Extremalenbogen in der Umgebung dieser Kurve stets mit einem solchen Felde umgeben lässt, beweist A. Kneser, Lehrbuch § 30. Die transversale Lage der Kurve £ und der Extremale ergiebt sich bekanntlich als notwendig durch Betrachtung der ersten Variation (vgl. II A 8, Nr. 6, Kneser und Lehrbuch § 12).

³

   Kneser bezeichnet diesen Punkt als „konjugierten Brennpunkt“; die Terminologie des Textes rührt von G. A. Bliss her.

⁴

   Lehrbuch § 25. Der daselbst mitgeteilte Beweis unterliegt derselben Ausnahme, wie im Falle fester Endpunkte. Ein von G. A. Bliss, Amer. Trans.

3 (1902), p. 132 durch Betrachtung der zweiten Variation geführter Beweis gilt allgemein, sofern der Extremalenbogen über den kritischen Punkt hinausgeht.

⁵

   Lehrbuch § 30; G. A. Bliss, 1. c. p. 139.

⁶

Lehrbuch § 41.

⁷

23)    Lehrbuch § 36. Das Legendre’sehe Kriterium kann auch durch Be

⁸

trachtung der zweiten Variation erhalten werden. Vgl. 0. Bolza, Amer. Trans. 3 (1902), p. 305 = Decennial publications of the university of Chicago 9 (1902).

⁹

   Lehrbuch § 40. In gewissen Ausnahmefällen versagt dieser Beweis. 24a) Math. Ann. 55 (1902), p. 86. Der Grundgedanke stammt aus Vorlesungen

von Weier strass. Auch dieser Beweis umfasst einen gewissen Ausnahmefall nicht,

¹⁰

   Charkow Math. Mitt. (2) 7 (1902).

¹¹

   Monatsh. Math. Phys. 14 (1903), p. 325.

¹²

   Diese Problemstellung geht zurück auf P. du Bois-Beymond, der den Fall eines Integrales mit n Ableitungen ohne Nebenbedingung untersucht (Math. Ann. 15 (1879), p. 564). Eine dieselbe Frage behandelnde Abhandlung von E. Zermelo wird demnächst in den Math. Ann. erscheinen. Für den einfachsten Fall der Variationsrechnung gab JD. Hilbert eine sehr anschauliche Methode an, die wiedergegeben ist bei J. B. Whittemore, Ann. of math. (2) 2 (1901), p. 130 und N. Gernet, Diss. Gott. 1902, p. 15.

¹³

   Bull. soc. math. 30 (1903), p. 253.

40a) J. f. Math. 56 (1859), p. 122 (vgl. II A 8, Nr. 25, Kneser).

¹⁴

   Mit Doppelintegralen beschäftigen sich ferner ausser dem einschlägigen Abschnitte in Kneser’s Lehrbuche (§§ 62—69): I). Hilbert (Mathem. Probleme (siehe Fussn. 8)) und W.F. Osgood (Ann. of math. (2) 2 (1901), p. 125), die auf dieselben den Unabhängigkeitssatz übertragen, und A. Sommerfeld (Deutsche Math.-Ver. 8 (1900), p. 188) der das Analogon des Jacobi'sehen Kriteriums beweist.

¹⁵

   Arch. Math. Phys. (3) 2 (1902), p. 267.

¹⁶

   Dass im Falle eines Extremums der Winkel zwischen „Stirnfläche“ und „Mantelfläche“ notwendig 45° beträgt, wurde von E. Armanini bewiesen (Ann. di mat. (3) 4 (1900), p. 131). Dort findet sich auch die Litteratur über den Gegenstand zusammengestellt (1. c. p. 149).

¹⁷

   Math. Ann. 56 (1903), p. 169.

¹⁸

   Ann. of math. (2) 2 (1901), p. 176.

45a) Decennial publications of the university of Chicago 9 (1902) und Math. Ann. 57 (1903), p. 48. Vgl. auch Darboux, Théorie des surfaces 3, Nr. 651 ff. und Kneser, Lehrbuch § 34.

¹⁹

   Ann. of math. (2) 4 (1902), p. 1.

²⁰

   J. f. Math. 125 (1903), p. 189.

²¹

   Dieser Satz ist vollständig analog dem in Fussn. 11) angegebenen Satze von Osgood.

²²

   Theorie des surfaces 3, Nr. 623.

²³

   Deutsche Math.-Ver. 11 (1902), p. 184.

50a) Vgl. Darboux 1. c. Nr. 632 und Kneser, Lehrbuch § 44.

²⁴

   Gött. Nachr. 1902, p. 176; Diss. Gott. 1903.

²⁵

   Gött. Nachr. 1884, p. 1 = Ges. Abh. 2, p. 327.

²⁶

   Deutsche Math.-Ver. 9 (1901), p. 115; Math. Ann. 57 (1903), p. 474. Dabei sind als Vergleichskörper nur konvexe Körper zugelassen.

²⁷

   Diss. Gött. 1901; Math. Ann. 57 (1903), p. 231.

²⁸

   Für den Fall einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung

²⁹

   Eine Ausführung des Beweises giebt Ch. A. Noble (Diss. Gött. 1901, p. 10) auf Grund der Thatsache, dass zwei genügend nahe Punkte der Fläche sich immer durch eine geodätische Linie verbinden lassen, die auch die kürzeste ist. Ein hiervon unabhängiger Beweis liesse sich mit den von Hilbert zum Beweise des Dirichlef sehen Prinzips verwendeten Methoden führen. — Aus der Differentiier-barkeit der gefundenen Kurve folgt unmittelbar, dass sie eine geodätische Linie sein muss, und somit auf einer analytischen Fläche selbst analytisch ist.

³⁰

   Diss. Gött. 1901.

³¹

   Über das Dirichlef sehe Prinzip, Gött. Festschrift, Berlin 1901. Bezüglich der Anwendung auf die gewöhnliche Randwertaufgabe der Potentialtheorie vgl. D. Hilbert, Deutsche Math.-Ver. 8 (1900), p. 186. Doch ist die dort skizzierte Methode etwas verschieden von der im Texte angegebenen. Eine etwas weitere Ausführung dieser älteren Hilbert'sehen Methode bei E. H. Hedrick, Diss. Gött. 1901, p. 69 ff.

³²

   ]. c. § 4. Dieses Beweisverfahren zeigt eine grosse Analogie mit dem von P. du Bois-Reymond für einfache Integrale angewandten (siehe Fussn. 39), geht aber wesentlich weiter, da es auch die Existenz erster Derivierter der Minimalfunktion zu erschliessen gestattet.

³³

   Diss. Gott.. 1901, p. 64 ff.

³⁴

In der Litteratur findet man häufig auch 2 B als Amplitude oder „ränge“

³⁵

   A. Cauchy, Par. C. R. 12 (1841), p. 323; Oeuvres (1) 6, p. 79.

³⁶

   A. Schuster, Terr. Magn. 3 (1898), Nr. 15, p. 35 schlägt vor: Von einer „Periodizität T“ solle man nur dann reden, wenn die Funktion in der Zeit T nur ein Maximum und ein Minimum erreicht; die Gesamtheit der zu T und seinen Submultiplis gehörenden Terme könne man eine „Oscillation“ oder eine „Variation“ nennen.

³⁷

   Der Name „harmonische Analyse“ für die Lösung dieser Aufgabe scheint

³⁸

Par. Hist. 1754 (59), art. 4, p. 545 (vom Juli 57). Clairaut's Formeln sind nur richtig, wenn die Anzahl der zu berücksichtigenden Reihenglieder 4 tn ist. Die Schlussformeln waren für die speziellen Werte m — 1, 2, 3 bereits von Euler in etwas versteckter Form angegeben worden (sur les inégalités du mouvement de Jupiter et de Saturne, Paris 1749, § 27, p. 28; die Abhandlung gehört zum 6. oder 7. Band des Pariser recueil des pièces qui ont remporté le prix), doch ohne Beweis, sodass nicht ersichtlich ist, ob er sie direkt als Interpolationsformeln, oder als Näherungsausdrücke für die Darstellung der Entwicklungskoeffizienten der unendlichen Reihe durch bestimmte Integrale (17) gefunden hat.

2 sin

,M = 1

jtÜVTt

(10)

nach den B aufzulösen⁹); er reduziert es auf die Auflösung eines rekurrierenden Systems linearer Gleichungen und erhält so nach längerer Rechnung:

m— 1

fivn

(H)

B,, = — V Y sin

fl m s—J v

r = l

Doch hebt er erst an späterer Stelle¹⁰) ausdrücklich hervor, dass durch diese Formeln die Aufgabe gelöst ist, durch m — 1 Punkte mit äquidistanten Abscissen eine aus m — 1 Sinuslinien zusammengesetzte Kurve zu legen.

In allgemeinerer Weisse fasst Lagrange das Problem trigonometrischer Interpolation bei Gelegenheit der Frage nach der Bestimmung der Ungleichheiten der Planetenbahnen nur aus Beobachtungen, indem er hier nicht nur die Amplituden, sondern auch die Phasenkonstanten und die Perioden selbst als unbekannt ansieht¹¹).

Auch J. H. Lambert empfiehlt den Gebrauch trigonometrischer Interpolationsformeln bei „krummen Linien, die sich schlangenweise auf- und abwärts ziehen“, doch nur unter der Voraussetzung einer periodischen Wiederkehr der einzelnen „Anomalien“ und ohne Angabe einer Methode zur Bestimmung der Koeffizienten¹²).

I. Erscheinungen mit einer bekannten Periode.

4. Die Begründung der trigonometrischen Interpolation für äquidistante Argumente durch Fr. W. Bessel. Das allgemeine Pro-

9) Taur. Mise. 1 (1759), Nr. 26; Oeuvres 1, p. 87.

10)    ib. 3² (1762/65), Nr. 40; Oeuvres 1, p. 552. Dass hier wirklich nur von Interpolationsformeln und nicht, wie man aus der Bezeichnung schliessen könnte, von Entwicklung in unendliche trigonometrische Reihen die Rede ist, geht aus späteren Äusserungen Lagrangés (z. B. mécanique analytique, 2e éd., Paris 1811 (also nach Fourier), II vi, Nr. 59; Oeuvres 11, p. 436) unzweifelhaft hervor.

11)    Par. Hist. 1772¹(75), p. 513; Oeuvres 6, p. 505. Näheres unten Nr. 21.

12)    Beyträge zum Gebrauch der Mathematik 3, Berlin 1772, V § 8, p. 74. — In Lambert's posthumer Pyrometrie, Berlin 1779, die zuweilen hier zitiert wird, ist nicht von trigonometrischer Interpolation die Rede, sondern von Entwicklung einer analytischen Funktion in eine unendliche trigonometrische Reihe (§ 600, p. 317). — In Tobias Mayer's op. ined., Gott. 1775, die auch manchmal genannt werden, handelt es sich nur um näherungsweise Darstellung von Beobachtungen durch eine trigonometrische Funktion.

blem der Bestimmung der Koeffizienten in der trigonometrischen Interpolationsformel ¹ 2) :

r=

YÄo 4- 2 cos P* + sin P*} /* = 1 m

(13)

2 Ą. sin Pi* — y

jtó = 0

aus den Funktionswerten, die zu gegebenen, von einander und von den Enden der Periode äquidistanten Argumentwerten gehören, also der Auflösung des Gleichungssystems:

(14)

YÄo +2{Ä

mcos

/x = \

0 = o, 1, 2, • • •, n — 1)

2iivn , -rt • 2u,vn\

- ---h B„ sm ——

n ¹    n    )

nach den Afl, Bfl, ist zuerst von Fr. W. Bessel gelegentlich der Untersuchung der Fehler eines geteilten Kreises erledigt worden¹⁴). Bessel fasst sofort den Fall ins Auge, dass die Anzahl n der Gleichungen grösser ist, als die Anzahl 2m -f- 1 der Unbekannten. Die „wahrscheinlichsten“ Werte der letzteren werden dann erhalten, wenn man die Summe der Quadrate der Differenzen zwischen Beobachtung und Rechnung zum Minimum macht (I D 2, Nr. 1, Bauschinger); die aus dieser Forderung entspringenden Gleichungen reduzieren sich vermöge der Relationen (6) auf³):

Ein späterer Aufsatz JBesseVs giebt noch den folgenden Ausdruck für die Summe der Fehlerquadrate¹⁶):

(15)

COS

2 flV7C

Koeffizienten bestimmt werden soll, der letzte Koeffizient Al nur gleich der Hälfte des unter (15) angegebenen Wertes (so richtig schon bei Gauss ¹⁷), Nr. 22, p. 299; neuerdings hervorgehoben von F. B. Helmert, Ausgleichungsrechnung, Leipzig 1872, § 32, p. 287; T. B. Bobinson, Lond. Trans. 165 (1876), p. 420; K. Weihrauch, Dorp. Schriften 5 (1890), p. 15; P. S. Schreiber, N. A. Leop. 58 (1892), p. 171; H. Pipping, Fenn. Acta 20n (1895), p. 18; J. Macé de Lépinay,

J. de phys. (3) 8 (1899), p. 141; H. Bruns, Grundlinien des wissensch. Rechnens, Leipzig 1903, § 83, p. 117).

16) Astr. Nachr. 6 (1828), col. 333; Ges. Abh. 2, p. 368; engl. Quarterly weather report 1870. Bessel selbst macht (Nr. 4) darauf aufmerksam, dass man aus dieser Formel auf die wahrscheinlichen Fehler der Beobachtungen nur schliessen könne „wenn anderweitig bekannt ist, wo der Ausdruck abbricht“. Ob ein solcher Rückschluss unter speziellen Verhältnissen nicht doch möglich sei, darüber ist neuerdings aus Anlass der harmonischen Analyse der Töne der menschlichen Stimme diskutiert worden. Geht man von der Voraussetzung aus, dass dem einzelnen beobachteten Wert ein bestimmter wahrscheinlicher Fehler zukomme, so ergeben die I D 2, Nr. 11 (Bauschinger) angegebenen Formeln bestimmte Werte für die wahrscheinlichen Fehler der Koeffizienten und für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der wirkliche Fehler ein bestimmtes Vielfaches des „wahrscheinlichen“ übersteigt. Noch kleiner ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der wirkliche Fehler des einzelnen Koeffizienten dessen wahren Wert annähernd auf hebt, ungeheuer klein die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dies bei einer grösseren Anzahl von Koeffizienten gleichzeitig eintritt. Man wird also, wenn sich für die Koeffizienten von einer bestimmten Stelle an sehr kleine Werte ergeben, zu der Vermutung berechtigt sein, dass die wahren Werte dieser Koeffizienten null sind; ist diese Vermutung zutreffend, so erlaubt die Übereinstimmung der Beobachtungen mit der Rechnung nach der abgekürzten Formel den Rückschluss auf die Genauigkeit der ersteren. Die Entscheidung darüber, ob die Voraussetzungen dieser Schlüsse im einzelnen Fall erfüllt sind, ist nicht Sache der Mathematik; sie sind es jedenfalls nicht, wenn Grund zu der Annahme vorliegt, dass die höheren Koeffizienten nicht wirklich null sind. Vgl. H. Pipping, Zeitschr. Biol. 27 (1890), p. 273; 31 (1895), p. 550; Fenn. Acta 20¹¹, (1895), p. 19; E. Lindelöf, ib. p. 63; 29⁹ (1901); Arch. Physiol. 87 (1901), p. 597; Lindelöf und Pipping, ib. 85 (1901), p. 59; 91 (1902), p. 310. Andererseits L. Hermann, ib. 61 (1895), p. 176; 83 (1901), p. 33; 86 (1901), p. 92; 89 (1902), p. 600. — Bestimmung der wahrscheinlichen Fehler der Koeffizienten aus denjenigen der Beobachtungen auch bei B. Strachey, Lond. Roy. Proc. 42 (1887), Nr. 5, p. 65.

2jy*

A?- y2(aI + -*?)•

i“ = l

r = 0

Für den speziellen Fall, dass die Anzahl der Gleichungen gleich der der Unbekannten ist, sind die Formeln (15) schon vor Bessel von

C. Fr. Gauss¹¹) und von J. J. Fourier⁴ 5) gefunden, aber nicht publiziert worden.

y = f(ß)

an

(16)

y\Y,-

v~0

La

2 ^0

Z{A

t*=i

ncos

2 avn    ,    -r,    .    2iivit'

---\-    B„    sm

n    '    u    n

Sieht man die gegebenen Funktionswerte Yv als spezielle Werte einer für ein stetig veränderliches Argument t definierten Funktion so kann man die Koeffizienten ihrer Entwicklung nach den trigonometrischen Funktionen der Vielfachen von t durch die in Artikel 9b näher zu besprechenden Integralformeln:

(17)    4”> =

2 7t

fm

0

2 7t

hff®*

0

n fit dt

darstellen. Die Gleichungen (15) ergeben sich auch, wenn man diese Integrale näherungsweise nach der Rechtecksformel berechnet. Wendet man statt dessen die Trapezformel (II A 1, Nr. 51, Voss) an, so erhält man Werte, die noch die Faktoren enthalten⁶):

(18)

4m²    . ₉ int

ïwsm —

Zwischen den genauen Werten (17) und den angenäherten (15) (oder überhaupt zwischen den aus einer grösseren und den aus einer kleineren Anzahl von Beobachtungen berechneten) Werten der Koeffizienten bestehen die Relationen⁷):^

CO

(19)

Aß =    -j- JZîÇAl'+sn -f- A^/T—sn)

S = 1

B, =    + Jz&An -

y    s=1

= 21).

wenn n

(aber A% = Ai*>'i -J- Asi ^ -J- A$i * -|- • • •

Dass die Formel (12) eben nur eine Interpolationsformel ist, unter die sich beliebige Beobachtungen zwingen lassen, dass also aus der Möglichkeit, eine bestimmte Beobachtungsserie mit ihr darzustellen, nicht auf eine physikalische Bedeutung ihrer einzelnen Terme und ihrer Koeffizienten geschlossen werden darf, haben schon J. La-mont⁸) und Bravais⁹) hervorgehoben; gleichwohl ist noch neuerdings öfters die entgegengesetzte Auffassung laut geworden¹⁰).

In komplexer Gestalt treten die trigonometrischen Interpolationsformeln bei A. Cauchy auf¹¹).

Trigonometrische Interpolationsformeln, in denen nur ungerade Vielfache des Arguments erscheinen, geben E. H. Dirksen¹²), K. Weihrauch¹³ 14) und L. Gegenbauer⁸).

5. Trigonometrische Interpolation für beliebige Argumente.

Sind die gegebenen Argumente nicht äquidistant, so erhält man zunächst in Analogie mit der Lagrange'sehen Interpolationsformel für rationale Funktionen (I D 3, Nr. 3, Bauschinger) die Formel:

deren Glieder durch Vertauschung der Termine, a, b, c, . . . auseinander hervorgehen¹⁵); ist die Anzahl der Beobachtungen ungerade, so lässt sich ihre rechte Seite nach den Funktionen der Vielfachen von t entwickeln¹⁶). Für eine gerade Anzahl von Beobachtungen leistet dasselbe die Formel¹⁷):

(21)

Y = K sin \ (t — a) sin % (t — b) . . .

+2¹

(20)

sin \(t — b) sin — c). .

sin \ (a — b) sin J-(a — c)...

-fw,

cos *(*—)/(.),

in der K willkürlich bleibt. Sollen nur Kosinus- oder nur Sinusglieder auftreten, so kann man

(22)

bezw.

(cos t — cos b) (cos t — cos c).. (cos a — cos b) (cos a — cos c)...

-fm,

(23)

*-2

sin t (cos t — cos b) (cos t — cos c)..

sin a (cos a — cos b) (cos a — cos c)...

-f(a)

benutzen¹⁸).

6. Trigonometrische Interpolation für sehr zahlreiche Argumente. Sollen aus einer grossen Anzahl von Beobachtungen nur eine verhältnismässig kleine Anzahl von Koeffizienten berechnet werden, so kann man sich eines Interpolationsverfahren von P. L. Tschebyscheff bedienen¹⁹), das die gegebenen Funktionswerte nur durch Addition und Subtraktion verbindet und von dem H. Bruns²⁰) gezeigt hat, dass

es sich besonders für trigonometrische Interpolation eignet. Man bilde die Summen:

(24)

U« = L\ 2rp£r)-2f{

lv = 0    r = 0

(4 v -f- 2) . 2 n

/ n — 1

M2V(

V y=z a

(iv -j- 1) . 2 7t

)-z/(

(4r + 3) . 2«

und aus ihnen:

(25)

- ^a2Ä + l ^(2k + l)/u t

k

Dabei bedeutet ak die Zahl 0 oder -f- 1 oder — 1, je nachdem k durch das Quadrat einer Primzahl teilbar oder ein Produkt einer geraden oder einer ungeraden Anzahl verschiedener Primfaktoren ist³⁴), bk ist — ik~¹ak. Gehören die gegebenen Argumente nicht zu den in (24) angenommenen, so sind die Summen so zu bilden, dass die Vorzeichenwechsel möglichst nahe an den richtigen Stellen eintreten.

7. Das Verfahren von Leverrier. Die Formeln von Nr. 4 haben den Nachteil, dass man mit ihnen die ganze Rechnung noch einmal vornehmen muss, wenn es sich nachträglich als erforderlich erweist, eine grössere Anzahl von Beobachtungen zu berücksichtigen, als man ursprünglich in Aussicht genommen hatte³⁵). Diese Schwierigkeit fällt nach einer Bemerkung von U. J. Leverrier³⁶) weg, wenn man die Argumente zwar in gleichen Abständen a von einander, aber so wählt, dass a zur Periode praktisch inkommensurabel ist. Leverrier’s eigene Darstellung ist wenig übersichtlich; J F. Encke³⁷) und Gr. J. HoüelS8) haben sie vereinfacht. Letzterer gelangt schliesslich zu folgender Vorschrift³⁹):

34)    Also dasselbe, was in der Zahlentheorie (I C 3, Bachmann, Nr. 3) mit fi (k) bezeichnet wird.

35)    J. Macé de    Lepinay (J. de phys. (3) 8    (1899), p. 144)    und H. Bruns

(Grundlinien ¹⁶), § 87,    p. 122) zeigen, wie man in    solchen Fällen    zweckmässiger

weise verfährt, um wenigstens einen Teil der Rechnung beibehalten zu können.

36)    Par. observ.    ann. 1 (1855), Nr. 24, p. 118    und add. 3, p.    384 (von 1843);

eine    Andeutung auch    schon bei A. Cauchy, Par.    C. R. 12 (1840)    (Oeuvres (1) 6,

p. 77). Eine ältere Veröffentlichung Leverrier's „Développements sur qques. points de la théorie des perturbations des planètes“ war mir nicht zugänglich; an sie knüpft J. W. Lubbock an, Phil. Mag. 33 (1848), p. 106.

37)    Beri. astr. Jahrb. 1860, p. 313 (Ges. Abh. 1, p. 188).

38)    Par. observ. mém. 8 (1865), p. 83 (Auszug Par. C. R. 53 (1861), p. 830); Prag Archiv 1 (1875) (auch sep. Paris 1875).

39)    1865, Nr. 27, p. 107; 1875, Nr. 6, p. 9 des S.-A. Für den Fall eines sehr grossen n rät Hoüel zu etwas anderer Anlage der Rechnung (Vertauschung der Summationsreihenfolge); 1865, Nr. 43, p. 124; 1875, Nr. 27, p. 26.

k ( 2KJ,+y.)<

dann ergeben sich für die Koeffizienten die Werte: A u sin Ą y a JB cos y a

(29)

v—1

tionen

Aus den gegebenen Funktionswerten y bilde man die Kombina-

(26)

K = y*± y~r + Vv-i — y

(hier und in den folgenden Formeln sind einmal überall die oberen, dann überall die unteren Zeichen zu nehmen; dann die Hülfsgrössen)²¹):

— 1

(27)

% = 2^ sin -f- sin ~ • • • sin    = (— l)h+v

und aus beiden:

2* r,„y,. + Kj,

ä=i    /

(28)

(—    2 sin ycc ( '

ZK,>r„ + rA

h=i    /

} =    ^ àSp

'    r = |U-f-l

0. Callandreau²²) bemerkt, dass man in den Gleichungen (22) und (23) statt cos a, cos b, . . . bezw. die drei ersten Dezimalstellen dieser Werte nehmen und Produkttafeln benutzen könne; das biete bei bequemerer Rechnung dieselben Vorteile wie Leverrier's Verfahren.

8. Interpolation ausgefallener Beobachtungen. Für den Fall,

dass aus einer Reihe sonst äquidistanter Beobachtungen einzelne ausgefallen sind und interpoliert werden sollen, kann man sich zunächst der linearen, bezw. parabolischen Interpolation bedienen. L. Fr. Kämt#²³) empfiehlt, mit dem durch lineare Interpolation gefundenen Wert die Berechnung der Konstanten der JBesseVsehen. Formel vorzunehmen und aus dieser einen zweiten Näherungswert abzuleiten, der erforderlichenfalls zur Wiederholung des Verfahrens dienen kann. Bessel selbst giebt die Vorschrift²⁴ 25), man solle die betr. Terme in den Gleichungen (15) abtrennen, sodass sie lauten:

wo jetzt die Summen nur über die wirklich gemachten Beobachtungen zu erstrecken sind. Setzt man diese Ausdrücke in die Gleichungen (14) ein, so erhält man zur Bestimmung der Unbekannten Gleichungen derselben Form wie (14). Nur ist zu beachten, dass in diesem Falle die Werte der Koeffizienten nicht mehr unabhängig davon sind, wie weit man mit ihrer Bestimmung gehen will. K. Weihrauch hat die von Bessel geforderte Rechnung allgemein durchgeführt²⁵); es treten dabei Cirkulanten (I A 2, Nr. 16, Netto) auf.

Selbstverständlich sind solche Interpolationen nur zulässig, wenn angenommen werden darf, dass während der Zeit, aus der keine Beobachtungen vorliegen, der Gang der Erscheinung denselben Gesetzen folgte, wie während der Zeit der Beobachtungen. Steht das nicht fest, oder weiss man etwa gar, dass das Gegenteil der Fall ist, so liegt nicht eine Interpolation, sondern eine unzulässige Extrapolation vor⁴⁵).

9. Berechnung des Mittelwertes einer periodischen Erscheinung.

Zur Berechnung des Mittelwertes einer periodischen Erscheinung dient die erste der Formeln (12)⁴⁶). H. Lloyd hat auch bereits auf den Satz aufmerksam gemacht²⁶): die Behauptung, dass man das wahre

tion von Bessel’s Verfahren giebt M. Guist, Progr. Hermannstadt 1864, p. XXXVII. Spezielle Formeln für n — 8 und n — 12 bei A. Bravais in einer Note zur franz. Übers, von Kämtz’ Vorlesungen (Cours de météorologie, Paris 1843), p. 483.

44) Zeitschr. Meteorol. 20 (1885), p. 216; Dorp. Schriften 5 (1890), III 3, p. 17. Weihrauch empfiehlt p. 35, bei Interpolation zufällig ausgefallener Beobachtungen alle möglichen die Lücke in ihrem Innern enthaltenden Beobachtungen mit heranzuziehen, nicht bloss die mit dem konventionell festgesetzten Anfang beginnende.

45) Solche Verhältnisse liegen bei dem täglichen Gang der Temperatur vor, der wesentlich davon beeinflusst wird, ob die Sonne über oder unter dem Horizont steht. Man kann also nicht aus nur bei Tage angestellten Beobachtungen den Verlauf der Temperatur während der Nacht extrapolieren. Vgl. darüber G. V. Schiaparelli, Milano elfem. 1867, app. Nr. 11, p. 8; H. Wild, Re-pert. Meteor. Suppl. 1 (1881) (77), p. 101; A. Angot, Assoc, franç. 18 (1889), p. 281. Andererseits geht P. Schreiber, Leop. N. A. 48 (1892), p. 206 zu weit, wenn er nur solche Interpolationen für zulässig erklärt, die linear geschehen können.

46) Man beachte, dass bei der hier benutzten Bezeichnung ^A₀ der Mittel

wert ist.

30)

s,=4{

Yv cos

Yv sin

2gv7t ! v    2ghrc

—X 7 cos - -n i «    n

2ghn

2f^ -f Yh sin

n ¹    "

« xr    2 LL lv 7t

+ Yk cos ——

I    K    n

2fik% ,    1

YT + ’-'i’

— + Yk sin

n ' K

Mittel einer Erscheinung aus n beliebigen äquidistanten Beobachtungen erhalten könne, ist äquivalent mit der, dass sich die betr. Erscheinung durch die Bessel’sehe Formel mit n Koeffizienten genau darstellen lasse. Doch verbietet sich die Anwendung dieses Satzes meist aus praktischen Rücksichten; man hat daher für die Berechnung des Mittelwertes aus Beobachtungen zu Terminen, die nach solchen Rücksichten gewählt sind, eine grosse Anzahl verschiedener Formeln mit mehr oder weniger einfachen Koeffizienten vorgeschlagen²⁷). Zur systematischen Ableitung solcher Formeln aus der allgemeinen Interpolationsformel (20) liegt nur bei K. Weihrauch²⁸ 29) ein Ansatz vor.

10. Behandlung der Extrema bei trigonometrischer Interpolation. Aus der allgemeinen Formel (20) erhält man, wenn man die Argumente teilweise zusammenrücken lässt, durch Grenzübergang Formeln, die der Voraussetzung entsprechen, dass man für gewisse Argumentwerte ausser den Werten der zu bestimmenden Funktion selbst auch noch die Werte einiger ihrer niedrigsten Ableitungen kennt⁶⁰). Von solchen Formeln würde in dem allerdings selten vor-

Brit. Assoc. Report, für 1848, p. 1). Ebenso Guist ⁴³), p. XIII; P. A. Serpieri, Meteor, ital. 1867, suppl. p. 18 (auch sep. Urbino 1866); Bagona (nach dem Bericht von G. Cantoni, ib. p. 45). G. V. Schiaparelli und Celoria bezeichnen ib. Nr. 34, p. 8 den Satz als Astronomen und Geodäten wohlbekannt und von ihnen zur Elimination der Teilungsfehler ihrer Instrumente fortwährend benutzt. Lloyd und Guist gründen auf ihn Methoden zur Interpolation ausgefallener Beobachtungen.

Umgekehrt benutzt S. Drach, Phil. Mag. 20 (1842), p. 477, den Satz, um aus der Übereinstimmung der auf verschiedene Art berechneten Mittelwerte auf die Möglichkeit der Darstellung der Erscheinung durch die Bessel’sehe Formel mit bestimmter Gliederanzahl zu schliessen.

kommenden Palle Gebrauch zu machen sein, dass man den Termin kennt, zu dem eine Erscheinung einen ihrer extremen Werte erreicht, und zugleich den Betrag dieses Extremums selbst. Kennt man nur den letzteren, aber nicht den ersteren, so scheint die allgemeine Behandlung der sich ergebenden Gleichungssysteme Schwierigkeiten zu bieten; einige spezielle Fälle sind von K. Weihrauch diskutiert³⁰).

Für die umgekehrte Frage der Ableitung der Extrema aus der Interpolationsformel ist zu beachten: Für jede Art von Interpolationsformeln gilt, dass die Werte der Ableitung einer Funktion und insbesondere die Lagen ihrer Extrema durch die Interpolationsformel nicht mit derselben Sicherheit dargestellt werden können, als die Werte der Funktion selbst. Denn daraus, dass die Werte der Differenz zwischen wahrem und interpoliertem Funktionswert selbst sehr klein sind, kann nichts über die Grösse der Werte der Ableitung dieser Differenz geschlossen werden: die Differenz könnte ja zahlreiche kleine Oscillationen aufweisen. Speziell bei den trigonometrischen Interpolationsformeln ist das nicht nur nicht von vornherein ausgeschlossen, sondern es findet im Gegenteil in jedem Falle wirklich statt: die Funktionen des n-fachen Winkels wechseln in der Periode 2n-mal ihr Vorzeichen. In der Rechnung kommt diese Eigenschaft der trigonometrischen Interpolationsformeln dadurch zum Ausdruck, dass ihre höheren Glieder bei der Differentiation grosse Multiplikatoren erhalten³¹ 32 33 34). Die Verkennung dieser Verhältnisse hat namentlich in der Meteorologie vielfach zu unrichtigen Angaben über die Lage der Extrema geführt, bis H. Wild mit dem Unwesen aufräumte⁵⁸).

11. Berechnung des Ganges einer periodischen Erscheinung während einer längeren Periode aus Mittelwerten für kürzere Zeiträume. Häufig sieht man sich bei der Diskussion des Ganges einer Erscheinung während einer längeren Periode (z. B. während eines Jahres) veranlasst, aus den beobachteten Werten yv zunächst Mittelwerte Yv für kürzere Zeiträume (z. B. Monate) zu bilden und aus diesen erst den Gang für den längeren Zeitraum abzuleiten. Vielfach geschieht das dadurch, dass einfach die Y durch die BesseVsehe Formel dargestellt werden; doch hat schon A. Bravaisu) darauf aufmerksam gemacht, dass die richtige Formel vielmehr ist:

52) L. Grossmann ²⁰), p. 3.

42

\] Ublt

y-Z—rv*

p sin —

p

unter R f die aus den Y berechneten Werte verstanden, unter p die Anzahl der in dem längeren Zeitraum enthaltenen kürzeren Zeiträume. Die Amplituden der einzelnen Komponenten werden also durch die Verwendung von

ihre Ordnungszahl ist. Man kann übrigens auch die yv aus den Yv durch parabolische Interpolation ableiten; J. D. Forbes erhält so die Formel⁵⁵):

(31)

(13) statt (31)

Rompit —t^),

um

so stärker verringert, je höher

(32)

y,-K = j{Y,

+ r,₊₁)}.

In der meteorologischen Litteratur ist diese Frage noch mit einer anderen verquickt: die bürgerlichen Monate sind ungleich lang, man darf also Beobachtungen, die zu ihren Mitten gehören, nicht als genau äquidistant ansehen⁵⁶). Eine strenge Behandlung dieser Frage geben G-. Stokes™) und A. Angot⁵⁸); übrigens lässt sie sich auch durch parabolische Interpolation behandeln⁵⁹), oder dadurch, dass man die Kurve während dreier aufeinander folgender Monate durch eine einfache Sinuslinie ersetzt⁶⁰). Endlich kann man auch statt der gesuchten Funktion zuerst ihr unbestimmtes Integral entwickeln, dessen Werte für die

geraten und immer wieder von neuem entdeckt worden: J. Lamont, Münch. Sternw. Ann. Suppl. 3, 1859, § 19, p. XLII; J. D. Everett, Edinb. N. Philos. J. 14 (1861), p. 30, 33; Amer. J. of sei. (2) 35 (1863), p. 29; 36 (1863), p. 176; G. V. Schiaparelli, Milano effem. 1867, app. Nr. 39, p. 30; A. Krüger, Astr. Nachr. 82 (1873), col. 333; W. Ferrel, U. S. survey report 1874, app., Nr. 161, p. 158; T. B. Bobinson, Lond. Trans. 165 (1875), p. 421 ; K. Weihrauch, Meteor. Zeitschr. 18 (1883), p. 24; V. N. Nene, Lond. Roy. Proc. 36 (1884), Nr. 27, p. 381; B. Sresnewshij, Repert. Meteor. 12 (1889), kleinere Mitt. p. 1 ; L. Grossmann ²⁰), B p. 11 ; A. Schuster, Lond. Roy. Proc. 61 (1897), p. 459.

55)    Edinb. Trans. 22 (1861), Nr. 55, p. 346. Dieselbe Formel geben F. Plantamour, du climat de Genève, Genève 1863, § 3, p. 39 und J. Kleiber, Repert. Meteor. 13 (1890), kleinere Mitt. p. 2 in der Bezeichnungsweise der Differenzenrechnung.

56)    Über die aus einer solchen Annahme entspringenden Fehler vgl. K. Weihrauch, Dorp. Ber. 8 (1889), p. 18 (vom Nov. 1885).

57)    Bei T. B. Bobinson, Lond. Trans. 165 (1875), p. 425. Bobinson findet das Verfahren zu mühsam und begnügt sich daher mit einem angenäherten.

58)    Par. Ann. météor. 1887 (1889), p. 228.

59)    Plantamour ⁵⁵); E. L. De Forest, Amer. J. of sei. 91 (1866), p. 371; Weihrauch ⁵¹); Angot ⁶⁸), p. 232. Plantamour stützt auf seine Formeln ein Verfahren successiver Approximation.

60)    E. L. De Forest, Amer. J. of sei. 92 (1866), p. 154; K. Weihrauch⁵¹), p 34 („goniometrische Interpolation“).

Monatsenden sich sofort aus den unkorrigierten Monatsmitteln ergeben; aus seinem allgemeinen Ausdruck sind dann seine Werte für äquidistante Argumente zu entnehmen; deren Differenzen können als äquidistante Mittelwerte angesehen werden³⁵).

12. Verwendung der trigonometrischen Interpolation zu mechanischer Quadratur. Berechnung der Koeffizienten trigonometrischer Entwickelungen aus möglichst wenig Beobachtungen. Aus den Entwickelungen von Nr. 4 geht hervor, dass die Formel mechanischer Quadratur

27t

0

(33)

genau richtig ist, wenn in der Entwickelung der Funktion f(t) nach den Cosinus und Sinus der Vielfachen von t keine Glieder mit einem niedrigeren Vielfachen von t als dem w/2ten Vorkommen, und dass im anderen Fall der Fehler der Formel (33) durch die erste Gleichung (19) gegeben wird³⁶). Doch ist damit nichts gewonnen, was über die elementaren Quadraturformeln hinausginge. Ein zu den Gauss’ sehen mechanischen Quadraturformeln (II A 2, Nr. 52, Voss; II A 11, Burkhardt) analoges Resultat hat für die trigonometrischen Entwickelungen zuerst Br. Bronwin62a), dann aus einem etwas allgemeineren Ansatz durch Spezialisierung F. G. Mehler³⁷) abgeleitet; die Gleichung:

(2 v -j- 1)%

dx =

71

Jf(cos t)dt = ~ 0

IZĄ

r — 1

y i — x²

ist genau richtig, wenn f(x) eine ganze rationale Funktion von nicht höherem als dem (2n — l)tea Grade bedeutet. Eine einfache Ableitung dieses Resultats mit Hülfe der Identität:

cos n (arc cos x)

Yx² — 1

giebt F. Tisserand³⁸). Zu derselben Formel gelangt auch P. L. Tsche-

(35)

1 d cos n (arc cos x) n -f-1

dx

+ 0*-¹)

byscheff^), ebenfalls durch Spezialisierung eines allgemeinen Ansatzes, indem er die Frage beantwortet: wie müssen die Argumente av gewählt werden, damit jedes Integral der Form (34) möglichst genau durch (36)

V = 1

dargestellt werde. Ausserdem zeigt er auch⁶⁶), wie diese Argumente gewählt werden müssen, damit die Gleichung

/in    2 m    •.

(37)

xdx — A

'r = l    r=m-f-1    '

möglichst genau richtig wird. Damit ist eine Formel zur Berechnung des Koeffizienten Ax in der trigonometrischen Entwickelung von /“(cos t) gewonnen; eine Andeutung Tschebyscheff’s⁶⁷), wie man von hier aus auch zu Formeln für die Koeffizienten der übrigen Cosinusglieder gelangen könne, ist später von B. Radau⁶⁸) näher ausgeführt worden. C. Bosse⁶⁹) gewinnt nach der Methode von Tschebyscheff noch die beiden Näherungsformeln:

(38);

1

J* Y1 — x² fix) dx

7t    . o vn j,    /vn\

n2, Sm ^fCoa{A’

r=l

jVrÄf(x)dx =

v — l

+ T 2^

V—l

471

V 7t

2w + 1

COS

2v7t

2 n -f- 1

)■

Die Verwendung der allgemeinen Gleichungen (20) bis (23) zur Integration bespricht B. Baillaud⁷⁰). Er leitet zunächst die Rela-lation ab: von Jacobi her, beruht wohl nur auf einem Missverständnis eines auf (35) sich beziehenden Citâtes bei Mehler. Ausführlichere Darstellung von Tisserand’s Schlüssen bei Ch. Hermite, Cours d’analyse de l’éc. polyt., Paris 1873, p. 452.

65) Assoc, franç. 2 (1873), p. 60; J. de math. (2) 19 (1874), p. 19.

66) Nr. 8, p. 29.

67) Nr. 10, p. 34.

68)    Par. C. R. 90 (1880), p. 520; J. de math. (3) 6 (1880), Nr. 19, p. 319. Radau giebt Nr. 15, p. 316 auch einen einfachen Beweis der Formel (34), indem er für /’(cos t) speziell cos ht, (h—1, 2, . . ., 2n — 1) setzt.

69)    Nouv. ann. (2) 14 (1875), Nr. 3, p. 55; reproduziert sur quelques applications des fractions continues, Petersburg 1886, 4s, p. 71. — Eine ähnliche Formel für eine sehr grosse Zahl von Zwischenwerten leitet G. Bauer, Hab.-Schr. München 1857, p. 47, durch Grenzübergang aus der Gcwss’schen Quadraturformel ab.

70) Toulouse observ. ann. 2 (1886), B, Nr. 8, p. 9.

in der s die Summe aller uv, sp die Summe von irgend p unter ihnen bezeichnet und die Summation über alle möglichen Kombinationen der ccv zu erstrecken ist. Die Anwendung auf das Quadraturproblem giebt zunächst nur die elementarste Quadraturformel. Wird verlangt, die Zwischenwerte bei vorgeschriebener Anzahl derselben so zu wählen, dass der Fehler möglichst klein wird, so ergiebt sich, dass sie jedenfalls äquidistant gewählt werden müssen. Dann fallen nämlich die n ersten Vielfachen weg, wenn man die Differenz zwischen dem wahren und dem angenäherten Funktionswert, geteilt durch das in (39) auftretende Produkt, nach den ungeraden Vielfachen von tß entwickelt. Geht man von (23) aus, so kommt man auf die Gauss-sche Quadraturformel³⁹); geht man von (22) aus, auf das Resultat von Mehler⁶³). Baillaud findet übrigens, dass bei der gebräuchlichen Wahl av — VTtfn das erste Korrektionsglied abgesehen vom Vorzeichen merklich denselben Wert hat, wie bei Mehler’s Formel⁴⁰).

Begnügt man sich mit einem um zwei Einheiten geringeren „Genauigkeitsgrad“, so erhält man, wie B. Badau⁴¹ 42) zeigt, die Formeln:

Ht«“¹*}

(40)

J f(cos t)dt = ~ jy/■(!) + 2 f{cos T

und:

2 Tt 2 n

(39)

SU

0

sin —-~dt —

(sp)

(41)    ff (cost) cost dt

Tt

2w4-l^J

¹ v = 0

cos

(2v + 1)«

2w+ 1

cos

2n + 1

)-d

cos

(2 n 2 v -j- 2) n

2 n -j- 1

ff

Entsprechende Formeln, die nur die eine Endordinate enthalten, finden sich bei A. Markoff¹¹).

A. Dawidoff⁴³) gelangt noch durch einen anderen Ansatz zu Formel (38): Ist f(x) eine rationale ganze Funktion vom Grade 2n und wird

n—l

(42)

f(x) = f\(x) cos (n arc cos

72) Nr. 28, p. 35.

gesetzt, so ergiebt sieb zunächst:

—i

f(x) dx

yi — X²

n

J fx(cos t) cos ntdt -f- ^ cv j

J    r = 0    t/

0

cos¹' t cos ntdt,

und da in der Summe rechts alle einzelnen Integrale null sind, so ist damit ebenfalls die Integration eines (2n -f- l)-gliedrigen Ausdrucks auf die eines (n -f- l)-gliedrigen zurückgeführt.

13. Trigonometrische Interpolation von Funktionen zweier Argumente geschieht durch wiederholte Anwendung der für Funktionen eines Argumentes geltenden Formeln („doppelte mechanische Quadratur“ bei den Astronomen). Sie ist schon von Bessel¹⁶) gestreift, dann von Hansen empfohlen⁷⁷) und in ausgedehntem Umfang angewendet worden⁷⁸). Auch Cauchy¹⁶) und Leverrier⁸⁰) haben sich mit ihr beschäftigt; Jacobi verhält sich ablehnend gegen sie⁴⁴).

Sollen nur einzelne Terme oder Gruppen von Termen in einer solchen Entwicklung bestimmt werden, etwa die zu einem bestimmten Argument jt,—jL Çx (j, jx relativ prim) und seinen Vielfachen gehörenden, so kann man mit Liouville81a‘) neue Variable:

j £    ji ti ⁼⁼ Q} t ⁼⁼ ji &

einführen und damit die zu entwickelnde Funktion auf die Form bringen :

Ł) = A    + cp,

in der cp die Gesamtheit der von <5 nicht freien Glieder bezeichnet. Wird F zunächst nach Vielfachen von 6 entwickelt: so ergiebt sich:

76) Berl. Abh. 1820/21, p. 55; Astr. Nachr. 6 (1828), col. 346 (Ges. Abh. 2,

p. 362, 371).

77)    Astr. Nachr. 7 (1829), Nr. 25, col. 473.

78)    Über die gegenseitigen Störungen des Jupiters und Saturns, Preisschr. Berl. 1831, Nr. 13, p. 49. Hansen bemerkt, dass es sich unter Umständen empfiehlt, nicht direkt nach den Vielfachen der beiden gegebenen Argumente, sondern nach denjenigen geeigneter linearer Verbindungen von ihnen zu entwickeln.

79)    Turiner Me'm. ²⁴), § 3, Gl. (61) ff., p. 122; Par. C. K. 20 (1845), p. 825 (Oeuvres (1) 9, p. 141.)

80)    Par. Observ. ann. 1 (1855), Nr. 23, p. 117; Nr. 38, p. 147.

81)    Nachlass (von 1843?); Werke 7, p. 288.

81a) J. de math. 1 (1836), Nr. 5, p. 201.

Man kann auch noch weitere Glieder nach diesem Verfahren berechnen81 b); ist:

l = md -j- nt, -f-irgend ein weiteres Argument und wird

¹

   Ob (12) oder (13) vorzuziehen sei, darüber ist gestritten worden; (12) ist bequemer zu berechnen, (13) bequemer zu benutzen.

²

   Königsb. Beob. 1 (1815), p. III (Ges. Abh. 2, p. 24). Ein Hinweis auf die praktische Zweckmässigkeit solcher Formeln für die Darstellung periodischer Naturerscheinungen schon in einer Rezension BesseVs, Jenaische Litteraturz. 1814⁴, p. 412 (Rezensionen, p. 190). Vgl. auch Bessel's Brief an Gauss vom Dez. 1813, Briefwechsel p. 182, 187.

³

   Die aus den Formeln (15) hervorgehende Eigenschaft der „wahrscheinlichsten“ Werte der Koeffizienten, dass sie unabhängig sind von der Anzahl der Glieder, die man berücksichtigen will, ist von Bessel ausdrücklich ausgesprochen worden und z. B. den Meteorologen immer geläufig geblieben. In anderen Kreisen ist sie in Vergessenheit geraten und für den Grenzfall n — oo, in dem Integrale an Stelle der Summe treten, von G. Plarr (Par. C. R. 44 (1857), p. 984), dann von A. Töpler (Wien. Akad. Anzeiger 1876, p. 205), endlich von Kirsch (die Bewegung der Wärme in den Cylinderwandungen der Dampfmaschine, Leipzig 1886, Nr. 6, p. 25) von neuem entdeckt worden. Sie gilt übrigens nur, solange die Anzahl der Gleichungen nicht kleiner als die der zu bestimmenden Koeffizienten ist, was zuweilen übersehen worden ist (z. B. noch ganz neuerdings von M. Lévy, Théorie des marées 1 (1898), Nr. 48, p. 78). Namentlich ist, wenn aus einer geraden Anzahl von Beobachtungen n= 21 eine ebenso grosse Anzahl von

⁴

   Werke 3, Nr.20, p. 295; (aus dem J. 1805, vgl. Briefwechsel mit Olbers, p. 281, 286). Gauss setzt voraus, dass das Beobachtuugsintervall ein aliquoter Teil der Periode sei, aber nicht, dass eine Beobachtung auf den Anfang der Periode falle.

⁵

   Théorie analytique de la chaleur, Paris 1822, Nr. 271 (Oeuvres 1, p. 287 ; die bez. Untersuchungen gehören nach Fouriers’s eigener Mitteilung Par. mém. 1821/22 (26), (Oeuvres 2 p. 94) zu seinen ältesten, fallen also vor 1807). Bei S. D. Poisson steht J. éc. polyt. cah. 19 (1823), Nr. 62, p. 444 und Theorie de la chaleur, Paris 1835, Nr. 101, p. 200 nur Lagrange's Formel (11).

⁶

Kirsch, ¹⁵) Nr. 7, p. 29; auch P. Schreiber's näherungsweise Berechnung der Koeffizienten (N. A. Leop. 58 (1892), I B, p. 152) kommt auf die Trapezformel hinaus. — Man sieht aus der Vergleichung beider Arten von Formeln deutlich, dass man die aus n Beobachtungen berechneten Koeffizienten sicher nur soweit als zuverlässig betrachten kann, als die Faktoren (18) nicht wesentlich von 1 verschieden sind; das ist nicht immer beachtet wurden, z. B. nicht in der Diskussion über den täglichen Gang der Temperatur ⁴⁶) und auch nicht, in der Polemik Hermann-Lindelöf¹⁶).

⁷

   Die Formeln für die A schon bei Euler, Petrop. N. Acta 11 (1793) (98), Nr. 28, p. 111 (von 1777); auch die für die B bei Gams ¹⁷), Nr. 21, p. 298; neuerdings bei Helmert ¹⁵); K. Weihrauch, Dorp. Schriften 4 (1888), p. 33; L. Grossmann, Hamb. Seewarte Arch. 17ö(1894), p. 1. (Bei AZ”. Bruns, Grundlinien ¹⁵), § 83, p. 116 die Gleichung für Al richtig, nur die Bezeichnung anders.)

⁸

   Münch. Abh. 3 (1843), p. 82.

⁹

   Voyages de la commission scientifique du Nord, publiés sous P. Gai-mard, météorologie t. 2, Paris o. J. [zwischen 1844 und 1848], p. 305.

¹⁰

   B. A. Gould, Amer. J. of sei. 119 (1880), p. 212; L. Grossmann ¹⁷) p. 3. A. Æppoldt jun. (Zeitschr. math. Unterr. 29 (1898), p. 401; weniger schroff Hamb. Seewarte Archiv 26 (1903), p. 3) stellt die letztere Auffassung als die „meteorologische“ der ersteren als der „mathematischen“ gegenüber.

¹¹

   Extrait du mém. prés, à l’acad. de Turin le 11. oct. 1831, Turin 1832 (lith.), p. 117; ital. opuscoli mat. e fis. di diversi autori 2 (1834), p. 99 des S.-A. Dann Par. C. R. 12 (1841), p. 290; Oeuvres (1) 6, p. 69.

¹²

   Berl. Abh. 1827 (30), § 7, p. 101.

¹³

   Dorp. Schriften 4 (1888), p. 15, 41.

¹⁴

   Wien. Ber. 1002a (1891), § 2, p. 655.

¹⁵

   A. Cauchy, Par. C. E. 12 (1840), p. 290 (Oeuvres (1) 6, p. 69); Gauss ¹⁷) Nr. 10, p. 279. — H. Bruns (Grundlinien 1S), § 91, p. 129) stellt die Frage, wie man durch zweckmässige Wahl der Termine a, b, c, . . . den Einfluss der Beobachtungsfehler auf die Eesultate herabdrücken könne.

¹⁶

   Diese von Gauss nur postulierte Eechnung wird von K. Weihrauch durchgeführt, Dorp. Schriften 4 (1888), p. 2. Er behandelt auch speziell den Fall, dass man ausser einer vollständigen Serie äquidistanter Beobachtungen noch einige überzählige hat (ib. II 1, p. 33).

¹⁷

   Gauss, Nr. 11, p. 281. Eine einfache Ableitung dieser Formel aus (20) bei B. Baillaud, Toulouse observ. ann. 2 B (1886), Nr. 9, p. 11.

¹⁸

   Gauss, Nr. 16, p. 290.

¹⁹

   Petersb. mém. (7) Is, 1859; Auszug Petersb. Bull. 16 (1858), col. 353 (Oeuvres 1, p. 385, 711). Erläuterungen und Beispiele auch bei P. Badclund, Petersb. Bull. 28 (1884), col. 477; P. Harzer, Astr. Nachr. 115 (1886), col. 337; B. Badau, Bull, astron. 8 (1890) (auch sep. Paris 1891), Nr. 34, p. 425.

²⁰

   Astr. Nachr. 146 (1898), col. 161; übersichtlicher Grundlinien ¹⁶), § 93, p. 130. Dort auch § 98, p. 136 Erörterung der Frage, welchen Einfluss Fehler der Funktionswerte auf die nach (25) berechneten Koeffizienten haben (der Fehler reduziert sich erst bei Bildung von (25), nicht schon in (24)).

²¹

   Tabelle der Logarithmen dieser Hülfsgrössen 1865, p. 146; ausführlicher 1875 auf besonderen Tafeln.

²²

   Ann. éc. norm. (2) 8 (1879), p. 232.

²³

   Lehrbuch der Meteorologie 1, Halle 1831, p. 67.

²⁴

   Astr. Nachr. 6 (1828), col. 333 (Ges. Abh. 2, Nr. 5, p. 368). Ähnlich ver

²⁵

fährt auch G. D. E. Weyer, Ann. der Hydrogr. 16 (1888), p. 85. Eine Modifika-

²⁶

Dubl. Trans. 22 (1849), Nr. 3, p. 63 (Auszüge Dubl. Proc. 4 (1850), p. 80;

²⁷

   Zusammenstellung solcher Formeln und Vergleich ihrer Resultate mit den aus zahlreicheren Beobachtungen (manchmal allerdings aus selbst schon interpolierten!) abgeleiteten geben L. Fr. Kämtz, J. Chem. Phys. 47 (1826), p. 393; JET. Dove, Beri. Abh. 1846 (48),,phys. Kl., p. 102; Ch. Dewey, Smiths Report. 1857, p. 310; 1860, p. 413; J. Edlund, Stockh. meteor. Iaktt. 1 (1859), p. XII;

G.    Cantoni, Meteor, ital. 1867, suppl., p. 45; 1869, suppl., p. 86; W. Koppen, Re-pert. Meteor. 3⁷ (1873); K. Jelinek, Wien. Denkschr. 27 (1867), Tafel V, p. 118;

H.    Wild, Repert. Meteor. Suppl. 1, 1881, Tabelle V, p. XLVII (Erläuterungen p. 151, 166); am ausführlichsten Fr. Erk, Münch. Abh. 14 (1883), p. 175 (Auszug Meteor. Zeitschr. 19 (1884), p. 254).

²⁸

   Dorp. Schriften 4 (1888), II 1, Nr. 4, p. 26. Bei Benutzung von Weihrauches Resultaten würde zu beachten sein, dass seine Schlüsse die genaue Dar-stellbarkeit der betr. Erscheinung durch die BesseVsehe Formel mit der betr. Gliederzahl voraussetzen; er erwähnt das hier nicht noch einmal ausdrücklich, weil er diese Voraussetzung durchgängig macht.

²⁹

   F. G. Teixeira, Nouv. ann. (3) 4 (1885), p. 351 ; F. Diestel, Diss. Gott. 1890.

³⁰

Dorp. Schriften 5 (1890), IY 3, p. 68.

³¹

53)    Repert. Meteor. Suppl. 1, 1881, (77), p. 96 (Auszug Meteor. Zeitschr.

³²

13 (1878), p. 108, 129). Eine dort p. 98 zitierte Bemerkung von Behrens aus früherer Zeit war mir nicht zugänglich. Ähnlich P. Schreiber, Leop. N. A. 58 (1892), p. 206, 210; dagegen B. A. Gould, Amer. J. of sei. 119 (1880), p. 213.

³³

   Voyages ²²), P- 321, 324. Die Sache ist wiederholt in Vergessenheit

³⁴

Encyklop. d. math. Wissensch, II.

³⁵

   K. Weihrauch, Dorp. Schriften 5 (1890), III, p. 45 (mit Tabellen der Logarithmen der auftretenden Zahlenkoeffizienten). Bin abgekürztes Verfahren zur Bestimmung der ersten Koeffizienten bei L. Grossmann ²⁰), B 3, p. 16.

³⁶

   JE. Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, 2. Aufl., 2, Berlin 1881, 62a) Phil. mag. 34 (1849), p. 262.

³⁷

   J. f. Math. 63 (1864), Nr. 4, p. 156. H. Bruns (Grundlinien, § 81, p. 113) bemerkt, dass man bei Benutzung von (34) für eine gerade Funktion und das Intervall (0 . . . 2«) doch nur eine Ordinate weniger zu berechnen braucht, als bei Benutzung von (33) mit doppelt so grossem Wert von n.

³⁸

   Par. C. R. 68 (1869), p. 1101. Tisserand's Angabe, die Formel (34) rühre

³⁹

Nr. 27, p. 34.

⁴⁰

73)    J. de math. (3) 6 (1880), Nr. 16, p. 317; Nr. 17, p. 318.

⁴¹

74)    Differenzenrechnung (Petersb. 1891), deutsch von Friesendorff und Prümm,

⁴²

§ 22, p. 94, Leipzig 1896.

⁴³

   J. de math. (3) 8 (1882), Nr. 11, p. 407.

⁴⁴

b) H. Burrande, Thèse Paris 1864, Nr. 4, p. 56 ; vgl. auch die Darstellung bei J. Eoüel, Prag Archiv 1 (1875), § 3, p. 30 des S.-A.

81c) Burrande, Nr. 8, p. 63.

cp    + x

gesetzt, wo jetzt x die Gesamtheit derjenigen Glieder bezeichnet, deren Argumente sich weder auf die Form noch auf die Form bringen lassen, so erhält man

(»)•

«i i-nh

S= e

Für jeden bestimmten Wert von 6 können die C nach einer der besprochenen Methoden berechnet werden; variiert man 6, so kann man die erforderliche Anzahl von Gleichungen zur Bestimmung der A und der jB erhalten. Bedient man sich dabei der Methode von Leverrier (Nr. 7), so kann man es so einrichten⁸¹⁰), dass man für alle verschiedenen 0 immer dieselben Werte der ursprünglichen Variahein, nur in anderer Reihenfolge, zu benutzen hat.

II. Separation mehrerer bekannter Perioden.

14. Vorbemerkungen, insbesondere über theoretische und praktische Kommensurabilität. Für die Auffassung einer grossen Klasse von Erscheinungen ist ein Satz fundamental, den zuerst P. S. de Laplace bei seinen Untersuchungen über Ebbe und Flut¹ 2) ausgesprochen zu haben scheint: Die durch eine periodisch wirkende Kraft erzwungenen Schwingungen eines Systems haben dieselbe Periode wie die Kraft seihst; nur ihre Amplitude und ihre Phase hängen von Nebeneinflüssen (Dämpfung) ab. Andererseits besagt ein Superpositionsprinzip, das, soviel ich sehe, zuerst von J M. C. Duhamel⁹³) allgemein formuliert worden ist: Die Wirkungen zweier verschiedener Kräfte, die von den Koordinaten unabhängig sind, addieren sich einfach, wenigstens solange nur kleine Schwingungen in Betracht kommen. Auf Grund dieser beiden Prinzipien lassen sich eine grosse Klasse

83) J. éc. polyt. cah. 23, 1834 (vom Apr. 1832), p. 4.

von Erscheinungen durch Superposition von periodischen Termen verschiedener Perioden darstellen.

Hat man nur mit zwei Komponenten von den Perioden a, b zu thun, so sind theoretisch zwei Fälle zu unterscheiden: Sind a und b zu einander kommensurabel, d. h. ist ihr Verhältnis gleich dem von zwei ganzen Zahlen m, n, so haben sie auch ein gemeinsames Vielfaches

co — na — mb;

eine Erscheinung, die sich aus zwei solchen Komponenten super-poniert, kann dann einfach als Erscheinung von der Periode co angesehen und nach den bisher besprochenen Methoden behandelt werden. Sind aber a, b zu einander inkommensurabel, so giebt es kein solches co, die zusammengesetzte Erscheinung ist dann gar nicht periodisch im strengen Sinne des Wortes.

Praktisch stellt sich diese Unterscheidung etwas anders. Lässt sich das Verhältnis von a zu b nur durch zwei grosse ganze Zahlen ausdrüeken, so wird co ein sehr langer Zeitraum; infolge dessen werden meistens gar nicht Beobachtungen über eine volle Periode co zur Verfügung stehen. Man wird dann praktisch auf die noch zu besprechenden Methoden angewiesen sein. In solchen Fällen könnte man von praktischer Inkommensurabilität der beiden Perioden a und b sprechen⁸⁴).

Für eine grössere Anzahl von zu superponierenden Perioden gilt natürlich entsprechendes.

15. Elimination von säkularen Störungen. Der einfachste hier in Betracht kommende Fall ist der, dass a und b so sehr von einander verschieden sind, dass man den Einfluss der längeren Periode während der Dauer der kürzeren als säkular behandeln, d. h. durch eine lineare Funktion der Zeit darstellen kann. Das triât z. B. zu, wenn die Darstellung des täglichen Ganges eines meteorologischen Elements von dem Einfluss des jährlichen Ganges befreit werden soll. Ist yv der um v Uhr beobachtete Wert, so wird yu nicht mit y₀ übereinstimmen. Das Nächstliegende würde nun sein, dass man die Zunahme yu — Do gleichmässig auf die 24 Tagesstunden verteilte, also yv durch

(45)

Vo)

y'v    24 (^24

ersetzte. Das geschieht auch vielfach⁸⁵). Doch hat schon A. Bravais⁸⁶)

84)    In der geophysikalischen und kosmophysikalischen Litteratur findet sich diese Unterscheidung zwischen theoretischer und praktischer Inkommensurabilität nicht; vgl. aber etwa F. Klein, Anwendung der Diff.- u. Int.-R., Leipzig 1902, p. 22.

85)    Z. B. bei G. V. Schiaparelli, Mil. elfem. 1868, app. (mir nur durch M. Fajna, darauf aufmerksam gemacht, dass hei diesem Verfahren auch das Tagesmittel geändert wird; berechnet man dieses, wie Bravais es thut, nach der Formel:

(46)

so ist yv durch

(47)

Vv H--24    O/24 — 2/0)

zu ersetzen, wenn der jährliche Gang aus dem täglichen eliminiert werden und dabei zugleich das Tagesmittel ungeändert bleiben soll. Das von J. Lamont vorgeschlagene und vielfach nach ihm benannte Verfahren⁸⁷) unterscheidet sich von dem Bravais'scheu nur dadurch, dass Lamont das Tagesmittel nach der Formel

(48)

M (ÿl +    ‘ ‘ 4“ 3fes "f" %4)

berechnet; infolge dessen tritt bei ihm nicht (12 — v) (yu— y₀), sondern (12,5 — v) (y₂₅ — yx) als Faktor in der Formel (47) auf. Würde man das Tagesmittel, wie in der harmonischen Analyse der Gezeiten zuweilen geschieht, nach der Formel:

(49)

25 (2/0 + Vx -f- y% 4- • • • + 2/23 + y%ù

berechnen, so würde 12 — v im Zähler und 25 im Nenner als Faktor auftreten. Genauer als das Bravais-Lamont'sehe Verfahren, das zur Bestimmung des Einflusses des jährlichen Ganges nur die erste und letzte der täglichen Beobachtungen benutzt, würde die Berechnung einer den Beobachtungen sich möglichst anschliessenden linearen Funktion unter Benutzung sämtlicher Beobachtungen sein⁸⁸).

jR. Strachey⁸⁹) giebt auch entsprechende Korrektionen für die

Mil. osserv. pubbl. 26 (1884), p. 15 bekannt). Schiaparelli und G. Celoria berichten Meteor. Ital. 1 (1867), suppl. Nr. 8, p. 2 des S.-A., dass sich solche Korrektionen in nachgelassenen Rechnungen von Fr. Carlini finden.

86)    Voyages ²²), p, 325 („préparation préliminaire des moyennes horaires“).

87)    Münch. Sternw. Ann. Suppl. 6 (1868), §4, p. VII. 11,5 bei Lamont statt 12,5 ist ein Versehen; es würde richtig sein, wenn man nach

24 (2/0 + V\ + 2/a + • • • + Va + 2/ss)

(48 a)

rechnen wollte. In der meteorologischen Litteratur wird übrigens häufig Lamont citiert, dabei aber nach Bravais gerechnet.

88)    B. Wolf, Astr. Mitt. 2 (1856), p. 17 benutzt für das analoge Problem der Elimination des elfjährigen Ganges der Sonnenflecken aus dem jährlichen die Methode der kleinsten Quadrate. In den zahlreichen Fällen, in welchen die Beschaffenheit des Beobachtungsmaterials die Anwendung dieser Methode weder gestattet noch fordert, würde vielleicht die Benutzung der Cauchy'sehen Interpolationsmethode (vgl. I D 3, Nr. 11, Bauschinger, sowie II A 11, Burkhardt) zu empfehlen sein.

89)    Lond. Roy. Proc. 42 (1887), Nr. 7, p. 67; Hourly readings from the self-

Berechnung der übrigen Koeffizienten der den täglichen Gang darstellenden BesseVsehen Formel.

Ein Verfahren, das zur Elimination nicht nur säkularer, sondern auch beliebiger anderer Störungen aus einer bekannten Periode dienen soll, giebt N. Ekholm⁹⁰): Wären keine Störungen vorhanden, so wären bei der graphischen Darstellung von y = f(t) die Verbindungslinien von Punkten derselben Phase in aufeinander folgenden Perioden alle zur Abscissenaxe parallel; infolge der Störungen ist das nicht der Fall. Ekholm dreht daher alle diese Verbindungslinien der Reihe nach um ihre Mittelpunkte, bis sie zur Axe parallel werden; dabei lässt er jedesmal die zwischenliegenden Ordinaten der Bewegung folgen, sodass sie ihrem Abstand vom Drehpunkt proportional verlängert oder verkürzt werden. Die rechnerische Durchführung dieser Idee wäre sehr mühsam. Ekholm benutzt daher ein abgekürztes Verfahren, bei dem einfach jeder Ordinate diejenige Zahl als Gewicht beigelegt wird⁹¹), die angiebt, wie oft sie bei dem ersten abgeändert werden müsste. Später⁹²) modifiziert er dieses Verfahren noch etwas, indem er die Beobachtungen auf verschiedene Art zu Gruppen zusammenfasst.

16. Separation zweier Perioden von gleicher Grössenordnung.

Setzt sich der Ausdruck einer Funktion:

(50) f{t) — Ax cos nx t -j- Bx sin nx t -|~ A₂ cos n₂1 -f- B% sin n₂1

aus zwei einfach periodischen Gliedern zusammen, deren Perioden von der gleichen Grössenordnung sind, so kann man eine von einem Ausschuss der British Association for the advancement of sciences zur harmonischen Analyse der Gezeiten⁹³) entwickelte Methode verwenden. Man kann nämlich den Ausdruck (50) auch ersetzen durch⁹⁴): recording instruments of the four stations under the meteor, council 1884, London 1887, appendix.

91) p. 83.

90) Meteor. Zeitschr. 20 (1885), p. 81.

92)    ib. 23 (1888), Nr. 2, p. 54; Anwendungen dieser Methode zusammen mit Sv. Arrhenius, Stockh. Handl. Bihang 19⁸ (1894), p. 19.

93)    Von den verschiedenen Berichten dieses Ausschusses giebt der erste, von W. Thomson redigierte (Brit. Ass. report for 1868, p. 489) nur eine knappe Darstellung der angewandten Rechnungsmethoden; in einem folgenden, von E. Boberts redigierten, wird sie mit einigen Abänderungen wiederholt, die sich inzwischen als zweckmässig herausgestellt hatten (ib. for 1872, p. 355). Ausführlicher, aber immer noch knapp ist ein von Gr. H. Darwin redigierter Bericht eines späteren Ausschusses (ib. for 1883, p. 49; Berichtigungen ib. for 1884, p. 35); man wird daher die Erläuterungen von C. Borgen (Ann. der Hydrogr. 12, 1884; auch sep. Berlin 1885), von Ph. Hatt (ann. hydrogr. 1893; auch sep. Paris 1893), von B. Harris, U. S. coast survey report f. 1897, app. 9, Kap. V, p. 537 oder von M. Lévy, Théorie des marées 1, Paris 1898, chap. 4, p. 68 mit Vorteil zuziehen.

{Ax A₂ cos (% — n₂)t — B₂ sin (nx — n₂) t} cos nx t -j- {Bt -f- A₂ sin (nt — n₂) t -)- JB₂ cos (nx — n₂) £} sin nxt,

(51)

m. a. W. man kann ihn anseh en als äquivalent einer einfachen Schwingung von der Schwingungszahl nx mit langsam veränderlicher Amplitude und Phase. Man braucht also, um Ax und Bx zu finden, nur von einer grossen Anzahl Perioden 2njnx die Amplituden und Phasen zu berechnen und Mittelwerte zu nehmen; man erhält so genaue Resultate, wenn der Beobachtungszeitraum ein ganzes Vielfaches von 2nj{nx — n₂) ist, wenigstens annähernd richtige, wenn er nur überhaupt gross ist⁹⁵).

Um dieses Verfahren zur Ermittelung einer bestimmten Komponente anzuwenden, verfährt man am bequemsten so, dass man die Beobachtungen zunächst nach der Periode dieser Komponente ordnet; d. h. man nimmt alle diejenigen Beobachtungen zusammen, deren Termine von einer bestimmten Phase vnfn der zu untersuchenden Periode um weniger als %j2n nach der einen oder anderen Seite bin abstehen⁹⁶).

Während bei der Gezeitenanalyse von jeder Periode hauptsächlich nur der „Grundton“ und der erste „Oberton“ in Betracht kommen, die übrigen Obertöne nur eine untergeordnete Rolle spielen, fasst eine Untersuchung von Ch. und F. Chambers auch die Bestimmung der letzteren ins Auge, für den Fall von nur zwei von einander unabhängigen Perioden. Sind die Perioden kommensurabel, so kann man

Darwin’s neuer Bericht für 1896, sein Artikel im Manual of scientific inquiry der britischen Admiralität und A. W. Baird's Manual for tidal observations, Bond. 1886, waren mir nicht zugänglich.

94)    Darwin, p. 96; vgl. Borgen, § 8, p. 563, sowie die entsprechenden Bemerkungen von Ad. Schmidt, Wien. Ber. 96² (1887), p. 997. Genauere Vorschriften zur zweckmässigen Wahl des Beobachtungszeitraums bei Darwin im Bericht for 1885, Nr. 3 p. 37 ; 1886, p. 41, sowie bei Ferrel, U. S. coast survey report for 1878, app. 11, Nr. 15, p. 14 (reproduciert von Harris, ib. for 1897, Nr. 59, p. 545) und bei Lévy ⁹³), Nr. 45, p. 75.

95)    Korrektionen für den letzteren Fall bei Hatt, § 30, p. 59.

96)    Diese Anordnung wird durch die Benutzung von Schematen erleichtert, in denen man bestimmte Felder entweder überspringen oder doppelt besetzen muss, wenn die zu untersuchende Periode annähernd, aber nicht genau ein Vielfaches des Intervalls zwischen zwei aufeinander folgenden Beobachtungsterminen ist (Darwin §9, p. 92; Borgen §8, p. 508; Hatt § 29, p. 56 des S.-A.). Darwin trägt, wenn ein Feld doppelt zu besetzen wäre, nur die eine Beobachtung ein und überspringt die andere ganz; Borgen und Hatt ziehen die Doppelbesetzung

vor.

Der Umstand, dass durch dieses Verfahren nicht Terminbeobachtungen, sondern Mittelwerte benutzt werden, ist in der in Gl. (31) angegebenen Weise zir berücksichtigen.

natürlich gewisse Partialschwingungen sowohl als Obertöne der einen wie der anderen auffassen³).

Die periodischen Schwankungen der Polarlichter weisen eine Periode gleich dem synodischen Mondmonat auf, die aber wohl nur durch die verschiedenen Beleuchtungsverhältnisse bedingt ist. Man hat bald angenommen, dass dieser Einfluss sich einfach zu den übrigen Einflüssen superponiert⁴), bald dass er sich mit ihnen multiplikativ zusammensetzt⁵); die eine Annahme ist so wenig wie die andere mathematisch oder physikalisch begründet.

Ein von N. Elcholm und Sv. Arrhenius⁶) angegebenes Verfahren zur Trennung zweier sehr nahe gleicher Perioden S (z. B. synodischer Mondmonat) und T (tropischer Mondmonat) beruht auf der Einführung einer dritten Periode, die mit den beiden ersten durch die Relation :

(52)

T-¹ — S-¹ = S-¹ - U-¹

verbunden ist. S übt auf die Berechnung der Schwankung nach der Periode U denselben Einfluss aus, wie auf die nach der Periode £7; enthält die zu untersuchende Erscheinung keine wirkliche Komponente mit der Periode U, so erhält man durch die Rechnung diesen Einfluss, der dann auf T reduziert werden kann.

17. Verfahren in komplizierteren Fällen. Die harmonische Analyse der Gezeiten. Auch wenn mehr als zwei Komponenten neben einander Vorkommen, kann man sich des eben geschilderten Verfahrens bedienen; das geschieht z. B. in der harmonischen Analyse der Gezeiten für alle diejenigen Komponenten, deren Periode nahezu gleich einem Sonnentag oder einem Bruchteil desselben ist⁷). Ausserdem treten dort noch eine Anzahl von Komponenten auf, deren Perioden von der Grössenordnung eines ganzen oder halben Monats sind. Diese werden zusammen berechnet; und zwar braucht man dazu nicht alle einzelnen Beobachtungen zu benutzen, sondern es genügt die Berücksichtigung der Tagesmittel. Dazu müssen aber diese letzteren erst vom Einfluss der zuerst genannten Komponenten befreit werden;

das geschieht, indem für jede solche Komponente R cos (nt— £) von dem berechneten Mittelwert eine Korrektion („clearance of the daily mean") abgezogen wird, die einen der vier Werte R sin 12 n 24 sin-i-w

R sin 12 n 24 tgjw

R sin ^ n

(53)

(54)

(55)

(56)

25 sin iw -r, sin 12 n

R-

12 n

COS

cos (g + 12 n),

cos (g -f- 12 n)

cos;(g -f- 12 n)

hat, je nachdem das Tagesmittel nach (48 a), nach (46), nach (49) berechnet oder aus Aufzeichnungen von Registrierapparaten mit Hülfe des Planimeters gewonnen ist⁸). Ebenso wird die aus sämtlichen Beobachtungen abgeleitete Höhe des Mittelwassers subtrahiert; der übrig bleibende Rest wird der Summe der Wirkungen sämtlicher langperiodischer Komponenten gleichgesetzt und die so entstehenden Gleichungen werden nach den allgemeinen Vorschriften der Methode der kleinsten Quadrate (I D 2, Nr. 11, Bauschinger) aufgelöst; das geschieht hier bequem durch successive Approximationen, indem in den Normalgleichungen die Koeffizienten der Diagonalglieder alle übrigen stark überwiegen⁹).

18. Bestimmung der Komponenten aus Beobachtungen der Extrema allein. Der Fall, dass nicht fortlaufende stündliche Be-obachtungen vorliegen, sondern nur solche der Extrema (Hoch- und Niedrigwasser) nach Eintrittszeit und Höhe, ist namentlich von amerikanischen Schriftstellern behandelt worden, da man dort noch an diesem System der Gezeitenbeobachtungen festhielt, als man in England bereits zu stündlichen Beobachtungen und der darauf sich stützenden harmonischen Analyse übergegangen war. W. Ferrel¹⁰⁴) entwickelt zu diesem Zweck das Potential der gezeitenerzeugenden Kräfte nur soweit, dass in den Amplituden und Phasenkonstanten der einzelnen Terme noch Funktionen der Zeit mit einer Periode von einem halben oder einem ganzen Monat stehen bleiben (während die Engländer soweit entwickeln, dass die Ungleichheiten der Amplituden und Phasen nur noch Perioden von einem oder mehreren Jahren haben). Dann berechnet er aus den vier Beobachtungen jedes Tages die Höhe des Mittelwassers und die Amplituden und Phasenkonstanten der ganz-und der halbtägigen Komponente für diesen Tag¹⁰⁵); die so erhaltenen Werte entwickelt er als Funktionen der längerperiodischen Argumente durch Gruppenbildung. Dabei empfiehlt er¹⁰⁶), von vornherein die gefundenen Werte nach zwei Argumenten zugleich in eine Tafel mit doppeltem Eingang anzuordnen.

Später hat auch G. Darwin Untersuchungen über diese Frage angestellt¹⁰⁷).

Sind nur zwei Komponenten vorhanden, so kann man aus der beobachteten Höhe (50) und der Bedingung für den Eintritt eines Extremums:

(57)    0 = — n₁Al sin %£-(-%Bx cos ntt — n₂A₂ sin n₂t-f- n₂B₂ cosn₂1 zunächst Gleichungen der Form:

(58)    h cos nt — Ax -f- A%F -j- B₂ G, h sin n₁t = B₁ -f- A^f -f- B₂g

ableiten, in denen F, G, f g bekannte (langsam veränderliche) Funktionen der Zeit sind. Man kann es meistens so einrichten, dass die

104)    U. S. coast survey report f. 1868 [71], app. 5, Nr. 3, p. 75; f. 1874, separater Appendix, Nr. 10, p. 27.

105)    1868, Nr. 22, p. 57; 1874, Nr. 164, p. 161. 1868, Nr. 24, p. 58 nimmt er noch einen weiteren Oberton mit, unter der Voraussetzung, dass zwischen den verschiedenen Amplituden die von einer [unvollständigen] Theorie gelieferten Beziehungen bestehen.

106)    1874, Nr. 167, p. 165; 1875, Nr. 3, p. 2 des S. A. Im Report f. 1878 schliesst sich Ferrel schon vielfach an die Engländer an. Vgl. übrigens auch die Darstellung bei B. Harris, U. S. coast survey report f. 1894 [95], app. 7, Kap. 3, p. 169 und f. 1897 [98], app. 8, Nr. 58, p. 375. Interpolation von stündlichen Beobachtungen aus solchen der Extrema allein ib. app. 9, Nr. 71, p. 565.

107)    Lond. Roy. Proc. 48 (1890), § 3, p. 280; vgl. Lévy⁹³), Nr. 55, p. 96.

Mittelwerte dieser Funktionen für einen längeren Zeitraum vernachlässigt werden können; dann kann man aus den Gleichungen (58) durch Summation über einen solchen Zeitraum Ax und Bx erhalten. Für eine grössere Anzahl von Komponenten verhält sich die Sache im wesentlichen ebenso; nur wird man event, successive Approximationen benutzen müssen, indem man bei der Berechnung einer Komponente einen genäherten Wert einer anderen benutzt und mit dem so gefundenen Wert der ersteren dann den der letzteren korrigiert¹⁰⁸). Manchmal bedarf es auch der Zerlegung des Beobachtungszeitraums in Unterabschnitte¹⁰⁹).

Sind nX) n₂ wenig von einander verschieden, so kann man auch

(59)

= nt + V

setzen und vjnx vernachlässigen; man erhält dann Gleichungen der Form¹¹⁰) :

(60)

in cos nxt = Rx cos t,x -f- R₂ cos (yt — £₂), h sin n₂t — Rx sin — R₂ sin (yt — £₂).

Summiert man hier von t= 0 bis t — njv und von da bis t — 2njv, so erhält man vier Gleichungen zur Berechnung von Rx, R₂₇ £1; £₂. Will man mehr als zwei Komponenten so behandeln, so hat man m in eine grössere Anzahl von Teilintervallen zu zerlegen¹¹¹).

Die umgekehrte Frage, wie man aus den gefundenen Gezeitenformeln Höhe und Eintrittszeit der Extrema zweckmässigerweise berechnet, behandelt Ferrel zunächst¹¹²) nur für den Fall, dass die halbtägige Komponente so stark über wiegt, dass man mit Differentialformeln auskommt. Später¹¹³) empfiehlt er successive Approximationen. Neuerdings ist die Frage ausführlich von Darwin¹¹⁴) und von R. Harris¹¹⁵) behandelt worden.

108)    Lond. Roy. Proc. 48, p. 295.

dieser „partition“ § 10, p. 300

zu

110) p. 281.

109)    ib. p. 289, 295. Nähere Anweisung und App. E, p. 308.

111)    ib. 52 (1893), § 2, p. 350.

112)    U. S. coast survey report f. 1868, Nr. 22, p. 57; für harmonische Komponenten auch schon A. Kunzek, Studien aus der höheren Physik, Wien 1856, § 11, p- 38.

113)    ib. f. 1874, separater Appendix, Nr. 90, p. 84; 1878, app. 11, Nr. 37, p.35.

114)    Lond. Trans. 182 A (1892), p. 159; Auszug Lond. Roy. Proc. 49 (1891), p. 130; teilweise auch schon Brit. ass. rep. f. 1886, § 5, p. 50. Die Abhängigkeit der Amplituden und Phasenkonstanten von langsam veränderlichen astronomischen Argumenten spielt hier eine wesentliche Rolle.

115)    U. S. coast survey report f. 1894 [95], Nr. 1, p. 131. Er findet:

^ + ïiv*⁽⁴‘-B’+c’c!+'">

19. Abgekürztes Verfahren. Für den Fall, dass stündliche Beobachtungen vorliegen, giebt Darwin noch ein abgekürztes, allerdings weniger genaues Verfahren, bei dem auch alle Komponenten, deren Periode nahezu ein Tag oder ein aliquoter Teil eines solchen ist, zusammen berechnet werden. Ist eine solche:

(61)

R cos

unter q eine ganze Zahl, unter ß eine kleine Grösse, unter £ die Phasenkonstante verstanden, so giebt Summation der Beobachtungen einer bestimmten Stunde für n auf einander folgende Tage:

(62)

cos

TJ sin 12 nß K sinl2 |3

Wird das in

2 cos fit + Bp sin pt} entwickelt, so haben die Koeffizienten die Werte:

cos

(63)

sin 12 nß

-f sin

24 n

sin

[(*+(*) 5-ł <»]

—    cos

—    sin

sin

also für hinlänglich grosse Werte von n nahezu:

(64)

sin 12 n ß ( COS j 24 sin I ß \ gin J

Indem Darwin diese Rechnung für jeden von 12 Normalmonaten zu 30 Tagen ausführt, erhält er für jedes Au und B die Summe einer kleinen Anzahl von Ausdrücken der Form (64), mit £ je gleich einer linearen Funktion der Ordnungsnummer r des Monats. Durch abermalige Entwickelung nach den Vielfachen von r werden die einzelnen Glieder von einander getrennt und man erhält so viele Gleichungen, als zur Bestimmung der verschiedenen Amplituden R erforderlich sind¹¹⁶).

Eine andere Vereinfachung der Berechnung der nahezu ganz-

als Mittelwert der Extrema eines Ausdrucks der Form

A cos (at + u) -f- B cos (bt -f- ß) -j- C cos (ct -f- y) + • • •,

vorausgesetzt, dass die Zusatzglieder gegen das erste klein sind. Vgl. übrigens aucli äI9).

116) Lond. Roy. Proc. 52 (1893), p. 355.

und halbtägigen Komponenten wird erreicht, wenn man die Beobachtungen, die zu vollen Stunden Sonnenzeit vor, resp. nach Mittag gemacht sind, so behandelt, als würden sie zu der entsprechenden Stunde „Spezialzeit“ vor, resp. nach Mittag gemacht; im Durchschnitt einer längeren Beobachtungsdauer hat das denselben Effekt, wie wenn man die Amplitude mit einem wenig von 1 verschiedenen Faktor multipliziert und die Epoche um einen kleinen Winkel verschoben hätte¹⁰).

Auch für den Fall, dass aus Beobachtungen, die nur etwa einen halben oder ganzen Monat umfassen, wenigstens die einflussreichsten Komponenten bestimmt werden sollen, giebt Darwin Vorschriften¹¹).

20. Zusammenfassung mehrerer periodischer Terme zu einem einzigen von veränderlicher Amplitude und Phase. Eine Summe von Gliedern der Form

(65)

J£RV cos (lvt -f bv) lässt sich immer zu einem einzigen Glied

(66)

R cos (lxt -j- ü)

zusammenfassen, wenn dabei R und U Funktionen von t werden dürfen¹²). Aber diese Zusammenfassung ist nicht immer in der Weise möglich, dass dabei U eine stetige Funktion wird und zugleich beständig zwischen endlichen Grenzen eingeschlossen bleibt. Schon

J. L. Lagrange zeigt, dass das bei einer nur zweigliedrigen Summe stets möglich ist, wenn:

(67)

|Ą|>|Ą[

ist¹³); auch giebt er an, der allgemeine Fall lasse sich ebenso behandeln, wenn eine der Teilamplituden absolut grösser ist, als die Summe der übrigen¹⁴). Diese Angabe ist erst von H. Gyldén bestätigt worden¹⁵). Gyldén glaubte ursprünglich, dasselbe gelte auch

Schuster.

in allen anderen Fällen, den allein ausgenommen, dass eine Amplitude der Summe aller übrigen gleich ist, er setzt nämlich:

- (A — A)t -\-bv — \ — L 1 + B~X^BV cos Lv = X,

(68)

v=2

Bsin L, = Y,

v —2

(i + xy + y² = &²

und beruft sich darauf, dass das Minimum von & nur in dem genannten Ausnahmefalle null sein könne¹²³)- Später erkennt er, dass auch in anderen Fällen diese Funktion zwar nicht null werden, aber der Null beliebig nahe kommen kann¹²⁴); er bedient sich daher jetzt — für den Fall von 3 Komponenten — des folgenden Verfahrens zur Bestimmung der „mittleren Bewegung" der Grösse U: Er bringt zunächst X und Y auf die Form:

(69)

Bt X = — B₂ cos A -j- B₃ cos (ft A -Aj) , A⁼⁼⁼ L₂ — (2 n —f- 1) tc ,

BtY= — B₂ sin A -f- B₃ sin (ft A -f- En), ft

Wenn dann En in einer gewissen Umgebung von tc liegt, werden je zwei Nullstellen von 1 -f- X durch eine Nullstelle von Y getrennt werden, und zwar wird diese Umgebung begrenzt sein durch diejenigen Werte E^ und 2tc — E^ von En, für die 1 -f- X und Y zugleich null werden können. Gehört En dieser Umgebung an, so wächst U um 2tc, wenn A von — tc bis -f- % wächst; andernfalls kehrt U dabei zu seinem Ausgangs wert zurück, ohne einen vollen Umlauf ausgeführt zu haben.

Giebt man dem n der Reihe nach die Werte 1, 2, 3, so fallen schliesslich auf gleiche Stücke der Kreisperipherie gleich viele Werte von En ; die gesuchte mittlere Bewegung von U beträgt also¹²⁵):

(70)

7t — E⁽⁰⁾

ft =

Fall auch Formeln zur Berechnung von U, die durch geeignete Wahl der Periode so eingerichtet werden können, dass Säkularglieder aus ihnen wegfallen.

123)    p. 28.

124)    Stockh. astr. Iaktt. 5, 1895; Auszug Petersb. Bull. (5) 1 (1894), p. 379.

125)    Nr. 22, p. 71. Gyldén giebt auch eine analytische Definition der mittleren Bewegung durch das Integral

dU

dl. iL‘

und Anweisung zu numerischer Berechnung desselben, dui’ch Abspaltung der

§ 13, p. 24.

42

Gyldeń glaubt, dass auch der Fall einer grösseren Anzahl von Komponenten keine wesentlich anderen Resultate geben werde, solange jBx\ -f- \R₂1 -j- \RS\ grösser sei als die Summe der absoluten Beträge der übrigen Komponenten; nur könne dann event, das Wachsen von U durch *ganze retrograde Umläufe unterbrochen werden.

Verwandt mit der hier behandelten Frage, aber nicht so scharf zu formulieren ist die von JR. Harris¹²⁶), unter welchen Umständen man von einem Ausdruck der Form (65) die erste Komponente als „prädominierend" ansehen könne, so dass man die Extrema des ganzen Ausdrucks aus denjenigen des ersten Gliedes durch Differentialformeln ableiten könne. Harris findet, dazu sei

(71)

(72)

Aa > Bl + Cc -f- • • • eine notwendige, diese Ungleichung zusammen mit Aa² > Bb² + Cc² -|----

eine hinreichende Bedingung.

III. Aufsuchung versteckter Periodizitäten.

21. Die Methode von Lagrange. In den bisher besprochenen Untersuchungen war stets angenommen, dass die Perioden der einzelnen Komponenten einer zusammengesetzten Erscheinung bekannt und nur noch ihre Amplituden und Phasen aus den Beobachtungen zu bestimmen seien. Anders liegt die Frage, wenn man zwar weiss oder wenigstens Grund zu der Annahme zu haben glaubt, dass sich die beobachtete Erscheinung durch eine Summe von periodischen Gliedern darstellen lassen müsse, wenn aber auch die Perioden der einzelnen Glieder unbekannt sind. Die Untersuchung dieses Falles stützt J. L. Lagrangem) auf den Satz, dass man jede Reihe, deren allgemeines (mtes) Glied die Form hat

Umgebung kritischer Punkte und Entwicklung der übrigen Bestandteile nach geeigneten Hiilfsvariabeln (Nr. 17, p. 56 ff.). Die Konvergenz dieser Entwicklungen hält er selbst nicht in allen Fällen für bewiesen, doch könne Divergenz nur in „unendlich unwahrscheinlichen“ Fällen eintreten.

126)    U. S. coast survey report f. 1894 [95], App. 7, Nr. 10, p. 137.

127)    Par. Hist. 1772² (75); Oeuvres 6, p. 505. Lagrange knüpft seine Untersuchung an das Problem der Bestimmung der Ungleichheiten der Planetenbahnen direkt aus den Beobachtungen; er setzt auseinander, dass sowohl die alten Vorstellungen von Bewegungen in exzentrischen Kreisen und Epicykeln, als auch die neueren auf den Ansatz (73) führen. Dass Lagrange's Verfahren keine praktische Anwendung fand, liegt wohl an den raschen Fortschritten der deduktiven Störungstheorie in jenen Jahren. — An späterer Stelle (Beri. astr. Jahrb. 1783 [80], Nr. 12; Oeuvres 7, p. 548) stellt Lagrange sein Verfahren noch einmal dar, in-

43*

xm{Bx sin (mnx -f- Q -f- B₂ sin (mn₂ -f Q -j----}

(73)

(die B, n und £ yon m unabhängig) als eine rekurrente Reibe betrachten, und dass man von jeder solchen Reihe zu dem Bruch, dessen Entwicklung sie erzeugt, durch eine Art von Kettenbruchverfahren zurückgelangen kann. Sind Zähler und Nenner des erzeugenden Bruches je ein reziprokes Polynom, so kann man die Reihe (73) durch die Substitution

(74)

1 + X²

in eine andere rekurrente Reihe von nur halb so hoher Ordnungszahl überführen¹²⁸); dieselbe Vereinfachung kann man auch dadurch erreichen, dass man bei jedem Schritt des Kettenbruch Verfahrens die Division bis zu den Gliedern mit x² fortsetzt¹²⁹). Soll das allgemeine Glied einer rekurrenten Reihe speziell die Form (73) haben, so muss der Nenner des sie erzeugenden Bruches das Produkt

(75)

(1 — 2x cos nx -f- x³) (1 — 2x cos n₂ -f- x²) . . . sein; jeder von den Partialbrüchen mit quadratischem Nenner, in die ein derartiger Bruch sich zerlegen lässt, liefert einen der Summanden des allgemeinen Reihengliedes (73)¹³⁰). Aus diesen Sätzen entwickelt Lagrange schliesslich das folgende Verfahren¹³¹). Seien:

(76)

Y Y Y Y Y

die beobachteten Funktionswerte; man bilde die beiden Potenzreihen:

(77) fx(x) = y₀ +    + V-v)x%    = 2 {yv — V-y)^

und entwickle die Quotienten

(78)

1 — Xs

fr(x) ’ ft(x)

in Kettenbrüche, indem man dabei jede einzelne Division bis zu Gliedern zweiten Grades fortsetzt. Die Kettenbrüche breche man an geeigneter Stelle ab, reduziere sie zu gewöhnlichen Brüchen und führe z durch (74) ein; man wird bezw. Ausdrücke der Form erhalten:

l — x Vl

(79)

1 — x Vs

1 + x²T’ l + x²~Y’

unter Y, Vx, V₂ rationale ganze Funktionen von z verstanden. Endlich zerlege man VJY und V₂/Y in Partialbrüche:

dem er das Wort Kettenbrueh als den Astronomen ungewohnt vermeidet und

nur von der Auflösung linearer Gleichungen redet.

129) Nr. 30, p. 565.

130) Nr. 35, p. 573.

128) Nr. 27, p. 559.

131) Nr. 37, p. 580. Lagrange behandelt auch den Fall gerader Gliederzahl, Nr. 40, p. 587.

Später¹⁶) gieht Lagrange noch den Satz: Bildet man aus der gegebenen Reihe von Funktionswerten zunächst deren Differenzenreihen, so bilden deren mittelste Glieder zwei rekurrente Reihen:

(82)

y₀, A²r₀, A⁴y„,...

und

(83)

AY₀, A³F₀, A⁵F₀,...

deren Rekursionsskalen nur reelle Koeffizienten haben, die sich also im Fortschreiten mehr und mehr geometrischen Reihen nähern. Das ermöglicht die Bestimmung zunächst derjenigen Teilperiode, die am nächsten an 1/2 liegt; eine Modifikation des Verfahrens giebt auch die übrigen¹⁷).

22. Die Sätze von Nervander und Buys-Ballot. In zahlreichen Fällen ist man erst durch den Anblick der Tabelle oder noch besser der Kurve, die den Verlauf einer Erscheinung darstellen, auf eine dieser Erscheinung innewohnende Periodizität aufmerksam gemacht und zu dem Versuch veranlasst worden, diese Periodizität auch quantitativ zu bestimmen. Dabei nahm man zunächst den Abstand zweier gleichnamigen Extrema, bezw. hervorragenden Extrema, als Länge der Periode. Da die Eintrittszeiten der Extrema sich nicht immer ganz scharf bestimmen lassen, dividierte man den Abstand zweier

vorzu-

i-v>

dann sind die gesuchten Perioden, Amplituden und Phasenkonstanten gegeben durch¹⁸):

cos*V = tV

(80)

(81)

v,

^ 1-v*

tg^ = ^sin^, £u = ]/-Fu

f¹

G„

4 sin²

möglichst weit yon einander entfernten Extrema durch die Anzahl der dazwischen liegenden Perioden; die letztere kann — als ganze Zahl — aus einem nur näherungsweisen Wert der Periode bestimmt werden, auch wenn nicht alle zwischenliegenden Extrema deutlich ausgeprägt gewesen und beobachtet worden sind¹⁹).

Die Mängel dieses Verfahrens — Nichtberücksichtigung möglicher Verschiebungen der Extrema durch den Einfluss sekundärer Komponenten; Ausnutzung nur eines kleinen Teiles der Beobachtungen; Unmöglichkeit, die Perioden der sekundären Komponenten unabhängig von dem bei Bestimmung der Hauptkomponenten begangenen Fehler zu erhalten — liegen auf der Hand.

Zu besseren Methoden legt C.H.D.JBuys-Ballot²⁰) den Grrund durch die folgenden Sätze:

1)    Hat man eine Reihe von Zahlen, die erst zu-, dann abnehmen, und sich nach je n Termen periodisch wiederholen, und ordnet man sie so, dass die [n -f- l)te unter die erste, die (n -j- 2)te unter die zweite u. s. w. zu stehen kommen, so bilden die Kolonnensummen eine Folge derselben Art.

2)    Ordnet man sie aber so, dass erst die (n -f- 2)te oder die (n -f- 3)te. . . unter die erste zu stehen kommen, so verwischt sich in

den Kolonnensummen das Periodizitätsgesetz; und zwar um so mehr, je grösser die Zahl der benutzten Perioden ist, und je mehr man sich über die Länge der Periode getäuscht hat.

3)    Sind die der Rechnung unterworfenen Zahlen durch Superposition verschiedener Perioden entstanden, so erscheint in den Kolonnensummen nur eine dieser Perioden.

4)    Hat man die Periode zu klein (zu gross) genommen, so rückt das Maximum der Kolonnensummen hei successiver Addition immer neuer Zeilen immer weiter nach rechts (nach links), und zwar um so rascher, je mehr man sich in der Länge der Periode getäuscht hat.

Weiter ausgebildet ist das auf diese Sätze sich stützende Verfahren von L. Hornsteinm): Man kann den Wert der sich aus der Rechnung ergebenden Amplitude als Funktion der angenommenen Periodenlänge durch eine ganze Funktion zweiten Grades interpolatorach darstellen und dann denjenigen Wert der Periodenlänge, der diese Funktion zu einem Maximum macht, als den wahrscheinlichsten Wert der Periode ansehen.

Andererseits kann man auch Periodenlänge und Phasenkonstante zusammen aus den beobachteten Epochen der Extrema nach der Methode der kleinsten Quadrate bestimmen²¹ 22).

23. Pulling und pushing. Die grosse Mühe der Bestimmung der Amplituden zu einer grösseren Anzahl angenommener Perioden lässt sich nach einem von JB. Stewart und W. Hodgson²³) auf Veranlassung des Ausschusses der British Association für Sonnenphysik ausgearbeiteten Verfahren vermindern. Sie addieren nämlich nicht sämtliche nach der zuerst angenommenen Periode T kongruenten Beobachtungen, sondern nur die je einem bestimmten grösseren Zeitraum J angehörenden, so dass sie p Reihen von je n Mittelwerten er-

+ £+ 299-12,9* + 4,5 p a} entsprechend einer Gruppierung der Beobachtungen nach einer Periode:

.    (25,8

¹¹¹ {-26-

-7rr-nX

• sm

(87)

halten. In dem so entstehenden Schema rücken sie cyklisch jede Zeile um je eine Einheit weiter nach links („pulling things to the left"); wird dann jede Kolonne summiert, so gehen die Summen den mittleren Gang der Erscheinung für eine angenommene Periodenlänge

T{¹+4"j)*

Es wird dann sowohl dieser Prozess, als auch der umgekehrte („pushing things to the right") noch öfter wiederholt; natürlich häufen sich die Fehler allmählich. Will man nur um ein halbes Beobachtungsintervall verschieben, so kann man die dazu nötigen Zwischenwerte graphisch interpolieren²⁴ 25).

Als Weiterbildung dieser Methode kann das Verfahren von J. P. van der Stokul) angesehen werden. Er teilt die ihm zur Verfügung stehenden 7740 Beobachtungen in 10 Tafeln, jede zu 30 Zeilen und 26 Kolonnen; um die Amplitude für eine Periode von 25,8 Beobachtungsintervallen zu bekommen, lässt er in der 14. Kolonne die 3., 8., 13., . . . Zeile frei. Ist 2njn die wahre Periode, so wird die Summe der Zahlen der xtm Kolonne der pten Tafel (vgl. ⁶²):

+ £ + 29 • 12,9n + 30(p - 1) • 25,8^}.

Werden dann die Phasen der Summen in der pten Tafel um (p—l)(>a verschoben, so wird die Summe der xten Kolonnen aller p Tafeln: sin 30 • 12,9% sin 10(30 • 12,9% + 0,5 pa) sin (30 • 12,9% -|~ 0,5pa)

(84)

(85) R

sin 30 • 12,9%

(86) R

sin 12,9%

sin 12,9%

Hl⁸

nx

²⁵>* + ä-

Van der Stok nimmt a — 0,3+26, q = — 4, — 3, . . ., +5, +6; die sich ergebende Phasenverschiebung jeder Summenreihe gegen die vorhergehende müsste dann etwa 18° 42' betragen; das giebt eine gewisse Kontrolle dafür, wie weit die Voraussetzungen erfüllt sind. Mit einigen Abkürzungen nehmen die 11 so erhaltenen Gleichungen zwischen den aus der Formel und den aus den Beobachtungen sich ergebenden Amplituden die Form an:

(88)

m.= X

sin 10 (3871 + 0,5 p«)

sin (387| -f 0,5 p«)

Andererseits kann man auch die berechneten Amplituden durch eine Interpolationsformel der Gestalt¹⁴²):

(89)

= A -f- JBq -f- Cp² -}-••• darstellen; die Vergleichung des aus dieser Formel sich ergebenden Wertes von p, für den m₀ Maximum wird, mit dem aus (88) folgenden:

(90)

387 g 0,5 qcc

giebt den Wert von £ und damit den von n. Eventuell wird auch eine Entwickelung nach Potenzen einer anderen kleinen Grösse zweckmässig sein¹⁴³).

Formeln, die auf derselben Idee wie das pulling und pushing beruhen, aber grössere Genauigkeit geben, teilt A. Schuster¹⁴⁴) mit. Ist näherungsweise:

(91)

pTx ~snT,

so ist auch:

(92)

mit:

PTi

kJ™

0

COS 2 nt sin Tt

PTt

s    mnT

2/rtC(r

m 1 (m—X/nT)

+ am) dt

(93)

am —    — 1 )nn(TTxr).

24. Andere neuere Ansätze, Im Anschluss an die Untersuchung von Stewart und Dodgson¹³⁹) bemerkt G. Stokes¹⁴⁵) : Enthält der Ausdruck einer Funktion f(t) einen Summanden:

R sin (mt -f- £), so enthalten die unbestimmten Integrale:

Jf(t) sin ntdt, J f(t) cos nt dt

(94)

(95)

¹

b) H. Burrande, Thèse Paris 1864, Nr. 4, p. 56 ; vgl. auch die Darstellung bei J. Eoüel, Prag Archiv 1 (1875), § 3, p. 30 des S.-A.

81c) Burrande, Nr. 8, p. 63.

²

82) Par. Hist. 1775 (77), p. 89; 1776 (78), p. 177, 525 (Oeuvres 9, p. 88, 185, 281); bestimmter Mécanique céleste 2, Paris 1800, livre IV, Nr. 16 (Oeuvres 2, p. 230).

³

   Lond. Trans. 165 (1875), p. 361; Auszug Lond. Roy. Proc. 21 (1873), p. 384.

⁴

   J.Liznar, Wien. Ber. 972a (1888), p. 1104.

⁵

   N. Elcholm und Sv. Arrhenius, Stockh. Handl. 31² (1898), p. 7.

⁶

   ib. p. 8.

⁷

   Von einer grossen Anzahl von Umständen, die bei der Gezeitenberechnung zu berücksichtigen sind, ist im Text keine Notiz genommen, weil sie dem Gegenstand dieses Artikels fremd sind; namentlich ist von der bekannten Abhängigkeit der Amplituden und Phasen von langsam veränderlichen astronomischen Argumenten abstrahiert.

⁸

   Roberts 1872, Nr. 26, p. 371; Darwin § 10, p. 102; Borgen § 9, p. 564; Hatt § 82, p. 63. Darwin zieht (48a) als für die Praxis bequemste Formel vor, ebenso Borgen, der aber auch den Gebrauch des Planimeters empfiehlt; Hatt findet (46) rationeller. Dass der durch (48 a) gewonnene Mittelwert sich auf llh30m bezieht, bemerkt schon Roberts.

⁹

   Die nach dieser Methode zu bildenden Normalgleichungen sind für einen bestimmten Beobachtungsort schon in einem Supplement von E. Roberts zu Thomson's erstem Bericht (1868, Nr. 28, p. 505), allgemein in Roberts Bericht für 1872, Nr. 26, p. 371 angegeben, ihre Ableitung scheint aber zunächst als Geheimnis behandelt worden zu sein und wird erst von Danvin (1883, § 10, p. 102) mitgeteilt. J. C. Adams (bei Darwin 1883, § 11, p. 110) empfiehlt die Benutzung stark abgerundeter Multiplikatoren bei der Bildung der Normalgleichungen; das Extrem dieses Gedankens würde die Benutzung der Cauchy'schon Interpolationsmethode ⁸⁸) sein. Die „clearance“ kann auch erst an den zur Bildung der Normalgleichung dienenden Summen angebracht werden (Darwin p. 107 ; Borgen p. 618; Hatt § 34, p. 68). Einige Andeutungen über einen Fall, in welchem es nicht ohne weiteres möglich war, die Normalgleichungen durch successive Approximationen aufzulösen, im Bericht für 1870, Nr. 48, p. 122. Vgl. übrigens auch Lévy ⁹³), Nr. 52, p. 86.

¹⁰

ib. § 6, p. 367. Zum Schluss bespricht Darwin den Einfluss einer Abrundung der Daten auf die Resultate (§ 9, p. 376). Vgl. auch die entsprechenden Sätze bei Ch. u. F. Chambers⁹⁷), Nr. 12, p. 371, sowie die Formeln (92) von

¹¹

Brit. ass. rep. f. 1886, p. 40.

¹²

   Vgl. Gl. (15), sowie die physiologische Diskussion zwischen L. Hermann, Arch. Physiol. 47 (1890), p. 360; 48 (1890), p. 189; 56 (1894), p. 479 und H. Pipping, Zeitschr. Biol. 27 (1890), p. 436. — Wegen der umgekehrten Aufgabe vgl. ¹³⁵).

¹³

   Berl. Nouv. mém. 1782 (84), Nr. 44; Oeuvres 5, p. 283.

¹⁴

   Nr. 45, p. 284.

¹⁵

   Traité analytique des orbites absolues 1, Stockh. 1893, Nr. 6, p. 23. An einer späteren Stelle (Nr. 34, p. 112) modifiziert Gyldén den Ansatz noch insofern, als er nicht mehr annimmt, dass die Periode des resultierenden Terms (66) mit der Periode einer der Komponenten (65) identisch sei; er giebt für diesen

Eneyklop. d. math. Wissensch. II.

¹⁶

   Beri. astr. Jahrb. 1783 [80], Nr. 8; Oeuvres 7, p. 544.

¹⁷

   Nr. 11, p. 547. Die von Lagrange in Aussicht gestellte Anwendung dieses Verfahrens auf Fehler in Halley’s Jupiter- und Saturntafeln ist nicht erschienen. Auch sonst scheint es weder von ihm selbst, noch von andern je praktisch erprobt worden zu sein; in den meisten Fällen werden die Fehler der Beobachtungen in den Differenzen sich zu sehr häufen.

¹⁸

   Die Frage, wie weit man mit diesem Verfahren bei Beobachtungen von begrenzter Genauigkeit vernünftigerweise gehen darf, erörtert Lagrange selbst, Nr. 45, p. 620. Ausgedehnten Beobachtungsreihen gegenüber liesse es sich in der vorliegenden Gestalt sicher nicht anwenden; aber vielleicht ist es noch verbesserungsfähig. Ausser dem von Lagrange selbst durchgerechneten Beispiel der Zeitgleichung (Nr. 41, p. 588) scheint kein Fall praktischer Anwendung liegen. Die Diss. von Hallström, Abo 1802, aus deren Titel man vielleicht schliessen darf, dass Lagrange’s Untersuchungen in ihr weitergeführt sind, war mir nicht zugänglich.

¹⁹

   In der im Text angegebenen Weise hat man z. B. seit lange die Perioden des Lichtwechsels der veränderlichen Sterne bestimmt; auch zu genaueren Bestimmungen der Umlaufszeiten der Himmelskörper hat man kein anderes Verfahren. Die komplizierteren Verhältnisse, die bei einigen veränderlichen Sternen vorliegen, scheinen der harmonischen Analyse noch nicht unterworfen worden zu sein; die Ansätze von A. Argeiander, Bonn Astr. Beob. 7, 1869 gehen nach anderer Richtung (Darstellung der Eintrittszeiten der Extrema durch parabolische (z. B. p. 342) oder trigonometrische Interpolation p. (340)). Durch ähnliche Interpolationsformeln hat S. C. Chandler auch die Polschwankungen zunächst dargestellt (Astr. J. 12 (1893), p. 21); später setzt er an die Stelle der eingliedrigen Formel mit variabeln Koeffizienten eine zweigliedrige mit konstanten, ib. p. 97), noch später bestimmt er auch von den Koeffizienten dieser letzteren wieder „Ungleichheiten“ (ib. p. 14 (1895), p. 73). Eine prinzipielle Untersuchung der Frage, unter welchen Umständen eine eingliedrige Formel mit variablen Koeffizienten durch eine mehrgliedrige mit konstanten Koeffizienten ersetzt werden kann — also die Umkehrung der unter Nr. 20 besprochenen Fragestellung — wäre sehr wünschenswert.

²⁰

   Les changements périodiques de température, Utrecht 1847, § 11, p. 34 (vorl. Mitteilung Ann. Phys. Chem. 68 (1846), p. 205). Weniger scharf formuliert treten die zu diesen Sätzen führenden Überlegungen kurz vorher bei J. J. Nervander auf, Petersb. Bull. 3 (1845), col. 2; Ann. Phys. Chem. 68 (1846), p. 193. Im wesentlichen übereinstimmend auch B. Wolf, Astr. Mitt. 18 (1865), p. 249. — Formeln zur quantitativen Bestimmung dieser Änderung von Amplitude und Phase giebt J. P. van der Stok, Natuurk. Tijdschrift voor Nederl. Indië 48 (1889), p. 168.

²¹

   Wien. Ber. 64® (1861), p. 69. Hornstein bestimmt auch die zugehörige Phasenkonstante durch eine entsprechende Interpolation.

²²

   Sporer, Astr. Nachr. 98 (1880), col. 96; ebenso neuerdings S. Newcomb, Astroph. J. 13 (1901), p. 5. Neivcomb benutzt ausser den Extremen auch noch Mittelphasen, deren Eintrittszeiten sich häufiger genauer bestimmen lassen, als die der Extrema. Vgl. übrigens ⁸⁸).

²³

   Lond. Roy. Proc. 29 (1879), Nr. 9, p. 111; ib. p. 307, Nr. 6 bestimmen sie auch eine Phasendifferenz zwischen den Beobachtungen derselben Grösse an zwei verschiedenen Orten durch solches pulling und pushing. — Übrigens ist die Idee, auf der das pulling und pushing beruht, schon in dem Verfahren enthalten, dessen sich L. Ferrel (U. S. coast survey, separater Appendix zum Report f. 1874, Nr. 176, p. 178) bedient, um die Gezeitenbeobachtungen bei Berechnung von Komponenten nahe gleicher Periode nicht jedesmal ganz neu ordnen zu müssen.

²⁴

   Nr. 10, p. 114.

²⁵

   Natuurk. Tijdschr. voor Nederl. Indië 48 (1889), p. 166; populärere Dar- . Stellung ib. p. 227. Auch Batavia Observ. 10, App. 1.

bezw. die Summanden:

(⁹⁶) — nt+ £)>

aöiAs)oos {mt ~nt+o,

also, wenn n von m wenig verschieden ist, grosse langperiodische Ungleichheiten. Indem man diese Ungleichheiten der durch einen harmonischen Analysator gelieferten Aufzeichnung jener Integrale entnimmt, kann man die Differenz m — n bis auf das Vorzeichen bestimmen; das Vorzeichen ergiebt sich daraus, dass für m > n das Sinusintegral, für m <Cn das Kosinusintegral gegen das andere um eine Viertelperiode zurück ist.

142)    p. 175. Van der Stoik bedient sich hier der Methode der kleinsten Quadrate; vgl. dazu Fussn. ⁸⁸).

144) Cambr. Trans. 18 (1900), p. 128.

143)    Nr. 3, p. 178.

145) Lond. Roy. Proc. 29 (1879), p. 122.

Vinayek Narayeu NeneUG) schliesst ans der Identität (4): Werden aus je m aufeinander folgenden Gliedern der Folge

(97)    sin %v, J£RV sin (bv + £,),... 2Rv sin (nbv -f Q

V    V    V

die Mittelwerte gebildet, so wird das allgemeine (gte) Glied der so entstehenden „ersten Mittelwertreihe":

m sin

(98)

mbr

sin

2 sin

Ist m ungerade, so kommen hier dieselben Argumente vor wie in (97) ; Nene bildet dann aus den Differenzen: Beobachtung — erster Mittelwert die „erste Restreihe", deren allgemeines Glied ist:

(l - A) i?, sin (

(99)

m -f- 2 g. — 1

Aus diesen Resten bildet er zweite Mittelwerte und zweite Reste u. s. f.; schliesslich ist das (n — (m—l)r)te Glied der rten Restreihe¹ 2):

(100)

2n — mr -\- r —

Sind nun die Winkel mbx, mb₂, . . . alle kleiner als 2jt, so konvergieren die Summen (100) mit wachsendem r gegen Null; ist aber mb₁ < 4jt, mb₂ < 2«, mb₃ < 2tc, . . ., so reduzieren sich diese Summen mit wachsendem r merklich auf ihre ersten Glieder. Damit kann man die Frage entscheiden, ob in dem Ausdruck einer vorgelegten Beobachtungsreihe ein Glied von einer Periode zwischen mc und 2mc enthalten ist, wenn c das Beobachtungsintervall bedeutet³). Dabei kann m noch so gewählt werden, dass — qx möglichst gross wird. Sind mehrere solche Komponenten vorhanden, so liefert das Verfahren nur diejenige mit der längsten Periode.

25. Kritik vom Standpunkte der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Inwiefern kann überhaupt durch Rechnungen der in den letzten Nummern besprochenen Art das Vorhandensein einer Komponente mit der angenommenen Periode in dem mathematischen Ausdruck der beobachteten Erscheinung als bewiesen angesehen werden? Diese Frage bespricht für die elementare Methode, bei der aus einem deutlichen Gang der Mittelwerte

(101)

= 0, 1, 2, • • - , n— 1)

?=o

auf die Existenz einer Komponente der Periode T geschlossen wird, bereits R. Strachey⁴). Er bildet die durchschnittlichen Abweichungen:

---1

(102)

Mv-f(yT+^)

2 = 0

und aus ihnen das Hauptmittel:

n — 1

v=0

fällt dieses nicht wesentlich kleiner aus, als das Mittel aus allen \M-—/’l,⁵) unter M das Gesamtmittel aus allen f verstanden, so erklärt er das Resultat für illusorisch. Nachträglich präzisiert er noch genauer: liegt keine Periodizität der angenommenen Art vor, so wird der „wahrscheinlichste“ Wert (I D 2, Nr. 9, Bauschinger) der Differenz | M — f\ proportional zu Ej^r sein, also das Produkt YrU\ M — f j mit wachsendem r gegen nE konvergieren; liegt aber Periodizität der gesuchten Art vor, so konvergiert 2J | M — f ! selbst gegen eine von Null verschiedene Grenze⁶).

Die entsprechende Kritik des Hornstein'sehen Verfahrens¹³⁷) liefert A. Schuster⁷). Er ordnet die vorliegenden p = nr Beobachtungen in n Kolumnen zu je r, bildet die Kolumnensummen T1} T₂, . . ., Tn und stellt sie durch die BesseVsehe Formel 'dar. Ist nur der jedesmalige Eintritt eines bestimmten Ereignisses notiert, so gehen die Gleichungen (15) über in:

(104) B₀ = A₀ = p, nAx = 22 cos ktr, nBx — 2ZJ sin ktv ;

dabei bedeuten die tv die Zeiten des Eintritts des Ereignisses, T — 2jt/& die angenommene Periode⁸). Aus einem von Lord Rayleigh bei

153) Nr. 2, p. 14. Zeigen die Ereignisse eine gewisse Tendenz zu gruppen-

optischen Untersuchungen gefundenen Satze ergiebt sich dann: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass, bei ganz willkürlichen tvf BJB₀ grösser als

(105)

ausfällt, beträgt e~k. scheinlichkeit auf das wirkliche Vorhandensein einer Komponente mit der Periode T schliessen, wenn man ein beträchtliches Beobachtungsmaterial zur Verfügung hat. Für den Fall, dass nicht der Eintritt eines Ereignisses, sondern der Wert einer veränderlichen Grosse beobachtet ist, gelten analoge Resultate¹⁵⁴).

Ferner bildet Schuster aus den beiden Integralen:

t-\-nT

a — Jf(f) cos ktdt,

Man kann also nur dann mit einiger Wahr-

(»-¥)

tĄ-nT

sin kt dt

(106)

E = ya* + w

den Wert

(107)

und aus den Werten, die dieses B bei festgehaltenem Je und n als Funktion von t annimmt, den Mittelwert U.¹⁵⁵) Die graphische Darstellung dieses Mittelwerts als Funktion der Periode T nennt er das Periodogramm der Erscheinung. Ist T keine wahre Periode, so wächst U mit wachsendem n wie ]/n und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

_ ÎÜ

ein einzelner Wert von B grösser als A U ausfällt, beträgt e ⁴ ; ist aber T eine wahre Periode, so wächst U wie n selbst. Daraus ergiebt sich die Regel¹⁵⁶): Liefert die Diskussion von n Beobachtungen ein Periodogramm von der durchschnittlichen Höhe a, so braucht man mindestens 16na^b~² Beobachtungen, um mit Sicherheit auf die Existenz einer Periode von der Amplitude b schliessen zu können. Besonders ist übrigens die Möglichkeit des Auftretens von „spurious periodicities“ zu beachten¹⁵⁷): wird z. B. von cos qt die zur Periode 2it/k gehörende Komponente bestimmt und umfasst der Beobachtungs-

154) Nr. 5, p. 20.

weisem Auftreten, so sind die Schlüsse noch etwas zu modifizieren (Nr. 4, p. 19; Nr. 6, p. 22).

155)    Nr. 7, p. 23. Schuster bemerkt die Analogie seines Periodogramms zu dem Spektrum einer Lichtquelle: Vergrösserung des Boobachtungszeitraums habe denselben Effekt, wie Wahl eines Spektralapparates von grösserer auflösender Kraft. — Neuerdings (Cambr. Proc. 18 (1900), p. 106) zieht es Schuster übrigens vor, nicht die Amplitude, sondern ihr Quadrat (die Intensität) als Ordinate seines Periodogramms aufzutragen.

156)    Terr. Magn. 3, Nr. 9, p. 25.

157)    Nr. 12, p. 30; vgl. auch die anders geführte Rechnung Cambr. Trans.

18, p. 109.

Zeitraum n dieser Perioden, so findet man für deren Amplitude den Wert:

Yq² cos² cc -f-    sin² a, a =

nn(ą — k)

(108)

der sehr klein ist, ausser wenn q und h wenig von einander verschieden sind. Im letzteren Falle sind seine Maxima nahezu durch die Wurzeln der Gleichung:

(109)

t g cc = cc

bestimmt; diese Maxima können in einem solchen Falle thatsächlich nicht vorhandene Periodizitäten Vortäuschen. Man erkennt sie aber daran, dass sie mit der Dauer des Beobachtungszeitraums ihre Lage ändern.

Die vielfach geübte Ausgleichung der Beobachtungen vor der Aufsuchung der Perioden findet Schuster nur gerechtfertigt, wenn man durch sie erreicht, dass vorher versteckte Periodizitäten augenfällig werden; andernfalls werden durch sie (vgl. die Formeln (23) und (38)) die zu verschiedenen Perioden gehörenden Amplituden so stark und so verschiedenartig geändert, dass die Auswahl der maximalen dadurch gestört werden kann⁹).

Die ablehnende Haltung, die Fr. H. Bigelow ¹⁰) Schuster’s Resul

taten gegenüber einnimmt, beruht hauptsächlich darauf, dass Bigelow überhaupt nicht an die Darstellbarkeit der in Frage kommenden Erscheinungen durch die Formel (65), mit konstanten lv glaubt; er sieht es vielmehr

wie übrigens früher schon D. J. Korteweg159 a) unter Zustimmung von R. Wolf¹¹) — für wahrscheinlich an, dass man die Perioden selbst als veränderlich ansehen müsse¹³⁵). Solche veränderliche Perioden würden aber durch die Summation über einen

längeren Beobachtungszeitraum verwischt werden.

Die Frage der Polschwankungen¹³⁵) lässt entsprechende Untersuchungen für die simultane Darstellung mehrerer willkürlicher Funktionen wünschen.

IV. Hülfsmittel zur Ausführung der Rechnungen.

26. Rechenschemata für spezielle Werte der Anzahl der Beobachtungen. Für die wirkliche Ausführung der Beobachtungen dienen in erster Linie die Formeln von Nr. 4. Für spezielle Werte der Anzahl der Beobachtungen — praktisch kommen fast nur gerade, eigentlich nur durch vier teilbare in Betracht — lassen sich die Rechnungen noch mannigfach abkürzen und schematisieren. Ausgearbeitete Vorschriften zu diesem Zwecke geben: für n — 2, n = 3 H. Fritsche¹²);

für n — 4 J.Ü.Le Ferner¹³), M. Dechevrens¹⁴), Fritsche16ł); für n = 6 Dechevrens¹⁵), Fritsche¹²)]

für n — 8 A.Bravais⁴¹¹), M.Koller¹⁶), Le Verrier¹²), A.Smith¹⁷), J.J. Astrand¹⁴), Dechevrens¹³), A.Nippoldt jun.¹⁸), Fritsche¹²)] für n — 9 E. B. Wedmore¹⁹), Fritsche¹²) ; für n= 10 Dechevrens¹⁴), Eritsche¹²)]

für n = 12 C. F. Gauss²⁰), Fr. Carlini ¹⁷°), J. G E. Schmidtm), Bravais⁴¹), Koller²¹), A. Kunzek²² 23), J.D. Everett²⁴), F.Jenkin und J. A. Ewing²⁵), H. Schneebeli²⁶), L. Grossmann²⁴), Dechevrens¹⁴), C. Bunge²⁷), Fritsche¹²) ;

für n = 16 Le Verrier¹³), J. Macé de Lépinay²⁸) ; für n — 18 Fritsche¹²) ;

für n = 24 Koller¹⁶), Kunzek²⁹), T. R. Robinson³⁰), Schneebeli²⁶), Ferrel179 a), J. Lahr¹⁸⁰), Kirsch¹⁸¹), R. Strachey¹⁸²), Grossmann²⁴), Wedmore ¹⁸³)? Dechevrens¹⁵), C. Kassner¹⁸⁴), Fritsche¹²) ;

für n = 30 Kumek m) ;

für n = 32 P. A. Hansen™), G. D. E. Weyer¹⁸⁶);

für n — 36 Gauss1S1), Dechevrens¹⁶³), Bunge m), Fritsche¹⁶¹) ;

für n — 40 L. Hermann¹⁸⁸) ;

für n — 52 Fritsche¹⁶¹);

für n = 64 Hansen¹⁸⁹);

für n — 12 Strachey ¹⁹⁰) ;

für n ==> 73 Strachey¹⁹¹), Fritsche¹⁶¹);

für w = 4w allgemein Bruns¹⁹²).

Will man nur wenige Koeffizienten berechnen, so kann man, wie W. Ferret¹⁹³) bemerkt, auch Gleichungen zu ihrer Bestimmung be-

179a) U. S. coast survey rep. f. 1878, app. 11, Nr. 16, p. 16.

180)    Ann. Phys. Chem. N. F. 27 (1886), p. 107 ; vgl. aber die Berichtigungen von H. Pipping, Zeitschr. Biol. 27 (1893), p. 8 und Fenn. Acta 20¹¹ (1895), p. 18.

181)    Die Bewegung der Wärme ¹⁵), Nr. 10, p. 37.

182)    Lond. Roy. Proc. 42 (1887), p. 61, 75; Hourly readings from the self-recording instruments at the 4 observatories under the meteorol. council, Lond. 1887, appendix.

183)    J. inst. electr. engineers 25 (1896), p. 234. Wedmore bedient sich nicht der Formeln von Nr. 4, sondern eines Verfahrens, das auf demselben Gedanken beruht, wie die in Nr. 22 besprochenen Methoden: ist n eine zusammengesetzte Zahl, = rs, und bildet man die Summen

r —l

«-0, 1, 2, . . ., s 1,

?=°

so fallen aus diesen Summen alle Komponenten heraus, deren Ordnungszahl nicht durch s teilbar ist. Durch wiederholte Anwendung dieses Satzes erhält man den Gang der einzelnen Komponenten getrennt; die Amplitude einer jeden berechnet Wedmore aus dem Mittelwert der absoluten Beträge ihren Ordinaten, die Phasenkonstante dann einfach aus einer einzelnen Ordinate. Das Verfahren setzt voraus, dass man beträchtlich mehr Beobachtungen zur Verfügung hat, als Komponenten merklich sind; ist das der Fall und ist andererseits die Zahl der Beobachtungen nicht so gross, dass das Verfahren von Tschebyscheff (Nr. 6) in Frage kommen kann, so ist es allen andern vorzuziehen.

184)    Meteor. Zeitschr. 36 (1901), p. 81.

186) Ann. der Hydrogr. 16 (1888), p. 91.

185)    Über die gegenseitigen Störungen des Jupiters und Saturas, Preisschr. Berlin 1831, Nr. 13, p. 49.

187)    Werke 3, Nr. 41, p. 325. Vgl. ¹⁶⁹).

188)    Arch. Physiol. 47 (1890), p. 44.

189)    Astr. Nachr. 12 (1835), Nr. 47, col. 339; Par. C. R. Suppl. 1, 1856 (Pariser Preisschrift von 1846), Nr. 67, p. 238; Nr. 75, p. 254.

190)    Lond. Roy. Proc. 42 (1887), Nr. 9, p. 72.

191)    ib. und Hourly readings 18ä), app. p. [4].

192)    Grundlinien ¹⁶), § 86, p. 119.

193)    U. S. coast survey, separater Appendix zum Report f. 1874, Nr. 161, p. 159. Die Methode von Wedmore ¹⁸³) beruht auf einem ähnlichen Gedanken.

kommen, wenn man nicht über die ganze Periode, sondern von verschiedenen Anfangspunkten aus nur über ihre Hälfte summiert.

Die Frage, wie gross man n zu nehmen hat, um in einem gegebenen Fall eine bestimmte Genauigkeit zu erreichen, lässt sich mathematisch nur beantworten, wenn ein anderweitiger analytischer Ausdruck der interpolatorisch darzustellenden Funktion vorliegt. Für diesen Fall ist sie schon von Hansen m) gestreift, dann von Cauchy³¹ 32) und seinen Kommentatoren Berger³³), Puiseux³⁴), Tisserand³⁵), neuerdings noch von C. V. L. Charlier³⁶) und C. A. Schultz-Steinthal ³⁷°) behandelt worden.

Anweisungen zur Kontrolle der Rechnung finden sich bei Hansen³⁸) und bei Fritsche1G1).

Formeln zur zweckmässigen Berechnung einzelner Funktionswerte mit Hülfe der abgeleiteten Interpolationsformeln giebt allgemein

K. Weihrauch³⁹ 40); für die beobachteten Argumente B. Harris ⁴¹) ; für diese und für bestimmte zwischen ihnen gelegene Dechevrens ⁴²); für den speziellen Fall der „Interpolation in die Mitte“ G.H.E. Weyer⁴³) und R.Radau⁴⁴).

27. Graphische Methoden, Tabellen, Schablonen. Graphische Methoden für die Auswertung der Koeffizienten trigonometrischer Entwicklungen finden sich bei Kirsch ⁴⁵) und bei Schreiber⁴¹) ; bei ersterem auch für die Berechnung der Funktionswerte mit Hülfe der Formel. Auch das Verfahren von Wedmore¹⁸³) ist ursprünglich graphisch gedacht. Aber auch die Integralformeln (17) lassen sich graphisch bewältigen: trägt man die Kurve y — f(t) so auf einem Cylinder vom Radius 1/m auf, dass sie m-nlal um ihn herumläuft, so geben, wie

W. K. Clifford⁴⁶) bemerkt, die Flächen ihrer Projektionen auf die tz- und die ty-Ebene die 7t- fachen Werte dieser Koeffizienten.

Andererseits werden die Rechnungen erleichtert durch eine Tabelle der Vielfachen der immer wieder vorkommenden trigonometrischen Funktionen. Für n — 24 hat eine solche Fr. Kämtz berechnet⁴⁷).

Eine andere Erleichterung der Rechnung wird durch Schablonen gewährt. Die auftretenden trigonometrischen Funktionen haben, abgesehen vom Vorzeichen, nur eine geringe Anzahl verschiedener Werte; trägt man die Produkte dieser Werte mit den Beobachtungen in ein rechteckiges Schema ein und legt auf dieses Schema eine Schablone, die nur die gerade in Betracht kommenden Produkte freilässt, die übrigen verdeckt, so hat man nur noch zu addieren und zu subtrahieren. Solche Schablonen hat für n — 40 L. Hermann⁴⁸ 49) konstruieren lassen. Auf derselben Idee beruht der „Interpolateur à cadran“ von M. Dechevrens⁵⁰) ; er besteht aus zwei gegen einander beweglichen . Kreisen, von denen der eine die Ordnungszahlen der Beobachtungen, der andere die trigonometrischen Multiplikatoren trägt.

28. Instrumentelle Hülfsmittel zum Rechnen mit den Formeln. Einen Rechenschieber zur Berechnung von R und £ aus R cos £ und R sin £ hat R. Strachey⁵⁰) konstruiert. Einen Apparat zur Zusammensetzung von harmonischen Komponenten verschiedener Periode giebt schon Bash forth⁵¹ 52 53) an; er stellt dabei die beiden Veränderlichen durch

Polarkoordinaten dar. In rechtwinkligen Koordinaten leistet dasselbe der Apparat von A. E. Donkin⁵²), die einzelnen Komponenten zeichnet der von B. Strachey⁵³).

Die Zusammensetzung beliebiger (auch unharmonischer) Komponenten von gegebener Periode, Amplitude und Phasenkonstante besorgt W. Thomson's, „tide-predicter“⁵⁴). Er besteht aus einer Anzahl Rollen, deren Centra die vorgeschriebenen harmonischen Bewegungen ausführen; um die sämtlichen Rollen ist ein Faden gelegt, der an seinem andern Ende ein Gewicht trägt; die Bewegungen dieses Gewichtes stellen die Summen der einzelnen Bewegungen der Rollen dar. W. Ferrel⁵⁵ 56) hat den Apparat so umgeändert, dass er direkt die Extrema der resultierenden Bewegung giebt, indem er sich der Umformung (66) bedient und den Moment beobachtet, in welchem ein die Variabele repräsentierender Zeiger seine Nulllage passiert. Eine dritte Abänderung von B. Harris⁵²) soll den von Thomson und den von Ferrel verfolgten Zweck zugleich erreichen. In dem Apparat von A. A. Michelson und S. W. Stratton ⁵⁷°) werden die einzelnen komponierenden Bewegungen durch Gestänge, in denen die Länge je eines Gliedes abgeändert werden kann, mit vorgeschriebenen Amplituden auf Federn übertragen, diese greifen sämtlich an einem Hebel an, an dem andererseits eine grosse Feder als Gegenkraft wirkt.

29. Harmonische Analysatoren (vgl. auch II A 2, Nr. 60, Voss). Die erste Idee zu einem harmonischen Analysator, d. h. zu einem Instrument zur mechanischen Auswertung der Koeffizienten der trigonometrischen Entwicklung einer graphisch gegebenen Funktion, rührt von J. Amsler⁵⁸) her; doch scheint sie damals nicht ausgeführt wor-

215)    Lond. Roy. Proc. 22 (1874), p. 196; Auszug Brit. ass. rep. f. 1873, p. 45 (nur für zwei Komponenten).

216)    Katalog ⁵²), p. 136, 213. Ich habe keine ausführlichere Beschreibung

gesehen.

den zn sein. Amsler führt ein Planimeterrädchen so, dass seine Axe mit einer festen Richtung in jedem Augenblick einen Winkel ein-schliesst, der zur Abscisse proportional ist. W. Thomson⁵⁹), der der Genauigkeit der Planimeterrädchen — wohl mit Unrecht — misstraute, benutzt die von J. Thomson erfundene Übertragung der Bewegung von einer Scheibe auf einen Cylinder durch Vermittlung einer beide berührenden Kugel; ist der Berührungspunkt zwischen Scheibe und Kugel vom Scheibenmittelpunkt um cp(x) entfernt und dreht sich die Scheibe um einen Winkel ip(x)dx, so dreht sich der Cylinder um einen Winkel cp(x)il>(x) dx. Ist cp(x) — cos nx oder sin nx, so kann die erforderliche Bewegung der Scheibe durch einen Kurhelmechanismus erzielt werden. Bei dem Apparat von A. Sommerfeld und E. Wiechert⁶⁰) wird die Kurve y = f(x) [wie bei Clifford²⁰⁰)] auf einem Cylinder („Walze“) aufgezeichnet, und zwar mit Hülfe des hierfür besonders eingerichteten Apparates selbst. Diese Walze dreht sich sowohl um ihre eigene Axe, als auch, und zwar mit %-facher Winkelgeschwindigkeit, um eine vertikale Axe, so dass der Berührungspunkt einer festen Tangentialebene der Walze mit der aufgezeichneten Kurve von einer festen Gerade dieser Ebene in jedem Augenblick den Abstand y — cosnx hat. Die so entstehende Kurve kann planimetriert werden, ohne dass sie gezeichnet zu werden braucht. Auf der Idee von Clifford²⁰⁰) beruht auch der erste harmonische Analysator von 0. Henrici ⁶¹). Später zieht Henrici noch die Umformung:

(110)

7t

ß

y cos nxdx —

l-f sin nxty

— 7t

herbei; es kommt also nur darauf an, ein Planimeterrädchen längs der Kurve y — f(x) so zu führen, dass seine Ebene immer einen Winkel nx mit der y-Axe einschliesst. Das wird erreicht, indem die Bewegung des Cylinders durch Reibungsräder auf eine Axe übertragen wird, die wie bei Amsler die Planimeterrädchen trägt⁶²). Dieser zweite Ent-

wurf Henr id's ist yon A. Sharp²²⁶) weiter durch geführt und von

G. Coradi²²¹) ausgeführt worden. Sharp schlägt auch noch eine Modifikation dieses Instruments vor; die direkt Amplitude und Phasenkonstante jeder einzelnen Komponente giebt²²⁸).

Yor- und Nachteile der bis jetzt genannten Apparate stellt Hen-rici ²²⁹) einander gegenüber.

Ein Apparat von G. U. Yule ²⁸°) benutzt einen Kreis, der sich so bewegt, dass sein Mittelpunkt auf y = fix) bleibt und dass er ohne zu gleiten auf einer Geraden parallel der x-Axe rollt, die sich nur in Richtung der y-Axe bewegen kann.

Soll der Apparat von Michelson und Stratton²²⁰) als harmonischer Analysator dienen, so muss bei ihm die Amplitude der wten Komponente gleich dem Wert der zu analysierenden Funktion für das wte Argument genommen werden; er giebt dann den gten Koeffizienten der Summenformel (12) als stetige Funktion von p.

30. Hülfsmittel zur Trennung verschiedener Perioden und zur Aufsuchung versteckter Periodizitäten. Zur Ausführung von Rechnungen der unter Nr. 22 besprochenen Art hat sich schon Buys-Ballot²³¹) eines Systems cylindrischer Scheiben bedient, die auf eine gemeinsame Axe aufgesteckt und beliebig gegen einander gedreht werden konnten. Auf einem ähnlichen Gedanken scheint die „Periodenrechenmaschine“ von E. Lamprecht²³²) zu beruhen. G. H. Darwin ²³³) hat die Idee einer maschinellen Einrichtung als zu kostspielig wieder fallen lassen und sich mit einer Einrichtung zur Ersparung des wiederholten Abschreibens der Beobachtungen begnügt. Vollständiger wird dieser letztere Zweck erreicht durch die von Borgen²³⁴) und von

226)    Kat. ²¹³), p. 134 und Nachtrag, 1894, p. 35; Nature 49 (1893/94), p. 521; vgl. auch Henrici, Phil. Mag. (5) 38 (1894), § 5, p. 115.

227)    Der harmonische Analysator, Zürich 1894. Das Absolutglied muss bei diesen Instrumenten besonders mittelst eines gewöhnlichen Planimeters bestimmt werden. Die Übertragung auf die Registrierrädchen geschieht bei Coradi nach einem von M. Küntzel zu anderen Zwecken gemachten Vorschlag durch eine gläserne Kugel. Ausführliche Diskussion der Fehlerquellen des Apparates bei L. Grabowski (auf Anregung von H. Seeliger), Wien. Ber. 1102a (1901), p. 717. Bervy, Mosk. Observ. Ann. 1896 war mir nicht zugänglich. Vgl. die Figur am Schluss des Artikels.

228)    Phil. Mag. (5) 38 (1884), p. 121; Nature 49 (1893/94), p. 617.

229)    Kat. 21S), p. 222.

230)    Phil. Mag. (5) 39 (1895), p. 367.

231)    Ann. Phys. Chem. 84 (1851), p. 538.

Beschreibung.

234) bei Darwin, ib. p. 350.

232)    Progr. Bautzen 1897, p. 27; leider ohne Abbildung oder detailliei-te

233) Lond. Roy. Proc. 52 (1892), p. 345.

213

), p. 131, 213.

BO. Hülfsmittel zur Trennung verschiedener Perioden.

693

L. P. Shidy ²³⁵) vorgeschlagenen Schablonen („stencils“). Auch für die Summation der „A- Summen“ nach „ZüStunden“ giebt F. M. Little²³⁶) Schablonen an. P. Harris ²³⁷) entwickelt die Idee einer Maschine, die die jedesmal erforderliche Anordnung der Beobachtungen und ihre Addition selbstthätig besorgen soll.

Der Apparat von Michelson und Stratton ²²⁰) liesse sich jedenfalls so einrichten, dass er direkt das Periodogramm¹⁵⁵) liefern würde.

Zur successiven Auffindung der Perioden verschiedener Komponenten ist auch das von A. Sommerfeld²³⁸) gegebene Verfahren bequem; nur ist zu beachten, dass es die Amplituden modifiziert.

235)    Bei JR. Harris, U. S. coast survey report f. 1897, Nr. 53, p. 539.

236)    ib. Nr. 66. p. 557.

237)    ib. Nr. 55, p. 540.

238)    F. Klein und A. Sommerfeld, Über die Theorie des Kreisels, Leipzig 1903, VIII, § 6, p. 679. In der dort gegebenen Anwendung auf die Polschwankungen ist der Vergrösserungsfaktor für die in erster Linie in Betracht kommenden Perioden vermöge des speziellen Wertes ihres Verhältnisses nahezu gleich 1.

(Abgeschlossen im April 1904.)

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Harmonischer Analysator.

IIA10. THEORIE DER KUGELFUNKTIONEN UND DER VERWANDTEN FUNKTIONEN, INSBESONDERE DER LAME’S CHEN UND BESSEL’SCHEN

(THEORIE SPEZIELLER, DURCH LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DEFINIERTER FUNKTIONEN)

VON

A. WANGERIN

IN HALLE A. S.

Inhaltsübersicht.

I. Definition der allgemeinen Kugelfunktion.

1.    Definition der allgemeinen Kugelfunktion mit zwei Veränderlichen.

II.    Die einfache Kugelfunktion Pn.

2.    Die einfache Kugelfunktion Pn einer Veränderlichen und ihre Differentialgleichung.

3.    Verschiedene Reihen für Pn.

4.    Darstellung von Pn als Differentialquotient; Wurzeln von Pn = 0.

5.    Darstellung von Pn durch bestimmte Integrale.

6.    Integralsätze, Entwicklung ganzer Potenzen nach Kugelfunktionen, Rekursionsformeln.

7.    Verschiedene Ausgangspunkte der Theorie, Tafeln.

III.    Zugeordnete Kugelfunktionen.

8.    Zugeordnete Kugelfunktionen; ihre Differentialgleichung, verschiedene Darstellungen.

9.    Integralsätze der Zugeordneten.

10.    F. Neumann’s Definition dieser Funktionen.

IV. Darstellung der allgemeinen Kugelfunktion.

11.    Darstellung der allgemeinen Kugelfunktion zweier Veränderlichen durch Zugeordnete.

12.    Darstellung von Yn bei Maxwell und Thomson und Tait.

13.    Das Additionstheorem der einfachen Kugelfunktionen.

14.    Integralsätze der allgemeinen Kugelfunktionen.

15.    Entwicklung einer Funktion zweier Variabein nach Kugelfunktionen. Encyklop. d. math. Wissensch. II.

16.    Beweis für die Gültigkeit der Entwicklung nach JDini und Heine.

17.    Andere Beweise.

18.    F. Neumann’s Entwicklung nach Kugelfunktionen auf Grund gegebener Beobachtungen.

Y. Die Kugelfunktionen zweiter Art.

19.    Die Kugelfunktion zweiter Art Qn.

20.    Das L. Neumann’sehe Integral für Qn.

21.    Entwicklung von Qn nach steigenden Potenzen.

22.    Integraldarstellung von Qn.

23.    Zusammenhang zwischen Kugelfunktionen und Kettenbrüchen.

24.    Zugeordnete Funktionen der zweiten Art.

25.    Zugeordnete, deren Nebenindex den Hauptindex übersteigt.

YI. Erweiterungen.

26.    Kugelfunktionen, deren Index eine beliebige Zahl ist.

27.    Ringfunktionen.

28.    MMer’s Kegelfunktionen.

29.    Adjungierte Kegelfunktionen.

30.    Entwicklung einer Funktion nach Kegelfunktionen.

31.    Funktionen, die aus der Entwicklung von (1 — 2ccx -j- ccs)~v entstehen.

32.    Fall, in dem v ein Vielfaches von \ ist. Kugelfunktionen höherer Ordnung.

YIî. Lamé’sche Funktionen.

33.    Definition. Lamé’sehe Differentialgleichung.

34.    Darstellung der vier Klassen von Lamé’sehen Funktionen erster Art.

35.    Die zugeordneten Kugelfunktionen als Grenzfälle der Lamé’sehen Funktionen. Additionstheorem.

36.    Wurzeln der Gleichung F(X) = 0.

37.    Entwicklung einer Funktion nach Lamé’sehen Produkten.

38.    Die Lamé’sehen Funktionen zweiter Art.

39.    Hinweis auf Hermite’s Untersuchungen betreffs der Lamé’sehen Gleichung.

40.    Lamé’sehe Funktionen höherer Ordnung.

41.    Erweiterung des Begriffs der Lamé’sehen Funktionen.

42.    Die Lamé’sehen Funktionen mit mehr als drei singulären Punkten im Endlichen.

43.    Funktionen des elliptischen Kegels.

YIII. Cylinderfunktionen oder BessePsche Funktionen.

44.    Differentialgleichung. Reihen und Integrale für die Funktionen erster Art.

45.    Bessel’sehe Funktionen zweiter Art.

46.    Ableitung dieser Funktionen aus denen erster Art durch einen Grenzübergang.

47.    Die Cylinderfunktionen als Grenzen der Kugelfunktionen.

48.    Integraldarstellungen der Funktionen zweiter Art.

49.    Semikonvergente Reihen.

50.    Rekurrente Relationen.

51.    Zusammenhang mit Kettenbrüchen.

52.    Wurzeln der Gleichung Jv(z) — 0.

53.    Additionstheorem der Funktionen erster und zweiter Art.

54.    C. Neumann’s Funktion On.

55. Entwicklung einer analytischen Funktion nach Bessel’schen Funktionen.

50. Hinweis auf andere Reihen sowie auf Entwicklungen nach Quadraten und Produkten der Cylinderfunktionen.

57.    Die für die Aufgaben der Physik erforderlichen Entwicklungen.

58.    Die Reihe von Schlömilch.

59.    C. Neumann's Integraldarstellung einer Funktion mittelst Bessel’schev Funktionen.

60.    Bestimmte Integrale mit Bessel’sehen Funktionen.

61.    Tafeln.

IX. Funktionen des elliptischen und parabolischen Cylinders.

62. Funktionen des elliptischen Cylinders.

6B. Funktionen des parabolischen Cylinders.

Litteratur.

Lehrbücher.

Georg Sidler, Die Theorie der Kugelfunktionen, Bern 1861, 71 S. 4°.

E.    Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, 1. Aufl. Berlin 1861, 382 S. 2. Aufl. Band I, Theorie der Kugelfunktionen, Berlin 1878, 484 S.; Band II, Anwendungen der Kugelfunktionen, Berlin 1881, 380 S.

Das Handbuch ist das vollständigste und inhaltreichste aller vorhandenen

Lehrbücher über Kugel- und verwandte Funktionen. Es wird im Folgenden als

Heine, H. B. 1, resp. 2 citiert werden, und zwar beziehen sich die Citate auf

die zweite Auflage.

J. Todhunter, An elementary treatise on Laplace’s functions, Lamé’s functions, and Bessel’s functions, London 1875, 348 S.

N.M. Ferrers, An elementary treatise on spherical harmonics and subjects connected with them, London 1877, 2. Aufl. 1881.

F.    Neumann, Vorlesungen über die Theorie des Potentials und der Kugelfunktionen, herausgegeben von C. Neumann, Leipzig 1887. — Über Kugelfunktionen speziell handeln die Kapitel 2—4, 7, 13.

W. E. Byerly, An elementary treatise on Fourier’s series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics, Boston 1893, 287 S.

A.    Gray and G.B. Mathews, A treatise on Bessel’s functions and its applications to physics, London 1895, 292 S.

Joh. Frischauf, Vorlesungen über Kreis- und Kugelfunktionenreihen, Leipzig 1897, 60 S.

J. H. Graf und Ed. Gubler, Einleitung in die Theorie der Bessel'schen Funktionen, Heft 1, Bern 1898, 142 S.; Heft 2, Bern 1900, 156 S.

N. Nielsen, Handbuch der Theorie der Cylinderfunktionen, Leipzig 1904, 408 S.

Dies Handbuch ist das ausführlichste aller vorhandenen Lehrbücher über Cylinderfunktionen.

Die hauptsächlichsten Eigenschaften der Kugelfunktionen sind auch in folgenden Werken behandelt:

B.    Murphy, Elementary principles of the theories of electricity, heat and molecular actions. Part I, On electricity, Cambridge 1833.

In diesem Werke, von dem nur der erste Teil erschienen ist, findet sich der erste Abriss der Theorie der Kugelfunktionen.

G. Lamé, Leçons sur les fonctions inverses des transcendantes et les surfaces isothermes, Paris 1857. Vorlesung 15—20 behandeln auch die Lamé’sehen Funktionen.

J. H. Pratt, A treatise on attraction, Laplace’s, functions and the figure of the earth, 3. ed. Cambridge u. London 1865, 4. ed. 1871.

W. Thomson und P. G. Tait, Handbuch der theoretischen Physik, deutsch von

H. Helmholtz und G. Wertheim, Band I (1871), Kap. 1, Zusatz B; Band II (1874), § 782 ff. Noch ausführlicher sind die Kugelfunktionen in der zweiten englischen Ausgabe des Werks, Cambridge 1879, behandelt.

Citiert werden soll im Folgenden die deutsche Ausgabe als Thomson und Tait, Th. Ph.

Maxwell, A treatise on Electricity and Magnetism, Oxford 1873; 2. Aufi. 1881 von W. JD. Niven. Deutsche Übersetzung von B. Weinstein, Berlin 1882 u. 1883. Über Kugelfunktionen handelt Teil I, Kap. IX [citiert als Maxwell, Electr.]. P. Lejeune-Hirichlet, Vorlesungen über die im umgekehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Kräfte, herausgegeben von Grube, Leipzig 1876; 2. Aufl. 1887, Abschnitt IV.

H. Weber, Die partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physik, nach Riemann's Vorlesungen, 2 Bde., Braunschweig 1900—1901, 506 u. 527 S. — Über BesseVsehe Funktionen und Kugelfunktionen handeln die Abschnitte 8 und 13 von Bd. I.

R. Friche, Kurzgefasste Vorlesungen über verschiedene Gebiete der höheren Mathematik mit Berücksichtigung der Anwendungen, Leipzig 1900, Kap. 2.

Anwendungen der Kugel- und Cylinderfunktionen findet man ferner in Rayleigh, Die Theorie des Schalles, 2 Bände, deutsch von Fr. Neesen, Braunschweig 1879, 1880. Eine zweite englische Auflage des Buches ist 1894—1896 erschienen.

Monographieen.

G. Bauer, Von den Integralen gewisser Differentialgleichungen, welche in der Theorie der Anziehung Vorkommen, Habilitationsschrift München 1857.

C. Neumann, Über die Entwickelung einer Funktion mit imaginärem Argument nach den Kugelfunktionen erster und zweiter Art, Halle 1862.

C. Neumann, Theorie der Elektrizitäts- und Wärmeverteilung in einem Ringe, Halle 1864, 51 S.

C. Neumann, Theorie der BesseV sehen Funktionen, Leipzig 1867, 72 S, [citiert als C. Neumann, Bess. F.]

E. Lommel, Studien über die JSmeFschen Funktionen, Leipzig 1868, 135 S. [citiert als Lommel, Studien].

F.    Neumann, Beiträge zur Theorie der Kugelfunktionen, Leipzig 1878, 156 S. 4° [citiert als F. Neumann, Beiträge].

C. Neumann, Über die nach Kreis-, Kugel- und Cylinderfunktionen fortschreitenden Entwickelungen, Leipzig 1881, 140 S., 4° [citiert als C. Neumann, Entwickelungen],

L. Schläfli, Über die zwei Heine’sehen Kugelfunktionen mit beliebigem Parameter und ihre ausnahmslose Darstellung durch bestimmte Integrale. Universitäts-Festschrift, Bern 1881, 66 S., 4° [citiert als Schläfli, Kugelff. m. bei. Par.].

J. Nicolas, Étude des fonctions de Fourier (première et deuxième espèce), Thèse Paris 1882, abgedruckt in Ann. éc. norm. (2) 11 (1882), p. 3—90.

E. Häntzschel, Studien über die Reduktion der Potentialgleichung auf gewöhnliche Differentialgleichungen, Berlin 1893, 180 S.

M. Bocher, Über die Reihenentwickelungen der Potentialtheorie. Mit einem Vorwort von F. Klein, Leipzig, 1894, 258 S.

Eine Zusammenstellung der Hauptsätze über Bessel'sehe Funktionen, namentlich der für die Anwendungen auf Physik wichtigen, findet man bei J. W. Strutt [Lord Rayleigh], Phil. Mag. (4) 44 (1872), p. 328—344.

¹

   ib. 36 (1884), p. 361 ; mit „suggestions“ von Ch. Chambers. Nene behandelt auch den Fall eines geraden m; dabei fasst er je zwei Glieder der ersten Mittelwertreihe zu einer zweiten zusammen.

²

   Nr. 13, p. 371,

³

   Nr. 22, p. 378. Kurze Perioden von merklicher Amplitude müssen eventuell vor Anwendung des Verfahrens durch Ausgleichen (smoothing) entfernt werden (Nr. 26, p. 380; vgl. aber die gegenteilige Bemerkung von A. Schuster¹⁵⁸).

⁴

   Lond. Roy. Proc. 26 (1877), p. 249.

⁵

   „Mean departure from mean of whole“ nach der Terminologie von Stewart u. Dodgson, Manch, mem. (3) 8 (1884), Nr. 9, p. 62. Sie ist gleich 2/jt mal der Amplitude.

⁶

   Lond. Roy. Proc. 26 (1877), p. 259.

⁷

   Terr. Magnetism 3 (1898), p. 13; Auszug Lond. Roy. Proc. 61 (1897), p. 455. Populäre Darstellung in Schuster's presidential address, Nature 66 (1902),

⁸

p. 614.

⁹

   Terr. Magn. Nr. 13, p. 32; Lond. Roy. Proc. Nr. 3, p. 458.

¹⁰

   Wash, philos. Bull. 14 (1903), p. 222.

159*) Wien. Ber. 88 (1883), p. 1017.

¹¹

   Astr. Mitt. 66 (1886), p. 224.

¹²

   Atlas des Erdmagnetismus, Riga 1903, p. 22.

¹³

   Par. Observ. ann. 1 (1865), Nr. 35, p. 137; Nr. 36, p. 143.

¹⁴

   Stockh. Oefv. 32⁹ (1875), p. 49; Ann. der Hydrogr. 3 (1875), p. 474.

¹⁵

   Line. Pontif. mem. 16 (1899), p. 165; Erläuterungen ib. 17, 1900.

¹⁶

   Wien. Denkschr. 1 (1850), Nr. 14, p. 65.

¹⁷

   Manual of scientific inquiry der britischen Admiralität (mir nicht zugänglich).

¹⁸

   Ann. der Hydrogr. 1899, p. 62.

¹⁹

   J. inst, electr. engineers 25 (1896), p. 235 (für den Fall, dass von vorneherein bekannt ist, dass nur ungerade Obertöne auftreten). Ygl. 18S).

²⁰

   Werke 3, Nr. 28, p. 308. Die von Gauss gegebene Anweisung zur Zerlegung in Gruppen, für den Fall, dass n eine zusammengesetzte Zahl ist, scheint bei den Praktikern wenig bekannt zu sein und selten angewendet zu werden.

²¹

   Sulla legge delle variazioni orarie del barometro, Modena 1820 [?] (auch Mem. Soc. Ital. 20 (1828), p. 198); mir nicht zugänglich.

²²

   Studien aus der höheren Physik, Wien 1856, § 8, p. 33.

²³

   Amer. J. of sei. (2) 35 (1863), p. 25.

²⁴

   Hamburg Seewarte Arch. 17⁶ (1894), p. 5.

²⁵

   Edinb. Trans. 28 (1879), p. 751.

²⁶

   Genève arch. (3) 1'(1879), p. 151.

²⁷

   Zeitschr. Math. Phys. 48 (1902), p. 443.

²⁸

   J. de phys. (3) 8 (1899), p. 139.

²⁹

   Lehrbuch der math, und physik. Geographie, 2, Gott. 1830, § 168, p. 279.

³⁰

   Lond. Trans. 165 (1876), p. 419.

³¹

   Berl. Preisschr. ¹⁸⁵), p. 862.

³²

   5. Note zum Bericht über Le Verrier, Par. C. R. 20 (1845), p. 8 (Oeuvres (1) 9, p. 148).

³³

   Thèse Toulouse 1863, § 7, p. 47.

³⁴

   Par. Observ. mém. 7 (1863), Nr. 10, p. 183.

³⁵

   Traité de mécanique céleste 4 (1896), Nr. 132, p. 294.

³⁶

   Stockh. Handl. 22² (1887), Nr. 23, p. 40.

³⁷

   Stockh. Ôfv. 56 (1899), p. 273.

³⁸

   Preisschrift ¹⁸⁵), p. 58.

³⁹

   Dorp. Schriften 5 (1890), III 2, p. 13.

⁴⁰

   U. S. coast survey report f. 1897, App. 9, Nr. 71, p. 565.

⁴¹

   Leop. N. A. 58 (1892), p. 211.

⁴²

   Line. Pontif. mem. 16 (1899), §5, p. 157; Tafeln p. 168; Erläuterungen ib. 17 (1900), p. 16 des S.-A.

⁴³

   Astr. Nachr. 117 (1887), col. 312.

⁴⁴

   Bull, astron. 4 (1887), p. 492, 515.

⁴⁵

   Die Bewegung .. . ¹⁶), Nr. 8, p. 29.

⁴⁶

   Lond. Math. Proc. 5 (1873), p. 11 (Papers, p. 201); J. Perry (Phil. Mag. (5) 38 (1894), p. 128; Auszug Nature 49 (1893/94), p. 617; vgl. auch Perry und Hunt, Phil. Mag. (5) 40 (1895), p. 506) und S. Finsterwalder (Zeitschr. Math. Phys. 43 (1898), p. 85) vermeiden das Zeichnen auf einem Cylinder durch Benutzung der Methoden der darstellenden Geometrie.

⁴⁷

   Repert. Meteorol. 1 (I860), p. 107 mit Gebrauchsanweisung; die Tafel allein auch in der von Kämtz vorbereiteten, von A. v. Öttingen herausgegebenen Tafelsammlung, Dorpat 1868, als Tafel W, p. 35, sowie in Jelinek's Anleitung zur Ausführung meteorologischer Beobachtungen, 2, 4. Aull. Leipzig 1895, Anhang; auf vier Stellen hourly readings ¹⁸²), p. [33].

⁴⁸

   Arch. Physiol. 47 (1890), p. 44; 86 (1901), p. 100.

⁴⁹

   Line. Pontif. mem. 16 (1899), p. 148.

⁵⁰

   Katalog mathematischer Modelle, herausg. von W. Dyck, München 1892, p. 144; Beschreibung, Abbildung und Gebrauchsanweisung Lond. Trans. 184A, 1893, p. 619, sowie Harmonie analysis of hourly observations, publ. by . . . the meteorol. council, London 1891, p. IV.

⁵¹

   Brit. ass. rep. f. 1845, p. 3; die nach Angabe von H. S. Hele-Shaw, ib 1892, p. 415, 1822 [?] in Cambridge erschienene ausführlichere Beschreibung war mir nicht zugänglich. Bashforth hatte hauptsächlich eine Verwendung des Apparats zur Auflösung algebraischer Gleichungen im Auge. Weiter ausgeführt

⁵²

sind Bashforth's Ideen von W. H. L. Russell, Lond. Roy. Proc. 18 (1896/70), p. 72.

⁵³

Encyklop. d. math. Wissensch. II.

⁵⁴

   W. Thomson u. P. G. Tait, Treatise on natural philosophy 1, App. B' 1, p. 479 (zuerst in der Ausgabe von 1879; vgl. auch Nr. 58, p. 40). Proc. inst, civil engineers war mir nicht zugänglich.

⁵⁵

   U. S. coast survey report f. 1883, App. 10, p. 253.

⁵⁶

   ib. f. 1894, Nr. 59, p. 181. Die für später versprochene Beschreibung der fertigen Maschine habe ich nicht gesehen. Nr. 61, p. 183 und Nr. 66, p. 186 giebt Harris an, wie man mit einfacheren Mitteln dasselbe erreichen könne, wenn man auf grosse Genauigkeit verzichte.

⁵⁷

   Amer. J. of sei. (4) 5 (1898), p. 1; fast ganz derselbe Text, aber zum Teil andere Figuren Phil. Mag. (5) 45 (1898), p. 85.

⁵⁸

   Zürich Yierteljahrschr. 1 (1856), Nr. 21, p. 107 (auch sep. Schaffhausen 1856).

⁵⁹

   Erste Mitteilung Lond. Roy. Proc. 24 (1876), p. 266; arbeitsfähiges Modell Lond. Roy. Proc. 27 (1878), p. 371 (Treatise 1, App. B'VII, p. 505; Beschreibung und Abbildung der ausgeführten Maschine Engineering 30 (1880), p. 561, sowie in einem Bericht von B. H. Scott und H. Curtis über mit ihr erzielte Resultate, Lond. Roy. Proc. 40 (1886), p. 382.

⁶⁰

   Königsberg Schriften 32 (1891), p. 28; Kat. ²¹⁸), p. 214.

⁶¹

   Phil. Mag. (5) 38 (1894), p. 113; Auszüge Gött. Nachr. 1894, p. 30; Nature 49 (1893/94), p. 521; vgl. auch Kat. ²¹³), p. 129. J. Perry, Phil. Mag. (5) 38 (1894), p. 128 hat von diesem ersten Instrument Henrici's eine bessere Meinung als Henrici selbst.

⁶²

   Phil. Mag. (5) 38 (1894), p. 115; Kat.

I. Definition der allgemeinen Kugelfunktion.

1. Definition der allgemeinen Kugelfunktion mit zwei Veränderlichen. Die Theorie der Kugelfunktionen einer Veränderlichen, der einfachen Kugelfunktionen, ist von A. M. Legendre begründet¹); und zwar wurde er auf diese Funktionen durch die Aufgabe geführt, die (in Polarkoordinaten ausgedrückte) reziproke Entfernung zweier Punkte in eine Reihe zu entwickeln. Dagegen sind die Kugelfunktionen mit zwei Veränderlichen, die allgemeinen Kugelfunktionen, zuerst von P. S. de Laplace untersucht²). Der Name „Kugelfunktionen“ endlich rührt von C.Fr. Gauss her³). Da die zuerst genannten Funktionen nur einen Spezialfall der Laplace'sehen Funktionen darstellen, so stellen wir die Definition der letzteren voran.

Am einfachsten definiert man die allgemeine Kugelfunktion mit E. Beltrami⁴) als eine solche homogene Funktion wter Ordnung der drei Richtungskosinus £, p, £, die, falls man |, rj, £ als von einander unabhängig ansieht, der Laplace'chen Gleichung

A cp =

d²qp .    . c²cp ₀

êè²    d£²

genügt; n ist dabei eine positive ganze Zahl. Drückt man die Richtungskosinus durch zwei unabhängige Variable £, œ aus:

£ = cos co]/1 — £² , 7] = sin oj/1 — £², so ergiebt sich für eine beliebige Funktion cp aus den Beziehungen zwischen ihren Ableitungen nach £, co einerseits und nach |, g, £ andererseits die Gleichung:

(a)

8S

wobei

A cp — F(<p) — F[F(cp)\ =

C²Cp

_J__-

^ l — ^dco²’

ist. Hat nun cp die durch die obige Definition geforderte Eigenschaft, so geht die linke Seite von (a) in — n(n l)cp über, und man erhält für die allgemeine KugelfunMion nteI Ordnung die Differentialgleichung:

dcp

(1)

8(i

8£

8£

+ ïé

8sg>

-?8<o

oder, wenn £ — cos ff gesetzt wird:

1 »"»gg ,

d& ' sin²ff dco²

(la)

sin ff

-f- n(n -j- 1)90 = 0

1    8sqp

-f- n(n -f- l)<p = 0.

Gewöhnlich bezeichnet man die allgemeine Kugelfunktion, die auch Laplace’sehe Funktion genannt wird, mit Kw(ff, co). Übrigens lehrt die Gleichung (a), dass der Ausdruck rechter Hand eine Differentialin variante der Richtung ist, da die linke Seite dieser Gleichung beim Übergange zu einem andern rechtwinkligen System ungeändert bleibt.

Nimmt man in der obigen Definition an Stelle der Richtungskosinus £, g, £ die Koordinaten eines beliebigen Raumpunktes, so erhält man die „räumliche harmonische Kugelfunktion“ (solid harmonic) von Thomson und Taitb); dieselbe ist, wenn r den Abstand des betrachteten Punktes vom Anfangspunkte bezeichnet,

Yn(&, œ),

je nachdem man n oder — (n -f- 1) als die Ordnung der Funktion ansieht. Kw(ff, co) selbst heisst bei Thomson und Tait „harmonische Kugelflächenfunktion“ (spherical surface harmonic).

r”]Tn(ff, co), resp.

II. Die einfache Kugelfunktion Pn.

2. Die einfache Kugelfunktion Pn einer Veränderlichen und ihre Differentialgleichung. Ehe wir zur analytischen Darstellung von

5) Ygl. Thomson und Tait, Th. Ph. 1, p. 156 ff.

■ 8²cp _d²cp ,    1 dcp

Yn gehen, betrachten wir den Fall, dass die Kugelfunktion von co unabhängig ist. Soll cp ausser von £ nur von X = ]/|² -J- rf ahhängen, so ist

d²cp

dl²

‘ Ihf ~ JV "i“ T H '

Es handelt sich also darum, diejenige homogene ganze Funktion von £ und X zu suchen, die der Gleichung

00

d²qp .    1 8q> , 8²q> n

genügt. Eine solche Funktion aber enthält ausser ganzen Potenzen von £ nur gerade Potenzen von X. Setzt man weiter X — ]/1 — £², so enthält also die Funktion nur ganze Potenzen von £. Die Kugelfunktion ntCT Ordnung einer Veränderlichen ist somit diejenige ganze Funktion nter Ordnung von £, die der Gleichung (1) für den Fall genügt, dass cp von œ unabhängig ist, d. h. der Gleichung:

dcp

(2)

d{

JfJL + n(n + i)v = o

oder für £ = cos O’:

d sin O

1    d&

sin ■9'

Dass die Gleichung (2) ein partikuläres Integral besitzt, das eine ganze Funktion ntei Ordnung von £ ist, ergiebt sich auch direkt. Damit ist die einfache Kugelfunktion bis auf einen konstanten Faktor definiert. Eine zweckmässige Bestimmung dieses Faktors ergiebt sich daraus, dass, wenn man den Ausdruck

(2a)

d&

-f- n(n -f- 1) çp = 0.

(3)

yi — 2«£ + cc²

nach steigenden Potenzen von a entwickelt (eine Entwicklung, die für |cc|<jl, |£|<^|1 sicher konvergiert), der Koeffizient von an ebenfalls der Gleichung (2) genügt. Die Kugelfunktion erster Art der Ordnung n mit einer Variabein kann man daher mit Legendre¹) als den Koeffizienten von an in der Entwicklung des Ausdrucks (3) definieren. Der Zusatz „erster Art“ soll zur Unterscheidung von der später zu besprechenden Kugelfunktion zweiter Art dienen. Wo kein Zweifel entstehen kann, lässt man diesen Zusatz fort.

Es ist üblich, die eben definierte Funktion mit P^(£) oder PÄ(£) oder auch Xa(£) zu bezeichnen. Man nennt dieselbe auch „einfache .Kugelfunktion“,' in England „zonale harmonische Funktion“

(zonal harmonic), oder „einaxige harmonische Funktion“⁶). Vielfach werden dafür auch die Namen „Legendre'sches Polynom“ oder „Legendre-scher Koeffizient“ gebraucht.

3. Verschiedene Beihen für Pn. In expliciter Darstellung lautet die Kugelfunktion:

Pw(0 =

n{n—l) ₂ . m(m — l)(n — 2)(m — 3)    ₄    )

2 • (2w — 1) ®    ‘ 2-4-(2m — 1)(2m — 3)    J '

Für gerade n ist P”(£) eine gerade, für ungerade n eine ungerade Funktion; speziell ist

i etc.;

„ 1 • 3 • 5 • ■ • (2m — 1) 2 • 4 • 6 • • ■ (2m)

ferner ist

P”( 1) = 1, P²”(0) = (— 1)

Als homogene Funktion von £ = cos# und ]/l — £² = sin # geschrieben, lautet Pn :⁷)

P”(cos #) = cos” # —

(4a)

M (M — 1)

cos”-²# sin²#

m(m — 1) (m — 2) (m — 3)

cos”⁻⁴# sin⁴# —

Von anderen Reihendarstellungen sei hier noch die folgende erwähnt, die sich schon bei Legendre und Laplace findet:

(4b)

• I cos(n#)4

1 ■ (2 m — 1)

P”( cos #) = 2 • cos (n—2) # -)

1 • 3 • 5 • • • (2m — 1)

2 • 4 • 6 • • • (2m)

1 • 3 ■ m(m — 1)

1-2 • (2 m—1)(2m — 3)

cos

(n— 4) #fi—I.

(Die Reihe geht für ungerade n bis cos#, für gerade n bis cos(0 • #), und dem Koeffizienten von cos (0 • #) ist der Faktor ^ hinzuzufügen.) Aus (4b) folgt, dass 1 der grösste Wert ist, den P”(cos#) für reelle # annehmen kann.

Die Reihe (4 a) lehrt, dass auch in der Reihe (4) die Koeffizienten der einzelnen Potenzen von £, auf die kleinste Benennung gebracht, im Nenner nur Potenzen von 2 enthalten⁵).

Hinsichtlich anderer Entwicklungen von P”(cos#), z. B. nach Potenzen von sin£# oder cos^-# oder tg^-# sei auf Heine, H. B. 1,

6)    Thomson und Tait, Th. Ph. 1, p. 175.

7)    Vgl.. Maxwell, Electr. 1, p. 164 der ersten englischen, p. 209 der deutschen

Ausgabe.

Kap. I verwiesen; dort findet man ferner verschiedene Darstellungen von Pn(£) mittelst hypergeometrischer Reihen. Auch durch Determinanten lassen sich die Kugelfunktionen aus drücken⁹).

Endlich ist zu bemerken, dass man, wenn man die Differentialgleichung (2) oder die Entwicklung des Ausdrucks (3) zu Grunde legt, die Beschränkung, wonach £ den Kosinus eines reellen Winkels bezeichnet, fallen lassen und der Yariablen £ ohne weiteres beliebige reelle oder komplexe Werte beilegen kann. Ein beliebig veränderliches Argument von Pn soll im Folgenden mit x bezeichnet werden.

Bezeichnet x eine ungerade ganze Zahl, so ist Pn(x) eine ungerade ganze Zahl, und sämtliche Differentialquotienten von Pn(x)

sowie Çpn(x)dx sind ganze Zahlen¹⁰).

i

4. Darstellung von Pn als Differentialquotient; Wurzeln von

Pn = 0. Wie zuerst 0. Bodrigues, später unabhängig von ihm J. Ivory und C. G. J. Jacobi¹¹) gefunden haben, ist

(5)

Pn(x) =

1 dn(xJ— \)n 2n • n\ dxn

Aus dieser Formel folgt, dass die Wurzeln der Gleichung Pn(x) = 0 sämtlich reell sind und zwischen — 1 und -j- 1 liegen; zugleich er-giebt sich aus der Differentialgleichung (2), dass alle Wurzeln von einander verschieden sind, und aus einer Bemerkung in Nr. 3, dass die Wurzeln paarweise von gleichem absoluten Wert, aber entgegengesetztem Zeichen sind. Übrigens sind die Wurzeln über das Intervall — 1 < x < -f- 1 nahezu gleichförmig verteilt¹²).

Die Wurzeln der Gleichung Pn(x) = 0 spielen eine wichtige Rolle in der mechanischen Quadratur. Nimmt man nämlich bei der angenäherten Berechnung eines von x — — 1 his x = -f- 1 erstreckten Integrals zu Abscissen, für welche die Ordinaten berechnet werden,

9)    Ygl. J.W. L. Glaisher, Messenger (2) 6 (1876), p. 49 und K.Heun, Gott. Nachr. 1881, p. 104.

10)    G. Bauer, Münch. Ber. 24 (1894), p. 343 ff. Der Satz folgt aus einer Reihe

pn(x)

für Pn(ir), resp. für —, die nach Potenzen von (æ²—1) fortschreitet. — Ygl.

L. Gegenbauer, Monatsh. f. Math. 7 (1896), p. 35.

11)    Bodrigues, Corresp. sur l’école pol. 3 (1816), p. 361—385. — Ivory, Lond. Trans. 1824 \ p. 91—93. — Jacobi, J. f. Math. 2 (1827), p. 223—226; Ges. W. 6, p. 21—25. — Auch Murphy, Treatise, p. 7, will diese Darstellung unabhängig von Jacobi gefunden haben.

12)    Betreffs der Verteilung der Wurzeln vgl. PL. Bruns, J. f. Math. 90 (1881), p. 322—328.

die n Wurzeln von Pn(x) = 0, so erreicht man; wie zuerst Gauss⁶) gezeigt hat, denselben Grad der Näherung wie bei der Berechnung der doppelten Zahl von Ordinaten, deren Intervalle gleich gross sind.

Für den Fall, dass das Argument der Kugelfunktion zwischen — 1 und -f- 1 liegt, lässt sich die Kugelfunktion auch folgender-massen darstellen⁷): Sind x, y, z die Koordinaten eines Punktes,

r = ]/x² + y²+ z³, £ = so ist

(6)

rn+¹

p«(i) = (-i)* ^r

KO

02"

5. Darstellung von Pn durch bestimmte Integrale. Mittelst bestimmter Integrale lässt sich die Kugelfunktion auf mannigfache Weise darstellen. Am bekanntesten ist das Laplace’sehe Integral⁸), das für beliebige reelle oder komplexe Werte des Arguments gilt:

7t

(7)

P"(x) = -

^ J* [x + cos cp~\/x²— lfäcp.

0

Ferner gilt für solche x, deren reeller Teil positiv ist, die Jacobi’sehe Formel⁹):

(7 a)

n{-x)=1*k

0

dep

+ COS cp yx³ — l)” ⁺¹

Andere Integralformeln, gültig für ein Argument zwischen — 1 und +1, hat P. G. Lejeime-DiricMet¹⁰) aufgestellt, und aus den Dirichlet’sehen Formeln hat G. Mehler¹¹ 12 13) die folgenden einfacheren abgeleitet:

ist, wenn    endlich und von 0 und. je verschieden ist, aber

auch, wenn fi sich mit wachsendem n der Null nähert, falls nur lim (n 0-) = 00 ist. Für = 0 ist P” (cos -O’) = 1, auch falls n = no.

n = cQ

Der Fall, dass lim (nO’) einen endlichen Wert hat, wird bei den

n= 00

Cylinderfunktionen seine Erledigung finden (s. Nr. 47).

Aus dem Laplace ’sehen Integral (7) lässt sich für grosse Werte von n der folgende Näherungswert von Pw(cos 0) ableiten¹³):

P»(coSfr)=-j/_-S3.

(10)

t4-*-

«P

(8)

se p

2

&

”(cos -S’) — J*

cos (n -f- 4) <p ■ d qp ]/2 (cosqp — cos O)

7t

sin (n -{- Jg-) qp • d qp 1/2 (cos O’ — COS qp)

Aus der ersten Gleichung (8) leitet Heine¹²) das wichtige Resultat ah, dass

(9)

lim Pw(cos O’) — 0

• sin    ,

und aus (10) ergiebt sich ebenfalls der durch Gleichung (9) ausgedrückte Satz. Die rechte Seite von (10) bildet das erste Glied einer nach fallenden Potenzen von n fortschreitenden Reihe; weitere Glieder dieser Reihe findet man bei E. Heine²¹) und in einer Arbeit von G. JDarboux²²).

Durch Integrale komplexer Variablen stellt Laurent¹⁴) die Kugelfunktion dar:

(11) Pn(x)

1 r_dz

27ti J /*+yr

— 2 zx -j- z²

„li C

2%i 2⁷¹J

(£²— l)n dz (z — x)n + ¹ ’

und zwar ist das erste Integral über einen um den Anfangspunkt, das zweite über einen um den Punkt x beschriebenen Kreis zu erstrecken.

In ausgedehntem Masse wird die komplexe Integration von

19)    Heine, J. f. Math. 90 (1881), p. 329; Bruns leitet (J. f. Math. 90, p. 322) dasselbe Resultat aus einem etwas allgemeineren Integrale her, von dem das in (8) auftretende ein spezieller Fall ist.

20)    Laplace, Mécan. cél. 5, Livre XI, Nr. 3 und Supplément au 5e vol. Nr. 1 (Oeuvres 5, p. 32,471); auch Par. mém. 2 (1817) [19], p. 141 (Oeuvres 12, p. 415). — Ygl. A. Cauchy, Par. mém. 8 (1829), p. 125.

21)    Heine, H. B. 1, p. 178.

22)    G. Darboux, Par. C. R. 82 (1876), p. 365 u. 404; J. de math. (3) 4 (1878),

p. 5 u. 377.

Schläfli²⁴) benutzt, dessen Arbeit neben der Darstellung der einfachen Kugelfunktionen eine Erweiterung derselben enthält (vgl. Kr. 26).

ergeben sich die Koeffizienten der

so

6. Integralsätze, Entwicklung ganzer Potenzen nach Kugelfunktionen, Rekursionsformeln. Falls irgend eine Funktion von x in eine nach Kugelfunktionen fortschreitende, gleichmässig konvergente Reihe entwickelt werden kann (über die Möglichkeit einer solchen Entwicklung s. Nr. 15 u. 16),

Entwicklung mittelst der folgenden beiden, in dieser Form zuerst von Legendre²⁵) aufgestellten Sätze. Es ist

(12)

jPn(x)Pm(x)dx = 0, falls m n,

während

(12a)

J Pnix)Pn(x)dx

ist. Hieraus folgt, dass, wenn f(x) sich in eine Reihe von der Form

f{x) = A₀P°(x) + A^ix) 4-----h AnPn(x) 4----

entwickeln lässt,

(12b)

J‘f(x)Pn(x)äx

ist. Man kann vorstehende Reihe ohne weiteres auf die Entwicklung ganzer Potenzen von x anwenden, da diese, wie aus der Reihe (4) folgt, sich durch eine endliche Summe von Kugelfunktionen aus-drücken lassen, somit auch auf beliebige ganze Funktionen von x. Für ganze Potenzen hat Legendre²⁶) gefunden:

xn =

(13)

3.,.:²₍2„+1) {KW)+{g.-8)    (»)

+ (ßn-lfn + 1^\n- ¹⁾f-4(æ)+-}.

Ferner ergiebt die Entwicklung von xPn(x) die wichtige Rekursionsformel²⁷):

(14)

(n 4~ l)Pn+1(x) -— (2n + 1 )xPn(x) 4~ nPn~¹(x) = 0, P¹{x) — xP°(x) = 0,

24) Schläfli, Kugelff. mit bei. Parameter (s. das Verzeichnis der Mono-

graphieen).

25)    Par. Hist. 1784, p. 373 und 1789, p. 384.

26)    Par. Hist. 1784 und Esercices 2, p. 352.

27)    O. Bonnet, J. de math. 17 (1852), p. 267.

während die erste Ableitung von Pn(x) sich nach Christoffel2S) durch die Reihe darstellen lässt:

dPn{x)

(15)

dx

= (2m — î)Pn~\x) + (2m — h)Pn~\x)

-f- (2m — 9)Pn~b(x) -f- • •

und aus dieser folgt

dPn + 1(x)

(15 a)

dPn~¹(x)

dx

dx

== (2 m -j- 1 )Pn(x).

Den Rekursionsformeln (14) und (15 a) lässt sich noch eine grosse Reihe ähnlicher an die Seite stellen. Die vollständigste Sammlung derselben findet man in F. Neumann’s, Beiträgen, und zwar im Anhang zur ersten Abteilung.

Von sonstigen Anwendungen der Formeln (12) und (12 a) erwähnen wir noch die Entwicklung des Produktes zweier Kugelfunktionen in eine nach Kugelfunktionen fortschreitende Reihe, eine Aufgabe, die am vollständigsten ebenfalls in F. Neumann’s Beiträgen behandelt ist¹⁵ 16). Auch sin (mH) und cos (mH) lassen sich für beliebige Werte von n nach Kugelfunktionen mit dem Argumente cos ff entwickeln¹⁷). Ferner ist hier die Darstellung der Integrale

fPn{x)Pn(x)dx

U

und

/(I — x²) Pn(x)Pn(x) dx 0

durch eine Summe von Produkten von Kugelfunktionen zu erwähnen¹⁸).

7. Verschiedene Ausgangspunkte der Theorie, Tafeln. Statt der Differentialgleichung (2) oder der Entwicklung des Ausdrucks (3) kann man auch irgend eine der abgeleiteten Eigenschaften zum Ausgangspunkspunkte für die Darstellung der Theorie der einfachen Kugelfunktionen machen, so z. B. das Laplace’sehe Integral (7)¹⁹) oder eins der anderen Integrale²⁰). Ferner kann man von der Rekursionsformel (14) als Definition ausgehen²¹) oder auch von der durch die Gleichung (12) oder eine analoge Gleichung ausgedrückten Eigenschaft²²). Als Spezialfälle der Miemanrisehen P-Funktion behandelt

B. Olbricht die Kugelfunktionen, resp. gewisse Verallgemeinerungen derselben ²³).

Tafeln der Kugelfunktionen sind von J. W.L. Giaisher berechnet²⁴); einen Auszug aus diesen Tafeln, nämlich die Werte von Pl(x) bis P⁷(P) zwischen x — 0 und x = 1, in Schritten von r-- fortschreitend, auf 4 Dezimalen, enthält das Buch von JByerly; bis P⁶(x) abgedruckt bei B. Friche. In dem Buche von Byerly ist auch eine zweite Tafel abgedruckt, enthaltend die Werte von P⁴(cos 11) bis P⁷(cos tf) auf 4 Dezimalen für alle ganzen Grade²⁵). Tafeln für P⁶ und P⁷ sowie ihre Ableitungen, ebenfalls auf 4 Dezimalen, nebst einer graphischen Darstellung in Thomson und Tait, Th. Ph. 2, p. 334—339. — Tafeln der Kugelfunktionen für specielle Werte des Arguments enthalten

F. Neumann's Beiträge²⁶).

III. Zugeordnete Kugelfunktionen.

8. Zugeordnete Kugelfunktionen; ihre Differentialgleichung, verschiedene Darstellungen. Durch Entwicklung der in dem Laplaceschen Integral (Formel 7) auftretenden Funktion in eine nach Potenzen von elcP yx* — 1 fortschreitende Reihe finden E. Heine²⁷ 28) und C. Gr.J. JacobP¹) :

n — 1;

cos (vgp).

(16)

(x + COS q)]/x² — l)”

1 dn(xi — 1)”

2⁷¹ -n\

dxn

r = 0

Zugleich, ergiebt diese Entwicklung eine zuerst von Jacobi aufgestellte Formel⁴²), die aussagt, dass die Glieder unter dem Summenzeichen durch Vertauschung von v mit — v ihren Wert nicht ändern. Das erste Glied der rechten Seite von (16) ist Pn(x). Es liegt nahe, ebenso die Koeffizienten der einzelnen Cosinus zu untersuchen. Seine nennt diese Koeffizienten, mit gewissen Konstanten multipliziert, die zugeordneten Kugelfunktionen und bezeichnet sie mit Pvn(x), so dass

pvn(pc) =

(n — v) !

(17)

(2 n) !

y^² — l

-V dn + V(x*- 1)”

dxn + v

(n — v) !

* dvPn{x) dxv

Der konstante Faktor ist so bestimmt, dass nach Ausführung der Differentiation der Koeffizient der höchsten Potenz von x gleich 1 wird. Hiernach ist

Yx² — i

(17a)

Pvn(x) = ]/x² — V i[xn~v

(n — v)(n — v — 1) 2 • (2w — 1)

xn~~y

-2

(n — v)(n — v — 1) (n — v — 2) (n — v — 3)

2 • 4 • (2 n — 1) (2 n — 3)

Xn~v

-4

Ferner ist

P«(x) =

n\

Pn{x); Pnn(x) = (;x² — l)w;

1 • 3 • • • (2 w — 1)

Pvn(x) — 0 für v >* n\ Pvn(x) — P*v(x) für v n.

Aus (16) ergiebt sich für die zugeordneten Kugelfunktionen die Integraldarstellung :

(18) Pv\x) = -

1 2n (n -f- v) ! (n — v)l

(2 n)\

71

J*[x -j- cos cpYx² — l)Mcos (ycp)d(p. o

Ferner folgt aus (17) und (2), dass Pvn(x) der Differentialgleichung

(19)

d( 1 — xs)

dP”(x)

dx

dx

+ (n(n +1) — *

)Pvn( x) =5= 0

genügt.

nutzung des Laplace'sehen Integrals auf eine der Gleichung (16) analoge Entwicklung geführt wird.

42) Jacobi, J. f. Math. 2 (1827), p. 223; Werke 6, p. 21.

Auch für Pvn(x) lassen sich, ebenso wie für Pn{x), noch andere Reihen aufstellen, z. B. eine der Reihe (4b) analoge, ferner existieren noch andere Integraldarstellungen; endlich lassen sich auch diese Funktionen als hypergeometrische Reihen oder in Determinantenform darstellen. Dass die Wurzeln der Gleichung Pvn(x) — 0 sämtlich reell sind und zwischen — 1 und -f- 1 liegen, und dass die von + 1 verschiedenen Wurzeln unter einander verschieden sind, folgt unmittelbar aus Nr. 4.²⁹).

9. Integralsätze der Zugeordneten. Den Integralsätzen (12) und (12a) entsprechen die folgenden:

J‘Pvn(x)Pvm(x)dx = 0,

(20a)    /[*,.(*)]•*, -(- 1)’ sr₊₁    _ ₁₀,,

(20)

(n -f- v)! (n —- v)\

wo n und m von einander verschiedene positive ganze Zahlen sind, die nicht unter v liegen. Den Formeln (20) treten noch die folgenden zur Seite:

j    j

(21a)

(21)

dx

— a?²

dx

(— l)v (n — v) ! (n -j- v) ! v (1 • 3 • . • (2n — l))²

Hiernach sind zweierlei Arten von Entwicklungen nach zugeordneten Kugelfunktionen möglich, einerseits solche mit konstantem Nebenindex v, andererseits solche mit konstantem Hauptindex n, wobei festzuhalten, dass stets n^v. Ebenso lassen sich zweierlei Rekursionsformeln aufstellen, einmal solche zwischen Pvn, Pvn + 1, Pvn~¹, sodann solche zwischen Pvn, Pv + i, Pr und F. Neumann, Beiträge, Anhang zur

10. P. Neumann’s Definition dieser Punktionen. Abweichend von Heine definiert F. Neumann die zugeordneten Kugelfunktionen, die er abgeleitete nennt. Er setzt³⁰)

— xi

, n v > 0.

-l

-i-

Ygl. Heine, H. B. 1, p. 259 ersten Abt. § 5.

¹

   Legendre, Sur l’attraction des sphéroïdes ; Mém. prés, à l’Acad. par divers savans, 10, Paris 1785. — Über die Priorität von Legendre gegenüber Laplace, vgl. Heine, H. B. 1, p. 2. — Ausser in der Einleitung zu Heine's, Handbuch finden sich historische Angaben bei J. Todhunter, A history of the mathematical theories of attraction and the figure of the earth, from the times of Neivton to that of Laplace, 2 Bde., London 1873.

²

   Laplace, Théorie des attractions des sphéroïdes et de la figure des planètes, Mém. de l’Acad. Année 1782, Paris 1785; vgl. auch Mécan. cél. 2 und 5.

³

   Gotting. Gelehrte Anzeigen 1828; vgl. Gauss' Werke, 6, p. 648.

⁴

   E. Beltrami, Sur la théorie des fonctions sphériques, Par. C. R. 116 (1893), p. 181. — Vgl. auch M. Hamburger, Arch. Math. Phys. (3) 2 (1901), p. 43—48.

⁵

Dieser Satz rührt von G. Bauer her, vgl. dessen Habilitationsschrift.

⁶

   Gauss, Gott. Comm. 3 (1816); Werke 3, p, 163—196. Eine einfache Ableitung der Gauss’sehen Resultate giebt Jacobi, J. f. Math. 1 (1826), p. 301—308; vgl. Werke 6, p. 3—11.— Ygl. im übrigen II A 2 (Foss), Nr. 52—55.

⁷

   Thomson und Tait, Th. Ph. 1, p. 175; Maxwell, Electr. 1, p. 164 der ersten englischen, p. 208 der deutschen Ausgabe.

⁸

   Laplace, Mécan. cél. 5, Liv. XI, chap. IL — Betreffs der Ableitung vgl. Jacobi, J. f. Math. 26 (1843), p. 81; Werke 6, p. 148.

⁹

   Die Gleichheit der rechten Seiten von (7) und (7 a) für reelle positive x ist in der oben citierten Jacobi •’sehen Arbeit nachgewiesen; Jacobi leitet sogar ein noch etwas allgemeineres Resultat ab. Übrigens ist die Gleichheit der beiden Integrale schon in einer Euler ’sehen Formel enthalten; vgl. Euler, Instit. calc. integr. 4 (1794), Supplem. IY.

¹⁰

   J. f. Math. 17 (1837), p. 35; Werke 1, p. 283.

¹¹

   Math. Ann. 5 (1872), p. 141. Ohne Benutzung der Dirichlet’sehen

¹²

Formeln ist die erste Gleichung (8) von Bruns abgeleitet oder vielmehr verificiert,

¹³

J. f. Math. 90 (1881), p. 322.    '    ■ -

¹⁴

Lament, J. de math. (3) 1 (1875), p. 373.

¹⁵

   Diss. Berlin 1856. — Betreffs der Ableitung vgl. G. Bauer, J. f. Math. 56 (1859), p. 101. — Eine andere Rekursionsformel findet sich in ChristoffeVs Arbeit über die Gauss' sehe Quadratur, J. f. Math. 55 (1858), p. 61.

¹⁶

   Vorher schon von Bauer, Münch. Ber. 1875, p. 247; Ferrers, Spherical harmonics, 1877, und Adams, Lond. Roy. Proc. 27 (1878), p. 63.

¹⁷

   Vgl. Heine, H. B. 1, § 20; ferner Most, J. f. Math. 70 (1869), p. 167.

¹⁸

   B. Hargreaves, Lond. Math. S. Proc. 29 (1898), p. 115.

¹⁹

   Vgl. Heine, H. B. 1, p. 23 u. 37 und Schläfli, Kugelf. m. bei. Par.

²⁰

   Bruns leitet in der schon oben erwähnten Arbeit (J. f. Math. 90, p. 322) aus einem allgemeineren Integral, von dem das Mehler’sche ein spezieller Pall ist, die wichtigsten Eigenschaften der Kugelfunktionen her.

²¹

   K. Baer, Progr. Realschule Kiel, 1898.

²²

   Murphy geht in elementary principles, Cambridge 1833, von der Eigenschaft aus, dass eine Funktion f{x) vom Grade n gesucht wird, so dass

i

J"tvf(t)dt = 0, v — 0, 1, . . o

vgl. Thomson und Tait, Th. Ph. 2, p. 328. — Die Aufgabe, eine Funktion f(x) dieser Bedingung gemäss zu bestimmen, ist zuerst von Jacobi, J. f. Math. 1 (1826), p. 301, Ges. W. 6, p. 3, behandelt.

²³

   Diss. Leipzig 1887; Leopold. N. A. 52 (1888). — Ygl. Nr. 20.

²⁴

   Report of the British Association for the year 1879. Neue Tafeln bis p(²⁰) bei A. Lodge, Lond. Trans. 203 A (1904), p. 100.

²⁵

   Diese Tafel, unter der Leitung von Perry berechnet, ist zuerst veröffentlicht im Phil. Magaz. (5) 32 (1891), p. 512.

²⁶

   Anhang zur ersten Abteilung, § 7.

²⁷

   Dissertatio Berol., 1842, § 7—8.

²⁸

   Jacobi, J. f. Math. 26 (1843), p. 81; Werke 6, p. 148. Jacobi entwickelt ferner die — (n -f- l)te Potenz des links stehenden Ausdrucks. — Beltrami hat neuerdings [Lomb. Rend. (2) 29 (1896), p. 793] gezeigt, wie man auch ohne Be-

²⁹

   Betreffs der geometrischen Darstellung von P"(x) im reellen Gebiet vgl. die 36) angeführte Dissertation von B. Olbricht. Dort sind auch für die P”, resp. für Verallgemeinerungen derselben (vgl. Nr. 26) die verschiedenen möglichen Darstellungen durch hypergeometrische Reihen abgeleitet.

³⁰

   F. Neumann, Beiträge, p. 2—3; Vorlesungen über Potentialtheorie etc., p. 70 u. 322. An letzterer Stelle wird der Ausdruck „adjungierte Funktionen“

(22)

so dass

(22a)

= (- 1)

\v 1 • 3 • • • (2w — 1)

(n — v)l

Pv"{x)

und Pn

ist. Der konstante Faktor ist hier so bestimmt, dass P, identisch werden.

IV. Darstellung der allgemeinen Kugelfunktion.

11. Darstellung der allgemeinen Kugelfunktion zweier Veränderlichen durch Zugeordnete. Durch die Einführung der zugeordneten Kugelfunktionen sind die Mittel für die Darstellung der allgemeinen Kugelfunktion gewonnen. Dieselbe genügt, als Funktion von g und co betrachtet, der Gleichung (1). Setzt man zur Lösung derselben cp gleich dem Produkte zweier Funktionen, deren eine nur von g, die andere nur von co abhängt, so ergiebt sich für letztere cos (vœ), resp. sin (Vra), und wegen der Eigenschaften der Kugelfunktion muss v eine ganze Zahl sein, die n ist. Der zweite Faktor genügt dann der Gleichung (19), und zwar kann nur dasjenige partikuläre Integral von (19) in Betracht kommen, das eine ganze Funktion von g und ]/l — g² ist, d. h. Pv"(g). Somit ist eine Lösung von (1), die auch allen sonstigen Bedingungen genügt,

(23)

P,*(g) cos iy&), resp. P/(g) sin (vco).⁴⁵)

Solcher Lösungen existieren, da v alle ganzzahligen Werte von 0 bis n annehmen kann, 2n -{- 1. Die Summe aller, jede mit einer willkürlichen Konstanten multipliziert, genügt ebenfalls allen Bedingungen. Somit hat man für die Kugelfunktion mit zwei Veränderlichen (auch allgemeine Kugelfunktion oder nach dem Autor, bei dem sie zuerst auftritt⁴⁴), Laplace’sehe Funktion genannt), falls noch g = cos of gesetzt wird, die Darstellung:

(23 a)

Yn(&, a) = ^?[AV cos (von) -f- Bv sin (ya)]Pvn(cos d).

gebraucht. Laplace (Mécan. cél. 2, Livre Ilf chap. 2) hat zwar für die Zugeordneten keine besondere Bezeichnung eingeführt; seine Darstellung der allgemeinen Kugelfunktionen mit zwei Yariabeln stimmt aber (bis auf den Faktor (— 1)'-mit Heine’s Darstellung überein. — Thomson und Tait sowie Maxwell folgen Laplace, Beltrami schliesst sich Neumann an.

45) Eine andere Ableitung dieser Funktionen findet sich bei E. Beltrami, Lomb. Rend. (2) 29 (1896), p. 793.

46

Encyklop. d. math. Wissensch. II.

Wegen der (2n -f~ 1) willkürlichen Konstanten, die in Yn(ff, cp) enthalten sind, sieht man, dass die konstanten Faktoren, um die sich die verschiedenen Definitionen der Zugeordneten unterscheiden, in Yn von keiner Bedeutung sind, auch nicht der Faktor (— l)² . ¹)

Die Funktionen (23) werden von Thomson und Tait sowie von Maxwell als „tesserale harmonische Funktionen“ bezeichnet. Sie verschwinden nämlich auf solchen Kreisen einer Kugelfläche, welche diese Fläche in Kugelvierecke teilen, die je von zwei Parallelkreisen und zwei Meridianen begrenzt werden. Für den Fall v = n gehen die Vierecke in Kugelzweiecke über, weshalb diese Funktionen auch „sektorielle harmonische Funktionen“ heissen, während für v = 0 Zonen an Stelle der Vierecke treten, womit die Bezeichnung der einfachen Kugelfunktionen als „zonale harmonische Funktionen“ (vgl. Nr. 2) gerechtfertigt ist.

12. Darstellung von Yn bei Maxwell und Thomson und Tait.

Maxwell definiert die allgemeine Kugelfunktion oder harmonische Kugelflächenfunktion durch die Gleichung:

(24)

c.

« rn_^    _d_____d_ /t\

n\ d\ d\    dlin \r/

g

Darin sind r, ff, cp räumliche Polarkoordinaten eines Punktes, bezeichnet die Differentiation nach einer beliebigen Richtung (Axe) hif C eine willkürliche Konstante²). Fallen die n Axen mit der #-Axe zusammen, so erhält man die zonale harmonische Funktion [Gl. (6)], für die zugleich (7=1 genommen wird. Die tesseralen Funktionen ergeben sich dadurch, dass man n — v Pole (Schnitte der Axen mit der Kugel) mit dem positiven Pole der Kugel zusammenfallen lässt und die übrigen Pole gleichmässig auf dem Äquator oder seiner Hälfte verteilt, je nachdem v ungerade oder gerade ist.

Thomson und Tait leiten aus ihrer Definition der räumlichen harmonischen Funktionen für die tesseralen und sektoriellen Funktionen den Ausdruck ab:

(25)

ytfl + 1

dx*'dykdzl

x, y, z sind dabei rechtwinklige Koordinaten, r — yx² -J- y² -f- z². Auch aus (24) und (25) lässt sich (23 a) ableiten³).

(26)

13. Das Additionstheorem der einfachen Kugelfunktionen. Einen speziellen Fall der allgemeinen Kugelfunktion bildet die einfache Kugelfunktion POT(cos y) mit dem zusammengesetzten Argument cos y — cos ff cos -f- sin ff sin 0'₁ cos (o> — œ₁).

Da diese Funktion aus Pn (cos ff) oder Pn (cos ff^) durch eine Transformation der Axen hervorgeht, so muss sie nach einer in Kr. 1 gemachten Bemerkung, sowohl wenn man sie als Funktion von ff, co, als auch wenn man sie als von ff^, abhängig ansieht, in der allgemeinen Form (23 a) enthalten sein. Ausserdem kann sie als ganze Funktion von cos y nur Kosinus der Yielfachen von co — cjx enthalten. Das giebt die Entwicklung:

(27) Pn (cos y) — Pvn (cos ff)Prw (cos ffx) cos v (a — o?₁),

und zwar ist

(27 a)

[1 • 3 • • • (2w — l)]²

(n -f- v) ! (n — v) ! ,

wobei für v = 0 die Hälfte dieses Ausdrucks zu nehmen ist⁴).

Gleichung (27) heisst das Additionstheorem der Kugelfunktionen erster Art. Pn (cos y) selbst bezeichnet man wohl auch als Laplace’sehen Koeffizienten⁵) oder als „zweiaxige harmonische Flächenfunktion“⁶ 7 8). Den Wert der Konstante hv bestimmt Laplace5S) für gerade n -— v,

indem er ff = ff^ — - setzt und (27) mit (4b) vergleicht. Für ungerade n — v muss man (27) zuerst nach ff und &₁ differentiieren und dann ff = ff^ = ~ setzen. Eine andere Art der Bestimmung

von hv ergiebt sich daraus, dass man von vorne herein an Stelle von cos ff und cos fi,₁ zwei Variable x und xx nimmt, die auch grösser

46

als 1 sein können, also Pn mit dem zusammengesetzten Argumente z — xxx — ]4r² — 1 W — 1 cos (tu — raj betrachtet, dafür die

bildet und mit

Gültigkeit der Form (27) nachweist, dann lim

X = co

(16) vergleicht⁹). Jacóbi leitet (27) daraus ab, dass er den Ausdruck (3), darin z statt £ gesetzt, durch ein bestimmtes Integral ausdrückt und nach Potenzen von a entwickelt¹⁰).

Ausser der obigen Entwicklung vonPw(cos^) giebt P.A. Hansen¹¹ 12) eine solche nach Potenzen von sin Ą (ra — raj oder tg Ą (ra — raj. Ferner entwickelt Hansen auch noch die Funktion Pn (cos a • cos ß) nach Kosinus der Vielfachen von ß.

14. Integralsätze der allgemeinen Kugelfunktionen. Für die

allgemeinen Kugelfunktionen hat Laplace¹¹) folgende Integralsätze gefunden. Ist Yn(&, ra) die Funktion (23a) und ist Zm(J}, ra) eine Funktion derselben Art von der Ordnung m, deren Konstante mit Av', JBV' bezeichnet werden mögen, so ist

7t    2 7t

(28)    fadJ^da sin ttKre(tt, rn)Zm(d’, ra)

o 0

7t    2 Tt

'fdd'Jda sin tt Yn(&, ra)Zn(tt, ra)

o o

•{2-«! n! 4,i,' ₊2(n-v)\(n + v)\{A„A;-{-B,]]:

— 0, falls m^n,

während

(28a) \°

2 Tt

2w+l (1 • 3 • • • (2« — l))²

ist. Wird speziell Zm(&, ra) = Pm(cos y), wo cos y der Ausdruck (26), so bleibt Gleichung (28), während (28a) in folgende übergeht:

7t    2 7t

(28b) fd&Ji

0    0

do sin tt Yn (tt, ra)Pw(cos y) —

2w -f-1

Yn(&1, »l)‘

Ist cos y der Ausdruck (26),

cos yx = cos tt cos tt₂ -f- sin tt sin tf₂ cos (ra — ra₂), cos d — cos d-x cos tt₂ -j- sin at± sin tt₂ cos (raL — ra₂), so folgt aus (28 b)

7t 2 7t

(28c) J*dftJ*da sin flPw(cos y)Pn(cos jq) —    l Pn(cos d),

o o

und für fl₂ — fl^, a₂ — a₁ ergiebt sieb weiter 7t 27t

(28 d)

2n-f 1

J*dftf da sin -9- [P”(cos y)]: o o

15. Entwicklung einer Funktion zweier Variabein nach. Kugelfunktionen. Die Gleichung (28b) giebt die Mittel, um, falls die Entwicklung einer beliebig auf der Kugelfläche gegebenen Funktion in eine gleichmässig konvergente Reihe nach Kugelfunktionen möglich ist, die einzelnen Glieder dieser Entwicklung zu finden. Es wird nämlich

7t    2 7t

(29)

ffa <o) =2 2n±t"¹ f fa f d(0i sin    °h)pw(cos y).

n 0 0

0 <C -fl <! jt, 0<^a <2n.

Dass die einzelnen Glieder der rechten Seite von (29) die Form von Kugelfunktionen haben, folgt aus (27), wenn man beachtet, dass die in Bezug auf fl^, a₁ vorzunehmenden Operationen die Faktoren Pvn(cos fl) cos (va) und Pv”(cos fl) sin(vco) ungeändert lassen. Ferner erkennt man mittelst der Integralsätze in Nr. 14, dass, falls eine Funktion nach Kugelfunktionen in eine gleichmässig konvergente Reihe entwickelt werden kann, dies stets nur auf eine Art möglich ist. Ohne weiteres ergiebt sich die Möglichkeit der Entwicklung für ganze Funktionen der Koordinaten |, rj, £ eines Punktes der Kugel, da hier die Reihe (29) endlich ist⁵⁷).

16. Beweis für die Gültigkeit der Entwicklung nach Dini und Heine. Von äusserster Wichtigkeit ist die Frage, unter welcher Bedingung Gl. (29) gültig ist, d. h. die Frage, wie f beschaffen sein muss, damit die Reihe konvergiert und die Summe wirklich /’(fl, a) darstellt. Diese Frage ist zuerst von S.D. Poisson⁵⁸) behandelt; seine Ableitung gilt aber nur unter gewissen einschränkenden Bedingungen über die Natur der zu entwickelnden Funktion, insbesondere über die Kontinuität ihrer Differentialquotienten, Bedingungen, die für die

57) Über die Zerlegung einer homogenen ganzen Funktion von §, 97, £ in Kugelfunktionen vgl. eine Bemerkung aus dem Nachlass von Gauss, Werke 5, p. 630.

58) Connaiss. des temps pour 1831; Théorie de la chaleur, Paris 1835,

p. 212.

Gültigkeit von (29) nickt notwendig sind. Das zeigte Dirichlet⁵⁹) der, gestützt auf den DiricJilet'sehen Integralausdruck für Pw(cos y) (Nr. 5), die Aufgabe in ähnlicher Weise behandelte wie bei den trigonometrischen Reihen. Heute gilt dieser Beweis nicht mehr als völlig genügend, da er die Differentiierbarkeit einer gewissen Hülfsfunktion verlangt, ohne dass man angeben kann, welche Eigenschaften die zu entwickelnde Funktion besitzen muss, damit jene Differentiation möglich ist. Auch der später von 0. Bonnet gegebene Beweis⁶⁰) verlangt von der Funktion f eine gewisse Eigenschaft, die für die Möglichkeit der Entwicklung nicht unbedingt nötig ist. Die Behandlung der Frage ist aufs neue 1874 von U. Bini aufgenommen, und der Dini-sche Beweis ist später von E. Heine⁶¹) in einem wesentlichen Punkte modifiziert, resp. ergänzt. Der Gedankengang des modifizierten Beweises ist folgender:

Zunächst wird, wie bei Diriclilet, das Integral (29) durch Verlegung des Poles in den Punkt ft, <p transformiert. Das giebt dasselbe Resultat, als wenn man & — 0, d. h. cos y — cos ^ setzt. Das Integral nach œ₁ stellt dann das mit 2 7t multiplizierte Mittel der Werte von fip'x, (%) auf dem Parallelkreis <0^ dar. Dies Mittel sei F Sodann kann man die Summe Sn der n ersten Glieder mittelst der Formel (15a) als Summe zweier Integrale ausdrücken, deren erstes

7t

/m) 0

(29 a)

dPn( coa&j)

dfr₁

ist. Zerlegt man dies Integral in Teilintegrale, deren erstes und letztes die Grenzen rj und £ (s. unten) haben, während die Grenzen

dPn

— 0 sind, wendet

der übrigen die Wurzeln von Pn — 0 und

auf letztere den ersten Mittelwertsatz an und geht dann zu n — oo über, so findet man durch Benutzung von (9), dass diese Teilintegrale verschwinden. Es bleiben daher nur Integrale der Form (29 a) zu untersuchen, deren Grenzen 0 und r\, resp. £ und 7t sind, unter rj eine Grösse verstanden, die sich mit wachsendem n der Null beliebig nähert, doch so, dass lim PM(cos rj) — 0 ist, während £ sich in

71 — CO

derselben Weise dem Werte 7t nähert. In der exakten Untersuchung

59)    J. f. Math. 17 (1837), p. 35—56; Werke 1, p. 283—306.

60)    Bonnet, Brus. mém. cour. (4°) 23 (1850), § IV, p. 65; mit geringen Änderungen Thèse de mécan., J. de math. 17, 1852.

61)    U.Dini, Ann. di mat. (2) 6, 1874; Heine, H. B. 1, p. 435 ff. — Vgl. auch H. B. 2, p. 361, Anmerkung. •

dieser Integrale bestellt wesentlich Heine's Ergänzung des Fini'sehen Beweises. Durch Anwendung des zweiten Mittelwertsatzes findet er

lim Sn = F(0),

n = co

und zwar nähert sich Sn — _F(-f- 0) für alle Werte eines etwa in F enthaltenen Parameters der Null in gleichem Grade. Kehrt man durch Transformation der Koordinaten zum allgemeinen Falle zurück, so ergiebt sich als Summe der Reihe (29) das arithmetische Mittel aller Werte, welche /(ff, gj) auf einem um den Punkt ff, co mit dem Radius y beschriebenen Kreise für y — 0 annimmt. Die einzige Voraussetzung, die bei dem Beweise betreffs der zu entwickelnden Funktion f gemacht wird, ist, dass F(y) endlich, ferner in der Nähe von y — 0 kontinuierlich ist und an letzterer Stelle nicht unendlich viele Maxima und Minima hat.

17. Andere Beweise. In demselben Jahre wie die Fini'sehe erschien eine Arbeit von 6r. Farboux¹³) über dieselbe Frage. Farboux beginnt ganz ähnlich wie Fini, wendet aber auf die Teilintegrale,

dPn

die Fini durch Benutzung der Wurzeln von = 0 nochmals zerlegt, teilweise Integration an. Er setzt demgemäss voraus, dass Ffö^ im allgemeinen eine kontinuierliche Funktion ist, die nur eine endliche Zahl von Diskontinuitäten enthält.

Durch Betrachtungen anderer Art gelangt C. Neumann¹⁴) zum Ziele. Er bestimmt die Grenze des Integrals (29 a) unter der Voraussetzung, dass die Funktion F (fft) innerhalb des Intervalls 0 bis 7t abteilungsweise stetig und abteilungsweise monoton (d. h. nur wachsend oder nur abnehmend) ist, indem er das Integra! in Teilintegrale teilt, deren Grenzen feste, der Funktion F eigentümliche Punkte sind, und den zweiten Mittelwertsatz anwendet. Die obige Voraussetzung kann man auch so aussprechen, dass die Kugelfläche durch irgend welches Netz von Kurven in eine endliche Anzahl von Teilen zerlegt werden kann, und dass auf jedem solchen Teile /'(ff, œ) stetig ist; dabei darf keine jener Kurven unendlich viele Ecken noch unendlich viele Oscillationen besitzen.

In neuerer Zeit hat H. Poincaré¹⁵) einen neuen Beweis für die Entwicklung (29) mitgeteilt. Er denkt sich die zu entwickelnde Funktion als den Wert, den das Potential von Massen, die ausserhalb der

Kugel vom Radius 1 liegen, auf dieser Kugelfläche annimmt, und betrachtet zunächst den Wert W, den das Potential jener Massen für innere Punkte hat. Der Ausdruck für W wird transformiert und der transformierte Ausdruck für komplexe Werte von r (r Abstand vom Kugelmittelpunkt) untersucht. Dann lässt er den Modul von r gegen 1 konvergieren und zeigt, dass, falls r — eirk, W sich in eine Fourier-sche Reihe entwickeln lässt, diese aber geht für if = 0 in die Kugelfunktionenreihe über. Die Bedingungen für die Entwickelbarkeit sind bei Poincare: Man denke die Kugeloberfläche in eine endliche Anzahl von Bezirken geteilt, deren jeder durch eine endliche Anzahl von Bogen analytischer Kurven begrenzt wird; in jedem einzelnen dieser Bezirke soll /’($’, a) eine analytische Funktion sein, die beim Übergange zu einem anderen Bezirk diskontinuierliche Änderungen erleiden kann, aber endlich bleibt.

A. Sommerfeld¹⁶) leitet (29) dadurch ab, dass er alle Glieder der rechten Seite mit einem passenden, von t abhängigen Faktor multipliziert, derart, dass die Reihe sicher konvergent ist und für t = 0 in (29) übergeht. Es ist dann nur zu untersuchen, unter welchen Bedingungen bei dem letzten Grenzübergang die Konvergenz erhalten bleibt.

18. F. Neumann’s Entwicklung nach Kugelfunktionen auf Grund gegebener Beobachtungen. Die Aufgabe, eine Funktion nach Kugelfunktionen auf Grund gegebener Beobachtungen zu entwickeln, d. h. in der endlichen Reihe

*)

v — 0

die (n -f- l)² Konstanten so zu bestimmen, dass die Reihe für ebensoviel gegebene Werte von -fl, co durch Beobachtung gegebene Grössen darstellt, ist zuerst für den Fall n — 4 von Gauss¹⁷) gelöst. Eine einfache Methode zur Bestimmung der Konstanten ist von F. Neu-mann¹⁸) angegeben. Diese setzt allerdings voraus, dass die Punkte, für welche die Beobachtungen gegeben sind, in bestimmter Weise auf der Kugel verteilt sind, berücksichtigt aber auch den Pall, dass nicht alle Konstanten vollständig bestimmt zu werden brauchen, sondern dass z. B. von den höheren Yn nur das von m unabhängige Glied und die zunächst darauf folgenden in Frage kommen. Die Methode beruht auf folgenden Sätzen über endliche Summen von Kugelfunktionen, die den Integralsätzen (12), (12a), resp. (20), (20 a) analog sind. „Genügen die (2p -f- 2) Konstanten plf p₂, . . ., pp + 1} a1} a2} . . ., ap+1 den (2p -f- 2) Gleichungen:

(30)    +    -----=jx*dx, (i = 0,1,2, —,2jp-J— 1), so ist, falls m -f- n 2p -f- 1 ist,

p+1

(30 a)

oder = 0,

2n-\-l

je nachdem m — n oder    ist. Gleichzeitig sind die piy..., pp+t

Wurzeln der Gleichung P(p + 1) (p) = 0.“ Ein analoger Satz existiert auch für die zugeordneten Kugelfunktionen.

Y. Kugelfunktionen zweiter Art.

19. Die Kugelfunktion zweiter Art Qn. Die Kugelfunktion erster Art Pn(x) ist ein solches partikuläres Integral der Gleichung (2) (deren unabhängige Variabele jetzt mit x bezeichnet werden möge), das für alle endlichen Werte von x endlich und kontinuierlich ist, für x — oo aber unendlich wird. Ein zweites partikuläres Integral dieser Gleichung hat die Form¹⁹):

(31)

JlP

•(*>/

dx

(xÿ— l)Pn(x)Pn(x) '

Dasselbe ist daher für x — + 1 logarithmisch unendlich und verschwindet für x = oo. Man nennt dies zweite Integral, wenn man noch h = -j— 1 setzt, die Kugelfunktion zweiter Art und bezeichnet diese Funktion mit Qn(x). Für Qn(x) erhält man aus (31) die Reihe:

x-(n+3)

Qn(x) =

(31a)

3 • 5 ■ • • (2w -j- 1) {X (W + 1) +

(w-f l)(w + 2)

2 .(2w+ 3)

I (n + ¹)(^ + ²)(n + 3)(n + 4) _ (M + 5) I    \

'    2-4-(2« + 3)(2«-f 6)    '    I

eine Reihe, die für j x j > 1 konvergiert. Man erhält dieselbe Reihe auch neben Pn(x), wenn man der Gleichung (2) durch eine nach absteigenden Potenzen von x fortschreitende Reihe zu genügen sucht. Das Bildungsgesetz der Reihe (31a) ist dasselbe wie das der Reihe (4), wenn man in letzterer — (n -f- 1) an Stelle von n setzt. Dieselbe Reihe ergiebt sich auch, wenn man x^_y nach steigenden Potenzen von ^ entwickelt, die einzelnen Potenzen von y mittelst der

Formel (13) durch Kugelfunktionen ausdrückt und die Kugelfunktionen mit gleichem Index vereinigt⁶⁹), und zwar wird

(32)

~    +1 )P'(s)or{x),

J    n — 0 eine Reihe, die zu ihrer Gültigkeit erfordert, dass Mod (y—]/y²— l) > Mod (x — ]/x² — l) ist, wobei x und ]/x²— 1, ebenso y und Yy² — 1 dasselbe Vorzeichen erhalten⁷⁰).

20. Das F. Neumann’sche Integral für Qn. Aus (32) ergiebt sich für Qn(x) das F. Neumann'sehe Integral⁷¹):

(33)

-i

von dem sich, wie es Neumann tut, auch direkt zeigen lässt, dass es der Gleichung (2) genügt, und dass daher seine Gültigkeit nicht, wie bei der Reihe (31a), auf Ja?)>l beschränkt ist, dass es vielmehr die Funktion Qn(x) für beliebige x, mit Ausnahme allein der reellen echt gebrochenen x, darstellt. Aus (33) folgt folgende Darstellung⁷²):

69)    Heine, J. f. Math. 42 (1851), p. 72.

70)    Beweise fiir die letzte Behauptung von Heine (H. B., erste Auflage); Thomé, J. f. Math. 66 (1868), p. 337, und Laurent, J. de math. (3) 1 (1875), p. 373. Der Laurent'sehe Beweis ist in der zweiten Aufl. von Heine's, H. B. 1, p. 197, reproduziert. — C. Neumann bringt Gl. (32) mit einem bekannten Satze von Cauchy in Verbindung und leitet daraus die Entwicklung einer Funktion nach Kugelfunktionen erster und zweiter Art her, vgl. die oben zitierte Monographie, Halle 1862.

71)    F. Neumann, J. f. Math. 37 (1848), p. 21. — Vgl. auch F. Neumann, Beiträge 1; F. Neumann, Vorles. über Potential, p. 311. Die Neumann’sehe Funktion Qn{x) ist das Hoppelte der Heine'sehen Funktion Qn(x), da in der Neumann'sehen Definition der Faktor \ fehlt.

^ _ rj*

72)    Diese Darstellung findet sich, mit t — —-— als unabhängiger Variabler, schon bei B. Murphy, Cambr. Trans. 5S (1835), p. 338.

<!“(*) = •§■ -P"<X')os (~i) — Klx),

(84)

wo Bn(x) eine ganze rationale Funktion von x ist vom Grade n — 1, ferner B₀ — 0, Bx — 1. Die Ergänzungsfunktion Bn hat E. Christoffel in eine nach den Kugelfunktionen Bn~¹, P”⁻³,... fortschreitende Reihe entwickelt, Schläfli und Hermite⁷³) finden dafür die Reihe

(34 a)

Rn0

Die Gleichung (34), deren Gültigkeit für beliebige x sich aus der Differentialgleichung (2) ergiebt, zeigt das Verhalten von Umkreisung der singulären Punkte + 1. Um für Qn(x) einen eindeutigen Wert zu erhalten, denkt sich Heine⁷⁴) die Punkte x—-\-l und x = — 1 durch einen Querschnitt verbunden und definiert Qn(x) so, dass für reelle x > 1 der reelle Wert des Logarithmus zu nehmen ist, während für Punkte des Querschnitts Qn(x) die halbe Summe der Werte darstellt, die sie hätte, wenn das Argument das eine Mal eine positive, das andere Mal eine negative halbe Drehung um 1 aus jenem Hauptwerte macht. Diese Festsetzung hält Schläfli7Ö) mit Recht für unzulässig, weil die so definierte Funktion der Differentialgleichung (2) in der Umgebung des Querschnittes nicht genügen würde.

Mittelst des Neumann’sehen Integrals ergeben sich für Qn(x) teils genau dieselben Rekursionsformeln wie für En(x), teils ganz analoge. Speziell gilt die erste Gleichung (14) und die Gleichung (15 a) in Kr. 6 auch für (P; doch tritt an Stelle der zweiten Gleichung (14) die Gleichung

Qn(x) bei

(35)

Ferner folgen aus

Q\x) — xQ\x) +1 = 0. (33), resp. (34) die Werte

von

$+0), resp.

von

73)    Vgl. die bei Nr. 6 citierten Arbeiten von Christoffel. — Schläfli, Kugelff. m. bei. Par., p. 61; Hermite, Teixeira Jornal de Seien, math. 6 (1884), p. 81.

74)    Heine, H. B. 1, p. 128; Heine’s, Festsetzung kommt darauf hinaus, dass für reelle x zwischen — 1 und -j- 1

ist.

e» = 4 -p” w iog (+) - Rn (x)

75)    Schläfli, Kugelff. m. bei. Par., p. 26.

76)    F. Neumann, Beiträge, p. 64 ff. Dort sind auch rekurrente Relationen für die Funktion Bn (s. 34a), sowie solche zwischen den P einerseits, den Q andererseits angegeben.

21, Entwicklung von Qn nach, steigenden Potenzen. Eine nach steigenden Potenzen von x fortschreitende, für \x\<Cl konvergierende Reihe erhält man mittelst der Differentialgleichung (2). Man kann nämlich dieser Gleichung auch durch die folgenden beiden Reihen genügen, deren eine abbricht, die andere für | x | < 1 konvergiert:

x² -f-

M= 1 —

n(n— 2) (n-\-1) (n-j- 3)

x⁴----

(36)

F{~\I

-    x²)

2’    2 ’ 2* J>

N= x —

(n — 1) (n-\-2)

x³ -f-

(n — 1) (n — 3) (n -f- 2) (n -f- 4)

X⁵----

xF(-

<N

CO |<M

CM

«

Dann ist für gerade n:²⁰)

(36 a)

p*(*) = (- i) «■(*) = (-1)¹”

Jf,

für ungerade n dagegen:

(36 b)

' P*(a) = (- 1) 0*0 - (— 1)

— l)

-_jy

2 • 4 • • - 0—1)    >

^■(m+1) 2 • 4 • • • (n — 1)

~Fn{x) lg(— 1).

¹

   Betreffs des Beweises, dass (23 a) die allgemeinste in Nr. 1 definierte Funktion darstellt, vgl. M. Dedekind, Zürich Yiertelj. 4 (1859), p. 346. — Über die Transformation der Kugelfunktionen beim Übergang von einem Polarkoordinatensystem zu einem andern vgl. Ad. Schmidt, Zeitschr. f. Math. 44 (1899), p. 327.

²

   Bei Maxwell fehlt der Faktor (7, der jedoch dann hinzuzufügen ist, wenn Yn die allgemeine Funktion mit (2w-J-l) Konstanten sein soll.

³

   Betreffs der geometrischen Bedeutung der Kugelfunktionen vgl. Gauss Werke 5, p. 631; Heine, J. f. Math. 68 (1868), p. 386.

⁴

   Ersetzt man die Heine'sehe Funktion Pf (cos ff) durch die Neumann-

(yi — v) t

sehe Pnv (cos ff) (vgl. Nr. 10), so wird hv = 2 )    ■ : ’ , wobei wieder für v — 0

die Hälfte zu nehmen ist.    {n-\- v).

⁵

   Gl. (27) kommt in richtiger Form zuerst bei Legendre (Paris mém. von 1789) vor, während die entsprechende Gleichung in Laplace’s Abhandlung von 1782 fehlerhaft ist.

⁶

   Thomson u. Tait, Th. Ph. 1, p. 174.

⁷

   Laplace, Mécan. cél. 2, Livre III, chap. II. — Eine andere Methode der

⁸

Bestimmung von hv findet man hei F. Neumann, Vorles. über Potential, p. 71 ff.

⁹

   Seine, H. B. 1, p. 313.

¹⁰

   Jacobi, J. f. Math. 26 (1843), p. 81; Werke 6, p. 148.

¹¹

   Hansen, Leipz. Abh. 2, 1855.

¹²

   Mécan. cél. 2, Livre III, chap. II.

¹³

   Darboux, J. de math. (2) 19 (1874), p. 1.

¹⁴

   C. Neumann, Entwickelungen, Kap. IV.

¹⁵

   Poincaré, Par. C. R. 118 (1894), p. 497.

¹⁶

   Sommerfeld, Dissertation Königsberg i. Pr. 1891. — Ein ähnliches Verfahren, wenn auch nicht so exakt durchgeführt, hatte schon Poisson benutzt, J. éc. pol. cah. 19 (1823), p. 145; vgl. dazu das Referat von H. Burkhardt, D. Math.-V. 10 (1902), p. 380.

¹⁷

   Gauss, Resultate aus den Beobacht, d. magnet. Vereins für 1838, Leipzig 1839; Gauss, Werke 5, p. 119.

¹⁸

   F. Neumann, Astron. Nachr. 15 (1838), p. 313; wieder abgedruckt Math. Ann. 14 (1879), p. 567. — Vgl. F. Neumann, Vorl. über Potentialtheorie, Kap. VII. — Über neuere hierher gehörige Untersuchungen vgl. das Referat von H. Burkhardt, D. Math.-V. 10 (1902), § 34, p. 388.

¹⁹

Vgl. N. H. Abel, J. f. Math. 2 (1827), p. 22; Abel's Werke 1, p. 251 ; ferner Euler, Instit. calcul, integr. 2, sect. I, cap. IV. — S. auch die Habilitationsschrift von G. Bauer.    ...

²⁰

   Heine, H. B. 1, p. 147; F. Neumann, Beiträge, p. 57.

Von anderen Reihen für

22. Integraldarstellung von Qn.

Qn(x) erwähnen wir noch eine nach Potenzen von x — ~\/x²—1; ferner für x — cos ff eine nach Kosinus der Vielfachen von ff fortschreitende, sowie verschiedene Darstellungen in Form hypergeometrischer Reihen¹). Durch bestimmte Integrale lässt sich Qn ausser durch (33) u. a. noch folgendermassen darstellen:

CO

(37)

du

+i

On(x) — / -

J [x-j~ cos (iu) ]/0² — l]

(1-fYdf

n+ 1

-i

(x-n

n+ 1

Das erste dieser Integrale gilt für beliebige x\ nur ist ]/x²— 1 für reelle x mit demselben Vorzeichen zu nehmen wie x\ das zweite Integral gilt nicht für reelle gebrochene x.

Auch die Frage ist untersucht, welches die erzeugende Funktion für

Qn(cc) ist, d. h. welche Funktion an Stelle von (3) treten muss, damit bei der Entwicklung nach Potenzen von a die Qn(x) statt der Pn(x) als Koeffizienten auftreten²). Angenäherte Ausdrücke der Qn(x) für sehr grosse n findet man hei Heine und Stieltjes³). Die Lage der Wurzeln der Gleichung Qn (x) = 0 ist von Hermite und Stieltjes erörtert⁴). Ferner hat Hargreaves⁵) noch die Werte der Integrale

1 00 1

J^[Qn(xj]² dx, JQn(xjf dx, j*Qn (x)Pn (x) cl x

0 10

bestimmt.

23. Zusammenhang zwischen Kugelfunktionen und Ketten-brüehen. Endlich ist der folgende Zusammenhang zwischen Kugelfunktionen und Kettenbrüchen zu erwähnen. Entwickelt man den Ausdruck lg (x 1)—Ą lg —1) in einen Kettenbruch, so sind Zähler und Kenner des ntea Näherungsbruches die mit dem Faktor (1 • 2 • • • n) : (1 • 3 • • • (2n — 1)) multiplizierten Funktionen Pn(%) (Nr. 20) und Pn{x). Ferner ist Qn(x) : Pn(x) der Unterschied zwischen der zu entwickelnden Funktion und dem genannten Näherungsbruche⁶ 7).

24. Zugeordnete Funktionen der zweiten Art. Diese Funktionen hängen mit Qn(x) in derselben Weise zusammen wie die Zugeordneten der ersten Art mit Pn(x), und zwar definiert HeineM)

(38)    #(*) = (*»_ !)*'(_ 1)

r l-3-5---(2«+l) dvQn(x)

dxv

während F. Neumann⁸)

+1

(³8a) Qnv(x) = (l—x²)

FFQn(x)

Pn(y)dy

dxy

(x — y)v

-1

setzt, so dass

(38 b)

(n -f- v) !

1 • 3 ■ 6 • • -(2» + 1)

• 2 • q;(x)

ist. Qnv(x) genügt derselben Differentialgleichung wie P”(x) [Gl. (19) in Nr. 8], und zwar ist, falls v n, Qnv (x) ein solches partikuläres Integral jener Gleichung, das für x — + 1 unendlich wird, für x — oo verschwindet, während P” (x) für alle endlichen x endlich war, für x — oo aber unendlich.

Indem wir hinsichtlich verschiedener Reihenentwicklungen und Integraldarstellungen auf Heine’s H. B. 1, hinsichtlich der Rekursionsformeln sowie spezieller Werte von Qv(x) auf F. Neumann’s oben zitierte Schriften verweisen, erwähnen wir, dass sich mittelst der Funktion Q” ein Additionstheorem⁹ 10) für die Funktion Qn aufstellen lässt, ähnlich dem Additionstheorem für Pn (vgl. Nr. 13).

die merkwürdige Integralformel:

u. a.

Die Entwicklung von 1 : (oc — y) nach P” und Qnv hat F. Lindemann⁸¹) aufgestellt. Er findet

-i

25. Zugeordnete, deren Nebenindex den Hauptindex übersteigt.

Bei den Zugeordneten erster Art ist durch die Definition (s. Gl. (17) in Nr. 8) der Nebenindex v auf Werte beschränkt, die den Hauptindex n nicht übersteigen. Denn für v > n wird die vte Ableitung von Pn gleich Null, während die vte Ableitung von Qn nicht verschwindet. Diese Bemerkung führt darauf, die Integrale der Gleichung (19) (in Nr. 8) auch für Werte von v n zu untersuchen. Diese Untersuchung ist in F. Neumann’s Beiträgen durchgeführt¹¹). Indem Neumann das Integral von (19) in eine nach fallenden Potenzen von

x — 1 fortschreitende Reihe entwickelt, die mit dem Faktor (~ZN[)*

multipliziert ist, findet er, dass (19) nur für den Fall v<fn ein partikuläres Integral Pvn(x) besitzt, das in den beiden singulären Punkten x = —|— 1 und x — — 1 endlich bleibt und für x — oo unendlich wird, während das zweite partikuläre Integral Qvn(x) für x — + 1 unendlich wird und für x=oo verschwindet; dass dagegen für v > n die partikulären Integrale von (19) eine wesentlich andere Beschaffenheit haben. Hier existieren zwei partikuläre Integrale Snv(x) und Tnv(x), deren erstes für x— — 1 verschwindet und für x — -f- 1 unendlich wird, während das zweite umgekehrt für x = 1 verschwindet und für x — — 1 unendlich wird. Ausserdem werden beide noch unendlich für x = oo. Die konstanten Faktoren dieser Integrale bestimmt Neumann so, dass

Q«v(*0 = SnV O) — Tnv(x)

(v > n) so

wird, dass daher Snv— Tnv für x = oo verschwindet.

In Form von Integralen lassen sich Snv und T, darstellen:

(39)

= C— 1)’-1 (1 —

-■>*■/,

00

Pn(z)dz

(X — Z)

während in Tnv nur — 1 an Stelle von -f- 1 obere Grenze wird.

der Funktionen Snv, von x), vgl. F. Neumann's, Beiträge.

Wegen anderer Integraldarstellungen und Reihenentwicklungen Tnv (auch Reihen nach steigenden Potenzen

TI. Erweiterungen.

26. Kugelfunktionen, deren Index eine beliebige Zahl ist. Man kann den Begriff der Kugelfunktionen dahin erweitern, dass man statt einer ganzen Zahl eine beliebige Zahl als Index nimmt. Gelegentlich weist Heinesÿ) auf derartige Erweiterungen hin. Systematisch sind die einfachen Kugelfunktionen für beliebige Indices von Schläfli untersucht¹² 13), der den Index als Parameter bezeichnet. Schläfli definiert die Kugelfunktionen erster und zweiter Art für jeden reellen oder komplexen Wert des Index durch ausnahmslos gültige Integrale im komplexen Gebiete und leitet daraus durch blosse Addition von Integrationswegen die hauptsächlichsten Relationen zwischen den Kugelfunktionen her. Er stellt Fa(x) durch zwei verschiedene Integrale dar, eines im einblätterigen t-Felde, das andere im zweiblätterigen s-Felde:

(t²- l)a

(40)

I. P\x) =

n. =    (»W-ästf + l).

— x)a +¹

dt,

Der Weg des ersten Integrals ist für | x | > 1 ein mit. dem Radius Yx²— i

Integrals ist eine Doppelgerade, die von x -\-yä?— 1 zu x—Yx²—1 und zurück läuft; dabei hat aber w beim Hin- und Rückgang entgegengesetzte Vorzeichen. Aus (40) folgt:

(40 a)

Für Qa(x) werden die folgenden Formeln aufgestellt:

um

Æ beschriebener rechtläufiger Kreis, der Weg des zweiten

Pa(x) = P~⁽'a + X\x).

(41)

I Qa(x) =

¹ f₂a

2 i sin (n a) fJ

(x — t)a

(;t²— l)a+1

dt,

, .1- f ¹___

2 i sin (tc a) j 2a +1 (x — t)a + 1 Der Integrationsweg bei I geht in einer schleifenförmigen Kurve mit Doppelpunkt rechtläufig um x und rechtläufig um das endliche Gebiet; bei II ist der Weg einer Lemniscate ähnlich, geht rechtläufig um — 1, rückläufig um -j- 1.

Zwischen den Funktionen P und Q findet Schläfli die Beziehung:

II. Qa(x)

(f—lf

dt.

(42)

Hinsichtlich der weiteren sich hieran knüpfenden Entwicklungen muss auf Schläfli verwiesen werden, nur zweierlei mag noch erwähnt werden: 1) dass Schläfli auch die Analoga der Reihen (36) und der Beziehungen (36a) und (36b) in Hr. 21) für beliebige a aufstellt; 2) dass er bei der Betrachtung der Zugeordneten dem zweiten Index v nur ganzzahlige Werte beilegt.

Die Funktionen Pf, in denen n und v beliebige Werte haben, sind neuerdings von E. W. Hobson¹⁴) untersucht und durch komplexe Integrale dargestellt.

Bei diesen Erweiterungen handelt es sich um Eigenschaften, die den Kugelfunktionen eigentümlich sind, nicht um solche, die sie mit anderen hypergeometrischen Reihen gemein haben. Als spezielle Fälle der Piemann'sehen P-Funktion behandelt P. OTbricht die P” und Qnv, bei denen beide Indizes beliebig sind³⁶).

27. Ringfunktionen. Wegen ihrer Anwendung in der Potentialtheorie gewähren noch gewisse Arten der Kugelfunktionen mit nicht

ganzzahligem Index ein besonderes Interesse. Hierher gehören vor allem die Bingfunldionen, englisch toroidal functions. Sie können definiert werden als Kugelfunktionen, deren Index die Hälfte einer ungeraden ganzen Zahl ist, d. h. als Integrale derjenigen Differentialgleichung, die aus (2) entsteht, wenn man n(n -f- 1) durch w²—£ ersetzt (n eine ganze Zahl). Die erste Untersuchung dieser Funktionen rührt von C. Neumann⁹²) her; ferner finden sich dieselben in einer nachgelassenen Arbeit B. Biemanris⁹³). Doch treten in beiden Arbeiten nicht die Analogien mit den Kugelfunktionen deutlich hervor. Auf diese ist u. a. von A. Wangerin⁹⁴) hingewiesen, dann von E. Heine und W. M. Hides⁹⁵). Andere Untersuchungen rühren von H. Hübschmann⁹⁶) her, der jedoch die vorhergehende Litteratur nicht berücksichtigt, sowie von A. Basset⁹¹). Yerallgemeinerungen der Ringfunktionen hat L. Gegenbauer⁹⁸) betrachtet.

Wie bei den Kugelfunktionen kann man zonale und sektorielle Ringfunktionen unterscheiden. Die letzteren sind Lösungen der Gleichung (1) (in Nr. I), setzt; sie sind Produkte von cos (veo), resp. sin (i/o) und der Funktion

(-!)*!>-H) Ç_______

r(n v -f- \) J Çæ _j- yx* — 1 cos qp)” ⁺ I'

(n und v ganze Zahlen), resp. der Funktion Qvn ~ i (x), die aus Bvn ~ ł dadurch entsteht, dass der hyperbolische Kosinus an Stelle von cos cp tritt und für v <! n die Grenzen des Integrals 0 und oo werden. Für v = 0 erhält man die zonalen Funktionen. Übrigens haben die Ringfunktionen mit den Kugelfunktionen die Eigenschaft gemein:

iv dvP₀n-i(x) dxv ’

{v dvQ₀”~l(x)

dxv

Die vorstehende, der Arbeit von Basset") entnommene Dar-

(43)

(44)

Nvn~\(x) =

wenn man

darin n(n -f- 1) durch n² — \ er-

Fvn-\(oc) = (x² — 1)

Qvn~^(x) = (x² — 1)

cos (vcp)dcp

92)    C. Neumann, vgl. die Monographie von 1864.

93)    Eiemann, Werke, p. 407 (Leipzig 1876).

94)    Wangerin, Archiv Math. 55, p. 113; Progr. Berl. 1873.

95)    Heine, H. B. 2, p. 283 ff. — Hides, Lond. Trans. 171, 1882.

96)    Hubschmann, Progr. Chemnitz 1889.

97)    A. Basset, Amer. J. of Math. 15 (1893), p. 287. — Ygl. auch W. D. Niven, Lond. math. Proc. 24 (1893), p. 372—386; ferner J. B. Schuetz, allgemeine Lösung der Magnetisierungsgleichungen für den Ring, Preisschrift, München 1894.

98)    Gegenbauer, Wien. Ber. 100 (1891), p. 745.

99)    Die Bezeichnung der Funktionen ist bei Basset eine etwas andere; in

Encyklop. d. math. Wissensch. II.

47

Stellung von Pvn~i(x) unterscheidet sich von der Heine’s, der übrigens für Qvn~? noch eine andere Integraldarstellung giebt, durch einen konstanten Faktor. Natürlich lassen sich die Ringfunktionen auch als hypergeometrische Reihen darstellen₇ es bestehen für sie Rekursionsformeln, die denen der Kugelfunktionen ähnlich sind etc. Von den letzterwähnten Formeln mag die folgende, für die Anwendungen wichtige, noch Erwähnung finden:

dQvn~^(x) ₌ (_ 1 )> + »)!

(n — v) \ (.xi — 1)

(45)

dPrn-i(x)

dx

dx

28. MeMer’s Kegelfunktionen. Eine andere Klasse der für die Anwendungen wichtigen Erweiterungen der Kugelfunktionen bilden die Kegelfunktionen, conal harmonics. Auf die Notwendigkeit der Einführung von Kugelfunktionen mit komplexen Indices —    -f- ig

(g beliebig) haben schon Thomson und Tait hingewiesen¹⁰⁰); die wirkliche Darstellung verdankt man F. G. Melder¹⁰¹), der auf diese Funktionen geführt wurde durch die Entwicklung der reziproken Entfernung eines Punktes innerhalb einer Kegelfläche von einem auf der Axe gelegenen Punkte. Mehler definiert die Kegelfunktion durch die Gleichung:

(46) K'u(cos tt) =

cp

2 cos (y,ni) r

* J I

o

cos (fLa)da Y2 [cos (cc i) -f- cos ff]

=    cos &).

-4jK>(cos tf) -f- FK^(— cos &), und zwar entspricht Ku (— cos &) der Kugelfunktion zweiter Art. Ferner ist

K-u genügt der Gleichung (2 a) in Nr. 2, wenn man in derselben n(n -f- 1) durch — (g² -f- jf) ersetzt. Das allgemeine Integral jener Gleichung ist (46 a)

(47)

woraus folgt:

OO

7t J^dg o

K^(x)Ke(— y),

(47 a)

Ku(— y) =

00

cos (gjci) CK^(x)dx

n J x

l

der Bezeichnung folge ich Heine, doch unterscheidet sich, wie schon oben be-

i    ft_ 1    *    '

merkt, das Heine'sehe Pv Y von dem obigen um einen konstanten Faktor.

100)    Thomson und Tait, Th. Ph. 1, p. 170.

101)    F. Gr. Mehler, J. f. Math. 68 (1868), p. 134; Progr. Gymn. Elbing 1870, abgedr. Math. Ann. 18 (1881), p. 161. — Vgl. übrigens Heine, H. B. 1, p. 300; 2, p. 219 ff.

MeJiler giebt noch andere Integraldarstellungen der Kegelfunktionen, sowie verschiedene Reihen für dieselben, endlich auch das Additionstheorem dieser Funktionen.

29. Adjungierte Kegelfunktionen. C. Neumann¹⁵), der die Funktion AT" (— y) mit Lu {y) bezeichnet, leitet eine Reihe der Mehler-schen Formeln auf anderem Wege her und fügt neue Formeln hinzu, z. B. die Entwicklung von A5“ (cos fr) nach Kugelfunktionen P”(cos fr). Er führt ferner die „adjungierten“ Kegelfunktionen

(48) K^{x) = {l

, L,j(x) = (l-x³)

x²)

dx*

djRu(x) dx*

ein und giebt mit Hilfe derselben dem Additionstheorem eine Form, die dem Additionstheorem der Kugelfunktionen analog ist. Die adjungierten Kegelfunktionen sind dann von G. Leonhardt¹⁶) weiter behandelt, der auch folgende, der Laplace¹ sehen Funktion Yn{fr, ca) analoge Funktion einführt:

00

Yq(g, cd) = ^Kqj{g)[aj cos (ja) -f ßj si: }=o

Für sie gilt, falls cos y dieselbe Bedeutung hat, wie in Nr. 13 (Gl. (26)), der Integralsatz:

(49 a)

f SLi (cos y) Yq G*> ®)dgda

— g*"! [ YQ (f*l7 ®l) C0S    — Yqilh, ®l) C0S (?**)]•

30. Entwicklung einer Funktion nach. Kegelfunktionen. Von

Interesse ist Mehler’s Darstellung einer Funktion f(fr, cp) durch Kegelfunktionen:

co    co    2 7t

worin

(50) f{fr, 9) = ~JtdyyX- tg(pni)Jdfr'i sin (ifr') JK<{z)f{fr',cp')dcp', 0    0    o

z — cos (fri) cos (fr'i) -}- sin (fri) sin (fr'i) cos {cp — cp') ist. Diese Darstellung gilt unter der Bedingung, dass die Funktion/1 von fr — 0 bis fr — oo und von <p = 0 bis <p — 2 it gegeben ist, nirgends unendlich wird und für fr = oo stärker gegen Null konvergiert als die (— £)te Potenz von e⁹. Ist die Funktion f(fr, cp) in der Umgebung des Punktes tf, cp vieldeutig, so stellt die rechte Seite

47*

von (50) einen gewissen Mittelwert dar. — Hier tritt ein charakteristischer Unterschied gegen die Kugelfunktionen hervor. Dort war der Index n auf ganze Zahlen beschränkt, die Darstellung einer Funktion durch Kugelfunktionen erforderte nur eine Summe von Kugelfunktionen, während hier eine Integration über alle möglichen Werte des Index g nötig ist¹⁷).

Eine von vielen Autoren behandelte Erweiterung der

31. Funktionen, die aus der Entwicklung von (1 — 2ax-j-cc²)~v entstehen.

Kugelfunktionen ergiebt sich, wenn man statt des Ausdrucks (3) in Nr. 2 den Ausdruck

(51)

(1 — 2ax -f- u²)~v

nach Potenzen von a entwickelt. Der Koeffizient Cj(x) von an enthält einerseits die Kugelfunktion Pn(x) als speziellen Fall, andererseits besitzt er viele der Kugelfunktion analoge Eigenschaften. Beiläufig ist diese Entwicklung in Jacobi’s nachgelassener Arbeit über die hypergeometrische Reihe erwähnt¹⁸). Am ausführlichsten sind die Cnv von L. Gegenbauer¹⁹) behandelt.

Die Funktion Cnv genügt der Differentialgleichung

æoi

dx²

(52) (1 — x²)

- (2* + 1> ^ + n(n + 2v)CJ = 0.

Für Cnv gelten Integralsätze analog denen der Kugelfunktionen, z. B. tritt an Stelle der Gleichung (12) in Nr. 6 folgende:

J'Cnv(x)Cmv(x)(l — x²)v ^dx = 0 für m > n.

Ferner ergiebt sieh ein zweites partikuläres Integral der Gleichung (52) bei der Entwicklung von (y — x)~2v nach Funktionen Cnv, und zwar ist dasselbe der Koeffizient von 2(n -f- v)Cnv(x). — Auch ein Addi-tionstheorem existiert für die Cj, das dem Additionstheorem der Kugelfunktionen analog ist¹⁰⁷). Indem wir hinsichtlich der verschiedenen Reihen, in welche sich diese Funktionen entwickeln lassen, auf die Arbeiten von L. Gegenbauer verweisen, erwähnen wir noch, dass von Rekursionsformeln nicht nur solche zwischen Funktionen mit demselben v, aber verschiedenen n existieren, sondern auch solche für verschiedene v. Die einfachste der letzteren ist:

2vCnt\{x) =

(53)

dCnv(x) _

vermöge derselben lassen sich alle Cnv auf solche reduzieren, für die v zwischen 0 und 1 liegt¹⁰⁸).

32. Fall, in dem v ein Vielfaches von ^ ist. Kugelfunktionen höherer Ordnung. Ein besonderes Interesse gewähren die Fälle der Funktionen Cnv, in denen v ein ungerades Vielfaches von \ oder eine ganze Zahl ist. Im ersten dieser beiden Fälle lassen sich nach (53) die Cj durch Differentialquotienten von Kugelfunktionen ausdrücken, unterscheiden sich also von den zugeordneten Kugelfunktionen nur durch eine Potenz von (1 — x²) und einen konstanten Faktor. Falls aber v eine ganze Zahl ist, lassen sich die Funktionen Cnv auf die Funktion

sin (n -f- 1) ff

(54)

C„‘ =

sin ff

, (pc = COS ff),

zurückführen, resp. auf die Funktion

(54a)

cos (n&)

die bei der Entwicklung von —lg(l — 2 a cos ff-f-cc'²) als Koeffizient von 2an entsteht.

Die Funktionen Cnv für ganzzahlige v oder für v — ungeraden Vielfachen von die Heine¹⁰⁹) als Kugelfunktionen höherer Ordnung

107)    Heine, J. f. Math. 62 (1863), p. 127. — L. Gegenbauer, Wien. Ber. 70 (1874), p. 443; 102 (1893), p. 942. — Betreffs der Rekursionsformeln der Cf vgl.

B. Most, J. f. Math. 70 (1869), p. 163.

108)    S. Pincherle [Bol. Mem. (5) 1, 1891] hat die Funktionen untersucht, die

aus der Entwicklung von    ,

yt³ — stx -p i

nach steigenden Potenzen von t entstehen.

109) Heine, H. B. 1, p. 299, 451 ff.

bezeichnet, kommen noch in einem anderen Zusammenhänge vor. Betrachtet man nämlich statt der Laplacésehen Gleichung A cp — 0 die Gleichung, die im Raume von (p -j- 1) Dimensionen an deren Stelle auftritt²⁰), so tritt an Stelle der Gleichung (la) in Nr. 1 eine allgemeinere, die von p variabeln Winkeln abhängt, If und cpv cp2>..., <pp_p, und zwar hängen diese mit den rechtwinkligen Koordinatenx1}x2r..,xp + 1 eines Raumpunktes durch die Gleichungen zusammen:

(54b)

x₁ — r cos O', #₂ = rsmfi,cos<p₁, x₃ = r sin O'sin cos cp₂, x± — r sin If sin cpt sin cp₂ cos cp₃, • • -,

xp+1 —r sin If sin cpt sin cp₂ • • • sin <pp_₁.

Für den Fall, dass die gesuchte Funktion cp von den Winkeln cpv cp₂, . . ., cpp_₁ unabhängig ist, d. h. für den Fall der Symmetrie um

eine Axe, ist cp gleich der Funktion Cj für v =    • Sucht man

ohne die Annahme der Symmetrie um eine Axe diejenige homogene ganze Funktion der Ricktungskosinus, die im Raume von p -f- 1 Dimensionen der erweiterten Gleichung Acp — 0 genügt, so ergeben sich die Kugelfunktionen von p Variabein oder die Laplacé sehen Funktionen höherer Ordnung. Diese Funktionen sind zuerst von A. Cayley²¹) behandelt; sodann kommen sie in verschiedenen Arbeiten von Heine über Lamé'sehe Funktionen vor²²); endlich sind hier Abhandlungen von F. Gr. Mehler, C. Neumann und V. G-iulotto zu erwähnen ²³ 24 25 26 27).

¹

   Über diese Reihen und Integrale vgl. Heine, H. B. 1, Teil I, Kap. 3. Das zweite der Integrale (37) findet sich bei Laurent in der Nr. 5 und Nr. 19 citierten Arbeit. — Andere Integrale giebt ScMäfli, Kugelff. m. bei. Par.

²

   Heine, H. B. 1, p. 134; Schläfli, Kugelff. in. bei. Par., p. 61; Beltrami, Lomb. B-end. (2) 20 (1887), p. 469.

³

   Heine, H. B. 1, p. 175ff. ; Th. Stieltjes, Par. C. R. 110 (1890), p. 1026; Toul. Aim. 4 (1890), p. 1.

⁴

   Beide Arbeiten in den Toul. Fac. Ann. 4, 1890.

⁵

   Bond. math. Proc. 29 (1898), p. 115—123.

⁶

   Diese Sätze finden sich, wenn auch nicht dem Wortlaut, doch der Sache nach bei C. F. Gauss, Comm. Gott. 3 (1816), Werke 3, p. 163.

⁷

   Heine, H. B. 1, p. 210.

⁸

   F. Neumann, Beiträge, p. 2; J. f. Math. 37 (1848), p. 22. —Der Faktor 2 in (38 b) kommt daher, dass die Neumann'sehe Funktion Qn das Doppelte der Heine'sehen Funktion Qn ist.

⁹

   Heine, H. B. 1, p. 332. — Ygl. C. Neumann, Leipz. Abh. 1886, wo das Additionstheorem auf komplexe Werte des Arguments ausgedehnt wird. Übrigens hängt das Additionstheorem der Qn schon mit den in Nr. 25 zu besprechenden erweiterten Qnv zusammen.

¹⁰

   Lindemann, Math. Ann. 19 (1882), p. 323.

¹¹

   Auch Heine betrachtet die Zugeordneten für v^> n. Doch erwähnt er nirgends, worauf es doch wesentlich ankommt, dass für diesen Fall das Verhalten der partikulären Integrale der Differentialgleichung (19) ein anderes ist als für den Fall v^n. Diesen Unterschied hat zuerst F. Neumann in seinen Beiträgen klar hervorgehoben. Neumann verdankt man die systematische Durchführung des Falles v^>n, wie auch die Einführung der Funktionen Snv, Tnv. — Geometrische Darstellungen dieser Funktionen, sowie der P" und Qnv giebt für reelle Argumente B. Olbricht, s. Anmerkung 36).

¹²

   Heine, H. B. 1, z. B. p. 37, wo das Laplacesche, Integral als Definition von Pn für beliebige n dient.

¹³

   Schläfli, Kugelff. m. bei. Par., s. das Yerz. der Monographieen.

¹⁴

Hobson, Lond. Trans. 187 A (1896), p. 443.

¹⁵

   C. Neumann, Math. Ann. 18 (1881), p. 195.

¹⁶

   G. Leonhardt, Math. Ann. 19 (1882), p. 578.

¹⁷

   Thomson und Tait, Th. Ph. 1, p. 170, sprechen auch für imaginäre Indizes nur von Reihen von Kugelfunktionen, nirgends von einer Integraldarstellung wie in (50).

¹⁸

   J. f. Math. 56 (1859), p. 149; Werke 6, p. 184. — Ygl. Heine, H. B. 1, p. 297 u. p. 451 ff., ferner M. Koppe, Progr. Berl. 1877; G. JDarboux, J. de math. (3) 4 (1878), p. 377.

Schon hei Murphy, Cambr. Trans. 5S (1835), p. 322, treten die C* auf, aber als Entwicklungskoeffizienten einer komplizierteren erzeugenden Funktion. — Auf die Rolle dieser Funktionen für die mechanische Quadratur hat zuerst Mehler aufmerksam gemacht, J. f. Math. 63 (1864), p. 152.

Über die Entwicklung des Ausdrucks (51), falls darin x — cos ff gesetzt wird, nach Kosinus der Vielfachen von ff existiert eine ausgedehnte Litteratur, vgl. das Referat von H. Burkhardt, D. M.-V. 10 (1901), § 17 u. 19.

¹⁹

   Wien.Ber. 70, 1874; 75, 1877; 97, 1888; 102, 1893; Wien. Denkschr. 48, 1884. — Übrigens hat noch eine Reihe anderer Autoren Untersuchungen über die Funktionen C* veröffentlicht, ohne sich um die darüber vorhandene Litteratur zu kümmern.

²⁰

Die in Rede stehende Funktion <p ist das Potential einer anziehenden

²¹

Masse in jenem Raume, falls die Anziehung der pten Potenz der Entfernung umgekehrt proportional ist.

²²

   J. f. Math. 60, 61, 62 (1862 u. 1863).

²³

   Mehler, Progr. Danzig 1864 u. J. f. Math. 66 (1866), p. 161. — C. Neu

²⁴

mann, Zeitschr. Math. Phys. 12 (1867), p. 116; hier findet sich die Bezeichnung

²⁵

UltralcugelfunJctionen. — V. Giulotto, Gior. d. Mat. 39 (1901), p. 162.

²⁶

Aus den obigen Erörterungen ist ersichtlich, dass es unzweckmässig ist, die

²⁷

Funktionen Crn für beliebige v als „hypersphärische“ Funktionen zu bezeichnen, wie es Letnikoff (Mosk. Math. Sammlung 1885, vgl. Fortschr. d. Math. 1885) tut, oder als Kugelfunktionen höherer Ordnung, wie F. Büttner, Festschr. Wernigerode 1900, oder als Kugelfunktionen schlechtweg, wie N. Nielsen in seinem Handbuch der Cylinderfunktionen, 1904.

VII. Lamé’sehe Funktionen.

33. Definition. Lamé’sche Differentialgleichung. Diese Funktionen spielen bei den auf das dreiaxige Ellipsoid bezüglichen Aufgaben der mathematischen Physik dieselbe Rolle, wie die Kugelfunktionen bei den entsprechenden Aufgaben der Kugel. Sie treten auch in den auf die

Ill) J. de math. 13, 1848.

Kugel bezüglichen Aufgaben auf, sobald man das Koordinatensystem der konfokalen späriseben Kegelschnitte benutzt [vgl. die Formeln (55)]. Lamé wurde bei der Untersuchung des stationären Wärmezustandes eines Ellipsoids¹) zunächst auf die elliptischen Koordinaten geführt, auf die unabhängig von Lamé auch C. Gr. J. Jacobi²) gelangt ist, sodann durch die Untersuchung der auf elliptische Koordinaten transformierten Gleichung AV — 0 auf die in Rede stehenden Funktionen. Weiter ausgebildet ist die Theorie namentlich durch E. Heine²), der gleichzeitig mit J. Liouville³) die Lamé*sehen Funktionen zweiter Art einführte, und in neuerer Zeit durch F. Klein und seine Schüler (vgl. Nr. 41, 42).

Der Zusammenhang der Lamé’sehen Funktionen mit den Kugel-

funktionen tritt am deutlichsten zu Tage, wenn man die Lamé'sehe Funktion mit zwei Farametern (ellipsoidal harmonie) als diejenige Funktion definiert, in welche die allgemeine Kugelfunktion (vgl. Nr. 1) übergeht, falls man die Richtungskosinus £, rj, £ durch elliptische Kugelkoordinaten ausdrückt, d. h. falls man die Gleichung (1) oder (la) in Nr. 1 auf zwei neue Yariabele g-, v transformiert, die mit £ = cos h und co durch die Gleichungen Zusammenhängen:

mit Liouville¹¹¹)

rj — sin & cos co =

ŸiF-ÿ

(55)

b~[/c³ — b²

£ = sin & sin co =

yb² — f^yc² — v²

c²>fi²>b²>v²> 0.⁴)

cj/e²-&2    7

-f- (ft² — v²)n(n -f- l)cp — 0,

(56)

Die transformierte Gleichung (1) oder (la) lautet⁵): d³cp , d³<p

FF^dü³

WO

(56 a)

~/i

6

dfi

V(fx² — b³) (c² — /X²) ⁷

v

x=J\

0

dv

V(&² — r²)(c² — V³)

114)    J. de math. 2, 4, 8, sowie Par. sav. étr. 5; J. éc. polyt. cah. 23. — Ygl. auch Lamé, Fonctions inverses, Paris 1857.

115)    Jacobi, J. f. Math. 19 (1839), p. 309; Werke 2, p. 57.

116)    Heine, J. f. Math. 29 (1845), p. 185.

117)    Liouville, Par. C. ß. 20 (1845), p. 1386, 1609; J. de math. 10 (1845),

p. 222.

Der Gleichung (56) genügt der Ansdruck cp — E(g)E(y), falls die Faktoren den Gleichungen genügen:

d²E(ii)

(57)

dss

+ [n(n + 1 )g²—h] F (g) = 0,

d*E(v)

dx²

— [»(w -f 1) v² — Ä] E(v) = 0,

deren erste in algebraischer Form lautet:

(p²-&²)(p²-Ą

(57 a)

dE(g)

+ p(2p²—6²—c²)

+ [Ä — n(n -f 1 )g²]E(g) = 0.

Die Funktionen E(g), E(y) sind die Lamé’sehen Funktionen mit einem Parameter, jede der Gleichungen (57), resp. (57 a) heisst die Lamé'sehe Differentialgleichung.

34. Darstellung der vier Klassen von Lamé’sclien Funktionen erster Art. Nach der Definition (vgl. Nr. 1) muss das Produkt F(jg)E(v) nicht nur der Gleichung (56) genügen, sondern ausserdem eine ganze Funktion nten Grades von gv, ]/p²—6² ]/&²—v², yc²— p² ]/c² — v² sein. Man hat somit nur eine solche Lösung von zu suchen, die eine ganze Funktion nien Grades von p, ]/p² — h, ]/c² — p² ist. Derartiger Lösungen existieren nun vier Typen, sämtlich bis auf die Faktoren ]/p²-— h², ]/p² — c²¹²°) ganze Funktionen von p. Es sind die folgenden:

— V” + aiF”⁻² 4“    4~ • • • ?

L(p) = ]/pT²— &²(«₀p”_1 -f- %p"~³H—),

■^(X^yV²— c²(a₀^n_1 +    ----)>

JV'(p) = ]/p²— 6² ]/p² — c²(a₀gn~² -f- axg Setzt man zunächst den ersten der Ausdrücke (58) in (57 a) ein, so erhält man zwischen je drei aufeinander folgenden Koeffizienten a eine Rekursionsformel; und für <5 — \n oder 6 — ^(n—1) verschwindet in der zwischen aa+2, aa+1 und aa bestehenden Rekursionsformel der Koeffizient von aa von selbst. Bestimmt man jetzt die Konstante h so, dass der aus der vorhergehenden Rekursionsformel sich ergebende Wert von aa + 1 — 0 wird, so verschwinden auch alle folgenden Koeffizienten von selbst, und F(g) ist eine ganze Funktion von p. Die Gleichung für h ist vom Grade 6 -f- 1, ihre Wurzeln sind sämtlich reell und von einander verschieden¹²¹). Es giebt

(57 a)

(58)

d{i²

d\i

_J----).

120)    Auf den Faktor ]/— 1 kommt es nicht an.

121)    Liouville, J. de math. 11 (1846), p. 221, beweist die Verschiedenheit

mithin (p -f- 1) von einander verschiedene ganze Funktionen von [i, die der Gleichung (57 a) genügen.

Ähnlich verhält es sich mit den anderen Ausdrücken (58); auch für diese brechen die Reihen von selbst ab, sobald h jedesmal einer gewissen Gleichung genügt, die lauter reelle und von einander verschiedene Wurzeln hat. Diese Gleichung ist für L und M vom Grade n — <?, für N vom Grade <?. Mithin giebt es im Ganzen (2n -f- 1) Funktionen E(ji)} die der Gleichung (57 a) genügen und ganze Funktionen wten Grades von fx, ]/)a²— b², ]/ku² — c² sind. Ferner hat in den beiden Gleichungen (57), denen die Faktoren des Produktes E(p)E(y) genügen müssen, h denselben Wert; in keinem Produkte kommen also zwei Funktionen E mit verschiedenen Werten von h als Faktoren vor, und da die sämtlichen in Frage kommenden Konstanten h von einander verschieden sind, so existieren genau (2n -j- 1) Produkte E([i)E(v), die allen Forderungen genügen. Die allgemeinste Lamé'sehe Funktion nten Grades mit zwei Parametern erhält man, wenn man alle verschiedenen Produkte mit willkürlichen Konstanten multipliziert und addiert. Die allgemeine Lamé'sehe Funktion enthält also, ebenso wie die allgemeine Kugelfunktion {Laplace'sehe Funktion), (2n -f- 1) willkürliche Konstanten.

Bemerkt werden mag noch, dass man nach Heine¹¹⁷) E(p) auch als ganze Funktion von []/^² — b²— i]/c² —[i²] : ]/c² — b² darstellen kann.

35. Die zugeordneten Kugelfunktionen als Grenzfälle der Lame’schen Funktionen. Additionstheorem. Für den besonderen Fall

b = 0 geht E(p) in Pnm    ; für b — c geht E(v) in P,", über. Die Produkte E((i)E(v) gehen im letzteren Falle, falls man noch, ehe b — c gesetzt ist, ]/c²—ft²=]/c² — &²cosco, ferner v = bcosO1 setzt, in

Pm{cos    cos (mco), resp. P”₄(cos -ü¹) sin (mco)

über, und ähnlich für b — 0.

Ferner lassen sich, wenn b beliebig ist und zwischen ft, « einerder Wurzeln; dass dieselben reell sind, bat schon Lamé gezeigt. — Für komplexe Werte von & und c kann die Gleichung eine Doppelwurzel haben. Welche Funktionen dann an Stelle der ausfallenden Funktionen treten, ist von Fr. Cohn untersucht, Diss. Königsb. 1888.

122) Heine, H. B. 1, p. 371. — Über die Darstellung der Zame’sehen Funktionen mittelst Cartesischer Koordinaten vgl. W. J). Niven, Lond. Trans. 182A (1891), p. 231.

seits, ft, v andererseits die Relationen (55) bestehen, die einzelnen Zetwe’schen Produkte durch lineare homogene Funktionen von Pnm (cos ft) cos (mai), resp. P?n (cos ft) sin (weo) darstellen, und umgekehrt, und zwar hat n in den Lamé'sehen Produkten und den Kugelfunktionen denselben Wert. Dabei kommen, wenn E von dem Typus K (Gl. 58) ist, in E(ji)E(v) nur Kosinus der geraden Vielfachen von o, für den Typus L nur Kosinus der ungeraden Vielfachen, für den Typus M nur Sinus der ungeraden Vielfachen, für N endlich nur Sinus der geraden Vielfachen vor Auch die Funktion Pn (cos y), wo cos y den Ausdruck (26) in Nr. 13 bezeichnet, lässt sich in eine endliche Summe von Aawe’schen Produkten entwickeln⁶ 7) :

123'

(59)

Pn( cos y)

s «Ay) E

s=0

Dabei beziehen sich die Indices s der Funktionen E auf die verschiedenen Parameter ft, v hängen mit O, o, ft1? vt mit 0₁, co₁ durch die Gleichungen (55) zusammen.

36. Wurzeln der Gleichung E(A) = 0. Die Wurzeln der Gleichung E(X) — 0 sind sämtlich reell und liegen zwischen A = 0 und X = c.⁸) Über die Verteilung der Wurzeln dieser Gleichung auf die Intervalle 0 bis b und b bis c hat F. Klein⁹) folgenden Satz aufgestellt: Sondert man in E(X) die etwa darin enthaltenen, einfach auftretenden Faktoren j/Ä², ÜA²—c², )Al²— b~ ab, so bleibt eine ganze Funktion von A², 9?r(A²), übrig, deren Grad mit x bezeichnet werden möge; und für jeden der obigen vier Typen von E (Gl. 58) existieren t -f- 1 verschiedene Funktionen E, resp. cpt. Dann tritt von den t -J- 1 Möglichkeiten, die man rein kombinatorisch für die Verteilung von t Grössen auf zwei Intervalle erhält, je eine bei je einer, aber nur bei einer der erwähnten x -j- 1 Lame'’sehen Funktionen ein, so dass die verschiedenen Funktionen und die verschiedenen Verteilungsweisen der Wurzeln einander eindeutig entsprechen. Es ergiebt sich dies durch Betrachtung der Kurven der Kugel, auf denen die Produkte E(ji)E(y) verschwinden, resp. der Kugelkreise, in welche die erwähnten Kurven für b — c übergehen. Mit 0, b, c fällt keine Wurzel von gor(A²) zusammen.

37. Entwicklung einer Funktion nach Lamé’schen Produkten.

Die Entwicklung einer Funktion von [i, v nach Lamé sehen Produkten kann man mit Liouville¹¹⁷) aus der Entwicklung nach Kugelfunktionen ableiten. Drückt man nämlich in Gl. (29) in Nr. 15 tf, ca mittelst der Gl. (55) durch [i, v, cox durch [ix, vx aus und setzt für Pw(cosy) den Ausdruck (59), so gelangt man zu dem Resultat:

F(P, ”) = 2X*’

(60)

5]    tu

— vi)dh>

²⁽²^⁺¹⁾f d*ijF(Pi> vx)Pn(cosy)(^2 0 0

wo für P”(cos y) der Ausdruck (59) zu setzen ist. Die Bedeutung von W und co wird sogleich erläutert werden.

Unabhängig von der Entwicklung nach Kugelfunktionen ergiebt sich die Entwicklung nach Lame sahen Produkten auch mittelst des folgenden Integralsatzes¹⁰). Nimmt das Integral s (Gl. (56 a)) für die obere Grenze c den Wert œ, das Integral x für die obere Grenze b den Wert <5 an, so ist

(61)

= 0,

falls entweder m^n, oder auch, falls für m — n s^t ist. Dabei bezeichnen m, resp. n den Hauptparameter, s, resp. t dagegen den Parameter h. — Für m — n, s = t ist der Wert des Integrals von Null verschieden, und zwar enthält derselbe keine höheren Transcen-denten als 7t.

Untersuchungen über die Konvergenz der durch direkte Anwendung von (61) erhaltenen Reihen sind, freilich in anderem Zusammenhänge und auf etwas allgemeinerer Grundlage, insofern Funktionen E betrachtet werden, bei denen an Stelle der ganzen Zahl n ein beliebiger Parameter auftritt (s. Nr. 41), von Ch. Jaccottet¹¹) angestellt, gestützt auf die asymptotische Darstellung der Funktionen E für grosse Werte des Parameters, eine Darstellung, die es ermöglicht, eine obere Grenze für diese Funktionen abzuleiten.

38. Die Lame’schen Funktionen zweiter Art. Die Aufgaben der Potentialtheorie erfordern neben der Betrachtung der Funktion E die eines zweiten partikulären Integrals F der Gleichungen (57), resp.

(57 a), nämlich eines solchen Integrals; das im Unendlichen verschwindet; das sich also zn E ebenso verhält, wie die Kugelfimktion zweiter Art Q zu der erster Art P. Heine, der gleichzeitig mit Liouville dieses zweite partikuläre Integral näher untersucht hat¹²), bezeichnet dasselbe als „Lamé’sehe Funktion zweiter Art“ und stellt es sowohl durch Doppel-, als durch einfache Integrale dar. Letztere Darstellung lautet, falls E der Klasse K (GH. (58)) angehört:

(62) F(q) = qYq² — c² ]/p² — c² «

fi

0

K((i)ds

K(v)dy.

Darin bezeichnen u und ß gewisse Konstanten. Aus (62) folgt für F eine Darstellung ähnlich der Gl. (34) für Qn, wobei an Stelle des Logarithmus in (34) elliptische Integrale erster und zweiter Gattung treten (resp. volle elliptische Integrale dritter Gattung). Mit der Kettenbruchentwicklung eines vollen elliptischen Integrals dritter Gattung kann man die Funktionen E und F daher ebenso in Verbindung bringen, wie P und Q mit der Kettenbruchentwicklung von

log(f±h¹³)-

F. Lindemann¹⁴) hat F (z) in eine nach steigenden oder nach steigenden und fallenden Potenzen von (j/z² —b² — y#² — c²) : j/c² — b² fortschreitende Reihe entwickelt, den Konvergenzbereich dieser Reihen bestimmt und überhaupt die Werte der Funktion für komplexe Werte von# genauer untersucht, insbesondere auch ihr Verhalten bei Umkreisung der singulären Punkte. Weiter hat Lindemann die Entwicklung von

—-— nach Lame’sehen Funktionen K⁽”) und FM und daraus mittelst z! —z

des Cauchy ’sehen Satzes die einer analytischen Funktion f(z) nach den AP”) und P") innerhalb gewisser Flächenstücke abgeleitet. Für manche Flächenstücke ergeben sich verschiedenartige Entwicklungen. Endlich hat er gezeigt, dass es möglich ist, die Null durch Reihen darzustellen, die nach Lame’sehen Funktionen fortschreiten; und zwar schreiten diese Reihen teils nach den K, teils nach den F, teils nach K und F fort. Die erstgenannten sind teils innerhalb gewisser Kurven gültig, teils in der ganzen Ebene; die Entwicklungen nach den F allein gelten für alle Punkte ausserhalb gewisser Kurven, die letztgenannten Reihen für gewisse ringförmige Flächenstücke. Endlich existieren auch Nullentwicklungen, die nur längs einer Linie gelten. In besonderen Fällen lassen sieb die betreffenden Formeln auf die Legendre'sehe Relation zwischen den Periodizitätsmoduln elliptischer Integrale reduzieren.

39. Hinweis auf Hermite’s Untersuchungen betreffs der Lamé-schen Gleichung. Die Lamé'sehe Differentialgleichung (57 a) lässt sich auf die Form bringen:

(57 b)

= [n(n -f l)h²m²u -f h]y

(57 b) eine

wo sn die Funktion sinus amplitudo bezeichnet. Im Vorstehenden sind die Integrale dieser Gleichung untersucht unter der Voraussetzung, dass eines derselben eine ganze Funktion von snie ist; und das ist der Fall, wenn h entsprechend bestimmt wird. Gh. Hermite¹⁵ 16) hat an neue Aufgabe geknüpft, nämlich das allgemeine Integral dieser Gleichung für den Fall zu bestimmen, dass h beliebig ist, während n noch eine ganze Zahl bezeichnet. Betreffs dieser Untersuchungen und der sich daran anschliessenden verweisen wir auf die Artikel: Lineare Differentialgleichungen und elliptische Funktionen.

(63)

40. Lamé’sche Funktionen höherer Ordnung¹⁸³). Ist

du = ~

dx

1 dx

² ]Ap(x)

² y x(x—«,) • • • (x — a#)

so ist jede ganze Funktion von ~\^x, Yx— %,•••, Yx einer Differentialgleichung von der Form:

welche

(63 a)

-f- ff (#) W—0

d*W du²

genügt, eine Lamé'sehe Funktion erster Art, pter Ordnung und wtea Grades. ff(æ) ist dabei eine ganze Funktion von x von der Beschaffenheit, dass (63 a) eine Lösung zulässt, die eine ganze Funktion von x ist. ftÇx) ist vom Grade p — 1. Die Anzahl der verschiedenen Funktionen ff und damit die Anzahl der verschiedenen Lamé'sehen Funktionen, die zu gegebenen Werten von n und p gehören, ist genau so gross wie die Anzahl der willkürlichen Konstanten in der

nur

wo Vx, V₂, • • • ganze Funktionen von x sind, ip1} ^₂, • • • alle möglichen ganzen Funktionen, die t[>(x) teilen, 1 und ip(x) selbst eingeschlossen. — Die von Lamé eingeführten Funktionen ergeben sich für x — p² und p = 2, sie sind also von der zweiten Ordnung.

Die Differentialgleichung (63 a) besitzt noch ein zweites partikuläres Integral, das im Unendlichen verschwindet und, nach absteigenden Potenzen von x entwickelt, mit der — (n -j- p — l)ten Potenz von ]/# beginnt.

allgemeinsten homogenen Funktion nten Grades W von den p -f- 1 Variabein §1? |₂, •••, %p+1, dsW

welche der Differentialgleichung

Hr

genügt.

d²w

8 £p -j- 1

Alle diese Funktionen lassen sich auf die Form bringen:

v*i ^i?    y ; ■ ■ ')

Lässt man von den Konstanten a1} a%, • • • einige gleich werden, so erhält man die „speziellen Lamé'sehen Funktionen“ pteT Ordnung; sind a1} a₂, • • -, ap einander gleich, so entstehen die Kugelfunktionen höherer Ordnung (s. Kr. 32). Wie die letztgenannten Funktionen, treten auch die Lamé’sehen Funktionen bei den Potentialaufgaben im Raume von p -f- 1 Dimensionen auf, und zwar dann, wenn man die Koordinaten eines Punktes durch die Parameter der ji-fachen Mannigfaltigkeiten ausdrückt, die den konfokalen Flächen zweiter Ordnung im Raume von drei Dimensionen entsprechen.

41. Erweiterung des Begriffs der Lamé’sehen Punktionen.

Die Aufgaben der Potentialtheorie für die Rotationscykliden führen auf eine Differentialgleichung, die sich von der Lame’sehen im wesentlichen nur darin unterscheidet, dass an Stelle einer ganzen Zahl n die Hälfte einer ungeraden Zahl als Parameter auftritt¹⁷ 18 19). Koch allgemeinere Werte des Parameters sind zu betrachten bei den Aufgaben der Potentialtheorie, bei denen es sich nicht um volle Ellipsoide handelt, sondern um Körper, die begrenzt sind von je zwei Flächen einer Schar der drei Scharen konfokaler Flächen zweiter Ordnung. Solche verallgemeinerte Lamé’sehe Differentialgleichungen sind zuerst

yon F. Klein¹⁸) behandelt, der den folgenden Satz (Oscillations-theorem) aufgestellt hat. Ist

(64)

fi

dx

Yf(x)

; f(x) = (x — a)(x — h) (x — c),

so giebt es stets ein und nur ein Wertepaar der Parameter A, JB der Lamé'sehen Gleichung

(64 a)

d²E

— (Ax -f- F)E

von der Beschaffenheit, dass eine erste Partikularlösung dieser Gleichung existiert, welche an beiden Enden des Segmentes ax ... a₂ der x-Axe verschwindet und in diesem m Halboscillationen ausführt (d. h. m- mal verschwindet), und dass gleichzeitig eine zweite Partikularlösung existiert, welche an den beiden Enden eines zweiten Segmentes bt... &2 verschwindet und in diesem n Halboscillationen ausführt.

Die Näherungswerte dieser verallgemeinerten Lamé’sehen Funktionen für grosse m, n sind in der schon unter Nr. 37 citierten Dissertation von Jaccottet untersucht; mittelst dieser Näherungswerte hat Jaccottet dann den Konvergenzbeweis für die Entwicklung einer Funktion zweier Yariabeln nach Produkten solcher Funktionen geführt.

42. Die Lamé’sehen Funktionen mit mehr als drei singulären Punkten im Endlichen. F. Klein¹³³) hat später sein Oscillations-theorem auf den Fall ausgedehnt, dass die Differentialgleichung (64 a) mehr als drei singuläre Punkte im Endlichen, d. h. dass die Funktion f(x) in (64) mehr als drei Faktoren besitzt. Auf eine solche Gleichung wird man bei Behandlung der Potentialaufgaben für einen von Cykli den begrenzten Körper geführt²⁰), und zwar hat f(x) für diesen Fall fünf Faktoren. Das analoge Problem für einen w-fach ausgedehnten Baum führt auf den Fall, dass f(x) (n -f- 2) Faktoren hat. An Stelle der Gleichung (64 a) tritt dann die allgemeinere

(04b)    = {ï^Tï) f"(x) + ^~* + B3?s + --- + n}e-,

135)    F. Klein, Math. Ann. 18 (1881), p. 410; vgl. auch die Darstellung in Klein’s autogr. Vorlesungen über lineare Differentialgleichungen, 1894, p. 276.

136)    F. Klein, Gött. Nachr. 1890, p. 85; autogr. Vorl. über lin. Diffgl. 1894,

p. 197, 401.

und man kann über die n — 1 Parameter A, B, . . N so verfügen, dass n — 1 Partikularlösungen existieren, deren jede in einem auf der x-Axe gelegenen Segment je eine vorgeschriebene Anzahl von Nullstellen hat und in den Endpunkten des Segments verschwindet.

Auf die Funktion E fällt, wie Klein (1. c.) zeigt, ein neues Licht, wenn man dieselbe homogen macht, also

n — 2

æ = xx : Xg, E(x) = x₂ ⁴ F(xlf x₂), f= (xx — exx₂)... (xx — en+2x₂)

setzt. F ist eine homogene Funktion von x1} x₂ vom Grade —-—,

die als „Lamé’sche Form“ bezeichnet wird, und für die der Satz gilt, dass die zweite Überschiebung der Formen f und F gleich dem Produkte aus F und einer rationalen ganzen Funktion vom Grade n — 2 ist, ein Resultat, das so einfach ist, dass es natürlich erscheint, dasselbe als Definition an die Spitze der Theorie der Lamé'sehen Funktionen zu stellen. Die einzigen singulären Stellen der so definierten Funktion F sind die Wurzeln von f— 0, und zwar gehören, wenn alle Wurzeln verschieden sind, zu jeder einzelnen derselben die Exponenten ^ und 0.

43. Funktionen des elliptischen Kegels. In derselben Art, wie von den Kugelfunktionen zu den Mehler'sehen Kegelfunktionen (Nr. 28), wird man von den Lamé'sehen Funktionen auf die „Funktionen des elliptischen Kegels“ geführt, nämlich dadurch, dass man dem Index n den komplexen Wert — Ą -f- ip (p beliebig) beilegt. Die Untersuchung dieser Funktionen ist von F.W. Hobson angebahnt²¹).

Till. Cylinderfunktionen oder Bessel’sche Funktionen.

44. Differentialgleichung. Reihen und Integrale für die Funktionen erster Art. Diese Funktionen treten in den Aufgaben der mathematischen Physik auf, die sich auf den Rotationscylinder beziehen, ausserdem in den Aufgaben der Wärmeleitung in einer Kugel, in der Diffraktionstheorie und der Theorie der Störungen. Man sollte sie, streng genommen, zum Unterschiede von anderen, weiterhin zu besprechenden Funktionen (Nr. 62) Funktionen des Kreiscylinders nennen; doch ist es üblich, sie schlechtweg als Cylinderfunktionen oder als Bessel’sche Funktionen zu bezeichnen.

Gelegentlich kommen die einfachsten dieser Funktionen schon bei Daniel Bernoulli und Euler vor²²); im neunzehnten Jahrhundert finden

sie sich zuerst bei Fourier, Bessel und Poissonu0). Heine hat deshalb die Bezeichnung „Fourier-BesseVsehe Funktion“ vorgeschlagen ¹⁴¹), doch hat sich dieser Name nicht eingebürgert. Seit Bessel sind die Cylinder-funktionen Gegenstand zahlreicher Abhandlungen gewesen¹⁴²), und es ist für dieselben eine sehr grosse Reihe von Formeln aufgestellt, von denen hier nur die wichtigsten erwähnt werden können.

Verschiedene Autoren sind bei ihren Untersuchungen von verschiedenen Gesichtspunkten ausgegangen. Am einfachsten definiert man die BesseV sehe Funktion erster Art der Ordnung n als dasjenige partikuläre Integral der Differentialgleichung

(65)

clx2    1 x ax ' \ x* )J

das für x — 0 endlich bleibt, und man bezeichnet dies Integral mit Jn{x) oder Jn(x)14y). In Gleichung (65), der BesseVsehen Bifferential-gleichung, soll der Index n zunächst eine beliebige positive Zahl sein¹⁴⁴). Das gesuchte partikuläre Integral lässt dann sich durch die für alle x konvergente Reihe darstellen:

(66) J„0)

xn

æ⁴

2n r(n + 1) oder auch durch das Integral:

2 • (2 n -f 2)

2 • 4-(2w-f 2) (2n-f-4)

(66a) JJx) = è

xn

Y 7t 2 ”r(n + i)s

/ cos(x

IS

cos

<p) sin²” god cp.

[40J, p. 162; L. Euler, Acta Petrop. 5 (1781) [84], p. 175. — Bei Bernoulli, ebenso auch bei Fourier kommen nur die Funktionen mit dem Index 0 vor.

Bessel, Beri.

140)    Fourier, Theorie analytique de la chaleur 1822, p. 369.

Abh. 1816/17, p. 49; ausführlicher ib. 1824. — Poisson, J. éc. pol., cah. 19 (1823), p. 249—403.

141)    Heine, J. f. Math. 69 (1868), p. 128. — Heine selbst wendet später ausschliesslich den Namen Cylinderfunktionen an.

142)    Ein Verzeichnis der Litteratur bis 1867 findet sich in der Monographie von C. Neumann, Leipzig 1867, eine bis 1878 reichendes bei Heine, H. B. 1, p. 189, ein weiteres bei A. Gray und G. B. Mathews, p. 289, das ausführlichste in N. Nielsen's Handbuch, p. 389—404.

143)    Bessel's Bezeichnung lautet JVK, daneben kommt die Bezeichnung Jx n vor. — Handelt es sich um /₀ (x), so wird bisweilen der Index 0 fortgelassen. — Über den Zusammenhang der Differentialgleichung (65) mit der JRiccati'sehen Gleichung vgl. Bommel, Studien, § 31.

144)    Vor Bommel (1868) (vgl. das Verzeichnis der Monographieen) hat man nur ganzzahlige Werte von n betrachtet. Bommel selbst betrachtet reelle Indizes n, die grösser sind als —Komplexe Werte des Index finden sich zuerst bei H. Hankel, Math. Ann. 1 (1869), p. 467. Anwendungen der BesseV sehen Funktionen mit imaginärem Index giebt M. Bocher, Ann. math. 6 (1892), p. 137.

48

Uncyklop. d. math. Wissensch. II.

Neben diesen beiden für alle positiven n gültigen Formeln hat man für den besonders wichtigen Fall, dass n eine positive ganse Zahl oder Null ist, noch die folgende Integraldarstellung²³):

7t

(67)

na — x sin a)da.

Jn(x) =~fC0S(

0

Aus (67) folgt sofort, dass Jn(x) für ganzzahlige Werte des Index n stets zwischen — 1 und -f- 1 liegt.

Falls der Index n ein ungerades Vielfaches von ^ ist, lässt sich die Reihe (66) in endlicher Form summieren²⁴); man findet z. B.

— cos xj.

N. Nielsen benutzt neben der Reihe (66) die aus ihr folgende Potenzreihe für das Produkt zweier Cylinderfunktionen²⁵).

45. Bessel’sehe Funktionen zweiter Art nennen die meisten Autoren²⁶) dasjenige partikuläre Integral der Gleichung (65), das für x — 0 unendlich wird. Ist n keine ganze Zahl, so erhält man das zweite Integral, indem man in der Reihe (66) n mit — n vertauscht, und man bezeichnet diese Funktion mit J_n(x). Falls jedoch n eine ganze Zahl ist, ist J_n(x) im wesentlichen mit Jn(x) identisch²⁷), wie sich ergiebt, wenn mau der Gleichung (65) durch eine nach steigenden Potenzen von x geordnete, mit x~n beginnende Reihe zu genügen

sucht. Die Euler¹ sehe¹⁵⁰) Methode, aus einem partikulären Integral einer Differentialgleichung zweiter Ordnung das andere zu bestimmen, führt zu dem Resultate, dass für ganzzahlige n die Bessel’sehe Funktion zweiter Art Logarithmen enthalten muss. Für n = 0 und für ganzzahlige n ist diese Funktion zweiter Art zuerst eingehend von C. Neumann untersucht, der sie mit ]T₀ bezeichnet, und zwar findet er¹⁵¹): (68) Y₀ (x) = J₀ (x) log# + 2 {\Ą (x) — \ JA (#)+iĄ (x) — |(#) + ••• wo die Reihe rechts für alle x konvergiert, ferner das Integral:

7t

(68 a)

^ cos (x sin co) log (4x cos² co) dco, o

während die Funktion zweiter Art für andere ganzzahlige n sich aus YJx) mittelst der Formel¹⁵²):

rw(#) = (-2#7

(68 b)

dnY₀(x)

(dx*)n

ergiebt. Da zwischen JJx) und JJx) dieselbe Relation besteht, so folgt, dass YJx) gleich ist JJx) log x, vermehrt um eine für alle x eindeutige und stetige Funktion, die sich analog (68) in eine nach Cylinderfunktionen fortschreitende Reihe entwickeln lässt; auch lässt sich diese Reihe in Form eines bestimmten Integrals darstellen¹⁵³).

46. Ableitung dieser Funktionen aus denen erster Art durch einen Grenzübergang. Die Funktion YJx) lässt sich, wie zuerst Hankel¹⁵⁴) gezeigt hat, durch einen Grrenzübergang aus JJx) ableiten, und zwar ist¹⁵⁵):

-(»+*)

(69)

wo

r'(l) die Euler’sche Konstante ist.

150)    Vgl. Nr. 19, Anm. 68.

151)    C. Neumann, Bess. F., p. 44. — Das Integral (68 a) findet sieb schon bei G. Stokes, Cambr. Trans. 9 (1850); papers 3, p. 42.

152)    C. Neumann, Bess. F., p. 54. Betr. dieser u. a. Rekursionsformeln vgl. Nr. 50.

153)    Lommel, Studien, p. 86 ff. — Betreffs andrer Formen dieser Reihe vgl. die in Nr. 46 zu citierenden Abhandlungen von Hankel und Schläfli.

154)    Hankel, Math. Ann. 1 (1869), p. 467—501; vgl. Anm. 155).

155)    Schläfli, Math. Ann. 3 (1871), p. 134. Die von Hankel mit Yn bezeich-nete Funktion ist mit der Neumann'sehen Funktion Yn nicht identisch, während in der von Schläfli aufgestellten Formel (69) Yn die C. Neumann'sehe Funktion ist.

48*

¹

mann, Zeitschr. Math. Phys. 12 (1867), p. 116; hier findet sich die Bezeichnung

²

UltralcugelfunJctionen. — V. Giulotto, Gior. d. Mat. 39 (1901), p. 162.

³

Funktionen Crn für beliebige v als „hypersphärische“ Funktionen zu bezeichnen, wie es Letnikoff (Mosk. Math. Sammlung 1885, vgl. Fortschr. d. Math. 1885) tut, oder als Kugelfunktionen höherer Ordnung, wie F. Büttner, Festschr. Wernigerode 1900, oder als Kugelfunktionen schlechtweg, wie N. Nielsen in seinem Handbuch der Cylinderfunktionen, 1904.

⁴

   jx, v sind die Parameter zweier konfokalen Kegelscharen.

⁵

   Die transformierte Gleichung ergiebt sich am einfachsten, wenn man die rechtwinkligen Koordinaten durch r, jx, v ausdrückt, A cp — 0 auf diese Variabein transformiert und cp = rncp₁ setzt; vgl. Liouville, J. de math. 11 (1846), p. 458; Heine, H. B. 1, p. 354.

⁶

   Heine, H. B. 1, p. 37ö ff. — Wie man umgekehrt von den Kugelfunktionen zu den Lamé’sehen Funktionen übergehen kann, ist von G. H. Darwin gezeigt, Lond. Trans. 197 A (1901), p. 461—557.

⁷

   Heine, H. B. 1, p. 430—432.

⁸

   Liouville, J. de math. 11 (1846), p. 161.

⁹

   F. Klein, Math. Ann. 18 (1881), p. 237.

¹⁰

   Lamé, J. de math. 4 (1839), p. 158.

¹¹

   Ch. Jaccottet, Diss. Göttingen 1895.

¹²

   Ygl. Anmerkung 116) und 117).

¹³

   Heine, J. f. Math. 60, 1862; Beri. Ber. 1866, p. 446; J. f. Math. 67 (1867), p. 315.

¹⁴

   F. Lindemann, Math. Ann. 19 (1882), p. 323.

¹⁵

   Hermite, Sur quelques applications des fonctions elliptiques, Par. C. R. 85 (1877), p. 689, 728, 821 ff. ; auch sep. Paris 1885.

¹⁶

   Heine, J. f. Math. 60,61,62, (1862 u. 1863); Beri. Ber. 1864; H. B. 1, p. 445 ff. — Übrigens sind die Lame’schen Funktionen mit einer beliebigen Zahl von Veränderlichen schon von G. Green behandelt, Camb. Trans. 5 (1835), papers p. 185, und zwar ohne Benutzung verallgemeinerter elliptischer Koordinaten; die durch die Gleichungen (54 b) und definierten Variabein werden gelegentlich benutzt. — Vgl. auch Cayley, Lond. Trans. 165 (1875).

¹⁷

A.Wangerin, Jablon. Preisschr. 1875, sowie Beri. Ber. 1878, p. 162. Dort

¹⁸

ist die Aufgabe nur bis zur Aufstellung der gewöhnlichen Differentialgleichung

¹⁹

durchgeführt. — Häntzschel giebt in seiner Monographie einige Resultate betreffs des funktionentheoretischen Verhaltens der Integrale jener Differentialgleichung und erörtert namentlich ihren Zusammenhang mit den speziellen Funktionen, die als besondere Fälle auftreten.

²⁰

A.Wangerin, J. f. Math. 82 (1876), p. 145; G.Farboux, Par. C. R.83 (1876), p. 1037, 1099. Sehr ausführlich ist die Potentialaufgabe für die von Cykliden begrenzten Körper auf Grund der Klein’sehen Untersuchungen in der Monographie von M. Bocher durchgeführt. Dort sind auch die wichtigsten geometrischen Eigenschaften der Cykliden abgeleitet und die verschiedenen Ausartungen erörtert.

²¹

   E. W. Hobson, London Math. Proc. 23 (1892), p. 231.

²²

   Daniel Bernoulli, Comm. Petrop. 6 (1732/33) [38], p. 108 und 7 (1734/35)

²³

   Die Gleichung (67) bildet Bessers ursprüngliche Definition; in der Reihe (66) ist der an sich willkürliche Faktor so gewählt, dass die Reihe für ganzzahlige n mit dem Integral (67) identisch ist. — Gleichung (66 a) bildet den Ausgangspunkt in LovimeVs Monographie, während Graf und Gabler von der Reihe (66) ausgehen. — A. Sommerfeld findet, unter Benutzung eines komplexen Integrationsweges, eine der Gleichung (67) analoge Darstellung für beliebige Werte des Index, Math. Ann. 47 (1896), p. 337 ; ein ähnliches Integral ist dort auch für die Bessel’sehen Funktionen zweiter Art mitgeteilt.

²⁴

   Vgl. S. D. Poisson, J. éc. polyt., cah. 19(1823), p. 293 und Théorie de la chaleur, p. 159; ferner P. S. de Laplace, Conn, des temps pour 1823 (1820) und Méc. cél. livre XI, Ch. IV (oeuvres 5).

²⁵

   Math. Ann. 52 (1899), p. 228, vgl. Nielsen, Handbuch, Kap. 1.

²⁶

   G. Neumann und Schläfli bezeichnen die Funktion Y als „komplementäre Bessel’sehe Funktion“, während sie den Namen Bessel’sehe Funktion zweiter Art auf eine andre Funktion anwenden (s. Nr. 54). Doch ist diese Bezeichnung nicht zweckmässig, auch nicht allgemein üblich.

²⁷

   Aus der Differentialgleichung ergiebt sich nur, dass J_ (x) bis auf einen konstanten Faktor mit Jn(x) identisch ist. Damit die später zu besprechenden Rekursionsfonneln auch für negative n gelten, muss man J_n(x) = (— 1 )nJn(x) setzen.

47. Die Cylinderfunktionen als Grenzen der Kugelfunktionen.

Einen merkwürdigen Zusammenhang zwischen Kugel- und Cylinderfunktionen hat G. Mehler entdeckt¹). Es ist nämlich

(70)

lim Pn (cos = J₀ O).

% = cc    '

Es ergieht sich dies entweder aus der Darstellung von Pn als hypergeometrische Reihe, deren viertes Element sin²

ist, oder aus dem

Laplace'sehen Integral (Gl. (7) Kr. 5). Heine²) hat denselben Grenzübergang auf die zugeordneten Kugelfunktionen sowie auf die Kugelfunktionen zweiter Art angewandt. Indem er für die aus den Qn oder Qvn sich ergebenden Funktionen den Buchstaben K verwendet, findet er:

lim

lim Qn (cos -y\ = K₀ (ff),

(70a)

71 = 00    '    '

lim

Da auch die Differentialgleichung der zugeordneten Kugelfunktionen

&

[ Gl. (19) in Nr. 8], wenn man das Argument = — setzt und die Grenze

für n = co nimmt, in die Differentialgleichung der BesseTsehen Funktionen übergeht, so kann Kv nur eine Verbindung von Jv und Yv sein, und zwar ist³):

Kr(S) = lim -

s = 0

(70b) - K₀(S) = F₀(ff) - J₀(S)[log2 + r( 1)] = lim und ebenso (70c)

Man kann den Zusammenhang zwischen Kugel- und BesseT sehen Funktionen zur Grundlage der Theorie der letzteren machen, wie es namentlich Heine in seinem Handbuch tut. Mehr empfiehlt sich jedoch eine direkte Behandlung der BesseT sehen Funktionen.

Auch als Grenze der Mehler’sehen Kegelfunktionen lassen sich die BesseT sehen Funktionen ableiten, noch allgemeiner als Grenzfall der BieniamTsehen P-Funktion⁴).

48. Integraldarstellungen der Funktionen zweiter Art. Heine findet für KQ(b) das Integral:

co

(71)

K₀ (&) ==j cos    cos iw) du

0

und ein entsprechendes für    — Verschiedene reelle oder kom

plexe Integrale für Jn und Yn, resp. Kn finden sich bei ScJdäfli¹⁶°), Hankel¹⁶¹), Heine¹⁶²), H Weber¹⁶³), Sonine¹⁶⁴) und Schafheiüin™). Wir erwähnen unter diesen die Schlafli’sehe Formel (a beliebig, reeller Teil von x positiv):

cp

acp)dcp —

i71a) JM =4 /cos (2/sinÇD

'“i—

0

wo

@in den hyperbolischen Sinus bezeichnet; die Formel von Sonine:

Yo(x)=-

(71b)

J «4M

0

cos (x -f- u)

X -j- u

du =

00

ß

0

J₀(u) du

-)- J sin (x cos cp)dg), o

endlich die Mehler’sehe Formel¹⁶⁶):

(71c)

oo

f

o

xJ₀ (x)dx

x²-f- ff²

Übrigens mag bemerkt werden, dass ScJdäfli folgende Form der Bessel’sehen Funktion zweiter Art (er nennt sie die komplementäre Funktion) betrachtet:

KJx) = cotg (ax)Ja(x) — sin ^7ry J_a(x).

(71 d)

die er als Cylinderfunktionen höherer Ordnung bezeichnet. Ferner zeigt er, dass die Formeln (70) und (70 a) sich auf beliebige Indizes der Kugel- und der Cylinderfunktionen ausdehnen lassen. Diese Ausdehnung findet sich auch bei A. Sommerfeld, Math. Ann. 47 (1896), p. 387 ff.

160)    Schläfli, Ann. di mat. 1, 1868; Math. Ann. 3, 1871. Die Formel (71a) findet sich an beiden Stellen.

161)    Math. Ann. 1 (1869), p. 467.

162)    J. f. Math. 69 und H. B. 1.

163)    J. f. Math. 69, 75, 76.

164)    Math. Ann. 16 (1880), p. 1. In der Formel (71b) steht bei Sonine rechts noch der Faktor 2; aber sein Y₀ ist das Doppelte des Neumann’sehen Y₀.

165)    J. f. Math. 114 (1894), p. 31.

166)    J. f. Math. 68; vgl. Heine, H. B. 1, p. 197.

N. Nielsen führt in seinem Handbuch neben Jv und Yv noch die Funktionen

H'(x) = Jv(x) + * Yv(x)

em.

Obwohl die Reihe (66) für

49. Semikonvergente Reihen.

alle x konvergiert, wird dieselbe doch zur Berechnung von JJx) für grössere Werte von x unzweckmässig. Hier benutzt man besser die semikonvergente Entwicklung:

(72;    {«»(*—=

CP

1)

n- 'j S± -f- sin (x — ~

wo

(72a)

(n, 2 p)

{2x)

(n, 2p + 1)

P +1

p== 0

ist. Dabei ist zur Abkürzung

(2x)

Ob p) =

r(n+p + j)

n² — (D² n² — (f)²

n² —

(V)

gesetzt.

r{n-p + $ r(p +1)

Die Reihe (72) ist für n — 0 von S. D. Poisson¹⁶⁷) aufgestellt; für andere ganzzahlige n von C. Gr. J. Jacobi¹⁶⁸). Der Rest der Reihe ist für den Fall n = 0 von li. Lipschitz¹⁶⁹) genauer untersucht; der Fall; dass n eine positive ganze Zahl ist, ist dabei zum Schluss kurz berührt. Hankel ¹⁷°) hat sodann die Reihe auf beliebige; auch komplexe Werte von n ausgedehnt, sowie auf komplexe X] er gelangt zu folgendem Resultate: Jede der Reihen 8X und S₂ hat den Charakter, dass, wenn man die Reihe an irgend einer Stelle abbricht, ihr Wert von dem komplexen Werte, den sie darstellen soll, nur um eine Grösse abweicht, deren Modul kleiner ist als das nächstfolgende Glied. Jedoch kann diese Eigenschaft nur von dem Gliede an behauptet werden, von dem an 2p oder 2p -f- 1 grösser ist als der reelle Teil von n — Wenn n und x reelle positive Grössen sind, so haben in jeder Reihe die Glieder von pi> n an alternierende Zeichen; die Reihen sind in diesem Falle semikonvergente Reihen von dem gewöhnlichen Charakter.

Hankel hat weiter auch die semikonvergenten Reihen für Yn(x) entwickelt, die übrigens schon von Lommelm) aufgestellt waren.

167)    J. éc. polyt. cah. 19 (1823), p. 349.

168)    Astr. Nachr. 28 (1849), p. 94; Ges. Werke 7, p. 174.

169)    J. f. Math. 56 (1859), p. 189.

170)    Math. Ann. 1 (1869), p. 467—501, § 6.

Hankel bemerkt, dass die Begründung der Reihen für beliebige n durch Lommel nicht den Anforderungen entspricht, welche die neuere Analyse an eine solche stellt.

171) Studien, p. 95.

Eine neue Form des Restgliedes und eine genaue Diskussion desselben findet sich in einer Abhandlung von H. Weberm), und zwar werden hier beliebige reelle Werte von n, komplexe von x in Betracht gezogen; für ganzzahlige n wird auch die Reihe für Yn(x) aufgestellt.

Aus (72) folgen übrigens für ganzzahlige n und sehr grosse reelle Werte von x die Näherungswerte:

Lr (— l)”(cos x -j- sin x), ^n+iO) =    (— i)M+1(C0S « — sin #);

ynx

ferner wird für grosse reelle x:

(72b)

J'2 n (A)

■j/jtx

(72c)

Kn{x) = £ ]/j (cos x — sin x).

Ist n die Hälfte einer ungeraden Zahl, so brechen die Reihen (72 a) von selbst ab, was mit dem schon am Schluss von Nr. 44 erwähnten Resultate übereinstimmt.

Übrigens lässt sich aus dem Integral (66 a) auch die Form ab-

leiten

Jn (x) — xn { G • cos x -\- S - sin x},

wo C und S nach steigenden Potenzen von x geordnete, stets konvergente Reihen sind⁵ 6).

50. Rekurrente Relationen. Die hauptsächlichsten sind die folgenden, schon von Bessel entdeckten:

(73)

2dJ3~=Jr,-.(x)

T (r\    Jn(x)

J^X)    dir ‘

Jn+iW =

Jn +1(4

Diese Formeln gelten zunächst für den Fall, dass n eine positive ganze Zahl ist, für n — 0 auch, falls man J_t(cc) — — Jt(x) setzt (vgl. Nr. 45, Anmerkung 149). Ohne jede Änderung gelten ferner dieselben

Formeln für die Funktion Yn(x). Von den Folgerungen aus sei die schon früher erwähnte Formel (68 b) in Nr. 45 genannt, ferner die Darstellung von Jn durch Jn_m und Jn_m_₁ etc. — Wie übrigens zuerst Lommellu) gezeigt hat, gelten die Rekursionsformeln der J nicht nur für positive ganzzahlige, sondern auch für beliebige Werte von n, nur dass für negative ganzzahlige n J_n(x) — (— 1 )nJn(oc) zu setzen ist.

Zwischen den Funktionen erster und zweiter Art findet Lommel⁷ 8) noch folgende Beziehungen (n ganzzahlig, v beliebig): (73 a)

Man kann die Rekursionsformeln auch zum Ausgangspunkt der Theorie machen, wie es z. B. Sonine in der schon mehrfach citierten Arbeit tut; ferner N. Nielsen, der von seiner Definition sofort zu einer Verallgemeinerung des Begriffs der Cylinderfunktionen gelangt⁹).

51.    Zusammenhang mit Kettenbrüchen. Aus der zweiten Re-

kursionsformel (73) folgt, dass man

x Jn +1 (x) in einen Kettenbruch ent-

Jn{x)

wickeln kann, dessen Zähler sämtlich gleich x² sind, während die Nenner eine arithmetische Reihe bilden. Diese Form des Kettenbruchs tritt zuerst bei Scldömilch¹⁰) auf, während Bessel eine andere Form hat. In neuerer Zeit ist der Zusammenhang zwischen Bessel-schen Funktionen und Kettenhrüchen von Graf¹¹) genauer untersucht.

52.    Wurzeln der Gleichung Jv(ß) = 0. Die Gleichung

hat unendlich viele Wurzeln, die sämtlich reell und von einander verschieden sind¹²). Es folgt das daraus, dass, wenn v zwischen und -f--£ liegt, Jv(z) von 0 = 2mit bis (2m If)7t stets positiv, von

z — (2 ni —{— 1) je bis (2 m -j- -|jr) stets negativ ist. Die höheren Wurzeln der Gleichung Jv(z) — 0 unterscheiden sich von einander nahezu um rt.

Das über die Wurzeln von Jv(z) — 0 Gesagte gilt ohne weiteres auch für die Gleichung    — 0, daher auch für die allgemeinere

aJ^ + bz^

in der a und b beliebig gegebene Konstanten sind.

Bezeichnet man mit p die Wurzeln der Gleichung Jn(z) = 0 für ganzzahlige positive Werte von n, so ist¹³)

2^—

4 (n -j- 1)

16(n-J- l)²(n-f 2)

etc.

p

Eine genauere Untersuchung der Wurzeln von Jv(z) — 0 für beliebige, auch negative v ist von A. Hurwitz angestellt¹⁴).

53. Additionstheorem der Funktionen erster und zweiter Art.

Ist

so ist¹⁵):

(74a)

B — ]/r¹⁵ 16 17 -j- r ² — 2 rrt cos &,

CO

J₀(B) = J'(r)Ą(rt) + 2™(»»)

1

Y₀(ß) = J₀(r)Y₀(n) + 2    Yn(rJ cos(n»).

Die erste Gleichung gilt für beliebige Werte von r und rlf die zweite nur für r < rx. Das entsprechende Additionstheorem für Jn(B) haben Gegenbauer¹⁸), Sonine¹⁴) und Graf¹⁸) entwickelt. Heine giebt auch das Additionstheorem für Kn an¹⁹).

Ausserdem sind zu erwähnen Formeln für Jn(x -f- ÿ),¹⁸⁷) sowie

rar

54. C. Neumann’s Funktion On. — C. Neumann entwickelt¹⁸⁹) 1 : (y—-x) in eine nach BesscVsehen Funktionen Jn mit ganzzahligen n fortschreitende Reihe: (75) und nennt On{y) „Besser sehe Funktion zweiter Art“; doch ist diese Bezeichnung, wie schon Bommel im Vorwort zu seinen Studien hervorhebt, nicht zweckmässig, da On nicht der Bessel’sehen Differentialgleichung (65) genügt. Besser ist es, als „Bessel’sehe Funktion zweiter Art“ das zweite partikuläre Integral von (65) zu bezeichnen, also die Funktion Yn oder Kn für ganzzahlige'w; das geschieht auch von der Mehrzahl der Mathematiker.

C. Neumann stellt die Differentialgleichung auf, der On genügt, entwickelt diese Funktion in eine endliche, nach negativen Potenzen von y fortschreitende Reihe, stellt dieselbe in Form eines bestimmten Integrals dar und zeigt, dass für On auch die erste der Rekursionsformeln (73) gilt, nicht aber die beiden anderen Formeln (73).

Für diese Funktion On gilt nun der folgende Satz. Es ist¹⁹⁰):

(76)

fjn(ß) Ov(s)cU = Tt i, falls n = v eine beliebige positive

ganze Zahl ist,

= 2 7t i für n = v — 0,

falls n v.

= 0,

Das Integral ist in der komplexen Ebene über den Umfang einer beliebigen, den Punkt £ = 0 umschliessenden Kurve zu erstrecken. Liegt s — 0 nicht im Innern der Kurve, so verschwindet das Integral auch für n = v. Ferner ist, falls 2 — 0 im Innern der Kurve liegt,

(76 a)

= ⁰ fo.(/)0,W-o,

mag n — v oder n ^ v sein.

tionen zweiter Art für beliebige Indizes giebt A. Sommerfeld, Math. Ann. 47 (1896), p. 356; ferner H. M. Macdonald, Lond. Math. Proc. 32 (1900), p. 152.

187)    C. Neumann, Bess. F., p. 40. — Ygl. auch Schläfli, Math. Ann. 3 (1871), p. 134; Graf, Math. Ann. 43 (1893), p. 136; N. Nielsen, Math. Ann. 52 (1899), p. 228. Schläfli teilt auch eine Entwicklung für On(x-\-y) mit, wo On die in Nr. 54 definierte Funktion ist.

189) Bessel’sche Funktionen, p. 8 ff.

188)    Lommel, Studien, § 5.

190) C. Neumann, Bess. F., p. 19.

55. Entwicklung einer analytischen Funktion nach Bessel’schen Funktionen. Aus dem oben erwähnten Satze folgt, dass sich jede Funktion f(x), welche innerhalb eines Kreises mit dem Mittelpunkte x — 0 eindeutig und stetig bleibt, in eine Reihe

f(pc) =]£avJv(x)

(77)

v=0

entwickeln lässt (v ganzzahlig), wo

(77 a)

~ï f f{x) Ov(x)dx

Die Integration ist positiv um den Kreis herumzuführen; für v — 0 ist c<r₀ gleich dem Doppelten des Integrals.

Eine andere Bestimmung der Koeffizienten leitet Heine²⁰) aus der Entwicklung einer Funktion nach zugeordneten Kugelfunktionen her.

Als Beispiele für die Entwicklung giebt C. Neumonn²¹) die Entwicklung ganzer positiver Potenzen von z (auch von z°), ebenso von cos £ und sin £ nach Bessel ’sehen Funktionen erster Art, die Entwicklung negativer Potenzen von z nach der Funktion Ov in endliche Reihen.

56. Hinweis auf andere Reihen sowie auf Entwicklungen nach Quadraten und Produkten der Cylinderfunktionen. Die Reihen für sin z und cos z ergeben sich auch aus der Entwicklung des Ausdrucks

Die Koeffizienten dieser Entwicklung sind nämlich die Jn(z) mit ganzzahligen Indizes²²); für y — ci,p folgen zunächst die Reihen für

gïz(y-y) nach positiven und negativen Potenzen von y.

cos (z sin cp) und sin (z sing?) und für cp — ~ die für cos z und sin,?.

Jn{2z) nach

Setzt man bei der Entwicklung des vorstehenden Ausdrucks 2z an Stelle von z und vergleicht die so erhaltene Reihe mit dem Quadrat der ursprünglichen, so ergiebt sich die Entwicklung von Quadraten und Produkten der J^.²³) Andere Entwicklungen der letztgenannten Art, wie auch allgemeine Sätze über dieselbe hat

C. Neumann angegeben²⁴). Reihen von der Form E AnJn(nz) sind von W. Kapteyn untersucht²⁵), Verallgemeinerungen der Neumann’sehen

und Kapteyrisehen Reihen von N. Nielsenldl).

Nielsen hat ferner

Reihen gefunden, die nach Produkten von Cylinderfunktionen fortschreiten und innerhalb eines gewissen Bereichs der Yariabeln überall den Wert Null besitzen²⁶ 27).

57. Die für die Aufgaben der Physik erforderlichen Entwicklungen. Während es sich in Nr. 55 und 56 um Reihen handelte, die nach den J mit variablem Index, meist aber mit demselben Argumente fortschreiten, treten bei den Anwendungen auf physikalische Probleme Reihen auf, die nach den Funktionen J mit demselben Index fortschreiten, während die Argumente sich von Glied zu Glied ändern; und zwar sind die Argumente von der Form xpx, wo xp die

pte Wurzel der Gleichung Jn(x) = 0 oder der Gleichung

dJn(x)

dx

dJ (x)

oder noch allgemeiner der Gleichung aJn(x) -\-bx Soll eine Funktion f(x) in eine derartige Reihe entwickelt werden:

dx

= 0 ist.

(78)

/O) — JÏA jn(x x)

so ergeben sich die Koeffizienten A mittelst des Satzes, dass, wenn x und x₁ zwei verschiedene Wurzeln einer der vorher genannten Gleichungen sind,

(78 a)

i

fJJx x) Jn (xpx)xäx = 0

o

ist, während das Integral für x = x₁ den Wert hat:

(78 b)

KW + (i -

(Jn' ist die Ableitung von Jn). Die Entwicklung (78) findet sich für n — 0 schon bei Fourier; Lommel²⁸ 29 30 31 32) nennt deshalb die Entwicklung (78), resp. die Bestimmung der Koeffizienten den Fourier ’sehen Lehrsatz. Für andere Werte von n ist der Satz vom Lommel abgeleitet ²⁰°).

In (78) ist

zu

f{x)

beachten, dass n so zu wählen ist, dass lim —-

x—0 x

endlich ist. — Hat f(x) diese Eigenschaft nicht, so muss man nicht f(x) selbst, sondern die mit einer passenden Potenz von x multiplizierte Funktion f(x) in eine Reihe von der Form (78) entwickeln.

Bei Aufgaben der mathematischen Physik, die den Hohlcylinder betreffen, tritt an Stelle von Jn die allgemeine Lösung der Sessel’sehen Differentialgleichung, also für ganzzahlige n die Funktion

Jn(v) + (Jp YJfpx) = ü(v;),

und es sind C und y,p aus zwei Gleichungen der Form zu bestimmen³⁰):

Jn(V l) + CpYn(%pXt) = ⁽⁾’

JJfpX₂) + CpYJxpx₂) = 0.

An Stelle der Gleichung (78a) tritt hier die Formel:

#₂

ffn{*X)fn(*lX)xdx =

xi

falls wieder x und xt zwei verschiedene Wurzeln des in Frage kommenden Gleichungssystems sind. Der Wert des Integrals für j« = xi lässt sich indessen nicht, wie vorher in endlicher Form angeben.

58. Die Reihe von Sehlömilch. Eine andere Entwicklung einer zwischen 0 und % gegebenen Funktion leitet Sehlömilch³¹-) ab, nämlich:

00

(79)

f(?) = l Ä₀ + y AnJ₀(n x)

wo

{ u cos (nu) du 1¹__

J v y J i/i -1*

0 0 r

Die analoge Reihe, in der Jm an Stelle von J₀ steht, giebt Lommel ³²) an.

(79 a)

An =

fiut) dt

59. C. Neumann’s Integraldarstellung einer Funktion mittelst

Bessel’seher Funktionen.

C. Neumann ³³) leitet aus der Entwicklung einer Funktion noch Kugelfunktionen (Gl. (29) in Nr. 15) durch den Übergang von einer Kugel mit endlichem zu einer solchen mit

201) Diese Form der Gleichungen entspricht dem Falle, dass beim Voll-cylinder %p eine Wurzel der Gleichung Jn(pc) — 0 ist. Welche Gleichungssysteme an Stelle der beiden andern oben genannten Gleichungen treten, ergiebt sich leicht.

202)    Sehlömilch, Zeitschr. Math. Phys. 2, 1857.

203)    Lommel, Studien, § 20. Lommel nennt (79) den Sehlömilch'sehen

Lehrsatz.

unendlich grossem Radius folgende Darstellung einer Funktion zweier Variabein nach Cylinderf'unktionen her:

r ? -,

f(Qi, 0>i) = lim    <p)\ fj₀(qB)qdq ,

2=°° Z    Lü    -¹

(80)

wo

B — ]/p² -}- ()j² — cos (cp — 9?₁)

und die Integration über die ebene Fläche % auszudehnen ist. Falls F(q, (p) innerhalb % abteilungsweise stetig ist, konvergiert die rechte Seite von (80) mit wachsendem q gegen eine feste Grenze; und zwar ist diese Grenze = 0, falls pt, cpt ausserhalb % liegt, während für Punkte cpL innerhalb % die Grenze das arithmetische Mittel der Werte ist, welche F(q, cp) längs eines um cpt beschriebenen unendlich kleinen Kreises besitzt.

Aus (80) folgt die Darstellung einer Funktion f(Qx) mit einem Argument zwischen = 0 und = c durch ein Doppelintegral; und letztere Darstellung lässt sich auch dahin verallgemeinern, dass JH (n eine positive ganze Zahl) an Stelle von J₀ tritt³⁴).

60. Bestimmte Integrale mit Bessel’schen Funktionen. In den

Arbeiten über Bessel’sehe Funktionen findet man vielfach die Werte von bestimmten Integralen, die BesseVsehe Funktionen enthalten, berechnet. Es mögen einige von diesen hier Platz finden.

Lipschitz³⁵ 36) findet

GO

Je~ax J(bx) dx.

Vcr + &*    «

Nach H. Weberm) ist

0» 0).

Andre derartige Integrale finden sich bei Hankel ³⁷) und Sonine³⁸).

C. Neumann²¹⁰) stellt das Quadrat einer BesseV sehen Funktion mit ganzzahligem Index durch ein Integral dar:

7t

I7„0)]² =

n a) dco,

i f Si

206) J. f. Math. 56 (1859), p. 189.

209) Math. Ann. 16 (1880), p. 1.

0

und Schläfli knüpft daran die Darstellung des Produktes Jm(x) Jn(x) durch ein Integral²¹¹).

Auch die Kugelfunktion lässt sich durch ein derartiges Integral darstellen²¹²) :

Pn(COS O') ==

co

r{nTl)fe

0

—x cos 9

J₀ (x sin &) xn dx.

Setzt man in dem letzten Integral für J₀ die semikonvergente Reihe (Gl. (72)), so ergiebt sich eine entsprechende Reihe für P”(cosO), aus der man angenäherte Werte dieser Funktion für grosse n ableiten kann.

61. Tafeln der BesseFselien Funktionen. Solche Tafeln der Funktionen J₀ und Jx sind zuerst für Argumente zwischen x — 0 und x = 3,2 von Bessel²¹³) berechnet, erweiterte Tafeln bis x = 2Q von TIansen2U). Noch umfassender ist die Tafel you Meissei²¹⁵). Die beiden ersten Tafeln sind abgedruckt in Bommel's Studien wie in dem Lehrbuche von Byerly, ein Auszug daraus auch in Lord Rayleigh’s Schall. Tafeln von Y₀ und Yt giebt B. A. Smith ²¹⁶). Bei Rayleigh und Byerly ist auch eine Tafel der Wurzeln der Gleichung Jn(x) = 0 mitgeteilt, und zwar sind bei Byerly die ersten 9 Wurzeln angegeben für n — 0, 1, . . ., 5. Die ersten 12 Wurzeln von J₀ und Jx giebt Gr. Stokes²¹¹), die ersten 40 von J₀ geben Wilson und Peirce²¹⁶), die ersten 50 von Jx Meissel²¹²).

Über neuere englische Tafeln ist im Brit. Ass. Rep. 1889, 1893 und 1896 berichtet.

211)    Math. Ann. 3 (1871), p. 134. — Vgl. auch N. Nielsen, Ann. éc. norm. (3) 18 (1901), p. 39.

212)    0. Callandreau, Bull. Dai’b. (2) 15 (1891), p. 121. Dieselbe Formel ist auch von Hobson, Lond. Math. Proc. 25 (1894), p. 49 abgeleitet. Hobson giebt ferner die entsprechende Formel für P” (cos V) an. — L. Gegenbauer, Monat,sh. Math. 10 (1899), p. 189, hat das Produkt

2v— 1

(sin cp)~~'CT(cos (p)J” + v (a)

durch ein Integral dargestellt.

213)    Vgl. die Nr. 44, Anm. 140) citierte Arbeit vom Jahre 1824.

214)    Schriften der Sternwarte Seeberg, Gotha 1843. — Eine kleine Tafel von J₀ und (J₀)a bei G. Airy, Phil. mag. 18 (1841), p. 7.

215)    Berl. Abh. 1888, abgedruckt bei Gray und Mathews.

216)    Mess. (2) 26 (1896), p. 98.

217)    Cambr. Trans. 9 (1850); papers 2, p. 355.

218)    N. Y. Bull. (2) 3 (1897), p. 153.

219)    Progr. Kiel 1890.

IX. Funktionen des elliptischen und parabolischen Cylinders.

62. Funktionen des elliptischen Cylinders. Diese Funktionen treten bei Fragen der mathematischen Physik auf, welche elliptische Cylinder oder elliptische Platten betreffen; sie stehen zu den Bessel-sehen Funktionen, die auch schlechtweg Cylinderfunktionen genannt werden, in demselben Verhältnis wie die Lamé’sehen zu den Kugelfunktionen. Die Funktionen des elliptischen Cylinders genügen der Differentialgleichung

(81)

ds@((p)

dep

Y> -f- (k² COS² (p —' $8) @(9)) = 0.

S3 ist die Wurzel einer gewissen transcendenten Gleichung. Zwei partikuläre Integrale von (81) unterscheidet man als Funktionen erster und zweiter Art, und zwar sind die Funktionen erster Art im Endlichen überall endlich. Beide Arten zerfallen, ähnlich wie die Lamé’sehen Funktionen, in je vier Klassen.

Am vollständigsten sind diese Funktionen von Heine²²⁰) behandelt. Heine giebt insbesondere Entwicklungen nach Kosinus, resp. Sinus der Vielfachen von <p, dann nach BesseTsehen Funktionen J, resp. K mit dem Argumente ik cos (p. — Lindemann³⁹), der an Gleichung (81) eine ähnliche Verallgemeinerung knüpft wie Hermite an die Lamé'sehe Differentialgleichung (vgl. Nr. 39), giebt noch Entwicklungen nach Potenzen von cos²<p. — Eine ausführliche Darstellung dieser Funktionen findet sich auch in einem Programm von Särchinger⁴⁰) ; hier sind mehrere Resultate von Heine erweitert, einige auch verbessert.

Häntzschel ⁴¹) legt seiner Behandlung dieser Funktionen die etwas verallgemeinerte Differentialgleichung zu Grunde:

m i w\ 2

(82)

d²Z

dio²

Ji²

ße

miw

— ae

— v² z

und betrachtet neben dieser transcendenten eine algebraische Form

220) Heine, H. B. 1, p. 401 ff. ; 2, p. 202 ff. — Ygl. ferner die Darstellung bei Fr. Pockels, über d. part. Diffgl. Aîi-j-Fu = 0, Leipzig 1891, p. 186ff. Dort ist auch das Klein’sehe Oscillationstheorem [Nr. 41] auf diese Funktionen übertragen.

der Gleichung. Er erörtert das funktionentheoretische Verhalten der Integrale von (82), insbesondere an der unendlich fernen Stelle, den Zusammenhang mit den Lamé’sehen Funktionen u. s. w. Doch ist das Resultat dieser Untersuchungen kein völlig abgeschlossenes.

63. Funktionen des parabolischen Cylinders. Noch andere Funktionen erfordern die sich an den parabolischen Cylinder knüpfenden Aufgaben. Man erhält die Differentialgleichung dieser Funktionen, indem man in (82) a — ß, m — 0 setzt. Genauer untersucht sind diese Funktionen zuerst von K. Baer²²⁴), bei dem die Differentialgleichung, der die Funktionen genügen, die Form hat:

(83)

+ ty — Q²) * = °-

Hinsichtlich der Darstellung dieser Funktionen und ihrer wichtigsten Eigenschaften müssen wir auf die erwähnte Arbeit verweisen, sowie auf eine andre von Häntssehet ²²⁵).

Ein Schema über die Multiplizität der singulären Punkte giebt für die in Nr. 62 und 63 behandelten, wie auch für die Funktionen des Rotationskegels und des Rotationscylinders M. Bocher auf p. 193 seiner schon erwähnten Monographie.

224)    K. Baer, Progr. Küstrin 1888.

225)    Häntzschel, Zeitschr. Math. Phys. 33 (1888), p. 22.

(Abgeschlossen im Juli 1904.)

20—23.

¹

II

II A 11. FUNKTIONALOPERATIONEN UND -GLEICHUNGEN⁴²)

VON

S. PINCHERLE

IN BOLOGNA.

¹

   Mehler, J. f. Math. 68 (1868), p. 140.

²

   Heine, J. f. Math. 69 (1868), p. 128.

³

   H. Weber, J. f. Math. 75 (1873), p. 85. Vgl. Heine, H. B. 1, p. 244.

⁴

   Ji. Olbricht, Studien über die Kugel- und Cylinderfunktionen, Diss. Leipzig 1887, Leop. N. A. 52. — Dabei gelangt der Verf. auf Erweiterungen,

⁵

   Math. Ann. 37 (1890), p. 401 — 416. — Bei B. Riemann, Ann. Phys. Chem. 95 (1855), Werke, 2. AufL, p. 50, kommen nur rein imaginäre Werte von x in Frage.

⁶

   Ygl. das Lehrbuch von Todhunter, p. 292. — Zur Konstantenbestimmung beim Übergang von den aufsteigenden konvergenten zu den absteigenden semikonvergenten Reihen vgl. G. Stokes, Cambr. Trans. 9 (1850), 10 (1857), 11 (1868); papers 3, p. 43; 4, p. 102, 285.

⁷

   Studien § 1 ff.

⁸

   Math. Ann. 4 (1871), p. 103. — Eine allgemeinere Rekursionsformel leitet N. Nielsen ab, Math. Ann. 52 (1899), p. 228; vgl. Handbuch, Kap. 1.

⁹

   Ann. di mat. (3) 5 (1900), p. 17; Handbuch, Kap. 2.

¹⁰

   ScJüömilch, Zeitschr. Math. Phys. 2 (1857), p. 137.

¹¹

   Ann. di mat. (2) 23 (1895), p. 45—65.

¹²

   Der Satz ist für n = 0 von I). Bernoulli gefunden, Petrop. Comm. 6 (1732/33) [38], p. 116; vgl. Fourier, Théorie de la chaleur, chap. 6. Für beliebige Werte des Index findet er sich bei Lommel, Studien, p. 65 ff. — Ygl. auch Niemann, Partielle Differentialgleichungen, 2. Aufl., p. 266.

¹³

   J. W. Strutt (Lord Rayleigh), Phil. Mag. (4) 44 (1872), p. 328—344. — Für n — 0 in etwas anderer Form bei Euler, Petrop. Acta 1781 [84], p. 173.

¹⁴

   Math. Ann. 33 (1888), p. 246—266. — Weitere Untersuchungen sind angestellt von J. Me Mahon, Ann. Math. 9 (1894), p. 23; vgl. Gray und Mathews, p. 241; ferner von H. M. Macdonald, Lond. M. S. proc. 29 (1898), p. 575; 30 (1899), p. 165; von P. Schafheitlin, J. f. Math. 122 (1900), p. 299 und Arch. Math. Phys. (3) 1 (1901), p. 133. Mehrere dieser Arbeiten behandeln auch die Wurzeln von Yn(z) — 0. — Über den Verlauf der Kurven y — Jm(x) und y — Ym(x), vgl. die in Anm. 159) citierte Arbeit von R. Olbricht.

¹⁵

   C. Neumann, Bess. F., p. 65.

¹⁶

   Wien. Ber. 69, 1874; 74, 1876. — Eine von Gegenbauer herrührende Verallgemeinerung des Additionstheorems beweist C. Wendt, Mon. f. Math. 11 (1900), p. 125. — Eine andere Verallgemeinerung bei N. Nielsen, Ann. di mat. (3) 6 (1901), p. 43.

¹⁷

   Math. Ann. 16 (1880), p. 1.

¹⁸

   Math. Ann. 43 (1893), p. 136.

¹⁹

   Heine, H. B. 1, p. 464. — Das Additionstheorem der Cylinderfunk-

²⁰

   Heine, H. B. 1, p, 255.

²¹

   C. Neumann, Bess. F., p. 39—40.

²²

   Schlömilch, Zeitschr. Math. Phys. 2 (1857), p. 137.

²³

   Lommel, Studien § 12; vgl. auch § 15.

²⁴

   Math. Ann. 3 (1871), p. 581.

²⁵

   Ann. éc. norm. (3) 10 (1893), p. 91.

²⁶

Ann. ée. norm. (3) 18 (1901), p. 39; vgl. Nielsen, Handbuch, Kap.

²⁷

   Math. Ann. 52 (1899), p. 582; Ann. di mat. (3) 6 (1901), p. 301; vgl. Nielsen, Handbuch, Kap. 25.

²⁸

   Lommel, Studien § 19.

²⁹

   Lommel 1. c.; vgl. Niemann, Partielle Differentialgleichungen, § 96. —

³⁰

Konvergenzbeweise bei H. Hanlcel, Math. Ann. 8 (1875), p. 471; Schläfli, Math.

³¹

Ann. 10 (1876), p. 137; U.Dini, Serie di Fourier, Pisa 1880. — Vgl. Nielsen,

³²

Handbuch, Kap. 26.

³³

C. Neumann, Entwickelungen, p. 18 und 126 ff.; vgl. auch Heine, H. B. 1, p. 443.

³⁴

C. Neumann, Entwickelungen, p. 137 ff. — Vgl. auch F. W. Sheppard

³⁵

im Quart. J. 23 (1888), p. 223.

³⁶

   J. f. Math. 69 (1868), p. 232.

³⁷

   Math. Ann. 8 (1875), p. 453.

³⁸

210) C. Neumann, Bess. F., p. 70.

³⁹

   Lindemann, Math. Ann. 22 (1S83), p. 117. — Betreffs der Reihen für die Funktionen (S vgl. auch eine Arbeit von H. Bruns, Astr. Nachr. Nr. 2533, 2553 (1883). — Über weitere astronomische Arbeiten, in denen die Funktion @ auftritt, referiert Tisserand, Traité de Méc. cél. 3 (1894).

⁴⁰

   Progr. Chemnitz 1894.

⁴¹

   Progr. Duisburg 1886; Progr. d. städt. höh. Bürger.sch., Berlin 1889; siehe auch die am Anfang citierte Monographie Häntzschel’s, Teil 5.

⁴²

Die in diesem Artikel auftretenden Variabein können ebensowohl komplex als reell sein; er hätte daher auch in II B Platz finden können. Wir reihen ihn an dieser Stelle ein, um sein Erscheinen nicht noch länger hinausschieben zu müssen.

lincyklop. d. math. Wissensch. II.

Inhaltsverzeichnis.

Funktionaloperationen.

1.    Definition der Funktionalrectinung.

2.    Die Funktionalrechnung von Leibniz bis Lagrange.

3.    Untersuchungen über das Rechnen mit Symbolen bis auf Serwis.

4.    Prinzip des Rechnens mit Symbolen.

5.    Elemente des Operationskalküls.

0. Einfache distributive Operationen.

7.    Ableitungen (Differentialquotienten) zu beliebigem Index.

8.    Die Generalisationsrechnung von Oltramare.

9.    Anwendungen des Rechnens mit Symbolen.

10.    Anwendungen auf Differentialgleichungen.

11.    Anwendungen auf Formen- und Zahlentheorie.

12.    Vektorielle Interpretation in einem Raume von n Dimensionen.

13.    Interpretation in einem Raume unendlich vieler Dimensionen.

14.    Darstellung einer distributiven Operation durch eine Reihe.

15.    Darstellung durch ein bestimmtes Integral.

IG. Die Transformation von Laplace.

17.    Andere distributive Operationen.

18.    Nicht distributive Operationen.

19.    Funktionen von Linien.

Funktionalgleichungen.

20.    Allgemeines über Funktionalgleichungen.

21.    Die Gleichung von Babbage und ihre Anwendungen.

22.    Die Gleichungen von Abel und von Schroeder.

Red.

50

Iterationsrechnung.

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»    M    ©    »    OC

•    •    •    •    •

Anwendung der Iterationsrechnung auf die Auflösung der Abel’sehen Gleichung.

Andere Anwendungen der Koenigs’ sehen Funktionen.

Analytische Iteration.

Verschiedene Funktionalgleichungen; Verallgemeinerung der Periodizität; transcendente Transcendenz.

Integralgleichungen erster Art (Umkehrung bestimmter Integrale); Allgemeines.

Umkehrung bestimmter Integrale mit festen Grenzen.

Umkehrung bestimmter Integrale mit veränderlichen Grenzen. Integralgleichungen zweiter Art.

Symbolische Gleichungen.

Litteratur.

Lehrbücher.

L. J. A. Arbogast, Du calcul des dérivations, Strassb. 1800.

B. Carmichael, Treatise on the calculus of operations, Lond. 1855; deutsch von

C. H. Schnuse, Braunschw. 1857.

H. Schapira, Theorie allgemeiner Kofunktionen, Leipz. 1892 (unvollendet).

G. Oltramare, Essai sur le calcul de généralisation, Genève 1896.

S. Pincherle e U. Amaldi, Le operazioni funzionali distributive, Bologna 1901.

Monographien.

G. Leibniz, Symbolismus memorabilis, Miscell. Berol. 1710, p. 160.

J. L. Lagrange, Mém. sur une nouvelle espèce de calcul, Berl. nouv. mém. 3, 1772 (74), p. 185; Oeuvres 3, p. 441.

A. M. de Lorgna, Théorie d’une nouvelle espèce de calcul fini et infinitésimal, Turin mém. 4 (1787), p. 409.

J. Ph. Gruson, Le calcul d’exposition, Berl. nouv. mém. 1798/99.

J. J. Français, Mém. tendant à démontrer la légitimité de la séparation des échelles, Gerg. Ann. 3 (1812), p. 244.

M. Servois, Essai sur un nouveau mode d’exposition des principes du calcul différentiel, ibid. 5 (1814), p. 93.

Ch. Babbage, On functional equations (Appendix von W. HerscheVs Collection of examples on the calculus of finite differences, Cambr. 1820; in der deutschen Übersetzung von Schnuse weggelassen).

A.    Cauchy, Sur l’analogie des puissances et des differences. Exercices de Mathém. 2, Paris (1827), p. 159 (Oeuvres (2) 7, p. 198).

J. Liouville, Sur les dérivées à indices quelconques, J. éc. polyt. cah. 21 (1832), p. 71.

B.    Murphy, On the theory of analytical operations, Lond. Phil. Trans. 1837, p. 179.

G. Boole, On a general method in analysis, ibid. 1844, p. 225.

W. H. Bussell, On the calculus of symbols, ibid. 1861, p. 69; 1862, p. 223, 265; 1863, p. 517.

W. Spottiswoode, On the calculus of symbols, ibid. 1862, p. 99.

Hj. Holmgren, Om differentialkalkylen med indices af hvad natur som heist, Stockh. Handl. 5¹¹, 1864/65.

E.    Schroeder, Über unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen, Math. Ann. 2 (1870), p. 317.

—    Über iterierte Funktionen, ibid. 3 (1871), p. 296.

P. Gazzaniga, II calcolo dei simboli d’operazioni elementarmente esposto, Giorn. di mat. 20 (1880), p. 72.

G. Koenigs, Recherches sur les intégrales de certaines équations fonctionnelles, Ann. éc. norm. (3) 1 (1884), Suppl., p. 3.

—    Nouvelles recherches sur les équations fonctionnelles, ibid. 2 (1885), p. 385. A. Grévy, Étude sur les équations fonctionnelles, ibid. (3) 11 (1894), p. 249; auch

Thèse Paris.

S. Pincherle, Mém. sur le calcul fonctionnel distributif, Math. Ann. 49 (1897), p. 325.

G. Bourlet, Sur les opérations en général et les équations différentielles linéaires d’ordre infini, Ann. éc. norm. (3) 14 (1897), p. 133.

—    Sur certaines équations analogues aux différentielles, ibid. 16 (1899), p. 333. L. Lean, Étude sur les équations fonctionnelles, Toulouse fac. ann. 11, 189 7

p. E. 1; auch Thèse Paris 1897.

F.    Volterra, Sull’ inversione degli integrali definiti, Torino Atti 31 (1896), p. 231, 286, 389, 429.

—    Sopra alcune questioni di inversione di integrali definiti, Ann. di mat. (2) 25 (1897). p. 139.

Die bereits in I E erwähnten zahlreichen Lehrbücher und Monographien über Differenzenrechnung, in denen oft ganze Kapitel dem Rechnen mit Symbolen oder einzelnen seiner Anwendungen gewidmet sind, sind hier nicht noch einmal aufgezählt.

Die Litteratur ist im allgemeinen in diesem Artikel bis Anfang 1902 berücksichtigt; nur in Nr. Bl bis 1905.

Funktionaloperationen,

1. Definition der Funktionalreclmung. In der allgemeinen Theorie der Operationen hat man drei Arten von Elementen zu unterscheiden¹): die Objekte, an denen man operiert; die Operationen, die man an diesen Objekten ausführt — man stellt sie durch Zeichen dar, die man Operationssymbole oder einfach Symbole nennt²) —; endlich die Resultate, die man durch Ausführungen der Operationen erhält. Sind die Objekte und die Resultate Funktionen von einer oder mehreren Veränderlichen, so heissen die Operationen Funktionaloperationen; der so entstehende Zweig der Analysis wird gewöhnlich als Rechnen mit Symbolen bezeichnet³), würde aber besser Funktional-rechnung heissen.

noms

/du    \i.

U    lj,

2. Die Funktionalrechnung von Leibniz bis Lagrange. Auf die frappierende Analogie zwischen der Regel zur Bildung der höheren Differentialquotienten eines Produkts zweier oder mehrerer Funktionen und der Regel zur Bildung der entsprechenden Potenzen eines Bioder Polynoms hat zuerst Leibniz in seinem Briefwechsel mit Johann 1. Bernoulli⁴), dann in der Abhandlung „Symbolismus memo-rabilis calculi algebraici et infinitesimalis in comparatione potentiarum et differentiarum“⁵) aufmerksam gemacht. Auf diese Bemerkung von Leibniz gründete Lagrange⁶) einen Algorithmus, in welchem das Differentialzeichen systematisch wie eine fiktive Grösse behandelt wird, auf die man die Regeln der gewöhnlichen Algebra an wendet, mit dem Vorbehalt, dass man dann in den Resultaten die wte Potenz von du/dx durch dnu/dxn ersetzt. Er erhält auch zum erstenmal die später in vielen Lehrbüchern der Infinitesimalrechnung reproduzierte symbolische Formel:

(i)

Axu =

in der Au die Differenz u (x -j- K) —u (x) bedeutet. Nach Lagrange ist dieser Algorithmus von vielen anderen Autoren wieder vorgenommen und weiter entwickelt worden, namentlich in der Absicht, eine Menge zu (1) mehr oder weniger analoger Formeln zu erhalten. Im folgenden sind die interessantesten davon besprochen, viele andere, ihres fast rein formellen Charakters wegen, beiseite gelassen⁷).

3. Untersuchungen über das Rechnen mit Symbolen bis auf Kaum waren die Analogien zwischen dem Rechnen mit

Servois.

Potenzexponenten und dem mit Differentiationsindices bemerkt, so beschäftigte

Prinzip, durch das man das Rechnen mit Symbolen rechtfertigen könne. Wenn man z. B. auf die Differentialien die Regeln des Rech

man

sich mit der Frage nach einem fundamentalen

nens mit Potenzen anwendet: wodurch ist man berechtigt, die Resultate als zuverlässig hinzu stellen? Schon Johann 1. Bernoulli erkannte in einem Briefe an Leibniz⁸) an, dass die Analogie nicht zufällig sein könne: „haud dubie aliquid arcani subest“. Lagrange⁶) glaubte, das Prinzip müsse ziemlich versteckt liegen: „quoique le principe de cette analogie entre les puissances positives et les différentielles, et les négatives et les intégrales, ne soit pas évident par lui-même, cependant les conclusions qu’on en tire ne sont pas moins exactes, ainsi qu’on peut s’en convaincre à posteriori“. P. S. Laplace⁹) geht zum Beweis von (1) und anderen analogen Formeln davon aus, dass in der Entwicklung:

"dX+2UTJ+2 I

die Koeffizienten Ä, A", ... nur von k und nicht von der Funktion u abhängen; man kann sie also durch Spezialisierung dieser Funktion bestimmen. Setzt man speziell u = e*, so erhält man wieder das Rechnen mit Potenzen; damit ist die von Leibniz bemerkte Analogie erklärt.

,dx+1 dxx + 1

(2)

Alu = ^ hx -f- A

du¹ 1

Andere Autoren, wie A. M. Lorgna¹⁰ 11), J. Ph. Grusonu), L. J. Arbogast¹²), J. F. Français ¹³ 14) benutzen zur Rechtfertigung des Rechnens mit Symbolen Argumentationen, die unter verschiedenen Formen alle den Fehler aufweisen, dass die Symbole d, A, S, £ bald wie Operationszeichen, bald wie wirkliche „algebraische Grössen“u) behandelt werden. Die beiden zuletzt Genannten bezeichnen ihre Methoden als „séparation“ oder „détachement des échelles“. Sie wollen „fonder le calcul différentiel sans autre métaphysique que celle de l’algèbre“¹⁵), d. h. auf eine rein algorithmische oder formelle Basis; damit verlangen sie freilich vom Operationskalkül mehr als er leisten kann. Ausserdem haben alle ihre Methoden etwas künstliches und daher unbefriedigendes an sich.

4. Prinzip des Rechnens mit Symbolen. Ein wirklicher Fortschritt findet sich hei Servois ¹⁶ 17 18); der zuerst eingesehen hat: das fundamentale Prinzip des Rechnens mit Symbolen besteht in der Erhaltung gewisser Eigenschaften — formaler Gesetze, wie man jetzt sagt — der Operationen, auf die man dieses Rechnen anwendet. Er zeigt in der That, dass der Grund der von seinen Vorgängern konstatierten Analogien in den kommutativen, distributiven und assoziativen Eigenschaften der Operationssymbole A, d/dx, 2J, S liegt; man verdankt ihm auch die beiden ersten dieser Termini. Wie seine Vorgänger verwechselt er die Worte „Funktion“ und „Operation“, nicht ohne damit der Klarheit Eintrag zu thun. Wieder aufgenommen, systematischer geordnet und weiter entwickelt wurden seine Ideen von B. Murphy¹¹), G. Boole¹⁹) und vielen anderen, namentlich englischen Mathematikern¹⁹); ihnen verdankt man die in den folgenden Nummern dargestellten Resultate.

5. Elemente des Operationskalküls. Seien a, ß, ... Funktionen von einer oder mehreren Variabein, A, JB, ... Symbole von Operationen, deren Anwendung auf die Funktionen a, ß, . . . als Objekte im allgemeinen neue Funktionen als Besidtate liefert. Man hat zunächst zwischen ein- und mehrdeutigen Operationen zu unterscheiden, je nachdem das Resultat einzig ist oder nicht. Die folgenden Definitionen beziehen sich zunächst auf die ersteren, lassen sich aber unter geeigneten Einschränkungen auch auf die letzteren anwenden. Die Gleichheit A = B ist definiert durch die Bedingung, dass die Anwendung von A, B auf dieselben Objekte dieselben Resultate giebt; die Summe

4. Prinzip des Rechnens m. Symb. 5. Elemente des Operationskalküls. 767

A -f- B als diejenige Operation, deren Anwendung auf ein Objekt a als Resultat die Summe der Resultate der Anwendung von A und yon B auf dasselbe Objekt ergiebt. Die so definierten Begriffe der Gleichheit und der Summe von Operationen haben dieselben wohl-bekannten formalen Eigenschaften wie die Gleichheit und die Summe von Grössen. Man nennt ferner Produkt von B mit A und bezeichnet mit AB ²⁰) das Resultat, das man erhält, wenn man die Operation A auf das Resultat von B anwendet. Das Produkt BA ist im allgemeinen von AB verschieden; sind diese Produkte einander gleich, so ist die Multiplikation der Symbole A und B kommutativ. Die Operationen, die man gewöhnlich untersucht, geben A {Br) — {AB) JT; das ist die assoziative Eigenschaft. Von Symbolen derart, dass die Gleichungen gelten:

(3)

A (cc + ß) = A (a) -f- A (ß)

und wenn c irgend eine Zahl ist²¹):

(4)

A {ca) = cA {a),

sagt man, sie haben die distributive Eigenschaft²²); die Symbole und die durch sie bezeichneten Operationen heissen dann auch selbst distributiv.

Aus dem assoziativen Gesetz folgt das Gesetz der Indices (law of indices):

(5)

AmAn = Am n

Dieses Gesetz lässt sich auf negative und gebrochene Exponenten ausdehnen. Man bezeichnet mit dem Symbol 1 die „identische“ Operation:

(6)

1 (a) = a

und mit A~¹ eine zu A „inverse“ Operation, d. h. eine von der Art, dass AA~¹{a) = a ist für jedes Objekt a, oder symbolisch:

00

AA~X = 1.

Hier und im folgenden bis Nr. 17 einschließlich soll nur von distributiven Operationen die Rede sein; sie haben sich zuerst dargeboten und sind für die Anwendungen die wichtigsten. Für eine solche Operation ist die inverse A~x bestimmt bis auf einen additiven Term

die Gleichung A(œ) = 0 mehrere Lösungen cot, ß>₂, . . . hat, so unterscheiden sich zwei verschiedene Werte von A~x

A~x(0); und

wenn

voneinander durch ein willkürliches Element der linearen Mannigfaltigkeit c₁(x)₁ -f- c₂m₂ -j- • • *. Unter den verschiedenen Werten von A~x sind dann auch solche, die ebenfalls distributiv sind. Man kann Funktionen von einem oder mehreren distributiven Symbolen definieren, indem man mit rationalen ganzen Funktionen beginnt. Wenn die kommutative Eigenschaft besteht, sind die Regeln des Rechnens mit diesen Funktionen dieselben wie die der gewöhnlichen Algebra. Man geht dann zu gebrochenen Funktionen von einem oder mehreren Symbolen über, und man beweist²³), dass diese ebenfalls distributive Operationen liefern. Das Symbol B heisst intermediär²⁴) zwischen A und r, wenn AB — BT ist; in modernerer, der Gruppentheorie (I A 6, Nr. 3) entlehnter Sprechweise sagt man, dass U die Transformierte von A vermittelst B ist. Es ist dann B auch intermediär zwischen f(A) und    wenn f das Zeichen einer rationalen

Funktion ist. Man hat auch transzendente Funktionen von Symbolen und Entwicklungen in Reihen mit symbolischen Gliedern²’) betrachtet; z. B.

(8)

eA —

Sind die Symbole A, B kommutativ²⁶), so hat diese Operation die Eigenschaft:

(9)

eA+B = eAeB.

Die Division nicht kommutativer Symbole giebt Anlass zu zwei verschiedenen Fällen, je nachdem man von den beiden Faktoren eines Produkts den zur Rechten (inneren Divisor) oder den zur Linken (äusseren Divisor) sucht; für beide Fälle hat man die Verallgemeinerung der Formeln der Division der Polynome gegeben²⁷).

6. Einfache distributive Operationen. Zu den einfachsten distributiven Symbolen gehören:

D, das Symbol der gewöhnlichen Differentiation;

A, Symbol der endlichen Differenz:

(10)

Aa (x) — a (x -f- 1) — a (#);

23)    Murphy, Lond. Phil. Trans. 1837, p. 182.

24)    Ibid. p. 196.

25)    Bei den meisten Autoren ohne jede Frage nach der Konvergenz.

26)    Murphy, Lond. Phil. Trans. 1837, p. 198.

27)    Russell, ibid. 1861—1863.

(11)

Oa (x) = a (x -j- 1). Zwischen 6 und A besteht die Relation:

(12)

6 = A -f 1.

Ferner ist:

(13)

6ha (x) = a (x -f- li)

für jedes h.

S^, wo a eine Funktion von x ist, bedeutet die Operation der Substitution, die in einer gegebenen Funktion x durch u (x) ersetzt; man hat demnach:

(14)

durch :

769

6. Distributive Operationen.

6, von den älteren Analysten²³) „état varié“ genannt, definiert

8ft a(x) = a (y (#)) •

Neben diesen einfachen Operationen hat man die ganzen und gebrochenen rationalen Funktionen ihrer Symbole. Ist f (D) eine rationale Funktion des Symbols D und f die nach den gewöhnlichen Regeln gebildete Ableitung von f, so hat man²⁴): (15) f(D) (aß) = af (D) ß + JDa-f'(D) ß + ^ 2)²« • f"(D) ß + ■ ■ ■.

B. Brisson²⁵) hat allgemeinere Funktionen f{JD, A) der distributiven Symbole betrachtet und zur Integration linearer Differenzen- und Differenzialgleichungen verwendet. A. Cauchy²⁶) hat diese Untersuchungen fortgeführt; er giebt eine grosse Anzahl Formeln, von denen viele dadurch erhalten werden, dass er an der Stelle der Funktion und ihrer Ableitungen ihre Ausdrücke durch bestimmte Integrale substituiert; so findet er zahlreiche Summenform ein von neuem, u. a. die bekannte von Euter-Maclaurin (I E, Nr. 11). Erwähnenswert ist, dass er zuerst bemerkt, dass das Rechnen mit Symbolen auch zu unrichtigen Resultaten führen kann, wenn man die Funktionen von Symbolen f(I), A) in Reihen entwickelt; er giebt Grenzen für die Konvergenz solcher Reihen und Methoden zur Verifikation der auf symbolischem Wege erhaltenen Resultate. Endlich dehnt er seine Überlegungen auch auf Funktionen yon Symbolen F(DX, Dy, Dz, . . Ax, Ay, Az, . . .) aus; die sich auf Funktionen yon mehreren Yariabeln anwenden lassen.

Einige der Resultate yon Nr. 5, sowie die Formel (15) lassen sich auch auf solche Funktionen ausdehnen, die zu Koeffizienten nicht mehr Konstante haben, sondern Funktionen der Variabein, die in die Objekte cc, ß, . . . eingehen ²⁷).

7. Ableitungen (Differentialquotienten) zu beliebigem Indes.

J. Liouville²⁸)

zu er-

An das besprochene Rechnen mit Symbolen schliesst sich eng das Rechnen mit Ableitungen zu beliebigem Index an. Die Idee, Ableitungen mit negativ ganzzahligem oder mit gebrochenem Index zu betrachten, geht mit den Anfängen der Differentialrechnung auf Leibniz selbst²⁹) zurück. Unter den zahlreichen Versuchen, zu denen sie Veranlassung gegeben hat³⁰), ist der von wähnen: er geht wesentlich von der Hypothese aus, dass die Funktion a(x) eine Entwicklung in eine Reihe von Exponentialgrössen:

(16)

a (x) = J£cnea»x

n

zulässt, und definiert dann die Ableitung der beliebigen (rationalen oder irrationalen, reellen oder komplexen) Ordnung s durch die Reihe:

cm

Dscc (x) —    cnanseanX•

n

Diese Definition erlaubt die Sätze des Rechnens mit Ableitungen leicht zu verallgemeinern; aber als allgemein kann sie nicht angesehen werden, da sie weder auf die etwaige Unmöglichkeit Rücksicht nimmt, eine vorgelegte Funktion a(x) in der Form (16) zu entwickeln, noch auf eine etwaige Divergenz der entstehenden

7. Ableitungen zu beliebigem Index. 8. Generalisationsrechnung.

771

Reihen (17). J. A. Serret³¹) hat die Liouvillësehe Theorie auf die Integration gewisser Differentialgleichungen angewandt. Eine Jugendarbeit von JB. Riemann³²) definiert als Ableitung ster Ordnung einer Funktion a (x) den Koeffizienten von h⁸ in der Entwicklung von a(x Ą- h) in eine Reihe von Potenzen der Form ht+n (t nicht ganzzahlig; n — — <x>, ..., — 1,0,1,2, ..., -f- oo) — abgesehen von einem von t abhängigen, aber von x und der Funktion a unabhängigen Faktor. Von dieser Definition aus kommt er zu der Darstellung dieser Ableitung durch das bestimmte Integral:

X

—    (z) dz

(18)

D‘<x) = rt>hi)I>mfix

(m ganzzahlig); Hj. Holmgrén³³) benutzt umgekehrt diese Darstellung als Ausgangspunkt, um in einer weitläufigen Abhandlung die Eigenschaften der Ableitungen zu beliebigem Index zu entwickeln. Unter neueren Anwendungen dieses Algorithmus sind zu erwähnen: der Zusammenhang zwischen der Ordnung einer Potenzreihe ca (x) — ^anxn, d. h. einer Zahl w von der Art, dass D~s(x) auf ihrem Konvergenzkreis endlich, stetig und „à écart limité“ ist für s > w, aber nicht für s <)w, und der Grenze lim an\ andererseits der Zusammenhang

zwischen der Ordnung und den Singularitäten von ca (x) auf dem Konvergenzkreis³⁴ 35). Für eine analytische in der Umgebung von x — 0 reguläre Funktion giebt BourletL0) für die Ableitung der beliebigen Ordnung s die Definition:

Sc-i )"

JDna (x),

(19)

Bsa(x) -

x°

nl (s — n)

und Pincherle³⁶) beweist, dass diese Reihe gerade die Bedingungen erfüllt, denen eine Funktionaloperation genügen muss, wenn sie die charakteristischen Eigenschaften der Ableitungen ganzzahliger Ordnung behalten soll.

8. Die Generalisationsrechmmg von Oltramare. Von der Theorie der Ableitungen zu beliebigem Index im Sinne von Liouville³⁵) stammt direkt die Methode von G. Oltramare, der ihr Urheber den Namen „Generalisationsrechnung“ gegeben bat⁴²). Ist eine Funktion in eine Reibe von Exponentialgrossen entwickelt gegeben:

(20)

«0*0 =2f(u) eux,

so betrachtet er diese Funktion als Resultat einer auf eux ausgeübten Operation G:

(21)

Geux — 'Sf(u) eux = a (x).

Es folgt dann:

(22)

Guneux = Dna (x)

und

(23)

Gf (u) eux == f(D) [a(cc)} ⁴³) ;

man kann also durch dieses Hilfsmittel aus jeder Gleichung f(u) =g(u) eine Funktionalrelation erhalten, indem man mit eux multipliziert und dann beiderseits die Operation G ausübt. Oltramare leitet so zahlreiche Formeln ab, doch nicht mit genügender Strenge, da namentlich die Vertausehbarkeit der Operation G mit der Integration zwischen unendlichen Grenzen, von der er Gebrauch macht, nicht bewiesen ist. Hur durch genauere Bestimmung der Klasse von Funktionen, an der man operiert, kann man die meisten Resultate streng machen, ebenso wie die Methode von Liouville für die Ableitungen zu beliebigem Index.

L. Desaint⁴⁴) kündigt sowohl dieses Resultat an, als auch den Satz, dass jede in einem geschlossenen Bereich reguläre analytische Funktion sich immer durch eine abzahlbare oder nicht abzahlbare Summe von Exponentialgrössen darstellen lässt.

9. Anwendungen des Rechnens mit Symbolen. Sei A eine distributive Operation und sei vorausgesetzt, dass es in einer gewissen Menge von Funktionen für jeden Wert der Konstante a nur eine Funktion e(a) gebe, die der Gleichung:

(24)

A (e) — ae

genügt. Sei dann die Funktionalgleichung mit konstanten Koeffizienten:

(25) f(A) = a₀An(a) -f a₁An~¹(a) H-----j- an_₁A(a) + v = 0

vorgelegt. Wenn die algebraische Gleichung:

(26)

f(e) = M*■+ aH-----h + an = 0

42)    Sur la généralisation des identités, Genève mém. inst. nat. 16 (1886); Essai sur le calcul de généralisation, Genève 1896. Ygl. auch die Genfer Thesen von Cailler, recherches sur les équation partielles et sur qques. points du calcul de généralisation, 1887, u. von D. Mirimanoff, sur les bases du calcul de généralisation, 1900.

43)    Ygl. Cauchy, Exercices de math. 2, Paris 1827, p. 161.

44)    Par. C. R, 134 (1902), p. 1193.

9. Anwend, des Rechnens m. Symb. 10. Anwend, auf Differentialgl. 773

die n einfachen Wurzeln a, b, c, . . ., h hat, so ist die allgemeinste Lösung der Gleichung (25) die Funktion:

(27)

m = \s (a) -f- fc₂e{b) -f- • • • Jcns{h), in der Jct, k₂, . . ., hn willkürliche Konstante bedeuten. Sind die Wurzeln von (26) nicht alle einfach, ist z. B. a eine r-fache Wurzel, so sind r Glieder von co zu ersetzen durch:

(28)

Jcts (a) -j- Ti

!    i 7 drS

“J-----^krW'

² da

Die allgemeine Lösung der Gleichung

f(Ä) = a₀An (a) + axAn~x (a) -f-----f- ana = tp

in der rp eine gegebene Funktion bedeutet, ist:

(29)

(30)

f (^) (A ~ a) ¹ {9} + YJßj A — &) ¹ {9°} + • • •

+ (Â — Ä)~ ¹ { cp ) ,

wenn die Wurzeln von (26) alle einfach sind. Der Fall mehrfacher Wurzeln bietet keine besondere Schwierigkeit; ebensowenig die Ausdehnung auf Funktionen von mehreren Yariabeln.

3    ()

x    y ~ ist {Spottiswoode)', derjenigen, in welchen

Die vorhergehende Methode, in der Form mehr oder weniger modifiziert, führt zur Auflösung der homogenen und nicht homogenen linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten {Boole, Treatise on diff. equat.); der Differenzengleichungen mit endlichen Koeffizienten {Boole, Casorati); der Gleichungen der Form (25), in denen A die Operation xJD bedeutet — sie lassen sich durch die Substitution x = eł auf lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zurückfühi-en — {Boole, Carmichael)• derjenigen, in welchen A —

A die in Nr. 6 besprochene Operation S der Substitution ist {Le'-meray³⁷)). Sie lässt sich auch ausdehnen auf gewisse Klassen von Gleichungen mit variablen Koeffizienten {Boole, Bussell) und von nicht linearen Gleichungen (Hargreave); auf Systeme simultaner Differentialgleichungen {Carmichael)', auf die Auswertung bestimmter Integrale {Bronwin, Bussell) u. s. w.³⁸).

10. Anwendungen auf Differentialgleichungen. Der formale Teil der Theorie der linearen Differentialgleichungen vereinfacht sich in bemerkenswerter Weise durch den Gebrauch der symbolischen

Methoden³⁹). Sei F die linke Seite einer linearen Differentialgleichung F ist ein distributives Operationssymbol, das den Namen „linearer Differentialausdruck“ erhalten hat. Für diese Ausdrücke kann man eine Algebra geben, analog zu der der ganzen Polynome: Zerlegung in Faktoren, Teilbarkeit, Quotient zur rechten und zur linken; das Problem der Integration der Gleichung F — 0 lässt sich zurückführen auf das der Zerlegung von F in ein — im allgemeinen nicht kommutatives — Produkt symbolischer Faktoren; die Kenntnis partikulärer Integrale von F — 0 erlaubt Faktoren von F zu bestimmen und die Integration der Gleichung auf die einer Gleichung niedrigerer Ordnung zurückzuführen; dieselben Bemerkungen geben eine Methode zur Bestimmung der gemeinsamen Teiler zweier Formen und erlauben ihre Reduzibilität zu definieren. Endlich⁴⁰) die Gleichung F(a) — <p, in der a die unbekannte Funktion bedeutet, hat eine durch die Entwicklung: (31) darstellbare Lösung, in der n die Ordnung von F bedeutet und die Koeffizienten lm durch eine in 4- l)-gliedrige lineare Rekursionsformel verbunden sind.

Für die linearen Differenzengleichungen mit variablen Koeffizienten hat man ganz analoge Resultate⁴¹).

11. Anwendungen auf Formen- und Zatdentheorie. Die Prinzipien des Rechnens mit Symbolen lassen sich auch auf andere Gebiete anwenden. Sie bilden einen Teil der Gesetze, die das Rechnen mit invarianten Formen nach Cayley, Aronhold und Clebsch (I B 2, Nr. 12,13) beherrschen. Sie können auch dazu dienen, gewisse Entwicklungen der analytischen Zahlentheorie (I C 3) in kondensierter Form darzustellen.

So lassen sich, wenn man übereinkommt, nach Ausführung der

11. Anwendungen auf Formen- und Zahlentheorie.

775

Rechnung die Exponenten von a, b, c durch Indices zu ersetzen, die Polynome:

(32)

a₀ -j- n ax x -j-

n(n — 1)

(33) b₀cnxn + nb₁cn_₁xn~¹y + bezw. schreiben:

n(n — 1)

die Reihe:

(1 + ax)n, (cx + by)n]

«₂ x2 1 2

kann geschrieben werden eax u. s. w. u. s. w. Dabei findet man, wie Boole anmerkt „a connexion which in some instances involves far more than a merely formal analogy“ (vgl. Nr. 4). Durch Differentiation des Polynoms:

(34)

a₀ -j— uxx -f-

2 (I-) hkcn-kxn~kyk

k

überzeugt man sich, dass sich seine partiellen Ableitungen durch nc(cx-\-byf~¹, nb (cx -f- by)n~¹

(35)

ausdrücken, mit anderen Worten: die Differentiation kann an dem symbolischen Ausdruck vollzogen werden. Die Identität:

(36)

f(z -j- a -j- li) = f(z h a)

bleibt bestehen, wenn man nach Entwicklung beider Seiten nach Potenzen von a diese Potenzen durch die Zahlen a₀, a1} a₂, ... einer beliebigen Folge ersetzt; daraus entspringen zahlreiche Formeln⁵⁰), die wir hier beiseite lassen, da sie dem Gebiete der Differenzenrechnung (I E) angehören. Erwähnt sei nur noch die symbolische Schreibweise der Rekursionsformel der Bernoulli’sehen Zahlen⁵¹):

= n.

J. L. Jensen⁵²) hat neuerlich die symbolische Betrachtung der distributiven Operationen angewandt, um vielfache Formeln, im besonderen fast alle bekannten Identitäten zwischen Binomialkoeffizienten zu erhalten.

(37)

(B + 1)” — B

50)    Z. B. die Summenformeln von Euler und von Maclaurin. Ygl. etwa Gr. Boole, Grundlehren der endlichen Differenzen und Summenrechnung, deutsch von C. Schnuse, Kap. VII und passim, Braunschweig 1867; A. Marlcoff, Differenzenrechnung, deutsch von T. Friesendorff und E. Prümm, Kap. VIII und IX, Leipzig 1896; E. Cesàro, Analisialgehrica, Torino 1894, § 41 ff. sowieEncykl. IE.

51)    Vgl. Encykl. HAB, Kr. 18. Zahlreiche analoge Formeln bei E. Lucas, Theorie des nombres, Paris 1891, chap. 13 und bei Cesàro, Analisi algebrica § 40.

52)    Acta math. 26 (1902), p. 314.

12. Vektorielle Interpretation in einem Raume von n Dimensionen. Bisher waren die Objekte der Operationen beliebige Funktionen , die Operationen selbst von gegebener Art. Betrachten wir jetzt distributive Operationen, deren Natur nicht von vornherein festgelegt ist, deren Objelite und Resultate einer bestimmten w-dimensio-sionalen⁴²) Mannigfaltigkeit:

(38)

Clai + C2a2 + ‘ • ' + Cnan

angehören, wo a1; a₂, ..., ccn n linear unabhängige Elemente der Mannigfaltigkeit sind, c1} c₂, ..., cn willkürliche Konstante. Z. B. kann die Mannigfaltigkeit von einer linearen Klasse von Funktionen gebildet sein; a₁₇ a₂, ..., an sind dann linear unabhängige Funktionen. Unter dieser Voraussetzung findet man, dass die distributiven Operationen nichts anderes sind, als die Kollineationen, die die gegebene Mannigfaltigkeit (einen n-dimensionalen Raum) in sich transformieren: die Zusammensetzung und Zerlegung der Operationssymbole fällt zusammen mit der Zusammensetzung und Zerlegung der Kollineationen (III A 6 ; C 8). Unter diesem Gesichtspunkt sind die elementaren Eigenschaften der distributiven Operationen von JE. Laguerre ⁴³ j, von

G. Peano ⁴⁴) und für n — 3 ausführlicher von JE. Carvallo ⁴⁵) gegeben worden. Der letztere betrachtet die Elemente der gegebenen Mannigfaltigkeit als Vektoren (III B 3) in einem n-dimensionalen Raume. Ist A eine gegebene Operation, so sind diejenigen Vektoren, für welche A(a) — 0 ist, besonders wichtig; sie geben die „Extinktions-richtungen“⁴⁶) oder einfacher die Wurzeln von A. Eine Kollineation, die Wurzeln zulässt, ist ausgeartet, und man kann den Grad ihrer Ausartung definieren. Mehrere Wurzeln von A definieren einen linearen Raum, dessen sämtliche Elemente Wurzeln von A sind („Wurzelraum “). Jede Wurzel von A ist zugleich Wurzel von Am, aber nicht umgekehrt; eine Wurzel von Am, die nicht zugleich Wurzel von Am~¹ ist („eigentliche Wurzel von AmU) hat besonderes Interesse. Die Wurzeln von A — z, d. h. diejenigen Vektoren a, für für welche A{a) — za ist, sind die invarianten Elemente der Kollineation Aj sie existieren nur für bestimmte Werte von z, nämlich

für die Wurzeln einer algebraischen Gleichung wten Grades, der Fundamentalgleichung (II B 4 und III C 8)⁴⁷). Sind die Wurzeln der Fundamentalgleichung nicht alle einfach, so führt die Untersuchung der eigentlichen Wurzeln der Potenzen von A — z zur Zerlegung von A in einfachere Faktoren; man findet so durch eine synthetische Methode die von Weierstrass entwickelte Theorie der Elementarteiler der bilinearen Formen (I B 2, C 2) wieder. In dieser Theorie haben mehrere Autoren⁴⁸) von einer symbolischen Bezeichnung Gebrauch gemacht, die der im Operationskalkül verwendeten nahekommt.

13. Interpretation in einem Raume von unendlich, vielen Dimensionen. Die Prinzipien des Rechnens mit Symbolen zusammen mit Überlegungen der Geometrie der linearen Räume geben der Theorie der distributiven Operationen einen hohen Grad von Klarheit und Einfachheit, soweit diese Operationen an den Elementen einer linearen Mannigfaltigkeit von endlicher Dimensionenzahl ausgeübt werden, mögen diese Elemente nun Funktionen sein oder nicht. Man kann sich fragen, ob sich diese Überlegungen auf alle Funktionen einer linearen Mannigfaltigkeit ausdehnen lassen, wenn die Anzahl der Dimensionen dieser Mannigfaltigkeit (abzahlbar) unendlich ist. Die Frage ist zu bejahen: so kann man z. B. die Mannigfaltigkeit S (Funktionalraum) der Potenzreihen a einer Variabein x ins Auge fassen und dann die Gesamtheit der distributiven Operationen untersuchen, die jedes Element dieser Mannigfaltigkeit in ein Element derselben Mannigfaltigkeit überführen⁴⁹). Diese Operationen bilden eine Gruppe. Man kann für sie eine zur Stetigkeit analoge Eigenschaft definieren⁵⁰) und dann die Bedingungen ableiten, unter welchen die distributive Eigenschaft der Operation A sich auf eine unendliche Reihe überträgt, d. h. unter welchen man thatsächlich hat:

(39)

71 = 0

51

wo ^an eine in einem geeigneten Bereich der Variabein konvergente Reihe bedeutet. Im Raume S stellt jede Potenzreihe einen Vektor oder einen Punkt vor, ihre Koeffizienten sind die Koordinaten des Vektors oder Punktes⁵¹); die distributiven Operationen, die sich auf Potenzreihen anwenden lassen, sind die Kollineationen dieses Raumes. Diese Kollineationen können wie hei einer endlichen Anzahl von Dimensionen ausarten; nur hat man hier zwei Arten von Ausartungen zu unterscheiden: die Operation A kann in der Mannigfaltigkeit Wurzeln zulassen: Ausartung erster Art; oder wenn a die Mannigfaltigkeit S beschreibt, kann A (a) einen in S enthaltenen, aber nicht mit ihr identischen Raum beschreiben, sodass die Gleichung A (a) — cp nicht für jedes cp Lösungen in S hat: Ausartung zweiter Art⁵²). (Bei Kollineationen in Räumen von endlicher Dimensionenzahl ist jede dieser beiden Eigenschaften eine Folge der anderen.)

Die Gesamtheit derjenigen Elemente von S, die einer linearen Relation (mit endlicher oder unendlicher Gliederzahl) genügen, kann als eine Ebene von S bezeichnet werden. Jeder Operation A, die die Elemente von S transformiert, entspricht eine Operation Ä, die die Ebenen so transformiert, dass dabei die Bedingung der Koinzidenz von Punkten und Ebenen erhalten bleibt, sie heisst die Adjungierte von A. Sind dann B, C die Adjungierten von B, C, so gilt: wenn A — BC, so ist Ä = CB.

Ist A ein linearer Differentialausdruck (Nr. 10), so ist Ä seine Lagrange’sehe Adjungierte (II B 4). Zu einem linearen Ausdruck mit endlichen Differenzen erhält man die Adjungierte, indem man jeden Term fj (x) a (x -f- j) für j = 0, 1, 2, . . . durch /) (x — j) a ix — j) ersetzt⁵³).

14. Darstellung einer distributiven Operation durch eine Reihe. Wendet man einen Differentialausdruck wter Ordnung F auf ein Produkt aß an, so erhält man unmittelbar die folgende Formel, ein Analogon zu der von Taylor für eine rationale ganze Funktion:

(40) F{aß) = F(u)ß + F'(a)Vß ₊ ±F"(a)l)*ß + - +~Fj^D"ß-,

dabei werden Fj F", ... erhalten, indem man in F die gewöhnlichen Regeln der Differentiation in Bezug auf das Symbol JD anwendet, und

14. Darstellung einer distributiven Operation durch eine Reihe.

779

können folglich als aufeinander folgende Ableitungen yon F bezeichnet werden⁵⁴). Man hat:

(41)

F' (ce) — F(ux) — xF(cc).

Analog hat man, wenn A das Symbol irgend einer distributiven Operation ist, die Operation:

(42)

A'(a) = A (xa) — xA (ce)

Fanküonalableitung von A genannt. Bezeichnet man sie durch den Accent, so hat man die Identität⁵⁵):

(43)

(AB)'= ÄB + AB'.

Entsprechend definiert man die successiven höheren Funktionalableitungen; man gelangt dann zu der Formel⁵⁶):

(44)

ncp,

A(«<p) = AW (a)D

n = 0

die zum Taylor'sehen Satz der Funktionentheorie analog ist. Betrachtet man in ihr a als ein festes, cp als ein veränderliches Element, so hat man den Satz, dass im allgemeinen jede distributive Operation sich durch eine nach Potenzen des Ableitungssymbols D geordnete unendliche Reihe darstellen lässt — ein Analogon zu der Darstellung jeder analytischen Funktion durch eine nach Potenzen der Variabein fortschreitende Reihe. Was die Frage nach der effektiven Giltigkeit der Formel (44) betrifft, so findet man, dass sie immer einen Funk-tionalkonvergembereich hat, d. h. dass es immer eine lineare Mannigfaltigkeit von Funktionen cp giebt, für die die rechte Seite von (44) konvergiert und die linke Seite wirklich darstellt.

Aus (44) folgt, dass das Problem der Aufsuchung der Wurzeln einer distributiven Operation und das ihrer Inversion sich zurückführen lassen auf das der Integration einer homogenen, bezw. nicht homogenen linearen Differentialgleichung von im allgemeinen unendlich hoher Ordnung. Gleichungen dieser Art weisen gewisse Analogien mit den Gleichungen endlicher Ordnung auf⁵⁷); aber man hat von ihnen noch keine allgemeine Theorie.

Es ist bemerkenswert, dass die Konvergenz der Reihen (44) keineswegs eine Eigenschaft verlangt, die ein Analogon der Stetigkeit wäre. Dagegen ist die Betrachtung eines solchen Analogon erforderlich, wenn man z. B. als Mannigfaltigkeit der Objekte (als Funktionalraum) die

51*

(nicht mehr abzahlbare) Gesamtheit F der reellen und stetigen Funktionen zwischen a und b betrachtet, um Darstellungen der Operationen durch Reihen zu erhalten. Ist U eine distributive Operation, die ein Element f von F in eine bestimmte und endliche Zahl c transformiert,

und konvergiert U(f) gegen U{fx), wenn f gegen ft gleichmässig konvergiert, so nennt man⁶⁹) U eine Linear operation. Für solche Operationen kann man durch Gebrauch der Fourier’sehen Reihe, für U die Entwickelung

U(f) = Za„UJf)

erhalten⁷⁰), wo Un(f) die besondere Linearoperation ist:

7t

cos nxdx

U„if)=ff(x)

0

¹

   K. Murphy, Lond. Phil. Trans. 1837, p. 179.

²

   Seit Leibniz und Lagrange; A. M. Lorgna (Turin mém. 1787, p. 409) und Lacroix (Traité du calcul différentiel et du calcul intégral 3, Paris 1819, p. 28, 39, 546, 844, 963) sagen „caractéristiques“; Arbogast (Calcul des dérivations, Strassb. 1800) und Français (Gergonne Ann. 3 (1812), p. 244) „échelles“. Ygl. auch Lacroix, p. 970.

50*

³

   Leibniz, Berol. Miscell. 1 (1710), p. 160.

⁴

   Commercium philos. et math., Lausannae et Genevae 1745, epist. V I ad XVIII, passim. Leibniz' math. Schriften (1) 3, p. 175.

⁵

   Berol. Miscell. 1 (1710), p. 160.

⁶

   Berl. nouv. mém. 1772, p 185; Oeuvres 3, p. 441.

⁷

   Unter den Anwendungen aus neuester Zeit sei erwähnt: J. Fredholm, Sur la méthode de prolongement analytique de Mittag-Leffler, Stockh. Förhandl. 1901, p. 203.

⁸

   Commère, philos, et mathem. epist. XVIII. Vgl. auch eine ganz ähnliche Äusserung von Leibniz selbst, math. Schriften (1) 3, p. 175.

⁹

   Paris mém. div. sav. [étr.] 7 (1776); Oeuvres 8.

¹⁰

   Turin mém. 1786/87, p. 409; vgl. Brinkley, Lond. Phil. Trans. 1807, p. 114.

¹¹

   Berl. nouv. mém. 1798/99.

¹²

   Calcul des dérivations, Strassb. 1800; vgl. A. Cayley, Lond. Phil. Trans. 1861, p. 37 (Papers 4, p. 265).

¹³

   Gergonne Ann. 3 (1812), p. 244.

¹⁴

   Unter „quantités algébriques“ verstand man damals Buchstaben, die den Regeln des gewöhnlichen Rechnens folgen; diese Ausdrucksweise hat sich fast bis auf unsere Tage erhalten.

¹⁵

   Gruson, Berlin nouv. mém. (1798).

¹⁶

   Gergonne Ann. 5 (1814), p. 93.

¹⁷

   Lond. Phil. Trans. 1837, p. 179.

¹⁸

   Ibid. 1844, p. 225. Vgl. auch Boole's Math. Analysis of logic, Cambr. 1847; Treatise on differential equations, London 1865, chap. 16.

¹⁹

   Es ist ziemlich unmöglich, sie alle aufzuzählen; genannt seien noch:

D. F. Gregory, Examples on the differential calculus, Cambr. 1841; Ch. Ilar-greave, On the solution of linear differential equations, Lond. Phil. Trans. 1848, p. 31; B. Bronivin, Lond. Phil. Trans. 1851, p. 461; B. Tortolini, Ann. di scienze mat. e fis., Roma 1853, p. 1; Graves, Dubl. Proc. 3 (1847), p. 536; Carmichael, Treatise on the calculus of operations, Lond. 1855; Jellett, Calculus of variations, Dublin 1850; ,W. Spottiswoode, Cambr. and Dubl. math. J. 8 (1853), p. 25; Lond. Phil. Trans. 1862, p. 99; W. II. Bussell, Lond. Phil. Trans. 1861, p. 69; 1862, p. 253, 265; 1863, p. 517; A. Cayley, ibid. 1861, p. 37. Ygl. auch F. Casorati, Ann. di mat. (2) 10 (1880), p. 10; Line. mem. (3) 5 (1880), p. 195; P. Gazzaniga, Giorn. di mat. 20 (1882), p. 72. — Die verschiedenen genannten Autoren gebrauchen sehr verschiedene Nomenklaturen und Bezeichnungen; in diesem Artikel ist eine gleichmässige Bezeichnung benutzt, die am einfachsten und rationellsten zu sein schien, übrigens von der von Boole, Carmichael und Casorati benutzten nicht wesentlich abweicht.

²⁰

   Mehrere Autoren, z. B. C. Jordan, Traité des substitutions, Paris 1870, bezeichnen dieses Produkt mit BA. Die Bezeichnung AB ■ cc für A(B (a)) schliesst sich an die der Theorie der Funktionen an.

²¹

   Nur wenn c rational ist, ist (4) Folge von (3).

²²

   Servois, Gergonne Ann. 5 (1814), p. 248.

²³

   Arbogast u. a.

²⁴

   Hargreave, Lond. Phil. Trans. 1848. Für den Fall, dass / eine ganze Funktion von D ist, selbst für den Fall, dass sie die Variable noch in den Koeffizienten enthält, war diese Formel schon J. d'Alembert bekannt (Theorie des vents, Beri. mém. 1746; vgl. die allgemeine Formel Nr. 13).

²⁵

   Brisson scheint seine Untersuchungen nicht selbst publiziert zu haben; sie werden von Cauchy⁵¹) zitiert.

²⁶

   Sur l’analogie des puissances et des différences, Exerc. de math. 2, Paris 1827, p. 159 (Oeuvres (2) 7, p. 198). Vgl. auch Par. C. R. 17, 1843, p. 377, 449 (Oeuvres (1) 8. p. 26, 28).

²⁷

   Boole, Treatise on differential equations, chap. 16.

²⁸

   J. éc. polyt. 13 (1832).

²⁹

   Opera ed. Butens 3, p. 105; Commercium philos, et math., passim.

³⁰

   Z. B.L.Euler, Petrop.Comm. 1730/31; J.B.Fourier, Théorie de la chaleur, Paris 1822, Nr.422, p. 561; Lacroix, Traité de calcul différentiel 3 (1821), p. 409; S. Spitzer, Arch. Math. Phys. 32, p. 334; 33 (1859), p. 116; Tardy, Ann. di mat. 1 (1858); S. Boberts, Quart. J. 7, p. 316; 8, p. 52, 139 (1866—67); C. W. Borchardt, Berl. Ber. 1868; Bollet. Boncompagni 2, p. 277; A. Genocchi, Torino Atti 4(1869), p. 263; Torino Mem. (2) 26 (1871), p. 61; G. H. Halphen, Bull. Soc. Math. 8 (1880), p. 62; J. Hadamard, J. de math. (4) 8 (1892), p. 171; Ch. Bourlet, Ann. éc. norm. (3) 14 (1897), p. 154; Oltramare, Essai sur le calcul de généralisation, Genève 1896. Ein Verzeichnis von zahlreichen Arbeiten über Ableitungen zu beliebigem Index, von E. Wölffing, findet sich im „Intermédiaire des mathématiciens“ 6 (1899), p. 258. S. auch Interm. 12 (1905), p. 24; Encykl. II A 2, Nr. 48, 49.

³¹

   Par. C. R. 17 (1843), p. 458.

³²

   Werke ed. Dedekind u. Weber, p. 331.

³³

   Stockh. Handl. 5² (1866).

³⁴

   Hadamard, J. de math. (4) 8 (1892); La série de Taylor et son prolongement, Paris coll, scientia 1901, p. 44.

³⁵

   Ann. éc. norm. (3) 14 (1897), p. 154.

³⁶

   Bologna mem. (5) 9 (1902).

³⁷

   Ibid. 125 (1897), p. 1160.

³⁸

   Die allgemeine Methode geben Pincherle, Torino Atti 30 (1895), p. 524; Pincherle e Amaldi, Le operazioni distributive, Bologna 1901.

³⁹

   G. Libri, J. f. Math. 10 (1836), p. 185; A. Cauchy (anciens) Exercices de math. 1, Paris (1826), p. 53; E. Brassinne, Note zum Cours d’analyse von Ch. Sturm, Paris 1868; L. Thomé, J. f. Math. 76 (1873), p. 273; Vaschy, J. éc. polyt. cah. 63 (1893), p. 39; L. Heffter, Einleitung in die Theorie der linearen Differentialgleichungen, Leipz. 1894; L. Schlesinger, Handbuch der lin. Differentialgleich. 1, Leipz. 1895, Abschn. II; A. B. Forsyth, Theory of differ, equat. 1, Cambr. 1897; Pincherle e Amaldi, operaz. distrib. cap. XI.

⁴⁰

   Palermo Rendic., 11 apr. 1897.

⁴¹

   Libri, J. f. Math. 10 (1836), p. 185; Pincherle, Bologna Mem. (5) 5 (1895), p. 87. Für Anwendungen des Gebrauches der Symbole in der Theorie der Differenzenausdrücke, s. u. a. A. Guldberg, Par. C. R. octobre 1897; Christiania Skrifter 1897, Nr. 10; Thora Groth, Nyt Tidskr. f. Math. 16, p. 1, Copenhagen 1905.

⁴²

   Einer n-dimensionalen, wenn man ax, ..., an als Vektoren ansieht einer (n — 1) - dimensionalen, wenn man Homogeneität einführen will, d. h. wenn man ax, <x₂, . . ., an als Punkte ansieht und dabei cax als einen von a-, nicht verschiedenen Punkt betrachtet

⁴³

   J. éc. polyt. cah. 42 (1867), p. 215; Oeuvres 1, p. 221.

⁴⁴

   Calcolo geometrico, Torino 1888, cap. X.

⁴⁵

   Monatsh. f. Math. 2 (1891), p. 177, 225, 311.

⁴⁶

   Nach Carvallo, ibid. p. 195.

⁴⁷

   Pincherle, Lomb. Rend. 29 (1896), p. 400; Pincherle e Amaldi, Opera-zioni, cap. III, IV.

⁴⁸

   G. Fróbenius, Über lineare Substitutionen und bilineare Formen, J. f. Math. 84 (1878), p. 1; F. Study, Monatsh. 2 (1891), p. 23; Sforza, Giorn. di mat. 34 (1896), p. 252 u. s. w.

⁴⁹

   S. Pincherle, Line. Rend. (5) 4 (1895), p. 142; Math. Ann. 49 (1897), p. 349; C. B ourlet, Ann. éc. norm. (3) 14 (1897), p. 133. Bei Bowlet heissen die distributiven Operationen „transmutations additives“. Wegen der Ausdehnung auf Operationen an mehreren Funktionen oder an Funktionen von mehreren Veränderlichen vgl. man B. Calo, Line. Rend. (5) 4² (1895), p. 52.

⁵⁰

   Bourlet, Ann. éc. norm. (3) 14, § 1 ; G. Hadamard, Par. C. R., 9 février 1903.

Encyklop. d. math. Wiasensch. II.

⁵¹

   T. Cazzaniga, Torino Rend. 34 (1899), p. 510.

⁵²

   Pincherle, Lomb. Rend. 30 (1897), p. 103; Pincherle e Amaldi, cap. 16; Hadamard, Série de Taylor, p. 80.

⁵³

   Pincherle, Bologna Rend. 2 (1898), p. 130 ; E. Bortolotti, Line. Rend. (5) 71 (1898), p. 257; 7², p. 46, p. 74.

⁵⁴

   D’Alembert, Theorie des vents, Berlin mein. 1746.

⁵⁵

   Pincherle, Line. Rend. (5) 4 (1895), p. 145; Math. Ann. 49 (1897), p. 358.

⁵⁶

   S. cit. ⁵⁵); Bourlet, Ann. éc. norm. (3) 14 (1897), § 5, p. 149.

⁵⁷

   Bourlet, ibid. § 11, p. 178 und 16 (1899), p. 333.

und

»0 = F UW'    (cos nx^

15. Darstellung einer Operation durch ein bestimmtes Integral. Ist cp eine analytische Funktion, so kann man in (44) J)ncp ersetzen durch seinen Ausdruck vermittelst des Cauchy'sehen Integrals:

(45)

2 Tt i

i.k

(9

<p(y)dy

-x)n+¹’

in dem l eine geschlossene Kurve in einem Bereich bedeutet, in dem die Funktion cp regulär ist. So erhält man zuerst für die Operation A, dann auch für allgemeinere Operationen, eine Darstellung der Form :

(46)

A (cp) = / » (x, y) cp (y) dy ; (0

dabei bedeutet n{x, y) eine Funktion von zwei Yariabeln, die nur von der Natur der darzustellenden Operation abhängt, cp dagegen ist eine Funktion, die in einem geeigneten Funktionalbereich willkürlich veränderlich ist, l irgend ein Integrations weg. Verschiedene Operationen haben sich in der Form (46) oder in der allgemeineren:

(r)

(47)    A (<<p) =ßt (x, yx, y2,..yr) cp (yu y₂,..yr) dyx dy₂... dyr

dargeboten⁷¹); die wichtigsten werden in den folgenden Nummern

69)    G. Hadamard, Par. C. R., 9 février 1903.

70)    M. Fréchet, Trans, of the Amer. Math. Soc. 5 (1904), p. 493.

71)    A. Viterbi, Ann. di mat. (2) 26 (1897), p. 261; 3 (1899), p.299, betrachtet die durch Integrale dargestellten Funktionaloperationen als Elemente eines Kalküls, den er entwickelt.

15. Darstellung durch ein Integral. 16. Die Transformation von Laplace. 781

angeführt. Das Problem der Bestimmung der Inversen zu einer in der Form (46) oder (47) dargestellten Operation ist identisch mit dem der Umkehrung der bestimmten Integrale (Nr. 28—31).

Hadamard⁷²) hat bewiesen, dass die stetigen Linearoperationen U(f) (Nr. 14), die einer stetigen reellen, zwischen a und b gegebenen Funktion f eine bestimmte Zahl zuordnen, immer Darstellung in Form des lim eines bestimmten Integrals besitzen; die Darstellung selbst lautet:

b

lim ff(x)Kn(x)dx,

« = “ a

wo Kn(x) wieder eine zwischen a und b stetige Funktion ist.

16. Die Transformation von Laplace. Unter den in der Form (46) auftretenden distributiven Operationen ist eine der wichtigsten die nach Laplace genannte Transformation, die durch:

(48)

■A(cp) =Jidcyg) (y) dy (0

gegeben ist. Durch Einführung einer neuen Variabein t = ev erhält man aus ihr:

(49)

B(cp) — fti*cp (t) dt.

Die Inverse der Laplace¹ sehen Transformation ist eine Transformation derselben Form⁷³). Die zweite Form (49) ist zuerst betrachtet worden⁷⁴)-in ihr heisst cp (t) „fonction génératrice“, das Resultat a(x) = B (cp) : „fonction déterminanteDie letztere ist für ganzzahlige x der Koeffizient von t~x~x in der Potenzreihenentwicklung von cp(t).r°) Bei geeigneter Wahl des Integrationsweges hat die Operation A die Eigenschaften⁷⁶) :

(50)

BA cp(ÿ) — A {y cp (y)), xAcp (ij) = — ABcp (y), und die Operation B die daraus folgenden

(51)

B (tep (;t)) = a (x — 1), B (t — xa (x).

72)    Ygl. Fussnoten 69) und 70).

73)    Cauchy, Exercices de Math. 2, Paris 1827, p. 157.

74)    P. S. de Laplace, Theorie analytique des probabilités, Paris 1812 (Oeuvres 7, p. 85); N. H. Abel, Sur les fonctions génératrices (Oeuvres ed. Sylow et Lie 2, p. 67).

75)    Laplace, Par. mém. 1779 (82); Lacroix, Traité du calcul différentiel etc. 2e éd. 3, Paris 1819, Ch. IY, p. 322, p. 573. Dieses zuerst von Laplace betrachtete Entsprechen ist in letzter Zeit von Hadamard, Borei, Fabry, Le Boy u. a. unter neuen Gesichtspunkten behandelt worden; vgl. II B 1, Nr. 35, 37.

76)    Abel, Oeuvres 2, p. 68.

Die Eigenschaften (50) können zur Definitionen von A dienen¹); ihre wiederholte Benutzung führt zu zahlreichen Anwendungen. Die wichtigste ist die Transformation einer linearen Differentialgleichung mit rationalen ganzen Funktionen als Koeffizienten in eine andere, in der Ordnung der Ableitungen und Grad der Koeffizienten vertauscht sind, und die Ableitung des Integrals der einen aus dem der anderen. Was dieser Anwendung ein spezielles Interesse giebt, ist der Umstand, dass man auf diese Weise gewisse Klassen „irregulärer“ Differentialgleichungen in „reguläre“ transformieren kann, was einen Beitrag zur Integration der ersteren liefert²). Der einfachste Fall ist der, dass die irreguläre Differentialgleichung die nach Laplace benannte ist, d. h. die Gleichung beliebiger Ordnung mit Koeffizienten ersten Grades in X] ihre Transformierte ist von der ersten Ordnung, und die gegebene Gleichung lässt sich ebenfalls durch Quadraturen integrieren³). Zwischen einem linearen Differentialausdruck F, seiner Laplace’sehen Transformierten AFA~l = F₁ und seiner Lagrange-schen Adjungierten F ⁴) besteht die Relation⁴):

(52)

F = AF₁A~X.

Eine andere Anwendung besteht in der Transformation einer Potenzreihe in einem linearen Differentialausdruck unendlich hoher Ordnung. Hierher gehört die Transformation einer Summe von Ex-ponentialgrössen :

ahx

in einen Ausdruck der Form ⁵) :

(53)

ZT

h n

Sh

I n\

ahnDncp —

]>J Cflcp (x + ah) ;

h

ferner die Transformation des Ausdrucks von Legendre: eax _ 1 _j_ aXeßx -f-

(54)

cc (a — 2ß)

in die Reihe von Abel⁶):

cc ■ (cc — 2 ß)

(55) cp (t -f cc) = (p (t) + a rp (t -f ß) -f

eine Verallgemeinerung der Taylor⁷ sehen Reihe.

Bei geeigneter Wahl des Integrationsweges transformiert die Operation von Laplace xn in (—1 )nn\x~n~⁸ und umgekehrt; man kann also auf sie durch Einführung einer neuen Veränderlichen eine von E. Borei⁹) in die Theorie der Potenzreihen eingeführte Transformation zurückführen. Bei dieser wird nämlich in einer solchen Reihe an durch ajn\ ersetzt, wodurch die Singularitäten der Funktion auf dem Konvergenzkreis ins Unendliche geworfen werden. Borel’s Theorie der sogenannten „sommation exponentielle“¹⁰ 11), (durch welche einigen Klassen von divergenten Reihen eine analytische Bedeutung beigelegt werden kann) ist in mannigfaltiger Weise mit der Transformation von Laplace eng verwandt; wie von anderer Seite die von H. Poincaré⁹) ausgebaute Theorie der asymptotischen Reihen. Auch die von G-. Mittag - Lef fier eingeführte analytische Funktional transformation⁸), die

^anxn anxn

r(na -j- 1)

transformiert, kann als eine Erweiterung der Transformation von Laplace betrachtet werden.

In der Form (49) führt die Laplace'sehe Transformation die linearen Differentialgleichungen in lineare Differenzengleichungen über; daraus ergiebt sich die Integration der einen mit Hilfe der anderen und die Lösung der Differenzengleichungen durch bestimmte Integrale¹²). Endlich die Entwicklung einer Funktion in eine nach Faktoriellen fortschreitende Reihe⁹) lässt sich zurückführen auf die „exponentielle Darstellung“ dieser Funktion (nach der Ausdrucksweise von Desaint ⁸⁹), d. h. auf die Bestimmung ihrer Laplace'sehen Transformierten.

17. Andere distributive Operationen.

a) Unter den Funktionaloperationen; die sich durch bestimmte Integrale darstellen lassen, ist eine der am häufigsten benutzten die Transformation von Heine⁹⁰) oder von Euler, nämlich:

(0

(56)

T (y)dy

(y — x)

unter l einen passend gewählten Integrationsweg verstanden. Auch sie kann zum Übergang von einer linearen Differentialgleichung zu einer anderen dienen. Gehört die erste zur „Fuchs¹ sehen Klasse“ so gilt für die zweite dasselbe. Aus der Gruppe der einen kann man die der anderen ableiten. Die charakteristischen Eigenschaften der Operation As drücken sich aus durch die Gleichungen:

(57)

AsJDcp = DAscp, FA'cp = sAscp,

in denen A' die Funktionalableitung (Nr. 14) von Ag bedeutet. Wie für die Laplace'sehe Transformation (Nr. 16) gilt, wenn F die ad-jungierte und F₁ die Euler'sehe Transformierte eines linearen Differentialausdrucks bedeutet, die Relation⁹¹):

(58)

F = A.F.A-¹.

Auch ist:

(59)

s+tl

die Transformationen As bilden also eine eingliedrige kontinuierliche Gruppe im Sinne von Lie (II A 6, Nr. 2). Die Operation As dient zur Integration der Gmiss’schen hypergeometrischen Differentialgleichung durch Quadraturen⁹²), denn sie transformiert sie in eine Gleichung 1. Ordnung; sie lässt sich auch auf die verallgemeinerte hypergeometrische Differentialgleichung von Pochhammer und auf deren

133 (1901), p. 1273; 134 (1902), p. 157; Ann. éc. norm. (3) 19 (1902), p. 409; Math. Ann. 59 (1904), p. 355; Kopenh. Skrift. (2) 2 (1904), p. 59.

89)    Ygl. Fussnote 44).

90)    J. f. Math. 60 (1862), p. 252; 61 (1863), p. 356; 62 (1863), p. 110; Handb. der Kugelfunktionen 1, 2. Aufl., Berl. 1881, III. Teil, namentlich p. 466 ff. Litte-ratur dieser Transformation bei L. Schlesinger, Handb. der lin. Diff.-Gl. 2, Leipzig 1897, p. XY—XVI; vgl. auch II B 4.

91)    Schlesinger 2, p. 416; Pincherle, J. f. Math. 119 (1898), p. 347.

92)    C. Jordan, Cours d’analyse 3, Paris 1887, p. 241. Vgl. B. Riemann, Nachträge, herausgegeben von M. Noether und W.Wirtinger, Leipzig 1902, p. 88.

17. Andere distributive Operationen.

785

Lösung durch bestimmte Integrale anwenden¹³ 14); endlich auch auf die lineare Differentialgleichung von Goursat9i).

b) Die durch:

(60)

(<p) =fit(y — x)<p (y) dy (0

— 7t das Zeichen irgend einer gegebenen Funktion, cp das der willkürlichen Funktion, an der man operieren will — dargestellten Operationen bilden eine Gruppe von mit der Ableitung vertauschbaren Operationen¹⁵) :

(61)

AT) = XM .

7t    71

Wendet man eine solche Operation auf eine Potenzreihe an, so erscheint sie als Verwandlung der Potenzen xn im Polynome an(x\ die der Rekursionsformel:

(62)

dan

= »“.-i

genügen. Diese Polynome haben sich zuerst Halphen¹⁶) dargeboten und sind dann von P. Appell¹⁷) untersucht worden; ihr allgemeiner Ausdruck ist:

(63) ocn{x) = a₀xn -f- na₁xn~¹ -f-

dx

n(n — 1)

a₂xn 2 -j- • • • -f- an,

wobei a₀,    . . ., an willkürliche Konstante bedeuten. Die Inverse

einer Operation An ist eine Operation derselben Gruppe¹⁷).

c) Von speziellen distributiven Operationen sei die „interpolare Operation“ erwähnt, die durch:

(64)

Äa (?) =

cp (x) —cp (q)

x — a

definiert ist¹⁸). Die Operationen Aa, Ah sind vertauschbar¹⁹). Bei Gebrauch dieser Operation kann man einen Ausdruck für das Restglied der Newton'sehen Interpolationsformel geben²⁰).

p. 470.

d) Bei Untersuchung der Potenzreihenentwicklung der Wurzein einer Gleichung:

(65)

Vn + 9h (x)if-x + cp.₂ {x)yn 2 G-----f- <pn(x) = 0,

; sie ist das Produkt aus

in der die <px, cp₂, ..., <pM selbst Potenzreihen sind, gebraucht II. Scha-pira²¹) zwei distributive Operationen, die er als „Partialisieren¹¹ und „Kompletieren“ bezeichnet — sie beruhen auf der Ersetzung von x durch ex, unter e eine Wurzel der Einheit verstanden; und eine dritte, die er Differentialsubstitution nennt der Operation D in die Operation 6h (Nr. 6).

18. Nicht distributive Operationen. Von allgemeinen Sätzen über nicht distributive Operationen oder Operationsgruppen kennt man nur wenige. T. Levi-Civita²²) fragt nach denjenigen Gruppen von Operationen, die Funktionen²³) eines und desselben Operationssymbols A sind und die Eigenschaft haben, dass das Produkt 01 sich als analytische Funktion von (A), &₂ (A) und A ausdrücken lässt. Er löst die Frage mit Hilfe der allgemeinen Methoden der Theorie der kontinuierlichen Gruppen (II A 6) und findet, dass eine solche Relation nur möglich ist, wenn das zweite Glied die Form hat:

(66)

A(A-²⁴(®₁) + *-*(<&,)), wo l eine willkürliche Funktion, A_1 ihre Inverse bedeutet; die Definitionsgleichungen der Gruppe (II A 6, Nr. 3) müssen die Form haben:

dA-¹®

(67)

= 0.

äA'

C. Bourlet¹⁰*) sucht die allgemeinsten Funktionaloperationen A von der Art, dass

(68)

A (* (a, fi)) = f (A (et), A ((3))

ist, wo f eine beliebige Funktion bedeutet und n eine symmetrische Funktion von der Art, dass auch ?r (jr (cc, ß),y), it {n (n (cc, ß), y), d} u.s. w. symmetrisch sind²⁵); durch Anwendung der Auflösung der AbeVsehen Funktionalgleichung (Nr. 22) findet er, dass diese Operationen sich auf die distributiven zurückführen lassen.

18. Nicht distributive Operationen. 19. Funktionen von Linien.

787

19. Funktionen, von Linien. Die allgemeinste bis jetzt durchgeführte Untersuchung über nicht distributive Funktionaloperationen verdankt man V. Volterra²⁶). Er betrachtet eine im reellen Intervall a < x < & willkürlich gewählte Funktion von x, z. B. eine willkürliche Linie zwischen den durch x = a und x — b gezogenen Parallelen zur Ordinatenaxe; und eine Zahl z, die für jede dieser Linien einen bestimmten Wert annimmt; man hat dann das, was er eine Funktion von Linien nennt. Der Wert von z hängt ab von der Gesamtheit der Werte, die die Funktion y — cp (x) im gegebenen Intervall nach bestimmtem Gesetz annimmt; mit anderen Worten, diese Zahl ist das Resultat einer gewissen auf cp (x) ausgeübten Funktionaloperation, was man durch:

(69)

z — A (cp (x))

ausdrücken kann²⁷). Solche Grössen, die von allen Werten einer Funktion in einem gegebenen Intervall abhängen, treten bei verschiedenen Anwendungen der Analysis auf die Physik, sowie in der Variationsrechnung (II A 9) auf.

Allgemeiner kann eine Zahl z abhängen von den WTerten einer oder mehrerer Funktionen beliebig vieler Variabein x und ausserdem noch von einer gewissen Anzahl anderer Variabein t; das kann man ausdrücken durch:

(70)

Z    A ( (Pi (Xj, X<2,...), Cp2 \X± , X% ;•••)> • • • 5 ^1 ; ^2 ) • • •) '

Für den Fall (69) entwickelt Volterra eine Ausdehnung des Begriffes der Stetigkeit auf Funktionen von Linien: z ist stetig, wenn man zu jeder gegebenen positiven Zahl e eine andere d so bestimmen kann, dass für jede Variation tp (x) von cp (x)f die kleiner als d ist, die zugehörige Variation von z kleiner als a ausfällt. Dann definiert er die Ableitung von A: Sei 0 (x) in einem in («...&) enthaltenen Intervall (m . . . n) überall gleich bezeichnet und kleiner als £• sei dz die zur Variation 6 von cp gehörende Variation von z\ sei tr ein innerer Punkt von (m ... n): dann ist die Ableitung von A der

dem das Verhältnis dz : J\(x)dx sich gleichmässig

m

nähert, wenn m • • • n und Q gegen Null konvergieren, was auch die

Grenzwert

Funktion cp sei — vorausgesetzt, dass dieser Grenzwert existiert. Man kann diese Ableitung mit:

(71)

/=A'((p, tr)

bezeichnen. Indem Volterra entsprechend die höheren Ableitungen definiert und für jede die erforderlichen Voraussetzungen hinzufügt, erhält er die Formel:

b

A(<P +— A (cp) -f- J*A'(<p- 4) ^ (4) dtx

OL

b b

(72)

+ y J*J*A (^5 4? 4) $ (4) ÿ (4) ^4+

a a b ( ^

... dtn-\—

+ h f; h> 4. • • •, Q <p Ci) ■ • ■ t (O d'h

Die Terme dieser Entwicklung sind auf ^ angewendete Funktionaloperationen; das erste Integral giebt eine distributive Operation; die folgenden geben Operationen, die sich der Addition gegenüber immer komplizierter verhalten²⁸). — Cornelia Fabbri dehnt die Formel von Volterra auf Grössen aus, die von Funktionen mehrerer Variabein abhängen²⁹). — C. Arzelà untersucht die Funktionen von Linien in Hinsicht auf ihre Grenzwerte³⁰ 31). M. Frechetm) erweitert den Satz von Weier strass über das Maximum (Minimum) einer stetigen reellen Funktion auf stetige Funktionaloperationen.

Funktioiialgleicliviiigen.

20. Allgemeines über Funktionalgleiehungen. Man nennt Funk-tionalgleichungen diejenigen Gleichungen, die eine Eigenschaft einer oder mehrerer Funktionen ausdrücken und dadurch deren Form mehr oder weniger vollständig zu bestimmen erlauben. Zu ihnen gehören die gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen, die Gleichungen mit endlichen (gewöhnlichen oder partiellen) und die mit gemischten Differenzen; da diese in besonderen Artikeln behandelt sind, sollen hier nur solche Funktionalgleichungen besprochen werden, die sich nicht unmittelbar auf eine von diesen Klassen zurückführen lassen.

Beispiele von solchen Gleichungen finden sich schon in den Werken von d’Alembert, Euler und Lagrange; Monge¹¹²) giebt für sie einige allgemeine Prinzipien, sowie Kunstgriffe zur Zurückführung mehrerer Klassen von solchen Gleichungen auf Differenzengleichungen. Erwähnt sei, dass d’Alembertu3) das Problem der Zusammensetzung der Kräfte auf die Auflösung der Funktionalgleichung:

(73)

cp (x -f~ a) + <jP — a) = 2 cp (x) cp (a)

zurückführt, deren Lösung ist:

(74)

cp (x) = (dcx -f- e~kx)‘,

die speziellen Bedingungen des genannten Problems geben

cp (x) = cos x.¹¹⁴)

Laplace¹¹⁵) führt dasselbe Problem auf die Lösung der Gleichung:

(75)

(cp (x)f + (cp (y — a?))

zurück, deren Integral ohne Schwierigkeit mit Hilfe einer willkür- . liehen Funktion f(x) in der Form:

(76)

<p(x) = Yy + fW — f

x)

enthalten wird. — Ch. Babbage¹¹⁵), der zahlreiche Beispiele von Funktionalgleichungen giebt, nennt allgemeine Lösungen diejenigen, die willkürliche Funktionen, partikuläre Lösungen diejenigen, die nur Konstante enthalten. Für mehrere Gleichungen kann man die allgemeine Lösung gewinnen, sobald man eine partikuläre kennt; so ist, wenn cp (x) eine partikuläre Lösung der Gleichung (x) — ip (ax) und f eine willkürliche Funktion ist, f(cp(x)) die allgemeine Lösung. Entsprechend erhält man die allgemeine Lösung des Systems

-ip (x) = ip (ax) = ÿ (bx) = (cx)

112)    Paris mém. sav. [étr.J 7 (1773), p. 305. In demselben Bande, p. 37, ist auch eine Abhandlung von Laplace (Oeuvres 8, p. 5), in der Funktionalgleichungen betrachtet sind, die sich auf gemischte Differential- und Differenzengleichungen zurückführen lassen.

113)    Mém. sur les principes de la mécanique, 1769.

114)    S. auch Cauchy, Anal, algébrique 1, Paris 1821, p. 113.

115)    Mécanique céleste 1, Paris 1799 (1807), p. 5 (Oeuvres 1, p. 5). Über die Funktionalgleichung der Zusammensetzung der Kräfte vgl. F. Siacci, Napoli Rend. 1899, p. 34; G. Hamei, Math. Ann. 60 (1905), p. 459.

116)    Lond. Phil. Trans. 1815/16; Appendix zu W. J. Herschel, Collection of examples on the calculus of finite differences, Cambr. 1820 (ein Auszug von Gergonne, Gerg. ann. 12 (1821), p. 73).

in der Form ip = f<p₂<Pi<P (#), wenn f eine willkürliche Funktion und cp, cpt, cp₂ bezw. Lösungen der Gleichungen

ip (x) = ip (ax), ipcp (x) — ipcp (bx), ipcpxcp (x) = ipcp₁cp (cx) bedeuten. Ebenso hat man, wenn von der Gleichung:

(77)

F (x, cp (x), ip (ax), ip (bx),...) = 0

eine partikuläre Lösung cp (x, a1} a.₂, ...) gegeben ist, in der av a₂, ... willkürliche Konstante sind, die allgemeine Lösung, indem man ip(x) = cp (x, cpl (x), Cp₂ (x), ...) setzt, unter cpl} cp₂, ... willkürliche Lösungen des Systems cp(x) = cp (ax) = cp (bx) — • • •

(78)

(79)

verstanden.

S. I). Poisson³²) hat das Problem der Verteilung der statischen Elektrizität auf zwei sich gegenseitig influenzierende Kugeln auf die Lösung der Funktionalgleichung

f(x) = A — B~-

¹ v '    C — X

ab

a²(c — x)

C² — Æ² — cx

die dann noch vielfach behandelt worden ist³³), zurückgeführt.

CS — X² — cx

2 !. Die Gleichung von Babbage und ihre Anwendungen.

ip(x)

In Nr. 6 ist mit S^(cp) das Resultat der Substitution von Stelle von x in die willkürliche Funktion cp(x) bezeichnet. Man hat

Viele Autoren be-

an

also Sy (x) = ip (x), Sy² (x) = ip(ip (x))

u. s. w.

nutzen die Bezeichnung:

(80) x = ip₀(x), ip (x) = 4\ (x), ip (ip(x)) = ip₂ (x), ..., Syn (x) = ipn (x)-SP³⁴ (x) heisst die nte Iterierte von ip (x). Man kann nach Funktionen fragen, deren wte Iterierte wieder die unabhängige Variable selbst ist; man erhält so die Gleichung von Babbage¹¹²):

ipn (x) — x oder symbolisch S^n = 1.

X p..    n    ^

- tur n = 2: -

ax — 1    '2 — x

(81)

für

Z. B. genügen ihr die Funktionen a — x,

n — 4; ex für irgend eine positive ganze Zahl n, wenn e eine wte Einheitswurzel bedeutet. Ist cp eine partikuläre Lösung, so ist f~¹cpf die allgemeine, unter f eine willkürliche Funktion verstanden. L. Beau³⁵) untersucht die Gleichung von Babbage für den Fall, dass

ip (x) eine eindeutige analytische Funktion in einem gegebenen Bereich sein soll. Die Gleichung³⁶):

(82)

F(x, ip(x),    (X),    (x)) = 0

lässt sich soweit reduzieren, dass sie keine Iterierte mehr enthält, indem man successive cp — cp~xfcp setzt, wo f willkürlich und x = cp~x(s) ist. Diese Gleichung enthält als speziellen Fall die lineare Gleichung mit konstanten Koeffizienten:

(83)

aQx -f- % Sy (x) -{-•••-)- unSyn (x) = 0, deren allgemeines Integral sich mit Hilfe des Integrals der Gleichung von Babbage leicht ausdrücken lässt³⁷).

22. Gleicłmngen von Abel und von Schroeder. Die Gleichung

von

(84)

Abel³⁸):

cp (cc(x)) = cp (x) -j- c oder Sa<p = cp -J- c

ist vielfach behandelt worden. Setzt man x = cp(y), cc (x) = cp (y1), so gelangt man zu ihrer Lösung mit Hilfe der Differenzengleichung 1. Ordnung cp (y -f- 1) = a(cp{y)) (deren Lösung übrigens nicht leichter ist); die Funktion cp ist dann gegeben durch die Differenz:

cpcp (y + 1) — cpcp (y) = e.

Abel bemerkt: Kennt man eine partikuläre Lösung cp (x) von so ist die allgemeine cp (x) œ (x), wo a (x) in Bezug auf Sa invariant, d. h. Sa (ra) = co ist³⁹). Als Anwendung löst er die Glei-

eine Lösung ist.

chung cp (xn) = cp (x) -f- 1, von der cp (x) = Endlich führt er die allgemeinere Gleichung:

F (x, cp (cc {x)\ cp (ß (x))) = 0

log log x log n

(85) auf Differenzengleichungen zurück. A. Korkine⁴⁰) nimmt bei der Integration der AbeVsehen Gleichung an, a (x) und cp (x) seien in Potenzreihen entwickelbar; er erhält dann formell die Entwicklungskoeffizienten von cp (x) durch die Methode der unbestimmten Koeffizienten.

Indem man cp (x) durch log cp (x) ersetzt, erhält man aus der Gleichung (84) die folgende:

(86)

cp (aixj) = ccp (x) oder Sacp = ccp,

die nachi?. Schroeder⁴¹ 42) genannt wird; die Bestimmung und der Gültigkeitsbereich der Lösungen von (84) lassen sich aus denjenigen von (86) ableiten. Unter der Voraussetzung, a(x) sei regulär in einem Kreise von einem Radius > 1 um einen Wurzelpunkt z der Gleichung a (x) — x = 0, und es sei ferner: (87) beweist J. Farkasm), dass die Gleichung (86) ein im Kreise vom Radius 1 um z reguläres Integral hat. Koenigs⁴³) bildet mit Hilfe eines Grenzwertes eine Lösung der Gleichung (86) und beweist ihre Gültigkeit; ihrer Darstellung (Nr. 24) sind noch einige allgemeine Sätze über Konvergenz der Iteration vorauszuschicken.

23. Iterationsrechnung. Ist a(x) eine gegebene Funktion und bildet man die Iterierten Sa(x), Sa²(x), . . ., Sar(x),. . ., so entsteht die Frage, ob der Fall eintreten kann, dass diese Folge für r=oe gegen einen Limes konvergiert, unabhängig von der Art, wie r über alle Grenzen wächst. Dieses Problem hat sich E. Schroeder⁴⁴ 45) bei der Untersuchung eines Algorithmus dargeboten, den er Eggers zuschreibt und der dazu dient, die Wurzeln algebraischer oder transzendenter Gleichungen mit zunehmender Genauigkeit zu berechnen. Er beweist den fundamentalen Satz: wenn Sj einen Grenzwert z hat, so ist dieser Grenzwert eine Wurzel der Gleichung a (x)— x = 0. Farkas¹⁸⁰) beweist weiter: Sei a(x) eine analytische Funktion von x, so beschaffen, dass, während x einen Bereich T beschreibt, der entsprechende von a (x) beschriebene Bereich u(T) ganz in T liegt, selbst wenn sich T auf einen Punkt zusammenzieht; dann haben die Iterierten einen von der Art, wie r ins Unendliche wächst, unabhängigen Grenzwert. Ferner⁴⁶): Wenn a (x) für reelle x ebenfalls reell ist und mit x zugleich wächst und wenn dabei für p<Cx<q auch p < a(p) < a(x) < a (g) < q ist, so haben die Iterierten einen Grenzwert. Koenigs⁴⁷) giebt die Umkehrung des Satzes von Schroeder, d. h.: Wenn z ein nicht singulärer Punkt von a (x) und a(z) — z sowie \a (z)\ < 1 ist, so ist z Mittelpunkt eines Kreises, in dessen Innern

E. Netto¹³¹) untersucht die aus der Iteration von

(90)

Vx~+a

oder

(91)

(88)

lim SW(x) =

ist. Ist cp (x) in z regulär und cp (z) — 0, so kann man eine so grosse Zahl h angeben, dass ^SSnn(w) in diesem Kreis gleichmässig

n=h

konvergiert und folglich (II B 1, Nr. 6) in ihm eine reguläre analytische Funktion darstellt¹³³). Man hat auch den Fall betrachtet, dass die Sj eine endliche Zahl k von Grenzpunkten (Häufungspunkten) haben; sie sind dann Wurzeln von Sak (x) = x und werden durch die Substitution S zyklisch vertauscht. Auch dieser Satz lässt sich umkehren¹³⁴).

r = X)

Wenn a(x) eine rationale ganze Funktion von x ist, hat die Gleichung:

S™ (x) - x

u(x) — x

-o,

solange die Koeffizienten von a(x) unbestimmt bleiben, die Eigenschaft, dass ihre Wurzeln in Systeme von je n zerfallen, in der Weise, dass:

^2 = «(«1), ^3 = “fa), ■ ■ •; Xn = «0»-1) ist, wenn xx, x₂,. . ., xn die Wurzeln eines Systems sind¹³⁵)-

Die Iteration irrationaler Funktionen kann, wie gesagt, zur näherungsweisen Berechnung der Wurzeln einer Gleichung dienen, z. B. für die trinomische Gleichung

(89)

xn — x — a — 0

die Iteration von Yx -{- a\ für

die von¹³⁶):

xm — pxn -j- q — 0

n /-

V—

' p — xm n

oder

y.

xn

y/axn~¹

133)    G. Koenigs, Ann. éc. norm. (2) 1 (1384), Suppl, p. 14.

134)    Koenigs, Darb. Bull. (2) 7 (1883), p. 314; F. Podetti, Giorn. di mat. 35 (1897), p. 264.

135)    E. Netto, Math. Ann. 29 (1887), p. 148.

136)    K. B. Hoffmann, Arch. f. Math. 66 (1881), p. 38.

137)    Math. Ann. 29 (1887), p. 141.

entstehenden Algorithmen und ihre Konvergenz; er bestimmt, welche Wurzeln von (1) durch den Grenzwert der Iteration von (2) geliefert wird, je [nach der Wahl des Ausgangswertes xQ. C. Isenkrahe bemerkt¹⁸⁸): wenn man x irgendwie aus der Gleichung xn — axn~¹ — lxn~² — • • • — c = 0

(92)

in der Form:

x = a(x)

isoliert und dann von irgend einem (reellen oder komplexen) Werte x₀ aus die Iterierten SaW(xo) bildet, so kann dieser Prozess gegen eine Wurzel | von (4) konvergieren, wenn |a,(£)j<l ist; ferner beweist er, dass die Iteration von

u(x)-xu (x)

1 — u (x)

gegen eine beliebige Wurzel von (4) konvergieren kann.

Die Iteration der Potenz xx untersuchen Eisenstein1S9) und Seidel ¹⁴°); die der Funktion a]log # und überhaupt von Funktionen der Form

f (<P (x)

A. Sommerfeld⁴⁸ 49 50 51).

24. Anwendung der Iterationsrechnung auf die Gleichung von Abel. Sei lim SJ^ (x) — z in einem Kreise um z, in dem u (x)

r — oo

regulär und j a (x) J < 1 ist; dann ist:

(93)

B (x) — lim

co (u (z)Y

eine in der Umgebung von z reguläre analytische Funktion; und wird a (z) — a gesetzt, so genügt sie der Gleichung von Schroeder (Kr. 22) Satp — ay, die somit gelöst ist⁵²). Jede andere in der Umgebung von z reguläre Lösung dieser Gleichung unterscheidet sich nur durch einen konstanten Faktor von einer Potenz von B(x). Aus der Lösung der Gleichung von Schroeder erhält man die Lösung log B (x) der Gleichung von Abel. Die Funktion B(x) von Koenigs kann auch zur Integration anderer Gleichungen dienen⁵³), wie Sr — Sa und

8<pSa ⁼ ^a^cp} wo a gegeben und cp gesucht ist. A. Grévy⁵⁴ 55 56) beweist die Existenz der Lösung der Gleichung (86) für a (z) — 0, L. LeauUh) für j a (z) I — 1.

25. Andere Anwendungen der Funktionen von Koenigs. Man

kann die Funktionen B(x) auf die Theorie der linearen Differentialgleichungen F (cp) — 0 anwenden, die bei einer Transformation der Form x = l(t), cp(x) = cp(t)g(t) ungeändert bleiben; nur dass t statt x, ip(t) statt cp(x) vorkommt. Eine solche Gleichung hat mindestens ein Integral, das einer Funktionalgleichung von einer der von Koenigs untersuchten Formen genügt, und die Integration geschieht mit Hilfe der Funktionen B(x).u6)

Eine andere Anwendung besteht in der Untersuchung der Gleichungen der Form:

¹

   Pincherle, Bologna mem. (10) 8 (1887); Ann. éc. norm. (3) 22 (1905), p. 9; Amaldi, Line. Rend. (5) 7² (1898), p. 117; Pincherle e Amaldi, cap. XIII.

²

   Wegen der Anwendung der Transformation von Laplace auf die linearen Differentialgleichungen vgl. man namentlich H. Poincaré, Amer. J. of math. 7 (1885), p. 217 und Acta math. 8 (1886), p. 295; dann die Darstellungen von L. Schlesinger, Handbuch der lin. Differentialgl. 1, Leipz. 1895, Abschn. VII und von E. Picard, Traité d’analyse 3, Paris 1896, chap. XIV; ferner J. Horn, Math. Ann. 49 (1897), p. 453; weiteres vgl. II B.

³

   G. Jordan, Cours d’analyse 3, Paris 1887, p. 253.

⁴

   Schlesinger, Handbuch 1, p. 426.

⁵

   Ahel, Oeuvres 2, p. 170.

⁶

   ibid, und Oeuvres 1, p. 102. Ygl. auch Halphen, Paris soc. math. 10 (1882), p. 67; V. Pareto, J. f. Math. 110 (1892), p. 290.

⁷

   Acta math. 21 (1897), p. 243.

⁸

   Par. C. R. 136 (1902), p. 937; 137 (1903), p. 554; 138 (1904), p. 881, 941; Line. rend. (5) 13 (1904), p. 3; Acta math. 29 (1905), p. 101.

⁹

   Dieses Problem ist neuerdings behandelt von J. C. Kluyver, Amsterd. nieuw arch. (2) 4 (1900); Paris C. R. 134 (1902), p. 587; N. Nielsen, Paris C. R.

¹⁰

   Ann. éc. norm. 16s (1899), p. 50.

¹¹

   Acta math. 8 (1896), p. 295.

¹²

   Laplace, vgl. Fussnote 74), 75); Pincherle, Lomb. Rend. (2) 19 (1886); Acta 16 (1892), p. 341; Hj. Mellin, Acta math. 8 (1886), p. 79; 9 (1886), p. 137; 25 (1901), p. 139.

¹³

J. f. Math. 71 (1870), p. 316; 73 (1871), p. 69; Math. Arm. 35 (1890),

¹⁴

   Ann. éc. norm. (2) 12 (1883), p. 261, 495; Pincherle, Sülle funzioni ipergeometriche, cap. VII; Giorn. di mat. 32 (1894), p. 65.

¹⁵

   Pincherle, Acta math. 10 (1886), p. 153; T. Levi-Civita, Lomb. Rend. 1895, p. 533.

¹⁶

   Paris C. R. 93 (1881), p. 833.

¹⁷

   Ann. éc. norm. (2) 9 (1880), p. 119.

¹⁸

   Note von G. Peano zu Genocchi e Peano, Calcolo differenziale, Torino 1884, p. XX (p. 323 der deutschen Übersetz, von Lüroth u. Schepp, Leipz. 1899); Jensen, Kopenh. overs. 1894, p. 3.

¹⁹

   Jensen, ebenda p. 3.

²⁰

Jensen, ebenda p. 5.

²¹

   Grundlagen zu einer Theorie allgemeiner Kofunktionen, Wien 1881; Theorie allgemeiner Kofunktionen, Leipzig 1892.

²²

   Sui gruppi di operazioni funzionali, Lomb. Rend. 28 (1895), p. 458.

²³

108) Der Begriff „Funktion eines Symbols“ ist hier im allgemeinsten Sinne

zu nehmen.

²⁴

   Paris C. R. 124 (1897), p. 348; Ann. éc. norm. (3) 14 (1897), p. 141.

²⁵

   Bourlet nennt solche Funktionen „indéfiniment symétriques“. Vgl. Abel, citate 162).

²⁶

   Line. Rend. (4) 3² (1887), p. 97, 141, 153, 225, 274.

²⁷

   Volterra gebraucht die Bezeichnung:

a

z = *[qp(a;)],

6

um die Abhängigkeit des z von der im Intervall a <( x b genommenen Funktion qp (x) anzudeuten.

²⁸

   JB. Calô, Lincei Rend. (5) 4 (1895), p. 52.

²⁹

   Torino Atti 25 (1890), p. 432.

³⁰

   Bologna Mem. (5) 4 (1894). •

³¹

   Par. C. R., 21 novembre 1904.

³²

   Paris Inst, (math.) 1811, p. 43.

³³

   S. z. B. Kirchlioff, Vorlesungen über Elektrizität und Magnetismus, Leipzig 1891, p. 66.

³⁴

   Gerg. ann. 16 (1821), p. 73; vgl. auch Bausenberger, Math. Ann. 18 (1881), p. 379 und Periodische Funktionen, Leipz. 1884, p. 162.

³⁵

   Par. soc. math. bull. 26 (1898), p. 5.

³⁶

   Babbage; Fussnote 116); 0. Spiess, Die Grundbegriffe der Iterations-rechnung, Diss., Basel 1902. Vgl. oben, Nr. 9.

³⁷

   Lémeray, Par. C. R. 125(1897), p. 524; Par. soc. matb. bull. 26 (1898), p. 10.

³⁸

   Oeuvres 2, p. 36.

³⁹

   Korlcine und Koenigs, die dieses Resultat ebenfalls aussprechen, erwähnen nicht, dass es schon von Abel gegeben war.

⁴⁰

   Darb. Bull. (2) 6 (1882), p. 235.

⁴¹

   Math. Ann. 3 (1871), p. 296.

⁴²

   J. de math. (3) 10 (1884), p. 108.

⁴³

   Ann. éc. norm. (3) 1 (1884), Suppl, p. 3; 2 (1885), p. 385.

⁴⁴

   Math. Ann. 2 (1870), p. 349.

⁴⁵

   J. de math. (3) 10 (1884), p. 102.

⁴⁶

   Ibid. p. 103.

⁴⁷

   Darb. Bull (2) 7 (1883), p. 314.

⁴⁸

   Math. Arm. 31 (1888), p. 309; Progr. Trier 1897.

⁴⁹

   J. f. Math. 28, 1844, p. 49.

⁵⁰

   Münch. Abhandl. 11¹ (1872), p. 360.

⁵¹

   Gott. Nachr. 1898.

⁵²

   Koenigs, Par. C. ft. 99 (1884), p. 1016; Am. éc. norm. (3) 1 (1884), Suppl, p. 19; 2 (1885), p. 385.

⁵³

   Ann. éc. norm. (3) 2 (1885), p. 385.

⁵⁴

   Paris Thèse 1894.

⁵⁵

   Paris Thèse 1897.

⁵⁶

   P. Appell, Par. C. R. 7 novembre 1881; Acta math. 15 (1891), p. 281.

(94)

*o9 + »is.9 + »2 H-----b *A”9 = 0,

wenn nach Lösungen cp (x) gefragt wird, die in der Umgebung eines Punktes z == lim Sar regulär sind. Dieses Problem¹) bietet Analo-

r = co

gien zur Theorie der linearen Differentialgleichungen dar: so ist z. B. die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass zwischen n Funktionen <jp₁₇ cp%, . . ., cpn eine lineare homogene Relation mit gegenüber Sa invarianten Koeffizienten bestehe, das Verschwinden der zur Wroński'sehen analogen Determinante²):

Ci

CO

»

HS

CQ

fco

CQ

Sna~¹⁽Pi Ą_19>8 •••

daraus folgt, dass die Gleichung (94) nur n im angegebenen Sinne linear unabhängige Lösungen haben kann. Die wirkliche Existenz von n solchen Lösungen lässt sich mit Hilfe der Funktionen B(x) durch eine Methode beweisen, die zu der der „fonctions majorantes“ in der Theorie der linearen Differentialgleichungen (II B 7) analog

ist³). Eine schon erwähnte Untersuchung von L. Lean⁴'³⁰) giebt Existenztheoreme für die regulären Lösungen von Systemen von Funktionalgleichungen, die zu den Systemen linearer Differentialgleichungen analog sind, z. B. das folgende: Seien <plf <p₂, . . ., cpn die unbekannten, a und die ß{j gegebene Funktionen; man sucht von dem Gleichungssystem :

(96)

<Pi =

(i = 1,2,..., n)

die in der Umgebung einer Wurzel der Gleichung cc (x) — x — 0 regulären Lösungen und findet für sie Reihenentwicklungen, deren Konvergenz man durch die Bedingungen der „fonctions majorantes“ beweist. Derselbe Autor untersucht auch den Fall, dass die Funktionen cpt, <p₂, . . ., (pn und a eine beliebige Anzahl von Yariabeln enthalten.

26. Analytische Iteration. Die Lösung des Problems der analytischen Iteration, d. h. die' Bildung von Sj für beliebiges r, lässt sich auf die eben besprochenen Probleme zurückführen. Durch direkte Rechnung ist sie mühsam, selbst in den einfachsten Fällen, wie dem der linearen Funktion⁵ 6):

(97)

cc(x) =

ax -j- & cx -\- d

.152)

Eine abgekürzte Methode geben A. Cayley⁷ 8 9), dann E. Schroeder¹⁶*) mit Hilfe der der Differenzenrechnung (I E) entlehnten Formel:

(98) Sj = S° + r(S— S°) +

r (r — 1)

Das Problem, Sar für ein beliebiges (nicht mehr notwendig ganzzahliges) r zu definieren, ist unbestimmt, solange man nicht noch irgend welche weitere Bedingung hinzufügt, z. B. Konvergenzbedingungen, oder dass Sr eine analytische Funktion von r und x sein soll. E. Schroeder¹⁶⁶) bemerkt, dass man die Iterierten einer Funktion ß bilden kann, wenn S^ = SifjSaS~¹ ist und man die von a kennt; diese Bemerkung erlaubt die Iterierten zahlreicher Funktionen

aus denjenigen der linearen Funktion (97) abzuleiten. Man kann die Iterierten von a auch in dem|Falle bilden, dass man eine Funktion if) kennt, die ein Additionstbeorem der Form ip (x -j- c) = a (ÿ (x)) oder ein Multiplikationstbeorem der Form ip (ex) = a (ip (x)) bat. Mit Hilfe dieser Bemerkung führt Schroeder das Problem der Iteration auf die Auflösung der Gleichung (84) oder (86) zurück. G. Formenti¹⁰) leitet die Lösung des Problems der Iteration direkt aus der der Gleichung von Abel ab. A. Korkine¹¹) und J. Farkas¹²) führen durch andere Methoden die Lösung des Problems der Iteration auf die der genannten Gleichungen zurück. Endlich C. Bourlet¹³) nimmt die Formel (98) für beliebiges r in Anspruch und beweist: Wenn a (x) in der Umgebung eines Wurzelpunktes z von u(x) — x = 0 regulär und \u(z)\ < 1 ist, so giebt diese Formel nicht nur formell, sondern thatsächlich die Entwicklung der Iterierten yon a (x) als analytische Funktion von x und r. Iteration von linearen Differentialausdrücken betrachtet A. Gutzmerlb9h).

27. Verschiedene Funktionalgleichungen. Verallgemeinerung der Periodizität. Transcendentale Transcendenz.

So bemerkt N. H. Abel¹⁴):

a) Ausser den bisher besprochenen Funktionalgleichungen sind noch viele andere gelegentlich aufgetreten oder Gegenstand von speziellen Untersuchungen gewesen.

Aus einer nicht kontradiktorischen Gleichung der Form:

(99)

V (x, y, y (a), f{ß), F (y), ...)== 0, in der cc, ß, y, ... gegebene Funktionen von x und y sind, lassen sich die unbekannten Funktionen y,f,F, ... im allgemeinen alle bestimmen. Als Anwendung bestimmt er y in der Gleichung:

(100)

9>(«) = Vfay, y(ß), y (yj),

indem er zuerst x und y durch die Relation a (x, y) — const, verbindet und nach x differentiiert, dann mit ß(x, y) = const, entsprechend verfährt und so das Problem auf die Integration einer Differentialgleichung 1. Ordnung zwischen y(y) und y zurückführt.

Analog verfährt H.W. Pexider¹⁵) für die allgemeinere Funktional

gleichung

F(fM), fid*),'--, fnK)) = w° xk+1, ■ • -, xn Funktionen der übrigen reellen oder komplexen unabhängige Variabein x₁₇ • • •, xk sind. Durch Differentiation von (1) nach den xx, • • •, xk hat man

(101)

(102)

dF

3ft

r = k +1 'v

= o,

fn

und durch passende Setzungen und unter Bedingungen, die wohl wesentliche Beschränkungen darstellen, kann man f/'+i, fk + 2, • • erhalten.

Ein anderes von Abel¹⁶) gestelltes Funktionalproblem ist die Aufsuchung solcher Funktionen f von zwei Variabein, dass f(z, f(x, y)) in x, y, z symmetrisch ist; er findet: jeder solchen Funktion entspricht eine Funktion <p (u) von der Art, dass identisch

<p (f&t y)) = <p (?) + <p (y)

ist. Diese von Abel angegebene Lösung ist die allgemeinste¹⁷), wenn f(x, y) Ableitungen nach x und y haben soll.

Die Funktionalgleichung:

(103)

f 0 + y) = f(%) + f(y)

definiert die Funktion ax, wenn f(x) stetig¹⁸) sein, oder in jedem endlichen Intervall¹⁹), oder auch in einer willkürlichen kleinen Umgebung von x = 0²⁰) eine obere Grenze haben soll, mag sie reell oder komplex sein; aber nicht, wenn ihre obere Schranke in jedem endlichen Intervall unendlich ist²¹).

Cauchy²²) untersucht auch die einfachen Funktionalgleichungen

Ax«+\y),= f(%)f(y), f{xyY==f{x)f(y), f(xy) = f{x) + f(y)

und findet, dass die reellen stetigen Funktionen, welche diese Gleichungen befriedigen, durch

resp. gegeben sind. H. W. Pexider²³) betrachtet die allgemeineren Funktionalgleichungen

f{x) + <p{y) = f(x -f y),

f{%) <p(y) =    + y),

fix) cp {y) = ip(xy), f(x) + cp (y) = t(xy)

und findet, dass man resp. hat

f{x) — ax -j- c, bax, bxa, a log x -f- &;

und

cp(x) = ax -j- c, b'ax, b'xa, a log x -f- b\

Ähnlich für komplexe stetige Funktionen einer reellen Variablen,

b) Die Funktionalgleichung:

(104)

cp (cc(x)) = cp x) oder Sacp = cp,

in der a gegeben ist, kann als Definition der Periodizität im allgemeinsten Sinne des Wortes angesehen werden²⁴). Periodizität im engeren Sinne erhält man für a (x) = x -f- a, wo a eine Konstante bedeutet*, für a(x) — ax erhält man eine Relation, auf die man die Theorie der doppeltperiodischen Funktionen stützen kann²⁵), wie die Verwandlung von x in ex sofort zeigt. Die Definition der doppelten Periodizität erster, zweiter und dritter Art (II B 3) besteht in nichts anderem als in einem System von zwei einfachen Funktionalgleichungen. Ein System von einer endlichen oder unendlichen Anzahl von Gleichungen der Form:"

O    6

Sacp = cp, Spcp = cp, ...

führt zu dem Schlüsse, dass die Operationen Sa, S^, ... eine Gruppe bilden müssen; sind die Funktionen cc, ß, ... linear, so kommt man auf die Theorie der gegenüber einer (diskontinuierlichen) Gruppe linearer Substitutionen invarianten Funktionen, d. h. der automorphen (Fuchs¹ sehen) Funktionen von Poincaré und Klein (II B 4). Ihre Verallgemeinerung auf Funktionen von mehreren Variabein, d. h. die

f(x) = cf,

xa, a log x

(105)

hyperfuchs’schen und hyperabel’schen Funktionen von JE. Picard¹™), sind ebenfalls durch Funktionalgleichungen definiert. — Die allgemeine Periodizitätsgleichung (104) ist foripell allgemein durch die Formel gelöst worden²⁶ 27):

<pO) = "fix),

(106)

n = — co

in der f(x) eine willkürliche, in besonderen Fällen rationale Funktion bedeutet; in der Theorie der einfach und doppelt periodischen, überhaupt der automorphen Funktionen hat man zahlreiche Beispiele dafür, dass durch geeignete Wahl der Funktion f(x) Konvergenz der Reihe erreicht und so eine effektive Lösung der vorgelegten Gleichung gewonnen werden kann.

c) Wichtige Klassen von Funktionen sind definiert durch ein Additionstheorem-, das seinen Ausdruck in einer Funktionalgleichung findet. Dahin gehören die Kreisfunktionen: die Funktion Cosinus lässt sich bestimmen durch die Gleichung¹¹⁴):

(73)

cp (x -f- a) -f- cp (x — a) = 2 cp (x) cp (a), mit Hinzufügung einer Nebenbedingung (vgl. Kr. 20); die Funktion Sinus durch²⁸):

T (2x) 9 (y) = ²⁽P 0*0 <P (x + y)

(107)

ebenfalls mit Nebenbedingungen; die Partialbruchzerlegung der Funktion Kotangente lässt sich ableiten aus ihrer Eigenschaft²⁹):

( 108) cp (u) cp (v) -j- cp (v) cp (w) -j- cp (w) cp (u) = n² für u -f- v -f- w — 0. Die für diese Funktion benutzte Methode lässt sich³⁰) auch anwenden zur Bestimmung der Partialbruchzerlegung der Weier strass'■sehen Funktion £(#), die durch: (109) (£(«) + £(v) + £(«0)⁸ +£'(*) +S'W + ê'M“*) für u-\-v-\-w = 0 definiert ist. Weier strass³¹) hat seine Vorlesungen über elliptische Funktionen oft mit dem Satze begonnen: Eine analytische Funktion cp (x) von der Art, dass: (110)

F (cp (x), cp (y), cp (x + y)) = 0,

wo F eine rationale Funktion bezeichnet, ist entweder algebraisch oder periodisch; H. Fetrini¹⁷⁸) beweist, dass dieser Satz auch noch gilt, wenn man cp nicht als analytisch, sondern nur als in der Umgebung eines Punktes x₀ eindeutig und stetig voraussetzt.

Funktionalgleichungen können auch zur analytischen Fortsetzung einer zunächst nur in einem begrenzten Bereich definierten analytischen Funktion in einen grösseren Bereich dienen.

Sei noch die Funktionalgleichung erwähnt:

(111) cp {x -f- x, y -f- y, . . .)

= cp(x,y,...) + cp (x, y,...) + fix, y, . . x, y,...), in der f gegeben, cp gesucht sei; ihre Lösung wird in der Form erhalten:

(112)

<p (x> y) = c\x + HV + ■ • • +

wo 8 eine Summe von Termen bedeutet, die man erhält, indem man in fix, y,...; x, y, ...) der Reihe nach eine, zwei,... Yariabeln gleich Null setzt¹⁸⁰).

E. Picard¹⁸¹) hat unendlich viele Systeme von m eindeutigen analytischen Funktionen f cp, ..., ij> gefunden, die periodisch sind mit der Periode m, und die Funktionalgleichungen

(113)

f(x + œ') = If(f{x), <p(x), . . ., ip (x)),

befriedigen; hier ist œ : œ' nicht reell, und If, E₂, . . ., Bm definiert eine birationale Substitution über m Buchstaben. Eine geometrische Frage führt später Picard¹⁸²) zur Betrachtung des Systems von Funktionalgleichungen

(114)

fiax, ly, . . ., U) = Rxif, cp, . . ., if)

. cpiax, ly, . . ., le) = Rm(f, cp, . . ., ^); das System kann durch in der Umgebung von x — y ==••■ = 2 == 0 reguläre und übrigens meromorphe Funktionen befriedigt werden. In beiden Fällen ist die Lösung durch successive Approximationen erhalten.

178)    Stockh. Forhandl. 1901, p. 297.

179)    Vgl. II B 1, Nr. 16.

180)    F. Severi, Torino Atti 36 (1901), p. 76. Severi wendet diese Auflösung auf eine Frage der abzählenden Geometrie an.

181)    Par. C. R. 117 (1893), p. 472, 603.

182)    Par. C. R. 139 (1904), p. 6.

Endlich sei erwähnt, das F. Pietzker³²) sich mit den allgemeinsten Yerb in düngen, die assoziativen Charakter haben und mit den sich daraus ergehenden Funktionalgleichungen beschäftigt.

d) Nur hingewiesen sei auf die Funktionalgleichung:

cp (x -j- 1) — cp (x) = G (x)

(115)

in der G{x) eine ganze Funktion bedeutet³³); dann auf die zur Definition der F- Funktion analogen Gleichungen :

(116)

(p{x -j- 1) — r (x) cp (x) = s (x), in denen r (x) und s(x) rationale Funktionen bedeuten³⁴); denn sie gehören in die Differenzenrechnung. Eine Verallgemeinerung dieser Differenzengleichungen bilden die Gleichungen der Form:

(117)

Ahv (x + a,J = /■(*)

in der f eine gegebene Funktion bezeichnet³⁵); sie führen auf lineare Differentialgleichungen unendlich hoher Ordnung (Nr. 14) und lassen sich mit Hilfe der Transformation von Laplace (Nr. 16) formell, unter geeigneten Voraussetzungen über die Funktion/’(F) auch effektiv, durch ein bestimmtes Integral lösen. Die hv können dabei Konstante oder rationale Funktionen von x sein.

f(x -j- 1) = xf(x)

e) 0. Holder³⁶) hat bewiesen, dass die F-Funktion, die die Funktionalgleichung (118)

f{x) fix + 1) = f{x) -fr ix),

befriedigt, deswegen keiner algebraischen Differentialgleichung genügen kann; sie ist, nach F. H. Moore³⁷), transcendental-transcendent. Ferner beweist H. Tietzke³⁸), dass eine analytische Funktion, die eine F unktionalgleichung (119)

die keine rationale Lösung hat, und wo r(x) im Unendlich verschwindet, befriedigt, auch transcendental-transcendent ist. Moore³⁷)

hatte schon ein sehr allgemeines Theorem gegeben über transcen-dentale Transcendenz analytischer Funktionen, die einer Funktionalgleichung

f(GKxj) = Hf(x))

genügen, neben Bedingungen für G und H.

28. Integralgleichungen erster Art (Umkehrung der bestimmten Integrale); Allgemeines. Das Problem der Umkehrung der bestimmten Integrale hat zum Gegenstand die Auflösung der Fnnktionalgleichung³⁹)

(120)

fx ix, y) cp (y) dy = fix) (0

nach der unbekannten Funktion cp (?/); f(x) ist eine gegebene Funktion, ebenso u{x, y); die letztere heisst charakteristische Funktion oder Kern. Diese Funktionen können analytisch sein oder nicht; die Integrationsgrenzen können reell sein oder l kann eine offene oder geschlossene, endliche oder unendliche Linie in der Ebene der Variabein y bedeuten. Die Wichtigkeit des Problems (120) liegt einmal in seinen zahlreichen Anwendungen in der mathematischen Physik, dann darin, dass es äquivalent ist mit dem Problem der Entwicklung der gegebenen Funktion fix) in eine Reihe nach gegebenen Funktionen ôTn(x) (n = 0, 1, 2, ...); die charakteristische Funktion muss dann so gewählt werden, dass sie längs des Integrationsweges l eine gleichmässig konvergente Entwicklung

GO

(121)

a (x, y) = 2ÎK 0) mn 0)

n = 0

zulässt, und die Bestimmung der Koeffizienten der Entwicklung von fix) ist mit der Bestimmung der Funktion cp fy) äquivalent⁴⁰).

Die Formel (120) ist eine Funktionalgleichung im engeren Sinne des Wortes, wenn fix) eine gegebene Funktion ist; ist f innerhalb eines gewissen Funktionalbereiches willkürlich, so ist diese Formel die Definition der zu:

Ä (<p) = ß O, y) cp iy) dy (0

(46)

inversen Operation A~¹. Für diese Auffassung fällt das Problem der Umkehrung der bestimmten Integrale zusammen mit dem der Aufsuchung der Inversen einer distributiven Operation, die in der Gestalt eines bestimmten Integrals gegeben ist (Nr. 15). Das so formulierte Problem zerfällt in zwei: einmal handelt es sich um die formelle Bestimmung des Ausdrucks der Operation A~¹, im allgemeinen ebenfalls in der Gestalt eines bestimmten Integrals — was mit der Bestimmung von dessen charakteristischer Funktion äquivalent ist; dann muss festgestellt werden, in welchem Funktionalbereich für f(x) diese Operation A_1 Bedeutung hat. Die Frage kommt so zurück auf die Bestimmung einer Funktion ß(y,t) und eines Integrationsweges V von der Art, dass in einem passend gewählten Funktionalbereich für fix) die Gleichung gilt:

jfa ix, y) ß (y, t) f(t) dtdy = f(x).

(122)

(0 (0

Hat man mit analytischen Funktionen zu thun und sind die Voraussetzungen der Cauchy'sehen Integralformel (II B 1, Nr. 4) erfüllt, so reduziert sich das Problem noch auf die Bestimmung einer Funktion ß von der Art, dass die Gleichung gilt:

(123)

fa(x,y)ßiy,i)dy = —^

«

Endlich kann man noch zwei Fälle des Problems (120) unterscheiden, je nachdem der Integrations weg fest, d. h. von x unabhängig ist (Nr. 29) oder nicht (Nr. 30).

29. Umkehrung bestimmter Integrale mit festen Grenzen. Für den Fall fester Grenzen ist das Problem (120) oder was dasselbe ist, das der Bestimmung der Funktionen ß iy, t) im allgemeinen nicht gelöst; doch kennt man die Lösung für eine Anzahl spezieller Fälle. Zunächst den Fall a{x,y) — eCy, den N. H. Abel¹⁹*) behandelt hat; er findet, dass in besondern Fällen die Umkehrung durch ein Integral derselben Form geschieht⁴¹ 42):

cp {y) = j e~xyf(x) dx.

Das Fourier'sehe Integral⁴³) giebt dieselbe Umkehrung in der Gestalt (122). Das Inversionsproblem lässt sich auch in dem Falle

lösen, dass die charakteristische Funktion y~x ist. Dieser Fall, der übrigens von dem eben besprochenen sich nur durch Einführung einer neuen Yariabeln unterscheidet⁴⁴), ist für reelle Variabein implicite von P. S. de Laplace⁴⁵), für komplexe von B. Riemann⁴⁶) behandelt worden-, letzterer giebt als Lösung von:

(124)

den Ausdruck:

f(x) =fçp{y)y-x-Hy o

a-\- i oo

(125)

2 7t i cp (y) =J‘f(x) yxdx.

Dieselbe Umkehrung findet sich schon bei R. Murphy⁴⁷), mit Anwendungen auf Fragen der mathematischen Physik, und später bei J. C. Kluyver und N. Nielsen⁸⁸), die sie auf die Entwicklung einer gegebenen Funktion in eine nach Faktoriellen fortschreitende Reihe anwenden.

Einen speziellen Fall, der sich mit Hilfe elementarer Funktionen erledigen lässt, behandelt H. Laurent⁴⁸), nämlich die Auflösung des Gleich ungssy stems: b

(126)

= 9k

ftp (y) ykdy

für den Fall, dass man dem Je nur eine endliche Zahl von Werten k — 0, 1, 2, ..., n beilegt. Dagegen bietet dieses Problem grosse Schwierigkeiten, aber auch viel mehr Interesse, wenn k die Werte 0, 1, 2, . . ., oo durchläuft; es ist im allgemeinen nicht gelöst, aber wichtige Spezialfälle sind behandelt. Z. B. wenn a — 0, b — oo und die    Zahlen    gh    alle    positiv    sind, ist    die    Funktion    cp (y)    eindeutig bestimmt,    wenn    die aus    den    gh durch    die    Gleichungen:

9\    • • • 9n-1

(127)    =

92    • • • 9n

9n-1 9n-2 • • • 92n-2

9n 9n + l • • • 92n-l

(128)

KK-i

abgeleiteten Zahlen a positiv und so beschaffen sind, dass die Reihe

divergiert. Diese Theorie (Probleme des moments), die man Stieltjes⁴⁹) verdankt, ist neuerdings von E. Borei⁵⁰) wieder aufgenommen und verallgemeinert worden.

Andere Fälle, in welchen das Problem (120) sich lösen lässt, sind von S. Pincherle⁵¹) behandelt worden. Zunächst der, dass a(x, y) eine Funktion der Differenz y — x ist; in diesem Fall ist die Operation A mit der Differentiation vertauschbar, und dasselbe gilt also auch von der inversen Operation A~x, mit anderen Worten, ß (y, t) ist ebenfalls eine Funktion der Differenz y — t, und diese Funktion lässt sich bestimmen. In diesem Falle fällt das Problem (120) zusammen mit dem der Entwicklung von f(x) nach den Ableitungen einer und derselben Funktion oder nach Appell'sehen Polynomen (Nr. 17 b), je nachdem u(x,y) nach fallenden oder steigenden Potenzen von y — x geordnet ist.

Dann der Fall ⁵² 53), dass die charakteristische Funktion einer Gleichung der Form genügt:

(129) (am + bmx)

dy

Aom

)r-

-i

dym~

_ _(-----f- K + b₀x) a — o,

b₀,    • • • gegebene Funktionen von y bedeuten.

in der a₀, ax, . .

In diesem Falle wird die Funktion ß(y,t) der Operation ,A~¹ folgender-massen erhalten: man multipliziere in (129) beiderseits mit ö(t,y) und integriere längs ü; integriert man partiell; bestimmt 6 als ein Integral der Gleichung:

(130)

iĘ 8? ^ + lkP> 6 ^ =h ®

und wählt lc (t) und die in 6 noch willkürlichen Grössen so, dass die vor das Integralzeichen getretenen Bestandteile sich wegheben, so erhält man durch Subtraktion von (129) und (130) den Ausdruck (123) von (t — x)~¹. Damit ist das Problem gelöst, zugleich auch das der Entwicklung einer gegebenen Funktion nach Polynomen VJn (x), die einer linearen Rekursionsformel mit in x linearen Koeffizienten genügen; und aus den Eigenschaften der Integrale von (129) ergiebt sich der Gültigkeitsbereich dieser Lösung. Als Spezialfall erhält man

die Konvergenzbedingungen der yon E. Heine⁵³) gegebenen Entwicklung einer analytischen Funktion nach Legendre'sehen Polynomen.

Endlich ist das Problem (120) auch noch gelöst²⁰⁵) in dem Falle, dass die charakteristische Funktion einer partiellen Differentialgleichung der Form*genügt: (131)

30. Umkehrung bestimmter Integrale mit veränderlichen Grenzen. Der Fall des Problems (120), dass mindestens eine der Integrationsgrenzen mit x veränderlich ist, hat sich zuerst N. H. Abel ²⁰⁶) bei der Lösung einer Aufgabe über brachistochrone Bewegung dargeboten: er erhält die Umkehrung des Integrals:

y (y)dy (:y — x)n ’

(n < 1)

(132)

durch die Formel:

m- j

«

(133)

<p(y) =

Erf

o

f(ty)dt

(t —i)n

Zahlreiche Autoren, von J. Liouvilles5) bis E. Eeltrmni20Y), haben sich mit dieser Inversion beschäftigt und davon Anwendungen auf Fragen der mathematischen Physik und auf die Koeffizientenbestimmung der Entwicklung einer Funktion nach JBesseVsehen und anderen Funktionen²⁰⁸) gegeben’

Ein allgemeinerer Fall ist von N. Soninem) behandelt worden, nämlich der, dass die charakteristische Funktion von der Form

204) Handbuch der Kugelfunktionen, 2. Aufl., Berlin 1878; vgl. II B 1,

Nr. 38.

205)    T. Levi-Civita, Lomb. Rend. (2) 28 (1895), p. 533.

206)    J. f. Math. 1 (1826), p. 153 (Oeuvres 1, p. 97 (vgl. auch p. 11)). Abel hatte die Formel schon 1823 gegeben; er war allem Anschein nach im Besitz der Lösung des Problems auch für den allgemeinen Fall. Vgl. die Bibliographie des Problems in der historischen Einleitung der Abhandlung von V. Volterra, Ann. di mat. (2) 25 (1897), p. 139.

207)    Lomb. Rend. (2) 13 (1880), p. 327; Bologna Mem. (4) 1 (1879); 4 (1882); s. auch JE. Cesàro, Bulletin de l’Acad. de Belgique 1902. In derselben Arbeitsrichtung liegt auch die Untersuchung von JE. Cesàro über ein Problem der Wärmeleitung, Brux. Bull. 1902, p. 387.

208)    0. ScTilömilch, Zeitschr. Math. Phys. 2 (1857), p. 156; JBeltrami ²⁰⁷); ⁵⁴

JDini ¹⁹¹).

ct(x— y) ist; hier, wie für die Umkehrung der Integrale mit festen Grenzen (Nr. 29) ist die charakteristische Funktion der inversen Operation von derselben Form. Sonine beschränkt sich dabei auf analytische Funktionen; die Ausdehnung seiner Lösung auf nicht analytische Funktionen giebt T. Levi-Givita⁵⁵).

Für den allgemeinen Fall ganz beliebiger charakteristischer Funktionen, die nur endlich und integrabel sein und eine integrable Ableitung nach x haben müssen, ist das Problem von V. Volterra gelöst worden⁵⁶); die Lösung beruht auf dem folgenden Prinzip: Ist <?o (%, y) eine endliche und integrable Funktion und berechnet man

y    / •

(13⁴) 6t (x, y)=f h~j (?, 0    1    ( •

= ,2,...; '

= ,2,..., b

so

ist <5. vom Index j unabhängig, und die Reihe:

CO

(135) konvergiert gleichmässig und stellt eine integrable Funktion dar; verfährt man mit s₀ ebenso wie zuerst mit ć₀, so kommt man auf die ursprüngliche Funktion <?₀ zurück. Mit Hilfe dieses Prinzips erhält Volterra die Formel für die Lösung der Funktionalgleichung

(136)

/■(*) — f(a) =f<p (y)a (%> y) &y,

wenn a{x,y) für x — y nicht null ist; und diese Lösung ist eindeutig bestimmt. Wenn a(x,y) = 0 ist für x = y, lässt sich das Problem ebenfalls lösen, aber es kann dann unendlich viele Lösungen geben⁵⁷). JE. Holmgren⁵⁸) zeigt, dass diese Lösungen eine lineare Mannigfaltigkeit bilden; was mit den Prinzipien der Umkehrung einer distributiven Operation (Nr. 5) in Übereinstimmung ist. —

Volterra hat seine Methode auch auf Fälle an gewendet, in welchen beide Grenzen des Integrals mit x veränderlich sind²¹⁴); z. B. erhält er die Lösung der Gleichung:

(137)

f{x) — f(°) = ftp iv) (x, V) dy,

(a > x > 0) .

ax

Ausserdem giebt er die Lösung des Gleichungssystems²¹⁵):

(138) ft(x) — ft (a)    2<Ph (y) aa (x> y) dyy

a h = 1

für den Fall, dass die Determinante \aih(x,y)\ von Null verschieden ist.

31. Integralgleichungen zweiter Art.

a) Ein besonderes Interesse knüpft sich neuerdings an die Gleichungen der Form:

(p (x) — Jeftp (t) a (x, t) dt — f(x),

W

(139)

die D. Hilbert™) Integralgleichungen zweiter Art nennt²¹⁷), da sich Lösungen von Randwertaufgaben der mathematischen Physik auf sie zurückführen lassen. Diesen Zusammenhang hat C. Neumann²¹*) bei Gelegenheit eines Problems betreffend das Potential einer Doppelschicht bemerkt, auf das dann H. Poincaré²¹²) das „Dirichlefsehe Problem“ zurückgeführt hat. Neumann's Lösung einer Gleichung der Form (139) lässt sich symbolisch folgendermassen darstellen: Schreibt man die Gleichung:

cp — Je A (ep) = f,

(140)

so ist diese Lösung formal gegeben durch

214)    Arm. di mat. (2) 25 (1897), p. 156.

215)    Rend. Lincei (5) 5 (1896), p. 177.

216)    Gött. Nachr. 1904, p. 49.

217)    Die Lösung der Gleichung (120) scheint viel schwieriger zu sein, als die der Gleichung (189); die Bemerkung Fredholm's, dass die erstere aus der letzteren erhalten werden könne, indem man nur 1c — oo zu setzen brauche, hat keinen praktischen Wert, da die letztere im allgemeinen eine „meromorphe“ Funktion von Je ist und also für k = oo eine wesentliche Singularität aufweist. — Übrigens beziehen sich die folgenden Angaben hauptsächlich auf den Fall reeller x und t, die dann unbeschadet der Allgemeinheit auf das Intervall (0 ... 1) beschränkt werden können.

218)    Leipz. Ber. 1870 ; Untersuchungen über das logarithmische u. Newton'sche Potential, Leipzig 1877, Kap. 5; Leipz. Abhandl. 13 (1887), p. 707.

219)    Palermo Rend. 8 (1894), p. 57; Acta math. 20 (1897), p. 59—142.

53

Encyklop. d. math. Wissensch. H.

<p — 2* a* (f);

(141)

n = 0

und wenn diese Reihe für geeignete Werte von Je konvergiert, so giebt sie für diese Werte die Lösung von (139). Aber im allgemeinen findet Konvergenz nur für hinlänglich kleine Je statt: Poincaré²²⁰) hat erst vorhergesehen, und Fredholm bewiesen, dass die Lösung von (139) eine meromorphe Funktion von Je — Quotient zweier ganzer transzendenter Funktionen — ist.

: b) In einigen speziellen Fällen konvergiert allerdings die Reihe (141) für alle Je und stellt also eine ganze Funktion von Je vor: insbesondere, in dem Fall, wo die Variabein reell sind und die Integrationsgrenzen in (139) von x abhängen. Dieser Fall lässt sich zurückführen auf die Lösung der Gleichung:

(142)

cp (x) — Jeftp (t) u(sc,t) dt — f'(x),    (0 ^ x < 1);

V. Volterra²²²)

sie ist zuerst von J. Le Boux²²¹) mit Hilfe der Methode der sucees-siven Approximationen gelöst und fast gleichzeitig von — auch für den Fall, dass a (x, t) Singularitäten aufweist — diskutiert worden, der durch seine Untersuchungen über die Verallgemeinerung des Märschen Problems (Nr. 30) auf sie geführt worden war. Bei Volterra tritt die Wichtigkeit der Funktion

(143)

h (x) — a (x, x)

dmcp

hervor, die hier dieselbe Rolle spielt, wie die Determinante bei Systemen linearer Gleichungen; er zeigt, dass es nur eine Lösung giebt, wenn h (x) im Integrationsintervall von Null verschieden ist, und dass die Lösungen, wenn h (x) Null wird, von einer algebraischen Gleichung abhängen. Uber die letztere fügt dann F. Holmgren²²⁰) noch einige Bemerkungen bei. Die Lösung von (142) durch successive Approximationen ist von E. Picard²²⁴) noch einfacher dargestellt worden; mit derselben Methode und mit Gebrauch von Hülfsfunktionen, die Integrale der linearen Differentialgleichung

8tm

fit) = a(x, t)cp(t) -f-----f- Um(x, t)

sind, löst P. Burgatti22b) die allgemeinere Gleichung:

220 Acta Math. 20 (1897), p. 118 u. f.

221)    Ann. éc. norm. (3) 12 (1895), p. 244.

222)    Torino Atti 31 (1896), p. 231, 286,389, 429; Line. Rend. (5) 5 (1896), p. 177; Ann. di mat. (2) 25 (1897), p. 139. Ygl. übrigen» Nr. 30.

223)    Torino Atti 35 (1900), p. 384.

224)    Paris C. R, 139 (1904), p. 245.

225)    Line. Rend. (5) 12 (1903), p. 443, 596.

(144) fix) = cp (x)+ J(a ix, t) cp^+a^t)^ + ••• + arn (x, t) d^~j d t nach der unbekannten Funktion cp auf; G. Fubini⁵⁹) löst dieselbe Gleichung mit einer anderen Methode, die sich auf die allgemeine Theorie der distributiven Operationen gründet.

c) Sind die Grenzen des Integrals von x unabhängig, so lässt sich für reelle Variable die Gleichung (139) auf die Form bringen:

(145)

cp (x) — h j cp (f) cc (x, t) dt — fix)',

die Funktionen fix) und a ix, t) sollen dabei im Intervall (0 . . . 1) reell, endlich und stetig sein⁶⁰). Auf Grund der Bemerkung, dass die meromorphe Lösung dieser Gleichung Quotient zweier ganzer transzendenter Funktionen ist, gelingt es I. Fredholm ⁶¹) diese Transzendenten direkt zu erhalten. Er giebt die Lösung, wenn ccix,t) ix — t)v für ein v < 1 endlich und integrabel ist, in der Form:

(146)

dabei ist:

(147)

i

cp ix) = fix) + iß 0

A (&, x, t)

ä(k)

f(t)dt-,

*(*)-

...dtn

(148) A Qc,x,t)=±=

und:

(149)

a (x1} ccix₂,

aixlf

CC (x%,

. . . aixx, tn)

• • • O

¹

   A. Grévy, Ann. éc. norm. (3) 11 (1894), p. 249.

²

   Wegen der Verallgemeinerung der Wroński 'sehen Determinante und wegen derjenigen Funktionalgleichungen, deren Theorie Analogien zu der der Differentialgleichungen darbietet, vgl. man Pincherle, Line. Rend. (5) 6¹ (1897), p. 301; JE. JBortolotti, ibid. 7¹, 1898, p. 45; Bourlet, Par. C. R. 124 (1897), p. 1431.

³

   Grévy, Paris Thèse 1894.

⁴

   Paris Thèse 1897.

⁵

   E. Hoppe, Zeitschr. Math. Phys. 5 (1860), p. 136; -/. A. Ser r et, J. de math. 15 (1850), p. 156; Cours d’algèbre supérieure.

⁶

   Die Iteration von solchen linearen Funktionen kommen in der Theorie der diskontinuierlichen Gruppen und der automorphen Funktionen häufig vor; so z. B. F. Eiein, Ikosaeder, Leipzig 1884, passim., Klein - Fricke, Modulfunktionen 1, Leipzig 1890, 2. Abschn., Kap. I.

⁷

   Papers 5, p. 466.

⁸

   Math. Ann. 2 (1870), p. 317.

⁹

   Ebenda 3 (1871), p. 300.

¹⁰

   Lomb. Rend. (2) 8 (1875), p. 276.

¹¹

   Darb. Bull. (2) 6 (1882), p. 228.

¹²

   J. de math. (3) 10 (1884), p. 104.

¹³

   Toulouse Fac. ann. 12 (1898), p. C 1.

159b) Sitzungsber. der Böhm. Gesellschaft, Prag 1902.

¹⁴

   Magazin for Naturvidenskaberne, Christiania 1823; Oeuvres ed. Sylotc et Lie 1, p. 1.

¹⁵

   Monatsh. Math. 14 (1902), p. 297.

¹⁶

   J. f. Math. 1 (1826), p. 1; Oeuvres ed. Sylow et Lie 1, p. 61.

¹⁷

   P. Stachel, Zeitschr. Math. Phys. 42 (1897), p. 323.

¹⁸

   A. Cauchy, Analyse algébrique, Paris 1821, p. 103 (Oeuvres (2) 3 (1897), p. 98, p. 220).

¹⁹

   G. Darhoux, Math. Ann. 17 (1880), p. 55; C. Segre, Torino atti 25 (1890), p. 192, 287.

²⁰

   La Vallée-Poussin, Cours d’analyse, 1903, p. 30.

²¹

   B. Volpi, Giorn. di mat. 35 (1897), p. 104; G. Hamel, Math. Ann. 60 (1905), p. 459.

²²

   Ygl. Fussno.te 164).

²³

   Monatshefte für Math, und Phys. 14 (1902), p. 293.

²⁴

   0. Bausenberger, Lehrbuch der Theorie der periodischen Funktionen, Leipz. 1884. Vgl. auch wegen einer Verallgemeinerung der Periodizität, die auch auf mehrdeutige Funktionen ausgedehnt wird, JE. Jaggi, Nouv. ann. (4) 1 (1901), p. 146, 450, 529.

²⁵

   S. Pineherle, Giorn. di mat. 18 (1880), p. 92; Bausenberger, Lehrbuch, Abschn. VI; A. B. Forsyth, Theory of functions, Cambr. 1893, p. 586.

²⁶

Par. C. R. 1884, 1886, 1889; Ann. éc. norm. 1885; J. d. math. 1885; vgl. auch hierüber II B 4.

²⁷

178) P. Appell, Par. C. R. 88 (1879), p 807, 1022.

²⁸

   E. H. Moore, Ann. of math. 9 (1895).

²⁹

   F. SchottJcy, J. f. Math. 110 (1892), p. 324.

³⁰

   Ebenda, p. 329.

³¹

   Weierstrass-Schwarz, Formeln und Lehrsätze, Berlin 1893, p. 1; vgl. auch Bausenberger, Lehrbuch 170, p. 140. — Im übrigen vergleiche man-wegen der Additionstheoreme der elliptischen und Abel’schen Funktionen die betr. Artikel von II B 3 und 5.

³²

   Beiträge zur Funktionenlehre, Leipzig 1892.

³³

   C. Guichard, Ann. éc. norm. (3) 4 (1887), p. 361; A. Hurwitz, Acta math. 20 (1897), p. 285.

³⁴

   Namentlich Hj. Mellin, Acta math. 3 (1883), p. 322; 8 (1886), p. 37; 25 (1902), p. 139.

³⁵

   G. H. Halphen, Par. C. R. 93 (1881), p. 781; S. Pincherle, Bologna Mem. 74) 5 (1888) (zwei Abhandlungen, die erste betrifft den Fall, dass die Koeffizienten hv konstant, die zweite den, dass sie rationale Funktionen von x sind); Bend, del circ. mat. di Palermo 18 (1904), p. 273.

³⁶

   Math. Ann. 28 (1886), p. 1.

³⁷

   Ibid. 48 (1897), p. 70.

³⁸

   Monatsh. Math. 16 (1905), p. 329.

³⁹

   Für die Gleichung (112) hat I. Fredholm den Namen „AbeVsche Funktionalgleichung'¹ vorgeschlagen, D. Hilbert nennt sie „Integralgleichung erster Art“. Der Name Integralgleichung geht auf P. du Bois-Reymond, J. f. Math. 103 (1888), p. 228,- zurück.

⁴⁰

   U. Fini, Ann. univ. Tose. 17 (1880 .

⁴¹

   Oeuvres 2, p. 69.

⁴²

   Das ist ein anderer Ausdruck für die in Nr. 16 schon zitierte Bemerkung, dass die Umkehrung einer Laplace'sehen Transformation wieder eine Laplace'sehe Transformation ist.

⁴³

   J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Paris 1822, Nr. 342, p. 533; Nr. 360, p. 546 (Oeuvres 1, p. 387, 406); C. Jordan, Cours d’analyse 2, Paris 1894, p. 235. Für komplexe Variable vgl. L. Kronecker, Vorlesungen über Integrale, herausg. von E. Netto, Leipz. 1894, p. 222.

⁴⁴

   Es handelt sich dann um die in Nr. 16 mit B bezeichnete Operation.

⁴⁵

   Vgl. Fussnote 74).

⁴⁶

   Über die Anzahl der Primzahlen, usw., Werke 1876, p. 140.

⁴⁷

   Cambr. Trans. 4 (1833), p. 358.

⁴⁸

   J. de math. (3) 4 (1878), p. 225.

⁴⁹

   Toulouse Fac. ann. 8 (1894), p. 793; 9 (1895), p. A 24.

⁵⁰

   Leçons sur les séries divergentes, Paris 1901, p. 61.

⁵¹

   Acta math. 10 (1887), p. f53; Bologna Mem. (4) 7 (1886).

⁵²

   Ibid. 16 (1892;, p. 341; Math, papers of the intern. Congress, Chicago

⁵³

1896, p. 278.

⁵⁴

Acta math. 4 (1884), p. 171.

⁵⁵

   Torino Atti 31 (1895), p. 25.

⁵⁶

   Line. Transunti (3) 8 (1884), p. 315; Rend. (5) 5 (1896), p. 177; Torino Atti 31 (1896), p. 231, 286, 389, 429; Ann. di mat. (2) 25 (1897), p. 139. Der Verfasser erläutert die Möglichkeit der Lösung des Problems für diesen Pall durch die Analogie mit einem System linearer Gleichungen, in dem alle Elemente der Determinante auf der einen Seite der Hauptdiagonale null sind. Dadurch tritt eine Vereinfachung ein, die im Falle der Umkehrung bestimmter Integrale mit festen Grenzen (Nr. 29) nicht statt hat; wie weit in diesem Falle die Beziehung zwischen der Theorie der distributiven Operationen und der der unendlichen Determinanten (I A 3, Nr. 58) reicht, ist in Nr. 31 d) klargestellt.

⁵⁷

   Torino Atti 31 (1896), p. 389.

⁵⁸

   Ebenda 35 (1900), p. 392.

⁵⁹

   Acc. Napoli Rend, febbraio 1904.

⁶⁰

   Fredholm bemerkt Acta math. 27 (1903), p. 366, dass man die Gleichung (142) als speziellen Fall von (145) ansehen könne; man brauche nur anzunehmen, dass a (x, t) für t > x gleich Null sei.

⁶¹

   Stockh. Öfvers. 57 (1900), p. 39; Par. C. R. 134 (1902), p. 1561; Acta math. 27 (1903), p. 365.

l) « (,Xn> 4) •• •

Der Nenner d Qc), der hier die Rolle der Determinante bei Systemen linearer Gleichungen spielt, ist von der Funktion fix) unabhängig. Die Konvergenz der Reihen für d (Je) und A (Je, x, t) wird auf Grund

eines Lemmas von J. Hadamard²²⁹) bewiesen. Für Werte von 1c, für die â (1c) =|= 0 ist, giebt Wurzel h von 1c — 0 giebt es unendlich viele Lösungen, die sich linear aus m von ihnen ableiten. Sie lassen sich durch Quotienten von Reihen darstellen, die zu A (Je, x, t) analog sind und von Fredholm als Minoren von d (1c) bezeichnet werden. — G. Fuhini ²³⁰) bedient sich der Methode von Fredholm zur Lösung von Funktionalgleichungen der Form (144), in denen die Grenzen der Quadratur von x unabhängig sind.

Im komplexen Gebiet treten ganz andere Verhältnisse ein; in der That geht aus Bemerkungen von S. Pincherle²³¹) hervor, dass in manchen Fällen die Gleichung

es nur

diese eine Lösung; für eine m-fache

(150)

cp (x) = 1c ja (x, t) cp (t) dt

(c)

für jeden Wert von 1c eine Lösung, und also die entsprechende Gleichung (139) für jeden Wert von 1c eine unendliche lineare Mannigfaltigkeit von Lösungen haben kann.

d) Fredholm's Methode hat ihre Wurzel in einem elementaren algebraischen Problem²³²). O. D. Kellogg²³³) teilt auf Anregung von JD. Hilbert das Intervall von 0 bis 1 in » gleiche Teiie, substituiert

f{~ü)für /■(*)> Uv)

für

cp (a), a    für a (x, t) und ersetzt

das Integral durch eine endliche Summe. So erhält er ein gewöhnliches System von n linearen Gleichungen mit n Unbekannten, das sich durch Determinanten lösen lässt: der Übergang zu n = oo lässt die Form der Fredholm'sehen Lösung augenfällig werden. Die strenge Durchführung des Grenz üb er ganges von dem algebraischen zum transzendenten Problem giebt Hilbert selbst²³⁴), speziell für den besonders interessanten Fall, dass die Funktion a (x, t), die er Kern nennt, in x und )£ symmetrisch ist. Mit Hilfe des Grenzüberganges und nach vorgängigem Beweis der Konvergenz der Entwicklungen â (1c) und A (1c, x, t) erhält er die Formel (146).

Das in der Gleichung (139) enthaltene Problem — a (x, t) symmetrisch — lässt sich auch als transzendente Verallgemeinerung des

229)    Darb. Bull. (2) 17 1893, p. 240.

230)    Catania Accad. Gioenia boll. 1905, fase. 83.

231)    Math. Ann. 49 (1897), p. 325.

232)    Er sagt (Par. C. R., 27 janvier 1902): „la théorie de l’équation (139) est un cas limite de la théorie des équations linéaires“. Dasselbe hatte Volterra, Torino Atti 31 (1896), p. 235 für den Fall b) schon bemerkt; vgl. Fussnote 211)

233)    Diss. Gott. 1902.

234)    Gott. Nachr. 1904, p. 57.

Problems der orthogonalen Transformation einer quadratischen Form in eine Summe von Quadraten (I B 2, Nr. 3) ansehen¹). Für diesen Gesichtspunkt haben fundamentale Wichtigkeit die (nach steigendem absoluten Betrag geordneten) Wurzeln k₂, ... der Gleichung <5 (x) — 0; Hilbert nennt sie „die mm Kern a (x, i) gehörigen EigenwerteJeder einfachen Wurzel k{ entspricht eine bis auf einen konstanten Faktor bestimmte Lösung der Funktionalgleichung:

i

cp (x) =k Ça (x, t) cp (t) dt o

(150)

jedem Kern existiert mindestens ein Eigenwert Und

zu

jeder m- fachen Wurzel m linear-unabhängige Lösungen, „die m dem Eigenwerte 7q gehörigen Eigenfunktionen“. In der allgemeinen Theorie der distributiven Operationen nach Pincherle erscheinen diese Eigenfunktionen als Invarianten ²) der durch die Quadratur gegebenen Operation A (cp). Ist der Kern symmetrisch, so sind die Eigenwerte alle reell³);

folglich auch mindestens eine Eigenfunktion ⁴). Durch geeignete Wahl des noch willkürlichen konstanten Faktors, bezw. durch geeignete Auswahl unter den zu einem mehrfachen Eigenwert gehörenden lassen sich die Eigeufunktionen „normieren“; bezeichnet man daun mit    die ite normierte Eigenfunktion, so gelten die Relationen:

(151)

r    (0 für i > j,

in der p(x), q(x) beliebige stetige Funktionen bedeuten können; die Reihe rechts konvergiert unbedingt und gleichmässig für alle Funktionen p (x), q (x), für die die Integrale:

i    i

jp²(x)dx, fq> (x) dx o    o

(153)

eine endliche Grenze nicht überschreiten. Für p(x) — q (x) erhält man die transzendente Verallgemeinerung der erwähnten Transformation der quadratischen Formen.

Die Zahl der Wurzeln von d (Je) ist im allgemeinen unendlich⁵); sie ist dann und nur dann gleich einer endlichen Zahl m, wenn der Kern von der Form ist:

(154)

«K*» 0 = NV (*)*.(<)•

n = 1

Die Bedingungen dafür, dass eine Funktion von zwei Variabein sich auf diese Form bringen lässt, giebt K. Stephanos⁶). Für einen symmetrischen Kern ist cpn (x) = %n (x).

Die zu einem Kern a (x, t) gehörigen Eigenfunktionen sind zugleich auch Eigenfunktionen der „iterierten Kerne“ ⁷):

i

(155) av (x, t) — J a (x, u) ccv_t (u, t) du o

bei solchen Entwicklungen auch

man

e) Die Eigenschaften (151) der „normierten Eigenfunktionen“ führen zur Entwicklung einer im Intervall (0 ... 1) willkürlich gegebenen stetigen Funktion in eine nach solchen Funktionen fortschreitende Reihe⁸ 9 10). Will den Fall mehrfacher Wurzeln von d (Je) mit einbeziehen, so ist es zweckmässig, ein „vollständiges normiertes Orthogonalsystem des Kernes a (x, t)a 244) einzuführen, d. h. ein System von Eigenfunktionen, die die Relationen (151) erfüllen und dabei so gewählt sind, dass jede beliebige Eigenfunktion sich linear, homogen und mit konstanten Koeffizienten durch eine endliche Anzahl von Funktionen des Systems ausdrücken lässt. „Sei dann f(x) eine stetige Funktion, die sich auf die Form bringen lässt:

i

(156)

f(x) = fa (x, t) p (t) dt, o

in der p (t) eine stetige Funktion bedeutet; jede solche Funktion lässt sich entwickeln in eine absolut und gleichmässig konvergente Reihe der Form:

i

J^v dt,

o

(157)

f(x)

V=l

wenn ip1} ip₂,-. . . die Funktionen eines vollständigen normierteu Orthogonalsystems sind.“ Dieser Satz rührt von Hilbert2i6) her; eine von ihm noch beigefügte Stetigkeitsbedingung hat E. Schmidt²⁴⁶) als überflüssig erkannt. Der Kern heisst geschlossen (Hilbert), wenn der Gleichung: i

(158)

J*a (x, t) cp (t) dt = 0 o

durch keine stetige Punktion cp (f) genügt werden kann; für einen solchen Kern gilt der Satz: Ist f(x) stetig und konvergiert die Entwicklung: i

(159)

fov (0 f (f) d t 0

gleichmässig, so stellt sie notwendig die Funktion f(x) dar.

Den Fall eines unsymmetrischen Kerns führt Schmidt²⁴⁷) auf den eines symmetrischen durch die Bemerkung zurück, dass

i

(160)

ci (x, t) = J*a (x, u) a (t, u) du o

eine symmetrische Funktion von x und t ist.

Auf die Verwandtschaft einiger der angeführten Sätze mit neuen Resultaten von W. SteJdoff²⁴⁸) sei hingewiesen.

f) Die vorangehende Theorie erlaubt Fragen der Maxima und Minima von Doppelintegralen²⁴⁹):

(161)

J(cp) = J^fcc (x, t) cp (x) cp (f) dtdx

zu behandeln. Ist der Kern definit, d. h. ist das Integral (161) positiv für jede stetige Funktion cp, und ist :

(162)

i

J'cp² (x) dx o

= 1;

so hat das Integral J kein Minimum; sein Maximum ist h~¹ und tritt für cp(x) = ^ (x) ein; im Bereich derjenigen Funktionen cp, die ausserdem den Bedingungen:

i

fi (X) (X) dx 0

(163)

(n = 1₇ 2, ..m — 1)

genügen, ist das Maximum h~¹ und tritt für cp (x) = ipm (x) ein.

246)    Diss. Gott. § 9 u. Einleitung p. III.

247)    Ebenda § 12.

248)    Toulouse Fac. ann. (2) 6 (1905). Vgl. Poincaré, Acta 20 (1897), p. 118 u. f.

249) Hilbert, Gött. Nachr. 1904, p. 78.

g) Die bisher festgehaltene Bedingung, dass a (x, t) endlich und stetig sein soll, lässt sich durch eine weniger einschränkende ersetzen¹¹). Ist cc(x,t) längs einer Linie % — %(t) der Ebene (x, t) unstetig oder unendlich, doch so, dass

(x — % (t))Q « (%> 0

bleiben die bisherigen Resultate gültig.

so

für ein p < \ stetig bleibt,

Auch für die unter den Integralzeichen auftretenden Funktionen sind solche Singularitäten von der Ordnung < ^ zulässig.

h) Wie schon erwähnt, reichen die auf die Gleichung (139) sich beziehenden Überlegungen nicht aus zur Auflösung der Gleichung (120), also zur Umkehrung eines bestimmten Integrals. Die Bemerkung, dass f{cc) notwendig eine rationale ganze Funktion wird, sobald u(x, t) eine solche Funktion a von x ist, reicht schon aus, um erkennen zu lassen, dass in diesem Falle überhaupt die Natur von f(x) von der von a (x, t) abhängt. Für Gleichungen dieser Art, die in der Potentialtheorie auftreten, sind die von Kellogg¹²) citierten Auflösungsformeln Hilbert's zu erwähnen:

(164)

in denen für die Integrale ihre Hauptwerte im Sinne von Cauchy zu nehmen sind; jede von ihnen ist die Auflösung der anderen. Übrigens sollen die Anwendungen der Theorie der Integralgleichungen auf gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, sowie auf die des Potentials und anderer Differentialgleichungen der mathematischen Physik in II A 12b besprochen werden ¹³); hier seien nur noch zwei Anwendungen auf funktionentheoretische Probleme erwähnt. Hilbert¹⁴) behandelt das Problem: In einem einfach zusammenhängenden, von einer Kurve c begrenzten Bereich eine analytische Funktion f(z) — u(x, y) -f- iv(x, y) so zu bestimmen, dass der reelle und der imaginäre Bestandteil auf c als Funktionen der Bogenlänge dieser Kurve eine Gleichung der Form erfüllen:

(165)

a(s)u(s) -f- b(s)v(s) + c(s) = 0,

in der a(s), b(s), c(s) gegebene stetige und differentiierbare Funktionen bedeuten. Kellogg¹⁵ 16) behandelt das Riemcmrisehe Problem: n bis auf gegebene Punkte reguläre analytische Funktionen zu finden, die sich nach einer Gruppe linearer Substitutionen transformieren, wenn die Variable geschlossene Kurven in ihrer Ebene durchläuft.

i) Alle diese Sätze gelten mutatis mutandis auch für Integralgleichungen zweiter Art mit mehreren Variablen¹⁷)

(166)    cp(xx,...,xn) — kfgp&,tn)a(xu..., xn, tx,..., Qdt,... dtn

= f(xx,. . ., xn).

32. Symbolische Gleichungen. Ebenso wie eine Funktion durch eine oder mehrere Eigenschaften bestimmt werden kann, die sich durch eine oder mehrere Funktionalgleichungen ausdrücken lassen, ebenso kann man eine Operation durch Eigenschaften bestimmen, die sich durch Gleichungen zwischen Operationssymbolen ausdrücken. So kann die Transformation von Laplace durch die beiden Gleichungen (50) definiert werden; ist D das Symbol der Ableitung und M das der Multiplikation mit x, so lauten diese beiden Gleichungen:

(167)

MA = — AD.

DA = AM,

Auch die Gleichung von Babbage (81) und die von Lémeray (83) sind symbolische Gleichungen. Eine Theorie solcher Gleichungen — sie würde mit der Theorie der Differentialgleichungen Berührungspunkte darbieten — steht noch aus. Erwähnt seien nur noch die Gleichungen der Form¹⁷):

Ä₀A -f- kxÄ -(- k₂A" -f- • • • + knA^ — 0,

in der A₀, Xx, . . ., ln gegebene Funktionen einer Variabein x, A die zu bestimmende Operation, A', A", . . . ihre Funktionalableitungen (Nr. 14) bedeuten; ihre allgemeine Lösung ist eine lineare Kombination der Substitution S (Nr. 16) und der Produkte S D, SD², . . . mit willkürlichen Funktionen von u als Koeffizienten.

(168)

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¹

   Ebenda, p. 62.

²

   Vgl. Pincherle e Amaldi, p. 35.

³

   Hilbert, Gott. Nachr. 1904, p. 63.

⁴

   „Fundamentaltheorem“ nach E. Schmidt, Diss. Gött. 1905.

⁵

   Ebenda, p. 72.

⁶

   Palermo Rend. 18 (1904), p. 360.

⁷

   JE. Schmidt, Diss. Gott. § 6.

⁸

   Hilbert, Gött. Nachr. 1904, p. 71.

⁹

   Schmidt, Diss. Gött. § 5.

¹⁰

   Gött. Nachr. 1904, p. 75.

¹¹

   Ebenda Abschn. VI. Die einschlägigen Überlegungen von Kellogg (Diss.) sind (nach Hilbert, loc. cit., p. 84) nicht streng.

¹²

   Diss. Gott. § 6.

¹³

   Ygl. eine zweite Mitteilung Hilbert's, in Gött. Nachr. 1904, p. 213.

¹⁴

   Heidelb. intern. Kongr. 1904, p. 231; einfacher und vollständiger Gött. Nachr. 1905, p. 307.

¹⁵

   Math. Ann. 60 (1905), p. 424. Ygl. übrigens auch hierzu die eben genannte Note Hilbert's.

¹⁶

   Volterra, Ann. di mat. (2) 25 (1897), p. 151; Hilbert, Gotting. Nachrichten (1904), p. 52.

¹⁷

   Pincherle e Amaldi, cap. VII, p. 144.